JAEA-Data/Code 2010 - 035

軽水炉燃料解析コード
FEMAXI-7 のモデルと構造
日本原子力研究開発機構安全研究センター
原子炉安全研究ユニット
鈴木 元衛・斎藤 裕明*・宇田川 豊（2010 年 12 月 17 日受理）

FEMAXI-7 は、軽水炉燃料の通常運転時及び過渡条件下のふるまい解析を目的とするコード
として、前バージョン FEMAXI-6 に対して多くの機能の追加・改良を実施した高度化バージョンである。特に、ソースコードの整備及び解読の効率化を図るためにサブルーチンやファンクショ
ンのモジュール化とコメント記述の充実を図り、コードのさらなる拡張を容易にした。また、新しいモデルを追加するとともに、ユーザーの使いやすさにも考慮して多くのモデルのパラメータを整理した。これらにより FEMAXI-7 は高燃焼度燃料の通常時のみならず過渡時ふるまいの解析に対する強力なツールとなった。
本報告は、FEMAXI-7 の設計、基本理論と構造、モデルと数値解法、改良と拡張、採用した物性値等を詳述したものである。

原子力科学研究所（駐在）：〒319－1195* ㈱伊藤忠テクノソリューションズ、東京i

茨城県那珂郡東海村白方白根 2－4

JAEA-Data/Code 2010 - 035

Light Water Reactor Fuel Analysis CodeFEMAXI-7; Model and Structure
Motoe SUZUKI, Hiroaki SAITOU* and Yutaka UDAGAWA
Reactor Safety Research Unit
Safety Research Center,
Japan Atomic Energy Agency
Tokai-mura, Naka-gun, Ibaraki-ken(Received December 17, 2010)
A light water reactor fuel analysis code FEMAXI-7 has been developed for the purposeof analyzing the fuel behavior in both normal conditions and anticipated transient conditions.
This code is an advanced version which has been produced by incorporating the former
version FEMAXI-6 with numerous functional improvements and extensions.

In FEMAXI-7,

many new models have been added and parameters have been clearly arranged. Also, tofacilitate effective maintenance and accessibility of the code, modularization of subroutinesand functions have been attained, and quality comment descriptions of variables or physicalquantities have been incorporated in the source code.

With these advancements, the

FEMAXI-7 code has been upgraded to a versatile analytical tool for high burnup fuel behavior
analyses.

This report describes in detail the design, basic theory and structure, models andnumerical method, and improvements and extensions.

Keywords: LWR Fuel, FEM Analysis, Transient, Pellet, Cladding, Fission Gas Release,
PCMI, Burn-up* ITOCHU Techno-Solutions Corporation, Tokyo, Japanii

JAEA-Data/Code 2010-035

目
1．序言
1.1

1.2

次

...................................................................................................................................................... 1............................................................................................................... 1

燃料解析コードの性格
1.1.1

燃料ふるまいの特徴と燃料解析コードの性格 .............................................................. 1

1.1.2

FEMAXI による燃料挙動の予測 ................................................................................... 2

1.1.3

FEMAXI コード開発の歴史 ............................................................................................. 3

1.1.4

FEMAXI コードの利用 ..................................................................................................... 3

FEMAXI の構造とモデルの特徴.............................................................................................. 4

1.2.1

モデルとは何か ................................................................................................................ 4

1.2.2

燃料モデリングとは何か ................................................................................................ 5

1.2.3

解析対象 .............................................................................................................................. 6....................................................................................................................................... 7

1.3

全体構造

1.4

数値計算とモデルの特徴......................................................................................................... 10

1.5

他コードとの関係、その他..................................................................................................... 111.5.1

燃焼解析コード RODBURN および PLUTON との接続

1.5.2

事故解析コード RANNS との接続

1.5.3

ベース照射から Re-start による試験照射への接続

1.5.4

実行環境など参考文献 1............................................................................. 12.................................................. 12................................................................................................................ 12........................................................................................................................................... 14

2. 熱的解析モデル
2.1......................................... 11................................................................................................................................. 16

冷却材への伝熱と熱水力モデル............................................................................................. 16

2.1.1

冷却材のエンタルピー上昇のモデル ............................................................................ 192.1.2

被覆管表面熱伝達率の決定 .......................................................................................... 22

2.1.3

熱水力プログラムの流れ ................................................................................................ 32

2.1.4

冷却材状態の遷移 ............................................................................................................ 342.1.5

流路相当直径および流路断面積 .................................................................................... 362.2

被覆管水側腐食モデル............................................................................................................. 382.3

半径方向一次元温度分布の計算............................................................................................. 402.3.1

半径方向リング要素数の選択 ...................................................................................... 402.3.2

被覆管表面温度の決定 .................................................................................................. 422.3.3

熱伝導方程式の解法 ...................................................................................................... 43

2.3.4

ペレット熱伝導率 .......................................................................................................... 49iii

JAEA-Data/Code 2010-035

2.4

2.5

................................................................................................. 51

発熱密度プロファイルの決定
2.4.1

RODBURN 出力の利用 ................................................................................................. 51

2.4.2

PLUTON 出力の利用 ..................................................................................................... 52

2.4.3

Robertson の式 ................................................................................................................ 52

2.4.4

ペレット温度計算の精度確認 ...................................................................................... 53

ギャップ熱伝達モデル............................................................................................................. 57

2.5.1

修正 Ross & Stoute モデル......................................................................................... 57

2.5.2

ギャップボンディングモデル

2.5.3

リロケーションモデル

2.5.4

スエリングと焼きしまりモデル.................................................................................. 60.............................................................................................. 63.............................................................................. 64..................................................................................................................... 64

2.6

接触力評価モデル

2.7

試験炉キャプセル内ドライアウト試験解析

2.8

2.9

......................................................................... 65.................................................................................. 66

2.7.1

ドライアウト試験のモデル化

2.7.2

物性値

.......................................................................................................................... 69

2.7.3

数値解法

...................................................................................................................... 71

FP ガス生成・放出モデル....................................................................................................... 74

2.8.1

FP ガス原子生成速度2.8.2

熱活性拡散・放出モデルの概念

2.8.3

トラッピングを伴う熱拡散

2.8.4

粒内バブル半径と数密度の White+Tucker モデル(IGASP=0, GBFIS=0) ................. 80

2.8.5

粒内バブル半径と数密度の照射溶解モデル(IGASP=0, GBFIS=1)

2.8.6

粒内バブルの Pekka Lösönen モデル(IGASP=1, 2)

2.8.7

偏微分拡散方程式の Galerkin 解法

2.8.8

結晶粒と粒界

2.8.9

粒界へ移動する FP ガス原子の量2.8.10

粒界に溜まる FP ガス量 Ginv

2.8.11

放出されるガス量2.8.12

粒成長に伴う粒界へのガスの掃き出し

2.8.13

FP ガスの再溶解

2.8.14

粒界 FP ガス原子濃度の飽和値（平衡論）

2.8.15

FP ガス原子の粒内拡散定数.............................................................................. 75...................................................................................... 77......................... 83................................................... 87.......................................................................... 88.............................................................................................................. 93

速度論モデル（IGASP=2）
2.9.1................................................................................................ 75........................................................................... 94................................................................................. 95.................................................................................................... 97................................................................ 98.................................................................................................... 103....................................................... 104................................................................................ 107...................................................................................................... 109

前提（平衡論モデルとの共通部分）........................................................................ 109iv

JAEA-Data/Code 2010-035

2.9.2
2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

粒界バブル成長速度式............................................................................................ 109

バブル成長スエリング：平衡論（IGASP=0） .................................................................... 116.............................................................................................................. 116

2.10.1

バブル成長

2.10.2

バブルスエリング.................................................................................................. 118

バブル成長スエリング－速度論......................................................................................... 120

2.11.1

バブルの合体・粗大化.......................................................................................... 120

2.11.2

スエリング

圧力抑制モデル.............................................................................................................. 122..................................................................................................................... 123

2.12.1

簡便な方法 (IPEXT=11,12,13)

2.12.2IPEXT=14 の場合

2.12.3出力降下時の軸方向ガスコンダクタンス増加との比較考察............................................................................ 124.................................................................................................. 127.......................... 128..................................................................................................... 129

高燃焼度リム組織モデル.................................................................................................................. 129

2.13.1

全体概念

2.13.2リム組織固相における FP ガス原子の濃度減少

2.13.3

リム組織の燃料ふるまいへの影響モデル

パラメータによる計算モデルの選択............................................... 130.......................................................... 134................................................................................. 141.............................................................................. 141

2.14.1

ペレット径方向リング要素数

2.14.2

ペレット熱伝導率計算

2.14.3

スエリングモデルの内容と選択

2.14.4

FGR モデルの選択

2.14.5

バブル成長とスエリング

2.14.6

リム組織モデルと他のモデルオプションとの関係.............................................. 146.......................................................................................... 142.......................................................................... 143................................................................................................. 144...................................................................................... 145

ギャップ内ガスの拡散・流動モデル................................................................................. 147.......................................................................................... 148

2.15.1

拡散計算の仮定と方法

2.15.2

燃料棒内空間体積の求め方

2.15.3

内部ガス圧力2.15.4

プレナムのガス温度と被覆管温度

2.15.5

照射途中における内部ガス状態変更のオプション.............................................. 162

タイムステップの制御.................................................................................. 156.......................................................................................................... 160...................................................................... 161......................................................................................................... 162.................................................................................................................. 162

2.16.1自動制御

2.16.2FP ガスモデルにおけるタイムステップ幅の決定

2.16.3

温度計算におけるタイムステップ幅の決定

参考文献 2.......................................... 165.................................................... 165......................................................................................................................................... 166v

JAEA-Data/Code 2010-035

3. 力学解析モデル
3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

............................................................................................................................... 170

基本式と非線形力学の解法................................................................................................... 170

3.1.1

基本式 .............................................................................................................................. 170

3.1.2

初期応力法・初期歪み法・剛性変化法（非線形歪みの取り扱い） ........................ 176

3.1.3

FEMAXI コードでの基本式の解法（非線形歪みの取り扱い） .................................... 179

燃料棒全長での力学的ふるまい［全長力学解析］ ............................................................... 186
3.2.1

全長力学解析(I)のモデルとリング要素 .................................................................... 187

3.2.2

有限要素マトリックスの決定 .................................................................................... 191

3.2.3

ペレットクラック ........................................................................................................ 197

3.2.4

燃焼に伴うクラックの変化 ........................................................................................ 201

3.2.5

マトリックスにおけるクラック表現方法 ................................................................ 204

3.2.6

FEMAXI における相当応力、相当歪みの定義式 ................................................... 207

3.2.7

ペレットのホットプレス ............................................................................................ 208

3.2.8

増分法の補足説明 ........................................................................................................ 212

非線形歪みの計算方法........................................................................................................... 215

3.3.1

クリープ ........................................................................................................................ 215

3.3.2

塑性 ................................................................................................................................ 225

3.3.3

剛性方程式の導出 ........................................................................................................ 234

全体マトリックスの定式化と外力....................................................................................... 236

3.4.1

剛性方程式と全体マトリックス ................................................................................ 236

3.4.2

上下プレナム境界条件 ................................................................................................ 239

3.4.3

ペレット・被覆管接触モデル .................................................................................... 244

局所での力学的ふるまい［力学解析(II)］......................................................................... 252

3.5.1

要素体系 ........................................................................................................................ 253

3.5.2

基本式 ............................................................................................................................ 257

3.5.3

剛性方程式 .................................................................................................................... 260

3.5.4

境界条件 ........................................................................................................................ 265

3.5.5

ペレット・被覆管機械的相互作用と接触問題 ........................................................ 271

3.5.6

軸方向荷重―上部ペレットとの軸方向相互作用― ................................................ 276

クリープおよび応力-歪みに関する機械的性質モデル..................................................... 279

3.6.1

クリープ ........................................................................................................................ 279

3.6.2

被覆管の応力歪み関係式のモデル ............................................................................ 283

3.6.3

太田モデル...................................................................................................................... 285

vi

JAEA-Data/Code 2010-035

3.7

事故時燃料解析コード RANNS との接続

3.8

疲労解析機能3.9........................................................................................................................... 291

3.8.1

疲労解析概要 ................................................................................................................ 291

3.8.2

ジルカロイ疲労曲線 .................................................................................................... 291

3.8.3

疲労評価 ........................................................................................................................ 292

3.8.4

繰り返し出力過渡解析機能...................................................................................... 294

Skyline 法...................................................................................................................................... 295

参考文献 34.

........................................................................... 290........................................................................................................................................ 302

物性値モデル............................................................................................................................... 303

4.1

UO2 ペレット物性値............................................................................................................... 303

4.2

MOX ペレット物性値 ................................................................................................................ 322

4.3

ジルコニウム合金被覆管物性値........................................................................................... 331

4.4

SUS304 ステンレス被覆管物性値........................................................................................ 347

4.5

その他の物性値・モデル

4.6

燃焼度の単位換算 ....................................................................................................................... 355....................................................................................................... 349

4.6.1 燃焼度の単位換算 ............................................................................................................... 355
4.6.2

ガドリニア入り燃料の燃焼度計算について............................................................ 356

参考文献 4 ........................................................................................................................................... 359

謝辞 ............................................................................................................................................................ 361

vii

JAEA-Data/Code 2010-035

Contents
1．Introduction
1.1

1.2

.......................................................................................................................................... 1

Nature of fuel performance code ..................................................................................................... 1
1.1.1

Natures of fuel performance and fuel analytical codes ........................................................ 1

1.1.2

Prediction of fuel performance by FEMAXI ...................................................................... 2

1.1.3

History of FEMAXI code development ............................................................................... 3

1.1.4

Utilization of FEMAXI code................................................................................................ 3

Features of structure and models of FEMAXI.............................................................................. 4

1.2.1

What is model? ................................................................................................................... 4

1.2.2

What is fuel modeling? ...................................................................................................... 5

1.2.3

Analytical targets .................................................................................................................. 6............................................................................................................................. 7

1.3

Whole structure

1.4

Features of numerical calculations and models ............................................................................... 10

1.5

Comparison with other fuel codes, etc. ........................................................................................... 11
1.5.1

Connection with burning analysis codes RODBURN and PLUTON ................................ 11

1.5.2

Connection with accident fuel analysis code RANNS ....................................................... 12

1.5.3

Re-start from base-irradiation to test-irradiation ............................................................... 12

1.5.4

Execution environments ..................................................................................................... 12

References 1......................................................................................................................................... 14

2. Thermal analysis models .......................................................................................................................... 16
2.1

Heat conduction to coolant and thermal hydraulic models ........................................................... 16
2.1.1

Model of coolant enthalpy increase.................................................................................... 19

2.1.2

Determination of cladding surface heat transfer coefficient .............................................. 22

2.1.3

Flow of thermal hydraulic calculations .............................................................................. 32

2.1.4

Transient process of coolant condition............................................................................... 34

2.1.5

Equivalent flow diameter and flow cross section ............................................................... 36

2.2

Cladding waterside corrosion model ............................................................................................... 38

2.3

Calculation of 1-D radial temperature profile ................................................................................. 40

2.4

2.3.1

Selection of the number of radial ring elements ............................................................... 40

2.3.2

Determination of cladding surface temperature ................................................................. 42

2.3.3

Solution method of thermal conduction equation .............................................................. 43

2.3.4

Fuel pellet thermal conductivity ......................................................................................... 49

Determination of radial profile of heat generation density............................................................ 51
2.4.1

Usage of RODBURN output ........................................................................................... 51

2.4.2

Usage of PLUTON output ................................................................................................. 52viii

JAEA-Data/Code 2010-035

2.5

2.4.3

Robertson’s equation.......................................................................................................... 52

2.4.4

Accuracy confirmation of pellet temperature calculation ................................................ 53

Gap thermal conductance model ..................................................................................................... 57
2.5.1

Modified Ross & Stoute model ........................................................................................ 57

2.5.2

Gap bonding model .......................................................................................................... 60

2.5.3

Relocation model ............................................................................................................. 63

2.5.4

Swelling and densification models ................................................................................... 64

2.6

Contact pressure evaluation model.................................................................................................. 64

2.7

Dry-out test analysis model in test reactor ...................................................................................... 65

2.8

2.9

2.10

2.11

2.7.1

Modelling of dry-out test.................................................................................................. 66

2.7.2

Materials properties .......................................................................................................... 69

2.7.3

Numerical method ............................................................................................................ 71

Fission gas generation and release models ...................................................................................... 74
2.8.1

Fission gas atoms generation rate ..................................................................................... 75

2.8.2

Concept of thermally activated diffusion/release models................................................. 75

2.8.3

Thermally activated diffusion with trapping .................................................................... 77

2.8.4

White+Tucker model of intra-grain bubble radius and number density .......................... 80

2.8.5

Irradiation resolution model of intra-grain bubble radius and number density ................ 83

2.8.6

Pekka Lösönen model of intra-grain bubbles ................................................................... 87

2.8.7

Galerkin solution method of partial differential diffusion equation ................................. 88

2.8.8

Fuel grain and grain boundary ......................................................................................... 93

2.8.9

Amount of fission gas atoms migrating to grain boundary .............................................. 94

2.8.10

Amount of fission gas retained in grain boundary ......................................................... 95

2.8.11

Amount of released fission gas ...................................................................................... 97

2.8.12

Sweeping of fission gas into grain boundary by grain growth ....................................... 98

2.8.13Re-solution of fission gas ........................................................................................... 103

2.8.14

Threshold density of fission gas atoms in grain boundary (equilibrium model) .......... 104

2.8.15

Diffusion constant of fission gas atoms in grain .......................................................... 107

Rate law model (IGASP=2)...................................................................................................... 109

2.9.1

Assumptions common to those of equilibrium model .................................................... 109

2.9.2

Growth rate equation of grain boundary gas bubbles..................................................... 109

Bubble growth swelling : equilibrium model (IGASP=0) .......................................................... 116
2.10.1

Bubble growth .............................................................................................................. 116

2.10.2

Bubble swelling............................................................................................................ 118

Bubble growth swelling : rate-law model (IGASP=1) .............................................................. 120
2.11.1

Coalescence and coarsening of bubbles ....................................................................... 120ix

JAEA-Data/Code 2010-035

2.11.2
2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

Swelling ....................................................................................................................... 122

Pressure-restraint gas release model............................................................................................ 123
2.12.1

Simplified method (IPEXT=11,12,13)..................................................................... 124

2.12.2

Case with IPEXT=14 ................................................................................................... 127

2.12.3Comparative consideration of gap gas conductance increase during power down ...... 128

High burnup structure (rim) model ............................................................................................. 129
2.13.1

Basic concept ............................................................................................................... 129

2.13.2

Density decrease of fission gas atoms in rim structure ................................................ 130

2.13.3Models of effects of rim structure on fuel performance ............................................... 134

Selection of model options by parameters................................................................................... 141
2.14.1

Number of ring elements in pellet ................................................................................ 141

2.14.2Pellet thermal conductivity calculation ........................................................................ 142

2.14.3

Selecting swelling models ............................................................................................ 143

2.14.4

Selecting fission gas release models ............................................................................ 144

2.14.5

Bubble growth and swelling......................................................................................... 145

2.14.6

Relationship between rim structure model and other optional models ........................ 146

Model of diffusion and flow of gap gas ...................................................................................... 147
2.15.1

Assumptions and methods of diffusion calculation ..................................................... 148

2.15.2

Determining internal space volume inside fuel pin ...................................................... 156

2.15.3

Internal gas pressure ..................................................................................................... 160

2.15.4Temperatures of gas and cladding at plenum region .................................................... 161

2.15.5

Options for changing internal gas state in the course of irradiation ............................. 162

Time step control......................................................................................................................... 162
2.16.1

Automatic control......................................................................................................... 162

2.16.2

Determination of time step increment in fission gas release model ............................. 165

2.16.3

Determination of time step increment in temperature calculation................................ 165

References 2....................................................................................................................................... 166

3. Mechanical analysis models ................................................................................................................... 170
3.1

Basic equations and solution method of non-linear mechanics..................................................... 170
3.1.1

Basic equations................................................................................................................. 170

3.1.2

Initial stress method, initial strain method, and stiffness changing method for non-linear
strain ................................................................................................................................... 176

3.1.3
3.2

Solution method of basic equations in FEMAXI (for non-linear strain) .......................... 179

Mechanical behavior of rod entire length [global mechanical analysis] ....................................... 186
3.2.1

Model and ring elements in global mechanical analysis (I) ........................................... 187

3.2.2

Determination of finite element matrix ............................................................................ 191

x

JAEA-Data/Code 2010-035

3.3

3.4

3.5

3.6

3.2.3

Pellet cracking .................................................................................................................. 197

3.2.4

Crack change with burnup ............................................................................................... 201

3.2.5

Crack expression in matrix............................................................................................... 204

3.2.6

Definitions of equivalent stress and equivalent strain in FEMAXI.................................. 207

3.2.7

Hot-pressing in pellet ....................................................................................................... 208

3.2.8

Supplementary explanation for incremental method ........................................................ 212

Method of non-linear strain calculation ........................................................................................ 215
3.3.1

Creep ................................................................................................................................ 215

3.3.2

Plasticity ........................................................................................................................... 225

3.3.3

Derivation of stiffness equation ..................................................................................... 234

Formulation of total matrix and external force .............................................................................. 236
3.4.1

Stiffness equation and total matrix ................................................................................. 236

3.4.2

Boundary conditions at upper and lower plenums ......................................................... 239

3.4.3

Pellet-cladding contact model .......................................................................................... 244

Local mechanical behavior [ local mechanical analysis (II)].................................................... 252

3.5.1

Element geometry ............................................................................................................ 253

3.5.2

Basic equations .............................................................................................................. 257

3.5.3

Stiffness equations ........................................................................................................... 260

3.5.4

Boundary conditions ........................................................................................................ 265

3.5.5

Pellet-clad mechanical interaction and contact problem ................................................ 271

3.5.6

Axial load - interaction with upper pellet in the axial direction-...................................... 276

Models of mechanical properties for creep and stress-strain ...................................................... 279
3.6.1

Creep ................................................................................................................................ 279

3.6.2

Model of cladding stress-strain relationship .................................................................... 283

3.6.3

Ohta’s model .................................................................................................................... 285

3.7

Connection with accident fuel analysis code RANNS .................................................................. 290

3.8

Fatigue analysis function ............................................................................................................... 291

3.9

3.8.1

Overview of fatigue analysis .......................................................................................... 291

3.8.2

Zircaloy fatigue curve .................................................................................................... 291

3.8.3

Fatigue evaluation .......................................................................................................... 292

3.8.4

Analytical function for repetitive power ramps and transients ......................................... 294

Skyline method .............................................................................................................................. 295

References 3....................................................................................................................................... 302

Materials properties models .............................................................................................................. 303

4.
4.1

UO2 pellet properties ..................................................................................................................... 303

4.2

MOX pellet properties................................................................................................................... 322

xi

JAEA-Data/Code 2010-035

4.3

Zirconium alloy cladding properties ............................................................................................. 331

4.4

SUS304stainless steel properties ................................................................................................... 347

4.5

Other properties and models ......................................................................................................... 349

4.6

Unit conversion for burnup ........................................................................................................... 355
4.6.1

Burnup conversion ............................................................................................................. 355

4.6.2

Burnup conversion of Gadolinia-containing fuel ............................................................... 356

References 4 ......................................................................................................................................... 359

Acknowledgement...................................................................................................................................... 361

xii

JAEA-Data/Code 2010-035

1. 序

言

軽水炉が原子力発電の主流を占める期間が長期にわたるものと予想されている現在、原子力産
業界では軽水炉の高度化とともに、燃料の改良および高燃焼度化が進められている。
燃料棒において、照射を受けることにより発生する熱的、力学的、化学的状態変化とそれらの相互作用は、出力レベル、出力履歴、出力過渡、および燃焼度に依存して変化する。さらに
50GWd/t-U 程度以上の高燃焼度領域における燃料ふるまいにおいては、ペレットの熱伝導率の顕著な低下、FP ガス原子の蓄積、ペレット内発熱密度分布の変化、被覆管の水側酸化の進行など、
低～中程度の燃焼度領域のふるまいとは質的に異なった固有の現象が生じる。
原研機構では、１本の燃料棒において通常運転（出力過渡を含む）の出力履歴が与えられた場
合に、このようにペレット、被覆管、内部ガスなどに生じる熱的、力学的、化学的な状態変化とそれらの相互作用を解析するコード FEMAXI を開発してきた。
FEMAXI-7 はこうした背景の下に開発された FEMAXI シリーズの最新バージョンであり、軽水
炉燃料の、通常運転時（事故条件は対象外）における燃焼初期から高燃焼度までのふるまいを解
析する。

1.1

燃料解析コードの性格

1.1.1 燃料ふるまいの特徴と燃料解析コードの性格
燃料棒は、炉心において放射性物質が極めて高濃度で集積している物体である。その熱的、力学的ふるまいは、温度、中性子、核分裂、核分裂生成物(FP)蓄積など原子論的ミクロレベルの現象から工学的に操作可能なマクロスケールの現象にまたがる多くの要因の複雑な相互作用の結果である。また、燃料集合体は、プラントの運転においては設計燃焼度（寿命末期）まで被覆管の健全性を保って放射性物質を閉じこめつつ設計出力を維持するという、安全性と発電効率の二つの要求を同時にかなえねばならない。この実現には、経験をふまえた多くの技術開発と研究努力が必要である。ここに、燃料ふるまいを工学研究・安全性研究の対象にする根本的な理由がある。
一方、燃料ふるまいが複雑な相互作用の結果であることは、実際の照射経験が大きな意味を持
つ世界であることを意味する。すなわち、理論的・決定論的モデルでは必ずしも正確に予測できない部分があり、炉物理のような理論モデルに乗らない、物理的理論式では明確に定義されない
性質や、微量不純物元素や結晶組織の影響、製造履歴依存性、その他の不明要因がある世界である。また、多くの要因がからむため､要因ごとの単純な計算の集積では各要因の全体ふるまいへの寄与を評価するのが困難である。したがって設計やふるまい把握にとっては照射経験が不可欠な要素となる。

－1－

JAEA-Data/Code 2010-035

しかし、燃料棒の照射（照射試験と照射後試験）は一般に大きな費用と長時間を要し、データの質と量は限られる。燃料棒の内部に関する欲しいデータがすべて得られるわけではなく、燃料
中心温度や内圧など、特定の計測可能な物理量や、燃焼度分布など、間接的に計測した物理量に依存して燃料ふるまいの全体を把握しなければならない場合がある。
こうした状況では、「直接・間接的に計測した物理量」を用いて燃料解析コードによっていわ
ば「逆問題」を解くようにして、燃料内部の要素の連関構造を認識・再現し、ふるまいを制御するパラメータを把握し、ふるまい予測を行うことが重要な手段となる。燃料解析コード FEMAXIは、このための工学ツールである。すなわち、FEMAXI コードの開発とは、限られた照射データ
や照射経験に基づき、燃料ふるまいを構成する個々の要素間の相互作用の構造のモデルを、逆問題を解く手段として構築し、再現・予測能力の検証を行うプロセスのことである。

1.1.2

FEMAXI による燃料挙動の予測

FEMAXI コード、特に FEMAXI-7 は多くの機構論的モデルと補足的な経験モデル、およびそれらを制御するパラメータを内蔵している。一般に燃料解析コードは、未知の燃料の照射ふるまいを予測するという役割が大きく求められる。これに対し、FEMAXI-7 の多くのモデルとパラメー
タは、その組み合わせ次第でどの様な計算結果をももたらす可能性があるので、最終的な予測値への信頼性が評価できないのではないかという疑問が生じる。
一方で、燃料メーカーの燃料設計コードでは、一般に FEMAXI のような機構論的なモデルはあまり用いず、照射データベースから抽出した経験式・相関式を用いて燃料ふるまいを予測し、その予測値は実測データと比較検証される。したがって、その照射データベースの範囲、及びその少し外側の範囲までは解析の予測には信頼性があり、燃料設計に有効であると言える。
FEMAXI-7 のような機構論モデルを主としたコードにおいては、できるだけ一般的な適用性を持ったモデルとデータセットの組み合わせを検証計算の過程の中で見いだしていく必要がある。
照射結果がわかっている燃料に対して、あるモデルとパラメータセットで照射結果を再現できた
場合、同一のモデルとパラメータセットを別の燃料に適用してその照射データを再現できれば、少なくともそれらの燃料に対してはコードおよびモデルとパラメータセットの予測性能は検証されたことになる。こうした検証が、FEMAXI コードの場合、どのモデルとパラメータセットに対してどの程度実施され、予測精度のどこまでの一般性が保証されるかは、解析ケース数、解析した燃料の種類や照射条件に依存する。この意味で、FEMAXI-7 の検証は現在進行中である。これは既に国際ベンチマーク FUMEX-III(1.1)への参加、Halden 試験照射の解析などを通じて実現されつつあり、モデルとパラメータセットの絞り込みの方向は追求されている。
同時に FEMAXI-7 コードでは、その内蔵する多くの個別モデルとそれらを制御するパラメータの組み合わせによって、従来のモデル及びパラメータセットでは再現できないような燃料照射ふるまい（照射データ）を再現する試みが可能である。これは、燃料ふるまいの機構の推定、すな－2－

JAEA-Data/Code 2010-035

わち、（前項 1.1.2 の繰り返しになるが）照射データから「逆問題」を解くようにして、燃料内部の要素の未知の連関構造を認識・再現し、ふるまいを制御するパラメータを把握する手段である。
さらに、実施された照射実験の範囲を超えた、あるいは照射実験計画で想定した条件（たとえば線出力や燃焼度）でのふるまい予測や、新しい設計の燃料のふるまい予測にも用いることができる。これらが燃料設計コードとは異なる、燃料研究コードとしての FEMAXI の特徴である。

1.1.3 FEMAXI コード開発の歴史
最新バージョンFEMAXI-7までの開発の歴史をごく簡単に振り返る（敬称略）。特徴的なことは、
FEMAXI-7に至るまで、多くの人が関わり、多くの人の知恵と努力と経験が集積されていることである。いわば、日本の燃料関係の技術者研究者の見識と経験を結集したベースに立つコードと言ってよい。
(1) FEMAXI-I 市川が Halden Project において開発。二次元弾塑性 PCMI 解析。(1974)(2) FEMAXI-II

木下（電中研）がクリープモデルを付加。(1977)(3) FEMAXI-III(1.2)

原研、大学、日立東芝 NFD、電中研、CRC が大規模に共同開発、日本

原子力学会技術賞、国際ベンチマークで優秀な成績。→NEA-DataBank(1.3)へ公開。(1984)(4) FEMAXI-IV(1.4)-(1.13)

中島らが改良→NUPEC ((財)原子力発電技術機構)で利用。

→鈴木が引き継ぎ、Ver.2 開発。→NEA-DataBank へ公開。 (1996)(5) FEMAXI-V(1.14)(1.15)(6) FEMAXI-6

鈴木らが高燃焼度用へ改良。→NUPEC, NEA-DataBank へ公開(2001)。

鈴木らが更なる改良、高度化→JNES((独)原子力安全基盤機構)(1.16)、

NEA-DataBank へ公開。(2003-2010)

またこれらの開発と同時期に原研機構外で開発された、高燃焼燃料への対応を図ったコードとしては、ENIGMA(1.17)、 TRANSURANUS(1.18)などがあり、特に後者は欧州において多くのユーザ
ーを持っている。

1.1.4 FEMAXI コードの利用
FEMAXI-6 を含む、FEMAXI コードの利用目的は以下のようにまとめられる。

(1) 安全審査用クロスチェック
JNES において用いられている燃料安全審査用クロスチェックコードの主要部分は前バージョン FEMAXI-6 と同一である。

(2) 公開コードパッケージ（ソース及び詳細マニュアル）を RIST (Research Organization for Information－3－

JAEA-Data/Code 2010-035

Science & Technology、(財)高度情報科学技術研究機構 http://www.rist.or.jp/ )を通じて国内ユーザー（主に電力会社系ソフトハウス、大学、燃料メーカーなど）へ公開している。また日本の代表的
燃料コードとして NEA DataBank に登録され、海外ユーザーへ無償公開されている。旧バージョン FEMAXI-VI、FEMAXI-V および FEMAXI-6 も NEA DataBank から海外ユーザーへ配布されているが、その総数は 30 件以上である。外部ユーザーを積極的に得て、問い合わせにもできる限り答えており、日本の燃料コードの事実上の frame-of-reference となっている。

(3) 実験解析の手段、実験計画における予測手段、ふるまい理解の訓練手段
FEMAXI コードは照射試験データの解析や、照射済み燃料で事故模擬実験を行った場合の解析における事故直前状態の解析などに用いられる。また照射試験の立案や、燃料設計の妥当性を評
価する予測手段として利用できる。さらに、燃料ふるまいを理解するために、様々な入力条件を与えて simulation をすることにより、訓練手段としても利用できる。

(4) 照射データ・新モデルを評価するプラットホーム
新たに得られた照射データや物性値は、それ自体では燃料のふるまい変化や性能向上にどの程度寄与しているかはっきり判断できない。しかしそれをコードに組み込み、モデル化されている
多くの要因の相互作用の中に投げ込んでシミュレーションをすることにより、燃料ふるまい全体への寄与がより定量的に評価できる。FEMAXI コードはこうした目的のためのプラットフォームとしての機能を果たす。

1.2 FEMAXI の構造とモデルの特徴
1.2.1 モデルとは何か
具体的な解析モデルを論じる前に、コードが構成要素としているモデルとは何かを考察する。
モデルとは何であろうか。ここで、モデル開発の目的は現象を正確に模写することであると答えたとしたら不十分である。なぜなら、「では、なぜ正確に模写しなければならないのか、ある
いはその場合の正確さとはどの様なものか」に答えていないからである。そもそも、対象に関する知識が十分でない状況においてモデル開発が始められるのであるから、正確さには限界がある。
つまり、モデルは現実の近似であり、現実の観念的な、しかしある程度以上の定量性を帯びた反映であるからこそモデルなのである。したがってモデル開発は、以下のように段階を経て高度化していく。

①第一に、モデルを通して現象を見ると、現象がどう見えてくるか、何が見えてくるかという、現象のメカニズムに関する洞察を与える手段としての段階。
②モデルをコードに組み込んで計算を実行することにより、現象の背後の機構を推定する。背景－4－

JAEA-Data/Code 2010-035

機構の解明手段としての性格を帯びる段階。
③モデルパラメータを動かすことによる予測手段としての性能向上、逆問題を解く手段として利用できる段階。

しかし、あくまで①の、観念への反映と、観念から独立した現実との相互浸透による現象の機構への洞察の深化こそがモデルの本質的役割であると考えられる。

1.2.2 燃料モデリングとは何か
燃料モデリングについては、発熱・熱伝導・冷却、FP ガス放出、PCMI（Pellet-Clad MechanicalInteraction; ペレット被覆管機械的相互作用）等、ふるまいを規定する主要な現象の個々のモデル化という意味で論じられることが普通である。しかし、高燃焼度燃料のふるまいでは要因間の相互作用が強くなるので、個々の現象のモデル化と同時に、それらを統合する連関構造もモデリン
グの対象といえる。つまり、個々のモデルの連関構造自体がコード設計で必要となる。これは、要素間の相互作用をどこまで意識的にモデル化するか、を意味する。
たとえば、温度計算と力学計算の連成、FP ガスバブル成長と変形（スエリング）計算・熱伝導率低下との連関をどう扱うか、などである。ただしコード内の連関構造自体は、最初から複雑にはできないので、簡易的な仮定やモデルから出発することが基本的な方向である。たとえばガス
バブルによるポロシティ増加はペレットの熱伝導率低下に追加的な効果を持たせるが、ペレットの機械的性質とは無関係とする、などである。
一方、核計算は熱・力学ふるまいとの相互作用が弱いので、相対的に独立させることが燃料コードにおいては一般的である。すなわち、ペレット半径方向の発熱密度プロファイルや、線出力レベルに対応した高速中性子束レベルなどは、燃焼計算コードの出力を利用する。この意味で、
FEMAXI に出力結果を与える燃焼計算コード(たとえば Refs.(1.19), (1.20))は重要である。

以上をふまえて、FEMAXI コードのモデルの特徴は、以下のようにまとめられる。
①解析対象を１本の燃料棒とその周囲の冷却材に限定し、集合体内の燃料棒間および炉心全体との熱的・力学的・核的相互作用からは切り離して考える。
②モデル設計においては、工学 tool としての性能、すなわちふるまいの予測性能を最優先目標とする立場に立つ。したがって、この意味で、個々のモデルを物理的な考察・原理に基づかせることを優先課題とはしない。機構論的モデルと経験モデルを組み合わせているが、機構論モデルが設計できない場合は経験モデルから出発する。
③計算速度向上を求めているが、炉心内の多数の燃料棒に関する統計的解析を目的とした短時間計算のためのモデル上の工夫については、低い優先順位を与える。

－5－

JAEA-Data/Code 2010-035

1.2.3 解析対象
FEMAXI-7 はいうまでもなく FEMAXI-6 までの経験をふまえ、さらに構造を新たにして機能を拡大した高度化バージョンである。FEMAXI-7 の解析対象は、FEMAXI-6 までのバージョンと同様に、通常運転時ふるまい、負荷追従や出力急昇などの出力過渡、および BWR 燃料の過渡沸騰
遷移のような冷却過渡における燃料ふるまいである。したがって、解析範囲は、定常状態のみならず過渡状態にも及ぶが、冷却材喪失事故(LOCA)や反応度事故(RIA)のような事故条件は含まない。
FEMAXI-7 が扱う現象を表 1.1 に示す。物性値は MOX 燃料および Gd 入りの UO2 燃料を含めて文献上公開されているものを最大限採用した。FEMAXI-V、FEMAXI-6、および FEMAXI-7 の機
能上の主要な相違点を表 1.2 に示す。いずれも公開バージョンの比較である。各項目については２章以降に説明される。

表 1.1

FEMAXI-7 の解析対象（現象）

熱的変化（温度に依存）

力学的変化
熱膨張、弾性・塑性、クリープ

熱伝導（径方向発熱密度分布）
ペレット

クラック、初期リロケーション

FP ガス放出（温度と燃焼度に依存）

やきしまり、ホットプレス

スエリング（固体 FP、ガスバブル）
被覆管
燃料棒

スウェリング（固体 FP、ガスバブル）
熱膨張、弾性・塑性、クリープ

熱伝導、酸化膜成長

軸方向照射成長、酸化膜成長

ギャップ熱伝達、ギャップガス流

PCMI、ペレット・被覆管の摩擦動、被覆管表面熱伝達

表1.2

FEMAXI-7に至るまでの主要な機能の高度化
FEMAXI-V
1999 公開

FEMAXI-6
2002 公開

FEMAXI-7

熱解析と力学解析の連成

×

○

○

ペレット熱伝導率などの燃焼度依存性

○

○

○

ペレット高燃焼度組織モデル

△

△

○

ガスバブルスエリングモデル

×

△

○

速度論的ガスバブル成長モデル

×

×

○

過渡沸騰解析熱水力モデル

○

○

○

入出力改良、物性値更新・追加、

○

○

◎

事故時燃料解析コード RANNS への接続

×

×

○

×

×

○

モジュール化構造、詳細コメント組み込み、要素数選択、ベース照射から試験照射のre-start 機能－6－

JAEA-Data/Code 2010-035

1.3 全体構造
本コードは図 1.1、図 1.2 および図 1.3 に概略を示すように、熱的挙動を解析する部分と力学的挙動を解析する部分から構成される。
熱的解析部は、燃料棒全長の各セグメントにおいて温度分布やガス圧力を径方向１次元軸対称（円筒座標系）問題として扱い、ペレット・被覆管のギャップ幅変化、FP ガス放出モデル、軸方向ガス流動およびこれらのギャップ熱伝達へのフィードバックを考慮して解析する。軸方向出力分布を考慮するため燃料棒発熱部の軸方向は最大 40 領域（セグメント）に分割され、熱的フィードバックが燃料棒全長にわたって収束するまで繰り返し計算される。
全長力学的解析部では、軸対称有限要素法(FEM)を燃料棒全長の各セグメントに適用して、ペレットと被覆管の力学解析を行う。ここではまず熱膨張、やきしまり、スエリングおよび、ペレットのリロケーションによる初期ひずみを計算し、ペレットの割れ、弾塑性およびクリープを考慮して剛性方程式を作成し、接触モードに対応する境界条件を仮定して剛性方程式を解くことにより、応力やひずみを求める。ここでは塑性、クリープおよび割れたペレットの弾性が、未知量である応力ひずみの関数であることを考慮して、剛性マトリクスに関する繰り返し計算が行われる。
ペレットと被覆管の 非接触

接触、弾性塑性の状態変化が１タイムステップ中に生じる

場合には、タイムステップ終了時の計算結果を状態変化が起こった時刻に戻し、その時刻以後について状態を改めて再計算を行う。軸方向セグメントに分割された燃料において、上部セグメン
トのペレットと被覆管の接触状態による下部セグメントに及ぼす軸力を評価することが可能である。
熱的解析部とこの全長力学解析部は連成しており、一つのタイムステップ内において反復繰り返し計算(Iteration)により温度と変形の収束値を求める。
さらに、局所 PCMI 解析部では、熱的解析部と全長力学解析部の連成によって得られた温度分
布および内圧などの数値に基づいて、半ペレット長にわたる局所 PCMI 解析を２次元有限要素法
によって行う。

－7－

JAEA-Data/Code 2010-035

入力

燃料棒全長力学解析部（I）
・弾塑性/クリープ/PCMI 解析
・軸方向応力解析
・変形（応力・歪み）解析

反復

熱的解析部
・温度分布計算・FP ガス放出
・ギャップガス流動

温度・内圧
タイムステップ
更新

局所 PCMI 解析［半ペレット長］
・弾塑性/クリープ・リッジング変形・応力・歪み解析No

タイムステップ終了
Yes
出力

図 1.1

FEMAXI コードの解析の全体的順序－8－

JAEA-Data/Code 2010-035

Zircaloy metal

Plenum Axial Power Profile

FEM mechanical analysis
for pellet and cladding

Nest ofcoaxialrings

ZrO2 generated bywaterside corrosion

Segment

Temperature
Gas pressure
Power andBurnupprofiles

LHR

図 1.2

FEMAXI コードの解析体系

Cladding metal

ペレットの熱伝導率、ペレット温度、FPガス放出
燃焼度依存のモデル

ペレットの発熱密度及び燃焼度プロファイル

FEM analysis
for pellet and cladding

Temperature

被覆管温度←表面熱伝達係数← 表面熱伝達係

Gas pressure
Power andBurnupprofiles

燃焼計算コードの計算結果

冷却材流速、圧力、温度、流路断面積

力学計算→ギャップ幅

ギャップ熱伝達率:
Ross-Stouteモデル,
ボンディングモデル

36,72,108の等体積リング要素が可能

図 1.3

被覆管酸化モデル
酸化膜熱抵抗ZrO2 bycorrosion

FEMAXI-7 のモデルの相互関連とフィードバック構造－9－

JAEA-Data/Code 2010-035

1.4

数値計算とモデルの特徴

本コードの数値計算とモデルの主な特徴は以下のとおりである。主に(1)～(9)項は FEMAXI-6
及びそれ以前のバージョンから引き継いでいるが、細部を改良し、精度と安定性を向上させた。

(1) 要素特性
燃料全長にわたる力学計算を行うため、FEM 解析において四角形 3 自由度要素を導入し、計算
領域、計算時間の短縮をはかっている。

(2) クリープ解法
陰解法計算により、高クリープ速度時における数値解の安定性の向上をはかっている。

(3) マトリクス解法
有限要素法の連立方程式（剛性方程式）の係数マトリクスは下図*のようにゼロ成分の多い優対角対称マトリクスである。そこで方程式の解法として、スカイライン法を採用し、マトリクス非ゼロ成分の記憶方式および処理手順を改良し、記憶容量のコンパクト化および、計算時間を短縮している。スカイライン法では右図における実線内部だけを記憶し記憶領域を節約する。FP ガス放出モデルにおい

* *

*

* *

* *
*

*
* *

*
*

*
*

*

*
*

* *

*
*
* *

*

* *
*
*

ては、マトリクスや逆行列の演算回数が最小になるように工夫している。（3.9 章参照）＊：非ゼロ成分* ** *：スカイライン法の記憶領域(4) 非平衡残差
非線形問題を解く場合、タイムステップ毎に生じる非平衡残差の累積を避けるため、平衡条件
式を増分型で表わさず、荷重と応力の全体の平衡が満足される定式化を行っている。

(5) 接触問題
ペレット・被覆管の接触状態として、ギャップ開き、固着、すべりの 3 つの接触モードを仮定
し、ペレット、被覆管の節点対について接触モードを判定し、それにしたがって境界条件が設定される。

(6) 割れたペレットの挙動
ペレットの割れは従来のコードと同様に、剛性低下の方法で近似的に取り扱うが、割れてリロ
ケーションしたペレットの PCMI における挙動をよりよく表すために、圧縮状態下におけるペレット剛性の回復をリロケーション量の関数として表す。

(7) ギャップ内ガス拡散流動モデル
ギャップ内の拡散流動をモデル化し、FP ガスのギャップ熱伝達に与える影響を評価した。

(8) 過渡時のふるまい解析
非定常熱伝達、ギャップガス流動、FP ガス放出の機構論的モデルにより、過渡時の解析を行う。また、各モデル毎に独自のタイムステップ制御を行い、精度の良い解と計算時間の短縮を図－10－

JAEA-Data/Code 2010-035

った。

(9) 計算の簡略化
FP ガス放出モデルでは、低温領域、高温領域で、同じ形の計算を行っている場合には、一方の要素の計算結果を他方にも用い、二重の計算をさける工夫を施した。参照回数の多い物性値等はデータテーブル化し、特殊関数の使用をさけた。

(10) FP ガス放出モデル
FP ガスの放出機構は、等価球を用いての拡散計算（最小残差法）と、ガスバブル生成の計算によるモデルを用いる。さらに、ペレット内熱応力による FP ガス放出抑制モデルを組み込んだ。
ガスバブル成長は平衡論モデル、速度論モデルのいずれか一方を選択できる。また粒内および粒界のバブルスエリングの平衡論的モデルおよび速度論モデルを組み込んだ。

(11) 被覆管の酸化モデル
被覆管外表面の酸化をモデル化し、酸化膜による熱伝達の変化の計算を行う。

(12) 熱水力モデルの導入
燃料棒と冷却材間の熱伝達については、RELAP5-MOD1 モデルを導入した。

(13) リム組織の経験モデル
高燃焼度燃料ペレットの表面近くに生成するリム組織に関する経験モデルを組み込んだ。

(14) 疲労解析機能
FEMAXI-7 は、出力サイクルによって被覆管が受ける応力と歪みの繰り返し変化を計算し、出力する機能を持つ。

1.5

他コードとの関係、その他

1.5.1 燃焼解析コード RODBURN および PLUTON との接続
ペレットの半径方向および軸方向の出力分布プロファイルおよび燃焼度プロファイルは、燃焼初期から燃焼が進むにつれ変化する。また、この変化は燃料棒が照射されている炉のタイプ（PWR,
BWR, 重水炉など）、すなわち中性子スペクトルによっても異なる。これらのプロファイルは、
当然ペレットの温度分布に影響し、また、燃焼度に依存して変化する物性モデルにも影響する。
したがって FEMAXI-7 では、FEMAXI-6 と同様に、燃焼計算コード RODBURN(1.19)及び PLUTON(1.20)の燃焼計算コードの計算結果のファイルを読み込んで解析に用いる機能がある。RODBURN は、
ORIGEN(1.21)や RABBLE(1.22)の一部を用いて、与えられた出力履歴と燃料棒仕様に従いペレットおよびペレットスタックの出力、燃焼度、核分裂物質などの分布プロファイルを計算し、結果のファイルを生成する。
PLUTON は独自の形状関数を用いて正確かつ高速にアイソトープ分布、発熱密度分布などを－11－

JAEA-Data/Code 2010-035

詳細に計算するコードである。またこれら以外の燃焼計算コードの出力を用いることも可能である。その場合は、FEMAXI の入力ファイルの最後の部分に燃焼計算コード出力の数値を追加記入する。

1.5.2 事故解析コード RANNS との接続
FEMAXI-7 は、照射初期から事故直前までの燃料棒状態の変化を計算し、事故直前状態をファイルに出力して、事故時燃料解析コード RANNS へ渡す機能を持つ。RANNS はこのファイルを読み込み、初期条件として燃料ふるまいを解析する。

1.5.3 ベース照射から Re-start による試験照射への接続
FEMAXI-7 は、ベース照射期間の解析をいったん Re-start ファイルに書き込み、その後に続く試験照射の初期条件として読み込んで解析を続けることが可能である。
FEMAXI-6 までは、ベース照射期間が長尺燃料棒でそれを再加工して試験照射する場合の解析に、ベース照射期間から一貫して連続して短尺燃料棒の条件で近似計算をせざるを得ず、これが最終結果の精度に影響する場合があった。また試験照射期間だけの解析でも、必ずベース照射の初期から解析を始めなければならないという作業の非効率性があった。FEMAXI-7 ではこれらの問題を取り除いた。

1.5.4

実行環境など(1) マシン、ソース、コンパイラー
FEMAXI コードは FEMAXI-V 以来、Windows PC 上で稼働することを前提として開発されている。ソースコードは主に Fortran-77 であり、一部 Fortran-90 で記述されている。今回の FEMAXI-7
では Linux バージョンも開発した。
コンパイラは従来 Compaq Digital Visual Fortran v.6 or up (Compaq DVF)を用いてきた。ただし、このコンパイラは現在発売終了となっており、今後ユーザーが新規にコンパイラをインストール
して用いる場合は、Compaq DVF の機能を包含している Intel® Visual Fortran Compiler for Windows
version 10.x.x (Intel VF) (1.23)を用いることとする。すなわち、FEMAXI-7 ソースからは、Compaq DVF、Intel VF、および Linux の 3 種のコンパイラで同一の機能を持つ実行プログラムが作成できる。
Compaq コンパイラに比べて Intel VF でコンパイルしたプログラムの方が 30~40%計算速度が速い。

(2) プロット出力
FEMAXI-7 の計算結果は、直接には数値出力、また付属のプロットプログラム EXPLOT を稼働することによって得られるプロット出力、プロット出力に対応する EXCEL テーブル出力、の３種の出力が得られる。

－12－

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 公開とユーザーサポート
FEMAXI-7 のパッケージは、ソース、実行プログラム、コンパイルオプションファイル、プロットなど関連プログラム、コード説明書、入出力マニュアルからなる。公開は原研機構のプログ
ラムデータベース PRODAS に登録後、機構内ユーザーは PRODAS から download、機構外ユーザ
ーは RIST を経由して入手、また外国のユーザーは、RIST 経由で NEA DataBank に登録されたパッケージを NEA DataBank から入手することになる。

【注】本報告書は、FEMAXI-7 公開パッケージのうち、コード説明書に当たるものであり、入出力マニュアルは本報告書の続編として別途、JAEA-Data/Code として発刊される。

－13－

JAEA-Data/Code 2010-035

参考文献

1

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－14－

JAEA-Data/Code 2010-035(1.14) 鈴木元衛、上塚寛、軽水炉燃料解析コード FEMAXI-V(ver.1) －詳細構造とユーザーズマニュアル－、JAERI-Data/Code 99-046 (1999).
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Absorption in Multi-region Reactor Cells, ANL-7326 (1967).
(1.23)

http://software.intel.com/en-us/intel-compilers/－15－

JAEA-Data/Code 2010-035

2. 熱的解析モデル
2.1 冷却材への伝熱と熱水力モデル
熱的解析部では、冷却材温度から決定される境界条件を用いて、各軸方向セグメントにおける
径方向一次元円筒モデルによって燃料棒内の半径方向温度分布を計算する。仮定および計算手順を以下に示す。これらの具体的計算方法は次節で解説する。
(1) 冷却材の温度と状態は、軸方向全セグメントにおいて、前タイムステップにおける冷却材のエンタルピー軸方向分布に依存し、現タイムステップでの入口温度、圧力、流量速度、各軸方向セグメントからの表面熱流束によって決定される。FEMAXI の熱水力モデル
は、定常状態のみならず、出力上昇、下降、負荷追従などの過渡変化にも適用できる。
ただし、発熱部全軸長を少数のセグメントで近似した場合で、きわめて短時間で流量変化があった場合には、設定した軸方向セグメント長、流速、タイムステップ幅の関係より得られる冷却材の軸方向温度（エンタルピー）分布が正しく計算できない場合がある。
この不具合を解消するために、冷却材のエンタルピー計算では、常に燃料棒の全スタッ
ク部軸長を等分割 100 領域のサブセグメントに細分割し、このサブセグメントにおいて得られたエンタルピー分布に基づいてセグメントの代表点のエンタルピーを補間して求め、軸方向温度分布を求める方式を用いる。これによって、ユーザーは軸方向セグメン
ト数およびセグメント長を、冷却材温度及び燃料温度のセグメント分布計算への誤差に配慮することなしに自由に設定できるようになった。
(2) 各セグメントにおけるエンタルピーは、冷却材入口エンタルピーを起点として、現タイムステップ開始時におけるエンタルピー分布を基に、流量速度および各セグメントからの発熱より求められるエンタルピーの上昇より計算される。こうして求めた冷却材のエンタルピー軸方向分布から、冷却材温度の軸方向分布が与えられる。なお、(1)で述べた
ように、冷却材のエンタルピー軸方向分布は、細分化したサブセグメントより求めたエンタルピーを補間して求めたものである。
(3) 次に、沸騰の各モードにおける熱伝達係数を決定する。その後、(2)で算出した冷却材温度を起点として被覆管表面温度を計算し、被覆管表面からペレット中心までの温度分布を(3) の結果を境界条件として半径方向１次元体系で計算する。

－16－

JAEA-Data/Code 2010-035(4) 燃料棒の軸方向の直接の伝熱（軸方向セグメント間の伝熱）は考慮しない。燃料棒においては軸方向の出力分布差に起因する軸方向伝熱は、ペレット端面におけるディッシュや空隙の抵抗により抑制され、軸方向の温度勾配は半径方向に比べてきわめて小さく、軸方向の次元を熱計算に追加して計算時間を大幅に拡大するだけの意義に乏しいからである。
(5) また、以上のような冷却材への伝熱と燃料棒内部からの熱流束から被覆管表面温度を計算する通常のモード以外に、被覆管表面温度の時間履歴を入力で指定し、この温度を境界条件として燃料棒内部の温度を計算する（Dirichlet 問題）モードも FEMAXI では適用可能である。

径方向一次元温度分布の計算、ギャップ熱伝達モデル、接触力モデル、FP ガス放出モデルの具体的内容については、2.3～2.7 節で解説する。熱計算のフローを次に示す。

－17－

JAEA-Data/Code 2010-035

Time

Step

Start

燃焼度、発熱密度、FP ガス生成量の計算

被覆管と冷却水間の熱伝達係数の計算
ギャップ熱伝達係数の計算

半径方向温度分布の計算
燃料中心温度は収束？

FP ガス放出率、結晶粒径の計算
FP ガス放出率は収束？

軸方向全セグメントについて計算は終了？

軸方向ガス流動の計算

燃料棒内圧、ギャップガス組成の計算
燃料棒全長力学計算との Iteration:
全セグメントのギャップ幅、接触力の計算

全セグメントの燃料中心温度は収束？
次のタイムステップへ

図 2.1.1

燃料棒熱計算のフロー－18－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.1.1

冷却材のエンタルピー上昇のモデル

このモデルでは、各タイムステップ毎の質量流束および圧力を一定として扱う(2.1)。軸方向位置
z (m)、時刻 t (s)における、冷却材(水または蒸気)のエンタルピーH(z,t) (J/kg)は、冷却材入口からの履歴を積分することにより以下のように与えられる。

H ( z, t )V ( z )Q ( z )dt inS (z )t

H (0, tin )(2.1.1)

ここで、
H(0, tin) : 入口エンタルピー(J/kg)
tin : 時刻 t で軸方向位置 z にある冷却材が入口を通過した時刻(s)V : 比容積(m3/kg)
Q : 単位長さ当たりの熱流入量(W/m)
S : 流路断面積(m2)z: 時刻 t で軸方向位置 z にある冷却材の時刻 における軸方向位置(m)
: 時間

である。
ある時刻 t0 から t 0

t のタイムステップ間に着目すれば、(2.1.1)式をH ( z, t 0t)

H ( z0 , t 0 )

t0
t0

t

V ( z )Q( z )dS (z )(2.1.2)と書ける。ここで、
z0 : 時刻 t 0

t で軸方向位置 z にある冷却材の時刻 t0 における軸方向座標(m)である。
次に、燃料有効長を、入力で与えるセグメント長に関わりなく、等間隔に 100 サブセグメントに分割する。この 100 サブセグメントに対して、エンタルピー上昇モデル図を図 2.1.2 に示す。
図に示すように軸方向座標 z をサブセグメント j の代表点とし、軸方向座標 z0 を含むサブセグメ
ントを k とする。時刻 t 0

t で軸方向位置 z にある冷却材が z0 から z に移動する際、サブセグメ

ント i を通過するのに要する時間を t i とすれば、タイムステップ増分 Δt は以下のように表示で
きる。

t

tk

tk 1

……

tj 1

tj

(2.1.3)t i 及びサブセグメント i における V、Q、S の平均値 Vi、Qi、Si を用いて(2.1.2)式の積分を書き換－19－

JAEA-Data/Code 2010-035

えれば、時刻 t 0

t におけるサブセグメント j のエンタルピーHj はj

H j (t 0t)

H 0 (t 0 )

Vi Qi
ti
i k Si(2.1.4)として与えられる。
z
node j+1
segm.
j

z

tj

segm.
j-1

node jtj 1

node j-1

zk+1
node k+1

tk

segm.
k

z0
node k

図 2.1.2zk

冷却材エンタルピー上昇モデル

t i は、セグメント i における流速を ui (m/s)として、
ti

Li
ui

Li
GiVi

S i Li
WVi

ここで、

Li : サブセグメント i のセグメント長(m)Gi : 質量流束(kg/m2s)
W : 質量流量(kg/s)である。また、 Li は次のように与える。

－20－(2.1.5)

JAEA-Data/Code 2010-035

zj 1
Li

zi 1

zj
2

zk 1

(i

j)

zi

(k

i

z0

(i

k)

j)

(2.1.6)H0(t0)は、zk 、zk＋1 におけるエンタルピーを補間してH0 t 0

Hk t0

Hk 1 t0

Hk t0

z0 z kzk 1 zk(2.1.7)で与えられる。ここで、（入力指定した）セグメントの代表点エンタルピーとは、サブセグメン
トの上下のノードにおけるエンタルピーの平均エンタルピーである。これらの具体的な計算順序については図 2.1.3 に示す。
なお、FEMAXI コードでは、冷却材入口温度と圧力の関係において、蒸気単相の入口条件を扱わない。入口温度と圧力が入力された場合、入力温度のわずかな数値のまるめや数値誤差によって、FEMAXI コードの持つ蒸気表では飽和温度を超えた入口温度と判断される場合がある。この場合には、入口エンタルピーが決定できない。そこで、入口温度が冷却材圧力条件下での飽和温度以上の値に入力指定された場合には、入口温度はコード内部では液相単相の飽和温度として扱
い、入口エンタルピーを決定する。（name-list parameter SUBCL 参照）
このようにして得られた、100 等分割したセグメントのエンタルピー分布を基に、FEMAXI コードで入力した軸方向セグメントのエンタルピーを(2.1.7)式によって補間して求める。

－21－

JAEA-Data/Code 2010-035

入口温度
入口エンタルピー
圧力

前ステップにおける軸方向に 100 等分割
したサブセグメントのエンタルピー分
入口流速

質量速度
冷却材のある部分 X が流れとともに上昇し、ある軸方向サブセグメントノードの位置に来たとき、その部分 X
における前ステップでのエンタルピーを、前ステップでのエンタルピーの軸方向分布および部分 X の軸方向位置から算出する。部分 X が冷却材入口より下にあったと判定された場合は、部分 X の前ステップのエンタルピー
は入口での冷却材エンタルピーとする。

セグメントの熱流束
100 等分割した各ノードのエンタルピーの算出

100 等分割した各ノードのエンタルピーを内挿補間することにより、FEMAXI で入力した
軸方向各セグメントの代表点エンタルピーを算出する。

図 2.1.3

2.1.2

エンタルピー上昇計算の順序

被覆管表面熱伝達率の決定

主に RELAP5/MOD1 のモデル(2.2)により、被覆管表面熱伝達係数を決定する。

(1) 沸騰の分類
沸騰は、液温により飽和沸騰と表面沸騰(サブクール沸騰)に、流れの有無により管内沸騰とプール沸騰に、現象のモードにより核沸騰・遷移沸騰・膜沸騰に、それぞれ分類される。沸騰のモード及び伝熱特性を熱流束及び伝熱面過熱度に対応させて定性的に図 2.1.4 に示す。図 2.1.4 の横－22－

JAEA-Data/Code 2010-035

軸の伝熱面過熱度ΔTsat は、

Tsat

Tw

Tsat

(2.1.8)

ここで、

Tw : 伝熱面の表面温度
Tsat : 水の飽和温度で与えられる。

Tsat は、冷却材の圧力および温度から蒸気表を用いて求める。

(2) 単相伝熱図 2.1.4 で示した単相領域(非沸騰域)に対して、FEMAXI コードでは、管内強制対流熱伝達率計
算式である Dittus-Boelter 式を用いる。
Dittus-Boelter 式 (2.3)

q

h Tw

TB

h

0.023

K 0. 4 0. 8
Pr Re
De

Re

G De

(2.1.9)ここで、

q : 熱流束(W/m2)
h : 単相流の熱伝達率(W/m2･K)
Tw : 被覆管表面温度(K)
TB : クーラント温度(K)K : 熱伝導度(W/m･K)
De : 等価直径(m)Pr : プラントル数(－)
Re : レイノルズ数(－)
G : 質量流束(kg/m2･s): 動粘性係数(kg/m･s)
である。

－23－

JAEA-Data/Code 2010-035

B

熱流束 log q

DEC
A 沸騰開始点
B 限界熱流束点

A

C 極小熱流束点

遷移
核沸騰

単相

伝熱面過熱度

図 2.1.4

膜沸騰

沸騰

logΔTsat

沸騰の分類と伝熱特性曲線(3) 核沸騰伝熱

オプション選択 JL

核沸騰では、気泡底部に残存する薄液膜が急激に蒸発することによって、伝達面温度が周期的に飽和温度

核沸騰熱伝達計算式は JL で選択する．
JL=0：Chen の式
JL=1：Jens-Lottes の式 (Default)

近くまで下がるため、きわめて高い熱伝導率が得られる。
FEMAXI コードでは、核沸騰熱伝達は、伝達面からサブクール水への熱伝達と伝達面から核沸騰領域への熱伝達との和で与えられる。伝達面からサブクール水への熱伝達率計算式は(2.1.9)式で与えた Dittus-Boelter 式を用い、伝達面から核沸騰領域への熱伝達率計算式とは Chen の式、
Jens-Lottes の式のいずれかを用いる。核沸騰熱伝達の表式は、

q

h TW

TB

hW TW

TB

hB TW

Tsat

q : 熱流束 (W/m2)
h : 被覆管表面熱伝達係数 (W/m2･K)－24－(2.1.10)

JAEA-Data/Code 2010-035

hw : 単相領域(非沸騰域)への熱伝達係数 (W/m2･K)
hB : 核沸騰領域への熱伝達係数 (W/m2･K)
Tw : 被覆管表面温度 (K)TB : 冷却水温度 (K)Tsat : 飽和温度 (K)である。
核沸騰領域への熱伝達係数の Chen の式では、核沸騰の熱流束は伝熱面過熱度ΔTsat を用いて整理されており、主にボイド率の大きい出力過渡あるいは LOCA の初期などの状態に適用される。
また、Jens-Lottes の式はボイド率(気相の占める流路中の断面積/全流路断面積)の低い領域で適用できる評価式で、主に BWR 条件あるいは水のサブクール沸騰状態に適用される。

Chen の式 (2.4)
0.0012hB

Kf0.79CPf0.45 f0.49
Tsat0.24 P 0.75 S
0.5 0.29
0.24 0.24
H fg gfhB : 核沸騰領域の表面熱伝達係数(W/m2･K)
K : 熱伝導率(W/m･K)
CP : 定圧比熱(J/kg): 密度(kg/m3): 表面張力(N/m): 粘性係数(kg/m･s)
Hfg : 潜熱(J/kg)

Tsat : 伝熱面過熱度(K)
P

Psat

Pcool

Psat : 被覆管表面温度を飽和温度とする圧力(MPa)
Pcool : 冷却材圧力(MPa)S : Chen の抑制係数(表 2.1.1 参照)
ここで、添え字の f は液相、g は気相を示す。

－25－(2.1.11)

JAEA-Data/Code 2010-035

Jens-Lottes の式 (2.5)
hB

0.1263 exp

Pw
6.201 10 60.75
s(2.1.12)hB : 核沸騰領域の表面熱伝達係数(W/cm2･K)
Pw : 冷却水圧力(MPa): 被覆管外表面熱流束(W/cm2)s

表 2.1.1(1) CHEN のレイノルズ数ファクター, F

xe
1 xe

r

0.5

0. 9

0. 1

f

g

g

f

Re f ：液相（冷却材）のレイノルズ数
Re f F 1.25
103
104
2x104
3x104
4x104
6x104
105
2x105
3x105
4x105
6x105
106
108

xe : クオリティ(-)
p : 密度(kg/m3)、: 粘性係数(kg/m･s)

r

F

0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
1.0
2.0
3.0
4.0
6.0
10.0
20.0
50.0
100.0
400.0

1.00
1.07
1.21
1.42
1.63
2.02
2.75
4.30
5.60
6.75
9.10
12.10
22.00
44.70
76.00
200.00

表 2.1.1(2) CHEN のサプレッションファクター,S

S
1.000
0.893
0.793
0.703
0.629
0.513
0.375
0.213
0.142
0.115
0.093
0.083
0.000

(4) バーンアウトと限界熱流束
沸騰モードが急に変化して熱伝達特性が劣化することを一般に沸騰危機といい、この沸騰危機が生じる熱流束を限界熱流束と呼ぶ。沸騰危機には、核沸騰から膜沸騰に向けての沸騰遷移によって生じるもの(DNB = departure from nucleate boiling)と、環状液膜などの破断によるものとの 2
種類がある。前者はプール沸騰やサブクールないしは低クオリティ域の強制対流沸騰で発生し、－26－

JAEA-Data/Code 2010-035

この場合の限界熱流束（CHF = critical heat flux）はバーンアウト熱流束と通称されている。一方、後者は高クオリティの強制対流沸騰で発生し、ドライアウトと通称されている。
いわゆるバーンアウトは発熱体の急速な焼損を伴うので、高速バーンアウトと呼ばれ、ドライ
アウトは沸騰危機後の発熱体温度上昇が比較的に緩やかであるため、低速バーンアウトと呼ばれる。FEMAXI コードでは、沸騰危機が核沸騰から膜沸騰に向けての沸騰遷移によって生じるもの(高速バーンアウト)と環状液膜などの破断(低速バーンアウト)を区別するために、Bjornard とGriffith のモデル(2.6)を用いる。Bjornard 等のモデルでは、気泡の生成速度を規格化する流速として、**飽和蒸気の流速比 J g と飽和水の流速比 J f を用いて、沸騰危機が低クオリティ域で発生する(高速バーンアウト)か、高クオリティ域で発生する(低速バーンアウト)かを区別する。
すなわち、
1/ 2

J g*

Gxe gDe g

J f*

G 1 xe gDe f

f(2.1.13)

g

1/ 2
f

g

(2.1.14)

ここで、

J g* : 飽和蒸気の流速比(－)
J f* : 飽和水の流速比(－)
xe : クオリティ(－)
G : 質量流速(kg/m2･s)
g : 重力加速度(m/s2)
De : 等価直径(m)g: 飽和蒸気の密度(kg/m3)f: 飽和水の密度(kg/m3)である。高速と低速状態の区別は、次の条件で判定する。

J g*1/2

J f*1/2

J crit(低速)

J g*1/2

J f*1/2

1.2 J crit

(高速)J critJ g*1/2

J f*1/2(2.1.15)

1.2 J crit (低速と高速の間を補間する)

ここで、Jcrit は通常の流れ状態では、1.36 を用いる。
なお、クオリティ(気相質量流量/全質量流量)は、

xe

H

H s / H fg

－27－

(2.1.16)

JAEA-Data/Code 2010-035

H : 水蒸気の比エンタルピー(J/kg)
Hs : 飽和水の比エンタルピー(J/kg)
Hfg : 蒸発潜熱(J/kg)
で与えられる。
次に、限界熱流束（CHF）を決定する計算について示す。
高速バーンアウトの CHF 評価式として、一様発熱の加圧水流路における DNB 熱流束 qDNB の実
験値の最適合曲線として Tong は次の W-3 式と呼ばれる式を導いた。(2.7)

qDNB

3.154 106

qW 3 DNB

2.022 6.2379 10 8 P

0.1722 1.4268 10 8 P exp 18.177 5.98705 10 7 P xe
0.1484 1.596 xe

0.1729 xe xe G 1.3563 1.037

1.157 0.869 xe(2.1.17)0.2664 0.8357 exp 124.05487 De
0.8258 3.41292 10 7 H f

H in

ここで、

qDNB : DNB 熱流束(W/m2)
P : 圧力(MPa)xe : クオリティ(－)
G : 質量流速(kg/m2･s)
De : 熱水力的等価直径(m)Hf : 飽和比エンタルピー(液相)(J/kg)
Hin : 入口比エンタルピー(J/kg)
本式の適用範囲は、
6.9×106≦P≦15.8×106 (Pa),xe ≦0.1,

1.4≦G≦6.8(kg/m2･s),

Hin≧9.3×105(J/kg)である。

xe >0.1 の場合には、W-3 式の補正式 (Hsu and Beckner (2.8) )が与えられており、
qDNB

1.76

0.96

qW 3 DNB x e 0,
Hf

: ボイド率(－)
である。

－28－

H in

(2.1.18)

JAEA-Data/Code 2010-035

一方、低速バーンアウトの CHF 評価式としては、修正 Zuber の式 (2.9)を用いる。
1/ 2

qDNB

g

0.23164 H fg 0.96

0.25
f

f

g

(2.1.19)g
fg

Hfg : 潜熱(J/kg): ボイド率(－): 密度(kg/m3): 表面張力(N/m)
g : 重力加速度(m/s2)
ここで、添え字の f は液相、g は気相を示す。

(5) 遷移沸騰、膜沸騰伝熱
核沸騰域で熱流束 q を増加させると、沸騰モードが急変し熱伝達特性が劣化する。限界熱流束点(図 2.1.4 の B 点)を過ぎると伝熱面は蒸気膜で覆われ、図 2.1.4 の B 点から点線に沿って右に移動し、D 点の位置に飛び移る。
D 点は膜沸騰の領域であり、核沸騰の現象は一転して膜沸騰に移行する。逆に D 点から次第に
q 値を下げていくと、曲線に沿って D 点から C 点に達する。ところが C 点を過ぎると急に核沸騰に変化し、図の点線に沿って AB 上の E 点に移行する。C 点が極小熱流束点である。さて BC 間
はΔTsat の上昇につれて、逆に熱流束 q が減少するという特性を示す領域で、この間の現象はきわめて不安定になる。この領域を遷移沸騰という。
FEMAIX コードの過渡沸騰遷移解析では、このうち、核沸騰から膜沸騰への沸騰モードの急変について取り扱う。高速バーンアウト後の遷移沸騰、膜沸騰の熱伝達率評価式として修正
Condie-Bengston の評価式 (2.2)を用いる。すなわち、

qtotal

hTB

hFB

Tsat

(2.1.20)

qtotal : 熱流束(W/m2)

hTB

qDNB

qFB T

DNB

exp

TDNB
2

Tsat
2

Tsat
TDNB

hTB : 遷移沸騰熱伝達率(W/m2･K)

qDNB : 限界熱流束(W/m2) (2.1.17)、(2.1.18)式参照
qFB T

DNB

: DNB における膜沸騰による熱流束(W/m2)－29－(2.1.21)

JAEA-Data/Code 2010-035

qFB T

DNB

hFB TDNB

Tsat : 伝熱面過熱度(K)TDNB : DNB 時における Tsat (K)hFB

0.081033

K g 0.4376 Prw 2.3070 Reg
De

0.78420.6004 0.2456ln 1 xe

1 xe

13.89471exp 1.4504 10 7 P Prw

2.59028(2.1.22)hFB : 膜沸騰熱伝達率(W/m2･K)
K : 熱伝導度(W/m･K)
Pr : プラントル数(－)、Re : レイノルズ数(－)

De : 等価直径(m)xe : クオリティ(－)
P : 圧力(MPa)
ここで、添え字の w は壁温を意味し、g は飽和温度を用いた値である。
一方低速バーンアウト後の遷移沸騰、膜沸騰の熱伝達率評価式としては RELAP5-MOD1(2.2) の下式を用いる。

q totalq liquid

q vaporhv Tw

q vapor(2.1.23)

Tf

hc Tw

Tf

(2.1.24)hc

K film0.25
Gr Prfilm
De
max
K
0.33
0.73817 film Gr Prfilm
De(2.1.25)

Grg De 22
film(2.1.26)

3.15144

3
film

Tw

Tf

qvapor : 蒸気の熱流束(W/m2)
hv : 蒸気の熱伝達率(W/m2･K)
Tw : 被覆管表面温度(K)、Tf : 冷却材温度(K): ボイド率(－)、K : 熱伝導度(W/m･K)

Gr : グラスホフ数(－)、g : 重力加速度(m/s2)、: 熱膨張率(K-1): 密度(kg/m3)､: 粘性係数(kg/m･s)－30－

JAEA-Data/Code 2010-035

Tw

Kfilm は Tfilm

hTB
qliquidTf2

における値を用いて求める。

Tsat 0.96

hFB

qDNB

Tsat

1

Tsat

1

0

hTB

hFB

B
B

(2.1.27)e B Tsat(2.1.28)0.96

2.71 B q DNB

5.52677Deq vapor
0.172

Kg

0.96

hFB

3
g

Tsat

g H fg g

f

1
B
0.25

De g Tsatc(2.1.29)0. 5
c(2.1.30)

g
B

f

g

B

0.01368 K 1

at P

413700.0 N m 2

B0.01476 K 1

at P

620550.0 N m 2

B は P について両対数グラフ上で内挿する。
qliquid : 液相の熱流束(W/m2)
hTB : 遷移沸騰熱伝達率(W/m2･K)
hFB : 膜沸騰熱伝達率(W/m2･K)
Tsat : 伝熱面過熱度(K): ボイド率(－)
qDNB : 限界熱流束(W/m2)(2.1.18)式参照

K : 熱伝導度(W/m･K)
Hfg : 潜熱(J/kg): 粘性係数(kg/m･s): 表面張力(N/m)
ここで、添え字の f は液相、g は気相を示す。

(6) 蒸気単相伝熱クオリティ xe が 1 になると、冷却材は蒸気単相(superheated steam)となるので、(2)項で示した
Dittus-Boelter 式((2.1.9)式参照)を再び適用する。

－31－

JAEA-Data/Code 2010-035(7) 凝縮伝熱
凝縮二相流の熱伝達については Collier の評価式 (2.10)を用いる。

q

h Tw

Tsat

(2.1.31)h = max(hlaminar, hturbulent)
hla min ar

hturbulent

f

0.296

0.065

g

gH fg K f

Tsat

Tw

f

De
Kf

f

f

Kf

3

0.25

(2.1.33)

C pf

0.023 g V g

Kf

De

f

f

9.85774 10 3

(2.1.32)

f

C pf
f

g

(2.1.34)

Vg

De

q : 熱流束(W/m2)
Tw : 被覆管表面温度(K)Tsat : 飽和温度(K): 密度(kg/m3)
K : 熱伝導度(W/m･K)
Hfg : 潜熱(J/kg): 粘性係数(kg/m･s)
Cp : 定圧比熱(J/kg)
V : 速度(m/s)。

2.1.3

ここで、f は液相、g は気相を示す。

熱水力プログラムの流れ

FEMAXI コードにおける冷却材温度および被覆管表面熱伝達率算出のロジックを図 2.1.5 に示す。図で示すとおり、軸方向セグメントレベルの冷却材温度は、冷却材の圧力およびセグメント
レベルのエンタルピーより、蒸気表を用いて算出する。また冷却材の熱伝導度、粘性係数、密度、プラントル数等の算出にも蒸気表を用いる。このため、FEMAXI コードは参照する蒸気表を内蔵
している。

－32－

JAEA-Data/Code 2010-035

入口温度
入口エンタルピ
圧力

前ステップにおける細分化したノードのエンタルピー分布
入口流速

質量速度

再分割した各ノードの位置にくる点における前ステップでのエンタルピーの算出
セグメントの熱流束
圧力セグメントのエンタルピー

セグメントの温度

熱伝導度、粘性係数、密度、プラントル数等

伝熱面過熱度が負でかつクオリティが正?
YES

水単相?
NO

YES

限界熱流束以下?
NO

Dittus-Boelter の式

high-flow

冷却材流束

RETURNChen の式または Jens-Lottes の式+
Dittus-Boelter の式

RETURN

Dittus-Boelter の式(蒸気単相)

RETURN

遷移沸騰+膜沸騰評価式(修正 Condie-Bengston の式)

RETURN

Low-flow

遷移沸騰+膜沸騰評価式(RELAP-5)
RETURN

図 2.1.5

RETURN

YES

クオリティが0.99 以上?
NO

凝縮二相流の熱伝達評価式(RELAP-5)

熱水力プログラムの流れ図－33－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.1.4 冷却材状態の遷移
FEMAXI コードで取り扱う過渡沸騰現象は、熱流束の変化に伴う過渡沸騰ではなく、流量変化に伴う過渡沸騰であるので、伝熱特性を伝熱過熱度と熱流束という観点ではなく、クオリティと伝熱面過熱度の関係により整理する。この観点からの伝熱特性の分類を図 2.1.6 に示す。また、
各熱伝達モードの設定条件を表 2.1.2 に示す。次に図 2.1.6 を用いて、FEMAXI コードでの過渡沸騰遷移計算の推移の概要を説明する。図においては、縦軸の Tsat は伝熱面の過熱度、すなわち飽和温度からの上昇分を表し、横軸の物理量＝クオリティ xe は、(2.1.15)式により定義される。

xe ：クオリティ(-) （＝気相質量流量／全質量流量）

ここでであるから、本来 0xe1 である。しかし、(2.1.15)式での計算結果は、

H < Hs のとき（サブクール水の場合）

xe ＜０

H > Hs＋Hfg のとき（過熱蒸気の場合）

xe ＞１となる。したがって計算出力の表記では、 xe の値が０～１の間は QUALITY、１以上の領域では水
蒸気過熱度（magnitude of super-heating; MSUPHTG）、０以下の領域ではサブクール度（magnitude ofsub-cooling；MSUBCOOL）とする。

(1) 通常運転条件
通常運転時は、[A]および [B]の領域に属する。すなわち、被覆管表面温度が飽和温度以下のと
きは

Tsat

0 、被覆管表面から水相への強制対流熱伝達([A]の領域)であり、被覆管表面温度が飽和温度を超えるTsat

0 と、核沸騰(サブクール沸騰を含む)熱伝達の [B]の領域に入る。

(2) 冷却材流量の低下
熱流束が一定で冷却材流量を低下させていくと、クオリティが増加してやがて限界熱流束点に到達する。すると、[C]、[D]の領域に移行する。低クオリティ域での高速バーンアウトでは、管壁温度は急速に上昇し、高クオリティ域での低速バーンアウトでは管壁温度は緩やかに上昇する。
この挙動は、流量変化時における熱流束と、流量低下後の流量によって決まる。
また、冷却材流量を極端に絞った場合には、[E]の（過熱）蒸気単相領域に入る。[E]の領域では冷却材のエンタルピー(温度)の上昇に伴い、伝熱過熱度

Tsat は増加する。すなわち、被覆管温

度は、[E]の領域に入る軸方向位置および冷却材圧力によって決定される。

(3) 冷却材流量の回復
冷却材流量が回復すると、比容積 V の低下に伴って、急激に冷却材中のエンタルピーが低下す－34－

JAEA-Data/Code 2010-035

る((2.1.1)式参照)。膜沸騰領域 [D]では、低クオリティほど Tsat が大きい。このため、 Tsat が一定状態では、エンタルピーが低下すれば、クオリティは低下し((2.1.15)式参照)、膜沸騰領域 [D]から核沸騰領域 [B]へ移行する。[B]の領域では熱伝達が非常によいので急速に被覆管壁温度は低下し、通常運転状態が回復される。
また、[E]の蒸気単相領域で冷却材流量を回復させると、エンタルピーの低下により、冷却材温度が低下する。これに伴い、伝熱面過熱度 Tsat も低下する。すなわち被覆管壁温度も低下する
が、クオリティが 1 の状態での低下であるので、 Tsat が十分小さくなった状態で核沸騰領域 [B]に移行し、[B]の領域で急激にクオリティを低下させる。すなわち、最初に入った水は Tsat の低下に消費され、それ以降の水がクオリティを低下させる。クオリティが十分低下すると通常運転状態が回復される。
[F]の領域（０＜xe＜１）では液滴と水蒸気が流れる。過渡沸騰遷移には無関係である。

Tsat
サブクール領域

過熱水蒸気領域[D]膜沸騰

C]遷移沸騰
[E]蒸気への強制対流(Tw>TB)

核沸騰
E 壁への強制対流(Tw<TB)

0[A]水相への強制対流

xe (クオリティ)

1x[F]凝縮二相流(Tw>TB)Tw : 被覆管表面温度
TB : 冷却材温度

A 壁への強制対流(T <T )
w

図 2.1.6

B

クオリティ、過熱度、サブクール度と伝熱面過熱度による伝熱特性の分類－35－

JAEA-Data/Code 2010-035

表 2.1.2

各熱伝達モードの設定条件*1: Tw

Tsat

0

TW : 被覆管表面温度、TB :冷却材バルク温度
冷却材が飽和エンタルピーに達していなくても（冷却材は未飽和状態で*2: TsatTB0も）被覆管表面近傍は二相流の扱いをする。

熱伝達モード

対流熱伝達
(単相)

モデル

設
TW＜TB

Dittus-Boelter
の式

定

条

件

・被覆管表面温度が飽和温度以下の場合(水単相)・クオリティが 0.99 以上の場合(蒸気単相)
・クオリティが 0 の場合(水単相)

TW＞TB・被覆管表面温度が飽和温度以上の場合(蒸気単相)

核沸騰熱伝達(二相)

Jens-Lottes の式、
または Chen の式*1＋
Dittus-Boelter*2・被覆管表面温度が飽和温度以上の場合(二相)
TW＞TB

で、

熱流束が限界熱流束以下の場合

式

遷移沸騰+膜沸騰熱伝達・被覆管表面温度が飽和温度以上かつ熱流束が修正 CondieBengston の式

二相

TW＞TB

限界熱流束以上の場合で、クオリティが 0.99 以
下の場合(二相)、かつ冷却材流速が high-flow のhigh-flow

場合

遷移沸騰

・被覆管表面温度が飽和温度以上かつ熱流束が+膜沸騰熱伝達RELAP-5
MOD-1 モデル

二相

TW＞TB

凝縮
液化

2.1.5

下の場合(二相)、かつ冷却材流速が low-flow の場合

low-flow
二相

限界熱流束以上の場合で、クオリティが 0.99 以

Collier の式

TW＜TB

・クオリティが正であり、かつ被覆管表面温度
が飽和温度以下の場合(二相)流路相当直径および流路断面積

流路相当直径および流路断面積はともに被覆管表面温度を求めるために必要なパラメータである。流路相当直径 De は被覆管表面熱伝達係数を求めるために(2.1.9)式等で使用され、流路断面積は各軸方向セグメントノードのエンタルピーを計算するために(2.1.1)式で使用されている。
これら 2 つのパラメータは入力により直接指定されるものであるが、FEMAXI では、値が入力
により指定されていない場合には、互いに換算する方法や燃料棒間ピッチを用いて計算する方法が用意されている。したがって、流路相当直径、流路断面積、燃料棒ピッチのうち少なくとも一つは入力で指定しなければならない。以下にこれらの値の関係と算出方法を示す。

－36－

JAEA-Data/Code 2010-035(1) 流路相当直径①流路相当直径を入力した場合は、その値を用いる。
②流路相当直径は入力されていないが流路断面積は入力されている場合は、次式により流路相当直径を求める。

De

4S
2 r

(2.1.34)

ここで、De : 流路相当直径

Name-list input parameter DE

S : 流路断面積

Name-list input parameter FAREA

r :燃料棒半径である。
③流路相当直径、流路断面積ともに入力しない場合には燃料棒間のピッチを用いてこれらの値を計算する。図 2.1.7 におけるチャンネル C1 を想定し、その流路断面積 S を次式で与える。

S

l12

r2

(2.1.35)

ここで l1 は燃料棒間ピッチである。ただし図 2.1.7 において l2 は、別の流路 S2 に接している被覆管の部分円周である。
流路相当直径は流路断面積が求められた後、(2.1.34)式により計算される。
ピッチ：Name-list parameter: PITCH(2) 流路断面積①流路断面積を入力した場合は、その値を用いる。
②流路断面積は入力されていないが流路相当直径は入力されている場合は、次式により流路断面積を求める。

S

2 r De4(2.1.36)③流路相当直径、流路断面積ともに入力しない場合には燃料棒間のピッチを用いて(2.1.35)式により流路断面積を計算する。

－37－

JAEA-Data/Code 2010-035

C1: S

l1
Symmetrical line
図 2.1.7

チャンネルモデル

2.2 被覆管水側腐食モデル
高燃焼領域では、被覆管の水側腐食（酸化）が大きくなり、これによる被覆管の冷却材への熱伝達や力学的挙動への影響は無視できなくなる。酸化膜の成長速度は主に温度の関数であり、FEMAXI コードでは金属・酸化膜界面の温度の関数として計算される。界面温度は次節の熱計算により求める。
この熱計算に用いられる酸化膜の熱伝導率モデルは、入力により選択可能である。また酸化膜の比熱は MATPRO-A(2.11)により与えられる（第 4 章参照）。
酸化膜の成長（厚み増加）モデル（経験式）は入力で選択する。その際、初期酸化膜厚みは、軸方向の各セグメントごとに入力で指定可能である。どのモデルにおいても、腐食速度は酸化膜と金属相の界面温度 T （ただし、これは次節の熱計算によって求められた値である）の関数として与えられる。
ところで、酸化膜の熱伝導率の式では、温度依存の項が定数項よりも１桁程度小さいため、酸化膜内の半径方向温度分布はほぼ直線で近似できることが期待できる（図 2.2.2 参照）。そこで、
FEMAXI コードでは、熱伝導率を酸化膜内で一様とし、酸化膜外表面温度と金属相との界面の温－38－

JAEA-Data/Code 2010-035

度の平均値を酸化膜温度として熱伝導率の値を決定するものとした。
腐食の進行に伴う被覆管金属相の厚みの減少は，酸化相の体積と定量的な関係がある。ジルコ
ニウム合金被覆管の場合、酸化相の体積は、その生成に費やされた金属相の体積の約 1.56 倍となる。この比率を Piling-Bedworth Ratio(PBR)という。（図 2.2.1 参照）
酸化膜の厚みはＳであるから、被覆管健全層の厚みの減少、被覆管外径の増加はそれぞれ

S/PBR 、S×(PBR-1)/PBR

であたえられる。熱計算の熱伝導方程式の差分リング要素、力学計算の半径方向有限要素(リング)は、この厚み変化にもとづいてタイムステップ毎にリング要素厚みを update して解く。

被 覆 管 金属相

冷却水

温度

被 覆 管 金属相（酸化前）

被覆管

酸化膜

金属相

S
PBR
図 2.2.1

S PBR 1
PBR

酸化膜
半径
図 2.2.2

被覆管腐食による体積増加

被覆管内温度分布

Name-list input: ① 酸化モデル選択：ICORRO =0: 酸化がない; =1: EPRI モデル(2.12);=2:MATPRO-09(PWR)モデル(2.13); =3: MATPRO-09(BWR)モデル (Default=1)②酸化膜成長速度調整係数：RCORRO (Default=1.0): 酸化膜成長速度を RCORRO 倍する。
③酸化膜熱伝導率調整パラメータ： OXFAC(Default=1.0)

酸化膜の熱伝導度は次式で調整される。 C N
④PX:

CN

OXFAC

酸化膜成長による体積増分率 X=PBR-1.0 のうち、半径方向への増分割合(%)。

(default=99)⑤PBR: 酸化膜成長による体積増分比率

被覆管の変形出力

Piling-Bedworth ratio. (default=1.56)

全長力学計算において被覆管の直径の変化や半径方向の変位を出力する場合、IDNO=174 においては、金属－酸化膜界面の位置を参照し、IDNO=7, 11 においては酸化膜表面の位置を参照する。局所力学解析(2-D)では酸化膜を考慮していない。

－39－

JAEA-Data/Code 2010-0352.3

半径方向一次元温度分布の計算

2.3.1 半径方向リング要素数の選択
FEMAXI-7では、熱的解析および力学解析において、１軸方向セグメントにおけるペレットス
タックおよび被覆管の半径方向の要素数を以下のように選択できる。第3章の力学解析でも説明する。

(1) ぺレット内径方向リング要素分割数
表 2.3.1 に示すように、name-list parameter MESH を指定することにより、ペレットスタックのリング要素数を指定できる。Default は MESH=3 である。等体積リング要素では、図 2.3.1 に示すようにペレットスタックの外側に行くにつれてリングの厚みが減少する。ペレットの外側には発熱密度と燃焼度のピーキングがあり、またリム組織もできるので、こうした急速な変化の領域
を細かく要素に分けることは計算精度向上に大きく貢献する。
表 2.3.1

熱解析と力学解析におけるぺレット内径方向リング要素分割数

1 次元熱解析1 次元力学解析

2 次元局所力学解析

MESH=0

等間隔 10 リング要素

等間隔 10 リング要素

等間隔 5 リング要素

MESH=1

等体積 36 リング要素

等体積 18 リング要素

等体積 9 リング要素

MESH=2等体積 72 リング要素

等体積 18 リング要素

等体積 9 リング要素

MESH=3

等体積 36 リング要素

等体積 36 リング要素

等体積 18 リング要素

MESH=4

等体積 72 リング要素

等体積 36 リング要素

等体積 18 リング要素

Parameter 値

ただし、後述する高燃焼度組織モデルオプション HBS を指定した場合は、常に MESH>0 としなければならない。HBS を指定した場合は MESH=0 を指定しても、自動的に MESH=3 として計算される。
なお、name-list parameter ISHAPE=1 を選択した場合には、MESH>0 における要素数は 2 倍となり、より細かな計算が可能となる。なお、事故解析コード RANNS において IREST>0 として
FEMAXI の計算結果を初期条件として用いる場合は、MESH の値は FEMAXI で指定した値が自動的に引き継がれる。

(2) 被覆管径方向リング要素分割数
被覆管のリング要素は、上記 MESH の指定にかかわらず、1 次元熱解析と 1 次元力学解析では共通である。すなわち、①Zr ライナーなしの場合：
内表面酸化膜１リング要素＋金属要素８リング要素＋外表面酸化膜 2 リング要素－40－

JAEA-Data/Code 2010-035②Zr ライナー有の場合：
内表面酸化膜１リング要素＋Zr ライナー2 リング要素＋金属要素 8 リング要素＋外表面酸化膜
2 リング要素
ただし、内面酸化膜リング要素については要素幅 0.1 m と非常に薄く設定し、かつ、その厚みは固定である。これは、現行の FEMAXI-7 コードでは、内面酸化膜成長モデルについて扱っていないが、将来のプログラムの拡張に配慮して、内面酸化膜をリング要素として与えているためである。

また 2 次元局所力学解析では、③Zr ライナーなしの場合：

金属要素 4 リング要素＋外表面酸化膜 1 リング要素④Zr ライナー有の場合：
Zr ライナー1 リング要素＋金属要素 4 リング要素＋外表面酸化膜 1 リング要素である。すなわち、内外面の酸化膜は扱わない。

ただし、3.7 章に説明する RANNS コードとの接続において、RANNS においては⑤Zr ライナーなしの場合：⑥Zr ライナー有の場合：

金属要素 4 リング要素
Zr ライナー1 リング要素＋金属要素 4 リング要素となる。
ただし、ISHAPE=1 の場合は、2-D 力学計算（局所 PCMI 解析）では上記の 2 倍のリング要素数となる。

Gap orbonding

Pellet stack consistingof 36 ring elements.

ZrO2

Cladding

1 2 3 4 5 6 7 8ring element No.
図 2.3.1

ペレットと被覆管の１セグメントにおける一次元リング要素体系－41－

JAEA-Data/Code 2010-035

このような、ペレットスタックの 36、あるいは 72 等体積リング要素系は、半径方向の詳細な
発熱密度分布を用いて伝熱計算を行う場合に有効である。たとえば、RODBURN（36 要素）やPLUTON コード(36 or 72 要素)の結果ファイルを読み込む場合、あるいは半径方向の詳細な発熱密度分布の数値を入力ファイルに書き込む場合がこれに当たる。また 36, 72 要素系は、2.11.1 節に述べるペレット高燃焼度組織モデル（HBS モデル）を選択する場合には必ず必要である。しかし、36, 72 要素系自体は HBS モデルを用いない場合でも使用可能である。MESH=0 の 10 リン
グ要素系は、FEMAXI-6 までのように従来通り用いることができる。この場合、PLUTON 結果
ファイルの読み込み及び HBS モデルは使用できない。なお、第 3 章でもリング要素数について
説明する。

2.3.2

被覆管表面温度の決定

FEMAXI コードでは燃料内部の熱伝導差分式から、各軸方向セグメントにおいて、次の式を得る。(2.3.3 章参照）
N＝ATN + B

(2.3.1)

ここで、N：被覆管表面熱流束（W／m2）

TN：被覆管表面温度 （K）
N :被覆管表面メッシュ点番号
A, B：熱伝導差分式より求まる係数である。
(2.3.1)式と、決定された被覆管表面熱伝達係数から表面温度 TN を求めることができる。
すなわち、冷却材温度を TB とすると、被覆管熱流束はこの式を用いて、
N＝hW (TN – TB)(2.3.2)となる。ここで、
N：被覆管表面熱流束（W／m2）

hW : 表面熱伝達係数 （W／m2･K）
TN：被覆管表面温度（酸化膜表面）（K）
TB：冷却材温度 （K）である。(2.3.1)､(2.3.2)式より N を消去することにより TN が得られる。

－42－

JAEA-Data/Code 2010-035

ただし、FEMAXI コードには、被覆管の温度履歴を計算せず、入力により指定するオプションもある。このオプションには、被覆管外面温度（酸化膜外表面温度）を指定するオプション 1 とジ
ルカロイ金属相－酸化膜界面温度を指定するオプション 2 がある。オプション 1 では name-list
parameter ITCP=0 とする。この場合、酸化膜外表面温度を境界条件として温度計算が行われる。
ジルカロイ金属相－酸化膜界面温度を指定するオプション 2 では、ITCP=1 とする。この場合、温度計算において境界条件として用いる酸化膜外表面温度を、

TN

TOX

q

(2 K OX )

ln

rN
rOX

(2.3.3)として求める。ここで、TN ：被覆管表面温度（酸化膜表面）（K）
TOX ：金属相－酸化膜界面温度（入力値）（K）
q : 線出力（W／m）

KOX : 酸化膜熱伝導率 （W／m･K）
rN：被覆管表面半径（酸化膜表面）（m）
rox：金属相－酸化膜界面半径（m）である。

Name-list Parameter IS,

ICTP

IS=3 あるいは 4 とおくと、被覆管の温度履歴を入力で指定するモードとなる。このとき、 ICTP=1：金属－酸化膜界面温度を指定(default)、
ICTP=0：酸化膜外表面温度を指定、である。
・IS=3 or 4 の場合、本来は熱水力計算は不要である。したがって、さらに IS3P=0 とおくと熱水力計算を停止させ、計算時間を短縮することができる。すなわち、IS3P=1: 熱水力
計算 On (default)、IS3P=0：熱水力計算 Off。また、被覆管の表面熱流束(IDNO=62)および
表面熱伝達係数(IDNO=63)を出力する場合、IS3P=0 として熱水力計算を省略した場合は表
面熱伝達係数は計算されず、プロット出力はされない。

2.3.3

熱伝導方程式の解法

燃料棒内の半径方向の温度分布の解析においては、軸方向の熱伝導を無視して、半径方向一次
元熱伝導方程式を用いる。以下、簡単のため等厚み 10 リング要素系を前提に計算法を説明する。
ここで、燃料内の各要素における物性値は温度依存であると仮定し、軸方向の各セグメント位－43－

JAEA-Data/Code 2010-035

置でのギャップ熱伝達係数および被覆管表面温度は変化すると仮定する。これらの仮定に基づけば、あるセグメントにおける燃料棒内の熱伝導は次の式で表現される。

t

cv T , r T r , t[k T , rT r , t ] q r, t

(2.3.4)

ここで、T：温度 (K)r：径方向座標(m)t：時間 (s)Cv ：体積比熱(J/m3)

k：熱伝導率(W/m-K)q：単位体積あたりの発熱量(J/m3･s)

である。

kpn

ksn

C v,pnC v,snqpn

hpn /2

hsn /2

qsn

hpn

hsn

n-1

n

図 2.3.2

n+1

リング要素モデル(2.3.4)式について体積積分を行う。ただし、積分体積は図 2.3.2 の破線で挟まれた部分の体積で
ある。
V

t

C v T , r T r., t dVV

[k T , rT r , t ]dVV

q r , t dV

(2.3.5)

1 次元問題であるので、体積の次元は径方向 r を除いて、他は 1 とおく。共通ファクター2
省略し、時間微分に対して前進差分法を用いると、(2.3.5)式の左辺第 1 項は、
Vt

Cv T , r T r , t dVV

Cv T , rTr , t dVt
(2.3.6)

Tn

m 1

Tn
t

m

Cv , pn

h pn
2

rn

h pn
4

Cv ,sn

－44－

hsn
rn
2

hsn
4

を

JAEA-Data/Code 2010-035となる。 Tn m は座標 rn、時間 tm における温度であり、 Tn

m 1

は座標 rn 、時間 tm+1 における温度である。(2.3.5)式の右辺第 1 項は、V[k T , rT r , t ]dV

k pn Tn m 1 Tnm1 1

rn

hpn

s

k T ,rT r, t d S

hpn

k sn Tnm1 1 Tnm 1

2

hsn

rn

hsn
2

(2.3.7)となる。ここで境界面にそった面積分の評価に当たって、内部境界での熱流束の連続条件を用いた。
ここで、便宜上、次の項目を定義する。

hpn

hVpn
h

2

rn

1
rn
hpn

s
pn

Dn

Cv , pn hVpn

h pn
4
h pn
2

, hsnV
s
sn

, h

rn

hsn
4

1
rn
hsn

(2.3.8)hsn
2

Cv ,sn hsnV

次に(2.3.5)式の右辺第 2 項での発熱項 q(r, t)を変数分離し、

q r, tQ r Pf P t(2.3.9)として与える。ここで、Ｑ(r)は径方向相対出力分布、Pf は発熱密度の基準値であり、P(t)は時間に対する相対変化である。すると(2.3.5)式の右辺第 2 項は、V

q r , t dVV
Q pn hVpn Qsnhsn
Pf P tm 1(2.3.10)となる。
以上の(2.3.5)式各項の近似式、 (2.3.6)、(2.3.7)、および(2.3.10)式の右辺を合わせることにより、(2.3.5)式は n 番目のメッシュ点（リング要素）について、

Tnm 1 Tnm Dnts
Tnm 1 Tnm1 1 k pn hpn

Tnm1 1 Tnm

ksn hsns(2.3.11)

Q pn hVpn Qsn hsnV P tmという差分近似式に変換される。(2.3.11)式についてクランク－ニコルソン法を完全陰解法で適用
すると、

－45－

JAEA-Data/Code 2010-035

Tnm 1

Tnm 1

Tnm Dn
t

Tnm11

Tnm
2

Tnm11

Tnm1

s
k pn hpn

2
Tnm 1

Tnm1
2

Tnm
2

Q pn hVpn

k sn hsns

P tm 1

Qsn hsnV Pf(2.3.12)P tm
2となる。ここで、熱伝導度 k pn および k sn はメッシュ点 n-1 と n の平均温度およびメッシュ点 n とn+1 の平均温度より求める。
(2.3.12)式を書きかえて、中間領域のメッシュ点 n の差分方程式を次のように与える。

a n Tnm1 1

bn Tnm 1

c n Tnm1 1

d nm

, cn

k sn hsns t
2

aT

Dn

c n Tnmcn Tnm1

t Q pn hVpn

Qsn hsnV Pf

P tm 1P tm(2.3.13)

ここで、sk pn h pn
t

an
bn
d

2
an

Dn

m
n

cn

m
n n 1

an

(2.3.14)2である。
次に、ギャップ領域を図 2.3.3 に示す。ギャップ領域については、(2.3.11)式と同様に

Tnm 1 Tnm Dnts
Tnm 1 Tnm1 1 k pn h pn

Tnm1 1 Tnm 1 hg

(2.3.15)

Vpn pn

Q h Pf P tm 1
Tnm1 1 Tnm1 Dn 1t
Qs ,n 1 Pf P tm 1となる。ここで、 Dn

Cv , pn hVpn

Tnm1 1 Tnm 1 hg

,

Dn 1

Tnm 21 Tnm1 1 k s ,n 1hss,n 1

Cv ,s,n 1 hsV,n 1－46－(2.3.16), hg はギャップ熱伝達係数である。

JAEA-Data/Code 2010-035

PelletGap

Cladding

Tn

Tn-1

Tn+1

hpn

Tn+2

hs,n+1n-1n
図 2.3.3

n+1

n+2

ギャップモデル

また、燃料棒中心領域を図 2.3.4(a)、被覆管表面領域を図 2.3.4(b)に示す。ただし、被覆管の外表面には酸化膜が生成しており、この膜は金属相より熱伝導率が低い。

Pellet Surface

Pellet center

Cladding outer surface

T0

Tn=TN

Tn-1

T1

n

hpn

hs0
0

n-1

1

n=N

Gap
図 2.3.4(a) 燃料棒中心モデル

図 2.3.4(b)被覆管表面モデル

燃料棒中心については(2.3.11)式は、

T0m 1 T0m
C v ,s 0t

T1m 1 T0m 1 k s 0 hss0

Qs 0 hsV0 Pf P t m 1(2.3.17)である。
被覆管表面の境界方程式は、

Tnm 1 Tnm
C v , pn hVpntsTnm 1 Tnm1 1 k pn h pnである。
(2.3.18)式の差分近似式を

－47－

rn n

Q pn hVpn Pf P t m 1(2.3.18)NJAEA-Data/Code 2010-035

a n Tnm11

bn Tnm 1

dn(2.3.19)の形式で表すと係数 a n , bn , d n は、sk pn h pn
t

an

dn

(2.3.20)2bn

Cv , pn hVpn

ana n Tnm1

CV , pn hVpn

a n Tnm

m 1
n

t rn
dn

m
n

(2.3.21)

P tm 1tQ pn hVpn Pf

2

P tm
2

(2.3.22)d n mn 1となる。ここで n は被覆管表面熱流束である。
m

ただし、(2.3.22)式中の時刻ｔｍにおける熱流束 n については、定常計算では
mnq m / 2 rn ,(2.3.23)q：線出力(W/m)
で与える。これは、再メッシュ切りなどによって発生する差分誤差が、算出された熱流束に累積することを避けるためである。
m 1

m 1

(2.3.19)～(2.3.23)式において未知数は、 Tn 1 , Tn

,

m 1

である。

次に、ガウスの消去法により、第 1 点から始めて第 n-1 点までの前進消去により得られた係数
を E、F とおくと、次式を得る。

Tnm1 1

En 1 Tnm 1

Fn 1(2.3.24)(2.3.20)～(2.3.22)式および(2.3.24)式を(2.3.19)式に代入すると、A1 Tnm 1

B1

m 1

A1

bn

an En 1 / d n

B1

a n Fn 1(2.3.25)

ここで(2.3.26)

dn / dn(2.3.27)である。すると A1 、 B1 は既知量である。しかし(2.3.25)式は(2.3.1)式と等価であり、(2.3.1)式におm 1

いては A 、 B は既知となるので、2.3.2 項で述べたように Tnて、ガウスの消去法による後退代入を行えば、順次 T

－48－

m 1

を求めることができる。したがっを求めることができる。

JAEA-Data/Code 2010-035

2.3.4 ペレット熱伝導率(1) 熱伝導率モデル
燃焼度が進むとペレットの熱伝導率λは低下する。熱伝導率の代表例（NFI モデル(2.14)およびHalden モデル(2.15)）を図 2.3.5 に示す。

熱伝導率は下記のオプションから Name-list input によりThermal Conductivity (W/mK)

選択できる。（式の詳細および文献は 4.1 節参照）

6
NFI UO2NFI MOX, Pu=10%
Halden UO2Halden MOX

50 GWd/tHM

4
3

40 GWd/tHM

2
1

500

80 GWd/tHM

1000

1500

Temperature (K)図 2.3.5

2000

ペレット熱伝導率の燃焼度依存変化

ペレット熱伝導率のモデル（物性式）オプション: IPTHCN. 詳細は第 4 章参照=1: MATPRO-09,=2: Washington,=3: Hirai,=4: Halden (Wiesenack),=5: Modified Hirai , =6: Forsberg,=7: Kjaer-Pedersen,=8: Baron&Couty,=10: Lucta, Matzke, &Hastings,=11: Tverberg, Amano, Wiesenack (UO2 , ガドリニア燃料),=15:Daniel Baron (UO2, ガドリニア燃料),=13:Fukushima (UO2 , ガドリニア燃料),=16: CRIEPI (Kitajima & Kinosita),=17:Halden new (Wiesenack) (UO2),=90: Ohira & Itagaki (UO2),=18: PNNL-modified Halden model(UO2),=91: Ohira & Itagaki (NFI) latest Model for 95%TD UO2 and MOX pellets.
=92: Ohira & Itagaki Modified in FRAPCON 3.3. for 95%TD UO2 pellet=30:Martin (MOX),=31:MATPRO-11(MOX),=32:Martin+Philipponneau (MOX),=33:Duriez et al.(MOX),=34:Philipponneau (MOX),=35: Halden (new, MOX),=36:Daniel Baron (MOX, UO2, ガドリニア燃料),=38: FRAPCON-3: PNNL Modified model,=39: FRAPCON-3: PNNL-modified Halden model,－49－

JAEA-Data/Code 2010-035(2) ポロシティの影響
また、熱伝導率 の経験式の値は、4 章にも示すようにペレットのポロシティ p (あるいは理論
密度比 TD)にも影響される。ここでポロシティ p と理論密度比 TD=D(I)の関係は、

p(I)＝1.0 – D(I)(2.3.28)

I: ペレットスタックリング要素番号である。
FEMAXIコードでは、ペレット熱伝導率に対するp(またはD)の影響に関するオプションをパラ
メータIPROによって以下のように選択可能である。
IPRO =0: D(I)=Di:初期理論密度比、としたときの初期ポロシティ p0 を用いる。

ただし、

=1: p

p0

=2: p

p0

=3: p

p0

Vswg
としたポロシティを用いる。
V0
Vdens
Vhot としたポロシティを用いる。
V0
V0

Vswg
V0

Vdens
V0

Vhot
としたポロシティを用いる。
V0

Vswg ：FP ガスバブル体積スエリング率、
V0

Vdens ：焼きしまり体積率、
V0

である。

Vhot ：ホットプレスによる体積減少率
V0Name-list input parameter: IPRO (Default=0)

ただし、この計算は径方向リング要素毎に行うのではなく、軸方向セグメント毎に実施して、セグメント平均のポロシティを算出する。プロット出力は、IDNO=57：ペレット密度＝ 1pによる。
また、これに関連した別のname-list parameter MPORO は、ペレット熱伝導率に影響するポロシ
ティの扱い方を指定するオプションである。すなわち、
MPORO=0: IPRO の指定に基づいて計算された軸方向セグメント毎のポロシティを用いてペレット熱伝導率を計算する。（Default）
MPORO=1: 径方向リング要素ごとに p

p0

Vswg
V0

Vdens
V0

としたポロシティを用いてペレット熱伝導率を計算する。

ここで、スエリングと焼きしまりの定義は IPRO と同様である。ただし、HBS モデルによるペレット熱伝導率の（リング要素ごとの）変化は MPORO とは独立であり、HBS モデルによるリン

－50－

JAEA-Data/Code 2010-035

グ要素ごとのポロシティの影響は、MPORO の入力にかかわらず計算に入れることができる。
対応するプロット出力は、IDNO=257：全ポロシティ、IDNO=260：ガスバブルポロシティ。

(3) ポロシティと熱伝導率モデルの関係(1)項で説明した熱伝導率モデルは、ポロシティp=0.05を標準値としている。燃焼とともにポロシティが0.05から変化した場合、ペレット熱伝導率も変化するのであり、その効果を計算に入れるために上述のIPROを用いるのであるが、注意すべきは、熱伝導率モデルによってはこの効果を既に含んだ形で定式化されているものがあることである。
たとえばHalden (IPTHCN=4, 17) モデルでは、燃料棒の照射における線出力と被覆管温度のデータからペレット熱伝導率を導いているので、そこには自ずとペレットのポロシティ変化がimplicitに含まれている。もし、このモデルに対してIPRO=1, 2, 3を指定すれば、モデルに既に含まれているポロシティ変化の効果と、FEMAXIによるポロシティ変化の効果を二重に計算することになり、誤った計算となる。
このように、ポロシティの変化の効果を熱伝導率に反映させようとする場合は、熱伝導率モデ
ルが導出された条件を確認することが必要である。

2.4

発熱密度プロファイルの決定

ペレットの半径方向の発熱密度プロファイルについては、4 通りの指定方法がある。1 番目は、燃焼度の関数（テーブル）として入力で数値を指定する方法であり、2 番目は、燃焼計算コード
RODBURN(1.20)の出力を用いる方法、3 番目は、燃焼計算コード PLUTON(1.21)の出力を用いる方法、
4 番目はコードが内蔵する Robertson の公式（Halden 実験式）(2.16)による分布関数 Q(r) を用いる方法である。
燃焼計算コード選択 Name-list input parameter IFLX=－1: PLUTON ファイルより入力；=－2: RODBURN より入力；=0: Robertson の公式を利用。

1: 数値入力。ただし、IFLX≠0 の場合、発熱密度分布は複数個の燃焼度値に対応した値が入力で指定されるが、指定した燃焼度の間の発熱密度分布は内挿で決定される。

2.4.1

RODBURN 出力の利用

燃焼計算コード RODBURN は、与えられた燃料サイズ、形状、温度、出力履歴ないしは熱中性
子束履歴から、燃料棒の軸方向および半径方向の出力密度プロファイルや高速中性子束などを算出し、ファイルを生成する。FEMAXI コードはこのファイルを計算条件として読み込むことが可
能である。

－51－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.4.2 PLUTON 出力の利用
燃焼計算コード PLUTON(1.21)は、与えられた燃料サイズ、形状、温度、出力履歴から、燃料棒の軸方向および半径方向の出力密度プロファイル、燃焼度プロファイル、高速中性子束、Pu アイ
ソトープ生成分布、その他 FP 元素生成分布などを正確かつ高速に算出し、出力ファイルを生成する。FEMAXI コードはこのファイルを計算条件として読み込むことが可能である。

2.4.3 Robertson の式
Robertson は Halden 炉におけるペレットの燃焼初期の発熱分布に関し次の表式を与えた(2.16)。

Q1 R

I 1 k R1
K1 k R1

I0 k RK0 k R(2.4.1)

ここで、I： 第１種変形ベッセル関数

R1： ペレット中心孔半径K： 第２種変形ベッセル関数

R： ペレット半径方向位置（cm）k： 中性子拡散距離の逆数（cm-1）

（cm）

である。
k は次式で計算される。
0.8

0.5
0.54
Rp

k

0.328 E D

E

： 235U 濃縮度(%)

D： ペレット理論密度比

0.82

E D

0.19

(2.4.2)

ここで、(-)

R p ： ペレット半径 (cm)である。
Robertson の公式を二次関数で近似すると、以下のようになる。

Q2 r
ここで、

b 2 1 h2 1 a rb a hb
b 1 h 2 a h b 2 1 h b 1 ah 2

r : 規格化半径 (0r 1)

a：ペレット内面対外面発熱密度比(-)

b：発熱密度関数 Q(r)における形状指数
h：規格化したペレット中心孔半径 (-)

－52－

(-)

(2.4.3)

JAEA-Data/Code 2010-035である。
(2.4.3)式の 2 つの形状パラメータ a および b は、ハルデン炉の場合、次のように求める。
形状指数 b は、(2.4.1)式が 2 次関数でよく近似できることから b＝2 とする。内面対外面発熱密度比 a は(2.4.1)式を用いて、次のように表す。

Q1 R1
Q1 R pa

2.4.4(2.4.4)

ペレット温度計算の精度確認

FEMAXI における半径方向温度分布の数値計算の正確さを確認するために、以下に解析解との比較を行った結果を示す。

(1) ペレット径方向出力分布
軸方向単位長さのペレット内の温度分布および発熱密度分布を考える。線出力 LHR (W/cm)は次式で表される。
T

LHR
ここで、

T po

p

r po

dT

r

1
r

r
r pi

r q dr dr(2.4.5)

p ：ペレット熱伝導率（W/(cm・K)）

r：ペレット内径方向位置（cm）
T：位置 r における温度（K）
Tpo：ペレット表面温度（K）
rpo：ペレット半径（cm）
rpi：ペレット中心孔半径（cm）
q：位置 r における発熱密度（W/cm3）.
(2.4.5)式を位置 r について規格化し、発熱密度 q を規格化位置 r の関数として q( r ) (W/cm3)と書く
と、
T
T po

ここで、

p

dT

1
r r
1

r
h

r q( r ) dr drr ：ペレット規格化半径位置
h：ペレット中心孔規格化半径(2.4.6)式の発熱密度分布 q( r ) は次式で与えられる。

－53－(2.4.6)

JAEA-Data/Code 2010-035

PLHR
1 h2

q( r )(r )(2.4.7)

ここで、 ( r ) は、発熱密度分布関数、PLHR は線出力である。
(2.4.6)式と(2.4.7)式を用いれば、ペレット熱伝導率p が一定、発熱密度分布関数( r ) が一様の場合には、簡単にペレット内温度分布を得ることができる。例えば、ペレット中心項規格化半径
h=0、線出力 PLHR=400(W/cm)、発熱密度分布関数 ( r ) =1、ペレット熱伝導率

p =0.03（W/(cm·K)）のときは、(2.4.7)式を(2.4.6)式に代入して、

T
T po

p

1
r r

r

1

dT

0

PLHR
rdr
r 2
1

したがって、

T T

r

2

PLHR r
2
2

po

1

r

r

1 PLHR r 2
dr
r r
2 0
1

dr dr

PLHR
1 r 2 となるので、
4

T

p

PLHR

(2.4.8)

PLHR
1 r2
4

p 、PLHR 及びペレット外表面温度 TPO を与えれば、ペレット内温度の解析解が得られる。TPO＝450 (°C)とすると、規格化半径 r の位置での温度 T は、

T

PLHR
1 r2
4 p

TPO

450

400
(1 r 2 )4 0.03で与えられる。

次に Robertson 式を用いて、ペレット内面対外面の発熱密度比を a、発熱密度関数の形状指数をb としたとき、発熱密度分布関数 ( r ) は、

(r )b 2 1 h2b 1 h2 a hb

1 a rba hb

2 1 h b 1 ah 2

(2.4.9)(2.4.9)式を(2.4.7)式に代入し、更に(2.4.6)式に代入すると次式が得られる。
T
T po

p

dT

PLHR
F r
4

(2.4.10)

ここで、

F r

4(1 a )(1 r b 2 )(b 2)( a hb )(1 r 2 ) 2 2(1 a )hb 2 ( a hb )(b 2)h 2 ln rb 2
/ b(1 h 2 )( a hb ) 2(1 hb )(1 ah 2 )－54－

JAEA-Data/Code 2010-035である。
h=0 の場合には(2.4.9)、(2.4.10)式は簡略化されて、

b 2

(r)

1 a rba(2.4.11)ba 2

4(1 a )(1 r b 2 )(b 2)a(1 r 2 )
b 2

F r

(2.4.12)(ba 2)となる。例えば、a=0.7、b=2 とすると、(r )4 0.3r 2 0.7
3.4

0.3(1 r 4 ) 2.8(1 r 2 )

、F r

3.4

となる。

したがって、F(0)を求めると、F(0)=3.1/3.4＝0.912 となって、出力分布が一様の場合に比べ、(2.4.10)式の右辺は 0.912 倍になることがわかる。

また、 ( r ) については、中心を 0.7、表面を 1 とした[ 0.3r

2

0.7 ]の式より、積分値を 1 にするためには 4/3.4＝1.176 倍する必要があることがわかる。このとき、ペレット半径を 10 等分したときの各リングに適用される相対出力密度分布は、ペレット内側から、0.8244、0.8315、0.8456、0.8668、0.8950、0.9303、0.9727、1.0221、1.0785、1.1421 となる。これらは、(2.4.11)式を用いてリング毎に体積平均して求めた相対出力密度分布である。

F ( r ) が(2.4.12)式より得られたので、

p =0.03（W/cm-K）と一定にした場合には、(2.4.10)式よりペレット温度分布の解析解が得られる。この解析解の値と、半径距離を 10 メッシュ及び 100
メッシュに離散化して計算した FEMAXI の数値解との比較を表 2.4.1 に示す。表 2.4.1 における径方向出力分布を与えたときの数値解は、上記のリング毎に体積平均して求めた相対出力密度分布のテーブルを用いて得られた結果であり、100 メッシュ系は、上記の 10 個のデータ点を次式で補間して 100 点の値を決定して計算した結果である。
f(x)＝a・rb＋Cf ( x)（ただし上式は厳密には f ( x)b 2

(1 CSFR ) r PFAC

1 a xb a

CSFRである。ここで、a=CSFR、b=PFAC）

ba 2

また、CSFR=0.7、PFAC=2.0 を与えたときの数値解は、10 メッシュ及び 100 メッシュ系とも各－55－

JAEA-Data/Code 2010-035

r r はペレット半径を 1.0 に規格化した値）を求め、この r に対応する ( r )メッシュの中央座標の （を(2.3.11)式から求めて計算したときの数値解である。

表 2.4.1

解析値と FEMAXI の数値解の比較

ペレット
径方向
相対座標

積分方程式
の解析解

径方向出力分布を与えたときの数値解

0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0

1417.411408.67
1382.311338.01
1275.211193.111090.71966.78819.84648.22450.001418.731409.971383.58
1339.221276.33
1194.121091.58
967.47820.33648.48450.00

同左
CSFR=0.7、（ペレット PFAC=2.0 を与
径方向メッ
えたときの
数値解
シュ数 100）
1417.871417.58
1409.121408.831382.761382.461338.441338.141275.60
1275.30
1193.461193.171091.01
1090.75
967.01966.79820.01819.84648.31648.22450.00450.00

同左（ペレット径方
向メッシュ数
100）
1417.58
1408.831382.461338.141275.30
1193.171090.75966.79819.84648.22450.00

この結果からわかるように、出力（密度）分布がある場合のペレット温度の解析解と数値解の差は 0.1%以下であることが確認できた。また、体積平均して得られた相対出力密度分布（径方向
出力分布を与えたときの数値解）を用いるより、単純に座標中心の相対出力密度分布（CSFR=0.7、PFAC=2.0 を与えたときの数値解）を用いた方が解析解との適合性が高い。これは、ペレット温度分布計算は径方向に 1 次元であり、体積平均して得られた相対出力密度の値は体積の大きい外周側（相対出力密度の高い側）の値が内周側の値より影響が大きいためである。

(2) ペレット熱伝導率
ペレット熱伝導率が温度依存性、燃焼度依存性、密度依存性を持つ場合、熱伝導方程式は非線形となり、解析解は得られない。燃焼度依存性、密度依存性等の要因は、実効的には温度依存性の感度が異なることに相当するので、プログラムと数値解精度の検査には温度依存性のみを考慮しておけばよい。あとは、プログラムの物性値が正しくコーディングされているか否かの問題である。解析解をベースにした数値解との比較には、Wiesenack の熱伝導率の式(IPTHCN=6)を用いた。Wiesenack (Halden) の熱伝導率の式の燃焼度依存性を無視すると次式が得られる。

K

1 / 0.1148 2.475 10 4 T

0.0132 exp(0.00188 T ) (W / mK )(2.4.13)

T：温度（℃）
上式を適用して FEMAXI の計算を実施した。なお、解析解をベースとした計算では、(2.4.10)
式の左辺の中心温度誤差を 0.1℃に設定した。熱伝導率の式が温度依存の式であるので、温度分布が決定されないと熱伝導率は正確には求まらない。また、熱伝導率が求まらないと温度分布も－56－

JAEA-Data/Code 2010-035

求まらないため繰り返し計算が必要となる。繰り返し計算は、ペレット表面温度を境界条件として、ペレット内を 10 領域に等分割し、1 回目の温度分布の決定は、各領域の外側の温度を用いて熱伝導率を計算し、内側の温度を求める。2 回目以降は、前段の繰り返しにおける温度の計算結果を用いて、領域毎に内側と外側の平均温度を算出し、これを用いて熱伝導率を求め、内側の温度を求める。この繰り返し計算の結果、ペレット中心温度の評価値の差が 0.1℃以下になったら収束したと仮定した。
この結果得られた表 2.4.2 を見ると、解析解と数値解の差は 0.2%以下であることが確認できた。

表 2.4.2
ペレット
径方向
相対座標

積分方程式
の解析解

解析解と FEMAXI の数値解との比較

同左
径方向出力分
（ペレット径布を与えたと方向メッシュ
きの数値解
数 100）

CSFR=0.7、PFAC=2.0 を与え
たときの
数値解

同左
（ペレット径方
向メッシュ数
100）

0.0
0.1

1375.121364.08

1377.94
1366.881375.35
1364.30

1376.861365.811375.071364.030.2

1331.091333.811331.29

1332.781331.06

0.3

1276.61

1279.19

1276.77

1278.23

1276.580.4

1201.511203.881201.631203.021201.490.5

1107.26

1109.37

1107.34

1108.63

1107.250.6

996.07997.84996.11997.25996.060.7

870.88872.27870.90871.82870.87

0.8
0.9
1.0

735.33593.57450.00736.28594.05450.00735.34593.57450.00735.99593.91450.00735.33593.57450.00

2.5 ギャップ熱伝達モデル
ギャップ熱伝達率は、IGAPCN=0 - 6 の 7 個のオプションから選択が可能であるが、標準的には修正 Ross & Stoute モデル(2.17)の(2.5.1)式（IGAPCN=0）により表す。さらにボンディングモデル
を用いる場合は、IGAPCN=5, =6 とおく。

2.5.1

修正 Ross & Stoute モデル

修正 Ross_&_Stoute モデルは次式で表現される(2.17)。

hgas

C Reff

R2

g1

m

g2

GAP

－57－

0 .5 R

Pc
12

H

hr

(2.5.1)JAEA-Data/Code 2010-035

右辺第 1 項はガスによる熱伝達成分、第 2 項は固体接触による成分、第 3 項は輻射による成分である。ここで、

2.77 2.55 10 8 Pc

C

2 p Tpo
m
p

Tpo

c

Tci

c

Tci

（W/cm･K）

p ：ペレット熱伝導率(W/cmK)、

Tpo ：ペレット表面温度(K)、
hr
gas

1

1

p

c

1

1

c ：被覆管熱伝導率(W/cmK)

Tci ：被覆管内面温度(K)

Tpo4

Tci4

Tpo

Tci

：混合ガスの熱伝導率（W/cm･K）

Pc ：ペレットと被覆管の接触圧力（Pa）
Reff ：ペレットみかけの表面粗さ（cm）
R2 ：被覆管表面粗さ（cm）
g1

g2 ：固相気相間温度ジャンプ距離（cm）

GAP：半径方向ギャップ（cm）
R：

Reff 2R2 2
2

H：被覆管メイヤー硬度（Pa）（ H（

2.8（2.13）Y (MPa)）

Y ：被覆管 0.2%耐力＝降伏応力。温度、照射依存性を考慮している。

第 4 章(8)項参照）：ステファン・ボルツマン定数（W/cm2･K4）
p ：ペレット放射率5.67 10 12(-)

c ：被覆管放射率（黒色酸化被膜）

(-)

である。
ここで、ギャップ熱伝達率を計算するためには、ペレットと被覆管の接触圧力 Pc を求めることが必要である。FEMAXI-6 および FEMAXI-7 においては、全長力学解析で計算された接触圧力がそのままギャップ熱伝達の計算に用いられる。
Name-list input parameter R1, R2
ペレットおよび被覆管の見かけの表面粗さ Reff および R2 は、それぞれ R1 および R2
で指定できる。標準値はいずれも 1 m。

－58－

JAEA-Data/Code 2010-035(1) 混合ガス熱伝導率
混合ガス熱伝導率

gas の表式は、MATPRO-09 モデルより次のように表される(2.13)

。

n
i

gas
i 0

1

i 1
i j

(2.5.2)

xj

n
ij

xi

ただし、
1
2

1

Mi
Mj

i
j

ij
3

22 1

1
4

1
2

Mi
Mj

2

2 .41 M i

1

Mj
Mi

Mi
Mj

0 .14 2 M j(2.5.3)

2

ここで、

x i ：ガス i のモル比
i ：ガス i の熱伝導率（W/cm･K）

M i ：ガス i モル重量である。ガスの種類として、ヘリウム、窒素（またはアルゴン）、クリプトンおよびキセノンを考える。ガス組成は、クリプトンおよびキセノンが FP ガスであるため、FP ガス放出に依存する。
これについては 2.1.4 項で述べる。
ガスの熱伝導率を示す(2.13)。

ただし、

k He

3.366 10 3 T 0.668

k Ar

3.421 10 4 T 0.701

k Xe

4.0288 10 5 T 0.872
5(2.5.4)

0.923

k Kr

4.726 10 T

kN 2

2.091 10 4 T 0.846

k (W/mK), T (K) である。なお、He の圧力が 1MPa から 10MPa に増大してもその熱伝導率は 3%程度しか増加しない(2.18), (2.19)。
Name-list input Parameter IARンであるが、IAR=’AR’

ガスの種類はヘリウム、窒素、クリプトン、キセノと指定すると、窒素の代わりにアルゴンを指定できる。

－59－

JAEA-Data/Code 2010-035(2) 固気間温度ジャンプ距離
固気間温度ジャンプ距離は次式で与えられる。
n

g2

g1

g2 ：ガス i の固気間温度ジャンプ距離（cm）

i 1

g1

g2 j

10 5
Pgas

g1

(2.5.5)

ここで、Pgas ：ガス圧力（Pa）
である。

g1

g2 i は、Ross & Stoute の結果から、ヘリウム、窒素（又はアルゴン）、クリプトンおよびキセノンに対してそれぞれ 10×10-4、5×10-4、1×10-4 および 1×10-4 (cm)を用いる。
全ガス圧力 Pgas の計算については、後の 2.13 章(2.13.56)式で説明する。

2.5.2

ギャップボンディングモデル(1) 現象軽水炉燃料は 40GWd/tU 付近からペレットと被覆管のギャップが閉じ、その後、ペレットと被覆管の間に化学反応としてのボンディングが生じる(2.20)。ボンディングが生じた後は、ギャップ
熱伝達は(2.5.1)式から予測される値より有意に増加する。また PCMI ふるまいも、接触圧力の大小に関わらず固着状態を考慮した２軸応力解析が必要となる。高燃焼度になり、燃料ふるまいに占める PCMI の重要度が再び大きくなってきた状況では、ボンディングのモデル化は避けては通れない。そこで、燃焼度、接触力、経過時間の関数としてボンディング層が生じ、ギャップ熱伝達が変化し、同時にペレットと被覆管との固着が進行すると仮定し、以下のモデルを考える。

(2)

ボンディング進行度の計算と仮定

以下は、全長力学解析を前提に考える。PCMI における接触状態においてボンディング反応が開始され、進行する。その際、進行度に応じてギャップ熱伝達率が変化（増加）する。
ここで、ボンディング進行度を BD とし、次式で定義する。

BD
ここで

t
tstart

PC dt

X,

Pc：ペレット被覆管接触圧
tstart：接触開始時刻
X：

パラメータ

（hour･MPa）

－60－

(0

BD 1.0)(2.5.6)

JAEA-Data/Code 2010-035(2.5.6)式は、全長力学計算において接触が生じている期間について積算する。途中、接触が中断したら、その時間は積算を中断し、再び接触したらその接触期間について積算を再開し、最初の接触時からの全積算値をモニターしていく。BD の値が 1.0 に達したらボンディング層完成と見なし、BD はそれ以上は増大しないものとする。
X の値: Name-list input parameter : BDX=100000.0 hr・MPa(Default)（＊）注：(2.5.6)式は以上のボンディングモデルを用いるか否かにかかわらず常に計算される。

(3) ギャップ熱伝達
IGAPCN=5 or 6 と指定した場合、Gap Conductance; GC を以下のように定義する。
1)

ボンディングが生じない場合、従来通りの GC1 = Ross & Stoute モデル(IGAPCN=0 の場
合と同じ)を用いる。

2)

既にボンディングが始まっていて、かつ接触状態と判定された場合：
その状態での Gap Conductance GC2 は、(2.5.1)式が与える GC を OpenGC とすると、
GC2=(1－BD)･OpenGC + BD･BondGC
BondGC= F{

とする。

p

(T p ),oxp(Tp ) (1)

ox(Tc )}(W/cm2K)(0(2.5.7)

1, 0

F)(Tc ) は、それぞれペレット外表面および被覆管内表面の温度におけるペレット及び被覆管酸化膜の熱伝導率である。ただし酸化膜の熱伝導率は以下の MATPRO-A
モデルを用いる(2.13)。

k

0.835 1.81 10 4 T
T：温度(2.5.9)（W/mK）(K)

また、ペレットの熱伝導率はペレット外表面部での燃焼度に対応した値とする。F およびは経験的に決められる入力パラメータで、下記の default 値を持つ。
Name-list input parameter: F : FBONDG=10.0 (Default),: SBONDG=0.01 (Default)

3) 既にボンディングが生じているセグメントにおいて、低出力、ないしは高内圧になってギャップが開いたと力学計算において判断された場合、IGAPCN=5 であれば以下の GC3 を用いる。
GC3=OpenGC･(1.0+ ･BD),：調整パラメータ

は経験的に決められる入力パラメータで、下記の default 値を持つ。
Name-list input parameter:: ALBD=0.7 (default)－61－

JAEA-Data/Code 2010-035

4) 既にボンディングが生じているセグメントにおいて、低出力、ないしは高内圧になってギャップが開いたと力学計算において判断された場合、IGAPCN=6 であれば (2.5.8)式のBondGC をそのまま用いる。すなわち、この場合の力学計算ではペレットをあくまで連続体として扱って、ギャップ幅を計算している。しかし現実には、ボンディングしたペレットの破片が被覆管に固着した状態を維持している場合があり、このとき被覆管の外側へのクリー
プ膨張あるいはペレットの収縮によるギャップの計算上の再開は、ペレット片の間のクラック空間の増加に対応すると考えられる。この場合、ギャップ熱伝達にはボンディング状態の値がそのまま適用される。これが IGAPCN=6 の物理的な意味である。

(4) ギャップ固着状態（全長力学解析）
全長力学解析では、ギャップ熱伝達モデルを指定する IGAPCN とは無関係（独立）に、
Name-list input parameter IBOND によりペレットと被覆管の固着状態を以下のように指定することができる。これは 3 章でも説明する。
IBOND=0: 固着状態を適用しない(default);

IBOND=1:

固着状態を適用する。

IBOND=1 の場合、①いったんボンディング反応が開始された後は、出力の大小や内圧の大小に関わらず、その進行度に応じて、ペレットと被覆管の接触が存在すると仮定する。したがって、一旦ボンディングが生じた（あるいは進行中の）セグメントにおいては、ボンディングの進行のある時点以降（BDのある値以上）では、計算上の接触の有無あるいは接触圧力の大小に関わらず固着状態とする。
BD のある値：Name-list input parameter: BDTR=0.5(default)②ボンディングによる固着が生じたセグメントにおいては、ギャップが再度開いた場合でも、ペレットと被覆管の軸方向変位を常に（接触してなくても）同一にして力学計算を行う。

IBOND=2 の場合、
いったんボンディング反応が開始された後は、出力の大小や内圧の大小に関わらず、その進行度に応じて、ペレットと被覆管の接触が存在すると仮定する。したがって、一旦ボンディングが生じた（あるいは進行中の）セグメントにおいては、ボンディングの進行のある時点以降（BDのある値以上）ではボンディング状態とするが、接触圧が PCPRES 以下に低下したら、ボンディ
ング状態、すなわち固着状態は解除され、通常のギャップ状態に変化する。
PCPRES：Name-list input parameter: PCPRES =0.01(MPa)－62－(default)

JAEA-Data/Code 2010-035

IBOND=3 の場合、
いったんボンディング反応が開始された後は、出力の大小や内圧の大小に関わらず、その進行度に応じて、ペレットと被覆管の接触が存在すると仮定する。したがって、一旦ボンディングが生じた（あるいは進行中の）セグメントにおいては、ボンディングの進行のある時点以降（BDのある値以上）ではボンディング状態とするが、もし片側ギャップ幅が GWD(mm)以上開いた場
合にはボンディング状態、すなわち固着状態は解除され、通常のギャップ状態に変化する。
GWD：Name-list input parameter: GWD =0.1(mm)2.5.3(default)

リロケーションモデル

ペレットの温度を規定するギャップ熱伝達に影響する要因として、ギャップ幅を左右するリロ
ケーションについて FEMAXI コードのモデルを説明する。

(1) リロケーションの基本モデル
未照射燃料の状態で最初に出力を上げていくと、ペレットの温度が上昇し、熱応力が発生して放射状のクラックが生じ、ペレットはいくつかの破片に割れる。この破片同士が熱膨張のために互いに押し合って、ギャップを埋める方向に外側にせり出していく。これをリロケーションという。このリロケーション量は直接計測することは不可能で、燃料棒の温度や線出力から間接的に推定するしかない。
FEMAXI コードのリロケーションモデルは、照射の初期にペレット半径方向および軸方向に一定の値を入力で指定する方法をとる。Name-list parameter FRELOC (=0.35 as default)

は、初期

start-up 直後のギャップ（ペレット直径、熱膨張、被覆管熱膨張、被覆管の弾性変形によって決まる）がリロケーションによりどれだけ減少したかの割合を指定する。
照射とともにギャップは減少するが、ギャップが閉じて PCMI 接触力が発生すると、ペレット
片は被覆管から押し返されて、初期リロケーションは減少していく。この過程は、力学解析（3.2、3.3 章）で説明される。
ところで、Halden 炉のような試験研究炉での照射の場合、燃料棒は頻繁な出力変動、出力サイ
クルを受ける。これによりペレット片が繰り返し熱応力を受けて、その都度リロケーション量が細かく変化する可能性がある。こうした状況を再現するため、FEMAXI コードでは以下のような制御機能を備えている。

(2) 力学解析リロケーションと熱解析リロケーションの分離
本機能においては、力学解析では従来通り、FRELOC を用いるが、熱解析では、(2.5.1)式中の、力学解析での結果の半径ギャップ幅 GAP に修正項 DELTAR を入れることができる。

－63－

JAEA-Data/Code 2010-035①

ユーザーが任意の履歴点において、軸方向各セグメントのペレットの熱的な半径リロケーシ

ョンの修正量 DELTAR ( m)を入力で指定可能である。すなわち、i-step の力学計算の結果としてのギャップ幅を GAPi とするとき、熱的なギャップ幅 GAP1i はGAP1i=GAPi となる。ただし②i DELTAR)(2.5.11)i DELTAR)は i-step までの DELTAR の積算値である。

入力変数を DELTAR(IZ, IN),

(Default：DELTAR(IZ, IN)=0, (1 IZ NAX,

1 IN NHIST))とする。DELTAR は前の履歴点における総和値 i-1 DELTAR)に対する増分である。指定が無い履
歴点については、DELTAR=0 とみなす。
③

GAP1i= GAPi -i DELTAR)=0となったとき、それ以降の履歴点でたとえ DELTAR>0 が指定されていても、GAP1=0 とする。
④ 力学解析において PCMI が発生した瞬間、それまでの DELTAR の総和（ i DELTAR)）はゼロにリセットされる。またギャップが再開した場合、それ以降の履歴点でたとえ DELTAR>0 が指定されていても、 i DELTAR)=0 として計算する。
i DELTAR)の値は、ギャプコンダクタンスモデルの、ペレット-被覆管の半径ギャップの値⑤に修正項として入れる。すなわち、(2.5.1)式の第 1 項の GAP 値が修正される。
ここで DELTAR が影響するのは PCMI が生じていない場合のみであり、第 2 項（固体接触項）
は、その場合は 0 であり、DELTAR の影響を何ら受けない。

2.5.4 スエリングと焼きしまりモデル
照射が進むにつれてペレット内には核分裂生成物（FP）が蓄積し、ペレットの体積膨張が生じる。これをスエリングという。固体 FP による燃焼度に比例するスエリングと、Xe や Kr のような気体 FP によるバブル形成による、燃料温度に依存するスエリングがある。
FEMAXI コードのスエリングモデルは、経験モデルと FP ガスバブルスエリングモデルに大別される。詳細は 2.7 章～2.13 章で、FP ガスバブルモデルとの関連において説明する。

2.6

接触力評価モデル

連成オプションを用いない（IFEMOP 0）場合、FEMAXI-V までのバージョンと同様に、3 章で述べる燃料棒の力学的ふるまいの解析とは独立に、ギャップ熱伝達率の計算に目的を限定した
接触力評価モデルを用いる。詳細は文献(1.13)および(1.14)の第 2.6 節を参照。

－64－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.7 試験炉キャプセル内ドライアウト試験解析
FEMAXI-7 では、JMTR におけるドライアウト試験条件について予測解析を実施する機能がある。解析体系を図 2.7.1 に示す。また典型的な試験条件は以下の通りである。
燃料：BWR9x9A 型, 出力 100W/cm 程度
加熱蒸気層：入口条件は、圧力 7.2MPa, クオリティ 1.0, 流速パラメータ
流路管：2 重管による断熱層。管は SUS316
循環水：加熱蒸気層からの戻り水。圧力 7.2MPa, 温度 50℃, 流速 0.01m/s
キャプセル外筒：SUS316
冷却水：圧力 0.4MPa, 入口温度 40℃, 流速 1.9m/h

加

ペレット

キ

ヘ

熱

内

被

蒸

管

覆

気

管

層

リ
ウ
ム

外
管

ガ
ス
層

循
環
水

ャ
プ
セ
ル

冷
却
水

外
筒

9.6
9.78
11.3
18.0
20.0
21.0
23.0
27.0
32.0

直径(mm)
図 2.7.1 被覆管温度制御体系－65－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.7.1

ドライアウト試験のモデル化(1) 基本方針① 境界条件は、流路管内管の内面温度を固定するか、キャプセル外筒の外面温度を固定するかを検討する。基本的には、キャプセル外筒の外面温度 40℃で固定することを想定する。
② 加熱蒸気層、循環水のみ流路を考慮し、ヘリウムガス層（断熱層）については、ヘリウム
ガスの流動による熱除去は無視する。
③ したがって、加熱蒸気層、循環水のみ軸方向への熱の移動を考慮する。

(2) 基本式
図 2.7.2 に被覆管温度制御体系モデル図を示す。図 2.7.2 において j は軸方向セグメント番号で
ある。

R1

R3

R2

R6

R5

R7

加熱蒸気

40℃

層

固定

被
ペレット

R4

ヘリウム

覆

内

管

管

T1,j

図 2.7.2

キャプセ
外

ガス層

循環水

ル外筒

管

T2,j

T3,j

T4,j

lj
T5,j

T6,j

T7,j

被覆管温度制御体系モデル図

図 2.7.2 の加熱蒸気層において、セグメント j-1 とその上部セグメント j の境界での蒸気エンタ
ルピーを H2,j-1、セグメント j とその上部セグメント j+1 の境界での蒸気エンタルピーを H2,j とす
ると、
2, j

C 2, j

T2 , j
t

W2, j
V2, j

H 2, j

H 2, j 1が成り立つ。ここで、

－66－

2
R

2
2

R02

( R2 q 2 , j

R1 q1, j )(2.7.1)JAEA-Data/Code 2010-035

ρ ： 密度(kg/m3)
C ： 比熱(J/kg･K)
T ： 温度(K)W ： 質量速度(kg/s)
V ： 体積(m3)H ： 蒸気エンタルピー(J/kg)
R ： 半径(m)q ： 熱伝達による熱流速(W/m2)である。(2.7.1)式を書き換えると、(2.7.1)式は、軸方向への質量速度変化を無視して、
1, j

C1, j

T1, j

W1

t

2
2

(R

C1, j
R12 )

T1, j
z

2
R

2
2

2
1

R

( R2 q C 2, j

R1 q C* 1, j )(2.7.2)と書き換えることができる。
内管については、軸方向への熱の出入りを無視すると、
2, j

C 2, j

T2, j

2

t

R

2
3

R22

( R3 q C 3 , j

R2 q C 2 , j )(2.7.3)

同様に、ヘリウムガス層（断熱層）についても、軸方向への熱の出入りを無視すると、
3, j

C 3, j

T3, j

2

t

R

2
4

R32

( R4 qC 4, j

R3 q C 3 , j )(2.7.4)

同様に、外管についても、軸方向への熱の出入りを無視すると、
4, j

C 4, j

T4, j

2

t

R

2
5

R42

( R5 q C 5 , j

R4 q C 4 , j )(2.7.5)

循環水については、加熱蒸気層と同様に軸方向流動項を考慮して、
5, j

C 5, j

T5, j

W5

t

2
6

(R

2
5

R )

C 5, j

T5 j
z

2
R

2
6

R52

( R6 q C 6 , j

R5 q C 5 , j )(2.7.6)

キャプセル外筒については、軸方向への熱の出入りを無視すると、
6, j

C 6, j

T6, j
t

2
R

2
7

R

2
6

( R7 qC* 7 , jである。ここで、
ρ : 密度(kg/m3)
C : 比熱(J/kg･K)
W : 質量速度(kg/s)－67－

R6 q C 6 , j )(2.7.7)

JAEA-Data/Code 2010-035

T : 温度(K)R : 半径(m)q : 熱伝達による熱流速(W/m2)である。
*, qC* 7 , j は、

また、(2.7.2)～(2.7.7)式での q C1, j ,q C* 1, j( A j T0 , j

Bj )

N, j

(2.7.8)

なお、Aj, Bj は、熱伝導差分式より求まる係数である。
: 被覆管外面熱流束 (W/m2K)

N, j

T0 , j : 被覆管外面温度 (K)q C 2, jh2 (T2, j

T1, j )

(2.7.9)q C 3, jh3 (T3, j

T2, j )

(2.7.10)

q C 4, jh4 (T4 , j

T3, j )

(2.7.11)

q C 5, jh5 (T5, j

T4, j )

(2.7.12)

q C 6, jh6 (T6 , j

T5, j )

(2.7.13)q C* 7 , jh7 (T7*, j

T6 , j )(2.7.14)

ここで、h : 熱通過率(W/m2･K)(2.7.8)～(2.7.14)式の熱通過率 h は、それぞれ以下のように与えられる。

1

h2

1
h1

(2.7.15)

R R3
ln 2
2 R2
2

R2

h1 : 過熱蒸気層の強制対流熱伝達率(輻射込)(W/m2･K): 内管の熱伝導率(W/m･K)

2

1

h3

2 R3
ln
R 2 R3
2

R3

R3

R R4
ln 3
2 R3
3

2

: 内管の熱伝導率(W/m･K)

3: ヘリウムガス層（断熱層）の等価熱伝導率(W/m･K)

1

h4

2 R4
ln
R3 R4
3

R4

3

R R5
ln 4
2 R4
4

R4

: ヘリウムガス層（断熱層）の等価熱伝導率(W/m･K)－68－(2.7.16)(2.7.17)

JAEA-Data/Code 2010-035: 外管の熱伝導率(W/m･K)

4

h5

1
2 R5
R5
ln
R 4 R54: 外管の熱伝導率(W/m･K)

4

h6(2.7.18)1h5

h5 : 循環水の強制対流熱伝達率(輻射込)(W/m2･K)
1
R 6 R6 R 7
1
ln
2 R6
h5
6

(2.7.19)h5 : 循環水の強制対流熱伝達率(輻射込)(W/m2･K): キャプセル外筒の熱伝導率(W/m･K)

6

h7

1

6

2.7.2
(1)

(2.7.20)

2 R7
ln
R6 R7
6

R7

: キャプセル外筒の熱伝導率(W/m･K)

物性値

物性値

被覆管温度制御体系モデルで必要な物性値は、加熱蒸気層及び循環水については水の物性値、流路管及びキャプセル外筒については SUS316 の物性値、断熱層（He ガス）については、He の物性値である。以下に、SUS316、He ガス、水、蒸気の熱伝導率、密度、定圧比熱の物性値を示す。

①

SUS316・熱伝導率： (非公開)、②

・密度：ρ=7830 (kg/m3)、・定圧比熱： (非公開)He ガス
2.93 10 3 T 0.69・ 熱伝導率(2.11)：

a 2 b・密度(2.21) ：(W/mK) T (K) 、 :調整係数0 (kg/m 3 )P
5.42
a 4.5 10 4
, b 1, cRT1890 T
3
T (K), P bar , R 0.0207723 bar kg K

・定圧比熱(2.22)： C P

c

5.19 103 at 773K

J kg K－69－

JAEA-Data/Code 2010-035③

加熱蒸気および循環水

・蒸気表より算出（循環水）50℃
・熱伝導率：

0.653 (W/mK) 、 ・密度：ρ=736.45 (kg/m3)・定圧比熱： C P

5456

・熱伝導率：

0.064(290 C), 0.065(400 C), 0.088(600 C), 0.100(800 C) (W/mK)・密度：ρ=37.66(kg/m3)・定圧比熱： C P

J kg×K

5153（加熱蒸気層）J kg×K(2) 熱伝達率
熱伝達率 hw は、対流項と輻射項の和で与えることにする。対流項については、加熱蒸気層は蒸気単相領域（クオリティ=1（＝気相質量流量／全質量流量））、循環水は水単相領域であるので、いずれも Dittus-Boelter 式(2.3)を適用することにする。

Dittus-Boelter 式

ここで、

hW

0.023

Re

G De

K 0. 4 0. 8
Pr Re
De

(2.7.21)

K : 熱伝導度(W/m･K)
De : 等価直径(m)Pr : プラントル数(－)
Re : レイノルズ数(－)
G : 質量流束(kg/m2･s): 動粘性係数(kg/m･s)である。
また、輻射熱伝達は、

hr

1

1

1

2

1

T14 T24
T1 T2

1：ステファン・ボルツマン定数（W/m2･K4）
1 ：被覆管外面放射率2 ：内管内面放射率又は 内管外面放射率(-)

又は 外管内面放射率(-)－70－(2.7.22)5.67 10 8

JAEA-Data/Code 2010-035である。

2.7.3 数値解法
2.2 節のモデル化の項に基づいて以下の様に差分化する。ただし、差分化に当っては、出口代
表形式（軸方向への熱移動は流体の流れ方向に対して上流側からの熱移動をもとに差分化し、径方向への熱移動は対応する軸方向メッシュの出口温度を基準として差分化する）を用いる。

(1) 構成方程式の差分化
加熱蒸気層
1, j C1, j

T1,nj 1 T1,nj
t

2
R22

R12

(R

(R
n 1
2, j

T

T1,nj 11

1, j

2
1

R )l j2 R2 h2 n 1
T2, j
R22 R121, j

2
1R )l jn 1
1, j( R2 h2 (TW1C1, j 1
2
2

W1
2
2

C1, j
t

C1, j 1 T1n, j 11 C1, j T1n, j 1(2.7.23)n0, j) R1 ( A j T

C1, j

W1C1, j

t

(R

2
2

T1,nj

R1 ( A j T0n, j

2
1

B j ))R )l j2 R2 h2
T1,nj 1
R22 R12(2.7.24)

B j ))

内管2, j

C 2, jT2n, j 1 T2n, j2t

2 R2 h2 n 1
T1, j
R32 R222, j

RC 2, j2
3

R22

R3 h3 (T3n, j 1 T2n, j 1 ) R2 h2 (T2n, j 1 T1,nj 1 )2 R3 h3 R2 h2
T2n, j 1
2
2
R3 R2

t

2 R3 h3 n 1
T3, j
R32 R222, j

C 2, jt(2.7.25)

T2n, j(2.7.26)

ヘリウムガス層3, j

C 3, jT3n, j 1 T3n, j

2t

2 R3 h3 n 1
T2, j
R42 R32

R
3, j

2
4

C 3, j2
3

R

R4 h4 (T4n, j 1 T3n, j 1 ) R3 h3 (T3n, j 1 T2n, j 1 )2 R4 h4 R3 h3
T3n, j 1
R42 R32t

2 R 4 h4 n 1
T4 , jR42 R323, j

C 3, jt(2.7.27)

T3n, j(2.7.28)外管
4, j C 4 , j

T4n, j 1 T4n, j
t

2
R

2
5

R

2
4

R5 h5 (T5n, j 1 T4n, j 1 ) R4 h4 (T4n, j 1 T3n, j 1 )－71－(2.7.29)

JAEA-Data/Code 2010-035

2 R4 h4 n 1
T3, j
R52 R424, j

C 4, j2 R5 h5 R4 h4
T4n, j 1
2
2
R5 R4

t

2 R5 h5 n 1
T5, j
R52 R424, j

C 4, jt

T4n, j (2.7.30)

循環水
5, j

C 5, jT5n, j 1 T5n, j
t

2
R62

W5
(R

(R

2
6

n 1
5, j

R )l jC 5, j T5n, j 1(2.7.31)) R5 h5 (T5, j

C 5, j

W5 C 5, j

t

( R62

n 1
5, j

n 1
4, j

T

))

2 R6 h6 R5 h5
T5n, j 1
2
2
R6 R5

R52 )l j

2 R6 h6 n 1
T6, j
R62 R52

T5n, j 11

25R )l jC 5, j 1 T5n, j 11T

2 R5 h5 n 1
T4, j
R62 R52
W5 C 5, j 1

2
5

n 1
6, j

( R6 h6 (T

R52

2
6

5 , j C 5, jt

(2.7.32)

T5n, jキャプセル外筒6, j

C 6, jT6n, j 1 T6n, j

2

t

R

2 R6 h6 n 1
T5, j
R72 R62

6, j2
7

C 6, jt

R2
6

R7 h7 (T7*, j

T6n, j 1 ) R6 h6 (T6n, j 1 T5n, j 1 )2 R7 h7 R6 h6
T6n, j 1
2
2
R 7 R66, j

C 6, jt

T6n, j2 R7 h7 *T7 , j
R72 R62(2.7.33)(2.7.34)

T7*, j はキャプセル外筒外側境界温度=40℃

加熱蒸気層入口境界
1,1

C1,1

T1,n1 1 T1,n1
t

2
R22

W1

R12

(R
n 1
2 ,1

( R2 h2 (T22R12 )l1
n 1
1,1

TC1,in T1,nin 1

C1,1 T1,n1 1(2.7.35)n0 ,1) R1 ( A1 T

B1 ))T1,nin1 は加熱蒸気入口温度

循環水入口境界5, N C 5 , N

T5n, N1 T5n, N

2
R62

R52

t

W5
C 5,in T5n,in1
2(RR5 )l N
2
6

C 5, N T5n, N1( R6 h6 (T6n, N1 T5n, N1 ) R5 h5 (T5n, N1 T4n, N1 ))T5n,in1 は循環水入口温度, N は軸方向セグメント数－72－(2.7.36)

JAEA-Data/Code 2010-035(2) 差分式の解法
以上の差分式を n+1 のステップの温度について整理した代数方程式を解く。
n 1

n 1

未知数は、 T1,1 ～T6,1 ,, T1,nN 1～T6n, N1 の 6×N 個である。左記の順の未知数を並べると(2.7.23),(2.7.26), (2.7.28), (2.7.30), (2.7.32), (2.7.34), (2.7.36)式より係数マトリックスは(2.7.37)式のようになる。なお、(2.7.37)式は軸方向セグメント数 4 の場合である。

* *
* * *
* * *
* * *
* * *
*
* *
*
* *
* * *
* * *
* * *
* * *
*
* *
*
* *
* * *
* * *
* * *
* * *
*
* *
*
* *
* * *
* * *
* * *
* * *
* *

(2.7.37)

上記マトリクスをガウスの消去法により解けば、n+1 のステップの温度を求めることができる。
上記より加熱蒸気層の軸方向温度分布及び被覆管表面熱伝達率が求まるので、被覆管外面温度および燃料温度を求めることができる。

－73－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.8

FPガス生成・放出モデル

FEMAXIコードでは、ペレットスタックを軸方向に分割した各セグメントについて、径方向
温度分布の計算結果に基づいて、FPガス原子の拡散、バブル形成、放出を計算する。図2.8.1に、モデルのフローを示す。
Time

Step Start

粒成長の計算粒成長に伴う要素節点座標の更新

新しい粒径での粒内ガス原子密度分布の再配分

要素マトリックス及び要素ベクトルの計算。全体マ
トリックス及び全体ベクトルの作成 (式 2.8.7-22)

全体の連立方程式を解き、粒内ガス原子濃度分布を求める

粒内ガス気泡（サイズ、ガス量）及び気泡密度の計算

粒成長に伴う掃き出し及び拡散による FP ガス原子の粒界への移
動量計算、粒界バブル成長計算（平衡論・速度論）および粒界ガス密度の計算放出 criteria (粒界バブル半径、粒界飽和ガス密度など)の計算

タイムステップ間における外界への FP ガス放出量の計算

粒内ガス密度は収束？

径方向全リング要素について計算が終了？
軸方向全セグメントについて計算が終了？

現時点までに出された総 FP ガス量の計算

図 2.8.1

平衡論・速度論における FP ガス生成・放出計算の過程－74－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.8.1

FP ガス原子生成速度

軸方向セグメント j、径方向領域(リング要素) i における FP ガス原子生成速度は、次式で表される。

Y f ij q j
Ef NA

P ij

(2.8.1)

ここで、

P ij ： 領域 ij の単位長当りの FP ガス生成速度 (mol/cm 3s)
f ij

2

i
i

1
2
1
2

r rd rr ： 径方向発熱密度分布関数、
qj：

軸方向セグメント j の平均発熱密度(W/cm3)＝

j
PLHR
2
rpout
1 h2

j
PLHR
： 軸方向セグメント j の線出力(W/cm)h：

ペレット中心孔規格化半径（－）

E f ： 1 fission 当りに発生するエネルギー、3.204×10-11joule (=200MeV)Y：

FP ガス原子 K r

X e の核分裂収率、0.3 とする。

N A ： アボガドロ数＝6.02×1023
である。

【参考】 FEMAXI コードにおけるヨウ素（Iodine）放出
PCMI における被覆管のヨウ素 SCC を評価するために、FEMAXI コードではヨウ素の放出を見積もる機能（関数）がある。ここでは、Xe 収率に対してヨウ素の収率比は 0.05（I2 の収率比としては 0.025）として、ヨウ素の原子量＝126.9045g/mol を用いて、燃料棒単位軸長(cm)当りのヨ
ウ素の放出量(g)を算出する。また、燃料中ではヨウ素は単体で存在するのではなく、ほとんどがCsI の形で存在すると考えられるが、一つの参考値として、単体ヨウ素量を燃料棒単位長さ当たりの被覆管の内面表面積(cm2)で割って、ヨウ素の被覆管内表面の表面濃度(g/cm2)を算出する。

2.8.2

熱活性拡散・放出モデルの概念

2.8.2.1 平衡論と速度論
FP ガスの拡散・放出モデルでは、結晶粒界のガスバブルの成長を計算する方法について、ガス
圧力が周囲の固体マトリックスからの圧力と平衡状態を維持しつつ成長するという平衡論モデ－75－

JAEA-Data/Code 2010-035

ルと、バブル半径の変化速度がバブル内外の圧力差や温度などに依存して変化するという速度論モデルのいずれか一方を選択する。

2.8.2.2 放出機構の仮定
FEMAXI コードにおける FP ガス放出モデルの仮定を以下に説明する。

(1) 平衡論における放出の仮定
UO2 粒内で生成された FP ガス原子は、ガス原子の粒内拡散および粒成長による粒界への掃き
出しの 2 つの機構により粒界へ移動し、そこにガスバブルを形成し、蓄積すると仮定する。
照射が進むにつれ、粒界でバブル密度が高くなり、かつバブルが成長すると、バブルは広範囲にわたって連結する。そして連結バブルの一点がクラックや自由空間に通じる通路に接触すると、
すなわちペレット自由表面へのトンネルが形成されるとバブルは開気孔となり、バブル内のガスは燃料棒の自由空間に放出されると仮定する。
平衡論モデルでは、粒界における FP ガス蓄積量を常に計算し、その粒界面積当たりの蓄積量
max

が温度、バブル半径、バブルの粒界カバー率などで決まるある限界値（後述の飽和値 N f）を超えると、その限界値を超えた分の FP ガスが自由空間へ放出されると仮定している。すなわち、
max

トンネルが形成された状態（＝蓄積量が N f
maxてくる追加のガス（ N f

を超えている状態）では、粒内より粒界へ拡散しを超えた量）はトンネルへ入り、ペレット自由表面へ直ちに放出されmaxると仮定する。ただし、いったん放出を開始しても温度低下などによって蓄積量が N f

以下となれば、放出は停止する計算方法をとっている。

(2) 速度論
FP ガス原子の粒内拡散と粒界への蓄積、放出に関する現象の理解は平衡論モデルと同一である。
ただし速度論モデルでは、粒界バブルの半径の変化速度（バブル成長速度）を計算し、バブル半径あるいは粒界カバー率がある限界値に達したら、バブル内ガスは自由空間への流出を開始すると仮定している。

(3) 両モデルにおける共通項①粒内から粒界への FP ガス原子の拡散計算は共通である。ここではガス原子の粒内バブルへのトラッピングあるいは、粒内バブルから固相への再溶解を取り扱う。また、粒界に溜まっている－76－

JAEA-Data/Code 2010-035

ガスも一定の割合で粒内へ再溶解すると仮定する。ただし粒内バブルサイズの計算方法が異なる。
②Recoil, Knock-out 等によるペレット（片）表面からの自由空間への直接放出は、FP ガス原子生
成量の 0.5%（default）として評価している。すなわち、FP ガスバブルからの放出がない場合でも、0.5%の放出は存在すると仮定している。ただし、この値には任意の量を入力で指定可能であり、0%と仮定することもできる。
③リム組織における FP ガスポアからのガス放出、およびリム組織からの直接的な放出は、リム組織からの追加的な放出量として経験式により別途評価する。

2.8.3

トラッピングを伴う熱拡散

図 2.8.2 にペレット断面の粒内ガス気泡と粒界ガス気泡の状態を、図 2.8.3 に理想化された結晶粒モデルを示す。

Intergranular
bubbles

Intra-granular
gas bubbles

図 2.8.2gas

ペレット粒内ガス気泡と粒界ガス気泡の状態の模式図

Spherical

shell

containing half anamount of the gas
reatined on a grainboundary

図 2.8.3

ペレット結晶粒理想化モデル

図 2.8.3 の粒界は粒界バブルの球殻ブランケットで覆われているように描かれているが、実際－77－

JAEA-Data/Code 2010-035の粒界は隣り合った結晶粒を分離する薄い膜状組織である。なお、これ以降の記述は、すべて 1結晶粒が対象である。
以下の記述では、各タイトルの右に添えたパラメータは、モデルの制御に用いる name-list
parameter とその数値である。たとえば (IGASP=0, 1, 2)と示される場合は、name-list parameter
IGASP に 0、1、2 のいずれかの値を入力で指定することにより、それに対応した計算が実行される。パラメータの説明は 2.14 節および 4 章を参照。

2.8.3.1

固体内 FP ガス原子の粒内バブルとの分配と拡散方程式 (IGASP=0, 1, 2)

固体内に溶解しているガス原子と粒内バブル中のガスとの間の分配は、粒内バブルによるガス
原子トラッピングと固相への再溶解との平衡により支配されると仮定する。固体内に溶解しているガス原子は濃度勾配を駆動力とし、拡散により粒界に移動する。半径 a の球形固体マトリック
ス内におけるガス原子の拡散は、トラッピングと再溶解を考慮して、Speight のモデル(2.23)を適用
する。

c
t

2

D

2
r

c
r2

c
r

gc b m

(2.8.3-1)

ここで、c: 固体マトリックス単位体積あたりに溶解している FP ガス原子数

atoms / cm 3
(cm2/s)D: ガス原子の拡散係数g: 粒内バブルにトラップされるガスの割合(s-1)

b : 固体内への再溶解率 (s-1)
m: バブルの空間単位体積あたりに存在するガス原子数(atoms/cm3): ペレット単位体積あたりのガスの生成率(atoms/cm3/s)

である。
(2.8.3-1)式に示したペレット領域 i, j の単位体積あたりのガス原子生成率3ij (atoms/cm /s)は、 ij

P

より
ij

ここで

Pij N A( ri 2 1 , j
2

ri 2 1 , j )2

N A :アボガドロ数
ri 1 , j :領域 ij の径方向外側半径(cm)2

ri 1 , j :領域 ij の内側半径(cm)2－78－(2.8.3-2)

JAEA-Data/Code 2010-035である。
粒内バブルにトラップされたガス原子の再溶解との差は次式で表される。

m
t

mt

0

gc b m

(2.8.3-3)

ここで、各タイムステップの終わりには計算により、

gc b m0(2.8.3-4)という平衡関係が成り立つことを仮定する。
そこで(2.8.3-2)式および(2.8.3-4)式を辺々加えると、

c m
t

D

2

c

r

2

2
r

c
r

(2.8.3-5)となる。ここで(2.8.3-3)式を変形して、

gc b 1
ここで

mt
m 0
mb

(2.8.3-6)

mti 1
mi 1b

(2.8.3-7)b 1iと定義して、前タイムステップ i-1 での値を用いて現タイムステップでのcる。すると、igii （初期値）を決定す( c m)(2.8.3-8)の関係が得られる。これを(2.8.3-5)式に代入すると、

c m
t

2

D i
g
i

c m
r2

c m
r

2
r

(2.8.3-9)を得る。ここで、固体マトリックス内および粒内バブル内のガス原子数の和をcm(2.8.3-10)で表すと、トラッピングを伴う粒内での球座標系の拡散方程式は最終的に次のように表される。
2

D

t

r

2

2
r

r

(2.8.3-11)

ここで

D
である。

D
g
i
i

(2.8.3-12)はガス原子が固相に存在するか、粒内バブル内に存在するかに関係なく、粒内のみか－79－

JAEA-Data/Code 2010-035

けの単位体積あたりの平均ガス原子数(atoms/cm3)を表す。D は見かけの拡散係数であり、トラッ
ピング、再溶解、核分裂片によるバブルの部分破壊の効果はこの中に含まれている。こうして、(2.8.3-11)式の有限要素法による数値解と、粒内ガスバブルの半径 R 、数密度 N の値とは相互にリンクしている。
次に(2.8.3-11)式を解くために、g、b’ 、R および D を求める。まず、ペレット単位体積あたりに半径 R の粒内気泡が N 個存在するとする。実際の R にはサイズ分布があるが、その重み付き平均値（代表値）を考える。この R と N を以下の 2.8.4 - 2.8.5 項に示す方法のいずれかで決定する。

2.8.4

粒内バブル半径と数密度の White+Tucker モデル (IGASP=0, GBFIS=0)

照射中、平衡状態においては、 R と N の間には White と Tucker により次の関係が成立していると考える(2.24)。

R Zo

2

N

1.52 /

N: 粒内バブル数密度(2.8.4-1)

ここで、
b u b b les /c m 3

R : 粒内バブル平均半径 (cm)
Z o : 核分裂の影響範囲(=10-7cm): バブルの生成率 (= 24 bubbles/fission fragment)

6 10 4 cm: 核分裂片の飛程である。

R の初期値は name-list parameter APORE で決められる。（初期粒内バブル半径, default=1 nm）
粒内バブルへのトラッピング率 g は次式で与えられる(2.25)。

g

4 DRN ,

(2.8.4-2)

R ：粒内バブル平均半径 （cm）,
N ：粒内バブル数密度（bubbles/cm３）.

なお、(2.8.4-2)式中のバブル数密度 N は(2.8.4-1)式により求められる。
固相への再溶解率は次式で与えられる(2.24)。

b

3.03F

R Z0

ここで、

－80－

2

(2.8.4-3)

JAEA-Data/Code 2010-035

Namelist input BFCT

F：核分裂速度(fissions/cm3/s)
λ: 飛程

固相への再溶解率は BFCT により調整できる。

（=6×10－４cm）b

Z o ：影響範囲(cm)

b

BFCT

（Default=1.0）である。
また、(2.8.4-3)式中の核分裂速度 F には下限値 1013 (fissions/cm3s)が設定されている。これは出力低下したとき b の値が急変して不自然な数値計算結果になることを避けるためである。
FP ガス原子の拡散係数 D は 2.8.14 項で説明する。
さて、(2.8.4-1)、(2.8.4-2)、(2.8.4-3)式より、粒内気泡平均半径 R が与えられれば g、b’ および Dが決まり、(2.8.3-12)式より D ' を得ることができる。したがって、(2.8.3-11)式を解くことによりを求めることができる。(2.8.3-11)式の偏微分方程式の解法については 2.8.6 項に示す。
粒内バブル平均半径 R (cm)は van der Waals の状態方程式により求める。これを

Pext

2
R

Pgas V

m* B

V

m* B

m* kT

m*kT

(2.8.4-4)(2.8.4-5)と書く。ここで、

Pext :外界からの静水圧(dyn/cm2)
Pgas : ガス圧力 (dyn/cm2): 表面張力( 626 erg/cm2)(2.25)
V : 粒内ガスバブル体積(
B : van der Waals 定数(

43

R 3 cm3)

8.5 10 23 cm3/atom)

m*: 1 バブル当たりのガス原子数 (atoms/bubble)
k : ボルツマン定数 (1.38 10 16 erg/K)

T : 温度(K)である。
ただし、本モデルでは粒内バブルの圧力は外部固相マトリックスからの静水圧 Pext と平衡していると仮定しているので、

Pgas

Pext

2
R

である。

－81－

(2.8.4-6)

JAEA-Data/Code 2010-035(2.8.4-4)式を m*について解けば、 Vm

R 3 を用いて

43

4 R3
Pext R 2
3
B Pext R 2
kTR*(2.8.4-7)となる。
一方、ガス原子の粒内バブルによるトラップとバブルからの再溶解との間の平衡関係(2.8.3-3)

gc b m式より：
において mt

mt

0(2.8.4-8)0 を仮定すると、次式が成り立つ。

gc
この式を、m=m*N、 cbm(2.8.4-8a)m により m*を用いた式に書き換えるとbg m* Ng(2.8.4-9)となる。(2.8.4-9)式に(2.8.4-2)、(2.8.4-3)式を代入すると、

3.03F

R Z0

2

4 DRN

2

4 DRN m*4 DR

(2.8.4-10)(2.8.4-7)式を代入して、3.03 FR

Z0

R 3 ( Pext R
B Pext R 2

2 )
kTR

(2.8.4-11)

3Dとなる。さらに(2.8.4-1)式を代入し、整理することにより R についての方程式、

3.03F

R Z0

2

6.08 DRR Zo

2

R 3 ( Pext R 2 )B Pext R 2
kTR

3D(2.8.4-12)を得る。この式を解けば粒内ガスバブル半径 R が求められる。(2.8.4-12)式より、 R はに依存することがわかる。
粒内ガスの数密度 N は、R が決定されれば(2.8.4-1)式より決定される。トラッピング率及び再溶解率は(2.8.4-2)、(2.8.4-3)式に R および N を代入して決定される。

*

ただし実際の数値計算では、(2.8.4-7)式より求められる m*を m1 とし、(2.8.4-8a)式より求めら**れる m*を m 2 としたとき、 m1

m 2* となる R を求める。なお、 R の範囲は 10-15(cm)~10-5(cm)とし、 log10 R について 2 分法を用いて、 R を算出する。

－82－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.8.5 粒内バブル半径と数密度の照射溶解モデル (IGASP=0, GBFIS=1)
2.8.4 項と同様に、燃料の単位体積あたりに平均半径 R (cm) の粒内 FP ガスバブルが N 個存在すると仮定する。粒内ガスバブルの数密度 N (bubbles/cm3)の変化速度を求めるために以下の仮定をおく。
①１個の核分裂から 個の気泡核が発生する。
② fission fragment は matrix 中のガスバブル以外の体積において気泡核を発生する。
すなわち、ガスバブル半径を R とすれば、

1 N

4
R3
3

の係数がかかった固相体積において気泡核を発生する。

③ 発生した気泡核はすぐに別の fission fragment によって破壊されるが、その破壊速度を

2 F l ( R Z )2 f ( R ) N(2.8.5-1)とする。ここで、 f ( R ) は、バブルがあるサイズ以上になれば fission fragment によっても破壊されない効果を現す。すなわち、バブル半径 R が R0 以下であれば破壊率は 1.0、R0 以上であれば Rに依存した部分的な破壊率となる。

1.0
f ( R)

R0
R

(R

R0 )

(R

R0 )

k

Namelist Parameters: k= KFIS (default=2.0),(2.8.5-2)

R0= RFIS (default= 20 nm)以上の仮定に基づいて、粒内ガスバブルの数密度 N（bubbles/cm3）の照射中の変化速度は、Whiteと Tucker の式に f ( R ) を組み込んで、

dN
dt
ここで、

2F

1 N

4
R3
3

2 F l ( R Z 0 )2 f ( R ) N

F ：核分裂速度 (fissions/cm3/s)：気泡の生成率（=24 bubbles/fission fragment）

R ：粒内気泡平均半径（cm）
l ：飛程 （＝ 6 10 4 cm ）Z 0 ：核分裂の影響範囲 (=10-7cm)
である。

－83－

(2.8.5-3)

JAEA-Data/Code 2010-035

dN
dt

4
3
2 FKN

2F
2F
4
3

K

R3

2F

R3

l ( R Z 0 )2 f ( R)N
(2.8.5-4)l ( R Z 0 )2 f ( R)

ここで、(2.8.5-4)式の数値解は、

Ni( N i 1 2 FK ) exp( 2 Ft ) 2 FK

(2.8.5-5)となる。
また、１個のガスバブル中に含まれるガス原子の総数を m * とすると、単位体積中のガスバブ
ル中のガス原子数 m (atoms/cm3)と、粒内ガスバブルの数密度 N（bubbles/cm3）より、

m* m / N(2.8.5-6)である。 m * および m の変化は、トラッピングによってバブルに入り込むガス原子数と、fission
fragment によってバブル中からはじき出されるガス原子数（matrix への再溶解）の差によって決定される。FP ガス原子の粒内バブルへのトラッピング率 g (s-1)は次式で与えられる。

g
D

ここで、

4 DRN

(2.8.5-7): FP ガス原子の拡散係数(cm2/s)

また、c をマトリックス単位体積あたりに溶解している FP ガス原子数(atoms/cm3)をガスが固相に存在するか、粒内バブル内に存在するかに関係なく、粒内バブルを含んだ燃料の単位体積あたりの平均 FP ガス原子数(atoms/cm3)とすれば、

cm(2.8.5-8)である。固相への再溶解率をb3.03F l ( R Z 0 ) 2(2.8.5-9)

として、

dm
dt

4 DRNc 3.03F l ( R Z 0 ) 2 m
gc b mg(2.8.5-10)( g b )mである。よって(2.8.5-10)式の数値解は、

mi(mi 1 g ) exp( ( g b ) t ) g(2.8.5-11)となる。
同時に、バブル内ガスには状態方程式も近似的に成り立つと仮定して、

P

2
R

4 R3
3

－84－

m* B

m * kT(2.8.5-12)

JAEA-Data/Code 2010-035である。ただし、本モデルでは粒内バブルの圧力は外界からの静水圧 Pext と平衡していると仮定しているので、

Pgas

Pext

2
R

(2.8.5-13)である。
ここで、m, m*, R, N の 4 変数の i ステップにおける値を決定するためには、(2.8.5-5), (2.8.5-6),(2.8.5-11), (2.8.5-12)式を同時に満たすような数値解を得る。
同時に、バブル内ガスには vacancy の流入により体積が増大するので、vacancy 濃度を nv、vacancy
拡散定数を Dv とおけば、

dnv
dt

4 Dv RHkT
m * kTPgas
nv v
V nv v m * B

2 P
R

Pgas

(2.8.5-14)(2.8.5-15)(2.8.5-16)

4 3
R3である(2.26 )。
ただしv ：vacancy 体積(

4.09 10 29 m 3 )2
P : UO2 pore 表面 energy (J/m )
P

GSV

SV

0.85 1.40 10 4 T

SV

0.41 SV ,(J/m 2 )(0<T<2850C)

Default: GSV=0.41 (2.27)
である。また Turnbull(2.28)より

Dv
ここで

kV S 2 jv C

S：原子ジャンプ距離＝：原子容積＝ 4.09 10

j1013 exp(2.8.5-17)
1
3＝3.4454E-10 m

29

m3

5.52 10 4 / RT

R：ガス定数＝1.987 cal/mole/K
T：温度（ K ）kV : 調整係数 (KV=1.0, default)
C: vacancy のジャンプ先の結晶格子点存在濃度＝1.0 と近似する(2.28)。

－85－

JAEA-Data/Code 2010-035------------------------------------------【数値解法の説明】--------------------------------------------------ここで、m, m*, R, N の 4 変数の time step -i- における値を決定するためには、(2.8.5-5), (2.8.5-6),(2.8.5-11)～(2.8.5-14)式を同時に満たすような数値解を得る。このために(2.8.5-12)式において、timeistep -i- における nv の新しい値 nv を決定するために

nvi

nvi 1

dnv
dt

4 Dvi R i 1
kT i

dnv
dt

t
i
H

(2.8.5-18)

2
Ri 1

i 1
Pgas

(2.8.5-19)iiとする。これより求めた nv を(2.8.5-14)式に入れて、m*の値も用いて、新しい半径 R を求める。
i

ここで nv は、

dnv
dt

0 から得られる nv を越えることはできない。何故なら nv は無限時間経過ii後の値であるからである。(2.8.5-18)、(2.8.5-19)式から nv を計算すると、 nv が nv を越えない保障iはない。したがって(2.8.5-18)、(2.8.5-19)式から nv を算出する場合には、十分 t を小さくとる必要があるのであるが、 t の設定は状態量により変わりきわめて難しい。
そこで、限界値 nv を算出したのち、この限界値 nv を超えないように注意しながら、(2.8.5-19)式をクランク-ニコルソン法によって変換する。すなわち、(2.8.5-20)式が(2.8.5-19)式をクランクニコルソン法に変換した式である。

dnv
dt

4 Dvi

Ri 1 Ri
2
i
kT

i
H

i 1
i
Pgas
Pgas

2

i
Pgas

2

Ri 1 Ri2(2.8.5-20)

当然、(2.8.5-20)式を用いる場合はくり返し計算によって収束を図る必要である。
まず、

dnv
dt

0 とする nv の算出について述べる。 nv より得られる R を R 、 Pgas を Pgas とおく

と、

dnv
dt

4 Dvi R
kT i

i
H

Pgas

2
R

0

(2.8.5-21)

より、

( Hi

Pgas ) R 2

0(2.8.5-22)である。また、(2.8.5-13)、(2.8.5-14)式を下式で与える。

Pgas
R

3

A
nv

(2.8.5-23)

nv(2.8.5-24)(2.8.5-20)、(2.8.5-21)式を(2.8.5-19)式に代入するために、(2.8.5-19)式の両辺を 3 乗する。すなわ－86－

JAEA-Data/Code 2010-035

ち、Pgas )3 R

( H

3

8 3

(2.8.5-25)(2.8.5-20)、(2.8.5-21)式を(2.8.5-22)式に代入して整理すると、
3
H

nv4

3

2
H

A

3
H

8 3 nv3

3

H

A2 3

2
H

A nv2

A3 3

H

A2 nv

A3

0

(2.8.5-26)である。(2.8.5-23)式より nv

0 の解を N-R 法により求める。

-------------------------------------------------------------------------------------------------

2.8.6 粒内バブルの Pekka Lösönen モデル (IGASP=1, 2)
このモデルでは、粒内バブルの成長を Lösönen の経験式(2.29)を用いて予測する。
① 初期バブル径 R00.01 nm と仮定する。すると数密度が以下のように決められる。

数密度

N 0 ( Bu, T )0.0762 Bu 10.4
N 0 (T )9.8

N 0 (T ) (15.7 0.00578 T ) 1017
Bu: burn up (MWd/kgU),(cm-3)(cm-3)(2.8.6-1)(2.8.6-2)

T: Kelvin.

ただし、(2.8.6-1), (2.8.6-2)式は、T 2173K では、T=2173K での値に固定する(Cut-off)。

②粒内バブルの平均半径
次に、粒内バブルが成長していく場合の平均的半径を決める。

R
ここで M は分子量、

3m M
4 N0

1/ 3

(2.8.6-3)

4 (g/cm 3 ) と仮定する。 GROU=4.0 (default) 。

次に 1 個の結晶粒内に存在するすべての粒内バブル中のガスの総計(mole)を結晶粒体積(cm3)で割った｢ガス濃度｣＝m’ (mole/cm3)を計算する。

dm
dt

4 RDc( rg , t ) N 0 ( rg , t ) Fbm ( rg , t )b

3 1017 =BBC (cm3)

BBC= 3 10

F : fission rate (1/cm 3 s)
ただし、初期ガス濃度 m0 は、 R0

0.01 nm と(2.8.6-3)式より計算される。

－87－(2.8.6-4)
17(default).

JAEA-Data/Code 2010-035③合体成長
粒内バブルの合体は、合体しきい温度 Tmg を越えた場合に、以下の経験式を与える。

8000
Bu 9
ln
0.005

Tmg

R ( rg , t )273.15

RF 1 exp( 8.3 10 4 t )RF(2.8.6-5)

Rini ( rg , t )exp( 8.3 10 4 t )100 nm :coarsened radius.

(2.8.6-6)

RADMG=100 nm (default).

Rini : radius before coarsening.
Bu: burn up (MWd/kgU),

T: Kelvin.

t : バブル合体開始時刻からの経過時間(sec)。
(2.8.6-5)式において、 Bu

9.1 の場合は、Bu=9.1 に固定する。

(2.8.6-6)式より、約 1.5 hour で合体は終了し、半径 RAMDG (nm)のバブルに移行する。すると
この移行過程で数密度 N 0 およびバブルガス濃度 m’は変化するが、近似として m’は移行直前の値を移行後も、一つの平衡状態として保持すると仮定する。すなわち、合体後は、(2.8.6-4)式を用
いず、粒内バブルへのガス流入と再溶解は平衡状態を維持するものとする。
ここで、合体が始まってから合体後まで、及びそれ以降の粒内バブル数密度はN 0 ( rg , t )
1) R

2) R

R

R

0

0

3m ( rg , t ) M
R : RROU (Default=10 nm)

,

Rini
R

(2.8.6-7)

4 R3

.

N

,

N : NROU (default=1.0).

と表される。
温度が一旦 Tmg を越えたのち、 Tmg より低下した場合、粒内バブルサイズは 100 nm で変化しないものとする。粒内バブルの「収縮」には非常に多くの要因が関係しており、実測データも乏しい。バブルの収縮の考慮は、将来の課題とする。

2.8.7 偏微分拡散方程式の Galerkin 解法
FP ガス原子拡散計算における偏微分方程式(2.8.3-11)の解法には、結晶粒を球と近似し、球座標系における有限要素法を用い、要素内において Galerkin の重み付き残差法により定式化する。
FEM の一種である Galerkin 法を用いた理由は、少ない節点数（計算時間の節約になる）で精度良い解が得られるからである。また、再溶解が扱い易く、過渡変化にも原理的に対応可能である。

－88－

JAEA-Data/Code 2010-035(2.8.3-11)式を、tと書く。ここで関数

2D

0(2.8.7-1)(t , r ) の近似関数を次式のようにおく。
t, r

t, r

t

j

r

j

j

ここで

j

( r ) は基本関数と呼ばれる任意の既知関数であり、j は未知係数である。このとき残差は、

R t, rtである。この残差が最小となるような係数

j

2

D

(2.8.7-2)を決定する。係数jは重みをかけた積分がゼロになることを要請することで決定できる。重み関数として基本関数を選べば(Galerkin の方法、jj )この要請は次式で与えられる。

V(2.8.7-3)式は、任意の重み関数

R

t, r

i

dv

0

(2.8.7-3)

j に対して満足するためには、

R

t, r

0 であることが必要であるので(2.8.7-1)式と等価である。(2.8.7-3)式の積分を行うと、

ˆ

2

D

t

V

ˆ
V

i

t

ˆ

i

dV

V

V

i

D

dV

2

0

ˆ dV
i

0

(2.8.7-4)(2.8.7-4)式の第 2 項は、
V

D
D

2

V

ˆ dV
i
i

D

ˆ ds

D

ˆ

V

と書ける。ここで、重み関数として粒境界 V 上で

ˆ dV

V

ˆ

i dV

i

dV
(2.8.7-5)

j =0 になるもののみを選べば、すなわち粒界

上では FP ガス原子濃度は 0 であるという境界条件を適用すれば、上式の表面積分項は消えて、(2.8.7-4)式は、

V

t

i

dv

D

V

－89－

i

dv

0

(2.8.7-6)

JAEA-Data/Code 2010-035となる。
次に、この(2.8.7-6)式で、ある有限要素Ｖｅにおいて、 ˆ
要素 Ve の節点（3 点）の FP ガス原子の濃度で、たi は任意の関数属であったが、このjj とおく。ここで、

j は有限

j は要素内の補間関数である。本来先に定義しi を上記のように補間関数(2.8.7-3)式からの導出はそのまま成り立つ。そこで、関数i＝j と同じ関数と定義してもj として同じ関数として扱う。

すると、(2.8.7-6)式は FP ガス原子の生成項βは要素内で一定であるので、
j
V

j

i

t

dV

と書ける。(2.8.7-7)式において、節点濃度

V

j i

D

V i

t

j

j

dV

i

0

(2.8.7-7)

j 、生成項βは体積積分の外に出せるので、

j

dV

V

dV

D

V

j

i

dV

j

0

(2.8.7-8)となる。したがって、ある要素 Ve について (2.8.7-9)式とその次の 3 式が導出される。すなわち、有限要素法では、(2.8.7-7)式を以下のように有限要素（(2.8.7-9)式の∑の中）に分割する。
j

E ji

D

j

A ji

Hi

0

(2.8.7-9)jとなる。ここで

E ji

Ve

j i

Aji

Ve

Hi

Ve i

dV
j

i

r

r

dV

(2.8.7-10)

dV

である。
次に、この体系の有限要素を二次要素とし、基本関数

1
2

1

2

3

1
1
2

j として、次の二次関数を用いる。

12(2.8.7-11)

1

有限要素を導入する場合、座標値をそのまま用いると取り扱いが不便なので、後の式の展開が便利であるように、実際の要素区間を-1～1 の区間に変換して取り扱う。二次要素では、要素内に 3 点の節点を用いる。この相対座標ξ上では、ξ= -1,－90－

JAEA-Data/Code 2010-035

0, 1 の点が節点である。このとき、要素内の任意な点の示量変数（この場合は FP
ガス原子濃度）の値は近似関数を用いて与えられ、これらの値は節点での値から決定できる。すなわち、節点での値を保証する近似関数でなければならない。
(2.8.7-11)式が二次要素での基本関数（補間関数）であるが、各節点での値は連続性を担保する必要があるので、

1
2

1

1
1
2

2
3

1
2

は、ξ= -1 で 1、ξ=0, 1 で 0、は、ξ=0 で 1、ξ= -1, 1 で 0、1は、ξ=1 で 1、ξ= -1, 0 で 0 になる。

したがって、要素内の基本関数（補間関数=粒内ガス原子濃度の半径方向プロファイル）は、

(

1
2

1

)

1

1

2

2、

1

(

2

1
2

1

)

3

(2.8.7-12)

であり、

1

1、

0

(2.8.7-13)3が成り立つ。

ガス原子濃度境界層
図 2.8.4

球体で近似した結晶粒の有限要素における FP ガス原子の濃度
プロファイル

図 2.8.4 では、結晶粒中の(2.8.7-11)式を赤い破線で、(2.8.7-13)式を赤い実線で模式的に示す。
次に(2.8.7-10)式中でのＥji，Ａji，Ｈi は、要素 k（中点座標を Rk，要素幅の 1/2 を R とする）の場合について求めると、－91－

JAEA-Data/Code 2010-035

E ji

Ve

4

R

Aji

Ve

4

i

Ve

1
1

RK

R

RK

R

j i Rk

R

2

dV

4

dV

j

i

r

r

1

R
Hi

j i

4

j

i

Rk

Rk

R

1

dV

4

Rk

i

R

j i

r 2 dr

Rk

R

j

i

Rk

R

r

r

R

2

r 2 dr4(2.8.7-14)d
r 2 dr
(2.8.7-15)

d

R

1
1

i

Rk

2

R

d

(2.8.7-16)

0(2.8.7-17)である。
次に、(2.8.7-10)式を陰解法形式で表すと、
n 1
j

n
j

t

j

E ji

D* 1

n
j

n 1
j

D*

1

Dn

Dn1

1

n

n 1

*

Aji

Hi

ここで、
(2.8.7-18)

ここで陰解法を使う理由は、次の通りである。拡散方程式は FP ガス放出モデルの中にあり、FP ガス放出モデルは温度計算収束計算中にある。このため、温度は第 n ステップ（前段）の Tn、第 n+1 ステップ（現段）の Tn+1 があり、この収束計算中に陰解法を用いて現段の情報を持ち込んでいる。また、FP ガス原子濃度についてもあるが、陰解法を使えば、例えば =1 とすることで、

n
j 、

n 1
j が

n 1
j による濃度勾配によって FP

ガス原子は拡散する。(2.8.7-17)式の拡散方程式は、マトリックス演算で =1 とすること
で、未知数

n 1
j を基にした濃度勾配（

j についての陰解法）で、

n 1
j を求めることができる。陰解法の導入することは、タイムステップ幅を大きく取れるメリットがあり、計算時間を節約することができる。

(2.8.7-17)式について未知数と既知数を整理すれば、

j

1
E ji
t

D * A ji

n 1
j
j

1
E ji
t

D* 1

したがって要素マトクリスＷij，要素ベクトルＱi は

－92－

Aji

n
j

*

Hi

(2.8.7-19)

JAEA-Data/Code 2010-035

Wij

1
E ji
k

D* Aji

1
E ji
t

D* 1

Qi
j

(2.8.7-20)

n
j

Aji

*

Hi

(2.8.7-21)である。
全要素について重ね合わせ、粒界では濃度ゼロという仮定にしたがい、結晶粒表面におけるn 10 の境界条件を与えて
n 1
j

Wij
の連立方程式を解けば、粒内のガス原子濃度

2.8.8

Qi
n 1
j

(2.8.7-22)を求めることができる。

結晶粒と粒界

これまで説明してきた拡散計算、および以下で議論すn

る「粒界蓄積量 n f 」などを決める論理は、1 個の結晶粒があたかも単独で空間に存在して、その表面を「結晶粒界」が包んでいるような状態を想定していることに注BA

意しなければならない。実際にはペレットは多結晶であり、ペレットのリング要素も非常に多くの結晶粒の集合である。結晶粒界は隣接する 2 個の結晶粒によって共有されているので、粒界における FP ガス原子の濃度や量を考える場合は、こうした現実の状態を考慮する必要がある。
ここで一つの結晶粒に着目すると、粒界のガス原子濃度は隣接する 2 個の結晶粒からの拡散流束によって増加するので、粒界に蓄積する実際の FP ガス原子濃度は、
拡散計算の結果の 2 倍に相当する。
今、右図 2.8.5 において結晶粒を二次元の六角形で表現すると、中央の結晶粒 A（半径 a）の部分粒界 PB の
面積は全粒界の 1/6 である。この PB には隣接する結晶
粒 B からの拡散流束が A からの拡散流束と同様に流入

図 2.8.5

結晶粒界模式図する。残りの 5/6 の粒界においても同様であるので、結局、粒界バブルを含む粒界に蓄積する実際の FP ガス原子の濃度は、拡散計算の結果の２倍に相当する。
しかし以下の 2.8.9 項で説明する粒界 FP ガスインベントリ(2.8.9-1) 式では、ペレットの一つの－93－

JAEA-Data/Code 2010-035

リング要素に含まれる結晶粒個数に、各結晶粒から粒界に移行したガス原子の量を掛けているので、2 倍する必要はない。また 2.8.10 項で説明する放出ガス量の計算ではリング要素当たりの結晶粒の個数を考慮している。
max

さらに 2.8.13 項で説明するガス放出の限界濃度 N f

は、単に、固相と圧力平衡にある粒界バブルの代表としての１個のバブルにたまったガスに気体の状態方程式を適用して導いたものであるので、これ自体は変更する必要はない。
すなわち、FEMAXI コードの計算では、各リング要素における結晶粒と粒界を、１個の結晶粒とそれを取り巻く粒界に代表させて考えているので、実際の粒界のように「２倍に相当する量」などを考える必要はない。

2.8.9

粒界へ移動する FP ガス原子の量n 1

タイムステップ t 内に拡散により、1 個の結晶粒内部からその粒界へ移動するガス量 n f(atoms)は、粒内での FP ガス量の変化を基準として計算する。すなわち、・タイムステップ n での粒内 FP ガス総量：・ t 間での FP ガス生成量：

tdV

V

n
total

(atoms)、(atoms)・ t 時間が進んだ（タイムステップ n+1）後の粒内 FP ガス総量：

n 1
total (atoms)、

として与えると、n nf 1ntotal

ntotal およびとして与えられる。ただし

tdV

V

n 1
total

(2.8.9-1)

n 1
total は、粒内要素数が 3 要素のとき、2.8.7 項の結果を用いて次式によって求める。
3

k
total

e 1

ˆk r

3

Ve

4 r 2 ˆ k r dr
k
j

r

j

(2.8.9-2)

j 1

k

n,

n 1

ただし、粒成長がある場合は、粒成長以前の粒半径を an 、粒成長後の粒半径を an 1 とするとき
n 1［次の 2.8.10 項参照］、 t 内で粒界へ移動する FP ガス量 n f は、粒半径 an 1 を基準にして、実効的な FP ガス生成率

を用いて（は後の(2.8.12-2)式で定義する）

・ タイムステップ n での粒内 FP ガス量は、－94－

JAEA-Data/Code 2010-035

an 1
an

（粒半径 an 1 を基準にして）・ t 間での FP ガス生成量は

3

4 3
an 1
3

t

n 1
total

V

(2.8.9-3)

tdV(2.8.9-4)であるから、

n

n 1
f

an 1
an

3
n
total

V

tdV

n 1
total

(2.8.9-5)で与えられる。

2.8.10 粒界に留まる FP ガス量 Ginv
これまでのガス原子拡散計算では、粒内ガスバブルを除いて、ガス原子は原子状態にあると想定していたが、結晶粒界では気相状態を想定する。
タイムステップ n において、（ある１リング要素内の）ペレット単位体積中の全結晶粒界に留まっている全 FP ガス量＝粒界インベントリ密度 Ginv をそのリング要素内の単位体積中の全結晶粒の個数で割った値を考える。
ii

体積 Vring のリング要素 i 内の全結晶粒界を考え、ペレット単位体積は N grain 個の半径 ag の結晶粒から成るとすると、

1i
N grain

4 3
ag
3(2.8.10-1)

である。
n

n 1

以下に説明する粒界蓄積量 n f (あるいは n f )の決定には、1 個の結晶粒を囲む粒界における、結晶粒内からの FP ガス原子の原子状態としての移動（拡散）と外部への気相状態での移動（放出）を想定している。したがって、

Ginv

in nf N grain(2.8.10-2)の関係が成り立っている。

Ginv に各リング要素の体積をかけたものがそのリング要素におけるインベントリ値となる。

(1) 平衡論
t 時間の後の粒界滞留 FP ガス量（＝結晶粒１個あたりの粒界インベントリ）は n nf

－95－

n nf 1 とJAEA-Data/Code 2010-035

n maxの小さい方の値となる。すなわち、
fn nf 1max

ここで n fmax

値を N fmin(n nf

n 1
n nf 1 , n max,)f

(2.8.10-3)は、粒界に留まるガス量の最大値で、粒界での単位面積あたりのガス原子数の飽和(atoms/cm2)とするとき、
n 1
n max,fn 1
4 an2 1 N max,f

(atoms)max

で与えられる。すなわち、本モデルでは粒界の FP ガス量が n f(2.8.10-4)
max

（Nf

）を越えたとき、越えた

分の FP ガスが直ちにペレット外へ放出されると仮定している。放出が生じた場合の（結晶粒１max

個あたりの）粒界インベントリは n fである。

粒成長がある場合には［次の 2.8.11 項参照］、タイムステップ n で粒界に留まっている FP ガ
ス量は

an 1
an

3

n nf

(2.8.10-5)

n 1であり、 t 内に粒界へ移動する FP ガス量を n f として［前項参照］、 t 時間の後の粒界滞留
FP ガス量は

n

n 1
f

min

an 1
an

3

n nf

n 1
n nf 1 , n max,f

(2.8.10-6)で与えられる。

(2) 速度論
t 時間の後の粒界滞留 FP ガス量は n nf

n nf 1 から放出された量 n rls
f を引いた値となる。すな

わちこれは放出が生じた場合の（結晶粒１個あたりの）粒界インベントリであり、

n nf 1n nf,n 1
n nf 1 n rls
f(2.8.10-7)となる。ここで
,n 1
n rls
f

nreleaset(2.8.10-8)

nrelease はガス放出速度であり 2.9 章で説明される。リング要素からの全放出量は、
i,n 1
N grainn rlsfで与えられる。

－96－(2.8.10-9)

JAEA-Data/Code 2010-035

粒成長がある場合には［次の 2.8.11 項参照］、タイムステップ n で粒界に留まっている FP ガ
ス量は
3

an 1
an

n nf

(2.8.10-10)n 1であり、 t 内に粒界へ移動する FP ガス量を n f として［前項参照］、 t 時間の後の粒界滞留
FP ガス量は

n

an 1
an

n 1
f

3

n nf

,n 1
n nf 1 n rls
f(2.8.10-11)

で与えられる。

2.8.11 放出されるガス量(1) 平衡論
t 内でペレット外に放出される（結晶粒一個当たりの）FP ガス量を nrn 1 (atoms)とすると、仮定に基づき、粒成長がないとき、

nrn 1

0

nrn 1

n nf

n nf
n nf 1n nf 1n 1
n max,
fn 1
n max,n nf
f

n nf 1(2.8.11-1)
n 1
n max,
f(2.8.11-2)である。また粒成長があるときは［次項参照］、

n

n

n 1
r

n 1
r

an 1
an

an 1
an

0

3

3

n

n
f

n

n 1
f

n

max, n 1f

n nf

n nf 1n 1
n max,
f(2.8.11-3)

3

an 1
an

n nf

n nf 1n 1
n max,
f(2.8.11-4)

である。
n 1

また t 間に放出したガスによる粒界ガスの濃度減少量 N r

N

n 1
r

(atoms/cm3)は

nrn 1
an2 1

(2.8.11-5)

nrn 1(2.8.11-6)で与えられる。
リング要素からの全放出量は、i
N grain

で与えられる。

－97－

JAEA-Data/Code 2010-035(2) 速度論
前項 2.8.10 参照。

(3) FP ガス放出率 (Fission gas release rate; FGR)
第 1 ステップから第 n ステップまでに t 内で結晶粒１個当たりの、ペレット外に放出されるガ
スの総量は
n

nrk

(2.8.11-7)

k 1

であり、ガス放出率 FGR は第 n ステップにおける燃焼度に対応した（結晶粒一個当たりの）n

全 FP ガス原子生成量を FPGtotal とすれば、
n

FGR

nrk

k 1
n
FPGtotal(2.8.11-8)である。

2.8.12 粒成長に伴う粒界へのガスの掃き出し(1) 平衡論
粒成長に伴い、粒内ガスは粒界へ掃き出される。粒界へ掃き出されるガスの割合 f g は次式で表
される。

an 1
an

fg

3

1

(2.8.12-1)

ここで、

an 1 ：粒成長後の結晶粒半径 （cm）
an ：粒成長前の結晶粒半径 （cm）
である。
Namelist input FGG

fg

fg

掃き出されるガスの割合は FGG により、

FGG のように調整される。(Default=1.0)

図 2.8.6 に粒成長の概念図を示す。図中の斜線部に相当する部分のガスが、粒成長に伴い粒界へ掃き出される。

－98－

JAEA-Data/Code 2010-035

an 1
an

図 2.8.6

粒成長概念図

粒成長モデルとしては、以下の Itoh らのモデル(2.30)を（Ainscough モデル(2.31)の修正式として）標準的に用いる。

1 N f / N f max

da
dt

1
K
a

K

5.24 107 exp

μm/h

am

2.67 105 / RTa ：現ステップでの粒径
am ：最大限界粒径,(2.8.12-2)

μm 2 /h ,m ,2.23 103 exp

7620 / Tμm ,R：ガス定数（=8.314J/mol/K）,

N f ：粒界でのガス原子密度 atoms/cm 2 ,N f max ：粒界でのガス原子密度の飽和値 atoms/ cm 2

Namelist input AG, GRWF
粒成長速度は次のように調整することができる。
1)原子数密度の調整

N 'f

Nf

da
dt

da
dt

GRWF （Default=1.0）2)粒成長速度AG （Default=1.0）

粒成長モデルは IGRAIN により次のように選択できる。
Namelist input IGRAINIGRAIN=0:Itoh モデル(Default)、=1:Ainscough モデル、=2:MacEwan モデル、
=3:Lyons モデル、=4:MATPRO-09 モデル

粒内要素は最大 5 要素まで構成され、最外層要素は境界層として再溶解を考慮するための特別－99－

JAEA-Data/Code 2010-035

な要素とする。また、粒成長が起こった場合には、粒内の球殻メッシュを切り直す。
境界層幅を 2 R とすると、第 1 層、第 2 層の要素
境界層内のノードの座標 r は、

rn 1

an 1 2 R nran 2 R(2.8.12-3)とする。ここで、
rｎ＋１ ：粒成長後のメッシュ点座標rｎ：粒成長前のメッシュ点座標：ノードである。また、最外層（境界層）の要素内
ノード座標は、それぞれ an 1

an 1

2 R、

図 2.8.7 ペレット結晶粒内有限要素メッシュ

R 、 an 1 として与える。
Namelist input NODEG,

RREL

粒内要素数は NODEG により指定できる。

標準値は 3、最大値は 5 である。最外層以外、すなわち NODEG－1 の要素に対する要素
幅は RREL によりその比を指定する。標準値は 5, 1,である。 これは第 1 層と第 2 層の要素幅の比が 5:1 であることを意味する。

現在のモデルでは、粒内要素は図と同様に 3 要素に切っている。また、境界層でのみ再溶解を考慮して生成項 の値を変えている。また、この要素は「３節点二次要素」
である。境界条件として、粒界での FP ガス原子濃度はゼロと見なしている。

このときリメッシュされた新しい座標での FP ガス原子濃度
n 1, 0(r )n 1, 0

(r )

n

(r )

については、(2.8.12-4)（0≦r≦an）（an≦r≦an+1）0とする。ここで、n(r ) ： 粒成長前の FP ガス原子濃度分布 (atoms/cm3)

n 1,0： 粒成長後の FP ガス原子濃度の初期分布(atoms/cm3)である。すなわち、粒成長による粒界への掃き出しは瞬時に起こると仮定する。
次に、粒界に滞留している FP ガスの、粒界単位面積あたりの FP ガス原子濃度 N f (atoms/cm2)を求める。これは、放出しきい値および粒界ガスインベントリを求めるために必要である。

(2.8.10-3)式を再記すると、

n nf 1min(n nf

n 1
n nf 1 , n max,
)
f

－100－

JAEA-Data/Code 2010-035である。ここで、粒成長がない場合は an

N

n 1
f

min

an 1 よりn nf

n nf 1

4 an2 1min N fnn 1
, N max,f

atoms/cm 2(2.8.12-5)

n 1
N nf 1 , N max,fとなる。
しかし、本項では粒成長を考慮しているので

N nf 1

min

min

min

となる。ただし、 N

n
f

n nf
4 an2

3

an 1
an

4 a

an 1
an

n nf 1n nf

3

4 an2 N nf
4 a

、 N

n nf 1n 1, N max,
f

2
n 1

an 1
N nf
an
n 1
f

n 1
, N max,f2
n 1(2.8.12-6)

n 1
N nf 1 , N max,fn nf 1
4 an2 1である。

(2) 速度論
粒成長を考慮した場合（粒成長がない場合は an

N nf 1

an 1 とおく）：
3

an 1
an

n nf

n nf 1

4 an2 1an 1
an

3

4 an2 N nf
4 an2 1

an 1
N nf
an

－101－

N nf 1n nf 1(2.8.12-7)

JAEA-Data/Code 2010-035

n nf

n

となる。ただし、 N f

n nf 1

n 1

、 Nf
2

4 an2 1

4 an

である。

(3) N nf 1 の数値計算方法n

ここで、粒成長が起こった時のタイムステップ n→n+1 における変化 N f → N fn 1の計算方法を

n 1

説明する。 N f を決定するには、粒成長期間 t における粒内から表面への輸送と再溶解を考慮する必要があるので、繰り返し計算が必要となる。この繰り返し計算の初期値を N f

n 1, 0とすると、次式の関係が成り立つ。

an 1
an

3
n
total

4 an2 N nf

n
total

4 an2 1 N nf 1,0(2.8.12-8)

ここで、ntotal ：

粒成長前の結晶粒内の FP ガス原子総数（atoms）
n 1, 0である。(2.8.12-1)式を用い、(2.8.11-8)式を N f
n
total
2
n 1

fg

N nf 1,0について解くと、

an 1 nNfan4 aとなる。ただし、(2.8.12-9)式右辺において、

fg(2.8.12-9)ntotal
は粒成長による掃き出し分、
2
n 1

4 a

N nf は、タイムステップ開始時の結晶粒表面濃度である。
ここで、i を繰り返しのカウントとすると、

N nf 1,i

n
total
2
n 1

fg

4 a

an 1 nNfanD'i tdVtr r an 1(2.8.12-10)が成り立つ。(2.8.12-10)式の右辺第３項は、結晶粒の内部から外表面に到達した FP ガス原子の量、第４項は再溶解によって結晶粒内に戻る量であり、
i

b
1
2

N nf

i

N nf 1,i 1は以下の式で定義される再溶解率である。

1
2 R

ADDF

(2.8.12-11)(2.8.12-11)式は次項でさらに説明する。
さて、(2.8.12-10)式において、右辺第１項と第２項は(2.8.12-9)式により既知である。
①(2.8.12-11)式で与えられる
n 1(an 1 ),

'i を用いて(2.8.4-11)式に代入し、式を解いて
n 1

(an 1

r ),

－102－

n 1

( an 12 r)

JAEA-Data/Code 2010-035

をそれぞれ求める。
② 次に、これらの値を用いて(2.8.12-10)式右辺の第３項、

D

r r an 1t(2.8.12-12)を決定する。
③ (2.8.112-11)および(2.8.12-12)式を(2.8.12-10)式に代入すれば、繰り返しのカウントが 1n 1,i進むので、 N fが得られる。これにより(2.8.12-11)式の' を更新する。

以下、①～③の繰り返しである。この繰り返し計算において

N nf 1,iN nf 1,i 1

N nf 1,iになれば収束したと見なすことができる。

ただし実際の計算では、(2.8.11-10)式と等価なN
n 1を用いて N f

n 1
f

an 1
n
Nf
an

1

fg

n
total

n 1
total

4 an2 1V

tdv

(2.8.12-13)を計算する。ここで、
n 1
total ：タイムステップ後の結晶粒内の FP ガス原子数（atoms）

tdv ：タイムステップ間での、再溶解分を含まない FP ガス原子生成量
4 3（atoms）である。ただし、 V dv
an 1 である。
3

2.8.13

ＦＰガスの再溶解

粒界から粒内への再溶解の取り扱いでは、粒界は隣り合った結晶粒を分離していることを考慮する。2.8.8 項～2.8.10 項では、1 個の結晶粒が粒界に蓄積する FP ガス原子の量( n f , N f )を考えた。2.8.8 項で説明したとおり、実際の粒界には隣接する 2 個の結晶粒からの拡散流束によって、粒界に蓄積する FP ガス原子の量は( n f , N f )の 2 倍となる。しかし、粒界からの結晶粒内部への再溶解は、2 個の隣接する結晶粒に対して同時に生じるので、1 個の結晶粒に対しては、粒界にとどまっている単位面積当たりの FP ガス原子の量 N f に対して再溶解率を考えればよい。
すなわち、再溶解する量は－103－

JAEA-Data/Code 2010-035

bN f ADDF(atoms/cm2/s)(2.8.13-1)

b：再溶解率（10-6／s）

ここで、である。再溶解は粒界から粒内へ FP ガスが原子状態で移行するのであるが、粒内からみれば FP
ガス原子が生成したのと同じである。このため、FP ガス原子が再溶解する厚みを境界層（200Å）とすれば、境界層におけるみかけの FP ガス原子生成率を与えることで再溶解をモデル化でき

る。
そこで、

を以下のように与える。

b1
2
したがって、(2.8.13-2)式中のN nf

N nf 1

1

ADDF

2 R

(atoms/cm3/s)は境界層においては、

~
として、

~

(2.8.13-2)(2.8.13-3)を仮想的 FP ガス原子生成率とする。

モデルパラメータ

RB

FP ガス原子が再溶解する厚みの境界層をコントロール

するパラメータである。RB は境界層の厚みを指定する。標準値は 2×10-6cm である。

調整パラメータ ADDF

再溶解するガス原子の量は ADDF により調整できる。標準値は 9.0。

2.8.14 粒界 FP ガス原子濃度の飽和値 (平衡論)
前記 2.8.1 放出機構の仮定(White+Tucker モデル)では、粒界の FP ガス原子数（粒界面積濃度）が飽和値を超えると、それまで孤立していた粒界バブルが連結し自由空間へのトンネルが形成され、粒内より移動してくる追加のガス原子は直ちに自由空間に放出されると仮定した。すなわち、
2.8.1 節のモデルでは拡散方程式を解いているが、粒界ガスバブルの成長を直接計算はしていな
い。また、粒界におけるバブル数密度の概念もない。しかし、粒界ガスバブル半径を含む定義式
によってガス放出が生じる threshold＝飽和値（放出しきい値）を計算する。
この飽和値、すなわち粒界におけるガス原子濃度 N fmaxの決定方法を次に説明する(2.24)。

(1) 粒界ガスバブル半径 （平衡論、速度論に共通）
以下の議論において図 2.8.8 に示すように、rf はレンズ状バブルの曲率を決める半径であり、rb
はレンズ状バブルの粒界面への正射影の円の半径である。すなわち、－104－

JAEA-Data/Code 2010-035

rb

rf sinである。

(2.8.14-1)

rb
rf

Lenticular
gas bubble
図 2.8.8

Grain boundary

粒界ガスバブルの球面半径と正射影半径(2) 粒界ガスの平均濃度と放出限界
バブルガスに気体の状態方程式を適用してF PgasVbubble

m1kT( 2.8.14-2)

ここで m1 は１個の結晶粒体系で計算されたガス原子の量である。すなわち、1 個の結晶粒内部
からその粒界に拡散移行したガス原子の総量であり、バブルサイズはこの量がすべて仮想的な 1
個のバブルに集中した状態に対応する。
ただし、van der Waals constant B を用いて理想気体からの修正係数 F を

F=

1
P B
1 + gaskT(2.8.14-3)

とおく。

バブルの体積はVbubble

平衡論の仮定より

Pgas

4 3
rf f f ( )
3
2
Pext
rf

(2.8.14-4 )(2.8.14-5)

またガスモル量 m1 をバブル 1 個が粒界に占める面積で割って、バブル平均の粒界ガス原子密度 N f を求めると－105－

JAEA-Data/Code 2010-035

m1( rf sin )2Nf

4 rf f ( )

2
rf

Pext

3kT sin 2

maxである。粒界全面積当たりで考えたときの限界値 N f(2.8.14-6)

Fは、レンズ状バブルが粒界を覆う割合を f b

として

N max
f

N f fb

(2.8.14-7)となる。(2.8.14-6) 、(2.8.14-7)式から次式が得られる(2.24)。

4 rf f f

N f max
ここで

3kT sin

2

fb

2
rf

Pext Fatoms/cm 2(2.8.14-8)

N max
f

：

粒界での単位面積あたりのガス原子数の飽和値 atoms/cm

rf：

粒界でのガスバブルの曲率半径（＝0.5 m）
5

RF= 5 10 (cm)

ff

：

2

(default)

球体積に対するレンズ状バブル体積比

ff

1

3
cos
2

1
cos3
2

：

レンズ状バブル角（=50゜as default）

k：

ボルツマン定数（=1.38×10-16 erg/K）

T

：

温度（K）

：

表面張力（=626 erg/cm2）(2.25)

fb：

レンズ状バブルが粒界を覆う面積割合

Pext

：

外部からの圧力（dyne/ cm2）

FBCOV=0.25(default)

である。
すなわちここでは、粒界バブルの個数や実際の大きさを直接考えずに、粒界へ移行したガス原子の量のみをまず考え、ガス放出が生じる時に粒界に存在する（平均的）ガス原子濃度を(2.8.13-8)max

式で定義している。Ref.(2.24)では N f

50o 、 f bの具体的な値を決めるパラメータ値として、rf0.25 が示されているが、 rf

0.5 ~ 1.0μm 、 f b

0.5μm 、

0.5 程度が PIE 観察などのデー

タから、より現実的と思われる。
入力パラメータ OPORO, FBSAT, ALHOTFP ガス放出モデルでは、放出に寄与する
バブルは粒界ガスバブルなので常に外表面に通じているバブルの割合を OPORO で指定する(default=0.0)。FBSAT は粒界ガスバブルの飽和値に対する拡大係数である(default=1.0)。

－106－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.8.15 FP ガス原子の粒内拡散定数(1) 拡散定数モデル
FEMAXI-7 が内蔵する FP ガス原子粒内拡散定数モデルの詳細は 4 章に示す。また代表的モデ
ルを用いて計算した拡散定数の温度依存性を図 2.8.9 に示す。
-16

2

Diffusion Constant (m /s)

10

Turnbull original
White 100W/cm
300W/cm
Kogai original
White+Tucker

-17

10

Modified Turnbull
White 200W/cm
400W/cm
Kogai case D
Kitajima Kinoshita

-18

10

-19

10

-20

10

-21

10

-22

10

500

1000

1500

2000

Temperature (K)図 2.8.9

FP ガス原子の結晶粒内拡散定数の代表的モデルの比較(2) 拡散定数の温度特性フィッティング機能
FEMAXI-7 では、FP ガス原子拡散定数に以下のファクターFGDIF をかけて、温度依存性を調節する機能を追加した。ただし、FGDIFX=0 (default)の場合はこのモデルは効かず、=1 の場合に有
効となる。

FGDIF

a

FGDIF06 (default) ,(FGDIF0-1) a
10000
7a 9 a exp aT

T (Kelvin)：Name-list parameter a

EFA=6 (default)、FGDIF0=10 (default), FGDIFX =0 (default)。

このファクターの温度依存性を図 2.8.10 に示す。この場合、高温部で拡散定数の値が増加する。
したがって、図 2.8.11 に示すように、Default 条件では Turnbull のオリジナルの曲線は約 1250K 以
上で 10 倍の値となる。ただしこれはあくまで一例であり、こうしたファクター値は実験データによる最適化が必要である。

－107－

JAEA-Data/Code 2010-035

FGDIF: Magnifying factor

102

Diffusion constant (m /s)

図 2.8.10

8

FGDIF0=10, a=4
FGDIF0=10,
a=6; default

6 FGDIF0=5, a=6
4

FGDIF0=10,
a=8

2
0
5

6

7
8
10000/T (1/K)

910FP ガス原子拡散定数にかかる温度依存性調整ファクターFGDIF の例

1E-15
1E-16

Enhanced Turnbul
by magnifying
factor

1E-17
1E-18

Turnbull
Kitajima K
White+Tucker
modified Turnbull

1E-19
1E-20
1E-21
1E-22

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

10000/T (1/K)
図 2.8.11

温度依存性調整ファクターFGDIF による、Turnbull model 高温部拡散定数の
増加の例

－108－

JAEA-Data/Code 2010-0352.9速度論モデル(IGASP= 2 )速度論モデルについては 2.8.2.2 (3)項で部分的に説明したが、本章では本質的な説明を行う。

2.9.1 前提（平衡論モデルとの共通部分）(1) 拡散計算および粒内バブル計算
速度論においても、FP ガス原子の粒内から粒界への拡散、途中の粒内バブルによるトラップ、
粒内バブルの成長による実効的拡散速度への影響などは、平衡論と同じである。すなわち、粒界バブルの成長とガス放出に関する部分のみに速度論を適用する。

(2) ガス放出の criteria
粒界バブルからのガス放出は、原理的には粒界バブルとペレット自由表面を結ぶガス通過経
路の conductance と、自由空間と粒界バブル内のガスの圧力差、および温度に依存する。しかし、本モデルではガス conductance の定量的評価が困難であること、従来の「粒界バブルの連結
tunneling による放出」仮定がかなりよく現象を表現できていることを考慮して、この仮定の論理を用いる。

2.9.2 粒界バブル成長速度式(1) 粒界バブル半径と数密度・粒界インベントリ
2.7.7 項の考察をふまえ、最初に、1 個の結晶粒があたかも単独で空間に存在して、その表面を「結晶粒界」が包んでいるような状態を想定する。またその粒界バブルは、1 個の結晶粒の内部からのガス原子の拡散移行によって生じたものと考える。
すると、1 個の結晶粒の粒界バブル個数 N bb は、以下の式で定義される。

4 ag2 N dens

N bb

(2.9.2-1)

ここで ag は結晶粒半径、 N dens は粒界バブル数密度＝ N dens (cm-2)である。

N dens は name-list input parameter である。ここでN densとする。 すなわち、

1/ d μm 2 , d=1.83x1.83 m2.
NDENS= 3x1011

m-2(default)(2.9.2-2)である。またバブルが合体したら、 N bb ( N dens )は合体個数 M に逆比例して減少する。
バブルの内圧 Pb (MPa)は、バブル半径を rf (cm)として、状態方程式より－109－

JAEA-Data/Code 2010-035

Pb

4 3
rf f ( ) mB
3

mkT

(2.9.2-3)

となる。
ここで

m ： 1 個の結晶粒の内部から拡散によりその粒界へ移行してきたガス
原子の、１バブル当たりの原子個数(atoms)、(2.9.2-24)式参照。
B： van der Waals 定数(8.5x10-23 cm3/atoms)
である。
また粒界カバー率は
2
f

r sin

fb

2

2
g

N bb / 4 r

rf2
2
g

4r

N bb sin 2(2.9.2-4)

rf2 sin 2

ここで

Fc

とすると、

Fc

(2.9.2-5)

s2
fb( FBCOV)(2.9.2-6)である。粒界カバー率は(2.7.2-4)式で計算するので、FBCOV は、ガス放出のしきい値として効く。

fb

参考試計算：

rf2
4a

2
g

N bb sin

rf2

2

4a

4 ag2 N dens sin 2

2
g

である。

rf2 N dens sin 2
ここで N

Dens

50o とすると

また、 N

1/ d μm 2

3 107 cm 2 (d=1.83x1.83 m2)、rf

0.5μm(0.5 10 4 cm)2 3 107 cm 2 0.58682 0.1383

fb

0.672 10 4 cm 、

0.672μmfb(0.672 10 4 cm)2 3 107 cm 2 0.58682 0.25 である。

Dens

1/ d μm 2fbである。

50o とすると

rf

50o で

0.5 10 4 cm 、5.423 107 cm 2 とすると、 rf

0.5μm

0.5 10 4 cm 、

(0.5 10 4 cm)2 5.423 107 cm 2 0.58682 0.25である。

(2) 粒界バブル半径を決定する速度式
粒界バブルの半径サイズは、Kogai らのモデル(2.32)にしたがい、下記の成長速度

drf
dt

を時間で

積分して決定する。すなわち、
n

rf
k 1

drf
dt

tk

－110－

(2.9.2-7)

JAEA-Data/Code 2010-035

drf
dt

FRAD

V
s 2 bd Dgb
2f

4 r f ( )kT

Pb

Pext

2
rf

k 2f

(2.9.2-8)

Pext : 計算しているセグメントのギャップガス圧力。プレナム圧に等しく置く。

ここで、

rf ： 2.8.14 項 (1)粒界ガスバブル半径 で定義された半径
FRAD：調整係数
である。
また

drf
dt

0 、すなわちバブル収縮の場合もある。

ここで、 N dens がバブル半径 rb の二乗に反比例すると仮定する(2.26)。すなわち、

N dens
ただし H は比例常数である。また rf決定する。すなわち、 HH
rf2

0.5 μm のとき、 N dens

(2.9.2-10)

H
rf2

3 1011 (m 2 ) として H を

0.07465 である。
Name-list parameter HGBPR=0.07465 (default)① rf

RF (Default=0.5 μm) の場合：合体しない場合は、 N dens

H
rf*2

rf*

RF(μm) で、一定値を保つ。

合体する場合は、合体個数 M に反比例して減少する。

② rf

RF の場合N bb

4 ag2 N dens 、 N dens

H
、m
rf2

Ginv
の式に従い、バブル個数と m は変化する。すなわ
N bb

ち、バブルが小さい間は個数が多く、バブル一個あたりの m は少なく、内圧も高くならない。
しかし rf0 から rf

0 に変化して収縮する場合は、その収縮期間では、変化する直前の N bb 、N dens の値を維持する。

－111－

JAEA-Data/Code 2010-035【注】 rf の rf 依存性は極めて高いので、数値不安定が生じるおそれがある。これを回避するため、計算では以下の近似的な方法を適用する。
n(2.9.2-7)式： rf

①

k 1

drf

となるとき、すなわち

Pb

Pext

tk の計算について、あるタイムステップで半径成長速度が 0

dt

drf

0 で平衡状態になるまで成長することを仮想する。これはdt

2 となるときの平衡サイズ r を求めることと同値である。これは、
f
rf

2
P
rf
を満たす rf4 rf3
3

f ( ) m* b

m * kT(a)rf を算出することにより得られる。ただし速度論が扱う現実は rf

rf である。

②次に、現在の rf が rf に成長するまでの時間を算出する。これには、(2.9.2-8)式を用いる。
算出手順として、まず、この rf → rf となる変化の過程を 100 段階に等分割する。すなわち、

rf

rf

rf

rf

100

, rf

rf

rf

100

r r
2 f f,
100

rf

, rf

r r
(100 1) f f
100

rf

(b)

とする。次に、100 分割した各区間において、それぞれの変化量が生じるまで、すなわち各区間の成長量が実現するまでの時間を算出する。 例えば i 番目の区間の変化を rf , i

rf , i 1と表記したとき､ rf , i から rf , i 1 まで成長する時間は、 rf の変化速度が小さければ、(2.9.2-8)式を用いて、 rf , i

rf , i 1 の時間を ti として以下のように求めることができる。
rf , irf , i 1

drf , i

ti

dt

(c)

i

③この算出した時間 ti から得られる時間 ti

t j と、実際のタイムステップ増分 t を
j 1

比べることにより以下のようにして rf を決定する。

rf

r f ,ir f ,i 1

r f ,it ti

ti 1 ti(d)すなわち、 t は 100 分割した区間の i 番目の時間 ti と i+1 番目の時間 ti 1 の間にあるので、
時間 ti の rf の値を rf , i 、時間 ti 1 の rf の値を rf , i 1 としたとき、 rf を(d)式で決定する。
また、 tt100 なら、 r f

r f である。

③ rf の初期値を RINIT とする。バブルが微少な期間の「異常な値の数値計算」を回避するため、
Name-list parameter RINIT の default=0.01 m とする。

また、

drf
dt

0 の場合、すなわち成長期では vacancy は粒界拡散であり、－112－

JAEA-Data/Code 2010-035

FRAD=

drf
dt

HP (=1.0 default)、

0 の場合、すなわち収縮期では vacancy は格子拡散となるので
FRAD＝ HN (=0.2 default)とする。

ここで粒界バブルの vacancy sink 強度は(2.33)

k 2f

Vacancy sink 強度：

8(1
1)(3

2

s (
rf sin)) 2 ln2

rf2 sin 2

s
Pext

s

z

(2.9.2-11)fb(2.9.2-12)2r(2.9.2-13)

3

s 2 (cm2)： bubble spacing area
(bubble1 個の、粒界上の、バブル自身を含めた縄張り領域面積)

N Dens s 2

sb ：粒界厚み

2

1(2.9.2-14)

rf2 sin 2(2.9.2-15)

fb

5x10-10 m=5x10-8 cm=0.5nm= name-list parameter GBTHIK (default=5x10-10 m)

DVgb : vacancy の粒界拡散定数 (=Xe 原子と同一と近似する)
V
Dgb

1.38 10 6 exp( 2.876 104 / T )(m2/s): Xe の原子容 = 4.09x10-29 m3
ただし、単位換算に注意する。ここで

2.5

H 2 2
rf sinrf2

2.0であるので、

H sin 20.07465x0.58682=0.0438

すなわち(2.9.2-11)式において、s2k2f の部分は

kf2*s2

N dens rf2 sin 2

2

2

kf *s

1.5
1.0

値が一定である。
0.5
0.00

図 2.9.1

－113－

0.01

0.02

0.03

s 2 k 2f のφ依存性

0.04

0.05

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 粒界バブルからのガス放出速度
粒界バブルは、 rf

0.5μm (RF で指定； rb

rf sin )か f b

らか一方の条件を満たしたとき、Van Uffelen モデル

0.25 (FBCOV で指定)のどち(2.34)にしたがい次式で表現する放出速度をもって放出を開始する。

Vc N bb Pb2 S gb

FGCND

nrelease

MT

26.69

(2.9.2-16)

kT: gas viscosity

2(2.9.2-17)

S

a 4 ( Pb2

2
Pplenum) /16 2 L

S gb

4 ag2 grain boundary surface area.（原理式）(2.9.2-18)

FGCND: ガス放出コンダクタンスの調整係数(Default=

N bb
ここで rf

4 ag2 N dens*

3 1012 (m 2 ) でありバブルが RF に成長する=RF のとき、Bubble density N dens

まではバブル半径の二乗に反比例するとする。
さらに Xe の原子量：M=131(Xe)

固体球近似としての直径：

4.047x10-10 (m)

細管体積:

Vc

Vc0 f ( Fc ) g ( e ) ,(2.9.2-19)

Vc0

2 a4
10 12
16 L

(m 3 )(2.9.2-20)

NFC= 10. ：default(2.9.2-21)

NSC= 10.： default(2.9.2-22)

f ( Fc ) 1 exp[ ( Fc / Fc0 ) NFC ]
Fc0

0.78

4

g ( e ) 1 exp[ ( e0 /0e10 MPae) NSC ]

SIG0=10. ： default

0

ただし、バブルが合体したら基準のカバー率 Fc は大きくなるはずである。すなわち、バブル
間隔が増加し、バブル連結 tunneling ができにくくなる。したがって、
バブルが 1 回合体した後は

Fc0

0.85

FC1=0.85

バブルが 2 回合体した後は

Fc0

0.9

FC2=0.9 default

バブルが 3 回合体した後は

Fc0

0.95

FC3=0.95－114－

default

default.
.
.

JAEA-Data/Code 2010-035

バブルが 4 回合体した後は

Fc0

0.99

FC4=0.99

defaultとする。

これらの name-list parameter は暫定値であり、今後多くの要因との関係を考慮し､実測データにより最適化を図る必要がある。

(4) 粒界に蓄積するガス原子量
ここで Ginv をペレット単位体積に含まれる粒界の FP ガスインベントリ（蓄積量）とし、バブル 1 個あたりのガス量を m(atoms)、結晶粒界のバブル個数を前項(1)と同様に N bb とする。2.8.8
項で説明したように、実際の結晶粒界は隣接する 2 個の結晶粒によって共有され、その粒界に存在するガスバブルも共有されるが、ここでは 1 個の結晶粒があたかも単独で空間に存在して、その表面を「結晶粒界」が包んでいるような状態を想定する。
i

ペレット単位体積は N grain 個の半径 ag の結晶粒から成るとすると、
imN bb N grain

Ginv(2.9.2-23)が成り立つ。したがってバブル 1 個あたりのガス量 m(atoms)は

Ginvi
N bb N grainm(2.9.2-24)である。したがって、 Ginv に各リング要素の体積をかけたものがそのリング要素におけるイン
ベントリ値となる。

(5) 粒界に働く実効的応力
h

s2

e

h

s

rf2 sin 2

2

2
f

r sin

Pext

Pb

2

Fc Pb
1 Fc

Pgap

(2.9.2-25)(2.9.2-26)( この計算でのみ、通常とは符号が逆で、圧縮力が正値となる)

Fc

rf2 sin 2

f b rf2 sin 2s2

rf2 sin 2

－115－

fb

(2.9.2-27)

JAEA-Data/Code 2010-035

2.10 バブル成長スエリング : 平衡論 (IGASP=0)2.10.1 バブル成長
バブル成長によるスエリングを計算することを目的として、粒界ガス原子濃度の飽和値（ガス放出 threshold）に達するまでの粒界ガスバブル成長を、温度、圧力、ガス原子数などから算出する方法を説明する。

(1) 粒界ガスバブルの数密度 ― バブル個数密度の計算
１結晶粒界面積当たりのバブル個数密度 K を以下のように定義する。
各時点において、粒界ガスバブルの数密度を一定と仮定し、［外圧＋表面張力圧］と平衡する粒半径を計算する。
粒界ガスバブル半径 rf の粒界面への正射影半径は rf sin(2.24)、粒界全表面積は結晶粒の半径をag として、 4 ag2 である（2.8.14 (1)項参照）。飽和状態に至ってガス放出開始時のバブル個数密*度を K とすると、飽和状態では粒界面を覆うバブルの面積は K*

rf2 sin 2である。これが全粒界表面積に占める割合は f b であるので、次式が成り立つ。

K*

rf2 sin 2*

4ag2 f bK

すなわち、

4 ag2 f b

(2.10.1-1)(2.10.1-2)

rf2 sin 2

ここで、粒界上の個数 K は粒界上のガスバブル半径 rf の二乗に反比例すると仮定し (2.32) 、

rf

0.5μm 、50 として(2.10.1-2)式を計算すると、
K*

6.816 f b ag2(2.10.1-3)

rf2となる。すなわち、飽和時のバブル個数は(2.10.1-3)式で代表されるが、同時に、飽和以前の状態
におけるバブルの個数は、(2.10.1-3)式に ag 、 f b および rf の値を代入すれば得られる。
すなわち、粒界バブルの個数は(2.10.1-3)式で表される。式(2.10.1-3)の K の値には、 f b =FBCOV
max

をもちいて、 N fと同時に調整する。2.8.14 (2)項参照。

(2) 粒界バブルの成長n

タイムステップ n において１個の結晶粒の粒界に留まっている FP ガス量を n f (atoms)とすれ
ば、

n nf

K n*

－116－

(2.10.1-4)

JAEA-Data/Code 2010-035nが成り立つ。 n f は拡散方程式の解として(2.8.10-3)式で与えられる。n*は１個のバブル内の FP ガ
ス原子数(atoms)である。すなわち粒界のガス原子はすべて粒界バブルに集中していると近似する。
最初に生成した微小粒界ガスバブルに対し、拡散により FP ガス原子が流入し、バブル内ガス
圧力が高まり、バブル成長が始まる。ここで平衡論では 2.8.14(1)項に述べたように、バブルガス
圧 Pgas は、常に［外圧＋表面張力圧］に等しいと仮定する。すなわち、

2
rf

Pgas

Pext

(2.10.1-5)である。
次に、成長中のバブルのガス圧力 Pgas は以下の式において rf , n * , B, T の値から決定する。

Pgas

4 rf
3

3

ff ( ) n* B

n * kT(2.10.1-6)

言い換えれば、(2.10.1-3)、(2.10.1-4)、(2.10.1-5)式及び(2.10.1-6)式を連立させて Pgas と rf を求める。
(2.10.1-3)、(2.10.1-4)式より、n

rf2 n nf*

(2.10.1-7)

6.816 f b ag2

これを(2.10.1-6)式に代入し(2.10.1-5)式を利用して

2
rf

Pext

2
f

r で両辺を割り、 Q

4 rf 3ff ( )

3
n nf

6.816 f b ag2

rf2 n nf6.816 f b ag2B

rf2 n nf6.816 f b ag2

kT(2.10.1-8)

として

2
rf

Pext

4 rf
3

f f ( ) QB

QkT

(2.10.1-9)(2.10.1-6)式により、

4
ff
3

Pext r f2

4
3

2

ff

QBPextこの 2 次方程式を解いて rf を求める。
上式で、

－117－

QKT r f2 QB

0(2.10.1-10)

JAEA-Data/Code 2010-035

a

4
ff
3

Pext , b

4
3

2

ff

QBPext

QKT , c2 QB

(2.10.1-11)とおくと、a>0，c<0 であるので 2 つの実根が求まる。
この大きい方の解が求める rf であるので、

rf

b2
2a

b

4ac

(2.10.1-12)となる。すると(2.10.1-5)式により Pgas が決定される。
こうして rf が 0.5 m (=RF で指定可能)に成長するまで平衡論的バブルサイズの計算を行い、0.5 m に達した瞬間、後述する従来モデルのようにガス放出が生じるとする。ガス放出が生じた
バブルにおいては、 rf =0.5 m 以上のバブル成長はない。
なお、本モデルは、IFSWEL=1 と指定した場合に固体スエリング FEMAXI モデルと組み合わせて実行される。

(3) 粒成長がある場合 ― 2.7.8 項～2.7.11 項と同様なので省略する ―(4) バブル成長の限界とガス放出 ― 2.7.13 項と同様なので省略する ―2.10.2 バブルスエリング(1) 粒界バブルスエリング①1 個の結晶粒の粒界バブル個数(2.10.1-3)式を再記して、

K

6.816 f b ag2
rf2(2.10.1-3)

飽和時および飽和以前のバブル個数は(2.10.1-3)式に ag 、 f b および rf の値を代入すれば得られる。

②バブル体積とスエリング
以上のようにして算出した平衡論バブルサイズ rf に対し、バブル体積 Vbb と体積スエリング量を定義する。まず、１個のバブル体積は

Vbb

4 rf
3

であり、結晶粒体積 Vgr は、ag を結晶粒半径として

－118－

3

ff ( )(2.10.2-1)

JAEA-Data/Code 2010-035

4 ag3

Vgr

(2.10.2-2)3となる。すると体積ガススエリング量はV
V0

BubbleVbb K
Vgr(2.10.2-3)となる。ただし実際のペレットでは、粒界には隣接結晶粒からの拡散で生じたバブルがもう一個存在するので、実際のペレットにおける「体積ガススエリング量」は (2.10.2-3)式の分子分母をそれぞれ 2 倍することになる。したがって、(2.10.2-3)式は実際のペレットでも成り立つ。
ちなみに、 ag

5μm, rfV
0.25 では、
V0

0.5μm 、 f b

Bubble0.01436 、すなわち 1.44%の体積スエリング（0.48%のペレット直径増加）となる。

(2) 粒内バブルスエリング
3

粒内バブルの数密度を N (bubbles / cm ) 、粒内バブルの半径を Rintra (cm)とすれば、(2.10.2-3)式と同様に考えて、体積スエリング量はV
V0

Bubble4 3
Rintra N
3(2.10.2-4)となる。

(3) ポロシティと密度変化
バブル成長によるポロシティ変化 p と密度変化

は、全バブルスエリングと以下のような関係にある。
全バブルスエリング：

V
V0

Bubble4 3
Rintra N
3

Total

Vbb K
Vgr

(2.10.2-5)

であり、

p

V
V0
p

である。

－119－

Bubble(2.10.2-6)
Total(2.10.2-7)

JAEA-Data/Code 2010-035

2.11

バブル成長スエリング－速度論

バブル成長と、関連する粒界ガスバブルの数密度や粒界バブルの成長、ガス放出については、
既に 2.8 章で記述済みである。また粒成長がある場合についてのバブル成長やガス放出について
は、2.8.12 節と同様なので省略する。

2.11.1 バブルの合体・粗大化
本モデルは速度論におけるバブル合体・粗大化に関する試行モデルであり、検証を経ていない。ここではその基本的な仮定を述べるに留めておく。

(1) しきい条件
合体はペレットがあるしきい温度 TMG (TMG=1200K, default)以上になった時、および、バブル
に対する外圧がバブル内圧以上になること、の２条件が満たされた時生じることとする。バブル
は単に接触しただけでは合体しない。接触により連結、tunneling が生じ、ガス放出へと進む。しかし、ガス放出によりガス圧が低下し、外圧が高くなれば tunneling path はクリープにより閉塞する。この後、連結バブルは表面張力と Ostwald 成長により孤立の粗大バブルになる。このプロセスを「合体」と表現する。
この合体を生じるための圧力条件は、

Pb

Pext

Pgap

Fc

fb

0.3 FCON(2.11.1-1)

2 rb

FCON=0.3 default(2.11.1-2).

と 表 現 さ れ る 。 た だ し 、 Pgap は 軸 方 向 セ グ メ ン ト の ギ ャ ッ プ ガ ス の 圧 力 で あ り 、 当 面

Pgap

Pplenum と近似する。近い将来の展開として、 Pgap を、ギャップ流路断面積 S gap を用いた軸方向ガス流動計算により算出するように改良する。この場合、S gap はギャップ状態（開ギャップ、
閉塞ギャップ、ボンディング状態）に依存して変化する。

(2) 合体個数
合体は 1 回に M 個のバブルが合体し、合体後は孤立バブルとして、ガス放出無しで成長・収縮する。粒界表面数密度は 1/M となる。バブルとしての成長は Ostwald 成長などの効果が混じるので、それまでの「粒内からの拡散支配」によるモデルからは逸れていくはず。
IGASP=0; =1 にかかわらず、以下の parameter で制御する。

－120－

JAEA-Data/Code 2010-035

すなわち、合体個数 Namelist Input for “M” : NGB; default=4.

合体回数 Namelist Input for “MGB” : MGB; default=10 .
ここで、NGB=0 と指定した場合は合体なし、また MGB 1 とする。

(3) 粒界バブル再閉鎖は合体後生じると仮定する
粒界バブルは、ガス放出によって内部ガス圧が減少し、マトリックスからの圧縮応力が大きくなれば、クリープダウンにより閉鎖する。すなわち、バブルの連結による tunneling の「開通孔」が閉じる。しかしこのモデルでは、合体の有無にかかわらず、外部圧縮力による tunnel の閉塞は速度論モデルの中に細管コンダクタンスの変化として包含されている。

(4) 合体の幾何学
ガスバブルの成長、合体による連結に基づいて考える。今、（球面）半径 rf

r1 のバブル#1 がM 個合体して１個の半径 r2 のバブル#2 を形成したとする。まず、M 個のバブル#1 が粒界表面を占めていた面積 S はS

r12 sin 2

M(2.11.1-3)

であり、これを、S を不変として仮想的に１個のバブルに置き換えた時の、仮想バブルの実効的な半径 r1*は

r1*

M r1

(2.11.1-4)

である。

(5) バブル半径の変化
次に、M 個のバブル#1 が合体して１個の半径 r2 のバブル#2 を形成したとき、ガス圧力、表面エネルギー γ 、外部からの圧力 Pext を合体の前後で不変とする。また合体は一瞬にして生じ、合体の間に新たな FP ガス原子の拡散流入はないと仮定する。
このとき、レンズ状形態が維持されているので、半径の増加により表面張力は

2γ
2γ
から
に低
r1
r2

下し、バブル内平衡圧力は合体後、低下する方向にあるが、これもモデル C の場合と同じように考えて、微小なので無視する。
このとき、バブル#2 の体積はバブル#1 の M 倍となるが、半径 r2 は

－121－

JAEA-Data/Code 2010-035

4 3
4 3
r1 M
r2 ,
3
3
r2 3 M r1(2.11.1-4)
2

より、 3 M 倍となる。したがって、この１個の合体バブル#2 が粒界表面に占める面積は 3 M 倍となる。すなわち、合体によってできたバブル#2 の半径は、合体後の仮想的バブルの実効半径 r1*から

r1* r2

r

M r1

3

M r1

(2.11.1-5)

だけ減少した。このとき、粒界表面上のバブル個数は

4agr2 f b

K*で表現される個数の(2.11.1-6)

rf2 sin 2

1に減っており、粒界を覆う面積割合は
M
2

r2
r1*

fb

fb
3
M

(2.11.1-7)に減っている。

(6) 合体バブルの成長
ここで合体バブル成長による再放出の条件を考える。合体バブル半径 r2 がもとの実効半径 r1*にまで増加するには、つまりもとの f b 値に達するためには、合体後のバブル#2 の半径は

r2*

r1*

M r1 sin(2.11.1-8)まで速度論モデルにより成長する必要がある。すなわち半径増加量は、r

r2* r1**( M

3M ) r1 sin(2.11.1-9)

M(2.11.1-10)である。
このとき、バブルの体積は合体直後に比べて

1 r2*
M r1

3

倍となる。

2.11.2

スエリング

速度論モデルのバブルスエリングについては、2.10.2 章に記述した平衡論と同様である。すな－122－

JAEA-Data/Code 2010-035

わち、粒内・粒界バブルの体積（半径）と個数密度が算出されれば、平衡論と同様の定義により算出される。ポロシティと密度の変化についても同様である。

2.12

圧力抑制モデルFP ガス放出平衡論モデル(IGASP=0, 1)において、粒界 FP ガスバブルに働く外部圧力 Pext による、バブルからのガス放出の抑制効果については、name-list parameter IPEXT の選択によりプレナ
ム圧力、ペレット被覆管(PCMI)接触圧力、およびペレット内熱応力を考慮して評価される。すな
max

わち、たとえば(2.8.14-8)式において、Pext の値を増加させれば限界値 N fが増加し、ガス放出がmax(atoms/cm3)

max

はその値に

抑制され、その逆も成り立つ。ただし、パラメータ IFBSAT=1 のときに FBSATS= N f(default=5E15)と入力で指定すれば、下記パラメータ IPEXT の値にかかわらず、 N f
固定される。

また FP ガス放出速度論モデル (IGASP=2)においては、ガス放出の threshold はバブル半径 rf あ
るいは粒界に占める割合 f r で決まり、 Pext は直接関係しない。すなわち IPEXT の選択とは無関係であるが、ガス放出速度は(2.9.2-16) - (2.9.2-22) 式に表されるように、バブルガス圧力、プレナム
ガス圧力、およびペレット内部応力の関数であり、外部圧力 Pext によるガス放出の抑制効果についてはモデル中に含まれている。
また、ペレット内熱応力については、IFSWEL で選択するスエリングモデルにも影響される。
このときバブルスエリングモデルを指定した場合は、IGASP によって選択する FGR モデルにも影響される。

オプション選択 IPEX T

Ｐext の評価方法は、IPEXT により次の 8 つから選択できる。

IPEXT=0: 常に Pext＝0 と想定する、=1: Pext＝プレナム圧(default)、=2: Pext＝ペレット被覆管間接触圧、 = 3: Pext＝max(プレナム圧、接触圧）、=11: P ext＝熱応力(ペレット内の熱応力＋プレナム圧)、=12: P ext＝熱応力(ペレット内の熱応力＋ペレット被覆管間接触圧)=13: P ext＝熱応力(ペレット内の熱応力＋プレナム圧＋PC 接触圧)、=14: P ext＝3.3 章の一次元全長力学解析の応力計算で求めた平均応力。

この、ガス放出への圧力抑制モデルにおいてペレット内の熱応力を求めるためには、以下の２通りのいずれかを用いる。
① 温 度 の 解析 解 を 利用し て 近 似 的な 温 度 分布と ペ レッ ト内 の 熱 応力を 求 め る 簡便 な 方法
(IPEXT=11, 12, 13)。ここではプレナム圧と P-C 接触圧を加えることが可能であるが、これは、
Lame の条件式を用いてペレット内の応力分布を算出するための境界条件として、以下の－123－

JAEA-Data/Code 2010-035(2.12.3)、(2.12.4)式においてペレット表面境界でプレナム圧 と接触圧 ( Pi ) の少なくとも一つを荷重として与えるという意味である。
②熱的解析部において計算した温度分布に基づいて力学解析部で計算した熱応力(IPEXT=14)をPext とする方法。

2.12.1( IPEXT=11, 12, 13)

簡便な方法

この方法では、Lame の条件式を用いるために、ペレット内部の温度分布を

T

Ts

(Tc

Ts ) 1 (r / R ) 2(2.12.1)

T：半径 r の位置での温度とおく。ただし、

Ts：熱的解析から求めたペレット表面温度
Tc：熱的解析から求めたペレット中心温度
R：ペレット外半径
すると、Lame の条件式よりペレット内熱応力は

r

z

r
R

2

E
a (Tc
4(1 )

Ts )

E
a (Tc
4(1 )

r
Ts ) 3R

2Era (Tc Ts ) 4
4(1 )
R

2

Pi

1

2

Pi

(2.12.3)

1Pf(2.12.4)となる。ここでr，，ｚ： r , , z 方向応力

E：ペレットヤング率：ペレットポアソン比
a：ペレット熱膨張係数
Pi：ペレット被覆管接触圧力－124－(2.12.2)(>0)

JAEA-Data/Code 2010-035

Pf：ペレット軸力である。
ただし Pi （>0）は熱的解析計算で求めたペレット－被覆管の接触圧力を用い、便宜上ペレットの軸力は接触圧力に等しい ( Pf
ここで平均応力Pi ) とする。ペレット内熱応力は圧縮の場合は負値を取る。

を、

1
( r
3

z

)

(2.12.5)

として、熱応力の算出方法を以下に示す。

第 n ステップで内部応力

r ,n 、

第 n+1 ステップの応力,n 、 z ,n が求められた後、

z ,n 1 を算出する方法を考える。ただし第 0 ステップ（hotstand-by）では

r ,0 、

r ,n 1 、,0 、,n 1 、z,0 はプレナムガス圧とする。
(2.12.2)、(2.12.3)、(2.12.4)式を用いてタイムステップ間での熱応力増分はth
r ,n 1En 1
a n 1 (Tc ,n 14(1 )En
a n (Tc ,n
4(1 )

th
,n 1

th
z ,n 1

Ts ,n 1 )r
R

Ts ,n )

r
R

2

1

r
Ts ,n 1 ) 3
REn
a n (Tc ,n4(1 )r
Ts ,n ) 3Rr
Ts ,n 1 ) 4
REn
a n (Tc ,n4(1 )r
Ts ,n ) 4
R

(2.12.6)2

En 1
a n 1 (Tc ,n 1
4(1 )

En 1
a n 1 (Tc ,n 14(1 )Pi ,n 1

1

Pi ,n

2

Pi ,n 12

(2.12.7)

2

2

Pi ,n

2

1

Pi ,n 1
(2.12.8)

2

1

Pi ,n

と求められる。
第 n＋1 タイムステップでの応力の第 0 近似値を
0
r ,n 1r ,n

th
r ,n 1－125－(2.12.9)

JAEA-Data/Code 2010-035

0
,n 1

,n

th
,n 1

(2.12.10)

0z ,n 1z ,n

th
z ,n 1(2.12.11)

とおく。(2.12.9)、(2.12.10)、(2.12.11)式を(2.12.5)式に代入すれば平均応力の第 0 近似値

1
3

0
n 1

である。ただし0n 1 がプレナムガス圧を0n 1とする。また、0
r ,n 10n 1 が降伏応力

00z ,n 1,n 1(2.12.12)

Pgas としたとき、 Pgas より大きい場合にはPgas ,n 1(2.12.13)

Y としたとき、

0
n 1

0
n 1は

Y より小さい場合には(2.12.14)

Y, n 1とおく。
次に相当応力eq を

eq0n 1 とおいてペレットのクリープ計算を行う。

応力緩和に寄与するペレット相当ひずみの変化は、クリープ速度関数 f に比例すると仮定し、この比例定数を

とすると
c
n 1

f (T ,eq, G, f d , F )t(2.12.15)で与えられる。ここで
T：温度
eq ：相当応力

G：結晶粒サイズ

f d ：ペレット理論密度比
F ：核分裂密度
t ：タイムステップ幅である。ただし、比例定数は、実験データから求めたフィッティングパラメータとしてを用いる。このようにして求めたクリープ歪み増分

－126－

c
n 1 を用いて＝10-4

JAEA-Data/Code 2010-0351
n 1

より平均応力の第 1 近似値

0
n 1

E

c
n 1

(2.12.16)

1
n 1 を求められる。ただし、クリープ変形における

と

の比例定

数は、ヤング率Ｅに線形依存すると仮定して、ヤング率Ｅ自体を用いる。以降ニュートン・ラプ
ソン法を用いてn 1 について収束計算を行う。ただし

こうして求められたn 1

Y, n 1

Pgas,n 1 とする。

n 1( 0) が、粒界ガス気泡にかかる熱応力（外部圧力）、すなわち、(2.7.62)式における P ext である。
第 n+1 ステップの応力

r ,n 1 、,n 1 、z ,n 1 は

r ,n 1r ,n

th
r ,n 1

E

c
n 1

,n 1

,n

th
,n 1

E

c
n 1

z ,n 1z ,n

th
z ,n 1Ecn 1として求められる。ここで、(2.12.17)

0 、すなわち、応力は圧縮応力であり、

i,n 1

i ,n 1

Temp. 0 、

すなわち、応力の変化と温度変化とは、互いに異符号である。また(2.12.17)式は、次の n+2 ステ
ップに対する初期値として用いられる。

2.12.2IPEXT=14 の場合

IPEXT=14 を指定した場合は、熱的解析部において計算した温度分布に基づいて全長力学解
析部で計算された応力分布より得られる平均応力を求める。このとき、Pgas ,n 1

n 1 より、FPn 1 の領域においては、

Pext

ガスバブルに働く外部圧力 Pext

Pgas ,n 1 とする。すなわち、FP

ガスバブルに働く外部圧力 Pext は次式によって与える。

【注】

Pext

n 1

（

n 1

Pext

Pgas ,n 1（

Pgas ,n 1

Pgas ,n 1 ）n 1）

IPEXT の使用法の詳細については、入力マニュアルを参照のこと。

－127－(2.12.18)

JAEA-Data/Code 2010-035

2.12.3出力降下時の軸方向ガスコンダクタンス増加との比較考察

試験炉中でのある程度以上の燃焼度の燃料の照射試験において、その出力が急速に低下した場合にそれに伴って、あるいはその直後に再び出力を上昇させた場合に、FP ガス放出が一時的に増加する現象が観察されることがある。より正確に言えば、プレナム部に取り付けた内圧計によって測定されたガス圧の上昇が見られる。この一時的ガス圧上昇（FP ガス放出増加）については、
以下のような二通りの解釈が成り立つ。

(1) ガスコンダクタンス増加説
高出力時にはペレット温度が高いので FP ガス原子の拡散が盛んであり、ペレット外部の自由空間へのトンネル形成も生じて、粒界バブルからの FP ガス放出が生じているが、ペレットの熱膨張により P-C ギャップが閉じているかあるいは非常に狭くなっていて、あるいはペレットのク
ラックがほとんど閉じているので、放出された FP ガスはペレットの残されたわずかな空隙に局所的に滞留し、プレナム部まで流れていかない。言い換えればガスの軸方向のコンダクタンスが非常に低い状態にある。
ところが出力が低下すれば、ペレット熱膨張は減少し、ギャップやクラックが開くのでガスの軸方向のコンダクタンスが復活し、それまで局所に滞留していたガスがプレナム部へ流入して、プレナム部の内圧の増加として観測される。

(2) 粒界ガスバブルの閉じ込めから解放への変化説
高出力時にはペレット温度が高いので FP ガス原子の拡散が盛んであり、粒界ガスバブルが成長しているが、粒界ガスバブルは周囲の固体マトリックスから熱応力を受けており、ペレット外部の自由空間へのトンネル形成による放出が困難である。ところが出力が低下すれば、ペレット
熱膨張は減少し、トンネル形成は容易となり、自由空間へ放出されたガスはギャップやクラックが開いて増加した軸方向のガスコンダクタンスのために、プレナム部へ流入して、プレナム部の内圧の増加として観測される。この状態は、(2.8.14-8)式において Pext の値を低下させれば限界値

N maxが低下し、ガス放出が生じることに対応する。これは、(2.8.14-8)式の物理的な意味を示すもfのである。

【考察】 以上の解釈を考察すると、現実には二つの解釈（現象）のいずれも同時に生じている可－128－

JAEA-Data/Code 2010-035

能性があり、どちらか一方の解釈にモデルを限ることは必ずしも正当化されないと考えられる。
FEMAXI コードのモデルでは従来から②の解釈の立場を取ってきた。①の解釈でのモデル化ももちろん可能であろう。しかし、②の解釈でもプレナム部の内圧上昇を十分良く表現・予測できる
と考える。

2.13

高燃焼度リム組織モデル

2.13.1 全体概念
リム組織の生成や関連して生じるポロシティ、FP ガス放出、固相 FP ガス原子濃度、swelling、
熱伝導率への影響などについては、多くの研究がある(2.36)-(2.43)。しかし、リム組織のすべての主要局面を包括的に表現してマクロな（engineering level の）燃料ふるまいに結びつけたモデル化は実現していない。またリム組織の生成に対して「燃料は複雑系である」という観念を表明しても、それだけでは認識が具体的に深化するわけではない。
これはリム組織の生成が、ペレット製造仕様、燃焼度、温度、結晶粒径、濃縮度、出力履歴、
高速中性子束、被覆管とのボンディングなどの多くの要因が絡み合って進行する現象であることに本質的に起因し、同時に、重照射された燃料を実験的に扱うことの困難さにも起因する。
したがって、燃料解析コードに要求されるリム組織のモデリングとして、考えられる要因の相互作用を機構論的に構成して多くのパラメータや現象の側面を整合的に、かつ個々の観測データに合うように調整することはきわめて多大な労力を要するのみならず、結果として得られる予測
精度は、現象の複雑さゆえに、エンジニアリングレベルから評価して多大な労力に十分釣り合うものになるという保証がない。
ここで、リム組織の生成は燃料ふるまい全体にとって、比較的独立に、付加的な影響を与えるのみ（たとえば燃料温度の若干の上昇、swelling の付加的増加など）であることに注目すれば、モデリングは経験モデルに基づいた単純な構成として、複雑な現象をある程度の誤差を伴いつつも包絡していく方法をとる方が、燃料ふるまいの予測全体の目的に照らして合理的な戦略である。
もちろんその場合のモデルパラメータや経験式は、実測データの蓄積に合わせて容易に改良することが可能である。

①リム組織生成率
ペレットの各リング要素におけるリム組織の生成（体積）割合 Fv は燃焼度 Bu と温度 T の関数
とする。

－129－

JAEA-Data/Code 2010-035②ポロシティとガス原子インベントリ
ポロシティは、Fv と Bu の関数とし、Fv=100%に対して一定値をとる。
ポアサイズ分布、ポアのガス圧力は計算しない。一方、FP ガス原子のポア内ガスインベントリ、
燃料固相内保持量、（非熱活性拡散などによる）ガス追加放出量は、empirical model を用いて決定する。

③ポロシティの Swelling および熱伝導率への影響
Swelling はポロシティから直接計算する。熱伝導率へは、井勝の式によって低減係数を算出する。

④拡散計算の条件
ペレット外層部のような低温領域での FP ガス原子拡散速度はきわめて低い。このため、無意味な計算を避けるために、原則として温度が TDIFF (default =600C) 以下の部分では、TDIFF での計算結果をコピーして用いるオプションを設けた。ただし、リム組織部の局所燃焼度が非常に高い場合にはこのオプションの適用はあまり適切ではないので注意が必要である。

⑤事故条件下におけるリム組織の粒界分離事故時燃料解析コード RANNS でもリム組織のモデルを用いる。これは FEMAXI-7 のモデルと関連しているので､若干の説明を追記する。RANNS モデルでは、リム組織部のマクロな引張り応
力の、粒界分離破断を生じるしきい値を仮定する。またリム相の何％が 粒界分離したとか、粒界蓄積ガス inventory が開放されたとかの仮定を置く。
なお、以下に述べるリム組織の影響モデルが適用されるのは、name-list parameter HBS=1 の場合であるが、2.13.2 項における FP ガス原子のリム組織固相内の濃度減少(depletion)については、
name-list parameter HBS=0 と指定し、name-list parameter IRIM=1, 2 , 3 の指定によってモデルを選択する。

2.13.2 リム組織固相における FP ガス原子の濃度減少
まず、燃料ふるまい計算には直接関係しないが、もっとも単純な経験モデルとして、リム組織形成による FP ガス原子の固相マトリックスにおける depletion を評価する方法を示す。
この減少量を以下の３方法によって評価する。ただし IRIM=0 とすればこれらの適用はない。

－130－

JAEA-Data/Code 2010-035(1) Battelle モデル(2.36)(HBS=0, IRIM=1)

Battelle 高燃焼時諸効果研究計画で得られたモデルにおいては、FP ガスをキセノンで代表させ次式で計算する。

Fr

0.00625 Bu

62.2 , Bu62.2 (MWd/kgU)(2.13.2-1)

ただし、 Fr は、リム相で生成された全 FP ガス原子のうち、リム相形成により固相マトリック
スから分離された（ガスポアの形成に与った、あるいはペレット外へ放出された）ガス原子の割合であり、Bu はペレット端部（リム相）における局所燃焼度である。
また、リム相領域の発達を燃焼度の関数として次式で与える。

W

2.19 Bu

48.8(2.13.2-2)

ここで、W はリム相厚み( m)である。さて(2.13.2-2)式から、リム相厚みはペレット端部燃焼度
が 150MWd/kg-U にいたっても高々220 m であり、FEMAXI の温度計算で用いているペレット領
域分割の最外層リングに十分収まる程度であることがわかる。したがって、リム化の影響は最外層リング領域Ｖｒでのみ計算する。
(2.13.2-1)、(2.13.2-2)式から、最外層リングにおいて生成されたキセノンのうち、リム組織化によって固相マトリックスから分離される Xe の割合 Rr を次式で与えることができる。

Rr

Vr Fr

Vr

ro

2

(2.13.2-3)

ro W

2

/

ro

2

ri

2

(2.13.2-4)

ここで、 ri は最外層リングの内側半径、 ro はペレット半径である。
固相マトリックスから分離された FP ガス原子がペレット外へガスとして放出されると仮定す
れば、リム相化による最外層リングでの FP ガスの追加放出は、粒界バブルガス放出モデルとの統一性を維持するために粒界ガスバブルからなされると近似仮定する。すると、粒成長したときの n+1 タイムステップでの FP ガス原子の粒界濃度は、(2.8.12-13)式の代わりに次式を用いる。

N nf 1

an 1 n
Nf
an

1

fg

n
total

n 1
total

V

tdv

4 an2 1

ここで、

－131－

Rrn 1M n 1

Rrn M n(2.13.2-5)

JAEA-Data/Code 2010-035

M n 1 ： 時刻 t n 1 までに半径 an 1 の結晶粒で生成された FP ガス原子数（atoms）
Ｍｎ : 時刻ｔｎ までに半径 an 1 の結晶粒で生成された FP ガス原子数 （atoms）

Rrn 1 ： 時刻 t n 1 でのリム組織化による FP ガス放出率
Rr n : 時刻ｔｎでのリム組織化による FP ガス放出率
である。

(2)

Cunningham モデル(2.42)(HBS=0, IRIM=2)

Cunningham によれば、やはり FP ガス原子をキセノンで代表させ、次式によって固相濃度の減少（分離）量を計算する。このモデルは、あくまで実験データに対する相関式として求めた経験
モデルである。

Rr
ここで、

Fr Pr

(2.13.2-6)

Rr ：リム領域から分離された FP ガス量の、ペレット全体の FP 生成量に対する比、Fr ：（リム相面積／ペレット面積）×（リム相 FP ガス分離量／リム相 FP 生成量）
Pr ：リム領域の平均燃焼度の、ペレット全体の平均燃焼度に対する比（＝1.3）である。また、Fr

7.90 10 3

6.98 10 4 Bu

8.34 10 6 Bu2( Bu >65MWd/kgU)(2.13.2-7)とする。ただし、Bu はペレット端部のリム相領域における局所燃焼度である。こうして、分離減
少が、全体の FP 生成量に対する比として求められる。
なお、(2.13.2-7)式において Fr = 0 の解を求めると、Bu＝13.49, 70.20 となる。したがって、Fr
は、Bu<13.49 の領域と Bu>70.20 の領域で正の値を取る。したがって Bu>65MWd/kgU の領域でFr が正になる範囲は 70.20 MWd/kgU 以上であるので、コード内の扱いとしては(2.13.2-7)式の Buの範囲を Bu>70.2MWd/kgU とした。
FEMAXI コードでは、ペレットの各リング要素での FP ガス放出率を積算してペレット全体のFP ガス放出率を求めているので、(2.13.2-6)式での定式化は FEMAXI コードのこうした方法には馴染まない。そこで、FEMAXI コードでは(2.13.2-6)式の定式化を以下のように変更して扱っている。
(2.13.2-6)式はリム領域から放出された FP ガス量の、ペレット全体の FP 生成量に対する比を与える式であるが、この(2.13.2-6)式からリム領域の FP ガス放出率 Frim を算出することを考える。ここで、FP 生成量は燃焼度に比例すると仮定すると、－132－

JAEA-Data/Code 2010-035

Frim =R r (ペレット面積／リム相面積）×（ペレット平均燃焼度／リム相平均燃焼度）(2.13.2-8)である。

Fraction of rim area

0.05
0.04

Cunningham model

0.03
0.02
0.01
0.00
50

60 70 80 90 100 110 120
Local burnup (GWd/t)

図 2.13.1 Cunningham モデルにおけるペレット局所燃焼度とリム組織の領域割合の変化(3) 修正 Cunningham モデル(HBS=0, IRIM=3)

次に、Cunningham のモデルでは、リム領域の平均燃焼度の、ペレット全体の平均燃焼度に対する比 Pr は(2.13.2-6)式で補正率として扱っているので、この補正の取り扱いをオプションとした。
すなわち、Cunningham のモデルで用いている Pr=1.3 を採用する場合と、FEMAXI コード内で計算された Pr を用いる場合である。
Pr=1.3 を採用する場合（IRIM=2）は、(2.13.2-8)式を用いて Frim を求める。このとき、(2.13.2-8)
式中の（ペレット平均燃焼度）／（リム相平均燃焼度）の値は、FEMAXI で計算されたペレット
平均燃焼度とリム相平均燃焼度の比を用いるので、一般には 1/1.3 とは異なる。
これに対して、コード内で計算された Pr を用いる場合（IRIM=3）は、（2.13.2-6）式中の Prと(2.13.2-8)式中の（ペレット平均燃焼度）／（リム相平均燃焼度）の値は 1 であるとして、Frim

Fr (ペレット面積／リム相面積）(2.13.2-9)として与える。いずれの場合もリム相面積が必要となるが、Cunningham のモデルはリム相の面積（幅）を意識していないので、つじつまが合うように決めてやればよい。そこで、便宜上(2.13.2-2)式で得られたリム相領域の発達モデルからリム相面積を求めることにする。

－133－

JAEA-Data/Code 2010-035

調整パラメータ RFGFAC リム化による FP ガスの追加放出量は RFGFAC により調整できる。標準値は 1.0 である。 F r
Fr R F G F A C
オプション選択 IRIM

リム化による FP ガス追加放出のモデルは、次の 3 オプショ

ンから選択できる。IRIM=0:適用せず、 =1 : Battelle モデル（標準）、=2: Cunninghum モデル、 =3: 修正 Cunninghum モデル。

2.13.3

リム組織の燃料ふるまいへの影響モデル

FEMAXI コードでは、リム組織の生成がペレットに及ぼす影響を系統的にモデル化する。ただしこのモデルは name-list parameter HBS=1, =2 の場合に有効であるが、この場合同時に自動的に
IRIM=0 となり前項の depletion モデルは適用できない。
（HBS=0 の場合は IRIM の指定は有効であるが、本影響モデルの適用は行わない。）

2.13.3-1

リム組織の燃焼度 (HBS=1, 2)

リム組織の生成を考える場合、どの程度の局所燃焼度において生成が始まり、燃焼度の伸長とともに組織の性質がどう変化していくかが現象のモデル化において重要なポイントである。ここでは、リム組織に関する燃焼度について、二通りのオプション、すなわち、局所燃焼度と実効燃焼度を設け、name-list parameter HBS の指定によってリム組織の体積やポロシティなどを計算する。

(1) 局所燃焼度 (HBS=1)
このオプションでは、ペレット半径方向の局所的な燃焼度 Bulocal をそのままリム組織の生成と性質のモデリングに用いる。

(2) 実効燃焼度の概念 (JAEA モデル； HBS=2)
リム組織の生成とその体積の増加は、燃焼度のみならず温度によっても規定される。このため、以下の考察と仮定に基づき、「実効燃焼度」という概念モデルを導入する。
① リム組織は燃焼度が一定レベル以上の部分に発生し、時間とともにその占有割合を増加させていく(2.36) - (2.41)。これは、高燃焼度の部分では結晶格子の欠陥密度と歪みエネルギーが高まり、リム組織への結晶構造変化が促進されるからである。

－134－

JAEA-Data/Code 2010-035② しかし、高燃焼度部分の結晶格子は、一方で熱活性過程により焼鈍され、回復する。温度が上昇すればこの回復速度は顕著になり熱伝導率は回復し (2.42)、リム組織を発生させるために必要な格子欠陥密度や歪みエネルギーは減少するので、リム組織は生じにくくなる(2.43)。
③

このため、モデルにおいては、リム相生成の予測を燃焼度と温度履歴の２条件から規定する必要がある。したがって、燃焼計算の結果である燃焼度の半径方向プロファイルに対して、温度による結晶回復効果を加味した「実効燃焼度」を仮定し、この実効燃焼度がある threshold レベル以上に達した領域においてリム組織が生成、発達すると仮定する。
④

実効燃焼度は、燃焼度の伸長と温度履歴との複合である。
n 1

まず、n タイムステップにおいて、n-1 タイムステップまでの実効燃焼度 Beff は、タイム 実
効燃焼度は、燃焼度の伸長と温度履歴との複合である。まず、n タイムステップにおいて、
n 1

n-1 タイムステップまでの実効燃焼度 Beff は、タイムステップ期間 t における回復によって減少すると考える。すなわち、回復過程は熱活性過程であるから、n タイムステップにおける局所温度 Tn によって
n 1
Beff
exp

k1 (TnT0 )t(2.13.3-1)nに減少する。一方、n タイムステップにおいては燃焼度は B だけ増加するので、結局、あるタ
イムステップ n における燃料ペレットの実効燃焼度はBeffnとなる。ここでBeffn 1 exp

k1 (Tn T0 )t

Bn

(2.13.3-2)

Beffn ：n タイムステップにおける実効燃焼度 (GWd/tU)
Tn ：n タイムステップにおける局所燃料温度 (K)、
ただし TnT0 では Tn

T0 ：基準となる温度
k1 ：定数 1

T0 とする。

TSTD=1000K (default)
KON1= 1.E-8 (default)t ：タイムステップ増分(s)B n ：n タイムステップにおける局所燃焼度の増分
である。
ただし、

内は Name-list input parameter とその Default 値である。(2.13.3-2)式によって算出される実効燃焼度がある threshold レベル以上のペレット領域においてリム組織が生成、増加すると考える。

－135－

JAEA-Data/Code 2010-035

90Burnup (GWd/tU)

80
70
60
50
40
30
20
10
0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Pellet Radius (cm)

図 2.13.2

燃料の複数の軸方向位置における燃焼度と実効燃焼度の半径方向プロファイルの比較

2.13.3-2

リム組織の FP ガスの放出 (HBS=1, 2)(1) リム相からのポアへの FP ガス原子移行率モデル
2.13.2 項においては、FP ガス原子の depletion（ガスポアへの移行）
を Battelle および Cunningham
モデルを用いて表現した（HBS=0）。本モデル(HBS=1, =2)ではそれらのモデルに代わり Lassmannempirical model(2.43) を適用して、リム相において生成した全 FP ガス原子のうち、固相マトリック
スに残る割合を FSOLID とし、固相からガスポア内およびペレット外部の自由空間へ移行する割
合 FPOR を燃焼度 Bu ( Bulocal or Beff )の関数として表す。Lassmann モデルによれば Xe でリム組
織内のガスを代表させており、固相内の Xe 濃度 Xe1 は

Xe1 (wt.%)

FPINF (GEN1 Bu FPINF) exp

GEN2 ( Bu Bu0 )(2.13.3-3)

したがって、固相に残る FP ガス原子の割合 FSOLID はFSOLID

Xe1 / Total Xe generation(wt.%)(2.1.2.3-4)

したがって、固相から出て行く FP ガス原子の割合はFPOR 1.0 FSOLID
1.0となる。ただし、 Bu

Xe1 / Total Xe generation(wt.%)(2.13.3-5)

Bu0 のときは、すべて固相内保持とする。

ここでXe Total generation(wt.%)

GEN1 Bu (GWd/t)－136－(2.13.3-6)

JAEA-Data/Code 2010-035

Default: FPINF=0.25(wt.% ),GEN1=0.0145,

Bu0 =BURIM=60.0,

GEN2=0.1,である。図 2.13.3 に Xe の固相濃度の燃焼度による変化を示す。
また非熱活性放出により固相から外部空間へ（直接）移行したガス原子の割合を ATHMR(default=0.0)とおくと、 0

ATHMR

ただし Xenon における A wt.%
3

FPOR である。
B atoms/cm3 への相互変換は：

B (atoms/cm )=A (wt.%)[pellet density (g/cm 3 )]
131 (g/mol)

0.01(2.1.2.3-7)

23

6.022 10 (atoms/mol)を用いる。
ここで（繰り返しになるが）リム組織の固相に存在するガス原子 GS0 は、生成量 GG から、熱拡散で粒界バブルへ移行した量 GB1、粒内バブルへ移行した量 GB2、リム組織から FPOR の割合で移行した量 GR、の 3 者を引いたもの、すなわち、
GS0 = GG – GB1 – GB2 – GRである。したがって、HBS=1, 2 の場合、以下の処理をすることとする。
① あるリング要素でリム組織がいったん生成した後は、その時点でその要素におけるそれまでの熱拡散計算を凍結する。このとき、固相内のガス原子の量 GS0a、およびガスバブルに蓄積した量
GB1、GB2 はそのときまでの拡散計算の結果を反映している。

② 次に、リム組織生成に伴い、GB1 と GB2 は変化せず、固相内のガス原子の量は GS0a から GRを引いて算出する。

Xe conc. (wt%)

1.5
BURIM=60GWd/t
at 65 GWd/t
at 70 GWd/t
at 75 GWd/t

1.0

0.5
Total generation rate of Xe

0.0

図 2.13.3

0

50
100
150
Local burnup (GWd/t)

200

Lassmann モデルによる固相内 Xe 濃度の変化－137－

JAEA-Data/Code 2010-035(2) リム相からの FP ガス放出率(HBS=1, 2, ROPGR=0,1,2)

リム組織の内部からの FP ガス原子のペレット外への移行は経験式を適用し、リム層からの「追加放出量」を求める。（ただし RMOGR=0 の場合はガスポアからのガス放出は無いものとする）
すなわち、リム相となったリング要素における全生成 FP ガスのうち、固相マトリックスから
ポアおよび自由空間へ移行する FP ガス原子の割合は前記 Lassmann モデルにより FPOR であるが、この(2)項で説明するモデルでは、ポアへ移行したガス原子はすべてポアに集積していると仮定する。また、リム相の全ポアに含まれている FP ガス原子のうちオープンポアの割合 OPR だけが外部へ放出されるとする。すると、リム要素における全生成 FP ガス原子のうちリム相ポアからのFP ガス放出率 FGRIM は、
FGRIM=OPR・FPOR(2.13.3-8)となる。またリム相のマトリックス（ガスポア以外の粒界、粒内ガスバブルを含む）に保持されている FP ガス原子の相対割合は生成量の(1-FPOR)となる。
したがってリング要素の放出率 FGR は、通常の熱拡散モデルによる放出率を FGR0 として、

FGR (Bu)

FGR0

FGRIM

(2.13.3-9)

Bu: 局所燃焼度( Bulocal or Beff ) (GWd/t)となる。オープンポアの割合 OPR は下記の①あるいは②で決定する。

① 放出割合指定オプション (RMOGR=1 )2.13.3.2 (1) 項で説明した ATHMR を用いて
(2.13.3-10)

OPR=ATHMRとする。ただし 0

OPR

ATHMR

FPOR である。すなわち、リム組織が生成した後は常に、リム組織で生成した FP ガス原子のうち(ATHMR x 100)%は外部へ（熱拡散放出に追加して）放出される。

② オープンポア比率指定モデル (RMOGR=2)
リム相ポロシティ prim に対するオープンポアの比率 OPR を prim の関数

OPR

0.03

OPR

0.03 (0.15 0.03)(100 prim

0.23

p rim

(0

－138－

prim
23)

0.23)
(0.23

(2.13.3-11)

prim

0.24)

(2.13.3-12)

JAEA-Data/Code 2010-035

OPR

0.15 (0.45 0.15)(100 prim

24)

(0.24

prim

0.25) (2.13.3-13)とする(2.41)。ただしリム相ポロシティ prim は次項 2.13.3-3 項で決定される。

2.13.3-3 ポロシティ、熱伝導率、スエリング (HBS=1, 2, RMPST=0,1,2)
リム組織における FP ガスポアの生成によるポロシティ変化と、それによるリム組織に部分の熱伝導率およびスエリングへの影響をモデル化する。ポロシティは name-list parameter RMPST により指定する。RMPST=0 の場合、特にリム組織のポロシティ変化を計算せず、prim =0.05 とする。

(1) NFD データ相関経験式

RMPST=1

リム組織のポロシティ prim を以下の経験式により算出する(2.40)。

PROMAX

0.005 ( Bu 40)2

2.5

PROMIN

2

2.5

prim

0.0013 ( Bu 40)(2.13.3-14)

PROMAX (1.0 0.6) 0.6 PROMIN

Bu：燃焼度( Bulocal or Beff ) (GWd/t)
ただし、 prim の最大値を PMX=0.254 とする。（RMPRS=2 と共通）。

Porosity (%)

20
15

Max

10
Min
5
0
20

40

60

80

100

120

Local burnup (GWd/t)140

図 2.13.4 NFD 相関式における Porosity の燃焼度による変化－139－

JAEA-Data/Code 2010-035(2) Billaux モデル

RMPST=2

FP ガスポア量は計算せず、リム相ポロシティ prim を燃焼度に対する経験的な相関式により求める。すなわち、Billaux らの相関式(2.46)を部分的に適用してp

as-fabricated porosity.

(3.1)

prim

AP1 Bu AP2, BP1 Bu

BP2 GWd/tM(2.13.3-15)

prim

PMX

BP2 GWd/tM(2.13.3-16)

Bu

Default: AP1=0.0024, AP2=0.106,
BP1=65. (GWd/t), BP2=150., PMX=0.254
Bu: 局所燃焼度( Bulocal or Beff ) (GWd/t)とする。ただし、 prim は増加していって、ある一時的な最高値 prim , max をとった後、たとえば温度が大きく上昇しても、最高値 prim , max を維持するものとする。

(3) 熱伝導率への影響 (RMPRO=0, 1)
リム組織のポロシティのペレット熱伝導率への影響としては、リム相を含むリング要素の熱伝導率に対して修正を加えて算出する。すなわち、リム組織が生成したリング要素の熱伝導率をrim とすると

Ikatsu(2.47), Bekker(2.48)らの式
Billaux らの式

rim

rim

Bx

Bx

(1 prim )1.6

1 prim
0.95(2.13.3-17)

2.5(2.13.3-18)のいずれかを入力で選択する。ただし prim は (2.13.3-13)~(2.13.3-15)式で定義した、リング要素のポロシティである。
RMPRO=0; Ikatsu model (Default),
ここで=1; Billaux model

Bx は、rim 相の生成により、燃料マトリックスの歪みが消滅し、FP ガス原子の濃度が減少してマトリックスの熱伝導率が上昇するので、マトリックスの（実効的な）燃焼度が減少した（燃焼度の伸長による熱伝導率低下の効果が減少した）と等価と考えた場合の、マトリックスの等価な燃焼度 Bx における熱伝導率である。すなわち、
Bx(T , Bx,......)

Bx ：等価燃焼度、 BXEQ=40 (GWd/tU) (Default)－140－(2.13.3-19)

JAEA-Data/Code 2010-035

T : 局所温度(K)である。また RMPRO は RMPST の指定とは独立である。

(4) スエリング
RIMSWL=1 のとき、IFSWEL の値には無関係に、リム組織に変化したリング要素の体積スエリ
ングを [ポロシティ＋固体スエリング率] に等しくおく。(RIMSWL の default=0)2.14

パラメータによる計算モデルの選択

FEMAXI コードでは熱的解析において複数の入力パラメータ(Name-list input parameter)の組み合わせで解析条件やオプションを決める。このため、パラメータの相互関係を以下に整理して説明する。なお、Name-list parameter によるオプションの指定は、解析方式

Geometry 熱的・機械的性質モデル の順に指定することを原則とする。また、以下の説明は IFEMOP=2（熱解析－力学解析の完全連成）を前提とする。IFEMOP

2 の場合は、以下に示すオプションの選択は一部不可能となることがある。

2.14.1

ペレット径方向リング要素数

ペレット径方向要素数は燃焼計算コードの選択（半径方向発熱密度モデル）および HBS モデ
ルと結びついている。2.3.1 項で示した表 2.3.1 を再記する。
表 2.3.1
熱解析と力学解析におけるぺレット内径方向リング要素分割数
Parameter 値
1 次元熱解析1 次元力学解析
2 次元局所力学解析
MESH=0
等間隔 10 リング要素
等間隔 10 リング要素
等間隔 5 リング要素
MESH=1
等体積 36 リング要素
等体積 18 リング要素
等体積 9 リング要素
MESH=2等体積 72 リング要素
等体積 18 リング要素
等体積 9 リング要素
MESH=3
等体積 36 リング要素
等体積 36 リング要素
等体積 18 リング要素
MESH=4
等体積 72 リング要素
等体積 36 リング要素
等体積 18 リング要素
ただし、HBS（高燃焼度組織モデルオプション）を指定した場合は、MESH>0 としなければならない（MESH=0 を指定しても、自動的に MESH=3 として計算する）。
なお、ISHAPE=1 を選択した場合には、MESH>0 における要素数は 2 倍となり、より細かな計算が可能となる。また RANNS において IREST>0 として FEMAXI の計算結果を初期条件として用いる場合は、MESH の値は FEMAXI で指定した値が自動的に引き継がれる。

－141－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.14.2

ペレット熱伝導率計算

ペレット熱伝導率はポロシティにも影響される。以下では、計算されたポロシティとの関連を説明する。

(1) リム組織の影響としてリム組織からの FP ガス放出のみを考える場合 (HBS=0)（通常のモデル通り）IFEMOP と MESH の値にかかわらず、

λペレット熱伝導率：とする。ここで、F ( p)F ( p ) λ100% TD ( T , Bu,......)(2.14.2-1): ポロシティファクター

であり、この関数と λ100% TD ( T , Bu ,......) は第４章に記載する。
変数＝ポロシティ p を Name-list パラメータ IPRO の値にしたがって以下のように計算する。
IPRO=0 (Default)
1) IPRO=0pp02) IPRO=1

p

p0

Vswg
V0

3) IPRO=2

p

p0

Vdens
V0

Vhot
V0

4) IPRO=3

p

p0

Vswg
V0

Vdens
V0

ここで、

(2.14.2-2)(2.14.2-3)

Vswg

p0 ：初期ポロシティ、

V0

Vdens
：焼きしまり、V0
ただし、IFSWEL の選択によって、(2)（2.3.4 節参照）

(2.14.2-4)

Vhot
V0

(2.14.2-5)：FP ガスバブルスエリング、Vhot ：ホットプレス
V0

Vswgの内容が決定される。
V0

生成したリム組織の熱的影響（ポロシティ変化）を考える場合 (HBS=1, 2)

リム組織のあるペレットリング要素の熱伝導率は、2.12.3.3 項の(2.12.3-16)、(2.12.3-17)式を再記してIkatsu, Bekker らの式
Billaux らの式

rim

Bx

rim

(1 prim )1.6

Bx

1 prim0.95とする。（2.12.3-3 項のリム組織モデルの説明参照）
リム組織が無いペレット要素の熱伝導率については、(2.14.2-1)式を適用する。

－142－(2.14.2-6)

2.5(2.14.2-7)

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 密度低下効果
IFEMOP, MESH, HBS, IPRO の値にかかわらず、IFSWEL=0 or 1 の場合(Chubb & Zimmermann +FEMAXI-III model＝FEMAXI model) は、(2.14.2-1)式にスエリングの影響係数をかけることができる。すなわち、固体スエリングを

Vsws、固体スエリングによる密度低下のファクターを f D と
V0

して、

*

fD

f D F ( p)

( T , Bu,......)

100% TD

(2.14.2-8)とする。ただし Name-list parameter FDENSF を用いて、FDENSF=0（Default）の場合、 f D=1 の場合

fD

1.0

1.0 ,

Vsws
V0

(2.14.2-9)とする。これは、リム組織が生成したリング要素には適用しない。

2.14.3

スエリングモデルの内容と選択(1) 定義と内容①

粒内ガスバブルによるスエリングを Sintra とする。

②

粒界ガスバブルによるスエリングを Sinter とする。

③

ガスバブルスエリング全体を Ssg④

固体 FP スエリングを Ssolid⑤リム相生成によるポロシティ増加によるスエリングを S rim とする。

SintraSinterとする。

S ss とする。

これらが入力パラメータによって指定されるモデルにより定義され、以下のように組み合わされて算出される。

(2) スエリングモデルのオプション指定：① IFSWEL=0; Ssg = Chubb & Zimmermann model(2.49) + FEMAXI-III(1.2)のモデル、すなわちS solid
とする。

V
V

ss

0.0025 SWSLD per 1020 fissions/cm3
SWSLD=1.0 (Default)－143－(2.14.2-10)

JAEA-Data/Code 2010-035② IFSWEL=1; FEAMXI model
1) FP ガスバブルから Ssg
2) S solid

VV

SintraSinter を計算する。

ss

0.0025 SWSLD per 1020 fissions/cm3(2.14.2-11)

SWSLD=1.0 (Default)とする。

③ IFSWEL=2; MATPRO-9、④ IFSWEL=3; Kosaka model(2.50)、⑤ IFSWEL=4; Studzvik(2.51)、⑥ IFSWEL=5; Hollowell model(2.52)、（以上の各モデルについては第 4 章参照）
⑦ DENSWEL=1; Swelling と Densification の各モデルが融合されて、ペレット体積変化が算出される。

(3) FGR モデルとの関係
IFSWEL=0, 2, 3, 4, 5 の場合、swelling は FP ガスバブルの成長計算とは無関係に決まる。
IGASP=0, 1 + IFSWEL=1 の場合、平衡論的バブル成長モデルによる swelling。
IGASP=2+ IFSWEL=1 の場合、速度論的バブル成長モデルによる swelling。

2.14.4 FGR モデルの選択
平衡論: IGASP=0, 1 か、 速度論：IGASP=2 のいずれかを選択する。

(1)

IGASP=0（平衡論）の場合

結晶粒内 FP ガス原子の粒内バブル半径と数密度モデルの選択
A) White+Tucker model 厳密解方式の平衡論モデル

GBFIS=0 とする。

B) 照射再溶解モデル(fission 片による気泡破壊、vacancy model を含む)

(2)

GBFIS=1 とする。

IGASP=1（平衡論）の場合、および IGASP=2（速度論）の場合
固体内 FP ガス原子の粒内バブル半径と数密度モデルは Lösönen モデル（半径と数密度を計算）のみ実行される。他モデルの選択指定はできない。

(3) FP ガス原子の拡散定数 (IDCNST=0,1,2,3,4,5,6,…..,)IDCNST による拡散定数モデルは IGASP などの指定とは無関係に指定できる。

－144－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.14.5 バブル成長とスエリング
IFSWEL=0, 2, 3, 4, 5 ではバブルスエリングを計算しない。IFSWEL=1 ではバブルスエリングを計算する。DENSWL=1 と指定すると、DENSF と IFSWEL の指定に従って焼きしまり効果とス
エリング効果をスムーズに融合したペレット体積変化を計算する。

(1) 粒界バブルスエリングと粒内バブルスエリング①IGASP=0, 1 では、IFSWEL=1 で計算可能。 粒界・粒内バブルに対して、どのようなモデルでその半径や数密度を計算してスエリングを算出するかは、粒合体成長モデルに依存する。

②IGASP=2 では、IFSWEL=1 でバブルスエリングを計算可能である。すなわち、粒界・粒内バブ
ルのサイズと数密度からスエリング量を算出する（IGASP=0,1 と同じ）
。ただし、閉塞・合体は、モデルと制御パラメータは前述したように暫定的であり、未検証である。

(2) ポロシティ(密度)：ポロシティ(密度)は、IPRO, IDENSWEL で制御する。計算上、ペレット熱伝導率に影響を与えることができる。

(3) IGASP=0, 1 におけるバブルの合体・粗大化
IFSWEL=1 においては、①～④で計算されたバブル体積によるスエリングが計算される。

(4) IGASP=2 におけるバブルの合体・粗大化、再閉塞と成長・再放出
暫定的なモデルを入れてある。IFSWEL=1 においては、暫定モデルで計算されたバブル体積によるスエリングが計算される。

表 2.14.1

A

IGASP=0IFSWEL=0, 2,
3, 4, 5B

IGASP=0IFSWEL=0-5

C

IGASP=1IFSWEL=0-5

D

IGASP=2,IFSWEL=0-5

FP ガス放出モデルとスエリングモデルの組み合わせの一覧
成 長 は 状 態 方 程 式 に よ る 平 衡 論 。 平衡論・状態方程式により粒内
バブル半径を厳密に計算。
(White-Speight-Tucker model)
バブル swelling は考えない。
Swelling は考えない。
平衡論・状態方程式により粒内
バブル半径を厳密に計算。
成長は状態方程式による平衡論。
Swelling への寄与を計算。
IFSWEL および parameter により、swelling
粒内バブル成長は Lösönen モへの寄与を計算可能。
デ ル 。 IFSWEL 指 定 に よ り
Swelling への寄与を考慮可能。
Kogai 速度論モデルに基づく。IFSWEL およ
粒内バブル成長は Lösönen モ
び他の parameter により、swelling への寄
デ ル 。 IFSWEL 指 定 に よ り
与、合体・粗大化を計算可能。ただしそのSwelling への寄与を考慮可能。
論理は IGASP=0,1 とは異なる。

－145－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.14.6 リム組織モデルと他のモデルオプションとの関係(1) HBS の指定
HBS=0：HBS=0 の場合、IGASP の値にかかわらず IRIM、RFGFAC によってリム組織からの追加 FP ガス放出率を指定できる。
HBS=1, 2：リム組織の燃焼度を設定する。IRIM、RFGFAC の指定は無効であるが、IGASP の値にかかわらず「リム組織モデル」を使用できる。
ただし、HBS=0, 1, 2 のいずれも MESH=2, 3, 4 の指定が必要である。

－146－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.15 ギャップ内ガスの拡散・流動モデル
ギャップ内ガスの拡散と流動に関する計算方法を説明する。

Time

Step

Start

タイムステップ間における各セグメントの FP ガス放出
FP ガス放出後の各セグメントのガス総量及び組成の計算
燃料棒全空間での平衡圧力の計算

圧力勾配による軸方向ガス移動量の計算（下部セグメントより圧力調整を行う）
圧力調整後の各セグメントのガス総量及び組成の計算
各セグメントのギャップ部におけるガス濃度の計算

濃度勾配による隣接（上下）セグメント間のガス拡散量
ガス相互拡散係数の計算

拡散後の各セグメントのガス濃度及び組成の計算

拡散後の各セグメントのギャップ部におけるガス濃度の計算

軸方向全セグメントについて計算が終了？

図 2.15.1

ギャップ内ガスの拡散・流動計算の過程－147－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.15.1 拡散計算の仮定と方法
以下のような仮定および方法にもとづいてギャップ内のガスの拡散（流動）の計算を行う。ただしこれは IST=1 の場合のみであり、IST=0 (default)の場合は瞬時完全混合を仮定する。
①

ヘリウムと異種のガス、すなわちキセノン、クリプトン、窒素（またはアルゴン）はそれ
ぞれ瞬時に完全混合するものと仮定する。窒素（またはアルゴン）の拡散はヘリウムの拡散で代表させ、クリプトンの拡散はキセノンの拡散で代表させ、ヘリウムとキセノンのみの 2 成分系混合ガスの成分濃度差による相互拡散について計算を行う。

②

ヘリウムとキセノンはペレット－被覆管のギャップ部を通って相互拡散するものとする。

③

相互拡散の計算は Fick の第 1 法則により陰解法的に行い、燃料棒内圧力差によるガス流動とは独立とする。

④

拡散の計算が行われている間、燃料棒内圧は一様であるとする。

⑤

燃料棒内圧力差による軸方向セグメント間のガス流動は各タイムステップにおいて瞬時に生じて、燃料棒内の圧力平衡は瞬時に達成せられると仮定する。

(1) 計算方法
最初に、記号の一覧を示す。
N：ガスモル数(mole)

n：モル密度mole / m 3
m2 / sD12 ：相互拡散定数
T：温度

(K)

V：体積

m3

C：モル分率添え字としてC1

n1 / n1i：ガスの種類

D12

D 21

n2

（1＝キセノン、2＝ヘリウム）jj：軸セグメント

PL ,1,2,3,, N , PU

（ PL ：下部プレナム、 PU ：上部プレナム）
特にモル密度については、添え字を、

ni , j ：セグメント j におけるガス i の密度
n j ：セグメント j における全ガスの密度のように用いるものとする。

－148－

JAEA-Data/Code 2010-035

仮定から体系は次の図 2.15.2 のようにモデル化することができる。

ｾｸﾞﾒﾝﾄjｾｸﾞﾒﾝﾄj+1

Tj

Tj+1

ﾌﾟﾚﾅﾑ

Tp

2lj+1

2lj
図 2.15.2

ガス拡散・流動モデル

セグメント j においてガス i の総量はN i, jni , j V jVjPCi , jTj
R

Ci , j n j V j(2.15.1)

である。
ここで各セグメントは流路断面積 S j をもち、各セグメントの長さを 2l j とし、またセグメントj と j+1 の境界位置を * で表すとする。
単位時間にセグメント j から * を越えて j+1 に流入するガス 1(Xe)の量 G1 j

j 1 を求める。 単位時間にセグメント j から * を越えて流出するガス 1(Xe)の量は、 Fick の法則により、

G1 j

S j D12j

*

n1, j

n1,*

(2.15.2)ljと書ける。同様に、単位時間に * を越えて j+1 に流入するガス 1(Xe)の量は、

G1 *

j 1

S j 1 D12j 1

n1*

n1, j 1lj 1

(2.15.3)と書ける。連続性の条件により

G1 j

*

n1, j

n1,*

G1 *

j 1

が成り立つことから

S j D12jlj

S j 1 D12j 1を得る。これを n1,* について解けば

－149－

n1*

n1, j 1lj 1

(2.15.4)

JAEA-Data/Code 2010-035

S j D12j l j 1 n1, j

n1,*

S j 1 D12j 1 l j n1, j 1

S j 1 D12j 1 l j(2.15.5)

S j D12j l j 1となる。(2.15.2)式を用いることにより

G1 j

j 1

G1 j

*

S j D12j S j 1 D12j 1
Sj 1 Dを得る。ここで

12
j 1

lj

12
j j 1

S jD ln1, j(2.15.6)

n1, j 1

12
S j D12j S j 1 Dj 1

Fj , j 1

S j 1 D12
j 1 lj(2.15.7)

S j D12j lj 1

として

G1 j

j 1

Fj , j 1 n1, j

n1, j 1

Fj , j 1 n2, j

n2, j 1(2.15.8)の様に書く。
一方、ガス 2（He）についても同様に

G2 j

j 1

(2.15.9)を得る。
(2.15.8)式と(2.15.9)式を加えることにより混合ガス全体の流入量を得ることができる。

G j

j 1

Fj , j 1 n j

nj 1(2.15.10)

n2 , j 1(2.15.11)

ここで、

nj

n1, j

n2 , j , n j 1

n1, j 1である。
一般にセグメント j と j+1 のギャップ部の温度が異なることから、平衡状態においてもnj ≠ nj 1
しかるに(2.15.10)式によれば、セグメント j と j+1 が平衡していても、 数値計算上セグメント j
から j+1 に向かう正味の流れが生じてしまうことになる。これは温度勾配を持つ場に Fick の第 1法則（濃度勾配による拡散）のみを適用した結果である。この数値計算上の流れを打消すためには(2.15.9)式及び(2.15.10)式にそれぞれ温度差の効果を表わす第 2 項を加える必要がある。
(2.15.10)式に加えるべき第 2 項は、－150－

JAEA-Data/Code 2010-035

G j

j 1

Fj , j 1 n j

nj 1

nj

nj 1

(2.15.12)

であり、 n j , n j 1 は理想気体の法則からそれぞれ

P 1, nj 1
R Tj

nj

P 1
R Tj 1(2.15.13)で与えられる。
各成分についての流量、(2.15.8)式及び(2.15.9)式はそれぞれ

G1 j

j 1

F j , j 1 n1, j

n1, j 1

n1, j

n1, j 1(2.15.14)

G2 j

j 1

F j , j 1 n2 , j

n2 , j 1

n2 , jn2 j 1(2.15.15)

n1, j

P C1
R Tj

となる。ここで、

C1

N1, j

N1, j 1

n1, j Vj

Vj

Vj 1

Vj

P C2
R Tj

n2, j

C2

C1

P C1
R Tj 1, n1, j 1

N 2, j 1

Vj

Vj 1

C2

n1, j 1V j 1
Vj 1
P C2
R Tj 1, n2, j 1

N 2, j(2.15.16)

n2 , j V j(2.15.18)

n2 , j 1 V j 1

Vj(2.15.17)

Vj 1

1(2.15.19)(2.15.20)

である。

(2) He－Xe相互拡散モデルの陰解法化
境界面Ｒ（セグメント j-1 と j の境界面）を通してセグメント j に拡散するガス１（Xe）の流束

J1, R は、
J1, R

F j 1, j n1, j 1

n1, j

n1, j 1n1, j

(2.15.21)

境界面Ｓ（セグメント j と j+1 の境界面）を通してセグメント j+1 に拡散するガス１（Xe）の流束 J1, S は、

－151－

JAEA-Data/Code 2010-035

J1, S

Fj 1, j n1, j

n1, j 1

n1, j

n1, j 1(2.15.22)

である。すると、セグメント j 内のキセノンガスの量の変化は

n1, j

Vj

J1, R

t

J1,S

(2.15.23)となる。
(2.15.23)式を(2.15.21)および(2.15.22)式を用いて陰解法を用いて差分化すると次式を得る。ただし、タイムステップ変数として k を用いる。

n1k, j 1

n1k, j1
F j 11, j n1, 2j 1
1
Vjt

F j 11, j n1, 2j

n1, 2jn1, 1j 1

n1, 2j 1

n1, 1jn1, 1j(2.15.24)

n1, 1j 1

ここで、

である。

1=

温度、容積、圧力、平衡モル比に関する補間2=

モル濃度に関する補間

1 は軸方向収束ループ内での補間パラメータであり、2 は相互拡散計算での補間パラメータである。 1 は軸方向収束ループ内では変化するが、相互拡散計算では変化しないので定数として扱う。

1、調整パラメータ THG1,THG2

2 はそれぞれ THG1,THG2 で指定できる。Default=1.0

したがって、(2.15.24)式について

n1, 2j1

2

n1k, jk 1
2 1, j2

F j , 1j 1

F j 11, jn(2.15.25)の関係を入れて整理すると、

n1k, j 1

n1k, j2

F j 11, j

Vj 1

t
2

F j 11, jVj1n1, 1j 1

k 1
1, j 1nVj 1

n1k, j 11

1
F j 11, j 1
Vj 1

n1, 1jF j , 1j 1 1

2

n1k, j 1

n1k, jn1k, j 1

C j n1k, j11

Dj2

n1k, j 1
n1k, jn1, 1j(2.15.26)

n1, 1j 1となる。(2.15.26)式を整理して

A j n1k, j11

B j n1k, j1－152－(2.15.27)

JAEA-Data/Code 2010-035の形に書く。ここで、Fj 11,i

2

Aj

Bj

1

1
F j , 1j 1 1
Vj 11
F j , 1j 1 1
1
Vj2

Fj , 1j 1

t

Vj 1
2

Fj , 1j 1(2.15.29)

tVj 1
t n1k, j 1

2(2.15.28)

Fj 11,i

2

Cj

Dj

t

Vj 1

(2.15.30)

1
F j , 1j 1
Vj 1

1

F j , 1j 1 1

2

t n1k, j

1
1, j 1

1
j, j 1

1
1, j 1(2.15.31)

1
F j , 1j 1 n1, 1j
1Vjk
1, j 1

tn

n

F

n

1
1, j

n

t

である。
上下部セグメント(プレナムも含めて)について考える。
第 1 セグメントでは境界面Ｒはないため

n1,1
t

V1

J1,S

(2.15.32)

F1, 2 n1,1

n1, 2

n1,1

n1, 2

である。したがって

n1k,1 1

n1k,1

2

F1, 21

k 1
1,1

n

V1 1

t

1

1
2 F1, 2

V1

1

2

F1,21

V1 1

k 1
1, 2

n

F1, 21n1k, 2

V1

1

n1,11

1

F1, 21

2

V1 1

n1k,1
(2.15.33)

n1, 21となる。この式を

B1
D1

1
1

1
2 1, 2
1
1

F
Vt , C1

1

1
2 F1, 2

V1 1

F1, 21t
V1 1
2

t n1k,1

1

1
2 F1, 2

V1 1

tn1k, 2

F1, 21V1 1(2.15.34)

n1,11

n1, 21t

とおいて整理すれば、B1 n1k,1 1

C n1k,21

－153－

D1

(2.15.35)

JAEA-Data/Code 2010-035と書ける。
同様に最上部の第 n セグメントでは境界面 S はないので、

n1, n
t

Vn

J 1, R(2.15.36)

Fn 1, n n1, n 1n1, nn1, n 1n1, nである。したがって、

Fn 11,nt , Bn
Vn 1

2

An
Dn

1

2

Fn 11,nVn 1

1
k1, n 1tn

Fn 11,n
t
Vn 1

2

1

1

2

Fn 11,nVn 1

Fn 11,nn1,n1 1Vn 1

k1,n ,nt n(2.15.37)
1
1, n

n

t

とおくと、

An n1k,n 1 1

Bn n1k,n 1

Dn(2.15.38)が成り立つ。
以上をまとめると、ガス 1 の拡散について次のような方程式を得る。

n1k,1 1

B1 C1

k 1
1, 2

n

A2 B2 C2

k 1
1, 3

n

A3 B3 C3

D1
D2
D3
(2.15.39)

An 2 Bn 2 Cn 2
An 1 Bn 1 Cn 1
An Bn

n1k,n1 2

Dn 2

n1k,n1 1

Dn 1

n1k,n1Dn(2.15.39)式を解くことにより、各セグメントのガス濃度が求められる。

(3) 相互拡散定数
ガスの相互拡散定数は、Present の式を用いる(2.53)。すなわち、
1

D12

3 kT 2 1
8 2 m * n d122

－154－

(2.15.40)

JAEA-Data/Code 2010-035である。ここでm*

m1 m 2m1 m 2

d12

1
2

d1

（m：１分子の重量）

d 2 （ｄ：分子の直径）n=n1+n2（分子密度）k ： ボルツマン定数

T ： 温度（K）である。

(4) 圧力調整の計算
各タイムステップの終りにおいて、各セグメントにおける全ガスモル数（全種類の合計）を Nj
とすると、

Nj

N ij （i はガスの種類）(2.15.41)

Nj(2.15.42)iと書ける。さらに燃料棒内全空間について

N
i

と書ける。
理想気体の法則より

P

N R
j

1
V
T

(2.15.43)jが成り立つことから、圧力調整後のセグメント j における全モル数を N j とすると

Nj

P V
R T

(2.15.44)
jを得る。
Nj と Nj’ の相違に対しては、ペレットスタックの下部から順に隣接セグメント間の収支により調整していく（図 2.15.3 参照）。

すなわち、

Ni→j：i から j への混合ガスの移動モル数
fij：移動前のセグメント j における i の割合とすると、移動後のセグメント j におけるガス i のモル数は－155－

JAEA-Data/Code 2010-035

N ij

f ij N j

Nj kkf il N l(2.15.45)

j

l

である。

上部
ﾌﾟ ﾚﾅﾑｾｸﾞ ﾒﾝﾄ5
ｾｸﾞ ﾒﾝﾄ
4

Xe 注入
相互拡散

ｾｸﾞ ﾒﾝﾄ3

圧力調整

ｾｸﾞ ﾒﾝﾄ2
ｾｸﾞ ﾒﾝﾄ1
下部
ﾌﾟ ﾚﾅﾑ

He

Xe

He Xe

He Xe

前ｽﾃｯﾌﾟ

現ｽﾃｯﾌﾟ

圧力調整後

図2.15.3

モデルパラメータ IST

圧力調整の計算（縦軸・モル数）

上記のギャップ内ガス流動・拡散モデルを使用する場合には

IST=1 を指定する。IST の標準値は IST=0 であり、この場合は瞬時完全混合モデルである。

2.15.2 燃料棒内空間体積の求め方
FEMAXI コードでは、燃料棒内空隙体積を A) プレナム体積、B) ペレット－被覆管ギャップ体
積、C) ペレット中心孔体積、D) スタック内部の自由ガス体積の 4 つの部分に分ける。これは、圧力計算をする場合、各体積毎に参照温度が違うためである。スタック内の自由ガス体積は、ディッシュ部体積、チャンファ体積、ペレット端面間ギャップ体積、およびクラック空隙空間から成る。この A)~D)の部分のうち、全長力学計算では A)、B)、C)の部分が計算結果を反映した変化をするが、D) スタック内の自由ガス体積の変化は、ディッシュ部体積、チャンファ体積、ペレ－156－

JAEA-Data/Code 2010-035

ット端面間ギャップ体積の変化については考慮されず、クラック空隙空間については name-list
parameter IRELCV (default=0)のオプションにより異なる。ただし局所力学計算は、燃料棒内空間の計算を行わず、全長力学計算の結果として決定された自由ガス体積空間と燃料棒内圧を境界条件とした計算を行う。プロット出力 IDNO=4（「プレナム体積」）では、以上の部分を含めた全燃料棒内空隙体積を出力する。

(1) 中心孔体積j

中心孔体積は、ペレット初期内半径を rpi 、軸方向セグメント j の軸方向長を l Z とすると、rpi2 l Zj

Vhj(2.15.46)

で与えられる。ここで 1 ペレット長を l p 、ペレット 1 個当たりのペレット端面間ギャップ体積を

V p 、クラック空隙空間体積を Vcrack とすると、
Vp

rpo2 l / 2(2.15.47)

Vcrack2 rpourel l p(2.15.48)

rpo ：ペレット外半径

ただし

l ：ペレット端面間のすきま
u rel ：ペレットの半径方向リロケーションによる変位である。ただし、 l （ペレット端面間のすきま）は右図 2.15.4 のように

Δl

定義する。
さらにペレット 1 個当たりのディッシュ体積を Vdish 、チャンファ部体
積を Vcham とすれば、軸方向セグメント j におけるスタック内の自由ガスj

体積 Vint は、

Vintj

Vdish

Vcham

rpo2 l / 2 2 rpo u rel l p

l Zj
lp

(2.15.49)

pelletCladding
図 2.15.4として与えられる。

(2) プレナム体積とペレット－被覆管ギャップ体積
プレナム体積とギャップ体積については照射中での体積変化を考慮する。プレナム体積変化は、
スタック部分における軸方向セグメント長の変化を考慮して、次のようにして求める。

－157－

JAEA-Data/Code 2010-035

軸方向セグメント j でのペレットの体積平均熱膨張ひずみを体スウェリングひずみ~jjth 、やきしまりひずみをjden 、固jss をとすると、これらのひずみによる変化を考慮したときのセグメント

長さ lZ , p は、

~jlZ , p

j
th

1

j
den

j
ss

lZj

(2.15.50)
j

であたえられる。ただし、熱・力学モデルを連成した場合（IFEMOP>0）には、 lZ , p は力学モデ
ルの変形解から与えられる。
jc ,th 、照射成長によるひずみをまた、被覆管では熱ひずみをj
c ,irr とすると、これらのひず~j

みによる変化を考慮した時のセグメント長さ lZ ,C は、

~j
lZ ,C

j
c ,th

1

j
c ,irrl Zj(2.15.51)
jである。同様に、熱・力学モデルを連成した場合（IFEMOP>0）には、 lZ ,C は力学モデルの変形解から与えられる。
また、プレナム長 lZ , pl に対しても、

lZ , pl

pl
c ,th

1

pl
c ,irrlZ , pl

(2.15.52)

である。同様に、熱・力学モデルを連成した場合（IFEMOP>0）には、 lZ , pl は力学モデルの変形解から与えられる。（詳細は、3.2 節の燃料棒全長での力学的ふるまいの項を参照）
プレナムの体積変化 V pl は、

rci2

V pl

NAXI

~j
lZ ,c

~j
lZ , p~lZ , pll Z , pl(2.15.53)

j 1となる。ここで NAXI は軸方向セグメント数、 rci は被覆管内半径である。
したがって、プレナム体積は初期のプレナム体積を V pl とすると、

~
V pl

V pl

V pl

(2.15.54)

で与えられる。
一方、スタック部の軸方向セグメント j におけるギャップ体積については、(2.6.46)式で求めた
燃料と被覆管のギャップ幅 を用いて、（ただし、 <0 のときは =0 とする）~
V gap , j

2 rci

~j
lZ , pとして与える。

－158－(2.15.55)

JAEA-Data/Code 2010-035(3) ディッシュ、チャンファー、ペレット端面間ギャップ体積a

チャンファー空間の体積(図 2.15.5)：
Vchamfer

ab

Dp
2

a
3

b

(2.15.56)

ディッシュ空間の体積(図 2.15.6)：
Vdish

d 2
( d 3r 2 )6(2.15.57)

Dp
図 2.15.5

チャンファー空間の体積

ペレット端面の傾きによるギャップ空間体積 (図 2.15.7)：

Vtilting

1
8

Dp tan( Dp 2

Din2 )(2.15.58)

ここで、Vtilting では tanθ＝0.002 とする。

r
d
Din

Center holeDp
図 2.15.6

Dp
図 2.15.7

ディッシュ空間の体積

ペレット端面の傾きによる空間体積－159－

JAEA-Data/Code 2010-035(4) ペレット内クラック空隙空間
クラック空隙空間は、IRELCV=0 のときは体積変化を考慮しない。IRELCV=1 のときは、ペレット内のリロケーション歪変化に基づいてクラック空隙空間の増減を考慮する。
すなわち、
A=（リロケーション歪みによるギャップ体積の変化）
B=（リロケーションによって生じたペレット内クラック空隙空間）

として、リロケーション歪みの変化にもかかわらず

A+B

が一定値を保つようにするために『ペレット内クラック空隙空間』の概念を導入した。しかし、IRELCV=0 を使った場合、リロケーション歪みが変化すると A+B

が一定値を保たないことになる。すなわち、内圧計算のためには、IRELCV=1 としなければならない。
IRELCV=1 としてリロケーション歪変化に基づいてクラック空隙空間の増減を考慮する場合、被覆管がクリープダウンしてギャップが閉塞し、ペレットのリロケーションも押し戻されペレッ
トに圧縮応力が発生すると、ペレット内空隙空間はゼロ値に近づいていく。これは、ペレットヤ
ング率モデルと連動している。リロケーション体積については、ペレット剛性変化モデルが適用される。詳細は 3.2.3 項に述べられる。

2.15.3 内部ガス圧力
燃料棒の内部ガスは理想気体としてふるまい、圧力は燃料棒内で一様であると仮定する。このとき、ガス圧力は次式で計算される。

Pgas

V pl

M

Tpl

j 1

nT R
j
V gap
Vh j
j
Tgap

Tpij

Vintj
Tavj

ここで、
Pgas：燃料棒内ガス圧 (Pa)nT：全ガスモル数（モル）R：ガス定数、8.314 Joule/K・mole
Vpl：プレナム容積(m3)Tpl：プレナムガス温度(K)
Tw：冷却水温度(K)j
V gap：軸方向セグメント j のギャップ容積(m3)Vh j ：軸方向セグメント j の中心孔容積(m3)Vintj ：スタック内部の開気ガス容積(m3)－160－(2.15.56)

JAEA-Data/Code 2010-035

j
j
Tgap
：軸方向セグメント j のギャップ温度(K) = 0.5(TpsTcij )

Tpij ：軸方向セグメント j の中心温度(K)Tavj ：軸方向セグメント j のペレット体積平均温度(K)である。なお、下部にもプレナムが存在する場合には、(2.15.56)式は下式で与えられる。

Pgas

nT R
V pl , L

V pl ,UM

jVgap

Tpl . L

Tpl .U

j 1

j
Tgap

Vhj
Tpij

Vintj
Tavj

(2.15.57)

ここで、
Vpl,L：下部プレナム容積(m3)Tpl.L：下部プレナムガス温度(K)
Vpl,U：上部プレナム容積(m3)Tpl.U：上部プレナムガス温度(K)である。
なお、燃料棒内のガス圧力の計算に用いる温度は、・プレナム部ガス温度はプレナム部の対応位置での冷却材温度＋DTPL （下記(8)参照）、・ギャップガス温度はギャップ部温度（（ペレット表面温度＋被覆管表面温度）／２）、・ペレット中心孔ガス温度はペレット中心温度、・スタック内の自由ガス温度はペレット体積平均温度をそれぞれ用いる。

2.15.4 プレナムのガス温度と被覆管温度
下部プレナムガス温度は［冷却材入口温度＋DTPL］として、上部プレナムガス温度は［冷却材出口温度＋DTPL］として与えられる。ただし DTPL の値は入力で指定可能である。
ただし、力学計算上、上部プレナムがなくて下部プレナムのみあるような燃料棒体系は計算できない。
また、上部プレナム部被覆管の温度は、計算された冷却材出口温度に等しくおかれ、下部プレナム部被覆管の温度は冷却材入口温度に等しくおかれる。これらは被覆管外表面温度を入力で指定するか算出するかにはかかわらない。ここで、上部プレナム部の冷却材温度＝出口温度は、上部プレナム部の直下のセグメントにおける燃料棒伝熱計算によって決定される。
た だ し 上 部 プ レ ナ ム ガ ス 温 度 を ［ 冷 却材入口温度＋DTPL］としても扱えるオプション－161－

JAEA-Data/Code 2010-035（ITPLEN=1）が用意されている。このとき、上下部プレナム部被覆管温度は冷却材入口温度で与える。下部プレナムが存在した場合は、(2.15.57)式において、 Tpl , L

Tpl ,U ＝［冷却材入口温度＋DTPL］として扱う。

調整パラメータ DTPL
プレナムガス温度 Tpl は、冷却材温度（下部プレナム
は入口温度、上部プレナムは出口温度）Tcool を用いて、 Tpl Tcoo l DTPL で与えられる。DTPL の標準値は 25K である。
なお、プレナムガス温度は常に冷却材温度＋DTPL となるので、照射後の Cold 状態
での冷却材温度条件でも DTPL（℃）加算された値で、プレナムガス圧力が計算されるので注意が必要である。

オプションパラメータ ITPLEN

ITPLEN=1 とした場合には、上部プレナムガス温度を冷却材入口温度＋DTPL として扱う。標準値は、ITPLEN=0 である。

2.15.5

照射途中における内部ガス状態変更のオプション

FEMAXI コードでは、入力パラメータ ITIME(20), GASPRN(20), PLENM(20), GMIXN(4,20)を指定することにより、照射途中でも、内部ガスの組成、圧力、プレナム体積を最大 20 回まで変更することができる。これは、商用炉でベース照射された燃料棒を計装加工して再照射する
場合の解析、および、試験照射中に内圧を増加させて被覆管のクリープ変形を調べる実験などの解析を可能にするためのオプションである。ただし計装加工する場合、室温でゼロ出力状態を想定している。したがってこの状態は、入力ファイルに組み込んだ照射履歴点（ITIME で指定）においてゼロ線出力を指定する。またその場合の燃料棒温度は、同時に指定したその照射履歴点の冷却材温度に等しくなる。たとえば冷却材温度を 300K とした場合は、DTPL>0 であっても、プ
レナム部を含めすべて燃料温度は 300K となる。したがって、この場合のガスの圧力と体積は 300Kのものとして考慮する必要がある。

2.16

タイムステップの制御

2.16.1 自動制御
タイムステップ幅は、コード内で自動的に制御され、計算全体に対する制限 t1 、熱計算のタ
イムステップの細分化のための制限 t 2 、力学計算のタイムステップの細分化のための制限 t3－162－

JAEA-Data/Code 2010-035が与えられる。

(1) 計算全体に対する制限
t1 は、以下の４条件の値のうち、最小の値とする。
① １タイムステップ内での線出力の変化を 10W/cm 以下にする値。
② １タイムステップ内での燃焼度の増加を 100MWd/tUO2 以下にする値。
③ １タイムステップ内でのクリープひずみ速度を、クリープひずみ増分が前タイムステップの弾性ひずみを越えないようにする値。
④ 前タイムステップのタイムステップ幅を 1.5 倍とした値。
⑤ 冷却水の流量変化が前タイムステップ冷却水流量の 10％以内とした値。
条件①は、出力変化が 10W/cm 以上の出力変動した場合、解を安定させるために、１タイムス
テップ中の出力変化が 10W/cm、条件②は、燃焼度変化が 100MWd/tUO2 に収まるようにサブルー
チン PHIST で決定される。
条件③は、全要素の変形計算においてクリープ計算での発散を防ぐ制約である。すなわち、

t

E

c

EFCOEF(2.16.1)とする。
条件④は、出力が急変した場合、前ステップで用いた t1 の 1.5 倍以下になるような制限である。
条件⑤は、冷却水流量が急変した場合、流量変化量が前ステップでの流量の 10％以内になるよ
うにタイムステップ幅を制限したものである。
ただし、熱的解析において、 t1 より小さなタイムステップ t2 で計算されることがある。
また、燃料棒全長の力学解析および局所力学解析では、その内部だけで、被覆管とペレットの接触状態の変化などにより、 t1 の細分化が行われる。３章 3.2 および 3.3 節を参照のこと。

(2) 熱計算のタイムステップの細分化のための制限
t 2 は、 t1 を細分化するタイムステップ幅で、100ms または t1 を上限として、ガスの拡散流動が各軸方向セグメントでの平衡に達するまでの時間と、セグメント間のガス最大移動量および圧力調整条件で決定する時間幅のうちもっとも短いものとして決定する。
セグメント毎の平衡に達するまでの時間は、(2.16.23)式を参考にして、

t ij

n1, j

n1, j V j

J 1, R

J1,S

－163－

(2.16.2)

JAEA-Data/Code 2010-035である。ここで添字 i は軸方向セグメント番号である。
次に、セグメント間のガス最大移動量から決定される時間を考える。セグメント間の最大移動モル数を Nmax とすれば、 ( J 1, R ) j( J 1,S ) j 1 であることから、 ( J1, R ) j を用いて記述すれば、
N max

t 2j

(2.16.3)

J 1, R jである。
さらに圧力調整（ガスの流動）条件から決まる時間を考える。瞬時の圧力平衡の仮定より、ガスがセグメント間を往来することによる計算上の数値的振動が生じることが考えられる。こうした解の振動を防ぐために、各セグメントにおけるガス放出量に対する制限を与える必要がある。
セグメント毎のガス放出速度（mol/s）をＢとすると、制限は、

t 3j

N max
Bj

(2.16.4)となる。これらの条件から t 2 は、t 21

min t11 , t 21 ,, t n1t 22

min t 12 , t 22 ,, t n2(2.16.6)t 23

min t 13 , t 23 ,, t n3(2.16.7)

t2

min

2

(2.16.5)を用いて、で与えられる。ここでt 21 , t 22 , t 23

(2.16.8)

2 と、(2.16.3)、(2.16.4)式中の Nmax は、組み込みの制御パラメータである。

調整パラメータ DPXX, DPBU

これらは t1 に関係する。 DPXX は、１タイム

ステップ内での線出力の変化幅であり、標準値は DPXX=10 (W/cm)。DPBU は、１タイムステップ内での燃焼度の増加幅であり、標準値は DPBU=100 (MWd/tUO 2)。DPBU は、
従来 DPBU=500 を設定していたが、計算時間が異常に長くなる場合もあるため
DPBU=100 に設定変更した。しかし多くの場合、計算時間短縮には、DPBU=500.0 と設定すると有効である。DPXX は、計算時間が異常に長くかかる場合に設定を変更して再計算するために有効であり、例えば DPXX=9.0 のように設定変更する。
調整パラメータ EFCOEF, AMLMX2, AMLX3, DTPR
(2.16.1)式の EFCOEF の標準値は 1.0。
(2.16.3)式 Nmax は AMLMX2 により指定できる。標準値 10 -6(mole)。
(2.16.4)式 Nmax は AMLMX3 により指定できる。標準値 2×10 -6(mole)。
(2.16.5)式 2 は DTPR により指定できる。標準値は 0.01。

－164－

JAEA-Data/Code 2010-035

2.16.2FP ガスモデルにおけるタイムステップ幅の決定

FP ガス放出モデルでは、2.16.1 項で与えられた t2 を更に細分化する独自のタイムステップ幅を用いて計算を行っている。タイムステップ幅の決定には、見かけの拡散係数Ｄ′と第 2 層での節点間隔 R2 を用いて、

t3

R22
D

0.05 FMULT(2.16.9)として与えている。
タイムステップ幅の調整パラメータ。標準値 1.0

調整パラメータ FMULT

2.16.3

温度計算におけるタイムステップ幅の決定

非定常温度計算モデルでは、 2.16.1 項で与えられた t2 を更に細分化する独自のタイムステッ
プ幅を用いて計算を行っている。タイムステップ幅の決定には、熱拡散率 Ki と径方向メッシュ幅r を用いて、
t4

r2
Ki

106

(2.16.10)minとして与えられる。ここで、106 と非常に大きなファクターが掛かっているのは、 r の非常に狭い酸化膜に対応するメッシュで t4 が決定されるためであり、感度解析より経験的に定めた値である。
また、 t2 に対して t4 が非常に小さい値に設定される場合がある。 t4 が t2 の 1/100 以下の場合には、非定常温度計算のタイムステップを進める場合に、 t2 の区間を等間隔の t4 で分割するのではなく、 t4 を初期値として、以降のタイムステップ幅は前ステップで用いた t を 2 倍した値としてタイムステップを進めることで、タイムステップ数の増加を抑えている。
一方、 t4 を用いた非定常温度計算の結果、得られた温度計算値が異常な値となったり、温度依存性のある物性値の繰り返し計算による決定において、繰り返し計算の回数が最大設定値の 20回でも収束しない場合には、この計算結果を破棄して、 t4 を 2/30 倍した値を新たに t4 として再計算する。この 2/30 倍は、感度解析より経験的に定めた値である。なお、このような処置を施した結果、数値上の温度不安定は抑えられた。

－165－

JAEA-Data/Code 2010-035

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－169－

(1958).

JAEA-Data/Code 2010-035

3. 力学解析モデル
3.1

基本式と非線形力学の解法

最初に、FEMAXIコードでの有限要素法解析方法について説明する。弾性固体力学における解析対象のふるまいを表現する支配方程式は線形である。これは次のような意味を持っている。
(a) 歪み－変位の関係式が線形であること(b) 応力－歪みの関係式が線形であることである。しかし、現実の対象の中には、線形性が成立しないものが多く、したがって、それらを扱う場合は、数値計算の過程を非線形性を包含するまで拡張する必要がある。こうすることによって、固体力学のすべての領域を対象として、塑性、クリープなどの現象、あるいは、他の複雑な構成方程式（応力と歪みの関係を表現する式）を、単純な線形弾性関係に置き換えることができる。ここでは、この近似法について説明する。

3.1.1

基本式

FEMAXI コードでは、微少変形理論（増分モデル）に基づいて構成方程式を組立てているので、(a)の歪み－変位の関係式は線形となっている。そこで、非線形性が問題となるのは、(b)の応力－歪みの関係式についてである。この問題を分析するために、応力－歪みの非線形関係を線形に置き換える一般的な方法を考察する。

(1) 力学解析の基本仮定と定式化
物体の力学解析は一般に①変位(displacement)の 3 つの成分 u, v, w,②ひずみ (strain)の 6 つの成分

x

,

y

,

z

,

yz

,

zx

,

xy

ε x , ε y , ε z , γ yz , γ zx , γ xy

③応力(stress)の 6 つの成分の合計 15 個の成分の組を求める問題に帰着される。
このために必要な式と条件は
1) 境界条件
2) 3 方向( x, y, z or r,θ, z 方向の)力の平衡方程式 (equations of equilibrium)3) 6 つのひずみ-変位関係式 (strain-displacement relation)4) 6 つの応力ひずみ関係式(constitutive equation 構成関係式)

であり、原理的にはこれらを全て満たすように数値計算すれば解が得られる。

－170－

JAEA-Data/Code 2010-035

以下に、円筒座標系におけるこれらの式を示す。

A グループ：3 方向の力の平衡方程式

1
r

r

r

r

r

rz

z

r

z
r

B グループ：

r
z

Z

0

2 r
r

0

0

r

r
R, Z ,

rz

z

1
r

r

ここで

r

z

0

R

r

z

1
r

rz

(equations of equilibrium)rは体積力（重力、慣性力、電磁力など）である。

3 つのひずみ-変位関係式 （剪断歪みの 3 関係式を省略）(strain-displacement relation)

ur
r

r

ur
r
uz
z

z

C グループ：

1 ur

4 つの応力ひずみ関係式(剪断成分の 3 関係式を省略）(constitutive equation 構成関係式)
r

1
E

(

r

1
E
z

r

1
E

z

z

z

)

T

pl

cr

sw

)

T

pl

cr

sw

)

T

pl

cr

sw

( r

z

(

r

0

最後の式は、物体の体積保存性（不変性）を意味する。したがって、弾性、塑性、クリープ変形で成り立つ。熱膨張、照射成長、スエリング、ホットプレスのような、体積の不可逆的、ある－171－

JAEA-Data/Code 2010-035

いは r, z, θ 方向に同時に膨張（収縮）があるような現象では成り立たない。これらの現象については FEMAXI コードでは別途考慮している。
ここで、FEMAXI コードで数値計算をする場合の近似と仮定は以下のようなものである。
1) 小さな領域では材料の均質性や温度の均一性を仮定する。
2) 物体力を無視する（重力、慣性力、磁石の吸引など）。
3) 幾何学的対称性を考慮する。(燃料棒の場合、軸対称問題として扱う)
4) 平面応力として扱う場合と平面ひずみとして扱う場合とがある。

(2) 増分法
まず、代表的な【増分法】の概念を以下に説明する。これは、増分区間においては、(b)の応力－歪みの関係式（応力増分－歪み増分の関係式）について線形性を仮定するものである。増分法を採用するのは、一般に燃料棒の被覆管やペレットでは、タイムステップ毎に応力が変化し、クリープ歪み等の応力に依存する歪みは増分法でないと決定できないためである。
例えば、応力－歪みの関係式が非線形の例としてクリープがある。クリープの一般式は、応力レベルを歪みによって陽に表示することができないが、歪み（またはその増分）を応力によって表すことができる。すなわち

ftt(3.1.1)の関係が成立し、 f x が一般に非線形である（線形方程式ではない）ということである。ここで、(3.1.1)式を増分区間において、以下のように表示する。

t

ここで、

f
t

(3.1.2)nn ：現増分区間での初期の応力（前ステップで得られた応力）ft
f
幅 t が十分小さければ、応力の変化は小さいので、t
タイムステップ間では、応力が変化するので、は変化するが、タイムステップ増分ftnと近似でき、(3.1.2)式により歪み増分が応力変化に無関係に決定することができる。こうすることにより、増分区間において、応力増分－歪み増分の関係について線形性が仮定できる。
次に、増分法による有限要素法 (Finite Element Method; FEM) の解析手法について説明する。

－172－

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 増分法による FEM 解法の概略
最初に、増分区間において支配方程式に線形な関係が近似的に成り立つ場合の基本式の解法の概略を FEM を適用した場合について示す。これは、線形性を仮定した場合の弾性固体力学での基本的な方法である。
増分法では、クリープ歪みの場合を例にして説明したように、弾性歪み増分以外の全ての歪み増分を既知歪みとして表示し、これらを初期歪み増分ベクトル
また、外力を F 、応力を

0

で表す。

、有限要素法におけるある要素における歪みと節点の変位 uを関係づけるマトリックスを B とおく。すなわち、

B u(3.1.3)である。これは上記(1)項の「B グループ：ひずみ-変位関係式」に相当する。
要素上の境界応力と静的に等価な節点力（外力）を F とする。有限要素では力は節点にのみ働く。
FEM の定式化には、 F を求めることが必要である。このために、任意の仮想的な節点変位を与えて、この変位に対して力と応力が要素に成す仕事とを平衡させる（等価とおく）。このような仮想変位をとおく。節点に作用する外力 F のなす（仮想）仕事 WF は、個々の成分と対応する変位成分の積の和に等しい。
すなわち
T

WF

F

(3.1.4)である。
同様に、応力のなす単位体積あたりの（仮想）内部仕事は
T

WIN

B

T

(3.1.5)

この二式を要素の全体積 V にわたって積分して得られる外部仕事と内部仕事とは等しいとすると（仮想仕事の原理）、次式が得られる。
T

F

T
V
T
V

B

T

dV

B

T

dV

(3.1.6)

したがって、仮想仕事の原理を用いて、平衡方程式（上記(1)項の「A グループ：3 方向の力の平衡方程式」に相当）として

F

V

B

T

dV

(3.1.7)が得られる。ここで(3.1.7)式は任意の応力－歪み関係において成り立つ（応力ひずみ関係に無関－173－

JAEA-Data/Code 2010-035

係に成立）ので、材料の弾性変形のみならず塑性、クリープ変形も FEM によって扱うことを可能にする。すなわち、原理的には、仮想仕事の原理は，平衡方程式と力学的境界条件式と等価である。言い換えれば、FEM では、外力が要素に与えた仕事と、要素内の歪みエネルギーの変化とは等しい。すなわち、外部仕事と内部仕事とは等しいという【仮想仕事の原理 (principle of virtualwork) 】を前提としている。
ただし、要素内部における体積力は、燃料コードでは、熱や組織変化などによる材料の体積膨張・収縮に伴う歪みに関連した形で、式の展開の過程で考慮する。初期歪みや初期応力も同様である。
ここで、第 n+1 タイムステップ＝時刻 tn+1 における平衡条件(平衡方程式)を考えると、

Fn 1

B

T
n 1

dV

(3.1.8)が成り立つ。ただしFn 1 ：第 n+1 ステップの外力ベクトル、
n 1：第 n+1 ステップの応力ベクトルである。
未知量と既知量を明確に区別するために
n 1

n 1

を、既知の応力nと未知の応力増分に分けることにより、平衡方程式（平衡条件式）を

Fn 1
B

T

B

n

T
n 1

dV

dV

B

Fn 1

T

B

n 1

dV

(3.1.9)ndV(3.1.10)Tと変形する。(3.1.10)式では右辺は既知量、左辺は未知量である。
ここで応力-ひずみの関係は（上記｢C グループ：応力ひずみ関係式；構成方程式｣に相当）
e
n 1

D

n 1

(3.1.11)で表される。他の歪み成分が存在してもこの関係は常に成立する。また、すべての歪み成分を含んだ計算の結果として、たとえば塑性歪み増分も減少する。塑性歪みやクリープ歪みはplastic

およびが存在すれば、が減少し弾性歪み

によって決まる量であり、

e

e

とは直接

には関係ない。ここで [ D ] は、ひずみ-応力マトリクス（剛性マトリックス）と呼ばれ、ヤング率とポアソン比から成り、要素の剛性（変位に対する抵抗性）を表す。
ここで、
n 1

:時刻 tn から tn+1 までの応力増分ベクトルen 1:時刻 tn から tn+1 までの弾性ひずみ増分ベクトル

Dn

1

Dn

－174－

Dn 1

1
2

JAEA-Data/Code 2010-035

Dn ： 時刻 tn における応力－ひずみ（剛性）マトリクスである。この D マトリックスの逆行列として [C ] マトリックスを定義すれば、(3.1.11)式は次式と
なる。
e
n 1

Cn

D

e
n 1

(3.1.12)n 1(3.1.11)式を(3.1.10)式に代入すると

B

T

e
n 1

となる。ここで、弾性歪み増分
0
n 1

dV

Fn 1

、全歪み増分

B

T

dV

n

(3.1.13)、及び既知量である初期歪み増分

n 1との間には、
e
n 1

0
n 1

(3.1.14)n 1の関係が成り立つので、(3.1.14)式を(3.1.13)式に代入すると、
T

B

D

B

が得られる。ここで既知量である

B

T

D

n 1

0
n 1

n 1

dV

T

dV

Fn 1

T

dV

n

0
n 1

dV を右辺に移行すると

Fn 1

B

T

D B dV
Fn 1

T

D

D

0
n 1

B

dV

B

B

となる。(3.1.16)式に歪みと変位の（増分）関係式

B

B

u

T
n

(3.1.15)dV(3.1.16)を代入すれば、

un 1
T

D

0
n 1

dV

B

T

(3.1.17)n dV

un 1 を積分から繰り出すことができる。これが増分法での剛性方程式（変位となり、未知量と外力の関係を表現する式）である。またこの式は
B

T

B

D
T

D

B dV
TH

u

F
rel

(3.1.18)
swl

den

crk

と表現することもできる。
結局、(3.1.17)式を M 個の要素の和の形に離散化すると、

－175－

c

p

HOT

dV

JAEA-Data/Code 2010-035

M

Bi

T

Di Bi

Vi

un 1

i 1
M

Fn 1

Bi

T

Di

(3.1.19)

M

0
n 1

Vi

i 1

Bi

T

i
n

Vi

i 1

（ Vi ：要素ｉの体積、M：要素総数）と表すことができる。(3.1.19)式は連立線形方程式であるので、マトリックス表示して解くことにより、未知量の変位増分ベクトル

un 1 を求めることができる。

以上の計算方法は、増分区間において、支配方程式が線形と近似できる場合の方法である。しかしながらクリープを例にして説明したように、

f
t

f
t

n

の仮定（線形近似）は、応が十分小さいときにしか適用できない。このため、力変化が小さいとき、すなわち応力増分

クリープ問題の場合では、タイムステップ増分幅に対する制約がきびしくなる。この問題に対処するために、次項以降で、FEMAXI コードでの非線形性歪みを含んだ、より一般的な構成方程式の取り扱いについて説明する。

3.1.2

初期応力法･初期歪み法･剛性変化法 （非線形歪みの取り扱い）(1) 剛性方程式
前節 3.1.1-(1)項で示したように、非線形問題は、増分区間について応力増分とひずみ増分の間に線形性を仮定することで、変位法によって定式化された小さなひずみの線形弾性問題となり、(3.1.16)式で示された剛性方程式が得られる。すなわち、一般的な表現をすれば、

K

u

F

0

(3.1.20)である。線形弾性問題では(3.1.20)式を解き、最終の解に到達するのが普通である。
上の定式化では、線形のひずみ－変位関係式、変位の連続性、力のつり合いを満足する条件のほか、次の線形弾性方程式が満足することが仮定されている。
0

D
ここで、

0

0

(3.1.21)：初期ひずみ増分0：初期応力増分

一方、非線形で問題となる応力－歪みの関係式は一般的には、ある関数 F x が非線形である
として、

F

－176－

(3.1.22)

JAEA-Data/Code 2010-035の関係が成立する。
このため、(3.1.21)式に含まれるパラメータ D ,

0

,

0

の一つ、または、それ以上を調節し、その結果(3.1.21)式と(3.1.22)式がそれぞれ、(3.1.20)式の解として同じ応力、ひずみが得られたならば非線形問題の解が得られたことになる。ただし、それには反復計算が必要となる。

(2) 反復計算
反復計算中で、上の(1)項に述べた三つのパラメータのうちどれを調整すればよいかは、次の二
つの条件
(a)

等価な線形弾性問題で用いる解法(非線形問題を等価な線形弾性問題に置き換えて解く解法)(b)

応力－ひずみ関係を定義する物理法則の性質によって決まる。
反復計算が、 D マトリックスを調整して行われるとき、その過程は剛性変化法であり、
または

0

0

を調整するときは、初期ひずみ法、または初期応力法である。

剛性変化法は、応力とひずみの関係を特別な材料挙動（例えばクリープ挙動とか塑性挙動）に対して、(3.1.19)式の形に書き表した剛性マトリックス D を、到達した応力またはひずみレベルの関数として与える。すなわち、

D

D

D

(3.1.23)とみなせば、剛性変化過程を適用することができる。この場合、組み立てた剛性マトリックスに対し、応力または歪みが変化すると剛性率 (stiffness) が変化するので、応力・歪みの変化が収束するための反復計算を実施することによって剛性マトリックスが応力・歪みの変形解に影響を及ぼすことになり、剛性マトリックスの変化が収束するまで反復を繰り返す必要がある。
すなわち、非線形問題に対する解が、ある反復計算過程（iterative process）によって得られる
ならば、その過程において材料定数を調節（更新）して、更新されて最終段階で新しい材料定数を持つ非線形の構成方程式が満足されるような変形解を得る方法が剛性変化法である。FEMAXI
コードでの剛性変化法は、応力に関する反復計算によって材料定数を調節する方法を用いる。
これに対して、初期歪み法では、数値計算の各段階で得られる弾性歪み増分を、構成方程式(3.1.19)式に対応する歪み増分と比較し、その差を残差不平衡力の計算に用いる。例えば、クリー－177－

JAEA-Data/Code 2010-035

プ問題では、クリープ歪み増分と弾性歪み増分を分離した形で現し、各段階ごとの初期歪み増分の補正項を直接的に求めることが可能である。
また、初期応力法については、初期歪み法との違いを図 3.1.1 によって説明する。図 3.1.1 では、最初の近似解で得られた応力と歪みの関係が、点１で示されている。図中の実線は対象の本
来のふるまいであり、経験式ないしは物性式などで規定されている。初期応力法では、図で示した初期応力01 を導入して、応力を正しいレベルに修正する。これは、応力とともに歪みが急激に増加する場合に、応力と歪みの関係を変化の小さい応力によって補正しているので有利である。
01 で示される補正によって、歪みを調整する。この方法でこれに対して、初期歪み法では、は、歪みとともに応力が急速に増加する締結性材料の場合、有利となる。FEMAXI で扱う燃料や被覆管のクリープや塑性では、初期歪み法と初期応力法を比較すれば、応力とともに歪みが急激に変化するので初期応力法が有利である。
しかし、初期歪み法や初期応力法と剛性変化法を比べると、剛性変化法を用いた方が応力とひずみの関係を剛性マトリックス作成時に取り入れることができるので、収束回数を削減できて有利である。すなわち、初期歪み法や初期応力法では、求められた応力・歪みによって荷重ベクト
0
1

0
1

1

(a)

(b)
図 3.1.1

初期歪み法と初期応力法。

(a) 変形とともに硬化率が減少(b) 変形とともに硬化率が増す締結性の材料（locking Material）
ルを更新して収束計算を行うのであるが、剛性変化法は予め剛性率の変化を予測する方法なので、初期歪み法や初期応力法での 2 回の処理を剛性変化法では 1 回の処理でまかなうことに相当する。
そこで、FEMAXI では、弾性マトリックス D を到達した応力レベルの関数として与える剛性変化法（すなわち、 DD）を用いて基本式の定式化を行う。以下に FEMAXI の定式化の－178－

JAEA-Data/Code 2010-035

概略を説明する。

3.1.3

FEMAXI コードでの基本式の解法 (非線形歪みの取り扱い)

前節 3.1.2 (2)項で述べたように、FEMAXI コードでの非線形歪みの取り扱いは、剛性変化法を用いて応力によって収束を計る方法を用いる。また、このとき 3.1.1 節 (2)項で説明した増分法による定式化を基本とする。これは、例えば

n 1 に含まれるクリープ歪み増分を例に取ると、(3.1.15)式に示したようにクリープ式は応力と歪み増分の関係式で与えられており、増分法が適しているためである。

(1) 歪み成分の分類と扱い
次に、FEMAXI コードで扱う歪みについて検討する。FEMAXI で扱う歪みには、応力―歪みの関係式で与えられている歪みと応力には無関係な歪みがある。応力―歪みの関係式で与えられている歪みとは、歪みが変化すれば、応力も変化し、応力が変化すれば歪みが変化する成分であり、応力に無関係な歪みとは、歪みを発生することで応力が変化するが、応力が変化しても歪み変化が起こらない成分である。
まず FEMAXI で扱う歪みについて示す。
e
n 1

n 1

HP
n 1

th
n 1

rel
n 1
P
n 1

crk
n 1

den
n 1

sw
n 1

c
n 1

ここで、
：

全歪み増分ベクトルn 1：

弾性歪み増分ベクトル

th
n 1

：

熱歪み増分ベクトル

rel
n 1

：

ペレットリロケーション歪み増分ベクトル

crk
n 1

：

ペレットクラック歪み増分ベクトル

den
n 1

：

ペレットやきしまり歪み増分ベクトル

sw
n 1

：

ペレットスウェリング歪み増分ベクトル

HP
n 1

：

ペレットホットプレス歪み増分ベクトル

P
n 1

：

塑性歪み増分ベクトル

c
n 1

：

クリープ歪み増分ベクトル

n 1
e

－179－

(3.1.24)

JAEA-Data/Code 2010-035

である。
e
n 1

このうち応力―歪みの関係式で与えられている歪み増分は、
P
n 1

,

c
n 1

f

であり、歪み応力の関係式

crk
n 1

,

,

HP
n 1

,

はそれぞれ独自の関係式（物性式、経験式、モデルなど）で表記される。
e

このうち弾性歪み増分については

fとなって線形である。
thn 1

一方、応力に依存しない歪み増分ベクトルはそこで、時間増分 t n 1

tn 1

rel
n 1

,

den
n 1

,

sw
n 1

,

である。

t n における弾性歪み増分と応力増分の間の関係式を、［C］が温度に依存する（時間に依存する）ことを考慮して以下のように書く。
e

C

e
n 1

(3.1.25)Cn(3.1.26)

n 1

ここで,

Cn
e
n 1

Cn
n 1

：

1
2

1

Cn

Cn 1

：

弾性歪み増分ベクトル：

コンプライアンス（応力－歪み）マトリックス：

応力増分ベクトル

陰解法のパラメータ

である。
また、(3.1.26)式より、応力増分を求めるためには、弾性歪み増分を求める必要がある。弾性歪
み増分は次のように表される。
e
n 1

th
n 1

n 1
HP
n 1

rel
n 1
P
n 1

crk
n 1

den
n 1

sw
n 1

c
n 1

ここで、
n 1

：

全歪み増分ベクトル

th
n 1

：

熱歪み増分ベクトル

rel
n 1

：

ペレットリロケーション歪み増分ベクトル

crk
n 1

：

ペレットクラック歪み増分ベクトル

den
n 1

：

ペレットやきしまり歪み増分ベクトル

sw
n 1

：

ペレットスウェリング歪み増分ベクトル－180－(3.1.27)

JAEA-Data/Code 2010-035

HP
n 1

：

ペレットホットプレス歪み増分ベクトル

P
n 1

：

塑性歪み増分ベクトル

c
n 1

：

クリープ歪み増分ベクトルである。また、応力に依存しない歪み増分ベクトルについては初期歪み増分ベクトルとして次の
ようにまとめる。
th
n 1

0
n 1

rel
n 1

0
n 1

：

den
n 1

sw
n 1

(3.1.28)

初期歪み増分ベクトル

さらに、ペレットのホットプレス歪み増分ベクトルを、3.2.7 項で詳述するように、ペレットの塑性およびクリープ歪み増分ベクトルに繰り込んで扱うことが可能なので、(3.1.28)式は次のよ
うに書くことができる。
e
n 1

crk
n 1

0
n 1

n 1

PH
n 1

cH
n 1

(3.1.29)

ここで、
PH
n 1

：

ホットプレス歪みを含めた塑性歪み増分ベクトル

cH
n 1

：

ホットプレス歪みを含めたクリープ歪み増分ベクトルcrkn 1である。ここで、注意したいのは、

,

PH
n 1

cH
n 1

,

f

はともに

で与えら

れ、関数 f は非線形であることである。
一方、全歪みは節点変位と次のように関係付けられる。

B

n 1

ここで、

un 1

(3.1.30)

un 1 は節点変位増分ベクトルである。

(3.1.26)式及び(3.1.30)式を(3.1.29)式に代入すると、

Cn

B

n 1

crk
n 1

0
n 1

un 1

PH
n 1

cH
n 1

0

(3.1.31)となる。
(3.1.31)式において、非線形歪み増分である

crk
n 1

PH
n 1

,

cH
n 1

,

の取り扱いについて説明する。
ここでそれぞれの非線形歪み増分に対して
crk
n 1

f1

と与えられたとする。このとき、 f1

,
,

PH
n 1

f2

f2

, f3

－181－

,

cH
n 1

f3

(3.1.32)は物性値、経験式、あるいは引張り試

JAEA-Data/Code 2010-035

験等で得られる既知関数であり、応力と歪みの関係は既知である。

(2) 応力の反復決定法
ここで、(3.1.32)式を解いて、crkn 1

ることができないと、を決定する方法を考える。これは、正しい応力値の
PH
n 1

,

cH
n 1

,

を求め

の各歪み増分量が求められないためである。

このための数値解法として、剛性変化法を適用する。この非線形方程式を解くための反復計算には、Newton-Raphson 法（NR 法）を適用する。
ここで、まず NR 法の一般的な概念を説明する。この方法は、単一の変数 x に関する次の形の一般的な非線形方程式(x)0(3.1.33)を解く。NR 法では、正しい解に十分近い xi が得られたとして、なお、 (x)0 の場合には、つぎのようにして改良された試験解 xi 1 を求める。
すなわち、

xi 1
ただし、 xi 1( xi )

d
dx

xi

xi 1

である。
i

このように変化する勾配を用いる反復計算法を図示すると、図 3.1.2 のようになる。

( x)
d
dx

i

1

(xi )

xi 1
図 3.1.2x i

変化する勾配を用いる Newton-Raphson 法の反復法－182－

JAEA-Data/Code 2010-035(3.1.30)式に NR 法を適用する場合には、 x は xであり、 (x ) はそれぞれ1( )f1 ( )

crk
n 1

0(3.1.34)2( )f2 ( )

PHn 1

0(3.1.35)3( )f3 ( )

cH
n 1

0(3.1.36)d1/df1 ( )(3.1.37)d2/df2 ( )(3.1.38)d3/df3 ( )(3.1.39)であり、である。ここですぐ気づくように、(3.1.34)式～(3.1.36)式の３式には、応力の他にも未知数
crk
n 1

PH
n 1

,

を含み、未知数の数が式の数をうわまわるので、この３式を連立させ

cH
n 1

,

て解くことは不可能である。すなわち、 ( )0 になる条件を求めることができない。これは、(3.1.31)式が、NR 法を適用できる最終条件になっていないためである。このため定式化をもう少し進めることが必要である。
以下の議論では、非線形解析で用いられる反復計算に NR 法を適用することを前提にして説明する。NR 法による反復計算のカウントを i で表示する。いま、NR 法による反復計算の第 i 回目が終了し（第 i 回目の値は既知量となっている）、第 i+1 回目の反復を行っているとき、
及び

0
n 1

以外の歪み、変位、応力等は反復計算によって変わるので、NR 法を適用する目的の式nである(3.1.31)式を反復回数添え字 i 及び i+1 を付して表記すると下式のようになる。

Cni

i 1
n 1

d

uni 11B(3.1.40)0n 1

crk ,i 1
n 1

PH ,i 1n 1

cH ,i 1
n 1

Cni

i
n 1

0

n

ここで、

d

i 1
n 1

i 1
n 1

i
n 1

である。
また、このとき平衡条件(3.1.10)式（外力と内部応力の釣り合いの式）を次のように書く。
V

B

T

i
n 1

dV

V

B

T

d

i 1
n 1

dV

Fn 1

(3.1.41)(3.1.40)、(3.1.41)式において、未知量は反復回数 i+1 回目の値であるので、 d
PH ,i 1n 1、

cH ,i 1n 1

及び

uni 11 である。ここで、NR 法の ( )(3.1.34), (3.1.35) 及び (3.1.36)式を以下のように記述する。

－183－

i 1
n 1

、

crk ,i 1
n 1、

0 にすべき条件式である

JAEA-Data/Code 2010-035

1( )f1 ( )

crk ,i 1
n 1

0(3.1.42)2( )f2 ( )PH ,i 1n 1

0

(3.1.43)3( )f3 ( )

cH ,i 1n 1

0

(3.1.44)

こうすることによって、(3.1.40)式～(3.1.44)式の 5 つの式が得られたので、未知量 d
crk ,i 1
n 1、

PH ,i 1n 1、

cH ,i 1
n 1

及び

i 1
n 1

、

uni 11 を求めることができる。すなわち、NR 法による収束過程を完結させるためには、(3.1.41)式で示した平衡条件式を付加することが必要である。
なお、FEMAXI コードでの剛性変化法による弾性マトリックスの修正方法については 3.2 節以降でそれぞれの材料挙動モデルごとに、特性に合わせた定式化のアルゴリズムを説明する。また、
変形計算全体の取り扱いのアルゴリズムを図 3.1.3 に示す。なお、図 3.1.3 に示したアルゴリズム
において、NR 法による収束計算が完了した後に行う接触境界条件の変更及び降伏、除荷判定条
件については後節で改めて説明する。

モデルパラメータ

LMAX

Newton-Raphson 法による反復計算の回数は LMAX で与えられる。（標準値は 20）ただし、反復回数 3 回以上において、全歪み修正量(前回の反復との変化幅)の最大値が 0.01%以下の場合には収束したものとみなして反復計算を終了する。

－184－

JAEA-Data/Code 2010-035

ステージ i の状態量（応力､ひずみ）をもとに
N ewton-Raphson 法の切片と接平面を求める
非線形ひずみ増分ˆ nPH1 ,i と

ˆ ncH1,i の作成

弾塑性クリープ係数行列 D p の作成

各々の要素について、i

応力とひずみから残差・補正荷重 F n 1 を作成
係数行列から剛性行列 K nを作成

各要素の寄与を総和して全体の剛性行列と荷重を作成
残差荷重は総荷重に足し込まれる剛性方程式を解く
i

Kn

i 1

i

un 1

Fn 1

解 u ni 11 からひずみと応力増分の修正量 dを求め、i＋1 回目の推定値

i 1
n 1

，

i 1
n 1

i 1
n 1

，d

i 1
n 1

を得る

非線形過程のパラメータ（クリープの硬化則など）を更新する

Newton-Raphson 法の収束判定得られた変位、荷重から、接触境界条件（固着／すべり）に矛盾が生じていないか確認する（矛盾があれば修正し再計算）得られた変位、荷重から、接触境界条件（接触-非接触）の判定及び得られた応力、塑性ひずみ増分から降伏、除荷判定

図 3.1.3

FEMAXI コードでの変形計算の順序とアルゴリズム－185－

JAEA-Data/Code 2010-035

3.2

燃料棒全長での力学的ふるまい[全長力学解析]

最初に全体のフローを示し、各ステップについて説明する。

Time Step Start

各要素の焼きしまり、スエリング、熱膨張などの初期歪ペレットと被覆管の接触状態及び節点の境界条

各要素の材料マトリックスの計算
要素の剛性マトリックス及び節点ベクトルへの組み込み
全要素について計算が終了？
全体剛性方程式を解き、節点変位を計算
応力、歪み分布の計算
変位は収束？
接触節点で接触状態は収束？
降伏、あるいは徐荷？

あるいは非接触⇔接触、の状態変化が発生？

現タイムステップを状態変化が起きた時点で分割し、応力・歪みなどはその時刻まで内挿する

タイムステップの更新

図 3.2.1

全長力学計算のフロー－186－

JAEA-Data/Code 2010-035

解説： [全長力学解析(I)]においては、サブルーチン FEMROD において燃料棒全長の詳細な変形解析が行われる。一方、3.5 節に述べる［局所力学解析(II)］においては、半ペレット長部分の局所的な変形解析（PCMI 解析）が別のルーチンにおいて行われる。解析(I)と解析(II)の実行
は、入力指定パラメータ IFEMRD にしたがって行われる。
IFEMRD=0: 局所解析と全長解析、 IFEMRD =1: 全長解析のみ

3.2.1

全長力学解析 (I) のモデルとリング要素(1) 体系
図 3.2.2 に示すように、燃料棒全長は軸方向セグメントに分割され、さらに各セグメントは半径方向のリング要素に分割されて１次元軸対称（1.5 次元）の体系となる。応力・ひずみ解析は、
この体系において図 3.2.5 に示す四角形 4 自由度要素を用いた有限要素法により実施する。

U P P E R P L E N UM
S E GME N T ( M)S E GME N T ( M- 1 )PelletCladding

S E GME N T ( 2 )S E GME N T ( 1 )PelletClad

L OWE R P L E N U M

図 3.2.2

形状モデル(2) リング要素
図 3.2.3 は MESH=1 の場合の 1 セグメントにおけるリング要素を示す。これは図 2.3.1 と同じも
のである。

－187－

JAEA-Data/Code 2010-035

Bonding layer

Centerline

Pellet stack:36 equal-volume
ring elements

ZrO2

Cladding
ring element
number:12345 678

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Relative radius of pellet
図 3.2.3

リング要素体系（１セグメント相当）

この体系を、わかりやすく説明するためにペレットスタックの半径方向リング要素数を 10、被覆管のリング要素数を 4 とした場合の FEM 要素系を図 3.2.4 に示す。ここには、3.2.2 項で述べるディッシュ・チャンファー空間のためのダミー要素が加えられている。被覆管メッシュの内側
2 要素(14, 15) は金属相であり、外側の 1 要素(16) は酸化膜層(ZrO2)である。被覆管外面の酸化膜要素は、酸化膜の厚み増加（2 章 2.2 節参照）にしたがってリメッシュされ、その厚みを増加させる。（被覆管最内面のごく薄い酸化膜要素は厚みの変化はない。力学解析・熱解析において無視できる）
U

z1
M

U

z3

U

z9

U
z 10

z1U1

U
z12

U
z 13
z1 4

U

r14

r15 r16

M

z1
r1

U

z2
z2

r2

z 1L

r3

L

z2

z 3M

L

z3

z 9M
r1 0

L

z9

z 10M
r11

L

z 10

PELLET(10ring-elements)
図 3.2.4

r1 2

r13

z11L

L

z1 2

L

z13

L

z14

CLADDING

有限要素法リング（1 セグメント相当）

Z i,U
また、一つのリング要素における節点座標を図 3.2.5 に示す。要素は

ri

r i+1

四角形 4 節点自由度を持つ。

Z i,L
図 3.2.5

四角形 4 節点自由度(ri, ri+1, Zi,L, Zi,U)モデル－188－

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 要素の自由度
図 3.2.4、図 3.2.5 で示すように、各節点は半径方向あるいは軸方向に 1 自由度のみを持つ。
L

L

U

U

ペレットスタックの軸方向自由度 z1L ～z1L0 、z1U ～z1U0 及び被覆管の軸方向自由度 z11～z14 、 z11～z14
はそれぞれ各節点の変位が一様であると仮定して、代表して 1 つの節点自由度で扱うこととし（一般化平面歪み条件）、

z1L

z 2L

z10L

z Lp

z1U

z U2

U
z10

z Up

z11L

z12L

z13L

z14L

z CL

U
z11

U
z12

U
z13

U
z14

z CU

(3.2.1)

とおく。すなわち、各セグメントの下部端はペレットスタック及び被覆管ともに同一軸方向高さの平面を維持し、上端は、軸方向への変位自由度はあるが、ペレットスタック上端と被覆管上端は常に同一軸方向高さの平面を保つと近似する。すなわち有限要素法の特性により、ri、 ri+1 は半径方向自由度のみ、 Zi,L、 Zi,U は軸方向自由度のみである。（ただし、この扱いは燃料棒全長力学解析にのみ適用される。）
また一般に FEM では、各要素の節点と境界において、変位と歪みは連続であるが、応力は不連続である。ただし変位と歪みの微分係数は連続とは限らない。

(4) ぺレット(スタック)径方向リング要素分割数
既に第 2 章の表 2.3.1 でも説明したが、重要なのでここで再記する。表 2.3.1 に示すように、
name-list parameter MESH を指定することにより、ペレットのリング要素数を指定できる。
表 2.3.1
熱解析と力学解析におけるぺレット径方向リング要素分割数
Parameter 値
1 次元熱解析1 次元力学解析
2 次元局所力学解析
MESH=0
等間隔 10 リング要素
等間隔 10 リング要素
等間隔 5 リング要素
MESH=1
等体積 36 リング要素
等体積 18 リング要素
等体積 9 リング要素
MESH=2等体積 72 リング要素
等体積 18 リング要素
等体積 9 リング要素
MESH=3
等体積 36 リング要素
等体積 36 リング要素
等体積 18 リング要素
MESH=4

等体積 72 リング要素

等体積 36 リング要素

等体積 18 リング要素

Default は MESH=3 である。等体積リング要素では、図 3.2.3 に示すようにペレットの外側に行
くにつれてリングの厚みが減少する。ISHAPE=1 を選択した場合には、MESH>0 における要素数
は 2 倍となり、より細かな計算が可能となる。なお、RANNS において IREST>0 として FEMAXIの計算結果を初期条件として用いる場合は、MESH の値は FEMAXI で指定した値が自動的に引き継がれる。（3.7 章参照）

－189－

JAEA-Data/Code 2010-035(5) 被覆管径方向リング要素分割数
被覆管のリング要素は、上記 MESH の指定にかかわらず、1 次元熱解析と 1 次元力学解析では共通の要素を用いる。ただし、内面酸化膜リング要素は将来的なモデル拡張に備えたものであり、その厚みは 0.1 m で固定である。
すなわち、1 次元熱解析と 1 次元力学解析では①Zr ライナーなしの場合：
内表面酸化膜 1 リング要素＋金属要素 8 リング要素＋外表面酸化膜 2 リング要素②Zr ライナー有の場合：
内表面酸化膜１リング要素＋Zr ライナー2 リング要素＋金属要素 8 リング要素＋外表面酸化膜
2 リング要素

また後述する 2 次元局所力学解析では、③Zr ライナーなしの場合：

金属要素 4 リング要素＋外表面酸化膜 1 リング要素④Zr ライナー有の場合：
Zr ライナー1 リング要素＋金属要素 4 リング要素＋外表面酸化膜 1 リング要素である。
ただし、3.7 章に説明する RANNS コードとの接続において、RANNS においては⑤Zr ライナーなしの場合：⑥Zr ライナー有の場合：

金属要素 4 リング要素
Zr ライナー1 リング要素＋金属要素 4 リング要素となる。
ただし、ISHAPE=1 の場合は、2 次元局所力学計算では金属相は上記の 2 倍のリング要素数となる。

(6) 被覆管酸化膜
ここで、タイムステップ間の酸化による被覆管金属の体積増加分は、酸化膜に軸方向の歪み増分として力学計算に加えられる。
この際、酸化膜の体積増分率

X = [Piling-Bedworth Ratio] – 1.0のうち、半径方向への増分を Px(%)、軸方向への増分を 100-Px (%)として与える。

Px は入力パラメータ PX とし、標準値は 80.0 とする。
一方、金属相では酸化した金属相の厚みに対応して厚み減少のリメッシュがされる。

－190－

JAEA-Data/Code 2010-035

金属相と酸化膜の力学的性質（ヤング率、熱膨張率、クリープ速度、照射成長率など）は当然異なるので、この差によって被覆管内部には主に軸方向に応力が発生し、被覆管全体の力学的ふるまいに影響を与える。本モデルでは、この応力を計算に含んで解析する。ただし、ZrO2 のク
リープ速度及び照射成長率に関する測定データは得られていないので、便宜上、酸化膜のクリー
プは無視し、照射成長はジルカロイの照射成長率にファクター（入力パラメータ、標準値は 1.0）を掛けた値を用いる。

3.2.2

有限要素マトリックスの決定

次に、基本式で用いる種々のマトリックスを求める。

(1) ひずみ-変位マトリックス［B］の求めかた
径方向変位を u、軸方向変位を とすると、図 3.2.3 で示した要素内の任意の点(r, z)における変MUL位(u, v)は、 ri 、 ri 1 、 zi 、 zi 、 zi をそれぞれ入力で指定される初期値（固定値）としてのリング要素の半径方向節点座標および軸方向節点座標として、

u

または、

ri 1 rui
ri 1 rir ri
ui 1
ri 1 riz ziLziM ziL

M
i

L
i

z ziM
ziU ziMU
i

M
i(3.2.2)(3.2.3)で与えられる。
要素内のひずみ成分は、軸対称形状の場合、次のようになる。

u
r

u

r
B u

r

z

(3.2.4)z(3.2.2)～(3.2.3)式を用いれば、

1

u
r

ri 1

u
r

ri 1 rui
r ri 1 rirである。ここで r を要素中央の径方向座標 i

ri

ui

1
ri 1

ri

ui 1

r ri
ui 1
r ri 1 ri

ri 1
とおくと、
2

－191－

(3.2.5)

JAEA-Data/Code 2010-035

ri

ri 1

u
r

ri 1
2

ri

ri 1
2

ri

ui
ui 1
ri 1
ri ri 1
ri 1 ri
ri 1 ri
2
2
1
1
ui
ui 1
ri ri 1ri ri 1
ri

z

M
i
M
i

z

z

L
i
L
i

または、

U
i
U
i

z

(3.2.6)

M
i
M
i

z

(3.2.7)zとなる。(3.2.5)～(3.2.7)式を(3.2.4)式に代入すれば、

r ,i

,i

1

1

ri 1 ri

ri 1 ri11

ri 1 ri

ri 1 ri

0

0

1

1

ri 1 ri

ri 1 ri11

ri 1 ri

ri 1 ri

0

0

z ,i

r ,i

または、
,i

z ,i

を得る。

0

ui

0

ui 1
0

0
L
i

1
M
i

1
L
i

z

z

M
i

ziL

z

0

M
i

ui

0

ui 1
0

0
M
i

1
U
i

1
M
i

z

z

U
i

ziM

z

U
i

したがって、［B］マトリックス（形状関数）の成分として

1
ri 1
B

1
ri

ri 1

1
ri 1

1
ri

0

ri

ri 1

ri
0

0

0

0

0

1
z

M
i

－192－

1
z

L
i

z

M
i

z iL

(3.2.8)

JAEA-Data/Code 2010-035

1
ri 1
または、

B

1
ri

ri 1

1
ri 1

ri

1
ri

ri 1

0

ri
0

0

0

0

0

1
z

U
i

(3.2.9)

1
z

M
i

z

U
i

z iM

を得る。(3.2.8)、(3.2.9)式は、全長解析のマトリックス解法のすべて、つまり、弾性および非線型変形の両方で用いる。
また、各要素の体積 Vi は、

または、

Vi

ri 21

ri 2 z iM

z iL

Vi

ri 21

ri 2 z iU

z iM(3.2.10)である。

(2) ペレットスタック要素モデルの説明
円柱形状のペレット（スタック、中心孔がある場合もある）においては、半径方向の温度勾配のため熱応力が生じ、ペレット内に大きな圧縮応力が発生したり、被覆管に対するペレット端部の食い込み変形（リッジング）が生じる（3.5 章参照）。しかし現実の燃料では、ディッシュ（チャンファー）の空間によってこうした熱膨張による変形は大きく緩和されている。しかし、ディッシュやチャンファーを無視した単純な円柱スタックモデルでは、FEMAXI コードのようにスタックを形成するペレット上端部が軸方向に一様に変位する一般化平面歪みの境界条件を与える
ことにより（3.2.1 (3)項参照）、計算上、中心部では軸方向に実際の燃料より強い熱応力（圧縮力）がかかり、ペレット（スタック）表面部では逆に強い引張り力がそれぞれ発生する。単純円柱形状に生じるこのようなモデル特性に起因する熱応力の発生を一般化平面歪みの境界条件を維持したまま避けるために、パラメータ IDSELM=1 を指定することにより円柱ペレットスタック
要素の上部にディッシュ（チャンファー）要素を入力で指定できる。
すなわち、１セグメントのペレットスタック内の各領域を 3 つの要素から構成する。これを図3.2.6、図 3.2.7 で説明する。図 3.2.6 は１セグメントのペレットスタックを表現する。ただしリン
グ要素数は、わかりやすくするために半径方向等間隔 10 個とする。また、１セグメント分のペ
レットスタックは数個～数十個のペレットから構成されるが、ここでは、図の塗りつぶした部分
がペレット固体要素で、塗りつぶしていない部分がこのセグメントを形成するすべてのペレットのディッシュ、チャンファー、およびペレット端面間のスキマ空間に対応する空間要素を示す。

－193－

JAEA-Data/Code 2010-035

中心軸
U
1

U
2

U
3

U
4

U
5

U
6

U
7

U
8

U
9

U
10

ペ レッ ト間 の隙 間体 積で

M
6

M
1

M
2

M
3

M
4

M
7

あり、 一様なM
8

要素厚み l z と
M
9

M
5

し て ス タッ ク
M
10

長の BUFSP(%)と仮定。

Z iU

チャンファ

ディッシュ

Z iM

外面

Z iL

ri

L
1

図 3.2.6

L
2

L
3

L
4

L
5

L
6

L
7

L
8

L
9

L
10

ri 1

図 3.2.7
ディッシュ・チャン
ファーのない部分のペレット
有限要素

１セグメントのペレットスタックに対応する有限要素分割

すなわち、図 3.2.6 はディッシュやチャンファーの形状効果を全長力学モデルの円柱スタックに反映させたものである。この空間要素には図に示したように､極めて弱いバネ剛性（stiffness）
を与え、ペレットの固体熱膨張やスエリングのバッファーとする。
図 3.2.7 は図 3.2.6 からディッシュ・チャンファーのない部分＝7 番目のリングを抜き出したものであり、図における上側（塗りつぶしていない部分）が隙間要素、下側の要素（斜線）がペレ
ット固体要素である。この要素分割比は、上側要素がセグメント長の BUFSP %、下側の要素がセグメント長の(100 - BUFSP) %の軸方向長さとして、それぞれ初期値として入力され一定の厚みを持つ。すなわち、軸方向セグメントを BUFSP : (100 - BUFSP)に分割している。この隙間要素は図3.2.6 では、ディッシュ、チャンファー空間の上側の一様厚み l z の空間要素として示され、セグメ
ントのスタックの軸方向長さの BUFSP %として、その入力値と入力したセグメント長さにより初期値として与えられる。すなわち、全長力学モデルにおけるペレットの形状マトリックスは初期座標を基準とし、形状マトリックス内の隙間要素の軸方向厚みは lz に固定される。
ここで、１セグメント分のペレットスタックに対して、半ペレット長とディッシュ（チャンフ－194－

JAEA-Data/Code 2010-035

ァー）深さの比率にしたがって、ディッシュ（チャンファー）の軸方向空間要素長さを設定する。
図 3.2.6 において、ディッシュ要素の深さは、［1 ペレットのディッシュ深さ×2×セグメント
U

M

Lに含まれるペレット個数］と算出し、それによって初期条件として zi 、 zi 、 zi を決定する。
チャンファー部の軸方向長さについても同様である。図 3.2.6 の凹みおよび隙間は、この形状特性を考慮した空間を示す。これらは「弱いバネ剛性を持つバッファー空間」であり、この存在により、計算上も実際に近い熱応力と歪みの計算が可能となる。
M

ここで、ペレット固体部の上端座標 zi の軸方向変位はリング要素ごとに計算されるが、隣接する固体リング要素間に働く軸方向の剪断力はこの 1 次元モデルでは考慮されない。またセグメ
U

ント上端面の変位は、半径方向に一様な座標変化 zi

v U として z1U

zU2

ziU

zUp

の一般化平面歪み条件（(3.2.1)式参照）にしたがう。すなわち全体マトリックス計算において、M

ペレット固体の各リング要素ごとの軸方向変位は ( viviL )（ただし、viL は下部セグメントの v Uであるので、あるセグメントの全てのリング要素で同じ値である）として決定され（(1)項参照）、
U

さらに ziv U は各リング要素ごとの (viM

viL ) の値から凹みおよび隙間の軸方向剛性（バネ定数）を介して得られたバネ力を径方向全リング要素について加えた総和の力によって決定される。
U

また、 v には、バネ力の他に被覆管との摩擦・固着などの PCMI に起因する軸力の効果が含まUれる。すなわち、v はこれらの全ての力の相互作用をマトリックス上に組み込んで決定される。

調 整パ ラメ ータ

BU FSPBUFSP の標準値は 1.0(%)である。一様な空隙要素厚みとしてスタック長の BUFSP %と仮定する。

モデルパラメータ IDSELM（力学計算のみ）

IDSELM の標準値は 0 である。

(3) ペレットスタックを構成する要素の性質の仮定
次に、この要素体系モデルにおける計算方法を具体的に説明する。図 3.2.6 において、まず、熱膨張やスエリングによりペレット固体要素が膨張していく場合、この要素はディッシュ要素（凹み）の空間体積が埋まるまでは軸方向にはほぼ自由に膨張（収縮）することができ、引張りも圧縮もペレット本来の値によって計算が可能である。次に、図 3.2.6 のディッシュ要素の空間が埋まると、それ以上の軸方向膨張に対しては、隙間要素が埋まっていくが、このとき、隙間要
素の剛性はペレット本来の値に向かって回復していくので、固体要素は軸方向に自由に膨張（収縮）することができなくなる。チャンファー要素についても同様な取り扱いを行う。

－195－

JAEA-Data/Code 2010-035

ただし、出力降下するときペレットが収縮してディッシュ・チャンファー要素の空間が回復す
ることはある。このとき、ペレット間の隙間体積の回復に依存してバネの剛性は再び低下する。

(4) 軸方向剛性（バネ定数）の変化
ディッシュ（チャンファー）、隙間要素での剛性変化（増大あるいは減少）モデルは、ディッシュ＋隙間要素、チャンファー＋隙間要素、隙間要素のみのいずれの場合についても 1 つの軸方向バネ要素でモデル化する。軸方向バネ要素の剛性変化はバネ定数の変化により以下のように扱う。（ただしペレットのクラックが埋まることによる要素の剛性回復はこれとは別の現象として、
3.2.3 節でそのモデルを詳述する。）
隙間要素がペレット固体に 100%置き換わったと想定した場合の隙間要素のバネ定数 k z を以下のように与える。

kz

Ez

S
lz

(3.2.11)

ここで、 E z はペレットヤング率、 S はディッシュ（チャンファー）要素の中心軸に垂直な初期断面積（ディッシュ、チャンファーがないペレットの場合はペレットの断面積）、 l z は前項(2)で説明した隙間要素の軸方向に一様な厚みであり、 lz は一定値であるので、 k z は E z の温度依存性の影響を受けるだけであり、 E z が不変ならば k z は一定値を取る。
次に、計算で使用するディッシュ要素と隙間要素（チャンファー要素と隙間要素）を通したバ
ネ定数 k zd については、ペレットの膨張（収縮）によってディッシュ（チャンファー）空間が変化（減少・増加）することによる剛性変化（回復）を反映する必要がある。
ここで、現時点でのある径方向リング要素 i のディッシュ（チャンファー）の軸方向深さ（長さ）の値を、隙間要素の上面位置を基準にとって、 l zd , i とし、下向き深さを正の符号とする。
①ディッシュ（チャンファー）空間が残っている間（ lzk zdk z FAC , FAC

l zd , i の場合）のバネ定数は、
10 5(3.2.12)とする。すなわち､ディッシュ（チャンファー）＋隙間要素を通してのバネ定数 k zd は極めて小さい値となる。（ディッシュの場合、初期深さよりディッシュがさらに凹む可能性も状況によってはあり得る。）②ディッシュ（チャンファー）空間が 100%埋まった後にそれ以上の膨張が進むとき（ l zd , ilz ）は、隙間要素の厚みが失われていく過程となり、ディッシュ（チャンファー）要素＋隙間要素のバネ定数 k zs は、隙間要素に入り込んでいく膨張量 l

－196－

lz

l zd , i が徐々に lz に近づくので、以下

JAEA-Data/Code 2010-035の式にしたがって k z に近づいていく。

k zs

l
lz

kz

(3.2.13)③なお、ディッシュ（チャンファー）が無いペレットのリング要素の場合、及び、図 3.2.6, 3.2.7
でディッシュとチャンファーの間のリング要素の場合は、ペレットの膨張は直接に隙間要素に入り込んでいくので、(3.2.13)式と同様な式：

k zs

lz
lz

kz

( k zdk z FAC )(3.2.14)

によってバネ定数の変化を表現する。ここで l z ( lz ) はこれらのリング要素の軸方向膨張量である。収縮の場合は k zs

k zd

k z FAC となる。

(5) 応力―歪みマトリックス（剛性マトリックス）［D］の求め方
ペレットの各リング要素の応力-弾性ひずみ関係式は、
e
n 1

D

n 1

(3.2.15)で表される。 [ D ] は、3.1 節でも述べたように、ひずみ-応力マトリックス（剛性マトリックス）と呼ばれ、要素の剛性を表す。このマトリックスの逆行列として [C ] マトリックスを定義すればこの関係式は、
e
n 1

Cn 1

n 1

(3.2.16)1(3.2.17)と書け、 [C ] マトリックスは、

C

1
E

1
1

で与えられる。ここで E はヤング率（温度依存性あり）、 はポアソン比である。

3.2.3

ペレットクラック(1) 剛性回復モデル
クラックが発生したペレットのふるまいに関する力学的モデルの概念について図 3.2.8(1.4), (1.10)に模式的に示して説明する。ただし FEMAXI では explicit にクラックを扱わない。ペレット（スタック）はあくまで連続体円柱形状を維持すると仮定して計算する。
ここでは、方向 i（軸方向、周方向あるいは径方向）が引張状態のとき、その方向に垂直な面にクラックが生じ、i 方向ヤング率は小さな値（物性値の約 1/100）になると仮定する。
また、圧縮状態のときには、リロケーションによるひずみに依存して弾性が回復されると仮定－197－

JAEA-Data/Code 2010-035

する。すなわち、初期状態（燃焼度＝0、出力＝0、このときioi0 ）において、ペレットのヤング率 Ei は小さな値 Ec である。

Hard
Interaction

Soft
Interaction

No
Interaction

E

Ec
rel

図 3.2.8eクラックが発生したペレットの剛性モデル

出力上昇に伴うペレットふるまいの変化は、以下のようにモデル化される。
① 被覆管と非接触のとき、ペレットは割れているため熱応力による熱膨張への拘束が少なく、ペレットは固有の熱膨張率にほぼ従って熱変形し、ギャップを狭める。
② 被覆管との接触が生じると、ペレット内に被覆管の拘束力によって圧縮ひずみが増加する。
このとき、リロケーションによってペレットクラック面に生じていたすきまが圧縮されるにつれて、ペレットの剛性が大きくなる。この過程がヤング率を変化することによって近似される。
すなわちここでは、割れてリロケーションしたペレットと被覆管との間の援慢な力学的相互作用
が次第に強まっていくプロセスがモデル化されている。
③ 次に、リロケーションによる隙間を埋め尽くすまでペレット断片が被覆管により圧縮された
とき、ペレットは弾性 E （本来の物性値としての弾性係数 E としたとき E=E×EFAC で与えられる; EFAC は name-list parameter）まで回復する。ここではペレットと被覆管の強い相互作用をモデ
ル化している。

－198－

JAEA-Data/Code 2010-035(2) リロケーションと応力歪みの関係
以上のモデルに基づいてリロケーションに関するペレットの応力と歪みの関係を説明する。
ここで、各主応力方向の見かけのヤング率 Ei を次のように表す。

Ec ,

0

e
i

e
i
rel
i

E

Ec

Ei

e
i

E ,

rel
i

Ec ,

e
i

0

(3.2.18)

rel
i

e
i

：

ｉ方向の弾性ひずみ

rel
i

：

ｉ方向の初期リロケーションひずみ（入力データ）

Ec：

クラックしたペレットの引張状態での実効的なヤング率

ここで、ｉ方向の弾性ひずみe
i とｉ方向のリロケーションひずみ

ri の和のひずみi を導入する。すなわち、
e
i

i

r
i

(3.2.19)である。
(3.2.19)式において、ち、応力 0（eiei0 のとき irrel
i であり、

e
i

rel
i のとき

0 ）のときのリロケーションひずみは irel であり、 ieri0 である。すなわreli のときにペレットは完全な剛性を回復してリロケーションひずみは 0 となる。
reli

したがって、弾性ひずみが
図 3.2.9 において、区間

rel
i

e
i

0 の範囲では、

rel
i

i

rel
i の範囲で変化する。

rel
i では、(3.2.18)式より、みかけのヤング率の変化がi次関数であり、みかけのヤング率は d/ d で与えられることから、これを積分して得られる応

力-ひずみの関係は、2 次関数となる。
したがって、

rel
i

i

1

rel
i 区間の応力変化を歪みの関数として
i

a i

2

b i

c

(3.2.20)

とおく。これを微分して、

Ei

d i
d i

2a i

である。

－199－

b

(3.2.21)

JAEA-Data/Code 2010-035- rel 弾性歪

リロケーション歪
i

rel

弾性領域

R

図 3.2.9

割れたペレットにおけるリロケーション歪みと応力の扱い方
rel
i のとき

ここで、係数 a , b, c を求める。境界条件は、 i
i

rel
i のとき

Ei

i

rel
i のとき

0、 i

Ei

Ec 、

E であるので、(3.2.20)式より、
a irel2b irelc

0(3.2.22)(3.2.21)式より、

2a irelb2a irelEc(3.2.23)E(3.2.24)bである。(3.2.22)～(3.2.24)式を解くと

a

E Ec
, b
4 irelEEc2を得る。したがって、(3.2.20)式は、

－200－

, c

E 3E c4reli(3.2.25)

JAEA-Data/Code 2010-035i

E Ec
4 irel

2

E

i

Ec
2

i

E 3E c4reli(3.2.26)となる。
図 3.2.9 において(3.2.22)式のカーブと Y 軸との交点の値は、ireli のとき、すなわちヤング率を完全に回復する時の応力はii

E 3E c4(E

reli であり、

E c ) irel である。

(3) クラックモデルの特徴
前項(1)(2)で説明したように、本モデルの特徴は、応力-ひずみの関係を応力と弾性ひずみの関係式ではなく、応力と弾性ひずみ＋リロケーションひずみとの関係式を導入することによりクラックによるペレットの剛性変化を含めた応力とひずみ関係式を導いた点である。
ただしここで、燃焼に伴って変化する要素、たとえばクリープの影響をどう考えたらいいのであろうか。結論からいえば、クリープひずみの寄与を応力-ひずみの関係式に導入させるモデルを定式化することは困難である。つまり、クリープが、基本となる応力－ひずみの関係式に影響を与えることは、クリープ挙動、塑性挙動が応力－ひずみの基本的な関係式の上に成り立って定式化されている点と矛盾すると考えられるからである。したがって、応力－ひずみの関係式にさらに他のひずみ成分を導入して複雑なモデル化はすべきでない。
そこで、応力と弾性ひずみの関係式を燃焼に伴って変化させる方策として、他のひずみを介入させない方法で、クラックの特性変化をモデル化することを以下に検討する。

3.2.4 燃焼に伴うクラックの変化
将来的なモデル拡張のため考察として、クラックの特性の変化の 2 通りの方法を述べる。すな
わち、基準とするリロケーション量を変化させる方法と、応力-ひずみ関係の剛性変化方法変化させる方法である。

(1) リロケーション量を変化させる方法
リロケーション量を変化させる方法は、図 3.2.9 に示すように、x 軸の交点となる εrel を燃焼とともに移動させることが有効であると考えられる。この移動は、タイムステップ毎に緩やかに移動させるのが良い。すなわち、初期リロケーションで与えたひずみの一部をスエリングひずみに吸収させていく方法である。ペレットの照射に伴う膨れをリロケーションひずみ＋スエリング
ひずみで評価する。すなわち、FEMAXI では燃焼とともに発生する新たなリロケーションひずみをスエリングひずみに吸収させてトータルで評価する考えを用いているが、燃焼とともに失うリ－201－

JAEA-Data/Code 2010-035

ロケーションひずみもスエリングひずみに吸収させてモデル化する。燃焼とともに失うリロケー
ションひずみが固体スエリングに依存するとすれば燃焼度依存となる。したがって、リロケーシ
ョンひずみ変化のモデル化は、燃焼初期における照射とともに発生するリロケーションひずみについても考慮すると、図 3.2.10 に示すように基準となるリロケーションひずみ（図 3.2.10 の応力
ひずみ

燃焼が進んだときの-応力歪み曲線

rel

rel,2
rel,1

i

弾性領域

R

図 3.2.10

割れたペレットにおけるリロケーション歪みと応力の扱い方

曲線の x 軸( )との交点の値）を燃焼度の関数として定義することができ、図 3.2.11 に示すように応力-ひずみ曲線が燃焼度依存となる。なお、リロケーションひずみ特性はスエリングひずみと合算して調整することになる。

－202－

JAEA-Data/Code 2010-035

基準となるリロケーション歪初期リロケーション歪燃焼度

図 3.2.11

基準となるリロケーション歪みの燃焼度依存曲線(2) ペレットの剛性変化過程を修正する方法
次に、ペレットの剛性変化過程を修正する方法とは、燃焼の進行とともに図 3.2.12 に示すように応力-ひずみ曲線を変化させる方法である。すなわち、基準となる初期リロケーションひずみはそのままとして、応力-ひずみ曲線の曲率を変化させることで、応力-ひずみ関係を変化させる。
この変化過程も燃焼度依存にするのが良い。
定式化は以下にように行う。(3.2.18)式を変更して、各方向のヤング率 Ei を次式のように表す。

Ec ,
e
i
rel
i

Ei
E ,

e
i

0
E
e
i

Ec

Ec ,

rel
i

e
i

0

(3.2.27)

rel
i

ここで、
e
i

：

ｉ方向の弾性ひずみ

rel
i

：

ｉ方向の初期リロケーションひずみ（入力データ）

Ec：

クラックしたペレットの引張状態での実効的なヤング率である。
(3.2.27)式中の α は以下のように与える。

1

－203－

Bu

(3.2.28)

JAEA-Data/Code 2010-035

ここで、
Bu
β

：
：

燃焼度（GWd/t）
調整パラメータ（例えば β = 0.02）である。例えば β = 0.02 では、50GWd/t で図 3.2.8 に示すペレットの剛性モデルは 2 次関数で変化することになる。 ただし、モデルの取り扱いとしては、(1)のリロケーション量を変化させる方法の方が簡便である。

調整パラメータ ECRAC3

クラック時のヤング率は ECRAC3 で指定する。標準値は 2 10 N / m で UO2 のヤング率の約 1/100 である
92モデルパラメータ IYNG（力学計算のみ） IYNG の標準値は 1 である。このとき、図
rel
3.2.7 に示すペレットの剛性変化モデルにおいて、から 0 の間が直線で結ばれる。
rel
IYNG=0 の場合、から 0 の間が下に凸の二次関数で結ばれる。

調整パラメータ FACR, FACZ

Ei

E となるのは i0iパラメータ FACR, FACZ を用いて径および周方向については
軸方向については

i

0
i

rel
i

rel
i の場合であるが、
0
rel
i
i
i

FACR 、

FACZ の様に調整することができる。

FACR、FACZ の標準値は 1 である。

調整パラメータ EFAC
ペレットは本来の物性値としてのヤング率を E とした
とき、E×EFAC まで剛性を回復することができる。EFAC は燃料棒全長力学解析のみの調整パラメータである。標準値は 0.1.
なお、3.5 節に示す局所での力学解析
では EFAC=1 に固定されており調整パラメータではない。

3.2.5

マトリックスにおけるクラック表現方法

FEMAXI の力学モデルでは、前述したようにペレットはあくまで円柱状の連続体を仮定するので、クラックはペレットリング要素の剛性低下として近似的に表現する。すなわち､割れたペレ
ット片に対して直接に有限要素分割することはしない。ペレットクラックは(3.2.16)式中の [C ] マ
トリックスの要素を(3.2.17)式から次のように変更することによって、ラック歪み増分crk
n 1の変化に比例してク~が与えられる。ここで、ペレットの弾性ひずみ－応力マトリックス C は

次のように表す。

－204－

JAEA-Data/Code 2010-035

1
Er

~
C

ここで、

E

E
1
Ez

E

E

E
(3.2.29)

E
1
E

Er

：

径方向のみかけのヤング率(Pa)Ez：

軸方向のみかけのヤング率(Pa)E ： 周方向のみかけのヤング率(Pa)E：：

ペレットヤング率（本来の物性値）(Pa)
ポアソン比 (-)

である。
各方向のみかけのヤング率 Ei（Er、Ez、 E ）は次のように定義する。

Ec

,
0
i

i

Ei

rel
i

E Ec

Ec

0
rel
i

,

E

,

0
i

i

0
i

i
0
i

i

0

（3.2.30)

rel
i

ここで、
i

：

ｉ方向ひずみ0i：ｉ方向初期ひずみ

reli：

ｉ方向の初期リロケーションひずみ量（入力データ）

Ec：

クラックしたペレットの引張状態での実効的なヤング率

E：

E（ペレットヤング率の物性値）×EFAC

である。(3.2.16)式より、
e
n 1

Cn

(3.2.31)n 1

また、弾性歪み増分とクラック歪み増分との和をen 1

crk ,i 1
n 1~Cn

とおく。クラック歪み増分ベクトルは、(3.2.31)、(3.2.32)式より、

－205－

i 1
n 1

(3.2.32)

JAEA-Data/Code 2010-035

crk ,i 1
n 1

Cn
1
Er

i 1
n 1

Cn
E

1
E Ez

E
E

1
E E

E

1
E

E
1
E E

E

E

E
1
E E

1
Er

1
E

i
r,n 1

1
Er

1
d ri ,n1 1
E

1
Ez

1
E

i
z,n 1

1
Ez

1
d zi ,n1 1
E

1
E

1
E

1
E

1
d i ,n1 1
E

i
,n 1

i 1
r ,n 1i 1z ,n 1i 1,n 1(3.2.33)

crk ,i 1
n 1となる。これによって(3.1.40)式中の未知量であるクラック歪み増分
i 1
r,n 1

i 1
z,n 1

,

が未知量の

i 1
,n 1 によって表現されたので、未知変数が１個消去された。ここで、(3.2.33),

式は、クラック歪み増分の求め方を示した式であり、全体マトリックスには(3.2.32)式によって組
み込まれている。すなわち、(3.2.32)式で示したように弾性歪み増分＋クラック歪み増分と応力増分の関係で定式化されている。
こうした消去の結果としての(3.2.33)式を(3.1.40)式に代入すると

Cni

d
Cni

i 1
n 1

B
Cni

uni 11

0
n 1

i
n 1

P ,i 1n 1

c ,i 1n 1

0n 1

P ,i 1
n 1

d

Cni

i 1
n 1

n

i
n 1

n

~
Cni

i
n 1

0

より、結局

~
Cni

d ni 11B

uni 11と変換することができる。

－206－

c ,i 1n 1

n0(3.2.34)

JAEA-Data/Code 2010-035

調整パラメータ FRELOC, EPSRLZ（力学計算のみ） リロケーションひずみ

rel

は、径方

向には hot stand-by における半径ギャップ幅を RELOC 倍した長さをペレット半径で割ったものであり、軸方向には EPSRLZ で入力で直接与えることができる。なお、FRELOC の標準値
は 0.35、EPSRLZ の標準値は 0.003 である。

3.2.6

FEMAXIにおける相当応力、相当歪みの定義式

ここで、以下の非線形力学解析の記述を理解する上で重要な、相当応力・相当歪みの定義式を示す。

(1) 相当応力
異方性材料の相当応力の一般式はZR方向のせん断応力のみを考慮した場合、

3
2F G
3

2

H

H

r

r

z

F

z

2

2

G

z

r

6 zr2

(3.2.35)12 2であり、αはホットプレスパラメータであるが、ホットプレス項については3.2.7項で説明する。

F(3.2.35)式において、等方性を仮定するとGH

1.0 であるので

全長力学解析(IFEMRD=1)では

1
2

2
r

2

z

2

z

2

3

r

6 zr2

3

r

(3.2.36)z

局所力学解析(IFEMRD=0)では

1
2

2
r

2

z

2

z

r

2
r

z

(3.2.37)となる。

(2) 相当弾性歪み（等方性を仮定）
全長力学解析(IFEMRD=1)では
e

2 1
3 2

局所力学解析(IFEMRD=0)では
2 1
e
3 2

2

2

r

2

z

2
r

2
z

(3.2.38)

r

2
z

－207－

z

0.5

r

3 2
rz
4

0.5

(3.2.39)

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 相当塑性歪み増分 (クリープ歪みも同じ表式)
全長力学解析 (IFEMRD=1)ではd2( d rpl ) 2 ( d
3

pl

pl 2

( d zpl )2)(3.2.40)

局所力学解析 (IFEMRD=0)では

d

pl

2
( d rpl )2 ( d
3

pl 2

1
( d rpl )2 ( d zpl )22( d zpl )2)(3.2.41)

また、全相当塑性歪みは、最初のタイムステップから n-th タイムステップまでの増分の

総和として
n

pl

d i pl(3.2.42)

i 1

である。

ペレット、被覆管（SUS）、純 Zr、ZrO2 の異方

異方性パラメータ H0(4), F0(4), G0(4)性係数 H, F, G はそれぞれ H0(1), F0(1), G0(1)、H0(2), F0(2), G0(2)、H0(3), F0(3), G0(3)、H0(4),F0(4), G0(4)で指定する。標準値はいずれも 1.0 である。

3.2.7

ペレットのホットプレス(1) 現象と式
静水圧による体積収縮、すなわちホットプレスは、静水圧応力によってペレット内部の空隙が押しつぶされ、密度が増加する現象である。ペレットの相当応力及び降伏関数の流れ則を次式に示す(3.1)。ただし、次式においては、せん断成分はホットプレスには効かないので無視した。また、以下の説明は全長力学解析及び局所力学解析の両方に適用される。(3.2.35)式で全長力学解析(IFEMRD=1)では、

h

3
2 F G H

H

2
r

F

z

2
z

G

2
r

(3.2.43)

3

2
r

z

ここで、

－208－

1
2

JAEA-Data/Code 2010-035

h：降伏関数 (von Mises 関数)、
：相当応力
H, F, G ：α：

異方性係数（ただし、ペレットでは等方性を仮定して H=F=G=1 とする）
ペレットホットプレスパラメータ（ただし被覆管ではα=0 とする）

である。
(3.2.43)式は、ホットプレスを考慮しない場合の相当応力の表式に対して
2

3

2
r

z

r

27

z

3

の項が付加されている。ただし
r

ST

z

3

は静水圧応力である。
(3.2.43)式は、一般の金属ではα=0 であり、かつ偏差応力

2 r
r

ST

z

ST

z

3
2 z

r

0

3
2

ST

r

(3.2.44)z3が成り立つ場合は、相当応力=0 であり、塑性変形は生じない。しかし、ペレットのようなポアを持つ固体の場合、たとえば焼結後に残留した気泡が存在する場合には、偏差応力がたとえ 0 の
条件でも

ST

( 0) （＝圧縮静水圧）によって気泡が押しつぶされて、ペレットが収縮し、体積変化する（永久歪みが生じる）。この収縮速度は、クリープひずみ変化速度、塑性ひずみ変化速度に比例すると仮定することができる。また、収縮速度は静水圧応力ST( 0) に比例すると考えら
2れるので、(3.2.43)式のように等価応力の表式中（平方根中）に 27

r

z

3

項が付加さ

れる(3.1)。ここで、αはホットプレス調整パラメータである。

ここで、塑性の流れ則の形を考えると、第 n タイムステップ中の繰り返し計算において塑性歪
み増分は
P
n 1

P
n 1

(3.2.45)
n

となる。

－209－

JAEA-Data/Code 2010-035

ペレット材質の等方性 H

F

G

1, N

3 を仮定すると、(3.2.43)式より

2 r

z

r

3
2

2

3

r

(3.2.46)zが成り立つ。したがって、

1 3

1
n

n

0.5 3

0.5 3

1 3
Sym.

0.5 3
1 3

(3.2.47)nである。(3.2.47)式を(3.2.45)式に代入し、整理すると、

1
P
n 1

1 3

P
n

vP

vP

1

vP
1

n

(3.2.48)nSym.
となる。ここで、

0.5 3
1 3

vP

(3.2.49)である。この式は後述の二次元局所力学解析でも同じ形である。
以上により塑性変形の過程におけるホットプレスによる体積ひずみ増分
P
h,n 1

P ,r
n 1

P,z
n 1
P
n 1

1 3
9

P
n 1

r

P
h , n 1 は、

P,
n 1

1 2v Prz(3.2.50)zである。こうして、塑性変形の過程におけるホットプレスによる体積ひずみ増分が定式化された。
クリープが進行している過程におけるホットプレスによる体積ひずみ増分

ch , n 1 にも、(3.2.50)式が適用されるので、同様にして、
ch ,n 1

9

c
n 1

r

z

(3.2.51)となる。したがって、塑性およびクリープ変形に伴うペレットの体積変化（＝ホットプレス歪み）
h, n 1 は全体をまとめて次のように表される。

－210－

JAEA-Data/Code 2010-035

Ph ,n 1h ,n 1

c
h,n 1

9

P
n 1

c
n 1

(3.2.52)rz

したがって、塑性及びクリープ歪みの定式化で、相当応力を(3.2.43)式で定式化すれば、塑性及びクリープ歪み増分中にホットプレス歪み増分が含んだ歪み増分として求めることができる。
また塑性及びクリープ歪みの求め方は次項に説明する。

(2) パラメータ
ここで、ホットプレスの計算を制御する name-list parameters を説明する。
①

BETAX
BETAX は、ペレットの理論密度比とホットプレスパラメータαを関係づける係数である。また、オプションパラメータ IHOT 及び IHPOP の設定によってαの取り扱いは異なる。αの設定
方法は以下のとおりである。
1) IHOT=0 の場合、

BETAX に固定される。（全長力学解析部に適用される。）

2) IHPOP=0 の場合、

0 （非接触時）、

BETAX （接触時）に固定される。（局所力学解析部に適用される。）

3) IHOT=1（あるいは IHPOP=1）の場合、第 n+1 タイムステップにおけるαをポロシティの関数として以下のように定義する。

ここで、

BETAX

D Dn 1( Dn 1D Di

0 ( Dn 1

D)D)(3.2.53)

D ：ホットプレスが完了する理論密度比（－）
Dn 1 1 pn 1
pn 1 ：ペレット内部でのポロシティ
Di ：初期理論密度比（－）

この場合、ホットプレスや焼きしまりが進んでポロシティが減少すればαは 0 に漸近して行くが、負値にはならない。

② IHOT

全長力学解析においてパラメータαを調整するオプション。標準値＝0③ IHPOP

局所力学解析部においてパラメータαを調整するオプション。標準値＝0－211－

JAEA-Data/Code 2010-035④ FDENH ホットプレスが完了する理論密度比 D （－）
IHOT=1 または IHPOP=1 の場合に適用される。標準値＝1.0

3.2.8 増分法の補足説明「弾性歪み増分」という場合、塑性歪みやクリープ歪みも含む「増分法における線形近似可能
な非線形歪み＋線形歪み」という意味だろうか？

たとえば(3.2.8), (3.2.9), (3.2.17)式のようなもっぱら弾性変形の計算に用いるマトリックスが示され、その後に塑性やクリープもこの式で計算をやります、と言外に説明しているように受け取られるかもしれない。しかし塑性やクリープには(3.2.5), (3.2.17)式のようなポアソン比を用いた式は成り立たない。したがって以下では塑性やクリープの歪み増分を弾性変形と区別して、どう扱うかを説明していく。
ここでは、まず弾性歪み増分の算出方法について説明を補足する。

(1) 増分法の剛性方程式
増分法での剛性方程式とは、3.1 節でも説明したように

B

T

B

D
T

D

B dV

u

F

TH

rel

swl

den

crk

c

p

HOT

dV
(3.2.54)である。(3.2.54)式は、

B

T

B

D
T

D

dV
TH

F
rel

swl

den

crk

c

p

HOT

dV
(3.2.55)と変形することができる。ここで、右辺の歪みはそれぞれ、
TH：熱歪み増分、rel：リロケーション歪み増分、

swl：スエリング歪み増分、

den：やきしまり歪み増分、

crk：クラック熱歪み増分、c：クリープ歪み増分、p：塑性歪み増分、－212－

JAEA-Data/Code 2010-035

HOT：ホットプレス歪み増分である。
左辺の歪みは全歪み増分で、
e

TH

rel

swl

den

crk

c

p

HOT

(3.2.56)である。(3.2.55)式に(3.2.56)式を代入すると、

B

T

e

D

dV

F

(3.2.57)の関係式が得られる。また、(3.2.57)式では、平衡方程式より

F

B

T

dV

(3.2.58)の関係式が成り立つので、

B
D

が得られ、

e

F

e

D

dV

B

T

dV

(3.2.59)、すなわち(3.1.11)式が得られる。ここで

B
において

T

0 であれば、

e

T

e

D

dV

F

(3.2.57)0 になる。

実際の適用では、弾性歪み増分以外の歪み増分に歪み差が生じていない場合には、

F

0(3.2.60)e0(3.2.61)であるのでとなるが、弾性歪み増分以外の歪み増分に歪み差が生じている場合は、歪み差によって要素間ではF0の荷重が発生して、弾性歪み増分が発生する。このF の値が決まらないため、(3.2.54)式の剛性マトリックスを解く必要が生じる。ここでDe(3.2.62)の関係式では、他の歪み増分を考慮するか否かに係わらず応力を決定する歪みを弾性歪みと呼ん
でいる。

－213－

JAEA-Data/Code 2010-035(2) 初期歪み増分TH

初期歪み法では、タイムステップの始めに
p

,

HOT

rel

,

swl

,

den

,

,

crk

,

c

,

を与えて(3.2.55)式を解くもので、これらの歪み増分を初期歪み増分と呼んでいる。しかし、上記の歪みのうち、タイムステップの始めで定義できる歪み増分（温度や燃焼度のみの関数としての歪み変化）は、
TH

rel

,

swl

,

den

,

(3.2.63)の 4 つの歪み増分だけである。そこで、タイムステップの始めに定義できる歪み増分が初期歪み増分なので、初期歪み増分

0

は、
0

TH

rel

swl

den

(3.2.64)と置く。タイムステップの始めに未知な歪み増分（応力に依存する歪み増分）
crk

,

c

p

,

HOT

,

(3.2.65)については、その算出に数値計算上の工夫がいるので、本文中ではその取り扱い方法についての解法を順次説明している。(3.2.64)式を(3.2.56)式に代入すると次式が出てくる。

ここで、

HOT

については、

c,pの中に含めている。

すなわち、弾性ひずみ増分ベクトルは次のように表す。
e
n 1

0
n 1

n 1

crk
n 1

c
n 1

p
n 1

(3.2.66)

ここで、
n 1：全ひずみ増分ベクトル0
n 1：初期ひずみ増分ベクトル

crk
n 1

：ペレットクラック歪み増分cn 1：クリープひずみ増分ベクトルpn 1：塑性ひずみ増分ベクトルである。熱膨張、やきしまり、スウェリングおよびリロケーションによるひずみは一括して初期ひずみとして取り扱われる。
次の3.3節では、こうした非線形歪みの計算法が説明される。

－214－

JAEA-Data/Code 2010-035

3.3 非線形歪みの計算方法
3.3.1 クリープ
(1) クリープ式と関連した応力の式
ペレット、被覆管および酸化膜のクリープ式は、一般的な形として次のように書ける。
c

f

,

H

c

：

相当クリープ歪み速度(1/s)：

相当応力(Pa)：

クリープ硬化パラメータ(-)

：

温度(K)

：

高速中性子束(n/m２･s) （ペレットでは無関係）：

核分裂速度(fission/m３･s) （被覆管では無関係）,T , , F(3.3.1)

ここで、

H

T

F
である。

H

また、クリープ硬化パラメータHの変化率は、一般的な形として次のように書ける。

g

H

,

,T , , F(3.3.2)(3.3.1)式は通常は単軸応力下におけるクリープ式であるが、これを多軸応力状態に一般化すれば、クリープ速度ベクトルcは、応力ベクトル、クリープ硬化パラメータのベクトル関数として表される。このベクトル関数を{β}とおけば、cと書ける。ただし、T,

c

は、

,

H

(3.3.3)および F は既知パラメータとして扱われるので省略した。

いま、時刻 tn の計算を終了し、次の時間増分幅を t n 1 として時刻 t n 1 中の変化の計算を行っているとき、クリープ歪み増分ベクトルは、次のように書ける。
c
n 1

tn 1

c
n

tn 1

n

ここで、
n
H
n

1
1

n
H
n

（ただし、0≦θ≦1）

－215－

n 1
H
n 1

, nH

(3.3.4)

JAEA-Data/Code 2010-035である。
例えば θ=0 とすると、上式は増分の始点の状態量（既知量）で定まるクリープ速度を用いる方法（初期歪み法）となる。この場合、計算手順は単純となるが数値的不安定になりやすく、高クリープ速度下において時間増分幅を極めて小さくとらねばならないことが知られている。
一方、θ 0 とすると、未知量を含む表式となり手順が複雑化するが、θ が 1 に近づくにつれて
数値解の安定性が向上する。（θ 0 とする方法は陰解法と呼ばれる）。
本コードでは数値解の安定性を重んじて、θ=1（完全陰解法）としている。
いま、時刻 tn から tn+1 の計算において、Newton-Raphson 法による反復の第 i 回目を終了し第 i 1
回目の反復を行っているとき（(3.1.34)~(3.1.36)式参照）、クリープ速度ベクトルは次のように書くことができる。
ここで、クリープ式は、流れ則(flow-rule)を用いて、各主方向成分の関数形が同形であることにより、(3.3.3)式を用いて、
c

d
d

c

と書くことができる。ただし、相当応力

3f
2(3.3.5)は(3.2.43)式において定義される。

【注】クリープ歪み成分（増分にも）には Prandtle-Reuss の flow-rule が成り立つ。
c

ここで、クリープ歪み増分は、

ctt であるので、クリープ歪み速度についても、flow-rule の適用が可能である。次項(2)補足説明参照。

ここでホットプレス歪みは、塑性歪み及びクリープ歪みに比例すると仮定したので、塑性およびクリープに含めて取り扱って定式化した方が都合がよい。よって、相当応力を(3.2.43)式で与えることにより、ペレットホットプレスを含めたクリープ歪増分が求められる。 また、このときは同様に考えた場合のペレットホットプレスを含めた偏差応力ベクトルであり、

2

r

z

3
2

z

r

3
2

r

3

z

2

r

z

2

r

z

2

r

z

－216－

(3.3.6)

JAEA-Data/Code 2010-035

で与えられ、各主応力成分の平均値からの偏差を表す。(3.2.44)式と比較されたい。

(2) クリープ歪みの計算方法
ここで(3.3.5)式に続いて式を展開する前に、FEMAXI コードの計算におけるクリープ歪み・塑
性歪みと弾性歪みの関係について補足説明する。

1) 主応力方向とクリープ歪み増分
クリープ歪みおよび塑性歪みの各主応力方向の歪み増分は、Prandtle-Reuss の flow-rule に従って偏差応力の大きさに比例して決定される。相当クリープ歪み速度は、応力、温度、クリープ歪み硬化等によってその絶対量が決められる。すなわち、平均応力との差において、引張り応力になっている方向には正のクリープ歪みが生じ、圧縮の応力になっている方向には負のクリープ歪みが生じる。このとき同時に、引張り応力になっている方向は正の弾性歪みが生じており、圧縮応力になっている方向には負の弾性歪みが生じているので、弾性歪みの符号はその主応力方向と一致している。弾性歪みは他の歪み成分との差を埋める方向に発生し、全歪み差（隣接する要素間の変位差に基づく要素間の全歪みの差）が少なくなるように発生する。ここで、他の歪み成分の差とは、有限要素法(FEM)における隣り合う要素間での弾性歪み以外の歪み成分の差を指す。

2)

歪み成分の差変位（全歪みに対応）は材料の剛性によって規定される。すなわち、系を構成するすべての要素間の全歪み差は各要素の持つ剛性によって規定される。ただし、剛性に直接依存する成分は弾性歪みであり、ここで｢全歪み差が規定される｣というのは、全歪み差に弾性歪みが含まれているからである。FEMAXI の FEM 応力解析では変位増分を求めており、したがって全歪み増分を求めている。この全歪み増分中の弾性歪み増分が要素の剛性によって規定される。これによって、隣接する要素間で、隣の要素に比べ弾性歪み以外の歪み成分が大きい要素では、負の弾性歪み（圧縮歪み）成分が発生し、弾性歪み以外の歪み成分が小さい要素では、正の弾性歪み成分が発生することになる。なお、弾性歪みは、要素境界に働く外力、および隣接する要素間の弾性歪み以外の歪み成分の大小関係で決まる。ここで、｢境界に働く外力｣とは、例えば被覆管では内外面での荷重（内外圧、接触圧）である。すなわち、この荷重が、ある要素の節点に外力として作用すると応力が発生し、弾性歪みが発生する。

－217－

JAEA-Data/Code 2010-035

また、｢隣接する要素間の弾性歪み以外の歪み成分の大小関係｣とは、要素間の相互の比較における大小関係を指す。例えば、内側の要素で熱歪み（弾性歪み以外の歪み成分）が大で、外側の要素で熱歪みが小のとき、内側では熱膨張しようとするが、外側の熱膨張が小さいため、内側には負の応力（負の弾性歪み）が発生し、外側には正の応力（正の弾性歪み）が発生する。

3)

クリープによる応力緩和と歪み差
クリープ歪みが発生した場合、弾性歪みと同じ方向にクリープ歪みが発生するように、すなわ

ち弾性歪みとクリープ歪みの符号が一致するように flow-rule で決められる結果、応力緩和されて弾性歪みは低減されるが、弾性歪み及び塑性歪み以外の歪み成分（＝初期歪み）の、隣接要素間の歪み差は変化しない。
例えば被覆管において、歪みを弾性歪み、クリープ歪み、塑性歪み、初期歪み（熱膨張、照射成長）の４種に分けて考えると、クリープが発生すると弾性歪みは緩和され、応力（外力及び熱膨張に起因する）も緩和される。これは被覆管を構成する有限要素間の歪み差が減少することを意味する。一方塑性歪みは、一般には一旦生じた後は応力が緩和しても、応力の方向が逆転しな
い限り減少することはなく、また塑性歪みを減少させるほどの応力の逆転は燃料棒では通常生じない。一方 1 タイムステップ中の計算では、塑性歪み増分が生じるか否かは、弾性歪み増分とともにクリープ歪み増分と応力との関連で決定される。また｢それ以外の歪み｣は応力に無関係に、温度や燃焼度などにより決定される。
したがって 1 タイムステップ中の計算では、クリープ歪みは弾性歪みを低減し応力を緩和し、塑性歪み増分を低減する場合があり、一方、初期歪みを低減することはない。例えば PCMI で発生した応力によって発生した弾性歪み増加に対しても、被覆管の径方向へのクリープによってPCMI 応力（及び熱応力）が緩和し、この結果、弾性歪みの低減が生じる。しかし、前のタイム
ステップまでに既に生じている塑性歪みや、熱膨張歪みは減少しない。

4)

クリープ計算の方法
計算上重要なことは、どの程度クリープ変形が発生するかということであり、相当クリープ歪み速度を正当に評価することが重要である。
相当クリープ歪み速度は、応力に対して高い感度を持つので、これを正当に評価するために未知の応力変化を評価する算法上の十分な工夫をしている。すなわち、本 3.3.1 節と次節｢3.3.2 塑－218－

JAEA-Data/Code 2010-035

性｣では、未知の応力変化の数値解法を中心に説明する。また、クリープ歪み硬化という概念についても、応力と同様に相当クリープ歪み速度を制約する要因の一つであるので、クリープ歪み
硬化による相当クリープ歪み速度の変化を評価するための計算上の工夫について説明する。ただし、クリープ式が歪み硬化の項を含んでいなくても、FEMAXI での扱いに問題はない。
クリープ計算の本質は、発生した新たなクリープ歪みと弾性歪み（及び降伏後では塑性歪み）との間で、応力変化で発生した歪みの分かち合いの計算を行うことである。この新たなクリープ
歪みは、歪み硬化にのみ依存するのではなく、応力変化に依存することは言うまでもない。
-----------------------------------------------------さてここで数値計算の説明に戻る。(3.3.5)式より、第 n ステップの第(i+1)イタレーションにおいて
c ,i 1
n

i
n

d

i 1
n 1

,

H ,i
n

d

i 1
n 1

,

H ,i
n

d

i 1
n 1

i
n

3f

i
n

2
i
n

d nH ,1i 1
d nH ,1i 1(3.3.7)

i 1
n 1

d

が成り立つ。
クリープ歪み速度は、応力、温度、核分裂密度、高速中性子束、クリープ歪み硬化等によって変化するが、このうち、温度、核分裂密度、高速中性子束等は既知として定式化すると、クリー
プ歪み速度はc, i 1ninと表記できる。ここで、未知量は ddH ,i 1i 1n 1とd n 1

d

i 1
n 1

i 1
n 1

, nH ,id nH1,i 1(3.3.8)である。クリープ歪み速度が flow rule に従う

ので、

c, i 1
n

i
n

3f

i
n

2
3
2

i 1
n

f ni 1

,

H ,i
n

d

i 1
n 1

d nH1,i 1

i
n

d

i 1
n 1

i 1
n

(3.3.9)－219－

JAEA-Data/Code 2010-035が成り立つ。
H ,i 1i 1
n 1(3.3.9)式は、未知量 d

および d n 1

について 1 次のテイラー展開を取ることによって次のように近似される。すなわち、

3
2

i 1
n

f ni 1

3

i 1
n

2

f ni

i
n

3

3

i
n

f ni

2 ni

f ni

2 ni

H

,

i
n

i

d

d

i 1
n 1

n

H

,

i

d

n

i 1
n 1

i 1
n 1

(3.3.10)

3

f

2 ni

i
n

f

3
2

H

,

H

,

,

i
n

i
n

i

H

i

d nH 1,i 1nHnとなるので、
c,i 1
n

3
2

f ni

i
n

3
2

i
n

3
2

i
n

i

3

i
n

fi
2 n

i
n

2

i
n

d

3

i 1
n 1

2

n

i
n

i

f

i
n

i

d
n

i 1
n 1

n

i

f

i
n

i 1
n 1

n

i

f ni

d

d nH1,i 1Hnとなり、これを整理すると、
c ,i 1n

c ,in

3 f ni2 niとなる。上式を、

3
2

3
2

i

f

i
n

n
i 1
n 1

n

n

3
2 ni

i
n

なる関係を用いて書き直すと、

－220－

i 1
n 1

d

i
n

i

d

i

f ni

f

(3.3.11)id nH1,i 1HnJAEA-Data/Code 2010-035

c ,i 1
n

c ,i
n

9
i
n

4

i

f

f ni

2

i
i

i
n

n
i

3 f ni
2 in

d

3

i 1
n 1

n

f

i
n

i
n

2

i 1
n 1

d

j n

(3.3.12)id nH ,1i 1Hnである。(3.3.12)式が 1 次のテイラー展開を行って得られた結果であり、ここまでの式の展開はクリープ式の形の如何に関わらず成り立つ一般的な計算過程である。
この後の式の展開では、相当クリープ歪み速度の変化を評価するためのもう一つの要素である、
クリープ歪み硬化に関連した計算法を説明する。クリープ歪み硬化は、通常 1 次クリープ（熱クリープ）領域において観察され、応力がクリープ歪みの強い増加関数となるが、ここでは、クリープ式を｢歪み硬化｣の有無の観点から以下のように(A)(B)(C)に分類して計算法を説明する。

(A) 1 次クリープ式のように、応力がクリープ歪みの増加関数となる場合。
ここでは、1 次クリープ（熱クリープ）でクリープ歪みの増加に伴う硬化が生じるとする。こi 1nの 1 次クリープ成分を(3.3.8)式を参照して g, nH ,i 1 と書くと、これに対応する硬化クリー

プ歪み増分は(3.3.8)式より、次のように表される。
H ,i 1n 1

i 1
ntn 1 g, nH ,i 1

intn 1 gdi 1
n 1, nH ,i(3.3.13)d nH1,i 1

上式は、1 次のテイラー展開をとって、次のように近似される。
H ,i 1n 1

tn 1 gH ,in 1

d nH1,i 1

i
n

tn 1

g

i

i

n

tn 1

g

i 1
n 1

d

(3.3.14)ni

d nH1,i 1Hn

H ,i 1(3.3.14)式から、 d n 1

は次のように表される。

tn 1 g ni

H ,i
n 1

tn 1

d nH1,i 1
1

tn 1

g
g

i

d
n
i

H
n

－221－

i

n

i 1
n 1

(3.3.15)

JAEA-Data/Code 2010-035

H ,i 1

これで、未知量 d n 1

についての定式化ができたので、(3.3.12)式の右辺の未知量 d

i 1
n 1

、

d nH1,i 1 のうち、未知量 d nH1,i 1 について消去することができる。
(3.3.15)式を(3.3.12)式に代入し整理すると、
c ,i 1
n

c ,i
n

i

i

F1

i

j

i 1
n 1

d

n

F2

d

i 1
n 1

i
n 1

F3

(3.3.16)

n 1

ここで、
i

f
F1

f

9
i
n

4

i

f ni

2

tn 1

H
n

i
n

n

g

1

i

n

tn 1

g

i

H
n

F2

3f
2

i
n
i
n

(3.3.17)
i

f
F3

3
2

H ,i
n 1

tn 1 g ni

H
n

i
n

1

tn 1

g

i

H
n

である。

(B) 2 次クリープ式のように、一定応力下ではクリープ速度が漸減していく場合。
すなわち材料に正のクリープ歪み速度を維持するためには、応力を単調増加させなければならない場合。 2 次クリープ（定常クリープ）領域では、時間硬化が無く、時間が経過して歪みが増加しても歪み硬化は生じない。ここで、｢時間硬化｣とは、｢時間の経過とともに、一定のクリー
プ歪み速度を維持するために必要な応力が増大していく｣という意味である。この時間硬化を歪み硬化に置き換えてクリープ式を表現している。
しかし、クリープ速度式の定式化に応じて、例えば MATPRO-09 のジルカロイのクリープ速度
式のように、1 次クリープ＋2 次クリープの時間硬化型のクリープ速度式を適用している場合は、全領域が歪み硬化の対象になる。したがって、クリープ歪みを、
c

f1 ( , T ) t

f2 ( ,T ) t n（n<1）(3.3.18)で与えた場合、応力、温度が一定でも、時間とともにクリープ歪みが変化する領域に対して、歪み硬化を考慮してで定式化する。すなわち、(3.3.18)式の場合は、 s－222－

f1 ( , T ) は定常クリープ速JAEA-Data/Code 2010-035

度であるので歪み硬化には寄与しないので、硬化歪みは、
H

f2 ( ,T ) t n(3.3.19)n f2 ( ,T ) t n 1(3.3.20)となり、したがって、(3.3.19)式を微分してHである。(3.3.19)(3.3.20)式より t を消去して、
1g( , H )H

n f2 ( ,T ) n

H

n 1
n

(3.3.21)が得られ、(3.3.21)式が g ( , H ) の定義式になる。したがって、(3.3.19)式で、 s

f1 ( , T )0の場合は、全領域が歪み硬化の対象になる。

(C)クリープ式に t のべき乗項を含まない場合
定常クリープ式（時間硬化しない）であるので、歪み硬化しない。この場合は、FEMAXI コードは以下のように扱う。クリープ歪み速度は(3.3.16)式で与えられるが、歪み硬化しない場合は、

fH

0 、g=0 なので、
F1

9
4

i
n

i

f

f ni

2

、 F2

i
n

n

3 f ni
2 ni

、 F3

0

(3.3.22)

となる。
i 1
n 1

次に、(3.3.16)式の右辺の未知量は dのみであるので、既知量の部分と未知量の部分とを分けて、未知量のクリープ歪み増分を(3.3.23)式によって記述する。
c ,i 1n 1

c ,i 1
n

tn 1

c ,i
n 1

Cnc ,i

d

tn 1

i
n 1

i 1
n 1

(3.3.23)

ただし、
c ,i
n 1

Cnc ,i

3
2 ni

f ni

tn 1 F1

i
n

tn 1

i
i

j

n

F3

i

F2

(3.3.24)nである。
なお、(3.3.23)式の定式化のうちには、(3.2.48)式で示したように、ペレットの場合はホットプレ－223－

JAEA-Data/Code 2010-035

ス歪みが含まれている。
次に、(3.1.31)式から変換された(3.2.34)式

Cni

d ni 11c ,i 1n 1を消去するために(3.3.23)式を代入し整理すると次式が得られる。

のuni 11B0n 1

P ,i 1n 1

c ,i 1
n 1

Cni

すなわち、

~
Cni

Cnc,i

d ni 11du ni 11

B

0
n 1

Dˆ ni

i 1
n 1

B

P,i 1
n 1

uni 11

0
n 1

c ,i
n 1

Dˆ ni 1~
C ni 1

c,i
n 1

Cni

i
n 1

i
n 1

~
Cni

i
n 1

n

0 (3.2.34)

n0 (3.3.25)

n（3.3.26)

P ,i 1n 1

ただし、
1

C nc ,i1

であり、＾は見かけの剛性を意味する。この式は未知量 d

i 1
n 1

に係る部分をまとめたものである。ここで Cni 1 は弾性、 C nc ,i1 はクリープに対応する。
ここで、(3.3.26)式では

c ,i 1n 1は消去された式になっており、ニュートン法の繰り返しを行っているのは、1 次のテイラー展開を採って近似したためである。すなわち、応力変動分およびクリープ歪み硬化の変動分についてクリープ速度式に対して 1 次のテイラー展開を採ることで、応力およびクリープ歪み硬化の変化に伴うクリープ歪み速度の変動分を予測するための定式化を行い、精度の良いクリープ速度を予測している。

ここで Pugh の方法(3.2) による被覆管応力反転によるクリープの反転を説明する。応力の方向が反転すれば、一次クリープが再度生じる。これに対し、Pugh はこの現象をシミュレートする簡単な方法を提案した。その方法の概略を説明する。
1)

c

2)

H

クリープ歪みが進行することによるクリープ硬化を応力が反転するとき、

H

f

,

H

で表現する。すなわち、,T .

(3.3.27)0(3.3.28)であり、したがって
H

とおく。

－224－

,

H

JAEA-Data/Code 2010-035

3)

再度応力が反転したり、時間経過後に反転した場合は
H

のときは

H

のときは

H

H

0,

H

0 とおく。そして

H

とおく。

H

0

図 3.3.1 はこれらの関係を示す。
①

H

③

H

c

time
②
H

図 3.3.1

0

④

H

0

応力の反転によるクリープ歪みの反転

ここで、応力の反転は以下のようにして判定する。クリープ式は

f

c

H

,

,T , fであるので、前タイムステップと現タイムステップの間で

0,c(3.3.29)の符号が反転するかいなかにか

かわらず、現タイムステップの状態が判断に用いられる。多軸応力状態では、

c

成分のスカラー積を用いて符号反転の判断が行われる。
ジルカロイのクリープ式には、以下の調整パラメータを用いることができる。
パラメータ名CRFAC
IPUGH,
IPUGH2

3.3.2

内容
標準値
応力除去材に対してはクリープ歪み速度を CRFAC 倍する。 1.3
PUGH=0: Pugh の 逆転を考慮しない。
PUGH=1: Pugh の 逆転を考慮する。

1

塑 性

ペレットおよび被覆管の降伏条件は、共通して次のように表される。

h

K

P

,T

ここで、
P

：

T：

相当塑性歪み温度－225－(3.3.30)

JAEA-Data/Code 2010-035

K：

降伏曲面の大きさh：

降伏関数（相当応力式）である。
【注】降伏関数を h とするとき，h=K を満たす曲面を降伏曲面 (yield surface) と呼び，降伏とはこの曲面上の応力状態を指す。降伏関数あるいは降伏曲面は、降伏状態の進行に伴って膨張あるいは移動する。降伏曲面の大きさとは、降伏曲面が変化するので、これを意識した表現である。
ただし、酸化膜は被覆管の降伏条件に影響を与えないと仮定する。すなわち、酸化膜の強度は無視する。降伏関数 h は、被覆管の異方性とペレットの圧縮性（ホットプレス）を考慮した(3.2.43)を再記する（ただし、剪断成分は扱っていない）。

h

2F

3
G

H

H

2
r

2

F

z

z

G

2
r

(3.2.43)
1
2 2

3

r

z

ここで、
H, F, G ：α：

異方性係数（ただし、ペレットでは等方性を仮定して H=F=G=1 とする）

ペレットホットプレスパラメータ（ただし被覆管ではα=0 とする）である。これによって、塑性に依存するホットプレス歪み増分が塑性歪み増分に含めることができる。
時刻 tn から tn+1 までの塑性歪み増分ベクトルは、流れ則を用いて次のように表される。
P
n 1

P
n 1

h

(3.3.31)n

降伏状態における塑性歪みの定式化において、タイムステップ後にどれだけ相当塑性歪みが発生するかは未知であり、また除荷するか否かも未知であるため、タイムステップ後の応力、相当塑性歪みについて予測しながらタイムステップを進める必要がある。この予測方法として、未知量である応力、相当塑性歪みについて 1 次のテイラー展開を取ることにより現時点からの応力の変化、相当塑性歪みの変化についての予測を行いながら塑性歪みの定式化する手法を用いる。このため、予測精度を向上させるためには繰り返し計算が有効である。以下の定式化では、この繰り返し計算中にどのような定式化を行って塑性歪みを算出するかについて説明する。

いま、第 i 回目の反復を終了して第 i 1 回目の反復のとき、－226－

JAEA-Data/Code 2010-035

h

i 1
n 1

n

P
n

K

P ,i 1
n 1

, Tn

Tn 1

(3.3.32)

ここでは、左辺の h は(3.2.43)式で表される相当応力であり、変化する項は応力であるので、

h

i 1
n 1

n

P
n

あるので、 Ki 1
n 1

P ,i 1n 1, Tn

Tn 1 と記述する。ここで、 Tn 1 は既知として、未知量である

P ,i 1n 1 を(3.3.32)式が成立するように決定するための手法について述べる。このため以とP ,i 1n 1 を下で、と記述し、一方、右辺の K では、変化するタームは相当塑性歪み、温度等で

i 1
n 1

で記述する。
P ,i 1n 1ihP ,i 1n 1(3.3.33)
n

i 1
n 1

P ,i 1n 1 および,Tn 1 について(3.3.32)式の 1 次のテイラー展開をとると次の近似式が

得られる。

h

h

i
i 1
n 1

n

P
n

K

K

Tn

i

n

K
T

P ,i 1
n 1

P
n

Tn 1

(3.3.34)

n

次の関係、
i 1
n 1

i
n 1

d

i 1
n 1

(3.3.35)nを(3.3.34)式に代入し整理すると、P ,i 1n 1

1
Hn i

P ,i 1
n 1 を

i
n 1

h

n

K

n

n

K
T
(3.3.36)式が

i

h

h

Tn 1
n

P
n

, Tn
(3.3.36)

i

d

i 1
n 1

n

i 1
n 1 （未知量を

i 1
n 1の代わりに di 1
n 1

）で記述したものである。

ここで、

Hn

K

i

P

i

(3.3.37)nである。
次に、(3.3.36)式の右辺には、未知量 d
量 d

i 1
n 1

i 1
n 1

が含まれているので、(3.3.26)式と連立させて未知を消去する。(3.3.36)式に(3.3.26)式を代入すると、－227－

JAEA-Data/Code 2010-035

KT

P ,i 1n 1

H ni 1

Tn 1

h

P
n

K

n

, Tn

n

i
i
n 1

(3.3.38)

n

n

h

i

Dˆ ni

B

u

~
Cni

i 1
n 1

i
n 1

0
n 1

n

c ,i
n 1

i

h

P ,i 1
n 1

n

n

本式を

P ,i 1n 1 についてまとめると、ihP ,i 1
n 1

Dˆ ni

~
C ni

u ni 11

B

i
n 1

i

h

i

h

Dˆ ni

n
i
i
n 1

K
T

n

n

Hn

h

i

i 1
n 1

i

n

Tn 1

h

P
n

K

n

(3.3.39)

, Tn

n

i

h

Dˆ ni

n

ここでは d

c ,i
n 1

n

Hn
h

0
n 1

n

i

n

が消去された。(3.3.39)式は、相当塑性歪み増分を算出する式であり、最終的P ,i 1n 1には、(3.3.26)式から、未知量を消去したいので、(3.3.39)式を(3.3.33)式に代入すると次式が得られる。
P ,i 1ih

P ,i 1
n 1

n 1

h

i

Dˆ ni

u ni 11

B

~
C ni

i
n 1

c ,i
n 1

0
n 1

n

n

Hn

h

i

i

i

h

Dˆ ni

n

h

i
i
n 1

K
T

n

n

Hn

i

h

i

Tn 1

h

P ,i 1
n 1

n

K

P
n

, Tn

n

Dˆ ni

h

n

上式を、(3.3.26)式に代入して

h

n

i

n

を消去すると次式が得られる。

－228－

i

n 1

(3.3.40)

JAEA-Data/Code 2010-035

d

Dˆ ni

i 1
n 1

uni 11

B

h

Dˆ ni

h

H ni

Cni

i

h

i
n 1

i

Dˆ ni

h

h

Dˆ ni

i

n
i
n 1

i

(3.3.41)

n

n
i

~
Cni

u ni 11

c ,i
n 1

Dˆ ni

n

B

0
n 1

n

c ,i
n 1

0
n 1

n

i

h

i
n 1

n

K
T

n

n

Hn

i

h

i

Tn 1

h

n

K

P
n

, Tn

n

h

Dˆ ni

i

n

n

これを整理すると次のようになる。

d

i 1
n 1

Dˆ np ,iuni 11

B

Cni

i
n 1

0
n 1

n

c ,i
n 1

(3.3.42)

S

i
n

Tn 1

Z1

Z2

これによって、(3.3.42)式は塑性に関して繰り返しの添え字の i+1 の記述がなくなったので、前段の i の値（既知）を使って、(3.3.26)式の関係を満足する関係式が導かれた。この定式化では、1次のテイラー展開で近似しているので、繰り返し計算が必要になる。
ここで、

D
DnP ,i

h

i
n

Dni
Hn

h

i

i

i

h

Dni

n
i

n

D

h

i
n

n

D

i

h

i
n

S ni

K
T

n

Hn

h

i

i

D

n

n

D

h

i
n

Hn

i

(3.3.44)

i

n

i

h

n

Z1

i
i
n 1

n

n

h

(3.3.43)

n

h

i
n

i

i
i
n

D
n

－229－

h

i

n

(3.3.45)

JAEA-Data/Code 2010-035

Dni

h

i

i

h

h

n

Z21
Hn

P
n

K

n

, Tn

n

h

i

i

D

h

i
n

n

(3.3.46)

i

n

である。
p ,i 1n 1以上の操作によって(3.3.26)式中の未知量が消去された。したがって、(3.3.42)式がペレットのクラック、ペレットと被覆管のクリープ及び塑性に対する未知量をすべて消去した結果得られた構成方程式である。

【補足説明】
クリープや塑性の扱いについて、被覆管を例にして補足説明する。ただし内容を単純明確にするために、応力の変動に伴う繰り返しについては省略し、式の展開についても簡略化した。
被覆管では、歪み成分は、弾性歪み、熱歪み、クリープ歪み、塑性歪み、軸方向照射成長歪みである。FEMAXI コードの取り扱いでは、タイムステップ毎の計算を進めているので、増分形で表示すると、
e
n 1

n 1

th
n 1

P
n 1

c
n 1

irr
n 1

n 1

：

全歪み増分ベクトル

e
n 1

：

弾性歪み増分ベクトル

th
n 1

：

熱歪み増分ベクトル

P
n 1

：

塑性歪み増分ベクトル

c
n 1

：

クリープ歪み増分ベクトル

irr
n 1

：

軸方向照射成長歪み増分ベクトル(3.3.47)である。
ここで、熱計算によって熱歪み増分と軸方向照射成長歪み増分は既知量として扱うので、力学解析における未知量は、弾性歪み増分、クリープ歪み増分、塑性歪み増分である。
FEMAXI コードでは、未知量を応力増分n 1のみとして、構成方程式を変換する手法を用いる。そこでは、弾性歪み増分、クリープ歪み増分、塑性歪み増分と応力増分との関係式を導いて、構成方程式から、弾性歪み増分、クリープ歪み増分、塑性歪み増分を消去して応力増分で表示するように定式化する。すなわち、これらの歪み増分を、－230－

JAEA-Data/Code 2010-035

X
n 1

CnX

(3.3.48)n 1の形で表記することである。(3.3.48)式は、応力増分に対して、弾性歪み増分、クリープ歪み増分、
塑性歪み増分との関係式であり、応力変化（外力変化）によって変化する歪みを、弾性歪み増分とクリープ歪み増分と塑性歪み増分とで分かち合う関係を示したことに他ならない。
(3.3.47)式に(3.3.48)式の関係式を代入すると、

Cne

n 1

th
n 1

n 1

CnP

Cnc

n 1

irr
n 1

n 1

(3.3.49)と表記できる。(3.3.49)式が得られれば、

B

Cne

un 1

CnP

Cnc

th
n 1

n 1

irr
n 1

(3.3.50)

となって、

Cne

Cn

CnP

Cnc

(3.3.51)

とおき、

Dn

1

Cn

(3.3.52)

とおく。すると(3.3.50)式は、

Dn

B

un 1

th
n 1

Dn

n 1

irr
n 1

(3.3.53)となる。ここで、

Fn 1

B

T
n 1

dV

(3.3.54)なので、(3.3.53)式を(3.3.54)式に代入すると、
T

Fn 1

B

T

B dV

Dn

B

un 1

Dn

Fn 1

B

th
n 1

irr
n 1

dV

(3.3.55)

が得られ、

B

Dn

un 1

T

Dn

th
n 1

irr
n 1

dV

(3.3.56)となって、これを解けば、変位増分を得ることができる。このためには、(3.3.56)式を各歪み増分について具体的に表記して Dn

1

Cn

や

Fn 1 を求めることが必要である。

弾性歪み増分については、(3.3.49)式は、
e
n 1

Cn

e

は Cn

で与えられる。すなわち、(3.3.50)式の Cn

－231－

n 1

である。

(3.3.57)

JAEA-Data/Code 2010-035

クリープ歪み増分については、クリープ歪み速度は応力増分の関数ではなくて、応力の関数なので、クリープ歪み増分も応力の関数である。そこで、クリープ歪み増分については、
cn 1, nH 1 )f (Tn 1 ,n 1tf (Tn 1 ,n

, nH )tf (Tn 1 ,f (Tn 1 ,Hn, n )tdf(Tn 1 ,df (Tn 1 ,n

, nH )tCc

n 1, nH 1 )tf (Tn 1 ,ndf
(Tn 1 ,d H

Hn, n ), nH )tHn, n )

d H
d

t

n 1

n 1

(3.3.58)
ここで、 f (T , ,H) ：クリープ歪み速度、T:温度、 ：応力、 H ：クリープ硬化歪みである。

(3.3.58)式の右辺第１項はタイムステップの始めの、Hを使うので、応力に依存しない歪み

成分で、熱歪み増分等と同様に既知の歪み増分項である。右辺第２項が応力の変化に伴うクリー
プ歪み増分項である。クリープ歪み硬化は、温度や応力と同様にクリープ速度を変化させる要因であり、クリープ歪み硬化の変化は応力に伴い変化する。すなわち、(3.3.56)式は、クリープ歪み
増分の場合は、既知の成分と未知の成分に分けて表記でき、
c
n 1

c

である。すなわち、(3.3.49)式の Cn

B

T

Dn

B dV

un 1

Cnc

n 1

c
0, n 1(3.3.59)は(3.3.59)式で与えられ、(3.3.55)式は、

Fn 1

B

T

th
n 1

Dn

irr
n 1

c
0, n 1dV(3.3.60)と拡張される。

塑性歪み増分については、塑性歪み増分は降伏曲面の大きさに支配されるので、クリープ歪み
増分とは定式化が異なる。塑性歪みは、
P

h

K

,T

P

： 相当塑性ひずみ

T：

温度

K：

降伏曲面の大きさh：

降伏関数の関係を満たすことが要請される。

－232－(3.3.61)

JAEA-Data/Code 2010-035

ここで、降伏関数 hPとは相当応力の式であり、降伏曲面の大きさ Kn

よって決まる降伏応力で、

P

K

y

, T とは、材料, T となる応力である。例えばジルカロイの降伏応力は、温度や塑性歪み、高速中性子フルエンス等で定式化でき、実験的に測定できるものである。

(3.3.61)式を満足するには、前ステップで、 h
イムステップ後に h
P
n 1

P
n 1

K

n 1

K

n

P
n

, Tn が成り立っている状態で、タ, Tn 1 が成り立つことである。したがって、塑性歪み増分

の算出は、

h

P
n

K

n 1

n

P
n 1

, Tn

Tn 1

(3.3.62)

とおいて、

h

h

P
n

K

n 1

n

K

, Tn

n

h

n

K

P
n

K
T

P
n 1

P
n

Tn 1

(3.3.63)n, Tn より、(3.3.63)式の左辺第 2 項は、
h

K
n 1
n

である。ここで、H n

K
P

K
T

P
n 1

P
n

とおき、

P
n 1

h

P
n 1

Tn 1

(3.3.64)nの関係式を用いると、(3.3.64)
n

n

式は、

h
n 1

Hn

1

h

P
n 1

n

K
T

n

Tn 1

(3.3.65)nとなる。(3.3.64)式を(3.3.39)式の形で表記すると、

P
n 1

1
Hn

h

h
n

h

K
T

n
n 1

Hn
C

n

h
n

P
n

K
T

n 1

n 1

P
0, n 1

－233－

n

Tn 1
n

Hn

h

Tn 1

n

h

(3.3.66)n

JAEA-Data/Code 2010-035である。
P

すなわち、(3.3.51)式の Cn

B

T

Dn

は(3.3.66)式で与えられ、(3.3.60)式は、

B dV

Fn 1

B

un 1

T

th
n 1

Dn
P
0,n 1

と拡張される。すなわち、最後の

irr
n 1

c
0,n 1

P
0,n 1

dV

(3.3.67)

項として塑性歪み項が入った。

実際の FEMAXI コードでの塑性に関しての式の展開は、D マトリックスを変換する方法を用いて い る が 、 基 本 的 に は 、 (3.3.67) 式 と ほ ぼ 等 価 の 内 容 で あ り 、 こ の と き 前 ス テ ッ プ で の

h
h

P
n

K

n

K

n

た結果は、 h, Tn の残差処理も同時に行っている。
Pn, Tn の残差処理とは、(3.3.64)式で示したようにテーラー展開すると、得られ
K

n 1

P
n 1

, Tn 1 となってしまう。そこで、次ステップでは、(3.3.64)式ではP
nなく、(3.3.63)式をそのまま使って定式化する。すなわち、 K

, Tn

h

n

分の補正を考慮

して、

K
T

P
0, n 1

Tn 1 K

P
n

, Tn

h

n

n

h

Hn

(3.3.68)nとしている。

3.3.3

剛性方程式の導出

ペレットクラック、クリープおよび塑性の歪みをすべて、未知量である d

i 1
n 1と

uni 11 および定数項のみで表記した構成方程式(3.3.42)式を再記する。応力に依存しない歪み成分は初期歪み量として(3.1.28)式に示した。

d

i 1
n 1

Dˆ nP ,iB

uni 11

Cni

i
n 1

n

0
n 1

c ,i
n 1

(3.3.69)

S

i
n

Tn 1

Z1

Z2

(3.3.69)式を平衡条件式(3.1.41)式に代入し整理すると次の形の剛性方程式が求まる。

K ni

uni 11－234－

Fˆni 1(3.3.70)

JAEA-Data/Code 2010-035(3.3.70)式で示した剛性方程式を各要素に適用するために、各項を次式のようにリング要素体積で積分して決定する。

K ni
Fˆni 1

2
2

B

B

T

T

Dˆ nP ,i

0
n 1

2

B

Fn 1

2

ただし、要素の剛性方程式の右辺をら求められる解は変位増分

TDnP ,i B

rdrdz

Cni

c ,i
n 1

rdrdz

S ni

Tn 1

B

T

i
n 1

(3.3.71)

i
n 1

n

Z1

Z2

(3.3.72)

rdrdz

rdrdz

Fni 1 と表記したのは、(3.3.70)式で示した剛性方程式か

uni 11 であるので、右辺は荷重増分ベクトルとなるからである。ただし、＾記号は収束計算中の仮の値（ Fn 1 ）であることを意味する。

－235－

JAEA-Data/Code 2010-035

3.4

全体マトリックスの定式化と外力

3.4.1 剛性方程式と全体マトリックス
各要素の剛性方程式(3.3.71)、(3.3.72)式を以下に再記する。

K ni

uni 11Fˆni 1

2

Fni 1
Dˆ nP ,i

T

B
0
n 1

2

B

Fn 1

2

(3.3.71)

T

C ni

i
n 1

c ,i
n 1

rdrdz

i
n

Tn 1

Z1

i
n 1

rdrdz

S

B

T

n

(3.3.72)

Z2

rdrdz

これらの方程式は Newton-Raphson 法の繰り返しが終了した状態では、繰り返しの添字 i を省略
して、

Kn

un 1

Fn 1

(3.4.1)と書ける。さらに以降の議論のために(3.4.1)式を次式のように表すこととする。

Bee

un 1

Fn 1

Bet ,n 1

Fn 1

Fn 1

(3.4.2)

ここで、

Bee
Bet , n 1Knである。
以上で要素マトリックスが作成できたので、次に全体マトリックスの作成方法を説明する。

(1) 全体マトリックスの作成方法
本来は図 3.2.3 に示す系で解析を行うのであるが、マトリックスの成分表示が複雑であるので、わかりやすくするため図 3.4.1 に示すペレット 3 層、被覆管 2 層に単純化した例によって説明す
る。

－236－

JAEA-Data/Code 2010-035

v1U
①

lz

u1

v2U

②

u2

③

u3

u4

④

⑤

u5

u6

v1L

u7

v2L

図 3.4.1

解析モデルの一例

図 3.4.1 において、u は径方向変位、v は軸方向変位である。すると、このセグメントの全体マ
トリックスを表記すると、
B111
1
21

B
0

B121
B

1
22

0
2
11

2
12

B

B
B222

0
0

B212
0
0

0

0

0
1
31

B
0
B
0

1
41

B
B

1
42

2
41

B
0

0

0

0

B

0

0

B

0
B114

0

0

B214
0

B

0
B

0

2
42

B

3
41

0

B131

0

0

B
0

3
32

0

0

B
0

2
33

B

0

B123
3
22

0
2
31

B
0

B113
3
21

0
1
32

0

3
33

B
0
B
0

3
42

0
B314

0
B124
B224
B
0
B324

0
B414

B115
5
21

B315
0

B424

0
0
0
0
Fpca
0
Fpcb
0
0
0
0

2
13
2
13

B

0

B

B

0

B

3
23

0
0

B
0

B125

0

5
22

B234

2
33

B
0

1
43

2
43

B
B

B

3
33

B

Bet2 , 4

Bet4 , 4

B334

3
43

B
B

0

u3

0

u4
u5

B
0

1
44

2
44

B
B
B435

2
34

B

0

u2

B144
B244

B145
5
24

0
1
34

B335
0

B434

Bet1 ,1
Bet1 , 2 Bet2 ,1
Bet2 , 2 Bet3 ,1
Bet3 , 2
Bet4 ,1
4
Bet , 2 Bet5 ,1
Bet5 , 2
Bet1 , 3 Bet2 , 3 Bet3 ,3Bet4 , 3 Bet5 , 3
Bet1 , 4

B
0

B

0

B425

B135

u1

0
0

2
14
3
14

B
0
0

5
23

1
33

1
24
2
24

3
24

0
B134

0

B
0
B325
0

B415

1
23
2
23

B141

0

3
34

B

B

B
0
B344

3
44

B345

u7
v1L
v 2L
v1U

0
B444

u6

B445

v U2

(3.4.3)

Bet3 , 4

Bet5 , 4と書ける。 (3.4.3)式は、外力ベクトル Fn 1 については、後述の図 3.4.2 中の Fpca （内部ガス圧）と Fpcb （冷却材圧力）のみが考慮されている。
(3.4.3)式を書き換えて、－237－

JAEA-Data/Code 2010-035

1
1
1
B33
B332 B333
0
B31
B32
B312 B322 B313
0
B334 B335 0
0
0

B131
1
B23
B132
B232 B133
B133

B323
0

0
0
0
0

1
0
0
0 B34
B342 B343
0
4
4
5
5
4
B31 B32 B31 B32
0
B34 B345

B141
1
B24
B142
B242 B143
B242

B7 7

4
13

1
B43

0
B
4
0
B23 B135
5
0
B23
3
1
1
3
B432 B430
B41
B42
B412 B422 B4105B434 B43

0

0

3
B42

0

0

5
5
B414 B424 B41
B42

0

u3

0

5
B444 B44

Bet3 , 3

Bet5 ,30

B

Bet2 ,1

Fpca

B

Bet3 ,1

1
et , 22
et , 20

Bet3 , 2

u5
u6

Fpcb

Bet4 ,1

u7
v1U

0

vU2

0

u4

1
B44

0
B144
4
0
B24 B145
50B24B442 B443

Bet1 ,10

u10

Bet2 , 3

Bet4 ,30

v2L
u2

Bet1 , 3

0

v1L

0

0
0
0
0

Bet4 , 20(3.4.4)

Bet5 ,1

Bet5 , 20B

1et , 4

Bet2 , 4

Bet4 , 4

Bet3 , 4

Bet5 , 4

とおく。次に、(3.4.4)式で与えられたセグメントの剛性マトリックスから、燃料棒全長の全体剛性マトリックス定式化について示す｡(2) 燃料棒全長の全体剛性マトリックス定式化
セグメントの剛性マトリックスから全体剛性マトリックスを作成する場合には、軸方向に共有する節点自由度を重ね合わせて作成する。すなわち、軸方向 j と j+1 の境界ではペレットおよび、被覆管の軸方向自由度について、

v1U, jv1L, j 1

vU2, jv1L, j 1

とおく。
例えば軸方向セグメント数を３とした例で示すと、－238－(3.4.5)

JAEA-Data/Code 2010-035

L
v1,1
L
v2,1

u1,1
Be1 e
u7,1
U
v1,1

L
v1,2

U
2,1

L
v2,2

v

u1,2
Be2e

Fn 1

Bet , n 1

(3.4.6)

u7,2
U
v1,2

L
v1,3

U
2,2

L
v2,3

v

u1,3
3
ee

B

u7,3
U
v1,3

vU2,3

(3.4.6)式を、以後の議論の煩雑さを避けるために、(3.4.1)式及び(3.4.2)式のように書き直して

Bee

u

F

(3.4.7)と表記しておく。 なお、(3.4.6)式は、上下の境界条件について設定していないので、次節に上下
プレナムの境界条件の設定方法について示す｡

3.4.2

上下プレナム境界条件

上下プレナム部の存在は、力学的解析の境界条件の一つである。FEMAXI-7 では、プレナム部
は通常のバネ要素と考える。この条件の全体マトリックスへの反映について、以下に説明する。

(1) ペレット及び被覆管に作用する外力及び接触力
ペレット及び被覆管に作用する力を図 3.4.2 のように扱う。
F3
z

F3

PELLET

CLADDING

Fpca
lz

Fpcb

F2

F2

rca
図

3.4.2

燃料・被覆管に作用する力

－239－

rcb

r

JAEA-Data/Code 2010-035

ここで、
F2

：

ペレット／被覆管接触力

F3

：

軸力

Fpca

：

プレナムガス圧力

Fpcb

：

冷却材圧力

である。
ペレットの割れによって、ペレット内部にもプレナムガス圧でガスが入り込んでいるため、プ
レナムガス圧力によるペレットの変形の効果は無視できるものとした。

(2) プレナムスプリング要素の構成方程式
プレナムスプリング要素の構成方程式は、プレナムバネの熱膨張を考慮して、プレナムバネ定
数を k としたとき、

k u Un 1

u nL 1

FnU 1

k

(T pl

Troom )l z , plk u nL 1

u nU 1

FnL 1

k

(T pl

Troom )l z , pl(3.4.8)である。ここで、

k ：プレナムバネ定数

u Un 1 ：プレナムバネ上部節点の軸方向変位
u nL 1 ：プレナムバネ下部節点の軸方向変位
FnU 1 ：プレナムバネ上部節点の軸方向荷重
FnL 1 ：プレナムバネ下部節点の軸方向荷重：プレナムバネの熱膨張率

T pl ：プレナム温度
Troom ：プレナム初期温度
l z , pl ：プレナム長である。次に、(3.4.8)式を増分形で表示する。このとき上部プレナムの場合、プレナムバネ下部
L ,i 1

節点の軸方向荷重は、繰り返し計算中に変化するので、 Fn 1 のように添え字 i+1 を付けて表示
すると、(3.4.8)式の増分形は、

k u nU ,1i 1

u nL ,i1 1

FnU 1,i 1k

T pl l z , plk u nUu nL

k u nL ,i1 1

u Un ,1i 1

FnL ,1i 1k

T pl l z , plk u nLu Unである。(3.4.9)式は、直接(3.4.7)式に組み込むことができる。すなわち、－240－(3.4.9)

JAEA-Data/Code 2010-035kk

u nL,i1 1

FnL ,1i 1k

T pl l z , plk u nLu Un

kku Un ,1i 1

FnU 1,i 1k

T pl l z , plk u Unu nL(3.4.10)である。
なお、プレナムスプリング要素が参照する温度は、下部プレナム部は、冷却材入口温度＋DTPL
であり、上部プレナム部は、冷却材出口温度＋DTPL である。（2.15.4 項参照）

調整パラメータ XKSU, XKSL, ALSU, ALSL
プレナムバネ定数（N/m)は、上部プレナム部は XKSU、下部プレナム部は XKSL で与える。標準値は、XKSU=1.5×103(N/m)、XKSL=1.0×107(N/m)である。プレナムバネ
熱膨張率は、上部プレナム部は ALSU、下部プレナム部は ALSL で与える。標準値は、
ALSU=1.5×10-5(1/K)、ALSL=1.5×10-5(1/K )である。

(3) プレナム部被覆管の構成方程式
プレナム部被覆管ではペレットスタック部の被覆管と等価な定式化を行う。したがって、プレナム部被覆管の各要素の剛性方程式は(3.3.71)、(3.3.72)式と同様に､(3.4.11)、(3.4.12)で与えられる。

K ni

uni 11Fˆni 1

2

Fni 1
T

B
0
n 1

2

B

Fn 1

2

T

(3.4.11)

Dˆ nP ,i

C ni

i
n 1

c ,i
n 1

rdrdz

i
n

Tn 1

Z1

i
n 1

rdrdz

S

B

T

n

(3.4.12)

Z2

rdrdz

なお、プレナム部被覆管が参照する温度は、下部プレナム部は、冷却材入口温度であり、上部
プレナム部は、冷却材出口温度である。ITPLEN=1 とした場合には、プレナムの上下に関わらず
冷却材入口温度をプレナム部被覆管温度として扱う。（2.15.4 項参照）
また、プレナム部被覆管のクリープ歪み、照射成長歪みの算出に用いる高速中性子束は、下部
プレナム部は、セグメント 1（最下部燃料有効部ゼグメント）の高速中性子束の FPLFAC(2)倍として与えられ、上部プレナム部は、セグメント NAXI（最上部燃料有効部ゼグメント）の高速中性子束の FPLFAC(1)倍として与えられる。

－241－

JAEA-Data/Code 2010-035

計算パラメータ XLSZU, XLSZL

上下部のプレナム長は、上部プレナム部は

XLSZU、下部プレナム部は XLSZL で与える。なお、XLSZU、XLSZL を指定しない場
2

合は、上部プレナム部容積 PLENUM(2)及び下部プレナム部容積 PLENUM(1)を rci（ rci ：被覆管内半径）で除した値をプレナム長として与える。なお、下部プレナムを考慮するか否かは XLSZL によらず PLENUM(1)を正値（>0）を指定するか 0 を指定す
るかによって決定される。また、XLSZU 及び XLSZL の単位は cm である。
プレナム部高速中性子束は、下部プレナム部は、
調整パラメータ FPLFAC
セグメント 1（最下部燃料有効部ゼグメント）の高速中性子束の FPLFAC(2)倍として与えられ、上部プレナム部は、セグメント NAXI（最上部燃料有効部ゼグメント）の
高 速 中 性 子 束 の FPLFAC(1) 倍 と し て 与 え られ る。 標 準 値 は 、 FPLFAC(1)=0.5 、
FPLFAC(2)=0.5 である。

(4) 上下プレナム境界条件
上部プレナムの上端の境界条件となる外力は、

rci2 Pgas , n 1

Fn 1

rco2 Pwater , n 1(3.4.13)で与えられる。ここで、rco：

被覆管外半径（m）

rci：

被覆管内半径（m）

Pwater,n+1 ：第 n+1 ステージでのクーラント圧力（Pa）

Pgas,n+1 ：第 n+1 ステージでのプレナム圧力（Pa）

である。
P

water

(I)

l z , pl
P

gas

(II)

rci
rco
図 3.4.3

上部プレナム境界条件－242－

JAEA-Data/Code 2010-035

下部プレナムの下端の境界条件は変位拘束条件で与えられ、軸方向変位増分 v

0 で与える。

このようにして、全体剛性マトリックス及び全体荷重ベクトルが作成された。この全体剛性方程式に接触境界条件を付加して変位増分 u ni 11 を求める。

rco
rci

(II)

l z , plP

gas

(Δv =0)固定境界

Pwater

図 3.4.4

下部プレナム境界条件

また、プレナム部については、当然のことであるが、プレナムスプリング用の要素と被覆管との接触は取り扱わないものとする。
（3.4.13)式及び(3.4.11)、(3.4.12)式で得られた上下部プレナムスプリング要素での荷重を全体マト
リックスに組み込むと、全体マトリックスは以下のように与えられる。

1

0

0

0

v1,Llp

0

0

0

1

0

0

v2,L lp

0

0

0

0

Fn 1

Bet , n 1

u1,lp
Belpe
u 7 ,lp
U
1, lp
U
2, lp

v

v1,Ll

v

v2L,l
u1,l

l
ee

B

u 7 ,lv1,Ulv1,Lupv2,U lv2L,upu1,up

Beupe
u 7 ,up
0

U
vup

0

rci2 Pgas , n 1
rco2 Pwater , n 1(3.4.14)－243－

JAEA-Data/Code 2010-035

lp

l

up

(3.4.14)式において、 Bee が下部プレナム部、 Bee が燃料有効部の各軸方向セグメント、 Bee が上部
プレナム部に対応する。この(3.4.14)式が、非接触状態における全体マトリックス（対称マトリックス）である。

3.4.3

ペレット・被覆管接触モデル

ここでは、ペレットと被覆管が接触した場合の接触力の求め方、すなわち接触モデルを説明す
る。FEMAXI コードでは接触状態として固着とすべりの２種類のモードを考慮している。接触モデルの目的は、PCMI を計算するための重要な要素である接触力 F を求めることである。
FEMAXI-6 においては、燃料棒全長を対象とした力学計算モデルにおいて、接触時の計算の安定化を図るために以下に述べるような改良を施した。
以下、ペレットと被覆管の接触は、同一のセグメント j に属するペレットと被覆管のそれぞれの有限要素において、ペレットの外表面及び被覆管の内表面の向かい合った節点 Pnj－Cnj（＝節点対）について扱う。ここで 1

j

40 である。

(1) 接触・非接触の決定法① タイムステップ n(開始時刻 t)における t → t

t までの計算を行い、その結果（時刻 ttの状態）に対して、接触／非接触状態の判定を、Pni－Cni のうち最上部にある点から順に下方に向かって実行し、すべての節点対に関して非接触⇔接触の変更の有無をチェックする。もし変更があれば、変更が最初に生じた節点対 Pn1－Cn1 について、以下の条件により決定される状態変更の時点 t を求める。
･非接触

→

接

触への変化：

ギャップ幅がゼロとなる時点（節点 Pn1 および Cn1 の径方向座標値は等しい）
･接

触

→

非接触への変化：

接触圧がゼロとなる時点

次に、時間を遡り、すべての時間依存の計算結果を時間に対して線形補間を行って t の値へ修正する。さらに t において節点対 Pn1－Cn1 の接触状態を変更し、 t から tt までの再計算を

タイムステップ幅 t を細分化して、力学解析についてのみ行う。

②①の結果に対し、節点対 Pni－Cni および Pn1－Cn1 に対して、 t → t

t への変化に関して

再び①と同様な判定･再計算が実行される。

③②のプロセスが終了した段階で、すべての節点対に関して非接触⇔接触の変更の有無を再度チェックする。もし変更があれば、変更が最初に生じた節点対 Pn2－Cn2 について、①と同様にして状態変化の時点 t を求め、時間を遡り、すべての時間依存の計算結果を時間に対して線形補間を行って t の値へ修正する。さらに t において接触状態を変更し、t から t－244－

t までの再計算

JAEA-Data/Code 2010-035

を力学解析についてのみ行う。
なお、接触しているセグメントの固着／すべり状態の決定法については(2)項に示す。

(2) ペレット被覆管接触時での取り扱い
接触－非接触の判定は、接触している軸方向セグメントの「固着」、「すべり」モードが全て決定した条件下で行う。
なお、ペレットと被覆管にボンディング状態が発生している場合 (IBOND=1 の場合) には、す
べり／固着判定は行わず、固着－非接触状態の変化のみを仮定する。したがって以下の「固着」、「すべり」判定処理は省略される。また、ボンディング状態においては、非接触状態でも軸方向拘束による軸力が考慮される。この場合の境界条件の設定方法については(5)項に示す。
新たなタイムステップの最初では、ペレットと被覆管が接触していた軸方向セグメントについては、固着状態を仮定する。固着状態を仮定した軸方向セグメントｊでの接触力、摩擦力の関係
が、Fz , jFr , jの場合には、接触モードを「固着→すべり」に変更する。このとき Fz , j の向きによってすべり方
向を決定する。次に、「すべり」と判定された軸方向セグメントについては、接触境界条件を「すべり」に変更して、全ての接触している軸方向セグメントの「固着」、「すべり」状態の「仮定」と「結果」が一致するまで、この操作を繰り返す。「固着」、「すべり」状態の「仮定」と「結果」が一致すれば、「固着」、「すべり」の接触状態判定は完了である。
なお、軸方向セグメント数が９の場合の各セグメントの軸力を表 3.4.1 に示す。セグメント数
が１０セグメント以上の場合の取り扱い方法は、表 3.4.1 に示した９セグメントの場合と同様である。

表 3.4.1

軸方向セグメントと軸力の関係

軸方向セグ
メント番号

接触
状態

すべり条件で得られた荷重固着条件で得られた 荷重

各セグメントの軸力

プレナム部

－

0

0

Fu

９

非接触

0

0

Fu

８

非接触

0

0

Fu

７

すべり

F7

0

６

すべり

F6

0

５

固着

0

f5

４

固着

0

f4

３

固着

0

f3

Fu

F7

F6

f5

f4

f3

２

非接触

0

0

Fu

F7

F6

f5

f4

f3

１

非接触

0

0

Fu

F7

F6

f5

f4

f3

－245－

Fu

F7

Fu
Fu
Fu

F7
F7

F7

F6
F6

F6

f5
f5

f4

JAEA-Data/Code 2010-035

ただし表 3.4.1 中で、 Fu はプレナムスプリングがペレット上端を押す力、 F6 , F7 は径方向接触力、 f 3 , f 4 , f 5 は固着条件での軸方向接触力である。

(3) 接触して固着した場合の計算
固着状態（と仮定されている）の場合、接触点のペレット外表面の変位増分と被覆管内表面の変位増分が等しいとする境界条件を与える。すなわち、全体マトリックスには次の条件の設定を行う。

u11, ju12, j(3.4.15)

vUP, jvCU, j(3.4.16)

ここで、

u11, j : セグメント j のペレット外表面径方向変位増分
u12, j : セグメント j の被覆管内表面径方向変位増分

vUP, j : セグメント j のペレット上端境界面軸方向変位増分
vCU, j : セグメント j の被覆管上端境界面軸方向変位増分である。

セグメント j が固着状態の場合の全体マトリックスを(3.4.17)式で示す。

u11, j12, j(3.4.17)
Bee
F

U
P, j

C, j

U

U

境界条件を設定する前の行列 K を L×L とし、 u11, j = u12, j 、 v P, j = vC , j に対応する行につUU

いては、マトリックス上の u11, j と u12, j 及び v P, j と vC , j を共通自由度とする。 u11, j と u12, j
UUは共通自由度なので、 u11, j = u12, j となる。同様に v P, j = vC , j となる。

(4) 接触して、すべり状態にある場合の計算
ペレット被覆管が接触し、すべり状態にあると判定された場合は、①軸方向接触力を径方向接
触力に摩擦係数を掛けることにより直接決定する境界条件、および、②(3.4.18)式のように接触点のペレット外表面径方向変位増分と被覆管内表面径方向変位増分が等しいとする径方向の境界－246－

JAEA-Data/Code 2010-035

条件を設定する。
すなわち、セグメント j がすべり状態の接触をした場合、すべり状態と仮定した軸方向セグメ
ントにおいて、マトリックスには次の条件を設定する。
半径方向変位増分： u11, ju12, j(3.4.18)

PCMI 接触摩擦によって発生した軸力： F3, j

F2, j(3.4.19)

ここで、: 摩擦係数である。
セグメント j がすべりの場合のセグメント j でのマトリックスを(3.4.20)式で示す。
0

0
1
1
0

Bee

u11, ju12 , j
F

0
U
p, j
U
c, j

0

0

0 1

(3.4.20)式において u11, j 、

1

0

0

u12, j 、U
P, j 、

00UC, j 、F2, j

F2, j(3.4.20)0に対応する行をそれぞれ l1、l2、l3、l4、l5 とおくと、(3.4.20)式には以下に示す境界条件が設定されたことになる。
L

l1 行 :l 1
L

l2 行 :l 1
L

l3 行 :l 1L

l4 行 :
l 1

l5 行 :

K l1 ,l u11, j

F2 , jFl1(3.4.21)

K l2 ,l u12, j

F2, j

Fl2

(3.4.22)

K l3 ,l v UP , j

F2, j

Fl3

(3.4.23)

K l4 ,l vCU, j

F2, j

Fl3

(3.4.24)

u11, ju12 , j0

(3.4.25)である。(3.4.21)式はセグメント j の径方向接触力－F2, j をペレット表面に加えたものであり、(3.4.22)式はセグメント j の径方向接触力 F2, j を被覆管内面に加えたものである。(3.4.23)式はセグ
メント j のペレット上端面にF2 , j の力を加えたものであり、(3.4.24)式はセグメント j の被覆－247－

JAEA-Data/Code 2010-035

管上端断面に F2 , j の力を加えたものである。(3.4.25)式は(3.4.15)式で示した条件で F2, j の接触力の発生条件を定めている。
なお、(3.4.20)式を解くためには、上部からの軸力が必要である。最上部セグメントでは軸力は冷却材圧力およびプレナムスプリング力として既知である。
最下部セグメントの底での境界条件は、下部プレナムの有無によって異なる。下部プレナム無しの場合は、ペレット、被覆管とも最下部セグメントの底での軸方向変位は 0 に固定する。
下部プレナム有りの場合は、被覆管の最下部のセグメントの底での軸方向変位は 0 に固定するが、ペレットの最下部のセグメントの底では、スプリング力を考慮して、

Fz

kl v

(3.4.26)の軸力がペレットスタックの底面に加わる。 ここで、

v ：ペレットの最下部のセグメントの底の軸方向変位
Fz ：下部プレナムスプリング力
k l ：下部プレナムバネ定数である。
このため、軸方向上方のセグメントから順次(3.4.20)式を計算し、表 3.4.1 に従って軸力を与えて、次の下部セグメントにおける(3.4.20)式を解いていく。なお、(3.4.20)式において求めたい力は、
すべり条件で得られた摩擦力 F2 , j である。この力はセグメントに発生する軸力となる力であって、物理的概念としては、セグメント内部で個々のペレットとそれに接触する部分の被覆管の接触面の摩擦により局所的に発生する軸方向の力の総和である。
そのことを説明するために、 F2 , j が発生する物理的状況を以下に考察する。

(5) PCMI 接触面における軸力発生の論理
1 次元全長 FEM 解析における geometry 自体は、ストレート円柱のペレットスタックとストレート円管の被覆管とが接触して半径方向の接触力が生じ、同時に二者の軸方向熱膨張の差によって接触力 F2, j に比例した摩擦力が生じ、軸力が生じるような構造となっている。

①マクロな摩擦表現 I
ただし、二者のストレート円柱・管の軸方向熱膨張の差によって生じたセグメントスケールでの軸方向相互摩擦力は、その接触面が円筒面と想定して考えた、通常の接触摩擦係数を μ axial として式(3.4.19)のようにセグメントスケールでの F3, j

μ axial F2, j の形で表現すると、実際の PCMI で生じているはずの摩擦力に比べて 非常に小さくなるはずである。なぜなら以下に説明するように、個々のペレットスケールではリッジング変形が生じていて、ペレットのリッジ部が被覆管に局所的に食い込んでいるような形状となっているからである。

－248－

JAEA-Data/Code 2010-035

また F3, j

μ axial F2, j のような摩擦表現で PCMI 力学計算を行った場合のもう一つの問題は、ストレート円柱・管の軸方向熱膨張の差が、この差によって生じる静止摩擦力を超えた（限界を上回った）場合、この限界以上の摩擦力（動摩擦力＝すべり状態での摩擦力）は、表現できなくな
ることである。言い換えれば、 F3, j

μ axial F2, j の関係を単純に使うと、いわば｢静止摩擦力｣のみを評価することになり、「すべり」モードが扱えなくなり、｢ギャップ開き or 固着｣のみの解析になってしまう。
以上の考察より、全長力学解析で、あるセグメントにおける軸方向摩擦力を得るためには、ペレットと被覆管の間の平均的に算出された半径方向接触力に通常の接触摩擦係数μを掛けても意味のある（すべり状態を含めた実際の状況を表現する）軸方向摩擦力は得られない。

②マクロな摩擦表現 II
ペレットスタックと被覆管の間の摩擦力の発生には、ペレットリッジング変形とこれに対応した被覆管の変形を考慮する必要がある。図 3.4.5 に示すように、リッジの部分は凹凸がかみ合っていて、局所的にペレットスタックと被覆管のそれぞれ独立した軸方向変位への機械的抵抗力が大きくなる。特に出力上昇の際には、PCMI としての被覆管の反力（ペレットリッジに対する変形抵抗とリッジを抑えようとするモーメント）が生じ、軸方向の変位に対するペレットスタックと被覆管の相互に働く抵抗は複雑な力学挙動を含むものとなる。
一次元モデルでは、こうした抵抗をすべて含めたマクロな軸方向摩擦力として扱うので、そのための表現を工夫する必要がある。

ペレット

被覆管

図 3.4.5

リッジ部でのかみ合いによる抵抗の発生

以上の考察に基づき、全長モデルでは、セグメント長を l、被覆管（金属部）内半径を ri、外半－249－

JAEA-Data/Code 2010-035

径を ro としたとき、軸方向の摩擦力 F2 , j を

F2, j

2, j

2 ri l(3.4.27)

2 , j ：セグメントにおいて算出された径方向接触圧力（物理的意味としてはリッジ部での接触力とそれ以外の部分の接触力を平均したものになる）とするのではなく、

F2, j

2, j

ro2

ri2

(3.4.28)として与える。
すなわち、ここで想定している物理的状態は、軸力発生源としての摩擦力はセグメントにおけるペレット－被覆管の接触部の面積 2 rli に単純に比例するものではなく、ペレットリッジ部と被覆管の接触部が特に強く軸力（摩擦力）に寄与する状態である。被覆管断面積を採用したのは、被覆管の機械的強度 (stiffness) がペレットリッジングに対する反力と相関し、かつリッジ部かみ合いによる軸方向変位への抵抗力に寄与する主要な要因と考えられるからである。言い換えれば、軸力は接触面積ではなく被覆管の機械的強度＝断面積の関数であると考える。
ここで留意すべきは「摩擦力はセグメント長に比例して増加する」と考えるのが物理的には自然であることである。したがって、摩擦力はセグメント長 l に比例する形になるべきである。
しかし同時に、すべり、固着のモード変化を意識して、ユーザーが軸方向セグメント長 l を設定しないことにも留意すべきである。すなわち、解析条件として l を長く設定すると、摩擦力は lに比例して増加するが、このため、 l の長いセグメントでは、「すべり」状態では大きな軸力が発生する。この場合、「固着」・「すべり」判定が粗いものになってしまい、結果としてほとん
ど「すべり」モードが現れず、「固着」モードが支配的になると予想される。
そうであるならば、局所的にみて l への依存性を無くした方が「固着」・「すべり」判定がより現実的に近い形で表現できるのではないかと考える。

したがって、まず単位面積当たりの調整された接触応力は
3, j

AMU2

2, j

(3.4.29)と表されると仮定し、下部セグメントへ加わる軸力 F3, j は、

F3, j

ro2

3, j

ri 2

(3.4.30)となる。すると接触力 F2, j は接触圧力に接触面積を掛けて、

F2 , j2, j

2 ri lより、－250－(3.4.31)JAEA-Data/Code 2010-035

F3, j
2
o

r
これを

F3, j

F2 , j

ri

AMU2

2

F2, j

(3.4.32)

2 rli

と書くと、

ro2

ri 2

AMU2

2 rli

(3.4.33)となる。
計算上は、摩擦力による軸力発生は、軸方向セグメント毎に得られた摩擦力 F2 , j を全体マト
リックスに組み込むことにより与えられる。
μは入力パラメータ AMU2（標準値は 0.4）によって調整することができる。

(6) ボンディング状態で非接触の場合の計算－ IBOND=1 として, ボンディングによる固着状態を仮定した場合 －IBOND=1 の場合は、ボンディング状態が生じて BD=1 となった後、接触点のペレット（スタック）上端変位増分と被覆管上端変位増分を強制的に常に等しいとする境界条件を与える。これは、燃料温度が低下して収縮によって力学計算上はギャップが開き、非接触と判断された場合でも適用される。すなわち、全体マトリックスには次の条件の設定を行う。

vUP, j
ここで、

vCU, j(3.4.34)

vUP, j : セグメント j のペレット上端境界面軸方向変位増分
vCU, j : セグメント j の被覆管上端境界面軸方向変位増分である。

セグメント j がボンディング状態の場合の全体マトリックスを(3.4.35)式で示す。

(3.4.35)
Bee
F

U
P, j

U

U

C, j

U

U

固着状態の場合と同様に、 v P, j と vC , j を共通自由度とする。したがって、 v P, j = vC , j とな
る。

－251－

JAEA-Data/Code 2010-035

3.5 局所での力学的ふるまい ［力学解析 (II) ］
Time Step Start
各要素での焼きしまり、スエリング、熱膨張などの初期歪みの計算

ペレットと被覆管の接触状態および節点の境界条件の設定

各要素の材料マトリクスの計算

要素の剛性マトリクス及び節点ベクトルの計算

全体の剛性マトリクス及び節点ベクトルの組み込み

全要素について計算が終了？

全体剛性方程式を解き、節点変位を計算
応力、歪み分布の計算
変位は収束？
接触節点で接触状態は収束？

降伏、あるいは徐荷？

あるいは非接触⇔接触、の状態変化が発生？

現タイムステップを状態変化が起きた時点で分割し、応力・歪みなどはその時刻まで内挿する

タイムステップの更新

図 3.5.1

局所力学解析のフローチャート－252－

JAEA-Data/Code 2010-035

3.5.1 要素体系
(1) 解析対象 geometry
局所力学解析では、軸対称 FEM を燃料棒の１軸方向セグメントの半ペレット長相当部に適用して二次元解析する。この部分を着目セグメントと呼ぶ。要素分割例を図 3.5.2 に簡略化して示す。
図 3.5.2 は、半ペレット長の部分がリング要素に分けられ、円筒座標系で解析されることを示す。

Fuel Rod1 segment

G ap
Cladding
R
Pellet

図 3.5.2

局所力学解析モデル

本モデルでは、四角形 8 節点アイソパラメトリックリング要素を用い、要素内の変位は節点変
位の 2 次関数で近似する。この解析対象部分＝着目セグメントの半ペレット長における要素および節点の一例を図 3.5.3 に詳細に示す。

－253－

JAEA-Data/Code 2010-035

上部ペレット

1

1

ペ

レッ

ト上

半ペレット長半分

1

ペレット下半分

酸化膜

ギャップ

ペレット中心線
図 3.5.3

被覆管

半ペレット長における要素と節点

図 3.5.3 では､半径方向の要素分割に関しては下表の MESH=0 の場合を例示している。ここではペレットは半径方向５リング要素に分けられ、半ペレット長は軸方向に上から、たとえば１：１：１の比率で３要素に分割されている。また被覆管金属部は 4 層の要素、外面酸化膜は 1 層の要素として扱われ、被覆管外面の酸化膜成長、及び酸化膜成長による被覆管金属相の肉厚減少は、全長
力学解析の結果により各タイムステップで Update される。また、被覆管内面に Zr ライナー層の存在を指定した場合、内側の要素がライナー層として扱われる。
3.2.1(4)項で述べたように、半径方向のペレットリング要素数は入力パラメータ MESH によって変えることが可能である。以下の表 3.5.1 に、MESH を指定することによる局所 2D 解析の要素数の制御を示す。Default は MESH=3 である。

表 3.5.1

半径方向のペレットリング要素数

Parameter 値
MESH=0MESH=1MESH=2
MESH=3
MESH=4

ペレット要素数等間隔 5 リング要素
等体積 9 リング要素
等体積 9 リング要素
等体積 18 リング要素
等体積 18 リング要素－254－

JAEA-Data/Code 2010-035

ここで name-list parameter ISHAPE=1 を選択した場合には、MESH>0 における半径方向要素数
は 2 倍となり、より細かな計算が可能となる。
被覆管のリング要素は、上記 MESH の指定にかかわらず、① Zr ライナーなしの場合：

金属要素 4 リング要素＋外表面酸化膜 1 リング要素② Zr ライナー有の場合：
Zr ライナー1 リング要素＋金属要素 4 リング要素＋外表面酸化膜 1 リング要素である。（2D モデルの場合は、内面酸化膜要素はない）
ただし、ISHAPE=1 の場合は、上記の 2 倍のリング要素数となる。
なお、RANNS において IREST>0 として FEMAXI の計算結果を初期条件として用いる場合は、
MESH の値は FEMAXI で指定した値が自動的に引き継がれる。ただし、RANNS の 2 次元局所解
析要素においては、外表面酸化膜要素は、高速過渡における酸化膜の機械的 stiffness を無視して、考慮しない。このため、RANNS の 2 次元局所解析においては③ Zr ライナーなしの場合：④ Zr ライナー有の場合：

金属要素 4 リング要素
Zr ライナー1 リング要素＋金属要素 4 リング要素となる。
図 3.5.4 に、MESH=3 or 4 の場合の半ペレット長の局所 2 次元 FEM 解析における要素と節点およびペレットのリッジング変形の様子を模式的に示す。解析はペレットおよび被覆管の上下対
象条件を利用してあくまで半ペレットに適用され、その中にリッジ部(R)、胴部(B)、その間部(M)が位置する。

Half a pellet
consisting of
18 equal-volume
ring elements

Cladding#R(ridge)#M(mid)12 3 4#B(body)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Relative radius of pellet

図 3.5.4

半ペレット長の局所二次元 FEM 解析における要素とペレットとの対応－255－

JAEA-Data/Code 2010-035

また、1 次元熱・力学解析と 2 次元力学解析の温度の対応関係として、ペレット要素間には図3.5.5 に、被覆管要素間には図 3.5.6 に示す対応関係があるが、これは 1 次元要素系で温度を求めた後に、その 2 要素の平均温度を 2 次元力学解析の 1 要素の温度として適用することを意味する。

一次元熱・力学解析 2n-1, 2n 要素

2n-1

2n

n 要素

局所力学解析

n
X：要素の応力歪み評価点（Gauss 点）
図 3.5.5●：節点

力学解析におけるペレットリング要素の対応関係

ただし、被覆管の金属相厚み及び外面酸化膜厚みは、1 次元熱解析で求めた値を 2 次元力学解析で用いる。力学解析自体は、1 次元解析と 2 次元解析の間には（酸化膜の成長以外には）直接の関係はなく、両者は独立に応力歪み解析を行う。
内面酸化膜 0.1 m 固定

金属相等厚み８リング要素

成長する外面酸化膜

1 次元力学解析

2 次元力学解析

金属相等厚み４リング要素
図 3.5.6

被覆管の力学解析におけるリング要素の対応関係 （X 印はガウス点）(2) 軸方向分割と接点対半ペレット長領域の軸方向要素分割数および分割比率は入力パラメータ K1 および AZ1 で指定－256－

JAEA-Data/Code 2010-035

可能である。（Default: K1=3,

AZ1=5*1.0；いずれの変数も最大値は 5）

図 3.5.3 は、K1=3,

AZ1=1.0, 1.0, 1.0 とした場合である。たとえば K1=4、AZ1=1.0, 1.0,1.5, 2.0 とすれば、軸方向に 4要素、その長さの比率が 1 : 1 : 1.5 : 2 に分割される。
ギャップを挟んで向かい合っているペレットと被覆管の節点は、3.5.5 項で述べる節点対を形成している。なお、本節で用いる要素内での歪み成分を以下のように定義する。

du
dr
r

dv
dz

z

(3.5.1）urrz

ここで、 r 、

z、

および

v
r

u
z

rz は、それぞれ径方向、軸方向、周方向、および剪断(r, z)方向歪みである。全長力学解析では剪断方向の成分については考慮していないが、本節ではペレットの曲げ変形による被覆管のリッジ部での応力評価を行うことが目的のひとつであるために、剪断項を含めて解析する。

3.5.2

基本式

二次元モデルにおける FEM 解析方法は基本的に 3.1-3.4 節に述べた一次元力学解析の方法と同じであるが、繰り返しの部分が現れることをいとわず、以下に述べる。
時刻 tn+1 における平衡条件は、仮想仕事の原理から次のように書くことができる。

B

T
n 1

dV

Fn 1

0

(3.5.2)

ここで、
[B]T
{

：ひずみ－変位マトリクス[B]の転置マトリクス

n 1 }：時刻 tn+1 における応力ベクトル{Fn+1}：時刻 tn+1 における節点荷重ベクトルである。ひずみ-変位マトリクス[B]は変形前の寸法で定められると仮定する。なお、[B]マトリク
スについては、後述の(3.5.24), (3.5.25)式で与えられる。

－257－

JAEA-Data/Code 2010-035

増分形式の構成方程式（応力－ひずみ関係式）は次式で表される。他の歪み成分が存在してもこの関係は常に成立する。
e
n 1

Dn

n 1

(3.5.3)

ここで、
n 1:時刻 tn から tn+1 までの応力増分ベクトルen 1:時刻 tn から tn+1 までの弾性ひずみ増分ベクトル

Dn

1

Dn

1
2

Dn 1

Dn ： 時刻 tn における応力－ひずみ（剛性）マトリクスである。
この D マトリクスの逆行列として [C ] マトリクスを定義すれば、(3.5.3)式は次式となる。
e
n 1

Cn

(3.5.4)n 1(3.5.4)式中の [C ] マトリクスは、以下のように与えられる。

1

0
1

1
E

C

0
1

0

0

(3.5.5)

0

0 2(1

)

crk
n 1

c
n 1

ここで、 E はヤング率、 はポアソン比である。
弾性ひずみ増分ベクトルは次のように表す。
e
n 1

n 1

0
n 1

p
n 1

(3.5.6)

ここで、
n 1：全ひずみ増分ベクトル0
n 1：初期ひずみ増分ベクトル

crk
n 1

：ペレットクラック歪み増分cn 1：ホットプレス歪み増分を含めたクリープひずみ増分ベクトルpn 1：ホットプレス歪み増分を含めた塑性ひずみ増分ベクトルである。熱膨張、やきしまり、スエリングおよびリロケーションによるひずみは一括して初期ひずみとして取り扱われる。

－258－

JAEA-Data/Code 2010-035

ひずみ-変位関係式は次式で与えられる。

B

n 1

un 1

un

(3.5.7)

ここで、

un ：時刻 tn+1 における節点変位ベクトルである。
(3.5.3)～(3.5.7)式から次式が得られる。

Cn

n 1

B

n

0
n 1

un 1

un

Cn

(1

Cn

Dn

crk
n 1

p
n 1

c
n 1

0

(3.5.8)

ここで、

) Cn

1
2

Cn 1

1

である。
(3.5.2)および(3.5.8)式が未知量
crk
n 1(3.5.8)式は、

c
n 1

、

n 1

および un 1 を求めるための基本式である。
p
n 1

および

が未知量

n 1

などの関数であるため Newton-

Raphson 法による反復手順を用いて解く。これは全長解析と同様の反復法であり、ペレットクラ
ック、クリープおよび塑性の扱いは３．２節の全長の力学解析と同様である。
第 n+1 ステージ(タイムステップ)の計算において、第 i 回目の反復を終了し、第 i+1 回目の反復を行っているとき、(3.5.8)式は次のように書ける。

Cn

i
n 1

d

i 1
n 1

uni 11

0
n 1

i 1
n 1

i 1
n 1

i
n 1

uni 11

uni 11

B

n

crk
n 1

c
n 1

p
n 1

0

(3.5.9)ここでd(3.5.10)un(3.5.11)である。
また、このとき(3.5.2)式の平衡条件は(3.5.10)式を(3.5.2)式に代入して次のようになる。

B

T

i
n 1

dV

B

T

d

－259－

i 1
n 1

dV

Fn 1

(3.5.12)

JAEA-Data/Code 2010-035

3.5.3

剛性方程式

剛性方程式の定式化方法は、着目セグメントに対する局所力学解析においても全長力学解析においても同様であるので、全長力学解析で得られた(3.3.42)式を平衡条件式(3.5.12)式に代入し、第i+1 回目の反復時における平衡条件を得る。
［注］(3.5.12)式に代入する(3.3.42)式中における(3.3.43)～(3.3.46)式の導出にあたっては、剪
断成分を考慮しているので、(3.2.39)式で示した降伏関数 h (＝相当応力)は次のように修正されて本来の形で与えられる。3.2.6 項参照。
3
2 F G

h

2

H

H

2

F

r

z

i
n 1

dV

B

B

T

D nP ,i

~
C ni

B

T

P ,i
n

B

T

2

G

z

2 N rz2

r

3

2
r

z

1
2

すなわち、

B

T

T

D nP ,iuni 11 dV

B
i
n 1

dV

n

(3.5.13)

D

0
n 1

S ni

Tn 1

c ,i
n 1

Z1

dV

Z 2 dV

Fn 1

ここで

1
Er
~
C

1
E

E

E
1
Ez

E

E

E
1
E

0

0

0

0
0
(3.5.14)

0
41
Er

Ez

である。
(3.5.13)式を整理して次のように書く。

K ni

uni 11

Fni 1(3.5.15)この式が要素の剛性方程式である。
ここで、

K ni

B

T

DnP ,i

－260－

B dV

(3.5.16)

JAEA-Data/Code 2010-035

Fˆni 1

Fn 1

B

T

B

T

T

B

i
n 1

~
Dˆ nP ,i C ni

i
n 1

S ni

Z1

Tn 1

dV
0
n 1

n

c ,i
n 1

dV

(3.5.17)

Z 2 dVであり、それぞれ剛性マトリクス、荷重ベクトルである。
変形の軸対称性を仮定し、(3.5.16)式および(3.5.17)式についてそれぞれ円周方向θ座標の積分を実行すれば、

Fˆni 1

K ni

2

2

B
Dˆ nP ,i

Cni

Sni

Tn 1

Fn 1
2

B

T

2

B

T

T

B
i
n 1

T

DnP ,iB rdrdz(3.5.18)

rdrdz
i
n 1

Z1

Z2

c ,i
n 1

0
n 1

n

rdrdz

(3.5.19)

rdrdz

となる。
(3.5.19)式の右辺において、第 1 項は非平衡残差、第 2 項は応力および初期ひずみなどによるみかけの荷重項であり、第 3 項は降伏応力変化の補正項である。

次に、1 つの要素に対する剛性方程式を具体的に示す。
要 素 内 の 任 意 の 点 の 半 径 方 向 、 軸 方 向 の 変 位 {u,v} 、 お よ び 8 個 の 節 点 に お け る 変 位{u1,v1,u2,v2...,u8,v8}は
u1
v1
u
v

u2
N v2

(3.5.20)u8
v8
によって関係づけられる。ここで、[N]は形状関数と呼ばれ

N

N1 I , N 2 I , N 3 I ,
N1

0 N2

0

N1 0

, N8 I

0 N3
N2 0の形を持つマトリクスである。ここで I は単位行列

－261－

I

0

N8

0

N3

0

N8

1 0
0 1

である。

(3.5.21)

JAEA-Data/Code 2010-035

すなわち、

u

N1u1 N 2u2

N 3u3

N 8u8 ,

v

N1v1 N 2 v2

N 3v3

N 8v8

である。
後述の図 3.5.7 に示す、各要素における局所座標を用いれば Ni は次のように表される。

N1

1

1

1 4

N2

1

1

1 4

N3

1

1

1 4

N4

1

1

1 4

N5

1

1

1

2

N6

1

1

1

2

N7

1

1

1

2

N8

1

1

1

2

(3.5.22)

要素内のひずみは、軸対称問題では、次のように与えられる。（全長力学解析Ⅰと異なり、剪断
成分を含んでいる）

u

r

r

v z
u r

z

u

z

v

B1 , B 2 , B 3 ,

, B8

rz

B

u
v

(3.5.23)r

したがって、[B]マトリクスは次のようになる。

B(3.5.24)

ここではサブマトリクス Bi は、

Bi

Ni
r

0

0

Ni
z

Ni
r
Ni
z

(3.5.25)0Nirで表される。
ところで、(3.5.22)式において、Ni は局所座標で定義されている。そこで(3.5.23)、(3.2.24)式の[B]
マトリクスを具体的に書き下すために以下のように座標変換を行う。

－262－

JAEA-Data/Code 2010-035

局所座標と円柱座標 r, z の関係は次式で与えられる。

Ni

r

z

Ni

r

z

Ni
r
Ni
z

Ni
r
Ni
z

J

(3.5.26)

あるいは、

Ni
r
Ni
z

Ni
1

J

(3.5.27)Ni

ここで、[J]はヤコビアンマトリクスである。要素内の位置(r, z)を節点座標(ri , zi , i=1～8)を用いて表すと、
8r

N i rii 1
8z

N i zii 1と表される。この関係を用いれば、ヤコビアン[J]は次のように書ける。
8
i 1
8

J

Ni
Ni

8

Ni

ri
i 1
8

ri

i 1

Ni

zi
(3.5.28)

zi

i 1

-1

したがって[J] は、
8
1

J

1
det J

Ni

i 1
8

Ni

8

Ni

zi
i 1
8

ri

i 1

Ni

zi
(3.5.29)

ri

i 1

ここで、
8

det J
i 1

Ni

8

Ni

ri

8

zi

i 1

i 1

Ni

8

ri

Ni

i 1

である。
以上の関係を用いて、(3.5.25)式に示した成分を局所座標に変換すると、

－263－

zi

(3.5.30)

JAEA-Data/Code 2010-035

Ni
r

1
det J

Ni
z

1
det J

Ni
r

Nj

8

Nj

8

Ni

zj

j 1

zj

Ni

j 1

Nj

8

Nj

8

Ni

rj

rj

Ni

(3.5.31)

j 1

j 1

Ni
8

N i rij 1を得る。
drdz は次式により変換される。

drdz

det J d d(3.5.32)以上の変換式を用いれば、(3.5.18)式および(3.5.19)式は局所座標で次のように表される。

K ni

2

Fˆni 1
2
2

Fn 1
1

1

1

1

1

1

1

1

B

T

1

1

1

1

1

1

1

1

2

~
Dˆ nP ,i C ni

B

T

8

D nP ,iB

N j r j det J d d(3.5.33)

j 1

B

T

8

i
n 1

N j r j det J d d
j 1

i
n 1

0
n 1

n

c ,i
n 1

8

N j r j det J d d(3.5.34)

j 1

B

T

8

S ni

Tn 1

Z1

Z2

N j r j det J d dj 1

コード中では、この積分はガウスの求積法を用いて次式のように近似して計算する。
n

1

1

1

1

m

f ( , )d d

Hi H j f ( i ,j)(3.5.35)

i 1 j 1である。四角形 8 節点要素では、積分点数は n = m =2 とすれば十分であることが知られている。
このとき Hi = Hj=1 であるので、本コードには次の近似公式が適用される。
1

1

1

1

2

2

f ( , )d df ( i,

j)(3.5.36)

i 1 j 1

ここで、
n： 方向積分点数、
i ：

方向積分点座標、Hi , Hj：重み係数－264－m： 方向積分点数
j ：方向積分点座標JAEA-Data/Code 2010-035

節点
1
積分点

a
-1

a

-a

1

-a

-1

図 3.5.7 四角形 8 節点要素の積分点
積分点は 4 点であり、それぞれの座標は図 3.5.7 に示す通り、(a, a)、(a, a)、(-a, a)、(-a, -a)であり、a=0.5773502691 である＊。
1（＊注：ガウスの２点近似の積分公式＝ f x dx

f a

f

a ）

1

4 個の積分点についてそれぞれ応力ベクトル、ひずみベクトル、補正項などを計算すれば、(3.5.33)および(3.5.34)式中の積分項が求められる。
(3.5.15)式からここまでの説明は、一個の要素についての説明である。全体マトリクスの構成要
素としての境界条件や PCMI 接触条件の扱い方や剛性マトリクスの形は全長力学とまったく同様なので説明を省く。

3.5.4

境界条件

(1) 局所力学解析の境界条件 – 1 –局所力学解析における有限要素モデルは、図 3.5.4 に例示したように、1/2 ペレット長を対象としている。PCMI 状態との関連において、境界条件を説明する。
図 3.5.8 はこの体系における境界面を定義したものである。この体系はペレット側に 4 つ( (1)～(4) )、被覆管側に 4 つ( (5)～(8) )計 8 つの境界をもつ。これらの境界では、変形の対称性、冷却
水圧力、ガス圧力や接触モードなどに対応した境界条件が与えられる。

－265－

JAEA-Data/Code 2010-035

z
(4)

(8)

Gap
(2)

Pellet

(3)

Clad
(6)

(7)

r
(1)

図 3.5.8(5)

局所解析対象の境界

また、境界条件におけるペレットの被覆管の自由度の設定を図 3.5.9 に示す。この図を出発点
として、ペレットと被覆管の接触状態に依存した境界条件が以下のように設定される。

図 3.5.9

局所力学解析における境界条件①ペレットと被覆管が接触しない状態
図 3.5.10 の A に示すように、A) 着目セグメント中のペレットの上端面（の一部）は、上部ペレットの下端面（の一部）と接触する。

－266－

JAEA-Data/Code 2010-035

B) 着目セグメントのペレットの中心は、z 方向の１次元の変位自由度のみを与えられる。ペレットの中央高さ面（半ペレットの仮想的な底面＝対称面）は半径方向の１次元の変位自由度のみを与えられる。ただし中心軸は固定である。
C) 着目セグメントの被覆管の上端面は半径方向１次元の変位自由度を与えられると同時に、被覆管の軸力と相互作用しつつ、かつ平面を保ちつつ、z 方向に変位することが可能である。
被覆管の中央高さ面（半ペレットに対応する仮想的な底面＝上下対称面）は、半径方向１次
元の変位自由度のみを与えられる。

CenterCenterA

Pellet(half height)

Cladding

B

Pellet(half height)

Cladding
Mid-heightplane

図 3.5.10

境界条件；

A: ペレットと被覆管の接触がない場合。

B: ペレットと被覆管の接触がある場合。

②ペレットと被覆管が接触した状態
図 3.5.10 の B に示すように、A) 着目セグメント中のペレットの上端面（の一部）は、上部ペレットの下端面（の一部）と接触する。
B) 着目セグメントのペレットの中心は、z 方向の１次元の変位自由度のみを与えられる。ペ
レットの中央高さ面（半ペレットの仮想的な底面＝上下対称面）は半径方向の１次元の変位自由度のみを与えられる。ただし中心軸は固定である。
C) 着目セグメントの被覆管の上端面は半径方向１次元の変位自由度を与えられると同時に、被覆管の軸力と相互作用しつつ、かつ平面を保ちつつ、z 方向に変位することが可能である。ただし同時に、ペレット中心の高さと同じ高さを常に保持しなければならない。
被覆管の中央高さ面（半ペレットに対応する仮想的な底面＝上下対称面）は、半径方向１次元－267－

JAEA-Data/Code 2010-035の変位自由度のみを与えられる。

(2) 境界における荷重ベクトルと変位(3.5.2)式における荷重ベクトルは図 3.5.8 に示した 8 つの境界上にある節点に作用する荷重の総和として次のように表される。

Fn(11)Fn 1

Fn( 21)Fn( 31)Fn( 41)Fn( 51)Fn( 61)Fn( 71)Fn( 81)(3.5.37)(i)

ここで Fn 1 、は境界(i)の節点に作用する荷重ベクトルである。
図 3.5.8 における境界(1)および(5)においては、変形の面対称性を仮定し、これら境界上の節点は軸方向に変位しない、すなわち、とする。ここで、v (1) 、v (1)0(3.5.38)v (5)0(3.5.39)v ( 5 ) はそれぞれ境界(1)および(2)の節点の軸方向変位増分ベクトル(1)である。(3.5.38)式の拘束条件により境界(1)に発生する拘束力が Fn 1 であり、(3.5.39)式の条件(5)により境界(5)に生じる拘束力が Fn 1 である。
燃料棒の中心軸である境界(2)においては計算モデルにおいて変形の軸対称性が仮定されるので、中実ペレットの場合は、境界上の節点は径方向には変位しない、すなわち、u( 2 )とする。ここで、

0(3.5.40)u( 2 ) は境界(2)上の節点の径方向変位増分ベクトルである。
(2)(3.5.40)式の条件により境界(2)に発生する拘束力が Fn 1 である。ただし、中空ペレットの場(2)

合には中空壁の半径方向変位が拘束されないので、 Fn 1

0 である。

(7)

境界(7)には冷却水圧力による表面力が作用する。 Fn 1 は、この作用による等価節点荷重ベク
トルである。
境界(3)には境界(6)との相互作用（PCMI）による接触力の作用がある。また境界(3)には燃料棒
内ギャップとプレナム空間のガス圧の作用もあるが、ペレット内部の割れのすきまに存在するガ
ス圧と打ち消し合うので、これは考えない。 Fn( 31) は被覆管（境界(6)）との相互作用による接触
力ベクトルである。
(6)

境界(6)には PCMI による接触力と燃料棒内ガス圧の作用を考える。 Fn 1 は接触力ベクトルとガス圧による等価節点荷重ベクトルの和として表される。

－268－

JAEA-Data/Code 2010-035

境界(8)では、上側にある被覆管との変形の対称性を仮定して、境界上にある節点群をまとめて同じ軸方向自由度として扱う。すなわち、v (8)ここで、 v(8)v (8)(3.5.41)は境界(8)上の節点の軸方向変位増分である。境界(8)には上式の条件により発生する拘束力の他に、燃料棒上方の PCMI に起因する軸方向引張荷重、内部ガス圧や冷却水圧力による軸方向荷重の作用が考慮される。境界(8)に作用させる燃料棒上方の PCMI に起因する軸方向荷重は経験的に定められるものとする。これの取扱いについては｢ロッキング｣として 3.5.6 項で述べる。
境界(4)では、この経験的に定められる軸方向荷重を圧縮側に作用させる。この軸方向荷重下における面対称を仮定したペレット／ペレット接触問題を解くことにより求められる接触力分布
が、境界に作用する荷重である。
以上に述べたように、8 つの境界に作用する荷重の種類には、変位の拘束による反力、冷却水
圧力による等価節点力、内部ガス圧による等価節点力、ペレット／被覆管接触力、軸方向引張荷
重、およびこれに釣合うペレット／ペレット接触力がある。荷重の種類を明らかにするために、それぞれ、R、W、G、PC、AX、および PP の添字を付して、(3.5.36)式を次のように書く。

Fn 1

Fn(11),RFn( 21), R

Fn(31),PCFn( 41),PP

Fn(51),RFn( 61),PCFn( 61),GFn( 71),W

Fn(81),RFn(81), AX

Fn(81),WFn(81),G(3.5.42)

これを力の扱い方により 3 種に分けて、

Fn 1

Fn 1

Fn 1

Fn 1

(3.5.43)

と書く。
ここで、

Fn 1

Fn( 61),GFn( 71),WFn( 81),WFn( 81),G(3.5.44)

Fn 1

Fn(11), R

Fn( 21), R

Fn( 51), R

Fn( 81), R(3.5.45)Fn( 31),PCFn( 41),PPFn( 61), PC

Fn( 81), AX(3.5.46)

Fn 1
である。

Fn 1 は時刻 tn+1 における値が既知として取扱われ、 Fn 1 は既知の境界条件（指定変位）に－269－

JAEA-Data/Code 2010-035

よる拘束力である。 Fn 1

は未知量に依存する境界条件によって定まるものであり、これを求めるには、ペレット／被覆管およびペレット／ペレット間の相互作用を解く必要がある。

(3)(3.5.46)式における Fn 1 の求め方
Newton-Raphson 法の繰り返しが終了した状態では(3.5.15), (3.5.16)および(3.5.17)式から繰り返しの添字 i を省略して、次のように表す。ただし、＾は繰り返し計算内部の暫定値であること
を示す。

Fˆn 1

Kn

un 1

Kn

B

Fn 1

B

T

B

T

~
Cn

Sn

Tn 1

T

DnP

T

B

Dˆ nP

Fn 1

n 1

(3.5.47)

B dV(3.5.48)

dV

i
n 1

0
n 1

n

Z1

c
n 1

dV

(3.5.49)

Z 2 dV

ここで、(3.5.49)式の右辺に(3.5.43)式を代入すると荷重項は次のように書ける。

Fˆn 1

Fn 1

Fn 1

Fn 1

ˆP
D
n

Cn

Sn

Tn 1

B

T

B

T

Fˆn 1

B

T
n 1
i
n 1

Z1

dV
0
n 1

n

c
n 1

dV

(3.5.50)

Z2 dV

Fn 1

ただし、

Fn 1

である。また、

Fn 1
B

T

B

T

Fn 1

B

T
n 1

dV

DnP

~
Cn

i
n 1

n

Sn

Tn 1

Z1

Z 2 dV

0
n 1

c
n 1

dV

(3.5.51)

Fn 1 は、非接触状態の節点荷重増分ベクトルである。

(3.5.47)式に(3.5.50)式を代入すると、Knとなる。(3.5.52)式の右辺の

un 1

Fn 1

Fn 1

(3.5.52)

Fˆn 1 は、接触荷重が発生していないときの荷重ベクトルであり、－270－

JAEA-Data/Code 2010-035

Fn 1 は接触荷重ベクトルである。(3.5.52)式は、接触荷重とそれ以外の荷重ベクトルの表記を分離して表示し、剛性方程式上の荷重ベクトルの取り扱いの明確化を図ったものである。

3.5.5 ペレット・被覆管機械的相互作用と接触問題
本コードの局所解析では、ペレット－被覆管の接触し合う 2 つの面を 7～11 個の節点対(Contact
node couple)で表現し、力学的接触問題を取扱う。図 3.5.11 に、軸方向の要素数が３個の場合の接点対の様子を示す。接触状態としては、非接触、固着およびすべりの 3 種を考える。全長解析で扱った「ボンディング状態」は扱わないが、固着状態で代表させることが可能である。ペレットと被覆管はそれぞれ熱膨張率が異なり、図 3.5.9 で示した境界条件のように、非接触状態でも接触状態(PCMI)状態でも、図 3.5.4 に示した「半径方向で（ギャップを挟んで）向かい合った要素の境界の軸方向高さ」はペレットと被覆管とではわずかに差が生じている。しかし、FEM では
PCMI のように力を及ぼし合う場合は必ず要素の節点を通じて力が伝達されるので、このわずかな差を無視して、力が伝達される要素節点を対にして、PCMI を計算する。これは一種の近似計算である。

Node Couple

PelletGap

PelletSurface
Boundary

Cladding
Surface
Boundary

図 3.5.11 ペレット－被覆管節点対接触状態の変化を考慮した力学計算の順序を以下に示す。
①

接触し合う可能性のある各々の節点対について、（最初は前タイムステップの結果に基づいて）接触状態（接触ないしは非接触）を仮定する。

②

仮定された（接触・非接触の）状態に対応する境界条件を使って剛性方程式を解く。

③

その解として求められた各々の節点変位、接触力から、各節点対の状態に関して①の仮定が正しいか否かを判断する。仮定した状態と計算された解が矛盾する節点対が１つでも－271－

JAEA-Data/Code 2010-035

あれば①に戻り、その節点対について接触・非接触の状態仮定を修正して②→③に進む。
④

このようにして、仮定と計算結果に矛盾がなくなるまで①→③のプロセスを繰り返す。
ここで、タイムステップの途中で非接触・接触（固着またはすべり）の状態変化が生じた
場合には、タイムステップの開始時と終了時のそれぞれの計算結果を内挿してその状態変化の時刻を求め、その時刻以後について①に戻り、計算を継続する。

この過程の計算方法を次に示す。

(1) ペレットと被覆管の間に接触を生じていない場合( 3 ), PC(3.5.42)式において、 Fn 1
( 8 ), AXおよび Fn 1( 6 ), PC

および Fn 1

も 0 とするので、 Fn 1

Kn( 4 ), PP

は 0 である。このとき後述するように Fn 1

0 である。したがって、(3.5.52)式より、
un 1

Fn 1

(3.5.53)となる。

(2) 1 組の節点対がすべり状態にあり、他のすべての組が非接触状態であるとき( 3 ), PC

この場合、 Fn 1

( 6 ), PC

および Fn 1は次のように書ける。

00Fn( 31), PC

Un 1
Vn 1

(3.5.54)00
00Fn( 61), PC

Un 1
Vn 1
0
0

ここで、

－272－

(3.5.55)

JAEA-Data/Code 2010-035

Vn 1

Un 1

(3.5.56)

Vn+1：時刻 tn+1 における半径方向接触力
Un+1：時刻 tn+1 における軸方向接触力
μ ：ペレット／被覆管摩擦係数

したがって、(3.5.53)式は次のようになる。

0
0
i
j
Kn

k

1

u p ,n 1v p ,n 1

1

uc ,n 1

Fn 1

(3.5.57)v c ,n 1

l
0

m 0
ただし、

0

1 0

1

0 0

0

0
0

Un 1

0

u p ,n 1 ： 時刻 tn+1 におけるすべり状態節点対のペレット側節点半径方向変位増分
v p ,n 1 ： 時刻 tn+1 におけるすべり状態節点対のペレット側節点軸方向変位増分
uc ,n 1 ： 時刻 tn+1 におけるすべり状態節点対の被覆管側節点半径方向変位増分
v c ,n 1 ： 時刻 tn+1 におけるすべり状態節点対の被覆管側節点軸方向変位増分である。上式で接触節点自由度 i, j, k, l 行の一次方程式は、

K n( i )un 1

Fn (11)Un 1(3.5.58)

K n( j )un 1

Fn (1j )Un 1(3.5.59)

K n( k )un 1

Fˆn (1k )Un 1(3.5.60)

K n(l )un 1

Fˆn (1l )Un 1(3.5.61)

u p,n 1

uc ,n 1

また、m 行の一次方程式は

である。

－273－

0

(3.5.62)

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 1 組の節点対が固着状態にあり、他のすべての組が非接触状態であるとき
この場合の剛性方程式を例示すると次のようになる。

0

0

0

0

1

0

u p ,n 1

01v p ,n 1

k1

0

uc,n 1l

0

1v c,n 1

0

0

0

0

i
Kn

j

Fn 1

m 0

0

1

0

1 0 0

0

0

0

Un 1

0

n 0

0

0

1

0 1 0

0

0

0

Vn 1

0

(3.5.63)

ただし、 u p , n 1 ： 時刻 tn+1 における固着状態節点対のペレット側半径方向変位増分

v p ,n 1 ： 時刻 tn+1 における固着状態節点対のペレット側軸方向変位増分
uc ,n 1 ： 時刻 tn+1 における固着状態節点対の被覆管側半径方向変位増分
v c ,n 1 ： 時刻 tn+1 における固着状態節点対の被覆管側軸方向変位増分である。上式で接触節点自由度 i, j, k, l 行の一次方程式（剛性方程式）は次のようになる。

K n( i )un 1

Fn (11)Un 1(3.5.64)

K n( j )un 1

Fn (1j )Vn 1(3.5.65)

K n( k )un 1

Fn (1k )Un 1(3.5.66)

K n(l )un 1

Fˆn (1l ) Vn 1

(3.5.67)

また、m、n 行の一次方程式は

u p,n 1

uc ,n 10

(3.5.68)v p,n 1v c ,n 1

0(3.5.69)

である。

－274－

JAEA-Data/Code 2010-035(4) 接触状態判定およびその後の処理
1) 前タイムステップで非接触状態であった場合変位の重なりがないかをチェックする。すなわち、

gn 1

gn

u p ,n 1

uc ,n 1

(3.5.70)

ここで、

g n 1 ： 時刻におけるギャップ幅
上式において、gn+1> 0 のときは収束、 g n 10のときは次式により状態変化時刻 t nまで時刻を戻す。すなわち、

tn 1 tngn
gn gn 1tn
次に、時刻 t ntn

(3.5.71)から t n 1 までの計算は、状態を「固着」に改めて再度行う。

2) 前タイムステップで固着していた場合
接触力ベクトルで状態変化を判定する。すなわち、

U p ,n 1

0 かつ V p ,n 1

U p ,n 1(3.5.72)

U p ,n 1(3.5.73)を満足するときは接触状態は収束、

U p ,n 1

0 かつ V p ,n 1のときは、仮定を「すべり」に改めて再計算する。また、U p ,n 1

0(3.5.74)のときは、固着から非接触への変化であり、次式により状態変化時刻 t ntn
時刻 t n

tn 1
U p,n

tn
U p,n
U p ,n 1

tn

まで時刻を戻し、(3.5.75)から t n 1 までは状態を「非接触」に改めて再計算を行う。

3) 前タイムステップですべり状態であった場合
接触力ベクトルで状態変化を判定する。すなわち、

U p ,n 1

0 かつ V p ,n 1

－275－

U p ,n 1(3.5.76)

JAEA-Data/Code 2010-035を満足するときは接触状態は収束とする。ただし、U p ,n 1

0 かつ V p ,n 1

U p ,n 1(3.5.77)のときは状態を「固着」に改める。
また、次の条件を満たすときにも仮定していた状態を「すべり」から「固着」に改める。

U p ,n 1

0 かつ v *p ,n 1v c*,n 1(3.5.78)

ここで、

v *p ,n 1 ：接触開始以後のペレット側節点軸方向変位
vc*,n 1 ：接触開始以後の被覆管側節点軸方向変位
一方、次の条件を満たすときは、U p ,n 1

0「すべり」から「非接触」への変化であり、(3.5.75)式により状態変化時刻 t n
変数の値を t nに内挿し、時刻 t n(3.5.79)まで時刻を戻してから t n 1 までは状態を「非接触」に改めて再計算を行う。

(5) 複数の接触節点対を持つ系を取扱う場合
図 3.5.11 に示すような複数の接触節点対を持つ系を取扱う場合、各々の節点対に関して独立に接触状態の収束を図ろうとすると、全体の系に関して収束を得るまでに数多くの繰り返しが必要となることが経験された。そこで、次のような付加条件を与えて、通常の場合 3 回以内の反復で全体の系に関する収束を得られるようにした。
1) 接触状態にある節点対については、まず全て「固着」と仮定して解いてみる。
2) この中で、 V p ,n 1

U p ,n 1 の条件を満足する節点があった場合、この節点対およびこれより上方の位置にある節点対について、仮定を「すべり」と改める。
3)

この時、収束を早くするためにすべりの向きを揃える。すなわち、摩擦力はペレット表面
で全て下向き、被覆管内面で全て上向きとする。ただし、「すべり」と判断された節点対の「固着」仮定時の接触力の軸方向成分が全て逆向きの場合はすべりの向きを逆転させる。

3.5.6 軸方向荷重 ―上部ペレットとの軸方向相互作用―
着目セグメントは通常複数のペレットを含むが、本 2 次元解析モデルでは、それらのペレットがどれも同一の力学ふるまい（たとえば PCMI）をすると仮定する。したがってこれは、半ペレ－276－

JAEA-Data/Code 2010-035

ット長の変形を計算する場合、計算対象のペレット（target pellet; TP）に対する上下のペレットは、TP とまったく同様な境界条件の下にまったく同様に変形することを意味する。
ここで、TP において被覆管の間のギャップ幅が指定値以下になった場合、TP およびその上部のペレットと被覆管が固着し、TP の軸方向変位に制限を与える、すなわちロッキングが生じると仮定する。
ロッキング状態をモデル化するために、TP 上端面に分布する有限要素節点のうちで最大の軸方
向座標値を持つ節点 i の変位増分と、被覆管の境界面（図 3.5.8 における境界(8)）の変位増分とを等しく設定することにより、ペレットと被覆管に軸方向荷重を発生させる。これをロッキング条
件と呼ぶ。
TP 上端面とその上部ペレット下端面との、相互の接触状態の判定およびその後の処理手順は次の通りである。
TP 端面上の他の節点 j の軸方向座標が節点 i の軸方向座標を越えた場合、節点 j の軸方向変位
増分も節点 i と同様に、境界(8)の軸方向変位増分に等しくする。すなわち、ロッキング条件を設定する。この場合、次式により状態変化時刻 t ntn

Z j ,n 1

まで時刻を戻す。

Zi ,n

Z j ,nZ j ,nZi ,n 1

Zi,n

tn 1

tn

tn

(3.5.80)

ここでZi ,n , Z n 1 ：時刻 t n および t n 1 におけるロッキング状態の節点 i の軸方向座標
Z j ,n , Z j ,n 1 ：時刻 t n および t n 1 における節点 j の軸方向座標である。
時刻 t nから t n 1 までは、節点 j の軸方向自由度を節点 i の軸方向自由度と共通の自由度として、被覆管上端面（境界(8)）の軸方向自由度と共通の自由度で扱い、改めて計算する。
この方法により一般にはロッキング状態は、図 3.5.8 において境界(4)上で軸方向荷重を支える
TP ペレット節点群（これらはまとめて軸方向自由度 1 として扱われる）と境界(8)上での被覆管節点群（同様に軸方向自由度 1）の軸方向変位増分を等しくする（共通の自由度として扱う）境界条件を設定することにより実現する。
ところで、ペレット端面が接触状態にある節点の時刻 t n

1 における軸方向接触力は(3.5.2)式により求められる。すなわち、

Fn 1

B

T

－277－

n 1

dV

(3.5.2)

JAEA-Data/Code 2010-035( 4 ), PP

において、境界(4)に作用する荷重は軸方向接触力 Fn 1

Fn( 41), PP

Fn 1

B

のみであるから、
T
n 1

dV(3.5.81)である。
上式で求められるある節点の軸方向接触力を Vn+1 と書く。 Vn+1 < 0（圧縮力）であれば、この節点におけるロッキング状態が持続される。 Vn+1≧ 0（ゼロ値あるいは引張り力）の場合には、
ロッキング状態が解除されたと判定して、次式により時刻を t ntn
時刻 t nVn
tn 1
Vn Vn 1tnまで戻して解除時刻を求める。

tn(3.5.82)から t n 1 までは、この節点の軸方向自由度を共通自由度より除外して計算する。

なお、TP の端面上の全ての点での V が正になるとロッキング状態は解除される。
ロッキング条件が解除された後再度ロッキングが生じる場合、すなわち２回目以降のロッキン
グ条件の設定は、前回のロッキング条件が解除されたときの軸方向座標値に、TP 端面上のいずれかの節点の軸方向座標値が再び至った場合に、その節点に対して行われる。

なお、ロッキング条件設定時に被覆管上端面(8)にかかる荷重 F ( 8 ) はF (8 )F ( 8 ), R

F ( 8 ), AX

F ( 8 ),WF ( 8 ),G

(3.5.83)

F ( 8 ) ：境界(8)にかかる軸方向荷重
F ( 8 ), R ：境界(8)で軸方向 1 自由度としたことによる節点力
F ( 8 ), AX ：境界(8)でのロッキング条件による軸方向引張荷重
F ( 8 ),W ：冷却水圧力による軸方向荷重
F ( 8 ),G ：プレナムガス圧による軸方向荷重である。

調整パラメータ GAPLK
接触を経験していない接触節点対のロッキング状態を与える片側ギャップ幅を GAPLK により調整する。標準値は 3 m である。

－278－

JAEA-Data/Code 2010-035

3.6

クリープおよび応力-歪みに関する機械的性質モデル

ここでは力学解析における被覆管のクリープ、塑性、およびペレットクラックの仮定とモデルを説明する。

3.6.1 クリープ
(1) ペレット
ペレットのクリープひずみ速度式は、入力 name-list parameter IPCRP で複数のモデルから選択可能である。ただし、IPCR=1, 2 については、クリープひずみ速度で用いる温度の上限値を Name-list
Input Parameter TCS（指定温度）で与えることができる。したがって、上限温度 TCS 以上の領域
ではペレット温度は TCS に等しくおかれる。標準値は 1273.15K。詳細は第４章を参照。

(2) ジルコニウム合金被覆管
FEMAXI コードで数値計算する場合のクリープ関数 fcは、時間を陽に含まない。したがって、文献に記載されているクリープ式を用いる場合は、変形してcの表式より時間 t を消去して用いる。クリープ歪み速度式は、入力オプションで複数のモデルから選択が可能である。詳細は第 4 章を参照。

(3) SUS 合金被覆管クリープモデル
SUS 被覆管のクリープデータから、クリープ歪みの中性子束および時間依存性を近似的に抽出してクリープ式を構成した。この場合、ジルコニウム系被覆管のクリープ式とは若干異なる扱いをするので、それを以下に説明する。

① SUS304 クリープ式(3.3)
FEMAXI における SUS304 の照射クリープ式は(3.6.1)式で与えられる。

E
ここで、

C1 E / C 2 exp

E t / C2

C3

(3.6.1)： クリープひずみ速度（m/m・hr）

E = 中性子エネルギー(=1.0 MeV)
= 高速中性子束(n/cm2･s)= equivalent stress (psi)t: 時間(hour)
C 1= 1.7×10-23 , C 2= 5.5×1015 , C 3= 2.7×10-26(3.6.1)式の照射クリープ式は、Black burn 型のクリープ式である。 Black burn 型のクリープ式は、－279－

JAEA-Data/Code 2010-035

一次クリープひずみ

p

f

,T

1 exp

r

,T

t と二次クリープひずみ

s

c
s

t の和で

与えられ、一般的に(3.6.2)式で記述される。
cf, T 1 exp

r

c
s

,T t

t

(3.6.2)

この式を歪硬化則で表示するには下のような工夫がいる。(3.6.2)式を微分して、
c

f

,T r

, T exp

r

,T t

c
s

(3.6.3)を得る。式(3.6.2)と(3.6.3)から t の消去は式としてできない。そこで、「クリープ硬化は一次クリー
プ量のみで定まる。
」と仮定すると、Hf, T 1 exp

r

,T t

c
s

(3.6.4)

とおいて、これを(3.6.3)式に代入すると、を得る。即ち、クリープ歪

c

c

r

,T

f

,T

H

H

r

,T f

,T

H

と硬化歪

H

(3.6.5)に関する連立微分方程式となる。

これが Black burn 型のクリープ式の一般的な解法である。この方法を(3.6.1)式について適用すると、(3.6.3)式と(3.6.1)式を比較して、

f

,T

C1 E

(3.6.6)r,T

E / C2(3.6.7)cs

C3 E(3.6.8)となる。
したがって、c( FFUNC ) は、(3.6.5)式より、
cc

E / C2 C1 E

H

C3 E

(3.6.9)( FS ) は、(3.6.9)式を で微分して、
cc
H( FH ) は、(3.6.9)式をH

E / C2 C1 E

C3 E

(3.6.10)で微分して、c

E / C2H(3.6.11)

である。
また、

H

( GFUNC ) は、(3.6.5)式より、H

E / C2 C1 E

－280－

H

(3.6.12)

JAEA-Data/Code 2010-035

H( GS ) は、(3.6.12)式を で微分して、
H

H
H

H

( GH ) は、(3.6.12)式を

E / C2 C1 E

(3.6.13)で微分して、H

E / C2H(3.6.14)となる。
(3.6.9)式～(3.6.14)式より、
cc( FFUNC ) 、
c
H
H

H

( FH ) 、( FS ) 、( GFUNC ) 、H( GS ) 、H( GH )が得られたので、次式より、クリープひずみ増分を得ることができる。すなわち、クリープひず
み増分は、
c ,i 1n 1

c ,i 1
n

tn 1

c ,i
n 1

Cnc ,ii 1
n 1

d(3.6.15)

ここで、

3

c ,i
n 1

C

2

c ,i
n

f ni

i
n

i
n

tn 1

F3

i

i
n 1

(3.6.16)ii

t n 1 F1

tn 1

F2

j n

(3.6.17)n

また F1 ,F2 ,F3 は、
i

f
F1

9
i
n

4

f

i

f ni

2

tn 1

H
n

i
n

n

g

1

i

n

tn 1

g

i

(3.6.18)

H
n

F2

3f
2

i
n
i
n

(3.6.19)if
F3

tn 1 g ni

H

3

H ,i
n 1

n

2 ni

1

tn 1

(3.6.20)

i

g
H

n

である。(3.6.15)式～(3.6.20)式において、

f ( FFUNC ) 、

f

H

f

( FS ) 、( FH ) 、 g ( GFUNC ) 、－281－

JAEA-Data/Code 2010-035gであるので、

c ,in 1

および Cnc ,i( GS ) 、g

H( GH )を求めることができる。

(SUS304 式のコーディング例)
SUBROUTINE CCPEQ7
1(FFUNC ,F1,F2,F3,GFUNC ,GS
,GH
,EPSH
2
,DEPSH ,TEMP ,FAI ,FAIT ,SIGE ,CRFAC ,THETC ,DTIME
3,NST ,IFLG )C----------------------------------C
MATETRIAL : SUS304
CSIGE=STRESS(N/m2)
C----------------------------------IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)
COMMON/TCCR/ TCCSDATA EBAR/1.0/ ,C1/1.7D-23/ ,C2/5.5D15/ ,C3/2.7D-26/
C
IF(TEMP.GT.TCCS) TEMP = TCCSCSIGPSI = SIGE*1.450389D-4
FFUNC=(EBAR*FAI/C2*(C1*EBAR*FAI*SIGPSI-EPSH)
1+C3*EBAR*FAI*SIGPSI) *CRFAC
IF(IFLG.EQ.3) RETURNCFS= (EBAR*FAI/C2*C1*EBAR*FAI+C3*EBAR*FAI)*1.450389D-4*CRFAC
FH= -EBAR*FAI/C2*CRFACGFUNC = EBAR*FAI/C2*(C1*EBAR*FAI*SIGPSI-EPSH)*CRFACGS= EBAR*FAI/C2*C1*EBAR*FAI*1.450389D-4*CRFAC
GH= -EBAR*FAI/C2*CRFAC
IF(IFLG.EQ.2) RETURN
C
F1=9./(4.*SIGE**2)
1*(FS-FFUNC/SIGE+FH*THETC*DTIME*GS/(1.-THETC*DTIME*GH))
F2=1.5*FFUNC/SIGE
F3=1.5*FH/SIGE*(GFUNC*DTIME-DEPSH)/(1.-THETC*DTIME*GH)C
RETURN
END【コーディング上の注意事項】① (3.6.16)および(3.6.18)～(3.6.20)式で示すように、各式は相当応力（の場合は、0 割が発生する。そこで、
では、<1(MPa)の場合は、0 の指定がいる。 >0 であるので、コーディング例=1(MPa)とした。

② (3.6.9)式及び(3.6.12)式の定式化において、H0）で割っているので、

c

、

H

の単位は 1/s である。FEMAXI では、の単位は 1/hr で与えることになっているので、3600 倍（d(hr)/d(s)）する必要がある。

－282－

c

c

、
、

JAEA-Data/Code 2010-035

c

H

H 、

H

、

H についても同様である。

c③ (3.6.11)式及び(3.6.13)式の定式化において、
c

FEMAXI では、

Hの単位は 1/(s・MPa)である。

の単位は 1/(hr・Pa)として与えることになっているので、

3.6 103 (d (hr )3.6 10 3

3.6.2

、

H

、

d (s)

) 10 6 (d ( Pa )d ( MPa )) 倍する必要がある。

被覆管の応力歪み関係式のモデル(1) FEMAXI-III モデル(1.2)
基本のオプションである(ICPLAS=1: Default)を説明する。

K n：真応力（kg/mm2）、 ：真ひずみ、 n ：歪硬化指数
ここで

K0.2%
B

y

33.44 1 exp

2.92 10 21 exp

12

B

kg / mm2(3.6.21)

1.6 10 14：高速中性子 fluence (n/cm2)

E >1 MeV：高速中性子束（n/cm2・s）

E >1 MeV2
y =降伏応力（kg/mm ）=21.60-0.0213・T（再焼結材）=31.32-0.0213・T（応力除去材）
n=0.0504+0.0001435・T
T：温度（℃）(2) MATPRO-11 モデル (3.4)

220

T

450 ℃

ICPLAS=2 は MATPRO-11 の original model、ICPLAS=3 はMATPRO-11 の modified model を指定する。ただし、ICPLAS=3 における修正点は、高燃焼度における降伏応力レベル(図 3.6.1)を現実のデータに基づいて低下させた(図 3.6.2)ことである。
MATPRO-11 の original model は低燃焼度領域のデータによって経験式を構成しているので、高燃焼度領域になると被覆管の降伏応力が不自然なほど著しく高い値を予測する。これを回避する修－283－

JAEA-Data/Code 2010-035

正をしたオプションが ICPLAS=3 である。詳細はそれぞれ、第 4 章を参照のこと。
1400

300K

1200

True Stress (MPa)350K

MATPRO-11
26
2
Fluence=1.3x10 n/m

600K

1000

-1
100% s
-1
1% s

800
800K

600

-1

0.001% s

MATPRO,
400

900K

FEMAXI, 300K
142
Flux=1.0x10 n/cm

200
0

0.0

0.5

1.0
1.5
True Strain (%)

No fluence,
300K

2.0

図 3.6.1 ジルカロイの応力歪み曲線における MATPRO-11 モデルと、FEMAXI
モデルの比較

1000

100%/s352K

True Stress (MPa)8000.001%/s
100%/s600

400K

0.001%/s

600K

400

100%/s900K

2000.001%/s00.0

図 3.6.2

0.5

1.0
1.5
True Strain (%)

2.0

修正 MATPRO モデル。降伏応力レベルを実測データに基づいて修正したもの。

－284－

JAEA-Data/Code 2010-035

3.6.3

太田モデル(3.5)

これは照射済みの被覆管の最近の単軸引張データを用いて、応力歪み曲線及び関連するパラメータ値を導出したモデルである。式の基本的な形は MATPRO-11 model と同一であるが、高燃焼度の被覆管の実験データを用いたこと、弾性域から塑性域へスムーズに移行する部分が追加されていることが特徴である。

1400

本モデルでは、応力と歪みが比例する弾性1200

K n が成り立つと変形の範囲と、指数則1000
応力 MPaする塑性変形の範囲の間に、弾性変形と塑性変形が同時に起こる「中間領域」を考えている。

(εy,σy)800
600(ε2,σ2)(ε1,σ1)400

このとき、弾性域と中間領域の連結点、な200

らびに中間領域と塑性域の連結点を右図の0ように ( 1 ,

1

) 、( 2 ,20) と表すことにする。

0.01

0.02

0.03

歪み frac

図 3.6.3
弾性変形、中間領域及び塑性変形の連結点ならびに MATPRO モデルの降伏点

ここで、図の縦軸は真応力、横軸は真歪みである。

(1) 応力と歪みの関係式
E

弾性域；(3.6.22)

E ：ヤング率
ax 3 bx 2

中間領域；

Ex

ただし、 x1(3.6.23)1

係数 a , b については後述
m

K n

塑性域；

(3.6.24)

10 3

K ：強度係数n ：歪み硬化指数：真歪み速度．もし ＜10-5 /ｓ ならば ＝10-5 /ｓ．

m ：歪み速度感度係数m以下では、 K

10 3をまとめて K と表記する。

MATPRO-11 のモデルでは (3.6.23)式の部分がない。本モデルでは(3.6.22)式と(3.6.24)式の交点－285－

JAEA-Data/Code 2010-035

( y,

y

) 、ただし
y

に対して、

1
1 n

K
E

、

y のときは(3.6.22)式を、

E yy(3.6.25)

y のときは(3.6.24)式を用いる。

中間領域を導入した本モデルでは中間領域の範囲を定義する必要があり、軸方向引張り試験をy の代表的な値を求め、それぞれ 0.2%、0.3%という結果を得た。

整理して

y

1、

ただし、

yが

0.2%より小さい場合に 1 が負の値になることを避けるため、本モデルでは以下を採用する。また、

2

1 が小さいときに

y

yと

2

y

1

の大きさがバランスするよう 2 にも制限を設ける。

中間領域に関しては、

1max( y0.002,y0.5)

2min( y0.003,

y

1.75)

1 及び

において “応力2(3.6.26)”と“ に対する 1 階微分 dd”が連続となるスプライン関数として、以下のようにして三次式を求める。

ax 3 bx 2

まず、

cx d （ここで x1 ） として、

1(x0) で と ddが連続という条件より、

d
d
ここで、

c

d

E

(3.6.28)

E 1 である。

1

次に、

2

(x

2

1

)で とd

d

d

が連続という条件より、

a 3 b 2

E

1

3a 2

2b

E

d

n 1
2

nK
ここで、

(3.6.27)

1

2

K

n
2

2

2

1

とすると、
(3.6.29)(3.6.30)である。

(3.6.29)と(3.6.30)式を連立して a と b について解くことにより、(3.6.23)式の係数は以下のとお
り求まる。
いま、
2

1

K

nK

n 1
2

F

n
2

E 1

y
(3.6.31)－286－

JAEA-Data/Code 2010-035と表すことにすると、(3.6.29)と(3.6.30)式より、以下のように a と b が決定される。

a2 y (EF)b

3 y (2 E

F)

以上より、真歪み が与えられたとき、式を適用することにより真応力
逆に、真応力3//2(3.6.32)

1、 1に応じて (3.6.22)～(3.6.24)

2、 2

が求まる。

が与えられ、真歪み を求める場合には、じて (3.6.22)～(3.6.24)式を適用することとなるが、応力

1、

が中間領域

1
1

2、

に応

2

2 に相当する場合には、(3.6.23)式を数値解法で解いて を求める必要がある。

(2) 強度係数 K① 応力除去材被覆管(PWR)の K (MPa)
温度 T 及び高速中性子フルエンス（>1.0MeV）に依存するとして以下のとおり与える。

T≦900 K （626.85℃）

K

L1

L2 (T

L4 (T

273.15)

1 exp( 1.751 10 25 )1745, L2

2.517, L3526, L4

L3
L1

273.15)0.748(3.6.33):neutrons/m2 (>1MeV)

K ：MPa、 T: Kelvin、

900＜T＜1000 K (626.85～726.85 oC)

K

A1 T A2 T ( A3 TA4B1 T B2 T ( B3 TB4 )1 exp( 1.751 10 25 )A 1＝

3.041233371×104，

B 1＝

3.3282432 ×102

A 2＝

－8.285933869×101，

B 2＝

2.98027653

A 3＝

7.490958541×10－2，

B 3＝－6.81286681×10－3

A 4＝－2.242589096×10－5，B 4＝3.51229783×10－61000 K≦T （726.85oC~） K

H1 1 10 6 , H 2

H1 exp( H 2

8.775, H 3

0.5(3.6.34)

H 3 / T ) 1 H 4 1 exp( 1.751 10 25 )

8663, H 4

0.341566

0.5(3.6.35)【注 1】MATPRO-11 では、強度係数 K は未照射材、冷間加工ゼロに対する値としてモデル化され－287－

JAEA-Data/Code 2010-035ている。照射と冷間加工の影響は DK という係数で考慮されており、両者の合計 K

DK が(3.6.24)式中の K に相当する。これに対して、本モデルの強度係数 K は照射と冷間加工の影響を含んだものである。特に、冷間加工の影響に関して、フルエンスがゼロのときには応力除去材被覆
管の製造時の条件（8～10%の加工量）に対応した K 値を与える。さらに、フルエンスが増加すると、照射による硬化とともに冷間加工の影響が失われる効果が、フルエンス依存項に含められている。
ここで、モデル化においては・1000K 以上の K 値は MATPRO の高温域（900K 以上）と同一とした。ただし(3.6.33)式との連続性を考え、900K におけるフルエンス依存と同じ割合で、照射とともに K 値が増大するとした。
dK・900～1000 K は、両端の温度で、 K 値とその温度微分 dT が連続となるよう係数を決定した。これは MATPRO-11 の 730～900K をつないでいる方法と同じである。

② 再結晶材被覆管(BWR)の K
温度 T 及び高速中性子フルエンス(>1.0MeV)に依存するとして以下のとおり与える。

T≦700 K （426.85℃）

K

L1

L2 (t 273.15)
L3

L4 (T

1 exp( 9.699 10 26 )273.15)(3.6.36)

0.5

700＜T≦800 K （426.85～526.85℃）

K

A1 T A2 T ( A3 TA4A5 T A6 T ( A3 TA4 )1 exp( 9.699 10 26 )A01＝

3.656432405×104，

A02＝－1.361626514×102

A03＝

1.695545314×10－1，

A04＝－7.055897451×10－5

A05＝－3.338799880×104，

A06＝

1.330276514×102

0.5(3.6.37)

800＜T＜950 K （526.85～676.85℃）
未照射燃料に対して、

K non irradiatedH1 exp( H 2

H1 1 10 6 , H 2

H3 / T )4.772, H 3

9740

高速中性子フルエンスφt の照射を受けた燃料に対しては、－288－(3.6.38)

JAEA-Data/Code 2010-035

K

K non irradiated1 exp( 9.699 10 26 )B T B2 T ( B3 TB4

K non irradiatedB01＝－3.617377246×104，

B02＝

1.361156965×102

B03＝－1.636731582×10－1，

B04＝

6.386789409×10－5

0.5(3.6.39)

950K≦T （676.85℃～）

K

H1 exp( H 2

H3 / T )H1 1 10 6 , H 2

1 H 4 1 exp( 9.699 10 26 )4.772, H 39740, H 4

0.5

(3.6.40)

52.67783【注 2】K 値の温度依存性に関し、低温では「温度の 1 次式」、最も高い温度範囲で「exp(Q/T)に比例する(Q：定数、T：温度)」とし、その間を温度の 3 次式でつないでいる。これは前頁の SR
材と同じである。ただし、未照射の場合、RX 材は SR 材に比べ K 値が小さく、1 次式から外挿す
ると 400～500℃で K＝0 となる。このため、SR 材の式と比べて低めの温度で exp(Q/T)につないでいる。上で、未照射材では(3.6.37)式のところが 3 次式による繋ぎ目。一方、照射による増分の項
は(3.6.39)式のところが繋ぎ目である。
高温で K 値が exp(Q/T)に比例するとしている部分については、1 次式から外挿がつながるように Q を調整した。

(3) 歪み硬化指数 n
温度 T のみに依存するとして以下の式で計算する。照射による変化はないとしている。
T≦673.15 K （400℃）n

C1 C2 (T273.15)(3.6.41)673.15<T<1000 K （400～726.85℃）

n

C3 T (C4 C5T )(3.6.42)C1＝0.213 , C2＝1.808×10－4 , C3＝3.4708518×10－2 ,C4＝4.9565251×10－4 ,C5＝－5.0245302×10－71000 K≦T （726.85℃～）n

C6 = 0.027908(3.6.43)【注 3】・1000K 以上の n 値は MATPRO の高温域（850K 以上）と同一とした。

－289－

JAEA-Data/Code 2010-035

・中間の温度範囲 673.15～1000 K は、両端の温度で n 値が連続、かつ 673.15K で温度微分 dndTが連続となるよう係数を決定した。この幅が狭いと、温度の変化に対する n 値の変化が急峻となって降伏応力 vs. 温度のグラフに不自然な凹凸が生じるため、n 値が一定となる温度を MATPRO より高温側にシフトしている。

(4) 歪み速度感度係数 m
MATPRO から変更なし。温度 T のみに依存するとして以下の式で計算する。照射による変化はないとする。
T≦730 K （456.85℃）

m ＝0.02(3.6.44)730<T＜900 K （456.85～626.85℃）m

A5 T A6 T ( A7A8T )(3.6.45)

A10T m＝－6.47×10－2＋2.203×10－4T(3.6.46)900 K ≦T （626.85℃～）

m

A9

A 5＝

2.063172161×101

A 6＝－7.704552983×10－2

A 7＝

9.504843067×10－5

A 8＝－3.860960716×10－8

A 9＝-0.67×10－2

A10＝－2.203×10－4

Name-list Input Parameter

ICPLAS

被覆管応力歪み（塑性）式のオプション。

ICPLAS=1: FEMAXI-III モデル(Default),=3: 修正 MATPRO-11 モデル,

3.7

=2: MATPRO-11 モデル,
=4: 太田モデル,=41:SUS304

事故時燃料解析コード RANNS との接続

FEMAXI コードは、Re-start 機能を用いることにより、計算結果を外部ファイル*.ft11 に書き出すことができる。この*.ft11 には FEMAXI での計算結果のほとんどの物理量が含まれており、事
故時燃料ふるまい解析コード RANNS(3.6)-(3.8)はそれを読み込んで、計算する燃料の初期条件とする
ことができる。もちろん RANNS は*.ft11 無しで、独自に初期条件を設定して計算を行うことも可能である。詳細は RANNS のモデル説明書およびマニュアル(JAEA-Data/Code 2011-XXX として発刊予定)を参照されたい。

－290－

JAEA-Data/Code 2010-035

3.8

疲労解析機能3.8.1 疲労解析概要
運転時に過渡的な出力変動が繰り返し生じると、被覆管にはサイクル状の応力・歪みが発生し、材料の疲労の観点からの検討が必要になる。
材料の個別の疲労試験では、基本的に正弦波状の交番応力を加えて破壊に至るまでの回数を求める。
mmax を 最 大 応 力 、

0.5( maxminmin を 最 小 応 力 と す る と き 、R

min を 応 力 振 幅 、

max) を平均応力という。応力振幅を変えて多数の実験を行うことにより、応力

振幅と振動回数の関係を示す疲労曲線（S-N 曲線）が得られる。振幅が大きいほど破損までの振動回数は少ない。すなわち、被覆管の寿命は短い。疲労破壊では、まず材料表面にクラックが発生し、クラックは応力サイクルとともに内部に進展し、最後に破断に至る。

3.8.2 ジルカロイ疲労曲線
O'Donnell および Langer は、未照射および照射ジルカロイの試験によって疲労曲線を得た(3.9)。
試験は、室温(未照射材のみ)および 316oC において、軸方向荷重および曲げ荷重について行われた。
材料は、通常材のほか、溶接材も含まれている。集合組織の効果についても考慮されており、圧延方向に平行および、直角方向について試験されている。照射の効果は高ひずみ側で現れているだけである。他のパラメータの効果はほとんど認められなかった。また、安全審査で用いている
疲労曲線（UO2、MOX 共通）を図 3.8.1 に示す。O'Donnell および Langer の疲労曲線より安全側に設定されている。
1.E+06

応力振幅 S （psi)

1.E+05MAXIMUM
BEST FIT

1.E+04

1.E+03
1.E+01

1.E+02

1.E+03図 3.8.1

1.E+04
1.E+05
くりかえし回数 N

1.E+06

ジルカロイ疲労曲線－291－

1.E+07

1.E+08

JAEA-Data/Code 2010-035

3.8.3 疲労評価
FEMAXI-7 は、被覆管に繰り返し応力負荷を与える疲労計算が可能である。FEMAXI-7 による疲労評価解析の例を以下に示す。解析対象となる燃料棒の線出力履歴例を図 3.8.2 に示す。図 3.8.2に示す各履歴点（菱形のシンボル）において疲労評価を行う。その手順を、あくまで一つの例として以下に示す。
300

線出力 (W/cm)

250
200
150
100
50
0

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

時間 (hour)
図 3.8.2 線出力履歴例(1) 各履歴点における計算
まず各履歴点まで、出力履歴に沿った通常運転の計算をおこなう。
次に、履歴点において、①履歴点出力②0%出力, 温態③0%, 冷態④0%温態⑤100%出力⑥過渡出力の計算を実施する。実施するケース数は疲労評価対象とする全履歴点である。
疲労評価における被覆管応力は、起動・停止時においては③と④の応力により評価し、負荷追従時は④と⑤の応力により評価し、異常な過渡時は④と⑥の応力により評価する。

(2) 過渡条件と線出力①の線出力を P としたとき、⑤の 100％出力は P にオーバーシュート出力を加えて算出する。
また表 3.8.3 に⑥の過渡時での線出力の算出方法を示す。

－292－

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 疲労係数の算出方法
表 3.8.3 に異常な過渡変化における原子炉トリップを例に疲労係数の算出方法を説明する。
ここでは、④の 0%温態時の被覆管内面応力算出値
被覆管外面応力算出値

r

,

,

r

,

,

( 8.1, 72.4, 29.4) (MPa)、z( 14.0, 85.1, 48.6) (MPa)zであり、⑥の異常な過渡時の被覆管内面応力算出値
被覆管外面応力算出値

r

,

,

r

,

,

z

( 54.9, 273.4,185.7) (MPa)、( 27.9, 288.6, 252.3) (MPa)

z

である。
これらの

r

,

,

z を用いて偏差応力

r

,

z

,

z

r を作成する。表 3.8.4-B における0%(温態)の内面の応力 64.3(MPa)は－8.1－(－72.4）より得られた値であり、1 行目の値はすべて同様である。2 行目の値は、異常な過渡時についても同様に求めた値である。次に 3 行目の Smax は 1
行目と 2 行目の大きい方の値であり、4 行目の Smin は 1 行目と 2 行目の小さい方の値である。

1( S max2

5 行目の Sm は、 S m

S min ) で得られる値である。6 行目の N は、許容されるくりかえ

し回数であり、記載された値は 5 行目の応力振幅 S（Sm）を用いて図 3 より求めて得られたくり
かえし回数（N）の値である。
表 3.8.3 (図 3.8.2)の例では、サイクル当りの異常な過渡変化における原子炉トリップを 40 回としたので、7 行目の疲労係数の値は 40 / N 100 (%)として得られた値である。すなわち、同じ
応力振幅が 40 回発生したときの疲労係数である。このようにして、被覆管内外面の偏差応力
（

r

,

z

,

z

r ）の各成分についてサイクル毎の疲労係数を算出する。サイクル毎の疲労係数は、各サイクルで数（または数十）箇所解析して求まった疲労係数のうち最大のものを
そのサイクルの累積疲労係数とする。
図 3.8.2 の例では 4 サイクル運転であるので、それぞれのサイクルで得られた累積疲労係数の総和が求めるべき累積疲労係数である。表 3.8.4 に累積疲労係数の算出例を示す。

表 3.8.3

疲労評価例 ( ：MPa)

r

z

内面

外面

内面

外面

内面

外面

0%

-8.1

-14

-72.4

-85.1

-29.4

-48.6

過渡

-54.9

-27.9

273.4

288.6

185.7

252.3

－293－

JAEA-Data/Code 2010-035

表 3.8.4

累積疲労係数算出例
累積疲労係数（％）

負荷追従

過渡

起動・停止

合計

(内面)

(外面)

(内面)

(外面)

(内面)

(外面)

(内面)

(外面)

r

r

r

r

r

r

r

r

第 1 サイクル最大値

1.26

2.19

2.02

2.37

0

0

3.29

4.56

第 2 サイクル最大値

2.12

2.17

3.85

3.46

0

0

5.98

5.62

第 3 サイクル最大値

3.01

2.79

3.24

2.66

0

0

6.25

5.44

第 4 サイクル最大値

2.89

2.63

4.67

3.97

0

0

7.56

6.6

9.28

9.78

13.78

12.46

0

0

23.08

22.22

上記の場合の累積疲労係数は 23.08％である。

3.8.4

繰り返し出力過渡解析機能

FEMAXI-7 は、ある特定の照射条件及び燃料仕様条件において、燃料の各照射サイクル開始時と終了直前時を含む、各サイクル期間中の燃焼度 Bn (GWd/tHM)ごとの複数個(100 点以上)の解析
点に対して繰り返し出力過渡解析を以下のように行う機能を持つ。（オプション FATIG=0:off,=1:on）。Bn は燃焼度間隔であるが、default=2.0 の入力制御パラメータである。

(1) 解析例
例として、過渡解析点まで定格運転時の運転履歴にしたがい燃料状態を計算し、その後、次のステップで 0%出力から定格運転の 120%出力まで上昇させる解析（局所力学モデルおよび全長力学モデル）を行う。
①解析出力→② 0%出力温態→③ 0%出力冷態→④ 0%出力温態→⑤ 100%出力→⑥ EXPW(%)
過出力。ここから、以下の表 3.8.5 にある物理量（被覆管の応力歪みなど）の①から⑥stage までの値を求め、別のファイル（***.xls）に燃焼度の関数としてテーブル化して出力する。EXPW は
過出力レベルであり、default=120.0 の入力制御パラメータである。

表 3.8.5
燃料中心温度・燃料中心温度・ペレット半径方向温度分布

燃料棒内圧

・FGR

・プレナム圧力＝内圧・ペレット－被覆管接触圧
被覆管応力

・被覆管相当応力（内外面）

・被覆管半径方向応力（内外面） ・被覆管周方向応力（内外面）
・被覆管軸方向応力（内外面）

被覆管歪・被覆管直径変化量

・被覆管半径方向歪（内外面）

・被覆管周方向歪（内外面）

・被覆管軸方向歪（内外面）－294－

JAEA-Data/Code 2010-035

歪みエネルギー

最大剪断歪みエネルギー

被覆管相当歪み
（内外面）

2 1
3 2

全長解析： e局所解析： e

2 1
3 2

2

2

r

2

z
2

z

2

r

2

z

z

r

0.5

r

3 2
rz
4

0.5

なお、以上の疲労・過渡解析機能の実行方法とファイル内容は入出力マニュアル編で説明する。

3.9

Skyline 法

FEM による構造解析は、最終的に(3.4.18)式等あるいは(3.5.47)式に示されるような連立一次方程式を解く問題に帰着する。接触力の釣り合い条件式を除くと、その連立方程式の次元数は節点自由度であり、その部分のマトリクスは対称である。(3.4.18)式や(3.4.47)式に示すように、｢接触｣の境界条件が付加された場合にのみ、非対称成分が現れる。本コードでは、連立方程式の解法にSkyline 法を採用した。この方法は Gauss の消去法の演算手順を改良して、作業領域及び演算回数の削減を図ったものである。
解くべき方程式は一般に次のように書ける。

a11(0) x1 a12(0) x2

a1(0)
n xn

b1(0)

(1)

(0)
(0)
a21
x1 a22x2

a2(0)n xn

b2(0)

(2)

(0)
(0)
a31
x1 a32
x2

a3(0)
n xn

b3(0)

(3)

an(0)
an(0)2 x2
1 x1

(0)
ann
xn

bn(0)

(n)

(3.9.1)

各係数 aij および既知荷重増分ベクトル bi の右上の添え字は消去の過程を明確にするために付した。
消去の第 1 段は、方程式(2), (3), ……… (n)の x1 を含む項、すなわち
(0)
(0)
a21
x1 , a31
x1 ,

an(0)
1 x1

(0)

(3.9.2)( 0)(0)

を 0 にすることである。まず、 a21 x1 を消去するために a21 a11 を乗じて(2)からこれを引けば、
(0)
a22

(0)
a21
a12(0) x2
a11(0)

a2(0)n

となる。

－295－

(0)
a21
a1(0)
xn
n
a11(0)

b2(0)

(0)
a21
b1(0)
a11(0)(3.9.3)

JAEA-Data/Code 2010-035

( 0)

(0)

(0)

(0)

次に a31 x1 消去するために(1)式に a31 a11 を乗じて(3)から引く。これを繰り返し、 an1 x1 まで
すべてを消去すれば結局方程式は次の形になる。

a11(0) x1 a12(0) x2

a1(0)
n xn

b1(0)

(1)

(1)
a22
x2

a2(1)n xn

b2(1)

(2)

(1)
a32
x2

a3(1)n xn

b3(1)

(3)

an(1)2 x2

(1)
ann
xn

bn(1)

(n)

(3.9.4)

ここで
(1)
a22

(0)
a22

(0) (0)
a21
a12
(1)
, a32
(0)
a11

(0)
a32

(0) (0)
a31
a12
,
(0)
a11

b2(1)

b2(0)

(0) (0)a21
b1, b3(1)
(0)
a11

b3(0)

(0) (0)
a31
b1
,
(0)
a11

である。
(1)

(1)

次に消去の第 2 段では(3)’, (4)’, ……, (n)’の x を含む項 a32 x2 , …… , an 2 x2 を 0 にする。このための手順は第 1 行の(1)'を除いて(2)';…… (n)' を新たに与えられた方程式のように考えれば第 l 段の消去と全く同様である。
順次に消去を進めると、最終的には左辺が右上三角形をしたつぎの連立方程式に帰着される。

a11( 0 ) x1 a12( 0 ) x2

a1(,0n) 1 xn 1 a1(n0 ) xn

bn( 0 )

(1)
a22
x2

a2(1,n) 1 xn 1 a2(1n) xn

b2(1)( n 2)nnn( n 2)
n(3.9.5)ax

a( n 2)nnnb( n 1)nnnbn( n 1)xax

ここで各係数は一般的に次のように書ける。
(k )ij( k 1)ijaabi( k )bi( k 1)aik( k 1) akj( k 1) i

k 1,

N

( k 1)
kk

k,

N

a

j

aik( k 1) ( k 1)bk ,akk( k 1)i

k 1,(3.9.6)N(3.9.5)式を解くことは容易である。すなわち最後の式からただちに－296－(3.9.7)

JAEA-Data/Code 2010-035

bn( n 1)
( n 1)
annxn(3.9.8)が求められる。これを最後から 2 番目の式に代入して xn 1 が求められる。一般に次式

bk( k 1) ak( k,k 11) xk ak( k,k 12) xk 2
akk( k 1)

xk(3.9.9)によって順次それまでに得られた解を代入していくことにより x1 までのすべての値が求められる。
以上をガウスの消去法という。この方法では消去のたびごとに係数の書きかえが必要であるが，
(k )

(k )

( 0)

(0)

以下の手順(Crout reduction )を用いれば、(3.9.5)式の aij およひ bi をこれら初期値 aij および biから直接導くことができる。
いま(3.9.6)および(3.9.7)式は、(3.9.5)式から明らかな k

i 1 の関係を用いて次のように表わされる。
( i 1)ija( i 1)i(i 2)i

ai(,ii 12 ) ai(i1,2j)

(i 2)
ij

a

b

ai(i1,2i )1ai(,ii 12 ) (i 2 )bi 1
ai(i1,2i )1

b

例えば

a

(1)
2j

a3( 2j )a( 0) ( 0)
a21
a1 j

(0)
2j

a11( 0 )(1) (1)a32
a2 j

a3(1j)

(1)
a22

(0)
3j

a

a3( 0j )2

aik( k 1) akj( k 1)

k 1

akk( k 1)(0) (0)a21
a1 j(1) (1)a32
a2 ja11( 0 )(1)a22と書けるので一般的に、( i 1)
ij

a

( 0)
ij

a

i 1

aik( k 1) akj( k 1)

k 1

akk( k 1)(3.9.10)

同様に、

bi(i 1)となる。これらに i, j

2,3aik( k 1) ( k 1)b
( k 1) k
k 1 akki 1

bi(3.9.11)( n 1)(n 1)
n を順次代入していくことにより ann, bn までの全ての値が求められる。
本コードで解くべき連立方程式の係数マトリクスは部分的に非対称の成分を含んでいる。対称(i 1)マトリクス部については次式で aij(i 1)および bi

を求める。

－297－

JAEA-Data/Code 2010-035a( i 1)ij

bi(i 1)
ここで、 mai 1

a ik( k 1) a kj( k 1)

j

2,

m

k 1

( k 1)
kk

i

2,

j

(0)
ij

a

a ik( k 1) ( k 1)b
( k 1) k
k 1 a kk(3.9.12)

i 1

bi

i

2,

m

(3.9.13)対称マトリクス部の自由度数

非対称部については次式を用いる。

a( i 1)ij

bi(i 1)
ここで、 n

a

(0)
ij

i 1

aik( k 1) a kj( k 1)

i

mで

j

2,

n

k 1

( k 1)
kk

j

mで

i

2,

n

a

a ik( k 1) ( k 1)bi
( k 1) k
k 1 a kk(3.9.14)

i 1

bi

m,

n

(3.9.15)

マトリクス全自由度数

本手順においても(3.9.5))式の処理には(3.9.8)および(3.9.9)式と同様の後退代入が行われる。
いま係数マトリクスが模式的に図 3.9.1 のようであるとする。図において実線で固まれる領域の係数を 1 次元配列に記憶することを考える。

iｊ× × × × × ０ × × ０ ０ ０ ０ -Li
×０×００××００００
××００×０００００××０××００００××××××０×
×０×××××
× ０ × × ０ × -Lj
×××××
××××
×０×
Symmetry×××
図 3.9.1

Schematic Coefficient Matrix

第 j 列において始めて非零成分が現われる行番号を L j とすると、行 j 列の係数 aij は 1 次元配列
の
j

i

j

k

Lk 1

k 1

－298－

(3.9.16)

JAEA-Data/Code 2010-035

番目の位置に記憶される。
なぜなら k 列において記憶されるべき係数の数は k

Lk 1 で あ り 、 a jj の 記 憶 先 はjk

Lk 1 と書けるからである。

k 1

このような記憶方式およびこれに伴う連立方程式解法は Skyline 法と呼ばれる。以下にこの記憶方式を用いたときの解法を示す。
いま(3.9.12)および(3.9.13)式で表わされる手順(Grout Reduction) を j 列に適用することを考える。

L j , Li をそれぞれ i 列, j 列で始めて非零係数が現われる行番号と書くと、 aij は aik 又は aki が 0 な
1 から始める必要はなく、 L j と Li の大きな方

らば修正されないので、これらの式の総和はkからとればよい。また、 r

L j のとき arj

0 なので、 j 列の最初の非零係数は修正されないまま残っている。したがって i

L j 1 からの評価を行えばよい。この手順(modified Crout reduction)は次のように表わされる。

aij( i 1)

i 1

aij( 0 )aˆki( k 1) akj( k 1)

(3.9.17)

k k0

aki( k 1)
akk( k 1)aˆ ki( k 1)

ここで、

j

2,

m

i

L j 1,

k0

max Li , L j

j 1

および

a (jji 1)

a (jj0 )j 1aˆkj( k 1) akj( k 1) j

2,m

(3.9.18)

k Lj

また、

bi(i 1)bi( 0 )j 1aˆki( k 1)bk( k 1)

k k0

Lb

i

Lb 1,

m

k0

max Li , Lb

(3.9.19)ベクトル b の最初の非零成分行番号

ここで( i 1)ibbi( 0 )
iaii( i 1)

Lb ,と置いて記憶する。
後退代入の手順は次のようになる。

－299－

m

(3.9.20)

JAEA-Data/Code 2010-035

xk

bk( k 1)

xk

xk

k

1,

m

aˆ ki( k 1) xi

im, m 12k

Li , Li 1

i 1

(k 1)

ここで、(3.9.17)式が適用されるごとに、上式の aki(i 1)

次に上記の aij

(i 1)

, bi

(3.9.21)( k 1)(3.9.22)aki( k 1) akk( k 1) に置換され記憶される。

は aˆ kiの計算において手順繰返し回数の上限を消去される方程式の数にセットすることを考える。この手順(partial reduction)は次のように表わされる。
対称マトリクス部について係数マトリクスは、

aij( i 1)

i 1

aij( 0 )aˆ ki( k 1) akj( k 1)

(3.9.23)

k k0

ここで、

aki( k 1)
akk( k 1)aˆ ki( k 1)

(3.9.24)

j

2,

m

i

L j 1,

k0

max Li , L j

min p, j

p マトリクス対称部で消去される方程式の数
およびa (jji 1)

a (jj0 )j 1

aˆ kj( k 1) akj( k 1) j

2,p

(3.9.25)

k Lj

ここで

aki( k 1) i 2,akk( k 1) k L j ,aˆ ki( k 1)j

2 から jm
min p, j

p に対して、(3.9.26)式は(3.9.25)式と同時に評価される。 j(3.9.26)

p 1 から jmまでは(3.9.26)式の評価は(3.9.25)式の処理の後に行う。
一方、既知ベクトルはbi(i 1)bi( 0 )i 1aˆ ki( k 1)bk( k 1)

k k0

ここで、

i

Lb

1,

p

k0

max Li , Lb

ただし、

－300－

(3.9.27)

JAEA-Data/Code 2010-035

bi(i 1)ia ii(i 1)

bi(i 1)Lb ,p(3.9.28)と置いておく。
マトリクス非対称部については、

aij( i 1)

i 1

aij( 0 )aˆik( k 1) akj( k 1)

(3.9.29)

k k0

ここで、

aik( k 1)
akk( k 1)aˆ ki( k 1)
j(3.9.30)

m 1,
i

i

n においてL j 1,min pn , j

m 1,j

n においてLi 1,

min pn , j

およびa( i 1)
jj

a

j 1

(0)
jj

aˆ (jkk 1) akj( k 1) j

p 1,

pn

(3.9.31)

k Lj

ここで

aˆ ki( k 1)
pn

a (jkk 1) j m 1,
akk( k 1) k L j ,n(3.9.32)

min pn , j

対称部および非対称部で消去される方程式の全数

また既知ベクトルは、

bi(i 1)i 1

bi( 0 )aˆ ki( k 1)bk( k 1) i

p 1,

pn

(3.9.33)

k k0

ただし、

bi(i 1)bi( 0 )
iaii( i 1)

p 1,

pn

(3.9.34)と置いておく。
以上の手順における交代代入は次式で行われる。

xk

bk( k 1)

xk

xk

k

1,

aˆ ki( k 1) xi

pnik(3.9.37)n, n 1
Li

2

min pn , i 1(3.9.38)(3.9.23)式から(3.9.38)式までに示される手順が本コードにおける連立方程式の Skyline 解法である。

－301－

JAEA-Data/Code 2010-035

参考文献 3(3.1) Rashid Y.R.,Tang H.R. and Johansson E.B., Mathematical Treatment of Hot Pressing ofReactor Fuel, Nucl.Eng.Des.29, p.1-6 (1974).
(3.2) Pugh, Current Recommended Constitution Equations for Inelastic Analysis of FFTF
Components,
ORNL-TM-3602 (1972).
(3.3)

第 4 章 4 節 SUS304 ステンレス被覆管物性値 参照(3.4) Hagrman D.L. and Reyman G.A., MATPRO-Version11, A Handbook of Materials
properties for use in the analysis of light water reactor fuel rod behavior,
NUREG/CR-0497, TREE-1280, Rev.3 (1979).
(3.5) Ohta A., Development of irradiated cladding stress-strain model for LWR fuel analysis
code, Fuel Safety Research Meeting, Tokai, April 20-21, (2006).
(3.6) Suzuki M., Saitou H. and Fuketa T., Analysis on split failure of cladding of high burnup
BWR rods in reactivity- initiated accident conditions by RANNS code,
Nucl.Eng.Design 236, pp.128-139 (2006).
(3.7) Suzuki M., Saitou H. and Fuketa T., Analysis on Pellet-Clad Mechanical Interaction
Process of High Burnup PWR Fuel Rods by RANNS Code in Reactivity-InitiatedAccident Conditions,

Nuclear Technology, vol.155, p.282-292 (2006).

(3.8) Suzuki M., Saitou H., Fuketa T., RANNS Code Analysis on the Local Mechanical
Conditions of Cladding of Cladding of High Burnup Fuel Rods under PCMI in RIA
Simulated Experiments in NSRR, J. Nucl. Sci. Technol., 43[9], 1097 (2006).
(3.9) O’Donnell W.J., Langer B.F., Fatigue design basis for Zircaloy components, Nucl.Sci.
and Eng., 20, 1-12 (1964).

－302－

JAEA-Data/Code 2010-035

4. 物性値モデル
FEMAXI-7で使用可能な物性値、経験式について、ペレット、被覆管、その他に分類して以下の表に示す。表中、「使用条件」の欄に記されたものは、Name-list Parameterであり、値を入力において指定することにより物性値の指定が可能となる。ただし「常時」と記載されたものは、Namelist parameterによる選択枝が無く、常に同一の物性値や経験式が用いられることを意味する。

4.1 UO2ペレット物性値(1) 熱伝導率
UO2 熱伝導率（1）MATPRO-11

使用条件

ref.

0～1,650℃に対して

1

K

1 D
1 0.05

40.4
464 T

1216
10 4 exp 1867
10 3 T.
.

1,650～2,840℃に対して

1

K

1 D
1 0.050.0191 1216
10 4 exp 1867
10 3 T.
.

IPTHCN=1

3.4

IPTHCN=2

4.1

IPTHCN=3

4.2

IPTHCN=4

4.3

K：UO2 ペレットの熱伝導率（W/cm・K）

2.58 0.58 10 3 T：気孔率係数、D：UO2 理論密度比,

T：温度（℃）

UO2 熱伝導率（2）KF( 0.040F

1.0 2.5 P

Washington

2.57 104

TK ) 1

72.6 10 12 TK

3(W / mK )P: porosity=1.0 - (UO2 density/Theoretical density)
TK ：温度（K）
UO2 熱伝導率（3）K

K 95% TD (1p ) / (1 0.05

( 2.35 10 2

K 95% TD

Hirai

2.58 0.58 10 T357.
10 12 TK

3

→Ref.(2.13)

TK ：温度（K）

UO2 熱伝導率（4）K(W / mK )2.55 10 4 TK ) 1
3

P: porosity,)

Wiesenack(Halden)F / 01148.
0.0035 B ( 2.475 10 4 8 10 7 B )T
F 0.0132 exp( 0.00188 T )(W / mK )F(1p ) / (1 0.05

2.58 0.58 10 3 T
P: porosity ,)→Ref.(2.13)

B：燃焼度（MWd/kgUO2）、－303－

T：温度（℃）JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 熱伝導率（5）K

K 95% TD (1K95% TD

Modifiedp ) / (1 0.05

(2.35 102

4.7 10

3

)

Hirai

(W / mK )1B ) (2.55 10 4 8.0 10 7 B )TK

3.57 10 12 TK 3

2.58 0.58 10 3 T→Ref.(2.13)

TK ：温度（K）,

P: porosity,

IPTHCN=5

4.2

IPTHCN=6

4.4

IPTHCN=7

4.5

IPTHCN=84.6

B：燃焼度（MWd/kg-U）（本式は、Hirai(4.2)の式に Halden(4.3)モデルと同様な燃焼度依存性を付加した暫定モデルである。）
UO2 熱伝導率（6）K

Forsberg
3

F 0.047 173
.
10
F

10
.

G

B 10

G

A

A0

A1 x

B：燃焼度（MWd/kg-U）

11. 56 P 3 G ( B )) 2.5 10 14(( B 7.5) / 10)

TK

4

0.5

TK ：温度（K）,

UO2 熱伝導率（8）A BT→Ref.(2.13)

0.5( B / 10)2

P: porosity,KT

1

Kjaer-Pedersen

93 / ( 0.0224 TK

B 10

2.58 0.58 10 T

TK ：温度（K）,

UO2 熱伝導率（7）5.41 10 8 B )TK(W / mK )3

p、

P: porosity,K

B ( 2.5 10 4

B：燃焼度（MWd/kg-U）

Baron & Couty1

CT 3 D T

A2 g

2A3 g ,(W/mK)
B

B0

B1 g

B2 g 2A0=0.0254, A1=4.0, A2=0.3079, A3=12.2031
B0=2.533x10-4, B1=8.606x10-4, B2=-0.0154
C=1.0x10-12 ,g: Gd content (weight %)x: absolute value of (2-O/M)
DT
1 P T / 1 0.05 T
T 2.7384 0.58 10 3 T (T 1273.15K )T 2.0(T 1273.15K )－304－

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 熱伝導率（10）K 1 d K1 P K 2 P K 3 x K 4 r 0

Lucuta, Matzke & Hastings
W mK
4.715 10 9
exp
T2

1
0.0375 2.165 10 4 T

0

1.09

K1 d

0.0643

3.265

K1 P

0.019
3 0.019

1

K3x

1 P
,
1
1P
1

K 4r

1

K 2P

T arctan

16361
T

W mK

1
1.09

3.265

0.0643

T

1
T 1200 100

1 exp

IPTHCN=10

4.7

1.5 for spherical pore , P : porosity

0. 2
1 exp T 900 80

T :K: burnup by at%
1.067 10 4 Bu

( Bu

MWd/tU)

Gd 入り UO2 熱伝導率（13）K

Fukushima

1
aT b

ここで
K：熱伝導率（W/m・K）,

T：温度（℃）

a,b：Gd2O3 濃度の関数（下表）Gd2O3（－）

ab-41.180229×10-１

0.0

2.32733×10

0.03

2.131412×10-4

1.732423×10-１

0.057

1.996481×10-4

2.069985×10-１

0.085

1.961735×10-4

2.342200×10-１

Gd2O3 の濃度に対する a,b の値の補間式は K

rA Gd 式に、上記のテーブ

ルより前後する Gd2O3 濃度に対して、K が一致するように r と A を求めて、この r,A の値を用いて K を決定する。
この場合、変数 GD＝Gd2O3 濃度（Wt.frac）を指定する。
GD の Default=0.0 である。

－305－

IPTHCN=13

4.8

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 熱伝導率 (14)
K95%TD

A0

A1 x

A2 g

A3 g 2Baron
1
B0 1 B1q

C
B2 g

B3 g 2 T

Dg
exp
T2

W
kT

(W / m / K )T = K,
x = 不整定比の絶対値, abs[2-O/M])=Y (Default=0.0)

q = プルトニウム重量比 (-) = PU (Default=0.0)
g = ガドリニウム重量比(-)（Gd2O3 濃度の重量比）, 0-12 %=GD (Default=0.0)
k = Boltzmann 定数 (1.38・10-23 J/K)
W= 1.41 eV = 1.41・1.6・10-19 J
A0 = 0.044819 + 0.005・BU+20・(G - 5.4702)
B0 = (2.4544 - 0.0125・BU - 70・(G - 5.4702))10
A1 = 4(-) ,(mK/W)-4(m/W)

B1 = 0.8 (-)

A2 = 0.611 (mK/W)

B2 = 9.603・10-4 (m/W)

A3 = 11.081 (mK/W)

B3 = -1.768・10-2 (m/W)

C = 5.516・109(WK/m),

D = - 4.302・1010(WK/m)

BU = burn-up (GWd/tU),

G = 格子定数( A )=LT

この式は 95%TD ペレットに適用される。一般には、次式となる。
K K 95%TD (1 p ) /(1 0.05 )2.58 0.58 10 3 T , T :( C )[注 2: Y, PU, GD、および LT は name-list input parameters であり、LT の default = 5.4702.]（注 3）たとえ MOX=0 (=Default value)の場合でも, Pu 重量比を PU によって指定すれば、Pu の効果を入れた計算をすることができる。

－306－

IPTHCN=15=36

4.9

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 熱伝導率 (15)1A B TkK mat

ただし K eKitajima

Ke& Kinoshita(kW/mK)

1.216 10 5 exp 1.867 10 3 T

Ke は電子による熱伝導項であり、MATPRO-11 モデルを用いた。
また、Kmat は 100%TD の場合の値である。
一般には次式 K とする。
K F K mat , F 10.
3

2.58 0.58 10 T

1)

2)

3)

A
B

p,
Ref.(2.13)→

Tk 1273.15 K
40 4.12 Bu( Bu : MWd / kgU )0.22( Bu 50)0.447 0.00453 Bu (50 Bu 80)
0.084(80 Bu )IPTHCN=16

2.42

IPTHCN=17(Default)

2.15

IPTHCN=18

4.11

Tk 1473.15K
A 40 1.74 Bu, B 0.22 0.0003 Bu
1273.15 Tk

1473.15K ： Kmat は二つの温度間の値を線型内挿して決定する。
ただし燃焼度は 207MeV/fission に基づく。

UO2 熱伝導率

Halden model (Revised by Wiesenack)F / 0.1148 0.0040 B 2.475 10 4 (1 0.00333 B )K

F 0.0132 exp(0.00188 T )F(1p ) / (1 0.05
3

2.58 0.58 10 Tp : porosity ,(W/mK))→Ref.(2.13)

B：燃焼度（MWd/kgUO2）、min(T , 1650)

T ：温度(C)UO2 熱伝導率 in FRAPCON-3: PNNL modified Halden model

K95

1 / Q ( x ) 0.0132 exp 0.00188T(W/mK) for 95%TD pellet.

Q( x) 0.1148 a gad 1.1599 x 0.0040B 2.475 10 4 (1 0.0033B)
a 1.1599 , “gad”= weight fraction of gadolinia,
x = 2.00-O/M (oxygen to metal ratio) =Y (Default=0.0),
B: burn-up (MWd/kgUO2),
min(T , 1650) , T : degree C.

－307－

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 熱伝導率（9）Ohira & Itagaki (1)Original for 95%TD UO2 pellet.

A B T

1
f Bu

1.87 10 3 Bu ,

f Bu

CT 2

g Bu h T
g Bu

DT 4

(mK/W)

0.038 Bu 0.28

IPTHCN=90

Bu: Burnup (GWd/tU), T: Kelvin,
1h T
1 396 exp 6380 / T
4.52 10 2

A(mK/W), B

C=5.47E-9 (W/m-K3) ,New Default

2.46 10 4

2.14(mK/W)

D=2.29E-14 (W/m-K5)(10) Ohira & Itagaki (NFI) latest Model for 95%TD UO2 and MOX pellets.
Latest model:

Gd

A B T
CT
f Bu
g Bu

2

1
P f BuDT

g Bu h T(W/mK)

4

1.87 10 3 Bu ,(8.07 10 2 6.51 10 4 Bu )1 exp( 0.142 Bu )Bu: Burnup (GWd/tHM),
T: Kelvin,
1h T
1 396 exp 6380 / T
A 4.53 10 2

(mK/W), B

C=5.47E-9 (W/m-K3)

8.12 10 3 ,1.24 10 3 ,IPTHCN=91

2.46 10 4 (mK/W)

D=2.29E-14(W/m-K5)

Gd: Gd2O3 concentration (wt%)
P: PuO2 concentration (wt%)

【注】この式は 95%TD ペレットに適用される。一般には、次式となる。
K K 95%TD (1 p ) /(1 0.05 ) 、
2.58 0.58 10 3 T , T : ( o C)

－308－

4.10

JAEA-Data/Code 2010-035

Modified “Ohira & Itagaki model” in FRAPCON 3.3. for 95%TD pellet

A a gad B T

f Bu

1(1 0.9 exp( 0.04 Bu )) g Bu h TEexp( F / T )(W/m-K)
T2
f Bu 1.87 10 3 Bu ,g Bu

0.038 Bu 0.28 ,Bu: Burnup (GWd/tU),
T: Kelvin,
1h T
1 396 exp 6380 / T
4.52 10 2

A(mK/W), B

E=3.5E9 (W/K-m),

IPTHCN=92

2.46 10 4

4.11(mK/W)

F=16361 (K)a 1.1599, “gad”=weight fraction Gadolinia【注】この式は 95%TD ペレットに適用される。一般には、次式となる。
K K 95%TD (1 p ) /(1 0.05 ) 、
2.58 0.58 10 3 T , T :( C )(2) UO2 熱膨張
UO2 熱膨張 (1)L
L

MATPRO-11

4.972 10 4

7.107 10 6 T

2.581 10 9 T 2

L ：線熱膨張率,
L

T：温度（℃）

UO2 熱膨張 (2)LL

Burdick

3.0289 10 4T

8.4217 10 6 T：温度（℃）

and1140.
10 13 T 3

使用条件

ref.

IPTHEX=0
（標準値）

3.4

IPTHEX=1

Parker

2.1481 10 9 T 2
IPTHEX=2＊

IPTHEX=3＊

IPTHEX=4＊

温度範囲：27～1260℃

L / L ：27℃での長さを基準とした線熱膨張率
UO2 熱膨張 (3)LL

6.0 10 6 T

Halden2.0 10 9 T 2

T ：温度（℃）
UO2 熱膨張（4）LL

1.723 10 4T

1.7 10 12 T 3

温度範囲：900～2,800℃（融点）Conway and Fincel

6.797 10 6 T：温度（℃）

2.896 10 9 T 2

温度範囲：1,000～2,250℃－309－

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 熱膨張（5）LL0

熱歪み(=0 at 300 K) :T

MATPRO-A

K1T

K2

ED
kT

K 3 exp

k: Boltzmann 定数 (1.38 10: 温度(K),

23

J / K)IPTHEX=5

2.11

ED =6.9x10-20 : energy of formation of a defect (J)K1 = 1.0x10-5 K-1 ,K2 = 3.0x10-3 ,UO2 熱膨張（6）Martin273 T

K3 = 4.0x10-2

923 K

L(T ) / L(273)

2.66 10 3 9.802 10 6 T

2.705 10 10 T 2

4.391 10 13 T 3L(T )L(273) (9.9734 10 1 9.802 10 6 T
2.705 10 10 T 2

973 T

4.391 10 13 T 3 )IPTHEX=6

4.26

使用条件

ref.

常時

2.13

使用条件

ref.

IPLYG=1

2.13

IPLYG=2
Default

3.43120 K

L(T ) / L(273)

3.28 10 3 1.179 10 5 T

2.429 10 12 T 2

1.219 10 12 T 3L(T )L(273) (9.9672 10 1 1.179 10 5 T
2.429 10 9 T 2 1.219 10 12 T 3 )UO2+x の non-stoichiometry は影響なし。

(3) UO2 密度
UO2 密度MATPRO-Version
3

UO2 理論密度（g/cm ）:09＝10.96(4) UO2 ヤング率
UO2 ヤング率 (1)E

E

MATPRO-Version

09

2.26 10 11 1 1131.
10 4 T 1 2.62 1 D
E：ヤング率（Pa）,

T：温度（℃）,UO2 ヤング率 (2)MATPRO-11

D:：理論密度比

2.334 1011 1 2.752 1 D 1 1.0915 10 4 T

E: ヤング率(N/m2)、D: 理論密度比(－)、 T : 温度(K),－310－

JAEA-Data/Code 2010-035(5) UO2 ポアソン比UO2 ポアソン比

MATPRO-Version 09

ν＝0.316

使用条件

ref.

IPOIS=1

2.13

使用条件

ref.

常時

3.4

(6) UO2 Emissivity
UO2 Emissivity

MATPRO-11

T<1000 K e = 0.8707;

T>2050 K e = 0.4083
4

e 1.311 4.404 10 T

1000≦T≦2050 K(7) UO2 ペレット融点
融点の燃焼度依存性は、Christensen の式(4.24)より、10GWd/t 当たり 32℃低下するとした。
MATPRO-Version 11+Christensen

ペレット融点(Solidus)

TmTu

5.414 P 0.007468 P

2

使用条件

ref.

常時

3.4

0.0032 Bu

Tm ：ペレット融点（K）
Tu ： UO2 の未照射材の融点（=3113K）
P ：PuO2 のモル分率（%）、4.13

Bu：燃焼度（MWd/t）(8) UO2 クリープ
UO2 クリープ(1)MATPRO-Version 09

A1

A4

A2 F

exp Q1 / RT
A3 D G2

4.5

exp Q2 / RT
A5 D

使用条件

ref.

IPCRP=1

2.13

A6 F exp Q3 / RT

： 定常クリープ速度 1 h

A19.728 10 6 , A2

3.24 10 12 , A3

A5

90.5,

9.24 10 28

Q1

90,000 cal/mol , Q2

A6

F ： 核分裂率

87.7,

132,000 cal/mol , Q3

A4

1.376 10 4

5,200 cal/mol

8.4 1017 ~ 1.18 1020 fission/m 3×s

σ ： 応力1,000～16,000（psi）

T ： 温度

713～2,073（K）,

D ： 密度

92～98（%TD）

G ： 粒径4～35（μｍ）,

R ： ガス定数1.987（cal/mol・K）－311－

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 クリープ(2)

A1

A2 F

c

1

MATPRO-11

exp

( A3
A7 F expD )G

Q1 / RT

( A4

2

4.5

A8 F ) 2 exp
A6 D

Q2 / RT(s-1)

Q3 / RT

A1=0.3919、 A2=1.3100×10-19、A3=-87.7、 A4=2.0391×10-25、

A6=-90.5, A7=3.72264×10-35、A8=0.0、
Q1

20
17884.8 exp
8.0log( x 1.99999)

Q2

20
19872.0 exp
8.0
log( x 1.99999)

1

1.072124.231

1.0111543.5
IPCRP=2 3.4

Q1, Q2: 活性化エネルギー (cal/mol)
x: 酸素／金属比 [*通常 2.0!!],F = 核分裂速度 (fission/m3)/s ,=応力(Pa)[Equivalent stress ?],D: % 理論密度比,

T:温度 (K),

G=結晶粒径 ( m),3

Q3= -2.6167×10 、R=1.9872 (cal/mol･K)
ただし、: 相当応力（Nm-2）

16547416.8
G 0.5714のとき

116547416.8
G 0.5714

のとき

1

,

2

0.0

16547416.8,
G 0.5714

2

なお、UO2 クリープ速度式を用いる場合には、以下の調整パラメータがある。
変数名

内容

標準値

FCRFAC

クリープ速度式に対する倍率（変形モデル）

TCS

クリープ計算での参照温度のカットオフ値（変形モデル）(K)

－312－

1.0
2073.15

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 クリープ(3)SKI model for UO2

使用条件

ref.

Converted equation of Steady creep rate from original SKI equation:

A1 ( F ) 4.5 exp( Q1 / RT )A2 ( F )exp( Q2 / RT ) C F ,G2(1/s), (A1 ( F )1.38 10 4 4.6 10 17 6 F
1.877 10 1090.5
2.59 10 14 8.63 10 33 F
90.5

A2

MPa)

(1/s),

9.73 106 3.24 10 5 6 F
6.895 10 387.7

IPCRP=4(Default)

6.71 10 4 2.23 10 13 F
87.7

(1/s),

Q1

5.523 105 (J/mol), Q2

3.766 105 (J/mol),C

7 10 23 6 6.895 10 3

F : fission rate (fissions/m3s): uni-axial stress (MPa)

4.14

4.827 10 31[1 fissions/cm3s=10-6 fissions/m3s][1 psi= 6.895E-3 MPa],

G =10: grain size (assumed constant 10 m): density (%TD), above 92%. If it is less than 92%, assume 92%.
T : temperature (K),R : gas constant (8.31441 J/mol-K)(4) Halden UO2 Creep model derived from Petitprez’s report (HWR-714).

8.577 104 exp

3.505 105RT

1.48 10 30

f3: uni-axial stress (MPa), f : fissions/m -s
R :8.31441 (J/mol-K),

IPCRP=5

T : temperature (K),

Derived from the correlation in Fig.26, assuming

f=1.2E19m-3s-1=24 MPa.

－313－

and

4.15

JAEA-Data/Code 2010-035(9) UO2 スウェリング
UO2 のスウェリングは、固体 FP によるスウェリングとガスバブルスウェリングとがある。以下の物性式オプションは、固体 FP スウェリングとガスバブルスウェリングをそれぞれ独立に扱う場合と、全体を 1 つの物性式を与える場合とに大別している。
UO2 スウェリング（１）

Chubb

使用条件

ref.

（ガスバブルスウェリング）gs

VV

4.396 10 2 exp

TS

1645
.
10 4
TS

T 100
2.46

gs

V
V

：1020 fissions/cm3 当りの体積ガスバブルスウェリング
IFSWEL=00.62 vol.%
T

（標準値）

10(GWd/t)：温度（K）

UO2 スウェリング（１’）

FEMAXI-III（固体 FP スウェリング）

V
V

1.2

ss
20

=

3

0.0025 ：10 fissions/cm 当りの体積固体 FP スウェリング

なお、IFSWEL=0 の場合には、以下の調整パラメータがある。
変数名

内容
ガスバブルスウェリングの発生を抑える平均接触圧力（Pa）（変形モデルで使用）
ガスバブルスウェリングの発生を抑える平均接触圧力（Pa）（熱モデルで使用）

STFCP
SPCON

UO2 スウェリング（2）標準値－3×107－106

FEMAXI model

FP ガスバブルスエリング：第 2 章 8 節を参照。
IFSWEL=1（固体 FP スウェリング= FEMAXI-III モデル）

V
V

ss

0.0025：1020 fissions/cm3 当りの体積固体 FP スウェリング=

UO2 スウェリング（3）中心温度範囲T（℃）

MATPRO-Version

09

スウェリング率（％/1020fiss/cm3)

T

1,400

0.28

1,400

T

1,800

0.28 1 0.00575 T 1,400

1,800

T

2,200

0.28 3.3 0.004 T 1,800

2,200

T

0.476

－314－

IFSWEL=2

2.13

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 スウェリング（4）VV

体積スエリング率：

KosakaUO2 スウェリング（5）

V
V

SW

V
V

SW

A1

V
ただし、
V
A1=0.0947,

V
V

2.47

IFSWEL=4

2.48

Studsvik

0

C1 FGR BuV
V

IFSWEL=3＝0.5%／10MWd/kgUO2

Bu

Bu1

SW

A2 Bu

Bu1

Bu1

Bu

1

SW

は Bu=Bu1 のときの体積スウェリング(%)
1

C1=0.0004526,

Bu1=57,A2=0.03158

SW: 体積スウェリング(%):
固体 FP＋FP ガスの両方の効果を含む

FGR : FP ガス放出率(%)、UO2 スウェリング（6）Bu, Bu1 : 燃焼度(MWd/kgU)

Hollowel model

Hollowel モデルでは、燃焼度の関数として全スエリングを定義する。
固体 FP スエリングとバブルスエリングの区別はなく、(1)式により与えられる。ただし、(1)式で与えられるスエリングはペレットが非拘束の状態のスエリングであるので、拘束条件下でのスエリングの増加は考慮しない。また、全スエリング量は、固体 FP スエリング率(=1020fissions/cm3
当りの 0.25%)で求められるスエリング量以下にならないと仮定する。
（非拘束条件下でのスエリング）

VV

2.413 10 5 T1 1.0634 10 7 T1 0.11509 Bu
5

2.86 10 T1 ln BU(1)52.0184 10 T1 ln GR

ここでV＝体積スエリング率,
V

T1＝T－900

BU＝燃焼度（GWD/tUO2）、 T＝温度（℃）,

GR=結晶粒径（microns）－315－

IFSWEL=5

2.49

JAEA-Data/Code 2010-035(10) UO2 焼きしまり
UO2 焼きしまり (1)
max

V
V

V
V

FEMAX-IIIref.

IDENSF=0

1.2

1 e c Bu ：焼きしまりによる体積収縮

V max：焼きしまりによる最大体積収縮
V
Bu

使用条件

（標準値）

：燃焼度（Mwd/t-UO2）

なお、IDENSF=0 の場合には、以下の調整パラメータを用いる。
変数名

内

容

標準値
max

V
V

DMAX

焼きしまりによる最大体積収縮

SBU

焼きしまりの 90％完了燃焼度（MWd/t-UO2）
2.3025（Cで与えられる） ただし、exp(-2.3025）=0.1 である。
SBU

UO2 焼きしまり (2)

（%）

1.0

Rolstad

焼きしまりによるペレット軸方向の長さの縮小変化

20000.0

使用条件

ref.

IDENSF=1

4.16

L(%)は以下のよL

うに決定する。
1) まず D1 を求める： D1

100 TDTS 1180

22.2

TD： 未照射 UO2 の理論密度比（%TD）
TS：焼結温度（℃）（＝TDNSF）
もし D1

3.0 ならば D1 3.0 とする。

2) 次に、焼きしまりの燃焼度依存性を考慮するために3.0 D1 3.0 0.93e BU

2.07e 35 BUとなる BU＝BU1 を求める。

3)

L
L

D1 0.93e ( BU BU 1)

2.07e 35( BU BU 1)(%) を用いてL(%)
L

を燃焼度の関数として求める。
BU：燃焼度（GWd/t-UO2）
なお、IDENSF=1 に対しては、以下の調整パラメータを用いる。
変数名
TDNSF

内
容
焼結温度 C

標準値
1727.0－316－

C

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 焼きしまり (3)

NRC

ref.

IDENSF=2

4.17g/cm は焼きしまりによる密度増加

0m log BU

使用条件

3

BU BU1BU1 BU

b

BU

sn

BU 2

BU 2
3

sn ：炉外熱処理（1,700℃×24h）での密度増加（g/cm ）(=DMAX)

BU：燃焼度（MWd/t）,

BU1=20MWd/t,

BU2=2000MWd/tm, b ：各燃焼度範囲で 3 つの式を連続にする定数
なお、ISENSF=2 の場合には、以下の調整パラメータを用いる。
変数名

内

容

標準値

炉外熱処理（1,700℃×24 h）での相対密度増加（％）

DMAX

UO2 焼きしまり (4)

M
ln 1
A

1.0

Marlowe

使用条件

ref.

IDENSF=3

4.18

0
irr

AD Ft irr
G0 3

： 炉内焼きしまり量（％TD）(=DMAX)
M： 焼きしまり速度定数（％TD-cm）

A： 粒成長速度定数（cm）
0
irr

D

： 照射拡散定数=1.27×10-29（m3/fiss.）

F： 核分裂率（fiss./cm3.s）

tirr： 照射時間（s）

Ft irr ： 燃焼度（fiss./cm3）
Go： 初期結晶粒径（cm）(=GGO)

定数 M,A は照射する燃料と同バッチ作成のものを炉外熱処理試験することにより次式で求める。

A

D

G3

Go 3
Dt

M

A
ln 1

th

ADt
G0 3

Do exp Q / RTG

： 熱処理後の結晶粒径（cm）(=GG)

t： 熱処理時間（s）(=SITIM)
th ： 熱処理による密度変化（％TD）

Do： 熱拡散定数Q： 82,000cal/mol

R： ガス定数

2.32×10-5（cm2/s）

1.987（cal/mol/K）；－317－

T ： 処理温度（K）

JAEA-Data/Code 2010-035

なお、IDENSF=3 の場合には、以下の調整パラメータを用いる。
変数名
内
容
炉心焼きしまり量（％TD）
DMAX
熱処理後の結晶粒径（m）
GG
初期結晶粒径（m）
GGO
熱処理時間（hr）
SITIM

UO2 焼きしまり (5)Wiesenack(Halden)

標準値
1.0
10-5
8×10-6
24.0

使用条件

ref.

IDENSF=4

4.3

焼きしまりによる体積収縮はVV

0.01420 1 exp( 6.7943 BU )BU )0.00793 1 exp( 11434.

ADST

BU: 燃焼度(MWd/kgUO2)
ADST :調整ファクター(=0.6)
UO2 焼きしまり (6)DDSchlemmer and Ichikawa
4.19(b≦15 GWd/t),

DD

D : 密度（%T.D.）,b : 燃焼度（GWd/t）

0.15 b

(15 GWd/t ≦b)

0.10 bIDENSF=30
4.20

ここで、

以上のモデルにおける焼きしまりパラメータ DMAX は、軸方向の各セグメントに対して指定する。すなわち、DMAX=DMAX(40), default=40*1.0 (%)

である。

(11) ペレットリロケーション
ペレットは、スタートアップ時に熱応力によって割れ、その時、ペレット片が径方向に移動してギャップを狭める。この効果を初期リロケーションと呼ぶ。本コードでは、初期リロケーショ
ンは、燃焼度 0、線出力 0 の冷却水条件下(hot stand-by)におけるギャップ幅に比例すると仮定し、

REL
c

rcic

rpic

(4.1.10)c

とおく。ここで、 rci および rpi はそれぞれ hot stand-by における被覆管内半径およびペレット半径(cm)である。γは、実験データとの照合によって定められる経験的パラメータで、リロケーションパラメータと呼ばれる。なお、計算上のリロケーション量を調整するパラメータは以下のとおりである。
変数名

内

容

標準値

XRELOC

リロケーションパラメータγ（熱モデル用）

0.35

FRELOC

リロケーションパラメータγ（変形モデル用）

0.5

EPSRLZ

軸方向リロケーションひずみ（変形モデル用）

0.003

－318－

JAEA-Data/Code 2010-035(12) UO2 塑性
UO2 の降伏応力およびひずみ硬化パラメータ（接線剛性）の物性式のオプションを以下に示す。
UO2 塑性 (1)Tachibana

使用条件

ref.

IFY=1

4.21

引張試験
Y

H

T

1200 C

T

1200 C520.0 0.386 T

T

1200 C139.5 0.06875 T

T

1200 C66.9 0.0397 T

520.0 0.386 T

36.6 0.0144 T

139.5 0.06875 T

p
p

(標準値)

2
Y ：降伏応力（kg/mm ）H ：接線剛性（kg/mm2）
UO2 塑性Y(2)T：温度（℃）

Rodford8.179 10 4 T 2

1176.1 1.688 T
H ：接線剛性=0.0,

1.293 10 7 T 3

IFY=0

4.22

使用条件

ref.

Y ：降伏応力（MPa）

T ：温度（℃）(13) UO2 比熱
UO2 比熱CP

MATPRO-11

K1 2 exp
T

2

exp

/T

/T
1

2

K 2T

O / M K3 ED
exp
2
RT 2

CP: 比熱(J/kg･K),

T: 温度(K)O/M: O/M 比(－),

R=8.3143(J/mol･K)

E D / RT

UO2

PuO2

Unit

K1

296.7

347.4

J/kg･K

K2

2.43×10-2

3.95×10-4

J/kg･K2

K3

8.745×107

3.860×107

J/kg

θ535.285571.000

K

ED

1.577×10551.967×10

－319－

J/mol

常時

3.4

JAEA-Data/Code 2010-035(14) UO2 粒成長
UO2 粒成長

dD
dt

(1)

1 E Nf / Nf

1
D

K

Itoh

(modified Ainscough)

使用条件

ref.

IGRAIN=0

2.28

max

Dm

D：時間 t における粒径（μm）,

t ：時間（ m2/h）

K：速度定数

7

K

（h）

5

5.24 10 exp 2.67 10 / RT

R=8.314（J/mol・K）,(標準値)

T：温度（K）

Dm：限界粒径（ m）: Dm=2.23×103exp（-7620/T）
E：フィッティングパラメータ

N f ：粒界での FP ガス原子密度（atoms/cm2）
Nfmax：粒界での FP ガス原子密度の飽和値（atoms/cm2）

なお、IGRAIN=0 の場合の調整パラメータは以下のとおりである。
変数名

内

標準値

AG

フィッティングパラメータ E

1.0

GRWF

粒成長速度を GRWF 倍する。

1.5

UO2 粒成長 (2)

dD
dt

容

1
D

k

Ainscough

使用条件

ref.

IGRAIN=1

2.29

IGRAIN=24.23

1 0.002 B
Dm

D：時間 t における粒径（μm）,
2

k ：速度定数（μm /h）:kt ：時間 （h）

5.24 10 7 exp 2.67 105 / RT

R=8.314（J/mol・K）
T：温度（K）；
B：燃焼度（MWd/tU）

UO2 粒成長 (3)

D

2

Do

2

ko t

温度範囲：1,300～1,500℃

MacEwan
0.8

exp 87,000 / RT

D ：時間 t における粒径（μm）
Do：初期粒径（μm）
10ko ：比例定数（ko=3.9×10 ）

t ：時間

（h）,

R ：ガス定数

T ：温度

（K）；

1.987 （cal/mol・K）

温度範囲：1,555～2,440℃－320－

JAEA-Data/Code 2010-035

UO2 粒成長 (4)

D

3

Do

3

ko e

Lyons
Q / RTt

D ：時間 t における粒径（μm）,

Do：初期粒径（μm）（μm3/h）

ko：速度定数Q ：粒成長に必要な活性化エネルギー（cal/mol）
R=1.987MacEwan の実験データに対してUO2 粒成長 (5)Do

IGRAIN=4

2.13

t ：時間（h）

exp 5.096 2.476 10 4 Q

Ko

D

4.24

cal/mol・K）

T ：温度（K）,

4

IGRAIN=34

Q=119,000（cal/mol）

MATPRO-Version 09
13

6.18 10 e

92 , 400 / RTt

D ：時間 t における粒径（μm）,
R=1.987（ cal/mol・K）

T

：温度

（K）,

UO2 粒成長 (6)t ：時間

Do ：初期粒径（μm）（h）

MATPRO-11

Equiaxed grain growth:
D4

D04

1.717 1010 exp( 3.87 105 / RT ) t

D: grain size ( m) Do ：初期粒径( m)

R=8.314 J/molK

t: time(s)－321－

IGRAIN=5

3.4

JAEA-Data/Code 2010-035

4.2

MOX ペレット物性値

FEMAXI においては、MOX ペレットの様々な物性値を使用することができる。以下の表に示す
Name-list parameters と物性式を用い、UO2 燃料の場合との連続性と一貫性を持たせる。

(1) FP ガスのパラメータ
FP ガス放出率

使用条件

FEMAXI-V の FP ガス放出モデルが与える放出率を FPMOX 倍して用いる。

Ref.

1.0 Default

FP ガス組成 Option
Xe／Kr のペレット平均の比率を 87%／13% とする

IXEKR = 0
(Default)

Xe／Kr のペレット平均の比率を 86%／14% とする

IXEKR = 1

Xe／Kr のペレット平均の比率を 16／1 とする

IXEKR = 2

Xe／Kr のペレット平均の比率は PLUTON の出力データを用いる。
ただし、PLUTON を利用しない場合（IFLX=－1 を指定しない場合）には、
IXRKR = 3 は無視され、IXEKR = 0 と同様の扱いとなる。

IXEKR = 3

4.25(2) MOX 熱伝導率
MartinMOX ペレット熱伝導率 (1)f : モル fraction ( U 1 f , Pu f )O 2

使用条件

Ref.

として

1）0.12 ≦ f ≦0.30 の場合

K MOX

0.037 3.33 y 2.37 10 4 TK

1

78.9 10 12 TK32）0 ≦ f ≦0.12 の場合

K f

Ku 1

f / 0.12

K MOX f / 012.

ここで

IPTHCN=30

TK ：温度（K）

K：熱伝導率（W/m・K）,

ｙ：MO2 – y ,K u ：UO2 熱伝導率（W/m・K）
Ku

0.035 2.25 10 4 TK
z : UO2 z , 0z1

83.0 10 12 TK

0.05

－322－

3

1 z

4.26

JAEA-Data/Code 2010-035

MOX ペレット熱伝導率 (2)

K1

K

P

K

P K5

K 3 exp K 4TC

1

1 D

1

1 0.95P

MATPRO-11

K 3 exp K 4TC

K2 T

0

TC

1550℃

1550℃ TC

(W/cm･K)(W/cm･K)
IPTHCN=31

3.4：ポロシティ

D: 理論密度比(－)、 =2.58－0.58×10-3T : 気孔率係数、TC: 温度(℃)
K1 = 33.0, K2 = 375, K3 = 1.54×10-4, K4 = 1.71×10-3 , K5 = 0.0171
f : weight fraction として K は 0.05 ≦ f ≦0.30 に適用可能

Martin + Philipponneau

MOX ペレット熱伝導率 (3)K f,p

KUO 2 1f / 0.2 F ( p )K MOX ( f / 0.2)

( p)

ここで、 K (f, p) : 熱伝導率（W/m･K）
f : ( U 1 f , Pu f )O 2 , 0 f 0.20

F ( p)

1 p
,
1 2p

( p)

1
1 p
, p : 気孔率，
0.861 1 2 p
4.26

z : O/M 比係数（MO2 - z とする）

IPTHCN=32

τ : 燃焼時係数（燃焼度 10 at.%で 0.1）, TK : 温度（K）

4.27

KMOX : MOX 燃料 ( f = 0.20) の熱伝導率（W/m･K）
1.528 z 0.00931 0.1055 0.44

K MOX

1

2.885 10 4 TK
76.38 10 12 TK

3

KUO2 : UO2 の熱伝導率（W/m･K ）K UO 22.25 10 4 T K

0.035 0.44

1

95%

1

1 p
1 2p

( A BTK )1 0.05
1 2 0.05
CTK

3(1 z )

Duriez et al.

MOX ペレット熱伝導率 (4)95%83.0 10 12 T K

2

exp

D

(W/m･K)

TK
IPTHCN=33

A

A( x )

2.85 xB

B( x )( 7.15 x

0.035 ( mK / W )2.86) 10 4 ( m / W )C 1.689 10 9 (WK / m ),D 13520 K
700 K TK 2600 K
f : モル fraction ( U 1 f , Pu f )O 2 として 0.03 ≦ f ≦0.15

－323－

,

4.28

JAEA-Data/Code 2010-035

Philipponneau

MOX ペレット熱伝導率 (5)1.528 z 0.00931 0.1055 0.44

K MOX

1

2.885 10 4 TK
76.38 10

12

TK

3

( p)

ここで、KMOX : MOX 燃料 ( f = 0.20) の熱伝導率（W/m･K）
(0

f

( p)

0.20 ; f: molar fraction )11 p, p : 気孔率，
0.861 1 2 p

IPTHCN=34

4.27

IPTHCN=35

4.29

z : O/M 比係数（MO2 - z とする）
τ : 燃焼度係数（燃焼度 10 at.%で 0.1）, TK : 温度（K）
MOX ペレット熱伝導率 (6)K fuela2

ただしHalden Model

K mox a1
a3 BU (1 a7 BU ) a4Gd

(a5 a6 BU )TC

F ( p ) (W/ms)

a3 BU (1 a7 BU ) = 18.4 BU (1 0.003 BU )a1

1 p
1 0.05,1 2p
1 2 0.05
40.4, a2 464, a3 18.4,

a4

1.16, a5

F ( p)

a7 0.003
K mox 1.0

1.0, a6
for UO2

0.92 for MOX

p : porosity

0.0032

TC : CBU : MWd/kgMOX

ここで, TD=0.95 を標準的条件として仮定する。
Name-list parameter: Kmox = KMOX = 0.92 (Default)－324－

JAEA-Data/Code 2010-035

MOX 熱伝導率 (7)K95%TDA0

A1 x A2 g

Baron
A3 g

2

1
B0 1 B1q

C Dg
exp
T2

2

B2 g B3 g T

W
kT

K: W/mK,
T = Kelvin,x = 不整定比の絶対値, abs[2-O/M]) =Y
q = プルトニウム重量比 (-) = PU
g = ガドリニウム重量比 (-), 0-12 % =GD
k = Boltzmann 定数 (1.38・10-23 J/K)
W= 1.41 eV = 1.41・1.6・10-19 J(mK/W)
A0 = 0.044819 + 0.005・BU+20・(G - 5.4702)-4
B0 = (2.4544 - 0.0125・BU - 70・(G - 5.4702))10 (m/W)
A1 = 4 (-) ,A2 = 0.611 (mK/W)
A3 = 11.081 (mK/W)
C = 5.516・109 (WK/m),

IPTHCN=15
4.9=36

B1 = 0.8 (-)
B2 = 9.603・10-4 (m/W)
B3 = -1.768・10-2 (m/W)
D = - 4.302・1010 (WK/m)

BU = burn-up (GWd/tU),
G = 格子定数( A )=LT
この式は 95%TD ペレットに適用される。一般には、次式となる。

K

K 95% TD (1p ) /(1 0.05 )3

2.58 0.58 10 T , T :( C )[注 2: Y, PU, GD、および LT は namelist Input parameters であり、LT の default = 5.4702.]【注】Baron のモデルにおいては、name-list input PU (default=0.0) = PuO2 重量比 （→コード内部でモル分率に変換する）、および Y (Default=0.0) = MO2 - y の y の値を指定する。

MOX 熱伝導率 (8) FRAPCON-3: PNNL-modified Halden model

K95

0.92 / Q ( x ) 0.0132 exp 0.00188T(W/mK)Q ( x ) 0.1148 a gad 1.1599 x 0.0040B 2.475 10 4 (1 0.0033B)
a 1.1599 , “gad”= weight fraction of gadolinia,
x = 2.00-O/M (oxygen to metal ratio) =Y (Default=0.0),

B: burn-up (MWd/kgUO2),
Porosity p correction factor:

min(T , 1650) , T : degree C.

K ( p ) 1.0789 K95

1 p
1 0.5 p

－325－

IPTHCN=37 4.30

JAEA-Data/Code 2010-035

MOX 熱伝導率 (9)PNNL model in FRAPCON-3, modified on the basis of theDuriez model.

Cmod
D
exp
2
T
T
P( x ) A( x ) a gad B( x )T f ( Bu )(1 0.9exp( 0.04 Bu )) g ( Bu )h(T )A( x ) 2.85 x 0.035 (mK/W) , x=2.00-O/M (oxygen to metal ratio =Y,K95

1 / P( x )default=0.0),

a 1.1599, “gad”=weight fraction gadolinia (not expected in MOX),
B( x ) (2.86 7.15 x ) 10 4 (m/W) ,IPTHCN=38 4.30

f(Bu)= 0.00187Bu : effect of fission products in crystal matrix,g(Bu)= 0.038Bu0.28 : effect of irradiation defects, Bu= burnup in GWd/tHM,
h(T)= 1 / 1 396 exp

QT: temperature dependence of annealing on irradiation

defects.
Q: “Q/R” 6380K,

Cmod=1.5E9 W-K/m,

Porosity p correction factor:

D=13520 K.

K ( p ) 1.0789 K95

1 p
1 0.5 p(10) Ohira & Itagaki (NFI) The latest Model for 95%TD UO2 and MOX pellets.
Latest model:

Gd

A B T
CT
f Bu

2

DT

1
P f Bug Bu h T(W/mK)

4

1.87 10 3 Bu

g Bu (8.07 10 2 6.51 10 4 Bu )Bu: Burnup (GWd/tHM),
T: Kelvin,
1h T
1 396 exp 6380 / T
A 4.53 10 2

(mK/W), B

1 exp( 0.142 Bu )IPTHCN=91 4.10

2.46 10 4 (mK/W)

C=5.47E-9 (W/m-K3)
D=2.29E-14 (W/m-K5)
8.12 10 3 , Gd: Gd2O3 concentration (wt%)

1.24 10 3 ,P: PuO2 concentration (wt%)
【注】この式は 95%TD ペレットに適用される。一般には、次式となる。
K K 95%TD (1 p ) /(1 0.05 ) 、
2.58 0.58 10 3 T , T : ( o C)

－326－

JAEA-Data/Code 2010-035(3) MOX ペレットクリープ(1) MOX クリープ

SKI-based MOX model

ref.

使用条件

A2 ( F )exp( Q2 / RT ) C F ,G21) fH=1

A2

2.63 105 8.93 10 13 F
87.7

Q2

3.776 105 ,(1/s),
fH=1: IPCRP=11

2.78 10 30

C: uni-axial stress (MPa), F : fission rate (fissions/m3s)
G =10: grain size (assumed constant 10 m): density (%TD), above 92%, if less than 92%, 92%.
T : temperature (K),R : gas constant (8.31441 J/mol-K)
2) fH=2 C
3) fH=3 C

fH=2: IPCRP=12

4.14

fH=3: IPCRP=13

5.56 10 30 , Others are the same.
9.73 10 30 , Others are the same.

(2) Halden MOX Creep model

8.577 104 exp

3.505 105
RT

9.73 10 30f

IPCRP=15

3

4.15: uni-axial stress (MPa), f : fissions/m -s
R :8.31441 (J/mol-K),
T : temperature (K),(3) MOX ペレットクリープ速度c

B1

MATPRO-11 model

B2 F 1
exp Q3 / T B3 1 D B4 f
G2
B5 B6 F 24.5 exp Q4 / T B7 1 D B4 f

B1=0.1007、 B2=7.57×10-20、B3=33.3、 B4=0.014、-25

B5=6.469×10 , B6=0.0、B7=10.3、Q3=50327.1、Q4=70458.0
ここで、 c : クリープ速度 (S-1),

2
1 : 相当応力(N/m )G : 粒径（μm）
、 F : 核分裂率（fissions/m3s）D: 理論密度比(－),
p : 気孔率、 f : weight fraction of Pu、 T : 温度（K）: 相当応力（Nm-2）
ただし、16547416.8
G 0.5714のとき

116547416.8
G 0.5714のとき

1,16547416.8
G 0.5714

－327－

2

,

2

0.0 ,

IPCRP=30

3.4

JAEA-Data/Code 2010-035

Fuel creep rate (1/s)

1E-5
1E-6
19

3

1.2x10 fissions/m s, 24MPa
1E-7
1E-8
Halden MOX

1E-9

SKI, MOX, fH=1

fH= 2

fH= 3

Halden UO2

1E-10

SKI, UO2

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

10000/T (1/K)
Fig.4.1

ペレットクリープの新モデル(4) ポアソン比
MOX ペレットポアソン比 (1)MATPRO-11= 0.276
MOX ペレットポアソン比 (2)0.23 f
ここで

p : 気孔率

使用条件

Ref.

IPOIS=30

3.4

Nutt + Yamada

0.324

0.32 pf: モル fraction ( U 1 f , Pu f )O 2

4.31
IPOIS=31
4.32

温度依存性は無いものとする。

(5) ヤング率
MOX ペレットヤング率 (1)E

MATPRO-11

使用条件

Ref.

2.334 1011 1 2.752 1 D 1 10915.
10 4 T 1 015. f
E: ヤング率(N/m2)、D: 理論密度比(－)、 T : 温度(K),f : weight fraction of Pu－328－

IPLYG=30

3.4

JAEA-Data/Code 2010-035(6) 比熱MOX ペレット比熱 (1)MATPRO-11

使用条件

Ref.

ISPH=30

3.4

使用条件

Ref.

CP,mox=CP, UO2 (1－f )＋CP, PuO2･f
K1 2 exp

CP

2

T exp

/T

/T

1

O / M K3 E D
exp
2
RT 2

K2 T

2

ED
RT

f : weight fraction of Pu
CP: 比熱(J/Kg･K), T: 温度(K)O/M: O/M 比(－),

R=8.3143(J/mol･K)

K1

UO2
296.7

PuO2
347.4

Unit
J/Kg･K

K2

2.43×10-2

3.95×10-4

J/Kg･K2

K3

8.745×107

3.860×107

J/Kg

θ

535.285571.000

K

5

ED

5

1.577×10

1.967×10J/mol(7) 融点MOX ペレット融点 (Solidus) (1)Tm

Tu

5.414 f m

0.007468 f m

Tm: ペレット融点(K),

MATPRO-11+Christensen
20.0032 Bu

Tu: UO2 の未照射材の融点(=3113K)

fm: weight fraction of Pu, Bu：燃焼度（MWd/t）

常時（UO2 と
共通）

3.4
4.13

注）Christensen の式に基づき、10GWd/t 当たり 32℃ 低下するとした。

(8) 熱膨張MOX ペレット熱膨張率 (1)
L
L

L
1
L UO2

f

MATPRO-11

使用条件

Ref.

L
: 線熱膨張(－)
LLf ,L PuO2L
L UO2

4.972 10 4

L
L PuO2

3.9735 10 4 8.4955 10 6 T 2.1513 10 9 T 2 3.7143 10 16 T 37107.
10 6 T 2.581 10 9 T 2 1140.
10 13 T 3
IPTHEX=30

T : 温度(℃) ,f : weight fraction of Pu

－329－

3.4

JAEA-Data/Code 2010-035

MOX ペレット熱膨張率 (2)

L
L MOX

L
1
L UO 2

ここで、Martin + TokarLf
L PuO 2

f

使用条件

Ref.

1 3. 9 x

L: MOX 燃料の熱膨張率、
L MOX
L: PuO2 の熱膨張率、
L PuO 2

L: UO2 の熱膨張率、
L UO 2

f: モル fraction ( U 1 f , Pu f )O 2

x : O/M 比係数（MO2-x とする）,

また UO2、PuO2 の熱膨張率は T : 温度（K）として、それぞれ、(279 K≦T≦923 K)

L
L UO2

9.9734 1019.802 106

T 2.705 10

10

T

2

4.391 10

13T

3

1 IPTHEX=31

4.26
4.33

(923 K≦T≦3120 K)

L
L UO2

9.9672 10 1 1.179 10 5 T 2.429 10 9 T 2 1.219 10 12 T 3

1(279 K≦T≦1693 K)

L
L PuO2

1.2232 10 4 7.5866 10 6 T 273
5.9768 10 12 T 273

5.6948 10 9 T 273

3

4.4092 10 15 T273

4

1.2897 10 18 T

MOX ペレット熱膨張率 (3)熱歪み (=0 at 300 K) :

L
L0

2

273

5

MATPRO-A

K1T

K2

K 3 exp

EDkT

T : 温度 (K)、 ED = 7.0x10-20 : 格子欠陥生成エネルギー (J)IPTHEX=32

2.11

使用条件

Ref.

k: Boltzmann' 定数 (1.38 10 23 J / K )K1 = 9.0x10-6 K-1 , K2 = 2.7x10-3 , K3 = 7.0x10-2(9) 焼きしまり
MOX ペレット焼きしまり密度変化
D
D

ここで、

0.15 b(b≦15 GWd/t),

D : 密度（%T.D.）,

Schlemmer + Ichikawa
DD

0.10 b

(15 GWd/t ≦b)

4.19
IDENSF=30

b : 燃焼度（GWd/t）

－330－

4.20

JAEA-Data/Code 2010-035

4.3

ジルコニウム合金被覆管物性値(1)被覆管熱伝導率
MATPRO-Version 09

ジルカロイ熱伝導率

使用条件

ref.

常時

3.4

使用条件

ref.

IZOX=1

2.11

R.T.～融点に対して

7.51 2.09 10 2 T 145.
10 5 T 2k

T：温度7.67 10 9 T 3（W/m・K）（K）(2) 被覆管酸化膜の熱伝導率、emissivity, ヤング率
ZrO2 熱伝導率 (1)k

MATPRO-A

0.835 1.81 10 4 T

T：温度（W/mK）（K）

ZrO2 熱伝導率 (2)k

MATPRO-11

1.96 2.41 10 4 T

6.43 10 7 T 2 1.95 10 10 T 3(W/mK)

T: temperature (K)IZOX=2

3.4

Default

なお、酸化膜熱伝導率には以下の調整パラメータがある。
変数名

内容

標準値

ZrO2 の熱伝導率式は

K

CNOX

0.835 181.
10 4 Tf

f

1 CNOX S ,0.0
S：酸化膜厚mで与える。したがって、CNOX は酸化膜熱伝導率に酸化膜の厚みの効果を入れるファクターである。

Ref.

ZrO2 の emissivity

0.809

常時

とする

ZrO2 のヤング率

MATPRO-A

Y

3.77 10 7 T

1.637 1011 ****

Y

8.024 10 7 T

2.225 1011

300<T<1478 K

1478<T<Tsol(Tsol=melting temperature of oxide; 2970K)
Y

1 Tsol<T
Y: young’s modulus (Pa)*

T：温度(K)

－331－

常時

2.11

JAEA-Data/Code 2010-035(3) ジルカロイヤング率
ジルカロイヤング率E9.900 10 5

(1)

Fisher

566.9

T9.8067 10 4

27315
.

(Pa)

T：温度(K)
ジルカロイヤング率1) α相:Yref.

IZYG=1

4.34

IZYG=2

2.11,

Default

3.4

MATPRO-A, -11115.475 107 T

K1

9.21 1010

4.05 107 T(Pa)(1.088 10Y2) β相:(2)

使用条件

K2 ) / K3(Pa)

T: 被覆管温度 (K)K1: 酸化の効果を反映する項 (Pa)K2: 冷間加工の効果を反映する項 (Pa)K3: 高速中性子フルーエンスを反映する項 (unitless)K1

11(6.61 1085.912 10 T )2.6 1010 C

K2,

K 3 =0.88+0.12exp1025:未照射被覆管の酸素濃度からの酸素濃度の増分(kg O/kg
zircaloy). ただし未照射被覆管の酸素濃度は非常に低い(1.2gO/kg
zircaloy ので、殆ど影響はない。
:高速中性子 fluence (n/m2)

C : 冷間加工 (断面減少率)、(4) 熱膨張率
MATPRO-09

ジルカロイ熱膨張（1）

使用条件

ref.

ICATHX=0

2.13

27～800℃に対して2.506 10 5

L / Lo

軸方向熱膨張：6

4.441 102.373 10 4 6.721 10 6 T

したがって熱膨張係数は

D / Do

半径方向熱膨張：(標準値)

6.721 10 6

したがって
T：温度

（℃）、

ジルカロイ熱膨張（2）21～429℃に対して
軸方向熱膨張：L / LoT：温度4.441 10 6 T

α：熱膨張係数（℃-1）
Scott

42.53230 3.96753T （in / in）×10-6

（℃）

－332－

ICATHX=1＊

JAEA-Data/Code 2010-035

MATPRO-A

ジルカロイ熱膨張（3）For

300<T<1083 K
11

4.95 10 6 T 1.485 10 333

1.26 10 5 T

3.78 10 3

11: 周方向熱膨張 (m/m)

33: 軸方向熱膨張 (m/m)

1083<T<1244 K
11

T 10832.77763 1.09822cos
161

10 3

T 1083161

10 38.76758 1.09822 cos

33

ICATHX=2

2.11

ICATHX=3

3.4

1244<T<2098 K
11

9.7 10 6 T 1.04 10 2

33

9.7 10 6 T

4.4 10 3

MATPRO-11

ジルカロイ熱膨張（4）300<T<1073 K
L
4.44 10 6 T 1.24 10 3 ：軸方向熱膨張L0D
6.72 10 6 T 2.07 10 3 ：直径熱膨張
D0
ZrO2 熱膨張

MATPRO-A

60

7.8 10 T

2.34 10

3

300<T<1478 K(monoclinic ZrO2)

501.302 10 T

3.338 102

常時1478<T<2973 K(tetragonal and cubic ZrO2)
なお、ICATHX=0 の場合には以下の調整パラメータがある。
変数名
ATHEX
RTHEX

内容
ジルカロイの軸方向熱膨張係数を ATHEX で与える。
標準値の場合が MATPRO-09 の値である。
ジルカロイの半径方向熱膨張係数を PTHEX で与える。
標準値の場合が MATPRO-09 の値である。

－333－

標準値
4.441 10 66.721 10 6

2.11

JAEA-Data/Code 2010-035(5) ジルカロイクリープ [照射下]MATPRO-Version 09

照射下ジルカロイクリープ(1)

Be C

K

exp 10,000 / RT t

1
2

使用条件

ref.

CRPEQ =0

2.13

CRPEQ=24.35①： 二軸クリープひずみ速度（m/m・s）
K = 5.129×10-29 ,B = 7.252×102,

R = 1.987（cal/mol・K）,

C = 4.967×10-8

T：温度（K）,

2

t ：時間（s）

E >1.0 MeV：高速中性子数（n/m ・s）：周方向応力（N/m2）［数値計算での利用方法］①式をｔについて積分すると、

2K

B exp C

10000 / RT t 0.5

exp②②式は、ｔのべき乗が１でなく、一次クリープの式であるから
H（全クリープひずみ）である。

①および②式よりｔを消去して

2{KB exp C

exp

10000 / RT }2 /

したがって

f

c

2{K

B exp C

10000 / RT }2 /expcとなる。ここでc：被覆管の相当クリープひずみ速度 （s－１）
c：被覆管の相当クリープひずみ

：相当応力

（Pa）

照射下ジルカロイクリープ

(2)

である。

D
D

creep

A tm

A 1.11 10 13
m

0.682

p

0.550

n

0.579

Q 1173pFranklin model
n

exp

Q
T

t :hours:n/cm 2 s (>1MeV): MPa
T : Kelvin－334－

JAEA-Data/Code 2010-035(3)照射下ジルカロイクリープ
Zry-4 用照射下クリープ式：1) 熱クリープひずみ速度：
c
th

K t

c
th
H

mK
c
th

(

)

c
th

c
irr

(1/hr)

熱クリープひずみをm

1m

燃安専モデル
c

とすると、
1
(1
)
m
H
n

c
th , kt k ：前タイムステップ(n-1)までの

k 1

熱クリープひずみ

K

exp

m

107
.

0.416 8.22 10 4 T

133.

0.00343 7.27 10 5 T

eq
eq

6.59 10 3 T

195.
10 3 T(kgf/mm2)

eq :相当応力

T :温度（Ｋ）
2) 照射クリープひずみ速度：cirr

6.64 1025（ただし、本式のソースは不明）

1.23

1.34
eq

CRPEQ=1

2:高速中性子束 (n/cm s)［数値計算での利用方法］
式の形から、時間ｔを消去する必要はなく、 f
円周方向および軸方向のクリープひずみ増分は、

d c

1
2
2

d cz

1
2
2

である。なお、上式中の
c

c
c
n

d c

z

d c

z

については

1
2

d c

として与え、繰り返し収束計算により

c

を求める。

－335－

c

とおく。

4.36

JAEA-Data/Code 2010-035(4)

照射下ジルカロイクリープ

D
D

creep

A tm

p

n

A 1.6 10 12
m

0.450

p

0.550

n

0.579

Halden (McGrath) model

exp

Q
T
CRPEQ=3

t :hours

4.37:n/cm 2 s (>1MeV): MPa
T : Kelvin

Q 1173(6) ジルカロイクリープ [高温・非照射](1)

高温ジルカロイクリープ

2000

5.32

Rosinger

34220
T

exp

: クリープ速度(s-1),

730 K

T 1073K: 相当応力(MPa)940≦T≦1073 K

2000

5.32

exp( 284600 / kT )HTCRP=1

1073<T<1273 K
T 1073.
200.

1.0

0

G

3.326 1010

4

n
0

G

Donaldson(2)

高温ジルカロイクリープ

G
T

T 1073.
200.

4.38

8.1 3.79 exp( 142300 / kT )k: 8.314 J/mol･K

1273≦T K

A1

4(Default)

Q1
RT

exp

2.244 107 (T( 973 T

273) 2.161 103 (TWestinghouse tube 4.43x10
Wolverine tube
1.83x1017
Sandvik(NRU) tube 6.54x1016(Nm-2)

1273K )

A1（N-1m2Ks-1）
16273) 2

Q1（kJmol-1）n5.31±0.06
5.43±0.02
4.94±0.09

266.8±14.0272.2±12.0
294.0±16.0

20
21
22

HTCRP=*

*

4.39

20
21
22

※ 通常運転及び過渡解析において、高温クリープモデル(1)と(2)が用いられるのは、高温クリープモ
デル(1)と(2)から求められるのクリープ速度が、通常運転クリープモデル(1)～(3)から求められるのクリープ速度を上回る場合においてのみである。
このとき CRPEQ=0、=1、＝２であり、HTCRP=1 あるいは=20～22 とする。

－336－

JAEA-Data/Code 2010-035

なお、ジルカロイクリープ式には、以下の調整パラメータがある。
変数名

内

CRFAC
IPUGH

容

標準値

クリープひずみ速度を CRFAC 倍する。
IPUGH=0: Pugh の反転を考慮しない。 IPUGH=1: Pugh の反転を考慮する。

1.0
0(7) 被覆管ポアソン比
Fisher

ジルカロイポアソン比v0.3303 8.376 10
T：温度

5

T

ref.

常時

4.34

常時

2.11

27315
.

（K）

ZrO2 ポアソン比

v

使用条件

MATPRO-A

0.30(8) ジルカロイ塑性
ジルカロイ歪硬化曲線式(1)

FEMAXI-III model

計算条件

ref.

ICPLAS=1

1.2

K n：真応力（kg/mm2）、 ：真ひずみ、 n ：歪硬化指数

K

K 0. 2% (

K0.2%
B

y

K 0. 2%E

0.002) n

33.44 1 exp

2.92 10 21 exp

12

B

kg / mm2

1.6 10 14：高速中性子 fluence (n/cm2)2：高速中性子束（n/cm ・s）

E >1 MeV
E >1 MeV2

y =降伏応力（kg/mm ）=21.60-0.0213・T（再焼結材）=31.32-0.0213・T（応力除去材）
n=0.0504+0.0001435・T
T：温度（℃）

220

T

450 ℃

ジルカロイ歪硬化曲線式については、次の調整パラメータがある。
変数名
内
容
ISTR 0 の場合には K
33.44 とする。
ISTR
y

－337－

標準値
0

JAEA-Data/Code 2010-035

MATPRO-11(2)ジルカロイ歪硬化曲線式

以下の式において、歪み速度 は前 time step で決定された値を用いる。
mK

n

10 3 / s: 真応力 (Pa): 真歪み速度. もし <10-5/s ならば
T<850 Kn

T 850 Kn=10-5/s.

1.86 10 2 T 7.110 10 4 7.721 10 7 T

0.027908

n にかかる調整ファクター RIC は、照射と冷間加工の効果を反映する。

RIC

0.847exp( 39.2CWN ) 0.153 CWN ( 9.16 10 2 0.229CWN )
1
3

exp

3.73 107 2 108 CWN

CWN: 歪み硬化指数に対する有効冷間加工（断面減少率): 有効高速中性子 fluence (n/m2>1.0MeV)
T 730 KK

1.0884 109 1.0571 106 T

730<T<900 K

K

A1 T A2 T ( A3A4 T )

A1

8.152540534 109 , A2

3.368940331 107

A3

4.317334084 104 , A4

1.769348499 101

900 T

K

exp 8.755

8663
T

0.546 CWK K 5.54 10 18

DK

DK: strength coefficient for irradiated and cold-worked
material minus the equations. (Pa)CWK: effective cold work for strength coefficient (unitlessof area)
T 730 Km = 0.02

730<T<900 K

m

900 T

A5 T A6 T ( A7

A8T )

A5

2.063172161 101 , A6

7.704552983 10 2A7

9.504843067 10 5 ,A83.860960716 10 86.47 10 22.203 10 4 T

1090 Km－338－

ICPLAS=2

3.4

JAEA-Data/Code 2010-035(3)

ジルカロイ歪硬化曲線式

修正 MATPRO-11 モデル

以下の式において、歪み速度 は前 time step で決定された値を
用いる。
m

K n

10 3 / s: 真応力 (Pa): 真歪み速度.
もし <10-5/s ならば=10-5/s.

6.34 10 3 s 1 ならばもし

6.34 10 3 s 1 .

(1) 歪み硬化指数 n
T<850 Kn1.86 10 2 T 7.110 10 4 7.721 10 7 T

T>=850 K

n0.027908

RIC

0.847exp( 39.2CWN ) 0.153 CWN ( 9.16 10 2 0.229CWN )
1

exp

3

3.73 107 2 108 CWN

CWN: 歪み硬化指数に対する有効冷間加工（断面減少率): 有効高速中性子 fluence (n/m2) (>1.0MeV)ICPLAS=3(2) 強度ファクターK：
T<=730 K

K

1.0884 109 1.0571 106 T

730<T<900 K

K

A1 T A2 T ( A3

900<=T

A4 T )

A1

8.152540534 109 , A2

3.368940331 107

A3

4.317334084 104 , A4

1.769348499 101

K

exp 8.755

8663
T

DK

0.546 CWK K 5.54 10 18DK0.546 CWK K 5.54 10 18 2.6 1025 KF
0.546 CWK K 1.44 108 KF

KF(

2.6 1025 )(2.6 1025)

ただし、KF は name-list parameter であり、KF=1.0 (Default)
である。

－339－

JAEA-Data/Code 2010-035(3) 歪み速度依存指数
T<=730 K

m = 0.02

730<T<900 Km

9.504843067 10 5 ,

A7

T ( A72.063172161 101 , A6A5900<=T

A5 T AKm

6.47 10 2

A8

A8T )

7.704552983 10 2
3.860960716 10 82.203 10 4 T

1000

100%/s352K

True Stress (MPa)8000.001%/s
100%/s600

400K

0.001%/s

600K

400

100%/s900K

2000.001%/s0
0.0
Fig.4.2

0.5

1.0
1.5
True Strain (%)

2.0

MATPRO-11 モデルに対する修正後の応力
歪み関係(ICPLAS=3) at 1.3x1026 n/m2

－340－

JAEA-Data/Code 2010-035(4)

ジルカロイ歪硬化曲線式
3.6.2

太田モデル

被覆管の応力歪み関係のモデル (3)参照

1) 応力と歪みの関係式

E ,

弾性域；

E ：ヤング率
ax 3 bx 2

中間領域；

Ex

ただし、 x

1
1

m

K n

塑性域；

10 3

K ：強度係数n ：歪み硬化指数：真歪み速度．もし ＜10-5 /ｓ ならば ＝10-5 /ｓ．

m ：歪み速度感度係数m以下では、 K

10 3をまとめて K と表記する。

2) 強度係数 K

ICPLAS=4① 応力除去材被覆管(PWR)の K (MPa)
温度 T 及び高速中性子フルエンス（>1.0MeV）に依存するとして以下のとおり与える。
T≦900 K (626.85℃)

K

L1

L2 (T
L3

L1

273.15)L4 (T1745, L2

273.15)

1 exp( 1.751 10 25 )2.517, L3526, L4

K ：MPa、 T: Kelvin、

0.748:neutrons/m2

900＜T＜1000 K (626.85～726.85 oC)

K

A1 T A2 T ( A3 TA4
0.5

B1 T B2 T ( B3 TB4 )1 exp( 1.751 10 25 )A 1＝

3.041233371×104，

B 1＝

3.3282432

A 2＝－8.285933869×101，

B 2＝

2.98027653

A 3＝

－2

7.490958541×10 ，

B 3＝－6.81286681×10－3

A 4＝－2.242589096×10－5，B 4＝3.51229783×10－6

－341－

×102

3.5

JAEA-Data/Code 2010-035

1000 K≦T (726.85oC~)K

0.5

H 3 / T ) 1 H 4 1 exp( 1.751 10 25 )H1 exp( H 2

H1 1 10 6 , H 2

8.775, H 38663, H 4

0.341566

3) 再結晶材被覆管(WR)の K
温度 T 及び高速中性子フルエンス(>1.0MeV)に依存するとして以下のとおり与える。
T≦700 K （426.85℃）

K

L1

L2 (t 273.15)
L3

L4 (T

1 exp( 9.699 10 26 )273.15)0.5

700＜T≦800 K （426.85～526.85℃）

K

A1 T A2 T ( A3 TA4
1 exp( 9.699 10 26 )A5 T A6 T ( A3 TA4 )A01＝

3.656432405×104，

A02＝－1.361626514×102

A03＝

1.695545314×10－1，

A04＝－7.055897451×10－5

A05＝－3.338799880×104，

A06＝

1.330276514×102

0.5

800＜T＜950 K （526.85～676.85℃）
未照射燃料に対して、

K non irradiatedH1 exp( H 2

H1 1 10 6 , H 2
K

H3 / T )4.772, H 3

9740

高速中性子フルエンスφt の照射を受けた燃料に対しては、
K non irradiatedB

T B2

T ( B3

TB4

K non irradiated1 exp( 9.699 10 26

B01＝－3.617377246×104，

B02＝

1.361156965×102

B03＝－1.636731582×10－1，

B04＝

6.386789409×10－5

950K≦T （676.85℃～）

K

H1 exp( H 2

H3 / T )H1 1 10 6 , H 2

1 H 4 1 exp( 9.699 10 26 )4.772, H 39740, H 4－342－

52.67783

0.5

)

0.5

JAEA-Data/Code 2010-035

3)

歪み硬化指数 n
温度 T のみに依存するとして以下の式で計算する。照射による変化はな

いとしている。
T≦673.15 K （400℃）n

C1 C2 (T273.15)673.15<T<1000 K （400～726.85℃）

n

C3 T (C4 C5T )C1＝0.213 ,C2＝1.808×10－4 , C3＝3.4708518×10－2 ,C4＝4.9565251×10－4 ,C5＝－5.0245302×10－71000 K≦T （726.85℃～）n4)C6 = 0.027908

歪み速度感度係数 m
MATPRO から変更なし。温度 T のみに依存するとして以下の式で計算する。照射による変化はないとする。
T≦730 K （456.85℃）

m ＝0.02730<T＜900 K （456.85～626.85℃）m

A5 T A6 T ( A7A8T )900 K ≦T （626.85℃～）m

A9

A10T m＝－6.47×10－2＋2.203×10－4T

A 5＝

2.063172161×101

A 6＝－7.704552983×10－2

A 7＝

9.504843067×10－5

A 8＝－3.860960716×10－8

A 9＝-0.67×10－2

A10＝－2.203×10－4－343－

JAEA-Data/Code 2010-035(9) ジルカロイ照射成長
MATPRO-Version 09

ジルカロイ照射成長（1）照射成長（－）:LL

A exp 240.8 / T
1A 1407.
10 16 n / m2

2

t

1

2

1 3 f Z 1 2.0CW
T：温度 (K)ICAGRW=1

1MeV

Default,t ：高速中性子照射量 n / m 2

E

f Z ：軸方向ファクター,

ref.

使用条件

2.13

CW：コールドワーク

ICAGRW=1 の場合には、以下の調整パラメータがある。
変数名
CATEXF

内容
軸方向ファクター

COLDW

コールドワーク

標準値

fZ

0.05

CW

0.81

Manzelジルカロイ照射成長（2）L
照射成長（％）:
Lo

0.1

t / 10t ：高速中性子フルエンス（n/cm2）
n

使用条件

ref.

ICAGRW=2＊21 n：0.65～0.67 の範囲の定数（0.66 を使用）
Hanerzジルカロイ照射成長（3）ジルカロイ単結晶の C 軸に直角方向における照射成長（－）

L
Lo

c

6 10 12 t:

0. 4

ICAGRW=3＊t ：高速中性子フルエンス（n/cm2）
Hesketh

ジルカロイ照射成長（4）照射成長（－）:

L
Lo

A

t

t ：高速中性子フルエンス（n/cm2）

ICAGRW=4

4.40

使用条件

ref.

常時

2.13

使用条件

ref.

常時

＊

5 10 14

A：フィッティング定数(11) ジルカロイ比熱
MATPRO- 09

ジルカロイ比熱Cp245.11 0.15558T

5

3.3414 10 T

Cp ：比熱（J/kg・K）

2

T ：温度（K） （300-1090K）

ZrO2 比熱

Couglin
3

2

6

Cp 46.48 2.134T 2.936 10 T 1.433 10 T
Cp ：比熱（J/kg・K）
T ：温度（K）－344－

3

JAEA-Data/Code 2010-035(10) ジルカロイ密度
MATPRO-Version 09

ジルカロイ密度g / cm 3

6.55

ZrO2 密度

ref.

常時

2.13

常時

2.11

使用条件

ref.

ICOPRO=1

2.12

MATPRO-A

g / cm 3

5.6

使用条件

(11) 被覆管腐食
被覆管の腐食速度は以下のオプションより選択する。
EPRI

被覆管腐食速度（1）
被覆管腐食速度： dS / dt

A / S 2 exp Q1 / RT

遷移後腐食速度： dS / dt

C exp Q2 / RT 、C

C0

遷移の生じる酸化膜厚： D exp

dS / dt ：腐食速度
S：酸化膜厚P

U M

Q3 / RTET

m / daym

T：酸化膜と金属相の界面温度（K）
2：高速中性子束 n / cm s
R：気体定数 1.987cal / mol K

A

6.3 10 9m 3 / day

Q1

32289 cal / molCo

8.04 10 7

m / dayU

2.59 108

M

7.46 10 15 cm 2 s / n

P = 0.24

Q227354 cal / molD

2.14 10 7Q310763 cal / mol

E

117
.
10 2 K 1m

MATPRO-A

被覆管腐食速度（2）遷移前：

S4.976 10 3 A t exp 15660 / T

遷移後：

S

82.88 A t exp 14080 / T

遷移時の酸化膜厚： STRAN

m / daySo

STRAN

7.749 10 6 exp 790 / T

S：酸化膜厚（m）、
A：1.5（for PWR）、

t：時間（days）

3

1

3

ICORRO=2(PWR)
ICORRO=3(BWR)=9（for BWR）

なお、ICORRO=0（標準値）の場合には被覆管の腐食は無いものとして扱う。

－345－

2.11

JAEA-Data/Code 2010-035

被覆管腐食には以下の調整パラメータがある。
変数名

内

容

標準値

ds
dt

0.0

酸化膜成長速度の加速因子
FCORROds
dt

1 0.04 T FCORRO

T ：酸化膜内外面（金属相との境界面－冷却水側）での温度差（℃）とする。

コメント : Piling-Bwedworth Ratio of ZrO2
ZrO2

X=

Zr

Y+

ox

× ZrO2 X

X:

酸化膜厚さ ( m)Y:

酸化膜に転換したジルカロイ金属相の厚み ( m)Zr

: ジルカロイ密度 6.55 or 6.49 (MATPRO-A)

ZrO2
ox

: 酸化膜密度,5.6 or 5.82 (MATPRO-A)(g/cm3)(g/cm3 ): 酸化膜 ZrO2 における酸素の重量比率 = 0.260

Piling-Bedworth ratio

=

X
Y

Zr

(1.0 0.26) ZrO2

－346－

=1.51 or 1.56 or 1.58

JAEA-Data/Code 2010-035

4.4

SUS304 ステンレス被覆管物性値
SUS304 熱伝導率

T：温度R.T.～848（K）

k

4

0.1065 1.326 10 T

注：ジルカロイの熱伝導率を ITMC=1 (Default)（W/cm・K）

明;

ref.

ITMC=41

X

使用条件

ref.

と指定する。

SUS304 酸化膜の熱伝導率
不使用条件

ジルカロイ酸化膜の熱伝導率と等しいと仮定する

IZOX=41

注：ジルカロイ酸化膜の熱伝導率を IZOX=1 (Default) と指定する。

SUS 酸化膜の emissivity
不使用条件

明; ジルカロイ酸化膜の emissivity と等しいと仮定する

ref.

OXEMS=41

注：ジルカロイ酸化膜の emmisivity を OXEMS=1 (Default) として指定する。

SUS304 ヤング率
21840.0 9.326(T273.15)9.8067 106 (Pa)

T：温度(K)

SUS304 熱膨張
T=300～848

K に対して1.629 10

5

不

ref.

IZYG=41

X

使用条件

ref.

熱膨張の係数(1/K)は3.285 10 9 T

2.198 10 12 T 2 1.629 10 15 T 3
したがって熱膨張量はL
T L0 となる。
SUS304 酸化膜

使用条件

ICATHX=41

X

熱膨張

明; ジルカロイ酸化膜の熱膨張と等しいと仮定する

OXTHM=41

注：ジルカロイ酸化膜の熱膨張率を OXTHM=1 (Default) と指定する。

SUS304 照射成長

v

計算条件

ref.

照射成長は 0 とする。

ICAGRW=41

X

SUS304 ポアソン比
0.265 7.875 10 5 T

使用条件

ref.

ICPOIS=41

X

273.15

T：温度 (K)

注：ジルカロイのポアソン比を ICPOIS=1 (Default) と指定する。

－347－

JAEA-Data/Code 2010-035

SUS304 照射クリープ
E

C1E

使用条件

/ C2 exp

Et / C2ref.

C3： クリープひずみ速度（m/m・hr）= 高速中性子束(n/cm2･s),

E = 中性子エネルギー(MeV) ,=equivalent stress (psi),
C 1= 1.7×10-23 ,C 2= 5.5×1015 ,C 3= 2.7×10-26 ,

計算条件

ref.

ICPLAS=41

X

計算条件

ref.

：真応力（kg/mm2）、 ：真ひずみ、n：歪硬化指数

Y3.945 10 8

2.25 10 5 T( t

0 n cm 2 )①

Y

7.550 10 8

6.13 10 5 T( t

1.5 10 20 n cm 2 )②

Y

1.378 10 9 1.79 10 6 T( t

1.45 10 21 n cm 2 )③Y

1.093 10 9

( t

6.05 10 21 n cm 2 )

④

Y

X

t: 時間(hour)

SUS304 歪硬化曲線式
K n

CRPEQ =41

6.60 10 5 T( Pa ), T ( C ) 照射量 tにより線形補間する。

ただし、 t6.05 10 21 n cm 2以上は④式で固定する。

なお、降伏応力の歪み硬化は考慮しない。
したがって、

Knにおいて、 K

SUS304 密度Y, n 0 である。

MATPRO-A model

7.9 103 kg/m 3 at 300K

SUS304 比熱
300 T 1558 K
Cp

326 0.298 TT

1558 K

Cp

558.228

ICDENS =41

MATPRO-A model
9.56 10 5 T 2

計算条件(J/kgK )ICSPH=41

X : 原子力船「むつ」の安全評価にかかる解析 （第 2 分冊）（日本原子力船研究開発事業団受託調査報告書）
日本原子力研究所

燃料安全第一研究室

昭和 56 年 1 月

菊地章、市川逵生

－348－

ref.

JAEA-Data/Code 2010-035

4.5

その他の物性値・モデル(1) FP ガス拡散定数
FP 原子拡散定数(1)D

107.6 10jv

Turnbull et al.
4

exp

7 10 / RT

1013 exp

5.52 104 / RTs

V

FP ガス原子の拡散定数 参照）（2.8.15

S

2

ZVo

1

2Z

2

S jvV

s

S2

使用条件

ref.

IDCNST=1

2.26

2

F m /s

1
2

4K Z
jv

2 10

40

1

2

ZVo

exp 5.52 10 4 / RT )Vo

R ：ガス定数=1.987(cal/mol/K)
T ：温度 KS

：原子ジャンプ距離
：原子容積
s

1
3

4.09 10 29 m3

1015 （ m 2 , シンク強度）

Z 2 （欠損点数）
K 10 4 （原子当りの欠損率）
Vo exp 5.52 10 4 / RT
1019 （ fissions / m 3 s, 核分裂速度）

F

FP 原子拡散定数(2)D1 1.09 10

17

D2

2.14 10

13

D3 1.51 10

17

exp

6614 / Texp22884 / Texp9508 / T

FP 原子拡散定数(3)D2

D3White & Tucker(m2/s)

T>1650 K

21381<T<1650 K

2

T<1381 K(m /s)(m /s)IDCNST=2

2.24

Kitajima & Kinoshita(cm2/s)D

D1

D1

2 10 21 exp

1.0 105 1
1.986 TD2

2 10 40 exp

2.76 10 4 1
1.986 TD3

2 10 40 F

F

1019 (Fission/m3/s, 核分裂速度)、

1
1280
IDCNST=3

1
1300
T: 温度 (K)

－349－

2.35

JAEA-Data/Code 2010-035

FP 原子拡散定数(4)Modified Turnbull

AM 1 7.6 10 10 exp

D2

BM 1 ( S jvV
where

7 104 / RT

2 10

Name-list parameter:

40(m2/s)F)

IDCNST=4

4.41

IDCNST=5

2.35

AM1=1.0 (Default),
BM1=4.0 (Default)

FP 原子拡散定数(5)DWhite model

AM 1 7.6 10 10 exp

7 104 / RT

1.5 10 17 R exp

10600 / T

22

7.67 10R exp(m2/s)

2785 / T( T : Kelvin , R : Watts / g )FP 原子拡散定数 (6)DDa

Kogai modelDb(m2/s)

Dc

7.6 10 10 6.84 10 9 Bu / 40 exp( 70000 / RT )Da

Bu: GWd/t (40 is an upper limit), though provisionally Bu is assumed to
be 0 in the code because this term gives an excessive increase to Da in highburnup region.

Db

s 2 jvVs

1/ 3

3.4454 10 10 (m)jv

1013 exp( 55200 / RT ) (s 1 )V( s s2

ZV0 ) / 2 Z 1 4 K ' Z / jv ( s s 2sV01015 (m 2 ) ,2 10 40 f ,for “test D” : Da

Z=100,

exp( 55200 / RT )K ' 5 105 f
Dc

ZV0 )2

2 10 4 (s 1 ) ,f : fissions/(m 3 s)

fixed at 1019.

6.4 10 5 exp( 132000 / RT )T : Kelvin,

R=1.987 cal/(mol.K)

－350－

0.5

1

IDCNST=6

2.32

JAEA-Data/Code 2010-035-15

Turnbull original
White 100W/cm
300W/cm
Kogai original
White+Tucker

-16

10

2

Diffusion Constant (m /s)

10

-17

10

-18

10

Modified Turnbull
White 200W/cm
400W/cm
Kogai case D
Kitajima Kinoshita

Turnbull_2

-19

10

-20

10

-21

10

-22

10

500

1000

1500

2000

Temperature (K)図 4.3

FP ガス原子拡散定数の温度依存性の比較(2) He-Xe ガス相互拡散定数
He-Xe ガス相互拡散定数

D12

3 kT
8 2 m*

Present

使用条件

ref.

常時

2.53

1
2

1
m2 / sn d122
m1 m2
m*（m：1 分子の重量）
m1 m2
1
10
d12
d1 d 2（d：分子の直径） 3.45 102
n n1 n2（分子密度）k：ボルツマン定数

T：温度（K）

1380.
10 16 erg / K

－351－

（m）

JAEA-Data/Code 2010-035(3) ギャップ熱伝達率
ギャップコンダクタンスモデルは以下のオプションより選択する。

MATPRO-Version 09

ギャップコンダクタンス（1）hgap

1 F hoFhc
W / m2 K

hgap ：ギャップコンダクタンス
ho：非接触ギャップコンダクタンス W / m

hc：接触ギャップコンダクタンス

2

K

W / m2 K

F ：ペレット－被覆管接触部の円周割合
K mix
ho
r
K mix ：混合ガスの熱伝導度 W / m K→式(2.5.2)：ペレット－被覆間表面の rms 粗さ（m）,

hc

r ：ホットギャップ幅（m）
Kmix
5 10 4 P nP：ペレット－被覆管の接触圧 N / m
F<1 のとき

IGAPCN=1

RF

n=1;

1
a1

2

P=0

0<P<1,000 psi では

F

r 100
RF

P>1,000 psi では

0.3

a2

1.429

：ペレットのホット直径（m）

a1 , a2 ：燃焼度（x）依存の定数x>600MWd/t-U の場合
a1 100 98 F ;
a2
1
F 1
4
x 600
1
1000
x

4.4 10 6

600 MWd/t-U の場合
a1 100 ,a2

4 0.5 F

4

－352－

n=0.5

2.13

JAEA-Data/Code 2010-035

Ross & Stoute

ギャップコンダクタンス（2）

使用条件

ref.

IGAPCN=0

2.17

2.5 節参照。なお、ヘリウム、窒素、クリプトン、キセノンの熱伝導率は 以下のとおりである。(MAPRO-Version 09)

3.366 10 3 T 0.668 ,

K He

5

K Kr

4.726 10 T

0 . 923

Ross and Stoute.

hs（W/cm2・℃）

hgap ：ギャップコンダクタンス

hg

4.0288 10 T

(標準値)

0.872

T：温度 （K）

ギャップコンダクタンス（3）

hg

5

K Xe

,

K：熱伝導率（W/m-k）,

hgap

2.091 10 3 T 0.846

K N2

hg ：非接触ギャップコンダクタンス（W/cm2・℃）
hs ：接触ギャップコンダクタンス （W/cm2・℃）
Kg
C R1 R2
g1 g 2r
K g ：ギャップガス熱伝導度（W/cm・℃）

He：0.0021,

Kr：0.0001

Ar：0.00029,

C：接触圧に関する定数
C = 2.5

for 100 kgf/cm2

C = 1.5

for 500 kgf/cm2

R1 および R2 ：ペレットおよび被覆管の表面粗さ（cm）
g1 および g2 ：temperature jump distance（cm）
10 4 ，Ar： 5 10 4 , Kr： 1 10 4
4
Xe： 1 10
（g1+g2 の値）r：ホットギャップ巾（cm）
He： 10

hs
Km

Km P
a H
2 K1 K 2,
K1 K 2

2t Ys
ID

P

1 2
R1
R2 2
2
K1 および K 2 ：ペレットおよび被覆管の熱伝導度（W/cm・℃）aao R ,

R

K1
K2
P：接触圧

0.038
Km
014
.

0.05977kgf / cm 2

t ：被覆管厚さ（cm）,
Ys：被覆管降伏応力

ID：被覆管内径（cm）

Ys

1,980 kgf / cm 2

a：接触部の平均半径（cm）,

1ao

H：軟らかい側のマイヤー硬度 kg / cm

2

0.5cm 2,－353－

H=3・Ys

IGAPCN=2

2.17

JAEA-Data/Code 2010-035

Dean

ギャップコンダクタンス（4）

hgap

hs

hg
Btu / h ft 2 o F

hgap ：ギャップコンダクタンスhg：非接触ギャップコンダクタンス Btu / h ft

hs

：接触ギャップコンダクタンス

P K1 K 2280
M 2 K1 K 2

hs

1

1
1

2 o

F

Btu / h ft 2 o F

2

2

P

：接触圧（psi）；P=267～675psi（18.6～45.7kgf/cm2）

M2：ジルカロイのマイヤー硬度（psi）
M2=120,000psi（84.4kg/cm2）

K1 および K2：ペレットおよび被覆管の熱伝導度

K1
K2
1 および
2～

1

2.20 Btu / h ft o F 0.038W / cm o Co

IGAPCN=3o8.09 Btu / h ft F 014. W / cm C
2 ：ペレットおよび被覆管の表面プロフィルの波長（in）

RUo2
RZr （粗さ）＝ 50 10
10 6 rms in
5

hg

Kg
0.52
K g ：ギャップガス熱伝導度 Btu / h ft o F
Ar ：0.0168,

He：0.139,

FP：0.0088：ペレット－被覆管ギャップ（ft）； ～ Ruo2
Modified Dean equation:hs

0.6 P ,

Kg

hg

14.4 10 6

なお、IGAPCN=0,2 の場合には、以下の調整パラメータがある。
変数名
R1

内 容
ペレット表面粗さ

標準値

m

－354－

1.0

＊

JAEA-Data/Code 2010-035(4) 被覆管表面熱伝達率
被覆管表面熱伝達率には、２章で示したように、Chen, Dittus-Boelter 及び他の経験式を用いる。
ただし、調整パラメータ AKFAC の値を指定すれば、表面熱伝達係数は AKFAC 倍される。AKFACの標準値は 1.0 である。
また、入力パラメータ ISCNHAL=1 とすれば、以下に示す Stovacek(4.42)の Halden 炉における経験式を使うことができる。

h27.6 0.0110 q 0.00001152 q 2 (kW/m2K)(4.5.1)

q: linear heat rate (kW/m)

4.6

燃焼度の単位換算

コード内では必要に応じて、以下の換算を行う。

4.6.1 燃焼度の単位換算(1) 1020

fissions／cm

3

1 fission で発生する熱エネルギー
1020fissions／cm3＝2x1028

200 MeV

eV／cm3

1cm3＝10.96・f (g)f：理論密度比

1020fissions／cm3＝1.825x1027／f eV／g
1eV＝1.602ｘ10－19

Joule

1020fissions／cm3＝2.924x108／f Joule／g
1MWD／tUO2＝8.64ｘ104(A)

Joule／gUO2

1020fissions／cm3＝3.384x103／f MWD／tUO2
f=0.95 のとき
1020fissions／cm3＝3.562x103

MWD／tUO2

1 MWD／tUO2＝1.1344
1020fissions／cm3＝4.040x103

MWD／tU

MWD／tU(B)となる。

(2) 燃焼率 (FIMA: Fissions per initial metal atoms) と燃焼度 GWd/tU の換算
FIMA=(核分裂数／初期重元素原子数)である。ここで、初期重元素原子数とは、燃料に含まれ－355－

JAEA-Data/Code 2010-035

る［fertile isotopes:238U、240Pu など］および［fissile isotopes］の総原子数である。

1% FIMA 1at% burnup

225MWh/kgU

9375MWd/teU

10 at% burnup 100GWd/tU(3) サブルーチン FSWELL での換算
BU2（GJ／KgU）から BUC（1020fissions／cm3）への換算
上記 (A)式より

1020fissions／cm3＝2.924x108／f (Joule／gUO2)
1020fissions／cm3＝292.4／f (Joule／kgUO2 )1 Joule／KgUO2＝1.1344(Joule／KgU)

1020fissions／cm3＝331.7／f (Joule／kgUO2)であるので、換算係数は 331.7／f となる。

4.6.2 ガドリニア入り燃料の燃焼度計算について
FEMAXI コードでは、ペレット中に含まれる Gd の重量比が与えられたときの燃焼度の算出を以下のようにしている。
(1) 質量数と密度
①

質量数
235

Gd

②

238

U ： AU235=235： AGd=157.25（平均質量数）

U ：AU238=238

O ：

AO=16

密度
UO2 ：

UO2

10.96 g / cm 3

Gd

Gd

8.20 g / cm 3：

（Gd2O3 の密度が不明のためとり合えず上記の値を用いる）(2) ガドリニアの存在比 XGｄの算出
235

U の濃縮を ENR とし、Gd の重量比を WGｄとすると、
AU
WGd

AU 238 1 ENR
AU

AO

AU 235 ENR

AGd X Gd
2 1 X Gd
AGd

AO 1.5 X Gd

より、XGd を算出する。
－356－

JAEA-Data/Code 2010-035

WGｄ=0.1 の場合（例）ENR=0.05,

238 0.95 235 0.05 237.85
157.25 X Gd
237.85 16 2 1 X Gd
157.25 16 1.5 X Gd

AU
0 .1
X Gd

0.1625(3) ペレット密度の算出
1
WGd 2O3 WUO2
Gd

WGd 2O3

f ,AGdO1.5 X Gd

（ガドリニアの重量比）

A

AUO2

AU

AGdO1.5

AGd

f ：理論密度比UO2

AUO2 1 X Gd

WUO2

A

となる。

（UO2 の重量比）

A
AO 2

AO 1.5

AUO2 1 X Gd

AGdO1.5 X Gd

である。
（例）ENR=0.05, WGｄ=0.1, f=0.95 の場合 XGd=0.1625 より、AUO2 =269.85, AGdO1.5 =181.25,
A=255.46 となり、 WGd 2O3 =0.1153, WUO2 =0.8847 となるので、
0.95
0.1153 0.8847
8.20
10.96

10.023 g / cm 3(4) 燃焼度の計算（例）ENR=0.05, WGd=0.1, f=0.95 でペレット直径 1cm,線出力 300W/cm で 1000 日間照射したときの燃焼度は、以下のようになる。

ペレット単位長さ当りの体積は
rP2 3.14 0.52 0.7854 cm3 / cm
10.023 0.7854

7.872

g / cm

7.872 10 6

t / cm

U の重量比 WU は、－357－であるので単位長さ当りの重量は、

JAEA-Data/Code 2010-035

WU

AU
WUO2
AUO2

237.850.8847269.85Bu

300 10 6 MW / cm
7.872 10 6 t / cm

0.77981000 d
0.779848871

MWd / tUとなる。
同条件で UO2 ペレットの場合の燃焼度は、10.96 0.95 10.412 g / cm3 より、単位長さ当りの重量は、UO2
10.412 0.7854 8.178

g / cm8.178 10 6
WU

AU
WUO2
AUO2

t / cm237.85
1 0.8814
269.85であるので、
300 10 6 MW / cm
Bu
8.178 10 6 t / cm

1000 d
0.881441620

MWd / tUとなる。

したがって同条件での燃焼度は WGｄ=0.1 の場合 UO2 燃料に比べ燃焼度は 1.174 倍にな
る。

－358－

JAEA-Data/Code 2010-035

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UO2 Fuel Pellets during Irradiation, Paper #17 in Enlarged Halden ProgrammeGroup Meeting on Computer Control and Fuel Research Related to Safe andEconomic Plant Operation, Sandefjord, Norway, June 1974, HPR-188 (1975).

(4.17)USNRC,(4.18)

Marlowe M.O., Predicting In-Reactor Densification Behavior of UO2,
Trans. ANS 17, p.166 (1974).

(4.19)

Schlemmer F.U. et al., IAEA Technical Committee Meeting on Recycling of Pu andU in Water Reactor Fuels, Cadarache, France, Nov. (1989).

(4.20)

市川逵生、他、日本原子力学会誌 39, p. 93 (1997).

(4.21)

Tachibana T., Furuya H. and Koizumi M., Dependence on Strain Rate andTemperature Shown by Yield Stress of Uranium Dioxide,
J. Nucl. Sci. Technol., 13, p.497-502 (1976).

(4.22)

Rodford C. and Terwilliger R., Compressive Deformation of Polycrystalline UO2,
J.Am.Ceram.Soc. 58 (1975).

(4.23)

MacEwan J.R., Grain Growth in Sintered Uranium Dioxide: I, Equiaxed Grain
Growth,J. Am. Cer. Soc. 45, p.37 (1962).

(4.24)

Lyons M.F., Boyle R.F., Davis J.H., Hazel V.E. and Rowland T.C.,
Nucl. Eng. Design 21, p.167 (1972).

(4.25)

Cadelli N. et al., Post Irradiation of Plutonium Bearing Fuel Elements Irradiated in
LWR Power Plants - A European Community Campaign, IAEA MO1 (1984).

(4.26)

Martin D.G., The Thermal Expansion of Solid UO2 and (U, Pu) Mixed Oxides – A
Review and Recommendations, J.Nucl.Mater.,152, pp.94-101 (1988).

(4.27)

Philipponneau Y., Thermal Conductivity of (U, Pu)O2-x Mixed Oxide Fuel,
J.Nucl.Mater.,188, pp.194-197 (1992).

(4.28)

Duriez C., Alessandri J.P., Gervais T. and Philipponneau Y., Thermal conductivity
of hypostoichiometric low Pu content (U, Pu)O2-x mixed oxide, J.Nucl.Mater. 277
pp.143-158 (2000).

(4.29)

Gates G.A., Takano K. and White B.J., Thermal Performance of MOX Fuel,
HWR-589 (1999).

WASH-1236 (1972).

－360－

JAEA-Data/Code 2010-035(4.30)

Lanning D., Beyer C., Geelhood K., FRAPCON-3 Updates, Including Mixed- Oxide
Fuel Properties, NUREG/CR-6534, Vol.4, PNNL-11513 (2005).

(4.31)

Nutt A.W. Jr et al., J.Am.Ceram.Soc., 53, p.205 (1970).

(4.32)

Yamada K. et al., Technol.Reps. Osaka Univ., 47, p.181 (1997).

(4.33)

Tokar M., Nutt A. and Keenan T.K., Linear Thermal Expansion of Plutonium
Dioxide, Nucl.Technol.,17, pp.147-152 (1973).

(4.34)

Fisher E.F. and Renken C.J., Single-Crystal Elastic Moduli and the hcp-bcc
Transformation in Ti, Zr, and Hf,
Phys. Rev. pp.A482-A494 (1954).

(4.35)

Franklin D.G., Lucas G.E. and Bement A.L., Creep of Zirconium Alloys in Nuclear
Reactors, ASTM STP-815, pp.103-105 (1983).

(4.36)

燃料安全特別専門委員会「ジルカロイ被覆管の非弾性特性の研究」、（財）原子力安全性研究協会 （1986 年 2 月）

(4.37)

McGrath M.A., In-Reactor Creep of Zircaloy Cladding, Proc. 2000 Int.Topical
Meeting on LWR Fuel Performance, Park City, Utah, USA (2000).

(4.38)

Rosinger H.E, Bera P.C. et al.,from 940 to 1873 K,(4.39)

Donaldson A.T., Horwood R.A. and Healey T., Biaxial Creep Deformation of
Zircaloy-4 in the High Alpha-phase Temperature Range, Water Reactor Fuel
Element Performance Computer Modelling, edited by J. Gittus, pp.81-95, APPLIEDSCIENCE PUBLISHERS, London and New York

(4.40)

Hesketh R.V., Non-linear Growth in Zircaloy-4, J.Nucl.Mater.30, p. 217-222 (1969).

(4.41)

Turnbull J.A., White R.J. and Wise C., The Diffusion Coefficient for Fission Gas
Atoms in Uranium Dioxide (IAEA-TC-659/3.5) IWGFPT/32, p.174.

(4.42)

Slovacek M., Zirconium Oxide Conductivity Assessment with Cladding Elongation
Data from IFA-515.9, HWR-354 (1993).

謝Steady-State Creep of Zircaloy-4 Fuel Cladding
J.Nucl.Mater., 82, p.286(1979).

辞

本コードの開発及び検証に当たり、原研機構安全研究センターの中村仁一氏、永瀬文久氏、および前バージョン FEMAXI-6 の所内外､国外ユーザーの方々から、改良箇所のご指摘、モデリン
グ、物性の収集整理にわたって多大のご教示・ご援助・ご協力をいただいた。こうしたご協力な
くして FEMAXI-7 の開発は不可能であった。ここに深い感謝の意を表する。

－361－

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国際単位系（SI）
表１．SI 基本単位
SI 基本単位

基本量

名称
記号
長
さメ ートル m
質
量 キログラム kg
時
間
秒
s
電
流ア ンペア A
熱力学温度 ケ ル ビ ン K
物 質 量モル mol
光度 カ ン デ ラ cd

表２．基本単位を用いて表されるSI組立単位の例
SI 基本単位
組立量
名称
記号
面
積 平方メートルm2
体
積 立法メートルm3
速 さ ， 速 度 メートル毎秒m/s
加速度 メートル毎秒毎秒
m/s2
波
数 毎メートルm-1
密 度 ， 質 量 密 度 キログラム毎立方メートル
kg/m3
面
積
密
度 キログラム毎平方メートル
kg/m2
比
体
積 立方メートル毎キログラム
m3/kg
電
流
密
度 アンペア毎平方メートル
A/m2
磁 界 の 強 さ アンペア毎メートル
A/m
(a)
量 濃度
， 濃 度 モル毎立方メートル
mol/m3
質量
濃度 キログラム毎立法メートル
kg/m3
輝
度 カンデラ毎平方メートル
cd/m2
1
屈
折
率 (b) （数字の） １(b)（数字の） １1
比 透 磁 率

乗数
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101

活

性 カタール

kat

d

Ｚ
Ｅ

10-2

セ ン チ
ミ
リ

c
m

ペ
テ

タ
ラ

Ｐ
Ｔ

µ
n

ギ
メ

ガ
ガ

Ｇ
Ｍ

マイクロ
ノ
10-9 ナコ
10-12 ピ
10-15 フェムト

キ
ロ
ヘ ク ト
デ
カ

ｋ
ｈ

ト
10-18 ア
10-21 ゼ プ ト
10-24 ヨ ク ト

a
z
y

da

d
°
’

10-3
10-6

p
f

1 d=24 h=86 400 s
1°=(π/180) rad1’=(1/60)°=(π/10800) rad”1”=(1/60)’=(π/648000) radha 1ha=1hm2=104m2
L，l 1L=11=1dm3=103cm3=10-3m3t
1t=103 kg

秒
ヘクタール
リットル
トン

表７．SIに属さないが、SIと併用される単位で、SI単位で表される数値が実験的に得られるもの
名称
記号
SI 単位で表される数値
1eV=1.602 176 53(14)×10-19J

電 子 ボ ル ト
ダ ル ト ン
統一原子質量単位eVDa
u

1Da=1.660 538 86(28)×10-27kg
1u=1 Da天

ua

1ua=1.495 978 706 91(6)×1011m

文

単

位

表８．SIに属さないが、SIと併用されるその他の単位
名称
記号
SI 単位で表される数値
バー
ル bar １bar=0.1MPa=100kPa=105Pa
水銀柱ミリメートル mmHg 1mmHg=133.322Pa

s-1 mol(a)SI接頭語は固有の名称と記号を持つ組立単位と組み合わせても使用できる。しかし接頭語を付した単位はもはや
コヒーレントではない。
(b)ラジアンとステラジアンは数字の１に対する単位の特別な名称で、量についての情報をつたえるために使われる。
実際には、使用する時には記号rad及びsrが用いられるが、習慣として組立単位としての記号である数字の１は明示されない。
(c)測光学ではステラジアンという名称と記号srを単位の表し方の中に、そのまま維持している。
(d)ヘルツは周期現象についてのみ、ベクレルは放射性核種の統計的過程についてのみ使用される。
(e)セルシウス度はケルビンの特別な名称で、セルシウス温度を表すために使用される。セルシウス度とケルビンの単位の大きさは同一である。したがって、温度差や温度間隔を表す数値はどちらの単位で表しても同じである。
(f)放射性核種の放射能（activity referred to a radionuclide）は、しばしば誤った用語で”radioactivity”と記される。
(g)単位シーベルト（PV,2002,70,205）についてはCIPM勧告2（CI-2002）を参照。

表４．単位の中に固有の名称と記号を含むSI組立単位の例
SI 組立単位
組立量
SI 基本単位による
名称
記号
表し方
-1
粘
度 パスカル秒
Pa s
m kg s-1
力 の モ ー メ ン ト ニュートンメートル
Nm
m2 kg s-2
表面
張力 ニュートン毎メートル
N/m
kg s-2角
速度 ラジアン毎秒
rad/s
m m-1 s-1=s-1
角
加速度 ラジアン毎秒毎秒
rad/s2
m m-1 s-2=s-2
熱 流 密 度 , 放 射 照 度 ワット毎平方メートル
kg s-3
W/m2
熱 容 量 , エ ン ト ロ ピ ー ジュール毎ケルビン
J/K
m2 kg s-2 K-1
比 熱 容 量 ， 比 エ ン ト ロ ピ ー ジュール毎キログラム毎ケルビン J/(kg K)
m2 s-2 K-1
比 エ ネ ルギ ー ジュール毎キログラム
J/kg
m2 s-2
熱伝
導率 ワット毎メートル毎ケルビン W/(m K) m kg s-3 K-1
体 積 エ ネ ル ギ ー ジュール毎立方メートル J/m3
m-1 kg s-2
電界の強さ ボルト毎メートル
V/m
m kg s-3 A-1
電荷密
度 クーロン毎立方メートル C/m3
m-3 sA
表面
電
荷 クーロン毎平方メートル C/m2
m-2 sA
電 束 密 度 ， 電 気 変 位 クーロン毎平方メートル C/m2
m-2 sA誘
電率 ファラド毎メートル
F/m
m-3 kg-1 s4 A2
透磁率 ヘンリー毎メートル
H/m
m kg s-2 A-2
モ ル エ ネ ル ギ ー ジュール毎モル
J/mol
m2 kg s-2 mol-1
モルエントロピー, モル熱容量 ジュール毎モル毎ケルビン J/(mol K) m2 kg s-2 K-1 mol-1
照 射 線 量 （ Ｘ 線 及 び γ 線 ） クーロン毎キログラム
C/kg
kg-1 sA
吸収線
量率 グレイ毎秒
Gy/s
m2 s-3放射
強度 ワット毎ステラジアン
W/srm4 m-2 kg s-3=m2 kg s-3
放射輝
度 ワット毎平方メートル毎ステラジアン W/(m2 sr) m2 m-2 kg s-3=kg s-3
酵 素 活 性濃 度 カタール毎立方メートル kat/m3
m-3 s-1 mol

記号

ゼ
タ
エ ク サ

日
度
分

表３．固有の名称と記号で表されるSI組立単位
SI 組立単位
組立量
他のSI単位による SI基本単位による
名称
記号
表し方
表し方
（ｂ）
平
面
角 ラジアン(ｂ)
rad
m/m
1
（ｂ）
2/ 2
立
体
角 ステラジアン(ｂ) sr(c)
1
m m
周
波
数 ヘルツ（ｄ）
Hz
s-1
力
ニュートン
N
m kg s-2
圧力
応
力 パスカル,Pa
m-1 kg s-2
N/m2
エ ネ ル ギ ー , 仕 事 , 熱 量 ジュールJNm
m2 kg s-2
仕 事 率 ， 工 率 ， 放 射 束 ワット
WJ/s
m2 kg s-3
電
荷
電気量 クーロン,
CsA
電 位 差 （ 電 圧 ） , 起 電 力 ボルト
VW/A
m2 kg s-3 A-1
静電
容量 ファラドF
C/V
m-2 kg-1 s4 A2
電
気
抵
抗 オーム
Ω
V/A
m2 kg s-3 A-2
コ ン ダ ク タ ン ス ジーメンス
S
A/V
m-2 kg-1 s3 A2
磁
束 ウエーバWb
Vs
m2 kg s-2 A-1
磁
束
密
度 テスラ
T
Wb/m2
kg s-2 A-1
イ ン ダ ク タ ン ス ヘンリーH
Wb/A
m2 kg s-2 A-2
セ ル シ ウ ス 温 度 セルシウス度(ｅ)℃K
光
束 ルーメンlm
cd
cd sr(c)
2
照
度 ルクス
lx
lm/m
m-2 cdBqs-1
放 射 性 核 種 の 放 射 能 （ ｆ ） ベクレル（ｄ）
吸収線量, 比エネルギー分与,
グレイ
Gy
J/kg
m2 s-2カーマ
線量当量, 周辺線量当量, 方向
Sv
J/kg
m2 s-2シーベルト（ｇ）
性線量当量, 個人線量当量
素

表５．SI 接頭語
記号 乗数
接頭語
Ｙ
シ
10-1 デ

表６．SIに属さないが、SIと併用される単位
名称
記号
SI 単位による値
分
min 1 min=60s
時h
1h =60 min=3600 s（a）量濃度（amount concentration）は臨床化学の分野では物質濃度（substance concentration）ともよばれる。
（b）これらは無次元量あるいは次元１をもつ量であるが、そのことを表す単位記号である数字の１は通常は表記しない。

酸

接頭語
ヨ
タ

オングストローム
海
里
バ
ー
ン

Å
Ｍ

１Å=0.1nm=100pm=10-10m
１M=1852m

b

ノ
ネ
ベ

ト
パ
ル

kn
Np
Ｂ

１b=100fm2=(10-12cm)2=10-28m2
１kn=(1852/3600)m/s

ル

dB

ッ
ー

デ

ジ

ベ

SI単位との数値的な関係は、対数量の定義に依存。

エ

表９．固有の名称をもつCGS組立単位
名称
記号
SI 単位で表される数値
ル
グ erg 1 erg=10-7 J

ダ
ポ

イ
ア

ス
ス

ト ー ク
チ
ル

フ
ガ

ォ

ン dyn 1 dyn=10-5N
ズ P 1 P=1 dyn s cm-2=0.1Pa s
ス St 1 St =1cm2 s-1=10-4m2 s-1
ブ sb 1 sb =1cd cm-2=104cd m-2
ト ph 1 ph=1cd sr cm-2 104lx
ル Gal 1 Gal =1cm s-2=10-2ms-2

マ ク ス ウ ｪ ルガ
ウス
エルステッド（ ｃ）

Mx
G
Oe

1 Mx = 1G cm2=10-8Wb
1 G =1Mx cm-2 =10-4T
1 Oe (103/4π)A m-1（c）３元系のCGS単位系とSIでは直接比較できないため、等号「は対応関係を示すものである。

キ
レ
ラ

名称
ュ
リ
ン

レ
ガ

ト

表10．SIに属さないその他の単位の例
記号
SI 単位で表される数値
ー Ci 1 Ci=3.7×1010Bq

ゲ

ン

ン R
ド rad
ム rem
マ γ

1 R = 2.58×10-4C/kg
1 rad=1cGy=10-2Gy
1 rem=1 cSv=10-2Sv
1γ=1 nT=10-9T
1フェルミ=1 fm=10-15m

フェルミ
メートル系カラット

1メートル系カラット = 200 mg = 2×10-4kg

気

ル Torr 1 Torr = (101 325/760) Pa
圧 atm 1 atm = 101 325 Pa

ロ

リ

ー

cal

ク

ロ

ン

µ

ト
標

準

カ
ミ

大

」

1cal=4.1858J（｢15℃｣カロリー），4.1868J（｢IT｣カロリー）4.184J（｢熱化学｣カロリー）

1 µ =1µm=10-6m（第8版，2006年改訂）

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