ジカ熱の感染モデル
弘光夏子

1(指導教員：工藤和恵)

はじめに交通手段が発達した現在，訪日外国人・出国日本人は年々増加傾向にある．特に訪日外国人においては加速度的に増加しており，このデメリットとして輸入感染症のリスクが増加することが挙げられる．2016 年にはジカ熱の被害が拡大しているリオデジャネイロでオリンピックが開催され，感染が国外に広範囲で広がるのではないかと懸念された．現在ジカ熱のワクチンは開発されておらず，私たちにできる予防方法は蚊にさされないようにすることのみである．そこで本研究では感染症の中でも特に蚊媒介感染症であるジカ熱に着目しシミューレーションを行い，感染の広がり方を観察する．

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図 1: 状態遷移図4

本研究ではジカ熱に関する感染症のシミュレーションを行うにあたり，ジカ熱の不顕性感染患者が 8 割という点に着目した．不顕性感染とは症状がでない感染のことを表している．不顕性感染患者は自覚症状がないため，知らないうちに感染を広める恐れがある．そこで人に関する方程式の状態 I を，発症した患者 I1 と不顕性感染の患者 I2 の 2 つの状態に分ける．また，不顕性感染の患者は発症する患者に比べて体内に持っているウイルスが少なく感染させる確率が低くなると考えられる．そのため感染者を刺した蚊が感染する確率
c を，I1 にかかる係数は c1 ，I2 にかかる係数は c2 とし，c1 > c2 となるように値を定める．加えて不顕性感染の患者は自覚症状がないため，ウイルスを広めないように気をつけないと考えられる．つまり，蚊にさされないように対策をしないということである．そこ
で，蚊が I1 の人を刺す回数のパラメタがかかるところに q をかける．これは q = 1 ならば対策なし，q = 0
ならば感染者隔離を表現する．提案モデルを次の微分方程式で表す．
dSh
abIv Sh= −(1)dtNh
abIv ShdEh=− ϵh Eh(2)dtNhdIh1= pϵh Eh − γIh1(3)dtdIh2= (1 − p)ϵh Eh − γIh2(4)dtdRh= γ(Ih1 + Ih2 )
(5)
dtdSv
(qc1 Ih1 + c2 Ih2 )aSv
= −− µSv + µNv(6)dt
NhdEv(qc1 Ih1 + c2 Ih2 )aSv=− ϵv Ev − µEv (7)dt
NhdIv= ϵv Ev − µIv(8)dt
添字 v は vector，添字 h は human を表しそれぞれ蚊，人に関する方程式であることを示す．この式における各変数，定数は以下の通りである．

ジカ熱

ジカ熱とはネッタイシマカ，ヒトスジシマカを媒介とする蚊媒介感染症である．潜伏期間は 3 から 12 日であり，症状が出てからは 4 から 7 日で回復する．主な症状は発熱，発疹，結膜炎，関節痛，倦怠感，頭痛などがあげられる．稀に急に手足に力が入らなくなり手足がしびれるギランバレー症候群を発症することもある．妊婦が感染した場合は流産や死産のリスクが高まることや，産まれてくる子供が小頭症などの先天性障害を引き起こすことがある．ジカ熱は，不顕性感染の患者が 8 割と言われている．一度かかると抗体ができる [1]．

3提案モデルSEIR モデル

潜伏期間がある感染症の一般的な数理モデルとして
SEIR モデルがある．SEIR はそれぞれ Susceptible(免疫をもたない健康な人)，Exposed(感染し潜伏期間の人)，Infectious(発症した人)，Recovered(回復し免疫を持つ人) の状態を表す頭文字である．本研究では蚊
媒介感染症についてのシミュレーションを行うため，人に関する方程式と蚊に関する方程式を用意する．人に関する方程式は S ，E ，I ，R の 4 つの状態を持つが，蚊に関する方程式は S ，E ，I の 3 つの状態のみを用意するものとする．これは，免疫を獲得すると人は状態R に留まるが蚊は人に比べると寿命が非常に短く状態I から状態 R に遷移するというよりは死ぬと考えているためである．方程式として母体数は一致させる必要があるため，死んだ蚊と同数の蚊が状態 S として産まれてくるとする [2]．発生源は人・蚊のどちらでもよい．
状態遷移図を図 1 とする．図 1 では黒い矢印が遷移を表し，緑の矢印が感染経路を表している．発生源を人とすると，状態 I の人を状態 S の蚊が刺すことで感染し状態 E に遷移し，蚊は一定の確率で状態 E から状態 I へ遷移する．同様に状態 I の蚊に刺された状態 Sの人は一定の確率で状態 E へ遷移し，その後状態 I ，R と順に遷移する．このモデルでは十分に時間が経過すると人は状態 S と状態 R のどちらかの状態に収束する．このときの状態 R の数をみることで，感染症の拡大がどの程度のものかを判断することができる．

• Nh : 人の人数
• Nv : 蚊の数
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• S ，E ，I ，R: 各状態の人数である．そのため q よりは Nv /Nh のほうが感染拡大に影響を与えると思われる．

• a : 1 日に 1 匹の蚊が人を刺す回数• b : 感染蚊に刺された人が感染する確率• c : 感染者を刺した蚊が感染する確率• γ : 治癒率
• µ : 蚊の出生率及び死亡率• ϵ : E から I への遷移率• p : 感染者のうち発症する割合• q : 蚊に刺されないように対策しない割合

図 2: Rh の q と Nv への依存性

本研究ではそれぞれのパラメータの値はそれぞれ
Nh = 100，b = 0.46，ϵh = ϵv = 0.1，c1 = 0.75，c2 = 0.50， γ = 0.1，µ = 0.1， p = 0.2 とし a，Nv ，q は可変とした．モデルには基本再生産数 R0 と呼ばれるものがある．これは 1 人の感染者が全感染期間において再生産する 2 次感染者の期待数である．R0 > 1なら感染症が流行し，R0 < 1 なら流行しない．式 (1)から式 (8) を用いて R0 を導出したものを式 (9) として以下に示す．
√(qc1 p + c2 (1 − p))a2 bϵv Nv
R0 =(9)γµNh (µ + ϵv )図 3: Rh の a と Nv への依存性

これらを用いてシミュレーションを行う．

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実行結果

まとめ

本研究ではジカ熱の不顕性感染患者の多さに着目し，SEIR モデルを参考に微分方程式を立てた．1 日に蚊が人を刺す回数 a とそれを調節する q を可変とした．
また，人に対する蚊の数の割合はデータがなく検討がつかないため Nv も可変としシミュレーションを行った．その結果 a が一番感染拡大に影響を与えていることがわかった．しかし a の値は大きく変動するものではないと考えられる．そのため感染を拡大させないた
めには，蚊が発生しないようにボウフラが湧かないように小さな水溜りも作らないようにすることが重要といえる．今回のシミュレーションでは収束すると実行が終わるようになっている．加えて図 2，3 どちらにも時間を表す軸がない．そのため感染が拡大するのにどの程度の時間がかかるのかも検証する必要があると感じた．検証するにあたって今回は実行時間短縮のた
めに Nh = 100 と非常に小さい値に設定しているため，より大きい値にする必要がある．

まずはじめに q ，Nv を可変，a を一定としシミューレーションを行った．その結果を図 2 として示す．ただし a = 0.3 とする．ここでは，x 軸を q ，y 軸を Nv /Nh ，色で表される z 軸を Rh とする．次に a，Nv を可変にし q を一定としシミュレーションしたものを図 3 として示す．ただし，q = 0.1 とする．ここでは x 軸を a，y 軸を Nv /Nh ，色で表される z 軸を Rh とする．また，
図 2，3 で描画されている緑の線は R0 = 1 としてそれぞれのパラメタの値を式 (9) に代入したものを 2 次元グラフで描画したものである．
それぞれの定数となる q ，a は R0 > 1 となる値を求め決定した．図 2 の z 軸の値は，x 軸の値にほとんど依存せず，y 軸の値とともに大きくなっていっていく様子が確認できる．これは q が大きくなっても Rh の値にほぼ変化は出ておらず，Nv の数が増えることで，Rh が増加しているということである．
図 3 を見ると図 2 とは逆で Nv が増えても a = 0.2付近までは Rh の数に変化がない．しかし a の値が大きくなることで，a = 0.4 付近からは Nv の数が小さくても Rh の値が大きいことが見て取れる．a = 0.4 を過ぎた辺りからは Nv < Nh であっても広く感染してしまうという結果となっている．
ここで，式 (9) に着目する．R0 = 1 としてそれぞれのパラメタの値を式 (9) に代入したものは 1 = a2 (3.45q+9.2)Nv /Nh となる．式中には a2 が含まれるため，感染拡大に最も影響を及ぼすと考えられる．q は 0 ≤ q ≤ 1であり q がかかる部分の変域は 0 ≤ 3.45q ≤ 3.45 となる．一方 Nv /Nh では今回の実験では最大で Nv /Nh = 5

参考文献[1] NIID 国立感染研究所「ジカウイルス感染症とは」，http://www.nih.go.jp/niid/ja/ kansenn
ohanashi/6224-zika-fever-info.html(2017/2/1アクセス)[2] S.T.R.Pinho, C.P.Ferreira, L.Esteva, F.R.Bar
reto, V.C.Morato e Silva, M.G.L.Teixeira,
Modeling the dynamics of dengue real epidemics. Phil. Trans. R. Soc. A (2010) 368,5679-5693
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