2011/10/21「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」 ((トポロジー理工学からの新展開)) 第一回

固体のモードロック現象
工学研究院応用物理学部門
トポロジー工学研究室
松浦 徹

モードロック現象とは様々な物理系でみられる位相のダイナミクスと外場の共鳴現象
ジョセフソン接合
電荷密度波
スピン密度波位相スリップ
磁束フロ
磁束フロー
3He超流動など

ジョセフソン接合のモードロック（シャピロステップ）
ジョセフソン接合のモドロック（シャピロステップ）10h
ω ex2eジョセフソン接合素子

超超I (t ) = I dc + I ac sini ω ex tVdc
d0- 10-50I dc5内容
１．振り子のお話
２ 物質中のモードロック１：ジョセフソン接合系
２．物質中のモドロック１：ジョセフソン接合系
３．物質中のモードロック２：電荷密度波（CDW)系
４．トポロジカルCDWへの応用

振り子のお話
振り子の運動方程式
真空中
θ
棒の長さ： ld 2θml 2 + mg sin θ = 0dtmdθv=ldtdv：慣性項dt微小振幅の極限では
mg sin θsin θ ≈ θd 2θ g+ θ =02dtl

単振動mg
とりあえず、棒の重さ、おもりの大きさ、支点の摩擦は無視

解： θ = θ 0 sin( ω r t + φ )ωr =gl振り子のお話Motorτ

摩擦力（速度 比例）
摩擦力（速度に比例）

摩擦と外力を導入

d 2θdθiω ex t
ml+ mgl θ = τe−Γ2dtdt2

粘性流体の中θ

慣性
慣性モーメント

棒の長さ： ldθv=ldt

外力（θを変化させる力：トルク）τe i ω t
解： θ (t ) =2iω ex Γ + ml 2 (ω r − ω ex2 )exΓdθddt

mg sin θmg
とりあえず、棒の重さ、おもりの大きさ、支点の摩擦は無視

ω ex = ω r =θ maxglのとき、振幅最大：共鳴
いわゆる普通の共鳴ωω ex振り子のお話Motorτ

粘性流体の中θ
棒の長さ： ldθv=ldtdθΓddt

mg sin θmg
とりあえず、棒の重さ、おもりの大きさ、支点の摩擦は無視

厳密な振り子の運動方程式
非線 方程式
非線形方程式！
2θdml 2 2 − mgl sin θ = 0dt

摩擦と外力を導入
2ddθ
θ
ml 2 2 + mgl sin θ = τe iω ex t − Γdtdt

強制振動させている
非線形運動方程式

振り子の方程式の非線形性
線形方程式d 2θdθiω ex tml+Γ+mglθ=
τedt
dt 2
2

解も足しあわされる

外力を足し合わせるとF (t ) = F1eiω ex1t

非線形方程式+ F2 eiω ex2 t

ex1

1ex222dθdθiω ex t
2ml+
Γ+mglsinsθ=τedt 2dt

解は足し合わせにならない

外力を足し合わせてもτ ( t ) = τ 1e

θ ( t ) = θ 1e i ω t + φ + θ 2 e i ω t + φiω ex1t+ τ 2eiω ex2 t

θ ( t ) ≠ θ 1e i ω t + φ + θ 2 e i ω t + φ
ex1

1ex22

では、非線形項があると何が起きるのだろうか

起きる現象その1
一定トルクから振動が生じる
2ddθθ2+Γ+ mgl sin θ = τ dc
ml2dt
dt

dτ dc=0dt

平面内の振り子の運動

自由度（θ）空間の洗濯板ポテンシャル中の粒子の運動
ポテンシャル：

g sin θ − τ ) = − mglg cos θ − τ θ∫ dθ (mgldc

mgl > τ dc > 0ポテンシャルルτ dc = 0dc

τ dc > mgl
減速
加速

θ

重力とトルクが釣り合う

加速減速を繰り返しながら回る

角速度の振動成分
角速度振動成分mgl
g > τ dc > 0

角速度のω av =
時間平均dθdt

τ dc = Γ ω av-mgl
重力とトルクが釣り合うmgl

τ dc > mgldθ τ dc mgl≈−sin ω av t
Γ
Γdt

減速
加速

加速減速を繰り返しながら回る

τ dcddθ 6dt 420t

起きる現象その２一定外力と交流外力の干渉τ (t ) = τ dc + τ ac cos ωex t を作用させる
外力の振動成分

角速度の振動成分

ω exdθ
ω av =dt

外力の振動成分に同期するように外力の振動成分に同期するように、平均角速度が外力によらず固定される

モードロック現象

モードロック現象
10黒線： τ (t ) = τ dc
赤線：τ (t ) = τ dc + τ ac cos ωex t420dθ/dtdθω av =dt

τ ac = 06

ω exω av-mgl0642

τ ac > 0

モードロック状態

τ ac > 0

非モードロック状態

0mgl

64- 10-520

τ dc
モードロック状態：

5090

ω av = nω ext100

内容
１．振り子のお話
２ 物質中のモードロック１：ジョセフソン接合系
２．物質中のモドロック１：ジョセフソン接合系
３．物質中のモードロック２：電荷密度波（CDW)系
４．トポロジカルCDWへの応用

ジョセフソン接合
超伝導波動関数が弱く結合
超伝導体

ψ 1eiθ1I超伝導体

ψ 2e

絶縁層（数nm)位相差：∆θ = θ1 − θ 2ジョセフソン接合に流れるクーパーペア
ジセフソン接合に流れるク パ ペアのトンネル電流iθ 2ψeiθ : 超伝導オーダー
パラメーター2ψ : 超伝導電子密度

ジ セフソン接合に生じる電位差
ジョセフソン接合に生じる電位差

I = I J sin ∆θh d∆θV (t ) =2e dt

直流ジョセフソン効果

交流ジョセフソン効果

位相差の運動方程式∆θ = θ1 − θ 2

θ1C

θ2dVd
I1 = Cdt

I2 = V / RRI 3 = I J sin ∆θ
交流ジョセフソン効果
電流源：h d∆θV (t ) =2e dt

I (t )

h d ∆θ 1 h d∆θC++ I J sin ∆ θ = I (t )22e dtR 2e dt
2変位電流
振り子の運動方程式

準粒子電流

トンネル電流

2ddθ
θ
2ml+Γ
+ mgl sin θ = τ dc
2dtdtと全く同じ形式

ジョセフソン接合のモードロック
10

シャピロステップの観測

Vdc = V (t )

Vdc

hω ex
2e0

I dc
Shapiro, PRL, (1963)
マイクロ波（数100GHｚ照射）
ステップの起きる電圧（直流成分）

hωex
V =n
2e n: 整数- 10-50I dc

5物質によらず、物理定数と周波数のみで決まる
周波数
決電圧の国際標準！
2010年CODATA推奨値：483 597.870(11) GHz/V

内容
１．振り子のお話
２ 物質中のモードロック１：ジョセフソン接合系
２．物質中のモドロック１：ジョセフソン接合系
３．物質中のモードロック２：電荷密度波（CDW)系
４．トポロジカルCDWへの応用

電荷密度波(Charge Density Wave)
Fröhlich がBCS理論に先駆けて超伝導のモデルとして存在を予言（1954）
が理論に先駆け 超伝導
デ とし 存在を予言（）
電子格子相互作用により電子密度が波数2kFの密度波を形成する
M t lli state
Metallict t (T > TC)
Electron density

CDW statet t (T < TC)ρ =ρ0

ρ = ρ 0 + ρC sin(2kF x + φ )Order parameter: ρC eiφa2kF
EFEF-kF+kF-kF+kFSTM image of CDW on
surface of NbSe3

CDW の並進運動
λCDW = π/kF

オーダーパラメーター: ρC eiφ
チェーン一本当たりの電流e dφ
I CDW =π dt

もし λCDWと格子定数 の比が無理比が無理数なら静電エネルギーは位相によらない
Echarge(φ ) = const.

摩擦なしの電気伝導しかしながら、現実の物質ではCDW転移すると絶縁体的になる
ピン止め効果:
不純物や結晶境界、電極によってCDWの位相が変調し 準安定状態をとる相が変調し、準安定状態をとる
位相に対して周期なポテンシャル
周期

E = ET sin φ
不純物電荷密度波の運動：振り子と同じ方程式！

m* d φdφ+Γ
+ eET sin φ = eE (t )22 k F dtdt2

ポテンシャル

電荷密度波の運動：ひとつのパラメーター(位相)で表現→剛体モデル
E>0

減速 加速

位相

定電圧を印加した場合の電流の振動

Narrow Band Noise(NBN)ICDW = 2eNωNBN
M. Oda and M. Ido,Solid State Commun. 50, 879(1984)

N：CDW電気伝導チェーンの数

モードロッキング
CDWの位相が空間的にそろっている証拠
位相が空間的 そる証拠

NbSe3結晶中のCDWのモードロッキングm * d 2φdφ+
Γ+ eET sin φ = eE (t )22 k F dt
dt

poten
ntial

Edc=0Eacsinωext

Edc<ETEdc>ET

ωNBN ∝ <ICDW>

φResonance of ac and dc current

I dcpωex = q
2eNp, q: integer

Zettel, Gruner Solid. State. Commnun (1983)

物理系の対応関係
重力下の振り子
トルク：

ジョセフソン接合

τ

電流：ml

慣性モーメント：
慣性メント
減衰係数：2Γmgl

最大重力トルク：角度：条件：θdθ= nωex
dt

電荷密度波

Ih
キャパシタンス：
キャシタンス C
2e1 h
コンダクタンス：
R 2e

最大ジョセフソン電流：
位相差：

IJ

∆θ = θ1 − θ 22eVVdc= nωex
条件：
h

電場：

eEm*
有効質量：
有効質量2k F
減衰係数： Γ
閾電場：

eET

位相：

φ

条件：

I dc
p= ωex
2eN q

モードロック測定は、位相の運動をクリアにモードロック測定は位相の運動をクリアに調べる方法として有用！

内容
１．振り子のお話
２ 物質中のモードロック１：ジョセフソン接合系
２．物質中のモドロック１：ジョセフソン接合系
３．物質中のモードロック２：電荷密度波（CDW)系
４．トポロジカルCDWへの応用

Topological Crystals
Multi-connected quasi-one-dimensional
conductors; NbSe3, NbS3, TaS3 and TaSe3.

Ring (0 twist)
Hopf Link

Möbius strip (π twist)

Figure-8 (2π twist)

S. Tanda, T. Tsuneta, et al., Nature 417 (2002) 397
size: 10~100 µm

T. Matsuura, M.Yamanaka, N. Hatakenaka,
T. Matsuyama, and S. Tanda,
Journal of Crystal Growth 297, 157 (2006).

CDW リング系
普通 結晶
普通の結晶

CDWにとって端が存在する

CDWにと て無限ル プ
CDWにとって無限ループ

CDW 超伝導が存在できる

CDWリングの運動をモード
CDWリングの運動をモド
ロッキングから調べる
ッキ グ
調 るT. Matsuura, K. Inagaki, and S. Tanda, Phys. Rev. B 79, 014304 (2009).

CDW in NbSe3 ringsTwo CDW transitions have been observed.
Figure-8Ring
Whisker

TC2TC1T. Tsuneta, and S. Tanda, Journal of Crystal Growth 264 (2004).

•Crystal size is comparable to phase-phase correlation
length (LCDW ~ 200 µm).
•CDW wavevector heads toward circumference direction.
10 to 100 µ m

Shapiroステップ用測定系
Idc
dc用測定ライン
Vdc

ac用測定ライン
Z = 2 Z0 (V0/Vm-1)
50 ΩZ

50 Ω〜 V0
f = 300 kHz to 1.3GHz
coaxial cableT ~ 77 K
coaxial cable

リング結晶にdcとacの電流を同時に流すVｍShapiro peaks in dV/dI of NbSe3 ring
Idc+Iacsin(2πfext)

T = 120 K

1Ω

Outer radius：120 µm
Inner radius:10 µm

dVdc / dIdc [Ω]Vac = 0 mV

NbSe3 ring

1/1-I CDW
p= f ex2eNq

p/q=1/1
1/2

1/1+1/2

2/1

1/1
2/1

3/1

4/1

Vac = 65 mV

fex = 200 MHz

5/1
80 MHz0
2/1-

2/1+2dc bias current I dc [[mA]]

4

Subpeaks at both sides of Shapiro
peaks are observed!

Analysis of peak positions
fex = 40, 80, 100, 200, 300 MHz
0.04
Idc + Iac sin 2π fext

5/1+2/Ip / fex [mA/MHzz]–
12/ 2/1–

32+4/1 4/1+4/1–
3/1 3/ 3/1
13/2

21/1 +
1/1 1/1 –p/q+p/q
p/q0.02

Coefficient of p/q

2 /3
1/2 +

1

1/2 1/2 –
1/3

00

100

200

Frequency fex [MHz]δI

dVdc/dIIdc

Peak Position
Pn Ip = Idc – Ith [mA]

Vac = 65 mV

300

002p/qpq-p/q–3

6.256x10p/q/ –3

5.904x10+–3I5.348x10 dc
4Shapiro Index p/q

Discovery of Beat peak structures in CDW rings

Two ppaths model
I CDW 1 p
= f ex
2eNq

Idc+Iacsin(2πfext)

I CDW 2

Double peakdVVdc/dIdc

I CDW 1I CDW 2 p
= f ex2eNqIdc

Never beat peak structure!

Circulating current model
I CDW − δ I

I CDW + δ I

I CDW

I CDW

δIp
δ I ∝ f exq

Temporallychanging

I CDW ± δ Ip
= f ex
2eNq

I CDWp= f ex
2eNq

dVddc/dIdc

p/qp/q-p/q
+

δI

δIIdc

Damping
p g time of Circulatingg current
If CDW is circulating, the dampingtime can be estimated by
Circumference： 10-4 m
δＩ

Phason velocity： 104 m/s

Circumference / Phason velocity = 10-8 sec＞＞ NbSe3 Phason damping time: 10-11 sec
Richard and Chen, Solid State Commun. 86 485 (1993)

Elongation of damping time

→Precursor of Fröhlich supercurrent

レポート課題
モードロック現象が起こりうる物理系は他にもある。
例えば、第二種超伝導体の磁束格子、例えば第二種超伝導体の磁束格子
超伝導細線の位相スリップ接合、スピン密度波 3He超流動の弱結合 など
スピン密度波、そのうち一つを選び、その系のモードロックの特徴についてまとめたレビューを書くこと。（A4一枚程度でOK）

提出先：トポロジー理工学センター事務室
提出先：トポロジ
理工学センタ 事務室
工学部OL棟1-1-2