概 要
物理学を本格的に学ぶ準備として本部は第 3 回になる。量子論、素粒子、宇宙論に応用される素材が多い分野である流体力学、熱力学、統計力学、物性論の基礎を復習する。この分野の入門書として定番になっているものにキッテルのシリーズがある。ここでもこのキッテル固体物理入門、熱物理学を中心に学ぶことにする。Ising モデルや平均場近似は第 8 部での共形場理論につながっていく。本部は未完成部分が多く、今後加筆修正する予定である。参考文献を見て学習に役立ててほしい。

1

連続体 [60]

1.1

力
質点系において i 番目の位置 ri に働く力 Fi , 質量 mi として古典的には運動方程式

mi

d2 ri
= Fi
dt2

が成り立つ。しかし、現実の分子、原子からなる物質を考慮すると i はアボガドロ数以上になり、これらを連立して解くのは現実的ではない。この場合は熱力学でもやったように巨視的な統計をもちいて、平均化する。
このように考えた物体が連続体である。

図 1.1: [60] より
例えば密度 ρ は次のように表される。図のようにある微少体積 ∆V に含まれる領域 ∆ν に注目し、

ρ(r, t) =

1
1 ∑
∆m
=
=
mi
∆V
∆V
∆
i∈∆ν

この時、観測者側が ∆ν を都合よく選び、ρ(r, t) を時間や空間の連続的な関数になるようにすることができる。
ここで力の働き方に着目すると観測者がある境界を引くことになるのでこの内側の体積に比例して働く力（体積力）と境界面積から受ける力 (面積力) に分けることができる。これは前者が遠隔作用、後者が近接作用と考えることもできる。留意するべきは、さらにこの微小体積内を微小に分けることはしないで微小体積ないで一様な変数 tij をおいていることである。これを粗視化という。古典論では観測者との関係は無関係で一方的な粗視化が可能である。
そこで下図のような微小体積 dV = dxdydz に働く力を考えよう。

1

図 1.2: [60] より
体積力は単位体積に働く力 K を仮定して次のように書ける。

dFv = KdV

(1.1)

一様な重力場であればK = ρgである。これが保存則であれば位置エネルギー U を用いてK = ρgradUで表される。
一方で単位面積当たりに働く力を仮定したものが応力である。応力は面の法線方向と平行方向に分けることができて、法線方向には圧縮膨張があり、平行方向にはせん断応力と呼ばれるものがある。これを表すのが応力テンソルで tij で j 軸に垂直な単位面積のに働く力の i 成分として図のような EF GH(dydz) 面に働く力はdx だけ手前にあることを考えて、次の 3 つの単位ベクトルの合成になる。
′

Fx = (txx (x + dx, y, z)ex + tyx (x + dx, y, z)ey + tzx (x + dx, y, z)ez ) dydz

図 1.3: [60] より
同様に面 ABCD(dydz) は原点にあるので法線が外、x の負方向を向くことを考慮し、Fx = − (txx (x, y, z)ex + tyx (x, y, z)ey + tzx (x, y, z)ez ) dydzである。このとき tij の dx による変化は考えないとする。

2

よって全体では微分の定義から(′

dFx = Fx + Fx =

)
∂txx
∂tyx
∂tzx
ex +
ex +
ex dxdydz∂x∂x∂xとおける。y, z 方向にも同様に成り立つので
′

(

)
∂txy
∂tyy
∂tzy
ex +
ex +
ex dxdydz
∂y
∂y
∂y

(

)
∂tyz
∂tzz
∂txz
ex +
ex +
ex dxdydz∂z∂z∂z

dFy = Fy + Fy =′dFz = Fz + Fz =よって一般化座標 xi を用いて

dF = dFx + dFy + dFz =

3
∑
∂tij
i,j+1

∂xj

ei dV

となり、dx, dy, dz に依存しない形になった。
また、この式から単位体積当たり
3
∑
∂tij

fV =

i,j+1

∂xj

ei

の力が働くことを示している。この式を先のある領域 ν で積分すると、その領域 i に働く力が

∫ ∑
3
∂tij
Fi =
dV
ν ,j+1 ∂xjを得るが、ガウスの発散定理から法線ベクトルを n として

Fi =

∫ ∑
3

tij nj dS

s ,j+1となるので、この場合は単位面積当たりの力が

fS =

3
∑

tij nj,j+1になる。今後はアインシュタインの縮約記号を用いて和の記号を省略する。

1.2

応力モーメント
レビ・シビタの 3 次元完全反対称テンソルを次のように定義しておこう。

1ijk = 123, 231, 312
ϵijl = −1 ijk = 132, 321, 2130others

これにより外積が(A × B)i = ϵijk Aj Bkと書ける。これを用いて応力のモーメントを∫(Nstress )i = ϵijk

xj
ν

3

∂tkl
dV
∂xl

(1.2)

で定義する。

∂(xj tkl )∂tkl= tkj + xj∂xl∂xlを用いると、∫ ((Nstress )i = ϵijk
ν)∂(xj tkl )− tkj dV
∂xl

さらにガウスの発散定理から第 1 項を面積分にかえ、∫∫(Nstress )i = ϵijk xj tkl nl dS − ϵijk tkj dVνν

を得る。この式の第 1 項がこの領域に加わる応力モーメントである。応力が境界を通して働く力で全て表現するべきであるとすると
第 2 項が 0 になる必要がある。従って

tij = tjiとなる対称テンソルである必要がある。逆に応力テンソルが対称であれば、ある点を指定した応力モーメン
トは 0 になる。

流体

2テンソル場の応用として流体を考える。弾性体との違いは構成粒子が流体の場合は小さな力でも変位することである。このため粒子的なラグランジュの方程式ではなく、ベクトル場を記述するオイラーの法則がよく、用いられ、位置 r と時間 t のベクトル場 v(r, t) で表すことが多い。
全ての場所で v = 0 であれば静止流体とよばれ、後に紹介する流体の応力テンソルは圧力だけで表すことができる。

tij = −pδij
流体は連続した流れを持つことが特徴である。ここに力学を考えると、2 つの視点が少なくとも必要で 1 つは連続性が見える巨視的な視点と、もう一つは微小部分に働く力の関係である。これらの視点は流体に限らず、全ての物理的な運動には必要である。これらは異なるスケール間の関係として今後重要になる。

観測視点

2.1

古くから流体の記述には 2 通りの方法があることが知られている。Lagrange 形式と Euler 形式である。

Lagrange 形式は粒子的な視点で時刻 t で位置 x に依存する微小体積 ∆V (x, t) に注目し、その動きを追尾していくものである。この場合時間変化と共に微小体積はその位置を変えて、体積も変化するが微小体積の重さは変化しない。微小体積のもつ物理量 A も時間変化するが、微小体積への流体の流入、流出はないとする立場である。
連続体を微小な領域に分けて、それぞれの領域の運動を考えることで全体の運動をみる場合、構成粒子の位置を

r = (x, y, z)とする。この連続体の密度を ρ, 体積を dV とするとニュートンの運動方程式は式 1.1,1.2 より体積力と境界面からの力を考慮し、

d2 xi
ρdV 2 =
dt

(
)
∂tij
Ki +
dV
∂xj

とおける。両辺を dV で割れば

ρ

d2 xi
∂tij
= Ki +
dt2
∂xj
4

(2.1)

このような方法が Lagrange 形式である。

図 2.1: ラグランジュの方法 [60] より
時刻 t = 0 での微小体積の位置を x0 とすると、時刻 t の時の微小体積の位置は
x = x(x , t)0
x = x(x , 0)00とかけるので任意の物理量 A の時間変化がA = A(x0 , t)
であり、位置 x0 と t が独立変数で、位置 x は従属になっていることがと特徴である。
一方 Euler 形式では場の理論からの流れを受け、物理量 v の変化はv = v(r, t)で表される。この方法では独立変数は t, r である。
よってある物理量 A(x, t) の時間変化を考え、A(t + δt, r) − A(t, r)
∂A
= lim
δt→0
∂t
δt
のように通常の偏微分に従う微分をオイラー微分という。

図 2.2: オイラーの方法 [60] より

Lagrange 形式と Euler 形式両者の関係を導こう。
まず、時刻 t で位置 x に微小体積を考え、この物理量を A とする。Lagrange 形式では x = x(x0 , t)で決まる。x0 を用いて A(x0 , t) とおくとこれが Euler 形式では

A(x0 , t) = A(x, t)
5

(2.2)

となる。∆t 秒後の時刻 t + ∆t において Lagrange 形式ではこの微小体積がx + ∆x = x(x0 , t + ∆t)となる位置に移動するので、ここでの物理量は Lagrange 形式と Euler 形式で(2.3)

A(x0 , t + ∆t) = A(x + ∆x, t + ∆t)となる。式 2.2、2.3 から変化量をそれぞれの形式で表すと

A(x0 + ∆x, t + ∆t) − A(x0 , t) = A(x + ∆x, t + ∆t) − A(x, t)となる。右辺はA(x + ∆x, t + ∆t) − A(x + ∆x, t) + A(x + ∆x, t) − A(x, t))(∂A(x + ∆x, t)
∆t +
=
∂t

(

∂A(x, t)∂x)∆xとなるから、左辺も同様に変形し、

(

)
(
)
∂A(x + ∆x, t)∂A(x, t)A(x0 + ∆x, t + ∆t) − A(x0 , t) =
∆t +
∆x
∂t
∂x
)
(
)
(
)
(
∂A(x + ∆x, t)∂A(x, t)∂A(x0 , t)
∆t =
∆t +
∆x
∂t
∂t
∂x
となるので両辺を ∆t で割り、左辺の Lagrange 微分を次のように書き換えると ∆t → 0 において() ()
DA(x0 , t)∂A(x, t)∂A(x, t) ∆x
=
+
Dt
∂t
∂x
∆t

(2.4)

となり、極限において

lim

∆x

∆t→0 ∆t=v

が存在し、速度を表す。よってDA∂A=+ v · grad A
Dt∂tと微分が定義できる。これをラグランジュ微分という。
つまり、広域的な共通の ∆t が存在し、∆x にもこの共通因子が含まれるように両者の位相は変化している。
例えば簡単に A = x とするとオイラー微分は

∂x
=0
∂t
となるが、ラグランジュ微分ではDx∂x=+ vx · grad x = vx
Dt∂tとなり、速度の x 成分が得られる。

2.2

連続の式 [54]
流体では質量というより次の密度の方が本質的な役割を担うことが多い。

ρ=

6

m
V

しかし、変形を伴い体積 V が変化する場合、流体の質量は複雑になる。この時、エネルギーを考え、その散逸を考慮することがある。微小体積が平曲面を S(t) として

V (S(t), t)と時間の関数である時、質量密度は次を満たす。
∫
dρ(r, t)dV = 0
dt V (S)
ここで微小領域がこの式を満たすように時間変化することを考えよう。この時、式 2.4 から今、ρ = f として
{
}
∫
∫
d
∂f
f (r, t)dV =dV+ v · grad f + f divv
dt V (t)∂tV (t)が成り立つ。これは一般にヤコビアン J を(

Ja ≡ Ja (X, t) = det

∂xi
∂Xi

)

として運動方程式r : V (0) → V (t), r = r(X, t)を考えるとヤコビアンの定義から dV = d3 r として∫∫
d3 rf (r, t) =V (t)d3 XF (X, t)|Ja (X, t)|V (0)となる関数 F (X, t) をとることができて

d∂f
F (X, t) =+ v · grad fdt∂tとみなせる。

d
dt

∫

{

∫
3

3

d rf (r, t) =
V (t)

d X
V (0)

となる。右辺第 1 項が∫dd3 X|Ja (X, t)| F (X, t)
dt
V (0)

}
d
d
F (X, t)|Ja (X, t)| + F (X, t) |Ja (X, t)|
dt
dt
{

∫

∂f
+ v · grad f
∂t
V (0)
}
{
∫
∂f
3
=
d r
+ v · grad f
∂t
V (t)

}

d3 X|Ja (X, t)|=

これを連続の式という。
そこで、あらためて、先のラグランジュとオイラーの立場でこの連続の式を見てみる。
はじめにラグランジュの立場では図のように t = 0 で領域 ν0 に含まれる質量を M とすると∫M=
ρ0 dadbdc
ν0

図 2.3: ラグランジュの方法 [60] より

7となる。ラグランジュの立場ではこの領域が時間変化して ν になったとすると

∫
M=

(2.5)

ρdxdydzνとなり、この時の体積変化はヤコビアン
∂x
∂a
∂y
∂a
∂z
∂a

∂(x, y, z)=∂(a, b, c)
となり、

∫

∂x
∂b
∂y
∂b
∂z
∂b

∂x
∂c
∂y
∂c
∂z
∂c

∫

∂(x, y, z)ρdxdydz =ρdadbdc =νν0 ∂(a, b, c)∫
ρ0 dadbdc
ν0

従ってρ0 = ρ

∂(x, y, z)∂(a, b, c)が成り立つことがわかる。
次にオイラーの方法では領域は変化しない。図のように法線ベクトルを n として構成粒子の面に向かう速さは−v · n

図 2.4: ラグランジュの方法 [60] よりとなるので領域内の質量は∫
δM = −

ρv · ndSδt
S

となるから

dM
=−
dt
また、式 2.5 の両辺を時間で微分して、

dM=
dtを得る。この関係から

ガウスの法則から∫
ρv · ndS
S

∫

∂ρ
dV
ν ∂t

∫

∫
∂ρ
dV =- ρv·ndS
ν ∂t
S

∫

∂ρ
dV = −ν ∂t∫div(ρv)dV
ν

よって次のオイラー連続の式が得られる。

∂ρ+ div(ρv) = 0∂t8運動量の保存 [54]2.3

オイラーの方法では領域を固定し、内部の物質量の変化を記述するので次に示すように境界から内部に運動量を持った粒子が流入する。
従って、体積力と面積力が両方働くことになる。
空間に固定した任意の閉曲面を S とする。微小体積要素を dV とし、この体積要素の運動量をρvdVとすると、S で囲まれた領域 V (S) に含まれる全運動量は
∫
P=
ρvdV
V (S)

この時間変化が領域 V (S) に含まれる連続体が受ける力となり、

dP= Ftot(2.6)
dtとなる。前節でも考察したようにこの力は体積に比例した体積力と、接触面を通して働く面積力に分けることができる。

2.3.1

体積力

物理現象での一般的な重力や電磁気力等は長距離力と呼ばれ、体積や質量に比例することが多いのでこれを体積力といい、K を連続体の単位体積当たりの力とすると

ρKdVとなるので連続体の体積 V (S) に働く力は

∫
FB =

ρKdV

(2.7)

V (S)

となる。例えば重力が働いている場合は K は重力加速度 g となる。電磁気では磁場 B に対して電場 E が速度 v であれば

K=E+v×Bとなる。これに荷 e が作用すれば力が出てくる。つまり K は場を表している。

2.3.2

面積力

一方連続体は接触面を持ち、内外を区別することができる。これは粒子とみなす場合は考えることができない。面積要素 ds = dxdy とすると xy 平面に平行な ds に働く力は単位ベクトル ei を用いて

F = dxdy {τzx ex + τzy ey + τzz ez }のように書ける。ここで τij は応力テンソルで i が考えている面の法線方向を表し、2 番目の添え字 j がこの面に働く力の成分である。よってまとめて τ で表すと

F = dxdyτ · ezと表現することもある。また、ez が法線ベクトルであることを考えると、ガウスの法則が使えて微小面積要素を dS, その法線ベクトルを n とすれば∫∫dSτ · n =FS =S

dV div τ
V (S)と表すことができる。

9

(2.8)

2.3.3運動方程式

式 2.7,2.8 より、体積力と面積力の合力が次のようになる。
∫
Ftot =dV [ρK + div τ ]V (S)一方で 2.6 から運動量の微分が力なので
∫
∫
Dv
dV ρ
=
dV [ρK + div τ ]
Dt
V
V

(2.9)

であり、微分形では

1
Dv= div τ + K
Dt
ρ(2.10)となる。この式は式 2.1 と似ているが、この式では構成粒子の位置 x は独立していたがラグランジュ微分では全て従属している。

∆t 秒後の時刻 t + ∆t において Lagrange 形式での微小体積がx + ∆x = x(x0 , t + ∆t)となる位置に移動し、Lagrange 形式と Euler 形式でA(x0 , t + ∆t) = A(x + ∆x, t + ∆t)(2.11)∂vi∂vi
1 ∂τki
+ vk
=
+ Ki
∂t
∂xk
ρ ∂xk

(2.12)と表現が異なる。
さらに成分表示ではが得られる。式 2.9 だけでは流体を記述するのに不十分であり、さらにいくつかの構成方程式が必要になる。

2.4

エネルギー保存 [54]
流体を考えると、エネルギー保存則は質点のように簡単ではない。流入と流出の境界面をどうするか、ま、

その境界面で囲まれた体積の変化をどうするかなどいくつか明瞭にしておく必要がある。
まず、質量エネルギー密度 ρ と内部エネルギー密度 ϵ を考えて力学的なエネルギー密度は
(
)
∫
1 2
ρ
|v| + ϵ dV
2
Vとする。一方で体積力と面積力の仕事率が∫∫
ρK · vdV +(τ · n) · vdSVSとかける。マクロな連続体では全ての自由度を取り込むことが難しい。しかし、少数の自由度を除き、多くは熱流として散逸する。この時の熱流を q とし、温度を T 、熱伝導率を κ とおけば

q = −κ grad Tとなる。例えば電磁気の場合のジュールの法則がj = κe E = −κe gradΦ
ただし、電位 Φ は

E = −gradΦ10であり、電流密度 je として

je = κe E = −κe grad Φである。熱流は面を通して流れるので q により、増加するエネルギーは出ていく方向を正として∫∆U = − dSq · n
S

よって

d
dt

(

∫
ρ
V

)
∫
∫
∫
1 2
|v| + ϵ dV =
ρK · vdV +(τ · n) · vdS − − dSq · n2VSSである。ガウスの公式から

D
Dt

(

1
vi vi + ϵ
2

)
=

1 ∂
(τij vi − qi ) + Ki vi
ρ ∂xi

一方で、式 2.12 に vi をかけると

D
Dt

(

1
vi vi
2

)
=

1 ∂τijvj + K i v iρ ∂xiとなる。両式の引き算から連続体内部で発熱がない場合の熱流の式として
(
)
D
1
∂qi
∂vj
ϵ=
−
τij
Dt
ρ
∂xi
∂xi

(2.13)

が得られる。この式は弾性体にも流体にも応用することができる。柔軟な式になっている。
例えば電磁気を例にすると電磁場では式 2.10 は次のように記述できる。

∂g= −∇ · Tem + ρe E + j × B∂t
この時の応力テンソルは

1δij(Tem )ij = ϵ0 Ei Ej +Bi Bj −µ02(1
ϵ0 E k E k +
Bk Bk
µ0

)

となる。興味あることにこれは長距離力である体積力と面積力が混在した形になっている。これは単純に電磁場を連続体に置き換えてはいけないことを示す。
真空中のエネルギー密度 uem は

uem =

1
2

(
ϵ0 Ek Ek +

1
Bk Bk
µ0

)

となる。一方で電磁気学ではポインティングベクトルを用いて∂uem=∇·S−j·E∂t
S = µ10 E × B をポインティングベクトルすると 2.13 は ρϵ = uem であり、τ · v = S とすると
j · E = ∇qとなる。よってこれから第 2 項がジュール熱による散逸項である。これが熱量の勾配に依存することになるから、ここでもジュール熱が電流がマクロな長距離力を反映した体積力の形であるといえる。

11

2.5

歪み [54]
流体にはマクロな視点が入ってきた。そのために流体の変位が場所に依存する場合も考慮できるようにする。これは歪みを持つことになる。しかし、局所的な勾配から積分して得られるということでは Newton 的な集合体である。ある流体量 a を考えこれが位置 x の関数であるとしよう。

∆a = a(x + ∆x) − a(x)がこの流体の変化量である。これは成分で書くとベクトル量がベクトル引数を持つから
(
)
∂ai
∆ai =
∆xj
∂xj
そこで i, j の添え字が 2 つ登場するのでこれを対称、反対称に分けることができる。

∆ai =

)
(
))
( (
1 ∂ai
∂aj
1 ∂ai
∂aj
+
+
−
∆xj
2 ∂xj
∂xi
2 ∂xj
∂xi

反対称成分については回転で表すことができて

(
Ωj =

∂ai
∂aj
−
∂xj
∂xi

)

として、

1
∆ai =
2

(

∂ai
∂aj
−
∂xj
∂xi

)
∆xj =

1
ϵijk Ωj ∆xk
2となり、ベクトル表示でΩ = rot a1∆au = Ω × ∆x2

図 2.5: 回転
これは図のような回転を表している。よって流体の体積には関与しない。例えば a(3 sin(y)−cos(x), 4 cos(x)−2 sin(y)) をべクトル場としてその回転 rot a は図のようになる。

12

図 2.6: ベクトル場とその反対称成分
そこで歪みは残りの対称部分を用いて歪みテンソルを
(
)
1 ∂ai
∂aj
ϵij =
+
2 ∂xj
∂xi

(2.14)

で定義する。流体の微小体積を (∆x1 × ∆x2 × ∆x3 ) とし、ϵ11 は 2 次元のイメージで次の図のようになる。
このように ϵ11 は 1 = x 方向の ∆x1 当たりの伸びを表し、これが ∆a1 になるわけである。このような変化はy, z 方向にも同じであり、これを伸縮歪みという。

図 2.7: 伸縮歪み
次に ϵ12 や ϵ21 のみが 0 でない場合を考える。この時、∆a1 = ϵ12 ∆x2 , ∆a2 = ϵ21 ∆x1
だけが 0 でない値を持つ。はじめに ∆a1 を考えるとこれは下図において微小直方体を平行四辺形 OAB ′ C ′に変形させ、これは ∆x2 の長さに比例する x 方向の向きを持つ変形である。
次に ∆a2 を考えるとこれは下図において微小直方体を平行四辺形 OA”B”C に変形させ、これは ∆x1 の長さに比例する y 方向の向き持つ変形である。結局両方の変化を合わせると微小直方体は平行四辺形 OABC に変化する。このような変形を剪断歪みという。

13

図 2.8: 剪断歪み
この時、角 ∡A”OA = θ とすればtan θ =

∆a1
= ϵ12
∆x2

となり、θ が小さい時はtan θ = θ = ϵ12 = ϵ21とみなせるので頂角の変形が ϵ12 , ϵ21 であることを示す。
また、先と同じように a(3 sin(y) − cos(x), 4 cos(x) − 2 sin(y)) をべクトル場としてその反対称成分は次のようになる。

図 2.9: ベクトル場とその対称成分
これから対称成分を用いて∆as = ϵ∆x∆ai = ϵij ∆xjとかける。
次に歪テンソル ϵij の対角和を考える。微小と直方体の体積を v として

v = ∆x1 ∆x2 ∆x3として次のような変形があったとしよう。

∆x′1 = ∆x1 + ϵ11 ∆x1

14

∆x′2 = ∆x2 + ϵ22 ∆x2∆x′3 = ∆x3 + ϵ33 ∆x3
この時の体積変化を∆v ′ = ∆v + ϵkk ∆vとなるので∆v ′ − ∆v∆vと表すことができる。これは体積歪を表している。注目すべきはこれが対角和で表されているので、任意の座
ϵkk =標系においても体積歪を表すことになり、

ϵkk = 0ならば体積は不変であることになる。この場合は等積歪という。
一般に 3 次元空間ではr (∇ · r) = 3r
∇ · (∇ × V) = 0∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ · A) − ∇2 A
よって体積歪と等積歪を分けて、任意の歪テンソルが次のようにかける。
()
11
ϵij = ϵkk δij + ϵij − ϵkk δij
3
3(2.15)

第 2 項が等積歪で、対角和は常に 0 である。また、静水中であればϵ11 = ϵ00 = ϵ33 = ϵ0 , ϵij = 0が成り立つ。

2.6

応力テンソル
次の図のように領域 A においてその境界面にある点 x に外から働く力を F とする。この x 近傍の微小面積要素を dS 、その単位法線ベクトルを n とする。応力 F は内力になるので n に対して、

F(−n) = −F(n)のように奇関数の性質を持つ。

図 2.10: 応力の定義

15

この F(n) の関数形を決めよう。
流体は連続した流れを持つことが特徴である。ここに力学を考えると、2 つの視点が少なくとも必要で 1
つは連続性が見える巨視的な視点と、もう一つは微小部分に働く力の関係である。これらの視点は流体に限らず、全ての物理的な運動には必要である。
流体の微小体積要素 dV に働く力の１つは長い到達距離を持ち、時間 t と位置 r の関数として次のように表すことができる。

f ′′ (r, t)dV

(2.16)

第 2 は短い到達距離を持ち、運動量を運ぶ。これは各分子運動の相対関係に依存している。そこで、x 面を通過する流れの密度を流線密度として πx (r, t) のように表す。微小断面積ベクトルをその面との法線単位ベク
トル n として位置 r において(2.17)

dS = ndSで表す。流線密度で表される運動量の移動はこの dS を n 方向に流れ出る。単位時間当たりの運動量の変化が力だから、この単位面積当たりの力は応力 (stress) と呼ばれ f ′ で表す。これは n の関数で f ′ (n) のように書くことができる。また、次のように奇関数の性質を持つ。

f ′ (−n) = −f ′ (n)次の図のような微小 4 面体に働く応力の和を考えよう。

図 2.11: 応力
図の手前の面は δS としてこの面の法線単位ベクトルが n である。
各 4 面に働く力の和は各 j 方向の単位ベクトルを ej で表し、4 面体を膨張させる方向を正にとると式 2.17 より次のように表すことができる。

f ′ (n)dS + f ′ (−ex )dSx + f ′ (−ey )dSy + f ′ (−ez )dSz

= f ′ (n)dS − f ′ (ej )ej · ndS=(f ′ (n) − f ′ (ej )nj ) dS

結果は面積に比例しているが、この微小体積に働く外力は体積に比例する。
従って正 4 面体の体積を小さくしていくと外力のほうが早く 0 になり、

δV
→0
δSi
合力は 0 とみなせるので

f ′ (n) − f ′ (ej )nj = 0とすると

fi′ (n) = fi′ (ej )nj
16(2.18)

となる。そこであらたに fi (ej ) を応力テンソル (stress_tensor)τij とし定義する。

fi′ (n) = fi′ (ej )nj = τij nj
各面に働く力は

fi = τij dSj
これで各法線方向の応力が定義できた。こを用いると式 2.18 はI′′(f (n) − f (ej )nj ) dS =
τij dSjSとなる。f ′ (n) の力の合力は結果が示すように面積に比例したもので式 2.16 は体積に比例していた。両者の和を f として

I
fi

=
=

∫
τij dSj +fi′′ dV
S
V
)
∫ (
∂τij
′′
+f
dV
∂xj
V

各面のモーメントの和を mi としてストークスの定理から
I∫mi =ϵijk xj τkl dSl +ϵijk xj Fk dVSV∫∫∂(xj τkl )
=
ϵijk
dV +
ϵijk xj Fk dV
∂xl
∫ V
∫
∫V
∂τkl
=
ϵijk xjdV +ϵijk τkj dV +ϵijk xj Fk dV
∂xl
V
V
V
となる。もしも応力テンソルの回転成分がないならば

ϵijk τkj = 0
この時、

τij = τjiであり、対称テンソルになる。次のように応力テンソル対角和を定義しよう。

τii = τ11 + τ22 + τ33
これはスカラーになる。つまり、回転によって不変である。従って座標変換後も′′′
τii = τ11
+ τ22
+ τ33

特別な外力がない場合ストレステンソルは対称になる特徴がある。これを示しておこう。
次の図のような微小直方体を考える。

図 2.12: [54] より

17

中心軸を x3 軸としてこのまわりの面積力によるこの直方体に働く O 点回りのトルクを M とし、その z 軸(x3 ) 方向の成分を M3 とすると
M3

= (τ21 ∆x2 ∆x3 ) × ∆x1 − (τ12 ∆x1 ∆x3 ) × ∆x2= (τ21 − τ12 ) ∆x1 ∆x2 ∆x3となり、微小体積に回転成分は体積に比例する。

図 2.13: O 点回りのモーメント
一方で体積力によるモーメントは長さの 4 乗に比例するので微小体積が 0 に近づくなら回転成分が 0 になり、応力テンソルは次のように対称テンソルとなる。

τ12 = τ21
これは前節のを利用しても求めることができる。式から
∫
∫
∫
D
D
Dv
dV ρ (r × v) = dV ρ (r × v) = dV ρ(r ×
)
Dt
Dt
Dt

Levi-Civita テンソルを用いると(a × b)i = ϵijk aj bk
だから面積力のつくるモーメントが∫∫dSr × (σ · n)l =dSϵlij xi τkj nk

よってガウスの法則を用いると ∂k xi = δik だから
}
{
∫
∫
∂xi
∂τkj
dSϵlijk xi τkj nk =dV ϵlijk xi
+ τkj
∂xk
∂xk
{
}
∫
∂τkj
=
dV ϵlijk xi
+ τij
∂xk
よって

∫

)] ∫
[
(
Dv
−∇·τ
= dV τ antidV r × ρDt

ここで τ anti は応力テンソルの反対称部分で

τ anti ≡ ϵijk τjk = 0となる。つまり応力テンソルの反対称部分が残らないことを表す。
しかし、こうしたテンソルの対称性は磁性流体では破られている。例えば磁化 M がτ23 − τ32 = ρM118のようにトルクとバランスをとることができる。この時の非対称部分が

0
M3 −M2
ρ

anti
τij
=  −M30
M1 
2
M2 −M10となり、有限に残る。このような連続体をマイクロポーラー連続体という。
従って応力テンソルによって力 F と方向余弦 ni の間には

 


f1
τ11 τ12 τ13
n1

 


 f2  =  τ21 τ22 τ23   n2 

f3

τ31

τ32

τ33

n3

が成り立つ。
静水中において微小立方体を考える。この時の応力テンソルは局所的には対角成分のみで次のようにかける。
ただし、これは各面に対し、負方向に働く、3 方向に等しいとして 1
さらに、式 2.15 より



0

0

0
0

1
3 τii

0

0

1
3 τii

′
τ11

0

0


 0
0

2.6.1



3 τii

′
τ22

0







0 
′
τ33

ヘルツの接触理論

等方的な弾性体の静力学の基本ににヘルツの接触理論がある。gi を重力加速度として式 2.12 の静的な場合
から流体のバランスの式として∂τki+ ρgi = 0
∂xk
から出発する。ここでは gi は任意の体積力、式 2.7 とみなしてもよい。
ストレステンソルは歪テンソルを式 2.14 から ϵij を用いて

τij = λϵkk δij + 2µτijと表すことができる。ただし、λ, µ は Lame の弾性率で Young 率 Y , ポアソン比 σij を用いて

2.7

歪速度
次に流速 u が空間的に一様ではない場合を考えよう。位置 x での u の値と、位置 x+∆x での u の値の差

は対称、反対称成分に分けると

(

∆ui

=
=
=

)
∂ui
∆xj
∂xj
[(
) (
)]
1
∂ui
∂uj
∂ui
∂uj
+
+
−
∆xj
2
∂xj
∂xi
∂xj
∂xi
1
eij ∆xj + ϵijk ωj ∆xk
219と表すことができる。ただし、歪速度テンソルを
(
)
1 ∂ui
∂uj
eij =
+
2 ∂xj
∂xi
で表し、渦度ベクトルを

ωi = ϵijk∂uk∂xjω =rotuである。特に ω = 0 の時は渦無し流と呼ぶ。
これは次の図を用いて次のようにも導くことができる。

図 2.14: [54] より

δx = P⃗Q として点 P を点 P ′ に写す。
x(P ) → x′i (P ′ )この時、

xi + δxi → x′i + δx′iのように変化も写るから

u = P⃗P ′′ui = xi − xiとすると変形後の位置は元の関数を用いて′

x′i = xi (x1, x2 , x3 )とあらわすことができる。よって微小変化の場合は展開できて′δui = δxi − δxi ≃1 ∂ 2 ui
∂ui
δxj +
+ ...
∂xj
2 ∂xj ∂xnとなるから線型近似で

δui =

∂ui
1
δxj =
∂xj
2

[(

∂ui
∂uj
+
∂xj
∂xi
20

)

(
+

∂ui
∂uj
−
∂xj
∂xi

)]
δxj

と変形できる。
そこで

uij =

1
2

(

∂ui
∂uj
+
∂xj
∂xi

)

がどういう物理的な意味を持つか考えよう。

2.8

Orr-Sommerfeld

流れの概念を数学的な扱ったものに Navier-Stoks の方程式がある。速度 u と圧力 p についてu(t, x) = (u1 (t, x), · · · , un (t, x)) , p(t, x)とすると、無次元 Navier-Stoks の方程式 は

ut + (u · ∇)u + ∇p
∇·u

1
△u
R
= 0
=

となる。

熱統計力学

3

ここでは熱統計力学そのものより、次の量子論への橋渡しとしてこの分野を改めて学んでおく。
詳しくはキッテル [87] などの熱統計物理学の参考書をみておくといいだろう。

3.1

多重度関数 [87]
スピンのように上向き、下向きの 2 値をとる状態は次の図のように碁石の並べ方と考えれば 210 = 1024 通

りある。

図 3.1: [87] より
しかし、このすべての場合の数のうち、スピンの差のみを気にしてみよう。

21

スピンを s とすると N = 10 の場合 5 + s が上向き、5 − s が下向きとして、スピンの差は 2s となるから 2sが −10 から +10まであり、次の図のように重複している数がある。

図 3.2: [87] より:スピン差でみた 210 のうちわけ
そこでこの棒グラフの数を表すのを多重度関数 g として定義する。この場合は
5
∑

210 =

g(10, s)s=−5のように全ての s で足し合わせれば全体の数になる。実はこの棒グラフの数字は 2 項係数でもある。

1(x + y)N = xN + N xN −1 y + N (N − 1)xN −2 y 2 + · · · + y N2
この場合に合うように、総数の半分を利用するようにするとN(↑ + ↓)

≡

∑

1
1
N!
) (1
) ↑ 2 N +s ↓ 2 N −s
2N + s ! 2N − s !

(1sのように定義できるので多重度関数は次のように定義される。

N!
N!
) (1
) =
(N
)!
(N↓ )!
N
+
s
!
N
−
s
!
↑
2
2

g(N, s) = ( 1

(3.1)

よって

∑

N/2

(↑ + ↓)

N≡

g(N, s) ↑ 2 N +s ↓ 2 N −s
1

1

(3.2)

s=−N/2

ただし、この時の磁気モーメントは 2sm になることに注意する。
さて、現実の気体等を考えると N の数は非常に大きいので多重度関数を近似で扱うことが多い。式 3.1 の対数をとると(log g(N, s) = log N ! − log

)
(
)
1
1
N + s ! − log
N −s !
2
2

22

N ≫ 1 としてスターリングの近似 (Stirling apploximation) は
1/2

N ! ≃ (2πN )N N exp [−N ]をつかう。

図 3.3: N=5 の場合のスターリングの近似：近似 (青) の方がやや大きい
これを用いると()
1
1
log N↑ ! ≃ log 2π + N↑ +log N↑ − N↑
2
2
(
)
1
1
log N↓ − N↓log N↓ ! ≃ log 2π + N↓ +2
2

さらに N = N↑ + N↓ であるから

log N ! ≃

(
)
1
2π
1
1
log( ) + N↑ + + N↓ +log N − (N↑ + N↓ )2
N22

これから上 2 式を引くと多重度関数の対数は次のようになる。
(
) (
)
(
) (
)
(
)
1
1
N↑
1
N↓
1
− N↑ +
log− N↓ +
log
log g ≃ log
2
2πN
2
N
2
N
さらに x ≪ 1 の時、

1log(1 + x) = x − x2 + · · ·21を用い得ると、N↑ = 2 (N + 2s) だから
(
)
( (
))
(
)
N↑
1
2s
2s
2s 2s2log= log
1+= − log 2 + log 1 +≃ − log 2 +
− 2
N
2
N
N
N
N
同様に、N↓ = 12 (N − 2s) だから

(
log

N↓
N

)

( (
))
(
)
1
2s
2s
2s 2s2= log
1−= − log 2 + log 1 −≃ − log 2 −
− 2
2
N
N
N
N

となるので、これを式 3.3 に代入し、N↑ − N↓ = 2s を用いて
)
(
) (
1
2s
2s2
1
2s2
log g ≃ log+ log 2 + 2 − (N↑ − N↓ ) 2 + N log 2 −
2
2πN
N
N
N
(
)
2
1
2
2s
= log
+ N log 2 −2πNN
よって指数をとると次の有用公式を得る。

()
2s2g(N, s) ≃ g(N, 0) exp −
N
23

(3.3)

ただし、s に依存しない(
g(N, 0) ≃

2
πN

)1/2
2N

である。

図 3.4: 多重度関数 N = 10 の場合

3.2

熱力学恒等式高校で学習したようにボルツマン定数を kB とすると等分配の法則は 1 つの自由度に 12 kB T のエネルギーが振られた。これから指数の肩に次のような無次元の量をつくることができる。

e−E/kB T
同じように量子力学の波動関数は

e−iEt/ℏ
が用いられる。これから

it
1
→
ℏ
kB T
の対応が考えられる。量子力学の確率解釈には未だ疑問点が多くあるが、統計力学ではその処方箋ははっきりしている。
巨視的な量を扱うのでミクロ、マクロの対応から確率的な考え方がマクロ側にたてば必要である。
次の図のように今系 S が状態 s にある時、全系の可能な状態の数がエネルギー U0 − ϵs を持つ熱だめ R の可能な状態の数と考えられる。
この状態数を前節の多重度関数 g を用いて表わすと gR (U0 − ϵs ) である。
この時、熱浴 R を持つ系の S の状態がエネルギー ϵ1 を持つ状態 1 と、エネルギー ϵ2 を持つ状態 2 にある確率の比を考える。
これは状態数の比になると考え、

P (ϵ1 )gR (U0 − ϵ1 )=P (ϵ2 )gR (U0 − ϵ2 )

図 3.5: 同じ熱浴内の状態の区切り方

24もし、熱浴が非常に大きいと、状態数も非常に大きくなる。この時、エントロピーを S として多重度関数は前節の結果からS = kB log gRを満たした。非常に個数が大きい場合に、次のようなエントロピー S の変化をとる指数関数で表すことができたから

P (ϵ1 )gR (U0 − ϵ1 )exp (S(U0 − ϵ1 ))==P (ϵ2 )gR (U0 − ϵ2 )exp (S(U0 − ϵ2 ))(3.4)= exp (S(U0 − ϵ1 ) − S(U0 − ϵ2 ))= exp (∆S)
ϵi は個々のミクロなエネルギーであるが、系という大局的な考え方をとり、そこに共通のスカラーとして温度 τ をもってくるのである。
そこでエントロピーを ϵ で展開すると体積 V 、個数 N を固定して
)
( 2 )
(
1
∂ S
∂S
+ ϵ2
− ···
S(U0 − ϵ) = S(U0 ) − ϵ∂U V,N 2!
∂U 2 V,N
ここでミクロとマクロを結ぶ重要で単純な考え方を利用する。
引数になっている ∆S は 2 次以降を無視すれば、広義の温度 τ の定義
)
(
∂U
τ=
∂S V,N(3.5)

から∆S = − (ϵ1 − ϵ2 ) /τである。（後に τ = kB T とする）
これからボルツマン因子 (Boltzmann_factor)

exp(−ϵs /τ )

(3.6)

を用いて、

P (ϵ1 )
exp (−ϵ1 /τ )=P (ϵ2 )
exp (−ϵ2 /τ )と確率の比が表される。またこれから分配関数 (partition_function) として次の関数を定義できる。

Z(τ ) =∑exp(−ϵs /τ )s

もともと多重度関数の N → ∞ としたことに加えて、分配関数はさらに状態での足し合わせがあることに注意する。
したがって、式 3.4 から∑s

P (ϵs ) =exp(−ϵ1 /τ ) + exp(−ϵ1 /τ ) + · · ·∑= Z/Z = 1
s exp(−ϵs /τ )の確率則を満たす。これから次の有用な関係式

P (ϵs ) =exp(−ϵs /τ )Z

25であり、系の平均エネルギーが

⟨ϵ⟩ =

∑

ϵs P (ϵs /τ )

s

∑
=

(

s ϵs exp(−ϵs /τ )

=τ

Z

2

∂ log Z∂τ)のように分配関数のみで表現できる。これが初等的な内部エネルギーと考えてよい

U = ⟨ϵ⟩ただし、高校で学習したような運動エネルギーの和としてでは無く、各エネルギーの期待値の和になっていることに注意する。

U ̸=

∑

ϵs

s

つまり確率要素を考慮しているところが exp 関数の登場する所以である。
さらに定積の場合の熱容量 (heat_capacith) は(
CV = τ

∂S∂τ)V

で定義され、熱力学の恒等式 (thermodynamic_identity)

τ dS = dU + pdV
を用いると

∂S
∂U
=
∂τ
∂τ
( ∂S )と書くこともできるので τ = kB T から CV = T ∂Tで書き直し、V
CV = ϵ1∂= kB∂τ exp(ϵ/τ ) + 1

(

ϵ

)2

kB T

exp(ϵ/kB T )(exp(ϵ/kB T ) + 1)2となるので量子状態を考えた時、高温ではexp(ϵ/τ )(exp(ϵ/τ ) + 1)

1

2 ∼ 4

とできるのでCV ∼( ϵ )22τ

逆に低温 τ ≪ ϵ の時、exp(ϵ/τ )(exp(ϵ/τ ) + 1)

2 ∼ exp(−ϵ/τ )

となるので

CV ∼

( ϵ )2exp(−ϵ/τ )τとなり、熱容量は温度に依存する。次の図に見るように状態数が小さい時ほど温度依存性が高く、解くに CV
は極大値がある。しかし、状態数が増えると図右のように高温側ではフラットになり、内部エネルギーは直線
になる。

26

図 3.6: 2 状態 (左)、100 状態 (右) の Cv(red), U (blue)
熱力学の恒等式は第一法則をもちいずに次のように示すことができる。
粒子数を一定とするとエントロピー S は U, V だけの関数とみなせるので、その微分が
(
)
(
)
∂S
∂S
dS(U, V ) =
dU +
dV
∂U V
∂V U

(3.7)

と表すことができる。エントロピーの変化がないような変化を δV, δU とした時、
)
(
)
(
∂S
∂S
δU +
δV
0=
∂U V
∂V U

(
0=

∂S
∂U

(

) (

δU
δV

V

δU
δV

)

+
S=Const

(
=−

(

)

∂U
∂S

)(

∂S
∂V

∂S
∂V

)
U

)
U

ここで圧力と温度の定義から圧縮する時の加える圧力を正として
(
)
)
(
∂U
δU
= −p,
=τ
δV S=Const
∂S V
を用いると

(
p=τ

よって 3.7 は

dS =

∂S
∂V

)
U

1
p
dU + dVττとなるので次の熱力学の恒等式が導けた。

τ dS = dU + pdV

3.3

自由エネルギー高校で平衡状態の決定に状態数が最大に、エネルギーが最小になることが決めてであると学習した人も多いだろう。この決定を担うのはヘルムホルツの自由エネルギー (Helmholtz_free_energy) と呼ばれる示量変数 Fである。

F ≡ U − τS

(3.8)

熱浴 R と接している系の体積に変化がないならばこの F は最小値をとるように平衡状態が決まる。準静的
等温変化は可逆であったから

dFs = dU − τ dSs

27

ところが温度の定義式から

1
=
τ

(

∂S
∂U

)
V

だったので体積が一定なら dU = τ dS だから明らかに dFs = 0 である。さらにエントロピーを考えるとこの極値は極小値になるはずである。また、一般には

dF = dU − τ dS − Sdτであるから熱力学の恒等式から

dF = −Sdτ − pdVと書き直すことができるので F (τ, V ) とすると
(
)
(
)
∂F
∂F
−S =
, −p =
∂τ V
∂V τ

(3.9)

と書ける。後者は等温変化において圧力の別定義
(
)
(
)
∂U
∂S
p=−
+τ
∂V τ
∂V τ

( ∂U )を与える。これは多くの固体においては − ∂Vの項が優勢であり、気体や弾性高分子では状態数の変化がτ( ∂S )
大きいので τ ∂V τ の項が優勢であることをしめし、エントロピーの役割を具現している。
1 つの熱浴の中で一定体積であればヘルムホルツの自由エネルギーが最小値をとるところで平衡温度が決まった。温度 τ , エントロピー S として F = U − τ S から等積では S = −(∂F/∂τ )V として()∂F
F =U +τ∂τ V(3.10)という微分方程式が得られる。この解をある正値関数 Z を用いて

F = −τ log Z(3.11)

とすると

(

∂F
∂τ

)
=

だから

−τ ∂Z
− log ZZ ∂τ(F =U −ττ ∂Z
log Z +Z ∂τU =−

τ 2 ∂ZZ ∂τ

が導ける。Z を分配関数とみなした時、Z(τ ) =∑exp(−ϵs /τ )s

exp (−ϵs /τ )Z
で確率を与えることができたから系の平均エネルギーがP (ϵs ) =

⟨ϵ⟩ =
であり、

U=

∑

ϵs P (ϵs ) = U∑ ϵs exp(−ϵs /τ )Z
28

(3.12))(3.13)

また、式 3.12 から F/τ の商を考えると F/τ = − log Z と 1 変数になるので式 3.13 から(∂ (F/τ )
∂τ

)
=−
V

∂ log Z
1 ∂Z=−
= −U/τ 2∂τZ ∂τ

U = −τ 2(3.14)∂ (F/τ )∂τとなる。
ここで式 3.11 以外で微分方程式を満足するものとして、ゲージ変換でやったように

F = −τ log Z + ατとしても式 3.10 を満足する。しかし、温度が低く、g0 個の最低エネルギーのみが占拠されている場合(3.15)

S = log g0となる必要がある。これは α = 0 の時、log Z = log g0 − ϵ0 /τ
とすると

S=−

∂F
∂(τ log Z + ατ )∂(τ log g0 − ϵ0 + ατ )
→
=
∂τ
∂τ
∂τ

これは α = 0 の時のみ

S = log g0が満たされる。したがって自由エネルギーはよく知られた F = U − T S よりも F = −τ log Z が本質的である。
ただし、分配関数の式 Z(τ ) =∑s exp(−ϵs /τ ) を用いると

F == −τ log Z = −τ logとなる。この時の log が

∑

(
∑

)
exp (ϵs /τ )sの外にあることが極めて重要だということがわかる。これが内側にある時はϵ1 + ϵ2 + · · · ϵsを表し、重みが全くかからない。単純にこのエネルギーを数列とすると

1
s(s + 1)
2

Es = 1 + 2 + · · · s =これは 2 次関数である。

図 3.7: y =

29

∑s

i=1 i

log が∑の外にある場合は(log (exp(1) + · · · exp(s)) = log

e (es − 1)e−1)となるのでグラフにすると下図のようになる。

図 3.8: y = log(e(es −1)
e−1

)

のグラフ

つまり微視的領域のエネルギーは個々に足せない。
後に粗視化を扱うが平衡温度 τ = kB T で見る場合は統計的な扱いを先にする必要がある。
次に平均エネルギーを U ≡ ⟨ϵ⟩ として 2 乗平均との差

⟨

⟩ ⟨ ⟩
2
(ϵ − ⟨ϵ⟩)2 = ϵ2 − ⟨ϵ⟩を考えると β = 1/τ として(
dβ = −1τ2)dτとなるので式 3.13 から分配関数を β で微分するとエネルギーの和 (符号は負) が出てくることをを利用するとエネルギーの平均と、2 乗平均が次の関係を満たすことがわかる。

(

)
−1 ∂Z
Z ∂β V
(
)
⟨ 2⟩
1 ∂2Z
ϵ =
Z ∂β 2 V
⟨ϵ⟩ =

となるので

⟨ 2⟩
1
1 ∂2Z
2
− 2
ϵ − ⟨ϵ⟩ =
2
Z ∂β
Z

(

∂Z
∂β

)2

∂
=
∂β

(

1 ∂Z
Z ∂β

)
=−

∂U
∂β

であり定積変化において極めて有用な関係式⟨ 2⟩2
ϵ − ⟨ϵ⟩ =

(
−

∂U
∂β

)

(
= τ2

V

∂U
∂τ

)
V

が得られる。
固体のように体積変化が無視できる場合は自由エネルギーでも Gibbs の自由エネルギーとよばれる

G ≡ U − TS + PVを定義しておくと便利である。

dU = T dS − P dV
30

であったから、これを代入し、

dG = dU − T dS − SdT + P dV + V dP
= V dP − SdTとなるのでヘルムホルツ自由エネルギー F が (V, T ) の特性関数だったのに対し、G は (P, T ) を特性関数に持つ。よって

(
V =

∂G
∂P

)

(
, S=

T

∂G
∂T

)
P

と表すことができる。

3.4

簡単な例

分配関数が決まれば熱力学的な諸量は同じ処方箋から簡単に得られる。これは極めて強力な方法である。いくつかの重要な例を紹介しておこう。

• 理想気体理想気体では相互作用を無視するので N 個の粒子は全て同種であると考えると、区別できる場合の分配関数

Z1 に対して

Z1N
N!
とかけることから N が大きい時の近似 log N ! = N log N − N を用いてZN =F = −τ log ZN = −τ N log Z1 + τ log N !
= −τ N log Z1 + τ N log N − τ N
問題は Z1 の中身であるが理想気体の場合ある濃度を表す温度の関数 nQ を用いて

Z1 = nQ V
とおく、つまり Z1 の大きさが単位粒子数を表すと考える。次節で nQ については詳しく求める。
これから自由エネルギーがF = −τ N log(nQ V ) + τ N log N − τ Nである。従って log(kx) の微分が k に依存しないことを利用して圧力が
(
)
∂F
τN
p=−
=
∂V τ
V
と求まる。
これは理想気体の状態方程式である。

• 2 状態 (0,e)
はじめにエネルギーが 0 と ϵ の 2 状態の分配関数 S と自由エネルギー F を求めてみよう。

Z = exp(−0/τ ) + exp(−ϵ/τ ) = 1 + exp(−ϵ/τ )となるので自由エネルギーはF = −τ log Z = −τ log (1 + exp(−ϵ/τ ))31(3.16)

である。さらに内部エネルギー U はU=∑ 0 × exp(−0/τ ) + ϵ × exp(−ϵ/τ )exp(−0/τ ) + exp(−ϵ/τ )exp (−ϵ/τ )=ϵ
1 + exp(−ϵ/τ )さらにエントロピー S は∂F∂=
τ log (1 + exp(−ϵ/τ ))∂τ∂τ
ϵ exp (−ϵ/τ )= log (1 + exp(−ϵ/τ )) +
τ 1 + exp(−ϵ/τ )−F + U
=
τ

S=−

となる。

• 2 状態 (−mB, +mB)
次に 1 次元で磁化モーメント m, −m が磁場 B 中にあるような場合を考えよう。これを分極モーメントとして物質の中の全モーメントを足し合わせればその物質の磁荷 M が決まる。
分配関数は

Z = exp(−mB/τ ) + exp(mB/τ ) = 2 cosh (mB/τ )よって磁化モーメントの熱平均がm × exp(−mB/τ ) − m × exp(mB/τ )exp(−mB/τ ) + exp(mB/τ )2m sinh (mB/τ )== m tanh(mB/τ )2 cosh (mB/τ )⟨m⟩ =よって分極数 n とすればM = mn tanh(mB/τ )また磁気感受率 χ は

dM
nm2
=
sec h2 (mB/τ )dB
τと求めることができる。さらに自由エネルギーはχ=F = −τ log Z = −τ log (2 cosh (mB/τ ))ここでパラメタ x ≡ M/nm を定義すると

sec h2 x = 1 − tanh2 x√
1cosh x =1 − tanh2 xを用いると自由エネルギーは簡単になり
( √
)
(
)
(
)
1
τ
4
τ 1 − x2
F = −τ log 2= − log=22
2
4
1 − tanh2 (mB/τ )1 − (M/nm)
また、高温域で mB ≪ τ であれば sec h2 x → 1 だから

χ=

nm2
τ

32

であるが

( √
F = −τ log 2

1
1 − tanh2 (mB/τ ))は特に mB ∼ τ 付近で繊細な取扱いになる。

B を固定して、m = 1, 2 の場合の Z, F, χ の温度変化の様子を簡単にグラフにすると次のようになる。青がm = 1、橙が m = 2

図 3.9: 分配関数の温度変化

図 3.10: 自由エネルギーの温度変化

図 3.11: 感受率の温度変化• 1 次元調和振動子 (sℏω)
最低エネルギーは s = 0 で ϵs = sℏω で与えられる 1 次元の系を考えよう。この時の分配関数は無限等比級数になれば簡単に求まり、

Z=

∞
∑

exp(−sℏω) =

s=0

33

1
1 − exp (−ℏω/τ )したがって自由エネルギーはF = −τ log Z = τ log (1 − exp(−ℏω/τ ))よってエントロピーは

∂F
∂τ
∂
=−
(τ log (1 − exp(−ℏω/τ )))∂τ()ℏω exp(−ℏω/τ ) exp(ℏω/τ )=τ − 2− log (1 − exp(−ℏω/τ ))τ
1 − exp(ℏω/τ )ℏω/τ
=− log (1 − exp(−ℏω/τ ))exp(ℏω/τ ) − 1

S=−

3.5

量子濃度

ここで区別できる場合の分配関数 Z1 を求める課題を考えよう。
量子論による理想気体の立方体箱モデルから考えてみよう。
質量 M の 1 自由粒子の波動方程式をℏ2 2∇ ϕ = ϵϕ2Mとすると、境界条件から ϕx (L) = ϕy (L) = ϕz (L) = 0 を満たすから−

ϕ = A sin (nx πx/L) sin (ny πy/L) sin (nx πz/L)とおけた。よってエネルギー固有値はϵn =)ℏ2 ( π )2 ( 2nx + n2y + n2z
2M L

よってスピンの構造を無視すると

Z1 =

∑∑∑
nx

ny

(
)
exp −ℏ2 π 2 (n2x + n2y + n2z )/2M L2 · τ(3.17)nz

隣接するエネルギーが連続とみなせるとして積分で置き換えると式 3.6 から無次元の量をつくると

α2 = ℏ2 π 2 /(2M L2 · τ )として、等方性を利用して、x = αnx で変数変換するとガウス積分になるので

∫ ∞
Z1 =

∫ ∞
dnx

0

(∫ ∞

∫ ∞
dny

0

0

dnx exp=()
dnz exp −α(n2x + n2y + n2z )(−α2 n2x

)

)3

0
3/2

=

1
= 3
α

(∫ ∞

(

dx exp −x

2

)

)3

0

π
8α3

と分配関数が求まる。これを濃度 n = 1/V を用いて表わすと

Z1 =
ただし、

V
3/2
(2πℏ2 /M τ )≡ nQ V = nQ /n)3/2(
nQ ≡ M τ /2πℏ234(3.18)(3.19)

は量子濃度 (quantum concentration) と呼ばれる。

1 辺の長さがド・ブロイ波長の熱平均に等しい長さの立方体の中に原子 1 個が存在する濃度になる。
量子濃度が古典的な理論に登場する。
これは位相空間の基本単位に相当する。これは次節の位相空間の疎視化と関係している。
また、量子論では可干渉性の問題にもなり、後章の観測の問題に関係する。
具体的に量子濃度は室温程度のヘリウムで nQ ∼ 0.8 × 1023 m−3 程度である。
熱的な平均をとれば2

M ⟨v⟩ ∼ τ = kB T
であり、等分配則が成り立つ。

n≪1nQが成り立てばこの気体は十分に希薄で相互作用のない古典的な理想気体と考えることができる。しかし

n≥1
nQの時は粒子間の相互作用は無視できないと考える。
箱の中の熱平均エネルギーは式 3.14 から∑
ϵn exp (−ϵn /τ )∂ log Z1
U= n
= τ2
Z1
∂τ
である。式 3.18 から

3log Z1 = − log
2(3.20)( )1+Cτとなる。単原子理想気体では τ に関係ない C を落として式 3.20 から

U=

3
τ
2

となり、原子 1 個あたりの内部エネルギーが出てくる。
自由粒子の軌道を占める占有率の熱平均からはZ1−1 exp(−ϵn τ ) < Z1−1 = n/nQという不等式が得られるからヘリウム原子の場合占有率がn= 4 × 10−6nQが上限である。古典領域であるためには占有率は ≪ 1 でないといけない。
この Z1 には量子概念 nQ が含まれているが古典的にはエネルギー等分配の法則により運動量積分から求められる。
式 3.17 に対応して、

∫∫∫
Z1 ∝

[ (
)
]
exp − p2x + p2y + p2z /2M τ dpx dpy dpz

であり、次の関係で結ばれている、

px = ℏ (nx π/L) ≡ ℏk
これは λ = 2πk として境界条件

nλ = 2Lである。また、さらに高温になってハミルトニアンが並進以外のエネルギーを持てれば分配関数は変化していく。これは次のように古典的な実験で定積比熱の温度変化とし実験的に知られている。

35

図 3.12: 単原子 He の定積比熱の温度変化

3.6

分配関数の粗視化

ここでは疎視化された分配関数を F 、粗視化されていない分配関数を f で表すことにする。
疎視化される位相体積を δΓ とする。すると

1
F =
AδF

∫
f dΓ
δF

例えば位相空間を運動量・位置の体積で考えると pj ≤ p ≤ pj+1 , xi ≤ x ≤ xi+1 としてF (p, x) =1∆p∆x

∫ pj +∆p ∫ xi +∆xf (p̄, x̄)dp̄dx̄
pjxi

この時、粗視化された分布関数に対してエントロピー S(F ) がS(F ) = −kB F log F dpdx
で与えられる。同じように厳密な分布関数 f についてS(f ) = −kB f log f dpdxとなり、時間変化は)∫ (1
f˙ log f + f f˙ dpdxf∫
= −kB (log f + 1) f˙ dpdx

dS(f )= −kB
dtとなるがリュービル方程式が成り立つので

∂f
∂f
∂f
df
=
+
ṗ +
ṗ = 0dt∂t∂p∂p
これを代入すると

dS(f )
= −kB
dt

(

∫
(log f + 1)

=0

36

∂f
∂f
∂f
+
ṗ +
ṗ
∂t
∂p
∂p

)
dpdx

である。リュービルの方程式が成り立つ時、エントロピー増大の法則は成立しない。
リュービルの方程式が成りたたない時、粒子間の相互作用としては 2 粒子の衝突を考えるのみとし、dΩ は衝突の微分断面積とすると、速度分布関数 f は t, r, v の関数だから
∫∫
∂f
∂f
F ∂f
+v·
+
·
=
(f1′ f2′ − f1 f2 ) (v1 − v2 )dΩdv1
∂t
∂r
m ∂v

(3.21)となりこれがボルツマン方程式である。

∫∫
H(t) =

f log f dpdxとし、2 つの系がある場合を考える。両辺に log f をかけ、時間微分すると。dp′1 dp′2 = (p1 − p2 )dΩ として
∫∫∫∫
1
dH
=−
(log(f1′ f2′ ) − log(f1 f2 )) (f1′ f2′ − f1 f2 ) (p1 − p2 )dΩdp1 dp2 dx
dt4とかけるが被積分関数(log(f1′ f2′ ) − log(f1 f2 )) (f1′ f2′ − f1 f2 ) ≥ 0とおけるのでdH≤0dtであることを意味し、これをボルツマンの H 定理という。

3.7

化学ポテンシャル

化学ポテンシャルは熱的に接している系にエネルギーのみではなく、粒子の交換が起きる場合に登場する。
このような接触を拡散的接触 (diﬀuive_contact) という。
温度が熱の流れを表現できたように粒子のながれを表現するのが化学ポテンシャル (chemical_potential)µである。
例えば蓄電池の端点における電子の化学ポテンシャルは他の端点より高く、電子は高い化学ポテンシャルから低い化学ポテンシャルに流れる。ここで全粒子数(3.22)

N = N1 + N2が保存される系を考える。全自由エネルギーはF = F1 + F2 = U1 + U2 − τ (S1 + S2 )である。温度が一定であれば全体について体積が一定でれば平衡になる条件は

1 つの熱浴において下図のような粒子の流れを決めると
(
dF =

∂F1
∂N1

)

(
dN1 +

τ

∂F2
∂N2

)
dN2 = 0τとなることである。ところが 3.22 があるので dN1 = −dN2 である。よって

((
dF =

∂F1
∂N1

)

(
−

τ

∂F2
∂N2

) )
dN1 = 0τが成り立つ。これは粒子数に流れがあり dN1 ̸= 0 であっても
(
)
(
)
∂F1
∂F2
=
∂N1 τ
∂N2 τ

37

が満たされれば平衡の条件となる。そこで化学ポテンシャルとして次を定義する。
()∂Fµ(τ, V, N ) ≡∂N τ,V

図 3.13: 単一熱浴と熱交換しながら粒子数が変化する
したがって µ1 > µ2 ならば dN1 が負の時 (dN2 は正) に dF が負になり粒子が右から左に移動する時に相当する。µ1 = µ2 の時が拡散的平衡である。
留意すべきは粒子数を扱うので厳密には微分の定義ではなく次の差分で定義しないといけない。

µ(τ, V, N ) ≡ F (τ, V, N ) − F (τ, V, N − 1)
温度と化学ポテンシャルが等しければ熱的平衡と拡散的平衡が同時に起きる。

µ1 = µ2 , τ1 = τ2
粒子数が十分大きい通常の実験では化学ポテンシャルは前節で自由エネルギーを微分して得ることができる。
この時、その粒子 Nj で微分するときは j 以外の粒子は一定に保つということにしないといけない。
粒子数が保存されない場合はエントロピーが変化するのでその関係をここで明らかにしておく。
エントロピー S が U, V, N の関数とした時
(
(
(
)
)
)
∂S
∂S
∂S
dS =
dU +
dV +
dN
∂U V,N∂V U,N∂N U,Vと一般的にかける。ここでは体積は一定 dV = 0、さらにうまく調整して等温変化dτ = 0となるように dS, dU と dN との比を決めればこの dτ = 0 を一定にすることができるのでこのような変化をδ で表すと

(

)
(
)
(
) (
)
δS
∂S
δU
∂S
δN
=
+
δN τ
∂U N δN∂N U δN τ( ∂S )
体積も一定であるとすれば ∂U = 1/τ なので両辺に τ をかけると
(
)
(
)
(
)
∂S
∂U
∂S
τ
=
+τ
∂N τ,V∂N τ,V∂N U,V
化学ポテンシャルの定義から

(
µ≡

∂F
∂N

)

(
≡

τ,V

∂U
∂N

)

(
−τ

τ,V

∂S
∂N

)
τ,V

であったので上の式と比較することでµ = −τ (∂S/∂N )U,V
38

(3.23)

であり、単位粒子にどれだけの熱量が運ばれるかを表している。
化学ポテンシャルは濃度が増すと大きくなり、大きい方から小さい方に自然に流れる。
これは熱と同じように扱うことができるが熱量とは独立している。通常では n/nQ ≪ 1 であり、この古典的な濃度において µ は負であることに注意する。

3.7.1

内部化学ポテンシャル

半導体の p − n 接合のようにポテンシャルに飛びがある場合の電子の流れは化学ポテンシャルが重要な役目をする。今、系 S1, S2 が同じ温度にあり、粒子は交換するがまだ、拡散的平衡には達していないとする。初期
条件としてµ2 > µ 1であり、初期の非平衡化学ポテンシャルの差を∆µ = µ2 − µ1とする。
ここで系 S1 の各粒子が丁度 ∆µ だけポテンシャルエネルギーが上がるように新たにエネルギーの差を当てる。例えば電荷 q の荷電粒子であれば電位差 ∆V を与えて

q∆V = q(V2 − V1 ) = ∆µとなるようにすればいい。また、質量 m をもっていれば

mgh = ∆µとなる高さの差 h を与えればよい。ここでは図のように電位差を与えて飛びをつくるとしよう。

図 3.14: 熱浴を共有した化学ポテンシャルの異なる系
これにより、系 S1 の自由エネルギーは初期値よりも N1 ∆µ = N1 q∆V だけ上がる。
したがって最終的に系 S1 の化学ポテンシャルは系 S2 の化学ポテンシャルに等しくなる。

µ1 (f inal) = µ1 (initial) + ∆µ(3.24)= µ1 (initial) + µ2 (initial) − µ1 (initial)= µ2 (initial) = µ2 (f inal)
この経過をポテンシャル障壁 q∆V が 2 つの系 S1, S2 を拡散的平衡に導いたという。
逆に化学ポテンシャルの差は 2 つの系を拡散的平衡に導くポテンシャル障壁に等しい。
化学ポテンシャルは相対的でその差が意味を持つことにも留意がいる。例えば理想気体の場合は運動エネル
ギーが 0 になるとこをを化学ポテンシャルの基準に選ぶ。外部ポテンシャルの飛びがある場合に内部と外部を39

分けて全化学ポテンシャルを考える。これは力学、電磁気等のポテンシャル差になる。この時全化学ポテンシャ
ルµはµ = µext + µiniとなっている時には拡散的平衡が実現すると ∆µ = 0 となるので∆µext = −∆iniが成り立つ。

3.7.2

理想気体の場合

先の式 3.16 から

F = −τ (N log Z1 − log N !)よって化学ポテンシャルの定義から
(
)
(
)
∂F
d
µ=
= −τ log Z1 −log N !
∂N τ,VdN
しかし、本来差分であるべきだったからµ = F (N ) − F (N − 1)
= −τ (N log Z1 − log N !) + τ ((N − 1) log Z1 − log(N − 1)!)= τ (log N − log Z1 )= τ log (N/Z1 ) = τ log (N/(nQ V )) = τ log (n/nQ )となる。したがって温度を係数に持つ濃度の対数関数である。1 つの熱浴内であれば運動エネルギー ϵ が増えれば、その状態数をとる数は e−ϵ/τ に比例するので指数関数的に減少する。
ところが粒子数が変化する化学ポテンシャル µ を加えるとこれに歯止めがかかり次節で導く結果、e−(ϵ−µ)/τ
に状態数の数は依存するようになる。運動エネルギーと反対に、化学ポテンシャルが大きいと濃度は大きく、状態の数も大きくなる。

3.7.3

高度差と大気圧

簡単な外部ポテンシャルの飛びのある例として高度差による大気圧を考えてみよう。ただし、温度は一定とする。ポテンシャルエネルギーの 0 点を決める必要があり、これを地表にとる。

図 3.15: 等温で熱浴は１つ、ポテンシャルにより拡散的平衡も保たれる

40

m を粒子の質量、h を高さとして、全化学ポテンシャルは式 3.24 からµ(initial) = τ log (n/nQ ) + mgh = Constとおける。最終的に平衡状態になれば全化学ポテンシャルは高さに依存しなくなるので

τ log (n(h)/nQ ) + mgh = τ log (n(0)/nQ )
(
)
n(h)
τ log
= −mghn(0)となり、n(h) = n(0) exp (−mgh/τ )(3.25)と求まる。理想気体の場合、濃度と圧力は比例関係にあるのでp(h) = p(0) exp(−mgh/τ ) = p(0) exp(−h/hC )とおき、これを大気圧方程式 (barometric pressure_equiation) という。
ただし、

hC = τ /M g
で大気圧は地表の e 分の 1(0.37 倍) になる特性高度を表す。
これから分子量の大きな重い気体ほど特性高度が低くなることがわかる。

3.7.4

磁性体の懸濁現象

次の例として磁気モーメント m を持つ N 個の同種粒子を考える。簡単のため上向き ↑、下向き ↓ の 2 種類のみを考え、ポテンシャルエネルギーはそれぞれ −mB, +mB, の 2 種類しかないとする。
これを 2 種類の同種粒子として理想気体モデルで近似しよう。
内部化学ポテンシャルは式 3.24 からµinit (↑) = τ log (n↑ /nQ )µinit (↓) = τ log (n↓ /nQ )µtot (↑) = τ log (n↑ /nQ ) − mB

µtot (↓) = τ log (n↓ /nQ ) + mB

(3.26)となり、全化学ポテンシャルは系内の磁場 B が変化すれば、濃度 n↑ が場所によって変化することがわかる。
もし、拡散的平衡になればµtot (↑) = Const = µini (↓)となり、この時、式 3.26 から 3.25 と同様にしてn↑ (B) =1n(0) exp (mB/τ )2n↓ (B) =1n(0) exp (−mB/τ )241ただし、n(0) は磁場 B = 0 における全農度

n(0) = n↓ + n↑である。よって全濃度がn(B) = n↑ (B) + n↓ (B) =1n(0) (exp (mB/τ ) + exp (−mB/τ ))2= n(0) cosh (mB/τ )()
m2 B 2∼ n(0) 1 +
+ ···
2τ 2
この結果は磁気モーメントをもつ粒子が磁場の大きいところに集まりやすい傾向があることを表す。これを懸濁現象 (suspention) という。このように理想気体に限らず、粒子が相互作用を行わない系であれば微視的から巨視的までこの関係は利用できる。
ただし量子濃度より、希薄か濃いかは定数の値に影響する。

µini = τ log n + Const(3.27)

Const = −τ log nQ

3.8

ギブス因子とボルツマン因子

前節でボルツマン因子により温度 τ の 1 つの熱浴と接している系に対し、系のエネルギーが ϵ1 , ϵ2 となる確
率がP (ϵ1 )exp(−ϵ1 /τ )=P (ϵ2 )exp(−ϵ2 /τ )となることを見た。
そこでさらに拡散現象がある場合のモデルに拡大することを考えよう。
図のように非常に大きな熱浴 R と、系 S を絶縁層の中に考える。

図 3.16: 系が左図では系 S が量子状態 1 にあり、熱浴の許される状態の数が g(N0 − N1 , ϵ0 − ϵ1 ) で決まる。
右図では系 S が量子状態 2 にあるので熱浴のゆるされる状態の数が g(N0 − N2 , ϵ0 − ϵ2 ) になる。

この時、系の温度は熱浴の温度と等しく、系の化学ポテンシャルも熱浴の化学ポテンシャルと等しい。
系が N 個の粒子を持ち、状態 s にある時の確率を P (N, ϵs ) と書くことにする。この系 s の状態を指定すると、熱浴の許される状態数が全体 (R + S) の許される状態数に等しい。つまり

g(R + S) = g(R) × 1
この時、系の確率は熱浴の状態数に比例するから

P (N, ϵs ) ∝ g(N0 − N, ϵ0 − ϵs )42となる。このとき g は熱浴をみるたけで求まることに留意する。従って上図のように s1 , s2 の状態を考えると、エントロピーの定義から

P (N1 , ϵ1 )g(N0 − N1 , ϵ0 − ϵ1 )exp (S(N0 − N1 , ϵ0 − ϵ1 ))==P (N2 , ϵ2 )g(N0 − N2 , ϵ0 − ϵ2 )exp (S(N0 − N2 , ϵ0 − ϵ2 ))= exp(∆S)となり、エントロピーの差 ∆S で書ける。ここで級数展開を用いて 1 次までとると
(
)
(
)
∂S
∂S
S(N0 − N, ϵ0 − ϵ) = S(N0 , ϵ0 ) − N−ϵ∂N0 ϵ0∂ϵ0 N0となるから(∆S = −(N1 − N2 )

∂S
∂N0

)

(
− (ϵ1 − ϵ2 )

ϵ0

∂S
∂ϵ0

)
N0

ところが化学ポテンシャルの定義 3.23, 温度の定義 3.5 から
(
)
(
)
∂S
∂U
µ = −τ
, τ=
∂N U
∂S N
(
)
(
)
∂S
µ
∂S
1
=− ,
=
∂N0 ϵ0τ∂ϵ0τとかけるから

(N1 − N2 )µ ϵ1 − ϵ2
−
τ
τ

∆S =
が導ける。よってP (N1 , ϵ1 )exp ((N1 µ − ϵ1 )/τ )=P (N2 , ϵ2 )exp ((N2 µ, −ϵ2 )/τ )となりこれをギブス因子 (Gibbs factor) という。
さらにこの因子を用いて作られる分配関数はグランド分配関数 (grand partition function)) とよばれZG (µ, τ ) =

∞ ∑
∑
N =0

≡

∑

exp [(N µ − ϵs )/τ ]s

exp [(N µ − ϵs )/τ ]ASMで表される。記号 ASM は全ての粒子についての状態和 (All States of the system for all Numbers of particles)を表す。この ZG を用いて状態のとる確率がP (N1 , ϵ1 ) =であり、次の確率則を満たしている。

∑

exp(N1 µ − ϵ1 )/τ
ZG

P (N, ϵs ) = 1

ASM

これによって、熱浴と熱的、拡散的に接触している系の物理諸量の平均値を知ることができるようになる。
例えば N 個の粒子からなる、量子状態 s の X の値が X(N, s) とすると、この熱平均値は∑∑X(N, s) exp [(N µ − ϵs )/τ ]⟨X⟩ =X(N, s)P (N, ϵs ) = ASN
ZG
ASM

である。また、拡散的に接しているので系の粒子数の熱平均は∑⟨N ⟩ =ASN N exp [(N µ − ϵs )/τ ]ZG
43であるが、これは微分を用いて

τ ∂ZG∂ log ZG
=τ
ZG ∂µ
∂µ

⟨N ⟩ =とかける。今後のためにも次の絶対活動度 (absoute activity) を定義すると便利である。

λ = exp(µ/τ )これを用いるとギプス和は

ZG =

∑

λN exp(−ϵs /τ )ASNと表すことができる。また粒子数も⟨N ⟩ = λ∂log ZG∂λであり、系のエネルギーの平均も β = 1/τ を用いて∑
ϵs exp [(N µ − ϵs )/τ ]U ≡ ⟨ϵ⟩ ASN
ZGと書くとこれも λ を用いて⟨N µ − ϵ⟩ = ⟨N ⟩ µ − U =

1 ∂ZG
∂
=
log ZG
ZG ∂β
∂β

(

(

となるから

U=

µ ∂
∂
−
β ∂µ ∂β)log ZG =∂∂−τµ∂µ ∂(1/τ ))log ZGである。

3.9

半古典同種粒子モデル

N 個の異なる箱に１つの原子を入れるモデルを考えよう。全分配関数 ZN は 1 個の分配関数 Z1 の積とみなせるから

Z1 (1)Z1 (2) · · · Z1 (N )それぞれの軌道を α,β, γ · · · として系の全エネルギーは

ϵα (1) + ϵβ (2) + · · · ϵζ (N )である。ここで 1 個の箱の中に異なる N 個の相互作用しない原子を考えてZN = Zα (1)Zβ (2) · · · Zζ (N )とおける。もし、全て質量が等しい原子であれば

ZN = Z1Nとかけるが同種粒子の場合は区別ができないので次のように補正する。

1 N
1
N
Z =
(nQ V )
N! 1
N!
この因子 1/N ! は希薄な理想気体近似で実験的に確認されている。
ZN =

44

理想気体の内部エネルギーは式から原子 1 個について()∂ log ZN
3
2
U =τ
= τ
∂τ
2
となった。ヘルムホルツの自由エネルギーはF = −τ log ZN = −τ log Z1N + τ log N !
ここで十分 N が大きいとしてスターリングの公式からlog N ! ∼ N log N − N
よって式 3.19 を使うと

F = −τ log Z1N + τ N log N − τ N()3/2= −τ N log[ M τ /2πℏ2
V ] + τ N log N − τ Nが得られる。これから圧力は

(
p=−

∂F
∂V

(3.28))= N τ /V
τが得られこれは理想気体の状態方程式

pV = N τである。さらにエントロピー S は
(
)
(
)3/2
3
∂F
= N log[ M τ /2πℏ2
V ] + N − N log N + N
S=−
∂τ V
2
となり濃度 n ≡ N/V の関数であらわせば

5
S = N [log(nQ /n) + ]2(3.29)が得られ、これはよく実験と一致し、サックール・テトロード方程式 (Sackur-Tetrode_equation) と呼ばれる。
興味あることにこの式には古典的な理想気体であっても ℏ を含む量子概念になっている。

3.10

混合粒子モデル

ボーズ粒子とフェルミ粒子が共に存在する混合系があると、ボーズ粒子についてはギブス和は軌道占有数 Nの全ての整数について和をとらないといけないし、フェルミ粒子については N = 0, N = 1 のみの和をとることになる。
占有率の全ての熱平均に対して異なる量子分布関数を f (ϵ, τ, µ) で区別する。もし f ≪ 1 であれば占有数

N = 2, 3, · · · を和から除いたとしても大きく影響しない。
つまり、ボーズ粒子とか、フェルミ粒子とかの区別の必要がないと考えられる。このような領域を古典領域(classical_regime) と呼ぶ。つまり、古典領域はそれぞれの統計の極限として実現されるだろう。そこでまず、フェルミ・ディラックの分布関数を考える。

45

3.10.1

フェルミ・ディラックの分布関数

この時の分配関数はエネルギーが 0 か、ϵ かであるから、前節でみたように

Zf = 1 + λ exp(−ϵ/τ )(3.30)である。占有率の熱平均を ⟨N (ϵ)⟩ とすると

⟨N (ϵ)⟩ =0 + λ exp(−ϵ/τ )1= −1
1 + λ exp(−ϵ/τ )λ exp(ϵ/τ ) + 1(3.31)となる。
そこで最も単純に 1 つの軌道しかもたない、1 個のフェルミ粒子と熱浴との系を考えよう。
図の右ではフェルミ粒子が 1 つの軌道を占めているので熱浴側は 1 個の粒子が減少している。
( ∂S )
この時のエントロピーは µ を化学ポテンシャルとして µ ≡ −τ ∂N
からU

S(U0 − 1, N0 − ϵ) = log (g(U0 − 1, N0 − ϵ))
(
)
(
)
∂S
∂S
= S(N0 , U0 ) −
×1−
×ϵ
∂N U
∂U N
µ
ϵ
= S(N0 , U0 ) + −ττ
のようにエントロピーの変化が求まる。

⇕ᾎ

㻺㻩㻜

㻺䠌
㼁䠌
㻿㻩㼘㼚㻔㼓㻔㼁㻘㻺㻕㻕
䠌
䠌

㻱㻩㻜

⇕ᾎ

㻺㻩㻝

㻺㻌㻙㻝
䠌
㼁㻌㻙䃔
䠌
㻿㻩㼘㼚㻔㼓㻔㼁㻌㻙㻝㻘㻺㻌㻙䠌䠌 䃔 㻕㻕

㻱㻩䃔

図 3.17: フェルミ粒子と熱浴の系さらに占有率の熱平均をエネルギー ϵ を持つ粒子の熱平均に置き換え、

f (ϵ) ≡ ⟨N (ϵ)⟩
とおくと、前節から

λ = exp(µ/τ )とおけたので化学ポテンシャルを含めた分布関数が求まり

f (ϵ) =

1exp[(ϵ − µ)/τ ] + 1となり、エネルギー ϵ の 1 個の軌道になるフェルミ粒子の平均数を表す。これをフェルミ-ディラック分布関数という。
複数 n 個の軌道が存在する 1 粒子系の場合について考えてみよう。相互作用しない系が熱浴と単に接しているのなら図左のように系の全エネルギーは複数の軌道エネルギーの和であるから

ϵtot =∑Nn ϵ nn

ただし、フェルミ粒子については Nn は 1 or 0 の値しかとらない。

46

これに対し、図右のように 1 つの軌道を系として考え、複数の粒子があるモデルに置き換えると軌道 n に対してフェルミ粒子を考えると形にある粒子数が 0 で、エネルギーが 0 か、粒子数が 1 でエネルギーが ϵn の 2 つの状態しかない。よって状態和はZ = 1 + λ exp(−ϵn /τ )であり、式 3.30 がいえる。この λ を決めるのが化学ポテンシャルで、絶対零度の時、µτ =0 ≡ ϵFで定義され、フェルミエネルギー (Fermi energy) という。
ただし、フェルミ準位 µ(τ ) と異なり、温度には依存しないので注意する。
絶対零度ではフェルミエネルギーより上のエネルギーを持つ粒子は 0 個でそれより下のエネルギーを持つ粒子は全て 1 個で占められていることになる。
従って有限温度、例えば正確に化学ポテンシャルと等しいエネルギーを持つ軌道 µ = ϵ があれば、その軌道は熱平均の意味で正確に半分が占められていることになる。

Z(ϵ = µ) = 1 + exp(−(ϵ − µ)/τ ) = 2
また、この時、µ より高いエネルギーの軌道は半分より少なく、低い方は半分より多い。

3.10.2

ボーズ・アインシュタインの分布関数

前部でも見たようにフェルミ粒子が物質の構成として役割を担い、ボース粒子は場を伝える媒介として役割を担う粒子であり、その統計もことなったものになる。古くから 3 He はフェルミ粒子として 4 He はボース粒子として、極低温 (T < 2.17K) での超流動の現象が観測されてきた。
熱浴と拡散的に接している相互作用しないボーズ粒子の系を考えよう。ボーズ粒子は全て同種粒子と考える。

1 個の軌道が 1 個の粒子に占有されたエネルギーを ϵ という。いくつでも同じ軌道に入れるからここに N 個入ればエネルギーは ϵN である。

1 個の軌道を系としてあつかい、それ以外を熱浴とみなせば状態和はZ=∞∑

λN exp(−N ϵ/τ ) =

N =0

∞
∑

(λ exp(−N ϵ/τ ))

N

N =0

x = λ exp(−N ϵ/τ ) として熱浴を無限に大きくしたとして考えれば
Zb =

∞
∑

xN =

N =0

1
1
=
1−x
1 − λ exp(−ϵ/τ )軌道を占有している粒子数の熱平均はこれから

f (ϵ) = λ∂dx1log ZB = −x log(1 − x) =
= −1
∂λ
dx
1−x
λ exp(ϵ/τ ) − 1

よって λ = exp(µ/τ ) だったから

f (ϵ) =

1
exp ((ϵ − µ)/τ ) − 1となる。これをボーズ・アインシュタインの分布関数 (Bose-Einstein distribution function) という。

47

3.11

古典極限

前節の 2 つの統計は量子論を用いて説明されているが占有率の熱平均 f (ϵ) は次のように 2 つの統計を含めて表現できる。

f (ϵ) =

1
exp ((ϵ − µ)/τ ) ± 1

1 見するとこの中に ℏ はないように見える。従って分母の ±1 が無視できるくらいに exp ((ϵ − µ)/τ ) が大きな極限ではボーズ粒子もフェルミ粒子も区別がつかないということになり、これが古典極限とみなされる。
この時、ϵ − µ ≫ τ = kB Tであり、

f (ϵ) = exp (−(ϵ − µ)/τ )(3.32)である。しかし、kB T が大きければ図のように ϵ − µ が小さく並べ方による違いが出てくる。
逆であれば ϵ − µ は個性が持てない。

図 3.18: kB T が十分大きい場合は箱の中に並べ方が生じる。

3.12

基本量

占有率の熱平均を関数 f (ϵ) で求めることができると、これから熱力学の諸量が極めて明快に決まる。個性を無視した統計的な扱いは興味あることに量子論と古典論とを同じように扱うことができる。この様子を見ていこう。

3.12.1

化学ポテンシャル

前節において実際には µ が ℏ を含む。系内の原子の総数 N は式 3.32 から

N = ⟨N ⟩ =∑f (ϵs ) = λs∑exp(−ϵs /τ )sつまり全ての軌道 s に対する分布関数の和をとると粒子数に等しいとすると化学ポテンシャルが得られる。
自由粒子の軌道は 1 つの粒子の分配関数 Z1 に等しかった。よって

N = λZ1とかける。式 3.18 から

N = λZ1 = λnQ V
48

よって

N
/nQ = n/nQ
Vであり、λ は量子濃度 nQ を単位とした粒子数である。

(3.33)

λ=また量子体積を

VQ ≡ 1/nQとすれば λ は量子体積 VQ 中の原子の数に等しい。よって nQ ≡ (M τ /2πℏ2 )3/2 としてλ ≡ exp(µ/τ ) = n/nQ
古典的領域になる場合は n/nQ ≪ 1 のように希薄な場合である。
ここでは原子間の相互作用は無視している。しかし、希薄であるとしても多粒子系である。
ドブロイ波長程度に粒子が存在するという器と物とのスケール感覚が重要である。
波動関数の重なりを統計ではスカラー的に処理している。
干渉性ということではこの領域についてはさらに考察がいる。
この式から、理想気体の化学ポテンシャルは nQ と式 3.33 からµ = τ log(n/nQ )()
33= τ log N − log V − log τ + log(2πℏ2 /M )22であり、量子論的な効果が和として最終項についている。

3.12.2

自由エネルギ‐

化学ポテンシャルは、自由エネルギーからも次のようにして求めることができた。
)
(
∂F
=µ
∂N τ,V
よって∫ N
F (N, τ, V ) =dN µ(N, τ, V )
(
)
∫ N
3
3
2
=τ
dN log N − log V − log τ + log(2πℏ /M )
2
2
0
0

ここで公式

∫
dx log x = x log x − x

を用いると

(
F = Nτ

3
3
log N − 1 − log V − log τ + log(2πℏ2 /M )22)

= N τ (log(n/nQ ) − 1)と、改めて書き直すことができる。自由エネルギーは濃度、温度が増加すると、増加することが
わかる。

49

(3.34)

3.12.3

圧力

自由エネルギーが与えられると圧力は

(
p=−

∂F
∂V

)
τ,N

のように求まる。したがって式 3.34 を用いれば

p = N τ /Vでありこれは理想気体の状態方程式である。

3.12.4内部エネルギー

関係式

F = U − TS
を用いれば(U = F + τS = F − τ∂= −τ 2
∂τ

(

F
τ

)

∂F
∂τ

)
V,N

V,N

したがって式 3.34 を用いれば(log N − 1 − log V −F = Nτ

∂
∂τ

(

F
τ

3
3
log τ + log(2πℏ2 /M )
2
2

)
=−
V,N

)

3N
2 τ

だから

3
Nτ
2
となり、理想気体の内部エエルギーの式が得られた。
U=

3.12.5

エントロピー

エントロピーも自由エネルギとの関係式から

(
S=−

∂F
∂τ

)
V,N

したがって式 3.34 を用いれば(F = Nτ

log N − 1 − log V −33
log τ + log(2πℏ2 /M )2
2

S = N [log(n/nQ ) + 5/2]
であり、これは式 3.29 のサックール・テトロードの式である。
濃度が一定であればエントロピーは単純に粒子数に比例している。

50)(3.35)

3.12.6

熱容量・気体定数

一定体積であればエントロピーと温度のみで(CV ≡ τ

∂S∂τ

)(3.36)
Vとかけた。そこで式 3.35 より結局、温度の 2 階導関数だから
( )
(
)
∂ 3
3N
∂S
=
N log τ + · · · =∂τ V,N∂τ 22τ
これから粒子数が 1 モルであれば R を気体定数として

33
3N = NA kB = R222のように単原子理想気体の定積モル比熱が求まる。
CV =また、定積であれば

τ dS = dUであったから(
CV = τ

∂S
∂τ

)

(
=
V

∂U
∂τ

)
(3.37)である。
同様に定圧の場合も(Cp ≡ τ

∂S∂τ)p

であるが熱力学恒等式

τ dS = dU + pdVを用いると理想気体の状態方程式 pV = N τ を用いて
)
(
)
( ) (
∂U
∂V
∂S
=
+p
Cp = τ∂τ∂τ∂τ p= CV + N =5N
2

1 モル単位を使えば次のマイヤーの関係式になる。
CP = CV + R

4

物性論基礎
はじめて高校の授業で分散の説明を聞いたときにとても不思議な感覚になった。
高校時代、読み始めた相対論の入門書にある相対論の光速度一定の原理を信じていたところに、物質中では光の速さは振動数に応じておそくなると教えられたわけである。それは光が原子などと相互作用するのでエネ
ルギーを失い、運動エネルギーが減少するので速度がおそくなると説明をうけた。
これは当時、疑問の嵐になった。もともと光に質量はない。どうやって速度を失うのか。

p = ℏk ≃ mvのようにふるまうのか。その疑問を解決していくには、分散がどうして生じるかを知る必要がある。
ここでは、まず、光子ではなくて、音響子（フォノン）と原子との相互作用が分散をつくる過程を学ぶ。
これらは定常波が物質内に生じ、これから群速度が生まれる。これは質量のないところに質量があるような振る舞いをつくる。前章では空洞内の電磁波について見てきたが、ここでは物質中での光がどうのようにふるまうのかを考察する。

51

4.1

固体物理基礎

4.1.1

量子化

自由電子モデルから固体物性の簡単な復習をする。ポテンシャルをゼロとするとハミルトニアンは

H = −ℏ2 ∇2 /2mとし、スピンの波動関数を ϕσ とすると電子の固有関数は波数 k とスピン σ で決まるので

ψk,σ (r) = eik·r ϕσとかく。固有エネルギーはスピンには無関係でEk,σ =ℏ2 k 22mとなる。一辺が L の体積を考え、この中に N 個の電子があるとすると量子化は境界条件を課すことでおこなわれる。高校で学習した波の干渉条件と同じく

ki = 2πni /L(4.1)とかける。これは λ = 2π/k だから境界の長さが波長の整数倍

L = nλと同じである。つまり量子力学の基礎は空間の連続性と一様性の下で波数が量子化されることにある。逆に
時空間の連続性がこの量子化と関係している。我々がある物理量を観測するということは状態ベクトルの固有値を得るというこであり、この状態ベクトルは位相をもって広がっているわけであるが固有値と同時にこの位相を観測することができない。つまり、観測値を得ること、連続性を保つことのためには数をつくる量子化が必要になる。

4.1.2

量子閉じ込め効果

フーリエ変換で結ばれる波数空間と距離空間の対応が物性論を考える重要な視点になる。
量子論では 1 つの状態空間を波数で代表させ、体積 1 つの状態の体積を
( )3
2π
(2π)3
=
L
V

(4.2)

として波数空間の体積(dk)3に対して状態数が(dk)3
V dk 3( 2π )3 =
(2π)3

(4.3)

L

で与えられる。式 4.2 はホモロジー H で記述されるべきもので後に考察する。
この係数が数として与えあれれることで量子力学は単純になり、k 空間の量子化と距離空間のエネルギー固有値が対応される。

kx2 + ky2 + kz22mが量子化される。例えば電子が体積 L3 の中のどこかにあるとする。この箱の 1 辺 z 方向を非常に短くする
E = ℏ2と式 4.1 から

kz = 2πni /Lz52と整数 n で表されることになる。しかし、これは kz の値が Lz が小さいと非常に大きくなることを表している。これは取りうる運動エネルギーの固有値間隔が非常に広がることになる。もし、Lz がちょうど原子 1 枚の厚さであると電子は z 方向に動くことができない。よって基底状態ではEz,0 = 0の固有値のみで占められ、他に遷移できないことになる。このように資料サイズが非常に小さいとエネルギーの固有値の量子化が表れる現象を量子閉じ込め効果 (quntum cofinement) という。
この効果でとびとびに生じた固有状態をサブバンド (subband) と呼ぶ。
ただし、この量子化には不確定性原理が本質的に働いていることを考慮しないといけない。
場所を特定することで位置の揺らぎを小さくし、運動量が固定できなくなる。これは波数が広がりを持つことと同じである。

4.1.3

フェルミ準位もし、絶対温度であればパウリの排他律から電子はきれいに低い準位から順番に軌道を埋めることになる。
この時、波数 k は先にみたようにエネルギーの最大値に対応して最大値が存在する。
この最大値がフェルミ波数 kF (Fermi_wave_number) ということになる。
電子数が N であれば、スピン自由度を 2 として式 4.3 より、波数をカウントすると

N

=

∑

∫
θ(kF − k) = 2k,σ=V d3 kθ(kF − k)
(2π)3

∫ kF

2V
(2π)3

4πk 2 dk = V
0

kF3
3π 3

(4.4)

この計算に際しヘヴィサイドのステップ関数を用いた。kF > k で足し合わせるためにである。
電子密度を

n=

N
V

として式 4.4 は

kF = (3π 2 n)1/3となる。また、フェルミ速度、フェルミエネルギーはvF =ℏ2 kF2ℏkF, EF =m2mで定義できる。波数空間では占有状態が半径 kF の球であると考え、これをフェルミ球 (Fermi sphere)、その表面をフェルミ面 (Fermi_surface) という。

Fermi 準位以下の全エネルギーの和 U はU=∑∫
θ(kF − k) = 2k,σV d 3 k ℏ2 k 2
3
θ(kF − k) = N EF
(2π)3 2m5つまり電子の平均自由エネルギーはフェルミエネルギーの 60% ほどである。
しかし、有限温度では電子は熱的に励起され、平衡状態になる。この時電子は前節のフェルミ-デイラック統計に従う。

f (E, T ) =1eβ(E−µ) + 1

,

(
β=

従って有限温度では下図のようになめらかな曲線に遷移する。

53

1
kB T

)

図 4.1: トポロジカル絶縁体入門

安藤陽一 2014

誤解がないようにしたいがこの化学ポテンシャルをフェルミ準位 (Fermi_level) という。
絶対零度でフェルミ準位とフェルミエネルギーは一致するが、有限温度ではフェルミ準位は化学ポテンシャ
ルの統計に従うので異なるのが普通である。

4.1.4

状態密度

エネルギー幅 dE の中に単位体積あたり何個 (N ) の固有状態が含まれるかは状態密度を ρ(E) として、

N = ρ(E)dEで表される。これから状態密度が

)
N
∂n
=
V
∂E
√
で定義される。よって 3 次元であれば式 4.4 から kF = 2mEF /ℏ として
ρ(E) =n=だから

ρ(E) =(∂∂E(2mEF )3/2
N=V
3π 2 ℏ3∂n(2m)3/2 √=E∂E
2π 2 ℏ3

S 2
であり、2 次元であれば N = 2π
kF

n2D =

mE
πℏ2

だから

ρ2D (E) =

∂n2D
m
=
∂E
πℏ2

であり、1 次元の場合は N = L
π kF だから

√
n1D =

2mE
πℏ

∂n1D
1
ρ1D (E) =
=
∂E
2πℏ

54

√

2m
E

4.1.5逆格子

結晶の中には周期的なポテンシャルが存在する。従ってV (r + R) = V (r)を満たす R が存在する。このような {R} を結晶のブラベー格子 (Bravaris_lattice) という。この場合、1 周期内の物性を考えれば他は繰り返しになる。これを単位胞とよぶことがある。結晶の次元により、正方格子、斜格子、六方格子など覆うの対称性があり、結晶の分類がなされている。
どの場合もブラベー光子 {R} があたえられると次のような逆格子ベクトル (reciprocal_lattice_vector))Gの集合 {G} が一意に決まることが知れている。

eiG·R = 1
これはフーリエ変換ができることを表し、次のような展開が可能である。

V (r) =∑VG eG·rGとなる。単位胞において 3 次元のブラベー光子は n 個の基本並進ベクトルで表され、

R = n1 r1 + n2 r2 + n3 r3の形にかける。この時、対応する逆格子ベクトルこの基本並進ベクトル gi は動標高のように

g1 = 2πr2 × r3
r3 × r1
r1 × r2, g2 = 2π, g3 = 2π
r1 · r2 × r3
r1 · r2 × r3
r1 · r2 × r3

この時、

gi · rj = 2πδijが成り立つ。これによりフーリエ変換で r, g が結ばれる。逆格子ベクトルはG = j1 g1 + j2 g2 + j3 g3 j1 , j2 , j3 as integer
この時、次のように内積をとれば基底がスカラーに変換され

G · R = 2π(j1 n1 + j2 n2 + j3 n3 )となるので必ず、2π の整数倍になる。逆格子ベクトルが逆格子空間における格子点を与える。
この空間の単位胞が第一ブリルアンゾーンになるわけである。つまり、原点とその周りの格子点を結ぶ線分の垂直 2 等分面で囲まれた領域である。

4.2

ブロッホ空間結晶中であれば周期的な境界条件が成り立つ。しかし、結晶中でなくとも、この条件は本質的な側面を持ち、重要であるので復習をしておく。
まず、シュレディンガー方程式を

(
−

)
ℏ2 2
∇ + V (r) ψ(r) = Eψ(r)2mと置く、前節でのブラベー格子ベクトルを R として、

ψ(r + R) = τR ψ(r)
55

(4.5)

ここで規格化の条件から

τR = eiθRとなる必要がある。つまり、指数の肩にブラーベーベクトルが関与するので

τR1 τR2 = τR1 +R2
位相は回転を表すから

θR1 + θR2 = θR1 +R2
これから θ は次のようにかけないといけない。

θR = k · R
よって

ψ(r + R) = eik·R ψ(r)が成り立つことになり、これをブロッホの定理 (Bloch’s theorem) という。またこれを満たす、周期 R の関
数を uk (r) とすると

ψk (r) = eik·r uk (r)とおけるのでψ(r + R)となるから r + R → r=

eik·R ψk (r)=eik·R eik·r uk (r)=eik·(r+R) uk (r + R)だからψk (r) = eik·r uk (r)である。これをブロッホ関数という。右辺の関数 eik·r があるのでこれを ri で足し合わせれば k 空間の関数が得られる、フーリエ変換になる。

4.2.1

エネルギースペクトル

実際にブロッホ関数を逆格子ベクトル G を用いて次のように展開する。

uk (r) =∑uG (k)eiG·rG

これはフーリエ展開である。シュレディンガー方程式は波動方程式なので、これを用いて解くことが可能になる。式 4.5 より(′ℏ2 2 ∑
VG′ eiG ·r − E
−
∇ +
2m
′

)

∑

G

uG (k)ei(G+k)·r = 0

G′と変形できる。G に関する総和は G → G − G としても変わらないから

∑
G,G′

∑

′

VG′ ei(G+G )·r =

G,G′

56

VG′ uG−G′ eiG·rとなるので結局 eiG·r は 2 階微分とかかり、共通因子として落とせることになる。
( 2
)
∑
ℏ
2
VG′ uG−G′ (k) = 0(k + G) − E uG (k) +2m′
Gいわばこれは波の定常波解であり、多くの波動の重ね合わせである。そこで、この式を満たす解の集合が{un,G (k)} で与えられる。この固有関数と対応する固有値が En (k) である。この整数 n をバンドインデックス(band_index) という。
さらに G − G′ = G′′ とおくと

∑ [( ℏ2
G′′と変形できるので

2m
(

)

]

2

(k + G) − E δG′′ G (k) + VG′ −G′′ uG′′ (k) = 0)ℏ22(k + G) − E δG′′ G (k) + VG′ −G′′ = 02mである。これは行列成分を持つのでこれからエネルギースペクトルの集合を {En (k)} を考えることができる。また、この式は適当な逆格子ベクトルを K として k → K + k と置き換えると
)
( 2
ℏ
2
(k + K + G) − E δG′′ G (k) + VG′ −G′′ = 02mとなるが置き換え、G′ = K + G, K′ = K + G′′ でさらに置き換えれば

(

)
ℏ2
2
(k + G′ ) − E δG′ K′ (k) + VG′ −K′ = 02mであり、最初の形に戻る。つまり、周期性があり、エネルギースペクトルは第一ブリルアンゾーンで考えればよいことになる。

4.2.2

絶縁体と金属量子的に閉じ込められた物質は離散的な固有エネルギーを持つことになる。これは現実には非常におおきなポテンシャルエネルギーがあり、電子が束縛されているということである。しかし、現実の金属中では原子は無限個の固有エネルギー状態があり、さらにこれらが多くの重ね合わせによりバンドが作られる。これらは順に n でインデックスされ、全体がエネルギースペクトルをつくる。これをバンドインデックス (bamd_index)という。原子が電場中におかれれると、電子がエネルギーを得て遷移しようとする。しかし、準位の低いとこ
ろはパウリの排他律により動くことができない。価電子のバンドにいる準位に運動量の変化が伝わることになる。しかし、上の状態に遷移しようとしてもバンド間にギャップがあると遷移ができず。結局運動量に変化がおきない。この状態が絶縁体である（バンド絶縁体 (band_insulator)）
これに対し、金属はフェルミ準位がバンド内にあり、励起されれば次の準位に遷移が可能になる。一方で電子がスピンをもっていて、1 つの準位に 2 つ占有することを許すのでおおざっぱには単位ゾーン当たりに電子が奇数個であれば金属になる。

57

図 4.2: トポロジカル絶縁体入門

4.2.3

安藤陽一 2014

強束縛近似

金属結合では例えばアルカリ金属では各原子が 1 個の電子を出し合って結合し、伝導電子が非局在して広がる。結晶格子の格子点に陽イオンが存在し、周期的なポテンシャルをつくると考えられる。
そこで単純に陽イオンの深い井戸型ポテンシャルに電子が束縛された状態を考え、ヒュッケル近似 (Huckel_apporoximate)という手法を以下で紹介する。
この近似では 2 個の原子が単一の |1⟩ と |2⟩ のみで考える。系のハミルトニアンを H とし、|ψ⟩ = a1 |1⟩ + a1 |2⟩と状態を表すと、エネルギー固有値は⟨1| H |1⟩ = ϵ1 , ⟨2| H |2⟩ = ϵ2とする。また、電子が 2 つの原子を飛び交う場合はトンネル行列要素 (tunnel matrix element) といい⟨1| H |2⟩ = t, ⟨2| H |1⟩ = t∗
とおく。また、

(
|1⟩ =

1

)
, |2⟩ =

0とすればハミルトニアンの行列表示は

(
H=

(

ϵ1

t

t∗

ϵ2

0

)
,

1
)

(4.6)

となる。2 つの状態は重なりがなく、⟨i|j⟩ = δij
また、|a1 |2 + |a2 |2 = 1も成り立つ。ここでシュレディンガー方程式(H − E) |ψ⟩ = 0を用いると式 4.6 から(ϵ1 − E)a1 + t∗ a2=

0

t a1 + (ϵ2 − E)a2

=

0

58

(4.7)

これを a1 , a2 の連立方程式とみなし、解が存在するために行列式をとるとE 2 − E(ϵ1 + ϵ2 ) + ϵ1 ϵ2 − |t|2 = 0
よって

ϵ1 + ϵ2
E± =
±
2

√(

ϵ1 − ϵ22)2+ |t2 |が得られ、E+ を結合状態 (bouding state) といい、E− を反結合状態 (antibouding state) という。
これらが図のように電子の束縛状態を表す基本パターンとなる。

図 4.3: エネルギー差が 0 だと原点でバンドが交差する。
これは双曲線のグループで、もし t2 の前の符号を負に変えれば次のように閉じた曲線になる。

図 4.4:

次に、このヒュッケル近似を N 個のモデルに拡大する。

|ψ⟩ =

N
∑

aj |j⟩

j=1とする。簡単にするためには原子間の相互作用は隣のみ考えることにする。すると行列表示は次のようにかける。

⟨j| H |j⟩ = ϵj , ⟨j + 1| H |j⟩ = tj , ⟨j| H |j + 1⟩ = t∗j59

ここでチェーンの端に周期的境界条件を考え、次の同一視をおこなう。

N + 1 → 1, 0 → N
すると式 4.7 は(ϵj − E)aj + tj−1 aj−1 + t∗ aj+1 = 0ここで結晶が全て同一原子からなるとすると

ϵj = ϵ, tj = tとする。さらに、aj について

aj = Acjとすれば、この式はt+ t∗ c = 0cとなる。さらに |ψ|2 が発散しないためには |c| = 1 とすると
ϵ−E+c = eiθとかけないといけない。t は実数とすると

ϵ − E + t(eiθ + e−iθ ) =2t cos θ

0

= E−ϵ

(4.8)

周期的境界条件 aN +1 = a1 が成り立つとするとeiN θ = 1
これから

θ=

2πn
, (n = 0, 1, · · · N − 1)N

逆格子空間では

kn =

2πn
Na

に対応するから式 4.8 はEn (k) = ϵ + 2t cos (kn a)(4.9)となり、特にkn =nπaで分散が最大になる。
これが複数の原子の影響であることに留意する。1 つの原子では 1 つの状態しかとれなくても複数周期的に存在すると固有状態の重ね合わせができるよになり、図のように 4|t| の広がりを k 空間で持つことになる。

図 4.5: トポロジカル絶縁体入門60

安藤陽一 2014

速度が

∂E
∂k
であることを考えればこれは分散を持つことになる。このような広がりを持った固有状態がエネルギーバンv=

ド (energy_band) である。

4.2.4

有効質量

特にバンドの端において電子がどのような運動をするかを考えることが多い。この時、有効質量という考えが有効になる。ここでは簡単に 1 次元チェーンモデルで考える。遷移要素 t < 0 の場合を考える。バンドの底が k = 0 の状態だから、この付近では式 4.9 からE ∼ ϵ − 2|t| + |t|a2 k 2と近似できる。ここで天下り的にE0 ≡ ϵ − 2|t|, m∗ ≡h2
2|t|a2とすれば

h2 k 22m∗と書くことができる。これは自由電子のモデルと同じである。k = 0 のバンド曲率を計算すると
[ 2 ]
[ 2
]
d E
d
=
{ϵ + 2t cos(ka)}dk 2 k=0
dk 2
k=0
[
]
= −2ta2 cos(ka) k=0
E ∼ E0 += −2ta2つまりこれは先の有効質量に反比例している。逆にバンド曲率の逆数が有効質量 (eﬀective_mass) と呼び、曲率が大きいほど、いいかえると有効質量が小さいほどこの電子は動きやすいことになる。
負の質量は考えないように正で定義するのが普通である。また t > 0 の時は正孔を表す。

}−1{ [ 2 ]
d E
(t > 0)hall : m = ℏ −dk 2 k=0∗2electorn : m∗ = ℏ2

4.2.5{[ 2 ]}−1d E(t < 0)
dk 2 k=0

ブロッホ電子n 番目のバンド電子がブロッホ関数 un,k (r) を用いて記述され固有値 En (k) のエネルギーを持つ。
このような電子がブロッホ電子 (Bloch_electron) である。ブロッホ電子は結晶運動量 (crystal momentum)ℏkを持つ。
ただし、第一ブリルアンゾーンで考えることにする。
この時単純にローレンツ力を受けて、電子が運動したとして古典的な運動方程式は()d1(ℏk) = −e E + vn × Bdtcであり、この時の群速度は位相速度 ω/k 、ではなく、∂ω/∂k であるから

vn =

1 ∂
En (k)ℏ ∂k61(4.10)

である。
ここでフェルミエネルギーが伝導体の底 EC の近くにあるような縮退のある半導体モデルを考える。
エネルギー固有値 Ec の波数は k0 とかく、この付近でエネルギーの分散をEn (k) =EC += EC +)() ∂ 2 En1 ∑(+ ···ki − ki0 kj − kj0
2 i,j∂ki ∂kj
) 1 (
)
ℏ2 (
k − k0 · ∗ k − k0 + · · ·2
Meのように展開する。ただし、有効質量テンソルの逆テンソルとして
(
)
1
1 ∂2
En
= 2
∗
Me ij
ℏ ∂ki ∂kjとする。この時、)∂En (k)ℏ2 1 (≃2·k − k0
∗
∂k
2 Me

となるので

vn =

)
1 ∂En (k)ℏ (≃ ∗ k − k0
ℏ ∂kMe

この近似でこの系の運動量がMe∗ · vn ∼ ℏ(k − k0 )となる。よって運動方程式が

Me∗ ·

(
)
1
dvn
≃ −e E + vn × B
dtcとなる。これが伝導帯の底にあるブロッホ電子の運動を表すと考えられる。
次にフェルミエネルギーが価電子帯の上端 EV の近くにある場合を考える。図 4.3のように Ec に対して、2 次導関数の符号が変わるので
(
)
1
1 ∂2
=− 2
En
∗
Me ij
ℏ ∂ki ∂kj
2

∂ Enの固有値は全て負になる。よって運動方程式はとなり、以下行列 ∂k
i ∂kj

dvn
Me∗ ·
≃ +e
dt

(
)
1
E + vn × Bcとなり、これは正の電荷を持つ正孔 (hole) のが自由電子としてふるまっていることを表す。

4.2.6

ランダウ量子化

一般に金属薄膜のようにある方向、例えば z 方向を非常に小さくすると、2 次元電子系がつくられ、z 方向には量子化される。
ここで 2 次元の自由粒子が Lx × Ly の矩形の中に取り込み、面に垂直に磁場をかけることを考えよう。
この時のハミルトニアンは次のように自由粒子から運動量を置き換えることで求められ、
e )2
1 (
p− A
H(px , py ) =2mcとあける。磁場が z 方向にかかっているのでベクトルポテンシャルはA = (0, Bx , 0)を選ぶと次のように z 成分を含まない形になる。

62

1
H(px , py ) =
2m

(

(
)2 )
e
px + py − Bxc

また、この形は位置 y 座標を持たないので py は H と可換である。すなわち y 方向の運動量は保存される。
よって y 方向は次のような平面波解が得られる。

1
ψ(x, y) = √ eiky y ϕky
Ly(4.11)

H を演算子で表すとH(px , ℏky )

=
=

(
)2
1 2 e2 B 2 ℏcky
px +
−
x
2m
2mc2
eB
2
1 2 mωcp +(x − X)22m x
2という、古典的な単振動モデルに書き表わされる。ただし、

ωc

=

X

=

eB
mc
(
)
√
ℏcky
ℏc
2
= lB ky , lB =eB
eB

(4.12)

である。
よって波動関数は 1 次元調和振動子の一般解を利用することができて、一般にエルミート関数で定義される。

(
ϕn (x) =1√
2n n! πlB

)1/2

− 12 (x/lB )2

e

(
Hn

x
lB

)

従って 2 次元系では式 4.11 から下図のような
2
1
ψn,X (x, y) = √ ei(X/lB )y ϕn (x − X)
Lyが得られる。

図 4.6: 重ね合わされた波動関数
また、エネルギー固有値も調和振動子と同じになり(
En = ℏωC

1
n+
2

)

という離散的な値になる。これをランダウ量子化 (Landau quantization) という。

63

この値は調和振動子の原点 X に依存せず、いいかえれば、X の数だけ縮退しているといえる。
この縮退度は次のように求めることができる。図のように y 方向に量子化されているので

ky =

2πmy
, (m = 0, ±1, ±2, · · · )Ly

ただし、振動数する x は

0 < x < Lxに制限されているから、同じように X も制限される。よって式 4.12 から
2lB

2πmmax= Xmax = Lx
Ly

で関係する。書き換えればmmax =

Lx Ly
2
2πlB

2
が縮退度である。これは 2 次元角運動量の位相体積中に含まれる基本体積 (πlB
) の半分である。したがって

2 次元電子の総数を Ne とすると充填率 (filling_factor) が
ν≡

Ne
2 Ne
2
= 2πlB= 2πlB
n2D
mmax
Lx Ly

ただし 2 次元電子密度を

n2D ≡

Ne
Lx Ly

で定義した。

フォノン

4.3

結晶中の粒子は真空中にはない相互作用をする。この力はあたかも新しい質量を生じたような働きをして、真空中では一定であった波の速さに違いを生む。これを都合よく説明する考えかたとして結晶内の格子振動を粒子のようにあつかうフォノンの考え方が登場した。
実際に仮想的な質量を持ち、結晶内の粒子と相互作用する。これは結晶内の対称性の影響を受け、波動として境界条件を満たす要請を受ける。量子論では真空内の自由粒子でも同じように波動として境界条件の影響を受ける。逆に真空内の粒子の存在は目に見えない格子を実現させている関連が示唆され、量子論を深める上で
今や古典的になったこのフォノンの考えは学ぶ必要のある分野である。

4.3.1

ブリルアンゾーン

はじめに基本格子が 1 個の原子を含む単結晶を考える。
この時、格子振動は横成分 2、縦成分 1 の 3 つのモードがあり、線型的な弾性応答をすると考える。
この振動のエネルギーは他に伝播する。そこで様々な相互作用をするわけであるが、その担い手は次ようなものがある。

• 電子：→ 電磁場• フォトン：⇝ 光子場、電磁場• フォノン：⇝ 弾性場• プラズモン：電子の集団的な波動：電場• マグノン：磁化の波動：磁場、電場
64

• ポーラロン：電子＋弾性変形合成場• 素励起：分極場
s 番目の変位を us で表し、原子 1 個に対応する力定数を C とすると 1 次元的に働く力 F は
弾性体と考えれば力の向きが変わることに注意して

Fs = C(us+1 − us ) + C(us−1 − us )(4.13)である。ただし、力定数は縦、横成分で異なるので注意する。
原子の質量を M として運動方程式は

M

d2 us
dt2

= C(us+1 − us − (us − us−1 ))= C (∆us − ∆us−1 )
)
(
∆2 us
2
= C (∆s)2(∆s)

ここで、角振動数が ω のものを考えると上式は波動方程式である。時間依存だけが分離できるとして、

d2 us= −ω 2 usdt2を満たす。この式の段階では us は単振動であり、1 つの振動で分散は見えない。
ところが差分方程式として式 4.13 の解を求めると− M ω 2 us = C(us+1 − us − (us − us−1 ))(4.14)となる。これは隣接した粒子を考えているので 1 つの速度だけであったのが崩れ始める。
ここで重要点は波数ベクトル（今後は波動ベクトルとも呼ぶ）を考えることである。
これは波長を λ として波数に向きを持たせたベクトル量で

K=

2π
e
λ

で定義される。これにより量子論的には ℏK の運動量を波動に持たせることができる。
これにより格子間隔 a、波動ベクトル K として上式の進行波解として周期的条件を課すことができるようになる。
つまり、格子間隔 a での周期性がこの ℏK の運動量を作り出すことに重要な役割を担っているのである。
これにより、次の具体的な解をつくることができる。

us±1= u exp(iKa(s ± 1)
= u exp(isKa) exp(±iKa)

このとはき隣接方向の波を仮定していることに留意する。
これを式 4.14 に代入すると−ω 2 M u exp (isKa) =ω2 M

Cu{exp[i(s + 1)Ka] + exp[i(s − 1)Ka] − 2 exp(isKa)}= −C{exp[iKa] + exp[−iKa] − 2}となる。ここで正負の進行波の干渉に置き換わることに留意する。

65(4.15)

2 cos Ka = exp(iKa) + exp(−iKa) を用いて
ω

2

(

)
2C
=
(1 − cos Ka)
M)()
4C ( 2=sin (Ka/2)
M(4.16)という分散関係が得られる。これが分散を生みだす理論になる。
これから次の図のように第一ブリルアンゾーンが境界は K = ±π/a にあることがわかる。

図 4.7: −π から π までが第一ブリルアンゾーンである。
ここで次の比をとると隣り合う原子面の比が s に無関係であることがわかる。

us+1
u exp[i(s + 1)Ka]= exp(iKa)=usu exp(isKa)
周期関数であるから第一ブリルアンゾーンが

−π
π
<K≤
a
a
で決まる。さて、弾性連続体近似では

Kmax → ±∞(a → ∞)となった。しかし、ここでは第一ブリルアンゾーンの外側で無限になることはなく周期的に繰り返されるだけである。
逆格子ベクトルが2πnaでおけたから変位の比は第一ブリルアンゾーンの外側でも次のように
G=K′ = K − G
を考えれば

us+1
= exp(iKa) = exp(i2nπ) exp[i(Ka − 2nπ)] = exp(iK ′ a)usで表すことができる。また、Kmax = ±πa のブリルアンゾーンの境界では us = u exp(isKa) は進行波ではない。
散乱波と干渉し、定在波となるので

us = u exp(±isπ) = (−1)s u
つまり各原子は反対位相で連動して運動する。波動は動けない。
これはブラッグ反射と同じ現象である。つまりブラッグの干渉条件を格子定数を d として

2d sin θ = nλにおいて λ = 2π/K, θ = π/2, d = a, n = 1 の場合である。

66

4.3.2分散関係

調和振動の場合 C = M ω 2 とおけたのに対して、フォノンではここに分散関係が生じる。
群速度が

vg =

dω
dK

(4.17)で表されたから式 4.16 から

vg

=
=

((
)
)1/2
2C
d
(1 − cos Ka)
dKM( 2 )1/2
Ca
cos(Ka/2)
Mであり、vg は K = nπ/a で確かに 0 になる。
つまりここではエネルギーの移動がないか、収支は 0 である。また、非常に長波長であって Ka ≪ 1 であ
れば

(
ω ∼
2

2C
M

)(

K 2 a2
2)=

CK 2 a2Mであり、音速が周波数に依存しない。これはK = 2nπ/aでも同じようにいえる。原子の周期的な並びによりエネルギーのやりとりに不連続性ができてくる。
アナロジーとして光速 c を考えると面白い。
真空中では光速に分散が出ないのは媒質の長波長極限であってこの時、波数 k についてc = ω/kである。格子振動ではこの時の ω が

ω2 =

C
M

である。
光子場ではこれに相当する格子が連続的に場にあることになるが通常の観測で C, M をみつけることができない
このしくみ仕組みがあるはずである。フォトンは質量を運べない。
つまり周期的な格子点に沿って光子がいる時のみを我々は見ているわけである。
さらに式 4.17 は分散の微分関係でしか速度 (群速度) は決まらないことを示す。
この変換にフーリエ変換が必要で、原理的に不確定要因を含む。これは量子論の基本にも関係している。

4.3.3

力定数の決定実際の金属モデルにもどり力定数 C をいかに決定するかを考えよう。伝導電子が多くある金属ではこの力は

20 枚も離れた他の原子面にまで影響することがわかっている。式 4.16 からこの力の有効距離を見積もることができる。p を隣合う原子面の枚数としよう。すると力定数はその面内の和になると考えれば

ω2 =

2 ∑
Cp (1 − cos(pKa))
M p>0と書き直すことができる。フーリエ変換のように両辺に cos(rKa) を乗じて積分すると

∫ π/a
M
−π/a

2
dKωK
cos(rKa)

=

2

∑

∫ π/a
Cp

p>0

=

−π/a

−2πCp=r /a67

dK (1 − cos(pKa)) cos(rKa)となり、p = r の時のみ 0 ではない値をとる。よって次のように単原子格子構造において距離 pa
だけ離れた原子面に作用する力定数は

Cp = −

Ma
2π

∫ π/a
−π/a

2
dKωK
cos(pKa)

となる。

4.3.4

複数の原子を含む場合

基本格子ないに Nacl のように 2 つの原子を持つような場合には原子同士が相互作用するので複数のモードが生じる。分散関係に差ができて音響的、光学的分岐と呼ばれるモードがあり、さらに縦音響的 (LA)、横音響
的 (TA) と縦光学的 (LO)、横光学的 (TO) の 4 種類が基本モードとしてある。
基本格子が p 個の原子からできている時、各空間次元に沿って 3p 個のフォノン分岐がある。
この中身は 3p − 3 個の光学的分岐と 3 個の音響的分岐である。例えば基本格子に 2 個の炭素原子を含む Geと KBr の分岐は 6 個で 1 つの LA と LO、2 個づつの TA と TO がある。
これから自由度の数を数えると基本光子が N 個あり、それぞれ p 個の原子を含んでいれば全部で pN 個のの原子がある。これに空間自由度 3 をかけて 3pN となる。
各々の分岐に許される K の値は 1 個のブリルアンゾーンに N 個あるので音響モードでは LA と 2 つの TAの分岐には 3N 個のモードがあるので全部で 3N の自由度が出る。残りの (3p − 3)N 個が光学分岐の自由度になるはずである。
音響的分散関係と光学的分散関係の K 空間の相グラフは下図のようになる。
これは第 2 部の Green 関数で周期的ポテンシャルでクローニッヒペニーのモデルを扱った時の分岐のしかたと同じで、極小、極大がモードで入れ替わっている。

図 4.8: 光学フォノンと音響フォノンの分散関係
ここでは下図のように質量の異なる原子が等間隔にあり、力定数 C で結ばれている場合を考える。ここでは
原子面 [111] 方向や [100] 方向のような対称的な方向のみを考え、最隣接面だけの相互作用を考えることにする。つまり、連続体の 1 次元近似で運動方程式は M1 (us ), M2 (vs ) と位置変数を区別すると 2 種類の粒子について添え字のずれに注意し、

M1

d2 us
= C(vs + vs−1 − 2us )
dt2

M2

d2 vs
= C(us+1 + vu − 2vs )
dt2

である。

68

(4.18)

図 4.9: 隣接格子の波動
前節と同じように時間項を角振動数 ω で分離できる場合を考えると

us = u exp (isKa) exp (−iωt) , vs = u exp (isKa) exp (−iωt)(4.19)

は式 4.18 を満たすとして代入すると式次の連立 4.15 と同様にして方程式が得られる。

−ω 2 M1 u = Cv [1 + exp (−iKa)] − 2Cu−ω 2 M2 v = Cu [1 + exp (iKa)] − 2Cv
これは u, v が 0 ではない解を持つためには次の行列式が 0 になる必要があるから

2C − M1 ω 2−C [1 + exp (−iKa)]

C [1 + exp (iKa)]

2C − M2 ω 2=0であり ω 2 について次の 2 次方程式

M1 M2 ω 4 − 2C(M1 + M2 )ω 2 + 2C 2 (1 − cos Ka) = 0
この式は M1 , M2 の入れ変えについて対称である。

図 4.10: M1 = 5, M2 = 1 の場合の式 4.20 の解中央は K = 0 端点は K = ±π/a である。
特に Ka ≪ 1 として cos Ka について 2 次までの近似をとると
)
(
1
1
2
+
ω ∼ 2C
M1
M2
C/2
ω2 ∼
K 2 a2M1 + M2

69(4.20)

の解が得られ、前者を光学的分岐 (optical_branchi)、後者を音響的分岐 (acoustical_branchi) という。この時は K = ±π/a の時、

ω 2 = 2C/M1 (u), ω 2 = 2C/M2 (v)と単純に質量で決まる。つまり K 空間の場所では単純な単振動である。

u
M2
=−
v
M1
となる。これは各原子が互いに振動しても運動量の和が保存されるので重心に変化がおきない。
このような振動は 1 次元モデルでは 2 種類しかなく、次の図のように光学モードでは ± が逆位相で、音響
モードでは ± が同位相で連続的に振動しているイメージになる。反対符号の電荷を持つ光学モードは奇妙に思えるかもしれないが、光子の放出により電場に偏りができると考える。

図 4.11: 光学モードと音響モード
これらはどちらも横波のモードである。これ以外の定常的なモードが存在できない。できたとしても複素数になり、実空間では減衰し、定常的に見ることができない。こうして多原子結晶にはKmax = ±π/aで周波数にギャップを見ることができる。

4.3.5

散乱

ここでフォトンの類推からフォノンの量子化を考えよう。角振動数 ω として、n 個ののフォノンがある時、量子数 n の励起状態として考えれば調和振動子として考えれば
(
)
1
ϵ= n+
ℏω
2
である。この半分が運動エネルギーの平均であるとしよう。
波数 K を用いて次の振幅をとる定在波を考える。

u = u0 cos Kx cos ωt
運動エネルギー密度を

1
ρ
2
体積 V の結晶とし、体積積分すると

(

∂u
∂t

)2
=

1
2
ρ (ωu0 cos Kx sin ωt)21ρV ω 2 u20 sin2 ωt470となり、時間平均すると(

1
1
ρV ω 2 u20 =
8
2

n+

1
2

)
ℏω

であり振幅の 2 乗が1
u20 = 4(n + )ℏ/ρV ω
2となる。もし、フォノンのエネルギーが正しかとならにならこの ω は正である。しかし、結晶が不安定で力定数 C が温度依存を示すような場合は式 4.20 から ω 2 が負で ω がこの虚数をとる場合がある。この時の結晶構造は不安定で自発的安定構造に転移する相転移がおきる。
また、K ̸= 0 となる距離が原子間距離程度であるからフォノンは結晶内の原子間距離程度で運動量を持つ。
この時 ℏk を持ち相互作用をおこなうことができるが、物理的な運動量が運べない。一方で K = 0 の位置が

rG =1
(r1 + r2 )2の重心に対応していて全運動量

p=M

d

∑

s us

dt

を運ぶことができる。次の級数の公式を用いると
N
−1
∑

xs =

s=0

1 − xN
1−x

フォノン K を結晶が運ぶ場合は原子数を N として式 4.19 から

p=M

du ∑
du 1 − exp(iN Ka)
exp(isKa) = M
dt s
dt 1 − exp(iKa)を得る。しかし、K は結晶中では各格子間が 1 波長を基本とするとして

N aK = ±2πnが境界条件になる。これから明らかに

p=0
であり、運動量は運べない。
ところが一様モードとして K = 0 の時、あらゆる us は u に等しい。この時は

p=M

du
dt

となり、運動量を運ぶ。
フォノンの分散関係は、非弾性的な中性子の散乱から決定されることがわかっている。
さらに散乱された中性子線のビーム角度幅がフォノンの寿命の情報を得ることができる。
中性子は原子核内にあって格子振動を感知している。中性子線の波動ベクトルは逆格子ベクトルを G、散乱後の中性子線の波動ベクトルを k、さらに過去において生成、消滅したフォノンの波動ベクトルを ±K とする。

K が第一ブリルアンゾーンに入るように逆格子ベクトルを選ぶと
k + G = k′ ± K
さらにエネルギー保存則として生成されたフォノンのエネルギー ℏω としてℏ2 k 2ℏ2 k ′2
=
± ℏω
2Mn
2Mn
が得られる。しかし、この 2 式だけでは分散関係は得られない。もう一つ情報として中性子のエネルギー損
失を k − k′ 方向の関数として表すことを実験でおこない、分散関係を決める。

71

4.3.6比熱

前節の熱力学の基礎から定積比熱は

(
Cv ≡

∂U
∂T

)
V

となった。フォトンの場合は格子比熱を考え Clat で表す。粒子数が変化する場合には化学ポテンシャルを導入
したが、ここではさらに自由度を担う分極指数 p を導入する。従ってフォノンのエネルギーは全分極指数 p と全波数 K で和をとり次のようになる。

U=∑⟨nK,p ⟩ ℏωK,pK,p⟨nK,p ⟩ は占有率でありプランク分布関数により決定されるのでこの分布関数を求めてみよう。
前節のボルツマン因子から n 番目の量子状態にある粒子数の比は

Nn+1= exp (−ℏω/τ )Nnであった。従って n 番目の量子状態にある振動子全体に対する割合はN∑∞ nexp(−nℏω/τ )= ∑∞s=0 Nss=0 exp(−sℏω/τ )また、励起した振動子の量子数の平均は∑s exp(−sℏω/τ )⟨n⟩ = ∑ss exp(−sℏω/τ )であるがと x < 1 の時の無限和の次の公式を使う

∑

xs =

s

∑
1
d ∑ s
x
,
sxs = x
x =
1−x
dx
(1
−
x)2
s
s

(4.21)

x = exp(ℏω/τ ) としてプランク分布関数として
⟨n⟩ =

x
1
1−x
=
1 (1 − x)2
exp(ℏω/τ ) − 1(4.22)

が得られる。よって、角振動数が ωK,p の振動子が熱平衡にあればU=∑⟨n⟩ ℏωK,p =

K,p

∑
K,p

ℏωK,p
exp(ℏωK,p /τ ) − 1(4.23)となるが波数は連続近似して和を積分に置き換える。そのためにモード数密度 Di (ω) を考え、結晶の i 番目の分極が角振動数 ω ∼ ω + dω の間に

Di (ω)dω
だけあることになるので

U=∑∫dωDi (ω)

iℏω
exp(ℏω/τ ) − 1となるのでフォノンの比熱として∑∂U
Clat ==∂Ti∫dωDi (ω)

が得られる。

72(ℏω/τ )2 exp(ℏω/τ )(exp(ℏω/τ ) − 1)2(4.24)

4.3.7周期的境界条件

前節の Green 関数ではクローニッヒペニーのモデルを扱い周期的境界条件に触れた。これは格子振動を基礎にするフォノンにもあてはまる。はじめに 1 次元の場合を考える。
下図のように長さ L で a の間隔を持つ N + 1 個の粒子からなる 1 次元の線を考える。両端の粒子 s = 0, s = N
は固定されているとする。

図 4.12: キッテル固体物理 (上) より
各々の分極 p の基準モード (nomal_mode) は定在波

us = u(0) exp(−iωK,p t) sin(sKa)のように時間振動と空間振動を分離できるとする。これまで見たように K と ω は独立しているわけではない。分散関係で結ばれ、空間的な進行と時間的な進行のマッチング、つまり波の速さが決定される。端点が固定されているこの条件では K は次の条件を満たすことになる。端点で 0 になることから

us = C sin(sπa/L)から

π(N − 1)π,···L
Lである。特に K = N π/L = π/a = Kmax の時はK=(4.25)

us = C sin(sπ) = 0
であり、いいかえると原子はこの時、運動することができない。式 4.25 から自由に動ける粒子は N − 1 個あることになる。これは端点を固定するという要請からおきる。K の許される値に対して定常波が対応しているわけである。1 次元モデルでは格子定数 a とすると

∆K = π/L
毎に 1 つのモードが存在し、K ≤ π/a の範囲に対して単位長さあたりのモード数が L/π である。

K > π/a の時はモードが存在しない。これは次の図のように N 個の粒子が円環上に束縛されている場合と同じになる。

73

図 4.13: キッテル固体物理学入門より
後に光の量子論で|θ⟩ = √

s∑1einθ |n⟩s + 1 n=0

(4.26)のような位相演算子を学ぶ。下図のように s で 1 周するのではなく、s + 1 等分するとこが重要である。

図 4.14: 複素平面上の位相演算子
この位相演算子が粒子数の状態ベクトルの回転の和の形で表されている。
これは

θm = θ0 +
の時に

74

2πm
s+1

⟨θm |θ0 ⟩ =s∑1einθ0 −imθm ⟨m|n⟩
s + 1 n,m=0

s
∑
2πm
1
einθ0 −im(θ0 + s+1 ) ⟨m|n⟩=
s + 1 n,m=0
[
]
s
∑
1
−2πim m=ei(n−m)θ0 Exp
δns + 1 n,m=0
s+1
[
]
s
−2πim
1 ∑
Exp
=
s + 1 m=0s+1=0で直交関係にある。
結晶中の話にもどすと各 K には 3 個の分極 p がある。

2 個が横波、1 個が縦波である。3 次元に拡張してもある特別の方向を選ぶと同じ条件になる。周期的な境界条件があるとu(sa) = u(sa + L)

(4.27)

が常に成立する。進行波の解 us = u(0) exp (i(sKa − ωK t)) に対して許される K の値がK = 0, ±2π4π2nπ, ± , ··· ,2n = N
L
L
L(4.28)である。先に登場した状態数密度関数を使いモードの数を求めると

D(ω)dω =

L dK
L dK
dω =
π dω
π dω/dKとかけるので群速度 dω/dK = 0 となる位置では D(ω) は常に特異点になる。つまり粒子が静止している位置
ではフォノンのモードに意味がない。量子力学では群速度が粒子の位置を表すことになる。この D(ω) は多くの分野で重要な働きを持ち、量子論へのつながりを考える上で重要な物性である。次の節で具体的に考える。

4.3.8

3 次元の状態密度

高温超電導物質がつくられていく過程で次元の働きは相転移にからんで重要な内容であり、さらに現代物理で次元不変なトポロジー構造が問題になっている。その基礎として次に基本格子を 3 次元に拡張し、状態密度を考察する。そこで、ここからは波動ベクトルは 3 次元 K(Kx , Ky , Kz ) であるとする。
一辺 L の立方体が N 3 個の基本格子を持つとし、ここに先の周期的な境界条件を適用する。

exp[i(Kx x + Ky y + Kz z)] = exp [i (Kx (x + L) + Ky (y + L) + Kz (z + L))]となるので式 4.28 に変わる条件としてKx , Ky , Kz = 0, ±

2π
4π
2nπ
, ± , ··· ,2n = NL
L
L

よって K 空間での基本体積として

(
V0 =

2π
L

)3

を考えればこの体積は 1 組の K で決められるために、この体積当たり 1 つの K が入ると考えてよい。
もちろん K 空間であるからこの体積の単位は通常空間の単位の逆数になる。結晶の体積を V75とすると V = L3 だから

(

L
2π

)3
=

V
8π 3

である。波動ベクトルが K 以下のモード総数はこれから半径 K の球の体積を VK として各分極ごとに
( )3
L
VK
4
3
N=
= πK
(4.29)V032πであり、状態数密度がdN
D(ω) == 4πK 2
dω

(

L
2π

)3

dK
V K 2 dK=dω
2π 2 dω(4.30)

となる。

4.3.9

デバイモデル

結晶内フォトンを古典的な連続弾性体のように扱い、各分極において音速を一定と考えるのがデバイ近似である。この近似を考えると分散関係は

ω = vKとなあるので状態密度関数は 4.30 から簡単に K が消えて、D(ω) = V ω 2 /2π 2 v 3となる。N 個の基本格子があるとすると音響モードのフォノンの数はも N 個になったから、式 4.29 からV3
N = 6πとかけるので分散関係を代入すると
2K
3
ωD= 6π 2 v 3 N/Vが得られてこれを切断周波数という。切断波動ベクトルは()1/3
KD = ωD /v = 6π 2 v 3 N/Vとなり、これ以上の波動ベクトルは許容されない。つまり、K ≤ KD のモード数全体が単原子格子の自由度の全てである。
これから熱平衡になったときの熱エネルギーが求められる。
(
)(
)
∫
∫ ωD
V ω2
ℏω
U = dωD(ω) ⟨n(ω⟩ dω =dω2π 2 v 3eℏω/τ − 10
簡単のためにフォノンの速度が振動数の分極の種類に無関係とすると空間自由度の 3 をかけて∫ ω
4 4 ∫ xD
3V kB
T
3V ℏ
ω2
x3
=
U=
dω
dx
2π 2 v 3 0
2π 2 v 3 ℏ3 0
ex − 1eℏω/τ − 1
ただしデバイ温度 (Debye_temparture) を Tθ として

x = ℏω/τ, xD ≡ ℏωD /kB T =からデバイ温度 Tθ は

Tθ =

ℏv
kB

(

6π 2 N
V

Tθ
T

)1/3

であり、2 つの微小な物理定数 ℏ と kB で表される。これから内部エネルギーが( )3 ∫
Tx3
U = 9N kB T
dx x
Tθ
e −1

76

(4.31)

が得られる。N は結晶内の全原子数と考えてよい。積分が適当な条件のもとで実行されれば定数がかかる。
さらに比熱はこれを温度で微分すればよかった。式 4.24 を利用して xD = Tθ /T として

(

CV

)

∫ ω
3V ℏ2
ω 4 eℏω/τ
dω (
)2
2
3
2π v kB T 0eℏω/τ − 1V( ) 3 ∫ xD
T
x4 ex
9N kB
dx
2
Tθ
(ex − 1)
0

=
=

∂U
∂T

=

である。下図がキッテル固体物理にあるシリコンとゲルマニウムの比熱の測定結果である。
高温 T ≫ θ であれば古典的な結果 3N kB に漸近する。

図 4.15: [キッテル熱物理学より]T 3 に低温では近づく
ここで低温での振る舞いについて注目する。次の積分は無限遠領域であれば次のように収束する。無限級数の公式を逆に用いて

∫ ∞
0

x3
dx x
e −1

∫ ∞
=

dx x3

0

∞
∑

exp(−sx)

s=1

[

]∞ ∫
∞
∞
∞
∑
x4 ∑
x4
=
exp(−sx)+dx
s exp(−sx)
4 s=1
4
0
s+1
0
[
]
x4 4!
=
+0
4 (sx)4
= 6

∞
∑
1
s=1
4

=

s4

π
15

よって式 4.31 から

(

U

)3 ∫
x3
T
dx x
= 9N kB T
Tθ
e −1
( 4)
3 4
T
=
π N kB
5Tθ3となるから比熱は

12 4
CV =π N kB
5

(

T
Tθ

)3

が得られる。これはキッテルに紹介されいる次のグラフに見るように実験結果とよくあっている。

77

図 4.16: [キッテル固体物理上より]Ar の低温での比熱変化
これは低温において温度変化が長波長の音響モードしか励起されていないことによる。ℏω > kB T の場合、低波長の高エネルギーのモードは温度が低いため励起されない。
しかし、ℏω < kB T の場合、温度が高くなると高エネルギーのモードが励起されはじめる。
さらに他のモードの影響も入り、自由度が増えてくるために単純にはいかない。
この領域では古典的なモデルに近くなる。特に次の図のように kB T ∼ ℏω の場合に式 4.24 から比熱は一定
で古典的なモデルになると考えることができる。

図 4.17: [キッテル固体物理上より] 占有率の古典論とプランク分布

T 3 の領域に限って考えれば ℏω < kB T の条件を満たす格子モードが励起される。
この時、K 空間で考えると、励起されるモードによって占有される K 空間の体積は
(
)3 (
)3
ωT
KT
VR ∼
∼
ωD
KD
ただし、KT は温度 T で分配されるエネルギーをℏωD = ℏvKT = kB T
として得られる。3 乗であることを次の図のように球の外殻と内殻の体積比になっている。
()3 ( )3
KT
T
=
KD
Tθ

78

この時エネルギーは(U ≃ kB T · 3N

TTθとなるから、比熱が∂U
CV =≃ 12N kB
∂T

)3

(

T
Tθ

)3

となる。

図 4.18: T 3 則と球殻の体積比

4.3.10アインシュタインモデル

低温領域では T 3 則がよくあてはまり、音響モードが励起された。
では光学モードが励起される場合はどう考えたらいいか。これをうまく説明したのがアインシュタインである。
同一周波数 ω0 をもつ N 個の 1 次元振動子を考える。この時アインシュタインの状態密度はD(ω) = N δ(ω − ω0 )の ω0 を中心として広がるデルタ関数で表される。この時系のエネルギーは式 4.22 よりとなる。よって比熱は

(
CV =

∂U
∂T

U

= N ⟨n⟩ ℏωN ℏω=eℏω/τ − 1)(
= N kB
V

ℏω
τ

)2
(

eℏω/τ

)2
eℏω/τ − 1となる。3 次元の場合は自由度を 3N になる。明らかに高温側ではCV ∼ 3N kB
であり、実験をよく表す。しかし低温側ではCV ∼ exp (−ℏω/τ )でデバイの T 3 則からずれる。アインシュタインのモデルはフォノンの光学モードをよく説明している。

79

4.3.11

一般式

フォノンの低温側、高温側をカバーする理論ができたが、そのつなぎをうまく説明するために状態密度関数
をつかう。フォノンの周波数が ω と ω + dω の間にある K の数は幅 dK⊥ の殻を考えて、この体積を数えると(D(ω)dω

=
(
=

L
2π
L
2π

)3 ∫
d3 K
shell

)3 ∫

dSω dK⊥

ここで直交性を使い|∇K ω|dK⊥ = dωところが vg = |∇K ω| は群速度の定義だから

dSω dK⊥ = dSω

dω
dω
= dSω
|∇K ω|
vgとなるので状態密度はD(ω)dω =

∫

V
3

(2π)

dSω
vg

となる。

自由電子気体4.4

金属の古典的な自由電子モデルは Ohm’s law を導いたが伝導電子の比熱と磁化率の説明にいたり困難に出会う。
これは自由電子モデルそのものというより、Maxwell の分布則が破綻したことによる。
古典論では考えられないが金属の伝導電子は原子間距離の 108 倍 (1cm) もの間、他の電子殻に衝突することなく、直進することが実験的に確かめられた。
このように伝導電子にとって金属内が透明に見える原因として• 伝導電子は周期的な格子上のイオン殻で散乱されない。
• 伝導電子はパウリの排他原理により、他の電子に散乱されるだけである。
を考え、これを自由電子フェルミ気体 (free electron_Fermi_gas) という。
簡単のために 1 次元の場合を考える。
これは図のように長さ L の弦のモードに等しくシュレディンガー方程式はHψn = −

h2 d2 ψn
= ϵn ψ n
2m dx2となる。

5非平衡統計熱力学 [91]はじめに歴史的にボルツマン方程式の導出がいかになされていったかを見ることは教育的であろう。

80

5.1

平均自由行程
クラジウスは衝突間に粒子が進む平均距離として平均自由行程を考えた。

これを古典的に粒子が完全剛体として考える。
他の粒子と衝突するまでは粒子は自由粒子として等速 v で運動し、衝突した瞬間に撃力を受ける。
下図のように粒子 A の直径 d 内に入れば衝突がおこる。

図 5.1: [91] より：衝突半径
希薄気体中で 2 体衝突は個々の粒子の存在確率に比例する。また、単位時間あたりに相対的に動く距離と衝突断面積にも比例することになる。そこで 2 乗平均速度を

⟨v⟩ =

√
⟨v2 ⟩

で表す。粒子数密度を n、平均自由行程を l、ΩA を粒子 A の平均衝突頻度とすると

l=

⟨v⟩
ΩA

である。熱平衡状態では希薄気体の相対速度の平均 ⟨vr ⟩ は速度分布関数 f (v) から決まる。
よって、2 つの粒子密度 n に差がない場合、2 つの分布関数 f (vA ), f (vB ) を用いて∫∫
n = dvB f (vB ) = dvA f (vA )となる。よって相互作用の無視できる希薄気体の相対速度の期待値は∫∫
n2 ⟨vr ⟩ = dvA dvB f (vA )f (vB ) |vA − vB |∫∫≃ dvA dvB fM B (vA )fM B (vB ) |vA − vB |となる。
ただし、fM B はマクスウエル・ボルツマン分布である。
粒子 A, B の質量を m として換算質量を

µ=

m
2

とし、全質量をM = 2mとすれば、この衝突系が相対速度と重心速度の系の和になることが利用できる。
重心速度は

VG =

vA + vB, dvA dvB =dVG dvr
2に注意すれば81(5.1)

fM B (VGA )fM B (vr ) = n2(µ )3/2
2πkT

(

M
2πkT

)3/2

[
]
)
1 (
2
2
exp −
M VG + µvr
2kTが成り立つ。よって |vA − vB | = vr 、M = 4µ また、速度空間の体積が次のようになる。

dVG = dVX dVY dVZ
2
VG= VX2 + VY2 + VZ2

さらに相対速度 vr については

dvr =dvx dvy dvz = 4πvr2 dvrとすればガウス積分が利用できて、∫∫
1⟨vr ⟩ = 2
dVG fM B (VG ) dvr vr fM B (vr )
n
[
]∫ ∞
[
]
( µ )3/2 ( M )3/2 ∫ ∞
1
1
2
2
=
dVG exp −M VG
dvr vr exp −
µv
2πkT
2πkT
2kT
2kT r
0
0
)
(
∫
( µ )3/2 ∞
µv 2
= 4π
dvr vr3 exp − r
2πkT
2kT
0
( µ )3/2 ( 2kT )2
= 2π
2πkT
µ
(
)1/2
(
)1/2
2kT
kT
=2
=4
πµ
πm
となる。このような剛体モデルでは図の点線内に入った球が互いに衝突をする。これから衝突断面積 σ はσ = πd2であり、衝突頻度を ν とすると、粒子 A のみの衝突を数えると、半分になり、粒子数密度が 2 回かかるから

1
1
ν = σn2 ⟨vr ⟩ = πd2 n2 ⟨vr ⟩ = 2d2 n2
2
2

(

πkT
m

)1/2

である。1 つの粒子に注目した場合の衝突頻度は(
ν1 = σn ⟨vr ⟩ = πd2 n2 ⟨vr ⟩ = d2 n

πkT
m

)1/2

となる。マクスウエル・ボルツマン分布は次のようになる。

[]( m )3/2
mv 2
exp −fM B (v) = n2πkT2kT
また、この時の根 2 乗平均速度はv 2 = vx2 + vy2 + vz2 = 3v̄ 2であり、微小速度体積空間は負方向を考慮し、2 倍するとdv = 2v̄ 2 dv =

82

2 2
v dv
3

となるから、式 5.1 から

√
⟨v⟩ =
√

1
n

∫
dvv 2 fM B[]
1
dvv 4 exp −
mv 2
2kT
0
√
(
)5/2
1 √ ( m )3/2 2kT
=
π
4
2πkT
m
√ (
)
1 kT
=
2 πm
=

2 ( m )3/2
3 2πkT

∫ ∞

(5.2)

⟨vr ⟩
= √
2
となる。平均自由行程は次のように密度と粒子の径の 2 乗に反比例することがわかる。

ℓ=

⟨v⟩
⟨vr ⟩
1
=√
=√
2
2
ν1
2πd n ⟨vr ⟩
2πd2 n

(5.3)

となる。

5.2

粘性率の大雑把な計算後に必要になる輸送係数を見積もるための大雑把な計算をして、全体を把握しておくことは教育的である。
ここでは文献 [91] での計算を紹介する。
マクロな流線 u = u(z)ex が x 軸に平行に存在したとする。図のようにここで z = 0 の面を通過する分子を考えてみる。

図 5.2: [91] より:ずれた流線中の粒子の運動
分子は前節で求めた平均自由行程 ℓ の距離は衝突しないとする。流束場を z = 0 の周りで展開すると( )∂uu(−ℓ cos θ) ≃ u(0) − ℓ cos θ∂z z=0となる。⟨v⟩ を z = 0 での平均の速さとすると単位時間に z 方向に進む距離は⟨v⟩ cos θ83となる。z 軸周りの対称性が 2π あり、粒子が角度 (θ, θ + dθ) の間にあるときの立体角を(5.4)

2π sin θdθ
の帯と考えると、全立体角は 4π だから、n を分子数密度として、単位面積を単位時間で通過する粒子で角度が (θ, θ + dθ) の間にある分子数がn ⟨v⟩ cos θ

2π sin θdθ4πとみつもることができる。zx 成分は 2 章で扱った応力テンソル Pzx を用いて z < 0, z > 0 に通過する単位
時間当たりの運動量は−d cos θ = sin θdθ
だから

1
∂u
Pzx = − mn ⟨v⟩ ℓ
2
∂z

∫ π

1
∂u
= − mn ⟨v⟩ ℓ 2
2
∂z
1
∂u
= − mn ⟨v⟩ ℓ
3
∂z
∂u
= −η
∂z

dθ cos2 θ sin θ0∫ 1
d cos θ cos2 θ0とするうと η は粘性率で式 5.25.3 を用いて

η=

1√
1
nm ⟨v⟩ ℓ ∼ 2 mkT
3dとなるので粘性率が n 密度に依存しないという少々面白い結果が導けた。

ボルツマン方程式

5.3

前章で、位相体積の粗視化とボルツマン方程式を簡単にみた。ここでは歴史的に振り返る。
ボルツマンは物理の方程式に確率を導入するアイディアを考えた。当時では多くの反対と議論を招くことになる。
今日、量子観測理論の基本である粗視化に彼の考えは受け継がれている。以下で分布関数の積分変数

dvdrの位相体積積分を考えるが、量子論では非交換の関係を持つ

dpdrに対応し、不確定性関係∆p∆r ≥ hに古典的な熱力学の不可逆性を与えようとしたといえる。

1872 年にボルツマンは熱力学第 2 法則を証明しようと H 関数を導入した。
H = −kS
H の定理として H 関数は時間の関数であるが、非増加関数になることを示した。
この H 関数が時間変化をしないのは、速度分布関数が Maxwell 分布の時のみである。

84

ボルツマンは断熱系での非平衡状態が平衡状態に緩和していくという現象を確率論的に説明しようとボルツ
マン方程式を考えたわけである。
はじめに、簡単にこのボルツマン方程式を導こう。図のような剛体球の 2 体散乱を考える。両剛体分子が速′度 v, v1 から散乱によって v, v1 になったとする。相対速度を

vr = v − v1とし、k を共通法線ベクトルとする。
′

v = v + (vr · k) k′

v1 = v1 + (vr · k) k

図 5.3: [91] より:
ボルツマンは希薄気体の分子衝突が 2 体衝突する場合は無相関かつ独立に生じるとした。
そこで単位時間あたりに速度が (v1 , v1 +dv1 ) にある分子と、(v, v+dv) にある分子が衝突し、角度 (θ, θ + dθ)に散乱される確率 P を式 5.4 から速度分布関数を f として

P = f (v)dvf (v1 )dv1 vr I (vr , θ) 2π sin θdθ(5.5)

とおく。b を衝突パラメタとして(
b = d sin ϕ = d sin

π θ
−
2
2

)
= d cosθ2となる。ここで I(vr , θ) と衝突パラメタ b との間には上図 (b) のように

2πbdb = −I (v, θ) 2π sin θdθという関係が成り立つ。剛体分子であれば式 5.3 から衝突面積は

2π sin θdθ = πd2となるので

I (vr, θ) = −

b db
d2
=
sin θ dθ4となり、これを散乱微分断面積という。
稀薄気体の 2 体衝突では、弾性衝突であり、エネルギー保存則から相対速さは衝突前後で変化しないので′

vr = vrが成り立つ。前章での連続の式を導出したときのように位相体積が保存されるとすれば式 5.5 より
′

′

′

′

′

′

′

f (v )dv f1 (v 1 )dv1 vr I (vr , θ) 2π sin θdθ = f (v)f1 (v1 )dvdv1 vr I (vr , θ) 2π sin θdθ
85

′

′

が成り立つ。dv =dv, dv1 =dv1 とすると散乱確率の変化は[ ′ ′ ′ ′]dP = f (v )f1 (v 1 ) − f (v)f1 (v1 ) dvdv1 vr I (vr , θ) 2π sin θdθとなる。衝突していく時間を t として、衝突による分布関数の変化率を [∂f /∂t]c とすると式 3.21 から

[

∂f
∂t

]

∫
= 2π

∫ π
dv1

(
( ′)
)
′
dθI(vr , θ) sin θvr f (v )f1 v1 − f (v)f1 (v1 )0Cとおける。また分布関数の時間微分は外力を Fex として

d
∂f
∂f
∂f
f (r(t), v(t), t) =
+ ṙ
+ v̇
dt
∂t
∂r
∂v
Fex ∂f∂f+ v · ∆f +
·
=
∂t
m ∂v
とかけるから衝突の場合の分布関数の変化は∫

Fex ∂f∂f+ v · ∆f +
·
=
∂t
m ∂v
ただし、微分断面積の積分を

∫
dv1

( ′ ′
)
dσvr f f1 − f f1

(5.6)

∫ π

∫
dσ = 2πdθ sin θI(vr , θ)0で表す。また、今後の表記を
′

′

′

′

f = f (v ), f = f (v), f1 = f (v1 ), f1 = f (v1 )で簡略化する。
この式は確率分布関数を含んだボルツマン方程式である。

5.4

H 定理
前章ではリュービルの定理が成立しているときにはエントロピーは変化しないことをみた。

外力のない系でのボルツマン方程式は分布関数 f (r(t), v1 (t), t) として∂f+ v · ∇f =
∂t

∫ ∫

( ′ ′
)
dv1 dσvr f f1 − f f1(5.7)

で表される。
ただし、ここでの r は空間固定の座標系であらわされる位置変数であることに注意する。
ボルツマンはエントロピー増大の法則を力学的に示そうとした。断熱系で H 関数を∫ ∫H≡
dvdrf log fで定義した。これはギプスのエントロピーや第 9 部で扱うシャノンの情報エントロピーの起源でもある。

s = −k∑Pi log Pi

i

ただし、Pi は状態 i が実現する確率を表す。
ここで H 関数は古典系の連続分布に対する積分で定義されている。
量子系の場合は∫Hf =drdv [f log f + (1 − f ) log(1 − f )]

86

とする。

H 定理は定義した H とエントロピー S が
H = −kSで表され、これは単調非増加関数になる。さらに

dH
=0
dt
となるのはマクスウエル・ボルツマンの速度分布の時のみである。
これを示すのは教育的である。そこでまず次のように微分する。やや技巧的だか ∂f∂t を引き出して、式 5.7 を
使う。

dH
=
dt

∫ ∫

∂
(f log f )
∂t
( )
∫ ∫
∂f
=
dvdr (log f + 1)
∂t
{∫
}
∫ ∫
∫
( ′ ′
)
=
dvdr (log f + 1)
dv1 dσvr f f1 − f f1 − v · ∇fdvdr

ここで領域を十分広くとれば境界からの流れが無視できるとして、第 2 項は面積積分で消せる。
∫ ∫∫ ∫dvdr (log f + 1) v · ∇f =v · ∇(f log f )dvdr∫ ∫=(f log f ) v · n̂dSdv → 0
さらにリュウビルの定理から′′

dv dv1 = dvdv1と時間反転対称性をつかう。表記
′

′

′

′

f = f (v ), f = f (v), f1 = f (v1 ), f1 = f (v1 )に注意すればlog f + 1 =log f =)
′ ′1(
log f f1 + 2
2′′
1(log f + log f1 )2′′
1
log f1 = 1 − (log f + log f1 )2′′

log f + log f1 = −2(log f + log f1 )
1
log
2

(

f f1
′
f ′ f1))( ′ ′)′′
1(
log f + log f1 − log f − log f1 = − log f f1 − 2
2
1= (− log f + log f1 )
2

=

から

87

∫ ∫ ∫ ∫( ′ ′)drdσdvdv1 vr (log f + 1) f f1 − f f1
∫ ∫ ∫ ∫( ′ ′)1=
drdσdv1 dvvr f f1 − f f1 (log f f1 + 2)2
∫ ∫ ∫ ∫
(
)(
)
′ ′
′
′
′ ′
1
=
drdσdv1 dv vr f f1 − f f1 log f f1 + 2
2∫ ∫ ∫ ∫
( ′ ′
)(
)
′ ′
1
=
drdσdv1 dvvr f f1 − f f1 log f f1 + 2
4

dH
=
dt

6

統計力学の原理 [105]6.1

エルゴード仮説
第 9 部で観測の理論、第 8 部ではくりこみ群について学ぶが、その基礎的原理を鈴木増雄氏の良書 [105]を参考にみていきたい。

Heisenberg の不確定性原理ではその系のエネルギーと時間の不確定性は∆E · ∆t > h(6.1)の条件から逃げられない。つまり、系のエネルギーの精度を上げたければ、長い時間が必要になる。これは現実的なエネルギーの測定には必ず誤差があることを考えないといけないとうことである。よってある物理的な観測量 A は1
τ →∞ τ∫ τ

O(A) = lim

A(t)dt(6.2)

0を考えないといけない。ところが我々には有限の時間しかないので現実的に困難になる。
まず、古典的に考えてみよう。N 個の粒子のハミルトン方程式を孤立系のハミルトニアンを H ととし、

∂H d
∂H
d
qk =
pk = −,dt∂pk dt∂qk(6.3)となる。そこでA(t) = A ({qk (t)} , {pk (t)})
がつくれる。式 6.2 を仮想的に解くことを考える。その階は次のように 6N 次元の位相空間になるだろう。

(q1x , q1y , q1z, · · · qN x , qN y , qN z ; p1x , p1y , p1z, · · · pN x , pN y , pN z )これは位相空間内の曲線になる。その軌道は決して交わらない。
エネルギー保存則の成立する面をエルゴード面という。この曲線はエルゴード面上のある領域の各点が式 6.3 に従い、初期条件の下に一意的に決まる。経過時間 ∆t の間に描くエルゴード面上の面積は一定であるとは限らない。
そこで時間変化に対して不変なものを考えよう。
そこで位相空間を Γ 空間といい、分子 1 個に対する 6 次元空間を µ 空間と呼ぶことが多い。
これから次のように 6 次元の体積要素が得られる。

dΓ = dq1 · · · dqN dp1 · · · dpN
式 6.3 によって時間関数dΓt = dq1 (t) · · · dqN (t)dp1 (t) · · · dpN (t)となるが、第 2 部の力学系でみた Liuville の定理からハミルトンフローで、位相体積が保存された。

88

(6.4)

µ
div vH = ∂µ vH= Ωµν ∂µ ∂ν H = 0

よって、時間変化することを強調して、右下添え字 t で表すと

dΓt = dΓである。つまり、位相空間の体積要素は不変であり、不変測度 (invariant mesure) である。
これからエルゴード面の面積要素を dσt とし、法線距離を nt とすると、この不変体積は、次の図のように

dΓt = nt dσt
ただし、

n=

∆E
|grad H|



{(
)2 (
)2 }
N
∑
∑
∂H
∂H

+
|grad H| = 
∂pjk
∂pjk
j
k=x,y,zであり、空間自由度に対する足し合わせも忘れないようにする。

図 6.1: [105] より：2 枚の等エネルギー面を結ぶ垂線の間に体積要素 dΓ をつくる。
従ってdΓ = ndσ =dσ∆E|grad H|

ここで体積要素は時間変化えつくられ、式 6.1 の類推から

dΓ ∼ dτ ∆Eのように表されるとしよう。
これは ∆E を一定とするとエルゴード面上の面積要素 dσ に系が停留する時間がdσ に重み |grad H|−1 をかけたものに比例するとみなせる。すなわち、系は位相空間を等しい確率で動き回ると期待できる。
これを等確率の原理といい、後のボルツマンの原理につながる。
よって観測値は式 6.2 の変わりに有限時間を生きる我々でも扱える次の位相平均の式で与えられる。
一般にエネルギー E を決めれば、物理量 A の位相平均が

89

∫
Ā ≡

H=E

∫
=

∫
AdΓ
A ({qk (t)} , {pk (t)}) dσ/|grad H|
E≤H≤E+∆E∫= lim ∫
∆E→0
dσ/|grad H|dΓE≤H≤E+∆E

Aδ (H − E) dΓδ(H − E)dΓ

ただし、ここでの δ はクロネッカー δ ではない、ディラック δ である。
この位相平均が実際の式 6.2 に等しいとするのがエルゴード仮説である。
一般的な証明は未だ与えられていない。しかし、否定する例外も見つかっていない。

6.2

ボルツマンの原理
前節ではエネルギー E を指定して物理量 A の位相平均を定義した。

ここでは孤立系のエネルギー E を指定し、同じハミルトニアンを多数の系が持つと仮定する。
さらに位相空間 Γ の中でE ≤ H ≤ E + ∆Eの領域では全て等しい配位確率をとるとする。このような集団をミクロカノニカル集団という。
この集団ではエントロピー S もこの集団のミクロな集団で表される。従って熱力学の式から

∂S(E)
1
=
∂E
T
が成り立つ。従って温度 T が与えられればエントロピーも S(E(T )) としてミクロに決めることができる。
ヘルムホルツの自由エネルギーは式 3.8 から

F = E − TSだから、これから系の熱力学的な量はほとんど計算できるようになる。
そこでボルツマンは位相空間 Γ でエネルギーが E と E + ∆E の間にある体積を∫Ω(E, ∆E) =dΓ
E<H({qk (t)},{pk (t)})<E+∆E

を位相空間の適当なセルの体積
3N∆V = (∆p∆q)で割れば無次元の数ができ、これを状態数 W としてW =Ω(E, ∆E)∆Vとした。さらにこれの対数をとり、次でエントロピーを定義した。

S = kB log W
これをボルツマンの原理という。
これは第一部から 2 次元のラプラス方程式

r=√x2 + y 2

として

(

∂r
∂x

(

)2
+

90

∂r
∂y

)2
=1

∂2r
∂2r
1
+
=
2
2
∂x
∂y
r
となるので係数 2 が 1 に変化することが次数に影響し、

∇

2

u=
=
=

)2 ( )2 )()∂r∂r∂u ∂ 2 r
∂2r
+
+
+ 2
∂x
∂y
∂r ∂x2∂y()∂ 2 u ∂u 1
+
=0
∂r2
∂r r
(
)
du
1 d
r
=0
r dr
dr
∂2u
∂r2

((

となる。これから

∂u
1
=
∂r
r
u(r) = c0 + c1 log

1
r

(6.5)

この時も係数を次のように選んだ時、基本解という。

u(r) = −

7

1
1
log
2π
r

相転移 [85]
高校で学習したように圧力 P , 温度 T のグラフで次のような 3 重点 (TP) を含む相図 (phase_diagram)を表す。

図 7.1: 相図
例えば水の三重点は T = 273.16K, p = 0.61kP a と知られている。
相の変化を特徴付けるために秩序パラメータ (order_parameter) を考える。
磁性体の場合は磁化がその役割を担う。さらに後に考える超伝導体では量子論的な位相が相当する。
通常の固体の場合は分子や原子の配位の周期性が秩序パラメタになる。
臨界点付近では次の図のようにエントロピー S、体積 V、比熱 C などの熱力学量が不連続になったり、2 次
微分に飛躍があるカスプ (cusp) が現れる。

91

図 7.2: [85] より
自由エネルギー F の 1 次微分に不連続性がある場合は 1 次相転移 (first-order _tradition) といい。

2 次微分以上に不連続点があれば 2 次相転移 (second-order _tradition) という。
例えば上の図では S, V に飛びがある a,b は 1 次相転移であり、S の傾き不連続のある c は 2 次相転移である。
比熱を温度積分したのが熱量だから d は比熱 C に飛びがあるので 2 次相転移である。
エントロピーが連続であれば 1 次相転移だということもできる。
式 3.9 から体積を一定にすれば自由エネルギーの温度勾配にマイナスをかければエントロピーであった。
(
)
∂F
S=−
∂T V
一方で比熱は式 3.36 から(CV ≡ T

∂S
∂T

(

)
= −T
V

∂2F
∂T 2

)
V

であり 2 次微分になる。
留意することに、同じ物質でも条件によいって 1 次相転移になったり、2 次相転移になったりする。
例えば強磁性体が磁場中にあると外部磁場 H を負から正に変化させると次の図 (b) のように磁荷 m は負の値から正の値への飛びがみられる。
これは 1 次相転移に相当する。
磁場 H が負だとスピンは巨視的なスケールで下向きにそろうが、正になったとたん一気に向きを変えることがわかる。
臨界温度を TC とすると T < TC では外部磁場を H = 0 としても磁化 m は残る。
これを自発磁化 (spontaneous_magnetization) という。
次に外部磁場 H を 0 に保ち、逆に図の (c) のように温度を TC より下げる。
すると自発磁化は 0 から正の値に連続的に変化する。このとき飛びはなく 2 次相転移になる。

図 7.3: [85] より

92

7.1

臨界現象 [85]例えば図 5.1 の気体と液体相の境界線は無限に続くことはなくある温度より上では消える。この点を臨界点という。
例えば水と氷を混ぜて密閉し、真空ポンプで圧力を下げると空気の残った部分に水蒸気が満ち、氷、水、水
蒸気の 3 つの相が一定温度と一定圧力で同時に存在する 3 重点が実現する。このとき、T = 273.16K, P = 0.61kP a
であることが知られている。前節での 2 次相転移は臨界現象を伴う。
例えば磁性体の場合臨界温度を TC とする。外部磁場 H を 0 に保ち、温度 T を TC に上から近づける。
この時、下図のように臨界温度に近くなると、ごく小さな外部磁場 H に対して際も大きな磁化 m を得ることができる。
つまり、磁化率の定義式

m = χH + O(H 3 )(7.1)の磁化率 χ が臨界点付近で異常に大きくなることである。

図 7.4: [85] より：臨界点付近で磁化率が発散する

T ̸= TC ではほぼm∝Hであるが、臨界点上 T = TC では磁化 m は外部磁場 H の 1 次より低いベキの依存性をもつ。(1/δ < 1)m ∝ H 1/δ
これを式 7.1 に代入すると

H 1/δ ≃ χH
χ ≃ H δ −11となるので H → 0 で発散してしまう。
物理的には T > TC では巨視的なスケールでスピンがそうろうとは考えられない。
しかし、微視的にはかなり大きな領域でスピンがそろっているから外部磁場に敏感に反応するので磁化率は大きくなる。
これはスピンのそろい方が局所的に広いレンジでゆらいでいると考えられる。
このゆらぎ (fulctation) が臨界点付近の物性に大きな影響を与える興味ある現象が見られる。
例えば温度を下げて臨界点付近にくるとそれまで透明であった液体が光を乱反射し、白く濁るようになる臨
界タンパク光 (critical opelescence) という現象である。これは揺らぎのスケールとして光りの波長程度の大きさになっていることがわかる。

93臨界現象においてこの揺らぎという語句がよく登場するが、後にしっかり考察する必要がある重要な現象になる。
・エントロピーの変化を伴う、相関距離の変化
・平均値からのずれなどが時に区別なく扱われるので留意がいる。
単位体積あたりの密度の平均値からのずれを 2 乗したものを分散とすれば、物理量の分散が臨界点付近で発散することになる。
臨界点付近でいろいろな物理量がどのように発散するかを表すのに臨界指数 (critical exponent) を用いる。
実験的には発散の度合いは一般に臨界点からのパラメータのずれのべきになっていることが多い。
そこでこのずれを t で表す。ただし、この t は無次元であるとする。よく登場するのは臨界温度 TC を用いてt=

T − TCTC(7.2)とする。比熱は C 、m は自発磁化、G(r) = ⟨Si Si+r ⟩ − ⟨Si ⟩ ⟨Si+r ⟩ を相関関数として−γ(T > TC ) , |t|−α(T > TC ) , |t|χ ∝ |t|C ∝ |t|−γ′(T < TC )(7.3)(T < TC )

(7.4)

1/δ

(7.5)

′

−α

β

m ∝ |t| (T < TC ) , m ∝ |H|(T = TC )のようになることが確かめられている。
ただし、記号 ∝ は比例というより、パラメタ t のべき乗の中で最も強く聞く項のみを表している。
より正確には例えば−γχ = A |t|−γ+1

+ B |t|+ · · · + a |t| + const(7.6)のように展開される。林間点より高い温度 t > 0, 低い温度 t < 0 の臨界指数は普通は同じ値をとるが、自明ではない。
また、臨界指数 α, β, γ, δ の指標も一定とは限らない。例えば磁化 m は臨界点上で非線形な関数になり、その非線形さを δが表す。
相関関数 G(r) は臨界点以外では上式のように指数関数的に現象する。相関長 (correlation_length) をξ とする。
この ξ 以上離れると物理状態の相関は非常に小さくなるが、臨界点に近いとこの距離が伸びて、ついてには発散する。
これを表すのが臨界指数 ν である。
ちょうど臨界点においてはあらゆるスケールの揺らぎが同時多発する。
よって相関関数は指数関数のような急速な変化を示さない。このゆっくりとした減衰を特徴つけるのが臨界
指数 η である。

G(r) ∝ r−τ e−r/ξ (T ̸= TC ) , ξ ∝ |t|−ν

G(r) ∝ r−d+2−η (T = TC )

94

−ν ′

(T > TC ) , |t|(T < TC )7.2

Ising モデル [85]

7.2.1

粗視化

臨界現象では微視的なスケールと巨視的なスケールの揺らぎが同時発生する。これが様々な特異物理現象を引き起こす。
これ単純にモデル化したものが IsingModel である。参照文献 [85] の 2 次元 Ising モデルを引用しよう。
はじめに臨界点 TC より少しだけ低い

T = 0.995TC
を例にして 1 辺の長さが 486 の 2 次元 Ising モデルのモンテカルロシミュレーションをみてみる。スピンは上向きを黒、下向き白の 2 値で外部磁場 H = 0 である。臨界点より低温側にあるので黒は端から端までつながった秩序状態ができている。
一方白のほうはとぎれとぎれの固まりで格子点約 10 個程度の広がりを持つものが多い。これが相関距離 ξに相当する。

ξwhite = 10
ξBlack = ∞図 7.5: [85] より:T = 0.995TC の場合、粗視化を繰り返すと黒 1 色になる。
ここで粗視化 (coarse graining) を考える。
ブロックスピン変換 (block_spin_transformation) と呼ばれる方法で次の図のようにランダムである 1 点を選びその周囲 3 × 3 の枠内のみを考え、白が多ければ全てを白に、黒が多ければ全てを黒にする。基本的な領域は別に 3 × 3 である必要はない。
ただし、n × n の領域を変換すると、相関距離が 1/n になることに留意する。

図 7.6: [85] より:粗視化の例
このブロック変換を全領域で 1 回おこなうと図の (b)、さらにもう 1 回おこなうと (c),(d) のようになり、最終的にほとんど全域が黒になる。これはくりこみ (renormalization) のやり方と同じである。
ブロック変換の操作は、この場合黒の領域を広げることになり、それは温度を下げることに等しい。
最終的に黒のみになった場合はそれ以上進行せず、絶対零度になったことに対応する。

95つまり、臨界点以下では粗視化を繰り返すと有効温度有効温度は下がり、臨界点以上では有効温度が上がったと考える。
興味あるのは臨界温度に等しい場合の粗視化である。

T = TC の場合、次の図にみるように粗視化を進めても白黒の比は変化しない。
黒がやや優勢で出発したので、粗視化を進めても、そのまま黒は巨視的に連続している。しかし、白の島は局所的に残り続ける。

図 7.7: [85] より:T = TC の場合、粗視化を繰り返しても黒優勢が変わらない。
これは臨界点上ではどちらの色も微視的な長さから巨視的な長さの両方を持っていることによる。このときの有効温度は変化しない。
次に臨界点より高い温度 T = 1.05TC の場合を見てみる。
同様にブロック変換を繰り返すと白一色にはならないでバラバラの状態になっていくのがわかる。これは高温になるほどスピンは上か下かに留まることなく、高速で揺らぐと考える。

図 7.8: [85] より:T = 1.05TC の場合、粗視化を繰り返すとバラバラの状態になる。
この場合最終的に相関距離はブロック１程度まで短くなる。
以上のように臨界点をみつけるためにはは温度と相関距離の関係を調べればよいことがわかる。
パラメータが空間のスケーリングとどう関係するかを表す式が第 8 部であつかう、くりこみ群方程式 (renor-

malization group equation) である。
さらに重要なことは普遍性 (universality) があることである。
臨界現象を特徴つける指数を式 7.2 のように臨界指数としたが、これは系の次元や対称性などの単純な指標にのみ依存する。

Ising モデルも例えば共通の 3 次元で考えれば、磁性体モデルや、液体気体のモデルと同じ現象を記述できる
のである。

96

さらに臨界指数だけではなく、臨界振幅 (critical_amplitude) と呼ばれるものも系の詳細に依存することなく普遍性を示すことが知られている。
これは式 7.6 の係数 A の高温側と低温側の比である。

r=

At>0
At<0

情報を消失していくことと同時に 1 つの共通したスカラー量を導いていることが関係している。これは粗視化という操作にもう少し深い考察が必要であることを示唆している。後に考察を深めたい。

7.2.2

Ising モデル

前節で臨界指数を計算するためには、物質系のハミルトニアンを複雑に構成しなくても、本質的な特徴を見いだせば Ising モデルのような単純なモデルで十分実用になることを見た。具体的にその方法をここでは考える。

図 7.9: [85] より：2 次元正方格子と最近接対 ⟨ij⟩
格子点を Si としてはじめに 2 次元のモデルを考えよう。これは磁性体や、2 元合金などに応用できる。

Si = ±1しかとらない。

J を相互作用の強さを表す定数、⟨ij⟩ は相互作用している格子点の最近接組である。
磁性体の場合は J が正なら強磁性体、負なら反強磁性体と考えればよい。

h を外部磁場としてこの系のハミルトニアンを H とする。
臨界現象を調べるためのハミルトニアンは外場と格子間相互作用のみであるから

H = −J∑Si Sj − h

∑

⟨ij⟩

Si

(7.7)

i

とおける。以下で見るようにこのハミルトニアンの形式は普遍的でこれからいたるところで登場する。
後の第 8 部では。E と Hermite 計量 h 与えられたとすると一意的な Hermite 接続が存在することが示される。
曲率はその Hermite 接続で定義できる。

{ê1 , · · · êk } をユニタリー・フレームとし局所接続形式 Aβα を∇êα = êβ Aβαで定義する。この時の場の強さ F はF ≡ dA + A ∧ A
で定義することができる。

97

H = −mFとすれば式 7.7 の形式になる。
また、次元に無関係に成立する例として次部でポアンカレの補題を扱う。

M を n 次元多様体とし ω が p 次微分形式で ω = dθ とかければ d (dθ) = 0 であった。
この逆が成り立つがどうかの Poincare の補題である。その過程では次のような考察をする。

dω = 0 なら適当な関数 f が存在し、ω = df とすることはできたが、例えば x-y 平面から原点を除いた領域
で次の関数を定義すると

ω=−ydx + xdy
x2 + y 2(7.8)

これは 1 次微分形式であり、dω = 0 になるが、ω = df の形には書けない。
そこでまずホモトピー作用素を単位区間 I = [0, 1] として多様体 M との直積を考える。
このシリンダーのような図形の上面と下面を次の写像によって M と同一視する。

x0 =1

x0 =0

M

x
図 7.10: 多様体 M と I の直積空間

j を次のように直積をつくる作用素として

j0 : M → I × M ; j0 (x) = (0, x), x ∈ M
j1 : M → I × M ; j1 (x) = (1, x), x ∈ M(7.9)

K : Ap+1 (I × M ) → Ap (M )(7.10)

ホモトピー作用素 K をとし、区間 I のパラメタを t として I × M 上の (p + 1) 次微分形式を ω ∈ Ap+1 (I × M ) は

ω = ω1 + dt ∧ ω2

(7.11)と表すと dt は 1 形式であるはずだから M を n 次元多様体としたので

dt = dθ1 ∧ · · · ∧ dθn(7.12)と書ける。ただし ω1 , ω2 は t を含んでも dt を含まないとする。つまり t に沿って見るとすでに ω は足しあ
わされたものである。
これは ω1 空間が基本区間に対して閉じていることになるのでこれは見方によっては粗視化である。

98

∫1
0

ω1 = 0 である。

具体的な例

7.2.3

A, B の 2 元合金の場合
Si = 1 は i 格子点に A 原子、Si = −1 は i 格子点に B 原子があるとする。
相互作用の強さ J は

JAA , JAB , JBBの 3 種類が隣同士のみに働くと考える。

図 7.11: [85] より：体心立方の AB モデル、左は無秩序、右は秩序状態
この時のハミルトニアンの期待値は式 3.2 から多重度関数が簡単な積になるので

H=

1∑
1∑
1∑
JAA (1 + Si )(1 + Sj ) +JBB (1 − Si )(1 − Sj ) +JAB [(1 + Si )(1 + Sj ) + (1 − Si )(1 + Sj )]
4
4
4
⟨ij⟩

⟨ij⟩

⟨ij⟩

となる。ここで次のようにまとめるとJ = − (JAA + JBB − 2JAB ) /4
h ∝ JBB − JAA
次のよう式 7.7 に同じ形になるのが特徴である。

H = −J∑Si Sj − h⟨ij⟩∑

Si + Const.

(7.13)

i

液体・気体の臨界現象の場合
この場合は格子気体 (lattice gas) と呼ばれる模型である。
これは 3 次元 Ising モデルであるが液体、気体共に 1 成分の系として考える。液体や気体の分子は連続的に空間に分散しているが、臨界現象においてはあらゆる波長の揺らぎが生じる。特にこの場合は長波長が重要になる。
そのため、短波長を無視し、空間を離散化すれば Ising モデルが利用できるというわけである。

Si = 1 は i 格子点に分子がある場合、Si = −1 は i 格子点分子がない場合とする。
また、分子が隣あって存在するときに相互作用 −ϕ が働くとし、系の化学ポテンシャルが µ で与えられていれば

H = −ϕ∑1⟨ij⟩

2(1 + Si ) ·∑1
1(1 + Sj ) − µ(1 + Si )22i(7.14)

この場合も展開して、係数をまとめてしまえば

H = −J∑Si Sj − h

⟨ij⟩

∑
i

の形になる。

99

Si(7.15)

さらに密度を ρ とし、v0 を単位体積とすると、この場合の 1 格子当たりの分子数の熱平均が

ρv0 =

1
(1 + ⟨Si ⟩)2となるので、磁化モデルと比べると磁化 m = ⟨Si ⟩ と気体の密度が対応していることがわかる。
スピン 1 モデル
スピン変数が Si = ±1 の 2 値しかないモデルを中心に見てきた。スピン 1 のモデルでは

Si = −1, 0, 1の 3 つの値を持つ。この時は交換相互作用と外部磁場の影響以外に異方性の影響が効いてくる。
したがって定数ではない係数 D(ij) が加わり、ハミルトニアンは次のようになる。

H = −J∑Si Sj − D(ij)

∑

⟨ij⟩

Si2 − h

∑

i

Si

i

となる。

平均場理論

7.3

平均場理論 (mean-field theory) は Isng モデルとよく似ている。
下図のように格子点中心の 1 つのスピンのみ注目し、その周囲は平均値で置き換えてしまおうという方法である。

図 7.12: [85] より：周囲のスピンの値は全て平均値とする
まず、Ising モデルのハミルトニアンを

H = −J∑Si Sj − h

⟨ij⟩

∑

Si

(7.16)iのようにおく。次に平均値をm = ⟨Si ⟩(7.17)とし、そのまわりの揺らぎ (平均値からのずれ) を δSi とすると

δSi = Si − ⟨Si ⟩
Si = m + δSiとおける。これで δ 2 以上は無視してしまおうというわけである。格子点の総数を

NB =

∑

1

⟨ij⟩

とする。図の灰丸のように最隣接格子点の相互作用のみ考えることにすれば

100

H = −J∑(m + δSi ) (m + δSj ) − h⟨ij⟩≃ −Jm2 NB − Jm∑∑i(δSi + δSj ) − h

Si
∑

⟨ij⟩

Si

i

とできる。ただし、スピン数の総数 NB は

NB =

∑

1

⟨i,j⟩

最近接の相互作用のみを考える場合 NB は格子上のボンドの数と考えればよい。
以下では最近接を考えるとすると、ひとつのサイト i に注目すると次の図のように上下左右の 4 つを考えればよい。
この数 z を配位数 (coorination_number) とする。下図では z = 4 である。

図 7.13: [85] より：相互作用の単純化
従って、ハミルトニアンは

H = −Jm2 NB − Jmz∑

δSi − h

∑

i

Si

i

となるので δSi = Si − m を用いて

H = NB Jm2 − (Jmz + h)∑Si

(7.18)i

ただし、NB = zN/2 であり、正方格子であればスピン総数 NB = 2N である。
この式はスピン Si の相互作用の影響は強さ Jmz の外場があるとした影響と同じあることを意味している。
このような磁場を有効磁場 (eﬀfective_field) という。
この形の平均場理論を分子場理論 (molecular-field theory) という。
ここでのスピンは式 7.17 で大局的な統計量 m で与えていることに注意する。
従ってこれを決めるのは観測値ではなく、次の統計的期待値となる
自己矛盾方程式 (self-consistent_equation) を用いる。

∑∑∑
S1 =±1S2 =±1 · · ·SN ±1 Si exp (−βH)∑∑
m= ∑S1 =±1S2 =±1 · · ·SN ±1 exp (−βH)∑
β(Jmz+h)SiSi e= ∑Si =±1 β(Jmz+h)S = tanh β(Jmz + h)i
Si =±1 e(7.19)

全ての Ising スピンについて ±1 の値の和をとることになる。しかし、Si 以外は分母分子で打ち消し合い、Siの和のみをとる。

101

指数になっているのでこのような技巧が使えることに注意する。
これは自身の値を決めるのに自身の値をもちいている。2 つの方程式の交点とみなせば次の図ようになる。

(h=0)

図 7.14: f = m, g = tanh β(Jmz + h)、のグラフ h の値で g が左右に動くため、解が 1 つになる領域もある

β = 1/kB T だが以下では簡単のために kB = 1 とすることがある。
式 7.19 は状態方程式 (equation_of_state) と呼ぶことがある。
上の図のグラフ g 傾きが βJmz に対応しているために、傾きが小さいと交点は 1 つになる。この時は臨界よ
り低温と考えβJz < 1
であり、交点が 3 つ現れるところでは高温と考え

βJz > 1
となる。

7.4

臨界指数

平均場理論での臨界指数の振る舞いをここでは見る。温度が低温側から TC に近づくにつれて磁化 m が 0 になる成り方を見る。

h = 0 として式 7.19 を展開すると sinh 側が強く効くので
m = βJzm −13(βJz) m3 + · · ·3(7.20)となるので臨界点以下の m ̸= 0 として、両辺をまず m で割り、m について解くというやり方をつかうと

m2 =3(βJz − 1)(βJz)

ここで式 7.2 の臨界指数を考えて式 7.5 よりt=TC − TTC
102

3

|t|β = m
TC = Jz

β = 1/T
とすると

√
m=±

3(TC /T − 1)
3

(TC /T )√3(T 2 TC − T 3 )TC3√
T3(TC − T )
=±
TC
TC
=±

(7.21)

臨界温度付近ではm ∼ t1/2とみなせるので臨界指数は 1/2 である。
次にで磁化率 χ の振る舞いを見るために展開の仕方を h ̸= 0 として h, m が同じオーダー程度で十分小さいとすると式 7.19 の mh 展開は cosh 側が強く効くので

m = βJzm + βh + · · ·(7.22)となる。よって式 7.3 より

χ = |t|−γ
また、m = χh として磁化率を見ると式 7.22 は

TC
1
χ+
T
T
(
)−1
1
TC − T1
χ==−T − TCTCTCχ=となる。これを T > TC から見れば γ = 1 である。
これは sin, cos の展開ができる型であれば幅広く応用できる。
さらに比熱の振る舞いを考えると式 7.18 で h = 0 とすると

H = NB Jm2 − Jmz∑

Si(7.23)i

臨界点以上 T > TC では m = 0 とできるので H = 0 である。よってエネルギーが 0 であれば平均場近似では比熱も常に 0 になる。
しかし、臨界点以下 T < TC となれば m ̸= 0 となるので比熱も 0 にはならない。
この時、式 7.4 から

C = |t|−αH∝Cとおくと式 7.23 に、式 7.21 を使うとC ∼ TC(TC − T )= TC − TTC
103とみなせる。これから図のように比熱は臨界点以下で線形に変化し、臨界点ではギャップができる。

図 7.15: [85] より：平均場近似では比熱が臨界温度で飛ぶ
次に臨界点での磁化を考える。臨界点 T = TC での磁化依存を決定する臨界指数を δ とする。
ここでは m と h が小さいとして残して、状態方程式を 3 次まで展開する。

m ∼ βC (Jzm + h) −3
βC3(Jzm + h)
3

ここで

βC =

1
1
=
TC
Jz

で置き換えると}
1{
3
2(βC h) + 3 (βC h) m + 3 (βC h) m2 + m33と近似できるので、式 7.19 の定義から h ∼ mδ とおいて両辺の m のベキのみを拾うとβC h ∼mδ = m3δ + m2δ+1 + mδ+2 + m3となる必要がある。これから

δ=3となることがわかる。以上から平均場理論の臨界指数が次のようにまとめられる。
臨界指数 平均場理論での値

8

α

0

β

1
2

γ

1

δ

3

超伝導の基礎 [13]近年では高温 (100K) 程度の領域で銅系酸化物、鉄系酸化物から超伝導状態をつくる物質がつくられるようになった。しかし、その理論的な背景は未だ混沌としている。はっきりしていることは• 超伝導はクーパー対が引き起こし、非対角的な長距離秩序が成り立つ。
• 超伝導の対称性は dx2 −y2 であらわされる d 波で単一クーパーペアから生じる。
• 超伝導は反強磁性モット絶縁体にキャリアをドープした時に生じる。
等がある。
まず超伝導の基礎を復習する。物性論の基礎にはキッテル固体物理、熱物理という名著があり、ここでも多く引用をする。南部-ゴールドストン粒子のように素粒子論のアイディアが電子物性から生まれる例は多々ある。物性研究を目指すものでなくてもこれらの書物は一読することを勧める。

104

8.1

Gibbs の自由エネルギー

超伝導磁性体の結晶を考える。格子の単位セル当たりの平均磁束密度を B とする。ここでは熱的平衡状態を考えるので平均の記号は省略することにする。平均磁束密度 B は系に外から加えた磁場 Ho と単位体積当たりの磁気モーメント M を用いて

B = µ0 (Ho + M )(8.1)

ここで結晶中には次部で扱うブロッホ電子波束が格子定数程度の範囲に局在している。
重要なのは H 場ではなく、B 場が Lorentz 力の原因となるので、改めてこの B を磁場と呼ぶことにする。
ここでは自由エネルギーでも Gibbs の自由エネルギー G を用いる。前部から
)
(
)
(
∂G
∂G
, S=
V =
∂P T
∂T P
と表すことができた。
固体は凝縮状態にある。これは体積変化をしにくいことから次で定義される圧縮率()
1 ∂VKT ≡ −V ∂P Tが非常に小さいということである。そこでここでは非圧縮性固体

KT = 0を仮定する。したがってこの場合は外力とのつりあいから仕事 W について

dW = P dV = −µ0 Ho dMが成り立つと考えると

dU = T dS + µ0 Ho dMと書き直すことができる。よってギブスの自由エネルギーはG≡ U − TS + PV
= U − T S − µ0 Ho M

で再定義する。これから新たに

dG = −SdT − µ0 M dHとなる。よって非圧縮性磁性体が外部磁場中にある場合は新たに G(H, T ) として
)
(
)
(
∂G
∂G
, S=
µ0 M =
∂P H
∂T H

(8.2)

(8.3)

となることがわかる。

8.2

第 1 種超伝導体

はじめに弱い磁場が超伝導体の長い棒に沿って印加する場合を考える。Meissner 効果により、磁束は棒から排斥されるので棒内部に磁場 B は存在しない。この時、磁荷 M は式 8.1 からB= µ0 (Ho + M ) = 0

M= −Ho , |Ho | < Hc105である。この関係は臨界磁場 Hc を印可磁場 H が超えるまでは変化しない。ところが、印可磁場を強くし、臨界を超えると常伝導体になりB = µ 0 Ho , H o > H cとなる。この様子を下図左に磁場 B 、右には磁化 M を図示している。これは外部磁場 Ho の減少、増加に
よってどちら向きにも変化する。

図 8.1: 第 1 種超伝導体の磁化曲線
この時、自由電荷の運動がおきるので磁化 M は反磁性的に振る舞う。磁化率 χ はM ≡ χHで定義されたから Ho < Hc の時は

χ = −1であり、完全反磁性体である。図右のように磁化 M に飛びがあるような相転移は 1 次相転移である。
超伝導状態のギブスの自由エネルギーを GS , 常伝導状態を GN で表す。
超伝導体に磁場を等温的に加えるとどうなるだろうか。式 8.2 から χ = −1 の場合は
∫ Ho
GS (T, H) − GS (T, 0) = −µ0
M dH
0

∫ Ho
= µ0

HdH
0

=

1
µ0 Ho22と簡単に求まる。このエネルギーは超伝導体がない時の一様磁場の配置から超伝導体のある場合の非一様磁場を作る時に必要な単位体積当たりの磁気エネルギーとみなせる。
現実にはエネルギーの低い状態が実現されるので臨界磁場 Hc 以下では Gs < GN でなくてはいけない従って自由エネルギー G のグラフは次のようになる。

図 8.2: Gibbs 自由エネルギーの変化

106グラフから臨界磁場において

GN (T, H) − GS (T, 0) =1
µ0 HC22

絶対零度では内部エネルギー U は導体の基底エネルギー E に等しいから

EN − ES = UN − US =1
µ0 H02 (T = 0)2であり、これから臨界磁場 HC を求めることがきる。
相転移の次数は磁化 M すなわち、自由エネルギーの微分が不連続になる微分の次数で定義される。
()∂G
M = −µ−10∂H T
全ての第 1 種超伝導体は類似した磁気的な振る舞いをする特徴がある。臨界磁場 HC は温度の関数であり、

2 流体モデルから次節で導くの Groter-Gasimir の式が導かれる。
(( )2 )
T
HC = H0 1 −TC
これは物質の相違に依存しない。超伝導の微視的理論はハミルトンモデルで近似できることを示唆している。
後節で半古典的な超伝導の説明モデルを紹介する。

8.3

凝集エネルギー

8.4

2 流体モデル

超伝導では熱力学的にエントロピーを運ばない超伝導粒子 NS が存在し、さらに通常のエントロピーを運ぶ
常伝導粒子 NN も存在するとして 2 種類の流体の混合として超伝導のモデルを考えよう。
全体の粒子数は N として次のように比率を定義しておく。

nS ≡

NS
NN
N − NS, n N = 1 − nS ==NNN

前部の熱力学から比熱 CV はエントロピーを S, 自由エネルギーを g として式 8.3 から
)
(
)
(
1 ∂SN
∂gN
, CV = −
SN =
∂T V
T
∂T V
であり、通常の電子比熱論から比熱は温度の一次関数になるので γ を Sommerfeld 定数として

CV = −T∂ 2 gN (T )
= γT
∂T 2

が成り立つはずである。この両辺を T で積分すると∫ 2
dgN (T )∂ gN (T )dT == −γT − SN (0)2∂T
dT
さらにもう一度 T で積分すると∫
dgN = gN (T ) − gN (0) = −γT2
− SN (0)T2

ここで Nernst の熱定理から SN (0) = 0,gN (0) = 0 と初期条件を決めればgN (T ) = −γ
107

T2
2

となる。また、前節の電子モデルから

gS (T ) = gN (T ) −1 2
H (T )
8π Cが成り立つ。ここでは混合モデルを考えているので混合させるための関数 F, G を仮定し、

gS (T, nS ) = F (nS (T ))gS (0) + G(nS (T ))gN (T )とおけるとする。ただし、関数 F, G はF (0) = 0, G(0) = 1
F (1) = 1, G(1) = 0(nS = 0)(nS = 1)

を満たすことが条件である。

8.5

金属の自由電子モデル

前部で化学ポテンシャルについて触れた。これを一辺 L の立方体中の自由電子系に応用しよう。
やや乱暴には自由電子の理想気体を考えることになる。
この時のハミルトニアンは相互作用を無視して、単純に次のように置く。

∑ p2j

H=

2m

j

運動量の固有状態は p = ℏk を用いて
(
)
(
)
(
)
2πℏ
2πℏ
2πℏ
px,j =
j, px,k =k, px,l =lL
LLを満たす。また、固有エネルギーについては各軌道の占有数 nκ ≡ npκ が 0 または 1 をとる集合 {nκ } を考えて状態ベクトルを簡単に|{n}⟩ ≡ |{nκ }⟩を用いてE({n}) =∑ϵκ n κ

κであり、全電子の個数 N は

N=

∑

nκ

κ

である。系の熱的性質は前部のグランド分配関数を用いて α = µN/τ, β = 1/τ として

ZG =

∑

exp [αN − βH]

ASMであったから、これから得られる密度演算子は

ρG =exp [αN − βH]
T r[exp [αN − βH]]であり、これをグランドカノニカルアンサンブル密度演算子という。フェルミ粒子の場合は前部のフェルミ
分布 fF を用いて⟨nκ ⟩ ==

T r[nk exp(αN − βH)]0 + exp(α − βϵκ )=T r[exp(αN − βH)]
exp [α − βϵκ ] + 1
1= fF (ϵκ )exp [βϵκ − α] + 1
108

8.6

フラクソイド超伝導をクーパー対で説明するモデルを考えよう。そこで質量は 2m、電荷-2e の荷電粒子のベクトルポテ

ンシャル下の運動を考える。速度 v は

v=

1
2e
1
(P − ) =(−iℏ∇ − 2eA)2mA2mとおける。超伝導、常伝導状態密度を ns , nn とすると、超伝導状態はクーパー対をつくるから

ϕ=√nn eiθ , ns = 2nn = 2|ϕ|2

また、∇eiθ = i∇θ · eiθ
だから、電流密度 j は

j = nev = 2eϕ∗ vϕ ===e(−iℏϕ∗ ∇ϕ − 2eϕ∗ Aϕ)m

enn ℏ
2nn e2
∇θ −
A
m
m
ns e2
ens ℏ
∇θ −
A
2m
m

次に図のような超伝導リングを考える。

図 8.3: リング上の内部に超伝導電流が流れる。
はじめに外部電場は 0 とすれば電流はないので j = 0 として

j =
0

=

ens ℏ
ns e2
∇θ −
A=0
2m
m(
)
1
1
e
ℏ∇θ − eAℏ∇θ − A; GaussU nit
22cとなる。これからリング 1 周したときに位相変化が観測できて

∇θ =

2eA
ℏ

が切断の条件になり、この時、ストークスの定理から

I
2e
Adℓ
∇θdℓ =ℏ
I
2erotA · dSℏ∫2e
H · dS
ℏ S

I
δθ

=
=
=

109

アンペールの法則からこのリング内の磁束を Φℓ とすると
∫
2e
2e
δθ =
H · dS = Φℓ
ℏ Sℏが得られる。量子化はここに波動関数 ϕ に一価性を要求し、

δθ = 2nπとすることで

Φℓ =

2nπℏ
h
=n
2e
2e

となる必要がある。そこで基本単位

h
Φ0 =
2e

(

hc
; GaussU nit
2e)= 2, 07 × 108 [wb](8.4)

をフラクソイド (Fluxoid) 量子磁束と呼ぶ。これにより磁束は

Φℓ = nΦ0のように量子化される。常伝導電子の場合は 2e が e となるので実験的観測しやすい。

8.7

Hall 絶縁体
最近では 2 次元電子系では幾何学的な位相効果において興味ある実験結果が報告されてる。これらは超伝導の研究過程で発見されていて、その 1 つが整数量子 Hall 効果である。
半導体界面に形成される 2 次元電子系を極低温にして強力な磁場をかけるとその抵抗および Hall 抵抗がある
有限の磁場範囲で伝導率 σxx = 0 が実現され、かつ、Hall 伝導率 σxy が次のような整数 N で表される。

σxy = Ne2h

これを整数量子 Hall 効果という。整数 N は第 N 番目までのランダウ準位まで電子が詰まっていることを意味する。これは 2 次元においては伝導度 (抵抗) と伝導率 (抵抗率) が同じ次元を持つことから Hall 抵抗率とHall 抵抗が一致する。また、伝導率では σxx = σxy = 0 であることが大きく寄与し、トポロジー的な関係があることを示唆する。以下では e = −|e| < 0 とし磁場は +z 方向のみにかかるものとする。

8.8

完全電気伝導性

多くの遷移金属とある種の化合物を冷却していくとある温度で突然電気抵抗率が 0 になることが発見された。
この時の温度を転移温度 (transition temperture) という。この時次のオームの法則が成り立つと仮定する。

j = σE
ただし、電気伝導率 σ は電気抵抗率 ρ との間に

ρ=

1
σ

という関係がある。これからもし、電気伝導率 σ が σ → ∞ になり、j が有限であるとするとE=0が伝導体内部で成り立たなければならない。Maxwell 方程式によれば∂B= −∇ × E∂t
110

が成り立ったから

∂B
=0
(8.5)
∂t
である。この時の伝導体は超伝導体で ρ = 0 である完全電気伝導体 (perfect electric_conductor) という。
つまり古典的に超伝導体に転移すると一切磁束変化が起こらないことを意味する。そこで図のような 2 つの場合を考える。
１つ目は図左のように磁場が無い状態で完全導体の温度を常温から下げていく。転移温度 TC 以下になったところで外部磁場 H を加える。すると磁場を与える前の磁束密度 B = 0 を保つ向きに物体表面に電流 j が流れる。この状態で外部磁場 H を少しずつ現象させ、温度は臨界以下に保ったまま、H = 0 にすると、j = 0 の最初に戻すことができる。

2 つ目は図右のよに最初に磁場をかけておいて同じ完全導体を TC 以下に冷却する。すると導体内部の磁束はその後も変化することがない。従って、この状態で温度は臨界以下に保ったまま、外の磁場を H = 0 にすると内部磁場を維持するために電流 j が生じる。この向きは 1 つ目と反対である。低温においては磁場を加える、温度を変化させるの順序により電流の向きが反対になるという操作順の影響が出ている。

図 8.4: 操作順により電流の向き、結果の違い、文献 [13]より引用

また、T > TC で長伝導体を磁場に入れ、冷却していく。T = TC になった瞬間、超伝導体表面に電流 js が生じて内部の磁場を完全に打ち消す。これも超伝導体の著しい特徴で完全反磁性であり、この性質を Meissner-eﬀectと呼ぶ。これらの実験事実は式 8.5 の解が超伝導体内部において

B=0となることを示す。先の完全導体の場合をは異なり、超伝導体では温度を下げてから磁場を加えるか、その前に加えるかの順番に依存しない。外部磁場と温度により一義的に決定される。
これは超伝導が熱力学でいう相転移 phase-transition としてとらえられることを示唆する。超伝導体になるためには臨界温度以下である条件だけではなく、臨界磁場 critical magnetic field が必要で実験的に次のように近似される。

(
HC (T ) = HC (0) 1 −

(

T
TC

)2 )

この式の HC (0) は絶対 0 度における臨界磁場である。第 1 種超伝導体では数百 Oe でこの実験則はパラボ
リック則と呼ばれている。下図が第 1 種超伝導体の相図になる。

111

図 8.5: 文献 [13]

より引用

比熱

8.9

超低温下の比熱の振る舞いはさらに興味深い。零磁場における金属超伝導体の比熱の温度依存性の実験結果を示す。T > TC の領域では常伝導体の定積比熱 CVN は電子比熱論に従い、温度 T に比例した振る舞いになる。しかし、次の図のように T < TC で超伝導体になると比熱 CVS は不連続な跳びを示し、その後指数関数的な変化()
CVS ∝ exp − kB∆Tとなる。

図 8.6: 文献 [13]より引用

ただし、超伝導体は熱に関しては不良導体として振る舞い、熱電気効果を示さない。つまり、電流が熱を運
ぶことはなく、超伝導電子はエントロピーを運ばないという著しい特徴がある。

8.10

永久電流

前節で穴のない球体の超伝導を考えた。ここでは穴のあるトーラス型を考え、幾何的な影響をみていこう。次の図のように超伝導リングを TC 以上の温度で磁場内に置き、温度を下げていく。TC 以下になるとマ
イスナー効果でで磁場が押し出される。その後、外部磁場を 0 にすると磁束は超伝導体を通り抜けられないのでリング内には超伝導電流が残り、その結果、磁束は保持される。従って TC 以下を保つ限り、永久電流(presistent current) として保持される

112

図 8.7: 文献 [13]より引用

また、超伝導リングに補足された外部磁束と、超伝導磁束の和をフラクソイド (fluxoid) といい、前節の式

8.4 からh∼ 2.07 × 10−15 [W b]2eに量子化される。これを応用し、薄い絶縁体を超伝導体で挟むと外部電圧がなくても超伝導電流が生じる。
Φ0 =これを直流 Josephson 効果という。さらに外部電圧があると

fJ =

2eV
h

で表される交流超伝導電流が流れる。これを交流 Josephon 効果という。

参考文献
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