自動車工学

レポート問題下記の手順に従い，問題番号のうち 2 問を選んで解答せよ．
1.

(学籍番号の下 1 桁) + 1．

2.

(学籍番号の数字の和を 15 で割った余り) +11．

例

学籍番号81640072 の場合

1.

2+1=3

問題 3

2.

8+1+6+4+0+0+7+2=28

MOD(28/15)+11=13+11=24

締め切り

8 月 2 日（金）提出先

機械航空系事務室

問題は下記ホームページに掲載されている．
http://www.mech.nagoya-u.ac.jp/hseg/class.html

1問題 241.

図に示すように，点 O を中心に前後方向に回転可能な台がある．点 O は台のみの重心GP の鉛直線上にある．自動車を台の上に載せ，さらに台の先端に重り Wa を付加したところ，台は角度  だけ傾き静止した．点 O と自動車の重心の高さの差 hV を求めよ（重心測定のための重りバランス法）．

hP

O
hOPGGPXhaW

WP

2.

hV

LaWa

エンジンをワイヤーでつるしたときに，ワイヤーの延長線上にエンジンの重心があることを示せ．この方法によ

Tって，エンジンの重心を求める方法を述べよ．

Gmg

3.

自動車の重心を通る左右軸まわりの慣性モーメントの計測方法について考える．

図のように，軸 O のまわりに回転が可能な台の上に自動車を固定する．自動車の重心，台の重心は O の鉛直線上にあり，つり合い位置から台を左右に振ったときの周期は T であった．
自動車の質量，重心まわりの慣性モーメントを m, Iy, 台の質量および軸 O のまわりの慣性モーメントを mP, IPy とするとき，自動車の慣性モーメント Iy を T で表せ．

zOGx
hOP
hV
GP

mg

2mP g4.

自動車の重心を通る前後，上下軸まわりの慣性モーメントの計測方法について次の問いに答えよ．
(1) 左右に振れる台車を用いて自動車の前後軸まわりの慣性モーメントを求める．初期状態ではKO自動車の重心，台の重心は O の鉛直線上にある．
自動車および台の質量，重心まわりの慣性モーメントを m, mP, Ix, IPx, 台の回転軸の回転ばね

hVhOP

G

定数を K とする．台を左右に振ったときの周期は T であった．自動車の慣性モーメント Ix

GPを T で表せ．
(2) 自動車を固定した台車を点 O を通る z 軸のまわりに回転させる．回転軸は台車の重心にあり，回転ばね定数は K である．自動車の重心 G は点 O から距離 hだけ離れているものとする．台に初期角度を与えた

OzG

ところ，自動車を固定した台が周期 T で振動を始めた．自動車の重心を通る z 軸まわりの慣性モーメン
ト Iz を T で表せ．

5.

図に示すエンジンについて，往復部の質量を m，コンロッド比を ρ  r / l とする．ピストンの変位は x  r {cos θ  (1 / ρ) cos φ} で与えられる．次の問いに答えよ．
1(1) cos φ  1  sin 2 φ  (1  ρ 2 sin 2 θ ) 2  1  A 0  A 2 cos 2θ  A 4 cos 4θ  A 6 cos 6θ と近似するとき，A0, A2, A4, A6 を求めよ．
(2) ク ラ ン ク シ ャ フ ト が 一 定 回 転 数 ω (rad/s) で 回 転 し て い る ． ピ ス ト ン の 加 速 度 をx   r ω 2 ( B1 cos θ  B2 cos 2θ  B4 cos 4θ  B6 cos 6θ ) と表すとき，B1, B2, B4, B6 を求めよ．
(3) 4 気筒エンジンのピストンの配置が右図のように与えられている．往復部の慣性力

FR   m xp によるエンジンの上下方向の不平衡力および不平衡偶力（点 O のまわりのモーメント）を求めよ． ρ  1 / 3 とするとき，不平衡力および不平衡偶力を求めよ．

3x#1#40

 2l



x
#1, #4xptθ  ωt#2#3

 3



yy#2, #4r

図に示すエンジンについて，コンロッド長さ l , ストローク長さ 2 r , ピストンの位置 x ，6.

往復部の質量 m とするとき，下記の問いに答えよ．
(1) 往復部質量により発生する上下慣性力を求めよ．
(2) 図のように 3 気筒エンジンの各気筒の位相を配置した．このとき上下方向（x 方向）の慣性力，および y 軸まわりに作用する慣性偶力を求めよ．
xx#1l



x
#1#2#3yyy7.

s#2 trs

t

t

#3

図の入出力歯車列について，歯車 1, 2 の慣性モーメントを I1, I2, 歯車 1, 2 の変速比（歯数の比）を i とする．次の問いに答えよ．
(1) 歯車 1, 2 の運動方程式を求め，入力軸からみた歯車列の全慣性モーメントを求めよ．

T1  1I1

入力軸(2) 歯車列の運動エネルギーを入力軸の回転角

i=z2 /z1で表し，ラグランジュの方程式を用いて，入出力軸力軸からみた歯車列の全慣性モーメントを求めよ．

I24T2  2

8.

車両質量 m の自動車があるエンジン回転速度 nE と変速比 iT にて平坦路を走行している．

次の問いに答えよ．ただし，以下の変数を用いよ．
エンジン回転速度 nE (rpm), エンジントルク TE , タイヤの有効半径 r, タイヤの転がり抵抗r , 変速機の変速比 iT , 伝達効率 ηT , 終減速機の変速比 iF ，終減速機の伝達効率 ηF ，空気抵抗係数  a , 車両前面投影面積 A, 車両重量 W，回転部の慣性モーメントの相当質量 me(1) 車速 V を求めよ．
(2) 駆動力と走行抵抗を求めよ．
(3) この時点における車の加速度を求めよ．

9.

エンジンのクランク軸の角速度を ωe (rad/s), トルクを Te (N/m) とする．トランスミッ

ションの変速比を it, 終減速機の減速比を if, タイヤの有効半径を rw とするとき，つぎの問いに答えよ．
(1) トランスミッションの出力軸および車軸について，角速度とトルクはそれぞれいくらか．
(2) 自動車の速度 V (m/s), 駆動力 F, 出力 P はいくらか．
(3) エンジンの回転速度を ne (rpm) と表すとき，車の速度 V (km/h) はいくらになるか．

10. エンジンのトルク T がクランクシャフトの角速度 ω  ω0 (rad/s) で最大値となり，T   a(ω  ω0 )2  Tmax （ a  0 ）と表されるものとする．ただし ω  0 で T  0 を満たすものとする．出力 P が最大となる角速度 ω は， ω0 よりも大きいことを示せ．

11. 図のように，車両質量 m の自動車が角度  の斜面を登るものとする．摩擦係数の自動車のホイールベースを l, 車両重心と前軸・後軸間の距離をそれぞれ a, b，車両重心の地上高を h，タイヤと路面の摩擦係数を  とする．タイヤが滑り出すときの最大登坂角度 max を前輪駆動車，後輪駆動車のそれぞれについてNf求めよ．また，四輪駆動車について，前後のlタイヤが同時に滑り出すように駆動トルクNrが前後軸に配分されていると仮定して，最大登坂角度 max を求めよ．ただし，登坂は低bahmg速であり，タイヤの転がり抵抗，自動車の空

気抵抗，慣性抵抗は無視できるものとする．

5Ff12. 図に示す変速装置を備え，終減速装置の減速比 if が 3.9 の後輪駆動車において，エンジンの回転速度 NE が 3200 rpm であるとき，つぎの問いに答えよ．
(1) カウンタシャフトの回転速度を求めよ．
(2) 第 1 速から第 5 速のそれぞれについて，トランスミッションの変速比を求めよ．
(3) 第 4 速で直進しているとき，後輪の回転速度を求めよ．

注：（ ）内は歯数

13. 車両質量 m の自動車の終減速比を iF ，タイヤの有効半径を r ，変速機，終減速機の伝達効率を  T ,  F とする．エンジンはシリンダ容積を VS とする 4 サイクル 4 気筒とし，全負荷時の正味平均有効圧力は pme であり，これはエンジン回転数により変化しないものとする．
(1) エンジンの最大トルク TE を求めよ．
(2) 登坂性能（最大登坂角度  0 ）から変速機の 1 速の変速比をきめるものとする．1 速の変速比 i1 を TE で表せ．ただし，タイヤの転がり抵抗は無視できるものとする．
(3) 最高速 Vmax から 5 速の変速比 i5 をきめるとき，変速比 i5 を TE で表せ．ただし，タイヤの転がり抵抗係数を  r，空気抵抗係数  a ，車両前面投影面積を A とする．

14. トランスミッションの変速比の決め方について次の問いに答えよ．
(1) 図のように， n 速からなるトランスミッションの各変速におけるエンジンの角速度 ω（rad/s）を ω1  ω  ω2 の範囲で用いる． ω1 / ω2  cg とするとき，j 速（1 ≤ j ≤ n）の減速比 ij を１速の変速比 i1 を用いて表せ．また，n 速における変速比を in とするとき，cgを i1, in で表せ（等比級数変速）．
(2) 変速による車速差を一定とするとき，次式が成り立つことを示せ（等差級数変速）
．

211

ii ii 1 ii 16i1i2i3

ω1Ov1v2

v3i2i3

v4

ω2i4

エンジン回転数

エンジン回転数

ω2

v2v3i1

Ov4v1v2

車速i4v3v4

車速

15. プロペラシャフトの中空軸の長さ l, 外径 d2, 内径 d1 とするとき，最大伝達トルク Tmax，
および高回転時の中空軸の振れ回りによる共振回転数 nc は，それぞれ次式で与えられる．

Tmax  ( d24  d14 )
16 d2

 max

①

中空軸自在継手（ max は最大せん断応力）
d2 d1

nc 

30
l2

EI(rpm)Al②（ A  ( / 4 )( d22  d12 ) , I  ( / 64 )( d24  d14 ) ， E は弾性係数，  は密度）(1) エンジンの最大トルクを TE max, トランスミッションの 1 速の変速比を i1, 伝達効率を t とするとき，式①から d2, d1 が満たすべき式を求めよ．
(2) 自動車が 5 速で最高速をとり，そのときのエンジンの回転数を nE max，トランスミッショ
ンの 5 速の変速比を i5 とする．式②から d2, d1 が満たすべき式を求めよ．
(3) 中空軸の板厚 t が外径に比べて小さいものとして，(1)(2)の関係を t を用いて表せ．

，軸 2 を出力軸とし，16. 図のような自在継手について座標軸を定義し，軸 1 を入力軸（z 軸）
軸 2 は軸 1 に対して y 軸まわりに回転した交角  を持つ．十字軸の端部は半径 1 の球面上を回転するものとし，軸 1 の端部は弧 AEB の円上を回転し，軸 2 の端部は弧 CBD の円上を回転する．軸 1 が角度  1 だけ回転したときの軸 2 の回転角を  2 とし，この回転にともない点B は点 B'，点 C は点 C' に移動する．次の問いに答えよ．
(1) OB , OC の成分を (x, y, z) 座標で表せ．ただし，OC を x 軸に降ろした垂線の足を Hとすると， CH  sin  2 ， OH  cos  2 となることを用いよ．
(2) 十字軸が直角に保たれるためには OB と OC が直交していなければならない．この条件から tan  2  cos  tan  1 を導け．
7

yB

1z

B

1C

2z

OC Hx


2E



Ax

17. 前輪駆動の自動車に駐車ブレーキをかけ，AT をパーキングに入れた状態で，前 2 輪のみジャッキアップした．このとき，右前輪を前方に θ（rad）だけ回転させると，左前輪はどうなるか．理由を合わせて答えよ．

18. 質量 m の自動車が図に示すように減速度  で制動しているものとする．このとき以下の問いに答えよ．ただし，車両重心位置は図に示す記号を用いよ．
(1) 前後輪の接地荷重 Wf , Wr を求めよ．
(2) 前後輪タイヤにともに路面に対して最大の摩擦力（摩擦係数  max ）が発生しているものとmWfWrhする．このときの車両減速度 α を求めよ．
(3) (2)の状態における前後輪の制動力 Bf , Br を求

Bfめ，max が変化するとき，横軸に Bf ，縦軸に BraBr

mgblをとり，このグラフの概略を描け．

19. 図に示すように自動車の重心を原点として車両前方，横方向，下方向に車両固定座標系
O-xyz を定義する．車両の主軸は x, y, z 方向に一致している．車の質量を m, 慣性モーメントを Ix, Iy, Iz とする．x, y, z 方向の車の速度を u, v, w,z

および x, y, z 軸のまわりのロール，ピッチ，ヨー角速度を p, q, r とする．外力を Fx, Fy, Fz, 力のモーメントを Mx, My, Mz とするとき，自動車の運動方程式は車両固定座標系によって次のように表されることを示せ．

8ypxqrm ( u  qw  r v )  Fx m ( v  ru  pw)  Fy m ( w  pv  qu )  Fy M x  I x p  ( I z  I y ) q r
M y  I y q  ( I x  I z ) r p
M z  I z r  ( I y  I x ) p q



20. 自動車の運動方程式は様々な導き方がある．自動車の重心の運動をその軌跡の接線方向と法線方向に分け，それぞれの向きの力の成分を Ft , Fn，自動車の速さを V, 回転半径を  とすると，自動車の重心の運動方程式は次式で表される．自動車の速さ V を一定として，次の問いに答えよ．

mdV
 Ftdt（接線方向），mV2
 Fnρ

(1) 自動車の重心軌跡の法線方向の運動（法線方向）

C

方程式について，車両重心の横滑り角を

，ヨー角速度を r とするとき，法線方向

V
の運動方程式を次のように書きかえよ．

mV ( β  r )  Fn



nYt

(2) Fn にタイヤのコーナリングフォース

Xを代入すると，運動方程式が次式で表されることを示せ．前・後輪のコーナリングスティフネスを K1, K2, 重心と前・後輪の距離をa, b, 操舵角 δ とする．
2M Vβ  2( K 1  K 2 ) β   M V ( aK 1  bK 2 ) r  2 K 1 δVδ

21. 図のように，質量 m の自動車が操舵角 δ，重心の速さ V，角速度 r で定常円旋回している．回転半径は十分に大きいものとして，次の問いに答えよ．

uα1v+a r(1) 前後タイヤの横滑り角（スリップ角） 1,  2 を求めよ．

2CF1uV(2) 前輪，後輪の各タイヤのコーナリングスティフネスを K1,K2 とする．自動車にはたらく遠心力とコーナリングフォvースがつりあうことから，自動車の重心の横方向と回転Oaruの運動方程式が次のようになることを示せ．

α22CF2br v
9Lb2( aK 1  bK 2 ) 2( K 1  K 2 ) β   mV  r  2 K1δV22a K1  b K 2( aK 1  bK 2 ) β r  a K1δ
V(3) (2)で示した運動方程式から，β, r を δ で表せ．
(4) 旋回半径 R を求めよ．

22. 車両質量 M=1200 kg, 重心と前軸，後軸の距離を a=1.1 m, b=1.5 m, 前後輪の左右各タイヤのコーナリングスティフネスを K1=K2=3.5104 (N/rad) とする．自動車が速度 V で定常円旋回するとき，つぎの問いに答えよ．
(1) スタビリティファクタ SF を求めよ．
(2) 旋回半径を 50 m に固定し，速度 V を 20, 50 , 100 km/h と変化させたとき，それぞれの前輪の舵角 δ を求めよ．
(3) 前輪の舵角 δ を 3に固定し，速度 V を 20, 50 , 100 km/h と変化させたとき，旋回半径をそれぞれ求めよ．

23. 状態方程式 { X }  [ A]{ X}  { B} で表される線形システムの特性方程式は次式で与えられる．

det( [ I ]  [ A])  0
状態変数が 2 つの場合，特性方程式は次のように書ける．

2  a  b  0(1) システムの動的安定条件は a  0, b  0 であることを示せ．
(2) 自動車の運動の状態方程式について，車両重心の横すべり角 β とヨー角速度 r を用いて

{ X}  { β r}T と表す．下記の問いに答えよ．
(i)[ A] を車両質量 M, 自動車の重心まわりの慣性モーメント I, 前・後輪のコーナリン
グスティフネス K1, K2，前軸・後軸と車両重心の距離 lf, lr，車両重心の速度の大きさ
V を用いて表せ．

(ii)a, b を求めよ．

(iii) 車 両 の 運 動 が 動 的 安 定 と な る 条 件 は ， ス タ ビ リ テ ィ フ ァ ク タ SF に よ り

1  SF  V 2  0 と表されることを示せ．

1024. 図のように，自動車が操舵角を δ を一定に保ったまま，速さ V で定常円旋回している．
自動車のホィールベースを l，車両重心から前後輪までの距離をそれぞれ lf, lr，前後の各タイヤのコーナリングスティフネスを Kf , Kr とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 前後輪タイヤのタイヤ横滑り角 α1 , α2 を求めよ．
(2) ニュートラルステアの場合， α1 と α2 の関係はどのように表されるか．
(3) 図の幾何学的関係を参照し，ニュートラルステアの場合において操舵角 δ を一定とすると，自動車の速さ V にかかわらず，車両重心から見て旋回中心が同一円上にあることを示せ．速さ V が極低速から大きくなるにしたがい，車両重心から見た旋回中心はどのように移動するか．
δuα1v+a ruVδ α 1v

Rarl

Oα2ubα2

旋回中心

br v

25. 図のように，直線走行中の自動車に対して横力が作用し，自動車には横滑り角 β が発生した．

(1) 前後のタイヤに発生したコーナリングフォースの合

2CF1

力の着力点をニュートラルステアポイント（NSP）とVする．車両重心 G から NSP の後方距離 S をホイール

ベース L で無次元化した S/L をスタティックマージ
ングスティッフネス K1, K2 を用いて表せ．
(2) スタティックマージンの符号とアンダーステア，
オーG

a2CF1+2CF2LSン（SM）とよぶ．SM を前・後輪タイヤのコーナリNSPb

バーステアの関係を求めよ．
(3) スタティックマージンの符号と，横力を受けたときの車両安定性の関係を論じよ．

11

2CF2