量子メモリからの高効率な単一光子の読み出しに向けた非対称光共振器の特性評価
丹治研究室 足立遼太郎
1序論

1.1

量子通信と単一光子発生の高効率化

近年、原理的に盗聴されることのない暗号通信である量子鍵配送(QKD)[1]が注目されている。現
在、最長で約 1000 km QKD ネットワークが実現している[2]が、これを地球規模に拡張するためには光ファイバによる光子の伝送効率が距離に対して指数関数的に低下することが問題となる。そこ
で、延伸の手段の一つとして、量子リピータ(量子中継器)[3, 4]が提案されている。そして、量子リピ(3)のように表される。
24ℱ
𝜂 = 2 2 (3)𝜋𝑘 𝑤0
ただし、ℱは共振器のフィネス、𝑘は波数、𝑤0 は光共振器のモードウェイストである。従って、𝑃𝑠𝑝 を1 に近づけるためには𝑁𝜂を大きくすればよい。一方で、𝑃𝑠𝑠 は図 1 で表されるように二枚のミラーの透過率𝑇1 、𝑇2 とミラー損失ℒ1 、ℒ2 により、𝑇1𝑇2 + ℒ1 + ℒ2
𝑃𝑠𝑠 =≈1−𝑇1 + 𝑇2 + ℒ1 + ℒ2
𝑇1と表される。

(4)ータにおける中継のレートを向上させるためには、量子もつれ状態を保存するための量子メモリを用いることが有効であると考えられている[5]。
そこで我々は光共振器中の 87Rb 原子集団のΛ型三準位系を用いた量子メモリからの高効率な単一光子の発生を目指している。本研究では、単一光子を単一空間モードに高効率に放出させるための非対称光共振器の作製と光共振器に使用するミラー
図 1. 共振器パラメータの特性評価を行った。
1.2

量子メモリからの光子の読み出し効率

原子が光共振器中にあるとき、光がミラー間を何度も往復することにより光子と原子の間で相互作用が増強される。本研究では、この効果と、原子の集団励起による空間モードとの結合の増強を併用する。光子が光共振器中の原子集団量子メモリから単一空間モードに放出される確率𝑃𝑡𝑜𝑡 は、原子から共振器モードへの単一光子の放出確率𝑃𝑠𝑝 と共2非対称光共振器の設計と構築

2.1

Fabry-Perot 共振器

Fabry-Perot 共振器は二枚の平面反射鏡をある間隔で向かい合わせたものであり、特定の周波数の電磁波が共振する性質を持つ。ここでは、図 2 のような振幅透過率𝑡1 、振幅損失率𝑙1 、振幅反射率𝑟1のミラー𝑀1 とそれぞれ𝑡2 、𝑙2 、𝑟2 のミラー𝑀2 を𝐿の間隔で向かい合わせた非対称な Fabry-Perot 共振

振器モードから外部の単一空間モードへの放出確率𝑃𝑠𝑠 によって、𝑃𝑡𝑜𝑡 = 𝑃𝑠𝑝 × 𝑃𝑠𝑠(1)と表される。ここで𝑃𝑠𝑝 は単一原子協働パラメータ
𝜂と共振器内にトラップされた原子数𝑁により、𝑁𝜂
𝑃𝑠𝑝 =(2)1 + 𝑁𝜂と表される。単一原子協働パラメータ𝜂は共振器中の原子と光子の相互作用の強さの指標であり、式

図 2. Fabry-Perot 共振器

1

器について考える。共振器に入射する光の電場振2.2非対称光共振器の設計

幅を𝐸0 としたとき、ミラー𝑀1 を透過し、ミラー𝑀2非対称光共振器を設計するにあたって、まずミに到達する直前の電場振幅は𝐸0 𝑡1 exp⁡(−𝑖𝑘𝐿)と表ラーの透過率を決定した。光共振器のパワー透過わされる。その後、ミラー𝑀2 およびミラー𝑀1 での率𝑇𝑡𝑜𝑡 およびパワー反射率𝑅𝑡𝑜𝑡 は、
𝑇1 𝑇2
4𝑇2𝑇𝑡𝑜𝑡 =(13)2 ≅ 𝑇
𝑇 + 𝑇21(ℒ1 + ℒ2 + 1)
2
(𝑇1 − 𝑇2 + ℒ1 + ℒ2 )2
1 − 𝑅𝑡𝑜𝑡 = 1 −(14)(𝑇1 + 𝑇2 + ℒ1 + ℒ2 )2とそれぞれ表される。光共振器に対するレーザー反射を繰り返し、最終的にミラー𝑀2 を透過し共振器の外で観測される透過光の電場振幅𝐸𝑡 は、
𝐸0 𝑡1 𝑡2 (1 − 𝑙1 )(1 − 𝑙2 )exp(−𝑖𝑘𝐿)(5)
1 − 𝑡1 𝑡2 (1 − 𝑙1 )(1 − 𝑙2 )exp(−2𝑖𝑘𝐿)と表される。一方で、反射光の電場振幅𝐸𝑟 はミラー𝐸𝑡 =光のアライメントや光共振器モード内の原子の状

𝑀1 でそのまま反射した入射光の電場振幅と共振器態を観測するためには光共振器の透過光を用いる

内部からミラー𝑀1 を透過して出てくる光の電場振ため、𝑇𝑡𝑜𝑡 はできる限り高いことが望ましい。また、

幅の足し合わせであるので、共振器の共振周波数を入射光の周波数に対して安𝐸𝑟 = 𝐸0 𝑟1 (1 − 𝑙1 )(1 − 𝑙1 )(1 − 𝑙2 ) exp(−2𝑖𝑘𝐿)
2× {−𝑟1 + 𝑡1 𝑟2}
1 − 𝑟1 𝑟2 (1 − 𝑙1 )(1 − 𝑙2 ) exp(−2𝑖𝑘𝐿)

定化させるために、Pound-Drever-Hall (PDH) 法(6)を用いる予定であるため、式(14)で表される共振と表される。共振器長𝐿を一定にしてレーザーの周器の共鳴における反射ディップの深さ1 − 𝑅𝑡𝑜𝑡 も波数𝜈を変化させると、大きいことが望ましい。

𝑐𝜈=𝑛(7)
2𝐿のときに共振し、透過光のピークが生じる。ある次における技術的な下限が存在する。そこでℒ1 =数の透過光とほかの次数の透過光が明確に区別でℒ2 = 10⁡ppmと仮定し、これと同程度となるようきる周波数範囲は𝐿𝜈/𝑐の変化が1/2未満となる範𝑇2 = 10⁡ppmと設定すると、𝑇1 に対して𝑃𝑠𝑠 、𝑇𝑡𝑜𝑡 およ囲である。この周波数範囲を 𝜈𝐹𝑆𝑅 (Free spectral

び𝑅𝑡𝑜𝑡 は図 3 のようなふるまいを示す。本研究では、

range : FSR)といい、𝑃𝑠𝑠 をできる限り大きくしつつ、数%程度のパワー𝑐
𝜈𝐹𝑆𝑅 =2𝐿(8)散乱ロスには鏡面の研磨や誘電体多層膜の成膜透過率を確保するために𝑇1 = 1000⁡ppmとした。これらのパラメータを用いると、𝑃𝑠𝑠 、𝑇𝑡𝑜𝑡 および𝑅𝑡𝑜𝑡と表される。

また、Fabry-Perot 共振器のフィネスは、𝜈𝐹𝑆𝑅 とは以下のように求められる。
𝑃𝑠𝑠 = 0.97
𝑇𝑡𝑜𝑡 = 0.04
𝑅𝑡𝑜𝑡 = 0.96

共振器線幅Δ𝜈𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡𝑦 を用いて、
𝜈𝐹𝑆𝑅
ℱ=(9)
Δ𝜈𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡𝑦と定義される。共振器のフィネスは二枚のミラーの振幅反射率𝑟1 , 𝑟2 によって決定され、式(10)で表される。
ℱ=

𝜋√𝑟1 𝑟2
1 − 𝑟1 𝑟2(10)パワー反射率𝑅、パワー透過率𝑇、パワー損失率ℒをそれぞれ、𝑅 = 𝑟 2 , 𝑇 = −𝑡 2 , 1 − ℒ = (1 − 𝑙)2 と定義
すると、

次に、共振器長について考える。本研究で用いる
𝑅+𝑇+ℒ = 1(11)が成り立つ。これを用いて、式(10)を書き直すと、ℱ=となる。

図 3. 𝑇1に対する𝑃𝑠𝑠 、𝑇𝑡𝑜𝑡 、𝑅𝑡𝑜𝑡 の変化

𝜋√1 − ℒ − 𝑇ℒ+𝑇(12)

Λ 型 三 準 位 系 は 87Rb の 52 𝑆1/2 (𝐹 = 1, 2) お よ び
52 𝑃1/2 (𝐹′ = 1)から成る。そのため、二本の D1 線[6]に共鳴する二つの縦モードの定在波の腹が共振器の中心付近で重なるように共振器長を決める必要2がある。この条件を満たすためには二つの遷移周波数の差が𝜈𝐹𝑆𝑅 の偶数倍であればよいので、𝜈𝐹𝑆𝑅 を、22.3

測定系の構築ここまでで決定したパラメータをもとに、光共5 𝑆1/2 (𝐹 = 1)と52 𝑆1/2 (𝐹 = 2)の遷移周波数の半分振器を構築し、共振器ミラーの評価を行うための(3.417 GHz)となるよう設計した。
𝑐
𝜈𝐹𝑆𝑅 =(15)2𝐿と表されるので、このとき、共振器長は𝐿 =測定系を作製した。光共振器中において、2.2 節で43.89⁡mmとなる。

ズに入射する平行光のビームウェイストは 𝑤 =決定したモードと一致する入射モードを、ABCD行列を用いて求めた。その結果、共振器直前のレン続いてミラーの曲率半径𝑅について考える。ビー280⁡μmとなった。ビームをこの空間モードに成形

ムウェイスト𝑤0 は式(16)のように、𝑅に依存する。

するための光学素子を選定し、光学系を構築した

𝑤0 2 =

𝜆𝐿 2𝑅√ −12𝜋 𝐿

上でビームの空間発展を観測すると、図 6、7 のよ(16)

1.2 節で述べたとおり、𝑃𝑠𝑝 を 1 に近づけるためには𝜂を大きくする必要があり、式(3)より、そのためうになり、所望する空間モードが得られたことが確認できた。そこで、図 8 のような測定系を構築した。には𝑤0 を小さくすればよいことがわかる。しかしながら、曲率半径を小さくしすぎてしまうと、共振器が共中心に近づき、不安定になってしまう(図 4,5)。

図 6. 水平方向のビーム半径の空間発展

図 4. 単一原子協働パラメータと曲率半径の関係[7]図 7.垂直方向のビーム半径の空間発展

図 5. ビームウェイストと曲率半径の関係[7]

本研究では、図 4 と図 5 に赤い星印で示したパラメータ、すなわちミラーの曲率半径
𝑅 = 25⁡mmを用いることと決定した。また、このときのモード
ウェイスト𝑤0 と単一原子協働パラメータ𝜂は、
𝑤0 = 45.2⁡μm
𝜂 = 0.346となる。

図 8. ミラー評価の測定系

3

3共振器の特性評価

3.1

低フィネスミラーでも同様の手順でℒ ≪ 𝑇 ≪ 1

ミラーの透過率および散乱ロス

まず、高フィネスミラーにおける透過率および散乱ロスと、当該ミラーを用いて作製した光共振器の特性との関係について説明する[8]。
本研究で使用する高フィネスミラーについてはの近似を用いて計算すると、
𝑃𝑡ℱ 2≈ 𝑇 2 (1 + 𝑇) ( )(25)𝜖𝑃𝑖𝑛𝜋2𝑃𝑟 − (1 − 𝜖)𝑃𝑖𝑛ℱ≈ 𝐿2 ( )(26)
𝜖𝑃𝑖𝑛𝜋と表され、𝑇 = 1000 ppm程度においては高フィネ

1 ≫ ℒ, 𝑇であるため、式(12)は𝜋ℱ≅(17)ℒ+𝑇と近似される。また、透過パワー𝑃𝑡 、反射パワー𝑃𝑟スミラーと同様の近似式を利用できることを確認

はそれぞれ|𝐸𝑡 |2 、|𝐸𝑟 |2に比例するので、比例定数𝐴3.2した。
高フィネスミラーの特性評価を用いて、𝑃𝑡 = 𝐴|𝐸𝑡 |2 、𝑃𝑟 = 𝐴|𝐸𝑟 |2 と表される。光

先行研究[9]では、高フィネスミラーを二枚向か共振器の実質的なパワー透過率はモードマッチ係い合わせた Fabry-Perot 共振器の特性評価を行っ数𝜖を用いて、𝑃𝑡𝑇 2 (1 − ℒ)2=(18)𝜖𝑃𝑖𝑛 1 − 2𝑅(1 − ℒ) + 𝑅2 (1 − ℒ)2と表わされる。ただし、𝑃𝑖𝑛 は入射パワーである。

た。その際、フィネスが高い場合に現れる cavity

ここで、1 ≫ ℒとすると、式(18)は、𝑃𝑡
𝑇2𝑇2ℱ 2≈== 𝑇2 ( )(19)
22(ℒ + 𝑇)
𝜖𝑃𝑖𝑛 (1 − 𝑅)𝜋と近似される。一方、実質的なパワー反射率は、
𝑃𝑟 − (1 − 𝜖)𝑃𝑖𝑛𝜖𝑃𝑖𝑛(1 − ℒ)= (1 − ℒ) {𝑅 − 2𝑅𝑇
1 − 𝑅(1 − ℒ)
(1 − ℒ)} (20)
+ 𝑅𝑇 2
1 − 2𝑅(1 − ℒ) + 𝑅2 (1 − ℒ)2と表わされる。これに式(19)と同様の近似を用いると、
𝑃𝑟 − (1 − 𝜖)𝑃𝑖𝑛11≈ 𝑅 − 2𝑅𝑇+ 𝑇 2𝑅𝜖𝑃𝑖𝑛
1−𝑅
1 − 2𝑅 + 𝑅2
ℱ 2= ℒ2 ( )(21)𝜋となる。式(19)および(21)からモードマッチ係数𝜖を消去すると、ℱ 2𝑇2 ( )
𝑃𝑡
𝜋=
(22)
2𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛ℱ
ℒ2 ( ) − 1𝜋となる。従って、式(17)および(22)より、ミラーの透過率𝑇および散乱ロスℒは、𝑃𝑖𝑛 、𝑃𝑡 、𝑃𝑟 、およびℱを用いて𝑃𝑡)
𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛𝑇=
𝑃𝑡ℱ( )(− 1)
𝜋 𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛
𝑃𝑡
1+𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛ℒ=𝑃𝑡ℱ( ) (1 −)𝜋𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛と表すことができる。

ring-down 現象を用いてフィネスを測定した。その結果フィネスは、ℱ = (7.1 ± 0.4) × 104となった。
また、透過パワー𝑃𝑡 、反射パワー𝑃𝑟 、入射パワー
𝑃𝑖𝑛 を測定したところ、
𝑃𝑡 = 46.32 ± 0.05⁡nW
𝑃𝑟 = 79.4 ± 0.1⁡μW
𝑃𝑖𝑛 = 80.97 ± 0.01⁡μWという結果が得られた。これらの結果から、高フィネスミラーの散乱ロスと透過率は、ℒ2 = 38 ± 1⁡ppm
𝑇2 = 6.2 ± 0.3⁡ppmと算出された。
3.33.3.1

低フィネスミラーの特性評価
フィネスの測定

低フィネスミラーの特性評価は、当該ミラーを二枚向かい合わせた Fabry-Perot 共振器を構築することにより行った。低フィネスミラー同士で構成した光共振器の共振器線幅は広いため、ringdown 現象は観測できない。そこで、本研究では電気光学変調器 (EOM)を用いて光共振器の線幅とFSR を独立に測定し、式(10)を用いてフィネスℱを求めた。FSR を測定するためには、EOM に対してFSR 程度の周波数で変調をかけ、n 次のモードの2((23)

サイドバンドが n+1 次のモードのキャリアと重なるときの変調周波数を測定する。図 10 はサイドバンドが隣のモードのキャリアと重なった状態での(24)光共振器の透過スペクトルであり、このときの変調周波数より、FSR は、𝜔FSR /2𝜋 = 3.42563⁡GHz4と求まった。

図 9. EOM を用いた FSR の測定

図 13. 透過スペクトルとサイドバンド

次に、レーザー線幅を求める。図 14 に示されたレーザーの電圧揺らぎから飽和吸収スペクトルを用いた周波数変換によりレーザー線幅Δ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 を求め
図 10. EOM によるサイドバンドと隣のモードのた。その結果キャリアが重なった状態での光共振器の透過スペクトルと求まった。
次に、共振器線幅を求めるために、光共振器の透過スペクトルの線幅Δ𝜔𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑢𝑚 を求める。EOM によるサイドバンドを利用して掃引時間を掃引周波数に変換することにより線幅を求める (図 11, 12)。
図 14. レーザーの電圧揺らぎ

Δ𝜔𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 = 334.5 ± 0.5⁡kHzとなった。共振器の線幅は共振器からの透過スペクトルの線幅からレーザー線幅を引くことで求められ
図 11. EOM で変調されたレーザー光を共振器に入射させたときの透過スペクトルΔ𝜔𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡𝑦 = 1.592⁡MHz − 334.5⁡kHz = 1.257⁡MHzとなった。これらの結果よりフィネスは、
𝜔FSRℱ== 2720 ± 40
∆𝜔𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡𝑦と求められた。
3.3.2 𝑃𝑡 、𝑃𝑟 、𝑃𝑖𝑛 の測定
次に、透過パワー𝑃𝑡 、反射パワー𝑃𝑟 、入射パワー
𝑃𝑖𝑛 を求めるために透過スペクトルおよび反射スペクトルを観測した。図 15 および 16 に観測した透過スペクトルおよび反射スペクトルをそれぞれ示

図 12. オシロスコープで観測される透過スペクトルした。

観測した透過スペクトルを図 13 に示す。
これより、スペクトル線幅は、
Δ𝜔𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑢𝑚 = 1.592 ± 0.003⁡MHz5

によって発生させたサイドバンドを用いて FSR お
よび光共振器の透過スペクトルの線幅を測定し、低フィネスミラーFabry-Perot 共振器のフィネスを求めた。その結果、ℱ = 2720 ± 40となった。また、共振器への入射光、透過光および反射光のパワーと前述のフィネスの値を用いて、ミラーの透過率 お よ び 散 乱 ロ ス を 見 積 も っ た と こ ろ 、 𝑇1 =図 15. 透過スペクトル1160 ± 30⁡ppm、ℒ1 = −8 ± 10⁡ppmという結果となった。ここで、ℒ1 が負の値になった理由としては、入射パワーと透過パワーを測定した二台の APDの検出効率の差や干渉フィルターの透過率の差によって測定が正しく行えていないことが考えられる。𝑇1 の測定値が設計値よりも大きく、また、フィネスが設計値よりも低く見積もられていることに関しては、透過スペクトルとレーザー線幅の測定を同時に行わなかったことが主な原因と考えられ

図 16. 反射スペクトルる。

これらの観測結果から𝑃𝑡 、𝑃𝑟 、𝑃𝑖𝑛 はそれぞれ、𝑃𝑡 = 0.213 ± 0.005⁡μW
𝑃𝑖𝑛 = 0.238 ± 0.003⁡μW𝑃𝑟 = 0.028 ± 0.008⁡μWと求まった。これらの値から低フィネスミラーの5散乱ロスと透過率を計算すると。
ℒ1 = −8 ± 10⁡ppm
𝑇1 = 1160 ± 30⁡ppmと求まった。

非対称光共振器の構築、特性評価を行う。その後、

3.4

非対称光共振器の特性

まず、測定系の測定精度を向上させ、再び透過率と散乱ロスの測定を試みる。高フィネスミラーおよび低フィネスミラーを 1 枚ずつ向かい合わせた共振器を原子冷却系に組込み、単一光子の検出を行う。
参考文献

本論文のまとめ[1] Bennett, Charles H., and Gilles Brassard. "Quantum
cryptography:
Publickey
distribution
andcointossing." Theoretical computer science 560 (2014): 7-11.
[2] Liu, Yang, et al. "Experimental twin-field quantum key
distribution over 1000 km fiber distance." Physical Review
Letters 130.21 (2023): 210801.
[3] Briegel, H-J., et al. "Quantum repeaters: the role of imperfectlocal operations in quantum communication." Physical Review
Letters 81.26 (1998): 5932.
[4] Azuma, Koji, Kiyoshi Tamaki, and Hoi-Kwong Lo. "All-photonic
quantum repeaters." Nature communications 6.1 (2015): 6787.
[5] Briegel, H-J., et al. "Quantum repeaters: the role of imperfectlocal operations in quantum communication." Physical Review
Letters 81.26 (1998): 5932.
[6] Steck, Daniel A. "Rubidium 87 D line data." (2001).

本研究では、単一光子を高効率で単一空間モー[7] 松山佳生,単一光子発生に向けた光共振器と冷却原子の結合

先行研究による高フィネスミラーの散乱ロスと透過率に加え、本研究で得られた低フィネスミラーの散乱ロス、透過率の値から非対称光共振器で得られると期待される𝑃𝑠𝑠 、𝑇𝑡𝑜𝑡 、𝑅𝑡𝑜𝑡 を求めると、
𝑃𝑠𝑠 = 0.979
𝑇𝑡𝑜𝑡 = 0.969
𝑅𝑡𝑜𝑡 = 0.019となった。
4

今後の展望

ドへ放出するために使用する非対称光共振器の特系の構築, 2018 年度修士論文.ては、先行研究によって透過率𝑇2 = 6.2 ± 0.3⁡ppm、[8] Hood, Christina J., H. J. Kimble, and Jun Ye. "Characterizationof high-finesse mirrors: Loss, phase shifts, and mode structure in
an optical cavity." Physical Review A 64.3 (2001): 033804.
[9] 荒木陸, 高効率な単一光子発生に向けた非対称共振器の構築,散乱ロスℒ2 = 38 ± 1⁡ppmと求まっていた。そこで、2021 年度修士論文.

性評価を行った。高フィネスミラーの特性につい非対称光共振器の特性を評価するために、本研究では低フィネスミラーの特性評価を行った。EOM

6