バイアス因子法による不確かさの低減12024/1/4

1千葉

豪

バイアス因子法
設計している原子炉の核的なパラメータ（例えば実効増倍率）は核設計コードで計算出来るが、その計算値には不確かさが存在するため、その値が真値となることはまず無いであろう。例えば、計算で実効増倍率として 1.0が得られた原子炉であっても、実際に作ってみてぴったり臨界状態となることはまずあり得ない。
では、事前に原子炉を作り、その原子炉の実効増倍率を実験的に得たとする。このとき、計算で予測された値をCM とし、実験的に得られた値を EM とする。
これと全く同じ原子炉を設計するとき、その炉の実効増倍率はいくつと予測できるであろうか？この場合は EMと即答するであろう（実際に測られているわけだから）。
次に、事前に作った原子炉とほんのちょっとだけ異なる原子炉を設計することを考えよう。実効増倍率の計算値
として CR が得られたとすると、実効増倍率の真値をどのように予測するだろうか？勿論、EM と答えてもよいだ
ろうが、事前に作った原子炉と「ほんのちょっと変わっている」ことを考慮すると、例えば、

CRCM

EM ·(1)のようにして、「ちょっと変わった効果」を計算値を用いて補正の形で採り入れるのではないだろうか。もしくはCR ·EM
CM(2)として、設計している原子炉についての計算値と実測値のずれを、実際に作った原子炉のデータを用いて補正する、という考え方もあるだろう。ちなみに、式 (1) と式 (2) は同一である。
式 (2) のように、ある対象についての計算による予測値を、それとは異なるが類似といえる対象における予測値と実測値のずれで補正し、予測の精度を高める方法をバイアス因子法と呼ぶ2 。また、目的となる対象に対して、それを模擬した体系をモックアップと呼ぶ。
では、バイアス因子法による予測値 P = CR · EM /CM の不確かさはどの程度となるであろうか？
パラメータ CR 、EM 、CM は平均値 C̄R 、ĒM 、C̄M を中心として不確かな幅をもつ確率変数と考えることが出来る。予測値 P の平均値が P̄ = C̄R · ĒM /C̄M と書けるとしたとき、P の平均値からのずれ ∆P は、各々のパラメータの平均値からのずれを用いて以下のように書ける。

∆P = P − P̄ =C̄R ĒM(C̄R + ∆CR )(ĒM + ∆EM ) C̄R ĒM
C R EM−=−
CMC̄M
C̄M + ∆CMC̄M

これに対して

1=C̄M + ∆CM(C̄M11+∆CM
C̄M

)≈

1C̄M

(∆CM
1−C̄M(3))(4)とし、さらに高次の項を無視することにより、以下の式を得ることが出来る。

∆P
∆CR
∆EM
∆CM=+−P̄C̄RĒMC̄M(5)

この式の両辺を２乗し、その期待値をとると、P に対する分散の式として以下が得られる3 。

VP = VCR + VEM + VCM + 2 (cov(CR , EM ) − cov(CR , CM ) − cov(EM , CM ))(6)

測定値 EM と計算値 CM 、CR の不確かさには関連がなく無相関と考えてよいので、この式は以下のように簡略化される。

VP = VCR + VEM + VCM − 2cov(CR , CM )1 /Document/Education/BiasFactor
2 英語のテキストでは、「bias factor method」「bias-factor transposition method」と呼ばれているようである。
3 ここで定義される分散 V 、共分散 cov はいずれも相対値である。

1(7)ここで VCR はバイアス因子法を導入しなかったときの予測値の分散である。バイアス因子法を導入することによって、この分散にモックアップ体系の誤差に相当する VEM 、VCM が加えられるが、cov(CR , CM ) が正の大きい値をとれば（CR と CM に強い正の相関があれば）、P の不確かさを低減できる可能性があることが分かる。通常、モックアップパラメータは目的のパラメータと類似となるものが選ばれるため、CR と CM は強い正の相関を持つことになり、モックアップパラメータの実験に由来する誤差（すなわち VEM ）がある程度の大きさに抑えられていれば、バイアス因子法では予測値の不確かさが低減される。
次に cov(CR , CM ) について考える。

CR 、CM といった、計算により得られるパラメータの不確かさには、数値計算に起因する不確かさと、核データに起因する不確かさが含まれる。前者に起因する不確かさによる C の平均値からのずれを ∆C n 、核データ σiの平均値からのずれを ∆σi と書くと、∆CR 、∆CM は以下のように書ける。

∆CR=∑nSiR ∆σi + ∆CR,

(8)nSiM ∆σi + ∆CM(9)i∆CM=∑i

この二式の両辺を乗じ、その期待値をとることにより、cov(CR , CM ) が得られる。一般に、核データの不確かさと数値計算に起因する不確かさは無関係と考えてよいので、cov(CR , CM ) として以下の式が得られる。

cov(CR , CM ) =∑∑innσσnn
SiR SjM cov(σi , σj ) + cov(CR, CM) = cov(CR, CM) + cov(CR, CM)(10)jσσ) は核データの不確かさに起因する CR と CM の共分散であることを示す。
, CM
ここで、cov(CRまた、V CR=∑∑iV CM=(11)n = VC σ + VC n
SiM SjM cov(σi , σj ) + VCMMM(12)j∑∑i

SiR SjR cov(σi , σj ) + VCRn = VCRσ + VCRn ,jと書ける。
以上を用いると、VP は以下のように書ける。

() ()σσnnσ − 2cov(C , Cn + VC n − 2cov(C , C
VP = VCRσ + VCMRM ) + VCRRM ) + VE M
M

(13)

右辺の（括弧で括られている）第一項は核データに起因する不確かさの寄与を示す項であるが、相関係数 corr を用いることにより、(σσσ − 2corr(C , C
VCRσ + VCMRM))√σ
VCRσ VCM(14)σσと書ける。この CRと CMの相関係数を代表性因子（Representativity factor）と呼称する場合もある [2] 4 。なお、σσ
CRと CMの相関係数が 1.0 の場合、式 (14) は以下のように書ける。

(√VCRσ −)2√σVCM(16)

この式から、例えターゲットパラメータとモックアップパラメータの核データに起因する不確かさの相関が 1.0 であったとしても、両者の相対分散に差異があれば、この節で説明したバイアス因子法では、ターゲットパラメータの核データに起因する不確かさをゼロには出来ないことが分かる。

4 文献 [2] では、Representativity factor を r と定義すると、モックアップ実験の結果を考慮した場合の積分パラメータの不確かさ ∆R2
1は、考慮しない場合の不確かさ ∆R02 を用いて、
222(15)∆R1 = ∆R0 (1 − r )と書けるとされている。これと本節で述べているバイアス因子法から導かれる不確かさは同一の式とはなっていないが、これについては後の第 3 節で述べる。

22拡張バイアス因子法
通常のバイアス因子法では単一のモックアップ体系のデータを利用するが、複数の体系のデータを利用することで、パラメータ予測値の不確かさをさらに低減することが可能となる。そのような手法として、拡張バイアス因子法 [3] があるので、それについて解説を行う。
バイアス補正の肝は、パラメータの核データに対する感度がターゲットのものにできるだけ似たモックアップデータを準備することにある。拡張バイアス因子法では、複数のモックアップデータの感度を重ね合わせることにより、ターゲットとなるパラメータの感度を再現することを試みる。
複数のモックアップパラメータを pi とし、仮想的なパラメータ p を∏p=
pai i(17)iのように定義する。p の pi に対する偏微分は∏ a∏ aaiai∂p= ai pai i −1
pj j = pai ipj j = p∂pipipi(18)∂p pi·= ai∂pi p(19)j̸=ij̸=iと書けるので、が得られる。従って、p の核データ σ に対する感度係数 Sσp は

Sσp =∑∂p σ ∑ ∂p pi ∂pi σ· =···=
ai Sσpi∂σ p∂pp∂σpiiii(20)と書ける。つまり、式 (17) で定義される仮想的なパラメータ p の感度は、複数のモックアップデータの感度の線形和で記述されることが分かる。
次に、仮想的なパラメータ p に対するバイアス因子を用いた場合の予測値の不確かさについて議論する。問題を簡略化するため、ここでは核データ以外に起因する不確かさを無視することとする。パラメータ p の計算値に対する分散 Vp は以下のように書ける。
∑∑∑∑∑∑ ( ∂p pi ) ( ∂p pj )cov(pi , pj ) =ai aj cov(pi , pj ) =ai aj STi VSj··Vp =∂pi p∂pj piijji(21)j

ここで、V は核データの共分散行列、S は感度ベクトルを示すものとする。また、予測するターゲットとなるパラメータを pR とすると、この計算値に対する分散は

VpR = STR VSR(22)と書ける。ここで、SR はターゲットパラメータの核データに対する感度を示す。さらに、p と pR の計算値の共分散は∑cov(p, pR ) =ai STi VSR(23)iと書ける。以上より、仮想パラメータ p に対して与えられるバイアス因子を用いた場合の pR の予測値 p̃R に対する不確かさ Vp̃R はVp̃R=Vp + VpR − 2cov(p, pR ) =(=SR −∑i)Tai S i(∑∑iV SR −∑ai aj STi VSj + STR VSR − 2 ai STi VSRj∑i)(24)

ai S iiと書ける。
仮想パラメータ p における指数 ai は、Vp̃R を最小にする条件∑aj STi VSj − STi VSR = 0,j3

∂Vp̃R= 0 から求められる。すなわち、∂ai(i = 1, ..., N )(25)

を解くことによって得られる。ここで、N はモックアップパラメータの数を示す。A = (a1 , a2 , ..., aN )T 、S =(S1 S2 ... SN ) とするならば、式 (25) は以下のように書き直せる。
ST VSA = ST VSR(26)

従って、ai からなるベクトル A は以下で定義される5 。

()−1 ( T)A = ST VS
S VSR

3(27)

ベイズ理論からのバイアス因子法の導出
以上では、単一のモックアップパラメータを用いたバイアス因子法と複数のパラメータを用いた一般化バイアス因子法について説明してきたが、これらについては、感度係数を用いずに、炉物理パラメータに対するベイズ理論から導出出来ることが示されており [4]、現在はこのような考え方が一般的のようである [5]。ここではこの導出法について簡単に述べることとする。
複数の炉物理パラメータを考え、これをベクトルで R と表記する。このとき、R が従う確率密度関数 p(R) を以下のように記述する。

(−1(R − R0 )T VR(R − R0 )p(R) ∝ exp −2)(28)

ここで、VR は R の事前共分散行列を示す。
一方、R が得られたとしたときに、その測定値 R̂ が従う確率密度関数 p(R̂|R) は以下のように書ける。
()−1(R̂ − R)T VE(R̂ − R)p(R̂|R) ∝ −(29)2
ここで、VE は測定に起因する R̂ の共分散行列を示す。
なお、ここでは、VR や VE は絶対共分散であることを付記しておく。
ベイズの定理より、炉物理パラメータの測定値 R̂ が得られたときの R が従う確率密度関数 p(R|R̂) は以下のように書ける。

{)}
1(−1−1(R − R0 )T VR(R − R0 ) + (R̂ − R)T VE(R̂ − R)p(R|R̂) ∝ p(R)p(R̂|R) ∝ exp −2(30)

詳細は拙稿 [6] に譲るが、p(R|R̂) の最頻値 R̃ はR̃ = R0 + VR (VR + VE )−1(R̂ − R0となり、分散 VR̃ はVR̃ = VR − VR (VR + VE )

−1)
(31)

VR(32)となる。例えば、測定値が誤差無く得られた（真値が得られた）とするならば、VE = 0 より、R̃ = R̂、VR̃ = 0となる。
さて、ここで、考えている炉物理パラメータをモックアップ（測定値が得られるもの）とターゲット（モックアップの情報を用いて予測を行うもの）の２種類に分類するものとし、それぞれを Rm 、Rt と記述する。このとき、式 (31) は以下のように書ける。
() () (mmVR
R̃m
Rm0+=tm
VRR̃tRt0
ここで、Q = (VR + VE )−1

mt
VRttVR)(

Qmm

Qtm

Qmt

Qtt)(

R̂m − Rm0
R̂t − Rt0)(33)

であり、Q∗∗ の上添字は便宜的に付したものである。測定値が得られていないターゲットとなるパラメータについては、その測定値の分散を無限大と考えればよい [5]。すると、VR + VE に関して、モックアップのデータとターゲットのデータ間の相関はゼロとみなすことが出来る。従って、Qtm 、Qmt 、Qtt
5 文献 [8] には、拡張バイアス因子法と拡張炉定数調整法との等価性が論じられており、それについては後述する。なお、文献 [8] では重み()( T)−1として扱われていることに留意するとよい。
ai で構成されるベクトルは列ベクトルとして定義されており、AT = ST
S VS
R VS

4はいずれもゼロとなり、Qmm はモックアップに関する VR + VE の逆行列となる。以上より、R̃t および VR̃t として以下が得られる。

R̃tVR̃t=()
mt mm
Rt0 + VR
Q
R̂m − Rm,0(34)=mt mm tm
VR0t + VR
Q VR .

(35)

なお、これらの式からターゲットパラメータの測定値に相当する R̂t は結果に影響していないことが確認できる。
また、個々のターゲットパラメータに関する情報は別のターゲットパラメータの予測値 R̃t に影響することは無い（すなわち、どのようなターゲットパラメータのセットを考慮したとしても、個々のターゲットパラメータの予測値は変わらない）ことも、ここで指摘しておく。
これらの式は論文 [4] の式 (1) および (2) にそれぞれ対応する。ターゲットパラメータがモックアップパラメータの測定値の情報を反映することによって Rt0 から R̃t になったことから、この比がバイアス因子に対応することtになる。従って、対角成分が R0,iの逆数である対角行列を式 (34) に左から作用させたものがバイアス因子となる[4] 6 。
文献 [4] では、このバイアス因子を用いて得られる予測値 R̃t は、横山らにより提案された拡張炉定数調整法 [8]を用いて得られる予測値と同一となることが示されている（p.1496 の左欄）。また、拡張炉定数調整法の原著論文[8] によると、単一のターゲットパラメータを考えた場合の拡張炉定数調整法は、拡張バイアス因子法とターゲットパラメータの予測値が同一となるとされている（p.1170 の右欄）7 。これらより、単一のターゲットパラメータを考えた場合の予測値 R̃R は、本節で述べたバイアス因子法、拡張炉定数調整法、拡張バイアス因子法とで、いずれも同一となることになる。ただし、拡張炉定数調整法と拡張バイアス因子法の等価性に関しては、文献 [8] において以下の近似が導入されていることに注意が必要である（p.1170 の左欄）。

∏ax≈

1 + (lna) x,(36)

lnx

≈

(37)

(1 + xi )≈x − 1,
∑
1+xii

(38)i

なお、これらの仮定は、モックアップパラメータの C/E 値が 1.0 に近いと仮定することに対応している。以上をまとめると、単一のターゲットパラメータを考えた場合には、本節で述べたバイアス因子法と拡張炉定数調整法とは厳密に同一の予測値を与えるが、拡張バイアス因子法については、拡張炉定数調整法に対していくつかの近似が導入されていることから、厳密に同一の予測値を与える保証はないと言える。
なお、本節で述べたバイアス因子法は、第１節で示した通常のバイアス因子法とは異なることに注意が必要である。その例として、本節で示したバイアス因子法により単一のターゲットパラメータかつ単一のモックアップパラメータを扱う場合を考えよう。このとき、本節で示したバイアス因子法では、ターゲットパラメータのバイアス因子補正後の予測値は以下のように書ける（表記は第１節のものを用いる）。
′CR= CR +√ √√−1
VM VR Corr(R, M ) (VM ) (EM − CM ) = CR + VR /VM Corr(R, M ) (EM − CM )ここで、VR 、VM は絶対分散であることに注意し、以下のように変形を施す。
√′CR− CR
EM − C M
VR /CR=Corr(R, M )CR
VM /CMCM(39)(40)

これより、本節で述べたバイアス因子法は、通常のバイアス因子法のように計算値と実験値の「比」で考えるのではなく、それらについての「相対差」で考えていることが分かる。また、ターゲットとモックアップの相関の大きさが考慮されているという点でも通常のバイアス因子法と異なる。このバイアス因子法を用いた場合、バイアス6 このような考え方は文献 [7] の「data adjustment transposition method」に対応するものと考えてよいであろう。
7 なお、ここでの「単一の」ターゲットパラメータを考えた場合、についてであるが、このような前提を立てるのは、拡張バイアス因子法で扱うターゲットパラメータが１つに限定されているからである。すでに述べたように、ここで議論しているバイアス因子法及び拡張炉定数調整法では、考慮するターゲットパラメータのセットは個々のターゲットパラメータの予測値に影響を与えないため、基本的には「単一」とする前提は不要であると考える。

5補正前後の核データに起因する不確かさの関係は代表性因子 r を用いて以下の式で記述することが出来る（第１節脚注の式の再掲）。

∆R12 = ∆R02 (1 − r2 )(41)

つまり、この式は、第 1 節で述べた通常のバイアス因子法ではなく、本節で述べたバイアス因子法において適用可能であったということが言えよう。
なお、ここで示したバイアス因子法の式は、1988 年発行のテキスト「Uncertainty analysis」において Gandiniが「Data adjustment transpositiom method」（DATM）として解説しているものと本質的に同一である（文献中の p.244 における式 (146) と式 (148)）[7] 8 。また、代表性因子と不確かさの低減幅との関係についても同文献に詳しく言及されている（p.245 から p.247）。そこでは、DATM において、ターゲットパラメータとモックアップパラメータをそれぞれ 1 つに限定し、かつそれらの相関が強く、相対誤差が同程度であるといった前提条件を導入することにより、通常のバイアス因子法相当の式が得られる、という説明が行われている。

4

核データそのものをターゲットとしたときのバイアス因子
本節では、ターゲットパラメータを核データそのものとしたときにバイアス因子がどのような値をとるか考えよう。なお、ここでのバイアス因子法は第 3 節で述べたものとする。
mt
このとき、式 (34) における VRは、着目する核データ σi とモックアップパラメータセットの共分散となる。
()
σi とモックアップパラメータ Rj の共分散は、各々の平均値を σ̄i 、R̄j としたとき、(σi − σ̄i ) Rj − R̄j の期待値∂Rjに対応する。Rj − R̄j は感度係数を用いて∂σk

Rj − R̄j =∑ ∂Rjk∂σk(σk − σ̄k )(42)と書けるので、∑ ∂Rj∑ ∂Rj()(σi − σ̄i ) Rj − R̄j = (σi − σ̄i )(σk − σ̄k ) =(σi − σ̄i ) (σk − σ̄k )∂σk∂σkk(43)kより、核データの共分散行列 Vσ と感度係数行列 G を用いて
mt
VR= (Vσ G)i∗と書ける。従って、モックアップパラメータの情報を反映させたあとの核データ σ̃i は()σ̃i = σi,0 + (Vσ G)i∗ Qmm R̂m − Rm0(44)(45)となる。
この式は通常の核データ調整法における調整後核データの式と同一である。従って、核データそのものをターゲットとしたときのバイアス因子補正後の核データは、炉定数調整法における調整後核データと同一となる、ということが言えることになる。
これまでの議論から、DATM（第 3 節で述べたバイアス因子法を言い換えてこのように記述する）では、ターゲットパラメータセットの選択は、個々のターゲットパラメータの予測値に影響を与えないことが分かっている。
従って、上記のように、核データそのものをターゲットとしたときの DATM の結果として、通常の炉定数調整法における調整後核データと同一のものが得られるとするならば、DATM を用いて積分データの情報を核データにフィードバックすることと通常の炉定数調整法を用いることは本質的に同一と考えることが出来る。これまでの議論から、DATM は基本的には拡張炉定数調整法と等価であることが示されているので、拡張炉定数調整法（すなわち DATM）と通常の炉定数調整法との違いは、計算手法に起因する不確かさにおけるターゲットとモックアップの相関を考慮するか否かにあると言えよう。DATM では、計算手法に起因する不確かさはターゲットパラメー
8 文献 [7] の p.244 における式 (146)、(148) には、計算手法に起因する不確かさが考慮されていないが、それについては同文献の p.239に独立に記載されている。そこでは、計算手法に起因する不確かさ、バイアスを、核データと同様に新たな調整すべきパラメータとして扱うことが述べられており、そのような取り扱いを行うことで DATM は本節で述べたバイアス因子法の表式と等価になると言える。

6

タの予測値に反映するが、それはあくまで「計算手法の不確かさ」によるバイアスを補正しているだけであり、核データ自体にはその情報（計算手法誤差）は反映されていないと考えることが出来るであろう。
式 (45) のようにして得られた調整後核データを用いて Rt を推定した場合、以下の結果が得られる。
()( )T( )TR̃t = Rt0 + Gt (σ̃ − σ0 ) = Rt0 + Gt Vσ Gm Qmm R̂m − Rm0(46)Tmt
この式の (Gt ) Vσ Gm は式 (34) 中の VRのうちの核データの不確かさに起因する成分に対応する。言い換える
mt
mt
mtと、VRは、核データの不確かさに起因する成分 VR,σと計算手法の不確かさに起因する成分 VR,Nume. の和として記述することが出来るため、式 (34) は以下のように書ける。
()
()
mt
mt
mmmm
R̃t = Rt0 + VR,σQmm R̂m − Rm+VQR̂
−R0R,N ume.
0(47)

この式の右辺第二項が核データの不確かさに起因するバイアスを補正する成分、第三項が計算手法の不確かさに起因するバイアスを補正する成分と考えることが出来、このことはこれまでの議論と整合するものと言えるであろう。
以上では、DATM の枠組みでは、モックアップデータの情報を反映した核データは通常の炉定数調整法と同様に改訂されるものと考えるのが論理的に整合性が高いことを主張した。ただし、ここでは、計算手法の不確かさの共通成分を核データの反映に利用する拡張炉定数調整法が適切ではないと主張するものではない。それは、バイアス因子法と炉定数調整法とには、その活用方法の観点から大きな違いがあるからである。
バイアス因子法では、設計対象の炉物理パラメータを予測した後に、モックアップデータに基づくバイアス因子mtを計算する必要があり、設計対の評価が必要となる。式 (34) から明らかなように、バイアス因子の評価では VR

象の炉物理パラメータの感度係数を計算するか、ランダムサンプリングでこの共分散行列を推定する必要がある。
一方、炉定数調整法では、調整された炉定数により計算された値をそのまま予測値として用いることが出来るという利点がある。通常の炉定数調整法では、設計対象とモックアップデータとの計算手法に起因するバイアスの共通成分を考慮することができないが、拡張炉定数調整法では、設計対象、もしくはそれに近い炉物理パラメータとモックアップデータとの計算手法に起因するバイアスの共通部分も考慮した評価が可能となるという利点がある。

参考文献[1] 山本章夫、「不確かさ評価の基礎」、第 44 回炉物理夏期セミナーテキスト、(2012).
[2] G. Palmiotti, M. Salvatores, ‘Use of integral experiments in the assessment of large liquid-metal fast breeder
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[6] 千葉、「核データ調整の式の導出を試みた」.
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[8] K. Yokoyama, M. Ishikawa, T. Kugo, ‘Extended cross-section adjustment method to improve the prediction
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