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日本惑星科学会誌Vol. 33, No. 2, 2024

「みつめる，みつもる」
その2〜ダスト光学特性をみつもる〜
田崎 亮1，2
2024年1⽉30⽇受領，査読を経て2024年4⽉22⽇受理（要旨） ダストは熱放射や散乱光によって輝く．我々はその輝きを頼りに宇宙における固体物質の形成と進化を探る．観測される光に刻まれたダストの大きさ，内部構造，化学組成といった情報を読み解くにはダストの光学特性の理解が必須である．本稿ではダストの光学特性の物理過程をシンプルに整理し，それらの視点から非球形ダストの光学特性の室内実験・数値計算の結果を読み解くことを目指す．

1. はじめに

誌論文では詳細と見做され省かれてしまう「隙間」の部分を掘り下げ，まとまった解説記事として学会誌と筆者は原始惑星系円盤のダスト（固体 微 粒子）のいう媒体で世に送り出す ”ということである．そこで研究者である．惑星の種であるダストはどのように連載第2回にあたる本稿では，ダスト光学特性の見惑星へと成長するのか，ダストの組成・物性はどのよ

積もりをテーマにその背後にある物理過程をなるべ

うなものか，そういった謎の解明を目指している．こくシンプルに整理・言語化してみたい．そして，非球れらの謎を解く有力な手がかりとなるのは，望遠鏡

形ダストの光 学 特 性に関する室内実 験や数値計 算で観測される原始惑星 系円盤のダストの熱放 射やの結果がシンプルな見積もりの観点から理解できる

散乱光である．光に刻まれたダストの情報を読み取ことを示す．ところで，「特に初学者に向けた記事でるためにはダストと電磁波の相互作用，つまりダスト

非球形ダストの問題を扱うのは無謀」と思われる方の光 学 特 性の理 解が 必 須である．このダスト光 学もおられるかもしれない．確かに，ダスト光学 特性

特 性というトピックは原始惑星 系円盤に限らず，惑

入門の定番は「滑らかな表面を持つ一様球」である．

星科学・天文学に広く関連する重要な物理過程であしかし，滑らかな一様球という“特殊な系”に対象をる．元々の動機に加え，その広い応用先に魅力を感絞ると，光とダストの相互作用の本質を見過ごす場

じ，筆者はこれまでダストの光学特性に関する研究

合がある．非球形な系を扱うからこそ見える景色がを行ってきた．

ある．本稿ではそれをお見せしたい．

本連載「みつめる，みつもる」の狙いは，連載開始

第2 節では，複素屈折率といった光 学 特 性にお記念座談会 [ 1] によると“ ( 1) 幅広い研究分野の読ける重要な概念を復習するとともに，本 稿で扱う各者，特に初学者に向けて「研究の中に出てくる数字やテーマの全体像を俯瞰する．続く各節はそれぞれで数式の感覚（ 見積もり）」を言語化して共有する，( 2)

完結しており，興味がない節は読み飛ばしていただ

教科書に載せるには具体的過ぎてそぐわないが，雑いて構わない．第3節ではダストの赤外線吸収スペク

1.グルノーブル・アルプ大学
2.東北大学
ryo.tazaki1205@gmail.com

トル，第4節で小石の光反射，そして第5節でダスト集合体（アグリゲイト）の光散乱を扱う．

「みつめる，みつもる」
その2 〜ダスト光学特性をみつもる〜／田崎

2. 物質中の電磁気学のおさらい

145

り，電場は次の波動方程式に従うことがわかる（磁場についても同様）．

ダストに電磁波が入射すると，ダストの大きさや形状，物性に応じて電磁波の吸収や散乱が起こる．
ダスト光学特性を理解するとは，物質周りの電磁気を用いた 1．ここから一様媒質中を伝現 象を理解することに他ならない．ここでは電磁気

ここで学の復習も兼ねて，ダスト光学特性における特に重播する平面波の分散関係要な概念である複素屈折率とサイズパラメータを導入し，第3 節以降で扱う光学現象を概観する．
S I単位系における物質中のマクスウェル方程式はが導かれる．ここで真空中の波数

次のように与えられる[2]．

と真空

を用いた
（ : 真空 の誘 電

中の 光 速を比誘電率と呼ぶ．複素屈折率）．

率mは比誘電率を用いて次のように定義される．

比誘電率と複素屈折率の実部・虚部の関係を書き下
E，
H は電場，磁場，D，
B は電束密度，磁束密度，ρF，すと[2]は電荷密度，電流密度である．各物理量は物質内部の各点における平均的な（空間的に粗視化した）値
次に，ダスト光学特性を特徴づけるもう⼀つの重を表す．電磁場と物質との相互作用は要な量であるサイズパラメータ を導入する．ダスト
半径を とすると，サイズパラメータはから決まり， は電気伝導度， は誘電率， は透磁で定義される．光学特性分野で「ダストが大きい・小率である．本稿全体を通して物質の磁性は無視する

さい」などと基 準を示さずに言う場 合のほとんどは:真空の透磁率）．

（

波長と比べたときの大小，つまりまずマクスウェル方程式から複素屈折率を導入し

を指してい

る．

よう．簡単のため， ， が空間的に一様であるようなダストの 光 学 特 性は複 素 屈折 率とサイズパラ

媒質中を伝播する平面電磁波を考える．ある時刻t，

メータ を用いて，表 1のように大まかに分類するこ

位置 において，角振 動数 を持つ平面波の電場をとができる（より網羅的な図はたとえば 文献 [ 3] ののように複素数を用いて表そ

Fig. 20を参照）．ダストに入射する電磁波のエネル

う． は媒質中での波数ベクトルである．測定可能

ギーは吸収される成分と散乱される成分に分配されな物理量としての電場の値を求めたい場合にはこのるが，その内訳は，小さなダストでは吸収，大きなダを取る．複素電場を用いると式（4）の右

ストでは散乱が卓越する傾向がある．そこで本 稿の

実部
辺は

前半
（第3節）では小さなダストによる電気双極子吸収を議論する．本 稿の後半では大きなダストによる散乱を議論する．また，大きなダストにのように書き換えることができ，を複素誘電率と呼ぶ．式（8）とマクスウェル方程 式よ1

複素誘電率を用いて式（4）
は辺の発散をとり，一様媒質であることから

スの法則
（式1）
より

．

と書けるので，両
よって，ガウ146

日本惑星科学会誌Vol. 33, No. 2, 2024

表1： ダスト光学現象の大まかな分類と本稿で扱う内容．

ダストサイズ<波長+‒

ダストサイズ~波長

よる散乱は，粒子内部・外部を通過した二つの平面が 1より大きいか波間に生じる位相ズレ

小さいかによって性質が変化する[ 3]．第 4 節では大きなダストによる幾 何光 学的な散 乱を扱い，第5節では大きなダストによる波動光学的な
を扱う．

散乱

3. 小さなダストによる光吸収
ダストによる光の吸収はなぜ重要なのか．ひとつにはそれが熱放 射を決めるからであろう．ダストの

+ ‒
‒ +

図1：電磁波中におかれた球形ダスト．灰色の線は電場の振動を表す．
（上）準静電近似が想定する状況．波長がダストに比べて十分長く，電場はダスト領域にわたって空間的に一様であるとみなせる．このときダスト内部に電気双極子モーメントが生じる．
（下）
準静電近似が破綻する例．電磁波の波長が相対的に短く，ダスト内部に高次の多重極モーメント（この場合は四重極モーメント）が生じる．

る．これは，空間的に一様な電場がで時間変動するという近似である（図1）．そこで，準静電近似のもとでダストによって吸収される電磁波のエネ
ルギーを見積もってみよう．

昇華温 度は高くともせいぜい2000 K 程度であるため，ウィーンの変位則を考えれば，ダストの熱放射は
およそ

3.1

で観測されることになる．必然的に電場がする仕事

準静的な外部電場中に置かれたダストはその内

赤外線や電波といった波長帯が熱放射観測の主戦部に電気 双極子モーメントを生ずる（図1）．外 場は場になる．ある温度 ，粒子半径 のダストからなる

時々刻々と変動し，双極子モーメントを絶えず揺り動

光学的に薄いダスト層を考える．視 線に沿ったダス

かす．このとき電場が双極子モーメントにした仕事のとすると，ある波長 で観測され分だけ電場がエネルギーを失う．そこで，電場が双ト層の柱密度をるダスト熱放射の放射輝度

は極子モーメントにする（正味の）仕事の観点から吸収断面積を見積もってみよう3 ．
単 位体 積 当たりの 電 気 双 極 子 モ ーメント （分4にダスト内 部 の 電 場
極と呼ぶ）

はプランク関 数，

で 与えられ る[4]．ここではダストの吸収 断 面 積である．左 辺が 観測量であり，それはダストの温度やダストの吸収断面積に依存する．もしダストの温度が輻射平衡か
ら決まっているなら，温度もまた吸収断面積に依存する．このように，熱放射の観測解釈には吸収断面積の理解が不可欠である．では，ダストのどのような性質を反映して吸収断面積が決まるのだろうか．
それが本節のテーマである．
本節では観測波長と比べて粒径の十分小さいダス
トに対 象を絞ることにする2 ．このようなダストの電磁気 現 象は準静電 近似を用いて調べることができ・が する 仕 事 率 はである．今知りたいのは瞬間の仕事2

ここで「十分小さい」とは，ダストの吸収断面積が電気双極子近似から求まる場合を指す．球形ダストの場合，この条件は具体的にと近似的に書け，一つ目の条件は双極子近似の条件，二つ目は変動する磁場が誘導する渦電流（磁気双極子）が無視できるための条件である[5]．
3
正確には，電場がする正味の仕事の一部は双極子放射（散乱）に使われるため，吸収断面積ではなく減光断面積の見積もりと呼ぶべきである．ただしの場合，(減光)≃(吸収) と近似できる．
4
ここでは意図的に微視的な（たとえば各原子レベルの）電気双極子モーメントではなく，分極という巨視的な量を考えている．これは，微視的な双極子が感じる電場（局所場）と粒子内部の平均的な電場（巨視的電場） は一致しないことと関係している[6]．本節
では誘電率という巨視的な視点で定義される物性値を扱うため，
巨視的電場や分極を考えるのが自然である．

「みつめる，みつもる」
その2 〜ダスト光学特性をみつもる〜／田崎Pσpol = −P

Epol

147

3. 2

σpol = +P

誘電分極とダストの内部電場

吸収断面積を求めるためにはダスト内外の電場のa2b関係を求めなければならない．一般に，ダスト内外の電場は誘電分極電荷が作る電場の影 響で等しくならない．分極電荷の影響を調べるために，図2に示

図2：軸に沿って一様な分極 を持つ半径 ，長さ
円柱の両端に電荷面密度の円柱誘電体．

が生じる．

柱の中心に作る電場率ではなく，電磁波の振動周期に比べて十分長い時
間で平均をとった正味の仕事率である．そこで，単位体積当たりの仕事率の時間平均

すような半径 ，長さ の円柱を考え，分極電荷が円を求めると，

円柱は，静的な外 場の値を見積もってみよう．
によって軸に沿った分極を持ったとしよう．分極の向きと円柱の側面は互いに平行なので，側面に分極電荷は現れない．分極
電荷は円柱の両端に生じ，電荷面密度はそれぞれである．円柱が細長い場合，分

極電荷が円柱の中心に作る電場は，中心から距離を得る．ここでとはに比例し，時間平均の結果ゼロになることを用いた．線形応答のの二つの点電荷が作るだけ離れた，電荷量

電場とみなせる．したがって，範囲において電場と分極はという比例関 係を満 たす．右辺の電 場

は外 場 の，中心での電場は電荷円柱が円盤状の場合で帯電した2 枚の平板が作る電場とみ値ではなく，ダスト内部の電場であることに注意し

面密度

よう．ダスト内部で電場 が一様だとすると 5 ，体 積

なせる．平板間の電場はガウスの法則から，のダストに対して電場がする仕事率の時間平均値
は，式（16，17）より，である．式（20, 21）を次の形でまとめてみよう．
を用いた．比誘電率が波長に依

ここで存しなければ， 吸収 量は に比例することがわかる．外部からダストに流入する電磁波のエネルギーフ

ここで は 電 場に沿って円 柱 がどれだけ伸 長してラックス（ポインティング・フラックス）の時間平均はいるかを反 映して決まる無 次 元 係 数 である． はであるので，

と

の比を求め

ると，

ダストの 形 状を特 徴 づ ける量といっても良いだろの場 合はそれぞれう．

である．軸比的に変化させると，係数，をゼロから無限大まで連続
はの値を取ることが予想できる．なお，一様球の場合はここでは単位時間当たりのエネルギーの次元，

は単位時間・単位面積当たりのエネルギーの次元を持つので，

は断面積の次元を持っている．こ

誘電体内部の電場
る電場

は外 場

式
（23）を について解くと，一様球や一様楕円体の場合，これが正確に成り立つ．

と分極電荷が作の合計なので，式（22，17）より，れが吸収断面積と呼ばれる量である．

5となる[2]．

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日本惑星科学会誌Vol. 33, No. 2, 2024

ダストのSEM写 真（左 図．玉内朱 美 氏 提 供）とその 赤 外 線 吸 収スペクトル の 測 定 結 果（Database of Aerosol
図3：スピネルSpectra for Cosmic Dust より）（右図）[7]．SEM写真上の黒いドットの直径が約0.5に相当する．右図には球形ダストモデルと2種類の不規則形状ダストモデルの赤外線スペクトルを示した．これらのモデル粒子は波長に比べて十分小さく，同一の粒子体積・比誘電率を持つ．点線はContinuous Distribution of Ellipsoids(CDE) と呼ばれる解析的なモデルの結果を表す．モデルの値は球形モデルのピー
ク値が1になるように規格化した．実験値は非定量測定であるため，ここでは波長11におけるモデルの平均値で規格化している．なお実

験スペクトルは，左図SEM写真にあるように様々な形状の粒子がガスセル中に浮遊している状態で測定されたものであり，1粒子に焦点をあて測定されたものではない．

屈折率の実部の3乗に反 比例することがわかる．つまりを得る．これでダスト内外の電場の関係が求まった．
これを式（19）に代入するとが大きいほど吸収は小さくなる．たとえば，理想的な導体はのとき，,の屈折率を持つ．こから無限に大きな吸収が起こるように思われるかもしれない．しかし，実際には分極電荷が外場を遮蔽する効果の方が強く，吸収断 面 積はゼロになる．これは導 体 内部に電 場は存を得る．式（25）は一様楕円体の吸収断面積の公式として知られるものである[2]．これにを代入す

ると小さな一様球の吸収断面積の公式も得られる．
分極電荷が作る電場が外 場に比べて無視できる場合，式（25）より在しないというよく知られた性質を反映している．また，の依存性によってダストが電場に沿って細長くなるほど吸収断面積が増大する．たとえば，扁平
ダストの⻑軸と短軸では⻑軸に沿って電場が印加された⽅が吸収断⾯積は⼤きい．天文学では磁場に整列したダストの偏光観測から磁場構造を測定する手法があるが，これは扁平ダストの長軸・短軸方向の

この場合，吸収断面積は比誘電率の虚部，波数，体吸収断面積の差を利用したものである．

積から決まり，ダスト形状の効果（ の依存性）は無視できる．一方で，分極電荷が作る電場が無視でき
ず

，かつ，

の場合は

3. 3

ダストの赤外線フィーチャー

惑星科学的な応用として，スピネルの非球形ダストの赤外線吸収スペクトルの実験結果について考察してみよう．図3にスピネルダストの赤外線吸収 スペクトルの測定 結果 [ 7] を示した . 併せて球
ここで式
（12，13）を用いた．ここから吸収断面積は形ダストモデル（式 25にを代入したもの）の

「みつめる，みつもる」
その2 〜ダスト光学特性をみつもる〜／田崎

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結果も示した．球形モデルと測定値を比べると，吸収ピーク強度・位置・幅のいずれも顕著な違いがある
ことがわかる．なぜこのような違いが生じるのだろう
か．これはダストの形 状効果から説明できる[8]．図4にスピネルの比誘電率 [9]と式（25）から求めた吸収スペクトルを示した．図4から明らかなように，吸収ピーク位置は比誘電率の虚部 のピーク位置と一致（25）
せず， の値に依存する．これは吸収ピークが式の分母がゼロに近づくとき，つまりを満たす波長で生じているためである 6 ．係数 は1以下なので，この条件はで満たされる可能性がある．このとき吸収断面積はの赤外線波長における比誘電率（上図）
図4：スピネルと様々な の値での吸収スペクトル（下図）．吸収スペクトルは
球形ダストモデル（
うに規格化している．

，紫破線）のピーク値が1 になるよとなり，比誘電率の虚部の値が小さいほど（！）より大きな吸収が起こる．このようにダストの形状を表す

ズレ が小さいI r reg u la r Gra in 1とズレ が 大きい

係数 は共鳴波長や共鳴の強さに影響し，赤外線のI r reg u la r Gra in 2）を作成し（図3 参照），その形

吸収 スペクトルフィーチャーの形成において重要な状分布関数を文献 [ 10] の手法から求めたものを図 5

役割を担う．

に示す．さらに式（30）を用いて，これらの吸収スペ

では，具体的な の値について考えてみよう．既にクトルを図3に示した．不規則形状ダストのモデルはである．三測定された吸収 スペクトルの特 徴をよく再現してい軸不等の楕円体ダストの場合は，3つの主軸に対応

ることがわかる．ところで，図 5に示したI r reg u la r

述べた通り，球形ダストの場合はして3つの の値を持つ．では不規則形状ダストの場

Gra in 2 の形状分布関数は合はどうなるだろうか．実は，任意の形状・任意の向数で近似できそうである．このとき，式（30）の積分きを持つ十分小さなダストの吸収断面積は，回転楕

は解 析的に実 行でき，この 解 析 解はC ont inuous

円体の吸収断面積の重ね合わせ（つまり様々な のD ist r ibut ion of El l ipsoids ( CDE ) モデルとして値の重ね合わせ）として表現できることが知られてい知られている[ 2]．C D Eモデルも測定 結果の特 徴をる[ 10]．つまり，不規則形状ダストの吸収断面積をよく捉えている（ 図 3）．ただし，図 5に示した形 状分を用いて

布関数は多様な形 状の可能 性のごく一 例に過ぎな値の確率分布関数（形状分布関数）という関いことを強調しておこう．CDEが任意の非球形粒子に対して普遍的に成り立つ必然性はない．
これにて小さなダストによる電気双極子吸収の議のように表すことができる．より具体的に調べるため論を終える．ダスト形 状を一様球に限定しなかったに Gaus sia n R a ndom Sphere [ 11] と 呼 ば れ る

ことで，一様球の議論で見落とされがちな形状効果手法を用いて2 種 類の不規 則形 状ダスト
（球 からの（ 依存性）の性質を垣間⾒ることができたと思う．
（

形状効果は特に，
6

これは，分極電荷が作る電場によって駆動される固体電子のプラズマ振動と外部電場の振動の間の共鳴とみなすことができる．

とすれば

や

である

の場合に重要になることがわかった．小さなダストの吸収はバルク物質

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5

Spherical Grain
Irregular Grain 1 (GRS = 0.1)
Irregular Grain 2 (GRS = 0.3)
CDE

4
f(L)

3
500 µm2

Credit: Muñoz et al., 2020, ApJS 247, 19. “Experimental Phase Function and Degree of Linear
Polarization Curves of Millimeter-sized Cosmic Dust Analogs”. DOI: 10.3847/1538-4365/ab6851

100.0

図6：大きさ約1 cm弱（体 積等 価半径~2.8 mm）の天然の小 石

0.2

0.4

L

0.6

0.8

1.0

（MgFeAlSi）（左）とその表面のSEM写真（右）．Granada–

Amsterdam light-scattering database [13, 14] を改変．

図5：図3に示した球形ダスト・2種類の不規則形状ダストモデルの形 状 分布関数．点線はCDEモデルの形 状
分布関数[2, 10]．

スしや すいといえる．図 6は直径1 cm 弱の天 然 の）である．文 献 [14] は可視 光 の 光 源

小石（のそれとは様々な点で本質的に異なっており，これ（ = 520 nm）を用いて，この小石による散乱光を測こそ微粒子光物性の物理の醍醐味といえよう．

定する実験を行った．では，この小石の光散乱特性

4. 小石の光反射
第3 節で議論した熱放射と並んで重要な観測量がの理論モデルを作りたいと思ったときに，小石を滑らかな一様球で近似しても構わないだろうか？問題があるとすればそれは何か．これを見積もってみようというのが本節のテーマである．

散乱光である．散乱光は惑星科学・天文学のさまざ

具体 的な見 積もりに進む前に議論の仮定を述べ

まな場面で登場する．反射星雲・星周円盤・黄道光・ておこう．ここでは粒径が波長に比べて十分大きく，,

彗星の尾・大気中のダスト. . . etc．夜空に浮かぶ月のを満 たす 場 合を考える．つま輝きすらも月表面の粒子による散乱光である．このより，小さな粒子を扱った前節とは全く逆の極限に対うに惑星科学では数々の光散乱現 象に出くわすが，応する（表 1）．こうした粒子の光学現象は幾何光学

その多くで，波長に比べて大きな粒子による光散乱

近似を用いて調べることができる．さらに本節では，が問題になる．ところが，数値計 算の観点から見る

吸収が十分大きい（と，このような問題はなかなか難しい．波長に対して物質の吸収係数）場合に対象を絞ることにする．こ粒子が大きくなるほど計算は困難になる上 7，境界条のとき，透過光や粒子内部で生じる反射光は吸収に

件（粒子形状や表面粗さのモデル）の妥当性といったよって速やかに減衰し，散乱の寄与として粒子表面

悩ましい問題も付きまとう．

での反射と回折を考えればよい．図6に示した小石の

しかしふと思うと，われわれが日常生活で目にす

吸収係数の逆数はる光 散乱現 象は，その多くが波長に比べて大きなを満たしている．

．ここではであり，これらの条件

物体による散乱である．たとえばその辺りに転がっている石ころを見つめると，それによる可視光の散乱を観察できる．つまり，このようなパラメータ領域
は数値的には困難だが，実 験 的には比較的アクセ
7
マクスウェル方程式を正確に解く数値計算法を用いて，波長と同程度のsubstructureを持つ粒子の光散乱を解く場合，サイズパラメータ~150–300が現状の限界である[12]．これは可視光（λ =520 nm）
で換算すると粒径〜12.4–24. 8 μmに相当する．

4.1

滑らかな球形粒子による光散乱

最も簡単なケースとして滑らかな表面を持つ球形粒子による反射・回折から始めよう．準備として散乱の角度依存性を表現する諸 量を導入しよう．エネル
ギーフラックス
単位時間にを持 つ平面波 が 粒子に入 射し，のエネルギーが立体角

たとしよう（図7）．このとき

は

，

に散乱され
に比例する

「みつめる，みつもる」
その2 〜ダスト光学特性をみつもる〜／田崎

ので，

を

151

は

間・単位立体角当たりの反射光のエネルギーと表そう．比例係数に相当する部分は単位

立体角当たりの面積の次元を持っており，微分散乱

ここからフレネル反射の散乱強度分布

は断面積と呼ばれる．微分 散乱断面積を全ての散乱方向について立体角積分した量は散乱断面積と呼ばれる．散乱断面積は，散乱体の中心の周囲のどのを用い範囲に入射光が入れば，適当な別の方向に散乱されここで入 射 角と散 乱角の関係て出ていくかを表す目安を与える．この意味で，散乱た．球表面では反射光だけでなく，回折光も生じる．

断面積は，入射光の立場から見た散乱体の実質的天下り的ではあるが，球形粒子の回折光の散乱強度な大きさだと解釈することができる．さらに，微分散分布は乱断面積に波数の二乗をかけて面積の次元を無次元化した次の量が 散 乱 強 度 の 角度 依 存 性を 表 す 量として光 散 乱
業界でよく利用される 8 ．以降，を散 乱 強 度（角と書ける[ 15]．ここでは1次のベッセル関数であ度）分 布と 呼 ぶ．仮 に 散 乱 が 等 方 的 で あり， 粒り，式（38）は経験的な近似関数である．以上より，大子 の 散 乱 断 面 積 が 幾 何 断 面 積 程 度 で あ れ ば，

きな粒径および吸収をもつ球形粒子による散乱は

より，

となる．

滑らかな表面を持つ球の散乱強度分布を求めてみよう．滑らかな表面による反射は鏡面反射になり，ある方向に散乱される光は，ある特定のインパクトパ

から見積もられる[ 3]．たとえば，ミー理論を用いて

ラメータ（あるいは特定の入射角 ）を持って粒子に入本節が想定するような大きな球形ダストの散乱を計射した光線に限定される（図7）．入射角の幅算すると，その散乱強度分布は式（39）でよく近似でに対応する球 表面の微 小面積要素
当たりに流入するエネルギーは

に単位時間
である．

きる．
式
（39）と本節冒頭で紹介した小石の散乱光の測反射率は，球が波長に比べて十分大きければ，平滑定結果を比較してみよう（図9）．測定結果を⾒ると，な面による反射（フレネル反射）から求めれば良いだ

散乱⾓が⼤きくなるにつれて徐々に散乱強度が増加

ろう．そこで入射角 のフレネル反射の反射率をしていく「後方散乱の立ち上がり」と呼ばれる傾向がとすると，単位時間当たりにエネルギーによって反射されるはみて取れる[ 16]．一方で，滑らかな表面を持つ球形ダストによる散乱（式 39）には後方散乱の立ち上がりは現れない．まず，式（38）より回折の成分は の単調減少関数である（図9：点線）．そしてフレネル反射もが大きくなるほど暗くなる（図9：一点破線）．この傾

ここ でを 用 い た．入 射 角 の 幅に 対 応 する 反 射 光 が 占 め る 立 体 角 はである（図7）．ここで観測者は球から十分離れているものとした．よって，単位時
8

添え字「11」は， が散乱行列（scattering matrix）
の
（1,1）
成
分に位置することに由来する[2]．

向は次の考察からも理解できる．後方・前方方向に反射される光の強度比を求めると，

152

日本惑星科学会誌Vol. 33, No. 2, 2024

ここで，粒子表面の反射面に平行に光が入射する時：図 8），粒子内部に侵入する光は存在しな（いので反 射率であることを用いた．

反射率の定義から式（40）の最右辺は常に1以下である．つまり，後方散乱が前方散乱より明るくなることはない．
以上より，滑らかな面を持つ球による反射・回折では後方散乱の立ち上がりを説明できないことがわかった．では，後方散乱の立ち上がりはどのように起こるのか．それを次で明らかにしていく．
4. 2

粗い球形粒子による光散乱

ここまでの議論の最大の仮定の一つは粒子表面が理想的に滑らかであり，その結果として鏡面反射が起こっている点にある（図8）．しかし，図6のSEM写真
からもわかるように，実際の小石の表面は滑らかではない．滑らかでない面に光が入射すると，反射光は鏡
面反射のようにある特定の方向に進むのではなく，いろいろな方向に散らばる拡散反射が起こる（図8）．反射光の明るさが反射面を見込む角度に依存しない場
合を特にランバート反射と呼ぶ 9．それでは球形粒子

図7：滑らかな表面を持ち，大きな吸収を持つ球形粒子による散乱の概念図（上）とその拡大図（下）．この場合，散乱はフレネル
反射と回折から決まる．

の表面が “粗く”，反射がランバート反射で記述できる
場合の散乱強度分布について考えてみよう．
I
まずランバート面で反射された光の放射輝度（単位時間に単位面積から単位立体角に放 射されるエネルギー）はである．ランバート反射の定義から は定数である．
面積要素

図8：鏡面反射(a)と拡散反射(b)の模式図．鏡面反射の場合，入射角 iと反射角eは等しい．拡散反射の場合，e≠iとなる反射
角でも反射光が観測される．

は各反射光線の進行方向に対して垂直な向きであることに注意する（図 8）．入射したエネルを反射すると仮定すると，球形粒子の表面輝度分布

ギーが全て反射されるとすると，エネルギー保存かとして図9（ 上）を得る．月の満ち欠け，もとい小石のとなる[ 15]．反射角 を用いて（図

満ち欠けの様子が見て取れる．このとき，後方散乱ら8），式（41）を反射面（粒子表面）に沿った面積要素
当たりに変換するとに向かうほど散乱光が明るくなるのは定かである．式（42）をについて積分 10 すればこからが 計 算できる．積分は解 析的に実行できが求まり，こ[ 15]，球形粒子による拡散反射の散乱強度分布
球形粒子表面の微小面積要素が式（42）に従って光9ランバート反射は，太陽系内の天体の反射率を表す際によく用いられる幾何アルベドの定義でも登場する重要な概念である[15]．

10

積分は球の日向になっている領域で行う．

「みつめる，みつもる」
その2 〜ダスト光学特性をみつもる〜／田崎

153

を得る．
現実的な反射では，鏡面反射と拡散反射がある
割合で同時に生じるだろう．そこで少々荒っぽいが，次のようにランバート反射と鏡面反射を適当な重みで足し合わせた次のようなモデルを考えてみる．

式（44）を図9に示した 11．図9をみると，後方散乱に向かって回折やフレネル反射の成分は減少する一方で，拡散反射の成分が卓越する様子が見て取れる．
また，拡散反射モデルは測定された後方散乱の立ち上がりをよく再現している．以上の結果から，後方散乱の立ち上がりには粒子表面の拡散反射的な振る舞いが深く関係していると考えられる．もし月が滑らかな表面を持つ球体であったなら，月の満ち欠けのような現象は拝めなかっただろう．
これにて小石による光反射の議論を終える．本稿ではランバート反射という拡散反射の詳細に立ち入らないモデルを用いたが，その適用範囲や妥当性をランバート反射モデルに基づく球形粒子の満ち欠けの図9：(上図）様子．
（下図）図6に示した小 石の可視光散乱角度分布の測定値[13, 14]（θ= 30°で規格化）と我々の見積もりモデル（式
44: 粒径2.8 mm，波長520 nm，f L= 0.7, m = 1.6 + 0.02i）の結果（点線，破線，一点破線はそれぞれ回折，拡散反射，フレネル反射の成分を表す）．小石の測定値は，小石の向きを
入射光に対して様々に傾けて平均をとったものである．

検討するには反射の微物理を掘り下げていくことが重要である．太陽系内天体の観測分野では，物体表

フラクタルアグリゲイトはダストの合体成長によって面での拡散反射を輻射輸送論の観点から近似的に自然に形成され，分子雲コア・原始惑星系円盤，惑

扱うH apkeモデルがよく知られている[ 15]．

星・衛星大気をはじめとする様々な環境に存在すると考えられている．また，アグリゲイトの光散乱問題は5. アグリゲイトによる干渉性散乱

彗星塵の散乱光モデリングの文脈でも長年にわたって詳しく調べられてきており[ 18]，ロゼッタ探査機に最後に，大きなダストによる散乱が波動光学的なよる67P 彗星でのフラクタルアグリゲイトの発見 [ 19]性質によって決まるケースを紹介しよう（表 1）．このも記憶に新しい．この一見複 雑な形を持つアグリゲ

ようなケースが惑星科学における応用上とくに重要

イトによる光散乱を見積もってみようというのが本節になるのは，フラクタルアグリゲイトの光学特性であのテーマである．

る．まずアグリゲイトとは，図10bのように微粒子（モノマー）が集まって出来た集合体のことである．特う．ここではサイズが大きく

，

となるア

の関

グリゲイトを考える．これは，視線方向にモノマーが係があるものをフラクタルアグリゲイトと呼ぶ．ここほとんど重ならないような「スカスカ」な構造をもつ場

はフラクタル次元と呼ばれ，アグリゲイトの構造合を考えるという意味である（図12も参照）．このと，き，アグリゲイト内外を通過した平面波の間に生じるに，アグリゲイトの質量でと半 径 に見積もりに入る前にいくつかの仮定を述べておこを特 徴 づける量である．たとえば一様 球は
直線鎖のアグリゲイトは
11といった具合である．

測定結果にみられる前方散乱のピークは理論的な回折光の予想に比べて幅が広い．測定サンプル粒子の表面に付着した微粒子の影響が議論されているが[17]，その正確な起源はよくわかっ
ていない．

位相ズレ

は，個々のモノマーが生む位相ズレと同じオーダー，つまり程度であろう．ここではモノマーのサイズパラメー

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日本惑星科学会誌Vol. 33, No. 2, 2024

Df=1.1

SphereDf=1.9（D f = 1.1, D f = 1.9）のランダムな
図11：半径約6.64 μmの2種類向きを持つフラクタルアグリゲイトによる光散乱の数値解[23]（モノマー半径0.1 μm，波長λ = 1.63 μm）とアグリゲイトと同じ大きさを持つ一様球の解（Rayleigh–Gans近似）
の結果
を示した．
破線は式
（55, 56, 57）による見積もりの結果を示す．

光路差があるので，それぞれを通ってきた光には位相差
図10：(a) 2 点で散乱された光の干渉． (b) アグリゲイト内のモノ
マーペアから生じる散乱波の干渉の概念図．

タであり，はモノマーが生む位相ズレであである限

る．モノマーの 位 相ズレがり，アグリゲイト全体による位相ズレも無 視できるを散乱波数ベクトルが生じる．ここでと呼ぶ．

の場合，二つの散乱波がほぼ同位相で合成される干渉性散乱が起こる．逆にの場合，位相が一致しない非干渉性散乱が起こる．
散乱角を とすれば，

であるの
以内

[20]．さらにこのとき，モノマー間の電磁場の相互作用で，（ 大雑把には）あるモノマーから見て距離も近似的に無視できることが知られている[20, 21]．

に他方のモノマーがあれば干渉性散乱が起こるとい以上の性質を満たすフラクタルアグリゲイトに光が入射すると，各モノマーを中心として散乱波
（球面波）

える．
では，

個のモノマーからなるアグリゲイトによが広がり，それらが互いに干渉して強め合ったり・弱る光の干渉について考えてみよう（図10b）．この場め合ったりすることで最終的な散乱波が形成される

合，各モノマーから見て距離（図10）．このようなアグリゲイトからの散乱光は，モノノマーが存在するかを見積もれば良い．ここで，ある

マー集団の空間的配置が織り成す光の干渉模様といモノマーを中心とした半径えるだろう．以下では「光の干渉」をキーワードにして，をq領域と呼ぶことにしよう．もしq領域がアグリゲ

アグリゲイトからの散乱を見積もってみよう．

イトよりも大きければの範囲に何個のモの仮想的な球形領域，全てのモノマーからの散乱場が同位相で合成される．このとき合成電場5.1

干渉性散乱と非干渉性散乱

最も簡単なケースである2 つのモノマーから生じる散乱波の干渉を考えてみよう（図10a）．2 つのモノ
マーの相対位置ベクトルを ，入射光，散乱光の波数ベクトルをそれぞれ，とする．経路A，Bにはの大きさはモノマー数に比例し，散乱光強度はに比例する．したがって，アグリゲイトの散乱強度分
布（ 定義は式 32 参照）は

「みつめる，みつもる」
その2 〜ダスト光学特性をみつもる〜／田崎

Df = 2.0

155

Df = 1.7

Df = 1.5

V. T. Valencia et al., 2022, A&A 666, A68（左）と散乱強度分布（ S 11）の測定結果[24]．右図は入射波長約2.3
図12：3Dプリンタによって作成された74個のモノマーからなるアグリゲイト
cmにおける結果であり，アグリゲイトの散乱強度分布は，アグリゲイトの向きを入射光に対して様々に傾けて平均をとった結果である．波長2.3 cmという値は１ユーロ硬貨の直径（約2.3 cm）とおよそ等しい．写真中の硬貨の大きさから，各モノマーは波長より小さく，アグリゲイトは波長より大きいことがわかる．図中の破線は式（55，56）による見積もりの結果である．なお，ここで S 11,mono はミー理論から求めた．

と見積もれる．ここでは各モノマーの散乱強度分布である．逆に， 領域がモノマー半径よりも（49）において， を固定してを実効的なモノマー

半径とみなすことで， を，全てのモノマーからの散乱

小さければは非干渉 性散乱になる．このとき電場はランダムな位相を持って合成されるので，合成電場の大きさは・散乱光強度はに比例する．したがって，のように見積もることができる．したがって，アグリ
ゲイトの散乱強度は各 領域からの干渉性散乱による寄与

が非干渉性散乱によって独立に個重ね合わさるので，である．
この2 つの場 合の中間の場合はどうなるだろうか．フラクタルアグリゲイトにはモノマー数と半径 の間に次の関係がある．

以上の結果をまとめると，フラクタルアグリゲイトは自己相似的な構造を持つので，あるモノマーを中心とする半 径 の球形領域には，式（49）より含まれる粒子数と見積もることができる[22]．さらにこれを次のような形に集約しよう．

のように見積もることができる．つまり 領域に含まれるモノマー数はこのを構造因子と呼ぶ． が散乱角に依存することに注意すると，式（55, 56）はアグリゲイトの散乱では 領 域の 数はどの程 度 だろうか．今 度は 式

強度とその角度依存性を与える式になっている．

156

5. 2

日本惑星科学会誌Vol. 33, No. 2, 2024

見積もりv s . 数値計算・室内実験

図11にフラクタルアグリゲイトによる光散乱の数値計算結果[23]を示した．また比較のためアグリゲイトと同じ半径を持ち，かつ，となる一様球を与えていることがわかる．一見複 雑な実験 結果も
以上のような見積もりから理解することができる．
これにてアグリゲイトの干渉性散乱に関する見積もりを終える．本節ではとなる場合を考えたとなる詰まった構造のアグリゲによる散乱解（R ayleigh– Ga ns 解[2]）も示した．さが，現実にはきほどの見積もりの結果とこれらの数値解を比較しイトも存在し，この場合は一般にモノマー間の電磁てみよう．モノマーが十分小さければレイリー散乱の場の相互作用が重要になるため物理は一層複雑とな公式からる．こうしたアグリゲイトの光 散 乱 過 程の 解明は光学特性分野の大きな課題の一つとなっている．

と書け，式（55, 56, 57）から図11の破線を得る．見積

6. おわりにもりの結果は数値計 算から得られたアグリゲイト構

本 稿ではダストの光 学 特 性の概念整理を行いつ

造依存性をよく再現していることがわかる．たとえばつ，シンプルな見 積もりによって非 球形ダストの光であるので，

学特性の室内実験や数値計 算の結果が理解できるフラクタル次元が大きいほど散乱角度分布は急峻にことを紹介した．学会誌としては少々重 厚な内容になる．また一様球に対しては，式（53）の冪乗関係はなってしまったが，若い学生から光学特性に馴染み

式（56）より12になることが知られている ．これを用のある方まで，幅広い層に楽しんでいただける記事

いると一様球の結果についても同様に見積もることになったと自負している．本 稿で述べた視点がダスができる．一様球の散乱角度依存性はアグリゲイトよト光学特性を考察する手助けになれば幸いである．

りもさらに急峻になる（図11）
近年，フランスの研究グループによってフラクタル
アグリゲイトの散 乱強度を定 量的に測定するマイク謝辞

ロ波実 験が行われている[24]．マイクロ波散乱実 験

執筆の機会を与えてくださった瀧哲朗氏，そしては古くからある方法の一つで [25]，粒子と波長の比，初稿において不明瞭だった数々の点をご指摘いただ

および屈折率を同じに保っていれば，同じ散乱現象

いた査読者の武藤恭之 氏に厚くお礼申し上げます．

が起こるという考えに基づく．すなわち屈折率が同

また，実験データを快く提供していただいた玉内朱じであれば，1 μmの粒子による波長 1 μmでの散美氏，Va nesa Tobon Va lencia 氏，Olga Muñoz

乱と，1 cmの粒子による波長 1 cmでの散乱は同じ氏にも深く感謝いたします．そして執 筆にあたってであるとみなすことができる．粒子を大きく作製で有益な助言・議論をいただいた玉内氏，Fra nçois

きる分，その形状の制御は比較的容易になる．文献

Ména rd 氏，Ju l ien M i l l i 氏 に お 礼 申し 上 げ ま[24] は，3Dプリンタを用いてアグリゲイトを“印刷”しす． 筆 者 は t he Eu ropea n Resea rchC ounci l（図12 左），そのアグリゲイトが作る散乱電場を定量( E RC ) under t he Eu ropea n Union’s Hor i zon

的に測定した結果を報告している．図12 右は波長約Eu roperesea rch a nd i nnovat ion prog ra mの測定 結果である．この図に先ほど( g r a nt ag re ement No . 1010 5 3 0 2 0, proje ct

2. 3 cmでのの見積もりの結果を重ねてみると，散乱の角度依存性だけでなく，その絶対値についても悪くない推定12

一様球はであるにも関わらず，構造因子の冪指数がではなく になるのは表面積のスケーリングが関係している．
の場合，アグリゲイトの表面積はであるのに対し，一様球はである．この違いが構造因子のべき指数の違いに現れている[22]．

Dust 2Pla net s) からの支援に感謝いたします．

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著者紹介
田崎 亮
グルノーブル・アルプ大学ポスドク
研究員．京都大学 大学院理学 研
究科博士課程修了．博士（理学）．
日本学術振興会PD，工学院大学
博士研究員，日本学 術振興会海外特別研究員，フランス国立宇宙研究センター（CN E S）フェローを経て，2024 年1月より現職．専門は惑星形成論．