機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

脱水

１．脱水平衡１．１

飽和度

湿潤粒子層の空隙体積に対する粒子外液の体積の比を飽和度 S [－]といい、次式で定義される。
S

Vo
Vb

Vb

AL

…(1.1.1)

ただし、A は粒子層の断面積[m2]、L は粒子層高さ[m]、Vb は粒子層の体積[m3]、Vo は粒子外液の体積[m3]、ε は空隙率[－]。
粒子層に含まれる液の重量割合を含液率 w [wt%]といい、湿量基準 ww [wt%]と乾量基準 wd [wt%]がある。
ww

ML
100
MS M L

wd

ML
100
MS

Vb
Vb (1

Vb (1

Vb S
) p Vb

S
100
) p

(1

S

100

S
) p

(1

S
100
) p

S

100

…(1.1.2)…(1.1.3)

ただし、ML は粒子層中の液重量[kg]、MS は粒子層中の固体重量[kg]、S は飽和度[－]、Vb は粒子層の体積[m3]、ε は空隙率[－]、ρ は液密度[kg/m3]、ρp は粒子密度[kg/m3]。
設計上は、S 値に平均飽和度 Sav [－]を適用する。

１．２

含液率分布

細い管に固体粒子を充填してできる粒子層を液中に浸漬させてから垂直に引き上げると、管内の液の一部が流出し、残りの液は毛管現象により粒子層内に保持される。このため、粒子層の高さ方向に含液率分布が形成される。脱水平衡時における含液率分布は、付着液とくさび毛管液(ウェッジ液)と内部液が存在し、飽和度がほぼ一定となる低湿分域(S=S∞)、上記の液に加えて毛管上昇液が存在し、高さ方向で飽和度が変化する転移域、粒子間隙がすべて液体で満たされる飽和域(S=1)に大別される。転移域の毛管上
昇高さについては、みかけの飽和域を仮定し、分布の平均値を採用する。この平均高さ hg [m]を相当飽和域高さまたはドレン高さという。
飽和度 S と毛管上昇高さ h の良好な相関式として、村瀬らの式がある。[文献 1]
S S
1 Shg,min0.167( h hg,min ) 0.848
0.42

kp

cos
g

0.100

1.00

h hg,min2.52…(1.2.1)…(1.2.2)

ただし、hg,min は重力場における最小毛管上昇高さ[m]、kp は透過率[m2]、S∞は残留平衡飽和度[－]、γ は界面張力[N/m]、ε は空隙率[－]、θ は接触角[rad]、ρ は液密度[kg/m3]。

1

機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

L
毛管上昇高さh

粒
子層
付着液
くさび毛管液
内部液

低湿分域
転移域
hg,min

hg

みかけの
飽和域

飽和域
S∞

1

S∞

S

1

図 1.2.1 含液率分布

１．３相当飽和域高さ

重力場における相当飽和域高さ hg [m]は、液体の毛管上昇高さ h [m]を修正することで導かれる。毛細管を液体の中に差し込むと、液体と管壁の親和性が良好であれば、液は管壁をよく濡らして毛細管内を上昇する。液体の密度を ρ [kg/m3]、毛細管の内径を D (=2r) [m]、内径の周長を S [m]とすると、液柱の重量 W [kg]と界面張力のつり合いより毛管上昇高さ h [m]が導かれる。
W=(γcosθ)S …(1.3.1)
π(D/2)2hρg=πDγcosθhk…(1.3.2)

4 cos
gD…(1.3.3)

4

D gh
cos

k

γcosθ

2r
θ

h

…(1.3.4)

γ

γ

θ
S=2πr

W
W

ただし、k はキャピラリー定数[－]。

k の式における D 値を粒子径 Dp に、h 値を相当飽和域高さ hg に変更すると、重力脱水時の相当飽和域高さ hg を得る。(h 式の定数項 4 は修正に反映されない。)
hg

cos
gDp

kc

Dp ghgcos…(1.3.5)

ただし、kc は粒子層基準のキャピラリー定数であり、粒子形状や充填状態に依存する。大雑把に見積もる
場合は、10 を用いる。[文献 2,3]
遠心脱水の場合は、重力加速度 g に遠心効果 Z を乗じて、hg を遠心力場における相当飽和域高さ hc [m]に置き換える。なお、kc 値は変化しない。
hc

cos
Z gDp

kc

Dp Zghc
cos

, hc

hg
Z

…(1.3.6)１．４

平衡時平均飽和度

脱水平衡時の粒子層内における粒子外液の全量 Vt∞ [m3]は、相当飽和域高さ以下の領域(0≦z≦hg)に含まれる液量 Vc∞ [m3]と、それ以上の領域(hg≦z≦L)に含まれる残存液量 Vr∞ [m3]の和で表される。

2機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

Vt

Vc

Vr

Vt

Ahg

…(1.4.1)

A(L hg ) S

Vc

Ahg ,Vr

A( L hg ) S…(1.4.2)

ただし、S∞は低湿分域における残留平衡飽和度[－]。
飽和度 S の式に代入すると、粒子層全体に対する平衡時平均飽和度 Sav∞ [－]が導かれる。

Sav
Sav

Sav

Sav

Ahg

A( L hg ) S…(1.4.3)

ALhg( L hg ) S…(1.4.4)

L

hg

hg

1

L
S

S

L

(1 S )…(1.4.5)hg…(1.4.6)

L

遠心力場の場合は、相当飽和域高さ hc(=hg)が粒子層高さ L よりも十分に小さいことから、次式となる。
Sav

hc L

S

0

…(1.4.7)

１．５

残留平衡飽和度

低湿分域における残留平衡飽和度 S∞ [－]は、粒子内部液を無視すれば、ウェッジ液の飽和度 SW [－]と表面付着液の飽和度 SA [－]の和で表される。近似的に、S∞≒SW が成り立つ。
S

SW

SA

SW

SW

SA

…(1.5.1)

SW 値の推算式として、均一ガラス球充填層に対する大山・山口の式がある。[文献 4]
SW

3 1
4

nav

12 27.8(…(1.5.2)
0.26)…(1.5.3)

Kp

21…(1.5.4)

0.098K p 0.88

Kp

21

0.0064Kp

nav

ZgDp 2cos…(1.5.5)…(1.5.6)

ただし、Kp は粒子径基準のキャピラリー数[－]、nav は粒子１個あたりの平均接触点[－]、γ は界面張力[N･m]、 はウェッジ液１滴の体積に関する因子[－]、θ は接触角[rad]。
上式のほか、粒子形状を考慮した村瀬らの式が簡便である。[文献 1]S

0.075(50 K c )0.37 1c

Kc

0.02 …(1.5.7)
3

機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

2.40 10 3 K c 0.88

S

Zgkp

Kc

Kc

0.02

…(1.5.8)…(1.5.9)cosZ

4 2 n2 r1 r2g2

2 2 n2(2r2gc

6
SV DpV

3

DpV

6Vp

r2 r1

L)

L …(1.5.10)…(1.5.11)

ただし、DpV は等体積球相当径[m]、Kc はキャピラリー数[－]、L は粒子層厚み[m]、r1 は脱水機の縁半径(中心から粒子層表面までの半径距離)[m]、r2 は脱水機本体の半径(中心から壁面までの半径距離)[m]、SVは体積基準の比表面積[m2/m3]、Vp は粒子体積[m3]、 c はカルマンの形状係数[－](球のとき 1、立方体のとき 0.806)。

２．毛管脱水時間
粒子層高さまで液が満たされた湿潤粒子層を鉛直方向へ引き上げて回分重力脱水を行う。前半は、粒子層内を流れる毛管脱水過程が律速となり、毛管上昇高さの近傍まで脱水される(t=tg, h≒hg)。後半は、残存液が粒子表面を伝って流れる膜脱水過程が律速となり、無限時間後に毛管上昇高さとなる(t=∞, h=hg)。
ダルシーの式に基づく毛管脱水速度 ug [m/s]より、重力脱水時の毛管脱水時間 tg [s]が導かれる。

1 dV
A dt

ug

Δp
L

…(2.1)

h hg

gkp

kp

1 d(Ah )
A dt
dh
dt

h hg

h

h

h
L

gkp

1

hg

gkp

dh
hg

h hg

tg
0

h hg ln(h hg )(h L) hg ln

dt

gkp

dh

h

…(2.4)

tg

gkp…(2.5)

L

tg

h hg

gkp

L hg

g (h hg ), L…(2.3)h

L h

V =Ah ,Δph…(2.6)

tg…(2.7)

4h…(2.2)

機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成( L h) hg ln

tg

gkp

L hg

gkp

h hg

tg

…(2.8)L hg( L h) hg ln…(2.9)h hg

ただし、A は粒子層断面積[m2]、h は液面高さ[m]、kp は透過係数[m2]、L は粒子層高さ[m]、t は時間[s]、V は粒子層内の全液量[m3]、 p は圧力損失[Pa]。
遠心脱水の場合は、臨界値以上の遠心力でほぼ完全に毛管上昇液が除去されることから、遠心脱水時の毛管脱水時間 tc [s]は次式となる。

tc

L
Zgkp

Z

Z c , h=0,hg =hc =0…(2.10)

３．回分脱水
任意の重力脱水時間における粒子層内の粒子外液量 Vt [m3]は、液面高さ以下の領域に含まれる液量 Vc[m3]と、液面高さ以上の領域に含まれる液のうち液膜流れの状態にある液量 Vf [m3]と、滞留状態にある液量 Vr [m3]の和で表される。

Vt

Vc Vf

Vr

Vt

Ah

Vt

A {h ( L h)S } A( L h)(1…(3.1)

A( L h)(1)SV av

A( L h) S)SV av…(3.2)…(3.3)

ただし、h はある時間における液面高さ[m]、L は粒子層高さ[m]、SV は体積基準の粒子比表面積[m2/m3]、
SW は質量基準の粒子比表面積[m2/kg]、S∞は残留平衡飽和度[－]、δav は平均液膜厚み[m]。
平均液膜厚み δav は、直立平板流れの式より導かれる次式を用いる。[文献 2]
av

2
3

L
gt

…(3.4)

粒子層高さ L を粒子層最上部と液面高さの間隔(L－h)に置き換えて Vt の式に代入する。

Vt

A {h ( L h)S }2A( L h)(1
3

)SV

Vf

A {h ( L h) S }

2
A(1
3

( L h)3gt) SV( L h)
gt…(3.5)…(3.6)

飽和度 S の式に代入すると、任意の重力脱水時間における粒子層の平均飽和度 Sav [－]を得る。

Sav

A {h ( L h) S }Savh ( L h)S
L

2 1
3

2
A(1
3

SV
L

) SV

( L h )3gt

( L h)3gt

AL…(3.8)

5…(3.7)

機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

Sav

S(1 S )hL( L h)3
gt

SV
L

2 1
3

…(3.9)

遠心脱水の場合は、毛管脱水時間 tc がきわめて短いことから、任意の時間における毛管上昇高さ h を hc
とおいて、Nenniger-Storrow の式を得る。[文献 5]Sav( L hc )3
Zgt

SV
L

2 1
3

Sav

Sav

h
(1 S ) c
LS…(3.10)透過率 kp [m2]は、コゼニー・カルマンの式より求める。
3kp

5SV 2 (1…(3.11))2

5 S V 2 kp

2…(3.12)1
1

1
SV…(3.13)

5kp

Nenniger-Storrow の式に代入する。

Sav

Sav

2 1
3 SV

Sav

Sav

2 L hc
3 5 L

5kp

SV
L

( L hc )3Zgt( L hc )Zgkp t…(3.14)…(3.15)臨界遠心効果 Zc よりも大きい遠心条件では、ほぼ完全に毛管上昇液が除去される。

Sav

S

L
Zgkp t0.3

ZZ c , hc =0…(3.16)

山口・井上は、上式の定数項を 0.33 に修正した。[文献 19]

Sav

S

0.33

tc
t

tc

L
Zgkp

…(3.17)

４．連続脱水脱水機の有効容積(実際に脱水が行われる容積)Veff [m3]は、次式で表される。

Veff

VB

(r22 r12 )HB…(4.1)

ただし、r1 はバスケットの縁半径(中心から粒子層表面までの半径距離)[m]、r2 はバスケットの半径[m]、HB は脱水機深さ[m]、VB は脱水機容積[m3]、η は脱水機の有効容積率[－]。

6機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

固体の平均滞留時間 τ [s]は、脱水機内の固体重量 Ms [kg]と固体供給量 QM [kg/s]の比で表される。

Ms
QM…(4.2)

粒子層体積を脱水機の有効容積に等置させると、脱水機内の固体重量 Ms [kg]は次式のように導かれる。
Ms

Veff

…(4.3)p (1) (r2 2b

Msr12 ) H B

b

p (1

)

…(4.4)

ただし、ρb は粒子層のかさ密度[kg/m3]、ρp は粒子密度[kg/m3]。
固体供給量 QM [kg/s]は、脱水機からの固体排出速度に等しいとみなす。

QM(r22 r12 ) fb…(4.5)

ただし、f は押出板の振動数[1/s]、ℓ はストローク長[m]。
Ms と QM の式を τ の式に代入する。

HB
f

ℓ

…(4.6)

粒子層の厚さ L [m]は、近似的に次式で表されるものとする。 ω
L

r2

r1

…(4.7)

L
DB(=2r2)
Di(=2r1)

HB
Heff

押出板
バスケット

原液

固体

平均遠心効果 Z は、次式で与えられる。

液体

2 2 n2 (r1 r2 )g

4 2 n2 r1 r2
g2

Z…(4.8)

ただし、n はバスケットの回転速度[1/s]。
遠心効果 Z は、飽和域高さ hc が粒子半径 Dp/2 で定義される臨界遠心効果 Zc よりも大きいことが条件となる。この条件において、毛管上昇液は完全に除去されるものとみなす(hc=Dp/2≒0, θ=0)。
Z

Zc

20
Dp 2 g

hc

Dp
2

, kc

10,

0

…(4.9)

τ と L と Z の式を Nenniger-Storrow の修正式に代入すると、押出板型連続遠心脱水機における平均飽和度
Sav [－]を得る。

Sav

S

0.33

2

2 2

n

r2
f
kp H B r2

r1
r1…(4.10)

参考文献
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]

村瀬敏朗, 中倉英雄, 森英利, 白戸紋平; 化学工学論文集, 11, 77-83(1985)
藤田重文, 東畑平一郎(編); 化学工学Ⅱ(第 2 版)「機械的操作」, 東京化学同人(1972), 3.6 章
世界濾過工学会日本会(編); 濾過工学ハンドブック, 丸善(2009), 4 章
大山義年, 山口賢治; 理研報告, 28, 392-400 (1962)
E. Nenniger and J.A. Storrow; AIChE J., 4, 305-316 (1961)
山口賢治, 井上一郎; 化学工学, 30, 433-438 (1966)7

機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

参考書
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]

藤田重文, 東畑平一郎(編); 化学工学Ⅱ(第 2 版)「機械的操作」, 東京化学同人(1972), 3.6 章
化学工学協会(編); 沪過工学 化学工学の進歩 8, 槇書店(1974), 8 章
世界濾過工学会日本会(編); 濾過工学ハンドブック, 丸善(2009), 4 章
藤田重文(編); 化学工学演習(第 2 版), 東京化学同人(1979), 13.4 章
化学工学協会(編); 化学工学便覧(改訂四版), 丸善(1978), 14.6.5 章
化学工学協会(編); 化学工学演習１, 丸善(1969), 4.4 章
藤田重文(監修); 単位操作演習, 科学技術社(1960), pp.374-378

8機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

問題

下記条件で遠心脱水操作を行う。①～⑩を答えよ。
固体の種類

食塩結晶

液体の種類

希薄食塩水

粒子密度 ρp32160 kg/m

液体密度 ρf

1000 kg/m3

粒子径 Dp0.6 mm

液体粘度 μ0.001 Pa･s

粒子形状

立方体

表面張力 γ0.072 kg/s2

空隙率 ε

0.4

脱水機の種類

脱水機の有効容積率 η

押出板型連続遠心脱水機

0.8

脱水機の回転速度 n

960 rpm

脱水機の内径 r2

400 mm

脱水機のストローク長 ℓ

120 mm

脱水機の縁内径 r1

200 mm

押出板の振動数 f

0.5 1/s

脱水機の深さ HB

400 mm重力加速度 g①脱水機の有効容積(0.121 kL)②固体重量(156 kg)③固体供給量(29.3 kg/s)④固体の平均滞留時間(5.33 s)(309)

⑤平均遠心効果⑥透過率(3.56×10－10m2)⑦毛管脱水時間(0.0742 s)⑧残留平衡飽和度(村瀬らの式)(0.0786)⑨平均飽和度(0.118)⑩含液率(湿量基準)(3.50 wt%)

99.81 m/s2

機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成

解答①脱水機の有効容積
Veff=π(r22－r12)HBη=π[(0.400)2－(0.200)2](0.400)(0.8)=0.12063 m3≒0.121 kℓ②固体重量ρb=ρp(1－ε)=(2160)(1－0.4)=1296 kg/m3
Ms=ρbVeff=(1296)(0.12063)=156.33 kg≒156 kg③固体供給量QM=ρbπ(r22－r12)ℓf=(1296π)[(0.400)2－(0.200)2](0.120)(0.5)=29.314 kg/s≒29.3 kg/s
④固体の平均滞留時間
τ =Ms/QM=156.33/29.314=5.3329 s≒5.33 s⑤平均遠心効果
Z=2π2n2(r1+r2)/g=(2π2)(960/60)2(0.200+0.400)/9.81=309.06≒309
Zc=2kcγ/(Dp2ρg)= (2)(10)(0.072)/[(0.0006)2(2160)(9.81)]=188.77≒189(<Z=309)遠心条件を満たしている。
⑥透過率
3
3
3
V=Vp/Dp =Dp /Dp =1
2
2
2
S=Sp/Dp =6Dp /Dp =6

SV= Sp/Vp=( SDp2)/( VDp3)=( S/ V)/Dp=6/0.0006=104 m2/m3
kp=[ε3/(1－ε)2]/(5SV2)=[(0.4)3/(1－0.4)2]/[(5)(104)2]=3.5555×10－10 m2≒3.56×10－10 m2⑦毛管脱水時間
L=r2－r1=0.400－0.200=0.200 m
tc=μεL/(ρZgkp)=(0.001)(0.4)(0.200)/[(1000)(309.06)(9.81)(3.5555×10－10)]=0.074212 s≒0.0742 s⑧残留平衡飽和度(大山・山口の式)Kp=ρZgDp2/(γcosθ)=(1000)(309.06)(9.81)(0.0006)2/[(0.072)(1)]=15.159(<21)
nav=12－27.8(ε－0.26)=12－(27.8)(0.4－0.26)=8.1080
S∞=SW=(3/4)[(1－ε)/ε]nav =(3/4)[(1－0.4)/0.4](8.1080)(0.0064)=0.058377≒0.0584(村瀬らの式)Kc=ρZgkp/(γcosθ)=(1000)(309.06)(9.81)(3.5555×10－10)/[(0.072)(1)]=0.014972(<0.02)
DpV=(6Vp/π)1/3=(6Dp3/π)1/3=(6/π)1/3Dp=(6/π)1/3(0.0006)=7.4442×10－4 m－44c=6/(SVDpV)=6/[(10 )(7.4442×10 )]=0.80599

S∞=0.075(50Kc)－(0.37)√(1－ c) =(0.075)[(50)(0.014972)]－(0.37)√(1－0.80599) =0.078623≒0.0786
設計上より安全側にある村瀬らの計算結果を採用する。
⑨平均飽和度
Sav=S∞+0.33(tc/τ)0.5=0.0786+(0.33)(0.074212/5.3329)0.5=0.11752≒0.118(別解)Sav=S∞+0.33[{μεℓf/(2π2n2ρkpHBη)}{(r2－r1)/(r2+r1)}]0.5=0.0786+0.33[{(0.001)(0.4)(0.120)(0.5)/(2π2(960/60)2(1000)(3.5555×10－7)(0.400)(0.8)}×{(0.400－0.200)/(0.400+0.200)}]0.5=0.11752≒0.118⑩含液率(湿量基準)ww=100ερSav/[(1－ε)ρp+ερSav]=(100)(0.4)(1000)(0.11752)/[(1－0.4)(2160)+(0.4)(1000)(0.11752)]10

機械的分離工学解説資料(新潟大・三上 貴司) 令和 5 年 2 月 8 日作成=3.500%≒3.50 wt%(乾量基準)wd=100ερSav/[(1－ε)ρp]=(100)(0.4)(1000)(0.11752)/[(1－0.4)(2160)]=3.6271%≒3.63 wt%

11