Hidden Symmetry and Exact Solutions in Einstein
Gravity
Houri-Yasui

Progress Supplement (2011)(I) Local Metrics Admitting a Pricipal Killing-Yano Tensor with Torsion
Houri-Kubiznak-Warnick-Y.Y

arXiv:1203.0393(II) 数理科学 2011 年 4 月号 「物理学と多様体」
橋本・二木・安井・・・・キーワード：共形キリング・矢野テンソル（CKY）♣ CKY とは
♣ なぜ CKY に注目• CKY は Kerr ブラックホールの “隠れた対称性”• CKY と佐々木多様体• Kerr ブラックホールと佐々木-Einstein 多様体との関連

4-dim. Kerr metric (O’Neill の教科書）
g=−△r (
ρ2dt − a sin2 θdϕ)2+ρ2△rdr 2 + ρ2dθ 2 +△r = r 2 + a2 − 2mr,
m: 質量,sin2 θ (ρ2 = r 2 + a2 cos2 θa: 角運動量

場の方程式の変数分離性:• 測地線方程式, Klein-Gordon 方程式[Carter 1968]• Maxwell 方程式, 重力摂動 [Teukolsky 1972]• Dirac 方程式 [Chandrasekhar 1976]

ρ2)2adt − (r 2 + a2)dϕ♣ 対称性をキリングベクトル場∂t, ∂ϕ だけでは説明できない.

♣ キリング・矢野テンソル f = (fab) :fab = −fba,∇afbc + ∇bfac = 00a cos θ0 −a cos θf = −ar sin θ00−a2 cos θ sin2 θtrar sin θ0θϕ
0a2 cos θ sin2 θ 220r(r + a ) sin θ −r(r 2 + a2) sin θ0(1) Carter 定数 (Walker-Penrose 1970, Floyd 1973)：
C = Kabpapb, Kab ≡ facfb c(2) Klein-Gordon 対称演算子 (Carter 1977):
K = ∇aK ab∇b(3) Dirac 対称演算子 (Carter-McLenaghan 1979):
f = iγ5γ a(fa b∇b − (1/6)γ bγ c∇cfab)

共形キリング・矢野テンソル (CKY) はキリングベクトルの拡張♢ 反対称 rank-2 CKY (立花 1969):∇ahbc + ∇bhac = 2gabξc − gcbξa − gcaξb, ξc =

1n−1

∇ahac

♢ 反対称 rank-p CKY (柏田 1968):
p−1∑∇ahbc1···cp−1 + ∇bhac1···cp−1 = 2gabξc1···cp−1 +(−1)igci(aξb)c1···ĉi···cp−1i=1

ξc1···cp−1 =

1
D−p+1

∇ahac1···cp−1

特に ξc1···cp−1 ≡ 0 のとき CKY はキリング・矢野テンソルと呼ばれる.

反対称テンソル＝微分形式

ha1a2···ap ⇐⇒ h =1p!

ha1a2···ap dxa1 ∧ · · · ∧ dxap

D 次元空間上の CKY p-form∇X h =

1p+1i(X)dh −1D−p+1X ∗ ∧ δh♢ CKY を許す時空は特殊ではあるが重要な時空• Lorentz:

dSn, AdSn, Kerr, AdS Kerr

• Riemann:

S n, 佐々木多様体, Nearly Kähler (錐空間が特殊ホロノミー)♢ 可積分性• 計量テンソル• 測地線, Klein-Gordon, Dirac 方程式

目次√

1. はじめに
2. CKY を持つ高次元ブラックホール解
3. 共形キリング・矢野 (CKY) テンソルを許す時空の分類
4. コンパクト Einstein 多様体・佐々木多様体
5. 超重力理論と一般化された CKY (GCKY)

2. CKY を持つ高次元ブラックホール解1970 年代：４次元 Einstein 方程式の厳密解• “Solutions of Einstein’s Equation” Lecture Notes in Physics 205 (1984)• “Gravitational Solitons” V. Belinski (2001)♣ 逆散乱の方法 (5 次元）
ブラックリング解 [Pomeransky-Sen’kov]
多重ブラックホール解 [Elvang-Figueras, 三島-井口]♣ Kerr-Schild の方法 (D 次元)
Minkowski (AdS) からの摂動

gµν = ηµν + hµν

Ansatz: hµν ∝ kµkν (ヌルベクトル）“線形摂動から厳密解”D (≥ 4) 次元ブラックホール解 Rµν = Λgµν

mass rotation NUT

Λparameter

Myers-Perry (1986)

⃝

⃝

×

0

1+[(D-1)/2]

Gibbons-Lü-Page-Pope (2004)⃝⃝

×

non-zero 2+[(D-1)/2]

Chen-Lü-Pope (2006)⃝⃝⃝

non-zeroKerr-NUT-de Sitter 解（Chen-Lü-Pope 解)：現在知られている最も一般的な球形ホライズンのブラックホール解DKerr-NUT-de Sitter metric [Chen-Lü-Pope 2006](a) D = 2ng (2n) =n∑UµXµµ=1

dx2µ +n∑Xµ( n∑Uµµ=1k=1)2σk−1(x̂µ)dψk(b) D = 2n + 1g (2n+1) =n∑UµXµµ=1⋄ 基本対称多項式

dx2µ +n∑( nXµ ∑Uµµ=1)2σk−1(x̂µ)dψk

k=1+( nc ∑σn)2σk dψk

k=0σ1 = x21 + x22 + · · · + x2n, σ2 = x21x22 + · · · + x2n−1x2n, · · ·⋄ Xµ = Xµ(xµ) は１変数 xµ だけに依存する.
∏n⋄ Uµ = ν=1,ν̸=µ(x2µ − x2ν )Einstein 方程式 Rµν = Λ gµν を満たすためには(a) Xµ =(b)n∑ck x2kµ + bµ xµk=0n∑(D = 2n)(−1)
ck x2k+b+Xµ =µµx2µk=0

定数 ck , bµ , c は質量, 角運動量, NUT, 宇宙項.

nc

(D = 2n + 1)

D = 4 Kerr-NUT de Sitter metric:g(4)=+x2 − y 2X(x)X(x)
x2 − y2

dx +y 2 − x2Y (y)dy 222(dt+ydψ)+2Y (y)22(dt+xdψ),y 2 − x2

whereX(x) = (a2 − x2)(1 + λx2) + 2M x
Y (y) = (a2 − y 2)(1 + λy 2) + 2Ly(4)Ric(4)µν = 3λgµνa : angular momentum,

M : mass,

L : NUTD = 5 Kerr-NUT-de Sitter metricg(5)=x2 − y 2X(x)X(x)

2dx +y 2 − x2Y (y)dy 222(dt+ydψ)+
12Y (y)22(dt+xdψ)
1x2 − yy 2 − x2)2a2b2 (222 2− 2 2 dt + (x + y )dψ1 + x y dψ2x y+whereX(x) = −122222(a−x)(b−x)(1+λx) − 2M2x1Y (y) = − 2 (a2 − y 2)(b2 − y 2)(1 + λy 2) − 2Ly(5)(5)
Rµν= 4λgµνa, b : angular momenta,

M : mass,

L : NUTD = 6 Kerr-NUT-de Sitter metricg(6)=(x2 − y 2)(x2 − z 2)
X(x)
X(x)

2dx +

(y 2 − x2)(y 2 − z 2)
Y (y)

2dy +

(z 2 − x2)(z 2 − y 2)

222 22(dt+(y+z)dψ+yzdψ)12(x2 − y 2)(x2 − z 2)
Y (y)222 22+ 2(dt+(z+x)dψ+zxdψ)
12(y − x2)(y 2 − z 2)
Z(z)+ 2(dt + (x2 + y 2)dψ1 + x2y 2dψ2)2222(y − x )(y − z )+whereX(x) = −(a2 − x2)(b2 − x2)(1 + λx2) − 2M x
Y (y) = −(a2 − y 2)(b2 − y 2)(1 + λy 2) − 2L1yZ(z) = −(a2 − z 2)(b2 − z 2)(1 + λz 2) − 2L2z(6)(6)
Rµν= 5λgµνa, b : angular momenta,

M : mass,L1, L2 : NUT’s

Z(z)

dz 2

CKY 2-form [Kubiznak-Frolov (2007)]h=n∑dψk ∧ dσkk=1σk = σk (x1, · · · , xn) は対称多項式（運動量写像 : MD → Rn）♣ Killing テンソル K (j) (一般化された Carter 定数):(j)(j)···(j)h =⇒ h(j) ≡ h ∧· · ·∧ h =⇒ f (j) ≡ ∗h(j) =⇒ Kab ≡ fa···
fb(j = 0, · · · , n − 1)

♣ Killing ベクトル η (j) ：(j)ξ ≡ δh =⇒ ηa(j) ≡ Kab ξ b(j = 0, · · · , n − 1 + ϵ)(j)

互いに交換する測地線の保存量： C (j) = Kab papb,

C̃ (j) = ηa(j) pa

D 次元 Kerr-NUT-de Sitter 時空上の場の方程式の変数分離性：• 測地線方程式 [Frolov-Krtous-Kubiznak 2007]• Klein-Gordon 方程式 [Frolov-Krtous-Kubiznak 2007]• Dirac 方程式 [Oota-Y.Y. 2008]• 重力摂動方程式 [Kunduri-Lucietti-Reall 2006, Murata-Soda 2008, Oota-Y.Y.
2009]

3. 共形キリング・矢野 (CKY) テンソルを許す時空定理 [Houri-Oota-Y.Y 2007, Krtous-Frolov-Kubiznak 2008]

CKY 2-form h が非退化で dh = 0 のとき, すべての次元において Einstein 方程式を満たすブラックホール解は Kerr-NUT-de Sitter 時空だけである.

♣ 非退化条件を取り除く
一般的な Einstein 時空構造は• ファイバー: Kerr-NUT-de Sitter タイプ• 底空間: Einstein-Kähler 多様体の積空間
M1 × M2 × · · · × MN
where N = #{CKY の定数固有値 },dimMi=固有値の多重度.

Einstein 計量 [Houri-Oota-Y.Y 2009]：(n−1)2nnN ∏n∑∑∑∑dx2µ
g=+Pµ(x)+(x2µ − ξi2)g (i)σk (x̂µ)θk
P (x) µ=1µ=1 µi=1 µ=1k=0
ここで g (i) は mi 次元 Kähler 計量.

Pµ(x) = ∏NXµ2 mi2i=1 (xµ − ξi ) UµXµ = bµxµ + xµ

∫ xµ ∑n0ak y, Uµ =n∏(x2µ − x2ν )ν=1(ν̸=µ)2(k−1)

k=1

N∏(y 2 − ξi2)mi dy.

i=1θk は 1-form で次式に従う：
dθk + 2N∑i=1(−1)k+nξi2n−2k−1ω (i) = 0,k = 0, 1, · · · , n − 1.

4. コンパクト Einstein 多様体・佐々木多様体
Page 計量 (1978): 4 次元 Kerr-de Sitter ブラックホール時空のコンパクト化
CP(1) 上の S 2 束
非等質な Einstein 計量の最初の例

Page 計量の一般化♣ S 2 bundle over Einstein-Kähler [Berard-Bergery 1986, Page-Pope 1987]♢ S 3 bundle over CP(1) [Hashimoto-Sakaguchi-Y.Y. 2004]♡ S n bundle over CP(1) [Gibbons-Lü-Page-Pope 2004]♠ S n bundle over Einstein-Kähler [Lü-Page-Pope 2004]

すべてがコンパクト CKY 多様体！
！

CKY 2-form を許すコンパクト Einstein 多様体 [Oota-Y.Y 2012]⋄ B: Einstein-Kähler manifold
c1(B) = pα ∈ H 2(B, Z)⋄ Pk1,k2,··· ,kn : T n bundle over B(ϵ)⋄ Mk1,k2,··· ,kn (ϵ = 0, 1): Associated S 2n−ϵ bundle over B
THEOREM 1. If kα are positive integers satisfying 0 < k1 + k2 + · · · + kn < p,(0)then Mk1,k2,··· ,kn admits an Einstein metric with Λ > 0.

(1)

THEOREM 2. If kα are positive integers, then Mk1,k2,··· ,kn admits an Einstein(1)

metric with Λ > 0. Especially, if k1 + k2 + · · · + kn = p, then Mk1,k2,··· ,kn admits
a Sasaki-Einstein metric.

証明のポイント{ak }={ 質量, NUT, 宇宙項, CKY の定数固有値 } が特別な値のときだけ regular な Einstein 計量になる:• 計量の正定値性: a1 ≤ x1 ≤ a2 ≤ x2 ≤ · · ·• 特異点の解消: パラメータの “量子化条件” (南雲の定理）∏n(1 − t)δ

ℓ=1 (1 − tAℓ )pak∂log fm+1 ∈ 整数
m + 1 ∂Ak∞∑=fi(A1, · · · , An)ti, Ak = 1/(1 − a2k )qk (a1, · · · , an) ≡i=0Ak

7-dim. Einstein metrics on S 5-bundle over CP(1)
200
150
10050
0200

150

100

50

0050
100
150
200

9-dim. Einstein metrics on S 5-bundle over CP(2)604020604020204060

2. 佐々木多様体とその拡張⋄ 佐々木多様体 :Kähler ⊂ 佐々木 ⊂ Kähler

Hermitian manifold (M, g, J ): ∇T （Bismut connection) がただ一つ定まる∇T g = 0, ∇T J = 0, c(X, Y, Z) = g(X, T (Y, Z)) is a 3-form
４つ組 (M, g, J, T ) は Kähler with torsion (KT) と呼ばれる⋄ トーションを持つ佐々木多様体 (ST)[Houri-Takeuchi-Y.Y] :• 5 次元 Minimal SUGRA 解 (Einstein-Maxwell Theory)• 11 次元 SUGRA 解KT ⊂ ST ⊂ KT

⋄ Triple of Symplectic ⊂ M (5) ⊂ Generalized Calabi-Yau

I0 次元 SUGRA 解 (Gauntlett et.al 2006)∫SIIB =√ (d x g R − 20 + 72|d∆|2 − |dϕ|2 − e−4∆−ϕ|H|25M (5))−e2ϕ|F1|2 − e−4∆+ϕ|F3|2 + e−8∆f52 + f5∫M (5)H ∧ C2

5. 超重力理論と一般化された CKY (GCKY)
超重力時空に住む反対称テンソルの自由度をトーションとして取り入れる• 3-form トーション c(X, Y, Z) = g(X, T (Y, Z)) を持つ接続 ∇T ：⋄ metricity ∇T g = 0⋄ geodesic preserving

一般化された CKY (GCKY)• Yano-Bochner(1953) “Curvature and Betti Number”• Kubiznak-Kundri-Y.Y (2009)∇TX h =

1p+1i(X)dT h −(dT ≡ ea ∧ ∇Tea ,1D−p+1

X ∗ ∧ δT h

δ T = dT に双対な微分)物理的な動機付け⋄ 反対称テンソルの自由度をトーションとして取り入れる⋄ GCKY 時空 ⊃ KT ,ST ,CYT 等々の SUSY 時空⋄ 測地線方程式, Klein-Gordon 方程式, Dirac 方程式の可積分性⋄ 電荷を持つブラックホール時空• D=5 Minimal Gauged SUGRA [Chong-Cvetic-Lü-Pope 2005]• ヘテロ型 SUGRA [4 次元: Sen 1992, 任意次元：Chow 2010]• D=6,7 Gauged SUGRA [Chow 2008,2009]

Rank-2 GCKY を許す D 次元時空を分類せよ(1) CKY (T = 0): (一般化された）Kerr-NUT-de Sitter 時空(2) GCKY (T = T0 ̸= 0): Kahler 多様体 [Apostolov, Calderbank et.al, 20022005]

一般的な時空の性質 [Houri-Kubiznak-Warnick-Y.Y 2012]♣ D = 2n のときは Hermitian 構造, D = 2n + 1 のときは CR 構造.
♣ トーションと GCKY の間の関係式 T (X, Y, Z) = −dh(JX, JY, J Z)
♣ Killing テンソルの存在（測地線方程式の可積分性）

D 次元ヘテロ型超重力理論 (gab, ϕ, Habc, Fab)
H = dB − A ∧ dA (3-form)
F = dA (2-form)()√
11
S=dD x |g|eϕ R + ∂µϕ∂ µϕ − Fµν F µν − HµνλH µνλ46MD∫

運動方程式:

1Rab − ∇a∇bϕ − Fa cFbc − HacdHbcd = 04d(eϕ ∗ F ) = eϕ ∗ H ∧ F,221(∇ϕ) + 2∇ ϕ + FabF
2abd(eϕ ∗ H) = 0+112HabcH abc − R = 0♣ 電荷を持つ回転するブラックホール解 [D=4: Sen 1992, 任意次元: Chow 2010]♣ 場の方程式の変数分離性[D=4: Hioki-Miyamoto 2008, 任意次元：Houri-Kubiznak-Warnick-Y.Y 2010]• 測地線方程式• Klein-Gordon 方程式• Dirac 方程式♣ Kahler with torsion (KT), Calabi-Yau with torsion (CYT) 解GCKY を許す高次元計量
g=n∑(eµ ⊗ eµ + eµ̂ ⊗ eµ̂) +N ∏n∑µ=1(i)(x2µ − a2i )gEK

i=1 µ=1dxµe =√Qµµeµ̂ =√Rµ( n∑σk−1(x̂µ)dψk −k=1n1∑Φ ν=1Sνn∑)σk−1(x̂ν )dψkk=1♣ 3n 個の 1 変数関数: Xµ = Xµ(xµ), Yµ = Yµ(xµ), Zµ = Zµ(xµ)
Qµ =XµUµ, Rµ =YµUµ, Sµ =ZµUµまとめCKY (with torsion) を許す時空♣ 真空の高次元ブラックホール解および超重力理論のブラックホール解• Rank-2 CKY を許す高次元時空の分類は（少なくとも局所的には）理解した.
• 物質場がある場合は発展途上. 特に, 超重力理論ではトーションが重要である.

♣ Kähler-Einstein 多用体上の球面束に入る CKY を許す Einstein 計量の構成• 知られている多くの例題はこのクラスに入る.
• 佐々木-Einstein 多様体の構成.