NONLINEAR DISPERSION AND CHROMATICITY MEASUREMENT IN
J-PARC MR
Susumu Igarashi #,A), Ainosuke AndoA), Shuichiro HatakeyamaB), Tadashi KosekiA), Yoichi SatoA),
Masashi ShirakataA), Junpei TakanoA), Fumihiko TamuraB), Takeshi ToyamaA)
A)
High Energy Accelerator Research Organization
1-1 Oho, Tsukuba, Ibaraki, 305-0801
B)
Japan Atomic Energy Agency
2-4 Shirakatashirane, Tokai, Naka, Ibaraki, 319-1195

Abstract
The dispersion function and chromaticity have been measured for the main ring of the Japan Proton Accelerator
Research Complex and parameterized with nonlinear functions of the fractional momentum deviation (δ = Δp/p). The
dispersion function was derived from the closed orbit distortion for the range of ⏐δ⏐ < 1.3%. The measured linear andfirst order nonlinear dispersion functions at every available beam position monitor were in a good agreement with theoptics calculation. The chromaticity was derived from the tune measurements for the same range of δ. We found thatthe agreement was good between the measurement and the optics calculation taking the sextupole component of thebending magnets into account. We were able to understand the optics parameters for the wide range of the momentum
deviation.

J-PARC MR における非線形ディスパージョンとクロマティシティの測定
1.

はじめにの 4.3 %から補正後の 4.7 %とほぼ変化なかった[3]。

ディスパージョン測定
大強度陽子加速器施設(J-PARC)の主リング(MR)は 2.
ディスパージョンの測定のために、運動量偏差δ
大強度の陽子を 3 GeV で入射し、30 GeV まで加速して取り出す加速器で、2012 年 6 月には 1.08E14 個 が−1.3 %から+1.3 %の範囲で、閉軌道のずれ(COD)の陽子、ビームパワーとして 200 kW のビームを を測定した。運動量偏差の設定は rf 周波数の設定にユーザーに供給した。機器の放射化を最小限にする よって行った。測定は図 1 のように、入射期間(0.17ため、ビームロスの低減とコリメータへの局在化が s)で行い、入射後 0.05 s から 0.1 s の間で rf 周波数を重要となっている。ビームロスは主に 3 GeV のとき 変化させた。シンクロトロン振動に比べて充分遅くに発生し、平均的なロス粒子数は 2 %	 程度で、ロス アディアバティックな変化となる。ビームは通常のパワーは 450 W であった。ビームロスを低減するた 運転では 4 回で 8 バンチ入射するが、この測定ではめ 、 MR は 横 方 向 、 縦 方 向 と も に 大 き な ア パ ー 1 回(K1)、1 バンチのみで、加速開始時(P2)で取り出チャーを確保しており、横方向は 81π mmmrad、縦 している。ビーム強度は 5×1011 ppb、rf 電圧は 130
方向は運動量偏差 δ = Δp/p で 0.67 %となっている。 kV、チューンは(22.37, 20.77)とした。COD は、それビームサイズが小さい場合にはより大きな偏差が許 ぞれのビーム位置モニター(BPM)を使い、10 ms 毎容できる。この大きなアパーチャーの範囲で MR の に測定し、変化前の 5 回の測定と、後の 5 回の測定
光学パラメータの理解のために、広い運動量偏差の の平均の差を軌道の変化とした（図１）。
この軌道の変化を、それぞれの運動量偏差の設定範囲でのディスパージョンとクロマティシティの測についてプロットしたものを図２に示す。この結果定を行った。
MR はクロマティシティ補正のために 72 台の六極 は 2 次の多項式で良くフィットできている。1 次の電磁石を使用しており、非線形効果を考慮する必要 項は線形ディスパージョンとなり、2 次の項は非線がある。広い運動量偏差の範囲で測定を行い、ディ 形の 1 次のディスパージョンとなる。
BPM 処理回路は動作不安定となる場合があり、スパージョンの非線形の項までの測定を行った。
ベータトロン振幅関数(β)とディスパージョン(η) 186 台のうち今回は 2 台の測定ができなかった。正については、いままでに測定されている[1,2]。測定さ 常に読み出せた全ての BPM 測定について同じ解析れた水平方向のβ変調は rms で 12.0%あり、その変 を行い、線形ディスパージョンを図３に示す。測定
調には 3 回対称性が見られた。11 ファミリーの四極 結果は良い三回対称性を示している。また、SAD[4]電磁石の設定のずれを仮定して、k 値の補正により、 による計算値とも良く一致している。測定値の計算
光学補正を行った。補正後、水平方向のβ変調は 値からのずれの最大値は 0.1 m であった。
rms で 4.5%と改善した。垂直方向βについては元々あまりずれがなかったため、β変調の rms は補正前____________________________________________#

susumu.igarashi@kek.jp- 385 -

3.

非線形ディスパージョン

運動量偏差δについて水平方向運動 x を展開して式(1)のように表す場合、

x = !0" + !1" 2 + !(" 3 )(1)

非線形ディスパージョン関数ηn は、式(2)の漸化式で表すことができる[5]。

!n!! + (K x2 + g0 )!0 = "n (!0 ,###, !n$1 )(2)

ここで、非斉次項Ωn(η0,⋅⋅⋅,ηn-1)は以下の様に表される。

!0 = K x
図１：BPM022 での水平方向軌道位置の時間的な変化。入射後 0.05 s から 0.1 s の間で運動量偏差 0.5 %に対応する rf 周波数を変化させている。

(3)$ 1 '1!1 = g0!0 " "0!02 " K x &1" !0#2 )% 2 (22x2x(4)3 2x 0+ 2K !0 " K !0 " K !

ここで Kx は偏向電磁石の曲率、g0、λ0 は四極、六極電磁石の強さを示す。軌道計算プログラム SAD を用い、非斉次項をエラー源としたときの軌道のずれを求め、非線形 1 次のディスパージョンの計算値を求めた。
非線形の１次のディスパージョンについても同様のプロットを作成した（図４）。測定結果は良い三回対称性を示している。また、SAD による計算値とも概ね一致している。

図２：BPM022 での水平方向ビーム位置についての運動量偏差依存性。

図４：非線形 1 次ディスパージョンの測定値（●）と SAD による計算値（実線）。MR 全周のうち、上図に直線部 A とアーク部 A、中図に直線部 B とアーク部 B、下図に直線部 C とアーク部 C を示す。

図３：線形ディスパージョンの測定値（●）と SADによる計算値（実線）。MR 全周のうち、上図に直線部 A とアーク部 A、中図に直線部 B とアーク部
B、下図に直線部 C とアーク部 C を示す。

更に、水平方向ビーム位置 x の測定値を運動量偏差δについての 3 次の関数としてフィットを行い、非線形 2 次のディスパージョンについて測定値を求めた。また SAD を用いて計算を行い、比較したが、あまり良い一致にはならなかった。図 2 に見られる- 386 -様に、2 次関数として良くフィットできており、更に高次の項を求めるには、軌道の測定精度を上げる必要がある。今回は 10 ms サンプルのデータを用いたが、1 ms サンプルでデータを取ることにより、より精度を上げることが可能だと考えられる。

4.

モーメンタムコンパクションファクタ

比べれば非常に小さいが、−0.0073 m-2 の強さの六極成分を持つ。偏向電磁石は 96 台あり、単純に積算すると SDA の 1.5 台分程度となる。SAD を用いて、運動量偏差δを変化させたときのチューンを計算した（図５、６）。偏向電磁石の六極成分の効果が、水平、垂直方向の両方で見られ、六極成分を考慮したほうが測定結果と良く一致している。

ディスパージョンの高次項に起因するモーメンタムコンパクションファクタについて検討した。運動
量偏差δに関する周長 C の変化は、式(5)で表すことができる[6]。

!C 1 !
= !
ds • ! = " 0! + "1! 2 + #(! 3 )"C C "(5)

SAD を使って計算すると、線形ディスパージョンに対応する δの 1 次の係数α0 は−0.00092、非線形 1 次に対応するα1 は−0.028 となった。δが 1 %の場合、2次の効果は、1 次に比べて 30 %となる。スリッペー
ジファクタについては、δが 1 %の場合で、2 次の効果は、1 次に比べて、3 GeV のとき 0.5 %、30 GeVのとき 15 %となる。

5.

クロマティシティ測定

ディスパージョン測定と同様に、運動量偏差δが−1.3 %から+1.3 %の範囲で変えたときの、チューンの変化を測定した。チューンの測定は、それぞれ水平方向、垂直方向のエキサイターでビームのベータトロン振動を励起し、BPM 信号のリアルタイムスペクトラムアナライザーを用いた周波数解析によって行っている[7]。水平方向チューンの運動量偏差δ依存性を図５に、垂直方向チューンの運動量偏差δ依存性を図６に示す。

図６：垂直方向クロマティシティの測定値（●）とSAD による計算値、偏向電磁石磁場の六極成分を考慮したもの（実線）と考慮しないもの（点線）。

6.

まとめ

運動量偏差δが−1.3 %から+1.3 %の範囲でディスパージョンとクロマティシティの測定を行った。測定された線形ディスパージョンと非線形 1 次のディスパージョンは良い三回対称性を示し、計算とも良く一致している。大きなナチュラルクロマティシ
ティは、72 台の六極電磁石でほぼ 0 に補正でき、偏向電磁石の六極成分を考慮した計算と良く一致している。広い運動量偏差の範囲で光学パラメータを理解することができた。

参考文献

図５：水平方向クロマティシティの測定値（●）とSAD による計算値、偏向電磁石磁場の六極成分を考慮したもの（実線）と考慮しないもの（点線）。
MR は六極電磁石なしでは、水平、垂直ともに−30 程度の大きなナチュラルクロマティシティを持つ。六極電磁石 3 つのファミリー、SFA 24 台、SDA24 台、SDB 24 台で補正して、その強さは SFA 0.54m-2、SDA と SDB は−0.44 m-2 で、水平方向クロマ
テ ィ シ テ ィ −0.02 、 垂 直 方 向 ク ロ マ テ ィ シ テ ィ+0.26 とほぼ 0 に補正されている。
磁場測定から偏向電磁石磁場はダイポール磁場に[1] J. Takano, et al., “ステアリング電磁石を用いた J-PARC
MR の β 関 数 測 定 ”, Proceedings of the 6th Particle
Accelerator Society Meeting, Tokai, Naka-gun, Ibaraki,Aug. 5-7, 2009[2] J. Takano, et al., “J-PARC MR の Dispersion 測 定 ”,
Proceedings of the 6th Particle Accelerator Society Meeting,Naka, Ibaraki, Aug. 5-7, 2009[3] S. Igarashi, et al., “J-PARC MR における光学測定とその補正”, Proceedings of the 8th Particle Accelerator Society
Meeting, Tsukuba, Ibaraki, Aug. 1-3, 2011[4] http://acc-physics.kek.jp/SAD/[5] K. Soutome, et al., “Higher Order Formula for NonlinearDispersion”, Proceedings of the 6th European Particle
Accelerator Conference, Stockholm, Sweden, Jun. 22-26,
1998[6] A. Ando, et al., “Synchrotron Oscillations with Very Small
η”, IEEE Transactions on Nuclear Science, NS-30, No. 4,2604, 1983
[7] T. Toyama, et al., “J-PARC MR の ビ ー ム 診 断 ”,
Proceedings of the 4th Particle Accelerator Society Meeting,Wako, Saitama, Aug. 1-3, 2007

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