縦磁界効果を用いた高温超伝導直流電力ケーブルの有限要素法を用いた電磁界解析

小田部研究室小松 伸二郎

平成 26 年 2 月 4 日
情報システム専攻

目次
第1章

1

序章

1.1

はじめに ................................................................................................................. 11.2

銅酸化物超伝導体 ................................................................................................... 2

1.3

有限要素法(FEM) ...................................................................................................... 3
1.3.1 FEM ................................................................................................................ 3
1.3.2 超伝導体内の電磁現象の数値解析の方法 ......................................................... 4
1.3.3 PHOTO-Series ................................................................................................ 6

1.4 縦磁界効果 ............................................................................................................. 61.5超伝導電力ケーブル ............................................................................................... 8

1.5.1 交流・直流超伝導電力ケーブル ....................................................................... 8
1.5.2 縦磁界効果を用いた超伝導線材の直流電力ケーブル........................................ 9
1.6
第2章

本研究の目的 ........................................................................................................ 13
14

数値計算

2.1 希土類系高温超伝導コート線材を使用するにあたって ........................................ 14
2.1.1 現状の希土類系高温超伝導コート線材の使用するにあたっての問題点 ......... 14
2.1.2 直流四端子法 ................................................................................................. 15
2.2

繰り返し近似計算による臨界電流 𝐼c の導出 ......................................................... 16

2.2.1 超伝導コート線材の臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性 ........................................ 16
2.2.2 臨界電流 𝐼c の導出 .......................................................................................... 18
2.3

FEM による数値計算 ........................................................................................... 22

2.3.1 計算式の確認 ................................................................................................. 22
2.3.2 臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮しない場合 ............................................ 23
2.3.3 臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合 ............................................... 23
2.3.4 内側導体 3 層・外側導体 3 層のモデルにおいて臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合 ........................................................................... 24
第3章

26

計算結果及び考察

3.1 計算式の正確性 .................................................................................................... 263.2臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮しない場合のそれぞれ縦磁界と横磁界の比較 ........................................................................... 28i

3.3

臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合のそれぞれ各層の磁界の比較 ........ 30

3.4

内側導体 3 層・外側導体 3 層のモデルにおいて臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合 .................................................................................. 33

第4章

38

まとめ

40

参考文献

ii

表目次
2.1 試料諸元 .................................................................................................................. 15
2.2 フィッティングパラメータ 𝐾m𝑗 、𝐾M𝑗 ..................................................................... 17

iii

図目次
1.1

(a)Bi-2223 超伝導体(b)YBCO 超伝導体の結晶構造 ................................................... 3

1.2

YBCO、Bi-2223、Nb3Sn の様々な温度での臨界電流密度 𝐽c の比較 ......................... 3

1.3

有限要素法の概念 ...................................................................................................... 4

1.4 𝑛 値モデル.................................................................................................................. 41.5

高温超伝導体におけ 𝑉 - 𝐼 特性と数値解析コードでの低電流領域の近似特性 ............. 6

1.6

超伝導体に対し磁界と電流を平行に印加した状態 ..................................................... 7

1.7 Ti-Nb 円柱超伝導合金の臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性 .............................................. 8
1.8 Nb3Sn テープ状薄膜試料に中性子を照射したときの臨界電流 𝐼c 特性 ....................... 81.9

円柱状の自己磁界 ...................................................................................................... 8

1.10 テープ状の自己磁界 ................................................................................................. 8
1.11 縦磁界効果を用いた超伝導直流電力ケーブルの構造 ................................................ 9
1.12 FEM のモデルによる各層に流れる電流の様子 ...................................................... 10
1.13 ケーブル内の縦磁界、横磁界の大きさの分布 ........................................................ 10
1.14 超伝導層の厚さとコート線材の厚さ ...................................................................... 11
1.15 縦磁界効果を用いた高温超伝導直流電力ケーブルと従来型ケーブルのケーブル効率 ............................................................................. 12
1.16 𝐼t の角度依存性....................................................................................................... 13
2.1 市販コート線材の縦磁界下(longitudinal field)および横磁界下( 𝑎𝑏-plane)の臨界電流密度 ........................................................................................................... 142.2

直流四端子法の回路図 ............................................................................................. 152.3電流と磁界を印加した様子 ...................................................................................... 16

2.4

市販コート線材の磁界の角度依存性 ........................................................................ 172.5

角度 𝜃𝑖 の関係 .......................................................................................................... 182.6

角度 𝜃 がついたときの巻きつける線材の本数 .......................................................... 20

2.7

FEM による解析のモデルの全体図.......................................................................... 22

2.8 電流を流したときの磁束密度の様子 ........................................................................ 232.9

角度変化に対する電流値 .......................................................................................... 24

2.10 内側導体・外側導体に流す電流の方向 ................................................................... 25
2.11 内側導体 3 層・外側導体 3 層のモデルにおいて角度変化に対する電流値.............. 25

iv

3.1

A)中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する電流 1000 Aの条件において角度に対する(a)縦磁界、(b)横磁界の大きさ ............................................................ 26

3.2 B)中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する電流 2000 A (電流を 2 倍)の条件において角度に対する(a)縦磁界、(b)横磁界の大きさ ....................................... 27
3.3C)中心部からの距離 𝑅 = 20 mm 、印加する電流 1000 A (半径を 2 倍)の条件において角度に対する(a)縦磁界、(b)横磁界の大きさ ...................................... 283.4

角度 𝜃max に対する(a)縦磁界、(b)横磁界の大きさ ................................................... 293.5

角度 𝜃max に対する第 1 層に加えられる磁界の大きさ .............................................. 30

3.6𝐽c の磁界依存性を考慮する場合の 𝜃max = 80° のときの FEM による(a)縦磁界 𝐵∥ と(b)横磁界 𝐵⊥ の様子 .......................................................................... 31

3.7

角度 𝜃max に対する第 2 層に加えられる(a)磁界の大きさと(b)電流と磁界との角度 ............................................................................................ 32

3.8 角度 𝜃max に対する第 3 層に加えられる磁界の大きさ .............................................. 33
3.9 角度 𝜃max に対する第 1 層に加えられる磁界の大きさ .............................................. 34
3.10 角度 𝜃max に対する第 2 層に加えられる(a)磁界の大きさと(b)電流と磁界との角度 .......................................................................................... 35
3.11 角度 𝜃max に対する第 3 層に加えられる(a)磁界の大きさと(b)電流と磁界との角度 .......................................................................................... 36

v

第１章

序章
1.1 はじめに1908 年に Leiden 大学の Heike Kamerlingh Onnes が世界で初めてへリウムの液化に成功し、1911 年には極低温における水銀の電気抵抗を調べる過程で、4.2 K 以下における水銀の電気抵抗が測定不能な程に小さくなることを発見した。この現象を超伝導現象といい、ある温度以下で超伝導現象を示す物質を超伝導体と呼ぶ。その後、次々と超伝導体が発見される中、超伝導現象発現のメカニズムに関する研究も進められてきたが、長い間その発現機構は不透明なままであった。1957 年に Bardeen, Cooper, Schrieffer の BCS 理論により超伝導発現機構が説明されたが、この理論では超伝導体が超伝導状態から通常の電気抵抗を持つ状態である常伝導状態へと遷移する温度、すなわち臨界温度 𝑇c が 30 K を
超えないと予想されていた。しかしながら、Johannes Georg Bednorz と Karl Alexander
Müller により、銅酸化物系物質で 𝑇c が 30 K を超える超伝導体(LaBaCuO) が発見され[1]、
そ の 後 液 体 窒 素 の 沸 点 で あ る 77 K を 大 き く 超 え た 𝑇c を 持 つ YBa2Cu3Ox [2] やBi2Sr2CaCu2O8 [3]などの酸化物超伝導体も発見された。これらは銅酸化物超伝導体または
高温超伝導体と呼ばれ、その 𝑇c の高さから応用が期待されている。
超伝導体は磁気的な振る舞いの違いから第一種超伝導体と第二種超伝導体に分類される。
第一種超伝導体では臨界温度 𝑇c 以下の温度で超伝導状態となり完全反磁性（Meissner 効果）を示すが、外部から磁界を加えていくと、ある磁界を超えた所で Meissner 効果および超伝導状態は消失する。この境となる磁界を臨界磁界 𝐵c という。一方で、第二種超伝導体では 𝑇c 以下の温度で、下部臨界磁界 𝐵c1 と呼ばれる磁界までは Meissner 効果を示し、その磁界を超えても、第一種超伝導体とは異なり超伝導体内に一定の磁束の侵入を許すことで超伝導状態を維持する。そしてさらに磁界が増加すると上部臨界磁界 𝐵c2 と呼ばれる磁界で超伝導状態が消滅する。
第一種超伝導体の𝐵c に比べて第二種超伝導体の𝐵c2 は非常に高いので、工学的利用には通常第二種超伝導体が用いられる。第二種超伝導体の𝐵c1 から𝐵c2 までの磁界領域では、超伝導体は内部に磁束が侵入した混合状態と呼ばれる状態となるが、混合状態では磁束が侵入しているため、内部へ流す電流により磁束線が Lorentz 力 𝑭L を受ける。この 𝑭L は超伝導
1

体内部を流れる電流密度 𝐽 と侵入した磁束線の磁束密度 𝐵 を用いて、𝑭L = 𝑱 × 𝑩 と表せる。
また、𝑭L の力を受けた磁束線が速度 𝒗 で動くとき、電磁誘導により 𝑬 = 𝑩 × 𝒗 の電界が発生することになり、これは超伝導状態を消失させる原因となる。しかしながら、現実には 𝑭Lを打ち消し、磁束線の運動を止める力が働くことで電界の発生を抑制し超伝導状態が維持されている。この力をピンニング力といい、単位体積当たりのピンニング力をピン力密度𝐹p という。また、このピンニング力を生み出す常伝導析出物や結晶界面、結晶欠陥等をピ
ンニングセンターまたはピンという[4][5]。 𝐹L が 𝐹p よりも小さければ、磁束線は駆動せず電界は発生しない。このことから 𝐹p = 𝐽c 𝐵 と表せ、電気抵抗なしに流せる最大の電流密度𝐽c が決定し、この 𝐽c を臨界電流密度と呼ぶ。超伝導体の応用においては 𝑇c 、𝐵c2 、𝐽c が重要なパラメータとなる。特に 𝑇c 、𝐵c2 は物質によって決まってしまうのに対して、𝐽c は𝐹p に依存しており、𝐽c はピンのングセンターの導入によりその値を増大させることができ、電力機器等への応用の際に非常に重要なパラメーターとなる。
現在工学利用されている超伝導体は主に NbTi や Nb3Sn 等の金属系超伝導体（ 𝑇c が 10
∼ 20 K 程度）であり、冷媒に液体ヘリウムを使用する必要があるため冷却コストが非常に高い。そのため、高い 𝑇c を持ち比較的安価な液体窒素での冷却が可能な銅酸化物超伝導体
が金属系超伝導体の代替素材として注目されており、送電ケーブルや高磁界発生超伝導マ
グネットなどへの応用が期待されている。

1.2 銅酸化物超伝導体
高温超伝導体で現在主に使用されているものには、Bi 系超伝導体と Y 系超伝導体の二種類ある。これらの超伝導体は、共通して結晶内に Cu-O2 面を持つことから銅酸化物超伝導体と呼ばれている。図 1.1 に Bi 系超伝導体である Bi-2212 (Bi2Sr2CaCu2O8) と Y 系超伝導体である YBCO (YBa2Cu3O7) の結晶構造を示す。銅酸化物超伝導体は超伝導電流が流れると考えられる CuO2 面と CuO2 面に超伝導電子を供給する絶縁的なブロック層から成っている。このように結晶構造が異方性を持つため[6]、𝐽c 向上には CuO2 面を揃えるような結晶配向が不可欠である。
Bi 系超伝導体は、𝑐 軸方向に比べ 𝑎-𝑏 面方向の結晶成長が著しく速く、𝑎-𝑏面に広がった結晶が容易に得られることが知られている。また、CuO2 面に沿って壁開し易いことから圧延などの機械的な加工で容易に配向し、高い𝐽c を得ることが可能であるため、既に km オ
ーダーの線材や、それを使用した超伝導マグネットなども作製されている。しかし、図 1.2に示すように、高磁界中において𝐽c が低下するという短所がある。
一方 Y 系の超伝導体は、Bi 系超伝導体と比較して高磁界中における臨界電流特性に優れているものの、Bi 系超伝導体のように機械的な加工で結晶配向しないことから、高い𝐽c を得るためには特殊な製法が必要になる。そのため、比較的長尺化が困難であり製作にも非常に高いコストがかかるなどの問題がある。しかし、近年の作製技術の向上により、高特2

性化に加え長尺化[7]・低コスト化が進んでおり[8]、今後の更なる進展が期待される。
－ Bi-O－ Sr-O－ Cu-O2－ Cu-O－ Ca－ Cu-O2－ Ba-O－ Cu-O2－ Sr-O－Y－ Cu-O2－ Bi-O－ Bi-O－ Ba-O－ Cu-O－ Sr-O－ Cu-O2－ Ba-O－ Cu-O2－ Ca－ Cu-O2－Y－ Cu-O2－ Sr-O－ Ba-O－ Bi-O(a)Bi2Sr2CaCu2O8
図 1.1(b) YBa2Cu3O7(a)Bi-2223 超伝導体(b)YBCO 超伝導体の結晶構造

1011

YBCO(IBAD-PLD)
Bi2223(Ag-Sheath)
Nb3Sn

20 K

Jc[A/m2]

1010

30 K
77.3 K109

20 K (Measure)

50 K
4.2 K

108
30 K

50 K

107

0

5

10

15

20

25

30

Magnetic Field, B[T]図 1.2 YBCO、Bi-2223、Nb3Sn の様々な温度での臨界電流密度 𝐽c の比較[9]1.3 有限要素法(FEM)
1.3.1 FEM
有限要素法(FEM：Finite Element Method)とは、解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の１つである。円柱や無限平板のような単純な形状ではな
く、複雑な形状の問題だと解析的に解くことは非常に困難である。そこで複雑な形状の問
題の解析を行う場合は、対象物を単純な形状の要素の集合体としてとらえ、各々の要素間で境界条件を満たすように多数の方程式を作製する。それから、それぞれの要素で作製さ3

れた方程式を対象物全体の連立一次方程式として組み立てて計算を行う。またメッシュと呼ばれる分割された要素を細かくすることで、計算精度は増加する。しかし、有限要素法
は単なる数値解析手法であるため、解析対象物のモデリングが適切でないと間違った解析
結果を導く可能性が高い。そのため、解析対象物についてよく理解しておく必要がある[10]。
有限要素法の概念を図 1.3 に示す。

複雑な形状

分割

それぞれ計算再構成

図 1.3 有限要素法の概念

1.3.2 超伝導体内の電磁現象の数値解析の方法
超伝導体の抵抗は、𝐽 が 𝐽c に近づくにつれてゆるやかに発生する特性を持つ。電界基準
𝐸0 を発生している時の電流密度を𝐽c とすると電流密度-電界特性は図 1.4 で表すことができる。このとき、電界-電流密度特性において次式のような電界 𝐸 が 𝐽 の 𝑛 乗に比例する 𝑛 値
モデルを仮定する。このとき𝜎init は初期電気伝導率を示す。
𝐽 𝑛
𝐽c 𝐽 𝑛𝐸 = 𝐸0 ( ) =( )𝐽c𝜎init 𝐽c

(1.1)

𝐸
𝐽 𝑛
𝐸 = 𝐸0 ( )
𝐽c

𝐸0
0

𝐽c
図 1.4 𝑛値モデル
4𝐽電磁界に関する支配方程式は、透磁率を 𝜇 、導電率を 𝜎 とするとベクトルポテンシャル𝑨とスカラーポテンシャル𝜙を用いて次式で表すことができる。
1
𝛻 × 𝛻 × 𝑨 = −𝜎(𝑨̇ + 𝛻𝜙)
𝜇

(1.2)

𝛻 ⋅ 𝜎(𝑨̇ + 𝛻𝜙) = 0(1.3)

また、磁界𝑩、電界𝑬、電流密度 𝑱 はそれぞれ次式から導出される。
𝑩 = 𝛻 × 𝑨、𝑬 = −𝛻𝜙 − 𝑨̇、𝑱 = 𝜎𝑬

(1.4)

指数 𝑛 は超伝導から常伝導に転移するときの鋭さを表す。𝑛値が小さい場合、電流値を少し下げた時に発生する電圧は急速に小さくならない。しかし𝑛値が大きい場合は、電流値を少し下げた時に発生する電圧は急速に小さくなる。このため、𝑛値が大きいほうが一般的に超伝導体の応用にとって良いとされている。
ここで、この強い非線形性を扱うために式(1.2)、式(1.3)、式(1.4)の𝜎の代わりに仮想的な電気伝導率𝐽
𝐽c 𝐽c 𝑛−1𝜎s = = ( )𝐸 𝐸0 𝐽(1.5)

を用いる。ここで初期電気伝導率は
𝜎init =

𝐽c
𝐸0

(1.6)

とし、また電気伝導率の上限値として最大電気伝導率を𝜎maxと定義する。
𝜎s は非線形性を持つので、上記に基づいて各解析時刻において収束反復演算を行う。また、その反復演算手順を以下に示す。
1. 初期伝導率𝜎init を全要素に設定
2. 電磁界方程式を解く
3. 𝜎s を計算し、前回の𝜎s との差を計算する
4. 差が小さくなるまで収束反復演算
5. 𝜎s が𝜎maxを超える場合は𝜎maxに置換する
収束の条件を以下に示す。
∑∆𝜎
<𝜀
∑𝜎

(1.7)

ただし、𝜀 はあらかじめ設定した基準値である。
また、超伝導体の電界-電流密度( 𝐸 - 𝐽 )特性と解析時の近似ラインを図 1.5 に示す。図 1.5から低電流域において、近似ラインと電流-電圧特性カーブにずれがあり、結果的に低電流域での交流損失を多めに計算することになる。しかし、𝜎maxを大きく設定することでこの問題を解決することができる。
5

𝐸

𝐸0

高温超伝導体の𝑉 - 𝐼 特性カーブ

′

𝜎init

解析上の
近似ライン

𝜎init ′

𝐸0
𝐸m
0

𝜎max

𝐽m

𝐽c 𝐽c ′

𝐽

図 1.5 高温超伝導体における 𝑉 - 𝐼 特性と数値解析コードでの低電流領域の近似特性[11]1.3.3 PHOTO-Series
PHOTO-Series は、株式会社フォトンが開発した有限要素法を用いた解析ソフトウェア
であり、また電磁現象を利用した製品や部品などをコンピュータ上でモデル化し有限要素法を用いて解析する。このソフトウェアはモータや発電機などの分野や、超伝導体のようなハイテク分野でよく利用されている。解析の流れとしては、モデルを作製し、次に物性値などを与えて解析する。そして解析結果はコンター図やベクトル図などの画像、グラフ
によって表すことができる。また、デモ版（評価体験版）であれば、フリーライセンスなので誰でも気軽に扱うことができる。さらに、デモ版と製品版との違いはモデルを作製するときの要素数に制限がある程度で解析できる内容は製品版と何も変わりはないため、デモ版でも十分に解析を行うことができる。注意点として、メッシュと呼ばれる要素を作製するとき、縦、横や奥行の辺の比を 1:1000 以下にすることで、より正確な計算を行うことができる[12]。

1.4 縦磁界効果
縦磁界とは、超伝導体に電流と磁界を平行に印加した状態のことをいう。一般的に超伝導体に流れる電流は自己磁界を含めて垂直磁界となるが、図 1.6 に示すように磁界と電流が平行な場合、垂直な場合とは異なる様々な現象が観測される[13]。以下、そのときの例を示す。
1. 電流によって磁界と同方向の磁化が正となる。これを常磁性効果と呼ぶ。
6

2. 外部磁界を増加させると交流電流による損失が減少する。
3. 縦磁界の場合は、
(1.8)

𝑱×𝑩=0

ように磁束線に対して Lorentz 力が働かないため臨界電流密度が横磁界の場合に比べ大幅に増加する[14][15][16]。
4. 磁束線の運動と電磁現象を結びつける( 𝑬 = 𝑩 × 𝒗 )の式は、磁束線の運動が異なると考えられるため成り立たない。
これらを総称して縦磁界効果と呼ぶ。一方で、3 にある縦磁界効果による 𝐽c の増加量は、使用する超伝導体の形状によっても大きく変化する。例として、図 1.7[17]と図 1.8[18]に示すような円柱状とテープ状とでは円柱状の方が 𝐽c は大きく増加するが、このような違い
は通電電流により発生する自己磁界の影響を受けるためである。図 1.9 に示すように円柱状では超伝導体内部に試料表面に対して垂直磁界成分が侵入しないのに対して、図 1.10 に示すようにテープ状では超伝導体内部に試料面に対する自己磁界の垂直磁界成分が侵入する。その結果、電流が強まると自己磁界も強まり、電流に平行な磁界と干渉を起こし磁界と電流が平行に流れる関係が崩れてしまうことで、Lorentz 力が働かない状態とはならず
縦磁界効果が観測されなくなる。そのため円柱状の超伝導体はテープ状の超伝導体と比べて縦磁界効果による 𝐽c 増加がより顕著である。しかしながら、テープ状であっても間隔を詰めてテープ状超伝導体を横に並べていくことで垂直磁界成分を打ち消し自己磁界の影響を小さくすることができるため、 𝐽c を増加させることが可能である。

𝐽𝐵
図 1.6 超伝導体に対し磁界と電流を平行に印加した状態

7図 1.7 Ti-Nb 円柱超伝導合金の臨界電図 1.8 Nb3Sn テープ状薄膜試料に中性子を照射したときの臨界電流 𝐼c 特性

流密度 𝐽c の磁界依存性

Ｖ

図 1.10 テープ状の自己磁界

図 1.9 円柱状の自己磁界

1.5 超伝導電力ケーブル
1.5.1 交流・直流超伝導電力ケーブル
超伝導体を用いた電力ケーブルは、交流送電と直流送電がある。交流送電と直流送電にはそれぞれ長所と短所がある。交流の場合は送電する際の変圧が容易であるという長所があるが、超伝導体において交流損失が発生するという短所がある。直流の場合は損失無しで送電できるという長所がある。そのため直流で発電される太陽光発電や大型の風力発電などの送電に超伝導体を用いる場合は、超伝導の特徴を最大限活かすことができる。短所
8

としては、現在の原子力や火力によって発電された交流電流を直流電流へ整流する必要があり、その整流器にコストがかかってしまうという短所がある。
1.5.2 縦磁界効果を用いた超伝導線材の直流電力ケーブル
縦磁界の下では、超伝導線材の電力ケーブルにおいて、線材そのものの特性を改善しな
くても 𝐽c の増加が期待できる。このことから縦磁界効果を用いた超伝導線材の直流電力ケーブルの研究が期待されている。
ケーブルの構造において重要なことは、ケーブルの内側導体に縦、すなわち平行磁界を加える必要があるが別途コイルをケーブルに巻く必要はなく、図 1.11、図 1.12 のように外側導体を流れる電流によって内側導体に縦磁界が与えられるよう外側導体の超伝導線材をツイストする。これによって内側導体に縦磁界𝐵ext を与える[19]。そのときのケーブル内の縦磁界、横磁界の大きさの分布を図 1.13 に示す。

フォーマー

内側導体

絶縁体

外側導体

図 1.11 縦磁界効果を用いた超伝導直流電力ケーブルの構造9図 1.12 FEM のモデルによる各層に流れる電流の様子

𝐵
内側導体

外側導体

縦磁界 𝐵∥
横磁界 𝐵⊥
外部磁界 𝐵ext

0𝑅

図 1.13 ケーブル内の縦磁界、横磁界の大きさの分布

実際にはケーブルの内側導体を流れる電流によって決まるので、最終的には全ての量が矛盾なくに決められなければならない。内側導体領域には厚さが 0.1 または 0.2 mm 程度の高温超伝導線材を線材間隔が無いよう数層から 10 層程度巻くのであるが、全体での厚みが半径よりも十分に小さいので、平板近似が可能となる。線材を巻きつけるフォーマーの半径を 𝑅 、線材の厚みを𝑡 、層数を𝑛 とすると、線材の超伝導部分の厚みは 𝑑 = 𝑛𝑡 であり𝑑 ≪ 𝑅 である。また、1 枚の線材の超伝導体の厚みを𝑠 とすると、工業的臨界電流密度 𝐽e は
10𝑠
𝐽e = 𝐽c𝑡(1.9)

で与えられ、超伝導部分を一様に 𝐽e が流れているものとする。
超伝導部分を y-z 平面に平行な平板とし、最も内側の表面を𝑥 = 𝑅 、最も外側の表面を
𝑥 = 𝑅 + 𝑑 とする。𝑧 軸をケーブルの軸方向とすると、𝑥 = 𝑅 では磁界は 𝑧 軸成分が𝐵ext となる。𝑥 の位置における磁界を𝐵(𝑥) 、磁界の 𝑧 軸からの角度を𝜃(𝑥)とすると、𝜃(𝑅) = 0 である。縦磁界下では Lorentz 力が 0 となるので、磁界𝐵 は 𝑥 によらず一定でなくてはならない。よって、超伝導部分の磁束密度は𝐵 = (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 ) = (0, 𝐵 sin(𝑥) , 𝐵 cos(𝑥))(1.10)と表すことができる。式(1.10)より、
𝜃(𝑥) =

𝜇0 𝐽e(𝑥 − 𝑅)𝐵(1.11)

が満たされれば𝐽 = (0, 𝐽e sin 𝜃(𝑥) , 𝐽e cos 𝜃(𝑥))(1.12)の電流分布となる。最も外側表面における磁界の角度𝜃max は𝜃max =

𝜇0 𝐽c 𝑑𝐵

(1.13)と表すことができ、かつ、𝑥 = 𝑅 + 𝑑 における電流の自己磁界 𝐵I はtan 𝜃max =𝐵I
𝐵e(1.14)

を満たさなければならない。この条件は単独で決めることができないため、式(1.12)の電流分布を用いて得られる𝐵I と矛盾なく求める必要がある。
ここで、図 1.14 のような超伝導層の厚み𝑠 を1.0 μm 、線材の厚み 𝑡 を100 μm のコート線材を想定した。

超伝導層の厚さ 1 μm
コート線材の厚さ 100 μm

図 1.14 超伝導層の厚さとコート線材の厚さ11その縦磁界下および横磁界下での𝐽c をそれぞれ
𝐽c∥ = (5.0 + 6.0𝐵) × 1010 A⁄m2

(1.15)

𝐽c⊥ = (5.0 − 4.0𝐵) × 1010 A⁄m2

(1.16)

であると仮定した。そして𝜃max = 60° 、フォーマーの半径を𝑎 = 30 mm とした場合に、層数𝑛 を 4 ~ 10 まで変えたときのケーブル効率を求めた結果を図 1.15 に示す。ケーブル効率
は、縦磁界効果を用いた高温超伝導直流電力ケーブルの電流容量 𝐼t と従来型のケーブルの電流容量 𝐼0 を用い次式で定義している[20]。
𝜂=

𝐼t
𝐼0

(1.17)

これにより縦磁界効果を用いたケーブルの特性の方が優れていることが分かる。特に超伝導層数が増え、𝐼t が大きくなるにつれて優位性が発揮されてくる。このことは縦磁界が増えることによって 𝐽c が増えるからである[21]。
4cable efficiency

3

2

1

0

4

6

8

10

number of layers

図 1.15 縦磁界効果を用いた高温超伝導直流電力ケーブルと従来型ケーブルの
ケーブル効率また、 𝐼t は 𝜃max に大きく依存する。例として、内側導体 8 層において 𝜃max を変更したときの 𝐼t を図 1.16 に示す[22]。

12図 1.16 𝐼t の角度依存性

1.6 本研究の目的
希土類系高温超伝導コート線材は、磁界中の臨界電流密度 𝐽c が高いことから電力機器を中心としてその応用研究が精力的に行われている。また、超伝導線材に縦磁界を印加して通電すると、局所的にローレンツ力が働かない状態となり、大幅な臨界電流密度 𝐽c の増加が報告されている。この特性は超伝導ケーブルについても同様であり、銅酸化物高温超伝導体による直流電力ケーブルが開発されてきており、長距離エネルギー伝送に適しているということが知られている。しかし、その具体的な設計のために縦磁界下における超伝導コート線材の配置が重要な問題点となっている。また、コート線材の配置により内部の磁界分布が決定されるが、𝐽c は磁界依存性があるために、磁束分布を求めるのは難しい。
そこで本研究では繰り返し近似による近似計算と FEM を用いて、縦磁界効果を用いた超伝導電力ケーブル内の磁束分布を求めることとした。
また本研究で用いる繰り返し近似計算は、予め繰り返し近似計算のプログラムを作成していれば、半径・導体層数・ 𝐽c の値を設定するのみで、各層の 𝐽c 、縦磁界 𝐵∥ 、横磁界 𝐵⊥ を短時間で導き出すことができるという大きな長所がある。それに対して FEM では、解析モ
デルの作製や計算に多くの時間を必要とするという短所があるが、計算される縦磁界 𝐵∥ や
横磁界 𝐵⊥ の値はほぼ正確である。繰り返し近似による近似計算と FEM による結果を比較し、近似計算が正しいと分かれば、電力ケーブルの設計においてさらに多層にした場合や異なる特性を持つ超伝導線材を用いたときのケーブルの設計に、短時間で求めたい値を計算し導き出すことができる。
13

第２章

数値計算
2.1 希土類系高温超伝導コート線材を使用するにあたって
2.1.1 現状の希土類系高温超伝導コート線材の使用するにあたっての問題点
現在、市販されている希土類系高温超伝導コート線材は、縦磁界効果によって𝐽c が縦磁界とともに増加する特性とはなっていない。今回用いた試料は株式会社フジクラから購入した PLD 法によって作製された希土類系高温超伝導コート線材である。試料諸元を表 2.1に示す。𝐽c の磁界依存性を評価するために、直流四端子法(four terminal method)を用い
𝑉 - 𝐼 特性を測定し、そこから得られた 𝐽c を評価した。また、電界基準 𝐸c = 1.0 × 10−4 V⁄mを用いた。電流に対して平行に磁界を印加した縦磁界(longitudinal)の場合と、電流に対して垂直に磁界を印加した横磁界(𝑎𝑏-plane)の場合について磁界の大きさを 0 ～1.0 T の範囲で、磁界に対する電流密度特性 𝐽c ( 𝐽c - 𝐵 特性)をそれぞれ測定した。実際に測定した図を以下の図 2.1 に示す。

𝐽c A⁄m2

30

longitudinal20

𝑎𝑏-plane

10

0
0

0.2

0.4

0.6

𝐵

図 2.1 市販コート線材の縦磁界下(longitudinal field)および横磁界下(𝑎𝑏-plane)の臨界電流密度14

表 2.1 試料諸元
Sample

ic n ss 𝑑 μm

𝐽c A⁄m2

Fujikura - GdBCO

1.00

2.84 × 1010

𝑇c

1.3

図 2.1 より縦磁界下(longitudinal)での 𝐽c は磁界の増加とともに徐々に減少しているが、横磁界下(𝑎𝑏-plane)での 𝐽c と比較すると、減少の幅が小さいことが分かる。しかしながら図 1.7 のように円柱状の超伝導体の場合と比較すると、図 2.1 のような超伝導線材では低磁界において 𝐽c が増加する特性とはなっていない。その理由として、線材内に存在する結晶界面の弱結合によるためであると考えられている。通常のコート線材では基板から0.5 μm ほどのところから𝑎 軸粒子や𝑐 軸傾角粒子が成長し始めるが[23]、こうした粒子と正常な超伝導母相の間は結晶粒界の弱結合部分と呼ばれており、そこでは電流は局所的に磁束と平行ではなくなり、式(1.8)から外れてしまうことになる。したがって、巨視的に縦磁界効果を得ようとしても現実にはそうはならない。そのため、𝐽c の増加が限られ図 1.9 のように超伝導線材を強くツイストしても、角度が大きくなることで巻きつける超伝導線材の数が減少し結果として輸送電流の割合が減少して得にならなくなってしまう。
2.1.2 直流四端子法
材料の 𝑉 - 𝐼 特性の評価法の一つに試料に直接電流を流す通電法がある。一般的には抵抗値が非常に小さいときに接触抵抗などの影響が小さい四端子法が用いられる。四端子法の回路を図 2.2 に示す。 𝑅0 、 𝑅1 は回路の接触抵抗、 𝑅m は測定試料の抵抗、 𝑅v は電圧計の内部抵抗を表す。図において 𝑅0 、 𝑅1 は 𝑅v に比べて十分小さいため無視して考えることができる。このとき全電流は 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 となり、この回路において 𝑅m ≪ 𝑅0 のとき 𝐼2 ≅ 0 と見なすことができるので、 𝑉 ≅ 𝑅m 𝐼1 となり正確に試料抵抗を測定することができる。今回測定した試料の抵抗値は電圧計の内部抵抗に比べ十分小さいと考えられるため、直流四端子法を用いた。

𝐼1

𝐼

𝑅m

𝐼2

𝑅0

𝑅0

V

𝑅v

図 2.2 直流四端子法の回路図
152.2 繰り返し近似計算による臨界電流 𝐼c の導出
2.2.1 超伝導コート線材の臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性
上記で述べたように現状の希土類系高温超伝導コート線材を使用するにあたっては問題点があるが、それでも図 2.1 に示されるように縦磁界下の 𝐽c は横磁界下の 𝐽c よりもかなり高く、こうした特性を利用して、縦磁界効果を用いない通常のケーブルよりも高性能なケ
ーブルをデザインすることができるはずである。例えば、超伝導線材のツイストする角度を式(1.11)よりも緩めれば 𝐽c の増加は少し抑えられるが、巻きつける超伝導線材の数が増えるため輸送電流への効率は向上するはずで、電流容量が最大となる条件を割り出せばいいのである。このとき 𝐽c が最大となるようにすれば良いが、そのためには線材の角度依存性が必要となる。線材の角度依存性とは、超伝導線材の面内で電流に対して磁界を平行に印加した縦磁界(= 0° )から、電流に対して磁界を垂直に印加した横磁界(= 0° )まで変化させたときの 𝐽c の依存性のことである。以下に図を示す。

𝐼𝐵

図 2.3 電流と磁界を印加した様子

図 2.1 の縦磁界下の 𝐽c を
𝐽cM (𝐵) = 𝐽c (𝐵,

= 0)

(2.1)

𝐽cm (𝐵) = 𝐽c (𝐵,= 𝜋 ⁄2)(2.2)とし、横磁界下の 𝐽c をとする。そして、これらの 𝐽c の磁界依存性をそれぞれ

16

7𝐽cM (𝐵) = ∑ 𝐾M𝑗 𝐵 𝑗

(2.3)

𝑗=0

7

𝐽cm (𝐵) = ∑ 𝐾m𝑗 𝐵 𝑗

(2.4)

𝑗=0

と表す。図 2.1 の実線はこの近似式を示す。
ここで、𝐾m𝑗 と𝐾M𝑗 は展開係数で、図 2.1 のコート線材のときを表 2.2 に示す。

表 2.2 フィッティングパラメータ 𝐾m𝑗 、𝐾M𝑗

0

1

2

3

4

𝐾m𝑗 × 1010 A⁄ 𝑗

2.83

−8.831

16.6−12.52 −0.206

2.

𝐾M𝑗 × 1010 A⁄ 𝑗

2.83

0.22

−2.8635.3 8

1.

−5.244

図 2.4 に図 2.1 の線材の 𝐽c の角度依存性を示す。
Longitudinalab-plane30

𝐽c A⁄m2

𝑇=

.3

0.1

20

0.3

10
0

30

60

90

図 2.4 市販コート線材の磁界の角度依存性

17

5
8

次に、𝐽c の角度依存性を
1
1
𝐽c ( ) = (𝐽cM + 𝐽cm ) + (𝐽cM − 𝐽cm ) cos 2
2
2

(2.5)

のように近似することができ、図 2.4 に実線として示す。
ケーブルの形状は、内側導体の最内層の中心からの距離を𝑅0 、内側から 𝑖 番目の超伝導層の中心からの距離を 𝑅𝑖 、超伝導層の厚さを𝑑、巻き角度を 𝜃𝑖 とし、それぞれ𝑅𝑖 = 𝑅0 + 𝑖𝑑

𝜃𝑖 = 𝜃max ×

𝑖−1
𝑛−1

(2.6)

(2.7)

とする。また角度 𝜃𝑖 の様子を図 2.5 に示す。また内側導体の最も外側の層に流す電流の角度を𝜃max とする。

𝜃1 = 0°𝜃𝑖𝜃max

図 2.5 角度 𝜃𝑖 の関係

ここで、第１層目に巻きつける超伝導線材に関してツイストする角度を 𝜃1 = 0° とすると、ケーブルを曲げることができなくなるため現実的ではない。しかしながら、第１層目に加わる磁界は縦磁界のみで、また本研究での繰り返し近似による近似計算の正確性を確認す
るということには問題が無いため、今回は 𝜃1 = 0° を用いた。
2.2.2 臨界電流 𝐼c の導出
ここで、らせんに巻かれた導線による磁界の大きさについて考えることにする。
半径 𝑅 の円筒上に、円筒軸に対する角度 𝛼 で層数 𝑁 回らせんに巻かれた導線に電流 𝐼 が
18

流れるとき、中心軸上中央から 𝑠 の距離の点での磁界の強さの軸方向の成分 𝐻𝑧 の大きさは、以下のようになる。中心軸上の点 P を原点とし、軸方向に 𝑧 軸、それに垂直に 𝑥 、 𝑦 軸をとる。導線上の一点 Q の 𝑥𝑦 面への射影点を R 、PR が 𝑥 軸となす角を 𝛽 とする。Q 点のと こ ろ の 線 要 素 ベ ク ト ル を 𝑠 、 QP = 𝑟 と す る と そ れ ら の 成 分 は 、 𝑟𝑥 = −𝑅 cos 𝛽 、
𝑟𝑦 = −𝑅 sin 𝛽 、 𝑟𝑧 = −𝑅𝛽 tan 𝛼 と 表 せ る 。 そ し て 𝑠𝑥 = −𝑅 sin 𝛽 𝛽 、 𝑠𝑦 = 𝑅 cos 𝛽 𝛽 、
𝑠𝑧 = 𝑅 tan 𝛼 𝛽 より、
𝐻𝑧 =𝛽2( 𝑠 × 𝑟)𝑧
𝑟𝑦 𝑠𝑥 − 𝑟𝑥 𝑠𝑦
𝐼
𝐼
𝐼
𝛽
∫
=
∫
=
∫
3
3
2
4𝜋
𝑟
4𝜋
𝑟
4𝜋𝑅 𝛽1 (1 + 𝛽 tan2 𝛼)3⁄2(2.8)となる。 𝛽1 、 𝛽2 は両端で 𝛽1 = −𝑁𝜋 + 𝑠⁄𝑅 tan 𝛼 、𝛽2 = 𝑁𝜋 + 𝑠⁄𝑅 tan 𝛼 なので、積分の結
果
𝐻𝑧 =

𝐼
𝑁𝜋𝑅 tan 𝛼 + 𝑠
𝑁𝜋𝑅 tan 𝛼 − 𝑠
+
{
}
2
2
2
4𝜋𝑅 tan 𝛼 √𝑅 + (𝑁𝜋𝑅 tan 𝛼 + 𝑠)
√𝑅 + (𝑁𝜋𝑅 tan 𝛼 − 𝑠)2(2.9)

中心では 𝑠 = 0 として
𝐻𝑧 =𝐼𝑁
2𝑅√1 + 𝑁 2 𝜋 2 tan2 𝛼(2.10)となり、軸方向の磁界を求めることができる[24]。
こ こ で 、 𝑁 が 十 分 に 大 き い と き 式 (2.10) の 分 母 は 、 2𝑅√𝑁 2 𝜋 2 tan2 𝛼 と 近 似 で き 、
𝛼 = 0° − 𝜃であるため、式(2.10)は、
𝐻𝑧 =

𝐼
tan 𝜃
2𝜋𝑅

(2.11)と表すことができる。上記より同様に超伝導電力ケーブルにおいて、𝑖 番目の超伝導層に加わる縦磁界は𝑛𝐵𝑖∥ = ∑
𝑘=𝑖+1

𝜇0 𝐼𝑘
tan 𝜃𝑘 + 𝐵ext
2𝜋𝑅𝑘

(2.12)となる。また横磁界は、𝜃の角度で電流 𝐼 を流した場合でも 𝜃 = 0° 方向に流れる電流量は全体で 𝐼 となることから、アンペールの法則を用いて
𝑖−1

𝐵𝑖⊥ = ∑
𝑘=1

𝜇0 𝐼𝑘
2𝜋𝑅𝑖

(2.13)と表すことができる。また、図 2.6 に示すように 𝜃 = 0° のときの巻きつける線材の数を′𝑁num とし、 𝜃 に角度がついたときの巻きつける線材の数 𝑁num
とすると、
′
𝑁num
= 𝑁num cos 𝜃

と表せる。
19

(2.14)

𝜃
2𝜋𝑅

2𝜋𝑅

図 2.6 角度 𝜃 がついたときの巻きつける線材の本数式(2.8)において角度 𝜃 を大きくすると、 𝐵𝑖∥ は tan 𝜃𝑘 によって発散するように考えられる。
しかし、式(2.13)のように角度 𝜃 が大きくなるほど巻きつける線材の本数が減り、流すことのできる電流量が小さくなる。 𝐵𝑖∥ において、式(2.12)から
𝑛𝐵𝑖∥ = ∑
𝑘=𝑖+1

𝜇0 𝐼𝑘 sin 𝜃𝑘+ 𝐵ext2𝜋𝑅𝑘(2.15)

へと書き換えることができるため 𝐵𝑖∥ は tan 𝜃𝑘 によって発散することはない。また、磁界の強さおよび線材方向からの角度は
1⁄222𝐵𝑖 = (𝐵𝑖∥
+ 𝐵𝑖⊥
)
−1
𝑖 = 𝜃𝑖 − tan

𝐵𝑖⊥
𝐵𝑖∥

(2.16)(2.17)となる。これらの方程式群より 𝑖 番目の層の臨界電流密度を 𝐽𝑖 とするとき、臨界電流 𝐼𝑖 が求まる。
𝐼𝑖 = 2𝜋𝐽𝑖 𝑅𝑖 𝑑 cos 𝜃𝑖(2.18)

ただしここでは、各層での超伝導線材内部の磁束分布の様子を考慮しない。しかし、超伝導線材内部の磁束分布に関して考慮した方が良いという考えもある。その理由について、超伝導線材は形状効果も考えなければならないため、超伝導線材内部の磁束分布の様子を考慮する必要があるとの考えである。超伝導線材の場合、超伝導層の厚さに比べて幅が非常に大きいため高い断面アスペクト比を持つ。また銅酸化物超伝導体の結晶構造に起因して、 𝐽c が磁界の角度依存性を持つことが知られており、一般的に線材の面に垂直方向( 𝑐 軸20方向)の磁界中の 𝐽c は、面に平行方向( 𝑎𝑏 面方向)の磁界中の 𝐽c よりも小さい。このことを線材の形状効果という。一方、線材内部の磁束分布を考慮しなくても良いという考えもある。その理由について、線材内への磁束の侵入方向は線材の面に対して平行であり、面に対して垂直磁界成分がないことから、形状効果を考慮しなくても良いためである。本研究では、内部の磁束分布を考慮せずに計算を行う。
式(2.15)の 𝐽𝑖 は 𝐵𝑖 、 𝑖 、 と一緒に式(2.5)によって決定される。また 𝐼𝑖 は𝑖 番目の層の臨界電流 𝐼c𝑖 のことなので、式(2.5)は
1
1𝐽c ( 𝑖 ) = (𝐽cM (𝐵𝑖 ) + 𝐽cm (𝐵𝑖 )) + (𝐽cM (𝐵𝑖 ) − 𝐽cm (𝐵𝑖 )) cos 2
22(2.19)とおける。𝑁 + 1 個の方程式群は、
𝐽c𝑖 = 𝑓( 𝐽c0 , … , 𝐽c𝑁 )(2.20)

によって繰り返し計算を用い数値的に計算することができる。初期条件として、各層での電流密度は𝐽c0 {0} = 𝐽c1 {0} = ⋯ = 𝐽c𝑁 {0} = 𝐽cM (𝐵 = 0)(2.21)

で示すように全ての同じ値をもつ。次の繰り返しで、新しい臨界電流密度の値は一つ前の値群を式(2.20)へ代入し得られ、
𝐽c𝑖 {1} = 𝑓(𝐽c0 {0} , … , 𝐽c𝑁 {0} )(2.22)に示す。この方法を用いることで、𝑘 番目の繰り返しでは𝐽c𝑖 {𝑘} = 𝑓(𝐽c0 {𝑘−1} , … , 𝐽c𝑁 {𝑘−1} )(2.23)

によって臨界電流密度が得られる。このようにして、全ての層に用いる超伝導線材の臨界電流密度は、繰り返し計算によって数値的に求めることができる。繰り返しの回数は 100回以下で、臨界電流密度の誤差は10−6 A⁄m2以下となる[25]。
ケーブルの電流容量は𝑛

𝐼t = ∑ 𝐼𝑖
𝑖=1

により求まる。

21(2.24)

2.3 FEM による数値計算
ここでは FEM による計算を行い、繰り返し近似による近似計算の値と比較をし近似計
算の値が正しいかどうか確認を行う。FEM による計算において解析モデルの寸法は、内側
導体を 3 層、外側導体を 3 層、中心から内側導体の最内層までの距離 𝑅0 = 10 mm 、中心から外側導体の最内層までの距離を20 mm 、超伝導線材の厚さを140 μm 、超伝導層とみなす導体層の厚さ 𝑑 = 40 μm のモデルに設定した。超伝導線材の 𝐽c の磁界依存性は、線材を直流四端子法により測定し、そして繰り返し近似による近似計算により示す。そして FEM
ではその求めた各層の 𝐽c を用いて計算を行っているため、FEM 上では超伝導の設定をする必要がない。そのため今回は、導体層を超伝導体として設定するのではなく電気伝導率
𝜎 = 1 の金属導体として設定した。図 2.7 に FEM によって作製した解析モデルの全体図を示す。それぞれ、赤の部分は第 1 層、黄色の部分は第 2 層、黄緑の部分は第 3 層、青の部分は第 4 層、紫の部分は第 5 層、灰色の部分は第 6 層とする。

図 2.7 FEM による解析モデルの全体図

2.3.1 計算式の確認
繰り返し近似による近似計算の正確性を確認する前に、縦磁界の大きさ𝐵∥ と横磁界の大きさ𝐵⊥ を導出する式(2.12)と式(2.13)が正しいかどうか以下の方法にて確認する。ここでは、
1 つの層のみに電流を流す。条件 A)の中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する任意の電流量 1000 A と仮定した場合を基本とし、式により導出する際に値の変わる電流量、半径の値を変化させ式(2.12)、式(2.13)による導出が正しいかどうか確認する。
A) 中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する電流 1000 A
B) 中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する電流 2000 A (電流を 2 倍)C) 中心部からの距離 𝑅 = 20 mm 、印加する電流 1000 A (半径を 2 倍)22

このときの様子を図 2.8 に示す。電流 𝐼 を印加する角度 𝜃 を変化させたときのケーブル中
心部に加えられる縦磁界の大きさ𝐵∥ と、導体外側に加えられる横磁界の大きさ𝐵⊥ を比較す
る。

𝐵∥
𝑅

𝐼

𝐵

𝜃

𝜃

図 2.8 電流を流したときの磁束密度の様子

2.3.2 臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮しない場合
外側導体から加えられる縦磁界𝐵ext を考慮せず、内側導体の 3 層に磁界依存性を考慮しない 𝐽c による電流を印加する。𝐽c の磁界依存性を考慮しないため 𝐽c は常に任意の臨界電流
密度 𝐽c = 2.0 × 1010 A⁄m2 と仮定した。角度 𝜃 = 0° のとき 𝑖 番目の層に印加する電流は式(2.18)より 𝐼𝑖 = 2𝜋𝑅𝑖 𝐽c 𝑑 なので、このとき、第 1 層から第 3 層までそれぞれに印加する電流 𝐼𝑖 は、𝐼1 = 1 5 .3 A 、𝐼2 = 1 83. A 、𝐼3 = 1808.6 A となる。このときの、電流を印加す
る角度 𝜃max を変化させたときのケーブル中心部に加えられる縦磁界の大きさ 𝐵∥ と横磁界の大きさ 𝐵⊥ を比較する。
2.3.3 臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合
外側導体から加えられる縦磁界𝐵ext を考慮せず、内側導体の 3 層にそれぞれ磁界依存性を考慮した 𝐽c による電流を印加する。図 2.9 に 3 番目の層の角度である𝜃max を変化させた
ときの、それぞれの層に印加する電流値を示す。これらの 𝜃max を変化させたときの電流値
は、繰り返し近似により導出を行った。

23

3000

layer 12000
𝐼c A

layer 2layer 3

1000

0
0

20

40

60

80

𝜃max

図 2.9 角度変化に対する電流値

このとき、印加する電流の角度 𝜃max を変化させたときの各層に与えられる加えられる磁界の大きさを比較する。
2.3.4 内側導体 3 層・外側導体 3 層のモデルにおいて臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合
内側導体 3 層と外側導体 3 層にそれぞれ磁界依存性を考慮した 𝐽c により求めた電流を印加する。図 2.10 に内側導体・外側導体に流す電流の方向、図 2.11 に 𝜃max を変化させたと
きの、それぞれの層に印加する電流値を示す。また、外側導体の角度である 𝜃4 、𝜃5 、𝜃6 に関しては、𝜃4 = −𝜃1 、𝜃5 = −𝜃2 、𝜃6 = −𝜃max とした。このときの 𝜃max を変化させたときの電流値は、繰り返し近似により導出を行った。

24

図 2.10 内側導体・外側導体に流す電流の方向

layer 1layer 2
2000 layer 3

𝐼c A

layer 4layer 51000

00layer 6

20

40

60

80

𝜃max

図 2.11 内側導体 3 層・外側導体 3 層のモデルにおいて角度変化に対する電流値

このとき、印加する電流の角度 𝜃max を変化させたときの内側導体の各層に与えられる加えられる磁界の大きさを比較する。

25

第3章

計算結果及び考察
3.1 計算式の正確性
図 3.1(a)，(b)に、条件 A)中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する電流 1000 Aのときの式(2.12)、式(2.13)による計算が正しいかどうかの結果を示す。式(2.12)より、縦磁界 𝐵∥ はtan 𝜃 が掛けられているため印加する電流が一定のとき、𝜃 が大きくなるにしたがって縦磁

Magnitude of normal magnetic fieldon outside of cable

Magnitude of normal magnetic fieldin center of cable界 𝐵∥ は無限大に大きくなる。また式(2.13)より、横磁界 𝐵⊥ は一定となる。

0.1

FEM

equation
0
0

20

40

60

equation
0.02

FEM

0.01
0

80

20

40

60

𝜃

𝜃

(b) 横磁界 𝐵(a) 縦磁界 𝐵∥

図 3.1 A)中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する電流 1000 Aの条件
において角度に対する(a)縦磁界、(b)横磁界の大きさ

2680図 3.2(a)，(b)に、条件 B)中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する電流 2000 A (電流を 2倍)のときの式(2.12)、式(2.13)による計算が正しいかどうかの結果を示す。電流量が 2 倍に0.2

Magnitude of normal magnetic fieldon outside of cable

Magnitude of normal magnetic fieldin center of cable

なったことで、式(2.12)、式(2.13)より縦磁界 𝐵∥ と横磁界 𝐵⊥ も 2 倍になる。

0.1

FEM
equation
0
0

20

40

60

80

𝜃

equation
0.04

FEM

0.03
0

20

40

60

80

𝜃

(b) 横磁界 𝐵(a) 縦磁界 𝐵∥

図 3.2 B)中心部からの距離 𝑅 = 10 mm 、印加する電流 2000 A (電流を 2 倍)の条件において角度に対する(a)縦磁界、(b)横磁界の大きさ

図 3.3(a)，(b)に、条件 C)中心部からの距離 𝑅 = 20 mm 、印加する電流 1000 A (半径を 2倍)のときの式(2.12)、式(2.13)による計算が正しいかどうかの結果を示す。半径が 2 倍になったことで、式(2.12)、式(2.13)より縦磁界 𝐵∥ と横磁界 𝐵⊥ は 1⁄2 倍になる。

27

0.06

Magnitude of normal magnetic fieldon outside of cable m

Magnitude of normal magnetic fieldin center of cable

12

0.04

equation

0.02

FEM

0
0

20

40

60

80

𝜃

equation
10

FEM

8

0

20

40

60

80

𝜃

(b) 横磁界 𝐵(a) 縦磁界 𝐵∥

図 3.3 C)中心部からの距離 𝑅 = 20 mm 、印加する電流 1000 A (半径を 2 倍)の条件において角度に対する(a)縦磁界、(b)横磁界の大きさ

それぞれ三つの条件より、式(2.12)及び式(2.13)による導出は正確である。

3.2 臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮しない場合のそれぞれ縦磁界と横磁界の比較
図 3.4(a)、(b)に臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮しない場合のそれぞれ縦磁界と横磁界の結果を示す。式(2.12)、式(2.13)により、縦磁界 𝐵∥ 、横磁界 𝐵⊥ ともに、各層が加える
磁界の足し合わせである。縦磁界 𝐵∥ は tan 𝜃 が掛けられているため印加する電流が一定のとき、 𝜃max が大きくなるにしたがって縦磁界 𝐵∥ は無限大に大きくなる。また、印加する電流が一定のとき、横磁界 𝐵⊥ も一定になる。

28

Magnitude of normal magnetic fieldin center of cable

0.2

0.1

equation

FEM
0
0

20

40

60

80

60

80

𝜃max

Magnitude of normal magnetic fieldon outside of cable(a) 縦磁界 𝐵∥

0.12equation
0.1

FEM
0.08

0.06
0

20

40
𝜃max

(b) 横磁界 𝐵

図 3.4 角度 𝜃max に対する(a)縦磁界、(b)横磁界の大きさ

29

図 3.4(b)の横磁界 𝐵⊥ の大きさに僅かに差が現れた理由として、式(2.13)での足し合わせの計算において、一つ一つの層の横磁界 𝐵⊥ と FEM による結果の差が、層の数だけ足し合わされることによりさらに差が大きくなったためと考えられる。しかし最も大きな開きがあるところで5 % の差なので、ほぼ一致しているといえる。

𝐽c の磁界依存性を考慮せず、三番目の層の角度である 𝜃max を変化させた場合、ケーブル
中心部に加えられる縦磁界 𝐵∥ とケーブル外側に加えられる横磁界 𝐵⊥ は、計算式による結果と FEM の結果を比較するとほぼ一致することが確認できる。

3.3 臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合のそれぞれ各層の磁界の比較
図 3.5 に臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合の、第 1 層の角度 𝜃max に対する磁界の大きさの結果を示す。また、図 3.6 に 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合の 𝜃max = 80° の
ときの FEM による(a)縦磁界 𝐵∥ と(b)横磁界 𝐵⊥ の様子を示す。

Magnitude of magnetic fieldin first layer

0.08

0.06

FEM
0.04

iterative calculation
0.02

0
0

20

40

60

80

𝜃max
図 3.5 角度 𝜃max に対する第 1 層に加えられる磁界の大きさ30(a) 縦磁界 𝐵∥(b) 横磁界 𝐵

図 3.6

𝐽c の磁界依存性を考慮する場合の 𝜃max = 80° のときの FEM による(a)縦磁界 𝐵∥ と(b)横磁界 𝐵⊥ の様子

31

図 3.6(a)、(b)に臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合の、第 2 層加えられる角度
𝜃max に対する磁界の大きさと、電流と磁界のなす角度の結果を示す。

Magnitude of magnetic fieldin second layer

0.07

0.06

FEM
iterative calculation
0.05

0

20

40

60

80

𝜃max

Angle between current and magnetic fieldin second cable(a) 磁界 𝐵

50

0iterative calculation
FEM

−50

0

20

40

60

80

𝜃max
(b) 電流と磁界との角度
図 3.7

角度 𝜃max に対する第 2 層に加えられる(a)磁界の大きさと(b)電流と磁界との角度32図 3.7 に臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合の、第 3 層の角度 𝜃max に対する磁界大きさの結果を示す。

Magnitude of magnetic fieldin third layer

0.088

iterative calculation
0.086

FEM

0.084

0

20

40

60

80

𝜃max
図 3.8 角度 𝜃max に対する第 3 層に加えられる磁界の大きさ

3.4 内側導体 3 層・外側導体 3 層のモデルにおいて臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮する場合
図 3.9 に内側導体 3 層・外側導体 3 層のモデルでの臨界電流密度 𝐽c の磁界依存性を考慮した場合の、第 1 層の角度 𝜃max に対する磁界の大きさの結果を示す。

33

Magnitude of magnetic fieldin first layer

0.1

iterative calculation
FEM
0.05

0
0

20

40

60

80

𝜃max
図 3.9 角度 𝜃max に対する第 1 層に加えられる磁界の大きさ

同様に第 2 層においては図 3.10 にそれぞれ(a)磁界の大きさ 𝐵 、(b)電流と磁界のなす角
を示す。

34

Magnitude of magnetic fieldin second layer

0.08

iterative calculation
FEM

0.06

0.04
0

20

40

60

80

𝜃max

Angle between current and magnetic fieldin second layer(a) 磁界 𝐵

0

iterative calculation
FEM

−50

0

20

40

60

80

𝜃max
(b) 電流と磁界との角度
図 3.10 角度 𝜃max に対する第 2 層に加えられる(a)磁界の大きさと(b)電流と磁界との角度35

第 3 層においては図 3.11 にそれぞれ(a)磁界の大きさ 𝐵 、(b)電流と磁界のなす角

Magnitude of magnetic fieldin third layer

0.092

iterative calculation
FEM

0.09

0.088

0.086
0

20

40

60

80

𝜃max

Angle between current and magnetic fieldin third layer(a) 磁界 𝐵

0

iterative calculation
FEM

−50

0

20

40

60

80

𝜃max
(b) 電流と磁界との角度
図 3.11 角度 𝜃max に対する第 3 層に加えられる(a)磁界の大きさと(b)電流と磁界との角度36を示す。

内側導体 3 層のみの場合、第 1 層に加えられる磁界は、第 2 層と第 3 層が加える縦磁界のみとなり横磁界は加えられない。そのため、第 1 層に流れる電流と加えられる磁界は同方向となるため、電流と磁界のなす角度は

1 =0

°

となる。また、第 3 層に加えられる磁界は、第 1 層と第 2 層が加える横磁界のみとなり縦磁界は加えられない。そのため電流と磁界のなす角度は3 = 𝜃max −0° となる。また、第 2 層の電流と磁界のなす角度

2のFEM による求め方については、第 2 層に加えられる縦磁界 𝐵∥ と横磁界 𝐵⊥ をそれぞれ求め、式(2.17)より導き出している。
内側導体 3 層・外側導体 3 層の場合、縦磁界効果を利用するためには電流と磁界のなす角度が= 0° の場合が最も好ましい。しかし、それぞれ第 2 層と第 3 層の電流と磁界のなす角度の結果では、 𝜃max が小さいところで

2と

3は−

0° 近辺にまで大きくなっている。これは、今回外側導体の角度を 𝜃4 = −𝜃1 、𝜃5 = −𝜃2 、𝜃6 = −𝜃max としたためであると考えられる。以上より、𝐽c の磁界依存性を考慮し、内側導体の最も外側の層の角度である 𝜃max を変化させた場合、各層に与えられる磁界の大きさは、繰り返し近似による近似計
算と FEM の結果を比較するとほぼ一致する。また、電流と磁界のなす角度もほぼ一致する。このことから、繰り返し近似による近似計算は正確であるといえる。また、縦磁界効果を利用した直流超伝導電力ケーブルの構造は複雑ではあるが、式(2.12)や式(2.13)という電磁気の基本的な式の使用で計算を行うことが可能である。

37

第4章

まとめ
希土類系高温超伝導コート線材による縦磁界効果を用いた高温超伝導直流電力ケーブルにおいて、具体的な設計で重要な問題点となっている縦磁界下における超伝導コート線材の配置について、初めに繰り返し近似による近似計算を行い、その近似計算と FEM による結果と比較し正確性を調査した。
今回調査した条件において、直流電流を印加した場合、繰り返し近似による近似計算は正確である。
1.

縦磁界 𝐵∥ と横磁界 𝐵⊥ を求める計算式の確認において、導体層を 1 層のみで考えた場合、求める計算式は正確である。

2.

導体層を 3 層とし、 𝐽c の磁界依存性を考慮しない場合の縦磁界 𝐵∥ と横磁界 𝐵⊥ を求める計算式の比較も正確である。

3.

導体層を 3 層とし 𝐽c の磁界依存性を考慮した場合の繰り返し近似による近似計算とFEM の結果が一致する。

4.

内側導体 3 層・外側導体 3 層とし 𝐽c の磁界依存性を考慮した場合の繰り返し近似による近似計算と FEM の結果が一致する。
縦磁界効果を利用した直流超伝導電力ケーブルの構造は複雑ではあるが、電磁気の基本的な式の使用で計算が可能であるということも FEM による結果と比較することで分かった。このことより、縦磁界効果を用いた高温超伝導直流電力ケーブルの設計においてさらに多層にするなどの複雑なモデルの場合でも、繰り返し近似による方法を用いることが可能であるというということが分かった。

38

謝辞
本修士論文は、筆者が九州工業大学大学院情報工学府情報システム専攻博士前期課程在学中に、小田部・木内研究室において行った研究をまとめたものです。本研究に関して、
終始暖かい激励と御指導・御鞭撻を頂きました小田部荘司教授に心より感謝致します。また、様々な御助言を頂いたビャトキン・ウラジミール博士、木内勝准教授、松下照男名誉教授に深謝致します。
本論文の執筆にあたって、第 3 章で述べた FEM の解析結果については、株式会社フォトン 大嵩智裕氏のアドバイスにより完成させることができました。心より感謝申し上げます。
最後になりますが、一緒に頑張ってきた小田部・木内研究室の同期・後輩の皆様に心より感謝致します。ありがとうございました。

39

参考文献
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ク(下)-材料と応用-(超伝導分科会, 2005)第 11 章

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V. S. Vyatkin, K. Tanabe, J. Wada, M. Kiuchi, E. S. Otabe, T. Matsushita :Physica C 494 (2013) 135

41