複数のOD情報を用いたFR設定手法の提案
東北大学
東北大学
1. はじめに氏家
福本晃仁※
潤也※

ただし，複数のOD情報を組み合わせてFRを設定することは，実務面でも学術面でも重要であ

多くの社会経済活動は行政域を超えて展開しると考えられる．例えば，種類の異なるOD情報ている．行政単位の統計から社会経済活動の実を組み合わせてFRを設定することで，複数の空態を把握することは必ずしも容易ではない．社

間相互作用で強く結びついたFRを設定すること

会経済活動の実態を把握する上で，通勤や経済が可能になると期待される．また，調査時点の取引等の相互作用によって強く結びついた地域

異なるOD情報を組み合わせてFRを設定すること単位で統計を整備することが有益な場合がある． により，個々の時点のOD情報の一時的な変動のそのような地域を求める問題は地理学の分野でFunctional Region設定問題と呼ばれる．Functional

影響を緩和することが可能になり，時間的に安Region（以下，FR）は「複数の地理的単位（e.g.
市区町村）で構成され，地域内の地理的単位がれる．
2.で後述する通り，ネットワーク科学分野で発地域外の地理的単位と比べて強い相互作用を有展してきたコミュニティ抽出問題とFR設定問題定したFRを設定することが可能になると期待さする一体的な地域」と一般に定義される（[1]）． は数学的な構造が良く似ている．そのため，コFR単位で統計を整備することで地域経済の実ミュニティ抽出研究で提案されてきた様々な手態を把握することが容易になる．市町村の合併範囲や道州制の圏域の決定，複数の市町村をま法をFR設定問題に援用することが可能であると考えられる．Mucha他 ([6])はノードが共通するたいだ政策等を議論する際に有用な基礎資料を複数のネットワークが利用可能な場合に，共通提供できると期待される．実際，多くのOECD諸するノードを仮想的なリンクで結ぶことで得ら国では国が公式にFRを設定し，FR単位でデータれるネットワークからコミュニティを抽出するを集計・公表して地域政策等の基礎資料としてことで，複数時点のネットワークにまたがるコ活用している（[8]）．学術的にも都市構造の都

ミュニティや種類の異なる関係性を考慮したコ市間比較や都市の成長速度の計測，都市集積のミュニティを抽出する手法を提案した．Mucha他

産業間比較，都市の階層性の把握等の分析に必が提案したコミュニティ抽出法をFR設定問題に要な情報を提供できると期待される．
FRは通勤者数等の空間相互作用を表すOD情報援用することで，複数のOD情報を組み合わせたFR設定が可能になると期待される．本研究では，に基づいて設定するのが一般的である．空間相

複数時点の都道府県間人口移動データを用いた互作用を表すOD情報には，人口移動・通勤・進ケーススタディにより，Mucha他が提案したコミ学・情報通信等がある．ただし，既存のFR設定

ュニティ抽出法のFR設定問題への適用可能性を手法はいずれも一種類のOD情報しか使用しない． 実証的に検証することを目的とする．
また，それぞれのOD情報は複数時点で整備され以下，2.では，コミュニティ抽出法とFR設定ているものの，FRを設定する場合には一時点のOD情報しか使用しない．種類や調査時点が異な問題の類似性について説明する．3.では，Mucha
他が提案したコミュニティ抽出法について解説

る多様なOD情報が利用可能であるにも関わらず， する．4.では，ケーススタディの結果を示し，単一のOD情報しか使用しない理由は，複数のOD情報を組み合わせる合理的な方法が存在しな複数のOD情報を組み合わせたFR設定の可能性を検証する． 5.では研究成果を総括し，今後の展いからである．

望を述べる．

2. FR設定問題とコミュニティ抽出問題

スライス

ネットワークの特性から分析対象とするシステムの性質を明らかにしようとするネットワー
ク科学が目覚ましい勢いで進歩している（[1]，[9]）．ネットワーク構造を有するシステムの多くでコミュニティ（リンクが高密度に張り巡らされた部分ネットワーク）が重要な役割を果た

123

す．大規模なネットワークからコミュニティの4抽出を試みるコミュニティ抽出問題はネットワーク科学の重要な研究課題の一つである．コミ

図 1：複数のスライスから成るネットワーク

ュニティを抽出するためのアルゴリズムや抽出結果の評価手法の研究成果が蓄積している析の目的に合わせて設定する．以下では簡単の（[3]）．
FR設定問題では，強い空間相互作用を有するため無向ネットワークの場合に着目する．
Mucha他は複数のスライスから成るネットワー

地理的単位の集合を抽出してFRとする．空間相ク上での連続時間のマルコフ連鎖に従うランダ

互作用の強さは通勤者数や人口移動，通話件数ムウォークを想定した．ランダムウォークのダ等のODデータで一般に表す．地理的単位をネッ

イナミクスは，正規化したラプラシアン行列 L

トワークのノード，相互作用の強さをネットワ（式(1)）を用いて式(2)で表される．式(2)で表さークのリンク重みとみなすと，FR設定問題とコれるダイナミクスを連続時間のラプラシアンダ

ミュニティ抽出問題は数学的な構造がほとんどイナミクスと呼ぶ．

等しいことが分かる．このため，ネットワーク科学分野で開発されてきたコミュニティ抽出の技法は，FR設定問題にも適用可能であると考えられる．

3. 複数OD情報を用いたFR設定手法
3.1. 複数ネットワークを組み合わせたコミュ
ニティ抽出
ノードが共通する個々のネットワークをスライスと呼ぶ．Mucha他（[6]）は，各スライスにA    ij C jsr

 L is, jr  ijs sr  ij sr(1)
 jr
Aijs sr   ij C jsr
pis   Lis , jr p jr  p jr  pis jrjrjr(2)

Aijs はスライス s でノード i, j 間に観測されるリンクの本数， C jsr はスライス s のノード j とス
ライス r のノード j との間に存在するリンクの本数，  sr （  ij ）は s  r （ i  j ）の場合にのみ 1 になるデルタ関数，  jr はスライス r のノー A   C ）， p は存在する同一のノード間に仮想的なリンクを張ド j の次数（  jr ることで複数のネットワークから単一のネットスライス s のノード i にいるランダムウォーカー

ワークを生成し，生成したネットワークからコの密度である．式(2)で表されるラプラシアンダミュニティを抽出することで，複数のネットワ

イナミクスは定常状態に p jr   jr / 2 （ただし，ークにまたがるコミュニティを抽出する手法を提案した．図 1は複数のスライスから成るネット

2   jr  jr ）を持つ．式(2)で表されるダイナワークの概念図である．4つのスライスは共通す

ミクスの下では，ランダムウォーカーはスライるノードから成るネットワークである．スライスs内のリンクは図 1中で実線で示される．スラス内のリンクで結ばれたノードとスライス間のイス間の仮想的なリンクは図 1中の破線のリンク移するノードを選択する．
Mucha 他（[6]）は時刻 t  0 にランダムウォーで示される．スライス間のリンクは分析者が分iijrsjrs

is*

リンクで結ばれたノードの中からランダムに推カーが定常状態に従って分布していると仮定し， でのリンクの本数と確率的に予測されるリンク
時刻 t にランダムウォーカーが時刻 t  0 の時との本数をコミュニティ毎に比較した差の合計と同じコミュニティ C 内のノードに存在する確率結果的に一致する．コミュニティ抽出を行う際P(C, t ) と，無限時間後に再び定常状態に戻った は，評価指標 Qmu ltis liceを最大化するコミュニテ
時に t  0 の時と同じコミュニティ C 内のノードに存在する確率 P(C ,  ) との差を用いてコミュニティ抽出結果を評価した．Mucha 他が用いた評価指標 R(t ) は式(3)で表される．

R(t )    P(C, t )  P(C, ) 

ィの組を求める．
k k 1
Qmultislice   Aijs   s 2ismjs   sr  ij C jsr  ( gis , g jr )2 ijsr s 
(7)

(3)

 s はスライス s の分解能パラメータ (resolution

式(3)の評価指標はランダムウォーカーがコミュparameter)である．分解能パラメータ  s と C jsr はニティ内に留まる確率が高いほど，密なコミュ分析者が設定する必要がある．Mucha他は簡単のニティが形成されていると判断する．しかし，第一項の P(C , t ) だけでは全てのノードを同一のとする方法を提案している．

Cコミュニティとした時に評価指標が最大値の1をとる．第二項 P(C, ) との差をとることで，全ためスライス間のリンクについて C jsr  {0, }3.2. 複数OD情報を用いたFR設定てのノードを同一のコミュニティとするコミュニティが抽出されるのを防ぐことができる．

Mucha他は式(7)で定義される評価指標を用い式(2)で表されるラプラシアンダイナミクス推て，複数のスライスから成るネットワークから移確率行列は exp{Lt} で与えられる．これより， コミュニティを抽出する手法を提案した．複数式(3)の評価指標は次のように書き直せる．

OD情報が利用可能な場合には，共通するノード

R(t )    exp{Lt}is , jr p  is| jr p  ( gis , g jr )
ijsr

間 に仮想 的な相 互作用 が働 くと仮 定すれ ば，Mucha他のコミュニティ抽出法をFR設定問題に

*
jr

*jr

(4)

is| jr はスライス r のノード j を出発したランダムウォーカーが無限時間後にスライスsのノードiへ推移する確率， gis はスライス s のノード i が所属するコミュニティ，  ( gis , g jr ) は gis  g jrの場合にのみ1になるデルタ関数である．式(4)の第一項をtについて一階近似すると，次式(5)のように整理できる．

A    ij C jsr

 exp{Lt}is, jr p*jr  ijs sr2t  1  t  jr ij sr2(5)
また，式(4)の第二項は，推移の前後でスライスが同じ場合とノードが同じ場合を分けて考えると次式(6)のように表せる．

 kis k jrC c
 sr  jsr jr  ij  jrc jr  jr  2
 2ms  jr

is| jr p*jr  

直接援用することができる．
3.3. 留意点
ネットワーク科学ではノード間の地理的な近接性は一般に考慮されない．一方，FR設定問題が対象とする社会経済活動は地理空間上で展開される．地理空間上では地理的な近接性の影響を強く受けるため，地理的な近接性の影響を考慮しないコミュニティ抽出法をFR設定問題に単純に適用しても，望ましいFR設定結果を得ることはできないと考えられる（[4]）．しかし，地理的な近接性は日常的な社会経済活動（例えば，通勤や交通）では非常に強く影響すると考えられるものの，引越等の非日常的な社会経済活動(6)

ms はスライス s で観測されるリンクの総本数，kis はスライス s のノード i の次数である．

では，地理的な近接性以外の要因がより強く影響するため，地理的な近接性の影響はそれ程強くないと予想される．そこで，本稿ではひとまず地理的な近接性の影響は考慮せずMucha他の手式(4)に式(5)と式(6)を代入して整理すると，法を単純に援用する．地理的な近接性の影響をMucha他が提案した式(7)の評価指標が導かれる． 考慮した上で，複数のOD情報を組み合わせてFR式(7)で示される評価指標は，観測ネットワークを設定する手法の開発は今後の課題としたい．

ったものの，時間の変化と共に中国地方との結4. ケーススタディびつきが強くなったと考えられる．
第2に，スライス間の結合を考えることで，一4.1. ケーススタディの条件

時的なOD情報の変動の影響が和らぎ，時間的に安定したFRの設定が可能になることが分かる．

3.で示したFR設定手法のケーススタディを実両方の図中に青色の枠で示した1980年の中国・施する際の条件について解説する．
ODデータとして，住民基本台帳人口移動報告

四国地方のFR設定結果に着目すると，スライスに掲載されている1954年から1995年までの毎年四国地方の県は別のFRに別れている．一方，スの都道府県間人口移動者数データを用いる．各年の都道府県間人口移動者数を表すネットワー

ライス間の結合を考えた図2の結果では，中国地方と四国地方の県は同じ FRに所属している．

クを1つのスライスとして，複数年のスライスに1980年の前後の年では，スライス間の結合を考またがるFRを設定する．分解能パラメータ  s はえない場合でも中国地方と四国地方の県は同じFRに所属している．これより，スライス間の結全てのスライスで同一の値（  s   ）とする．
スライス間の結びつきを表す C jsr については，間の結合を考えない図3の結果では，中国地方と合を考えることで一時的なOD情報の変動の影響が緩和され，図2の1980年の結果では中国地方と隣接するスライス同士のみが直接影響すると仮四国地方の県が同じFRに所属する結果となった

定して，次式のように定義する．と考えられる．

C jsr  
0if | s  r | 1otherwise(8)

5. おわりにコミュニティ抽出のアルゴリズムとしては，高速かつ簡便なコミュニティ抽出アルゴリズムと本研究では，Mucha他が提案したコミュニティ

し て 広 く 用 い ら れ て い る Greedy Algorithm

抽出法のFR設定問題に援用し，複数のOD情報を（GA）[9]を用いる．

利用したFR設定手法を提案した．都道府県間人口移動データを用いたケーススタディの結果，4.2. ケーススタディの結果次の2点が明らかになった．
第1に日常的な社会経済活動の移動範囲を1つ

  1,  1 としてFRを設定した結果を図2にの地理的単位が包含するマクロな視点のネット示す．図2では横軸に1954年から1995年までの時ワークでFRを設定する場合でも，地理的に近接間軸を取り，縦に全国47都道府県を並べている． した地理的単位でFRが形成されることが明らかになった．これは，マクロな視点のネットワー
同じ色の都道府県は同じFRに所属することを意味する．また，   1,   0 としてFRを設定しクでも空間相互作用を支配する地理的近接性をた結果を図3に示す．図3に示す結果は，スライ考慮する必要があることを示唆している．第2に，ス毎に別々にFRを設定した場合の結果と等しい． スライス間の結合を考えることで，個別のOD情報の変動の影響が緩和され，安定したFRが設定
図2と図3を比較すると，次の2点が分かる．第1に，図2の結果より，一般的な地方ブロック単位でFRが形成されることが分かる．北海道や沖できることが明らかになった．
本研究の今後の発展の方向性として，次の3点

縄県，一般的に東北地方，中国地方，四国地方， が考えられる．第1に．分解能パラメータやスライス間の結合の方法を変化させてケーススタデ
九州地方に区分される都道府県は概ね一般的な地方ブロックごとにFRを形成している．ただし， ィを行い，分解能パラメータやスライス間の結合の方法がFR設定結果に与える影響を分析する
分析期間を通じて地方ブロックの構成は変化している．例えば，四国地方は1970年代までは近必要がある．第2に，Mucha他が提案した評価指畿地方の府県と同じFRに所属していたが，それ標を地理的近接性の影響を考慮した指標へ拡張以降は中国地方の県から成るFRに移っている．

する必要がある．第3に，複数の種類のOD情報

四国地方は当初は近畿地方とのつながりが強かを利用したケーススタディを行い，OD情報の選

特集号,（印刷中）.

択がFR設定結果に与える影響を分析する必要がある．

[5] Girvan, M. and Newman, M.E.J., “Community

参考文献

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(2012. 9. 7 受付)

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1970198019901995

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図 2：人口移動パターンの経年変化（   1,   1 ，スライス間の結合有り）

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図 3：人口移動パターンの経年変化（   1,   0 ，スライス間の結合無し）