都市群間距離を考慮した都市群成長
豊橋技術科学大学 建築・都市システム学課程
伊藤大輔，宮田 譲，渋澤博幸
1. はじめに本研究の目的は人的資本を考慮した動学的都市群システムにおいて，都市形成の過程を検討することにある．このような研究方向は Black and Henderson（B-H）によって初めて考察された．彼らの研究では生産形態の異なる 2 つの都市群から成る一国経済モデルを想定し，人口移動を考慮した両都市群への最適な人的資本配分や両都市群内の効用均等化，効用最大化の条件，都市群成長のパターンについて検討されている．しかし，彼らは都市内距離を考慮している一方で都市群間距離を考慮していない点について更に検討の余地がある．
そこで，本研究では B-H モデルを拡張して都市群間距離を導入し，都市群間距離の役割について解析的に明示することを目的とする．これにより，一国での交通基盤整備が都市成長に与える影響を限定的に明らかにすることが可能となる．
2. モデルの構造
本研究のモデルの概要図を図 1 に示す．ここでは 1 つの国が 2 つの地域（都市群 1，都市群 2）に分断され，各地域に複数の都市が存在する．各都市の土地は賃貸形式で，2 つの都市群は質的に異なる．都市群 1 は後に示すように，この経済の通勤費用，地代，都市群 2 の生産に用いる中間財生産に特化し，都市群 2 はこの経済の消費財を生産することに特化しているものとする．
2 つの都市群の都市群間距離は D であり，図 1 に示すように唯一のゲートを通って取引が行われる．上記のように，都市群 1 の財は都市群 2 の通勤費用，地代，中間財として用いられ，この時の輸送費用は iceberg 型とする．なお，各都市群内の都市間距離は無視できるものとする．
これらの各都市の成長は人的資本投資と人口の自然成長を原動力とする．また，都市開発公社が各世帯から地代を徴収し，利潤を最大化するように 1 つの都市のみの開発を行う．以下にこれらの都市群の特徴を順次説明していく．

図 1.モデル概要図
2.1 世帯と人的資本前述のように，都市成長の原動力は人的資本投資と世帯の拡大である．本モデルでは無限に存続する世帯について個人 1 人当たり同一の人的資本を持ち，各世帯の規模は同一の比率 g で成長すると仮定される．また，各世帯について初期の世帯サイズを 1 に基準化し，将来の割引率は ρ（>g）とする．
各時点で世帯は総所得を消費と人的資本投資に配分し，これらは消費財によって行われる．世帯は各都市にメンバーを配分し，そのメンバーが居住する都市ごとに各自の人的資本が決定される．また，異なる都市群における所得 I1 と I2 が異なる場合には，1 人当たりの消費の均等化のために世帯内での所得移転が生じる．代表的世帯について，その行動は次のように定式化される．

-1-1
 c
 1  (   g ) temax 0 dt ,  0,   g

c ,h1 ,h 2 , z 1 (1)subject to PH  ze gt I1  (1  z)e gt I 2  Pcegt(2)

H  ze gt h1  (1  z)e gt h2(3)H  0, h1 / h1  g  0, h2 / h2  g  0(4)ここで，c：1 人当たりの消費量，σ：異時点間代替弾力性，P：消費財価格，H：1 世帯の人的資本量，
z：世帯メンバーの都市群 1 への配分比率，I1：都市群 1 での労働者 1 人当たりの純所得，I2：都市群
2 での労働者 1 人当たりの純所得，h1：都市群 1 での労働者 1 人の人的資本水準，h2：都市群 2 での労働者 1 人の人的資本水準
これらの制約は世帯が自らの人的資本を貸すことも消費することもできないことを示す．また，一度身に付いた人的資本は同じ都市内の新生児だけには移転可能であることを示している．
2.2 都市群 1 の構造
都市群 1 で生産される財 1 は，この経済における通勤費用，地代，都市群 2 での中間財として利用され，価格 1 のニュメレール財とする．都市群 1 の代表的都市における企業 i の生産量は労働者 1 人に対して定義され，式(5)で定式化される．また，都市群 1 の総生産量は式(6)で表される．



X 1i  D1 n11 h11 h1i1  W1i(5)X 1  D1n111 h11 1  n1 X 1i(6)

ここで，X1i：企業 i の財 1 生産量，D1：効率パラメータ，n1：代表的都市の総雇用者数，δ1：都市内コミュニケーション総量から生じる規模の経済を表すパラメータ，Ψ1：人的資本のスピルオーバー便益を表すパラメータ，X1：都市の財 1 の総生産量，h1i：企業 i の人的資本投入量，θ1：人的資本の弾力性パラメータ，W1i：企業 i の賃金率
式(5)は都市群 1 の労働者 i の生産量がその労働者の賃金に等しいことを表し，全ての労働者が同質であるならば，対象均衡のもとで h1i＝h1 となる．また，生産技術における人的資本スピルオーバーと規模の外部性は都市内で完全に内部化されると仮定する．
代表的都市の生産は中心業務地区 (CBD) のみでなされ，交通ネットワークは CBD から放射状に整備されるものとする．各住民の住宅ロットサイズは 1 として均一化され，異なる地点の土地条件は同質と仮定するため，都市の形態は円形となる．通勤費用は単位距離当たり一定で μ とし，財 1 によって支払われるものとする．
2.3 都市群 1 の都市開発公社
国内には複数の都市が形成しうる十分な土地が存在し，前述のように各都市は各開発公社によって運営される．開発公社は総地代を収入とし，利潤最大化を目的として運営を行う．開発公社の瞬時的な利潤は総地代から移転支出 T1n1 を差し引いたものである．
開発公社は個人の自由な居住選択行動に直面する．このため，各労働者の地代と通勤費用控除後の純所得は他の都市での 1 人当たりの純所得に等しくなる．開発公社は利潤が最大となる人口と移転支出を選択するが，この行動は式(7)，式(8)のように定式化される．また，都市の対称性と式(5)を用いて最適化問題を解き，命題 1 を得る．

-2-max 1  (1 / 2)bn13 / 2  T1n1 , b  (2 / 3) 1/ 2 (7)subject to W1  T1  (3 / 2)bn11/ 2  I1(8)n1 ,T1

ここで，T1：都市群 1 での個別企業への移転所得[命題 1] 都市群 1 の都市開発公社による個別企業への最適移転支出と最適人口は以下で与えられる．

T1  (1/ 2)bn11/ 2(9)2 /(1 21 )h121(10)1  1 /(1  2 1 )  1 ，1  1   1 /(1  21 )(11)

n1   1 2b 1 D1式(11)の Φ1 は都市群 1 の所得の人的資本投資への私的収益を，ε1 は都市群 1 の人的資本投資の社会的収益を表すと考えられる．
2.4 都市群 2 の構造
都市群 2 はこの経済の消費財を生産することに特化している．この財は価格 P で競争的な国内市場のもとで取引され，個別企業の生産量は労働者 1 人当たりに対して式(12)のように定式化される．



X 2 j  D2 n2 2 h2 2 h2 2j x11j (12)

ここで，X2j：企業 j の生産量，D2：効率パラメータ，n2：代表的都市の総雇用者数，δ2：都市内コミュニケーション総量から生じる規模の経済を表すパラメータ，h2：代表的都市の平均的人的資本水準，
Ψ2：人的資本のスピルオーバー便益を表すパラメータ，h2j：企業 j の人的資本投入量，θ2：人的資本の弾力性パラメータ，x1j：財 1 の中間投入量，α：中間投入の弾力性パラメータ
企業 j の利潤最大化から，超過利潤が賃金所得を形成する．
[命題 2] 都市群 2 の代表的企業の賃金率は以下で与えられる．さらに，交通基盤が未整備なほど賃金率は減少する．
W2   1 /   11 /  1    (1 ) /  P1 /  D21/ n h 
2  2221/ h2 2j / (13)ここで，τ：iceberg 輸送技術における距離パラメータ （0<τ＜1）
都市群 1 から都市群 2 へ x1j を輸送するとき (1-τ)×100% の x1j を使用すると仮定する．このため，都市群 2 での財 1 の価格は 1/τ となり，交通整備が進むほど τ は 1 近づき，未整備なほど 0 に近づく．
都市群 2 の都市開発公社の最適化行動は以下のように定式化され，これを解いて命題 3 を得る．

max  2  1 / 2 bn23 / 2 /   T2 n2(14)subject to W2  T2  3 / 2 bn12/ 2 /  I 2(15)T2 ,n2

ここで，T2：都市群 2 の個別企業への移転所得[命題 3] 都市群 2 の都市開発公社による個別企業への最適移転支出，最適人口，1 人当たり実質純所得は次のように与えられる．また，交通基盤が未整備なほど移転支出は増加し，最適人口，実質純所得は減少する．

T2  1/ 2 bn12/ 2 / (16)-3-n2  C2 P1/  / 2 2 h22 2(17)C2  [ (1   ) 1 /   2 (1/ )11/  2b 1D21/  ]  /  / 22 (18) 2   2 /(  2 2 )  1 ，  2   2   2 /(  2 2 )(19)

I 2    2 2  1W2  Q2 P1/  2 h2 2(20)Q2  [ (1   ) 1 /   2 (1/ )11/  2b 1D21/  ] /  2 2  b(2 2 ) 1 (  2 2 )(21)

また，代表的企業について命題 4 を得る．
[命題 4] 代表的企業の中間投入量は以下で与えられ，交通基盤が未整備なほど中間投入量は減少する．
x1 j  1    Q2   2 2  P1 /   2 h2 2
1(22)

2.5 投資と人口移動の意思決定
式(1)の動学的最大化を考えれば，ハミルトニアン L は式(23)で定義される．
1 c 1  (   g ) temax L  0 c , z ,h1 ,h2 , H 1  1[ ze gt I1P 1  (1  z)e gt I 2 P 1  ce gt ]  2 [ H  ze gt h1  (1  z) e gt h2 ](23)

ここで，λ1：人的資本 H の随伴変数，λ2：制約条件(3)の Lagrange 乗数
都市群 1 の労働者 i について式(5)と式(8)から以下が成立する．

I1i  W1i  T1  3 / 2bn11/ 2  D1 n11 h11 h1i1  T1  3 / 2bn11/ 2

W1i  D1 n11 h11 h1i1(24)(25)

T1，h1，n1 は各世帯にとって固定されたものとみなされ，∂I1i /∂h1i=θ1W1/h1i が成立する．また，対称性を考慮すれば h1i = h1 となり，命題 5 が得られる．
[命題 5] 均衡において各都市について以下が成立する．

I1i /h1i  1I1 /[(1  21 )h1 ]  1I1 / h1(26)I 2i / h2i   2 I 2 /[(1  2 2 )h2 ]  2 I 2 / h2(27)均衡の対称性のもとで，これらの方程式を用いればハミルトニアンの一階の必要条件が求まる．これを用いると命題 6 が求められる．
[命題 6] 均衡において式(28)が成立する．
I1 / I 2  2 / 1 h1 / h2(28)さらに必要条件から λ2/λ1 を各々求め，式(28)を用いることで命題 7 を得る．
[命題 7] 均衡において式(29)，式(30)が成立する．

h1  1 1  2 /[2 (1  1 )] h2(29)-4-I1  [(1  2 ) /(1  1 )]I 2(30)以上により，h1/h2 と I1/I2 は時間と都市群間距離に依存しないことが読み取れる．
2.6 国内市場均衡
都市群 1 内の都市数を m1，都市群 2 内の都市数を m2 と定義すれば，財 1 の国内総供給量は m1X1と表される．都市群 2 は中間投入として財 1 を x1/τ だけ都市群 1 から移入する．両タイプの都市群で通勤費用，地代が財 1 により支払われることを考慮すれば，財 1 の需要供給は式(31)で表される．

m1 X 1  m2 n2 x1 /  m1 ( bn13 / 2 )  m2 ( bn23 / 2 / )(31)

さらに計算することで命題 8 を得る．
[命題 8] 都市群 1 の労働者比率は式(32)で与えられ，交通基盤が未整備なほど都市群 1 での人口比重は高まる．
z1    /   2 2  1  1  1    /   2 2  1  1   1  2   2 2 (32)ここで，z：都市群 1 への人口配分率
命題 8 より z は h（h1 または h2）に依存せず，時間に関しても一定であることが読み取れる．一度ある都市に割り当てられた全労働者は他の都市に移動しようとはしない．また，人口移動は新生児を割り当てるときのみ生じ，特に新都市出現の場合に起こる．
次に，都市群 1 と都市群 2 の都市数 m1 ，m2 を求め，移住の意思決定を表す z と式(3)から両都市群の人的資本を 1 人当たりの人的資本関数として求める．さらに式(28)を用いることで，式(33)を得る．

h1  [1 /(1  1 )]Kh ， h2  [2 /(1  2 )]KhK (33)1  1  1    /   2 2   1  2   2 2 
1 1    /   2 2   2   2 2 (34)

これより，式(29)，式(30)，h=He-gt を時間に関して微分すれば，命題 9 を得る．
[命題 9] 両都市群の人的資本成長に関して，以下が成立する．

h / h  g  h / h  g  h / h g  H / H  01

12(35)

2

これは両都市群で人的資本は同率で成長することを示す．均衡において人的資本は現存の世帯間で移転することはできない．最後に消費財価格は命題 10 として表される．
[命題 10] 消費財価格は以下で与えられ，交通基盤が未整備なほど消費財価格は上昇する．

P  Qh 1 2  22 (36) 2 2  Q 1 / 1  1   11 1 2 Q 1 1K 2 1
2Q2 2 / 1  2  (37)

3. 都市群成長の特徴
3.1 都市成長
任意の時点で各都市群に雇用される 1 人当たりの人的資本レベルは異なるが，前述のように各都市群の人的資本は同率で成長するため，都市規模に関して命題 11 が成立する．
[命題 11] 都市群 1，都市群 2 の都市規模の成長率に関して式(38)が成立する．

-5-

n1 / n1  n2 / n2  21h / h(38)

これより都市群 1 の都市数変化率を求め，国内人口成長率𝑁̇/𝑁は g であることに注意すれば，
𝑛1̇ /𝑛1は式(38)により与えられるため，以下が成立する．

 1 / m1  m
 2 / m2  g  21h / hm

(39)

国内人口成長率が人的資本蓄積による都市規模成長率より高い場合，人的資本蓄積とともに都市数は増加する．これより命題 12 を得る．
[命題 12] 両都市群間の交通整備条件を固定するとき，各都市の規模は人的資本蓄積率に比例して成長する．各都市群間の相対的都市規模と都市数が時間に関して一定とすれば，各都市群の都市成長は一定の相対的都市規模分布を維持する．そしてこれは都市群間の交通基盤整備とは関係しないが，整備が遅れているほど都市群 1 の都市規模，都市数は都市群 2 に比べて相対的に大きくなる．
3.2 経済成長
最後にこの経済の成長について述べる．対象とするのは 1 人当たりの消費と人的資本の成長率である．これらについて命題 13 が成立する．
[命題 13] 1 人当たりの消費と人的資本の成長率は以下で与えられる．そして交通基盤が未整備なほ
ど消費と人的資本の成長率は鈍化し，両都市群の都市規模は小さくなり，都市数は増加する．

 c  c / c  ( Ah 1   ) / (40) h  h / h  Bh  1  ch1  g(41)  1[1  (  2 2 )]   2 (  2 2 )  0(42)A  1Q1 1 /1  1   1 K 11 / Q , B  A1 1   /  2 2   2   2 2  , A  B 1

1(43)

4. おわりに本研究では B-H モデルを拡張し，都市群間距離を導入することで交通整備の影響を解析的に分析した．結果として，経済成長に注目すれば交通体基盤の未整備はこれを鈍化させるに留まらず，人的資本の水準までも低下させ，その影響が累積的なものとなることが判明した．また，都市群成長について言及すれば，都市規模の縮小により都市数が増加し，都市群 2 に比べ都市群 1 の規模が大きくなることが新たな知見として得られた．
また，本モデルと現実の都市群との様相の対比について述べれば，昨今では国内においても地域間の格差が広く知られており，例として日本の中国地方を見れば，いわゆる山陽地域と日本海側では明確な格差が確認できるため，本モデルが相当程度当てはまると考えられる．
一方で今後の課題として，最適な人的資本投資と交通基盤投資の配分の明示や，単純化されている本モデルのより現実的な一般化が挙げられる．
参考文献
1)Black, D. and Henderson, V. (1999), 「A Theory of Urban Growth」, Journal of Political Economy Vol.107,
No2 , pp252-284
2)小林潔司・奥村 誠(1996)，高速交通体系が都市システムに及ぼす影響に関する研究，土木計画学
研究・論文集，No.13, pp57-66, 土木学会
3)奥村 誠・小林潔司・山室良徳(1998)，「輸送費用の減少が都市群システムに及ぼす影響のシミュレーション分析」，土木学会論文集, No.604/IV-41, pp23-34, 土木学会

-6-