時速5㎞の速さでx時間歩くとy㎞進むものとして，xとyの関係を調べましょう。

例えば，時速5㎞の速さで1時間歩けば，5㎞進むことができる。
また，2時間歩けば10㎞進むことができる。
このように，時間xの値を決めれば，それにしたがって距離yの値も決まる。たとえばxの値が1のときyの値は5になる。これをx＝1にy＝5が対応するといい，15のように矢印で表すこともある。

xの値に対するyの値を表にすると次のようになる。

※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 1/22 -右のような水そうに一定の割合で水を入れていくとき，水面の高さは，水そうの水の量にともなって変化していきます。
水が全くないときの水面の高さは0㎝であり，満水になったときの水面の高さは60㎝です。
水面の高さをh㎝とすれば，hは0から60までの値をとることができます。
このhのように，いろいろな値をとる文字のことを変数といいます。

※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 2/22 -右のような水そうに一定の割合で水を入れていくとき，水面の高さは，入れた水の量にともなって変わっていきます。
水面の高さを h ㎝とすれば，変数hのとりう
はん

いる値の範囲は，0から60までのすべての値です。
はんい

この値の範囲のことを，変数hの変域といいます。
いつぱん

一般に，変域は，不等号を用いて表したり，ずし数直線上に図示したりして表します。

※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 3/22 -次の変域を不等号を使って，表してみましょう。
は1)

ん

い

変数xが2より大きい範囲の値をとるとき，x＞2，または 2＜x と表す。
は2)

ん

い

変数xが2より大きく4より小さい範囲の値をとるとき，2＜x＜4 と表す。
は3)んい

変数xが2以上の範囲の値をとるとき，x≧2，または 2≦x と表す。

要点： ≧という記号は，＞と＝をあわせたものです。
ふくたとえば上の 1) では 2 という数は含まれませんが， 3) でふくは2を含みます。また，ｘ≧2 のことを「ｘ大なりイコール2」のように読みます。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 4/22 -ず

しｘの変域が2＜ｘ≦7のとき，これを数直線上に図示してみましょう。
はんい

ｘが3より大きい範囲の値をとる（ｘ＞3）のとき，のように表す。
はんい

ｘが7以下の範囲の値をとる（ｘ≦7）とき，のように表す。
したがって，ｘの変域3＜ｘ≦7は，となる。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 5/22 -決まった数やそれを表す文字を定数といいます。
えんぴつ

たとえば，「1本50円の鉛筆を x本買ったときの代金 y円」ということがらでは，x や y は変数で，50が定数となります。

※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 6/22 -時速50㎞で走る自転車がx時間走った道のりをy㎞とするとき，xとyの関係について考えてみましょう。
（道のり）＝（速さ）×（時間）だから，yをxで表すとy＝50xとなります。
また，xの値が2のときyの値は100
xの値が4のときyの値は200となり，xの値が2倍になると，yの値も2倍になることがわかります。
このようなとき，yはxに比例するといいます。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 7/22 -※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 8/22 -y＝2xについて，xの値に対応するyの値を調べてみましょう。
y＝2xにおいて，xの値が2のとき，yの値はy＝2×2＝4となります。このようにして，xがいろいろな値をとるとき，それぞれに対応するyの値を求めると，下の表のようになります。

※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 9/22 -y＝2xが成り立つような，x，yの値の組を座標にとると，左の黄色い点のようになります。
左の図では，xの値を1おきにしてyの値を求めていますが，xの値がすべての数をとるとき，y＝2xのグラフは，左の図の赤色の直線になります。
この直線をy＝2x のグラフといいます。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 10/22 -y＝ax（a≠0）のかき方
直線は2点で決定されるから，原点0（0，0）と原点以外の点（1，ａ）を通る直線をかく。
（2点の座標の求め方）
y＝ax（a≠0）でx＝0のとき
y＝a×0＝0x＝1のときy＝a×1＝a◆注意◆

原点以外の点を求めるとき，x，yの値が整数値になるような点をみつけるのが一般的である。

※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 11/22 -y＝2x，y＝－2xの2つのグラフを調べてみましょう。
y＝2xでは，xの値が1増加すると，yの値は2増加します。
したがって，y＝2xのグラフは右の図のように，右上がりになります。
y＝－2xでは，xの値が1増加すると，yの値は，2減少します。
したがって，y＝－2xのグラフは，右の図のように，右下がりになります。
また，両方の式において，xの値が0のとき，yの値は0になるので，2つのグラフは必ず原点を通ります。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 12/22 -※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 13/22 -

面積が24㎠の長方形の縦の長さをx㎝，横の長さをy㎝とすると
き，yをxで表してみましょう。
（横の長さ）＝（面積）÷（縦の長さ）だから，yをxで表すと24y ＝ xとなります。
このように，xとyの関係が24y ＝ x（ただし，aは定数）の形で表されるときyはxに反比例するといいます。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 14/22 -

面積が24㎠の長方形の縦の長さをx㎝，横の長さをy㎝とすると
き，yをxで表してみましょう。

yをxで表すと24y ＝ xとなります。

xとyの関係を表にまとめるとxの値が2倍，3倍，･･････になると，yの値は 1 ， 1 ，･･････と32なっていきます。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 15/22 -※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 16/22 -★

ayがxに反比例するとき，式はy＝ x と表され，左の図のような2つの部分からなる曲線
そ う きよく せ んになる。この曲線を双曲線という。
◆

グラフの書き方
反比例のグラフは直線ではないので，y＝axのグラフのように2点だけではかけない。
xのいろいろな値に対するyの値を求め，座標平面上にそれらの座標とする点をとり，なめらかな曲線でむすんでいく。
ay＝ x

では，x＝0に対応するyの値はない。

つまり，グラフは「原点を通らない」ことに注意する。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 17/22 -4
y＝ 4 ，y＝－xx

4y＝xの2つのグラフのちがいを調べてみましょう。
ふごう

では，xの値とyの値は同じ符号になります。
したがって，グラフは右の図の緑色のグラフになります。
4y＝－ x では，xの値とyの値は異な
ふごう

る符号になります。
したがって，グラフは右の図の赤色のグラフになります。

※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 18/22 -a
反比例の関係を表すy＝ x のグラフは，双曲線である。
そ う きよく せ ん※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 19/22 -※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 20/22 -★

点Oで垂直に交わる2本の直線をひき，点Oを0として数を目盛る。
えつくすじく

このとき，横の数直線を x軸，
わ い じ くたての数直線を y軸，
ざひよう じく

両方あわせて座標軸，点Oを原点という。
★

座標の表し方えつくすじく

左の図のように，1点Pからx軸におろえ つくすじくした垂線とx軸との交点の表す数a，P
わ い じ くわ い じ くからy軸におろした垂線とy軸との交点の表す数bとを（a，b）のように組にしてPの位置を表す。
※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 21/22 -下の図で，点A～Fの座標は，次のように表されます。
ただし，1目盛を1とします。

※ 教科 数学テキス ト 中 1 2 学期 10 月-2 比例と 反比例.jtd- 22/22 -