福 岡 県 立 高 校 入 試 問 題 を 活 用 し た 学 習 資 料～ 未来への架け橋 ≪令和４年度版≫ ～まずは自分で問題を解いてから，下の解説を読みましょう（問題の内容を学習する学年も示していますので，中学１・２年生は該当学年の問題を解いてみましょう）。
解説には，内に解決する際のポイントを示していますので，参考にして再挑戦してみましょう！
（３）（ 18＋14 ）÷ ２ を計算せよ。

３年生の学習内容です。

（７）関数 y ＝

１ ２x のグラフをかけ。
４

３年生の学習内容です。

（８）右の表は，Ｍ中学校の１年生男子のハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものである。
この表をもとに，記録が20ｍ未満の累積相対度数を四捨五入して小数第２位まで求めよ。
１年生の学習内容です。

下の図は，バスケットボールの試合を15回行ったときの，ＡさんとＢさんの２人が，それぞれ１試合ごとにあげた得点をデータとしてまとめ，箱ひげ図に表したものである。
図２年生の学習内容です。

（２）光さんと希さんは，図の結果から，次の試合でＡさんとＢさんのどちらがより高い得点をあげるかを予想した。光さんは，データの最大値を用いて，「Ａさんである」と予想したのに対して，希さんは，データの中央値と四分位範囲を用いて，「Ｂさんである」と予想した。
データの中央値と四分位範囲を用いて，「Ｂさんである」と予想できる理由の説明を完成させよ。
説明の（ Ｐ ）～（ Ｓ ）には，あてはまる数をそれぞれかき， Ｚには，ＡさんとＢさんのデータの中央値と四分位範囲について，それぞれ数値の大小を比較した結果をかくこと。

説明

データの中央値は，Ａさんが（四分位範囲は，Ａさんが（ ＲＺＰ ）点，Ｂさんが（）点，Ｂさんが（ ＳＱ ）点，）点であり，から。

福岡県立高校入試問題の難しい問題にチャレンジしよう！【数学】①
次のように解きます。
ポイント

かっこ内の数が計算できないので，分配法則を使って計算します。

（解法２）（３） （解法１）（ 18＋ １４ ）÷ ２（ 18＋ １４ ）÷ ２
分配法則

１８１４＝＋２２＝ ９ ＋ ７＝ ３＋ ７＝（ ９×２ ＋ １４ ）÷ ２＝（ ３ ２ ＋ １４ ）÷ ２＝ ３ ２ ＋ １４２２＝ ３ ＋ ７ … （答）約分… （答）√の中を簡単な数にする

ポイント

式に x の値を代入して， x の値に対応する y の値を調べます。

（７）［１］x の値が－４から４までの y の値を調べる。
１１x ＝－４のとき， y ＝×（－４）２＝×16 ＝ ４４４
同様にして調べると，下表のようになる。

（答）

x…

－４－３－２－１０１２３４…

y…

４９４１１４０１４１９４４…

［２］座標平面上に点をとり，放物線になるようにグラフをかく。

ポイント

累積度数を読み取り，累積相対度数（＝累積度数／度数の合計）を求めます。

（８）累積度数，度数の合計を読み取り，累積相対度数を求める。
２０ｍ未満の累積度数は，６＋９＋１７＝３２人であり，度数の合計は，６０人である。
よって，20ｍ未満の累積相対度数＝

32＝０．５３３…＝０．５３ （答）60√の中を簡単な数にする
分配法則
約分福岡県立高校入試問題の難しい問題にチャレンジしよう！【数学】①次のように解きます。
ポイント

図から，中央値と四分位範囲を求め，その値を用いて説明します。
［１］データの中央値と四分位範囲を読み取る。
範囲

中央値：データの値を大きさの順に並べたときの中央の値
図四分位範囲
四分位範囲：（第３四分位数）－（第１四分位数）※データの値を小さい順に並べて，値の個数が等しくなるように，４つに分けたときの，３つの区切りの位置の値を四分位数といい，最小値
第２四分位数最大値（中央値）
小さい順に第１四分位数，第２四分位数（中央値），第３四分位数
第１四分位数
第３四分位数という。箱ひげ図とは，四分位数を，最小値，最大値とともに図のように表したものである。
第２四分位数（中央値）
第１四分位数
第３四分位数四分位範囲第１四分位数

第３四分位数

第２四分位数（中央値）

Aさんについて，中央値＝１０点
四分位範囲＝１４－７＝７（点）Bさんについて，中央値＝１２点四分位範囲＝１５ー１０＝５（点）［２］［１］で読み取ったことをもとに，説明する。
データの中央値は，Aさんが（ １０ ）点，Bさんが（ 12 ）点，四分位範囲は，Aさんが（ ７ ）点，Bさんが（ ５ ）点であり，Bさんのデータの方がAさんのデータより中央値は大きく，四分位範囲は小さい から…（答）福 岡 県 立 高 校 入 試 問 題 を 活 用 し た 学 習 資 料～ 未来への架け橋 ≪令和４年度版≫ ～図１のように，半径が r mの半円２つと，縦の長さが２r m ，横の長さが a mの長方形を組み合わせた形の池がある。ただし，a ＜ r である。
（２）図３のように，図１の池の周囲に，幅２ mの道がついている。
このとき，道の面積をS m２，道のまん中を通る線の長さをl mとする。

３年生の学習内容です。
難図３において，道の面積 S と，道のまん中を通る線の長さ l の関係を表した式は，次のように求めることができる。
道の面積 S を，a， rを使った式で表すと，
S＝Ｘ…①
また，道のまん中を通る線の長さ l を，a， rを使った式で表すと，
l ＝Ｙ…②①，②より， S と l の関係を表した式は，Ｚである。
Ｘ，
Ｙ，Ｚにあてはまる式をそれぞれかけ。
洋太さんの部屋には，「強」「中」「弱」の３段階の強さで使用できる加湿器Ａがある。加湿器Ａの水の消費量を加湿の強さごとに調べてみると，「強」「中」「弱」のどの強さで使用した場合も，水の消費量は使用した時間に比例し，１時間あたりの水の消費量は表のようになることがわかった。
表
加湿の強さ
強中弱
１時間あたりの水の消費量（ｍL）
700
500
300
洋太さんは4200ｍLの水が入った加湿器Ａを，正午から「中」で午後２時まで使用し，午後２時から「強」で午後５時まで使用し，午後５時から「弱」で使用し，午後８時に加湿器Ａの使用をやめた。午後８時に加湿器Ａの使用をやめたとき，加湿器Ａには水が200ｍＬ残っていた。
図は，洋太さんが正午に加湿器Ａの使用を始めてから x 時間後の加湿器Ａの水の残りの量を y ｍＬとするとき，正午から午後８時までの x と y の関係をグラフに表したものである。
（３）洋太さんの妹の部屋には加湿器Ｂがある。加湿器Ｂは，加湿の強さが一定で，使用した場合の水の消費量は，使用した時間に比例する。
洋太さんが正午に加湿器Ａの使用を始めた後，洋太さんの妹は，午後２時に4200ｍＬの水が入った加湿器Ｂの使用を始め，午後７時に加湿器Ｂの使用をやめた。午後７時に加湿器Ｂの使用をやめたとき，加湿器Ｂには水が200ｍＬ残っていた。
午後２時から午後７時までの間で，加湿器Ａと加湿器Ｂの水の残りの量が等しくなった時刻は，午後何時何分か求めよ。

やや難 ２年生の学習内容です。

福岡県立高校入試問題の難しい問題にチャレンジしよう！【数学】②
次のように解きます。
ポイント

面積や線の長さは「円」と「長方形」に分けて考えます。計算する際はかっこをつけたりはずしたりすることに気を付けます。
［１］道の面積 S と道のまん中を通る線の長さ l を， a， r を使った式で表す。

S ＝（全体の面積）ー（池の面積）＝｛（大きな円の面積）＋（大きな長方形の面積）｝－｛（池の円の面積）＋（池の長方形の面積）｝
aa２r

２r＋４rr ＋２S ＝｛ π（ r ＋２）２ ＋ （２r ＋４）× a ｝－（ πr ２ ＋ ２r × a ）＝（πr ２＋４πr ＋４π＋２ar ＋４a）－（πr２＋２ar ）＝４a＋４πr ＋４π … （Xの答）l ＝（道のまん中を通る円周の長さ）＋（池の長方形の横の長さ）
ar ＋１l ＝ ２π（ r ＋１） ＋ ２a ＝ ２a＋２πr ＋２π … （Yの答）［２］［１］で表した２つの式を見比べて，S と l の関係が明らかになるように式を変形します。
S ＝ ４a＋４πr ＋４π ＝２（２a＋２πr ＋２π）＝２ l
よって， S ＝２ l … （Zの答）福岡県立高校入試問題の難しい問題にチャレンジしよう！【数学】②
次のように解きます。
ポイント

加湿器Aについては，午後２時から５時までのグラフと午後5時から午後８時までのグラフが異なるので，どちらのグラフと加湿器Bのグラフが交わるのかを考えます。
［１］加湿器AとBそれぞれについて，午後５時の水の残りの量を調べる。
加湿器Aについて，4200
加湿器Bについて
午後２時の水の残りの量は，4200－５００×２＝３２００ｍLのグラフ
午後５時の水の残りの量は，３２００－７００×３＝１１００ｍＬである。
3200
加湿器Ｂについて，１時間あたりの水の消費量は，（４２００－２００）÷（７－２）＝８００ｍＬ であるから，1800
午後５時の水の残りの量は，４２００－８００×３＝１８００ｍＬである。
1100
１１００＜１８００より，午後５時までに水の残りの量が等しくなることはない。よって，水の残りの量が等しくなるのは，午後５時か200ら午後７時までの間である。
７５２［２］加湿器Aと加湿器Bの x と y の関係を表す式をもとに，残りの水の量が等しくなった時刻を求める。
午後５時から８時までにおいて，加湿器Aは，「弱（１時間あたりの水の消費量300ｍＬ）」で使用し，午後８時に200ｍLの水が残っているので，グラフは，傾きが－３００，点（８，２００）を通る直線である。
このことから，５≦ x ≦８における加湿器Aの式は， y ＝－３００x ＋２６００…①
加湿器Bのグラフは，２点（２，4200），（７，２００）を通る直線なので，式は， y =－800x ＋5800…②３２①，②を連立方程式として解くと， x ＝， y ＝６８０５２
よって，残りの水の量が等しくなった時刻は，正午から ３２ ＝６時間後であり，
５５２２
時間を分に直すと，６０分×＝２４分である。したがって，午後６時２４分 … （答）５５福 岡 県 立 高 校 入 試 問 題 を 活 用 し た 学 習 資 料～ 未来への架け橋 ≪令和４年度版≫ ～図１のように，円Ｏの円周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃを，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＜60°となるようにとり，△ＡＢＣをつくる。点Ｄを，点ＢをふくまないＡＣ上にＢＣ＝ＣＤとなるようにとり，点Ｄと点Ａ，点Ｄと点Ｃをそれぞれ線分で結ぶ。辺ＡＣと線分ＢＤの交点をＥとする。
（２）図２は，図１において，ＢＥ＝４㎝，∠ＢＡＥ＝30°となる場合を表している。
このとき，線分ＡＥの長さを求めよ。

３年生の学習内容です。
難

図１は，AB＝５㎝，BC＝10㎝，AE＝９㎝の直方体ABCDEFGHを表している。点I，J，K，Lは，それぞれ辺EF，BF，CG，GH上にあり，FI＝GL＝２㎝，FJ＝GK＝４㎝である。
図２は，図１の直方体を４点I，J，K，Lを通る平面で分けたときにできる２つの立体のうち，頂点Aをふくむ立体を表しており，点Mは辺IJの中点である。
３年生の学習内容です。
難（３）図３は，図２に示す立体において，線分JC上に点Qを，JQ：QC＝２：３となるようにとり，点Aと点Qを結んだものである。
このとき，△AQJの面積を求めよ。

福岡県立高校入試問題の難しい問題にチャレンジしよう！【数学】③
次のように解きます。
ポイント

線分ＡＥ（求める長さ）と線分ＢＥ（わかっている長さ）を一辺とする△ＡＢＥに着目し，仮定や角の大きさなどを図にかきこみます。

［１］ △ABEにおいて，∠ABEの大きさ，∠AEBの大きさを求める。
AB＝ACより，△ABCは二等辺三角形である。
∠BAC＝３０°だから，∠ABC＝∠ACB＝（１８０°－３０°）÷２＝７５°

３０°

等しい弧に対する円周角は等しいから， BC＝CDより，105°
７５°

７５°

４５°

ポイント

∠CBD＝∠BAC＝３０°
したがって，∠ABE＝∠ABCー∠CBD＝７５°－３０°＝４５°∠AEB＝１８０°－（∠BAE＋∠ABE）＝１８０°－（３０°＋４５°）＝１０５°

３０°△ＡＢＥについて，∠ＢＡＥ＝30°，∠ＡＢＥ＝45°，∠ＡＥＢ＝105°であることから，特別な直角三角形の辺の比を使うことができるように，補助線をひきます。

［２］特別な直角三角形の辺の比を利用し，線分AEの長さを求める。

３０°

H

６０°
４５°

４５°

点Eから辺ABに垂線をひき，その交点をＨとする。
∠ＢＥＨ＝１８０°－（∠ＨＢＥ＋∠EHＢ）＝１８０°ー（４５°＋９０°）＝４５°
よって，△ＢＥＨは直角二等辺三角形だから，ＢＥ：ＨＥ＝ ２：１２
１
HE＝×BE＝×４＝２ ２２２
また，∠ＡＥＨ＝∠ＡＥＢ－∠ＢＥＨ＝１０５°ー４５°＝６０°
よって，△AHEは３０°，６０°，９０°の直角三角形だから，AE：HE＝２：１
AE＝２×HE＝２×２ ２＝４ ２ （㎝） …（答）

福岡県立高校入試問題の難しい問題にチャレンジしよう！【数学】③
次のように解きます。
ポイント△AQJを含む平面ACJに着目し，線分AJ，JC，ACの長さを求めます。そのために，線分AJ，JC，ACのそれぞれを含む平面に着目して，三平方の定理を活用します。
［１］平面EABJIに着目し線分AJの長さを，平面JBCKに着目し線分JCの長さをそれぞれ求める。
EI△JBCにおいて，△ABJにおいて，JK
２２２JC２＝JB２＋BC２AJ ＝AB ＋BJ
J＝５２＋１０２＝５２＋５２５㎝Ｑ＝１２５＝５０５㎝
B
C１０㎝
JC＞０よりAJ＞０よりA
B
JC＝５ ５AJ＝５ ２５㎝［２］平面ABCDに着目し，線分ACの長さを求める。

AD５㎝
B

１０㎝

C

△ABCにおいて，AC２＝AB２＋BC２＝５２＋１０２＝１２５AC＞０より
AC＝５ ５ポイント

C

５ ５㎝

５ ５㎝
Q

J

５ ２㎝

［１］，［２］から，
JC＝ACだから，△CJAが二等辺三角形であるとわかります。

A［３］ △CJAの面積を求め，それを活用して△AQJの面積を求める。
1７５点Cから，線分JAに垂線をひき，よって，△CJAの面積＝×JA×CS＝
22C
その交点をSとすると，△AQJ と△CJAは，高さが共通なので，△CJAは二等辺三角形だから，面積比は，底辺の長さの比に等しい。
５ ５㎝ JS＝SAである。
５ ５㎝A△AQJの面積
1５ ２
よって，JS＝ 2 JA ＝２2＝×△CJAの面積
５三平方の定理より
７５２２２５＝× 2JA CS２ ＝ CJ２－JS２ ＝S
５２５ ２㎝JCQ ②③CS ＝ １５ ２＝１５（㎝２） …（答）⑤2