学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2019 年度共同研究 最終報告書

jh190048-NAH

カイラルフェルミオンを用いた格子 QCD による中間子質量生成機構の研究
関口宗男（国士舘大学）

概要 強い相互作用の第 1 原理である量子色力学（QCD）を用いて、カイラル相転移付近での中間子の構造及び質量の変化を研究することにより、物質の質量の起源を明らかにすることを目的としている。昨年度完成した格子カイラル対称性をもつ
Truncated overlap フェルミオン（TOF）作用コード用いて今年度はカイラル相転移に関係する a1 中間子の基底状態と第 1 励起状態の構造と質量を明らかにすることができた。また、TOF 作用を用いて有限温度におけるカイラル・パートナーに属する中間子の温度依存性を調べるシミュレーションを実施して、臨界温度を超えると、これらの中間子の質量が縮退することが分かった。さらに TOF 作用コードのカイラル対称性に関する性質の詳細を調べるシミュレーションを実施した。また、現実的なクォーク質量領域での計算を実施するための高速コード開発に着手した。

1. 共同研究に関する情報る格子 QCD を用いて、カイラル相転移付近で(1) 共同研究を実施した拠点名の中間子の質量生成機構を明らかにするこ

大阪大学とにより、物質の質量の起源を探ることを目(2) 共同研究分野的としている。カイラル相転移とは、QCD の■持つカイラル対称性が自発的に破れ、QCD 真超大規模数値計算系応用分野

空が相転移を起こす現象である。この現象は(3) 参加研究者の役割分担

ビッグバン直後の超高温状態から現在の宇・関口宗男（国士舘大学）代表宙が生成されたときに起きたと考えられて研究統括・理論的考察・データの分析いる。有限温度では、カイラル対称性の破れ・若山将征（大阪大学）副代表が部分的に回復し、臨界温度で相転移が起こコード開発・演算の実行・データ解析
・伊達ることが期待されている。QCD 有効理論によ進（大阪大学サイバーメディアセン

れば臨界温度以上ではカイラル対称性におター）いて対をなす中間子（カイラル・パートナ

アルゴリズム・コード開発

ー：π中間子とσ中間子及びρ中間子と a1・中村純 （大阪大学）

中間子）の質量は縮退すると予想されている。

アルゴリズム・コード開発

第 1 原理に基づく有限温度のシミュレーショ

・村上祐子（国士舘大学）

ンにより QCD 真空の相転移付近でのカイラアルゴリズム・コード開発

ル・パートナーの質量変化を調べることはカ・和田浩明（国士舘大学）

イラル相転移を理解する上で重要な課題でコード開発・演算の実行ある。これによりカイラル対称性の力学的破れが物質の質量のほぼすべてを生成してい2. 研究の目的と意義ることを実証する。質量の起源に関する根本的な理解を深める点が本研究の最大の特色

本研究は、強い相互作用の第一原理であるであり、宇宙の創生の過程を明らかにするた量子色力学（QCD）を非摂動論的に計算できめに欠くことのできない研究課題である。実1

学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2019 年度共同研究 最終報告書

験的には CERN における高輝度 LHC 実験や米向に拡張した形をしており、さらに逆行列が国 BNL における RHIC 実験により検証される入れ子構造になっている。そのため、5 次元可能性がある。最終目標を達成するためには、方向の格子サイズを N5 とすると、(3×4×16現在のスーパーコンピュータの能力を超え×16×16×16×N5)次の正方行列に対する線るテーマであるが、可能な限り理想に近い研形方程式を解いた後に、さらにもう一度、同究成果を上げることを目標とする。スーパーじサイズの方程式を解く必要がある。今回のコンピュータを最大限に活用するコード開計算では、N5=32 としたので、およそ 2500 万発が研究の成否を分けることになり計算機次の正方行列となる。このため、TOF 作用が科学分野と計算科学分野の双方の研究基盤提唱された後も、実際の数値計算の手法としの発展に資すると考える。今年度は次の 4 つては普及していなかった。TOF 作用のコードのテーマの研究を進めることを計画した。

はベクトル化に向いているため SX-ACE での（１）第 1 原理計算による a1 中間子励起状態

コード開発及びシミュレーションの実行が適の質量の確定していると判断している。また、参加研究者（２）第 1 原理計算による有限温度におけるは大阪大学の SX-ACE(SX-8 及び SX-９等も含中間子質量変化のシミュレーションむ)でのコードの開発及びシミュレーション（３）シミュレーションコードの高速化の経験を有する。また、大阪大学サイバーメ（４）TOF 作用の高速計算の準備（JHPCN のディアセンターの伊達准教授にアルゴリズ計算機リソースを使用する）

ム・コード開発担当として共同研究に参加し3．当拠点公募型研究として実施した意義ていただいている。この共同研究体制を確立したことにより理想的な研究環境が得られた

本研究ではクォークやグルーオンを数値計算すという点で意義があると考える。

るためにクォークやグルーオンを離散化した時空間で定義している。もっとも普及している方法と

4． 前年度までに得られた研究成果の概要

してはクォークをウィルソン・フェルミオン（WF）作用を使って記述する手法がある。WF 作用の計算

我々の研究目的を実現するためには、第１は今までの蓄積があり信頼性の高い手法であるが、には、格子カイラル対称性を持つフェルミオクォークのもつ対称性のうち質量の起源に関係しン（カイラルフェルミオン）作用のコードのているカイラル対称性を持っていないという欠点

作成、第 2 としては、軽いクォーク質量を計がある。本研究はカイラル対称性の自発的な破れ算できるように改良することである。前年度に関係しているため、この対称性を取り扱えるコは、カイラルフェルミオン作用については、ードの作成を目標とし前年度に格子上でカイラルTOF 作用のコードを開発し、テスト計算を開始

対称性をもつ Truncated overlap フェルミオンした。テスト計算として、我々の最終的な研（TOF）作用によるコードを開発した。この作用の究に関連するテーマとしてカイラル・パート

欠点は多大な計算機資源を要することである。こナーのなかで真空での状態が理論的にも実験の作用を使った中間子相関関数（伝搬関数）の計的に確定していない a1 中間子の質量のシミュ算では、大規模線形方程式を解く部分が最も時間レーションを実施した。このシミュレーショがかかる。時空間の格子サイズを 16×16×16×16ンでは、時間の格子サイズを 24、空間の格子とすると、WF 作用の場合、(3×4×16×16×16×サイズを 8×8×8 とした。カイラル対称性を16)次の正方行列に対する線形方程式を解く必要近似的に実現するための 5 次元目の格子サイがある。TOF 作用は WF 作用を構成要素に 5 次元方ズを N5=32 とし、5 次元の質量を m5=1.65 とし2学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2019 年度共同研究 最終報告書た。ゲージ結合定数を指定する β を 5.7 とし

表 2 a1 中間子の質量た。a1 中間子は u クォークとｄクォークから

Our result

実験値[1]1272(45)MeV1230(40)MeV構成される 2 体のオペレーターで記述した。3質量種類のクォーク質量 mｆと 3 種の値でシミュレ

これらのテストシミュレーションの結果第 1ーションを実施した。格子サイズは励起状態も確定できる可能性があるので今年a=0.190(2)fm、クォーク質量は、mfa=0.08、度も継続してシミュレーション実施している。

0.06、0.04 とした。クォーク質量それぞれに本研究は最終的には有限温度でのカイラつきゲージ配位数は、それぞれ 3000、3000、ル・パートナーの質量の変化をシミュレーシ7864 を使用した(表 1)。このミュレーションョンすることが目標であるが、前年度は TOFはオペレーターを 2 体に限り、かつクエンチ作用を用いた有限温度のシミュレーションを近似であることから、a1 中間子が u クォーク実施した。これは最終的な目標である物質のと d クォークの 2 体から構成されるときに実質量の起源と解き明かすためへの準備的なシ験を再現できるかを検討することが可能であミュレーションである。軽いクォークで計算る。クォーク質量としてはやや重いため粗いできるコードは完成できていないため有限温近似とも言えるが、a1 中間子がπ及びρ中間度の計算は現実のクォーク質量よりも重いク子に崩壊するチャンネルが開く直前までの領ォークによるテスト計算となった。そのため域で高精度のシミュレーションすることを目π中間子も現実的な質量よりも重い計算にな指した。このチャンネルにはクォーク模型でっている。今回のシミュレーションでは、ク説明できるよりも多くの状態が実験により確エンチ近似を使用しているが、最終的にはク認されている。少なくとも a1(1260)、a1(1420)、ォークのループを含む動的クォークによるシa1(1640)の状態が実験的に存在している。これ

ミュレーション（ダイナミカル・クォークにらが如何なる状態かを確定することはハドロよるフル QCD のシミュレーション）を実施す

ン分光学の重要な課題である。有限温度の物る計画である。σ中間子はフル QCD でないと理を考える上でも a1 中間子として、どのよう正しく計算することができないクォーク・ラなオペレーターが適当なのかを決定するためインが繋がらないファインマン・グラフ（非にゼロ温度での a1 中間子の構成を明確にする結合グラフ）が存在する。今回のシミュレー

ことは意味がある。昨年度の結果は先行研究

ションではクォーク・ラインが繋がったグラ

でははっきりしていなかった a1 中間子の基底フのみを取り上げている。このσ中間子をバ状態が a1(1260)であることを確定できた（表レンスσ中間子と呼んでいる。前年度では有2）。

限温度の中間子質量をシミュレーションする
ためのパラメーターを検討するシミュレーシ

表１ 各クォーク質量（mfa）におけるゲージョンを終了し、必要なパラメーターの設定を配位数とπ中間子とρ中間子の質量比(mπ/m

終えて JHPCN の計算機リソースと大阪大学核ρ).

物理研究センターの計算機リソースを使用しmfa

0.08

0.06

0.04て有限温度の中間子のシミュレーションを実mπa0.6668(7)0.5895(8)0.5028(6)施した。SX-ACE での計算は前年度 3 月で終了

mρa0.9496(18)0.9042(24)0.8614(24)

したがデータの解析は今年度で実施した。シmπ/mρ

0.7028(2)0.652(3)0.584(2)ミュレーションの具体的内容は今年度の成果

Confs.

3000

30007864の詳細で報告する。
[1] M. Tanabashi et al. (Particle Data3学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2019 年度共同研究 最終報告書Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018).

シミュレーションによって基底状態と第１5． 今年度の研究成果の詳細

励起状態の実験値を強い相互作用の第 1 原理である QCD により再現することができた。

（１）第１原理計算による a1 中間子励起状態

さらに、a1(1420)（質量 1411± MeV）は格の質量の確定（JHPCN の計算機リソースを使用

子 QCD とクォーク模型の両方の立場からクォする）

ーク・反クォークの 2 体と考えることは難し

前年度に引き続き格子上でカイラル対称いと考えられる。格子 QCD により a1 中間子の性を持つ TOF 作用を用いたシミュレーション

第 1 励起状態を実験と比較できる結果を与た

コードを使って真空中での a1 中間子の第１えたはじめてのシミュレーションである。

励起状態のシミュレーションを行った。第 1

表４ a1 中間子の質量励起状態を確定するために新たに 2 種類のクOur result

実験値[1]

ォーク質量 mfa=0.05、0.07 についてシミュ基底状態1158(42)MeV1230(40)MeVレーションを実施した。クォーク質量それぞ

第 1 励起状態

1667(22)MeV1655(16)MeV

れにつきゲージ配位数は、それぞれ 3000、3000、7864 を使用した(表 3)。

結果は国際会議 Hadron2019 で発表し、査読付きプロシーディングスとして掲載が決

表 3 各クォーク質量（mfa）におけるゲージ定した。

配位数とπ中間子とρ中間子の質量比(mπ/m

カイラル・パートナーに属する中間子の性ρ).

質には TOF 作用の採用は有効であることが検
mfa

0.070.05

証できたと考えられる。この研究に今年度配mπa0.6283(7)0.5478(8)分された研究資源の 63.5%を使用した。

mρa

0.9249(21)0.8816(27)mπ/mρ

0.679(2)0.621(3)Confs.

3000

3600

シミュレーションはすべて SX-ACE で実施している。前年度と今年度のシミュレーショ
ンの結果から得られた最終的な a1 中間子と基底状態と第 1 励起状態の結果である（表４）。
図 1 に各中間子伝搬関数の時間変化、図２に各中間子の質量のπ中間子の質量 2 乗に対する依存性を示す。
これによりカイラル・パートナーρ中間子と 対 を 成 す 中 間 子 a1 中 間 子 は 実 験 的 にa1(1260)(質量 1230±40MeV)と考えて良いことが分かった。また a1(1640)は第 1 励起状態であると考えられる。
図１ π、ρ、a1 中間子伝搬関数の時間依存性

先行研究では a1 中間子の第 1 励起状態に関しては確定値を得られたものはない。今回の4学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2019 年度共同研究 最終報告書ρ）を求めた結果が図 3 である。このシミュ
レーションから mπ/mρ＝0．8 になるクォーク質量を読み取った結果（0.8 に一番近いクォーク質量）が表 5 である。このシュミュレーションではゲージ場に関しては岩崎ゲージ作用によるクエンチ近似を用いて、ゲージ配位については 12～80 個生成し使用している。
図２ ρ中間子、基底状態 a1 中間子、第 1 励

表5起状態 a1 中間子の質量のπ中間子質量２乗mπ/mρ＝0．8 でのクォーク質量
βa [fm]mfa2依存性.(mπa) =0 が真空の各中間子の質量2.1870.2079(15)0.177の値で実験値と比較できる。

2.214

0.1977(13)

0.175

2.247

0.1853(09)

0.160

2.281

0.1727(10)0.150（２）第１原理計算による有限温度における

2.334

0.1577(09)0.145

中間子の質量変化のシミュレーション

2.416

0.1359(07)0.133（JHPCN の計算機リソースを使用する）

2.487

0.1206(09)0.113

この研究は今年度の JHPCN の共同研究申し込み後に大阪大学核物理研究センター（RCNP）

これら 8 つのクォーク質量を使って有限温との共同研究として計算機リソースの提供度のシミュレーションを実施した。このβ及を受けて大阪大学サイバーメディアセンタ

びクォーク質量に対応する温度 T と臨界温度

ーの SX-ACE でのシミュレーションを前年度Tc との比は、本来はシミュレーションをして3 月末に終了した。今年度前半でデータの解求めるべきあるが今回は先行研究[2，3]のデ析を実施した。

ータを使用した。このパラメーターの設定で本研究課題は将来的な有限温度の計算量クエンチ近似を用いてゲージ場を生成した。

を見積もるとともに現状のコードでどこま

各クォーク質量に対する T/Tc とゲージ配位数で物理的な内容に迫れるかが目的である。

を表 6 に示す。

シミュレーションは 2 段階で行っていて、第 1 段階して、TOF 作用を使って真空でのπ表 6中間子とρ中間子の伝搬関数を計算する。カ

有限温度のシミュレーションパラメー
ター

イラル対称性を近似的に実現するための 5 次

βT/Tca [fm]mfaConfs.

元目の格子サイズを N5=32 とし、5 次元の質量

2.1870.860.2079(15)

0.177

2400

を m5=1.65、空間のサイズを Nｓ、時間のサイ

2.214

0.91

0.1977(13)

0.175

2000

2.247

0.97

0.1853(09)

0.160

2000

2.281

1.04

0.1727(10)

0.150

2000

2.334

1.140.1577(09)

0.145

2000

2.416

1.320.1359(07)

0.133

2000

2.487

1.590.1206(09)0.113

2000ズを格子サイズ Nｔとして、Nｓ×Nｔ×N5＝163×16×32 の格子でのシミュレーションを実施した。この格子空間上で 8 つのゲージ結合定数を指定するパラメーターβに対して複数のクォーク質量 mfa に関してシミュレーションを行った。π中間子とρ中間子の伝搬関数を求めて、π中間子とρ中間子の質量比（mπ/m5学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2019 年度共同研究 最終報告書[2]M.

Okamotoetal.

(CP-PACSとして Proceedings of Science 誌に掲載さ

Collaboration), Phys. Rev. D60, 094510,れた。

1999
[3]

計画を変更した分の JHPCN の計算機リソー
A.A.

Khanetal.

(CP-PACS

スを利用した研究に関しては（４）として報Collaboration), Nucl. Phys. B ( Proc.

告する。

Suppl. ), 83, 176, 2000
第 2 段階として、このゲージ配位を用いて有限温度におけるカイラル・パートナーに属する 4 つの中間子質量を各温度でシミュレーシ
ョンをして、カイラル・パートナーに属する4 つの中間子（π中間子、ρ中間子、スカラー中間子（バレンスσ中間子）、a1 中間子）質量と真空のρ中間子質量の比の T/Tc 依存性を明らかにした(図 4)。 これらの中間子はすべて u(d)クォーク及びその反クォークの 2体のオペレーターで構成している。スカラー中間子（バレンスσ中間子）に関しては、4で記述したようにσ中間子の構成するファイマンダイヤグラムの一部を計算したものである。π中間子、バレンスσ中間子及びρ中間子、a1 中間子質量は臨界温度付近から同じ質量に縮退しはじめ徐々に重くなることが分か

図 3 π中間子とρ中間子の質量比（mπ/mった。また、温度の低い領域で a1 中間子はシρ）のクォーク質量依存性

グナルがかなり不明瞭な結果であったが（低mπ/mρ＝0．8 に一番近いクォーク質量

温部分のデータは図 4 にプロットしていなを有限温度のパラメーターとして採用する。

い）、クォーク模型で励起状態になる中間子

エラーバーの範囲内で mπ/mρ＝0．8 を満た（σ中間子、a1 中間子等）は角運動量を持つしている。

ため格子 QCD のように空間を離散化した場合にはシグナルが不明瞭になる傾向にある。今回はテスト計算であり、計算機リソースの有効活用の立場からシミュレーションを継続することは不適当であると判断し、シミュレーションはここまでとした。カイラル・パート
ナーの中間子の質量が臨界温度付近から変化し縮退をはじめることが分かった点と有限温度での計算量を見積もるという点で成果があったと考える。
これらの結果は国際会議 Lattice2019 で発表し、査読付き国際会議プロシーディングス

図 46

有限温度におけるπ中間子質量、

学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2019 年度共同研究 最終報告書

ρ中間子質量、スカラー中間子（バ[hep-lat/0211042].

レンスσ中間子）、a1 中間子質量と6． 今年度の進捗状況と今後の展望

真空のρ中間子質量との比の T/Tc依存性

今年度計画した研究は、計画変更をしたが（３）シミュレーションコードの高速化

実質的に計画の 80％を完了できたと考えて（JHPCN の計算機リソースを使用しない）いる。Hasenbusch-Jansen による前処理法付

最終目標を達成するためにも計算資源のき共役勾配法を取り入れたコードの完成が有効活用のためにも正方行列に対す線形方残っているが、次年度の早期にコードを完成

程式を高速で解法する必要があり、前処理付させる。前処理法付き共役勾配法に実装した

き共役勾配法によるコード開発を行っていWF 作用コードを SX-ACE へ移植することに取る。前処理法として Hasenbusch-Jansen により組む。2020 年度前半に実装し、テスト計算って提案されている前処理法[4]を採用し、を開始する予定で研究を進めている。次にコかつ独自の改良を行いながらコードを作成

ード開発としては、Hasenbusch-Jansen によしている。この報告書提出の段階でコードはる前処理法付き共役勾配法を TOF コードに実完成できていない。あと 1 か月程度で完成で装することに着手する予定である。この２つきると考えている。のコードの完成で軽いクォークを用いてよ（４）TOF 作用の高速計算の準備（JHPCN のり現実的な物理領域でのシミュレーション計算機リソースを使用する）が可能になる。

計画を変更し、配分されている SX-ACE の我 々 の 開 発 し て き た コ ー ド に残りの研究資源（資源の 36.5%相当）を使っHasenbusch-Jansen による前処理法付き共役て、TOF 作用のテスト計算を実施した。TOF勾配法を実装するだけでは最終的な研究目

作用はカイラル対称性のために 5 次元方向の標を達成するためには不十分であるため、コ自由度が増えている。5 次元方向を小さくでードの並列化に取り組むことが次の課題できれば計算量を減らすことができる。ただし、ある。さらに GPU マシンへの実装も視野にいカイラル対称性は、この 5 次元方向の自由度れてコード開発を検討している。これらの点と関係しているので、5 次元方向を小さくすに関しては大阪大学サイバーメディアセン

るとカイラル対称性に影響がでる。そのためターとの共同研究をさらに深化させる必要5 次元方向（N5 の依存性）の依存性を検討すがある。

ることが有益であると判断した。TOF 作用は完成できたコードをそれぞれ質量が違う

大阪大学サーバーメディアセンターの協力クォークと反クォーク（現在のプログラムはでコードの高速化をしているが、高速化後に質量が同じ場合だけが計算可能）を同時に計

N5 の依存性は検証していない。前処理付き共算できるコードに書き換えることを計画し役勾配法の開発が遅れているため中間報告ている。これにより s クォークを含めてカイからさらに計画の変更を行った。3 月末まで

ラル 9 重項に関する中間子のシミュレーショに与えられた計算機リソースの残りすべてンが可能になる。カイラル 9 重項中間子の物を使いシミュレーションを実施した。結果の理も物質の質量の起源であるカイラル対称解析は現段階で終了していない。

性の破れに関係しているため重要な研究課題である。

[4]

M.

Nucl.Phys.B

HasenbuschandK.Jansen,

659,

299

(2003)

7． 研究業績一覧（発表予定も含む）
7

学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 2019 年度共同研究 最終報告書(1) 学術論文 （査読あり）(4) 国内会議発表 （査読なし）

なし

なし(2) 国際会議プロシーディングス （査読あ(5) その他（特許，プレスリリース，著書等）

なし

り）
1.

Y.

Murakami,

A.Nakamura,

M.

Sekiguchi,

H.

Wada,

M.Wakayama, “Lattice study ofmesonproperties

atfinetemperature using the truncatedoverlap fermions ”, ProceedingsofScience(Lattice2019)045,pp.7 (2020 年 1 月).
2.

1.M.Wakayama,Y.Murakami,
A.Nakamura,M.Sekiguchi, H.Wada,“Spectroscopy of a1 mesons fromlattice QCD with the truncatedoverlap fermions”,
International Journal of Modern
Physics A,pp.5 (to bepublished.).
(3) 2. 国際会議発表 （査読なし）
１．H. Wada,Y. Murakami,A.Nakamura,
M. Sekiguchi, M.Wakayama, “Lattice
study of meson properties at finetemperature using the truncatedoverlap fermions ”, The 37th
international conference on latticefield theory (Lattice2019) (2019 年 6月).
2.

M.Wakayama,Nakamura,Y.

Murakami,A.

M. Sekiguchi, H. Wada,“ Spectroscopy of a1 mesons fromlattice QCD with the truncated overlap
fermions ” , The 18th International
Conference on Hadron Spectroscopy andStructure (HADRON2019) (2019 年 8 月).

8