大分工業高等専門学校紀要

第 47 号(平成 22 年 11 月)

外部で液体に接する中実円筒梁の固有円振動数について－ 液体の高さと梁の長さが等しい場合 －金城 和久1・浦竹 美優紀2・紀 めぐみ2・名木野 晴暢3・水澤 富作4・三上 隆51琉球大学大学院，2長崎大学，3本校都市システム工学科，4大同大学，5北海道大学大学院

外部で液体に接する円筒構造物は，橋梁の橋脚や海洋構造物に用いられる基礎的な構造要素である．
よって，地震動や波浪などの動的外力を考慮した構造設計では，まず，液体の影響を考慮した円筒構造
物の固有円振動数を正確に把握することが不可欠となる．本報告では，液体の高さと梁の長さが等しい場合に限定して，円筒構造物をBernoulli-Euler梁理論に従う片持梁でモデル化し，液体は，非粘性，非回転及び非圧縮性として取り扱い，外部で液体に接する中実円筒梁の自由振動問題を数学的に厳密に解き，固有円振動数の厳密解を求めた．なお，本報告で示した固有円振動数の厳密解の値は，有限要素法を含めた種々の数値解析法による数値解のベンチマークテストに活用できるものである．

キーワード : 流体－構造相関自由振動問題，中実円筒梁，固有円振動数，厳密解

１．まえがきr, w



外部で液体に接する円筒構造物は，橋梁の橋脚や海洋構
造物に用いられる．これらの構造物は，地震動や波浪などRoの複雑な動的外力を受けるため，構造設計では，基礎的な情報として，構造物の自由振動特性 (固有振動数と固有振動モード) や構造物と液体の動的相互作用で生じる動水x

圧分布を把握することが不可欠となる．
さて，工学の問題の多くは，微分方程式または偏微分方
程式の初期値・境界値問題に帰着されるが，数学的に閉じた解 (厳密解) を求められるのは稀で，その多くの場合は，

LH

有限要素法などの数値解析法により，近似的に解かれることになる．ここで，数値解析法による結果は，勿論近似解oであるので，その妥当性を確認できる参照解，即ち，厳密解や解析解の存在が，極めて重要になる．

図-1

解析モデルと円筒座標系

桜井1) は，水中にある梁の自由振動問題の解析理論を構築し，その解析方法の例として，数学的に閉じた解を求め２．液体の基礎方程式，境界条件および連成条件

る手順について述べているが，固有円振動数の厳密解の値までは示されていない．従って，外部で液体に接する円筒

図-1には，解析モデルおよび円筒座標系 (r, , x) が示し梁の固有円振動数の厳密解の値を求め，数値化しておく事てある．ここで，L は円筒梁の長さ，Ro は外径であり，には十分意義があるものと考える．

H は液体の高さである．下端 (x = 0) で固定，上端 (x = L)

本報告では，液体の高さと梁の長さが等しい場合に限定

で自由な均質円筒梁の運動は調和振動するものとし，微小して，中実円筒構造物を片持梁でモデル化し，液体は，非変形かつ線形弾性であるBernoulli-Euler梁理論2) に従うも粘性，非回転および非圧縮性として取り扱い，文献1) をのとする．また，円筒梁の面外変位成分をw (x, t) で表す．

参考にして，外部で液体に接する中実円筒梁の自由振動問

液体の運動は，非粘性，非回転かつ非圧縮性とすれば，

題を数学的に解き，厳密な振動数方程式を導出した．また，

式(1) で表される速度ポテンシャル (r, , x, t) を仮定でこれを解き，固有振動数の厳密解を求めた．

き，基礎方程式は式(2) で与えられる．

―25―

大分工業高等専門学校紀要

第 47 号F(r , q, x , t ) = iw f(r , q, x )e

(平成 22 年 11 月)

iw t

(1)

¶2F 1 ¶F
1 ¶2F ¶2F
(2)
+
+ 2
+
=0
2
r ¶r r ¶q 2 ¶x 2¶r
ここで， (r, , x) はポテンシャル，i2 = – 1 は虚数単位で３．構造－流体相関自由振動問題の厳密解
動水圧を動的外力と見なせば，液体－円筒梁系の運動方
程式は，次式で与えられる．

あり， は液体－円筒梁系の固有円振動数である．また，

rs A

動水圧 p (r, , x, t) は，次式で表される線形化された
¶F
¶t

(3)

び断面積であり，E は縦弾性係数，I は断面二次モーメン
トである．

ただし，f は液体の密度である．

片持円筒梁の境界条件は，次のように与えられる．

解析モデルに対応する境界条件は，次式で与えられる．
p

x =H

= 0,

¶F
=0,
¶x x = 0(8)

ここで，EI, s, A は，それぞれ，梁の曲げ剛性，密度およBernoulli の定理で与えられる．
p(r , q, x , t ) = -r f

2p
¶ 2w
¶ 4w
+ EI
= -ò p cos q r dq (r = Ro )
2
0
¶t
¶x 4

lim F = 0

r ¥

(4)

w    0 ( x  0) ,M  S  0 ( x  L)

(9)

ただし， はたわみ角，M は曲げモーメントであり，S はせん断力である．
液体－円筒梁系の運動方程式の一般解は，次のように求ここで，式(4)は，それぞれ，液体の高さは十分に高く，重力の影響を無視した自由表面条件式，x 軸方向の速度が液底において零であるという液底での不透過条件式，振動数が高く，自由表面上の波が円筒梁の近傍から外側に伝播しないという仮定に基づく液体外部接触問題に対する無限遠方放射条件式，に対応している．

められる．
W (x ) = C 1 cos(Lx ) + C 2 sin(Lx ) + C 3 cosh(Lx ) + C 4 sinh(Lx )æ l x ö÷¥ç+å Fj (C 1J j , 1 + C 2J j , 2 + C 3J j , 3 + C 4J j , 4 )cos çç j ÷÷÷ççè H ÷øj =0

円筒梁の r 方向の振動速度と外径 Ro における液体の速(10)度が等しいとすれば，円筒梁と液体との連成条件は，次の

ただし，Ck (k = 1, 2, 3, 4) は境界条件により決定される未ように与えられる．

定係数であり，また，

¶F
¶w
=
cos q
¶r r =R
¶t
r =R
o

(5)

L4 = w 2

rs A

o

EI

,

W = wH 2

rs A
EI

ここで，
w(x , t ) = W (x )eiw t

æ H ö÷æç r ÷ö ¥W4
B j = ççç ÷÷çç f ÷÷÷ å 4
çè Ro ÷÷øçèç rs ÷ø j = 0 lj - W4

(6)であり，W (x) は円筒梁の面外振幅変位である．
従って，基礎方程式の一般解を求め，境界条件と連成条
件を満足するように解けば，液体と円筒梁の連成を考慮し

J j, 1 =た速度ポテンシャル の閉じた形式の解析解が，次式の(-1)j lj cos W
lj2 - W2

ように求められる．
æ l r ö÷
ç
2K1 çç j ÷÷÷æ l x ö÷ H
æ l x ö÷¥çè H ÷ø
iw tçç
cos q cos çç j ÷÷÷ ò W (x )cos çç j ÷÷÷ dx
F = iw e åæl R ö÷
çèç H ÷ø 0
çç H ø÷
j =0
è
ç
j o÷
lj K1¢ çç÷çè H ÷÷ø

J j, 3 =lj2 + W2,ìï æ l R öæ l R ö÷üï÷ççlj ïíK 0 çç j o ÷÷÷ + K 2 çç j o ÷÷÷ïýïï çè H ø÷
ç H ø÷ïï
è
îï
þï

,

(-1)j lj sin W - W
lj2 - W2

J j, 4 =,2B j
2 - Bj(-1)j lj sinh W - W(11)

lj2 + W2である．よって，一般解を境界条件に代入し，自明でない解を持つ条件から，次のような振動数方程式が得られる．

(7)

W3 (sin W - a sinh W) + å j(1)

ただし，j = {(2j + 1) } / 2 は余弦関数の零根，Kn (jr / H)

- aå j(3)

cos W + a cosh W
sin W + sinh W + b cosh WïìïW3 (cos W + cosh W + b sinh W)ïüï
ïý = 0´ïíïï+b å (3) - å (2) + å (4) ïï
j
j
j
îï
þï

(12)

+

は n 次の第二種変形Bessel関数であり，K’n (jRo / H) は
r = Ro におけるKn (jr / H) の r に関する一階微分である．
有限要素法で液体場を離散化する際には，無限遠の影響を考慮するために無限要素を用いるなどの工夫が必要になるが，このように，液体の基礎方程式を厳密に解き，解(-1)j lj cosh W

Fj =æ l R ö÷
ç
4K 1 çç j o ÷÷÷èç H ø÷

J j, 2 =

,

,

ただし，

析解を導出することで，無限遠の影響を正確に考慮するこ¥å =å (-1) l F J(1)とができる．

j

―26―

j =0

j

3
j

j

j, 1

,

¥

å =å (-1) l F J
(2)
j

j =0

j

3
j

j

j, 2

,

大分工業高等専門学校紀要

第 47 号外部で液体に接する中実円筒梁の振動数パラメータ W* の収束性に与える級数の打ち切り項数J の影響：L / Ro = 2, H / L = 1

表-1¥

å j =å (-1)j lj3FjJ j, 3 ,
(3)

j =0

¥

j =0
¥

1 + å FjJ j , 3
j =0

J

W* 
1st

2nd

3rd

4th

5th

1
3
5
7
9
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201

3.32933.3042
3.29903.2972
3.29633.29583.2951
3.29493.29483.29483.29483.29483.29483.29483.29483.29473.29473.29473.29473.29473.29473.29473.29473.29473.294720.82720.52920.49120.47820.472
20.46920.46320.462
20.462
20.462
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.461
20.46159.58458.68858.58458.54658.52958.51958.50458.50058.49958.49858.49858.49858.49858.49758.49758.49758.49758.49758.49758.49758.49758.49758.49758.49758.497116.64116.64116.34116.24116.20116.18116.15116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14116.14196.00
196.00193.86193.71
193.65
193.61
193.56193.55
193.55
193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54193.54円筒梁の形状に関するパラメータを長さ－外径比L / Roと¥å j =å (-1)j lj3FjJ j , 4(4)

定義する．例えば，L / Ro = 2 は太く短い中実円筒梁，L / Ro

j =0

= 40 は細く長い中実円筒梁を意味する．
数値計算では，コンクリート構造物を想定し，円筒体の密度s = 2.30 × 103 kg / m3，液体の密度f = 1.00 × 103 kg /¥1 + å FjJ j , 1
a=(平成 22 年 11 月),

å Fj (J j , 2 - J j , 4 )b = j =0¥
1 + å FjJ j , 3(13)m3 (密度比f / s は0.435) を用いる．なお，固有円振動数は，次式で表される振動数パラメータ W* で表す．

j =0

よって，この振動数方程式を解けば，n 次の固有値n (n =W* = wH 2

1, 2, …, ∞) が求められる．また，固有値n が求められれ

rs A
EI

= wL2

rs A
EI

(14)

ば，これに対応した固有振動モードである振幅変位モード
Wn，たわみ角モードn，曲げモーメントモードMn，せん

なお，全ての数値計算は，personal computer を用い，Fortran

断力モードSn および円筒梁の円筒表面 (r = Ro) に作用す

さて，式(12) で与えられる振動数方程式は，級数j に依る動水圧モードpn を順次，求めることができる．

による倍精度計算で実施した．
存する超越方程式である．従って，これを数学的に解くことは困難であるため，数値的に解いて固有値 を求めなければならない．また，級数の展開項数により，数値解が４．数値計算どのように変化するか，一定の値に収束するのかを調べな

ここでは，導出した振動数方程式を解き，外部で液体にければならない．ここで，超越方程式の根を求める方法としては，Regula falsi法，Newton-Raphson法や二分法などが接する中実円筒梁の固有円振動数の厳密解について示す．

ある．Newton-Raphson法は，解を求めるための反復計算回

本報告では，土木構造物の耐震設計を想定し，基本振動数が少なく，解の収束が速いという利点を有するため多用

から5次振動までの固有円振動数を対象としている．また，される方法であるが，(1) 初期値の与え方によっては解が―27―

大分工業高等専門学校紀要

第 47 号

表-2(平成 22 年 11 月)

外部で液体に接する中実円筒梁の振動数パラメータ W* の収束性に与える級数の打ち切り項数J の影響：L / Ro = 20, H / L = 1

J

W* 
1st

2nd

3rd

4th

5th

1
3
5
7
9
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201

3.14943.06693.04473.03533.03063.02783.02293.02173.02133.02133.02093.02083.02083.02073.02073.02073.02073.02073.02073.02073.02063.02063.02063.02063.020619.36019.25919.09419.02918.99618.97718.94418.93618.93318.93118.93018.93018.92918.92918.92918.92918.92918.92918.92918.92918.92918.92918.92818.92818.92854.76054.33753.85053.65653.55753.50053.40253.37853.36953.36453.36253.36053.35953.35853.35853.35753.35753.35753.35753.35753.35653.35653.35653.35653.356106.09106.09106.09106.09105.90105.78105.57105.52105.50105.49105.49105.48105.48105.48105.48105.48105.48105.48105.48105.48105.48105.48105.48105.48105.48176.89176.89176.89176.89176.63176.42176.07175.99175.95175.94175.93175.92175.92175.92175.92175.91
175.91
175.91
175.91
175.91
175.91
175.91
175.91
175.91
175.91

一定値に収束せず，解を求めることができない，(2) 解く

表-1から表-3には，それぞれ，長さ－外径比L / Ro = 2, 20,

べき方程式の導関数を計算しなければならない，という欠40である外部で液体に接する中実円筒梁の基本振動から5点がある．他方，二分法は，求めたい根を二つの初期値で次振動の振動数パラメータ W* に与える級数の打ち切り項
数J の影響が示してある．ここで，級数の打ち切り項数J

挟み，反復計算を繰り返すことで必ず解に収束するという方法で，アルゴリズムも簡易的であり誰もが理解し易い．

は，1から401まで変化させて検討を行い，表には1から201

また，Newton- Raphson 法と異なり，解くべき方程式の導までの結果を示した．また，振動数パラメータ W* の値は
厳密解であることから，有効数字5桁で整理しており，表関数を計算する必要がない，という利点を有している．しかしながら，二分法では，(1) 解の収束が遅い，(2) 偶数乗根を求めることができない，という欠点もある．よって，中の太文字は，今回検討を行った範囲内における有効数字
5桁での収束値を意味する．

いずれの解法も一長一短であるので，解くべき方程式の形

表-1から表-3より，長さ－外径比L / Ro と振動次数に係によって，使用する方法を選択せざるを得ない．本報告では，(1) 振動数方程式が複雑な超越方程式であること，(2)わらず，振動数パラメータ W* の値は，級数の打ち切り項
数J の増大に伴い，一定の値に収束している．ただし，長振動数方程式の導関数はかなり複雑になること，(3) 初期

さ－外径比L / Ro = 2 のように短く太い円筒体では，級数値の与え方に工夫が必要であること，(4) 近年の personalの打ち切り項数J = 121 で収束値を得ているが，長さ－外computer が高性能であること，の四点に着目して，二分法

径比L / Ro = 20, 40 のように長い円筒体では，級数の打ちを用いることとした．なお，本報告では，数値解の精度に切り項数J = 161 ～ 191で収束値を得ている．この相違は，影響する収束判定値 を 10 – 12 とした．なお，反復回数 N

第二種変形Bessel関数の値が，Ro / H の値に依存すること

は，二分法のアルゴリズムに基づき，次式で決定した．

が原因である．しかし，級数の打ち切り項数J = 201 を用æ b - a ö÷ç
÷÷ 1
N ³ log2 ççç÷+çç e ÷÷÷ 2èø
ここで，a, b (a < b) は，根を挟む初期値である．

いれば，2 ≤ L / Ro ≤ 40 の範囲の外部で液体に接する中実(15)

円筒梁の基本振動から5次振動に関する振動数パラメータ

W* の値は有効数字5桁で収束値を得ることができる．正確には，級数の打ち切り項数J = 191 という結論が妥当なの―28―

大分工業高等専門学校紀要

第 47 号

表-3(平成 22 年 11 月)

外部で液体に接する中実円筒梁の振動数パラメータ W* の収束性に与える級数の打ち切り項数J の影響：L / Ro = 40, H / L = 1

J

W* 
1st

2nd

3rd

4th

5th

1
3
5
7
9
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201

3.13573.04363.01633.00412.99742.99342.98592.98392.98312.98272.98242.98232.98222.98212.98212.98202.98202.98202.98202.98192.98192.98192.98192.98192.981919.36019.12018.92118.83718.79218.76518.71518.702
18.69718.69418.692
18.692
18.691
18.69018.69018.69018.69018.69018.68918.68918.68918.68918.68918.68918.68953.29053.29053.16652.91752.78552.70552.55952.52152.50552.49752.49352.49052.48852.48752.48652.48552.48552.48452.48452.48352.48352.48352.48352.48352.483104.04104.04104.04104.04103.92103.75103.44103.37103.33103.32103.31103.30103.30103.30103.30103.29103.29103.29103.29103.29103.29103.29103.29103.29103.29182.25182.25174.29173.17172.66172.37171.85171.72
171.66
171.64171.62
171.61
171.61
171.60171.60171.60171.59171.59171.59171.59171.59171.59171.59171.59171.59かもしれないが，今日のpersonal computer の性能からすれとで厳密解を求めた．振動数方程式は超越方程式となり，ば，級数の打ち切り項数J = 201 という結論は，計算負荷

また，級数の形で表されるため，その解法に二分法を採用

や計算時間などに大きな影響を与えない．

し，振動数方程式の根に与える級数の打ち切り項数の影響について調べた．2 ≤ L / Ro ≤ 40 の範囲で検討を行った結*最後に，本報告で求めた振動数パラメータ W の値の妥
当性について述べる．桜井 1) は，エネルギー原理に基づ
くRayleigh法を用いて，基本振動に関する振動数パラメー
タ( 1st)1/2= 1.813 (Ro / H = 0.06, f /s = 0.2) を求めている．

1)

果，級数の打ち切り項数を201とすれば，外部で液体に接する中実円筒梁の基本振動から5次振動に関する振動数パラメータ W* の値は有効数字5桁で収束値を得ることがで桜井 の結果は，近似的に解いた結果であり，収束値では

き，また，得られた収束値が妥当であることも確認した．

ない．他方，本報告で求めた収束値は，(1st) 1/2 = 1.808 (Ro/ H = 0.06, f /s = 0.2) であり，桜井1) の結果よりも小さい

種々の数値解析法や今後開発される数値解析法の数値解値を示している．ここで，Rayleigh法による解は，真の解のベンチマークテストに使って頂ければ幸いである．

本報告で示した表の値は，既存の有限要素法を含めた(厳密解) に対して上界であるという上界定理に従うので，
本報告の結果は妥当であると判断できる．
参考文献
1)

桜井彰雄：水中に立てられた柱状構造物の振動，土木

2)

技術，第16巻，第6号，pp.11-17，昭和36年．
Wang, C.M., Reddy, J.N. and Lee, K.H.: Shear deformable

５．あとがき
本報告では，液体の高さと梁の長さが等しい場合に限定
して，外部で液体に接する中実円筒梁の自由振動問題を数学的に解き，厳密な振動数方程式を導出し，これを解くこ―29―

beams and plates – Relationship with classical solutions,Elsevier, 2000.
(2010.9.30 受付)