「トポロジー理工学特別講義Ⅱ」

炭素が生み出す量子現象
低温物理学研究室

井原慶彦

5号館 5-1-20
内線: 4424
yihara@phys.sci.hokudai.ac.jp

―Introduction―
2010年のノーベル物理学賞

Carbon’s New Face!!

理想的2次元物質
グラフェン (Graphene)
他にはどんな顔があるのか？
炭

鉛筆の芯

ダイヤモンド

備長炭の一庵MLA style: "The Nobel Prize in Physics 2010".
Nobelprize.org. 28 Oct 2010 http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/

―Introduction―
Fullerene, Fulleride
0次元または3次元

1996 ノーベル化学賞-Robert F. Curl Jr.
-Sir Harold W. Kroto-Richard E. Smalley

超伝導1972 ノーベル物理学賞-John Bardeen-Leon N. Cooper-John R. Schrieffer

Graphene2次元Nanotube
1次元

2010 ノーベル物理学賞-Andre Geim-Konstantin S. Novoselov

飯島澄男

分数量子ホール効果

朝永・ラッティンジャー液体1998 ノーベル物理学賞-Robert B. Laughlin-Horst L. Störmer-Daniel C. Tsui1965 ノーベル物理学賞?
-Sin-Ichiro Tomonaga

―Contents―✓ アルカリドープフルライドにおける超伝導とモット転移✓ グラフェン上の2次元電子系✓ 単層ナノチューブにおける朝永・ラッティンジャー液体状態―Contents―✓ アルカリドープフルライドにおける超伝導とモット転移
Y. Ihara, et al., PRL 104 (2010) 256402.

✓ グラフェン上の2次元電子系✓ 単層ナノチューブにおける朝永・ラッティンジャー液体状態―Band theory―
結晶中で原子間隔を近づけることにより、孤立したイオンのエネルギー準位から分散を持つエネルギーバンドへと移り変わる。

結合

電子は遍歴する。

KCl

孤立電子はイオンサイトに局在する。
L. P. Howland, Phys. Rev. 109 1927 (1958).

―Molecular orbitals of C60―
60個のsp2軌道が分子軌道を形成

E (eV)
C60分子が結晶を構成

1t1u軌道：LUMO(Lowest unoccupied molecular orbital)

0-1-2-3

LUMOがバンドを組む

C. H. Pennington RMP 1995.

―Alkali ion doping―x = 6 : バンド絶縁体

t1u バンド

x=5x = 4 : Mott-Jahn-Teller 絶縁体

x = 3 : 超伝導x = 2 : Mott-Jahn-Teller絶縁体
状態密度x = 1 : 金属 → 部分的磁気秩序
x = 0 : バンド絶縁体

AxC60
アルカリイオン(+1価)をドープすることで伝導バンドに電子を導入できる。

x = 2, 4の絶縁体状態はバンド理論からは予測できない。
強い電子相関の効果 （バンド幅に対して）超伝導を示すx = 3のときも、フラーレン間距離を引き延ばす（バンド幅を狭める）ことで絶縁体状態を誘起することが出来る。

―Superconductivity in A3C60―
アルカリイオンによって超伝導転移温度Tcが異なる。

Ion radius

Small

Li
NaK
RbCsLarge

Fr

Na2RbC60
Na2CsC60
K3C60
K2RbC60
K2CsC60
KRbCsC60
Rb3C60
Rb2CsC60
RbCs2C60

3.5 K
12 K
19.5 K
22.5 K
24.5 K
29 K
29.4 K
31 K
33 K

a = 14.0399 Å (simple cubic)
a = 14.132 Å (simple cubic)
a = 14.253 Å
a = 14.299 Å
a = 14.292 Å--a = 14.46 Å
a = 14.493 Å
a = 14.436 Åアルカリイオン径が大きいほど転移温度は高い。
BCS supercontoctivity

分子間距離が延びる

バンド幅が狭くなる

Yildirim et al. MRS proceedings 359 273 (1995).

状態密度が増大する

フォノン周波数、結合定数はアルカリイオンによらない。

―Superconductivity in Rb2CsC60―
核スピン‐格子緩和率1/T1

Tc

1 4 ( n A)2
N( EF )k BT
2
T1
 N
2

1/T1T は状態密度の２乗に比例する。
準粒子状態密度

1/T1T

4s-s-wave
wave
p-p-wave
wave axialaxial
p-p-wave
wave polar
polar
2-D d-wave
2-D d-wave

Ns(E )/N03

2

10Stenger PRL 74 1649 (1995).

► 1/T1 ∝ exp(-/T)► 1/T1 ∝ T 3► 1/T1 ∝ T 5

full gap :line node :point node :01E /

2s-wavep-wave polar, 2-D d-wave
p-wave axial

s-wave 超伝導ではTc 直下にHebel-Slichter peak (coherence peak) が現れる

―Most expanded member Cs3C60―
A15 phase Cs3C60

Nature materials 2008

圧力誘起超伝導温度

Takabayashi et al., Science 2009.
Ganin et al., Nature 2010.

常圧では反強磁性体

非従来型（異方的）超伝導に共通の特徴

AFMSC
圧力

・銅酸化物高温超伝導体
・重い電子系超伝導体
・有機超伝導体
・コバルト酸化物超伝導体

―Magnetic transition in Cs3C60―
133Cs NMR spectra

A15相

Second moment (width)

fcc相

100

115 K

55 K

100 K50 K32.5 K

24 K

12 K
47.6

Second Moment ( kHz )280 K
NMR Intensity ( arb. units )NMR Intensity ( arb. units )

267 K

50AFM

TNPM

020??

10 K
47.8f ( MHz )

48.0

47.6

47.8f ( MHz )

48.0

15

2040
T (K)

60

C60に局在した電子スピンがCsサイトに作る乱れた磁場により磁気転移温度以下では、
Cs ionCs NMRの線幅が広がる。

―Superconductivity in Cs3C60―
Relaxation rate & Knight shift
0.04

3.9 kbar
5.5 kbar0.03

m0H ~ 8.5 T-1

1/ T1T ( s K )A15-rich sample

A150.02133

AC -  ( arb. units )9.3 kbar

SC diamagnetism
H=0TK (%)

7.6 kbar

0.00-0.03
2.0 kbar

Tc - A15

3.0 kbar

fcc-rich sample

3.9 kbar

0.00

03060

T (K)

4.8 kbar
5.7 kbar

6.6 kbar20

圧力下では A15 相も fcc 相も超伝導転移を示す。

7.6 kbar

30T (K)

40133fcc-1

6.6 kbar- 従来型のBCS超伝導 (Hebel-Slichter peak)50- 超伝導の発現が結晶の対称性に因らない。

C60 に局在したフォノンを使って超伝導対を形成する。

―Phase diagram for Cs3C60―
圧力相図

体積相図
604040fcc

AFM

T (K)

T (K)

60

A1520

AFM & SC fraction20SC01000500036p ( kbar )912810780750
3Volume par C60 ( A )720

圧力を C60分子1つ当たりの体積VC60に焼き直すことにより、結晶の対称性に因らない相図が出来上がる

AFMの極近傍を除いて、状態密度の変化だけでTcの増大を説明できる。
※C60に局在したフォノンは結晶の対称性や大きさによって変化しない。

―Contents―✓ アルカリドープフルライドにおける超伝導とモット転移► 電子相関効果が強く表れるモット転移近傍で超伝導が起こる。
► 超伝導は従来のBCS理論で説明できる。
► 超伝導相図がドーム型を描く理由は明らかにされていない。

✓ グラフェン上の2次元電子系✓ 単層ナノチューブにおける朝永・ラッティンジャー液体状態―Contents―✓ アルカリドープフルライドにおける超伝導とモット転移► 電子相関効果が強く表れるモット転移近傍で超伝導が起こる。
► 超伝導は従来のBCS理論で説明できる。
► 超伝導相図がドーム型を描く理由は明らかにされていない。

✓ グラフェン上の2次元電子系
K. S. Novoselov, et al., Nature 438 (2005) 197.

✓ 単層ナノチューブにおける朝永・ラッティンジャー液体状態

―2D conductor Graphene―
Graphene sheetのエネルギー分散関係0としてSchrödinger 方程式を解く。
質量の無いディラック粒子の分散関係

EF-kF

有効質量 :0kF

レポート2
タイトバインディングモデルでグラフェンのバンド構造を求める。

―Quantum Hall effect―
2次元導体 （z方向に運動量を持たない）

D

状態密度EDe-B
サイクロトロン運動

E

Hall抵抗縮重度が高いことにより電子間に強い相関効果が働き、縮退が解ける
量子Hall抵抗

h/e2を単位にしたとびとびの値

分数量子ホール効果

―QHE on the Dirac cone―
K. S. Novoselov, et al., Nature 438 (2005) 197.

グラフェンのホール伝導度を測った

n = 0 でも1単位分だけジャンプする。

―Contents―✓ アルカリドープフルライドにおける超伝導とモット転移► 電子相関効果が強く表れるモット転移近傍で超伝導が起こる。
► 超伝導は従来のBCS理論で説明できる。
► 超伝導相図がドーム型を描く理由は明らかにされていない。

✓ グラフェン上の2次元電子系► 電子が2次元に閉じ込められたことにより強い電子相関が働く。
► グラフェンではさらに特異なエネルギー分散が異常な量子ホール効果を生む。

✓ 単層ナノチューブにおける朝永・ラッティンジャー液体状態―Contents―✓ アルカリドープフルライドにおける超伝導とモット転移► 電子相関効果が強く表れるモット転移近傍で超伝導が起こる。
► 超伝導は従来のBCS理論で説明できる。
► 超伝導相図がドーム型を描く理由は明らかにされていない。

✓ グラフェン上の2次元電子系► 電子が2次元に閉じ込められたことにより強い電子相関が働く。
► グラフェンではさらに特異なエネルギー分散が異常な量子ホール効果を生む。

✓ 単層ナノチューブにおける朝永・ラッティンジャー液体状態
Y. Ihara, et al., EPL 90 (2010) 17004.

―1D conductor Nanotube―
単層ナノチューブ : SWCNT
ᴥ1枚のシートから出来ている）
ᴥ30 %の炭素を13Cに置換

典型的な長さ～ 1 mm

２層ナノチューブ : DWCNT
ᴥ2枚のシートから出来ている）
ᴥ内側だけを90 %以上13Cに置換(Pea Pod)
P. Singer PRL 95 236403.

実際に測定した試料は粉末状。
ランダムに配向したチューブの集合

典型的な太さ～ 数 nm

1 mm

20 nm

M. Rummeli
J. Phys. Chem C 111 4094.

―1D band structure―
2-D Graphene sheet+ 周回方向の周期的境界条件

n1-D Carbon nanotube

XEmk

EF-kFkF

レポート3
金属的なバンドを持つ条件が2n+m=3の倍数であることを示す。
この条件を満たすとき、バンドはフェルミ面をよぎり、金属的になる。

―Tomonaga-Luttinger liquid―
2 次元系、3 次元系

1 次元系

Landau-Fermi 液体

Tomonaga-Luttinger 液体

 = 一定C/T = r∝T2

温度、エネルギーのべき乗に比例する項を持つ

電子相関の強さは電子相関の強さはLandauパラメーターでLuttingerパラメーターで表される。

表される。
電子の運動量分布

電子の運動量分布
n(k)

n(k)

kF

準粒子を定義すれば準粒子の運動量分布はステップ関数ステップがない
（べき的）
kF

準粒子が定義できない
典型的な非フェルミ液体

―Tomonaga-Luttinger liquid―
いろいろな物理量にべき乗則がみられる。

状態密度

電気伝導度

M. Bockrath et al., Nature 397 598 (1999).

H. Ishii et al.,Nature 426 540 (2003).

NMRを使って測定するとどのような量が観測できるのか？

―NMR on TLL state―
13C : I = 1/2ħH0

熱浴(電子系)ħħ ~ mK

External field H0ħの電磁波を照射

フェルミエネルギー近傍の電子にエネルギーを受け渡す•核スピン－格子緩和率1/T1 : スピンの自己相関関数

Landau-Fermi 液体►►

Tomonaga-Luttinger 液体►

磁場に依存しない►??

低エネルギー励起に敏感。
試料に直接触らなくても測定が出来る。

―NMR relaxation rate―
SWCNT
DWCNT Singer et al.
SWCNT m0H = 3.0 T

0.01

広い温度範囲でべき乗則が観測できる。

-1

1/T1T ( s K )1/T1T ~ T -0.66-1

6 K < T < 300 K
低温でも励起にギャップがない！

1E-3~T

DWCNT

-0.66

20 K以下でギャップが開く.
- 湾曲効果?
110100T (K)SWCNT は理想的な1次元導体であると見なせる。

室温付近ではT1T=一定のフェルミ液体的振舞に近づく。

―Luttinger parameter―
ESWCNT
EFk

広い温度範囲でべき乗則が観測できる。

低磁場近似
Ks± = 1

1/T1T ~ T -0.66
6 K < T < 300 K

Two bands model
低温でも励起にギャップがない！
, Kc- = 1

Kc+ = -0.34-1-1

1/T1T ( s K )Single band model

DWCNT Singer et al.
SWCNT m0H = 3.0 T

0.01

Kc+ = 0.34

1E-3~T• 2バンドの結合が解かれている?
※ ほかの測定からはどちらのモデルを使ってもほぼ等しい Kc を得ることが出来る.

110-0.66

100T (K)―Field dependence―
13pristine SWCNT 30 % CSWCNT

磁場でスケール

1.5 T
3.0 T
5.3 T
8.5 T

-1-1-1-1

m0H / T1T ( Ts K )1/T1T ( s K )

0.01

1.5 T
3.0 T
5.3 T
8.5 T

1E-3

10.01

1E-3

100.1

100

T (K)
-1

1/T1T ( s K )cf. DWCNTのギャップは磁場で壊れる

T (K)

-1

SWCNTでは磁場が異常を誘起する

20

9T

1E-3

温度を磁場でスケールするとユニバーサルな曲線に乗る。

10DWCNT
10100
T (K)

ゼロ磁場ではギャップレス。

SWCNT
0100

T / m0H ( K T )

DWCNT
3T

10-1

異常の磁場依存性

0.01

105m0H ( T )1015

―Summary―✓ アルカリドープフルライドにおける超伝導とモット転移► 電子相関効果が強く表れるモット転移近傍で超伝導が起こる。
► 超伝導は従来のBCS理論で説明できる。
► 超伝導相図がドーム型を描く理由は明らかにされていない。

✓ グラフェン上の2次元電子系► 電子が2次元に閉じ込められたことにより強い電子相関が働く。
► グラフェンではさらに特異なエネルギー分散が異常な量子ホール効果を生む。

✓ 単層ナノチューブにおける朝永・ラッティンジャー液体状態► SWCNTで朝永・ラッティンジャー液体状態が実現している。
► ラッティンジャーパラメータは1バンドを仮定しなければうまく説明できない。
► ラッティンジャー液体状態は小さな磁場に対しても大きな変化がある。

―Report―

レポート2
タイトバインディングモデルでグラフェンのバンド構造を求める。

レポート3
金属的なバンドを持つ条件が2n+m=3の倍数であることを示す。

―Mott insulator―
電子がバンドにちょうど半分詰まっている(half filling)のときバンド理論では金属

CuO : 反強磁性絶縁体

eCu2+ : 3d9EFバンド幅 W

U > W となるとバンドが分裂してe絶縁体になる。
EFCoulomb斥力 U

電子相関が強すぎて電子（ホール）の二重占有を許すことが出来ない。