*1
基礎物理学（電磁気学の初級）

担当：松山明彦*2
九州工業大学・情報工学部・生命情報工学科(2017 年 6 月 16 日)*1 生命情報工学科１年生

基礎物理学のテキスト*2 http://iona.bio.kyutech.ac.jp/∼aki/

2
はじめに
生命情報工学科１年生の基礎物理学のテキストです。電磁気学の初級を中心に講義していきます。熱力学もすこし解説します。高校で物理を履修していない人にも理解してもらえるように，さらに高校で物理を勉強した人にも興味を持って読んでもらえるように，ということを念頭に置いて書きました。少しでも物理に興味を持ってもらえればと思います。このテキストを読んで，その後，授業に出席して話を聞けばいろいろと解らないところが理解できると思います。物理って面白い，簡単ですね！となればいいのですが・・。
この授業では，電磁気学の基礎方程式である４つのマクスゥエル方程式を理解することが最終目的です。数学的記述とその意味をしっかり理解してください。さらに，日常生活でのいろいろな電磁気現象があることを学びましょう。きっと物理って面白い！と思うはずです・・。面白くないわ
けがない，なぜならどんな人でも面白いと思った経験があるはずです。いつの間にかその経験が薄れていっているだけです。この授業を通して皆さんの中にある物理的直感に少しでも刺激を与えることが出来ればと思っています。
授業で使ったパワーポイント書類や、演習問題の解説や解答などは，「MOODLE」にのせる予定です。予習・復習に利用してください。では，頑張ってください。なにごとも，楽しんでやることが大切です。

2016 年夏 飯塚にて
松山明彦

3

目次

第1章

エントロピーと自由エネルギー51.1

水の相図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51.2

物質の相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

温度と熱エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

絶対温度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

熱運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

分子間相互作用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.4

ボルツマン因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

エントロピー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5

自由エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6

理想気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.6.1

理想気体の状態方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.6.2

統計力学的考察. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7

実在気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8

補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.8.1

熱と仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.8.2

理想気体の状態数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.8.3

単位

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.8.4

牛を球とみなして始める物理学的発想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

電荷と電流

21

2.1

場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1

摩擦と静電気 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

クーロンの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.1

クーロン力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.2

感電には注意！

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.3

クーロン力のベクトル表示と電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.9
第2章

2.3

4

目次

2.3.4

電場の重ね合わせ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4

電気力線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5

電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.6

補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.6.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

ガウスの法則31

ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.1

流線の保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.2

流線の数学的表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1.3

別府温泉のわきだし . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

電場のガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2.1

点電荷のまわりのガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2.2

球内に一様に電荷が分布する場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2.3

球面上に電荷が分布している場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

ベクトル演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3.1

ベクトル演算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3.2

場の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3.3

スカラー積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3.4

ベクトル積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.4

ガウスの法則の微分型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.5

補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.5.1

ベクトルの発散. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.5.2

ベクトルの回転. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

導体と誘電体43

導体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.1.1

電位

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.1.2

電気容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

コンデンサー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.2.1

平板コンデンサー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.2.2

誘電分極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.2.3

誘電率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.3

電束密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.4

電気二重層 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.5

補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.7
第3章

3.1

3.2

3.3

3.6
第4章

4.1

4.2

単位

5

4.6
第5章

5.1

4.5.1

力とポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.5.2

単位

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.5.3

原子の分極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

磁場と電流

55

磁場に対するクーロンの法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.1.1

磁荷

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.1.2

磁場

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

磁性体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.2.1

磁場のわきだし？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

ビオ・サバールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.4

電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

5.5

補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.5.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

電磁誘導

65

ベクトルの外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.1.1

ベクトル積の方向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

電流と磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

6.2.1

ローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

いろいろな電磁誘導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

6.3.1

磁場内に置かれた導線に電流を流すと導線は動く . . . . . . . . . . . . . .

70

6.3.2

磁場内で電線を動かすと電流ができる . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

6.3.3

電磁誘導の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

6.3.4

回路が変化する場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

マクスウェル方程式と電磁波

77

マクスウェル方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

7.1.1

マクスウェル方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.2
5.3

アンペールの法則

5.3.1

5.6
第6章

6.1
6.2
6.3

6.4
第7章

7.1
7.2

単位

電磁波とマクスウェル方程式

7.2.1

電場

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

7.2.2

磁場

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

7.2.3

波の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

7.2.4

電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

7.2.5

マクスウェル方程式の間の関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

6

目次

7.3

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

輸送現象

89

8.1

運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

8.2

ブラウン運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

8.2.1

ブラウン運動の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

8.2.2

短時間の緩和現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

8.2.3

長時間の緩和現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

拡散現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

8.3.1

フィックの方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

8.3.2

拡散方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

8.4.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

第8章

8.3

8.4
8.5

単位

7

第1章

エントロピーと自由エネルギー
物質の状態には，気体 (gas)，液体 (liquid)，固体 (solid) の 3 状態が存在します。これらの状態
は統計力学によると自由エネルギーを最小にするように決定されます。物質の巨視的物理量 (例えば，密度など）が時間的に変化しない状態を，熱平衡状態 (thermal equilibrium) とよびます。この状態は温度や圧力などの状態変数によって変わります。たとえば，水を 100 ℃以上の温度にすると水は沸騰して気体になります。なぜそんなことが起こるのでしょうか？これを理解するには以下に説明する熱力学や統計力学的考察が必要です。この章を読んだ後にはこの問には簡単に答えられるようになっているはずです。

1.1 水の相図

図 1.1

水の相図

熱平衡状態において，その状態を特徴づけるいくつかの状態量 (state quality) があります。例
えば，温度 T ，圧力 P ，体積 V などは物質の状態を特徴づける状態量です。このうち，物質を分割しても変化しない量，例えば，T , P などを示強性 (intensive) とよび，一方，物質の量に比例する量を，例えば体積 (V ) などは示量性 (extensive) とよびます。示強性の状態量である温度と圧力によってどのような状態が熱平衡状態にあるかを示したのが相図 (Phase diagram) と呼ばれています。図書館にある理科年表などにいろいろな物質の相図が載っているので参考にしてください。
図 1.1 は水の相図を示します。縦軸が圧力，横軸が温度です。気体，液体，固体の３つの状態は

8

第 1 章 エントロピーと自由エネルギー
３本の実線で分けられています。この実線を共存曲線とよび，実線上は２つの相が共存しています。３つの実線が交わる点では３相が共存します。この点のことを３重点 (Triple point) とよびます。圧力を P = 6.1 [hPa], 温度を T = 273.16 [K] にすると３重点になります。ここでは，気体，
液体，固体の 3 相が共存します。液体と気体の共存線の先は○印で示してありますが，ここを臨界点 (Critical point) とよびます。我々の日常生活はだいたい圧力 1013[hPa] の環境下で生活しています。台風が来ると圧力は下がります。水が気体になる沸点は T = 373[K] で，水が氷になる
凝固点は T = 273[K] です。富士山の頂上でお湯を沸かすと沸点はどうなるでしょうか？相図をよく見て考えてください。相図上のある点で１つの相から他の相への遷移のことを相転移 (Phasetransition) という。

図 1.2

水のモル体積と温度の関係

図 1.2 は，水の１モル当たりの体積（モル体積）と温度の関係を示します。直感的には温度が上
がると体積は増加すると考えるのが普通ですが，水では液体の体積が一番小さくなっています。密度は，質量/体積ですから，水の密度は液体状態が一番高いことがわかります。また，相転移温度
で体積が急激に変わっています。特に，液体から気体になるとき体積は約 1000 倍に膨らみます。
それに対して，液体から固体ではほんのわずかな変化しかありません。コップにいっぱい入った水を冷凍庫に入れて氷にしました。取り出すとどうなるか？考えてみてください。

1.2 物質の相
物質の状態には，気体，液体，固体の３相が（あついは３態）が存在することはよく知られています。では，この３つの相はどのように区別すればいいでのでしょうか？図 1.3 はある分子の気体
状態が書いてあります。液体と固体（結晶）の状態を書き入れてください。３つの相の違いを明らかにしながら慎重に書いてください。もちろん我々は，水道から出る水は液体状態で，空気は気体であることも知っています。では，この３つの相を定義するにはどうすればいいでしょうか？気体と液体の大きな違いは密度です。図 1.2 でも見たように，体積が 1000 倍も違うので，気体と液体

1.2 物質の相

9

図 1.3

物質の３態

の密度は 1000 倍程度の違いがあります。この３桁の違いは明らかに区別できます。では，液体と固体の密度はどうでしょうか？どちらも殆ど１程度で区別が出来ません。例えばゴムと水の密度は殆ど１程度ですが，両者は全く別物です。ということで，密度という物理量で区別できるのは，気体と液体（または固体）の区別だけで３相を区別することは出来ません。そこで登場するのが，長距離秩序という物理量です。気体や液体では分子の重心の位置はランダムな無秩序な状態であり，秩序をもちません。それに対して結晶では，分子の重心の位置が規則的に並んだ秩序構造（結晶構造）をもちます。このように，秩序という物理量で物質を見れば，液体（または気体）と結晶の違いが明らかとなるわけです。したがって，密度と秩序の２つの秩序パラメーターを使うと，気体は密度が十分小さく (ρ ∼ 10−3 )，秩序が無いものを気体と定義することが出来るわけです。同じよう，密度と秩序の２つの秩序パラメーターを使って，液体と結晶の定義を各自で考えてください。

図 1.4

秩序パラメーターの温度変化

図 1.4 は，２つの秩序パラメーターの温度変化を模式的に表したものです。相転移温度で秩序パ
ラメーターに飛びが起こります。このような相転移を１次相転移とよび，転移にともない比熱が発散することが知られています。

10

第 1 章 エントロピーと自由エネルギー

1.3 温度と熱エネルギー
1.3.1 絶対温度
我々が日常使う温度は摂氏温度 (◦ C: Celsius temperature scale) です。この定義は，水の固体− 液体 − 気体の相転移温度を利用して，氷点を 0◦ C ，沸点を 100◦ C としています。熱力学ではこの摂氏温度の代わりに絶対温度を使います。絶対温度はT = t(◦ C) + 273.15[K],(1.3.1)で与えられます。ここで，t は摂氏温度，絶対温度の単位はケルビン [K] で表します。−273.15[◦ C]
は絶対零度 (＝ 0[K]) とよばれ，全ての物質はこれ以上の低温にすることは出来ないことが解っています。絶対零度では原子の振動運動が完全に止まります。しかし，熱力学第 3 法則によると，絶対零度にすることは不可能であることも解っています。

1.3.2 熱運動
では，温度とは何でしょうか？沸騰した水は熱い，氷は冷たい！何が違うのでしょうか？この違いを定量的に表したのが熱エネルギー

kB T

[J]

(1.3.2)です。単位はジュール [J]，またはカロリー [cal] が用いられます。1[cal]=4.2[J] です。ここで, ボ
ルツマン定数（kB ）は

kB = 1.38 × 10−23 [J/K]= 0.328 × 10−23 [cal/K](1.3.3)で，1[mol] 当たり (NA = 6.02 × 1023 ) に換算すると，

kB = 8.3[J/Kmol] = 1.98[cal/Kmol](1.3.4)となります。したがって室温 T=300[K] での熱エネルギーは 1mol 当たり

kB T = 2490[J/mol] = 594[cal/mol] ∼ 0.6[kcal/mol](1.3.5)です。室温（約２７度）での熱エネルギーは約 0.6[kcal/mol] と覚えておくと何かと便利になるでしょう。
では，この熱エネルギーは何をするのでしょうか？水を温めるとだんだん水の分子運動が激しくなり１００℃では沸騰して気体になります。これは水分子に熱エネルギーを与えていることになるのです。その熱エネルギーをもらった水分子はどんどんと分子運動を激しくして，ついには沸騰という現象を引き起こします。これは，熱エネルギーが運動エネルギーに変換された証拠です。質量 m の分子が速度 v で運動するときの運動エネルギーは 21 mv 2 で与えられます。熱エネルギーが100 パーセント運動エネルギーに変換されたとすると，
kB T =

1
mv 2
2(1.3.6)

1.3 温度と熱エネルギー11の関係式が成り立ちます。この式を等分配則と呼びます（熱力学で習う，理想気体の分子運動論を参考にしてください）。したがって，温度 T での分子の平均速度は

√
v=

2kB T
m

(1.3.7)となります。高温ほど分子の速度は大きく激しい運動をすることがわかります。
酸素分子 (m = 32 × 10−3 [Kg/mol]) の室温 T = 300[K] での平均速度は√v=

2 × 8.3[J/K · mol] × 300[K]= 390[J/Kg]1/2
32 × 10−3 [Kg/mol](1.3.8)となります。ここで計算には単位も一緒に書いて計算するくせをつけましょう。こうすると後々便利です。重さは [Kg], 長さは [m: メートル]，時間 [s:秒] でそろえて計算することを，MKS(SI) 単
位系とよびます。式 (1.3.8) の最後の単位は [J/Kg]1/2 となっています。これが本当に速度の単位か確認する必要があります。

1[J] = 1[N · m] = 1[m2 · Kg · s−2 ],であるので，単位を計算すると，[J/Kg]1/2 =( N · m )1/2 ( m2 · Kg · s−2 ) ( m2 )1/2
=
=
= m/s
Kg
Kg
s2

となり，たしかに！速度の単位であることがわかります。このように，室温での低分子の平均速度は数 100[m/s] の速度で運動していることが解ります。これで，なぜ，水が沸騰するかある程度説明できますね。しかし，ちょっと待て！そうだとすると，なぜ分子によって沸点が違うかが説明できません。水は 100 度で液体から気体に変わりますが，例えば，アルコールのプロパノールは 82
度で沸騰します。この違いはどこからきているのでしょうか？それを理解するには，次で説明する
分子間相互作用が必要です。

1.3.3 分子間相互作用
全ての原子，分子の間には分子間相互作用が働いています。引き合ったり離れたりそれは分子の個性で，分子の種類によります。物理学では２つの分子間に働く相互作用が引き合う場合を引力相
互作用 (attractive interaction)，離れる場合を斥力相互作用 (repulsive interaction) とよびます。
一般にこの分子間相互作用 (u(r)) は２つの分子間の距離 (r) に依存して，[]( σ )12 ( σ )6u(r) = ϵ−,rr(1.3.9)と表されます。ここで，σ は分子の半径，ϵ は引力の強さを表します。このような分子間ポテンシャ
ルをレナルド・ジョーンズポテンシャル（Lanard-Jones potential) とよびます。指数の１２乗と６乗が特徴です。図 1.5 は式 (1.3.9) を示します。２つの分子が十分離れていると分子間力は殆どゼロですが，近づくにつれて引力が強くなってくることが解ります。この引力の部分は式 (1.3.9)

12

第 1 章 エントロピーと自由エネルギー

図 1.5

分子間に働く相互作用の第２項からきます。距離の６乗に逆比例した引力を，ファン・デア・ワールス (van der Waals)
引力と呼びます。さらに２つの分子間の距離が近づくと，こんどは式 (1.3.9) の第１項が効いてきて斥力になります。これは，互いの分子は重ならないという排除体積効果から分子間相互作用は斥
力になります。この引力の強さ ϵ が分子によって異なる値を持ちます。もちろん ϵ の値が大きい程引力が強い分子となります。

1.3.4 ボルツマン因子

図 1.6 熱エネルギーと分子間相互作用

さて，なぜ液体が気体に変わるかを理解するための重要な要素は，これまでに説明した熱エネル
ギーと分子間相互作用 E との比

E/kB T(1.3.10)が重要な概念となります。例えば，E/kB T ≫ 1 の場合はどのような状況でしょうか？引力相互作用が熱エネルギーに比べて十分大きい場合，分子間の引力が支配的となり分子は互いに引きつけあい密に詰まった状態になります。つまり分子は固体的な状態になると考えることが出来ます。逆に

E/kB T ≪ 1 の場合はどのような状況でしょうか？分子間の引力相互作用に比べて，熱エネルギーが十分大きい場合，熱エネルギーが分子を激しく動かします。これは気体的な振る舞いになると理解できるでしょう。E/kB T ∼ 1 はその中間の液体的なイメージがもてると思います。
例えば，原子間を繋いでいる共有結合のエネルギーは約 30[kcak/mol] 程度です。室温の熱エ
ネルギーの 0.6[kcal.mol] に比べて十分大きいですね！つまり共有結合は室温では強く安定して1.4 エントロピー

13

います。では，共有結合を切るにはどの位の温度が必要でしょうか？計算してみましょう。水分子間に働く水素結合は約 2-3[kcal/mol] 程度です。ファン・デア・ワールス引力はさらに小さく

1[kcal/mol] 程度で，室温の熱エネルギーと同程度になります。温度が上昇すれば，水素結合や分子間引力が切れるようなイメージが持てますか？液体が気体に変わるのは，この２つの比 E/kB Tが急激に変わるからです。このように E/kB T の比は熱力学で重要な概念になります。熱力学や統計力学では,exp(−E/kB T )(1.3.11)をボルツマン因子 (Boltzmann factor) と呼びます。
コメント：温度 T の環境下での全ての分子の状態和は

Z=∑exp(−Ei /kB T )(1.3.12)iで与えられます。ここで Ei は系の取りえる微視的状態のエネルギーを示します。したがって，ある Ei という状態が出現する確率 (pi ) は

pi =

exp(−Ei /kB T )Z(1.3.13)で与えられます。一般に N（粒子数）, V, T が一定の熱平衡状態にある系がエネルギー E という微視的状態をもつ確率は，exp(−E/kB T ) に比例します。統計力学ではこのことをカノニカル集団とよびます。

1.4 エントロピー

図 1.7 エントロピーの意味は？

ある温度，圧力，粒子数の環境下でどのような相が安定かを考えるのに，ボルツマンはエントロ
ピーという熱力学的量の分子論的意味を与えました。それは，熱力学のエントロピー S は，状態数

14

第 1 章 エントロピーと自由エネルギー

W に対応しているとし，
S = kB log W(1.4.1)で与えられることを発見したのです（ボルツマンの墓石にはこの式が彫ってある 図 1.8）。エント
ロピーが大きいということは状態数が大きいことを意味します。

図 1.8

エントロピー弾性

さて，この状態数ですが，これはゴムを考えれば理解しやすいと思います。ゴムは簡単に伸ばすことができますが，力を緩めると元の状態に戻ります。図 1.8 の左はゴムを伸ばす前のゴムを構成している高分子鎖の状態を示します。この場合高分子はグニャグニャと曲がった状態で，大きな状態数を持っています。つまりエントロピーの高い状態です。このときのエントロピーを S1 としましょう。ゴムを引っ張ると右図のように高分子が伸ばされて状態数の少ない状態になります。つまり，伸ばされた状態はエントロピーが小さいことがわかります。伸ばしたときのエントロピーを

S2 とすると，この差 ∆S = S1 − S2 が高分子を元に戻そうとする復元力になります。伸ばすことでエントロピーを損失し，力を緩めると，エントロピーを取り戻すためにゴムは縮むのです。このようなゴムの性質をエントロピー弾性とよびます。

1.5 自由エネルギー
分子間のエネルギー（内部エネルギー）E とエントロピー S を用いて系の自由エネルギーはF = E − TS

(1.5.1)で与えられます。これをヘルムホルツの自由エネルギーとよびます。物質の熱平衡状態はこの自由エネルギーの最小な状態に対応します。エントロピーだけでなくエネルギーとの兼ね合いで決まる
ところが重要なのです。式 (1.5.1) は高温側ではエントロピー項 S が支配的であり，低温ではエネ
ルギー項 E が支配的となることがわかりますね！
以下では，自由エネルギーが解るといろいろな熱力学的量が計算できることを説明しましょう。
式 (1.5.1) の微小変化

dF = dE − T dS − SdT(1.5.2)を考えましょう。熱力学第１法則によれば，系の微小変化（体積を少し変化させたなど）に対しての内部エネルギー変化は

dE = dQ + dW

(1.5.3)

1.5 自由エネルギー15です*1 。ここで，dQ は系が吸収した熱量，dW は系が外部からされた仕事を示します。熱力学第２法則によってエントロピーの微小変化は

dS = dQ/T(1.5.4)dW = −P dV(1.5.5)です。また，系がされた仕事はですので，式 (1.5.4) と (1.5.5) を (1.5.3) に代入すると，

dE = T dS − P dV

(1.5.6)となります。この式は，S と V を独立変数として内部エネルギーの変化が表されています。さらに，式 (1.5.6) を (1.5.2) に代入すると，

dF = −SdT − P dV

(1.5.7)を得ます。この式は，T と V を独立変数として自由エネルギー変化が表されています。したがって，F をそれぞれの独立変数で偏微分すると，体積一定 (dV = 0) のとき

(

∂F
S=−
∂T
温度一定のとき (dT = 0)

(
P =−

∂F
∂V

)
(1.5.8)V)(1.5.9)
Tが成り立ちます。さらに式 (1.5.8) の両辺を V で偏微分すると

(

∂S
∂V

)

( 2 )
∂ F
=−
∂V ∂T

(1.5.10)となり，式 (1.5.9) の両辺を T で偏微分すると

(

∂P
∂T

)

(

∂2F
=−
∂V ∂T

)
(1.5.11)となります。従って式 (1.5.10) と (1.5.11) より

(

∂S
∂V

)

(
=
T

∂P
∂T

)
(1.5.12)
Vという関係式が導かれます。
その他，ギブスの自由エネルギーはG = F + P V,

(1.5.13)

H = E + P V,

(1.5.14)

エンタルピーはで定義されています。４つの熱力学関数 (E, F , G, H) と４つの状態変数 (V , T , S, P ) の間の熱力学関係式は上の議論を同様に行えば全て導くことができます。
*1 補足 1.8.1 を参照

16

第 1 章 エントロピーと自由エネルギー

1.6 理想気体
1.6.1 理想気体の状態方程式

図 1.9

理想気体の状態方程式

熱力学によれば理想気体の状態方程式は, ボイルの法則とシャルルの法則を組み合わせてP V = nRT,

(1.6.1)で与えられます。ここで,n = N/NA はモル数，R は気体定数

R = 8.31[J · mol−1 · K −1 ],(1.6.2)です。気体定数とボルツマン定数の関係は kB = R/NA です。理想気体 (ideal gas) とは分子間相互作用が無視出来て，分子の大きさを考えない気体のことです。理想気体の P − V 曲線は図 1.9のように，体積が増加するにつれて圧力が減少します。また，高温の方が圧力は高くなります（圧力は気体の分子運動によって生じるので，高温の方が熱エネルギーが大きく分子は速い速度で動くということを思い出してください）。図 1.9 のように理想気体では全ての範囲で

(

∂P
∂V

)
< 0,

(1.6.3)

Tが成り立ちます。この不等式を熱力学的不等式とよび，これを満たす領域では系は熱力学的に安定です。では熱力学的に不安定な状態とはどういうことかというと，たとえば，気体状態が不安定になり液体状態になることを意味します。だんだんと天気が悪くなり雲が集まってきて雨が降り始める状況に対応します。

1.6.2 統計力学的考察
ここでは，理想気体の状態方程式をもう少し，分子論的に考えて導出してみましょう。ここでは，1.4 節で述べたエントロピーの定義（式 (1.4.1）が重要な役割を演じます。

1.7 実在気体

17

理想気体は，質量がゼロで相互作用の無視出来る気体です。体積 V の容器の中に N 個の理想気体がある系を考えましょう。この系の状態数は

W = V N,

(1.6.4)で与えられます*2 。エントロピーの定義（式 (1.4.1）に代入すると，理想気体のエントロピーはS = kB log W = N kB log V,(1.6.5)となります。したがって，ヘルムホルツの自由エネルギー（式 1.5.1) はF = E − T S = −kB T N log V,(1.6.6)となります。理想気体なので相互作用エネルギーはゼロ (E = 0) です。このヘルムホルツの自由エネルギーを使って理想気体の圧力を求めると，式 (1.5.9) から

(

∂F
P =−
∂V

)

(

∂E
=−
∂V
T

)

(

∂S
+T
∂V
T

)

(

∂S
=T
∂V
T

)
= N kB T /V = nRT,

(1.6.7)

Tとなり，理想気体の状態方程式が導かれることがわかります。理想気体の状態はエントロピーで決まっているわけです。熱力学ではボイルの法則とシャルルの法則を使った経験則によって理想気体の状態方程式 (P V = nRT ) が導かれました。そのときの比例定数が気体定数です。一方，統計力
学では，分子論的モデルを作り，エントロピーのボルツマン公式を使えば，直接理想気体の状態方
程式が計算できるところがすごいところです。熱力学と統計力学の違いです。

1.7 実在気体

図 1.10 ファン・デア・ワールスの状態方程式

気体はもちろん理想気体だけではありません。実際分子には大きさがあり，分子間相互作用があります。このような実在気体 (real gas) の状態方程式で，最も有名なのがファン・デア・ワールスの状態方程式*2 章末の補足 1.8.2 を参照)(
n2
P + a 2 (V − nb) = nRT,
V

(1.7.1)

18

第 1 章 エントロピーと自由エネルギーです。ここで，a, b は定数で分子によって異なる値を持ちます。定数 a は分子間引力項，定数 b は分子の大きさ（排除体積項）に関係します。a = b = 0 で理想気体の状態方程式になります。もちろんこの状態方程式も統計力学的に導出することが出来ます。定数 a, b の値によっていろいろな

P − V 曲線が現れますが，ある温度では，図 1.10 にあるように P − V 曲線に熱力学的不安定領域があらあれる場合があります。図中の赤の体積では系は不安定になり気体と液体が共存します。

(これについてはもう少し説明する予定ですが，ここまでにしておきます。）

1.8 補足1.8.1 熱と仕事
ここでは，式 (1.5.3) の仕事量に関して補足します。断熱材で出来たピストンつきシリンダー内の気体を暖めることを考えましょう（各自で絵を描いて考えてください）。圧力 P は一定であるとしてピストンは自由に動けるものとする。暖めるにつれてピストンは上方に移動して体積を増やします。この場合，気体がした仕事は，気体がピストンに及ぼす力を F , ピストンの移動距離を dxとすると，

図 1.11 熱と仕事

F × dx = P A × dx = P dV,(1.8.1)と書けます。ここで A はピストンの面積, Adx はピストンが動いたことによる体積変化 (dV ) を示
します。したがって，気体がされた仕事は

W = −P dV,(1.8.2)となります。dV > 0 の場合，気体は分子運動によって外界に対して仕事をしたので W < 0 とな
ります。その分だけ気体の内部エネルギー (1.5.3) は減少することがわかります。dV < 0 の場合は圧縮された場合で W > 0 となり，ピストン内の気体は外界からなんらかの仕事をされて内部エネルギーが増加することを意味する。熱量が吸収される場合は dQ > 0，放出される場合は dQ < 0です。

1.8.2 理想気体の状態数
なぜ，理想気体の状態数が W = V N と書けるのでしょうか？簡単に説明しておきます。図 1.12に碁盤の目のように格子状に線を入れてみてください。格子の総数を V 個として，そこに全部で1.8 補足

19

N 個の碁石（気体分子）を置く場合の数（状態数）を求めることを考えてください。以下では，碁石を気体分子だと思ってください。まず第１番目の石（気体分子）を置く場合の数は V 通りありますね。次に２番目の石を置く場合の数は，一番目の石が既に格子上に置かれているので，一個減って，V − 1 通りとなります。３番目の石は V − 2 通りの置き方があります。ということで，第 i 番
目の石を置く場合の数は V − i − 1 通りあります。したがって，全部で N 個の石を置いたときの場合の数はW = V (V − 1) · · · (V − i − 1) · · · (V − N − 1),(1.8.3)となります。全部で N 個の石を置くので上の式は N 個の置き方のかけ算になります。これを計算すれば，囲碁のエントロピーが計算できます。
さて，ここで考えているのは石ではなくて理想気体なので，気体の体積を考える必要がないわけです。つまり，１つの格子に１個しか置けないという条件が無視できます。「1 個の格子上に何個でも石を置いてもよい」という仮定がつきます。つまり，一番目の石も V 通りの置き方があり，２番目の石も V 通りの置き方があります。第 i 番目の石も V 通りの置き方があります。ということで，式 (1.8.3) はW = V N,

(1.8.4)となります。これが理想気体の状態数です。理想気体は気体の体積を無視できるので，同じ位置に何個の分子が存在してもよいという仮定で状態数が計算できるわけです。この仮定が無いと，いきなり問題は難しくなります。
理想気体ってかなりひどい仮定をしているように見えますが，こんなんでいいのか？と思うかもしれませんが，ある程度の気体の性質を理解できるところがすごいところです。物理現象を理解するためには様々な仮定 (assumption) が入ってきます。仮定がなければ物理学で勉強する数学的式は殆ど成立しないでしょう。しかし，その仮定がいろいろな現象を理解する上で本質的に重要であることが多数あります。理想気体もその一例です。
現象を理解するためにどんな仮定があるのかを知ることも，物理を理解する助けになります。これから始まる物理の授業でも，どんな仮定が入っているかを自分なりに考えてみてください。電磁気学の授業でも色々な仮定が出てきます。しかしその殆どが暗黙の了解のように進んでいきます。
なにをやってんのや？と解らなくなったら，「まずどんな仮定をしとんのや！」と疑って見るとこ
ろから初めるのも理解するための一つの切り口になるかもしれません。

V: volume

図 1.12 理想気体の状態数を求める

20

第 1 章 エントロピーと自由エネルギー
最後に，気体の体積や相互作用を考慮した実在気体の状態方程式も多数あります。一番有名なのが，van der Waals（ファン・デル・ワールス）の状態方程式です。

1.8.3 単位
実際に数値を代入して計算するときは MKS 単位系をつかうこと。MKS とはメートル (m), 重さ (Kg), 時間 (秒：s) の単位を使って計算することです。以下を参考に。例えば，圧力 1[atm] はMKS 単位系では 1.013× 105 [N/m2 ] となります。
• 力の単位：1[N : ニュートン] = 1[m · Kg · s−2 ]• 熱の単位： 1[cal: カロリー]=4.19 [J:ジュール], J = N · m• 圧力の単位：1[atm: 気圧]=1.013× 105 [Pa:パスカル], Pa=N/m2 =Nm/m3 =J/m3 ，天気予報でよく出てくるヘクトパスカル (hPa) は 100[Pa] のことである：1[hPa]=100[Pa]。

• 体積の単位：1[l:リットル]=10−3 [m3 ]• アボガドロ数：NA =6.02× 1023
• 気体定数：R = 8.31[J · mol−1 · K −1 ],• ボツルマン定数：kB = R/NA = 1.38 × 10−23 [J · K −1 ]1.8.4 牛を球とみなして始める物理学的発想
小話を一つ。牛を飼育している牧場主が，経営改善するために心理学者と経営工学者と物理学者の 3 人に相談したそうです。心理学者は「まず，牧場の草をもっと豊富にして，牛がリラックスできる環境を整えることが必要ですね，」と言ったそうです。経営工学者は「牛一匹あたりの面積が広すぎます。もう少し，牛を増やして経営効率を上げることをお勧めします，」と。物理学者は，「まず牛を球と仮定しましょう。・・・・・」といいました。さて，このびっくりするような仮定から何が導かれるでしょうか？皆さんが物理学者になったつもりで，この続きを考えてください。

1.9 演習問題
1. コップの上まで一杯に入れた水を冷凍庫に入れて氷にしました。さて，取り出すとどうなっているでしょうか？

2. 今日食べた昼食の熱エネルギーはいくらか調べてください（生協のレシートに書いてある）。
その熱エネルギーは温度に換算すると何度ぐらいになるでしょうか？昼食はすべて炭素で構成されていて，全体の量は 500 グラムあったとして計算してください。

3. 室温 (T = 300[K]) におけるネオン分子 (m = 20.0 × 10−3 [Kg mol−1 ) の平均速度を求めよ。単位に注意して計算すること。分子は何でもよいので，他の分子についてあと２つ計算して分子の質量と速度について感覚をつかんでください。（答え：約 500[m/s])

4. 水は 100 度で液体から気体に変わるが，例えば，アルコールのプロパノールは 82 度で沸騰します。この理由を分子論的に説明してください。

1.9 演習問題
5. 1.5 節を参考にして，ギブスの自由エネルギーの微分型 (dG = −SdT + V dP ) を求めましょう。さらに dG を使った体積の定義を導いてください。

6. 理想気体の状態数は W = V N で与えられます。理想気体の状態方程式を導いてください。
7. 理想気体を体積 V1 から体積 V2 に圧縮した。圧縮によるエントロピー変化を求めて結果について考察しましょう。

8. 0◦ C, 1[atm] における理想気体の１モルの体積は？。(答え：22.4 l)
9. 温度 300[K] で 1.00[m3 ] の密閉された容器内にある空気 1.00[Kg] のおよぼす圧力を計算しましょう。空気は理想気体として仮定して，空気 1[mol] の質量は 28.93 × 10−3 [Kg/mol]です。(答え：0.86 [atm]=860[hPa]，強力な台風のようなかなりの低気圧です。)

21

23

第2章

電荷と電流
電磁気学の始まりです。まず，ここでは電磁気学は何を扱うかを説明していきましょう。我々の日常生活は常に電場や磁場の中で行われています。携帯電話，ラジオ電波，太陽からの紫外線や赤外線，可視光などすべて電磁気学で扱うものです。携帯電波と電磁気学がどうやって関わってくるのでしょうか？それについて学びましょう。

2.1 場
ここではまず電磁気学で出てくる場 (field) の概念について説明しておきます。「場とは空間を伝わる相互作用である」と書くと少し理解出来たきがしませんか？この場には２種類あります。１つはスカラー場で，これは空間の各点に１つの大きさ（数）が決められたもので，圧力，温度などがあります。もうひとつはベクトル場で，空間のある点にベクトル量が存在する場のことです。電⃗ の様
場，磁場，電磁波などがあります。以下では，スカラー場は A，ベクトル場は A(または A)に書くことにします。

2.2 電荷まず，電荷 (electric charge) についてです。帯電した電気を電荷とよびます。電荷には + と −があります。電荷を持った粒子を荷電粒子とよびます。例えば，血液中の赤血球やコロイド粒子やタンパク質，DNA なども電荷を持った荷電粒子です。電池や電気も電荷の流れです。電子はマイナスの電荷を，陽子はプラスの電荷を持っています。したがって，マイナスの電荷を持った粒子
は，マイナス極からプラス極の方向に移動します。
電気量の基本単位は，電気素量とよばれ e で表します。電気素量の値は

e = 1.60217733 × 10−19 [C],(2.2.1)です。ここで，[C] はクーロンと読みます。電荷の単位です。電気量はたとえば，10e, 22e など，
電気素量の整数倍しか現れません。電子１個はマイナスの電荷 −e を持ちます。ちなみに，電子の質量は me = 9.109 × 10−31 [Kg] であり，電子を 1[mol] 集めてもまだまだ我々には何の重さも感じないですね。

24

第 2 章 電荷と電流
２つの電荷間には相互作用が働きます。同符号の電荷間は斥力，異符号の電荷間には引力が働きます。例えば，プラスとプラスの電荷間には斥力が働きます。このような引力や斥力は我々が日常経験している電気の力です。

2.2.1 摩擦と静電気

図 2.1

２つの物質を摩擦すると帯電する。

小学生のとき，プラスチック下敷きを髪の毛でこすると，髪の毛が逆立つことを経験したことがあると思います。２つのものをこすり合わせると摩擦によって帯電します。つまり摩擦によって物質の表面に電荷が現れます。図 2.1 は帯電する代表的な物質を示しています。例えば，髪の毛とプラスチックをこすり合わせると，プラスチックはマイナスに，髪の毛はプラスに帯電します。このような帯電した電荷を静電気とよびます。プラスの電荷とマイナスの電荷間には引力が働くので，下敷きと髪の毛は引っ張り合い，髪の毛が逆立ちするわけです。
冬の乾燥した日に金属のドアノブに手がさわるとビリッとしたことがあると思います。この場合
は，乾燥によって金属のドアノブがマイナスに帯電し，手の表面にはプラスの電荷があらわれます。手を金属に近づけるとプラスの電荷とマイナスの電荷が引き合って電荷が移動し，一瞬電流が流れた状態になりビリッと感じるのです。稲妻も同じ原理です。雲の中にプラスの電荷がたまり，
地上のマイナス電荷との間で電流が流れます。

図 2.2 摩擦によって静電気が生まれる

2.3 クーロンの法則

25

2.3 クーロンの法則
2.3.1 クーロン力

図 2.3 クーロン力（同符号の電荷の場合は斥力になる）

このような電荷間の力はクーロンの法則によって理解することが出来ます。電荷 q と電荷 Q をもつ２つの電荷が距離 r 離れているとき，２つの電荷間に働く力をクーロン力とよびます。ここでは電荷は例えば，q = 2e や Q = 10e という値を持ちます。このクーロン力は距離の２乗に逆比例
して

F =

1 qQ
,
4πϵ0 r2(2.3.1)で与えられます。クーロン力 (F ) は力の単位 (N ) をもち，明らかに qQ > 0 のとき，つまり同符号の電荷のときは斥力であり，qQ < 0（異符号の電荷）のときは引力となります。前述の下敷きと髪の毛の間にはこのクーロン引力がはたらき引きつけあっているのです。距離が離れるにつれてこの力は弱くなります。係数 ϵ0 は真空の誘電率でありϵ0 = 8.854 × 10−12 [C 2 N −1 m−2 ],(2.3.2)です（十二分にヤヤコシイと覚える？）。”真空の・・”と書くと真空でしか使えないかというとそうでもないのです。空気の誘電率は実は真空の誘電率とほとんど同じであることを知っておきましょう。一般に媒質の誘電率 (ϵ) と真空の誘電率の比を非誘電率 (ϵr = ϵ/ϵ0 ) とよびます。例えば，
空気は ϵr = 1.00059，水は 20 ℃で ϵr = 80.4 です。
クーロン力の係数は

1
1
=
4πϵ0
4 × 3.14 × 8.854 × 10−12= 8.99 × 109 [C −2 N m2 ](2.3.3)であり，約 1010 [C −2 N m2 ] の値をもちます。高校ではこの定数は k として覚えた人がいると思いますが，大学では必ず式 (2.3.1) の様に ϵ0 を用いて書いて下さい。
式 (2.3.1) を具体的に計算する場合は単位系に注意して計算してください。電磁気学では MKSA
単位系 (SI 単位系）を使って計算するのが主流です。長さはメートル (m), 質量はキログラム (Kg),
時間は秒 (s), 電流はアンペア―(A) を基本とした単位系です。1[A] の電流が１秒間に運ぶ電荷を

1[C] と定義します： [A]=[C/s]。

26

第 2 章 電荷と電流

図 2.4

放電現象

2.3.2 感電には注意！
2.2.1 節でも述べたように金属に手を近づけるとビリッ！としたことがあると思います。これは手の表面がプラスに，金属表面がマイナスに帯電した状態で，手を金属に近づけるとクーロン力によってプラスの電荷とマイナスの電荷が引きつけあって電荷が金属から手に移動するためにビリッとするのです。この電荷の流れのことを電流とよびます。電流の単位はアンペア―[A] で,

1[A]=1[C/s] です。
人間の身体には 50[mA] 以上の電流が流れると感電死するそうです。では何個の電荷（電子の数）が流れているか考えてみましょう。50[mA] = 50 × 10−3 [C/s] です。１個の電子の電荷は e[C]なので，一秒間にx=

50 × 10−3 [C/s]= 3.1 × 1017 [個/s],
1.6 × 10−19 [C](2.3.4)個の電子が流れたことになります。感電の実態はこれらの電荷が体内に多量に供給されるためにおこるのです。冬場の感電には十分注意して下さい。

2.3.3 クーロン力のベクトル表示と電場

図 2.5

クーロン力のベクトル表示

クーロン力は２つの電荷間では斥力になったり引力になったりして，向きを持つことが解ったと思います。つまりクーロン力はベクトル量です。ここではクーロン力のベクトル表示を考えましょ2.3 クーロンの法則

27う。図 2.5 で示すように，点１に電荷 q と点２に電荷 Q が存在する場合を考えましょう。それぞれの点の位置ベクトルを r1 , r2 とすると，R = r1 − r2 です。今, 赤の矢印の方向にクーロン力が働いているとしましょう。点 2 から点 1 へ向く単位ベクトルは⃗e21 =⃗
R,R⃗
R = |R|,(2.3.5)です。点 2 の電荷 Q が点１の電荷 q に作用するクーロン力のベクトル表示はF⃗ =⃗1 qQ R
1 qQ
⃗
e
=
,
21
4πϵ0 R2
4πϵ0 R2 R(2.3.6)と書けます。

図 2.6 電荷 q に働くクーロン力

さらにこの式を書き換えて，としましょう。ここで

⃗ =
E

⃗
F⃗ = q E,(2.3.7)

1 Q⃗e21 ,
4πϵ0 R2(2.3.8)⃗ の中で，空間のある点には電場ベクトル (electric field) とよばれています。電荷 Q が作る電場 E
電荷 q が存在するとき，その電荷に働くクーロン力が式 (2.3.7) で与えられます。電場が電荷に作⃗ の中に電荷 q を持った粒子をおくと，その粒子に用する力をしめします。図 2.6 のように電場 E
は図のようにクーロン力が働きます。この場合，粒子の位置が固定されていなければクーロン力によって矢印の方向に粒子は動きます。電場の向きはプラスの電荷から出る方向を矢印の正の方向と定義します。電荷 q にはプラスの電荷とマイナスの電荷がある。もし q < 0 の場合は，クーロン力の方向は電場と逆になることに注意してください。

28

第 2 章 電荷と電流

図 2.7

電荷 q1 のつくる電場

2.3.4 電場の重ね合わせ
図 2.7 に示すように空間のある点（位置ベクトル ⃗r1 ) のところに電荷 q1 を持つ粒子が存在する
場合を考えよう。電荷による点 p(位置ベクトル ⃗r1 ) での電場は，（式 (2.3.8) を参考にして，）

1q1⃗r − ⃗r1
4πϵ0 |⃗r − ⃗r1 |2 |⃗r − ⃗r1 |q1 ⃗r − ⃗r1=
4πϵ0 |⃗r − ⃗r1 |3⃗1 =E(2.3.9)と書けます。式 (2.3.9) はベクトル表示で書いてあるので距離の３乗に逆比例しているが，電場の大きさは，⃗ 1| =|E1
q1,
4πϵ0 |⃗r − ⃗r1 |2(2.3.10)です。では，空間中に電荷を持った粒子が２つある場合，任意の点での電場はどのようになるで

図 2.8

電場の重ね合わせ

しょうか？電場はベクトル量なのでベクトルの重ね合わせになります。図 2.8 は，空間の 2 つの点にプラスの電荷が固定されて置いてあるとき任意の点 p に置ける電場の様子を示しています。それぞれの電荷の位置ベクトルを ⃗r1 と ⃗r2 とし，電荷を q1 と q2 とすると，点ｐでの電場は２つの電2.4 電気力線

29

場のベクトル和ですから，⃗ r) = E⃗ 1 (⃗r) + E⃗ 2 (⃗r),E(⃗(2.3.11)となります。したがって，点ｐでの電場は赤の矢印の方向になります。３つ以上電荷があっても同じ考え方で全ての電場ベクトルの重ね合わせで方向が決まります。

2.4 電気力線

図 2.9

点電荷からの電気力線

電場の方向はその場所で電荷が受ける力の向きを表していて，電気力線ともよばれます（電場と同じ意味です）。電気力線の方向はプラスの電荷からマイナスの電荷に向かう方向に矢印を書きます。点電荷の場合は無限に遠いところに反対符号の電荷が存在すると考えればよい。図 2.9 は正電荷から出ている電気力線の様子が書かれています。このような場合を電場の「沸き出し」とよびます。一方，負電荷の場合は電場は負電荷に吸い込まれているような絵が描けます。これを電場の「吸い込み」とよびます。

図 2.10 ２つの電荷による電気力線

電荷が 2 つある場合の電気力線の様子を図 2.10 に示します。異符号の電荷の場合，正電荷と負30

第 2 章 電荷と電流電荷の間はクーロン力により引力となります。同符号の場合は，クーロン力によって斥力となります。冬場はよく髪の毛がパサパサとぱさつくと思います。髪の毛の表面に正電荷がたまると，正電荷間にクーロン斥力がはたらき，髪の毛がパサパサするのです。電気力線は目にはみえませんが，
このぱさつき感こそが，図 2.10 の下図で見た電気力線による反発が起こっているのです。

2.5 電流「電流とは電荷の流れです。」図 2.11 は導線内の電荷の流れを示します。右がプラス極，左がマイナス極としましょう。一般家庭のコンセントをプラグに繋ぐと電化製品とコンセント（発電所）の間にこのような電位の差ができます。電位の差は電場となって，導線内に電場ベクトルが図の右から左へ（赤の矢印の方向に）働きます。そうすると，式 (2.3.7) のクーロン力によって，導線内の正電荷は左へ，負電荷は右へ移動します。これが電流の起源（電荷の流れ）となります。電流の方向はプラス極からマイナス極の方向へ流れると定義されている。ちなみに電子の流れる方向は，
マイナス極からプラス極の方向です。電流の流れる方向と，電子の流れる方向は逆に定義されていることに注意してください。単位時間 ∆t の間に電荷が ∆Q 流れたとき，電流はI=∆Q, [C/s]∆t(2.5.1)で与えられます。電流の単位はアンペア―[A=C/s] です。導線内の電荷がクーロン力で動かされることで電流が流れているのです。長い時間電流を流していると，導線がだんだん暖かくなってくるのを経験していると思います。これは，導線内を流れる電荷と他の粒子の間の摩擦によって熱が発生しているのです。この熱のことをジュール熱とよびます。この熱は何も使われることなくただ無駄に外界に放出されています。エネルギー効率のよい電線はこのジュール熱が少ないのですが，。
全く摩擦のない物質を超伝導体とよびます。このような超伝導体で導線が作られればエネルギー損
失は少なく

エコ

な材料が作れるわけですが，。残念ながら抵抗をゼロにするには極低温にしな

いといけないので，現実的な材料としては使えないのです。たとえば，水銀では 4.19[K] でほぼ抵抗がゼロになりますが，日常生活でこんな温度には出来ませんね！

図 2.11 電流

2.6 補足

2.6 補足2.6.1 単位
• 電荷の単位：クーロン [C]。1[C] は，1[A：アンペア―] の電流が１秒間に運ぶ電荷量のことである: 1[A]=1[C/s]。

2.7 演習問題
1. (a) 真空中で 1[C] の２つの電荷が距離 0.5[m] 離れているときのクーロン力を求めましょう。
(b) 求めたクーロン力は何リットルの水を支える力に対応しているでしょうか？
2. 1[Α] では 1 秒当たり 1[C] の電荷が流れます。1[Α] の電流は何個の電子の流れになるで
しょうか？

3. 水素原子では原子核である陽子 (電荷 e) と，そのまわりを回っている電子（電荷 −e) の距
離は, 0.53 × 10−10 [m] です。陽子と電子の間に働くクーロン力を求めましょう。（答え：−8.2 × 10−8 [N]）4. 日常生活において我々は重力は認識できます。しかし，力の大きさとしては，重力に比べてクーロン力の方がはるかに大きいにもかかわらず，大きいスケールではクーロン力をあまり意識されず重力の方が意識されます。なぜでしょう？

5. 同じ大きさの電荷 q が距離 2a 離れた点 A と点 B に置かれて固定されています。直線 ABの垂直２等分線上に自由に動ける電荷 q1 を置きました。この電荷に働く力が最も大きくなる位置 P はどこか？（電場の重ね合わせを考えて点 P を求めましょう。）

31

33

第3章

ガウスの法則3.1 ガウスの定理
3.1.1 流線の保存則
前の章では，電場のわきだしや吸い込みを表すベクトルは電気力線であることを勉強しました。
このような電気力線は水の流れとよく似ています。電場や水の流れをここでは一般に流線とよぶことにします。以下の議論は，電場でも水道の蛇口から出る水でも成り立つので，しばらくは水を想像して読んでください。
ここでは，水道の蛇口（わき出し口）から出る水をしばらく考えましょう。水は蒸発しないとす
ると，蛇口から出てくる水を全部集めると蛇口から出てきた水の総量になります。当たり前ですね。つまり水の量は蛇口から出てきたときと，まわりに流れたときで変化しない，つまり水の量は保存されるということが解ればいいだけです。このような保存則が電場についてもいえるのです。
つまり，「電気力線の数は保存される」。

図 3.1 流れ出す流体の体積

34

第3章

ガウスの法則3.1.2 流線の数学的表現
今のことを，もう少し数学的に表現してみましょう。図 3.1 に示すように中心に蛇口があり，そこから水が速度 v でわき出している状況を考えてください（もちろんこれは，電磁気学では正電荷から電場がわき出している状況に対応します）。わき出し口を囲む空間になめらかな閉曲面 S（青の点線）を考えましょう。そうすると，
閉曲面 S を通って内から外へ流れ出す流体の体積＝閉曲面 S の内側に含まれるわき出し口から出てくる流体の体積(3.1.1)

が成り立ちます。前述の保存則「電気力線の数は保存される」です。

図 3.2

水の流束

左辺は数学的に以下のように考えることが出来ます。図 3.2 に示したように，中心から距離 ⃗rにある点での水の速度を ⃗v (⃗r) とし，その点での微少面積 dS の外向きの法線単位ベクトルを ⃗n とします。このとき微少面積 dS を通って単位時間に流れ出す水の量は⃗v (⃗r) · ⃗ndS,(3.1.2)で与えられます。閉曲面 S 全体にわたって積分すると，∫⃗v (⃗r) · ⃗ndS = 閉曲面 S の内側に含まれるわき出し口から出てくる流体の体積*1(3.1.3)Sの関係式が成り立ちます。これが，ガウスの定理です。左辺の数学的意味が理解できるように努力してください。

3.1.3 別府温泉のわきだし
別府温泉の温泉口からわき出る温泉の数学的表現はまさにガウスの定理を表しています。図 3.3のように，わき出し口から距離 r 離れた点（青い点線）で流れ出る温泉の水を集めたら，わきだし
口から出てくる水の総量になりますね。これを数学的にあらわしたのが，式 (3.1.3) です。別府温泉で見つけたら思い出しましょう。

*1∫

S は面積積分を示す。

3.2 電場のガウスの法則

35

図 3.3

温泉のわき出し口とガウスの定理

3.2 電場のガウスの法則⃗ に置き換えると，電場に対するガウスの法則が成り立式 (3.1.3) において，水の速度 ⃗v を電場 E∫

ちます。

⃗ r) · ⃗ndS = 閉曲面 S の内側に含まれる電荷の総和E(⃗ϵ0(3.2.1)S

ここで，ϵ0 は電磁気学の単位系にするために付けてあります。左辺は，閉曲面 S を貫く電気力線の総数です。つまり電気力線を集めると中にある電荷の大きさが解るのです。逆も真なり。
以下では，このガウスの法則を使っていろいろな電場を求めてみましょう。

3.2.1 点電荷のまわりのガウスの法則
点電荷 q のまわりの電場をガウスの法則 (式 (3.2.1)) を使って計算してみよう。図 3.4 に示した
ように，中心に正電荷 q があるとき，その中心から距離 r の位置における電場の大きさを求めましょう。皆さんはこの答えはすでに 2 章で勉強したので答えられるはずですが，ここではガウスの法則を用いて同じ結果を導いてみましょう。

図 3.4 点電荷 q のまわりの電場

中心に正電荷 q が存在していて，中心から半径 r の球面を考えましょう。ガウスの法則から式(3.2.1) の右辺は，半径 r の球面の内側にある電荷の総和になります。明らかに電荷は点電荷 q だ∫

けしか存在しないので，⃗ r) · ⃗ndS = q
E(⃗

ϵ0
S

(3.2.2)

36

第3章

ガウスの法則dS = ϵ0 E(r)4πr2(3.2.3)⃗ と ⃗n は平行なので，となります。左辺を計算すると，球面では常に E∫∫⃗ r) · ⃗ndS = ϵ0
E(⃗

ϵ0
S

∫

⃗ n| cos(0)dS = ϵ0 E(r)
|E||⃗
S

S

⃗ は電場の大きさ（スカラー）を示します。最後の積分となります。ここで，E(r) = |E|

∫

dS は半

径 r の球の表面積です。式 (3.2.2) と式 (3.2.3) より，ϵ0 E(r)4πr2 = q(3.2.4)が成り立ちます。したがって，この式を変形すると，中心から距離 r における電場はE(r) =

1 q,
4πϵ0 r2(3.2.5)となります。これは，２章で得た結果と同じであることを確認してください（2 章をもう一度読にましょう）。

3.2.2 球内に一様に電荷が分布する場合

図 3.5

球内に一様に電荷が分布する場合

もうひとつ計算しておきましょう。ここでは, 半径 a の球内に一様に電荷密度 ρ[C/m3 ] で電荷が分布しているとき，球の中心からの距離 r の関数として電場を求めよう。半径 a の内側の電荷の総和 (Q) は

Q=

4 3
πa ρ
3

[C],

(3.2.6)です。球の中心から距離 r での電場 E(r) をガウスの法則を使って求めましょう。距離が r < a とr > a の２つの場合について分けて考える必要があります。
まず，(1) r < a のときを考えましょう。前と同じように半径が r の球面を考えましょう。ただし，r < a であることに注意して，図 3.5 の中に半径 r の円を点線で描いてください。そうすると
半径 r の点線の球の内側にある電荷の総和は 43 πr 3 ρ となります。したがって，ガウスの法則∫

ϵ0⃗ r) · ⃗ndS = 4 πr3 ρE(⃗
3S(3.2.7)が成り立ちます。左辺は式 (3.2.3) を用いて計算されるので，したがって，E(r) =

ρ
Q
r=
r,
3ϵ0
4πϵ0 a3(3.2.8)

3.2 電場のガウスの法則

37となります。最後の式は全電荷 Q を用いて表しています。r < a のとき電場は距離 r に比例して大きくなる。電荷が一様に分布しているので半径が増加するとその内側にある電荷は増加します。

図 3.6

球内に一様に電荷が分布する場合の球の中心から距離 r での電場 E(r)

次に (2) r > a のときを考えましょう。r > a であることに注意して，図 3.5 に半径 r の球を点線で描いてください。その点線の球の内側にある電荷の総和は Q です。どれだけ大きい球を描いても，内側にある電荷は Q 以外はありません。したがって，ガウスの法則∫⃗ r) · ⃗ndS = Q,E(⃗

ϵ0(3.2.9)Sがなりたちます。左辺は式 (3.2.3) で計算されるので，したがって，E(r) =

Q,
4πϵ0 r2(3.2.10)となります。r > a では電場は距離の２乗に逆比例して小さくなります。式 (3.2.8) と式 (3.2.10)を図示すると図 3.6 のようになります。r = a での電場はE(a) =

Q
4πϵ0 a2です。

3.2.3 球面上に電荷が分布している場合
ここでは，半径 a の球面上に表面電荷密度 ρs [C/m2 ] で電荷が一様に分布しているとき，球の中心からの距離 r の関数として電場 E(r) を求めましょう。この問題では，電荷は球の表面上にだけ存在していることに注意してください。球の中は空洞になっている状況です。したがって内部には電荷は存在しません。球の表面の全電荷 Q は

Q = 4πa2 ρs[C],(3.2.11)です。前問と同じように，r < a と r > a の場合を考える必要があります。

r < a のとき，半径が r の球面を考えましょう。ただし，r < a であることに注意して，図 3.7の中に半径 r の球を点線で描いてください。そうすると半径 r の点線の球の内側にある電荷の総和

38

第3章

図 3.7

ガウスの法則半径 a の球面上に表面電荷密度 ρs [C/m2 ] で電荷が一様に分布しているは 0 ですね。この球の中には電荷は存在しません。したがって，∫⃗ r) · ⃗ndS = 0,E(⃗

ϵ0(3.2.12)

Sがなりたちます。左辺は式 (3.2.3) で計算されるので，r < a では，E(r) = 0,(3.2.13)となります。
次に，r > a の場合について考えましょう。r > a であることに注意して，図 3.7 に半径 r の球を点線で描いてください。その点線の球の内側にある電荷の総和は Q です。したがって，ガウス

∫

の法則から

⃗ r) · ⃗ndS = Q,E(⃗

ϵ0(3.2.14)

Sがなりたちます。左辺は式 (3.2.3) で計算されるので，r > a では，E(r) =

Q,
4πϵ0 r2(3.2.15)となります。得られた電場，式 (3.2.13) と式 (3.2.15) を図示してください（図 3.6 の様な図を書きましょう）。

3.3 ベクトル演算子
ここでは，以降で使うベクトル演算子について紹介しておきます。

3.3.1 ベクトル演算子
ある関数 f (x, y) にたいして，偏微分 (∂f /∂x)y は，y を一定に保って関数 f (x, y) を x で微分す

⃗ ：ナブラと読ることを意味します。ここでベクトル演算子を紹介しましょう。ベクトル演算子 (∇む) とは⃗ =( ∂ , ∂ , ∂ )∇∂x ∂y ∂z(3.3.1)

3.3 ベクトル演算子39で定義されたベクトルです。普通のベクトルと少し違うところは，ベクトルの成分が偏微分になっ⃗ の x 成分は ∂/∂x です。つまり x で偏微分することを意味します。ベクトルています。例えば ∇表示で書けば，⃗ = ∂ ⃗i + ∂ ⃗j + ∂ ⃗k,
∇
∂x
∂y
∂z

(3.3.2)と書けます。ここで，⃗i, ⃗j, ⃗k はそれぞれ，x, y z 軸の単位ベクトルをしめします。ベクトル演算⃗ の右に何かを作用させないと意味がありません。右に作用させるものは任意のスカ子，ナブラ ∇
ラー量かベクトル量です。以下で各場合について調べていきましょう。

3.3.2 場の微分
⃗ と，任意のスカラー量 V (r) とのかけ算はベクトル演算子 (∇)⃗ (r) = ∂V ⃗i + ∂V ⃗j + ∂V ⃗k,
∇V
∂x
∂y
∂z

(3.3.3)⃗ (r) は，gradとなります。これは，場の微分と呼ばれ勾配（傾き）を意味するベクトル量です。∇V⃗ に定数 VV とも書いたりします。grad は勾配 (gradient) の意味を持ちます。通常のベクトル A⃗ = (Ax , Ay , Az ) のベクトルに定数 Vを掛ける計算と同じであることがわかりますか？つまり。Aを掛けると，⃗ (r) = Ax V ⃗i + Ay V ⃗j + Az V ⃗k,AV(3.3.4)⃗ の各成分をベクトル演算子の各成分で置き換えると，式 (3.3.4) は式となります。ベクトル A(3.3.3) になります。以下の計算も同じです。通常のベクトルの内積や外積が演算子に置き換わるだけです。いろいろと意味は違ってきますが。

3.3.3 スカラー積⃗ はベクトル量であるので内積が計算できます。例えば，ベクトル A⃗ = (Ax , Ay , Az )演算子 (∇)との内積は⃗ ·A⃗ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ,
∇
∂x
∂y
∂z

(3.3.5)⃗とB⃗ の内積と同じように，ベクトルの各成分を掛け合せた計算なので，スとなります。通常の A⃗ ·A⃗ のことを，スカラー積または，ベクトル A⃗ の発散とよびます。わき出
カラー量となります。∇⃗ ·A⃗ は，div A⃗ と書くときもあります。div は発散 (divergence) の意味をもちしを意味します。∇
ます*2 。

*2 補足 (3.5.1) を参照

40

第3章

ガウスの法則3.3.4 ベクトル積
２つのベクトルの外積と同じようにナブラを使った外積も考えましょう。計算すると，

⃗ ×A
⃗=
∇
(
=

⃗i

⃗j

⃗k

∂
∂x

∂
∂y

∂
∂z

Ax

Ay

Az
)
(
)
(
)
∂Ay ⃗
∂Az ⃗
∂Ax ⃗
∂Ax
∂Ay
∂Az
−
i+
−
j+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y

(3.3.6)⃗ の回転を意味します。もちろんベクトルとなります。これをベクトル積とよびます。ベクトル A⃗ と書いたりもします。rot は回転 (rotation) の意味を持ちます*3 。
量です。あるいは，rot A

図 3.8 ベクトルの回転

図 3.8 のように，角速度ベクトル ω⃗ = (ωx , ωy , ωz ) で回転する物質内の点 ⃗r = (x, y, z) の速度は

⃗v =

d⃗r
=ω
⃗ × ⃗r,dt(3.3.7)で与えられます。この図の場合，左回転であることがわかりますか？点 ⃗r における速度のベクトル積を計算すると，⃗ × ⃗v = 2⃗∇
ω,(3.3.8)となります。速度場 ⃗v の rot は，回転軸の向きにあり，その大きさは角速度の２倍に等しくなります。

⃗ の回転を調べると，
ϕ(x, y, z) をスカラー場とするとき，ベクトル ∇ϕ⃗ × ∇ϕ⃗ = 0,∇(3.3.9)⃗ がいたるところで，となります。あるベクトル場 B⃗ ×B⃗ = 0,∇*3 補足 (3.5.2) を参照(3.3.10)

3.4 ガウスの法則の微分型

41であるとき，この場を渦なしの場といい，⃗ = −∇ϕ,⃗B(3.3.11)であるような関数 ϕ が必ず存在します。ϕ は速度ポテンシャルとよばれています。

3.4 ガウスの法則の微分型

図 3.9

ガウスの定理

前節では，電場に対するガウスの法則を導きました。特に，重要なのは式 (3.2.1) で，これはガウスの法則の積分型です。ここではガウスの法則のもう一つの表現である微分型を導きましょう。
一般に，面積積分を体積積分に変換することが出来る場合があります。ここでは，証明はしませ⃗ の面積積分と体んが，図 3.9 のような，閉曲面 S とそれに囲まれる体積 V におけるベクトル場 E
積積分の間には次の恒等式（ガウスの定理）が成り立ちます（ここでは，面積積分を体積積分に変換する数学公式がある，ということだけでも覚えておくと良いと思います。証明は図書館で本を探∫して読んでください）。

∫⃗ · ⃗nds =
E

S

ここで，⃗
n は法線単位ベクトルです。右辺の⃗ · E)dV,⃗(∇(3.4.1)V∫V

は体積積分を示します。右辺に先ほど勉強したナ

ブラがでてきます。この式を使ってもう一度，式 (3.2.1) を考えてみましょう。
空間に電荷 Q をもった点電荷が一個ある場合を考えましょう。図 3.4 と同じように中心から半径 r の球面上で電荷を数える。ガウスの法則から∫⃗ r) · ⃗ndS = Q
E(⃗

ϵ0(3.4.2)

Sがなりたちます（図 3.4 をもう一度復習してください）。左辺は式 (3.4.1) のガウスの定理から面積
積分を体積積分に変換することができて∫∫⃗ r) · ⃗nds = ϵ0
E(⃗

ϵ0
S

⃗ · E)dV,⃗(∇(3.4.3)

Vとなります。一方，式 (3.4.2) の右辺は，電荷 Q は電荷密度を ρ とすると，

∫
Q=

ρdV,
V

(3.4.4)

42

第3章

ガウスの法則となります。式 (3.4.3) の右辺と式 (3.4.4) の右辺は同じものなので，∫∫⃗ · E)dV
⃗
(∇
=

ϵ0
V

ρdV,

(3.4.5)

Vがなりたつことがわかります。両辺とも体積積分ですから，積分の中身を比べると⃗ ·E⃗ = ρ/ϵ0 ,∇(3.4.6)です。つまり，電場の沸きだしや，吸い込み（別府温泉の湧き出し口）を微分型で表現すると，
式 (3.4.6) となります。微分型の方が覚えやすいですね。これをガウスの法則の微分型とよびます。この式は電磁気学を構成する４つのマクスウェル方程式の一つです。授業ではあと３つ出てくるよ！

3.5 補足3.5.1 ベクトルの発散

図 3.10ベクトルの発散式 (3.3.5) が発散を意味する理由をもう少し説明しておきましょう。図 3.10 のように，ｘ方向の流れ Ax (x) が，ある小さい領域（図中の丸の部分）を通過した後の流れを Ax (x + dx) とすると

(dx は十分小さいとする），

Ax (x + dx) − Ax (x)
∂Ax
=
,
dx
∂x

(3.5.1)は図中の丸の部分を過ぎた後の流量の増分です。ｙ方向，ｚ方向にも同様で，全部加算すると，図中の丸の部分からのわき出しを意味します。もちろん何もわき出しがなければゼロですよ。

3.5.2 ベクトルの回転式 (3.3.6) が回転を意味する理由をもう少し説明しておきます。図 3.11 のように水中に水車⃗ とします。まずがありその両側を水が流れているとしましょう。いま，水の流速ベクトルを A
図 3.11(a) のようにｙ軸方向に流れる場合を考えましょう。水車の右側の流速は Ay (x + dx)，左側の流速は Ay (x) で与えられます。ここでは右側の流速の方が速く dx は十分小さいとすると，∂Ay
Ay (x + dx) − Ay (x)
=
,
dx
∂x

(3.5.2)

3.6 演習問題

43

図 3.11ベクトルの回転は水車の回転速度となります。今の場合，左回転を正に定義しました。同じように，図 3.11(b)のようにｘ軸方向に流れる場合を考えましょう。水車の上側の流速は Ax (y + dy)，下側の流速は

Ax (y) で与えられます。dy は十分小さいとすると，
Ax (y + dy) − Ax (y)
∂Ax
=−
,
dy
∂y

(3.5.3)がなりたちます。マイナスは左回りを正にしているためにつく。以上を加算すると，結局∂Ax∂Ay⃗ × A)
⃗ z,
−
= (∇
∂x
∂y

(3.5.4)はｚ軸を回転軸とした水車の左回りの回転速度となります。x 軸，ｙ軸についても同じように考え⃗ × A)⃗ の各成分について回転を示すことが解ると思います。一様な回転では，
れば (∇
∂Ay
∂Ax
=−
∂x
∂y
が成り立ちます。

3.6 演習問題
1. 点電荷 q のまわりの電場をガウスの法則 (式 (3.2.1)) を使って計算してみよう。
2. 半径 a の球内に一様に電荷密度 ρ[C/m3 ] で電荷が分布しているとき，球の中心からの距離r の関数として電場を求めましょう。得られた結果の電場と距離の関係を図示しましょう。
3. 半径が a の球面上に一様に電荷密度 ρs [C/m2 ] で電荷が分布しているとき、球の中心からの距離を r としての電場を求めましょう。得られた結果の電場と距離の関係を図示しま
しょう。

4. 半径 a の球内に電荷密度 ρ[C/m3 ] の負電荷が一様に分布し，その中心に正の点電荷 Q1 があるとき，この球内外の電場を球の中心からの距離 (r) の関数で求めましょう。得られた結果の電場と距離の関係を図示しましょう。

5. 原点に置かれた点電荷が、原点から距離 ⃗r の点 P(x, y, z) につくる電場は⃗ r) =
E(⃗q ⃗r,
4πϵ0 r2 r

44

第3章

ガウスの法則⃗ · E)⃗です。ここで、r = (x2 + y 2 + x2 )1/2 , ⃗r = x⃗i + y⃗j + z⃗k です。点Ｐにおけるわき出し (∇を計算しましょう。またその意味を考てください。

⃗ = x⃗i + y⃗j + z⃗k です。以下の計算を行
6. 原点から距離 R の点 P(x, y, z) の位置ベクトルは R
いその意味について考えましょう。

⃗⃗ の大きさです。
(a) 場の微分：∇R,
ここで，R はベクトル R⃗ ·R⃗(b) スカラー積：∇⃗ ×R⃗(c) ベクトル積：∇
7. 式 (3.3.8) を確かめましょう。
8. 式 (3.3.9) を確かめましょう。

45

第4章

導体と誘電体世の中には様々な物質があります。ここでは電気を良く通す物質（導体）と電気を通さない物
質（絶縁体や誘電体）について学びましょう。これらを使った最も有名な電気部品がコンデンサーです。

4.1 導体

図 4.1

導体の電荷

金属や電解質溶液のように電気をよく通す物質のことを導体 (conductor) とよびます。図 4.1 は導体内の電荷の分布を示します。導体内では電子が自由に動くことが出来，正負の電荷が電気的に釣り合っていて電場はゼロ E1 = 0 になっています。電荷は表面だけに存在します。導体の表面の電荷 E2 は表面電荷密度を σ[C/m2 ] とすると，ガウスの法則から

ϵ0 E2 ds = σds
がなりたちます。従って導体表面にはE2 = σ/ϵ0の電場が存在します。電場の方向は表面に垂直（等電位面*1 に垂直）です。
*1 次の節で説明する(4.1.1)

46

第4章

図 4.2

導体と誘電体

静電誘導

このような導体に電荷を近づけると導体内の電荷（イオンや電子など）が移動して表面に電荷が現れます。このような現象を静電誘導とよびます。図 4.2 は導体に帯電体（たとえば正電荷を持った粒子）を近づけると，電子や正電荷が移動して図のように，プラスの電荷をもつ帯電体に近い表面はマイナスに，反対の部分はプラスの電荷が表面に集まってきます。導体内部は電気的に釣り合っているので電場はゼロです。導体内の電場はゼロなので，ガウスの法則により，導体内部でどのような閉曲面を考えてもその内側の電荷量はゼロです。つまり導体には表面にだけ電荷が存在するのです。金属などの導体では負電荷をもった電子（伝導電子）が自由に動けるので，これが電流の起源となります。

4.1.1 電位

図 4.3 電場のする仕事⃗ の下で点 a から点 b へ電荷 q を動
ここでは電位について学びましょう。図 4.3 のように電場 E
かす場合を考えましょう。a から点 b へ電荷を運ぶ仕事は，その道に沿って⃗ · d⃗rE
で定義されます。これを点 a から点 b まで積分して符号を変えたものが仕事量 W

∫ b
W =−

⃗ · d⃗r,Ea(4.1.2)

4.1 導体

47です。この仕事のことを電位とよびます。したがって一般に，位置 ra から距離 r 離れたところで
の電位は

∫ r
V (r) = −⃗ · d⃗r,E(4.1.3)ra⃗で与えられます。電荷は点電荷として，電場の方向と同じ方向に (E//d⃗r) 動かすと，式 (4.1.3) は∫ r∫ r⃗ · d⃗r = −EV (r) = −
ra

q 1
q (1
1)
dr = −− ,2
4πϵ0 rar
ra 4πϵ0 r(4.1.4)となります。ここで基準点の点 a を無限遠にすると (ra = ∞)，点 b の位置 r での電位はV (r) =

q 1,
4πϵ0 r

(4.1.5)で与えられます。電位は通常無限遠をゼロとして定義されている。
式 (4.1.3) の両辺を r で微分すると，電位の微分型⃗ r) = −∇V⃗ (r),
E(⃗(4.1.6)が得られる。電場は電位の勾配の意味を持つ。

図 4.4

電場に垂直な面を等電位面という図 4.3 で点 a と点 b が極めて接近しているとき，その間では電場は一定であると考えてよい。電⃗ と垂直に電荷を動かすと，
場E∫ b⃗ · d⃗r = E⃗ · d⃗r = V (ra ) − V (rb ) = 0,E

(4.1.7)a⃗ · d⃗r = 0 を満たす面を等電位面とよぶ。等電位面上では電位差がないことをがなりたちます 。 E示す。つまり，電場に垂直に電荷を動かす場合は仕事はゼロになります。図 4.4 は電場に垂直な等電位面を示します。

4.1.2 電気容量
導体球がもつ電位をもとめましょう。導体球の半径を a, 導体球のもつ電荷を Q とする。無限遠から電場にそって電荷を球の中心まで持ってきたときの仕事を考えればよい。導体球から無限に離

48

第4章

導体と誘電体れたところを電位ゼロに定義されているので，導体球の電位は

∫ ∞
V =

∫ a
⃗ · d⃗r =
E

r

∫ ∞
0dr +

0

a

Q
dr,
4πϵ0 r2(4.1.8)で与えられます。導体球の内側の電場はゼロであるので，式 (4.1.8) の第一項はゼロになります。
したがって，

∫ ∞
V =
a

Q
Q
dr =
4πϵ0 r2
4πϵ0 a(4.1.9)となります。電荷 Q と電位の V の間には

Q = 4πϵ0 aV(4.1.10)がなりたちます。
一般に導体間の電位差を 1V 上昇させるのに必要な電気量（電荷量）Q は，

Q = CV

(4.1.11)で定義されて，定数 C を電気容量（キャパシター）という。電気容量の単位は ファラッド [F] で，

1[F]=1[C/V] です。式 (4.1.10) から，半径 a の導体球がもつ電気容量は
C = 4πϵ0 a(4.1.12)で与えられます。a = 1[m] のとき，C = 1.1 × 10−11 [F ] となります。

4.2 コンデンサー
導体を使った電機部品としてコンデンサーがある。コンデンサーは電気を蓄えておくことができます。カメラのフラッシュやテレビ，電話などあらゆる電化製品に使われています。ここではコン
デンサーの仕組みを簡単に勉強しましょう。これまでに習った電磁気学が色々なところで具体的に使われています。

4.2.1 平板コンデンサー
平板コンデンサーは 2 つの導体間で電気（電荷）を蓄えています。2 つの導体を距離 d 離して電池につなぐと，電池から電荷が移動して導体表面に電荷がたまります。図 4.5 は A の極坂にはマイナスの電荷，B の極坂にはプラスの電荷がたまっている。通常平板間は d = 1[mm] 以下のきわめて狭い距離です。電池を外しても導体表面には電荷がたまっているので電気を極坂間にためることが出来ます。これがコンデンサー（蓄電器）です。極坂間には正から負の方向へ電場が存在する。
導体（極坂）にある表面電荷密度を ±σ[C/m2 ] とすると，極坂Ｂ (プラス）から極坂Ａ（マイナス）へ向かう電場の強さは，式 (4.1.1) より，

E = σ/ϵ0 ,(4.2.1)

4.2 コンデンサー

49

図 4.5

平板コンデンサー

で与えられます。したがって，両極坂間の電位差は∫ B
V = VA − VB =

Edx =
A

σ
d,
ϵ0

(4.2.2)となります。極坂の面積を S とすると，Q = σS が極坂間に蓄えられる電気量（電荷）です。そうすると，平板コンデンサーの静電容量は式 (4.2.2) をもちいて，

C = ϵ0 S/d,(4.2.3)となります。極坂の面積が大きいほど，また極坂間の距離が小さいほど容量は増加ことがわかる（電気がたまる）。最も簡単なコンデンサーはアルミホイルなどをぐるぐると巻いて，電池につなげば作れます。しかし，感電には注意してください。

4.2.2 誘電分極
プラスチックやガラスなどの電気を通さない物質を絶縁体や誘電体 (dielectric) とよびます。このような絶縁体をコンデンサーの電極間におくと，とても不思議なことがおこります。
図 4.6 は極坂間に絶縁体を入れた状態を示します。左の導体がプラス極，右の導体がマイナス極に帯電している状態です。ここに絶縁体を入れると，絶縁体内に電荷の移動が起こります。つまり⃗ = q E)
⃗ によって，正電荷は右に，負電荷は左に
電場 E によって絶縁体内の電荷がクーロン力 (F
移動して，図に示したように正負の電荷に分かれます。これを分極とよびます。もともと絶縁体内部の正負の電荷はばらばらで電場ゼロの状態であったが，クーロン力によって絶縁体内部で分極が起こり，絶縁体表面に電荷が現れるわけです。この現象を誘電分極という。誘電分極を起こす絶縁体を誘電体とよびます。分極によって絶縁体表面に現れた電荷を分極電荷とよびます。この分極の⃗ とよび，
度合いと方向を示すものを分極ベクトル P⃗P⃗ = ϵ0 χE,(4.2.4)

50

第4章

図 4.6

導体と誘電体

誘電分極：コンデンサー内の電場 E によって，絶縁体内の正電荷は右へ，負電荷は左へ移動する。

で与えられます。ここで χ は分極率です。誘電体内部の電場の大きさは，分極によって

E=

σ−P
,
ϵ0

(4.2.5)となります。分極ベクトルの大きさ P = ϵ0 χE を代入すると

E=

σ,ϵ0 (1 + χ)

(4.2.6)がえられます。式 (4.2.1) と比べると，絶縁体を入れると極坂間の電場は 1/(1 + χ) 倍がけ弱くなることがわかります。したがって，極坂間の電位は

V = Ed =σd,ϵ0 (1 + χ)

(4.2.7)となります。コンデンサーの全電荷 Q は電気容量を C として，

Q = CV = Cσd,ϵ0 (1 + χ)

(4.2.8)とかけます。また，コンデンサーの全電荷は Q = σS なので，式 (4.2.8) に代入すると，コンデンサーの静電容量はC=S
ϵ0 (1 + χ),d(4.2.9)となります。
式 (4.2.3) の結果と比べると，絶縁体を入れることでコンデンサーの容量が (1 + χ) 倍増加する
ことがわかります。つまり，アルミホイルだけでコンデンサーを作るより，アルミホイルの間に紙（絶縁体）などを挟んでぐるぐると巻いていく方が容量の大きなコンデンサーが出来るのです。図

4.7 はいろいろなコンデンサーを示します。コンデンサーの表面には容量などが書かれています。
例えば図中の一番大きなコンデンサーは容量が C = 1000[µF ] です。50[V] の電位を与えること
で，0.05[C] の電荷をためることが出来ます（電子何個分に対応するでしょうか？）。このようなコンデンサーは様々な電化製品の部品として使われています。最近はあまり見かけませんが，ブラ4.3 電束密度51

図 4.7 いろいろなコンデンサー

ウン管テレビのフタをあけると様々なコンデンサーを見ることが出来ました。ウッカリさわってビリッと感じたことが何度かありました。そうですコンデンサーは電気がたまっているのです。さわった瞬間，その電気は我々の体の中に流れます。気をつけましょう。プロの電気屋は，静電気防止器具を腕にはめて作業します。みなさんも，もしなんか電化製品を修理するときは静電気に注意
しましょう。特に大きなコンデンサーには注意が必要です。これって，まさに教養ですね！

4.2.3 誘電率式 (4.2.9) を

C=

S
ϵ,
d

(4.2.10)とかいて，

ϵ = ϵ0 (1 + χ),(4.2.11)を誘電率 (dielectric constant) とよびます。また，

ϵ/ϵ0 = (1 + χ),(4.2.12)を，比誘電率という。誘電率や比誘電率は絶縁体がどれだけ分極するかによってその値が異なる。
例えば，比誘電率はゴムで 2.4, NaCl で 5.9, ガラスで 7.5 などの値をもちます。

4.3 電束密度⃗ をかけると，誘電体の内部は P⃗ = ϵ0 χE⃗ だけ分極す
絶縁体（誘電体）を電極間において電場 E
ることがわかった。この分極ベクトルと電場ベクトルを足し合わせると⃗ = ϵ0 E⃗ + P⃗ = ϵ0 E
⃗ + ϵ0 χE⃗ = ϵ0 (1 + χ)E⃗ = ϵE,⃗D(4.3.1)⃗ を電束密度とよびます。電束密度はベクトル量であり，これにたいとなります。このベクトル D
しても 3 章で説明したガウスの法則∫⃗ · ⃗ndS = 閉局面Ｓの内側にある電荷の総和
DS(4.3.2)

52

第4章

導体と誘電体⃗ は電場 E
⃗ に定数 ϵ(誘電率）を掛けたものです。
が成り立ちます。電束密度 D

4.4 電気二重層
多くの粒子の表面は電荷も持っています。タンパク質や，高分子，DNA などの粒子はプラスか
マイナスの電荷を帯びています。このような粒子（コロイド粒子）が溶液中にあると，コロイド粒
子間にはクーロン力が働きます。しかし，電解質溶液などでは，溶液中にもイオンが存在します。
例えば，塩を水に溶かした食塩水では，NaCl + H2 O = NaOH+ + HCl−のように，正・負のイオンに解離します。このような電解質溶液にコロイド粒子をまぜると，コロ
イド粒子間のクーロン力は溶液中のイオンによって遮蔽（しゃへい）されます。では，どのような相互作用に変化するのでしょうか？ここでは，図のように正の電荷に帯電したコロイド粒子の，コ
ロイド表面からの距離 x の関数として静電ポテンシャル V (x)（電位と同じ意味）を求めましょう。

− −− − − −−
−− +
+ − −
− − +
+ −
+
−
− + colloid +
−
−
+
−− +
+ −− + + + − +− ++ − − − − −+ + − ++

図 4.8

表面にプラスの電荷を持つコロイド粒子のまわりの電気二重層

イオンの分布によってできる電荷密度を (ρ) とすると，ガウスの法則⃗ ·E⃗ = ρ/ϵ,∇(4.4.1)

が成り立ちます。電位 V (x) と電場 E は式 (4.1.5)の関係があるので，代入すると，⃗ = −∇V⃗ (x),
E(4.4.2)d2 V (x)= −ρ/ϵ,dx2(4.4.3)となります。
熱平衡状態におけるイオンの密度 n(x) は，ボルツマンの法則によって，

n(x) = n0 exp[−U (x)/kB T ],(4.4.4)

4.4 電気二重層

53を満たすように決まります。ここで，U (x) は位置エネルギー，n0 はバルク溶液におけるイオン濃度です。イオンは正または負の電荷 (±ze) を持つとして (z は価数），コロイド粒子の表面から距
離 x にある正電荷は zeV (x) の位置エネルギーを持ちます。したがって，正のイオンの数密度は[ zeV (x) ]n+ (x) = n0 exp −,kB T(4.4.5)で与えられます。同様に，負イオンの数密度はn− (x) = n0 exp[ zeV (x) ],kB T(4.4.6)で与えられます。したがって，電荷密度の総和は

ρ(x) = ze(n+ (x) − n− (x)),([ zeV (x) ][ zeV (x) ]= zen0 exp −
− exp
),
kB T
kB T

(4.4.7)となります。式 (4.4.3) に代入すると, V (x) についての微分方程式([ zeV (x) ][ zeV (x) ]d2 V (x)= zen0 exp −
− exp
),
2
dx
kB T
kB T

(4.4.8)が得られます。これを，静電ポテンシャルについてのポアソン・ボルツマン (Poisson-Boltzmann)
方程式とよびます。
ここで，電位は小さい，あるいは，温度が十分高温として指数関数をテーラー展開します。つまり，zeV (x)/kB T ≪ 1 のとき，

[ zeV (x) ]zeV (x)
≃1±
exp ±
kB T
kB T

(4.4.9)で近似して，式 (4.4.7) に代入すると，

d2 V (x)2n0 (ze)2=
V (x),
dx2
ϵkB T(4.4.10)となります。これを，デバイ・ヒュッケル (Debye-Huckel) 近似とよびます。
この非線形 2 階の微分方程式の一般解は，

V (x) = a exp(x/D) + b exp(−x/D),となります。ここで，定数 D は(4.4.11)

√
D=

ϵkB T
,
2n0 (ze)2(4.4.12)で，a, b は 2 つの境界条件で決まります。まず，一つ目の境界条件は, x = ∞ で V (∞) = 0 なので，a = 0 でなければならない。もう一つは，コロイド粒子の表面電荷を σ とすると，表面での電場はE(x = 0) = σ/ϵ(4.4.13)

54

第4章

導体と誘電体となります。式 (4.4.2) と (4.4.11) から，bexp[−x/D],
D(4.4.14)

b
σ
= ,
D
ϵ0

(4.4.15)E(x) = −∇V (x) = −なので，x = 0 を代入すると

E(x = 0) = −が成り立ちます。したがって，定数 b はσ
b = − D,ϵ

(4.4.16)( x)
σ
D exp −,
ϵD

(4.4.17)となり，式 (4.4.10) の解は

V (x) =となります。これが，電解質溶液内でのコロイド粒子に働く静電ポテンシャルです。コロイド粒
子表面から距離が D 離れると，ポテンシャルが 1/e 倍減少します。この D(式 (4.4.12)) のことをデバイ長 (Debye length) とよび，電解質溶液内にあるコロイド粒子を取り巻くイオン層の厚さを意味します。このようなコロイド粒子のまわりのイオン層のことを電気二重層 (Electro static

double layer) とよびます。図 4.8 の点線の円がデバイ長の長さ程度です。コロイド粒子表面にあった正の電荷は溶液内の負の電荷によって相互作用が遮蔽されて弱くなります。デバイ長が小さ
いほど，コロイド粒子のまわりのイオン層の厚みがうすいので，コロイド粒子が他のコロイド粒子とぶつかるチャンスが増えます。そうすると，コロイド粒子同士が凝集して溶液から析出します。
コロイド粒子やタンパク質の水溶液に十分な塩を入れると析出します。これをコロイド粒子の塩析とよびます。

4.5 補足4.5.1 力とポテンシャル⃗ は相互作用ポテンシャル V (r) とは，一般に力 F⃗ (r)F⃗ = −∇Vの関係にあります。電位は静電ポテンシャルともよばれます。式 (4.1.6) に両辺に電荷 q を掛ければクーロン力になります。

4.5.2 単位
• 電気容量の単位：1 F(ファラッド)=1 [C/V].

4.5.3 原子の分極
図 4.9 の左は水素原子の古典的描像です。原子核（正電荷）のまわりを電子（負電荷）が矢印の⃗ をかけると（コンデンサーの中に置い方向に回っています。この状態で下から上の方向へ電場 E

4.6 演習問題

55⃗ = q E)⃗たと考えればよい），右の図に示したように，電場が正電荷と負電荷に対してクーロン力 (Fをおよぼします。その結果，正電荷は上に，負電荷は下に移動します。正電荷と負電荷の間にはクーロン引力が働いているので，電場と釣り合ったところで平衡位置に達します。これが分極です。コンデンサー内の絶縁体内部もこのように正電荷と負電荷のわずかな移動が分極を引き起こし
ます。

図 4.9

分極のメカニズム

4.6 演習問題
1. 半径が a の球面上に一様に電荷密度 ρs [C/m2 ] で電荷が分布しているとき、電場と電位を球の中心からの距離を r の関数としてを求めましょう。得られた結果を図示してください。

2. 原点にある電荷 q が置かれているとき，原点から距離 r にある点 P における電位はV (r) =q,
4πϵ0 r

(4.6.1)⃗ = −∇V⃗ (r) を計算して電場を求めましょう。
です。E
3. 半径 a の電荷 Q がもつ導体球の電気容量 C を求めましょう。さらに，a = 0.1m のときのC の値を計算してください。
4. 誘電分極と分極の現象を説明してください。
5. ２枚の極坂間に絶縁体を挟むとコンデンサーの容量はどうなるでしょうか？
√6. 25 ℃におけるデバイ長は塩化ナトリウム水溶液で，D = 0.304/ n0 [nm] となることを確
かめましょう。ただし，n0 は塩のモル濃度 [mol dm−3 ]，水の誘電率は ϵ = 78.5ϵ0 で計算
してください。

57

第5章

磁場と電流
この章では，磁石について学びましょう。電荷のまわりの電場と同じように，磁荷のまわりには磁場が発生します。

5.1 磁場に対するクーロンの法則
磁石はＮ極とＳ極を持っています。Ｎ極とＳ極の間には引力が働きますが，同じ極同士は斥力になります。電気の正電荷と負電荷と同じです。では電気と磁気の違いは何でしょうか？

5.1.1 磁荷電気の場合は正電荷と負電荷を分けることが出来ます。正電荷だけを取り出すとか，負電荷だけを集めるとか，容易に出来るわけです。ところが，磁気の場合，Ｎ極とＳ極に分離できないのです。Ｎ極とＳ極のことを磁荷とよびます。磁石は分割していっても，Ｎ極とＳ極の磁荷に分離できない。必ずＮ極とＳ極のペアで現れます。

図 5.1

磁石は分割していっても，Ｎ極とＳ極の磁荷に分離できない。

図 5.2

磁荷に対するクーロンの法則

このようなＮ極とＳ極の磁荷の間にも電荷と同じクーロン力が働いているのです。実際には単独

58

第 5 章 磁場と電流の磁荷は存在しませんが，存在すると仮定して考えることにしましょう（磁荷にはＮ極とＳ極があると考えてください）。こう考えることでいろいろな現象がうまく説明できるのです。図 5.2 に示したように，磁荷 m1 と m2 をもつ２つの磁荷が距離 r 離れているときの，２つの磁荷 (極）の間に働く力は，磁荷に対するクーロンの法則

F⃗ =1 m1 m2⃗e12 ,
4πµ0 r2(5.1.1)

であたえられます。ここで，⃗e12 = ⃗r/r は 1 から 2 への向きの単位ベクトルです。また，µ0 は真空の透磁率でありµ0 = 4π × 10−7 [N A−2 ],(5.1.2)です。磁荷の単位はウエーバー (Wb) で，1[Wb]=1[J/A] の単位系をもちます。実際には，Ｎ極とＳ極に分割は出来ないが，Ｎ極とＳ極の間には引力が働いているとし，同じ極同士間には斥力が働くので，電荷と同じように考えることができるわけです。

5.1.2 磁場
このようなＮ極やＳ極の磁荷のまわりには，2 章で勉強した電荷と電場の関係と同じように，磁荷のまわりには磁場が発生しています。磁荷 m1 のつくる磁場の大きさは，

⃗ =
H

1 m1
⃗e12 ,
4πµ0 r2(5.1.3)

であたえられます。磁場の単位はN/W b = N A/J = A/m,

(5.1.4)などです。よく磁石の単位としてテスラ―(T) やガウス (gauss) が使われますが，これらは，

1[W b/m2 ] = 1[T ] = 104 [gauss]
として定義されています。磁束密度の単位として使われています。

図 5.3

方位磁石は地球の磁場で引っ張られて北を指し示す。磁石には +m と −m の一組の磁化が必ず存在する。

方位磁石を使って北はどちらか調べたことがあると思います。この場合，方位磁石のＮ極が示す
方向が地球の北極を示すことになっています。つまり北極はＳ極に対応しているのです。Ｎ極とＳ

5.2 磁性体

59

極はクーロン力で引きつけあうため，磁石のＮ極は北極のＳ極に引かれて北を指し示すわけです。
反対の南極はＮ極です。このように，地球の磁場（磁力線）は南極のＮ極から北極のＳ極に向かっ⃗ 中で磁荷 mてでていることが解ります。磁力線はＮ極からＳ極へ向かうのです。もちろん磁場 Hをもつ粒子には，⃗F⃗ = mH(5.1.5)のクーロン力が働いているわけです。方位磁石は地球の磁場で引っ張られて北を指し示すように回転するのです。

5.2 磁性体
４章では電場による誘電分極を学びました。この章では電場のかわりに，磁場がテーマです。物
質はすべて磁場中で磁化します。磁化した物質を磁性体とよびます。

図 5.4

磁気分極

誘電体の電場による誘電分極にたいして，磁場中におかれた物質では，正負等量の磁荷が出現します。物質をどのように分割しても必ず表面にＮ極とＳ極が生じます。このように磁場によって物質が磁化される現象を，磁気分極といいます。図 5.4 は磁気分極の様子を示しています。物質中の磁化であるＮ極（プラスの印）やＳ極（マイナスの印）がまわりの磁場からクーロン力を受けて移⃗m の大きさは動します。磁気分極 P⃗
P⃗m = µ0 χm H

(5.2.1)

であたえられます。ここで，χm は磁化率でとよびます。χm > 0 の物質を常磁性体，χm < 0 の⃗ と磁気分極をあわせて，物質を反磁性体とよびます。物質に働く磁場 H⃗ = µ0 H⃗ + P⃗m ,B(5.2.2)を磁束密度とよびます。磁束密度のことを，磁場とよんだりする場合もあります。式 (5.2.1) を代入すると，⃗ = µ0 (1 + χm )H⃗ = µH,⃗B(5.2.3)となり，µ を透磁率とよびます。比 µ/µ0 を比透磁率とよび，殆どの物質では１程度であるが，鉄などの強磁性体では数千と非常に大きい値をもちます。

60

第 5 章 磁場と電流

5.2.1 磁場のわきだし？
⃗ はどこから来るのであろうか？
図 5.4 で示した物質に作用する磁場 H
正電荷がありそこから電場がわき出しているに考えることができるでしょうか？つまり電場であれば左の方にと考えればよいわけですが，磁場の場合も同じよう左の方にＮ極が存在していてそのＮ極から磁場がわき⃗ ·B⃗ = ρ のような式が成り立つと出している と考えて正しいでしょうか？もしそうだとすると ∇考えることはできるでしょうか？
答えは，上の考え方には一カ所間違いがあります。この章の最初に説明したように磁石の場合，
Ｎ極とＳ極には分割できないという現実があります。つまり磁束密度や磁場には沸きだしや，吸い⃗ を描くにはどう
込み口は存在しないとういことです。沸きだしや，吸い込み口がなくて，磁場 H
すればいいでしょう。唯一の解は磁場を循環させることです。つまり矢印の先と根本を結ぶ。これが磁場の本質なのです。これを数学的に書くと⃗ ·B⃗ = 0，∇(5.2.4)となります。磁場の発散は必ずゼロになる。沸きだしや吸い込み口は存在しない。したがって，磁石の中の磁場は図 5.5 のように循環しているのです。図 5.4 の磁場は，左から右に向かって，さらにぐるーっとまわって同じところに戻ってきているのです（この様子を図中に書き入れてみましょう）。電場の場合との違いをしっかりと理解してください。式 (5.2.4) は電磁気学を構成する４つのマクスウェル方程式の１つです。授業ではこれで合計２つのマクスウェル方程式がでてきました。

図 5.5 磁場は循環する

5.3 アンペールの法則
磁場によって方位磁石が回転することは前節で説明しました。同じことが電流を流しても起こります。方位磁石のそばで電流を流すと回転するのです。図 5.6 のように上向きに電流 I⃗ が流れている導線に磁石を近づけていくと磁石は右方向に引っ張られます。これは，電流の進む向きをもつ右⃗ （または，H⃗ ）が作られているからです。この磁場のクーロン力で磁ねじの方向に循環する磁場 B
極（ＮまたはＳ）が力を受けて磁石が回転するわけです。

5.3 アンペールの法則

61

図 5.6 電流は磁場をつくりだす

磁場の接線方向の成分を円周上で積分（線積分）すると，

I⃗ · d⃗l = I
H(5.3.1)がなりたちます。ここで I は電流の大きさです。磁場と電流は密接に関係しています。この式をア
ンペールの法則とよびます。
半径 r の閉曲線に沿って一周積分すると

I⃗ · d⃗l = H2πr = I
H(5.3.2)となり，直線電流から距離 r 離れたところでの磁場は

H=

I
,
2πr

(5.3.3)

であたえられます。
式 (5.3.2) の線積分はストークスの定理によって面積積分に変換することが出来ます*1 ：I∫⃗ · d⃗l =H⃗ × H)⃗ · dS,⃗(∇C(5.3.4)

S

ここで，C は曲面 S の周囲の閉曲線です。電流の面密度を ⃗j とすると，電流 I⃗ は∫⃗
⃗j · dS,I⃗ =(5.3.5)Sとなるので，式 (5.3.4) と式 (5.3.5) をつかって，アンペールの法則は∫∫⃗ × H)⃗ · dS⃗=(∇S⃗⃗j · dS,(5.3.6)

Sと書き換えることが出来るます。したがって，アンペールの法則の微分形は⃗ ×H⃗ = ⃗j,∇*1 証明は図書館の本で調べましょう。

(5.3.7)

62

第 5 章 磁場と電流となります。磁束密度（5.2.3) を用いて書くと⃗ ×B⃗ = µ⃗j,∇(5.3.8)です。電流が流れるとそのまわりに磁場が出来ます。あるいは，磁場が回転すると電流が流れるという意味をもちます。式 (5.3.7) 又は，式 (5.3.8) は電磁気学を構成する４つのマクスウェルの方程式の１つです。これまでに 3 つのマクスウェル方程式がでてきました。

⃗ に対して任意のベクトル A⃗ · (∇⃗ × A)⃗ = 0，∇(5.3.9)⃗ ·B⃗ = 0 であることから，が常に成り立つので，式 (5.2.4) の ∇
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗，
B

(5.3.10)⃗ をベクトルポテンシャルとよびます。A⃗ + ∇ϕ⃗ もA⃗ と同じ磁場 B⃗
とおくことができます。この A⃗ ·A⃗ = 0 としている。
を与えます*2 。したがって，静磁場では，∇
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗ を式 (5.3.8) に代入すると，∇⃗ ·A⃗ = 0 をもちいて，B⃗ × (∇⃗ × A)⃗ = ∇(⃗ ∇⃗ · A)⃗ −∇⃗ 2A⃗ = −∇⃗ 2A⃗ = µ⃗j ，∇(5.3.11)となります。最初の等号はベクトル公式です。したがってベクトルポテンシャルは2⃗2⃗2⃗⃗ = ∂ A + ∂ A + ∂ A = −µ⃗j ，
⃗ 2A
∇
∂x2
∂y 2
∂z 2

(5.3.12)と表されます。これは，ポアッソン方程式とよばれていて，解は∫⃗ r) = µA(⃗
4π⃗j(⃗r1 )d⃗r1 ,|⃗r − ⃗r1 |(5.3.13)で与えられます。

5.3.1 ビオ・サバールの法則
アンペールの法則をもう少し一般化したものに，ビオ・サバールの法則というのがあります。これは，図 5.7 のように強さ I の電流が流れているとき，その上の微少部分 dS から距離 r 離れた点Ｐに作る磁場は⃗ =dH⃗ × ⃗r
I dS
,
4π r3

(5.3.14)⃗ は電流の接線方向の向きをもつ微少部分の面積，⃗r は電流から点 Pで与えられます。ここで，dSへのベクトルです。これを使って，式 (5.3.3) を証明することも出来ます。閉曲線の電流が作る磁
場は，

⃗ = I
H
4π
*2 3.3.4 節参照

I⃗ × ⃗rdS,
r3
C(5.3.15)

5.3 アンペールの法則

63

図 5.7

ビオ・サバールの法則

で計算できます。
ビオ・サバールの法則を用いて，強さ I の直線電流から a のところにある点 P の磁場 H を求めてみよう。式 (5.3.3) が導けるはずです。図 5.8(左) の微少部分 dS の部分が点 P につくる磁場は，
ビオ・サバールの法則から，

図 5.8

⃗ =
dH

ビオ・サバールの法則⃗ × ⃗r⃗ r| sin θ⃗ sin θI |dS||⃗
I |dS|
I dS
=
=
,
4π r3
4π
r3
4π
r2

(5.3.16)です。ここで，θ を変数とすることを考えましょう。図 5.8(右) のように dθ が十分小さいとき,

P B = P C = r で，BC = r sin θ ≃ rdθ

(5.3.17)がなりたちます*3 。一方 BC = dS sin θ なのでrdθ = dS sin θ*3 最後の近似は sin θ のテーラー展開です(5.3.18)

64

第 5 章 磁場と電流がなりたちます。式 (5.3.17), 式 (5.3.18) を式 (5.3.16) に代入し θ で積分すると，

∫
H=

dH =

I
4π

∫

dS sin θ
I
=
2
r
4π

∫

dθ
I
=
r
4πa

∫ π
sin θdθ =
0

I
,
2πa

(5.3.19)がえられます。式 (5.3.3) と同じになりました。

5.4 電流ここでは，電流についての簡単にコメントしておきます (2.5 章も参考に）。
１秒間 [S] で１クーロン [C] の電荷が流れるとき，電流の強さは１アンペア―[A] であると定義します。１アンペア―で約１０の１８乗個の電荷が１秒間で流れます。コンセントの電源を ONにすると電気がつきますが，これは電荷を消費して明かりをつけているのです。電源コードの中には金属（例えば銅など）でできた導線が入っています。電源コードを覆っているビニールを破ってみれば導線が出てきます。この導線（導体）には自由に動ける電荷が多数存在します。この電荷の流れが電流です。ただし電流はベクトル量です。つまり流れる方向があります。プラスの電荷（陽子）の流れる方向を電流の正方向に定義してあります。マイナスの電荷（電子）の流れる方向は電流の向きとは逆方向です。

図 5.9 導線内の電荷。＋電荷に働くクーロン力（赤の矢印）

ではなぜ電荷（電流）が流れるのでしょうか？図 5.9 は導線内の電荷を示したものです。導線を作っている金属は自由に動く電荷を持っています。もちろん目には見えません。図はわかりやすくするために電荷を大きな○印で書いてあります。この導線の右と左で電位差を与えてやります。例
えば左を＋極，右を−極として電位差を与えます。これは，導線の両端に電池を繋げるだけで作れ⃗ が導ます。例えば単３電池を繋げれば 1.5[V] の電位差を作ることが出来ます。そうすると電場 E
線内に発生します。電場の方向は＋からわき出す方向を正に定義してあるので，矢印の方向に電場が発生します。

⃗ の中に電荷 (q) が存在すると，クーロン力
このような電場 (E)⃗F⃗ = q E,(5.4.1)が働きます。そうするとこのクーロン力によって導線内の電荷が引かれて矢印（赤）の方向に電荷が流れることになります。これが電流です。電流を流すには電位差が必要だと言うことです。
図 5.9 の状況は例えば，血液中のタンパク質や DNA の流れ，と考えることも出来ます。通常タンパク質やＤＮＡも電荷を持っています。体内にわずかな電位差が作られるとクーロン力によってタンパク質が流れます。電場の強い環境下にいると血流などが変わります。

5.5 補足

65

さてこの電流 (I) ですが，電位差 (V) とV = IR(5.4.2)の関係があります。ここで，R は電気抵抗と呼びます。電気抵抗の単位はオーム [Ohm=V/A] です。つまり，電流と電位差は比例します。この関係式をオームの法則と呼びます。電荷が流れると他の粒子との衝突や摩擦が起こります。これが電気抵抗になっています。
しばらく電流を流していると導線がだんだん暖かくなってきますね。これはこの電荷の摩擦によって発生する摩擦熱です，これをジュール熱と呼びます。たくさんの電荷が導線を構成する粒子などと衝突する結果，熱が発生するのです。なんだかすごいことですね。目に見えない小さい粒子
がこんなにも暖かい熱を放出するとは，なんか，不思議なことだと思いませんか？摩擦は原子レベルで起こっているのです。
このジュール熱は，

W = V I = RI 2

(5.4.3)で与えられます。これは皆さんがよく知っている電力と呼ばれているもので，ワットという単位を持ちます [W=J/S]。毎月，九州電力から請求される電気代とは，この電力 (W ) に時間を掛けた熱のことです。電力とはジュール熱で消費された電気量と考えてもいいでしょう。最近の電化製品は
省電力とはいいますが，消費電力はゼロではないですね。ゼロにするにはどうすればいいのでしょう？電荷が動くときに摩擦を完全になくすことが出来れば，消費電力ゼロの家電製品が出来ます。
これはすごいことですね，二酸化炭素削減にすごく貢献できますね。世の中には電気抵抗ゼロの物
質もあります。超伝導体と呼ばれる物質ですが，しかしまだ実用化にはほど遠いようです。
ブレーカーが落ちるとはどういうことでしょうか？
電力会社との契約にもよりますが，標準的なワンルームマンションでは，I = ３０アンペアーぐ
らいまでは電力を使うことが出来ると思います。つまり，１秒間に３０アンペアーまで使えるということです。一秒間に３０クーロンの電荷を使えるともいえる。日本国内の電圧は V = １００ボ
ルトですから，全部で W = ３０００ワット使えます。海外では２００Ｖのところが多いのです。
暖房にオイルヒーター（最強で１０００ワット）使って，洗たく機を使いながら（これが約１０００ワット），電気鍋ですき焼きをすると，消費電力が３０００ワットを超えます。電力会社との契約電力３０００ワット (3KW) を越えるとブレーカーが落ちるようになっています。頻繁に起こる
場合は，省エネに努めましょう。あるいは，もっと大きい容量に契約変更するのもいいですね。
本格的な冬が来る前に，各自の電力量をチェック！

5.5 補足5.5.1 単位• 磁荷の単位：ウエーバー (Wb)，1[Wb]=1[J/A]• 1[W b/m2 ] = 1[T ] = 104 [gauss]⃗ × (∇⃗ × A)⃗ = ∇(⃗ ∇⃗ · A)⃗ −∇⃗ 2A⃗ （証明してみましょう）。
• ベクトル公式：∇

66

第 5 章 磁場と電流

5.6 演習問題
1. (a) 電荷と磁化の違いは何でしょうか？ (b) 電場と磁場の違いを説明してください。
2. 1[A] の電流が流れている直線導線から，距離 1[m] のところに出来る磁場を求めましょう。
3. アンペールの法則を説明してください。
4. 銅線を強さ I の電流が流れているとき，その微少部分 ds が，そこから距離 r 離れた点に作る磁場 H は

⃗ =
dH

⃗r
I
d⃗s ×
2
4πr
|⃗r|

で与えれれます。強さ I の直線電流から距離 a のところにある点 P の磁場 B を求めま
しょう。

67

第6章

電磁誘導
6.1 ベクトルの外積
ここでは，ベクトルの外積（ベクトル積）について復習しましょう（3.3 節も参考に）。外積はローレンツ力を考えるときに重要です。しっかり理解してください。外積のことをベクトル積とよ
びます。

⃗とB
⃗ を考えましょう。この２つのベクトルを使って行う演算は内積と，外積
２つのベクトル Aの２つしかありません。高校数学では内積は勉強したと思います。外積は大学でしか習わないので，「私は大学生！」，と最も簡単にアピールできるところだと思います。２つのベクトルの内積はスカラー量ですが，外積はベクトル量になるところがちょっとおもしろい。
内積（スカラー積）の定義は⃗·B⃗ = |A||⃗ B|⃗ cos θ,A

(6.1.1)です。ここで，θ は２つのベクトルの間の角度をしめします。あるいは，成分でかくと，⃗·B⃗ = Ax Bx + Ay By + Az Bz .
A

(6.1.2)

２つのベクトルの内積はスカラー量となります。

図 6.1

ベクトル積

これにたいして，ベクトル積の大きさは⃗ × B|⃗ = |A||⃗ B|⃗ sin θ,|A

(6.1.3)

68

第 6 章 電磁誘導

図 6.2

単位ベクトル⃗ B⃗ が作る平行四辺形の面と定義されています。これは図 6.1 に示したように，２つのベクトル A,積に対応しています。
さらに，２つのベクトルの外積は成分で書くと，⃗×B⃗ = (Ax⃗i + Ay⃗j + Az⃗k) × (Bx⃗i + By J⃗ + Bz⃗k)A= (Ax⃗i + Ay⃗j + Az⃗k) × Bx⃗i+(Ax⃗i + Ay⃗j + Az⃗k) × By⃗j+(Ax⃗i + Ay⃗j + Az⃗k) × Bz⃗k
= Ax Bx⃗i × ⃗i + Ay Bx⃗j × ⃗i + Az Bx⃗k × ⃗i+Ax By⃗i × ⃗j + Ay By⃗j × ⃗j + Az By⃗k × ⃗j
+Ax Bz⃗i × ⃗k + Ay Bz⃗j × ⃗k + Az Bz⃗k × ⃗k,(6.1.4)となります。ここで，図 6.2 に示す直交する単位ベクトルの間には⃗i × ⃗i = ⃗j × ⃗j = ⃗k × ⃗k = 0,

(6.1.5)⃗i × ⃗j = −⃗j × ⃗i = ⃗k,(6.1.6)⃗j × ⃗k = −⃗k × ⃗j = ⃗i,(6.1.7)⃗k × ⃗i = −⃗i × ⃗k = ⃗j,(6.1.8)の関係式がなりたつので，代入すると，⃗×B⃗ = (Ay Bz − Az By )⃗i + ((Az Bx − Ax Bz )⃗j + (Ax By − Ay Bx )⃗kA(6.1.9)となります。あるいは，行列式を用いて

⃗×B
⃗ =
A

⃗i
Ax
Bx

⃗j
Ay
By

⃗k
Az
Bz

,

= (Ay Bz − Az By )⃗i + ((Az Bx − Ax Bz )⃗j + (Ax By − Ay Bx )⃗k(6.1.10)と書いてもよい。ベクトル積はベクトル量なので，もちろん方向を持っているわけですが，それは次のように定義されています：

6.2 電流と磁場

69

⃗ =A
⃗ ×B
⃗ の方向は，ベクトル A⃗ から B⃗ の方向に 180 度以内の角 θ で右ねじを回し
ベクトル積 C⃗ の方向になります。
たとき右ねじが進む方向が，ベクトル積の方向となります。図 6.1 で示した C⃗ はA⃗とB⃗ にたいして垂直であることがわかりますね！つまり A⃗·C⃗ = 0，
明らかに，ベクトル C⃗ ·C⃗ = 0 がなりたちます。これを使えばベクトル公式あるいは B⃗ · (A⃗ × B)⃗ = 0,
A(6.1.11)が常に成り立つことは容易に解るでしょう。

6.1.1 ベクトル積の方向

図 6.3

ベクトル積の方向。図 6.1 を上から見た図⃗×B⃗ の方向は，前述したようにベクトル A⃗ から B⃗ の方向に 180 度以内の角 θ でベクトル積 A
⃗ から右ねじを回したとき右ねじが進む方向が，ベクトル積の方向です。図 6.3 に示したように，A⃗ の方向に 180 度以内の角 θ で右に回すと，ねじは紙面の裏から表方向に進みます。この進む方
B⃗×B⃗ の方向となります。
向が外積 A⃗ ×A⃗ はどの方向になるでしょうか？この場合は，B⃗ から A⃗ の方向に 180 度以内の角 θ
では，Bで右ねじを回すわけですから，図 6.3 の赤矢印とは逆方向に回すので，ねじは紙面の表から裏にすすみます。つまり逆方向になるわけです。ということで，⃗×B⃗ = −B⃗ × A,⃗
A(6.1.12)がなりたちます。大きさ（絶対値）は同じですが，外積の方向は２つの場合では 180 度，異なることに注意してください。
これから勉強する，ローレンツ力はこの外積が解っていないと理解できませんので，しっかり復習してください。

6.2 電流と磁場
この章では，発電機の原理でもある電磁誘導について学びましょう。身近な例では自転車のライトを付けるためにダイナモとよばれる小型の発電機があります。コイル（導線）に磁石を近付けた
り，遠ざけたりするとコイルに電流が流れます。磁場と電流という全く異なるものは実は密接に関係していることを学びましょう。ここで重要な力がローレンツ力です。

70

第 6 章 電磁誘導6.2.1 ローレンツ力
ローレンツ力は電流と磁場によって作り出される力です。

⃗ の中で，導線に電流 (I)⃗ を流すと，青の矢印の方向に力 (F⃗ ) が働きま
図 6.4 のように磁場 (B)す。この力をローレンツ力とよびます。磁石の下で導線に電流を流すだけで導線に力が働くのです。不思議ですね。
従って導線はローレンツ力に引っ張られて青い矢印の方向に動くことになります。

図 6.4

ローレンツ力このローレンツ力と電流と磁場の間には⃗F⃗ = I⃗ × B,

(6.2.1)⃗の関係が成り立ちます。導線の中を流れる電流の方向は，正の電荷 q を持った荷電粒子が速度 V
で流れる方向と定義してあるので，電流は⃗,I⃗ = q V(6.2.2)⃗ × B,⃗
F⃗ = q V(6.2.3)で与えられます。
したがって，式 (6.2.2) は，となります。
さて，数学で習った外積を思い出してほしい。２つのベクトルの外積はベクトル量ですから，当⃗ から磁場の然このローレンツ力も方向を持つベクトル量となります。そうです，電流の方向 V⃗ に向かって１８０度以内の角度で右ねじを回したときに右ねじが進む向きが（右ねじの法方向 B⃗ の方向です。ベクトルの外積なので，F⃗ = q B⃗ ×V⃗ , のように速度と磁場を入則），ローレンツ力 F
れ替えると，外積の向きは逆になるので，注意しましょう。必ず磁場が最後の項にあります。
フレミングの左手の法則と呼ばれる覚え方があります。左手の中指を電流 I⃗ の方向にして，人差⃗ に向けて，親指を人差し指と垂直にすると，その親指の指す方向がローレン
し指を磁場の方向 B⃗ の方向になります。しかし，右ねじの法則を覚えていればフレミングの法則で力の方向をツ力 F考える必要はないので，フレミングという偉大な物理学者の名前だけ覚えておくだけで十分です。

6.2 電流と磁場71

図 6.5 は電荷 q を持つ粒子（荷電粒子：白丸）にかかるローレンツ力を示しています。荷電粒子⃗ で動いているとき，磁場 B⃗ を上方向にかけると，紙面の裏から表の方向にローが右方向に速度 V
レンツ力をうけます。そうするとこの粒子の飛んでいく方向は少し曲がりますね。つまり粒子の軌跡を磁場で制御することが可能になるわけです。

図 6.5

荷電粒子に働くローレンツ力

さて，このような状況は我々の体の中にも起こるかも知れません。たとえば，血液中の赤血球（図 6.6(a)) やタンパク質は電荷を持っています。イオン化した粒子はすべて電荷 q を持っています。我々の体の中にはこのイオン化された荷電粒子がいたるところにあります。もし我々が強い磁場中に入っていくとどうなるでしょうか？実験はしたことありませんが，考えて見てください。近い将来，リニア―モーターカーが走ると思います。磁石を使ってあんな重い車体を持ち上げているんです。大丈夫かなーー？と心配するのは物理を知っている人だけですね？
肩こりに効くといわれる「ピップエレキバン」という商品を知っていますか？ようするに，肩に磁石を貼り付けるという商品ですが，かなり昔からあります。サテ，このピップエレキバンを物理的に理解してみましょう。図 6.6(b) は肩あたりに貼った磁石とその下を流れる血液の模式図です。
たとえば右方向に，いろいろな荷電粒子を含む血液が流れていて，磁石による磁場が上向きにかかると，ローレンツ力で粒子の動きが変わりますね。さて，これと血行がよくなるとかよくならないとかの議論は私には解りません。皆さんで考えてみてください。色々なところにローレンツ力は現れてきます。

図 6.6 (a) 血液標本，(b) 血液と磁石

72

第 6 章 電磁誘導

⃗ と磁場 B
⃗ の中を，速度ここまでの話は，電場が無い場合を取り上げましたが，一般に，電場 E⃗ で動く電荷 q を持った粒子に働く力はV⃗ +V⃗ × B).
⃗
F = q(E(6.2.4)⃗ となり，
で与えられます。これが広い意味でのローレンツ力です。電荷が静止していれば F = q E
これを静電場とよびます。止まっている電荷にはクーロン力が働き，動いている電荷にはローレンツ力が働きます。

6.3 いろいろな電磁誘導
この章ではいろいろな電磁現象を紹介しましょう。すべてローレンツ力で理解することができます。

6.3.1 磁場内に置かれた導線に電流を流すと導線は動く
これは，図 6.4 に書いたことの繰り返しになりますが，もう少し詳しく説明してみましょう。導線内の電子が単位体積あたり n 個含まれているとしましょう。電子の速度を ⃗v とすると、電子１⃗1 = −eV⃗ ×B⃗ です。導線の断面積を A とすると、長さが L の部分に個が受けるローレンツ力は F
は、nLA 個の電子が含まれるので、導線内を流れる電流は単位長さあたり、

図 6.7

磁場内に置かれた導線に電流を流すと導線は動く⃗ ，[C/s]I⃗ = −enAV(6.3.1)で与えられます。電子は −e の電荷を持つので，＋方向（図 6.7 の左から右）へ流れます。それに対して電流は逆方向のプラスからマイナス方向に流れると定義されています。電流の流れる向きと電子の流れる向きは逆方向であることに注意してください*1 。式 (6.2.1) に代入すると，単位長さ*1 これは，電流が発見されてから電子が発見されたという歴史的なことに起因しています。最初に電流を発見した人が，電流の流れる方向を「＋極から−極へ」と定義しました。その後電子が発見されて，実は電子はマイナスの電荷を持っていたのです。

6.3 いろいろな電磁誘導

73

あたり、

⃗ × B,⃗
F⃗ = −enAV(6.3.2)のローレンツ力が働くことになります。
電子になったつもりで上の式を眺めてみましょう。電子はマイナスの電荷を持つので図 6.7 の左⃗ で流れます*2 。電流の流れる向きは電子と逆方向ですからベクトル I⃗ は右から左から右へ速度 Vの向きと言うことになります。従って，ローレンツ力は右ねじの法則で図の左の方に作用し，導線は少し左に移動することでしょう。

6.3.2 磁場内で電線を動かすと電流ができる
こんどの実験は，電池は外して，磁石と導線だけを置いてみましょう。この状態で，図 6.8 の磁⃗ の中で，x 軸方向に速度 V⃗ で導線を動かしてみましょう。導線内には自由に動ける電子が場 (B)あります。そうすると，１個の電子に⃗ × B,⃗
F⃗ = −eV(6.3.3)のローレンツ力が働きます。このローレンツ力によって電子は C から D の方向に動き電流は D から C の方向に流れることになります。その結果 C と D の間に電位差 (VCD ) が生じます。定常的に導線を動かすときは，ローレンツ力と電位差がつりあったいるので，⃗ = −eV⃗ × B,⃗−eE(6.3.4)がなりたちます。この電場を誘導電場とよびます。

図 6.8

磁場内で電線を動かすと電流ができる

CD 間の電位差は電場を CD 間の長さ L にわたって積分すればよいので∫∫⃗⃗⃗ × B)⃗ · dL⃗VCD =E · dL = (VL

(6.3.5)L*2 この電子が流れると他の粒子と衝突したりして摩擦が起こります。この摩擦が熱になって導線がだんだん暖かくなってきます。この熱のことをジュール熱と呼びます。

74

第 6 章 電磁誘導で与えられます。最後の等号は式 (6.3.4) を用いた。さらにベクトル公式⃗ × B)⃗ ·C⃗ = −B⃗ · (A⃗ × C)⃗(A(6.3.6)を用いて式 (6.3.5) を書き換えると∫∫⃗ × B)⃗ · dL
⃗ =−
(V

VCD =

⃗ · (V⃗ × dL),⃗B(6.3.7)

Lとなります。

⃗ × dL|
⃗ の意味
|V

図 6.9

⃗ × dL|⃗ について考えましょう。次元解析すると V は速度 [M/S]，dL は長さ
さて，ここで，|V⃗ × dL|⃗ は単位時間あたりの面積 [M2 /S] の次元を持つことがわかりま[M] の単位を持つので，|V⃗ × dL|⃗ は導線の長さ dL⃗ の部分が，速度 V⃗ で動いたときす。つまり，図 6.9 に示したように，|V⃗ を貫く単位時間あたりの面積 (S) の意味を持つことになります。したがって，に，磁場 B⃗⃗ × dL⃗ = dS ,V
dt(6.3.8)と書くことができます。ここで t は時間を示します。左辺の２つのベクトルの外積はベクトル量なので，面積 S もベクトル量になります。これは時間によって面積が増えたり減ったりすることを意味します。
式 (6.3.7) に式 (6.3.8) を代入すると，∫∫⃗ · (V⃗ × dL)⃗ =−VCD = − B∫d
⃗ · dS,
⃗
=−
B
dt
dΦ
=− ,
dt

⃗
⃗ · dS ,B
dt(6.3.9)となります。この VCD を誘導起電力とよびます。ここで，∫Φ=⃗ · dS,⃗B(6.3.10)dΦ,dt(6.3.11)は単位時間に導線が横切る磁束を示します。

V =−6.3 いろいろな電磁誘導

75は，ファラデーの法則とよばれ，磁場の時間変化に応じて起電力が生じ，電流が流れることを意味します。マイナスの符号がついているのは，磁場が増えると起電力が減少する方向に電流が流れるということを意味します。

図 6.10 発電機の原理

たとえば，図 6.10 のように導線をぐるぐる巻きにしたコイルと磁石を用意しましょう。磁石が⃗ が発生します。図 6.8 で説明したように磁場中で導線を動かすと電流が流れます。
あれば磁場 B
⃗ で上下に動かすことと，磁石を上下に動かすことは同じことです。ここではコイ
コイルを速度 V⃗ でコイルに近づけてみましょう。するとコイル内の磁場（磁束）は増
ルは固定して，磁石を速度 V加します。その結果，式 (6.3.11) にしたがって，コイル内の磁束を減らす向きに電流が流れます。
つまり磁石の磁場と反対方向の磁場がコイルから作られます。この場合コイル内に電流が左巻きの方向に流れます。これがコイルと磁石から作られた誘導電流です（右手の法則で，磁場を上向きに出すには電流は左回転になる）。磁石を遠ざけると逆向きに電流が流れます。
このように，一定の速度で磁石をコイルに近づけたり遠ざけたりすることで，電流を作ることが出来ます。この電流を誘導電流とよびます。これが自転車などに使われているダイナモの原理となります。発電所の発電機はこれをずっと大きくしたものです。日々電流を作って我々の家まで届けてくれています。この原理だけなら CO2 放出とは何の関係もないようなのですが，なぜ電力を使うことと環境問題が関係するのでしょうか？考えてみましょう。
このような，ローレンツ力による電磁誘導は，その他にも，シンクロトロン，超伝導電磁石（リニアモーターカー），ホール効果，などいろいろあります。時間があれば紹介します。暇なときにでも Google で検索してもいいでしょう。

6.3.3 電磁誘導の式⃗ の中で固定したコイルがつくる閉曲線 C にそって電流が流れている状
図 6.11 のように磁場 B
態を考えましょう。図 6.10 のコイル一巻きを考えています。式 (6.3.11) の誘導起電力の左辺はコ

76

第 6 章 電磁誘導

図 6.11 閉回路に電流が流れる⃗ · dL⃗ を線積分したものなので，イルの作る閉曲線 C にそって E
I⃗ · dL,⃗E

V =(6.3.12)Cで与えられます。一方，式 (6.3.11) の右辺は曲面 S を通る磁束（磁場）の時間変化なので，式(6.3.11) と (6.3.12) からI⃗ · dL
⃗ =−d
E
dt
C

∫
⃗ · dS,⃗B(6.3.13)

Sがなりたちます。ここで，線積分と面積積分の返還式（ストークスの定理）を用いると，式 (6.3.13)

∫

I

の左辺は

⃗ · dL⃗ =E⃗ × E)⃗ · dS,⃗(∇(6.3.14)

S

Cのように変形でき，式 (6.3.13) は∫∫⃗ × E)⃗ · dS
⃗=−
(∇

S

⃗
dB
⃗
· dS,
S dt

(6.3.15)で与えられることがわかります。ここでは面積 S は時間変化しないと考えています。この式が電磁誘導の数学的記述です。両辺を面積で微分すれば，⃗⃗ ×E⃗ = − dB ,∇dt

(6.3.16)

がなりたちます。これが電磁誘導の式の微分型になります。電磁気学の基礎方程式である４つのマ
クスウェルの方程式の最後の１つです。磁場の時間変化は誘導電流を生みだすのです。

6.3.4 回路が変化する場合
ここでは，磁場は一定で回路が変化する場合について考えましょう (演習問題 (6.4.4)）。一様な⃗ の中で，これに垂直に一辺の長さが L の正方形の閉回路（導線）を置き，その一辺 AB を
磁場 B
⃗ で動かすと，何が起こるか？図 6.12 で，B-C-D-A の回路は固定されていて磁場と垂直に速度 V
動かないが，AB 間の導線だけ左右に動ける場合を考えてください。

⃗ ×B⃗ のローレンツ力を受けて，A から B
導線 AB を右に定常的に動かすと，電子は F = −eVの方向に流れます。AB 間の電位差は式 (6.3.5) より，

∫ B

∫ B
⃗ · dL
⃗ =
E

VAB =
A

⃗ × B)⃗ · dL,⃗(V
A(6.3.17)

6.4 演習問題

77

図 6.12

AB の回路を動かす⃗ は x 軸方向，磁場 B⃗ は y 軸方向にあるので，で与えられます。速度 V⃗ = (Vx , 0, 0), B⃗ = (0, By , 0),V(6.3.18)を代入すると，

⃗ ×B
⃗ =
V

⃗i
Vx
0

⃗j
0
By

⃗k
0
0

= Vx By⃗k,(6.3.19)となります。したがって式 (6.3.17) は

∫ B

∫ B
⃗k · dL⃗ = Vx By

VAB = Vx By
A⃗ = Vx By L,|⃗k||dL|(6.3.20)A⃗ は平行であるので，積分となります。ここで，z 方向の単位ベクトル ⃗k と AB 間の導線の方向 dL⃗ の大きさはは AB 間の長さ L になります。したがって速度 V
Vx =

VAB
,
By L

(6.3.21)で与えられます。

AB の長さが 0.2[M],

磁場が 1[T: テスラー]=104 [Gauss] であるとして，1[V: ボルト] の起電力を得るための速度を求めてみよう。

Vx =

1[V ]
= 5[V T −1 M −1 ],1[T ]0.2[M ](6.3.22)となります。このままでは単位が何のことか解らないので，次元解析して速度の単位になるか確か
めましょう。電位 [V] とテスラー [T] はそれぞれ，[V ] = [M 2 Kg S −3 A−1 ], [T ] = [Kg S −2 A−1 ],(6.3.23)で与えられるので，Vx = 5[M/S] になります。時速に直すと約 18[Km/h] です。

6.4 演習問題⃗ = (Ax , 0, 0), B⃗ = (0, By , 0) の２つのベクトルの外積を計算して、外積の大きさと方向を
1. A
答えてください。

78

第 6 章 電磁誘導

⃗ · (A⃗ × B)⃗ = 0 が成り立つことを証明してください。（図を書いて考えると簡単です。）
2. A⃗ · (B⃗ × C)⃗ = (A⃗ × B)⃗ ·C⃗ が成り立つことを証明して。
3. A
4. 一様な磁場 B の中でこれに垂直に正方形の回路（導線）を置き，その一辺 ab を磁場と垂直方向に速さ V で動かした。

(a) 何が起こるか？
(b) ab 間の電位差は

∫ b
⃗ ×B
⃗ ）· dL（V

VAB =(6.4.1)a⃗ = (V, 0, 0), B⃗ = (0, B, 0) として、電位差を計算してください。
です。V(c) ab の長さが 50cm，磁場が１ T(=104 gauss) であるとき，１ V の起電力を得るための速度 v を求めてください。

79

第7章

マクスウェル方程式と電磁波
7.1 マクスウェル方程式
この章では，これまでにでてきたマクスウェル方程式について復習した後，これが実は電磁波と密接に関係していることについて説明します。電磁波とは何か？一見難しそうに感じるかもしれま
せんが，何のことはない我々が毎日見ている光です。

7.1.1 マクスウェル方程式
ここではマクスウェルの方程式について復習しておきましょう。式の意味とその式を絵にできるかが重要です。式を見たら絵が浮かぶとか，絵を見たら式が浮かぶとかになれば，あなたには物理的センスが十分あります。もちろん最初は誰もわかりませんが，何度も勉強するうちにいつの間にか身に付くものです。恐れず考えることです。あるいは最初は丸暗記でもいいでしょう。

図 7.1 マクスウェル方程式

まず始めは，温泉からのお湯のわき出しを思い出してほしい。温泉口からお湯がわき出す現象⃗ がわき出す現象の数学的表現は同じでした（図 7.1(a))。それは，と，プラスの電荷から電場 E⃗ ·E⃗ = ρ/ϵ0 ,∇(7.1.1)でしたね。ここで，ρ はわき出し口での電荷密度，ϵ0 は真空の誘電率，空気中もほとんど同じ値です。電荷はプラスの電荷とマイナスの電荷に分離することができましたね (真電荷）。

80

第 7 章 マクスウェル方程式と電磁波⃗ の中で導線を速度 V⃗ で動かすと電流が流れる，
次は，電磁誘導の式として紹介しました。磁場 Bという内容でした。発電機の原理です。それは，（図 7.1(b))⃗⃗ ×E⃗ = − ∂B ,∇∂t

(7.1.2)です。磁場の時間変化が電流を生み出すのです。
３つめは，磁場の本質である真磁化は存在しない。つまり，磁石の N 極や S 極は単独では存在しないということでした。必ず N 極から出た磁場は S 極に向かい循環している：⃗ ·B⃗ = 0,∇(7.1.3)

磁場にはわき出し口も吸い込み口も存在しない。磁場は必ず循環（閉曲線）するということです。

⃗ ができる (逆も可能である）。
最後はアンペールの法則です。電流 (⃗j) を流すと回りに磁場 (B)
磁場の向きは右手の法則で⃗⃗ ×B⃗ = ∂ E + ⃗j/ϵ0 .
c2 ∇∂t(7.1.4)と書けます。右辺の第一項は説明していませんが電場の時間変化を示します。電流は電束密度の時⃗
間変化 (∂ D/∂t)
によっても流れます。これを変位電流とよびます。コンデンサーにたまった電荷を流すことで電流を流すことが出来ます。この変位電流を考慮すると，式 (5.3.8) は式 (7.1.4) とな√ります。定数 c = 3 × 108 [M/S] は光の速度です。あるいは，c = 1/ ϵ0 µ0 でも同じことです。
さて，この４つの方程式から出てくる答えについて以下で考えていきましょう。

7.2 電磁波とマクスウェル方程式
まず，話を簡単にするために，電荷と電流が存在しない状況でのマクスウェルの方程式を考えましょう。そこで，ρ = 0, ⃗j = 0 とすると

⃗ ·E
⃗ = 0,∇(7.2.1)⃗⃗ ×E⃗ = − ∂B ,∇∂t

(7.2.2)⃗ ·B⃗ = 0,∇(7.2.3)⃗⃗ ×B⃗ = ∂E ,c2 ∇∂t(7.2.4)となります。
さて，これはいったい何を意味するのでしょうか？電場も磁場も波ですから，これらの式からいったい何が導かれるのでしょうか？

7.2 電磁波とマクスウェル方程式81

図 7.2 x 軸方向に伝わる電場（平面波）

7.2.1 電場
一例として，x 軸方向に伝わる電場（平面波）を考えましょう。図 7.2 のように sin や cos で記述される波を考えましょう。したがって，電場ベクトルの成分は⃗ = (0, Ey (x), 0),E(7.2.5)となります。例えば，Ey (x) = sin(2πx/L) のような関数型を考えればよいでしょう。式 (7.2.5)
を式 (7.2.1) に代入し計算すると，⃗ ·E⃗ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez = 0,
∇
∂x
∂y
∂z

(7.2.6)がなりたつことがわかります。電荷が存在しない空間では式 (7.2.5) は式 (7.2.1) を満たすことが解ります。
次に，式 (7.2.5) を式 (7.2.2) に代入して計算してみよう。以下ではまず，左辺の各成分の計算を行います：⃗ × E)⃗ x = ∂Ez − ∂Ey = 0,
(∇
∂y
∂z

(7.2.7)

∂Ex
∂Ez
−
= 0,
∂z
∂x

(7.2.8)⃗ × E)⃗ y=(∇⃗ × E)⃗ z = ∂Ey − ∂Ex = ∂Ey .
(∇
∂x
∂y
∂x

(7.2.9)上の計算で，z 成分以外はゼロになります。したがって，式 (7.2.2) から，

∂Bz
∂Ey
=−
,
∂x
∂t

(7.2.10)が成り立つことが解ります。電場が y 成分だけなら，磁場は z 成分だけをもつことになります。つまり，磁場ベクトルの各成分は，x 軸方向に伝わる z 軸に平行な波であり，⃗ = (0, 0, Bz (x)),
B(7.2.11)

82

第 7 章 マクスウェル方程式と電磁波

図 7.3

x 軸方向に伝わる電場と磁場（電磁波）でなければならないことがわかります。したがって，電場が存在すると必ず磁場が存在して，その電場と磁場は直交する波であるという結論になります。
図 7.3 は x 軸方向に伝搬する電場と磁場を示しました。電場は x − y 平面上を振動して x 方向に進み，磁場は x − z 平面上を振動して x 軸方向に進みます。互いに直交した２つの波が存在する
ことがわかります。

7.2.2 磁場
さらに，計算を進めましょう。式 (7.2.11) を式 (7.2.3) に代入して計算すると，⃗ ·B⃗ = ∂Bx + ∂By + ∂Bz = 0,
∇
∂x
∂y
∂z

(7.2.12)となり，磁場の式 (7.2.11) は式 (7.2.3) を満たすことがわかります。
最後に，式 (7.2.11) を式 (7.2.4) に代入して計算しましょう。式 (7.2.4) の左辺の各成分は以下のようになります：

(

)
∂Bz
∂By
−
= 0,
∂y
∂z
(
)
∂Bz
∂Bz
2 ⃗
2 ∂Bx
⃗
c (∇ × B)y = c
−
= −c2
,
∂z
∂x
∂x
(
)
∂Bx
2 ⃗
2 ∂By
⃗
c (∇ × B)z = c
−
= 0.
∂x
∂y
⃗ × B)⃗ x = c2
c2 (∇(7.2.13)(7.2.14)(7.2.15)

したがって，y 成分以外はゼロとなり，式 (7.2.4) から

−c2

∂Bz
∂Ey
=
,
∂x
∂t

(7.2.16)が成り立つことが解ります。
式 (7.2.10) と (7.2.16) をもう少し詳しく見ていきましょう。式 (7.2.10) の両辺を x で偏微分す
ると，∂ 2 Bz∂ 2 Ey
=
−
,
∂x2
∂x∂t

(7.2.17)

7.2 電磁波とマクスウェル方程式

83となり，さらに式 (7.2.16) の両辺を時間 t で偏微分すると，−∂ 2 Bz1 ∂ 2 Ey
= 2 2 ,∂x∂tc ∂ t

(7.2.18)となります。したがって，式 (7.2.17) と (7.2.18) から磁場に関する項を消すと，

1 ∂ 2 Ey
∂ 2 Ey=,∂x2c2 ∂ 2 t(7.2.19)が得られます。左辺は空間変化，右辺は時間変化を示す。これは１次元の波動方程式と呼ばれています。この偏微分方程式の解は，例えば，

Ey (x) = cos(x − ct)(7.2.20)となります。
同じように，式 (7.2.10) の両辺を t で偏微分すると，∂ 2 Ey∂ 2 Bz=− 2 ,∂x∂t∂ t(7.2.21)さらに式 (7.2.16) の両辺を x で偏微分すると，−c2∂ 2 Bz∂ 2 Ey
=
,
∂2x
∂x∂t

(7.2.22)となります。式 (7.2.21) と (7.2.22) から電場に関する項を消すと∂ 2 Bz1 ∂ 2 Bz=,∂x2
c2 ∂ 2 t(7.2.23)が得られます。これは，磁場に関する１次元の波動方程式です。この偏微分方程式の解は，例えば，Bz (x) =√ϵ0 µ0 cos(x − ct)(7.2.24)となります（確かめてみましょう）*1 。

7.2.3 波の復習
ここで，波の定義について復習をしておきます。図 7.4 は波長 λ[m] の波を示します。例えば，

y = sin(2πx/λ) の波を考えればよいでしょう。波長だけでなく波を特徴づける量として波数があります。波数 q の定義は

q = 2π/λ,(7.2.25)です。波数の単位は [m−1 ] です。2π の中に１波長の波が何個存在するかといった量です。波数 q
をつかって，y = sin(qx) と書くこともできますね。
その他，周波数（振動数）もよく使われます。周波数の定義は，

f = c/λ,*1 演習問題 3(7.2.26)

84

第 7 章 マクスウェル方程式と電磁波

図 7.4

波長 λ の波です。ここで c は光の速度 c = 3 × 108 [m/S] なので，周波数は単位換算すると，

f = c/λ = 3 × 108 [m/s]/λ[m] =3 × 108 −1[s ],λ(7.2.27)となります。ここで [s−1 ] のことを [Hz] (ヘルツ) という単位で書きます。では，1[Hz] はどんな波でしょうか？答えは，波長が λ = 3 × 108 [m] の波のことです。とても長い波長を持った波ですね。
波長が３億メートルの波ってどんなのか，想像することできますか？ラジオ電波の周波数（振動数ともよばれる）はこの f の値のことです。
このような周波数をもった電場と磁場が直交した波を電磁波とよびます。最も簡単に電磁波を表
現すると電磁波は, 波数ベクトル ⃗q = (qx , qy , qz ) と空間の位置ベクトル ⃗r = (x, y, z) を使って，exp(i⃗q · ⃗r) = cos(⃗q · ⃗r) + i sin(⃗q · ⃗r),

(7.2.28)

で表現できます。左辺の表現はこれから数学や物理のいろいろなところで出てくると思います。
フーリエ変換ではこの式がいたるところに出てきます。いろいろな波数 q を持った電磁波を思い出しましょう。例えば，波数ベクトルが ⃗q = (2π/λ, 0, 0) の波は，cos(2πx/λ) の平面波となります。

7.2.4 電磁波
さて，式 (7.2.1)〜(7.2.4) から導かれた結論は何でしょうか？そうです，電場と磁場は必ず直交した平面波になるということです。このような直交した電場と磁場のことを電磁波とよびます。電磁波は波長（あるいは周波数）によって様々な名前が付けられています。では，どんな電磁波があるのでしょうか？
図 7.5 にいろいろな電磁波がまとめてあります。波長が 105 [m] から 10−13 [m] まであります。
波長（周波数）によっていろいろな名前が付けられていることが解ります。例えば，FM 福岡のラジオの周波数は 80.7MHz(= 80.7 × 106 Hz) で，これも電磁波のひとつです。我々が日常使っている携帯電話の周波数は数百 MHz から１ GHz 程度にあります。携帯電話会社によって周波数が割り振られています。ちなみに電子レンジは 2.45GHz の電磁波を出して水分子を振動させて沸騰させているのです。最近の携帯電話の周波数は情報量が多いので GHz 帯に移行してきています。
ちょっと気になりませえか？もし携帯電波の周波数が 2.45GHz だとすると，我々の体の中の水分7.2 電磁波とマクスウェル方程式
5

波長 [m]

10

周波数 [Hz]

3k

4

VLF
名前

3

10
30k

2

10
300k

10
3M

MF

LF

超長波

85

中波

長波

10
30M

1
300M

HF

VHF

短波

超短波

UHF

-1

10
3G

-4

10

-5

10

-6

-7

10

遠

赤

可

赤

外

視

線

光

外
線

ミリ波

サブミリ波

電子レンジ (2.45GHz)

-8

10

-4

10
3T

携帯電話

FM 福岡 (80.7MHz)

波長 [m]

10
300G

EHF

センチ波

極超短波

テレビ

SHF

-3

-2

10
30G

10

-9

10

-10

10

-11

10

-12

10

-13

10

紫
外

X線

ガンマ線

線

線

タンパク質のサイズ
0.77μm
0.38μm（赤）（紫）
赤橙黄緑青欄紫図 7.5

電磁波の種類が携帯電話で沸騰するということが起こるかも知れませんね？考えすぎでしょうか？物理を知っていると世の中のいろいろなことが気になって仕方ありません。
我々人間が目に見える電磁波は，可視光線の領域だけです。わずか，0.77[µm] から 0.38[µm] の波長を持った電磁波だけが人間には見えるのです。それ以外は見えません。「赤が最も波長が長く，青や紫になるほど波長が短くなる」ということを覚えておくと何かと便利です。もし，我々が目にみえる電磁波の波長領域が携帯電話の波長領域まであったとしたら，どんな世界になるでしょうね？
電磁波の主な特徴を以下にあげておきます：• 波長により電磁波の名前が決まっている• 波長の長い電磁波ほど遠くまでとどく• 可視光で一番は長の長いのは赤色• 電磁波はその波長と同程度の大きさの物体と相互作用する（あるいは散乱される）
ちょっとここで，携帯電話についてコメントしておきます。NTT, AU の携帯電話の周波数は

f =800MHz 帯，PHS は 1.9GHz, 第３世代の携帯電話は 2GHz 帯です。NTT docomo の周波数が f =800MHz の場合，その波長は λ = c/f =20[cm] となります。これは携帯電話のアンテナの長さとほぼ同じ長さです。携帯電話をカチャット開けたときの長さが 20cm くらいでしょう。

iPhone はちょっと小さいですね！
光は電場と磁場が直行した電磁波で，3 × 108 [m/s] の速度を持ちます。電磁波はその波長 (λ)，

86

第 7 章 マクスウェル方程式と電磁波
または，振動数 (f = c/λ) によって様々な名前が付けられています。様々な波長をもった電磁波のなかで，人間の目に見えるものは可視光の領域だけです。ごくわずかですね。しかし目に見えない電磁波は我々の生活で様々な役割を担っています。たとえば，FM ラジオの電波も電磁波です。

FM 福岡を聞く時，ラジオを 80.7MHz に合わせます。周波数が f = 80.7MHz の電磁波のもつ情報を耳で聞くことが出来るようにしているのがラジオです。FM 福岡のラジオ電磁波の波長は，

λ = c/f =3 × 108 [m/s]= 3.75[m]80.7 × 106 [1/s]となります。これは，3.75[m] の波長を持った sin 波（正弦波）を考えればよい。身長の約３倍弱の長さの波長を持った電磁波が，ラジオ局から届いているのです。AM ラジオの NHK 第一放送の周波数は 540kHz=0.54MHz です。では，NHK 第一放送の電波の波長は何メートルでしょうか？
計算してみましょう。FM ラジオと AM ラジオで比べると AM ラジオの方が波長が長いということになります。AM 波（中波）の波長の方が FM 波（超中波）より約１００倍長いのです。その他
ラジオでは短波放送というのもあります。
電磁波の性質は、「波長の長い（周波数の小さい）電磁波は遠くまで届き，波長の短い（周波数の大きい）電磁波は散乱される！！」ということです。では，AM 波と FM 波ではどちらが遠くまで届くでしょうか？

我々の目に届く太陽の光は可視光線とよばれ，赤・燈・黄・緑・青・蘭・紫の７色を持った光が一緒になって目に入ってきます。太陽光を直接みるとなんとなくオレンジっ
ぽく見えますが，可視光を全部合わせると白色になります。重要なのは光の７色の波長がすべて異なるということです。可視光で一番波長の長い色は「赤」で波長は約 0.7µm。赤色から紫色になるにつれて波長が短くなります。一番波長の短い紫色の波長は約 0.3µm です。交差点の信号機は「赤・黄・青」で作られています。先程言った「波長の長い光（電磁波）は遠くまで届く」という性質を使って，交差点を安全（交通安全）にするにはどうすればいいか？ということを考えると，止まれが赤色なのは納得できますね！！霧の多い日，止まれがもし「青」なら波長の短い光は霧に散乱されて遠くまで届かないことになります。これでは危険ですね。
夕焼けが赤く見える（赤く染まる）のも，波長の短い光（青など）は大気などで散乱されて観測者には届かず，太陽からまっすぐ進んでくる波長の長い赤い光を見ているからです。天気のいい
日，空が青いのは，大気によって散乱された青い光を見ているからです。日本では街灯は白色光が使われているところが多いですが，ヨーロッパなどでは，街灯は文字通りオレンジ色の「街燈」です。オレンジ色の方が雰囲気いいように思うのは私だけでしょうか？
というわけで，我々は毎日，電磁波の中で暮らしているのです。電磁気学は身近にある物理現象の理解に役立つと思いませんか？いろいろと思いを巡らせてください。そしてゆっくり物理を味わってみてください。

7.2.5 マクスウェル方程式の間の関係式
最後に，マクスウェル方程式をもう少し眺めてみましょう。

7.2 電磁波とマクスウェル方程式

87

式 (7.1.2) の両辺の div を計算すると，⃗⃗ · (∇⃗ × E)⃗ = −∇⃗ · ( ∂ B ),∇∂t

(7.2.29)⃗ · B),⃗⃗ · (∇⃗ × E)⃗ = − ∂ (∇∇∂t

(7.2.30)となります。右辺を書き換えると⃗ に対して，常に ∇⃗ · (∇⃗ × E)⃗ = 0 が成り立つので*2 ，右となります。左辺は，任意のベクトル E
辺は⃗ ·B⃗ = 0,∇(7.2.31)となり，式 (7.1.4) が導かれることがわかりますね。
式 (7.1.4) の両辺の div を計算してみよう。

⃗⃗ · (∇⃗ × B)⃗ =∇⃗ · ( ∂ E + ⃗j/ϵ0 ),c2 ∇∂t(7.2.32)

ベクトル解析の公式で左辺は常にゼロなので，⃗⃗ · ( ∂ E + ⃗j/ϵ0 ) = 0,∇∂t(7.2.33)

∂ ⃗ ⃗
1⃗ ⃗
· j = 0,(∇ · E) + ∇∂t
ϵ0(7.2.34)

がなりたちます。したがって，となります。式 (7.1.1) を代入すると，⃗ · ⃗j = − ∂ρ ,∇∂t

(7.2.35)が得られます。この式は電荷の保存則と呼ばれています。右辺が電荷密度の時間変化になっていることに注意してください。ガウスの法則的に解釈すると，閉局面 S を通って内側から外側に出て行く電流 ⃗j は，閉局面 S の内側にある電荷密度の時間変化です。電荷は無くならないのです。
式 (7.1.2) の両辺の rot を計算してみましょう。すると⃗⃗ × (∇⃗ × E)⃗ = −∇⃗ × ( ∂ B ),∇∂t

(7.2.36)⃗ × (∇⃗ × E)⃗ = ∇(⃗ ∇⃗ · E)⃗ −∇⃗ 2 E,⃗∇(7.2.37)となります。左辺はベクトル公式⃗ B⃗ に対して，A⃗ · (A⃗ × B)⃗ = 0 は常に成り立つ。C⃗ =A⃗×B⃗ の方向は２つのベクトルに垂直で*2 任意のベクトル A,⃗とC⃗ は垂直なので，内積はゼロになります。
す。したがって A

88

第 7 章 マクスウェル方程式と電磁波⃗ ·E⃗ = 0 とするので，式 (7.2.36) は次を用います。ここでは，電荷も電流も存在しないとして，∇のようになります：⃗⃗ = −∇⃗ × ( ∂ B ),
⃗ 2E
−∇
∂t
∂ ⃗
⃗
= − (∇ × B).
∂t(7.2.38)

左辺に式 (7.2.4) を代入すると
2⃗⃗ 2E⃗ = 1 ∂ E,∇
c2 ∂t2(7.2.39)がえられます。これは式 (7.2.19) の電場に対して一般化した波動方程式です。式 (7.2.19) では x軸に進む波を考えていたことを思い出してください。同様にして，式 (7.2.4) の両辺の rot を計算
して，磁場に対して一般化した波動方程式を導きましょう。この波動方程式の解き方は，数学でこれから勉強すると思うのでそちらでしっかり勉強してください。
マクスウェルの方程式の一般解も存在します。興味ある人はさらに勉強してみましょう。

7.3 演習問題
1. 電磁波とは何か説明してください。
2. マクスウェル方程式は次の４式です。
(1)⃗ = ρ/ϵ0∇·E(2)⃗ = −∂ B/∂t
⃗
∇×E
(3)
⃗ =0
∇·B
(4)
⃗ = ∂ E/∂t⃗c2 ∇ × B+ ⃗j/ϵ0
また電荷の保存は(5)∇ · ⃗j = −∂ρ/∂tで表現されます。次の問いに答えてください。

(a) (3) は (2) の div から得られることを証明してください。
(b) (5) は (4) の div から導かれることを証明してください。（マクスウェル方程式が正しい
ためには電荷の保存が必要です）(c) 空な空間 (⃗j = 0, ρ = 0) でのマクスウェル方程式を書いてください。
⃗ は波動方程式(d) 空な空間では電場 E
⃗−
∇2 E

1 2⃗
∂ E/∂t2 = 0c2

7.3 演習問題

89

を満たすことを証明してください。((2) の rot を計算する）(e) 空な空間では磁場 B も波動方程式
⃗−
∇2 B

1 2⃗
∂ B/∂t2 = 0
c2を満たすことを証明してください。

(f) (2) から E を次のように書けることを証明してください。
⃗⃗ = −∇ϕ − ∂ AE∂t⃗はB⃗ =∇×A⃗ から定義されます。
ただし，A
3. 電流も電荷も存在しない真空の空間において，次の電磁波はマクスウエルの方程式を満たしていることを証明してください。また、電磁波の伝搬する様子を図示してください。

⃗ の各成分が、
電場 E
Ex = Ey = 0, Ez = cos(y − ct)⃗ の各成分が、
磁場 B
Bx =
√

√

ϵ0 µ0 cos(y − ct), By = Bz = 0

ただし c = 1/ ϵ0 µ0 = 3.0 × 108 m/s は光の速度、t は時間を示す。

91

第8章

輸送現象
この章では，粒子の輸送について学びましょう。粒子の動きの微視的な理解をするために，運動方程式，ブラウン運動，拡散現象について学びましょう。

8.1 運動方程式

図 8.1

粒子の運動方程式

図 8.1 のように，質量 m のある粒子が，温度 T の溶液中で速度 ⃗v で右方向へ動いている状況を考えましょう。時刻ゼロ (t = 0) での粒子の位置を x = 0, t 秒後の位置を x(t) とする。粒子に何⃗ (t) が働いているとする。具体的には力 F⃗ (t) は，重力やクーロン力などを考えればよらかの力 F⃗ = qE⃗ によって右方向にい。例えば，水中を電荷を持った DNA などの荷電粒子が，クーロン力 F
動いていると考えてもよいし，水中をコロイド粒子が重力に引かれて沈降している様子を思い浮かべてもよい。
粒子が右に進むとまわりの液体と摩擦が生じます。これが摩擦力であり，速度に比例して −ζ⃗v
であたえられます。ここで，ζ は摩擦係数をしめします。点 x(t) での粒子の速度はd⃗x(t),
dt(8.1.1)d⃗v= F⃗ − ζ⃗v + F R (t),dt

(8.1.2)⃗v =です。ある時刻 t での，粒子の運動方程式はm

92

第 8 章 輸送現象
で与えられます。最後の項の F R (t) は，まわりの溶媒分子の衝突などから生じるランダム力を示します。熱揺らぎによるランダム力です。この式を，ランジュバン方程式とよびます。もちろん左辺は「質量×加速度」です。等速度運動であれば左辺は常にゼロになります。

8.2 ブラウン運動
8.2.1 ブラウン運動の運動方程式⃗ が無い場合を考えましょう。したがって，粒子には熱揺らぎによるランダム
ここでは，外力 F
力だけが働いている場合に対応します。このようなランダム力を駆動力として動く粒子の運動をブ⃗ が無い場合の運動方程式は，ラウン運動とよびます。外力 Fmd⃗v= −ζ⃗v + F R (t),dt

(8.2.1)となります。
この式を解くことを考えましょう。以下では簡単にするために，x 軸方向の１次元の運動を考えます。式 (8.2.1) の両辺に x をかけて変形すると，

(
)
d(vx)
2
m
− v = −ζvx + xF R (t),dt

(8.2.2)となります。平均を計算すると，

(
m

)
d⟨vx⟩
− ⟨v 2 ⟩ = −ζ⟨vx⟩ + ⟨xF R (t)⟩,dt(8.2.3)となり，ここで，⟨· · · ⟩ は平均量を示します。粒子の平均速度は熱エネルギーが供給しているので，エネルギー等分配則から，m⟨v 2 ⟩ = kB T,(8.2.4)が成り立ちます*1 。さらに，粒子に働く力はランダム力であるので，位置と力には相関はなく⟨xF R ⟩ = ⟨x⟩⟨F R ⟩ = 0,(8.2.5)が成り立ちます。式 (8.2.4) と (8.2.5) を (8.2.3) に代入すると，

m

d⟨vx⟩
= kB T − ζ⟨vx⟩,
dt(8.2.6)となります。y = ⟨vx⟩ として式 (8.2.6) を書き換えると，mdy+ ζy = kB T.
dt(8.2.7)

あとはこの微分方程式を y について解けばよいわけです。式 (8.2.7) は線形の微分方程式であり，解法は数学で習うので詳しいことはそちらで勉強して下さい。
*1 1 章を参考に。ここでは定数は無視している。

8.2 ブラウン運動

93

まず

dy
+ ζy = 0,dt(8.2.8)d(ln y)= −ζ/m,dt(8.2.9)mの一般解を求めましょう。式 (8.2.8) はに変形できるので，一般解は t で積分して

y = c1 exp(−ζt/m) + c2 ,(8.2.10)となります。
初期条件は，時刻 t = 0 で粒子は原点にいるので，y(t = 0) = 0 を式 (8.2.10) に代入すると，２つの係数には

c1 + c2 = 0,(8.2.11)という条件式が得られます。式 (8.2.10) に代入すると，

y = c1 exp(−ζt/m) − c1 ,(8.2.12)を得ます。式 (8.2.12) を，(8.2.7) に代入して定数 c1 を求めると，

c1 = −kB T /ζ,(8.2.13)となり，したがって y を使って，

y = ⟨xv⟩ = ⟨xdx
1 d⟨x2 ⟩
⟩=
,
dt
2 dt

(8.2.14)とかけるので，⟨x2 ⟩ の運動方程式は式 (8.2.12) から，()()
1 d⟨x2 ⟩2kB T=
1 − exp − ζt/m ,2 dt
ζ(8.2.15)で与えられます。
まだまだ，続きます。両辺を時間 t で積分すると

)
∫ (
(
)
2kB T t⟨x ⟩ =
1 − exp − ζt/m dt,
ζ
0
(
)
2kB T
−t/τ
=
t + τe+Cζ2(8.2.16)となります。ここでτ = m/ζ,(8.2.17)は緩和時間を示します。初期条件，時刻 t = 0 で ⟨x2 ⟩ = 0 であるので，式 (8.2.16) に代入すると，定数 C はC = −τ,(8.2.18)

94

第 8 章 輸送現象となります。したがって，式 (8.2.7) の解は，

(
)
2kB T
−t/τ
⟨x ⟩ =t − τ (1 − e)ζ2(8.2.19)で与えられます。⟨x⟩ の平均値はランダムに運動するので常に，⟨x⟩ = 0(8.2.20)です。さて，この解にはとても重要な分子運動の現象が含まれています。式 (8.2.17) は緩和時間(τ ) の定義です。摩擦係数 ζ は [P a · s · m] の単位を持つので τ は時間の単位 [s] をもちます。熱揺
らぎによって緩和時間 (τ ) ごとに全くランダムにその向きを変える。以下では，緩和時間より短い時間の運動と，長い時間の運動について見ていきましょう。

図 8.2

運動している粒子の軌跡

8.2.2 短時間の緩和現象
緩和時間より十分短い時間では，t ≪ τ なので，式 (8.2.19) の exp(· · · ) をテーラー展開することができ，

1e−t/τ = 1 − (t/τ ) + (t/τ )2 + · · · ,2(8.2.21)となります。式 (8.2.21) を (8.2.19) に代入すると，⟨x2 ⟩ =

k B T t2,ζ τ

(8.2.22)となりなす。したがって，平均行程距離の２乗平均の平方根は

√
√
kB T
2
⟨x ⟩ = t,m(8.2.23)となり，時間に比例することがわかります。これを使って，粒子の平均速度d √v = ( ⟨x2 ⟩) =
dt

√

kB T
,
m

(8.2.24)

8.2 ブラウン運動

95

がえられます。この関係式は，第１章で説明しました。すなわち，熱エネルギーがすべて運動エネ
ルギーに変わる場合，粒子の平均速度は式 (8.2.24) で与えられます。つまり，t ≪ τ の短い時間
では粒子は”一定速度”の熱平衡速度で動いている。この短い時間では，初期の速度が維持されて，ニュートン力学的（決定論的）な運動をする。式 (8.2.23) で見たように，粒子の位置は時間に比例して直線的に動きます (図 8.2(1))。

8.2.3 長時間の緩和現象
緩和時間より十分長い時間では，t ≫ τ なので，e−t/τ ≃ 0 としてよい。したがって，式 (8.2.19)
から，

2kB T
t,
ζ

(8.2.25)√
kB Tt ∝ t,
m(8.2.26)⟨x2 ⟩ =となります。平均行程距離の２乗平均の平方根は√√⟨x2 ⟩ =となり，時間の 0.5 乗に比例することがわかります。このような運動は，確率論的運動であり，ランダムウォークやブラウン運動とよばれています。緩和時間 τ ごとに全くランダムに粒子の進む向きが変わります (図 8.2(2))。式 (8.2.23) の決定論的運動との違いに注意してください。式 (8.2.26)
をもちいて，粒子の平均速度はd √
1v = ( ⟨x2 ⟩) =dt
2√
2kB T 1√ ,ζt

(8.2.27)で与えられます。緩和時間より十分長い時間では，速度は時間がたつにつれて遅くなることを示します。つまり，溶媒分子との摩擦 (ζ) によって粒子の速度はだんだん遅くなるのです。式 (8.2.24)との違いに注意してください。
式 (8.2.25) から，⟨x2 ⟩ =

2kB T
t = 2Dt,ζ(8.2.28)

kB T,ζ

(8.2.29)

とおいて，

D=

を拡散定数とよび，[cm2 /s] の単位を持ちます。また，摩擦係数は溶媒の粘度 (η) と粒子の半径(R) を用いて，
ζ = 6πηR(8.2.30)で与えられます。式 (8.2.29) は熱ゆらぎの大きさを表す拡散係数 (D) と，エネルギーの散逸を表す摩擦係数 (ζ) との間の関係式を示していて，アインシュタインの関係式ともよばれています。拡
散定数が大きいとは，粒子は熱運動によって単位時間当たり動く範囲が広いことを意味します。拡96

第 8 章 輸送現象
散定数は熱エネルギーに比例し，摩擦に反比例します。演習問題で，具体的にどの程度の拡散定数になるか計算してみましょう。式 (8.2.30) から明らかなように，粒子の半径が小さいほど摩擦が小さくなり，拡散係数は大きくなることが解ります。

8.3 拡散現象
この章ではブラウン運動による粒子の拡散について詳しく見ていきましょう。

8.3.1 フィックの方程式

図 8.3 粒子の拡散

粒子の濃度が非一様な分布をしているとき，その分布の時間変化を記述することを考えましょう。いま，図 8.3 のように，時刻 t での x 軸上の粒子の数 N (x) が解ってるとしましょう。単位時間に単位面積を通ってどれだけの粒子が位置 x から x + dx に移動するかを考えます。これを考えるのにランダムウオークを考えるとわかりやすい。時刻 t + dt 後には，x にいる粒子の半分は点線を横切り右へ移動し，x + dx にいる粒子の半数は点線を通って左へ移動していると考えると，面A を通って右へ流れる粒子数は

1− [N (x + dx) − N (x)]2(8.3.1)です。x 軸方向の流束 (Flux) は，式 (8.2.30) を x 軸に垂直な面積 A と時間間隔 dt で割れば，

1
Jx = − [N (x + dx) − N (x)]/(Adt),
2(8.3.2)で与えられます。式 (8.3.2) を変形すると，[][](dx)2 N (x + dx) N (x)D
Jx = −−=−c(x + dx) − c(x) ,
2dtdx
Adx
Adx
dx

(8.3.3)となります。ここで，c(x) = N (x)/(Adx),(8.3.4)な濃度（数濃度）であり，D は拡散定数

D=

(dx)2
,
2dt

(8.3.5)

8.3 拡散現象

97です。したがって，流束 (8.3.3) は

Jx = −Ddc,
dx(8.3.6)で与えられます。流束は濃度勾配に比例します。この関係式をフィックの第１法則とよびます。

図 8.4

流束の意味

図 8.4 に示すように，濃度が c1 と c2 の dx 離れた２点間で左の方向に粒子が流れる場合，流束は

c2 − c1,(8.3.7)dx
であたえられます。流束の単位は [mol · m−2 · s−1 ] です。dx が十分小さいとき微分の形 (8.3.6) で
Jx = −D書けます。

8.3.2 拡散方程式

図 8.5

拡散の意味

流束を使って粒子の運動についての微分方程式を考えることが出来ます。図 8.5 に示したように，面積 A の領域を左から右へ粒子が流れているとき，点 x での流束 Jx (x, t) と点 x + dx での流束 Jx (x + dx, t) を考えましょう。点 x での粒子数は Jx (x)Adt であり面積 A の領域を左から入り
右に出ていきます。箱の体積は Adx です。粒子数は保存されるので，箱の中の単位体積当たりの
粒子数は

(
)
−1 Jx (x + dx)Adt Jx (x)Adt
1[c(t + dt) − c(t)] =
−
dt
dt
Adx
Adx
−1
=
[Jx (x + dx) − Jx (x)],dx(8.3.8)98

第 8 章 輸送現象
で変化します。dt = 0, dx = 0 の極限で，この式は

∂c
∂Jx
=−
∂t
∂x

(8.3.9)

∂c
∂2c
=D 2
∂t
∂x

(8.3.10)となり，式 (8.3.6) を使って，が得られます。この式はフィックの第２方程式であり，拡散方程式とよばれています。これは，位置 x と時間 t における粒子の濃度 c(x, t) の時間変化（左辺）が，濃度の曲率 (右辺）に比例することを意味し，その比例定数が拡散定数となります。この拡散方程式の解は

[
1
x2 ]
,
c(x, t) = √
exp −
4Dt
4πDt

(8.3.11)で与えれます。この式は，分子の拡散の様子を示すことができる。例えば，水面にインクを落としたときのインクの拡散過程がこの式で表される。図 8.6 はある拡散定数 D の時の，粒子濃度 c の
時間発展を示します。t = 0 で中心にあったインクの粒子が時間とともに周囲に拡散していることを示しています。十分時間が経つと (t = t2 )，インクの濃度は均一になります。

図 8.6 粒子濃度の拡散

8.4 補足8.4.1 単位
• 粘度 (η) の単位：[P a · s] = [N · m−2 · s]

8.5 演習問題
1. リゾチーム分子の緩和時間と，拡散定数を求めましょう。
(a) 温度 T = 300[K] で水中のリゾチーム分子の緩和時間と，拡散定数をもとめてください。
ただし，水の粘度は η = 8.9 × 10−4 [P a · s], リゾチームの分子量は m = 1.4 × 104 [g/mol]，
リゾチームの直径は R = 100[nm] です。計算には MKSA 単位系を用いて計算すること。
求めた緩和時間を用いて，リゾチームの運動の様子を議論してください。

8.5 演習問題(b) 温度 T = 400[K] で水中のリゾチーム分子の緩和時間と，拡散定数をもとめ，運動について議論してください。温度 T = 300[K] の運動と比べて議論してください。

99