中性子の減速におけるエネルギー損失の平均値12023/12/31

千葉豪

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本稿を詳細にしたものが「炉物理の研究」の第 74 号に掲載されている。なお、本稿末尾の「なぜ熱外エネルギー領域の中性子スペクトルが 1/E になるか」については、新たに追加したものである。
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エネルギー E0 の中性子が原子核と弾性散乱したあとに、E から E + dE のエネルギーになる確率 P (E)dE
は以下の式で記述される。

P (E)dE =dE(1 − α)E0(1)

ここで α は、中性子の質量を m、衝突した原子核の質量を M とし、A = M/m としたとき、(α=A−1A+1)2(2)で定義されるパラメータである。式 (1) の意味するところは、「エネルギー E0 で弾性散乱した中性子は、エネルギー区間 [αE0 , E0 ] のあるエネルギーに等確率でなりうる」という、極めて簡単なものである。
以降では、簡単のため、中性子と軽水素との弾性散乱のみを考えることとする。この場合、M = m となるため、α = 0 となり、弾性散乱により、中性子は完全にそのエネルギーを失う場合もある、ということになる。
「軽水素との一回の衝突で、中性子は平均的にどの程度エネルギーを失うか」という問いに対して（著者も含めて）多くの人が「半分」と答えるであろう。このように考えると、例えば 3 回の衝突では 1/2 の 3乗ということで、大体 8 分の 1 くらいまでエネルギーが小さくなるということになる。また、1MeV の中性子が 1eV に減速されるまでに必要な平均衝突回数は 20 程度と計算される。
しかしこれは間違いで、本来はもっと少ない回数で減速が行われることになる。
この点についてはどの炉物理の教科書にも詳細に記述してあるが、分かりやすい解説としては文献 [1] のものが挙げられる。この文献の記述を参考にして説明しよう。例えば、I 回の弾性散乱を行うものとして、i 回目の散乱で中性子エネルギーが βi 倍となるとしよう。ここで、0 ≤ βi ≤ 1 である。さて、I 回の弾性散乱後の中性子エネルギーは β1 β2 · · · βI 倍となるわけだが、この散乱一回あたりの平均のエネルギー変化をβ̄ とするならば、β̄ は以下の式で決められることになるであろう。
β̄ I = β1 β2 · · · βI(3)√
β1 β2 · · · βI(4)

従って、β̄ はβ̄ =Iと定義される。以上の議論は、平均のエネルギー変化は単純平均ではなく幾何平均で考えるべきである、ということを示している。平均のエネルギー変化を 1/2 とするのは単純平均であって、これを用いるべきではないということになる。式 (4) の両辺の対数をとることにより、以下の式を得る。
I∑ln β̄ =ln βii=1(5)I

この式は、幾何平均に基づく散乱後の中性子の平均エネルギーとしては、エネルギーの対数についての平均を考えるべきことを示している。つまり、散乱後の平均エネルギー Ē は以下の式で計算されるべきということになる。

∫ E0ln Ē =∫ E0
ln EP (E)dE =00

1 /Document/Fundamental/AveEnergySlowingDown

1ln E
dE = ln E0 − 1 = ln
E0(E0e)(6)従って、一回の衝突で中性子エネルギーは平均的に 1/e 倍となる、ということが言える。
さて、中性子の軽水素との衝突による減速過程について、もう少し詳細に考えてみよう。
ここでは中性子エネルギーの損失割合を考えるので、簡単のため初期エネルギーを 1 として考えることとする。
はじめに、i 回の弾性散乱後の中性子エネルギーの確率密度関数 Pi (E) について考えよう。i = 1 については、初期エネルギーを 1 としているので P1 (E) = 1 が得られる。また、P2 (E) については以下のように得られる。

∫ 1
P2 (E) =P1 (E ′ )P2 (E ′ → E)dE ′ =∫ 1dE ′
1= [ln E ′ ]E = − ln E′E EE(7)なお、Pi (E ′ → E) は i 回目の弾性散乱においてエネルギー E ′ の中性子がエネルギー E に減速される確率密度関数を示す。さて、ここで Pi (E) = γi (ln E)∫ 1
Pi+1 (E) =Pi (E ′ )Pi+1 (E ′ → E)dE ′ =i−1と書けるとしよう。このとき、∫ 1E(ln E ′ )dE ′E′
E[]11γi1ii= γi(ln E ′ )= − (ln E) = − (ln E) Pi (E)iii
Ei−1γi(8)と書けることから、Pi (E) は以下のように書けることが分かる。
i−1∏(

Pi (E) =−j=11j)(ln E)i−1(9)

では、ここで得られた Pi (E) を用いて、i 回の散乱後の中性子エネルギーの（単純）平均値 Ēi を求めよう。Ēi は以下のように記述できる。なお、以降では積分範囲の記述は省略する。

∫Ēi=Ei−1∏(
j=1=i−1∏(
j=1=i−1∏(

j=1=i−2
∏(

j=1

1−j
1−j
1−j−1j)(ln E)) {[)(i−1dE] ∫}1 2
1 2
i−1i−2 1
E (ln E)−E (i − 1) (ln E)
dE22Ei−1−2)∫E (ln E)

i−2dE)( ∫)11i−2
E (ln E)dE = Ēi−122(10)( )i
1Ēi =2(11)Ē1 は明らかに 1/2 であるので、が得られる。
次に、I 回の散乱後の中性子エネルギーから、各回のエネルギーの変化割合 ∆ĒI を求めよう。エネルギー1 の中性子が散乱後にエネルギー E になったので、散乱 1 回あたりにエネルギーが E 1/I 倍になっていると考えればよい。∆ĒI は以下で定義される。

∫∆ĒI =(E)

21/I

PI (E)dE(12)この式を以下のように変形する。
∫I−1
I−1∏ ( 1)∏ ( 1) ∫I−1
I−1−
∆ĒI =
E 1/I−(ln E)
dE =E 1/I (ln E)
dEj
j=

I−1
∏(j=1−1j−1jj=1=

I−1
∏(
j=1=

I−2
∏(j=1

ここで、

1−j) {[j=1] ∫}
II
I−1
I−2 1
E (I+1)/I (ln E)−E (I+1)/I (I − 1) (ln E)
dE
I +1
I +1E)(−)(I(I − 1)
I +1II +1)∫
E 1/I (ln E)

I−2dE

)∫
E 1/I (ln E)

I−2

dE(13)] ∫IIj
j−1 1(I+1)/IE(ln E) −E (I+1)/I j (ln E)
dE
I +1
I +1E
∫
I
j−1−· j E 1/I (ln E)
dE
I +1[∫E

1/Ij(ln E) dE==となることから、(∆ĒI =I
I +1(14))I(15)が得られる。
そして、I → ∞ の極限をとった場合には以下となる。
)I()I(1I= lim=lim ∆ĒI = lim
I→∞ 1 + 1/II→∞I→∞ I + 11(limI→∞

11+I)I =1e(16)

つまり、衝突回数が大きくなった場合には、中性子と軽水素との 1 回の弾性散乱において、平均的にエネルギーが 1/e 倍となることが分かる。Fig. 1 に、中性子が軽水素と有限回数弾性散乱したときの、散乱１回あたりに失なわれる中性子エネルギー相対値の平均を示す。1 回のみの衝突では平均は当然 0.5 となるが、Average relative loss energy per a collision

回数が大きくなるにつれて 1/e に漸近していく様子が分かる。
0.60.5
0.4
0.3
0.2
0.1
05101520Number of total collisions

2530Fig. 1: Average loss energy of neutron per one elastic scattering with hydrogen-1
以上では、軽水素との弾性散乱を考えたが、質量数が 2 以上の原子核との散乱の場合、i 回の弾性散乱後の中性子エネルギーの確率密度分布 Pi (E) はどう計算されるだろうか？

3

この場合、E ′ から E に散乱される確率密度関数 P (E ′ → E) は
1
(α < E < 1)′(1 − α)E ′P (E → E) =
0(0 < E < α)(17)と与えられる。このように、確率密度数がエネルギーの範囲に応じて変わることが Pi (E) の導出を困難にする。
以下では、中性子の初期エネルギーを 1 として、Pi (E) について考える。

P1 (E) については以下のように与えられる。
1(1−α)P1 (E) =0(α < E < 1)(18)

(0 < E < α)

P2 (E)dE は以下のように書ける。
∫ 1P2 (E)dE =P1 (E ′ )dE ′ P2 (E ′ → E)dE =E∫ 1

P1 (E ′ )dE ′E∫ 1dE
P1 (E ′ ) ′dE=dE′(1 − α)E
1 − α E E′(19)P1 (E) が式 (18) に示されているようにエネルギー領域によって異なることから、この積分は場合分けで計算する必要がある。α < E < 1 であれば、積分区間で P1 (E) は同一の式となるので、P2 (E)dE =

∫ 1
∫ 1dE
P1 (E ′ ) ′dE
1dEdE=dE ′ = −ln E
1 − α E E′
1 − α E (1 − α)E ′(1 − α)2(20)となる。一方、α2 < E < α であれば、

∫ 1dE
1dE
P2 (E)dE =dE ′ = −ln α
1 − α α (1 − α)E ′(1 − α)2となる。以上を整理すると、P2 (E) は以下のように書ける。
−1 (1 − α)2 ln E (α < E < 1)
−1P2 (E) =ln α (α2 < E < α)
(1 − α)20(0 < E < α2 )(21)(22)

この例のように、i が大きくなるに従い、Pi (E) の定義範囲の数は大きくなることが考えられ、Pi (E) を導出することは容易ではないことが想像される。
なお、中性子の減速に関しては、1983 年、斎藤慶一氏が日本原子力学会誌の「私のノートから」の欄に「中性子減速の数学モデル」と題したメモを寄稿している [2]。このメモでは、中性子と軽水素との弾性散乱反応に関して、レサジー u における衝突回数 nu の確率分布と n 回の衝突後のレサジー un の確率密度関数を考え、両者の平均がそれぞれ⟨nu ⟩=u,(23)⟨un ⟩=n,(24)と与えられる一方、エネルギー E における衝突回数 nE の確率分布と n 回の衝突後のエネルギー En の確率密度関数の平均はそれぞれ⟨nE ⟩⟨En ⟩= ln (E0 /E) ,=n

E0 /2 ,4(25)(26)

と与えられるため、⟨un ⟩ ̸= ln (E0 / ⟨En ⟩) となり、「衝突ごとに平均エネルギーは何倍になるか、という設問（説明）にあいまいさが生じ、1/2 か 1/e かということになる」という記述があり、古くから議論されている内容であることが分かる。また、文献 [3] も同様の内容に関するものである（が、筆者はまだ読解できていない）。

i 回の軽水素との弾性散乱後の中性子エネルギーの確率密度関数 Pi (E) についての式 (9) は以下のように書き直せる。

Pi (E) =1i−1(− ln E)(i − 1)!

(27)

これを、基準エネルギーを 1 として定義したレサジー u = − ln E で変換すると、−Pi (u)du = Pi (E)dE より以下が得られる。

Pi (u) =1e−u ui−1(i − 1)!

(28)

減速過程に入る中性子（エネルギーが 1 の中性子）が定常的に体系に与えられるものとし、1 回の弾性散乱反応に要する時間を一定とするならば、軽水素による定常的な減速過程での中性子のレサジー分布は Pi (u)を全ての i について総和をとったものと考えることが出来るので、以下が得られる。

∑i=1Pi (u) =∑∑ 1
1e−u ui−1 = e−uui−1 = e−u eu = 1(i−1)!
(i−1)!
i=1
i=1(29)

このことは、軽水素による減速過程での中性子のレサジー分布が一定となること（すなわちエネルギー分布が 1/E となること）を示している。
本件に関して、有益なメモを作成してくれた平成 29 年度「原子炉物理」受講者である稲垣慶修君に深く感謝します。

参考文献[1] 原澤進、「基礎原子力講座 4、原子炉入門」、コロナ社[2] 斎藤慶一、「中性子減速の数学モデル」、日本原子力学会誌、25[10], p. 808-809 (1983).
[3] E.R. Cohen, ‘How many collisions to slow down a neutron?’ Nucl. Sci. Eng., 89, p. 99-108 (1985).

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