食連星 BL And の光度曲線解析
佐々井祐二*，高木彪**，赤澤秀彦***

Light Curve Analysis of the Semi-Detached Binary System BL And
SASAI Yuji, TAKAKI Hyu, and AKAZAWA HidehikoA new photoelectric light curve of the BL And is presented. The BL And is a short-period eclipsing binary that wasobserved in 2018. To obtain the absolute value rather than the ratio of physical quantities, it is necessary to determine theradial velocity using spectroscopic data. However, such data are difficult to obtain. Instead of radial velocity, therefore, wetry to use the scale from the mass-luminosity relation of main-sequence stars. Physical quantities of the BL And werecomputed using the analysis software PHOEBE (physics of eclipsing binaries), which implements the Wilson-Devinney code.
The results show that the BL And resembles a semi-detached system with a primary component overflowing its Roche lobe.
The asymmetry of the light curve indicates that mass is being transferred from the primary component to the secondary one
through the L1 point. This system may be in the process of evolving from a semi-detached phase to a contact phase.
Key Words : Eclipsing Binary Star, Light Curve, PHOEBE

１．緒推定する（ただし，測光観測による色指数 B - Vが必要）．

言食連星 1), 2) は恒星を理解するための情報源としiii. q を変化させ光度曲線とフィッティング曲線とて非常に重要である．食連星の測光データから物の誤差の最小値を調べる q - 探査から q を決定す理量の比が得られる．絶対値を得るためには，視る．
線速度を生成する分光データが必要であるが，口iv. 主星質量と質量比が分かれば，一般化されたケ
径 1m 程度の望遠鏡でも取得が困難である．そこで，プラーの第 3 法則より，成分星間距離が分かり，教育現場でも取得可能な測光データに情報を追加スケールを入れることができる．
しスケールを組み込んで解析を行いたい．つまり，本研究では，この項目 ii および ⅳ と先行論文も測光データの有効活用を図りたい．
参考にしながら，食連星の測光データにスペクト測光データを解析して得られる光度曲線に対しル型などの情報，ロッシュモデルの理論を組み合て，光度曲線合成法によるフィッティングを行う
わせ，例として食連星アンドロメダ BL 星（BL And）
ことで，周期，成分星の半径比および温度比を導の各種物理量を導出する．BL And については Zhu
出できる．スケールを入れ連星間距離や成分星質& Qian (2006) 6) の研究結果があるが，本研究の解析量など物理量の絶対値を導出するには分光データで新たな知見を加え，比較したい．
が必要である．
視線速度データ取得が無理で，測光データのみ
２．BL And の測光の場合でも，過去の蓄積された類似恒星のデータからスケールが入る可能性がある．
食連星 BL And の光度変化は Hoffmeister (1943)
i. 詳細なスペクトル型を把握し，同型スペクトルによって発見された．また，BL And の光度曲線は星の研究データから主星温度と質量を推定する
Vetešník 他 (1967) 7) に よ っ て 初 め て 描 か れ ，3), 4)．
Russell & Merrill (1952) の手法で解析された．後にii. 天文学の理科年表とも称される Cox 他 (2000) 5)
Kałużny (1985) 8) によって Wilson-Devinney コードでの質量光度関係のデータから主星温度と質量を解析された．このように，BL And は天文学者によって現在まで度々研究が進められており，最近で原稿受付 令和 5 年 9 月 7 日
は Zhu & Qian (2006) 6) による解析がある．
*総合理工学科 先進科学系，**岡山大学，***船穂天文台-1-短周期食連星 BL And の一般的情報 9) としては，公転周期が 0.7224 日で，光度は極大 11.15 等，極小 11.92 等，スペクトル型が A8V，光度曲線の分類としてこと座β型（EB 型）である．
赤澤は 2018 年 10 月 29 日から 11 月 9 日の 10 夜に亘って，船穂天文台にて口径 28cm 望遠鏡を用いた測光観測を行い，Johnson Rc フィルタの測光観測データを得た．ライト画像総数は 1538 枚である．
画像処理・測光フリーソフト AstroImageJ（AIJ）
10), 11)を用い，ライト画像のダーク減算とフラット割をして，整約画像を作成した．食連星 V=BL Andに 対 し ， 写 野 内 の 比 較 星 と し て C1=TYC 36351475-1 と C2=TYC 3635-1067-1 を選び，アパチャ測光した．
雲が横切るなどの不適画像を除いた画像について，横軸を撮影期間は 2018 年 10 月 29 日から 11 月9 日に対応するユリウス日，縦軸を比較星 C1 に対する食連星 V の光度比としたグラフを図 1 に示す．
カウント値は薄雲や高度により変化するが，食連星と近くにある比較星は同じ割合で変化し，そのカウント値の比は薄雲や高度による影響を受けないと考え，光度比としてアパチャ測光により得られたカウント値の比を使用している．

び V-C1 のグラフ形から，BL And はこと座β型（EB 型）である．
図 2，図 3 より BL And の 2 つの極大には差がある

V / C1C2 / C1図 2 光度曲線（光度比，上が V/C1，下が C2/C1）

V - C1C2 - C1

図 3 光度曲線（等級差，上が V-C1，下が C2-C1）

ことが判る．考えられる要因としては巨大黒点の存在があるが，黒点は定常的に存在するものではない．次に半分離型あるいは接触型の場合はホットスポットの存在が予想される．共通重心に近づく（あるいは遠ざかる）方向に内部ラグランジュ点 L1 点から溢れた成分星のガスは，もう一方の成分星の表面に落下することでガスの摩擦により表面温度が上昇する．ガスはコリオリ力により，公転の前方（あるいは後方）の表面に落下するため，輝度分布に差が生じ光度曲線も非対称となると考えられる．

図 1 撮影日時毎の光度比

極小時刻 2452500.3814 HJD を元期（EPOC）とし，周期 0.72237587 日で各画像の撮影時刻の位相を求め，食連星 V と比較星 C1 の位相図を描く．この比較星 C1 が変光していないことを確認するため，比較星 C1 と別の恒星 C2 との比較も必要である．光度比 V/C1 と C2/C1 の位相図が図 2，等級差 V-C1と C2-C1 の位相図が図 3 である．
等級差はポグソンの公式より光度比から−2.5log

VC1および−2.5 log

C2C1で計算できる．なお，図 3 縦軸の記号 V-C1 等はカウント値の引き算の意味は持たない．光度比
C2/C1 および等級差 C2-C1 の位相図から，比較星C1 は変光していないことが確認できる．V/C1 およ-2-３．スケール導入のための考察
BL And の主星表面温度 T1 を決定する．Cox 他(2000)に，主系列星の有効表面温度 Teff と色指数 B - V の対応表 15.7 がある．これをプロットすると図 4 が得られる．
B 等級と V 等級は測光観測で得られるが，ここではVetešník 他 (1967) 7) による BL And の色指数 B - V の値0.25 を用いる．この場合，図 4 では B - V の 0.15 ~ 0.3の間に対応する．スペクトル型では A5 ~ F0 の間であり，BL And のスペクトル型 A8V であることと整合性がある．この 0.15 ~ 0.3 間の直線近似により， BL And5)の主星表面温度を T1 = Teff = 7593 K と推定する．

究でも q = 0.377 を用いることにする．
主星の質量を M 1，伴星を M 2 とし，連星間距離を aとする．成分星は共通重心の周りに円軌道を描く．
一般化されたケプラーの第 3 法則

Cox 他(2000) 5) の表 15.7 には，Teff と実視絶対等級a 3  2π 
M1 + M 2 =G  P 2(2)に成分星の質量比 𝑞𝑞 = 𝑀𝑀2 ⁄𝑀𝑀1 を導入すると，式(2)はa 3  2π M1 (1 + q ) = G  P 2(3)と書ける．比較のため太陽の質量を計算する．太陽と地球の場合，q ≒ 0 と近似すると，通常のケプラーの法則となる．太陽半径 𝑅𝑅SUN = 6.9551 × 108 m，P = 365.3日，軌道半径は 1 天文単位，即ち1.495978707
× 1011 m = 2.1509 × 102 𝑅𝑅SUN より 12) ，

図 4 Teff と B - V の関係(2.151 × 102 RSUN )3  2π M SUN = 365.3 G2(4)

式 (3)と(4)より

a3=3SUN2(5)を得る．これが次章で扱う半長径 SMA の値である．伴星質量は(1)で与えられる．式 (1) から Mbol を求め，図 4 と同様に，B - V に対応させてプロットして図 5 を得る．さらに，0.15 ~ 0.3 の直線近似により BL And の輻射絶対等級の推定値 Mbol = 2.340 を得る．
ここで，Cox 他 (2000) 5) の p.382 にある数値関係式（MSUN は太陽質量，以下，SUN の付いている量は太陽基準量を意味する），

M= 0.48 − 0.105 M bol
M SUN

2a = 4.51RSUNMV および輻射補正 B.C. の対応関係についても記載がある．輻射絶対等級 Mbol はlog

M SUNP ( 2.151 ×10 R )  365.3を得る．
式(5)に BL And の諸量，主星質量 𝑀𝑀1 = 1.715𝑀𝑀SUN
および，質量比 q = 0.377，周期 P =0.72237587 を代入して，連星間距離

図 5 M bol と B - V の関係

M=
B.C. + M Vbol

M1 (1 + q )( −8 ≤ M bol ≤ 10.5)に， Mbol = 2.340 を代入すると M / MSUN = 1.715 となり，これを BL And 主星-太陽質量比 M1 / MSUN と推定する．
従って，BL And 主星質量 M1 = 1.715 MSUN が得られる．
BL And の主星-伴星質量比 q = M2 / M1 について，Zhu& Qian (2006) 6) は分光データを持っていなかったが，q- 探査により q = 0.377 を得た．q を 0.05 ずつ変化させて観測値 O と理論値 C から Σ ( O - C ) 2 が最小となる qを決める手法である．q - 探査は今後の課題とし，本研-3-=M 2 qM
=0.647 M SUN
1となる．

４．PHOEBE 解析
４．１ PHOEBEPHOEBE（PHysics Of Eclipsing BinariEs）13)-17) は米国
ビラノバ大の Andrej Prsa が中心となって開発しているオープンソースソフトである．光度曲線合成法
Wilson-Devinney（WD）コードを実装しており，研究用途に活用されている．
PHOEBE が読み込む入力ファイルのデータ項目は，ユリウス日としての撮影日時（HJD_UTC），光度比（V/C1），誤差（V_Error/C1）の 3 要素である．誤差の値は測光の時点で出力される V_Error を C1 カウント値で割ったものである．以下，丸括弧内の量記号はPHEOBE 記号である．また，PHOEBE で出力された桁数の数字をそのまま記載することがある．

BL And の元期（EPOC）2452500.3814 HJD と周期（PERIOD）0.72237587 日を設定すると横軸を位相とする光度曲線が表示される．
フィッティングのために設定した数値は，主星の温度（TAVH）7593 K，質量比（RM）0.377，連星間距離（SMA）4.51 である．成分星の表面重力や周辺減光などのパラメータは PHOEBE のデフォルト値を使用する．
光度曲線を解析するためのフィッティング手法としては，Differential Corrections（差分補正）と最適化問題
アルゴリズム Nelder & Mead’ Simplex（ネルダー－ミード法）を使用する．
PHOEBE フィッティングにおいて，伴星が内部ロッシュローブに収まるためには，伴星表面ポテンシャルが内部ロッシュローブのポテンシャル値よりも大きいことが必要である．BL And では，図 6 と類似ではあるが，フィッティング曲線の主極小は光度曲線の主極小まで下がらない．そこで，主星と反対側の伴星表面にダークスポットを置き主極小を下げる．PHOEBE の連星系モデルには分離型（Detached binary），半分離型（Semi-detached binary），接触型（Overcontact binary）およびその派生形がある．本研究では半分離型（Semidetached binary, primary star fills Roche lobe）に伴星へダークスポットを加えたモデルで解析を行う．に掲載する．
地球からホットスポットが見える位相 0.25 において，光度曲線の極大の山にフィットさせるためには，Zhu& Qian (2006) 6) 同様に半径が大きいホットスポットが必要である．しかし位相 0.3～0.5 付近のフィッティング曲線が上に膨らんでしまう．そこで，伴星と反対側の主星表面に小さなダークスポットを置いて調節した．
これら成分星には自転があるので，ダークスポットのため別の時期の観測光度曲線の形状もやや変化すると考えられる．なお，別の食連星 V404 And などのように，大きい方の極大が位相 0.25 と 0.75 とで時期により入れ替わっている事例もある．
４．３ フィッティング結果
半分離型の WD コードをベースとしたフィッティン
グの結果，伴星の温度（TAVC）は 4879 K，軌道傾斜角（INCL）83.90°，主星表面ポテンシャル（PHSV）2.6334，伴星表面ポテンシャル（PCSV）2.6549 で収束した．また，フェーズシフトを手動で - 0.005 調整している．
ポテンシャル計算画面から連星間距離に対する相対半 径 が ， 主 星 で は 𝑟𝑟1 = 0.46691 ， 伴 星 で は 𝑟𝑟2 =0.28434と分かるので，半径の絶対値として

R1 = r1 ⋅ a = 2.11RSUN

４．２ ホットスポット
この状態でフィッティングさせると，もちろんフィッティング曲線の 2 つの極大値は同じであり，光度曲線とは極大値でずれを生じる．また，主星はロッシュローブをほぼ満たし，伴星は内側にある状況が確認できる．従って，内部ラグランジュ点 L1 から溢れた主星のガスが伴星表面に落下してホットスポットを形成することで，光度曲線に非対称な極大を生成させるシナリオを考える．

R2 = r2 ⋅ a = 1.28 RSUNを得る．連星系の恒星は球形とは異なっており，これらの半径は平均値である．また，主星の質量は太陽の1.72 倍，伴星は 0.647 倍である．

表 1 仮定したスポットパラメータの先行研究との比較

Zhu & Qian (2006)
本研究
伴星ホット伴星ホット9090409.13017.11.251.25
伴 星 ダ 主 星 ダ 伴星ダークークーク
赤緯（°） 909090
赤経（°） 185.0
180.0
177.0
半径（°） 50.010.044.6
温度比0.750.750.75
スポットパラメータについては，PHOEBE でフィッティング機能が働いていないようなので，手動で調整した。本研究と Zhu & Qian (2006) 6) のパラメータを表 1
スポットパラメータ
赤緯（°）
赤経（°）
半径（°）
温度比

図 6 BL And の光度曲線とフィッティング曲線（縦軸 V/C1，Johonson Rc フィルタ）

図 6 に光度曲線と赤線で描いたフィッティング曲線を示す．図 2，図 3 とは異なり，位相 - 0.6～0.6 の範囲で描かれている．
BL And の解析結果を表 2 にまとめる．本報告と Zhu& Qian (2006) 6) の結果を並記する．
得られたパラメータにより PHOEBE の Star Shape 機
能で描いた BL And の形状を図 7 に示す．位相 0.25 の真横から見た状態を表している．また，縦横軸の原点が連星系の重心の位置であり，連星間距離を 1 に規格化した相対値で描画されている．重心を通る紙面上下-4-ンシャル面を描くと図 8 のようになる．𝛺𝛺2 の値は内部 ラ グ ラ ン ジ ュ 点 L1 の ポ テ ン シ ャ ル 𝛺𝛺(L1 ) =2.6308 よりも大きい値であるので，伴星はロッシュローブよりも小さなサイズでラグランジュ点 L1 には届かない．𝛺𝛺1 の値は 𝛺𝛺(L1 ) に近いので，主星大気は図 9のロッシュローブをほぼ満たし，内部ラグランジュ点L1 を通って，伴星に落下する．この主星大気にコリオリ力が働くことによって，伴星表面の公転後方の位置にホットスポットができるため，極大に周期的な差が生じると推定される．
主星大気は，内部ラグランジュ点 L1 付近から，幅のある流れで伴星表面の公転後方の位置に落下し，伴星大気との摩擦によりホットスポットが形成されると考えられる．また，主星から伴星への質量移動による角運動量の減少から，長期的には周期の継続的な減少が予想される．

方向が連星系の回転軸である．また，右の伴星表面の内部ラグランジュ点 L1 寄りの濃い網掛け部分がホットスポットである．主星と反対側の伴星表面に大きなダークスポット，伴星と反対側の主星表面に小さなダークスポットを置いている．
表 2 BL And の解析結果（1：主星，2：伴星，T：表面温度，q：質量比，i：軌道傾斜角，Ω：表面ポテンシャル，r：相対半径，R：成分
星半径，a：連星間距離，M：成分星質量，左列は PHOEBE の記号，*は仮定，**は side の値）

T1
T2
q=M2/M1i
Ω1
Ω2
r1r2
R1R2
a
M1
M2

本報告
7593 K*
4879 K右を仮定
83.90°
2.63342.65490.46690.2843
2.11 Rsun
1.28 Rsun
4.51 Rsun*
1.72 Msun
0.647 Msun

Ω(L1)2.6308

Zhu & Qian (2006)
7500 K*
4830 K
0.377
82.48°2.6298
2.67800.4677**0.2790**2.13 Rsun
1.35 Rsun
4.60 Rsun
1.80 Msun
0.70 Msun
2.6298L1

図 8 表面ポテンシャル面（質量比 𝒒𝒒 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑，左の主星のポテンシャル 𝜴𝜴𝟏𝟏 = 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔，右の伴星のポテンシャル 𝜴𝜴𝟐𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ）L1
図 7 BL And の模式図（位相 0.25，左が主星，右が伴星）

比較のため，BL And の成分星の表面ポテンシャル面を描く．無次元化されたロッシュポテンシャル 1), 2),16), 17)は
図 9 内部ロッシュローブ（質量比 𝒒𝒒 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑，ポテンシャル
𝜴𝜴(𝐋𝐋𝟏𝟏 ) = 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ）Ω = ξ ( x , y, z ) 1 r′2 z 2  1 r′′2 z 2  qq= +−+−
 +−
22 
22  2 r′
 r′′で与えられ，等ポテンシャル面の様子は質量比 q ( =0.377 ) だけで決まる．主星表面ポテンシャル 𝛺𝛺1 =2.6334，伴星表面ポテンシャル 𝛺𝛺2 = 2.6549 でポテ-5-

５．結

言

参 考 文 献

食連星 BL And について，測光データに，質量光度関係のデータから推定した主星温度と質量からスケールを入れ，光度曲線合成法から物理量の絶対値を導出した．
スペクトル型が A8V，光度曲線の分類としてこと座β型（EB 型）である．ロッシュモデルでの分類）としては主星が内部ロッシュローブを満たしている半分離型（SD 型）である．伴星は内部ロッシュローブを満たすには至っていない．
BL And の主星は太陽の 2 倍程度の大きさで温度も高い．伴星は半径が太陽よりも少し大きく，温度は少し低いことが分かった．また，主星は太陽の 2 倍に迫る質量でありながら，伴星は太陽の 1/2 程度である．また，主星が内部ロッシュローブを満たしている半分離型の形状で，内部ラグランジュ点を通って主星から伴星へのガスの移動から伴星表面の公転後方の位置にホットスポットを形成し，光度曲線に非対称な極大を生成していると考えられる．主星から伴星への質量移動から，この連成系は，半分離型から接触型に進化している途中の可能性がある．
本研究で参考にした研究論文 Zhu & Qian (2006)6) の解
析と伴星上のホットスポットとダークスポットの配置は同様であるが，本研究では主星にも小さなダークスポットを置いた．色超過も考慮した色指数 B - V の吟味により推定する主星表面温度に変化があれば，ダークスポットを考慮しなくても解析が行える可能性もある．
今後は，B 等級，V 等級の測光データから色超過も考慮する色指数 B - V の取得および，q - 探査の方法を検討することで，測光データにスケールを入れる自己完結する方法で食連星の各種物理量導出を目指したい．
謝辞

本取組は科学研究費補助金（17K01002）および（23K02780）を受けて行ったものであり，ここに謝意を表します．

-6-1) 佐々井祐二 : 食連星の物理量についての考察, 津山工業高等専門学校紀要, 第 57 号 (2015) 145-149.
2) 福江純・沢武文 編 : 超・宇宙を解く―現代天文学演習,恒星社厚生閣 (2019) 130-134.
3) M.A.Malkan, et al. : Micron Spectral Atlas of Stars, Astrophys. J.
Suppl. 142 (2002) 79-94.
4) Saul J. Adelman : The physical properties of normal A stars, IAU
Symposium, No. 224 (2004) 1-11.
5) Cox, N. : Allen’s Astrophysical Quentities (4th ed., New York:Springer) (2000) 388.
6) Zhu L. Y., Qian S. B. : BL Andromedae and GW Tauri: closebinary stars in a key evolutionary stage, Mon. Notices RoyalAstron. Soc., 367 (2006) 423-432.
7) Vetešník M. et al. : Photoelectric Photometry of BL Andromedae,Bull. Astron. Inst. Czech., 18(4) (1967) 208-214.
8) Kałużny J. : Photometric Solutions for Seven Binaries ofIntermediate Spectral Types: BL And, ST Aqr, D0 Cas, TT Her,TZ Lyr, SW Lyn and RU UMi, Acta Astron., 35(3-4) (1985) 327350.
9) Strasbourg Astron Data Center, Aladin Lite : https://aladin.ustrasbg.fr/AladinLite/ (参照 2023-09-01).
10) AstroImageJ (ImageJ for Astronomy) Web site:
https://www.astro.louisville.edu/software/astroimagej/ （ 参 照2023-09-01).
11) 鈴木仁 : 「画像処理ソフト”AstroImageJ”(AIJ)の使い方に
つ い て 」 ～ 我 流 入 門 , 変 光 星 観 測 者 会 議 (2017),
http://vsolj.cetus-net.org/VSCong2017.pdf（参照 2023-09-01).
12) 天文年鑑編集委員会 編 : 天文年鑑 2020 年版, 誠文堂新光社(2019).
13) PHOEBE (PHysics Of Eclipsing BinariEs) Web site:
http://phoebe-project.org/（参照 2023-09-01).
14) Prša A., Zwitter T. “A Computational Guide to PHysics Of
Eclipsing BinariEs. I. Demonstrations and Perspectives”,
Astrophys. J., 628 (2005) 426-438.
15) 赤澤，片山，佐々井，大島：退職後から始めた食連星合宿
ゼ ミ （ Phoebe を使 っ た 光度 曲線 解 析 を 目指 し て ），連 星系・変光星・低温度星研究会 2016 集録（慶応大学日吉）58.
16) 佐々井祐二, 赤澤秀彦, 大島修, 片山敏彦 : PHOEBE を用いる食連星の光度曲線解析, 津山工業高等専門学校紀要,
第 59 号 (2017) 73-78.
17) 佐々井祐二，坪井元春，赤澤秀彦：半分離型食連星 IU Perの 光 度 曲 線 解 析 , 津 山 工 業 高 等 専 門 学 校 紀 要 , 第 63 号(2022) 33-37.