これまでの研究成果
阿蘇愛理

ねじれアレキサンダー多項式は古典的な結び目の不変量であるアレキサンダー多項式の一般化であり, 結び目とその補空間の基本群の表現に対して定義される. ねじれアレキサンダー多項式は 1990 年代に Lin によって導入され [1], 和田によって有限表示群に対しても定義された [2]. ねじれアレキサンダー多項式を用いることで, 樹下・寺阪結び目と Conwayの 11 交点の結び目のようなアレキサンダー多項式では区別できない 2 つの結び目を区別できることが和田によって示されている [2].
一般には, 結び目 K のねじれアレキサンダー多項式と結び目の種数およびファイバー性に関係があることが知られている. つまり, 結び目 K に対して任意の π1 (S 3 \K) の非可換な SL(2, F)-表現 ρ : π1 (S 3 \K) → SL(2, F) に関するねじれアレキサンダー多項式 ∆K,ρ (t) の次数 (すなわち, 最高次と最低次の次数の差) は結び目の種数を用いて抑えることができ, ファイバー結び目に対してはモニック多項式になることが知られている [3].
結び目が双曲結び目であるとは, その補空間が有限体積の完備双曲構造を許容することである. 双曲結び目に対しては,ホロノミー表現と呼ばれる自然な表現が存在する. 双曲結び目の種数およびファイバー性をこの表現に関するねじれアレキサンダー多項式により決定できることが, Dunﬁeld–Friedle–Jackson によって予想されている (以下, 予想 A と呼ぶ) [4].
私は (−2, 3, 2n + 1) プレッツェル結び目と呼ばれる有名な結び目の無限族に対して, ホロノミー表現を含む表現の族に関するねじれアレキサンダー多項式を計算し, 前述の予想 A が成立していることを確認した [5]. その後, (−2, 3, 2n + 1)
プレッツェル結び目や 2 橋結び目と呼ばれる結び目の無限族を含む, より一般の結び目の無限族であるトンネル数が 1 のモンテシノス結び目に対しても研究を行った [6]. トンネル数が 1 のモンテシノス結び目は 3 つの場合に分けることができ, 1 つ目の 2 橋結び目や 2 つ目の (−2, 3, 2n + 1) プレッツェル結び目を含む結び目の無限族に対しては, ねじれアレキサンダー多項式の次数および最高次の係数を求め, これらの場合の予想 A をホロノミー表現に関する条件に帰着させた.
また, 3 つ目の結び目の無限族に対しては, (−2, 3, 2n + 1) プレッツェル結び目の場合と同様にねじれアレキサンダー多項式を求め, 予想 A が成立していることを確認した.
ねじれアレキサンダー多項式のその他の応用として, 双曲体積との関係が知られている. 3 次元のカスプ付き双曲多様体に対し, そのライデマイスター・トーションの漸近挙動に双曲体積が現れることが Menal-Ferrer–Porti によって示され[7], 結び目のねじれアレキサンダー多項式とライデマイスター・トーションの関係が北野 [8] と山口 [9] によって示されている. それらを用いて, 合田が双曲結び目のホロノミー表現に付随する SL(n, C)-表現 ρn に関するねじれアレキサンダー多項式の漸近挙動 (n → ∞) に双曲体積が現れることを示した [10]. さらに, Park はライデマイスター・トーションと双曲体積の関係の一般化を与え, その得られた関係の複素化に複素体積が現れることを予想した [11]. ここで, 双曲多様体 M√の複素体積 cv(M ) は, M の双曲体積 Vol(M ) とチャーン・サイモンズ不変量 cs(M ) を用いて Vol(M ) + 2π 2 cs(M ) −1で定義される.
私は最近の研究で, 合田の与えた式の複素化を考えるために, 6 交点以下の双曲結び目 K に対して ρn に関するねじれアレキサンダー多項式 ∆K,ρn (1) の漸近挙動を調べ, 等式

limn→∞

4π log ∆K,ρn (1)= cv(S 3 \K)n2が成り立つことを予想した. 実際, 6 交点以下の双曲結び目に対しては, 左辺の n を大きくしていくにつれて, 結び目補空間の複素体積 cv(S 3 \K) に近づくことを確認した.

参考文献[1] X. S. Lin, Representations of knot groups and twisted Alexander polynomials, Acta Math. Sin., 17 (2001), 361–380.
[2] M. Wada,Twisted Alexander polynomial for ﬁnitely presentable groups, Topology, 33 (1994), 241–256.
[3] T. Kitano and T. Morifuji, Divisibility of twisted Alexander polynomials and ﬁbered knots, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5)Vol. IV (2005), 179–186.
[4] N. Dunﬁeld, S. Friedl and N. Jackson, Twisted Alexander polynomials of hyperbolic knots, Exp. Math., 21 (2012), 329–352.
[5] A. Aso, Twisted Alexander polynomials of (−2, 3, 2n + 1)-pretzel knots, Hiroshima Math. J., 50 (2020), 43–57.
[6] A. Aso, Twisted Alexander polynomials of tunnel number one Montesinos knots, to appear in Kobe Math. J. (arXiv:2008.00875.)[7] P. Menal-Ferrer and J. Porti, Higher-dimensional Reidemeister torsion invariants for cusped hyperbolic 3-manifolds, J. Topol. 7 (2014),
no. 1, 69–119.
[8] T. Kitano, Twisted Alexander polynomial and Reidemeister torsion, Paciﬁc J. Math. 174 (1996), no. 2, 431–442.
[9] Y. Yamaguchi, A relationship between the non-acyclic Reidemeister torsion and a zero of the acyclic Reidemeister torsion, Ann. Inst.
Fourier (Grenoble) 58 (2008), no. 1, 337–362.
[10] H. Goda, Twisted Alexander invariants and hyperbolic volume, Proc. Jpn. Acad. Ser. A 93 (2017), 61–66.
[11] J. Park, Reidemeister torsion, complex volume and the Zograf inﬁnite product for hyperbolic 3-manifolds, Geom. Topol. 23 (2019)
3687–3734.