解説

レーザー冷却イオンの周辺技術と応用
占部伸二（大阪大学大学院基礎工学研究科）

Laser-Cooled Ions and Their Applications
URABE Shinji
Graduate School of Engineering Science, Osaka University, Toyonaka 560-8531, Japan(Received 24 June 2005)

In an ion trap, laser-cooled ions can be confined in a small space in an ultra-high vacuum so that collisions rarely
happen and the ions are well isolated from the environment. Since these conditions enable high-resolution spectroscopy of single ions, laser-cooled ions are suitable for use in developing frequency standards. The ions can be cooled
to the motional ground state to give a well-defined initial quantum state for quantum state manipulation and quantum computing. In this review, principles of ion traps and laser cooling, and recent progress in optical frequency
standards and quantum computing with trapped ions are described.
Keywords:
ion trap, laser cooling, frequency standard, quantum computing%
隔を "!として，２枚のエンドキャップ!，リングの半径を "１．はじめに電磁場を用いて荷電粒子を捕獲するイオントラップは，とリング間に電圧! を加えると，電極に囲まれた空間の一%には以下に示すポテンシャル #が生じる．
#
!
$
!
%
点$

当初は質量分析への応用を念頭に研究が始められた．分光への応用は１９６０年代後半から始められた．１９７０年代後半に

"
"
$
""
%
#""$"!"
%"%
%
##!$
"
"
!
!

レーザー冷却が可能になるとイオンの高分解能分光実験が

（１）

%
"
ただし，"
!#&
!である．ペニングトラップは ! を負の値にして静電場によって %方向に閉じ込めの力を働かせると進み，現在では周波数標準や量子計算などへの応用が目覚しく進展してきている．イオントラップ中のイオンを用い境下で極低温状態のイオンを発生することができる．このともに %軸方向に静磁場を加え，ポテンシャルが開いている#‐$方向ではイオンにサイクロトロン運動とマグネトロため量子力学的な純粋状態の発生，操作，状態検出がレーン運動を行わせることにより閉じ込めるものである．このザー光などを用いて行うことができ，周波数標準や量子計

トラップでは 1 T 程度の磁束密度を加える必要があるた

算への応用には最適なものとなる．本解説では周波数標準

め，イオンのエネルギー準位はゼーマン効果により大きくや量子計算への応用を中心にイオントラップ中のレーザー分裂する．このため現在活発に研究されている周波数標準

るとレーザー冷却により周囲からの擾乱の非常に少ない環

冷却イオンの周辺技術について述べる［１］．

２．イオントラップ
イオントラップとは電磁場を用いてイオンを空間に閉じ込める装置である．静電場のみを用いてイオンを空間に閉じ込めることは電磁気学の Earnshow の定理によって不可能であることが知られている．このため，静電場と静磁場を用いるペニングトラップ（Penning trap），rf 電場と静電場を用いるパウルトラップ（Paul trap）が主に用いられる．
パウルトラップは rf トラップ（radio frequency trap）と呼ばれる．Fig. 1 はイオントラップに用いられる四重極ポテ
ンシャルを発生させるための３枚の回転双曲面の形状を持った電極を示したものである．上と下の電極をエンド
Fig. 1

キャップ，中の電極をリングと呼ぶ．エンドキャップの間

General setup of the electrode configuration to create
a quadrupole potential.

author’s e-mail: urabe@ee.es.osaka-u.ac.jp

７５５

J. Plasma Fusion Res. Vol.81, No.10 (2005)７５５‐７６３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.81, No.10 October 2005

や量子計算への応用には以下に述べる rf トラップが主に用いられる．
rf トラップは電極間に rf 電圧を加えて動作させるものである．# が一定の場合には -，2方向のうち一方向しか閉じ
込めの力が働かないが，rf 電圧によって両方向に時間的に交互に閉じ込めの力が働くようにしたものである．電極間,-$/を加えた場合の電荷 )，質量 + を持つに#$#!"$!)
イオンの運動方程式は以下の Mathieu 方程式で表される．
#

Fig. 2#$"!
!
#$） （２）
*
0
(+!#
,+)
'
"
,-#
*'")
*0
+
+$! （*
$/$#
'
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)
"#
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*
$!#
+$#'
($$!"&
)
#!"
2
("$!#
(#，
!
!

A limear Paul trap used to store a string of ions. Each of
the rods is connected to the one diagonally opposite sothat a voltage between the pairs gives a quadrupole field.

みに四重極ポテンシャルが発生すればよいので，電極は球

#
#
)
"#
(
*
$!#
+$#'
)
$!"
2
,"$!#
,#
,$$'
!
!

面などで近似される．光によるアクセスが容易なリング電この方程式は係数，(+，,+が制限された値を持つときのみ安定な周期解を持つことが知られている．(+，,+%"の条

極のみのトラップ（Paul-Straubel 型），あるいは円筒ロッド

件が成り立つ場合は断熱近似が成り立つと言われ，イオンの運動は永年運動成分と周波数 $で振動する微小なマイク
ロ運動成分に近似的に分けて記述することができる． 0方子計算への応用を目的にリソグラフィ技術を用いて作られ

(
$%'
(
"%'
(とおいて，ゆっくりと変動///向について，0'する永年運動成分 %，周波数 $ で速く変動する成分 %に分下の超高真空中で動作させ，トラップ中で原子を電子衝突

#
#
&*#%"
"
*/
*/
を仮定する．（２）にけ， %&%，および *#%から数十 V のポテンシャルの深さで動作させる．Ca＋イオ
ンを !$ 0.5 mmのトラップで捕獲する場合には，rf周波数

２本を対向させたロッド型なども用いられる［２］．また，量た微小な平面電極を向かい合わせた分割型マイクロトラップも開発されている［３］．イオントラップは 1×10−7 Pa 以
によりイオン化してロードする．イオントラップは数 V

代入して rf の一周期では %が一定として積分することによ
,"%"
#(
)
,-$/，が求められる．ゆっくりと変動
り，%$!'
する成分に対しては rf の一周期で平均することにより以下

20 MHz，振幅 150 V で駆動すると，-方向の有効ポテン
シャルの深さは約 3.5 V，2方向のポテンシャルの深さは約の調和振動の運動方程式が得られる（議論の本質に関係ないため ("$!とおいてある）．

7 V となる．永年運動の振動周波数は -方向が約 1.3 MHz，
2方向が約 2.6 MHz となる．

#
#
$!("
%
*#%"
*/

("$,"$"##+（３）

３．イオンのレーザー冷却

0方 向 の 運 動 は ! を 任 意 定 数 と し て， 0$!)
,""
#(
"!'
*
)
,-$/
)
,-("/，となり，調和振動に微小なリップルが加わった形となる．1，2方向も同様に求められる．永年運動

３．
１ イオンのドップラー冷却は以下の楕円型の有効ポテンシャル )の中で力を受けて３冷却するにはレーザー冷却を用いる［１，４］．レーザー冷却

次元の調和振動を行うと考えることができる．

は，共鳴に近い周波数を持つレーザー光を原子に照射した生成した直後のイオンの温度はポテンシャルの 1/10 に相当する 10,000 K 程度と考えられる．イオンを極低温までときに発生する光の力を利用するものである．この力は散

# #
# #
# #
)$'
,"
+$#"
% ",#
& ",$
'(
)
"&

#
##
$)
)
"#
(*
$!#'
%#"&#"%
'#(
+$#'
2
"
!
!

乱力と勾配力に分けられるが，冷却には散乱力が利用され（４）

る．rf トラップ中のイオンはマイクロ運動を無視すると３動エネルギーは一定でマイクロ運動と永年運動の運動エネ

次元の調和振動をしている．振動しているイオンのレーザー冷却は，イオンの振動周波数 (.と冷却に用いる２準位

ルギーを加えたものとなる．有効ポテンシャルのエネル

系イオンの励起準位の放射減衰 &との大きさの関係で扱い

ギーはマイクロ運動のエネルギーに等しく，イオンはマイクロ運動のエネルギーをポテンシャルエネルギーと見なしが異なってくる．
(.%&の場合は，原子が光を吸収，放出する時間に比べた調和振動を行うと考えることができる．原点から最も離運動の１周期に要する時間は十分に長い．このためイオンれた点ではマイクロ運動，原点では永年運動のエネルギーは１周期の間に何度も光の吸収，放出を繰り返すことになが支配的となり運動エネルギーが時間的に交互に交換されり，光の吸収，放出を行う間のイオンの速度と位置はほぼる．レーザー冷却されたイオンに対してはほとんどの場合一定と考えられる．この場合はイオンの１周期より十分短
くかつ原子の寿命 &!"より十分長い時間で平均した光の散断熱近似が成り立つ条件ではイオンの rf 一周期平均の全運

断熱近似が成り立つ．
いられる．これは 0‐1方向は rf 電場，2方向は静電場によ乱力を考えることができる．電場の振幅 "を持つ平面進行波のレーザー光を速度 #を持つ２準位イオンにあてた場合

りイオンを閉じ込めるもので直線状にイオンを並べることの散乱力は，一次元で考えると以下のようになる．

量子計算への応用には Fig. 2 に示すリニアトラップが用ができる．周波数標準や量子計算への応用にはリングの直

# #
!$!"#
#(
)
'
'
#
"
&*
#!"#
&
"
.
"".
#(
!"
!"%

径が 1 mm 程度あるいはそれ以下の小型のトラップが用い（５）

ただし，"は光の波数ベクトル，#$((!(!，(( はレーられる．少数個のイオンを閉じ込める場合には原点近傍の
７５６

Commentary

Laser-Cooled Ions and Their Applications

S. Urabe

ザーの周波数，,!はイオンの共鳴周波数である．'
!は規格
#
)
)!#
!&* と表される．)はイオン化した光強度で，'!$#の双極子モーメントである．（５）式において離調を負の値（$"!）とした場合には，イオンの速度 #が光の進行方向#"!となりドップラーシと反対になる半周期において "#フトが離調を打ち消すため，イオンを減速する方向に働く力 !が増加する．逆にイオンが光と同じ方向に進む半周期の場合はイオンを加速する方向に働く力 !が減少する．すなわち，負の離調の場合には光に向かって進む半周期ごとに共鳴が強く起こり光の吸収，放出を繰り返すことになり，イオンは光の散乱力による減速を受ける．この条件の成り立つ場合は 弱い束縛の極限（weak-binding limit） と言われる．この冷却法による到達温度は，光の吸収，放出過程における運動量拡散による加熱と散乱力による冷却のつりあいで決められる．到達できる最小のエネルギーは##，温度に換算すると #& $!&#$%!,+-$!&#（$% はボルツマン定数）である．この温度をドップラー限界という．レー
ザー冷却に電気双極子遷移を用いた場合には，&は 108 s−1程度であり，またイオンの永年運動の振動周波数は 1 MHz程度であるため，,.&&となり，弱い束縛の条件が成り立
つ．到達温度は &が 108 s−1 のとき #& $ 0.38 mK となる．
３．
２ イオンのサイドバンド冷却,.'&が成り立つ場合には光を吸収，放出する間にイオ

Fig. 3ンは何度も振動運動を繰り返す．このためイオンが光を吸収，放出するときの速度や位置というものはもはや考える
ことができなくなり，散乱力によってイオンを減速するとThe sideband spectrum of an ion executing simple harmonic motion with different amplitudes. The amplitudes
x0 are 4/k and 0.5/k for the upper and lower traces respectively.

いった考え方は適用できない．この条件が成り立つ場合は強い束縛の極限（strong-binding limit） といわれる．正確る）．イオンが電磁波の波長以下の領域に局在しているとにはイオンの運動を量子化して扱うことが必要であるが，きは Lamb-Dicke の基準が満たされているという．強い束

半古典的には以下のように説明される．イオンに静止した系で見るとレーザー周波数 ,'がイオンの振動周波数 ,.

縛条件が成り立つ場合の冷却法はサイドバンド冷却と呼ばで周波数変調されイオンが多くのサイドバンドと相互作用

Lamb-Dicke 領域に閉じ込めたあと，さらにイオンを冷却するのに用いられる．レーザーの周波数 ,'を低周波側のれる．サイドバンド冷却はドップラー冷却でイオンをすると考えることができ，イオンの光の吸収断面積は以下

レッドサイドバンド，すなわち（,!!,.）に同調するとイ*!
-+からオンは光子のエネルギー，!（,!!,.），を得て ,のようになる．
(,!
)-!"+へ遷移する．ただし *，)はそれぞれイオンの基底!
)-!"+のイオ
状態，励起状態，-は振動状態を表す．状態,##$+! ! ,
,
)
"
$
(
+)
,'*
&
#
#*
&)
!*
&$!(

#
#
)
")
.
#
&
#
,!!,'!&,.*#*（６）

ンは自然放出により基底状態に戻るが Lamb-Dicke の基準が満たされている場合にはキャリア遷移が支配的であるた*!
-!"+へ遷移する．このめ!,!のエネルギーを放出して,過程により!,.のエネルギーを失う．この繰り返しにより(& は &次のベッセル関数であ!はイオンの運動の振幅， "る．吸収スペクトルは ,!
（&$!）の周波数におけるキャリ
ア遷移と ,!%&,.におけるドップラーサイドバンドから構イオンを振動基底状態付近まで冷却することができる．

(
成 さ れ る．'$$!は Lamb-Dicke パ ラ メ ー タ と 呼 ば れる．振動を量子化した扱いでは (!は振動基底状態の波動関

サイドバンド冷却の冷却限界はレッドサイドバンド遷移の励起スペクトルの裾でキャリア遷移およびブルーサイド

数の広がり，/%,で表される．,.'&であるために#!#バンド遷移が励起されて加熱が起こることで決められる．
スペクトルの形が幅 &のローレンツ型の場合には以下のよ

Fig. 3 に示すようにサイドバンドは分離して観測される．
イオンが冷却されて振幅 (!が 小 さ く 光 の 波 長 以 下，

うになる．

&"，になるとサイドバンドの各成分は非常
(
$
(
*)
(*
!$#
!#

#
!,+-$!,.)
&(.""
#
#*
#
,.
%""
&##
$*
$
， &(.$)に小さくなる．イオンのスペクトルは中心のキャリアが支（７）（高い周波数側のサイドバンドはブルーサイドバンド，低%は自然放出の角度分布により決まる定数で，双極子遷移の場合は 2/5 である．また &(.は冷却の最終状態における平い周波数側のサイドバンドはレッドサイドバンドと呼ばれ均の振動量子数である．,.'&であるので &(.$!の振動基配的となって第一サイドバンドのみが小さく観測される

７５７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.81, No.10 October 2005

底状態の近くまで冷却することが可能である．サイドバン
ド冷却には電気４重極遷移や誘導ラマン遷移が用いられ
る．サイドバンド冷却に類似の電磁誘導透過（EIT）を用いた振動基底状態付近までの冷却法も提案され，実験的に実証されている［５］．
到達量子数は光吸収スペクトルにおけるレッドサイドバ
ンドとブルーサイドバンドの高さの比によって測定でき(""&
る．２つのサイドバンドの高さはそれぞれ (#(，(#%に比例する．振動状態の熱的分布を考慮して平均量子数'((を用いると，サイドバンドの高さの比は，#("
((
#) #'
%
'
""&となり，これから '((((を求めることができる．
"

Fig. 4３．
３ マイクロ運動の影響

A string of four Ca+ ions in a small linear Paul trap.

る．このプロセスはイオン運動のシミュレーションにより

rf トラップ中のイオンの運動は実際にはマイクロ運動と解析され実験と比較されている［７］．冷却パワーが小さく永年運動からなる．マイクロ運動は外部からの rf 電場にイオン間の平均距離が十分大きい場合には加熱は起こらず

よって常に駆動されるため，レーザー冷却の対象にはなら

イオンは独立した粒子のように振舞う．冷却パワーが大きない．冷却の対象となるのは永年運動であり，永年運動をくなり粒子間の距離が小さくなるにつれてイオン間の衝突

冷却することによりマイクロ運動を間接的に小さくするこにより rf 加熱が起こりイオンはカオス的な運動を行う．さとができる．３枚の回転双曲面からなる rf トラップの場

らに冷却パワーが大きくなるとイオン間の距離は小さくな

合，マイクロ運動の影響がないのはトラップの中心点のみり準周期的な運動を経て，トラップポテンシャルと粒子間である．このため１個のイオンのみが極低温まで冷却できのクーロン相互作用で決まる静的なつりあいの状態に遷移

る．リニアトラップは，対称軸である直線上においてマイする．この遷移はレーザーの周波数を低周波側から共鳴中

クロ運動がないため直線状に並んだイオンを冷却できる．

心まで掃引してイオンの励起スペクトルを測定することにしかしながら，電極に機械的な非対称性がある場合や電極より観測することができる［７］．低周波側ではカオス的なに付着した金属の接触電位差により付加的な電場が存在す運動を行う雲状態の広いスペクトルが観測されるが周波数る場合は余剰マイクロ運動が発生する．例えば外部から均一に電場 ! が加わった場合には，イオンの運動は以下のよを中心に近づけると急に結晶状態を示す鋭いスペクトルにうになる［６］．

レーザーのパワー，イオンの個数に依存する．どのような

&
*
)
&
#)
*
)""
,%
+
,
*.+
"!%
+-%
#&
*
+-$+
"",
#*

変化する．遷移が起こる周波数はトラップの動作条件，
結晶配列が起こるかは，トラップのポテンシャルの形とイ（８）オンの数によって決められる．リニアトラップの場合，結," は外部電場に比例する項で，冷却により小さくならない
余剰マイクロ運動である．余剰マイクロ運動があるとイオンの光吸収スペクトルに（*!"($$*.）の周波数を持つサ

晶構造はイオンの個数とポテンシャルの異方性を表すパラ# #"*, に依存する．例えばイオンの個数を一定
メータ %#*/にして，-方向の閉じ込め電圧を小さい値から増加させた

イドバンドが加わる．このためレーザー周波数を負の離調にした場合でも例えば（*!!$"*.）における永年運動を加方向）に長いときには直線状に並び，%が増加するにつれて場合を考えると，%が小さくポテンシャルの形が軸方向（-

クロ運動は検出して補正することが必要である．最も簡便

ジグザグ構造，さらにらせん構造へと変化する．変化の起
こ る %の 値 は 理 論 や シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で 求 め ら れ，にはレーザー冷却における励起スペクトルの形状を診断し"&，の形をとる［８，%#%９］．１０個までのイオンの直線からて補正電極により電場を加えて補正する．本格的には，イオンの光吸収断面積がマイクロ運動によって変調されると!
#$，ジグザグ構造への変化に対しては実験により %#$!
&#!"&$が求められており理論との比較がなされているいう性質を利用して，駆動 rf 周波数の位相に対するイオン［１０］．イオンの数が非常に多くなった場合には層構造になからの蛍光光子の到達頻度を計測して検出し補正を行う．

ることが知られている［１１］．また二種類の冷却イオンのと

３．
４ イオンの結晶化

る構造も研究されている［１２］．Fig. 4 は小型のリニアト

熱する遷移が励起されるため冷却の妨げとなる．余剰マイ

ラップ中に一列に並んだ４個の Ca＋イオンを CCD で撮影

イオントラップ中に冷却された複数個のイオンは強結合したものである．

プラズマを発生する．プラズマの状態は隣の電荷による静電エネルギーと熱エネルギーの比であるクーロン相関パラ
%
"
)'
&#"
*
"
%
メータ，##%，で記述される．'
('
!は真空
!&
'$&

４．光周波数波数標準への応用( は最も近くの粒子との距離である．#が１以の誘電率，*

４．
１ 単一イオンを用いた光周波数標準の特徴上の場合には強結合プラズマと言われるが，冷却されたイ

冷却イオンの応用の一つは周波数標準である．１秒はセオンでは #を大きくでき百以上にすることも可 能であシウム原子の超微細構造準位間のマイクロ波遷移を用いてる．このような強結合状態ではイオンは結晶構造を取るこ

定義されている．セシウム周波数標準器はここ数十年の間とが知られている．複数個のイオンのレーザー冷却プロセに改良が行われ，レーザー冷却された原子を用いる原子泉

スは非線形なクーロン相互作用があるため非常に複雑であ型では確度は１０−１５にまで達している．一方，光領域におけ
７５８

Commentary

Laser-Cooled Ions and Their Applications

S. Urabe

る周波数標準も長さの標準の関係から活発に研究が進めらグ）による量子増幅れている．１９８０年代初めに１個の冷却イオンを用いた光領出効率はほぼ１００％である．

とも名づけられ，イオンの状態の検域の周波数標準が提案されて研究が始められたが［１３］，こシェルビング法を用いると１個のイオンの準安定状態とこ数年の間に大きく進展している．周波数標準は原子の吸基底状態間の電気四重極遷移の光吸収スペクトルを測定す

収線に発振器の周波数を安定化することによって実現されることができる．測定では量子力学における測定の原理を&#忠実に実行する．最初に冷却されたイオンを基底状態 $に準備する．次にイオンに &% %#遷移を観測するレーザー

る．周波数標準に用いられる原子の吸収線には，吸収線の周波数シフトが小さくシフト量の評価が容易なこと，吸収"#，#!：共鳴周波数，"#：共スペクトルの " 値（""#!!

光をパルス的に照射する．キャリア遷移の場合にはイオン!$#$&#%##へ移る．この状態のイは重ね合わせの状態 $"$&%%オンに強い遷移" に一致する冷却用のレーザー光を鳴の半値全幅）が大きく信号検出の S/N 比が良いことが要求される．１個の冷却イオンを用いた光周波数標準の特徴
は各種の周波数シフトが小さいことおよび " 値の大きな照射する．イオンからの蛍光が観測された場合にはイオン#$"$は測定により基底状態に移り，この確率は $である．蛍共鳴を利用することである．吸収線にはイオンの基底状態と準安定状態間の光領域の電気四重極遷移（クロック遷移

光が観測されない場合には準安定状態に移り，確率は#$$#$である．観測を行ったあとイオンを再び基底状態に準備してこの測定を ! 回繰り返す．! 回の測定において蛍光と呼ばれる）が用いられる．準安定状態の自然放出による寿命は数十 m 秒から数秒であるため，究極的なスペクトル１０ という非常に大きな値となる．

が観測されなかった回数を !#とすると準安定状態への遷! となる．観測用レーザーの周波数を共鳴周移確率は !#!

４．
２ 単一イオンによる光周波数標準の原理

波数付近で少しずつ掃引して，遷移確率を測定していくと

幅は数 Hz から 0.1 Hz 程度，スペクトルの Q 値は１０１４から
１５

冷却イオンの電気四重極遷移の光吸収スペクトルは強い

光吸収スペクトルが得られる．Fig. 6 はすべての光源を半束縛条件が満たされるのでサイドバンドから構成される．
#!" 0.5 mm 程度の小型トラップ中の１個のイオンはドッ導体レーザーで構成した小型の装置を用いて小型の rf ト

プラー冷却によって Lamb-Dicke の基準が満たされる微小ペクトルを測定した例である［１４］．イオンの温度は 5 mK領域まで閉じ込めることができる．このときキャリアが支程度と推定される．

ラップ中に冷却された Ca＋イオンの電気四重極遷移の光ス配的となり，このスペクトルが光周波数標準に用いられキャリアスペクトルの周波数の中心にレーザー周波数をる．光の吸収による１個のイオンの基底状態から準安定状

ロックすることで周波数標準が実現される．現在までにス

態への遷移はシェルビング法を用いた量子跳躍の観測にペクトル観測用のレーザーとして数 Hz 程度の超狭スペク

よって測定される．周波数標準には Fig. 5 に示すように基底状態 g と２つの励起状態 %"，%#からなる V 型の３準位系

トルレーザーが開発され［１５］，周波数の確度として１０−１４
から１０−１５レベルの結果が得られている［１６，１７］．各種の周のイオンが用いられる．励起状態 %"は基底状態への強い電波数シフト要因を見積もることにより究極的には１０−１８の気双極子遷移を持ち，寿命は約１０−８秒程度である．もう一つの励起状態 %#は準安定状態で数十 m 秒から数秒の寿命

周波数確度が期待されている．１個の冷却イオンを用いたを持つ．まず，１個のイオンを強い遷移 &% %" を用いて準技術研究所（NIST），In＋イオンを用いてドイツのマック

光周波数標準の研究は Hg＋イオンを用いてアメリカの標

4

スプランク研究所，Sr＋イオンを用いてイギリスの国立物

レーザー冷却を行う．このとき光子数 10 /s 程度の蛍光信号が観測される．更にイオンの &% %#遷移（クロック遷移理学研究所（NPL）およびカナダの国立研究会議（NRC），といわれる）の周波数に一致するレーザー光を照射する．
イオンが光を吸収して準安定状態 %#へ遷移した場合にはイオンの蛍光は完全に消失する．イオンが &% %"の冷却サ
イクルに戻ると再び強い蛍光が観測される．このため弱い遷移による量子跳躍を強い遷移の蛍光の変化で観測することができる．この測定方法は電子の棚上げ（シェルビン

Fig. 6
Fig. 5The V-type energy level diagram for observation ofquantum jumps. The g !
" e1 transition is assumed to bestrong while the g !
" e2 transition is weak.

７５９

The absorption spectrum of the 42S1/2 - 32D5/2 elrctric
quadrupole transition in a single Ca+ ion trapped in asmall Paul trap. The spectrum was obtained with a laser
system that uses only fundamental waves of diode lasers
as light sources.

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.81, No.10 October 2005%!
$!はエルミート共役を表す．$ は周波数離調で電気四重極遷移の場合は -&!-"である．ラマン遷移の場合には $Yb＋イオンを用いてドイツの物理工学研究所（PTB）など＋で研究が進められている．わが国でも Ca イオンを用いた*の中の -&は２台のレーザーの周波数差，また *#'"の'は波数ベクトルの差の振動方向成分となる．レーザー周%","$&
波数を -&#-"とした場 合 に は 共 鳴 項，!%#%!#

研究が情報通信研究機構において最近開始された．

５．量子計算への応用"%!
$!が支配的となり振動状態が変化しないキャ
&
)&
(1.%
リア遷移が励起される．-&#-"!-0とした場合には共鳴

５．
１ 量子計算における冷却イオンの特徴
量子計算は，現在の計算機が０か１の２つの状態をとる+"*と+#*の重ねあわせの状態を取り得るようにビットを拡，となりレッドサ
項は，!%#&
"%!
%
$!
&
)&
*
%","#(1.%$&!#
イドバンド遷移，-&#-""-0とした場合には共鳴項は，張したキュービットを計算要素として用いるものである．

†(
"%!
%
$!
!%#&
&
)&
*
%","#
1.%
$&
，となりブルーサイドバ!#

量子計算では量子力学の基本原理である状態の重ねあわせ

ンド遷移が励起される．この３つの共鳴条件においてレーの原理を利用する．これによって並列計算が可能となるたザーパルスを t 秒間加えた場合のイオンの状態ベクトル
+
&
*は
)
&%

ビットを基本の計算要素として構成されているのに対し，

め，現在の計算機では膨大な時間のかかる問題，例えば因数分解などを高速に処理できることが期待されている．こ

$

+
&
*
#! $
&
+
"$
&
+
)
.%
)
)
(!
,*
)!
,*
(!
,%
)!
,%

のため，NMR における核スピン，光子，レーザー冷却され

（１０）

(#"

たイオンや原子などを用いた実験研究が活発に進められて

&
#'
$
)
#
$
%,"+!,)
-/%
"&
$&
(!
,"+%
(!
,"+%

いる．リニアトラップ中に一列に並んだイオンをキュー+!&(1.%
'+
&
)"&
+#
#
$
%,"+!,)
$&
/
*
,%
"&
$&
)!
,%

ビットとして用いる量子計算は Cirac と Zoller により提案+&#!&(1.%
!&
'+
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)
)!&
+#
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)!
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された［１８］．それ以来，NIST，インスブルック大学などに"'$$%,"+!,)##%,"+!,)
/
*
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-/%
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)!
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(!
,"+%

おいて実験的な研究が精力的に行われている．冷却イオンを用いる方式は，イオンの内部状態をキュービットとして使えること，振動基底状態までの冷却と光ポンピングに"&"&は初期条件である．'#"はキャ
)!
,%
となる．$
，$
(!
,"+%

よって状態の初期化が可能なこと，デコヒーレンスが小さ

リア遷移の場合で，%,!,#%"，'##はブルーサイドバン
ド遷移の場合で，%("#"( #%"*,("#，'#!#はレッドサ

いこと，レーザーパルスにより個々のキュービットのゲー

イドバンド遷移の場合で，%(!#"( #%"*,(，である．最初)""*にあり，キャリア遷移のパルスを )秒間加にイオンが +

ト操作が可能なこと，演算結果のための状態検出がシェル
ビング法を用いて１００％に近い効率で可能であることなど

#'
+
#
.*
%")
-/%
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)*
え た 場 合 に は，イ オ ン の 状 態 は，+!&(1.%
+
&
)&
%")
#
/
*
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$&
(*
，へと変化する（振動状態は省略の量子計算を実験的に実現する基本的要請を満たすことか
ら有力な候補となっている［１９］．
５．
２ 冷却イオンを用いた量子計算の原理

してある）．これは状態ベクトルの回転を表しており，回転角 %")および位相 )を用いて任意の回転を作ることができキュービットにはイオンの基底状態の２つの超微細構造$の と き，)*に 対 し て )#+#
る．例 え ば 初 期 状 態 が +%")#+#$と す る と２つ の 状 態 の 等 し い 重 ね 合 わ せ)*と準安定状態+(*などが用いら
準位，あるいは基底状態+
れる．イオン間の相互作用や情報伝達には一列に並んだイ"*と第一励起状態
オンの１つの振動モードの基底状態 ++#*がバスビットとして用いられる．このため振動基底状$パルス，%")#+とすると状態が
"+
&
#$
)*
(*
（+
, を作る +#+とすると ++)*)*から +(*へ反転する +パルス，%")#$

重心運動，あるいは伸縮運動モードが用いられる．Fig. 4+パルスが生成さ)*へ変化する $から符号の反対の状態 !+$パルス*の状態にレッドサイドバンド遷移の +#
)!
#
れる．+

のように並んだ個々のイオンにレーザー光を順次照射して#+#$）を作用させると，%
+
"+
&
"
#$
)"
#*
(
"*
（)#"，%"", ，と#)内部状態のユニタリ変換，内部状態と振動状態あるいはイなり，振動状態と内部状態の直積で表すことのできないもオン間の内部状態の量子もつれの生成により演算を行う．
超微細構造準位を用いる場合には２本のレーザー光を用いつれた状態を発生することができる．また，レッドサイド#+）は +"("*をバ ン ド 遷 移 の +パ ル ス（)#+，%""#)

るラマン遷移，基底状態と準安定状態間を用いる場合には

+
"(+
)"
#*に変えるため，（'+)*(*"* に作用させた場合）+態までの冷却が必要である．振動モードとしては軸方向の%"(+&に変化する．この操作は内部の量子状
'+
)*
"*
#*
には+

電気四重極遷移がこの操作に用いられる．
は，一 次 元 の 運 動 のみ を 考 え，イ オ ン が十 分 冷 却 さ れ態を振動状態に移すためスワップゲートと呼ばれる．
" 個のキュービットを用いた量子計算は $" 次元ヒルベ

Lamb-Dicke 領域にある場合には以下のように示されるルト空間のユニタリ変換で表されるが，すべて１キュー［４］．

ビットの回転と２キュービットの制御ノットゲートの組み

イオンとレーザー光の相互作用表示のハミルトニアン

合わせで構成することができる．したがって，冷却イオン
!&
&
!%#%
*
#(1.%
-0)
%","'
#"&
$&
!#

を使ってこの２つのゲート操作を実現できれば原理的には

†(
"&
*
#
&
"%!
&
(
$)
$!
&
)!&
&
-0)
(1.%
1.%
（９）

量子計算が行えることになる．１キュービットの回転は上に述べたように１個のイオンにキャリア遷移のパルスを照%"はラビ周波数，," は原子の昇演算子 +)(*)+，#， は用†#射することで実現できる．

いる振動モードの消滅，生成演算子，)はレーザーの位相，

２キュービットを用いた制御ノットは以下のような状態
７６０

Commentary

Laser-Cooled Ions and Their Applicationsの変換を行う論理ゲートである．
%
&%
%
%
"
"
"
"
"$
#$
"$
"#"
#$

S. Urabe

計算の基本的なアルゴリズムの実験的なデモンストレー
ションが行われている［２７，
２８］．

（１２）

５．
３ 課題と研究方向

ここに "
"，"
#は０または１の値である．内部状態の場合には %を０，$を１に対応させる．右辺の # は２進法での加量子計算の実現に大きな障害になるのがデコヒーレンス
である．デコヒーレンスとは量子力学的な重ね合わせの状""
算を表す．%"$を制御ビット，%#$を標的ビットと呼ぶ．
"!
"
"
ならば，
標的ビットは変化しないが，
ならば標
"
"""

態が周囲の環境と結合することにより統計的な混合状態に的ビットは反転する．空間に一列に並んだ ! 個のイオンの中の # 番目のイオンを制御ビット，"番目のイオンを標的のコヒーレンス時間は数秒から数分あるいはそれ以上であビットとして制御ノットゲートを構成する場合は以下の操態は統計的な混合状態へ移っていくため，振動状態のデコ作で実現できる．用いるイオン列の振動モードは最初に基ヒーレンスが大きな問題となる．当初はトラップに結合し底状態まで冷却されているものとする．
#のキャリア遷移! "番目の標的イオンに位相 #"!$!

ている回路で発生する熱雑音が主な要因になると予想され#パルスを加える．
の $!
#のレッドサイド" # 番目の制御イオンに位相 #"!$!

れた［２９］．この原因はトラップに付着した金属などによるバンド遷移の $パルスを加える．
$を選び，そ&# "番目の標的イオンにおいて補助準位 %影響は重心運動モードに比べ伸縮モードの方が少ないた#のレッドサイドバ%$準位の間に位相 #"!$!
れと %
$
#
ンド遷移の
パルスを加える．

励起によるデコヒーレンスの最も小さい実験結果は現在の#のレッドサイド$ # 番目の制御イオンに位相 #"!$!
$
バンド遷移の パルスを加える．

の数は計算速度によって決められる．計算速度を上げるた#のキャリア遷移の% "番目の標的イオンに位相 #"$!
$!
#パルスを加える．

する確率が増加し，計算速度を制限する．現在のところ２上の操作のうち"は制御イオンの内部状態をイオン列の振り，上記の時間内に十分な回数のゲート操作が可能となっ動状態に移すスワップゲートと等価な操作であり，$はも"$のとき標的イオとに戻す操作である．#は振動状態が %ている．

%$の符号を−に変化させる操作である．"から$のンの %$$のときのみ標的イオンの%$$の符号
操作は制御イオンが%といったキュービットを用いることが必要となる．最初のを反転させる操作で制御位相フリップゲートといわれる．
%$のときは"から$の操作で標的イ
制御イオンの状態が %たものであった．しかしながら，イオン数が増加するにつ#だけ回転した状態
オンの状態は変化せず，!の操作で $!
#パルスにより最初
ベクトルは位相が $だけ異なる%の $!

響が大きくなることなどの理由により，この方式では不可$$のときは"から$の状態に戻る．制御イオンの状態が %$$の係数の符号が逆になり，$のの操作で標的イオンの %操作で加えるパルスの位相 $を打ち消すので!と%の回転に微小なイオントラップを数多く並べ，演算部やメモリー

方向は加えあわされて標的イオンの状態ベクトルは π だけ

イオンを移動させて演算や記憶を行う．この場合，イオン

回転して状態は反転する．これらの操作の結果は制御ノッの輸送や並び替えが可能なトラップの開発，移動による加トゲートを表している．

熱 の 問 題 の 解 決 な ど が 必 要 に な る．NIST が 行 っ た３

移行することである．イオンの内部状態のみを考えた場合
るが，振動が熱的に励起されることによりイオンの量子状

たが，実験では予想以上に大きなデコヒーレンスが観測さポテンシャルの変動が原因であると考えられている．このめ，最近の実験ではこのモードが用いられている．振動のところ 50 ms 程度である．この時間内にできるゲート操作
めにラビ周波数を高くすると隣の振動準位への遷移を励起個のイオンを用いた制御ノットの場合で数百 μs 程度であ意味のある計算を実際に行うためには数十個から数百個
提案はリニアトラップに一列に並んだイオンを念頭においれて振動モードの数が増加することやデコヒーレンスの影能であることが予想されている．現在は，Fig. 7に示すよう部などに分けた方式の研究が進められている［３０］．それぞれのトラップには数個のイオンのみを捕獲し，各領域間で制御ノットゲートの実証実験は最初，１個の冷却された

キュービットの量子テレポーテーション実験はリソグラ＋

Be イオンの超微細構造準位間のキュービットと２つの振動状態 $"!，$""で構成されるキュービットを用いて行フィ技術で作った直線状に並んだ微小な分割トラップ中でわれた［２０］．その後２個のイオンの振動基底状態までの冷研究が進むと予想される．また，輸送中の加熱を抑えるた

イオンを移動させて行われている［２５］．今後はこの方向に却が可能になったことにより，２個の Be＋イオンや２個のCa＋イオンを用いて実証実験が行われている
［２１，
２２］．実
験では上の操作のうち"から$の制御位相フリップゲートの部分は別の方法が用いられている．例えば Be＋の実験では周波数のわずかに異なる２台のレーザーで作られる動的な定在波による双極子力でイオンを制御する幾何学的位相ゲートが用いられている［２２］．これらの基本的なゲート操作が可能になったことにより，少数個のイオンを用いてであるが，ドイチュ・ジョサのアルゴリズム［２３］，超高密度Fig. 7

符号化［２４］，量子テレポーテーション［２５，２６］などの量子
７６１

Multiplexed trap architecture for a scalable quantum
computer.

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.81, No.10 October 2005

Optics, J. Dalibard, J.-M. Raimond and J. Zinn-Justin (eds.),(North-Holland, 1992).
［８］J.P. Schiffer, Phys. Rev. Lett. 70, 818 (1993).
［９］D.H.E. Dubin, Phys. Rev. Lett. 71, 2753 (1993).
［１０］D.G. Enzer et al., Phys. Rev. Lett. 85, 2466 (2000).
［１１］M. Drewsen, C. Brodersen, L. Hornekar, J.S. Hangst and
J.P. Schiffer, Phys. Rev. Lett. 81, 2878 (1998).
［１２］L. Hornekar, N. Kjargaard, A.M. Thommesen and M.
Drewsen, Phys.Rev. Lett. 86, 1994 (2001).
［１３］H. Dehmelt, IEEE Trans. Instrum. Meas. IM-31, 83 (1982).
［１４］K. Toyoda, K. Naka, H. Kitamura, H. Sawamura and S.
Urabe, Opt. Lett. 29, 1270 (2004).
５］B.C. Young, F.C. Cruz, W.M. Itano and J.C. Bergquist,［１Phys. Rev. Lett. 82, 3799 (1999).
［１６］Th. Udem et al., Phys. Rev. Lett. 86, 4996 (2001).
［１７］H.S. Margolis et al, Science 306, 1355 (2004).
［１８］J.I. Cirac and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).
［１９］A. Steane, Appl. Phys. B 64, 623 (1997).
［２０］C. Monroe, D.M. Meekhof, B.E. King, W.M. Itano and D.
J. Wineland, Phys. Rev. Lett. 75, 4714 (1995).
［２１］F. Schumidt-Kaler et al., Nature 422, 408 (2003).
［２２］D. Leibfried et al., Nature 422, 412 (2003).
［２３］S. Gulde et al., Nature 421, 48 (2003).
［２４］T. Schaetz et al., Phys. Rev. Lett. 93, 040405 (2004).
［２５］M. Riebe et al., Nature 429, 734 (2004).
［２６］M.D. Barrett et al., Nature 429, 737 (2004).
［２７］F. Schmidt-Kaler et al., Appl. Phys. B 77, 789 (2003).
［２８］T. Schaetz et al, Appl. Phys. B 79, 979 (2004).
［２９］Q.A. Turchette et al., Phys. Rev. A 61, 063418 (2000).
［３０］D. Kielpinski, C. Monroe, D.J. Wineland, Nature 417, 709(2002).
［３
１］M.D. Barret et al, Phys. Rev. A 68, 042302 (2003).

めに他のイオンを混ぜた協同冷却を用いることも研究されている［３１］．

６．おわりに冷却イオンの周波数標準，量子計算への応用の最近の動向について述べた．１個のイオンを用いた光周波数標準は今後の周波数標準の一つとしての地位を固めつつありこれからも着実に研究が進むと予想される．量子計算への応用については，最近の実験により冷却イオンを用いて原理的に量子計算を行うことが可能なことが示された．今後，より進んだ計算を可能にするために技術的な問題を含め多くの研究がなされていくことが必要である．

参考文献［１］イオントラップ及びその応用の解説として以下の本がある．P.K. Ghosh, Ion Traps (Clarendon Press, Oxford,
1995), F.G. Major, V.N. Gheorghe, G. Werth, Charged Particle Traps (Springers, 2005).
［２］C.A. Schrama, E. Peik, W.W. Smith and H. Walther, Opt.
Commun. 101, 32 (1993).
［３］M.A. Rowe et al., Quant. Inf. Comp. 2, 257 (2002).
［４］ D. Leibfried, R. Blatt, C. Monroe and D. Wineland, Rev.
Mod. Phys. 75, 281 (2003).
レーザー冷却に関する文献はこれと［１］を参照．本文献は量子状態制御のレビューである．
［５］F. Schmidt-Karler et al., Appl. Phys. B 73, 807 (2001).
［６］D.J. Berkland, J.D. Miller, J.C. Bergquist, W.M. Itano and
D.J. Wineland, J. Appl. Phys. 83, 5025 (1998).
［７］複数個のイオンのダイナミクスのレビューとして［１］
および以下を参照．H. Walther, Phase Transitions of Stored
Laser-cooled Ions, p.211 in Fundamental Systems in Quantum!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

用語解説
サイドバンド冷却
捕獲されて振動しているイオンあるいは原子のレーザー冷却法の一つ．イオンの振動角周波数が冷却に用いる光吸収ス
ペクトルの自然幅より大きい場合には光吸収スペクトルには分離した振動サイドバンドが観測される．低周波側のサイド
バンドにレーザー周波数を同調することによりイオンを冷却する．レーザー冷却に用いる遷移には電気四重極遷移などの弱い遷移が用いられる．振動基底状態近くまで冷却することができる．

Penning trap
静電場と静磁場を用いてイオンを空間的に捕獲するトラップ．静電場は三次元の回転対称な四重極ポテンシャルにより発生する．また静磁場は回転対称軸に平行に加える．イオンは回転対称軸方向に調和振動，回転対称軸と垂直な平面ではサイクロトロン運動およびマグネトロン運動を行う．
rf trap
静電場と高周波電場用いてイオンを空間的に捕獲するトラップ．高周波電場は主に三次元の回転対称な四重極ポテン
シャルにより発生する．断熱近似が成立する条件ではイオンは三次元の調和振動を行う永年運動と駆動する高周波で振動する微小なマイクロ運動を重ねあわせた運動を行う．

Lamb-Dicke の基準
気体状の原子あるいはイオンと電磁波との相互作用において原子が電磁波の波長以下に局在していることを Lamb−
Dicke の基準を満足するという．この条件が成り立つときは１
次 Doppler 効果をほとんど無視して扱うことができる．

ドップラー冷却
ドップラー効果を利用して気体状の原子あるいはイオンをレーザー光の散乱力により冷却するレーザー冷却法の一つ．
レーザー冷却に用いる遷移には通常電気双極子遷移が用いられる．冷却限界は数 mK 程度である．

シェルビング法
光と光の二重共鳴法の一種．基底状態と二つの励起状態（一つは基底状態と強い電気双極子遷移を持ち，他は電気四重極遷移などの弱い遷移を持つ準安定状態）からなる V 型のエネル
ギー準位を持つ原子あるいはイオンにおいて，光の吸収に

７６２

Laser-Cooled Ions and Their Applications

制御ノットゲート
量子計算における２キュービットからなるゲートで，制御ビットと標的ビットから構成される．制御ビットが１のときのみ標的ビットが反転する．古典的なゲートでは XOR に対応
する．２キュービット間の量子もつれ状態を生成することができる．

!!!!!!!!!!!!!!!!

キュービット
現在の計算機が０か１の２つの状態をとるビットを基本の計算要素として構成されているのに対し，量子計算において!!と ""!の重ねあわせの状態を取り得るよは計算要素として "うにビットを拡張したキュービットを用いる．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
うら

べ

しん

じ

占 部 伸 二１
９
７
５年東京大学大学院修士課程修了．同年
郵政省電波研究所入所．１
９９４年郵政省通信
総合研究所関西支所長．１
９９８年７月より大
阪大学大学院基礎工学研究科教授．工学博士．原子周波数標準の研究開発を経て，現在レーザー冷却イオンを用いた高分解能分光・量子情報処理およびこれに関連するレーザー技術の研究に従事．応用物理学会，日本物理学
界，レーザー学会，米国光学会各会員．

!!!!!!!!!!!!!!!!

よって起こる基底状態から準安定状態への弱い遷移を基底状
態と寿命の短い準位間の強い遷移による蛍光変化によって検出する方法．電子を準安定状態へ 棚上げ することからこのように名づけられている．

S. Urabe!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Commentary

７６３