高専における数学専門科目の授業実践について―「集合と位相」での実践報告―
山中聡*

Teaching Practices of Specialized Mathematics Subjects at
National Institute of Technology－ Report on the Subject “Set and Topology”－
YAMANAKA Satoshi
The Mathematical and Physical Sciences Program in the Advanced Science Course offers specialized
mathematics subjects such as “Sets and Topology” and “Algebra”. On the other hand, many students struggle
with them. In this report, we will introduce our teaching methods and teaching materials for the fourth-year
subject “Sets and Topology”. Furthermore, based on the results of various questionnaires, we will discuss
the students' opinions about this lecture and the problems that can be read from the questionnaire results.

Key Words: Mathematics, Set and Topology.

１．はじめに問題・課題等についての考察を述べる．

本学の総合理工学科先進科学系では，4 年次に進学する際，数学・物理を中心に学ぶ「数学・物理科学プログラム」と化学・生物を中心に学ぶ「物質・生命科学プログラム」を選択する．とくに，前者のプログラムにおいては，4 年次科目「集合と位相」や 5 年次科目「代数学」など，他高専にはない数学専門科目が用意されている．一方で，こういった数学専門科目は抽象的な内容になりがちであり，3 年次までの数学（微分積分，線形打数等）を良く理解している学生でも苦戦することが多々ある．この観点から，筆者は「高専生が数学専門科目を学ぶ意味を理解し，その授業内容を効率良く学べる授業」を目指して，これまで担当してきた授業で様々な授業実践方法を試してきた．本報告では，令和 5 年度の4 年次科目「集合と位相」で行った授業実践方法や作成した教材を紹介するとともに，授業後に行ったアンケート（学校全体で行う授業評価アンケートおよび独自のアンケート）の結果を報告する．さらに，アンケート結果を踏まえて，今回行った授業実践に対する学生の声やアンケート結果から読み取れる
原稿受付 令和 5 年 9 月 15 日
＊総合理工学科 先進科学系

２．授業目標の設定
本校の総合理工学科先進科学系の学生は，理工学系の技術者・研究者になることを目標としている．
そのため，数学の理論を厳密に理解することはもちろん大切だが，それよりも数学を正しく利用できることが重要であると認識している．また，カリキュラムの特性上，学生は数学以外にも幅広い分野を学習する必要があり，数学の学習に費やせる時間も限られている．そのため，所謂“理学部数学科”で行われているような厳密な数学の講義を行うことは，学生にとって大きな負担となる．そこで，実際の授業では，厳密性をある程度欠いてでも，学生の理解度に合わせた授業を行う必要があると感じる．一方で，授業内容を学ぶことの重要性や必要性を学生一人一人が理解できることも重要である．以上の観点か
ら，高専で数学専門科目を教える上での授業目標を下記 3 点とした．
目標1. 学習すべき点は押さえつつ，学生に無理のない授業計画を立てる（授業評価アンケートの項目 1，2 の平均 4.0 以上）
目標2. 学生の理解度に合わせた授業を行う（授業- 47 -

評価アンケートの項目 4～8 の平均 4.0 以上）
目標3. 授業を通して，学生が授業内容を学ぶ意味や重要性を感じられる（授業評価アンケートの10，11，14 の平均 4.0 以上）

３．具体的な授業実践方法
上記の目標をもとに，令和 5 年度の 4 年次科目「集合と位相」の具体的な授業実践方法を下記のように設定した．
まず，授業内容を以下 3 点に絞って授業計画をたてた（括弧内は授業時間数）：(1) 直線と平面の対等性（90 分×4 コマ）(2) 直線と平面の非同相性（90 分×5 コマ）(3) 一般の位相空間における位相や連続写像の定義や基本的な性質（90 分×2 コマ）(1)では集合や写像，集合の濃度の概念を中心に解説し，直線と平面の濃度が等しいこと，および，濃度という概念だけでは直線と平面が区別できないことを学生に理解させる．(2)ではユークリッド空間の連続写像，位相同相写像，連結性を中心に解説し，直線と平面が同相ではない（位相同相写像が存在しない）ことを理解させると同時に，位相を学ぶ意味や必要性を感じさせる．(3)ではユークリッド空間の「開集合の集まり」の一般化として位相が定義され，ユークリッド空間における連続写像や位相同相写像の拡張として一般の位相空間にも同様の概念が定義されることを理解させる．より具体的には，16 週までの授業計画を以下のように設定した．

図 2：穴埋めプリント（一部抜粋）

図 1：授業計画（シラバスより）

次に，学生が授業内容を効率良く学習できることを目標とし，授業毎に穴埋め形式のプリントを作成した（図 2 参照）．作成には参考文献 1～4 を参考にしている．このプリントは，教員の説明時間や学生- 48 -図 3：授業課題（一部抜粋）

の板書時間をできるだけ減らし，学生の演習時間や思考時間をできるだけ多く設けることも狙いとしている．また，定理の証明は別の配布資料や授業課題（後述）で行い，具体的な例題をできるだけ多く取り入れた．実際の授業では，プリントを学生に配布し，配布したプリントと同じものをスクリーンに写して，実際にタッチペンで穴埋めをしながら授業を進めた．授業後には，穴埋めした資料を Teams の授業用チームで公開した．また，毎授業において，授業内容を理解するために効果的だと思われる授業課題を設定した（図 3 参照）．授業課題の問題は出来るだけ具体的なものを選んだ．また，授業の進捗度や学生の様子を見ながら，授業毎に授業課題の問題を「授業時間内に解く問題」と「学生が自主的に解く問題」に分けた．前者については，授業中に学生に解かせ，その写真（または電子ファイル）をForms で提出させた．授業後には授業課題の解答をTeams の授業用チームで公開した．

４．アンケート収集と考察
まず，授業評価アンケートの集計結果について述
べる．今回注目するのは，授業評価アンケートの全14 項目中，以下の 10 項目である．
項目1. この授業の学習内容のレベルは適切でしたか．
項目2. この授業の学習内容の分量は適切でしたか．
項目4. 学生の理解度を確認しながら授業が進められていましたか．
項目5. 教官の話し方は聞き取りやすかったですか．
項目6. 教官の説明や黒板の使い方，書き方はわかりやすかったですか．
項目7. 教官は授業に対して意欲的だったと思いますか．
項目8. この授業（放課後も含む）では疑問点があれば質問できましたか．
項目10. 総合的に見て，あなたはこの授業を高く評価できますか．
項目11. この授業の内容をどの程度理解しましたか．
項目14. この授業によって，あなたはこの教科に興味や関心を持ちましたか．

図 4：授業評価アンケート

1・2 頁で掲げた目標 1，目標 2，目標 3 と照らし合わせてみると，項目 1，2 では目標（平均 4.0 以上）をわずかにみたしていなかった．また，項目 4 ～ 8，10 では目標をみたしていたが，項目 11，14 では目標に大きく届かなかった．このことから，2 頁の目標 3 を達成するには，さらなる工夫や準備が必要であると感じた．
次に，授業評価アンケートとは別に独自のアンケートを行った．このアンケートでは，集合と位相の授業内容をより具体的に評価するような項目を設定し，それぞれ「そう思う」「どちらかというとそう思う」「どちらともいえない」「どちらかというとそう思わない」「そう思わない」の 5 段階で回答してもらった．アンケートの項目（全 14 項目）とその集計結果は以下の通りである．
1.

授業の進め方（授業資料をスクリーンに映し，タッチペンで必要事項を資料に記入していくスタイル）は，授業内容を理解する上で効果的であった．

図 5：アンケート項目 12.

それぞれの項目は 5 段階で評価される．実際の集計結果（各項目の平均）は次のようになった．

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穴埋め形式の授業プリントは，授業内容を理解する上で効果的であった．

図 6：アンケート項目 23.

図 10：アンケート項目 6

課題プリント（授業課題）の問題を解くことは，授業内容を理解する上で効果的であった．

7.

図 7：アンケート項目 34.

図 11：アンケート項目 7

授業資料（授業プリント，課題プリント等）は学生の理解度に合わせて作られていた．

8.

図 8：アンケート項目 45.

授業を通して，集合に関する基礎的な知識（写像，濃度，など）を理解することができた．

図 12：アンケート項目 8

毎回の授業において，授業のボリューム（理解すべき知識の量や難易度）は適切であった．

9.

図 9：アンケート項目 5

6.

授業全体を通して，この授業の難易度は適切なものだった．

授業を通して，直線と平面は集合として対等である（同じ濃度である）ことを理解することができた．

図 13：アンケート項目 9

毎回の授業において，提出すべき課題の量や難易度は適切であった．

10. 授業を通して，m 次元空間の位相的な性質（内部や外部，連続写像，連結性など）を理解することができた．

- 50 -

図 14：アンケート項目 10

図 18：アンケート項目 14

11. 授業を通して，直線と平面は同相でない（直線と平面が同相であると仮定すると矛盾が生じる）ことを理解することができた．

すべての項目で「そう思わない」と回答した学生はおらず，「そう思う」と「どちらかというとそう思う」を合算した割合はどの項目も 75%以上となっていた．とくに，項目 1 ～ 4 の結果から，授業の進め方や授業資料は適切なものであったと推察される．また，項目 5 ～7 より，学生に無理のない授業計画を立てられたように思う．さらに，項目 8 ～ 13 より，集合と位相を学ぶ意味や必要性を感じ取れた学生は少なくないと思われる．
項目 14 は自由記述（回答任意）だったが，授業に対する肯定的な意見が 2 件あった．一方で，項目 5，7，9，11，13 で「どちらかというとそう思わない」と回答した学生がおり，一部の学生にはこちらの狙い通りの授業とはならなかったのも事実である．

図 15：アンケート項目 11

12. 授業を通して，一般の集合の位相に関する基礎概念（位相，連続写像，同相，など）を理解することができた．

図 16：アンケート項目 12

13. 授業を通して，集合と位相の概念を学ぶ意味や必要性を理解することができた．

５．まとめと今後の課題
授業評価アンケートおよび独自のアンケートの結果より，1・2 頁の目標 1 および目標 2 は概ね達成できたと考える．一方で，一部の学生にはこちらの狙い通りの授業とはなっておらず，
また 2 頁の目標 3 の達成にも課題が残っていると思われる．今回の「集合と位相」の授業に関しては，直線と平面は集合として対等である（濃度が同じである）が位相空間としては同相でなく，この点に集合と位相を学ぶ意味や重要性を感じてもらえるように授業を行ったつもりである．しかしながら，「どういった歴史的背景の中でこのような概念が生まれたのか」「どういった分野に応用されているのか」「この概念を知っていることでどんなメリットがあるのか」といったことをより具体的に示す必要があると改めて感じた．今後も，様々な授業実践を試しつつ，学生の声を適宜くみ取り，学生の学習意欲を刺激するような授業を常に行っていきたいと考える．

図 17：アンケート項目 13

参14. 授業全体を通しての意見・感想（あの内容は面白かった，あの内容は理解できなかった，この点は良かった，この点は改善すべき，など）を教えてください．必須回答ではないので，未記入でも構いません．

考文献1)

内田伏一：集合と位相 増補新装版，裳華房

2)

大田春外：はじめよう位相空間，日本評論社

3)

大田春外：解いてみよう位相空間，日本評論社

4)

藤田博司：「集合と位相」をなぜ学ぶのか，技術評論社- 51 -