超弦理論とトポロジー

物理部門 鈴木久男

LOG
O

原子核のスケール-1010 m-15

分子

10 m

分子の１０万分の１重力の量子のサイエンス

極小
スケール

-3410 m

１０００億個の銀河

ハッブルディープフィールド宇宙

極小スケール-3410 m極大
スケール
１０の２６乗メートルのサイエンス

私たちはなぜいるのか？
私たちはなぜ考えているのか？
宇宙はなぜ生まれたのか？
そんなことまでわかるのか？

宇宙の起源がサイエンスか？

科学の発展の歴史

宇宙初期は高エネル
ギーの世界

究極の力の理論の指針は？

未知の現象の理論的解明より予言理論を突き詰めることによって新しい現象を予言

理論的予言実験による発見

現状に当てはめればよい歴史が語る
アンペールの発見の方法
法則の変更

電磁波の予言アインシュタイン

１９０４年
３つの論文
光電効果
相対性理論
ブラウン運動通常の波

電磁波静止系

電磁波移動系

ドップラー効果で振動数減少光の速度は等しいアインシュタインの仮説
すべての慣性系において等しい
物理法則
すべての慣性系において等しい
光の速度

時間の同時性動いている人から見ると

特殊相対性理論

通常の考え方光速に近い速度でのみ変更が大きいしかし意外な結果が質量＝エネルギー

静止エネルギーの大きさ本

思いっきり投げる 秒速１０ｍ

1 mv 22

秒速３０万キロで本を投げる

mc2

静止エネルギー

相対性理論と重力理論の融合ニュートン
万有引力の法則

質量Ｍ２

質量Ｍ１

力
Ｍ１
力

×＝ Ｇ

距離

Ｍ２２

相対性理論とニュートンの万有引力の法則

万有引力の法則

情報が瞬時に伝わる

相対性理論と相容れない単純な考え方電気の力と重力は似ている

重力も電気と同様に見たら？

電荷を質量に変えるだけ？

質量＝エネルギー

より基本的な考え方が必要一般相対性特殊相対性
慣性系のみの特殊な仮定

一般相対性 重力加速度など
 力を受ける人一般
重力を受けない人はない
重力理論
一般相対論の枠内で重力と相対性理論の融合よモンキーハンティング

等価原理
モンキーハンティング
落ちている人は慣性系

地面に立っている人は？
 慣性系ではない
加速度を受けている人と重力を受けている人の区別はない
等価原理

重力と加速度海でおぼれている砂浜からどのような経路で助ける？

DA

B

C

時空の曲がりとは？
各点ごとに光の速さが異なる 時間方向にも曲がっている

フェルマーの原理

重力による光の回折重力レンズ重力レンズイメージ

ブラックホール
脱出速度
脱出速度＝光速

時間の流れが遅くなる

シュワルツシルド
半径

太陽
１．６ｋｍ

2GM
r=2c

ブラックホールの候補

銀河中心のブラックホール

銀河中心の観測

回転速度と半径から内部の質量を求める

宇宙の構成要素

通常物質
５％
暗黒物質
２５％

暗黒エネルギー
７０％

特殊相対性理論と量子力学の融合

新しい展開がどのような理論になるのか？

相対性理論だからエネルギーの高い現象にしか関係しない？

特殊相対性理論と量子力学

ディラックの理論
どうしたらいいんだ？
量子力学と相対性理論を融合

負のエネルギーの粒子が必要

E =- mc2

負のエネルギーの電子の解釈
解釈

全部詰まった状態

ディラックの理論

反粒子の予言陽電子、反陽子発見

よし今度は一般相対性理論と量子論だ一般相対性理論と量子論

一般相対性理論と量子論は相容れない

その他の力の場合はどうか？
自然界の４つの力

クオーク

核力を媒介する粒子
グルーオン

なぜ、原子番号（原子核の陽子の数）に限りがあるのか？
核力はセメントのような短距離にしか作用されないから
陽子同士の電気的反発力に見合う核力のために中性子が必要
最初は陽子１つに対して中性子１つ
原子番号が大きくなると、中性子で支えきれなくなる。
鉄以降は不安定
鉄より重い元素はどうして存在するのか？

電磁気の力

電子陽子

弱い力

電子の自己エネルギー

電場の量子論的解釈は？
バーチャルな光の放出と同じ電場が逆二乗の法則なのは、光の強さの法則と同じ

電子の自己エネルギーと繰り込みいく ら
でも 素早くもど れるぞ
進もう とするとぶつかって来て一歩も進めないよ。

無限に重く な

もと の重さ を 無限に小さく すれば進めるよ！
光の衣

重さ なし

物理にあらわれる重さ

光を放出する強さ を 無限に弱く すれば進めるよ！

繰り込み理論

朝永振一郎
Schwinger
Fynmann

電子の元の質量は本当に無限小なのか？

重力に対しては同じ処方箋が使えない。

新たな理論が必要だ！

超弦理論

開いた弦

力を媒介する粒子は偏光方向を持つのはなぜ？

弦理論による説明

開いた弦と電磁波

弦理論に発散がない
弦理論に発散はない

弦の放出と吸収素早く戻ってみよう !

瞬時に戻る過程にしてみる

弦の軌跡

時間発展

弦の幅がつかえてこれ以上早く は戻れない ！

動けないほどではない

弦理論は１０次元の理論

１０次元

時間空間方向以外が見えないとするとどうなるか？

見えない方向問題

図の開いた弦を真下から見ると何がみえるか？
（A)弦に見える
（B)開いた弦に見える
（C)点に見える
（D)パンツ

x方向

重力子

ｙ 方向

ｘ 方向
時空以外の方向

時空以外の方向
時空以外の方向

粘着子
光子
Ｗボソ

クオーク
電子
ニュートリなどの物質

見えない方向に巻き付くDブレーン

開いた弦と閉じた弦の相転移

統一理論

超弦理論は力と粒子の統一理論

内部空間はどうなっているの？

超弦理論は力と粒子の統一理論
10次元ではほぼ一意的見えない6次元空間のトポロジーが重要

トポロジーがどうして重要？

10次元での質量のない粒子のエネルギーと運動量の関係
E  c ( p12  p22  p32 (Mc)2 ),E  c ( p  p  p  p  ...  p ) Mc 
2122232429p42  ...  p92

平坦な内部空間の場合 p 4など内部空間の運動量に制限がない
 4次元として多くの質量の粒子が現れる

トーラスでは？内部空間2次元とすると

周期的境界条件から運動量はとびとびの値になり
低エネルギーで観測される粒子は質量のない粒子だけに質量のない粒子の数は２つ
サイクルの数

より一般的に

質量演算子を量子化するとM 2(x3 ,x4 ,...,x9 )  (x3 ,x4 ,...,x9 )†  d d  dd††d  *d *
質量のない粒子の数は多様体上の調和形式の数と関係が調和形式の数とサイクル（閉じた部分多様体）の数は等しい超弦理論では、観測可能な粒子の数は、内部空間のトポロジーで決定される。
超弦理論では、相互作用の強さ（力の強さ）は、内部空間の形状で決定される

内部空間はどうなっているの？

超対称性の要請より内部空間は複素構造を持ったケーラー多様体

qformfieldsd内部空間はどうなっているの？

超対称性の要請より内部空間は複素構造を持ったケーラー多様体
複素多様体上では

4次元の超弦理論となる内部空間は？

Complexmanifold
上ではmetricManifold iscalled aKahlermanifold内部空間はどうなっているの？

さらに
内部空間のアインシュタイン方程式の解

カラビ・ヤウ多様体というリッチテンソル
ゼロ様々な次元のリッチフラット多様体

サイクルの数 複素次元でトーラス
時空８次元

K3多様体
時空６次元
様々なトポロジーのカラビ・ヤオ空間

時空４次元

どのようにして作るか？
計量を求めるのは困難で代数多様体として求める
複素射影空間内の面として

ミラー対称性一つの多様体における（2次元的な孔の数、3次元的な孔の数）＝もう一つにおける（3次元的孔の数、2次元的孔の数）となる多様体が存在する。

これをミラー多様体という例

超弦理論の予想タイプ１超弦理論のカラビヤオコンパクト化＝
タイプ２超弦理論のミラー多様体でのカラビヤオコンパクト化

ミラー予想計算例

ニュートン以来の伝統物理学の動機が新しい数学を作り出す。

頑張ろう！