J. Plasma Fusion Res. Vol.97, No.9 (2021)５００‐５０７

解説

高温超伝導体の数値電磁界解析−高性能解析技術の開発と応用−
Computational Electromagnetics of High-Temperature Superconductors-Development and Application of Techniques for High-Performance Analysis高山彰優
TAKAYAMA Teruou
山形大学大学院理工学研究科（原稿受付：２
０
２
１年５月２
３日）

超伝導体は，電力，医療，交通，エレクトロニクスなどの広い分野に応用され，高磁場が生成可能な超伝導電磁石は医療装置や核融合装置などに用いられている．超伝導体は磁場を排除する性質をもつため，超伝導体に磁石を近づけると，非常に強い反発力が発生する．これは，外部磁場を打ち消す遮蔽電流が超伝導体表面で流れていることを意味する．このような遮蔽電流の振る舞いは Maxwell 方程式から導出される非線形微分方程式の初期値・境界値問題で書き表される．同問題の離散化によって得られた近似方程式は，計算機と様々な数値計算法
を用いて解かれてきた．本稿では高温超伝導薄膜内を流れる遮蔽電流の高性能解析技術を述べる．また，遮蔽電流密度解析の工学的応用として，臨界電流密度の非接触測定法と磁場閉じ込め核融合炉のペレット射出による燃料供給法の数値シミュレーション結果を紹介する．さらに，磁力線の振る舞いや遮蔽電流密度の空間分布を可視化した結果を示す．
Keywords:
finite element method, high-performance analysis, high-temperature superconductors, shielding current density, thin film

１．はじめにが決定している．また，近年，この超伝導リニア技術を応よく知られているように，超伝導体はそのままではな

用した磁気閉じ込め核融合への燃料供給法が提案されていく，線材，バルクや薄膜に形を変えて利用される．例えば，

る．これは核融合炉の炉心に燃料ペレットを高速で入射す

超伝導線材は超伝導電磁石や送電線などに応用されているための新たな手法である．

る．超伝導機器やデバイスを開発・実用化するには，臨界超伝導現象は偏微分方程式の初期値・境界値問題で表さ

温度，上部臨界磁界及び臨界電流密度などの特性値を評価れ，様々な超伝導現象が数理モデル化されてきた．一般に，する 必 要 が あ る．こ れ ら の 値 は，高 温 超 伝 導 体（High-モデル化で得られた方程式を離散化によって近似方程式に

Temperature Superconductor: HTS）を特徴付ける重要な帰着させて，コンピュータと数値計算法で近似方程式を解

パラメータであり，一般に，四端子法で測定されてきた

く．これが数値シミュレーションのアプローチであり，こ［１］．しかしながら，電圧端子の接触抵抗が大きい場合，超の過程によって得られる数値解は，超伝導現象の定量的な伝導特性の測定精度がノイズの影響を受けて劣化する場合

理解や予測に役立つ．数値シミュレーションを用いると，がある．また，ノイズを抑制するためには，金または銀で入力パラメタの与え方で試験的な実験が可能となるため，

HTS 試料をコーティングした後，熱処理を施して接触抵抗実験装置の設計にかかるコストや時間が削減できる．さらを低減しなければならない．この処理は，超伝導特性の劣に，計算結果を用いることによって，本質的に不可視な物化や理現象が可視化できるため，その現象を視覚的に捉えるこHTS 表面の破壊につながる．この理由から，特性値を測定したHTS試料を実用化するため，試料を破壊しないとが可能となる．

測定技術が望まれてきた．臨界電流密度を非接触で測定す

超伝導内を流れる遮蔽電流の巨視的振る舞いは，Max-る方法は，誘導法［２‐５］，永久磁石法［６‐９］及び低温走査

well の方程式から導出される非線形微積分方程式の初期

レーザ顕微鏡［１０，１１］などがある．

値・境界値問題によって書き表される．また，注意しなけ

超伝導の実用化で注目されているのは超伝導リニア技術

ればならないのは，遮蔽電流密度解析には超伝導の電流電を用いた中央新幹線計画である［１２］．１９６２年からこの計画

圧特性を表す方程式も必要になることである．同解析にがスタートし，東京と名古屋の間を２０２７年に開通することは，これまで，磁気ベクトルポテンシャル法［１３］と電流ベ

Faculty of Science, Yamagata University, YAMAGATA 992-8510, Japanauthors’s e-mail : takayama@yz.yamagata-u.ac.jp

５００!2021 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Commentary

Computational Electromagnetics of High-Temperature Superconductors

T. Takayama

クトルポテンシャル（%法）［１３］が用いられているが，本稿では，この事実を考慮した薄板近似［１６］を用いる．具体的

では，% 法を採用する．

には，以下の２つを仮定する．
① HTS 薄膜は十分に薄いため，遮蔽電流密度 $と電界

遮蔽電流密度解析のため，Maxwell 方程式と Biot-Savart"は厚み方向に変化しない．

の法則から導かれる支配方程式を空間と時間に関して離散② 遮蔽電流密度 $と "は厚み方向の成分をもたない．

化すると，連立非線形方程式に帰着される．同非線形方程式を解く目的で仮想伝導率法と呼ばれる逐次代入法が開発

また，HTS 内の遮蔽電流密度の時間発展を得るためにされた［１４，
１５］．結果として，同法を用いて超伝導磁気浮上

は，超伝導特性を考慮した電界 "を与える必要がある（２．
２システムの動的電磁力を解析し，計算結果が実験結果と極節参照）．

めて良く一致することが示された［１４，１５］．また，高温超伝以下では，薄板近似を用いて，遮蔽電流密度方程式を導導体が関連した %法の遮蔽電流密度解析では，厚みが数ミ出する．なお，薄板近似を導入することによって，遮蔽電

リオーダの超伝導厚膜に対する遮蔽電流密度解析は他の研

流密度が厚み方向に並進対称性をもつと仮定すれば，前述究者によって考察されている．一方，厚みがナノオーダのの電流ベクトルポテンシャル%は１成分のみをもつことに超伝導薄膜に対する数値シミュレーションは，ほとんど行

なり，遮蔽電流密度は１つのスカラ関数によって表せる．

われなかった．これは，支配方程式の初期値・境界値問題

まず，薄板近似によ り，HTS 内 の 遮 蔽 電 流 密 度 はの離散化で現れる係数行列の決定に特異積分の高精度評価

で書き表せる．但し，%)
%!
$%)
*
"
'*
#
*はスカラ関)(%##-*を要するためである．

##
数であり，%は %&++",,の２成分で定義される．また，'は HTS の膜厚を表す．

本稿では，HTS 薄膜を流れる遮蔽電流密度の高性能解析

次に，Faraday の法則（３）に薄板近似を適用すると，次のために必須である様々な数値解析技術を解説する．具体

式を得る．

的には，支配方程式の離散化手法，クラックを含む超伝導シミュレーションで現れる連立１次方程式の高速解法など

% !$
'
#
$! %)
&
%*
")
(#"*
$
+ #
.
-%
-,
%
*
%
*

である．また，数値計算技術の工学的応用も説明する．

（４）

２．遮蔽電流密度方程式'は磁束密度 !$ に対応する演算子であり［１７］，こ但し，&

２．
１ 支配方程式の !$ は（１）及び（２）から導かれる Biot-Savart の法則から決定できる．また，+,は HTS の厚み方向の平均化演算子

本章では，HTS 薄膜に低周波磁場を印加した場合の遮蔽方程式の変位電流と比べて，遮蔽電流密度の大きさが支

#
'"
を表し，+
(
&-で定義される．言い換えれ
)
*
,
&'!"#
#(
!'"
ば，この平均化によって，（４）の導出過程に現れる -依存

配的になる．この事実を考慮して，薄膜内では変位電流を性が取り除かれることになる．スカラ関数 %)
+
!
*
*の時間発

無視できると仮定する．換言すれば，準定常電流の理論を

展 は 遮 蔽 電 流 密 度 方 程 式（４）に 支 配 さ れ，（４）の 初 期

採用している．

条件，境界条件はそれぞれ以下のように与えられる：

電流密度解析を解説する．この仮定のもとでは，Maxwell#．但し，%# は HTS の境界を表%%!at *%!，%%!on %遮蔽電流密度 $の振る舞いは，次の Maxwell 方程式：

す．以上より，遮蔽電流密度方程式（４）の初期値・境界値，(#!%%$!$（１）

問題が得られたことになる．

!%%!，
($

（２）

２．
２ J -E 構成方程式!
! %%(#"%!! " %"，
*
%
* %

（３）

り，その関係は "-!構成方程式 "%!)
-$
*
.$"
-$
/で書き表

遮蔽電流密度 $と電界 "には，１対１の密接な関係があせる．すなわち，この方程式は電流と電界の向きが等しいで表される．但し，!及び "はそれぞれ外部磁束密度及びことを意味する．これまで，遮蔽電流密度解析の際，関数電界である．また，*は時間を表し，!%は遮蔽電流密度 $!))*には超伝導特性を表すための臨界状態モデル［１７‐が生成する磁束密度である．式（１）の両辺の発散をとる

１９］，磁束フロー・磁束クリープモデル［２０］，べき乗モデと，($$%!を得る．この式は $%(#% を満たす電流ベク

ル［２１］が与えられてきた．

トルポテンシャル % が存在することを意味する．

本稿では，実験で得られるイットリウム系の電流電圧特化する磁束密度におかれているとする．また，HTS 薄膜は#性が近似可能なべき乗モデル：!)
)
)
"
)
*
%!$.
$/ を採用する．但し，!$と )$はそれぞれ臨界電界と臨界電流密度であ単層構造であり，HTS 薄膜の厚み方向に同じ断面形状をもる．また，# は非負の整数であり，#%"の場合，べき乗

本稿では，イットリウム系銅酸化物のHTS薄膜が時間変つと仮定する．さらに，厚み方向を -軸としたカーテシア

モデルはオームの法則と一致する．一方，#%' の場合

ン座標を採用し，+，,，-方向の単位ベクトルをそれぞれ

は，臨界電流モデルを表す．

#
+，#
,，#
-で表す．

遮蔽電流密度方程式（４）の初期値・境界値問題と "-!

よく知られているように，イットリウム系銅酸化物 HTS

構成方程式を連立して解くことによって，HTS 内を流れるは強い異方性をもつため，HTS の厚みに垂直方向と平行方

遮蔽電流密度の時間発展を決定できる．次章では，同問題

向において，超伝導特性が大きく異なる．具体的には，の数値解法について解説する．

HTS は厚み方向に遮蔽電流密度がほとんど流れない．本稿
５０１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.97, No.9 September 2021

３．遮蔽電流密度解析の高速化［２７］を適用できない．それ故，直接法である Gauss の消去

本章では，まず，遮蔽電流密度方程式の初期値・境界値

法では演算量が膨大になる．この問題を解決するため，問題に対する空間と時間の離散化法について説明する．なBunch の方法［２８，２９］を採用して，Gauss の消去法の演算量

お，空間と時間の離散化の順番によって帰着する方程式がを 1/3 まで減少させることが可能となった［３０］．

異なる点に注意を要する．次に，特異積分の高精度評価方

３．
３ 特異積分の高精度評価

法及びクラックを含む遮蔽電流密度解析も述べる．

離散化の順序に関わらず，遮蔽電流密度解析には，特異３．
１ 空間先行型離散化法

積分の評価が必要不可欠である．被積分関数の特異性は積

遮蔽電流密度方程式（４）の初期値・境界値問題を空間に

分区間の端で顕著となり，HTS の厚みが薄くなるほど強く関して離散化すると，同問題は連立常微分方程式の初期値なる．それ故，数値積分法として一般に 使 わ れ て い る

問題に帰着する．本研究では，空間の離散化に有限要素法

Gauss 型積分公式をそのまま適用するのは現実的でない．

を採用した．

高精度な積分値を得るには，特異性を除去する必要があ

連立常微分方程式の解法には陰解法及び陽解法が存在す

る．

る．陰解法は陽解法と比べて，安定に数値解を得ることが特異積分の評価法には二重指数関数型積分（Double Ex-

できるが，連立非線形方程式の係数から Jacobi 行列を求め

ponential: DE）公式［２２，３１］を用いた．DE 公式は積分区間る必要があり，同行列を係数にもつ連立１次方程式の計算の端点に特異性をもつ被積分関数に対して非常に有効な数に時間がかかる．これに対して，陽解法では，スキームの値積分法である．DE公式を被積分関数に適用すると，積分安定性を保証する時間刻み幅の上限が存在する．この上限

区間が無限区間に変換される．その結果，被積分関数が有をこえる時間刻み幅を用いると，連立常微分方程式の解が限区間内で急激に減衰するため，積分区間は無限区間から得られない．しかしながら，陽解法は計算スピードの向上

有限区間に置き換えることができる．結果として，被積分が期待できる手法である．本研究では，遮蔽電流密度解析

関数の特異性が取り除かれて，高精度な積分が可能となっの高速化と数値的安定性を回避するため，連立常微分方程た．この特異積分の精度は前述した Newton 法の収束特性式の解法として時間刻み幅の自動調節付きアルゴリズム付に大きな影響を及ぼすことが知られている．すなわち，

きの６段５次 Runge-Kutta 法［２２］を採用した．

Newton 法が収束するためには，十分な積分精度が必要となる．

時間刻み幅の自動調節付き Runge-Kutta 法を用いて遮蔽

３．
４ クラックを含む遮蔽電流密度解析

電流密度解析を実行した場合，ある時間ステップでオー
バーフローが発生することがわかった［２３］．特に，べき乗

ここでは，HTS 薄膜にクラックが含まれる場合の数値解則の指数 # が大きい場合に顕著な事象であり，この問題

法を述べる．HTS は作製から実用化に至るまで急激な温度

は，Runge-Kutta

法の時間刻み幅を細かくしても解決し変化にさらされる．そのHTS材料は高温で合成されるのにない．これは，指数 # と共に "-!構成方程式に含まれる関対して，実用化されるときには低温で冷やされる．このと数!!
$"の非線形性が増大するためである．この問題を解決

き，張力や圧力が HTS に加わり，クラックが HTS 内に発するた め， "-!構 成 方 程 式 の 不 足 緩 和 法 が 提 案 さ れ た

生することがある．この原因は金属系超伝導体より酸化物［２３］．同法は関数!!
$"を減衰させて，オーバーフローを防系超伝導体が非常に脆く壊れやすいためである．

止する手法である．同法を適用した結果，すべての時間ス

HTS 材料の品質を管理するには，クラック検知が必要不

テップに対して連立常微分方程式の解を得ることに成功し可欠である．この検知を数値シミュレーションするため，た．この結果から， "-!構成方程式の不足緩和法は遮蔽電クラックを含む遮蔽電流密度方程式を定式化し，この方程

流密度解析におけるオーバーフローの発生を防ぐ有効な手

式 の 初 期 値・境 界 値 問 題 の 数 値 解 法 を 提 案 し て き た法であるといえる．

［３２，
３３］．

３．
２ 時間先行型離散化法

HTS にクラックがある場合，HTS の縁に関連した境界空間より先に時間を離散化すると，遮蔽電流密度方程式

条件の他に，クラック面にも Faraday の法則（積分系）のの初期値・境界値問題は非線形境界値問題に帰着する．非境界条件が課される．この境界条件は離散化の過程に現れ

線形境界値問題を空間に関して離散化すれば，各時間ス

る弱形式に直接組み込まれているので，Faraday の法則をテップにおける連立非線形方程式を解く問題に帰着する．

必ずしも満足しない．この問題を解決するために，クラッ連立非線形方程式の解法には，Newton 法［２４‐２６］を採用

ク面に沿って仮想電圧を印加した［３２，
３３］．この手法を用する．同法では，数回の反復によって連立非線形方程式のいることによって，積分系の Faraday の法則を数値的に満解を求めている．次の２つの計算は，各反復において，停足させることが可能となり，クラックを含む遮蔽電流密度

止条件を満たすまで繰り返される．

解析が実現できた．
上記で述べたように，クラックを含む遮蔽電流密度解析① Jacobi 行列を係数にもつ連立１次方程式を解いて，の際，クラックに関連する境界条件が付加される．それ故，

修正ベクトルを求める．

離散化で得られる連立１次方程式の係数はブロック行列か② 修正ベクトルで連立非線形方程式の解を補正するこつ非対称である．非対称係数行列をもつ連立１次方程式のとによって，解を得る．
連立１次方程式の係数は対称密行列であるが，正定値性

高 速 解 法 に 有 効 な ツ ー ル と し て，反 復 法 と 呼 ば れ るを示さないため，この方程式の解法には，Cholesky 分解

GMRES 法［３４，３５］がある．計算の結果，同 法 の 速 度 は，
５０２

Commentary

Computational Electromagnetics of High-Temperature Superconductors

石と薄膜は接触しない．この実験の結果，最大反発力 !$LU 分解と比べて，約２２１倍の速度となることがわかった［３６］．
一方，GMRES 法の収束特性を改善するため，#$分解を

T. Takayama

が臨界電流密度 &#にほぼ比例することが発見された［６‐９］．

用いた連立１次方程式の解法が提案されている［３７］．これ

遮蔽電流密度の時間発展が得られれば，薄膜に働く電磁は，ベクトルポテンシャルの補正以外の変数を連立１次方力は遮蔽電流密度と印加磁束密度から計算できる．永久磁程式から除去し，ブロック行列の元数を低減させる手法で石法の数値シミュレーション・コード［４４，４５］では，与えある．数値計算の結果，GMRES の収束特性はクラックのた臨界電流密度 &# の値から薄膜に働く電磁力のヒステリ

長さと数にほとんど影響されないことが示された［３７］．

シス曲線が実験と同様に数値的にも得られ，永久磁石の上よく知られているように，GMRES 法の計算は行列ベク下運動で薄膜に反発力と引力が働くことが示された．このトル積が支配的である．このため，行列ベクトル積を高速結果を用いて，磁石と薄膜の距離がゼロの場合の反発力を化すれば，遮蔽電流密度解析のさらなる高速化が実現でき近似的に求めれば，最大反発力 !$ が得られる．

る．行列ベクトル積の計算時間を高速化する手法として，

図２に臨界電流密 度 &$ の関係を示#と最大反発力 !

!行列法［３８‐４１］を採用した．なお，!行列法の詳細は本稿

す．同図より明らかなように，&$ は数値的にもほぼ#と !

の付録に示す．同法では，連立１次方程式の係数行列を階比例することがわかった．この結果は実験結果と定性的に層行列に変換し，部分行列の大部分を階数の低い行列に近一致している．また，磁石が薄膜の縁にある場合でも最大似するため，計算の高速化と省メモリ化が期待できる．数

反発力と臨界電流密度が比例することが明らかになった

値計算の結果，節点数が増加と共に，!行列法による高速［４４］．これは，予め臨界電流密度 &$ の比# と最大反発力 !

化の効果が高いことが判明した［４２］．それ故，!行列法は

例関係を予め調べておけば，測定した電磁力から臨界電流

遮蔽電流密度解析に有効なツールであるといえる．

密度を見積もることができることを示している［４４］．さらに，磁石の強さが大きく，磁石径が小さいほど，臨界電流

４．遮蔽電流密度解析の工学的応用
本章では，以下に示す３つの超伝導薄膜を用いた実験の数値シミュレーション結果を述べる．
① 臨界電流密度の非接触測定法の数値的再現② 高温超伝導薄膜中のクラック位置の同定③ 超伝導薄膜によるペレット射出法の数値計算
なお，これらの実験では，HTS 薄膜に印加する磁界源が異なるため，遮蔽電流密度方程式（４）の印加磁束密度 !の与え方が変化する．以下では，上記実験の数値結果を解説し，磁力線や遮蔽電流密度の可視化結果も示す．
４．
１ 臨界電流密度の非接触測定法の数値的再現
臨界電流密度 &# は HTS を特徴づける最も重要なパラメータの１つであり，その非接触測定法として，誘導法［２‐５］と永久磁石法［６‐９］が提案された．まず，誘導法を説明しよう．同法では，HTS 薄膜の上方に配置したコイルに交流
図１

電流 "!を流しながら，コイルに誘起される高調波電圧を測交流電流と第３高調波電圧の関係［４２］．

定する．その結果，交流電流が閾値電流を超えたときに，
第３高調波電圧 %"が急激に立ち上がることが実験で明らかになった［２‐５］．さらに，"!-%"曲線から閾値電流を決定
し，閾値電流から臨界電流密度を見積もる方法が実験的に示された．
誘導法の数値的再現のため，遮蔽電流密度の時間発展を決定する有限要素法コードが開発された［４３，４４］．図１に交流電流 "!と第３高調波電圧 %"の関係を示す．"!と %"の曲線から閾値電流を決定し，数値的に見積もられた臨界電流密度は，数値的に仮定した臨界電流密度とほぼ同じ値が得られた．また，別のシミュレーションの結果，誘導法
では，コイルが薄膜の縁に近づくと共に，測定精度が劣化することがわかった［４４］．
一方，永久磁石法と呼ばれる非接触測定法では，薄膜の上方に配置した円柱の永久磁石を上下に移動させることに

図２

よって，HTS 薄膜に働く電磁力を測定する．このとき，磁５０３臨界電流密度の最大反発力への依存性．但し，▲：実験結
果［７］，◆：数値結果［４３］．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.97, No.9 September 2021

密度の空間分布の解像度が改善される［４５］．また，図３によって，クラックの大きさおよび位置を正確に検出できる

永久磁石法における磁力線と遮蔽電流密度の結果を示す．

ことが判明した［４６］．一方，薄膜の縁近傍に存在するク

同図より，磁束が遮蔽されている様子や遮蔽電流密度の向ラックは，薄膜の縁と同様に扱われるため，高精度に検出きと大きさが可視化されていることがわかる．

することができない［４７］．

４．
２ 高温超伝導薄膜中のクラック位置の同定

一方，走査型永久磁石法と呼ばれる実験を用いて，直線誘導法と永久磁石法は，HTS 薄膜内のクラック検出にも形状のクラック検出が行われた［５０］．走査型の場合，薄膜応用されている．両法のクラック検出可能性を調べるための上方に配置した永久磁石を薄膜の水平に平行移動させての有限要素法コードが開発された［４６‐４９］．同コードを用

電磁力と臨界電流密度を測定する．数値計算の結果，走査いることによって，誘導法の測定精度はクラックによって型永久磁石法では，２種類の走査方向により，クラックの著しく低下することが示された．具体的には，誘導コイル

位置が同定できることを明らかにした［４８］．また，走査型の正射影がクラックと重なると，測定された臨界電流密度

永久磁石法では，クラックの検出速度は誘導法よりも高速の値が減少することがわかった．これは，遮蔽電流密度のであるが，分解能の観点からは，低分解能でクラックが検空間分布が非対称になるためである（図４（a）参照）．結論

出されることがわかった［４９］．

として，HTS 薄膜の臨界電流密度分布を測定することに

４．
３ 超伝導薄膜によるペレット射出法の数値的再現
近年，ヘリカル型核融合炉のプラズマ中心に燃料ペレットを射出するため，超伝導リニア加速（Superconducting
Linear Acceleration: SLA）システムの利用が提案されている．同システムでは，まず，推進用と加速用の HTS 薄膜を付したコンテナにペレットを注入する．次に，加速用の電磁石と電磁石レールを用いれば，レール上のコンテナが浮上し，ペレットコンテナが加速される仕組みである．ペレットコンテナの速度は 5 km/s 以上になると試算されているが，現時点では，この超伝導実験は開発段階であり，実際にはどの程度の速度が得られるか不明である．
SLA システムの数値シミュレーション・コードを開発
し，同システムの加速性能を数値的に評価した
［５１，
５２］．
SLA システムの加速性能は HTS 薄膜の初期位置，電磁石の電流変化率，加速用電磁石の間隔及び薄膜の大きさに強く依存することが判明した．また，２秒以上加速すると，
SLA システムによるペレット注入システムは，従来用いら

図３れている空気圧ペレット注入および遠心分離ペレット注入

永久磁石法の磁力線と遮蔽電流密度の振る舞い．

と同様の速度を有することが示された［５１］．なお，図５
は，SLA システムにおける磁力線と遮蔽電流密度の空間分
布を可視化した結果である．
膨大な数の加速用電磁石を使えば，約 7.8 秒の加速でペレット速度が目標速度の5 km/sに達するが，電磁石レール
は直線で約 21 km の距離を要する［５２］．それ故，現状で図４ （a）
クラックとコイルの正射影が重なる場合と（b）
クラックとコイルが離れている場合の遮蔽電流 密 度 の 空 間 分 布［４７］．但し，太線はクラックを示す．

図５

５０４

SLA システムの磁力線と遮蔽電流密度の振る舞い［５０］．

Commentary

Computational Electromagnetics of High-Temperature Superconductors

T. Takayama

は，SLA システムの開発に距離と時間が必要となるといえスタが決定できる．このような分割を不等式 &%#&)(*を満る．この問題解決には，直線の電磁石レールではなく，円たすまで繰り返す．なお，&)(*はクラスタ内の最小節点数

形レールにすることが１つの方法であり，今後は，その数である．図６の場合，レベル２までのクラスタ木ができる

理モデルを検討することを考えている．

（図７参照）．
クラスタ木による階層行列!の構築を説明する．まず，５．おわりにクラスタ木から係数行列を階層行列に分割する（図８

本解説記事のまとめと高温超伝導体の数値電磁界解析の参 照）．結 果 と し て，!は 部 分 行 列 $$%!&%で 構 成 さ れ

今後の展望を述べる．本稿では，HTS 薄膜内遮蔽電流密度

るが，ここで %と &は そ れ ぞ れ 行 番 号 と 列 番 号 に 対 応の高性能解析技術について解説した．まず，薄板近似と準し た ク ラ ス タ で あ る．次 に，ACA 近 似 の 許 容 条 件：

定常理論に基づく近似を用いることによって，Maxwell

%%
!&(
&
%
!
&
)(
*$
&(
$
'$
$
'$
+
,
%
%
#$&(
$
%を 用 い て 部 分 行 列方程式から遮蔽電流密度方程式を導出した．次に，この方$$%!&%に 低 ラ ン ク 近 似 を 実 行 す る．但 し，&(
%%と
$
)$

程式の離散化法を紹介し，特異積分の評価方法について述べた．また，クラックを含む遮蔽電流密度解析について説

%
!
&
&(
+
,
$
%はそれぞれクラスタ %の対角線の長さと境界ボックス間の距離であり，$は正の定数である．結果として，許明し，その高速解法である GMRES 法と!行列法の実装結容条件を満たした部分行列 $$%!&%は，ACA 近似によって行果を述べた．最後に，遮蔽電流密度の高性能解析技術を用

列 "#! に近似される．但し，" と # はそれぞれ '")行列

いて，超伝導実験の数値シミュレーション結果を紹介し，と (")行列であり，)は近似ランクを表す．行列ベクトル

遮蔽電流密度や磁力線の振る舞いを可視化した結果を示した．このような提案手法は，近い将来，HTS 薄膜中の様々積を具体的に記すと，'×(の部分行列 $$%!&%と任意の(次元ベクトル *の積は，通常の場合，$$%!&%!であるのにな電磁界解析に応用され，さらに実り多い結果を生むこと

対して，低ランク近似では "#!!となる．行列ベクトル積のになると予想される．また，この計算技術を用いれば，他

演 算 量 は '(と )'!(%で 表 せ る た め，不 等 式$の分野で抱えている同様の問題も解決できると考える．

)"'(#'!(%を満たす場合にのみ，低ランク近似が高速に$

今後は，多層構造や複雑形状をもつHTS内の遮蔽電流密なる．

度解析の大規模問題を解くため，辺要素型有限要素法と図８は遮蔽電流密度解析で得られる行列を階層行列に変メッシュレス法を用いた３次元遮蔽電流密度の数値シミュ換した後，ACA による低ランク近似を適用した結果であレーション・コードを開発及び検証することを考えている．同図の数値は近似された部分行列のランク数である．

る．３次元コードを用いれば，２次元では再現不可能で一方，空白はフルランクの部分行列である．なお，最大のあった超伝導機器の数値的再現が可能になるため，電磁界解析分野や超伝導工学分野において非常に有用なツールとなり得る．さらに，有限要素を多く与えることができるため，高精度なシミュレーションが可能になる．また，トポ
ロジー最適化を上記コードに実装することによって，最も効率的かつ高性能な超伝導機器の設計案が得られることが期待されるため，革新的な機器設計に広く利用できる可能性がある．

付録．!行列法!行列法は行列ベクトル積の演算量を削減する計算法である．同法では，まず，節点の情報から決定された係数行
列を部分行列の集合である階層行列!に変換する．次に，ACA（Adaptive Cross Approximation）［３８‐４１］による低ラ図６ンク近似を階層行列!の部分行列に適用する．後述する(L)

有限節点の分割例［５３］．但し，nc はクラスタ Ti に含まれる節点数を示す．

ACA 近似の許容条件を満足すれば，部分行列が低ランクで圧縮されるため，計算の効率化を図ることができる．
階層行列!の決定は，解析領域に配置した有限節点を分割することによって，クラスタ木を生成することが出発点となる．第１に，すべての有限節点を含むような境界ボックスと呼ばれる長方形を用意する．但し，図６に現れる&%はクラスタ!内の節点数を表し，これをルートクラスタ!%$!" と呼ぶ．今後，クラスタの上付きの括弧数字はクラス
タのレベルを表し，下付きの数字 %は各レベルにおける第%番目のクラスタを示す．第２に，境界ボックスの長辺で２つに等分割することによって，!"$"%と !#$"%の２つのクラ

図７

５０５

図６で決定されたクラスタ木［５３］．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.97, No.9 September 2021

［１４］上坂 充 他：日本機械学会論文集 C 編 60, 490 (1994).
［１５］M. Uesaka et al., Cryo. 35, 243 (1995).
［１６］A. Kamitani and S. Ohshima, IEICE Trans. Electron., E
82-C, 766 (1999).
７］内野倉国光 他：高温超電導体の物性（培風館，１
９
９
５）．
［１
［１
８］立 木 昌，藤 田 敏 三：高 温 超 伝 導 の 科 学（裳 華 房，
１
９
９
９）
．
［１
９］松下照男：磁束ピンニングと電磁現象―超伝導工学の基礎（産業図書，１
９
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［２
０］D. Dew-Hughes, Cryo. 28, 674 (1988).
［２１］E.H. Brandt, Phys. Rev. B 54, 4246 (1996).
［２２］森 正武：FORTRAN77 数値計算プログラミング（岩波
書店，１
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７）
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［２
３］A. Kamitani et al., IEEE Trans. Magn. 47, 1138 (2011).
［２４］森 正武：数値解析（共立出版，１
９
７
３）
．
［２
５］名取 亮：数値解析とその応用（コロナ社，１
９
９
０）
．
［２
６］山本哲朗：数値解析入門（サイエンス社，２
０
０
３）
．
図８

［２
７］G.H. Golub et al., Matrix Computations (Johns Hopkins

階層行列!への ACA 近似の適用例［５３］．但し，数値は各ブロック行列の近似ランクの値を示す．

Univ Press, 2012).
［２８］J.R. Bunch et al., Numer. Math. 27, 95 (1976).

部分行列の次元は !!"!#"!であり，近似ランク #は１２と［２９］J.R. Bunch and L. Kaufman, Math. Comp. 31, 163 (1977).

なる［５３］．それ故，ACA によって大幅な演算量の削減が［３０］A. Kamitani et al., Plasma Fusion Res. 5, S2112 (2010).

期待できるといえる．

［３１］H. Takahasi and M. Mori, RIMS Kyoto Univ. 9, 721 (1973).
［３２］A. Kamitani et al., IEEE Trans. Magn. 48, 727 (2012).

謝

辞

［３
３］A. Kamitani et al., Plasma Fusion Res. 7, 2405024 (2012).

本研究の一部は核融合科学研究所（NIFS）との共同研究［３４］藤野清次，張 紹良：反復法の数理（朝倉書店，１
９
９
６）
．

として行われた研究成果が含まれている．また，数値シ［３５］Y. Saad et al., SIAM J. Sci. Stat. Comput. 7, 856 (1986).

ミュレーションの一部は，NIFS で運用されているプラズ［３６］T. Takayama et al., J. Adv. Simulat. Sci. Eng. 3, 173 (2016).

マシミュレータで実施された．この場を借りて感謝申し上［３７］A. Kamitani et al., Plasma Fusion Res. 16, 2405005 (2021).

げます．最後に，本解説記事の執筆機会を与えていただい［３８］M. Bebendorf et al., Numerische Mathematik 86, 565

た山形大学大学院理工学研究科・齋藤誠紀准教授に深く感(2000).

謝いたします．

［３９］S. Kurz et al., IEEE Transactions on Magnetics 38, 421(2002).

参考文献［４０］Y. Takahashi et al., IEEE Trans. Magn. 43, 1277 (2007).

［１］八木隆太 他：丸善実験物理学講座〈１１〉輸送現象測定［４１］V. Le-Van et al., IEEE Trans. Magn. 50, 7010904 (2014).

（丸善，１
９
９
９）
．

［４
２］A. Kamitani et al., Plasma Fusion Res. 11, 2405041 (2016).

［２］J.H. Claassen et al., Rev. Sci. Instr. 62, 996 (1991).

［４３］T. Takayama et al., IEEE Trans. Appl. Supercond. 19,［３］Y. Mawatari et al., Appl. Phys. Lett. 81, 2424 (2002).

3573 (2009).

［４］Y. Mawatari et al., Appl. Phys. Lett. 83, 3972 (2003).

［４４］T. Takayama et al., Plasma Fusion Res. 5, S2113 (2010)［５］馬渡康徳 他：低温工学 40, 346 (2005).

［４５］T. Takayama et al., Plasma Fusion Res. 6, 2401059 (2011).

［６］S. Ohshima et al., IEEE Trans. Appl. Supercond. 15, 2911

［４６］T. Takayama et al., Plasma Fusion Res. 8, 2401025 (2013).

(2005).

［４７］T. Takayama et al., Plasma Fusion Res. 9, 3401129 (2014).

［７］A. Saito et al., Physica C 426, 1122 (2005).

［４８］T. Takayama et al., IEEE Trans. Appl. Supercond. 23,
9001107 (2013).

［８］武石健太 他：低温工学 40, 340 (2005).

［４９］A. Kamitani et al., Plasma Fusion Res. 10, 3405023 (2015).

［９］S. Ohshima et al., Physica C 445, 682 (2006).
［１０］A. G. Sivakov et al., Appl. Surf. Sci. 106, 390 (1996).

［５０］K. Hattori et al., Physica C 471, 1033 (2011).

［１１］T. Kiss et al., IEEE Trans. Appl. Supercond. 13, 2607

［５１］T. Takayama et al., IEEE Trans. Appl. Supercond. 28,
3700205 (2018).

(2003).

［５２］T. Takayama et al., Plasma Fusion Res. 14, 3401077 (2019).

［１２］Central Japan Railway Company: https://scmaglev.jr-［５３］T. Takayama et al., Int. J. Appl. Electromagn. Mech. 52,

central-global.com/［１３］宮 健三：解析電磁気学と電磁構造（養賢堂，１
９
９
５）
．

555 (2016).

５０６

Commentary

Computational Electromagnetics of High-Temperature Superconductors!!!!!!!!!!!!!!!!!

たか

やま

てる

おう

高 山 彰 優山形大学大学院理工学研究科・助教．２
００４
年山形大学工学部技術部を経て，２０
１
５年名
古屋大学大学院工学系研究科・博士（工学）を取得．２
０１
７年１月より現職．シミュ
レーション科学・超伝導工学を専門とし，現在は高温超伝導
体内の遮蔽電流密度解析とその工学的応用に関する研究を中心に従事しています．双子の６歳息子達と４歳娘の育児と仕事の両立をめざし，日々努力しています．家族の応援が仕事のやる気・頑張りにつながっています．

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T. Takayama