三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

濾

過１．濾過装置
濾過は、濾布や粒子充填層などの濾材を用いてスラリー（懸濁液）を湿潤固体と液体に分離する機械
的分離操作である。スラリーの固体濃度が 1 vol%以上の場合、濾材面上にケーク(濾滓、ろさい)と呼ばれる湿潤固体層が形成され、ケーク自体が濾材の役割を果たす。このような濾過をケーク濾過といい、固体または液体、あるいはその両方の回収が目的となる。スラリーの固体濃度が 0.1 vol%以下の希薄条件となる場合、固体粒子が濾材の内部で捕捉され、ケークはほとんど形成されない。この場合、懸濁粒子
は濾材の奥深くで補足されることから、濾材濾過または内部濾過といい、清澄液の回収が目的となる。
重力式清澄濾過機の例として、水処理の前処理に用いられるサンドフィルタ(砂濾過器)がある。砂利を支持層として、その上に粗大粒子のアンスラサイト（石炭粉砕物）と微小粒子の砂を充填する。これらを濾材として、原水を清澄化する。加圧式ケーク濾過機の例として、回分式のフィルタープレス(圧濾機)がある。濾板と濾枠の間に濾布を挟んで交互に並べ、締め付ける。濾板と濾枠に囲まれて形成される濾室内に原液のスラリーを圧入し、濾過する。濾室内がケークで充満したら、ケークを洗浄後、締め付けを緩めてケークを排出する。真空式ケーク濾過機の例として、連続式のオリバーフィルタがある。濾過機本体であるドラムを横倒して一部を原液槽に浸し、ドラムを緩やかに回転させる。ドラム表面に張られた濾布を介して連続的に濾過が行われ、続いてケークの洗浄、脱水、排出が１回転する内に順次行われる。ドラムの周囲は、仕切り板によって、複数の小さな濾室に分割されている。中央の自動切替弁によって、濾過、洗浄、脱水の各区間に連結する濾室は真空状態となり、ケーク排出の区間に連結する濾室は加圧状態となる。スクレーパー（かき取り機）で濾布上のケークをはぎ取る。

ろ枠
ろ板
圧搾

ろ布

ろ枠
ろ布

原液

原液

圧搾

ろ板
原液

原液
ろ板

ろ枠

ろ枠
ろ液

1

ろ液

ろ液

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プレスロール

洗浄

脱水
ろ過機
かき取り機

洗浄水

ろ液

スクレーパー（かき取り機）

隔室

ろ過槽

原液
ケーク
ろ過槽
図 1.1 ケーク濾過機の例
上：フィルタープレス、下：オリバーフィルタ

２．粒子充填層内の流れ
２．１

相当直径

流路がまっすぐな円管でない場合は、相当直径に換算することで、直円管と同様の取り扱いができる。
相当直径 Deq [m]は、流体と接している壁面周辺の長さ、すなわちぬれ辺長 lw [m]と流路断面積 A [m2]の比で表される動水半径 rH [m]の４倍で定義される。
Deq

4 rH

…(2.1.1)

Deq

4A
lw

…(2.1.2)

４倍の理由は、次式のように、円管における相当直径 Deq を円管径 D と一致させるためである。
Deq

4 ( D /2) 2
D

Deq

D

…(2.1.3)…(2.1.4)

流路形状が開溝と環状路の場合の相当直径 Deq は、それぞれ次式で表される。
（開溝）

Deq

（環状路） Deq

4 ab
2a b

…(2.1.5)

4 [( D2 2) 2 ( D1 2) 2 ]( D2 D1 )D2

D1…(2.1.6)2

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

a
D1

b

D2

図 2.1.1 開溝(左)と環状路(右)２．２

ダルシーの式

断面積 A [m2]の粒子充填層に一定の流量 Q [m3/s]で流体を流Q [m3/s], μ [Pa･s]

すと(空塔速度 u [m/s])、マノメーターの液位に差が生じて、こA [m2]の分だけ圧力損失を生じる。圧力損失 P [Pa]は、流体が粒子充填層内を流れる際の摩擦損失に相当し、空塔速度 u [m/s](=Q/A)、

z1

流体粘度 μ [Pa･s]、層高 L [m]に比例する。これらの関係式は、

+z
L [m]

ダルシーの式で表される。[文献 1]

u

kp

ΔP
L

Q
A

…(2.2.1)

z2
ΔP [Pa]

ただし、kp は透過係数[m2]。
ダルシーの式は簡便だが、粒子充填層やそれを構成している固Q

体粒子に関する粒子特性項が含まれない為、粒子充填層を変更
するたびに透過係数 kp を実験的に求める必要がある。
いま、少量の固体粒子を含む希薄懸濁液を上記の粒子充填層(濾層)により濾過する場合を考える(砂濾過)。濾過速度 u [m/s]は、ダルシーの式を用いて次式のように表される。
（濾層支持体の抵抗は無視する。）
u

1 dV
A dt

ΔP
R

R

L
kp

…(2.2.2)

ただし、A は濾過面積[m2]、L は濾層高さ[m]、R は濾層抵抗[1/m]、V は濾液量[m3]、t は濾過時間[s]。
圧力損失 P [Pa]は濾過圧力 P [Pa]に相当し、給液面(濾過中、濾層入口からの液面高さ L0 [m]が一定に維持されるものとする)から濾層入口までの液圧 P1 と濾層入口から出口までの液圧 P2 の合計に等しい。
ΔP ( P )

P1

P2

gL0

gL

g ( L0L)…(2.2.3)【計算例】透過係数
直径 50.0 cm の円筒容器に砂を 120 cm 充填して少量の固体粒子を含む希薄懸濁液を毎時 360 L で砂濾過する。濾層入口からの液面高さが 30.0 cm に維持されるように給液するとき、①濾過圧力 P [kPa]、②濾
過速度 u [mm/s]、③濾層抵抗 R [m－1]、④透過係数 kp [m2]を求めよ。濾液の密度 1000 kg/m3、粘度 1.00 mPa･s、重力加速度 9.81 m/s2 とする。(①14.7 kPa, ②0.509 mm/s, ③2.89×1010 m－1, ④4.15×10－11 m2)①P=ρg(L0+L)=(1000)(9.81)[(30.0/100)+(120/100)]=14715 Pa≒14.7 kPa
3

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料②A=πD2/2=π[(50.0/100)/2]2=π/16
u=Q/A=[(360/1000)/3600]/(π/16)=5.0929×10－4 m/s≒0.509 mm/s
③R=ΔP/(μu)=14715/[(1.00×10－3)(5.0929×10－4)]=2.8893×1010 m－1≒2.89×1010 m－1④kp=L/R=(120/100)/(2.8893×1010)=4.1532×10－11 m2≒4.15×10－11 m2

２．３

コゼニー・カルマンの式

粒子充填層内の流れは、みかけの直径 de [m]、みかけの長さ Le [m]の仮想的な直円管内流れとみなすことができる。このとき、粒子充填層内を流れるみかけの平均流速 ue [m/s]は、ハーゲン・ポアズイユの式を用いて次式で表される。[文献 2,3]

ue

de2ΔP
32 μLe…(2.3.1)

μ は流体粘度[Pa･s]、 P は圧力損失[Pa]。
粒子充填層内における仮想的な屈曲流路において、空隙率 ε [－]は粒子充填層の全体積 Vb [m3]に対する空隙体積 Ve0 [m3]の比で表される。

Ve0
Vb…(2.3.2)

粒子充填層と空隙部の断面積をそれぞれ A および Ae0 [m2]とするとき、上式を用いて次式が成り立つ。
A e0 LAL

A e0
A…(2.3.3)

ここで、空塔速度 u [m/s]および屈曲流路内のみかけの平均流速 ue0 [m/s]は、流体の体積流量 Q [m3/s]を用いてそれぞれ次式で表される。
u

ue0

Q
A

…(2.3.4)

Q
Ae0…(2.3.5)u と ue0 の比をとって Q を消去したものを ε の式に代入し、A と Ae0 を消去すると、次式のようになる。

u
ue0

Ae0
A
u
ue0

ue0

u

…(2.3.6)…(2.3.7)…(2.3.8)

粒子充填層内における流体の透過時間は、あらゆる流路モデルにおいて等しい。いま、仮想的な屈曲流
路と延伸流路の透過時間を等置し、みかけの平均流速 ue [m/s]について整理すると、次式の通りとなる。

L
ue0

Le
ue

…(2.3.9)4

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

ue

ue0

Le
…(2.3.10)
L

ue0 の式を上式に代入すると、次式を得る。
ue

uLe
L

…(2.3.11)

みかけの円管径 de [m]は、相当直径の式を次式の通りに変形して得る。

de

4

AL
lw L

…(2.3.12)

de

4

V
Aw

…(2.3.13)

de

4

Vb
S VVb (1de4
S V (1…(2.3.14))…(2.3.15))

A は流路断面積[m2]、Aw はぬれ面積[m2]、L は層高[m]、lw はぬれ辺長[m]、SV は体積基準の比表面積[m2/m3]、
Vb は粒子充填層体積[m3]、V は流路体積[m3]。
ue の式と de の式をそれぞれハーゲン・ポアズイユの修正式に代入し、空塔速度 u [m/s]あるいは層高あたりの圧力損失 P/L [Pa/m]について整理すると、コゼニー・カルマンの式が導かれる。[文献 4-6]

uLe
L

2

1
4
32 SV (1

)

L
32 Le

u

1 L
2 Le

u

1 L
2 Le

u

3
1
k SV 2 (1

3
2

SV (1
3

)

2

)

2

)2

(1
3

…(2.3.17)…(2.3.18)

ΔP
μLe

Le
L

ΔP
μL

1k

(1 2)( L Le ) 2

ΔP
μL…(2.3.21)

μu…(2.3.22)

SV (1kSV (1

ΔP
μLe

2

2

2

kSV 2

)

2

3

ΔP
L

…(2.3.16)

16 2
ΔP
2
2
S V (1 ) μLe

u

u

ΔP
μLe

)

2

…(2.3.19)…(2.3.20)

k はコゼニー定数[－]であり、経験的に k≒5 であることが知られている。[文献 4,5]
ダルシーの式とコゼニー・カルマンの式を比較すると、粒子特性項を含む透過係数 kp [m2]が得られる。
このことから、コゼニー・カルマンの式がダルシーの式を修正した式になっていることが分かる。

5

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3

kp

5SV 2 (1)2…(2.3.23)

u
u

u

de
ueo

L

ue

u

u

u

（ア）

（イ）

（ウ）

Le

図 2.3.1 粒子充填層内の流動モデル[文献 4]（ア）実際の流路、（イ）仮想的な屈曲流路、（ウ）仮想的な延伸流路

２．４

空隙率

空隙率あるいは空間率 ε は、粒子充填層の全体積 Vb [m3]に対する空隙体積 Ve [m3]の比で定義される。
Ve
Vb…(2.4.1)

空隙体積 Ve を直接測定することは難しい。そこで、Ve を充填層体積 Vb と充填層内の粒子体積 Vp の差(Vb－Vp)に置き換える。
Vb

Vp…(2.4.2)

Vb
1

Vp…(2.4.3)Vb

充填層体積 Vb は、充填層の形状を円柱と仮定すると、充填層の断面積 A [m2]と層高 L [m]を用いて次式で
表される。

Vb

AL

…(2.4.4)

粒子体積 Vp は、粒子重量 Wp [kg]と粒子密度 ρp [kg/m3]を用いて表す。

Vp

Wp…(2.4.5)p

Vb と Vp の式を ε の式に代入すると、計算しやすい形での空隙率を得る。

1

Wp
p AL

…(2.4.6)

6

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３．ケーク濾過[文献 7-13]
３．１

物質収支

3.1.1 ケーク中の固体量
原料スラリーMsl [kg]を濾過すると、湿潤ケーク Mc [kg-湿潤固体]と濾液 Mℓ [kg]に分離される。このとき、濾過前後の物質収支式は、次式で表される。
（全物質収支） Msl

Mc M ( McV)（固体量収支） Msl s

Mc sc ( Wc )…(3.1.1.2)…(3.1.1.1)

ただし、s はスラリー濃度[kg-乾燥固体/kg-懸濁液]、sc は湿潤ケーク中の固体質量分率[kg-乾燥固体/kg-湿潤固体]、V は濾液量[m3]、Wc は湿潤ケーク中の固体量[kg-乾燥固体]、ρ は濾液密度[kg/m3]。
固体量収支式の Msl と Mc を全物質収支式に代入する。

Wc
s

Wc
sc

1
s

1
Wc
sc

V

…(3.1.1.3)
V…(3.1.1.4)( scVs)/(ssc )…(3.1.1.5)

(sc

sV
s)/sc

…(3.1.1.6)

WcsV
1 (s /sc )…(3.1.1.7)

Wc

sV
1 ms

m

Wc

V

s
1 ms

Wc
Wc

Mc
Wc

1
sc

…(3.1.1.8)…(3.1.1.9)

ただし、κ は濾液基準の固体濃度[kg-乾燥固体/m3-濾液]、m はケーク湿乾質量比[kg-湿潤固体/kg-乾燥固体]。
希薄スラリーの場合は、1－ms≒1 が成り立つ。
3.1.2 濾液量
スラリー処理量 Vsl [m3]が既知の場合は、上で導いた物質収支式より濾液量 V [m3]を得る。

V

1 ms
Wc
s

V

1 ms
M sl s
s

V

1 ms
s

…(3.1.2.1)

sl sVsl

Wc

Msl s

Msl

slVsl

…(3.1.2.2)…(3.1.2.3)

7

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料(1 ms) slVsl

V…(3.1.2.4)

ただし、Msl はスラリー重量[kg]、ρsl はスラリー密度[kg/m3]。
スラリー密度 ρsl [kg/m3]は、次式のように導かれる。
sl

M sl
M sl s M sl (1 s)…(3.1.2.5)

s

sl

1
1 s

s

…(3.1.2.6)

s3.1.3 ケーク湿乾質量比
ケーク湿乾質量比 m [kg-湿潤固体/kg-乾燥固体]は、湿潤時ケーク重量 Mc [kg-湿潤固体]と乾燥時ケーク
重量 Wc [kg-乾燥固体]の比で表される。

m

Mc
Wc

…(3.1.3.1)

たとえば湿潤ケーク 1 kg 中に水分が 20%含まれるとき、m=1/(1－0.20)=1.25 となる。
湿潤ケークを湿潤粒子充填層と考えると、次式のように導かれる。

m
m

ALc c
ALc (1 av ) s
c

(1

Mc

…(3.1.3.2)

ALc c ,Wc

ALc (1av ) s…(3.1.3.3)av ) sただし、A は濾過面積(ケーク断面積)[m2]、Lc はケーク厚み[m]、εav は湿潤ケークの平均空隙率[－]、ρcはケーク密度[kg/m3]、ρs は固体密度[kg/m3]。
m が既知の場合は、上式を変形して湿潤ケークの平均空隙率 εav [－]を求める。

1

c

av

av

m s

1

c

m s

…(3.1.3.4)…(3.1.3.5)

3.1.4 ケーク厚み
ケーク厚み Lc [m]は、湿潤ケーク中の固体量 Wc の式より導かれる。

Wc
Lc

ALc (1av ) s…(3.1.4.1)

1Wcav ) A…(3.1.4.2)s (1εav の式を代入すると、εav を含まないケーク厚み Lc が導かれる。

Lc

Wcs ( c m s) A
1

av

1

c

m s

…(3.1.4.3)

8

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

mWc
cA

Lc

…(3.1.4.4)

3.1.5 ケーク密度
ケーク密度 ρc [kg/m3]は、湿潤ケークの収支式より導かれる。

Mc Wc M w…(3.1.5.1)

ALc c

ALc (1av ) sALc av(1av ) sav…(3.1.5.3)

c…(3.1.5.2)

εav の式を代入する。

[ c (m s )] s [1 { c (m s )}]c[ av 1 { c (m s )}]c [1(1 m)] [1 { c (m s )}]c (m1) [m ( cs )]…(3.1.5.6)

c (m

1) m

s)

…(3.1.5.7)

( c

m

( c

s)

m

( c

s)

c

c (m
c (m

c

m

1

c

s

1)

…(3.1.5.4)…(3.1.5.5)…(3.1.5.8)

1)…(3.1.5.9)

c

m 1…(3.1.5.10)

上式は、湿潤ケーク m [kg]分の体積が乾燥ケーク 1 kg 分の体積と間隙水(m－1)[kg]分の体積の和で表されることを表している。
c

m
1 m 1

…(3.1.5.11)

s

３．２

濾過速度

3.2.1 基本方程式
ケーク内における濾液の流れは、透過流動とみなすことができる。ケーク内の流動状態を層流と仮定
すると、濾過速度 u [m/s]はダルシーの式を用いて次式のように表される。
（ケーク部） u

1 dV
A dt

ΔPc
Rc

Rc

Lc
kp

…(3.2.1.1)

ただし、A は濾過面積[m2]、Lc はケーク厚み[m]、Rc はケーク内の流動抵抗(ケーク抵抗)[1/m]、V は濾液
量[m3]、t は濾過時間[s]、 Pc はケーク部の圧力損失[Pa]であり、濾過圧 P と濾材部にかかる圧力 Pm の差(P－Pm)で表される。
ケーク部と濾材部で直列的に濾過が進むことから、濾材部についても上と同様の式で表される。
（濾材部） u

1 dV
A dt

ΔPm
Rm

…(3.2.1.2)

9

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

ただし、Rm は濾材抵抗[1/m]、 Pm は濾材部の圧力損失[Pa](=Pm－0)。
ケーク部と濾材部の式を辺々加えると、総括の濾過速度 u [m/s]が導かれる。

u( RcRm ) ΔPc ΔPm（総括） u1 dV
A dt…(3.2.1.3)

ΔP
( Rc

ΔP

Rm )

ΔPc

ΔPm

(P

Pm )

( Pm

0)

P

…(3.2.1.4)

ただし、 P [Pa]はケーク部と濾材の総括圧力損失[Pa]。
ケーク抵抗 Rc [1/m]は、湿潤ケーク中の固体量 Wc [kg-乾燥固体]に比例し、濾過面積 A [m2]に反比例する。

Rc

Wc
A

…(3.2.1.5)

ただし、α は比抵抗[m/kg]であり、濾過のしにくさを表す。
濾材抵抗 Rm [1/m]は、濾材自体を抵抗 Rm の仮想ケークに置き換えると、上式と同様に表される。

Rm

W0
A

…(3.2.1.6)

ただし、W0 は仮想ケーク中の固体量[kg-乾燥固体]。
上の２式を総括濾過速度 u の式に代入すると、濾過の基本方程式を得る。
u
u

u

u

ΔP
[( Wc A) ( W0 A)]
A ΔP(Wc W0 )…(3.2.1.7)…(3.2.1.8)

ΔPsV
1 ms AV0s
1 ms A

AΔP (1 ms )s (V V0 )…(3.2.1.10)

Wc

sV0
1 ms

sV
,W0
1 ms

…(3.2.1.9)

ただし、V0 は相当濾液量[m3]であり、濾材抵抗に等しい仮想ケークを形成するのに必要な濾液量を表す。
3.2.2 比抵抗
比抵抗 α は、濾過のしにくさを表す。経験的には、1011 m/kg 以下は易濾過性、1012～1013 m/kg は中程
度、1013 m/kg 以上は難濾過性となる。比抵抗は、空隙率が最大となるケーク表面で最小、空隙率が最小となる濾材の接面で最大となることから、平均比抵抗 αav として扱う。一般に、圧力損失(濾過圧)が大きくなるほどケークが圧縮されるため、比抵抗は増大する。このことは、次の実験式で表される。
n1ΔPc ((Ruth ルース型)

av

0(Sperry スペリィ型)

avn
1ΔPc (

n
1P )

0

n
1P )

…(3.2.2.1)…(3.2.2.2)

ただし、n は圧縮性指数[－]であり、ケークの圧縮のしやすさ(変形のしやすさ)を表す。n=0 のとき非圧縮性であり、n 値が大きくなるほど圧縮性は高くなる。
理論的な比抵抗 α は、ケーク内部の流動抵抗がコゼニー・カルマン式に基づくものとして導かれる。

10

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

Lc
kp

Rc

…(3.2.2.3)
Wcav ) A

1

Rc

s (1

1
s (1

Wc
av ) A1avs

5SV 2 (1av

3

5 S V 2 (1
av

av )

2

3

2

5SV (1

av )

Wc
A

2

Wc
, kp
av ) A

1

Lc

s (1

Rc

Wc
A

3
av

5SV2 (12
av )…(3.2.2.4)…(3.2.2.5)

3…(3.2.2.6)

av )5SV 2 (1

av )

s av

…(3.2.2.7)3

体積基準の比表面積 SV [m2/m3]は、粒子表面積 Sp [m2]と粒子体積 Vp [m3]の比より導かれる。

SV

Sp

S Dp

Vp

2

V Dp

S
3

DPS

…(3.2.2.8)

V

ただし、DPS は比表面積径[m]、 は比表面積形状係数[－](球粒子のとき 6)、 S は表面積形状係数[－]、 Vは体積形状係数[－]。

【計算例】理論比抵抗
非圧縮性の球状固体粒子(粒子密度 2650 kg/m3、比表面積径 1.00 μm)を含む懸濁液を定圧濾過する。①湿潤ケーク密度 ρc [kg/m3]、②ケーク平均空隙率 εav [－]、③理論比抵抗 α [m/kg]を求めよ。ケーク湿乾質量
比 1.50、濾液の密度 1000 kg/m3、粘度 1.00 mPa･s とする。(①1710 kg/m3, ②0.570, ③1.58×1011 m/kg)①ρc=m/[(1/ρs)+(m－1)/ρ]=(1.50)/[(1/2650)+(1.50－1)/1000]=1709.6 kg/m3≒1710 kg/m3
av=1－(ρc/ρs)/m =1－(1709.6/2650)/1.5=0.56991≒0.570③Sv= /Dps=6/(1.00×10－6)=6.00×106
α=5SV2(1－εav)/(ρsεav3)=(5)(6.00×106)2(1－0.56991)/[(2650)(0.56991)3]=1.5782×1011 m/kg≒1.58×1011 m/kg

３．３

濾過時間

3.3.1 定圧濾過時間
基本方程式を次式のように変形する。ケークは、非圧縮性であるものとする。[文献 14]

u

1 dV
A dt

AΔP(1 ms)s (V V0 )…(3.3.1.1)

dV
dt

A2 ΔP(1 ms)s (V V0 )dVdt

2 A2 ΔP(1 ms )1
s2(V V0 )

dV
dt

K
2(V

V0 )

…(3.3.1.2)…(3.3.1.3)…(3.3.1.4)

11

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V 2(V

V0 )
K

0

2 V2
K 2

t

V2

t

dV

VV0

0

…(3.3.1.5)…(3.3.1.6)

t

2VV0
K

dt

2A2 ΔP (1 ms )
,V0
s

K

A(1 ms )Rm
s…(3.3.1.7)

ただし、K は定圧濾過定数[m6/s]、V0 は相当濾液量[m3]。
あるいは、次式で表される。
2

t

2
k

0

k

K
,
A2

V0
A

V
, 0
A

…(3.3.1.8)

ただし、k は定圧濾過定数[m2/s]、 は濾過面積あたりの濾液量[m]、 0 は濾過面積あたりの相当濾液量[m]。
t の式を変形して得られる次式に定圧濾過試験データを当てはめると、傾きより定圧濾過定数 K [m6/s]、
切片より相当濾液量 V0 [m3]を得る。
t
V

1
V
K

2
V0
K

…(3.3.1.9)

傾きより K 値を求めて比抵抗 α [m/kg]を得る。
2A2 ΔP(1 ms )K s…(3.3.1.10)

切片より V0 値を求めて濾材抵抗 Rm [1/m]を得る。

Rm

W0
A

Rm

s V0
A(1 ms )…(3.3.1.11)

sV0
1 ms

…(3.3.1.12)

35

-3

30

3

/V [s/m ]x10
t/V

W0

25

20

15

10

5
0.0

0.5

1.0

1.5
3

2.0
3

V [m ]x10

図 3.3.1.1 Ruth Plot の例

12

2.5

3.0

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料【計算例】ケーク濾過
懸濁液をヌッチェフィルタにより定圧濾過する。①濾液量 V [L]、②ケーク平均空隙率 εav [－]、③濾液基
準の固体濃度 κ [kg-乾燥固体/m3-濾液]、④比抵抗 α [m/kg]、⑤濾材抵抗 Rm [1/m]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①0.926 L, ②0.570, ③90.9 kg/m3, ④3.29×1010 m/kg, ⑤4.81×1010 m－1)
スラリー量 Vsl

1.00 L

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

スラリー濃度 s

8.00 wt%

濾過圧力 P

0.275 MPa1.50

濾過面積 A

0.0250 m2

ケーク湿乾質量比 m
固体密度 ρs

2650 kg/m3

Ruth Plot の傾き 1/K

8.70×106 s/m6

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

Ruth Plot の切片 2V0/K

7.00×103 s/m3

①ρsl=1/[(s/ρs)+(1－s)/ρ]=1/[(8.00×10－2/2650)+(1－8.00×10－2)/1000]=1052.4 kg/m3
V=(1－ms)ρslVsl/ρ=[1－(1.50)(8.00×10－2)](1052.4)(1.00×10－3)/(1000)=9.2611×10－4 m3≒0.926 L②ρc=m/[(1/ρs)+(m－1)/ρ]=1.50/[(1/2650)+(1.50－1)/1000]=1709.6 kg/m3
av=1－(ρc/ρs)/m =1－(1709.6/2650)/1.50=0.56991≒0.570③κ=ρs/(1－ms)=(1000)(8.00×10－2)/[1－(1.50)(8.00×10－2)]=90.909 kg-乾燥固体/m3-濾液≒90.9 kg-乾燥固体/m3-濾液④K=1/(1/K)=1/(8.70×106)=1.1494×10－7 m6/s
V0=(K/2)(2V0/K)=(1.1494×10－7/2)(7.00×103)=4.0229×10－4 m3
α=2A2ΔP(1－ms)/(μρsK)=(2)(0.0250)2(0.275×106)[1－(1.50)(8.00×10－2)]/[(1.00×10－3)(1000)(8.00×10－2)(1.1494×10－7)]=3.2897×1010 m/kg≒3.29×1010 m/kg
⑤Rm=ρsαV0/[A(1－ms)]=(1000)(8.00×10－2)(3.2897×1010)(4.0229×10－4)/[(0.0250){1－(1.50)(8.00×10－2)}]=4.8124×1010≒4.81×1010 m－1
3.3.2 定速濾過時間
基本方程式を次式のように変形する。

u

AΔP(1 ms)s (V V0 )

V
A

V0
A

(ΔPc

…(3.3.2.1)

ΔPm )(1 ms )
u s

ΔP

ΔPc

ΔPm

…(3.3.2.2)

濾材部の濾過速度式を次式のように変形する。

u

ΔPm
Rm

u

ΔPm
( W0 A)u…(3.3.2.3)

ΔPm
s V0
1 ms A

Rm

W0
A…(3.3.2.4)

W0

sV0
1 ms

…(3.3.2.5)

13

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

V0A

ΔPm (1 ms )u s…(3.3.2.6)

先の変形式と上式を辺々引き算する。

V
A

V0
A

V0
A

(ΔPc

ΔPm )(1 ms)
u s

V
A

ΔPc (1 ms )u s…(3.3.2.8)

uΔPc (1 ms )s (V A)…(3.3.2.9)

ΔPm (1 ms)
u s…(3.3.2.7)

濾過速度 u は定数であることから、濾過面積あたりの濾液量 V/A は次式のように導かれる。
1 dV
A dt

u

V A
0

V
A

d(V A )dttd( V A )ut

0…(3.3.2.10)

udt…(3.3.2.11)…(3.3.2.12)

先の u 式に代入すると、非圧縮性ケークにおける定速濾過時間 t [s]を得る。

utΔPc (1 ms )s (ut )…(3.3.2.13)

ΔPc (1 ms)…(3.3.2.14)

s u2

Sperry 式と辺々割り算すると、ケークの圧縮性を考慮した定速濾過時間 t [s]を得る。

ttΔPc (1 ms )( 1ΔPc n )2
s uΔPcn 1 (1 ms )s 1u 2

1Δ Pc

n…(3.3.2.15)…(3.3.2.16)

３．４

スケールアップ

試験機の濾過面積 A や濾過圧 P が実機の値 A’や P’に変更されると、試験機の定圧濾過定数 K と相当
濾液量 V0 は、実機の値 K’と V0’に変更される。実機で用いるスラリーの性状と濾材が試験機と同じである場合(m, s, α, μ, ρ, Rm が変化しない場合)、実機の定圧濾過定数 K’ [m6/s]と相当濾液量 V0’ [m3]は、次式のように導かれる。

K
K

2A 2 ΔP (1 ms)
s

K

K

A
A

2

ΔP
ΔP

2A2ΔP(1 ms)
s…(3.4.1)…(3.4.2)

14

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

k

ΔP
ΔP

k

K
,k
A2

k

V0
V0

A (1 ms)
Rm
s

V0

V0

0

0

A
A

K
A2

…(3.4.3)

A(1 ms)Rms…(3.4.4)…(3.4.5)

V0
,
A

0

V
A

…(3.4.6)

３．５

回分定圧濾過[文献 15-17]

3.5.1 濾過面積
フィルタープレスの濾過面積 A [m2]は、次式で表される。

A A0 Nf…(3.5.1.1)

A 2 Af Nf[ A0

2 Af ]…(3.5.1.2)

ただし、A0 は濾枠１枚あたりの濾過面積[m2]、Af は濾枠面積[m2]、Nf は濾枠枚数[－]。
濾過面積 A0 が濾枠面積 Af の２倍になる理由は、濾枠の表面と裏面が濾布で覆われるためである。
濾枠枚数 Nf は、湿潤ケーク体積 Vc と濾枠の全体積を等置することで導かれる。

Vc

Af Lf Nf…(3.5.1.3)

Nf

Vc
Af Lf

…(3.5.1.4)

ただし、Lf は濾枠厚み[m]。
１バッチあたりの湿潤ケーク体積 Vc [m3]は、濾過面積 A [m2]とケーク厚み Lc [m]の積より導かれる。

Vc
Vc

ALc

…(3.5.1.5)

mWc

Lc

c

Vc

m sl sVsl

mWc
cA
Wc

…(3.5.1.6)
ろ枠
sl sVslろ布…(3.5.1.7)

ろ板

c

原液

原液

3.5.2 回分時間

ろ枠

１バッチあたりの平均濾過速度 uav [m/s]は、次式で表される。

uav

V A
t td

ろ液

ろ液

…(3.5.2.1)

ただし、td は濾過操作以外の作業(濾枠の開閉、ケークの排出、濾布の洗浄)に要する時間[s]。
濾液量 V で微分し、極大値を与える td を求める。

duav
dV

d
dV (V 2V A
2VV0 ) K td

0…(3.5.2.2)

15

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料(V A) (V 2

(V 2
(1 A) (V 2
(V 2

2VV0 ) K

(2V 2

td

V2
K

2VV0 ) K td
td

2VV0 ) K td

2(V A) 2(VV0 ) Ktd2(V 2

VV0 ) K

2VV0 ) K(V 2

2VV0 ) K

2VV0 ) K

td(V A) (V 2

2VV0 ) K td

00…(3.5.2.3)…(3.5.2.4)

0…(3.5.2.5)…(3.5.2.6)…(3.5.2.7)

定圧濾過時間 t の式に代入して V を消去すると、最適化された回分時間 τ [s]を得る。
( Ktd )22( Ktd )V0K

Ktd

2V0 Ktd…(3.5.2.9)

K
td

2V0

td
K

…(3.5.2.8)…(3.5.2.10)【計算例】回分定圧濾過
試験機(ヌッチェフィルタ)を実機(フィルタープレス)にスケールアップして回分定圧濾過する。①濾枠
枚数 Nf [－]、②所要濾過面積 A’ [m2]、③濾液量 V’ [m3]、④定圧濾過定数 K’ [m6/s]、⑤比抵抗 α [m/kg]、⑥相当濾液量 V0’ [m3]、⑦回分時間 τ [min]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①31 枚, ②124 m2, ③
46.9 m3, ④1.23 m6/s, ⑤6.60×1010 m/kg, ⑥1.24 m3, ⑦16.1 min)
スラリー濃度 s

10.0 wt%

ケーク湿乾質量比 m

1.20

Ruth Plot の傾き 1/K

2.00×107 s/m6

Ruth Plot の切片 2V0/K

1.00×104 s/m3

固体密度 ρs

2650 kg/m3

実機のスラリー処理量 Vsl

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

実機の濾過圧力 P’

0.300 MPa

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

実機の濾枠面積 Af

2.00 m2

試験機の濾過圧力 P

0.300 MPa

実機の濾枠厚み Lf

5.00 cm

試験機の濾過面積 A

0.0250 m2バッチ間の作業時間 td①ρsl=1/[(s/ρs)+(1－s)/ρ]=1/[(10.0×10－2/2650)+(1－10.0×10－2)/1000]=1066.3 kg/m3
ρc=m/[(1/ρs)+(m－1)/ρ]=1.20/[(1/2650)+(1.20－1)/1000]=2078.4 kg/m3
Vc=mρslsVsl/ρc=(1.20)(1066.3)(10.0×10－2)(50.0)/(2078.4)=3.0782 m3
Nf=Vc/(AfLf)=(3.0782)/[(2.00)(5.00×10－2)]=30.7≒31 枚②A’=2AfNf=(2)(2.00)(31)=124 m2③V’=(1－ms)(ρsl/ρ)Vsl=[1－(1.20)(10.0×10－2)](1066.3/1000)(50.0)=46.917 m3≒46.9 m3④K=1/(1/K)=1/(2.00×107)=0.500×10－7 m6/s
1650.0 m3

15 分

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

K’=K(A’/A)2( P’/ P)=(0.500×10－7)(124/0.0250)2(0.300/0.300)=1.2300 m6/s≒1.23 m6/s
⑤α=2A’2ΔP’(1－ms)/(μρsK’)=(2)(124)2(0.300×106)[1－(1.20)(10.0×10－2)]/[(1.00×10－3)(1000)(10.0×10－2)(1.2300)]=6.6004×1010 m/kg≒6.60×1010 m/kg
⑥V0=(K/2)(2V0/K)=(0.500×10－7/2)(1.00×104)=2.50×10－4 m3
V0’=V0(A’/A)=(2.50×10－4)(124/0.0250)=1.24 m3⑦τ=td+2V0’(td/K’)0.5=(15)(60)+(2)(1.2400)[(15)(60)/(1.2300)]0.5=967.08 s=16.118 min≒16.1 min

３．６連続定圧濾過[文献 15-17]

3.6.1 構造設計
①濾過面積 外径 DD [m]、幅 LD [m]の回転円筒ドラムが中心角 ψ [rad]LD

で液に浸かっているときの有効濾過面積 Ae [m2]は、次式で表される。

Ae
Ae

AF

…(3.6.1.1)

DD LD

ND [rps]A

2

DD LD , F

2

DD…(3.6.1.2)

液面Ψ

ただし、A は円筒ドラムの濾過面積[m2]、F は浸液率[－]。
円筒ドラムの寸法が分かっていない場合の濾過面積 A [m2]は、次式のように導かれる。

A

Q
ND

V
A

A

Q
ND

…(3.6.1.4)…(3.6.1.3)

ただし、ND は円筒ドラムの回転速度[1/s]、Q は濾液流量[m3/s]、V は円筒ドラム１回転あたりの濾液量[m3]、は濾過面積あたりの濾液量[m3/m2]。
スラリー処理量 Qsl [m3/s]が分かっている場合の濾液流量 Q [m3/s]は次式を用いる。

V(1 ms) slVsl

Q(1 ms ) sl Qsl…(3.6.1.5)
QVt…(3.6.1.6)②ドラム径 円筒ドラム径 DD [m]は、濾過面積の式より導かれる。
A(

DD

DD LD )DD [( LD DD ) DD ]A
( LD DD )DD 2 ( LD DD )…(3.6.1.7)…(3.6.1.8)

3.6.2 濾液量
濾過面積あたりの濾液量 [m3/m2]は、定圧濾過方程式の修正式より導かれる。
2

2 ( 0

) kt

0

k

2ΔP(1 ms )
,
s

V
, 0
A

17

1 ms
Rm
s

…(3.6.2.1)

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

2( 0

)

4( 0

)2

4kt

)

…(3.6.2.3)

2
)2

( 0

kt

( 0

…(3.6.2.2)

ただし、 ℓ は濾過面積あたりの残留ケークの相当濾液量[m3/m2]。
3.6.3 残留ケークの相当濾液量
回転円筒型濾過機の場合、濾材面保護のため、ケークの全量を剥離するのではなく、ある程度のケーク厚みを残して操作する。この残留ケークは濾材抵抗に相当し、その増分としての相当濾液量 Vℓ を相当
濾過量 V0 に加える。残留ケーク中の固体量 Wℓ [kg]は、上で導いた手順と同様にして次式で表される。

sV
1 ms

W

…(3.6.3.1)

残留ケーク厚み Lℓ [m]は、上で導いた手順と同様にして次式で表される。

mW
cA

L

…(3.6.3.2)

上の２式で Wℓ を消去すると、残留ケークの相当濾液量 Vℓ [m3]または ℓ [m3/m2]を得る。

sVmc A 1 msL…(3.6.3.3)

c A(1

ms)
L
m s

V

c (1

ms)
L
m s

…(3.6.3.4)
VA…(3.6.3.5)

3.6.4 浸液時間
浸液時間 t [s]は、円筒ドラム１回転あたりの周長 πDD と周期 1/ND の比で表される先端速度式と円筒ドラム１回転あたりの浸液距離(πDD)(ψ/2π)と浸液時間 t の比で表される先端速度式を等置して導く。

DD
1 ND
t

F
ND

( DD )(
t
F

2 )

2

…(3.6.4.1)…(3.6.4.2)【計算例】連続定圧濾過試験機(ヌッチェフィルタ)を実機(オリバーフィルタ)にスケールアップして連続定圧濾過する。①浸液率 F [－]、②定圧濾過定数 k’ [m2/s]、③比抵抗 α [m/kg]、④相当濾液量 0’ [m3/m2]、⑤残留ケークの相当濾
液量 ℓ’ [m3/m2]、⑥１回転あたり濾液量 ’ [m3/m2]、⑦濾液流量 Q’ [m3/s]、⑧濾過面積 A’ [m2]、⑨円筒ドラ
ム径 DD [mm]、⑩円筒ドラム幅 LD [mm]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①1/3, ②1.60×10－5 m2/s,③6.60×1010 m/kg, ④0.0100 m3/m2, ⑤0.0762 m3/m2, ⑥9.23×10－4 m3/m2, ⑦0.00521 m3/s, ⑧169 m2, ⑨5996
mm, ⑩8994 mm)
18

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

スラリー濃度 s

10.0 wt%

ケーク湿乾質量比 m

Ruth Plot の切片 2V0/K

1.20

1.00×104 s/m3

実機のスラリー処理量 Qsl

20.0 m3/h

固体密度 ρs

2650 kg/m3

実機の濾過圧力 P’

60.0 kPa

濾液密度 ρ

31000 kg/m

実機の寸法比 LD/DD

1.50

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

実機の回転速度 ND

2 rpm

試験機の濾過圧力 P

0.300 MPa

実機の浸液角 Ψ

120°

試験機の濾過面積 A

0.0250 m2

実機の残留ケーク厚み Lℓ

Ruth Plot の傾き 1/K

75.00 mm6

2.00×10 s/m①Ψ=(120°)(2π/360°)=2π/3 rad
F=Ψ/(2π)=(2π/3)/(2π)=1/3②K=1/(1/K)=1/(2.00×107)=0.500×10－7 m6/s
k=K/A2=(0.500×10－7)/(0.0250)2=8.00×10－5 m2/sk’=k( P’/ P)=(8.00×10－5)(0.0600/0.300)=1.60×10－5 m2/s
③α=2ΔP’(1－ms)/(μρsk’)=(2)(60.0×103)[1－(1.20)(10.0×10－2)]/[(1.00×10－3)(1000)(10.0×10－2)(1.60×10－5)]=6.60×1010 m/kg
④V0=(K/2)(2V0/K)=(0.500×10－7/2)(1.00×104)=2.50×10－4 m3
0=V0/A=(2.50×10－4)/0.0250=0.0100 m3/m232
32
0’= 0=0.0100 m /m ≒0.0100 m /m

⑤ρc=m/[(1/ρs)+(m－1)/ρ]=1.20/[(1/2650)+(1.20－1)/1000]=2078.4 kg/m3ℓ’=ρc(1－ms)Lℓ/(mρs)=(2078.4)[1－(1.20)(10.0×10－2)](5.00×10－3)/[(1.20)(1000)(10.0×10－2)]=0.076208 m3/m2≒0.0762 m3/m2⑥t=F/ND=(1/3)/(2/60)=10.0 s
320’+ ℓ’=0.0100+0.076208=0.086208 m /m’=[( 0’+ ℓ’)2+k’t]0.5－( 0’+ ℓ’)= [(0.086208)2+(1.60×10－5)(10.0)]0.5－0.086208=9.2304×10－4 m3/m2≒9.23×10－4m3/m2⑦ρsl=1/[(s/ρs)+(1－s)/ρ]=1/[(10.0×10－2/2650)+(1－10.0×10－2)/1000]=1066.3 kg/m3
Q’=(1－ms)(ρsl/ρ)Qsl =[1－(1.20)(10.0×10－2)](1066.3/1000)(20.0/3600)=0.0052130 m3/s≒0.00521 m3/s
⑧A’=Q’/( ’ND)=(0.0052130)/[(9.2304×10－4)(2/60)]=169.42 m2≒169 m2⑨DD=[A’/{π(LD/DD)}]0.5=[(169.42)/(1.50π)]0.5=5.9960 m≒5996 mm⑩LD=(LD/DD)DD=(1.50)(5.9960)=8.9940 m≒8994 mm

３．７

遠心濾過[文献 18-21]

バスケット型円筒濾過機の中で厚さ dr、高さ h の薄いケーク層が軸中心より半径 r の位置で角速度 ω[rad/s](回転速度 n [rps])で回転しているものとする(ω=2πn)。このケーク層内における半径方向の液圧変化 dP/dr は、遠心力に伴う液圧増加 dPg/dr とケーク層内を液が流れることによる液圧減少(－dPc/dr)の和で表される。

19

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

dPg

dP
dr

dPc
dr

dr

…(3.7.1)

遠心力に伴う液圧増加 dPg/dr は、薄いケーク層にかかる力のつり合いより導かれる。
(2 rh) P[ {(r dr )2(2 rh) P(2 rhdr )r

dPg

2

dr

[dP

r

r 2 }h]r22…(3.7.3)(2 rh)( P dP )dPg ,…(3.7.2)(2 rh)( P dP )…(3.7.4)

2 n]

薄いケーク部の液圧減少(－dPc/dr)は、ケーク部の濾過速度式より導かれる。

ΔPc
Rc

u

…(3.7.5)dPc( dWc A)

Q
A

Q

dPc

dWc
A

p dVp
2

dPc

p dVb (1
2

Vb Vp

)

Q

p[

2

(r

(2 rh)

Q

dPc

p (2

r h](1

)

Q

p (1

)

…(3.7.10)

バスケット[(d r ) 2

(2 rh) 2

dPc
dr

)

2

rhdr )(1

ω
dr

Q

2

dr ) h

清澄液
スラリー
ケーク
濾 材

…(3.7.9)Vb(2 rh)

dPc…(3.7.6)…(3.7.8)

A 2 rh(2 rh)
Q

dWc
A

Q
, Rc
A

dPc , u…(3.7.7)

2

Q

dPc

ΔPc

0]

…(3.7.11)

h
rf
rc
r
rm

…(3.7.12)

2 rh

ただし、Vb はケーク体積[m3](粒子充填層の体積)、Vp は粒子体積[m3]、Wc はケーク中の固体重量[kg-乾燥固体]。ここでは非圧縮性ケークを仮定し、比抵抗 α と空隙率 ε を定数とみなす。
dPg/dr と(－dPc/dr)の式を dP/dr の式に代入する。
dP
dr
Pm
Pc
Pm
Pc

2

dP

Q

r

rm

2

rc
2

dpP
Pc

)

…(3.7.13)

2 rh

2

Q

rd r

rm
rc

2

Pm

p (1

( rm2

(1
r

p

rm

2 h

rc

Q

p (1

r dr
rc2 )

2 h
Q

p (1

2 h

)

)

dr

rm dr
rc

r

)

r
ln m
rc

…(3.7.14)…(3.7.15)…(3.7.16)

ただし、Pc はケーク層の表面にかかる圧力[Pa]、Pm は濾材にかかる圧力[Pa]。
濾材にかかる圧力 Pm は、濾材部の濾過速度式より導かれる。

20

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

u

ΔPm
Rm

Q
A

Pm
Rm

Pm

Q Rm
2 rm h…(3.7.17)

Q
,ΔPm
A

u
A

Pm

…(3.7.18)…(3.7.19)

2 rm hケーク層の表面にかかる圧力 Pc は、スラリー層にかかる力のつり合いより導かれる。
(2 rh) Psl [(2 rh) P

sl (2

dP
dr
Pc
0

Pc

2

sl

dP

2

2

dr ) 2r 2 }h]r2

rhdr )r2…(3.7.20)(2 rh)( P dP )(2 rh)( P dP )…(3.7.21)…(3.7.22)

r

rc

2

sl

sl

{(r

rf

( rc2

rdr

…(3.7.23)

rf2 )…(3.7.24)

ただし、ρsl はスラリー密度[kg/m3]。
Pm と Pc の式を(Pm－Pc)の式に代入する。
Q Rm
2 rm h
Q

2

sl

rf2 )

r
ln m
rc

Q Rm
2 rm h

2

p (1

)

2 h
2

Q

( rm2

rc2 ) 2
)
p (1
2 h

sl

r
ln m
rc

2

2

( rm2
2

2

( rc2

Q

rc2 )
( rm2

rf2 ) 2Rm
2 rm h

p (1

rc2 )

r
ln m
rc

…(3.7.25)

sl

2

2

( rc2

rf2 )

…(3.7.26)

rc2 )

sl

…(3.7.27)

ΔPRm
2 rm h

)

2 h

2

ΔP
) rm
p (1
ln
2 h
rc

Q

2

( rc2

(rm2
2

2

(rc2
2

rf2 )

…(3.7.28)

ケーク内に含まれる固体の充填率(1－ε)は、dWc の式を積分することで導かれる。
Wc
0

Wc
1

dWc

rm
rc

2 h p (1h p (1)(rm2

Wc
h p ( rm2

rc2 )

)rdr
rc2 )

…(3.7.29)…(3.7.30)…(3.7.31)

Q の式に代入して消去すると、充填率を含まない処理性能式(設計方程式)を得る。
Q

ΔP
Wc
p
2 h h p (rm2

r
ln m
2
rc ) rc…(3.7.32)
Rm
2 rm h21

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

ΔPQ
2 h h( rmWcrc )(rmrln mrc ) rc…(3.7.33)

Rm
2 rm hΔPQ

Wcrc )h ln (rm rc )}{2 (rm{2 (rm…(3.7.34)

Rm
2 rm hrc )h 2}ΔPQ

Wcrc )h ln (2 rm h 2 rc h)}{2 ( rm

{2 (rmrc ) h 2}

ΔP

Q
{( Am

Wc
Ac ) ln ( Am Ac )}{( Am
2

ΔP

Q

Wc
Alm Aav

Rm
Am

ΔPAc ) 2}
( rm2
2

rc2 )

Rm
2 rm h

Am

Rm
Am
sl

2

( rc2
2

rf2 )

…(3.7.35)

2 rm h, Ac, Alm

2 rc h…(3.7.36)

Am Ac
, Aav
ln ( Am Ac )

Am

Ac
2

…(3.7.37)

スラリー処理量 Q [m3/s]とその他の必要条件が分かっている場合は、比抵抗の式が導かれる。
（濾材抵抗は、無視する。
）
ΔPAlm Aav
QWc…(3.7.38)【計算例】遠心濾過
懸濁液をバスケット型円筒濾過機により遠心濾過する。①濾過圧力 ΔP [MPa]、②対数平均濾過面積 Alm[m2]、③比抵抗 α [m/kg]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①2.22 MPa, ②0.470 m2, ③1.50×1010
m/kg)
処理量 Q

0.360 m3/h

スラリー固体量 Wc

330 kgバスケット回転数 n

3000 rpm

バスケット高さ h

20.0 cm

スラリー密度 ρsl1100 kg/m3

バスケット有効径 2rm

80.0 cm

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

ケーク厚み rm－rc

5.00 cm

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

スラリー厚み rc－rf

1.00 cm①rm=2rm/2=80.0/2=40.0 cm=0.400 m
rc=rm－(rm－rc)=40.0－5.00=35.0 cm=0.350 m
rf= rc－(rc－rf)=35.0－1.00=34.0 cm=0.340 m
ω=2πn=(2π)(3000/60)=100π
ΔP=(1/2)ρω2(rm2－rc2)+(1/2)ρslω2(rc2－rf2)=(1/2)ω2[ρ(rm2－rc2)+ρsl(rc2－rf2)]=(1/2)(100π)2[(1000)(0.4002－0.3502)+(1100)(0.3502－0.3402)]=2.2251×106 Pa≒2.22 MPa②Am=2πrmh=(2π)(40.0/100)(20.0/100)=4π/25
Ac=2πrch=(2π)(35.0/100)(20.0/100)=7π/50
Alm=(Am－Ac)/ln(Am/Ac)=(4π/25－7π/50)/ln[(4π/25)/(7π/50)]=0.47053≒0.470 m2
22三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料③Aav=(Am+Ac)/2=[(4π/25)+(7π/50)]/2=0.47123 m2
α=ΔPAlmAav/(μQWc)=(2.2251×106)(0.47053)(0.47123)/[(1.00×10－3)(0.360/3600)(330)]=1.4950×1010 m/kg≒1.50×1010 m/kg

参考文献
[1] H. Darcy; Les Fontains Publiques de la Ville de Dijion (1856)[2] G. Hagen; Pogg. Ann., 46, 423-442 (1839)[3] J. Poiseuille; Inst. De France Acad. Des Sci., 9 (1846) 433-544[4] J. Kozeny; Sitzb. Akad. Wiss., Wien, Math.-naturw. Kl. 136 (Abt, Ⅱa), 271-306 (1927)[5] J. Kozeny; Z. Pfl.-Ernahr. Dung. Bodenk, 28A, 54-56 (1933)[6] P.C. Carman; Trans. Inst. Chem. Eng., 15, 150-166(1937)[7] 吉田文武, 森 芳郎編; 詳論 化学工学Ⅰ「単位操作Ⅰ」, 朝倉書店(1962), 8 章[8] 藤田重文, 東畑平一郎編; 化学工学Ⅱ（第 2 版）「機械的操作」, 東京化学同人(1972), 3.3 章[9] 大山義年; 化学工学Ⅱ, 岩波書店(1963), 6.3 章[10] 白戸紋平; 化学工学 機械的操作の基礎, 丸善(1980), 8.1 章[11] 三輪茂雄; 粉体工学通論, 日刊工業新聞社(1981), 7.3.2 章[12] 杉本泰治; 沪過 メカニズムと沪材・沪過助剤, 地人書館(1992), 3.4 章[13] 入谷英司; 絵解き 濾過技術 基礎のきそ, 日刊工業新聞社(2011), 2 章[14] B.F. Ruth; Trans. AIChE, 33, 806-816(1937)[15] 井出哲夫; 水処理工学（第 2 版）, 技報堂出版(1990), 4 章[16] 化学工学会編; 化学工学－解説と演習－（第 3 版）, 槇書店(2006), 9.2 章[17] 川瀬義矩; 環境問題を解く化学工学, 化学工業社(2001), 問題 3.9.4[18] 吉田文武, 森 芳郎(編); 詳論 化学工学Ⅰ「単位操作Ⅰ」, 朝倉書店(1962), 9 章[19] 藤田重文, 東畑平一郎(編); 化学工学Ⅱ(第 2 版)「機械的操作」, 東京化学同人(1972), 3.4 章[20] 化学工学協会(編); 解説 化学工学演習(第 2 版)下巻, 槇書店(1973), 3 章[21] 光武量; 例題演習 化学工学, 産業図書(1964), pp.110-111
令和 5 年 1 月 22 日作成
令和 6 年 1 月 11 日改訂
令和 6 年 1 月 17 日改訂

23

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料

問題(1) [透過係数]直径 10.0 cm の円筒容器に砂を 24.0 cm 充填して少量の固体粒子を含む希薄懸濁液を毎時
3.60 L で砂濾過する。濾層入口からの液面高さが 10.0 cm に維持されるように給液するとき、①濾過
圧力 P [kPa]、②濾過速度 u [mm/s]、③濾層抵抗 R [m－1]、④透過係数 kp [m2]を求めよ。濾液の密度1000 kg/m3、粘度 1.00 mPa･s、重力加速度 9.81 m/s2 とする。(①3.33 kPa, ②0.127 mm/s, ③2.62×1010 m－1, ④9.16×10－12 m2)(2) [透過係数]直径 25.0 cm の円筒容器に砂を 60.0 cm 充填して少量の固体粒子を含む希薄懸濁液を毎時
90.0 L で砂濾過する。濾層入口からの液面高さが 15.0 cm に維持されるように給液するとき、①濾過
圧力 P [kPa]、②濾過速度 u [mm/s]、③濾層抵抗 R [m－1]、④透過係数 kp [m2]を求めよ。濾液の密度1000 kg/m3、粘度 1.00 mPa･s、重力加速度 9.81 m/s2 とする。(①7.36 kPa, ②0.509 mm/s, ③1.44×1010 m－1, ④4.15×10－11 m2)(3) [理論比抵抗]非圧縮性の球状固体粒子(粒子密度 2650 kg/m3、比表面積径 1.00 μm)を含む懸濁液を定圧濾過する。①湿潤ケーク密度 ρc [kg/m3]、②ケーク平均空隙率 εav [－]、③理論比抵抗 α [m/kg]を求めよ。ケーク湿乾質量比 1.20、濾液の密度 1000 kg/m3、粘度 1.00 mPa･s とする。(①2078 kg/m3, ②0.346,③1.07×1012 m/kg)(4) [理論比抵抗]非圧縮性の球状固体粒子(粒子密度 2650 kg/m3、比表面積径 0.100 μm)を含む懸濁液を定圧濾過する。①湿潤ケーク密度 ρc [kg/m3]、②ケーク平均空隙率 εav [－]、③理論比抵抗 α [m/kg]を求めよ。ケーク湿乾質量比 1.50、濾液の密度 1000 kg/m3、粘度 1.00 mPa･s とする。(①1710 kg/m3, ②
0.570, ③1.58×1013 m/kg)(5) [ケーク濾過]懸濁液をヌッチェフィルタにより定圧濾過する。①濾液量 V [L]、②ケーク平均空隙率
εav [－]、③濾液基準の固体濃度 κ [kg-乾燥固体/m3-濾液]、④比抵抗 α [m/kg]、⑤濾材抵抗 Rm [1/m]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①0.938 L, ②0.346, ③114 kg/m3, ④6.60×1010 m/kg, ⑤
7.50×1010 m－1)
スラリー量 Vsl

1.00 L

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

スラリー濃度 s

10.0 wt%

濾過圧力 P

0.300 MPa1.20

濾過面積 A

0.0250 m2

ケーク湿乾質量比 m
固体密度 ρs

2650 kg/m3

Ruth Plot の傾き 1/K

2.00×107 s/m6

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

Ruth Plot の切片 2V0/K

1.00×104 s/m3(6) [ケーク濾過]懸濁液をヌッチェフィルタにより定圧濾過する。①濾液量 V [L]、②ケーク平均空隙率
εav [－]、③濾液基準の固体濃度 κ [kg-乾燥固体/m3-濾液]、④比抵抗 α [m/kg]、⑤濾材抵抗 Rm [1/m]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①0.855 L, ②0.570, ③194 kg/m3, ④1.61×1010 m/kg, ⑤
3.75×1010 m－1)
スラリー量 Vsl

1.00 L

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

スラリー濃度 s

15.0 wt%

濾過圧力 P

0.500 MPa2.50

濾過面積 A

0.0250 m2

ケーク湿乾質量比 m
固体密度 ρs

2650 kg/m3

Ruth Plot の傾き 1/K

5.00×106 s/m6

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

Ruth Plot の切片 2V0/K

3.00×103 s/m3

24

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料(7) [回分定圧濾過]試験機(ヌッチェフィルタ)を実機(フィルタープレス)にスケールアップして回分定圧濾過する。①濾枠枚数 Nf [－]、②所要濾過面積 A’ [m2]、③濾液量 V’ [m3]、④定圧濾過定数 K’ [m6/s]、⑤比抵抗 α [m/kg]、⑥相当濾液量 V0’ [m3]、⑦回分時間 τ [min]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①20 枚, ②60.0 m2, ③18.5 m3, ④0.662 m6/s, ⑤3.29×1010 m/kg, ⑥0.965 m3, ⑦16.2 min)
スラリー濃度 s
ケーク湿乾質量比 m8.00 wt%
1.50

Ruth Plot の傾き 1/K

8.70×106 s/m6

Ruth Plot の切片 2V0/K

7.00×103 s/m3

固体密度 ρs

2650 kg/m3

実機のスラリー処理量 Vsl

20.0 m3

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

実機の濾過圧力 P’

0.275 MPa

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

実機の濾枠面積 Af

1.50 m2

試験機の濾過圧力 P

0.275 MPa

実機の濾枠厚み Lf

5.00 cm

試験機の濾過面積 A

0.0250 m2バッチ間の作業時間 td

15 分(8) [回分定圧濾過]試験機(ヌッチェフィルタ)を実機(フィルタープレス)にスケールアップして回分定圧濾過する。①濾枠枚数 Nf [－]、②所要濾過面積 A’ [m2]、③濾液量 V’ [m3]、④定圧濾過定数 K’ [m6/s]、⑤比抵抗 α [m/kg]、⑥相当濾液量 V0’ [m3]、⑦回分時間 τ [min]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①44 枚, ②352 m2, ③51.3 m3, ④39.6 m6/s, ⑤1.61×1010 m/kg, ⑥4.22 m3, ⑦15.7 min)
スラリー濃度 s
ケーク湿乾質量比 m15.0 wt%
1.50

Ruth Plot の傾き 1/K

5.00×106 s/m6

Ruth Plot の切片 2V0/K

3.00×103 s/m3

固体密度 ρs

2650 kg/m3

実機のスラリー処理量 Vsl

60.0 m3

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

実機の濾過圧力 P’

0.500 MPa

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

実機の濾枠面積 Af

4.00 m2

試験機の濾過圧力 P

0.500 MPa

実機の濾枠厚み Lf

5.00 cm

試験機の濾過面積 A

0.0250 m2バッチ間の作業時間 td

15 分(9) [連続定圧濾過] 試験機(ヌッチェフィルタ)を実機(オリバーフィルタ)にスケールアップして連続定圧濾過する。
①浸液率 F [－]、②定圧濾過定数 k’ [m2/s]、③比抵抗 α [m/kg]、④相当濾液量 0’ [m3/m2]、⑤残留ケークの相当濾液量 ℓ’ [m3/m2]、⑥１回転あたり濾液量 ’ [m3/m2]、⑦濾液流量 Q’ [m3/s]、⑧濾
過面積 A’ [m2]、⑨円筒ドラム径 DD [mm]、⑩円筒ドラム幅 LD [mm]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①1/3, ②4.68×10 － 5 m2/s, ③3.29×1010 m/kg, ④0.0161 m3/m2, ⑤0.0627 m3/m2, ⑥0.00292
m3/m2, ⑦0.00514 m3/s, ⑧52.9 m2, ⑨3350 mm, ⑩5026 mm)
スラリー濃度 s
ケーク湿乾質量比 m8.00 wt%

Ruth Plot の切片 2V0/K

1.50

7.00×103 s/m3

実機のスラリー処理量 Qsl

20.0 m3/h

固体密度 ρs

2650 kg/m3

実機の濾過圧力 P’

70.0 kPa

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

実機の寸法比 LD/DD

1.50

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

実機の回転速度 ND

2 rpm

試験機の濾過圧力 P

0.275 MPa

実機の浸液角 Ψ

120°

試験機の濾過面積 A

0.0250 m2

実機の残留ケーク厚み Lℓ

Ruth Plot の傾き 1/K

8.70×106 s/m6

5.00 mm(10) [連続定圧濾過]試験機(ヌッチェフィルタ)を実機(オリバーフィルタ)にスケールアップして連続定圧濾過する。①浸液率 F [－]、②定圧濾過定数 k’ [m2/s]、③比抵抗 α [m/kg]、④相当濾液量 0’ [m3/m2]、25

三上 貴司「濾過」新潟大学晶析工学研究室解説資料⑤残留ケークの相当濾液量 ℓ’ [m3/m2]、⑥１回転あたり濾液量 ’ [m3/m2]、⑦濾液流量 Q’ [m3/s]、⑧濾
過面積 A’ [m2]、⑨円筒ドラム径 DD [mm]、⑩円筒ドラム幅 LD [mm]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①1/3, ②3.20×10－5 m2/s, ③1.61×1010 m/kg, ④0.0120 m3/m2, ⑤0.0294 m3/m2, ⑥8.49×10－4
m3/m2, ⑦0.00475 m3/s, ⑧37.3 m2, ⑨2813 mm, ⑩4219 mm)
スラリー濃度 s
ケーク湿乾質量比 m15.0 wt%

Ruth Plot の切片 2V0/K

1.50

3.00×103 s/m3

実機のスラリー処理量 Qsl

20.0 m3/h

固体密度 ρs

2650 kg/m3

実機の濾過圧力 P’

50.0 kPa

濾液密度 ρ

31000 kg/m

実機の寸法比 LD/DD

1.50

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

実機の回転速度 ND

9 rpm

試験機の濾過圧力 P

0.500 MPa

実機の浸液角 Ψ

120°

試験機の濾過面積 A

0.0250 m2

実機の残留ケーク厚み Lℓ

Ruth Plot の傾き 1/K

5.00×106 s/m6

5.00 mm(11) [遠心濾過]懸濁液をバスケット型円筒濾過機により遠心濾過する。①濾過圧力 ΔP [MPa]、②対数平均濾過面積 Alm [m2]、③比抵抗 α [m/kg]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①4.52 MPa, ②0.721
m2, ③1.78×1010 m/kg)
処理量 Q
スラリー固体量 Wc0.720 m3/h
660 kgバスケット回転数 n

3000 rpm

バスケット高さ h

25.0 cm

スラリー密度 ρsl1100 kg/m3

バスケット有効径 2rm

100 cm

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

ケーク厚み rm－rc

8.00 cm

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

スラリー厚み rc－rf

2.00 cm(12) [遠心濾過]懸濁液をバスケット型円筒濾過機により遠心濾過する。①濾過圧力 ΔP [MPa]、②対数平均濾過面積 Alm [m2]、③比抵抗 α [m/kg]を求めよ。設計条件は下記の通りとする。(①8.90 MPa, ②0.470
m2, ③5.98×1010 m/kg)
処理量 Q
スラリー固体量 Wc

0.360 m3/h
330 kgバスケット回転数 n

6000 rpm

バスケット高さ h

20.0 cm

スラリー密度 ρsl1100 kg/m3

バスケット有効径 2rm

80.0 cm

濾液密度 ρ

1000 kg/m3

ケーク厚み rm－rc

5.00 cm

濾液粘度 μ1.00 mPa･s

スラリー厚み rc－rf

1.00 cm

26