反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

円管内流動
１．流体の性質
気体と液体をあわせて流体(fluid)という。流体は、気体のように圧力によって容積が変化する圧縮性流体と、液体のように容積が変化しない非圧縮性流体に分類される。厳密には、液体も多少は圧縮性を有す
るが、きわめて小さいことから、非圧縮性とみなしてよい。流体に外力を加えて動かそうとすると、それを妨げる力が内部で働く。この性質を粘性(viscosity)という。
平行に置かれた２枚の板の中に流体を入れる。下の板を固定して、上の板を水平方向に引っ張ると、板に接している流体塊が板に引きずられて水平方向に動き出す。同様にして、そのすぐ下の流体塊も引きずられて動き出し、順次、下方へ伝播してゆく。固定板と接する流体塊の速度は、ゼロとなる。このように、流体の内部で作用する力を応力(stress)といい、単位は圧力と同じ[Pa]または[N/m2]で表される。とくに、外力に対して水平方向に作用する応力をせん断応力(shearing stress)、鉛直方向に作用する応力を鉛直応力という。せん断応力 τ [Pa]は、その位置における流体の速度勾配 du/dy に比例し、その比例定数 μ [Pa･s]を粘性係数または粘度(viscosity)という。図のように、速度分布が直線で表される場合は、流体の速度勾
配 du/dy がどこも同じになるため、位置 y に関わらずせん断応力 τ も一定の値となる。しかし、通常の流速分布は曲線で表されるため、位置 y が変化すると流体の速度勾配 du/dy が変化し、せん断応力 τ も変化する。せん断応力 τ と流体の速度勾配 du/dy が直線関係にある流体とニュートン流体(Newtonian fluid)といい、その関係は、ニュートン粘性法則の式で表される。

dudy…(1.1)

上式は、次のようにして導くことができる。板の速度 U [m/s]は、外力 F [N]と板の間隔 Y [m]に比例し、板の面積 A [m2]に反比例する。なお、板速 U が間隔 Y に比例することの理解については、たとえば濡れた下敷きを動く板と見なし、それを机の上に置くことを想像してみるとよい。この場合、間隔 Y はゼロであり、下敷きは張り付いて水平方向に動かすことは困難であろう。反対に、下敷きが水面に浮いている
状況であれば、すなわち間隔を大きく取れば、下敷きを水平方向に動かすことは容易であろう。同様にして、板速 U が面積 A に反比例することも想像がつくであろう。以上より、次の比例式が成り立つ。

U

F , Y ,(1/A) …(1.2)

工学的には、右辺の因子をすべて乗じて適当な比例定数 μ’を作用させることで方程式とする。
U

FY…(1.3)
A

上式を変形して、比例例数を粘度 μ [Pa･s]に変更すると、ニュートン粘性法則の式が積分形で得られる。
U
Y

F
A

…(1.4)

1

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

面積A [m2]

板の速度U [m/s]y0

外力F [N]uττ

せん断応力τ（タウ）[N/m2]（または[Pa]）

≡

・・・

u

・・・

間隔
Y [m]

u

u

流速分布
（通常は、曲線）（固定）

図 1.1 平行板間の流速分布（クェット流れ）

２．流れの状態
２．１

流量の表現法単位時間当たりに流れる流体の量を流量(flow rate)といい、基準の取り方によって体積流量 Q [m3/s]と質量流量 w [kg/s]がある。いま、内径 D [m]、断面積 S [m2]、管長 L [m]のまっすぐな円管内を、密度 ρ[kg/m3]の流体が平均流速 ū [m/s]で流れているものとする。このとき、次の関係式が成り立つ。
(平均流速)uQ
S…(2.1.1) あるいはu

(体積流量)

Q uS…(2.1.3) あるいは

Q

uD 2
4

…(2.1.4)[m3/s](質量流量)w…(2.1.5) あるいはw

uS…(2.1.6)[kg/s]

Q

２．２

4Q
D2

…(2.1.2)[m/s]

流体の物質収支

内径の異なる２本のまっすぐな円管を接続し、その中を流体が定常的に流れている。質量保存則に基づき、各断面を通過する流体の質量流量は等しいことから、次の連続の式が成り立つ。
u1 S1

u2
u1

u2 S 2

S1
S2…(2.2.1)…(2.2.2)

D12 4

u2
u1

D2 2 4

u2
u1

D1
D2

…(2.2.3)

2…(2.2.4)

流速の比は、断面積比あるいは管径比の 2 乗に反比例する。たとえば、ポンプの流量を変更することなく平均流速を緩やかにしたければ、より内径の太い円管と接続すればよい。

2

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断面１

断面２

密度ρ
流速ū1

ū2

内径D1
断面積S1

内径D2
断面積S2

図 2.2.1 連続の式の説明図
表 2.2.1 配管用炭素鋼鋼管(JIS G3452)[文献 1]
呼び径
A
6
8
10
15
20
25
32
40
50
65
80
90
100

外径
[mm]
10.5
13.8
17.3
21.7
27.2
34.0
42.7
48.6
60.5
76.3
89.1
101.6
114.3

B
1/8
1/4
3/8
1/2
3/4
1
1 1/4
1 1/2
2
2 1/2
3
3 1/2
4

２．３

厚さ
[mm]
2.0
2.3
2.3
2.8
2.8
3.2
3.5
3.5
3.8
4.2
4.2
4.2
4.5

相当直径

流路がまっすぐな円管でない場合は、相当直径に換算することで、直円管と同様の取り扱いができる。
相当直径 Deq [m]は、流体と接している壁面周辺の長さ、すなわちぬれ辺長 lw [m]と流路断面積 A [m2]の比で表される動水半径 rH [m]の 4 倍で定義される。

Deq

4rH

…(2.3.1)

Deq

4A
lw

…(2.3.2)

4 倍の理由は、次式のように、円管における相当直径 Deq が円管径 D となるようにするためである。

Deq

4 ( D /2)2
D

Deq

D

…(2.3.3)…(2.3.4)

流路形状が開溝と環状路の場合の相当直径 Deq は、それぞれ次式で表される。

3

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（開溝）

Deq

（環状路） Deq

4ab
2a b

…(2.3.5)

4 [( D2 2) 2 ( D1 2) 2 ]( D2 D1 )D2

D1…(2.3.6)

a
D1

b

D2
図 2.3.1 開溝(左)と環状路(右)

２．４

層流と乱流

横型の円筒容器を流体で満たしてノズルよりインクを注入する。注入速度が小さいときは、インクがほぼ一直線に流れる。この流動状態を、層流(laminar flow)という。注入速度を徐々に大きくしていくと、次第にインクの流れに揺らぎが見られるようになる。この流動状態を、遷移流という。そこからさらに注入速度を大きくすると、インクが大きく乱れて流れる。この流動状態を、乱流(turbulent flow)という。

図 2.4.1 層流時(左)および乱流時(右)の流動状態
層流と乱流の判定は、レイノルズ数(Reynolds number)を計算することで行う。レイノルズ数 Re [－]は、流体の慣性力（進もうとする力）と粘性力（進ませまいとする力）の比で定義される無次元数(dimensionless
number)であり、円管内流れの場合は、次式で表される。

DuRe…(2.4.1)

Re<2100 のとき層流、Re>4000 のとき乱流である。
上式は、次のようにして導かれる。レイノルズ数は、粘性力 τA に対する慣性力 ma の比で定義される。
Re

ma
τA

…(2.4.2)

ただし、τ はせん断応力[N/m2]、A は流体塊の断面積[m2]、m は流体塊の質量[kg]、a は流体塊の加速度[m/s2]。

4

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

上式の慣性力 ma を円管の因子に置き換えると、次式のようになる。
du
dt

ma

V

ma

D3

ma

D 2u 2…(2.4.3)u( D /u )…(2.4.4)…(2.4.5)

ただし、t は時間[s]、V は液体積[m3]、ρ は流体密度[kg/m3]。
同様にして、粘性力 τA を円管の因子に置き換えると、次式のようになる。
A

du
A
dy

…(2.4.6)

A

u
D2
D

…(2.4.7)

AuD…(2.4.8)

ただし、y は変位[m]、μ は流体粘度[Pa･s]。
ma と τA の式をそれぞれ Re の式に代入して整理すると、円管内流れにおけるレイノルズ数を得る。
ReRe

u 2D 2uD

uD…(2.4.9)…(2.4.10)

３．円管内の流れ
層流の場合は、流体の流れは整っており、平行に並んでいる。流速分布の形状は、放物線となる。流速は、円管の中心部で最大となり、壁面で零となる。場所によって流速が異なるので、計算の際には平均流速を用いる。層流時の平均流速は、理論的に最大流速の半分となる。一方、乱流の場合は、渦流が発生して流体の混合が起こっている。流速分布の形状は、放物線をつぶしたようになっており、その先端部は、流速分布が存在しない。
（分布とは、ちらばりの意。流速分布が存在しないとは、流速のちらばりが無く、どこも同じ流速であることを意味する。)なお、壁面の近傍では渦流が届かず、層流となっている。このような領域は、流体力学では層流底層、化学工学では流体境膜と呼ばれる。乱流時の平均流速は、経験的に最大流速の 8 割程度となる。

5

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

u

層流底層

umax

u umax

図 3.1 層流時(左)および乱流時(右)の流速分布

３．１

円管内層流

垂直円管内を流れる流体塊に作用する力のつり合いは、次式で表される。

r 2 p1r 2 p2

r2L g

2 rL

r
D

…(3.1.1)

R

g は重力加速度[m/s2]、L は管長(流体塊長さ)[m]、p は圧力[Pa]、r は円管中p2心部からの距離[m]、τ はせん断応力[Pa]、ρ は流体密度[kg/m3]。
上式の右辺第 3 項は、流体塊の側面積 2πrL [m2]とその部分に作用するせんρ

断応力 τ [N/m2]の積で表される内部摩擦力[N]を表す。
流体塊 u

τ について整理する。
r ( p1

p2
2L

r (Δp

gL)
2L

rΔP
2L

gL)

Δp

r

ρVg

…(3.1.2)
p1

p2

y
L
τ

…(3.1.3)
p1

ΔP

Δp (horizontal),ΔPΔpgL (vertical)…(3.1.4)

ただし、 P は圧力損失[Pa]、 p は圧力降下[Pa]。
管壁からの距離 y [m]と円管中心部からの距離 r [m]の関係は、円管の半径を R [m]とおくと、y=R－r で表される。y を r で微分すると、次式を得る。

dydr…(3.1.5)ニュートン粘性法則の式は、次式で与えられる。

dudy…(3.1.6)

dy の式を上式に代入すると、次式となる。
dudr…(3.1.7)

上式を最初の τ の式に代入すると、次式となる。

6

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

du
dr

rΔ P
2L

…(3.1.8)

上式を境界条件 u=0 のとき r=R、u=u のとき r=r の下で積分すると、次式のように導かれる。
u0r

ΔP r 2
2 L 2

u

u

ΔP r
rdr …(3.1.9)
2 L R

du

…(3.1.10)
R

ΔP
(R2
4 L

r2 )

…(3.1.11)

上式に r=0 を代入すると、管中心における流速 umax [m/s]を得る。

ΔP 2
R
4 L

umax

…(3.1.12)

上式を用いてすぐ上の u の式の差圧項(p1－p2)を消去すると、円管内層流の速度分布を得る。

u

u

1

4 Lumax

4 L

R

2

umax 1

r
R

(R2

r2 )

…(3.1.13)2…(3.1.14)半径方向 r [m]の位置で幅 dr [m]の微小断面を考える。この断面積を dS [m2]とする。微小断面を流れる微小体積流量 dQ [m3/s]は、次式のように導かれる。

dQ udS…(3.1.15)

dQ u[ (r dr )2r2 ]dQ u[ r 2 +2 rdr(dr )2…(3.1.16)

dQ 2πrudr [(dr)2≒0]

r2 ]…(3.1.17)…(3.1.18)

円管内層流の速度分布式 u を上式に代入して積分すると、次式のように導かれる。
Q

R
0

Q 2 umax

R
0

r

Q

2 umaxR

20

Q

2 umaxR

R2

r
R…(3.1.19)

R2 r 2dr
R2…(3.1.20)( R 2 r r 3 )dr
R

R

2

dr

2 rumax 1

2

r2
2 0

…(3.1.21)
R

r4
4 0

…(3.1.22)7

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

Q

R4
2

2 umaxR2Q

2 umax R4
4R2Q

R 2umax
2

R4
4…(3.1.23)…(3.1.24)…(3.1.25)

円管内の平均流速 ū [m/s]は、次式で表される。

uQ
S…(3.1.26)

上式にすぐ上の Q の式を代入すると、次式のようになる。

uuu

R 2umax
2S…(3.1.27)

R2umax…(3.1.28)

2 R2

1
umax
2

…(3.1.29)

円管内層流の速度分布式 u を用いて上式の umax を消去すると、次式が導かれる。
u

2u 1

r
R

u
u

2 1

r
R

2

2

…(3.1.30)…(3.1.31)

３．２

円管内乱流

層流の場合とは異なり、レイノルズ数や管壁面の粗さに依存する。経験的な指数法則、または半理論的な対数法則にしたがう。
3.2.1 指数法則
平滑面管における流速 u は次式で表される。

uumax 1rR

1/n…(3.2.1.1)

上式を式(3.1.16)に代入して積分すると、次式のようになる。

8

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

Q

R
0

1/n

R r
R

2 rumaxdr…(3.2.1.2)

上式で X=(R－r)/R と置いて置換積分する。微分項 dr は、次式のように表される。
XR

r…(3.2.1.3)

R

r

R RX

dr
dX

R

dr

RdX

…(3.2.1.4)…(3.2.1.5)…(3.2.1.6)

積分区間は、r=0 のとき X=1、r=R のとき X=0、に変更される。
Q の式は、次式のように導かれる。

Q

01

2 [ R(1 X )]umax X 1/n ( RdX )Q

2 R 2umax

Q

2 R 2umax

Q

2 R 2umax

10(1 X ) X 1/n dX1
0[ X 1/n…(3.2.1.8)

X {1 (1/ n)} ]dX
1

Q 2 R2umax
Q

2 R 2 umax

Q

2 R 2umax

Q 2 R2umax

1
1 (1/n)n 1

X {2 (1/n)}
2 (1/n) 0

1
2 (1/n)n2n 1…(3.2.1.10)…(3.2.1.11)…(3.2.1.12)n(2n 1) n(n 1)(n 1)(2n 1)

n2(n 1)(2n 1)…(3.2.1.9)
1

X {1 (1/n )}1 (1/n) 0

n…(3.2.1.7)…(3.2.1.13)…(3.2.1.14)

上式を ū =Q/S の式に代入すると、乱流時の平均流速を得る。

u

2 R2umaxn2S(n 1)(2n 1)u

2 R2umaxn2(n 1)(2n 1)

u

2umax

n2
(n 1)(2n 1)

R2…(3.2.1.15)…(3.2.1.16)…(3.2.1.17)

定数 n は、レイノルズ数に依存する。とくに n=7 の場合を Karman-Prandtl (カルマン-プラントル)の
1/7 乗則という。上式に n=7 を代入すると、次式となる。

9

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

49(8)(15)

u

2umax

u

0.817umax…(3.2.1.18)…(3.2.1.19)

上式を流速分布の式に代入して umax を消去すると、次式が導かれる。

u

u
u

u
1
0.817

r
R

1.22 1

r
R

n
Re

1/7

(n=7) …(3.2.1.20)

1/7…(3.2.1.21)
表 3.2.1.1 指数法則式の定数とレイノルズ数の関係[文献 2]
6
7
8
9
4000
30000
120000350000103000000

3.2.2 対数法則
平滑面管の管壁から管中心までを 3 分割した次式が知られている。
管壁近傍（粘性底層）： u+=y+(y+≦5)

中間領域（遷 移 域）： u+=3.05+5.0lny+(5≦y+≦30)

管中心部（乱 流 域）：

u+=5.5+2.5lny+(30≦y+)…(3.2.2.1)…(3.2.2.2)…(3.2.2.3)

ただし、u+=u/u*、u*=(τw/ρ)0.5、y+=yu*ρ/μ、y=R－r であり、u*は摩擦速度、τw は壁面のせん断応力。

10

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

2.0

u
層流
u

1.8

2 1

r
R

2

1.6

u
乱流
u

1.4

u
u

1.2

1.22 1

r
R

1/7

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

r/R
図 3.2.1.1 円管内の流速分布
乱流式の r/R 項を絶対値に置き換えて負領域の分布曲線を描いた。円管内の位置や流動状態によって流速が異なる。流速は管壁において零、管中心で最大となる。管壁近傍で流速が大きく変化する。

４．管路内の流れ
４．１

流体のエネルギー収支

流体が保有するエネルギーには、圧力エネルギー、位置エネルギー、運動エネルギー、内部エネルギーの４種類がある。このうち、圧力・位置・運動の各エネルギーを総称して、流体の機械的エネルギーという。内部エネルギーは、熱エネルギーである。エネルギーの単位は[J]であるが、工学的には、比エネルギ
ー[J/kg]、圧力[Pa]、高さ[m]に単位を変換したものを流体のエネルギーとして扱う場合が多い。圧力基準の式における圧力エネルギーp を静圧、運動エネルギーρu2/2 を動圧、両者の和を総圧という。高さ基準の式の各項は、圧力頭 p/ρg、位置頭 Z、運動頭 u2/2g と呼ばれる。
「頭」の読みは、「とう」または「ヘッド」である。流体が水の場合は、頭のかわりに水頭の表記を用いることもある。高さ基準の式を用いることで、ある測定断面を流れる流体が保有する機械的エネルギー量を液柱圧力計(マノメータ)の液柱高さの読み[m]より視覚的に見積もることができる。
表 4.1.1 流体が保有するエネルギー11

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

種類
圧力エネルギー
位置エネルギー
運動エネルギー
内部エネルギー定義
圧力 p [Pa]の状態にある質量 m [kg]の流体を体積 m/ρ
[m3]だけ流路内に押し込むエネルギー
質量 m [kg]の流体が地表面より高さ Z [m]の位置にあるときに保有するエネルギー
質量 m [kg]の流体が速度 u [m/s]の運動状態にあるときに保有するエネルギー
流体を構成する原子や分子の運動(並進・回転・振動など)に基づくエネルギー[J][J/kg]

[Pa]

[m]

mp/ρ

p/ρ

p

p/ρg

mgZ

gZ

ρgZ

Z

mu2/2

u2/2

ρu2/2

u2/2g

mU

U

ρU

U/g

管路内の流体にポンプによる軸仕事 W [J/kg]を与えて流体を高所へ輸送する。途中、熱交換器で熱量 Q[J/kg]を流体に与えて加熱する。管路内は、流体が定常的に流れているものとする。断面１と断面２の間
で流体の全エネルギー収支式が成り立つ。

p1

gZ1

1

u12
U1 W Q
2

p2

u22
U2
2

gZ2

2

[J/kg]…(4.1.1)

上式の利点は、ポンプの軸仕事 W と熱交換器の所要熱量 Q を概算できる点にある。すなわち、所望の地点まで流体を輸送するのに最低限必要なポンプの規格と、所望の温度まで流体を加熱するのに最低限必
要な熱交換器の規格を試算することができる。
（小型過ぎだと輸送に時間がかかる、大型過ぎだと余計に費用がかかる。試算結果に幾分か余裕を持たせて装置を選定すれば、トラブルを回避できるであろう。）
流体間での内部摩擦や管壁等との接触による摩擦により、この分だけ機械的エネルギーが熱エネルギ
ーに変換されて損失が起こる。この機械的エネルギーの損失分を全摩擦損失 ΣF [J/kg]とするとき、熱交換器からの熱量 Q と全摩擦損失 ΣF の和は、熱力学第１法則により、内部エネルギーの増加と流体自身が圧力に逆らって膨張する仕事の和で表される。
2Q ΣF (U2 U1 )pd…(4.1.2)

1

ただし、 は比容[m3/kg](=1/ρ)。
静圧 p が一定の場合は、次式で表される。

Q ΣF(U 2 U1 )

p( 2

1)

…(4.1.3)

上の一般式を最初のエネルギー収支式に代入して Q を消去すると、次式のようになる。

p1

gZ1

1

p1

gZ1

1

u12
U1 W
2
u12
W
2

2

2

(U2 U1 )

pd

p2

ΣF

1

pd

1

p2
2

gZ2

gZ2

2

u22
2

ΣF

u22
U2
2

…(4.1.4)…(4.1.5)

流体が液体の場合は、近似的に非圧縮性流体と見なすことができる。上式で体積変化の項を無視すると、流体の機械的エネルギー収支式が導かれる。

p1
1

gZ1

u12
W
2

p2
2

gZ2

u22
2

ΣF …(4.1.6)

機械的エネルギーの保存則をベルヌーイの定理(Bernoulli’s law)という。
ポンプが流体に与えるエネルギー、すなわち軸仕事 W を求めるには、収支式中の全摩擦損失 ΣF を求める必要がある。(静圧や動圧は、容易に測定できる。) 全摩擦損失 ΣF は、流体間や管壁との摩擦損失 Ffに加えて、流路の断面積が急に変化する際の摩擦損失 Fe および Fc、継手や弁などの付属品を流れる際の12反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

摩擦損失 Fa など、種々の摩擦損失の総和で表される。

F

Ff

Fe

Fc

Fa

…(4.1.7)Q

断面２p2, ū2, Z2, U2

熱交換器

Z2
断面１
p1, ū1, Z1, U1

W
ポンプ

Z1

基準面
図 4.1.1 流体輸送プロセスの例

４．２

円管内流れのエネルギー損失

円管内を流れる流体は、速度差のある流体塊どうしでの内部摩擦や、管壁との接触による摩擦により、それらが熱に変換されることで、自身が保有するエネルギーの一部を損失する。また、弁や継手(つぎて)の取付箇所や流路が急激に拡大または縮小する箇所でも摩擦が起こってエネルギーを損失する。これらの損失分を圧力の単位で表したものを圧力損失 pressure drop

P [Pa]といい、比エネルギーの単位で表したものを摩擦損失 Fi [J/kg]という。両者の関係は、次式で表される。

Fi

ΔP…(4.2.1)

ただし、添え字 i は様々な種類の摩擦損失に対応することを表す。
流体の圧力損失 P は、水平管の場合において圧力降下 p に等しい。一方、垂直管を上昇する流れの場合
は、流体の自重に逆らって管長 L だけ高所へ輸送するのに必要なエネルギーρgL と圧力損失 P の和が圧力降下 p に相当する。
（水平管）

P= p …(4.2.2)（垂直管上昇流）

P= p－ρgL …(4.2.3)

層流条件の場合、管中心における最大流速 umax の式を平均流速 ū =(1/2)umax の式に代入して umax を消去す
ると、円管内層流の圧力損失を表すハーゲン・ポアズイユの式を得る。[文献 3,4]13

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

u

1 ΔP
R2
2 4 L

u

ΔP D
8 L 2

ΔP

32 Lu
D2

…(4.2.4)2…(4.2.5)
ΔP

Δp (horizontal),ΔPΔpgL (vertical)…(4.2.6)

乱流条件の場合、流体粘性により管壁に及ぼす力 Fw [N]は、円管の側面積と運動エネルギーに比例すると考えて次式で表される。

Fw

DL

1
u2 f
2

…(4.2.7)

ただし、比例定数 f は管(くだ)摩擦係数(friction factor)[－]。
垂直円管の出入口に作用する力のつり合いは、次式で表される。

R 2 p1R 2 p2R2 L gFw…(4.2.8)

Fw の式に代入して Fw を消去すると、円管内乱流の圧力損失を表すファニングの式を得る。[文献 5]

DL

1 2
u f
2

…(4.2.9)DL( D/2)2u2
f2…(4.2.10)

u2
2

ΔP

R 2 ΔPΔP

ΔP 4 fLD

Δp (horizontal),ΔPΔpgL (vertical)…(4.2.11)

上の力のつり合い式の右辺第 2 項 Fw は、流体塊の側面積 2πRL [m2]の部分にせん断応力 τw [N/m2]が作用することで生成した力と考えて、次式で表すこともできる。
Fw

2 RL w…(4.2.12)

上式を Fw の式に代入すると、管摩擦係数 f の定義式が導かれる。

2 RL w

f

w

1 2
u
2

DL

1 2
u f …(4.2.13)
2…(4.2.14)

管摩擦係数は、管壁と流体との間の無次元運動量交換量を表す。
ファニングの式は、層流条件でも適用できる。すなわち、ハーゲン・ポアズイユ式をファニング式に代入
して p を消去すると、層流条件の管摩擦係数が次式で得られる。
f

16
Re

…(4.2.15)

乱流条件の管摩擦係数は、円管の材質に基づき、平滑面管(ガラス管、銅管、黄銅管、鉛管など)と粗面管

14反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版(鋼管、鋳鉄管など)に場合分けされる。それぞれ次式が知られている。
（平滑面管）

1
f
1

（粗面管）

f

4log10 ( Re f ) 0.4…(4.2.16)

カルマンの式 [文献 6]

3.2log10 ( Re f ) 1.2…(4.2.17)

ニクラーゼの式 [文献 7]

Re<105 の領域では、平滑面管に対する次式が簡便である。

0.0791Re 0.25 [Re<105] …(4.2.18)（平滑面管） f

ブラジウスの式 [文献 8]

管壁の粗さを考慮する場合は、次式を用いる。
1

（粗面管）

f

3.48 4 log10

2
D

9.35
Re f

…(4.2.19)

コールブルックの式 [文献 9]

ただし、ε は管表面の突起の平均高さ[m]であり、ε/D を粗面度、粗滑度、あるいはたんに粗度(roughness)という。上式に ε/D=0 を代入すると、平滑管に関するカルマンの式が導かれる。
管摩擦係数は、レイノルズ数と粗面度の関数であり、ムーディ線図(Moody’s diagram)により整理される。

1

f

0.1

0.01

0.001
102

103

104

105

106

107

Re
図 4.2.1 円管内流れにおける管摩擦係数とレイノルズ数の関係[文献 10]（粗面管の曲線はニクラーゼの式、平滑面管の曲線はカルマンの式を用いて描いた。
）

15

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

４．３

管路の断面積が急に変化する場合のエネルギー損失

4.3.1 急に拡大する場合
管路が断面積 S1 から S2 へ急に拡大する場合の摩擦損失 Fe [J/kg]は、拡大前後の水平管路内における流体のエネルギー収支より導かれる。基準面 1 を流管が拡大する直前でとり、基準面 2 を拡大後の静圧が回復して流れが十分に安定となった箇所でとる。

p1

Fe

gZ1

u12
2

p2

p1

p2

u12 u22
2

u22
2

gZ2

Fe

…(4.3.1.1)[Z1－Z2=0]…(4.3.1.2)

静圧差により生じる力は、力学的には、各基準面を出入りする単位時間当たり運動量 ρū2S [(kg･m/s)/s]の差に等しい。

( p2

u12 S1p1 )S2

u2 2 S 2…(4.3.1.3)

上式の静圧差(p2－p1)は正である。これは、流路拡大により、基準面 2 での動圧(平均流速)が基準面 1 でのそれよりも小さくなるため、流体のエネルギー保存則により基準面 2 での静圧が基準面 1 よりも大きくなるからである。また、静圧項で同じ断面積 S2 を用いている理由は、管断面が拡大した直後の箇所で基準面 1 をとっているが、流体側からすれば助走段階であり、流管はまだ拡大されていないと考えているためである。
上式に連続の式(ū1S1= ū2S2)を用いて S1 を消去すると、次式のようになる。

( p2p1 )S2

p2

p1

u2 S2
u1

u12

u1u2

u2 2

u22 S2…(4.3.1.4)…(4.3.1.5)

上式を Fe の式に代入して静圧項を消去すると、次式のようになる。

u1u2

Fe

u22

u12 u222Feu22 u1u2

u12 u22
2

Fe

u12
2

u22
…(4.3.1.8)
2Fe(u1 u2 )22

Fe[u1{1 (u2 /u1 )}]22

u1u2…(4.3.1.6)…(4.3.1.7)…(4.3.1.9)…(4.3.1.10)

連続の式を用いると(ū2/ū1=S1/S2)、次式となる。

16

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

Fe1

S1 u12
S2 2

Fe

Ke

u12
2

…(4.3.1.11)

Ke 1

S1
S2

…(4.3.1.12)

ただし、Ke は拡大損失係数[－]。
管路内から大型槽へ流入する場合(S1<<S2)は、断面積比 S1/S2 を 0 に近似して、Ke=1 となる。
4.3.2 急に縮小する場合
管路が断面積 S1 から S2 へ急に縮小する場合、細い管路側の後方で縮流を生じ、これが再び拡大する所
でエネルギー損失が起こる。この場合の摩擦損失 Fc [J/kg]は、次式で与えられる。

u22
2

Fc

Kc

S2
S1

0.715

のとき

Kc

0.75 1

S2
S1

0.715

のとき

Kc

0.4 1.25…(4.3.2.1)

S2
S1
S2
S1

…(4.3.2.2)…(4.3.2.3)

ただし、Kc は縮小損失係数[－]。
大型槽から管路内へ流入する場合(S1>>S2)は、断面積比 S2/S1 を 0 に近似して、Kc=0.5 となる。

静圧の回復

S2

S1

S1

S2

図 4.3.1 急拡大流れ・急縮小流れのエネルギー損失

４．４

継手類や弁によるエネルギー損失

管路に挿入されている継手や弁などの箇所でエネルギー損失が起こる。摩擦損失 Fa [J/kg]は、損失係数
Ka [－]を用いるか、あるいは損失分を水平直円管の長さに換算した相当長さ Le [m]を用いて表す。

Fa =Ka

Fa

u2
2

4f

…(4.4.1)

Le
D

u2
2

…(4.4.2)17反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

Le

nD…(4.4.3)

ただし、n は挿入物に依存する因子。
両方の式で計算し、より安全側にある(より大きい値の)Fa 値を採用するとよい。
表 4.4.1 管路内挿入物の損失係数と相当長さ[文献 11]
継手類
45°エルボ
90°エルボ
90°直角エルボ
90°ベンド(曲率半径/管径=2～4)
180°ベンド
ティーズ
ユニオン、カップリング
ストレーナ

Ka
0.35
0.75
1.3

n
15
32
60

弁
仕切弁(全開)仕切弁(3/4 開)仕切弁(1/2 開)

Ka
0.17
0.9
4.5

n
7
40
200

－

10

仕切弁(1/4 開)

24.0

800

1.50
1.3～1.5
0.04
1.0

75
60～90
0

玉形弁(全開)アングル弁(全開)
フート弁
コック(85°開)

6.0
3.0
15.0
0.05

300
170

５．流体輸送機械
液体に機械的エネルギーを与えて加圧し、送液する機械をポンプという。ポンプには、羽根車を回転させて液体を圧送するターボ形と、回転子により体積を変化させて液体を圧送する容積形がある。ここでは、代表的なターボ形ポンプである遠心ポンプを取り扱う。

５．１

揚水の原理

遠心ポンプは、羽根車を回転させてその遠心力で流体に運動エネルギーを与え、圧力を高めて低い所
から高い所へ流体を輸送する流体輸送機械である。遠心ポンプの大まかなイメージは、翼の付いた撹拌
軸を横に寝かせたものと思えばよい。撹拌翼に相当する羽根車が回転すると、回転中心部の水は外部へ吐き出されて負圧の状態となる。羽根車の軸に回転の動力を伝えるのは原動機(モーター)である。原動機は、電力を回転の動力に変換している。羽根車の回転で負圧の状態となったポンプと大気圧下にある貯水槽との間には圧力差が生じるため、貯水槽内の水がポンプに吸い込まれる形で配管内を輸送する。
このように、流体移動の推進力は、圧力差であることが分かる。ポンプに吸い込まれた水は、回転する羽根車によって遠心力が与えられ、動圧(運動エネルギー)が増大する。動圧を得た水は、ケーシングを通って上方へ吐き出されることで揚水される。ケーシングは、羽根車と吸込水の格納容器であり、羽根から出た水を吐出管へ導く。吐出管に近づくにつれて流路断面積が広がる構造になっており、羽根車で得た動圧を静圧(圧力エネルギー)に変換する仕組みになっている。

５．２

流体輸送機の性能

5.2.1 揚程
ポンプが水を汲み上げる高さを揚程(head)という。ポンプの全揚程 Ht [m]は、ポンプが実際に汲み上げる実揚程 Ha [m]に、汲み上げる過程で水の摩擦損失により失われる損失水頭 Hf [m]を足し合わせたもの
18

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

で表される。

Ht

Ha

Hf…(5.2.1.1)

Ht

(Z2

Z1 )

ΣF
g

…(5.2.1.2)

実揚程 Ha と損失水頭 Hf は、吸込水面からポンプ中心までとそこから吐出水面までの工程で分けて考える。すなわち、実揚程 Ha は吸込実揚程 Hs [m]と吐出実揚程 Hd [m]の和、損失水頭 Hf は吸込側損失水頭 Hfs[m]と吐出側損失水頭 Hfd [m]の和でそれぞれ表される。

Ht

(Hs

H d ) ( H fs

H fd )…(5.2.1.3)

5.2.2 軸動力と所要動力供給されたエネルギーのうち、有効な仕事に使われたエネルギーの割合を効率という。ポンプの内部で摩擦や動作音が生じることによりエネルギー損失が起こるため、効率は常に 1 未満となる。
ポンプの軸仕事 W [J/kg]に流体の質量流量 w [kg/s]を乗じて、ポンプ内を流れる際の摩擦損失を考慮したポンプ効率 η [－]を用いると、ポンプの軸動力 Lp [W]を得る。

LpwW…(5.2.2.1)

ポンプと原動機などを含めた総合効率 ηT [－]を用いると、ポンプの所要動力 PT [W]を得る。

PT

wW…(5.2.2.2)

T

【配管系】
・円管径D [m]・流体の体積流量Q [m3/s]
・流体の平均流速 u [m/s]
・流体の密度ρ [kg/m3]
・流体の粘度μ [Pa･s]
・流体の摩擦損失Ff [J/kg]
・急拡大・縮小流の摩擦損失Fe, Fc[J/kg]
・弁および継手類の摩擦損失Fa [J/kg]
・ポンプの軸仕事W [J/kg]
・重力加速度g [m/s2]

継手(つぎて) 断面２
受水槽
弁
Z2

断面１
貯水槽

ポンプ

Z1
基準面

【断面１】
・静圧p1 [Pa]・液面の平均低下速度 u1 [m/s](=0)
・基準面からの高さZ1 [m]【断面２】・静圧p2 [Pa] (=p1)
・流体の平均流速 u2 [m/s](= u )・基準面からの高さZ2 [m]
19

【ポンプ】
・ポンプ効率η・軸動力LP [W]・全揚程Ht [m]反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

図 5.2.1 流体輸送プロセスの例(その２)

参考文献[1] JIS G3452[2] 化学工学協会編; 化学工学便覧 改訂四版, 丸善(1978), 2.2 章 粘性流体の管路内流動(表 2.6)
[3] G. Hagen; Pogg. Ann., 46, 423-442 (1839)[4] J. Poiseuille; Inst. De France Acad. Des Sci., 9 (1846) 433-544[5] J.T. Fanning; A Practical Treatise on Hydraulic and Water Supply Engineering, Van Nostrand, New York (1877)[6] T. von Kármán; NACA TM 611 (1931)[7] J. Nikuradse; VDI-Forschungsheft, 356 (1932)[8] H. Brasius; Forsch. Ver. Deut. Ing., 131 (1913)[9] C.F. Colebrook; J. Inst. Civil. Engr. (London) Ⅱ, 133 (1938-39)[10] L.F. Moody; Trans. ASME, 66, 671-684 (1944)[11] 化学工学協会編; 化学工学便覧 改訂四版, 丸善(1978), 2.2 章 粘性流体の管路内流動(表 2.10)20反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

問

題

水の物性値：密度 1000 kg/m3、粘度 0.001 Pa･s、平均比熱容量 4200 J/(kg･K)、熱伝導度 0.58 W/(m･K)
重力加速度：9.81 m/s2
(1) 水を毎時 10 m3 で 50A 鋼管により輸送する。水の平均流速[m/s]を求めよ。
(2) スチームを平均流速 20 m/s で 1/2B 鋼管により輸送する。スチームの体積流量[m3/h]を求めよ。
(3) 比重 0.95 の燃料油を平均流速 1.0 m/s で 80A 鋼管により輸送する。燃料油の質量流量[t/h]を求めよ。
※比重=(対象物質の密度)/(基準物質の密度) 基準物質には、4℃の水(密度 1000 kg/m3)を用いる。
(4) 80A 鋼管の下流に 50A 鋼管が接続された管路内を水が定常的に輸送されている。80A 鋼管内の平均流速が 1.2 m/s のとき、50A 鋼管内の平均流速[m/s]を求めよ。
(5) 水を毎時 1.5 m3 で 1/2B 鋼管により輸送する場合のレイノルズ数を求め、流動状態を判定せよ。
(6) 水を流量 2.0 L/s で 80A 粗面鋼管により水平に 400 m 輸送する。管路内を流れる水の圧力損失[kPa]を求めよ。継手や弁など配管付属品に伴う摩擦損失は無視できるものとする。
(7) 貯水槽の水を毎時 10 t で地上から 10 m の高さにある受水槽まで 50A 粗面鋼管により 300 m 輸送する(本文中の図参照)。管路内に仕切弁(全開)１個と 90°エルボ３個が挿入されているとき、この管路を流れる水の全摩擦損失 ΣF [J/kg]を求めよ。なお、地下の貯水槽の容積は非常に大きく、液面の高さは変化しないものとする。
(8) 前問において、ポンプ効率が 65%であるとき、ポンプの①軸動力[kW]と②揚程[m]を求めよ。
答(1)1.26 m/s,(2)14.6 m3/h,(3)17.5 t/h,(4)2.79 m/s,(5)33000(乱流),(6)10.3 kPa,(7)109 J/kg,(8)①0.889 kW,②10.0m[参考]数値の丸め方(ア)切り捨てと切り上げの値を比較してより近い値を採用する。
12.313 → (切り捨て)12.31／ (切り上げ)12.32 →(採用)12.31(イ)(ア)で差が等しい場合は、偶数値を採用する。
12.305 → (切り捨て)12.30／ (切り上げ)12.31 →(採用)12.30

単位換算
1 in（インチ）=2.54 cm
1 ft（フィート）=12 in=0.3048 m
1 lb（ポンド）=0.4536 kg
1 gal（ガロン）=0.004546 m3
1 lb/ft3（ポンド毎立方フィート）=16.02 kg/m3
1 cP（センチポアズ）=0.0006720 lb/(ft･s)=0.001 Pa･s
1 dyn/cm（ダイン毎センチ）=1 mN/m ※表面張力の単位。dyn は、力の単位。

21

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

付表 配管用炭素鋼鋼管(JIS G3452)
呼び径
A
6
8
10
15
20
25
32
40
50
65
80
90
100

外径
[mm]
10.5
13.8
17.3
21.7
27.2
34.0
42.7
48.6
60.5
76.3
89.1
101.6
114.3

B
1/8
1/4
3/8
1/2
3/4
1
1 1/4
1 1/2
2
2 1/2
3
3 1/2
4

22

厚さ
[mm]
2.0
2.3
2.3
2.8
2.8
3.2
3.5
3.5
3.8
4.2
4.2
4.2
4.5

反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版

解答(1)50A 鋼管の内径 D=(外径)－(厚み)×2=(60.5)－(3.8)(2)=52.9 mm
50A 鋼管の断面積 S=π(D/2)2=π(0.0529/2)2=2.1978×10－3 m2
平均流速 ū=(10/3600)m3/s/(2.1978×10－3)=1.2638 m/s≒1.26 m/s(2)1/2B 鋼管の内径 D=(外径)－(厚み)×2=(21.7)－(2.8)(2)=16.1 mm
1/2B 鋼管の断面積 S=π(D/2)2=π(0.0161/2)2=2.0358×10－4 m2
体積流量 Q=ūS=(20)m/s(3600)s/h(2.0358×10－4)m2=14.657 m3/h≒14.6 m3/h
(3)燃料油の密度 ρ=(0.95)(1000)=950 kg/m3
80A 鋼管の内径 D1=(外径)－(厚み)×2=(89.1)－(4.2)(2)=80.7 mm
80A 鋼管の断面積 S=π(D/2)2=π(0.0807/2)2=5.1148×10－3 m2
質量流量 w=ρQ=ρūS=(950)kg/m3(10－3)t/kg(1.0)m/s(3600)s/h(5.1148×10－3)m2=17.492 t/h≒17.5 t/h(4)連続の式 ū2=ū1(S1/S2)=ū1(D1/D2)2=(1.2)(D1/D2)280A 鋼管の内径 D1=(外径)－(厚み)×2=(89.1)－(4.2)(2)=80.7 mm
50A 鋼管の内径 D2=(外径)－(厚み)×2=(60.5)－(3.8)(2)=52.9 mm
ū2=(1.2)(80.7/52.9)2=2.7926 m/s≒2.79 m/s(5)1/2B 鋼管の内径 D=(外径)－(厚み)×2=(21.7)－(2.8)(2)=16.1 mm
1/2B 鋼管の断面積 S=π(D/2)2=π(0.0161/2)2=2.0358×10－4 m2
平均流速 ū=Q/S=(1.5/3600)m3/s/(2.0358×10-4)m2=2.0466 m/s
Re=Dūρ/μ=(0.0161)(2.0466)(1000)/0.001=32950≒33000(乱流)(6)80A 鋼管の内径 D1=(外径)－(厚み)×2=(89.1)－(4.2)(2)=80.7 mm
80A 鋼管の断面積 S=π(D/2)2=π(0.0807/2)2=5.1148×10－3 m2
平均流速 ū=Q/S=(0.0020)m3/s/(5.1148×10－3)=0.39102 m/s
Re=Dūρ/μ=(0.0807)(0.39102)(1000)/0.001=31555≒3.2×104(乱流)ムーディ線図の読み f=0.0068 (ニクラーゼ式の数値解 f=0.006798)
ファニングの式 p=4f(L/D)(ρū2/2)=(4)(0.0068)(400/0.0807)(1000)(0.39102)2/2=10306 Pa≒10.3 kPa(7)50A 鋼管の内径 D=(外径)－(厚み)×2=(60.5)－(3.8)(2)=52.9 mm
50A 鋼管の断面積 S=π(D/2)2=π(0.0529/2)2=2.1978×10－3 m2
平均流速 ū2 =(w/ρ)/S=[(10000/3600)/1000]m3/s/(2.1978×10－3)m2=1.2638 m/s
Re=Dūρ/μ=(0.0529)(1.2638)(1000)/0.001=66855=6.7×104(乱流)ムーディ線図の読み f=0.0059 (ニクラーゼ式の数値解 f=0.005855)
ファニングの式 p=4f(L/D)(ρū2/2)=(4)(0.0059)(300/0.0529)(1000)(1.2638)2/2=106881 Pa
流体の摩擦損失 Ff= p/ρ=106881N/m2/1000kg/m3=106.88 J/kg
縮小損失係数 Kc=0.4[1.25－(S2/S1)]=(0.4)(1.25－0)=0.5
急縮小流(貯水槽から管入口)の摩擦損失 Fc=Kc(ū22/2)=(0.5)(1.2638)2/2=0.39929 J/kg
仕切弁(全開)の摩擦損失 Fa1=(0.17)(1.2638)2/2=0.13576 J/kg
90°エルボ３個の摩擦損失 3Fa2=(3)(0.75)(1.2638)2/2=1.7968 J/kg
全摩擦損失 ΣF=Ff+Fc+Fa=Ff+ Fc+(Fa1+3Fa2)=106.88+0.39929+0.13576+1.7968=109.21 J/kg≒109 J/kg

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反応装置工学「円管内流動」(新潟大・三上貴司) 令和２年１２月１日改訂版※(管路から受水槽へ流入する箇所での急拡大流損失の有無について)管が受水槽の液位よりも上方に接続される場合は、管内の流体と受水槽内の流体が接続されていないため、急拡大流損失は起こらない。管
が受水槽の液位よりも下方に接続される場合は、管内の流体と受水槽内の流体が接続されているため、急拡大流損失が起こる。
(8)ポンプの軸仕事 W=g(Z2－Z1)+ ū22/2+ΣF=(9.81)(10)+(1.2638)2/2+109.21=208.10 J/kg
ポンプの軸動力 LP=wW/η=(10000/3600)(208.10)/0.65=889.31 W≒0.889 kW
ポンプの揚程 Ht=Ha+Hf=(Z2－Z1)+ΣF/(ρg)=10+109.21/[(1000)(9.81)]=10.011 m≒10.0 m

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