Gauss-Legendre 求積公式の導出1
千葉豪以下の (N − 1) 次の多項式 f (x) を考える。

f (x) = aN −1 xN −1 + aN −2 xN −2 + ... + a1 x + a0(1)この多項式について、区間 [−1, 1] の積分を以下のガウス求積（Gaussian quadrature）で求めるとする。

∫ 1f (x)dx =−1M∑

f (xm )wm(2)m=1

上式右辺における xm が求積公式の離散点、wm がその重みに対応する。
式 (2) の左辺の積分は、以下のように計算することが出来る。

∫ 1∫ 1f (x)dx(=−1[==−1)
aN −1 xN −1 + aN −2 xN −2 + ... + a1 x + a0 dx]1111aN −1 xN +aN −2 xN −1 + ... + a1 x2 + a0 xNN −12−1N−1∑

an αn(3)n=0ここで、αn は定数であり、次のように書ける2 。
2,n+1αn = 0,(n = even),(4)(n = odd)

一方、式 (2) の右辺も以下のように書き下せる。
M∑f (xm )wm

=

m=1

=M
∑
()
−1−2aN −1 xN+ aN −2 xN+ ... + a1 xm + a0 wmmmm=1( M∑aN −1)−1xNwmm+ ... + a1

m=1

=N−1∑( M∑)xm w mm=1

an βn+ a0( M∑)wm

m=1(5)n=0

ここで、

βn =M∑xnm wm(6)m=1である。
以上より、式 (2) が任意の (N − 1) 次の多項式について成り立つ、すなわち任意の an の値について成り立つためには、以下の条件が必要となることが分かる。

αn = βn ,n = 0, 1, ..., N − 1(7)

いま我々は求積セットとして、M 点の (xm , wm ) のセットを考えているが、式 (7) から明らかなように方程式の本数は N であるため、未知数の数と方程式の本数が一致するとき、すなわち 2M = N のとき、未知数である xm 、wm の値を一意に決めることが出来る。つまり、N/2 点の求積セットにより (N − 1) 次の1 /Document/Education/GaussLegendreQuadrature
2 n が奇数であるとき αn = 0 となるのは、an xn は x = 0 について対称であり [−1, 1] における積分がゼロとなることに対応する。

1多項式の求積を厳密に行える（N 点の求積セットにより (2N − 1) 次の多項式の求積を厳密に行える）ことが分かる。
次に、(2N − 1) 次多項式の積分は N 点の Gauss-Legendre 求積により厳密に求まることを文献 [1] を参考に述べる。

(2N − 1) 次の任意の多項式 g2N −1 (x) が [−1, 1] で定義されているとし、この区間における g2N −1 (x) の積分を求積により求めるとしよう。
ここで、区間 [−1, 1] に存在する N 点の xm において g2N −1 (x) と値が一致し、かつ [−1, 1] での積分も一致する (N − 1) 次の多項式 GN −1 (x)、3 すなわち、以下を満足する GN −1 (x) を考える。

GN −1 (xm )∫1 1GN −1 (x)dx
2 −1==

g2N −1 (xm ),xm ∈ [−1, 1],∫1 1
g2N −1 (x)dx
2 −1

m = 1, 2, ..., N,(8)(9)

N = 2 のときの例を Fig. 1 に示す。

Fig. 1: g3 (x) と G1 (x) の例
そして、g2N −1 (x) と GN −1 (x) の差分を (2N − 1) 次の多項式 f2N −1 (x) として以下のように定義する。

f2N −1 (x) = g2N −1 (x) − GN −1 (x)(10)

式 (9) より、f2N −1 (x) は以下を満足する。

∫ 1−1

f2N −1 (x)dx = 0(11)また、式 (8) より、f2N −1 (x) は xm においてゼロとなるので、f2N −1 (x) は別な (N − 1) 次の多項式 FN −1 (x)を用いて以下のように記述できる。

f2N −1 (x) = (x − x1 )(x − x2 )...(x − xN )FN −1 (x)(12)

これを式 (10) に代入すると以下を得る。

∫ 1−1(x − x1 )(x − x2 )...(x − xN )FN −1 (x)dx = 0(13)3 N 点の xm においてとる値が決められている (N − 1) 次の多項式は一意に決まる（２点を通る一次多項式は一意に決められることから分かるであろう）。

2そして、この式が任意の FN −1 (x) に対して成り立つように n 個の xm を決めることを考える。FN −1 (x) は(N − 1) 次の多項式であるため、以下のように (N − 1) 次までの Legendre 多項式で記述できる。4 。
FN −1 (x) =N−1∑ai Pi (x)(14)i=0

ここで、Pi (x) は i 次の Legendre 多項式を示す。従って、(x − x1 )(x − x2 )...(x − xN ) を N 次の Legendre多項式 PN (x) の定数倍（bPN (x)）とするならば、式 (13) の左辺は Legendre 多項式の直交性を用いて次のように書ける。

∫ 1−1bPN (x)

N−1
∑
i=0

ai Pi (x)dx =N−1∑∫ 1
baii=0−1PN (x)Pi (x)dx = 0(15)これより、式 (13) が任意の FN −1 (x) について成り立つためには、(x − x1 )(x − x2 )...(x − xN ) が N 次のLegendre 多項式 PN (x) の定数倍であればよいこと、すなわち、xm が N 次の Legendre 多項式 PN (x) の零点に対応することが分かる。N = 2 のときの例を Fig. 2 に示す。

Fig. 2: f3 (x) と P2 (x) = 0 の零点
最後に、xm に対応する重み wm の決め方について述べる。式 (9) より、GN −1 (x) の積分が求積により正しく求まれば、g2N −1 (x) の積分も以下のように正しく求まる。

∫∫NN
1 11 11∑1∑
g2N −1 (x)dx =GN −1 (x)dx =wm GN −1 (xm ) =wm g2N −1 (xm )2 −12 −12 m=12 m=1(16)

任意の GN −1 (x) に対して求積により厳密に積分が計算できるためには式 (7) が成り立つ必要があるが、この方程式の本数は N となるので、未知数 wm の個数 N と一致し、wm が一意に決まることが分かる。

4 任意の N 次多項式は N 次までの Legendre 多項式で記述できる。

3





以上の説明は少々まどろっこしいので、別な方法での説明を以下で行う（こちらのほうがむしろ一般的かもしれない）。(2N − 1) 次の多項式 f2N −1 (x) の求積を考える。この多項式は N 次の Legendre 多項式 PN (x) を用いて以下のように記述できる。

f2N −1 (x) = PN (x)gN −1 (x) + rN −1 (x)(17)

これを [−1, +1] で積分すると、gN −1 (x) は N − 1 次までの Legendre 多項式で展開できることから、右辺の第一項はゼロとなり、以下が得られる。
∫ +1∫ +1f2N −1 (x)dx =rN −1 (x)dx−1(18)−1

この右辺を N 点の求積公式で計算することを考えたとき、任意の xi に対して、厳密な求積が可能となる wi が一意に決まる。

∫ +1−1rN −1 (x)dx =N∑

wi rN −1 (xi )(19)i=1

従って、全ての xi について、f2N −1 (xi ) = rN −1 (xi ) が成り立てば、以下のように f2N −1 (x) に対する厳密な求積が可能となることが分かる。
N∑
i=1wi f2N −1 (xi ) =N∑

∫ +1wi rN −1 (xi ) =i=1−1∫ +1rN −1 (x)dx =−1f2N −1 (x)dx(20)上の条件 f2N −1 (xi ) = rN −1 (xi ) を満足するためには、式 (17) より PN (xi ) = 0 であればよい。つまり、求積セットにおける xi として PN (x) = 0 の根を用いればよいことが分かる。
参考文献[1] Alcouﬀe R. E., O’Dell R. D., ‘Transport calculations for nuclear reactors,’ CRC Handbook of Nuclear
Reactors Calculations, Vol.1, p.380, CRC Press, Boca Raton, Florida (1986).

4以降では、これまでの議論を一般化したものについて述べる。
区間 [−1, +1] における関数 G(x) の積分を考える。G(x) が (2n − 1) 次の多項式であるならば、n 次のLegendre 多項式 Pn (x) を用いて、G2n−1 (x) = Qn−1 (x)Pn (x) + Rn−1 (x) と出来るので、以下が得られる。
∫ +1
∫ +1
∫ +1
∫ +1
Qn−1 (x)Pn (x)dx +Rn−1 (x)dx =Rn−1 (x)dx(21)
G2n−1 (x)dx =−1−1−1−1

従って、ガウス求積における積分点 xi を Pn (xi ) = 0 となるように決めれば、以下が得られる。
n∑n∑wi G(xi ) =i=1

wi (Q(xi )Pn (xi ) + R(xi )) =n∑

i=1

wi R(xi )

(22)

i=1

(n − 1) 次の多項式 Rn−1 (x) は n 個のパラメータで記述できるため、任意の R(x) について以下が成り立つ
ガウス求積の重み wi も一意に決まる。
∫ +1n∑
wi R(xi ) =R(x)dx(23)−1i=1

次に、区間 [a, b] における関数 F (x) の積分を考える。F (x) が (2n − 1) 次の多項式 G2n−1 (x) を用いてF (x) = T (x)G2n−1 (x) と書けるとするならば、上の例と同様に、G2n−1 (x) を、荷重関数 T (x)、区間 [a, b]で定義される直交多項式 Sn (x) を用いて G2n−1 (x) = Qn−1 (x)Sn (x) + Rn−1 (x) のように記述する。すると、以下が得られる。

∫ +1

∫ +1
F (x)dx =−1

T (x)Rn−1 (x)dx−1(24)従って、xi を Sn (xi ) = 0 となるように決めれば、以下が得られる。
n∑wi F (xi ) =n∑

i=1

wi T (xi )Rn−1 (xi )

(25)

i=1

T (x)Rn−1 (x) は n 個のパラメータで記述できるため、任意の R(x) について以下が成り立つ wi が上と同様に一意に決まる。
∫ +1n∑
wi F (xi ) =T (x)R(x)dx
(26)
−1i=1

また、F (x) を T (x)G2n−1 (x) とした場合にはn∑wi T (xi )G2n−1 (xi ) =i=1となるので、n∑wi T (xi )Rn−1 (xi )

(27)

i=1n
∑

wi′ G2n−1 (xi ) =i=1

∫ +1
T (x)R(x)dx(28)−1のようにガウス求積の重みを定義することもでき、こちらのほうがむしろ一般的である。

Gauss-Legendre 求積は、上の議論において、積分区間を [−1, +1]、荷重関数を T (x) = 1 とした場合のものと理解できる。
また、荷重関数として T (x) = 1 としない Gauss 求積法の一例として Gauss-Chebyshev 求積がある。ここで、半円の円周上での関数値の積分、すなわち f (θ) についての [0, π] での以下の積分を考える。
∫ πf (θ)dθ(29)0

この積分に対して、x = cos θ による変数変換を行うと、dx = − sin θdθ より、以下を得る。
∫ +1∫ +111f (x)dxdx =f (x) √sin
θ1 − x2−1−15(30)1とした場合に該当する。この場合の直交多項1 − x2式は Chebyshev 多項式となり、それに基づいて決まる積分点と重みを用いた以下の Gauss 求積が Gaussこれは、積分区間を [−1, +1]、荷重関数を T (x) = √Chebyshev 求積である。

n∑wi f (xi ) =i=1n∑

wi f (θi )

(31)

i=1

Gauss-Chebyshev 求積では、f (θ) が cos θ の多項式で記述されることが想定されていることになる5 。
x = 1 や x = −1 で発散性を示す関数 F (x) の積分に対しては、Gauss-Chebyshev 求積が望ましいという考え方がある。その場合、F (x) の積分は以下のように行われる。

∫ +1∫ +1F (x)dx =−1−1√n√√∑11 − x2 F (x)dx =ωi′ 1 − x2i F (xi )1 − x2i=1x = 1 や x = −1 で発散性を示す F (x) に対して、それに√(32)1 − x2 が乗ぜられることで発散性が緩和され、求積の精度が向上するかもしれない。

5 N 点の Gauss-Chebyshev 求積での離散点 x は、x = cos θ としたとき、cos nθ = 0 の解として与えられる。すなわち、半nnn円上においてθn は等間隔となる。このことは、cos mθ（m = 1, 2, ...）が [0, π] において直交多項式系を構成することから自明であ∏るが、 m (cos θ − cos θm ) が直交多項式系を構成するときの cos θm を求めることから示そうとするとドツボにはまることを反省の意味を込めて追記しておく。

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