109
UDC 371.279.1

平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について
大津 起夫∗
橋本 貴充∗
荘島宏二郎∗
石塚 智一∗

要約

平成 16 年度大学入試センター試験受験者の科目選択および科目得点と，前期日程におけ，「数学 I・A」，
る志願状況および合否状況との関係を調べた．受験者数の多い「国語 I・II」「数学 II・B」，および「英語」について，募集単位別に入学者の得点平均と不合格者の得点平均とを図示した．科目により入学者と不合格者の得点平均の差が大きい部分の異なることが確認された．さらに前期日程における募集単位を，上記 4 科目の入学者の科目別得点平均および不合格者の科目別得点平均によって特徴付けし，10 個のクラスターに分類した．これらのクラスターごとに，前期日程における合否状況と科目選択状況を調べた．入学率はクラスターによらず多くの場合類似した値であるが，志願者の性別比率は違いが大きい．また，理科の科目選択において性別による顕著な違いが見られた．さらに，複数の科目得点の関係について同時分布を表示するとともに，クラスター別の平均得点と非線形因子分析による推定結果について検討を加えた．
キーワード：科目選択，可換マトリックスグラフ，非線形因子分析

1 はじめに
現在の日本の国公立大学への入学は，大学入試
センター試験（以下ではセンター試験と表記する）と個別試験の成績の両者を用いて選抜が行われている．センター試験は，高校での学力の達成度を測る目的の下に作題が行われており，多くの国公立大学における入学試験において，選抜のための∗主要な資料として利用されている．また，現在では私立大学における相当数の入学定員の選抜にも用いられている．
ここでは，センター試験の科目別得点と国公立大学における合否判定との関連の全体像を把握することを目的とする．
センター試験を選抜のための資料としている大学（より正確には学部，履修コースなどの募集単位）には様々の特徴を持つものがあり，合否判定

大学入試センター 研究開発部 試験作成支援研究部門
2005 年 11 月 15 日 受理†
本研究は，平成 17 年度大学入試センター共同研究 I「試験問題統計情報の整備と利用に関する研究」（研究代表者大津起夫），平成 16 年度大学入試センター所長裁量経費「試験作成支援研究のための情報共有基盤サーバの構築」（研究代表者 大津起夫），および平成 16–17 年度科学研究費補助金（基盤研究（C））
「大規模テストのための
統計情報管理システムの開発」（課題番号 16530441，研究代表者大津起夫）による支援を受けた．

110

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006

求されてきた．これらの募集単位の合否判定においては，互いに異なる受験科目を選択した受験者の得点が同一の基準において比較されることになるため，難易度の比較は公平性の確保からも重要な点である．現在ではこの問題に対応するため得点調整のルールが定められているが，これについては共通 1 次試験の発足当初より注意が払われてがなされる基準も多様である．以下では，受験者が出願している募集単位と，受験科目および科目別の得点の関係に注目する．これらは出題科目の構成およびそれぞれの科目の試験の難易度の設定などを検討するために重要であり，センター試験の役割を検討する上で必須の情報であるが，最近
ではこれらを概観しうる分析が見当たらない．このために，平成 16 年度の前期日程における受験者

きた．

の志願と合否判定の状況を，研究開発部が保持する受験者の個人情報を秘匿したデータに基づき検討する．分析対象は 1 年度の前期日程に限ったものであるが，ここで有効な分析の枠組みを明らかにすることができれば，他の年度や後期日程などについても，同様の分析を行うことにより有益な情報を得ることが期待できる．
センター入試の前身である共通第 1 次試験については，本研究と同様の関心に基づく分析がかな
り詳細に行われれている．研究の多くは共通 1 次試験の発足間もないころに行われており，大学入試センターの研究紀要およびその非公開版に出版されている．荒井 (1982) は，共通第 1 次学力試験の総得点を説明変数とし，募集単位における合否を被説明変数としたロジスティック回帰を行い，そこで得られる回帰係数を「相関度」と命名し，それらの大きさを学部種別に分析している．また，
清水 (1985) は科目別の得点を説明変数とし，募集単位別に合否判定を予測する線形判別分析を行い，そこで得られた科目別得点の係数の特徴を検討している．
これらはいずれも，共通第 1 次試験の得点が大学の合否にどの程度影響しているかを検討するものである．この分析の視点は本研究にも共通しているが，ここではより単純なデータ記述を用いる
ことにより状況を概観する．以降に示す得点と合否の関係の分析では比較的単純な分析手法しか用いていないが，分析の視点と結果の図的な表示方法を工夫することにより，直観的に明快な結果を得ることは可能である．
共通第 1 次試験およびセンター試験の実施において重要なもうひとつの視点は，選択科目間の難清水 (1981) は不完備配置の線形モデルを用いて，昭和 54 および 55 年の共通第 1 次学力試験における社会と理科の選択科目間の難易度の比較を行っている．ただしここでの推定は通常の最小 2
乗法ではなく，残差絶対値の最小化に基づいている．また，清水 (1983) では不完備配置の線形モデ
ルと最小 2 乗法の枠組み（分散分析）を用い，科目の難易度および受験者群の能力推定を昭和 54 年から昭和 58 年までの 5 年間について行っている．この論文では科目間の難易度の差が年とともに次第に減少していることが報告されている．また，科目間の難易度比較ではないが，最近では吉村・荘島 (2004) が傾向スコア（propensity score）を用いた難易度比較の方法を法科大学院適性試験のモニター調査を用いて示している．
1980 年代前半においては線形モデルの推定を受
験者全体について行うこと自体，かなり労力を要するものであったと推測されるが，現在ではより複雑な計算を低コストで実現できる．本論文では，
この問題を大津 (2004) によって開発された欠測値に対応する非線形因子分析を用いて取り扱う．この方法は計算コストはかかるものの，科目の難易度の比較に洗練された統一的分析のための枠組みを与える．
以下では，まず募集単位を志願者の得点における特徴によってタイプ（クラスター）別に分類し，次いでこれらの各クラスターにおいて，入学者および不合格となった志願者の得点における特徴を比較することにより，センター試験が大学入試選抜において果たしている役割を明らかにする．また，募集単位のクラスターにおける科目選択率，および志願者全体における科目間の難易度の比較に易度の比較である．いくつかの教科においては受験者による受験科目の選択が行われる．しかも少なからぬ募集単位において特定の教科科目の中からいくつかを背反的に選択して受験することが要

ついても併せて検討する．
ここで重視するのは，センター試験が大学入学の合否にどのように関係しているかの全体像を把握することである．以降で明らかになるように，個平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について

別大学における成績と合否の関係においては，志願者がかなり均質な学力を持つ集団に制約されているため，センター試験の全体像を的確に把握することが難しい．ここでは，受験者全体を分析することにより，個別大学における受験者の分析では得難い知見を示す．

2 平成 16 年度センター試験の概要
平成 16 年度大学入試センター試験（平成 16 年
1 月実施）の志願者総数は 587,350 人であり，このうち 540,446 人（志願者のうち 92.0%）が少なく
とも 1 科目以上を本試験あるいは追試験，再試験において受験した．これらのいずれか 1 科目以上を受験した志願者を「受験者」と定義する（試験に出席したものの科目選択の誤りにより有効な得
点を得ていない者も含む）．志願者のうちいずれの科目も受験しなかった者は残りの 46,904 名（志願者のうち 8.0%）である．また，志願者のうち前期日程に出願したものは 274,171 名であり，313,179
名は前期日程での出願を行っていない．前期日程に出願を行っている志願者のほとんどは，当然ながらセンター試験のいずれかの科目を受験しているが，いずれの科目も受験せずに出願している者
が 9 名存在する．これ以外の前期日程への出願者
が，個別大学の出願要件を満たしているかどうかは必ずしも明らかではないが，受験者のうち前期日程に出願したものは 274,162 名であり，受験者における出願率は 50.73%となる．
1 ，数学
試験は，国語，地理歴史，公民，数学

2 ，理科
1 ，理科
2 ，理科
3 ，外国語の 9 つの試験時間（実施順ではない）にわたって行われた．このうち，最大の受験者数があったものは外国語であり，537,057 人（受験者のうち 99.4%）が受験した．さらにこのうち， 536,213 人（受験者のうち99.2%）が英語を受験している．

3 前期日程における募集単位の特徴
まず，平成 16 年度の国公立大学の前期日程試
験における志願状況をもとに，募集単位の特徴づけを試みる．前期日程で募集を行った募集単位は
536 あるが，これらを志願者のセンター試験にお「数学 I・A」，「数
ける 4 つの科目「国語 I・II」，

111

学 II・B」，および「英語」における得点によって特徴づける．ここでは各募集単位がこれらの科目を採点の対象としているか否かに係わらずに志願者の得点のみにもとづいて特徴づけを行う．これら 4 つの科目を用いるのは， 536 の募集単位のいずれにおいても，合格し入学手続きを行ったもの
および不合格となったもののうち，これらの科目を受験しているものが少なくとも 1 名存在するためである．
以下ではセンター試験の受験者を前期日程において志願した募集単位別に類別し，さらに上記の各 4 科目について，その科目の本試験を受験して合格し入学手続きを行ったものと，不合格（2 段
階選抜における不合格を除く）になったものを抽出する．また，以下では入学手続きを行った者を「入学者」と呼ぶ．厳密には手続きをしても入学するとは限らないが，簡明さを保つためこのように略称する．上記の科目について，各募集単位別に入学者の平均点と不合格者の本試験の平均点を求める．各募集単位について上記 4 つの科目の各々について入学者の平均点と不合格者の平均点が得られる．これら 8 個の変数が募集単位の特徴を表すものとみなして以下では分析を行う．
前述のように平成 16 年度のセンター試験において志願しながら，前期日程においていずれの国公立大学の募集単位にも出願を行っていないもの
が 313,179 名存在するが，これらの志願者の特徴については別途検討することにする．
まず，上記 4 科目の本試験における入学者および不合格者の募集単位別平均点を図 1 から図 7 に示す．当然ながら，いずれの場合も少数の例外を除いて入学者の科目別平均点が不合格者の科目別平均点より大きい．また，合格者数が 15 人に満たない募集単位は十字の印で識別した．各募集単位
における志願者数の分布を検討すると，最小が 26，
第 1 四分位が 260.75，中位数が 419，第 3 四分位が 653.5，最大が 2718 である．
図 1 は，「国語 I・II」の募集単位別の得点平均を示している．横軸は入学者の平均点，縦軸は不合格者の平均点である．入学者と不合格者の差は15 点あたりを中心として広がっている．これらの得点差の分布を検討すると，半数以上が 10 点から 20 点の間にあることがわかる．成績が下位の部
分で，入学者と不合格者の差が小さくなる傾向が112

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006
2004 First stage: Departments

80
40

50

100

60

70

D2:Failed120

A2:Failed

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160

100

2004 First stage: Departments

100

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50

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60

100

100

120

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A2:Mean

160

25
20
15

D2:SD

10

15

D2:SD
100

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160

A2:Mean

5
0

0

0

0

5

10

10

10

20

A2:SD

20

30

25

30

Departments (Failed)30

Departments (Passed)

40

40

90

図 3 募集単位別の数学 I・A の平均点（横軸：入学者，
縦軸：不合格者）

Departments (Failed)

30
20

A2:SD

80

D2:Passed

A2:Passed

図 1 募集単位別の国語 I・II の平均点（横軸：入学者，
縦軸：不合格者）
Departments (Passed)

70

50

60

70

80

D2:Mean

90 100

40

50

60

70

80

90

D2:Mean

図 2 募集単位別合否別の国語 I・II の平均と標準偏差（左：入学者，右：不合格者）

図 4 募集単位別合否別の数学 I・A の平均と標準偏差（左：入学者，右：不合格者）

多少あるが，全体としてはほぼ一定の得点差がある．これに続く図 2 には，それぞれの募集単位における入学者と不合格者の別々に，縦軸に標準偏，横軸に平均（Mean）を示した．合格者
差（SD）のグループは，それぞれの募集単位において得点の範囲が制限される．このため特に高得点の募集
単位において入学者の標準偏差が小さくなる傾向が見られる．
「数学 I・A」についての入学者と不合
図 3 は，
格者の平均得点の図である．こちらでは，低得点の募集単位と高得点の募集単位の両端で，入学者の得点平均と不合格者の得点平均とが近づく傾向が見られる．入学者と不合格者の平均得点差は 10点前後が多く，半数以上の募集単位が 5 点から 15点の間に収まる．「数学 I・A」の場合には得点平均が満点に近い募集単位が少なくないため，これらにおいては標準偏差は極めて小さくなり，志願者の得点差が生じにくいことがわかる．
図 5 には「数学 II・B」の得点平均を示した．「数学 I・A」とは対照的に，高得点の募集単位で入学者と不合格者の平均得点差が開いている．また，
図 6 では平均点 60 点から 80 点あたりで，募集単位別入学者の標準偏差が大きなものが全体の傾向からは外れて存在する．入学者の平均得点が 60 点
以上で，標準偏差が 15 より大きい条件には 44 の募集単位が該当するが，このうち 38 が医学部であり，2 つが歯学部である．少なからぬ医学・歯学系の学部において，入学者の「数学 II・B」の成績

113

平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について
2004 First stage: Departments

140
120

H1:Failed

60
20

100

40

E2:Failed

160

80

180

2004 First stage:Departments

20

40

60

80

100

120

140

図 7

募集単位別の英語の平均点（横軸：入学者，縦軸：
不合格者）

40

30

30
20

H1:SD

20

H1:SD

20

40

60
E2:Mean

80

20

40

60

80

E2:Mean

10
0

0

5
0

0

5

10

10

15

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25

30
25

Departments (Failed)40

Departments (Passed)

Departments (Failed)

20
15
10

E2:SD

180

H1:Passed

E2:Passed

図 5 募集単位別の数学 II・B の平均点（横軸：入学者，
縦軸：不合格者）
Departments (Passed)

160

100

120

140

160

180

100 120 140 160 180

H1:Mean

H1:Mean

図 6 募集単位別合否別の数学 II・B の平均と標準偏差（左：入学者，右：不合格者）

図 8 募集単位別合否別の英語の平均と標準偏差（左：入学者，右：不合格者）には大きなばらつきのあることがわかる．入学者と不合格者の得点平均の違いはここでも 10 点前後が多く，募集単位の半数以上が 5 点から 15 点の間の得点差となっている．
「数学 I・A」と「数学 II・B」の図の違いは，前者
が比較的易しく満点に近い受験者が多い一方，後者の試験問題がより難しく，すべての志願者が満点に近い得点をとるような募集単位が極めて少な
いため，募集単位における「数学 II・B」の得点の分散がいくつかの募集単位では大きくなる場合があるためと思われる．
図 7 は「英語」の得点平均である．「数学 II・B」とは異なり，高得点の募集単位で得点差が小さくなる傾向が見られる．また合格者の標準偏差が特異的に大きくなる募集単位も存在しない．合格者と不合格者の得点平均差は「国語 I・II」よりも幾分大きく，20 点前後に分布しており，半数以上の募集単位が 15 点から 25 点の間にある．

4 募集単位のクラスタリング
ここでは，前節で示した 4 科目の 8 つの値を用いて募集単位のクラスタリングを行う．国語 I・II，「数学 I・
英語の試験は 200 点満点であり，一方，A」および「数学 II・B」の試験は各々 100 点満点であり尺度が異なるが，これらの標準化は行わず，
4 科目の素点平均をそのまま分析に用いた．
センター試験の利用においては，素点に加重し114

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006

表 1

募集単位の分類
合格者平均によるクラスター

合計

B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’ I’ J’
30 0 9 0 0 0 0
0 0 00 36 26 7 0 0 0
0 0 0
0 0 34 0 0 14 00 0 0
0 0 2 72 2 3 3
0 0 0
0 12 0 9 21 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 40 17 5 0 0
0 0 0 0 21 0 18 0 9 0
0 0 0 0 0 0 7 66 0 5
0 0 0 0 0 0 8
4 20 30 0 0 0 0 0 0
2 0 3130 48 71 88 44 57 53 77 29 39

39
69
48
82
42
62
48
78
35
33
536

合格者と不合格者平均によるクラスター
A’

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
合計

た得点が合否判定に利用されることが多い．ここで，数学と国語および英語を同じ尺度とすると数学の合計得点が 400 点となり，多くの利用大学における加重と異なり，記述の方法として妥当ではないと考えられる．加重しない得点によるクラス
ター分類が最適であるとの保証はないが，4 つの科目を同一の尺度に変換するよりは，素点のまま分析を行うほうがより望ましいと考えた．
クラスタリングの方法は k-means 法と呼ばれる手法を用い，R-2.1 システム（Ihaka & Gentleman,
1996; R Develpment Core Team, 2005）に実装されている関数を用いた．k-means 法のアルゴリズ
ムには複数のものが存在するが，ここでは Hartigan & Wong (1979) によるものを用いた．

は困難であるため，経験的な反復計算を用いて，最適（と思われる）クラスタ分割法を求める．
対象を分類するために k-means 法を用いると，指標となる値 (1) の最小化をヒューリスティックに行うために，初期値の設定などによって結果が異なる場合がある．ここでは，求めるべきクラス
ター数を 10 個に固定し，各クラスターの中心の初期値をデータからランダムに選んだ．上記のアルゴリズムによる計算を 20 回繰り返し，指標が最適となるものを結果として採用した．
募集単位のクラスター数を 10 と設定したのは，合否別あるいは性別の分析をおこなうと，区分数は非志願群 Z を加え 22 となり，直観的な把握を行うためにはこの程度が限界であろうという判断

この手法はあらかじめ指定した個数 K のクラス
ターに標本を分割する手法のひとつである．サン
プルを表す添え字を i = 1, . . . , n とし，第 i 番のサンプルの多変量データを (xij |j = 1, . . . , p) とする．サンプルのクラスターへの所属を表す関数を
m(i) とする．関数 m(i) はサンプル i が第 1 番目のクラスターに所属するなら 1，第 2 番目のクラス
ターに所属するなら 2，さらに一般的に k 番目のクラスターに所属するなら k となる関数である．
この m(i) によって導出される第 k クラスターの平均を µk とする．ここで，次の値をクラスタリングの「良さ」を表す指標とする．

に基づく．また，受験者の得点の構造は，これまでの分析を考慮すると，緩やかに関連する「国語，英語，社会科」および「数学，理科」の 2 つの次
元で説明されることが期待されたため，それぞれを上位，中位，下位 3 群に分割することを想定す
ると 9 個の群に分類されることになる．分析のためのクラスター数は少なくともこれを上回るのが望ましい．
このような指標を用いたのは入学者の得点だけではなく，不合格になった志願者集団の特徴をも考慮する必要があると判断したためである．クラスターの名称は「英語」の科目得点の平均の順にアルファベットを与えた．不合格者の平均を用いず合格者の平均のみを用いて同様の計算を行うと多少の結果の違いが生じる．クラスターの安定度を検討するための資料として，表 1 にこれら 2 種

f=

n


xi − µm(i) 2

(1)

i=1

この指標は，簡単な計算によって最適化すること

115

100

a

d

90

g
E

80

Cm

Gf
Df

Bm
Bf
Zm

Gm

Dm

Am
Af

e

If

Ff
Cf

Jf

Hf Im

Em
Ef

Zf

50
100

120

140

160

180

200

100

English

図9

Jm
Hm
Fm

i G

50

60

b

B

I

60

A
c

J

70

C
f D

Hj

MathI&A

80

F
h

70

MathI&A

90

100

平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について

募集単位クラスターの入学者と不合格者の平均（横軸：英語，縦軸：数学 I・A，大文字は入学者平均，
小文字は不合格者平均を示す．）

120

140

160

180

200

English図 10クラスター別・性別の志願者得点平均（横軸：英語，縦軸：数学 I・A）（m は男子，f は女子）

類のクラスタリングの結果を示す．クラスターの構成は少なからず変化するが，所属の変化の多く
はクラスターの周辺部分で生じている．以降では最初の方法によって得られたクラスター（表 1 の行にあたる）に基づいて分析を行う．
図 9 には，各々のクラスターに含まれる募集単位の入学者の平均得点と不合格者の平均得点とを「英語」と「数学 I・A」について示す．クラスターをH が最も大きく，次いで D が多い．最も少ないの
は，クラスター I であり，次に A である．各行の下段の括弧内には，クラスターの志願者のうちの各合否種別に該当する人数をパーセントで示した．
志願者数に対する入学者の比率は， C が最も大きく 37.82 パーセントである．一方，最もこの比率が小さいのは B であり 25.53 パーセントである．
また他のクラスターはいずれも 30 パーセントを下回っている．2 段階不合格となったのは志願者全体表す文字の位置が平均得点を表す．大文字は入学者の平均であり，小文字は不合格者の平均である．
当然ながらいずれのクラスターにおいても，不合格者の平均は「英語」，「数学 I・A」ともに低く，各クラスターの入学者の得点平均の配置は，不合
格者の得点平均の配置を右上方向にほぼ平行移動
したものになっている．ここに示したのは 2 変数
のみだが，各クラスターの「国語 I・II」の平均得点は「英語」とほぼ線形の関係にあり，また「数学
II・B」は「数学 I・A」と類似の関係にある（図 20，
図 22，および表 5 を参照）．
また表 4 には，それぞれのクラスターに多い学部の種別を示した．
表 2 には，クラスター別の志願者数および入学者数等を示す．表側はクラスターを表し，表頭が合否の種別を表す．ここで「辞退」と表示したのは，合格したが入学手続きを行わなかった者の数である．表のうち Z で表された行は，前期日程においていずれの国公立大学への志願も行っていない志願者である．志願者数は Z を除いてクラスターのうち 3,561 名である．このうち 2,258 名（63.41
パーセント）がクラスター J の志願者である．また，志願者に対する辞退者の率は，クラスター E
で最も大きく 6.01 パーセント，次いで B が 5.04
パーセントとなっている．
志願者における女子の比率は，クラスターによっ．最も女子志願者の比率がてかなり異なる（表 3）
多いのは，E であり次いで D と G である．入学者における女子の比率も，志願者における比率とほぼ同様であり，これら 3 つのクラスターで半数以上の入学者が女子となっている．一方，女子の志願者が少ないのは C であり，次いで A である．
表 3 の下段には，入学者における女子比率から志願者における女子比率を引いたものを示した（表中では「入学女子率 - 志願女子率」と表記した．
文系の学部が多いクラスター G でこの値が最も大きく，逆にクラスター H で小さい．この理由は明らかではないが，図 9 の左上方向のクラスターでこの値が小さく，逆方向で大きい傾向が見て取れ「英語」と「数学 I・A」の科目得る．図 10 には，

116

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006

表 2クラスター別合否別受験者数（括弧内は%）

クラスター

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
合計

Z

入学者

辞退

4973
(28.46)7661(25.53)9533(37.82)11292(28.86)4643(26.75)9411(29.90)8568(28.21)12077(27.85)4789(29.81)6798(28.67)79745(29.09)—746(4.27)
1512(5.04)
944(3.75)
1068(2.73)
1043(6.01)
694(2.20)
1343(4.42)
429(0.99)
267(1.66)
55(0.23)
8101(2.95)—

受験者数
追加合格 2 段階不合格

21(0.12)
34(0.11)
29(0.12)
62(0.16)
9(0.05)
52(0.17)
14(0.05)
58(0.13)
11(0.07)
15(0.06)
305(0.11)—

22(0.13)
0
(0)
0
(0)
105
(0.27)
0(0)98(0.31)
26(0.09)
540(1.25)
512(3.19)
2258(9.52)
3561(1.30)—

総計

不合格

2 段階不合格
実施募集単位数

計

11714 17476(67.03)(100)
20806 30013(69.32)(100)
14698 25204(58.32)(100)
26601 39128(67.98)(100)11663 17358(67.19)(100)21224 31479(67.42)(100)20424 30375(67.24)(100)30259 43363(69.78)(100)10487 16066(65.27)(100)14583 23709(61.51)(100)
182459 274171(66.55)(100)— 313179
587350

1
0
0
1
0
4
1
6
4
19
36

「辞退」とは，合格したが入学手続きを行わなかった受験者を意味する．クラスター Z は前期
日程の出願を行っていない志願者からなる．

表 3 クラスター別志願者・入学者の女子比率（%）

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Z

志願者の女子比率
16.6 46.4 15.5 53.7 62.1 30.3 53.5 30.5 39.1 26.4 42.4
入学者の女子比率15.3 47.1 14.4 55.3 64.8 28.6 57.8 28.0 42.0 25.5—
入学女子率–志願女子率 −1.3
0.7 −1.1 1.6 2.7 −1.7 4.3 −2.5 2.9 −0.9—

表 4 クラスターの特徴
クラスター 募集単位数 多い学部A
39
工学部（夜間）10，工学部 9，経済学部（夜間）3
B
69
看護学部 9，経済学部 8，教育学部 5
C48
工学部 23，理学部 10，看護学部 2，情報学部 2D
82
教育学部 28，看護学部 8，経済学部 7E
42
人文学部 8，文学部 5，法文学部 3
F62
理学部 11，工学部 11，農学部 9
G48
文学部 10，法学部 8，教育学部 4，外国語学部 4
H78
医学部 28，歯学部 10，薬学部 8
I35
文学部 5，法学部 5，経済学部 5
J33
医学部 12，薬学部 4，法学部 3

117

平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について

科目別受験者数

科目別受験者数

図 11

クラスター別国語科目選択者数

点の平均をクラスター別，性別ごとに示した．表示してある文字はクラスターと性別（m は男子，fは女子）を示す．

5 クラスター別科目選択の状況
次に，各クラスターにおける科目選択状況を検討する．平成 16 年センター試験の実施は 9 つの時間単位からなる．各実施時間は，
「国語」
，
「地理歴
1」
2」
1」
，
「数学
，
「理科
，
「理
史」
，
「公民」
，
「数学
2」
3」
，
「理科
，および「外国語」である．それ
科
ぞれの実施時間単位において受験者は 1 つの科目のみを受験することができる．異なる実施時間の間の受験制限はないため，受験者は任意の科目を受験できる．ただし，センター試験の出願時に 2科目以内かあるいは 3 科目以上の受験を行うかの選択がある．
これら 9 つの実施時間の内，ほとんどの志願者が「英語」を選択している「外国語」を除く 8 つについて，ジャック・ベルタンによる重み付き可換マトリックス表示 (Bertin, 1981) を用いて科目

図 12

地理Ｂ

Z女子

地理Ａ

Z女子

日本史Ｂ

Z男子

日本史Ａ

Z男子

世界史Ｂ

J男子
J女子
H男子
H女子
C男子
C女子
F男子
F女子
I男子
I女子
A男子
A女子
D男子
D女子
B男子
B女子
G男子
G女子
E男子
E女子

世界史Ａ

受験せず

国語Ｉ・II

国語Ｉ

受験せず
J男子
J女子
H男子
H女子
C男子
C女子
F男子
F女子
I男子
I女子
A男子
A女子
D男子
D女子
B男子
B女子
G男子
G女子
E男子
E女子

クラスター別地理歴史科目選択者数

選択の状況を示す．煩雑になるため詳細な数値についてはここでは省略する．
図 11 から 18 までがクラスター別，男女別の科
目選択者数を示している．これらの図は科目選択率を示す横向きの棒グラフを並べたものである．
各行は各クラスターにおける男女別の志願者の集合を表しており，行方向の幅は該当する志願者の数に比例するよう設定してある．このため各セルの部分に表示された矩形の面積は，該当する部分の志願者数に比例している．また，志願者全体における平均科目選択率を破線で示し，これを超える部分の表示を強調した．
最初の図 11 は「国語」の科目別受験者数を，次の図 12「地理・歴史」のものを示す．クラスターの表示順は，「数学 II・B」の選択率の高いものから低いものへと配置してある．「地理 B」の選択率，に一貫した傾向が見て取れる．また，「世界史 B」「日本史 B」の選択傾向が「地理 B」と相補的であることもわかる．
次の図 13 は「公民」の科目別受験者数を示している．いずれのクラスターにおいても「現代社

118

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006

科目別受験者数

科目別受験者数

Z男子

Z男子

Z女子

Z女子

図 13

クラスター別公民科目選択者数

会」の選択率が高いが，特に一貫した傾向はみられない．ただし，いずれのクラスターにおいても「倫理」の選択率は男子よりも女子が大きく，また「政治・経済」の選択率は男子が大きい．
1 」における科目別受験者数であ
図 14 は「数学
る．上から次第に「数学 I・A」の選択率が小さくなる傾向が見られる．ただしクラスター A の女子
は，男子に比べて顕著にこの選択率が低く（男子
95%，女子 73%），クラスター E と同程度である
ことがわかる．クラスター E の「数学 I・A」の選
択率は男子が 72%，女子が 70%である．
2 」の科目別受験者数を示してい
図 15 は「数学る．クラスターの提示順は，この枠の「数学 II・B」
1 」と類似の傾の選択率に基づいて定めた．「数学
向がここでも見られるが，「数学 II・B」の選択率「数
はより急に減少している．クラスター E では，
学 II・B」の選択率は男子で 57%，女子で 53%である．
理科は 3 つの時間区分にわたって行われた．「理1 」においては，「総合理科」，「物理 IA」
，
「物理
科

図 14

数学Ｉ・Ａ

J男子
J女子
H男子
H女子
C男子
C女子
F男子
F女子
I男子
I女子
A男子
A女子
D男子
D女子
B男子
B女子
G男子
G女子
E男子
E女子

数学Ｉ

受験せず

政治・経済

倫理

現代社会

受験せず

J男子
J女子
H男子
H女子
C男子
C女子
F男子
F女子
I男子
I女子
A男子
A女子
D男子
D女子
B男子
B女子
G男子
G女子
E男子
E女子

1 科目選択者数
クラスター別数学

IB」が行われた．図 16 はこれらの科目の受験者数を示している．これらの科目の中では，「物理 IB」の選択率が最も高く，「数学 II・B」の選択率の低いクラスターでは「物理 IB」の選択率が低く，一方「総合理科」の選択率は相対的に高い．数学における科目選択と異なるのは，クラスター I で例
外的に「物理 IB」の選択率が低いこと（男子 17%，
，および性別により「物理 IB」の選択率
女子 8%）
が著しく異なることである．いずれのクラスター
においても，男子の選択率が大きい．クラスター
J では，男子の「物理 IB」選択率は 58%，女子は30%である．また，クラスター H では男子は 77%，
女子は 39%であり，いずれも 2 倍近い違いがある．
この傾向は，前期日程において国公立大学へ志願していないクラスター Z においても同様に認められる．
2 」の科目選択者数を示してい「理科
図 17 は，る．「化学 IB」の選択者が全体で最も多いが，数学の選択率の低いクラスターでは「化学 IB」の選択率も低い．「物理 IB」と同様にクラスター I の119

平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について

科目別受験者数

科目別受験者数
物理ＩＢ

物理ＩＡ

総合理科

受験せず

工業数理他

数学II・Ｂ

数学II

受験せず

J男子
J女子
H男子
H女子
C男子
C女子
F男子
F女子
I男子
I女子
A男子
A女子
D男子
D女子
B男子
B女子
G男子
G女子
E男子
E女子

J男子
J女子
H男子
H女子
C男子
C女子
F男子
F女子
I男子
I女子
A男子
A女子
D男子
D女子
B男子
B女子
G男子
G女子
E男子
E女子

Z男子
Z男子

Z女子
Z女子

図 15

2 科目選択者数
クラスター別数学

選択率が低く（男子 29%，女子 27%）
，ここではクラスター B と近い値になっている．ただし，「物理 IB」において見られたような性別による選択率の違いは認められない．また，「地学 IB」の選択
率は，クラスター H，C，F，A で低く，他のクラスターで相対的に高い．
3 」の科目選択者数を示す．「生「理科
図 18 は，物 IA」と「生物 IB」の試験がこの時間に実施されている．志願者全体の 31%が「生物 IB」を受験している．「物理 IB」とは逆の性別についての傾向が，ここでも一貫して見られる．全てのクラス
ターにおいて，女子の「生物 IB」の選択率は男子
よりもかなり大きい．特に，クラスター H（男子
24%，女子 61%），C（男子 15%，女子 48%），F（男子 27%，女子 65%）で差が大きい．

6 クラスター別の科目得点
上述の募集クラスター単位における科目別得点の平均値を，入学者と不合格者の群について検討

図 16

1 科目選択者数
クラスター別理科する．
ここでは科目を限定し，受験者数の多い「国語I・A」，「現代社会」，「数学 I・A」，「数学 II・B」，，「生物 IB」，「英語」について検討を加え「化学 IB」
る．ただし，2 段階選抜での不合格者および 2 次募集による合格者は含んでいない．センター試験の得点が合否とどの程度強く関係しているかを見る
ため，次の指標を各科目得点についてクラスターごとに求めた．この指標 d を「分離度」と呼ぶことにする．ここで x̄1 を入学者の得点平均，x̄2 を不合格者の得点平均とし，s1 と s2 をそれぞれの群の得点の標準偏差とする．また n1 と n2 をそれぞれの該当する受験者数とする．

x̄1 − x̄2d= 2
(n1 s1 + n2 s22 )/(n1 + n2 )各クラスターにおける合否別受験者数，科目得点の平均と標準偏差は表 5 に示した．
上記の値 d は，得点のばらつきを考慮した入学
者と不合格者のそれぞれの平均得点の分離の程度を表しており，芝・南風原 (1990) では効果量と呼120

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006

科目別受験者数

科目別受験者数

Z男子

Z男子

Z女子

Z女子

図 17

2 科目選択者数
クラスター別理科

ばれている．この値を上記 7 科目について求めた結果を表 6 に示す．ただし，クラスター J においては，多数の 2 段階選抜での不合格者がおり，これをここでは考慮に入れていないため，分離度を過大評価している可能性がある．また，図 19 には，表の値を多重の棒グラフとして表示した．各棒グラフの高さは分離度の大きさを表す．下端は0.2 であり，上端は 1.0 となるよう行間を設定してある．横方向の破線は 0.7 の水準を表し，これを超える部分については表示色を変更して強調した．
それぞれの科目で分離度の傾向が異なることがわかる．ここで 0.7 より大きな値を示している箇所に注目すると（70 個の数値のうち，30 個が 0.7を超えている），「国語 I・II」ではクラスター D，E，G が該当する．また「現代社会」ではクラス
ター E のみで分離度が 0.7 を超えている．「数学
I・A」はクラスター A, C において高い分離度を示しており，「数学 II・B」では B，E，G を除く
クラスターで分離度がよく，D では 0.63 とやや低い．数学の 2 科目は，相補的な性質を持っている．

図 18

生物ＩＢ

J男子
J女子
H男子
H女子
C男子
C女子
F男子
F女子
I男子
I女子
A男子
A女子
D男子
D女子
B男子
B女子
G男子
G女子
E男子
E女子

生物ＩＡ

受験せず

地学ＩＢ
地学ＩＡ

化学ＩＢ

化学ＩＡ

受験せず

J男子
J女子
H男子
H女子
C男子
C女子
F男子
F女子
I男子
I女子
A男子
A女子
D男子
D女子
B男子
B女子
G男子
G女子
E男子
E女子

3 科目選択者数
クラスター別理科また，「化学 IB」は B と E を除くクラスターで分
離度が 0.7 を超えており，特に C と G で 0.9 に近い．一方，「生物 IB」では D，E および G において分離度が高く，「国語 I・II」と類似したパターンを示している．「英語」は A と H，J を除くクラスターで 0.7 を超える分離度を示している．ただし，A と H では 0.68 であり全般的に高い値を示している．
「化学 IB」がここに示した科目の中では高い分離度を示している．また「英語」も比較的高い分離度を示し，合否との関係が強いことがわかる．また，「化学 IB」と「生物 IB」とは同じ「理科」の科目ではあるが，それらの性質はかなり異なり，分離度の傾向は対照的である．
科目間の得点の関係を検討するために，「英語」と他の科目について得点の同時分布と，各クラス
ターの入学者および不合格者の得点平均を図 20 から図 24 に示す．
図 20 は，横軸に「英語」の得点，縦軸に「国語I・II」の得点を示している．図中の小円は，それ平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について

121

表 5 クラスター別合否別科目得点
群

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

合否
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格

N
4094
9609
6643
18484
8777
13527
10471
24914
4185
10310
9246
20770
8004
19391
11881
29761
4574
10099
6798
14579

入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格
入学
不合格

N
4315
9266
2427
5877
9233
13833
4254
9197
414
1074
8682
18838
1429
3294
11563
28930
1332
3003
5031
10574

国語 I・II
平均 S.D.

108.51100.62124.52109.99119.65109.20132.61115.42140.18120.66132.33120.72148.73132.23144.00130.94154.88141.74160.36147.50
化学 IB

23.49
23.61
22.27
23.31
22.30
24.02
20.91
23.79
19.33
24.00
21.76
24.59
19.68
24.10
20.87
24.99
18.57
23.01
19.11
22.70

N
3115
7410
4253
11693
6683
9379
7041
15984
2471
6180
6108
12322
4306
9621
7838
18197
2481
5602
3264
6961

現代社会
平均 S.D.

N
4698
10544
6736
17257
9508
14618
10743
24638
3679
7863
9386
21140
7851
17091
12068
30198
4726
10309
6792
14569

数学 I・A
平均 S.D.

52.11 11.16
77.27 13.27
49.10 11.10
65.75 15.81
60.28 11.95
69.53 15.49
54.46 11.60
59.76 15.88
56.24 11.30
83.10 11.32
52.34 11.36
72.67 15.44
63.01 11.94
77.02 13.92
56.17 11.88
66.07 16.65
64.64 11.84
67.41 16.64
55.96 12.28
56.97 17.08
61.54 12.04
87.44 10.71
58.14 12.32
78.62 15.83
71.62 11.39
79.31 13.75
63.55 12.69
68.74 17.63
66.00 12.20
92.12 9.02
61.87 12.97
84.45 14.81
76.03 11.64
88.10 10.27
69.93 12.71
80.01 14.99
74.15 12.07
95.59 6.67
69.53 12.65
89.83 12.21
生物 IB
英語
平均 S.D.
N 平均 S.D.
N
平均 S.D.
50.70 13.20
814 57.55 19.10 4950 124.42 22.75
40.64 13.10 2626 52.64 17.93 11652 107.94 25.03
49.55 14.22 4796 65.78 13.20 7649 138.97 21.85
40.28 13.89 12904 56.89 13.94 20774 119.90 24.93
59.50 12.33 1719 68.73 17.82 9529 141.16 20.79
47.29 14.34 3200 59.21 18.24 14687 123.29 25.67
57.13 15.15 7530 70.53 12.33 11285 152.53 19.35
45.32 15.35 17921 60.56 14.20 26571 131.14 25.40
46.43 15.54 2750 65.43 13.59 4641 157.82 18.45
37.40 14.46 5976 55.44 14.43 11649 133.40 26.98
68.69 12.42 3335 77.53 13.07 9400 160.69 18.15
56.57 16.19 8355 69.18 15.68 21205 143.74 26.65
63.54 14.33 5600 74.61 10.95 8545 171.63 15.92
49.79 16.51 11527 64.97 14.33 20369 153.82 25.51
77.57 12.03 3449 81.69 12.01 12066 173.40 15.97
65.51 16.20 11333 73.12 15.87 30220 157.27 26.20
71.61 12.69 2909 80.79 9.70 4781 178.76 12.79
60.92 15.97 6506 72.95 12.96 10480 164.67 21.84
84.32 10.40 2167 86.64 9.31 6779 186.03 11.02
73.42 14.86 5756 79.39 13.26 14551 174.64 19.89
N は当該部分の志願者数を表す．S.D. は標本標準偏差を示す．

ぞれ得点の範囲を 11 区分し，該当する箇所の受験者の数を面積で表している．区分は 0 以上 10 未
満，10 以上 30 未満，以後 190 点まで 20 点刻みの区間とし，最後は 190 点以上 200 点までとしている．中央の曲線は，複数の科目に共通な能力の存

数学 II・B
平均 S.D.

N
4653
10314
6282
15651
9466
14506
9888
21497
3048
5774
9335
20945
6844
13673
12033
30078
4608
9946
6783
14560

47.82
38.18
39.98
33.09
55.22
44.49
46.55
37.81
35.43
29.96
62.57
51.08
47.22
39.35
72.90
59.89
61.70
50.56
81.17
67.88

13.22
12.88
13.47
11.90
13.13
14.17
14.45
13.65
12.86
11.77
15.00
16.96
14.90
15.12
15.91
18.54
14.97
16.10
14.40
18.15

在を仮定し，その能力が一定であるときの条件付の 2 つの科目のそれぞれ平均値を非線形因子分析を用いて推定し，それらの点を結んだものである．
この曲線はある意味において，難易度の同等性の推定値とも解釈しうるものであるが，計算手続き

122

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006

200

表 6 入学者と不合格者の各クラスターにおける分離度

0.74
0.56
0.78
0.63
0.45
0.70
0.52
0.73
0.71
0.78

0.77
0.66
0.90
0.77
0.61
0.80
0.87
0.80
0.71
0.80

0.27
0.65
0.53
0.73
0.70
0.56
0.72
0.57
0.65
0.59

0.68
0.79
0.75
0.90
0.98
0.70
0.77
0.68
0.72
0.65

a

100

0.76
0.62
0.75
0.69
0.62
0.61
0.64
0.57
0.59
0.53

J
jI
G
H
i
E
ghF
D
eB
f
C
d
c
bA

50

0.27
0.50
0.34
0.58
0.71
0.28
0.66
0.32
0.49
0.37

0

0.33
0.63
0.45
0.75
0.86
0.49
0.72
0.55
0.60
0.59

Japanese I&II

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

150

クラス 国語 現代 数学 数学 化学 生物 英語IBター I・II 社会 I・A II・B IB

0

50

100

150

200

English

図 20 「英語」と「国語 I・II」の同時得点分布とクラス
ター別平均

入学者と不合格者の分離度

100

英語

生物IB

化学IB

数学IIB

数学IA

現代社会

国語I・II

80

J

I
A
D
B

60
40

F

GjI J
i
gE
D
hF H
B
f
e
d
C
c
a bA

20

C

Contermporary Society

HE

図 19 クラスター別合格者不合格者分離度
各セルの上端は 1，下端は 0.2，破線は 0.7 を示す．志願者中の数学 II・B の選択率順でクラスターを表示した．

については次節で説明する．
文字はクラスター別の平均点を表すが，集計の対象としているのは「国語 I」または「国語 I・II」
を本試験で受験し，「英語」も本試験で受験している志願者である．「地理歴史」および「公民」を再試験または追試験で受験した志願者も対象から除いている．小円で表される同時分布の表示の対象となるのは，「国語 I・II」と「英語」の両者を本試験で受験したもののみであるが，「英語」のクラスター平均では，「国語 I」の受験者も集計対象となっている．
二つの科目得点の間には両者を受験した者について約 0.60 の相関があるが，募集単位のクラス
ター別得点平均には，ほぼ線形の明白な関係が認「数められる．これらのクラスターは「国語 I・II」

0

G

0

50

100

150

200

English図 21 「英語」と「現代社会」の同時得点分布とクラス
ター別平均

学 I・A」「数学 II・B」および「英語」の得点に基づいて構成したものである．前掲の図 9 からは，
数学と「英語」の間に 2 次元的な広がりがあることがわかるが，ここではそのような構造は示されていない．
図 21 は，同様に「英語」と「現代社会」の同時分布とクラスター別の得点平均を示したものである．百点満点の場合には，小円の表示のための区分は 0 から 5 点未満の区分，次いで 5 点以上 15 点
未満の区分，以降 10 点刻みで 85 点以上 95 点未
満の区分まで続き，最後は 95 点以上としている．
図を見ると英語が 170 点より低い部分では，合否別クラスターの得点平均は，ほぼ直線状に配置されているが，より高得点の部分では傾きが変化し

123

100
80
60
40

J

0

0

0

50

100

150

200

English

0

50

100

150

200

English

図 22 「英語」と「数学 II・B」の同時得点分布とクラス
ター別平均

図 24 「英語」と「生物 IB」の同時得点分布とクラスター
別平均

80

100

ものである．この図から「化学 IB」についてのク

40

60

Hj
I
F
h
CfD iGAc B gEa b deラスターの得点平均の構造は，「英語」と「数学」との中間的なものになっていることがわかる．
図 24 は，「英語」と「生物 IB」についてである．
同じく理科の科目ではあるが，「生物 IB」のクラ
スター別の得点平均は「英語」と単調に近い関係にあることがわかる．少なくともクラスター単位の平均で見る限りは，「英語」や「国語」に近い得
点パターンを持っていることが示されている．

J

0

20

Chemistry IB

HjI
FiG
h
D
f
C gE
B
cde
A
b
a

20

Biology IB

40

60

Hj
F
I
Cf h iA
c DG
a dB gE
be

J

20

Mathematics II&B

80

100

平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について

0

50

100

150

200

7 複数科目の得点比較

English図 23 「英語」と「化学 IB」の同時得点分布とクラスター
別平均ているのが認められる．各クラスターの「現代社会」と「英語」の得点平均には，必ずしも線形ではない単調関係が見られる．
「英語」と「数学 II・B」の同時分布と図 22 は，クラスター別の科目得点の平均を示している．ただし，これ以降の図においては，クラスター平均1 」においの計算の対象となっているのは，「数学
て「数学 I・A」を本試験で受験し，「外国語」では「英語」を本試験で受験したものに限る．また，
1」2」3 」のいずれかを追試験
「理科
「理科
「理科
で受験したものは，分析対象から除いてある．ここでは，図 9 と同様に三角状のクラスター平均の広がりが認められる．
「英語」と「化学 IB」についての次の図 23 は，センター試験得点の構造を分析する際の困難のひとつは，受験者が多様な科目選択パターンをとっているために，統一的な視点によってデータをまとめることが困難であることである．複数の科目の困難度を平均点によって単純に比較しようとする場合にも，「英語」を除いてはほとんど全ての受験者が受験している同一科目は存在しないために，
結論はあいまいなものになる．ここではこの問題に対応するひとつの解決法として，欠測値に対応した非線形因子分析（大津，2004）を用いて得点分布についての推論を行う．
因子分析は複数の変数間の関係を，直接には観測されない潜在変数を仮定することにより簡潔に表現する統計的分析方法であり，心理テストの分
析に伝統的に用いられてきた．ただし，通常用いられている手法は変数間の線形の関係のみを分析の対象としている．ここでは変数間の非線形の関124

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006

係を分析するために，スプライン関数によって変換された潜在変数（因子）によって観測変数の期待値が表現されるモデルを用いて分析を行う．またここで用いている推定方法では，潜在変数を離散近似することにより数値的な取り扱いが容易になり，MAR と呼ばれる仮定のもとでの欠測値への対応が容易となる．
非線形因子分析は観測変数と潜在変数の間に非線形の関係を想定する統計モデルである．このような方法はかなり早くから提案されている (McDonald, 1962, 1967)．ここで提案する方法により密接な関係を持つ研究は項目反応曲線の推定にスプライン変換を用いた Ramsay & Winsberg (1991)
である．McDonald の 1960 年代の研究は，多項式変換を用いた共分散構造の当てはめに基づいている．一方，Ramsay&Winsberg の研究は，2 値反応を前提としているものの潜在変数の非線形変換にスプライン曲線を用い，最尤法を用いた推定を行う点で，ここに示す方法と共通点が多い．また，センター試験におけるような大問構造を持つテス
トデータの分析法であるテストレット分析（石塚・中畝・内田・前川，2001; 石塚・前川・菊地・中畝・
内田，2003）とも分析意図において共通する部分が多い．
以下で非線形因子分析モデルの説明を行う．
ここで Yj は j 番目の観測変数であり，x は正規分布に従う潜在変数を表す．

Yj |x ∼ N (ηj (x), ψj ) .

(2)

また ηj は潜在変数を固定した場合の Yj の条件付平均を表し，また ψj は変数に固有の分散（独自分散）を示す．さらに，線形の因子分析と同様に，xを固定したもとでの各 Yj は統計的に独立であると仮定する．
非線形へのモデルの拡張を行うことにより，パラメータの同定が難しくなる可能性が大きい．線形の因子分析の推定においては，しばしば独自因子の分散の推定値がゼロとなる場合があり，非線形への拡張はこのようなケースをより頻繁にもたらす．また，周辺分布が複雑になり，簡明な式によっては尤度を表すことができない．これらの問題を回避するため，独自因子の分散に緩やかな事
前分布を仮定する．また，潜在変数を離散近似することによって計算を容易にし，さらに非線形変換 η にスプライン関数を用いることにより，多様な非線形関係を柔軟に表現できるようにする．
独自因子の分散 ψj の値を制約するために逆カイ 2 乗分布を事前分布として仮定することにより，パラメータ同定が困難になる問題を回避する．逆カイ 2 乗分布は，ベイズ推定において分散の事前分布としてしばしば用いられている．
確率密度関数を付録 A の (4) 式に示す．
以下の推定ではこの事前分布の自由度を ν = 2とし，尺度パラメータ s は観測変数の標準偏差に等しくなるように設定した．また潜在変数は 1 次
元の正規分布を仮定し，50 個の等分位区間の平均値によって離散近似を行った．分布の両端（最小値および最大値の離散近似点）と中央に節点を設け，2 次の区分多項式をスプライン関数として用いた．
以下の分析において，Yj の条件付分散 ψj は潜
在変数 x の値によらず一定であると仮定している．
しかし，試験得点の場合には満点に近い場合には明らかに分散が小さくなると考えられるため，次の式によって科目得点を変換した上で分析を行った．
YjYj = fj (Yj ) = arcsin(3)
科目 j の満点
欠測を伴うデータの推定においては，欠測構造についてのなんらかの仮定の下に推定を行う必要がある．一般的な欠測メカニズムに対応した推定は容易ではなく，データ以外の情報を用いて欠測メ
カニズムをモデル化する必要がある．しかし，欠測メカニズムが MAR（Missing At Random）と呼ばれる性質を満たす場合には，データに基づく推定方法が簡明になる (Rubin, 1976)．
確率変数 Yij の欠測を示す指標を Iij とする．ここで Iij = 1 ならば Yij が観測されており，Iij = 0
ならば欠測を表す．この指標が確率変数であるとすると，そのモデルには様々なものが考えうる．一番単純なものは，{Yij } のいずれの値とも無関係な確率変数として Iij が定義される場合である．これは MCAR（Missing Completely At Random）と呼ばれ，欠測の発生が無作為抽出によって生じていることを意味する．MCAR である場合には，欠測の発生したデータを除いて推定を行うと，無作
為に標本を減少させて推定を行うのと同等であり，

平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について

125

推定効率は下がるが，特別な偏りが生じることはない．
この条件を緩め，より適用範囲を広げたものがMAR である．確率変数 {Yj } のうち，観測されている値の集合を y o とし，欠測している値の集合を
y m で表す．ここで，観測変数と同様に欠測の指標{Ij } を確率変数と考え，これらの全体，すなわち(I1 , . . . , Ip ) を I で表すものとし，その確率分布を学を受験していないが，国語と英語とは全員が受験しているものとする．また，数学を受験しないことを表す欠測変数を I とする．MAR の仮定は，
I の分布が国語と英語の得点にのみ依存し，数学を受験していない学生の（受験したら得られるであろう）数学の得点には依存しないことを意味する．つまり，国語と英語の得点が同じならば，数学を受験したなら得られるであろう得点の値にはp(I) とする．一般的に I は y o と y m の両者に依存する可能性があるが，ここで I が y m には依存せず，y o のみによって分布が定まるものとする．つまり，

よらず，数学の受験率は一定であると仮定するものである．
入学試験の場合，このような仮定が厳密に成り立っていると想定することは明らかに困難であり，受験したなら得られるであろう得点が低い受験者
において欠測が多く発生していると仮定するほうが自然であろう．しかしながら，この条件を表現するためには，得点と欠測発生の関係を明示的にモデル化する必要があるため，科目成績と受験率との関係についての情報を与える他のデータを利用しなければ推定が難しい．また，多くの科目についての得点が利用できる場合については，厳密に MAR が成立しておらずともある程度妥当な推定が可能であると考えられる．
以下では，
「国語」
，
「地理歴史」，「公民」，および「外国語」のうち「英語」についての分析と，「数学」および「理科」の主要科目についての分析例
について結果を簡単に示す．
，「国語 I・II」，「世界最初の分析では，「国語 I」，「世界史 B」，「日本史 A」，「日本史 B」，「地史 A」「地理 B」，「現代社会」，「倫理」，「政治・
理 A」，
経済」
，
「英語」の 12 科目の得点を対象とする．また，受験者のうち，「国語」のいずれかの科目を本試験で受験し，「外国語」の試験において「英語」を本試験で受験した者に分析対象を限定する．また，その他の科目においても追試験または再試験を受験したものは分析対象から除くことにする．この
結果分析対象となった受験者は 507,163 名となり，
これは英語の全受験者の 94.6 パーセントである．
こ こ で 潜 在 変 数 は 50 個 の 離 散 値 xk , k =1, . . . , 50(= K) で近似しているが，変換後のそれ
ぞれの科目得点の分布は ηj (xk ) で近似される．潜p(I|y o , y m , φ) = p(I|y o , φ)が成立しているとする．ここで φ は欠測発生の分布にかかわるパラメータである．各 Y の分布を定めるパラメータを ζ とする．利用可能なのは y o とI の値であり，これらの確率分布は
p(y o , I|ζ, φ) = p(y o , y m , I|ζ, φ)dy m= p(y o , y m |ζ)p(I|y o , y m , φ)dy mで定義される．ここで MAR の仮定が成立しているならば，

p(I|y o , y m , φ) = p(I|y o , φ)であり，上の式は
p(y o , I|ζ, φ) = p(y o , y m |ζ)dy m × p(I|y o , φ)となる．ここで求めたいのは ζ の値であるが，ζ についての尤度はp(y o , y m |ζ)dy m
によって定まり，欠測メカニズム p(I|y o , y m , φ) を考慮する必要がない．
潜在変数を離散近似した非線形因子分析モデルの尤度は MAR の仮定のもとで簡明に表すことができる．これを付録 A の (5) に示す．
MAR の仮定は，欠測の発生確率が観測されている変数の値によって予測可能であり，欠測している値自身には依存しないことを主張するものである．ここで，国語，数学，英語の 3 科目からなる
仮想的な試験の例を考えよう．一部の受験者は数

在変数についての条件付平均を逆変換した値はgj (ηj (xk )), (k = 1, . . . , K)
で与えられる．

126

大学入試センター研究紀要 No.35, 2006

図 20 と 21 における曲線は，上の分析における(gj (ηj (xk )), gj  (ηj  (xk ))) を繋いだものである．10
個の募集単位のクラスターの入学者平均および不合格者平均ともに，この曲線に近い箇所に位置している．同一クラスターに属する募集単位への志
願者は，互いに類似した学力層に属すると考えられるため，これらのクラスター平均は複数科目の難度比較のひとつの基準を与えるものと考えられる．異なる推論によって得られた結論が，ほぼ同一の結果を与えることは，それぞれの推論の有効性を強める．
もうひとつの分析は，「英語」および数学と理科「数学 II・B」，「総合理の 7 科目（「数学 I・A」，，「化学 IB」，「生物 IB」，「地学 IB」）
科」，「物理 IB」
を対象とするものである．こちらは，「数学 1 」の本試験において「数学 I・A」を受験し，かつ「外国語」の本試験において「英語」を受験した者を分析対象とした．また最初の分析と同様に，
「数学




2」
1
2
3
，
「理科 」
，
「理科 」
，
「理科 」において追試
験または再試験を受験したものは除いてある．分析対象となった受験者は 380,463 名であり，先の分析の場合と比べ分析対象者がかなり限定されて
2」
1」，および「理科，「理科いる．また，「数学2」3 」における受験者数の少ない他の科目「理科
は分析が困難と思われるためここでは検討から除いた．
図 22 から図 24 における中央の曲線は，これら「英語」を含む 7 科目の分析によって得られた潜在変数の条件付平均を前例と同様に表示したものである．これらの場合においても，「数学 II・B」を除き，クラスター毎の科目得点の平均がほぼ単調な関係にある場合には，それらの位置と潜在変数の条件付平均とはよく一致している．ただし，「数学 II・B」については，図 9 に見られるのと類似の構造が得られているのがわかる．興味深いことに，「化学 IB」と「英語」の関係を示す図 23 は，（図 22）と「生物 IB」（図 24）との「数学 II・B」
中間的な特質を示していることがわかる．

8 ま と め学部等の募集単位別にセンター試験の科目別得点を求めることにより，どのような得点層において，センター試験の得点が合否と強い関係をもっているかが示された．ここでは，募集要項に示された条件は考慮せず，センター試験と合否の見か
け上の関係に基づいて分析を行ったことによるあ
いまいさは残るが，センター試験の科目別得点が，どのような得点水準において，合否と良く関連しているかの状況を示すことができた．
また，センター試験の科目別得点の平均値によって募集単位をクラスターに分割することにより，それぞれのクラスターにおける科目選択状況と科目別得点の特徴が明らかになった．ここでのクラス
ターは，「国語 I・II」「数学 I・A」「数学 II・B」「英語」の得点にのみ基づいて構成したものであり，他の科目得点を考慮していない．しかしながら，他の科目のクラスター別の平均得点を検討すると，クラスターを構成した 4 科目の得点と強い関連があり，他の科目得点の構造もこれらのクラスター
によって表現されることがわかった．
クラスターは「国語」および「英語」の得点を表す空間軸，およびその軸と緩やかに関係している「数学」の得点を表す空間軸とによって表現される．ほぼ全ての科目において最も成績のよいクラスターである J は，文系，理工学系，医学系などが混在しており，ここでの分析では幾分特徴があ
いまいになっている．クラスター J に含まれる募集単位は，科目別得点の良さという点で一致しているのであって，より詳細な特徴では異質なものが混在していると思われる．これらの特徴は，センター試験の成績によっては判別しがたい．
さらに，クラスターによって志願者の男女比，科目別の選択率，辞退率などに大きな違いのあることがわかった．特に，理科の科目選択においては，同一のクラスターにおいても性別により，「物理 IB」と「生物 IB」の選択率に大きな違いのあることが示された．
試験内容の改善をはかるためには，それぞれの試験がどのような受験者によって利用されており，それが合否判定にどのように関わっているかを把握する必要がある．ここで示した分析は限定的なものではあるが，このような試みを実現し有益な知見を得たと判断される．
また，異なる科目の得点の比較においては，クラスターの得点平均と MAR の仮定に基づく非線形因子分析の結果が多くの場合一致することから，
なお少人数科目での推論に問題はあるものの，こ平成 16 年度大学入試センター試験前期日程における志願状況と科目別得点の特徴について

127

れら 2 つの分析方法が現実的に有効であることが強く示唆された．
これまで行われている科目得点の比較に関わる多くの研究は，暗黙のうちに推定の前提として MARを仮定しているとみなせる．ここでの分析は，推定の前提を明示することにより，適用の限界をより明確に示すことができる．これは実用上重要な点であり，優れた理論研究がデータ分析の実際にタの分析にかなり有効であることが示されたので，さらに複数年度にわたる分析を行うことにより，より有益な知見を得ることも可能と思われる．
謝辞：査読者の先生方の丁寧な指摘により，論文の内容と表記が大きく改善されました．感謝いた
します．

与える影響の広範さを示すものでもある．
欠測に対応した非線形因子分析の枠組みは，広いパターンのテストデータの記述を的確に行える．
一般的に利用されることの多いテスト得点の等化
法にくらべ，理論的な枠組みの柔軟さに特徴があるが，潜在変数による表現を用いるため（線形の因子分析においても共通する性質であるが）個人の得点の事後推定値は，平均に引き寄せられたものになる．純粋に統計的な推定の視点からみるならばこれは適切ではあるが，全てのテスト得点を平均に引き寄せた推定が行われるため，実用的な得
点変換においては当事者の同意は得られにくいと思われる．一般的に利用されている等分位点法やTucker 法は，2 つのテスト得点が同等となる変換を求めようとするものであるが，ここでの分析はむしろ必ずしも同等とはいえない複数の変数の関係に内在する構造を記述しようとするものである．
また，非線形の推定が適切に行われるためには，相当数のデータが必要であり，データ件数が少ない場合には，非線形性によってもたらされる推定の不安定さに注意を払う必要がある．また，ここでの推定は独自因子の分散 ψj が潜在変数 x の大きさによらず一定であることを仮定しているが，非線形モデルはこの仮定にかなり敏感であり，この前提が崩れるとしばしば不可解な推定結果をもたらすことに留意する必要がある．
ここでの分析は，平成 16 年度のセンター試験に限定したものであり，この年度に特有の特徴と複数の年度にわたって一般的に成立している特徴とを区別することができない．科目得点についての他の分析結果などを参照すると，国語，数学，英語の科目得点の相互関係は比較的安定したもので

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あり，複数の年度にわたって成立していると思われる．ただし，科目別の難易度は，年度によってかなり変化することに留意する必要がある．
ここで試みた分析の枠組みはセンター試験デー

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A 事前分布とモデルの尤度
独自因子の事前分布を表す逆カイ 2 乗分布の確率密度関数は次の式で定義される．
−νs2(ν/2)ν/2 ν −ν/2−1
2Invχν (θ) =exps θΓ(ν/2)
2θ
(4)
ここで s は尺度パラメータである．この θ がゼロに近づくと関数の値もゼロに近づく．この関数を独自因子の事前分布と仮定することにより独自因子の分散の推定値がゼロに近くづくことを避ける．
離散近似されたモデルの尤度は次の式で表される．ここで，添字集合 oi は標本 i において観測された変数の集合を表す．添え字 k は潜在変数を離散近似する点を表し K はそれらの個数を表す．また各 k に対応して設定された w(xk ) は，離散化された xk における重みを表す．
L(θ, ψ|y) =Invχ2 (ψj |ν, s2j )

⎧

×

j

n ⎨
K 

i=1

⎩

k=1 j∈oip(yij |ηj (xk |θj ), ψj )w(xk )

⎫
⎬
⎭

(5)

On the Analysis of Relationship between Applicant’s Test Scores and their Application Behavior

129

On the Analysis of Relationship between Applicant’s
Test Scores and their Application Behavior in theFirst Period of The National Center Test 2004
OTSU Tatsuo∗
HASHIMOTO Takamitsu∗
SHOJIMA Kojiro∗
ISHIZUKA Tomoichi∗

Abstract
We analyzed the relationship between an applicant’s scores on the National Center
Test and the subsequent success or failure of his or her university application for theﬁrst periord in 2004. Scatter plots that describe the mean scores of applicants who wereadmitted to a national or a public university are shown as well as those of applicants who
failed to admit. The ﬁgures describe applicants’ scores in four subjects: Japanese I and
II, Mathematics I and A, Mathematics II and B, and English. The characteristics that
related to an applicant’s test result are diﬀerent for subjects.
For detailed consideration, we classiﬁed university departments into ten clusters. The
classiﬁcation was based on the mean scores of successful and unsuccessful applicant’s in
the four subjects. The pass-fail status in the clusters is shown in a table. Although female applicants’ ratio varied between departments, there was no signiﬁcant diﬀerence inthe pass ratio between male and female applicants in the clusters. We found a signiﬁcantgender diﬀerence in the subject choice ratio for Physics IB and Biology IB. A simultaneous distribution of applicants’ scores in several subjects is shown in scatter plots. The
mean scores of applicants in the clusters are shown in the ﬁgures. Estimations on therelationship between subject scores by nonlinear factor analysis are shown.
Key words: subject selection, reorderable matrix graph, nonlinear factor analysis.

∗

Department of Applied Statistics and Measurement, Research Division, The National Center for University
Entrance Examinations