PLUS1 関数と図形
1 ．⑴

8√3￣⑵

3 ．⑴

y＝2√3
￣x⑶ y＝2√3￣x⑶⑷ y＝16√3￣－2√3￣x2 ．⑴

36
─ 秒後
5⑵

81
─
5⑶

9y＝─x²5⑷y＝216－30x⑸

33￣秒後， ─ 秒後
√105説

♪

解1 ．⑴

4 ．⑴

3─
2⑵

1
S＝─t²－8t＋32
2

1
S＝－─t²＋4t－4
2
1
y＝─x²
2⑵

5 ．⑴ （12π，0）
⑶

5 秒後
180°，
（6π，12）60°，300°⑷ （7π＋3，6＋3√3￣）

図のように，2 点 A ， D から辺 BC にそれぞれ垂線 AH，DI を引くと，四角形 AHID は長方形になり，HI＝AD＝4A

また，△ABH

11≡△DCI となるから，BH＝CI＝ ─（BC－HI）＝─×（8－4）＝2224cm

P₂ＤJ4cmP₃

よって，△ABH で三平方の定理より，AH＝√
  AB²－BH²￣￣￣￣￣ ＝√
  4²－2²￣￣￣ ＝√12￣＝2√3￣⑵7⑷ ─，544cm
ＢH

点 P は毎秒 2cm の速さで動くから，頂点 A を出発してからP₄8cm

I K

P₁
Ｃ4 秒後までに，2×4＝8（cm）進む。したがって，AD＋DC＝4＋4＝8 より，点 P は 4 秒後に頂点 C にある（図の11
点 P₁）。このとき，y＝△ABP₁＝△ABC＝ ─ ×BC×AH＝ ─ ×8×2√3￣＝8√3￣（cm²）
22⑵2×2＝4 より，点 P は 2 秒後に頂点 D にあるから，0≦x≦2 のとき，点 P は辺 AD 上にある（図の点P₂）。

11
このとき，AP₂＝2x より，△ABP₂＝ ─ ×AP₂×AH＝ ─ ×2x×2√3￣＝2√3￣xだから，y＝2√3￣x22⑶⑴，⑵より，2≦x≦4 のとき，点 P は辺 DC 上にある（図の点 P₃）。このとき，AD＋DP₃＝2x だから，DP₃＝2x－4，P₃C＝8－2x

図のように，点 P₃ から直線 AD，BC にそれぞれ垂線 P₃J，P₃K を引くと，⑴より△ABH は 3 辺 の 比 が 1：2： √3￣ の 直 角 三 角 形 だ か ら， ∠P₃DJ＝ ∠DCI＝ ∠ABH＝60 °と な り， △P₃DJ，￣￣√3√3△P₃CKは 3 辺の比が 1：2：√3￣x－2√3￣，￣ の直角三角形となる。これより，P₃J＝ ── DP₃＝ ──（2x－4）＝√322√3￣￣√3P₃K＝ ── P₃C＝ ──（8－2x）￣－√3￣x＝4√3221
よって，△ABP₃＝〔台形ABCD〕－△AP₃D－△BP₃C＝ ─ ×（4＋8）
2

11×2√3￣ － ─ ×4×（√3￣x－2√3￣）－ ─ ×8×（4√3￣ －√3￣x）＝12√3￣ －2√3
￣x＋4√3￣ －16√3￣ ＋4√3￣x＝2√3￣x より，
22y＝2√3￣x⑷2×8＝16，AD＋DC＋CB＝4＋4＋8＝16 より，点 P は 8 秒後に頂点 B にあるから，4≦x≦8 のとき，点 Pは辺 CB 上にある（図の点 P₄）。このとき，AD＋DC＋CP₄＝2x だから，BP₄＝16－2x×（16－2x）×2√3￣＝16√3￣－2√3￣xより，y＝16√3
￣－2√3
￣x

1
よって，△ABP₄＝ ─2

2 ．⑴

図 1 で，△ABC は∠B＝90°の直角三角形だから，三平方の定理より，

AC＝√
  AB²＋BC²￣￣￣￣￣ ＝√
  12²＋9²￣￣￣￣ ＝√  225￣￣ ＝15

図1C

2 点 P ， Q が出発してから tP秒後に出会うとする。このとき，2 点 P ，Q が動いた距離の和は△ABC の9cm周の長さと等しくなる。点 P の速さが毎秒 3cm，点 Q の速さが毎秒 2cm だ36から，3t＋2t＝12＋9＋15 が成り立ち，これを解くと，5t＝36，t＝ ─ と5A36なり， ─ 秒後である。
5⑵

BQ H12cm

3 秒間で，点 P は 3×3＝9（cm），点 Q は 2×3＝6（cm）
動くから，3 秒後，点 P は辺 AC 上，点 Q は辺 AB 上にあり，AP＝9，AQ＝6

図 1 で，点 P から辺 AB に垂線 PH を引くと，△AHP∽△ABC より，PH：CB＝3327
AP：AC＝9：15＝3：5 となるから，PH＝ ─ CB＝ ─ ×9＝ ─
55511
よって，y＝△APQ＝ ─ ×AQ×PH＝ ─ ×6222781× ─ ＝ ─（cm²）
55⑶15122 点 P ， Q がそれぞれ頂点 C ，頂点 B にあるのは， ─ ＝5（秒）後， ─ ＝6（秒）後だから，点 P が辺AC 上32を動いているとき，0≦x≦5 であり，点 Q は辺 AB 上にある。図 1 で，AP＝3x であり，△AHP∽△ABC だから，xx
9
PH：CB＝AP：AC＝3x：15＝x：5 となり，PH＝ ─ CB＝ ─ ×9＝ ─ x
5551
よって，AQ＝2x より，△APQ＝ ─21999×AQ×PH＝ ─ ×2x× ─ x＝ ─ x² と表せるから，y＝ ─ x²
2555⑷

図236
点 Q が頂点 B にあるのは 6 秒後で，2 点 P ， Q が出会うのは ─ 秒後だ
5C36から，2 点 P ， Q がともに辺 BC 上を動いているのは，6≦x≦ ─ のときで5Pある。図 2 で，AC＋CP＝3x，AB＋BQ＝2x だから，PQ＝（AB＋BC＋AC）－（AC＋CP）－（AB＋BQ）＝36－3x－2x＝36－5xQ1
よって，△APQ＝ ─ ×2AB1PQ×AB＝ ─ ×（36－5x）×12＝216－30x と表せるから，y＝216－30x2⑸1111△ABC＝ ─ ×AB×BC＝ ─ ×12×9＝54 だから， y の値が△ABC の面積の ─ より，y＝54× ─ ＝1822330≦

3699￣ となり，x＝√10￣ 6≦x≦ ─x≦5 のとき，⑶より y＝ ─ x² であるから，18＝ ─ x² が成り立ち，x²＝10，x＝±√1055533のとき，⑷より，18＝216－30x が成り立ち，30x＝198，x＝ ─536
これは，6≦x≦ ─ を満たすので，適する。
533￣ 秒後と ─ 秒後である。なお，5≦x≦6 のときは，y＝18となることはない。
よって，√1053 ．⑴

図 1 のように，正方形 P を ABCD，台形 Q を EFGH と333
すると，t＝ ─ のとき，正方形 P は右に 1× ─ ＝ ─（cm）移動す444るから， P と Q が重なる部分は，図 2 で影をつけた長方形
33
EFCD となる。このとき，FC＝ ─ だから，S＝FC×EF＝ ─44

図1A2cmB

D，EP2cm C，F4cmHQ6cmGl図23×2＝ ─（cm²）
2⑵AE DBF CH

t＝6 のとき正方形 P は 1×6＝6（cm），t＝8 のとき正方形 Pは 1×8＝8（cm）右へ移動する。図 1 で，BC＋FG＝2＋6＝8 だから，t＝6 のときは点 C と点 G が，t＝8のときは点 B と点 G が重な図3る。よって，6＜t≦8 のとき，図 3 のように，辺 HG と辺 AB のlGEHAIDFH′B

G C

交点を I とすると， P と Q が重なる部分は，影をつけた△IBG となる。点 H から辺 FG に垂線 HH′を引くと，HH′＝2，H′
G＝FGl－FH′＝6－4＝2 だから，△HH′
G は直角二等辺三角形となり，△IBG も直角二等辺三角形である。さらに，
FC＝1×t＝t より，FB＝FC－BC＝t－2 だから，IB＝BG＝FG－FB＝6－（t－2）＝8－t したがって，△IBG＝1111
─ ×BG×IB＝ ─ ×（8－t）×（8－t）＝ ─ t²－8t＋32 より，S＝ ─ t²－8t＋32（cm²）
2222⑶t＝4 のとき，正方形 P は 1×4＝4（cm）右へ移動し，EH＝4 だから，

図44＜t≦6 のとき，図 4 のように，辺 HG と辺 DC の交点を J とすると，

EA H

J

P と Q が重なる部分は，影をつけた五角形 ABCJH となり，正方形F

ABCD から△HDJ を除いた図形である。ED＝FC＝t より，HD＝ED－EH＝t－4

また，△HDJ は直角二等辺三角形

DBl

C G1
よって，
〔五角形 ABCJH〕＝2×2－ ─ ×（t－4）×（t－4）＝211－ ─ t²＋4t－4 より，S＝－ ─ t²＋4t－4（cm²）
22⑷0＜t≦2 のとき，FC＝t より，S＝2t777
よって，S＝ ─ のとき， ─ ＝2t より，t＝ ─ となり，0＜t≦2 だから
2247適する。また，2＜t≦4 のとき，P と Q が重なる部分は正方形 P となり，S＝4だから，S＝ ─ となることはない。
2171
次に，⑶より，4＜t≦6 のとき，S＝－ ─ t²＋4t－4 だから， ─ ＝－ ─ t²＋4t－4，t²－8t＋15＝0，（t－3）（t－5）
222＝0 より，t＝3，54＜t≦6 だから，t＝51
さらに，6＜t≦8 のとき，図 3 で，S＜△HH′
G，△HH′
G＝ ─ ×2277×2＝2 より，S＜2 なので，S＝ ─ になることはない。以上より，t＝ ─ ，5244 ．⑴

図 1 のように，x＝4 のときの△ABC を△A₁B₁C₁ とする

図1A A1と，QC₁＝1×4＝4，PQ＝QC₁＝4 よ り， △PQC₁ は 直 角 二 等辺三角形となるから，∠PC₁Q＝∠A₁C₁B₁＝45°となり，点 P
は辺 A₁C₁ 上の点となる。よって，0≦x≦4 のとき，図 1 のよP6cm△DQC は 直 角 二 等 辺 三 角 形 で，DQ＝QC＝1×x＝x よ り，
111
△DQC＝ ─ ×x×x＝ ─ x² となるから，y＝ ─ x²（cm²）
222S

C C1RD4cm

う に， 辺 AC と 辺 PQ は 交 わ り， そ の 交 点 を D と す る と，△ABC と長方形 PQRS の重なっている部分は△DQC となる。

8cmlB

B14cm
Q xcm
6cm

⑵1⑴より，x＝4 のとき，y＝ ─ ×4²＝8 だから，0≦x≦4 のとき，2

図2A

重なっている部分の面積が 12cm² となることはない。次に，図 2のように，辺 PQ が△ABC の内部にあるとき，辺 AC と辺 PS のS

EP4cm

交点を E とすると，△ABC と長方形 PQRS の重なっている部分は台形 PQCE となる。BC＝6 だから，6÷1＝6 より，このとき

lB4≦x≦6 である。図 2 のように，点 E から直線 l に垂線 EF を引

QFxcm6cm

CR1
くと，FC＝EF＝PQ＝4 より，PE＝QF＝QC－FC＝x－4 となるから，台形 PQCE の面積は，─ ×｛（x－4）＋x｝
2×4＝4x－8 と表せる。よって，4x－8＝12 とすると，x＝5

これは 4≦x≦6 を満たすので，適する。6≦x≦8のときは，y＞12 である。したがって，重なっている部分の面積が 12cm² となるのは，動き始めてから 5 秒後

5 ．⑴

図 1 のように，円が 360°回転したときの点 P は， x 軸上

図1yにあり，OP の長さは半径 6 の円周の長さに等しい。よって，
6OP＝2π×6＝12πより，P（12π，0）⑵O（P）

図 2 のように，点 P の y 座標が最も大きくなるのは，円が180°回転したときである。そのときの点 P の y 座標は 6×2＝12

図2y11
また，点 P の x 座標は円周の ─ に等しいから，12π× ─ ＝6π226

よって，P（6π，12）

O（P）

⑶

図 3 のように，点 P の y 座標が 3 となるのは，2 回ある。

P

図3Pxy

1 回目に点 P の y 座標が 3 となるときの円の中心を O′， x 軸とO′′

6 P′ O′R′の接点を Q′，点 P の位置を P′，直線 y＝3とO′Q′の交点を R′と3

すると，R′Q′＝3 より O′
R′＝6－3＝3，O′P′＝6O（P）Q′

このとき，

xQ′′P′′x￣ の直角三角形となり，∠P′O′Q′＝60°より，∠P′R′O′＝90°だから，△O′P′R′は O′R′：O′P′：P′R′＝1：2：√3円が 60°回転したときである。同様に，図 3 のように，2 回目について，P′′，Q′′，O′′を定めると，∠P′′O′′Q′′＝60°より，円が 360°－60°＝300°回転したときとなる。
⑷

図 4 のように，円が 210°回転したときの円の中心を A ， x

図4y軸との接点を Q ，半径 QA の延長に点 P から引いた垂線を PB とする。∠PAB＝210°－180°＝30°より，△APB は PB：AP：AB
1＝1：2：√3￣ の直角三角形 よって，AP＝6 より，PB＝ ─ AP＝26O（P）

1210°
─ ×6＝3 となり，OQ＝2π×6× ── ＝7πだから，点 P の x 座標は OQ＋PB＝7π＋32360°√3￣×3＝3√3￣，AQ＝6 より，点 P の y 座標はAQ＋AB＝6＋3√3￣210°BPAQx￣PB＝また，AB＝√3よって，P（7π＋3，6＋3√3￣）