第2講

数 列 の 和 と いろいろな数列

ポイント 1 和の記号 ¸ nn

k＝1

k＝1

数列｛an｝の和 a1＋a2＋a3＋…＋an を， ¸ ak と書く。すなわち， ¸ ak＝a1＋a2＋a3＋…＋ann¸ ak は，k が 1，2，3，…，n と変化するときのすべての ak の和を表す。

k＝1m

また， ¸ ak は，数列｛an｝の第 ¬ 項から第m項までの和を表す。
k＝¬チェック１ 次の問いに答えよ。
⑴

次の和を¸を用いずに表せ。
2kk＝1 2k＋1
5ⅰⅱ

⑵

¸6

¸（2i−3）（i＋2）

i＝3次の和を¸を用いて表せ。
ⅰⅱ

3＋11＋19＋27＋35＋43＋51

232＋52＋72＋…＋（2n＋3）

elp

ポイント 2 ¸ の公式や性質 累乗の和n（ア） ¸ c＝c＋c＋c＋…＋c＝nc （c は定数）k＝1n 個のcの和n1（イ） ¸ k＝1＋2＋3＋…＋n＝ n（n＋1）
2
k＝1nm
a

1n（n＋1）（2n＋1）
6S（ウ） ¸ k2＝12＋22＋32＋…＋n2＝k＝1｛n（エ） ¸ k3＝13＋23＋33＋…＋n3＝k＝1¸と等比数列の和n｝

21n（n＋1）2n¸ ar k−1＝a＋ar＋ar 2＋…＋ar n−1 であるから， ¸ ar k−1 は初項 a，公比 r，項数nの等比数列の和をk＝1表しており，rn¸ ar k−1＝k＝1

k＝11 のときa（r n−1）r−1¸の性質
nnn

k＝1

k＝1

k＝1（ア） ¸（ak＋bk）＝ ¸ ak＋ ¸ bknn

k＝1

k＝1（イ） ¸ cak＝c ¸ ak （c は定数）チェック２ 次の和を求めよ。
⑴ⅰ⑵ⅰ⑶ⅰ810¸7k＝1ⅱ

19ⅲ¸kk＝1n¸ 3・（−2）k−1ⅱ

k＝1n¸（2k3＋3k2−k＋1）

k＝1ⅱ

n8n

¸

k＝1

¸（k＋2）（3k−1）

k＝1ⅳ

¸ k2

k＝311

¸ k3

k＝1

73kⅲ

n−1

¸（k2−k＋2）（n≧2）

k＝1

ポイント 3 数列の和と一般項 数列｛an｝において，初項から第n項までの和を Snとする。
n≧2 のとき
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an−1＋an ……①……②

Sn−1＝a1＋a2＋a3＋…＋an−1①−②よりSn−Sn−1＝an
また，S1＝a1以上より，初項から第n項までの和が Sn である数列｛an｝の一般項は
a1＝S1n≧2 のとき，an＝Sn−Sn−1
Sn−1 が定義されるのは n≧2 のときであるから，上記の式変形によって得られた式 an＝Sn−Sn−1 が必ず成り立つのは n≧2 のときに限られる。よって，数列｛an｝の一般項を表すときは，この式に n＝1 を代入したときの値が S1 の値と一致するか調べる必要がある。
（ア） S1 の値と一致する場合：1 つの式で表す。
（イ） S1 の値と一致しない場合：n＝1 のときと n≧2 のときに分けて表す。

elp

チェック３ 初項から第n項までの和 Sn が次の式で与えられる数列｛an｝の一般項を求めよ。
⑴⑵

Sn＝n2＋2nポイント 4 群数列 Sn＝n2＋2n−1ma

1 つの数列を順に数個ずつで区切った「群」に分けて考えたものを群数列といい，最初からn番目の群を第n群という。数列を群に分けて群数列として考えると，法則が分かりにくい数列でも，各群の項が共通な性質をもち，規則性がはっきりとする場合がある。

S

下の例について，もとの数列を群数列として考え，整理することにより，以下の手順で規則性をはっきりさせ，計算方法をみつけることができる。
例

数列 1，ⅰ12 1 2 3
12
7， ， ， ， ， ， ，…において，が第何項かを求める。
22 3 3 34410数列の項の特徴や性質に注目して，群に分ける。
分数の分母が等しい項をまとめた群に分ける。
1ⅱ│ 12 ， 22 │ 13 ， 23 ， 33 │ 14 ， 24 ，…

7が第何群の何番目の項かを求める。
10
分母が10であるから，第10群の 7 番目の項である。

ⅲ

第k群に含まれる項数を求める。
第k群，すなわち分母がkである項はk個ある。

ⅳ

ⅱ，ⅲで得られたことを利用する。
91
7
第 1 群から第 9 群の最後の項までの項数は ¸ k＝ ・9・（9＋1）＝45 より，はもとの数列の210k＝145＋7＝52（番目）になるから，第52項である。

チェック４ 下のように， 2 から順に偶数を並べて，第n群にn個の項が含まれるように群に分ける。
2 │ 4，6 │ 8，10，12 │ 14，…
このとき，次の問いに答えよ。
⑴

120は第何群の何番目に現れるか。

⑵

120が含まれる群の項の和を求めよ。

9

例 題 1 階差数列
次の数列｛an｝の一般項を求めよ。
⑴⑵

5，7，12，20，31，45，…

−6，−4，2，20，74，236，…

アプローチ

数列｛an｝の規則性がすぐにわからないときは，隣り合う 2 項の差をとってみると規則性が見出せることがある。bn＝an＋1−an とするとき，数列｛bn｝を数列｛an｝の階差数列という。
⑴の階差数列｛bn｝は等差数列，⑵の階差数列｛bn｝は等比数列であるから，階差数列｛bn｝の一般項が求められる。このような場合，以下の手順で数列｛an｝の一般項を求める。
ⅰ

数列｛an｝の階差数列｛bn｝の一般項を求める。

ⅱn≧2 のときn−1an＝a1＋ ¸ bkk＝1であることを用いて，an をnの式で表す。
ⅲ

bn−1 が定義されるのは n≧2 のときであるから，ⅱの an の式が必ず成り立つのは n≧2 のときに限られる。よって，数列｛an｝の一般項を表すときは，この式に n＝1 を代入したときの値 a1 が数列の初項と一致するかを確認する。

elp（ア） a1 の値と初項が一致する場合：1 つの式で表す。

（イ） a1 の値と初項が一致しない場合：n＝1 のときと n≧2 のときに分けて表す。

解答ma

数列｛an｝の階差数列を｛bn｝とする。
⑴

階差数列｛bn｝は2，5，8，11，14，…

⑵S

bn＝2＋（n−1）
・3＝3n−1
したがって，n≧2 のとき
n−1n−1k＝1

k＝1

2，6，18，54，162，…

であり，初項 2，公比 3 の等比数列であるから，その一般項はであり，初項 2，公差 3 の等差数列であるから，その一般項はは階差数列｛bn｝

bn＝2・3n−1

したがって，n≧2 のとき

an＝a1＋ ¸ bk＝5＋ ¸（3k−1）n−1n−1k＝1k＝1

an＝a1＋ ¸ bk＝−6＋ ¸ 2・3k−1＝−6＋1＝5＋3・ （n−1）
n−（n−1）2＝
an＝2（3n−1−1）
3−1＝3n−1−7
an＝3n−1−7 は n＝1 のときも成り立つ。

3 2 5n − n＋622

よって，数列｛an｝の一般項は

3 2 5n − n＋6 は n＝1 のときも成り立つ。
22

an＝3n−1−7

よって，数列｛an｝の一般項は
an＝3 2 5n − n＋622

類題１ 次の数列｛an｝の一般項を求めよ。
⑴−8，−4，4，16，32，52，…

⑵

19，21，19，13，3，−11，…

⑶

7，5，9，1，17，−15，…

⑷−1，7，11，13，14，10

29，…
2例 題 2 項が消える数列の和次の和を求めよ。
11
1
1＋＋＋…＋1・2 2・3 3・4n（n＋1）⑴

11
1
1＋＋＋…＋1・3 2・4 3・5n（n＋2）

⑵

アプローチ

数列
｛an｝の一般項が ak＝bk＋1−bk のような階差の形に変形できれば
nn¸ ak＝ ¸（bk＋1−bk）＝（b2−b1）＋（b3−b2）＋（b4−b3）＋…＋（bn＋1−bn）

k＝1

k＝1

＝（b2＋b3＋b4＋…＋bn＋1）−（b1＋b2＋b3＋…＋bn）＝bn＋1−b1nとなり，b2＋b3＋b4＋…＋bn の部分を消去することができるので，和 ¸ ak が求められる。
k＝1

1
1
1＝ −k（k＋1） k k＋1⑴……①より，1＝bk とすると bk−bk＋1 と表せるので，各項を①のようにk分解することで項が消える。

（11 1
1＝−k（k＋2） 2 k k＋2⑵） ……②より， k1 ＝b とすると 12（b −b ）と表せるので，各項を②kkのように分解することで項が消える。

k＋2elpn11¸ （bk−bk＋2）を計算すると （b1＋b2−bn＋1−bn＋2）より最初と最後の 2 項ずつが残る。
2k＝1 2

解答⑴ma1（k＋1）−k＝k（k＋1） k（k＋1）＝⑵

k＋1
k−k（k＋1） k（k＋1）

S11＝ −k k＋1であるから

11 （k＋2）−k＝ ・k（k＋2） 2 k（k＋2）＝であるから

（1 11−2 k k＋2（））

（）

1
11
11 1
1＝ 1− ，＝− ，…，
1・3 2
32・4 2 2
41
1
1
1 1＝1− ，＝ − ，…，
1・22 2・3 2 3（11 1
1＝−n（n＋2） 2 n n＋2）

よって

1
1
1＝ −n（n＋1） n n＋1

1
1
1
1＋＋＋…＋
1・3 2・4 3・5n（n＋2）

よって

（111
1 1＋ − ＋ − ＋…
2233 4）（ ）（ ）111
1 1
1＋（＋−−2 n−1 n＋1 ） 2（ n n＋2 ）1111＝ （1＋ −−2
2 n＋1 n＋2 ）＝1−

1n＝n＋1 n＋1

＝

1
1
1
1＋＋＋…＋
1・2 2・3 3・4n（n＋1）＝ 1−）（）（）
1＋（ n1 − n＋1）

（＝11
1 1
1
1 1
1
1− ＋− ＋− ＋…
2
32 2
42 3
5n（3n＋5）4（n＋1）（n＋2）

類題２ 次の和を求めよ。
⑴

1
1
1
1＋＋＋…＋
5・6 6・7 7・8（n＋4）
（n＋5）

⑵

1
1
1
1＋＋＋…＋
1・3 3・5 5・7（2n−1）（2n＋1）⑶

1
1
1
1＋＋＋…＋
1・5 3・7 5・9（2n−1）（2n＋3）⑷

11
1
1＋＋＋…＋1・7 4・10 7・13（3n−2）（3n＋4）

11演

習

問

題

パ ー ト 1 （p.8，9）

1 次の和を求めよ。
⑴⇒ポイント２2n¸（2k＋1）
（k＋1）

⑵

k＝1
n⑶

¸（2k＋1）（2k−1）⑷

k＝1

2 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。

n¸ k（n−k）

k＝1

（ ）

nk

k＝1

i＝1

¸ ¸i

⇒ポイント２⑴

4・1，5・3，6・5，7・7，8・9，…

⑵

1・（n＋1），2・（n＋2），3・（n＋3），4・（n＋4），5・（n＋5），…

3 初項から第n項までの和 Sn が次の式で与えられる数列｛an｝の一般項を求めよ。
⑴ Sn＝2−2n＋1⑵⇒ポイント３

Sn＝（2n−1）・3nelp1

4 次のように，初項 1，公比 3 の等比数列を第n群にn個の項が含まれるように群に分ける。
1│

1 1，3 9│1
11， ，27 81 243│

このとき，次の問いに答えよ。

ma
1，…
729

⇒ポイント４⑴

1は第何群の何番目に現れるか。
330⑵

1が含まれる群の項の和を求めよ。ただし，累乗は計算しなくてよい。
330

S

5 数列 1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，1，2，…について，次の問いに答えよ。

⇒ポイント４⑴

20回目に 3 が現れるのは第何項か。

⑵

初項から20回目に現れる 3 までの項の和を求めよ。

6 右図のように，自然数を1 段目には 1 から始めて 1 個，1段：

2 段目には 2 から始めて 3 個，2段：

3 段目には 5 から始めて 5 個，…

4段：と順に書き並べていく。
次の問いに答えよ。

⇒ポイント４⑴k 段目にある自然数の個数をkを用いて表せ。

⑵

109は何段目の左から何番目の自然数か。

123段：

5段：

152

34

6

78910 11 12 13 14 15 16
17 18 …

パ ー ト 2 （p.10，11）7 次の数列｛an｝の一般項を求めよ。
⑴

⇒例題１⑵

−7，−4，2，11，23，38，…

1，2，5 11 23 47， ， ， ，…
24816

8 数列 1，8，10，10，11，16，28，…を｛an｝とする。次の問いに答えよ。

⇒例題１⑴ ｛an｝の階差数列を｛bn｝，｛bn｝の階差数列を｛cn｝とする。
｛cn｝の一般項を求めよ。

⑵ ｛an｝の一般項を求めよ。

9 次の和を求めよ。

⇒例題２1111⑴＋＋＋…＋（n＋1）（n＋2） （n＋2）（n＋3） （n＋3）（n＋4）
2n（2n＋1）
1
1
1
1＋＋＋…＋3・7 5・9 7・11（2n＋1）（2n＋5）⑵

10 次の問いに答えよ。
⑴⇒例題２elp1
k（k＋1）（k＋2）＝ ｛k（k＋1）
（k＋2）
（k＋3）
−（k−1）k（k＋1）（k＋2）｝ ……① を用いて
4S＝1・2・3＋2・3・4＋3・4・5＋…＋n（n＋1）
（n＋2）

を求めよ。
⑵

k1
1＝ −（k＋1）! k! （k＋1）!
S＝……② を用いて

ma1
2
3n＋ ＋ ＋…＋2! 3! 4!
（n＋1）!

Sを求めよ。

11 次の和を求めよ。

⇒例題２1
1
1
1＋＋＋…＋
3 ＋15＋ 3
7＋ 5
2n＋1＋ 2n−1

⑴
⑵

816
24
8n＋＋＋…＋22（2n＋1）
12・32 32・52 52・72（2n−1）⑶

11
1
1＋＋＋…＋1・2・3 2・3・4 3・4・5n（n＋1）（n＋2）

パ ート 3n¸ nCk x k＝nC0＋nC1 x＋nC2 x2＋…＋nCn xn を利用して，次の問いに答えよ。
12 二項定理（1＋x）n＝k＝0⑴⑷n¸ nCk を求めよ。

k＝0⑵

nk
¸ nC（−1）を求めよ。
kk＝0nC¸ n kk を求めよ。
k＝0 3⑶nk（k−1）・nCk＝n（n−1）
・n−2Ck−2（2≦k≦n）が成り立つことを示し， ¸ k（k−1）
・nCk を求めよ。
k＝0

こう し

13 3 直線 y＝2x，y＝−x＋33，y 軸で囲まれた図形（境界線を含む）にある格子点の個数を求めよ。ただし，格子点とは，x 座標，y 座標とも整数である点のことである。

13