不確実性下の都市規模と公共財供給に関する基礎的考察
朝日ちさと（首都大学東京都市教養学部）

1. はじめに都市集積がもたらす集積の経済の要因のひとつとして、企業が直面する供給・需要のショックを平滑化する効果が挙げられている（佐藤他、2011）。また、Arrow and Lind（1970）はリスクを伴う公的プロジェクトの評価において、家計数による分散効果により社会のリスクプレミアムは無視し得ることを明らかにし、長らくリスクに対する事業の期待被害額による便益評価の理論的根拠を成してきた。一方、大規模災害などリスクが集合的である場合には、家計間で被害に相関が生じるためにリスク分散が成立しないことが指摘されており（小林・横松、2002 等）、リスクプレミアムの評価が必要な場合の条件と評価方法の検討が課題となっている。
本稿は、都市規模すなわち家計数によるリスク分散の可能性と公共財供給との関係を検討することを目的として、Lee（2005）の不確実性下のヘンリー・ジョージ定理に関する理論的知見を検討する。不確実性下ではリスク分散効果により都市規模が大きくなり、地代総額が公共財の供給費用を上回るとの Lee（2005）の理論的結論をベースとして、都市規模、地代、公共財と地域におけるリスクとの関係を検討する基礎的な枠組みについて考察する。さらに、モデルの示唆がリスク分散の可能性に依存することから、リスクが集合的である場合の都市規模と公共財の供給費用との関係について検討する。

2. 不確実性下の最適都市規模モデル
2.1.

Lee(2005)モデルの概要

ヘンリー・ジョージ定理によれば、地方公共財の供給に関する「Golden Rule」が知られている。すなわち、最適な地域人口のもとでは、地代の合計と公共財への支出が等しくなる。よって、地域の公共財が土地課税で賄うわれる都市規模が最適となる。Lee(2005)は、地域が不確実性に曝されている場合、人口規模が保険として働くため、確実性下よりも大きな人口規模が最適となることを理論的に示した。はじめに、Lee(2005)のモデルとその示唆を概観する。
経済は、多数の同質な個人と地域とで構成されている。地域 i には ni人の住民が居住し、住民は 1 単位の労働を供給している。地域には qi単位の土地がある。それぞれの地域には規模に関して収穫一定の技術を持つ完全競争企業が立地している。企業は、労働と土地を投入して単一の財を生産し、ニューメレールとして供給している。
生産物は、私的財として消費されるか、あるいは公共財に転換される。地域 i の産出水準は不確実であり、次のように表現される。φは地域へのショックを表すランダム変数であり、地域について独立に等しく分布する。

f fi ( ni , qi ) for E (=f ) 1, V (=f ) σ 2, 0 < f <1
地域 i の代表的住民の選好は私的財と公共財の消費による効用U ( xi , g i ) で表される。公共財の供給費用

c ( gi ) は、giについて増加関数で凸であり、住民の数に依存しない（混雑を捨象する）。住民は、公共財の供給費用を等しく負担する。住民は、生産要素と企業を所有しており、要素所得と所有する企業の利潤を受け取る。
つまり、可処分所得 xiは、賃金、地代、企業の利潤から公共財の費用を除いたものとなる。
意思決定のタイミングは次の通りである。まず初めに地域の政府は住民数 niによって地域の規模を決め、住1

( ( ) n ) 。第二に、リスク回避的な住民は、所有する企業の株式を取引するこ

民から公共財の費用を集める c g iiとによって、要素所得と企業利潤の不確実性によるリスクを分散する。第三に、企業はランダム変数φが実現する前に土地を投入する。4 番目に、φが実現したあと、企業は労働を投入し生産を行う。すなわち、土地は長期契約により調達され、労働は短期市場によって調達される。地代は決定的である一方、賃金は確率的となる。
不確実性を分析するために、所得の一部が確率的であり、それを家計自身が株取引によりリスク分散することを想定している。リスクをすべて分散できれば不確実性は残らない。リスクのある所得のうち、賃金所得は分散しにくい。よって、賃金所得は分散不可能であり、不確実な賃金に対する保険も利用できないと想定している。
企業行動の意思決定
地域の企業は、φが実現する前に土地に地代 riを支払い、φが実現してから労働に賃金 wiを支払う。企業の利潤は、次の通りである。

=
π i f fi ( ni , qi ) − wi ni − ri qi
niに関して利潤最大化の 1 階の条件より、賃金は wi = f f in ( ni , qi ) となる。
土地はφが実現する前に投入されるが、リスク回避的な企業の所有者は株所有の分散によって不確実な利潤によるリスクを取り除くので、企業価値は期待利潤の最大化と等しくなる。

E (πfi ( ni , qi ) − wi ni − ri qi=i)
wi E==( wi ) fin
qiに関する 1 階の条件より、地代は ri = f iq ( ni , qi ) となる。賃金と地代の最適条件および規模に関する収穫(一定の条件=fi

fin ni + fiq qi ) から、地域 i の企業利潤は次の通りである。

πi =f fi ( ni , qi ) − f fin ni − fiq qi =(f − 1) fiq qi
賃金も企業利潤も確率的であるが、企業所有者は完全にリスクを分散し、ゼロ利潤を実現できるとする。より簡単化し、地域は事前には同質なので、すべての i について ni = n, qi = q であるとする。しかし地域はランダ(ムショックφを経験するため、企業利潤は地域によって異なる π = φ( n, q ) ) 。企業所有者は、自分自身の地域を除くすべての地域の企業株式を所有することで、不確実な企業利潤のリスクをすべて取り除くことができる。

( ) = 0 を得る。

その結果、家計は期待利潤 E π2

家計の効用代表的住民の私的財の消費において企業利潤は無視できることになり、規模に関する収穫一定の条件=( fi fin ni + fiq qi ) を用いると、消費は次のように表される。

x =w+rq π c(g) f c(g)+ −= −+ (f − 1) f nn nnnn

政府の意思決定
公共財の水準 g は所与であるとする。政府は、代表的住民のランダム要因φについての期待効用を最大化するように n を選択する。n についての 1 階の条件より、

 nf n − ( f − c ( g ) )dE U ( x, g ) =+ U x (f − 1) f nn E U x2dnn c ( g ) − fq q= E U x+ U x (f − 1) f nn 2nc ( g ) − fq q
=E [U x ] + COV U x , (f − 1) f nn n2=0
第 2 項の共分散項がランダム要因φについて正となることから、最適な地域人口規模では第 1 項は負となる。

qf q > c ( g ) となり、地代総額が公共財の供給費用より大きいこと、すなわち、確実性下よりも大きな人口を選択することが最適となる。
2.2.

モデルによる示唆

モデルの直観的な理解は次の通りである。公共財 g の水準が固定的であるため、最適な地域人口の条件は代表的家計の消費を可能とする可処分所得 x のみで決まる。x は賃金、地代収入、企業利潤、公共財の負担額によって決まるが、このうちリスクが分散できないのが賃金であり、家計の賃金は確実な水準あるいは期待値からのかい離が見込まれる。その分散をカバーするために、地代収入が大きくならなければならないことになる。地域の代表的な住民の地代収入が大きいことは、土地の生産性が一定であるとすると土地を所有する人口が増加することを意味する。すなわち、確実性下よりも最適な人口規模は大きくなる。固定的な公共財費用の負担に対して
この結論は、公共財の供給費用が不確実である場合、および人口増加の費用が混雑外部性によって増す場合についても維持される。
モデルの帰結の恒等関係より、地代総額と公共財供給費用とを比較することにより、都市規模あるいは公共財供給水準に関して示唆を得ることができる。第一に、最適な都市規模が選択されている状態が現実であると仮定した場合、地代総額と公共財供給費用との差が生産に関する不確実性を表す。その相対的な大きさを比較することで、地域における不確実性と都市規模の保険としての役割を検証することができると考えられる。第二に、

3

地域が曝される不確実性の程度が一定であると仮定するならば、公共財の供給費用と地代総額を比較することで都市規模の最適度合に関する情報を得ることができると考えられる。

3. 地域におけるリスク分散の可能性
3.1.

前提条件の整理Lee(2005)モデル（以下、基本モデルと呼ぶ）の示唆の重要な前提条件 1は、家計がリスク回避的であり、不確実な事象が地域間ではランダムに生起することにある。その場合、人口の増加は保険数理的に公正な保険として働き、消費の期待値に影響を与えることなく、消費の分散を小さくする。この関係は、Arrow and Lind(1970)
における公共事業のリスクプレミアムの考え方と共通しており、公共事業における社会全体のリスクプレミアムは家計数によって分散され無視し得るものとなる。
基本モデルでは、地代はリスクが実現する前に支払われる確定要因であり、企業利潤の配当については地域間の資産取引でリスク分散される。賃金のみがリスクが実現した後に決定されるために、家計にとってリスク分散が不可能な要因となる。この設定は、リスク分散の可否は意思決定のタイミングによって生じるという想定であり、リスクの性質により分散ができないわけではない。家計の賃金に残されるランダム事象の仮定は、地域間で分散したリスクと同じく独立かつ同質なリスクである。企業は家計よりもリスクをプールすることが可能であるため従業員に保険を提供することができ、また家計も保険市場で所得リスクに関する保険を購入することができる。しかしながら、基本モデルでは情報の非対称性による保険市場の非効率性などにより、家計には分散不可能な賃金リスクが残るという想定になっている。
一方、横松・小林（2002）や国土交通省（2009）が指摘するように、地域に生じるランダム事象が域内の家計にとって集合的リスクである場合、家計間のリスク分散のメカニズムは有効ではなくなる。すなわち、φの分布は地域間では独立性、同質性を満たすが、地域内では独立ではなく他の家計と同時に影響を受けると仮定すると、政府の意思決定における家計数の選択によるリスク分散の効果は異なってくる。
3.2.

集合リスクの場合

ランダム事象が地域間では独立であるが地域内では独立でなく、地域の一定割合の家計（an, 0<a<1）が同時( )( )n , E  n φφφ==にある事象を経験する可能性があるとする。不確実な事象はan 、すなわち地域の家計数の関数として表現され、地域の生産の期待値は家計数の一定割合に比例する。このとき、企業の利潤最大化問題による利潤収入は、地域間でリスク分散される。一方、地域間では分散可能であったリスクが地域内では集合リスクであり、よって地域の代表的家計にとっては家計数に依存する賃金リスクであるとする。

f c(g)
x =−+ (f ( n ) − 1) f nnn
政府の意思決定問題は再び、φについての期待効用を最大にするように地域の人口規模 n を選択することで1 リスク分散に関する仮定のほか、人口の制約がないことも仮定されており、総人口の減少下においては重要な論点となると考えらえる。政府の意思決定における人口規模の選択問題は、リスク分散可能な他地域の存在を前提としているが、人口全体が一定数である複数の地域からなる場合、すべての地域において確実性下より過大な人口が実現するわけではない。全体の人口に制約がある場合は、上位政府が人口制約と各地域の期待効用の和を最大化する問題設定となり、地域のリスク分散の観点からは最善の都市規模とはならず、相対的にリスクの小さい地域では公共財供給費用が地代総額を上回るような人口規模になることも考えられる。

4

ある。

  f c(g)+ (f ( n ) − 1) f n , g  E (U=) E U ( x, g )= E U  −n  n  nf n − ( f − c ( g ) )dE U ( x, g ) =++−ff
E U xUfUnf1())(xnnxnndnn2 c ( g ) − fq q= E U x+ U xfn f n + U x (f ( n ) − 1) f nn 2nc ( g ) − fq q=
E [U x ] + E [U xfn f n ] + E U x (f ( n ) − 1) f nn n2=0
最終式の第 1 項は公共財供給費用と地代総額との関係を表す。第 2 項および第 3 項は次のように表される。

E [U xfn f n ] E [U x ] E [fn f n ] + Cov [U x , fn f n ]=E U x (f ( n ) −=1) f nn  E [U x ] E (f ( n ) − 1) f nn  + Cov U x , (f ( n ) − 1) f nn 
基本モデルと比較すると、リスクが家計数に依存するため、最適な人口規模の選択において、家計数の変化がリスクに及ぼす影響が加わる。たとえば、第 2 項では、fn はφについて正、Ux は負であるため、リスクに対する家計数の効果φnの符号により効果が異なる。家計数の増加が正の方向に働く場合、すなわち家計数が所得増の可能性を増加させる場合、全体の効果は正となる。よって、家計数の最適条件より、地代総額が公共財の供給費用を上回らなければならない。家計数の増加が負の方向に働き、所得減の可能性を増加させる場合には、全体の効果も負であるため、地代総額と公共財の供給費用との関係は明らかではない。

4. 考察
家計数が所得増の可能性を増加させる場合の例として、集積の経済がはたらく状況が考えられる。一方、家計数の増加が所得減少の可能性をもたらす場合とは、混雑による外部費用が発生する場合、共同消費を伴う公共財の利用が妨げられる場合などが考えられる。すなわち、家計間の相互作用が所得もたらす負の影響が大きい場
合には、最適な都市規模は確実性下に比べて大きくなるとは限らない。
基本モデルおよび集合リスクモデルの検討により、地域にとってのリスクが地域内で分散不可能な場合であっても、その所得リスクが家計間で独立の事象である場合、また集積の経済のように家計数について所得に正の効果を持つ場合、地代総額が公共財供給費用を上回り、最適な都市規模は確実性下よりも大きくなる。一方、所得リスクが家計間で独立ではなく、所得に負の影響をもたらす場合には、必ずしもその関係は成立しないと整理される。
2.2 節で述べたように、都市規模と地域リスクとの理論的な関係は、実証が可能であれば、効率性の観点から望ましい都市規模、あるいは反対に地域のリスクを判断するための有用な手法となり得る。しかしながら、地域の観点で生産や所得に対するリスクを考慮する際には、それらが公共財や混雑など家計の相互関係に依存する効果が多く含まれていることに留意する必要がある。コンパクトシティー、道州制、自治体の広域連携などの都市

5

規模に関連する議論において、災害や経済ショックなどの不確実な要因を考慮することは必須の条件である。その際には、地域間のリスク分散効果に加え、都市規模すなわち家計数によるリスク分散が重要な役割を果たすことから、それらが成立する要件をさらに明確にすることが必要である。
※本研究は，JSPS 科研費（24730215）の助成を受けたものです．

参考文献
[1]

国土交通省「不確実性に係る便益の評価について」公共事業評価手法検討委員会資料(2009）[2] 小林潔司・横松宗太「災害リスクマネジメントと経済評価」 土木計画学研究・論文集, 19(1), 1-12. (2002)[3] 佐藤泰裕, 田渕隆俊, 山本和博『 空間経済学』有斐閣(2011)[4] Arrow, Kenneth J., and Robert C. Lind. "Uncertainty and the evaluation of public investment
decisions." Journal of Natural Resources Policy Research 6.1 (2014): 29-44.
[5] Kangoh Lee “Land taxation and the Henry George theorem under uncertainty”, Journal of Urban
Economics 58 (2005) 11–23.

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