数理統計学 自習用教材

1

第１章

１．１．

確率，確率変数「確率」とは？

例えばサイコロを 1 回振る試行を考えましょう。
(A) 「1 から 6 のいずれかの目が出る」という事象の生じる「確率」は 1 である．
(B) 「1 か 2 の目が出る」という事象の生じる「確率」は，「出目が 1」と「出目が 2」の生じる「確率」の和になる．
これらに違和感を感じる人は少ないのではないでしょうか？「確率」の定義は，これらの自然な感覚を定式化するものであってほしい．
そこでまず，サイコロの出目の全体をΩ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}と見なしましょう．すると個別の事象はΩの部分集合と見なされます．例えば，根元事象「出目が 1」「出目が 2」や，それらの和事象は𝐵1 = {1}, 𝐵2 = {2}, 𝐵1 ∪ 𝐵2 = {1,2}と見なされます．事象𝐴の生じる「確率」を𝑃(𝐴)とおくと，(A)と(B)はそれぞれ(A) 𝑃(Ω) = 1
2

1

1

6

6

6

(B) 𝑃(𝐵1 ∪ 𝐵2 ) = = + = 𝑃(𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 )と定式化されます．
さて，「確率」の種々の定義のうち，最もしっかりしているのは次の公理的確率です．
定義 1.1（公理的確率）．各事象に 0 以上 1 以下の実数を対応させる写像𝑃は，次の条件を満たすとき（公理的）確率と呼ばれる．
(1) 𝑃(Ω) = 1(2) 互いに素な事象𝐴1 , 𝐴2 , … (任意の𝑖 ≠ 𝑗について𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅を満たす事象𝐴1 , 𝐴2 , …) を勝
手に一組とる．このとき∞𝑃(⋃∞
𝑛=1 𝐴𝑛 ) = ∑𝑛=1 𝑃(𝐴𝑛 ).

ただし⋃∞
𝑛=1 𝐴𝑛 : = {𝜔 ∈ Ω ∣ ある𝑛について𝜔 ∈ 𝐴𝑛 }.
2

(1.1)

例題 1.1（制限時間 6 分）表の出る確率が0 < 𝑝 < 1のコインを何回も振って，𝑛回目にはじめて裏が出る事象を𝐴𝑛 とおきます．
次の確率を計算しなさい．
（解答例は 1.4 節にあります）(1) 𝑃(𝐴𝑛 )(2) 𝑃(⋃∞
𝑛=1 𝐴𝑛 )１．２．

確率の基本的な性質

確率の諸性質のうち，統計やデータ解析に必要になるものの多くは直観的に明らかです．しかし，それらを確率の定義に基づいてきちんと理解するのは案外難しいです．
命題 1.1. 集合Ω上の確率𝑃について次が成り立つ．
(1) 互いに素な（相排反な）𝑚個（有限個）の事象𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑚 について𝑃(𝐴1 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑚 ) = ∑𝑚
𝑛=1 𝑃(𝐴𝑛 ).

(1.2)

特に事象𝐴に対して𝐴𝑐 = {𝜔 ∈ Ω ∣ 𝜔 ∉ 𝐴}（𝐴の余事象）とおくと，𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1.

(1.3)(2) 事象𝐴1 , 𝐴2について次が成り立つ．
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2 ) − 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 )（加法公式）

命題 1.1 (1) の証明 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑚 を互いに素な事象とし，𝐴𝑚+1 = 𝐴𝑚+2 = ⋯ = ∅とおきます．𝑃(∅) = 0に注意すると，確率の定義条件(2)式より，
𝑚∞∞

𝑃 (⋃ 𝐴𝑛 ) = 𝑃 (⋃ 𝐴𝑛 ) = ∑ 𝑃(𝐴𝑛 )
𝑛=1

𝑛=1

𝑛=1

𝑚

= ∑ 𝑃(𝐴𝑛 )𝑛=1となって，(1.2)式が示されました．特に 𝐴1 = 𝐴, 𝐴2 = 𝐴𝑐 , 𝐴𝑛 = ∅ (𝑛 ≥ 3) とおくと(1.3)
式が得られます．
命題 1.1 (2) の証明

各自チェック！

□確率の基本的な性質にざっと目を通しておきたい人は[稲垣 2014]を参照するとよいでしょう．

3

１．３． 標本調査，サンプリング，確率変数
コロナ禍が明けた現在，某業界の人達を対象に外出時にマスクを着用するかしないか，エチ
ケットマスクのアンケートを実施したいとしましょう．最も単純な方法は調査対象全員（母集団）にアンケートをとる全数調査ですが，時間的なコスト，人的なコストなど様々なコストがかかります．ここは母集団からサンプルをランダムに抽出，そこからデータをとって母集団の特性をつかもうとする標本調査が妥当でしょう．サンプル抽出に無作為性は欠かせません．サンプルを特定の企業の人に制限したり，特定のサークルのメンバーに制限したりしてしまうと，サンプルどうしの回答が影響を及ぼし合い，不公平が生じてしまうからです．
図 1.1 は，母集団（調査対象者全員）から𝑛個のサンプルを抽出する様子を描いたものです．データをとる前，これらのサンプルを，母集団の背後にある神様のルール（確率）に従って値をとる変数と見なす ― これが統計学の古典的な思想です．アンケートの例だと，𝑖番目のサンプル𝑋𝑖 は，ある確率𝑝で YES（マスクを着用すべき），ある確率1 − 𝑝で NO（マスクを着用しなくてもよい）と回答するはずだと考えることになります．定式的には，YESを「1」，NO を「0」と見なして，

𝑋𝑖 = {

確率𝑝で YES

1

0 確率 1 − 𝑝で NO(𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)を考えることになります．このように，データをとる前，確率を伴って実数値を返す「変数」
を確率変数（random variable）と呼びます．確率変数は，頭文字の「r」と「v」を使って，r.v.と略記することが多いです．
母集団
サンプリング
×1 番

× 𝑋1

⋮

⋮

×𝑛番

× 𝑋𝑛
図 1.1

例 1.1. 一つのサイコロの出目を𝑋とおくと，𝑋は𝑃(𝑋 = 𝑖) =1
6

(𝑖 = 1, … ,6)で定義される確率変数と見なされます．いまの場合，Ω = {1,2,3,4,5,6}であって，例えば𝐴1 =4

{1,3,5}は「奇数の目が出る」という事象を表します．このとき𝑃(𝑋 ∈ 𝐴1 ) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3)が成り立ちます．一般に，任意の事象𝐴に対して𝑃(𝑋 ∈ 𝐴) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑎)

(1.4)

𝑎∈𝐴

が成り立ちます．
定義 1.2. 有限個または可算無限個の値𝑥1 , 𝑥2 , …をとる確率変数𝑋を離散(型)確率変数と呼ぶ．
注1.1.

（重要）

例 1.1 で見たように，離散確率変数のもっとも重要な性質は任意の事象𝐴について 𝑃(𝑋 ∈ 𝐴) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑎)

(1.5)

𝑎∈𝐴

です．事象𝐴に確率 𝑃(𝑋 ∈ 𝐴)を対応させる写像は確率分布と呼ばれます．確率分布は確率変数（サンプル）の振舞いを記述するものであり，極めて重要です．(1.5)式の右辺は，確率分
布が個々の𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )の和の分解されることを主張しています．𝑥𝑖 に𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )を対応させる
写像は，私達にとって馴染みのある１変数関数（確率関数）ですから，確率分布そのものよりも扱いやすいのです．
では確率分布は常に確率関数の和で表されるのでしょうか？残念ながらそうではありません．先の講義で扱う連続型確率変数については(1.5)式は成り立たなくなるのです．

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１．４． 例題の解答例
例題 1.1 の解答例
(1) 𝑃(𝐴𝑛 ) = 𝑝𝑛−1 (1 − 𝑝)𝑛𝑛𝑚−1 (1(2)𝑃(⋃∞− 𝑝) = lim (1 − 𝑝𝑛 ) = 1
𝑛=1 𝐴𝑛 ) = lim ∑𝑚=1 𝑃(𝐴𝑚 ) = lim ∑𝑚=1 𝑝
𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

(2)の左辺は「コイントスの回数が限りなく多いときにどこかで裏が出る」という事象を表しています．1 − 𝑝 > 0であることを思い出すと，永遠に表が出続けるわけはないですね？
(2)の結果は，いつかは裏が出るという当たり前のことを言っているだけなのです．

１．５． 章末問題
問題 A-1-1 𝑃(∅) = 0であることを示しなさい．
（∅を空事象と呼ぶ）．
問題 C-1-1 一時期，すべての人に PCR 検査を実施すべき派とそうでない派がメディアで激論を交わしていました．PCR 検査とはどのような検査方法なのかを調べ，すべての人にPCR 検査を実施することの意義やリスクについて，付録 A の「ベイズの定理」を用いて論じなさい．

本章の内容の一部は，文献[稲垣 2014]の第１章・第２章を参照しています．

参考文献[稲垣 2014] 稲垣 宣生，山根 芳知，吉田 光雄 著．統計学入門．裳華房．2014.

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第２章
２．１．

期待値

母集団の特性の代用物

標本調査は，母集団から無作為にサンプルを選び，そこからデータを採取する調査の手法であり，母平均や母分散などの母集団の特性（母数）の真値を知ることはできません．そこで，母数の代用物として，サンプルの関数（推定量）を導入します．例えば母平均の代用物であれば，標本平均と呼ばれる推定量を採用するのが通例です．なぜ標本平均なのか？それは，不偏性と呼ばれる「良い」性質をもっているからです．不偏性をはじめ，統計的な「良さ」の尺度のほとんどは確率変数の期待値の言葉で定式化されます．
本章では，期待値の概念を与えた後，関連する初等的な性質をいくつか紹介します．
２．２．

期待値

以下，𝑋を離散型確率変数として，とり得る値を𝑥1 , 𝑥2 , …とおきます．
定義 2.1.（期待値）．確率変数𝑋の一変数関数𝑓(𝑋)に対して，∑ 𝑓(𝑥𝑖 )𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )

(2.1)

𝑖

で定められる量を𝒇(𝑿)の期待値と呼び，𝐸[𝑓(𝑋)]と表します．
次で定める母平均，母分散，母標準偏差は統計的に特に重要です．
定義 2.2.（母平均，母分散，母標準偏差）．
(1) [母平均]
𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )

(2.2)

𝑖

𝜇𝑋 という表記が使われることもあります．
(2) [母分散]
𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )2 ] = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑋 )2 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )

(2.3)

𝑖

𝜎𝑋2 や𝑉[𝑋]などの表記が使われることもあります．
(3) [母標準偏差]√𝑉[𝑋] = √𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )2 ]
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(2.4)

例題 2.1（制限時間６分）サイコロを振ったときの出目を𝑋とおくとき，母平均𝜇𝑋 と母分散
𝜎𝑋2 をそれぞれ求めなさい．
（解答例は 2.4 節にあります）

命題 2.1. (離散型の)確率変数𝑋と実数𝑎, 𝑏について次式が成り立つ．
𝐸[𝑎𝑋 + 𝑏] = 𝑎𝐸[𝑋] + 𝑏.
証明．Σの線形性より，（左辺） = 𝐸[𝑎𝑋 + 𝑏] = ∑(𝑎𝑥𝑖 + 𝑏)𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )𝑖

= 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) + 𝑏 ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) + 𝑏 = 𝑎𝐸[𝑋] + 𝑏 = (右辺).
𝑖𝑖𝑖

ここで，最後から 2 つ目の等号では，∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 1

(2.5)

𝑖

となる事実を使いました．

□

例題 2.2（制限時間８分） (1) 0 < 𝑝 < 1について確率関数を𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)1−𝑘 ,𝑘 = 0,1で定めるとき，𝑋はベルヌーイ分布に従うと呼びます．母平均と母分散をそれぞれパラメー
タ𝑝で表しなさい．
（章末問題 B-2-3 はこの話の自然な一般化になっています）
1𝑛(2) 𝐸[𝑒 𝑋 ] = ∑∞𝑛=0 𝐸[𝑋 ]が成り立つことを確かめなさい．
𝑛!

例題 2.3（二項分布）（制限時間６分）0 < 𝑝 ≤ 1について確率関数が𝑛𝑃(𝑋 = 𝑘) = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 ,𝑘𝑘 = 0,1, … , 𝑛𝑛で定義されるとき，𝑋は二項分布𝑩(𝒏, 𝒑)に従うと呼び，𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝)と表します．ただし，( )𝑘は𝑛個のものから𝑘個を選ぶ選び方の総数を表す二項係数です．𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝)のとき, (1)𝜇(母平均), (2)𝜎 2 (母分散)をそれぞれ求めなさい．(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 の下付き添え字𝑋を割愛することもあります）．
余力がある人は例題 2.3 の一般化を試みましょう．例えば，「一般の𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )𝑘 ](𝑘次モーメント)はどうなっているのかな」とか，そういうことです．平均，母分散以外のモーメン
トの統計的意義を問うてみるのもよいでしょう（文献[稲垣 2014]参照）．
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２．３． 章末問題
問題 A-2-1（例題 2.3 の一般化） 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝)とする．任意の自然数𝑘に対して𝑘次モーメン
ト𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )𝑘 ]を求めよ．
問題 B-2-1 𝑋が（離散型）確率変数，𝑎, 𝑏が実数のとき，次の等式が成り立つことを示せ．
𝑉[𝑎𝑋 + 𝑏] = 𝑎2 𝑉[𝑋](2.6)

問題 B-2-2 母分散𝑉[𝑋]について次の問いに答えなさい．
(1) 𝑉[𝑋] = 𝐸[𝑋 2 ] − (𝐸[𝑋])2（分散公式）が成り立つことを示しなさい．
(2) 𝑉[𝑋]の値を(1)の公式を用いて求めることの数値計算的な意義について論じなさい．
２．４． 例題の解答例
例題 2.1 の解答例
1(1) 𝜇𝑋 = ∑6𝑖=1 𝑖𝑃(𝑋 = 𝑖) = 6 ∑6𝑖=1 𝑖 = 3.5.
1

35

6

12

(2) 𝜎𝑋2 = ∑6𝑖=1(𝑖 − 3.5)2 𝑃(𝑋 = 𝑖) = ∑6𝑖=1(𝑖 − 3.5)2 =.

例題 2.2 の解答例
(1) 𝜇𝑋 = 1 × 𝑝1 (1 − 𝑝)0 + 0 × 𝑝0 (1 − 𝑝)1 = 𝑝,
𝜎𝑋2 = (1 − 𝜇𝑋 )2 × 𝑝1 (1 − 𝑝)0 + (0 − 𝜇𝑋 )2 × 𝑝0 (1 − 𝑝)1 = (1 − 𝑝)2 𝑝 + 𝑝2 (1 − 𝑝)
= (1 − 𝑝)𝑝{(1 − 𝑝) + 𝑝} = (1 − 𝑝)𝑝.
𝑋𝑛

(2) 𝑋が恒等的に 0 であるような場合は除外する（00は困る）．𝑎𝑛 = 𝑛! とおくと，
𝑎𝑛+1
𝑋
|
|=|
| → 0 (𝑛 → ∞).
𝑎𝑛𝑛+1
ダ ラ ン ベ ー ル

1d’Alembertの収束判定法より，∑𝑛 𝑛! 𝑋 𝑛 は（絶対）収束します．ゆえに
𝐸[𝑒 𝑋 ] = 𝐸 [∑𝑛

1 𝑛
1
𝑋 ] = ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑛 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )
𝑛!
𝑛!
𝑖

𝑛

=∑
𝑛

例題 2.3 の解答例

1
1
∑ 𝑥𝑖𝑛 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = ∑ 𝐸[𝑋 𝑛 ].
𝑛!
𝑛!
𝑖

𝑛

略

参考文献
[稲垣 2014] 稲垣 宣生，山根 芳知，吉田 光雄 著．統計学入門．裳華房．2014.
9第３章

連続型確率変数

３．１． 「正確」に測る？
例えば自分の持ち物（例えばスマホ）の幅を測りたいとしましょう．いわゆる市販の定規でも「正確」な長さがわかります．しかし，それはあくまで mm よりも細かい単位を無視した近似値であって，真値 𝜇ではありません．仮に小数点以下をどこまでも精度良く測定できる「神の定規」があったとしても，私達人間の能力ではそれを読み取ることができません．
𝑛回測定するとき，𝑖回目の測定𝑋𝑖 は，確率誤差𝜖𝑖 （誤差確率変数）を伴って，
𝑋𝑖 = 𝜇 + 𝜖𝑖 ,𝑖 = 1, … , 𝑛(3.1)とモデル化されます．サイコロを転がす思考とは異なり，𝜇は実数値をとります．ここに誤差が加わって，𝑋𝑖 は実数値をとり得る「連続的」な確率変数と見なされます．

３．２． 連続型確率変数
定義 3.1.（連続型確率変数）．確率変数𝑋は，次の条件を満たす非負値関数𝑓𝑋 (𝑥)（確率密度関数）が存在するとき，連続型であるという．
𝑏(1) 任意の𝑎 < 𝑏について P(𝑋 ∈ [𝑎, 𝑏]) = ∫𝑎 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥.
∞(2) ∫−∞ 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = 1.
注 3.1. 𝑋が連続型確率変数のとき，
𝑥+𝜖𝑃(𝑋 = 𝑥) = lim 𝑃(𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + 𝜖) = lim ∫
𝜖→0

𝜖→0 𝑥

𝑓𝑋 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0(3.2)

なので，確率関数𝑃(𝑋 = 𝑥)は恒等的に 0 です．連続型の場合，離散型の場合（(1.5)式）のように確率分布を確率関数の計算に帰着させるのは難しそうです．

３．３． 連続型確率変数の例
最初の例はプログラミング言語の疑似乱数の生成アルゴリズムなどに応用されています．

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例 3.1.（一様分布）．確率密度関数が
1𝑎≤𝑥<𝑏𝑓𝑋 (𝑥) = {𝑏 − 𝑎(3.3)
0𝑥 < 𝑎 or 𝑏 ≤ 𝑥で与えられるとき（図 3.1）
，確率変数𝑋は一様分布𝑼(𝒂, 𝒃)に従うと呼ばれます．このとき
𝑋 ∼ 𝑈(𝑎, 𝑏)と表します．

1
𝑏−𝑎

𝑎

𝑏

図 3.1
いまの場合，確率分布は𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) =𝑑1
∫ 𝑑𝑥 ,𝑏−𝑎 𝑐𝑎≤𝑐<𝑑≤𝑏(3.4)

次式で定まります（注 3.2 参照）．
注 3.2. 確率分布は，事象𝐴に確率値𝑃(𝑋 ∈ 𝐴)を対応させる写像のことでした (第１回講義
ノート参照)．実は，この確率分布は，任意の区間[𝑐, 𝑑]に対して確率𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑)（(3.4)式）
を見ることと等価になります．このこと厳密に理解するには，測度論という抽象数学を学ばなければなりません．測度論の最初の砦は「事象とは何か？」という問いです．一般に，全事象Ωの部分集合の族Σは，条件
(i)

Σ≠∅

(ii)

𝐴 ∈ Σ ⇒ Ac ∈ Σ(iii)

任意の𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ Σに対して⋃𝑖 𝐴𝑖 ∈ Σを満たすとき，完全加法族と呼ばれていて，このΣの各要素を「事象」と呼びます．特に連続型の場合，区間の和集合や補集合をかき集めたものが事象の集合になるのです．測度論をさらに深掘りしたい人はネットや[西尾 1978]で参照してみてください．
次の連続型確率変数の例は指数分布です．
例 3.2.（指数分布）．実数𝜆 > 0に対して，確率密度関数が𝑓𝑋 (𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 ,

𝑥>0

(3.5)

で与えられるとき（図 3.2）
，確率変数𝑋は指数分布𝐄𝐱𝐩(𝝀)に従うと呼ばれ，𝑋 ∼ Exp(𝜆)と表記されます．
11

𝑓𝑋

図 3.2
指数分布の重要な性質の一つに「無記憶性」があります．つまり，任意の正数𝑠, 𝑡に対して𝑃(𝑋 > 𝑠 + 𝑡 ∣ 𝑋 > 𝑠) = 𝑃(𝑋 > 𝑡)

(3.6)

が成り立ちます (各自チェック！)．無記憶性とは，（例えば）特定の個体の残りの寿命がこれまでの生存時間と無関係に分布することを主張するものです．無記憶性をもつ確率分布
として幾何分布なども有名です（文献[稲垣 2014]）．
例題 3.1（制限時間 7 分）𝑋 ∼ Exp(𝜆)のとき，(3.6)式が成り立つことを確かめよ．

国政上需要な選挙のとき，マスコミが特番を組んだり選挙結果の速報を流している様子
を目にします．そのとき，たった数％の開票率であるにも関わらず特定の候補者の当選確実
がアナウンスされることがあります．なぜでしょうか？ここには次の正規分布が深く関与しています．
例 3.3.（正規分布）．実数𝜇, 𝜎 2 に対して，確率密度関数が𝑓𝑋 (𝑥) =1√2𝜋𝜎 2exp (−(𝑥 − 𝜇)2),2𝜎 2−∞<𝑥 <∞(3.7)

で与えられるとき，確率変数𝑋は正規分布𝑵(𝝁, 𝝈𝟐 )に従うと呼ばれ，𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )と表します．
特に𝜇 = 0, 𝜎 2 = 1の正規分布を標準正規分布と呼びます．標準正規分布の密度関数は図 3.3のような𝑦軸対称な釣鐘型になります．

𝑓𝑋

O
図 3.3

12

正規分布は「分布の王様」と称されるくらいあらゆるところに登場する確率分布で，区間推定や仮説検定などのデータ解析の手法において重要な役割を果たします（詳細については後日学習予定）．以下では標準正規分布の確率計算の簡単な方法を見ておきます．
例題 3.2（制限時間 6 分）𝑋 ∼ 𝑁(0, 12 )とします．標準正規分布表（付表 1）の数値の読み方を考えて，次の確率を求めなさい．表の𝑧𝛼 を標準正規分布の両側𝜶点あるいは両側𝒛𝜶 𝟏𝟎𝟎𝜶%点と呼びます．
(1) 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 1.96)(2) 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1.96)(3) 𝑃(|𝑋| ≤ 1.96)

３．４． 期待値
ここでは連続型確率変数に対して期待値を定義し，その統計的意味が離散と連続で変わらないことを見ます．
定義 3.2.（期待値）．連続型確率変数𝑋の一変数関数𝑔(𝑋)について，∞

𝐸[𝑔(𝑋)] = ∫ 𝑔(𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥−∞

を𝑔(𝑋)の期待値と呼びます．
定義 3.3.（母平均，母分散，母標準偏差）．
(1) 母平均．
∞

𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥

(3.8)

−∞

𝜇𝑋 という表記が使われることもあります．
(2) 母分散．
∞

𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )2 ] = ∫ (𝑥 − 𝜇𝑋 )2 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥

(3.9)

−∞

𝜎𝑋2 や𝑉[𝑋]などの表記が使われることもあります．
(3) 母標準偏差．
√𝑉[𝑋] = √𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )2 ]
平均，分散，標準偏差は，連続型確率変数のときには積分で，離散型確率変数のときには和で定義します．離散と連続で数学的な定義は確かに異なりますが，それらがもつ統計的な意味は変わりません．このため，連続，離散を問わず，平均には表記𝜇𝑋 を，分散には表記𝜎𝑋2
や𝑉[𝑋]を用いるのです．
例題 3.3（制限時間 6 分）𝑋 ∼ 𝑈(𝑎, 𝑏)のとき𝜇𝑋 と𝜎𝑋2 を求めよ．
（解答例は 3.6 節にあります）
13

命題 3.1（命題 2.1 の一般化）．確率変数𝑋と実数𝑎0 , … , 𝑎𝑚 について次式が成り立つ：
𝑚𝑚

𝐸 [∑ 𝑎𝑛 𝑋𝑚−𝑛] = ∑ 𝑎𝑛 𝐸[𝑋 𝑚−𝑛 ]𝑛=0(3.10)

𝑛=0

証明 命題 2.1 より，𝑋が連続型の場合のみ考えれば十分です．有限和と積分の順序交換可
能性より，
∞

𝑚

𝑚

(左辺) = ∫ (∑ 𝑎𝑛 𝑥
−∞

𝑚−𝑛

∞

) 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = ∑ 𝑎𝑛 ∫ 𝑥 𝑚−𝑛 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = (右辺)

𝑛=0

𝑛=0

□

−∞

次の事実は，正規分布に関する「極限定理」の証明などに応用があります．
定理 3.1.（チェビシェフ不等式）．𝑘を正の実数，𝑋を確率変数とします．このとき次の不等式が成り立ちます．
𝑃 (|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝑘√𝜎 2 ) ≤
証明

1
𝑘2

(3.11)

連続型の場合を考えます（離散型の場合は各自チェック)．𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ |𝑥 − 𝜇| ≥𝑘√𝜎 2 }とおきます．定義より，𝑋の密度関数𝑓は非負の値しかとりません．ゆえに，∞

𝜎 2 = ∫ (𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∞≥ ∫ (𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑘 2 𝜎 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 2 𝜎 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 2𝜎 2 𝑃 (|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝑘√𝜎 2 ).
𝐴𝐴

𝐴

最後に両辺を𝜎 2 𝑘 2で割ると(3.11)を得ます．

14□

３．６． 例題の解答例
例題 3.1 の解答例
𝑃(𝑋 > 𝑠 + 𝑡 ∣ 𝑋 > 𝑠) =

∞

∞

=

∫𝑠+𝑡 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥∞∫𝑠 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥

𝑃({𝑋 > 𝑠 + 𝑡} ∩ {𝑋 > 𝑠}) 𝑃(𝑋 > 𝑠 + 𝑡)=
𝑃(𝑋 > 𝑠)𝑃(𝑋 > 𝑠)=[−𝑒 −𝜆𝑥 ]𝑠+𝑡=[−𝑒 −𝜆𝑥 ]∞𝑠∞𝑒 −𝜆(𝑠+𝑡)−𝜆𝑡=𝑒=𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥.
∫
𝑒 −𝜆𝑠
𝑡

例題 3.2 の解答例 𝑋 ∼ 𝑈(𝑎, 𝑏)のとき，
∞

𝑏

𝑏

𝑥
𝑥2
𝑏2 − 𝑎2𝑏+𝑎𝑑𝑥 = [] ==.
2(𝑏 − 𝑎) 𝑎 2(𝑏 − 𝑎)2𝑎 𝑏−𝑎𝜇𝑋 = ∫ 𝑥𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫−∞母分散𝜎𝑋2 も同様に計算します．実際，∞𝑏 (𝑥− 𝜇𝑋 )2𝜎𝑋2 = ∫ (𝑥 − 𝜇𝑋 )2 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑏−𝑎
−∞
𝑎

𝑏

(𝑥 − 𝜇𝑋 )3(𝑏 − 𝜇𝑋 )3 − (𝑎 − 𝜇𝑋 )3=[] =3(𝑏 − 𝑎) 𝑎3(𝑏 − 𝑎)としてから，𝜇𝑋 の値を代入すると，
𝑏−𝑎 2
𝑏−𝑎 𝑎−𝑏𝑎−𝑏 2( 2 ) + ( 2 )( 2 ) + ( 2 )
3

=

𝑏−𝑎 2
𝑏−𝑎 2
2( 2 ) −( 2 )3=(𝑏 − 𝑎)2.
12

例題 3.3 の解答例
(1) 両側100𝛼%点𝑧𝛼 を求めるには，標準正規分布表の一列目で一の位と小数第一位の値を，一行目で小数第二位の値を決めます．例えば𝑧𝛼 = 1.96となる𝛼は，一列目の 1.9，二列目 の 0.06 に 対 応 す る 数 値 0.475 に な り ま す ． こ の 場 合 ， 𝑍0.05 = 1.96 で あ り ，𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑧0.05 ) = 0.475が成り立ちます．
(2) 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1.96) = 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 1.96) − 𝑃(𝑋 = 0)．
(3) 標準正規分布の密度関数が𝑦軸対称であることを用いてください．

３．７． 章末問題
問題 B-3-1 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )について，𝜇𝑋 = 𝜇および𝜎𝑋2 = 𝜎 2 が成り立つことを示しなさい．

参考文献[稲垣 2014] 稲垣 宣生，山根 芳知，吉田 光雄 著．統計学入門．裳華房．2014.
[西尾 1978] 西尾 真喜子 著．確率論．実教出版．1978．

15

第４章

４．１．

確率ベクトル

複数のデータを同時に扱う

個人の身長，体重，胸囲，座高のデータを調べるとき，それらのデータを (身長，体重，
胸囲，座高) のようにベクトルでまとめて扱うことが少なくありません．身体測定の前，𝑖
番目のサンプルの個人データは確率変数のベクトル(𝑋𝑖1 , 𝑋𝑖2 , 𝑋𝑖3 , 𝑋𝑖4 )と見なすことができます．
本章では，このようなベクトルを確率ベクトルと呼び，その基本的な性質を調べます．

４．２．確率ベクトル
４．２．１． 連続型の場合
定義 4.1.（同時密度関数）．連続型確率変数𝑋, 𝑌について，次の条件を満たす 2 変数関数
𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)を，𝑋, 𝑌の同時密度関数と呼ぶ．
∞∞(1) ∫−∞ ∫−∞ 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1.
𝑏

𝑏

1

2

(2) 任意の𝑎1 < 𝑏1 , 𝑎2 < 𝑏2 について，𝑃(𝑎1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏1 , 𝑎2 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏2 ) = ∫𝑎 1 ∫𝑎 2 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦.

一般に𝑛変数の場合でも，同時密度関数の概念は同様に定義されます．
例 4.1.（𝑛変量一様分布）．実数𝑎𝑖 < 𝑏𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑛) に対して，同時密度関数が1
𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛∏𝑓𝑋1 ,…,𝑋𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = { 𝑖=1(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 )
0
その他

(4.1)

で与えられるとき，連続型確率ベクトル(𝑋1 , … , 𝑋𝑛 )は𝑛変量一様分布に従うと呼ばれます．
例 4.2.（𝑛変量標準正規分布）．同時密度関数が𝑓𝑋1 ,…,𝑋𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) =1

𝑛 exp (−(2𝜋)2

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2),
2

− ∞ < 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 < ∞(4.2)

で定義されるとき，連続型確率ベクトル(𝑋, 𝑌)は𝑛変量（標準）正規分布に従うといいます．
16

標本調査を行う際，抽出されたサンプルは互いに影響を及ぼし合わないものであってほしい．連続型の場合，この「独立性」は次のように定式化されます．
定義 4.2．
（r.v.の独立性）．連続型確率変数𝑋, 𝑌は，任意の𝑥, 𝑦について 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥)𝑓𝑌 (𝑦)(4.3)

が成り立つとき，独立であるという．
命題 4.1. 連続型確率変数𝑋, 𝑌が独立であるとする．このとき，任意の𝑎1 < 𝑏1 , 𝑎2 < 𝑏2 について次式が成り立つ．
𝑃(𝑎1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏1 , 𝑎2 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏2 ) = 𝑃(𝑎1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏1 )𝑃(𝑎2 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏2 )(4.4)

証明 連続型確率変数𝑋, 𝑌が独立であるとすると，
𝑏1𝑏2

𝑃(𝑎1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏1 , 𝑎2 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏2 ) = ∫ ∫ 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑎1

𝑎2

𝑏1

𝑏2

= ∫ ∫ 𝑓𝑋 (𝑥, 𝑦)𝑓𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑎1

𝑎2
𝑏1

𝑏2

= (∫ 𝑓𝑋 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥) (∫ 𝑓𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦)𝑎1𝑎2= 𝑃(𝑎1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏1 )(𝑎2 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏2 )□注 4.1. 𝑋, 𝑌が連続型の場合，任意の𝑎1 < 𝑏1 , 𝑎2 < 𝑏2 に対して𝑃(𝑎1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏1 , 𝑎2 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏2 )を把握することと，任意の事象𝐴, 𝐵に対して𝑃(𝑋 ∈ 𝐴, 𝑌 ∈ 𝐵)を把握することは等価になることがわかります．𝑃(𝑋 ∈ 𝐴, 𝑌 ∈ 𝐵)を，１変数の場合と同様，（同時）確率分布と呼びます．
例題 4.1（制限時間 5 分） (𝑋1 , 𝑋2 )が多変量（標準）正規分布に従うとする．このとき，𝑋1 , 𝑋2
は独立であることを示しなさい．

４．２．２． 離散型の場合
注 1.1 で見たように，𝑋が離散型の場合には，確率関数を用いて，確率分布を𝑃(𝑋 ∈ 𝐴) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑎)𝑎∈𝐴のように書き表すことができます．多変数の場合にもこれと同じことができます．すなわち，
17

𝑃(𝑋 ∈ 𝐴, 𝑌 ∈ 𝐵) =∑ 𝑃(𝑋 = 𝑎, 𝑌 = 𝑏)

(4.5)

𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵のように，数ベクトル空間上の点(𝑎, 𝑏)に実数𝑃(𝑋 = 𝑎, 𝑌 = 𝑏)を対応させる多変数関数により同時確率分布を表すことができます．この多変数関数を，１変数の場合と同様に，（同時）確率関数と呼びます．
例 4.4. サイコロを 2 個振って，1 の目が出る回数を𝑋，2 の目が出る回数を𝑌とおきます．
表 4.1.
𝑌∖𝑋

０

１

２

0

16

8

1

1

8

2

2

1

表 4.1 は(𝑋, 𝑌)の同時確率関数の値をまとめたものであり，同時確率分布を可視化したものになっています．表 4.1 の各値を 36 で割ることで，同時確率分布を図 4.1 のように図で表現することもできます．

0

1

2

𝑌

1
2
𝑋
図 4.1
定義 4.3.（r.v.の独立性（離散型の場合））．（離散型）確率変数𝑋, 𝑌は，任意の𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 について 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 )(4.6)

が成り立つとき，独立であるという．
例 4.5.

大きいサイコロと小さいサイコロを一つずつ振る試行を行い，それぞれの出目を𝑋, 𝑌とおきます．
「大サイコロの出目が𝑖である」事象は「𝑋 = 𝑖」で，「小サイコロの出目が𝑗である」事象は「𝑌 = 𝑗」で表されます．
「大サイコロの出目が𝑖で，小サイコロの出目が𝑗である」事象の確率は，𝑖と𝑗の選び方に依らず

18

𝑃(𝑋 = 𝑖, 𝑌 = 𝑗) =1
1 2
= ( ) = 𝑃(𝑋 = 𝑖)𝑃(𝑌 = 𝑗)36
6のように計算することもできます．サイコロを 2 個振るとき，それらの出目が互いに影響を及ぼし合わないだろうという私達の直観を説明しています．
次の命題が示すように，2 つの確率変数が独立であることと，同時確率分布が 2 つの確率分布の積に分解されることは等価になります．（各自チェック！）命題 4.2（注 4.1）．
（離散型）確率変数𝑋, 𝑌について，次の主張は等価です．
(1) 𝑋と𝑌は独立である．
(2) 任意の事象𝐴, 𝐵に対して次式が成り立つ：
𝑃(𝑋 ∈ 𝐴, 𝑌 ∈ 𝐵) = 𝑃(𝑋 ∈ 𝐴)𝑃(𝑌 ∈ 𝐵).

(4.7)

例題 4.2（制限時間 6 分）平等な（等確率 1/2 で表裏が出る）コインを 3 回投げて，𝑖回目が表なら𝑋𝑖 = 1，裏なら𝑋𝑖 = 0とおきます．また
𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 ,𝑌={

1

2 回以上続けて表が出る
その他

0とおきます．このとき𝑋と𝑌の独立性を判定しなさい．
（解答例は 4.4 節にあります）

４．３． 確率ベクトルの期待値，期待値の線形性
ここでは，確率変数の期待値の概念の多変数化を与えた後，複数の確率変数の一次結合（一次統計量）の期待値の線形性を示します．
定義 4.4.（期待値）．
(1) 連続型確率変数𝑋, 𝑌の二変数関数𝑔(𝑋, 𝑌)について∞∞

𝐸[𝑔(𝑋, 𝑌)] = ∫ ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

(4.8)

−∞ −∞

を𝑔の期待値と呼び，𝐸[𝑔(𝑋, 𝑌)]と表す．
(2) 離散型確率変数𝑋, 𝑌の二変数関数𝑔(𝑋, 𝑌)について，∑ 𝑔(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 )𝑖,𝑗を𝑔の期待値と呼び，𝐸[𝑔(𝑋, 𝑌)]と表す．
19

(4.9)

定義 4.5.（共分散）．
(1) 連続型確率変数𝑋, 𝑌について，∞∞𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )(𝑌 − 𝜇𝑌 )] = ∫ ∫ (𝑥 − 𝜇𝑋 )(𝑦 − 𝜇𝑌 ) 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦(4.10)−∞ −∞を𝑋, 𝑌の共分散と呼び，Cov[𝑋, 𝑌]や𝜎𝑋,𝑌 と表す．
(2) 離散型確率変数𝑋, 𝑌について，𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )(𝑌 − 𝜇𝑌 )] = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑋 )(𝑦𝑗 − 𝜇𝑌 )𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 )(4.11)

𝑖,𝑗

を𝑋, 𝑌の共分散と呼び，Cov[𝑋, 𝑌]や𝜎𝑋,𝑌 と表す．
共分散は二つの確率変数𝑋, 𝑌の「相関」を表しています．
𝜌𝑋,𝑌 =𝜎𝑋,𝑌√𝜎𝑋2 √𝜎𝑌2

で与えられる量を，𝑋, 𝑌の相関係数と呼びます．コーシー・シュワルツの不等式より，|𝜌𝑋,𝑌 | ≤ 1
であり，さらに等号が成り立つことと𝑋 − 𝜇𝑋 と𝑌 − 𝜇𝑌 が同一直線上に位置することは同値であることがわかります（各自チェック！）．𝜌𝑋,𝑌 が正で 1 に近いほど𝑋と𝑌は右上がりに「直線的」に分布し，逆に𝜌𝑋,𝑌 が負で−1に近いほど𝑋と𝑌は右下がりに「直線的」に分布することを意味します．詳しいことは文献[稲垣 2014]を参照してください．
定理 4.1. 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 を確率変数とし，𝑎1 , … , 𝑎𝑛 を実数とします．
(1) （一次統計量の線形性）一次統計量∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝑋𝑖 について次式が成り立ちます：𝑛𝑛𝐸 [∑ 𝑎𝑖 𝑋𝑖 ] = ∑ 𝑎𝑖 𝐸[𝑋𝑖 ].
𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

(4.12)(2)
𝑉 [∑ 𝑎𝑖 𝑋𝑖 ] = ∑ 𝑎𝑖 𝑎𝑗 Cov[𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 ].
𝑖=1

𝑖,𝑗=1

𝑛

𝑛

(4.13)

特に𝑋1 , … , 𝑋𝑛 が独立であるとき，𝑉 [∑ 𝑎𝑖 𝑋𝑖 ] = ∑ 𝑎𝑖𝟐 V[𝑋𝑖 ].
𝑖=1(4.14)

𝑖=1(1)の証明 簡単のため𝑛 = 2とし，𝑋1 , 𝑋2が連続型の場合のみを考えます．
∞∞

𝐸[𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2] = ∫ ∫ (𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 ) 𝑓𝑋1 ,𝑋2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2
−∞ −∞
∞

∞

∞

∞

= 𝑎1 ∫ ∫ 𝑥1 𝑓𝑋1 ,𝑋2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 + 𝑎2 ∫ ∫ 𝑥2 𝑓𝑋1 ,𝑋2 (𝑥1, 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2
−∞ −∞

−∞ −∞

20

∞

∞

∞

∞

= 𝑎1 ∫ 𝑥1 (∫ 𝑓𝑋1 ,𝑋2 (𝑥1 , 𝑥2 ) 𝑑𝑥2 ) 𝑑𝑥1 + 𝑎2 ∫ 𝑥2 (∫ 𝑓𝑋1 ,𝑋2 (𝑥1 , 𝑥2 ) 𝑑𝑥1 ) 𝑑𝑥2
−∞

−∞

−∞

∞

−∞

∞

= 𝑎1 ∫ 𝑥1 𝑓𝑋1 (𝑥1 ) 𝑑𝑥1 + 𝑎2 ∫ 𝑥2 𝑓𝑋2 (𝑥2 ) 𝑑𝑥2−∞−∞= 𝑎1 𝐸[𝑋1 ] + 𝑎2 𝐸[𝑋2 ].
(2)の証明𝑉[𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2 ] = 𝐸[(𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2 )2] − (𝐸[𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2])2= 𝐸[𝑎12 𝑋12 + 2𝑎1 𝑎2 𝑋1 𝑋2 + 𝑎22 𝑋22 ] − (𝑎1 𝐸[𝑋1 ] + 𝑎2 𝐸[𝑋2 ])2= 𝑎12 𝐸[𝑋12 ] + 2𝑎1 𝑎2 𝐸[𝑋1 𝑋2 ] + 𝑎22 𝐸[𝑋22 ]−{𝑎12 (𝐸[𝑋1 ])2 + 2𝑎1 𝑎2 𝐸[𝑋1 ]𝐸[𝑋2 ] + 𝑎22 (𝐸[𝑋2 ])2}
= 𝑎12 {𝐸[𝑋12 ] − (𝐸[𝑋1 ])2 } + 2𝑎1 𝑎2 (𝐸[𝑋1 𝑋2 ] − 𝐸[𝑋1 ]𝐸[𝑋2 ])+𝑎22 {𝐸[𝑋22 ] − (𝐸[𝑋2 ])2 }= 𝑎12 𝑉[𝑋1 ] + 2𝑎1 𝑎2 Cov[𝑋1 , 𝑋2 ] + 𝑎22 𝑉[𝑋2 ]= ∑2𝑖,𝑗=1 𝑎𝑖 𝑎𝑗 Cov[𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 ].
（一つ目と五つ目の等号で章末問題 B-2-2 を，二つ目と三つ目の等号で期待値の線形性を，
そして六つ目の等号でCov[𝑋, 𝑋] = 𝑉[𝑋]（共分散の定義）を使いました）
後半の主張の証明は割愛します（各自チェック！）．

□系 4.1. 母平均𝜇，母分散𝜎 2 の母集団から𝑛個の独立なサンプル（ランダムサンプル）𝑋1 , … , 𝑋𝑛
をとります．また
𝑛

𝑋̅ =

1
∑ 𝑋𝑖
𝑛

(4.15)

𝑖=1

とおく．このとき次が成り立つ．
𝐸[𝑋̅] = 𝜇,(4.16)

𝜎2𝑛(4.17)

𝑉[𝑋̅] =

(4.15)式左辺の𝑋̅を，𝑋1 , … , 𝑋𝑛 の標本平均と呼びます．(4.15)式のように，ある確率変数の期待値が母数𝛼に等しくなるとき，その確率変数を𝛼の不偏推定量と呼びます．(4.17)式の統
計的な意味は𝑉[𝑋̅] → 0 (𝑛 → ∞)を満たすこと，つまりサンプル数が十分大ならばデータのばらつきがほとんどなくなるということです．
次の事実（系 4.2）は大数の法則と呼ばれています．証明にはチェビシェフ不等式（定理3.1）を使います．
21

系 4.2.（大数の法則）．母平均𝜇，母分散𝜎 2 の母集団から𝑛個のランダムサンプル𝑋1 , … , 𝑋𝑛 をとる．このとき，任意の𝜖に対して
lim 𝑃(|𝑋̅ − 𝜇| < 𝜖) = 1𝑛→∞(4.18)

1 枚の平等な硬貨を繰り返し投げて，𝑖回目に表が出たら𝑋𝑖 = 1，そうでなければ𝑋𝑖 = 0とします．このとき，標本平均𝑋̅は𝑛回までの相対頻度を表します．(4.18)式は，試行回数が増
1

えるにつれ，相対頻度が母平均𝜇 = に近づいていくことを説明しています．
2

４．４．

例題の解答例・ヒント

例題 4.1 の解答例
𝑓𝑋1 ,𝑋2 (𝑥1 , 𝑥2 ) =(𝑋1 , 𝑋2 )が多変量（標準）正規分布に従うとすると，

1
𝑥12 + 𝑥22
1
𝑥12
1
𝑥22
exp (−)=
exp (− ) ⋅exp (− ) = 𝑓𝑋1 (𝑥1 )𝑓𝑋2 (𝑥2 ).
2𝜋
2
2
2
√2𝜋
√2𝜋

同時密度関数𝑓𝑋1 ,𝑋2 は一変数関数𝑓𝑋𝑖 (𝑥𝑖 ) = exp(−𝑥𝑖2 /2)/√2𝜋の積に分解されたので，𝑋1と𝑋2は独立．
（いまの場合，各確率変数𝑋𝑖 は標準正規分布に従っている）
例題 4.2 の解答例（ヒント）

独立ではない．いくつかの(𝑖, 𝑗)について，𝑃(𝑋 = 𝑖, 𝑌 = 𝑗)の値と𝑃(𝑋 = 𝑖)𝑃(𝑌 = 𝑗)の値を具体計算せよ．
４．５．

章末問題

問題 A-4-1 Cov[𝑋1 , 𝑋2 ] = 0であっても独立でない確率変数𝑋1 , 𝑋2の例をつくりなさい．
問題 A-4-2 𝑋1 , 𝑋2を独立な確率変数とし，𝑎1 , 𝑎2 を実数とします．このときCov[𝑋1 , 𝑋2 ] = 0が成り立つことを確かめなさい（𝑋1 , 𝑋2 がともに「離散型」か「連続型」の場合に）．

参考文献[稲垣 2014] 稲垣 宣生，山根 芳知，吉田 光雄 著．統計学入門．裳華房．2014.

22

第５章

正規分布

例えば国政上重要な選挙のとき，マスコミが特番を組んで選挙結果の速報を流しているのをよく目にします．そのとき，たった数％の開票率であるにも関わらず特定の候補者の当選確実がアナウンスされることがあります．ここには正規分布が深く関与しています（本稿付録 D 参照）．本章では，この正規分布の基本的な性質を概観します．
５．１．正規分布のおさらい
サイコロを𝑛回投げて，𝑖回目の出目を𝑋𝑖 とおきます．サイコロを投げる前，サイコロの出目は等確率で 1 から 6 までの値をとる確率変数と見なすことができます．下の表 5.1 は，各
1 ≤ 𝑛 ≤ 50について，Excel で乱数サイコロを投げて標本平均 𝑋̅𝑛（出目の算術平均）の実測値をまとめたものです．
表 5.1. 𝑋̅𝑛 の相対度数表
階級

度数/頻

階級

度数/頻度

度
0.5 以下1

3 より大 3.5 以下

9

0.5 より大 1 以下

2

3.5 より大 4 以下

7

1 より大 1.5 以下

3

4 より大 4.5 以下

4

1.5 より大 2 以下

6

4.5 より大 5 以下

42

5 より大 5.5 以下

1

10

5.5 より大12 より大 2.5 以下
2.5 より大 3 以下

下図は表 1.1 をヒストグラムにしたものです．サンプル数が大きくなるにつれて，グラフの概形は滑らかな曲線（密度関数）に収束していくような気がしてくるでしょう？

図5.1. サイコロの出目の算術平均
12
10
8
6
4
2
0

23

一般に，特定の母集団から独立なサンプルを抽出するとき，それらは同一の確率分布に従うと考えて，サンプルを十分たくさんとれば，𝑋の確率分布は，母集団分布に依ることなく，ある連続型の確率分布に収束するのです（中心極限定理）．それが正規分布です．数学的には，
1

𝑓𝑋 (𝑥) =√2𝜋𝜎 2exp (−(𝑥 − 𝜇)2),2𝜎 2−∞<𝑥 <∞(5.1)

で密度関数が与えられる確率分布です．特に𝜇 = 0, 𝜎 2 = 1の正規分布を標準正規分布と呼び，𝑋 ∼ 𝑁(0, 12 )と書きます．
「N」は Normal（正規）の頭文字です．
標準正規分布の密度関数には，① 対称軸が𝑦軸，② 漸近線が𝑥軸，③ ロングテイル（裾の長い釣鐘型），という 3 つの重要な性質があります（図 1.2）．例えば𝑋 ∼ 𝑁(0, 12 )の場合，
𝑓𝑋

O
図 5.2
その確率分布は𝑏𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = ∫
𝑎

1
√2𝜋

exp (−𝑥2) 𝑑𝑥2のように積分で表されます．この積分計算においても密度関数の対称性などが有効です．

５．２． 標準化
命題 5.1.（標準化）．
𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )

⇔

𝑋−𝜇
√𝜎 2

∼ 𝑁(0,12 )(5.2)

「⇒」の証明 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )とし，𝑌 = (𝑋 − 𝜇)/√𝜎 2 とおきます．すると，𝑃(𝑎 < 𝑌 < 𝑏) = 𝑃 (𝑎 <

𝑋−𝜇
√𝜎 2

< 𝑏) = 𝑃 (𝑎√𝜎 2 + 𝜇 < 𝑋 < 𝑏√𝜎 2 + 𝜇)𝑏√𝜎 2 +𝜇=∫𝑎√𝜎 2 +𝜇1√2𝜋𝜎 2exp (−𝑏(𝑥 − 𝜇)2
1
𝑦2
)
𝑑𝑥
=
exp
(−
) 𝑑𝑦.
∫
2𝜎 2
2
𝑎 √2𝜋

最後の等号は変数変換𝑦 = (𝑥 − 𝜇)/√𝜎 2によるものです．式変形を逆向きに辿ると「⇐」が示
されます．

□
24

例題 5.1．𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )について，次の各問に答えよ．
(1) 𝜇 = 0, 𝜎 2 = 12 のとき，𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 1.96)の値を求めよ．
（ヒント：標準正規分布表（付表1）を読む．表の𝑧𝛼 を標準正規分布の両側100𝛼%点と呼ぶ）(2) 𝜇 = −1, 𝜎 2 = 22のとき，𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 0.95となる𝑥を求めよ。
（ヒント：命題 5.1 を使う）

５．３．正規分布の性質
正規分布の重要な性質を２つ紹介します．１つ目の性質は「再生性」です．証明について
は文献[西尾 1978]などを参照してください．
定理 5.1.（正規分布の再生性）．
𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 , 𝜎12 ), 𝑋2 ∼ 𝑁(𝜇2 , 𝜎22 ) 独立⇒

𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2 ∼ 𝑁(𝑎1 𝜇1 + 𝑎2 𝜇2 , 𝑎12 𝜎12 + 𝑎22 𝜎22 )もう一つの重要な性質は「中心極限定理」です．サンプルを十分大にすると，母集団の分布がわからなくても標本平均𝑋̅の分布が正規分布に収束することを主張するものです．
定理 5.2．
（中心極限定理）．𝑋1 , … , 𝑋𝑛 を母平均𝜇，母分散𝜎 2 の母集団からのサンプルとします．このとき，任意の正の実数𝛼に対して次の等式が成り立ちます．
lim 𝑃 (𝑛→∞𝑋̅ − 𝜇√𝜎 2 /𝑛𝛼≤ 𝛼) = ∫1−∞ √2𝜋exp (−𝑥2) 𝑑𝑥
2

５．４． 例題の解答例
例題 5.1(2)の解答例 𝑌 =𝑋+1
2∼ 𝑁(0,12)に注意して（命題 5.1），

𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃 (𝑌 ≤𝑥+1𝑥+1
) = 𝑃(𝑌 ≤ 0) + 𝑃 (0 < 𝑌 ≤) = 0.45.
22

標準正規分布表を読んで，𝑥 = 2.28, 2.29, 2.30.

参考文献[西尾 1978] 西尾 真喜子 著．確率論．実教出版．1978．
25

(5.3)

第６章

正規分布から派生する分布６．１． 確率変数の「二次形式」の分布は？
第 5 章では，𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 , 𝜎12 ), 𝑋2 ∼ 𝑁(𝜇2 , 𝜎22 )かつそれらが独立である場合に，一次統計量
𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2が再び正規分布に従うことを見ました（定理 5.1）．
本章では，正規分布に従う確率変数𝑋1 , 𝑋2 , …が与えられたとき，これらの二次統計量
𝑎1 𝑋12 + 𝑎2 𝑋22 + ⋯が𝝌𝟐分布（カイ二乗分布）という特別な分布に従うことを見た後，𝜒 2分布から派生する𝒕分布（ティー分布）についても概観します．正規分布とこれら二つの分布は，「区間推定法」「仮説検定法」において重要な役割を果たすのです．

６．２． 𝝌𝟐分布
定義 6.1（𝝌𝟐分布）． 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ∼ 𝑁(0, 12 )が独立であるとき，二次統計量
𝑋 = 𝑋12 + 𝑋22 + ⋯ + 𝑋𝑛2

(6.1)

𝟐

が従う連続型確率分布を自由度𝒏の𝝌 分布と呼び，𝑋 ∼ 𝜒𝑛2 と表す．
定理 6.1. 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 を母平均𝜇，母分散𝜎 2 の正規母集団からのランダムサンプルとする（つまり𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )を独立な確率変数とする）．このとき次が成り立つ．
𝑛

(1)

1
∑(𝑋𝑖 − 𝜇)2 ∼ 𝜒𝑛2
𝜎2

(6.2)

(2)

1
2
∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 ∼ 𝜒𝑛−1
𝜎2

(6.3)

𝑖=1
𝑛

𝑖=1

2
2
注 6.1（文献[西尾 1978]等参照）. 𝑋1 ∼ 𝜒𝑚
, 𝑋2 ∼ 𝜒𝑛2 が独立であるならば，𝑋1 + 𝑋2 ∼ 𝜒𝑚+𝑛．

(6.2)式の∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝜇)2 は，確率ベクトル(𝑋1 , … , 𝑋𝑛 )と中心ベクトル(𝜇, … , 𝜇)の距離の 2 乗であり，サンプル𝑋1 , … , 𝑋𝑛 から採取した実データ𝑥1 , … , 𝑥𝑛 が𝜇の周辺にどの程度バラついているかを示しています．(6.2)式は，𝜇が既知の場合に，母分散𝜎 2 の区間推定や仮説検定に応用されます．
母数は「神のみぞ知る」であって，そもそも確率ベクトルと中心ベクトルの距離なんて測り得るのか気になります．しかし，実際のデータ解析においては，過去の経験や製品の規格
26

などによって母数が既知だと容認されるケースがあるようです．
そうは言っても，標本調査の大義は母数の推定であり，母数を既知にすべきではないと主張したくもなります．そんなときは，𝜇が未知であるとして，「良い」推定量で母数を代用すればよいでしょう．母平均𝜇の「良い」代用物と言えば標本平均𝑋̅がありました．(6.3)式で∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2に着目したのはこのためです．本当は∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝜇)2 を見たいのですが，それが叶わないので∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2で妥協するのです．
注 6.2. 統計量𝑛1∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝑛

(6.4)

𝑖=1

を標本分散と呼び，統計量𝑛1∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝑛−1

(6.5)

𝑖=1

は不偏標本分散と呼ぶ．
「𝑛 − 1」で割るのは，不偏性をもたせるためです．
定理 6.1(1)の証明は難しくなく，確率変数𝑋𝑖 の標準化(𝑋𝑖 − 𝜇)/𝜎の独立性を確かめるだけです．定理 6.1(2)の証明にはフィッシャー・コクランの定理を用います（本稿付録 E）．
さて，𝜒 2分布は連続型確率分布ですから，確率密度関数が背後にいるはずです．しかし，密度関数の具体的な形を意識する必要性は（確率論的にはあっても）統計学的にはほぼほぼ皆無です．標準正規分布表を使って正規分布に関する確率計算を行ったのと同じように，𝜒 2
分布に関する確率計算には𝝌𝟐分布表（巻末の付表 2）を用いればよいからです．
2
例題 6.1（制限時間 3 分）𝑋 ∼ 𝜒10のとき，𝜒 2分布表を用いて𝑃(18.307 ≤ 𝑋)を求めなさい．

𝜒 2分布表の𝜒𝑛2 (𝛼)を上側𝜶点あるいは上側𝟏𝟎𝟎𝜶%点と呼ぶ．

６．３． 𝒕分布，𝑭分布
定義 6.2.（𝒕分布）． 𝑋 ∼ 𝑁(0, 12 ), 𝑌 ∼ 𝜒𝑛2 が独立なとき，統計量
𝑇=

𝑋
√𝑌/𝑛

(6.6)

が従う連続型確率分布を自由度𝒏の𝒕分布と呼び，𝑇 ∼ 𝑡𝑛 と表す．
定理 6.2. 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 を母平均𝜇，母分散𝜎 2 の正規母集団からのランダムサンプルとする．このとき次式が成り立つ．

27

𝑋̅ − 𝜇√ 1 ∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅) /𝑛𝑛−1∼ 𝑡𝑛−1(6.7)

注 6.3. 母分散𝜎 2 が既知の場合には，適切な仮定のもとで𝑋̅ − 𝜇√𝜎 2 /𝑛∼ 𝑁(0,12)(6.8)となる事実を用いて母平均𝜇を推定することができます．ここで「適切な仮定」とは，母集団に正規分布性が認められるとか，サンプル数が十分大であるとか，そういうことです．しかし，母分散𝜎 2 が未知の場合には，(6.8)式は使いものにならず，𝜎 2 を不偏標本分散1∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)で代用した(6.7)式で妥協しなければならなくなります．
𝑛−1

𝜒 2 分布と同様，𝑡分布は連続型確率分布であり，確率密度関数が背後にいます．しかし，ここでも密度関数の具体的な形を意識する必要性は微塵もありません．𝑡分布に関する確率
計算には𝑡分布表（巻末の付表 3）が用意されているからです．
最後に，実験計画法の分散分析において有用な𝑭分布（Fisher distribution）に触れます．
2
定義 6.3.（𝑭分布）． 𝑋 ∼ 𝜒𝑛2 , 𝑌 ∼ 𝜒𝑚
が独立なとき，統計量

𝐹=

𝑋/𝑛
𝑌/𝑚

(6.9)

が従う連続型確率分布を自由度(𝒏, 𝒎)の𝑭分布と呼び，𝑇 ∼ 𝐹𝑚𝑛 や𝑇 ∼ 𝐹(𝑛, 𝑚)と表す．
例題 6.2（制限時間 3 分）𝑋 ∼ 𝑡5 のとき，𝑡分布表を用いて𝑃(|𝑋| < 2.571)を求めなさい．ただし，𝑡分布表の値𝑡𝑛 (𝛼)を両側𝜶点あるいは両側𝟏𝟎𝟎𝜶%点と呼ぶ．

Coffee Break 𝑇 ∼ 𝐹𝑚𝑛 のときの確率計算には𝐹分布表が用いられます．
𝐹分布の「F」は，統計学の大家 Ronald A. Fisher に因んでいます．ちなみに，𝑡分布は，「Student」のペンネームで活躍した英国の統計学者 William S. Gosset によって発表され，その後 Fisher によって命名されました．フィッシャー・コクランの定理然り，Fisher は確率分布論において多大な功績を残した人物なのです．

28

６．４． 例題の解説，ヒント
例題 6.1 の解答例 𝜒 2分布表の下から 1 行目，右から 3 行目に18.307があります．右から 3
行目の値は 0.05 なので，𝑃(18.307 ≤ 𝑋) = 0.05です．
例題 6.2 の解答例 例題 6.1 と同様．

６．５． 章末問題
問題 A-6-1 𝑋 ∼ 𝜒52のとき，𝑃(0.831 ≤ 𝑋 < 12.832)を求めなさい．
問題 B-6-1 𝑋1 , 𝑋2 ∼ 𝑁(0,12 )で独立とする．このとき次の各問に答えよ．
(1) 𝑋12 + 𝑋22はどのような確率分布に従うか．
2𝑖𝜋

2𝑖𝜋

4

(2) (𝑋12 + 𝑋22 )2はどのような確率分布に従うか．また，∑5𝑖=1 ((cos 5 ) 𝑋1 + (sin 5 ) 𝑋2 ) はどのような確率分布に従うか．

参考文献[稲垣 2014] 稲垣 宣生，山根 芳知，吉田 光雄 著．統計学入門．裳華房．2014.
[西尾 1978] 西尾 真喜子 著．確率論．実教出版．1978．
29

第７章

区間推定法

７．１． 区間推定法とは？
データ解析の強力な手法の一つに「区間推定法」があります．この手法を用いることによって解ける現実的な問題として，例えば次のようなものが挙げられます．
(Q7.1) 中堅社会人の月平均の交際費の真値𝜇（円）を知りたいとして，100 名をランダムに選び，データを集めたところ，標本平均値𝑥̅ = 10000（円）を得たとします．このとき，経験的に母標準偏差√𝜎 2 = 100（円）が既知であるとして，𝜇の 95%信頼区間（確率 95%で𝜇がおさまる区間）を求めなさい．
(Q7.2) 新卒社会人の交際費の月平均の回数𝜇（回）を知りたいとして，10 名をランダムに選びデータを集めたところ，標本平均値𝑥̅ = 12.8（回），標本分散値𝑠 2 = 18.4を得たとします．このとき，𝜇の 95%信頼区間を求めなさい．ただし，各サンプルは同一の正規分布に従うとします．

推定法は点推定と区間推定の２種類に大別されます．区間推定では母数を抑え込む区間を推測するのに対して，点推定では母数をピンポイントで推測します．例えば月平均飲み代の話だと，「確率〇〇%で𝜇 ∈ (9500,10500)」のように推測するのが区間推定で，「確率〇〇%
で𝜇 = 10200」のように推測するのが点推定です．
「確率〇〇%で𝜇 ∈ (9500,10500)」において，区間(9500,10500)を𝜇の信頼区間と呼び，𝜇 ∈ (9500,10500)となる確率○○％を信頼度と呼びます．ここでは主に区間推定の方法を学びます．

７．２． 母平均𝜇の区間推定
母平均𝜇の区間推定法は，母分散𝜎 2 が既知の場合と未知の場合に大別されます．基本的な流れは変わりませんが，使用する分布論が異なります．
𝝈𝟐 が既知の場合（過去の経験や製品の規格によって𝝈𝟐 がわかっている場合）
以下，「サンプル数𝑛が十分大」あるいは「正規母集団」のいずれかを仮定します．すると，
30

正規分布の再生性（定理 5.1）や中心極限定理（定理 5.2）から，
𝑍=𝑋̅ − 𝜇√𝜎 2 /𝑛∼ 𝑁(0,12 )(7.1)

が成り立ちます．これを用いて区間推定の流れを説明します．
手順１（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%（𝟎 < 𝜶 < 𝟏）の設定）
𝛼 = 0.1, 0.05, 0.01とすることが多いです．𝛼 = 0.01とするのは，高額な機器の製造とか，致死率の高いウイルスの特効薬の開発とか，ミスが許されないような厳しい状況です．
手順２（標準正規分布の両側𝟏𝟎𝟎𝜶%点𝒛𝜶 の計算）
（両側100𝛼%点𝑧𝛼 とは， 𝑃(|𝑍| ≤ 𝑧𝛼 ) = 1 − 𝛼を満たす点であったことを思い出しましょう）
手順３（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%の信頼区間の「理論値」の計算）
𝜎2

𝜎2|𝑍| ≤ 𝑧𝛼 ⇔ 𝜇 ∈ (𝑋̅ − 𝑧𝛼 √ , 𝑋̅ + 𝑧𝛼 √ )
𝑛
𝑛

(7.2)

のように母平均を抑え込む区間を求めます．
手順４（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%の信頼区間の「実測値」の計算）
具体的には，𝑋̅の実測値（標本平均値）𝑥̅ ，サンプル数𝑛，（既知の）母分散値𝜎 2 ，両側100𝛼%
点の値𝑧𝛼 を(7.2)式に代入して，信頼区間の「実測値」を計算します．
区間推定法とはこれらの手順の総称です．大切なのは「流れ」であって，例えば手順 3 と手順 4 を合体させて手順を 3 つにしてもらってもかまいません．
例題 7.1（制限時間７分）2024 年度の新生児の平均体重𝜇を知りたいとして，サンプル
𝑋1 , … , 𝑋100 をランダムに選びデータを集計した後，標本平均値𝑥̅ = 3027g を得たとする．
𝜎2 =1600を既知として，𝜇の 95%信頼区間を求めなさい．
続いて，母分散𝜎 2 が未知の場合を考えましょう．
𝝈𝟐 が未知の場合
𝜎 2 は神のみぞ知る母数ですから，𝜎 2 は未知である方が自然です．以下，正規母集団を仮定します．すると，定理 6.2 より，次が成り立ちます：𝑇=𝑋̅ − 𝜇√ 1 ∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 /𝑛𝑛−1
31∼ 𝑡𝑛−1(7.3)

これを用いて区間推定を行います．
手順１（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%（𝟎 < 𝜶 < 𝟏）の設定）
手順２（𝒕分布の両側𝟏𝟎𝟎𝜶%点𝒕𝒏−𝟏 (𝜶)の計算）（両側100𝛼%点𝑡𝑛−1 (𝛼)は，𝑃(|𝑇| ≤ 𝑡𝑛−1 (𝛼)) = 1 − 𝛼で定義されたことを思い出しましょう）
手順３（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%の信頼区間の「理論値」の計算）∑𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋̅)2∑𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
|𝑇| ≤ 𝑡𝑛−1 (𝛼) ⇔ 𝜇 ∈ (𝑋̅ − 𝑡𝑛−1 (𝛼)√ 𝑖=1, 𝑋̅ + 𝑡𝑛−1 (𝛼)√ 𝑖=1)𝑛(𝑛 − 1)𝑛(𝑛 − 1)

(7.4)

のように母平均を抑え込む区間を求めます．
手順４（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%の信頼区間の「実測値」の計算）
具体的には，𝑋̅の実測値（標本平均値）𝑥̅ ，サンプル数𝑛，両側100𝛼%点の値𝑡𝑛−1 (𝛼)を代入して，信頼区間の「実測値」を計算します．
いかがでしょうか？母分散が既知の場合と手順はまったく同じです．ただ，分布論が異なるだけです．

７．３． 母分散𝝈𝟐 の区間推定
母分散𝜎 2 の区間推定法は，母平均𝜇が既知の場合と未知の場合に大別されます．基本的な流れは変わりません．ただ注目する分布論がほんの少し異なるだけです．
母平均𝝁が未知の場合
𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎以下，正規母集団を仮定します．このとき，ランダムサンプル

2 )をとると𝑛12
𝑋 = 2 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 ∼ 𝜒𝑛−1
𝜎

(7.5)

𝑖=1

が成り立ちます（定理 6.1(2)）．この分布論を使って区間推定の流れを説明しましょう．
手順１（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%（𝟎 < 𝜶 < 𝟏）の設定）

𝜶𝜶

手順２（カイ 2 乗分布の両側𝟏𝟎𝟎𝜶%点𝝌𝟐𝒏−𝟏 (𝟏 − 𝟐)と𝝌𝟐𝒏−𝟏 (𝟐)の計算）
32

カイ２乗分布は𝑦軸対称ではないことに注意して，𝛼𝛼22𝑃 (𝜒𝑛−1(1 − ) ≤ 𝑋 ≤ 𝜒𝑛−1( )) = 1 − 𝛼
2
2

(7.6)

手順３（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%の信頼区間の「理論値」の計算）
具体的には，(7.6)式において，
𝑛

2
𝜒𝑛−1
(1 −

𝛼
𝛼
𝛼
1
𝛼
2
2
2
) ≤ 𝑋 ≤ 𝜒𝑛−1( ) ⇔ 𝜒𝑛−1
(1 − ) ≤ 2 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 ≤ 𝜒𝑛−1
( )
2
2
2
𝜎
2
𝑖=1

∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
2
⇔
≤
𝜎
≤
(7.7)
𝛼
𝛼
2
2
𝜒𝑛−1
𝜒𝑛−1
(2 )
(1 − 2 )のように，母分散を抑え込む区間を求めます．この時点ではまだ実測値が代入されていないことに注意しましょう．
手順４（信頼度𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%の信頼区間の「実測値」の計算）(7.7)式に，各サンプル𝑋𝑖 の実測値𝑥𝑖 ，標本平均𝑋̅の実測値𝑥̅ ，両側100𝛼%点の値を代入して，信頼区間の「実測値」を計算します．

注 7.1. 母平均𝜇が既知の場合は，使う分布論を定理 6.1(1)に変えるだけです．推定の流れはまったく同じです．

33

７．４． 例題の解答例
例題７.1 の解答例 問題文に正規母集団の仮定が明記されていないことに注意し，100 名のサンプル数を十分大と見なします．
手順１ 信頼度は95%，つまり𝛼 = 0.05．
手順２ 標準正規分布表を読んで，両側5%点𝑧0.05 = 1.96を求めます．
手順３ 95%信頼区間の「理論値」を求めます：𝜎2𝜎2𝜇 ∈ (𝑋̅ − 𝑧0.05 √ , 𝑋̅ + 𝑧0.05 √ )𝑛𝑛

手順４ 95%信頼区間の「実測値」を求めます：
𝜎21600𝑥̅ ± 𝑧0.05 √ = 3027 ± 1.96 × √= 3027 ± 7.84
𝑛100
なので，95%信頼区間は𝜇 ∈ (3019.16, 3034.84)となります．2024 年度の新生児の平均体重の真値が 95%の高確率で約 3019g～3034g であることがわかりました．

７．５． 章末問題
問題 A-7-1 (Q7.1), (Q7.2)を解きなさい．

本章の内容の一部は[稲垣 2014]の 5 章§4 に対応しています．

参考文献[稲垣 2014] 稲垣 宣生，山根 芳知，吉田 光雄 著．統計学入門．裳華房．2014.
34

第８章

仮説検定

８．１． ２つの仮説を戦わせて，片方を勝利させる！！
仮説検定は，母集団について２つの相対する仮説を立て，適切な確率分布論に基づいて，どちらの仮説が正しいか判定するための統計手法です．これらの仮説のうち，一方を帰無仮説，もう一方を対立仮説と呼びます．帰無仮説と対立仮説は相排反になるように，すなわち一方が真ならばもう一方が偽であるように設計されなければなりません．伝統的に，帰無仮説を𝐻0，対立仮説を𝐻1と表します．帰無仮説は文字通り「無かったことに帰すべき仮説」であり，私達の目標はこの帰無仮説𝐻0を否定することです．これを「帰無仮説𝐻0を棄却する」といいます．
仮説検定によって解ける具体的な問題として，例えば次のようなものが挙げられます．
(Q8.1) 某企業の社員の月平均の交際費の真値𝜇（円）を知りたいとして，100 名をランダムに選びデータを集計した後，標本平均値𝑥̅ = 29800（円）を得たとする．経験的に母標準偏差√𝜎 2 = 100（円）がわかっているとして，𝜇 = 30000の正否を有意水準 5%（判断ミスの確率が 5%）で判定せよ．
個人差もあるかもしれませんが，月30000円はちょっと使いすぎな気もします（著者にはまったく想像がつきません）．これがあり得ないと立証したければ，帰無仮説と対立仮説を𝐻0 ∶ 𝜇 = 30000
𝐻1 ∶ 𝜇 ≠ 30000と設定します．このような基本設定のもとで実施される検定を両側検定と呼びます．一方，「月 30001 円以上なんてあり得ない！」という立場をとるなら，帰無仮説と対立仮説を𝐻0 ∶ 𝜇 = 30000
𝐻1 ∶ 𝜇 < 30000と設定すればよいでしょう．このような基本設定のもとで実施される検定を片側検定と呼びます．ここでは簡単のため，片側検定には触れず，両側検定のみ扱います．

８．２． 母平均𝜇の両側検定
母平均𝜇の両側検定は，母分散𝜎 2 が既知の場合と未知の場合に大別されます．基本的な流れは変わりませんが，注目する分布論が異なります．
35

𝝈𝟐 が既知の場合 ここでは「サンプル数𝑛が十分大」か「正規母集団」のいずれかを仮定します．すると，正規分布の再生性（定理 5.1）や中心極限定理（定理 5.2）より
𝑍=

𝑋̅ − 𝜇√𝜎 2 /𝑛∼ 𝑁(0,12 )(8.1)

が成り立ちます．この分布論を使って検定を行います．
手順０（帰無仮説𝑯𝟎 （と対立仮説𝑯𝟏 ）の設定）
𝐻0 ∶ 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 ∶ 𝜇 ≠ 𝜇0
手順１（有意水準（危険率）𝜶の設定）
有意水準を100𝛼%と書き表すこともあります．1 − 𝛼あるいは100(1 − 𝛼)%は信頼係数と呼ばれます．区間推定のときと同じ理由で，𝛼 = 0.1, 0.05, 0.01と設定することが多いです．
手順２（標準正規分布の両側𝟏𝟎𝟎𝜶%点𝒛𝜶 （𝑷(|𝒁| ≤ 𝒛𝜶 ) = 𝟏 − 𝜶を満たす値）の計算）
手順３（「棄却域」𝑹 = {𝒛 | 𝒛𝜶 < |𝒛|}の確認）
次のような計算をします：𝑧𝛼 ≤ |𝑧|⇔ 𝑧𝛼 ≤𝑥̅ − 𝜇or√𝜎 2 /𝑛𝑥̅ − 𝜇√𝜎 2 /𝑛≤ −𝑧𝛼最後の式に𝜇 = 𝜇0 （帰無仮説）を代入して次の評価不等式を求めておきます：𝑧𝛼 ≤𝑥̅ − 𝜇0√𝜎 2 /𝑛or𝑥̅ − 𝜇0√𝜎 2 /𝑛

≤ −𝑧𝛼

(8.2)

手順４（帰無仮説𝑯𝟎 の判定）
𝑋̅の実測値（標本平均値）𝑥̅ が(8.2)式を満たせば𝐻0を棄却し，そうでなければ𝐻0を棄却できません（採択するといいます）．
これらの手順の総称が両側検定です．大切なのは流れですから，例えば手順 3 と手順 4 を一緒くたにしてもらってもかまいません．
続いて，母分散が未知の場合を考えましょう．
母分散𝝈𝟐 が未知の場合 以下，正規母集団を仮定します．このとき，定理 6.2 より，𝑇=𝑋̅ − 𝜇√ 1 ∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 /𝑛𝑛−1∼ 𝑡𝑛−1

が成り立ちます．この分布論を使って両側検定を行います．
36

(8.3)

手順０（帰無仮説𝑯𝟎 （と対立仮説𝑯𝟏 ）の設定）
𝐻0 ∶ 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 ∶ 𝜇 ≠ 𝜇0
手順１（有意水準𝟎 < 𝜶 < 𝟏の設定）
手順２（𝒕分布の両側𝟏𝟎𝟎𝜶%点𝒕𝒏−𝟏 (𝜶)の計算）（両側100𝛼%点𝑡𝑛−1 (𝛼)は，𝑃(|𝑇| ≤ 𝑡𝑛−1 (𝛼)) = 1 − 𝛼で定義されたことを思い出しましょう）
手順３（棄却域𝑹 = {𝒕 | 𝒕𝒏−𝟏 (𝜶) < |𝒕|}の確認）
1

次のような計算をします（𝑢2 = 𝑛−1 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 は不偏標本分散値です）：
𝑡𝑛−1 (𝛼) < |𝑡| ⇔ 𝑡𝑛−1 (𝛼) ≤𝑥̅ − 𝜇√𝑢2 /𝑛or𝑥̅ − 𝜇√𝑢2 /𝑛≤ −𝑡𝑛−1 (𝛼)最後の式に𝜇 = 𝜇0 （帰無仮説）を代入して次の評価不等式を求めておきます：
𝑡𝑛−1 (𝛼) ≤𝑥̅ − 𝜇0√𝑢2 /𝑛or𝑥̅ − 𝜇0√𝑢2 /𝑛≤ −𝑡𝑛−1 (𝛼)(8.4)

手順４（帰無仮説𝑯𝟎 の判定）
𝑋̅の実測値（標本平均値）𝑥̅ が(8.4)を満たせば𝐻0は棄却されて，そうでなければ𝐻0は採択されます．

８．３． 母分散𝝈𝟐 の両側検定
母分散𝜎 2 の両側検定は，母平均𝜇が既知の場合と未知の場合に大別されます．基本的な流れは変わりません．ただ注目する分布論が少し異なるだけです．
𝝁が未知の場合 以下，正規母集団を仮定します．このとき，ランダムサンプル𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ∼𝑁(𝜇, 𝜎 2 )をとると
𝑛12
𝑋 = 2 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 ∼ 𝜒𝑛−1𝜎𝑖=1が成り立ちます（定理 6.1(2)）．この分布論を使って両側検定を実施します．
手順０（帰無仮説𝑯𝟎 （と対立仮説𝑯𝟏 ）の設定）
𝐻0 ∶ 𝜎 2 = 𝜎02
𝐻1 ∶ 𝜎 2 ≠ 𝜎02
37

(8.5)

手順１（有意水準𝟎 < 𝜶 < 𝟏の設定）

𝜶𝜶

手順２（カイ 2 乗分布の両側𝟏𝟎𝟎𝜶%点𝝌𝟐𝒏−𝟏 (𝟏 − 𝟐)と𝝌𝟐𝒏−𝟏 (𝟐)の計算）
𝛼

𝛼

2
2
すでで見たように両側100𝛼%点𝜒𝑛−1(1 − 2 )と𝜒𝑛−1( 2 )は次を満たす値です：

𝛼𝛼22
𝑃 (𝜒𝑛−1(1 − ) ≤ 𝑋 ≤ 𝜒𝑛−1( )) = 1 − 𝛼
2
2

𝜶

𝜶

𝟐

𝟐

(8.6)

手順３（棄却域𝑹 = {𝒙 | 𝝌𝟐𝒏−𝟏 ( ) < 𝒙 𝐨𝐫 𝒙 < 𝝌𝟐𝒏−𝟏 (𝟏 − )}の確認）
この場合，
𝛼
𝛼
2
2
𝜒𝑛−1
( ) < 𝑥 or 𝑥 < 𝜒𝑛−1
(1 − )
22𝑛⇔
最後の式に𝜎

2

𝑛

𝛼
1
1
𝛼
2
) ≤ 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 or 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 ≤ 𝜒𝑛−1
(1 − )
2
𝜎
𝜎
2

2
𝜒𝑛−1
(

𝑖=1
𝑖=1
2
= 𝜎0 （帰無仮説）を代入して次の不等式を求めておきます：
𝑛
𝑛

𝛼
𝛼
2
2
⇔ 𝜎02 𝜒𝑛−1( ) ≤ ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 or ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 ≤ 𝜎02 𝜒𝑛−1
(1 − )
2
2
𝑖=1

(8.7)

𝑖=1

手順４（帰無仮説𝑯𝟎 の判定）
実測値𝑥𝑖 , 𝑥̅ ，あるいは不偏標本分散値𝑢2 などを(8.7)式に代入して矛盾が生じなければ𝐻0は棄却され，そうでなければ𝐻0は採択されます．
注 8.1. 母平均𝜇が既知の場合は，使う分布論を定理 6.1(1)に差し替えましょう．検定の流れはまったく同じです．
注 8.2. 分散分析で必要になるのは𝐹検定ですが，検定の流れはまったく同じです．使われる分布が𝐹分布になるだけです．

８．４． 過誤
有意水準は，検定法が万能の手法ではなくミスを伴うことを示唆しています．帰無仮説𝐻0が真であるのに𝐻0 を棄却してしまう誤りを第１種過誤と呼びます．第１種過誤が起きる確率は有意水準𝛼に等しくなります．一方，対立仮説𝐻1が真であるのに𝐻0を採択してしまう誤38

りを第 2 種過誤と呼びます．例えば，裁判で検察官サイドにいる場合，「被告は無罪である」
が棄却すべき帰無仮説です．つまり，第１種過誤は罪を犯していない善良な市民を有罪とす
る冤罪行為にあたります．実際に罪を犯した被告を有罪にできなかった「犯人取り逃がし」は第 2 種過誤にあたります．
「疑わしきは罰せず」の精神のもとでは，第１種過誤（冤罪）の方が第 2 種過誤（犯人取り逃がし）よりも（検察サイドの）罪が重いでしょう．もちろん，「疑わしきは罰せず」ではすまない世界もあります．例えば致死率の高い未知のウイルスが蔓延したとして，その罹患検査においては，罹患者ではないのに陽性と判断される偽陽性（第１種過誤），罹患者なのに陰性と判断される偽陰性（第 2 種過誤）はどちらも社会的に深刻な影響を及ぼすでしょう．
実際のデータ解析の現場では，第 1 種過誤と第 2 種過誤以外にも，検定方法を間違えた
り，正しい検定を行ったにも関わらず結果の解釈を間違えたり，いろんな過誤が起こり得えます．仮説検定は切れ味のよいナイフです．データの解析者が適切な使い方をしなければ，
正しい結果が得られないどころか他者に迷惑をかけてしまう諸刃の剣なのです．

８．５． (Q8.1)の解答例
Q8.1 の解答例 問題文に正規母集団の仮定が明記されていないことに注意します．ここでは，100 名のサンプル数を十分大と見なし，𝑍 =𝑋̅−𝜇√𝜎 2 /𝑛∼ 𝑁(0,12 )とします．

手順０ 帰無仮説𝐻0（と対立仮説𝐻1）の設定．
𝐻0 ∶ 𝜇 = 30000
𝐻1 ∶ 𝜇 ≠ 30000
手順１ 有意水準𝛼 = 0.05を設定．
手順２ 標準正規分布分布表を読んで両側 5%点𝑧0.05 = 1.96を計算．
手順３ 棄却域𝑅 = {𝑧 | 𝑧𝛼 < |𝑧|}の確認．
𝜇 = 𝜇0 = 30000（帰無仮説）を用いて1.96 ≤𝑥̅ − 30000
√

1002
100

or

𝑥̅ − 30000
2

√100
100

≤ −1.96⇔30019.6 ≤ 𝑥̅ or 𝑥̅ ≤ 29980.4

手順４ 上の領域に𝑥̅ = 29800は属するので帰無仮説𝐻0は棄却されます．つまり，確率 5%の検定ミスを考慮に入れて，「月平均交際費 30000 円」説はないと結論付けられました．
39

８．６． 章末問題
問題 B-8-1

水資源の研究者にとって雨の日の翌日の川は宝の山なのだそうです．山から流れでる成分を抽出しやすいからです．いま，R 甲山を流れる S 吉川のポイント 10 か所をランダムに選んで水を採取し，特定物質 X の濃度(%)を調べたところ，次のデータを得たとします．
13.1 12.6 13.4 11.6 14.1 11.8 12.4 10.9 11.2 12.5
これらから，S 吉川における物質 X の真の濃度𝜇が 12 であるか否かを有意水準 5%で検定しなさい．ただし，S 吉川のポイント全体は正規母集団をなすとします．

本章の内容の多くは文献[稲垣 2014]の 6 章§1～§4 に対応しています．

参考文献[稲垣 2014] 稲垣 宣生，山根 芳知，吉田 光雄 著．統計学入門．裳華房．2014.
40

(1 − 𝛼)/2
表１：標準正規分布表

𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑧𝛼 )

𝑧𝛼

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.01990.02390.02790.03190.03590.1

0.03980.04380.04780.05170.05570.0596

0.0636

0.06750.07140.07530.2

0.07930.08320.0871

0.091

0.09480.09870.10260.10640.11030.1141

0.3

0.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.148

0.15170.4

0.15540.15910.16280.16640.17

0.17360.17720.18080.18440.18790.5

0.19150.195

0.19850.20190.20540.20880.21230.21570.219

0.22240.6

0.22570.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25170.25490.7

0.258

0.26110.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.28520.8

0.28810.291

0.29390.29670.29950.30230.30510.30780.3106

0.31330.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.334

0.33650.33891

0.34130.34380.3461

0.34850.35080.35310.35540.35770.35990.36211.1

0.36430.36650.36860.37080.37290.3749

0.377

0.379

0.381

0.383

1.2

0.38490.38690.38880.39070.39250.3944

0.39620.398

0.39970.40151.3

0.40320.40490.4066

0.40820.40990.41150.41310.41470.41620.41771.4

0.41920.42070.42220.42360.42510.42650.42790.42920.4306

0.43191.5

0.43320.43450.43570.437

0.43820.43940.4406

0.44180.44290.44411.6

0.44520.44630.44740.44840.44950.45050.45150.45250.45350.45451.7

0.45540.45640.45730.45820.45910.45990.46080.4616

0.46250.46331.8

0.46410.46490.4656

0.46640.46710.46780.4686

0.46930.46990.47061.9

0.47130.47190.47260.47320.47380.47440.475

0.4756

0.47610.476720.47720.47780.47830.47880.47930.47980.48030.48080.4812

0.48172.1

0.4821

0.48260.483

0.48340.48380.48420.48460.485

0.48540.48572.2

0.4861

0.48640.48680.4871

0.48750.48780.4881

0.48840.48870.489

2.3

0.48930.4896

0.48980.49010.49040.49060.49090.4911

0.49130.49162.4

0.49180.492

0.4922

0.49250.49270.49290.49310.4932

0.4934

0.493641

0.09

付表２：カイ 2 乗分布表（簡易版）

𝛼𝜒𝑛2 (𝛼)

自由度𝑛のカイ 2 乗分布の上側𝛼点（上側100𝛼%点）
0.99

0.975

0.95

0.9

0.5

0.1

0.05

0.025

0.01

1

0.000160.001

0.003930.0158

0.455

2.706

3.841

5.02386.635

20.02010.0506

0.103

0.211

1.386

4.605

5.991

7.378

9.21

3

0.115

0.216

0.352

0.584

2.366

6.251

7.815

9.348

11.345

4

0.297

0.484

0.711

1.064

3.357

7.779

9.488

11.14313.277

5

0.554

0.831

1.145

1.61

4.351

9.236

11.07

12.83215.086

6

0.872

1.237

1.635

2.204

5.348

10.64512.59214.44916.812

7

1.239

1.69

2.167

2.833

6.346

12.01714.06716.01318.475

8

1.646

2.18

2.733

3.49

7.344

13.36215.50717.535

20.09

9

2.088

2.7

3.325

4.168

8.343

14.68416.91919.02321.666

10

2.558

3.247

3.94

4.865

9.342

15.98718.30720.48323.209（縦が𝑛，横が𝛼）
付表 3：ティー分布表（簡易版）
𝛼2

自由度𝑛のティー分布の両側𝛼点

𝛼2−𝑡𝑛⬚ (𝛼)0−𝑡𝑛⬚ (𝛼)

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.05

0.02

0.01

1

0.158

0.325

0.51

0.727

1

1.376

1.963

3.078

6.314

12.70631.82163.657

2

0.142

0.289

0.445

0.617

0.816

1.061

1.386

1.886

2.92

4.303

6.965

9.925

3

0.137

0.277

0.424

0.584

0.765

0.978

1.25

1.638

2.353

3.182

4.541

5.841

4

0.134

0.271

0.414

0.569

0.741

0.941

1.19

1.533

2.132

2.776

3.747

4.604

5

0.132

0.267

0.408

0.559

0.727

0.92

1.156

1.476

2.015

2.571

3.365

4.032

6

0.131

0.265

0.404

0.553

0.718

0.906

1.134

1.44

1.943

2.447

3.143

3.707

7

0.13

0.263

0.402

0.549

0.711

0.896

1.119

1.415

1.895

2.365

2.998

3.499

8

0.13

0.262

0.399

0.546

0.706

0.889

1.108

1.397

1.86

2.306

2.896

3.355

9

0.129

0.261

0.398

0.543

0.703

0.883

1.1

1.383

1.833

2.262

2.821

3.25

10

0.129

0.26

0.397

0.542

0.7

0.879

1.093

1.372

1.812

2.228

2.764

3.169

（縦が𝑛，横が𝛼）42

付録 A（条件付き確率とベイズの定理）
定義 A.1（条件付き確率）．𝐴, 𝐵を事象とし，𝑃(𝐴) ≠ 0と仮定します．
𝑃( 𝐵 ∣ 𝐴 ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)𝑃(𝐴)(𝐴. 1.1)を，(𝐴の下での 𝐵の）条件付き確率と呼ぶ．
次の事実は条件付確率の定義からただちにわかります．
命題 A.1（乗法公式）．事象𝐴, 𝐵について𝑃(𝐴) ≠ 0, 𝑃(𝐵) ≠ 0と仮定する．このとき次が成り立つ．
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃( 𝐵 ∣ 𝐴 ) = 𝑃(𝐵)𝑃( 𝐴 ∣ 𝐵 )(𝐴. 1.2)

定理 A.1（ベイズの定理, [稲垣 2014]参照）．事象𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 を互いに素な全事象の分割とする（図 A.1）．このとき，任意の事象𝐵と添え字𝑖について，次の等式が成り立つ：
𝑃(𝐴𝑖 ∣ 𝐵) =𝑃(𝐴𝑖 )𝑃( 𝐵 ∣ 𝐴𝑖 ).
𝑛∑𝑗=1 𝑃(𝐴𝑗 )𝑃( 𝐵 ∣∣ 𝐴𝑗 )(𝐴. 1.3)

Ω
𝐴𝑛

・・・

𝐴2

𝐴1

図 A.1
特に𝑛 = 2, 𝐴1 = 𝐴, 𝐴2 = 𝐴𝑐 の場合，
𝑃(𝐴 ∣ 𝐵) =𝑃(𝐴)𝑃( 𝐵 ∣ 𝐴 ).
𝑃(𝐴)𝑃( 𝐵 ∣ 𝐴 ) + 𝑃(𝐴𝑐 )𝑃(𝐵 ∣ 𝐴𝑐 )(𝐴. 1.4)

条件付き確率やベイズの定理に基礎をおく統計学の枠組みを「ベイズ統計」と呼び，そこ
では条件付き確率𝑃( 𝐵 ∣ 𝐴 )の代わりに事後分布という用語が用いられます．ベイズの定理
は単純ですが，強力です．臨床での医者の病名診断の多くはベイズの定理に基づいています．
例題．呼吸器系の医師は，咳症状の患者全体の 35%が疾患 C をわずらっており，咳症状𝛼の患者に PCR 検査を実施すると次のような結果になることを経験的に知っているとします．
(1) C をわずらっている患者の 58%が陽性反応を示す．
(2) C をわずらっていない患者の 18%が陽性反応を示す．
このとき，咳症状の患者が PCR 検査で陽性反応を示したとき，疾患 C をわずらっている確率を求めなさい．
43

付録 B（特性関数，テイラー展開の応用）

定義 B.1（特性関数）．𝑋を離散型確率変数とする．一変数関数
𝜓𝑋 (𝑡) ≔ 𝐸[𝑒 𝑖𝑡𝑋 ] = ∑ 𝑒 𝑖𝑡𝑥𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )𝑖

を𝑿の特性関数と呼ぶ．
例題 2.2 (2)より，
𝐸[𝑒 𝑖𝑡𝑋 ] = 𝐸 [1 +11𝑖1(𝑖𝑡𝑋) + (𝑖𝑡𝑋)2 + ⋯ ] = 1 + 𝐸[𝑋]𝑡 − 𝐸[𝑋 2 ]𝑡 2 + ⋯
1!
2!
1!
2!

が成り立つことに注意しましょう．
特性関数は𝑘次モーメント𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )𝑘 ]の計算に有用です．
例 B.1. 𝑋がパラメータ𝑝をもつベルヌーイ分布であるとします．このとき，特性関数は
1

𝜓𝑋 (𝑡) = ∑ 𝑒 𝑖𝑡𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)1−𝑘 = 𝑒 𝑖𝑡 𝑝 + 1 − 𝑝
𝑘=0= (1 +111(𝑖𝑡) + (𝑖𝑡)2 + (𝑖𝑡)3 + ⋯ ) 𝑝 + 1 − 𝑝
1!
2!
3!

𝑝
= 1 + 𝑖𝑝𝑡 − 𝑡 2 + ⋯2ゆえに，
𝜇𝑋 = 𝐸[𝑋] = 𝑝.
また𝐸[𝑋

2]

= 𝑝なので，𝜎𝑋2 = 𝐸[𝑋 2 ] − 𝐸[𝑋]2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝).

例 B.2. 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝)（二項分布）のとき，𝑛𝜓𝑋 (𝑡) = ∑ 𝑒
𝑘=0

𝑛

𝑖𝑡𝑘

𝑛
𝑘
𝑛
𝑛
( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = ∑ ( ) (𝑒 𝑖𝑡 𝑝) (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (𝑒 𝑖𝑡 𝑝 + (1 − 𝑝)) .
𝑘𝑘𝑘=0

これを用いて，母平均𝜇𝑋 ，母分散𝜎𝑋2 ，歪度𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )3 ]，尖度𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )4 ]を求めてみましょう．一般の𝑘次モーメント𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )𝑘 ]の値はどうなるでしょう？
次の事実はよく知られています．証明は割愛します．
事実 B.1（レヴィの反転定理）．同じ特性関数をもつ確率変数𝑋, 𝑌は同分布（同じ確率分布）をもつ．
44

付録 C ここでは，いわゆる極限定理と呼ばれる確率変数の漸近的な挙動を表す命題のクラスのうち実用上も理論上も最も重要な中心極限定理の証明を与えます．
定義 C.1.（特性関数）．𝑋を確率変数とする．一変数関数∑ 𝑒 𝑖𝑡𝑥𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )𝜓𝑋 (𝑡) ≔ 𝐸[𝑒

𝑖𝑡𝑋

𝑖

]=
{

𝑋が離散型のとき(𝐶. 1.1)

∞

∫ 𝑒

𝑖𝑡𝑥

𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥

𝑋が連続型のとき−∞を𝑿の特性関数と呼ぶ．
例 C.1. 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝)（二項分布）のとき，𝑛𝑛𝜓𝑋 (𝑡) = ∑ 𝑒

𝑖𝑡𝑘

𝑘=0

𝑛
𝑘
𝑛
𝑛
( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = ∑ ( ) (𝑒 𝑖𝑡 𝑝) (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (𝑒 𝑖𝑡 𝑝 + (1 − 𝑝)) .
𝑘𝑘𝑘=0

例 C.2. 𝑋 ∼ 𝑁(0,12 )（標準正規分布）のとき，
𝜓𝑋 (𝑡) =1∞𝑥2∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑒 − 2 𝑑𝑥 =√2𝜋 −∞∞

1(𝑥−𝑖𝑡)2 𝑡 2
𝑡2−−
2
2 𝑑𝑥 = 𝑒 2 .

∫ 𝑒−√2𝜋 −∞

注 C.1. 同じ特性関数をもつ確率変数𝑋, 𝑌は同分布（同じ確率分布）をもつことが知られています（レヴィの反転定理）．それは，𝑋, 𝑌がともに連続型 r.v.の場合には，同じ密度関数をもつということです．
さて，母平均𝜇,母分散𝜎 2 の母集団からランダムサンプル𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 をとります．すなわ
ち，𝑋𝑖 達は独立で，同じ確率分布に従っていると仮定します．これらの確率変数を正規化し
たもの
𝑍𝑖 =

𝑋𝑖 − 𝜇√𝜎 2,

𝑖 = 1,2, … , 𝑛

も独立で，同分布に従い，𝐸[𝑍1 ] = ⋯ = 𝐸[𝑍𝑛 ] = 0,

𝑉[𝑍1 ] = ⋯ = 𝑉[𝑍𝑛 ] = 12が成り立ちます (なぜ？）．
以上の設定のもとで，定理 5.2 よりも少し弱い次の命題を証明しましょう．
定理 C.1.（中心極限定理）．𝐸[ |𝑍1 |3 ] < ∞であると仮定する．このとき，𝑍̅√𝑛∼ 𝑁(0,12 )45(𝑛 → ∞)(𝐶. 1.2)𝑡2

証明．注 C.1 および例 C.2 より，𝑌: = 𝑍̅/√𝑛の特性関数𝜓𝑌 (𝑡)が𝑒 − 2 に等しいことを示せばよい．はじめに，𝑖𝑡𝜓𝑌 (𝑡) = 𝐸 [𝑒 √𝑛∑ 𝑗 𝑍𝑗𝑖𝑡]𝑍= ∏𝑛𝑗=1 𝐸 [𝑒 √𝑛 𝑗 ] (∵ 𝑍1 , 𝑍2 , … , 𝑍𝑛 の独立性)𝑡𝑛= (𝜓𝑍1 ( 𝑛)) . (𝑍1 , 𝑍2 , … , 𝑍𝑛 の同分布性)√が成り立つことに注意しよう．マクローリンの定理を用いて𝑒 𝑖𝑤 = 1 + 𝑖𝑤 −𝑤2
2!

+ 𝑅3 (𝑅3 は 3次剰余項) ．すると，
𝑡2 2
𝜓𝑌 (𝑡) = (𝐸 [1 +𝑍1 −𝑍 + 𝑅3 ])
2𝑛 1
√𝑛
𝑖𝑡

𝑛

𝑡2
= (𝐸[1] +𝐸[𝑍1 ] −𝐸[𝑍12 ] + 𝐸[𝑅3 ])
2𝑛
√𝑛
𝑖𝑡

𝑛

𝑛

𝑡2
= (1 −+ 𝐸[𝑅3 ])2𝑛(𝐶. 1.3)となる．ここで，二つ目の等号は期待値の「線形性」（詳細は次章で），三つ目の等号は(𝐶. 1.2)による．仮定より𝐸[ |𝑍1 |3 ] < ∞であるから，
𝐸[ |𝑅3 | ] = 𝐸 [ |−𝑖𝑡 3 𝑒 𝜉
3! 𝑛√𝑛|](0 < |𝜉| < |𝑖𝑡/√𝑛|)
𝑡2

𝑛

𝑡2

であり，𝑛 → ∞のとき 0 に収束する．ゆえに(𝐶. 1.3)右辺は lim (1 − 2𝑛) = 𝑒 − 2 に収束する．
𝑛→∞Q.E.D.

46

付録 D 「当選確実」のカラクリ
我が国で選挙権のあるすべての人の集合を母集団として，𝑛人のランダムサンプル𝑋1 , … , 𝑋𝑛
を選びます．𝑖番目の人が候補者 X に票を入れたら𝑋𝑖 = 1，そうでなければ𝑋𝑖 = 0とおきます．ここで（母集団の中で候補者 X に票を入れた人数）,（母集団の数）𝑝=すなわち𝑃(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝とおきます．すると，𝜇𝑋𝑖 = 𝑝,
𝐸[𝑋̅] = 𝑝,

𝑉[𝑋̅] =𝜎𝑋2𝑖 = 𝑝(1 − 𝑝)となって，

𝑝(1 − 𝑝).
𝑛ゆえに，中心極限定理（定理 5.2）より，サンプル数𝑛が十分大ならば近似的に𝑋̅ − 𝑝√𝑝(1 − 𝑝)/𝑛

∼ 𝑁(0,12 ).

さて，投票数 1 万票のうち 100 票を開票して(開票率 1%として)，標本平均の実測値𝑥̅ =を計算した結果，𝑥̅ =60
100（𝑛人の中で候補者 X に票を入れた人数）𝑛= 0.6を得たとします． 𝑋̅が𝑝の一致推定量，すなわち任意の正数𝜖に対してlim 𝑃(|𝑋̅ − 𝑝| < 𝜖) = 1𝑛→∞を満たす推定量であることから（文献[稲垣 2014, p.99]参照），実は(𝑋̅ − 𝑝)/√𝑝(1 − 𝑝)/𝑛の代わりに𝑋̅ − 𝑝√𝑋̅(1 − 𝑋̅)/𝑛を考えれば十分になります．
例えば信頼度 95%で（5%の確率で予測が外れることを許容して）候補者 X の当選確率を
𝑃 (|𝑋̅ − 𝑝| < 1.96) = 0.95
√𝑋̅(1 − 𝑋̅)/𝑛を求めてみましょう．理論上，上式に𝑥̅ = 0.6，𝑛 = 100を代入すると，信頼度 95%で−1.96 <

0.6 − 𝑝√0.6 × 0.4
100< 1.96⇔

0.6 × 0.4
0.6 × 0.4
0.6 − 1.96√< 𝑝 < 0.6 + 1.96√
100100となるはずです．これは，√24 ≒ 4.9とすると，信頼度 95%で0.504 = 0.6 − 0.096 < 𝑝 < 0.6 + 0.096 = 0.696となることを意味します．95%という高い信頼度で，候補者 X が 50%以上の確率で当選することがわかりました．
47

付録 E（フィッシャー・コクランの定理）
定理 E.1.（フィッシャー・コクランの定理）．𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ∼ 𝑁(0, 𝜎 2 )を独立な確率変数とする．
𝐴0 , 𝐴1 , … , 𝐴𝑘 を∑𝑘𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝐴0 を満たす𝑛次実対称行列とする．
𝑛𝑖 = rank 𝐴𝑖 ,𝑄𝑖 =1
𝐗𝐴 𝐗T ,
𝜎2 𝑖𝑖 = 0,1, … , 𝑘とする．ただし，𝑿 = (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 )とし，𝐗T で𝐗の転置を表す．このとき次は同値である．
(1) 各𝑖について𝑄𝑖 ∼ 𝜒𝑛2𝑖 ，かつ𝑄0 , 𝑄1 , … , 𝑄𝑘 は独立．
(2) 各𝑖について𝐴2𝑖 = 𝐴𝑖 ．
フィッシャー・コクランの定理の証明には線形代数学（特に射影行列）の知識が必要です．
興味のある人は文献[伊東 1991]を参照してください．
(𝑛, 𝜇) = (2, 0)の場合にフィッシャー・コクランの定理を使って定理 6.1(2)を証明しましょう．まず，
2

1
1
𝑋1 + 𝑋2 2
𝑋1 + 𝑋2 2
2 𝑋1 − 𝑋2 2̅ )2 =
∑(𝑋
−
𝑋
{(𝑋
−
)
+
(𝑋
−
)
}
=
(
)
𝑖
1
2
𝜎2
𝜎2
2
2
𝜎2
2
𝑖=1

1
1
−
1
2) (𝑋1 )= 2 (𝑋1 , 𝑋2 ) ( 2
1
1
𝑋2
𝜎
−
2
2
のように左辺を変形します．最後の表現は線形代数学で言うところの「二次形式」です（文献[佐武 2015]参照）
．
1
1
−
2
2),
𝐴1 = (
1
1−
22とおくと，いずれも対称冪等行列であり，

1
𝐴2 = (212rank 𝐴0 = 2,

rank 𝐴2 = 1

1 0
𝐴0 = (),
0 1

rank 𝐴1 = 1,

1
2)
1
2

が成り立ちます．定理 6.2(2)の条件が満たされたので，
1
1 𝑋1 − 𝑋2 2
1 𝑋1 + 𝑋2 2
2
2)
2
2
(𝑋
𝑄0 = 2 1 + 𝑋2 ∼ 𝜒2 , 𝑄1 = 2 () ∼ 𝜒1 , 𝑄2 = 2 () ∼ 𝜒12𝜎𝜎𝜎2√2となることがわかりました．特にことに注意すると，定理 6.1 (2)が得られます．
2

1 𝑋1 − 𝑋2 2
1
𝑄1 = 2 () = 2 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝜎
𝜎
√2
𝑖=1

参考文献
[伊東 1991] 伊東 由文．数理統計学の基礎．サイエンスハウス．1991．
[佐武 2015] 佐武 一郎．線型代数学 増補改題 (数学選書 1)．裳華房．2015．
48(𝐸. 1.1)