J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.8 (2023) 385-391

講座 今更聞けない !? 磁場閉じ込めプラズマの微視的不安定性

6 ．微視的テアリング不安定性
6. Microtearing Mode
沼 田 龍 介，柳 生 光 義，前 山 伸 也 1 ）NUMATA Ryusuke, YAGYU Mitsuyoshi and MAEYAMA Shinya 1 ）兵庫県立大学大学院情報科学研究科， 1 ）名古屋大学大学院理学研究科（原稿受付：2023年 7 月 6 日）

ジャイロ運動論モデルを出発点にして，衝突性の微視的テアリング不安定性の分散関係を導出する．電子イオン衝突の効果と境界層問題の取り扱いに注意して説明する．電子温度勾配存在下では衝突によって実効的な力（熱力）が生じるが，熱力の時間依存する成分による電磁場のゆらぎの位相のずれが微視的テアリング不安定性を引き起こすことを示す．また，微視的テアリングモードが磁気面破壊を伴う不安定性であることを説明する．
Keywords:
time-dependent thermal force, boundary layer, parity, magnetic reconnection

6．1

はじめに

不安定性が生じる．

微視的テアリングモード（マイクロテアリングモード；

微視的テアリング不安定性は古くから知られているもmicrotearing mode）は磁場揺動を伴う電磁的不安定性でのの，その線形の振る舞いについても十分に理解されてあり，高ベータプラズマにおいて電子の異常輸送の原因いるとは言えない．特に，衝突が弱い領域において不安となると考えられている．近年微視的テアリング不安定

定性が存在するかどうか（無衝突マイクロテアリングモー

性のジャイロ運動論シミュレーションが盛んに行われてド）については議論がある．不安定化させる機構だけでおり，トカマクプラズマ［1，2］や逆磁場ピンチプラズマ［3］はなく，反磁性ドリフト［10］やイオンの有限 Larmor 半径などにおいて電子の異常輸送を担う原因になり得ること

効果［11］などの安定化効果を丁寧に検討する必要がある．

が示されている．微視的テアリング不安定性は磁場のト

本章では，Drake ら［6］にしたがって，スラブ配位におポロジーを変化させる（磁気面を破壊する）ため，磁気けるジャイロ運動論モデルを用いた衝突性の微視的テア

島状の磁場構造を作り出し，磁力線に沿った方向の電子

リングモードの導出を行う．テアリングモードの解析で輸送が増大すると考えられる．

は，磁場配位の特異性により境界層が生じるため，漸近微視的テアリングモードの線形理論は，抵抗性の電磁接続の方法を用いて固有値問題が解かれる．はじめに 6．2

流体力学（Magnetohydrodynamics; MHD）的不安定性

節で流体モデルに基づくテアリングモードの解析を振りであるテアリングモードの理論［4］を，運動論モデルに返り，6．3 節で同様の解析を運動論効果を取り入れて拡張

基づいて拡張する形で Hazeltine らによって提案されたする．ここでは衝突性の微視的テアリングモードに注目［5］．非一様なプラズマにおいて電子温度勾配が駆動する

し，電子の運動論的取り扱いから熱力の効果を取り入れ不安定性が新たに見いだされたわけだが，これは衝突性

た電子の実効的電気伝導度の導出を行う．微視的テアリの不安定性であり，衝突周波数 ν が粒子の速度に依存し，ングモードの線形分散関係を導出し，不安定化描像の説

電子の反磁性ドリフト周波数程度であるときにのみ不安明，および最近行われたジャイロ運動論シミュレーショ

定性が生じることが示されている．Drake らは，その後，ンの結果を紹介する．最後に，6．4 節で微視的テアリング

同モードの衝突周波数依存性について，衝突が強いパラ

モードの摂動の対称性の性質（パリティ）について説明し，

メータ領域から無衝突領域にわたって体系的に論じてい磁気面破壊を伴う不安定性であることを説明する．

る［6］．その後，Hassam は微視的テアリング不安定性の

なお，記号の定義は本講座 2 章にしたがう．

不安定化機構を流体モデルを用いて説明した［7，8］．温度

6．2 境界層問題としてのテアリング不安定性解析

勾配が存在するとき，Fokker-Planck 方程式を ω/ν≪1 の仮定（ω－1 は考えている現象の時間スケール）のもとで抵抗性の 2 次元非圧縮簡約化 MHD 方程式を用いた（微Chapman-Enskog 展開すると，衝突によって熱力と呼ば視的ではない）テアリングモードの解析についておさられる実効的な力が生じること［9］が示されるが，ω/ν についしておく．z 方向に一様な背景磁場 B ＝ B0zˆ ＊ 1 が存在す

いて高次の，時間に依存する熱力の成分まで考慮するとるとき，簡約化 MHD 方程式は静電ポテンシャル ϕ とベク＊ １ 磁気リコネクションの文脈ではガイド磁場に対応する．
Graduate School of Information Science, University of Hyogo, Kobe, HYOGO 650-0047, Japancorresponding author’s e-mail: ryusuke.numata@gmail.com

385Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.8

August 2023

トルポテンシャルの z 方向成分 Az を用いて以下のようにとした．k‖ は x 依存性をとできる．ここで，k‖＝k（x/Ls）
y与えられる．

持つことに注意．内部領域において Azky が一定であるという近似（constant-Az 近似）を用いた．また，本来なら

c2
∂Az
⎧ cϕ
⎫
   ＋⎨
，Az⎬＝   ∇2Az,
⎩ B0
⎭ 4πσ
∂t

ば，ϕ の効果を正しく取り扱うためには（ 4 ）と連立させ（1）る必要があるが，その効果は高々定数係数程度であると∂ c∇2ϕ ⎧ cϕ c∇2ϕ ⎫1，   ⎬＝   {Az，∇2Az}． （ 2 ）     ＋⎨⎩ B0
B0
B0 ⎭ 4πρ∂tいうことがわかっているのでここでは省略した．（厳密な取り扱いについては［5，12］などを参照．）内部領域幅

こ こ で，∇ ＝ ∂ /∂x ＋∂ /∂y は 2 次 元 の ラ プ ラ シ ア ン，の δ は（ 3 ），（ 4 ）の各項がバランスするスケールとして，（∂b/∂x）は Poisson 括 弧（∂b/∂y）－（∂a/∂y）{a，b}＝（∂a/∂x）（δ/Ls）4＝（－iω）τA2/τR と決まる．（ 5 ）左辺の積分は，内部である．また，質量密度 ρ は非圧縮性より定数とする．

領域と外部領域の接続性＊ 2 から

2

2

2

2

2

（ 1 ）は Ohm の法則の z 方向成分，（ 2 ）は渦度方程式の z 方δ

Ls2 dAzky
Ls2 Δ'
Azk（0）＝  
      
y
dx
τR
τR 2
0

向成分である．電気伝導度 σ は E＋v×B/c＝j/σ を満たす
ように取る．

（6）ext

平 衡 状 態 と し て，x 方 向 に 変 化 し x＝0 で 向 き を 変 えとなる．ここで Δ' は外部領域の解 Azky から決まるパラメー

る 磁 場 Byeq（x）＝－∂Azeq /∂x を 考 え， そ の 安 定 性 を 考 察

タであり，以下で定義される．

する．この平衡磁場は反平行で磁気リコネクションを

ext

|

dAzky
2
Δ'＝       
．
ext
dx 0
Azk（0）y

起 こ す 成 分 で あ る た め， リ コ ネ ク シ ョ ン 磁 場 と 呼 ぶ．
˜ z，ϕ＝ϕ˜ として線形化し，時刻 t と y 方向に
Az＝Azeq（x）＋A（7）

˜
Fourier 変換（ϕ＝∑e－i（ωt－kyy）など）すると以下のkyϕk（x）y

整理すると，テアリングモードの固有値（γ0 と書く）とようになる．

してcϕkyc2－iωAzky＝－ikyByeq    ＋  
4πσ
B0

（

（（

）

（

）

－iωτA＝（Δ'Ls）4/5S－3/5×const.≡γ0τA

d2
2
  －k
（ 3 ）y Azky，dx2）が得られる．S≡τR/τA は Lundquist 数である．

）

cϕky
d2
d2
d2Byeqiky
2Byeq   Azky .
＝－－iω   
－ky2
2－ky Azky－  
dx2
dx
dx2
4πρ
B0


（8）

6．3

（4）

微視的テアリングモードの線形分散関係

内部領域では抵抗以外にも運動論効果などの非理想この固有値問題を解いて，小さいが有限な電気抵抗 1/σ のMHD 効果が働くため，内部領域の解析に対してジャイロ

効果によって不安定化する抵抗性のモードの固有値を求運動論モデルを用いて，前節と同様の固有値問題の定式

めたい．そのため，固有値 ω は Alfvén 時間と抵抗時間に化を行う．一般には，内部領域にイオンの有限 Larmor 半

対して，τA≪ω ≪τR とする．ここで，Alfvén 時間と抵抗

径効果が働く領域と電子の運動論効果が働く領域があら

時間は，それぞれ，磁場 Byeq の典型的な大きさ（ここではわれ，二段階の接続を行う必要があるが，ここでは簡単

4πρ と Byeq の変のためイオンの運動論効果は無視し電子の効果のみを考－1

B0 とする）を用いた Alfvén 速度 vA ≡ B0/

化するスケール Ls によって，τA＝1/（kyvA），τR＝4πL2sσ/c2

慮する．また，電子についても有限 Larmor 半径効果を無で与えられる．電気抵抗と慣性項が無視できるとき，固有視する．電子の運動論効果は，電場と電流の関係を結ぶ関数は（ 4 ）の右辺＝ 0 で与えられるが，B・∇＝Byeq ∂/∂y＝0

電気伝導度の効果に繰り込まれる．

となる場所（ここでは磁気中性点と呼ぶことにする．一ˆ を考える．z 方向
シアを持った磁場 B ＝ B（z（x/Ls）y）
0 ˆ＋

般には面．）において特異性を持つため，固有関数はそのの変動がない 2 次元の場合を考えると，内部領域を考えˆ・∇＝（x/Ls）∂/∂y となる．ているため x≪Ls に注意して，b点で急峻に変動する．そのような領域ではもはや電気抵
抗や慣性項を無視することはできない．そこで，変動がまた vDs ＝0．微視的テアリングモードは衝突の効果によっ

緩やかで電気抵抗や慣性項が働かない領域（外部領域）と，て生じると考えられるため，衝突の項を含んだジャイロ

磁気中性点近傍の急峻な構造を持つ領域（内部領域）に

運動論方程式

わけて解を求めて，それらを接続領域で接続する漸近接
磁気中性点（x ＝ 0 にとる）近傍の内部領域においては，（る．この近似のもとで（ 3 ）を内部領域幅（δ と書く）にわ
たって積分すると


＊2

  δ

）

（9）

を考える．前節と同様方程式は k‖ ＝ kyx/Ls を介して x 依存性を持っており，y 方向のみに Fourier 変換した．衝突モデ

  

δ
d2Azk
dx  2 y ＝ dx（－iωAzky＋ik‖cϕky）∝－iωAzk（0）
δ
y
dx
0
0



）

esFMs ∂〈ψky〉sT＝       ＋ iω＊s〈ψky〉s Ts∂td/dx≫ky とし，平衡磁場は近似的に Byeq ＝ B（x/L
と書け
s）
0

L2s
τR

（

∂hsk
ν（v）
∂
∂
s
   y ＋ ik‖v‖hsky －     （1 － ξ2）   hsky
∂t
2
∂ξ
∂ξ

続の方法によって解を求める．

ルとして，ここでは電子のイオンからのピッチ角散乱のみを考える．密度は保存するが，運動量は保存しない．ピッ（5）チ角変数として ξ ＝ v‖/v ＝ cosΘ を用いる（Θ はピッチ角．

内部領域の十分遠方における Azky の傾きと，外部領域の原点における Azky の傾きが一致するという条件．

386

Lecture Note

6. Microtearing Mode	－32 章参照）＊ 3．衝突周波数は νei（v）＝（3 π /4）ν（v/vcte）に代入し，Pn の係数について整理すると

3
π /3）ei2ee2ni ln Λ/（me2vte）は背景プラズマのパラで νc＝（16ik‖v
T eeϕkyiωh0＝   h1＋i（ω－ω＊e）   FMe，
Te
3

メータが与えられれば決まる定数パラメータである．
ジャイロ運動論方程式の速度モーメントを取り粒子位（（δu‖s＝（1/ns）∫d3vv（h（esϕ/Ts）FMs）の揺動を計算すると
s－‖n（n＋1）



esϕk
esϕk
2 2
－iω（Γ0s－1）   ⊥ ＋iω＊s（Γ0s－ηsk⊥
ρtsΓ1s）  ⊥ ，
Ts
Ts

  ∞

n

（15）

n＋1

を得る．hn は衝突の効果により n とともに小さくなるたd vν v h ＝め，以下では n≥2 の項については無視する．Legendres ‖ sk⊥

（

ei

n－1

‖

（10）
3

）

ν ）h ＝（iω－    2nn＋1ik v     h ＋    h（ 2n－1）（n≥2）
2n＋3

  ∞
δnsk⊥
dx
  ik‖δu‖skye－ikx x－iω   ＝－－∞ 2πnsmsδu‖skms－iω    ⊥ ＋  
n
Ts
sTs

（13）

2
T eeA‖ky）   vFMe，（iω－νei）h1＝ik‖v h0＋ h2 －i（ω－ω＊e
cTe
5

（14）

置での密度（δns＝∫d3v（hs－（esϕ/Ts）FMs））
・磁場方向速度

R. Numata et al.

多 項 式 の 直 交 性 か ら neδu‖eky ＝（4π/3）∫dvv3h1 で あ り，

）

esϕky
es A‖k⊥δP‖skydx  ik‖    ＋   e－ikx x＋iωΓ0s
－
－∞ 2π
nsTs
Ts
cTs

h1 か ら 速 度 の 揺 動 の 表 式 が 得 ら れ る（ 密 度 の 揺 動 は

es A‖k⊥2 2－iω＊s（Γ0s＋η（Γ）s0s－k⊥ρts Γ1s）cTsのと等しい）．電流を j‖ ＝ eeneδu‖e とすると σ ＝ j‖/E‖ からδneky ＝ 4π∫dvv2h0－（eeϕky /Te）ne となり，先程計算したも（11）

電気伝導度が得られる＊ 5．

/ sB0Lns），
が 得 ら れ る ＊ 4． こ こ で，ω＊s＝－ckyTs（e/ e sB 0L Ts） でη s ω ＊s ＝－c k y T s（

あ

る．

ま



2 2
2 2
Γ1s＝（I（k－I（k）e－k⊥ρts． た だ し，I（I
は0次
0
⊥ρts）
1
⊥ρts）
0 1）
2

（

）

T
iω
8 ω2peω＊e2dvv
ˆ ˆ 4        1－   e－vˆ ．
σ＝－  2iω（iω－νei）＋νeik‖Dω
3 π 4πた，2（ 1 次）の変形 Bessel 関数．電子については k⊥ρte→0 とし，



2 2
イオンについて k⊥ρti≪1 として Γ0i － 1→ － k⊥ρti，Γ1i→ 1

（17）

v＝v/
ˆ （ 2 vte）とした．ωpe＝ 4πneee2/me は電子プラズマとすれば，粒子位置での準中性条件（δne ＝ δni）からドリフトの項を除いて（ 4 ）に内部領域の近似を施した式が/周波数．ここで，D ≡ v2（3νで磁力線に沿う方向の密度・ei）得られる．一方，イオンの速度については電子との質量比

温度の拡散に対応する．衝突が強く ω≪νei，かつ D の効から無視すると，方程式系を閉じさせるため粒子位置に果が無視できるとき（k‖2D/（iω）＝O（ε2）），実効的な電気おける電子の磁力線方向の圧力揺動（δP‖s ＝ ∫d3 v（msv‖2 /2）

伝導度として（hs－（esϕ/Ts）FMs））が必要となる．これらの効果は電気

（

）
iω
105
ω
＋       （1－   （1＋4η ））＝σ X
（18）ω
16 （ν /2 ）

32
ω2pe
ω＊e
5
σ＝     3/2     1－    1＋  ηeω
3π（νc /2 ） 4π2伝導度としてまとめられ，最終的に磁力線方向の電場
E‖ky＝iωA‖ky/c－ik‖ϕky と 電 流 j‖ky＝－（d2/dx2 －ky2）A‖ky（c/4π）の関係として（ 3 ）と同等の関係が得られる．このとき電c

気伝導度 σ の項が，以下で計算される実効的な電気伝導度

3/2

＊e

e

L

2
/
（4π）
（23/2/νc）はピッチ角）（ωpeが得られる．σL ＝（32/（3π））に置き換わる．
ピッチ角散乱による衝突を考慮し，衝突周波数が大き散乱作用素に対する（反磁性ドリフトの効果を含まない）

いという仮定，k‖v/νei，iω/νei＝O（ε），のもとで電子の応

通常の電気伝導度で，表記を簡潔にするために反磁性ド答を計算し，電気伝導度を導出する．Legendre 関数はピッリフト等の寄与を X で表した（Drake ら［6］と vte の定義が

チ角散乱作用素の固有関数であることから，電子の分布関異なることに注意されたい．νei，σL は vte の定義によらな数 を Legendre 展 開 し heky＝∑hnP（ξ）と 書 く．Legendrenいが，νc は vte の定義に依存する）．前節の（ 5 ）と同様に多項式 Pn は∂∂＝－n（n＋1）P（ξ）
  （1－ξ2）  P（ξ）
n
n
∂ξ
∂ξ

d2A‖ky4π
4π
4π    ≃－  j‖ky＝－  σE‖ky≃－  σiωA‖ky（19）
c
c
c2
dx2

（12）

の近似式を内部領域幅にわたって積分し，外部領域パラ
メータ Δ′ と接続することでを満たし，P0 ＝ 1，P1 ＝ ξ である．ジャイロ運動論方程式＊3

速度空間座標として v ＝ 2ϵ/ms ，ξ を用いると d3v ＝ 2πv2dvdξ．ξ の範囲は－ 1≤ξ≤1．

＊4

 の箇所でのみ x 方向にも Fourier 変換した表式を記載した．Γ0s などの項が存在するため，表記の都合上の問題であり，以降の議こ論には影響しない．また，x 依存性を持つ項が適切に Fourier 変換できる（収束する）ことを保証するものではない．
Drake ら［6］の結果と比較すると，被積分関数の分数部分が異なる．Drake らは，分母を＊5（iω－k‖2 D）              （16）   （iω－νei）
 しているが，iωk‖2D の項は他の項に比べて小さく（iωk‖2D/（iωνei）＝O（ε2）），O（ε）までは（17）と等しい . ここでは説明しなかったが，とD の効果を考慮した準衝突領域については Drake らの結果に若干の修正が必要と思われる．

387

Journal of Plasma and Fusion ResearchAugust 2023

ント化モードの分散関係は（23）の γ0 の項がゼロの場合と

1 Δ′Ls2
－iωX＝

τR 2δ

等しく，微視的テアリングモードと自己フィラメント化（20）

モードの不安定化機構の本質は同一であると考えられる．
ただし，磁気シアがある場合にはテアリングモードと同を得る．τR は σL を用いて定義した拡散時間．内部層幅 δ/ RX）とすれば，を（δ/Ls）4＝（－iω）τA2（τ（Vol.99, No.8）（

様に，磁気中性点に局在化した固有関数の構造が見られ
る．

）（ ）

3
5
ω＊e
5
105 iω
ω＊e
γ01＋ ηe ＋    
1－ （1＋4ηe）＝i
1－
3/2
ω
ω
ω
2
16（νc /2 ）



6．3．2

微視的テアリングモードのジャイロ運動論シミュ
レーション

（21）

著者らが最近実施した微視的テアリング不安定性のジャイロ運動論シミュレーションの結果［13］を紹介する．

を得る．オーダリングとしてここで用いたジャイロ運動論シミュレーションコード

ω
ηeω＊e
ω＊e
～    ～    ～ ε≪1
νc
νc
νc

AstroGK［14］では，衝突演算子としてピッチ角散乱に加（22）

えてエネルギー拡散を含み，粒子数，運動量，エネルギー

5/3＝ O（1）のとき，反磁を満たす解を探す．右辺が（γ0/ω）

を保存するように構成されている．そのため，実効的電性ドリフトの効果を含んだテアリングモードの分散関係

気伝導度に含まれる係数の数値が理論解析のものと異なが得られ，Δ′ ＜ 0 のとき安定である．次のオーダとしてるが，不安定化に必要な機構は備わっている．

（γ0/ω） ＝ O（ε）とする．このとき，

図 2 にシミュレーションから得られた微視的テアリン

5/3（iηeω＊eωγ0   ＝1＋α    ＋i1/3   
ωMT
νc
ωMT

）
5/3

グモードの固有値（虚部（成長率）のみ）の衝突周波数依存性を示す．丸と十字の記号はエネルギー拡散項の有（23）

無による結果である．微視的テアリングモードは衝突周が 得 ら れ る． た だ し，α＝（105/16）
（3/2）
（2 ），

波数が電子の反磁性ドリフト周波数程度の時にのみ存在

ωMT ＝ ω＊e
（1＋（5/2）ηe）とした．γ0 の項は Δ′ ＜ 0 のとき安し，衝突の効果が強い場合，弱い場合はいずれも安定に3/2定化に効くため，不安定化に寄与するのは右辺第 2 項のなることがわかる．これは，以前から知られている Gladd

みである．実効的な電気伝導度（18）のうち iω/νc に比ら［15］による数値的な解析結果と定性的に一致する結果

例する項は，温度勾配が存在するときに衝突によって生となっている．また，ピッチ角散乱作用素や衝突周波数

じる熱力のうち，時間に依存する成分であり，時間依存の v 依存性を落とすと不安定化されないことも確認してい＊6

する熱力の存在が微視的テアリング不安定性の不安定化に必要であると言える．分散関係にあらわれる係数（熱力にかかる 105/16 など）は，衝突項を積分した結果生じたもので，衝突モデルが変わると数値が変わる．さらに，
6．
3．2 節で説明するように，衝突が弱い領域では α は定数でもなくなる．ここで重要なのは，不安定化に必要な時間依存する熱力項はピッチ角散乱作用素と v に依存する衝
突周波数を用いたときのみ導かれるということである．
6．3．1

不安定化の描像

実は，時間依存する熱力項があると磁気シアがなくても不安定モードが存在する．これは自己フィラメント
化（self-filamentation） モ ー ド と 呼 ば れ る［7］． 磁 気 シ
アがない場合，磁力線方向のベクトルポテンシャルの変
動 は，Faraday の 法 則 に よ り ∂A‖/∂t ＝ － E‖ と 書 け， 揺
らいでいる磁力線方向に圧力・熱力とバランスする電場
˜・∇（neTe）が形成される．磁場が時間的にE‖∝（1/eene）b
変動すると，それに応じて電場も変動し，電磁場の波動が生じる．さらに，時間依存する熱力の効果を考慮すると，電場の形成に遅れが生じ，磁場と電場のゆらぎの位相がずれる．このときの電磁場の位相関係を図 1 に示す．
˜ ‖ の実線で示すように，磁場に対して電場の位相
Shifted E

図1に遅れが生じると磁場揺動が成長する．これは静電的ドリフト波が密度と静電ポテンシャルのゆらぎの位相のずれによって不安定化する描像と似ている．自己フィラメ＊6

微視的テアリング不安定性の不安定化描像（参考文献［13］の図 1 を引用）．図中上部に電磁場の位相関係を，下部に磁場の振動の様子を示す．揺動磁場方向に電場が生じ，時間依存する熱力によって磁場に対する電場の位相遅れが加わると微視的テアリング不安定性が生じる．

 お，記号の定義の都合上，温度勾配による反磁性ドリフト周波数を ηeω＊e と書いているが，密度勾配が存在する必要はない．ここなでの主役はあくまで温度勾配である．

388

Lecture Note

6. Microtearing Mode	R. Numata et al.

ドの導出を振り返ると，磁気中性点 x＝0（トーラスプラ

Growth rate: Im（ω）［ω＊e］

ズマにおいては共鳴面）において摂動ベクトルポテンシャ
ルは x 方向に偶関数（最低次近似としては x 方向一様）でA‖≃A1 cos（kyy）であり，生じる摂動磁場 ∇×（A‖z）
ˆ ＝－kyA1 sinˆ は x 成分を持つ．磁気シアを持つ平衡磁場と（kyy）x/（kyy）＋A1 cos
あわせて磁力線追跡（磁束関数－ B0x2（2Ls）の等値面を振幅を適当に定めて描画してみるとよい）を行うと，摂動により磁気面が破壊され磁気島が形成されることがわかる．トーラスプラズマにおける微視的テア
リングのモード構造についてもおおよそ同等の議論が成り立つ．
微視的不安定性がテアリング，つまり磁気面を破壊するかどうかは，摂動の持つパリティに特徴づけられる．
本節では概略を説明するに留め，より詳細に学びたい読

ν［ω
c
＊e］
図2

者は過去の小特集「トーラスプラズマにおけるパリティ」［16］を参照されたい．平衡磁場がステラレータ対称性

微視的テアリングモード成長率の衝突周波数依存性（参考文献［13］の図 5 を引用）．図中の ω＊e は，温度・密度勾配による反磁性ドリフト周波数の和である．丸と十字の記号
はエネルギー拡散項の有無であり，点線は理論解析で得られた分散関係（23）に熱力係数 α としてシミュレーションから得られた αtt，（νを用いた結果をあらわしている．
i c）

B（r，－ θ，－ ζ）＝B（r，θ，ζ）［ トカマクのような軸対称配位の場合には上下対称性 B（r，－ θ）＝B（r，θ）］を持つ場合を考える．本講座第 2 章の線形化された局所ジャイロ運動論的方程式に対し以下のパリティ変換 P，
PQ（kx，ky，z，v‖，μ）→Q（－kx，ky，－z，－v‖，μ）， （24）る．さらに，シミュレーション結果から，熱力の効果を測定すると不安定領域は熱力の効果によって説明できる
ことが確認できる．シミュレーション結果から熱力の係を 施 す と， あ る 揺 動（hsk⊥，ϕk⊥，A‖k⊥）が 解 で あ る な ら ば（Phsk⊥，Pϕk⊥，－ PA‖k⊥）も同様に Vlasov-Poisson-Ampère

数を測定した結果を図 3 に示す．詳細は割愛するが，αtt，i方程式系の解となる．具体例としては，本講座第 2 章の大が（23）における iηeω＊e/νc の係数に対応する（αt は通常のアスペクト比トーラスプラズマの場合について検算して熱力に対応する係数であり，不安定化には寄与しない）．

みるとよい．このパリティ変換に対する性質から，揺動

衝突が十分大きいとき，係数は一定値に漸近するがその分布関数を以下の様に偶パリティ h＋sk⊥と奇パリティ h－sk⊥に時は 1/νc の効果により安定化する．一方，衝突が小さい

分離すると，

領域では熱力の効果が働かないため不安定性は生じない．
この熱力係数を用いて評価した固有値が図 2 点線で示されており，シミュレーションから得られた成長率とよく一致することが確認できる．

6．4

磁気面破壊とパリティ

hsk⊥＝h＋sk⊥＋h－sk⊥，（25）

1
h±sk⊥＝  （1±P）hsk⊥，2（26）

偶奇それぞれのパリティは線形化されたジャイロ運動論
方程式の独立な解となることがわかる．ただし，非線形

前節までのスラブ配位における微視的テアリングモー

項がある場合はパリティ混合が起こる．A‖k⊥だけは符号を

The coefficients : αt , αtt,i

1
0.8
0.6

αtt,i of ηe =0.4
αt of ηe =0.4
αtt,i of ηe =1
αt of ηe =1
αtt,i of ηe =5αt of ηe =5

偶パリティ（バルーニングパリティ）モードと呼び，代表的な微視的不安定性はイオン温度勾配モード，電子温度勾配モード，捕捉電子モード，運動論的バルーニング
A＋
モードである．一方，（h－sk⊥，ϕ－の線形モードを奇
k⊥，
‖k⊥）

0.4

パリティ（テアリングパリティ）モードと呼び，代表的

0.2

典型的な kx ＝ 0 かつ有限 ky の揺動を考えると，摂動磁ˆ は径方向 x 成分を持つ．磁力線軌道方程式
場 ∇×（A‖b）

0

図3

変えることに注意して，（h＋sk⊥，ϕ＋k⊥，A－‖k⊥）の線形モードをな微視的不安定性は微視的テアリング不安定性である．

0.1

1
]
ν［ω
cc [ω＊e*e］

ˆ ］/B から，
dr/dl ＝［B ＋ ∇ ×（A‖b）

10

熱力係数の測定結果（参考文献［13］の図 9 を引用）．αt は通常の熱力の係数，αtt，i は熱力のうち時間依存する成分にかかる係数である．ここで得られた係数を用いて微視的テ
アリングモードの固有値を評価することができる．

389

dx
dr
1 ∂A‖
・∇x＝
，
  ＝
dl
dl
B0 ∂y

（27）

B0
dz
dr
1
・∇z＝   ≃   ，
  ＝
dl
dl
qR0
gB

（28）

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.8

August 2023と表せる．磁力線追跡した際の径方向変位はこの式を積無衝突の極限を考えたときに安定になるか不安定になる

分することで得られ，か結論は得られていない．考えているプラズマのパラメー

qR0
dx＝  
B0





∂A‖
dz，
∂y

タをよく検討し，どの物理機構が働いているのかを見極める必要があろう．

（29）

最後に，微視的テアリングモードの非線形特性の研究となる．テアリングパリティモードの A‖ は磁力線方向 zについて述べておく．6．1 節で述べたように，微視的テに対して偶関数であるため，有限の径方向変位を持つ．

アリングモード乱流による電子の輸送特性をジャイロ運

つまり磁気面が破壊され，磁力線を追跡しても同じ径方動論シミュレーションによって解析し，閉じ込め特性を

向位置には戻ってこない．一方，バルーニングパリティ

明らかにするために研究が盛んに行われている．一方で，モードの A‖ は磁力線方向 z に対して奇関数であるため，筆者らの研究［19］では，イオンスケールの微視的テアリ

磁力線を追跡すると径方向変位が打ち消し，形状が波打

ングモードが電子温度勾配駆動モードとのマルチスケー

つのみで磁気面の破壊は起こらないことがわかる．

ル相互作用によって抑制されうることを示しており，線形不安定性が必ずしも輸送特性を決めるわけではないこ

6．5

まとめ

とを指摘しておく．また，［13］では，微視的テアリング

本章では，高ベータプラズマにおいて電子の輸送を支モードの非線形過程におけるエネルギー変換についての配すると考えられる微視的テアリングモードの線形不安シミュレーションを行った．その線形不安定性の機構が定性解析の取り扱いについて解説した．まず，テアリン

示唆するように，微視的でないいわゆる磁気リコネクショ

グモードの解析において必要となる境界層問題の漸近接ンをともなうテアリングモードと，非線形発展の様相が続の方法について，流体モデルを用いて概観した．その後，全く異なることが示された．微視的テアリングモードに

微視的テアリングモードの導出のために，ジャイロ運動

よるプラズマのエネルギー変換（加熱）機構も興味のあ論モデルから出発して，微視的テアリングモードを支配る課題として残されている．

する固有値方程式の導出を行った．微視的テアリングモー
ドの不安定化には，温度勾配存在下で粒子間衝突によっ

参考文献て実効的に生じる時間依存性をもった熱力が必要である［ 1 ］H. Doerk et al., Phys. Rev. Lett. 106, 155003 (2011).
［ 2 ］D. Applegate et al., Plasma Phys. Control. Fusion 49,
1113 (2007).
［ 3 ］I. Predebon and F. Sattin, Phys. Plasmas 20, 040701(2013).
［ 4 ］H.P. Furth et al., Phys. Fluids 6, 459 (1963).
［ 5 ］R.D. Hazeltine et al., Phys. Fluids 18, 1778 (1975).
［ 6 ］J.F. Drake and Y.C. Lee, Phys. Fluids 20, 1341
(1977).
［ 7 ］A.B. Hassam, Phys. Fluids 23, 2493 (1980).
［ 8 ］A.B. Hassam, Phys. Fluids 23, 38 (1980).
［ 9 ］S.I. Braginskii, “Transport Processes in a Plasma”,
Reviews of Plasma Physics Vol. 1 (Consultants
Bureau, New York, 1965), pp. 205-311.
［10］J.F. Drake et al., Phys. Fluids 26, 2509 (1983).
［11］S.C. Cowley et al., Phys. Fluids 29, 3230 (1986).
［12］B. Coppi et al., Sov. J. Plasma Phys. 2, 533 (1976).
［13］M. Yagyu and R. Numata, Plasma Phys. Control.
Fusion 65, 065003 (2023).
［14］R. Numata et al., J. Comput. Phys. 229, 9347 (2010).
［15］N.T. Gladd et al., Phys. Fluids 23, 1182 (1980).
［16］石澤明宏：プラズマ・核融合学会誌 92, 530 (2016).
［17］P.J. Catto and M.N. Rosenbluth, Phys. Fluids 24 243(1981).
［18］C. Geng et al., Plasma Phys. Control. Fusion 62,
085009 (2020).
［19］S. Maeyama et al., Phys. Rev. Lett. 119, 195002(2017).

ことが導かれた．時間依存する熱力によって，磁場と電場の揺動の位相にずれが生じることが不安定化に重要であることがわかる．トロイダルプラズマにおいて磁場に捕捉される粒子が存在すると弱衝突プラズマにおいても微視的テアリングモードが不安定化することが知られている［17］が，衝突と同様に位相の遅れを生じさせる別の機構があれば微視的テアリングモードが不安定化されることが示唆される．
微視的テアリングモードの物理機構を最も簡単に説明するために，衝突が強いという仮定を用いた．この仮定により，衝突以外の様々な微視的効果が無視されていることに注意してほしい．衝突が弱い領域において微視的
テアリングモードを議論するためには，もとの運動論方
程式に立ち返り，反磁性ドリフトの効果や有限 Larmor 半径効果などを丁寧に取り扱う必要が出てくる．Geng らの最近の研究［18］では，無衝突スラブプラズマにおいて電子の有限 Larmor 半径効果による不安定化が報告されている（テアリングパリティをもった電磁的電子温度勾配不安定性と呼ばれている）．一方で，Drake らが指摘するよ
うに，内部領域と外部領域の反磁性ドリフト速度の違い
によって磁場が遮蔽される効果があるため，筆者らのシ
ミュレーションにおいては微視的テアリングモードは無衝突領域では安定化されていると思われる．しかし，この安定化効果が働くパラメータ領域には限界があるため，

390

Lecture Note

6. Microtearing Mode	ぬまたりゅう すけR. Numata et al.

や

沼 田 龍 介

ぎゅう みつよし柳 生 光 義兵庫県立大学大学院情報科学研究科 准教
授．2004 年 東京大学 博士（科学）．磁気リコネクションや乱流などの非線形複雑現象のシミュレーション研究を行っています．趣味は読書．これまで二の足を踏んでいたプルーストの「失われた時を求めて」に取り掛かりました．集英社版だと
全 13 巻中の 6 巻目で，やっと半ば頃．通勤の電車でパリ社
交界のサロンにいる気分になっています .

兵庫県立大学情報科学研究科 非常勤研究員，シミュレーション学修士（兵庫県大）．
理論・シミュレーションを用いて微視的テ
アリングモードの物理の理解に取り組んでいます．最近は微視的テアリング乱流における熱輸送に関する研究に携わっています．健康維持のため数年ぶりにランニ
ングを再開して数ヶ月が経つが，距離が思うように伸びなくて少しショックを受けています．諦めずに継続し動ける身体を再び手に入れたいです．

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