創造応用 IS（稲葉）No.14a2021.11.24(水 13:10 ∼)兵庫高校

一元配置分散分析

14（この章のポイント）
１）3 つ以上の群のデータについての違いは、平方和で分析できる。
２）平方和の比で分析するので、F 分布で検定する。
３）最適水準における母平均の区間推定はｔ分布が利用できる。

14.1 3 つ以上の群のデータ
11 章で 1 群、12 章では 2 群のデータの比較の方法について紹介しました。しかし、臨床試験では実際の投薬用量を決めるためにも、3 つ以上の用量での実験が行われてます。以下の例題を見てみましょう。
例題 14.1 臨床試験で、対照群、低用量群、高用量群の 3 群比較を行う。各群 n = 5 人についての測定データを、表 14.1 に示す。

群デー

表 14.13 群のデータ

タ和データ数

平均Tinixixij
対照群

二乗和平方和SiA1

20 25 17181595519186358

低用量群 A218 17 12141980516131434

高用量群 A323 26 211921 110

522244828−−−−−285

15−−5625120

計a 個の群から、各々 ni 個のデータを取り、下記の仮定を設定します。
仮定：xij ∼ N (µi , σ 2 ), i = 1, · · · , a; j = 1, · · · , ni
ここで、各群のデータの母分散が同じ（等分散）であるとの仮定をおいています。もちろん、3 つ以上の母分散が異なるかどうかの検定を行う手法もあります。
平方和の分解
各群のデータ数 ni ≡ n は一定とします。各群での母平均 µi について、これらが等しいかどうかを調べます。

14.2

帰無仮説：µ1 = µ2 = · · · = µa
対立仮説：その他
まずデータのばらつきを、各群での標本平均 xi を介して、2 つの変動に分解します。
データの分解：xij − x = (xij − xi ) + (xi − x)(14.1)

一つ目は、母平均の違いを、各群での標本平均の変動 xi − x で捉えます。これは 群間変動 です。二つ目は、群の中での変動 xij − xi で、誤差的なばらつきを意味します。これは 群内変動 です。これらの二乗和を、それぞれ、要因平方和（群間平方和）SA , 誤差平方和（群内平方和）SE といいます。
a∑要因平方和：SA = n(xi − x)2

誤差平方和：SE =i=1
a ∑n∑(xij − xi )2i=1 j=1

このことを、表 14.1 の 15 個のデータで表現すると、以下のようになります。

(14.2)(14.3)

表 14.2(a) データ：xij

データの分解(b) 総平均：xA12025171815A21817121419A32326211921−A119 19191919A219 19191919A319 19191919(d) 群内変動：xij − xi(c) 群間変動：xi − xA1=A2000−3 −3−3A33

3

300−3 −33+3

A1

16−2 −1 −4A2

2

1−4 −2A3

14−1 −3 −13a∑(c) より、SA = n (xi − x)2 = 5{02 + (−3)2 + 32 } = 90i=1(d) より、SE =a ∑n∑(xij − xi )2 = 12 + 62 + · · · + (−1)2 = 120i=1 j=1がわかります。一般的に、データの総平方和 ST を、
na ∑∑(xij − x)2総平方和：ST =(14.4)

i=1 j=1とおくと、これら 3 つの平方和には、ST = SA + SE

(14.5)の関係が成り立ちます。これを 平方和の分解 といいます。
これが成り立つ理由は、

{∑}
a ∑
nan
∑
∑
(xi − x)(xij − xi ) =(xi − x)(xij − xi ) = 0
i=1 j=1i=1(14.6)

j=1の{} 内が 「群内の偏差の和がゼロ」 であることから導かれます。なお、表 14.2 の (d) で、各群内の 5 つずつの和がゼロより確かめられます。
分散分析表による検定
群による母平均の違いについては、自由度を考慮して、F 検定を行います。各要因の自由度は、総自由度 ϕT = an − 1, 要因自由度 ϕA = a − 1, 誤差自由度 ϕE = a(n − 1) です。各要因ごとに、自由度 1 当りの平方和（平均平方）V を求めて、最終的に、検定統計量は F0 = VA /VE で求めます。
なお、棄却域は14.3

棄却域 R：F0 >= F (ϕA , ϕE ; 0.05)のように、必ず右片側検定となります。これは、対立仮説の下では、F0 が大きくなる傾向があるからです。ここまでの計算結果を、表にまとめます。
表 14.3

分散分析表

要因平方和

自由度

平均平方F0 値

限界値因子 ASA

ϕA = a − 1

VA = SA /ϕA

F0 = VA /VE

F (0.05)

誤差 E

SE

ϕE = a(n − 1)

VE = SE /ϕE−−−−計ST

ϕT = an − 1−−−−−−T創造応用 IS（稲葉）No.14b2021.11.24(水 13:10 ∼)兵庫高校

帰無仮説の下で、この検定統計量 F0 が F (ϕA , ϕE ) 分布に従う理由は、章末問題 14.1 を参照して下さい。
例題 14.2

表 14.1 のデータについて、一元配置分散分析を行え。
表 14.4分散分析表

要因平方和

自由度

平均平方F0 値

限界値

因子 A

90

245.0

4.503.89

誤差 E

120

1210.0−−−−計210

14−−−−−−T

結論：F0 = 4.50 >= 3.89 = F (2, 12; 0.05) より、有意水準 5% で、要因 A によって母平均には違いがあるといえる。
投与群での母平均の推定
母平均 µi の 点推定値 は xi です。この点推定量の分布は、n 個の平均ですから、14.4()xi ∼ N µi , σ 2 /n(14.7)となります。ここで、SE /σ 2 ∼ χ2 (ϕE ) であることを利用すると、(14.7) 式を標準化して、分母の σ 2に VE を代入することで、自由度が ϕE のｔ分布が導かれます。そこで、µi の 95% 信頼限界は、次のようになります。

√信頼上限：xi + t(ϕE , 0.025) VE /n√
信頼下限：xi − t(ϕE , 0.025) VE /n
例題 14.3 表 14.1 のデータについて、高用量群の母平均の推定を行え。
√√
解答：点推定値は、µb3 = x3 = 22.0, 95% 信頼限界は、x3 ± t(12, 0.025) 10.0/5 = 22.0 ± 2.179 2 =22.0 ± 3.1 = 18.9, 25.1 となる。
このように実験を始めても、途中でデータが脱落することがあります。例えば病院の患者であれば、より重症の疾患が見つかり、そちらの治療を優先して病院に来なくなることがあり得ます。そのような場合、各群のデータ数が異なることになります。データ数が揃っている場合を バランスケース、揃っていない場合を アンバランスケース といいます。アンバランスケースは、次節で議論します。
サンプルサイズが異なる場合の分析 ∗各群での平均と、総平均は、次の式で推定します。

14.5()
ninia ∑a∑∑∑xi =xij /ni , x =xij /N,
ただし、N =ni
j=1

14.5.1i=1 j=1i=1アンバランスケースの平方和の分解

a∑
要因平方和：SA =ni (xi − x)2(14.8)

i=1nia ∑∑誤差平方和：SE =(xij − xi )2
i=1 j=1(14.9)

nia ∑∑(xij − x)2
総平方和：ST =(14.10)

i=1 j=1

例題 14.4

臨床試験で、対照群、低用量群、中用量群、高用量群の 3 群比較を行う。n1 = 4, n2 =5, n3 = 3, n4 = 4 で、総人数 N = 16 人についての測定データを表 14.5 に示す。
表 14.54 群のデータ

タ

和

データ数

平均

Ti

ni

xi

76

4191466

2280

516133050

60

32012141421884221946

10−−−−−304

16−−5956

96

群

デーxij
対照群

A118 23 1817

低用量群 A216 19 20

12

中用量群 A319 18 23

高用量群 A424 23 20

計13

二乗和平方和Si

アンバランスケースでの検定∑a
自由度は、ϕA = a − 1, ϕE = i=1 (ni − 1) = N − a となります。以下、平均平方や F0 値、棄却限界値を求めて要因に意味があるかどうかの検定ができます。これらを分散分析表にまとめます。

14.5.2表 14.7

分散分析表

要因平方和自由度

平均平方F0 値

限界値因子 A84328.0

3.503.49

誤差 E96128.0−−−−計

18015−−−−−−

T

結論：F0 = 3.50 >= 3.49 = F (3, 12; 0.05) より、有意水準 5% で、要因 A によって母平均には違いがあるといえる。
アンバランスケースでの母平均の推定
母平均 µi の 点推定値 は xi です。この点推定量の分布は、ni 個の平均ですから、

14.5.3()xi ∼ N µi , σ 2 /ni(14.11)となります。ここで、SE /σ 2 ∼ χ2 (ϕE ) であることを利用すると、(14.11) 式を標準化して、分母の σ 2に VE を代入することで、自由度が ϕE のｔ分布が導かれます。そこで、µi の 95% 信頼限界は、次のようになります。
信頼上限、下限：xi ± t(ϕE , 0.025)√VE /ni

例題 14.6 表 14.5 のデータについて、中用量群の母平均の推定を行え。
√√
解答：点推定値は、µb3 = x3 = 20.0, 95% 信頼限界は、x3 ±t(12, 0.025) 8.00/3 = 20.0±2.179 8/3 =20.0 ± 3.6 = 16.4, 23.6 となる。

14.6 まとめ
3 つ以上の母平均の違いは、母平均の推定値の変動を平方和で捉えます。誤差平方和は、各群ごとに計算して併合するだけで大丈夫です。（併合するときに、カイ二乗分布の再生性を利用します。）
このように計算すると、母平均の推定値や、要因平方和、誤差平方和は、互いに独立になりますので、ｔ分布や F 分布で検定や推定が可能です。また、サンプルサイズが異なるときも同様に計算できます。
ちなみに、自由度は、いくつの平均についての平方和かで、その個数から 1 を引けば求められます。