数学Ⅰ・数学Ａ
問 題

選 択 方法

第１問

必答

第２問

必答

第３問
第４問
第５問

!
%% いずれか!問を選択し，"#解答しなさい。
%%$― ２９ ―

（２７０４―２９）

数学Ⅰ・数学Ａ （注）この科目には，選択問題があります。（２９ページ参照。）

第１問 （必答問題）（配点 ３０）〔!〕 k を定数として，x についての不等式!# x ＜ k − x ＜"x ＋!

………………………… を考える。

不等式 k − x ＜"x ＋! を解くと

x＞

k−アイであり，不等式 !# x ＜ k − x を解くと

x＜

ウエ＋ !#オkである。
よって，不等式  を満たす x が存在するような k の値の範囲はk＜カ＋キ!#である。

………………………… （数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ３０ ―（２７０４―３０）数学Ⅰ・数学Ａp，q は p ＜ q を 満 た す 実 数 と す る。x の 値 の 範 囲 p ＜ x ＜ q に 対 し，

q − p をその範囲の幅ということにする。

 が成り立つとき，不等式  を満たす x の値の範囲 の 幅 が!"より!

大きくなるような k の値の範囲はk＜クケ−コ!"である。

（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ３１ ―（２７０４―３１）

数学Ⅰ・数学Ａ〔"〕 %ABC において BC ＝!であるとする。sin ∠ABC と sin ∠ACB に関する条件が与えられたときの %ABC の辺，角，面積について考察する。

サsin ∠ABC ＝

１５!
であるとき，cos ∠ABC ＝±#sin ∠ABC ＝

１５１５!
!
，sin ∠ACB ＝であるとする。
#$である。
シ&

このとき，AC ＝'

こ の 条 件 を 満 た す 三 角 形 は 二 つ あ り，そ の 中 で 面 積 が 大 き い 方 のス%ABC においては，AB ＝AB である。

セである。
ソ
（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ３２ ―（２７０４―３２）

数学Ⅰ・数学Ａ
sin ∠ABC ＝&sin ∠ACB を満たす 'ABC のうち，面積 S が最大となるものを求めよう。
sin ∠ABC ＝&sin ∠ACB と BC ＝%によりタcos ∠ABC ＝−AB２

チ&ABである。'ABC の面積 S について調べるために，S２ を考える。AB２ ＝ x とおくとツS２ ＝−

ナx２ ＋テトx−ニ%１６と表すことができる。したがって，S２ が最大となるのは x ＝き，すな わ ち AB ＝! ノヌのとネの と き で あ る。S ＞$よ り，こ の と き にハ

面積 S も最大となる。
ま た，面 積 S が 最 大 と な る 'ABC に お い て，∠ABC は∠ACB はヒ!

フ，鋭フ角ヒで，である。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）"

直角― ３３ ―#鈍角（２７０４―３３）

数学Ⅰ・数学Ａ

第２問 （必答問題）（配点 ３０）〔!〕 高校!年生の太郎さんと花子さんのクラスでは，文化祭でやきそば屋を出店することになった。二人は!皿あたりの価格をいくらにするかを検討するためにアンケート調査を行い，!皿あたりの価格と売り上げ数の関係について次の表のように予測した。

!皿あたりの価格（円）
売り上げ数

１００１５０２００２５０３００（皿） １２５０７５０４５０２５０５０

この結果から太郎さんと花子さんは，!皿あたりの価格が１００円以上３００円以下の範囲で，予測される利益（以下，利益）の最大値について考えることにした。

太郎：価格を横軸，売り上げ数を縦軸にとって散布図をかいてみたよ。
花子：散布図の点の並びは，!次関数のグラフのようには見えないね。
"次関数のグラフみたいに見えるよ。
太郎：価格が１００，２００，３００のときの点を通る"次関数のグラフをかくと，図!のように価格が１５０，２５０のときの点もそのグラフの近くにあるよ。
花子：現実には，もっと複雑な関係なのだろうけど，!次関数と"次関数で比べると，"次関数で考えた方がよいような気がするね。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３４ ―（２７０４―３４）

数学Ⅰ・数学Ａ
y2000
1500
10005000050100150
図200250300x!

"次関数

y ＝ ax２ ＋ bx ＋ c………………………… のグラフは，#点（１００，１２５０），（２００，４５０），（３００，５０）を通るとする。このとき，b ＝アイウである。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３５ ―（２７０４―３５）

数学Ⅰ・数学Ａ
二人は，!皿あたりの価格 x と売り上げ数 y の関係が  を満たしたときの，１００≦ x ≦３００での利益の最大値 M について考えることにした。
!皿あたりの材料費は８０円であり，材料費以外にかかる費用は５０００円である。よって，x −８０と売り上げ数の積から，５０００を引いたものが利益となる。
このとき，売り上げ数を  の右辺の"次式とすると，利益は x の次式となる。一方で，売り上げ数として  の右辺の代わりに x のエオ

次式を使えば，利益は x の"次式となる。

太郎：利益がエ次式だと，今の私たちの知識では最大値 M を正確に求めることができないね。
花子： の右辺の代わりにオ次式を使えば利益は"次式になるから，最大値を求められるよ。
太郎：現実の問題を考えるときには正確な答えが出せないことも多いから，自分の知識の範囲内で工夫しておおよその値を出すことには価値があると思うよ。
花子：考えているのが利益だから， の右辺の代わりの式は売り上げ数を少なく見積もった式を考えると手堅いね。
太郎：少なく見積もるということは，その関数のグラフは  のグラフより，下の方にあるということだね。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３６ ―（２７０４―３６）

数学Ⅰ・数学Ａ!次関数

y ＝−#x ＋１１６０………………………… を考える。このとき， と  のグラフの位置関係は次の図"のようになっている。

y①20001500②10005000050100150
図200250300x" の右辺の代わりに  の右辺を使うと，売り上げ数を少なく見積もることになる。売り上げ数を  の右辺としたときの利益 z は

z ＝−

カx２ ＋キクケコ

x −９７８００で与えられる。z が最大となる x を p とおくと，p ＝ サシス
最大値は３９１００である。

であり，z の（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３７ ―（２７０４―３７）

数学Ⅰ・数学Ａ
太郎：売り上げ数を少なく見積もった式は，各 x について値が  より小さければよいので，色々な式が考えられるね。
花子：それらの式を  の右辺の代わりに使ったときの利益の最大値と， の右辺から計算される利益の最大値 M との関係はどうなるのかな。

!次関数

y ＝−#x ＋１９６８………………………… を考える。売り上げ数を  の右辺としたときの利益は x ＝１６３のときに最大となり，最大値は５０１１２となる。
また，〜 のグラフの位置関係は次の図"のようになっている。

y①2000③1500
1000②5000050100150
図200"― ３８ ―250300

x（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）（２７０４―３８）

数学Ⅰ・数学Ａ
売り上げ数を  の右辺としたときの利益の記述として，次の!〜'のうち，正しいものはセ，ソセとソである。の解答群（解答の順序は問わない。）!

利益の最大値 M は３９１００である。

"

利益の最大値 M は５０１１２である。

#

利益の最大値 M は$x ＝１６３とすれば，利益は少なくとも５０１１２以上となる。

%

x ＝ p とすれば，利益は少なくとも３９１００以上となる。

&x ＝１６３のときに利益は最大値 M をとる。

'x ＝ p のときに利益は最大値 M をとる。

３９１００＋５０１１２である。
(（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３９ ―（２７０４―３９）

数学Ⅰ・数学Ａ!次関数

y ＝−#x ＋１８６０………………………… を考える。１００≦ x ≦３００において，売り上げ数を  の右辺としたときの利益は x ＝１９５のときに最大となり，最大値は７４３５０となる。
また，〜 のグラフの位置関係は次の図"のようになっている。

y①2000
③1500
1000

②④500
0050100150
図200"― ４０ ―

250300x（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）（２７０４―４０）数学Ⅰ・数学Ａ
売り上げ数を  の右辺としたときの利益の最大値 M についての記述として，次の!〜%のうち，正しいものはタタである。の解答群!

利益の最大値 M は５０１１２より小さい。

"

利益の最大値 M は５０１１２である。

#

利益の最大値 M は５０１１２より大きく７４３５０より小さい。

$

利益の最大値 M は７４３５０である。

%

利益の最大値 M は７４３５０より大きい。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４１ ―（２７０４―４１）

数学Ⅰ・数学Ａ〔)〕 花子さんの通う学校では，生徒会会則の一部を変更することの賛否について生徒全員が投票をすることになった。投票結果に関心がある花子さんは，身近な人たちに尋ねて下調べをしてみようと思い，各回答が賛成ならば(，反対ならば'と表すことにした。このようにして作成される n 人分のデータをx１，x２，…，x n と表す。ただし，賛成と反対以外の回答はないものとする。
例えば，１０人について調べた結果が'，(，(，(，'，(，(，(，(，(であったならば，x１ ＝'，x２ ＝(，…，x１０ ＝(となる。この場合，データの値の総和は,であり，平均値は*である。
+デ ー タ の 値 の 総 和 x１ ＋ x ２ ＋ … ＋ x n は

x＝x１ ＋ x２ ＋ … ＋ x n
は
n

チ，

ツツ

チと 一 致 し，平 均 値と一致する。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）!

賛成の人の数"

反対の人の数#賛成の人の数から反対の人の数を引いた値$

n 人中における賛成の人の割合%

n 人中における反対の人の割合&

賛成の人の数の値
反対の人の数（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４２ ―（２７０４―４２）

数学Ⅰ・数学Ａ
花子さんは，)と*だけからなるデータの平均値と分散について考えてみることにした。
m ＝ x１ ＋ x２ ＋ … ＋ x n とおくと，平均値はmである。また，分散を s２nで表す。s２ は，)と*の個数に着目すると

s２ ＝*!
n #テ２-*− m /＋0.
nト２"-)− m /＝0.
n $ナと表すことができる。

テ，

トの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）"m# （n − m）$m
nm/% .*−&
n 0n+'m+(n−m+!

ナnの解答群２!

m２n２m/" .*−n 0#m（n − m）
n２$m（*− m）
n２%m（n − m）+n２&n２−,mn ＋,m２n２'n２−+mn ＋+m２+n２（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４３ ―（２７０４―４３）

数学Ⅰ・数学Ａ〔#〕 変量 x，y の値の組（−"，−"）， （−"，"）， （"，−"）， （"，"）

を デ ー タ W と す る。デ ー タ W の x と y の 相 関 係 数 は!で あ る。デ ー タ Wに，新たに"個の値の組を加えたときの相関係数について調べる。なお，必要に応じて，後に示す表"の計算表を用いて考えてもよい。

a を実数とする。データ W に（$a，$a ）を加えたデータを W′とする。W′の x の平均値 x はニ，W′の x と y の共分散 s xy はヌとなる。ただし，x と y の共分散とは，x の偏差と y の偏差の積の平均値である。
W′の x と y の標準偏差を，それぞれ s x，s y とする。積 s x s y はネとなる。また相関係数が０．
９５以上となるための必要十分条件は s xy ≧０．
９５s x s y である。これより，相関係数が０．
９５以上となるような a の値の範囲はノである。

表"xy−"−"−"""−"""$a$ax−x計算表
y−y（x − x）（y − y）（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ４４ ―（２７０４―４４）

数学Ⅰ・数学Ａ
ニ!の解答群'ヌ"!

+a#+a ＋*

$a

*a２ ＋

*
a $+%a＋の解答群

*a２ "

ネ

*+

*a２ ＋

#+a２ % ２０a２の解答群!

*a２ ＋１６*a＋++"*a２ ＋(#*a２ ＋*+$)a２ ＋ノ)
+の解答群

−

９５９５!
!
≦a≦
**"a≦−

９５９５!
!
，
≦a
*
*# −

９５９５!
!
≦a≦
++$a≦−

９５９５!
!
，≦a++&a≦−!

*+% −)!
１９+≦a≦)!
１９+― ４５ ―)!
１９+，)!
１９+≦a（２７０４―４５）

数学Ⅰ・数学Ａ

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第３問 （選択問題）（配点 ２０）"枚の硬貨を繰り返し投げるとき，この硬貨の表裏の出方に応じて，座標平面

上の点 P が次の規則１に従って移動するものとする。

規則１●

点 P は原点 O（!，!）を出発点とする。

●

点 P の x 座標は，硬貨を投げるごとに"だけ増加する。

●

点 P の y 座標は，硬貨を投げるごとに，表が出たら"だけ増加し，裏が出たら"だけ減少する。

また，点 P の座標を次の記号で表す。

記号
硬貨を k 回投げ終えた時点での点 P の座標（ x，y ）を（ k，y k ）で表す。

座標平面上の点 P の移動の仕方について，例えば，硬貨を"回投げて表が出た場合についy1て考える。このとき，点 P の座標は（"，"）となる。これを図"のように，原点 O（!，!）と点（"，"）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようO

2 x1にして点 P の移動の仕方を表す。
−1
以下において，図を使用する際には同じように考えることにする。

図"（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）― ４６ ―（２７０４―４６）

数学Ⅰ・数学Ａ%

硬貨を$回投げ終えたとき，点 P の移動の仕方が条件
y１ ≧−"かつ y２ ≧−"かつ y３ ≧−"…………………………（＊）

を満たす確率を求めよう。
条 件（＊）を 満 た す 点 P の 移 動 の 仕 方 は 図#の よ う に な る。例 え ば点O（!，!）か ら 点 A（#，!）ま で の 点 P の 移 動 の 仕 方 は，点 O（!，!）か ら点（"，"）まで移動したのち点 A（#，!）に移動する場合と，点 O（!，!）から点（"，−"）まで移動したのち点 A（#，!）に移動する場合のいずれかである
ため，#通りある。このとき，この移動の仕方の総数である#を，四角囲みの中の数字で点 A（#，!）の近くに書く。図#における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると，条件（＊）を満たす

y点 P の 移 動 の 仕 方 の う ち，点（$，$）に3至る移動の仕方はアア

通 り あ り，12点（$，"）に至る移動の仕方はイ通りあり，点（$，−"）に至る移動の仕方はウ

11イ2通りある。

よって，点 P の移動の仕方が条 件（＊）
を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は

ア＋イ＋ウO−11A

x3ウ1
図#である。
したがって，点 P の移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は

ア＋イ＋ウ

３２として求めることができる。

（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）― ４７ ―（２７０４―４７）

数学Ⅰ・数学Ａ&

硬貨を$回投げるとする。このとき，% と同様に図を用いて考えよう。

y１ ≧!か つ y２ ≧!か つ y３ ≧!か つ y４ ≧!で あ る 確 率 はエと な る。
オ

ま た，y１ ≧!か つ y２ ≧!か つ y３ ＝"か つ y４ ≧!で あ る 確 率 はカとキな る。さ ら に，y１ ≧!か つ y２ ≧!か つ y３ ≧!か つ y４ ≧!で あ っ た と き，y３ ＝"である条件付き確率はクとなる。
ケy54321O

1234567 x−1−2
参考図'

硬貨を$回投げ終えた時点で点 P の座標が（$，#）であるとき，点（$，#）に至る移動の仕方によらず表の出る回数は($−)

コ*回となる。
+

コ回となり，裏の出る回数は（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）― ４８ ―（２７０４―４８）

数学Ⅰ・数学Ａ"個のさいころを繰り返し投げるとき，このさいころの目の出方に応じて，数

直線上の点 Q が次の規則２に従って移動するものとする。

規則２●

点 Q は原点 O を出発点とする。

●

点 Q の座標は，さいころを投げるごとに，#の倍数の目が出たら"だけ増加し，それ以外の目が出たら"だけ減少する。

%

さいころを$回投げ終えた時点で点 Q の座標が#である確率はサシスセソとなる。

&

さいころを$回投げる間，点 Q の座標がつねに!以上#以下であり，かつ$回投げ終えた時点で点 Q の座標が#である確率は'タチとなる。
ツテトナ

さいころを$回投げる間，点 Q の座標がつねに!以上#以下であり，かつ$回投げ終えた時点で点 Q の座標が#であったとき，#回投げ終えた時点で点 Q の座標が"である条件付き確率は― ４９ ―ニとなる。
ヌ（２７０４―４９）

数学Ⅰ・数学Ａ

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第４問 （選択問題）（配点 ２０）
x，y，z についての二つの式をともに満たす整数 x，y，z が存在するかどうかを考えてみよう。


二つの式が"x ＋１３y ＋１７z ＝#………………………… 

３５x ＋３９y ＋３４z ＝３７………………………… との場合を考える。， から x を消去すると
アイy＋z ＝!

ウエ………………………… を得る。 を y，z についての不定方程式とみると，その整数解のうち，y が正の整数で最小になるのは
y＝オ，z＝カキである。よって， のすべての整数解は，k を整数としてy＝オ−クケk，z＝カキ＋コサkと表される。これらを  に代入して x を求めると

x ＝３１k −!＋k ＋２シ"となるので，x が整数になるのは，k を"で割ったときの余りがスのときである。
以上のことから，この場合は，二つの式をともに満たす整数 x，y，z が存在することがわかる。

（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ５０ ―（２７０４―５０）

数学Ⅰ・数学Ａ
a を整数とする。二つの式が

"x ＋$y ＋%z ＝ a………………………… #x ＋２５y ＋２１z ＝−!

………………………… との場合を考える。 −  から

x ＝−２０y −１４z −!− a………………………… を得る。また， ×"−  ×#から

３５y ＋２１z ＝−"−#a………………………… を得る。このときaをセで割ったときの余りがソである

ことは， を満たす整数 y，z が存在するための必要十分条件であることがわかる。そのときの整数 y，z を  に代入すると，x も整数になる。また，そのときの x，y，z は  と  をともに満たす。
以上のことから，この場合は，a の値によって，二つの式をともに満たす整数x，y，z が存在する場合と存在しない場合があることがわかる。
（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ５１ ―（２７０４―５１）

数学Ⅰ・数学Ａb を整数とする。二つの式が

x ＋"y ＋ bz ＝!

………………………… %x ＋&y ＋#z ＝%＋ b………………………… との場合を考える。 −  ×%から−$y ＋（#−%b ）z ＝ b………………………… を得る。 の左辺の y の係数に着目することによりb を$で割ったときの余りがタまたはチである

ことは， を満たす整数 y，z が存在するための必要十分条件であることがわかる。ただし，タ＜チとする。

そのときの整数 y，z を  に代入すると，x も整数になる。また，そのときのx，y，z は  と  をともに満たす。
以上のことから，この場合も，b の値によって，二つの式をともに満たす整数
x，y，z が存在する場合と存在しない場合があることがわかる。
（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ５２ ―（２７０４―５２）

数学Ⅰ・数学Ａ
c を整数とする。二つの式がx ＋"y ＋#z ＝!

………………………… cx ＋"（ c ＋#）y ＋１０z ＝"………………………… との場合を考える。これまでと同様に，y，z についての不定方程式を考察することによりc を ツテで割ったときの余りがトまたはナニである

ことは， と  をともに満たす整数 x，y，z が存在するための必要十分条件であることがわかる。

― ５３ ―（２７０４―５３）

数学Ⅰ・数学Ａ

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第５問 （選択問題）（配点 ２０）)ABC において辺 AB を&：'に内分する点を P とする。辺 AC 上に&点 A，Cのいずれとも異なる点 Q をとる。線分 BQ と線分 CP との交点を R とし，直線 ARと辺 BC との交点を S とする。
以下の問題において比を解答する場合は，最も簡単な整数の比で答えよ。

点 Q は 辺 AC を%：&に 内 分 す る 点 と す る。こ の と き，点 S は 辺 BC をア：イに内分する点である。

AB ＝(とし，)ABC の内接円が辺 AB，辺 AC とそれぞれ点 P，点 Q で接して い る と す る。AQ ＝り，オオウ

で あ る こ と に 注 意 す る と，BC ＝エであであることがわかる。の解答群!

点 R は )ABC の内心"

点 R は )ABC の重心#

点 S は )ABC の内接円と辺 BC との接点$

点 S は点 A から辺 BC に下ろした垂線と辺 BC との交点
（数学Ⅰ・数学Ａ第５問は次ページに続く。）― ５４ ―（２７０４―５４）

数学Ⅰ・数学Ａ#BPR と #CQR の面積比について考察する。

$

点 Q は辺 AC を!："に内分する点とする。このとき，点 R は，線分 BQをカキ：クに内分し，線分 CP をケコ：サに内分する。

#CQR の面積!
＝の と き，点 Q は 辺 AC を
#BPR の面積
"

ソ：

タ

したがって

#CQR の面積＝#BPR の面積

シスセである。

%に内分する点である。

― ５５ ―（２７０４―５５）