令和元年度修士論文

核データの検証における有効部分空間を用いた積分データの有効性の定量化
原子炉工学研究室
今里

大智

北海道大学大学院 工学院
エネルギー環境システム専攻

目次

第１章

序論

1.1

背景..……………………………………………………………………………..……...2

1.2

研究目的…….………………….………………………………………...…….….……3

第２章

計算理論

2.1

感度係数の導入…………………………………………………………...…..…….….4

2.2

核データ空間と積分データ空間の導入………………………………….……….….5

2.3

特異値分解…………………………………………………………………………..….5

2.4

積分データ群の独立性の定量化…………………………………………………..….7

2.5

ASS を利用した核データの評価の流れ…………………………………………..…7

2.6

独立性の高いデータセットの抽出…………………………………………….…......9第３章

Compensation effect の一解釈………………………………………………....…10

第４章

積分データの作成と有効性の計算結果

4.1

感度係数行列の作成…………………………………………………………….....…..13

4.2

積分データ群の独立性の定量化手法の適用…………………………….…....….… 15

4.3

ASS による個々の核データの検証可能性の定量化………………………..………17

4.4

独立性の高いデータセットの抽出………………………………………....….……..17

4.5

エネルギー群構造による影響………………………………………………….…......18

4.5.1

積分データ群の独立性……………………………………………….…..…...…..194.5.2

個々の核データの検証可能性………………………………………..….…….....21

4.5.3

独立性の高いデータセットの抽出……………………………….….…….….....22

第５章

実際の積分データへの適用

5.1

対象とする積分データと核データ……………………………………….…………..235.2

感度係数の規格化………………………………………………………….…..…....…24

5.3

積分データ群の独立性の定量化……………………………………..……..….……..25

5.4

ASS による個々の核データの検証可能性の定量化………………….……..….…..27

5.5

独立性の高いデータセットの抽出………………………………………......……….28

第６章

結論…………………………………………………………………………...……….31

参考文献……………………………………………………………………………………….….32
謝辞…………………………………………………………………………………………….… 321

第 1 章 序論
1.1 背景原子炉設計の際には核特性パラメータを予め計算する必要がある。例えば、核特性パラメータの一つである中性子実効増倍率()は１世代後の中性子の数が何倍になるのかを表しており、原子炉設計ではこの値が原子炉の運転期間、ある範囲に収まるように燃料の濃縮度などを調整する。

などの核特性パラメータの計算には、中性子と原子核との反応確率などである核データが入力として必要である。
その核データに関わる測定データは微分データと積分データに分類される。微分データは核データの値そのものに対する測定データ、積分データは複数の核データに依存して決まるパラメータに対する測定データである。したがって、精度の良い積分データの解析には正確な核データが必要であり、積分デー
タの計算には膨大な数の核データが整備された評価済み核データライブラリを使用する。
現在、各国の様々な評価済み核データライブラリが更新されている。例として米国では ENDF/B、日本では JENDL、欧州では JEFF というライブラリが改良・更新されている。更新の際には核データの評価は核模型計算の結果や測定で得られたデータに基づいてもっとも確からしい値を推定し、推定した核データを反映したライブラリの性能を積分データの計算結果を用いて検証する。この推定作業において国ごとに核模型計算コードや重要視する測定データが異なるので、各ライブラリで核データの評価が異なる。その例として、図 1、図 2 に上記で挙げた 3 種類の比較的新しいライブラリの U-235 と Pu239 の非弾性散乱断面積を示す。

図 1 : U-235 の非弾性散乱断面積

図 2 : Pu-239 の非弾性散乱断面積

これらの図より、ライブラリによって核データの評価に大きな差異があることが確認できる。一方、各ライブラリの核データの評価が異なるにも関わらず、特定の原子炉の解析では各ライブラリを使用した解析値はいずれも実験値を精度良く再現している。異なるライブラリを使用して積分データを計算する場合、複数の核種・反応の評価の差異が積分データの計算値に与える影響は総合すると打ち消し合う効果を持つことがある[1]。この打ち消し合いのことを Compensation effect と呼び、これによって核データの評価が異なるにも関わらず積分データの計算値が実験値に近い値となる。Compensation effectについては第 3 章で説明する。
ライブラリの性能の検証の際に様々な体系の積分データを計算するが、独立性の高い積分データセッ
トが得られれば個々の核データを検証できる可能性が高い。実際に積分データを用いて個々の核データを検証する動きもある。そのような核データ検証を効率的に行うために、あらかじめ積分データ群の独立性を把握することは重要である。そして、使用する積分データセットでどの核データをどの程度検証可能であるか定量化することも効率的な核データ検証には必要である。また現在、膨大な数の積分デー
2

タが蓄積されているため全ての積分データを核データ検証に使用することは現実的ではない。積分デー
タ群から有効な積分データセットを抽出する手法の開発も効率的な核データ検証には必要である。

1.2

研究目的

1.1 節で述べたように、積分データを用いて個々の核データの検証をする動きもあるが、検証に用いる積分データは膨大な数が蓄積されており全てを用いることは現実的でない。効率的に核データの検証を行うために 1.1 節で挙げた問題点に関する手法の開発を行うことが重要である。したがって、本研究では以下の 3 点に関する手法を提示する。
1.

積分データ群の独立性の定量化

2.

ある積分データ群を用いた場合の個々の核データの検証可能性の定量化

3.

独立性の高い積分データセットの抽出

本研究では積分データの独立性を、積分データの核データに対する感度係数の類似性をもって評価する。感度係数とは、例えば入力、出力関係にある 2 つのデータを考えた時に、入力データを変動させると出力データがどの程度変動するかを表す指標である。
なお、上記の手法の有効性を検証するために、始めに仮想的な体系に対して限定された積分データと核データのみで考え、その後、実際の体系の複数の積分データ、複数の核データに対して上記 3 つの手法を適用する。

3

第 2 章 計算理論
2.1

感度係数の導入

積分データの計算には核データが入力として使用される。従って核データが変動すると積分データも変動する。その変動する指標として感度係数 というパラメータを導入する。例として積分データに、の に対する感度係数 を示している。

核データに を用いて感度係数を説明する。式(1)は
⁄
⁄

(1)

感度係数の物理的意味を考えるために式(1)を式(2)に書き直す。
∆∆

は核データ が∆ だけ変動したときの

⁄
∆ ⁄

(2)
0.5ならば、ある核データの変動量である。例えば、は 50%変動することを意味している。

σが 100%変動した時に

ここで２つのライブラリを考える。ある核データσについてのそれぞれのライブラリの評価値を,∆とし、それらの核データを使用して得られる

の値を

,

,

とする。ここでの差は以下の式で表すことができる。
(3)

∆
また、

∆

の相対変動

は感度係数を用いると以下のように書くことができる。

∆

∆

∙

(4)

∙

の相対変動は、 の相対変動と感度係数の積により得られ

つまり、核データ が変動したことによるることが分かる。

核データは核種 、反応 、エネルギー群 に依存するので
数を

, ,

と表記し、

に対する

, ,

の感度係

とすると、以下のように書くことができる。
, ,

∆

, ,

⁄

これにより、

, ,

, ,

, ,
, ,

は核種 、反応 、エネルギー群 の核データの差異が
と

の違いが

, ,

∆

⁄

, ,

(5)

に与える影響を示している。

のどの違いに起因しているのか定量的に評価することができる。

4

2.2

核データ空間と積分データ空間の導入

評価済み核データファイルにまとめられた個々の核データはそれぞれ評価値を持つ。我々はこれらの核データをベクトルと見なし、それらによって構成される空間を核データ空間と呼ぶ。そして、2.1 節
で説明した感度係数によって構成される空間を積分データ空間と呼ぶ。感度係数はある積分データの個々の核データに対する感度がパラメータであるため、積分データ空間は核データ空間の部分空間となる。次の図 3 は核データ空間内に部分空間を構成する積分データ空間の概念図である。

図 3 : 核データ空間と積分データ空間の概念図

2.3

特異値分解

感度係数は積分データの個々の核データに対する感度であるのでベクトルとして記述することができる。感度係数ベクトルから構成される積分データ空間を扱う際は、空間の基底成分を考えると便利である。我々は積分データ空間の基底成分を得るために感度係数ベクトル群で構成される行列に対して特異値分解を行う。特異値分解について以下で説明する。
行数 の列ベクトル が 個あるとし、 が各列を構成する行列 をと記述するものとする。そしを以下のように分解する。添え字の T は行列の転置を意味している。

て、(6)は以下のような対角構造をもつ。
0
0
0
⋮
0
0
⋮
0
s

n、s

m であり、

は

0
⋮
0
0
⋮
0

0
0
⋮
0
0
⋮
0

が特異値である。なお、

⋯
⋯
⋯
⋱
0
0
⋮
0

0
0
0
0
0
⋮
0

0
0
0
0
0
0
⋮
0

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯

0
0
0
0
0
0
⋮
0

(7)

は降順とする。

の零空間およびその補空間を張る正規直交基底ベクトルで構成される行列であり、以下のように表現される。
⋯
は

⋯

(8)

の零空間およびその補空間を張る正規直交基底ベクトルで構成される行列であり、次のよ

うに表現される。
5

⋯

(9)

⋯
、

転置行列との積が単位行列となる行列をユニタリ行列と呼び、はユニタリ行列となる。すな

わち以下のように記述できる。
(10)

,
,

(11)

I は単位行列である。これを使い、
(12)

,

(13)

,
のように変形することで以下の式が導かれる。

(14)

,
0

(15)

,
0

(16)

,

ここであるベクトル をベクトル群 が張る空間の座標系で
⋯

(17)

⋮

と記述するとき、この式(17)に式(6)を代入すると以下が得られる。

⋮
⋮

(18)

0
⋮
0

すなわち、ベクトル群 の線形結合で記述されていたベクトル は、正規直交基底 の線形結合で記述されることが分かる。つまり、ベクトル群 について、それが張る部分空間の次元数はsであり、その正規直交基底は ということが言える。また、 の寄与度合いは6に比例する。

2.4

積分データ群の独立性の定量化

積分データ群の独立性は感度係数群の独立性である。先行研究[2]では感度係数行列の特異値分解によって得られた有効な特異値の数から積分データ群の独立性を判断したが、独立性を定量化するために必要な有効な特異値の判断方法を提案していなかった。そこで我々は新たに積分データの独立性を定量化する手法を提案する。積分データ群の独立性は感度係数群の独立性であり、それは感度係数群が構成する空間の次元数と等しい。我々は感度係数群が構成する積分データ空間のことを有効部分空間(Active
Sub-Space、以降 ASS)と呼ぶ。したがって感度係数群の独立性を定量化する際に ASS の次元数を用いる。ASS の次元数は以下の手順で求める。
1. 複数の感度係数ベクトルから構成される行列の特異値分解によって、正規直交基底成分を得る。
2. 得られた正規直交基底成分から任意の次元の部分空間を作成し、元の感度係数ベクトルを部分空間へ直交射影する。
3. 2.で得た全ての直交射影ノルムがしきい値を超えた場合、その部分空間の次元数を ASS の次元数とする。
4. 2.で得た直交射影ノルムがしきい値を超えない場合、部分空間の次元数を 1 つ増やし 2 の手順へ戻る。なお、しきい値は 0.99 とした。

2.5

ASS を利用した核データの評価の流れ

2.4 節の ASS を利用し、個々の核データの検証可能性を定量化する。個々の核データを積分データで検証可能であるかを、積分データ空間である ASS に個々の核データが含まれているかどうかで判断する。図 4 に 3 次元の核データ空間の、感度係数ベクトルが張る ASS のイメージを示す。図 4 中の、は ASS を構成する正規直交基底ベクトルである。

図 4 : 感度係数の ASS と核データ着目している核データベクトルが ASS に含まれていない場合、そのベクトルを ASS に直交射影し、直交射影ベクトルのノルムをもって、検証可能な程度を定量化する。図 5 に ASS 内に存在しない核データを ASS に直交射影する概念図を示す。

7

図 5 : 核データの ASS への直交射影
例として、 行の列ベクトルが張る 次元のベクトル空間内に、 個の 行の列ベクトルが張る空間の次元数を考える。 個の 列ベクトルをは (行列と考え、2.4 節で提案した手法により 個のベクトル群)次元の ASS を構成することが分かる。

この 次元の ASS 内に目的のベクトルがあれば、 次元の ASS で記述できることになる。 次元のASS への直交射影の導出について説明するために、簡単な 3 次元のベクトル空間を考える。このベクトル空間内の を以下のように記述する。
(19)
そして、さらに以下のように書き直す。
(20)∙
ここで はユニタリ行列とする。式(20)にを左から乗じると(21)と記述することができる。ここで、3 次元のベクトル を、方向の 2 次元平面へ射影することを考える。2 次元平面に射影したベクトルを とすると(22)と記述でき、式(21)を使うと
1

0

0 ∙

∙

0 1

∙

∙

0 ∙

∙

(23)
(24)

と記述できる。式(24)の括弧の中はスカラーなので(25)と書き直す。つまり、3 次元ベクトル の 2 次元空間への直交射影 は、射影する 2 次元空間の正規直交基底行列とその転置行列の積を乗じることによって記述できることが分かる。
以上のことを踏まえて、核データの ASS への直交射影は下の式で表すことができる。
8

(26)
上の式の

は ASS の正規直交基底ベクトルを横に並べた行列であり、ユニタリ行列である。

は直交射影成分である。そして、個々の核データについてその直交射影成分を取り出すには、以下のようにに を乗じる。
(27)
は 列目が 1 であり、それ以外の成分は零の単位行ベクトルである。

に を乗じることによって 番

目の核データの直交射影成分を取り出すことができる。 の 2-ノルムが目的のベクトルの ASS への直交射影成分の長さとなる。

2.6

独立性の高いデータセットの抽出

これまで説明したように個々の核データは核データ空間を構成し、積分データの個々の核データに対する感度係数ベクトル群は核データ空間内に存在し、ASS を構成する。効率的な積分データセットの抽出のために我々は最少の組み合わせで ASS を再現できるようなデータセットを抽出する。感度係数行列の特異値分解により得られた第 1 基底成分は ASS の構成に最も貢献しているデータであるので、我々はこの第 1 基底成分に着目した抽出手法を開発した。データセットを抽出する手順は以下の通りである。
1.

ASS を再現するために、最初に第 1 基底成分と全ての感度係数ベクトルの内積を計算し、値が最大のデータが第 1 基底成分と類似のデータであるので選択する。

2.

効率的に次元数を拡張するためには独立性の高いデータを選択する必要がある。したがって、
次に 1.で選択した感度係数ベクトルと全ての感度係数ベクトル群の内積を計算し、最も値の小さいデータを選択する。

3.

1.と 2.から構成されるデータ空間の次元拡張のため、全ての感度係数ベクトル群をこのデータ空間へ直交射影し、ノルムが最小となる感度係数を選択する。

以降、データ空間への全ての感度係数の直交射影ノルムがほぼ 1 となるまで 3.を繰り返す。この手順ではデータの抽出順が ASS を再現するための重要度合いとなる。また、今回は直交射影ノルムが 0.99 以上となった場合、ほぼ 1 であると見なす。下の図 6 は上記の手順の概念図である。

図 6 : 独立性の高いデータセットの抽出手順

9

第3章

Compensation effect の一解釈

この章では Compensation effect を証明することによって核データ空間と積分データ空間の理論が正しいことを示す。第 1 章で述べたように核データはライブラリによって値が異なる。すなわち核データ
空間上において個々の各ライブラリの個々の核データの値が異なることを意味している。次の図 7 は U235 の核分裂断面積について JENDL-4.0 を基準とした各ライブラリとの相対差を示している。

図 7 : JENDL-4.0 を基準とした各ライブラリの核データの値の相対差
この図を見るとライブラリごとで核データの値に大きく差異があることが分かる。
次に各ライブラリの核データの評価値を用いて計算される積分データの値の差異を示す。積分データ
は

と反応率比

である。

とは、中性子と原子核との反応がどの程度起こっているか表すパラメータである反応率の異なる核種・反応の比を示すものである。2 つの核種 ・ の核分裂反応率は以下の式(28)で表される。
,
,

(28)

図 8 に各ライブラリで計算した積分データの差異を示す。また、この計算に用いた積分データの体系と核データを表 1 と表 2 として章の最後に示す。

10

図 8 : JENDL-4.0 を基準とした各ライブラリを用いた積分データの値の相対差
Integral data ID=1~14、15~32 がそれぞれとである。この図を見ると 14 番目の積分データまでは JENDL-3.2 と JENDL-4.0 の積分データの値の差異が大きく、それ以外のライブラリ間では差異が小さいことが分かる。また、15 番目以降ではどのライブラリ間でも積分データの差異が大きいことが分かる。まず、全体として JENDL-3.2 と JENDL-4.0 の差異が大きい理由は JENDL-4.0 と ENDF/BVII.1、JEFF-3.2 は比較的新しいライブラリであるのに対して JENDL-3.2 のみライブラリが古いからである。
次に積分データの種類の違いによって各ライブラリ間の積分データの差異の傾向が異なる理由について述べる。それはよりもの方が評価済み核データライブラリの更新の際に重宝されているからである。ライブラリの更新により各核データの推定値を決める際に、ライブラリを用いた積分データの計算結果がフィードバックされる。そのとき、8 のようにのみ差異がほぼ無く、よりものフィードバック結果を重要視するため図はどのライブラリ間でも差異が大きくなっている。

以上、図 7 と図 8 より各ライブラリの核データは核データ空間上では値が大きく異なるが、各ライブ
ラリを用いた積分データの値は古いライブラリを除き、ではほぼ等しくなることを確認することができた。つまり、各核データの値は核データ空間上では異なるが、積分データ空間上ではほぼ等しいということである。
第 2 章で提案した手法には核データ空間と積分データ空間の概念が用いられているが、この章でのCompensation effect の一解釈をそれらの概念を用いて行った。

11

表 1 : 積分データ一覧
Data ID

Name

Data ID

Name

1

Jezebel15

F28/F25 in Godiva

2

Jezebel-Pu

16

F37/F25 in Godiva

3

Jezebel-233

17

F23/F25 in Godiva

4

Godiva18

F49/F25 in Godiva

5

Flattop-Pu

19

F28/F25 in Jezebel

6

Flattop-U

20

F37/F25 in Jezebel

7

Flattop-233

21

F23/F25 in Jezebel

8

Big-ten22

F49/F25 in Jezebel

9

Thor(Pu w Th Ref.)23

F28/F25 in Jezebel-233

10

PMF010(Pu w NU Ref.)24

F37/F25 in Jezebel-233

11

U3MF002-1(U-233 w HEU Ref.)25

F28/F25 in Flattop-U

12

U3MF002-2(U-233 w HEU Ref.)26

F37/F25 in Flattop-U

13

U3MF003-1(U-233 w NU Ref.)27

F23/F25 in Flattop-U

14

U3MF003-2(U-233 w NU Ref.)28

F49/F25 in Flattop-U

29

F28/F25 in Flattop-Pu

30

F37/F25 in Flattop-Pu

31

F28/F25 in Flattop-233

32

F37/F25 in Flattop-233

表 1 の Ref.は反射体、F28、F25、F37、F23、F49 はそれぞれ U-238、U-235、Np-237、U-233、Pu239 の核分裂断面積を表している。
表 2 : 核データ一覧
Index

NuclideND

Index

NuclideND

Index

Nuclide

ND

1-

U-233

n,f

2241-

Pu-239n,f4481-

Th-232

n,f

71-

U-233

n,g

2311-

Pu-239n,g

4551-

Th-232

n,g

141-

U-233

n,n

2381-

Pu-239n,n

4621-

Th-232

n,n

211-

U-233

n,n'

2451-

Pu-239

n,n'

4691-

Th-232

n,n'

281-

U-233

n,2n

2521-

Pu-239

n,2n

4761-

Th-232

n,2n

351-

U-233

mu_bar2591-

Pu-239mu_bar4831-

Th-232

mu_bar

421-

U-233

nu_bar2661-

Pu-239nu_bar4901-

Th-232

nu_bar

491-

U-233

χ

2731-

Pu-239χ

4971-

Th-232

χ

561-

U-234

n,f

2801-

Pu-240n,f5041-

Np-237

n,f

631-

U-234

n,g

2871-

Pu-240n,g5111-

Np-237

n,g

701-

U-234

n,n

2941-

Pu-240n,n5181-

Np-237

n,n

771-

U-234

n,n'

3011-

Pu-240

n,n'

5251-

Np-237

n,n'

841-

U-234

n,2n

3081-

Pu-240

n,2n

5321-

Np-237

n,2n

911-

U-234

mu_bar3151-

Pu-240mu_bar5391-

Np-237

mu_bar

981-

U-234

nu_bar3221-

Pu-240nu_bar5461-

Np-237

nu_bar

1051-

U-234

χ

3291-

Pu-240χ

5531-

Np-237

χ

1121-

U-235

n,f

3361-

Pu-241

n,f

1191-

U-235

n,g

3431-

Pu-241

n,g

1261-

U-235

n,n

3501-

Pu-241

n,n

1331-

U-235

n,n'

3571-

Pu-241

n,n'

1401-

U-235

n,2n

3641-

Pu-241

n,2n

1471-

U-235

mu_bar3711-

Pu-241

mu_bar

1541-

U-235

nu_bar3781-

Pu-241

nu_bar

1611-

U-235

χ

3851-

Pu-241

χ

1681-

U-238

n,f

3921-

Pu-242

n,f

1751-

U-238

n,g

3991-

Pu-242

n,g

1821-

U-238

n,n

4061-

Pu-242

n,n

1891-

U-238

n,n'

4131-

Pu-242

n,n'

1961-

U-238

n,2n

4201-

Pu-242

n,2n

2031-

U-238

mu_bar4271-

Pu-242

mu_bar

2101-

U-238

nu_bar4341-

Pu-242

nu_bar

2171-

U-238

χ

4411-

Pu-242

χ

12

第４章

積分データの作成と有効性の計算結果

本研究では 2012 年 4 月より北海道大学原子炉工学研究室で開発してきた汎用炉物理解析コードシス
テム CBZ を用いて媒質データの作成、計算対象とする臨界集合体データの作成、感度係数の計算を行った。本研究で用いるの個々の核データに対する感度係数は中性子束と随伴中性子束から計算している。そして計算で得た感度係数ベクトル群を対象に第 2 章で提案した手法を用いて独立性の定量化と個々の核データの検証可能性の定量化、独立性の高いデータセットの抽出を行う。用いるデータは仮想的な球体臨界炉のと U-235 の核分裂断面積に対する感度係数であり、臨界炉は濃縮度が異なる U-

235 と U-238 からなる燃料にて構成される。使用する評価済み核データライブラリは JENDL-4.0 である。なお、核データのエネルギー群数は 276 である。このエネルギー構造は高速炉解析で用いられる 70
群のエネルギー領域の内、上から 69 個採用したものを等レサジーで 4 等分したものである。70 群の下限エネルギーは 1e-5[eV]であり、レサジー幅が他と異なるので最後のエネルギー領域は使用しないこと
にした。

4.1

感度係数行列の作成

球体臨界炉のの U-235 の核分裂断面積に対する感度を得るために球体炉の半径と U-235 の濃縮

度を 7~100%まで 1%ずつ変更して 94 個の感度係数ベクトルを作成した。次の図 9 に U-235 の濃縮度と球形臨界炉の半径の関係を示す

図 9 : 球形臨界炉の半径と U-235 の濃縮度
図 10 に、得られた 94 個の感度係数ベクトルの内、6 つの異なる濃縮度の燃料を用いたデータを示す。

13

図 10 :の U-235 の核分裂断面積に対する感度係数ベクトル

図 10 より U-235 濃縮度が高くなるにつれて感度はわずかに大きくなっていることが確認できる。また、感度が最大値をとるエネルギーが、濃縮度が高くなるにつれて高エネルギー側にシフトしていることも確認できる。U-235 濃縮度が高くなると感度が大きくなる原因は、に対する U-235 の核分裂断面積の影響が大きくなるからである。また、U-235 濃縮度が変わると感度の最大領域がシフトする理由
は、U-235 濃縮度が高くなると原子炉の半径が小さくなり、中性子が体系から漏れやすくなることによって原子核と非弾性散乱反応をする機会が少なくなるからである。したがって、U-235 の高濃縮度体系
では中性子のエネルギーが比較的失われず、低濃縮度体系よりも反応を起こすピークが高エネルギー側にシフトする。

14

4.2

積分データ群の独立性の定量化手法の適用

この節では 2.4 節で提案した独立性の定量化手法を 4.1 節で作成した感度係数ベクトル群に適用する。
次の図 11 は感度係数ベクトル群を行列と見なし、特異値分解により得られた特異値である。

図 11 : 94 個の感度係数ベクトル群から得られた特異値の分布図
図 11 を見ると 10 番目以降の特異値の分布の傾きが大きく変化していることが分かる。この場合、一般的には独立性を 10 とする考えもある。しかし、1 番目と 10 番目の特異値を比較すると値が 6 桁も異なるため、我々は独立性の定量化にこの考えを適用することは適していないと考える。
次に我々が提案した手法を用いて 94 個の感度係数群の独立性を定量化する。次の図 12 は感度係数ベクトル群を各次元の部分空間へ直交射影したノルムである。

図 12 : 感度係数群の各次元の部分空間への直交射影ノルム
15Data ID=1, 94 はそれぞれ U-235 濃縮度 7%、100%のデータに対応する。94 個の感度係数ベクトル
を 3 次元の部分空間へ直交射影したとき、全てのノルムが 0.99 以上となった。これは 94 個の感度係数
ベクトルから構成される ASS は 3 次元であり、独立性は 3 であることを意味する。したがって以降の「個々の核データの検証可能性の定量化」と「有効な積分データセットの抽出」に用いる ASS の基底成分には感度係数行列の特異値分解によって得られた基底成分の内、支配的な順に 3 つ採用する。図 13に ASS の基底成分を示す。

図 13 : ASS の基底成分

16

4.3

ASS による個々の核データの検証可能性の定量化

2.5 節で提案した個々の核データの検証可能性の定量化手法を 276 群の U-235 の核分裂断面積に適用した結果を図 14 に示す。

図 14 : U-235 の個々の核分裂断面積の検証可能性
定量化手法には積分データとして 4.2 節で作成した 3 次元の ASS を用いた。図 13 から個々の核デー
タの検証可能性は最大でも 0.25 程度であることが分かる。これは最も検証可能性の高い核データでも積分データ空間に対して 75 度の角度を持つということを示している。また、エネルギー領域が10 [eV]
以下の U-235 の核分裂断面積は 94 個の積分データではほぼ検証できないことを示している。

4.4

独立性の高いデータセットの抽出

2.6 節で提案した手法を用いて 94 個の感度係数ベクトル群から独立性の高いデータセットを抽出する。その結果、U-235 濃縮度 54%, 7%, 100%のデータが順に抽出された。2.6 節で述べた通り、抽出された順番が早いデータが ASS を再現するためにより重要なデータである。抽出されたデータは順に U235 濃縮度が中間値のデータと最も小さいデータ、最も高いデータである。そして抽出したデータセッ
トの中で最も価値の高いデータは濃縮度 54%である。今回用いるデータが、計算体系が濃縮度のみを変更した全て似たような条件の感度係数ベクトルであることを考えると、この結果から我々の提案する独立性の高いデータセットの抽出手法には妥当性があると考えられる。

17

4.5

エネルギー群構造による影響

今回はテストとして 276 群の核データを用いた。核データは基本的には連続エネルギーで与えられ、積分データの計算を行うために多群近似される。そこで異なるエネルギー群の感度係数ベクトルを用意することで、エネルギーの離散化が今回の 3 つの手法に与える影響について調べる。影響を確認するために第 4 章で使用した 276 群の核データのレサジー幅を 2 倍にした 138 群と、4 倍にした 69 群のエネ
ルギー群の感度係数ベクトルを用意した。そして、69 群と 138 群、そして 276 群の 3 つの感度係数ベクトル群について以下の 3 点を比較する。
1.

積分データ群の独立性

2.

個々の核データの検証可能性

3.

独立性の高いデータセットの抽出

18

4.5.1

積分データ群の独立性

各エネルギー群の感度係数ベクトル群に 2.4 節で提案した独立性の定量化手法を適用した結果を図15、図 16、図 17 に示す。

図 15 : 69 群の感度係数群の各次元の部分空間への直交射影ノルム

図 16 : 138 群の感度係数群の各次元の部分空間への直交射影ノルム

図 17 : 276 群の感度係数群の各次元の部分空間への直交射影ノルム
これらの図を見ると、全てのエネルギー群の感度係数ベクトル群において、部分空間の次元数が 3であるとき全ての直交射影ノルムが 0.99 以上となる。そして、各エネルギー群の感度係数ベクトル群
により構成される ASS は 3 次元である。また、感度係数群ごとの各次元の部分空間への直交射影ノルムを比較すると値はほぼ等しい。
19

次の図 18 と図 19、図 20 は各エネルギー群の核データを用いた ASS の基底成分である。

図 18 : 69 群の ASS の基底成分

図 19 : 138 群の ASS の基底成分

図 20 : 276 群の ASS の基底成分
これら 3 つの図を比較すると第 1 基底成分と第 2 基底成分、第 3 基底成分の形状はいずれの群数でもほぼ等しいことが分かる。つまり、異なるエネルギー群の感度係数群を用いても、我々の独立性の定量化手法と、独立性を次元数とした ASS の構成には影響が無いことが分かる。

20

4.5.2

個々の核データの検証可能性

各エネルギー群の感度係数群ベクトル群に 2.5 節で提案した手法によって定量化した個々の核データの検証可能性を図 21 に示す。

図 21 : 3 種類のエネルギー群の U-235 の個々の核分裂断面積の検証可能性
各エネルギー群の個々の核データの検証可能性を比較すると、検証可能性を表す個々の核データの
ASS への直交射影ノルムが異なることが分かる。これはエネルギー群によって基底ベクトルの各要素の値が異なることが原因である。次の式(25)は 2.5 節で述べた個々の核データの検証可能性を計算する式
である。
(25)
この式を見ると個々の核データの検証可能性は ASS の基底成分の行列によって決まることが分かる。
基底成分の行列は ASS が 3 次元なので3である。そして、エネルギー群数は基底ベクトルの要素の数である に対応する。基底成分の行列にその転置行列を乗じることによって得られた行列の行成分が対応するエネルギー群の核データの検証可能性を示す。次の図 22 はその検証可能性を示す行列成分を表したものである。

21

図 22
基底成分を表す行列の概念図の各基底ベクトルのノルムは 1 であるので基底ベクトルの要素数が大きくなると基底ベクトルの各要素の値が小さくなる。そのような基底ベクトルから構成される行列にその転置行列を乗じることによって得られた行列の個々のエネルギー群に対応する基底成分は小さくなる。その結果、各行が個々のエネルギー群の核データの検証可能性である各行のノルムは小さくなる。
したがって、個々の核データの検証可能性を定量化する手法を異なるエネルギー群数の感度係数ベク
トル群に適用した場合、エネルギー群数が大きくなればなるほど検証可能性が小さくなる。これは核データ検証を物理的な観点から見た結果と一致している。核データを実際にエネルギー群ごとに検証する
際に、極限までエネルギー群数を大きくすると、各中性子エネルギーに対応する核データの値をピンポ
イント検証しなければならず、それは不可能と言える。

4.5.3

独立性の高いデータセットの抽出

3.5 節で提案した手法を用いて 69 群と 138 群、276 群の核データを用いた感度係数群から独立性の高いデータセットを抽出した。結果、どのエネルギー群数のデータ群からも 7%, 54%, 100%のデータセットが抽出された。4.5.1 節より、我々が提案する抽出手法に用いる ASS の基底成分はエネルギー群が変化しても形状がほとんど変化しないため、どのエネルギー群でも結果は変わらなかった。したがって、
独立性の高いデータセットを抽出する場合、異なるエネルギー群の感度係数ベクトル群を用いても結果は同じとなる。

22

５章 実際の積分データへの応用
5.1

対象とする積分データと核データ

第４章では仮想の簡易的な体系で計算された一種類のみの積分データと核データを用いた。第 5 章では複数の核種・反応を検証対象として、実在する複数種類の積分データを用いた感度係数群に第 2 章で提案した手法を適用する。この章で用いる実在する積分データの一覧は第 3 章の表 1 である。表 1 に記した炉心体系の燃料と反射体の原子数密度について以下の表 3～表 14 に示す。
表 3 : Jezebel

表 4 : Jezebel-Pu

表 5 : Jezebel-233

表 6 : Godiva

表 7 : Flattop-Pu

NuclideNuclideCore

Reflector

NuclidePu-239

U-234

U-234

U-234

Pu-240U-235

Pu-241

U-235

U-235

Pu-241

U-238

Pu-242

U-238

U-238

Ga

NuclideGa

NuclideGa

Pu-239U-233

Pu-239Pu-240Pu-240Pu-241

表 8 : Flattop-U

Nuclide表 9 : Flattop-233

表 10 : Big-ten

NuclideNuclideCore

ReflectorCore

ReflectorCore

Reflector

U-233

U-235

U-234

U-234

U-234

U-234

U-234

U-238

U-235

U-235

U-235

U-235

U-235

U-236

U-236

U-238

U-238

U-238

U-238

U-238

表 11 : Thor

表 12 : PMF010

NuclideNuclideCore

ReflectorCore

Reflector

Pu-239Th-232

Pu-239

U-235

Pu-240Pu-240U-238

Pu-241

Pu-241

GaGa

表 13 : U3MF002-1&2

表 14 : U3MF003-1&2

NuclideNuclideCore

ReflectorCore

Reflector

U-233

U-235

U-233

U-235

U-234

U-238

U-234

U-238

U-238

U-238
23

検証対象の核データの一覧は第 3 章の表 2 である。用いるライブラリは JENDL-4.0 であり、エネル
ギー群数は 70 である。

5.2

感度係数の規格化

我々が提案する手法は特異値分解を用いており、対象とする行列は核データに対する積分データの感度係数ベクトル群である。第４章では積分データとしてのみを用いたが、実際の核データの検証には種類が異なる積分データの感度係数を扱う場合がある。例えば、積分データとして合を考える。一般的にを積分データとして用いた感度係数は

と

を扱う場

を用いたものよりも値が大きい。こを用いた感度係数の重要度が低下して扱われる可能性がある。

の場合、特異値分解の際に値が小さい

この問題に対して各感度係数の規格化が有効である可能性があるため検証を行う。
感度係数の規格化の有効性を確認するために用意した感度の値が大きく異なる 2 種類のデータを表
15 に示す。
表 15 : 感度が大きく異なる 2 種類のデータ
Data

VectorA[1, 1.01, 1]

B[1000, 1000, 1000]

そして、Data A, B を並べて行列とする場合と各データで規格化して行列とする場合の 2 つのケースを考える。規格化の有効性を確認する手順は以下の通りである。
1.

データ行列の第 1 基底成分を特異値分解によって得る。

2.

データ A とデータ B を第 1 基底成分に直交射影しノルムを得る。

データは 2 つのみなので、この 2 つのデータから構成される空間の第 1 基底成分への各データの直交射
影ノルムは等しくなるはずである。もし、各データの直交射影ノルムが異なり、データ B の値が 1 である場合、第 1 基底成分はデータ B であり、これは特異値分解の際にデータ A の重要度が低下して扱われていることを意味する。
規格化をしない場合の各データの直交射影ノルムを表 16 に示す。
表 16: 規格化しない場合の第 1 基底成分への直交射影ノルム
Data

Orthogonal projection norm

A

0.999989

B1

この結果を見ると特異値分解の際にデータ A の重要度が低下して扱われていることが分かる。次の図22 はこの結果の概念図である。

24

図 22 : Data A, B の第 1 基底成分への直交射影の概念図
A’はデータ A の直交射影ノルムでありは第 1 基底成分である。

次にデータをそれぞれ規格化した場合の直交射影ノルムを表 17 に示す。
表 17 : 各データで規格化した場合の第 1 基底成分への直交射影ノルム

Data

Orthogonal projection norm

A

0.999997

B

0.999997

各データの第 1 基底成分への直交射影ノルムは等しくなった。これは値が小さいデータの重要度が低下して扱われずに特異値分解が行われたことを意味する。この結果より、異なる種類の積分データを扱う
場合は規格化が必要であることがわかる。したがって、第５章で扱う積分データ群に対しては各感度係数で規格化を行う。

5.3

積分データ群の独立性の定量化

32 個の感度係数ベクトル群の独立性を定量化する。次の図 23 は 32 個の感度係数ベクトル群の行列の特異値分解によって得られる特異値の分布図である。

図 23 : 32 個の感度係数ベクトル群から得られた特異値の分布図2532 個の感度係数ベクトル群から得られた特異値も傾きが水平にならず、特異値の分布からは独立性を定量化することは困難である。
次に 2.4 節で提案した手法を 5.1 節の感度係数ベクトル群に適用する。次の図 24 は感度係数ベクトル群を各部分空間へ直交射影したノルムを示している。

図 24 : 感度係数群の各次元の部分空間への直交射影ノルム上の図は 32 個の積分データセットの独立性が 13 であるということを示している。全ての感度係数の直交射影ノルムが 0.99 を超えたのは部分空間の次元数が 13 となったときである。したがって 32 個の感度係数が構成する ASS の次元数は 13 である。
次に ASS の主要な基底成分を図 25 に示す。

図 25 : ASS の第 1～第 4 基底成分26

次に、ASS の主要な基底成分の内、大きさが 0.25 以上である基底成分に対応する核データを次の表
18 に示す。
表 18 : 値が大きい基底成分に対応する核データ
Index

Nuclide

Norm

Order of basis vector

426

U-233(nu_bar)

0.267

2

427

U-233(nu_bar)

0.279

2

428

U-233(nu_bar)

0.262

2

1126

U-235(n,f)

0.273

1

1127

U-235(n,f)

0.296

1

1128

U-235(n,f)

0.287

1

1129

U-235(n,f)

0.265

1

1684

U-238(n,f)-0.261

4

1685

U-238(n,f)-0.34741686

U-238(n,f)-0.41941687

U-238(n,f)-0.42941688

U-238(n,f)-0.283

4

2666

Pu-239(nu_bar)

0.251

3

2667

Pu-239(nu_bar)

0.264

3

2668

Pu-239(nu_bar)

0.251

3

上の表を見ると各核種の核分裂断面積,と平均発生中性子数_に対応する基底成分の値が大きいことが分かる。

5.4

ASS による個々の核データの検証可能性の定量化

2.5 節で提案した手法を用いて個々の核データの検証可能性を示す。その際に用いる積分データとして 5.2 節で作成した 13 次元の ASS を採用する。次の図 26 は 32 個の感度係数ベクトルで構成される
13 次元の ASS を用いた個々の核データの検証可能性を示している。

図 26 : 13 次元の ASS による 70 群の個々の核データの検証可能性
27この結果から、32 個の積分データセットを用いた個々の核データの検証可能性は最大でも 0.5 程度であることが分かる。これは全ての核データが ASS より 60 度起き上がったベクトルであることを意味しており、個々の核データを独立に検証することは不可能であることを意味している。次の表 19 に検証可能性が比較的大きい 0.4 以上である核データを示す。
表 19 : 検証可能性が比較的大きい核データ

Index

NuclideValidation possibility

1127

U-235(n,f)

0.404

1619

U-235(χ)

0.451

1686

U-238(n,f)

0.471

1687

U-238(n,f)

0.482

上の表を見ると検証可能性が大きい核データは核分裂断面積,と核分裂スペクトル

であることが分かる。

5.5

独立性の高いデータセットの抽出

2.6 節で提案したデータセットの抽出手法を用いて 32 個の感度係数群から ASS を再現できるような独立性の高いデータセットを抽出する。抽出されたデータセットを表 20 に示す。
表 20 : 抽出されたデータ
Data ID

Name

32

F37/F25 in Flattop-233

1

Jezebel11

U3MF002-1(U-233 w HEU Ref.)

8

Big-ten25

F28/F25 in Flattop-U

21

F23/F25 in Jezebel

4

Godiva28

F49/F25 in Flattop-U

19

F28/F25 in Jezebel

23

F28/F25 in Jezebel-233

5Flattop-Pu

26

F37/F25 in Flattop-U

27

F23/F25 in Flattop-U

30

F37/F25 in Flattop-Pu

7

Flattop-233

22

F49/F25 in Jezebel

9

Thor(Pu w Th Ref.)2

Jezebel-Pu

28次に抽出したデータの内、最も重要な 5 つのデータを表 21 に示す。
表 21 : ASS の再構築のために重要である 5 つのデータ

Data ID Main component

Integral data

Reflector

32

U-233

rrr(Np-237/U-235)○

1

Pu-239

keff

×

11

U-233

keff

×

8

U-235

keff

○

25

U-235

rrr(U-238/U-235)○

2.6 節で述べた通り、抽出された順番が早いデータが ASS を再現するためにより重要なデータである。表 21 の 5 つのデータを見るとデータの特徴が偏っていないことが分かる。これは独立性の高いデータを抽出していることを意味する。
次に抽出した感度係数ベクトルから構成される積分データ空間と 13 次元の ASS を比較する。それぞれの空間を構成する 13 個の基底成分の内、空間の構成に支配的な順に 4 個の基底成分をそれぞれ用意した。図 27 に 32 個の感度係数ベクトル群の ASS の基底成分を示す。そして我々が提案した手法によって抽出された 18 個の感度係数群から構成される積分データ空間の基底成分を図 28 に示す。

図 27 : ASS の基底成分

図 28 : 再構築した積分データ空間の基底成分

32 個の感度係数ベクトル群の ASS と 18 個の抽出した感度係数ベクトル群から再構築した積分デー
タ空間の第 1 基底成分から第 4 基底成分までを比較する。図 27 と図 28 より第 1 基底成分と第 4 基底成分の形状がほぼ同じであることが分かる。特に、第 1 基底成分は空間の構成に最も支配的なので、この結果は再構築した積分データ空間が ASS に似ており、抽出手法に妥当性があることを意味する。また、ASS の第 3 基底成分は再構築した積分データ空間の第 2 基底成分に対応していることが分かる。そして、ASS の第 2 基底成分は再構築した積分データ空間の第 3 基底成分に対応している。基底成分の入れ替えの影響を見るために、各基底成分の空間への寄与度合いを示す特異値成分を図 29、
図 30 に示す。

29

図 29 : 32 個と抽出した 18 個の感度係数群から成る積分データ空間の特異値成分
次に今回着目している第 1～第 4 基底成分の特異値と対応する基底成分の空間への寄与度合いを表
22、表 23 に示す。
表 22 : ASS の特異値

表 23 : 再構築した積分データ空間の特異値

特異値 寄与度[%]

特異値 寄与度[%]

1

31.1

1

31.3

0.796

19.7

0.846

22.4

0.734

16.7

0.641

12.9

0.616

11.8

0.598

11.2

表 22 と表 23 より基底成分の入れ替えが無かった第 1 基底成分と第 4 基底成分の空間への寄与度合いはほぼ等しく、ASS で第 2 基底成分であった基底成分の空間への寄与度は空間を再構築することによって 6.8%低くなり、ASS で第 3 基底成分であった基底成分の空間への寄与度は約 5.7%大きくなったことが分かる。この結果から、入れ替えのあった基底成分の影響はさほど大きいものでは無く、抽出された感度係数データによって ASS に似た積分データ空間を構築することができたと考える。

30

第 6 章 結論
積分データを用いた効率的な核データ検証のために、仮想的な体系の感度係数群と実在する体系の複数種の積分データと核データを扱った感度係数群を対象に以下の 3 点を定量化する手法を提案した。
1.

データ群の独立性

2.

個々の核データの検証可能性

3.

独立性の高いデータセットの抽出

その結果、3.に関しては適用した 2 つのケースで手法の妥当性を確認することができた。
また、上記 3 点の手法について、対象の核データのエネルギー群数が異なる場合の影響を調べた。その結果、1.と 3.の手法についてはエネルギー群数が異なっていても同じ結果が得られたのに対して、2.
はエネルギー群数が多ければ検証可能性が小さくなることを説明した。

31

参考文献
[1] G. Palmiotti, Et al., NEA/NSC/R (2016) 6 (2017)[2] 今里大智、千葉豪、奈良林直、山本泰功、「部分空間法を用いた積分データの有効性の定量化」、北海道大学卒業論文(2017)[3] The JEFF team, “JEFF-3.2: Evaluated nuclear data library.” http://www.oecdnea.org/dbdata/jeff, 2014.
[4] K. Shibata, O. Iwamoto, T. Nakagawa, N. Iwamoto, A. Ichihara, S. Kunieda, S. Chiba, K.
Furutaka, N. Otuka, T. Ohsawa, T. Murata, H. Matsunobu, A. Zuk-eran, S. Kamada, and J.
Katakura, “JENDL-4.0: A new library for nuclear science and engineering,” J. Nucl. Sci. Technol.,Vol. 48, pp. 1–30, 2011.
[5] Carl D. Meyer(2000) ”Matrix Analysis and Applied Linear Algebra”[6] M. Chadwick, M. Herman, Et al., “ENDF/B-VII.1 nuclear data for science and technology: Cross
sections, covariances, fission product yields and decay data,” Nuclear Data Sheets, Vol. 112, No. 12,
pp. 2887 – 2996, 2011. Special Issue on ENDF/B-VII.1 Library.

謝辞
指導教官の千葉豪准教授には研究や修士論文制作の際に多大な手助けをしていただきました。山本泰功助教にも報告会などを通して有意義な助言をしていただきました。協力してくださった先生方に深く感謝致します。また、分からないことを教えてくださった研究室の皆様にも厚く御礼申し上げます。

32