複屈折を利用したひねり干渉計に関する研究
2233069 沼倉 一
主任指導教員：宮本 洋子 指導教員：清水 亮介

1.

背景

いはそれらの重ね合わせに相当する出力ビームを形

ひねり干渉計は，入力ビームとその複製に、互い成できる[3]．に直交する方向に位置のずれと伝搬方向のずれを導入し，位相差を π で重ね合わせることで出力ビームを形成する．従来のひねり干渉計は鏡を用いて，これらのずれを導入していた[1]．しかし，入力が高次のモードになるにつれて，安定した出力ビームの形成が難しいという問題があった．そこで，位置のずれの導入に複屈折を利用すること，導入した位置の
図 1：複屈折ひねり干渉計. 𝑃1 ，𝑃2：偏光板，𝑄𝑊𝑃：4 分の 1 波長板，

ずれの一部を円筒面レンズを用いて伝搬方向のずれ

複屈折素子は円筒面レンズの間に設置されている．に変換することでより安定したビーム形成を実現で入力ビームに導入する位置と伝搬方向のずれは以下

きる複屈折ひねり干渉計が提案された[2]. 本研究ので表される．Δ𝑥, Δ𝑦 は位置のずれであり 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 は伝搬

目的は，高次の入力ビームに対して安定した出力ビ方向のずれである．

ームを形成する複屈折ひねり干渉計の作製の前段階として，複屈折を用いた干渉計の出力の数値シミュ

Δ𝑥 = Δ𝑟 sin 𝜒 cos 𝜒 ,Δ𝑟
𝑘𝑥 = 𝑘 sin 𝜒 cos 𝜒 ,𝑓

レーションに加え，選定した位相差フィルムによって入力の偏光成分間に導入される位置のずれを推定

Δ𝑦 = Δ𝑟 sin2 𝜒Δ𝑟𝑘𝑦 = −𝑘 cos2 𝜒𝑓(1)

ここで，Δ𝑟 は複屈折による位置のずれ，𝑘 は波数，𝑓することである．

は円筒面レンズの焦点距離，𝜒 は円筒面レンズの設置2.

角度である．

原理
複屈折ひねり干渉計は以下の仕組みで出力ビーム3.

を形成する．

数値シミュレーション

Ⅰ．垂直入射から𝜃 傾けて設置した複屈折素子は，入干渉計の効果を検証するため，数値シミュレーシ

射する 45° の直線偏光の水平偏光成分と垂直偏光ョンを行った．位置のずれのみを導入した場合の干成分の間に位置のずれを導入して，2 本のビームに渉計の数値シミュレーションでは，入力のビームを分ける．

ガウスビームとして偏光成分間に 𝑦 方向の位置のずⅡ. 光軸を中心に 𝜒 回転して設置した円筒面レンズは，れを導入して位相差 𝜋 で重ね合わせることで出力の偏光成分間の位置のずれの一部を伝搬方向のずれ計算を行った．複屈折ひねり干渉計の出力についてに変換する．

は，入力をガウスビームと仮定し，適切な円筒面レンズの設置角度を計算した．波長 632.8nm，円筒面Ⅲ. ずれを導入した 2 本のビームを位相差 𝜋 で重ね合レンズの焦点距離 1000mm，ビーム径 1mm，複屈折わせることで，出力ビームは形成される．
円筒面レンズを適切な角度で設置することで，方位角による位置のずれ 1µm の条件では，レンズの設置角方向と動径方向のモード指数が増減したビーム，ある度は(A) 101.4°，(B) 78.6°となり，この条件で入力の1ビームをガウスビームまたはラゲールガウスビーム

2 の LG ビームとした場合の出力である．

(LG ビーム)として入力に位置のずれと伝搬方向のず入力がガウスビームの場合，条件(A)と条件(B)ではれを導入して位相差を 𝜋 としてシミュレーションを出力となる LG ビーム (𝑚 = ±1, 𝑝 = 0)の方位角モー行った．

ド指数の符号が反転しているため，位相分布の反転が見られる．また，図 4 の対称軸は円筒面レンズの設置

3.1 位置のずれのみを導入した場合の干渉計出力角度から予想されるように，水平方向と鉛直方向から入力をガウスビームとして偏光成分間に𝑦 方向の位置回転している．のずれを導入して位相差 𝜋 で重ね合わせたときの出力は以下のように計算される．
𝐸𝑜𝑢𝑡1 =𝐴0
𝑥 2 + (𝑦 − 𝛥𝑟)2𝐴0
𝑥 2 + (𝑦 + 𝛥𝑟)2
exp [−+ 𝑖𝜋]] + exp [−222𝜔0𝜔02

𝐴0 𝛥𝑟𝛥𝑟 2𝑥 2 + 𝑦2
≅ [( 2 ) exp (− 2 )] 2𝑦 exp [−]𝜔0𝜔0𝜔02（2）

ここで，𝐴0 は偏光成分ごとに分離する前のガウスビー
ムの振幅の最大値，𝜔0 はビームウエストでの半径，Δ𝑟は複屈折によって導入された位置のずれである．ここで，𝐴0 = 1，𝜔0 = 1 mm，Δ𝑟 = 1.00 × 10−3 mm とした

図 3：入力をガウスビームとしたときのシミュレーションの出力．(a)，ときの出力の強度分布と位相分布は図 2 となる．出力(b)：強度分布，(c)，(d)：位相分布，(a)，(c)：条件(A)での出力，(b)，はエルミートガウシアンビーム(HG ビーム)に相当し，(d)：条件(B)での出力．

出力の強度は導入する位置のずれが大きくなるにつれて，位置のずれの大きさの 2 乗に比例して大きくなる．
(a)

(b)

図 2：入力のガウスビームに位置のずれのみを導入した場合の出力の分
布，(a)：強度分布，(b)：位相分布

図 4：入力を LG ビーム (𝑚 = 𝑝 = 2) としたときのシミュレーションの出力．(a)，(b)：強度分布，(c)，(d)：位相分布，(a)，(c)：条件

3.2 複屈折ひねり干渉計の出力(A)での出力，(b)，(d)：条件(B)での出力．

入力をガウスビームとして出力の各偏光成分の複素振幅に式(1)で与えられる 4 つのずれを符号を相互

入力を LG ビーム (𝑚 = 𝑝 = 2) とした場合の出力は，に反転させて導入し，相対的な位相差を 𝜋 としたとき解析的な 1 次の近似式では条件(A)は 𝑚 = 1, 𝑝 = 2 との複屈折ひねり干渉計の出力は以下となる．

𝑚 = 3, 𝑝 = 2 の LG ビームの重ね合わせ，条件(B)は{(𝑥 − Δ𝑥)2 + (𝑦 − Δ𝑦)2}
1𝐸𝑜𝑢𝑡2 = √ exp (−+ 𝑖(𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦))
2𝑤2（3）

𝑚 = 1, 𝑝 = 3 と 𝑚 = 3, 𝑝 = 1 の重ね合わせになる．複屈折ひねり干渉計で導入される位置と伝搬方向のずれの方向を考慮して，解析的な 1 次の近似式から予{(𝑥 + Δ𝑥)2 + (𝑦 + Δ𝑦)2}1− √ exp (−− 𝑖(𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦))
2𝑤2

想される出力を計算した結果を図 5 に示す．

図 3 は入力がガウスビームとした場合であり，図 4 は入力が方位角モード指数 𝑚 = 2，動径モード指数 𝑝 =2

径モード指数が増加すると，Fidelity の値は小さくなる．𝑚 < 0 の場合，入力の動径モード指数が増加すると，Fidelity の値は大きくなる．
円筒面レンズの設置角度を条件(B)とした場合，入力のモード指数と Fidelity の関係は 𝑚 = 0 では同様の関係となり，他のモード指数では条件(A)と逆の関係となった．

図 5：入力を LG ビーム (𝑚 = 𝑝 = 2) としたときの解析的な 1 次の近似式から予想される出力．(a)，(b)：強度分布，(c)，(d)：位相分布，(a)，(c)：条件(A)での出力，(b)，(d)：条件(B)での出力．

このとき，シミュレーションの出力と予想される出力の忠実度（Fidelity）を計算した．Fidelity は以下の式で表され，その最大値は 1 である．
2𝐹 = ||∫ 𝐸des (𝑥, 𝑦)𝐸f∗ (𝑥, 𝑦)dxdy||√∫|𝐸des (𝑥, 𝑦)| dxdy × ∫|𝐸f (𝑥, 𝑦)| dxdy
2(4)2

ここで，𝐸des (𝑥, 𝑦) は予想される出力の複素振幅であり𝐸f (𝑥, 𝑦) はシミュレーションの出力の複素振幅である．
条 件 (A) と 条 件 (B) の い ず れ の 結 果 に お い て も ．
Fidelity の値は 1.00 となり，よく一致していると評価する．
3.3 円筒面レンズの設置角度の許容範囲
複屈折ひねり干渉計の作成に向けて円筒面レンズの設置角度の許容範囲を評価するために，円筒面レンズの設置角度を理想的な角度から回転させてシミュレーションの出力を計算した．その後，入力のモード指数ごとに，計算したシミュレーション結果と最適な角度を想定した解析的な 1 次の近似式から予想される結果の Fidelity を求めた．円筒面レンズの設置角度を条件(A)とした場合を図 6 に示す．
図 6 からは，入力のモード指数と円筒面レンズの許容範囲の関係が読み取れる．𝑝 = 0 の場合，方位角モード指数が増加するほど，同じ設置角度での Fidelity の値は大きくなる．𝑚 = 0 の場合，入力の動径モード指図 6：条件(A)での円筒面レンズの設置角度ごとのシミュレーション結数が増加しても，円筒面レンズの設置角度ごとの果と最適な角度を想定した解析的な 1 次の近似式から予想される結果との Fidelity．(a)；𝑝 = 0, (b)：𝑚 = 0, (c)：𝑚 = 2, (d)：𝑚 = −2．

Fidelity の値には変化がない．𝑚 > 0 の場合，入力の動34.

複屈折素子の特性測定
実験に適当な偏光成分間の位置のずれを実現できる複屈折材料の選定と特性測定を行った．実験で使用する複屈折素子は位相差フィルムであり，2 枚のガラス板に挟まれた状態で偏光子ホルダーにマウントして使用する．
導入する位置のずれごとに干渉計の出力シミュレーションを行った．出力の強度分布の外形を円形に保つためにビーム径の 1/2.5 未満の位置のずれを導入で

図 7：位相差フィルムの光学軸の測定に使用した光学系

きること，出力の強度を大きくするために可能な限り大きな位置のずれを導入できることという条件で選定を行った．選定の結果，設置する傾きの角度 56° で直交する偏光成分間の位置のずれ 0.90 µｍを実現できる位相差フィルムを選定した．
選定した位相差フィルムの光学軸が水平あるいは鉛直方向となる偏光子ホルダーの角度を求めるために以下の手順で実験を行った．
I.

偏光板の透過軸の角度を 0° にし，𝑥𝑦 軸ステージにマウントした位相差フィルムを偏光ビームスプリッター(PBS)と偏光板(P)の間に設置した．

II.

図 8：位相差フィルムのホルダーの角度ごとの透過光のパワー

位相差フィルムには位置によって偏光特性のばらつきがあったため、回転時に光の入射位置が変5.

HG ビームの強度分布の撮影化しないように以下のように調整した．𝑥𝑦 軸ス

複屈折ひねり干渉計の作成に向けて，入力ビームとテージを用いて 0.1 ㎜単位で位置を変化させ，回その複製に導入する位置のずれの測定を行う．偏光成

転角度に対する透過光のパワーが極大となるホ分間に位置のずれのみを導入する場合，出力の強度分

ルダーの角度 (80°, 170°, 260°, 350°) での測定値

布は以下の式(5)で表される．

がほぼ一定となるようにした．その後，位相差フ2𝐴0 Δ𝑟2Δ𝑟 22(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐼0 + [( 2 ) exp (− 2 )] 4𝑦 2 exp [−]
𝜔0
𝜔0𝜔02

ィルムのホルダーの角度を 0°~360° まで 5° ずつ(5)回転させながらパワーメータを用いて透過光のここで，𝐴0 は入力の複素振幅の最大値，Δ𝑟 は導入するパワーを測定した．

複屈折による位置のずれである．このとき，出力は HGIII. 測定したパワーに対して MATLAB を用いてフィビームに相当する．出力の強度は導入する位置のずれッティングを行った．フィッティング関数は 𝑦 =の大きさの 2 乗に比例して増加することを利用して入𝑎 + 𝑏 sin(4𝜋/180 ∗ 𝑥 + 𝑐) とし，重み付けのため力の強度分布および出力の強度分布から，導入されたの不確かさは測定値の平方根とした．

位置のずれを推定する．
図 9 の光学系を用いて，入力の偏光成分間に位置の位相差フィルムのホルダーの角度ごとのパワーのフずれを導入して HG ビームを生成した．実験方法は以ィ ッ テ ィ ン グ 結 果 は 𝑦 = 131.87 − 132.03 sin(4𝜋/下の手順で行った．

180 ∗ 𝑥 − 0.7765) となった．ホルダーの回転角度の精I.

度を考慮して進相軸が水平方向あるいは鉛直方向とBS3 の後に ND フィルターのみを設置した場合の強度分布を CCD カメラを用いて撮影した．

なるホルダーの角度を求めると，33.6 ± 0.5° またはII.

123.6 ± 0.5° と求められた．
4

偏光板 1 の透過軸を 45°，四分の一波長板の進相

軸の角度を 45°，偏光板 2 の透過軸を135° として4096（a）設置し，光が透過しないことを確認した．
III. 偏光板 1 と四分の一波長板の間に，𝑥𝑦 軸ステージと 𝜃 軸ステージを組み合わせて傾きの調整を可能にした位相差フィルムを設置した．このとき，
𝜃 軸ステージの回転軸を位相差フィルムの光学軸 A とした．
IV. 位相差フィルムの傾きを 0°~6° まで調節しなが0256

ら，出力の偏光成分間の位相差が 𝜋 となるように偏光板 2 のホルダーの角度のみを回転させる．適（b）

切な偏光板の透過軸の角度となるとき，強度分布は HG ビームとなり，CCD カメラを用いてこの時の強度分布を撮影した．撮影の基準は，暗線が観察できることと強度分布の対称性とした．

0
図 10：実験で撮影した強度分布. (a)：入力の強度分布(ND フィルタ
ー1％を２枚，70％を 1 枚使用した. ), (b)：位相差フィルムの傾き 6°での出力の強度分布.

図 9：HG ビームの強度分布測定に使用した光学系

撮影した出力の強度分布には，HG ビームの特徴である暗線が観察でき，位置のずれが導入されている

図 11：位相差フィルムの傾きごとの出力の合計強度が，数値シミュレーションのような水平方向に暗線入力の強度分布に対して２次元ガウス関数を用いを持つ分布とはならなかった．原因は，ビームが入てフィッティングし，入力のビーム径を求めた．フィ

射する位置での素子の光学軸が水平方向でないためッティングの結果，𝑥 方向のビーム径 𝜔𝑥 が 968.6 ±と考える．撮影した出力の強度分布ごとに合計強度0.2μm, 𝑦 方向のビーム径 𝜔𝑦 が 942.6 ± 0.2μmと求めを求め，横軸を位相フィルムの傾き，縦軸を合計強られた．

度として図 11 を作成した．モデル関数を 2 次関数と強度の合計と最大強度に一次関数の関係があるとしてフィッティングを行った結果は，𝑦 = 3.53 ×6して，強度の合計の代わりに最大強度を用いることで4 210 + 3.62 × 10 𝑥 となった．フィッティング結果か位置のずれの測定を行う．ここで，最大強度と強度のら傾きが増加するにつれて合計強度も増加している

合計の関係を図 12 に示す．図 12 から，傾き 3° の結ことから，導入した複屈折による位置のずれも増加

果を除き一次関数の関係があることを確認した．

していると考える．

式(5)から出力の最大強度は，位置のずれ Δ𝑟 2 の項5までを考慮すると以下のように近似でき，位置のずれは式(7)を用いて計算できる．
𝐴20 2Δ𝑟 2( 2 )𝑒𝜔0(6)𝑒 𝐼𝑜𝑢𝑡𝑀 − 𝐼0𝑀Δ𝑟 ≅ 𝜔0 √2𝐴20(7)𝐼𝑜𝑢𝑡𝑀 ≅ 𝐼0𝑀 +このとき，入力の最大強度 𝐼𝑖𝑛𝑀 に対して ND フィルターによる減衰を考慮して 𝐴20 = 1.43 × 104 × 𝐼𝑖𝑛𝑀 ， 𝜔0
図 12：最大強度と強度の合計の関係

は 𝑥, 𝑦 軸方向のビーム径の平均値とする．図 13 に示すように横軸を位相差フィルムの傾き，𝑦 軸方向を最大強度の値として，モデル関数 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 2 を用いてフィッティングを行い，傾き 0° のときの最大強度 𝐼0𝑀
を 推 定 し た ． フ ィ ッ テ ィ ン グ の 結 果 は 𝑦 = 92.1 +0.606𝑥 2 と求められた．このとき，最大強度と強度の合計に 1 次式の関係が見られなかった傾き 3° の結果を除いた．
フィッティング結果と式(7)を用いて位相差フィルムの傾きに対する位置のずれの大きさを求め，
図 14 を作成した．選定時に推定した維持のずれに比図 13：位相差フィルムの傾きに対する強度分布の最大強度

べ，7.2 倍の位置のずれと求められ，推定値との差が見られた．この原因としては，強度分布の撮影条件と位置のずれが導入されている位置のずれの計算に使用した式は位相差フィルムの傾きと導入される位置のずれに比例関係があるとしている点が考えられる．
今後の展望としては，位相差フィルムの傾きを大きくした場合について強度分布を撮影して位置のずれの推定を行い，位置のずれの計算式が適当であるかを評価する．
図 14：位相差フィルムの傾きに対する偏光成分間の位置のずれ

6.

まとめ

参考文献

複屈折ひねり干渉計の出力の数値シミュレーショ

[1]

Naik, D. N. and Viswanathan, N. K., “Generation of singular opticalbeams from fundamental Gaussian beam using Sagnac

ンを行い，干渉計の効果の確認，使用する円筒面レン

interferometer,” Journal of Optics 18, 095601 (2016).

ズの設置角度の許容範囲を評価した．実験に適当な位[2]

Miyamoto, Y., C. T. Samlan, Gautam, S., Naik, D. N., andViswanathan, N. K., “Spatial mode transformation in a modified

相差フィルムの選定と特性測定を行い，光学軸の角度interferometer,” Joint Symposia on Optics, Optics and Photonicsを推定した．光学軸を回転軸として位相差フィルムをJapan 2019, 2pCJ2 (2019).

傾け，入力と出力の HG ビームの最大強度から導入さ[3]Miyamoto, Y., C. T. Samlan, Gautam, S., Naik, D. N., andViswanathan, N. K., “Correction to spatial mode transformation in a

れた位置のずれの推定を試みたが，予想よりも大きい

modified interferometer,” Optical Manipulation and Structured値となった．原因は強度分布の撮影条件と位置のずれ

Materials Conference 2020, Proc. SPIE Vol. 11522, 115220A (2020).の計算式と考えられ，今後は傾きを大きくした場合の強度分布をもとに計算式の改善を目指す．
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