J. Plasma Fusion Res. Vol.99, No.7 (2023) 356-364

講座 今更聞けない !? 磁場閉じ込めプラズマの微視的不安定性

5 ．電磁的イオン温度勾配不安定性と運動論的バルーニング不安定性
5. Electromagnetic Ion-Temperature-Gradient Mode and Kinetic Ballooning Mode
石澤明宏

ISHIZAWA Akihiro
京都大学大学院エネルギー科学研究科（原稿受付：2023年 6 月 2 日）

プラズマは有限な圧力を持ち，規格化圧力（ベータ，β）という無次元パラメータで特徴づけられる．この有限ベータプラズマで発生する微視的不安定性は磁場揺動を伴い，電磁的微視的不安定性と呼ばれる．現実のプラズマにおいてベータ値は有限であるが，前章までは静電近似を仮定し，磁場揺動を無視して微視的不安定性が説明されてきた．これは，ドリフト波が不安定になる本質的な物理機構は静電近似で十分記述できることに起因す
る．核融合プラズマの研究では，プラズマ閉じ込めのベータ値依存性が重要な研究課題であるため，有限ベータ
プラズマにおける乱流およびそれを駆動する微視的不安定性の理解が重要となる．ベータ値が有限なプラズマにおける乱流は，磁場揺動を伴うため電磁的乱流と呼ばれ，静電的な乱流とは異なる振る舞いをする．今回は，この電磁的乱流を駆動する電磁的微視的不安定性（または電磁的ドリフト波不安定性）の典型例として，電磁的イ
オン温度勾配不安定性（Ion temperature gradient mode, ITG モード）と運動論的バルーニングモード（Kinetic
ballooning mode, KBM）の説明を，これらの不安定性の分散関係式を導きながら行う．そして，低ベータにおけるイオン温度勾配不安定性に対する磁場揺動による安定化効果および高ベータにおける運動論的バルーニング
モードの不安定化を説明する．最後に，磁場揺動が本質的な役割を担う電磁流体（MHD）不安定性と電磁的微視的不安定性の関係を説明する．
Keywords:
gyrokinetics, micro-instability, drift-wave, turbulence, electromagnetic, plasma, fusion

5．1

はじめに

性の β 値依存性に最も大事な磁場揺動の不安定性への影響

プラズマ圧力 p と閉じ込め磁場 B のエネルギーの比でを解説する．磁場揺動の影響を無視（β ＝ 0 の極限）する

あるプラズマベータ β ＝ 8πp/B2 は，核融合プラズマを特と，例えば電磁的イオン温度勾配不安定性（ITG モード）

徴づける最も大事なパラメータの一つである．なぜなら，は本講座 3 章で説明された静電的 ITG モードに帰着する．

核融合反応率は β 値が大きいほど大きく，また，トカマク

有限 β において，磁化プラズマで生じる微視的不安定の定常運転に欠かせない自発電流（ブートストラップ電性は磁場揺動を伴い，電磁的微視的不安定性と呼ばれ流）生成も β 値に比例するからである．したがって，核る．これは，ジャイロ運動論で用いられる無次元化を行

融合炉を実現するためには β 値を高くする必要がある．実うと，5．2 節で示されるように Ampère 則の電流項に係数

際，三つある JT-60SA プロジェクトの目的の一つは「高として β が現れることによる．また，β ＝ 0 の極限で磁場ベータプラズマの長時間保持」である［1］．実験で観測さ揺動を無視できることは，密度 n およびイオン温度 Ti でれるプラズマ閉じ込め性能の β 値依存性を理解するうえ定義されるイオンベータ βi＝8πnTi/B2＝2vti2 /vA2 を考えるこで，プラズマ閉じ込め悪化の主原因である乱流輸送の βとにより以下のように理解できる．微視的不安定性はド値依存性を理解することは重要な研究課題である．特に，リフト波不安定性とも呼ばれ，その典型的な時間スケー

高 β 閉じ込めをめざす JT-60SA 実験および ITER 実験におルはドリフトオーダリング L/（δvti）（δ≪1）に従う．ここけるプラズマ閉じ込めを予測するうえで，乱流輸送の β 値

で vti ＝ Ti/mi はイオン熱速度，L はプラズマの大半径な依存性を理解することは必須である．ここで乱流輸送とど系の典型的な長さを表す．一方，磁場揺動が本質的なは微視的不安定性によって駆動された乱流によって生じ

Alfvén 波の位相速度 vA＝B/ 4πmin で特徴づけられる時

る熱・粒子の輸送のことである．乱流輸送の β 値依存性を

間スケール L/vA は，βi ＝ 0 の極限においてドリフトオーダ

理解するためには，駆動源である微視的不安定性の β 値依

リング時間より十分短くなる．したがって βi ＝ 0 における存性を理解する必要がある．本章は，この微視的不安定

微視的不安定性は磁場揺動を無視した静電近似で記述でGraduate School of Energy Science, Kyoto University, KYOTO 611-0011, Japanauthor’s e-mail: ishizawa@energy.kyoto-u.ac.jp

356Ⓒ2023 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

5. Electromagnetic Ion-Temperature-Gradient Mode and Kinetic Ballooning Mode	きる．

A. Ishizawa

微視的不安定性への磁場揺動の影響は「誘導電場揺動

弱磁場領域と呼ばれ，5．3．4 節で説明するように圧力勾配
ˆ・∇bˆ または磁場強度の勾配∇p と磁場の曲率ベクトル bと磁力線方向勾配のずれ」である．これらを以下に説明∇B の方向が一致し，ωDiω＊pi ＞ 0 で特徴づけられる．こする．電子のジャイロ運動論方程式の 1 次モーメント式の悪い曲率領域で静電ポテンシャル揺動 ϕ の振幅が大き（［2］の式（3．3．1-2）または式（3．3．4-2）を参照）におい

いことがわかる．この構造はバルーニング構造と呼ばれ，て，電子の熱速度が十分大きいことを仮定すると以下のトーラスプラズマにおいて生じる微視的不安定性が持つ式（MHD の Ohm 則に対応）を得る（導出は 5．2．2 節）．

典型的な空間構造である．このようなバルーニング構造－

1 ∂A‖ ˆ1 ˆb・∇pe＝0．
－b・∇ϕ＋c ∂ten0の特徴を捉えるために，通常のトロイダル座標（r：小半径，（1）

θ：ポロイダル角，ζ：トロイダル角）を用いて乱れをポ

ここで，n0 は密度の平衡部分，A‖，ϕ，pe は，磁場揺動（ベとは有用ではない．なぜなら図 1 に示すようなポロイダ

クトルポテンシャル揺動の平衡磁場に平行な成分），静電

ル方向に強く局在した構造を表すためには，ポロイダル

ポテンシャル揺動，電子圧力，をそれぞれ表す．また，ˆˆ・∇ は磁力線方向勾配を表す．低 β 極限を考え
b＝B/B
でb

方向に非常に多くの Fourier モード数を必要とするからで

磁場揺動 A‖ を無視すると（静電近似），左辺第 2 項及び第磁場の Clebsch 表現

ロイダル方向とトロイダル方向に Fourier 級数展開するこある．したがって，バルーニング構造を表現するためには，

3 項がつり合い，断熱電子応答式が得られる．通常，このB＝∇χ（r）×∇（q（r）θ－ζ）

断熱電子応答式が静電的 ITG モードの分散関係式を解析（2）的に導出する場合に用いられる．一方，β が有限の場合，を用いて磁力線方向座標 z＝θ を導入することが有用であ

誘導電場揺動を表す左辺第 1 項が無視できず，電子の断る（図 2 ）．ここで，z＝θ を変化させるときには，磁力熱応答が成立しなくなる．したがって，誘導電場揺動は，

線ラベル α ＝ q（r）θ－ζ を固定して，磁力線に沿っての移電子の磁力線方向の応答に影響することにより，微視的動となることに注意する．この磁力線方向座標 z を用い

不安定性の成長に影響を与える．波に関して説明すると，て，図 1 に示された静電ポテンシャル揺動のバルーニン

左辺第 2 項及び第 3 項がつり合う場合が純粋なドリフト

グ構造をプロットすると，図 3 のようになる．この計算

波， 左 辺 第 1 項 と 第 2 項 が 釣 り 合 う 場 合（E‖ ＝ 0） が，は GKV コード［6］を用いて行った．図 3 においてトーラ

Alfvén 波の伝搬を表す（［2］の式（2．2．7）から式（2．2．10）

ス外側である z ＝ 0 においてモードの振幅が大きいことを参照）．β 値が大きくなり，後者の波が支配的になるよは，図 1 のトーラス外側で振幅が大きいことに対応する．

うな β 値の領域では運動論的バルーニングモードが不安定ˆ ˜ ・∇ のようになり得る．磁力線方向勾配のずれは，（b＋b）

そして，図 3 においてトーラス内側である z＝π において

˜ が加わることでに，磁力線方向の単位ベクトル b に揺動 b

幅が小さいことに対応する．図 4 はベクトルポテンシャ

モードの振幅が小さいことは，図 1 のトーラス内側で振ル揺動 A‖ の磁力線方向座標分布を示す．A‖ は磁力線方向ある．
次に，次節以降行う理論計算の理解を助けるために，の分布が奇関数になり，静電ポテンシャル ϕ と z 方向のパ有限 β における微視的不安定性の特徴を，Cyclone base

リティが逆である［7，8］．これは，図 1 において A‖ の振幅

case DIII-D パラメータ（詳細は［3］の 5．2 節を参照）に対がトーラス外側で小さいことに対応する．次節以降の理するジャイロ運動論方程式の数値シミュレーション結果

論計算では，モード構造がトーラス外側（z ＝ 0 近傍）にを用いて説明する．図 1 はトーラス断面における電磁的局在するという近似を用いる．図 3 はこの近似が良いこ

イオン温度勾配不安定性（ITG モード）のモード構造をとを示している．図 2 は，微視的不安定性の空間構造に示す．この計算は GKNET コードを用いて行った［4，5］．
断面右側がトーラス外側であり，悪い曲率領域あるいは

図1

トーラスプラズマにおける電磁的微視的不安定性のモード
構造．電磁的 ITG モードの静電ポテンシャル揺動とベクト
ルポテンシャル揺動の断面分布．揺動はポロイダル角方向に微視的な構造を持ち，トーラス外側に局在する．静電ポ
テンシャルは θ ＝ 0に局在するが，ベクトルポテンシャル
は θ ＝ 0で小さな値になる．

図2

357

ITG モードの静電ポテンシャル揺動と磁力線に沿った座標 z．

Journal of Plasma and Fusion Research

図3

Vol.99, No.7

図5

静電ポテンシャル揺動 ϕˆ k（z）の磁力線方向座標 z 分布．イ⊥
オン温度勾配（ITG）モード，捕捉電子モード（TEM），
運動論的バルーニングモード（KBM）が波数 k y ρti ＝ 0.2，
についてプロットされている．ITG モード，TEM，KBM の
静電ポテンシャル揺動は，図 1 に対応して，トーラス外側を表す z ＝ 0に局在する［3，7］．

July 2023

微視的不安定性の線形成長率 γ と実周波数 ω の β 値依存性（ポロイダル波数（正確には磁力線ラベル方向波数）k y ρti ＝ 0.2）
［3，8］．

（KBM）が不安定であることを示す．イオン温度勾配不安
定性の成長率は有限 β 効果である磁場揺動の影響により抑制され，β 値の増大とともに減少する．そして，ある β 値の閾値（この場合イオンベータ値 βi が 1.3 ％程度）を超えると運動論的バルーニングモードが不安定になる．図 5において，イオンベータ値が 1 ％から 1.2 ％の範囲で，捕捉電子モード（TEM）が現れる．これは，捕捉電子モードの線形成長率は β 値にほとんど依存せず，ITG モードと KBM の成長率が低い βi が 1 ％から 1.2 ％の範囲で現れることを示す．つまり，TEM は βi が 0 から 1.3 ％までのすべての範囲で，低い成長率のまま不安定である．図 6
は，いくつかの β 値に対する微視的不安定性の線形成長率と実周波数のポロイダル波数（正確には磁力線ラベル

図4

y＝－（α－α0）r χ0）/q（（χ0）方向波数）依存性を示す．低 βˆ ‖k（z）
ベクトルポテンシャル揺動の磁力線平行成分 A⊥の磁力線方向座標分布．イオン温度勾配（ITG）モード（k y ρti ＝ 0.2），捕捉電子モード（TEM，k y ρti ＝ 1）．ITG モー
ドと TEM は z の奇関数であり，偶パリティモードに分類される．またベクトルポテンシャル揺動と静電ポテンシャ
ル揺動は逆のパリティを持つ［3，8］．

（βi ＝ 0.2 ％）では，ITG モードが不安定で，線形成長率は
kyρti ＝ 0.3 程度でピークする．一方，高 β（βi ＝ 1.4 ％）では，KBM が不安定で，線形成長率は kyρti ＝ 0.2 程度でピークする．高波数領域および βi ＝ 1 ％では，捕捉電子モードが最も不安定で，その成長率は β 値にほどんど依存しないことがわかる．ITG モードと KBM の実周波数は負であり，ついて，もう一つ重要な性質を示している．それは，微これはモードがイオン反磁性方向に回転することを示す．

視的不安定性は，磁力線に垂直な方向には微視的なスケー

TEM の実周波数は正であり，電子反磁性方向に回転する．

ルを持つが，磁力線方向には緩やかに変化することである．磁力線に垂直な方向の微視的スケールは Larmor 半径5．2

電磁的ジャイロ運動論方程式の特徴

ρti で特徴づけられる．一方，磁力線に沿った方向の緩や

この節では，有限 β で磁場揺動が現れること，およびそかな変化は，磁力線に沿ってのトーラス外側から内側への結果ジャイロ運動論方程式［9-12］にどのような項が加の長さ qR0 で特徴づけられる．ここで，q は安全係数，R0

わるのか概観する．磁場揺動は誘導電場揺動を生じるとは大半径である．この構造はフルート構造と呼ばれ，微ともに，磁力線方向を平衡磁場方向からずらすため，磁視的不安定性などの磁場に閉じ込められたプラズマに生

力線方向微分に摂動が加わる．前者は線形効果で，後者じる揺動が持つ基本的な空間構造である．そして，揺動は線形効果と非線形効果である．

に対して，磁力線方向波数は磁力線垂直方向波数より非

5．2．1

ジャイロ運動論方程式における磁場揺動の役割

常に小さい k‖/k⊥≪1 というフルート近似が良く成立する．

有限 β で磁場揺動が現れることを理解するためには，

ここまで，電磁的微視的不安定性の空間構造について

ジャイロ運動論方程式を無次元化するとよい．無次元化

説明してきた．次に，電磁的微視的不安定性の時間変化には，イオン熱速度 vti ＝ Ti/mi ，イオン熱 Larmor 半径を特徴づける線形成長率および実周波数の β 値依存性を説

ρti ＝ vti/Ωi，大半径 R0，代表的な密度 n0 などの定数を用い明する．図 5 は低 β 領域においてイオン温度勾配（ITG）

る．分布関数は平衡部分と揺動部分に分け Fs ＝ FMs（εs）＋
fsk（z,
εs, μs, t），以下では fsk⊥＝hsk⊥－esFMs〈ϕk⊥〉s/Ts に対⊥不安定性，高 β 領域において運動論的バルーニングモード
358

Lecture Note

5. Electromagnetic Ion-Temperature-Gradient Mode and Kinetic Ballooning Mode	するジャイロ運動論方程式を考える（詳細は第 2 章参照）．

A. Ishizawa∂〈
ˆ・∇〈ϕk 〉s－
˜ ・〈E‖k⊥〉s＝－b
（〈b〉
〈ϕ〉
k⊥－
s ∇
s）
⊥

2
/
また，v ＝ v‖B/B ＋ v⊥，μs＝msv⊥（2B）は磁気モーメント，

添え字 s は粒子種を表し，速度座標は粒子種それぞれのA‖k⊥〉s
，
∂t



（6）

熱速度 vts＝ Ts/ms で無次元化する．ここで εs＝msv /2＝
2

msv‖2/2＋μsB．また揺動には添え字 k⊥ を付けた．
t＝tvti/R0，
変 数 の 無 次 元 化 は 以 下 の よ う に 行 う．
 ⊥＝k⊥ρti，v＝v/v
 Ms＝FMsvts3 /n0，fsk ＝fsk R0vts3（ρk/ tin0），
F

ts，
⊥

の中に現れる．この式の右辺第 3 項が磁場揺動による誘導電場である．これが磁場揺動によって現れる項の一つ目である．電子のジャイロ運動論方程式では vte≫1 なの⊥ ＝e ϕ R 0 （ ‖ ＝A ‖ R 0 （ ＝B / B 0 ，/ ρ t i T i ）， A
/ ρ t2i B 0 ）， B
ϕ22 s）＝v
 s）＝v/ iT/  ，ε＝ε/ iT
μ＝μ  s（T ‖ /2 ＋ μB． ⊥（2B）
s B 0（Tで，式（ 3 ）でこの係数を持つ項のみを残すと
ˆ・∇fek ＋v（
˜ e・∇fe）k
v‖b
‖〈b〉
⊥
⊥

変数に加えて定数も以下のように無次元化す
 s ＝T s / T i ， nる．m s ＝m s / m i ， T ＝n / n 0 ， e s ＝e s / e ，

˜ k 〉e・∇FMe＋
＋ v〈b
‖
⊥

 0 ＝R 0 / R 0 ， av
 t s ＝v t s / v t i ， R ＝a / R 0 ， ρ t s ＝ρ t s / ρ t i ． 例

え ば， 無 次 元 化 さ れ た 定 数 は m i＝1≫m e＝me/mi，
 0 ＝1 ，v
 t i ＝1 ≪v
 te＝ mi/me Te/Ti ， e i ＝1 ， e e ＝－1 ， R

B0 ＝ 1 であり，無次元化された平衡部分（Maxwell 分布ee∂FMe〈E‖k⊥〉e
＝0
Te
∂v‖

（7）

を得る．この式で磁場揺動を無視すると（A‖k⊥＝0），電子の断熱応答式を得る．式（ 7 ）において，電子の有限 Larmor1 Msと仮定）は F（ε）（－ε）
 ＝（2π）3/2 exp
 である．この無次元

半径効果を無視し（J0e ＝ 1），v‖ をかけて速度空間で積分化は GKV コード［6］で通常用いられる．以下 5．3．3 節のし，有次元に戻すと 5．1 節で議論した式（ 1 ）を得る（等方2d3v ＝ P‖e ＋ δp‖e ＝ pe を
圧力を仮定し （vtev‖）（F
Me ＋ fe）

最後まで，すべての量が無次元化されて…がついている．
しかし表記簡略化のため無次元化を示す…を省略する．
用いる．詳細は文献［2］を参照）．以上から，微視的不安

磁場揺動は，誘導電場揺動を生じるとともに磁力線方定性が磁場揺動に影響される割合やその電磁流体（MHD）

向の微分を乱す．これらの効果が見やすい形に，また有不安定性への相似性は，主に電子のジャイロ運動論方程限 β と磁場揺動の関係がわかりやすいように，ジャイロ運式によって規定されることがわかる．

動論方程式（本講座 2 章式（ 9 ））をジャイロ中心分布関数で表し，Poisson 方程式（ 2 章式（15）），Ampère 則（ 2

もう一つは，磁場揺動が磁力線方向の微分をずらす効
ˆ ＝ B/B とする果で，平衡磁力線方向の単位ベクトルを b

章式（16））を無次元化する．

と，揺動磁場を含めると磁力線方向ベクトルは
ˆ 〈b〉
˜ s
b＋

∂fsk⊥
ˆ・∇fsk ＋vtsv（
˜ s・∇fs）k＋vtsv‖b
‖〈b〉
⊥
⊥
∂t

となる．その結果，ジャイロ運動論方程式（ 3 ）で磁力線方ˆ・∇fk ＋（〈b〉
˜ s・∇f）k ＝b
ˆ・∇fk － 1［〈A‖〉s，f ］k
向微分は b˜ k 〉s・∇FMs＋vtsv〈b‖⊥（＋ivDs・k⊥ fsk⊥＋

⊥

）

e〈ϕ
k⊥〉
s
s
FMs
Ts

v v〈 f 〉d v．

（5）

βi
∑ es
2 s

ts ‖

sk⊥ s

3

⊥

こ

B

⊥

s

（4）

2
k⊥
A‖k⊥＝

こ

て非線形効果である．したがって，次節以降の線形解析

es〈 fsk⊥〉sd v－ （1－Γ0s）ϕk⊥ ，
Ts



s

る．

es

（3）

0＝ ∑ esな˜ k 〉s・∇FMs＝iv T＊ s・k⊥ FMsvtsv〈A
vtsv〈bs を除いて全
‖
‖
‖k⊥〉
⊥
T

es
∂FMs
〈E‖k⊥〉s
＝0，
Ts
∂v‖
3

⊥

˜ s＝－b×ikˆで ，〈b〉〈A‖k⊥〉s，
⊥
ˆ・k⊥
［f，g］
′ ×k⊥
″ fk⊥′ gk⊥″ ，は Poisson′，″ δk⊥，′ ＋k⊥″bk⊥＝－ ∑k⊥k⊥k⊥
˜ s 効 果 は， 反 磁 性 項
括 弧 で あ る． こ の 揺 動 磁 場 bと＋（〈v˜ E〉s・∇fs）k⊥＋〈v˜ Ek⊥〉s・∇FMs
＋vts

（8）

で残る磁場揺動効果は誘導電場揺動項と反磁性項のみである．
ジ ャ イ ロ 運 動 論 方 程 式（ 3 ）の 中 で， 無 次 元 化 し た
磁 気 ド リ フ ト（ 本 講 座 2 章 式 （10））， 反 磁 性 ド リ フト（ 2 章 式（11））， 揺 動 E×B ド リ フ ト 速 度 は そ れ ぞ れTsTsTˆ （μ∇B＋v‖2b
ˆ・∇b）ˆ ，v＊s
ˆ
vDs＝
b×
b×∇ln
FMs，
＝
esB

esB

1
ˆ となる．揺動 E × B 対流に〈v˜ Ek⊥〉s＝－ B（ik⊥〈ϕk⊥〉s）×b

はジャイロ平均された
ここで〈g〉s ＝ gJ0s，J0s ≡ J（ρsk⊥）
0

有限 Larmor 半径効果表す（導出や記号の詳細は本講座 2

よる非線形項は（〈v˜ E〉s・∇f ）k⊥＝［〈ϕ〉s，f ］k⊥ で， 2 章式（ 9 ）章式（ 3 ），（14）の説明を参照）．

左辺第 4 項静電部分に対応する．後で説明するように，β
1
ˆ・∇b≃
ˆ
が小さい場合 b∇⊥B なので［13］，無次元化した

Ampère 則 （ 5 ） を見ると，イオンベータ βi ＝ 8πn0Ti/B02

B

磁気ドリフト速度は ∇B ドリフトのみで書く．

が右辺の電流密度項の係数になっており，βi ＝ 0 で A‖ が 0になり，磁場揺動が 0 となることがわかる．したがって βivDs＝が電磁効果のパラメータであり，βi ＝ 0 が静電極限となる．
また電子とイオンの温度が同程度であれば vte≫vti なので，
Ampère 則の電流は主に電子の電流で構成される．

Tsˆ ∇B ．
（μB＋v‖2）b×
B
esB

（9）

Poisson 方 程 式 の 右 辺 第 2 項 は 分 極 効 果 で あ り，
2 2
Γ0s＝e－ρs k⊥I（ρで I0 は 0 次の変形 Bessel 関数である．
sk⊥）
0
2 2

誘導電場は，ジャイロ運動論方程式（ 3 ）の中で磁力線方向の電場揺動

またベクトルポテンシャル揺動の平衡磁場垂直成分は β があまり大きくないとして，無視している［9］．
359Journal of Plasma and Fusion Research

Vol.99, No.7

ここで，微視的不安定性の分散関係式を求めるために，

 磁的イオン温度勾配不安定性と運動論的
電バルーニングモード

ジャイロ運動論方程式（ 3 ）の非線形項を無視して線形化

この節では電磁的イオン温度勾配（ITG）モードおよびする．また揺動分布関数の非断熱部分 hsk（z,ε, μ, t）＝⊥

運動論的バルーニングモード（KBM）の分散関係式を文t）〉fsk（z,
ε, μ, t）＋ T FMs（ε）
〈ϕk（z,
s を用いて方程式系を⊥⊥

献［16］に従って解説する．初めに線形化したジャイロ運

5．2．2

5．3

July 2023

ジャイロ運動論方程式の線形化

es

s

書き直す．

動論方程式（10）を時間に関して Fourier 変換する．この変換により式（10）の ∂/∂t は－ iω に置き換えられる．ここで∂hsk⊥
ˆ・∇hsk＋ivDs・k⊥hsk⊥＋vtsv‖b
⊥
∂t
＝FMs

ω＝ωr ＋ iγ は複素周波数で，γ は線形成長率，ωr は実周波数を表す．図 5 ，6 ではこれらをプロットした．

es ∂（〈ϕk⊥〉s－vtsv〈A
s）
‖
‖k⊥〉
Ts ∂t

電磁的 ITG モードの分散関係式は，以下の仮定を行うことにより，線形化したジャイロ運動論方程式（10），esT・k⊥FMs （〈ϕk⊥〉s－vtsv〈A．（10）
＋iv＊s
s）
‖
‖k⊥〉
Ts

Poisson 方程式（11），Ampère 則（12）から導かれる．
◦磁力線方向局所近似：B（z）＝B（z≃0），ωDs（z）→ωDsˆ・∇→ik‖．
（z≃0）とこれらの仮定から b

この式は 2 章式（13）を無次元化したものである．Poisson
方程式（ 4 ）と Ampère 則（ 5 ）は（

0＝ ∑ ess）

es〈hsk⊥〉s d3v－
ϕk ，
Ts ⊥

βi
2
k⊥
A‖k⊥＝
2



sk 〉
s d v．
‖∑ es vtsv〈hs3⊥◦電子の磁力線方向の速い運動：ω≈ωDe≪k‖vte．
◦イオン流体近似：ωDi≪ω，k‖v‖≪ω，k ⊥ ρti≪1．

（11）

以下の小節で，これらの仮定の意味を説明しながら，一つずつ線形化したジャイロ運動論方程式（10）に適用する（12）

ことにより，電磁的イオン温度勾配不安定性および運動となる．式（12）より βi ＝ 0 で A‖ ＝ 0 になることが明示され論的バルーニングモードの分散関係式を得る．

る．以下では揺動の下付き添え字 k⊥を省略する．

5．3．1

磁力線方向局所近似

静電的な ITG モードの分散関係式を得る過程では，電トーラス外側領域は悪い曲率領域と呼ばれ，前節で示子の断熱応答を仮定した（［14］および本講座 3 章）．つましたように，この領域に不安定性が現れる（図 1 ，2 ，3 ）．

り，非断熱応答部分は 0 （he＝0）であるとした．前節でそして，β 値が小さい場合，説明したように，電磁的ドリフト波や電磁的微視的不安∇⊥ B （∇×B）
×B βi ∇p
ˆ・∇b－
ˆ
b
＝
＝
≃βi≪1，（15）
B2
B
2 B2

定性は，磁場揺動により電子が磁力線方向に非断熱的な応答をすることが本質なので，he≠0 である．
5．2．3

大アスペクト比トカマク

ここではアスペクト比が大きいプラズマを考えるとなり，この領域は弱磁場領域と同じである．ここでˆ（bˆ・∇）．この式は電磁流体（MHD）平衡∇⊥＝∇－b・∇b

a/R0≪1．断面が円形で入れ子状の磁気面を仮定し，s-α方程式と Ampère 則から得られ，式（ 9 ）の導出で用いた．

1 dp
モデルで α＝－q R0β p＝ 0 の場合を考える．まとめで
dr

局所近似は，揺動がトーラス外側（悪い曲率領域）に局

2

述べるように α は β に比例するので，α ＝ 0 のまま微視的在していると仮定することである．図 3 に示したようにこ不安定性の β 値依存性を調べることには問題がある［15］．

の仮定は良く成立している．この近似を用いると，悪い曲

しかし，ここでは簡単のために α ＝ 0 とする．以上の近似率領域は z≪1 で表されるので，方程式中の磁力線方向座/ ＋ R cos z）となり（無次元により磁場強度は B ＝ B0（1標は，z≃0と近似できる．大アスペクト比近似とあわせて，化により B0 ＝ 1，R0 ＝ 1 であることに注意），無次元化しR（z≃0）＝R0＋a≃R0，B（z≃0）＝B0（1＋a/R/≃B0．そし0）

た磁気ドリフト周波数 ωDs≡vDs・k ⊥ および反磁性周波数て式（13），（14）は

a

0

T
T
ω＊s
≡v＊s
・k ⊥は，式（ 9 ）などから

ωDs＝


2
2
ωDs
，
（z≃0）＝ω＊s ε（vn‖ ＋v⊥ /2）

（ 2 － 2 ）η ，

－Ts
z＋sˆ z sin z）），
（v‖2＋μB）（kx sin z＋k（cosyesR0B0
（13）

T
＝ ky
ω＊s

（

）

－Ts
3
1＋ ε－ ηs
esLnB02T
ω＊s＝ω＊s 1＋

v

2

3

s

（16）
（17）

/ sLnB0），εn ＝ Ln/R0． こと な る． こ こ で ω＊s＝－Tsky（eれらの近似の結果，平衡磁場強度 B，磁気ドリフト周波（14）

数 ωDs は磁力線方向座標 z に依存しなくなり，z 方向についてジャイロ運動論方程式を容易に Fourier 変換できて，
ˆ・∇→ik‖ と置き換えることができる．これらを線形化しbとなる（詳細は本講座 2 章 4 節参照）．密度勾配長，温度－1
勾 配 長 は Ln＝－（d ln n/dx），LTs＝－（d ln Ts/dx）－1 のように与えられ，ηs＝Ln/LTs である．また kx は動径方向たジャイロ運動論方程式（10）に適用すると/ 0（
x＝（χ－χ0）q（χ0）
r χ0））の波数である．
（B

hsk⊥＝


360

T
esFMs
ω－ω＊s
（ϕk⊥－vtsv‖A‖k⊥）J0s
Ts ω－ωDs－vtsk‖v‖（18）

Lecture Note

5. Electromagnetic Ion-Temperature-Gradient Mode and Kinetic Ballooning Mode	が得られる．この式と Poisson 方程式及び Ampère 則を連

1/（vte k‖）の高次まで展開した．

立することにより分散関係式を得る．
Pme＝

ωDs が磁力線方向に変化する長さより十分短い場合に成立
イロ運動論方程式の導出で用いたフルート近似が成立し（20）は以下のように書ける．

ているため，揺動の磁力線方向の波長は 1/k‖≃qR0 程度に
ˆ・∇→ik‖ とすることの妥長い．したがって，局所近似で b0＝ω（1＋τ－P0i）ϕ－［τ（ω－ω＊e）－k‖P1i］ψ，

式（18）を Poisson 方程式（11）と Ampère 則（12）に代入す－［k‖2P2i＋τωˆ De（ω－ω＊pe）］ψ．

ると2∑ vtsP1sϕ－ ∑ vts P2sA‖ 
s

s



（27）

/ sR0B0），ω＊ps＝ω＊sˆ Ds＝－2Tsky（e（1＋ηs）．
ここで τ＝Ti/Te，ω
（19）

さらに

（20）

ψ≡

ω
A‖
k‖

を導入した．E‖ ＝－ ik‖ϕ ＋ iωA‖ なので，理想 MHD 極限が得られる．ここで，
Pms ＝

（26）

2 2
k‖
2k⊥
ψ＝ωk‖P1iϕ－τω（ω－ω＊e）
（ϕ－ψ）
βi

当性には注意が必要である．

βi
2

）

こ れ ら を 用 い る と，Poisson 方 程 式（19）と Ampère 則

する．一方，5．1 節で説明したように，揺動に対してはジャ

2
k⊥
A‖＝

（

T
）vm－1
－FMe （ω－ω＊e
ω－ωDe 3
‖
d v．
1＋
（25）

vtek‖v‖
vtek‖
e

 T

局所近似は，揺動の磁力線方向の波長 1/k‖ が B および

es2
0＝ ∑ P0sϕ－ ∑ vtsP1s A‖－ ∑
ϕ，
s
s
s Ts

A. Ishizawa

T
es2FMs （ω－ω＊s）v‖mJ0s2 3d v
Ts ω－ωDs－vtsk‖v‖

が簡単な式 ϕ ＝ ψ で表される．
5．3．3

（21）

イオン流体近似

分散関係式を得る最後のステップとしてである．これらの式は ϕ と A‖ の連立代数方程式になって



おり，非自明な解をもつ条件から電磁的微視的不安定性

Pmi＝の分散関係式を得られる．

m

T
ei2
（ω－ω＊i）v‖ J0i2 3
d v
FMi
Ti
ω－ωDi－vtik‖v‖（28）

形式的には式（21）中の速度空間積分を行い Pms を求めを計算する．ここで，我々が用いている規格化では ei2＝1，

ればよいが，解析的に積分を行うために文献［16］に従い，

Ti ＝ 1，vti ＝ 1 であることに注意する．この式に，静電的

以下の節で説明する近似を用いる．

ITG モードの分散関係式を求める時［15］と同様に，イオ

5．3．2

ンの流体近似 ωDi≪ω，k‖v‖≪ω，k⊥ ρti≪1 を適用する．こ電子の磁力線方向の速い運動

電子の質量はイオンの質量より十分小さく，イオンとの近似により電子の温度が同程度であれば，電子の熱速度 vte で特徴付

（

）（

）

2 2
T
T
（ω－ω＊i）J0i2
ω＊i
ωDi k‖v‖ k‖ v‖
J0i2 1＋≃ 1－＋＋ 2
ω－ωDi－k‖v‖
ω
ω
ω
ω

（29）

けられる電子の磁力線方向の運動がイオンより十分速いと考えられる．したがって，電子に関して Pme を求めるた
めに，磁力線方向の速い運動 ω≈ωDe≪k‖vte を仮定することができる．さらに，電子の Larmor 半径は考えている不を 得 る． こ こ で x≪1 に 対 し て 1/（1 ＋ x）≃1 － x ＋ x2 が安定性の波長より十分小さい k⊥ ρte≪1 と仮定し，J0e≃1

成 立 す る こ と を 用 い た． 次 に k⊥ ρti≪1 を 用 い て， イ オ（ 2Ω ）と 展 開 し，

ン 有 限 Larmor 半 径 効 果 を J0i≃1 －とする．これらの仮定と ee ＝ 1 を用いると，Pme は以下の
2

2 2
k⊥
v⊥
2Ωi2

ように簡単化され，速度空間積分を解析的に行うことがJ0i2 ≃1 －できる．

したがって Pmi は



Pme＝

T
）vm－1
－FMe（ω－ω＊e
‖
d3v．
Te
vtek‖



（

∞

布 FMs の 速 度 空 間 積 分 に お い て －∞x2n exp（－ax2）dx ＝π∞n!
（2n＋1）! － 2n＋1aおよび 0 x2n＋1 exp（－ax2）dx＝ 2 a － n－1
2
2n

を用いる．



P0i＝1－

m ＝ 1 および m ＝ 2 の場合
P1i＝
（23）

－1
P2e＝ 2 2 （ω（ω－ω＊e）－ωˆ De（ω－ω＊pe））
vtek‖Te

（24）

T
ω＊i
ω

）

2 2

2

2

）

ωDi k‖v‖ k‖ v‖ k⊥ v⊥ 3
d v
＋
＋ 2 －
ω
ω
ω
2Ωi2

（30）

と近似される．速度空間積分を行うと以下を得る．

m ＝ 0 の場合，非積分関数は v‖ の奇関数なので P0e ＝ 0．
－（ω－ω＊e）
P1e＝，vtek‖Te（× 1＋

ここで速度空間積分は全領域に対して行う．ガウス分iを得る．ここで Ω（z＝ 0）＝ 1 に注意する．
i

Pmi＝ FMi v‖m 1－（22）

k⊥ v⊥ 2

（

ω＊i
ω＊pi
＋ 1－
ω
ω

（

）

（）

2

2

）

k‖ k⊥
ˆ Di
ω
＋ 2 － 2 ， （31）
ω
ω
Ωi

k‖
ω＊pi
ω＊pi
1－
， P2i＝1－．ωωω

これらから Poisson 方程式（26）と Ampère 則（27）は

（

τ 1－

を 得 る． こ こ で P2e の 計 算 で は Pme を 以 下 の よ う に
361

） （
2

）

k‖
ω＊e
ω＊pi
－ 2 1－
（ϕ－ψ）
ω
ω
ω

（32）

Journal of Plasma and Fusion Research

（

（）
）
2k k
ω
－τω（ω－ω ）ϕψ＝ k（1－
ω ）
β

2
k⊥
ˆ Di
ω
＋ 2－
Ωi
ω
2 2
⊥ ‖

ω＊pi
1－
ϕ＝0，
ω

2
‖

i

＊pi

（
2

July 2023// s B 0 L n ），ˆ Di＝－は ω（2cT i k y ）（eB，ω＊s＝－（cT s k y ）（e
0R 0）ω＊ps＝ω＊s（1＋ηs），cs2＝vti2 Te/Ti，vti2＝Ti/mi，ηs＝d ln Ts/d ln n0，（33）

ei ＝ e，ee＝－e である．分散関係式（38）の第 1 ， 2 項，第3 項，第 4 項は，それぞれドリフト波の伝搬，スラブ ITG＊e

不安定性の駆動，トロイダル ITG 不安定性の駆動を表す．
トーラス外側で ωˆ Diω＊pi ＞ 0 なので，トロイダル ITG 不安＋τω（ω－ω＊e）ψ
－ k‖ 1－

Vol.99, No.7

）

ω＊pi
ˆ De
＋τ ω
（ω－ω＊pe）ψ．
ω

定性の駆動項は正になり，不安定性を駆動する．ITG モー
ドの圧力勾配による駆動項（式（38）の F の前の係数）は

（34）

2 2
（ω
ˆ Di/ω － k⊥
ˆ Di が 小 さ い ほρti）ω＊pi/ω ＞ 0 程 度 な の で，ω
2 2
うが ITG モードは駆動されにくくなる．そして k⊥
ρti がとなる．この Poisson 方程式（33）と Ampère 則（34）を合わせて，磁化プラズマの流体方程式系における渦度方程式

1 程度に大きくなると ITG モードは駆動されにくくなる（［2］の式（5．1．1）を参照）に対応する式が導かれる．

（図 6 ）．また，駆動項の係数 Te/Ti は，Te/Ti が大きい方が2
ω（ω－ω＊pi）k⊥ϕ＝トロイダル ITG モードは不安定であることを示す．分散

2 2
k‖
2k⊥
ˆ Di
ψ＋ω
（ω－ω＊pi）ϕ
βi

ˆ De
＋τ ω
（ω－ω＊pe）ψ．

関係式（37）は，ω
ˆ Di→0 の極限で，純粋なスラブ ITG モー
2 2ドの分散関係式になる．一方，k‖cs /ω2→0 の極限で，純粋（35）なトロイダル ITG モードの分散関係式になる．

左辺は慣性項（分極ドリフト項），右辺第 1 項は磁力線折トロイダル ITG モードは，通常トーラス外側領域で満り曲げ安定化項でシア Alfvén 波の伝搬を生じる．右辺第たされる ω
ˆ Diω＊pi ＞ 0 で不安定になる．したがってトロイ2 項第 3 項は曲率ドリフト項（あるいは ∇B ドリフト項）

ダル ITG 駆動項を小さくする F の第 2 項が ITG モードのでプラズマのトーラス性によって現れる．また，この項

電磁的安定化効果を表す．電磁的安定化効果は，その名は MHD で圧力駆動型不安定性を生じるため，圧力駆動項のとおり静電極限 βi ＝ 0 で 0 になり，この極限で F ＝ 1 ととも呼ばれる．渦度方程式（35）は以下のように書くことなる．静電極限では vA ＝ vti/ βi →∞ で Alfvén 波の位相速ができる．

度が無限大となり，磁場揺動が不安定性へ寄与しなくな

ψ＝

2
ˆ Di
ωk⊥
（ω－ω＊pi）－ω
（ ω －ω＊pi）
ϕ．
2 2k‖/βi－ω
2k⊥
ˆ Di（ω－ω＊pe）

ることを注意する．
（36）

低 β 極限 βi≪1 では，安定化係数 F はこの式を Poisson 方程式（33）に代入することにより，電磁F＝1－βi

的 ITG モードと KBM の分散関係式を得る［16］．

Di

2
⊥
2
i

ω＊pi
－1
ω

2

5．
3．4

2

＋O（βi2）

（40）

小さい場合，電磁安定化効果が強くなることを示す．一方，
ωˆ Di が小さい場合，電磁安定化効果は弱くなる．ここで，2 2k‖vtiω＊pi はスラブ ITG モードの駆動力であり，トロイダル
ITG モードの場合小さいことに注意する．

（37）

β が大きくなると，ωˆ Di ω＊pi を含む不安定性駆動項の符

電磁的イオン温度勾配不安定性と運動論的バルー号，つまり F（式（39））の符号は，ある閾値 βi の前後で正ニングモードの分散関係式

から負に変わる．つまり，この閾値より大きい β では，電磁的効果が ITG モードを完全に安定化する．この閾値 β は安定性と運動論的バルーニングモード（KBM）の分散関式（39）の F ＝ 0 から求まる［16］．

係式を得た．無次元化していた量を有次元に戻すと式（37）2は以下のようになる．

＋

2

2

以上の手続きにより，電磁的イオン温度勾配（ITG）不

1－

2

2
2k⊥
ρtik‖ vti

2
似 ωITG≈ ωˆ Di≪ω＊pi を用いた［16］．この式は，k⊥と k‖ が＊piτω（ω－ω＊e）－k（1－ω‖＊pi/ω）
× 1－
＝0．
2 2
k‖/βi－ω
2k⊥
ˆ Di（ω－ω＊pe）

2となる．ここでトロイダル ITG モードに対して有効な近

（
） （
）
k
ˆ
ω
ω
＋（
－
） ω －1）
ω
Ω （
2

k‖
ω＊e
τ 1－
＋ 2
ω
ω

2

ω
ˆ Diω＊i＋k‖ vtiω＊pi/ω
ˆ Di

（

2 2

βit＝

）

ω＊e k‖cs ω＊pi
＋ 2
－1
ω
ω
ω

（

（）

Te ω
ˆ Di
2 2
－k⊥
ρti
Ti ω

2 2

2
2k⊥
ρtik‖vti
2

2

ω
ˆ Di
ˆ Di
（ω＊i－ω＊pe）＋k‖ vtiω＊pi/ω

．

（41）

ここで再びトロイダル ITG モードに対して有効な近似）ω＊pi－1 F ＝0．
ωωITG≈ ω
ˆ Di≪ω＊pi を 用 い た． 低 β の 式（40）と 有 限 β の 式（38）（41）を合わせると，微視的不安定性の β 値依存性の概略
2
図は図 7 のようになる．図中に示したように，k⊥
が小さ

ここで，

いほうが電磁的安定化効果は強くなり，ωˆ Di が小さいほう
2 2

Ti ω（ω－ω＊e）＋k‖c（ωs＊pi/ω－1）
F＝1－
 2 2 2 2Te 2k⊥
ρtik‖vti/βi－ωˆ Di（ω－ω＊pe）

2が電磁的安定化効果は弱くなる．したがって，k⊥ˆ Diとωの ITG モードへの電磁的安定化効果は，前述の，ITG モー（39）

ドの圧力勾配による駆動項（式（38）の F の前の係数）にの 第 2 項 が イ オ ン ベ ー タ βi ＝ β/
（1 ＋ Te/Ti）と と も に

2
よって示される「ωˆ Di が小さいまたは k⊥が大きいほど ITG

増 大 す る 電 磁 安 定 化 効 果 を 表 す． ま た 有 次 元 で 各 量

モードは駆動されにくくなる」ことと逆の効果である［15，362Lecture Note

5. Electromagnetic Ion-Temperature-Gradient Mode and Kinetic Ballooning Mode	

A. Ishizawa

17］．さらに，k‖ を小さくすると，電磁的安定化効果は強

この極限は，特にエッジ領域（プラズマ表面近く）におくなる．このことは，弱磁気シアが電磁的安定化効果をけるエッジローカライズドモード（ELM）の解析におい引き出すことに有効であることを示す．なぜなら，磁気て有用である．なぜなら H モードプラズマはエッジ領域

シアが小さいと磁力線方向のモード構造は広がり，k‖ がにおいて急峻な圧力分布を持つので，この領域において小さくなるからである．

ω＊pi はとても大きくなり，ω≃ω＊pi となるからである．そ5．3．5の結果，以下に示すように MHD 極限（シア Alfvén 極限）

運動論的バルーニングモード

最後に MHD 極限（シア Alfvén 極限）ω≃ω＊pi を考える．

ϕ ＝ ψ（E‖ ＝ 0）が成立する．
ω≃ω＊pi が 成 立 す る 場 合，Poisson 方 程 式（33）の 最 後の項は非常に小さくなる．したがって理想 MHD 関係式
ϕ ＝ ψ，つまり E‖ ＝ 0 が成立する．ここで理想 MHD では
1

E＋ c v×B＝0 が成立するので，E‖ ＝ 0 であることに注意する．このようにして渦度方程式（35）は運動論的バルー
ニングモード（KBM）の分散関係式になる．
2 2ω
（ω－ω＊pi）k⊥
ρti＝



2

2 2
2k⊥
ρtik‖vti2
ˆ Di－ω
（ω＊pi－ω＊pe）．
βi

（42）

これは，MHD 解析におけるバルーニング方程式に対応する．つまり，左辺の ω＊pi 項を無視し，ω＊pi－ω＊pe ＝ ω＊p，
また，k‖ を z 微分（磁力線方向微分）に戻すと，よく知られた MHD バルーニング方程式に対応する式を得る（文献［2］の式（5．
1．1）および式（5．1．2）を参照）．左辺は慣性項，
右辺第一項は磁力線折り曲げ安定項にそれぞれ対応する．
そして，右辺第二項は圧力勾配による不安定性駆動項に対応し，悪い曲率領域 ωˆ Di（ω＊pi － ω＊pe）＞ 0 でバルーニン
グモードを不安定化させる．運動論的バルーニングモー
ドの複素周波数は以下のようになる．
ω＝（ ）＋ β －

ω＊pi
ω＊pi
±
2
2

2

2 2

2k‖vtiiωˆ Di（ω＊pi－ω＊pe） 1/2
．
2
k⊥
ρti2
（43）

KBM の実周波数は ω＊pi/2 であり，KBM はイオン反磁性
図6方向に回転する（図 6 ）．ただし，導出に用いた近似が成いくつかの β 値に対する微視的不安定性の線形成長率 γ と実周波数 ω のポロイダル波数依存性［3，8］．

立しない一般的な場合は，KBM は電子反磁性方向へ回転する可能性があることに注意する．また，運動論的バルー
ニングモード（KBM）は以下の安定限界より高い β 値で不安定になる．
2

βiBM＝

2 2

2
2k⊥
ρtik‖vti
2 2
2
ω
ˆ Di
（ω＊pi－ω＊pe）－k⊥ρ（ωti＊pi/2）．（44）

この運動論的バルーニングモードの不安定化ベータ値
βiBM（44）は，ITG モードの安定化ベータ値 β（41）に近いitことに注意する．数値シミュレーションによっても βit とβiBM が近いことが示されている（図 5 ）．

5．4

まとめ

電磁的イオン温度勾配（ITG）モードおよび運動論的
バルーニングモードの分散関係式を，局所近似，電子の図7

磁力線方向の速い運動近似，イオンの流体近似，を行う

分散関係式に基づく ITG モードの β 値依存性の概略図［17］，ここで βi ＝ β/（1 ＋ Te/Ti）はイオンベータ．また，
βit は ITG モードから KBM への遷移が起こる β 値を表す．
2
2
ITG モードへの電磁安定化効果の k⊥，ωDi，k‖ 依存性も示す．

こ と に よ り， ジ ャ イ ロ 運 動 論 方 程 式，Poisson 方 程 式，
Ampère 則から導いた．トロイダル ITG モードの場合，最も簡単な分散関係式は低 β で363

Journal of Plasma and Fusion Research（

July 2023

本章の作成は科学研究費［基盤研究（C）：17K06991］の） （45）

ωˆ Diω＊iTeω ＝－ωˆ Di ω＊i（1＋ηi）1－βi 2 2 2 2 Ti
2k⊥ ρtik‖vti
2Vol.99, No.7

援助を得て行われました．

となる．この式は，βi ＝ 0 で，静電近似をした場合の ITG

参考文献

モードの分散関係式の最も簡単な場合［14］に帰着する．

［ 1 ］https://www.qst.go.jp/site/jt60/5150.html［ 2 ］石澤明宏：プラズマ・核融合学会誌 90, 213 (2014).
［ 3 ］A. Ishizawa et al., J. Plasma Phys. 81, 435810203(2015).
［ 4 ］K. Imadera et al., IAEA-FEC, TH/P5-8 (2014).
［ 5 ］A. Ishizawa et al., Phys. Plasmas 26, 082301 (2019).
［ 6 ］T.-H. Watanabe and H. Sugama, Nucl. Fusion 46, 24(2006).
［ 7 ］石澤明宏：プラズマ・核融合学会誌 92, 530 (2016).
［ 8 ］石澤明宏：プラズマ・核融合学会誌 92, 546 (2016).
［ 9 ］T.M. Antonsen and B. Lane, Phys. Fluids 23,1205(1980).
［10］E.A. Frieman and L. Chen, Phys. Fluids 25, 502(1982).
［11］T.S. Hahm et al., Phys. Fluids 31, 1940 (1988).
［12］A.J. Brizard and T.S. Hahm, Rev. Mod. Phys. 79, 421(2007).
［13］R.D. Hazeltine and J.D. Meiss, Plasma Conginement(Dover, 2003).
［14］洲鎌英雄，矢木雅敏：プラズマ・核融合学会誌 76, 1007
(2000).
［15］A. Ishizawa et al., Phys. Rev. Lett. 123, 025003(2019).
［16］J.Y. Kim et al., Phys. Fluids B 5, 4030 (1993).
［17］M. Niiro et al., Plasma Phys. Control. Fusion 65,
065004 (2023).

トーラス外側では，通常 ωˆ Diω＊i ＞ 0 であり，ITG モード
が不安定である．この場合，磁場揺動による安定化項（βiに比例する項）は必ず負であり，必ず安定化効果がある．
そして，ωDi の絶対値が大きい方が，k⊥または k‖ が小さい方が，磁場揺動による安定化効果は大きいことがわかる．
磁力線方向波数 k‖ が小さい方が磁場揺動による ITG モー
ドの安定化効果が大きいことは，弱磁気シアプラズマにおいて有限 β 効果による ITG モードの安定化効果が期待できることを示唆する．
最後に注意を述べる．これまでは，有限 β 効果と磁場揺動効果は同じであるとして議論してきた．しかし，有限 β 効果と磁場揺動効果は異なる．有限 β は，磁場揺動のみならずプラズマの平衡状態を変化させる．つまり，有限 β では，Pfirsch-Schlüter 電流が平衡状態の磁場構造に
Shafranov シフトを生じさせる．この効果は，磁場揺動による ITG モードの安定化効果を相殺し，イオン温度勾配
によって駆動される乱流輸送は β 値とともに減少しないことが理解されている［15，17］．

謝辞

本講座の執筆にあたって貴重な助言をいただいた前山伸也講師ならびに渡邉智彦教授に深く感謝いたします．

いし

ざわ あき

ひろ

石 澤 明 宏京都大学大学院エネルギー科学研究科・教授．電磁的乱流の理論・シミュレーション．
休 日 は，Keith Jarrett Trio の Standards
Live を聞きながら洗濯物を干し，調子よ
く滑り出すことが多いです．ところが先日，妻に洗濯物の配置が悪く乾きにくいと指摘されました．私は流体理論に基づき配置していると主張しましたが，「理論と実践は異なる」と受け付けてもらえませんでした．プラズマの研究ではそのようなことはないと信じて理論・シミュレーション研究を行っております．

364