MRCM によるフラクタル画像の生成
小島菜摘

1(指導教官: 金子 晃)

はじめに

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自然界のあらゆる場面では, フラクタル図形（どんなに拡大しても複雑な図形）が見られるとされ, 自然科学の新たなアプローチ手法とされてきた. 更に, コン
ピュータグラフィックスにおける自然物形状の生成アルゴリズムや, 株価の動向など社会的な現象などへの応用も注目されている. 今回はフラクタル描画手法の一つとして,IFS を利用したものを取り上げ, その生成原理を調べる. 平面でのフラクタル画像を計算し, 描画することを目指す.

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MRCM のレンズシステムは, 平面でのアフィン線形変換を用いている. 座標を x 軸,y 軸とし, その平面上の点を P とする. よって,P = (x, y) と書ける.
すべての点は実数による四則演算が可能であり,P1 + P2 = (x1 + x2 , y1 + y2 )sP = (sx, sy)と表される.
線形変換 F は, すべての点 P に F(P) を対応させるもので, 縮小・回転・反転を実現でき, 行列により表現される. さらに, 点 Q の座標値を与えて加えることで, 平行移動変換もできる. よって, アフィン線形変換 w は 6つの変数によって与えられ, P = (x, y), w(P ) = (u, v)とするとき,!
!
!
!
ua bxe=+v
c dyf

反復関数系（Iterated function system, IFS）によるフラクタル図形生成

反復関数系は, フラクタルの描画や計算に用いられる. IFS による図形の写像は, 自身のいくつかのコピーの和集合からなり, 各コピーは関数によって変形されている. 一般にそれらの関数は縮小写像であり, 自身の縮小コピーを（場合によっては重ね合わせて）まとめたもので, 各部を拡大してみると, もとの画像が含まれており, それが永遠に続くため, フラクタルとしての自己相似性が生じているといえる.

3アフィン変換または,

MRCM：Multiple Reduction CopyMachine（多重縮小複写機）

w(x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f )と表現できる.

フラクタル画像生成方法の一つとして, 反復関数系の原理を用いた MRCM がある. MRCM とは, いくつかのレンズを使い, 原本となる画像を縮小した後, 指定した位置に複写した画像を返すシステムである. ここで簡単な例（図 1-4）としてコンピュータで実際に実装した結果を挙げる. 図 1 を原画とし,3 枚の 1/2 縮小レンズを使って相似変換を行い, 図 2 のような配置に設定し, システムを反復する. その結果,Sierpinski Gasket（図 4）にたどりつく. 同じシステム設定の上で反復すると, 原本の画像が何にせよ, 一つの共通の画像に近づく. その性質を stability(安定性) という. また, 縮小の縦横比率に差をもたせることでアフィン変換を, 凹凸レンズを用いることで非線形変換を実現できる.

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定義

MRCM の レ ン ズ シ ス テ ム は, ア フィン 変 換の 集 合,w1 , w2 , · · · , wNで 説 明 さ れ る. 初 期 画像 A が 与 え ら れ た 時, 縮 小 ア フィン コ ピ ー,w1 (A), w2 (A), · · · , wN (A) が作られる.
最終的に,それらすべてのコピーを 1 つのイメージ画像とし, それを出力 W(A) とすると,
W (A) = w1 (A) ∪ w2 (A) ∪ · · · ∪ wN (A).
で表される. この時,W は Hutchinson operator と呼ばれる. 式から分かるように,MRCM を動かすことで演算子 W が反復される. これは,IFS の核心である. 初期集合（画像）A0 から始めると, A1 = W (A0 ), A2 =W (A1 ), · · · が得られる. これを一般化すると,

Ak+1 = W (Ak ), k = 0, 1, 2, · · · ,

図 1: 原本（白黒）となる. このようにして,IFS は最終画像 A∞ に至る.
この時, A∞ を IFS（または MRCM）のアトラクターと呼び, IFS によって不変となる：

図 2: 1 回変換後

W (A∞ ) = A∞ .
つまり,A∞ は W の不変集合といえる.

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図 3: 3 回変換後

実装結果 1（平面の場合）

実際に,IFS と MRCM の原理を用いて, コンピュータ上でいくつかの例を実装した. ６つの変数 a,b,c,d,e,fによって 1 つの変換レンズが与えられるとし, その値

図 4: 8 回変換後

61を変えることで, 多種多様なフラクタル構造をもつ画像を生み出せる. また, 変換レンズの枚数を増やすことでも描画の可能性を拡げられる. 図 5,6 は, 初期画像を図１として, 表 1,2 の変数を使い画像変換し, 反復した結果である. 図 5 は 3 つの変換を, 図 6 は 4 つの変換を用いて描画されたものである. また, 同じ変換を用いたとき, 初期画像が何であっても, 最終的に同じ画像（アトラクター）にたどりつくことを実験で確認した.
更に, カラー画像を用いて実装した場合, 図 9 で示したように, 反復するたびに色の判別が難しくなっていき, 一見, 最終画像が白黒に近づいていくように見える.
白黒画像を用いて反復した時とは違い, 反復すればするほど全体画像が見えづらくなっていく.

ab1 0.387

0.430

cde

図 9: 原本 (カラー)

7bf0.430 –0.387 0.2560 0.5220cdef

1 0.255 0.000 0.000 0.255 0.3726 0.6714
2 0.255 0.000 0.000 0.255 0.1146 0.2232
3 0.255 0.000 0.000 0.255 0.6306 0.2232

bcde

実装結果 2（立体の場合）

xyz
1 0.000 0.000 0.354
2 0.577 0.000 –0.204
3 –0.289 0.500 –0.204
4 –0.289 –0.500 –0.204
表 5: 3D Sierpinski Gasket 生成のための平行移動変数

4 0.370 –0.642 0.642 0.370 0.6356 –0.0061
表 2: クリスタル（図 6）を描画するための変数a

10 回変換後

MRCM の原理を用いて, 平面における反復写像の生成を実装でき, その生成された写像は, フラクタルの性質を持つことを確認できた.
更に, 描画の可能性を拡げるべく, 今まで紹介した平面でのフラクタル描画だけでなく,3 次元での描画にも踏み込んだ. 例えば, 平面での描画に成功した Sierpinski Gasket(図 4 参照) の図形を 3 次元で表現する場合について考える. 平面で実装した時は,3 枚の変換レンズを用いたが, 立体で表現する場合, 4 枚の変換レンズが必要となる. つまり, 図 10 を初期画像とすると, 図11 のように 4 つの写像が生成されるようにする. この時の変換として, それぞれ 1/2 の縮小を施した後, 以下の値（表 5）によって平行移動を行った.

2 0.441 –0.091 –0.009 –0.322 0.4219 0.5059
3 –0.467 0.020 0.113 0.015 0.4000 0.4000
表 1: 木の枝（図 5）を描画するための変数a

3 回変換後f

1 0.000 –0.500 0.500 –0.000 0.5000 0.0000
2 0.000 0.500 –0.500 0.000 0.5000 0.5000
3 0.500 0.000 0.000 0.500 0.2500 0.5000
表 3: クリスマスツリー（図 7）を描画するための変数
abcdef
図 10: 原本

1 0.849 0.037 –0.037 0.849 0.0750 0.1830
2 0.197 –0.226 0.226 0.197 0.4000 0.0490

図 11: 1 回変換後

3 –0.150 0.283 0.260 0.237 0.5750 –0.0840
4 0.000 0.000 0.000 0.160 0.5000 0.0000
表 4: シダの葉（図 8）を描画するための変数
図 12: 3 回変換後

図 5: 木の枝

図 13: 7 回変換後

このような変換を反復していくと, 図 12 のような立体 Sierpinski Gasket を描くことができる. また, キー操作によって物体を回転させ, 様々な角度から立体を見ることで, よりフラクタル構造を確認しやすい形で実装ができた. 他にも, 木の枝やクリスタルなどの 3D化の実現も考えられる.

図 6: クリスタル

参考文献[1] Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens, and Dietmar Saupe: ”Fractals for the classroom”,
Springer-Verlag, New York, 1992, 318pp.

図 7: クリスマスツリー[2] Hutchinson, J., Fractals and self-similarity, Indiana University Journal of Mathematics 30, 1981,
713–747.

図 8: シダの葉62