J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.6 (2023) 286-290

講座 今更聞けない !? 磁場閉じ込めプラズマの微視的不安定性

2 ．微視的不安定性を記述する基礎方程式
2. Basic Equations for Micro-Instabilities
渡 邉 智 彦，前 山 伸 也

WATANABE Tomo-Hiko and MAEYAMA Shinya
名古屋大学大学院理学研究科（原稿受付：2023年 5 月 1 日）

磁場閉じ込め核融合プラズマに発生する微視的不安定性を記述するための基本方程式であるジャイロ運動論的方程式とともに，その理解に必要となる基礎的事項をまとめ，次章以降の具体的な問題への導入準備とする．
Keywords:
gyrokinetics, micro instability, drift wave, shear Alfvén wave

2．1

はじめに

磁化プラズマ中の揺らぎ

ジャイロ運動論的方程式の導出には，上記のフルート近似に加え，時間及び空間スケールを特徴づける以下の磁化プラズマにおける微視的オーダーリングが用いられる．

不安定性には様々な種類がある．本講座では，イオンのサイクロトロン周波数よりも十分低い周波数をもつ揺動が

δ～関わる不安定性を扱う．これらはドリフト波に代表されるように，プラズマ中の密度や温度の不均一性を駆動源

L⊥eδϕvgωδBδF～～    ～～～．
BFL‖
vtT
Ω

（1）として発達する．周波数が十分低いため，揺らぎは磁場

ここで，揺らぎの角振動数 ω，サイクロトロン角周波数に沿った方向に長い波長 L‖（トーラス形状の場合は，大Ω，素電荷 e，静電ポテンシャル揺動 δϕ，温度 T，磁場揺半径程度）をもつが，磁場を横切る方向にはサイクロト動 δB，背景磁場強度 B，分布関数揺動 δF，全分布関数 F，ロン半径（ジャイロ半径）で特徴づけられる短波長 L⊥ とジャイロ中心のドリフト速度 vg，熱速度 vt を表す．

なる．このように磁場方向に長く伸びた非等方性の強い

局所近似

揺らぎはフルート型と呼ばれ，微小パラメータ δ ～ L⊥ / L‖

して磁場垂直方向にジャイロ半径スケールの波長の揺らを用いて支配方程式を簡約化することができる．磁気流ぎを考える．これは密度や温度勾配，またはトーラス小体（MHD）方程式から簡約化 MHD 方程式を導出する際半径に比べ十分小さいため，背景分布やその勾配を一定も，フルート近似が用いられる［1］．ただし，ドリフト波とした局所近似がしばしば用いられる．局所近似を用いなどの記述においては，一流体近似を用いる MHD 方程式

ると，背景分布のスケールと揺らぎのスケールを分離すでは不十分であり，磁場に沿った電場揺動や荷電粒子のることができ，揺動成分については磁場を横切る方向にジャイロ運動論のもとでは，L⊥～ρt＝vt / Ω と磁場ドリフトなどの効果を取り入れる必要がある．また，周期境界条件を適用することで Fourier 変換を用いること核融合プラズマのように高温で希薄なプラズマでは，粒ができるという利点がある．その一方で，背景プラズマ子の磁場方向への平均自由行程が系の大きさをはるかにの密度・温度勾配や磁気シアは一定として取り扱うこと越えるため，流体近似が成立せず，分布関数を扱う運動ができ，線形理論の見通しが非常に良くなるため，本講論が必要となる．

座でも局所近似のもとで議論を行う．

ジャイロ運動論的オーダーリング

プラズマの運動論を扱う基礎方程式は Vlasov 方程式であるが，そこにはジャ2．2イロ運動をはじめとした時間スケールの短い現象が含ま単位系準備れる．これを平均化して短時間スケールの現象を落とし，ば Gauss 単位系に遭遇するだろう . 最近は，大学での電磁ドリフト波などの記述に適した方程式としてジャイロ運気学の講義も SI 単位系で行われることが多いため，これ動論［2，3］が考案され，現在では乱流輸送の理論及びシに戸惑う場合が見受けられる．ここでは，その一助となミュレーション解析に幅広く用いられている．本講座でるように Gauss 単位系について簡単に触れておく．相対は，ジャイロ運動論を用いて，様々な微視的不安定性に論を用いる場合には Gauss 単位系の見通しの良さがはっついて解説する．

きりしているが，非相対論的な場合でも，μ0 や ϵ0 などのプラズマ理論の文献を読む際には , 読者はしばしDepartment of Physics, Nagoya University, Nagoya, AICHI 464-8602, Japancorresponding author's e-mail: watanabe.tomohiko@nagoya-u.jp

286Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

2. Basic Equations for Micro-Instabilities	

記号が現れない，磁場 B と電場 E，静電ポテンシャル ϕ とベクトルポテンシャル A の次元が同じ，などの利点があ〈A〉＝る．SI 単位系と Gauss 単位系の間で式変形を行うには，以下の変数変換を行うと良い .
1E＝   E′，4πϵ01A dξ．2π（3）

したがって，ジャイロ平均された物理量は， 5 次元のジャB＝

イロ中心座標と時間（X, ε, μ, t）に依存する量となる．ジャ

μ0B′，4πイロ運動論では，速度分布関数の非断熱応答部分 hs がしばしば用いられる．fs に対する hs は，

e＝ 4πϵ0 e′，1ϕ =    ϕ′，4πϵ0T.-H. Watanabe and S. Maeyama

A＝e〈ψ〉ssh（X,ε, μ, t）＝f（X,ε, μ, t）＋   FMsss
Tsμ0A′．
4π（4）と表される．ここで，一般化ポテンシャル ψ は

ここで ′ のついた量は Gauss 単位系で表した量である．記v
ψ（X, ε, μ, ξ, t）＝ϕ（X＋ρs, t）－ ・A（X＋ρs, t） （ 5 ）c

号 の 詳 細 な 説 明 は 不 要 で あ ろ う． た だ し，ϵ0 μ0＝1 / c2，c は光速度，e は電荷である．また，電流密度や電荷密度についても電荷 e と同様に変換される．以下では ′ を外しであり，静電ポテンシャルとベクトルポテンシャルの揺て，Gauss 単位系での表記を用いることにしよう．

動成分を，それぞれ，ϕ（x, t），A（x, t）とした．一方，粒背景分布関数と摂動分布関数とする
子位置座標（x, v）での摂動分布関数を f（p）
s （x, v, t）

3 次元空間での粒子速度をv，その大きさを v＝|v| としよう．以下では，荷電粒子のと，平均密度 ns，電荷 es，質量 ms，温度 Ts，運動エネルギーes ϕ（x, t）
f（p）
ε, μ, t）＝－     FMs＋h（X,s （x, v, t）
sTs

ε＝msv2 / 2 を用いる．平衡分布関数 F0s として，等方的なMaxwell 分布，（msFMs＝ns   2πTs32） （exp －）εTs（6）と表される .
磁気面平均（2）

この節の最後に，磁気面平均の定義を与えておこう．トーラスの閉じ込め磁場に対する磁気座標とを考える．ただし，密度や温度は磁場垂直方向に空間的非して，小半径とポロイダルおよびトロイダル角が（r, θ, ζ）一様性を持ちうるが，局所近似のもとではその変化率は一で表されている時，物理量 A（x）の磁気面平均〈A〉は，定と仮定する．また，閉じ込め磁場 B に対する平行およ〈A〉＝

び垂直方向の速度成分をそれぞれ v‖，v⊥ とおく．磁気モー2/ 2B となる．これを用いると運動エネル
メント μ＝msv⊥

ギ ー は，ε＝msv‖2 / 2＋μB と 書 け る． こ こ で，B＝|B| はV′＝

空間座標，特に局所解析では磁力線に沿った座標（例えば，

1V′ g dθ dζ A（x），

dV＝dr（7） g dθ dζ（8）ポロイダル角 θ）への依存性を持つ点に注意しよう．多くで 与 え ら れ る． こ こ で， g は， 磁 気 座 標（r, θ, ζ）ののトカマク装置では，プラズマはトロイダル方向に回転Jacobian である．

し，それに対応した平衡スケールの静電ポテンシャルが2．3存在する．ただし，最低次では，その効果は実周波数のDoppler シフトをもたらすが安定性には直接影響しないた

支配方程式

局所ジャイロ運動論的方程式

磁場閉じ込めプラズマのめ，ここでは無視できるとする． ここで，粒子位置座標微視的な局所乱流輸送を解析する非線形ジャイロ運動論（x, v）とジャイロ中心座標（X, ε, μ, ξ）は，x＝X＋ρs の関ˆ/ Ωs は，粒子のジャイロ半径ベクトル係にあり，ρs＝b×v的方程式は，Frieman と Chen によってまとめられた［4］．

＊1

ここではその表式に基づきつつ，基本方程式系を整理すˆ と Ωs＝esB / msc は，閉じ込め磁場方向の単を意味する．bる．ただし，プラズマの圧力は磁気圧に比べて小さく（低位ベクトルと粒子の（電荷の符号を含む）サイクロトロβ），閉じ込め磁場 B に平行方向の磁場変動成分は無視でン角周波数である．以下では，粒子種 s のジャイロ中心にきるとする．摂動論的な方法を用いたジャイロ運動論的対する全分布関数を Fs，その平衡（背景）成分を F0s，さ方程式の導出については，文献［4］とともに，Rutherford

らにそこからの摂動成分を fs＝f（X,ε, μ, t）として表す．
sand Frieman［5］や Antonsen and Lane［6］の論文を参照

すなわち，Fs＝F0s＋fs とおく．

してほしい．手近な日本語の文献としては，文献［2，3］がジャイロ平均と非断熱応答ある．

次に，ジャイロ平均を導入

独立変数を（X, ε, μ, t）とした場合，ジャイロ中心に対すしておこう．ジャイロ半径スケールでの空間依存性をもつ物理量 A について，粒子のジャイロ位相 ξ に対する平均る摂動分布関数の非断熱部分 h（X,ε, μ, t）に関するジャイs

操作は次式で与えられ，ジャイロ中心が実効的に感じる

ロ運動論的方程式は以下のようになる．

ポテンシャルの表現や，ジャイロ中心分布関数と粒子位置の分布関数との変換に用いられる．
＊1

ただし，この E × B 流のシアが安定性に重要と考えてその寄与を残す場合も多い．

287

Journal of Plasma and Fusion Researchc ˆ∂hsˆ
b × ∇〈ψ〉  ＋ v‖ b＋v
Ds＋s ・∇hs
B∂ts MssT＊sssss

摂動分布関数が得られれば，そこから準中性条件と Ampère 則から，電磁場揺動を求めることができる．準中性条件は，波数空間 k⊥では，（9）es2ns

ϕk ＝ ∑ es d3v〈hsk 〉s∑   Ts以下では，背景磁場に平行方向の磁場揺動 B‖ 成分は無視ˆ とする．磁場ドリフト vDs は，できるとして，A＝A‖ bˆcbˆ・∇b）
ˆ ，
vDs＝  ×μ∇B＋msv2‖ besB

June 2023

電磁場揺動を与える方程式（）eF∂〈ψ〉＝   （   ＋v ・∇〈ψ〉）＋C（h ）．
T∂t

Vol.99, No.6s⊥s（15）⊥として表される．文献によっては，左辺に背景 Maxwell分布が与える分極効果を表す係数（1－Γ0s）が現れるものもあるので注意したい．その場合，右辺の被積分関数に（10）は，hsk⊥ でなく，ジャイロ中心分布関数の揺動成分 fsk⊥が用いられる．この時，Γ0s は J02 FMs の速度空間積分か反磁性ドリフト vT＊s は，（）

ˆ3cbTv＊s＝  × Ts∇ ln ns＋ ε － Ts ∇ln Ts esB
22 2k⊥ ρtse－   ら得られ，Γ0s＝I（kとして定義される［第 ５0⊥ ρts）
22

節の式（27）参照］．ここで，I0 は 0 次の変形 Bessel 関数，（11）ρts＝vts / |Ωs| であり，vts は熱速度 vts＝ Ts / ms を表す．一方，ベクトルポテンシャルは，Ampère 則から，と表される．また，式（ 9 ）の右辺にある Cs は衝突項を表す．式（ 9 ）の非線形項は左辺の括弧内第 3 項にまとめられており，静電ポテンシャルが与える E × B ドリフトと摂2k⊥A‖k⊥＝

動磁場に沿った運動による移流項からなる．線形解析に

4πes d3vv〈hsk⊥〉s‖c ∑s（16）おいてはこの項を無視することになる．上記の方程式は，となる．以上で閉じた方程式系となる . ちなみに , 粒子

一般的な磁場配位に対して適用可能である．

が感じる平均的な電磁場揺動は , 揺動ポテンシャルを用ˆ・∇〈ϕ k⊥〉s ＋∂〈Aˆb，いて，δE k⊥＝－ik⊥〈ϕ k⊥〉s －（bk⊥ 〉ts）

上記では，ε と μ を独立変数に選んでいるため，磁場平‖ˆ〈A k⊥〉s となる．上記の速度空間積分を行う際
δB＝ik⊥× b‖

行方向の速度成分 v‖＝± 2（ε－μB）/ ms には，B を通じて磁場平行方向の空間依存性が現れる．一方，ジャイロ運は，用いている速度空間座標によって Jacobian が変わる

動論的シミュレーションでは，（v‖, μ）を独立変数に用いことになる．具体的には，る場合も多いが，その時は座標変換に伴って
ˆ・∇hs→v bˆ
v‖ b‖ ・∇hs－μ ˆ∂hsb・∇Bms∂v‖

d3v＝v⊥dv‖dv⊥dξ＝（12）Bdεdμdξ＝   ms2|v‖|と変換され , いわゆるミラー力の項が現れる .
Fourier 変換

Bdv‖dμdξ
ms（17）

εBdεdλdξ．
＝   ms2|v‖|

局所ジャイロ運動論的解析では，磁場を横切る座標方向に Fourier 変換を行うことで，より簡便な表式を得ることができる．ただし，閉じ込め磁場強度 B がここで，ピッチ角変数 λ＝μ / ε は，粒子軌道の磁場に対す変化するため，磁場平行方向の座標については Fourier 変るピッチ角 Θ と λB＝sin2 Θ で関係づけられる．また，v‖

換せずにおく．トロイダル系でのより正確な取り扱いは，に変えて ε を速度空間座標に使う場合は，v‖ の符号についアイコナールを用いたバルーニング表示を使ってなされても和をとる必要がある．

る．詳しくは本講座の第 4 章を参照して欲しい．線形化

2．4

されたジャイロ運動論的方程式を Fourier 変換すると，∂hsk⊥
ˆ・∇hsk⊥＋iωDs hsk⊥   ＋v‖ b∂t（

具体的な計算を進めるためには磁場配位に対応した座標）

esFMs ∂〈ψk⊥〉s＝       ＋iωT＊s〈ψk⊥〉s ＋C（hssk⊥）Ts∂t系を導入する必要がある．ここでは，簡単な二つの場合について見ていこう．

（13）

大アスペクト比トーラスプラズマの場合 軸対称 ∂ζ＝0 かつTである．また，となる．ここで ωDs＝k⊥・vDs，ωT＊s＝k⊥・v＊s

同心円の円形磁気面を持つ大アスペクト比トーラスを考える．つまり，小半径 r＝const. および大半径 R＝R0＋r cos θ

Cs として線形衝突演算子を仮定した．Fourier 変換を適用に対して，逆アスペクト比 r / R0≪1 とする．閉じ込め磁場ˆ （r/qR 0）θˆ］，は 安 全 係 数 q（r）を 用 い て B＝（B0R0/R）［ζ＋すると，ジャイロ平均は 0 次 Bessel 関数を用いて表すことができる（座標系の導入

上記の方程式は，任意の磁場形状について成り立つが，）

k⊥v⊥〈Ak⊥〉s＝J0    Ak⊥．|Ωs|

B＝B［（r / R 0）cos θ）］＋（ϵ 2）である．ある磁気面 r＝r00（1－（14）近傍の座標系として，ここで，用いる座標系に応じて k⊥ の具体的表式を与える

x＝r － r0，y＝必要がある．また，時間 t についても Fourier 変換を行う
場合は，∂ / ∂t→－iω とすれば良い．

r0［q（r）θ － ζ］，z＝θq0（18）を 用 い る こ と に す る と，r / R0≪1 の 最 低 次 近 似 と し て288

Lecture Note

2. Basic Equations for Micro-Instabilities	

B＝B0∇x×∇y と表わされ，x をトーラス小半径方向座標，とし，プラズマ分散関数

y を磁力線ラベル，z を沿磁力線方向座標とみなすことが

1 ＋∞ e－νZ（α）＝     dν，
π －∞ ν－αを ∇ln ns＝－∇x / Lns，∇ln Ts＝－∇x / LTs とすると，（26）

および 0 次 Bessel 関数に対する積分公式（19）

 xJ （px）e dx＝ 2a I（ 2a ）e ∞c μB＋msv‖ ）（ωDs＝－esB0R02020－ax2

10p2－p22a（27）

を用いた．

z＋sz
ˆ sin z）］，
×［kx sin z＋k（cosy（2できる［7］．さらに，局所近似された平衡密度・温度勾配

1 ∂ˆ・∇＝  b，qR0 ∂zT.-H. Watanabe and S. Maeyama

電子とイオンの二種類の粒子（ne＝ni，－ee＝ei＝e）か（20）ら成るプラズマにおいて，垂直方向波長が熱速度に対す）

cky Ts31＋ ε － Ts，
ωT＊s＝－  2LTsesB0 Lns（21）－1るイオンジャイロ半径程度，すなわち k⊥<ρ－1ti ≪ρte ，の22k⊥＝（kx＋szk
ˆ y）＋ky2．

（22）

2 2
Γ0i＝1－k⊥ρti, と 近 似 さ れ る． こ こ で 分 散 関 係 式（24）を

波 を 考 え る と， 電 子 に つ い て Γ0e＝1， イ オ ン に つ い て近似してみよう．簡単のため，電子とイオンの温度とˆ （r / q）dq / dr は磁気シアを表し，低ベータ極
ここで，s＝
ˆ・∇bˆ ＝∇ln B を用いた．また，
限での MHD 平衡として bω＊i＝－ω＊e（温度勾配はゼロとしている）．すると，式（24）

磁場強度についてはミラー力を考慮するために O（ϵ）の z

左辺の係数は密度勾配はぞれぞれ等しいとする．すなわち，Te＝Ti，依存性を残しているが，その他のメトリックについては（一様磁場の場合一様な直線磁場 B＝Bzˆ の場合，磁場の勾配および曲率による磁場ドリフト周波数 ωDs＝0 となり，）（28）と変形できる．ここで，vA は Alfvén 速度 vA＝B0 / 4 πmin0

ミラー力も生じない．反磁性ドリフト周波数 ωT＊s は式（21）2ˆ・∇＝∂z，k⊥と変わらず，b＝kx2＋ky2 となる．

2．5） （ω21－Gs
ω2
ω＊i
ω＊i  1－   ＝αi2βi 1 －  2 2 ∑    2 2 ＝   c k‖ s k⊥λDsk‖2 vA2ωω

最低次のみを残す近似をしている．＊ 22であり，ρti2 / λDi＝c2 / vA2 および ωps＝vts / λDs という関係を/ B2 / 8π）は，イオン圧力で定義し用いた．また，βi＝niTi（基本となる波動

た β 値を表す．さらに，電子について断熱応答を仮定し（1＋αeZ（αe）→1），イオンの平行方向の運動を無視すれば

本節では，一様磁場中で，一定密度勾配長を持つ無＊3衝突プラズマを考える．
ただし，簡単のため一様温度（1＋αiZ（αi）→0），式（24）は以下のようになる

T（L－1Ts ＝0）を仮定する．この場合の ω＊s を ω＊s で表す．局（＝k ρ（1－  ）．
） （1－  ω ）ωω2
ω＊i1－   －1   k‖2 vA2ω

所ジャイロ運動論的方程式で扱える基本的な波動について確認しよう．線形化ジャイロ運動論的方程式（13）に対し，Fourier 変換を磁場平行方向の座標（∂z→ik‖）にも施

2 2
⊥ i

ω＊i（29）すことで，以下の摂動ジャイロ中心分布関数の線形応答

ω＊eここで，密度一様な場合（ω＊s＝0）を考えると，運動論

22 2的 Alfvén 波の分散関係式 ω2＝k‖2 v（が導かれる．
A 1＋k⊥ρi ）を得る．
esFMs ω － ω＊shsk⊥＝       〈ψk⊥〉s ．
Ts ω － k‖v‖

一方，低 β 極限（αi2βi＝0）では，静電的な波動となり，2 2その長波長極限（k⊥ρi →0）においては，単純なドリフ（23）ト波の分散関係式 ω＝ω＊e に帰着することがわかる．

こ こ か ら 密 度・ 電 流 揺 動 を 求 め， 準 中 性 条 件（15），

2．6

Ampère 則（16）に代入して以下の分散関係式を得る．

（（1＋α Z（α ）））∑    k λ

ω21－Gs     2 2 －1c2k‖2 ∑k⊥
λDss

1－Gs＝ ∑    
2 2 ．
k⊥λDsss

Gs
2 2⊥ Dss

温度勾配モード，捕捉電子モードなどのドリフト波や運s

動論的バルーニングモード，微視的テアリングモードなど様々な例に応用される．ただし，ジャイロ運動論的方（24）

程式の導出過程では，速い磁気音波は取り除かれている．
またここでは，背景磁場に平行な変動磁場成分も無視した

ここで，

（）

ω＊s
Gs＝Γ0s 1 －   ，ω

ため，遅い磁気音波も含まれない．一方，シア Alfvén 波
は，電子慣性や有限圧力効果を含めて分散性 Alfvén 波と（25）して扱うことができる．また，ジャイロ運動論的方程式の極限を取ることで，簡約化 MHD 方程式や Hasegawa-αs＝ω / 2 k‖vts および s 粒子の Debye 長 λDs＝ Ts / 4πn0ses2＊2＊3

まとめ

ここでまとめた方程式系は，次章以降でイオン及び電子 れは，局所ジャイロ運動論的シミュレーションにおいて s-α モデル配位と呼ばれることもあるが，その定義は微妙な違いがあり注こ意が必要［8］．
これは MHD 平衡条件を満たさないが，プラズマ β が十分低い場合の近似として考える．

289

Journal of Plasma and Fusion Research

Mima 方程式を導出することができる．（この辺りの解説
れらの流体モデルを包含した理論体系となっている（ただし，MHD で扱う熱速度を超えた速い流れは取り扱えない）．また，本講座では取り扱わないが，高エネルギー粒子を含めることで，Alfvén 固有モード励起への適用なども行われている．

参考文献［ 1 ］R.D. Hazeltine and J.D. Meiss, Plasma Confinement(Redwood City: Addison-Wesley) Chap. 7 (1992).
［ 2 ］洲鎌英雄：プラズマ・核融合学会誌 79, 107 (2003).

なべ ともJune 2023

［ 3 ］洲鎌英雄：プラズマシミュレーション（プラズマ・核融合学会編，京都大学出版会，2018）第 2 章2．2節．
［ 4 ］E.A. Frieman and L. Chen, Phys. Fluids 25, 502(1982).
［ 5 ］P.H. Rutherford and E.A. Frieman, Phys. Fluids 11,569 (1968).
［ 6 ］T.M. Antonsen and B. Lane, Phys. Fluids 23, 1205
(1980).
［ 7 ］M. Beer et al., Phys. Plasmas 2, 2687 (1995).
［ 8 ］X. Lapillonne et al., Phys. Plasmas 16, 032308(2009).
［ 9 ］ 石澤明宏：プラズマ・核融合学会誌 90, 213 (2014).

は，文献［9］に詳しい．）すなわち，ジャイロ運動論はこわた

Vol.99, No.6

ひこまえ渡 邉 智 彦

やましんや

前 山 伸 也名古屋大学大学院理学研究科 教授．磁気核融合プラズマはもとより，宇宙・天体プラズマやプラズマの基礎理論も含めて広く研究していきたいと思っています．最近はなかなか時間がとれないのが悩みですが，いろんな景色を楽しめるよう，体力づくりに励んでいます．

名古屋大学大学院理学研究科 講師．プラ
ズマ乱流の研究に関して，シミュレーション開発から物理解析，データ分析・モデリング手法に興味を持っています．論文にすべき結果が数件溜まっているけれど，研究計画上進めるべき仕事に取り掛かりつつ，アイディアは面白そうな未着手のネタもごろごろ…．自分の手が届く範囲は限られているなと痛感しています．子どもたちに元気をもらって今日も地道に取り組みます．

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