２次元セルオートマトン上の力学系
玉田高子 指導教官竹尾

はじめに対富貴子

!"#$%" と          で あ る こ と ，す な わ ち ，は ，           のコンピ           となる．
ュータ結果による分類の研究に始まり，その後   ら   が有限台を持つとは，集合  が による台の広がりによる分類などもある．これらの分 有限集合であることである．
類は，有限台の初期状態から出発しているが，カオス性が起こるのは 台が無限に広がる場合に考えられる．そ有限台  に  を何回か施した結果を横座標に位置を，セルオートマトンについては，

こで，局所的規則から大域的規則へ拡張して，１次元セルオートマトン上の力学系を考えると，有限な台に対し縦座標に作用の回数をとり，表現すると以下のようになる．

&'()"% に近い例 の意味のカオス  になることがある． 状態遷移を進めていくと，同じ状態のものがある一定のこれは，重みつき関数空間上のシフト作用素がカオスを周期であらわれている．
起こす理論  に対応している．
１次元セルオートマトンにおいて， 近傍による局所的規則は  の   種類しかないため，これらに関しては，個々の場合にかなりいろんなことが研究されている．
規則  については大域的規則で考え， の意味のカオスになることも知られている  ．ところが，近傍になると，   種類になり，とても個々の場合を検討することは不可能である．また，２次元セル'()"% とは程遠い例
オートマトンに拡張しようとすると， 近傍にする上の例とは違い，下方に行くほど広がっており，()"% さと  種類， 近傍にすると  種類あるため，れたものが出てこない．
この場合も，個々の場合を検討することは不可能である．
本研究においては，１次元 近傍による遷移規則でカオス的になる条件を求め，さらにこの結果を２次元セルオートマトンの  近傍に対応させ，２次元セては台が広がらない規則でも，無限な台を持つ状態を考えると，







ルオートマトン上の力学系におけるカオスになる条件を求めた．

次元セルオートマトン

カオス的になるためには，()"% に近い状態が必要な& のような状態遷移があらわれる条件を求めた．
次元  状態 近傍のセルオートマトンに命題ので

 状態 近傍のセルオートマトンを考          によって決おいて，まる．
    とし，局所的規則 より大域的規則     は !"#$%" であるを                                      
によって決める．
が  と は ，         局 所 的 規 則                に お い て  成 分 に 関 し て定義

次元えると，局所的規則は， 



























 次元  状態  近傍のセルオート           に対して，ある  が存在し マトンにおいて， は   !"#$%" であるならば， が成り立つ．      は位相的推移的である．て，  
上の命題を使って， に距離  
上の命題 ， を使って，次の定理が成り立つ．
 を入れると，次の定理を得た．
 次元  状態  近傍のセルオートマ定理
次元  状態 近傍のセルオートマトンにお トンにおいて，命題  の    が成り立つとする．こ定理
いて，命題１の    が成り立つとする．このとき， のとき， によって作られた大域的規則     による大域的規則      は  の意味でカ は  の意味でカオスである．
オスである．すなわち，
注 命題  および定理  の結果は が   !"#$%"
' 初期値に鋭敏である．
を  * !"#$%"   !"#$%" *  !"#$%"に変更し， および  をそれぞれに対応して変更す
' 位相的推移的である．
れば同様の結果が得られる．
' 周期点が稠密である．
注 命題１および定理１の結果は が !!"#$%" を*!"#$%" に変更し， および  をそれに対応し  まとめと今後の課題て変更すれば同様の結果が得られる．
以上のことから， 次元  状態 近傍セルオートマトンの結果を  次元  状態  近傍セルオートマトンに応用して  の意味でカオスになることが示  次元セルオートマトンが成り立つとする．このとき，有限台をもつ任意の 

命題

Ü

Ü

せた．今回得た結果は，カオス的になるための つの十 次元セルオートマトンに適応さ 分条件であるので，今後はカオス的になるための必要十
せ て， 近 傍に よる局 所的 規則 を 考 える． 分条件を求めたい．
こ の と き ，局 所 的 規 則が   とは，          において  成分に関して 対 であること，すなわち，  !"#$%" とは，                参考文献
           と な る ．ま  +'   +' ,%% -' .$$)"" / ,' 0'た ，   の 元  に 対 し ，距 離 を 1 "%%"            55  !
  2)%' $3%' 4$"．
     によって定義する．
  
'
このとき，次の命題 ， を得た．
 +' ,%% / 6'  ，               次元  状態  近傍のセルオートマ          ，2)%' $!
命題
トンにおいて，3%' 4$"．  55 7 ! 7'  は   !"#$%" である 8' 6'        !
  "  &//"(! ( 55'       ' %(" ' 9/ / .' 2: "#                  # -$' &'        %)' 4$'    !  '         4'  $ %    # &              -)("$   5 ! '次元の結果を 



























が成り立つとする．このとき，有限台をもつ任意の  に対して，ある  が存在して，

Ü'が成り立つÜ 