ＩＳＳＮ１３４６－７８３２

独立行政法人港湾空港技術研究所

港湾空港技術研究所
報告
REPORT OF
THE PORT AND AIRPORT RESEARCHINSTITUTE

VOL.53No.1 March2014

NAGASE,YOKOSUKA,JAPANINDEPENDENT ADMINISTRATIVE INSTITUTION,

PORT AND AIRPORT RESEARCH INSTITUTE

港湾空港技術研究所報告（REPORT OF PARI）
第 53 巻

第 1 号（Vol. 53,

目

No. 1）,

2014 年3月（March 2014）

次（CONTENTS）

1. 海水の圧縮性と地球の弾性を考慮した津波の分散解析··································································································· 高川智博 ·······

3（Dispersion Analysis of Tsunami Propagation with the Considerationof Water Compressibility and Earth Elasticity·········································································································Tomohiro TAKAGAWA）

港湾空港技術研究所報告第 53 巻第 1 号(2014.3)

海水の圧縮性と地球の弾性を考慮した津波の分散解析
高川

智博*

要

旨

2010 年チリ・マウレ地震や 2011 年東北地方太平洋沖地震で発生した大津波は，太平洋全域に伝播し，およそ 1 日かけて地球の裏側にまで到達した．その様子は太平洋全域の外洋に設置された
DART ブイによって捉えられ，高精度な観測波形が記録された．その結果，従来津波伝播の計算に多用されてきた数値モデルの計算に比べて，実際の津波の到達が顕著に遅いことが明らかになった．
2010 年チリ・マウレ地震の際には，気象庁が予測される津波の到達時間を発表したが，実際の到達が 60 分も遅かった地点もあった．避難行動に大きな影響を与えた例も報告されている．
本研究では，津波伝播遅延の原因として，海水の圧縮性と地球の弾性の影響を検討した．海水の圧縮性については，ポテンシャル理論を用いて独自にその遅延効果を導出した．また，これを変位－応力ベクトルに基づく多層弾性体の理論と連成し，一連の分散解析スキームとしてとりまとめた．
得られた分散曲線には，通常の風波にみられる正分散と弾性床の影響による逆分散，そして波数依存性のない圧縮性による伝播速度の低減という 3 つの特徴がみられる．3 つの効果について津波の波形に与える影響を行った．逆分散が生じる弾性床の場合には，隆起域のみからなる波源であっても伝播に伴い押し波に先行する引き波が発達するようになる，これを前駆反転波と呼ぶこととした．
前駆反転波は 2010 年チリ津波や 2011 年東北津波の観測波形にも認められる．これは津波の波形が地球の弾性による逆分散の影響を受けていることを示す強い証拠である．
提案した分散解析スキームを地球内部モデル（PREM）に適用し，地球モデル上での津波の分散特性を定量的に示した．津波の第一波の到達時間を正確に予測することを目指し，得られた分散関係から最大波速を水深の関数として整理した．最大波速を用いた新しい津波伝播計算モデルを提案
し，2010 年チリ津波と 2011 年東北津波の観測波形を定量的に比較した．その結果第一波到達時間の推定バイアスが従来モデルでは 1.1％であったのに対し，提案モデルでは 0.10％に低減され，推定精度を 1 桁高めることに成功した．これは地球の裏側から伝播してくる津波であっても推定誤差 5分以内の精度で予測できる精度である．提案した補正手法は既存の津波平面伝播計算モデルに容易に取り込むことが可能であり，津波の想定や予測等の実務計算への幅広い応用が期待される．
キーワード：海水の圧縮性，地球の弾性，第一波到達時間，津波，伝播遅延，分散性* アジア・太平洋沿岸防災研究センター 研究官〒239-0826 神奈川県横須賀市長瀬3-1-1
独立行政法人 港湾空港技術研究所
電話：046-844-5052
Fax：046-844-1274
E-mail：takagawa-t@pari.go.jp-3-

REPORT OF THE PORT AND
AIRPORT RESEARCH INSTITUTE
Vol.53, No.1 (Mar.2014)

Dispersion Analysis of Tsunami Propagation with the Considerationof Water Compressibility and Earth Elasticity
Tomohiro TAKAGAWA*

Synopsis
The discrepancy of tsunami arrival time between tsunami simulations and offshore observations
has been widely recognized since the 27 February 2010 Chile tsunami and the 11 March 2011 Japantsunami. More than three hours before the first tsunami attack of 2010 Chile tsunami, Japan
Meteorological Agency distributed the forecast of the tsunami arrival time. In the case, thediscrepancy reaches more than 60 minutes at some observation sites. It was pointed out that the
information might mislead some evacuees to return back too early.
The delay effect due to the compressibility of the ocean-water was derived originally by thepotential theory of compressible fluid dynamics. The theory was coupled with the Rayleigh wave
theory in a multi-layered elastic media. The dispersion relationship derived by the coupled theory is
characterized by the three effects: a normal dispersion derived by small-amplitude wave
approximation, an inverse dispersion derived by the elastic motion of a sea bottom, a phase velocity
reduction independent with the wave number. The inverse dispersion causes a reverse forerunnerwave which is characterized by the arrival before the main signal and the reversed waveform. The
existence of the reverse forerunner waveform was detected in the two tsunami events. It is thought
to be a strong support of the existence of the tsunami modification by the elastic bottom.
The proposed coupling theory was applied to the global tsunami propagation on the basis of thePreliminary Reference Earth Model (PREM). The ocean-depth dependency of the tsunami
dispersion relationship was analyzed. Based on the dispersion analysis, we proposed a new tsunami
propagation model in which is incorporated by a maximum phase velocity function. Although theprevious model has 1.1% bias of the estimation of tsunami arrival time, the proposed modelsignificantly reduce the bias ten times. The error of tsunami arrival time is expected within 5
minutes even when a tsunami propagates from the opposite side of the earth. This model can beincorporated easily into existent tsunami propagation models. A wide application for practical useof tsunami simulations is expected.
Key Words: arrival time, delayed propagation, ocean-water compressibility, solid-earth elasticity, tsunami,
wave dispersion* Researcher, Asia-Pacific Center for Coastal Disaster Research
3-1-1, Nagase, Yokosuka, Kanagawa 239-0826, JapanPort and Airport Research Institute
Phone : +81-46-844-5052
Fax : +81-46-844-1274
E-mail : takagawa-t@pari.go.jp

-4-

目

次

旨 ······························································································································································

3

1. はじめに ························································································································································

7

1.1

研究の背景と目的 ·······························································································································

7

1.2

津波の伝播遅延に関する既往研究 ··································································································

7

1.3

本研究の概要と論文の構成 ··············································································································

8

2. 分散理論 ························································································································································

82.1

基礎方程式と一般解 ···························································································································

82.2

境界条件 ················································································································································

92.3

分散関係の導出手順 ···························································································································

9要

3. 海水の圧縮性と地球の弾性 ······················································································································· 10
3.1

海水の圧縮性 ······································································································································· 10

3.2

地球の弾性 ············································································································································ 11

4. 遠地津波の平面伝播計算への適用 ·········································································································· 13
4.1

計算モデル ············································································································································ 13

4.2

計算条件 ················································································································································ 13

4.3

観測データ ············································································································································ 14

4.4

まとめ ···················································································································································· 15

5. 結論 ································································································································································ 16
謝辞 ······································································································································································· 16
参考文献 ······························································································································································ 16-5-海水の圧縮性と地球の弾性を考慮した津波の分散解析

1. はじめに2011; Yamazaki et al., 2012; Grilli et al., 2012; Kusumoto et al.,2012）．
津波伝播の理論は古くから知られており（Airy，1845;

1.1 研究の背景と目的
2010年チリ地震は2010年2月27日3時34分（現地夏時Thomson, 1887; Takahashi, 1943, 1949; Murty, 1977），そこで間；日本時間は同日15時34分）にチリ中部で発生した海は津波の伝播現象は固定床上の一様水深の海洋における溝型巨大地震（M8.8）である．この地震により大津波が重力波の問題として扱われ，長波（浅水）近似にもとづ生じた．チリでは津波の遡上高が最大28mに達し，死者・いて解かれてきた．海洋の水深は高々数km程度であるの

行方不明者800名を超える甚大な被害が生じた（例えば，に対し，津波の波長は数百kmに及ぶためである．長波でFritz et al., 2011）．この大津波は太平洋全域に伝播し，約1日後に地球の裏側に位置する日本沿岸にも押し寄せ，宮は，津波の伝播速度，すなわち位相速度cは，重力加速度gと水深hを用いて gh と表される．伝播速度が波数kと無古湾で2mを超える津波の痕跡高さが確認されている（高関係に水深だけで決まるため，分散性が無く，1次元の津橋ら，2010）．気象庁は地震発生の26分後から遠地津波に波伝播を考えた場合には，波形が崩れることはない．一

関する情報を発表し，地震発生からおよそ18時間後の翌方，微小振幅波近似では位相速度が波数に依存した以下

28日9時33分には津波警報・注意報を発表している．つづの関係が導かれる．

いて9時35分には津波到達予想時刻・予想される津波の高c=

さに関する情報を発表した．警報を聞いて高台に避難しgtanh khk(1)

た沿岸住民の中には，避難所で津波予想到達時刻を迎え

この式は水深に比して波数が小さい場合は，長波近似にた時，テレビ放送等で津波の第1波が小さかったことを知一致する．一方で波数が大きい場合，すなわち波長が短って，津波警報が継続しているにも関わらず警報発令後1い場合には，短ければ短いほど伝播速度が小さくなるこ

時間足らずで自己判断で自宅に戻った住民も多かったととを表している．この場合，波数毎に位相速度が異なり，いう（谷岡，2010）．幸いにも日本国内においては人命に分散性をもつ．短波長成分が次第に遅れるため波形が伝関わる被害はなかったものの，後に気象庁が潮位観測点

播に伴って徐々に崩れる．長波近似（後藤，佐竹）ほどのデータを検証したところ，実際の津波の到達が予測よ

主流ではないが，津波の伝播計算の分野でもこのようなりも60分以上遅かった地点があった（気象庁，2012b）．

分散性を再現可能な数値モデルが開発され，実現象に適避難行動への影響の大きさを鑑みるに，こうした予測誤用されている（例えば，鴫原・藤間，2007；Saito et al., 2010）．

差は無視できない問題である．この検証では震源から離波数の増加にともなって位相速度が減少する種類の分れた遠地での観測結果では，数値モデルを用いた予測よ

散現象は津波以外にも様々な波動現象に見られるため，りも実際の津波の到達が遅かったことが示されている．

正常分散あるいは正分散などと呼ばれる．式（1）は長波

この傾向は2011年3月11日に発生した東北地方太平洋沖地の波速と比べて波速を低減するため，津波の遅延現象を

震津波でも確認された（Yamazaki et al., 2012; Grilli et al.,

説明しうるものと期待されるが，後続波形の再現性を向2012; Kusumoto et al., 2012）．しかし，その原因については上させるという研究例はあるものの（鴫原・藤間，2007；

未解明であった．

Saito et al., 2010），伝播遅延による位相のずれは説明するには至っていない（佐竹ら，2010）．

本研究ではこの津波伝播の遅延現象の原因を究明し，津波の予測精度，特に第1波到達時間の予測精度を向上さ

津波の伝播速度や分散関係に影響を与えるものとして，せることを目的とした．これは，津波の伝播機構の解明

次に有力な候補として，海水の圧縮性や海底あるいはそという学術的な面のみならず，警報等を通じた被害の軽の下の地球の変形を考慮することが挙げられる．これら減という実用的な面からも重要な研究課題である．

は古くから理論的な検討が行われていたが（例えばWard,

1980; Comer, 1984），津波の観測波形との比較といった定
1.2 津波の伝播遅延に関する既往研究

量的な検証は全く行われていなかった．最近の観測波形とWard（1980）に代表される従来の理論の枠組みから推

近年，GPS波浪計や海底水圧計，DARTブイなどの沖合の津波観測網が整備され，精度の高い観測波形が多数得定される波数分散関係を比較したTsai et al.（2013）によれられるようになった．精度の高い津波の観測波形が得らば，これらの理論では海水の圧縮性を考慮しているもの

れるにつれて，実際の津波が数値モデルで予測されるよの圧縮性に伴う密度変化の影響を考慮していないためにりも遅れて到来することが指摘されているようになった

観測値に見られる伝播遅延を十分説明できない．例えば（Simons et al., 2011; Watada et al., 2011; Kusumoto et al.,Okal（ 1982）は圧縮性にともなう津波伝播速度の低減率-7-高川 智博を 1 − gh 6v p 2 と導いている．一方，Tsai et al.（2013）は，圧縮性に伴う密度変化の影響をエネルギーの視点から新たに評価し，低減率 1 − gh 4v p 2 を導いている．最近Watada（2013）は両者の係数の違いが，圧縮性に伴う密度変化の取り扱いに起因することを示している．これらの研究
では津波の分散関係の基本的な性質を明らかにすることを目的としており，具体的な個々の観測波形のレベルでその影響を検討するような検証は行われていない．
またこのような地球を鉛直方向の 1 次元で近似する理論解析とは別に，基礎方程式を3次元的に差分化し，これらの影響を考慮した大規模計算を実施する研究も始まっ

図-2.1 海洋－多層弾性体モデルの模式図．しかしながら，そのている（例えば，Maeda et al., 2013）
適用は狭い領域に限られ，全球規模の津波伝播を扱うの

2.1 基礎方程式と一般解は現在のスーパーコンピュータでも不可能である．こうここでは流体を非粘性，運動を非回転とみなし，水平した最新の研究成果を実際に活用するためには，実用的方向に伝播する波動のみを考慮するものとする．そしてな現象のモデル化が必要である．

線形長波近似を用いると，水粒子の運動は速度ポテンシ
ャルを用いて次式で表される（Nakamura，1961）
．
∂ 2φ
∂φ
− v p 2∇ 2φ + g
=0
2
∂t
∂z

1.3 本研究の概要と論文の構成
本研究では第2章において，海水の圧縮性が津波伝播速(2)度に及ぼす影響をポテンシャル理論に基づく独自の方法

ここで，tは時間，gは重力加速度である．ここで左辺の第で導出し，既往研究との関係を議論する．多層弾性体の2項が圧縮性に関係する項であり，この項を除いた場合に影響については既往の変位－応力ベクトルに基づく理論

は非圧縮性を仮定した場合の基礎式と一致する．このと的枠組みを利用し，両者を接続した分散関係の導出過程

き，φの解は次式の形で表すことができる．

を提示する．

φ = eγ z ( A sinh κ z + B cosh κ z ) ei[kx −ωt ]第3章では，海水の圧縮性や地球の弾性を考慮すること

κ 2 = k2 −で津波の波形にどのような影響が出るのかを検討し，逆

ω

2

vp2

+ γ 2 ，γ =(3)g2v p 2

分散によって「前駆反転波」という特徴的な波形が生じ

ここで，k は波数，ω は角速度，A と B は定数，i は虚数ることを示す．

を表す．このとき圧力と z 方向速度はそれぞれ次のよう第4章では，3章までで得られた解析結果を実用的な津に表される．

波計算モデルに取り込む方法を提案し，その有効性を実

ρ0際の観測波形と比較することで定量的に検証する．なお，
この際観測波形にも前駆反転波の特徴が認められること

∂φ
∂φ
，−
∂z
∂t

(4)

弾性体の運動方程式は以下のように表される．

も合わせて示すほか，今後の課題についても議論する．

∂ 2ux∂σ xx ∂σ xz= ρ fx +
+
∂t 2
∂x
∂z
∂ 2uz
∂σ zx ∂σ zz+
ρ 2 = ρ fz +
∂t
∂x
∂z

ρ

第5章は結論であり，前章までの結果を整理する．

2. 分散理論(5)

ここで， ui は i 方向の変位， f i は i 方向に働く外力，σ ij
多層弾性体の上の圧縮性流体の表面波の伝播について

は i 方向に垂直な面に作用する j 方向の応力を表す．な考察する．多層弾性体は半無限弾性体とその上に重なる

お，外力として重力が考えられるが，以下では重力によ

複数の水平な弾性体の層からなり，層内の物性値は一定

る静的な釣り合い状態を変位の基準にとることにより外であるものとする．また，海底面も水平を仮定する．検力項をゼロとして議論を進めることとする．

討する多層モデルと座標系を図-2.1 に示す．ここで，ρ

等方弾性体を仮定すると Hooke の法則から以下の応力は媒質の密度，vp は液体層内の音速，λ と μ は Lamé 定数，と変位の関係式が得られる．

h は各層の厚さである．

-8-

海水の圧縮性と地球の弾性を考慮した津波の分散解析

∂u x
∂u z
+λ
∂x
∂z
∂u z
∂u x
+λ
σ zz = ( λ + 2 μ )∂z∂x⎛ ∂u z ∂u x ⎞+σ xz = σ zx = 2 μ ⎜
⎟
∂z ⎠
⎝ ∂x

σ xx = ( λ + 2 μ )対応する固有ベクトル a± ， b ± は()
b = ( ± β , μ ( k + α ) , k , ±2k μβ )a ± = k , ±2k μα , ±α , μ ( k 2 + α 2 )

(6)

2

±

2

であり，連立微分方程式(8)の一般解は次のようになる．

流体層の剪断応力は弾性体層に比して無視でき，

r = Ca+ e+α z + Db+ e+ β z + Ea−e−α z + Fb−e− β zRayleigh 波を対象として解析する．Takeuchi・Saito（1972）(10)

ここで C，D，E，F は定数である．

に倣い x 方向に進行する Rayleigh 波の変位を以下のようにおく．

2.2 境界条件
u x = ir3 exp ⎡⎣i ( kx − ω t ) ⎤⎦水面においては，圧力が常に大気圧に等しく一定で，(7)u z = r1 exp ⎣⎡i ( kx − ω t ) ⎦⎤表面の粒子が常に表面にある条件から，次の自由水面の境界条件を満たす必要がある．

式(6)に代入すると，次式が得られる．

∂ 2φ
∂φ
+g
= 0 ( z = z0 )
∂t 2
∂z

∂r1 ⎞
⎛
σ xx = ⎜ − k ( λ + 2 μ ) r3 + λ ⎟ exp ⎣⎡i ( kx − ω t ) ⎦⎤∂z ⎠⎝σ xz = σ zx = ir4 exp ⎡⎣i ( kx − ω t ) ⎤⎦σ zz = r2 exp ⎡⎣i ( kx − ωt ) ⎤⎦(11)

流体－固体境界となる水平を仮定した水底においては，

z 方向の速度が連続で，水平方向の剪断応力がゼロに等(8)

しく，鉛直方向の応力が連続であることから以下の条件∂r1
r2 = ( λ + 2 μ )− k λ r3∂z
⎛ ∂r3⎞
r4 = μ ⎜+ kr1 ⎟
⎝ ∂z⎠が課される．
∂φ ∂u z=( z = z1 )
∂z
∂t

(12)

σ zx = 0 ( z = z1 )

(13)

∂φ
+ g ( ρ1 − ρ0 ) u z = 0 ( z = z1 )
∂t

(14)

−

ここで， rj （j = 1, 2, 3, 4）は z, k, ω の関数である．
変位と応力を運動方程式(5)に代入して整理すると，次σ zz + ρ0の連立線形微分方程式の形になる．
∂r
= Mr
∂z
⎛ r1 ⎞⎜ ⎟r2r=⎜ ⎟⎜ r3 ⎟⎜ ⎟⎝ r4 ⎠

固体－固体境界では変位と応力が連続することから

r+ = r−(9)(15)という条件が課される．ここで添字の±は境界の上側と下側の値を示す．
固体の最下層は半無限弾性体として取り扱い，無限遠で変位がゼロとなる以下の条件を課す．

ここで，行列 M の非ゼロ要素は以下のとおりである．

r → 0 ( z → −∞ )M 12 = 1 ( λ + 2μ ) , M 13 = k λ ( λ + 2 μ ) ,(16)

M 21 = −ω 2 ρ , M 24 = k ,2.3 分散関係の導出手順

M 31 = −k , M 34 = 1 μ ,これまで述べてきた基礎方程式と境界条件を全て満た

M 42 = − k λ ( λ + 2 μ ) ,M 43 = k ( λ + 2 μ − λ22

す k, ω の関係を導出するのがここでの目的である．解析( λ + 2μ ) ) − ω ρ的に求めることはできないため，特定の k に対し，ω を2変化させて，境界条件を満たす値を探索する．境界条件
ベクトル r は変位－応力ベクトルと呼ばれ，各要素がのチェックは最下層の半無限弾性体から上方向に向かっ変位と応力の比例係数となるように定義されているため，て以下の手順で行う．

後で述べる変位や応力に関する境界条件を容易に r の条

①最下層の半無限弾性体内の運動は式(10)を使って記件に置き換えることができ便利である．

述でき，境界条件(16)から E = F = 0 となる．従って以下

行列 M の固有方程式から固有値を求めるとのようになる．

r ( zn ) = Ca + e+α z + Db + e + β z± k 2 − ω 2 ρ ( λ + 2μ ) , ± k 2 − ω 2 ρ μが得られる．これら固有値をそれぞれ ±α ，± β とおくと，(17)②水底における変位－応力ベクトル r(z1)は以下のよ-9-高川 智博

うに連立微分方程式(9)を z 方向に積分することによって

R41 = i ρ 0ω sinh (κ h ) e − γ h求められる．

R42 = i ρ 0ω cosh (κ h ) e − γ hn −1r ( z1 ) = r ( zn ) + ∑ ∫
m =1

zm

zm+1

∂r
dz
∂z

R43 = ( a 2 + g ( ρ1 − ρ0 ) a 1 ) e −α h

(18)

(

)

R44 = b 2 + g ( ρ1 − ρ 0 ) b 1 e − β h

上記の積分は Runge-Kutta 法などを用いて数値的に行うこともできるが，ここでは行列法（Thomson-Haskel 法）

したがって，全ての境界条件を満たす解が存在する条件

を用いて行った．行列法では，図-2.1 の固体層のように

は，式(20)が非自明な解をもつ以下の条件に等しい．

鉛直方向に不均質な媒質が均質半無限空間上の均質層のdet R = 0積み重なりに置き換えられ，式(18)の積分は以下のよう

ここで，Rはk，ω，h，vpとρ，λ，μのz方向の分布によっに行列の積の形に書き換えられる（Takeuchi・Saito, 1972）．
r ( z1 ) = P ( h1 ) ⋅ P ( h2 ) ⋅⋅⋅ P ( hn −1 ) ⋅ r ( zn ) = P ⋅ r ( zn )(21)て決まる行列である．

(19)

手順①～③を通じ，あるkに対して式(20)を満たすωを数値的に探索することで分散関係が導かれる．

ここで P(h)の成分は以下のように与えられる．
P11 ( h) = P22 ( h ) = 1 +
P12 ( h ) =1 ⎡ω 2 ρ ⎢⎣−α 2

P13 ( h) = − P42 (h ) =

2μ ⎡
αh
βh⎤
− ( k 2 + β 2 ) sinh 2+ 2k 2 sinh 2ω 2 ρ ⎢⎣
2
2 ⎥⎦sinh α hα+ k2

3. 海水の圧縮性と地球の弾性

sinh β h ⎤β ⎥⎦3.1 海水の圧縮性

k μ ⎡ 2 sinh α hsinh β h ⎤− (k2 + β 2 )2αω 2 ρ ⎢⎣αβ ⎥⎦津波の伝播特性に与える圧縮性の影響を調べるため，
海底面の変形が無視できる場合について考察する．この

2k ⎡
αh
βh⎤
− sinh 2
P14 ( h ) = − P32 (h ) = 2 ⎢sinh 2
2
2 ⎥⎦
ω ρ⎣

場合は境界条件として式(11)，(12)のみを考慮すればよく(13)の右辺が零となることから分散関係はRの小行列の形

2 sinh α hsinh β h ⎤μ2 ⎡+ 4k 2 β 2P21 ( h) = 2 ⎢ − ( k 2 + β 2 )
α
β ⎥⎦
ω ρ⎣

で以下のように表される．

⎡ R11
det ⎢
⎣ R21

P23 ( h) = − P41 ( h) = 2 μ 2 ( k 2 + β 2 ) P14 ( h)P24 ( h) = − P31 ( h) =kμ ⎡ 2( k + β 2 ) sinhαα h − 2β 2 sinhβ β h ⎤⎥
ω 2 ρ ⎢⎣⎦

P33 ( h ) = P44 ( h) = 1 +
P34 ( h) =P43 ( h) =

R12 ⎤
=0
R22 ⎥⎦(22)

整理して⎛ γ2 ⎞⎜1 − 2 ⎟ tanh κ hκ ⎠2
ω = gκ ⎝γ
1 − tanh κ h2μ ⎡ 2αhβh⎤
2k sinh 2− ( k 2 + β 2 ) sinh 2ω 2 ρ ⎢⎣22 ⎥⎦1 ⎡ 2 sinh α hsinh β h ⎤
k
−β2
α
β ⎥⎦

(23)

κ

ω 2 ρ ⎢⎣

2 sinh β h ⎤μ 2 ⎡ 2 2 sinh α h− (k 2 + β 2 )4k α
ω 2 ρ ⎢⎣αβ ⎥⎦ここで，vp→∞の極限を検討すると，κ→k，γ→0であることから式(23)は ω 2 = gk tanh kh となり非圧縮性を仮定した③境界条件(11)～(14)に式(3)，(7)，(8)を代入すると A，B，場合に導かれる分散関係と一致する．したがって，式C，D に関する以下の連立方程式が得られる．

(23)で示される分散関係は非圧縮性の場合を含むより一R(A B CD) = 0T

般的な式であるということが言える．

(20)波長に比べて水深が深い深海波の場合を検討すると，

ここで，Rの非ゼロ成分は下記の通りである．なお，h = h0 ，a = P ⋅ a+ ， b = P ⋅ b+ とした．

κ h  1 で tanh κ h ≈ 1 より，⎛ γ⎞
ω 2 = gκ ⎜1 + ⎟ = g (κ + γ )⎝ κ⎠

R11 = gκR12 = gγ − ω 2

式(3)よりκ，γを代入して整理すると

R21 = ( γ sinh (κ h ) − κ cosh (κ h ) ) e − γ h
R22 = (κ sinh (κ h ) − γ cosh (κ h ) ) e(24)

ω 2 = gk

−γ h

(25)

となる．これは非圧縮性を仮定した場合に得られる分散関係 ω = gk tanh kh において深海波条件を適用した場合に2

R23 = iωa 1e
R24 = iω b 1e − β h−α h一致する．このことから深海条件においては圧縮性の影−α h

R33 = a 4 e
R34 = b 4 e − β h

響はないと言える．
一方，水深に比べて波長が長い長波の場合を検討する- 10 -

海水の圧縮性と地球の弾性を考慮した津波の分散解析と， κ h  1 で tanh κ h ≈ κ h より

⎛ γ2 ⎞
ω2k2 − 2⎜1 − 2 ⎟ κ h
2
2
κ ⎠
κ −γ
vp
ω 2 ≈ gκ ⎝
= gh
= gh
γ
gh
1
γ
−
h
1− κh
1−
κ
2v p 2

3.2 地球の弾性
地球内部の密度，剛性率，圧力，地震波の伝播速度な(26)

どの物性を深さの関数として表した地球モデルの代表的な も の に Preliminary Reference Earth Model （ PREM,

整理して

Dziewonski・Anderson，1981）がある．PREMは膨大な数
1
−
2

ω

1
−
2

gh ⎞ ⎛
gh ⎞
⎛
1+
= 1−
gh
k ⎜⎝ 2v p 2 ⎟⎠ ⎜⎝ v p 2 ⎟⎠
gh ⎞⎛
gh ⎞
gh ⎞
⎛
⎛
gh ≈ ⎜1 −gh
1−≈ ⎜1 +
2 ⎟⎜2 ⎟2 ⎟⎝ 4v p ⎠⎝ 2v p ⎠⎝ 4v p ⎠c=の地震波の観測データに基づいて得られたモデルであり，津波の伝播現象とは独立に得られたモデルである．

(27)

前章の多層弾性体モデルにPREMの海底からコア－マ
ントル境界までの物性値を適用し，津波の分散関係を求2

ここで gh v p  1 という近似を用いている．この値は長めた結果を図-3.1(a)に示す．横軸は津波の波長，縦軸波の波速と水中音速の比の 2 乗であり，水深を太平洋のは長波の波速 c0 = gh に対する波速cの比であり，水深に平均的な水深である4000mとし，水中音速を1450m/sとすよる違いを示している．太平洋の平均的な水深である水ると，この値は0.019であることから地球海洋における津深 4000mの場合については比較のため，海水を非圧縮と波伝播を考察する上では有効な近似といえる．

した場合（①）と海水の圧縮性のみを考慮した場合（②），

式 (27)より，圧縮性を考慮した場合，非圧縮性の長波

さらに地球の弾性を考慮した場合（③）の3つを示した．

gh に 比 べ て 波 速 が 低 下 し ， そ の 低 減 率 はこれらの比較から，地球の弾性を考慮することにより津の波速

1 − gh 4v p で表わされることがわかる．

波の長波長成分の波速が低減されることがわかる．一般

2

図-3.1(a)には水深4000mの場合の分散関係を，長波のの風波などに見られる波長の短い成分ほど伝播速度が低波速 c0 = gh に対する波速cの比で示した．ここでは圧縮下するような分散は「正分散」と呼ばれる．一方，弾性性を考慮しないもの（①）と考慮したもの（②）を合わを考慮した場合の長波長側に見られるような長い波長成せて示した．短波長側で両者は漸近する一方，長波長側分ほど伝播速度が低下するような分散は「逆分散」と呼では圧縮性の効果により波速が低減される．水中音速をばれる．地球の弾性を考慮することにより，津波は短波1450m/sとすると，低減率は0.47％である．観測された津長側で正分散を，長波長側で逆分散を示す．これによ

波到達の遅延は伝播速度にして1%程度の低下であること

り，一定水深の場においてある特定の波長で波速が最大を考えると，圧縮性により，遅延効果のおよそ半分を説

値を示すことになる．水深 4000mの場合は波長 250km程

明できることがわかる．なお，Tsai et al. (2013)はエネル

度の津波の成分が最も速く伝播し，その場合の波速低減

ギーを評価する方法で圧縮性による波速低減効果を導い率は 0.89% である．これは，さまざまな観測で示唆されている．細かな表式の違いはあるが，これと等価な低減ている減速率1%と同じ程度の値であり，海水の圧縮性と率式を導いている．全く異なるアプローチであるにもか

海底下の弾性を考慮した津波伝播計算を行うことによりかわらず，同じ結果が得られたことには一定の意義があ

地球上の津波伝播を精度よく計算することが可能になる

るのではないだろうか．

と期待される．

図-3.1(a)海洋－多層弾性体地球モデル上の津波の分散関係(b)長波波速に対する最大波速の比と水深の関係- 11 -

高川 智博

ここで示された正分散と逆分散により津波の波形がどのように変化するのかを図-3.2に示す．ここでは半無限弾性体1層の上に海洋が乗った単純な1次元モデルの計算結果を示している．計算では，初期波形として標準偏差30kmの正規分布を与え，一様水深4000mを20時間伝播した後の波形を示している．分散性がない場合は波形が崩れないため，初期と同じ正規分布の波形となる（ただし，1次元モデルでは初期波形が正の方向と負の方向にそれぞれ伝播するため高さは初期の半分になる）．微小振幅波理論から導かれる正分散を考慮すると，周期が短い成分ほど伝播速度が遅いため，波のピークの高さは減少し，ピークに達する時間が遅くなる．また第1波の後ろに周期の短い波列が続くのが特徴である．これは波数

図-3.2 分散による津波の波形変化の大きな成分ほど伝播速度が遅いために生成されるものである．一方，後続波のような波の分裂と比べるとあまり目立たない変化であるが，正分散によって波の立ち上がり早くなる（DeDontne・Rice，2012；図-3.2）．
これは一見不思議な印象を与える．というのは長波近似の非分散の波形と微小振幅波近似の正分散の波形の先端部分を比較すると，分散波では長波より位相速度が低下するのにも関わらず，波形が長波近似の波形よりも先行する部分にまで影響を及ぼしているからである．位相速度が遅いのになぜ先端は速く立ち上がるのであろう
か．これを理解するには波形あるいは信号を波数毎に分解して考える必要がある．周期的な信号，あるいは非周期的な信号も周期無限大の周期的な信号と考えれば，フーリエ変換により様々な周波数の正弦波の合成として表図-3.3 分散による津波の波形変化現できる．したがって，図-3.2で示した標準偏差で示されるようなある一定の幅を持つ区間に集中したような波-3.1に示した圧縮性が分散関係に与える影響が広い波数形であっても波数成分を取り出せばそれは特定の区間を領域にわたって一定の割合で位相速度を低減するためでもたない無限に幅をもった周期信号なのである．これらある．

が互いに同じ位相速度で移動していれば合成波形は形を最後に，これに地球の弾性による分散効果を加える

変えず，移動の影響は特定の区間の外側に影響を与えると，さらに波形全体が時間的に遅れる方向へシフトすることはない．ところが分散があるとこれらの位相がずれと共に第1波ピークの前で海面が低下するような波形にる．そしてずれるのは無限に幅をもった周期信号であ変化する．これは長波長成分の逆分散によるものである．したがってその影響ははじめにみられた信号区間のる．

外側にも影響が広がる．ずれるのが無限の幅をもった周次に初期波形の波長の違いによる影響を見るため，初期信号であることを考えれば，それらを再合成した際に期波形としてやや波長の長い標準偏差100kmの正規分布

その影響が波形の前方にも後方にも及ぶのは当然であを与えた場合の結果を示す（図-3.3）．この場合は，20る．このことは後で地球の弾性に伴う逆分散を考える際時間という太平洋横断に要する標準的な時間を伝播したにも同じことが言える．

後であっても，正分散の影響はわずかである．一方，波次に微小振幅派理論から導かれる正分散に加え，圧縮長の長い成分に関してより影響の大きい海水の圧縮性や性の影響を加味した場合の波形の変化をみる（図-3.2），

地球の弾性を考慮した場合には位相の遅れや，第1波ピすると，波形自体の変化は少なく，位相が遅れる方向へ

ークの前面で海面が低下する同様の傾向が認められる．

全体にシフトしている様子が見て取れる．これは，図

ここでは，このように逆分散の影響で第一波のピーク- 12 -

海水の圧縮性と地球の弾性を考慮した津波の分散解析

より前に，ピークとは逆向きに生ずる波を「前駆反転波」

ラメーターである．運動方程式に見られる gh は長波のと呼ぶことにする．前駆反転波はWatada et al. (2012)が遠波速に対応する．ここではこの長波波速を地球モデルに

地 津波の観 測波形 にみら れる 初期反転 位相（ Riversed

よって得られた最大波速でcmax(h)置き換えた以下の運動

initial phase）としてはじめて指摘したものであり，正分散方程式を実用的な遠地津波計算の基礎方程式として提案の場合に見られた非分散の場合の波形よりも前方で波形する．
∂M cmax ( h ) ∂η+
= − fNR cos θ ∂λ∂t2の変化が生じる現象と同じ原因で生じた波形と考えられる．正分散の場合とは異なり，前駆波の変位が元々の信∂N cmax ( h ) ∂η
+
= fM
∂t
∂θ
R
2

号の向きと反対であるのが特徴である．図-3.2，3.3を見ると逆分散で生じる前駆反転波の影響は第一波の押し(29)

波よりも数十分以上先に水位に影響を与え始め，その鉛基礎方程式の波速に関係する部分に補正を加えるという直変位量は元々の波源の変位の数割程度と無視できない

手法はInazu and Saito (2013)でも提案されており，そこで大きさである．前駆反転波は図-3.2，3.3で示したようは津波の遅れを再現するための自由パラメーターが導入

な押し波成分のみからなる初期波形の津波が生成されたされている．これに対し，本研究で提案した手法は，遅としても太平洋の反対側など長距離を伝播して逆分散のれに関するパラメーターを圧縮性や弾性という物理的な影響が顕著になる場所では第一波が引き波から始まるこメカニズムと地球の物性パラメーターに基づき推定できとになるという興味深い現象でもあり，また注意を要す

ること，さらにそれが水深に依存する関数であり，水深る現象でもある．このような前駆反転波は観測波形でもの影響を再現可能な形の基礎式を提案している点で大き実際に確認できるため，次章において紹介することとす

く異なっている．

る．
ここまで述べてきたように海水の圧縮性や地球の弾性4.2 計算条件を考慮することで津波の分散特性が変化し，波形や位相

地球モデルによる波速補正の効果を，2010年チリ津波に影響する．したがって，遠地津波伝播計算において第と2011年東北津波を対象に検証する．チリ津波について

一波の到達時間に誤差があるのは，最も速い波長成分のは比較的近地の津波観測結果が少ないため，気象庁

波速を従来のモデルが十分に再現できていないためと考（2010a）がUSGSのW-phase解析に基づく震源要素をもとえられる．そこで，得られた地球モデル上の津波伝播のに作成した断層モデル用い，Okada（1985）の方法で海底性質を遠地津波の平面伝播計算への適用するため，各水の鉛直変位を算出し，それを津波の初期水位として与え深に対する波速の最大値を抽出した（図-3.1(b)）．次章

た．但しそのままでは津波の観測波形よりも偏差が多きでは，この最大波速を利用した新しい津波伝播モデル提過ぎたため，すべり量を0.6倍にした．一方，東北津波で案する．

は比較的近距離に多数の観測点があったため，より詳細な波源が求められている．ここでは高川・富田（2012）

4. 遠地津波の平面伝播計算への適用で求められた波源を用いた（図-4.1）．この波源モデル
は震源から700km以内の観測点で得られたデータを用い4.1 計算モデルて推定されたもので，ここで検証する遠地津波のデータ

線形長波理論に基づく球面座標系の津波伝播計算の基とは完全に独立に求められたモデルである．地形データ

礎方程式は，以下に示す連続の式と運動方程式からなるはGEBCOの30秒メッシュデータを5分間隔で再サンプリ（例えば，Goto et al., 1997）．
∂η
1 ⎡ ∂M ∂ ( N cos θ ) ⎤
+
+
⎢
⎥=0
∂t R cos θ ⎣ ∂λ
∂θ
⎦

(

)

2

gh ∂η
∂M
+
= − fNR cos θ ∂λ
∂t

(28)

( gh ) ∂η = fM
2

∂N
+
∂t

R

∂θ

ここで，ηは水位，M，Nはそれぞれ東，南向きの線流量，λは経度，θは緯度，Rは地球の半径，fはコリオリパ
図-4.1 検証に用いた津波波源，(a) 2010 年チリ・マ- 13 -

ウレ地震津波，(b) 2011 年東北地方太平洋沖地震津波

高川 智博

図-4.2

図-4.3

2010 年チリ・マウレ地震津波の DART ブイによる観測波形とモデルによる計算波形

2011 年東北地方太平洋沖地震津波の DART ブイによる観測波形とモデルによる計算波形

ングしたものを用いた．

補正効果を示すため，補正をしない場合の計算結果も示

4.3 観測データ

している．波速補正の結果，実際の観測波形と位相がよ

計算波形との比較にはDARTブイの観測データを用いく一致することが確認できる．図-4.4には2つの津波の波た．チリ津波と東北津波の計53地点の観測データから主

形データのうち，太平洋の反対側に位置する地点を選び

要60分潮の周期成分と平均水深および1次トレンドを求波形を示した．図中には補正によって位相の一致度が特め観測値から減ずることで潮汐補正を行い，津波成分をに向上したと認められる波形のピークを矢印で示した．

抽出した．図-4.2，図-4.3にはこのようにして観測デー

これにより，波形レベルで位相の推定精度が向上していタから抽出した津波波形と，津波伝播計算の結果を合わることが確認できる．また，ある一定の方向に並んだ点せて示した．それぞれの図において，地球モデルの波速をみると（例えば，図-4.2の地点51406，51407，21419，- 14 -

海水の圧縮性と地球の弾性を考慮した津波の分散解析

あるいは図-4.3の地点51407，51406，32412など）近い地

な誤差の増加は認められず，長距離を伝播する津波であ

点では前駆反転波が顕著には見られないのに対し，遠い

図-4.4 （上）2010 年チリ・マウレ地震津波の DARTブイ 21419 地点における観測波形とモデルによる計算
波形（下）2011 年東北地方太平洋沖地震津波の DARTブイ 32412 地点における観測波形とモデルによる計算
波形．矢印は PREM に基づく補正により，位相の再現

図-4.5 観測と計算の津波第 1 波到達時間の誤差性が特に向上していると認められる観測波形のピー
クを示す．

ってもその位相を正確に再現できることが確認された．
津波の伝播時間に対する第一波到達時間の予測誤差は従地点ほど前駆反転波が顕著に発達していることが見て取

来のモデルが1.1％であったのに対し，提案したモデルでれる．これは波源にそもそもそのような波形があったわ

は0.10％となり，大きくモデルの精度が向上している．

けではなく伝播の過程で生成された波形であることを示

また，チリ津波，東北津波の双方で同様な傾向が確認している．この前駆反転波は逆分散によって生じたもの

され，津波の伝播方向や経路によらず位相精度の向上がと考えられ，地球の弾性が実際の津波の波形に影響を及確認された．このことから本研究で提示した地球モデル

ぼしていることを示す有力な証拠である．

による波速補正が遠地津波の伝播計算の精度向上に有効であると言える．

4.4 まとめ全体として精度が向上してはいるが，敢えて精度が低波形の位相精度を定量的に比較するため，第1波の到達い部分に着目すると，図-4.5では特に2010年チリ津波の時間の比較を行う．第1波の到達時間を観測波形のみから

データで津波の到達時間が14～19時間程度の領域に補正

精度よく決めるのは観測誤差や潮位補正の誤差の影響で後でも誤差が比較的大きい点が認められる．これらは北難しいが，数値計算の結果から第1波の到達時間を抽出す

東太平洋のアメリカ合衆国やカナダ沿岸の観測点の結果ることは比較的容易である．そこで各地点における最大である．これはチリ津波の主要なエネルギーの放射方向

波高の100分の1の水位変動が生じた時点を第1波の到達に当たる海溝軸に垂直な方向ではなく海溝軸に並行な方時間と定義し，数値計算結果からその時間を抽出した．

向に並んだ観測点である．このように波源から見て特定

次に，数値計算で得られた第1波到達時間から6時間分のの方向に誤差の偏りが認められる場合にはこの方向で波

後続波形を抽出し，時間シフトを行いながら観測波形と源の精度にやや問題がある可能性がある．とはいえ，第の相互相関をとり，最も相関が高い時間シフトを探索し一波の到達時間の予測精度を0.3％以内に抑えているのでた．数値計算の第1波到達時間に時間シフト分を加えた時あるから伝播速度に1%程度の誤差を持った既存の津波伝間を観測データの第1波到達時間として両者を比較した

播モデルを使う上では波源の精度が問題になることはな

ものが図-4.5である．補正前は到達時間が遅い遠い地点

かったと考えられる．このことから，伝播速度に関する

ほど，観測値に比べて計算モデルの到達時間が速く，系

モデルのバイアスが解消されると波源の推定精度の向上

統的な誤差の増大が認められるが，補正後にはそのよう- 15 -

高川 智博にも有効であることがわかる．近地での観測データに乏散の関係を考察した．

しい過去の津波に対しても，本提案手法を用いて再解析

・地球内部モデル（PREM）上の津波伝播特性を解析し，を行うことにより波源の推定精度を向上させられると期最大波速を水深の関数として整理した．

待できる．また，津波予測の観点からも提案した実用的・最大波速を用いた新しい津波伝播計算モデルを提案しな補正計算手法は，津波伝播計算の精度向上のみならず，た．

波源推定精度の向上という二重の意味で津波の予測精度・提案した計算モデルを2010年チリ・マウレ地震津波と2011年東北地方太平洋沖地震津波に適用し，DARTブの向上に貢献できるものと期待される．
ここでは特に第一波の到達時刻の精度向上という観点

イによる観測波形とモデルによる計算波形を比較しから波高に関する議論はほとんど行なってこなかった

た．波形の位相精度が提案モデルで大きく改善するこが，それは波高がより空間的に小さなスケールの波源のとを明らかにした．

凹凸に敏感であるためである．小さいスケールの構造を・波源から遠い地点の観測波形には前駆反転波の特徴がそこから伝播してきた津波波形に基づき推定するために認められることを示した．

は伝達時間の推定精度が高い必要がある．ここで提案し・第一波の到達時間を定量的に検証し，従来のモデルにた手法は位相速度の精度が従来のモデルと比較して大きあった1.1%のバイアスを提案モデルでは0.10％にまでく改善しているため，このような小さなスケールの構造低減できることを示した

をより正確に推定できる可能性がある．今後はこの手法・提案した計算モデルは既存の津波平面伝播計算モデル

を波源推定の再検討に活用し，波源や第一波到達時間のに調整パラメーターなしで容易に取り込むことが可能

精度のみならず，波形や波高の推定精度に与える影響をであり，津波の実務計算への幅広い活用が期待され検証する予定である．また，提案モデルでは第一波の到る．
（2013年11月8日受付）

達時間は精度よく推定できるものの前駆反転波を再現できない．これを遠地津波の計算に適用可能な実用的な計謝辞

算モデルを構築することも今後の課題である．

本研究の実施にあたっては，アジア・太平洋沿岸防災
研究センターの関係各位に多大なるご支援，ご助言をい5. 結論

ただいた．National Oceanic and Atomospheric Administration
からはDARTブイによる津波観測データをご提供いただ

以下に本研究で得られた成果を示す．
・海水の圧縮性が津波伝播速度に与える影響をポテンシいた．また，本研究の一部は地球規模課題対応国際科学

ャル理論に基づき導出した．圧縮性によって津波の伝

技術協力事業の援助を受けて実施された．ここに記して播速度は低下し，低下率は太平洋の平均水深4000mに深甚なる謝意を表する．

おいて0.47％である．
・多層弾性体上の圧縮流体層の表面を伝播する波の分散

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によって，水深を固定した場合波数空間上で波速が最大値を持つことを示した．
・正分散と逆分散による津波波形の変形を示し，それぞれの作用が具体的に波形にどのような変化をもたらすのかを整理した．
・地球の弾性を考慮することによって現れる逆分散の場
合には，隆起域のみからなる波源であっても伝播にともなって津波の前面に沈降域が発達し，波源から遠い地点の観測者はまず引き波を経験するという特異な現象が発生することを明らかした．この主たる押し波に先行する引き波を前駆反転波と呼び，その発達と逆分- 16 -

海水の圧縮性と地球の弾性を考慮した津波の分散解析

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高川 智博

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港湾空港技術研究所報告第 53 巻第 1 号

２０１４．３

編集兼発行人

独立行政法人港湾空港技術研究所

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独立行政法人港湾空港技術研究所
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CONTENTS⁛┙ⴕ᡽ᴺੱ᷼ḧⓨ᷼ᛛⴚ⎇ⓥᚲ

1. Dispersion Analysis of Tsunami Propagation with the Considerationof Water Compressibility and Earth Elasticity······················································································· Tomohiro TAKAGAWA ·············· 3঵ᇙ࣏঵࠷ଽ़ࡢୖ!
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