平成 30 年度修⼠論⽂

ランダムサンプリング法を⽤いた
炉物理パラメータの不確かさ評価における分散低減⼿法の提案と検討
Proposal of variance reduction method methods
for uncertainty quantification of reactor physics parameters
by using random sampling method

原⼦炉⼯学研究室
⼆平舜介

北海道⼤学⼤学院

⼯学院

エネルギー環境システム専攻

⽬次
第１章
1.1

序論 .................................................................................................................. 1

背景 .................................................................................................................................. 1

1.1.1 不確かさ評価とは ..................................................................................................... 1
1.1.2
1.2

本研究の⽬的 .................................................................................................................. 2

第2章
2.1

モンテカルロ法とその分散低減⼿法の開発 ....................................................... 2

ランダムサンプリング法を⽤いた不確かさ評価理論 .............................. 3

不確かさ評価の流れ ...................................................................................................... 3

2.1.1

概要 ........................................................................................................................... 3

2.1.2 対象とする統計量 ..................................................................................................... 4
2.2

ブートストラップ法 ...................................................................................................... 62.3

燃焼計算における不確かさ評価 .................................................................................. 7

2.3.1 概要 ............................................................................................................................. 7
2.3.2 対象とする⼊⼒データとその不確かさ ................................................................. 7
2.3.3 計算プログラム/⼿順 ................................................................................................ 7

第3章

リバースサンプリング法 .............................................................................. 9

3.1 概要 .................................................................................................................................... 9
3.2 分散低減効果の理論的検証 ............................................................................................ 9
3.2.1 対称変量法の説明に基づく期待値推定の効果検証 .............................................. 9
3.2.2 リバースサンプリング法の分散低減効果 ........................................................... 11
3.3 簡易モデルによる検証 .................................................................................................. 13
3.3.1 簡易モデルの設定 ................................................................................................... 13
3.3.2 結果・考察 ............................................................................................................... 13
3.4 ブートストラップ法における過⼩評価 ...................................................................... 19
3.4.1 概要 ........................................................................................................................... 19
3.4.2 ブートストラップの適⽤可否 ............................................................................... 19

3.4.3 ブートストラップ法における過⼩評価 ............................................................... 21
3.5 燃焼計算における検討 .................................................................................................. 22
3.5.1 燃焼計算への適⽤⼿法 ........................................................................................... 22
3.5.2 結果・考察 ............................................................................................................... 22

第4章

制御変量法 .................................................................................................... 28

4.1 概要 .................................................................................................................................. 28
4.2 分散低減効果の理論的検証 .......................................................................................... 29
4.3 分散推定に対する制御変量法の応⽤⼿法 .................................................................. 30
4.3.1 概要 ........................................................................................................................... 30
4.3.2 積分計算を⽤いた説明 ........................................................................................... 30
4.3.3 統計計算を⽤いた説明 ........................................................................................... 31
4.3.4 簡易モデルの設定 ................................................................................................... 31
4.3.5 結果・考察 ............................................................................................................... 32
4.4 感度係数を類似対象に⽤いた制御変量法 .................................................................. 38
4.4.1 概要 ........................................................................................................................... 39
4.4.2 簡易モデルの設定 ................................................................................................... 39
4.4.3 結果・考察 ............................................................................................................... 40
4.5 燃焼計算における検討 .................................................................................................. 44
4.5.1 燃焼計算への適⽤⼿法 ........................................................................................... 45
4.5.2 結果・考察 ............................................................................................................... 45

第5章

まとめ ............................................................................................................ 47

参考⽂献 ............................................................................................................................................ 48
謝辞 .................................................................................................................................................... 49

第１章 序論
1.1 背景1.1.1 不確かさ評価とは
近年、計算機シミュレーションによって得られた結果の信頼性を評価し、それをより効果的に取り扱うため、不確かさ評価の需要が⾼まっている。では、そもそも不確かさとは
いったいどのようなものであるか。それを理解するためには、測定値や解析値には必ずTable1.1 に⽰したような疑わしさが存在することを念頭に置かねばならない。このように様々な要因によって⽣じるばらつきを定量化し、得られた値の信頼性を数値化したものが不確かさであり、それを定量化する⼿段が不確かさ評価である。
中でも本研究では『⼊⼒パラメータがばらつきを持つ際に出⼒値に⽣じる不確かさ評価』について着⽬する。⼊⼒パラメータのばらつきに起因した出⼒の不確かさとは、ある確率分布を持つ⼊⼒パラメータを⼊⼒した時、その⼊⼒値が⼀意に定まらず確率分布に従うことから、得られる計算結果である出⼒値もその⼊⼒値に対応する値を持つ、つまり確率分
布に従うために⽣じる不確かさのことである。例えば、燃焼計算における核反応や核壊変といった物理現象に関するパラメータは核データによって確率分布が与えられるが、これらの中⼼となる平均値もまた確率分布に従う。そのため、結果となる核種数密度などの出⼒値も必ず分布を持つこととなり、当然それらを定量的に評価する必要が⽣じる。
上述のような、⼊⼒の不確かさに起因した出⼒値の不確かさ評価には幾つのかの⼿法が存在する。近年では計算機の進歩に伴って、確率論的⼿法であるランダムサンプリング法(以後 RS 法)が⽤いられることが多くなりつつあるが、計算負荷の⼩ささ等から決定論的⼿法の⼀つである感度係数を⽤いた⼿法もよく⽤いられる。後者の感度係数を⽤いた⼿法[1][2]とは、⼊出⼒のパラメータ間に線形性を仮定することでその伝播を⽰す感度係数を評価し、⼊⼒の不確かさを直接出⼒側へと伝播させることで出⼒の不確かさを求める⼿法である。
これは、出⼒の不確かさを⼀度の計算で求めることが可能という点で計算コストが⾮常に軽い⼿法であるが、同時に⼊出⼒間の線形性を前提としているため、計算過程の複雑さ等により⼊出⼒間が⾮線形となる体系には導⼊できないという⽋点を持つ。また、今回実計算の対象としている燃焼計算においては、核燃料の燃焼が複雑な物理過程（崩壊やその分
岐⽐、核反応の確率等）に従うため、⼊出⼒間の関係を線形だと仮定するには疑問が残る[3]。
対して、確率論的⼿法である RS 法では前述の⼊⼒パラメータが従う確率分布を全て乱数によって再現し、それに従った複数回の⼊⼒を⾏う。つまり、⼀⼊⼒パラメータを得た際の出⼒パラメータを逐⼀求め、それらを統計的に評価することによって、⼊出⼒間の関係性などの前提条件に拠らない不確かさ評価が可能となる。ただし、統計処理によって出⼒値の不確かさを得ているため、その不確かさには必ず統計的な不確かさが⽣じることに注意しなければならない。それを除去するためには無限の標本数を要するため、実⽤上は統計的な不確かさ評価を重ねて⾏うことで、結果の信頼性を担保している。

1

Table1.1 The example of various uncertainties.
測定値

解析値

偶然誤差（偏りを持た・測定機材の精度

・核反応のような、確率事象

ず万遍なくばらつく・測定者の測定精度の再現によるばらつき

不確かさ）

・パラメータ⾃⾝の信頼性によるばらつき系統誤差（ある法則を・測定に⽤いる機材の不正確さ持ち、明確な原因によ

・室温や⾵など、測定条件による真 ・メッシュ切りによるデジタって⽣じる不正確さ） の値からのずれ

1.1.2・近似の際に⽣じる誤差
ル化等の誤差モンテカルロ法とその分散低減⼿法の開発

前節で不確かさ評価⼿法として紹介した RS 法とは、乱数を⽤いて計算を⾏うモンテカル
ロ法の⼀種である。モンテカルロ法は、主に積分計算や確率に従う事象、モデル化の難しい事象などを計算機で解くために開発された⼿法であり、⾮常に広くの分野で⽤いられてきた。このモンテカルロ法だが、RS 法の説明の際にも述べたが、その結果には統計的な不確かさが⽣じるため、⼗分な評価を⾏うために多数の標本を要するという不利点がある。
これより、現代までも多くの分野においてその⾼速化⼿法――ここでは、統計的な不確かさである分散を減じる⼿法であるため、分散低減⼿法と呼ぶ――が考案されてきた。例えば、⼊⼒値を負の相関を持ったペアとする対称変量法[4][5]や、相関が⼤きくより簡易な計算で導出可能な類似対象を⽤いてより収束解に近い値を求める制御変量法[4][6]、サンプリ
ングに規則を持たせたラテン⽅格サンプリング法[7]と⾔った次第である。しかし、これらの⼿法は全てモンテカルロ法を⽤いて積分値（不確かさではなく、統計的には期待値）を求めるための⼿法であり、分散を推定する際に応⽤されるような例は⾒当たらない。

1.2 本研究の⽬的
1.1.2 節で述べた通り、ランダムサンプリング法とは⼊出⼒の関係性に拠らず簡便に適⽤可能な不確かさ評価⼿法である。先⾏研究[3]からも、線形性を前提とすることに疑問の残る評価対象がある中で、このランダムサンプリング法は⾮常に有⽤であるが、同時に統計的な不確かさを考慮する必要性から計算時間等が⾮常にコストとなる不利点を持っている。
また、ランダムサンプリング法に対する分散低減法は全て期待値の推定、すなわち不確かさ評価に適⽤するには困難なものが⼤よそである。そこで、本研究においては、出⼒分布の分散や歪度といった⾼次の統計量を求める際にも適⽤可能となる分散低減⼿法を得ることを⽬的し、リバースサンプリング法(分散低減⼿法としては対称変量法に⾮常に近い原理を持つ)と制御変量法という⼆種の分散低減⼿法を提案し、その適⽤可否や性質について検
討を⾏う。

2

第 2 章 ランダムサンプリング法を⽤いた不確かさ評価理論
本章では、ランダムサンプリング法を⽤いて⾏う不確かさ評価の⽅法について述べる。
2.1 節では本研究で⾏われる不確かさ評価の具体的な流れを⽰し、2.2 節ではランダムサン
プリング法によって得られた結果に⽣じる統計的な不確かさを評価するための⼿法である、
ブートストラップ法について触れ、2.3 節では今回実計算の例として扱う、燃焼計算に適⽤する際の⽅法等について説明を⾏う。

2.1 不確かさ評価の流れ
2.1.1

概要

以下に⽰す通りの⼿順にて不確かさ評価を⾏う。
１）⼊⼒パラメータが従う確率分布に沿った乱数を作成する。
２）１で得られた乱数に基づいて⼊⼒パラメータのサンプリングを⾏う。
３）得られた値を⼊⼒し、⼊⼒標本と同数の出⼒値を得る。
４）得られた出⼒値を統計的に評価し、出⼒の不確かさを評価する。
上記⼿順の概念図は下図 Fig.2.1 に⽰す。また、このとき⼊⼒パラメータは正規分布を⽰すことを前提としており、C++の標準的な関数によって⽣成した⼀様乱数から Box-Mullar
法[3]を⽤いて標準正規乱数を作成した。

⼊⼒パラメータ(⺟集団)

⼊⼒標本 1

計算

出⼒標本 1

⼊⼒標本 2(⼊出⼒間の出⼒標本 2

⼊⼒標本 3

伝播式)

出⼒標本 3

出⼒パラメータ

出⼒標本 4

⼊⼒標本 4ex.燃焼計算
⼊⼒標本 n

出⼒標本 n

統計処理

ランダムサンプリング
Fig.2.1 Image of UQ by random sampling method

3

(推定)

2.1.2 対象とする統計量
前述の通り、RS 法を⽤いた不確かさ評価は対象となる出⼒標本群を統計的に評価することで⾏われている。本節では、統計的な評価について、具体的にどの統計量に着⽬し、どのように評価を⾏っているかについて記述する。
第⼀に、統計学におけるモーメントという概念を理解する必要がある。これは確率分布の形状がE Xμという量（r は任意の整数、μは期待値を⽰す）で表現されることから、⼒学的なモーメントの概念と似ているためそう称されているもので、期待値周りの r 次のモーメントという形で呼ばれる。また、本研究においては、⼀次モーメントである分散と⼆次モーメントである歪度までを対象とした。また、出⼒標本群から求められた統計量は、
⺟集団の統計量と区別して標本からの推定量であることを留意する必要がある。そのため、各統計量を求める際には推定の際のバイアスを排除した不偏統計量を求める式を⽤いている。以下に、本研究で⽤いる各統計量の定義や意味を⽰す。
§期待値（平均値）
期待値は E[X]で⽰される原点周りの⼀次モーメントであり、下記のように(2.1)式で定義される。これはのちに求める統計的なモーメントの基準となる値で、確率的に最も起こりうる値を⽰している。

∑

EX

X

(2.1)

n

§分散
分散とは確率分布のばらつき（幅）を⽰す期待値周りの⼆次モーメントであり、中でも推定の際に⽤いる不偏分散は(2.2)式で定義される。分散が⼤きいほど分布の広がりが⼤きい（ばらつきが⼤きい）ことを⽰す。不確かさ評価において最も重視される統計量であり、出⼒値の確率分布が正規分布であった場合、分散の値のみで信頼区間を決めることが可能である。また、信頼区間を論ずる際は、⼆乗根を取って標準偏差とする。

∑

VX

X µ
n 1

σX

(2.2)

VX

§歪度
歪度とは、確率分布の偏りについて⽰した値であり、期待値周りの三次モーメントを標
準偏差で規格化した(2.3)式で定義される。

Skew X

∑

n
n

1 n

2

X
σ

µ

(2.3)

歪度が 0 のとき分布は左右対称を⽰し、値が正であれば分布は左(正の⽅向)に歪み、負であれば右へと偏りを⽰す。また、その値が⼤きいほど偏りは⼤きなものとなる。次⾴ Fig.2.2、Fig.2.3 にそれぞれ歪度が 0、0.59 の際の確率分布を⽰したが、歪度が正を⽰す分布はその形

4

状が明らかに歪んでいることがわかる。また、正規分布に対して 2σと定義される 95.4%信
頼区間の外側は、本来左右対称に標本の 2.3%程度となるはずであるが、Fig.2.3 においては明らかな偏りが確認できる。

2σ

Sample value
Fig.2.2 The example of non-distorted distribution

2σ

Sample value
Fig.2.3 The example of distorted distribution
なお、Fig.2.2 は⼊出⼒間の伝播式を線形、Fig.2.3 はF x

0.1xxとし、xに正規乱数を⼊⼒した結果であり。Fig.2.2 は出⼒分布が正規分布を、Fig.2.3 は歪度が 0.59 の分布を⽰した。Fig.2.3 の図より読み取れるように、⼆次関数の伝播モデルにおいて、⼆次感度が 0.1 程度であっても分布が⼤きく歪んでいることが分かる。

5

2.2 ブートストラップ法
RS 法によって採集される標本数は有限であり、有限の標本から推定された統計量には必ず統計的な不確かさが⽣じる。そのため、今回推定する期待値、分散、歪度にはそれぞれ⾃⾝の分散を考える必要がある。仮に出⼒値の確率分布が正規分布であった場合は、公式を⽤いて統計量の不確かさを求めることが可能であるが、本研究では RS 法が有効である状
況――つまり、⼊出⼒間の線形性が担保されていない状況を扱う。そのため出⼒分布が正規分布を⽰す可能性は低く、公式を⽤いて直接的に統計的な不確かさを評価することができないと考えてよい。よって、今回はリサンプリング法の⼀種であるブートストラップ法[8][9]を⽤いて統計誤差の評価を⾏った。
ブートストラップ法とは、予め得られた標本を⼀様乱数によって再びサンプリングし、リサンプリングされた確率変数の統計量を求め、複数回⾏ったリサンプリングの統計量を
さらに統計的に評価することで⺟集団の推定量である標本の統計量を評価する⼿法である。
簡略的な概念を Fig.2.4 に⽰した。

⼀様乱数を⽤いた

期待値、標準偏差リサンプリング

歪度Fig.2.4 Image of Bootstrap method
図より読み取れる通り、ブートストラップ法は⼊出⼒間の計算を⾏った後である出⼒標本群に対して再サンプリングを⾏う。つまり、新たに不確かさ評価対象である計算を繰り返す必要はなく、計算⾃体に多⼤なコストを払う集合体計算などの対象に対して⾮常に有効な統計的な不確かさを評価する⼿法といえる。

6

2.3 燃焼計算における不確かさ評価
2.3.1 概要
本研究においては、各分散低減法について簡易モデルで実証を⾏った後に、実計算の例
として燃焼計算に適⽤する。具体的には、核燃料燃焼後の核種数密度に対する不確かさ評価でありその条件は参考⽂献[3]の通りである。この時、⼊⼒データとして核データの不確
かさを⽤いているが、その確率分布の形状は与えられておらず、⼀般的に正規分布として扱われるため、本研究においても、⼊⼒の不確かさは正規分布に従うと仮定する。また、詳細は後述もしくは参考⽂献の通りであるが、核データの抽出と燃焼計算を汎⽤炉物理解
析コード CBZ によって⾏い、乱数を⽤いたサンプリングと出⼒データの統計処理を本研究において作成したプログラムを⽤いて⾏った。特に、このサンプリングと統計処理に関しては分散低減⼿法によって異なるため、後の章にて詳細に触れる。

2.3.2 対象とする⼊⼒データとその不確かさ
今回⼊⼒データとして考慮した核データは多群断⾯積ライブラリを構成する断⾯積デー
タと、燃焼チェーンを構成する半減期、核分裂収率、崩壊分岐⽐の合計四つである。
今回使⽤した断⾯積はエネルギー107 群の多群断⾯積であり、エネルギー間と幾つかの反応の間に相関を持っている。そのため、断⾯積に関しては各値の分散のみではなく、各相関を考慮した共分散⾏列の形でデータが与えられており、⼊⼒乱数を作成する際はそれを考慮した多変量正規乱数とした、その⽅法は参考⽂献[3]を参照する通りである。多群断⾯積の作成は評価済み核データファイル JENDL-4.0[10]を参照し、燃焼チェーン作成について
は半減期、核分裂収率、分岐⽐についてそれぞれ、JENDL FP Decay Data File 2011,Fission Yield
Data File 2011[11]を参照したうえで FP-137 チェーン[12]を作成し⾏った。

2.3.3 計算プログラム/⼿順
本節では具体的な計算条件について述べる。はじめに、燃焼計算における不確かさ評価を実施する際のフローは以下の Fig.2.5 の通りとなる。

Fig.2.5 Flow of UQ for burnup calculation

7なお、上記フローにおける核データの摂動処理、核データのインプット、燃焼計算と、核種数密度のアウトプットについては後述の汎⽤炉物理解析コード CBZ を⽤いて⾏った。
また、前述の通り⼊⼒となる核データは評価済み核データである JENDL-4.0 と⼀部
ENDF/B-Ⅶ.1 を使⽤した。Fig.2.5 中に出⼒として記載してある核種数密度、統計量、信頼区間はすべて外部ファイルに出⼒しており、核種数密度については再度読み込みを⾏っている。先ほどから述べている汎⽤炉物理解析コード CBZ とは当研究室で 2012 年 4 ⽉から開発中の汎⽤炉物理計算コードである。このコードは臨界、燃焼、遮蔽といった原⼦炉内とその周囲における中性⼦やガンマ線の輸送に関わる物理現象を数値的に模擬する機能と、そのために⽤いられる核データの処理などの幅広い機能を有している。本研究ではその中でも、燃焼計算⽤の Burner というモジュールを⽤いた。Burner はピンセル体系の燃焼計算を⾏うためのモジュール（クラス）で、衝突確率法によって中性⼦輸送⽅程式を解くことで中性⼦束計算を⾏っている。また、燃焼後核特性の核データに対する感度を計算するメソッドも実装されており、後述の制御変量法に感度係数を利⽤する際はこの機能を使⽤した。
続いて、計算体系は以下の Table2.1 の通りである。
Table 2.1 Calculation condition
燃料

UO 燃料

被覆管材料

ジルカロイ

冷却材組成

軽⽔

ピンセル間の境界条件

等⽅反射条件

ピンピッチ

0.6325×2[cm]

燃料ペレット半径（被覆管込み半径）
燃焼ステップ

0.412[cm]（0.476[cm]）20

線出⼒

179[W/cm]8

濃縮度 4.1%

第 3 章 リバースサンプリング法
3.1 概要
リバースサンプリング法とは元来、ランダムサンプリング法を⽤いて感度係数を求めるために考案された⼿法である[2]。具体的な⾏程としては、Fig.3.1 中に⽰すように、ある⼊⼒標本 I1(=µ+δ1)を採取した際に、次の標本を必ず I1’(=µ-δ1)から採取するように規則性を持たせてサンプリングを⾏うもので、この時⼊⼒値の確率 P(I1)=P(I1’)であることが前提となっており、⼊⼒確率分布には左右対称であることが求められる。

Fig.3.1 The method of reverse sampling
本⼿法では左右対称に標本を採取する特徴から、ランダムサンプリング法において収束が遅くなる原因である偏りのうち、正負の偏りを減じる効果が期待できる。また、同様の分散低減⼿法として対称変量法[5]と呼ばれるものがあり、こちらは負の相関をもったペアを作成し⼊⼒値を採取することで分散低減効果を期待するもので、おおよそ根本の理論は同⼀のものとなる。

3.2 分散低減効果の理論的検証
3.2.1 対称変量法の説明に基づく期待値推定の効果検証
リバースサンプリング法を⽤いた際の分散低減効果について論じる前に、期待値を求めるモンテカルロ法の⾼速化⼿法である対称変量法の原理について触れる。本⼿法においては下記(3.1)式のように分布から対称に採集した⼊⼒の組み合わせをθ x として取り扱う。

θ

h x

h 2m
2

x

h x : ⼊⼒ x に対する出⼒
m: ⼊⼒ x の平均値

9

（3.1）

このとき、期待値E θ x はh x の期待値を⽤いて、

Eh x
2

Eθ x

E h 2m
2

x

Eh x

(3.2)

と(3.2)式のように期待値の⾜し合わせで表すことできる。また、⼊⼒xが正規分布に従い、左右均等に標本を採集できることから、推定量E h x

E h 2mx が成⽴し、E θ x は

E h x と等しくなる。
また、このときθ x の分散V θ x は定義から下記(3.3)式のように書ける。ただし、本来は不偏分散にすべきところをこの場では計算の簡略化のため定義としての分散を利⽤していることに注意すべきである。

1
n

Vθ x

ｎ

θ

Eθ

(3.3)

(3.3)式を展開し整理することで(3.4)式が得られ、

Vθ x

1
n

ｎ

1
h x
2
2 h x

Vh x

Cov h x , h 2m

h 2m

Eh x
Eh x
x

h 2m

x

x

E h 2m

E h 2m

x

x

(3.4)

（Cov a, b は a と b の共分散を⽰す）

この共分散を統計的な定義に基づいて相関係数 corr を⽤いて表すと、θ x の分散は

Vθ x

1

corr V h x(3.5)と相関係数と元の関数 h(x)の式で表され、推定される統計量の統計的な不確かさが、その分布の分散値に依存することから、V θ x がV h x より⼩さくなるときに分散低減効果が⽣じることが分かる。例として、⼊出⼒間が線形である場合、対称にサンプリングを⾏った際の⼆出⼒の関係は corr=-1 で表され、V θ x は即座に 0 に収束し、E[θ]=E[h(x)]を⾮常に⾼速に求めることが可能となることが⾔える。また、⼊出⼒間が線形でなく、出⼒分布
が正規分布に従わない際も相関係数が負になる場合においては、V θ x が⼩さくなること
から分散低減効果が期待できる。対称変量法においては、通常の RS 法に⽐して⼆倍のサン
プル数を要するため、V θ x がV h x の半分以下である条件下、すなわち corr<-0.5 となる範囲において対称変量法が有効だと⾔える。
リバースサンプリング法を⽤いた期待値推定の場合も以上と同様となり、⼊出⼒間の線形性が強い、すなわち対称にサンプリングした⼆出⼒の相関が-1 に近いほど分散低減効果
は⼤きなものとなると予想される。

10

3.2.2 リバースサンプリング法の分散低減効果
3.2.1 節において述べた分散低減効果は期待値の推定にのみしか適⽤することができず、分散や歪度といったその他の統計量推定に応⽤されたような研究・論⽂は⾒つかっていない。そこで、本節ではリバースサンプリング法を適⽤した際の効果を⼊出⼒の伝播式を整理することで予測した。結果として、線形性が強い場合は平均や歪度といった奇数次モーメントに関わる統計量で収束の⾼速化が⾒られ、それ以外の状況（偶数次モーメントに関わる統計量、⾮線形性の強い⼊出⼒間の関係）においては収束が遅くなる可能性が⾼いということが予想された。以下に詳細を記述する。
第⼀に、⼊⼒をa と出⼒をp として以下(3.6)式のように整理する。
p

f a

f a

伝播式：p はa の値によって⼀意に決まる

p （⼊⼒の平均aの時の出⼒値、ただし出⼒平均とは異なる）
∆a

∆p

a

a

p

(3.6)

i 番⽬のサンプルa と平均値の差を∆a と表す

p

a 時の出⼒p とpの差を∆p と表す

ここで、p を a=０に対してテーラー展開すると、下記(3.7)式のように表される。

p

dp
∆a
da

1 d p
2! da

∆a

p

S ∆a

S ∆a

S ∆a

p

∆p

p

ただし、(3.7)式の中央では ∆a

1 d p
3! da

1 d p
4! da

∆a

∆a

⋯
(3.7)

⋯ 2

にかかる係数をまとめてS と表している。これはすなわち、

出⼒p が⼊⼒値の変化量∆a の関数で表現されているということを⽰す。
ここで⼀度出⼒ p の各種統計量について考えてみる。平均、分散、歪度はそれぞれの定
義式から、
1
Ep
I
1
Vp
I

p

1
I

p

Ep

p

1
I

≒ E ∆p
Sp

1

・

Vp
1
Vp
1
Vp

∆p

p
p

1
I

∆p

p

E ∆p

Ep

1
I

∆p

・

1
I

∆p

E ∆p

3・E ∆p ・

1
I

∆p

p

p

E ∆p

E ∆p
1
I

p

Ep

1
Vp

1
I

/

・

/

・ E ∆p∆p

3・E ∆p ・E ∆pと(3.8)式のように表すことができ、これらは全てE ∆p

11

2・ E ∆p

2・ E ∆pの関数となる。

(3.8)

さらに、∆p について(3.7)式から

∆p

S ∆a

S ∆a

S ∆a

S ∆a

⋯

(3.9)

のように∆a の関数として表現が可能であることが分かる。
以上からE ∆pについて、∆a を⽤いて整理すると以下(3.10)式のように
1
I

E ∆p

S ∆a
1
I

S

S ∆a
∆a

S

S ∆a
1
I

∆a

S ∆a
S

1
I

⋯
∆a

1
I

∆a

∆a

⋯

S

⋯
1
I

E ∆p

1
I

E ∆p

S ∆a
1
I

S

S ・

1
I

S ∆a
S ・

すべて ∑ ∆a

1
I

S ∆a

S ∆a

S ∆a

⋯

∆a

2S S ∆a

S

2S S

1
I

∆a

∆a

＋ 2S S

S ∆a

S ∆a

∆a

＋ 3S S

S ∆a
1
I

∆a

(3.10)＋…
⋯＋…

と感度係数S の式で書き表せることが分かる。また ∑ ∆a

の項はa

∆a

をサンプリングし n 乗の平均値を取る項であるが、これは⼊⼒a が正規分布であるとき『平均値を軸に左右対称である』という特徴から n が奇数のとき、サンプル数の増加に併せて 0に収束することが容易に想像できる。
ここで、 ∑ ∆aの項について、リバースサンプリングを適⽤した際を考える。リバース

サンプリング法では、その定義から前述の通り、a =a,aa∆a を採集した次のサンプルは必ず,∆a となることが決められている。つまり、サンプル数 I が偶数であるとき、⼀回⼀回の∆a∆a, は必ず 0 になると⾔える。すなわち、I が偶数であるとき n が奇数である∑ ∆aの項は無限回サンプリングしたと同様の値に収束することが決まっている。

よって、E ∆p やE ∆pといった n が奇数であるときの期待値は n が奇数となる ∆a項が⽀配的である可能性が⾼く（(3.10)式より、また S1>S2>S3 であることが多く、∆aの1という場合を考えたとき）、奇数次の期待値が⽀配的となっている奇数次のモーメントに関わる統計量(平均や歪度)の収束も早くなるのではないかと予測できる。
以上を統計量収束の点からまとめると、〇E p やS p といった奇数次のモーメントの統計量に対しては素早い収束が期待できるが〇偶数次のモーメントに関しては、2I 回のリバースサンプリングと I 回のランダムサンプリ
ングで得られる情報量が等しくなり、収束が遅くなる可能性が⾼い。また、〇各項のどれが⽀配的かという問題には、感度係数 S1,S2,S3 が⼤きく関わってくるため、これらの値についても留意する必要がある。

12

といったことが結論として予測された。

3.3 簡易モデルによる検証
本節では、実問題ではなく簡易的な⼊出⼒の⾮線形伝播モデルにリバースサンプリング
法を適⽤し、その効果を検証する。3.2.2 節において、既に期待値推定に対する効果と分散推定に対する無効性は論じた通りであるが、その検証の意味も込めている。

3.3.1 簡易モデルの設定
今回実計算の例として考えている燃焼計算は、乱数の作成に時間がかかることなどにより充分な標本数を得るために時間を要するため、本研究ではより簡易な⼊出⼒間の伝播モデルとして以下(3.11)式のような⼆種類の関数を⽤いる。

F x
F

x

S x
S x

S x

(3.11)

上式において、S は n 次の微係数を意味し、簡易モデルにおける検証では任意の値を設定することで⼊出⼒間の⾮線形度合いを調整した。また、任意の期待値・分散に従う標準正規乱数を作成し、⼊⼒パラメータ x とする。また、S , S の⽐率を保持したままそれぞれの値を変化させたところ(Fig.3.2)、出⼒パラメータの統計量の推移はその⽐率のみに依存し、絶対値によって影響を受けることはなかった。これより、⼆次関数を⽤いた簡易モデルを(3.12)式のように変更し、⾮線形の度合いについては、S を任意の値に変更することで検証
を⾏った。

F

x

S x

S

S /S

x
(3.12)

3.3.2 結果・考察§⼊出⼒に線形性が認められる場合
本条件はすなわち(3.11)式におけるF x の場合となる。このモデルに対して、不確かさ評価を実施した結果を次⾴ Fig.3.2 に⽰した。⿊線はリバースサンプリングを適⽤せず通常のRS 法によって縦軸に⽰す統計量を推定した結果を⽰し、橙線がリバースサンプリング法を適⽤したものとなる。また、それぞれに付与した誤差棒は、同じサンプル数の標本を 100回採集し、それによって統計誤差を評価したものである。(誤差棒としては 2σを⽤いた)
図より、平均値や歪度と⾔った奇数次のモーメントに関しては最初のサンプリングの時
点で収束しており、偶数次のモーメントである標準偏差に関しては⼀切効果を⽰していな
いことが読み取れる。これは、⼊出⼒間が線形であるとき、前節において導出した式のうち S1 以外が全て 0 となることからも明らかである。

13

a. Meanb. Standard deviationc. Skewness

14

Fig.3.2 Result of Variance reduction in linear condition§⼊出⼒間が⾮線形の関係にある場合
続いて、⼊出⼒間に⾮線形性が認められるF

x の結果について触れていく。第⼀に不確

かさ評価の主題とは外れるが、期待値の推定にリバースサンプリング法を適⽤した結果は以下の Fig.3.3 に⽰した通りである。

S 2 / S1  0.05

15

S2 / S1  0.1

Fig.3.3 Result of mean value estimation
Fig.3.3 中の統計的な不確かさ（誤差棒）として、線形の際と同様に同⼀標本数における統計量推定を 100 回繰り返した際に得られた 95%信頼区間（標準偏差の⼆倍）を⽤いている。上図 Fig.3.3 から明らかなとおり、期待値の推定についてリバースサンプリング法は⾮常に効果的である。ただし、僅かではあるが、⾮線形の度合いが⼤きくなるにつれ、効果が薄れていることが読み取れた。次に、出⼒分布の幅として推定の⾼速化が特に望まれる標準偏差の推定についてだが、解析的な予測で述べた通り、Fig.3.4 のような結果となった。
リバースサンプリング法使⽤の有無、⼊出⼒間の⾮線形性の度合いに関わらず変化が⾒られないことから、どのような条件下であってもリバースサンプリング法によって標準偏差の推定を⾼速化することは困難であると予想される。

S2 / S1  0.05

16

S 2 / S1  0.1

Fig.3.4 Result of standard deviation estimation17

S2 / S1  0.05

S 2 / S1  0.1

Fig.3.5 Result of skewness estimation
最後に、出⼒分布の歪みの度合いである歪度を予測する際の結果であるが、Fig.3.5 に⽰したように⼊出⼒の⾮線形性に強く依存するものの、⼗分な分散低減効果が確認された。

18

3.4 ブートストラップ法における過⼩評価
前節において、リバースサンプリング法が歪度の⾼速推定に⽤いることができる可能性が⾼いことが判明したが、このような統計的⼿法で推定を⾏う際は必ずその統計的な不確
かさを同時に評価する必要がある。しかし、前節で⽤いた同⼀サンプル数による統計量推定を多数繰り返す評価⼿法は実際の不確かさ評価において現実的ではない。そのため、⼀般的に RS 法を⽤いる際はブートストラップ法によって誤差棒を求めているが、それがリバースサリング法に適⽤可能であるかは検討の必要がある。
本節ではブートストラップ法のリバースサンプリング法への適⽤可否について論じる。

3.4.1 概要
ブートストラップ法は 2 章で説明した通り、経験分布から重複を許してブートストラッ
プ標本を反復採集することで推定値の分散を推定する⼿法である。リバースサンプリング法においては、同⼀確率で発⽣する正負両⽅の事象を同時にペアとしてサンプリングするというその特徴から、ブートストラップ法によって反復抽出する際にもそのペアを崩さず――すなわち、同時に得られた出⼒標本に関してもペアのまま反復抽出することで、問題なくブートストラップ法を適⽤することができると考えた（Fig.3.6）。

3.4.2 ブートストラップの適⽤可否
実際に、適⽤し信頼区間を求めた結果が次⾴ Fig.3.7 の通りである。S

0.05、反復抽出

回数 500 回のブートストラップ法を⽤いた信頼区間が⽔⾊で、簡易モデルによる検証の際と同様に同⼀サンプル数における統計量評価を 100 回繰り返して求めた結果がそれぞれ、
⿊、橙⾊の線で⽰されている。少標本数の際に Estimate と Bootstrap の結果が⼀致しない傾向はあるものの、サンプル数の増加によってブートストラップ法による信頼区間推定が、反復による推定のものに近づいていることが分かる。以上より、⼗分な標本数が担保されている状況下であれば、ブートストラップ法を⽤いて信頼区間の推定を⾏うことは可能であると⾔える。

Fig.3.6 The image of bootstrap for reverse sampling19

Fig.3.7 The result of bootstrap application

20

3.4.3 ブートストラップ法における過⼩評価
前節の結果から、ブートストラップ法には標本数が少ない際に過⼩評価する傾向がある
ことが分かった。また、こういったブートストラップ法における少標本数時の過⼩評価に関しては広く述べられている。次に、過⼩評価の度合いについて確認を⾏った。
ここで、Degree of Underestimation (DoU)という評価指標を以下の(3.13)式のように定義す
る。
DoU

Est

Boot
Est

Est：同⼀標本数で 100 回統計量を評価した際の標準偏差(3.13)

Boot：ブートストラップ法を⽤いて求めた標準偏差
ただし、このとき Est を求めるために同⼀標本数の標本群が 100 セット存在するため、ブートストラップ法についても、100 セット全てにおいてブートストラップ法を実施し、得られた 100 個の標準偏差の平均値を Boot の値とした。結果を Fig.3.8 に⽰す。

Fig.3.8 Degree of underestimation
Fig.3.8 において、DoU が 0 の時は過⼩評価しておらず、正に⼤きいほど過⼩評価の度合
いが⼤きくなっていることを⽰している。図より、ブートストラップ標本を抽出する元となる経験分布の標本数が⼤よそ 1000 に満たない状態では、信頼区間が過⼩評価となる傾向が確かにあることが⾔える。また、その傾向は通常のランダムサンプリングに⽐べ、リバースサンプリングを⽤いた際は特に顕著であった。
以上より、ブートストラップ法によって統計的な不確かさを評価する際はそのもととなる標本数に注意する必要があることがわかる。

21

3.5 燃焼計算における検討
本節では、実計算の例としてリバースサンプリング法による不確かさ評価を燃焼計算に適⽤した結果について論じる。燃焼計算の詳細な設定は、2 章に⽰した通りである。
3.5.1 燃焼計算への適⽤⼿法
2.3 節でも記載したが、本研究にでは、燃焼計算にて不確かさを考慮する⼊⼒パラメータ
として、先⾏研究[3]に引き続き FP-137 チェーンにおける核反応断⾯積、半減期、核分裂収率、分岐⽐のすべてを対象としている。そこで、各⼊⼒パラメータのサンプリングを⾏う
際に、得られた乱数とそれをリバース（すなわち、平均値よりも 10％⼤きい値を採集した
場合は次に必ず 10%⼩さい値を採る）した乱数の組み合わせを作成し、全て同時に考慮した。また、以後の結果について、表⽰される誤差棒は全て 100 回同⼀標本数の計算を繰り返して得られた統計誤差を⽤いている。
3.5.2 結果・考察§期待値の推定
期待値の推定にリバースサンプリング法を適⽤した結果を Fig.3.9 に⽰す。Reference には
RS 法を 10 万サンプルに対して⾏った結果を⽤いている。図からも分かるように、簡易モデ
ルにおいて実施した際と同様の結果を⽰し、159 核種の全ての収束挙動が例に挙げた核種のようになった。また、先⾏研究より⾮線形性が⾼いと判明している Eu-151 のような核種についても、分散低減効果が⼗分にみられた。また、前節で述べた過⼩評価の影響が⾒られなくなる標本数の⼤きい結果について、誤差棒をブートストラップ法によって求めた傾向
を Fig.3.10 に⽰した。なお、表中右軸 Variance reduction rate とは、誤差棒(すなわち推定統計量の標準偏差)の低減割合であり、例として 0.8 はリバースサンプリング法によって誤差棒が 80%短縮されていることを表す。
a. Cs-137

22

b. Eu-151

Fig.3.9 Result of Mean estimation on burnup calculation
a. Cs-137

b. Eu-151

Fig.3.10 Result of Mean estimation on burnup calculation (using 100000 Samples).

23§標準偏差の推定
続いて、標準偏差の推定に⽤いた結果を Fig.3.11 に⽰す。これらも簡易モデルにおける結果同様、核種—すなわち⼊出⼒間の関係性に拠らず分散低減効果が⾒られないという結果を⽰した。標準偏差についても、ブートストラップ法を適⽤した結果を Fig.3.12 に⽰す。
a. Cs-137

b. Eu-151

Fig.3.11 Result of standard deviation estimation on burnup calculation24

a. Cs-137

b. Eu-151

Fig.3.12 Result of standard deviation estimation on burnup calculation (using 100000 Samples).

§歪度の推定最後に歪度の推定にリバースサンプリング法を適⽤した結果であるが、これに関しては核種によって結果が分かれた。下図 Fig.3.12 の通り、Cs-137 のような歪度の⼩さい核種に関しては⾮常に⾼い分散低減効果を⽰したが、Eu-151 のような歪度が有意な値を持つ核種に関しては、低減効果が⾒られるとは⾔い難い挙動を⽰した。こちらも同様に Fig.3.13 に標本数が⼗分得られる際の結果をブートストラップ法による統計誤差評価とともに掲載している。

25

a. Cs-137

b. Eu-151

Fig.3.13 Result of Skewness estimation on burnup calculation

26

a. Cs-137

b. Eu-151

Fig.3.14 Result of Skewness estimation on burnup calculation (using 100000 Samples).
これは、⼊出⼒間の⾮線形性が⼤きなモデルにおいてみられる結果と同様であり、リバースサンプリングによる歪度推定の⾼速化は、歪度が⼩さい――つまり、⼊出⼒間の線形性が強い核種に限られると⾔える。
以上より、リバースサンプリング法は不確かさ評価そのものに応⽤することは難しいが、歪度が 0 近傍の時に限り分散低減効果を⽰し、⼊出⼒間の⾮線形性を判別する⼿法となる可能性が⾼いと⾔える。また、ブートストラップ法を⽤いて統計誤差を評価する際は標本数に⼗分注意する必要があり、今後の検討が必要となってくる。

27

第 4 章 制御変量法
4.1 概要制御変量法とはある評価対象関数f x から、解析的に結果が判明している類似対象関数
g x に制御変量αを乗じ差し引いた対象h x

f x

αg x に対して RS 法を実施し、得られた値に既知である類似対象の結果、この場合は積分値m にαを乗じた値を加えることで、評価対象(積分値m )を⾼速に推定する⼿法である。すなわち、評価対象と相関を持つ類似対象の情報を利⽤することで、素早く評価対象の解を求めようという⼿法となる。Fig.4.1 のようなある関数f x の積分値を求める際、通常のランダムサンプリング法においてはそのすべての領域をサンプリングする必要があるが、既に積分値の判明しているg x を⽤いることで、
ランダムサンプリング法によって推定すべき領域が斜線部のみとなることからも、分散低減効果が感覚的に理解できるだろう。

Fig.4.1 The image of control variates method
またこれは評価対象の積分値m を求める積分式

mf x dxf x

αg x dx（4.1）

αmという(4.1)式が成⽴することからも⽰せる。
また、我々の研究におけるモンテカルロ法は統計量の推定であり、これも期待値がμ

X x P x dx ≒ E X

1
n

X

（4.2）

と積分の形で表せることから問題なく適⽤可能であると⾔える。また、上式に従えば評価
対象をX、類似対象をYと表したとき、Yの平均値μ が既知である場合
EX

1
n

n
i 1

Hi

αμY

EH

αμY

Hi

Xi

αYi

と表せ、この式を利⽤することで E[X]の素早い推定が可能になる。

28

（4.3）

4.2 分散低減効果の理論的検証
ここでは制御変量法を⽤いることによる分散低減効果の原理について触れる。概念的な仕組みは前節で触れたが、この節では実際に解析的に分散低減効果を⽰し、相関が低減効
果に与える影響について考える。
第⼀に、ある推定統計量 E[X]の持つ統計的な不確かさは、仮に X が正規分布を⽰す場合
は V[X]/n(n は標本数)と表され、またこのような公式を⽤いることができない場合においても、標本数が多くなる、もしくは分散 V[X]が⼩さくなるに従って、統計的な不確かが⼩さくなるのは間違いない。そこで、E[X]の統計的な不確かさに影響を与える V[X]と制御変量法を⽤いる際の推定量となる E[H]に対する分散 V[H]の関係を考えてみる。
分散 V[H]は、H

1
n

VH
1
n

X

X

αY の定義より

H
1
n

EX

1
n

μ

X

α Y

αY
1
2α
n

μ

EX

αμ
（4.4）

X

EX

Y

μ

と書け（ただし、ここでは式変形の明確化のため、不偏分散ではなく⼀般的分散の定義式を⽤いている）、式中の総和演算⼦の部分を全て統計量として表し、Y に関する統計量が既知であることから V[H]と V[X]の関係は X,Y の共分散を⽤いて以下の式で表される。

VH

VX

2αCov X, Y

α σ(4.5)式中の V[H]を最⼩化するため、0となるαを導出するとα（4.5）
Cov X, Y /V Y と求

まり、このとき V[H]はVH

1corr , V X（4.6）と表される。すなわち、X,Y の相関が⼤きいほど V[H]は V[X]に対して⼩さくなり、分散低
減効果も⾼くなると⾔える。
ただし、以上の分散低減効果は統計計算における期待値を求める際にのみ有効なものである。不確かさ評価では分布の幅などその形状を評価する必要があるため、標準偏差を始めとするより⾼次の統計量を得る必要がある。そのための制御変量法の応⽤⼿法について
次節にて述べる。

29

4.3 分散推定に対する制御変量法の応⽤⼿法
本節では、⼀般的に積分値の推定に⽤いられ、統計計算においては期待値推定の分散低減⼿法として主に⽤いられる制御変量法を、標準偏差の推定に⽤いる⼿法について論じる。
4.3.1 節において標準偏差の推定に⽤いる⼿法として考案した⼿法を提⽰し、後の 4.3.2 節、4.3.3 節ではその理論的な説明を積分計算、統計計算の⼆側⾯から⾏う。また、続く 4.3.4 節
では検証に⽤いた簡易モデルの設定を⾏い、4.3.5 節において結果のまとめと適⽤可能性の検討を⾏う。

4.3.1 概要
節頭でも述べたが、統計計算における制御変量法は通常期待値推定の分散低減に

EX

1
n

H

EH

αμ

H

αμ

X

αY

（4.7）

という式の下で⽤いられる。また、この時の分散も

VH

VX

2αCov X, Y

α σ

（4.8）

という形で与えられる。本来であれば、(4.8)式を変形し、V[X]を V[H]から推定することでE[X]推定の際と同様の分散低減を⾏いたいが、式中に Cov(X,Y)という推定量を⽤いているため、その⼿法は効果を発揮しない。そこで、本研究では制御変量αを⽤いた H に加え、

H

X

βY

（4.9）

という量Hと制御変量βを新たに考案し、これを⽤いて

VX

EX

EX

EH

EX

βμ

（4.10）σの形で V[X]の推定を⾼速化する⼿法を提案した。

4.3.2 積分計算を⽤いた説明
4.1 節で説明を⾏った通り、制御変量法は積分値の推定における分散低減⼿法と理解できる。つまり、期待値の推定が積分の式によって前述の(4.2)式のように表され、これに従って
分散 V[X]の推定式を同様に⽰すと

VX

X x

EX

P x dx ≒

1
n

X

μ

（4.11）となり、この積分計算へ制御変量法を適⽤することを考える。上(4.11)式に Y の分散に関する式を加えると、

VX

X x

EX

P x

β Y x

μ

P x

dx
（4.12）βY x

μ

P x dx30と書け、Y に関する期待値や標準偏差が既知であることからこれを展開、整理すると

VX

X x P xβY x P x dx

EX

βμ

σ

（4.13）と表すことができ、これは(4.9)式と⼀致する。

4.3.3 統計計算を⽤いた説明(4.9)式の体感的な理解は、分散の定義式から前述の式を求めた⽅がより都合がよいだろう。
すなわち、分散 V[X]は通常の定義式の整理より、

VX

EX

EX

という形で書かれることから、右辺各項E X と E X（4.14）の推定を⾼速化することで推定における分散低減効果を求める。式中E X に関しては前述までの通り、期待値推定に⽤いる制御
変量法によって分散低減が可能である。また、他⽅E X に関してもこれは期待値であり、つまり期待値推定に⽤いる制御変量法が使⽤可能である。よって、4.3.1 節で提案したHX

βY を⽤いて
EX

EH

βμ

βμ

βμ

σ

（4.15）の形で推定の⾼速化が可能となる。これより、(4.15)式における右辺各項の⾼速な推定が可能となり、標準偏差推定における分散低減が⾒込まれる。

4.3.4 簡易モデルの設定
前述までの⼿法の妥当性を確認するため、本研究ではまず各統計量が既知である⼆組の相関を持つ正規乱数を簡易モデルとして採⽤し、⼀⽅を評価対象 f、他⽅を類似対象 g とし検証を⾏った。詳細は下 Fig.4.2 の通りである。

31

Fig.4.2 The flow of Control Variates method
Fig.4.2 に⽰した通り、類似対象 g の期待値や標準偏差は既知として扱い、推定された評価
対象 f の統計量が予め任意に定めた真値へ、どの程度の信頼性をもって収束していくかを確認した。

4.3.5 結果・考察
本節では考案した分散推定⼿法そのものの妥当性とその性質について、前述の簡易モデルを⽤いて検討した結果について⽰す。
§標準偏差推定⼿法の妥当性検証
第⼀に、⼿法そのものの妥当性や分散低減効果の有無について検証を⾏った。その際の条件は以下の通りである。
Table4.1 検証条件
ｆ(評価対象)ｇ(類似対象)

平均値

0.5

1.0

標準偏差

0.25

0.5
0.95

相関係数

Table4.1 に⽰した条件に従って、評価対象の平均値、⼆乗の平均値の推定を⾏い、前節までにて⽰した計算式によって標準偏差を求めた。なお、α やβといった制御変量は、少数の標本(ここでは 100 サンプルとする)から推定した共分散の値などを⽤いて導出した。
評価対象の平均値、⼆乗の平均値推定の様⼦は Fig.4.3 に⽰した通りである。双⽅とも、
通常のランダムサンプリングに⽐べ、制御変量法を⽤いた際は⾮常に⾼い分散低減効果を⽰していることが読み取れる。また、この⼆つの値を利⽤して標準偏差を求めた結果を

32

Fig.4.4 に⽰したが、表中⻘⾊の線で⽰した統計誤差の減少割合 Variance reduction
effect(VR-effect)からも読み取れる通り、およそ 50％程度の分散低減効果を⽰している。このことから、提案した CV 法が標準偏差推定における分散低減⼿法として適している可能性が⾼いと⾔える。

a. Result of mean estimation

b. Result of squared mean estimation

33

Fig.4.3 Result of preparation of standard deviation estimation

Fig.4.4 Result of standard deviation estimation§提案⼿法の分散低減効果の検証
前節において、期待値の組み合わせで標準偏差(分散)を表現することで CV 法を不確かさ評価に応⽤できる可能性が⾼いことが判明した。本節では、様々な条件において提案⼿法を実施し、実⽤上の条件や適⽤できる体系等について検討を⾏った結果を⽰す。
第⼀に、αやβを求める際の事前計算精度に関する検討を⾏う。この事前計算とは、制御変量であるαやβを求めるために、本来の評価対象に⽐べ少ない標本数で分散や対象間の相関係数を評価し、最適に近い値を求めるために⾏うものである。αやβは最適値こそ存在するが、式中においては任意に定めることができるため、その精度によって結果の正確性が左右されることはない。Fig.4.5 に事前計算の回数と 10000 サンプル時の分散低減割
合との関係を⽰す。なお、後に触れるが、標本数の増加に伴う分散低減割合の変化はある
程度決まった値の周囲で振動するに留まり、同⼀標本数時の分散低減割合を⽐較することで、それ以外の要素における⽐較を⾏うことは妥当である。

34

Fig.4.5 より、事前計算の回数に関わらず相関係数が 0.99 の時の分散低減割合はおよそ 80%
前後を振動しており、事前計算を密に⾏うことでの精度向上は望めないことが分かる。ただし、これは⼀度のみ試⾏した結果であり、共分散の推定精度が標本数に依存することか
ら、事前の計算回数が多いほど分散低減効果の振れ幅は⼩さい、すなわち効果量が安定する可能性が⾼いことを留意する必要がある。

Fig.4.5 Result of variance reduction effect depends on number of pre-Calc.
続いて、評価対象と類似対象間の相関係数が分散低減効果に与える影響について検証を⾏った結果を次⾴ Fig.4.6 に⽰す。図中横軸は不確かさ評価を⾏った標本数、縦軸が分散低減の割合を表しているが、前述の通り、分散低減効果は標本数に依存しないことが第⼀に読み取れる。加えて、同⼀の平均値や歪度(つまり分布)の中で、相関係数のみを変化させた結果の⽐較を⾏ったが、Fig.4.6 の通り、相関が⾼いほど分散低減効果が⼤きく、相関係数が 0.7 付近になると 0 近傍の値をとる、つまり低減効果を⽰さないことが分かる。

Fig.4.6 Result of variance reduction effect depends on correlation coefficient.

35また、相関係数のほか、平均値や分散の値を変更したケースについても評価を⾏ったところ、分散低減効果が各分布の相対標準偏差の差にも依存している可能性が⾼いことが判明した。本研究ではこの値を下(4.16)式の形で Dif 値と定義し以後論ずる。

Dif ,

σ

,

σ

σ

,

,

σ
σ ,
相対標準偏差μ
この Dif 値と分散低減効果の関係を以下の Fig.4.7 に⽰す。

（4.16）

Fig.4.7 Result of variance reduction effect depends on Dif coefficient.
Fig.4.7 中には各対象の平均値を同⼀としたものと、異なるものとしたものの 2 通りを描画した。そのどちらにも傾向として変化がないことから、分散低減効果は同⼀相関係数内では Dif 値のみに依存し、Dif 値が０に近いほど――すなわち両者の相対標準偏差に差がな
いほど分散低減効果が⾼くなることが分かった。以下 Fig.4.8 に相関係数ごとの結果を⽐較したもの、Fig.4.9 に Dif 値ごとに⽐較した相関係数と分散低減効果の関係を⽰す。

36

Fig.4.8 Result of variance reduction effect depends on Dif coefficient (Corr).

Fig.4.9 Result of variance reduction effect depends on correlation coefficient (Dif).
前⾴までの結果より、CV 法の分散低減効果は相関係数と Dif 値(対象間の相対標準偏差の差)に依存し、相関が強く相対標準偏差が近い対象を⽤いることで分散低減効果を⾼めることができる可能性が⾼いと⾔える。
また、以下 Fig.4.10 に相関係数が 0.7 以下の結果を⽰す。

37

Fig.4.10 Result of variance reduction effect depends on correlation coefficient.

4.4 感度係数を類似対象に⽤いた制御変量法
前節までにおいては、制御変量法を標準偏差の推定に⽤いるための⼿法の妥当性について検討を⾏った。本節では制御変量法を実際の不確かさ評価に応⽤する際に重要となる類
似対象の選択について、本研究の⽬的である炉物理パラメータの不確かさ評価に焦点を当38

てて『感度係数』を⽤いる⼿法を提案し、その妥当性を論じる。

4.4.1 概要
感度係数とは、⼊出⼒間の関係性を線形であると仮定した際に、⼊出⼒間の伝播の様⼦を決定する係数であり、つまり⼊出⼒の関係を⽰す⼀次関数における傾きのことである。
感度係数を⽤いた不確かさ評価においては、この感度係数と⼊⼒パラメータの不確かさを⽤いて決定論的に出⼒パラメータの不確かさを導出するが、本研究では感度係数をあくま
で類似対象として⽤いて RS 法を実施する。その概略を以下 Fig.4.11 に⽰す。

Fig.4.11 Image of using CV-method for non-linear system.
以上のように評価対象(燃焼計算を解いて得られた燃焼後の核種数密度)と類似対象(感度係数を⽤いて出⼒した燃焼後核種数密度)を得、これを前述の Fig.4.2 のように処理し不確かさ評価を実施する。
CV 法を適⽤するにあたって、類似対象選択にはいくつかの望ましい条件がある。⼀つは前節でも述べた通り、評価対象に対する相関が⼤きいことであるが、それに加えて、類似対象の計算負荷が軽いことも重視される。これは、評価対象と同時に類似対象の計算も⾏う必要がある性質上、類似対象の計算負荷が重いことは分散低減⼿法として望ましくないことからも分かる。燃焼計算の不確かさ評価を⾏う上で、こういった⼆つの条件に合致した類似対象こそ、感度係数を⽤いて得られた出⼒標本である。

4.4.2 簡易モデルの設定
CV 法を実施する対象である⼊出⼒間が⾮線形である伝播式モデルとして、3 節のリバー
スサンプリング法の際にも⽤いた⼆次関数を簡易モデルとして使⽤する。この(3.11)式中の
f x

S x

S x を評価対象とするとき、類似対象はその⼀次の項 g x

S x となり、3節でも述べた通り、この特性はS とS の⽐によって決まるため、以下(4.17)式のように簡易モデルを設定する。

39

f x

S∙x
g x

x
x

評価対象
類似対象

（4.17）

簡易モデルにおいては、⼊⼒値xを任意の平均値、標準偏差に従う正規乱数と⽰し、上記(4.17)式にあてはめることで、評価対象と類似対象を作成した。

4.4.3 結果・考察(4.17)式における S の値を任意に変更し、不確かさ評価を実施した結果が次⾴の Fig.4.12の通りである。⿊線で⽰した通常の RS 法で推定した標準偏差に対して、CV 法を適⽤して推定した結果の誤差棒が総じて⼩さくなっていることが読み取れる。ただし、S=0.01 の時
は 70%を⽰していた分散低減効果も、S=0.2 の際には 20%程度にとどまることから、分散低減効果は体系の⾮線形性に依存する可能性が⾼いことが分かる。本件について、S の値を任意に変化させた体系で 10000 サンプル時の分散低減効果や Dif 値、相関係数を確認した
結果を Fig.4.13 に⽰したが、S=0.5 までの計算を⾏っても Dif 値が最⼤で 0.2 程度、相関係
数も 0.98 を下回らず、前節の結果からは分散低減効果が 20%近くまで低下範囲には達していなかった。以上より、⼊出⼒間の⾮線形性(分布形状の差)は相関係数や Dif 値とはまた別に、分散低減効果に影響を与えるパラメータとなっていることが分かる。

a. S=0.05

40

b. S=0.1

c. S=0.2

Fig.4.12 Result of using CV-method for non-linear system.

41

Fig.4.13 Result of VR-effect depend on S2/S1 ratio.

Fig.4.14 Result of correlation and Dif value depend on S2/S1 ratio.

§ブートストラップ法の適⽤可否について

42ここまでの検討における誤差棒は全て、同⼀標本数での統計量評価を 100 回⾏って得られたばらつきを⽤いて求めていたが、この⼿法は実計算に適⽤する上では標本を余分に要求する点で好ましくない。そこで、CV 法を適⽤する際にも統計誤差の推定にブートストラ
ップ法を適⽤可能か否か、検討を⾏った。
CV 法に適⽤するブートストラップ法についても基本は通常の RS 法と同様で、対称標本数のリサンプリングを 500 回程度繰り返し、各リサンプリング標本から得られた期待値や標準偏差といった統計量を統計的に評価することで統計誤差を推定する。平均値の推定、標準偏差の推定それぞれに適⽤した結果を次の Fig.4.14、Fig.4.15 に⽰す。なお、平均値にブートストラップ法を適⽤する際は、μ が統計的な不確かさを有せず、CV 法を適⽤した E[X]の統計誤差が E[H]の統計誤差と同⼀であるため、E X

EH

αμ の計算は⾏わず、

E[H]の統計誤差を直接⽤いている。
Fig.中橙線で⽰したものが CV 法を⽤いた統計量推定を 100 回繰り返し、直接統計誤差を推定した結果、⽔⾊線で⽰したものがブートストラップ法を適⽤した結果である。また、右軸にはブートストラップ法で得た統計誤差が 100 回の計算から推定した値に⽐べてどの程度過⼩評価しているのかを⽰した。0 のとき、ブートストラップ法は繰り返し計算から得られた参照値と同程度の値を⽰しており、正に⼤きくなるほど過⼩評価していることを表す。以上の点で⾒てみると、期待値の推定において過⼩評価は発⽣しておらず、標準偏差の推定においてはおよそ 100 サンプル程度までは有意な過⼩評価が発⽣しているように⾒られた。これは、ブートストラップ法の性質としてリバースサンプリング法の節に前述したとおりの理由によって⽣じるものだと考えられる。ただし、⾮常にあるていど少量の標本数で過⼩評価が改善されており、以後実計算にて取り扱う際は、ブートストラップ法を
統計誤差推定の⼿法として⽤いても問題ないと判断した。

a. Mean estimation

43

b. Standard deviation estimation

Fig.4.15 Validation of bootstrap method

4.5 燃焼計算における検討44

本節においては、前節までで適⽤⼿法を検討してきた CV 法を⽤いて実際の燃焼計算における不確かさ評価を⾏った結果を⽰す。

4.5.1 燃焼計算への適⽤⼿法
2 章等で述べた通り、CBZ コード内では任意の⼊⼒値を摂動させた燃焼チェーンを⽤いて燃焼計算を⾏うことが可能となっている。本研究においては、複数⼊⼒に取り掛かる前段階として、⼀⼊⼒⼀出⼒の不確かさ計算を対象とするため、検討のモデルとして、Eu-151の崩壊定数の不確かさに起因する 45[GWD/t]燃焼後の Eu-151 核種数密度の不確かさ評価を⽤いた。計算の概念図は以下 Fig.4.16 の通りである。

Fig.4.16 Image of UQ-method for burnup Calc. by using CV-method .

4.5.2 結果・考察
4.5.1 で述べた対象について、期待値、標準偏差の推定に CV 法を適⽤した結果を Fig.4.17に⽰す。効果は⾃明であるが、標準偏差の推定の際にも推定された平均値が結果に⼤きく影響を与える値となるため、平均値の検討も⾏った。図中⿊線が通常の RS 法、橙線が CV
法適⽤の結果を⽰し、誤差棒はブートストラップ法によって得られた 95%信頼区間を⽤いている。
図より分かる通り、前述までの結果より⾮線形性の強いことが判明している Eu-151 の核種数密度に対する不確かさ評価であっても、CV 法が効果を⽰していることが分かる。これは、⼊出⼒間の線形性が実現象の範囲内においては簡易モデルにおける最⼤ S=0.1~0.2 程度の値であり、問題なく CV 法による分散低減効果が期待できるためだと考えられる。

a. Mean estimation45

b. Standard deviation estimation

Fig.4.17 Result of statistics value estimation for burnup Calc. by using CV-method .

46

第 5 章 まとめ
RS 法を⽤いた不確かさ評価の⾼速化のため、リバースサンプリング法と制御変量法の⼆つの分散低減⼿法を提案し検討を⾏った。
リバースサンプリング法に関しては、いわゆる不確かさの代表的な指標となる標準偏差推定の⾼速化には適⽤不可であったが、⼊出⼒間の線形性を判別するために有⽤となる歪度の⾼速な推定が可能となる可能性が⾒られた。また、⼊出⼒間が線形であるとき――す
なわち出⼒の確率分布が正規分布であるとき――はより⾼速に不確かさを評価することができる決定論的⼿法である感度係数を⽤いた⼿法が適⽤可能であるため、歪度の⾼速な判定は不確かさ評価の⾼速化において⾮常に⼤きな意味を持つと⾔える。また、RS 法によって統計量を推定する際は統計的な不確かさを考慮する必要があるが、限られたサンプルからそれを求めることができるブートストラップ法の適⽤性が確認でき、その過⼩評価の程度についても定量的に評価することができた。ただし、⾼速推定のためには少ない標本数
で統計量の推定を⾏う必要があり、その範囲においてブートストラップ法が過⼩評価の傾向にある可能性が⾼いことは留意する必要がある。
対して、制御変量法について、期待値推定の⾼速化に有⽤である特徴を利⽤し、⼆乗の期待値を⾼速に推定することで定義式から分散(標準偏差)の推定に⽤いる⼿法を提案し、その妥当性の確認を⾏うことができた。また、CV 法における適切な類似対象の選択として、燃焼計算に対する⼀次感度の式を⽤いることも検討し、⾮常に⾼い分散低減効果を得ることに成功した。これより、⼊出⼒間の⾮線形性が疑われ、感度係数を⽤いた不確かさ評価に適せず、かつ計算負荷の⼤きさにより RS 法の適正も低いような体系において、より⾼速に精度の⾼い統計量推定が可能な⼿法として CV 法を適⽤できる可能性が⾼いことが判明
した。

47

参考⽂献
[1] 『第 48 回炉物理夏期セミナーテキスト(2016)』, 2016 年 8 ⽉[2] Go Chiba, “Estimationofrondomuncertainty quantification calculations ”

sampling-based

neutoronics

parametersensitivity

tonucleardatainAnnals of Nuclear

Energy(2015)[3]⼆平舜介, 『ランダムサンプリング法を⽤いた燃焼後核燃料の核種組成に対する不確かさ評価』, 2016 年 2 ⽉[4]湯前祥⼆・鈴⽊輝好 (2000)『モンテカルロ法の⾦融⼯学への応⽤』, 朝倉書店
[5]Drik P.Krose ほか (2014),『モンテカルロ法ハンドブック』伏⾒正則・逆瀬川浩孝監訳, 朝
倉書店[6] 岩橋 ⼤希ほか, 『ランダムサンプリング⼿法を⽤いた不確かさ評価における分散低減の検討 (2)燃焼計算における分散低減』, ⽇本原⼦⼒学会 2018 年春の年会(1F18), 2018 年 3 ⽉[7]⽊下国治, 『ラテン超⽅格サンプリング法を⽤いた BWR 炉⼼特性の不確かさ評価」, 2014年2⽉
[8]汪 ⾦芳・桜井裕仁 (2011), 『ブートストラップ⼊⾨』, 共⽴出版
[9]⼩⻄ 貞則ほか (2015), 『計算統計学の⽅法-ブートストラップ・EM アルゴリズム・
MCMC-』,朝倉書店[10] Go Chiba, “Uncertainly quantification of neutronic parameters of light water reactor fuel cellswith JENDL-4.0 covariance data” Jarnal of Nuclear Science and Technology,2013[11]J. Katakura, “JENDL FP Decay Data File 2011 and Fission Yields Data File 2011,”
JAEA-Data/Code 2011-025 (Mar 2012)[12]Go Chiba,“Important fission product nuclides indetification method for simplified burnup

chain construction” Jarnal of Nuclear Science and Technology,201548

謝辞
本研究を進めるにあたって、指導教官であり、CBZ の開発者でもある千葉豪准教授には様々なご指摘・ご指導を賜りました。合わせて、研究室⽣活における 3 年間にわたっても⾮常に多くのことを学ばせていただき、深く感謝しております。また、報告会などを通じ助⾔や様々な気付き、感想、意⾒などを頂きました⼭本泰功助教、先輩がた、後輩の皆様、そして共同研究の際に⾮常に参考となるご意⾒をいただきました原⼦⼒規制庁の⼭本さん、藤⽥さんにも厚く御礼申し上げます。最後に、ともに初渡⽶(国際学会)に挑んだ⽚桐君を始めとする同期の皆には、配属から 3 年間の研究⽣活に多くの彩りを添えていただきました。
改めて⽀えてくださった皆様に感謝いたします。ありがとうございました。
2019 年 2 ⽉ 1 ⽇

49

原⼦炉⼯学研究室にて