軽水炉における崩壊熱 · 核種生成量の評価精度に関する研究
原子炉工学研究室
川本洋右

目次
1 緒言
1.1 背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
1.3
1.4

燃焼計算の基礎

3
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CBZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
課題と目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

467

短半減期核種の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
核データ由来の不確かさ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

各章の説明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92 行列指数計算手法の改良
2.1 燃焼計算と行列指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10

2.2
2.3

行列指数の近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remez アルゴリズムを用いたスカラー指数関数の多項式近似 . . . . . . . . . . . . .

10
11

2.4
2.5
2.6

MMPA 法による燃焼計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
マルチステップ計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
検証計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
17
18

3 核種生成量に対する核データ感度解析
3.1 核種生成量と核データ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
22

使用した PIE データ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
22
23

C/E 値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
感度解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
23

4 崩壊熱 · 核種生成量不確かさの定量化
4.1 崩壊熱 · 核種生成量に生じる不確かさ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 核データ誤差情報 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
33
33

4.3
4.4

燃焼感度計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
37

4.5
4.6

崩壊熱不確かさ

1.4.1
1.4.2
1.5

3.2
3.3
3.4

計算条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1
3.4.2

誤差伝播計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
核種生成量不確かさ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 炉定数調整法を応用した崩壊熱不確かさの低減
5.1
5.2

崩壊熱不確かさの低減 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3
5.4
5.5

相関 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

炉定数調整法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PIE 解析値を用いた不確かさの低減 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
瞬時照射崩壊熱測定値を用いた不確かさの低減 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38
39
53
53
53
54
55
61

6 結言

67

参考文献

69

A 主要元素の崩壊熱表

721

B MMPA 法マルチステップ計算の近似係数

74

2

1

緒言

1.1

背景

原子炉の運転に伴いその内部に装荷されている核燃料の組成は核分裂 · 中性子捕獲反応などにより時々刻々と変化する。そのような現象のことを核燃料の「燃焼」と呼ぶ。組成の変化は、運転に伴う核分裂性物質の減損、核分裂の結果生成する FP(Fission Product、核分裂生成物) の蓄積、それらの核種が中性子と反応することによる別の核種の生成などで説明することができる。
一般に燃焼に伴い核燃料の性質は大きく変化する。新燃料の状態ではウランその他の数核種で構成されていたものが、一旦原子炉で照射されると、1000 を超える FP 核種や中性子捕獲により生じる重核種など非常に多くの核種が生成する。したがって原子炉の運転を通して核燃料の組成は非常に複雑なものへと変化し、それらの核種が崩壊する際に放出する崩壊熱や、原子炉の臨界性などの核特性も変化する。
核燃料を扱う原子力分野の様々な領域において、この燃焼を評価することは重要な役割を担っている。
例えば発電用原子炉において、運転期間中の核特性の変化を把握することは安全性や経済性に直結するため、原子炉の運用上重要な仕事の 1 つである。装荷した燃料をできるだけ長く使い、新規に必要な燃料を低減すること、あるいは運転全期間に渡って原子炉内の出力分布を適正な形に保つことなどがこれに当たる。
また、核燃料中の任意の核種の生成量や、崩壊熱の予測も安全上重要である。炉心で生成されるセシウムやヨウ素などの核種は、事故時に炉心が損傷すると環境中に大量に放出される可能性がある。これを防ぐ設備の設計、または実際に放出された場合の影響の評価には、事故の時点でどのような核種がどれくらいの量炉心に所在しているかといった情報が必須である。FP 核種の崩壊による崩壊熱はまた、それ自体が燃料の損傷の原因にもなり、またプラント全体の挙動にも大きな影響を与える。特に事故時の崩壊熱冷却を担う ECCS(Emergency Core Cooling System、非常用炉心冷却装置) の設計には想定する崩壊熱の値がその不確かさも含めて大きく影響を及ぼす。このような情報は、特に福島第一原子力発電所の事故以降、事故解析や安全設備設計にとってますます重要となっている。また上記の核種の評価には原子炉停止後数秒〜数時間における核種生成量を計算する必要があり、従来は考慮されなかったような短半減期核種も含めた量を示す必要がある。
これらに加えて、廃棄物として扱われる使用済核燃料中の核種組成や崩壊熱もバックエンド分野
において重要である。例えば廃棄体を地中に埋設した場合に漏出する核種の量や、地下構造に影響を与えうる崩壊熱が、何万年にも渡って許容しうる範囲内であるかを予め評価しておく必要がある。また使用済燃料中に含まれる核分裂性物質、特にプルトニウムの量はその同位体組成も含め、核不拡散の観点から可能な限り精度良く把握して置かなければならない。
このように様々な目的で核燃料の燃焼を評価することが行われているが、それらに共通する特徴を以下に挙げることができる。

1 つ目は非常に複雑な計算が必要であるということである。前述のように多数の核種を対象としなければならず、しかもそれぞれが核反応により影響し合うことを考慮しなければならない。また各核種の核反応だけではなく、炉心の出力分布や中性子スペクトル、各核種の実効断面積なども核種生成量に影響を及ぼし、また核種生成量の影響を逆に受けるため、それらすべてを精度良く、しかも全運転期間に渡って把握しなければならない。このような計算を「燃焼計算」と呼び、詳細については 1.2 節にて詳しく述べるが、以上述べたような理由により、燃焼計算は原子炉物理分野における計算手法の集合体であると言える。

2 つ目は非常に広い幅の時間スケールを対象としなければならないことである。例えば事故時に問題となる崩壊熱は、半減期が数秒から数日の核種の崩壊の寄与がほとんどである。一方、廃棄物中の核種で問題となるのは半減期が少なくとも数年以上の核種であり、しかもそのような核種の数

3

密度を何万年後まで追跡して計算しなければならない。またいずれの場合でも原子炉の運転期間は数年程度であり、単一の計算の中で対象とする時間スケールの幅が大きいというのが特徴である。
このように核燃料の燃焼の評価の応用範囲は広く、またその評価のために行われる燃焼計算には広範な計算技術が必要と言える。

1.2

燃焼計算の基礎

ここで燃焼計算の原理について説明する。
燃焼計算を行うには、前述のように原子炉物理分野における複数の計算手法を組み合わせる必要がある。なぜならば、ある核種の核反応はその場の中性子束に依存し、中性子束は各核種の中性子
反応断面積を基に計算され、実効的な断面積は共鳴自己遮蔽効果により核種組成によって変化する、といったように様々な現象が互いに関係し合っているからである。
具体例としてある時点での核種組成を初期値とする場合を考える。初期組成を基に各核種の実効断面積を計算する「自己遮蔽計算」を行い、得られた実効断面積を基に、「中性子輸送計算」によって考える体系での中性子束を計算する。最後に実効断面積と中性子束を基に各核種の核反応を再現し核種生成量を計算する「核種生成量計算」を行い次のステップの時点での核種組成を得る。
このように 3 つの手法を順番に繰り返し行うことで、任意の時点での核燃料組成を計算することができる。このような方法は「微視的燃焼計算」と呼ばれ、単に燃焼計算と言った場合、断りのない限り本研究ではこれを指すものとする 1 。
このように燃焼計算には複数の手法が組み合わされているが、自己遮蔽計算や中性子輸送計算は通常の炉心計算でも用いられる手法であり、説明は省略する。燃焼計算に特有なものは核種生成量計算であり、ここでその原理について説明を行う。核種生成量計算では、入力値として与えられる中性子束や実効断面積と、核分裂収率や崩壊データなどを基に核反応をモデル化する。ある核種 iの時間依存の数密度 ni に着目する。核種 i は、FP として、あるいは他の核種の娘核種として、または中性子反応の結果生成することが考えられる。また、核種 i 自身の崩壊や中性子反応により他の核種へ変化することにより、消滅することも考えられる。このような生成と消滅のバランスは、
以下のような微分方程式で表すことができる。

∑(
)
(
)
dni (t)= − λ i + σa, i ϕ ni (t) +α j → i ϕ + β j → i σc,i ϕ + γ j → i σ f ,i ϕ + δ j → i σ (n,2n) ϕ n j (t)
dt
j
(1)
3
ni (t): 核種 i の数密度 [1/cm ]ϕ: 中性子束 [1/cm2 /s]
λ i : 核種 i の崩壊定数 [1/s]σa,i : 核種 i の微視的吸収断面積 [cm2 ]σc,i : 核種 i の微視的捕獲断面積 [cm2 ]σ f , i : 核種 i の微視的核分裂断面積 [cm2 ]σ (n,2n) : 核種 i の微視的 (n,2n) 断面積 [cm2 ]α j → i : 核種 j が崩壊して核種 i になる確率
β j → i : 核種 j が中性子を捕獲して核種 i になる確率
γ j → i : 核種 j が核分裂を起こしたときの核種 i の収率
δ j → i : 核種 j が (n,2n) 反応により核種 i になる確率(1) 式は燃焼方程式と呼ばれ、右辺第 1 項が核種 i の消滅項、第 2 項が生成項である。実際には核1「巨視的燃焼計算」と呼ばれる予め計算した実効断面積をライブラリとして保持しておき、それを用いて核種生成量計
算を行う方法もある。

4

種は多数あるため、(1) 式を基にした連立方程式を解くことになる。その連立方程式を行列形式で表現すると、dn (t)= An (t)(2)
dtとなる。ここで n (t) は各核種の数密度のベクトル、A は崩壊定数や反応率などから成る行列で燃焼行列と呼ばれる。実際の燃焼行列の例を図 1 に示す。燃焼行列の各要素は各核種自身の反応や変化パスを表し、そのような情報を燃焼チェーンと呼ぶ。

図 1: 燃焼行列 A の 1 例。FP、アクチニド核種を原子番号 · 質量数 · エネルギー順位順に並べた nに対応する。

(2) 式の解法には何種類かある [1]。最も簡単なものは時間幅ごとに差分化してルンゲ・クッタ法などを用いる方法であるが、近似誤差を小さくするためには時間幅を細かく区切らなければならず
計算時間が増大する。したがって代表的な解法として以下のように解析的に解く行列指数法と呼ばれるものがある 2 。

n (t) = eAt n (0)(3)

eAt は行列指数と呼ばれ、以下のように Taylor 展開の形で定義される。
eAt = I +

∞
∑
1

k!
k=1

(At) k ,(4)

ただし行列指数は一般に解析的に求めることができないため、何らかの方法で近似的に求める必要がある。現在一般的な燃焼計算コードに用いられているのは Padé近似や Krylov 部分空間法であり、他にもいくつかの解法が存在する [2]。この行列指数を求めることが核種生成量計算にとって重要な部分であり、これを求めることで任意の時点での核種生成量を得ることができる。

2他にも燃焼行列の構造を簡略化し行列指数を解析的に得る Bateman 法があるが、崩壊形式等に大幅な近似を適用する
ため詳細な計算には向かない。

5

Decayheat per nominal power [%]7
6

AESJ(U-235)
AESJ(Pu-239)
CBZ(UO2 fuel)

5
4
3
2
1
0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

図 2: CBZ による崩壊熱の値と日本原子力学会推奨値との比較 (冷却時間 0.1∼105 秒)

1.3 CBZ
当研究室で開発中の炉物理計算コード CBZ[3] は行列指数法を用いる燃焼計算機能を有している。
この機能により計算することのできる体系はいくつかあるが、その内の 1 つとして単一の軽水炉燃料棒を模擬したピンセルモデルによる計算を行うことができる。本研究では軽水炉燃料を模擬した
中性子 107 群ピンセルモデルによる燃焼計算機能をベースとして研究・開発を行う。
なお本研究で開発する新しい行列指数近似手法 (MMPA 法) は CBZ に実装され、本研究中の他の燃焼計算における行列指数近似計算に用いられる。

CBZ の燃焼計算により崩壊熱を計算することができるが 3 、この崩壊熱を日本原子力学会推奨値[6] と比較したものが図 2 と図 3 である。それぞれ出力 179W/cm、燃焼度 20GWd/t という条件で照射した UO2 燃料の短期と長期崩壊熱を、推奨値における U-235、Pu-239 単体の有限照射後の崩壊熱と比較したものである。短期崩壊熱に関しては、U-235 と Pu-239 単体の崩壊熱の間に CBZ の値は位置している。これは UO2 燃料の燃焼に伴う Pu-239 生成といった組成変化によるものと考えられる。長期崩壊熱に関しては CBZ の値は U-235、Pu-239 の学会推奨値の間から外れている。しかし学会推奨値では FP 崩壊熱のみ考慮しており、FP の中性子吸収による効果に対しても補正係数を用いていることを考えると、アクチニド崩壊熱や中性子吸収の効果が顕著に現れてくる長期崩壊熱に対しては、それらの効果が正確に反映されている CBZ による計算値の方が妥当であると考えられる。

CBZ は一般化摂動論に基づく燃焼感度計算機能も有している。これにより関係する核データの数が膨大な燃焼計算において、核データに対する核種生成量の感度を効率良く計算できる。

3後述するように短い冷却期間での崩壊熱計算は MMPA 法の導入により可能となった。

6

Decayheat per nominal power [%]

0.15

0.10

AESJ(U-235)
AESJ(Pu-239)
CBZ(UO2 fuel)

0.05

0.00
10-1

100

101
Cooling time [yr]

102

103

図 3: CBZ による崩壊熱の値と日本原子力学会推奨値との比較 (冷却時間 0.1∼103 年)

1.4

課題と目的

燃焼計算には現時点でいくつかの課題が存在する。本研究ではその内の 2 つを採り上げる。1 つ目が短半減期核種を扱う核種生成量計算が難しいという点、2 つ目が核種生成量に核データ由来の不確かさが生じる点である。本研究ではこれら 2 つの課題の解決を目的とする。

1.4.1 短半減期核種の計算
1 つ目の課題は対象核種に短半減期核種が含まれる場合、核種生成量計算が難しいという点である。例えばすべての FP を考慮した計算を行うことを考えると、考えられる半減期の範囲は無限大と考えられる安定核から 1 秒以下の超短半減期核種まで非常に幅広い。そのうち超短半減期の存在
は、行列指数計算を不安定にするという問題がある。
ある時間幅 ∆t の前後での計算を考える。∆t 秒後の核種生成量は (3) 式より、n (∆t) = eA∆t n (0)(5)と表される。もし対象とする核種に短半減期のものが含まれると、その崩壊定数が大きいため、Aのノルムが大きくなる。従来の行列指数解法では、∥A∆t ∥ が 1 よりも大幅に大きくなると解が発散
し計算精度が悪化する。これは差分化する場合も同様で、一般的な事柄に当てはめると変化の激しい現象に対して解析の時間幅を狭く設定する必要があることに相当する。

1 つの解決法は ∆t をいくつかに分割し小さくすることで ∥A∆t ∥ を小さくすることである。ただしこれは ∆t を小さくしただけ行列指数計算の回数が増えることになる。例えば FP の中には 1 秒
よりも大幅に半減期の短いものがあり、1 例として半減期 0.0003 秒の Y-88m 4 を考えると、崩壊定数は 2.3 × 103 となり、単純に考えると ∆t を 10−3 程度にしなければならないことになる。商用原子炉の運転は 1 サイクルで 1 年程度あり、このような短い時間幅は計算時間の観点から現実的では4JENDL/FPD-2011 で評価されている FP 中、半減期が最も短い。

7

ない。この性質は ∥A∥ が小さい場合でも ∆t が大きい場合には精度が悪化するため自由な長さの時間幅を設定できないことを意味する。またいずれの場合でも計算時間増大の要因となる。
そのため短半減期核種を省略して計算することが広く行われている。例えば原子炉の臨界固有値など核特性のみを知りたい場合、短半減期核種のほとんどは影響を与えないため、それらを省略した燃焼チェーンが用いられる。核特性に影響を与える核種の半減期は短くても数十秒程度であるので、 ∥A∥ を大幅に小さくすることができる。また A のサイズ自体も小さくできるため、メモリ使
用量や行列演算の計算上も効率が良い。しかしそれぞれの核種は互いに崩壊パスで繋がっており、必要な核種の選定には高度な知識と工学的判断が必要である。その作成アルゴリズム自体が 1 つの研究テーマになるほどである [4]。また短半減期核種の生成量や崩壊熱を評価したい場合には当然
この方法は使うことができない。
もう 1 つの方法が短半減期核種が平衡状態に達していると仮定する方法である。半減期の短い核種は原子炉の運転開始後すぐに生成量と崩壊量がバランスし平衡状態に達する。すなわち (1) 式の右辺が 0 になるので、簡単に核種数密度を求めることができる。このように短半減期核種を別扱いすることで、すべての核種を計算しつつ計算速度を現実的なものとすることができる。しかしあくまで短半減期核種については近似的な扱いをしており、例えば非常に短い時間での数密度変化は見ることができない。加えて後述する燃焼感度における随伴数密度計算への適用も困難である。
またこれらの対処法でも ∥A∆t ∥ が計算精度に影響していることは変わらず、精度を保つ範囲内
で ∆t を設定しなければならない。
以上述べたような背景より、近年 CRAM(Chebyshev Rational Approximation Method) と呼ばれる手法が提案されている [5]。この手法は、 ∥A∆t ∥ に関係なく行列指数を精度良く求めることのできる手法であり、上述したような問題点を解消することができるため今後利用が広がっていくと考えられる。しかしこの CRAM にもいくつかの問題点がある。最も大きな問題点は複素数計算が必要であることであり、この点が CRAM の利用を妨げていると考えられる。そのため実数計算だけで済む新しい近似手法の開発が求められる。
本研究では 1 つ目の目的として、超短半減期核種の存在や時間幅によらず安定に解の得られる行列指数解法の開発を行うこととする。また同時に CRAM の問題点も解消し、特に複素数計算の不要な実数計算のみの手法を開発することとする。

1.4.2

核データ由来の不確かさ

2 つ目の課題は核種生成量に核データ由来の不確かさが生じる点である。
燃焼計算は前述のように中性子輸送計算と核種生成量計算を交互に行うが、それぞれにおいて様々な核データを用いる。輸送計算においては各核種の中性子反応断面積を基に中性子束を算出する。核種生成量計算では (1) 式で示したように断面積に加えて核分裂収率や崩壊定数なども用いられる。したがってそのような計算を何回も繰り返した結果得られる核種生成量の精度は、それら核データの精度に強く依存する。
核データの測定は難しく、未だに真値が分かっているとは言い難い状況である。評価された核データ自体もまた不確かさを持っており、いくつかの核種については非常に大きな不確かさを持っている。そのため核種生成量にも大きな不確かさが生じる。
崩壊熱に生じる不確かさは原子力発電所の安全審査において特に重要な意味を持っている。例えば ECCS の設計の前提となる FP 崩壊熱の値には、原子力学会推奨値に核データ由来の誤差 5 を 3σ上乗せした値が用いられている。また MOX 燃料のアクチニド崩壊熱には ORIGEN2 コード [7] により計算した値に不確かさとして一律に 20%上乗せした値を用いている [8]。原子力学会推奨値の不確かさは FP の崩壊のみを考慮した簡易的なモデルに基づき算出されたもので、その 3σ は上乗
5FP 核種の崩壊のみを考慮するなど単純化されたモデルに基づいて計算された値。

8せと合わせてその妥当性が常に議論の対象となっている。ORIGEN2 の不確かさ 20%については明らかに改善の余地がある。CBZ による詳細な計算に基づきこれらの不確かさをより詳細に定量化
すれば、不確かさ自体の妥当性の確認やさらなる安全性の向上、合理化が期待できる。
また近年原子力分野に限らず解析コードの計算結果に生じる不確かさを定量化し精度を保証する動きが活発である。崩壊熱や核種生成量の不確かさについても各方面で定量化に向けた研究が行われ始めているが、ほとんどが感度計算において確率論的に核データを変動させるアプローチを採っており、関係する核データの数が膨大になる燃焼計算に対しては有効な手段とは言えない。CBZ では不確かさ計算を決定論的手法で行うことができるため、先行研究とは異なるアプローチを採ることができ、また計算時間の点でも有利である。
さらに不確かさは定量化するだけではなく低減することもできる。最も単純な方法は核データの測定をより精緻に行い不確かさを減らすことであるが、新規に測定を行うことは困難である。近年
原子炉設計の分野において、種々の炉物理実験値を核データにフィードバックすることで新規に設計する原子炉の不確かさを低減する炉定数調整という手法が用いられている。燃焼計算にもそういった手法が適用できる可能性がある。
以上より、本研究の 2 つ目の目的として、核種生成量や崩壊熱に生じる不確かさを定量化し、またその低減を図ることとする。

1.5

各章の説明

2 章では本研究において新しく開発した行列指数解法である MMPA 法について述べる。近似の原理や計算方法の説明を行い、実際の燃焼計算に適用し従来手法との比較を行う。

3 章では核種生成量不確かさの前段階として、使用する核データの違いがどの程度核種生成量に影響するかを評価する。主要な核データライブラリとして JENDL、ENDF、JEFF の最新版を用いて使用済燃料中の核種組成を計算し、それらの間に生じる差異の評価と感度係数を用いた要因の究明を行う。

4 章では崩壊熱と核種生成量に生じる不確かさの定量化を行う。CBZ の機能をそのために拡張し、最終的に実際の核燃料を想定したいくつかのケースに対して不確かさを算出する。

5 章では 4 章で定量化した不確かさの低減を行う。4 章と同様に不確かさ低減のために CBZ の機能を拡張し、使用済核燃料組成の破壊測定データや瞬時照射崩壊熱測定値など現状で入手可能な実験データを用いて不確かさを低減する。

92

行列指数計算手法の改良

2.1

燃焼計算と行列指数1 章で述べたように、燃焼計算は行列指数の近似を行うことでその解を得ることができる。その際短半減期核種の存在により行列指数の解が発散し、近似精度が悪化するという問題がある。そのため従来は短半減期核種を省略したり別扱いとしたりしてきた。
しかし、もし短半減期核種の存在を許す行列指数計算手法を用いれば、すべての FP を考慮した
核燃料の燃焼を計算機上に再現できることになり、精度の点で大きな改善につながる。また燃焼感度計算にこれを応用すれば、従来は核特性にのみ用いられてきたものが、短半減期核種や崩壊熱な
どのパラメータにも適用範囲を広げることができる。さらに近似誤差に拘らず時間幅を自由に設定できるため、計算時間や利便性の点で大きなメリットがある。
本研究では短半減期核種に対しても安定な新しい行列指数近似手法を開発し、燃焼計算に適用することを目的とする。

2.2

行列指数の近似

ここでは行列指数を任意の関数で近似する原理について述べる。

2.1 節で述べた燃焼計算式中の行列指数 eAt を、行列の関数 f (At) で近似することを考える。燃焼行列 A のサイズを m × m とし、それに時間幅を乗じた行列 At の固有値を {λ 1 , ..., λ s } ∈ C とする 6 。At は適当な正則行列 P によって以下のようにジョルダン標準形に変形できる。

At = PJP−1*. J (λ 1 )= P ..
.

..

+/// P−1/.

(6)

J (λ s ) -,J (λ i ) は固有値 λ i に対応するジョルダン細胞である。P と P−1 は以下のように各固有値に対応した行列またはベクトルに分割することができる。
T*. Q1 +/.
P = (P1 | · · · | Ps ) , P−1 = .. .. //
.
/
T
, Qs

(7)

-

もし関数 f と、 f の (k i − 1) 階までの導関数がすべての固有値 λ i について定義されるなら、関数f (At) のスペクトル分解は以下のように表される。
f (At) =

s k∑
i −1
∑
f ( j ) (λ i )i=1 j=0j!

(At − λ i I) j Gi(8)

ただし f ( j ) は関数 f の j 階微分、 k i は J (λ i ) の最大次数である 7 。Gi は Gi = Pi QTi と定義される行列で、値域 R((At − λ i I) k i ) に沿った、一般化固有空間である零空間 N ((At − λ i I) k i ) へのスペク
トル射影と呼ばれるものである [9]。同様に行列指数 eAt のスペクトル分解は、

eAt =

s k∑
i −1 λ i∑e
i=1 j=0j!

(At − λ i I) j Gi

(9)6後述するジョルダン細胞において同一の細胞に属する重複する複数の固有値が存在し、これを 1 つとして数えるためs , m となる。
∑sk i が成り立つ。
7m 、 s 、k i の間には等式 m = i=110と表される。

(8) 式と (9) 式を比較すると、もし f (λ i ) とその (k i −1) 階までの導関数 f ( j ) (λ i ) ( j = 1, 2, ..., k i −1)
がすべての固有値において e λ i を十分に小さい誤差で良く近似できれば、eAt を f (At) で良く近似できることが分かる。すなわち、行列指数の近似という問題を、スカラーの指数関数 exp(x) の近似の問題に置き換えることができる。また (8)、(9) 式中の階乗 j! より、導関数の近似誤差は階数が上がるに連れて急激に低減されることも予想できる。
文献 [5][10] によると、燃焼行列の固有値は複素平面上において負の実軸周辺に存在しているとされる。したがって行列指数の近似には、以下の 2 条件を満たす関数 f を見つければ良い。

1. | f (z) − ez | が負の実軸周辺で十分に小さい
2. | f j (z) − ez |/ j! ( j = 1, 2, ...) が負の実軸周辺で十分に小さい
条件 2 について、どれだけの階数を考慮すれば良いのかは行列 At の固有値の重複度に左右される。
もし At が対角化可能であれば全ての固有値は互いに異なり k i = 1 となるため、条件 2 は考慮しなくても良い。しかし燃焼行列は常に対角化可能ではなく、固有値の重複に明らかな上限は無いた
め、汎用性を考えると行列のサイズ m まで階数を考慮すべきである。

2.3 Remez アルゴリズムを用いたスカラー指数関数の多項式近似
2.2 節で行列指数の近似をスカラーの指数関数 exp(x) の近似に置き換えることができた。ここでは Remez8 アルゴリズム [12][13] を用いて 2.2 節で示された 2 条件に合致する関数 f を求める。
最初に以下のような多項式の関数を定義する。

f (t) = a0 +n∑

ai t i(10)

i=1

ここで ai ∈ R は係数、n は多項式の次数である。そして以下のような指数関数を定義する。
t +1

ec t −1(11)c ∈ R は正の任意定数である。(11) 式中のべき指数にある有理式 (t + 1)/(t − 1) は変数 t を [−1, 1)で定義するためのものである。
係数 ai を、[−1, 1) において、(10) 式と (11) 式との間の誤差の絶対値
t +1| f (t) − ec t −1 |(12)の最大値を最小化するように Remez アルゴリズムにより決定する。

Remez アルゴリズムとは、ある区間での近似誤差の最大値が最小 (Mini-Max) になるような近似式を計算するためのアルゴリズムである。これは、交代定理と呼ばれるものに基づいている。交代定理とは、ある区間においてある関数を n 次多項式で近似しようとする場合、区間内における近似
誤差の最大値を最小にするような多項式近似式はただ 1 つ存在し、その多項式と関数の誤差は区間内で両端を含めて (n + 2) 個の極値を持ち、各点における値は正負を交代しつつ絶対値は互いに等しい、というものである。図 4 に交代定理における近似誤差のイメージを示す。交代定理を用いることで Mini-Max 近似式を数値的に得ることができる。最初に Mini-Max 近似式に十分に近い n
次の初期近似式を設定し、その近似誤差の (n + 2) 個の極値を求める。そしてより Mini-Max 近似に近い n 次多項式の係数を求めるのであるが、その際未知数は n 次多項式の係数 (n + 1) 個に加えてまだ分からない Mini-Max 近似誤差の (n + 2) 個となる。各極点で Mini-Max 近似誤差、次の多項
8「レメッツ」

11式の係数を未知数とした式が (n + 2) 本立てることができるため、その連立方程式を解くことで次の近似多項式の係数を得ることができる。また 1 回の計算では不十分なので、これを何回か繰り返し、得られる近似誤差の値が変化しなくなるまで繰り返すと Mini-Max 近似式が得られるのである 9 。以上のようにこのアルゴリズムの重要な要素は極値を見つける球根計算と連立方程式を解く部分である。本研究で作成したプログラムにおいては、前者には二分法とニュートン法を組み合わせたものを、後者にはガウスの消去法を用いる。また初期近似式には Chebyshev 補間近似式を用いる。文献 [13] によると、Remez アルゴリズムは非常に高精度の計算環境を要するため、任意精度計算ライブラリ Exflib[14] を用いて 300 桁計算を行う。
係数決定後、以下のように変数変換を行う。

t=

x+c
.
x−c

(13)

その結果、指数関数 exp(x) を (−∞, 0] において以下のように有理式の多項式で近似することができる。

e x ≈ f (x) = a0 +

n
∑
i=1

ai

( x + c )i
x−c

(14)

この式に基づく行列指数近似手法を MMPA(Mini-Max Polynomial Approximation) 法と名付ける。

(12) 式の係数 ai と近似誤差は任意定数 c に影響される。そのため定数 c は近似誤差を最小化するようパラメータ探索により決定される。近似次数 32 次の場合、c = 24.1 の時近似誤差が 2.22×10−14となり最小化される。
図 5 は 32 次の MMPA 法の近似式 ((14) 式) にスカラー x を代入し、指数関数 exp(x) に対する近似誤差 ( f (x) − e x ) を負の実軸上においてプロットし、14 次の CRAM の場合と比較したものである。 (−∞, 0] において MMPA 法の近似誤差は CRAM と同程度であることが分かる。図 6 は 32 次
MMPA 法の近似式にスカラーの複素数 z を代入し、近似誤差 | f (z) − ez | を複素平面上にプロットしたものである。負の実軸周辺において、近似誤差は非常に小さい事が分かる。以上より (14) 式
は 2.2 節で示された条件の内 1 つ目の条件を満たす。

2 つ目の条件に対しては、(14) 式の導関数も負の実軸周辺において ez に対してよく近似されていなければならない。図 7 は 32 次 MMPA 法近似式と 14 次 CRAM 近似式それぞれについて、e xに対する 1、4、7、10、13 階導関数の近似誤差を負の実軸上においてプロットしたもので、図 7(a)が MMPA 法、図 7(b) が CRAM の場合を示している。またそれぞれの誤差は各階数の階乗で除されており、プロットされている誤差を式で表すと | f j (x) − e x |/ j! となる。図 7(a) を見るとそれぞれの誤差はいずれも x = 0 付近で大きく、 x < −1 において急激に小さくなっている。また階数が1 階から 7 階に上がるにつれ x = 0 における誤差の最大値は最大で 2.2×10−9 まで上昇し、7 階より階数が上がるにつれ逆に誤差は 0 に収束していく。これは階数の階乗 j! による効果である。14 次の CRAM の場合 (図 7(b)) も同様の挙動を示しており、最大誤差も同程度である。このことから、
32 次 MMPA 法の式は、2.2 節で示された条件の内 2 つ目に対して、少なくとも 14 次の CRAM の式と同程度の精度で条件を満たすということが言える。
以上より、32 次の MMPA 法は、負の実軸周辺に固有値のあるすべての行列に対し、14 次の CRAMと同程度の精度を有することを明らかにした。
表 1 は c = 24.1 のときの 32 次 MMPA 法の係数 ai である。

9詳細は文献 [12] 参照

12

表 1: 32 次 MMPA 近似式の係数 ai (c = 24.1)
Coeﬃcient ai

a0
a1
a2

3.41366034346810763441×10−11-1.64648752802981232517×10−9
3.80465674795813706161×10−8

a17
a18
a19

2.40742697969870662426×10−1-7.60967222595908615166×10−2-1.58220954609283804027×10−1

a3
a4
a5

-5.59799382133376361074×10−7
5.88558416643299794299×10−6-4.69954781431498324372×10−5

a20
a21
a22

1.32429922343368914663×10−1
7.69052976527847896194×10−2-1.14189797653561609782×10−1

a6
a7

2.95331252981155031018×10−4-1.49342612561658940208×10−3

a23
a24

-3.06105871275143780464×10−2
7.30162061991511174207×10−2

a8
a9
a10

6.16185418583114456893×10−3-2.08884457395397287047×10−2
5.81666843649626684195×10−2

a25
a26
a27

9.95181782801371819122×10−3-3.55155454832496982106×10−2-2.48870477891655009776×10−3

a11
a12

-1.31988170767468710376×10−1
2.39594549098354306472×10−1

a28
a29

1.23929263457145990096×10−2
4.21590406862371374909×10−4

a13
a14
a15

-3.34580286145275369457×10−1
3.25793940419810518947×10−1-1.47667478685995070947×10−1

a30
a31
a32

-2.74111882594745761616×10−3-3.57929539250313916141×10−5
2.86523961626939505591×10−4

a16-1.19600677614316509554×10−1

Error;
f(x)-g(x)Maximumerror(5th orderpolynomial)

図 4: 交代定理における近似誤差のイメージ (例として関数 g(x) を 5 次多項式 f(x) で近似している様子を示す)

13

4×10-14
3×10-14
2×10-14Error

1×10-14
0×100-1×10-14-2×10-14-3×10-14

32nd MMPA method
14th CRAM-4×10-14 10
-10

-108

-106

-104

-102

-100

-10-2

-10-4

x

図 5: 負の実軸上における 32 次 MMPA 法、14 次 CRAM 近似式の exp(x) に対するスカラー近似
誤差

40
30

-11

10-7

10-5 10-3-40 -30
Real axis

-20

-10

10
10-12

20
Imaginary axis

10-9

10-10

-13

10

10

10-14

0
-10
-20
-30
-40
-80

-70

-60

-50

0

図 6: 複素平面上における 32 次 MMPA 法の exp(z) に対するスカラー近似誤差

1410

32nd MMPA method-9

2.5×10

2.0×10-9

Error

1.5×10-9

1st
4th
7th
10th
13th

1.0×10-9
5.0×10-10
0.0×100-5.0×10-10 10
-10

-108

-106

-104

-102

-100

-10-2

-10-4

x
(a) 32 次 MMPA 法

14th CRAM
2×10-9
0×100

Error

-2×10-9-4×10-9-6×10-9
-9

-8×10

-8

-1×10

-10

1st
4th
7th
10th
13th
10

8

-10

6

-10

4

2

-10

-10

0

-10

-2

-10

-4

-10

x
(b) 14 次 CRAM

図 7: 負の実軸上における 32 次 MMPA 法、14 次 CRAM 導関数の exp(x) に対するスカラー近似
誤差152.4 MMPA 法による燃焼計算
MMPA 法による行列指数近似計算を適用すると、燃焼方程式は以下のように表される。
n (t) ≈ a0 n0 +

n
∑

{
}i
ai (At + cI) (At − cI) −1 n0

(15)

i=1

(15) 式より、一度行列 (At + cI) (At − cI) −1 を計算すれば、その行列とベクトルの乗算を繰り返す
ことでより高次の項を計算できる。したがってこの手法で必要な計算は、1 回の逆行列計算と、n回の行列とベクトルの乗算、そして (n + 1) 個のベクトルの線形結合のみである。CRAM のような有理式近似のアプローチを採る手法と比べ、逆行列計算の回数を大幅に減らすことができる 10 。
また、行列 (At + cI) (At − cI) −1 が疎行列の場合、1 度計算した行列の零要素を排除し非零要素のみを圧縮して保持することで、行列とベクトルの乗算の際の計算時間を簡単に低減することができる。図 8 は実際の行列の 1 例であるが、比較的 0 要素が多く計算時間の短縮が期待される。MMPA
法と CRAM の計算時間の比較は 2.6 節で行う。

MMPA 法の利点の 1 つとして複素数計算が不要なことが挙げられる。MMPA 法は多項式近似に基づいているため、全ての係数 ai は実数であり、全ての計算を実数計算により行うことができる
ため計算コードへの実装や計算時間の点で非常に有利である。これは CRAM のような有理式近似のアプローチを採る手法に対する大きな利点である。

MMPA 法には情報落ちに対して安定であるという利点もある。通常燃焼行列のように非常に大
きい数と小さい数が混在している行列のべき乗にはその過程での情報落ちの可能性がある。しかしMMPA 法は 32 次という高次のべき乗計算を行うにも関わらず解は安定である。その理由は行列の固有値の範囲で説明できる。行列 (At + cI) (At − cI) −1 の固有値は、

λ i′ =

λi + c, i = 1, ..., mλi − c(16)と表される。2.2 節より全ての λ i は (−∞, 0] の範囲内にあるので、全ての λ i′ は [− 1, 1) の範囲内にある。したがって行列 (At + cI) (At − cI) −1 を何回べき乗したとしても全ての固有値は [− 1, 1] の範囲内にあり、このことが MMPA 法の安定性につながっていると考えられる。これは CRAM に対する利点でもある。すなわち、CRAM を実数計算によって計算しようとする場合、CRAM の複素計算の基礎式を実数計算の式に展開するのであるが、その際に燃焼行列同士の乗算の項 (At) 2 が生じるのである。固有値の範囲が (−∞, 0] の行列同士の乗算により固有値の範囲が一気に広がり、情報落ちの可能性が生じる 11 。そのため、そのような心配の無い MMPA 法は情報落ちに対してより安定であると言える。
図 5、7 で示されているように、 x がどれだけ −∞ に近づいても、誤差は発散せずある一定の最大値を保っている。これは、どれほど短い半減期の核種でも、あるいはどれほど長い時間幅に対しても、誤差を増加させることなく MMPA 法が適用できることを意味する。行列指数計算のために
短い時間幅を設定する必要が無くなり計算時間の点で非常に有利であり、また任意の時間幅を自由に設定できるため、計算の利便性という点も大きな長所である。

10ただし行列指数自体を求めたい場合、 n 回の行列同士の乗算を行わなければならず、CRAM と比べて計算時間の点で不利になる。
11何回ものべき乗では無いため、直ちに深刻な情報落ちにつながる訳では無く、今のところ目立った情報落ちは見られない。現在使用している JENDL の FP データよりも更に短い半減期の核種を考慮する場合では問題が生じてくる可能性はある。

16図 8: 行列 (At + cI) (At − cI) −1 の 1 例

2.5

マルチステップ計算

図 9 は 48 次 MMPA 法の近似式において、任意定数 c と誤差の絶対値 | f (x) − e x | の (−∞, 0] における最大値との関係を示している。c が最適と思われる値よりもある程度離れていても、近似誤差は比較的小さいままである。近似次数を十分に大きく取ることで、近似精度の大幅な悪化を招くことなく任意定数 c をある程度変化させることができる。
燃焼行列が時間に依存せず不変である場合、この性質を用いることにより複数のタイムステップ
幅に対応した燃焼計算を 1 度に行うことができる。まず、時間幅 ∆t に対応する燃焼計算による数
密度の計算結果は以下のように表される。

n (∆t) ≈ a0 n0 +

n
∑

{
}i
ai (A∆t + cI) (A∆t − cI) −1 n0

(17)

i=1

そして異なる時間幅 p∆t に対応する数密度は、任意定数 c を c ′ = pc に置き換えることにより、

n (p∆t)≈a0′ n0 +

n
∑

ai′

{(

Ap∆t + c ′I

)(

) }i
Ap∆t − c ′I −1 n0i=1=a0′ n0 +n∑{}iai′ (A∆t + cI) (A∆t − cI) −1 n0

(18)

i=1

と表される。ただし ai′ (i = 1, ..., n) は Remez アルゴリズムにより近似係数を決定する際に任意定数c の代わりに c ′ を用いた際の値である。(17) 式と (18) 式を比較すると、以下のような ∆t に対応した n 個のベクトル
{
}i
(19)
(A∆t + cI) (A∆t − cI) −1 n0 , i = 1, ..., nを計算し、任意定数として pc を用いた係数 ai′ を Remez アルゴリズムにより計算すれば、時間幅p∆t に対応する燃焼計算の結果を、n 個のベクトルを ai′ を重みにして線形結合することで得ることができる。これは、様々な時間幅に対応した係数 ai′ を予め準備しておくことで、複数の時間幅に17対応した燃焼計算をベクトルの線型結合で一度に計算できることを意味する。

1 例として、48 次 MMPA 法の近似式を考える。図 9 に示されているように、c = 5 ∼ 100 の範囲
内では、負の実軸上における最大誤差は 1.0×10−14 以下であり、これは 14 次の CRAM と比較して同等の精度である。これは、c が 5 から 100 の範囲内では、48 次 MMPA 法近似式は 14 次の CRAMと同程度の精度で 2.2 節で示された 2 条件の内 1 つ目を満たす。しかし、2 つ目の条件に関しては、

c が小さい場合、導関数の階数が大きくなるにつれて誤差が大きくなり条件を満たさなくなる。図
10 は 14 次 CRAM 近似式及び任意定数 c =5、16、100 の MMPA 法近似式導関数の exp(x) に対す
る x = 0 における近似誤差を階数の階乗で割ったもの | f j (0) − e0 |/ j! と階数の関係を示している。
c = 5 のとき、MMPA 法導関数の誤差は j > 1 において CRAM のものを上回っている。これは、
行列指数近似において固有値の重複度が 2 を上回ると、14 次の CRAM よりも近似精度が悪化する
可能性があるということを示している。一方で c ≥ 16 では、MMPA 法導関数の誤差はどのような階数においても 14 次 CRAM 導関数の最大誤差を超えていない。したがって任意定数 c が 16 から

100 の間では、すべての行列に対して 48 次 MMPA 法は 14 次 CRAM と同程度の行列指数近似精度を持つと言える。
任意定数 c = 16, 32, ..., 96 に対応した係数 ai のセット 6 つを予め用意しておくことで、6 つの燃焼計算結果 n (∆t) , n (2∆t) , ..., n (6∆t) を 1 度の MMPA 法計算で得ることができる。言い換えると、ある時間幅を 6 等分したそれぞれの時点での数密度を 1 度に計算することができる事になる。さらに、図 11 のように c の値のとり方を工夫することにより、43 時点での数密度を 2 回の MMPA 法
で得ることができる。この図では、c を 16 から 100 まで変化させることにより、まず ∆t を基準として 6 つの時点での値を計算し、次に 7∆t を基準として残りの 37 時点での値を得ている。これと同様にしてより多くの時点での値を少数回の MMPA 計算で得ることができる。この手法を「マルチステップ計算」と名付けることとする。
このような計算は、燃焼行列が不変である冷却計算や、燃焼計算において 1 つのタイムステップ
間の数密度の詳細な変化を得たいときに応用することができる。後者の例としては一般化摂動論に基づく燃焼感度計算を挙げることができる。燃焼感度計算では、核種数密度、随伴数密度、変動パ
ラメータの積が全サイクルに渡って積分されることで感度が計算される 12 。数密度や随伴数密度の値が時間に対して激しく変動する場合 13 、積分結果の離散化誤差を低く抑えるために時間幅を非常に細かく設定しなければならず、通常の燃焼計算と比べて燃焼感度計算の計算時間が大幅に増大する。燃焼感度計算にマルチステップ計算を適用することで、複数の時間幅での数密度、随伴数密度を同時に計算し、離散化誤差を低減しつつ計算時間を短縮することができる。
このような計算を CRAM や他の行列指数近似手法で計算しようとする場合、1 度行列指数自体を計算し、その後行列指数と核種数密度ベクトルとの乗算を複数回行うことになる。このような方法は行列指数自体の計算や複数回の行列とベクトルの乗算により計算時間を要する。マルチステッ
プ計算では少数回の MMPA 計算を行えば良く、計算時間を短縮できる可能性がある。詳細な計算時間の比較については 2.6 節で述べる。

2.6

検証計算

ここでは、開発した MMPA 法の精度を検証するため、CBZ の燃焼計算機能に MMPA 法と CRAMを実装し、これによる燃焼計算の結果を比較する。考慮する核種は JENDL/FPD-2011 にデータの存在するすべての FP1284 核種と、アクチニド 21 核種である。FP の中で最も短い半減期は Y-88mの 0.0003 秒であり、もし MMPA 法や CRAM 以外の従来の行列指数計算手法を用いれば値が発散
し燃焼計算自体が不可能となる条件である。
124.3 節参照。
13短半減期核種によく見られる。

18

10-13
10-14

Error

10-15
10-16
10-17
10-18
10-19
10-20
20

40

60

80

100

c

図 9: 48 次 MMPA 法近似式における近似誤差の最大値と任意定数 c との関係

Absolute error at x=0

105
100
48th MMPA method with c=5
c=16
c=100
14th CRAM

-5

10

10-10
10-15
10-20
0

5

10

15

20

Differential order

図 10: 48 次 MMPA 法 (c =5、16、100) と 14 次 CRAM 近似式導関数の x = 0 における exp(x) に対する近似誤差と階数の関係

19

図 11: 43 点の値を 2 回の計算で求める場合のマルチステップ計算における任意定数 c の設定方法の考え方
計算体系は 5%濃縮 UO2 ピンセルモデルとする。燃焼条件を単純化するため、中性子束

6.0×1015 cm−2 s−1 で一定とし、燃焼行列は全サイクル中不変とする。
参照計算としては 16 次の CRAM による値を用いる 14 。CRAM の計算方法としては、前述のように複素数計算をそのまま行うものと基礎式を展開して実数計算式に変換する方法とがあるが、この計算では後者の方法で CRAM を実装する。
まず、32 次の MMPA 法 (c = 24.1) と 14 次の CRAM による燃焼計算を行い、サイクル末期での核種数密度の誤差を比較する。サイクル長は 1000 日、ステップ幅 ∆t は 1 日とする。各ステップにおいて、燃焼方程式が MMPA 法または CRAM によって解かれる。図 12 はサイクル末期における全核種生成量の相対誤差の絶対値を各核種の半減期に対してプロットしたものである。MMPA 法と CRAM の精度はほとんど同程度であり、誤差の値自体も非常に小さいことが分かる。また誤差と半減期との間に相関関係が見られず、半減期が 1 秒未満の核種の誤差も非常に小さい。計算時間
は MMPA 法が 171 秒、CRAM が 281 秒となり、MMPA 法のほうが短い結果となった 15 。
次に、マルチステップ計算を検証するため、1000 日間のサイクルを 43 等分し、それぞれの時点での核種数密度の計算を行う。マルチステップ計算を用いることで、各 43 点での核種数密度は 2 回のMMPA 計算により得られる。マルチステップ計算には 48 次 MMPA 法を用い、任意定数 c は図 11で示されたものとする。また各 c に対応した係数 ai を 43 セット用意しておく。1 つ目の検証と同様に比較のために 14 次の CRAM による計算も行うが、1 つ目の検証と異なり、まず ∆t = 1000/43に対応した行列指数自体を CRAM により計算し、その後行列指数と核種数密度ベクトルとの乗算を 43 回行う。これは可能な限り CRAM による計算時間を減らし、実際の計算に可能な限り則して比較を行うためである。図 13 は各 43 点において最も誤差の大きかった核種の、相対誤差の絶対値をプロットしたものである。マルチステップ計算による結果は、すべての点において CRAM による結果と同等の精度を持っている。この計算をそれぞれ 100 回行い計算時間を比較すると、マルチステップ計算では 28 秒、CRAM では 89 秒という結果になった 16 。

14 他の手法による参照計算が難しいため。
15Intel i7 2.1 GHz CPU
16Intel i7 2.1 GHz CPU

20

Absolute relative error [%]

10-6

10-7

10-8

10-9

32nd MMPA method
14th CRAM

10-10 -5
10

0

5

10

10

10

10
Half-life [s]

15

10

20

10

25

10

図 12: 32 次 MMPA 法と 14 次 CRAM によるサイクル末期における核種数密度の相対誤差の絶対値と各核種の半減期との関係

1×10-4Multi-step calculation
14th CRAM

Maximum absolute
relative error [%]

-5

8×10

6×10-5
4×10-52×10-5
0×100

0

200

400

600

800

1000

Irradiation period [d]図 13: マルチステップ計算と CRAM による 43 点における核種数密度の相対誤差の絶対値の最大値

213

核種生成量に対する核データ感度解析

3.1

核種生成量と核データ

燃焼計算では中性子輸送計算と核種生成量計算が交互に繰り返し行われる。その際には各核種の中性子反応断面積や核分裂収率、崩壊定数などが用いられる。したがって核種生成量の精度は使用する核データに強く依存する。
核データの測定は難しく、その真値は未だに求まっているとは言い難い状況である。核データは全世界で測定され、それらのデータを基に評価済み核データライブラリが作成される。核データラ
イブラリは各国で作成されており、代表的なものは日本の JENDL、アメリカの ENDF、ヨーロッパの JEFF が挙げられる。核データが十分に精度良く測定され、その評価も完璧なものであれば各ライブラリの値は一致するはずである。しかし現実にはライブラリ間には大小の差異が存在し、それらを用いた計算結果にも差異が存在する。核種生成量も同様であり、いくつかの核種については無視できない大きさの差異が見られる [16][17]。
本研究では核データの不確かさによる核種生成量不確かさの定量化を行うのであるが、その前段階として、そもそも現時点でライブラリ間の不一致がどの程度であるのかを把握することは有益であると考えられる。また核種生成量に生じる差異が、ライブラリ間のどの核種のデータ差異に由来するものなのかを明らかにすることで、核データライブラリの進歩に貢献することができる。
本章では主要ライブラリの最新版である JENDL-4.0[18]、ENDF/B-VII.1[19]、JEFF-3.1.1[20] 17 の核データを用いて実際の軽水炉燃料を模擬した燃焼計算を行いライブラリ間の核種生成量差異を明らかにする。その際得られた核種生成量は使用済燃料組成の測定値である PIE(照射後試験) データと比較した C/E 値として評価する。
またそれらの差異の要因を明らかにするため、燃焼感度解析も行う。核種生成量の核データに対する感度係数とライブラリ間の核データの差を乗ずることで、核データ差異が核種生成量評価にどの程度影響しているのかを定量的に明らかにする。

3.2

使用した PIE データ

本章で用いる PIE データは、文献 [16][17] から引用するそれぞれ UO2 燃料と MOX 燃料のものである。

UO2 燃料のデータでは、4 つのサンプルに対してアクチニド 17 核種と FP38 核種が測定されている。MOX 燃料のデータでは、2 つのサンプルに対して FP40 核種と U-238 が測定されている。どちらのデータにおいても測定誤差がすべての核種に対して与えられている。測定手法の詳細については文献 [22] に記載されている。
これらのサンプルはヨーロッパの商用 PWR で照射されたものであり、UO2 燃料と MOX 燃料はそれぞれ異なる炉で照射されている。各々のサンプルは同じ炉、同じサイクルで照射されているが炉心での位置が異なる。従って各サンプルの燃焼度と周囲の減速材温度は異なる。文献 [16][17] にはサンプルごとの減速材温度とサンプルの破壊同位体測定から得られた局所燃焼度が記載されて
いる。

3.3

計算条件

本章ではまず文献 [16][17] に記載されている UO2 燃料と MOX 燃料の照射を模擬した燃焼計算
を CBZ にて行う。
17本研究中に JEFF-3.2[21] がリリースされたため、本章と同様の計算条件において JEFF-3.1.1 と-3.2 との比較を別途行った [15]。

22

この計算で用いる燃焼チェーンは、FP197 核種とアクチニド 21 核種から成るものである。これは FP4 核種 (Sn-125、I-133、Nd-149、Gd-153) を除き SRAC2006 開発者用詳細チェーンと同じものである。燃焼度や出力等の条件は文献 [16][17] に記載されているものを再現するように設定する。
記載されていない条件は文献 [23] や文献 [24] から一般的な条件として引用する。
文献 [16][17] に記載されているサンプルの測定値は「溶液 1g 中の数密度」で与えられている。
計算値と測定値を比較するため、核種数密度の測定値を各サンプルの U-238 量で規格化する。
核データライブラリ間での比較のためそれぞれのサンプルに対して JENDL-4.0、ENDF/B-VII.1、

JEFF-3.1.1 を用いて 3 回の計算を行う。中性子反応断面積は JENDL-4.0、ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.1のものをそれぞれ用いる。ただし JENDL-4.0 の計算においては、Eu-156 捕獲断面積は JENDL-4.0
アップデートファイル (JENDL-4.0u) のものを用いる。核分裂収率と崩壊定数は ENDF と JEFF に関しては ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.1 のものを用いるが、JENDL に関しては JENDL/FPY-2011 とFPD-2011 のものを用いる。
感度係数の計算には CBZ の一般化摂動論に基づく燃焼感度計算機能を用いる。この感度係数と核データ差異を乗じることにより核種生成量差異への寄与を定量的に評価する。

3.4

結果

3.4.1 C/E 値
UO2 燃料と MOX 燃料について、計算値と計測値との相対比を C/E-1 として図 14 と図 15 に示す。それぞれの値はサンプル間の平均値である。計算値と計測値との差異はいくつかの核種を除き20%以下である。
Sr-86 のデータは図に載せていない。UO2 、MOX 燃料ともに Sr-86 の (C/E-1) 値は約-0.7 と著し
く小さく、またライブラリ間の差異は比較的小さい。Sr-86 の測定値のあるサンプルは UO2 、MOX
燃料ともに 1 つしかなく、溶液中数密度の絶対値は非常に小さい。そのため Sr-86 のデータは信頼できないと判断したためである。
図 14、15 より、いくつかの核種においてライブラリ間に大きな差異が生じている。表 2 に JENDL-

4.0 に対する ENDF/B-VII.1 と JEFF-3.1.1 の値の差異の内 5%以上のものを示す。表 2 より、Rb-85、Sb-125、Gd-158、Gd-160 についてライブラリ間の差異が非常に大きいことが分かる。全体的にJENDL と JEFF との間の差異が、JENDL と ENDF との間のものに比べて大きい傾向がある。

3.4.2 感度解析
表 2 で示された差異に対して、その要因を特定するため感度解析を行う。表 3、4 は感度解析の結果であり、20%以上の核種生成量差異の要因である核種と反応の種類、それぞれの寄与割合を表している。この寄与割合は核データ差異と感度係数の積であり、全反応の寄与の合計によって規格化されている。表 3、4 より、捕獲、核分裂断面積、核分裂収率の差異が核種生成量に大きな影響を与えている一方、崩壊定数の差異による大きな影響は無い。
核分裂収率の差異による影響を見ると、Pu-239、-241 の核分裂収率の差異が大きな影響を与えていることが分かる。ライブラリ間の核分裂収率の違いを表 5 に示す。本章で行った燃焼計算には

FP197 核種燃焼チェーンを用いているため、これらの収率の値は累積収率であり、ライブラリに収納されている独立収率ではない。すなわち 1000 以上存在する FP 核種の内、チェーンを構成する
197 核種以外の核種の収率はβ崩壊パスに沿って 197 核種いずれかに足しこまれている。したがって表 5 で示された FP 自体の独立収率のライブラリ間差異が核種生成量に影響している場合と、その核種の崩壊パス上流の核種の独立収率の差異が影響している場合の 2 通りが考えられる。

23

24

*Gd-160*Gd-158*Pm-147

Nd-150

Nd-148

Cm-246

Cm-245

Cm-244**Cm-242

Am-243Am-242m

0.515

Nd-146

Nd-145

Nd-144

Nd-143*Nd-142

Am-241

Pu-242

Pu-241

Pu-240

Pu-239Pu-238

Np-237

C/E-1

0.511

Gd-156*Gd-155*Gd-154

Pr-141-0.3*Ce-144

Ce-142Ce-140La-139

Cs-137

Cs-135

Cs-134-0.2*Eu-155

Eu-154Eu-153*Sm-154-0.3

Sm-152-0.2
Cs-133*Ru-106-0.3*Sm-151

U-236

U-235

U-234

-0.2

Y-89

Sr-90

Sr-88

Rb-87

Rb-85

C/E-1
-0.1

Sm-150Sm-148*Sm-147

C/E-1

(1/3)
0.508

0.2

0.1

0.0

JENDL-4.0
ENDF/B-VII.1
JEFF-3.1.1
Measurement uncertainty

-0.4

(2/3)

0.2

0.1

0.0

-0.1

JENDL-4.0
ENDF/B-VII.1
JEFF-3.1.1
Measurement uncertainty

-0.4

(3/3)

0.2

0.1

0.0

-0.1

JENDL-4.0
ENDF/B-VII.1
JEFF-3.1.1
Measurement uncertainty-0.4

図 14: UO2 燃料における計算値と実験値の比較 (*:サンプル数 1、**:サンプル数 3)

25
0.996

*Gd-160

0.785

Gd-158(2/2)

Gd-156

Gd-155

Gd-154*Eu-155

Pr-141

Ce-144Ce-142Ce-140La-1390.2

Eu-154

Cs-137

Cs-135

Cs-134

Cs-133*Sb-125

C/E-1
0.3

Eu-153*Sm-154*Sm-152*Sm-151*Sm-150*Sm-149*Sm-148

Ru-106

Y-89

Sr-90

*Sr-88*Rb-87*Rb-85-0.468*Sm-147

Pm-147

Nd-150

Nd-148Nd-146

Nd-1450.2

Nd-1440.3

Nd-143

Nd-142

C/E-1

1.010

(1/2)
JENDL-4.0
ENDF/B-VII.1
JEFF-3.1.1
Measurement uncertainty

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

0.728
2.138

JENDL-4.0
ENDF/B-VII.1
JEFF-3.1.1
Measurement uncertainty

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

図 15: MOX 燃料における計算値と実験値の比較 (*:サンプル数 1、**:サンプル数 3)

表 2: UO2 、MOX 燃料における JENDL-4.0 と比較した ENDF/B-VII.1 と JEFF-3.1.1 の核種生成量の差異 (5%以上)

Fuel

UO2

NuclideDiﬀerence [%]ENDF/B-VII.1 JEFF-3.1.1

U-234

-5.3

Pu-238
Cm-244-13.6-7.4

Cm-245
Cm-246
Sm-152

-18.0
-13.1
5.1

Sm-154Gd-1585.9
7.9

Gd-160
Rb-85
Cs-134

MOX

5.7
22.5
114.2

-36.0
-5.9

Sb-125
Sm-151
Sm-152

62.1
5.8
5.3

Sm-154Gd-1585.2
15.5

Gd-160140.8

26

表 5 より、Rb-85 を除いて、JEFF-3.1.1 と他 2 ライブラリの間の差異が大きい。特に JEFF-3.1.1の Pu-241 からの Gd-160 の収率が他 2 ライブラリと比べて非常に大きい。これが図 14、15 に示されている Gd-160 生成量差異が UO2 燃料より MOX 燃料で大きくなることの原因である。
表 3、4 より中性子反応断面積の差異も大きな影響を与えている。より詳細な評価のため、いくつかの特徴的なケースを取り上げ、中性子エネルギー群ごとの感度解析を行う。図 16 から 21 にかけて、採り上げたライブラリ間の反応断面積の違いと、核種生成量に対する単位レサジー当たりの寄与をプロットしたものを示す。
図 16 は JENDL-4.0 と ENDF/B-VII.1 の Cs-133 捕獲断面積と、MOX 燃料における Cs-134 生成
量差異に対する両断面積差異の寄与をエネルギー群ごとにプロットしたものである。生成量差異の要因は、5.91eV における共鳴ピークが ENDF/B-VII.1 の方が小さいことにある。
図 17 は JENDL-4.0 と ENDF/B-VII.1 の Sm-153 捕獲断面積と、UO2 燃料における Sm-154 生成
量差異に対する両断面積差異の寄与をエネルギー群ごとにプロットしたものである。生成量差異の要因は、ENDF/B-VII.1 では存在する 1.92eV における共鳴ピークが JENDL-4.0 では存在しないことにある。
図 18 は JENDL-4.0 と JEFF-3.1.1 の Pu-238 捕獲断面積と、UO2 燃料における Pu-238 生成量差
異に対する両断面積差異の寄与をエネルギー群ごとにプロットしたものである。生成量差異の要因
は、熱中性子領域における両ライブラリ間の差異によるものである 18 。0.1eV 付近に寄与のピークがあるのは、UO2 燃料における熱中性子ピークによるものと考えられる。
図 19、20 は JENDL-4.0 と JEFF-3.1.1 の Eu-156 捕獲断面積と、UO2 、MOX 燃料における Gd-158
生成量差異に対する両断面積差異の寄与をエネルギー群ごとにプロットしたものである。生成量差
異の要因は、両ライブラリ間の熱中性子領域における差異と、熱 · 共鳴領域境界付近の差異によるものである。0.1eV 付近の寄与を見ると、UO2 燃料の方が MOX 燃料と比べて大きい。これは UO2
燃料のスペクトルが MOX 燃料と比べてより軟らかいためと考えられる。
図 21 は JENDL-4.0 と JEFF-3.1.1 の Cm-245 核分裂断面積と、UO2 燃料における Cm-245 生成量差異に対する両断面積差異の寄与をエネルギー群ごとにプロットしたものである。生成量差異の要因は、Pu-238 生成量のケースと同様であると考えられる。

18JENDL-4.0 の Pu-238 熱領域捕獲断面積は過小評価であるという指摘がある [25]。もし過小評価であるならば、実験値と比べた Pu-238 生成量の過大評価、JEFF-3.1.1 との間の生成量差異を共に説明することができる。

27

表 3: UO2 燃料における核種生成量差異の要因

Library

NuclideENDF/B-VII.1

Sm-154Gd-158

NuclideReactionContribution ratio [%]Sm-153
Eu-156

CaptureCapture

97.5
81.6

U-234
Pu-238
Pu-238CaptureCaptureCapture

54.3
30.4
81.2

Cm-244Am-243Am-243

CaptureCapture

123.1
42.4

Cm-245

Cm-244
Cm-245
Am-243

CaptureFissionCapture

33.5
21.6
67.3

Cm-244
Cm-245

CaptureFission

49.7
28.0

Cm-245
Pm-151
Sm-150CaptureYield from Pu-239
Capture

-45.0
23.1
50.8

Sm-154Sm-153
Sm-154

CaptureYield from Pu-239

23.1
76.0

Gd-158Gd-160Eu-156
Gd-160CaptureYield from Pu-241

79.7
96.2

U-234
Pu-238

JEFF-3.1.1

Cause

Cm-246

Sm-152

表 4: MOX 燃料における核種生成量差異の要因

Library

ENDF/B-VII.1

NuclideNuclide

Rb-85

Rb-85

Yield from Pu-239

59.1

Cs-134

Cs-133
Cs-134

CaptureCapture89.0
21.9

Sn-125

Yield from Pu-239

31.7

Sb-125
Pm-151
Sm-150

Yield from Pu-239
Yield from Pu-239
Capture

62.7
30.0
46.8

Pm-151
Sm-150

Yield from Pu-239
Capture32.3
32.3

Sm-152
Sm-154Eu-156

Yield from Pu-239
Yield from Pu-239
Capture

22.4
85.8
31.7

Gd-158

Eu-157
Gd-158

Yield from Pu-241
Yield from Pu-241

28.7
44.7

Gd-160Gd-160

Yield from Pu-241

97.3

Sb-125
Sm-151

JEFF-3.1.1

Cause
ReactionContribution ratio [%]Sm-152
Sm-15428

表 5: 核種生成量に大きな影響を与えるライブラリ間累積核分裂収率差異

Pu-239Pu-241

Cross section [b]104

Cumulative fission yield (×10−3 )FP

JENDL/FPY-2011

ENDF/B-VII.1

JEFF-3.1.1

Rb-85

4.427

2.843

4.525

Sn-125
Sb-125
Pm-151

0.589
0.527
7.307

0.577
0.539
7.384

0.546
0.623
7.757

Sm-152
Sm-154

5.762
2.597

5.763
2.597

6.081
2.808

Eu-157

1.354

1.354

1.694

Gd-158Gd-160

0.923
0.205

0.922
0.205

1.448
0.906

0.00

JENDL-4.0
ENDF/B-VII.1
Contribution

-0.05

103
-0.10
102

-0.15
-0.20

101
-0.25
100

100

101

Contribution per lethargy

Fissile nuclide-0.30

Neutron energy [eV]

図 16: JENDL-4.0 と ENDF/B-VII.1 の Cs-133 捕獲断面積、及び MOX 燃料における Cs-134 生成量に対する両断面積間差異の寄与

29

0.3

JENDL-4.0
ENDF/B-VII.1
Contribution

104

0.2

103

0.1

102

0.0

101
10-1

Contribution per lethargy

Cross section [b]

105

-0.1
101

100
Neutron energy [eV]

図 17: JENDL-4.0 と ENDF/B-VII.1 の Sm-153 捕獲断面積、及び UO2 燃料における Sm-154 生成量に対する両断面積間差異の寄与

Cross section [b]

103

-0.02

102
-0.04
101
100
10-1
10-3

-0.06
JENDL-4.0
JEFF-3.1.1
Contribution
10-2

10-1
Neutron energy [eV]100Contribution per lethargy

0.00

104

-0.08
101

図 18: JENDL-4.0 と JEFF-3.1.1 の Pu-238 捕獲断面積、及び UO2 燃料における Pu-238 生成量に対する両断面積間差異の寄与

30

0.06

103

0.04

102

0.02

101

0.00

100
10-1
10-2

-0.02

JENDL-4.0
JEFF-3.1.1
Contribution
10-1

100
101
Neutron energy [eV]102

Contribution per lethargy

Cross section [b]

104

-0.04
103

図 19: JENDL-4.0 と JEFF-3.1.1 の Eu-156 捕獲断面積、及び UO2 燃料における Gd-158 生成量に対

104

0.06

103

0.04

102

0.02

101

0.00

100
10-1
10-2

-0.02

JENDL-4.0
JEFF-3.1.1
Contribution
10-1

100
101
Neutron energy [eV]102

Contribution per lethargy

Cross section [b]する両断面積間差異の寄与

-0.04
103

図 20: JENDL-4.0 と JEFF-3.1.1 の Eu-156 捕獲断面積、及び MOX 燃料における Gd-158 生成量に対する両断面積間差異の寄与

31

0.01

104

0.00

103

-0.01

102

-0.02

101
10-3

JENDL-4.0
JEFF-3.1.1
Contribution
10-2

10-1
Neutron energy [eV]100Contribution per lethargy

Cross section [b]

105

-0.03
101

図 21: JENDL-4.0 と JEFF-3.1.1 の Cm-245 核分裂断面積、及び UO2 燃料における Cm-245 生成量に対する両断面積間差異の寄与

32

4崩壊熱 · 核種生成量不確かさの定量化

4.1

崩壊熱 · 核種生成量に生じる不確かさ

核データは不確かさを持っており、それを基に計算した崩壊熱 · 核種生成量にも核データ由来の不確かさが生じる。そのような不確かさを定量化することは、崩壊熱 · 核種生成量の値を利用する
上で値自体の精度を明らかにすることとなり非常に有益である。例として崩壊熱を挙げると、1 章で述べたように、現状で安全審査に用いられている不確かさについても、種々の近似を基にした値や大幅に保守的な値が用いられている。本研究では CBZ の燃焼計算機能により、実際の核燃料の燃焼を計算機上で模擬し、また FP やアクチニドといった全ての核種を統一的に扱った計算を行う
ことで、実現象に詳細に再現したモデルにより不確かさの定量化を行う。これにより不確かさ自体の妥当性の確認やさらなる安全性の向上、合理化が期待できる。
不確かさの定量化は誤差伝播計算によって行われる。すなわち、核データの持つ不確かさが、燃焼計算を通して結果である崩壊熱 · 核種生成量にどの程度伝播するのかを評価するのである。したがって燃焼計算において誤差伝播計算をするには、核データの不確かさである共分散と燃焼感度の２つを用意すれば良い。
なお以下単に不確かさと言った場合、その定義は 1σ とする。

4.2

核データ誤差情報

核データの誤差情報はライブラリに与えられているものを用いる。
核データライブラリには一部の重要な核種に対しては、中性子反応断面積などに共分散データという形で誤差情報が与えられている。本章では JENDL-4.0 で与えられている共分散データを用いることとする。ただし JENDL-4.0 ではアクチニド核種にしか共分散データは与えられていない
ため、FP 核種に関しては TENDL-2014[26] のものを用いることとする。以下これら中性子エネル
ギー依存核データの共分散を断面積共分散と呼ぶこととする。
核分裂収率や半減期、崩壊分岐比、崩壊エネルギーなどの崩壊データについては、値の標準偏差として誤差情報が与えられている。本章では JENDL/FPY、FPD-2011 で FP 核種に対して与えられている値を用いることとする。アクチニド核種に対する崩壊データの不確かさは JENDL で与えられていないが、文献 [30] によるとアクチニド核種の崩壊データ誤差は無視できる程度であるため、誤差要因としては無視することとする。またこれら収率 · 崩壊データの誤差には標準偏差のみで相関に関する情報は与えられていないため、基本的に相関は無いものとする。ただし核分裂収率に関しては核種間の相関を考慮しないことにより崩壊熱不確かさを過大評価することが知られている。
そこで文献 [27] のベイズ理論に基づき独立収率間の相関を与える式を用い、核分裂独立収率の共分散行列を計算し使用する (図 22)。その際どの核種がどの質量チェーン 19 に属しているか、またそのチェーンにおける質量収率 20 を得なければならない。本章の計算では、基本的に同じ質量数の核種は同じチェーンに属しているとし、質量収率はそのチェーン上の安定核種の累積収率とする。また同チェーン上に安定核種が複数存在する場合、安定核においてチェーンが複数に分断されていると考え、ある安定核種より原子番号が小さい核種はその安定核種の質量チェーンに属しているとし、複数ある安定核種のうち最も原子番号の大きい核種に残りの核種がすべて属しているとする 21 。な
お短半減期核種など理論計算によって得られた崩壊データには誤差が与えられていないため、そのようなデータの誤差は 100%と仮定する。
本章での計算で考慮する核データの誤差を表 6 に示す。
19FP が β 崩壊する崩壊経路。
20その質量チェーンにおける最も下流の核種の累積収率。
21同じ質量数で原子番号が大きい場合、 β + 崩壊も考えられるため。

33

図 22: U-235 独立収率の共分散行列
また本章の計算で用いる核データは基本的にすべて JENDL-4.0、JENDL/FPY、FPD-2011-2011のものとする。

表 6: 考慮する核データ誤差情報の一覧

4.3

Name

NuclideForm

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Capture cross section
Capture cross section

ActinideFP

Covariance
Covariance

JENDL-4.0
TENDL-2014

Fission cross section(n,2n) cross section(n,2n) cross section

Actinide
ActinideFP

Covariance
Covariance
Covariance

JENDL-4.0
JENDL-4.0
TENDL-2014

Fission yield
Half life

FP
FP

CovarianceStandard deviation

JENDL/FPY-2011
JENDL/FPD-2011

Decay energy
Decay branching ratio

FP
FP

Standard deviation
Standard deviation

JENDL/FPD-2011
JENDL/FPD-2011

燃焼感度計算

感度を計算したいパラメータの値を R、核データの値を σ とすると、相対感度係数 SσR は以下のように定義される。

∂R σ
·
(20)
∂σ R
この感度係数は、CBZ の燃焼計算により計算する。
CBZ の燃焼計算機能は一般化摂動論に基づいている。ここで一般化摂動論に基づく燃焼感度計
SσR =

34

算の原理を説明する。1 例として崩壊定数 λ に対する核種数密度の感度を考える。核種数密度ベク
トルを n、燃焼行列を A とすると、燃焼方程式は

dn
= An
dt

(21)

d
(n + ∆n) = (A + ∆A) (n + ∆n)
dt

(22)

と表される。(21) 式に摂動 ∆λ を加えると、となる。(22) 式から (21) 式を引き、∆A∆n は十分に小さいとみなして無視すると、

d∆n = ∆An + A∆n
dt

(23)

となる。ここで時間依存の重み関数 w を (23) 式の両辺に掛ける。

wT

d∆n = wT ∆An + wT A∆n
dt

(24)

ただし上添字 T は転置を意味する。
考える燃焼期間を 0〜P 秒とし、式 (24) の両辺を時間で積分する。

∫ P
wT
0

d∆n
dt =
dt

∫ P

wT ∆Andt +∫ P
wT A∆ndt

0

(25)

0

ここで w を以下のように定義する。

AT w = −dw (t)dt(26)

この w を代入することで、(25) 式の右辺第 2 項は、∫ P
T

w A∆ndt∫ P=∆nT AT wdt

0

0

=

−

∫ P
∆nT
0

dw (t)
dt
dt(27)と変形できる。よって (25) 式は、

∫ P

T d∆n

w
0

dt

dt +

∫ P
∆n

0
∫ P

T dw (t)

dt

=

dt

wT ∆Andt0d ( T )w ∆n dt
dt=

w (P) T ∆n (P) − w (0) T ∆n (0)

=

0

∫ P
∫ P
wT ∆Andt
0∫ P
wT ∆Andt
0=

w (P) T ∆n (P) T∫ P

wT ∆Andt (∵ ∆n (0) = 0)

(28)

0

と変形できる。ここで、燃焼期間末期における重み関数 w (T ) を ei とおく。ただし ei は核種 i の位置のみ 1 で残りは 0 の単位ベクトルである。式 (28) は、∆ni (P) =∫ P
wT ∆Andt
0

35

(29)

となる。ある核種の崩壊定数 λ j に対する核種 i の数密度 ni の感度は (29) 式を用いて、

dni
dλ j

≈
=

∆ni
∆λ j
∫P
wT ∆Andt
0
∆λ j

(30)

と表すことができる。これは崩壊定数以外の他の核データに対しても同様である。w は随伴数密度と呼ばれる量で、(26) 式を解析的に解いた式()
w (t) = exp AT (P − t) w (P)(31)

により計算される。(31) 式は初期随伴数密度をステップ末端とし、そこから時間を遡るように随伴数密度を計算する。
分岐比に対する感度についても崩壊定数などと同様であるが、分岐比の総和が 1 になるように得られた感度を規格化する必要がある。この規格化には文献 [28] より以下の式を用いる。

SbRj = SbRj − b j

N
∑

SbRi

(32)

i=1

ただし S は規格化後の感度、bi は分岐チャンネル i 番目の分岐比、 N はチャンネルの総数である。
燃焼感度計算では、一度通常の数密度を計算し、次にサイクル末端において ei を初期随伴数密度をとし時間を遡るように随伴数密度を計算する。数密度と随伴数密度が得られれば、(30) 式に従い任意の核データに対する着目する核種生成量の感度を得ることができる。
崩壊熱の感度を計算する場合は、初期随伴数密度を ei ではなく各核種の崩壊定数と崩壊エネル
ギーの積のベクトルとして計算する。また数密度変化による崩壊熱への影響に加えて、崩壊定数と崩壊エネルギーの変化が崩壊熱に直接影響する効果も考えなければならない。崩壊熱の値を DH 、
核種 i の崩壊エネルギーを Ei 、崩壊定数を λ i とすると、崩壊熱は

DH =

∑

(Ei λ i ni )

(33)

i

と表される。崩壊エネルギーの場合、その変動は (33) 式の係数が変動する直接的な効果によってのみ崩壊熱の値に影響を与える。したがって崩壊エネルギー E j に対する崩壊熱 DH の感度は、

SEDjH

=
=

∂DH E j·
∂E j DHEj λ j nj
DH(34)と (33) 式を E j で微分することにより表すことができる。半減期の場合は、その変動が (33) 式の係数の変動に加え、数密度 ni の変動を介して崩壊熱に影響する間接的な効果も考えなければならな

36

い。したがって崩壊定数 λ j に対する崩壊熱 DH の感度は、

SλDH
j

=
=
=
=
=
=
=

∂DH λ j·
∂λ j DHλj∂ *∑Ei λ i n i + ·∂λ j , i
- DH
))
(
(
∑
λj
∂
Ei
(λ i ni ) ·
∂λ j
DH
i
))
∑ ( ( ∂λ i
λj
∂ni
Ei
ni + λ i
·
∂λ j
∂λ j
DH
i
)
(
∑
∂ni + λ j
*E j n j +·Ei λ i∂λ j - DHi,
E j λ j n j * ∂ *∑λj+·
(Ei λ i ni ) ++DH∂λDH
, j, i--indir()
Ej λ j nj
λj
∂DH
+
·
DH
∂λ j indir DHと表される。ただし下添字 indir は間接的な効果による感度の項を表す。(35) 式中の間接項()∂DH∂λ i indir

(35)

(36)

は核種数密度の感度の場合と同様に随伴数密度を用いた計算により求める。
以上述べた燃焼感度は核データの摂動が燃焼行列を通して直接崩壊熱 · 核種生成量に影響する効果によるものであるが、実際の燃焼計算では核種生成量計算に加えて中性子反応断面積を用いて中性子輸送計算も行われるため、例えば断面積が変化したことにより中性子束が変化し、核種生成量に影響するといったような中性子束場を介した効果も考えられる。そのため、CBZ では中性子輸
送計算における随伴中性子束、随伴出力といった量も計算され、最終的に考慮するすべての核デー
タを反映した感度係数が計算される。随伴中性子束や随伴出力、及び最終的な感度の計算について
は文献 [29] に詳細が記述されている。
従来 CBZ に実装されていた燃焼感度計算には分岐比に対する感度計算機能、崩壊熱の感度計算機能が無かったので、両機能を新たに CBZ に追加する。

4.4

誤差伝播計算誤差伝播計算式は以下のように表される。

v = GT MG(37)

ここで v は着目するパラメータ (ここでは崩壊熱やある核種の生成量) の相対分散、G はパラメー
タの核データに対する相対感度係数を並べたベクトル、M は核データの相対共分散行列である。またパラメータが複数ある場合は以下のようにパラメータの共分散行列 V が得られ、パラメータ間の相関も評価できる。

V = GT MG(38)

この場合 G は (核データの数)×(パラメータの数) の行列となる。
これらの式に基づき、4.2、4.3 節で得られた核データ共分散と感度係数より、崩壊熱 · 核種生成量に生じる不確かさを定量化する。

37

従来 CBZ に実装されていた誤差伝播計算機能は断面積共分散に対するもののみであった。そのため核分裂収率、半減期、崩壊エネルギー、分岐比誤差の誤差伝播計算機能を新たに CBZ に追加
する。

4.5

崩壊熱不確かさ以上述べた原理に基づき、崩壊熱に生じる不確かさを計算する。燃料の種類は 20GWd/t 照射 UO2
燃料、20GWd/t 照射 MOX 燃料、60GWd/t 照射 UO2 燃料の 3 通りとする。崩壊熱の時間スケール
は、事故解析などで問題となる原子炉停止後 1 日後までの短期崩壊熱、使用済燃料貯蔵や地層処分で問題となる 1000 年後までの長期崩壊熱の 2 通りを考える。
計算における燃料の組成や体系形状等の計算条件は、実際の核燃料照射の例として 3 章におけるものと同じ値を用いる。出力は 179W/cm 一定とし、中間停止など複雑な燃焼履歴は考慮しない。
図 23 に、3 通りの燃料における短期崩壊熱を示す。また、図 24-26 にはそれぞれの短期崩壊熱に生じる不確かさを示す。いずれの燃料においても不確かさの値や内訳は同じ傾向を示している。
全体的に見ると、崩壊エネルギー由来誤差が大部分を占めており、次いで核分裂収率由来誤差が全冷却期間を通して 0.5%程度となっている。また半減期、分岐比由来誤差は非常に小さい。合計の値を見ると、原子炉停止後 100 秒までは 3%程度あった不確かさがその後落ち込み、1000 秒以降は1%以下となっている。100 秒までの 3%不確かさは多数の FP の崩壊エネルギー誤差によるものであり、そのほとんどは理論計算値のため誤差を 100%と設定したものである。安全設備の設計において、この時間領域における崩壊熱の要求精度は 2∼5%と言われており [6]、今回定量化した不確
かさは要求精度未満の値となっている。
図 27-29 は図 24-26 で示された崩壊熱の相関行列である。隣接する冷却時間間の正の相関が強い
事が分かる。これは相関の強い時間領域において不確かさの要因の内訳が余り変化せず推移しているためと考えられる。また負の相関は見られない。
図 30 に、3 通りの燃料における長期崩壊熱を示す。また、図 31-33 にはそれぞれの長期崩壊熱に生じる不確かさを示す。短期崩壊熱の場合と異なり、燃料の種類により不確かさ曲線の形状及び内訳が互いに大きく異なっている。反応別に見ると、MOX 燃料と 60GWd/t 照射 UO2 燃料において、

20GWd/t 照射 UO2 燃料と比べて断面積由来不確かさが冷却期間前半において大きくなっている。
これはアクチニド崩壊熱の割合が前 2 者において大きいが理由として考えられる。また UO2 燃料とMOX 燃料を比べると、10 年付近にある崩壊エネルギー由来不確かさのピークが MOX において小さい。このピークは Cs-137 の娘核種である Ba-137m の β 崩壊エネルギー誤差由来のもので、理論値のためこの誤差は 100%と設定したものである 22 。MOX 燃料においてピークが小さいのは、UO2燃料と比べて FP 崩壊熱の割合が小さいからであると考えられる。3 者に見られる 100∼1000 年にかけてのピークは、種々のアクチニド核種断面積由来のものである。MOX 燃料に見られる 0.1∼1
年にかけてのピークは Am-241 捕獲断面積由来のもの、MOX 燃料と 60GWd/t 照射 UO2 燃料に見られる 10 年付近の断面積によるピークは種々のアクチニド核種断面積由来のものである。核分裂
収率、半減期、分岐比由来不確かさは冷却期間を通して 0.5%以下である。
図 34-36 は図 31-33 で示された崩壊熱の相関行列である。短期崩壊熱と同様に広い範囲で正の相関を持っている。また短期崩壊熱の場合と異なり燃料の種類によって強い相関を持つ時間領域がそれぞれ異なる。例えば図 34 と図 35 を比較すると、UO2 燃料の場合では冷却時間 100 ∼ 102 年という広い範囲にかけて強い正の相関を持つ領域があるのに対し、MOX 燃料の場合にはそのような領域は見られず、一方で 10−1 ∼ 100 、100 ∼ 102 年の 2 領域において UO2 燃料の場合よりも広い
22ENDF/B-VII.1 には Ba-137m の β 崩壊エネルギー誤差として 1.1%という値が与えられており、誤差伝播計算を行っても 10 年付近の不確かさのピークは現れない。JEFF-3.1.1 にも誤差として 2.9%という値が与えられているが、Cs-137 から
Ba-137、-137m への崩壊分岐比の誤差が与えられておらず、これを 100%と仮定すると JENDL/FPD-2011 の場合と同様に
10 年付近に分岐比由来誤差のピークが見られる。

38

Decay heat [MW/HMt]

2.5
UO2 (20GWd/t)
MOX (20GWd/t)
UO2 (60GWd/t)

2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
10-1

100

101
102
103
Cooling time [s]

104

105

図 23: 20GWd/t 照射 UO2 、MOX 燃料、60GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却期間 0.1∼105 秒における短期崩壊熱範囲で強い正の相関が見られる。これらの違いは、図 31、32 に示されている不確かさ要因の違いによるものだと考えられる。すなわち、UO2 燃料の場合は図 31 より 100 ∼ 102 年にかけて崩壊エ
ネルギー誤差由来の不確かさピークがあり、その領域における不確かさの内訳がほとんど変化しな
いため強い相関を持つものと考えられる。MOX 燃料の場合も図 32 より 10−1 ∼ 100 、100 ∼ 102 年の 2 領域において断面積由来不確かさのピークがあり、同様の理由で強い相関を持つものと考えら
れる。

4.6

核種生成量不確かさ

3 章での PIE 解析を行った UO2 燃料、MOX 燃料について、全く同じ条件でその生成量に生じる不確かさを計算する。
図 37、38 に UO2 燃料、MOX 燃料における核種生成量に生じる不確かさを示す。アクチニド生成量に対しては、実質的にアクチニド核種の断面積共分散しか考慮されていないため、崩壊デー
タ由来の不確かさは現れていない。アクチニド核種の中では Cm-245、-246 生成量の不確かさが比較的大きい一方、U-238 生成量不確かさはほぼ 0%である。Cm-245 生成量の不確かさは Pu-241、

Cm-244 捕獲断面積由来の不確かさが主な要因である。Cm-246 生成量の不確かさは Cm-245 捕獲
断面積由来の不確かさが主な要因である。
FP 核種不確かさにはいくつかの核種で非常に大きいものがあり、特に大きいのは Rb-85、Sr-86、
Sm-154 である。Rb-85 と Sr-86 生成量不確かさに関しては、U-235 核分裂収率のうち質量数 85 の質量チェーン由来の誤差が主な要因である。Sm-154 生成量不確かさに関しては、U-235、Pu-241
核分裂収率のうち質量数 154 の質量チェーン由来の誤差が主な要因である。いずれも核分裂収率誤差が不確かさの主因となっている。また MOX 燃料の場合、UO2 燃料と比較して Rb-85、Sr-86 の不確かさが小さいが、これは両核種生成量の U-235 核分裂収率由来の不確かさが他のアクチニド

39

Uncertainty [%]4
Total
CrossSection
EnergyYield
HalfLife
BranchingRatio

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

図 24: 20GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却時間 0.1∼105 秒における崩壊熱に生じる不確かさ

Uncertainty [%]4
Total
CrossSection
EnergyYield
HalfLife
BranchingRatio

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

図 25: 20GWd/t 照射 MOX 燃料の冷却時間 0.1∼105 秒における崩壊熱に生じる不確かさ

40

TotalCrossSection
EnergyYield
HalfLife
BranchingRatio

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

図 26: 60GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却時間 0.1∼105 秒における崩壊熱に生じる不確かさ

10-1

1.0

100

Cooling time [s]Uncertainty [%]

4

0.5
1

10

102

0.0

3

10

-0.5
4

10

105
10-1 100

101

102

103

104

105

-1.0

Cooling time [s]図 27: 20GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却時間 0.1∼105 秒における崩壊熱の相関行列

41

-1

1.0

10

Cooling time [s]

100
0.5
1

10

2

0.0

10

103
-0.5
4

10

105
10-1 100

1

10

2

10

3

10

4

10

5

-1.0

10

Cooling time [s]図 28: 20GWd/t 照射 MOX 燃料の冷却時間 0.1∼105 秒における崩壊熱の相関行列

10-1

1.0

Cooling time [s]

100
0.5
1

10

102

0.0

3

10

-0.5
4

10

105
10-1 100

1

10

2

10

3

10

4

10

5

-1.0

10

Cooling time [s]図 29: 60GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却時間 0.1∼105 秒における崩壊熱の相関行列42

Decay heat [kW/HMt]

80
60

UO2 (20GWd/t)
MOX (20GWd/t)
UO2 (60GWd/t)

40
20
0
10-1

100

101
Cooling time [yr]

102

103

図 30: 20GWd/t 照射 UO2 、MOX 燃料、60GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却期間 0.1∼103 年における長期崩壊熱

Uncertainty [%]

3

2

Total
CrossSection
EnergyYield
HalfLife
BranchingRatio

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr]

102

103

図 31: 20GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却時間 0.1∼103 年における崩壊熱に生じる不確かさ

43TotalCrossSection
EnergyYield
HalfLife
BranchingRatio

Uncertainty [%]

3

2

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr]

102

103

図 32: 20GWd/t 照射 MOX 燃料の冷却時間 0.1∼103 年における崩壊熱に生じる不確かさ

Uncertainty [%]

3

2

Total
CrossSection
EnergyYield
HalfLife
BranchingRatio

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr]

102

103

図 33: 60GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却時間 0.1∼103 年における崩壊熱に生じる不確かさ

44

Cooling time [yr]

10

-1

1.0

100

0.5

10

1

0.0

102

-0.5

103
10-1

0

10

1

10

2

10

3

-1.0

10

Cooling time [yr]Cooling time [yr]図 34: 20GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却時間 0.1∼103 年における崩壊熱の相関行列

10

-1

1.0

100

0.5

101

0.0

102

-0.5

103
10-1

0

10

1

10

2

10

3

-1.0

10

Cooling time [yr]図 35: 20GWd/t 照射 MOX 燃料の冷却時間 0.1∼103 年における崩壊熱の相関行列45

Cooling time [yr]

10

-1

1.0

100

0.5

10

1

0.0

102

-0.5

3

10
10-1

0

10

1

10

2

10

3

-1.0

10

Cooling time [yr]図 36: 60GWd/t 照射 UO2 燃料の冷却時間 0.1∼103 年における崩壊熱の相関行列
核分裂収率由来の不確かさより大きいためである。また Ru-106 を除き半減期誤差由来の不確かさは現れていない。
図 39、40 は図 37、38 で示された核種生成量の相関行列である。いずれの場合もいくつかの核種同士で正または負の強い相関が見られる。特に図 39 でのアクチニド核種においては、質量数の離れたアクチニド核種、あるいは FP 核種との間にも比較的強い相関が見られる。これは燃焼チェー
ン上において、アクチニド核種は核分裂や α 崩壊で質量数の大きく異なる核種同士が繋がっているためである。また図 39、40 双方において、Eu-153 から Gd-156 の間に相関の強い領域が存在している。
図 41、42 は、3 章の図 14、15 で示した実験値と計算値の比 (C/E-1 値) に対して図 37、38 で示した各核種の不確かさを誤差棒として表したものである。C/E-1 値は JENDL-4.0 を用いて計算したもので、不確かさは各反応の合計 (図 14、15 中の「Total」) である。

46

47

Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144Gd-154Gd-155

Gd-156

Gd-158Gd-1600Eu-155

5
Ce-14010

Eu-154

HalfLife
BranchingRatio
Yield
CrossSection
Total
La-13930

Eu-153(b)

Cs-13710

Sm-15415

Cs-135

Cs-134

Cs-133

Ru-10620

Sm-152

Sm-151

Sm-150Sm-148

Y-89

0

(c)

図 37: UO2 燃料の核種生成量に生じる不確かさ

Cm-246

Cm-245

Cm-244

Cm-242

Am-243Am-242m

Am-241

Pu-242

Pu-241

Pu-240

Pu-239Pu-238

Np-23715

Sm-147

U-236

U-235

U-234

U-238

Uncertainty [%]
20

Sr-90

Sr-88

Sr-86

Rb-87

Rb-85

Uncertainty [%]25

Pm-14715

Nd-15020

Nd-14825

Nd-146

Nd-145

Uncertainty [%]30

HalfLife
BranchingRatio
Yield
CrossSection
Total

10

5

(a)

30

25

HalfLife
BranchingRatio
Yield
CrossSection
Total

5

0

48

Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-1600
Gd-154

5
Ce-142

HalfLife
BranchingRatio
Yield
CrossSection
Total
Ce-14025

Eu-15530
La-139(a)

Eu-15415

Cs-13720

Eu-153

Cs-135

Cs-134

Cs-133

Sb-125

Ru-106

Y-89

Sr-90

Sr-88

Sr-86

Rb-87

Rb-85

U-238

Uncertainty [%]25

Sm-154Sm-152

Sm-151

Sm-150Sm-149Sm-14810

Sm-14715

Pm-14720

Nd-150

Nd-148Nd-146

Nd-145

Uncertainty [%]30

HalfLife
BranchingRatio
Yield
CrossSection
Total

10

5

0

(b)

図 38: MOX 燃料の核種生成量に生じる不確かさ

0.5

0.0

-0.5

U-238
U-234
U-235
U-236
Np-237
Pu-238
Pu-239Pu-240Pu-241
Pu-242
Am-241
Am-242m
Am-243
Cm-242
Cm-244
Cm-245
Cm-246
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide

1.0

U-238
U-234
U-235
U-236
Np-237
Pu-238
Pu-239Pu-240Pu-241
Pu-242
Am-241
Am-242m
Am-243
Cm-242
Cm-244
Cm-245
Cm-246
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide
図 39: UO2 燃料の核種生成量の相関行列

49

-1.0

0.5

0.0

-0.5

U-238
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Sb-125
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-149Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide

1.0

U-238
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Sb-125
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-149Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide図 40: MOX 燃料の核種生成量の相関行列

50

-1.0

51

Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144Gd-155

Gd-156

Gd-158Gd-160Cs-137

Cs-135

Cs-134

Cs-133

Ru-106

Gd-154JENDL-4.0
Nuclear data induced uncertainty
Measurement uncertainty
Ce-142-0.2

Eu-1550.0
Ce-1400.2

Eu-1540.4
La-139(b)

Eu-153

Sm-154Sm-152

Sm-151

Sm-150Sm-148

-0.6

Y-89

Sr-90

Sr-88

Sr-86

Rb-87

Rb-85

C/E-1
-0.4

Sm-147

Pm-147

Nd-150-0.6

Nd-148-0.4

Nd-146

Nd-145C/E-1(c)

図 41: UO2 燃料の核種生成量に生じる不確かさと C/E-1 値

Cm-246

Cm-245

Cm-244

Cm-242

Am-243Am-242m

Am-241

Pu-242

Pu-241

Pu-240

Pu-239Pu-238

Np-237

U-236

U-235

U-234

C/E-1
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
JENDL-4.0
Nuclear data induced uncertainty
Measurement uncertainty

(a)

0.2

0.0

-0.2

JENDL-4.0
Nuclear data induced uncertainty
Measurement uncertainty

-0.8

52

La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160Cs-135

Cs-134

Cs-133

Sb-125

Eu-153JENDL-4.0
Nuclear data induced uncertainty
Measurement uncertainty
Cs-137(a)Sm-154Sm-152

Sm-151

Sm-150Sm-149-0.6

Ru-106

Y-89

Sr-90

Sr-88

Sr-86

Rb-87

Rb-85

C/E-1
-0.4

Sm-148

Sm-147

Pm-147

Nd-150

Nd-148

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
Nd-146

Nd-145

C/E-1
0.4

0.2

0.0

-0.2

JENDL-4.0
Nuclear data induced uncertainty
Measurement uncertainty

-0.8

(b)

図 42: MOX 燃料の核種生成量に生じる不確かさと C/E-1 値

5

炉定数調整法を応用した崩壊熱不確かさの低減

5.1

崩壊熱不確かさの低減

4 章で示したように核種生成量や崩壊熱には核データ由来の不確かさが生じる。このような不確かさを低減することができれば、崩壊熱の値に基づく設計などの安全裕度を合理化することができる。
不確かさの低減としてまず考えられるのは核データ自体の測定をより精緻に行い核データ誤差を減らすというアプローチである。例えば図 24 を見ると、短期崩壊熱に対して崩壊エネルギー誤差
が崩壊熱不確かさの主要な要因となっている。もしもこれに関係する核種の崩壊エネルギーを新たにより高い精度で測定し評価すれば、崩壊熱不確かさはより低減されるだろう。しかし今日の核
データはこれまで何十年もの間全世界で測定されてきた測定データに基づいており、安易な方法で劇的な精度向上は望めない。また核データ誤差の大きな核種は測定困難な場合も多く、対象核種が無数にあることもありこういったアプローチには多大な労力を要する。
もう 1 つのアプローチとして想定する事象を模擬した実験を行い、実験値と計算値との差異を評価する方法がある。例えば原子炉設計手法の 1 つとしてバイアス因子法というものがある。これは、計算対象である新設計炉心と良く似た炉心を臨界集合体として組み、その集合体での臨界実験の結果得られた核特性の実験値と計算値との比をバイアスとして新設計炉心の計算値を補正する方法である。これによって新設計炉心の不確かさを低減することができる。燃焼計算に対してもこれと同様の方法を取ることはできるが、例えば原子炉停止後数秒 ∼ 数時間の非常に短い冷却期間での崩壊熱や、数百年以上冷却した核燃料の組成など、実験として模擬することが不可能な場合には適用することができない。
本章では実験模擬困難な崩壊熱 · 核種生成量の代表として 4.5 節で示した短期及び長期崩壊熱の不確かさに着目し、5.2 節で述べる炉定数調整法により実測不可能な時間領域における崩壊熱不確
かさの低減を試みる。

5.2

炉定数調整法

高速炉の設計手法の 1 つとして炉定数調整法、あるいは断面積調整法というものがある。これは、バイアス因子法と同じく新しい炉心を設計する際に用いるもので、新設計炉心を模擬した臨界集合体によって得られた多数の実験データを再現するように断面積をその不確かさの範囲内で調整し、その調整された断面積を用いて設計を行い新しい炉心の核特性の不確かさを減らすものである。バイアス因子法と異なる点は断面積を調整することで実験体系とは関係のない値の不確かさも低減できる可能性がある点である。
炉定数調整法とは、ベイズ理論を基礎とし、ある実験結果が得られた条件の元で断面積が真値を取る確率を最大化するように断面積を決定する方法である。文献 [31] より、炉定数調整法の基礎式は以下のように表される。まず炉定数調整により調整される断面積の相対変化は、()
D x s = MG GT MG + Ve + Vm D1−c/e(39)と表される。ただし D x s は各核種の断面積の調整前後での相対変化を表すベクトル、M は断面積
共分散行列、G は各断面積に対する実験値の相対感度を収納するベクトル、Ve 、Vm はそれぞれ実験、解析誤差の相対共分散行列、D1−c/e は各実験値の C/E 値を 1.0 から引いた値 (相対差異) を収納するベクトルである。また調整によって断面積自体の不確かさも縮小されるが、その調整後の断面積相対共分散は、()
M′ = M − MG GT MG + Ve + Vm GT M

53

(40)

と表される。ただし M′ は調整後の断面積相対共分散である。これらの式より、各核種の断面積相対共分散と実験誤差相対共分散が分かっており、臨界実験を模擬するような計算を行った際の解析
誤差相対共分散、結果として得られる核特性の各断面積に対する相対感度係数、計算結果と実験値との比である C/E 値が得られれば、断面積調整を行うことができる。調整された断面積を用いて新設計炉心の計算を行った場合に得られる核特性の相対変化 Dnew は、以下のように (39) 式に核
データに対する新設計炉心核特性の相対感度 Gnew を掛ければ得られる。

Dnew

=
=

GTnew D x s()
GTnew MG GT MG + Ve + Vm D1−c/e(41)

またその際得られる新設計炉心核特性の不確かさ Vnew は、(40) 式を (38) 式に代入することで、

Vnew

=
=

GTnew M′Gnew()
GTnew MGnew − GTnew MG GT MG + Ve + Vm GT MGnew(42)

として得られる。
以上述べたものは炉心核特性に対し、断面積を調整するものであるが、この手法は燃焼計算に対しても応用することができる。すなわち、実験値として臨界実験ではなく核燃料の燃焼に関わる
種々の実験の値を用い、核特性ではなく実測困難な時間領域での崩壊熱の不確かさを低減するのである。感度係数は 4.3 節で述べた燃焼感度計算を行うことで算出することができる。ただし燃焼計
算では断面積に加えて核分裂収率や崩壊データなど多くの種類の核データが用いられるため、炉定数調整における調整対象にそれらを加える必要がある。すなわち (39)、(40) 式において D x s や M、

G を、断面積に加えて核分裂収率や崩壊データを加えた巨大なものにする必要がある 23 。
従来 CBZ に実装されていた炉定数調整機能は主に高速炉用に断面積のみ調整するものであった
ので、燃焼計算にも適用できるよう核分裂収率、崩壊定数、崩壊エネルギー、崩壊分岐比も調整対象に加えるよう新たに機能を拡張する。
炉定数調整法において未だに残されている課題として実験、解析誤差の扱いがある。(39)、(40)式より調整を行うには実験値、計算結果の相対共分散を決める必要がある。実験誤差については標
準偏差としてデータが与えられている場合がほとんどであり、実験値間の相関については何らかの方法で仮定する必要がある。また解析誤差については、モンテカルロコードは別として、CBZ のような決定論的コードの場合解析誤差を明らかにすることは非常に難しい。そのため現状ではある程度保守的な値を仮定の元で決める以外に方法は無い 24 。

5.3

相関

炉定数調整法により核データを調整しても崩壊熱不確かさが低減できるとは限らない。調整の結果低減された核データ誤差が対象とする崩壊熱の不確かさにはほとんど寄与していない場合が考えられるからである。
どのような実験値を用いて調整を行えばよいかの指標に、核データ誤差伝播計算の結果得られる相関行列を用いることができる。対象とする崩壊熱の計算に加えてある実験を模擬する計算を行い、それぞれの計算結果の間の相関が強い程、その実験に対して炉定数調整を行えば崩壊熱不確か
さをより低減させることができる。
不確かさを低減したい短期 · 長期崩壊熱と、候補となる実験を模擬した計算において燃焼感度計
算を実施し、そこで得られた感度係数と核データ不確かさを用いて (38) 式に基づき誤差伝播計算
23ただし例えば (41)、(42) 式では行列計算の順番を工夫することでこのような巨大な行列を扱う必要は無くなる。
24文献 [31] では実験、解析誤差の与え方として新しい手法が提案されている54

を行い相関行列を得る。実験の候補としては、使用済燃料の組成 (PIE データ) や瞬時照射実験 25 を考える。いずれも崩壊熱 · 核種生成量と関係があり、かつ測定が比較的容易で実験例が多数存在するものである。
最初に崩壊熱と PIE 模擬計算値との間の相関を見る。図 43 は 20GWd/t 照射 UO2 燃料の短期崩
壊熱と PIE 模擬計算値との間の相関行列である。PIE としては 3 章における UO2 燃料と MOX 燃
料の 2 通りを考えた。短期崩壊熱と PIE 値との間の相関の領域を見ると、あまり強い相関は見られず、いくつかの核種の PIE 値と短期崩壊熱との間に 0.5 未満の弱い正の相関が見られる。原子炉停止後 1 日未満の崩壊熱と数年冷却後の核種数密度という時間スケールの全く異なる両者の間に弱いとはいえ相関があるのは、短半減期核種の崩壊の結果長半減期の娘核種が生成されるためであると考えられる。
図 45 は 20GWd/t 照射 UO2 燃料の長期崩壊熱と PIE 模擬計算値との間の相関行列である。図 43の場合と異なりいくつかの核種の PIE 値と長期崩壊熱との間には強い相関が見られる。MOX 燃料には無いアクチニド核種の部分を除くと、図 44(a) と図 44(b) の相関はほぼ同様の傾向を示している。
図 45 は 20GWd/t 照射 MOX 燃料の長期崩壊熱と PIE 模擬計算値との間の相関行列である。UO2
燃料長期崩壊熱の相関と比較すると、UO2 燃料 PIE データにおけるアクチニド核種と崩壊熱の間に負の相関が増え、FP と崩壊熱の間の相関が全体的に若干弱くなっている。
次に崩壊熱と瞬時照射崩壊熱計算値との間の相関を見る。図 46 は 20GWd/t 照射 UO2 燃料の短期崩壊熱と U-235 瞬時照射模擬計算値との間の相関行列である。瞬時照射実験値として β 線と γ線の測定を考え、2 通りの相関行列を作成した。短期崩壊熱と β 、γ 瞬時照射実験値との間には全冷却期間に渡って１に近い強い正の相関が見られる。このように相関が強いのは、短期崩壊熱と瞬時照射崩壊熱の不確かさの大部分が共に崩壊エネルギー誤差由来であるからだと考えられる。
図 47 は 20GWd/t 照射 UO2 燃料の長期崩壊熱と U-235 瞬時照射模擬計算値との間の相関行列であるが、図 46 とは対照的に、両者の間に全く相関が無い。瞬時照射実験としては U-235 以外にもいくつかの核種が考えられるが、U-238、Pu-239、-241 の瞬時照射模擬計算の場合にも U-235 と同様の相関が見られた。
以上より、長期崩壊熱に対しては PIE データに対する炉定数調整が有効であると予想できる。また、短期崩壊熱に対しては瞬時照射実験値に対する調整が有効であると予想できる。

5.4 PIE 解析値を用いた不確かさの低減
PIE データに対して炉定数調整を行い、崩壊熱不確かさの低減を試みる。使用する PIE データ
は、3 章で用いた UO2 燃料 (55 核種) と MOX 燃料 (41 核種) のものである。各核種のサンプル間平均値に対して調整を行う。実験誤差は文献 [16][17] に記載された測定誤差とし、相関は無いものとする。解析誤差については現状では確立された導出方法が無いため、3 章で行われた PIE 解析の内

Nd-148 生成量の結果から大まかな値を推測する。Nd-148 は核データによる不確かさが小さく、生成量はほぼ燃焼度に比例するため、使用済核燃料の燃焼度の指標に用いられている。3 章の図 14に示されている Nd-148 の実験値と解析値の差異は最大で 1.4%であり、CBZ の燃焼計算の解析誤差を大きく見積もってもこの程度であると推測できる。したがって本研究では解析誤差を一律に2%と仮定する
短期 · 長期崩壊熱及び PIE 模擬計算における感度係数は CBZ の燃焼感度計算機能を用いて得る。
調整対象の核データは表 6 に載せたもののうち崩壊エネルギー以外のものである。

20GWd/t 照射 UO2 燃料、MOX 燃料、60GWd/t 照射 UO2 燃料 3 通りの短期崩壊熱について、PIE
データに対する炉定数調整を行う前と後の不確かさを図 48 に示す。3 者ともほとんど不確かさが25U-235 などの核分裂性物質に対して瞬間的に中性子を照射した後に放出される β 、γ 線を測定するもの。

55

1.0

Short-term decayheat
cooling time [s]

10-1
100
101

0.5

102
103
104

0.0

U-238
U-234
U-235
U-236
Np-237
Pu-238
Pu-239Pu-240Pu-241
Pu-242
Am-241
Am-242m
Am-243
Cm-242
Cm-244
Cm-245
Cm-246
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

-0.5

U-238
U-234
U-235
U-236
Np-237
Pu-238
Pu-239Pu-240Pu-241
Pu-242
Am-241
Am-242m
Am-243
Cm-242
Cm-244
Cm-245
Cm-246
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide

105

10-1

100

101

102

103

104

-1.0

105

NuclideShort-term decayheat
cooling time [s](a) UO2 燃料 PIE データ

1.0

Short-term decayheat
cooling time [s]

10-1

10

0

10

1

10

2

0.5
103
104

0.0
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Sb-125
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-149Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

-0.5

U-238
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Sb-125
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-149Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide105 U-238
Rb-85

10-1

100

101

102

103

104

-1.0

105

NuclideShort-term decayheat
cooling time [s](b) MOX 燃料 PIE データ

図 43: 20GWd/t 照射 UO2 燃料短期 (0.1∼105 秒) 崩壊熱と UO2 /MOX 燃料 PIE データとの間の相関
行列

56

1.0

Long-term decayheat
cooling time [yr]

10-1

100

101

10

0.5

2

103 U-238
U-234

0.0

-0.5

10-1

100

101

U-238
U-234
U-235
U-236
Np-237
Pu-238
Pu-239Pu-240Pu-241
Pu-242
Am-241
Am-242m
Am-243
Cm-242
Cm-244
Cm-245
Cm-246
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide

U-235
U-236
Np-237
Pu-238
Pu-239Pu-240Pu-241
Pu-242
Am-241
Am-242m
Am-243
Cm-242
Cm-244
Cm-245
Cm-246
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

102

-1.0

103

NuclideLong-term decayheat
cooling time [yr](a) UO2 燃料 PIE データ

1.0

Long-term decayheat
cooling time [yr]

10-1

10

0

10

1

10

2

0.5

0.0

Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Sb-125
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-149Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

-0.5

U-238
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Sb-125
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-149Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide103 U-238

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

-1.0

3

NuclideLong-term decayheat
cooling time [yr](b) MOX 燃料 PIE データ

図 44: 20GWd/t 照射 UO2 燃料長期 (0.1∼103 年) 崩壊熱と UO2 /MOX 燃料 PIE データとの間の相関
行列

57

1.0

Long-term decayheat
cooling time [yr]

10-1

100

101

10

0.5

2

103 U-238
U-234

0.0

-0.5

10-1

100

101

U-238
U-234
U-235
U-236
Np-237
Pu-238
Pu-239Pu-240Pu-241
Pu-242
Am-241
Am-242m
Am-243
Cm-242
Cm-244
Cm-245
Cm-246
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide

U-235
U-236
Np-237
Pu-238
Pu-239Pu-240Pu-241
Pu-242
Am-241
Am-242m
Am-243
Cm-242
Cm-244
Cm-245
Cm-246
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

102

-1.0

103

NuclideLong-term decayheat
cooling time [yr](a) UO2 燃料 PIE データ

1.0

Long-term decayheat
cooling time [yr]

10-1

10

0

10

1

10

2

0.5

0.0

Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Sb-125
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-149Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

-0.5

U-238
Rb-85
Rb-87
Sr-86
Sr-88
Sr-90
Y-89
Ru-106
Sb-125
Cs-133
Cs-134
Cs-135
Cs-137
La-139Ce-140Ce-142Ce-144Pr-141
Nd-142
Nd-143
Nd-144
Nd-145
Nd-146
Nd-148Nd-150Pm-147
Sm-147
Sm-148
Sm-149Sm-150Sm-151
Sm-152
Sm-154Eu-153
Eu-154Eu-155
Gd-154Gd-155
Gd-156
Gd-158Gd-160

Nuclide103 U-238

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

-1.0

3

NuclideLong-term decayheat
cooling time [yr](b) MOX 燃料 PIE データ

図 45: 20GWd/t 照射 MOX 燃料長期 (0.1∼103 年) 崩壊熱と UO2 /MOX 燃料 PIE データとの間の相関
行列

58

1.0

Fission pulse decayheat Short-term decayheat
cooling time [s]cooling time [s]

10-1
100
101

0.5

102
10

3

104
105 10-1
10

0.0

0

101
10

2

10

3

-0.5

104
105
10-1 100

101

102

103

104

10-1 100
105

101

102

103

104

105

-1.0

Short-term decayheat Fission pulse decayheat
cooling time [s]cooling time [s](a) 瞬時照射 β 崩壊熱

1.0

Fission pulse decayheat Short-term decayheat
cooling time [s]cooling time [s]

10-1
10

0

10

1

0.5

102
10

3

104
105 10-1
10

0.0

0

101

-0.5

102
103
104
105

-1

10-1 100

101

102

103

104

10
105

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

-1.0

Short-term decayheat Fission pulse decayheat
cooling time [s]cooling time [s](b) 瞬時照射 γ 崩壊熱

図 46: 20GWd/t 照射 UO2 燃料短期 (0.1∼105 秒) 崩壊熱と U235 熱中性子瞬時照射 β/γ 崩壊熱との間の相関行列591.0

Fission pulse decayheat Long-term decayheat
cooling time [yr]cooling time [s]

10-1
10

0

101

0.5

102
103 10-1

0.0

100
101
102
10

-0.5

3

104
105
10

10-1
-1

10

0

10

1

10

2

10

100

101

102

103

104

105

-1.0

3

Long-term decayheat Fission pulse decayheat
cooling time [s]cooling time [yr](a) 瞬時照射 β 崩壊熱

1.0

Fission pulse decayheat Long-term decayheat
cooling time [yr]cooling time [s]

10-1
10

0

101

0.5

102
103 10-1

0.0

100
101
102

-0.5

103
104
105
10-1

10-1
100

101

102

100

101

102

103

104

105

-1.0

103

Long-term decayheat Fission pulse decayheat
cooling time [s]cooling time [yr](b) 瞬時照射 γ 崩壊熱

図 47: 20GWd/t 照射 UO2 燃料長期 (0.1∼103 年) 崩壊熱と U235 熱中性子瞬時照射 β/γ 崩壊熱との間の相関行列60

低減されておらず、PIE データでは短期崩壊熱の不確かさは低減できないことが分かる。冷却時間

104 ∼ 105 秒にかけてわずかに不確かさが減少している部分があり、これは図 43 で見られる弱い相関に対応していると考えられる。
同じ 3 通りの燃料の長期崩壊熱について、PIE データに対する炉定数調整を行う前と後の不確かさを図 49 に示す。短期崩壊熱の場合と異なり 3 者とも不確かさが低減されている。図 49 と図31、32、33 を比較すると、炉定数調整により断面積由来不確かさが主に低減されていることが推察される。102 ∼ 103 年付近の不確かさはほとんどがアクチニド核種の断面積不確かさに由来しており、PIE データに対して炉定数調整を行うことでアクチニド核種断面積の不確かさが減少し、長期崩壊熱の不確かさも低減されたと考えられる。一方、特に 20GWd/t 照射 UO2 燃料において、崩壊エネルギー由来不確かさが 10 年付近に大きなピークを持ったままである。これは半減期 2.6 分の Ba-137m の β 崩壊エネルギー誤差に由来するものであり、これは半減期 30.1 年の Cs-137 の娘核種である。Ba-137m の β 崩壊エネルギーは理論値であり、前述のようにその誤差を 100%と仮定しているためこのような大きな不確かさとなって現れている。したがって何らかの方法で Ba-137mの β 崩壊エネルギー誤差を低減できれば、長期崩壊熱の不確かさはさらに低くなると考えられる。
以上より短期 · 長期崩壊熱において、PIE データを用いた炉定数調整を実施した。短期崩壊熱の不確かさはほとんど低減されず、長期崩壊熱不確かさはある程度低減された。これは 5.3 節での予想と合致している。

5.5

瞬時照射崩壊熱測定値を用いた不確かさの低減

瞬時照射実験値に対して炉定数調整を行い、崩壊熱不確かさの低減を試みる。瞬時照射実験値としては文献 [32] より熱中性子瞬時照射 U-235、Pu-239 崩壊熱、文献 [33][34] より熱中性子瞬時照射 U-235、Pu-239、Pu-241 崩壊熱、文献 [35]、[36] より高速中性子瞬時照射 U-238 崩壊熱の値を用いる。崩壊熱の計測は β 、γ 線別に行われているので、両者の値それぞれに対して調整を行う。実験誤差は文献 [32]、[33]、[34]、[35]、[36] に記載された測定誤差とし、相関は実験ケースごとにすべての時間点間で 0.8 と仮定する 26 。短期 · 長期崩壊熱計算における感度係数は CBZ の燃焼感度計
算機能を用いて得る。瞬時照射崩壊熱計算における感度係数は CBZ の瞬時照射感度計算機能 [37]を用いる。調整対象の核データは表 6 に載せたものである。CBZ の瞬時照射感度計算機能では中性子輸送計算が行われず、解析誤差は用いている MMPA 法自身の誤差に離散化誤差等が上乗せされた程度であり、通常の燃焼計算の場合よりも大幅に小さいと予想されるので、一律に 0.01%と仮定した。

20GWd/t 照射 UO2 燃料、MOX 燃料、60GWd/t 照射 UO2 燃料 3 通りの短期崩壊熱について、瞬時照射実験値に対する炉定数調整を行う前と後の不確かさを図 50 に示す。3 者とも不確かさが著
しく低減されている。冷却時間 0.1∼100 秒付近において 2 ∼ 3% 程度あった不確かさが炉定数調整
により 0.5%程度にまで減っている。図 24、25、26 と比較すると、崩壊エネルギー誤差の低減による効果がほとんどであると考えられる。この領域の不確かさはほとんどが崩壊エネルギー誤差を100%と仮定した核種によるものである。従ってそういった過大な崩壊エネルギー誤差を、瞬時照射実験値を反映させることにより妥当な値へと修正することが出来たと解釈することもできる。瞬時照射実験値は PIE データと異なり崩壊エネルギーに関する情報も得られるため、短期崩壊熱不確
かさの低減には非常に有利である。
同じ 3 通りの燃料の長期崩壊熱について、瞬時照射実験値に対する炉定数調整を行う前と後の不確かさを図 51 に示す。3 者とも不確かさは全く低減されていない。

26瞬時照射実験は β 、γ 線測定なので誤差としては統計誤差が考えられるが、実際の実験値のプロットを見るとガタつかず滑らかに推移しているため、ある程度の正の相関があるものと考える。

61

Uncertainty [%]4
Before adjustment
After adjustment

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

(a) 20GWd/t 照射 UO2 燃料

Uncertainty [%]4
Before adjustment
After adjustment

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

(b) 20GWd/t 照射 MOX 燃料

Uncertainty [%]4
Before adjustment
After adjustment

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

(c) 60GWd/t 照射 UO2 燃料

図 48: PIE データを用いた短期 (0.1∼105 秒) 崩壊熱不確かさの低減

62

Uncertainty [%]3

Before adjustment
After adjustment

2

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr]

102

103

102

103

102

103

(a) 20GWd/t 照射 UO2 燃料

Uncertainty [%]3

Before adjustment
After adjustment

2

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr](b) 20GWd/t 照射 MOX 燃料

Uncertainty [%]3

Before adjustment
After adjustment

2

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr](c) 60GWd/t 照射 UO2 燃料

図 49: PIE データを用いた長期 (0.1∼103 年) 崩壊熱不確かさの低減

63以上より短期 · 長期崩壊熱に対して、瞬時照射崩壊熱実験値を用いた炉定数調整を実施した。短期崩壊熱の不確かさは著しく低減され、長期崩壊熱不確かさは全く低減されなかった。これは 5.3
節での予想と合致している。

64

Uncertainty [%]4
Before adjustment
After adjustment

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

(a) 20GWd/t 照射 UO2 燃料

Uncertainty [%]4
Before adjustment
After adjustment

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

(b) 20GWd/t 照射 MOX 燃料

Uncertainty [%]4
Before adjustment
After adjustment

3

2

1

0
10-1

100

101

102
103
Cooling time [s]

104

105

(c) 60GWd/t 照射 UO2 燃料

図 50: 瞬時照射崩壊熱測定データを用いた短期 (0.1∼105 秒) 崩壊熱不確かさの低減

65

Uncertainty [%]3

Before adjustment
After adjustment

2

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr]

102

103

102

103

102

103

(a) 20GWd/t 照射 UO2 燃料

Uncertainty [%]3

Before adjustment
After adjustment

2

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr](b) 20GWd/t 照射 MOX 燃料

Uncertainty [%]3

Before adjustment
After adjustment

2

1

0
10-1

100

101
Cooling time [yr](c) 60GWd/t 照射 UO2 燃料

図 51: 瞬時照射崩壊熱測定データを用いた長期 (0.1∼103 年) 崩壊熱不確かさの低減

66

6

結言

2 章では新しい行列指数計算手法 MMPA 法を開発した。この手法は扱う核種の半減期、設定する時間幅に関係なく近似精度を高く保つことができるという大きな長所を持つ。また同様の利点を持つ CRAM と比較していくつかの点で優れている。MMPA 法は CBZ に実装され、本研究における計算に限らず様々な燃焼計算の計算速度、利便性向上に貢献している。課題として任意定数 c の決定方法が挙げられる。現状では c はパラメータ探索により決定しているが、もしこれを理論ベースで決定することができれば係数決定がより容易になる。また係数 ai の桁の範囲が広がることによる情報落ちの問題もある。現状の 32 次、あるいは 48 次では問題が無いが、次数をさらに増やしていくと ai の 桁の範囲が大きく広がり、近似式中において ai を乗じたベクトルの線形結合の際に情報落ちが生じる場合がある。この問題を解決することができれば大きな次数の近似式を用いることができるため、マルチステップ計算において 1 回に計算できるステップ数をより増やすことができるだろう。

3 章では使用済核燃料中の核種生成量に生じる核データライブラリ間差異について明らかにし、
燃焼感度計算を用いてその要因を定量的に評価した。これにより、現時点における JENDL、ENDF、

JEFF 間の差異が、核種生成量に対しどれほどの影響を与えているのかを把握することができた。
またそれらの要因を評価することは核データ側の評価精度向上の余地を明らかにすることにもつながる。

4 章では崩壊熱 · 核種生成量に生じる不確かさを定量化した。現在安全審査で用いられている崩壊熱の不確かさは、FP 崩壊熱に関しては瞬時照射崩壊熱に基づく値をベースにしたものであり、アクチニド崩壊熱に関しては未だに基準が整備されていない。本研究のように FP とアクチニドすべてを統一的に扱い、計算機上で核燃料の燃焼を詳細に再現し、主要な核データをすべて考慮した不確かさ計算を行ったことは大きな成果である。また PIE 解析における核種生成量不確かさを定量化したことも、C/E 値を評価する上で大きな助けになるだろう。課題としては、現状で用いられている基準値の不確かさとの比較や、アクチニド崩壊データの考慮などが考えられる。

5 章では 3 章で定量化した不確かさのうち、実測困難な時間領域における崩壊熱の不確かさに着目し、現状で入手可能な実験データを用いることでこれを低減することに成功した。今回は崩壊熱のみであったが、この手法は原子炉停止直後や長期冷却後における核種生成量といった他の実測困
難な量の不確かさ低減にも応用することができる。またこの手法は核データ誤差の評価が困難な場合に、代替手段として種々の実験値を用いてその定量化を行える可能性を示している。例えば理論計算により値が与えられる短半減期核種の崩壊エネルギーの誤差は本研究では 100%と仮定したが、章で行ったようにその誤差に瞬時照射実験値を反映させることにより、値を妥当なものに修正することができた。課題としては実験誤差や解析誤差の扱いが挙げられる。炉定数調整法では実験
誤差や解析誤差の共分散を正しく設定しなければ妥当な調整を行うことができない。現状ではそれらに対する情報は必ずしも十分ではないため、保守的な値を仮定して対処しているが、はっきりとした根拠に基づき設定することが望ましい。特に PIE データに関しては、その測定の難しさから測定誤差として記載されていない誤差が存在していると考えられる。現状では特に FP に関するデー
タが少ないため存在するデータをそのまま採用しているが、多数のデータがある場合にはデータを吟味し、異常データの排除を行う必要がある。
本研究で行った不確かさ計算、炉定数調整計算においては、CBZ に様々な計算モジュールを追加した。これにより CBZ の応用範囲を大きく拡張することができた。

67

謝辞
本研究において、研究室長としてご指導を頂いた奈良林教授に厚く感謝申し上げます。また、実質的な研究指導、CBZ コードその他に関する多大な技術的指導を頂いた千葉豪准教授、様々な助言を頂いた辻雅司特任准教授に対しても深く感謝致します。
学生生活の面で支えて頂いた技術補佐員平井氏、また本研究室の M2、1、B4 の学生にも楽しかっ
た学生生活を感謝したいと思います。

68

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[30] 羽倉 尚人、吉田 正、「軽水炉における使用済み MOX 燃料からのアクチニド崩壊熱の核デー
タ由来の誤差評価」、日本原子力学会和文論文誌

Vol.9

No.1、p.29、(2010).

[31] 石川眞、杉野和輝、「(2) Subgroup 33「炉定数調整法」会合に参加して」、核データニュー
ス No.97、p.28、URL:http://wwwndc.jaea.go.jp/JNDC/ND-news/pdf97/No97-05.pdf、(2010).
[32] E. Seabury et al, “Decay Heat Measurements Following Neutron Fission of 235 U and 239 Pu,”
Proc. Int. Conf. on Nucl. Data for Science and Technol., Trieste (Italy), p.835 (1997).
[33] J. Dickens et al, “Fission-Product Energy Release for Times Following Thermal-Neutron Fission of
235 U between 2 and 14,000 seconds,” Nucl. Science and Eng. 74, p.106 (1980).
[34] J. Dickens et al, “Fission-Product Energy Release for Times Following Thermal-Neutron Fission of
239 P u between 2 and 14,000 seconds,” Nucl. Science and Eng. 78, p.126 (1981).
70

[35] M. Akiyama et al, “Measurements of Beta-Ray Decay Heat of Fission Products for Fast Neutron
Fission of 235 U , 239 Pu, and 233 U ,“ Nihon-Genshiryoku-Gakkai Shi (J. At. Energy Soc. Jpn.)
24, p.803 (1982).[in Japanese].
[36] M. Akiyama et al, “Measurements of Gamma-Ray Decay Heat of Fission Products for Fast Neutron
Fission of 235 U , 239 Pu, and 233 U,” Nihon-Genshiryoku-Gakkai Shi (J. At. Energy Soc. Jpn.)
24, p.709 (1982).[in Japanese].
[37] T. Kajihara, private communication (2014).

71

A 主要元素の崩壊熱表
ここでは一般的な原子炉の炉心平均崩壊熱として、以下の条件 27 の下照射された UO2 燃料の主
要元素別崩壊熱を示す。

• 燃料濃縮度... 4.8wt%(集合体燃焼度制限 55GWd/t 対応燃料)• 線出力密度... 17.1kW/m• 照射履歴... 上記線出力密度にて連続照射 (中間停止は考慮せず)• 評価燃焼度... 18,36,55GWd/t(集合体燃焼度制限 55GWd/t 対応燃料)

27[8] より引用

72

表 7: 冷却期間 1∼106 秒における主要元素別崩壊熱
Time[s]Cs[W/tHM]

I[W/tHM]

Kr+Xe[W/tHM]

ALL[W/tHM]

1.000000E+00

8.258837E+02

1.103499E+04

1.513290E+03

6.071183E+04

1.258925E+00
1.584893E+00

8.152500E+02
8.028177E+02

7.250823E+03
4.971580E+03

8.383580E+02
6.240583E+02

4.821013E+04
4.160077E+04

1.995262E+00
2.511886E+00
3.162278E+00

7.884703E+02
7.722657E+02
7.544410E+02

3.312324E+03
2.080901E+03
1.209825E+03

4.802010E+02
3.470063E+02
2.310946E+02

3.676227E+04
3.266764E+04
2.903592E+04

3.981072E+00
5.011872E+00

7.354513E+02
7.159723E+02

6.490380E+02
3.254401E+02

1.397662E+02
7.581980E+01

2.577383E+04
2.282092E+04

6.309573E+00
7.943282E+00
1.000000E+01

6.968330E+02
6.788557E+02
6.626167E+02

1.549469E+02
6.941250E+01
2.780623E+01

3.711443E+01
1.753051E+01
9.531577E+00

2.013415E+04
1.769958E+04
1.552206E+04

1.258925E+01
1.584893E+01

6.481950E+02
6.350370E+02

9.227017E+00
2.339950E+00

6.949233E+00
6.260760E+00

1.359547E+04
1.188278E+04

1.995262E+01
2.511886E+01
3.162278E+01

6.220490E+02
6.079020E+02
5.913680E+02

4.175780E-01
4.772407E-02
3.114197E-03

6.074323E+00
6.004380E+00
5.960737E+00

1.032538E+04
8.873763E+03
7.514383E+03

3.981072E+01
5.011872E+01

5.714840E+02
5.475160E+02

1.040561E-04
5.422017E-06

5.917287E+00
5.865020E+00

6.270347E+03
5.176683E+03

6.309573E+01
7.943282E+01
1.000000E+02

5.188693E+02
4.850767E+02
4.458757E+02

4.108630E-06
4.103047E-06
4.103063E-06

5.800090E+00
5.719377E+00
5.619363E+00

4.251203E+03
3.481470E+03
2.833641E+03

1.258925E+02
1.584893E+02

4.013497E+02
3.520967E+02

4.103067E-06
4.103067E-06

5.495937E+00
5.344400E+00

2.274054E+03
1.786584E+03

1.995262E+02
2.511886E+02
3.162278E+02

2.993949E+02
2.453012E+02
1.925918E+02

4.103067E-06
4.103067E-06
4.103067E-06

5.159553E+00
4.935907E+00
4.668087E+00

1.373859E+03
1.045177E+03
8.033527E+02

3.981072E+02
5.011872E+02

1.444484E+02
1.038479E+02

4.103063E-06
4.103063E-06

4.351487E+00
3.983260E+00

6.391863E+02
5.341960E+02

6.309573E+02
7.943282E+02
1.000000E+03

7.276410E+01
5.149190E+01
3.851670E+01

4.103063E-06
4.103063E-06
4.103063E-06

3.563667E+00
3.097697E+00
2.596707E+00

4.676623E+02
4.227737E+02
3.885797E+02

1.258925E+03
1.584893E+03

3.115136E+01
2.665230E+01

4.103063E-06
4.103063E-06

2.079549E+00
1.572320E+00

3.585813E+02
3.289127E+02

1.995262E+03
2.511886E+03
3.162278E+03

2.311521E+01
1.966318E+01
1.610015E+01

4.103060E-06
4.103060E-06
4.103057E-06

1.105788E+00
7.099397E-01
4.063873E-01

2.975328E+02
2.639021E+02
2.285907E+02

3.981072E+03
5.011872E+03

1.252372E+01
9.128600E+00

4.103057E-06
4.103053E-06

2.013383E-01
8.316430E-02

1.928939E+02
1.585581E+02

6.309573E+03
7.943282E+03
1.000000E+04

6.130810E+00
3.714223E+00
1.976364E+00

4.103050E-06
4.103047E-06
4.103043E-06

2.732264E-02
6.728840E-03
1.152870E-03

1.274840E+02
1.012939E+02
8.083710E+01

1.258925E+04
1.584893E+04

8.931623E-01
3.286391E-01

4.103037E-06
4.103027E-06

1.250957E-04
7.637677E-06

6.589033E+01
5.529443E+01

1.995262E+04
2.511886E+04
3.162278E+04

9.338013E-02
1.920238E-02
2.677551E-03

4.103017E-06
4.103007E-06
4.102990E-06

2.260916E-07
2.697115E-09
1.719855E-11

4.750820E+01
4.123023E+01
3.569510E+01

3.981072E+04
5.011872E+04
6.309573E+04

2.876367E-04
8.556980E-05
7.680003E-05

4.102970E-06
4.102943E-06
4.102913E-06

7.043870E-12
7.031887E-12
7.028197E-12

3.057835E+01
2.577712E+01
2.129846E+01

7.943282E+04
1.000000E+05

7.662937E-05
7.662200E-05

4.102873E-06
4.102823E-06

7.023553E-12
7.017717E-12

1.724342E+01
1.377675E+01

1.258925E+05
1.584893E+05
1.995262E+05

7.661407E-05
7.660413E-05
7.659157E-05

4.102763E-06
4.102683E-06
4.102583E-06

7.010373E-12
7.001140E-12
6.989533E-12

1.104641E+01
9.096363E+00
7.828237E+00

2.511886E+05
3.162278E+05

7.657580E-05
7.655593E-05

4.102460E-06
4.102303E-06

6.974947E-12
6.956630E-12

7.035220E+00
6.487077E+00

3.981072E+05
5.011872E+05
6.309573E+05

7.653097E-05
7.649950E-05
7.645993E-05

4.102107E-06
4.101857E-06
4.101543E-06

6.933637E-12
6.904797E-12
6.868663E-12

6.010480E+00
5.516703E+00
4.979897E+00

7.943282E+05
1.000000E+06

7.641013E-05
7.634747E-05

4.101150E-06
4.100653E-06

6.823440E-12
6.766933E-12

4.404700E+00
3.807960E+00

73

B MMPA 法マルチステップ計算の近似係数
2.6 節で行われたマルチステップ計算で用いられた 48 次 MMPA 近似式の係数セットを以下に示す。対応する任意定数 c は図 11 で示されたものである。
まずは最初の 6 ステップを計算するための係数 6 セットを示す。
Coeﬃcient ai (c = 16)
a0
a1
a2

1.12535174719436915429×10−7-3.60112559104326411840×10−6
5.40168838650231100585×10−5

a17
a18

1.63747875794902479055×10−1
1.00016228165977581514×10−1

a33
a34

-4.24166107113733789449×10−2-4.46322522181270049993×10−1

a3
a4-5.02957207534131921437×10−4
3.24221340715798992572×10−3

a19
a20

-1.25015649153585794428×10−1-1.27112379022206624188×10−1

a35
a36

-2.64838753661734838743×10−2
3.47547516130817998509×10−1

a5
a6
a7

-1.52608500309838852406×10−2
5.37949744999227321757×10−2-1.42799319909608996409×10−1

a21
a22
a23

6.24995538468487243066×10−2
1.42439711387716676268×10−1
2.59057014773945553982×10−2

a37
a38
a39

4.95324662477492686972×10−2-2.11872309810388232170×10−1-3.83638004748815115014×10−2a8
a9

2.80952239275618283650×10−1-3.88404512213380723691×10−1

a24
a25

-1.11017372414298427807×10−1-1.22433727528261425466×10−1

a40
a41

9.96279407695668971790×10−2
1.86653915459792751196×10−2

a10
a11
a12

3.19004517085207491919×10−1-3.02193669057283350467×10−2-2.40654152701884664803×10−1

a26
a27
a28

7.78181060207520357181×10−3
1.90137583356158317814×10−1
1.58709134200956522121×10−1

a42
a43
a44

-3.49769262479569098092×10−2-5.88945331540796168774×10−3
8.64352410701897817530×10−3

a13
a14

1.73664327872257185639×10−1
1.31845829688110605213×10−1

a29
a30

-1.94449415555998288901×10−1-3.35224878597375829279×10−1

a45
a46

1.11282449877578150592×10−3-1.34203729910405140951×10−3

a15
a16

-1.85659542432681836527×10−1-9.21443413412654942921×10−2

a31
a32

1.32733265352847200428×10−1
4.46908639052389715419×10−1

a47
a48

-9.63080617219916315583×10−5
9.85118241738655646730×10−5

a0

1.26641622865236151455×10−14a1
a2-8.10504922074006066308×10−132.51257085106983862004×10−11

a17
a18

-3.04280152972712293470×10−1
3.08578694420539663679×10−1

a33
a34

-8.27219008114946589274×10−2-3.14742341654560647493×10−3

a3
a4
a5

-5.02244612788504497841×10−10
7.26997314198862450394×10−9-8.11222765509637615591×10−8

a19
a20
a21

-1.82524188526531878876×10−1-4.04947596464419772608×10−2
2.11555787831152546666×10−1

a35
a36
a37

5.38815025452417604235×10−2
3.63669720159337948827×10−4-2.96795563951926050696×10−2

a6
a7
a8

7.25254682625094745163×10−7-5.32966617140026708614×10−6
3.27664379938472085163×10−5

a22
a23
a24

-1.74512444183970002844×10−1-4.19423665990766594584×10−2
1.90663204586065914657×10−1

a38
a39
a40

1.82627906579126662038×10−4
1.32841478733439966204×10−2-1.32985202691211289999×10−4a9
a10-1.70608890434897834160×10−4
7.58588616211421117744×10−4

a25
a26

-8.17480689275699909044×10−2-1.29936410559321486037×10−1

a41
a42

-4.59517014222255113092×10−3
4.46153836295735927505×10−5

a11
a12
a13

-2.89476861850203185568×10−3
9.49951828822370296259×10−3-2.67798187612031959781×10−2

a27
a28
a29

1.29102154296904872527×10−1
7.01235218828372940742×10−2-1.30477082317955488589×10−1

a43
a44
a45

1.14450566880685759766×10−3-8.80187995672056266097×10−6-1.81757756533650220181×10−4

a14
a15

6.45458114315569984993×10−2-1.31701300990147125368×10−1

a30
a31

-3.15819770803325196658×10−2
1.10720278996555170446×10−1

a46
a47

9.31629321053810113195×10−7
1.37757890748923767291×10−5

a162.23386117664129841514×10−1

a32

1.16340365645121802942×10−2

a48-3.51122945716412926030×10−8

Coeﬃcient ai (c = 32)

74

Coeﬃcient ai (c = 48)a0
a1

3.18549678364201814378×10−20-8.81448948859912327271×10−19

a17-6.01730652910577527443×10−4

a33-2.23584849211081850389×10−1

a2
a3-3.23274824027187780722×10−17
1.19362994274515299337×10−16

a18
a19

1.89606915800582359295×10−3-5.47982876209626742510×10−3

a34
a35

3.89043400226010822231×10−2
1.57247205696744331196×10−1

a4
a5
a6

1.26445928536760821129×10−14-1.18218945799314943542×10−13
4.20953304816168497380×10−13

a20
a21
a22

1.43240812811321312148×10−2-3.30915879136779990657×10−2
6.75742246055404312777×10−2

a36
a37
a38

-8.01805356462278541652×10−2-7.70814110450085325545×10−2
6.09407062985691518477×10−2

a7
a8-1.08705171832039602642×10−11
1.66615609337844261301×10−10

a23
a24

-1.23132620949505862447×10−1
1.96866742119397176044×10−1

a39
a40

2.82974699028654687738×10−2-3.05322008287095437785×10−2

a9
a10
a11

-1.27998378513465491483×10−9
8.35301491283844819958×10−9-6.07175372418896973740×10−8

a25
a26
a27

-2.62933803549242414611×10−1
2.76746945908645199177×10−1-2.11983248289456202307×10−1

a41
a42
a43

-7.77504775866096836365×10−3
1.08625237044865836059×10−2
1.52487252149640071036×10−3

a12
a13
a14

3.94593166992227177778×10−7-2.07499772404597631334×10−6
9.68698867498085015104×10−6

a28
a29
a30

7.71139026122805876067×10−2
1.00092541991638694157×10−1-2.30354024172014530766×10−1

a44
a45
a46

-2.67940682115865300253×10−3-1.91026264196047346152×10−4
4.14358154717172020136×10−4

a15
a16

-4.27415611295419062126×10−5
1.71176035276515687753×10−4

a31
a32

1.58726458568609884271×10−1
9.79513769546466730839×10−2

a47
a48

1.14842818451754491218×10−5-3.03694890940065248552×10−5

a0

1.26913280178746373023×10−19

a1
a2
a3

5.38848816762345245829×10−17-1.55430102183906991694×10−16-2.19351928097252029583×10−14

a17
a18
a19

1.45072714231150295307×10−4-6.27204567965349113209×10−5-9.16922990539131202893×10−4

a33
a34
a35

5.37138504052225120530×10−1-1.82289025728053111012×10−1-1.08224368572325644112×10+0

a4
a5

3.19724165848679661263×10−14
2.66994299918260428459×10−12

a20
a21

3.87025675737722873856×10−4
4.54737068461150877372×10−3

a36
a37

6.86627876529241724098×10−1
7.73265984475119700336×10−1

a6
a7
a8

-2.64251509554628746150×10−12-1.53748890432704954327×10−10
1.17140845975674346058×10−10

a22
a23
a24

-1.84962672957623973249×10−3-1.82349617466024799002×10−2
7.94303126061093714853×10−3

a38
a39
a40

-7.65354983853921773084×10−1-2.65407012447778153462×10−1
4.37368700083162815516×10−1

a9
a10

5.11424293864679473637×10−9-3.22412010184930259325×10−9

a25
a26

5.68425307547398177985×10−2-2.15385276843063475692×10−2

a41
a42

3.83297807257831992279×10−2-1.56127751616441328205×10−1

a11
a12
a13

-1.09891538738054275573×10−7
6.01735728442222311635×10−8
1.63737966394498536662×10−6

a27
a28
a29

-1.58823116525978194739×10−1
8.47437195615951578182×10−2
2.83259872045395706034×10−1

a43
a44
a45

3.83620102475475923966×10−3
3.61292448803275319744×10−2-2.33616971871565790370×10−3

a14
a15

-8.07047125991706365202×10−7-1.77580918432361523475×10−5

a30
a31

-8.16378224837706974634×10−2-6.69660956430568497763×10−1

a46
a47

-5.06691972121955887516×10−3
2.73734747153514273829×10−4

a16

8.11292398516529307557×10−6

a32

4.60388605568153479532×10−1

a48

3.31811774414157938198×10−4

a0
a1
a2

2.10739148127899322346×10−17
1.51615126779283562329×10−17-2.57385909684450777927×10−14

a17
a18

-2.35986710243914998475×10−4-7.21838981307502633067×10−3

a33
a34

-7.62322915253804407711×10+0-1.39208300749083829573×10+1

a3
a4-5.31705095415893722579×10−15
5.23104103781712597369×10−12

a19
a20

1.99214748538817399475×10−3
4.02109911395090799942×10−2

a35
a36

1.04317698349663027695×10+1
1.29712792281924837728×10+1

a5
a6
a7

4.03859409116627559794×10−13-4.23204341940641769338×10−10-1.03917495556637777111×10−12

a21
a22
a23

-1.28347755451987298394×10−2-1.77424931555815094603×10−1
6.45682157463300325116×10−2

a37
a38
a39

-1.14287364306671868913×10+1-8.81962286762845499066×10+0
9.54540213210229010231×10+0

a8
a9

1.81926872192673195269×10−8-9.88146687777282026140×10−10

a24
a25

6.27077776315005430389×10−1-2.57750746851854578446×10−1

a40
a41

4.11853460855327216995×10+0-6.28022951363763026462×10+0

a10
a11
a12

-4.81001668563190969630×10−7
4.96414449290866874965×10−8
8.54009683922490513941×10−6

a26
a27
a28

-1.78829500715905134138×10+0
8.25567386306454421654×10−1
4.12989323578987963906×10+0

a42
a43
a44

-3.37854565004145342303×10−1
2.28601360223625307981×10+0-3.48882381810577418926×10−1

a13
a14

-1.26561034295266753862×10−6-1.07902718211513735603×10−4

a29
a30

-2.13669465718515966160×10+0-7.72092366407843306275×10+0

a45
a46

-4.33198356493741013919×10−1
1.19946891446650512028×10−1

a15
a16

2.06378666622147880249×10−5
1.01030277361960267869×10−3

a31
a32

4.48289103831774250881×10+0
1.16258194567005544649×10+1

a47
a48

3.46858415593211783702×10−2-1.26207831046867863320×10−2

Coeﬃcient ai (c = 64)

Coeﬃcient ai (c = 80)75

Coeﬃcient ai (c = 96)a02.13826366462893920418×10−15

a1
a2
a3

6.89470842884031805388×10−14-2.56370348635849444092×10−12-2.74737165815100664350×10−11

a17
a18
a19

1.39647089677719158253×10−1-6.41359633609478917653×10−1-8.27478004382134334494×10−1

a33
a34
a35

2.22048100866731279155×10+2-1.21963863709343771790×10+3-1.37201780031930503652×10+2

a4
a5

5.12088108767486563658×10−10
3.26339097291260888247×10−9

a20
a21

3.53440038776844905436×10+0
3.81872744036784549479×10+0

a36
a37

1.18502072984707496447×10+3
7.16168757949468125654×10+0

a6
a7
a8

-4.07595909001578569364×10−8-1.82762885362025800501×10−7
1.72544785438340066504×10−6

a22
a23
a24

-1.54422468583111999800×10+1-1.38749008494569261167×10+1
5.41102902692768934237×10+1

a38
a39
a40

-8.96500912843714817860×10+2
8.90650780895647117544×10+1
5.08700845907950062803×10+2

a9
a10

5.88969673479342150040×10−6-4.49614676652496098842×10−5

a25
a26

3.99079416658467952157×10+1-1.53254480081824066266×10+2

a41
a42

-1.05339246697494596795×10+2-2.01722105978345481564×10+2

a11
a12
a13

-1.22064543181624001011×10−4
7.87371613327832104825×10−4
1.74524535402511845058×10−3

a27
a28
a29

-9.08273157092029884397×10+1
3.52415655869165549676×10+2
1.62208897489948809820×10+2

a43
a44
a45

6.52577324265017791606×10+1
4.75454227162317135848×10+1-2.22360921760002363867×10+1

a14
a15

-9.81944841368238032079×10−3-1.80512480447438085950×10−2

a30
a31

-6.58764865471765769166×10+2-2.22399263566270443677×10+2

a46
a47

-3.40155252799985713417×10+0
2.61468674366827562630×10+0

a16

9.08137071614657093439×10−2

a32

9.98664483983556397082×10+2

a48-2.07406846106877246964×10−1

76

次に残りの 37 ステップを計算するための係数 37 セットを示す。
Coeﬃcient ai (c = 16)
a0

1.12535174719436915429×10−7a1
a2-3.60112559104326411840×10−6
5.40168838650231100585×10−5

a17
a18

1.63747875794902479055×10−1
1.00016228165977581514×10−1

a33
a34

-4.24166107113733789449×10−2-4.46322522181270049993×10−1

a3
a4
a5

-5.02957207534131921437×10−4
3.24221340715798992572×10−3-1.52608500309838852406×10−2

a19
a20
a21

-1.25015649153585794428×10−1-1.27112379022206624188×10−1
6.24995538468487243066×10−2

a35
a36
a37

-2.64838753661734838743×10−2
3.47547516130817998509×10−1
4.95324662477492686972×10−2

a6
a7

5.37949744999227321757×10−2-1.42799319909608996409×10−1

a22
a23

1.42439711387716676268×10−1
2.59057014773945553982×10−2

a38
a39

-2.11872309810388232170×10−1-3.83638004748815115014×10−2

a8
a9
a10

2.80952239275618283650×10−1-3.88404512213380723691×10−1
3.19004517085207491919×10−1

a24
a25
a26

-1.11017372414298427807×10−1-1.22433727528261425466×10−1
7.78181060207520357181×10−3

a40
a41
a42

9.96279407695668971790×10−2
1.86653915459792751196×10−2-3.49769262479569098092×10−2

a11
a12

-3.02193669057283350467×10−2-2.40654152701884664803×10−1

a27
a28

1.90137583356158317814×10−1
1.58709134200956522121×10−1

a43
a44

-5.88945331540796168774×10−3
8.64352410701897817530×10−3

a13
a14
a15

1.73664327872257185639×10−1
1.31845829688110605213×10−1-1.85659542432681836527×10−1

a29
a30
a31

-1.94449415555998288901×10−1-3.35224878597375829279×10−1
1.32733265352847200428×10−1

a45
a46
a47

1.11282449877578150592×10−3-1.34203729910405140951×10−3-9.63080617219916315583×10−5

a16-9.21443413412654942921×10−2

a32

4.46908639052389715419×10−1

a48

9.85118241738655646730×10−5a0
a1

1.14449839522090327294×10−8-4.18559413098753266161×10−77.23509842648914070244×10−6

Coeﬃcient ai (c = 16 × 78 )a17

-3.73158591051276846447×10−2

a33

1.41252897732928405533×10−1

a2
a3-7.84129774018837779847×10−5

a18
a19

-1.84507570012216905917×10−1
3.87550914036119403377×10−2

a34
a35

2.21530669156590202200×10−1-8.60879523218579175379×10−2

a4
a5
a6

5.95681635204407359968×10−4-3.35684727133355777034×10−3
1.44689168264425470523×10−2

a20
a21
a22

1.68902644201020514342×10−1-6.59360120703453588086×10−3-1.55608657771591438191×10−1

a36
a37
a38

-1.83293529834207661379×10−1
4.09558818250107769787×10−2
1.17629788138707987142×10−1

a7
a8-4.83911028810833125931×10−2
1.25680352632166187689×10−1

a23
a24

-4.77442000200362016075×10−2
1.25751285821293971494×10−1

a39
a40

-1.46100804404456848096×10−2-5.79467838590122909214×10−2

a9
a10
a11

-2.49631851945741996822×10−1
3.63057728926391930598×10−1-3.42699890886368421680×10−1

a25
a26
a27

1.12467786075175327829×10−1-6.43137765974453981904×10−2-1.69143489571720895613×10−1

a41
a42
a43

3.65075451113604565077×10−3
2.12445410236989246237×10−2-5.58750217747141594455×10−4

a12
a13

1.13587473738569746514×10−1
1.80134330356196634752×10−1

a28
a29

-2.84659301228653750014×10−2
1.97139368770020805005×10−1

a44
a45

-5.46858289202037411286×10−3
3.53865979067513353216×10−5

a14
a15
a16

-2.33380538321992470289×10−1-2.27596908069279286896×10−2
2.13556635815925465236×10−1

a30
a31
a32

1.30184564958083230529×10−1-1.85420443282198211107×10−1-2.04027435190610908436×10−1

a46
a47
a48

8.82457503924930343633×10−4
1.09422245178563676121×10−6-6.71823194676640358225×10−5a0
a1

1.16397080278203447603×10−9-4.78890844617478267110×10−8
9.37257795914017218728×10−7

Coeﬃcient ai (c = 16 × 79 )a17

-1.77754244091352007094×10−1

a33-1.17746440589144334609×10−1

1.41166959367186987495×10−1

a2
a3
a4

-1.15881811099217228535×10−5
1.01341819419804936484×10−4

a18
a19
a20

1.20905870531954637213×10−1-1.46154966503558637476×10−1

a34
a35
a36

-1.22915792362230797382×10−1
7.70722489034745859136×10−2
1.02407734594770178028×10−1

a5
a6-6.64798580280794812764×10−4
3.38305998996499745826×10−3

a21
a22

-1.01796311554673183097×10−1
1.29405334433200989382×10−1

a37
a38

-4.11413957308952116218×10−2-6.62617262318234902640×10−2

a7
a8
a9

-1.36097201432347073475×10−2
4.36385411825092639005×10−2-1.11325507742513499095×10−1

a23
a24
a25

1.10425014780376852214×10−1-9.81985863598811926182×10−2-1.32950290087814733858×10−1

a39
a40
a41

1.73862805931007485327×10−2
3.29588100240671473078×10−2-5.58040585781284248591×10−3

a10
a11
a12

2.22728200023745399662×10−1-3.37016440486140814604×10−1
3.52014615916534245783×10−1

a26
a27
a28

5.12966285622434032433×10−2
1.55019573700973882339×10−1
8.65011187969674044143×10−3

a42
a43
a44

-1.22143657082018217531×10−2
1.27520928625942986758×10−3
3.18047989404765143203×10−3

a13
a14

-1.79027475013019705696×10−1-1.08084635592532707768×10−1

a29
a30

-1.63331691637071859086×10−1-6.94045321977027546861×10−2

a45
a46

-1.84466360147057676044×10−4-5.19371503580952140469×10−4

a15
a16

2.49861320985889238840×10−1-7.94387277365043791011×10−2

a31
a32

1.50182629877904809432×10−1
1.12219928380634550705×10−1

a47
a48

1.26752843609501338350×10−5
4.00197062286566130853×10−577

Coeﬃcient ai (c = 16 × 10
7 )

a0
a1

1.18377451283216111651×10−10-5.41154062761414013992×10−9

a17

1.57818429725404036085×10−1

a33

8.37527708153886649441×10−2a2
a3

1.18280816552066207118×10−7-1.64286274619058126719×10−6

a18
a19

1.05543200641163246038×10−1-1.95207790209061609429×10−1

a34
a35

9.15499886747720005280×10−2-5.30603289956224879807×10−2

a4
a5
a6

1.62521397198905787524×10−5-1.21601850402413978717×10−4
7.12985777820652872238×10−4

a20
a21
a22

-1.96167859724077418108×10−2
1.82149830406699296864×10−1-1.32842046964950827437×10−2

a36
a37
a38

-7.18016486275951745114×10−2
2.79073125212499180817×10−2
4.48017436869775949298×10−2

a7
a8-3.34711386014576961258×10−3
1.27341763490291445014×10−2

a23
a24

-1.66083109723894571671×10−1
1.15749866435288691781×10−2

a39
a40

-1.17734857874433912707×10−2-2.17773154479153124436×10−2

a9
a10
a11

-3.94396839164169316407×10−2
9.91169251244976095257×10−2-1.99433075582805175717×10−1

a25
a26
a27

1.56250696449808781406×10−1
1.08844622538086678086×10−2-1.48244048245887172611×10−1

a41
a42
a43

3.81048268374261237701×10−3
7.95048656416551852088×10−3-8.85101613097723148245×10−4

a12
a13
a14

3.11520319514790333284×10−1-3.51590494867300551193×10−1
2.28079232196928001649×10−1

a28
a29
a30

-4.36078896205852152324×10−2
1.35193740920529841397×10−1
7.51192554708897853823×10−2

a44
a45
a46

-2.04996287759584391916×10−3
1.31019012700157703383×10−4
3.32630173704161308539×10−4

a15
a16

3.53602574392505023363×10−2-2.34296441216778135379×10−1

a31
a32

-1.13177790510993960917×10−1-9.34769868187659878081×10−2

a47
a48

-9.26653741523385225240×10−6-2.55283328509856224109×10−5

a0

1.20391515849860585882×10−11

a1
a2
a3

-6.05397338835540316406×10−10
1.46160214794345855305×10−8-2.25302531471957201591×10−7

a17
a18
a19

1.97699926632376194557×10−1-2.07377245557300336325×10−1-2.09343356652582793745×10−2

a33
a34
a35

-4.53879045624941836852×10−2-8.53267389054653029027×10−2
2.60550820015380919238×10−2a4
a5

2.48711287028810157556×10−6-2.08986874258578088236×10−5

a20
a21

1.99448809834169424503×10−1-7.89071100410277522480×10−2

a36
a37

6.08334704471868482477×10−2-1.24239784481003859606×10−2

a6
a7
a8

1.38661683471246808435×10−4-7.43466874118794800837×10−4
3.26815704547114512362×10−3

a22
a23
a24

-1.51360573117977133747×10−1
1.14030422024178160048×10−1
1.17482167908270966515×10−1

a38
a39
a40

-3.56115773182725441416×10−2
4.74207343214868627339×10−3
1.65465893610577147026×10−2a9
a10-1.18718702532646563689×10−2
3.57146558711214125084×10−2

a25
a26

-1.17596559744639090789×10−1-1.04390617369473523126×10−1

a41
a42

-1.38160313427020336607×10−3-5.84246068938086793519×10−3

a11
a12
a13

-8.86179079018818152059×10−2
1.79122847538497479301×10−1-2.87198136980593803425×10−1

a27
a28
a29

1.07221370473036397628×10−1
1.04283869548788178678×10−1-8.95709936708653661988×10−2

a43
a44
a45

2.86531294019930437924×10−4
1.46820275753408672703×10−3-3.74224443733834587661×10−5

a14
a15

3.44667088595919114575×10−1-2.63171124146658474098×10−1

a30
a31

-1.06412921224487950476×10−1
6.78258355858445723807×10−2

a46
a47

-2.33407654077336615090×10−4
2.29701975882430342046×10−6

a16

3.20785926945538499949×10−2

a32

1.01482311546741557139×10−1

a48

1.76152627210513230717×10−5

a0
a1
a2

1.22439850024872071460×10−12-6.71670013116463179723×10−11
1.77512789537902698586×10−9

a17
a18

-9.13660340980423390839×10−2-1.49084768022325111687×10−1

a33
a34

-3.20876205002267349845×10−3
7.93239681461528417953×10−2

a3
a4-3.00702561892845288344×10−8
3.66399136316867733973×10−7

a19
a20

2.29678216159993046453×10−1-5.93880791773555107053×10−2

a35
a36

5.13900218688198054407×10−3-5.21934209702652033332×10−2

a5
a6
a7

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2.52917171822708941318×10−5-1.52407510489245264968×10−4

a21
a22
a23

-1.65620768103016624694×10−1
1.50671231445088323166×10−1
7.94420007846457266494×10−2

a37
a38
a39

-4.50290650066323595384×10−3
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2.69956515310254403996×10−3a8
a9

7.59398142232655057261×10−4-3.16013196879984744407×10−3

a24
a25

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a40
a41

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a10
a11
a12

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7.95083636847947479845×10−2

a26
a27
a28

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a42
a43
a44

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3.28923321309759583898×10−4-1.05738945750057872015×10−3

a13
a14

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a29
a30

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a45
a46

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1.63900968208596112652×10−4

a15
a16

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2.86818791967492498065×10−1

a31
a32

-9.26902769532955760452×10−4-1.04893642935126699304×10−1

a47
a48

4.81695255873824607152×10−6-1.21048586759939541786×10−5

Coeﬃcient ai (c = 16 × 11
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 12
7 )78

Coeﬃcient ai (c = 16 × 13
7 )1.24523019524197313716×10−13a0a1-7.40022733437230169036×10−12a17-3.01306435816011939155×10−1

a33

5.63188817325180382617×10−2

a2
a3

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a18
a19

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a34
a35

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a4
a5
a6

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4.37749608379590445616×10−6

a20
a21
a22

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a36
a37
a38

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a7
a8-2.92771882293445706616×10−5
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a23
a24

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a39
a40

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a9
a10
a11

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a25
a26
a27

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a41
a42
a43

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a12
a13
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a28
a29
a30

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a44
a45
a46

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1.42276759630034418361×10−4-9.32340963880490705058×10−5

a15
a16

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a31
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a47
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a0

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a1
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a17
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a33
a34
a35

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a4
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a20
a21

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2.11555787831152546666×10−1

a36
a37

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a6
a7
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3.27664379938472085163×10−5

a22
a23
a24

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a38
a39
a40

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a10-1.70608890434897834160×10−4
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a25
a26

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a41
a42

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a11
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a27
a28
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a43
a44
a45

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a14
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a30
a31

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a46
a47

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a162.23386117664129841514×10−1

a32

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a48-3.51122945716412926030×10−8

a0
a1
a2

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2.93969047250856747225×10−12

a17
a18

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a33
a34

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a3
a4-6.32439106739007077471×10−11
9.87856307851894361188×10−10

a19
a20

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a35
a36

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a5
a6
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a21
a22
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a37
a38
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a9

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a24
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a40
a41

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a10
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a26
a27
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a42
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a44

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a13
a14

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a29
a30

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a45
a46

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a15
a16

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a31
a32

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a47
a48

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Coeﬃcient ai (c = 16 × 14
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 15
7 )79

Coeﬃcient ai (c = 16 × 16
7 )1.30971928779734451377×10−16a0a1-9.58096903522240619289×10−15

a17-1.08314662766685296497×10−1

a33

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a2
a3

3.40823270626026990544×10−13-7.85144059163975534912×10−12

a18
a19

1.88556685429672537401×10−1-2.71673454065688968489×10−1

a34
a35

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a4
a5
a6

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a20
a21
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a36
a37
a38

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1.42452723594668564215×10−2-2.73816282878772423948×10−2a7
a8-1.55211942935112929411×10−7
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a23
a24

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a39
a40

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a9
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a11

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a25
a26
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a41
a42
a43

1.60460967815609986935×10−3-4.04358750778903212676×10−3-3.58696822056911136127×10−4

a12
a13
a14

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8.14244740199698571549×10−3

a28
a29
a30

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a44
a45
a46

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5.24628334933068763885×10−5-1.50538157213490949764×10−4

a15
a16

-2.22481067297748609282×10−2
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a31
a32

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a47
a48

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a1
a2
a3

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a17
a18
a19

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9.84447865910064152149×10−2-1.73256000854920435924×10−1

a33
a34
a35

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a4
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a20
a21

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a36
a37

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a6
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a22
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a38
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a40

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a25
a26

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a41
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a11
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a27
a28
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a43
a44
a45

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a14
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a30
a31

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a46
a47

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a16

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a32

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a0
a1
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a17
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a33
a34

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a3
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a19
a20

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a35
a36

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a5
a6
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a21
a22
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a37
a38
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a9

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a24
a25

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a40
a41

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a10
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a26
a27
a28

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a42
a43
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a13
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a29
a30

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a45
a46

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a15
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a31
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a47
a48

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Coeﬃcient ai (c = 16 × 17
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 18
7 )80

Coeﬃcient ai (c = 16 × 19
7 )1.10838952400434962119×10−19a0a1-1.24586622806877306944×10−17a17-6.44044794458528191088×10−3

a33

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a2
a3

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a18
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a34
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a4
a5
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a20
a21
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a36
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a7
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a23
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a39
a40

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a25
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a41
a42
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a12
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a28
a29
a30

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a44
a45
a46

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a15
a16

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a31
a32

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a47
a48

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a1
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a17
a18
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a33
a34
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a4
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a20
a21

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a36
a37

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a6
a7
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a22
a23
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a38
a39
a40

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a9
a10-6.92685666941164286509×10−95.22443293999105169897×10−8

a25
a26

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a41
a42

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a11
a12
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a27
a28
a29

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a43
a44
a45

2.34118905390600749517×10−3
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a14
a15

4.28634960015089091818×10−5-1.74289489217376953275×10−4

a30
a31

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a46
a47

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a16

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a32

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a48

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a0
a1
a2

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a17
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a33
a34

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a3
a4

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a19
a20

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a35
a36

1.57247205696744331196×10−1-8.01805356462278541652×10−2

a5
a6
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a21
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a37
a38
a39

-7.70814110450085325545×10−2
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a8
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1.66615609337844261301×10−10-1.27998378513465491483×10−9

a24
a25

1.96866742119397176044×10−1-2.62933803549242414611×10−1

a40
a41

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a10
a11
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a26
a27
a28

2.76746945908645199177×10−1-2.11983248289456202307×10−1
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a42
a43
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a13
a14

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a29
a30

1.00092541991638694157×10−1-2.30354024172014530766×10−1

a45
a46

-1.91026264196047346152×10−4
4.14358154717172020136×10−4

a15
a16

-4.27415611295419062126×10−5
1.71176035276515687753×10−4

a31
a32

1.58726458568609884271×10−1
9.79513769546466730839×10−2

a47
a48

1.14842818451754491218×10−5-3.03694890940065248552×10−5

Coeﬃcient ai (c = 16 × 20
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 21
7 )81

Coeﬃcient ai (c = 16 × 22
7 )

a0
a1

-3.86490764329514803835×10−20-5.04156465810758884107×10−18

a17-1.78362968952318732415×10−4

a33-8.58585246473952558528×10−2

a2
a3

4.83869383789384059862×10−17
2.03246876976459464588×10−15

a18
a19

5.86170628055816485772×10−4-1.70002287261182555679×10−3

a34
a35

2.49762561268859422068×10−1-4.69982734834404892986×10−2

a4
a5
a6

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9.54163191488826691920×10−13

a20
a21
a22

4.98674814686463108989×10−3-1.34910215231491450664×10−2
3.05714779488082557459×10−2

a36
a37
a38

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7.09064862774634458119×10−2
6.57806049423569874335×10−2a7
a8

1.26102881393478763245×10−11-1.44537772225657735875×10−11

a23
a24

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1.11942680406857159547×10−1

a39
a40

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a9
a10
a11

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a25
a26
a27

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2.54537707274938113287×10−1-2.64177504157567808565×10−1

a41
a42
a43

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4.52244760444953551269×10−3-4.65074737982795979939×10−3

a12
a13
a14

5.57599049653329242392×10−8-5.77339273269911134088×10−7
2.40444874495318775599×10−6

a28
a29
a30

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a44
a45
a46

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a15
a16

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4.07708895233420244379×10−5

a31
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a47
a48

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a0-5.39630854040827010975×10−20

a1
a2
a3

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a17
a18
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a33
a34
a35

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a20
a21

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a36
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a6
a7
a8

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a22
a23
a24

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5.45113946535978853096×10−2

a38
a39
a40

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5.56442879327677835647×10−2a9
a10

2.46833521054504579704×10−10
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a25
a26

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a41
a42

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a11
a12
a13

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1.25268671818359974232×10−8

a27
a28
a29

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a43
a44
a45

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3.38587884261462188193×10−4

a14
a15

7.99076812925031608234×10−7-3.38068718563000044627×10−6

a30
a31

1.62043909907936713435×10−1-2.31893515855634769745×10−2

a46
a47

-7.80693097842281357583×10−4-1.80529923559998101114×10−5

a16

7.09397786352030152636×10−6

a32-2.28925965323980578309×10−1

a48

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a0
a1
a2

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a17
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a33
a34

2.78749523584049498122×10−1-3.64528380949266990454×10−1

a3
a4-3.91884032666371302034×10−15
2.21993887959092928325×10−14

a19
a20

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a35
a36

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a5
a6
a7

4.77090451420411259421×10−13-1.81005844664052031400×10−12-2.75241220284297622581×10−11

a21
a22
a23

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a37
a38
a39

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6.97188443171949248422×10−2

a8
a9

7.94347123768292828815×10−11
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a24
a25

2.89192631035731494988×10−2-4.19298575832813710309×10−2

a40
a41

5.15568034096824051934×10−2-3.18884691689426286278×10−2

a10
a11
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4.10493811441311954372×10−8

a26
a27
a28

8.46195851483858593774×10−2-1.83679435097868914673×10−1
2.54207581981170593050×10−1

a42
a43
a44

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a13
a14

2.75990058725071079599×10−7-4.07359407340616210490×10−7

a29
a30

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a45
a46

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a15
a16

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7.23767175909770025743×10−6

a31
a32

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1.08781499476920715925×10−1

a47
a48

1.17233284269013022460×10−4
4.38724136765583369580×10−6

Coeﬃcient ai (c = 16 × 23
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 24
7 )82

Coeﬃcient ai (c = 16 × 25
7 )1.02227789680435617950×10−19a0a1-4.43278187012975661966×10−18

a17-1.90209306556624283751×10−5

a33-2.15101179414504837714×10−1

a2
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a18
a19

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6.94969971741185414508×10−5

a34
a35

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a4
a5
a6

2.70129235422556139494×10−14-2.34947720164714365448×10−13-2.25148361991571833535×10−12

a20
a21
a22

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a36
a37
a38

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a8

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a23
a24

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a39
a40

1.52941137018974843521×10−1-9.47541417602480626606×10−2

a9
a10
a11

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a25
a26
a27

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3.48786630484318816945×10−2-6.39123019755795732401×10−2

a41
a42
a43

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a12
a13
a14

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a28
a29
a30

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2.02567407226939132630×10−1

a44
a45
a46

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1.66121800966234582494×10−3

a15
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a31
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a47
a48

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a0-1.57093667319622599096×10−19

a1
a2
a3

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1.91980221795299869807×10−16
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a17
a18
a19

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a33
a34
a35

-4.83394225560636023455×10−1
3.61098821539457605824×10−1
4.01161106931118456279×10−1

a4
a5-3.91977742468979631288×10−14-1.11600161298144033870×10−12

a20
a21

-3.34611753932403737882×10−4-1.99524728000925057441×10−3

a36
a37

-5.60184725695115625360×10−1-8.57959170511136602190×10−2

a6
a7
a8

3.19911815134842648271×10−12
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a22
a23
a24

2.21517361553633034005×10−3
5.95359039618627105106×10−3-2.97275323032059070911×10−3

a38
a39
a40

3.80518909563408372060×10−1-4.67695150650479265647×10−2-1.61115634844755859102×10−1a9
a10-2.12953491696754608279×10−93.75085011063516212553×10−9

a25
a26

-3.25064474255687061731×10−2
4.19302760220473019938×10−2

a41
a42

4.13278398455051433944×10−2
4.62652963867804249408×10−2

a11
a12
a13

4.56315795468959637782×10−8-6.80372920971294260524×10−8-6.78593976420637639212×10−7

a27
a28
a29

1.61412697152788621949×10−2
2.80612844548002263833×10−2-2.61251663483548055403×10−1

a43
a44
a45

-1.46766266014434627323×10−2-8.92838723139026390036×10−3
2.77015944679080471055×10−3

a14
a15

8.88912322183827707584×10−77.30724102366163378698×10−6

a30
a31

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a46
a47

1.05679651186795038563×10−3-2.29644927262829530437×10−4

a16-8.47093214986363269344×10−6

a32

5.79442645381627937775×10−2

a48-5.82042733023956992837×10−5

a0
a1
a2

-2.91878564810542744533×10−19
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3.65479990151954315120×10−16

a17
a18

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1.25564573521036273783×10−4

a33
a34

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a3
a4-1.36788783447904383753×10−15-7.61191985161363288223×10−14

a19
a20

-1.07081079089170687986×10−4-7.05464406659561476403×10−4

a35
a36

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a5
a6
a7

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a21
a22
a23

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3.38857776022687495436×10−3-3.06771533382235548411×10−3

a37
a38
a39

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2.15396305228174875600×10−2-3.79530853019476654384×10−1

a8
a9-2.77820943554839136778×10−10
3.72782730785010484710×10−10

a24
a25

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6.26795248562055331442×10−3

a40
a41

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1.43115662104210563453×10−1

a10
a11
a12

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a26
a27
a28

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a42
a43
a44

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a13
a14

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a29
a30

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a45
a46

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a15
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a31
a32

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a47
a48

-3.53147885042919352604×10−4
2.54862817683145023422×10−4

Coeﬃcient ai (c = 16 × 26
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 27
7 )83

Coeﬃcient ai (c = 16 × 28
7 )

a0
a1

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5.38848816762345245829×10−17a171.45072714231150295307×10−4

a33

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a2
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a18
a19

-6.27204567965349113209×10−5-9.16922990539131202893×10−4

a34
a35

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a4
a5
a6

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2.66994299918260428459×10−12-2.64251509554628746150×10−12

a20
a21
a22

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4.54737068461150877372×10−3-1.84962672957623973249×10−3

a36
a37
a38

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7.73265984475119700336×10−1-7.65354983853921773084×10−1a7
a8-1.53748890432704954327×10−10
1.17140845975674346058×10−10

a23
a24

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a39
a40

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a9
a10
a11

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a25
a26
a27

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a41
a42
a43

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a12
a13
a14

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a28
a29
a30

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a44
a45
a46

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a15
a16

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8.11292398516529307557×10−6

a31
a32

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a47
a48

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a0

1.12127955746601933510×10−18

a1
a2
a3

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a17
a18
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a33
a34
a35

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a4
a5

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1.83439658941578266096×10−12

a20
a21

2.27924593260074866639×10−3
2.38828771970655630822×10−3

a36
a37

1.34157573849406121151×10+0-4.47958494713151627758×10−1

a6
a7
a8

-2.24714154399116182251×10−11-1.04292746377655360164×10−109.68562122422342656258×10−10

a22
a23
a24

-1.02621597957558708361×10−2-8.76261698867841473288×10−3
3.73974753347681003052×10−2

a38
a39
a40

-8.75924923564914766721×10−1
5.77591656412481069858×10−1
2.77088207199271286197×10−1a9
a10

3.41123834462738335314×10−9-2.57231029861148441664×10−8

a25
a26

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a41
a42

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a11
a12
a13

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1.04069557439148332595×10−6

a27
a28
a29

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a43
a44
a45

9.22214487674560828261×10−2-6.57063041703308681120×10−3-1.57016433899756657223×10−2

a14
a15

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a30
a31

-4.84559524948711191592×10−1-1.67738174282270464088×10−1

a46
a47

2.79016977169642544800×10−3
1.20242451947546032515×10−3

a16

5.54740922391535252183×10−5

a32

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a48-3.00232393503435355518×10−4

a0
a1
a2

5.58307105577353396793×10−19-8.91356368688831001719×10−17-6.88333166931756633017×10−16

a17
a18

-2.64977255890276315245×10−4-1.80804989857109019137×10−4

a33
a34

-1.84301336528539978071×10+0
2.35227904350651394252×10−1

a3
a4

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a19
a20

1.70134247226127402149×10−3
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a35
a36

1.84401038140267300620×10+0-5.42797700104077991170×10−2

a5
a6
a7

-4.50941007783546573160×10−12-1.14207188292190340889×10−11
2.62591690936796726281×10−10

a21
a22
a23

-8.61827767305482339744×10−3-4.05046209981855953427×10−3
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a37
a38
a39

-2.17098629296178123858×10+0
6.86901556193617968623×10−1
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a8
a9

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a24
a25

1.33061325932480306030×10−2-1.14610823085850187209×10−1

a40
a41

-7.26245897566643395837×10−1-4.88342899950723730521×10−1

a10
a11
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a26
a27
a28

-3.34259347960215650457×10−2
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a42
a43
a44

3.60123599032283235440×10−1
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a13
a14

-2.90336266168240019392×10−6-2.83443669492206742645×10−6

a29
a30

-6.74142514362229039845×10−1-7.24299710610816922547×10−2

a45
a46

-1.31165534880302680406×10−2
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a15
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a31
a32

1.16236438738896051775×10+0
1.13808090357763184405×10−1

a47
a48

7.09540684828832191987×10−4-1.24695738687239896923×10−3

Coeﬃcient ai (c = 16 × 29
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 30
7 )84

Coeﬃcient ai (c = 16 × 31
7 )

a0
a1

-2.26168750764301678394×10−18-2.28326402723173750711×10−16

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a33-2.22991892221202221418×10+0

a2
a3

2.74500224169970693247×10−15
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a18
a19

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a34
a35

2.75905875569884257878×10+0
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a4
a5
a6

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a20
a21
a22

-4.71567348285749977758×10−3-1.69229620893010735698×10−2
2.15230891494081562886×10−2

a36
a37
a38

-2.73123598553517054167×10+0-1.83603318962438857775×10+0
2.80781947247606645123×10+0

a7
a8

6.34818433192556296121×10−10-1.93886308201218444351×10−9

a23
a24

6.55220300114546911990×10−2-7.92722771854559765254×10−2

a39
a40

5.30431758184046343210×10−1-1.64556071145355710463×10+0

a9
a10
a11

-2.08987613631966919444×10−8
5.15735868877975946136×10−8
4.43930852227574960297×10−7

a25
a26
a27

-2.03698975768237431423×10−1
2.37967425593033453115×10−1
5.10349219920720523465×10−1

a41
a42
a43

8.59626771269658000800×10−2
5.69046976966441587154×10−1-9.44867222212905899496×10−2

a12
a13
a14

-9.24416343926656839767×10−7-6.53034504414610392254×10−6
1.18354484114668403573×10−5

a28
a29
a30

-5.83724182205689737724×10−1-1.03638591140291775374×10+0
1.18730638670226465360×10+0

a44
a45
a46

-1.20063006841313152640×10−1
2.43736810767679304907×10−2
1.45172203956796281888×10−2

a15
a16

6.98053332048283879523×10−5-1.12758823901271774745×10−4

a31
a32

1.66892457417268128597×10+0-1.93261638799660250190×10+0

a47
a48

-2.33933073052371213154×10−3-7.72911383558160407037×10−4

a0-4.03179333430547456666×10−18

a1
a2
a3

-3.52676838016951272409×10−18
4.95035594603081795799×10−15
1.27916327578299242910×10−15

a17
a18
a19

4.56878394252166166459×10−5
1.45667962103045824825×10−3-3.93023856293715955683×10−4

a33
a34
a35

1.68653021158191787471×10+0
3.10248310531165334567×10+0-2.50055183864076581431×10+0

a4
a5-1.01146836004888534189×10−12-1.09573362211117006419×10−13

a20
a21

-8.17747854709344510868×10−3
2.57451942576342686267×10−3

a36
a37

-2.72008370189720949734×10+0
2.52513791165917740546×10+0

a6
a7
a8

8.22738537931020752913×10−11
2.03134046229322259605×10−12-3.55642200292350396984×10−9

a22
a23
a24

3.63863027117477849598×10−2-1.31602846682840582741×10−2-1.29785456909304183596×10−1

a38
a39
a40

2.17223293838879436035×10+0-2.63334378276893067901×10+0-5.73913841612376116952×10−1a9
a10

1.31860264385269034357×10−109.45689644471046456037×10−8

a25
a26

5.33793156815520633674×10−2
3.73917177430834567767×10−1

a41
a42

1.46729341029811251494×10+0-1.13474957605784642113×10−1

a11
a12
a13

-8.43901303291841598971×10−9-1.68910792885708229595×10−6
2.30780148423933920518×10−7

a27
a28
a29

-1.74071559034178220699×10−1-8.72745978782720531054×10−1
4.57924980874304495674×10−1

a43
a44
a45

-4.54065506984851676558×10−1
1.07766775495080223581×10−1
7.74787336173891108277×10−2

a14
a15

2.14761051656973430205×10−5-3.90097545433624894931×10−6

a30
a31

1.65425606059231700474×10+0-9.88942134071675188230×10−1

a46
a47

-2.66460023550604480164×10−2-5.83296245212712134594×10−3

a16-2.02428633044629299622×10−4

a32-2.50596273566395010339×10+0

a48

2.47366436403923535289×10−3

a0
a1
a2

-2.53842824493719543645×10−19
5.71658619641016243580×10−16
3.06604557438201383070×10−16

a17
a18

1.54124645981241259135×10−3-9.10270626304319997962×10−5

a33
a34

8.15071527287170107876×10+0-2.55676379107552684921×10+0

a3
a4-2.32710636800253575270×10−13-5.87459226006583057150×10−14

a19
a20

-9.73228187441743128960×10−3
8.09326181939780980344×10−4

a35
a36

-9.20612422463855655817×10+0
3.52166929904626819220×10+0

a5
a6
a7

2.83288977104651930083×10−114.22604007741804643129×10−12-1.63164297487318065881×10−9

a21
a22
a23

4.83927097029933186347×10−2-5.21953626083636445347×10−3-1.92139621076523008767×10−1

a37
a38
a39

7.95814670505726797729×10+0-3.47807203570593905840×10+0-5.62454293673603370264×10+0

a8
a9-1.48242867661366153288×10−10
5.42873081442273028918×10−8

a24
a25

2.57190330551860862354×10−2
6.15250217325603976337×10−1

a40
a41

3.27309097237516163191×10+0
2.26664105115570456293×10+0

a10
a11
a12

2.72667886885904663382×10−9-1.16677548791056689121×10−6-2.11304071540940371355×10−8

a26
a27
a28

-9.95841552688241485492×10−2-1.59934363485331903326×10+0
3.08419219221066381111×10−1

a42
a43
a44

-1.72623271725663091090×10+0-5.12400982709609901484×10−1
5.15145347466673423596×10−1

a13
a14

1.73889568509477824368×10−5-1.65744888740406055537×10−7

a29
a30

3.38573537254137679979×10+0-7.70098387031316671083×10−1

a45
a46

6.11806524899429671785×10−2-8.52387967135445076725×10−2

a15
a16

-1.88610223533479946550×10−4
6.56792206353368377331×10−6

a31
a32

-5.84025531469037028884×10+0
1.57020991659198731028×10+0

a47
a48

-2.89189566716464285737×10−3
6.23094880759489506883×10−3

Coeﬃcient ai (c = 16 × 32
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 33
7 )85

Coeﬃcient ai (c = 16 × 34
7 )

a0
a1

1.35883330931699899908×10−171.10004110669742350675×10−15a17

2.59366232892283981218×10−3

a33

9.04574579951502162001×10+0

a2
a3-1.64290366694254763233×10−14-4.42564194518337041732×10−13

a18
a19

-4.65762766589528564340×10−3-1.59475038354124050833×10−2

a34
a35

-1.26600395376182922108×10+1-8.89884690933056006154×10+0

a4
a5
a6

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5.31886332901340516401×10−11-2.66667380020048442188×10−10

a20
a21
a22

2.63482861843639717329×10−2
7.69172341668110366825×10−2-1.18600458390090770174×10−1

a36
a37
a38

1.34153796847263684696×10+1
6.32528924808653078331×10+0-1.10040873020079986303×10+1

a7
a8-3.02084030702117398352×10−9
1.14311537624313361336×10−8

a23
a24

-2.94805715464213959075×10−1
4.29967488222827184213×10−1

a39
a40

-3.13731961238534075802×10+0
7.21904835034735048607×10+0

a9
a10
a11

9.89752370300673994618×10−8-3.02128983469673865373×10−7-2.09152192342746275698×10−6

a25
a26
a27

9.05693629617630851800×10−1-1.26627300437593364838×10+0-2.24070492166361989625×10+0

a41
a42
a43

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3.48528630576738364386×10−1

a12
a13
a14

5.37639330883805781927×10−6
3.05916284318309905752×10−5-6.82734500160249822084×10−5

a28
a29
a30

3.04601893355423170800×10+0
4.46631708293897776399×10+0-5.99865402163271053729×10+0

a44
a45
a46

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a15
a16

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6.44442632318017138003×10−4

a31
a32

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a47
a48

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a0

2.10739148127899322346×10−17

a1
a2
a3

1.51615126779283562329×10−17-2.57385909684450777927×10−14-5.31705095415893722579×10−15

a17
a18
a19

-2.35986710243914998475×10−4-7.21838981307502633067×10−3
1.99214748538817399475×10−3

a33
a34
a35

-7.62322915253804407711×10+0-1.39208300749083829573×10+1
1.04317698349663027695×10+1

a4
a5

5.23104103781712597369×10−12
4.03859409116627559794×10−13

a20
a21

4.02109911395090799942×10−2-1.28347755451987298394×10−2

a36
a37

1.29712792281924837728×10+1-1.14287364306671868913×10+1

a6
a7
a8

-4.23204341940641769338×10−10-1.03917495556637777111×10−12
1.81926872192673195269×10−8

a22
a23
a24

-1.77424931555815094603×10−1
6.45682157463300325116×10−2
6.27077776315005430389×10−1

a38
a39
a40

-8.81962286762845499066×10+0
9.54540213210229010231×10+0
4.11853460855327216995×10+0a9
a10-9.88146687777282026140×10−10-4.81001668563190969630×10−7

a25
a26

-2.57750746851854578446×10−1-1.78829500715905134138×10+0

a41
a42

-6.28022951363763026462×10+0-3.37854565004145342303×10−1

a11
a12
a13

4.96414449290866874965×10−8
8.54009683922490513941×10−6-1.26561034295266753862×10−6

a27
a28
a29

8.25567386306454421654×10−1
4.12989323578987963906×10+0-2.13669465718515966160×10+0

a43
a44
a45

2.28601360223625307981×10+0-3.48882381810577418926×10−1-4.33198356493741013919×10−1

a14
a15

-1.07902718211513735603×10−4
2.06378666622147880249×10−5

a30
a31

-7.72092366407843306275×10+0
4.48289103831774250881×10+0

a46
a47

1.19946891446650512028×10−1
3.46858415593211783702×10−2

a16

1.01030277361960267869×10−3

a32

1.16258194567005544649×10+1

a48-1.26207831046867863320×10−2

a0
a1
a2

2.81245862212401728503×10−18-2.89977148910757519253×10−15-3.41620343781359799254×10−15

a17
a18

-7.76789065553577383311×10−3-9.05928807303049755503×10−5

a33
a34

-4.04133227430238332079×10+1
1.03288772743057009468×10+1a3
a4

1.17966931630924616756×10−12
6.76186078423031458324×10−13

a19
a20

4.89854993079216746115×10−2-9.34472628420884910840×10−4

a35
a36

4.52979625750434156739×10+1-1.38155160114107203779×10+1

a5
a6
a7

-1.43513293189487965959×10−10-5.20588243572506887246×10−118.26033977420125801274×10−9

a21
a22
a23

-2.43194389180379908338×10−1
1.18722452968700254561×10−2
9.63808551885872311259×10−1

a37
a38
a39

-4.01633104536365474005×10+1
1.46843609964638001288×10+1
2.72022463559075347987×10+1

a8
a9

2.07096999289567275356×10−9-2.74639851867353558531×10−7

a24
a25

-7.56330106740920565466×10−2-3.07957796476941984077×10+0

a40
a41

-1.18985994018678732573×10+1-1.35066285678441492414×10+1

a10
a11
a12

-4.88317883809930933338×10−8
5.89816263611108712086×10−6
7.32350493474191525566×10−7

a26
a27
a28

3.35211084623382242912×10−1
7.98523427349864673681×10+0-1.12391599183904559562×10+0

a42
a43
a44

7.44978301017562126929×10+0
3.82339618949604459218×10+0-2.62585007622618213044×10+0

a13
a14

-8.78268827288134068162×10−5-7.13235971276790059407×10−6

a29
a30

-1.68588636969891609588×10+1
2.95131126035877440716×10+0

a45
a46

-5.66195853368153384399×10−1
4.85660820509380784907×10−1

a15
a16

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a31
a32

2.89816941342219803007×10+1-6.16853881651608855605×10+0

a47
a48

3.46644948514932898140×10−2-3.80342690014295478962×10−2

Coeﬃcient ai (c = 16 × 35
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 36
7 )86

Coeﬃcient ai (c = 16 × 37
7 )

a0
a1

-6.94071061750235524908×10−17-7.10981868696220741089×10−15

a17-1.67708212396747802604×10−2

a33-6.37567792094280651809×10+1

a2
a3

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2.85710607094982866748×10−12

a18
a19

2.35756949168714156395×10−2
1.03347761558064544332×10−1

a34
a35

6.37854742482059035337×10+1
6.57847018618720194456×10+1

a4
a5
a6

-1.68811471635388893409×10−11-3.43086668233457035622×10−10
1.35705433769706269455×10−9

a20
a21
a22

-1.33257240163471171593×10−1-5.00028004952811781796×10−1
5.99306422663882837132×10−1

a36
a37
a38

-6.75168432625078189981×10+1-5.22617367039565412528×10+1
5.67106051053005327218×10+1a7
a8

1.94752046887927936040×10−8-5.81126316967473585159×10−8

a23
a24

1.92488070666440645910×10+0-2.17070787361341806129×10+0

a39
a40

3.03449739588589079277×10+1-3.65374726183692725379×10+1

a9
a10
a11

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1.53447387642252965371×10−6
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a25
a26
a27

-5.94976261284246743974×10+0
6.38670317848752331057×10+0
1.48475192482088679343×10+1

a41
a42
a43

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1.70482476658868640962×10+0

a12
a13
a14

-2.72816818695565933183×10−5-1.97311610473269545152×10−4
3.46149578968546116607×10−4

a28
a29
a30

-1.53480347500399295761×10+1-2.99691656020977058663×10+1
3.02004739038959950160×10+1

a44
a45
a46

-4.76415900766504137086×10+0
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7.02621562690404978747×10−1

a15
a16

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a31
a32

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a47
a48

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a0-1.67126149300188477179×10−16

a1
a2
a3

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2.01168935188840988316×10−13
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a17
a18
a19

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6.56022593599480955454×10−2

a33
a34
a35

-1.36333189033223617602×10+1
1.06365462767900443951×10+2
4.25315126402831720089×10+0

a4
a5-4.03459995823197145102×10−11-2.55203493001922910215×10−10

a20
a21

-2.90267093019129567891×10−1-3.02323193393071957015×10−1

a36
a37

-1.04091197056544323948×10+2
8.05390388506835601795×10+0

a6
a7
a8

3.22489800883783745071×10−9
1.43376582119852046214×10−8-1.37120333878582323466×10−7

a22
a23
a24

1.27716167516749832975×10+0
1.09436078740438930710×10+0-4.50945579230543594372×10+0

a38
a39
a40

7.88566074463802275997×10+1-1.56737052902072272008×10+1-4.40498857750574865525×10+1

a9
a10-4.63380516200811258251×10−7
3.58967100558313627738×10−6

a25
a26

-3.12383990107441073865×10+0
1.28776928234616889234×10+1

a41
a42

1.45602862239239287199×10+1
1.65026930102802472548×10+1

a11
a12
a13

9.62844218267231580457×10−6-6.31722732461290056716×10−5-1.37969378030990323484×10−4

a27
a28
a29

7.00774368151047808809×10+0-2.98766320149560809488×10+1-1.21738918966330770240×10+1

a43
a44
a45

-8.29010472878884147625×10+0-2.77246544633647191160×10+0
2.11254047830341428012×10+0

a14
a15

7.91962474300860796845×10−4
1.42949203512013149704×10−3

a30
a31

5.63755672417139878335×10+1
1.57635267093343181042×10+1

a46
a47

5.68649579806828641017×10−2-2.04161702842069897135×10−1

a16-7.36545083361738677733×10−3

a32-8.62931903330837860071×10+1

a48

2.53453322155167169862×10−2

a0
a1
a2

-8.55951929546784999419×10−178.46114188454856765942×10−15
1.05894911407990565566×10−13

a17
a18

2.59403668533440289661×10−2
2.94096852543581900840×10−2

a33
a34

1.66891131063554367709×10+2
2.57451210897927716499×10+1

a3
a4-3.49193208838420718821×10−12-2.17415930652651681959×10−11

a19
a20

-1.67015485285650669364×10−1-1.60303752737463464172×10−1

a35
a36

-1.94802416523471381156×10+2-1.18155893982542389204×10+1

a5
a6
a7

4.31237247833965196084×10−10
1.77201855281891877423×10−9-2.52132909346251540468×10−8

a21
a22
a23

8.47547251708268366332×10−1
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a37
a38
a39

1.81300845997035205926×10+2-6.11409165892739913312×10+0-1.31401053163863567461×10+2

a8
a9-7.65204513529239964381×10−8
8.52130571066568927034×10−7

a24
a25

-2.33050594128325219112×10+0
1.12601130152765133478×10+1

a40
a41

1.72684050498199355094×10+1
7.10181881075004915709×10+1

a10
a11
a12

2.02604368509891422536×10−6-1.86162704489595588896×10−5-3.59017241947992289414×10−5

a26
a27
a28

6.29166646602687529588×10+0-2.99819961205931148585×10+1-1.34692195757362479192×10+1

a42
a43
a44

-1.66736904609247431901×10+1-2.63796917871675628111×10+1
9.36378349546675921905×10+0

a13
a14

2.82216682102677474322×10−4
4.51003692008160215591×10−4

a29
a30

6.51417128032277280831×10+1
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a45
a46

5.15499294286096173115×10+0-2.35185076150312305444×10+0

a15
a16

-3.11602119408941362031×10−3-4.18007197277293690133×10−3

a31
a32

-1.15558282603652458176×10+2-2.87755443996413015744×10+1

a47
a48

-4.09263147903246988390×10−1
2.24165039496220495880×10−1

Coeﬃcient ai (c = 16 × 38
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 39
7 )87

Coeﬃcient ai (c = 16 × 40
7 )

a0
a1

2.01724467237981859617×10−16
4.44020938436635734330×10−14a17

1.08799132602278247526×10−1

a33

4.75626193089268061433×10+2

a2
a3-2.44303805196415936640×10−13-1.78951661266176977451×10−11

a18
a19

-7.48932937455378679244×10−2-6.76003783330560268204×10−1

a34
a35

-2.53667452242901589090×10+2-5.14917417582111569431×10+2

a4
a5
a6

4.94432167802347685357×10−11
2.15605419384255929881×10−9-4.00003184324418692150×10−9

a20
a21
a22

4.31477637273839281239×10−1
3.30219003599465885036×10+0-1.98209464084557036224×10+0

a36
a37
a38

2.81104867242383477422×10+2
4.39325232826675043651×10+2-2.49396280324555482047×10+2

a7
a8-1.22851684029322369215×10−7
1.72675846963682095261×10−7

a23
a24

-1.28559979787888696252×10+1
7.34959525115492170916×10+0

a39
a40

-2.87292034720770630506×10+2
1.72919352066022107648×10+2

a9
a10
a11

4.04156121411788831794×10−6-4.60426222734877280691×10−6-8.58320753314085186010×10−5

a25
a26
a27

4.02758038557495526140×10+1-2.21912700794084380977×10+1-1.02164447872218466352×10+2

a41
a42
a43

1.36965834699730756787×10+2-8.96983310357305365800×10+1-4.31080381098145914341×10+1

a12
a13
a14

8.28077608026970409048×10−5
1.26300288013289179545×10−3-1.06473729482220984334×10−3

a28
a29
a30

5.48738328219594446422×10+1
2.10449492301828965960×10+2-1.11442578781321288758×10+2

a44
a45
a46

3.20511145616240807783×10+1
6.76640587615821513279×10+0-6.12990749670591102772×10+0

a15
a16

-1.35130367796586743008×10−2
1.01953065279562854519×10−2

a31
a32

-3.51896143590335979522×10+2
1.85862284543037994320×10+2

a47
a48

-3.97536235509740939541×10−1
4.81074830301764370959×10−1

a0

1.05800586876192118428×10−15

a1
a2
a3

8.57140578553390403272×10−14-1.27212589070081649641×10−12-3.43018813303681437365×10−11

a17
a18
a19

1.94085021765884566210×10−1-3.37006212942234546361×10−1-1.18769562122405328369×10+0

a33
a34
a35

6.84009749547327766665×10+2-7.80561553056888809201×10+2-6.98604561352076742552×10+2

a4
a5

2.55031583093686388670×10−10
4.10121837847875200849×10−9

a20
a21

1.88179748739616249191×10+0
5.70279934357293615981×10+0

a36
a37

8.00183906490466734473×10+2
5.51951736050014358193×10+2

a6
a7
a8

-2.03907428386831348805×10−8-2.31745209792867289914×10−7
8.67857716744754657899×10−7

a22
a23
a24

-8.34791693584980479738×10+0-2.17708992727541965801×10+1
2.97726604956333260091×10+1

a38
a39
a40

-6.49092296130781855198×10+2-3.24012904227117363795×10+2
4.05255892711105635484×10+2

a9
a10

7.55477361361465419417×10−6-2.27588634758893273733×10−5

a25
a26

6.66820029967070680126×10+1-8.60803428846585338695×10+1

a41
a42

1.30486098356286171138×10+2-1.85411006799409305292×10+2

a11
a12
a13

-1.58848399830703893476×10−4
4.01525200715966148902×10−4
2.31184170358556701237×10−3

a27
a28
a29

-1.64754201651005471135×10+2
2.02805945778799771268×10+2
3.28985065431343572181×10+2

a43
a44
a45

-2.94559649800089674930×10+1
5.64770201175904899486×10+1
8.27392532230431222145×10−1

a14
a15

-5.05071984801013112030×10−3-2.44351195614659756519×10−2

a30
a31

-3.90195411346867222896×10+2-5.29899721907717048025×10+2

a46
a47

-8.88880830250388670208×10+0
3.69294531817961848824×10−1

a16

4.71764205387903108582×10−2

a32

6.12448376401164698380×10+2

a48

5.46236872996079769395×10−1

a0
a1
a2

2.13826366462893920418×10−15
6.89470842884031805388×10−14-2.56370348635849444092×10−12

a17
a18

1.39647089677719158253×10−1-6.41359633609478917653×10−1

a33
a34

2.22048100866731279155×10+2-1.21963863709343771790×10+3

a3
a4-2.74737165815100664350×10−11
5.12088108767486563658×10−10

a19
a20

-8.27478004382134334494×10−1
3.53440038776844905436×10+0

a35
a36

-1.37201780031930503652×10+2
1.18502072984707496447×10+3

a5
a6
a7

3.26339097291260888247×10−9-4.07595909001578569364×10−8-1.82762885362025800501×10−7

a21
a22
a23

3.81872744036784549479×10+0-1.54422468583111999800×10+1-1.38749008494569261167×10+1

a37
a38
a39

7.16168757949468125654×10+0-8.96500912843714817860×10+2
8.90650780895647117544×10+1a8
a9

1.72544785438340066504×10−6
5.88969673479342150040×10−6

a24
a25

5.41102902692768934237×10+1
3.99079416658467952157×10+1

a40
a41

5.08700845907950062803×10+2-1.05339246697494596795×10+2

a10
a11
a12

-4.49614676652496098842×10−5-1.22064543181624001011×10−4
7.87371613327832104825×10−4

a26
a27
a28

-1.53254480081824066266×10+2-9.08273157092029884397×10+1
3.52415655869165549676×10+2

a42
a43
a44

-2.01722105978345481564×10+2
6.52577324265017791606×10+1
4.75454227162317135848×10+1

a13
a14

1.74524535402511845058×10−3-9.81944841368238032079×10−3

a29
a30

1.62208897489948809820×10+2-6.58764865471765769166×10+2

a45
a46

-2.22360921760002363867×10+1-3.40155252799985713417×10+0

a15
a16

-1.80512480447438085950×10−2
9.08137071614657093439×10−2

a31
a32

-2.22399263566270443677×10+2
9.98664483983556397082×10+2

a47
a48

2.61468674366827562630×10+0-2.07406846106877246964×10−1

Coeﬃcient ai (c = 16 × 41
7 )Coeﬃcient ai (c = 16 × 42
7 )88

Coeﬃcient ai (c = 16 × 43
7 )a0

1.01807284937180847658×10−15

a1
a2
a3

-8.33828013398877855960×10−14-1.26252235009198639447×10−12
3.44983536663943080319×10−11

a17
a18
a19

-2.61850277117144381440×10−1-3.60637121728048327014×10−1
1.69132669615695362619×10+0

a33
a34
a35

-1.71818775240875863254×10+3-4.16824214426102341031×10+2
2.00931117864786072796×10+3

a4
a5

2.59882905603588248895×10−10-4.27191726959393077756×10−9

a20
a21

1.97762614993828641530×10+0-8.60954853997448490203×10+0

a36
a37

2.89193968866775446747×10+2-1.87628961281699127368×10+3

a6
a7
a8

-2.12402640777831420491×10−8
2.50488159391959165845×10−7
9.19940586393844951369×10−7

a22
a23
a24

-8.53419089659388661644×10+0
3.50251977575808560770×10+1
2.92610479964297871095×10+1

a38
a39
a40

-8.99309791310541142593×10+1
1.37017304239542059585×10+3-6.42892120745143520491×10+1

a9
a10-8.49140064558924758634×10−6-2.44353118117126904879×10−5

a25
a26

-1.15026524666943472305×10+2-8.01049137970166421093×10+1

a41
a42

-7.55247612508762958400×10+2
1.07533325112888425900×10+2

a11
a12
a13

1.86093808313184350403×10−4
4.34499385117122984209×10−4-2.83023904645871024228×10−3

a27
a28
a29

3.07012106367272034052×10+2
1.75073538314840523005×10+2-6.68419618756934458211×10+2

a43
a44
a45

2.94505612178565051475×10+2-7.08600754339670215934×10+1-7.07099744820332493385×10+1

a14
a15

-5.47915091336201069226×10−3
3.13516133157031657780×10−2

a30
a31

-3.03476632866083726238×10+2
1.18781773765095564477×10+3

a46
a47

2.43499715512091786702×10+1
6.68759354077623884689×10+0

a16

5.10021855169249267061×10−2

a32

4.10301839773426346461×10+2

a48-2.85639601608367412781×10+089