令和３年度（２０２１年度）

東北大学大学院理学研究科
博士課程前期２年の課程
地球物理学専攻一般選抜入学試験

筆記試験問題数物系科目：[１] – [７]（表紙も含めて１１枚）

令和２年８月１９日

数 物 系 科 目

1. 数物系科目の問題は［１］から［７］まで７問ある．そのうち４問を選んで解答すること．
2. 答案は，問題ごとに別々の答案用紙に記入し，各答案用紙の上端に，問題番号（１ヵ所）と受験番号（１ヵ所）を記入すること．
3. 答案が白紙の場合でも，必ず答案用紙に問題番号と受験番号を記入して提出すること．
4. 答案には，計算の過程などの解答に至る根拠を記すこと．問題文に特に指示がある場合には，それに従うこと．
5. 問題紙，答案用紙，草案紙は持ち帰らないこと．

［	 １	 ］	 図１のような原点 O を支点とする二重振り子が xz 平面内で微小振動している． z 軸は鉛直下向きを正とする．質量 m の重りが２つあり，それぞれの位置を	 ( x1 , z1 ),( x2 , z2 )とする．
重りは質点とみなす．支点と重り１，重り１と重り２をつなぐ糸の長さは共に l であり，それらが鉛直下向きとなす角をそれぞれ ϕ1 , ϕ 2 とする．糸の質量，伸縮，たるみは考えない．重力加速度をg とし，空気抵抗は無視できる．変数の上のドットは時間微分を表す．次の問いに答えよ．	 	 	 
(1)	 ２つの重りの位置を l , ϕ1 , ϕ 2 を用いて示せ．	 

(2)	 	 	 系全体の運動エネルギーを m , l , ϕ1 , ϕ 2 , ϕ1 , ϕ 2 を用いて示せ．	 
(3)	 	  系全体のポテンシャルエネルギーを m , l ,g, ϕ1 , ϕ 2 を用いて示せ．	 
(4)	 	 	  一般化座標をθ ，ラグランジアンを L とするとラグランジュ方程式は	 d ∂L ∂L=dt ∂θ ∂θ 	  	  	  	  	  	 	 である.	 	 

ラグランジュ方程式を用いて，この二重振り子の運動方程式を導け．なお，微小振動である
ため， cos ϕ i ≈ 1− (1 2)ϕ i2(i =1, 2) 	 及び	  cos(ϕ1 − ϕ 2 ) ≈ 1 とする．	 	 

(5)	 	  運動方程式に，重り１と重り２が同じ角振動数 ω で振動する解	  ϕ1 (t) = A1 sin(ω t) ,	 	 
ϕ 2 (t) = A2 sin(ω t) （ただし， A1 ≠ 0 かつ A2 ≠ 0 ，及び時刻 t = 0 での位相が共にゼロ）を与えると，２つの固有周期が得られる．２つの固有周期それぞれを	  l ,	 g を用いて示せ.	 	 
(6)

問 (5) で求めた２つの固有周期の振動解それぞれについて， A1 と A2 の関係を示せ．	 

(7)

問 (5) で求めた２つの固有周期のうち，短いほうの周期を T1 ，長いほうの周期を T2 とする.	 
さらに， A1 = 1 [度]	 とする.	 次の問いに答えよ.	 
(i)

２つの重りが共に周期 T1 で振動する場合の,	  ϕ1 と ϕ 2 の時間変化を図示せよ．	 	 

(ii)	 	  ２つの重りが共に周期 T2 で振動する場合の,	  ϕ1 と ϕ 2 の時間変化を図示せよ．	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 
図１［ ２ ］ 気体の温度を T，体積を V，圧力を P，気体定数を R（8.3 J mol-1 K-1）とする．必要な変数は各自で定義し使用してよい．次の問いに答えよ．
(1)

理想気体 1 mol について考える．次の問いに答えよ．
(i) ボイルの法則（等温変化について PV = 一定）とシャルルの法則（等圧変化についてV = aT： a は比例係数）を用いて，状態方程式 PV = RT が成り立つことを示せ．
(ii) 問 (i) を用いて，内部エネルギー U は，温度が一定であれば体積が変化しても変わらないことを示せ.
(iii) 定圧モル比熱 CP と定積モル比熱 CV の間にマイヤーの法則（CP – CV = R）が成り立つことを示せ．

(2)理想気体 1 mol の温度を T1 から T2 に上げる準静的過程を，a) エントロピー 一定，b) 圧力一定，c) 体積一定の三種類の条件で行う．定圧モル比熱 CP と定積モル比熱 CV は一定とする．
比熱比（CP / CV）を とするとき，次の問いに答えよ．
(i)a) の場合，温度と圧力の間に①式の関係があることを示せ．
T P ( 1 − ) / = 一定①(ii) b) の場合のエントロピー増加量は，c) の場合の 倍であることを示せ．
(3)

アボガドロ数を NA，ボルツマン定数を kB，分子の二乗平均速度を 〈v 〉 とする．次の問いに答えよ．必要に応じて R = NAkB の関係を用いよ．
(i)

単原子分子からなる理想気体 1 mol について，分子運動論から，P = NA m 〈v 〉/ 3V の関係が得られる．m は１分子の質量である．これを用いて，エンタルピー H が②式で表せることを示せ．ただし，H0 は温度 T0 におけるエンタルピーとする．
5H = H0 + 2 NA kB ( T – T0 )②(ii) 常温，1 気圧での窒素（N2）と二酸化炭素（CO2）の定積モル比熱の実測値は，それぞれ20.8 J mol-1 K-1，28.8 J mol-1 K-1 であった．これらの実測値とエネルギー等分配則から求めた値を比較し，その違いについて考察せよ．さらに温度を上げた場合，窒素の定積モル比熱はどのように変化するか，理由とともに答えよ．

［ ３ ］ 図 1 のように水の入った水平断面積 𝐴 の容器がある．この容器の底部から高さ 𝐿の位置に面積 𝑎 の小さな孔があいており，水が速度 𝑣 で流出している．水は密度 𝜌 の非圧縮完全流体で，流れは渦なしとする．𝑧 軸は鉛直上向きを正とし，孔の高さを 𝑧 = 0，孔から水面までの高さを ℎ，重力加速度を 𝑔 とする．以下の問いに答えよ．
(1)

流れが定常であるとして，オイラーの運動方程式からベルヌーイの定理を導け．必要であれば変数を自分で定義して使ってよい．

(2)

𝐴 ≫ 𝑎 として，ℎ の時間変化が無視できるとする．ベルヌーイの定理から，孔からの流出速度 𝑣 が -2𝑔ℎ となること，すなわちトリチェリの定理を導け．

(3)

水面のゆっくりとした降下について考える ( ℎ = ℎ(𝑡) )．水の流出速度はトリチェリの定理に従うとして，次の問いに答えよ．

(i)

水面降下速度 2−(ii)ℎ(𝑡) = 5 -ℎ$ − & 6 ( 𝑡 7 となることを示せ．𝑡 = 0 のとき ℎ = ℎ$ とする．

!"!#

4 を 𝐴, 𝑎, 𝑣 で示せ．
(%'

図1［ ３ ］は次ページに続く

(4)今度は，図 2 のように容器を蓋で密閉し，十分に細い空洞のチューブを水にさした状
態で孔から水を流出させる．チューブと蓋の間に隙間はなく，水面はゆっくりと降下する ( ℎ = ℎ(𝑡) )．水の流出速度はトリチェリの定理に従うとして，次の問 (i)，問 (ii)の状況について，それぞれ答えよ．

(i)

チューブをゆっくり上に引き上げたとする．チューブ下端が水面に達した瞬間( 𝑡 = 0 ) から，流出速度 𝑣 が 0 となるのに要する時間 𝑇) を求めよ．チューブが水中に戻ることはなく，また，チューブの動きは水に影響しないとする．𝑡 = 0のとき ℎ = ℎ$ > 0 とする．
(ii)

チューブを水にさした状態で固定したとする．チューブ下端 ( 𝑧 = 𝐻 ) での圧力が大気圧に等しくなった瞬間 ( 𝑡 = 0 ) から，流出速度 𝑣 が 0 となるのに要する時間 𝑇( を求めよ．また，ℎ の時間変化を図示せよ．𝑡 = 0 のとき ℎ = ℎ$ > 𝐻 > 0とする．

図2

［ ４ ］ 図１のように，𝑧軸上の点A (0, 0, −𝑑) から点A (0, 0, 𝑑) に電流 𝐼を流すと，点Aには +𝑞，点A には −𝑞 の点電荷が現れる．磁場の時間変化により生じる電場は無視できるとする．𝐞 , 𝐞 , 𝐞 を座標系の基底ベクトル，𝜇 , 𝜀 をそれぞれ真空中の透磁率，誘電率とする．次の問いに答えよ．

zA1IdyaPⅹdA2

図１(1) 図１の𝑥軸上の点P(𝑎, 0, 0) における電場が，①式で表されることを示せ．
𝐄=−𝑞𝑑𝐞2𝜋𝜀 (𝑎 + 𝑑 ) /①(2) 電流密度 𝐢，電場 𝐄，および磁場 𝐁 の間には，②式のアンペール・マクスウェルの法則が成り立つ．C は閉曲線の経路，S は C に囲まれた面，𝐧 は面要素の法線ベクトルを表す．
この式の物理的意味を 100 字程度で説明せよ．
𝐁 ∙ d𝐫 = 𝜇𝐢 ∙ 𝐧𝑑𝑆 + 𝜀 𝜇𝑑𝑑𝑡

𝐄 ∙ 𝐧𝑑𝑆②(3) 点Pにおける磁場について考える．
(i)(ii)

磁場𝐁が③式で表されることを示せ．
𝐁=𝑑𝜇 𝐼𝐞2𝜋𝑎 √𝑎 + 𝑑③𝑑 ≪ 𝑎 および 𝑑 ≫ 𝑎 の場合の近似式を，それぞれ 𝑑⁄𝑎 および 𝑎⁄𝑑 の一次の精度で求めよ．

［ ４ ］は次ページに続く

(4) 雷放電によって雷雲と地表間を電流が流れる．地表を導体平面とみなし，この電流で生じる電場と磁場を，図２のモデルを使って考える．
(i)𝑥𝑦面を接地導体面とし，原点から点A (0, 0, 𝑑) に電流 𝐼 を流すと，導体面には軸対称な電流が流れ，点A に +𝑞 の点電荷が現れる． 𝑧 > 0で，図１の系と同じ電場と磁場が生じる理由を，それぞれ 100 字程度で述べよ．図を用いてもよい．

zA1IdyaⅹP

図２

鉛直方向に落雷電流が流れ，落雷点から水平方向に距離 𝑎 離れた観測点Pで，図３に示す磁場変動が観測された．磁場の向きは地表面に平行で，落雷点と観測点を結ぶ線に直交していた．放電路長 𝑑 が 𝑎 より十分短いと近似して，落雷で流れた総電荷量を求めよ．𝑑 = 4.0 km，𝑎 = 3.0 × 10 km，𝜇 = 1.3 × 10る．国際単位系(SI)では H = V ∙ s⁄A ，T = V ∙ s⁄m である．

磁場強度 [T](ii)6.0×10 -1000.100.12
図３

時間 [s]H/mとす［ ５ ］ 質量 𝑚 の粒子が調和振動子ポテンシャル 𝑉(𝑥) = (𝑚𝜔 ⁄2) 𝑥に拘束されている．この基底状態について考える． ℏ = ℎ⁄2𝜋（ℎ：プランク定数），Ψ(𝑥) は時間によらない波動関数である．次の問いに答えよ．なお，下に示す積分公式を用いてよい．

(1) 粒子がエネルギー固有値 𝐸 を持つとき，この系が満たす「時間によらない１次元シュレディンガー方程式」を記せ．

(2) 基底状態における時間によらない波動関数は Ψ(𝑥) = 𝐴 exp{(− 𝑚𝜔⁄2ℏ) 𝑥 } (𝐴：規格化定数) となる．この式は問(1)の解となり，そのエネルギー固有値 𝐸 はℏであることを示せ．

(3) 問(2)の Ψ(𝑥) を 𝑥 = −∞ ~ + ∞ で規格化すると，𝐴 はℏ/となることを示せ．

(4) 基底状態では，古典論と同様，位置の期待値 〈𝑥〉 と運動量の期待値 〈𝑝〉 は共に 0 となることを示せ．
(5) 基底状態では，古典論と違い，〈𝑥 〉 と 〈𝑝 〉 は 0 とはならないことを示せ．
(6) 問(5)の結果は，不確定性原理と矛盾しないことを示せ．

[積分公式]exp(−𝑎𝑥 ) 𝑑𝑥 =𝜋𝑎𝑥 exp(−𝑎𝑥 ) 𝑑𝑥 = 0𝑥 exp(−𝑎𝑥 ) 𝑑𝑥 =12𝑎𝜋𝑎(ただし 𝑎 > 0)

［ ６ ］ 次の問いに答えよ．ただし，変形はすべて微小であるとする．
(1)

直交直線座標系 O-𝑥𝑦𝑧 に置かれた物体に外力が作用して，その内部に連続な応力場 𝜎𝑖𝑗 (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑖, 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) が生じている．このとき，物体内の微小直方体の各面における応力ベクトルの成分は図１のように図示できる．物体には体積力𝐹𝑖 (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) が作用しており，平衡状態にある．

(i) 体積力と応力の平衡方程式を導出し，総和規約を用いて表せ．

(2)(ii) 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖 であることを示せ．

等方均質弾性体（ヤング率 𝐸，ポアソン比 𝜈）の円柱を，以下の２通りの条件下で変形させる．

条件(a) 円柱の半径方向のひずみがゼロとなるように拘束する．
条件(b) 円柱の半径方向の変形を拘束しない．
条件(a)，(b)のそれぞれのもとで，軸方向の線ひずみが 𝜀 となるように円柱を変形する．このときに必要な軸方向の法線応力をそれぞれ 𝜎𝑎 ，𝜎𝑏 とする．
(i) ラメの定数（𝜆，𝜇）が，ヤング率とポアソン比を用いて𝜆=𝜈𝐸，(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)と表せることを示せ．

𝜇=𝐸2(1 + 𝜈)(ii) 𝐸 ≥ 0，0.5 ≥ 𝜈 ≥ −1 である時，|𝜎𝑎 | ≥ |𝜎𝑏 | であることを示せ．

図１

[ ７ ] 以下の問いに答えよ．
(1)

次の不定積分を求めよ．𝑛 は自然数とする．

(2)

次の連立微分方程式を与えられた初期条件で解け．𝑥, , 𝑥/ は 𝑡 の関数とする．

(3)"(log ' 𝑥)*𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥,= 𝑥, + 2𝑥/
1 𝑑𝑡𝑑𝑥/= 2𝑥, − 2𝑥/𝑑𝑡𝑥, (0) = 5,𝑥/ (0) = 10

直交直線座標系上の 3 点 (𝑎, 1, 1), (1, 𝑎, 1), (1, 1, 𝑎 ) に対し，以下の問いに答えよ．

ただし，𝑎 ≠ 1 とする．
(i)

3 点が作る三角形の面積を求めよ．

(ii) 3 点を通る平面の方程式を求めよ．

(iii) 問 (ii) の平面が，原点を中心とする半径 1 の球に接する時の 𝑎 の値を求めよ．
(4)以下の関数で定義される矩形波のフーリエ正弦変換を求めよ．
(i)−1𝑓, (𝑥) = < 01(−𝜋 < 𝑥 < 0)(𝑥 = 0, |𝑥| ≥ 𝜋)
(0 < 𝑥 < 𝜋)

図1(ii) 𝑓* (𝑥) = <(−𝑘𝜋 < 𝑥 < (1 − 𝑘)𝜋 )(−1)A( 𝑥 = 0, 𝑥 = ±𝑘𝜋, |𝑥| > 𝑛𝜋 )0AE, ((−1)(𝑘 − 1)𝜋 < 𝑥 < 𝑘𝜋 )𝑛 は任意の自然数で，𝑘 は 𝑘 ≤ 𝑛 を満たすすべての自然数とする．

図2