J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.5 (2023) 182

小特集

2 次元回転系上の乱流における⼤規模構造形成
Large-Scale Structure Formation in Two-Dimensional Turbulence
on a Rotating System

1 ．はじめに
1. Introduction
小布施祈織
OBUSE Kiori

岡山大学学術研究院環境生命自然科学学域（原稿受付：2023年 1 月20日）

めている．

日常の流れに関連する研究は，古くから様々なものが行われてきた．しかしながら，流体運動を記述するナビ

このように，回転系での流体運動は，地球流体力学・エ - ストークス方程式の非線形性により，解析的手法の流体力学・数学などのざまざまな視点と理論および技術みに頼る研究には限界があった．近年の計算機の発達にを用いて研究されている．

より流体力学は新たな展開を見せており，より複雑な方

対象を 2 次元回転系に絞ると，さらにもう一つ，プラ

程式で記述される流れの研究もさかんに行われるように

ズマ物理学との関わりが現れる．回転球面上での接平面なった．本小特集で取り扱う回転系での流体力学も，計の一つである β 平面（ β-plane）における流体方程式は長算機の発達や環境問題に関連して注目されるようになっ谷川 - 三間方程式と同じ数学的構造を有しており，また大たものの一つである．本小特集では回転系の中でも特に規模帯状流が自発的に形成される点も一致している．長2 次元回転系を考える．この系は非常にシンプルであるに

谷川 - 三間方程式および 2 次元回転系上ナビエ－ストーク

もかかわらず，系の回転効果により，大規模帯状流の自ス方程式の解に対する理解を深めるためには，プラズマ発的形成をはじめとする，我々の直観を超えた豊かな振物理学・地球流体力学・流体力学・数学の知見を合わせ，る舞いを呈する．

新たな理論を追求していくことが重要であると考えられ回転系での流体力学を議論する際に多くの場合まず考る．本小特集の目的は，そのための足がかりとなり得る

えるのは，惑星大気や海洋の運動との関係であろう．そ知見を，主に地球流体力学および流体力学の視点から紹のため，回転系での流体力学では，地球流体力学として介することである．
第 2 章ではまず，プラズマ物理学と地球流体力学の関の視点を用いた様々なアプローチがなされてきている．
また回転系では，その回転効果により，非一様非等方係について紹介する．これら二分野では対象とする領域

な乱流が発達することが知られている．古典的な流体力の幾何的形状や座標軸のとり方などが大きく異なる．問学においては一様等方な乱流の研究が盛んに行われてき題設定を始めとする基本事項などについては，こちらをたが，非一様非等方な乱流の研究は近年になってようや

ご参照願いたい．第 3 章では 2 次元回転系上での流体力く進み始めたところである．このような理由から回転系学の概論を述べる．惑星科学的な背景の解説とともに，での流体力学は古典的な流体力学にも多くの新しい問題

2 次元流モデルの惑星大気・海洋の研究における位置づけを提供しており，流体力学の理論および技術を用いた研および解の振る舞いなどを説明する．最後の第 4 章は大究がなされている．

規模帯構造形成に関する各論にあてる．ここでは，ロス言うまでもなく数学の諸分野においても，回転系でのビー波（Rossby waves）間の非線形相互作用，擬保存量

流体運動の記述方法（たとえばナビエ－ストークス方程式

であるゾノストロフィー（Zonostrophy），および保存量の粘性項の表現方法）や方程式の解の存在および振る舞の局所フラックスなどについての研究を紹介する．

いは，基本的かつ重要な問題であり，研究者の興味を集
Graduate School of Environmental, Life, Natural Science and Technology, Okayama University, OKAYAMA 700-8530, Japanauthor’s e-mail: obuse@okayama-u.ac.jp

182Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.5 (2023) 183-186

小特集 2 次元回転系上の乱流における⼤規模構造形成

2 ．プラズマ物理と地球流体力学
2. Plasma Physics and Geophysical Fluid Dynamics
佐 藤 直 木，山 田 道 夫 1 ）SATO Naoki and YAMADA Michio 1 ）東京大学大学院新領域創成科学研究科， 1 ）京都大学数理解析研究所（原稿受付：2023年 1 月20日）

ローレンツ力とコリオリ力の類似性から，プラズマ物理と地球流体力学は深い関係にある．本章ではのこれ
らの研究分野をつなぐ支配方程式（プラズマ物理の長谷川-三間方程式と地球流体力学の β 平面上 2 次元流体方
程式）について解説する．
Keywords:
Hasegawa-Mima equation, drift wave turbulence, Rossby wave, beta plane, zonal flow

2．1

はじめに

仮定すると，流体描像でのイオン運動方程式は次のように表すことができる：

本章ではプラズマ物理と地球流体力学をつなぐ支配方
程式（プラズマ物理の長谷川－三間方程式と地球流体力学の β 平面上 2 次元流体方程式）について解説する .

σ

本章の構成は次の通りである．まず長谷川－三間方程式の導出及びドリフト波について説明する．次に β 平面上 2

dvm＝ v × B － ∇φ， σ ＝
．
dt
Ne

（3）

ここで m はイオンの質量である．方程式（ 3 ）から磁場に次元流体方程式の導出を行い，地球流体力学と長谷川－三

対して垂直な速度成分 v⊥は E × B ドリフト速度 vE と分極間方程式の関係について説明する．そして長谷川－三間方

ドリフト速度 vp によって定まることがわかる：
dv
B×
B×∇φ
dt
v⊥ ＝ vE ＋ vp，vE ＝，vp ＝ σ．（ 4 ）
B2
B2

程式のハミルトン構造と保存則について紹介する．最後に帯状流と乱流を特徴づけるカスケード現象について解説する．

次に，微小パラメータ ϵ ＞ 0 を導入し，下記オーダリング

2．2

長谷川 - 三間方程式を仮定する：

本章では長谷川 - 三間方程式［1］の導出を行う．まず，k⊥ ¦v⊥ ¦
vz
∂t
¦∇A¦
∂z
～ λφ ～～～～～ ϵ． （ 5 ）k⊥ωc k⊥ A¦v⊥ ¦ωc

三次元空間 x ＝（x, y, z）におけるイオンと電子によって構成される準中性プラズマを考える．プラズマは一様磁場
B ＝ B0∇z，B0∈ℝ，B0 ＞ 0，の中を運動するとし，電子

ここで k⊥は磁場に対して垂直な平面において静電ポテが局所的熱平衡状態をなしていると仮定する．このとき，

ンシャル乱流を特徴づける波数，ωc ＝ NeB0 / m はサイクイオン密度 n と電子密度 ne は次の関係式を満たす：

ロトロン周波数である．方程式（ 5 ）は速度 k⊥ ωc－1 と比べe
ne ＝ Nn ＝ A（x）exp{λφ（x, t）}， λ ＝ 
kB Teて v⊥が小さいこと，ポテンシャルエネルギー－eφ が電子（1）の運動エネルギー kBTe より小さいこと，時間変化 ∂t がサ

こ こ で は －e を 電 子 の 電 荷，Ne を イ オ ン の 電 荷，A（x）

度の変化を特徴づける空間スケール A / ¦∇A¦ が空間スケーを正の関数，φ（x, t）を静電ポテンシャル，t を時間，kB

－1
ル k－1
⊥ より長いこと，z 方向の変化 ∂z が空間スケール k⊥よイクロトロン運動の周期 2π / ωc よりゆっくり進むこと，密をボルツマン定数，Te を電子温度とする．流体描像にり長いスケールで発生すること，z 方向の速度が垂直速度

おいて，イオン密度 n は質量保存則によりイオン速度場v⊥ より小さいことを意味する．オーダリング（ 5 ）を二次

v ＝ v（x,t）∇x＋v（x,t）∇y＋v（x,t）∇z に対して連続のxyzまで展開すると長谷川 - 三間方程式が得られる：（nv）を満たす．すなわち，
式 nt＝－∇・
λφt＝－∇・v－λv・∇φ－∇log A・v.

λφt ＝ －∇・vp－∇log A・vE

（2）＝

次に温度 T を持つイオンプラズマが電子プラズマに比べて冷たい T≪Te であることを利用し，イオン圧力 P ～0 を

σ
σ
log A
，
3 Δ φ－
2 Δ⊥ φt ＋ φ,
B0 ⊥
B0
B0

（6）

corresponding author’s e-mail: sato_naoki@ edu.k.u-tokyo.ac.jp

183Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023

ここでは Δ⊥＝∂x2 ＋ ∂y2，［f, g］＝fx gy－fy gx とする．イオ

直線磁場 B ＝ B0∇z の場合，方程式（ 9 ）は長谷川 - 三間方ン 音 速 cs＝

NkBTe / m と 空 間 ス ケ ー ル ρL ＝ csω－1
c を導入

程式になることがわかる．また，長谷川 - 三間方程式と同－1
し，規格化 t→ωct，（x, y）→（ρ－1，φ→λφ を利用
L x, ρL y）

様に質量及びエネルギーが保存する（長谷川 - 三間方程式の保存量については 2．4 で解説する）．さらに，磁場 B とすると，長谷川－三間方程式（ 6 ）は次のように整理できる：（1－Δ⊥）φt ＝［φ, Δ⊥ φ－log A］，

電子密度 A が ∇×（AB / B2）＝0 を満たす場合，一般化エン（7）

ストロフィーも保存する．

トカマク型核融合炉では（x, y）を円柱座標の半径と高さ，2．3

及び z をトロイダル角方向の座標としてとらえる．このβ平面上 2 次元流体方程式

場合，長谷川－三間方程式（ 6 ）は断面 z ＝ z0 における静電

本章では地球流体力学における β 平面上 2 次元流体方程ポテンシャル乱流の時間発展を記述する（図 1（a）参照）．

式の導出を行い，地球流体力学と長谷川 - 三間方程式の関この乱流は磁力線方向の運動の時間スケールより早く，係について説明する．

サイクロトロン運動の周期より遅い．また，乱流の空間

地球流体力学では天体の表面における流体の流れを考

スケールは ρL ～ k－1⊥ である．そして，本モデルの非線形える．天体の質量と回転により，流体運動方程式に重力性が分極ドリフト vp の発散によって維持されていることとコリオリ力が含まれる，を強調したい．

dv＝－g∇H＋fv×∇z．
dt

長谷川－三間方程式（ 6 ）の一つの特徴は，長波長極限22
2k⊥＝ kx ＋ ky≪1 において，密度勾配が存在するときドリフ（10）ト波と呼ばれる線形波 φk exp{i（k⊥・x － ωdt）}＋c.c. を励
42
起することである．事実，非線形項は［φ, Δ⊥ φ］～ k⊥ φk⊥

ここで，（x, y）は球面の接平面（β 平面）座標であり，xを東西方向の距離，y を南北方向の距離，z を半径方向のであることから無視できて，長波長極限では方程式（ 6 ）t）∇x ＋ v（x,t）
距離（図 1（b））に選ぶ．また，v＝v（x,xy⊥において分散関係
ωd ＝t）∇z は流体の速度場，g は天体重力による加∇y ＋ v（x,z
速度，H（x, y, t）＝ H0 ＋ h（x, y, t）は球面上の流体の厚み，k⊥・vd
k B Te～ k⊥・vd，vd ＝∇log A × ∇z，
（
 8）
eB0
1 + k2⊥

定数 H0 ＞ 0 は厚みの平均値，h は平均値からのずれ，f（x）
はコリオリパラメータである．今後は球面の曲率を無視が得られる．ここでは ωd をドリフト周波数，vd をドリフ

し，x を直交座標として扱う．方程式（10）より z 軸に垂直

ト速度と呼び，log A は x と y の線形関数と見なしている．

な速度 v⊥＝v－vz∇z を次のように表すことができる：

長谷川 - 三間方程式（ 6 ）は二次元平面における静電ポ
テンシャルの時間変化を表すため，プラズマ輸送や磁場v⊥＝vh ＋ va， vh ＝の幾何学による効果を記述することはできない．そこで，
長谷川 - 三間方程式を一般化するモデルが複数提案されて

va ＝いる．例えば，長谷川 - 若谷方程式［2］は静電ポテンシャg∇z × ∇h，
f

dv
1
∇z×
．
dt
f

（11）

ルと密度両方の時間変化を与える方程式系になっており，

次に，長谷川－三間方程式と同様に，微小パラメータ（ロ

静電ポテンシャル乱流に加えて，プラズマ輸送が表現でスビー数）ϵ ＞ 0 を導入し，下記オーダリングを仮定する :きる．また，任意のトポロジーを持つ磁場 B（x）に対して，k⊥ ¦v⊥¦
h
vz
∂t
¦∇f ¦
∂z
～
～ ～
～
～
～ ϵ． （12）
f0
k⊥ f0
f0
k⊥ ¦v⊥ ¦H0

方程式（ 6 ）を拡張する次の方程式が提案されている［3］：AB×（∇φ×B） ⎫∂ ⎧   λAφ－σ∇
・
⎨
⎬＝
B4
∂t ⎩
⎭

（9）
B・∇×vE
∇・A σ－1 vE ．
B2（

ここでは，定数 f0 はコリオリパラメータの平均値であり，
f－f0～ ϵf0 であることに注意したい．方程式（12）は長谷川－）三間方程式のオーダリング（ 5 ）に対応しており，同様に解釈できる．また，k－1⊥ ～ ρR＝ gH0 / f は乱流の代表的な波長（ロスビー半径）を表している．一方で，球面上の



面積 S における定数密度 ρ0 の流体の質量 MS ＝ ρ0 HdS の保存から連続の式
Ht ＋ ∇・（Hv⊥）＝0，S（13）が得られる．方程式（13）を代入し，オーダリング（11）の下で二次まで展開すると β 平面上 2 次元流体方程式［4－6］が得られる：（1 － Δ⊥）ht ＝［h, Δ⊥ h ＋ log f ］．
図1

トカマク型核融合炉における長谷川 - 三間方程式のセッティング．（b）地球流体力学における β 平面上2次元流体
方程式のセッティング．

（14）

－1
，
た だ し， こ こ で は 規 格 化 t→ft，（x, y）→（ρ－1
R x, ρR y）

h→h / H0 を利用した．特に方程式（14）においてコリオリ
184Special Topic Article

2. Plasma Physics and Geophysical Fluid Dynamics	N. Sato et al.

~

パラメータの線形近似（ β 平面近似）f ＝ f0 ＋ βy を仮定し上記 Hをオーダリング（ 5 ）を用いて展開するとた場合を β 平面モデルと呼ぶ．長谷川－三間方程式と同様，
2~長波長極限 k⊥ ≪1 ではロスビー波と呼ばれる線形波が得

H＝

られる：

1
2

 A（σ v ＋ λφ － λ ）dV，
2

2

2

E

V

（19）
~

k⊥・vR
ωR ＝
2 ～ k⊥・vR,
1 + k⊥

が得られる．関数 A は時間に依存しないため，Hを次のよ

gH0
vR ＝
∇z×∇log f．（15）f0

うに簡略化できる：~

上記方程式では ωR をロスビー周波数，vR をロスビー速度

H＝と呼び，log f を x と y の線形関数としている．

1
2

 A（λφ ＋ B ¦∇ φ¦ ）dV．
2

0

V

σ

（20）

2

⊥

2
0

ここでは ∇⊥＝（∂x, ∂y），定数 A0 を A の平均値とする．長

規格化した長谷川 - 三間方程式方程式（ 7 ）を比較すると，同じ数学的構造を持っていることがわかる．表 1 で

谷川 - 三間方程式の規格化及び運動が（x, y）平面の領域

は長谷川 - 三間方程式と β 平面上 2 次元流体方程式のパラ

S ＝ V∩ℝ2 に束縛されていることを利用するとメータの対応関係を示している．
H＝
表1

 谷川 - 三間方程式と β 平面上2次元流体方程式のパラメー
長タの対応関係．

長谷川 - 三間方程式

β 平面上 2 次元流体方程式

静電ポテンシャル φ

流体の厚み hサイクロトロン周波数 ωc

コリオリパラメータ f

NkBTe
m

重力波速度 cg＝ gH0

cs
ωc

ロスビー半径 ρR ＝

イオン音速 cs＝ラーモア半径 ρL ＝

ロスビー速度 vR

ドリフト周波数 ωd

ロスビー周波数 ωR

2．4



S

作用素（1－Δ⊥）－ 1 の議論を省略した．
長谷川－三間方程式の他の保存量 C はポアソン括弧のカ
シミール不変量として得られる．カシミール不変量とはポアソン括弧のカーネルに属する汎関数であり，下記方程式の解である：Ct ＝ {C, H} ＝ 0

幹にある数学的構造である．ハミルトン力学においては，物理量 φ の時間発展をハミルトニアン H とポアソン括弧

C＝されたい）次のように与える：
φt ＝ {φ, H}．

谷川－三間方程式（ 7 ）のエネルギーを見分けることができ1
2

［{ φ ＋2¦∇φ¦ ＋（Δ φ）］}dS＋  log A（1－Δ ）φdS1＝ H ＋ ［¦∇φ¦ ＋（Δ φ）］dS2＋  log A（1 － Δ ）φdS．
Cq2 ＝

れば，方程式（16）との対応関係からポアソン括弧の公理を満たす括弧積が逆算できる．また，長谷川－三間方程式のエネルギーはもととなるイオン運動方程式の保存量を

2

2

（24）

⊥

2

まず，流体描像におけるイオンプラズマの質量とエネル

⊥

S

ギーは

S

 ndV，E＝ n（ 2 mv ＋ Neφ）dV， （17）
2

2

⊥

S

S

オーダリング（ 5 ）で展開したものと一致する必要がある．

（25）

2

⊥

2

vE∝¦∇⊥ φ¦2，∇×vE・∇z∝Δ⊥ φ であることから，最後のV

関係式の二番目の積分である．ここでは，V をイオンプラズマの体積とする．M
と E は保存量であるため，次の物理量も保存する：

）

⊥

S

関数である．f ＝ q2 の場合次の保存量が得られる：

ハミルトニアン H は力学系のエネルギーを表すため，長（fdS，q＝（1 － Δ ）φ ＋ log A， （q）

である．ただし，ここで f は q＝（1－Δ⊥）φ＋log A の任意

（16）

E
M
1
1
dV．
－
＝ n
σ v2＋φ －
Ne mλ
2
λ
V

（23）

∀H．

長谷川 - 三間方程式のカシミール不変量は{・,・} によって（ポアソン括弧の定義については［8］を参照~

dS，（22）ことが証明される．ただし，ここでは φ の境界条件及び逆の存在を意味し，物理法則における力と運動の関係の根

H＝

δF－ 1 δG
,
（1－Δ
⊥）
δφ
δφ

に対して長谷川－三間方程式（ 7 ）のハミルトニアンである

保存量について紹介する［7］．ハミルトン構造は位相空間

1（1－Δ⊥）－ 1



本章では長谷川－三間方程式（ 7 ）のハミルトン構造及び

V

（21）

{F, G} ＝ － （φ－Δ⊥ φ ＋ log A）

ハミルトン構造と保存量

M＝m

が保存量となり，上記汎関数 H がポアソン括弧cg
f

ドリフト速度 vd

1（φ2 ＋ ¦∇⊥ φ¦2）dS，
2 S

W＝
（18）

1
2
［¦∇φ¦2＋（Δ⊥ φ）
］dS，
2 S



（26）

を一般化エンストロフィーと呼ぶ．W が保存するためには三番目の積分も保存する必要がある．運動方程式より
185

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023

三番目の積分は log A が x，y，x2＋y2 の線形関数で表せるが導かれる．ここで c ＞ 0 は無次元の定数である．この低とき保存することがわかる．

波数へのエネルギーの流れは，長い波長（大きな構造）を持つ流れの生成に対応する．長谷川－三間方程式と β 平面

2．5

帯状流とカスケード

上 2 次元流体方程式の場合でも，一般化エンストロフィー

核融合プラズマや天体表面における流体の流れは自発の存在によって，同様のエネルギー逆カスケード現象が的に秩序を持った構造を生み出し，長い時間スケールに生じる．しかしこれらの方程式は，二次元ナビエ - ストー

渡って維持される．帯状流（zonal flow）やジェット［9］クス方程式とは異なり空間異方性を伴うため，逆カスケー

はこれらの構造を代表する自己組織化現象であり，そのド現象は等方的でなく，最終的に特定の方向に流れる帯メカニズムはしばしば，長谷川－三間方程式と β 平面上の状流を生成すると考えられている．残念ながら，この生

2 次元流体方程式を用いて議論される．本章ではこの自己成機構の詳細は十分に理解されているとは言えず，相互組織化の生成機構について触れる．

の関連が明らかではないいくつかの考え方がある．これ
らの詳細については，本小特集でも議論される．

核融合プラズマでは閉じ込め性能に関わる半径方向の 密 度 勾 配 が 重 要 で あ り， 密 度 を 近 似 的 に x の み の 関

2．6

数 log A ～ log A0 ＋ Kx，K∈ℝ， と 考 え る こ と が で き

まとめる．同様に，天体表面の流れでは，コリオリパラメータ

本章ではプラズマ物理と地球流体力学をつなぐ長谷川－

は南北方向 y に変化するため，十分に小さい y に対して三間方程式と β 平面上 2 次元流体方程式について解説しlog f ～ log（ f0 ＋ βy）～ log f0 ＋ βy / f0 と近似することができた．これらの方程式は核融合プラズマや天体表面の流れる．この近似のもとでは，いずれの場合も流れ場はドリで観測される自己組織化現象をモデル化する基礎方程式

フト波あるいはロスビー波の集合と考えられる．またこであり，同様の数学的構造を示す．長谷川－三間方程式はの近似のもとで，方程式（ 7 ）と（14）の定常解は直線磁場に対して垂直な平面における静電ポテンシャル［φ, log A］＝［h, log f ］＝0→Kφy＝βhx＝0，

乱流を記述し，その非線形性の要因は分極ドリフトの発（27）

散となっている．また，密度勾配が存在するとき長波長

す な わ ち， 核 融 合 炉 の 半 径 方 向 の 速 度 に つ い て

極限ではドリフト波と呼ばれる線形波が存在する．β 平面

vx ～ vE・∇x＝0 あるいは天体表面を流れる流体の南北方

上 2 次元流体方程式は回転する天体の表面における二次向の速度について vy ～ vh・∇y ＝ 0 となり，φ ＝ φ（x）及び元流体の最も簡単なモデル方程式である．コリオリパラ

h ＝ h（y）より次の定常帯状流解が得られる．

メータは南北方向に変化するため，長波長極限ではロス
ビー波が励起される．両方の力学系はハミルトン構造を（28）vE＝φ（x）∇y，vh＝－h（y）
∇x.
y
x

持っており，質量，エネルギー，及び一般化エンストロ

しかし実際の流れ場は乱流状態であるため，このようなフィーが保存量として存在する．また，これらの方程式

定常解との関係は簡単ではない．これらの方程式の乱流を用いて帯状流の生成機構を議論することができ，二次数値計算の結果からは，φ や h のエネルギーを長波長側に元流体を特徴づける逆エネルギーカスケードは重要な自集中させるメカニズムが存在し，時間発展とともに流れ

己組織化メカニズムとなっている．

場は時間平均が定常帯状流に近づくことが知られている．

参考文献

このメカニズムは，二次元乱流におけるエネルギーの逆カスケードに関連づけて語られることが多い．以下では，［ 1 ］H. Hasegawa and K. Mima, Phys. Fluids 21, 1 (1978).
［ 2 ］M. Wakatani and A. Hasegawa, Phys. Fluids 27, 611(1984).
［ 3 ］N. Sato and M. Yamada, J. Plasma Phys. 88, 3(2022).
［ 4 ］J.G. Charney, Geof. Publ. 17, 3 (1948).
［ 5 ］G.K. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics (Cambrigde, 2nd ed. 2017).
［ 6 ］W. Horton and A. Hasegawa, CHAOS 4, 2 (1994).
［ 7 ］A. Weinstein, Phys. Fluids 26, 388 (1983).
［ 8 ］P.J. Morrison,Rev. Mod. Phys. 70, 467 (1998).
［ 9 ］B. Galperin and P.L. Read, Zonal Jets: Phenomenology, Genesis, and Physics (Cambridge, 2019).
［10］G.K. Batchelor, Phys. Fluids 12, 233 (1969).
［11］R.H. Kraichnan, Phys. Fluids 10, 1417 (1967).
［12］A. Hasegawa Adv. Physics 34, 1 (2004).

エネルギー逆カスケード現象について簡単に説明する．
詳細については次の論文を参照されたい［10-12］．
二次元非圧縮性ナビエ - ストークス流体の等方乱流を考える．この系では，非粘性のとき，エネルギーとエンス
2

トロフィーが共に保存量となる．k2 ＝ k⊥として，エネル
ギースペクトル E（k）とエンストロフィースペクトル Ω（k）の間には Ω
（k）＝k2E（k）の関係があるため，エネルギーは高波数側に流れることができない（流れるとエンストロ
フィーが増えてしまう）．このためエンストロフィーは高波数方向に，エネルギーは低波数方向にしかそれぞれ流れることができず，特に後者をエネルギー逆カスケードとよぶ．このとき 3 次元乱流のエネルギーカスケードのように，低波数方向へのエネルギーのフラックス ξ が波数に依存しない一定値であるとして，次元解析よりエネル
ギースペクトルE ＝ c ξ 2/3k － 5/3．

（29）
186

J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.5 (2023) 187-192

小特集 2 次元回転系上の乱流における⼤規模構造形成

3 ．回転系における大規模帯状構造形成
3. Large-Scale Band Structure Formation in Rotating Systems
竹広真一

TAKEHIRO Shin-ichi
京都大学数理解析研究所（原稿受付：2023年 1 月16日）

回転球面およびその接平面モデルである β 平面において強制された小規模渦が，回転の効果が卓越し始める
ラインズスケールにまで等方的に逆カスケードした後，経度方向に優勢な逆カスケードによって帯状構造が出現する．この非等方的な逆カスケードは，時間がかかるものの空間最小波数に達するまで阻害されず，最終的には空間最大スケールの幅の帯状構造が出現すると考えられる . 薄い回転球殻熱対流により引き起こされる中高緯度のジェット流の融合も同様のメカニズムで生じると考えられる．
Keywords:
β effect, Rhines scale, anisotropic inverse cascade, merging zonal jets

3．1

はじめに

風の幅や強度がどのような要素によって定まっているのか，といった，その成因と維持機構が地球流体力学や惑

地球をはじめとして，さまざまな惑星の天体規模の風

星大気科学の研究者の興味を引いてきた 1．

速分布には東西方向の卓越したジェット風が観測される．
このような惑星大気の風速分布の基本的な理解をめざし

ガス惑星表層大気運動のエネルギー源は，太陽放射にて回転系での帯状構造形成問題が古くから考察されてき加えて，同程度の強さの深部からの熱流が存在している．

ている．特に巨大ガス惑星である木星と土星に見られる

太陽放射により駆動される大気運動の研究は地球型惑星

表面の帯状構造は顕著である．このパターンに伴って東大気研究の拡張として，自転速度や惑星半径などの惑星

西ジェット風の向きが交互に入れ替わっていることが探パラメータの違いにより説明を試みるものであり，地球査機や巨大望遠鏡に撮影された画像を用いた雲追跡解析の 3 次元大気大循環モデルを変更した数値実験が行われによって知られるようになった．図 1 はそのようにしててきているが（例えば［3］），本解説ではこれ以上この系得られた木星と土星の表面帯状風の緯度分布である．よ統の研究には立ち入らない．一方，深部からの熱流により詳細に観察すると，この分布には赤道周辺の強く幅広り駆動される大気運動のモデルには，表面の大気運動が，な順行ジェットと，中高緯度の向きが交互に入れ替わる

表面付近の薄い大気層に限定されたものであると考える

幅狭なジェットにより特徴づけられる．このような帯状「浅いモデル」と，より深部の大気運動に起因すると考える「深いモデル」の 2 種類が提案されてきている．
「浅いモデル」の最も基本的な枠組みは，回転球面上の2 次元強制乱流モデルである．深部からの熱流により駆動されるであろう小規模熱対流を通じて球面上に小規模渦が強制されると考えるものである．「深いモデル」は，回転球殻内の流体が下面からの熱流あるいは内部熱源により駆動されて，表面流体運動を誘導すると考えるモデル
である．
どちらのモデルでも，帯状構造の生成とその特徴を議図1

論する上で重要な概念の一つは渦位保存（Conservation

木星と土星の表面帯状風分布．木星のデータ［1］および土星のデータ［2］を用いて描画．

of Potential Vorticity）とそれに伴う β 効果およびライン

Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, KYOTO 606-8267, Japanauthor’s e-mail: takepiro@gfd-dennou.org
１

 道周辺の順行ジェットは「赤道超回転（equatorial superrotation）」と呼ばれ，何らかの順行向きの加速の存在が示唆される（赤赤道加速問題 , equatorial acceleration）．赤道表面は自転軸から最も離れた場所であり，単純な角運動量保存則を考えると逆行風が生成されるところであるからである．加速メカニズムもまた現在も解明されていない一つのテーマであり，未だ研究が続けられているが，本解説においてはこの問題には深く立ち入らず，帯状構造形成の問題に焦点を当てる．

187Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

ズスケールである．渦位保存は次の式で表される．

（

）

f＋ζ
∂
  ＋ u・∇ q＝ 0，q＝   ．H∂tMay 2023∂ψ∂ψu＝－  ，v＝  ．
∂y
∂x

（1）

（4）

ここで，x および y が経度方向および緯度方向座標，u，vはそれぞれ流れの x，y 成分，∇2＝∂xx＋∂yy は 2 次元ラプq は渦位，f は惑星自転に伴う渦度，u は流速ベクトル，ζ
は流れの渦度，H は流体層の厚さである．今，背景渦位

ラシアン，F は小スケールの強制項である．D は散逸過程

Q ＝ f / H が y 方向（典型的地球流体問題では緯度方向）にを表しており，通常の粘性散逸では粘性係数 ν を用いて変化しているとする．

D＝－ν∇2∇2ψ となる．渦度は流れ関数と ζ ＝ ∇2ψ の関係

（にある．この式は強制項と散逸項がない場合に，プラズ

）

dQ
f
∂
ζ
v ＝ 0，Q（y）＝    ＋ u・∇ q'＋H
，q'＝  
．
H
dy
H
∂t
（2）

マ物理に登場する長谷川 - 三間方程式の漸近形に相当す
る．
2 重周期領域の β 平面モデルでの乱流の理論的な考察とここで v は流れの y 方向成分である．この式は，背景渦数値実験の代表的な先駆的研究は Rhines（1975）［4］であ位の空間変化が存在すると，その方向に流体粒子が動くる．彼は初期に与えた小スケールの渦が逆カスケードしことで，（流れの）渦度が引き起こされることを表してて大規模帯状構造を形成していく様子を見出し，帯状構いる．このメカニズムは β 効果と呼ばれ，背景渦位傾度造の幅の理論的見積もりを提案した．空間的に小さいス

β ＝ HdQ / dy を β パラメータという．また，β 効果に起因ケールでは β 項の寄与が小さく，回転の効かない 2 次元乱する波動をロスビー波という．背景渦位が緯度方向に変流のように振る舞うため，逆カスケードが生じ，次第に化していると，この β 効果により東西帯状構造が生じやす

流れの空間スケールが大きくなっていく．やがて β 項が効

くなることが期待される．渦位保存則の拘束により，緯き始めて移流項と同程度になると逆カスケードが止まる

度方向に流体粒子が動きにくくなり，動きやすい東西方と考えた（図 3 ）．そのときの空間スケールを LR，流れの向の流れが卓越する傾向になるからである．図 2 に，例

典型的な振幅を U とすると2 ，として「浅いモデル」の枠組みである回転球面上 2 次元

¦

¦

U2
∂ψ
¦J（ψ,∇2ψ）¦～ β  ⇒  2 ～ βU，LR ～∂x
LR

流体における β 効果の模式図を示している．
以下では，回転系でのいくつかの乱流モデルを概観し，帯状構造の出現と消滅について見ていくことにする．

U． （ 5 ）β

ラインズスケールと呼ばれる LR は 2 次元 β 平面強制乱流で出現する帯状構造の典型的な幅のバンド構造の幅の3．2

回転系 2 次元強制乱流による帯状構造形成

3．2．1

オーダーの見積もりとして，よく用いられている．このβ平面モデルラインズスケールは，渦位保存則から帯状のバンド領域
で渦位が一様になっていると考えることにより導くこと

惑星大気の大規模帯状構造の形成の最も基本的なモデもできる．

ルとして考察されてきているのが β 平面モデルである．これは回転球面上でのある緯度における接平面上の 2 次元

後に Vallis and Maltrud（1993）［5］は β 平面モデルでの渦の振舞いを記述するものである．流れを支配する方程

小スケールの渦強制による乱流数値実験を行い， 2 次元波式は，先の渦位保存則（ 2 ）において流体層の厚さ H と β パ数空間（kx, ky）上でエネルギースペクトルと大規模帯状構

ラメータを定数としたものである．流れ関数 ψ を用いた支造の形成の様子を観察し，より詳細な議論を行った．ここ

配方程式は次のようになる．

で kx，ky はそれぞれ x，y 方向の波数である．図 4 が図 3∂∂ψ  ∇2ψ ＋ J（ψ, ∇2ψ）＋ β  ＝F－D，
∂t∂xに対応する 2 次元エネルギースペクトルである．積分開
始直後は強制により生成される小規模渦のエネルギース（3）

ペクトルが大きな円環状に分布している（図 4 左上）．この小規模渦が逆カスケードしていき，β 効果が働き出すと，

図2

2

図3

回転球面上の β 効果の模式図．流体層の厚さ H が一定であり f が緯度に依存している．球面渦には自転の鉛直成分のコリオリ力しか作用しないため，緯度方向の流体粒子の移動に伴って渦度が引き起こされる．

 平面 2 次元強制乱流の計算例．x 方向平均流と速度 x 成
β分．明るいところが正，暗いところが負の速度成分を表している．静止状態からの時間積分開始直後（左）と，その後帯状構造が発達した状態（右）．

V allis（2006）［6］には U は帯状流の振幅ではない，と書いてあるが，それが帯状流に対する擾乱の速度振幅を意味するのかははっきりわからない．

188

Special Topic Article

3. Large-Scale Band Structure Formation in Rotating Systems	

S. Takehiro

原点への等方的な逆カスケードが阻害され，エネルギーkR,x＝kR cos3/2θ，kR,y＝kR sinθ cos1/2θ，スペクトル分布にダンベル状の空白領域が見られるようになり，（図 4 左下，右下），さらに長時間後にはエネルギー
スペクトルはダンベル領域を避けて ky 軸に沿った領域に

kR＝エネルギーが集中していく．このようなスペクトル分布

β
1
＝
．
U
LR

（9）
（10）

は，x 方向の波数 kx が 0 に近い状態が卓越することを意味となる．この式は線形項のと非線形項のスケーリングにしており，帯状構造の出現に対応している．

よっても導くことができる．（ 5 ）において非線形項を等Vallis and Maltrud（1993）［5］は，このダンベル構造を方的な空間スケールで，β 項を x 方向のスケールで評価す

ロスビー波の振動数 ωR と等方乱流での振動数 ωt（乱流渦ればよい．また， 2 乘平均渦度 Z を用いて ωt＝Z と見積もの移流時間の逆数）が同程度であることから理論的に導れば，いた．すなわち，
kH,x＝kH cos2θ，kH,y＝kH sinθ cosθ，

βkx
1/3 2/3
ωR ＝ －   
22 ～ ωt ＝ ε k ，kx ＋ ky

（6）
k H＝

より，

β
1
＝
．
Z LZ

（11）
（12）

が得られる．これらのダンベルの形状をプロットしたの
kβ,x ＝ kβ cos θ，kβ,y ＝ kβ sinθ cos θ，
8/5

3/5

（ ）

β3 1/5kβ ＝．ε
ここで ε は運動エネルギー注入率，k＝が図 4 右上である．

（7）

Vallis and Maltrud（1993）［5］の解析は，乱流の逆カス
ケードが β 効果によって止まるのではなく，非等方的に逆（8）カスケードしうることを示唆している．先に x 方向（渦位22kx＋ky は全波数，勾配と垂直方向）へ逆カスケードして帯状構造が出現しθ ＝ arctan（ky / kx）は波数空間の極座標での方位角である．

た後に y 方向（渦位勾配の方向）へ逆カスケードがゆっく

このダンベル領域の外側領域が，移流項が卓越し逆カス

りと進みうる．したがって大規模帯状構造は領域全体にケードが可能であることを意味している．ここで kβ は波まで幅が広がる可能性がある．しかしながら，ダンベル動の振動数が ωR ～ β / k と等方的であることを仮定して得領域を避けての ky 軸に沿っての逆カスケードは可能であられる特徴的な波数である．

るが，波数が小さくなっていく時間はとても長いだろう，と彼らは議論している．

乱流の振動数の見積もり方を変えることで，形状と大ラインズスケールおよびダンベル領域の大きさを表す

きさの異なるダンベル領域を導くことができる．ωt＝Uk

波数 kR，kβ，kH を用いた議論は，帯状構造の発達の定性と見積もれば，的な説明としては使えるが，帯状構造の幅の定量的な見積もりとしては曖昧さがあることに注意されたい．例えば図 3 右の帯状構造の波数は 13 程度であるのに対して，
数値計算データを用いて U を擾乱の平均運動エネルギー，
Z を擾乱の平均エンストロフィーから見積もり，（ 8 ），（10），（12）を 評 価 す る と， 各 波 数 が kβ ＝ 47，kR ＝ 12，
kH ＝ 15 と値がばらつく．また，長時間後のダンベル領域を避けての ky 軸に沿った逆カスケードに伴い出現するであろう大規模帯状構造のスケールは，ダンベル領域で定まる空間スケールよりも大きくなるので，ラインズスケー
ルなどの見積もりが適当でなくなることを意味する．
一方，エネルギー散逸過程が存在することによって大規模帯状構造のスケールが定まるという考え方もある．
回転系における 2 次元渦運動に対しては，渦柱に垂直な境界面に出現するエクマン境界層による渦の散逸（エクマン摩擦）が，大規模なスケールほど通常の粘性散逸より卓越するようになる．この効果は渦度方程式（ 4 ）に対
図4して渦度に比例する散逸項を与えることで表現される．

 平面 2 次元強制乱流の計算例における 2 次元エネルギーβ
スペクトル．図 3 に対応した，静止状態からの時間積分開始直後（左上）と，その後帯状構造が発達した状態（左下），およびその低波数領域を拡大表示したもの（右下）．右上は2 次元スペクトル空間での β 項と非線形項が同程度になる
境界．実線が（8）による（kβ,x, kβ,y）
，破線が
（10）
による
（kR,x,
kR,y）
，点線が
（12）
による
（kH,x, kH,y）．

∂∂ψ  ∇2ψ＋J（ψ, ∇2ψ）＋β  ＝F－γ∇2ψ，
∂t
∂x

（13）

ここで γ はエクマン摩擦係数である．エクマン摩擦によるエネルギー散逸が平均運動エネルギー Ē＝U2 / 2 を用いて189

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023

ε ＝ 2γĒ＝γU 2 と見積もられるので，LR の U に代入するこが出現せず，極域に強い逆行ジェットだけが生成されるとによりエクマン摩擦により定まる空間スケール LEkman

結果となった．これはラインズスケールよりも大きなスが得られる［6，7］．

ケールの強制が与えらることで，逆カスケードが働かず，

（ ）
ε
γβ2

1/4

生成された渦が波動（ロスビー波）として伝播し，極域（14）に逆方向の角運動量を集積するためであると考えられる．

帯状構造は無限に幅が広がることはなく，エクマン摩擦構造の幅を平均的な β パラメータを用いたラインズ波数，

LEkman＝．

Nozawa and Yoden（1997a）［9］は東西流が卓越する帯状によって，この幅で逆カスケードが止まると議論されて
いる．
3．2．2

nβ＝a
球面モデル

〈β〉

2Ū

（16）

β 平面モデルよりも一段現実の惑星大気に近づけた「浅と比較し，整合的と結論づけた．ここで nβ は球面調和関いモデル」は回転球面上の 2 次元乱流モデルである．流数の全波数 n の見積もり，ここで〈β〉＝ πΩ / 2a は球面平均体層の厚さが球半径より十分に薄く，一定であることをした β パラメータ，Ū は 2 乗平均速度である．
Nozawa and Yoden（1997b）［10］は さ ら に Vallis and

仮定すると，球面上の 2 次元流体運動は次のような渦度

Maltrud（1993）［5］の解析を球面に拡張し，スペクトル空方程式にしたがう．

（

間における乱流と波動の境界を

）

∂ζ
1
2Ω ∂ψ
2
  ＋ 2 J（ψ, ζ）＋  ＝F＋ν ∇2 ＋ 2 ζ．（15）
a
a ∂λ
a
∂t

Ū 2
m＝   n（n＋ 1）
2Ωasin 緯度 μ，経度 λ，時間 t に対して，ψ（λ, μ, t）は流れ関数，（17）ζ
（λ, μ, t）＝∇2ψ は渦度の鉛直（球面に垂直な）成分，∇2と見積もった．ここで n，m は球面調和関数の全波数およは球面上の 2 次元ラプラシアン，a は球半径，F（λ, μ, t）

び帯状端数である．これは，ロスビー波の振動数と渦度（∂μζ）－（∂μψ）（∂λζ）はヤコビ
は渦度強制，J（ψ, ζ）＝（∂λψ）の移流時間の逆数とが同程度になることから導かれる．

アン，ν は粘性係数である．粘性項の 2 / a2 は等方粘性の球Ūn2ΩmωR＝－     ～   n（n＋1） a

座標系表現によって現れる項であり，これによって全角運動量が保存される．

（18 ）回転系 2 次元強制乱流の研究は Williams（1978）［8］か

そしてエネルギースペクトルの振幅が大きい領域の境ら始まる．彼は回転球面上の 2 次元非圧縮流体にランダ界が定性的に（17）となっていると議論した．図 6 には図 5

ムな渦度強制を与える数値実験を行い，交互に向きの変に対応した 2 次元スペクトル空間（m, n）におけるエネル

わる東西流分布を伴う帯状構造が出現することを示した．

ギースペクトル分布を示している．帯状構造が発達した

しかしながら，彼の計算は，経度方向への 8 回対称性と状態（図 6 左下，右下）の低波数領域に（17）で示される

赤道対称性を仮定しており，全球の 1 / 16 の領域でしか計算していなかった．さらに用いた強制が等方的でなかったことも問題であった．
この欠点を解消するべく，全球領域での系統的な数値実験を行ったのが Nozawa and Yoden（1997a）［9］である．
彼らは自転角速度と渦度強制の水平スケールをさまざまに変えて，帯状構造の出現の様子を調べた．その結果として，強制の水平スケールが十分に小さい場合には生成される小規模の渦が融合し，ラインズスケール程度にまで逆カスケードが生じ，結果として東西流が卓越する帯状構造が形成されることを見出した．（図 5 右），しかしながら，強制の水平スケールが大きい場合には帯状構造

図6
図5

回転球面状の 2 次元強制乱流の計算例．経度方向平均流と速度経度方向成分．静止状態からの時間積分開始直後（左）と，その後帯状構造が発達した状態（右）．Nozawa andYoden（1997a）［9］の Case 18に相当．

190

回転球面 2 次元強制乱流の計算例における 2 次元エネル
ギースペクトル．縦軸が球面調和関数の全波数 n, 横軸が帯状波数 m である．右上図は実線が（17）の曲線，点線がn ＝ m の直線を示している．左上図は図 5 に対応した，静止状態からの時間積分開始直後の 2 次元エネルギースペク
トル．左下および右下はその後帯状構造が発達した状態，
およびその低波数領域を拡大表示したもの．

Special Topic Article

3. Large-Scale Band Structure Formation in Rotating Systems	形の境界の右側がエネルギーの空白領域となっている．

S. Takehiroρ は圧力および密度（定数），α は熱膨張率，T は温度，gWilliams（1978）［8］と Nozawa and Yoden（1997a, b）

は重力加速度ベクトル，ν，κ は粘性および熱拡散係数，［9，10］の結果は，回転球面 2 次元乱流モデルではライン

Q は内部熱源である．高速に自転してコリオリ力が卓越しズスケール程度の帯状構造が生成されることを印象づけている状況では主要な力学バランスが地衡流平衡であり，るものであった．これに対して Obuse et al．（2010）［11］

その回転から導かれるテイラープラウドマンの定理

は Nozawa and Yoden（1997a, b）［9，10］の 数 値 実 験 を（2Ω・∇）u＝0，

拡張して，数 100 倍の長時間積分を行った．その結果，（22）

Nozawa and Yoden（1997a, b）［9，10］において観察されが近似的に成り立っている．したがって回転軸方向に一た複数の狭い東西ジェットが速やかに融合していき，結様な 2 次元的渦柱の形態の流体運動が卓越し，その主要果として全球に 2 ないし 3 本のジェット流の最終状態とな振舞いは渦位保存則が支配する．背景渦位傾度は内外なった（図 7 ）．したがって，回転球面 2 次元乱流モデル

球殻境界により定まる渦柱の高さの変化に起因する地形においては，たくさんの東西ジェットを伴う帯状構造は性 β 効果による（図 8 ）．内側境界に接する仮想的な円筒

時間積分初期にしか観察されず，長時間後にはその帯状面（tangential cylinder，接円筒）の内側と外側で β パラ構造が融合していき大規模な少数のジェットしか残らなメータの符号が変わるため，熱対流により引き起こされいことが明らかになった．

る渦の性質が異なることになる．

この大規模なジェット流の幅はラインズスケールでの高速回転球殻中の熱対流による帯状構造形成は，Busse

見積もりとは異なっている．Nozawa and Yoden（1997a）（1976，1983）［13，14］の理論的な予想に始まる．彼は高速［9］と同じく，ジェット領域で平均した β パラメータの値に回転する球内の一様内部熱源により駆動される熱対流を用いたラインズスケールの見積もりは，数値実験結果の臨界状態において回転軸に沿った柱状の渦が球殻の中をうまく説明できない．

程に局所的に発生することを漸近展開理論を用いて示し

このジェット流の融合と大規模な帯状構造の出現は，βた［15］．その解に基づいて，レイリー数をあげたときの平面モデルでの 2 次元スペクトル空間で見られた空白ダ

有限振幅対流が円筒動径方向に渦柱が並ぶだろうと考え

ンベル領域に基づいた Vallis and Maltrud（1993）［6］のた［13］．さらに，外側球面境界の曲率のために渦柱が動議論と同じように行える［12］．球面での 2 次元スペクト

径方向に傾き，そのレイノルズ応力により角運動量が動ル空間におけるエネルギー空白領域（17）を避けての n 軸に径方向へ輸送されることで向きが交互に変わる帯状流が沿った逆カスケードが可能であるために，大規模帯状構生成されるだろうと予想した［14］（図 9 左）．

造が出現していると考えることができるだろう．一方で，この予想を確かめるべく，Christensen（2002）［16］が2．1 節の β 平面モデルにおいて紹介したように，回転球面

系統的な回転球殻熱対流の数値実験を行ったところ，複2 次元乱流モデルにエクマン摩擦を導入した場合には帯状数の帯状バンドが出現することなく，赤道域の順行ジェッジェットの融合が抑止され，多くのジェット流を伴う帯

トと中高緯度の逆行ジェットが生成される結果となった状構造が維持されることになるだろう［12］．

（図 9 右）．出現する柱状の熱対流渦は，Busse の予想のよ

3．3

うに円筒動径方向に整列するのでなく，無秩序に連続的

高速回転球殻中の熱対流による帯状構造形成

ガス惑星大気の大規模帯状構造の形成の「深いモデル」に発生する．それぞれの渦が角運動量輸送を外向きに輸のもっとも基本的な枠組みは，高速に回転する球殻中の送するため，幅広な一対の外側順行ジェットと内側の逆

ブシネスク流体の熱対流である．その支配方程式は以下行ジェットとなる結果となっていた．
Busse の予想においては球領域，Christensen（2002）のようなものである．
∇・u＝0，

［16］の数値実験では内外半径比が 0.35 程度の厚い球殻（19）領域を扱っていた．これに対して Heimpel and Aurnou∂u1  ＋（u・∇）u＋2Ω×u＝－ ∇p＋αTg ＋ ν∇2u，
∂t
ρ

（20）
∂T
  ＋（u・∇）T ＝ κ∇T ＋ Q．
（21）∂t
ここで u は速度ベクトル，Ω は自転角速度ベクトル，p，

図8
図7

回転球面状の 2 次元強制乱流の長時間積分の計算例．経度方向平均流の時間変化（左）と長時間積分後の速度経度方
向成分分布（右）．Obuse et al．（2010）［11］の Case 18に
相当．

191

高 速 回 転 球 殻 中 の 地 形 性 β 効 果 の 模 式 図． 円 筒 動 径2Ω
座 標 s を 用 い て 渦 位 は Q（s）＝   ，β パ ラ メ ー タ は
H
（s）
2Ω dH
β（s）＝ －      と表される．渦柱の伸縮に伴い，流体H（s） dsの渦度が引き起こされる．接円筒内部と外部とで β パラ
メータの符号が変わるため，熱対流渦の性質が異なる .

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023

間積分初期にしか観察されず，長時間後にはその帯状構造が融合して大規模になっていくようである．しかしながら，散逸過程や力学境界条件などの設定やパラメータに対して，ジェットの融合や大規模化がどのように変わるかはまだ明らかになっていない．
さ ら に は， 巨 大 惑 星 の 状 況 に よ り 近 づ け る べ く，
Heimpel and Aurnou（2007）［17］のモデルをブシネスク
系から非弾性系へ拡張した研究が行われており（例えば
図9［19，20］），中高緯度の複数ジェットが出現する状態が見 速回転球殻中の熱対流による帯状構造の生成の模式
高図．右図が整列した渦柱による交互の帯状流が生成されるBusse の予想［14］．しかしながら，Christensen の数値計
算［16］の結果は，左図のように，細い渦柱がランダムに生成消滅し一対の帯状流が形成されることを明らかにした．

出されている．これらの結果も長時間積分による大規模な帯状構造の出現を検証しなければならないだろう．

3．4

まとめ

（2007）［17］は内外半径比が 0.85 および 0.9 の薄い球殻領域

以上，回転系での 2 次元的な乱流による帯状構造形成のモデルを提案した．その結果，球殻外側境界において，について，β 平面モデル，球面モデルおよび回転球殻熱対

赤道域の幅広な順行ジェットと中高緯度での交互に向き流モデルでの研究を紹介した．いずれのモデルでも，初が変わる幅狭なジェットを伴う帯状構造が出現する解を期には多数の縞状ジェットが出現するものの，長時間後見出した．接円筒外側では Christensen（2002）［16］と同にはそれらが融合して空間最大スケールの幅の帯状構造

じく，角運動量を外側に輸送する熱対流渦により幅広なとなった．そのため，これらのモデルではガス惑星表面

順行ジェットが生成されている．これに対して，中高緯の多数のジェットからなる帯状パターンを説明すること

度の帯状構造の出現を 2 次元 β 平面での強制乱流と同じよが難しい．幅の狭い帯状構造の生成維持を回転系の 2 次

うに彼らは考えた．小規模スケールの熱対流渦柱が励起

元乱流の基本的な性質だけで説明するは難しく，エクマ

され，それらがラインズスケールにまで逆カスケードし，ン摩擦といった他の制御因子を別途考えなければならな帯状構造が出現している，と議論し，帯状構造の幅がラいだろう．

インズスケールの見積もりと整合的であると結論づけた．
しかしながら，第 3．2 節で議論したように，β 効果は逆

参考文献

カスケードを完全に阻害するのではなく，帯状構造が卓［ 1 ］J. Tollefson et al., Icarus 296,163 (2017).
［ 2 ］E. Garćı-Melendo et al., Icarus 215, 62 (2011).
［ 3 ］G.P. Williams, J. Atmos. Sci. 60, 1270 (2003).
［ 4 ］R.B. Rhines,J.FluidMech. 69, 417 (1975).
［ 5 ］G.K. Vallis and M.E. Maltrud, J. Phys. Oceanogr. 23,1346 (1993).
［ 6 ］G.P. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics (Cambridge University Press, Cambridge, 2006)
p.745.
［ 7 ］S. Danilov and D. Gurarie, Phys. Rev. E 65,
067301(2002).
［ 8 ］G.P. Williams, J. Atmos. Sci. 35, 1399 (1978).
［ 9 ］T. Nozawa and S. Yoden, Phys. Fluids 9, 2081(1997).
［10］T. Nozawa and S.Yoden, Phys.Fluids 9, 3834 (1997).
［11］K. Obuse et al., Phys. Fluids 22, 056601 (2010).
［12］H.-P. Huang et al., Phys. Fluids 13, 225 (2001).
［13］F.H. Busse, Icarus 29, 255 (1976).
［14］F.H. Busse, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 23, 153(1983).
［15］F.H. Busse, J. Fluid Mech. 44, 441(1970).
［16］U.R. Christensen, J. Fluid Mech. 470, 115 (2002) .
［17］M. Heimpel and J. Aurnou, Icarus 187, 540 (2007).
［18］竹広真一 他：平成 26 年度地球シミュレータ利用報告書（2014）．
［19］T. Gastine et al., Phys. Earth Planet. Inter. 232, 36(2014).
［20］M. Heimpel et al., Nature Geo Sci. 9, 19 (2015).

越する非等方的な逆カスケードを許容するので，長時間積分後には，Heimpel and Aurnou（2007）［17］の見出した複数ジェットが融合して大規模な帯状構造に遷移することが考えられた．さらに彼らの計算は経度方向に 1 / 8 対称性を仮定したセクター領域での計算であった．そこで
竹 広 ら（2014）［18］は Heimpel and Aurnou（2007）［17］の設定のもとで全球領域での長時間積分を行った．図10はその計算例である．短時間積分においては中高緯度に交互に向きを変えた複数の東西ジェットが出現しており，Heimpel and Aurnou（2007）の結果と整合的である（図10 左）．一方，長時間積分においてはこれらの複数の
東西ジェットが融合し，中高緯度に各 1 本の順行ジェットとなっている（図10 右）．
したがって，回転球殻対流モデルにおいても，中高緯度においてたくさんの東西ジェットを伴う帯状構造は時

図10

Heimpel and Aurnou（2007）設定に基づいた全球領域および長時間積分（右）の計算例．左が短時間積分後，右が長時間積分後の球殻表面での経度平均帯状流と速度経度方
向成分分布．

192

J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.5 (2023) 193-196

小特集 2 次元回転系上の乱流における⼤規模構造形成

4.1

回転球面上非強制 2 次元流における大規模帯状流形成と
ロスビー波非線形相互作用

4.1 Large-Scale Zonal Flow Formation in Two-Dimensional Turbulence
on a Rotating Sphere and Nonlinear Interactions of Rossby Waves
小 布 施 祈 織，山 田 道 夫 1 ）OBUSE Kiori and YAMADA Michio 1 ）岡山大学学術研究院環境生命自然科学学域， 1 ）京都大学数理解析研究所（原稿受付：2023年 1 月20日）

回転球面上非強制 2 次元流における大規模西向き周極流の形成と，その際のロスビー波非線形相互作用の役割について紹介する．非線形相互作用の種類と空間構造によってロスビー波を 4 つのグループに分類しグループ
間のエネルギー輸送を調べると，西向き周極流形成は，ロスビー波三波非共鳴相互作用による共鳴帯状波へのエ
ネルギー輸送が直接的原因であり，その過程には三波共鳴および三波非共鳴両方の非線形相互作用が関与するという複雑な構造を有していることがわかる．
Keywords:
two-dimensional turbulence, rotating sphere, zonal flow, Rossby wave, nonlinear interaction

4．1．1

はじめに

非圧縮性非強制非粘性 2 次元流の渦度方程式

回転球面上 2 次元乱流は，地球流体力学においては惑∂ζ∂ψ＋ J（ψ, ζ）＋ 2Ω
＝ 0
∂t
∂ϕ

星大気の大規模流体運動の最も基本的な数理モデルの一つである．また流体力学においては非等方非一様乱流を（1）実現するおそらく最も簡単な例であり，偏微分方程式論を考えて 1，2，この系における大規模帯状流形成についてにおいては回転球面上での 2 次元ナビエ - ストークス方程議論する．
方程式（ 1 ）は経度（ϕ）－ sin 緯度（μ＝sin（λ），λ は緯度）式もしくはオイラー方程式の解である．いずれの立場においても，回転球面上 2 次元乱流の振る舞いについての座標系で書かれており，t は時間，ψ
（ϕ, μ, t）は流れ関数，

詳細な理解は，関連する研究に重要な知見を与える．本ζ（ϕ, μ, t）＝∇2ψ は渦度，∇2 は水平 2 次元のラプラシアン，

稿では流体力学の立場に立ち，回転球面上 2 次元乱流に

Ω は球の自転角速度である．J（f, g）はヤコビアンであり，おいて出現する非等方非一様な大規模帯状構造の形成過J（∂g / ∂ϕ）と 定 義 さ れ（∂g / ∂μ）－（∂f / ∂μ）（f, g）＝（∂f / ∂ϕ）程について考察する．地球流体力学の立場に立った場合る．流れ関数 ψ は速度の経度方向成分 uϕ および緯度方向には惑星の内部発熱機構などの存在により強制力の考慮

2/ ∂λ），uλ＝－（∂ψ / ∂ϕ）
成分 uλ がそれぞれ uϕ＝ 1 － μ（∂ψが必要となるが，ここではより基本的な状況での大規模と記述されるように定義されており，これによって非圧

帯状流形成を考察対象とするため，非強制の場合を扱う．

縮性の条件は自動的に満たされている．

また，さらに問題をシンプルにするため，非粘性流れを方程式（ 1 ）に小規模かつ等方的なランダム初期流れ場

考えることにする．地球流体力学には大規模帯状流の形（図 1（A））を与えて時間発展させると，両極域には大規

成は粘性による運動量散逸の効果に起因すると考える議模 な 西 向 き 周 極 流（図 1（B）
（C）（D）） が， 中 低 緯 度 領論も存在するが， 2 次元球面の場合においては，実現され域には弱い東向き流と西向き流が交互に並ぶ縞状の構造

る流れ場は非粘性極限と非粘性の場合に一致し，そこで（図 1 （D））が形成される［2］．回転角速度 Ω が大きくなる

出現する大規模帯状構造は弱粘性を仮定したときに得らにつれて，西向き周極流の速さは増大し，幅は減少する

れるものと同様のものである［1］．

［3］．強制問題では強い東向き流と西向き流が交互に並ぶ

以上より，本章では，回転球面上での無次元化された構造が球面全体に形成されることが知られており［4，5］，

Graduate School of Environmental, Life, Natural Science and Technology, Okayama University, OKAYAMA 700-8530, Japancorresponding author’s e-mail: obuse@okayama-u.ac.jp
１　非粘性であるため，この渦度方程式はオイラー方程式を起源とする．また，この方程式に β 平面近似（β-plane approximation）を施したものは長谷川 - 三間方程式の特別な場合に対応する．
2 方程式（ 1 ）は，球の半径と初期運動エネルギーを用いて無次元化してある．

193Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023

4．1．2

 スビー波の三波非線形相互作用，共鳴
ロ
波と非共鳴波

4．1．2．1

ロスビー波，三波共鳴非線形相互作用

方程式（ 1 ）にはロスビー波と呼ばれる線形解が存在する 3．ロスビー波解は球面調和関数 Ylm（ϕ, μ）を用いてYlm（ϕ, μ）exp（－iωt）と書かれ（l∈N, m∈Z, －l≤m≤l），
その振動数 ω は－2mΩω（l, m）＝ 
l
（l＋1）

（2）

である．Ylm（ϕ, μ）の m がゼロの球面調和関数は経度方
図1

向に一様な構造を持つ．式（ 1 ）で記述される系において回転球面上2次元乱流における大規模帯状流の形成．（A）
初期流れ場における速度の経度方向成分．ランダム一様であるため，特に構造は見られない．（B）t ＝10における速度の経度方向成分．大規模西向き周極流が見られる．（C）
速度の経度方向成分に対応する角運動量の経度方向平均の時間発展．時間の経過に伴い，両極域に強い西向き流が形成される．（D）t ＝10における速度の経度方向成分に対応
する角運動量の経度方向平均（マイナスが西向き流）．極域に西向き流，中低緯度には弱い縞状構造が見られる．

は，流れ場の時間発展はロスビー波のダイナミクスによって支配されており，帯状流形成はロスビー波 Yl0exp（－iωt）（ただし m ＝ 0 より ω ＝ 0）の発達に対応する．

ロスビー波のダイナミクスを考える際にしばしば用いられる概念として，ロスビー波の三波共鳴非線形相互作mmm用がある．Yl1 1，Yl2 2，Yl3 3 に対応する 3 つのロスビー波が条件

強制力の有無によって実現される流れは大きく異なる．
しかし大規模帯状流の形成という点は共通であり，これは回転系での 2 次元乱流が持つ大きな特徴である． 2 次元
乱流においては， 3 次元の場合とは異なり，エネルギーとエンストロフィーが保存されるため，より大きな構造を

m1 ＝ m2 ＋ m3，（3）

|l2－l3| ＜ l1 ＜ l2 ＋ l3，（4）

l1 ＋ l2 ＋ l3 ＝ 奇数，

（5）

m1
m2
m3
＝
＋
l（l
l
l
＋1）
（l
＋1）
（l
1 1
2 2
3 3＋1）（6）

持つ流れ場が形成されるようにエネルギーが輸送されるを満たしているとき，これらのロスビー波は三波共鳴非エネルギーの逆カスケードが起きることが知られている．

線形相互作用していると言われる．条件（ 3 ）－（ 5 ）は三波

回転系で見られる大規模構造形成もその結果であると考

非線形相互作用の必要条件であり［12］，条件（ 6 ）が共鳴えられる．東西に伸びた構造の形成は系の回転効果に起相互作用のために追加されるものである［13］4．ロスビー

因するが，本小特集の 4 章で解説される理論をはじめ様々

波三波共鳴非線形相互作用に関して，球の回転角速度 Ωな議論が存在するものの，決定的な説明は未だ与えられが無限大の極限においては，ある有限時間内ではロスビーていないのが現状である．本章では，4．1．2．1 で紹介する

波三波共鳴非線形相互作用が流れ場の時間発展を完全に

ロスビー波の非線形相互作用に基づく，大規模帯状流形決定するという Yamada and Yoneda の結果が知られてい成メカニズム解明への試みを紹介する．ここでは筆者らる［15，16］．

の研究結果［6］を中心に述べるが，回転系 2 次元乱流にお4．1．2．2

けるロスビー波非線形相互作用については，他にも非常

共鳴波と非共鳴波

西向き周極流の形成におけるロスビー波非線形相互作に多くの研究がなされている［7-11］．

用の役割を詳細に調べるため，ここでは共鳴相互作用へ

本章ではまず，4．
1．2 でロスビー波とその三波共鳴非線の関与の有無と帯状構造の有無によって，ロスビー波を形相互作用についての定義を与えた後，全ロスビー波を 4

次の 4 つのグループに分類する 5．

つのグループに分類する．続く 4．1．3 では，西向き周極流˘
共鳴非帯状ロスビー波（RZ）の時間発展に際する，4 つのグループ間でのエネルギー輸＝{Ylm|m≠0,（ 3 ）-（ 6 ）を満たす場合が存在する }送の詳細と，西向き周極流形成に関わるロスビー波非線

形相互作用のあり方を紹介する．最後に 4．1．4 で，状況の（7）共鳴帯状ロスビー波（RZ）

まとめと今後の展望およびいくつかの注意点を述べる．

　　＝{Yl0|（ 3 ）-（ 6 ）を満たす場合が存在する }　　＝{Yl0|l ＝奇数 }，

（8）　　＝{Yl0|l ＝偶数 }，

（9）˘
非共鳴帯状ロスビー波（RZ）

3 この系においては非線形解でもある．
4 　上記の条件に加え，三波共鳴相互作用内でのエネルギー輸送がノンゼロであるものだけを取り出すために l1≠l2，l1≠l3，l2≠l3 が追加されることがある．しかしながら次に紹介する結果［15，16］を満たすためには，共鳴相互作用の条件にこの条件を追加してはならない［14］．
5 記号 ˘ は“非”に対応する．

194

Special Topic Article

4.1 Large-Scale Zonal Flow Formation in Two-Dimensional Turbulence on a Rotating Sphere and Nonlinear Interactions of Rossby Waves	K. Obuse and M. Yamada˘ ˘
非共鳴非帯状ロスビー波（RZ）˘˘　　＝ { 全ロスビー波 }\{RZ}\{RZ}\{RZ}．

帯状流形成が球の回転効果によってもたらされていることおよび Yamada and Yoneda の結果［15，16］を考える（10）と，図 3 で示されている共鳴帯状波 RZ の発達は，一見˘ ˘ に属し，次に RZ˘ が多い．流ロスビー波の大部分は RZ

するとロスビー波三波共鳴相互作用のみで説明できるよれの帯状流成分に対応するロスビー波の数は非常に少なうに思われるかもしれない．しかしながら，各三波共鳴

い．たとえば 0≤l≤170 における三波共鳴可能なロスビー
˘
波グループ RZ＋RZ（この集合に属するロスビー波を，以相互作用におけるエネルギーの詳細釣り合いを考えると，

降では共鳴波と呼ぶことにする．）は図 2 で示される．

では不可能であることがわかる［14］．ゆえに，西向き周帯状ロスビー波へのエネルギー輸送は三波共鳴相互作用
極流の形成を，ロスビー波三波共鳴非線形相互作用のみ

4．1．3

エネルギー輸送を用いて簡単に説明することはできない．そこで続く4．1．

4．1．3．1

極域周極流と共鳴波3．2では，図 3 で示される 4 つのグループの保有エネルギー

回転球面上 2 次元乱流での西向き周極流形成過程（図 1˘˘ ˘ ˘ の保有エネルギーの（C））における，RZ，RZ，RZ，RZの時間発展に際するグループ間エネルギー輸送を詳細に

時間変化を図 3 に示す．ランダムかつ一様等方な初期状
˘ ˘ と RZ˘ がエネ
態においては，非帯状ロスビー波である RZ

4．1．3．2

調べた結果を紹介する．
ロスビー波の三波非線形相互作用によるエネル
ギー輸送

ルギーのほとんどを保有しているが，時間の発展ととも

図 3 の t ＝ 2.0－2.1 において， 4 つのグループ間エネルに共鳴帯状ロスビー波 RZ がエネルギーを獲得してゆく．

ギー輸送（全部で 40 通り）を詳細に調べた結果を紹介する．

˘ はエネルギーの増加を
一方，非共鳴帯状ロスビー波 RZ

ここでは形成された周極流が発達している時間帯の例とほとんど見せない．RZ は赤道対称な帯状構造を持つロス

して t＝2.0－2.1 を示すが，周極流が完成していない時間

ビー波の集合であるため，これは両極域における周極流帯（たとえば t＝0.7－0.8），形成された周極流の発達段階

形成と整合的である．

にあたる別の時間帯（たとえば t＝3.0－3.1）においても，同様の結果が得られている．
図 4 は，グループ間エネルギー輸送の時間変化の例である 6．なお，データの標準偏差をエラーバーとして表示してある．グループ間エネルギー輸送は短時間での変動を見せるが，エネルギ輸送値がほぼゼロである場合（図 4（D））以外ではエネルギー輸送の変動幅は標準偏差を十分に上回っており，t ＝ 2.0－2.1 は非常に短い時間帯である
ものの，エネルギー輸送の細かい変動を考慮できる時間幅であることが確認できる．
グ ル ー プ 間 エ ネ ル ギ ー 輸 送 の，図 3 の t ＝ 2.0－2.1 に
お け る 総 量 を 見 る と（ 図 表 な し）7， 非 帯 状 ロ ス ビ ー 波˘ ˘ ˘ ˘
か ら 共 鳴 帯 状 ロ ス ビ ー 波 RZ へ の 輸 送 RZ×RZ→RZ，
˘
˘
˘ ˘
˘
RZ×RZ→RZ，RZ×RZ→RZ
が突出した値を持つことが

図20 ≤ l ≤ 170における三波共鳴可能なロスビー波グループ（RZ˘ と RZ ）．Reprinted from［6］．

図4
図34 つグループのエネルギー時間変化 Reprinted from［6］．

t ＝ 2.0 － 2.1におけるグループ間エネルギー輸送の時間変˘ ˘ × RZ˘˘→
化の例．エラーバーはデータの標準偏差．（A）RZ˘ ˘ × RZ˘ → RZ.（D）RZ˘ ˘ × RZ˘˘
RZ.（B）RZ˘ × RZ˘ → RZ.（C）RZ
˘ Reprinted from→ RZ.

6 　エネルギー輸送を各時間ステップ（全部で 2500 ステップ）において計算し，それらを前から 500 ステップずつに分けて時間平均し，全部で 500 個のデータにしてある．ただし見やすさのために，描画はその中の 100 データのみを使用している．
7 詳細な値の表は［6］をご参照いただきたい．

195

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023

確認される．たとえば RZ へのエネルギー輸送 10 種類は相互作用のみで語ることはできない．西向き周極流形成

図 5 に示すとおりである．このことより，図 3 で見られは，三波非共鳴相互作用による共鳴帯状波へのエネルギーる共鳴帯状ロスビー波 RZ の卓越は，非帯状ロスビー波˘ ˘
RZ へとエネル（RZ˘ および RZ）同士の相互作用によって輸送が直接的原因であるというある意味ねじれた状況にギーが輸送されることによって起きていることがわかる．
˘ ˘ が関与する相互作用は必ず非共鳴相互作用であること
RZ

波非共鳴両方のロスビー波非線形相互作用が関与するとに加え，前述の通り帯状構造を持つロスビー波へのエネ

最後に，少なくとも非強制問題において，回転球面上なっているだけでなく，その過程には三波共鳴および三いう複雑な構造を有しているようである．

ルギー輸送は共鳴相互作用では起こりえない．すなわち，

2 次元乱流での西向き周極流形成について議論する場合

ここで優勢となっている非帯状ロスビー波同士の相互作には，球面と β 平面の間で必ずしも良い対応が付くわけで用は必ず非共鳴相互作用である．それにもかかわらず，はないことに言及しておく．球面上では 4．1．1 で示したよ

初期に非帯状流へと配分された大部分のエネルギーは，

うに西向き周極流が形成されるが，これは十分な時間の共鳴帯状ロスビー波 RZ へと直接輸送されている．つまり，経過後にはほぼ純粋な帯状流すなわち Yl0 に対応するロス

非共鳴相互作用によるエネルギー輸送の先として共鳴（帯ビー波が強く卓越した流れになる．しかしながら，二重状）波が選ばれていることになる．

周期境界条件を課した β 平面上での非強制問題では，球面での経度方向に相当する x 方向にやや伸びた大規模構造が

4．1．4

まとめ

形成されるものの，純粋な帯状構造を持つ流れの卓越は回転球面上非圧縮性非粘性非強制 2 次元流では，西向起きない．つまり，流れ関数や渦度を二重フーリエ級数

き周極流が自発的に形成される．本章では，西向き周極

展開した場合に，x 方向の波数 kx が kx＝0 ではなく kx＝1

流形成におけるロスビー波非線形相互作用の役割についを持つロスビー波が卓越する．また，β 平面では帯状構造て調べた研究結果［6］を紹介した．4．1．2 ではロスビー波
を 4 つのグループに分類し，4．1．3 では西向き周極流が形を持つロスビー波は全て共鳴波 RZ となり，ロスビー波の˘
˘ ˘
分類は全部で 3 種類（RZ，RZ，RZ）である．帯状構造成される際の 4 つのグループ間のエネルギー輸送の傾向を持つロスビー波へのエネルギー輸送が三波共鳴非線形について紹介した．西向き周極流の発達は三波共鳴相互作用可能な帯状構造を持つロスビー波グループ（RZ）に相互作用では不可能である点は球面の場合と同じである
が，三波共鳴非線形相互作用による共鳴非帯状流 RZ˘ の時

エネルギーが蓄積されることによって起きているが，そ間発展に RZ が及ぼす影響は，球面の場合とは異なるようの際のエネルギー輸送は三波非共鳴相互作用によるもの

である［17］．

であった．非共鳴相互作用によるエネルギー輸送の先が参考文献

なぜ共鳴帯状ロスビー波であり，なぜ非共鳴帯状ロス
˘ ではないのかは，問題として残されている．4．
ビー波 RZ［ 1 ］K. Obuse and M. Yamada, In preparation.
［ 2 ］S. Yoden and M. Yamada, J. Atomos. Sci. 50, 631(1993).
［ 3 ］S. Takehiro et al., J. Atmos. Sci. 64, 4084 (2007).
［ 4 ］T. Nozawa and S. Yoden, Phys. Fluids 9, 2081 (1997).
［ 5 ］K. Obuse et al., Phys. Fluids. 22, 056601 (2010).
［ 6 ］K. Obuse and M. Yamada, J. Phys. Soc. Jpn. 89,
064401 (2020).
［ 7 ］P. Lynch, Tellus A 61, 438 (2009).
［ 8 ］J. Sukhatm and L.M. Smith, Phys. Fluids 21, 056603(2009).
［ 9 ］E. Kartashova, Nonlinear Resonance Analysis (Cambridge University Press, 2010).
［10］V.E. Zakharov et al., Kolmogorov Spectra of Turbulence I : Wave Turbulence (Springer, 1992).
［11］S. Nazarenko, Wave Turbulence (Springer, 2011).
［12］I. Silberman, J. Meteor. 11, 27 (1954).
［13］G.M. Reznik et al., Dyn. Atoms. Oceans 18, 235(1993).
［14］K. Obuse and M. Yamada, Phys. Rev. Fluids 4,024601 (2019).
［15］M. Yamada and T. Yoneda, Physica D 245, 1 (2013).
［16］A. Dutrifoy and M. Yamada, In preparation.
［17］K. Obuse and M. Yamada, In preparation.

1．3．2 の結果のみを考えると，西向き周極流形成のメカニ
ズムはロスビー波の三波非共鳴相互作用のみで説明でき
るかのように見える．しかしながら，共鳴帯状波 RZ の存在および卓越は三波共鳴相互作用のあり方に大きな影響を与え［14］，さらに三波共鳴相互作用による共鳴非帯
˘
RZ状波（RZ）の時間発展は三波非共鳴相互作用によるへのエネルギー輸送に大きな影響を与えるため，西向き
周極流形成のメカニズム説明をロスビー波の三波非共鳴

図5

t ＝ 2.0 － 2.1における，RZ へのエネルギー輸送量．非帯
˘ ˘ × RZ˘˘
状ロスビー波から共鳴帯状ロスビー波 RZ へ輸送 RZ˘ ˘ × RZ˘ → RZ が突出した値を持つ．
→ RZ，RZ˘ × RZ˘ → RZ，RZ

196

J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.5 (2023) 197-201

小特集 2 次元回転系上の乱流における⼤規模構造形成4．2

長谷川 - 三間乱流における帯状流形成と保存量4.2 Zonal Flow Formation and Invariants in Hasegawa-Mima Turbulence
齋藤泉，石 岡 圭 一 1 ）SAITO Izumi and ISHIOKA Keiichi 1 ）名古屋工業大学大学院工学研究科， 1 ）京都大学大学院理学研究科（原稿受付：2022年11月22日）

長谷川 - 三間方程式に支配される乱流から自発的に形成される帯状流は，木星や土星において観測される帯状流の一つのモデルと考えられている．本章では近年発見され，この帯状流形成との関係が指摘されている新たな保存量「ゾノストロフィー」と関連する研究について解説する．
Keywords:
エネルギーカスケード，保存量，ゾノストロフィー

4．2．1

はじめに

4．2．2

長谷川 - 三間（Hasegawa-Mima（HM））方程式は，地支配方程式系

簡単のため幅 2π の 2 重周期領域とする．HM 方程式は球流体分野では等価順圧渦度方程式と呼ばれ，惑星の回

（

）

∂
1
∂ψ ∂ψ ∂∇2ψ ∂ψ ∂∇2ψ∇2ψ － 2 ψ ＋β ＋
－
＝0
R
∂y ∂x
∂t
∂x ∂x ∂y
（1）

転と密度成層の影響下にある大規模な流体運動を記述す
る最も基本的な方程式である．この方程式に支配される乱流（HM 乱流）からは，帯状流（卓越した東西ジェット
流）が自発的に形成されることが知られており［1］，木星

波数空間では以下のように表される．

や土星において観測される帯状流の一つのモデルと考えiられている．
HM 乱流における帯状流形成を説明するメカニズムは

Wk1,k2∂ψˆ k＝ωkψˆ k ＋ i ∑δψˆ ψˆ  （ 2 ）2－2 k,k1＋k2 k1 k2∂t
k1,k2 |k| ＋R

いくつか提案されており，いわゆる波動 - 乱流境界の議

ここで δ はクロネッカーのデルタ，k＝（k, l） は 2 次元波数論［2］や ゾ ノ ス ト ロ フ ィ ッ ク 不 安 定［3］な ど が ある．本ベクトルで x＝（x, y）に対応し，k1＝（k1, l1），k2＝（k2, l2），ψˆ k は ψ のフーリエ係数である．

章で紹介するのはその中の一つで，ゾノストロフィー（Zonostrophy）と呼ばれる保存量の保存に基づくもので

＝
ψˆ（
k t）

ある．
ゾノストロフィーを用いた説明は次の通りである． 2次元乱流におけるエンストロフィーの保存によるエネ

12πψ（x, t）eˆ
dx，（ψˆ ＊k ＝ψ－k）

－ik・x

（3）

ωk はロスビー波の分散関係式，

ルギーの逆カスケードが，HM 乱流では更にゾノストロ

ωk＝－βk（|k|2＋R－2）－ 1

フィーの保存によって非等方的になり，帯状流に対応する成分が卓越する．ゾノストロフィーは Balk らによる一（4）相互作用の係数 Wk1,k2 は以下で表される．

連の研究［4，5］によって 1991 年に発見された．2005 年に帯－1
Wk1,k2＝（4π）（k1l2－k2l1）（|k2|2－|k1|2）

状流形成との関係が示され［6］，帯状流の形成に因んでゾ（5）ノストロフィーの名前が与えられた［7］．詳細については

4．2．3

レビュー論文［8］の 7 節を参照頂きたい．

保存量とゾノストロフィー

本章の構成は次の通りである．まず 4．2．2 から 4．2．4 でHM 方程式（ 1 ）は二つの厳密な保存量，エネルギー（E）

はゾノストロフィーについて，表式，保存の影響，保存とエンストロフィー（Ω）を持つ．波数空間ではそれぞれ量とされる理由を中心に概説する．4．2．5 から 4．2．7 では

以下のように表される．

ゾノストロフィーの保存性とその大規模構造形成への影
響について，筆者らの研究を中心に紹介する．

E＝∑ εk，and Ω＝∑ |k|2εk
k

k

（6）

ここで εk は， 2 次元波数空間において各波数成分が持つ
Kyoto University, KYOTO 606-8501, Japanauthor’s e-mail: izumi@gfd-dennou.org

197Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research

May 2023

HM 方程式（ 1 ）における非線形項の線形項に対する相対的エネルギーに相当し，以下で定義される．
1
εk＝ （|k|2＋R － 2）|ψˆ k|22

Vol.99, No.5な大きさは，以下のラインズ数で特徴付けられる．
（7）

Rh ＝ U（βL）

/

（10）

弱非線形の極限は Rh≪1 の場合に対応する．

|k|2 及び R － 2 に比例する部分は，それぞれ運動エネルギー保存量が満たすべき条件を考えるために，ある重み係及びポテンシャルエネルギーに相当する．エンストロ

数 fk を持つ量 Φ を考える．

フィーの保存によりエネルギーの逆カスケードが起こり，大規模運動が卓越する［9］．

Φ＝∑ fkεk

ゾノストロフィー（Z）は上記（ 6 ）と同様に，εk に重み

（11）

k

係数をかけた総和で表される．

Φ の時間微分をとり，ψˆ k の時間微分に式（ 2 ）を代入し，
Z＝∑ ζkεk
k

対称性を考慮して整理すると以下を得る．

（8）

dΦ
1
＝
∑ Pk,k1,k2 δ－k,k1＋k2 ψˆ kψˆ k1 ψˆ k2
dt
3 k,k1,k2

ここで係数 ζk は以下のように複雑な式である．
ζk＝

1 ⎧（l＋k 3 ）（l＋k 3 ） ⎫－tan－1 9）⎨ tan－1⎬（
2
R|k|
R|k|2 ⎭
ωk ⎩（12）

ただし Pk,k1,k2は以下で定義される．
Pk,k1,k2＝fkWk1,k2＋fk1Wk2,k＋ fk2Wk,k1

ゾノストロフィーの保存がエネルギーの逆カスケード（13）に及ぼす影響は，係数 ζk の分布を見ることで定性的に理式（12）は，Φ の 時 間 変 化 が 非 線 形 三 波 相 互 作 用解できる．ζk の等値線は図 1 のように亜鈴の形になって（k＋k1＋k2＝0 を満たす波数成分 k，k1，k2）の寄与の足

おり，l 軸上（k＝0）では成分によらず一定値にとどまる

し合わせとして表されることを意味する．

一方で，k 軸上（l＝0）では原点に近づくにつれて急激に次に，Rh≪1 で弱非線形の極限の場合を考える．この大きくなる．逆カスケードによってエネルギーが低波数極限においては，非線形三波相互作用が以下の三波共鳴へと輸送されるにあたり，図 1 のような係数を持つ量 Z がの関係式を満たすものに限定される［10］．

保存するためには，より多くのエネルギーが ζk の値の小
さい l 軸周辺に輸送される必要がある．これにより逆カス

k＋k1＋k2＝0，ωk＋ωk1＋ωk2＝0

（14）

ケードは非等方的になり，x 方向波数 k の小さい，東西方向に引き伸ばされた構造を持つ帯状流が卓越する．Z の保

こ の 場 合， 式（13）の Pk,k1,k2

存による帯状流形成の詳細な説明は文献［6，7］を参照いた（ωk fk＋ωk1 fk1＋ωk2 fk2 ）の因子をくくり出すことができる．

だきたい．

つまり，三波共鳴の関係式（14）に加えて以下が成立すれを 更 に 整 理 し て，ば，弱非線形の極限において Φ は保存量である［11］．

4．2．4

保存量が満たすべき条件

ωk fk＋ωk1 fk1＋ωk2 fk2＝0

エネルギーとエンストロフィーは HM 方程式（ 1 ）の厳（15）

密な保存量であるのに対して，ゾノストロフィーは弱非条件式（15）を満たし，かつ有限になる fk として， fk ＝ 1 と線形の極限においてのみ保存量となる．式（ 9 ）の複雑な形はこの条件に由来している．今，系の代表長さを L，

fk ＝ |k|2 がある．これらはそれぞれ式（ 6 ）のエネルギーとエンストロフィーの係数に対応する．条件式を満たす
fk として新しく Balk に発見されたのが，式（ 9 ）のゾノス

代表速度を U とすると，ψ ～ UL とスケールされるため，トロフィーの係数 ζk である［4，5］．

4．2．5

数値シミュレーションによる検証

数値シミュレーションによってゾノストロフィーの保存を検証した結果について，文献［12］より紹介する．支配方程式は HM 方程式（ 1 ）とし，切断波数付近における
エンストロフィーの非物理的な蓄積を防ぐために，高波数域で選択的に作用する高階粘性項を導入している．幅
2π の二重周期領域を考え，切断波数を 85（対応する格子
点数 2562，非線形項の計算に 2 / 3 ルールを適用）とし，空間方向はスペクトル法，時間方向は 4 次ルンゲ・クッタ
法を用いて数値積分した．流線関数 ψ の初期値は， 1 次元
図1エネルギースペクトルが波数 15 にピークを持つ等方ラン

ゾノストロフィーの係数 ζk の分布（数字は10x を表す）．
等値線の値は k 軸に沿って原点に近づくにつれて大きい．
（文献［12］の Fig.1を引用）

ダムなものとし，初期のラインズ数を 1 程度に設定した．
図 2 は最終状態における流線関数 ψ の分布（左パネル）
198

Special Topic Article

4.2 Zonal Flow Formation and Invariants in Hasegawa-Mima Turbulence	

I. Saito and K. Ishiokaと 2 次元波数空間上のエネルギー分布（右パネル）を示

Rh がある程度小さい場合には，関係式（14）を近似的にしている．物理空間では東西方向（x 方向）に引き伸ばさ満足する「共鳴に近い相互作用」［13，14］が帯状流形成にれた帯状の流れ場が形成され，波数空間ではエネルギーおいて重要であることが指摘されている．共鳴に近いな

は l 軸の周辺に集まり，原点付近には良く知られた亜鈴形

らば，同様に式（15）も近似的に満足されることで，ゾノのエネルギー低密度領域が形成されている．

ストロフィーは近似的に保存されることが期待される．

図 3 は保存量の時間発展を調べたものである．エネル

非共鳴の三波相互作用に対してもゾノストロフィーのギー（実線）はほぼ変化せず良く保存されている一方で，重要性を示すことができれば，有益であろう．以下では，

エンストロフィー（破線）は高階粘性のために急激に減

この動機に基づく文献［12］の取り組みについて紹介する．

少している．ゾノストロフィー（丸付きの破線，パネル

弱非線形の場合，非共鳴の三波相互作用に対して以下中央）は時間発展と共に増加し，最終状態では初期値の 2の近似が成り立つ．

倍弱までになる．保存量ではない無関係の量（三角付きdi （ψˆ kψˆ k1 ψˆ k2 ）＝（ωk＋ωk1＋ωk2）ψˆ kψˆ k1 ψˆ k2＋O（ψˆ 4）（16）dtの実線，パネル上部）が 3 倍以上に増加しているのに比べると，ゾノストロフィーは比較的良く保存している．

この近似式を用いて式（12）の右辺を更に変形すると，

4．2．6

離散系への拡張（）

d 1
Pk,k1,k2
δ－k,k1＋k2 ψˆ kψˆ k1ψˆ k2 ＋O（ψˆ 4）∑
dt 3 k,k1,k2 ωk＋ωk1＋ωk2
（17）

ゾノストロフィーの保存量としての理解を困難にしているのは，それが三波共鳴の相互作用の間でしか厳密に保存されないことである．第一に，私達が興味を持つ地球・惑星流体等の実際の現象や数値シミュレーションでは領

この式が Φ の変動に対する非共鳴相互作用からの寄与を

域長さは有限である．有限領域では波数空間が離散的で表している．そこで，時間微分の中の項を全ての波数成あるため，共鳴の関係式（14）を満たす波数成分の数は少分について 2 乗和を取ったものを以下のように I と定義し，なく，それに伴い三波共鳴の相互作用の役割も限定されてしまう［8，12］．第二に，多くのシミュレーションでは

I＝

Rh ＜ 1 の条件は成立しても，極限の近似が成立するほど）

2
Pk,k1,k2
δ－k,k1＋k2|ψˆ k||ψˆ k1||ψˆ k2| k,k1,k2 ωk＋ωk1＋ωk2

∑

（18）

Rh は小さくないために，非共鳴の相互作用も時間発展にI を保存性の指標として考える．I が小さくなるように係おいて役割を果たす．

数 fk を選ぶことができれば，Φ はよく保存されるだろう．
係数 fk を成分に持つような縦ベクトルを F と定義すると，式（18）の指標 I は以下のように表すことができる．
I ＝ FTSF

（19）

ここで S は対称行列である．即ち，I をベクトル F の半正定値対称二次形式で表すことにより，固有値解析が可能になる．
流線関数に適当な分布を仮定し，指標 I を最小化するような係数 fk を固有値解析および最小化問題を解くことで数値的に求める．ただし，自明な解としてエネルギーと

図 2 （左）
流線関数 ψ の等値線図 . 灰色の領域は正の値を表す．
（右）2 次元波数空間におけるエネルギー εk の分布（文献［12］の Fig. 5，Fig. 7を引用）．

エンストロフィーに対応する係数（fk＝1 および fk＝|k|2）が得られるので，拘束条件を課すことによりこれらの自明解を除外する．
図 4（a）の点線は，切断波数 KT＝20 の場合について，最小化問題の解に対応する係数 fk の等値線を示している．fkの等値線は亜鈴形になっており，波数 10 より小さい領域
ではゾノストロフィーの係数 ζk（実線）とおおむね一致している．一方で，高波数側では切断波数の影響により
fk はノイズ的な分布になっている．図 4（b）は切断波数を
KT ＝ 85 に増やした結果を示している．点線と実線の一致は良くなっており，最小化問題の解 fk はゾノストロフィーの係数 ζk に収束しているように見える．
この結果は，非共鳴の三波相互作用に対してもゾノス
トロフィーと似た係数を持つ量がよく保存されることを

図3示している．上記の手法で求めた係数 fk を持つ量 Φ は，各量の時間発展をそれぞれの初期値で規格化したもの（文献［12］の Fig. 8を引用）．

領域が有限で波数空間が離散的になる場合に，ゾノスト
199

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023

S＝∑ ξkεk
k

（25）

2
⎧ k2（3k/－l2）（|l|≠ 3 |k|）⎪1/3 （|l| ＝ 3 |k| and |k|≠0）ηk ＝ ⎨（
 26）⎪
0 （|k| ＝ 0）⎩である．量 S は文献［4］に発見されたもので，ゾノストロ
フィーと呼ばれる．一方で量 Z は後に文献［18］に発見されたもので，セミアクションと名付けられた［8］．
図4式（26）の係数 ηk は符号が一定ではないために，4．2．3 の条件付き最小化問題の解として得られた係数 f（
．
（a）
k 点線）
切断波数 KT ＝ 20，（b）KT ＝ 85．実線はゾノストロフィーの係数 ζk．

図 1 で行ったような，エネルギーのカスケードに対する影響を議論するのは難しい．一方でセミアクションの係
数 ξk はゼロ以上なので，その分布からエネルギーのカス
ケードに対する影響を調べることができる．

ロフィーを拡張したものと考えることができる．
本節の手法は最小化問題を解くことにより保存量を数

図 5 は係数 ξk の分布を示している．原点で交差する 2

値的に探索するものであり，支配方程式が変わっても応本の直線は l ＝± 3 k を表している．二直線より k 軸側で用できるのが一つの利点である．文献［15］では，HM 方程は ξk ＝ 1 / |k| で原点に近づくほど大きくなり，一方で l 軸式と同様に乱流からの帯状流形成が知られている回転球

側では ξk ＝ 0（白色の領域）である．このような係数を持面上の順圧渦度方程式［16，17］についても，本節の手法をつ量が保存する場合，図 1 と同じ議論を適用すると，エ

応用することにより，保存量を数値的に求めている．

ネルギーは図 5 の白い領域に集まることが予測される．

4．2．7の予想を確かめた結果が，図 6 から 8 に示されている．

4．2．4 と同様の数値シミュレーションを行うことで上記

長波極限の HM 乱流

最後に，HM 乱流における大規模構造形成と保存量の2 次元エネルギースペクトルが波数 20 にピークを持つ等関係を明瞭に確認できる興味深いパラメータ領域として，

方ランダムな初期場［図 6（a）］から時間発展し，逆カス長波極限の場合を文献［18］の結果から紹介する．長波極
限とは，着目する運動のスケール L に対して L / R≫1 が成

ケードによってエネルギーは徐々に小さい波数の方へと立する場合を指す．HM 方程式（ 1 ）に漸近展開および適当［図 6（b）］が，γ ＝ 5 の場合には，多くのエネルギーが二な座標変換を行うことで，長波極限における漸近形を以直線よりも l 軸側に集まっているのがわかる［図 6（c）］．

下のように導出できる．

更に，γ ＝ 20 の場合には l 軸側に集まるだけでなく，二直－輸送される．γ ＝ 0 の場合には，最終状態も等方的である

線の周囲に集まっている［図 6（d）］．

1 ∂ψ∂∂ψ ∂∇2ψ ∂ψ ∂∇2ψ
＋ βR2
∇2ψ＋
－
＝0
2
R ∂t
∂y ∂x
∂x
∂x ∂y
（20）

図 7 は，角度 θ を tan θ＝|l| / |k| と定義し， 2 次元波数空間におけるエネルギーの角度分布を示している．γ ＝ 0の場合には等方的なエネルギー分布になっているが，γ ＝ 5，
20 の場合には多くのエネルギーが 60 °＜ θ ＜ 90 °に集まり，この式において非線形項の線形項に対する比を評価すると，代表速度 U として，以下の無次元数が得られる．
βR2
γ ＝
U

γ ＝ 20 では更に θ ＝ 60 °に集中しているのがわかる．
図 8 は，セミアクション Z の時間発展を示している．
γ ＝ 0 の場合，Z は時間と共に急激に増加してしまい全く（21）

またロスビー波の分散関係式として以下が得られる．
ωk＝γ|k|2k

（22）

長波極限において，式（ 9 ）のゾノストロフィーの係数 ζkを漸近展開すると，最低次と次の次数の項の両方が保存量の条件を満たすことが示されている．まず最低次の項に対応する量を Z とすると，
Z＝∑ ξkεk（23）⎧
1/|k|（|l| ＜ 3 |k|）⎪ξk ＝ ⎨
0（|l| ＞ 3 |k| or |k| ＝ 0）
⎪1/（2|k|）（|l|＝ 3 |k| and |k|≠0）
⎩

（24）

k

図5

であり，次の次数の項に対応する量を S とすると，
200

セ ミアクションの係数 ξk の分布．黒色実線の 2 本の直線
は l ＝ ± 3 k．l 軸を含む白色の領域は ξk ＝ 0を表す．k 軸を含む灰色の領域では ξk ＝ 1/|k|．

Special Topic Article

4.2 Zonal Flow Formation and Invariants in Hasegawa-Mima Turbulence	

I. Saito and K. Ishioka

保存していない．一方で γ ＝ 5, 20 の場合は Z は良く保存している．このような Z の保存が，図 6 ，7 で見られた非等方的なエネルギーカスケードに対応している．

4．2．8

まとめ

ここまで，長谷川 - 三間方程式に支配される乱流（HM乱流）における帯状流形成を含む大規模構造形成について，ゾノストロフィーと呼ばれる保存量の保存と，その影響によるエネルギーカスケードの非等方化という観点か
ら筆者らの研究を中心に紹介してきた．ゾノストロフィー
は弱非線形の場合にのみ良く保存される近似的な保存量であるため，乱流のシミュレーションからその重要性を直接確かめるのは簡単ではない．また，ゾノストロフィーの保存においては（厳密または近似的に）共鳴関係にある三波相互作用が重要な役割を果たすが，これらの相互作用は他の帯状流形成メカニズム（波動 - 乱流境界の議論
やゾノストロフィック不安定など）においても役割を果

図62 次元波数空間におけるエネルギー分布．（a）初期状態．
波数20にピークを持つ．
（b）最終状態（γ ＝ 0）．
（c）最終状態（γ ＝ 5）．（d）最終状態（γ ＝ 20）．パネル（b）-（d）内の灰色の2直線は l ＝± 3 k を表す．

図7

最終状態での， 2 次元波数空間におけるエネルギーの角度分布．γ ＝ 0（実線），γ ＝ 5（ 1 点鎖線），γ ＝ 20（ 2 点鎖線）の場合の結果．横軸は角度 θ ＝ tan－1（|l|/|k|）で，
θ ＝ 60°は l ＝± 3 k の二直線に対応する．

図8

セミアクションの時間発展．γ ＝ 0（実線），γ ＝ 5（ 1 点鎖線），γ ＝ 20（ 2 点鎖線）．

たし得るため，異なるメカニズム間の重要性の切り分けも難しい．
しかしながら，本章 4．2．6 のように少し注意深い解析をすることによって，また本章 4．
2．7 の長波極限のような特別な場合を考えることによって，ゾノストロフィーの保存性および大規模構造形成に及ぼす重要性を確かめることができる．

参考文献［ 1 ］P.B. Rhines, J. Fluid Mech. 69, 417 (1975).
［ 2 ］G. K. Vallis and M. E. Maltrud, J. Phys. Oceanogr.
23, 1346 (1993).
［ 3 ］K. Srinivasan and W. R. Young, J. Atmos. Sci. 69,
1633 (2012).
［ 4 ］A.M. Balk, S. V. Nazarenko and V. E. Zakharov,Phys. Lett. A 152, 276 (1991).
［ 5 ］A.M. Balk, Phys. Lett. A 155, 20 (1991).
［ 6 ］A.M. Balk, Phys. Lett. A 345, 154 (2005).
［ 7 ］S. Nazarenko and B. Quinn, Phys. Rev. Lett. 103,
118501 (2009).
［ 8 ］C. Connaughton, S. Nazarenko and B. Quinn, Phys.
Reports 604, 1 (2015).
［ 9 ］R. Fjørtoft, Tellus 5, 225 (1953).
［10］M. Yamada and T. Yoneda, Physica D 245, 1 (2013).
［11］V.E. Zakharov and E.I. Schulman, Physica D 1, 192(1980).
［12］I. Saito and K. Ishioka, Theoretical and applied mechanics Japan 62, 13 (2013).
［13］Y. Lee and L.M. Smith, J. Fluid Mech. 576, 405(2007).
［14］E. Kartashova, Physica D 54, 125 (1991).
［15］I. Saito and K. Ishioka, J. Meteor. Soc. Japan 94, 26(2016).
［16］G.P. Williams, J. Atmos. Sci. 35, 1399 (1978).
［17］S. Yoden and M. Yamada, J. Atmos. Sci. 50, 631(1993).
［18］I. Saito and K. Ishioka, Phys. Fluids 25, 076602(2013).

201

J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.5 (2023) 202-206

小特集 2 次元回転系上の乱流における⼤規模構造形成

4．3

β平面乱流における大規模構造と局所フラックスベクトル

4.3 Large-Scale Structures and Local-Flux Vectors inβ-Plane Turbulence
高 岡 正 憲，横 山 直 人 1 ），佐 々 木 英 一 2 ）TAKAOKA Masanori, YOKOYAMA Naoto 1 ）and SASAKI Eiichi 2 ）同志社大学機械理工学科， 1 ）東京電機大学機械工学科， 2 ）秋田大学システムデザイン工学科（原稿受付：2023年 1 月20日）

β 平面乱流中に現れる大規模構造の生成維持機構とエネルギー輸送の関係を，波数平面での局所フラックス
ベクトルを用いて調べた．β- 平面乱流は大規模な帯状流と低波数側に非等方の波動乱流と高波数側に等方の渦乱流を含む異種共存乱流である．エネルギーやゾノストロフィの局所フラックスベクトル場は，逆カスケードしてラインズ波数付近で向きを変え，臨界平衡からの期待と矛盾しない結果となった．最終的に流れ込む波数と帯状
流やダンベルスペクトルとの関係を議論した．最後に異種共存乱流を示す類似の系への適用性や力学系的視点も含めて小考を記した．
Keywords:
local-flux vectors, conserved quantity, heterogeneous coexistence turbulence, β-plane.

4．3．1

はじめに

線形と非線形の時間スケールが同程度の各波数で系が平地球を含むほとんど全ての惑星の大気において帯状流衡状態にあるという臨界平衡の考えは，非等方乱流のスという大規模構造が観測され，古くから多くの人々を魅ケーリング則やスペクトルの予測に使われてきた．ここ了してきた．他方，磁場に閉じ込められたプラズマにおからの自然な帰結として，弱乱流と等方的なコルモゴロ

いても帯状流が現れることが知られている．外力や磁場

フ乱流の間のバッファー領域に沿ってエネルギーが輸送によって非等方性を持つ乱流系では，大規模構造と波動されると予想されている［3，15，16］．
異種共存乱流の生成維持機構の全貌を明らかにするたと渦とが共存する状態（異種共存乱流と呼ぶ）がテーブ

めには，外力による注入から粘性による散逸までの波数

ルトップサイズから宇宙規模まで数多く存在する．
渦と渦の相互作用に基づくコルモゴロフ理論［1］に対間非線形エネルギー輸送を，波数空間で局所的なフラッ

し，波と波の相互作用に基づくのが弱乱流理論である．

クスとして同定する必要がある．近年，非線形相互作用

弱乱流理論は，波の非線形相互作用が一般的に弱く，非による波数間のエネルギー輸送の不定性を非線形相互作

線形相互作用の中でも共鳴関係を満足する波数間でのみ用の分解によって除去し，波数間エネルギー輸送を一意

エネルギー輸送が生じることを示す［2，3，など］．弱乱流に決定する方法が提案されているが［17，18］，コンセンサ

理論に従って，プラズマ乱流の帯状流は，非線形相互作

スが得られているとは言い難い［19，20］．波数空間の局所用によるドリフト波からのエネルギー輸送によって生成的なエネルギーフラックスに関して，［21］では，エネル

されると考えられているが［4］，時間スケールの全く異な

ギーフラックスベクトルのユークリッドノルムを作用とる帯状流とドリフト波のような異種乱流間相互作用に弱する最小作用の原理に基づいて，非等方乱流の最小ノル乱流理論を適用することの是非は自明ではない．Galtier

ムエネルギーフラックスが提案されている．

ら［5-8］は，回転や磁場が極端に強い場合に上記の回転系

2 次元乱流では，複数の非粘性保存量が同時に存在するとプラズマ系にアナロジーが見られることを，弱乱流理［22，23］（本小特集の 2 章も参照）． 2 次元一様等方乱流で論の枠組みの中で示している．また，エネルギー輸送は，は，エンストロフィの順カスケードとエネルギーの逆カ

一般には共鳴による非局所的相互作用が支配的と言われスケードの 2 重カスケードが，両物理量の保存則に基づているが，波数空間で局所的な流れで表現できる状態がいて予測されているが［24，25］，その検証は未完了である

あり，その時の非線形の拡散方程式も導出している．

（例えば［26，27］）．他方，本小特集で繰り返し紹介されて線形の時間スケールが非線形の時間スケールより十分いる長谷川 - 三間（HM）方程式の乱流は，非等方な帯状

小さいとする弱非線形性の仮定は，ほぼすべての波動乱流流を持つ異種共存乱流であり，上記の議論はそのままで系において，小波数または大波数の少なくとも一方で破は適用できない．我々の論文［28］（ 以下 TYS2022）では，綻する［9-11］．このとき，波数領域ごとに支配的な乱流

一般の保存量に対するフラックスベクトルの定量化法をの種類が異なる異種乱流が共存することになる［12-14］．

提案し，HM 方程式の異種共存乱流を例として，臨界平衡corresponding author’s e-mail: mtakaoka@mail.doshisha.ac.jp

202Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

4.3 Large-Scale Structures and Local-Flux Vectors in β-Plane Turbulence	および 2 重カスケードとの整合性を検証した．

M. Takaoka et al.

ケード理論や拡散モデル［34，35］のように，保存量の波数

本章では，TYS2022 をベースに，β 平面乱流に現れる空間での正味の輸送では局所相互作用が支配的であるこ帯状流の生成維持機構を，局所フラックスベクトルを用とを暗黙的に仮定することを意味する．等方乱流においいて調べた結果を報告する．最後に，同手法を類似の系ては，非局所相互作用が支配的ではないことが知られてへの適用性や力学系的視点も含めた少考を記した．

I k, t）に対応いる［19，20］．同様に，非等方乱流で保存量 （

4．3．2

定式化

4．3．2．1

基礎方程式と保存量t）を用いて，フラックスベクトル
する非線形輸送量 T（k,I
P（k,t）を定義することを考える．I（k, t）は波数空間の保It）と P（k,t）の間には連続の式
存量なので T（k,II

波数空間での β 平面流の基礎方程式はt）＋ divk P（k,t）＝0,
T（k,
I
I

∂ζˆ
ˆ k1）ψ（kˆ 2）－ ikxβψ（k）
ˆ，（k）＝ ∑ （k1 × k2）zζ（∂t
k＝k1＋k2（1）（3）

が成り立つとする．ここで，divk は波数空間での発散演算子を表す．しかし，このスカラー方程式（ 3 ）のみではt）は一意に定まらない．
ベクトル P（k,Iと 書 け る． こ こ で，ζˆ と ψˆ は そ れ ぞ れ 渦 度 ζ と 流 れ 関

式 （ 1 ） より，波数 k は，k＝k1＋k2 を満たす 3 波相互

数 ψ の フ ー リ エ 係 数 で あ り，［29］と 同 様 に ロ ス ビ ー 半

作用によって k1 と k2 から 2 次の保存量 I の輸送を受ける．

径（ラーモア半径に対応）を無限大に取ると , これらは
ˆ （kx2＋ky2）ψˆ の関係を満たす．
ζ＝

このとき，k がこの 3 波相互作用を介して受け取る I の総量はスペクトル方程式によって得られるが，k1 あるいは式 （ 1 ） はエネルギーとエンストロフィの 2 つの 2 次のk2 から k に輸送される I は個別には得られない．すなわち，保存量を持ち，波数領域ごとに，帯状流，ラインズスケー

波数モード間の 1 対 1 の輸送量は，スペクトル方程式か

ル［30］より大きいスケールの波動乱流，小スケールの 2

らは一意には定まらない［28］．

次元ナビエ - ストークス乱流と言った複数の流れの状態を［21］では，エネルギーに対する式（ 3 ）の差分表現より，有する．これらは，低波数領域のダンベルスペクトル［31］エネルギーフラックスベクトルのユークリッドノルムをや，高波数領域の等方的エネルギー - エンストロフィ 2 重作用とする最小作用の原理に基づいて，最小ノルムエネル

カスケード［24，25］に対応する．エネルギーフラックスのギーフラックスベクトルを得た．TYS2022 では，スカラー

臨界平衡に基づく予想［3］はあるものの，これまで定量的

ポテンシャル Φ（k, t）の波数空間での勾配によって与えらには評価されていない．

れる渦なしベクトルを局所フラックスベクトル P（k, t）とβ 平面の波動乱流では，弱非線形性を仮定した弱乱流理した（両者の関係は TYS2022 参照）．導出過程からわか論の枠組みの中で，ゾノストロフィも保存量となる［32］るように，この局所フラックスベクトルは既知の 1 次元

（本小特集の 4.2 章も参照）．［33］では，共鳴相互作用のみ

フラックスの自然な拡張になっている．

に対する保存量であるゾノストロフィを非共鳴相互作用

4．3．2．3

遷移波数の見積もりに拡張した準保存量も提案されている．この保存量を含β 平面乱流においては，逆カスケードは，等方乱流とめてフィヨルトフトの議論を一般化することでゾノスト

ロスビー波乱流の遷移域で向きが変更されて，帯状流のロフィを含む 3 重カスケードの向きを絞り込むことがでモード（有限波数を持つ ky 軸上のモード）へと向かうこき，波数空間で局在した初期条件の非定常乱流に対して，とになる．式（ 1 ）の線形項と非線形項とをバランスさせ波数空間での（準）保存量の重心座標の軌跡との比較がると，|βkxΨ|～|kxkyZΨ| であり，β ～ |kyZ|＝|kyk2ψ| ～行われている［29］．このアイデアは直感的で受け入れやすいが波数空間の局在領域のみで有効である．次小節で

k2U となり，ラインズ波数 k［が導かれる．ここで，
R 30］
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Ψ，Z，U は そ れ ぞ れ ψ，ζ，u＝ikyψ の 特 徴 的 な 大 き さ

提案する局所フラックスベクトルは波数空間の全領域でを表す．他方，臨界平衡の考えに沿って，線形の特性時のフラックスの定量化を行うものである．

間と非線形の特性時間とをバランスさせると，ダンベル

4．3．2．2

スペクトルが得られる．線形の特性時間としてロスビー

局所フラックスベクトル

2 次元等方乱流では，波数空間での保存量の輸送量は波/ β|kx|）を，非線形の特性時間としてコルモ波の周期 k2（数のノルム k＝|k| のスカラー値関数として，支配方程式

ゴロフに倣って渦回転時間（ϵk2）－1 / 3 をとりバランスさせ中の非線形相互作用項から導出されるスペクトル方程式

ると，ダンベルスペクトル k8＝kβ|kx|3 を得る．ここで，5を用いて与えられる．時刻 t に k＝|k|＝const. の円周を通1/5kβ ＝（β3 / ϵ）
で ϵ はエネルギー輸送率である．［31］で示

I k, t）に対応するフラックス P（k,t）
過する，ある保存量 （Iされているように，別の非線形の特性時間を採用するとt）と次の関係にある：
は，非線形輸送量 T（k,I

ダンベルスペクトルのトポロジーは保たれるが別の関数

t）
∂P（k,
I
T（k,t）
＋
＝ 0．
I
∂k

形となる．
（2）

一方，非等方乱流のフラックスは，波数空間の保存量

4．3．3

数値シミュレーション

4．3．3．1

数値計算法の流れの向きを持った，波数ベクトル k のベクトル値関乱流中での帯状流の生成維持機構を調べるために，標数となる．ベクトル場のフラックスを描くことは，カス

準的な 2 / 3- 則でエイリアジングを除去するスペクトル法
203

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023を用いて，直接数値シミュレーション（DNS）を行った．

る |k|≈ 256 の白色の半円は，外力によるエネルギー注

時間発展の計算には線形項を繰り込んだ ４ 次のルンゲ -入域である．図 2 右より大きさ 10 程度のダンベルスペク

2
クッタ法を用い， ２ 重周期領域［0, 2π］
で格子点数 20482

トルが見てとれる．ky 軸上の（kx, ky）＝（0, ±10）の近傍ので計算した結果について報告する．ここでは逆カスケード

エネルギースペクトルのピークが実空間における帯状流の非等方化に焦点を当てるために，全エネルギーの大きの出現に対応している．エネルギースペクトルは図 2 右さが １ 程度になるように |k|≈256（＝：kf）の円周上に等の実線と破線で囲まれた領域および ky 軸上で大きな値を方的な外力を加え，低波数側に亜抵抗の形で項 μm|k|－2mとっている．

を高波数側に超粘性の形で項 νn|k| を m＝0.3，n ＝ 8，

図 3 には従来から使われているフラックスを描いてある

μm＝0.1，νn＝1.0×10－40 として統計的定常状態を作った．

（TYS2022 参照）．P（k）と Q（k）はそれぞれエネルギーと2n

TYS2022 では，ニュートン粘性と超粘性とのハイブリッ

11
エンストロフィの無指向性フラックスで，P（k
（P（k
）
x）
y）

ド型の粘性項を採用したが，本計算では高波数側のフラッ

1
1
と Q（k
（Q（k
）とはそれぞれエネルギーとエンストロx）y）

クスも確保するために，粘性の影響が高波数域により局

フィの k（k方向に積分して １ 次元化された １ 方向縮約フyx）

在するように超粘性のみとした．

ラックスである．図 3 から全体的にはどのグラフも，エ4．3．3．2

数値計算結果ネルギーが逆カスケードしエンストロフィが順カスケー

こ こ で は 代 表 例 と し て β＝10 と し た 場 合 の 結 果 をドするというクライチナンの描像［25］と矛盾しない結果

報 告 す る．4．3．2．3 節 の 見 積 も り に よ る と，kR≈22 ととなっている．詳しく見ると，ダンベルスペクトルに対

kβ≈1.0×10 となる．図 1 には，統計的定常状態における

1
応して，P（kがほぼ負で一定であるのに対し，P（k）とx）

ある時刻の流れ関数場 ψ（x, y）を示してある．x 方向に揺ら1P（kはそれぞれ k＝10 と ky＝10 付近でプラスに符号を変y）いでいるが，y 方向におよそ 10 周期を持つ帯状流の構造がえている．対して，エンストロフフィフラックスは，そ見てとれる．

のサポートが高波数帯にあり回転の影響をほとんど受け32

図 2 は，統計的定常状態にあるデータを平均した ２ 次ていない．また，外力波数付近では無指向性フラックス

元エネルギースペクトルである．スペクトルの複素共役

は鋭く立ち上がっているが， １ 方向縮約フラックスは鈍っ性を鑑み波数空間の右半面のみ描いてある．左図に見えた立ち上がりとなっている．これは，図 2 からもわかる
ように，この波数帯でのほぼ等方的分布と無指向性フラックスとは適合しているが，k（k＜kf の １ 方向縮約スペクxy）
トルでは |k| ＞ kf の情報も含まれているからである．このような異種共存乱流では局所フラックスベクトルが必要なことがわかる．
図 4 には，エネルギーの局所フラックスベクトル場を
図 2 に対応した領域で描いてある．これらのベクトルは，
向きがわかるように同じ長さのベクトルをもちいて，大きさの対数で濃淡付けして，視認性を上げるために飛び飛びの格子点で描いてある．図 4 左より，外力の波数を示す半円を分水嶺として高波数側と低波数側にほぼ等方

図1

的にエネルギーが流出している．

流れ関数場 ψ（x, y）における帯状流の構造．

最も注目するべきことは，図 4 の |k|≈10 の半円付近に現れる非等方な構造である．等方的に逆カスケードしてきたエネルギーが，その半円を回り込むように向きを変えて（kx, ky）＝（0, ±10）付近に流れ込み，図 1 の帯状流に

図2２ 次元エネルギースペクトル．図示された領域は波数空間の右半面のみで，右図は左図の低波数領域の拡大図．実線＊＊および破線はそれぞれ k＊
R ＝ kβ ＝ 10としたときの |k| ＝ kR
853＊と k ＝（kβ ）|kx| である．

図3

204

従来型のエネルギーとエンストロフィの無指向性フラックス（P と Q）と１方向縮約フラックス（P1と Q1）．

Lecture Note

4.3 Large-Scale Structures and Local-Flux Vectors in β-Plane Turbulence	

対応している．加えて，ky 軸上では非線形性が効かなく

M. Takaoka et al.

より遅い特性時間を持つ渦構造はエネルギーを保持するなることから，この（kx, ky）＝（0, ±10）を中心にエネルギー

ことができず，帯状流成分へエネルギー注入がおきるこ

が貯まることで，図 2 に現れているダンベルスペクトルとが示唆される．なお，ゾノストロフィの局所フラックが生成されているというシナリオも見えてくる．

スベクトルは高波数域で等方な逆カスケードをしており，

図 5 にゾノストロフィの局所フラックスベクトル場を

低波数域ではエネルギーの局所フラックスベクトルとほ描いてある．図 5 左を見ると，全領域でゾノストロフィ

ぼ同じ構造を持っている．

がほぼ等方的に逆カスケードしている．高波数域では値

本章で扱った β 平面上の流れは回転球面上の流れの接が小さいので物理的には大事ではないと思われる．図 5

平面近似であり，回転球面上の 2 次元乱流でも帯状流が右に示された構造はエネルギーの局所フラックスベクト発現する［36，37］．波数間の等方フラックスを記述する式

ル場のそれとほぼ同じで，|k|≈10 付近から非等方な流れ（ 2 ） は，球面の場合，球面調和関数の全波数に関する方となっている．両者の局所フラックスベクトルが同様の程式で与えられるが［38］，非等方性流れに対して素朴な構造を持つことは興味深い．

拡張は難しい．Nozawa & Yoden［39］は球面から接平面への射影を考え，接平面群で球面を覆うことで波数空間に

4．3．4

まとめと今後おけるダンベルスペクトルの出現を示した．このように保存量の波数空間での流れに着目して，β 平面乱流に接平面で球面を覆うことで，我々の提案手法が直接適用おける帯状流の生成維持機構を調べた．カスケード理論

可能となる．回転球面上の流れにおける帯状流とエネルと臨界平衡を支持する波数モード間の局所フラックスベ

ギー輸送に関する知見が得られると考えている．

クトルを得た．これらの結果は，帯状流の生成維持機構

回転や成層の効果による非等方性を含む周期箱流につについて，高波数から低波数へのエネルギー輸送はライ

いて，本章と同様に我々の提案手法がそのまま適用でき

ンズ波数程度で等方性を失い，エネルギーはラインズ波る［21］．このとき回転軸や成層の向きを円筒軸とする円数に沿って輸送され帯状流成分に与えられることを示す．

筒座標系で，方位角方向に平均を行った 2 次元面で波数さらに，ラインズ波数よりも小さく，ロスビー波の周期空間を考えればよい．また，惑星大気や地球外殻などと関係して， 3 次元球殻内流れについては，球面と同様に接平面を底面とする直方体群で球殻領域を覆うことで，提案手法が適用できると期待している．
本小特集の 2 章で紹介されているように，β 平面上の流れはプラズマ物理学における HM 方程式に対応する．プ
ラズマ物理学の多くの系で非等方の大規模構造が乱流中に自発的に生成される．本章では［29］と同様にラーモア
半径（ロスビー半径に対応）を無限大に取ったが，有限の場合にも同様の解析が可能である．このとき，ラーモ
ア半径に相当する波数の付近でエネルギー逆カスケード
が等方的にブロックされる．したがってラーモア半径とラインズスケールの大小関係で，エネルギー輸送の非等方性に差異が現れるだろう．拡張長谷川 - 三間方程式は

図4

HM 方程式にボルツマン応答を取り込んだモデルであり

図 2 に対応した領域のエネルギーの局所フラックスベクト
ル．左図中の破線の半円は外力の波数 |k| ＝ kf，右図中の点線の半円と実線の円は図 2 のキャプション参照．

［40，41］，ラーモア半径を無限大に取る極限において HM
方程式に帰着される．さらに，長谷川 - 若谷（HW）方程
式は密度とポテンシャルとの連立系で与えられ［42］，断熱度ともいえる結合パラメータの一方の極限では HM 方
程式，他方の極限で非圧縮の中性流体の 2 次元 Euler 方程式となる．HW 方程式には乱流を自発的に維持するのに必要なドリフト波不安定性が含まれている．拡張 HM 方程式と同様に HW 方程式にも拡張版がいつくか存在していて帯状流の生成維持機構が調べられている［41，43］．これらのモデル式に対して本章で扱った解析手法がそのまま適用できる．しかし，プラズマをエッジとコアに分ける
ような非一様性を考量する場合，球面のときと同様に局所解析の組み合わせとするなどの工夫が不可欠となる．
カオス力学系的視点から，数値的に求めた定常解や周

図5期解による乱流に潜む本質的な運動が調べらてきた［44］．

ゾノストロフィの局所フラックスベクトル．図 4 のキャプション参照．

近年，非回転 2 次元トーラス上の流れで，広いクラスの205

Journal of Plasma and Fusion Research

May 2023［16］S.V. Nazarenko and A.A. Schekochihin, J. Fluid
Mech. 677, 134 (2011).
［17］G. Dar, M. Verma, and V. Eswaran, Physica D 157,
207 (2001).
［18］S. Maeyama et al., New J. Phys. 23, 043049 (2021).
［19］F. Waleffe, Phys. Fluids A 4, 350 (1992).
［20］K. Ohkitani and S. Kida, Phys. Fluids A 4, 794(1992).
［21］N. Yokoyama and M. Takaoka, J. Fluid Mech. 908,
A17 (2021).
［22］R.T. Pierrehumbert et al., Chaos Solitons Fractals 4,1111 (1994).
［23］T. Watanabe and T. Iwayama, J. Phys. Soc. Jpn 73,
3319 (2004).
［24］R. Fjørtoft, Tellus 5, 225 (1953).
［25］R. Kraichnan, Phys. Fluids 10, 2080 (1967).
［26］G. Boffetta and R.E. Ecke, Annu. Rev. Fluid Mech.
44, 427 (2012).
［27］B. Burgess et al., J. Fluid Mech. 767, 467 (2015).
［28］M. Takaoka et al., Phys. Rev. Fluids 7, L012601(2022).
［29］S. Nazarenko and B. Quinn, Phys. Rev. Lett. 103,
118501 (2009).
［30］P.B. Rhines, J. Fluid Mech. 69, 417 (1975).
［31］G.K. Vallis and M.E. Maltrud, J. Phys. Oceanogr. 23,1346 (1993).
［32］A.M. Balk, Phys. Lett. A 155, 20 (1991).
［33］I. Saito and K. Ishioka, Theoretical and Applied Mechanics Japan 62, 13 (2014).
［34］W.H. Matthaeus et al., Phys. Rev. E 79, 035401(R)(2009).
［35］S. Galtier and É. Buchlin, Astrophys. J. 722, 1977
(2010).
［36］Y. Hayashi et al., J. Atmospheric Sci. 64, 4246 (2007).
［37］K. Obuse et al., Phys. Fluids 22, 056601 (2010).
［38］G.J. Boer, J. Atmospheric Sci. 40, 154 (1983).
［39］T. Nozawa and S. Yoden, Phys. Fluid 9, 3834 (1997).
［40］W. Dorland and G.W. Hammett, Phys. Fluids B 5,
812 (1993).
［41］A.J. Majda et al., Phys. Plasmas 25, 102307 (2018).
［42］A. Hasegawa and M. Wakatani, Phys. Rev. Lett. 50,
682 (1983).
［43］R. Numata et al., Phys. Plasmas 14, 102312 (2007).
［44］G. Kawahara et al., Ann. Rev. Fluid Mech. 44, 203(2012).
［45］S.-C. Kim and H. Okamoto, Nonlinearity 28, 3219
(2015).
［46］E. Sasaki et al., Physica D: Nonlinear Phenomena
406, 132438 (2020).

外力について高レイノルズ数で正と負の 1 対の渦からなる定常解と周期解が数値的に見つけられた［45］．さらに，
非回転球面上では正と負の 2 対の渦からなる定常解と周期解が報告されている［46］．これらの解は非自明な解の内で最低波数を持ち分岐解として現れることから，外力や周期領域のトポロジーによらず， 2 次元乱流には低調波不安定が存在することが示唆される．回転効果を加えた
とき，トーラスと球面のどちらでも 2 次元乱流の長時間積分の漸近状態で帯状流が発現する．この場合でも低調波不安定に起因する帯状流解は存在するかという問題が提起される．なお，本章で帯状流と逆カスケードの非等方化の関係をみたが，低調波不安定と逆カスケード理論との関係も明らかではない．乱流運動を記述する非線形解に本研究で扱った局所フラックスベクトルを適用する
とこで，解の力学的性質と保存量輸送の関係を明らかにできると期待している．

謝Vol.99, No.5

辞本 研 究 は 部 分 的 に JSPS 科 研 費 JP19K03677，

JP21K03883，JP22K03460 の助成を受けたものです．

参考文献［ 1 ］A. Kolmogorov, Dokl. Akad. Nauk SSSR 30, 301(1941).
［ 2 ］V.E. Zakharov et al., Kolmogorov Spectra of Turbulence I (Springer, Heidelberg, 1992).
［ 3 ］S. Nazarenko, Wave Turbulence (Springer, Heidelberg, 2011).
［ 4 ］P.H. Diamond et al., Plasma Phys. Control. Fusion
47, R35 (2005).
［ 5 ］S. Galtier, Phys. Rev. E 68, 015301 (2003).
［ 6 ］R. Meyrand and S. Galtier, Phys. Rev. Lett. 111,
264501 (2013).
［ 7 ］S. Galtier et al., Physica D: Nonlinear Phenomena
390, 84 (2019).
［ 8 ］L. Smith et al., Phys. Rev. Lett. 77, 2467 (1996).
［ 9 ］L. Biven et al., Phys. Lett. A 280, 28 (2001).
［10］A.C. Newell et al., Physica D 152–153, 520 (2001).
［11］L.J. Biven et al., Physica D 184, 98 (2003).
［12］W.F. Vinen and J.J. Niemela, J. Low Temp. Phys.
128, 167 (2002).
［13］N. Yokoyama and M. Takaoka, Phys. Rev. E 89,
012909 (2014).
［14］R. Meyrand et al., Phys. Rev. X 8, 031066 (2018).
［15］P. Goldreich and S. Sridhar, Astrophys. J. 438, 763(1995).

206

Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.5

May 2023

小特集執筆者紹介
お

ぶ

せ

き

さい

おり

とう

なお

いし

き

東京大学大学院新領域創成科学研究科複雑理工学専攻助教．東京大学博士（科学）．専門分
野は理論プラズマ物理・流体力学・数理物理．
プラズマ現象を出発点とする物理と数学を跨ぐ未解決数理課題に関する理論研究を行っている .
だみち

山 田 道 夫

ひろ

しん

おか

けい

いち

京都大学大学院理学研究科 教授，京都大学博士（理学）．主に地球や惑星の大気を念頭においた波動・乱流に関する研究を行っており，
また，それに必要となる数値計算ライブラリを開発・公開している（球面調和関数変換ライブラリとして世界最速であることが自慢）．自分でも多趣味な人間だと思っているが，一番時間を費しているのはプロテニスの観戦．

たか

おか

まさ

のり

高 岡 正 憲お同志社大学理工学部博士後期課程教授．京都大学大学院理学研究科 理学博士（京都大学）．主な研究分野は流体物理学，
巨視的乱雑系の統計法則と自己組織構造です．

京都大学数理解析研究所特任教授．京都大学名誉教授，東京大学名誉教授．理学博士（京都大学）．専門は流体力学・非線形力学．地球流体などの流れの安定性や乱流などの非線形現象とそれらを調べるためのデータ解析手法を研究しています．プラズマや MHD は複雑で遠くから望む感じだったのですが，定年退職後，アマチュア無線（JA3UJB）を再開し，E 層や F 層の電離圏プラズマを身近に感じるようになりまし
た．
たけ

泉

石 岡 圭 一佐 藤 直 木やまいずみ

名古屋工業大学大学院工学研究科 准教授．
2016 年 京都大学博士（理学）．博士課程在学
中は地球・惑星流体におけるパターン形成の問題，名古屋工業大学に移ってからは乱流中の微小粒子群の挙動の問題を中心に研究してきた．

岡山大学学術研究院環境生命自然科学学域准教授．京都大学博士（理学）．専門は主に流体力学・非線形力学．回転球上での帯状構造形
成や生物体内での特殊な構造形成など，自然界における構造形成の数理科学的メカニズムの研究を行っています．最近は趣味として生物情報学も始めました．知りたいことや調べたいことはたくさんあるものの，1 日のおよそ半分を睡眠に費やすため，なかなか進みません．連続睡眠時間の最長記録は約 36 時間です．
さ

とう

齋 藤

小 布 施 祈 織

よこ

やま

なお

と

横 山 直 人東京電機大学工学部 教授．京都大学大学院理学研究科 博士（理学）．波動や渦などからなる強弱乱流の共存機構を中心に研究を行っている．

いち

竹 広 真 一

さ

さ

き

えい

いち

佐 々 木 英 一

京都大学 数理解析研究所 准教授．博士（理学）（東京大学大学院理学系研究科）. 専門は地球流体力学．主に惑星や恒星の大気や内部の流体運動について，数値実験と理論を駆使して研究しています．計算結果を物理的に理解しスッキリと説明することを求めて日々試行錯誤しています．

秋田大学システムデザイン工学科 助教．2013 年京都大学大
学院 博士（理学）取得．回転球面上の乱流の帯状流形成，
壁面近傍の乱流について力学系理論を用いた研究を行っています．

207