J. Plasma Fusion Res. Vol.94, No.3 (2018)１
１９‐１２０

小特集

実は遍在する光渦−光渦の原理・発生・応用展開−
Ubiquitous Optical Vortex -Principle, Generation and Application-

１．はじめに
1. Introduction
久保伸

KUBO Shin
核融合科学研究所（原稿受付：２
０
１
８年２月１
６日）

光渦は，通常の光の波面が平面や球面になっているのに対して，波面が螺旋状になっている光のことを言う．この
光渦の存在は今から約２５年前に明らかにされた［１］．図１に軌道角運動量 !!−1，0，1，2，3 の等位相面の三次元構
造，ビーム断面の強度分布，位相分布を示す．等位相面の構造から想像されるように光渦は軌道角運動量を運び，物体に当たるとそれにトルクを与えると考えられる．また，原子や分子などと相互作用すると，通常の光では起きない
反応が起きると考えられる．光渦は，実験室で特殊な光学素子を用いて人工的に合成することができ，それを使って様々な応用研究が盛んに進められている．しかし，このような光渦が自然現象で生みだされることはないと考えられてきた．ところが，２０１６年になって，円軌道を描いて運動する電子が放射する光について理論的に解析した結果，それが，螺旋状の波面を持つ光渦であることを本小特集の第３章，第５章の主著者である分子科学研究所の加藤教授らが世界で初めて見出した［３］．円軌道を描く電子からの放射過程は，自然界には普遍的に存在する電子サイクロト
ロン放射として，２０世紀初頭から，数多くの研究がなされてきた．特に，プラズマ・核融合の分野においても，プラ
ズマ閉じ込め，加熱，計測においてこの電子サイクロトロ
ン運動とその放射は常にその中心的役割を果たしてきたと言っても過言ではない．それにも関わらず，この放射が持
つ光渦の性質についての言及はこれまで著者の知る限り全く行われてこなかった．この意味でも，この発見は画期的

図１であるが，未開拓の自然界に普遍的に存在する光渦と物質との相互作用に関する研究領域の存在を浮かび上がらせる
意義深い発見である．現在では，この光渦は，レーザー光

光渦（ラゲール・ガウスビーム）の様々な（!＝‐1，
0，
1，
2，
3）
位相構造のスナップショットと局所的なポインティングベ
クトル（左列），強度分布（中列），平面波との干渉波形
（右列）
［２］
．

National Institute for Fusion Science, Toki, GIFU 509-5292, Japanauthor’s e-mail:kubo.shin@nifs.ac.jp

１１９!2018 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018

を特殊な光学素子を通すことで人工的に合成する手法が確る時の放射が持つ渦性を多電子系においていかに抽出ある

立されており，情報通信，ナノテクノロジー，イメージン

いは積算・増幅するかの理論的，実験的アプローチを紹介

グなど様々な分野で実用化をめざして研究が活発に進めらする．

れているが，自発的な光渦の発生やその応用展開に関する第４章「サイクロトロン放射と光渦の理論的課題」では，研究はこれまでほとんど行われておらず，まして，自然界

サイクロトロン放射減衰の持つ不可逆性の考察から光渦のに存在する光渦が物質に及ぼしている影響も全く未知であ発生のメカニズムへのアプローチの可能性を解説する．

る．折しも，平成２９年度の自然科学研究機構の分野融合型

第５章「光渦の応用展開」においては，光渦と素粒子・共同研究として「光渦の拓く新しい自然科学」が採択され，原子核，プラズマ，分子，高分子との相互作用の基礎から

古典電磁気学のみならず，量子力学的な理論的アプロー

応用に至る研究の展開，宇宙物理において光渦が果たす役

チ，光渦発生に関する実験研究，また光渦と物質の相互作

割を紹介する．

用，その応用研究が相補的に展開されることになった．本

第６章「まとめ」で本記事のまとめと今後の展望を示す．

小特集においては，プラズマ核融合研究との関連を視野になお，本小特集は，本文中にも述べた，大学共同利用研

入れつつ，幅広い観点から「光渦とその発生・応用展開」

究機関法人自然科学研究機構分野融合型共同研究事業の解説を行うことで，さらなる研究の展開を図るための端（０１１１１７０１）「光渦が拓く新しい自然科学」の助成を受けた

緒としたい．

成果の一部である．

第２章「光渦の原理と応用研究の現状」では，まず，光渦の定義と基本的な性質，通常の光との違いを解説し，そ

参考文献

れを踏まえ，レーザーと光学素子を用いて発生させた光渦［１］L. Allen et al., Phys. Rev. A 45, 8081 (1992).
［２］M. Padgett, J. Courtial, L. Allen, Physics Today 35 (2004).
［３］M. Katoh et al., Phys. Rev. Lett. 118, 094801 (2017).

の応用として展開されている研究の現状を紹介する．
第３章「光渦の発生」においては，単一電子が円運動す

１２０

J. Plasma Fusion Res. Vol.94, No.3 (2018)１
２１‐１２６

小特集 実は遍在する光渦

２．光渦の原理と応用研究の現状
2. Fundamentals of Optical Vortex and the Status Quo in Application Study
吉 村 信 次，荒 巻 光 利１）
YOSHIMURA Shinji and ARAMAKI Mitsutoshi１）
核融合科学研究所，１）日本大学生産工学部（原稿受付：２
０
１
８年２月１
６日）

近年，光渦と呼ばれる伝搬モードの光が様々な分野で注目されている．ここでは， 光渦とは何か ， 光渦で何ができるのか という問いに答えるため，波動方程式を基礎としてその特異な位相構造およびそれがもたらす光の軌道角運動量について解説するとともに，その生成法と応用研究の現状について紹介する．また，光渦中を運動する原子が感じる速度の３自由度方向に対するドップラー効果とそれを用いた新しいプラズマ流計測の可能性について議論する．
Keywords:
optical vortex, paraxial wave equation, equiphase surface, phase singularity, orbital angular momentum,
Laguerre-Gaussian mode, spatial light modulator, computer-generated hologram, azimuthal Doppler shift

２．
１ はじめにう３つの言葉はほとんど区別されずに使用されているが，

光渦（optical vortex）という言葉は，歴史的には，光の実際には位相特異点では破壊的干渉により光の強度は０と位相特異点を表すために使用されてきた．光の位相に結晶なるため，位相特異点がエネルギーや運動量を運ぶわけで学におけるらせん転位のような構造が光軸を中心として発はない．特異点周りのらせん状の位相構造がエネルギーや生した場合，光波の断面における位相は方位角方向に変化

運動量の流れに方位角方向成分を生じさせる
［２］
．この運

することになり，光軸上の位相は不定となる．例えば，地動量の流れは，光軸と平行方向の軌道角運動量を用いて表球の経度１５度毎に１時間の時差を与えて時刻を決定した場

すことができる．２．
２節では，波動方程式の解としての光渦合に，極点における時刻が不定となるのと同様である．この特徴について解説するとともに，
２．
３節では実験室におけのとき，光の等位相面は光軸を中心としてらせん状に渦をるその生成法，また，２．
４節では光渦応用研究の現状を紹介巻く．これが，位相のらせん転位を光渦と呼ぶ所以である

する．さらに２．
５節では，平面波とは異なる位相構造に内在と思われるが，近年ではこのような位相特異点をもつビー

する，速度の３自由度方向に対するドップラー効果［３］を

ム自体も光渦と呼ばれている．通常の平面波の等位相面

取り上げ，そのプラズマ流計測への適用可能性についても（波面とも呼ばれる）が光軸に垂直な２次元平面であるの議論する．

に対して，光渦をもつ光波のらせん状等位相面はトポロ
量であるトポロジカルチャージは，位相特異点を囲む任意

２．
２ 波動方程式の解としての光渦と光の軌道角
運動量

!
"倍で与え
#
の閉曲線に沿って位相勾配を線積分した値の"光渦が特殊な光であると言っても，伝搬する電磁波であられる（この線積分は位相特異点を含まない閉曲線の場合

る以上，通常の平面波光と同様に波動方程式を満たしていは０となる）．渦管中の閉曲線に沿った速度場の線積分る．自由空間における光の電場ベクトル !の波動方程式はジー的に全く異なる構造である．光渦を特徴づける重要な（渦度の面積分）が循環を与えるのに類似しており，このこ" $#!
∇#!! # # #!，" $$とからも，このような位相特異点を光渦と呼ぶことの妥当性が伺える．任意の整数を %としたとき，方位角方向に（１）"%だけ位相変化するビームの場合，トポロジカルチャー#で与えられる．周波数 #，波数 #の単色光を考え，偏光をジは整数値 %となる．このトポロジカルチャージと光の軌無視すると，式（１）は以下のスカラーヘルムホルツ方程式

道角運動量との対応関係［１］が１９９２年に Allen らによってとなる．

示されたことを端緒として，光渦研究はその基本的性質の!#!．
%$#"##&

探究にとどまらず軌道角運動量の応用も含めて大きく発展してきている．位相特異点・光渦・光の軌道角運動量とい（２）

さらに，%方向に伝搬するビームを考えて近軸近似を行う

National Institute for Fusion Science, Toki, GIFU 509−5292, Japancorresponding author’s e-mail: yshinji@nifs.ac.jp

１２１!2018 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018（/方向の２階微分を無視する）
と，")
+
!
/
+
!
/
(
)
/
(,*,
*
&-)
*
と書いたときの複素振幅 -に対する方程式は以下のようになる．
() )"-&".
"$
!($
&
)
/

（３）

この方程式の最も基本的な解がガウスビームである．また，式（３）をカーテシアン座標系で解くと，レーザー共振器の基本モードであるエルミートガウス（Hermite-Gauss:
HG）
モードが得られる［４］．一方，円柱対称な解を仮定して円柱座標で解くと，式（４）で与えられるラゲールガウス（Laguerre-Gauss: LG）モードが得られる［４，
５］．
図１

+
++

*!
$
$
+
+$
++ $
%.+& %$* #
$$
/
*"+
++
! .)
*
*
.)
/
*
' ')

光渦の等位相面（トポロジカルチャージ +＝ 1）
．

$#
-*
+
!
%!
/
)
*
&
+

.
+$
(
+
%(,*,
# " (,*!
%
#
$$
.)
/
*
.)
/
*
/
*"+
++
#"$
+
'
)!#! "$#(,*!(
*
# )
/
%
)
+$
#(,*!(
#
$
，
%)
/
$
*

（４）

ここでは，ビームウェスト位置を /の原点としている．.
はビーム径で，."はビームウェスト位置でのビーム径，%)/*は曲率半径である．$*+++はラゲール陪多項式であり，*は動径方向，+は方位角方向のモード指数を与える．したが っ て，最 低 次（*&+&"）の モ ー ド は ガ ウ ス ビ ー ム（TEM00）に対応するが，高次モードにはラゲール陪多項式による径方向の強度変調が加わることとなる．光渦としての LG モードを考えるとき最も重要となるのは，方位角&"のとき，光軸上は強方向の位相項 (,*,(+%-である．+'

図２

度０の位相特異点となり，トポロジカルチャージは +とな

ラゲールガウスビームの強度分布．+＝/ 0 のとき，光軸上は強度０の位相特異点となる．

る．等位相面は z 軸を中心としたらせん状の波面を形成す&"
る（図１）．LG ビームの強度分布の例を図２に示す．+'

る．

のとき，ドーナツ状のビーム形状となることがわかる．HG
モードと LG モードが式（３）の解に対して独立な完全直交系を与えることは重要である．近軸近似が成立する条件下
では，任意の光波は複数の LG モード（または HG モード）の線形結合で表すことができる．したがって，LG モードを
HG モードへと変換することや，その逆もまた可能である．

-()
，
#&(
&%
(!&-"*-"(,*,
(
)
/
(&*
)

（５）

(
"&(
(
)
/
)!*
#&-" &#(&-"(,*,
.
)

（６）

このとき，ポインティングベクトルはこの性質を用いて，円筒面レンズを用いた HG モードから%& # )#$#""##"$*&"$LG モードへの変換による光渦生成［６］が行われている．
次に，光の角運動量について考える．ポインティングベ() -$*( #)-$∇&-!-∇&-$*
&(
" +
+&"
&"
$

クトル %&##$（& ###"）を用いれば，全運動量密度&"で与えられる．
ベクトルポテンシャルのベクトルは '& %'$時 間 依 存 項 を (,*,
(,
+
!
%!
/
(
)
/
(,*,
!(
-と し て !&&-)*$$と書く．ここで，&&"(（ただし " "# &#）は偏光を
"#)

∇ $
(
(*
&#&$!&$#&*
-+，
" ")
# &+
%

（７）

となる．第１項は位相勾配に依存しており，第２項は光波の進行方向成分のみであり，第３項は偏光に依存する．光表す．電場と磁場はベクトルポテンシャルを用いると，その運動量 'は式（８）で与えられる．

!
れぞれ #&!)!(%，"&∇#!と書けるため，近軸近似
)
,

$ $
'&(
( ")
- ∇&-!-∇&-$*$のもとでローレンツ条件を用いると以下の式で与えられ

１２２

Special Topic Articles

2. Fundamentals of Optical Vortex and the Status Quo in Application Study

#
.)
" ))
#
.
.
．
&
$
.)
!
!($
"('
/
!)
! '
# )

S. Yoshimura and M. Aramaki（８）

ここで '/%&"は円偏光に対応する．角運動量密度は（８）式を用い て， #%%#$で 与 え ら れる．LG モ ー ド の 場合
.'
!
%!
/
.)
%
*
%+であることを考慮すると，z 軸方向
%-)*
(
%)

図３

の角運動量密度は
#
))
.)
# "
，
+% %$
(
.)
'/&
! $
)
/%!(
!(
)
#

エルミートガウスビームの合成によるラゲールガウスビー
ム生成．i は &/2 の位相シフトを表す．

図３に示す．ここで i は %-)*%&"#+の位相項が与えられるこ（９）とに対応している．実際に様々なトポロジカルチャージのとなる．第１項は偏光に依存しない角運動量成分であり，

LG ビームを生成するためには，高次の HG ビームを用意す

トポロジカルチャージ (に比例する光の軌道角運動量である必要がある．

る．一方，第２項は直線偏光の場合 '/%!で０となること

２．
３．
２ らせん位相板（Spiral Phase Plate）

から，光のスピン角運動量を表している．式（９）を /軸に直感的に理解しやすい光渦生成法として，ガウスビーム

垂直な平面で積分することで得られる全角運動量 "/と光ののらせん位相板［７］への入射がある．らせん位相板は方位エネルギー # の比を取ると，&の整数倍の位
角方向に厚さが変化する位相板で，１周で#"/* '% " /，# ( (相差を与えるものである．これによって，平面波光にらせん状の波面をもたせることができ，光渦へと変換される．

（１０）

原理はシンプルだが，方位角方向に高い精度をもつ光学素となる．式（１０）の右辺の分母・分子にそれぞれ!を掛ける

子の加工やガウスビームの中心と特異点を厳密に一致させと，分母は１光子当たりのエネルギーに，分子は１光子当るのは難しい．

たりの角運動量とみなすことができる．１光子当たりの軌

２．
３．
３ q -plate

道角運動量は!*となり，LG ビームのトポロジカルチャー,-plate［８］とは，リターダンスは素子全体に渡って &でジに対応することがわかる．原理的には任意の整数値のト一定だが，高速軸の向き #が #'!
%(%"#!で方位角方向%,

ポロジカルチャージをもつ LG ビームが生成可能であり，に変化する特殊な 1/2 波長板である．この式に現れる定数

これにより軌道角運動量の制御が可能となる．一方，１光,から，,-plate と呼ばれている．,-plate が光波に与える効

子当たりのスピン角運動量は!'/であり，直線偏光の場合

果は，ジョーンズ法を用いることで容易に理解できる．高に０，円偏光の場合に±!という３つの値を取るのみであ

速軸が角度 #傾いた 1/2 波長板に対するジョーンズ行列はる．ここで示した軌道角運動量の制御性は高速大容量通信

以下のように与えられる．

をめざした情報通信研究の分野において注目されている．

,
# *
#
$
(*#
&
'#
" %!
".
# !$
#
*
&
'#
(*#

２．
３ 実験室における光渦の生成法（１１）

光渦を実験室で生成する場合，単色の近軸ビームである

左回り円偏光のビームを入射するとき，その電場のジョー

レーザー光が利用される．レーザー共振器の条件を整える"
ンズベクトルは !&'%!!#$と書ける．したがって ,-plate%
通過後の電場 !(,+は，ことで直接LGビームを発生させることも可能ではあるが，共振器に要求される精度が高く，モードの制御性も低いた
め，応用の観点からは理想的とは言い難い．そこで，レー,"!&'%!!$%### $!(,+%" $!%ザー光の基本モードである TEM00 モード（HG00，LG00 ということもできる）のガウスビームを様々な方法で変換する"%!!$%#,%$%##!# $，!%ことになる．以下では，光渦として単一横モードのLGビームを考えて，その生成法を紹介する．
２．
３．
１ 高次エルミートガウスモードからの変換（１２）となる．左回りの円偏光が右回りの円偏光に変化するとともに，方位角 %に依存する位相項 $%#,%が付与される．従っ２．
２節で述べたように，HG モード・LG モードはそれぞれ近軸波動方程式のカーテシアン座標系および円柱座標系,の光渦へと変換されたこて，トポロジカルチャージ *%#における完全直交系をなす解であり，任意の光波はこれらとがわかる．ここでは円偏光の光渦を生成しているが，1/4のモードを基底として展開できる．これは，LG モードを

波長板を用いて直線偏光の光渦に変換することも容易であ

HG モードの重ね合わせで記述できるということを意味す

る．

る［６］．HGmn とLG +*の場合，)"*%#
を満たすモー
+")
*)

２．
３．
４ ホログラフィー法

ド同士はユニタリー変換によって互いに移りあうことが知ホログラフィー法では，物体光と参照光の干渉縞をホロられている．実験室では，HGビームの重ね合わせに対して

グラム回折格子として用いて，参照光のみを入射すること

円筒面レンズにより位相差を与えることで LG ビームに変で一次回折光として物体光を再生する．したがって，参照換ができる．例として，HG01 と HG10 から LG01 への変換を光としてガウスビーム，物体光として光渦を仮定して干渉
１２３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018

縞を計算し，得られたパターンをホログラム回折格子とし新しい自由度を与えられることを示したこの成果は，Na-て用いてガウスビームを入射すれば，一次回折光として光ture 誌のレビュー論文「光操作の革命（A revolution in op-

渦ビームが得られる［９，１０］．近年では，空間光位相変調器

tical manipulation）［１４］としても報告されている．実際に」（spatial light modulator: SLM）に PC で生成した干渉縞を描

微粒子の回転を操作している映像は，例えばグラスゴー大

画してホログラム回折格子として用いるのが一般的である学の M. Padgett の Youtube 動画［１５］で見ることができる．

（SLM は液晶の配向を制御することで光に位相変調を与えトポロジカルチャージの符号を反転させることで捕捉されることのできる液晶ディスプレイのような機器である）．

た微粒子群の回転方向も反転する等，自由度の高い制御がガウスビームと LG01 ビームをわずかに角度をつけて干渉可能となる．光の軌道角運動量を直接用いる応用のもう一させたときの干渉縞を図４に示す．中心の枝分かれしたパつの例として，光渦レーザーアブレーションによるナノ構

ターンが特徴的だが，トポロジカルチャージ !を増やして造形成がある．金属表面に光渦レーザーパルスを入射する

いくと !
!!本に枝分かれしたフォーク状のパターンとなことで，らせん状のナノニードルが形成されることが報告る．この干渉縞を描画したSLMにガウスビームを入射してされている［１６，１７］．光渦のドーナツ型の強度分布が尖っ得られる光渦（１次回折光）は入射ビームの０次回折光とた構造を作り，ニードルの先端サイズは回折限界以下のは異なる方向へ進むため，分離することは容易である．ま300 nm程度となっている．ニードル下部のらせんの巻き数

た，その外側には高次回折光として，LG0±2，LG0±3…と高は光の全角運動量で，らせんの向きは光の軌道角運動量の次の光渦ビームが現れる．SLM に描画するパターン変更す

符号で制御できる．また，単結晶シリコン基盤への光渦るだけで様々なモードの光渦ビームを生成できるため，基レーザー入射による単結晶シリコンニードルの形成も最近

礎研究に適した生成法といえる．

報告されている［１８］．通常のレーザーによるシリコン表面
加工では表面が多結晶やアモルファスとなる場合が多く，

２．
４ 光渦応用研究の現状

単結晶性のシリコンニードルが形成される現象は光渦を用

光渦ビームの様々な応用として，（i）光の軌道角運動量

いた新しい表面加工法として注目されている．
２．
４．
２ 光の軌道角運動量の制御性の利用そのものの利用，（ii）
光の軌道角運動量の制御性の利用，（iii）
光の位相構造の利用，の三つが考えられる．本節では，２．
２節で示したように，偏光に依存する光のスピン角運（i），（ii）の例を紹介し，（iii）
については次節に譲る．

動量は１光子当たり０または±!しか取り得ない．一方，

２．
４．
１ 光の軌道角運動量の利用

光渦のトポロジカルチャージは原理的に任意の整数値を取集光したレーザー光の焦点近傍にミクロンサイズの誘電り得るため，１光子当たりの軌道角運動量は"!となる．こ

体微粒子を捕捉して操作する装置として，光ピンセットがの事実は，光情報通信分野において重要な意味 をもつ知られている．そのアイディアは１９７０年に A. Ashkin に［１９］．情報を光の偏光・波長に加えて軌道角運動量にエンよって提案され［１１］，１９８６年に顕微鏡下でレーザー光にコードすることで，100 Tbit/s での自由空間でのデータリ

よって微粒子を３次元的に捕捉した結果が報告されているンクが可能となることが報告されている［２０］．ただし，通［１２］．通常の光ピンセットではレーザー光として TEM00

常の光ファイバーでは光渦を安定に伝送することができなモードが使用されているが，これを光渦（LG モード）にすいため，長距離高速通信を実現するためには新しい光ファることで微粒子に光の軌道角運動量を与えることができイバーの開発が必要となる．光ファイバー中の光渦についる．結果として，光による微粒子の回転制御が可能となるては S. Ramachandran らによるレビュー論文［２１］を参照さ［１３］．光渦を用いることで単一ビームによる光トラップに

れたい．

２．
５ 光渦の位相構造のプラズマ計測への応用
過去数十年にわたり，様々な分野で極限的なレーザー計測技術が開発されてきたが，それらの多くはレーザーパラ
メータのうちパルス幅（時間分解能），線幅（周波数分解能）あるいはスポットサイズ（空間分解能）に着目したものであった．一方，光波の位相や偏光の空間構造の利用については，近年物性分野をはじめ様々な分野で研究が進められているが［２２］，未開拓な領域がまだ多く残されている．ここでは，光渦の位相構造を利用したプラズマ計測への応用の可能性として，光渦のドップラー分光への応用について議論する．ドップラー分光とは，光源と観測者の相対的な運動による光の周波数の変化から測定対象の速度分
布や流速を得る分光法である．一般的な実験室プラズマで
図４

は測定対象の原子・分子は光速よりも十分遅いため，相対ガウスビームとラゲールガウスビームの狭角干渉パター
ン．SLM に描画することでホログラム回折格子として使用する．

論的効果による横ドップラーシフトは非常に小さく，縦ドップラーシフトのみが観測される．縦ドップラーシフト
１２４

Special Topic Articles

2. Fundamentals of Optical Vortex and the Status Quo in Application Study

S. Yoshimura and M. Aramaki

は運動によって原子・分子が波の位相面を移動することによって引き起こされるため，コリメートされたレーザー光のように平面波として近似できる光波中では，光の伝播方向と速度のなす角を (とすると'+-(に比例する（波動ベク
トルと速度ベクトルの内積で与えられる）．したがって，
従来のドップラー分光には光の伝播方向に射影した速度成分しか観測できないという強い制限があり，そのことは原理的に避けられないものとして受け入れられてきた．しかし，このような平面波を用いた従来の分光計測の常識がらせん状の位相構造をもつ光渦を用いることで覆されることが L. Allen らによって指摘されている［３］．光渦の光波中におけるドップラーシフトは以下の式で与えられる．

図５

-#
/#
#
$&% $!%
)" )
$
# ##
#!"
#
/ "/
#&
' / "/$$

うにシフトして速度によらず共鳴するためである．これに対して，入射光としてトポロジカルチャージが )
" および

,"(
)(
/
#
&
""'
$
&/
!
&
#
/#"/
$
)
/
)
! # #&-! &%/ "/$#型の３準位系．

)#の円偏光の光渦を用いた場合，伝播方向および動径方向のドップラーシフトがキャンセルされるのに対して，方位角方向のドップラーシフトはトポロジカルチャージに依存（１３）

するためキャンセルされずに残り，２つの光渦の方位角

ここで，光渦はビームウェストを原点とする z 軸方向に伝動径方向，方位角方向の速度，()(はトポロジカルチャー

*
"!*
#'
ドップラーシフトの差 &&% によって広がった EIT
信号が得られる．この実験により，伝播方向および動径方

ジ，-はビーム中心の位相特異点からの距離，/$ はレイ

向のドップラーシフトの影響を取り除いた方位角ドップ

リー長を表している．光渦が３次元的な位相構造を持つた

ラーシフトのみの分光的な測定が実証されたが，磁場掃引

め，ドップラーシフトも速度の３成分に依存した項の和とによる量子共鳴を用いるためプラズマ計測への応用には制播しており，&/，&-，&% は円筒座標系における /軸方向，なっている．右辺第１項は &/によるドップラーシフトで，限がある．一方，通常のドップラー分光の光源を光渦に変&/が主要項となっている．第２項は球面波としての曲!)更するだけで方位角ドップラーシフトが観測できれば，実率に起因するドップラーシフトで，十分コリメートされた

験的にも簡便で汎用性の高い分光法となることが期待できレーザーを用いた場合は第１項に対して４桁程度小さい値

る．ここでは，光渦のドップラーシフトに含まれる微小項となる．第３項が光渦の特徴である方位角方向の位相変化を無視して $&% $!)
&/!&
)!
-'
&% と近似し，光渦ビームをによるドップラーシフトで，観測する光の波長を &とする

用いたドップラー吸収分光によって得られるドップラースと，第１項 に 対 し て )&!
'-倍 小 さ い 値 と な る．例 え ば#

ペクトルについて検討する．レーザーの周波数を原子の共)$"の光渦を用いて特異点から "!
&程度の距離でドップ鳴周波数から $だけ離調させてプラズマに入射させた場

ラーシフトを観測すれば第１項より２桁程度小さい値とな

合，速度空間において $$!))!
&% で定義される傾&'!&'る．この方位角ドップラーシフトの観測ができれば，従来いた平面で一様広がりの厚さを持つ体積内の原子がレーは光の伝播方向のみに限られていたドップラー分光によるザー光を吸収する．この励起体積中の原子数を $の関数と速度計測が方位角方向も含んだ形に拡張される．すなわ

して表すことで，以下のドップラースペクトルが得られ

ち，光渦を用いることでレーザー計測に新しい自由度を与る．

えることが可能となる．Barreiro らは電磁誘起透過（Elec-

"!
#

#
!"!

場に沿って導入されている場合を考える．図５に示すよう

-#
+
(
$'
&
$!
" !"" #)#"
)
')$%
#
)
'
(
#
+
)
"
)
#(/,!
!$" .)*+."* （１４）)$% )# ##")-#ここでは，原子の速度分布関数として方位角方向に .)*+.

な #型の３準位系の "#"$%"遷移に２つの円偏波が同時の流れをもつマクスウェル分布を仮定している．式（１４）よに共鳴すると上準位への遷移が起こらなくなり媒質が透明り，光渦で測定したドップラースペクトルは光の進行方向)に垂直な方位角方向の流れにより !-.)*+. だけシフトする
ことがわかる．したがって，大きなトポロジカルチャージ

tromagnetically Induced Transparency: EIT）を巧妙に利用した分光計測で，方位角ドップラーシフトのみを取り出すことに成功している［２３］．ここでは磁場中に設置されたガスセルに対して，右回りおよび左回り円偏波ビームが磁になることが知られており，この現象を EIT と呼ぶ．２つの円偏光が平面波の場合，外部磁場の強度を掃引しながら透過光強度を測定すると !$!で急峻な透過光強度の増加)を持つ光渦を用いて -が小さな位相特異点の近傍でスペを示すドップラーフリーの EIT 信号が得られる．ドップ

クトルを測定することで方位角ドップラーシフトが観測しラーフリーの信号が得られるのは，平面波のドップラーシやすくなることが期待される．しかしながら，実験的には

フトが円偏光の向きに依存せず，上準位と下準位が同じよ

高次の光渦の位相特異点は分裂しやすく測定に向かないた
１２５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018

め，"!""の光渦を用いて !!"!
!程度でのスペクトル観［５］戸田泰則：物性研究・電子版 4, 041205 (2015).
［６］M.W. Beijersbergen et al., Optics Comm. 96, 123 (1993).
［７］M.W. Beijersbergen et al., Optics Comm. 112, 321 (1994).
［８］L. Marrucci et al., Phys. Rev. Lett. 96, 163905 (2006).
［９］N.R. Heckenberg et al., Opt. Lett. 17, 221 (1992).
［１０］A.V. Carpentier et al., Am. J. Phys. 76, 916 (2008).
［１１］A. Ashkin, Phys. Rev. Lett. 24, 156 (1970).
［１２］A. Ashkin et al., Opt. Lett. 11, 288 (1986).
［１３］J.E. Curtis and D.G. Grier, Phys. Rev. Lett. 90, 133901(2003).
［１４］D.G. Grier, Nature 424, 810 (2003).
［１５］https://www.youtube.com/watch?v=2hdKXMRKSY8［１６］T. Omatsu et al., Opt. Express 18, 17967 (2010).
［１７］K. Toyoda et al., Nano Lett. 12, 3645 (2012).
［１８］F. Takahashi et al., Sci. Rep. 6, 21738 (2016).
［１９］G. Gibson et al., Opt. Express 12, 5448 (2004).
［２０］H. Huang et al., Opt. Lett. 39, 197 (2014).
［２１］S. Ramachandran and P. Kristensen, Nanophotonics 2,455 (2013).
［２２］K. Shigematsu et al., Phys. Rev. B 93, 045205 (2016).
［２３］S. Barreiro et al., Phys. Rev. Lett. 97, 113601 (2006).

測を仮定するのが現実的である．アルゴン準安定原子の1s5-2p2 遷移による 697 nm の吸収を用いて数百 m/s の方位角方向の流れを測定した場合，方位角ドップラーシフトは10 MHz 程度となり，狭帯域レーザーを用いた精密分光であれば測定可能な大きさとなる．著者らのグループでは，
このような微小空間でのドップラーシフト分布を高精度に測定するため，レーザー周波数の高精度な制御のみではな
く，高いビーム品質の光渦を生成するとともに空間的な揺らぎ抑えてドップラー吸収分光を行うための技術開発を進
めている．

参考文献
［１］L. Allen et al., Phys. Rev. A 45, 8185 (1992).
［２］M.J. Pudgett and L. Allen, Optics Comm. 121, 36 (1995).
［３］L. Allen et al., Optics Comm. 112, 141 (1994).
［４］A.E. Siegman, Lasers (University Science Books,
Sausalito, 1990).

１２６

J. Plasma Fusion Res. Vol.94, No.3 (2018)１
２７‐１３０

小特集 実は遍在する光渦

３．光渦の発生3. Generation of Optical Vortex
加藤政博
KATOH Masahiro
分子科学研究所（原稿受付：２
０
１
８年２月１
６日）

円運動する電子が放射する電磁波の位相構造を古典電磁気学を用いて位相構造を解析するとその放射の２次以上の高調波に螺旋構造があることが示される．つまり，これまで，人工的にしか作ることができないと考えられていた光渦を能動的に発生させる可能性が示される．また，このことの実験的な検証として，ヘリカルアン
ジュレータからの放射光を用いて行った実験結果を紹介する．
Keywords:
optical vortex, orbital angular momentum, photon, electron, microwave, X-ray, gamma-ray, Compton scattering,
gyrotron, accelerator

３．
１ 光渦がもたらす新たな物理る．このために，遅延ポテンシャルを用いて，サイクロト

磁場中の電子はローレンツ力の作用により，磁力線に巻ロン放射の電磁場を陽に求めてみる．一般に荷電粒子からきつくように，円もしくは螺旋軌道を描いて運動し，サイの放射場は下記のように表わすことができる［４］．
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クロトロン放射する．放射により電子はエネルギーを失

#
!%
%
&
$
"
!

い，同時に角運動量を失う．運動量の保存則を考えると，サイクロトロン放射はエネルギーだけではなく角運動量も運ぶはずである．実際，磁力線方向へ放射されるサイクロ

（１）

)

（２）

)
%

トロン放射は円偏光しており，円偏光は光子のスピン角運

)
は遅延時間
ここで %

動量に対応することはよく知られている．ところで，サイクロトロン放射は電子の速度が光速度に比べて無視できな

!
)
%
$%
! .
"

い大きさになると高調波を含むようになる．基本波の光子エネルギーを!%とすると$次の高調波では$!%となる．

（３）電子の速度が上がればより高次の高調波が放射される．一!は光速で規格化した速度ベクトルである．多くの教科書方で光子一個が運べるスピン角運動量は光子エネルギーにでは図１に示す系が '軸のまわりに回転対称であるとし依らず!のままである．こうなると，果たしてスピン角運て，観測者の方位角を，&軸上の真上といったようなある動量だけで電子の失った角運動量を運びきれるのか，とい特定の場所に置いて計算を進めている．しかし我々は，波う疑問が湧いてくる．

面の空間的な構造に興味があり，観測者の方位角 #を陽に含んだ形で電磁場を求めてみる．

この章では，サイクロトロン放射のように円軌道を描い

式（１）を円軌道を描く電子に適用すると初等的な計算のて運動する電子からの放射（以下，円軌道放射）について，

後，

特にそれが運ぶ角運動量に着目して，古典論的な考察を行った結果［１，２］を解説する．以下，まず円軌道放射が，第

"%
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$
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#!
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$
"
)
"
!%
%%
!!"'
$
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$
%%
!#&
&

２章で述べた光渦の性質を持っており，螺旋状の波面を有することを示す．次に，スピン角運動量以外の角運動量，

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#
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#
&'$'
$
%%
!#&
$
（４）
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#
)
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%%!#&
#
&'%
$
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!"'
#

Allen らが言うところの軌道角運動量［３］を運んでいることを示す．さらに，円軌道放射が螺旋状の波面を有することという結果が得られる．ここで，## は図１に示す観測$，#を示すシンクロトロン光源を用いた実験結果［２］を紹介する．

者の系での単位ベクトルである．式（４）をいくつかの "に対して計算した結果を図２に示す．式（４）で表わされる

３．
２ 光渦の生成と検証

電磁場は電子の速度が非相対論的な場合には正弦波となる

この節では，円軌道放射の波面の構造について考察すInstitute for Molecular Science,Okazaki, AICHI 444−8585, Japanauthor’s e-mail:mkatoh@ims.ac.jp

１２７!2018 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018

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（９）

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' !*
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(
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（１０）

なお，積分は原点を囲む球面上で取る．ここで先に求めた
電磁場（式（１）や式（５））を式（１０）に代入するとどうなるであろうか．式（１），（５）は電磁場が進行方向に垂直な成分しか持たないことを示している．そうすると式（１０）に現れる電場や磁場の進行方向成分（%$!や %$"）はゼロになり，角運動量はゼロという結果になる．
ここで式（１），（５）に出てくる距離の次数に注目してみよう．エネルギーの流れを表す式（１）には +の２乗が現れる．教科書に出ている通り，エネルギーの流れに寄与する"+に比例する項までであり，それ以上のは電場・磁場の "図１の項は距離を十分に大きくとればゼロになる．一方，角運座標系［１］．電子は xy 平面上を原点を中心に円運動し，観測者は球面座標（R ，の位置にいる．
)，'）

動量の流れを表す式（５）には +の３乗が現れる．これは角運動量自身が原点からの距離 +に比例することからきていが，相対論的な領域では正弦波からの歪が現れ高調波を含"+の高次る．そうすると，角運動量の流れを計算するには"むようになることがわかる．式（４）を Fourier 級数に展開の項まで考えないといけないかもしれない．
この問題を取り扱うのに，円軌道放射のベクトルポテン

すると，シャルを求めてみる．結果は以下のように表わすことがで

)

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!*
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.#

（１１）

このベクトルポテンシャルを用いて電場は以下のように表わすことができる．
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"+
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"+ +
! +
*
.",)/%0+++ ,) 1
"+
*
"+ +
",'
*! +
++
+ ,'

（６）

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（７）
（８）

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" + !) +
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*)+
)
*)+
"0
1
$*
+!#+

である．また #, は第一種ベッセル関数である．

$*
+!#+

式
（５）
から，光渦に特有の方位角に依存する位相項が現
れ て い る こ と が 直 ち に 見 て 取 れ る．特 に /軸 近 傍
+!$+
"$*
.

（)'"）では第１項が主要となり，$" の成分の放射場は電（１２）

子 の 周 回 と 同 じ 向 き の 円 偏 光 で あ り，そ の 基 本 波（,%"）は螺旋波ではないが，高調波（,#"）は螺旋波で省略するが磁場も同様な表式が得られる．なおベクトルポあることがわかる．高調波の次数に連れ螺旋の次数も大きテンシャルの肩の数字は式（１１）の第一項であることを示

くなる．

す．式（１２）に式（１１）を代入して +!"の項まで求めると式（５）が導出できるが以下の計算はこのままの形で進める方が 見 通 し が よ い．式（１２）の 右 辺 の 第 一 項 は +!"に 比 例

３．
３ 光渦と原子核，原子，プラズマ，分子，高分子との相互作用し，第二項は +!#に比例する．第一項は進行方向に垂直な放射場の運ぶエネルギーと角運動量は以下のような式で成分（)方向，'方向）のみとなるが，第二項まで考えると進行方向（+方向）の成分が出てくる．この成分の寄与によ計算できる［４］．

り式（１０）がゼロでなくなる．式（１２）及びそれと同等な磁場
１２８

Special Topic Articles

3. Generation of Optical Vortex

M. Katohの表式を式（９），（１０）に代入すると，最終的に以下のよう状の干渉パターンが得られているが，２次光の場合には，な結果が得られる［１］．

中心付近に干渉パターンの断裂が現れていることがわかる．この結果は，波面が螺旋状の形状を有している場合に

"
"
##
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%& %&
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$
"
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予想される計算結果とよく一致しており，２次光が光渦であることを示している［２］．

（１３）

次に，２台の直列に並べた円偏光（右回りまたは左回り）
アンジュレータを用いて，通常光と光渦が干渉した時に現

"
"
#"
%& %&
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& #&!
! '(" #"' '!%' !%' !!#' !%' &
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$
"

#%'"'，"%& %&れる特徴的な渦巻き模様が明瞭に観測できた．基本波と２

（１
４）
"
%& %&

& ! '! '%' $ '%!!#' !%' &.
!$ % %$"（１５）

ここで，%' は '次の高調波の光子数を表す．上記の結果をAllen ら［３］と同様に解釈すれば，円軌道放射の次の高調波は光子１個当たり '"&のエネルギーを運び，'"の角運動量（の (成分）を運ぶということになる（Allen らの論文と異なりここでの &は電子の周回角周波数であることに注意）．なお角運動量の (成分は z 軸方向へのローレンツ変換
に関して不変量である．したがって，上の関係は電子が (方向（磁力線方向）へドリフト運動する場合にも成立する．

図２

電場波形の電子速度（"）
依存性［２］．電場強度は電子の速度で規格化している．点線は電磁場のエネルギー密度（電場の２乗）を示す．

図３

円偏光アンジュレータからの光渦放射検証実験［２］．干渉法（上）と回折法（下）．

図４

ダブルスリットによる回折模様［２］．（最上段）原理の模式
図，（上段）観測結果，（中段）観測結果と解析計算（赤点線），（下段）シミュレーション（下段）．左から右へ，左円偏光１次光，左円偏光２次光，右円偏光２次光．実験波
長は３
５
５nm．

３．
４ 実験的検証
サイクロトロン放射に関して，筆者らの知る限りにおいて，上述したような螺旋状の波面が実験的に検証された例は無い．一方，シンクロトロン光源の技術を用いると上述した理論が (軸近傍について成立していることを実験的に示すことができる．シンクロトロン光源は高エネルギーの電子を周長数10 mから数100 m程度の大きさの円形加速器（電子蓄積リング）に蓄積し，電子ビームからのシンクロト
ロン放射を利用するものであるが，最近のシンクロトロン
光源では，単色性を有するシンクロトロン光を発生するためにアンジュレータと呼ばれる装置が広く使われている．
アンジュレータは電子蓄積リングの一部に装着され，電子ビームの軌道上に周期的な交番磁界を発生し，電子ビームを蛇行させることで，準単色のシンクロトロン光を発生す
る．アンジュレータの一種に円偏光アンジュレータと呼ばれるものがあり，これは電子ビームに螺旋状の軌道を描か
せ，円偏光の準単色光を放射させる［５］．この放射は円軌
道放射をローレンツ変換したものであり，図２のような円運動をしながら (軸方向に相対論的な速度でドリフト運動していると考えればよい．(軸方向からこの放射を観測す
ると，相対論的なビーミングの効果により，大部分の放射はz軸近傍に集中する．(軸近傍では式（５）の右辺第一項が主要となることから，基本波は円偏光で通常光，高調波は円偏光の光渦であり，高調波の次数があがるにつれて渦の次数があがることが予想できる．
分子科学研究所の放射光源 UVSOR-III で行われた実験の概要を図３に示す．２つの実験を行った．まず，一台の円偏光アンジュレータの光をダブルスリットを通すことで，その波面の形状を調べた（図３下）．図４に示した様に
基本波の場合には，通常光の場合に予想されるストライプ
１２９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018

次光が干渉した場合には一重螺旋，基本波と３次光の場合には二重螺旋の干渉パターンが明瞭に見えており，高調波の次数があがるにつれ渦の次数も上がることを実験的に示すことができた［２］．図５が，その結果観測された干渉パ
ターンと解析計算の結果及び SRW コード［６］を用いたシ
ミュレーション結果を並べて表示したものである．
なお，電子エネルギーは実験内容に応じて 400 MeV もし
くは 500 MeV であり，ローレンツ因子に換算すると１０００程度である．アンジュレータ中の電子の螺旋運動は，円運動しながら観測者に向かってドリフト運動していることから，ドリフト運動そのもののローレンツ因子は上記の値の数分の一となる．

参考文献［１］M. Katoh et al., Phys. Rev. Lett. 118, 094801 (2017).
［２］M. Katoh et al., Sci. Rep. 7, 6130 (2017).
［３］L. Allen et al., Phys. Rev. A. 45, 8185-8189 (1992).
［４］L.D. Landau and E.M. Lifshitz, The classical theory of fields.
(4th Rev. English Ed.), Elsevier Ltd. (1975).
［５］B.M. Kincaid, J. Appl. Phys. 48, 2684 (1977).
［６］O. Chubar et al., Nucl. Instrum. Methods in Phys. Res.
A 435, 495 (1999).
図５

２台のアンジュレータ光の干渉パターン［２］．（上段）観測結果，（中段）観測結果と解析計算（赤点線），（下段）シミュレーション（下段）．左から右へ，左回り偏光で３次光と１次光，２次 光 と１次 光，右 回 り 偏 光 で２次 光 と１次光，３次光と１次光の干渉．実験波長は 355 nm．

１３０

J. Plasma Fusion Res. Vol.94, No.3 (2018)１
３１‐１３５

小特集 実は遍在する光渦４．サイクロトロン放射と光渦の理論的課題
4. Theoretical Issue of Cyclotron Radiation and Optical Vortex
PETROSKY Tomio
Center for Complex Quantum Systems, The University of Texas at Austin（原稿受付：２
０
１
８年２月１
６日）

古典力学における荷電粒子の輻射減衰過程を，時間の向きの対称性の破れの厳密な力学的根拠を定量的に明らかにしたリウビル演算子の非ヒルベルト空間における複素固有値問題に基づいて論じる．その結果，非力学的振る舞いを示す Lorentz-Abraham 方程式など長年未解決であった古典的輻射減衰の問題が力学の基本方程式と矛盾することなく記述できることを示す．
Keywords:
radiation damping, broken time-symmetry, resonance singularity, lorentz- abraham eq., non-causality,
liouvillian, complex spectral analysis, non-Hilbert space, friedrichs model４．
１ はじめに２）しかし分母がゼロになる場合でも，その振動数が連近年，サイクロトロン運動などで減衰しながら円軌道を続スペクトルを持つ場合には，その分母を複素平面に解析

描く電子からの放射が光渦の性質を持つことが実験的に示接続することで，ゼロで割る部分をデルタ関数として数学

され，宇宙物理学・プラズマ物理学から加速器光源技術に的に無矛盾に超関数の枠組みで定式化できる．
（デルタ関至る幅広い分野で重要な役割を果たすものと期待されてい数の出現は，奇関数としての振動数分母の符号反転に関する．サイクロトロン放射の過程は古典力学と古典的マクス

る偶奇性を破ることに注意）

ウエル方程式によって記述される本質的に古典的な現象で

３）複素平面への解析接続の結果，力学系の状態関数をある．しかし，このような古典的減衰過程を取り扱うため今までのヒルベルト空間の枠組みを拡張した非ヒルベルトに提案された良く知られた Lorentz-Abraham 方程式は，運空間の要素に拡張できる．

動方程式の中に荷電粒子の位置の時間に関する３階微分項

４）さらにその結果，時間の対称性を破る解が，力学のが現れているために力学の基本原理と抵触しており，この基本方程式から数学的に矛盾することなく得られる．

事象の理論的裏づけは未解決とされてきた［１‐５］．具体的

この具体な応用例として，我々は主に連続場と共鳴結合には，３階微分項に起因する暴走解の存在，さらにそれをしている量子系の不連続励起エネルギー準位の減衰過程の解決するために提案された Dirac の初期条件の非因果律的問題を取り扱い，多くの興味ある現象を見出してきた［１２‐

振る舞い等々を列挙することができる．

１６］．今回，この量子系での取り扱いを，正準変数間の交換

実は，以下に論じられるように，この問題の本質は時間関係を古典的なポアソン括弧式に置き換えることで，量子の向きに対称な運動の基本方程式からどのようにして時間化ならぬ，量子系の古典化の手法を使って，長年未解決での対称性を破る減衰解を導き出すのかという，物理学の最あった古典的輻射減衰の問題が基本方程式と矛盾することも基本的な問題の一つに関わっているために，時間の向きなく記述できることを示す［１７，１８］．その応用例の一つとの対称性の破れの厳密な力学的根拠を定量的に明らかにしして，導波管内でサイクロトロン運動をしている荷電粒子

ない限り，この問題の理論的な解決は望めないのである．

が導波管固有な遮断振動数（cut-off frequency）の近傍で回

この節の著者は，この時間の向きの対称性の破れの問題

転している場合の異常減衰について論じる．これは，量子を，故イリヤ・プリゴジン教授とともに長年携わってき系でよく知られている，状態密度にある Van Hove 特異性て，その本質が，次の１）から４）の事実にあることを明らに対応する異常減衰［１２，１３］で，こ の 現 象 は 既 存 のかにしてきた［６‐１１］．すなわち，Lorentz-Abraham 方程式では記述不可能な現象である．

１）力学の解の中の振動数分母がゼロになるに共鳴特異４．
２ Lorentz-Abraham 方程式の問題点性が現れることがある．いわゆる，力学系のカオスに関連

Lorentz-Abraham 方程式は次式で与えられる．

した非可積分性や不安定性に関連した小さい分母の問題である．

Center for Complex Quantum Systems, Department of Physics The University of Texas at Austin, Austin, TX 78712−1192 USA
author’s e-mail:petrosky@physics.utexas.edu

１３１!2018 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018

回転波近似の結果，このハミルトニアンは非相対論的に

#
'$0
- '0
/
(
"-) $．
')('
# #!
'/
'/

なっている．しかし，仮想過程があってもなくてもハミル（１）

トニアンは規格モードに関して双線形になっているので，

ここで )$#-&$(であり，電子の古典半径を光が通(##$'いわゆる Bogolubov 変換によってどちらのハミルトニアン#
過する時間である．この方程式は加速度 $'
に
/
'/
(
#'#0#

も規格モードに関して厳密に対角化可能である
［１０，
１１］．

対して次の解を持つ，さらに，これらのハミルトニアンが共鳴特異性によって時" / /! //(!//#) (/#)
$'
/
$'
!(
(
##
! & '/
$ ．
')('(
-)!

間の対称性を破る減衰解を与えるメカニズムは本質的に同じなので，ここでは，技術的煩雑さを避けるために，回転（２）波近似を施した式（４）のハミルトニアンについて古典輻射したがって，!')('/!((#!の場合であっても，$'&#!の場減衰の問題を論じることにする．

合には時間と共にたちどころに発散する暴走解がある．

古典系の規格モードによるポアソン括弧式はDirac は加速度の初期条件が%" & '/
/
/
$'
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+
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.
+
.
.
$+
$+
$
$
$

（３）

（５）

で与えられる．ただし，ここで$が連続変数の場合には，例を満たす場合には，この暴走解を取り除けることを示し

えば箱型規格化から出発して適切な体積依存性の下に体積た．しかし，外力についての未来の情報がこの初期条件を無限大の極限を取るものとして，和でなくて積分で与えら決めているので，因果律に反している．

れるという約束の下に，便宜的に和の記号を使って表現してある．これを使って連続モードを含む規格モードは正準

４．
３ 古典的 Friedrichs モデル

関係式，

さて，この問題を物理学の基本方程式から力学的に矛盾

&!
&!
.""
."
)
*
，
&%#!+

なく解くために次のハミルトニアンを考えよう［１７］，

&!
&!
&'
,!,/(
.,
.,"
*
)
，
&%#!+
/

"%

&!
&!
"#*"."
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，
&%#!

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*,.,
.,

&!
&!
&!
&!
',
#,'
.,".,
."(
."
．

（６）

"
&!
&!
等々を満たしている．これを，.%で置き換え，
!$%
.-

$"
%*
)
$"
%,と交換関係式で置き換えると，この"+&%. !+（４）

ハミルトニアンは第２量子化されたハミルトニアンとな&!
は複素共役を表し，."は *"の固有振動数で振ここで，&!

る．この量子化されたハミルトニアンは Friedrichs のモデ動している調和振動子１の規格モードであり，., は波数ルと呼ばれており，その場合，調和振動子が光子を放出し,を持った光の規格モードである．さらに，#, は調和振動ながら減衰する現象がシュレディンガー方程式の厳密解と子１と光の相互作用を決める実関数の形状因子（form fac-

して，したがって力学原理に無矛盾に解かれている［１９］．

tor）で あ り，こ の 形 は 調 和 振 動 子 と 光 の 場 に 対 す るFriedrichs が示したこの解によって，ボーアによって提案

Lorentz 方程式と Maxwell 方程式によって得られる．例えされた現象論的な量子ジャンプが力学原理に従ってシュば，このハミルトニアンは振動数*"でサイクロトロン運動

レーディンガー方程式から最初に厳密に導かれたという点をしている荷電粒子の場合のハミルトニアンとして得られで，このモデルは歴史的に重要なモデルである（ただし，る．さらに，そのサイクロトロン運動が無限に長い導波管

Friedrichs の論文では，この系を点スペクトルと連続スペに閉じ込められている場合には，波数は軸方向の連続成分

クトルの結合系として第２量子化されていない通常のシュを持っており，その場合，,は一次元の変数である．また，レディンガー方程式の形式で論じている）．以下に説明す

光の分散関係式は，導波管に閉じ込められている場合にはるように，Friedrichs の解には共鳴特異性による自明でな#
その断面方向の一つのモード (に対して，*, #'&, "*(い解が含まれており，そのことに着目することによって，で与えられる［２］．ここで，*( はそのモードに対応した遮時間の向きに対称な方程式から，時間の向きの対称性を破断振動数であり，そのモードの光が遮断振動数に対応したる解が数学的に無矛盾に得られることが理解できるのであ質量を持っているように振る舞う．*( #!の場合が導波管る．我々が古典輻射の問題を解くにあたって提案した考えなどに閉じ込められていない場合である．

方は，ポアソン括弧式と交換関係式は代数的に同型なの# #ただし，ここでのハミルトニアンは，元の方程式で双極で，量子力学の交換関係式をポアソン括弧式で置き換え

子近似と回転波近似を行って得られた結果である．古典輻る，いわば量子系の古典化によって，量子力学での厳密解

射減衰の本質的なメカニズムを論じるのが目的のここでのをそのまま古典力学の厳密解に書き直すことができる，と議論では，#, の詳細な形は重要ではない．回転波近似を行いうことである．

う前の相互作用は，上式最後の部分の規格モードの部分を励起粒子の減衰を伴った不可逆性の問題を考える前に，

&!
&!
&!
&!
.,".,
."
"."(
'
(で置き換えた形であり，いわゆる仮'まず減衰が起こらない場合，すなわち *"の値が *( より十想過程（virtual process）項を含んでいる．この仮想過程は分に小さく，振動数分母 *"!*, がゼロの値より十分離れ光を相対論的に扱うために必要な項であり，したがって，ていて共鳴特異性のない場合を考える．この場合，ハミル
１３２Special Topic Articles

4. Theoretical Issue of Cyclotron Radiation and Optical Vortex

T. Petroskyのところに解を持つことが示せる．Friedrichs は量子系のトニアン式（４）は線形の古典的 Bogolubov 変換，対応する系で，そのような場合，上記式（７）の $"に対応す"%*%*+""& '*$"##""###
，
$
%"!,*
!%

るモードが存在し得ないことを示した．それのみならず，（７）Friedrichs の寄与の決定的な部分は，上記式（７）の $*$* #+*に対応するモードだけで，規格モードが完全系を成していることを示したことである．その結果は，正準変数間の交

"%
*
%*+*
*
%
+""& '*," ! * #
（８），$',*!,* !)
!%
,*'
)&
,

,

換関係式をポアソン括弧式に置き換えるだけで，我々の古,とその逆変換を使って，"%!#%"$"&!&!$""&!%

典系にも当てはまる．その結果，系のハミルトニアンは式（９）ではなくて，'*,*$*&!&!$*，

"%

!#&

（９）

!%

'*
,*$*&!&!$*，（１３）と対角化される．ここで #" は規格化定数であり，'$!

と対角化される．これが，我々が呼んでいる，古典輻射のは正の無限少量であり，問題のいわゆる Friedrichs の解である．この場合，連続波

*#%*#
，
)&
'
$-!,"!& '*-!,*!%数の各モードの解として $*&
,
,*,
!'
&('*
+が厳
'
#$*&
!)

"%

密に得られる．その解を，上記古典的 Bogolubov 変換式（１０）（７）の逆変換で $" をゼロで置き換えた式に代入して，連である．)&'は物理的に自然な形状因子 %* に対して複素-平面の実軸上の -#,+ のところで分岐点を持つ２枚の続変数 *に関する経路積分を実行し，さらに "
#
)&
'の因子

リーマン面を持つ２価関数であり，分岐点から始まる分岐と，荷電粒子の元の規格モード +" の中に複素振動数 "を切断を通して上反面から下反面に解 析 接 続 し た 関数を持って減衰振動する因子 &('*+を持った成分が現れ!)",からくるこの分数の極 (からの寄与を計算する"#%"!)"，その反対に下反面から上反面に解析接続した関数)&'

ることを，力学の基本原理と矛盾することなく示すことがを )!&'で表している．)&'と振動数分母に対して，上記できる．この解の中には，Lorentz-Abraham 方程式のようと逆方向からの解析接続も可能であるが，上記式（７）のよに，暴走解が現れない．以上で，互いに相互作用し合ってうに解析接続を選んでおくと，,$!に対する運動の記述がいる元の基準モードの運動に関する限り，技術的には輻射

逆方向の解析接続の場合よりも数学的に簡潔に表現できる

減衰の現象を力学の基本法則から力学原理に矛盾することので都合が良い．$& は再規格化された衣を着たモードでなく導き出されたことになっている．

あり，%" は分散関係式 )&%"'#!を満たす再規格化された

４．
４ 複素規格モードと時間の対称性の破れ

荷電粒子の振動数である．ここでの共鳴特異性のない場合には %" は実数の値をとる．

しかしこの Friedrichs の解では，ハミルトニアンを対角

古典系の発展の生成演算子であるリウビリアン "! はハ化した結果互いに独立に運動する再規格化されたモードのミルトニアン !を使って，"!(
!"
(
$!)
(
)
%$で与えられる．

中から荷電粒子のモードが消え去ってしまっている．そこ)"$%"，
ハミルトニアンを対角化する表示式（９）では，,)* $,* として，,で新たな問題が浮上してくる．それは，果たして独立な)&!$&&!&! "! #% ,
"，
&!
&!!$&
$
$
&
&
&

モードとして，すなわちリウビリアンの固有関数として，
上記複素振動数"をもって減衰振動しつつ再規格化された荷電粒子になるものが存在し得るのか，という問題であ（１１）る．この問いに関して，我々は肯定的な解を得た．しかしで与えられる．ただし，ここで和の記号は（５）と同じ規則

その場合，ヒルベルト空間内でエルミート演算子だったはに従うものとする．この演算子は通常のヒルベル空間内でずのリウビリアンが複素固有値"を持つことを可能にする

エルミート演算子である．再規格化された荷電粒子のモーためには，運動を記述する関数空間を必然的に非ヒルベル

ド $" の従う運動方程式は式（９）を使ってト空間に拡張されなければならない．以下に，その拡張さ'$) " #!"!$"#%"$"，',れた関数空間内での複素規格モードとその導出法の素描を示す．詳しくは文献［１７］を参照されたい．

（１２）

荷電粒子の再規格化されたモードの双対は次式で与えらとなり，その解として $"&
$"&
,
%",
!'が得られ
+
'
#&('*
!)

れる．

る．さらに，この式は $" がリウビリアンの固有関数であ

&!
&!
*
%*+*
，
'*
"$
!%
&
"!,*'
"%

り，その固有値が %" であることを示している．

&!
&!
+"
$"&!&!##""###"&

さて，いよいよこの節の本題である古典輻射減衰が起こ"%)"##"###$+""&"

る ,"$,+ の 場 合 を 考 え よ う．そ の 場 合，分 散 関 係 式

!%

*
%*+*
'*
.
"$
&
"!,*'

（１４）
（１５）

)&
'
#!は共鳴特異性のために実数の解を持たなくなり，適切な形状因子 %*を仮定した場合，-上反面から下反面に

ここで振動数分母の括弧に付けた＋記号は上記 )&'の場

解析接続されたリーマン面上の複素数の点 -#("#%"!)

合と同じように，複素 -平面の上半面から下半面に解析接
１３３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018

続した関数である．この場合，規格化因子 #"はヒルベルト

ようになり，力学の基本法則に矛盾することなく，時間の空間の場合と違って，位相因子を除いても本質的に複素数向きの対称性を破る再規格化された規格モードが作れるこである．また，再規格化された光のモードの双対は次式でとが明らかになった．
この表示を使うことによって，荷電粒子の減衰現象のみ与えられる．

ならず，その過程で放出される光の性質の詳細を力学の原&!
&!
$)&!&!#*)

理に基づいて論じることができる．したがって，この研究
"%

&!
&!
)
%),*)
,

プロジェクトの主題である荷電粒子のサイクロトロン運動

)
%
&!
&!
（１６）
*"
" " ) #"& '),$'*)!*) "(
!%
*
(
&
'
)
'

から放出される光渦のいろいろな性質を論じる理論的な基,盤が与えられたことになる．

() #*)$

その一つの興味ある応用例として，我々はすでに断面が

"%
)
%)*)
)
%
*""& ')," ! ) #
（１７）．
$'*)!*) !(
!%
*)'
(&
,

,

矩形をしている導波管内で円運動をしている荷電粒子のサ,

イクロトロン放射の問題で，その円運動の振動数が特に導波管の遮断振動数の近傍の値を持っている場合に，よく知

ここで，
,
"
"
"!*)
$
"．
"
(
*)' ("&
*)'&
,
&
"!*)'
'

られているフェルミの黄金則を使って得られる減衰率よりも桁違いに大きい減衰率が得られることを前駆的な計算で（１８）得ている．その大きさは荷電粒子の質量が大きいほど大き

"

であり，"
*)'の持っている下反面にある *) に関する#(&

く，電子の場合，フェルミの黄金則を使って得られる減衰極の効果が相殺されているように定義されたいわゆる遅延率の１０４倍，陽子の場合１０７倍大きくなっていることが明ら

解析接続（delaied analytic continuation）と呼ばれる方法でかになった．これは光の状態密度が遮断振動数のところ解析接続された関数である［６］．これら双対の複素規格

で，いわゆる Van Hove 特異性を持つことに起因している

モードは式（６）に対応して，［１２，１３］．そ し て，こ の 現 象 は 既 存 の Lorentz-Abraham(""$$"&!&!)
(
，
$##!(
(
&&
)!),'
$&!&!)
$)"
(
，
$##!(
),

方程式では記述不可能な現象である．
今後の課題として，この結果を矩形ではなく軌道角運動（１９）量を持った光渦の放出に関して自然に応用できる円筒導波

($"
(%)
$
$
(
，
$##!

管内でのサイクロトロン放射に適用することが挙げられ，等々の関係式を満たす．

計算が現在進行中である．

これらの双対モードは，Friedrichs の解を使って書かれまた，第３章で論じられているように，角運動量を持ったハミルトニアン式（１３）の積分の中で積分路を複素 ,平面た光を放出するためには振動数 *" でサイクロトロン運動に解析 接 続 し，そ の 経 路 積 分 か ら ,#,"の 極 を 分 離 しをしている荷電粒子から出る光に高調波成分が含まれていて，それを荷電粒子に対応した再規格化されたモードに背る必要がある．その章で論じられているように，この高調

負い込ませるようにして得られたものである．そしてこの波の放出は荷電粒子の有限ラーマー半径効果によって得ら

双対モードによって，ハミルトニアンはれるため，上記の Friedrichs のモデルに粒子に関して拡張

"%
&!
&!(
()，
!#,
')
*)$)&!&!$"$" $""&!%

が必要になるようである．
しかし，もし高調波の存在のみが光渦の放出に本質的で（２０）

あるならば，上記のモデルで行われた双極子近似を拡張しとして双対型に対角化される．これら複素規格モードをて，多重極子の効果による非線形効果を取り入れることに使って，リウビリアンは，,) $*) としてよっても，光渦の発生のメカニズムを論じられる可能性もある．さらに，この系に周期的な外場が掛かっている場合+($ + "，!$($+$$&!&!
+$$$&!&!
"! #% ,$!
$には，Froque Hamiltonian に変換して時間に依存しないハ（２１）

ミルトニアンに移った場合にも高調波が現れることが知らで与えられる．ただし，ここでも和の記号は式（５）と同じれているので［１８］，そのような場合にも光渦が放出される規則にしたがうものとする．そのことから可能性がある．

(
'$
("#,
(
( " #!"!$"$"，'+

以上，共鳴特異性からくる不可逆性の問題の視点から見ると，光渦の発生を古典力学の原理に基づいて理論的に解（２２）明する研究は端緒についたばかりである．物理学の多岐に("&("&となり，その解として $$+,!'が得られ
+
'
#%'&*
!(
"+
(
る．さらに，この式は $" がリウビリアンの固有関数であわたるこの問題は今後ますます面白い発見がなされる魅力的な課題であろうと思われる．

り，その固有値が複素数 ," であることを示している．
以上によって，共鳴特異性がある場合には，エルミート

参考文献

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Fields, 2nd ed. (Pergamon, London, 1962).
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は，それが作用する関数空間を非ヒルベルト的双対空間に拡張することによって数学的に厳密に複素固有値を持てる
１３４

Special Topic Articles

4. Theoretical Issue of Cyclotron Radiation and Optical Vortex

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T. Petrosky［１１］T. Petrosky et al., Phys. Rev. A 68, 022107 (2003).
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９］K. Friedrichs, Commun. Pure Appl. Math. 1, 361 (1948).
［１

１３５

J. Plasma Fusion Res. Vol.94, No.3 (2018)１
３６‐１３８

小特集 実は遍在する光渦５．光渦の応用展開
5. Present, Advanced, and Potential Applications of Optical Vortex
加 藤 政 博，久 保

伸１）

KATOH Masahiro and KUBO Shin１）
分子科学研究所，１）核融合科学研究所（原稿受付：２
０
１
８年２月１
６日）

円軌道を描いて運動する電子からの放射が螺旋状の波面を有し軌道角運動量を運ぶことを，古典電磁気学により示す．また，シンクロトロン光を用いて螺旋状の波面を実験的に検証した結果について述べる．これらの結果は，光渦が特殊な光学素子を用いて人工的に合成されるだけではなく，プラズマ閉じ込め装置や粒子加速器，
天体の磁気圏や宇宙ジェットなど，実験室や自然界の様々な場所で自然に放射され広く存在するものであることを示している．
Keywords:
Optical vortex, orbital angular momentum, photon, electron, microwave, X-ray, gamma-ray, Compton scattering,
gyrotron, accelerator

５．
１ 光渦がもたらす新たな物理

奇妙な光が自然現象として簡単に放射されるとは思えな円運動もしくは螺旋運動する高エネルギーの自由電子はい，というのがこれまでの常識であったことが推測され螺旋状の波面を持ち，角運動量を運ぶ「渦電磁波」を放射る．自然界，特に宇宙における光渦の役割というのは自然する．第３章で述べたこの理論的考察により，実験室や自科学者が足を踏み入れていない未踏の領域である可能性が然界の様々な場所で光渦が放射されていることが強く示唆ある．光渦は宇宙の物質進化において何らかの役割をはたされる．電子が円もしくは螺旋軌道を描いて運動する状況

していないのか，あるいは，天体現象に関する新しい情報

は，磁場中でローレンツ力を受けて運動する電子や円偏光を運んできているのではないか，様々な疑問が湧いてこなの場の中の電子などで見られる．こういった状況下で，電いだろうか．

（加藤）子はサイクトロン／シンクロトロン放射，あるいはトムソ
ン／コンプトン散乱を起こす．これらの放射が円偏光して５．
２ 光渦の生成と検証いることはよく知られているが，より一般的にはスピンに

５．
２．
１ 逆コンプトン散乱による渦ガンマ線の生成

加えて軌道角運動量も運ぶ光渦になっているはずである．

電子による電磁波の散乱の古典論的な描像は，入射電磁

また，物理的パラメータに応じて，放射は電波からガンマ波の場の中で電子が振動し，その振動する電子が放射す線まであらゆる波長域で起きる．したがって，光渦は宇宙る，というものである．この電子散乱でとくに興味深いのに遍在しているはずなのである．

は，極端に相対論的な速度で運動する電子が電磁波を散乱

それではこういった渦電磁波が，自然界や実験装置の中する場合で，このとき，電子の静止系で見た入射電磁波のでどのような役割を果たしているのだろうか？また，その波長はローレンツ因子の逆数で短くなる．静止系での散乱源に関するどのような情報を運んでくるのだろうか？宇宙

光の強度は等方的であるが，これを実験室系で見ると，散における光渦の役割については，レビュー論文がいくつか

乱光の大部分は電子の進行方向に集中的に放射され，その

出ており
［１，
２］．宇宙における光渦の生成についていくつ

波長は静止系での波長のローレンツ因子の逆数で短くなかの可能性を議論している．その一つは回転するブラック

る．結果として，非常に短波長（元の波長のローレンツ因ホールのまわりの時空のゆがみにより通常光が光渦に変わ

子の二乗分の一）の光子が電子の進行方向に散乱される．

るというもので，後にこれを支持する理論的な論文も出てこのプロセスは逆コンプトン散乱と呼ばれ，特に宇宙物理いる［３］．２つ目の可能性として，宇宙空間に存在する星学では X 線やガンマ線領域の高エネルギー光子を生成する

間物質の不均一性により，通常光が光渦に変わるとする可

重要な過程である．

能性を指摘している．さらに３つ目の可能性として，地球

この電子散乱の描像で，入射電磁波が円偏光であるとど

外の知的生命体による光渦を利用した通信を傍受している

うなるであろうか．円偏光の場の中では電子は円運動す

可能性を上げている．これらをみる限り，光渦などというる．入射電磁波の強度が大きいと電子の運動は（円運動中

Institute for Molecular Science, Okazaki, AICHI 444−8585, Japancorresponding author’s e-mail:mkatoh@ims.ac.jp

１３６!2018 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Special Topic Articles

5. Present, Advanced, and Potential Applications of Optical Vortex

M. Katoh and S. Kubo

心の静止系で）相対論的となり，高調波が放射される．第のガンマ線が得られる．入射レーザー光の強度を高めると３章で述べた通り，この高調波は光渦である．実験室系で高調波が放射され，これが渦ガンマ線となっているはずでは，この放射は電子の進行方向に高い指向性を持って放射ある．この高調波を伴う過程は非線形トムソン／コンプトされる．このようにして逆コンプトン散乱により非常に高ン散乱と呼ばれ，高強度光子場中で起きる現象として，宇エネルギーの渦電磁波，すなわち，渦ガンマ線が放射され

宙物理学の分野では古くから議論されているが［７］，実験

ることが理解できる．実際，古典論的な計算によりこのこ的に検証されたのは比較的新しい［８］．特に最近，ブルッとを理論的に示すことができる［４］．

クヘブン国立研究所（米国）において，円偏光レーザーに

この逆コンプトン散乱による光渦の生成は，自然科学，

よる非線形コンプトン散乱の実験が行われており，実際さらに加速器を用いた光源技術の両面で興味深い．宇宙のに，光渦特有のドーナツ状の強度分布が観測されている天体の多くは磁場を帯びており，様々な機構で高エネル［９］．実は，この実験は非線形コンプトン散乱による渦ガン

ギーの電子が生み出され，磁場の中で放射する．サイクロ

マ線の生成の可能性が理論的に指摘される前に行われたもトロン放射やシンクロトロン放射で円偏光ないしは光渦がのであり，論文でもその点には全く触れられていないが，放射され，それらは高エネルギー電子により逆コンプトン

おそらくは渦ガンマ線の生成を示す最初の実験ということ

散乱され，さらに高エネルギーの光渦に変換されるだろうになると思われる．我が国にも大強度レーザーと電子加速（図１，２）．例えば，ガンマ線バーストは宇宙最大の爆発器を備えた研究機関は存在し，今後，渦ガンマ線の生成に現象と言われ，ブラックホールや中性子星同士の衝突であ向けた研究が加速することが期待される．

ると言われているが，こういった現象でも磁場が重要な役

５．
２．
２ 放射光及び自由電子レーザーによる渦 X 線の生成割を果たしていると言われている［５］．この爆発の中で生第３章で述べた通り，円偏光アンジュレータと呼ばれるみだされる高エネルギー電子は磁場中で光渦を放射するは装置から光渦が生成されることは既に実験的に検証されてずである．

いる．円偏光アンジュレータは，電子の進行方向に垂直な（加藤）

一方で，この過程を利用することで，渦ガンマ線を実験

方向に磁場をかけるが，その磁場の方向が電子の進行に伴室で生成することもできるはずである．そもそも逆コンプい回転するようになっており，これにより電子は螺旋軌道

トン散乱は，波長可変なガンマ線を発生する手法として，を描いて運動する．最近の放射光源の多くで利用されてい原子核物理研究や材料研究等で利用されている．その手法る装置であり，これを用いることで，真空紫外や X 線とは，高エネルギーの電子加速器の生み出す電子ビームにいった，レーザー光源の乏しい波長域でも光渦が生成できレーザー光を衝突される，というものである．レーザーコ

ることになる．ただし，シンクロトロン光は，時間的にはンプトン散乱と呼ばれる場合もあるこの手法により，MeV

非コヒーレントな光である．同じく高エネルギー加速器を領域から GeV 領域のガンマ線が生成され，様々な目的に使用いた光発生技術に自由電子レーザー技術があり，これをわれている［６］．入射レーザー光を円偏光とすると円偏光用いると放射光よりも高強度で且つコヒーレントな光渦が生成できる．これについても比較的波長の長い領域では実験的な検証が行われており［１０］，今後，X 線領域でも光渦の発生が行われるものと思われる．

（加藤）

５．
２．
３ ジャイロトロンによる渦マイクロ波の生成の可能性
単一の電子が引き起こす電子サイクロトロン放射の高調図１

円偏光逆コンプトン散乱の概念図［５］．

波が光渦の性質を持つことが加藤らによって見出された［１１］のを契機として，多電子系，特に，高強度のマイクロ波帯の電子サイクロトロン放射が存在し，それを加熱や計測に利用してきた高温磁場閉じ込めプラズマの電子サイクロトロン高調波になぜ渦性が見出されてこなかったかが考えられるようになった．もちろん，渦性に注目した観測がな
されてこなかったことがその大きな要因ではあるが，たとえ渦性を観測したとしても観測点から見たサイクロトロン
運動の位相がランダムであるために，結果的に渦構造が消失してしまい観測が困難になっているのではないかと考えられる．逆に，そのジャイロ位相を揃えることができれば高強度でコヒーレントな渦マイクロ波の生成が可能なはずである．そこで，位相を揃える手段として大電力マイクロ波発振器であるジャイロトロンの出力を右回り円偏波として磁場中の多電子系に入射することで，共鳴加速し，その過程で強制的にジャイロ位相を揃えられ，高強度な純度の

図２

円偏光非線形逆コンプトン散乱による !線の空間強度分布，高次光では光渦特有のドーナツ状の分布が見られる［５］．

高い渦マイクロ波を発生させられるのではないかと考えた．この考えに基づいた渦マイクロ波発生の検証とその高
１３７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018

強度化の試みが核融合科学研究所において開始されている．

り実験研究は少ない．金安らは，極端紫外領域での光渦をジャイロトロンは本来，共鳴磁場中でサイクロトロン運

希ガスに照射することで光の軌道角運動量に由来する特異動する電子ビームの相対論効果によるサイクロトロン周波な光イオン化の検証を試みているが，今のところ有意な結数の変化を利用して位相集群を円筒空洞共振器の中で起こ果は得られていない［６］．これはスピンが偏光に由来するさせるのがその発振原理である．近年の大電力化，高周波のとは異なり，光渦の軌道角運動量がその空間構造に由来

数化の流れの中で，円筒空洞共振器の壁表面を大きくするするものであり，原子分子のような微視的な系に角運動量必要があり，共振モードとして高次モードを採用するのがの移行が起きる確率が低いためであると考えられている．

大勢となっている［１２］が，この高次円筒モードそのものがしかし，最近，光渦特有の現象が見えたとする報文が少し

軌道角運動量を持っていることが示された［１３］．磁場閉じづつ出始めている．一つは，レーザー場で捕獲し光渦の中

込め核融合装置における有力な加熱装置である電子サイク心付近に置いた原子において，通常は禁制となる遷移が起

ロトロン共鳴加熱システムにおいては伝送，プラズマへのきることが確認され，光渦から量子系への角運動量の移行

入射の容易性から，ジャイロトロンの出力を高次円筒共振が確認されたとするものである［１８］．もう一つの例は，配モードから高効率モード変換器で直線偏波のガウスビーム

向した分子群に右巻きの光渦と左巻きの光渦を照射し，そに変換して用いているが，大電力渦マイクロ波の発生がすの反射率に差が出ることを確認したというものである

でに実現していたことになる．ただし，この場合には電子［１９］．放射光や自由電子レーザーを用いた渦光の生成が行のジャイロ位相を空間的に共振器モード構造で制御するこわれるようになることで，今後このような研究が，X 線やとで高次ではなく，基本波放射に渦性を持たせていること

真空紫外線といった短波長域の領域において加速していくになる．

ものと期待される．

（久保）

（加藤）

５．
２．
４ 物質波や重力波における渦
これまでの議論は全て，光，すなわち電磁波に関するも参考文献のであったが，電子や中性子といった素粒子も波の性質を［１］M. Harwit, Astrophys. J. 597, 1266 (2003).
［２］N. M. Elias II, Astron. Astrophys. 492, 883 (2008).
［３］F. Tamburini et al., Nat. Phys. 7, 195-197 (2011).
［４］T. Piran, AIP Conference Proceedings 784, 164 (2005).
［５］Y. Taira et al., Sci. Rep. 7, 5018 (2017).
［６］T. Kaneyasu et al., Phys. Rev. A 95, 023413 (2017).
［７］J. Arons, Astrophys. J. 177, 395 (1972).
［８］C. Bula et al., Phys. Rev. Lett. 76, 3116 (1996).
［９］Y. Sakai et al., Phys. Rev. STAB 18, 060702 (2015).
［１０］E. Hemsing, E. et al., Nat. Phys. 9, 549 (2013).
［１１］M. Katoh et al., Phys. Rev. Lett. 118, 094801 (2017).
［１２］K. Sakamoto et al., J. Plasma Fusion Res. 85, 351 (2009).
［１３］A. Sawant et al., Scientific Reports 7, 3372 (2017).
［１４］M. Uchida and A. Tonomura, Nature 464, 737 (2010).
［１５］C.W. Clark et al., Nature 525, 504 (2015).
［１６］K.D. Skeldon et al., New J. Phys. 10, 013018 (2008).
［１７］J.P. Torres, L. Torner (eds.), Twisted Photons (WILEY-VCT
Verlag GmbH & Co. KGaA, 2011).
［１８］C.T. Schmiegelow et al., Nat. Comm. 7. 12998 (2016).
［１９］W. Brullot et al., Sci. Adv. 2016; 2 : e1501349.

有することから，渦物質波というのも有り得る．これらは既に実証されている．例えば，電子顕微鏡の分野において渦電子とでもいうべきものが生成されている［１４］．最初の実験は厚みが螺旋状に変化する波長板を用いて行われており，物質波が螺旋状の波面を有していることが実証されている．同様なことが中性子においても行われている［１５］．
螺旋状の波面を有する波は，おそらくあらゆる波動現象に見られるものであると思われる．多数のスピーカーを配置
し，それぞれのスピーカーの位相を制御することで渦音波が生成されている［１６］．

（加藤）

５．
３ 光渦と原子核，原子，プラズマ，分子，高分子との相互作用
光渦は軌道角運動量を運び，それが照射された物体にトルクを及ぼす．これを利用した微小物体の捕捉や回転，物質表面のナノ・マイクロ加工技術に関しては，数多くの研究例がある［１７］．これに対して，原子・分子，原子核などとの相互作用に関する研究は，理論的なものが大部分であ

１３８

J. Plasma Fusion Res. Vol.94, No.3 (2018)１
３９

小特集 実は遍在する光渦６．まとめ6. Summary and Prospects
久保伸

KUBO Shin
核融合科学研究所（原稿受付：２
０
１
８年２月１
６日）

第２章「光渦の原理と応用研究の現状」では，それまで，ズマにおいてはお馴染みの放射で，プラズマ・核融合の分近軸近似における伝送方程式の一般解として表現されてき野ではよく知られていて，プラズマの閉じ込め，計測，加たラゲールガウスビームの位相構造が実は，波面としては熱へと応用されてきたことは周知の事実である．また，そ渦の性質があり，軌道角運動量をもつことが１９９２年に初めの 厳 密 な 扱 い は，第３章 で 示 さ れ た よ う に Lienard-て，認識されたことを皮切りに［１］，通常のレーザー発振

Wiechert potential を用いて可能であり．これが電磁波発生

モードである基本ガウスビームから高次ラゲールガウスの基本で，様々な電磁波発生の基礎として用いられて来てビームを生成する光学素子が開発され，さらに光渦の性質

おり，今日の電磁波の多角的応用発展をもたらした．電磁を用いた様々な応用展開がなされてきたこと，また，その気学の多くの教科書でも，Lienard-Wiechert potential から一つの例としてプラズマ吸収分光法に適用することで，光放射場の電場，磁場の導出までは行っているものの，その軸に対して垂直方向の流れを計測する試みが示された．

位相構造についての考察にはほとんど踏み込まれず（位相この中で，第３章では，２０１６年になって加藤らによって項として !#"%!
#!""$$!"#$&までは書かれている例はあ#明らかにされた円運動する単一電子の（自発）放射の高次る［３］），強度スペクトルの計算へと議論が飛躍している．

高調波が持つ光渦の性質が紹介され，その実験的証拠とし実用的にはスペクトルの計算が優先された背景があるのでてヘリカルアンジュレータからの放射光に渦性を観測したあろう．１９９２年に発表された Allen らの論文
［１］を契機に光例が示された［２］．また，これをきっかけにマイクロ波か渦に対する関心が急激に高まり，通信への応用，物質とのらガンマ線に渡る全ての電子の円運動に伴う放射が持つ渦相互作用の観点から研究が爆発的に進展したことは第２章性を検証する新たな流れが加藤自らの筆で紹介された．

で紹介されている通りである．ここに来て，能動的な光渦

第４章の「サイクロトロン放射と光渦の理論的課題」での発生の可能性が示されたことで，あらゆる波長領域でのは，サイクロトロン放射減衰の持つ不可逆性の考察から光

位相構造と強度が制御された光渦の発生，媒質中での光渦渦の発生のメカニズムへのアプローチの可能性が示され，の伝搬や吸収，これらによって可能となる様々な物質との軌道角運動量を含む放射場を繰り込んだ自己無撞着な理論

相互作用の研究，応用分野の急速な展開が多いに期待されの展開の必要性が議論された．

る．また，自然に遍在する電子の円運動（一般的には曲率

第５章の「光渦の応用展開」においては，第２章で議論を持った運動と言い換えても良い）による放射の渦性が示された光学素子を用いる言わば人工的に生成された光渦のされたことによって，渦性を持った放射の観測による放射みではなく，自然界に偏在する電子の円運動による自発放源の物理過程理解の深化，渦性の持つ軌道角運動量が及ぼ

射，あるいは円運動が励起された結果としての誘導放射とす物質への影響，構造形成など，未知の領域へ挑戦する端

しての光渦の発生機構や素粒子・原子核，プラズマ，分子，緒が開かれたと言ってよいであろう．

高分子との相互作用の基礎から応用に至る研究の展開，宇

参考文献

宙物理において光渦が果たす役割について紹介された．
この小特集で議論されたように，電子が何らかの外力を［１］L. Allen et al., Phys. Rev. A 45, 8081 (1992).
［２］M. Katoh et al., Phys. Rev. Lett. 118, 094801 (2017).
［３］J. Sheffield, Plasma Scattering of Electromagnetic Radiation,(ACADEMIC PRESS, 1975).

受けて加速度運動する場合に荷電粒子から電磁波が放射される．その一例が磁場中でサイクロトロン運動する電子が引き起こす放射がサイクロトロン放射である．これらのことは１９００年代初頭から明らかになっており，磁場中のプラ

National Institute for Fusion Science, Toki, GIFU 509-5292, Japanauthor’s e-mail:kubo.shin@nifs.ac.jp

１３９!2018 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.3 March 2018!!
く

小特集執筆者紹介

""

ぼ

しん

か

久 保

伸

加 藤 政 博核融合科学研究所プラズマ加熱物理研究系教授．１
９８
３年京都大学大学院理学研究科物理学第一専攻単位取得退学．理学博士．修士論文のテーマで扱って以来，ほぼ４
０年，ずっと密に付き合ってきたつもりだった電子サイクロトロン放射に別の顔があることを加藤先生から教えていただき，愕然とすると同時に，惚れ直しました．

とう

まさ

ひろ

東京大学大学院理学系研究科，高エネルギー
加速器研究機構を経て，現在，分子科学研究所
教授．本来の専門はシンクロトロン光源・自由電子レーザーなどに関するビーム物理学や加速器技術．最近は，古典電磁気学からアストロバイオロジー
まで幅広く楽しんでいます．
ト ミ オ ・ ペトロスキー

よし

むら

しん

Tomio Petroskyじ

吉 村 信 次SENIOR RESEARCH SCIENTIST，Dept. ofPhysics，The University of Texas at Austin，東京大学生産技術研究所，研究顧問．主な研究分
野は，非平衡統計力学，力学基礎論，時間の向きの対称性の破れ，電子および光物性，カオス，天体力学．趣
味はハイキング，日本民俗学，texas-no-kumagusu の名前で日本語のブログを書いています．

自然科学研究機構核融合科学研究所ヘリカル研究部高密度プラズマ物理研究系准教
授．１
９７
０年長崎生まれ．１
９９８年九州大学大学院
総合理工学研究科博士後期課程終了．博士（理学）．専門は基礎プラズマ実験．プラズマの流れへの興味からレーザーによる流速計測を始め，それが高じて光渦レーザーにまで足を突っ込む．趣味は読書．内容だけでなく本自体も好きな Bibliophile なので，電子書籍では満足できない．
あら

まき

みつ

とし

荒 巻 光 利日本大学生産工学部教授．２
００
１年名古屋大学
大学院 博士（工学）．レーザー分光や レ ー
ザー冷却強結合プラズマの研究を主に行っている．最近は光渦を用いたドップラー分光の研究に注力している．光渦以外にもトポロジカル光と呼ばれる一群の伝播モードには様々なものがあり，それぞれ固有の特徴があるため，これらをプラズマの研究に導入することで新しいことができるのではないかと期待している．

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