１０－１ 遠心分離

一般に遠心分離を行う場合には、遠心加速度の単位として、地球の重力加速度との 比で表し た「相対遠心加速度」（ＲＣＦ：Ｒｅｒａｔｉｖｅ Ｃｅｎｔｒｉｆｕｇａｌ Ｆｏｒｃｅ）を用います。相対遠心加速度は、通常”Ｇ”または”×ｇ”等を付けて表します。

ここで、この粒子が回転軸を中心に１分間当たりＮ回転しているとすると、
ω＝２πＮ／６０（ｒａｄ／ｓ）、地球の重力加速度＝９８０．
６６５（ｃｍ／ｓ２）ですから、相対遠心加速度ＲＣＦは

ＲＣＦ＝遠心加速度
地球の重力加速度＝ｒ・（２πＮ６０２１）・９８０．
６６５となり、これを整理すると、次の式で表すことができます。
ＲＣＦ＝１１１８×ｒ×Ｎ２×１０－８（×ｇ） ……………………………………（２）ｒ ：回転半径（ｃｍ）
Ｎ ：一分間当たりの回転数（ｒｐｍ）

遠心分離を行う際に、ただ単に「遠心加速度」というと、通常この「相対遠心加速度」をさします。

［例：ロータの最大遠心加速度の計算］
分離用超遠心機用ロータである、「Ｐ１００ＡＴ２アングルロータ」を例に取って、最大遠心加速度を計算してみます。

最大遠心加速度は、そのロータの最大回転半径と最高回転数から計算されます。
Ｐ１００ＡＴ２アングルロータでは最大回転半径： ｒｍａｘ＝７．
１８（ｃｍ）
最高回転数：Ｎｍａｘ＝１０００００（ｒｐｍ）

ですので、（２）式より最大遠心加速度ＲＣＦｍａｘは

２
ＲＣＦｍａｘ＝１１１８×７．
１８×（１０００００）
×１０－８＝８０２７２４（×ｇ）

すなわち、Ｐ１００ＡＴ２アングルロータの最大遠心加速度は８０２７２４×ｇと計算され、このロータが重力加速度の約８０万倍の遠心加速度を出せることを意味しています。

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１０－２ 沈降の理論

ここでは溶液中の粒子が遠心力によってどのように沈降するかを、沈降速度、沈降係数、沈降時間、Ｋファクタなどの関係式を導きながら説明します。

１０－２－１ 沈降速度・沈降係数
ある溶液中を粒子が遠心加速度ｒω２を受けて沈降するとします。
この粒子が完全球形である場合、粒子を沈降させる力ｆ１は次の式で表されます。

ｆ１＝（粒子の体積）×（相対密度）×（遠心加速度）＝１πｄ３・（σ－ρ）・ｒω２
６………………………………………………（３）ｄ ：粒子の直径（ｃｍ）
σ ：粒子の密度（ｇ／ｃ ）ρ ：溶液の密度（ｇ／ｃ ）また、溶液中を沈降する粒子には、沈降方向と逆方向に摩擦力が働きます。
今、この粒子を完全球体と仮定すると、Ｓｔｏｋｅｓの法則により摩擦力ｆ２は次の式で表すことができます。

ｆ２＝３πｄηｖ……………………………………………………………（４）ｄ ：粒子の直径（ｃｍ）
η ：溶液の粘度（ｐｏｉｓｅ：ｇ・ｃｍ－１・ｓ－１）
ｖ ：粒子の移動速度（ｃｍ／ｓ）
遠心力場を粒子が一定速度で沈降する場合には、ｆ１とｆ２は釣り合っていると考えることができるので、（３）式と（４）式より

１πｄ３・（σ－ρ）・ｒω２＝３πｄηｖ６となり、これを整理すると沈降速度ｖは次の式で表すことができます。

ｄ２ （σ－ρ）
ｖ＝ ・ η・ｒω２
１８…………………………………………………（５）（５）式より、溶液が変わらなければ、粒子の沈降速度は遠心加速度ｒω２に比例することがわかります。

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１０－２ 沈降の理論

この比例定数をｓとすると（５）式は次のようになります。

ｖ＝ｓｒω２
ただし…………………………………………………………………（６）ｄ２ （σ－ρ）
ｓ＝ ・１８η比例定数ｓは沈降係数と呼ばれ、秒（ｓ）の単位で表されます。しかし、一般に生物学的粒子に対しては値が小さすぎて不便なため、１０１３倍した値をＳ（Ｓｖｅｄｂｅｒｇ ｕｎｉｔ：スベドベリ単位）で表して用いています。
すなわち、沈降係数ｓとＳ値は、ｓ＝Ｓ×１０－１３という関係にあります。

このＳ値を使って（６）式を書き替えると

ｖ＝Ｓ・ｒω２・１０－１３
Ｓ＝……………………………………………………（７）ｄ２ （σ－ρ）
・×１０１３１８
η…………………………………………（８）となります。

Ｓ値は粒子の沈降のしやすさを示す尺度となるもので、生物学の分野では沈降係数といえば通常このＳ値のことを指します。多くの単純タンパク質の場合には、Ｓ値はほぼ３～１２の間に分布しています。

（８）式よりＳ値は粒子の直径の二乗および粒子の密度σと溶液の密度ρの差に比例し、溶液の粘度ηに反比例することがわかります。このように、試料のＳ値は周囲にある溶液によって変化しますが、通常は２０℃の水中を沈降していく場合の値を用います。（これを特にＳ２０，Ｗと記す場合もあります。
）つまり、試料のＳ値が３０といえば、２０℃の水中を沈降する場合のＳ値が３０であることを意味します。

また、Ｓ値と移動の方向との関係は次のようになります。
①Ｓ＞０の場合、粒子は沈降する。（粒子密度σが溶液密度ρより大きい）②Ｓ＜０の場合、粒子は浮上する。（粒子密度σが溶液密度ρより小さい）③Ｓ＝０の場合、粒子は移動しない。（粒子密度σと溶液密度ρが等しい）

１０－２－２ 沈降時間・Ｋファクタ
沈降時間は、粒子が遠心チューブの液面の位置（＝最小回転半径Ｒｍｉｎ）から遠心チューブの底の位置（＝最大回転半径Ｒｍａｘ）まで沈降するのに要する時間Ｔとして計算することができます。

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１０－２ 沈降の理論

沈降速度ｖは、時間の変化に対する回転半径の変化、すなわちｖ＝ｄｒ／ｄｔで表すことができますから、（７）式よりｄｒ＝Ｓ・ｒω２・１０－１３ｄｔ

これをＲｍｉｎからＲｍａｘまで積分し、整理すると以下のように沈降時間Ｔが求められます。

ｎ（Ｒｍｉｎ）
ｌｎ（Ｒｍａｘ）－ｌ・１０１３Ｔ（ｓｅｃ）＝２Ｓ・ω………………………（９）ｌｎ（Ｒｍａｘ）－ｌｎ（Ｒｍｉｎ）
１０１３Ｔ（ｈｒ） ＝・３６００Ｓ・ω２………………………（１０）

Ｒｍａｘ：遠心チューブの最大回転半径（ｃｍ）
Ｒｍｉｎ：遠心チューブの最小回転半径（ｃｍ）
Ｔ ：ＲｍｉｎからＲｍａｘまでの沈降時間

ここで次のようにＫを定めます。

Ｋ＝ｌｎ（Ｒｍａｘ）－ｌｎ（Ｒｍｉｎ）
ω２

１０１３・
３６００………………………（１１）

こうすると（１０）式は次のような簡単な式で表すことができます。
Ｔ（ｈｒ）＝

ＫＳ………………………（１２）

ＫはＫファクタと呼ばれる値で、１Ｓの粒子がＲｍｉｎからＲｍａｘまで沈降するために要する時間を表わします。
（１１）式を整理すると、Ｋファクタは以下の式で表すことができます。
２．
５３×１０１１Ｒｍａｘ
Ｋ＝・ｌｎ（）２
Ｒｍｉｎ
Ｎ……………………（１３）

このＫファクタは各ロータの回転数ごとに決まった値となるため、分離する試料のＳ値がわかれば分離時間は簡単に算出することができます。各ロータのＫファクタはロータに付属の取扱説明書に記載してありますので、参照してください。

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１０－３ 沈降時間の補正［例：Ｐ９０ＡＴアングルロータを使用して、９００００ｒｐｍで５Ｓの試料を分離する場合。
］
Ｐ９０ＡＴアングルロータを９００００ｒｐｍで回転させた場合のＫファクタは２５になります。
分離する試料は５Ｓですから、（１２）式よりＴ（ｈｒ）＝ Ｋ ＝ ２５＝５（ｈｒ）
５Ｓ

すなわち５時間の遠心で分離できることになります。

１０－３－１ Ｓ値の補正（１２）式より、試料のＳ値とロータのＫファクタがわかれば沈降時間を計算することができます。Ｓ
値が未知の場合には、（８）式を用いてＳ値を計算することができますが、その場合には次の因子を考慮する必要があります。
①試料の濃度（８）式では、溶液の粘度に対する試料の濃度の影響は、試料の濃度がきわめて低いと仮定することにより無視しました。試料が球状粒子で試料の濃度が数％以下の場合には、（８）式により計算した値はほとんど誤差を生じません。
試料が非対称形粒子の場合には、濃度が１％増加するとＳ値は５～１０％小さくなるといわれています。
②試料粒子の形状（８）式は試料が完全球形の粒子であることを仮定して導きだしたものです。
粒子の形状が球に近い場合には、ｄをその粒子と同体積の球直径として計算することができます。
対称な長楕円形の場合には、その直径比によってＳ値が変わります。
完全球形の粒子を１Ｓとした場合の、直径比に対するＳ値の変化を表１０－１に示します。

表１０－１
直径比１：１３：１

５：１

１０：１

２０：１

Ｓ値

１０．
９０．
８０．
７０．
５120

１０－３ 沈降時間の補正

Ｓ値が概知の場合には、（１２）式にその値を代入することにより沈降時間を計算することができます。
ただし、試料のＳ値は通常２０℃の水中での値（Ｓ２０，Ｗ）で記載されているのに対して、実際の分離にはショ糖や塩化セシウム等の高濃度溶液を用いることが多く、しばしばＳ値を補正することが必要になります。

いま試料がｍという溶液中を沈降し溶液の温度がＴ℃だとすると、その時のＳ値（ＳＴ，ｍ）は（８）式を変形することにより次のように計算することができます。

ＳＴ，ｍ＝Ｓ２０，ｗ・ησ－ρＴ，ｍ・ ２０，ｗσ－ρ２０，ｗ
ηＴ，ｍ……………………………（１４）ρＴ，ｍ ：Ｔ℃における溶液ｍの密度（ｇ／ｃ ）ρ２０，ｗ ：２０℃における水の密度（ｇ／ｃ ）ηＴ，ｍ ：Ｔ℃における溶液ｍの粘度（ｐｏｉｓｅ：ｇ・ｃｍ－１・ｓ－１）
ｉｓｅ：ｇ・ｃｍ－１・ｓ－１）
η２０，ｗ ：２０℃における水の粘度（ｐｏ１０－３－２ Ｋ＊ファクタ

Ｓ値の補正は煩雑な計算を行わなくてはならないため、Ｓ値はそのままでＫファクタを補正することにより計算を簡便化する方法が取られることがあります。
例えば、試料粒子の密度を１．
３（ｇ／ｃ ）とし、５～２０％のショ糖直線密度勾配液を用いた沈降速度法（温度５℃）による分離を行う際の、Ｓ値の変動量をＫファクタに与えたものを、Ｋ＊ファクタとし、ショ糖溶液中のＤＮＡやタンパク質の分離時間を簡単に算出できるようにしたものです。すなわち、
Ｋ＊ファクタとは１Ｓの粒子が５～２０％のショ糖直線密度勾配液中を沈降するのに必要な時間を示しています。

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