J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.6 (2023) 291-295

講座 今更聞けない !? 磁場閉じ込めプラズマの微視的不安定性

3 ．イオンおよび電子温度勾配不安定性
3. Ion and Electron Temperature Gradient Modes
沼 波 政 倫 1 ，2 ），仲 田 資 季 1 ，3 ，4 ）NUNAMI Masanori and NAKATA Motoki
核融合科学研究所， 2 ）名古屋大学大学院理学研究科， 3 ）総合研究大学院大学， 4 ）JST さきがけ

1）

（原稿受付：2023年 5 月 1 日）

磁場閉じ込め核融合プラズマに発生する主要な微視的不安定性である，イオン温度勾配不安定性と電子温度勾配不安定性に関する基礎的事項を紹介する．不安定性の成長率を与える分散関係式とともに不安定化メカニズ
ムを解説し，近年の関連研究のひとつである多種イオン混合効果についても概観する．
Keywords:
gyrokinetics, micro instability, ITG mode, ETG mode, impurit

3．1はじめにいて述べた後，最近の多種イオン混合プラズマに関する研究について論じる．

磁場中に閉じ込められるプラズマ，すなわち，システムサイズに対して小さな Larmor 半径で運動する荷電粒

3．2子系では，粒子間の衝突過程や微視的揺動によって磁場線形分散関係を横切る方向に熱や粒子が拡散していく．これらをプラ

ITG モ ー ド と ETG モ ー ド は， と も に 温 度 勾 配 が 駆ズマの輸送と呼び，磁場閉じ込め核融合研究における動する不安定性であるが，イオンと電子の質量差から黎明期から今日に至る最重要課題の一つとして多くの来るスケールの違いや，そのスケール差による相互作研究者の研究対象となってきた．トーラス磁場による高用，ゾーナルフロー生成への影響など，非線形過程を温プラズマ閉じ込め系では，巨視的な MHD 不安定性や通じた乱流状態には大きな差異が生じることがわかって

Coulomb 衝突に基づく古典および新古典輸送によってプいる［3］．しかし，不安定性の発生メカニズムそのものラズマは輸送されるが，殆ど全ての磁場閉じ込めプラズ

は 3．3 節に述べるように本質的には等価であり，ここでマ実験で観測される粒子・熱輸送は，これらの理論予測は特に ITG モードを例に議論を進めることにする．今，を遥かに超えている．これらの輸送は，歴史的に長年，Coulomb 衝突や磁場の揺動成分の効果を無視した電子異常輸送と呼ばれてきたが［1］，今日ではプラズマ中のと水素イオンから成るプラズマを考えよう．まず，第 2

様々な微視的不安定性が作り出す乱流に起因するものと章の第 2 節で示したように，位相空間上のイオン分布考えられ，数多くの理論および実験的研究がなされてい関 数 Fi を Maxwell 平 衡 成 分 FMi と 摂 動 成 分 に 分 け， 粒る．ここでは，イオンおよび電子の急峻な温度勾配が駆子位置座標での揺動分布関数を第 2 章（ 6 ）式に従って，動源となる微視的不安定性であるイオン温度勾配（Ionf（i p）（x, v, t）
ε, μ, t）のように＝－（eϕ（x, t）/ Ti）FMi ＋ h（X,iTemperature Gradient: ITG） モ ー ド と 電 子 温 度 勾 配

断熱応答部分と非断熱応答部分に分割する．

（Electron Temperature Gradient: ETG） モ ー ド に つ い

揺動が磁力線垂直方向にイオンジャイロ半径程度の波て議論する．これらは，非線形過程を経て乱流状態に至長と周波数を持つ場合，次式のような静電近似された線ることが多く，トーラスプラズマのコア領域における異形ジャイロ運動論的方程式［4，5］が得られる．
（第 2 章（13）常輸送の主原因と考えられ，非常に多くの議論がなされ式参照．）てきた不安定性である［2］．特に，磁場閉じ込め核融合で（ ∂t ＋v b・∇＋iω ）heϕk v∂＝（ ＋iω ）   J（   ）F ∂tTΩ∂

目標とするプラズマでは，プラズマの炉心から装置壁にDi‖かけて， 5 桁以上に渡る極めて大きな温度差が生じる．こT＊iのような温度勾配が存在するプラズマ中で生じる不安定性は，磁場閉じ込め核融合炉の開発研究において避けてk⊥iik⊥

0⊥ ⊥iMi（1）は通れない重要課題の一つである．以下では ITG モード

有 限 ジ ャ イ ロ 半 径 効 果 は， 右 辺 の 0 次 ベ ッ セ ル 関 数（ETG モード）の物理的発生機構を説明し，線形解析にJ（kにより取り込まれている．また，ωDs＝k⊥・vDs，0⊥ v ⊥ / Ωi）

よって得られる分散関係をトロイダル系，スラブ系につTTω＊s＝k ⊥・v＊s
は，第 2 章の第 3 節で説明した磁場ドリフト

National Institute for Fusion Science, Toki, GIFU 509-5292, Japancorresponding author’s e-mail: nunami.masanori@nifs.ac.jp

291Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

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Vol.99, No.6

June 2023

Tを用いて表した
速度 vDs，および反磁性ドリフト速度 v＊sのようにトロイダル ITG モードの分散関係が得られる．

非一様磁場中の曲率ドリフトによる周波数，および温度・これらの分散関係式のより詳しい導出が本誌記事［7］にあ密度勾配による反磁性ドリフト周波数である．

るので，そちらも参照されたい．

一方，電子はイオンに比べ非常に速く磁力線方向に運

なお，ETG モードに対しては，電子 Larmor 半径スケー動できるので，静電ポテンシャル揺動 ϕ に対して断熱的ルの波長を考えるとイオン有限 Larmor 半径効果による平均に応答する仮定すると，nek⊥ / n0 ＝ eϕk⊥Te とできる（断熱化が働き（J（k→0），イオン密度揺動としては断0⊥v⊥ / Ωi）

電子近似）．（ 1 ）式において時間に対する Fourier 変換を熱応答と同じ形の成分のみが残る（nik⊥ / n0＝－eϕk⊥ / Ti）．

施し，磁力線に沿って積分して，上記の断熱電子近似おそのため，ETG モードの分散関係式は，ITG モードの式

よび準中性条件 nek⊥＝nik⊥＝ dv（－（eϕk⊥ / Ti）FMi＋〈hik⊥〉i）（ 2 ）と比べて電子・イオン温度比の役割が逆数となってを考慮すると，静電ポテンシャルに対する積分方程式がいるのみの等価な式となる．

得られる．これにより，ITG モードの周波数 ω ＝ ωr ＋ iγ3．3が決定される．局所近似の下であるポロイダル角に注目

温度勾配モードの物理描像

し，磁力線方向の波数 k‖ を仮定して（ 1 ）式の空間微分演

ここでは，温度勾配不安定性の物理描像を簡単に説明

算子 b・∇ を ik‖ とすると，ITG モードの分散関係を与えるする．ITG モードと ETG モードは最初に述べたように，式が得られる．

その発生メカニズムは本質的に等価である．ただし，粒Ti
11＋ －Te n0（）k⊥v⊥   FMiΩi3d v           ＝ 0 （ 2 ）ω－ωDi－k‖v‖

T（ω－ω＊i）J02

子密度揺動によって生じる静電ポテンシャルの正負や電場，伝播方向の他，電子スケールとイオンスケールにまたがるマルチスケール乱流等を議論する際の粒子種の質

また，右辺の非積分関数の分母に注目すると，粒子と波量比については注意しておく必要がある．それではまず，の共鳴条件 ω － ωDi － k‖v‖ ＝ 0 が与えられる．この共鳴

スラブ ITG モード（k‖v‖≫ωDi）の物理描像を説明しよう

条件において，磁力線方向の移流項 k‖v‖ と ∇B- 曲率ドリ（図 1 ）．初期条件として温度の揺らぎ δTi が空間非一様に

フト周波数 ωDi との相対的な大小関係に従って，下記で成長しているとする．すると，δTi の粗密に従って，沿磁説明するスラブ ITG モードとトロイダル ITG モードに分力線方向の流れが生じる．

けることができる［6］．長波長（k⊥ρ≪1）および流体近そして，密度揺らぎ δni が圧縮効果によって局所的に似（|ω / k‖|≫vti）を仮定して，高次の有限 Larmor 半径効成長および減衰し，断熱電子近似の下での準中性条件

果や波・粒子共鳴相互作用の運動論的効果を無視すると，（δni / n0＝eδϕ / Te）を通じて，静電ポテンシャル揺らぎ δϕ分散関係の流体近似版が得られる．

が成長する．その結果，荷電分離を打ち消すための電場

1＋（が局所的に逆方向に発生し，E×B ドリフトがつくる平衡）ω×（1 －   ）＝ 0  （ 3 ）ωk‖2 cs2
Te ω＊iTe ωˆ Di2 2  ＋ －  ＋ k⊥ρs －   Ti ωTi ωω2

イオン温度の対流により初期の温度揺らぎをさらに増幅し，不安定性が成長する．

＊pi一方，トロイダル ITG モード（k‖v‖≪ωDi）の描像にも触れておく（図 2 ）．スラブ配位の場合と同様に，非一様/ mic），ここで，cs ＝ Te / mi は音速，ρs＝cs / Ωi，Ωi ＝ eB（ˆ ×（b・ˆ ∇bˆ ）， ω＊p i ＝ω＊i（1 ＋η i ），/ e B ）k⊥・b
ˆ D i ＝2 c T i （ωな温度のゆらぎ δTi を考える．イオンのドリフト速度は22/ 2）＋v‖ ～ δTi に従って温度揺らぎに応じた粗密vDi∝（v⊥

ˆ/k⊥・b×∇lnni，ηi ＝d
ω＊i ＝cTi（eB）（ln Ti）/ d（ln ni）である．

が生じる．その結果，磁力線垂直方向の圧縮効果により一様磁場（B ＝ const.）を持つスラブ密度ゆらぎが成長し，静電ポテンシャル揺らぎが増幅し（平板）配位のプラズマを考えよう．この場合，磁場強度て E×B ドリフトによる温度ゆらぎの再増幅を促し，不安の空間的な変動や曲率を考えずに済むので，∇B- 曲率ド定性が成長していく．ここで注目すべきは，（ 5 ）式より，リフトの効果は無視できる．（ 3 ）式において，ωDi ＝ 0 とトロイダル ITG モードが不安定になるのは ωˆ Diω＊pi ＞ 0，

スラブ ITG モード

し，さらに密度勾配も無視すると，スラブ ITG モードに対する分散関係の流体近似版を得る．
1－1＋i 323
ω ＝（k‖cs2 |ω＊pi|）
2（4）これは沿磁力線方向の流れ u‖ を生じさせる．
トロイダル ITG モード

一方，トロイダル配位においては，イオンの ∇B- 曲率ドリフトとイオン温度勾配により，トロイダル ITG モードが駆動される．スラブ配位とは逆に，（ 3 ）式において沿磁力線波数を無視すると，ω2 ＝ －Te ωˆ Di ω＊pi
2 2Ti 1 ＋ k ⊥ρs（5）図1292

スラブ ITG モードの物理機構．

Lecture Note

3. Ion and Electron Temperature Gradient Modes	

M. Nunami and M. Nakata

T－1/ L －1 ）－ω＊piω
（Lpsˆ Di ∑s≠e fCsZs－1 s Γ0spiTi
（7）
ω2＝
Ti
Ti
2 2k⊥ZfλDie ＋ ＋∑s≠e Cs s （1 － Γ0s）
TeTs
2に 帰 着 す る． た だ し，λDie：＝Ti / 4πnee2， お よ び，

2 22 2exp（－k⊥Γ0s：＝I（kρts）はそれぞれ，主イオン温度 Ti0⊥ρts）

で評価したデバイ長の 2 乗，および，有限ジャイロ半径効果を表す因子であり，I0は 0 次の修正 Bessel 関数である．
ま た，ρts＝vts / |Ωs| は 熱 速 度 vts＝（Ts / ms）1 / 2 で 評 価 し た－1－1－1
ジャイロ半径であり，Lps：＝ Lns＋LTsである．電荷数と電荷密度分率はそれぞれ Zs と fCs：＝nsZs / ne で表され，
図2

このとき平衡成分に対する準中性条件は ∑s≠e fCs＝1 に対応する．簡単化のため，磁気ドリフト周波数 ωDs および反トロイダル ITG モードの物理機構．

T
磁性ドリフト周波数 ω＊sに含まれる速度依存性は熱速度をすなわち ∇T・i ∇B＞0 の場合である点である．この領域

は，トーラスの外側部分（－π / 2＜θ＜π / 2）に対応するたT用いて近似的に，ωDs≃ ωˆ Ds，ω＊s≃ω＊ps として評価した．

め，トロイダル ITG モードはトーラス外側で大きく成長（ 7 ）式において，複数の多種イオン混合効果が現れることに着目しよう．ひとつは分子に現れる fCsZs－1（Ts / Ti）するバルーニング構造を持つことがわかる．通常，スラブ ITG モードに比べてトロイダル ITG モードの方が成長に関する項であり，これは電子に対するイオン密度比と率が大きく，トーラスプラズマにおける異常輸送や乱流イオン種間の温度比に比例する．単一の水素イオン種のには後者が強く影響していると考えられている．

場 合 に は s＝i＝H と し て，fCiZi－1 ＝ni / ne ＝ 1，Ti / Ti ＝ 1となる．一方，多種イオン混合系の場合，ITG モードを不3．4

多種イオン混合効果安定化させるのに十分な温度・密度勾配を伴う主イオン

実際の実験室プラズマや核融合燃焼プラズマは単一の（ここでは水素イオン i ＝ H としよう）の密度が，Zs＞1 のイオン種から成るものではなく，多くの場合，電荷数や質不純物イオンの混在によって希釈（dilution）され，減少する．

量数の異なる複数イオン種が混合した状態が維持される．

これは，不安定性の熱的駆動力としての圧力勾配が多種イいささか自明な例ではあるが，核融合燃焼プラズマではオン混合によって実効的に減少することに対応している．

燃料粒子である水素同位体イオンに加え，反応生成物ともうひとつの多種イオン混合効果は（ 7 ）式の分母におしてのヘリウムイオン，プラズマ対向壁に由来する金属－1
け る fCsZ（Tに 関 す る 項 で あ り， こ れ は
ss / Ti） （1－Γ0s）

イオン，さらには，プラズマの状態制御のために外部か実効電荷数 Zeff：＝∑sfCsZs に概ね比例した因子を伴う有限ら入射する軽不純物イオンなどがしばしば混じり合ってジャイロ半径効果による安定化に対応する．この時，Γ0sいる．ここでは，そのような微視的不安定性に対する多の因子を決める磁力線垂直方向波数の ２ 乗とジャイロ半種イオン混合効果を概観しておこう．

Zs－2といった径の積についても，k 2⊥ ρts2 ＝ k 2⊥ ρi2 A（Tss / Ti）

文献［8］に倣い，静電近似と無衝突近似における粒子種ように，多種イオン混合効果が現れる．

s に対するジャイロ運動論的 Vlasov-Poisson 方程式系からさらに，高温のヘリウム灰といった，バルクの主イオ得られる線形分散関係式は，ンに対して十分に熱緩和していない非熱的なイオンが混（在する場合には，（Ts / Ti）の因子によって ITG 不安定性に）k⊥v⊥ FMs2T－2k⊥dvLs－1＋λD－2 ＝ ∑ λDs（ω－ω＊s）J02   |Ωs| nssと な る． た だ し，Ls：＝ω－k‖v‖－ωDs，λD－2：＝影響を及ぼす．ここでは（ 7 ）式に基づいて定性的な特徴を見てきたが，実際のジャイロ運動論計算では流体近似（6）∑sなどで無視された箇所においても多種イオン混合効果が含まれていることにも注意しよう．

－2＝λDsトロイダル ETG 不安定性に関する分散関係式も（ 7 ）式

∑ 4πnses2/ Ts，はそれぞれ，線形移流演算子とデバイ長のを導く際と同様にして，以下のように得られる．

s逆数の 2 乗である．
（6）式では，ETG モードなどの電子ス

ˆ DeΓ0e－ω＊peω
ω2＝TT2 2k⊥
λDe ＋ 1 － Γ0e ＋ e ＋∑s≠e fCsZs iTiTs

2
ケールの不安定性で重要となる有限 Debye 長の効果（k⊥の項）が含まれているが，これを無視した場合は準中性条件に帰着する．今，電子（s＝e）については簡単のため断熱応答近似 hek⊥＝0 を課し，さらに 3．2 節と同様に，流体（8）ここで，ETG モードの空間スケールがイオンのジャイロ半径よりも十分小さいことに基づく近似 J（k→00⊥v⊥ / Ωs≠e）

極限（ただし磁力線方向移流の圧縮性は高次オーダーとしT/ ω|≪1，て無視）として |k‖v‖ / ω|≪1，|ωDs / ω|≪1，|ω＊sによって，すべてのイオン種は断熱応答として近似される．（ 7 ）式で示された ITG 不安定性とは異なり，ETG 不T
Tおよび |ωDs－ω＊s|≪|ω＊s| を考えると，（ 6 ）式は以下の流体近似されたトロイダル ITG 不安定性の分散関係式

安定性に対する多種イオン混合効果は，（ 8 ）式の分母に293

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Vol.99, No.6

June 2023

現れる実効電荷 Zeff∝fCsZs に関するものが支配的であるこでは，今後の燃焼プラズマにおいて予期されるような，とが分かる．なお，不安定モードの実周波数については，複数のイオン種が混在したプラズマにおける不安定性特いくつかの近似の下で導出された（ 7 ）式や（ 8 ）式では評性について簡単に紹介した．紙面の制約からここでは詳価できないことに注意しよう．

しく紹介することはできなかったが，トカマク系やヘリITG および ETG 不安定性の成長率分布に対する多種イカル系に共通して，多種イオン混合効果が微視的不安定

オン混合効果の一例を図 3 に示す［8］．これらは水素（H），性を通して乱流輸送特性にも強く影響を及ぼすことが，ヘリウム（He），アルゴン（Ar）が混合したトカマクプ

最近の大規模なジャイロ運動論的乱流シミュレーションラズマに対して，ジャイロ運動論コード GKV［9］によって研究からも明らかにされている［12，13］．

計算された結果である．ただし，ここでの数値計算にお微視的不安定性は Horton による 1999 年のレビュー論文

いては（ 7 ）式や（ 8 ）式を導出する際とは異なり，流体近［2］においても詳しく紹介されているように，今日におい似や断熱応答近似は用いていない点と有限の衝突効果をてはその基本的なメカニズムが良く理解されている．し考慮している点に注意が必要である．イオン種の混合度かしながら，本章でも見てきたように，不安定性の成長合いや非熱的な温度比の効果によって ITG・ETG モード

率や実周波数は多くのプラズマパラメータに複雑に依存ともに成長率分布に影響を受け，単一イオン種の場合のしており，その定量的な評価にはジャイロ運動論方程式結果とは異なることが見て取れる．なかでも ETG 不安定に基づく数値計算や高次の効果を考慮した解析計算が欠性が実効電荷の増大によって著しく安定化される，あるかせない．特に，ヘリカル系やステラレータ系といったいは，非熱的なヘリウム灰（THe / TH ＝ 10）の混在によっ非軸対称トーラスプラズマにおける微視的不安定性の成て不安定化される様子が特徴的である．この時，不安定長率特性や臨界勾配条件に関しては，近年においても新モードの実周波数の変化は，成長率の変化に対して十分たな知見や計算手法が見出されており，精力的に研究が小さいことも確認されている．これらの理論的考察のみ展開されている（例えば文献［14］や文献［15］など）．さら

ならず，実際のトカマク実験においても，H モード放電に，ITG 不安定性の成長や乱流輸送が抑制された新たなのプラズマに対して外部からアルゴンガスやネオンガス

３ 次元磁場配位を探索するためのモデリングといった関連の入射を行うことで，密度増加に伴う閉じ込め劣化が抑研究も継続的に取り組まれている（例えば文献［16］や［17］制されるなどの特性が観測されている［10，11］．など）．本章に目を通す読者の方々にとって微視的不安定燃焼プラズマの閉じ込め性能の定量予測や制御の観点性の理解が僅かでも深まり，そして微視的不安定性に関からも，以上のような多種イオン混合効果は重要な役割連した幅広い研究トピックの展望を感じ取ってもらえれを果たすと考えられる．

ば幸いである．

3．5

まとめと展望参考文献［ 1 ］P.C. Liewer, Nucl. Fusion 25, 543 (1985).
［ 2 ］W. Horton, Rev. Mod. Phys. 71, 735 (1999).
［ 3 ］F. Jenko et al., Phys. Plasmas 7, 1904 (2000).
［ 4 ］P.H. Rutherford and E.A. Frieman, Phys. Fluids 11,569 (1968).
［ 5 ］J.B. Taylor and R.J. Hastie, Plasma Phys. 10, 479(1968).
［ 6 ］J.Y. Kim et al., Phys. Plasmas B 4, 152 (1992).
［ 7 ］洲鎌英雄，矢木雅敏：プラズマ・核融合学会誌 6, 1007
(2000).
［ 8 ］M. Nakata, Plasma Fusion Res. 17, 1203078 (2022).
［ 9 ］T. -H. Watanabe and H. Sugama, Nucl. Fusion 46, 24(2006).
［10］H. Urano et al., Nucl. Fusion 55, 033010 (2015).
［11］H. Lan et al., Nuclear Fusion 60, 056013 (2020).
［12］M. Nunami et al., Phys. Plasmas 27, 052501 (2020).
［13］M. Nakata and M. Honda, Plasma Fusion Res. 17,1403083 (2022).
［14］A. Zocco et al., J. Plasma Phys. 84, 715840101 (2018).
［15］G.T. Roberg-Clark et al., J. Plasma Phys. 87,905870306 (2021).
［16］H.E. Mynick et al., Phys. Rev. Lett. 105, 1 (2010).
［17］M. Nakata and S. Matsuoka, Plasma Fusion Res. 17,1203077 (2022).

本章ではトーラスプラズマにおける主要な微視的不安定性であるイオン温度勾配不安定性と電子温度勾配不安定性について，不安定化の基本メカニズムや成長率を決める分散関係式などの導出について概観してきた．後半

図 3 （a） ITG および（b）ETG モード成長率に対する多種イオン混合効果．

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Lecture Note

3. Ion and Electron Temperature Gradient Modes	

ぬなみ まさのりなか沼 波 政 倫

たM. Nunami and M. Nakata

もとき仲 田 資 季

自然科学研究機構 核融合科学研究所 研究部 教授．計算機シミュレーションや数理モデリングに基づいたプラズマ乱流輸送研究に従事しています．この業界に飛び込んで早や 19 年あまりが経ちましたが，やはり相応の筋力低下は否めないようです．初心を思い出すべく再開した筋トレとともに，最近では理論物理への原点回帰も画策しています．

自然科学研究機構 核融合科学研究所 メタ
階層ダイナミクスユニット 准教授．2011
年 総合研究大学院大学 博士（理学）．
プラズマ乱流における流動形成や輸送過程に関する研究に取り組んでいる．少し前から生物リズムやロコモーションに関する共同研究をはじめ，生き物を相手にする研究の感動や大変さに触れながら勉強中．

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