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ŻŸƄ¬-ªƀƤƄżƨöª

LUöª
GPBi-CGªJacobiªøÕÌJ

Bi-CGSTAB(L)ª

Gauss-SeidelªGõĊÔƭ¡Ï`
SORª

GCRª
GMRESªAx=bĐƧÞ:ĢŠŘŞėČÏŠŘŞ

Bi-CGSTABª
CGSª

d&đªƩCGªƪPÎ£KðƙƣƈƧſƢƉƎªƫADIªįĮĬķĬįĶ

Bi-CGSTAB2ª

Bi-CGª/žƢƥƔĐÓėªƩKSªƪŤĤơƦƈƠƄÕª ŵƨƑƣƌŶÕª/ơƦƈƠƄÕªƢƉƊƧŻƤƣżƦŵƖƥƨƈ

CGª
FOMªƩPÎðºƪ ƩğPÎðºƪ

I?ŘŢŎR¥YŵƖƥƨƈ

MINRESªGMRESªCRª
Look-BackƩPÎðºƪ GMRES(m)Ʃƪ
GCRª
ƩğPÎðºƪ

I?ŘŢŎƘƍƥƔƧŻƤƣżƦŵƖƥƨƈƏƦƆƦƄ

Bi-CGªGPBi-CGª
Bi-CRªƩƪ
COCRªƩƪƩğPÎðºƪįĮĬķĬįĶƏƦƆƦƄ0øÕĨ(w.r.t. iteration steps)
This problem came form a 100ŊįĮĮĨof central
difference discretization of Helmholtz equation
with Neumann
Dirichlet, radiation
boundary conditions

CGS

Unknowns are10,100.

Bi-CGSTAB

GPBi-CG

Incomplete LU
factorization wasused as apreconditioner.

Bi-CGSTAB2
GPBi-CG()įĮĬķĬįĶĵ  GMRES(m) Look-Back GMRES(m)The relative residual 2-norm history (m = 10)
ADD20

DW2048

MEMPLUSRAEFSKY1

RDB2048LWANG2

WATT__1

XENON1XENON22$,-įĮĬķĬįĶybƱtĐƧaGõĞHĉøÕƩGƧï,ÊŠŤ5ÊÒƪŤįĮĬķĬįĶ-ôÜ3

KSªţůŲŵƖƥƨƈ
BŵŷƌŵƱK`'(ƃƔƍÏ`)  ťğ%µ  KSªťŖŤ³jŴ¹őŚŲ  ¸ťNįĮĬķĬįĶ AťPÎ£K Ōi ťóÜ  ĨŌŌŌŌĨŌŌťğŹƣƚƨƍƫPÎ+*

KSªŤĎº  KSªţŐŎŞťƫÅ B^Ť×ţkôŢðƧƗžƍƣÑŤøÕŒƀƄƍŤƜŷƦĐ|||  ƃƨƎŠŢŲi ţPŘŞKSªŴĎºřųŦ  ¥űŤţPŘŞƫðƧƗžƍƣÑŤøÕťô  FŔŤţPŘŞ¸ťNįĮĬķĬįĶ++• GõĞHĉøÕ
Si 512 atoms, surface reconstruction simulation

1001 systems

Cf. R. Takayama, et al., Phys. Rev. B 73 (2006)įĮĬķĬįĶ    įİ
Shifted COCG
Initial seedRe()Time

Switch1.111

5.5 [s]00.9005.7 [s]1

0.700

6.9 [s]2

COCG (1001 linear systems )150.4[s]ƩA + Bƪƴ=ƳţzařŲŖŠţŭs#ŘŜįĮĬķĬįĶįıì'=:ĢybƱM»ƧtĐƧaƩGƧï,ÊŠŤ5ÊÒƪĨPÿŠřŲ:ĢĨGõƧ¿ƧğŹƣƚƨƍðŤì'=:Ģ• Input :• Output :Ĩlº GõĞHĉøÕƫĞ§XJƫĉöƫƔźƍƐžƄàĨföª ArnoldiªĨ[Arnoldi, 1951]
 LanczosªĨ[Lanczos, 1950] ƩŹƣƚƨƍð7ŕƪĨÊÒÄÂ Gõì'=:ĢţPřŲħĈöªŤĖÀįĮĬķĬįĶįĲ&"'ªĨƱĨ!ªŤza!ª&" 'ª

Lanczos,¸Arnoldi,¸ĐÓėŤ× ĐÓėƱ B^ŤÅ nƱ B^Ť¹sªƱArnoldi(M,W )ªöª1
LanczosªĨĨĨĨĨĨĨĨĨëĄŴĆřŲĨĨĨĨĨĨ
öª2ãcÏ`ŴĆÂţöŔįĮĬķĬįĶįĳöª+&" 'ªĨĨĨĨĨĨĨĨĨëĄŴĆřŲ  B^ŤÅ nƱ B^Ť¹sªƱĨArnoldi,¸NeumannÛ TĖŒŴ®ŜřĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨŴ®ŜřůŏţĨĨĨĨŴKŬƫĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨĨţĨŠřŲƱĨ£K
ƱĨ£KįĮĬķĬįĶĨ£KPÎðĨĨĨĨĨŤG=ŤĨĨĨKŒkôĨƩGerschgorinŤK¸ƪįĴöª,&" 'ª    B^ŤÅ nƱ B^Ť¹sªƱĨArnoldi,¸ KrylovĐÓėªŴºřŲĨĨĨĨĨť£KPÎðŌŋŌCGªŢš

Lanczosªşť CholeskyöƱĨ¢Ʊ įĮĬķĬįĶįĵ ¥YŤ1nLĥàöª1 ƩNeumannÛ TĖƪöª2ĨƩCGªƪ 0h; ƧøÕėöªįĮĬķĬįĶ0h; Ʃ;ƪøÕėƩÍƪ

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: Jordan ĕã: ŌŌĐŤ°: ŌŌĐŤ= :ĨĨ Ɨžƍƣ(įĮĬķĬįĶKƱƝƨƜƦƍţůŲRõðŤ=őŰƫĠAĐŤ=ŒgŰųŲ),*ÊÒŤŵƖƥƨƈįĮĬķĬįĶ,+LĥŌƩŵƣƁƢƅƛŤ%nŴùƪ• ƔźƍƐžƄàŤ=:ĢŌƩ # #"ƪ– óÜğPÎðĨĨ&n4++.2"nz40/3/,0'=Z
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Ĩ0# 594# 552-1: evaluated by Matlab (‘eig’).

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