ヘンリー・ジョージ定理と人口移動
関西学院大学河野正道

1.

序論に変化していくかを検討した。そこで示さ

この論文の目的は、農村から都市への人口れたものは、まず第一に、各期毎に HG 定移動を考えた動学的モデルにおいて都市化理が成立しているということである。それの最適動学経路を求め、その最適経路が満は、効用関数が加法分離型であるとの仮定たすべき性質、とりわけ Henry George 定に起因する。各世代の効用の和を厚生関数理がその動学プロセスのなかで各期毎に成としてこれを政府は最大化するのであるが、立しているか否かを検討することである。

そのときは、定常状態での最大化のように、Henry George 定理（以下、HG 定理とよ各期毎の最大化が等しくなるのである。第ぶ）は最適な公共財供給に関する定理であ二に、最適な都市人口の時間とともに減少り、静学的な枠組みで論じられてきた。そするということ、最適な都市の数は、全体の定理は、同質的な都市が多数あるときに、の人口が一定であると仮定されているので、地代のすべてを課税しその税収を公共財の増加することが導出された。

支出に充てるときに、それぞれの都市の最今回の論文では、それとは異なりすべて適人口が達成される、ということを示す定の人口が都市部に住むのではなく、最初は理である。この定理を最初に動学の中で検すべて農村に住んでおり、そこからより高討したのはこの定理を動学的枠組みの中でい効用が獲得できる都市部へ移動するとい検討したのは Fu(2005)が最初である。彼はう人口移動を含んだ動学的最適モデルであ一般的な効用関数を用いて、HG 定理は、る。

地代の割引現在価値と公共財のための税収結論として導出されたものは、先にの割引現在価値の間で成立するのであり、Kawano(2013)で得られた結論とは定性的各期毎には成立しないことを示している。にはことならず、最適経路上では、都市のKawano(2003)は対数線形の効用関数を数は減少し、一つの都市の人口は上昇し、仮定して、動学的な最適人口配分、および、その都市内での公共財は単調に増加するとその背後で決まる最適な都市の数の時間経いうことである。

路を導出した。そこでは、すべての人口が2. モデル

都市に住み、公共財の蓄積が進むにつれて都市の規模、および、都市の数がどのよう農村に大きな人口が存在し、そこから都1

市への人口移動を考える。この論文におい貯蓄を持っているが、農村に住む人は十分ては、都市と農村の違いは、基本的には公な蓄積がないからである。

共財の有無である。都市には公共財がある

都市の生産要素は土地と労働である。

が、農村にはないとする。農村には２世代

土地は面積が一定である。よって、生産関が重複して存在すると仮定する。人は若年数は労働のみの関数として与えられ、1 期期と老年期の 2 期生きる。それぞれの期にの生産量はY1 = N1

農村では ua 2 の効用を得、生涯では ua の(1)効用を得る。１期において、老人を 0 世代である。ここで N1 は 1 期の若者である労人と呼ぶ。1 0 世代人が都市に移動すること働者の数である。以下、すべての変数に関して下付添え字は期を示すものとする。

によって、ua 2 以上の効用が得られるとき次に、まず、１期の労働者である１世代に移動する。よって 1 期の人口移動の均衡

人2の若者の最適化行動を分析する。彼の賃金 w1 は限界生産力説よりにおいては、老人の都市に住む効用は ua 2

w1 =となる。彼らは労働者として移動するので

12 N1はなく、地主として移動するのである。老である。その予算制約式は

人は若者に比べて多少なりとも資産を持っw1 = c11 +ている。この小さな資産を用いて政府から

c22
1 + r2(2)(3)

1 期に都市の土地を購入する。この最初のとなる。ここで c1 は若年期の消費であり、土地は極めて価格が安く、無視しうるほどであるとする。一方、農村の若者は労働者

c22 は老年期の消費である。 r2 は 2 期の利子率である。G2 を 2 期の公共財とし、１世代として移動する。彼らは農村に留まれば、人は 2 期にのみ公共財を消費すると仮定す

1る3と、彼の効用関数は,若年期と老年期合計の効用 ua を得る。よっU 1 = U ( c11 , c22 , G2 )て、都市で得られる効用がこれを超えれば=移動する。よって、均衡では都市における

1
1ln ( c11 ) + ln ( c22 ) + 2 ln (1 + G2 )22(4)で表現され、第 1 世代人は予算制約式(3)に１世代人の生涯効用は ua となる。

基づいて(4)を最大化する。よって、1 期、２期の消費 c1 , c2 は1

なお、若年期に都市に住んだ人は老年期2に農村に移住することは不可能であると仮定する。また、2 期以降に農村の老年期

1 期の期首に生まれた者を 1 世代人と呼ぶ。以下同様に、t 期首に生まれた者を t 世代人と呼ぶ。
3 公共財は若年期も老年期も消費するとしても結論は変わらない。しかし、議論を簡単化するために、老年期のみに消費するものとする。
2の人が都市の地主となることも不可能である。これは、2 期以降は都市に住民が居住し、彼らは土地を購入するために十分な
1彼らは 0 期に生まれたからである。

2

こで政府は地代にのみ課税をすると仮定す

w1 2 w1, c2 = R2 , (5)22となる。ここで R2 = 1 + r2 である。この貯
c11 =る。よって、利子ファクター R2 = 1 + r2 は
R2 =蓄は、土地を購入することによって行われ⎛ N2⎞
w2N 2 n2 + ⎜− g 2 ⎟ n2⎜⎟2⎝ 2⎠=w1
N 1 n122⎛3⎞ w1 n 2⎜ − 4 g 2 w2 ⎟ 2⎝2⎠ w 2 n1=(7)w12る。この貯蓄 s1 は

s1 = w1 − c11 =w1
2

total saving 2 + total land rent 2
total saving 1(6)である。
貯蓄に対する利子は地代とキャピタルゲインの和である。なお、この貯蓄を用いてとなる。

どの都市の土地を購入してもよいと仮定す

１世代人の最大化の結果、最大化されたる。つまり、自分の住む都市以外の都市の土地を購入してもよいとする。ここで考え効用関数は(5),(6),(7)よりる社会の都市は、すべて同質であるとする。

U1 =1 期には都市の数は１と仮定されたが、2 期=以降は新しい都市が生まれる可能性は排除

1 ⎛ w1 ⎞ 1 ⎛ w1
⎞R2 ⎟ + 2 ln (1 + G 2 )ln ⎜ ⎟ + ln ⎜2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2⎠(8)311 ⎛3⎞ln ( w1 ) − ln ( w2 ) + ln ⎜ − 4 g 2 w2 ⎟ + 2 ln (1 + G 2 )222 ⎝2⎠となる。

していないのであり、最初の都市の労働者

次に、１期の老人である 0 世代人の最適の貯蓄は新しい都市の土地の購入に向かうこともある4。

行動を分析する。彼の粗利潤は、0 世代人

よって、社会全体として均一な利子率が合計 Y1 − w1 N1 = N1 2 であり、彼の税引き後成立する。土地の購入の資金は貯蓄であるの地代所得は 1 人当たり π 0 = ( N1 2 − g1 ) N 0w
から、これは社会全体として 1 N1n1 であり、となる。彼の 1 期の消費はこの純地代所得2
次期にこの土地を売却するときの売却収入(と土地を販売した代金の合計であり、その)土地の買い手は都市の若者であり、その収w2
N 2 n2 であり、地代は N 2 2 − g 2 n22である。ここで n2 は 2 期の都市の数である。
なお、仮定より n1 = 1 であるが表示上の対称性を保つために n1 と表示する。なお、こは入は若者の貯蓄であり(6)で求めている。つまり、純地代所得に土地の売り上げ収入が彼の１期の可処分所得である。この可処分所得が 1 期の老人の消費となる。よって、
2

彼の消費 c1 は彼の可処分所得、つまり4新しい土地はもともとは政府の所有物であり、その価格は最初の都市の土地と全く同一である。というのは、ここでは同質的な都市を考えているのであるから。購入代金は政府に入る。1 期末（2 期首と同じ）にすべての土地の販売代金は一度は政府に入る。そして、その販売収入を 1 期の地主にすべて払い出すとする。

c =21N12− g 1 + s1 N 1⎛3⎞w
2= ⎜ − 4 w1 g 1 ⎟ 0 ,N0⎝2⎠ w1(9)となる。よって、1 期の老人の効用は
1U 0 = ln c12 + 2 ln (1 + G1 )23であるから、これについては節を改めて分析する。

1 ⎛31⎞
U0 = ln⎜ − 4wg
1 1 ⎟ + ln w0 − ln w1 + 2ln (1+ G1 ) (11)2 ⎝22⎠

また、(12)および (15)よりとなる。

G1 =なお、政府の予算は均衡しているので 1期の公共財 G1 は税収 g1 に等しく

G1 = g1(12)留まった時の効用である u a 2 と等しくなる。2 期の公共財の財源は同じ時期に徴収るのが人口移動の均衡条件であるから、される税であり、それは g 2 n2 である。また、

U 0 = u a 2 ,と(11),(15),(16)より1 期の公共財は半分が減価償却していると仮定するので、第 2 期の公共財の合計はG1n12(16)を得る。0 世代人は効用が農村で老年期にとなる。第２期の都市の数は n2 であるとす

G2 n2 = g 2 n2 +

14w12

⎛
1 ⎞
⎜1 +
⎟
4 w1 ⎠ua 2⎝=2 w0w1(13)となる。

(17)が成立する。つまり、0 世代人の都市の人
口 N 0 ,あるいは w0 で示されるのであるが、は第 1 世代の賃金率 w1 の関数として決まる。

3.政府の問題
政府の目的は各世代人の一人当たり効用

これが(16)である。0 世代人は、この w1 をを世代に関して合計した厚生関数を、公共完全予見して都市への移住を決定し、その財の動学経路(12),(13)を制約条件として最結果、移住する老人の数 N 0 、つまり、その大化することである。その手段は、各都市背後で w0 が決まるのである。

あたりの人口、および、公共財のための徴∂W ∂g1 = 0 より μ1 = −2 w1 ( 3 2 − 4 g1w1 )収額である。この目的関数を制約条件式のとなる。これに（15）を用いて下で最大化するためにラグランジュ関数をμ1 = −4 w1作る。(8),(11),(12),(13)より∞∞⎛nG ⎞W = ∑ U τ + μ1 ( G1 − g1 ) + ∑ μτ ⎜ ( Gτ − gτ ) τ − τ −1 ⎟2 ⎠nτ −1τ =0τ =2⎝11 ⎛3⎞= ln( w0 ) − ln ( w1 ) + ln ⎜ − 4 g1 w1 ⎟ + 2 ln (1 + G1 ) + μ1 ( G1 − g1 )22 ⎝2⎠311 ⎛3⎞+ ln ( w1 ) − ln ( w2 ) + ln ⎜ − 4 g 2 w2 ⎟ + 2 ln (1 + G2 )222 ⎝2⎠⎛n G ⎞+ μ 2 ⎜ ( G2 − g 2 ) 2 − 1 ⎟ +・・・,
n1 2 ⎠⎝(14)

μ1 +2μ− 2 =0
1 + G1 2(19)となる。これと同様に ∂W ∂g 2 = 0 より

μ2 n2= −4 w2(18’)

を得る。(18)(19)(18’)より∂W ∂w1 = 0 より最適な N1 を求める。そのw2 2w1 ( 4 w1 − 1)=x2
4 w1 + 1

結果、

14w1を得る。 ∂W ∂G1 = 0 よりn1となる。最大化の一階の条件として、

g1 =(18)(15)(20)を得る。ここで x2 = n2 n1 であり、表示上が得られる。この性質が HG 定理であり、の簡単化のためにこれを導入する。つまり、
42 期の賃金率 w2 、 x2 は１期の賃金率 w1 のは(22)と同様に関数として与えられ、定差方程式を得た。

(1 + G3 ) = u a 22

さらに 1 期と 2 期を結ぶリンクは(13), (16）

w2w3

より

(22’)

3/ 2となる。よって、2 期と 3 期をリンクする⎛
1 ⎞1⎜ G2 −⎟ x2 =4 w2 ⎠8w1⎝方程式は(21’),(20’),(22’)となる。 t ≥ 3 につ(21)

いてもこれと同様である。

を得る。これも、1 期の変数と 2 期の変数のリンクを示す。さらにまた、人口移動の5.シミュレーション

均衡条件より U1 = u a より

u a = 2 とおくと、定常状態を ( G * , w* , x* )(1 + G2 ) =2w22ua3/ 2w1= (1,1 2,1) と簡単にすることができる。コ(22)ンピュータで定常均衡に到達するまでの最となり、よって、1 期と２期の橋渡しは適経路を計算すると表１のようになる。初(20),(21),(22)の 3 式で、変数は G, w, x の 3

期値 w0 は 0.4630 でなければならないこと個である。

がわかった。

次に、2 期から 3 期へのリンクを考える。

表１最適経路(小数点以下３桁以下切捨)∂W ∂w3 = 0 より(15)と同様に

Gw

0－0.463－

10.3500.713－となる。 ∂W ∂μ3 = 0 と、(15’）より(21)同

20.608

0.607

0.886

様に

3

0.774

0.556

0.936

4

0.872

0.53

0.964

5

0.929

0.516

0.980

6

0.960

0.508

0.989

7

0.978

0.504

0.994

8

0.988

0.502

0.996

90.993

0.501

0.998

10

0.996

0.500

0.999

11

0.998

0.500

0.999

12

0.998

0.500

0.999

g3 =

14w3

⎛
1 ⎞G2
⎜ G3 −⎟ x3 =
4w3 ⎠2⎝期(15’)(21’)となる。 ∂W ∂G2 = 0 より(19)と同様に

2μμ2 x2 +− 3 =01 + G2 2(19’)となり、(18’)より μ 2 x2 = −4 w2 をすでに得ている。これと同様に、 ∂W ∂g3 = 0 より、

μ3 x3 = −4w3 を得る。よって、これらを(19’)に代入して(20)と同様に

w31= 2w2 −1 + G2x3x

この表よりわかることは、①賃金率は5単調(20’)
0 期の賃金率は真実の賃金率ではない。1期以降の賃金率は定常均衡に到達するまで単調に増加している。

5を得る。また、2 期の人口移動の均衡条件
5に増加している。つまり、一つの都市の人が成立し、これは、定常状態の効用口は単調に増加している。また、② x は 1以下であるから、都市の数は常に減少して

311 ⎛3⎞
Vt = ln ( wt ) − ln ( wt ) + ln ⎜ − 4gt wt ⎟ + 2ln (1+ Gt )222 ⎝2⎠いる。③公共財は単調に増加している。まを最大化するのと同じことになる。よって、

た、④税収は賃金率と逆比例の関係がある

静学の最大化問題と同じことになり、したので、単調に増加している。これは、農村がって、各期毎に HG 定理が成立するのでから都市への人口移動を考えなかったある。

Kawano[10]と同じ結果である。
参考文献
6.

[1] Fu, S., Essays on Urban

Henry George 定理の検討(15)で示されたように g1 = 1 4 w1 となる。

Agglomeration Economies, Ph.D

ここで一つの都市の地代総額は生産関数がdissertation, Boston College, 2005,(1)で示されているので3181594.

N
1==g(25)24wである。つまり、税収 g1 がこの地代総額に[2] Kawano,M., “Optimal Process of等しいことを示している。これが HG 定理

Letters in Spatial and Resource Sciencesであり、HG 定理は、各期毎に成立するこ

DOI 10.1007/s12076-013-0111-xとが分かる。どのような条件の下で各期ごPublished online 2013.

Urbanization in a Developing CountryDynamic Henry George Theorem,”との HG 定理が成立するのかを検討してみよう。
このモデルの効用関数は Log-Linear となる。加法分離型なのである。よって、∞∞⎛nG ⎞W = ∑ U τ + μ 1 ( G 1 − g 1 ) + ∑ μ τ ⎜ ( Gτ − g τ ) τ − τ − 1 ⎟2 ⎠nτ =0τ =2τ −1
⎝
11 ⎛3
⎞
= ln( w 0 ) − ln ( w1 ) + ln ⎜ − 4 g 1 w1 ⎟ + 2 ln (1 + G1 )22 ⎝2⎠

+ μ 1 ( G1 − g 1 )
+3
11 ⎛3
⎞
ln ( w1 ) − ln ( w 2 ) + ln ⎜ − 4 g 2 w 2 ⎟ + 2 ln (1 + G 2 )222 ⎝2⎠⎛nG ⎞+ μ 2 ⎜ (G 2 − g 2 ) 2 − 1 ⎟2 ⎠n1
⎝
3
11 ⎛3
⎞
+ ln ( w 2 ) − ln ( w 3 ) + ln ⎜ − 4 g 3 w 3 ⎟ + 2 ln (1 + G 3 )2
22 ⎝2⎠⎛nG ⎞+ μ 3 ⎜ (G3 − g 3 ) 3 − 2 ⎟n22 ⎠⎝+・ ・ ・,となり、 wt で最適化すると、
∂W
∂ ⎛3
11 ⎛3
⎞⎞
=ln ( wt ) − ln ( wt ) + ln ⎜ − 4gt wt ⎟ ⎟ = 0∂wt ∂wt ⎜⎝ 2
22 ⎝2⎠⎠6