Pn 法と Sn 法の等価性を実際に確認する
千葉豪
平成 26 年 8 月 11 日

1

Pn 法と Sn 法の等価性を数値計算で実際に確認する

Sn 法と Pn 法の等価性を数値計算により確認する。計算体系は全て一次元平板とし、Sn 法ではGauss-Legendre の求積セットを用いる。

1.1

一群二領域固定源問題

文献 [1] に記述されている一群二領域固定源問題を対象とした。この体系では、厚さ 1cm の二種類の平板が隣接して置かれており、両側の境界条件として反射条件が与えられている。また、ふたつの平板のうちの片方に等方中性子源が置かれている。
吸収反応率空間分布に着目し、Sn 法と Pn 法の計算結果を比較した。結果を Fig. 1 に示すが、PN 計算と SN +1 計算の結果が完全に一致していることを確認できる。
0.6

Absorption rate

0.55

0.50.45S2S4S6P1P3P50.40.3500.20.40.60.811.2X [cm]1.41.61.82Fig. 1: Absorption rate of one-group two-region fixed source problem

11.270 群高速炉周期配列固有値問題

厚さ 5cm の高速炉燃料に同じく厚さ 5cm の反射体が隣接して配置され、左右を反射境界条件とした体系を対象とした。散乱は全て等方であり、エネルギー群数は 70 である。実効増倍率とPu-239 核分裂反応率分布に着目し、後者については参照解（32 点の二重 Gauss-Legendre セットによる計算値）に対する比として結果を整理した。
はじめに Table 1 に実効増倍率の計算結果を示す。PN と SN −1 の計算結果が 0.00005 以内で一致していることが確認できる。

Table 1: Results of multiplication factors for 70-group periodic problemReference : 1.30502
P1 1.29636 S2 1.29632
P3 1.30234 S4 1.30230
P5 1.30416 S6 1.30412

次に Fig. 2 に Pu-239 核分裂反応率分布の結果を示す。これについても PN と SN +1 の計算結果がほぼ一致していることが確認できる。
1.003
1.002
1.001

Ratio to Ref.

1.000
0.999
0.998
0.997
0.996

S2S4S6P1P3P50.995
0.994
0.993
012345x [cm]6789Fig. 2: Pu-239 fission rate of 70-group periodic problem

2101.370 群高速炉全炉心固有値問題

最後に、前節で用いた高速炉燃料のみからなる体系を対象とした。体系の厚さは 27.5cm とし、左側境界を反射条件、右側境界を真空条件とした。Pn 法での真空条件は Marshak の条件とした。
また、空間メッシュ数は、左側境界（中心）から 17.5cm は 17、17.5cm から 27.5cm は 30 とした。
参照解は前節と同様に 32 点の Double Gauss-Legendre セットにより求めた。
実効増倍率に対する計算結果を Table 2 に示す。PN と SN +1 の計算結果には差異が生じ、前者のほうが参照解との一致が良いことが分かる。

Table 2: Results of multiplication factors for 70-group isolated problem
Reference : 1.05205
P1 1.03956 S2 1.02805
P3 1.05131 S4 1.04984
P5 1.05176 S6 1.05122

次に、Pu-239 核分裂反応率分布の結果を Fig. 3 に示す。実効増倍率の結果と同様に、PN 法とSN +1 法の精度に差異が現れた。
1.12S2S4S6P1P3P51.10
1.08

Ratio to Ref.

1.06
1.04
1.02
1.00
0.98
0.96
0.94
0.92
05101520
Distance from center [cm]25Fig. 3: Pu-239 fission rate of 70-group isolated problem

3

P1 と S2 との結果の差異の原因として、Pn 法における真空境界条件の取り扱いが考えられる。
左側に真空境界があるときの Marshak の境界条件は、以下のように与えられる。
Z 10dµPl (µ)φ(µ)dµ = 0,l = 1, 3, ..., L(1)P1 近似の場合には
Z 1dµP1 (µ)
01X0(2l + 1)Pl0 (µ)φl0 =l0 =01X0Z 1(2l + 1)φl0l0 =00dµP1 (µ)Pl0 (µ) = 0(2)となり、最終的に以下の関係式が得られる。

φ0 + 2φ1 = 0(3)一方、左側に真空境界があるときの S2 方程式での真空境界条件は、φ(µ0 ) = 0 となる（ただし、µ0 = 0.57735）。この場合、φ(−µ0 ) = a とおくと、境界上の角度中性子束の Legendre 展開係数は、φ0 = a/2、φ1 = −µ0 a/2 と与えられる。従って、φ0 と φ1 との以下の関係が得られる。

φ0 + 1/µ0 φ1 = φ0 + 1.731φ1 = 0(4)小林先生の「原子炉物理」（p.182）によると、この条件は「Mark の境界条件」と呼ばれているものである。
そこで、Mark の条件を用いた P1 計算を行った。実効増倍率の結果を Table 3 に、Pu-239 核分裂反応率分布に対する結果を Fig. 4 に示すが、Mark の条件を用いることで P1 計算結果は S2計算結果と一致することが分かる。

Table 3: Results of multiplication factors for 70-group isolated problem with Mark’s boundarycondition
S2
P1 (Marshak BC)
P1 (Mark BC)

1.02805
1.03956
1.02800

小林先生の教科書によると、Mark の境界条件と比較して Marshak の境界条件のほうが高い精度が期待されるという。Marshak 条件を用いた PN 計算が、（Mark の境界条件を用いたことに相当する）SN +1 計算と比較して、実効増倍率、反応率分布ともに精度が良好なのは、これにより説明できるであろう。
以上の検討により、PN 法と SN +1 法が等価となることを数値計算で確認した。

41.12
S2P1 (Marshak BC)
P1 (Mark BC)

1.10
1.08

Ratio to Ref.

1.06
1.04
1.02
1.00
0.98
0.96
0.94
0.92
05101520
Distance from center [cm]25Fig. 4: Pu-239 fission rate of 70-group isolated problem with Mark’s boundary condition

5分からないこと2

これまでに、Pn 法と Sn 法の等価性について数値計算により確認を行なったが、３点ほど不明点がある。どなたか、教えていただきたい（メールアドレスは、go chiba(a)eng.hokudai.ac.jp）。

2.1

不明点１

外部源のみが存在し、散乱源、核分裂源が存在しない一次元体系について、ある位置での角度中性子束の真値を φ(µ) とし、それがルジャンドル展開でLX(2l + 1)Pl (µ)φl と書けるとする。こl=0の体系の角度中性子束を Sn 法で計算した場合、考慮した離散角度 µi に対する角度中性子束 φ(µi )は正確に計算される。それでは、これらの角度中性子束を用いた求積の結果得られるスカラー中性子束 φ̄0 の精度はどうなるであろうか？
Sn 法で計算されるスカラー中性子束 φ̄0 は以下のように書けるであろう。

φ̄0 =Xi

上式のX

ωi φ(µi ) =XiωiLX!

(2l + 1)Pl (µi )φll=0=LX
l=0(2l + 1)φlX

wi Pl (µi )(5)iwi Pl (µi ) は l 次の Legendre 多項式に対する求積に該当する。積分計算を Gauss-Legendreiセットによる求積で行った場合、離散点数を n としたときには (2n − 1) 次までの多項式の積分が厳密に計算される。従って、L = 2n − 1 である場合には、φ̄0 = φ0 が成り立つと言える。例えば、
S2 計算の場合、角度中性子束が 3 次までの Legendre 展開で表現できるのであればスカラー中性子束が厳密に計算できることが分かる。
一方で、一般に、S2 計算は P1 計算と等価であると言われている。P1 計算では角度中性子束が1 次までの Legendre 展開で表現できる場合には厳密解が保証されるため、S2 計算でも同様のことが言えるはずである。すると、「S2 計算では 3 次まで」という前述の議論と矛盾が生じる。これまでの議論のどこに齟齬があるのであろうか？

6

2.2

不明点２Gauss-Legendre 求積セットを用いた S2 計算を想定し、µ = ±0.57735 について角度中性子束の値が与えられている（φ(µL = −0.57735) = φL 、φ(µR = +0.57735) = φR ）とする。ここで、角度中性子束がこの二点を通り、3 次までの Legendre 展開で記述できるとした場合、その 0 次成分、すなわちスカラー中性子束が一意的に決まるかどうかを確認する（換言すると、二点のみの関数値から、それらを通る三次多項式を一意的に決めることは出来ないが、三次多項式の区間積分値は一定となることを確認する）。
µL 、µR について以下の式が成り立つ。
φL =
φR =3X(2l + 1)Pl (µL )fl(6)(2l + 1)Pl (µR )fl(7)l=03X
l=0ただし、Gauss-Legendre の S2 セットでは、2 次の Legendre 多項式をゼロとした根が離散点に対応するため、P2 (µL ) = P2 (µR ) = 0 なので、

φL = P0 (µL )f0 + 3P1 (µL )f1 + 7P3 (µL )f3(8)φR = P0 (µR )f0 + 3P1 (µR )f1 + 7P3 (µR )f3(9)と書ける。さらに、P0 (µL ) = P0 (µR )、P1 (µL ) = −P1 (µR )、P3 (µL ) = −P3 (µR ) であるため、上式は以下のように書き直せる。

φL = af0 + (bf1 + cf3 ) ≡ af0 + f13(10)φR = af0 − (bf1 + cf3 ) ≡ af0 − f13(11)つまり、φL 、φR が与えられた場合、f0 、f13 が一意的に与えられることが分かる。
すなわち、角度中性子束が 3 次の Legendre 多項式で記述されるとき、S2 計算において二点の角度中性子束が正確に求まっているならば、スカラー中性子束は正確に求まることになる。一方、
S2 計算と等価とされる P1 計算では、同様の場合（角度中性子束が 3 次の Legendre 多項式で記述されるとした場合）、2 次、3 次の Legendre 成分を無視することになるため、スカラー中性子束は正確に求まらないということにならないだろうか？そう考えると矛盾が生じることになるが、これまでの議論のどこに齟齬があるのだろうか?

7

2.3

不明点３

一次元体系中のある空間位置における角度中性子束 φ(µ) を考える。ここで、µ = 0 においてのみ φ が既知であり、その値が 1.0 であるとする。この場合、φ(µ) について一点での値のみが与えられているため、φ(µ) を Legendre 多項式で展開するとすると、そのゼロ次成分のみしか正確には決められないのは自明であろう。
一方、求積公式を用いると、φ(µ) を Legendre 展開した場合の展開係数を、以下のように計算することができる。
Z
1φl =dµPl (µ)φ(µ) = Pl (0)φ(0)(12)
2
当然ながら、この求積計算は 1 点の Gauss-Legendre 求積セットを用いて行っていることに相当するため、1 次以上については正確に計算されている保証はない。
以上の方法によって φ(µ) を Legendre 展開したときの結果を Fig. 5 に示す。Legendre 展開次数の増加に従って、角度中性子束は δ(µ) に近づいていることが分かる。一方で、高次の場合にははじめに仮定した φ(0) = 1.0 が満足されてはいない。このような計算には果たして意味があるであろうか？
70P0P9P29P9960

Angular neutron flux

50
4030
20
100-10-20-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.2
Cosine of angle

0.4

0.6

0.8

1Fig. 5: Angular flux representation by Legendre expansion

参考文献[1] A.Yamamoto, “Utilization of discontinuity factor in integro-differential type of Boltzmanntransport equation,” Proc. of Int. Conf. on Physics of Reactor, Physor2010, Pittsburgh,
Pennsylvania (2010).

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