並列化密度行列繰り込み群法による光学格子中フェルミ原子気体の解析～高温超伝導へのアプローチ～
奥村雅彦 1,2, 山田進 1,2, 町田昌彦 1,2
日本原子力研究開発機構システム計算科学センター1, CREST(JST)2[okumura.masahiko, yamada.susumu, Machida,masahiko]@jaea.go.jp
概要：密度行列繰り込み群法を、２次元系へと拡張するため、オリジナル対角化ルーチンとScaLAPACK を用いて並列化し、従来の拡張法よりも計算精度が格段に向上することを示した。また、この方法を箱形光学ポテンシャル中の光学格子上フェルミ原子気体に応用し、バイホールペアという新しい現象を数値計算で初めて確認することに成功した。

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はじめに
高温超伝導は 1986 年の発見以来、今日まで変わらず物理や工学分野の研究者の注目を集め続け調節可能であるという驚くべき特性を持つため、コントロール可能な擬高温超伝導体を実験室内に作ることが可能になろうとしている。てきた。高温超伝導とは約 170℃以下程度で電気こうした実験技術の急速な発達の現状を鑑み、抵抗がゼロになる現象であり、送電線などへの応我々は密度行列繰り込み群法を 2 次元系にも適用用によるエネルギー問題への貢献などが期待され、可能な形に拡張し、光学格子と呼ばれるレーザー社会からも注目を集めている。但し、「高温」とい中の中性フェルミ原子気体系を解析することによう表現はそれまでの極低温で起こる超伝導と比較り、2 次元強相関系の振る舞いを明らかにし、高したものであり、現実的な応用のためには室温程温超伝導の理解を進めることを研究の目的とした。

度での超伝導実現が望まれる。しかし、その発現

2並列化密度行列繰り込み群法

機構の理解はなかなか進まず、室温超伝導実現へ

量子論の問題は基本的にはハミルトニアン行列の道筋は今も明らかではない。その主な要因の一の対角化問題に帰着できる。この観点から我々がつは電子同士の強い量子相関を解析的に記述する

用いる密度行列繰り込み群法を簡単に表現すると、のが難しいことにある。そこで、この強相関効果興味のある量子状態ベクトル（ハミルトニアン行を近似なしに取り扱うために様々な数値シミュレ列の固有ベクトル）と関係の少ない量子状態ベクーション手法が開発され、高温超伝導の理解を目トルを切り捨てて、効率よくハミルトニアン行列指した研究が行われてきた。

を対角化する方法であると言える。具体的には主強相関電子系の解析に用いられる数値シミュレに (1)ハミルトニアン行列（疎行列）の対角化、(2)ーションには厳密対角化法、量子モンテカルロ法、関係の少ない量子状態ベクトルの切り捨てのため密度行列繰り込み群法[1]等がある。それぞれ長所の密度行列（密行列）の対角化という 2 つのステと短所を持ち合わせるが、1 次元系では密度行列ップで成り立っている。これまで用いられていた繰り込み群が最も効率の良く高い精度を与える方

1 次元系の密度行列繰り込み群法はこれら 2 つの法であり（適用例[2]）、高温超伝導の舞台である 2行列のサイズが小さく、普通のパソコン程度で計次元系への拡張が望まれている。

算が可能であった。その後、この特性を生かした

近年、高温超伝導とは全く異なる体系の中性原図 1(b)のような 2 次元系への拡張が提案されてい子気体が高温超伝導との関係から多くの注目を集たが、計算精度に問題があり、改善法が模索されめている（20001 年のノーベル物理学賞が中性原ている。我々は、この問題を克服するために図 1(a)子気体のボース・アインシュタイン凝縮の実現にのような直接的拡張法を提案し、この問題の抜本対して贈られたのは記憶に新しい）。これは光学格的解決を図った[3]。ただし、この拡張法を用いる子と呼ばれるレーザーで作られた格子の上に電子と上記の 2 つの行列が大きくなり、大型並列計算と同種のフェルミ原子気体を配置することに成功機の使用が不可欠となる。そこで、我々は(2)の密したため、高温超伝導体と同等な系が作り出せた行列の対角化には ScaLAPACK 用い、一方の(1)からである。また、高温超伝導体だけでなく、粒の疎行列の対角化には CG 法をベースとして前処子間の相互作用も含む様々なパラメータが細かく理、行列の分割方法を工夫したオリジナル対角化ルーチンを用いてこの直接的な拡張法を実装した。
(a) system

environment(b) system

environment

判断できる結果を紹介する[4]。図 4 は箱形光学ポテンシャル中の光学格子上フェルミ原子気体における、ホール密度分布を示している。この図から両端に 2 ホールのペア、真中にバイホールペア（2ホールペアのペア）が存在することが分かる。2

図 1. 2 次元密度行列繰り込み群法。(a)我々の方法。(b)従来の方法。

ホールのペアはよく知られている現象であるが、バイホールペアというのはチャンとアフレックによって近似を用いた解析計算で予言されていたも並列化効率・計算精度・物理的結果ので、数値計算による確認が待たれていた新現象

まず、並列化効率を図 2 に示す。図中の m は残であった。我々は精度のよい並列化密度行列繰りしておく基底の数で、(1)、(2)の行列の大きさを決込み群法を用いて、このバイホールペアの存在をめるものである。この値が大きいほど行列の次元初めて確認した。この結果はバイホールペアによが大きく、また、得られる結果の精度も良くなる。

る新しい超伝導の可能性も示唆しており、精度のこの図から行列の次元が大きくなるほど並列化効高い本並列計算手法により新たな地平の開拓が進率が上がることが見て取れる。

んだ一成功例と言える。

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図 4. 4×20 サイト斥力ハバード模型（U/t=5）

図 2. 並列化効率。
次に、精度の検証について述べる。図 3(a)は同じ条件のもとで従来の方法（図 1(b)）と我々ののホール密度分布（8 ホール）。

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まとめ方法（図 1(a)）で計算した系のエネルギーを比較

我々は並列化密度行列繰り込み群法を、オリジしたものである。密度行列繰り込み群法は変分法

ナル対角化ルーチンと ScaLAPACK を用いて 2 次の一種であるので、エネルギーが低く出る方が精元系へと拡張し、従来の拡張法よりも計算精度が度が良いといえる。我々の方法の方が常にエネル格段に向上したことを示した。また、この方法をギーは低い値を示しており、エネルギーの計算精

箱形光学ポテンシャル中の光学格子上フェルミ原度が優れていることが分かる。次に、図 3(b)はス子気体に応用し、バイホールペアという新しい現ピン密度分布を表したものである。リープ・マテ象を数値計算で初めて確認することに成功した。

ィスの定理からこの量は厳密にゼロにならなければならないことが知られている。この図から、我々の方法は、残しておく基底数を大きく（m=96 程度）とればこの定理を満たすことが分かる。一方で従来の方法はこの定理を満たさないことが分かっており、この点において我々の方法の優位性が際立っている。

参考文献[1] S.R. White、「Density matrix formulation for quantumrenormalization groups」、Phys. Rev. Lett. 69, 2863
(1992).
[2] M. Okumura, S. Yamada, N. Taniguchi, and M. Machida、「Hole Localization in One-Dimensional Doped
Anderson-Hubbard Model」、to be published Phys. Rev.
Lett.
[3] S. Yamada, M. Okumura, and M. Machida、「DirectExtension of Density-Matrix Renormalization Group
toward 2-Dimensional Quantum Lattice Systems:
Studies for Parallel Algorithm, Accuracy, andPerformance」、arXiv:0707.0159.
[4] M. Machida, M. Okumura, and Y. Yamada、「Stripe

図 3. 計算精度。(a)エネルギーの値の比較。
(b)スピン密度分布。
最後に、得られた結果の中、物理学上、重要とFormation in Fermionic Atoms on 2-D Optical Lattice
inside a Box Trap: DMRG Studies for Repulsive
Hubbard Model with Open Boundary Condition」、Phys.
Rev. A 77, 033619 (2008).