J. Plasma Fusion Res. Vol.92, No.9 (2016)６
６５‐６７１

解説

中性流体およびプラズマにおける亜臨界不安定性について
Subcritical Instabilities in Neutral Fluids and Plasmas
LESUR Maxime，佐 々 木 真１），清 水 昭 博２）
LESUR Maxime, SASAKI Makoto１）and SHIMIZU Akihiro２）
ロレーヌ大学ジャンラムール研究所，１）九州大学応用力学研究所，２）核融合科学研究所（原稿受付：２
０
１
６年６月１
７日）

亜臨界不安定性は，非線形不安定性の一種である．亜臨界不安定な系は，線形安定であっても非線形的に不安定となる．特徴として，不安定性が生じるための初期摂動の大きさに閾値が存在し，閾値以下の摂動は減衰し安定化する．亜臨界不安定性は，流体やプラズマにおいて広くみられる現象である．亜臨界不安定性は，乱流や構造形成，異常抵抗性や乱流輸送に本質的なインパクトを与えるため重要な問題である．この解説では，亜臨界不安定性の概念について解説し，様々な物理的局面における研究について紹介する．
Keywords:
subcritical instability, nonlinear instability, fluid, magnetohydrodynamics, kinetics

１．亜臨界不安定性の概念

ばこの振動振幅は時間と共に減少し，やがて初期位置に落亜臨界不安定性は，非線形不安定性の一種である．亜臨

ち着く．しかしながら，初期に与えられる外力が充分大き界不安定な系は，線形安定であっても非線形的に不安定とければ，質点は，ポテンシャルの障壁を乗り越えて，別のなる．特徴として，不安定性が生じるための初期摂動の大ポテンシャル井戸に達するであろう．そうなれば，ポテン

きさに閾値が存在し，閾値以下の摂動は減衰し安定化す

シャルの障壁を越えなければ得られなかった自由エネル

る．亜臨界不安定性は，線形安定性理論では議論できない

ギーを得ることになる．この描像は，亜臨界不安定性の基ため，準線形解析では扱えない．このような不安定性は，本的な概念を定性的に描いている．次に，定量的な解析を流体やプラズマにおいて広くみられる．教育的でわかりや行う．

すい教科書として［１］を挙げることができる．Dauchot と図２は，!を変化させた時のポテンシャル $の様子を示

Manneville らは，ナビエ・ストークス乱流の単純化モデル!
"に 固 定 し て い る）．ポ テ ン シ ャ ル は
し て い る（"#!

に基づき，不安定性の局所的解析に対しての大局的解析の##!の近傍で，!"!の時下に凸であり，!#!では，逆に視点から，亜臨界不安定性の概念を説明している［２］．亜臨上に凸となることに注意する．質点の運動方程式は，次の界不安定性の判定には，局所的な線形安定性解析では不十ように表される．

分であり，考えうる全てのアトラクターを考慮した大局的解析が必要である．ここでは，亜臨界不安定性の概念について説明するために，以下のような簡単なモデルを考える．
重力場において，曲面上を運動する質点の運動を考える．位置 #での曲面の高さを $$#%で与える．この問題は，
電位 $$
#
#
%は，
%における正電荷の運動と同等である．$$
#%，
$$
#
%
#!!##!#$""（１）で与える．ここで，!，"はポテンシャルの形を決めるパラメータである．初期に質点は，##!に存在するとする．
"#!の場合を考え，質点の運動は有限な領域に限定される
図１!
"，!#!#の時のポテンシャル $とする．図１は，"#!
を示している．##!方向の外力を受けたときの質点の位置を丸で表す．もし，外力が充分小さければ，質点は，#＝０の近傍で振動するであろう．もし，なんらかの散逸があれ

亜臨界不安定性を表す概念図を示す．実線の曲線はポテン
シャルを表す．r ＝ 0 における平衡は小さな摂動に関しては安定である（r ＝ 0.5 における丸と矢印）が，ある閾値を越えた摂動に関しては不安定となる（r ＝ 1.5 における丸と矢印）．
corresponding author’s e-mail: maxime.lesur@polytechnique.org

６６５!2016 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.9 September 2016#$
質点は $#!$
,)
.及び，$
,)
.の２つの平衡位置（アトラクター）に容易に近づく．ここで，$を一般的な揺動の振幅として考えれば，この場合は，従来的な線形不安定な場合に相当し，最終的に非線形的に飽和すると捉えることができる．もし，!""#)!"!!ならば，３つの平衡位置（ア$(#!，$#$#!
トラクター）$#!$
,)
.，$
,)
.が存在する．$に質量を置くと，もし $($$,+-)におけるポテンシャルバ
リアを越えることができれば，質点は他の２つの平衡位置に到達することができる．これが，亜臨界不安定性に相当
する．最後に，パラメータ "が時間と共にゆっくりと正から負へ時間発展する場合を考える．質点はまず，従来的な線形不安定性とそれに続く非線形飽和により急激に
図２%$$)に達する．それから，"が負になると，$#!が線,).(パラメータ a を変更した時のポテンシャル $（r）．a は線形
成長率の２乗に比例することに注意．矢印によって示された点について，点 A は r ＝ rmin におけるポテンシャル障壁を表し，点 B は亜臨界不安定性の飽和値 r ＝ rmax を表す．

形安定であるにもかかわらず，*$%*#$)の平衡位置近傍,).(に捕捉されたままであろう．これは，準安定状態や自己持続乱流に相当する．
以上の解析から，図３に示すような安定性に関するダイ

#
*$
/' *$
$
，
# #!!
*$
*%

アグラムを描くことができる．これまで見てきたように，（２）

流体及びプラズマにおいて，この曲線の形が亜臨界不安定

ここで，! は正の定数である．線形化すれば，この運動方
/##
程式は，$
"!$と表される．この式から，$#!における性に典型的な性質となる．また，線形安定性は，１次元パ平衡は "!!ならば安定で，"#!ならば不安定，"#!が安２次元パラメータ空間上（"，$）で与えられる．

ラメータ（"）の条件によって決まるが，亜臨界不安定性は定境界となることがわかる．言い換えれば，線形不安定性の閾値は "#!であると言える．"#!の時，線形成長率は

２．中性流体における亜臨界不安定性+"に比例する．
非線形解析を行うと，上記の線形解析では不十分であるの例が多く報告されている．この章では，亜臨界不安定性

ことがわかる．ポテンシャル勾配は，の概念を分かりやすく説明するために，いくつかの例につ

*$
""%
$#!&
#
$%)
#
#!$
(
，
*$

中性流体における亜臨界不安定性は，理論及び実験研究

い て 述 べ る．ケ ル ビ ン・ヘ ル ム ホ ル ツ（Kelvin / Helmholtz）不安定性，クエット流れ（Couette flow），ポアズイ（３）

ユ流れ（Poiseuille flow）や，平面層流は，亜臨界分岐の明"#値にと表され，*$"*$#!を満たす $は，$#!と，""$確な実例である．有限振幅摂動の成長の物理機構に関する"#%!ならば，$#!以外の応じて他の解が存在する．""$

研究がなされているのでそれらについて紹介する．最後"#!"ならば，$#!以外に４つ実数解はないが，!!""$に，クエット流れにおけるゾンマーフェルト（Sommer-の実数解が存在する．それらの解を $$
,)
.と置く
,+
-と $$

feld）パラドックスについて言及する．

と，

２．
１ 実験計測における亜臨界分岐
Meignin らは，ケルビン・ヘルムホルツ不安定性の実験

""
#

"# ，
"!+""$
$
"
,+
-#!
#
$

（４）

において，明確に亜臨界不安定性を 観 測 し て い る［３］．

""
#

"# ，
""+""$
$
"
,)
.#!
#
$

（５）

"#&"ならば，$#!以外に２つの実と書ける．もし，""$数解 $$,).が存在する．これらの位置におけるポテンシャ
ルの二次微分は，
,
,
$,+
'
-

*#$
"#
"! ""$$ )""#% +(#'，#(*$# ,+-

（６）

*#$
"#
"" ""$$""#% +
(
#'
，
,)
.)
#
(
*$#

（７）

,
,
$,)
.'

である．これらの式から，"#!""#)の時，図２の $
$
(

図３

,
,
,
,
から推測されるように $,+!!，$,).#!となる．
-上記の解析を，安定性という観点から次のように説明できる．もし "&!ならば，$は，$#!で上に凸であるため，
６６６

非線形不安定性のダイアグラム．ダッシュ曲線は閾振幅
|r| = rmin を表す．実曲線は，飽和振幅 |r| = rmax を表す．亜臨界不安定性の領域はハッシュで示してある．図２の点 A，B に相当する点は，この図に矢印で示してある．

Commentary

Subcritical Instabilities in Neutral Fluids and Plasmas

M. Lesur et al.

図４に，実験装置を示す．２種の流体（ここでは，ガスと広がっている．高温プラズマの場合，この広がりが，よりオイル）が，同じ圧力で，２枚の平行平板間の隙間に左側

顕著に大きくなりうる．

から入射され，右側から大気圧にて流れ出ている．ここで，上記の実験の理想極限である非粘性・非圧縮の二層の流ガスとオイルの密度比は 10-3 のオーダーである．ガスの速れにおける亜臨界不安定性は，Weissman が流れの非線形度 "&は，制御パラメータとして用いられ，これが不安定性

解を基に定性的に予言していた［４］．更に，非線形安定性の駆動力となっている．擾乱は，オイルの入射圧力を周期は初期摂動の形状に敏感であることが示されている．

的に変調することによって与えられる（両流体の平均圧力２．
２ 亜臨界成長の物理機構

は一定に保ったままである）．この擾乱は，入口において有限振幅摂動の亜臨界成長の物理機構は，対象とする系（強制振幅）の正弦波で与える．図５は，垂直方向の振幅 !"によって様々あるが，ここでは，２つの古典的な流れ，す実験結果におけるオイル槽の３つの典型的な様相を示して

なわち平面クエット流れと平面ポアズイユ流れに焦点を当おり，それぞれ安定，安定境界，不安定な状態に対応しててる．平面クエット流れの様子を図７に示す．平面クエッいる．

ト流れは，二枚の平行平板の間を流れる粘性流体の薄い層

ガスの速度が充分大きければ，摂動振幅に臨界値が存在流であり，一つの平板は他方の平板に対して動いている．

する．即ち，摂動振幅（!"）が，臨界値より小さければオ

一方，平面ポアズイユ流れは固定された平板間の流れであイルの擾乱は減衰し，臨界値より大きければ，擾乱は成長

り，平面クエット流れにおいて平板の速度がゼロの場合でし，より大きな振幅となって飽和する．図６に摂動振幅あるとみなすことができる．どちらの流れも平板間の流れ!"とガス速度に対する安定性のダイアグラムを示す．不安は，流入口と放出口の間の圧力勾配によって駆動される．

定領域は上向きの矢印（↑），安定領域は下向きの矢印

平面ポアズイユ流れに対して Henningson と Alfredsson（↓）で表されている．摂動振幅における臨界値は白丸で，は，Gad-el-Hak らによる研究を一般化し，「歪みによる成

飽和値は黒丸で表されている．この図から，線形不安定性

長」と呼ばれる物理機構を提案した［５，６］．この物理機構

は，単純に "&#"%!
# と表される．ここで，"%!
# !4.63 m/s

は以下のように説明できる．有限振幅摂動は速度場を歪である．一方で，非線形不安定性はより広い領域に存在し，
そ の 領 域 は "&#"%!$#（こ こ で，"%!$#!4.2 m/s）か つ!"#!%!$#""##で表される．"&""%!#の不安定領域が，亜臨界不安定な領域となる．この図は，図３と形が良く似ていることがわかるだろう．"&の大きさで見ると，線形安定
境界値に対し，９％ほど小さな値から亜臨界不安定領域が

図４

文献［３］
より．亜臨界ケルビンヘルムホルツ不安定性の研究のための流体実験装置を示す．窒素ガスとシリコンオイ
ルが２枚の平行平板ガラス板の間の薄い隙間に左側から入射される．重力は g と記された矢印で示されている．初期のサイン波摂動は，ガスとオイルが出会う左のスプリッ
タータングの先で与えられ，下流の様子が観測された．

図５

文献［３］
より．流体実験結果を示す．波が伝搬するにつれて，振幅は，（a）減衰する，（b）
一定のまま保たれる，（c）
増幅される，のどれかとなり，どれになるかは初期摂動の振幅と，ガスの入射速度に依存する．波が増幅される時，下流で得られた（d）の写真のように，クノイダルライクの波となって飽和する．

６６７

図６

文献［３］
より．強制振幅 A０とガス速度 Ug（不安定性の駆動力）空間における非線形安定性のダイアグラムを示す．白丸は亜臨界不安定性の閾振幅を示す．黒丸は，飽和振幅を示す．曲線は，簡約理論モデルを実験データにフィットして得られたものである．詳細は文献［３］を参照のこと．

図７

クエット流れの概念図を示す．英語版 Wikipedia から参照
（Duk らによる）
https://commons.wikimedia.org/w/index. php ? curid ＝
４
１
６
８
５
６
６．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.9 September 2016

め，摂動によって歪んだ速度場が線形不安定となり，摂動間における運動が重要となる．しばしば，粒子と波の間のが成長するというものである．このように摂動によって歪強い共鳴を引き起こし，非線形的な粒子の捕捉や，速度分んだ速度場は，平面ポアズイユ流れに対して Klingmann

布関数における非波動的揺動の生成につながる．これらのと Alfredsson らによって［７］，平面クエット流れに対して非線形運動論的過程は，流体的描像とは全く異なる部類のは Dauchot と Daviaud らによって実験的に確かめられてい亜臨界不安定性を生じる．安定性のダイアグラムにおいる［８］．

て，閾値は初期擾乱の形成に敏感であるとの点は流体的な亜臨界不安定性と同様であるが，実空間とエネルギー（速次に亜臨界不安定性を与える物理機構として，もう一
例，平板近傍の層流境界層における対流渦よる機構を紹介

度）空間の結合を含んだ物理機構から生じる点が異なる．

する．平板から一定の距離を保ち並進運動する対流渦が，

３．
１ 流体的効果による亜臨界不安定性

平均的流れがある中で起こす不安定機構について，実験的ドリフト波乱流について，亜臨界不安定性と似通った非および理論的研究がなされている［９‐１１］．この不安定性

線形不安定性の議論があるのを紹介しよう．ドリフト波のは，渦の上流または下流のどちらかで成長する．不安定化

線形理論は良く研究されており，磁気シアが存在する時のする領域は，平均的流れの渦度と対流渦の，相対的符号にドリフト波は，トロイダル配位では磁場曲率のために不安

よって決まる．対流渦は，平均的流れの線形不安定性に定であるが，スラブ配位では線形安定となることが示されよって生成されるコヒーレントな構造であり，流れの線形ている．しかしながら，Biskamp と Walter らは，電磁ドリ

安定な領域を散逸せずに運動する．そして，平均的流れか

フト波乱流の二次元流体シミュレーションを用い，磁気シらエネルギーを得て不安定性を引き起こす．この対流渦にアがあるスラブ配位において，ドリフトモードの線形成長

よって引き起こされる亜臨界不安定性は，プラズマ中で重率が負であっても（シア減衰の非線形的抑制が起こるた要な過程である．

め）有限振幅の乱流が維持されうることを示した［１６］．後

２．
３ ゾンマーフェルトのパラドックスに，Scott が衝突性ドリフト波に対して同様の結果を報告

亜臨界不安定性を議論する時，有名なゾンマーフェルト

している［１７］．これらの報告に対して，Drake らは３次元

パラドックス（これは乱流のパラドックスとしても知られ

流体シミュレーションに基づき，乱流の自己持続は半径方ている）を思いつくであろう．このパラドックスはクエッ

向の流れの非線形増幅によることを示した［１８］．この機構

ト流れについて，線形理論と実験観測との不一致に関するは流体的な MHD モデルによって自己無撞着に記述されものであり，１世紀ほど昔から知られている．ゾンマー

る．この乱流が実現するためには，非線形飽和振幅に近い

フェルトは，線形理論に基づいて，流れは全てのレイノル大きさの初期摂動振幅が必要である．それゆえ，これらはズ数において線形安定であることを示した［１２］．その後，準安定状態の乱流であり，亜臨界不安定性とは異なる現象

Romanovは，ナビエ・ストークス方程式を基に平面クエッである．

ト流れの固有値問題を解き，全ての固有値はある有限な負プラズマにおける流体的な亜臨界不安定性は矢木らにの値よりも大きい事を厳密に証明した［１３］．一方，実験的

よって流体シミュレーションによって見出された［１９］．矢には，線形せん断流から乱流状態への変化は，充分大きな

木らは，２次元の静電的電流拡散交換型乱流のシミュレー

レイノルズ数である時，任意の小さな擾乱の元において観ションを行った．彼らは，イオンと電子の非線形性を考慮測されており，線形的な理論解析と合わない．

し，理論が予想する電流拡散による自己維持される亜臨界

実は，この実験で観測されている乱流が，Meignin らに乱流だけでなく［２０］，非線形の飽和レベルよりも一桁低い

よるケルビン・ヘルムホルツ不安定性の実験で観測されて初期振幅からの亜臨界不安定性の成長を観測している．後いる亜臨界不安定性と同様のものであるという明確な証拠に，伊藤らは，この亜臨界不安定性について解析的な理論は得られていない．Li と Lin は，ゾンマーフェルトパラ

づけを行い，数値シミュレーションとの良い一致が得られドックスが線形不安定性の組み合わせによって解決するこている［２１］．彼らは図３と同様の亜臨界分岐特性を示してとができると示した［１４］．また，Li 等の理論とは別の説明いる．他にも例えば，トロイダルプラズマにおける新古典も提案されており［１５］，論争は続いている．これらの例

ティアリングモードによる磁気島の自己形成も典型的な亜は，線形理論が実験と不一致であるからといって，すぐに臨界不安定性を示す［２２］．興味ある読者は，適切な文献を

亜臨界不安定性であると結論づけられるわけではないこと

読んでみてほしい．

を示している．

３．
２ 運動論的亜臨界不安定性

３．プラズマおける亜臨界不安定性と高速イオンによる逆ランダウ減衰が競合するような系に１次元系のプラズマにおいて，電子によるランダウ減衰
プラズマにおける亜臨界不安定性は，流体的もしくは運

ついて，多くの研究がなされている（図８）．

動論的な非線形的効果によって生じる．衝突プラズマにお準線形理論に基づいて，O'Neil は複数モードの運動論的ける粒子分布は流体方程式で正しく記述できる．読者が期

亜臨界不安定性の存在を示した［２３］．この不安定性には，待しているように流体方程式で記述されるプラズマも亜臨（イオンよりもずっと速い）電子の速度分布が平坦化する

界不安定性の特性を持ち，これまでの章で述べたような中ことが重要であり，効果的に電子ランダウ減衰が減少する性流体と多くの類似性を有している．一方，プラズマが高ことによる．成長に必要な運動エネルギーが，減衰に効く

温になると衝突は稀になり，エネルギー（または速度）空共鳴運動エネルギーよりも小さいときに亜臨界不安定性が
６６８

Commentary

Subcritical Instabilities in Neutral Fluids and Plasmas

M. Lesur et al.

が，大振幅の初期正弦波擾乱（"#!
!""）で，また，更に重要 な こ と に，小 さ な 振 幅 の 初 期 BGK 的 な 擾 乱［３８］．我々は，これらの正（"#!
!""!!#）で得られている
弦波的な擾乱や BGK 的な擾乱が発生するシナリオとして
以下のようなものを想定している［３７］．１つ目のシナリオ
は，熱ゆらぎの成長によるものであるが，これは初期条件
が線形安定限界近傍にある平衡の場合に限られる．２つ目のシナリオは，ホールの成長によるものである．これは，外部から駆動されるか，或いは，線形不安定の領域から対流によってもたらされることが考えられる．３つ目のシナ
図８

イオンの速度分布（実曲線）と電子の速度分布（点線）を示す．超熱的イオン（supra-thermal）も含む．背景イオン温
度と電子温度は等しいとしている．イオン／電子の質量比は，図を見やすくするために３０に減らしてある．

リオは，自己維持乱流によるものである．この場合，プラズマの状態がゆっくり線形不安定性から亜臨界不安定性へと変化する時に現れるだろう．
亜臨界不安定性の理論は，Berk-Breizman らのモデルに発生する可能性があることが示された．この理論は，非線よって理解が更に進んだ．このモデルは，衝突と背景プラ

形な粒子捕捉の役割について議論しているが，後で議論さズマによる散逸を含んだ単純なモデルであるが，様々な非れるように，これは多くの文脈において本質的である．非線形的振る舞いを示す［３９］．この系において，亜臨界不安

線形粒子捕捉は，荷電粒子が自分自身の静電ポテンシャル

定性が数値シミュレーションによって観測され［４０‐４３］，

によって捕捉されることであり，これによってBGK的モー

解析的理論も構築されている．初期摂動の振幅の閾値は，ドが発生する［２４］．N'Guyen らは，同様に図８に示すよう

波の散逸による位相空間構造の成長と，衝突による減衰のな状況における単一正弦波について研究し［２５］，もう１つバランスによって決まる［４４］．

のタイプの亜臨界不安定性を明らかにした．これは，非線

トロイダルプラズマでは，近年，小菅らによって捕捉イ

形減衰の抑制によって駆動されるもので，非線形粒子捕捉

オンモードにおいて運動論的亜臨界不安定性の存在の可能によるものである．のちに，彼らはこのタイプの亜臨界不性が理論的に示された［４５］．この過程では，電子散逸によ

安定性は，標準的なトカマクにおいて，"アルヴェンモー

る不安定化が重要である．既に議論したような一次元系とドや測地線音波等で観測されうることを示した［２６］．

同様に，位相空間におけるホール構造の非線形挙動に基づ

位相空間ホールによる亜臨界不安定性も重要であり，以

いているが
［２９，
４６］，共鳴粒子の捕捉が乱流場によって壊下で述べるように多くの現象が報告されている．位相空間

され，有限な寿命を持つ位相空間構造（グラニュレーショ

ホールは，BGK 渦に似た構造を持ち，渦内で位相空間分布

ン）が重要な役割を持つ［４７‐４９］．

密度のくぼみを伴う．これは，運動論的な渦として特徴的

３．
３ 流体と運動論のハイブリッドモデルによる亜臨界不安定性なものである．流体的な渦は，実空間において存在するものであるが，それに対し位相空間ホールは，実空間および

ここ数１
０年来，理論的な理解は進展していたが，運動論

エネルギー空間にわたる渦である．位相空間ホールの存在

的亜臨界不安定性の実験観測は得られていなかった．最は，２ビーム不安定性の数値シミュレーションで予測され近，運動論的亜臨界不安定性と考えられる振る舞いが観測［２７］，理論研究による説明［２８，２９］，さらに様々な宇宙及された［５０］．さらに理論モデルによって，流体及び運動論

び実験室プラズマにおける実験観測によって観測されてい的非線形性の協同によって駆動されたものであることが示

る［３０］．位相空間構造に関するより詳細な記述は，チューされた［５１］．以下でその研究を簡単に紹介する．

トリアルの参考文献［３１］または，レビュー文献
［３２，
３３］を

大型ヘリカル装 置（LHD）におけ る プ ラ ズ マ に お い参照すると良い．Dupree は位相空間ホールが非線形に成て，高エネルギー粒子によって駆動された測地 線音波

長し，亜臨界不安定性が駆動されることを解析的に示した（EGAM）のバーストが，突発的に成長するより大振幅の

［２５，
２９，
３４，
３５］．これは，Berman らによって，１次元無衝

別のモードのバーストを伴う様子が観測された．この現象

突電子イオンプラズマにおけるイオン音波の数値シミュは，従来の物理機構，例えば乱流のみの非線形結合［５２］やレーションにおいて確かめられた［３６］．彼らは，正弦波の高エネルギー粒子の共鳴［５３］では説明することができな

初期擾乱を与えたラグランジアン（particle-in-cell）シミュい．また，実験結果から，突発的モードの不安定化に，

レーションを実施し，小さな振幅の閾値で，線形閾値よりEGAM 振幅の閾値が存在することがわかった．我々は，流もかなり小さい速度ドリフトで，亜臨界不安定性が成長す

体及び運動論的非線形性を考慮した簡略化１次元モデルにることを発見した．最近，我々は，ラグランジアンとセミ‐基づいた理論的解釈を提案した．このモデルを用い，実験

ラグランジアンの両シミュレーションによって，これらのプラズマと矛盾ない入力パラメータで，時間発展及び位相

結果は，粒子数の不足による偽の数値ノイズによるもので関係について，実験結果を定性的に再現することに成功しあることを発見した．この粒子数の不足は，８０年代のコンた．この突発的バーストは，流体と運動論のハイブリッド

ピュータリソースでは止むを得ない状況であった［３７］．最な非線形性による新しいクラスの亜臨界不安定性であるこ

近のコンピュータによる計算では，明瞭な亜臨界不安定性とを明らかにした．さらに，突発的挙動が，衝突周波数に
６６９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.9 September 2016

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は，後者の場合に分類される．

４．結言
亜臨界不安定性は，中性流体やプラズマに広く見られる
普遍的な現象であり，自由エネルギーの解放や乱流への遷移に関わる非線形現象を伴うため興味深い．亜臨界不安定性は様々な物理機構から生じているが，振幅に閾値があること，振幅の増大と共に大きくなる成長率等の共通の性質を有する．本記事では紹介できなかったが，亜臨界不安定性の観測は多岐に渡り，ナノスケールの磁気接触系におけるスピン波等にも見られる［５５］．興味ある読者はこの記事で議論されなかった他の文献にも目を通すことを薦める．

謝(2014).
［３２］A. Luque and H. Schamel, Phys. Rep. 415, 261 (2005).
３］H. Schamel, Phys. Plasmas 19, 020501 (2012).
［３［３４］T.H. Dupree, Bull. Am. Phys. Soc. 26, 1060 (1981).
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［３７］M. Lesur et al., Plasma Phys. Control. Fusion 56, 075005(2014).
［３８］M. Lesur, Comput. Phys. Commun. 200, 182 (2016).
［３９］H.L. Berk and B.N. Breizman, Phys. Fluids B 2, 2226 (1990).
［４０］H.L. Berk et al., Phys. Plasmas 6, 3102 (1999).
［４１］M. Lesur et al., Phys. Plasmas 16, 092305 (2009).
［４２］M. Lesur et al., Phys. Plasmas 17, 122311 (2010).
［４３］M. Lesur and Y. Idomura, Nucl. Fusion 52, 094004 (2012).
［４４］M. Lesur and P.H. Diamond, Phys. Rev. E 87, 031101 (2013).
［４５］Y. Kosuga et al., in preparation, (2016).
［４６］P.W. Terry et al., Phys. Fluids B 2, 2048 (1990).
［４７］H. Biglari et al., Phys. Fluids 31, 2644 (1988).
［４８］Y. Kosuga et al., Phys. Plasmas 21, 102303 (2014).
［４９］T.H. Dupree, Phys. Fluids 15, 334 (1972).
［５０］T. Ido et al., Phys. Rev. Lett. 116, 015002 (2016).
［５１］M. Lesur et al., the LHD Experiment Group. Phys. Rev.
Lett. 116, 015003 (2016).
［５２］P.H. Diamond et al., Plasma Phys. Control. Fusion 47, R35(2005).
［５３］G.Y. Fu, Phys. Rev. Lett. 101, 185002 (2008).
［５４］M. Lesur et al., Nucl. Fusion 56, 056009 (2016).
［５５］G. Consolo et al., IEEE Transactions on Magnetics 45,
5220 (2009).

辞第一著者は，Festival de Theorie の参加者との有益な議論 に 感 謝 す る．本 研 究 は，EURO fusion consortium とFrench Research Federation for Fusion Studies の枠組みで行われたものである．但し，ここで示された視点や意見は，
European Commission のそれを反映しているわけではない．

参考文献［１］A. Yohizawa et al., Plasma and Fluid Turbulence: Theory
and Modelling. Series in Plasma Physics and Fluid Dynamics. CRC Press, (2002).
［２］O. Dauchot and P. Manneville, J. Phys. II France 7, 371(1997).
［３］L.Meignin et al., Phys. Rev. Lett. 90, 234502 (2003).
［４］M.A. Weissman, Philos. Trans. R. Soc. London A 290, 639(1979).
［５］D.S. Henningson and P.H. Alfredsson, J. Fluid Mech. 178,
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［１２］A. Sommerfeld, Proc. 4th Int. Congress of Mathemati-

６７０Subcritical Instabilities in Neutral Fluids and Plasmas

nonlinear processes in hot plasmas, in the contexts of energetic
particles and drift-waves in fusion devices and space plasmas.
Currently focusing on merging vortices and staircase temperature profile formation in the core of tokamaks.
Married (to a Japanese housewife), 3 years old son.

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Maitre-de-Conferences（准教授）.
In Institut Jean Lamour, Lorraine University, Nancy, France.Theoretical research(analytical and numerical) on fundamental!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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し

みず

あき

ひろ

核融合科学研究所助教．大型ヘリカル装置
LHD の重イオンプローブの開発研究と，この計測器を用いた電場形成の物理研究を行っている．最近は，更なる S/N 比改善と二次元搖動の取得に向けて頑張っています．また，プラズ
マ・核融合学会誌の編集委員として，学会誌の発展向上にも取り組んでいます．

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清 水 昭 博

き

まこと

佐 々 木

さ

さ

真

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LESUR Maxime!!!!!!!!!!!!!!!!!

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M. Lesur et al.

九州大学応用力学研究所助教．２００
９年３月
東京大学大学院理学系研究科物理学専攻博士課程修了，博士（理学）．プラズマ輸送，帯状流等を含む流れの形成，高エネルギー

粒子の物理に関心を持ち，理論・シミュレーションを使って研究を行っています．家族構成は妻と８歳と６歳の娘２人．
趣味はテニス．

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Commentary!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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