大分工業高等専門学校紀要

第 44 号(平成 19 年 11 月)

カオスニューラルネットワークの記憶特性に関する研究松本

慎平1・田中1制御情報工学科，2県立広島大学

稔次朗2
経営情報学部脳の構成的研究のためのひとつのアプローチとして，ニューラルネットワークの利用が考えられている．本研究は，カオス性を有するニューロンによって構成されたカオスニューラルネットワークを脳の簡単な数理モデルとして定義することによって，記憶に関するカオスニューラルネットワークの特性と振る舞いを明らかにする．本研究は，井上らによって提案されたカオスニューロンモデルを用いて回路網を構築する．この理論は，ニューロン内部にカオス振動子を導入したものであり，実際の脳で確認されるカオス性を持つことが明らかにされている．数値実験では，相互結合型ネットワークによる記憶シ
ステムに対する検証手法を用いることで，従来の理論との比較及び考察を示す．

キーワード : カオスニューラルネットワーク，記憶特性，カオス振動子

１．緒言的研究と定義されるのに対し，この種の研究は構成的研究と定義されている．近年，脳のメカニズムの解明のため

脳の神経回路網を模倣した理論として，ニューラルネッ

様々な構成的手法が適用されている．この分野では，ニュトワークがある．これは従来の逐次処理型計算機の限界をーラルネットワークは脳の構成的研究のための有効なモ打破するひとつのツールであり，学習・パターン認識といデルとして考えられており，多くの興味深い成果が得られった柔軟な処理を提供するものである．最近では，経済・ている4)-7)．例えば，脳のモデルをニューラルネットワー

経営の分野において，データマイニングによるルール抽出

クによって構築し，その動作が実際の脳の振る舞いに似てや不規則時系列の解析による販売予測など広く応用されいれば，モデルを通じて脳の仕組みを推測できる．あるいている．ニューラルネットワークの研究範囲は，生理学的は，回路網に対し様々な操作を加える実験によって，脳機なものから工学的なものまで非常に広範な領域にまたが能の検証を行い，その症状についての真の理解，病状予測，っている．合原は，研究範囲を以下の3つのレベルに大別

治療計画の立案，予後の予測などに利用可能な情報を引き1)

している ．第一のレベルは，脳・神経系の情報処理を調出すことができる．さらには，実験によって明らかになっべる実験的研究である．これは生理学・医学的でかつ基礎た新しい知見をニューラルネットワークへ取り入れるこ的なものである．第二のレベルは，情報処理の基本原理をとにより，従来よりも優れたシステムを構築できる可能性

抽出する理論的研究である．ここでは理論的研究が主であがある．以上の手法では，情報処理の担い手である神経細り，数学や物理学，情報工学など多くの分野からのアプロ胞のことは考えずに，脳を一つの情報処理システムとしてーチが行われている．第三のレベルは，その基本原理を工捉えてモデル化を行い，脳内で行なわれていることを情報学的に実現する応用研究である．

処理のレベルで明らかにしようとしている．実験的脳科学

人は，ニューラルネットワークや現在の計算機では実現からの知見を取り込み，脳の情報処理に対する仮説を立て，されていないような数多くの優れた情報処理能力を有し

さらにシミュレーションモデルと実際の生体ニューロンている．ニューラルネットワークを基礎にし，人の情報処活動を比較することによって仮説を検証していく．生理学

理をより一層模倣したシステムを開発するためには，脳の的に解明されている事実を取り入れるだけではなく，まだ構造解明が必要である．脳の機能面に関する研究では多く不明な点についても大胆に仮定してモデル化される点はの成果が得られている．しかし，倫理上の観点から，実際

構成的手法の大きな特徴である．

の人の脳を実験的に調査することは事実上不可能である．

ニューラルネットワークの研究分野と同様に，複雑系科

そのため，分析的なアプローチによる脳の解明は困難であ学の研究分野においても脳の解明は最大のターゲットとり，いまだ十分な成果は得られていないままである2),3)．

されている8)．測定技術の進歩によって，脳波や心拍変動

脳を解剖や生態計測で調査するのを分析的または解析などの生態系から低次元のカオス性の発見が相次いで報－43－

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告されている9)．とりわけ，松本，合原らは，単一のニューロンがカオスを発生させることを実験的に明らかにしている10)．脳の構成要素であるニューロンの活動がカオス

u 1 (t )を生じるのであれば，これらが回路網で繋がっている脳のu 2 (t )マクロな活動にもカオス的振舞いが現れると考えられて

xi (t')D i (t')u j (t ) w

いる．

ij

u i (t + 1)

こうした脳活動におけるカオスの存在を踏まえた神経細胞モデルを構築するため,理論的な基礎研究，すなわちyi (t')

カオスニューロンの研究が進められている．カオスニューロンを用いて構成された回路網は，カオスニューラルネッ
トワークと定義される11)．従来のニューラルネットワークの研究で用いられている神経細胞のモデルは，そのほとん
どが単純で静的な多数決ニューロンであり，カオス性は取D i (t )り入られていなかった．しかし，実際の神経細胞は先に述

u i (t )べたとおりカオス的な振る舞いを示す動的なニューロンである．したがって，カオスニューロンは従来のモデルよu j (t )りもより厳密に脳を模倣したモデルであると仮定できる
ため，今日多くの注目を集めており，様々な形式のカオス

D j (t ) D k (t )ニューロンが提案されている12),13)．その中のひとつに，井u k (t )上らによって提案された振動子結合系をニューロン内部に導入したカオスニューロンがある．この理論は，従来の
図１

カオスニューロンモデルよりも簡単な構造のため，取り扱

カオスニューラルネットワーク

いが容易である．また，このカオスニューロンで構成された回路網のエネルギー関数からは，最適解の探索が効率的にできるパラメータの近傍において，人の脳で観測されるで，カオスニューラルネットワークの特徴を考察する．まエピレプシの脳波と極めて類似した時系列が得られていた，カオスニューロンで構成された記憶システムにおいて，

る14)．このことからも，カオスニューラルネットワークは，回路網の損傷が記憶性能に与える影響と再学習の効果を

脳の構造をより厳密に模倣したモデルとして仮定できる．

確認するための基礎となることを目的とする．

本論文は，井上らによるカオスニューロンを用いて相互結合型ネットワークで構成される記憶システムを構築する．また，回路網の記憶に関する特性を数値実験により明２．カオスニューラルネットワーク

らかにする．具体的には，記憶量が回路網に与える影響及び想起に対する動的振る舞いの過程を示す．従来の相互結(1) 数理モデル

合型ニューラルネットワークにおける記憶に関する研究

井上らは，ニューロンにカオス結合振動子を用いたカオ

では，現在まで様々な検証が行われ，様々な興味深い結果

スニューロンを提唱した12)．このニューロンの特徴は，決15)-18)が得られている．特に，宮島らはリハビリテーション

定論的でありながら確率的な振る舞いをすることである．

に対応する再学習の効果を示し，非常に興味のある結果をニューロンは内部状態と外部状態の2つの状態を持ってお19)得ている ．これらの研究では，コンピュータ上に特定のり，内部状態によって実際の神経細胞の入力に対する反応機能を遂行するためのニューラルネットワークモデルをの時間遅れが表現できる．カオスニューロンのモデルと回実現し回路網の一部を操作(破壊)することによって，対応

路網の構成を図1に示す．

する部位が損傷を受けたときに生ずる症状をプログラムの出力として表現している．いずれも，コンピュータ上に(2) 内部状態実現された回路網の破壊実験結果と患者の課題成績とを

これより，カオスニューラルネットワークの動作につい比較することで脳内機構を解明しようとした試みである．

て示す．まず，写像間の結合定数である Di (t ) を決定する

本研究が対象とするカオスニューロンに対しては，同様のために，以下の式によって DDi (t ) を与える．これは，形検証実験は今日まで行われていないため，そのダイナミク

式ニューロンの決定式に基づいている．

スは明らかにされていない．そこで，これまでの研究において適用された同様の解析手法をカオスニューラルネッN

DDi (t ) = ∑ w ji (t )u j (t ) + si (t ) − θ C .
j =1

トワークに適用し従来モデルの振る舞いと比較すること

－44－

(1)

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ここで， t は離散時刻， u j (t ) は j 番目の素子の状態，(3) 外部状態

w ji (t ) は素子 j ，i 間の結合荷重である．このとき，素子 i

前節で得た内部状態を元に，素子 u j (t ) の次の時刻の状態，に働く外力を si (t ) とし，閾値は θ C とする．ただし，閾値

は θ C = − Dc となる． Dc は臨界値であり，次式によって与すなわち外部状態 u j (t ) を決定する．カオスニューラルネ
ットワークは同期的に動作するので，過程毎に全素子を一斉に更新させる．また，学習などの例外を除いて，ニュー

えられる．

Dc =

exp(λL ) − 1
.
2

(2)

ロンはディジタル形式でモデル化される．

ここで， λL は結合していないロジスティック写像のリヤ
プノフ指数である．本研究では，後述するパラメータ a を

a = 4.0 と設定しているため，リヤプノフ指数は λL = ln 2となり，臨界値は Dc = 0.5 と決定される．
式(1)を用いて，写像間の結合定数 Di (t ) は次式によって決定される．

⎧ DD (t ) if DDi (t ) > 0,
Di (t ) = ⎨ iotherwise.
⎩ 0′ ) ≤ ε,⎧+ 1 if Δ i (t max
ui (t + 1) = ⎨⎩− 1 otherwise.

(10)における極限をそれぞれ求めることによって分かり易く示す事ができる．例えば， D → ∞ の場合では，

⎛
1
1⎞
lim⎜⎜
+ ⎟⎟ f [o] +⎝ 2(1 + 2 D ) 2 ⎠⎛1⎞
1⎟⎟ g[o],lim⎜⎜ −
⎝ 2 2(1 + 2 D ) ⎠(3)振動子をもっている．これは，以下のように定式化される．
(4)
(5)

1
1
f [ x(t )] + g[ y (t )],2
2
1
1
y (t + 1) = f [ x(t )] + g[ y (t )],22x(t + 1) =る ． t′ は カ オ ス ニ ュ ー ロ ン の 内 部 時 刻 で ，x(t ′), 0 ≤ x(t ′) < 1 と y (t ′), 0 ≤ y (t ′) < 1 は，それぞれ第1と第2の写像の変数である．写像 f (x ) と g (x) は次式によって与えられる．

学習等の例外を除いて通常 a ≠ b が仮定され， a ≈ b が用いられる．通常，コントロールパラメータ a は，完全に発達したカオスとして典型的な値 a = 4 が設定され，2つのコントロールパラメータの差は， a − b = 0.00001 が選択される．
カオスニューラルネットワークの各素子は，決定された写像間の結合定数 Di (t ′) に従い，素子の内部状態 xi (t ′) ，yi (t ′) を時間発展させる．離散時刻 t + 1 の状態の変更則は(13)

同様に D → 0 の場合では，x(t + 1) = f [ x(t )],y (t + 1) = g[ y (t )],(7)のコントロールパラメータ a, 0 < a ≤ 4 と b, 0 < b ≤ 4 は，

(12)

より，二つのカオス振動子は同調に向かうことがわかる．

(6)

これらは，1次元写像のロジスティック写像である．写像(11)であるので，

ここで， D は2つの写像間の結合定数で， D = Di (t ) であf ( x) = ax(1 − x),g ( y ) = by (1 − y ),(9)

上述のカオスニューロンの振る舞いは，D → ∞ ，D → 0

一般的なカオスニューロンは，素子の内部に2つのカオス

x(t ′ + 1) = f [ x(t ′)] + D ⋅ [ y (t ′ + 1) − x(t ′ + 1)],y (t ′ + 1) = g[ y (t ′)] + D ⋅ [ x(t ′ + 1) − y (t ′ + 1)].

Δ i (t ′) = xi (t ′) − yi (t ′) ,

(14)
(15)

より，同調し難くなる．
(4) 動的振る舞い
井上らにより，カオスニューラルネットワークにおける3種類のエピレプシが観測された14)．エピレプシは，ニューロンの状態更新に伴うエネルギー関数の値の変動により示される．これら時系列は，人間の脳波に非常に類似していることが確認され，カオスニューラルネットワークは脳のダイナミクスを忠実に模倣した数理モデルとして注目されている．

次式によって与えられる．

⎛ xi (t ′ + 1) ⎞1 ⎛1 + D D ⎞⎛ f [ xi (t ′)] ⎞
⎜⎜
⎟⎟ =
⎟⎟.
⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎝ yi (t ′ + 1) ⎠ 1 + 2 D ⎝ D 1 + D ⎠⎝ g[ yi (t ′)] ⎠(8)

これは，式(4)，(5)をマトリクス形式に変換した結果である．以上の工程を繰り返すことを内部回数とする．カオス
ニューロンは，内部回数の最大繰り返し回数としてパラメータ t max′ を持つ．素子の外部状態は，t ′ = t max′ まで t ′ を発展されることによって決定される．

３．記憶モデルパターンとしての記憶の蓄積と再生を議論するシステ
ムは連想記憶と定義され，ニューラルネットワークを用いた脳の構成的研究で用いられる代表的なモデルである．これは中野によって提案されたアソシアトロンを原型にしたものであり，単に連想という動作を実現したのではなく，脳の記憶に近い性質を持つと考えられている．また，脳の－45－大分工業高等専門学校紀要

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神経回路をモデル化した特色を持つ事で知られている．バ

合，素子の振る舞いは確率的に変動するため，TM におけックプロパゲーションは，現在の主流であるものの脳の生る回路網の素子配列は得られた最適な解であるとは限ら

理学的根拠に基づいていないため，連想記憶は脳の記憶のない．従って，我々は時間発展の間，最も検索パターンにメカニズムを実験的に調べていく上でも参考になると考えられている15)―19)．

近い回路網の素子配列を得た時刻を TC とし， T = TC と設定した．なお，通常のニューラルネットワークの場合は連想記憶では,情報はパターンとして分散的に表現した

T = TM である．両モデルともに，このときの回路網の状上で貯蔵され，部分的な情報を手がかりとして必要な情報

態を想起パターンと設定した．なお，想起パターンと検索

は読み出される．このような記憶は，実際の脳でも用いらパターンが一致した状態が，検索パターンを想起できた状れていると考えられている．連想記憶は，その時点での外態である．

部からの入力に対応して単純に出力が決まるのではなく，

ここで，検索パターンと回路網を構成するニューロンの多数の構成要素，すなわちニューロン間の相互作用によっ

配置との一致性，すなわち回路網の性能を定量的に評価すて内部状態や出力が時間的に変化していくような系であるために，我々は時刻 t におけるニューロンの配列 {u (t )}るために，脳の高次中枢，特に記憶系は，力学系としてのと検索パターン {ξ ν } との類似性 qν (t ) を定義した．これは，性格を強く備え，その性質を知ることは記憶のメカニズム

次式によって与えられる．

の解明に不可欠である．

N 個のニューロンに p 個のパターン {ξ ν }の記憶を考える． ν 番目のパターンは次式で表される．

{ξ ν } = (ξ1ν , ξ 2ν , L, ξ Nν ), ν = 1,2, L p.

qν (t ) =1 N
∑ ui (t )ξ iν .
N i =1(18)

このとき，ネットワークの初期状態は次式で設定される．

qν (0) ≈ 1 − 2 Pn ,

(16)

(19)

類似性 qν (t ) は，入力誤差の確認，損傷に対する強さ，または記憶性能を評価するために用いられる．通常，検索パ

４．数値実験

ターンの想起に成功する過程，すなわち検索パターンに近似していく場合の qν (t ) の振る舞いは，初期配列 {u (t )} から時間発展と共に検索パターン {ξ ν } に近付くように系は(1) 手順とパラメータ
数値実験においては，回路網の各種パラメータは前節で変化する．回路網が検索パターンに収束したとき，述べた事実を十分に考慮することによって与えられる．本論分では， N = 400 のニューロンで構成される回路網をqν (t ) = +1.00 であれば想起パターンと検索パターンが完全に一致したことを意味する．逆に qν (t ) = −1.00 であれ用いた．カオスニューロンのパラメータは，a = 4.0000 ，ば，想起パターンは検索パターンを完全に反転させた状態′ = 5 を用いた．
b = 3.9999 ， ε = 0.0001 ， Dc = 0.5 ， t max

である事を意味する．この場合では次式に注意しなければこれらの値は，カオスニューロンの内部状態を決定するたならない．

めの最も適切な値としては井上によって示されている．

− u i (T ) = ξ ν , i = 1,2, L , N .

第一のステップは，システムのパラメータ p を設定し，(20)

それに従って任意の配列で構成された記憶パターン

式(20)は，ニューロンの状態を全て反転させた場合を示し{ξ ν }, ν = 1,2, L p を生成し，回路網に銘記させる．
第二のステップは，検索パターン {ξ ν } を決定する．そており，検索パターンと完全に一致している．この状態はのときの初期状態は，以下の式によって決定される．

よっては検索パターンの想起に成功したと定義する場合⎧− ξ with probability Pn ,ui (0) = ⎨ iν⎩+ ξ i with probability 1 − Pn ,もある．本論文では， qν (t ) をベクトルとして考えて取り

ν

(17)

i = 1,2, L , N .
第三のステップは，最大繰返し時間 TM まで時間発展さ

検索パターンの想起に失敗したとは言い難く，また論文に扱う手法が妥当と考えているため， qν (t ) ≠ 1.00 のとき検索パターンの早期に失敗したものとして評価している．
(2) 記憶特性

せ，検索パターンの想起を行う．通常のニューラルネット

これより，カオスニューラルネットワークにおいて検索

ワークでは，エネルギー関数の値は時間発展と共に必ず減パターンを想起する過程を示す．具体的な検証方法は次の少に向うように変化し，また，この変化に従いながら回路通りとする．まず，ノイズを加えられた初期状態を与え，網の状態更新が行われる．よって，回路網の状態変化が収

検索パターンの想起，すなわち qν (t ) ± 1.00 に至るまでの束した状態，すなわち最大時刻 TM における回路網の素子

ノイズパラメータ Pn の変動，及び検索パターンの想起まの状態は解であるといえる．この時の回路網の素子配列をでに要する時間 T との関係を示す．また，記憶量 α と検

想起パターンとする．一方，図2に示したようなエネルギ

索パターンの想起までに要する時間 T との関係を示し，そーの値の変動を示すカオスニューラルネットワークの場

れぞれのパラメータは回路網の振る舞いにどのような影－46－

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㪓T㪕
10
9
8
7
6
5
4
3
2

0.20
0.15
0.10
0

0.1

0.2

0.3

0.05
0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Pn

図２

0.9

1

ǩ

0.00

図３

実験結果その１

響を与えるのか明らかにする．ネットワークの各パラメー
タは次の通りとする．まず，Pn は0.01刻みで0.00から1.00まで変化させた． α も Pn と同様に0.01刻みで0.01から
0.20まで変化させた．それぞれのパラメータに対して，試行回数 R ずつ，最大繰り返し時間 T = 10 まで回路網を更新させた．ここで， qν (t ) ± 1.00 を得られた時間 T の平均
値 T を算出し，比較対象とした．ここで，繰り返し時間
内に qν (t ) ± 1.00 を得られなかった試行は，T = 10 とする．
すなわち，

T = 10 であればネットワークは検索パター

ンの想起に完全に失敗した事を表している．
図２に実験結果を示している．実験結果より，記憶数とノイズの大きさに応じて，検索パターンの想起までの時間

実験結果その２

カオスニューラルネットワークでは，たとえ記憶数が少ない場合であったとしても，実際の人が記憶を想起させる時に行っているように試行錯誤的に様々な記憶パターンを考慮しながらネットワークの状態を変化させながら検索パターンの想起に向かう．従って，検索パターンの想起までに若干の時間を要している．なお，記憶数が多くなると両ネットワークの違いが少なくなるのは，検索パターンの想起に失敗する回数が増えるため（ネットワークが検索パ
ターンの想起に失敗した場合は，T に繰り返し時間の最大値が与えられており， T は全試行の平均値であるため）であると考えられる．なお，この結果と同様の特徴は T とPn (0 < Pn ≤ 0.5, 0.5 < Pn ≤ 1.0) の関係にも当てはまる．

は大きくなることが理解できる．記憶数 α とノイズ Pn の
大きさは想起までに要する時間 T に対して相加的に影響を与えており， α と Pn の大きさはネットワークの性能に大きく関わっている事がわかる．
次に，ニューラルネットワークとカオスニューラルネッ
トワークの振る舞いに注目し，それぞれの違いとカオスニューラルネットワークが持つ特徴を明らかにする．差違の理解を容易にするため，ここでは T と α だけに注目する．
また，図２で示した先ほどの実験により得られた値の分布からそれぞれのネットワークごとに近似曲線を導き出し，その結果を図３に示している．
図３からは，カオスニューラルネットワークはニューラ
ルネットワークよりも T = 10 が大きくなる事を確認できる．その傾向は α が小ければ小さい程明らかで， α が増加するに従い両ネットワークの違いは小さくなる．そして，α ≥ 0.15 では，両ネットワークの T はほぼ同様になる．この結果から，次に示すような事が理解できる．まず，
ニューラルネットワークは一つの解に向かって直進的に進むように回路網が更新される，記憶数が少ない場合，検索パターンの想起までに要する時間は非常に短い．一方，

５．結言
本論文では，カオスニューラルネットワークが持つ情報処理の機能や記憶特性を数値実験によって明らかにした．本論文により，カオスニューラルネットワーク特有の振る舞いが示された．また，記憶と入力誤差がネットワークに与える影響を示した．今後の課題としては，検証結果をまとめる事，またカオスニューラルネットワークその振る舞いを定式化し，理論的な法則性を示す事である．同時に，実験を繰り返し行い，従来のニューラルネットワークの振る
舞いと異なった特徴を明確にし，その特徴を生かせるような新しい情報処理系の構築を目指す．次に，損傷の数理モ
デル化の提案を行い，その損傷に対するネットワークの特性を明らかにする．これは構成的研究としてのニューラル
ネットワークでは脳に対する損傷の影響を考察するためのものであり，また情報システムとしてのニューラルネッ
トワークの立場で考えると，損傷に対応する結合の情報を故意に削除して，情報を削減することによって計算機の負荷を減らす等のシステム構築などの応用が考えられる．

－47－

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