J. Plasma Fusion Res. Vol.91, No.7 (2015)４
４１‐４４８

解説

MHD 乱流に対する Hall 効果の物理とモデル化
Physics of Hall Effects on MHD Turbulence and Its Modelling
三 浦 英 昭，荒 木 圭 典１）
MIURA Hideaki and ARAKI Keisuke１）
核融合科学研究所基礎物理シミュレーション研究系，１）岡山理科大学工学部（原稿受付：２
０
１
５年４月７日）一様等方性電磁流体力学（MHD）乱流の微細構造への Hall 効果とそのモデル化について調べる．Hall 効果を取り入れた減衰性 MHD 乱流の直接数値シミュレーションデータを，Hall 効果の入らない一様等方性乱流のシ
ミュレーションデータと比較する．乱流の微細構造を特徴づける電流密度，渦度の可視化を通じて，電流層と渦層の一体化が Hall 効果によって解け，渦層が管状渦構造へと変化することが示される．このような構造変化
は，Hall 項に関わる長さスケール（イオン表皮長）よりも大きいスケールにも波及しており，Hall 効果の影響が
イオン表皮長スケールよりも短いスケールにはとどまらないことがわかる．また，シミュレーションで時間刻みを著しく制約する Hall 項の高波数成分を適切な数値モデルで置き換えるため，large eddy simulation を想定してSmagorinsky モデルの適用可能性を検討したところ，高波数成分については適用可能との見通しを得た．
Keywords:
homogeneous and isotropic MHD turbulence, Hall effect, vortex structure, large eddy simulation

１．はじめに著，例えば文献［９］に任せることにする．）本解説ではその本解説では，一様等方電磁流体力学（MHD）乱流に対す観点から，著者らの最近の研究［１０，１１］についての紹介をる Hall 項の影響を，流体力学における乱流研究からの発展行う．本稿の主な関心は，磁場の誘導方程式が磁場自身にの観点から述べる．

対して一次の方程式であるのに対し，Hall 効果が入ること

流体力学において乱流の物理機構，すなわち非線形相互で二次の方程式に変化すること，この Hall 項は明確な物理作用の性質や乱流の間欠性などの法則性，これをもたらす

量（イオン表皮長）に結びついていることなどが，乱流の乱流の局所構造の解明は数十年来の一大テーマである．流構造にどのような影響を与えるかについてである．

体の運動は外力や壁など境界条件などの影響を受けて様々

Hall 項は，イオンの慣性効果が大きい（イオン表皮長がな乱れ方をするが，十分に小さいスケールに着目すると，大きい）時に，イオンと電子の分離効果を表す項で，プラ

これらの影響が小さく，統計的な意味で空間に対して一様

ズマ・核融合学会誌上でも時々登場する用語である［１２］．

で等方的な乱流が実現すると考えられる．この仮定の基に一流体の MHD モデルが時として巨視的モデルと呼ばれる様々な理論，たとえば Kolmogorov のエネルギースペクト

ことからわかるように，イオンと電子が異なる運動を行う

ルに関する 5/3 乗則，速度の三次相関についての 4/3 乗則のは微視的スケールである．このため，核融合研究でも当など多数の，その後の乱流研究の枠組みを与えるような結

初は不安定性の研究の観点から，一流体モデルが専ら用い果が得られている（文献［１‐６］とそこに引用されている原

られてきた．これに対して，近年では，反磁性流れなどの著論文などを参照）．他方，コンピュータの性能の向上に効果に対する観点から，二流体効果（Hall 項と電子圧力勾伴って登場した乱流の直接数値シミュレーションから，こ配項）を取り入れたモデルが盛んに 使 わ れ て い る［１３‐のような乱流場が多数の管状渦構造から構成されることが

１６］．特に高波数の不安定モードは Hall 項による成長率の示されている．このような渦は，乱流運動の素過程を代表

変化や二流体効果による反磁性流れの影響に敏感である．

する意味で要素渦などとも呼ばれ，一様等方性乱流だけでこのような背景から，Hall 項が乱流の流れや磁場にどのよはなく，壁乱流におけるヘアピン渦，縦渦などが注目の対

うな影響を及ぼすのかを知ることは重要である．

象となってきた［１，７，８］．

また，シミュレーションで時間刻みを著しく制約する

MHD 乱流の研究は流体力学の乱流研究とは様々な意味

Hall 項の高波数成分を，適切な数値モデルで置き換えるたで事情が異なるが，流体力学の一様等方性乱流との対応のめの基礎的なデータを取得することも重要な目的の一つで観点から，一様等方性 MHD 乱流の研究も行われている．

ある．流体力学の乱流シミュレーションでは，Kolmogorov（それ以外の，より一般的な MHD 乱流の研究については他長に対して十分な解像度を与えるほどの格子点数を用意す

National Institute for Fusion Science, Toki 502-5292, GIFU Japancorresponding author’s e-mail: miura.hideaki@nifs.ac.jp

４４１!2015 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.7 July 2015

ることが困難であるため，格子点数はコンピュータが賄えンダム場で与え，外力を加えない，減衰性一様等方性乱流る程度にとどめ，格子解像度以下のスケール（サブグリッのシミュレーションを行う．

ドスケール，SGS）に由来する物理効果はモデル化して解２．
２ エネルギースペクトル

く Large Eddy Simulation（LES）が大きな役割を果たしてシミュレーション結果の主だった内容は文献［１０，１１］にいる（［５］とその文献を参照）．SGS モデルの多くでは，乱委ね，ここではエネルギースペクトルのみを見る．この場

流の正方向エネルギー伝達（所謂エネルギーカスケード）

合のエネルギースペクトルとは，ベクトル場の３方向成分が逆方向伝達に比べて十分に強い性質を利用し，剪断が強の Fourier 係数からベクトル場を２乗した次元をもつパいところで粘性が大きくなる，渦粘性的なモデルが用いら

ワースペクトルを作り，３次元波数ベクトル -の大きされている．MHD 乱流でもこのような試みがなされている-をインデックスとして表されるように平均化（これをが（たとえば［１７］），Hall 項についてはこのような研究は

シェル平均と呼ぶ）したものである．図１（a）
は運動エネル

あまり試みられていない．本解説では Hall 項の効果に焦点

ギースペクトル，図１（b）は磁場のエネルギースペクトルを当てて解説するが，高波数成分の取り扱いに関する知見である．（波数 (!
!'程度がイオン表皮長のスケール$#!

に関して，一様等方性乱流と核融合の拡張 MHD シミュであるが，正確な値は規格化する散逸率の値で前後する．）

レーションの間に共通するものが多いと考えている．

どちらも，それぞれのエネルギーの散逸率と Kolmogorov

以下，第２節では Hall MHD 乱流の直接数値シミュレー

長（'3，($）を用いて規格化してある．Navier-Stokes 方程ションについて，第３節では高波数成分のモデル化につい式の場合，減衰性乱流でこの規格化を行うと，Kolmogorovて述べる．

長のスケール（図１で横軸の値が１の領域）でスペクトルが重なる．図１（a）に見るとおり，運動エネルギースペクト

２．Hall MHD 乱流の直接数値シミュレーション

ルは Hall 項の影響をほとんど受けていないように見え

２．
１ Hall MHD 方程式と直接数値シミュレーション

る．他方，図１（b）からは，Kolmogorov 長かそれよりも短非圧縮性 Hall MHD 方程式

いスケール（高波数）の領域で Hall 項の影響が顕著である
ことがわかる．一様等方乱流研究の文脈の中での Hall 項の

!!
'#2+
'
2+
' 22
'
，
#! $
! !0" + +""&
+ ,!!+!,%
'
4
'
4
'
1
'
4
4
#
,
+
,'
,

注目点は，磁場の方程式が磁場自身に対して非線形となることであり（Hall 項がなければ磁場の方程式は磁場に対し

（１）
'
!+
'
"#!#
，
+
,
'
1
'
4
,

（２）

2,!#
!-"$
$
"+#!#
#$
+
,
-$
,%
+．

（３）

て線形である），図１（b）は，この非線形効果によって高波数部のエネルギーが励起されることを示している．実際，
Hall 項がない場合には，スペクトルのべき則に従う領域が(!
&で終わり，高波数部では急減衰していることか$#!
ら，解像度にかなり余裕があることがわかる．他方，HallMHD 乱流の場合は，($#"までの波数領域が含まれていを，擬スペクトル法と Runge-Kutta-Gill 法で解く．所謂一流体モデルの MHD 方程式との違いは式（３）にある．右辺のカッコ内は電子速度を表しており，非散逸極限での磁力線の凍り付きがイオン速度ではなく電子速度に対して生じることを表している．電流密度が磁場の回転で与えられることからもわかるとおり，イオン速度と電子速度の違いは
高波数領域で現れ，これを特徴づけるスケールがイオン表皮長である．
本解説の数値シミュレーションでは格子点数は$& #"!#%$である．詳細は文献［１０］を，より少ない格子点数での計算については文献［１１］を参照されたい．ここで，
記号 !+，$+はそれぞれ磁場ベクトル，電流
+##
+
,
-'
,!-，2
密度ベクトル，速度場ベクトルの第 +成分を表す．また，記号0は圧力を，#.)"%/!*#( は Hall 係数（イオン表皮長 ))##をシステム長 %!で規格化した係数，.)，/!，%はそれぞれイオンの質量，数密度，透磁率）を，記号 #+,- は Levi-Civitaの反対称テンソルを，$は電気抵抗を，&は粘性係数を表!
!
!&および #!#&のシミュレー
す．
（本解説では #( #!
( #!
ションについて述べる．他のパラメータは文献［１０］を参照
されたい．）繰り返される添字については，１から３までの和を取るものとする．また，磁場ベクトル及び速度場ベ
クトルはそれぞれ '
2+"
'
4
'
4
!+"
+#!および '+#!を満たす．

図１

境界条件は三次元の各方向に周期的であり，初期条件をラ４４２エネルギー散逸率と Kolmogorov 長で規格化した（a）
運動エネルギースペクトルと（b）
磁場エネルギースペクトル．

Commentary

Physics of Hall Effects on MHD Turbulence and Its Modelling

H. Miura and K. Araki

ることから乱流のスケールが表現できる程度には解像度がルに見た通り，磁場の高波数部が Hall 効果によって励起さあるが，高波数成分がやや大きくなっていることから，それた結果ととらえられる．これには２つの側面がある．１

れほど解像度に余裕がある状態ではない．図１（a）の運動

つは，Hall 項によって高波数部が励起されたため，等値面エネルギースペクトルが十分に収束していて破綻がないこによる可視化の際にこの高波数部による構造が専ら見えてとから，高波数で励起された磁気エネルギーがローレンツ

いる（低波数部の構造は MHD 乱流とあまり変わらない）

力の項を通じて運動エネルギーとして散逸され，解の統計可能性である．もう１つは， 高波数部が励起され，たとえば的平衡状態が実現されていると考えている．このように，これに伴う抵抗性散逸が引き起こす磁気リコネクションなHall 項は磁場スペクトルの高波数成分を強く励起するたどで，低波数まで含めた構造を変えた可能性である．後でめ，MHD 乱流に比べて広いスペクトル空間が必要である．

ローパスフィルターを用いた解析から，低波数部だけを可これについてはトーラスプラズマの Hall MHD シミュレー

視化すると，図２（b）の等値面よりも大きい構造が再現さションでも同様の事情であり，多くの場合は十分な解像度れるものの，それでも図２（a）のような大きな層状は再現を用意する代わりに超粘性で高波数部を打ち切ることが多されず，層状構造そのものが細片化されていることがわかいが，この部分を解像しなければ正確なシミュレーション

る．
エンストロフィー密度の構造は，より性質の異なる変化は困難である［１６］．
２．
３ 空間構造を 起 こ し て い る．エ ン ス ト ロ フ ィ ー 密 度 の 等 値 面 は，

ここでの主要な関心事は，Hall 項が空間構造にどのよう

図２（a）では層状構造をとり，電流密度の等値面とほぼ一な影響を与えるかを明らかにすることである．流体力学の体化しているのに対し，図２（b）では，電流密度の等値面

乱流研究では，渦構造がこれにあたる．特に管状渦構造はから離れ，管状の構造が多数を占めている．これが意味す

一様等方乱流，壁乱流，混合層乱流など様々な乱流に普遍るところは２つある．１つは，Hall 項によって磁場と速度的に観測され，乱流の混合や輸送に影響を与えることから場の凍り付きの関係が変化することである．Hall MHD 乱

重視され，乱流の素過程を形作る最も基本的な構造である

流では磁場は電子速度に凍り付き，とくに高波数成分ではことから「要素渦」と呼ばれることもある．管状渦構造は""
エンストロフィー密度（$
!$
"
"
""$
"）と密接に関連#!#$付けられる（しかし同一ではない；文献［１８，１９］参照）ので，ここではエンストロフィー密度で代表させる．エンス
トロフィー密度は，乱流の局所的な散逸構造を表すため，
高 Reynolds 数乱流の極限での役割が重要視される．MHD
乱流において，このエンストロフィー密度と対を成すのが""電流密度強度$"$""""$"である．こちらも，抵抗性#!!$

MHD 方程式では磁場の散逸構造を表すため，微視的ス
ケールでのエネルギー散逸や，局所的な磁気リコネクショ
ンなどと密接に関わる量である．図２（a），（b）にはそれぞ!
!#（MHD 方 程 式）の 場 合 と #れ，Hall 係 数 #
$ "!
$ "!
の場合のエンストロフィー密度，電流密度強度（薄灰色）の等値面を示す．シミュレーションの格子点数は１
０２４３であるが，この中から５１２３の領域を表示した．この時刻における Taylor 長で定義された Reynolds 数，Lundquist 数はどちらも１６０弱であり，Lundquist 数が Reynolds 数よりやや大きい．等値面の閾値はエンストロフィー密度，電流密度
強 度 そ れ ぞ れ の 空 間 平 均 値＋標 準 偏 差 の４倍 と し た．
図２（a）では，エンストロフィー密度と電流密度強度の両方が層状構造をとっており，その両者が対になっている．
このような層状構造は早くからよく知られており，たとえば Biskamp［９］などによって報告されている．（層状構造の形成は運動エネルギーと磁気エネルギーの比率にも大きく左右される．ここでは両者がほぼ同程度の場合について扱っている．）２つの量の等値面が対になって現れるのは，散逸が重要ではないスケールで（理想 MHD の意味で）プ
ラズマの凍り付きが維持されているからである．他方，
図２（b）では，２つの量の等値面が離れて存在している．

図２ （a）MHD，（b）
Hall MHD の電流密度（薄い灰色），エンスト
ロフィー密度（濃い灰色）の等値面．閾値は平均値に標準偏差の４倍を加えて決定した．

電流密度強度の等値面は，層状ではあるが，図２（a）のそれに比べて細片化されている．これは，図１（b）のスペクト
４４３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.7 July 2015

（イオン速度に対して）電流密度成分の寄与が顕著になる．
もう１つは，低波数成分までも含めて運動の性質が変わったことである．エンストロフィー密度の等値面が層状である場合には，速度場の剪断（ずれ）が支配的であると考えられる．これに対して，管状である場合には，流体の旋回，
すなわち渦運動が主要な運動であると考えられる．
（渦度には旋回運動に起因するものと剪断に起因する部分があるので，渦と渦度は同一ではない．
）管状渦が主要な運動の場合には，渦と渦の相互作用による引延しなど運動の複雑化が考えられ，最終的には微視的な流体の混合に影響すると考えられている．このような運動の変化は高波数成分だ
けで完結するとは考えにくく，低波数成分も含めた大きな変化と考える方が自然である．このような低波数成分への影響を以下で調べることにする．
２．
４ 局所構造の階層性
電流密度強度，エンストロフィー密度の等値面では，電流密度および渦度がそれぞれ磁場および速度場の微分で与えられる分だけ，高波数成分が強調されている．このため，
電流密度やエンストロフィー密度の等値面を描いただけでは，高波数成分ほど寄与が大きく，低波数側の構造がどのようになっているかを知ることはできない．これを補うた
め，磁場および速度場にローパスフィルターを作用させ，
ローパスフィルターの切断波数を変えることで，スケールごとの構造を確かめる必要がある．
!
!&の乱流場について，エンストロフィー
図３は，$
* !!
密度（濃い灰色）および電流密度を，それぞれ渦度および電流密度にローパスフィルターを作用させて計算したもの
で あ る．（こ の 場 合，イ オ ン 表 皮 長 に 対 応 す る 波 数 は）わかりやすくするために，全格子点１０２４３#!#!である．
の中から１２８×１２８×２５６格子点の領域を表示した．図３（a）
はローパスフィルターを作用させない，元のシミュレーショ
ンデータを用いたもの（エイリアシング誤差除去後の最大‐（d）は そ れ ぞ れ，切 断 波 数
波 数 #! !$(!），（b）

図３#"!"#)""'%$#のローパスフィルターを作用させたものである．図３（a）から（b），（c），（d）へと解像度が変化する
につれて，当初観測されていた管状のエンストロフィー密

ローパスフィルターを用いたエンストロフィー密度および電流密度の可視化．（a）
ローパスフィルターなし，（b）
切断
波数１
２
８，（c）
同６
４，（d）
同３
２．楕円で囲った領域に管状構造が存在する．

度の等値面が消え，他の場所に管状構造が現れることがわ
かる．これは，全波数を用いた表示の際には高波数成分にターを変えると，短冊状にコマ切れだった等値面は消え起因する微細スケールの管状渦だけが見えているのに対て，新たに層状の等値面が現れるものの，主だった等値面

し，ローパスフィルターを作用させることで，低波数側のはあまり位置を変えずに現れている．これは最も大きい構

管状渦構造が見えるようになったものである．これは，乱造が低波数から高波数まで一貫して他の領域よりも大きい

流の各スケールにおいて多数の渦が各所に存在するといエネルギーをもっていることを示唆している．このようなう，古典的な流体力学乱流の階層構造のイメージに対応す

解析をより精密に進めるならば，ウェーブレット基底によると考えられる．ここで強調すべきは，低波数側といってる分解を行わなければならない［２０］．

も #"!$#はイオン表皮長よりも短いスケールであり，こ

図４は，ローパスフィルターの切断波数とイオン表皮長のれらの構造変化は，（少なくともこの時点では）イオン表

関係を見るために，Hall 係数が 0.025 の場合について，図３

皮長よりも短い変化についてのみいえるということであ（Hall 係数が0.05のシミュレーション）と同じ解析を行った

る．イオン表皮長よりも長いスケールへの影響は，次の節ものである．Hall 係数はシステム長に対するイオン表皮長の比を表すので，図３では波数 #!"#!
!
!&!#!がイオン表で調べる．

皮長のスケールであり，図４では波数#!"#!
!
!#&!%!がイ

エンストロフィー密度の等値面が管状渦の階層構造を表しているのに対し，電流密度の等値面は，スケールを変え

オン表皮長のスケールである．図４（a）では，全波数を用いても，層状は層状のままである．また，ローパスフィル

た場合のエンストロフィー密度（濃い灰色）と電流密度
４４４Commentary

Physics of Hall Effects on MHD Turbulence and Its Modelling

H. Miura and K. Araki

的な平均量であるスペクトルの関数形は，空間構造よりはむしろ散逸率を基にしたスケーリング則で決まっているからであると思われる．
（両対数グラフで見た場合には，低波数側での小さな変化は目立ちにくいという単純な事実も
図１と図４の一見矛盾しているかの如く見せている面がある．）イオン表皮長に比べてどの程度の大きさまで Hall 項
による影響が及ぶのかまだ不明であるが，長時間シミュ
レーションではこの効果が累積して大規模運動の違いをもたらす可能性がある．このような場合に，中性流体力学のシミュレーションでは，大規模スケールだけをシミュレー
シ ョ ン で 解 く，ラ ー ジ・エ デ ィ・シ ミ ュ レ ー シ ョ ン（Large Eddy Simulation，以 下 LES）が 行 わ れ る．LESについての詳細は，たとえば Pope の教科書［５］を参考にされたい．
LES の基本的な考え方は，方程式にローパスフィルターを作用させ，ローパスフィルターの切断波数 (%よりも大きいスケール（有限個の格子点で表現されるので，グリッド
図４スケールと呼ぶ）については真面目にシミュレーションをHall パラメータ 0.025 の可視化．（a）
エンストロフィー密度と電流密度，（b）
ローパスフィルターを用いたエンストロ
フィー密度の可視化．実線の楕円で囲った領域に管状構造が，破線の楕円で囲った領域に層状構造が存在する．

行う一方で，サブグリッドスケールについては，現象論的なモデルで置き換えるものである．この SGS モデルが必要になるのは，方程式が主な変数セットに対して非線形な項である．非圧縮性 Navier-Stokes 方程式であれば移流項の（灰色）の等値面である．電流密度の等値面は，図３と同じみがその対象であるが，Hall MHD 方程式では運動方程式

ように微細化が生じていることが容易にわかるが，エンスの移流項，Lorentz 項や一般化された Ohm の法則などにトロフィー密度の等値面の変化はよくわからない．これに

SGS モデルが必要となる．

対し，切断波数 (%%#"のローパスフィルターを作用させ式（１）‐（３）に対してローパスフィルターを作用させるた結果が図４（b）である．（ここでは，エンストロフィーと，以下の式（４）‐（６）を得る．

密度の等値面だけを表示した．
）この場合，イオン表皮長

!!
&"+&
&+&
& ++
&
，
%! !
! #)" & &$"$
& '!!&!'"
&
,
&
,
&
*
&
,
,
"
'
&
'&
'

スケールが (%$!なので，ローパスフィルターを作用させた図はイオン表皮長よりも大きいスケールのフーリエ成分（４）だけで構成されている．図４（b）でも，管状構造と層状構造が入り混じっていることがわかる．このことからわかるのは，Hall 係数が大きいほどエンストロフィー密度の構造が層状から管状へと遷移するが，必ずしもこの遷移はイオ

&
!&
&
"(，
%!"
&
'
(
&
*
&
,
'

（５）

+'!(!"
$
"&%!"
"#
#$
&
'
(!
'!("
&．

（６）

ン表皮長よりも短いスケールだけに影響が限定されるとは限らず，イオン表皮長よりも長いフーリエ成分を見ても管

ここで記号 $はローパスフィルターを作用させた後の（す状渦構造は見られるということである．これは，単に見た

なわち，グリッドスケールの）量を示す．ローパスフィル

目が管状・層状に変換しているということではなく，渦層ターの作用後も，磁場及び速度場はそれぞれ，非圧縮性条が層状構造から管状へと遷移することで，流体の運動形態

（４）
‐
（６）
件&
+&!
!&!
&
,
&
,
&%&
&%!を満た す．こ の 時，式がイオン表皮長よりも大きいスケールまで含めて変化したは，変数 !&および +&で閉じていなければ，解くことがで結果である．

きない．このためには，（４）‐（６）に現れるいくつかの非３．高波数成分のモデル化で置き換えることが LES のための基本要件となる．ここで線形項を，このグリッドスケールでの変数 !&および +&イオン表皮長よりも十分に大きいスケールに主な興味がは，Hamba and Tsuchiya［２０］の論文で提案された SGSモデある場合，イオン表皮長は無視して従来の MHD シミュ

ルを採用し，シミュレーションデータからこの SGS モデル

レーションで問題を解きたいと考えるのが自然であり，実の採用の可否を検討することにする．

際に MHD シミュレーションはそこかしこで行われていHamba and Tsuchiya の SGS モデルでは，式
（４）
‐
（６）に

る．他方で，前節の図４が示すところは，イオン表皮長よ現れる非線形項を，以下のように置き換える．

りも大きいスケールにまで Hall 項の効果が及ぶという事で

#
&
%
&+&
& ++
%! !
" &'
& '!!&!'"
&
,
&
*
&
,
'
'

ある．図１（a）の運動エネルギースペクトルが Hall 項 によってあまり変わらないように見え，空間構造の変化と首&"+&& )"!&!&
，（７）
! #
$"$
&
,
&
,
,
"
&
'&
'

尾一貫しないように思われるかもしれない．これは，統計
４４５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.7 July 2015に，モデル（１２）‐（１７）が十分に良ければ，Smagorinsky

+
!*
+
#,
，
%!&
*
+
,
+
+
/
+

（８）

定数を局所的に変化させることで，残差を小さくでき,.+!,!&
#*%!&
%
!)
"'
+%
*
+
,!
*．
+!,"
*

（９）

この考え方に基づいて，以下のように SGS モデルの射影る筈である．
の残差を定義し，数値計算を行う．

.*.+!!*!+".*.+!!*!+"
*
!!
，
*
+%!
,
.+!,!.+!,"
)
%&
，
*
+
,!
*

（１
０）
（１１）

ここで式（１０），（１１）はサブグリッドスケールからグリッド
スケールへの寄与を表す，厳密な（近似のない）式である

+ ..
&(*)
!*!+!!*!+"
%! #
!!
，
' * +!.*.+(
$
+
/
+

（１８）

+ & .!
&!*)%!&，#,$%! $ %!.$!%"
$
*
+
,
+
/
+

（１９）

&$*)
%$!%!%
%!!&
!&
$
，
$!%"
+&
*
+
,#
,
$%!

（２０）

が，このままでは式（７）‐（９）はグリッドスケールでの速""#" # " +
，
&( )
%&$
+
)##% '*+" (+& *'*+,") * *#度場，磁場についての式として閉じていない．これを以下のように SGS モデルで置き換えることで，式を閉じる．
*
*
+%!)
+，
.*.'*

（１２）

.
+
.* +
" +，
+
/
+
/
+
*

（１３）

'*+%

,
)
%!(.*.%
*，
*

（１
４）

#
# "
)
+""(%&，.*.%")# % ")'*
#

（１５）

#
(.*.%"(##%"")'*+""(%&，
#

（１６）

""
$

#%'
#/#0#1( .

（２１）

""
#

" # " +，&! )%&#+)##% '*+" (+& *+*,") * *
#

（２２）

&
$( $
&(( ( ，#% )%$( !'
&()
)

（２３）

&
#! )
$! $
&!( ! ，%$! !'
&! )
)

（２４）

&
#" )
$$ $
&(( (
%$$ !'
&()
)
&
$$ !'
$$ $
&(( ( (
& .
!'
$
&() !
)

（２５）

これにより，SGS モデルがどの程度の精度でサブグリッ
ドスケールの寄与を再現できるかを評価したのが，以下の（１７）

図５である．図５では，規格化されたサブグリッドスケー
記号 #/，#0，#1は三方向のフィルター幅である．Sma-###
ルの残差 )，)，)
を，フィルターの切断波数
-()
-! )
-$ )

gorinsky 定 数 は，文 献［１７］に お い て は ")%!
!
!%'，

（フィルター幅）を変えてプロットしたものである．式（２３）"( %'"")と与えられている．一様等方性乱流など理想&((‐（２５）は残差の大きさで規格化されているので，フィル化された問題では定数が定まる場合もあるが，数値シミュ

ター幅に対して残差が小さくなるかどうかは自明ではな

レーションや実験との比較によって，また，問題の種別

い．しかし，より高波数になるほど散逸的な振る舞いが高（たとえば壁の有無）などによって微調整されることがあまると考えれば，散逸的なモデルである Smagorinsky モデ

る．ここでは，LES を実行するのではなく，SGS モデルのルはよい近似になると考えられる．図５（a）では，速度場に適用可能性を検討する立場から，Smagorinsky 定数は定め対するサブグリッドスケールの残差 -( を，時間の関数となくても問題が生じない．

してプロットした．減衰性乱流のデータを用いたため，初式（１２）‐（１７）で示したサブグリッドス ケ ー ル を 我々の期時刻には低波数成分だけがエネルギーをもっている．こHall MHD乱流にあてはめた場合に，Hall項の影響がどの程のため，モデルの精度に関わらず，残差は小さい．時間発度影響するのか不明である．このため，以下のような数値

展に従い，波数空間でのエネルギー伝達が生じて高波数成的な検証を行う．

分にエネルギーが行きわたると，切断波数ごとの残差の違

１）直接数値シミュレーションデータで，グリッドスケー

いが明確になる．先に期待した通り，切断波数が低波数

ル成分と，サブグリッドスケール成分を分離する．

（フィルター幅が粗い，すなわち LES の格子点数が非常に２）グリッドスケールに対するサブグリッドスケール成分少ない）場合には，残差が大きい．これは，非散逸的な（拡への影響は，式（１０）‐（１１）で表される．これを，DNS

散効果では近似できない）非線形相互作用が多数交じってのデータで再現する．

いるためと解釈できる．これに対して，切断波数が高波数

３）グ リ ッ ド ス ケ ー ル 成 分 か ら，（１２）‐（１７）を 用 い て，へと向かう程，残差は小さくなっていき，拡散的な近似がLES におけるサブグリッドスケールからグリッドス

向上することがわかる．図５（b）には，誘導方程式のうち，ケールへの寄与を計算する．

ダイナモ項の寄与について残差 -! を示した．これも図５４）２）で得られたデータを３）のデータに射影し，その残（a）と同様に，切断波数が高くなるほど，近似が改善されることを示した．

差を計算する．Smagorinsky 定数は局所的に調整可能な値とする．
（このような考え方は動的 Smagorinsky

図５（a），（b）と好対照をなしているのが，Hall 項についモデルなどの手法［６］に通じると考えてよい．）この際て調べた図５（c）
である．第一に，初期時刻の早い段階から４４６

Commentary

Physics of Hall Effects on MHD Turbulence and Its Modelling

H. Miura and K. Araki"!"#(と "!#%&の間のスケールに何か物理的に重要なスケールが隠れていることを示唆している．まだこのスケールの正体は不明であるが，これまでのデータからは，Taylor 長とほぼ同程度のように見える［３］．Araki and Miura［２１］で は，!$!%"#$の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で は あ る が，
ウェーブレット解析を用いて，Hall 項によるエネルギー輸送の特性が粘性スケールと大スケールで定性的にも異なっており，中間スケールでその切り替わりが起きていることが示しされている．
切断波数が "!#%&となると，元の解像度に相当近い領域でフィルターをかけることになり，LES としての御利益は薄いように見える．しかし，たとえば数値シミュレー
ションにおける時間刻みの制限が Hall 項によるホイッス
ラー波で決まる場合を考えたい．この場合，ホイッスラー
波の周波数が波数の二乗に比例すると考えていいので，"!#%&で切断することにより，時間刻みは２倍程度改善される．より精度の高いモデルで切断波数を向上させることができれば，Hall MHD シミュレーションを難しいものにしている時間刻みの制約は，かなり緩和される．問題が時間刻みだけであれば陰的解法を用いて制限を緩和させることも考えられるが，LES の方が全体の計算量を減少させる効果があり，好ましいと考えている．

４．まとめ
本解説では，一様等方 MHD 乱流におけるプラズマの運
動と磁場の構造生成に対する Hall 項の影響とモデル化の可能性について，乱流の階層性の視点を基盤にしたフィルタ
図５

Smagorinsky モ デ ル の 残 差 評 価．（a）
運 動 方 程 式 右 辺，（b）誘導方程式ダイナモ項，（c）
誘導方程式 Hall 項．

リング手法を用いて解析した結果を紹介した．Hall 項はまず MHD に比べて高波数の成分を励起するが，それは形成される小スケールの構造の違いを伴っていた．この構造の大きな残差が生じる．
（これは，Hall 項が他の項よりも微違いは，イオン表皮長を越えて大スケール側の運動にも影分の階数が高いことと関係しているかもしれない．
）第二

響している．これはシミュレーションにとっては不利な状に，切断波数を変化させても，残差がなかなか小さくなら況だが，LES を用いた適切なモデル化で，この大スケールない点である．これは，Hall 項の性質が運動方程式の非線への影響をより少ない計算資源で再現できることが示唆さ

形項（移流項，Lorentz 力）や磁場の誘導項とは著しく異なれた．

ることの端的な現れである．著者らは現時点では以下のよ

一様等方性乱流は大きく理想化されていて，実現象に即うに解釈している．運動方程式の非線形項が，エネルギーした問題を考えるには，背景磁場や圧縮性を考慮する必要の（所謂カスケード的な）順伝達であれ逆伝達であれ，波がある．たとえば太陽風乱流であれば，弱いながらも大規

数空間で局所的な性質を有している．とくに波数空間で順模スケールの磁場があるため，背景に一定の磁場を印加し伝達的なエネルギー伝達は，渦粘性の考え方とよく合致す

た一様（非等方）MHD 乱流の方が，より現実的である．

るため，Smagorinsky モデルで近似しやすい．これに対し

我々はこのような非等方シミュレーションも実施しておて，Hall 項では波数空間での非局所的な相互作用もかなりり，本項とほぼ同様の渦度場構造の変化が得られている．

有力であり，比較的低波数での切断は，最低波数（実空間

このように，一様等方乱流から得られる結果は，非等方乱で最大規模）の運動にも影響を与えかねない［１１］．このた流にも通じるものが多いと考えている．

め，イオン表皮長に近いスケールでの切断は，Smagorin-

本解説では，構造の形成に関する素過程については触れ

sky モデルで近似するのが難しくなる．

なかった．構造形成について議論するには，Hall 効果によ興味深いことに，図５（c）で切断波数が十分に大きくなる磁気リコネクションの促進（これがしばしば Hall MHD

ると，残差が一気に小さくなる．これは，最高波数の近く

乱流研究の最大関心事である）とか，管状渦の形成の元にでは，拡散的な振る舞いで近似できることを示唆していなる Kelvin-Helmholtz 不安定性に対する Hall 効果の解析がる．この DNS では最高波数が "*)+!$'!であり，これに対必要であるが，これは今後の課題である．

して "!#%&ではモデルの性質が改善されている．この急

こ の 研 究 で は，JSPS 科 学 研 究 費 補 助 金２３５４０５８３，

激な収束の原因は不明であるが，図５（c）の振る舞いは，

２２５４０５０９から一部助成を受けた．数値シミュレーションお４４７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.7 July 2015!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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（日立 SR16000M1），東 北 大 学 サ イ バ ー サ イ エ ン ス セ ン
ター・NEC SX-9，名古屋大学情報基盤センター・富士通
FX10 を使用した．

ひであき

三 浦 英 昭核融合科学研究所ヘリカル研究部所属．流体力学・一様等方性流体の乱流シミュレーション，渦同定研究などを経て，現在は高温プラズマ・不安定性シミュレーションの研究に従事する．

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うら

あら

き

けい

すけ

荒 木 圭 典岡山理科大学工学部知能機械工学科教授．１
９９
４年京都大学大学院理学研究科物理学第一専攻修了．研究分野は流体力学・電磁流体力学の数理と乱流の数値シミュレー

ション．大学院生の頃から流体の解析力学，特に Arnold の『古典力学の数学的方法』に興味を持ち続けていたがちっとも論文にならなかった．最近ようやく非圧縮性 Hall MHD で，Noether の定理のちょっとした応用を見つけて中二病的に喜んでいる．

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み!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!

参考文献!!!!!!!!!!!!!!!!!

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９９８）．
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よび解析には核融合科学研究所・プラズマシミュレータ

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