令和二年度 卒業論文

決定論的手法に基づく核燃料燃焼計算における計算誤差に関する研究
原子炉工学研究室
原田大輝

北海道大学 工学部 機械知能工学科
1

第１章

緒論 ...................................................................................................................... 3

１.１

研究背景 ............................................................................................................... 3

１.２

研究目的と進め方................................................................................................. 4第２章

検討手法 ............................................................................................................... 5

２.１

計算手法 ............................................................................................................... 5２.１.１

汎用炉物理解析コード CBZ.......................................................................... 5

２.１.２

CBZ を用いた燃焼計算 ................................................................................. 5２.１.３

汎用中性子・光子輸送計算モンテカルロ計算コード MVP/GMVP ............. 6

２.１.４

MVP-BURN.................................................................................................. 6

２.２

計算体系 ............................................................................................................... 7

２.２.１

PWR ピンセルモデル ................................................................................... 7

２.２.２

BWR ピンセルモデル ................................................................................... 8２.２.３

計算体系一覧............................................................................................... 10

２.３

比較条件 .............................................................................................................. 11２.３.１

燃焼条件 .......................................................................................................11２.３.２

断面積ライブラリ ........................................................................................ 11

２.３.３

燃焼チェーンモデル..................................................................................... 11第３章

解析結果 ............................................................................................................. 14

３.１

無限中性子増倍率と反応度 ................................................................................ 14３.２

核種数密度 ......................................................................................................... 16

３.２.１

燃焼度点での数密度誤差 ............................................................................ 16

３.２.２

重要核種の選定 ........................................................................................... 23３.２.３

数密度誤差の燃焼度依存性 ......................................................................... 24３.３

計算誤差の発生過程 ........................................................................................... 34

第４章

一般化最小二乗法を用いた実効断面積誤差の定量化 ........................................ 35

４.１

単一の積分データを用いた単一の核データの調整 ........................................... 35

４.２

複数の積分データを用いた場合の複数の核データの調整................................. 37

第５章

一般化最小二乗法の適用と結果......................................................................... 41

５.１

適用の流れ ......................................................................................................... 41

５.２

適用結果 ............................................................................................................. 43５.２.１

計算比と不確かさ ....................................................................................... 43５.２.２

多群断面積 .................................................................................................. 45

第６章

結論 .................................................................................................................... 53

謝辞 ....................................................................................................................................... 54
参考文献 ............................................................................................................................... 55

2

第１章 緒論
１.１

研究背景

核燃料は、その使用（燃焼）に伴い、核分裂反応による核分裂性核種の減少や、核分裂生成物の蓄積、親核種からの転換による核分裂性核種の増加など、その組成を時々刻々と変化させる。核燃料の組成の時間変化を正確に予測することは、原子炉の運転はもとより、使用済み核燃料の管理・処分など、多くの局面において重要である。核燃料の燃焼に伴う組成変化を数値的に計算することを「燃焼計算」と呼ぶ。
燃焼計算では、着目する燃焼度点において中性子輸送方程式を数値的に解き、核燃料中の個々の核種の中性子との反応率を計算する。そして、その反応率に基づいて定義される燃焼
方程式（核種の生成・消滅を記述する方程式）を解き、次の燃焼度点における核燃料の組成を計算する。この計算を、燃料が所定の燃焼度に達するまで繰り返して行う。各燃焼度点における中性子輸送方程式の数値解法として、エネルギーや空間、方向といった位相変数を離散化して扱う決定論的手法と、乱数を用いて中性子の挙動をモデル化する確率論的手法がある。後者の確率論的手法では、位相変数の離散化を行わず、原式を忠実に解くため、基本的には厳密解相当の解を得ることが出来る。ただし、確率論的手法であるが故、計算結果には統計的不確かさが伴い、その不確かさが無視できる程度の解を得るためには膨大な計算量が必要になる。燃焼計算では、複数の燃焼度点での中性子輸送方程式を解く必要があることから、特に原子力発電所の炉心設計計算など、相当数の燃焼計算を行う必要がある場合には、決定論的手法が一般的に用いられている。
決定論的手法には前述の通り、位相変数の離散化に伴う誤差が生じる。ただし、燃料ピン
セルや燃料集合体を対象とした場合には、空間・方位に対する離散化はそれによる誤差が無視できる程度まで詳細に行うことが比較的容易となっている。一方、エネルギーに関しては、離散化誤差を無視出来る程度にするには数 10 万程度のグリッド（エネルギー群）が必要になることから、100 から 200 程度で離散化することが一般的であり、それによる誤差が生じる。従って、決定論的手法に基づく燃焼計算においては、特にエネルギーについての離散化に起因する計算誤差を定量的に把握し、その要因を明らかにすることが重要である。
原子炉物理分野において、数値計算に起因する誤差に関する研究はこれまでにいくつか行われており、例えば、複数の異なる条件に基づく計算を行い、その結果のばらつきを利用することで、数値計算に起因する誤差を定量化する試み[1]や、計算誤差と種々のパラメー
タの関係性に着目し、その関係性を明確にすることで、未知の計算対象における計算誤差を推定しようという試み[2]などがあげられる。一方、燃焼計算における離散化に起因する誤差に関する研究は、これまでに行われていない。

3

１.２

研究目的と進め方

燃焼計算において、エネルギーについての離散化誤差は、エネルギー離散化後の断面積である実効断面積の評価誤差として現れ、それが燃焼による核種の変換過程を通じて、複数の核種の燃焼後数密度の計算誤差となる。そこで本研究では、決定論的手法に基づく燃焼計算
における計算誤差が実効断面積の計算誤差のみによって記述できると仮定し、核データ調整手法として一般的に用いられている一般化最小二乗法を適用し、実効断面積に誤差を生じさせているエネルギー群を特定することを目的とする。
本研究では計算誤差を定量化する対象として決定論的手法で燃焼計算を行う汎用炉物理
解析コード CBZ の Burner モジュール、比較対象として厳密解相当の解を得るために、確率論的手法に基づく汎用中性子・光子輸送計算モンテカルロコード MVP の BURN モジュールを用いる。
進め方としては、ORIGEN ライブラリの作成で想定された軽水炉ピンセルモデル 2 体系
について、無限中性子増倍率とある燃焼度点での 28 の重核種と 193 の FP の核種数密度の計算誤差を整理する。その後、ORIGEN ライブラリの作成で想定された軽水炉ピンセルモ
デル 8 体系について重要核種の核種数密度の計算誤差を整理して、計算誤差の燃焼度との依存性を調べる。さらに、整理した計算結果のうち 21 の重核種について一般化最小二乗法を適用し、調整された多群断面積を確認し、誤差を生じさせた断面積の特定を行う。
ここで、核データ調整とは、「核データ自体における不確かさ・誤差」を、種々の情報を追加することによって「調整」することである。一般化最小二乗法は、不確かさをもつ入力
パラメータに依存して決まる出力パラメータが観測されたときに、その情報を入力パラメータに反映させる手法である。本研究での観測された計算結果は MVP-BURN で求められた厳密解相当の数密度となる。入力パラメータを実効断面積とし、出力パラメータを数密度として、離散化誤差が生じない解を用いて、離散化誤差を含む多群断面積を調整することになる。

4

第２章 検討手法
２.１

計算手法

本研究において、燃焼計算は決定論的手法として汎用炉物理解析コードシステム CBZ の
Burner モジュールを、確率論的手法として汎用中性子・光子輸送計算モンテカルロコード
MVP/GMVP 第 3 版に BURN モジュールをインストールしたものを使用する。
２.１.１ 汎用炉物理解析コード CBZ
汎用炉物理解析コードシステム CBZ は、核分裂性物質を含む系の核分裂連鎖反応、核燃
料の燃焼、放射線の輸送と減衰といった、原子炉内とその周囲における中性子、ガンマ線の輸送、それらと原子核、原子との相互作用に関わる物理現象を数値的に模擬するためのコードシステムである。日本原子力研究開発機構で開発されたコードシステム CBG をベース
として、2012 年 4 月より北大・原子炉工学研究室で開発が行われている。
プログラムはコンピュータ言語 C++で記述されており、原子炉物理の計算に関連する情報（原子炉や燃料集合体の構造を表現するための幾何形状や、原子炉を構成する媒質といったものに加えて、計算手法や収束条件なども含む）は全て C++の「クラス」として定義される。中性子、ガンマ線の輸送方程式、拡散方程式を解くソルバーが複数実装されており、それらソルバーはそれぞれ関連する複数のクラスで構成されている。また、ソルバー間のデー
タ（例えば中性子反応断面積データ）のやり取りはクラスのインスタンスを通して行われることから、複数のソルバーを組み合わせた多種多様な炉物理計算が容易に実現可能であることが特徴である。
２.１.２ CBZ を用いた燃焼計算
核燃料に含まれる種々の原子核は、原子炉の運転に伴いその数密度が時々刻々と変化する。この計算はいわゆる「燃焼方程式」を解くことで実現されるが、CBZ にはこのためのモジュールとして Burnup クラスが実装されている。Burnup クラスは入力された核種数密度、中性子束情報（エネルギースペクトル、レベル）、燃焼期間から、燃焼後の数密度を計算する。Burnup モジュールは一群断面積に基づく燃焼計算モジュールであるが、一般的な燃焼計算では、燃焼領域の中性子束のエネルギースペクトルを計算し、それに基づいて一群断面積を求め燃焼方程式を解く、という手続きがとられる。CBZ では、単一のピンセル体
系もしくは複数のピンセルからなる体系の燃焼計算を行うための基底クラス
GeneralBurner が実装されており、それを継承する形で単ピンセル体系向けのモジュール
Burner が実装されている。Burner は燃料、被覆管、減速材の三領域からなる正方及び六角格子体系について燃焼計算を行うモジュールであり、本研究での計算誤差の特定・定量化の対象として選択した。

5

２.１.３ 汎用中性子・光子輸送計算モンテカルロ計算コード MVP/GMVP
三次元の複雑な体系における中性子や光子等の粒子輸送計算にはモンテカルロ法が用いられることが多い。この方法は特に幾何形状表現の自由度が大きくかつ正確なモデルが作れる点に特徴がある。さらに、連続エネルギーモンテカルロ法では多群近似を用いることな
く、すべての核データをエネルギー点毎に与えることと、粒子と物質の衝突過程を可能な限り厳密に取り扱うことに特徴がある。このような利点から、モンテカルロ法は、炉心核特性計算をはじめ遮蔽、臨界安全、核融合炉中性子工学等の分野では高精度の参照解を得る方法として用いられるとともに、実験解析や詳細な設計を行う手段として用いられている。
高速かつ高精度な中性子・光子輸送モンテカルロ計算を実現するため、日本原子力研究開
発機構において、２つのモンテカルロ計算コード MVP（連続エネルギー法）と GMVP（多群法）が開発されてきた。[3]２.１.４ MVP-BURN
既存の MVP/GMVP コードシステムに BURN モジュールを追加インストールすること
により、MVP-BURN として燃焼計算が可能になる。BURN モジュールは、燃焼方程式を解いて核種組成の燃焼変化を追跡するとともに、計算全体の制御、ファイル管理を担当する。
幾何形状と組成データを与えれば MVP による輸送計算が可能であり、その結果、track
length estimator または collision estimator による微視的反応率分布が得られる。微視的
反応率分布が得られれば、BURN により燃焼方程式を解くことができ、燃焼時間が経過した後の組成データが得られる。MVP-BURN は、これら MVP 計算と BURN 計算を繰り返し実行することにより燃焼計算を行う。
MVP と BURN の結合においては、UNIX のシステムコール機能を利用して、BURN の中で MVP コードを呼び出す仕組みになっている。MVP と BURN は密に結合していない
ため、双方のコード改良を独立して行うことができる他、MVP の持つ機能をほとんどそのまま MVP-BURN でも利用することができる。また、異なるバージョンの MVP を即座に
MVP-BURN に利用することができる。[4]

6

２.２

計算体系

ORIGEN ライブラリの作成で想定された軽水炉ピンセルモデル 8 体系を計算対象とした。
加圧水型原子炉(PWR)ピンセルモデルから 2 体系、沸騰水型原子炉(BWR)ピンセルモデル
から 6 体系を定めた。図 ２-1 に示すような燃料、燃料被覆管、減速材の 3 領域からなるピンセル体系を想定した。

図 ２-1

ピンセル体系

２.２.１ PWR ピンセルモデル
PWR ピンセル体系に関するデータを表 ２-1 に、このときの UO2 燃料の原子数密度及び被覆管、減速材領域の原子数密度を表 ２-2 に示す。
表 ２-1

PWR ピンセル体系のデータ

ピッチ(cm)1.265

ペレット半径(cm)0.412

被覆管外半径(cm)0.476

被覆管厚さ(cm)0.064

燃料温度(K)

968.8

被覆管温度(K)604.0

減速材温度(K)

574.2

表 ２-2

PWR ピンセル各領域の原子数密度(1/barn/cm)（UO2 燃料）

燃料
U-235初期濃縮度(%)

4.1

U-235

9.349E-04

U-238

2.159E-02

O-16

4.505E-02
被覆管

Zr

3.786E-02

Fe

2.382E-04

Cr

6.770E-05
減速材

7

H-1

5.572E-02

O-16

2.786E-02

B-10

4.592E-06

Ni

3.688E-04

Cr

1.609E-04

Fe

1.306E-04

ORIGEN ライブラリでは、PWR ピンセルの MOX 燃料については、Pu 富化度と Pu 組
成をパラメータとして５つのライブラリが作成されている。このデータは国内の PWR で使用されることが予定されている MOX 燃料の燃料組成仕様に基づいて作られたものである。本研究では、Pu 富化度が 10%、Pu 組成が Composition2 として定められたものを使用する。そのデータを表 ２-3 に示す。また、燃料の原子数密度を表 ２-4 に示す。なお、
MOX 燃料の被覆管及び減速材の原子数密度は表 ２-2 の UO2 燃料と同一である。
表 ２-3

PWR MOX 燃料のパラメータ

Pu組成

表 ２-4

PWR ピンセル MOX 燃料の原子数密度(1/barn/cm)

Composition 2

Pu-2382.1

Pu組成

Composition 2

Isotopic Pu-239

54.5

Pu富化度(%)

10

Weight Pu-240

25

U-235

4.104E-05

ratio(%) Pu-241

9.3

U-238

2.022E-02

Pu-242

6.4

Pu-2384.731E-05

Am-241

2.7

Pu-2391.223E-03

U-235濃縮度(%)

0.2

Pu-2405.586E-04

Pu富化度(%)

10

Pu-2412.069E-04

Pu-242

1.418E-04

Am-2416.007E-05

O-16

4.500E-02

上記 PWR ピンセルのうち、UO2 燃料のものを PWR-UO2、MOX 燃料のものを PWRMOX と呼称する。
２.２.２ BWR ピンセルモデル
BWR ピンセルでは、複数の異なる減速材ボイド率の体系について考える。BWR 燃料集合体の型は STEP-N で表されるが、本研究では STEP-3 型を対象とした。BWR ピンセル
体系の体系に関するデータを表 ２-5 に示す。また、このときの UO2 燃料の原子数密度及び被覆管、減速材領域の原子数密度を表 ２-6 に示す。
ORIGEN ライブラリでは、BWR ピンセルの MOX 燃料については、Pu 富化度と Pu 組
成をパラメータとして 7 つのライブラリが作成されている。このデータは国内の BWR で使用されることが予定されている MOX 燃料の燃料組成仕様に基づいて作られたものである。本研究では、Pu 富化度が 4%、Pu 組成が Standard のものを使用した。そのデータを
表 ２-7 に示す。MOX 燃料の原子数密度及び被覆管、減速材領域の原子数密度を表 ２-8 に示す。
8表 ２-5

BWR ピンセル体系のデータ

表 ２-7

STEP-3ピッチ(cm)1.44

ペレット半径(cm)0.490

被覆管外半径(cm)0.560

被覆管厚さ(cm)0.070

燃料温度(K)

968.8

被覆管温度(K)559.0

減速材温度(K)

559.0

表 ２-6

BWR MOX 燃料のパラメータPu組成

BWR ピンセル各領域の原子数密

Pu-2381.53

Isotopic Pu-239

58.70

Weight Pu-240

26.62

ratio(%) Pu-241

8.32

Pu-242

4.01

Am-241

0.82

表 ２-8

度(1/barn/cm)（UO2 燃料）

Standard

BWR ピンセル各領域の原子数密度(1/barn/cm)（MOX 燃料）

燃料

燃料

STEP-3
U-234

8.053E-06

U-235

8.888E-04

U-236

5.419E-06

U-238

2.104E-02

O-16

4.438E-02
減速材

Void=0%Void=40%
Void=70%H-1

8.8510E-02

O-16

4.4255E-02

H-1

6.8436E-02

O-16

3.4218E-02

H-1

5.3380E-02

O-16

2.6690E-02

Pu富化度(%)

4

Pu組成Standard

U-234

1.991E-06

U-235

2.487E-04

U-236

1.660E-06

U-238

2.111E-02

Pu-2381.361E-05

Pu-2395.205E-04

Pu-2402.351E-04

Pu-241

7.318E-05

Pu-2423.511E-05

O-16

7.206E-06
減速材

被覆管
Zr

Void=0%4.3371E-02

Void=40%
Void=70%H-1

8.198E-02

O-16

4.099E-02

H-1

6.245E-02

O-16

3.147E-02

H-1

4.857E-02

O-16

2.429E-02

被覆管
Zr

9

4.337E-02

上記 BWR ピンセルのうち、UO2 燃料でボイド率が 0%、40%、70%のものをそれぞれ BWRUO2-V0、BWR-UO2-V40、BWR-UO2-V70 とし、MOX 燃料でボイド率が 0%、40%、70%のものを、BWR-MOX-V0、BWR-MOX-V40、BWR-MOX-V70 と呼称する。
２.２.３ 計算体系一覧
上で説明した軽水炉ピンセルモデル 8 体系を表 ２-9 にまとめる。
表 ２-9

計算体系一覧体系
1

PWR-UO2

2

PWR-MOX3

BWR-UO2-V0

4

BWR-UO2-V40

5

BWR-UO2-V70

6

BWR-MOX-V0

7

BWR-MOX-V40

8

BWR-MOX-V70

10

２.３

比較条件

２.３.１ 燃焼条件
前節で述べたピンセル体系について、線出力を 179W/cm とし、45GWD/t まで燃焼させた。燃焼ステップは GWD/t 単位で 0.1、1.0、2.5、5.0、7.5、10.0、12.5、15.0、17.5、20.0、
22.5、25.0、27.5、30.0、32.5、35.0、37.5、40.0、42.5、45.0 に区切った。
２.３.２ 断面積ライブラリ
MVP-BURN による燃焼計算に先立って、ART を使用して必要な固定温度ライブラリを作成した。MVP 計算に必要な連続エネルギー断面積ライブラリは、LICEM システムにより核種ごとに作成される。LICEM システムは任意の温度に対する断面積ライブラリを作成出来るが、非分離共鳴領域を断面積確率テーブルにより扱うため、これに要する計算時間は膨大なものとなる。MVP では、常温ベースで LICEM により作成された任意温度ライブラ
リを、Doppler Broading させるとともに、離散温度点に対する断面積確率テーブル及び熱散乱断面積の温度内装処理を行って、ユーザーが必要な任意温度ライブラリを高速・高精度に作成するユーティリティコード ART を開発してこの問題に対処している。ART と同じ
機能は、MVP コード本体にも内蔵されおり、物質温度の指定を行えば、輸送計算に先立ち、必要なライブラリが自動作成されることになっている。
MVP-BURN と CBZ/Burner では、多群断面積データとして、評価済み核データファイ
ル JENDL-4.0[5]に基づいたものを読み込んでおり、この点で両者は整合している。
２.３.３ 燃焼チェーンモデル
燃焼計算に必要なデータは、燃焼チェーンデータで与えられる。このデータには、半減期などの崩壊データや、核分裂収率データ、中性子核反応の分岐比データが収録されている。
MVP-BURN では、開発者用チェーン th2cm6fp193bp6T が用意されており、本研究ではこの燃焼チェーンを用いた。これは、核データ評価がある FP をほとんど含めたものであり、
疑似 FP を含んでいない。他のチェーンモデルの検証や疑似 FP を作成するために用いられている。
参考として図 ２-2 から図 ２-4 に文献[4]に示されている開発者用チェーンを示す。
CBZ/Burner の燃焼計算で用いる燃焼チェーンは「BurnupChain」クラスで定義されたものを使用した。重核種によるチェーンは MVP-BURN と同様の 28 核種のものを使い、FP のチェーンデータを外部ファイルから読み込んでいる。なお、FP については MVPBURN と同様に 193 の FP を考慮したモデルであり、また擬似 FP を含んでいない。
崩壊・収率データについては、CBZ/Burner は JENDL/FPD-2011、FPY-2011 に基づくデータを使っているが、MVP-BURN とは必ずしも同じデータを用いていないため、崩壊・収率データで CBZ/Burner と MVP-BURN とが整合がとれていない部分がある。

11

図 ２-2

図 ２-3

MVP-BURN の開発者用重核種チェーン

MVP-BURN の開発者用 FP チェーン(次頁に続く)
12

図 ２-4MVP-BURN の開発者用 FP チェーン（前頁から続く）

13

第３章 解析結果
３.１

無限中性子増倍率と反応度

まず、MVP-BURN と CBZ/Burner の計算結果について、無限中性子増倍率について比較した結果を図 ３-1、図 ３-2 に示す。比較の対象体系は、PWR-UO2 と PWR-MOX の 2体系とした。

図 ３-1

PWR-UO2 についての無限中性子増倍率の比較

図 ３-2

PWR-MOX についての無限中性子増倍率の比較

14

次に、無限中性子増倍率の差異を反応度単位で計算した。反応度 𝜌 は、以下の式で求められる。
𝜌 = 1 − 1/𝑘𝑖𝑛𝑓
反応度単位の無限増倍率の誤差を図 ３-3、図 ３-4 に示す。図の誤差棒は MVP-BURN の
統計誤差を表す。縦軸は以下の式で表される。添え字の𝑐は CBZ/Burner、 𝑚 は MVPBURN である。
𝑘inf _𝑐 − 𝑘inf _𝑚= 𝜌𝑐 − 𝜌𝑚𝑘inf _𝑐 𝑘inf _𝑚

図 ３-3

PWR-UO2 の無限増倍率における誤差

図 ３-4

PWR-MOX の無限増倍率における誤差15反応度誤差は 0.1％以内が望ましいとされている。PWR-MOX で、20GWD/t 付近で誤差が大きくなり始め、燃焼末期には誤差が 0.1％に達した。

３.２

核種数密度

３.２.１ 燃焼度点での数密度誤差
PWR-UO2、PWR-MOX について、20GWD/t および 40GWD/t 時点での 28 の重核種と193 の FP の核種数密度の相対誤差を調べた。図 ３-5、図 ３-6 にそれぞれの体系について
各燃焼度点での核種数密度の相対誤差を示す。相対誤差は MVP-BURN の値を真値として以下の式で表される。

(数密度相対誤差) =(CBZ/Burner での数密度誤差) − (MVP − BURN での数密度誤差)(MVP − BURN での数密度誤差)

それぞれ①②③は同じグラフを示しているが、y 軸方向の縮尺が異なったものである。
ID については重核種、FP の順に、原子番号にならって機械的につけたものである。ID に対応する核種、相対誤差の数値を表 ３-1 に示す。
Er-162 については、CBZ/Burner においては数密度がゼロであった。また、大きな誤差として表れているのは、Te-129m と Sn-119m である。これらについては、CBZ/Burner とMVP-BURN において、使用している崩壊・収率データが違うことに起因していると考えられる。

16

20GWD/t①

40GWD/t①

20GWD/t②

40GWD/t②

20GWD/t③

40GWD/t③

図 ３-5 PWR-UO2 の各燃焼度点での数密度相対誤差

17

20GWD/t①

40GWD/t①

20GWD/t②

40GWD/t②

20GWD/t③

40GWD/t③

図 ３-6

PWR-MOX の各燃焼度点での数密度相対誤差18表 ３-1 各核種の燃焼度点での数密度相対誤差
ID

NuclidePWR-UO2(20GWD/t) PWR-UO2(40GWD/t) PWR-MOX(20GWD/t) PWR-MOX(40GWD/t)

1

TH232

1.16E-03-4.88E-04-4.27E-03-5.95E-03

2

PA231

-4.84E-02-5.59E-02-7.22E-02-7.15E-02

3

PA233

-2.87E-02-3.36E-02-5.65E-02-6.04E-02

4

U0232

-1.07E-01-1.10E-01-1.62E-01-1.64E-01

5

U0233

-1.56E-01-1.46E-01-1.70E-01-1.71E-01

6

U0234

-1.93E-02-9.07E-03

8.15E-04

2.91E-03

7

U0235-2.06E-03-6.50E-03-4.47E-04-9.95E-04

8

U0236

-1.05E-03-4.93E-03-6.63E-03-1.07E-02

9

U0237

2.77E-02

3.21E-02-2.65E-02-2.25E-02

10

U0238

-1.03E-04-1.95E-04-1.10E-04-2.03E-04

11

NP236

-2.56E-01-2.59E-01-3.04E-01-3.06E-01

12

NP237

2.14E-02

2.95E-02-2.60E-02-2.35E-02

13

NP239

1.29E-03

1.96E-03

5.20E-04-9.27E-04

14

PU236

-1.08E-01-1.10E-01-1.64E-01-1.65E-01

15

PU238

1.35E-02

2.15E-02

2.99E-03

5.41E-03

16

PU239

1.66E-03-1.29E-03-1.12E-03-3.46E-03

17

PU240

1.42E-02

1.54E-02-2.91E-04-4.40E-04

18

PU241

-1.25E-02-6.72E-03

8.22E-05-4.80E-04

19

PU242

-1.04E-02-1.65E-03-4.07E-05

1.70E-04

20

AM241

-1.71E-02-1.46E-02-7.95E-04-3.35E-03

21

AM242

-1.31E-02-6.44E-03

3.90E-03

3.93E-03

22

AM242M-4.88E-02-4.67E-02-3.71E-02-4.09E-02

23

AM243

-2.28E-02-1.58E-02

7.43E-03

1.15E-02

24

CM242

-1.35E-02-8.47E-03

3.34E-03

4.16E-03

25

CM243

-1.33E-02-1.14E-02-1.74E-02-1.40E-02

26

CM244

-2.80E-02-1.75E-02-2.95E-03

2.01E-03

27

CM245

-9.69E-02-1.12E-01-1.09E-01-8.22E-02

28

CM246

-7.16E-02-9.90E-02-9.16E-02-8.78E-02

29

GE073

4.30E-02

3.78E-02

3.99E-02

3.66E-02

30

GE074

7.86E-03

8.49E-03

1.75E-02

1.89E-02

31

GE076

6.02E-03

5.79E-03

1.51E-02

1.54E-02

32

AS075

6.31E-03

6.69E-03

1.38E-02

1.51E-02

33

SE076

-1.97E-02-2.52E-02-3.89E-02-4.42E-02

34

SE077

-3.41E-02-2.98E-02

2.01E-03

2.20E-03

35

SE078

5.88E-03

5.10E-03

7.66E-03

7.70E-03

36

SE079

5.74E-03

5.09E-03

1.18E-02

1.20E-02

37

SE080

6.47E-03

6.15E-03

9.13E-03

9.32E-03

38

SE082

7.21E-03

6.61E-03

7.54E-03

7.56E-03

39

BR081

7.15E-03

8.11E-03

6.13E-03

7.52E-03

40

KR082

-7.59E-02-7.90E-02-6.13E-02-7.37E-02

41

KR083

1.41E-02

1.25E-02

5.71E-03

6.38E-03

42

KR084

-1.83E-02-1.34E-02

9.77E-03

9.34E-03

43

KR085

-6.31E-02-5.57E-02

4.34E-04

8.33E-04

44

KR086

-2.17E-01-1.97E-01-1.39E-02-1.39E-02

45

RB085

-7.14E-02-6.37E-02-2.29E-03-2.00E-03

46

RB086

-1.00E-01-9.08E-02-3.51E-02-3.25E-02

47

RB087

-1.91E-03-1.37E-03

5.52E-03

5.45E-03

48

SR086

-1.03E-01-9.67E-02-3.20E-02-3.36E-02

49

SR087

-2.55E-02-6.42E-02

0.00E+00-1.03E-02

50

SR088

-1.56E-02-1.42E-02-1.26E-03-1.34E-03

19

ID

Nuclide51

SR089

PWR-UO2(20GWD/t) PWR-UO2(40GWD/t) PWR-MOX(20GWD/t) PWR-MOX(40GWD/t)
7.48E-03

6.34E-03

6.00E-03

5.90E-03

52

SR090

6.82E-03

6.35E-03

3.96E-03

3.85E-03

53

Y0089

7.52E-03

7.16E-03

5.78E-03

5.74E-03

54

Y0090

6.50E-03

6.24E-03

3.56E-03

3.49E-03

55

Y0091

5.40E-03

4.21E-03

3.22E-03

3.05E-03

56

ZR090

6.62E-03

6.47E-03

3.71E-03

3.65E-03

57

ZR091

5.37E-03

4.50E-03

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2.35E-03

58

ZR092

7.04E-03

6.96E-03

5.00E-03

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59

ZR093

6.08E-03

5.73E-03

3.47E-03

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60

ZR094

5.94E-03

5.03E-03

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61

ZR095

5.42E-03

4.29E-03

2.80E-03

2.71E-03

62

ZR096

6.79E-03

5.95E-03

3.85E-03

3.65E-03

63

NB093M

3.76E-02

3.74E-02

3.32E-02

3.43E-02

64

NB093

-2.11E-01-1.87E-01-7.17E-02-1.08E-01

65

NB094

-3.48E-01-3.35E-01-1.93E-01-2.26E-01

66

NB095

5.16E-03

4.02E-03

2.44E-03

2.33E-03

67

MO092

-9.94E-01-9.58E-01-5.49E-01-4.76E-01

68

MO094

-3.94E-01-4.02E-01-4.17E-01-4.19E-01

69

MO095

6.42E-03

6.66E-03

2.66E-03

3.23E-03

70

MO096

-1.62E-02-2.00E-02

5.09E-03-1.11E-02

71

MO097

2.19E-02

2.12E-02

1.26E-02

1.35E-02

72

MO098

8.82E-03

8.06E-03

4.50E-03

4.38E-03

73

MO099

2.08E-03

1.06E-03

4.13E-04

1.05E-04

74

MO100

2.79E-03

2.70E-03

3.75E-03

3.68E-03

75

TC099

-1.43E-04-5.03E-03-1.32E-03-2.35E-03

76

RU100

5.57E-02

5.98E-02

3.62E-02

2.63E-02

77

RU101

4.97E-03

4.45E-03

4.05E-03

3.73E-03

78

RU102

-7.55E-03-3.49E-03

4.67E-03

5.93E-03

79

RU103

4.17E-03

3.25E-03

3.54E-03

3.42E-03

80

RU104

3.90E-03

2.78E-03

2.85E-03

2.69E-03

81

RU105

1.06E-02

9.69E-03

8.10E-03

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82

RU106

4.91E-03

3.15E-03

2.42E-03

2.27E-03

83

RH103

7.50E-03

8.22E-03

4.88E-03

5.91E-03

84

RH105

8.25E-03

6.90E-03

8.05E-03

8.03E-03

85

RH106

1.14E-02

9.38E-03

4.83E-03

4.80E-03

86

PD104

-4.22E-03-4.83E-03-9.36E-03-8.72E-03

87

PD105

1.14E-02

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8.71E-03

9.09E-03

88

PD106

1.32E-02

9.52E-03

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2.27E-03

89

PD107

7.75E-03

5.51E-03

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2.38E-03

90

PD108

5.89E-03

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8.97E-04

1.52E-03

91

PD110

5.24E-03

2.82E-03-5.45E-03-5.67E-03

92

AG107

9.43E-03

6.68E-03

3.33E-03

3.73E-03

93

AG109

1.99E-03-2.71E-03-6.01E-04-2.06E-03

94

AG110M

3.16E-02

2.31E-02

1.78E-02

1.08E-02

95

CD110

3.27E-02

2.54E-02

1.87E-02

1.35E-02

96

CD111

1.24E-02

1.38E-02

1.10E-02

1.32E-02

97

CD112

3.73E-02

2.80E-02

2.19E-02

1.78E-02

98

CD113M-3.66E-01-3.50E-01-3.70E-01-3.49E-01

99

CD113

-5.21E-02-6.12E-02-6.73E-02-7.09E-02

100

CD114

-3.07E-02-3.99E-02-5.04E-02-5.24E-02

20

ID

Nuclide

101

CD116

PWR-UO2(20GWD/t) PWR-UO2(40GWD/t) PWR-MOX(20GWD/t) PWR-MOX(40GWD/t)
3.68E-03

2.05E-03

3.95E-03

2.27E-03

102

IN113

-3.69E-01-3.62E-01-3.79E-01-3.66E-01

103

IN115

-4.27E-03-2.20E-02-4.18E-02-4.15E-02

104

SN116

-1.70E-03-1.67E-02-6.29E-02-5.92E-02

105

SN117

-6.52E-02-6.33E-02-5.34E-02-5.38E-02

106

SN118

5.92E-03

4.89E-03

1.14E-02

1.12E-02

107

SN119M

5.77E+00

5.69E+00

5.75E+00

5.68E+00

108

SN119

-5.44E-02-4.77E-02-4.73E-02-4.02E-02

109

SN120

-1.32E-02-1.53E-02-7.10E-03-6.29E-03

110

SN121M

2.39E-01

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2.06E-01

2.08E-01

111

SN121

-1.04E-02-8.96E-03

4.06E-03

4.80E-03

112

SN122

-7.83E-02-9.11E-02-1.11E-01-1.09E-01

113

SN123

3.31E-02

2.74E-02

3.08E-02

3.27E-02

114

SN124

7.04E-03

6.44E-03

1.36E-02

1.40E-02

115

SN126

7.25E-03

6.37E-03

1.28E-02

1.30E-02

116

SB121

-1.21E-02-1.16E-02

2.30E-03

2.65E-03

117

SB123

-1.72E-01-1.30E-01-1.35E-02-1.70E-02

118

SB124

3.78E-02

9.73E-02

2.08E-01

2.12E-01

119

SB125

-6.79E-02-4.32E-02

6.57E-03

6.70E-03

120

SB126M

4.95E-02

4.61E-01

2.82E-01

6.82E-01

121

SB126

-4.29E-01-4.96E-01-4.49E-01-4.96E-01

122

TE122

3.41E-02

1.02E-02

3.95E-02

2.22E-02

123

TE123M-1.25E-02-3.02E-02

8.89E-02

7.26E-02

124

TE123

-8.09E-03-2.61E-02

1.01E-01

8.64E-02

125

TE124

1.75E-02

6.63E-02

1.99E-01

2.10E-01

126

TE125M-7.33E-02-4.69E-02

5.77E-03

5.90E-03

127

TE125

-8.33E-02-6.15E-02

5.50E-03

5.41E-03

128

TE126

-2.24E-01-1.89E-01-1.72E-01-1.37E-01

129

TE127M

1.78E-01

1.82E-01

1.94E-01

1.94E-01

130

TE128

1.15E-02

1.22E-02

6.83E-03

7.53E-03

131

TE129M

2.39E+00

2.47E+00

2.59E+00

2.55E+00

132

TE130

1.01E-02

1.13E-02

2.65E-03

2.93E-03

133

TE132

5.36E-03

4.43E-03

4.33E-03

4.22E-03

134

I0127

-2.63E-02-2.36E-02-4.92E-03-4.18E-03

135

I0129

-3.92E-02-3.35E-02-2.40E-02-1.50E-02

136

I0130

-2.61E-02-1.87E-02-9.30E-03-2.49E-03

137

I0131

3.18E-03

3.32E-03

4.56E-03

4.51E-03

138

I0135

3.32E-03

2.19E-03

1.69E-03

1.52E-03

139

XE126

8.98E-02

9.03E-02

9.15E-02

9.17E-02

140

XE128

2.47E-02

3.22E-02

4.06E-02

4.26E-02

141

XE129

1.34E-01

1.46E-01

2.24E-01

2.27E-01

142

XE130

-3.59E-02-2.46E-02-1.76E-02-6.29E-03

143

XE131

1.06E-02

2.71E-02-6.57E-03-1.93E-03

144

XE132

2.39E-03-4.01E-03

1.05E-02

7.15E-03

145

XE133

5.51E-03

4.48E-03

4.31E-03

4.28E-03

146

XE134

6.64E-03

5.83E-03

3.77E-03

3.65E-03

147

XE135

-4.69E-03-8.95E-03-5.61E-03-7.31E-03

148

XE136

8.79E-03

7.84E-03

7.61E-03

7.70E-03

149

CS133

7.44E-03

1.02E-02

4.00E-03

5.49E-03

150

CS134

-9.05E-03-2.32E-02

6.75E-03-7.17E-03

21

ID

Nuclide

151

CS135

PWR-UO2(20GWD/t) PWR-UO2(40GWD/t) PWR-MOX(20GWD/t) PWR-MOX(40GWD/t)
4.52E-04-2.17E-03-4.05E-03-5.26E-03

152

CS136

-7.31E-02-5.05E-02-6.06E-02-2.06E-02

153

CS137

3.69E-03

3.35E-03

3.22E-03

3.13E-03

154

BA134

-4.05E-03-1.94E-02

1.03E-02-3.02E-03

155

BA135

3.86E-01

3.71E-01

3.93E-01

4.03E-01

156

BA136

5.81E-03

3.70E-03

1.63E-02

2.10E-02

157

BA137M

3.29E-03

2.95E-03

2.82E-03

2.73E-03

158

BA137

3.41E-03

3.02E-03

2.82E-03

2.71E-03

159

BA138

6.70E-03

5.92E-03

3.86E-03

3.79E-03

160

BA140

5.66E-03

4.47E-03

3.15E-03

3.02E-03

161

LA139

5.83E-03

5.16E-03

3.25E-03

3.22E-03

162

LA140

5.54E-03

4.27E-03

3.04E-03

2.76E-03

163

CE140

6.32E-03

5.46E-03

3.02E-03

2.83E-03

164

CE141

6.41E-03

5.34E-03

3.34E-03

3.28E-03

165

CE142

5.88E-03

5.07E-03

3.28E-03

3.10E-03

166

CE143

5.33E-03

4.15E-03

3.34E-03

3.22E-03

167

CE144

6.46E-03

5.48E-03

4.17E-03

4.13E-03

168

PR141

7.04E-03

6.34E-03

3.21E-03

3.14E-03

169

PR143

5.60E-03

4.43E-03

3.39E-03

3.33E-03

170

PR144

6.63E-03

5.62E-03

4.45E-03

4.31E-03

171

ND142

4.90E-03

5.85E-03

9.28E-03

8.62E-03

172

ND143

6.07E-03

4.47E-03

3.78E-03

4.02E-03

173

ND144

6.70E-03

6.76E-03

3.12E-03

2.90E-03

174

ND145

5.84E-03

4.91E-03

1.90E-03

3.81E-04

175

ND146

6.42E-03

5.83E-03

5.15E-03

6.31E-03

176

ND147

5.89E-03

4.84E-03

4.38E-03

4.30E-03

177

ND148

6.17E-03

5.40E-03

3.62E-03

3.55E-03

178

ND150

5.53E-03

4.62E-03

3.30E-03

3.30E-03

179

PM147

-1.92E-03-1.94E-02

6.70E-03

8.35E-03

180

PM148M

3.94E-02

3.88E-02-5.19E-03-5.54E-03

181

PM148

3.64E-02

3.78E-02-5.05E-03-4.88E-03

182

PM149

1.28E-02

1.48E-02

3.06E-03

2.76E-03

183

PM151

-1.85E-02-2.28E-02-2.53E-02-2.82E-02

184

SM147

8.56E-03

7.75E-03

1.34E-02

2.45E-02

185

SM148

2.32E-02

2.22E-02-8.37E-03-1.10E-02

186

SM149

4.33E-03

3.07E-03-1.57E-02-1.83E-02

187

SM150

5.85E-03

3.50E-03

8.85E-04-4.85E-03

188

SM151

-7.11E-03

2.23E-03-2.87E-02-2.25E-02

189

SM152

1.97E-02

4.98E-02

1.90E-02

4.61E-02

190

SM153

-2.21E-02-1.13E-02-2.79E-02-3.26E-02

191

SM154

5.83E-03

4.40E-03

2.79E-03

2.64E-03

192

EU151

1.70E-03

7.76E-03-1.91E-02-1.80E-02

193

EU152

-6.03E-03

4.60E-03-1.75E-02-2.38E-02

194

EU153

-1.59E-02-1.22E-02-1.22E-02-1.81E-02

195

EU154

-2.34E-02-2.83E-02-4.18E-02-5.32E-02

196

EU155

-9.82E-03-2.09E-02-6.29E-03-2.44E-02

197

EU156

-7.15E-03-1.74E-02-6.52E-04-1.62E-02

198

EU157

4.11E-03

1.76E-03

7.09E-03

4.98E-03

199

GD152

-3.89E-02-3.37E-02-5.07E-02-5.52E-02

200

GD154

-1.89E-02-2.37E-02-3.90E-02-4.64E-02

22

ID

Nuclide

201

GD155

202
203

PWR-UO2(20GWD/t) PWR-UO2(40GWD/t) PWR-MOX(20GWD/t) PWR-MOX(40GWD/t)-3.25E-02-5.37E-02-4.03E-02-6.90E-02

GD156

2.63E-04

GD157-1.66E-02-1.20E-02

3.33E-03-5.41E-03-2.30E-02-2.87E-02

204

GD158

7.76E-03-2.69E-02

5.80E-03

8.09E-03

8.70E-03

205

GD160

206

TB159

6.31E-03

3.83E-03-7.95E-04-1.58E-03-3.69E-03-1.58E-02-4.96E-03-1.05E-02

207

TB160

208

DY160

-2.87E-03-6.56E-03

3.39E-02

1.95E-02-5.75E-03-1.75E-02

2.59E-02

209

6.22E-03

DY161

1.20E-02

1.40E-02

1.25E-02

1.91E-02

210

DY162

7.30E-06-2.19E-02

4.54E-02

4.48E-02

211

DY163

2.54E-02

5.01E-02

2.31E-02

3.35E-02

212

DY164

9.40E-03

2.64E-02

1.55E-02

1.24E-02

213

HO163

8.40E-03

4.57E-03

1.67E-03-4.00E-03

214

HO165

-7.32E-02-1.37E-01-5.60E-02-1.26E-01

215

HO166M

9.73E-03

7.41E-03

2.01E-02

1.09E-02

216

ER162

-1.00E+00-1.00E+00-1.00E+00-1.00E+00

217

ER164

-3.72E-02-3.82E-02-4.27E-02-4.80E-02

218

ER166

9.93E-03

1.06E-02

5.38E-02

4.93E-02

219

ER167

1.18E-02

1.24E-02

9.71E-02

6.65E-02

220

ER168

8.02E-03

9.73E-03

1.20E-01

9.69E-02

221

ER170

8.99E-03

1.37E-02

1.56E-01

1.22E-01

３.２.２ 重要核種の選定以降の比較は、重核種については 28 核種から Th-232、Pa-231、-233、U-232、-233、Np-236、Pu-236 を除いた 21 核種、FP については文献[6]で重要とされた 51 核種を対象とした。なお、核種数密度が10−10 [個/cm3]よりも小さな核種は不安定性が強い核種であるため、対象から外した。対象核種を表 ３-2 に示す。
表 ３-2 重要核種
重核種

U-234, -235, -236, -237, -238, Np-237, -239, Pu-238, -239, -240, -241, -242,
Am-241, -242, -242m, -243, Cm-242, -243, 244, -245 -246 以上 21 核種

FP

Se-79, Sr-90, Zr-93, Mo-94,-95, -96, -97, -98, -99, -100, Tc-99, Ru-100, -101, 102, -103, -104, -105, -106, Rh-103, -105, Pd-104, -105, -106, -107, -108, -110,
I-127, -129, -130, -131, -135, Xe-131, -133, -135, Cs-133, -134, -135, -136, 137, Ce-144, Nd-143, -145, -148, Pm-147, Sm-147, -149, -150, -152, Eu-153,
Eu-154, Gd-155 以上 51 核種

23

３.２.３ 数密度誤差の燃焼度依存性
上記 72 核種について、核種数密度の相対誤差の燃焼度依存性を図 ３-7 に示す。
ここで、燃焼度が 0GWD/t の時点で誤差が生じているように見える核種があるが、実際には 0.1GWD/t 時点での誤差が反映されているだけであり、
0GWD/t 時点では誤差はない。
全体的な傾向として、UO2 燃料同士や MOX 燃料同士で似たような挙動を示すことが分かった。燃焼初期で誤差が 0 付近で推移する核種と燃焼初期から誤差がある程度発生するものがある。初期組成の時点で存在している核種については前者となり、FP や Np-239 といった燃焼後に発生する核種は後者である。U-234 に着目すると、PWR の 2 体系が燃焼予期から誤差をある程度持っている。一方、BWR の 6 体系に関しては燃焼初期の誤差はほぼゼロと言える。これは BWR に使用する燃料には U-234 が初めから含まれているのに対して、PWR に使用する燃料については U-234 が含まれていないからである。

24

U-234

U-238

U-235

Np-237

U-236

Np-239U-237

Pu-238図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性(1/9)

25Pu-239

Am-241

Pu-240

Am-242

Pu-241

Am-242m

Pu-242

Am-243図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性(2/9)

26Cm-242

Cm-246

Cm-243

Se-79

Cm-244

Sr-90

Cm-245

Zr-93

図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性 (3/9)

27

Mo-94

Mo-98

Mo-95

Mo-99

Mo-96

Mo-100

Mo-97

Tc-99

図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性 (4/9)

28

Ru-100

Ru-104

Ru-101

Ru-105

Ru-102

Ru-106

Ru-103

Rh-103図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性 (5/9)

29Rh-105

Pd-107

Pd-104

Pd-108

Pd-105

Pd-110

Pd-106

I-127

図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性 (6/9)

30

I-129Xe-131

I-130

Xe-133

I-131

Xe-135

I-135

Cs-133図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性 (7/9)

31Cs-134

Ce-144

Cs-135

Nd-143

Cs-136

Nd-145

Cs-137

Nd-148図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性 (8/9)

32Pm-147

Sm-152Sm-147

Eu-153Sm-149Eu-154Sm-150Gd-155図 ３-7

核種数密度の燃焼度依存性 (9/9)

33

３.３

計算誤差の発生過程

決定論的手法における誤差は離散化誤差によるものだと述べてきた。ここでは、エネルギ
ーの離散化誤差について詳しく説明する。
燃焼計算では、中性子と個々の原子核がどれだけ反応したか（反応率）を定量的に知る必要がある。CBZ/Burner では中性子エネルギーを 107 メッシュ（群）で扱っているため、中性子断面積、中性子束ともに 107 群で与えられる。この場合、核種𝑖の（微視的）中性子捕
獲反応率は、 ∑107

𝜎𝑔𝑖 𝛷𝑔 で与えられる。ここで、 𝜎𝑔𝑖 は核種 𝑖 の 𝑔 群の反応断面積、𝛷𝑔 は

𝑔=1

𝑔 群の中性子束を示す。
燃焼計算では、一般的に全中性子束𝛷 = ∑107

𝛷𝑔 を入力として与えるので、反応率を計算

𝑔=1するためには、反応率を保存するような「平均」断面積をあらかじめ計算しておく必要がある。この平均断面積を一群断面積（エネルギーを１群として扱った場合の断面積）と呼び、
107

∑

𝜎𝑖 =

𝜎𝑔𝑖 𝛷𝑔

𝑔=1
107

∑

𝑔=1

で計算される。このようにして決められた一群断面積を用いることで、任意

𝛷𝑔̃に対する反応率を 𝜎𝑖 𝛷̃ と計算することが出来る。
の大きさの中性子束 𝛷
本研究の計算においては、エネルギーの離散化誤差、つまり𝜎𝑔 における誤差が一群断面積の評価誤差につながり、核種の変換過程を通じて、中性子増倍率や核種数密度の評価誤差へとつながったと考えることができる。

34

第４章 一般化最小二乗法を用いた実効断面積誤差の定量化
第 3 章で計算誤差について整理した。次に、整理したデータを用い、炉物理分野で核デー
タ調整に用いている一般化最小二乗法を計算誤差の要因の特定に用いる。本章ではベイズの定理を用いた一般化最小二乗法[7]を用いた核データ調整の定式化について述べる。
４.１

単一の積分データを用いた単一の核データの調整

核データ𝜎と、それに依存して決まる原子炉の積分パラメータ（積分データ）𝑘 を考える。
なお、ここでの議論は、ある入力パラメータとそれに依存して決まる出力パラメータに対して適用できる一般的なものである。
核データ𝜎が正規分布に従うと仮定するならば、𝜎の確率分布𝑝(𝜎)は以下のように書ける。
𝑝(𝜎) ∝ exp (−(𝜎 − 𝜎̅)2
)
2𝑉𝜎

(1)

ここで、𝜎̅ は 𝜎 の期待値、𝑉𝜎 は 𝜎 の分散を示す。
一方、𝜎 が与えられたときに 𝑘 が従う確率分布 𝑝(𝑘|𝜎) も以下のように正規分布に従う
ものとする。
𝑝(𝑘|𝜎) ∝ exp (−(𝑘 − 𝜏(𝜎))2
)
2𝑉𝑘

(2)

ここで、𝜏(𝜎) は 𝜎 を入力として用いた数値計算によって得られる 𝑘 の値を示す。数値計
算は不確かさを伴うため、𝑘 は 𝜏 (𝜎) の周りに幅（分散 𝑉𝑘 ）をもって分布する確率変数となる。
また、𝑘 が与えられたときの 𝜎 の確率分布 𝑝(𝜎|𝑘) はベイズの定理より
𝑝(𝜎|𝑘) =𝑝(𝜎)𝑝(𝑘|𝜎)∝ 𝑝(𝜎)𝑝(𝑘|𝜎)
𝑝(𝑘)

(3)

と与えられることから、𝑝(𝜎|𝑘) は次のように書ける。
𝑝(𝜎|𝑘) ∝ exp (−(𝜎 − 𝜎̅)2 (𝑘 − 𝜏(𝜎))2−) = exp(−𝐽)
2𝑉𝜎
2𝑉𝑘

(4)

(𝜎 − 𝜎̅)2 (𝑘 − 𝜏(𝜎))2
+
2𝑉𝜎
2𝑉𝑘

(5)

ここで

Ｊ＝

である。この 𝐽 値を 𝜒 2 値とする。
積分データを用いた核データの調整というのは、積分データを考慮しない場合での 𝜎 の確率 𝑝(𝜎) に対して、積分データ 𝑘 を考慮した場合での 𝜎 の確率 𝑝(𝜎|𝑘) を考え、その確率が最大となる 𝜎 と、この確率分布の幅を求めることを意味する。このことは、𝐽 値、
35すなわち 𝜒 2 値を最小にする 𝜎 を求める問題と言い換えることも出来、一般化最小二乗法として広く知られている。
ここで、𝜏(𝜎) を以下のように近似する。
𝜏(𝜎) ≈ 𝜏(𝜎̅) +𝑑𝜏(𝜎)| (𝜎 − 𝜎̅) = 𝑘̅ + 𝑆(𝜎 − 𝜎̅)
𝑑𝜎 𝜎̅

(6)

なお、感度 𝑆 は以下で定義される。
𝑆=

𝑑𝜏(𝜎)
|
𝑑𝜎 𝜎=𝜎̅(7)すると、式 (5) で定義された 𝐽 は次のように書ける。
𝐽=(𝜎 − 𝜎̅)2 (𝑘 − 𝑘̅ + 𝑆𝜎̅ − 𝑆𝜎)2 (𝜎 − 𝜎̅)2 (𝛼 − 𝑆𝜎)2
+
=
+
2𝑉𝜎
2𝑉𝑘
2𝑉𝜎
2𝑉𝑘

(8)

ここで、𝛼 = 𝑘 − 𝑘̅ + 𝑆𝜎̅である。これをさらに整理すると
𝐽=(

1
𝑆2
𝜎̅ 𝛼𝑆
𝜎̅ 2
𝛼2
+
) 𝜎2 − ( + ) 𝜎 ++2𝑉𝜎 2𝑉𝑘𝑉𝜎 𝑉𝑘
2𝑉𝜎 2𝑉𝑘(9)と書けるので、𝑝(𝜎|𝑘) は次のように書き直せる。
1
𝑆2
𝜎̅ 𝛼𝑆
𝑝(𝜎|𝑘) = exp(−𝐽) ∝ exp (− ((+) 𝜎 2 − ( + ) 𝜎)) = exp(−(𝛽1 𝜎 2 − 𝛽2 𝜎))2𝑉𝜎 2𝑉𝑘
𝑉𝜎 𝑉𝑘
2

𝛽2′
)
2
(10)
= 𝑒𝑥𝑝(−𝛽1 (𝜎 2 − 𝛽2′ )) = 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽1 ((𝜎 − ) + ( ))) ∝ 𝑒𝑥𝑝 −242⁄(2𝛽1 )
(
)
2
𝛽2′

𝛽′

2
𝛽2′

(𝜎 −

1

これより、𝑝(𝜎|𝑘) は、期待値 22、分散 2𝛽 の正規分布に従うことが分かる。正規分布で1あるため、この期待値は確率を最大化させる最頻値と一致することになる。
以上より、𝑘 が得られたときの σ が従う確率 𝑝(𝜎|𝑘) の期待値 𝜎̅𝑘 は以下となる。
𝜎̅𝑘 =

𝛽2′
𝜎̅ 𝛼𝑆
1 𝑆2
𝜎̅ (𝑘 − 𝑘̅ + 𝑆𝜎̅)𝑆
1 𝑆2= ( + )⁄( + ) = ( +)⁄( + )
2
𝑉𝜎 𝑉𝑘
𝑉𝜎 𝑉𝑘
𝑉𝜎
𝑉𝑘
𝑉𝜎 𝑉𝑘

= (𝑉𝑘 𝜎̅ + 𝑆𝑉𝜎 (𝑘 − 𝑘̅ + 𝑆𝜎̅))⁄(𝑉𝑘 + 𝑆 2 𝑉𝜎 )= ((𝑉𝑘 + 𝑆 2 𝑉𝜎 )𝜎̅ + 𝑆𝑉𝜎 (𝑘 − 𝑘̅ ))⁄(𝑉𝑘 + 𝑆 2 𝑉𝜎 )= 𝜎̅ +

𝑆𝑉𝜎(𝑘 − 𝑘̅ )𝑉𝑘 + 𝑆 2 𝑉𝜎

(11)

また、𝑝(𝜎|𝑘)の分散 𝑉𝜎𝑘 は以下となる。
𝑉𝜎𝑘 =

1
𝑉𝜎 𝑉𝑘
𝑆 2 𝑉𝜎2==𝑉−
𝜎2𝛽1 𝑉𝑘 + 𝑆 2 𝑉𝜎
𝑉𝑘 + 𝑆 2 𝑉𝜎

これら 𝜎̅𝑘 、𝑉𝜎𝑘 は、以下のように表せる。
36

(12)

𝜎̅𝑘 = 𝜎̅ +𝑆 2𝑉𝜎𝑘 − 𝑘̅̅ ) = 𝜎̅ + 𝛾 ((𝑘−𝑘)𝑉𝑘 + 𝑆 2 𝑉𝜎𝑆
𝑉𝜎𝑘 = 𝑉𝜎 − 𝛾𝑉𝜎

(13)
(14)

式(13)に現れている (𝑘 − 𝑘̅ ) は、𝑘 に関して核データ𝜎̅ から予測される値 𝑘̅ と、実際に測定によって得られた値 𝑘 の差異を示している。これを 𝑆 で除することによって、𝑘 に関する予測値と実測値の差異を核データの差異に置き換えた量となっている。また、𝛾 については、𝑆 2 𝑉𝜎 が 𝜎 の不確かさによって生じる 𝑘 の分散であることを考えると、「𝑘 における予測値と実測値の差異の要因において 𝜎 の不確かさが及ぼす影響の割合」を示していると
̅𝑘−𝑘考えられる。式(13) では、 𝑆に対して 𝛾 が乗ぜられており、𝛾 の値が大きいほど𝜎̅𝑘 と𝜎 の差は大きくなることが分かる。
また、𝑉𝜎𝑘 においては、𝑉𝜎 からの減少量が 𝛾 に比例していることが分かる。これはつまり、核データの調整に用いた積分データにおいて 𝜎 に起因する不確かさの寄与が大きいほど、核データの調整により 𝜎 の不確かさを低減できることを意味している。また、𝑉𝜎 の減少量には 𝑘̅ と 𝑘 との差は影響していない。

４.２

複数の積分データを用いた場合の複数の核データの調整

ここでは複数の積分データを用いたときの複数の核データの調整について述べる。
核データを 𝑻 、積分データを 𝑹 と、それぞれベクトル表記することとする。また、𝑻 を用いた数値計算で得られる 𝑹 を 𝑹(𝑻 ) と書くこととする。
核データ 𝑻 が従う確率分布を 𝑝(𝑻)、積分データ 𝑹 が従う確率分布を 𝑝(𝑹) とし、𝑻 、𝑹 の同時確率を 𝑝(𝑻, 𝑹)とする。𝑝(𝑻, 𝑹) は条件付き確率を用いて次のように書くことができる。
𝑝(𝑻, 𝑹) = 𝑝(𝑻|𝑹)𝑝(𝑹) = 𝑝(𝑹|𝑻)𝑝(𝑻)(15)

ここで、𝑝(𝑹|𝑻) は核データとして 𝑻 が与えられたときに 𝑹 が従う確率分布である。また、𝑝(𝑻|𝑹) も同様な条件付き確率である。
核データ 𝑻 が従う確率分布 𝑝(𝑻) が、期待値が 𝑻0、共分散行列が 𝑽𝜎 である多変量正
規分布に従うとすると、𝑝(𝑻) は次のように記述される。
𝑝(𝑻) ∝ exp (−(𝑻 − 𝑻0 )𝑇 𝑽−1
𝜎 (𝑻 − 𝑻0 )
)
2

(16)

また、核データとして 𝑻 が与えられたときに 𝑹 が従う条件付き確率 𝑝(𝑹|𝑻) は、前節と同様の考え方に基づいて、期待値 𝑹(𝑻)、共分散行列 𝑽𝑚 の多変量正規分布に従うと考えることができ、次のように書くことができる。
𝑻(𝑹 − 𝑹(𝑻)) 𝑽−1
𝑚 (𝑹 − 𝑹(𝑻))𝑝(𝑹|𝑻) ∝ 𝑒𝑥𝑝 (−
)
2
37

(17)

ここで、𝑽𝑚 は核データを用いた積分データの計算値に対する共分散行列（数値計算に起因する誤差）である。
𝑹 に関する情報が全く与えられていない場合は、𝑝(𝑻, 𝑹) = 𝑝(𝑹|𝑻)𝑝(𝑻) を最大化する 𝑻 、𝑹 として、自明のことながら以下が与えられる。
𝑻 = 𝑻0(18)

𝑹 = 𝑹(𝑻0 )(19)

̃ が得られたとき、核データ 𝑻 が従う確率
一方、積分データ 𝑹 について測定によって 𝑹̃ ) はベイズの定理より次のように書ける。
分布 𝑝(𝑻|𝑹
̃) =
𝑝(𝑻|𝑹

̃ |𝑻)𝑝(𝑻)𝑝(𝑹̃ |𝑻)𝑝(𝑻)
∝ 𝑝(𝑹
̃)
𝑝(𝑹

(20)

̃ ) は次のように書ける。
従って、𝑝(𝑻|𝑹𝑇̃ ) ∝ 𝑒𝑥𝑝 (−𝑝(𝑻|𝑹̃ − 𝑹(𝑻)) 𝑉𝑚−1 (𝑹̃ − 𝑹(𝑻))(𝑹
2−(𝑻 − 𝑻0 )𝑇 𝑽−1
𝜎 (𝑻 − 𝑻0 )
)
2

(21)

̃ は誤差
ただし、実際には、積分データの真値を測定によって得ることは出来ないため、𝑹
𝑽𝑒 をもった確率分布として与えられることになる。そこで、積分データの測定誤差 𝑽𝑒 を
𝑅(𝑻) に対して考慮すると、式(17)は次のように変形される。
𝑇

̃ − 𝑹(𝑻)) (𝑽𝑒 + 𝑽𝑚 )−1 (𝑹̃ − 𝑹(𝑻))(𝑹̃𝑝(𝑹|𝑻) ∝ 𝑒𝑥𝑝 (
)
2

(22)

これを用いると、式(21)は次のように書ける。
𝑇̃ ) ∝ exp (−𝑝(𝑻|𝑹̃ − 𝑹(𝑻)) (𝑽𝑒 + 𝑽𝑚 )−1 (𝑹̃ − 𝑹(𝑻))(𝑹
2−(𝑻 − 𝑻0 )𝑇 𝑽−1
𝜎 (𝑻 − 𝑻0 )
)
2

(23)

̃ が得られたときの核データ 𝑻 が従う確率分布 𝑝(𝑻|𝑹̃ ) における最ここで、積分データ 𝑹
̂ を求めることを考える。最頻値は以下の関数 𝐽 を最小とするものに対応する。
頻値 𝑻
𝑇

−1 ̃
̃
𝐽 = (𝑻 − 𝑻0 )𝑇 𝑽−1(𝑹 − 𝑹(𝑻))𝜎 (𝑻 − 𝑻0 ) + (𝑹 − 𝑹(𝑻)) (𝑽𝑒 + 𝑽𝒎 )(24)

また、𝐽 を最小化する 𝑻 は、以下の式から計算することが出来る。
𝑑𝐽
=0
𝑑𝑻

(25)

式(25)を計算するために、𝑹(𝑻) を次のように近似する。
𝑹(𝑻) ≈ 𝑹(𝑻0 ) + 𝑮(𝑻 − 𝑻0 )(26)

ここで、𝑮 は感度係数行列であり、行数は積分データ数、列数は断面積数である。これを用いると、𝐽は次のように書ける。
𝑇 −𝟏
𝐽 = 𝑿𝑇 𝑽−1
𝜎 𝑿 + (𝑹𝟎𝟎 − 𝑮𝑿) 𝑽𝒆𝒎 (𝑹𝟎𝟎 − 𝑮𝑿)

38

(27)

ここで、
𝑿 = 𝑻 − 𝑻0(28)

̃ − 𝑹(𝑻0)
𝑹00 = 𝑹

(29)

𝑽𝑒𝑚 = 𝑽𝑒 + 𝑽𝑚

(30)

𝑇 −𝟏
𝑿𝑇 𝑽−1𝜎 − (𝑹00 − 𝑮𝑿) 𝑽𝒆𝒎 𝑮 = 𝟎(31)である。これを式(25)に代入するとが得られる。また、さらにこれを整理して
𝑇 −1−1 𝑇 −1
𝑿 = (𝑽−1
𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮) 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑹00(32)が得られる。この式だと逆行列を含む行列の逆行列となっており見通しが悪いため、さらなる変形を行う。この右辺について
𝑇 −1−1 𝑇 −1𝑇−1(𝑽−1
𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮) 𝑮 𝑽𝑒𝑚 = 𝑨(𝑮𝑽𝜎 𝑮 + 𝑽𝑒𝑚 )(33)

𝑨 = 𝑽𝜎 𝑮𝑇(34)

𝑿 = 𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 )−1 𝑹00(35)とおくと、𝑨 としてが得られることから、式(32)はと書き直せることが分かる。これより、確率𝑝(𝑻|𝑹0 )を最大化させる 𝑻、すなわち 𝑝(𝑻|𝑹0 )̂はの最頻値 𝑻̂ = 𝑻0 + 𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 )−1 (𝑹̃ − 𝑹(𝑻0 ))𝑻(36)と得られる。
̃ ) における分散を求めよう。式(24)は以下のように書くことができる。
次に、確率分布 𝑝(𝑻|𝑹
𝑇 −1
𝐽 = (𝑻 − 𝑻0 )𝑇 𝑽−1
𝜎 (𝑻 − 𝑻0 ) + (𝑮𝑻 − 𝛼) 𝑽𝑒𝑚 (𝑮𝑻 − 𝜶)(37)

𝜶 = 𝑮𝑻0 + 𝑹00

(38)

ここで、
̂ のとき 𝐽 が極値をとることから、式 (37) は 𝑻
̂ を用いて以下のように書きである。𝑻 = 𝑻
直せる。
𝑇

𝑇 −1
̂ ) (𝑽−1̂̃̃
𝐽 = (𝑻 − 𝑻
𝜎 + 𝑮 𝑉𝑒𝑚 𝑮)(𝑻 − 𝑻) + 𝐽 = 𝐽0 + 𝐽(39)

従って、𝐽0 について
𝑇 −1̂ )𝑇 (𝑽−1̂̂ 𝑇 ̂ −1̂(40)
𝐽0 = (𝑻 − 𝑻
𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮)(𝑻 − 𝑻) = (𝑻 − 𝑻) 𝑉 (𝑻 − 𝑻)𝑇 −1
̂ が 𝑝(𝑻|𝑹̃ ) の分散となる。すなわち、(𝑽−1のように変形したときの 𝑽
𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮) の逆行列を求める問題に帰着する。 式 (33)、(34) より
𝑇 −1−1 𝑇 −1𝑇𝑇−1(𝑽−1
𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮) 𝑮 𝑽𝑒𝑚 = 𝑽𝜎 𝑮 (𝑮𝑽𝜎 𝑮 + 𝑽𝑒𝑚 )(41)が得られる。この両辺の転置をとることで、以下の式が得られる。
−1
𝑇 −1
−1
𝑽−1
= (𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 )−1 𝑮𝑽𝜎𝑒𝑚 𝑮(𝑽𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮)

これを以下のように変形する。
39

(42)

𝑇 −1
−1
𝑮(𝑽−1
= 𝑽𝑒𝑚 (𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 )−1𝑮𝑽𝜎𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮)
𝑇 −1
−1
𝑮(𝑽−1
= (𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 − 𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 )(𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 )−1 𝑮𝑽𝜎𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮)
𝑇 −1
−1
𝑮(𝑽−1
= 𝑮𝑽𝜎 − 𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 )−1𝑮𝑽𝜎𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮)
𝑇 −1
−1
𝑮(𝑽−1
= 𝑮(𝑽𝜎 − 𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 )−1 𝑮𝑽𝜎 )𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮)(43)

ここで、𝑮𝑋 = 𝑮𝑌 のときに 𝑿 = 𝒀 が成り立つか考える。積分データ数を 𝑝、核データ数を𝑞 としたとき、𝑮 は 𝑝 × 𝑞 の行列 𝑿、𝒀 は 𝑞 × 𝑞 の行列となる。ただし、𝑝 < 𝑞 である。
この式は 𝑮(𝑿 − 𝒀) = 𝑮𝒁 = 𝟎 と書き直せる。正方行列である 𝒁 が non-singular であるとするならば、𝒁−1 を両辺の右から乗じることで 𝑮 = 𝟎 となってしまうため、𝒁 は singularでなければならないことになる。𝒁 = 𝟎 すなわち 𝑿 = 𝒀 の場合はこの条件が満足され、以下の式が得られることになる
𝑇 −1
−1
(𝑽−1
= 𝑽𝜎 − 𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 + 𝑽𝑒𝑚 )−1 𝑮𝑽𝜎𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮)

(44)

𝑇 −1
一方、
行列の逆行列は一意に求まらなければならないことから、上の式が (𝑽−1
𝜎 + 𝑮 𝑽𝑒𝑚 𝑮)の逆行列の表式であることが言える。
以上の議論より、最終的に 𝐽0 として以下が得られる。
̂ )𝑇 (𝑽𝜎 − 𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑽𝑒𝑚 + 𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 )−1 𝑮𝑽𝜎 )−1(𝑻 − 𝑻̂)
𝐽0 = (𝑻 − 𝑻̃ ) における分散 𝑽
̂ は以下となる。
すなわち、確率分布 𝑝(𝑻|𝑹̂ = 𝑽𝜎 − 𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑽𝑒𝑚 + 𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 )−1 𝑮𝑽𝜎
𝑽

(45)
(46)

調整後の核データを用いて、ある炉物理パラメータの予測を行ったときの精度について考̂ とするならば、式 (46) の両辺の左から 𝑮
̂ 、右から 𝑮
̂ 𝑇 を作用さえる。感度ベクトルを 𝑮せることで、この炉物理パラメータの不確かさが以下のように求められる。
̂𝑽
̂𝑮
̂𝑇 = 𝑮̂ 𝑽𝜎 𝑮̂𝑇 − 𝑮̂ 𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑽𝑒𝑚 + 𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 )−1𝑮𝑽𝜎 𝑮
̂𝑇
𝑮

(47)

上式の右辺第一項が調整前の核データを用いたときの予測精度に対応し、右辺第二項が核̂ 𝑽𝜎 𝑮𝑇 は、
データ調整による予測精度向上の程度を示している。この右辺第二項における 𝑮
核データ調整に用いた積分データ群と着目している炉物理パラメータの共分散に対応する
̃ と記述する。𝑽̃ は、核データ調整に用いた積分データ群の個数を要素数とため、これを 𝑽するベクトルである。また、右辺第二項における(𝑽𝑒𝑚 + 𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 ) は実験値と計算値の不確かさも含めた、調整前の核データを用いたときの予測精度に対応する共分散行列であるが、こ̃ 、𝑽′ を用いると、右辺第二項は以下のように書き直せ
れを 𝑽′ とする。以上で定義した 𝑽る。
̂ 𝑽𝜎 𝑮𝑇 (𝑽𝑒𝑚 + 𝑮𝑽𝜎 𝑮𝑇 )−1 𝑮𝑽𝜎 𝑮
̂ 𝑇 = −𝑽̃ 𝑽′ −1 𝑽
̃𝑇
−𝑮
−1
−1
−1
= − ∑ ∑ 𝑉̃𝑖 𝑉̃𝑗 𝑉 ′𝑖,𝑗 = − ∑ 𝑉̃𝑖2 𝑉 ′ 𝑖,𝑗 − ∑ ∑ 𝑉̃𝑖 𝑉̃𝑗 𝑉 ′ 𝑖,𝑗
𝑖

𝑗

𝑖

𝑖

(48)

𝑗≠1

つまり、核データ調整による炉物理パラメータの予測精度の向上は、核データ調整に用いた積分データ毎の寄与(式 (48) 最右辺第 1 項)と積分データ間の相関による寄与(式 (48) 最右辺第 2 項)に分けて考えられることが出来る。

40

第５章 一般化最小二乗法の適用と結果
５.１

適用の流れ

第３章で得られた結果を用いて、CBZ/Burner の多群断面積に対して核データ調整を行い、多群断面積の変動を整理し、誤差の原因を特定することを目的とする。対象とする多群断面積は、表 ３-2 に示す 21 の重核種の核分裂断面積と捕獲断面積とする。
まず、8 種のピンセル体系について、
20GWD/t と 40GWD/t における 21 の重核種の MVPBURN と CBZ/Burner の数密度についての計算比を取得する。ここでの計算比とは、(CBZ/Burner での計算結果)÷(MVP-BURN での計算結果)を表す。数密度の実効断面積に対する感度は一般化摂動論を用いて CBZ/Burner により計算した。この時点で、8 体系×
21 核種×2 燃焼度点の計算比データと、感度係数データが取得されている。その後、一般
化最小二乗法を適用した。なお、本研究では CBZ/Burner と MVP-BURN の計算誤差はそ
れぞれ 0.1％と仮定している。
本研究では、
初期誤差の与え方の異なる 2 ケースについて一般化最小二乗法を適用した。
Case1 では、107 群のエネルギー群それぞれの初期誤差を 10％に設定した。Case2 では、共鳴領域にのみ誤差を与えることとして、共鳴領域の特定に共鳴自己遮蔽因子を用いた。多群断面積ライブラリ CBZLIB 内に与えられている核分裂断面積 (n,f) と捕獲断面積 (n,g)の共鳴自己遮蔽因子のうち、背景断面積を 100barn、温度を 300K とした条件のものを取得し、共鳴自己遮蔽因子が 0.95 以上となるエネルギー群に対しては離散化誤差がないとして初期誤差を 0.1％に設定し、0.95 未満となるエネルギー群に対しては、離散化誤差がある
として、初期誤差を 10％に設定した。例として、U-235 の捕獲断面積について、図 ５-1、
図 ５-2、図 ５-3 に示す。Case1 ではすべてのエネルギー群が初期誤差を 10%と与えられるのに対して、Case2 では共鳴領域では初期誤差を 10%に、それ以外の領域で 0.1％に設定することになる。

41

図 ５-1 U-235 捕獲断面積

図 ５-2

Case1 の初期誤差の与え方

図 ５-3

Case2 の初期誤差の与え方
42

５.２

適用結果

５.２.１ 計算比と不確かさ
8 体系×21 核種×2 燃焼度点の適用前後の相対誤差について、図 ５-4 に示す。横軸の Noは以下の式を満たす。また、PWR-UO2 について抜き出したものを図 ５-5 に示す。
No= 42 × 𝐴 + 21𝐵 + 𝐶

A

0

1

2

3

4

5

6

7

PWR-UO2 PWR-MOX BWR-UO2-V0 BWR-UO2-V40 BWR-UO2-V70 BWR-MOX-V0 BWR-MOX-V40 BWR-MOX-V70

B

C

0

1

20GWD/t 40GWD/t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

U-234

U-235

U-236

U-237

U-238

Np-237

Np-238

Np-239Pu-238

Pu-239

13

14

15

10

11

12

Pu-240Pu-241

Pu-242

Am-241 Am-242m Am-243

16

17

18

Cm-242

Cm-243

Cm-24419

20

Cm-245 Cm-246

図から一般化最小二乗法の核データ調整によって、計算誤差が小さくなっていることを確
認した。

図 ５-4

一般化最小二乗法適用前後の相対誤差43図 ５-5PWR-UO2 での数密度相対誤差

また、適用前後の実効断面積に想定した計算誤差に起因する数密度の不確かさを図 ５-6に示す。横軸の No については図 ５-4 と同様である。実効断面積の計算誤差が圧縮され、その結果、それに起因する数密度の不確かさが小さくなったことを確認した。

図 ５-6

初期誤差が数密度に与える不確かさ

44

５.２.２ 多群断面積
U-235 と U-238 について詳しく見ていく。U-235 と U-238 の核分裂断面積と捕獲断面積を図 ５-7 の(a)、(d)に示す。また、U-235 と U-238 の各断面積の相対変化量を図 ５-7 の(b)、(c)、(e)、(f)に示す。これらの図から、Case2 では離散化誤差が存在するとされた共鳴領域で核データ調整が行われたが、Case1 では、そのような調整が行われなかったことが分かる。４.２でも述べたように複数の核データを用いた一般化最小二乗法の解は一意には定まらない。初期誤差を自己遮蔽因子によって定めることで、核データの調整が行われる範囲を限定することができ、より現実的な調整が行われたことがわかる。
その他の断面積に関しての、一般化最小二乗法を適用した場合の多群断面積の相対変化量を図 ５-8 に表す。前節の図 ５-5 を見ると、Cm-245 と Cm-246 の数密度が CBZ/Burner
では大幅に過少評価されていたことがわかる。ここで、Cm-244 の捕獲断面積についての、調整による各エネルギー群断面積の相対変化量を確認する。Case2 の結果を見ると、共鳴領域での断面積が大幅に過少評価されており、これが Cm-245 と Cm-246 の数密度に大きな誤差を与えていたことが分かった。
本研究では、自己遮蔽因子に基準値を設定しその大小によって、一律に初期誤差を定めたが、自己遮蔽因子に初期誤差を比例させるなどより相関を持たせることができれば、さらに適切な核データ調整が行われると考えられる。

45

(a)U-235 の核分裂断面積(MT=18)と捕獲断面積(d)U-235 の核分裂断面積(MT=18)と捕獲断面積(MT=102)(MT=102)(b)U-235 の核分裂多群断面積の相対変化量(e)U-238 の核分裂多群断面積の相対変化量(c)U-235 の捕獲多群断面積の相対変化量(f)U-238 の捕獲多群断面積の相対変化量

図 ５-7 U-235 と U-238 の一般化最小二乗法適用結果

46

図 ５-8

U-234/18

U-236/18

U-234/102

U-236/102

U-235/18

U-237/18

U235/102

U-237/102

各エネルギー群の断面積の相対変化量(18-核分裂断面積、102-捕獲断面積) (1/6)

47図 ５-8

U-238/18

Np-239/18

U-238/102

Np-239/102

Np-237/18

Pu-238/18

Np-237/102

Pu-238/102

各エネルギー群の断面積の相対変化量(18-核分裂断面積、102-捕獲断面積) (2/6)

48図 ５-8

Pu-239/18

Pu-241/18

Pu-239/102

Pu-241/102

Pu-240/18

Pu-242/18

Pu-240/102

Pu-242/102

各エネルギー群の断面積の相対変化量(18-核分裂断面積、102-捕獲断面積) (3/6)

49図 ５-8Am-241/18

Am-242m/18

Am-241/102

Am-242m/102

Am-242/18

Am243/18

Am-242/102

Am-243/102

各エネルギー群の断面積の相対変化量(18-核分裂断面積、102-捕獲断面積) (4/6)

50図 ５-8

Cm-242/18

Cm-244/18

Cm-242/102

Cm-244/102

Cm-243/18

Cm-245/18

Cm-243/102

Cm-245/102

各エネルギー群の断面積の相対変化量(18-核分裂断面積、102-捕獲断面積) (5/6)

51

Cm-246/18

図 ５-8

Cm-246/102

各エネルギー群の断面積の相対変化量(18-核分裂断面積、102-捕獲断面積) (6/6)

52

第６章 結論
エネルギーの離散化誤差が燃焼計算に与える誤差に関する研究を行った。計算誤差を定量化する対象として決定論的手法で燃焼計算を行う汎用炉物理解析コード CBZ の Burner
モジュール、比較対象として厳密解相当の解を得るために、確率論的手法に基づく汎用中性子・光子輸送計算モンテカルロコード MVP の BURN モジュールを用いた。
ピンセル体系においては、決定論的手法において、無限中性子増倍率を反応度単位で比較すると、誤差 0.1%以内での計算が可能であることを確認した。次に、数密度の燃焼度依存性を整理した。整理した数密度誤差の結果を用いて一般化最小二乗法を適用することで、計算誤差の原因となるエネルギー群を特定した。重核種では、Cm-245、Cm-246 数密度がCBZ/Burner では大幅に過少評価されていたが、これは Cm-244 の共鳴領域での捕獲断面積が大幅に過少評価されていたからだと分かった。
今後の展望としては、燃料集合体体系等での精度の確認をすることが挙げられる。また、
一般化最小二乗法については、初期誤差を共鳴自己遮蔽因子の値に相関するように設定し、本研究で得られた結果と比較する予定である。

53

謝辞
本研究を進めるにあたり、指導教官である千葉豪准教授には研究や卒業論文執筆の際に多大なる手助けを頂きました。個人的な部活に集中したいという思いから、研究のスタートが遅れてしまった中でも見捨てることなく、終始丁寧にご教授、ご指導いただきありがとうございました。また、分からないことを教えてくださった研究室の皆様にも厚く御礼申し上
げます。

54

参考文献
[1] H.Abdel-Khalik, “Uncertainty characterization framework for CANDU reactor
physics calculations,” Proc. Of 7th Int. Conf.on Modeling and Simulation in Nucl. Sci.
Eng., Ottawa, Canada, Oct. 18-21,2015 (2015).
[2] A. Yamamoto, K. Kinoshita, T. Endo, “Estimation of modeling approximation errors
using data assimilation with the minimum variance approach,” J. Nucl. Sci. Technol., 54,
pp.459-471 (2017)[3] 長家康展, 他 「MVP/GMVP 第 3 版連続エネルギー法及び多群法に基づく汎用中性子・光子輸送計算モンテカルロコード(翻訳資料)」 JAERI-Data/Code 2016-019, (2017)[4] 奥村啓介, 他 「MVP-BURN 利用マニュアル暫定版(Ver051011)」,(2005)[5]K. Shibata, O. Iwamoto, T. Nakagawa, N. Iwamoto, A. Ichihara, S. Kunieda, S. Chiba,
K. Furutaka, N. Otuka, T. Ohsawa, T. Murata, H. Matsunobu, A. Zukeran, S. Kamada,and J. Katakura: "JENDL-4.0: A New Library for Nuclear Science and Engineering," J.
Nucl. Sci. Technol. 48(1), 1-30 (2011).
[6] 千葉豪, 「(4)原子力エネルギーシステム応用の観点から」,日本原子力学会「2019 年春の年会」核データ部会セッション 「核分裂生成物核種の核データ研究のフロンティ
ア」,(2019)[7] D.L. Smith, ‘Probability, statistics, and data uncertainties in nuclear science andtechnology,’ In: Vol. 4 of Neutron Physics and Nuclear Data in Science and Technology.
American Nuclear Society (1991).

55