K3, Enrique 曲面とルート系について
向井 茂 (Shigeru MUKAI) ∗複素数体 C 上で考える．小平次元 κ = 0 の代数多様体の世界はおおよそ次のようになっている．

{ 代数多様体（3 次元以上）}

3{ 代数曲面 }3{ 代数曲線 }3

Calabi-Yau 多様体
正則 symplectic 多様体（偶数次元のみ）
アーベル多様体···
K3 曲面: KX ∼ 0, q = 0
Enriques 曲面: 2KS ∼ 0, KS 6∼ 0, q = 0
アーベル曲面: KA ∼ 0, q = 2···1
楕円曲線（種数 g = 1）

ここで扱うのは、この中の 2 種類の曲面、K3 と Enriques である．これらの対称性が Mathieu 群と呼ばれる有限単純群の族 M24 , . . . , M11 や Steiner 系と深く関係していることについて述べる．

§1

K3 と Mathieu

最も簡単に記述できる Feramt 型の 4 次曲面 X4 ⊂ P3 から始めよう．
例 1 複素射影空間 P3 の中の非特異 4 次曲面

XFermat : x4 + y 4 + t4 + z 4 = 0(1)を考える．P3 上の有理 3 形式の residue（留数）()
d(x/t) ∧ d(y/t) ∧ d(z/t)
P3
ω = ResX(x/t)4 + (y/t)4 + (z/t)4 + 1∗

JSPS 科学研究費 (S) 25220701 の補助を受けた．
KX は X の標準因子類（標準直線束）を、q は不正則数 h1 (O) を表す．また、∼ は線形同値を
表す．
1

1

は何処でも消えない XFermat 上の正則 2 形式である (KX ∼ 0)．また、Lefschetz 定理
により単連結（特に、q = 0）なので、XFermat は K3 曲面である. この曲面は多くの対称性をもっている．射影空間の自己同型からくるのはAut(XFermat ⊂ P3 ) = (Z/4)3 o S4√だけある．ここで、群 (Z/4)3 は斉次座標 x, y, z, t を ±1 倍、± −1 倍するもので、対称群 S4 はそれらの置換である．XFermat の自己同型は上の正則 2 形式 ω に定数倍で作用するので、準同型写像
Aut(XFermat ⊂ P3 ) −→ Aut(Cω) ' C∗を得る．これの核 F384 は位数 384(= 42 · 4!) の群で、XFermat に symplectic form ω を保って作用している．

Mathieu 群 M24 は 24 次の特別な置換群である．その作用域 Ω = {1, . . . , 24} の(1 + 1 + 2 + 4 + 16) 型の適当な 5 分割 Ω = q5i=1 Ωi が存在して、上の群 F384 はこれを保つ置換の全体のなす群 {g ∈ M24 : g(Ωi ) = Ωi ∀i = 1, . . . , 5} と同型になる．
非特異 4 次曲面
XSchur : x4 + y 4 + t4 + z 4 − 12xyzt = 0(2)

も多くの対称性をもつことで有名である．これには 24 .A5 （位数 960 の群）が symplectic に作用する．この群 24 .A5 は (1 + 1 + 1 + 1 + 20) 型の 5 分割を保つ群、すな
わち、M24 y Ω の 4 点の固定化群 M20 と同型である．このような現象をまとめたものが次の定理である．
定理 2 (Mukai[12]) 有限群 G に対して次の 3 条件は同値である．

1. G はある K3 曲面に（効果的かつ）symplectic に作用する．
2. G は次の 11 個の群のいずれかの部分群と同型である．
群構造
位数

L2 (7) A6
単純 単純
168
360

N72
3 .D8 ⊂ S6
72
2

M9
3 .Q8
72
2

S5
M20
A5 .2 24 .A5
120
960

F384
42 .S4 , 24 .S4
384

A4,4
24 .A3,3 ⊂ A8
288

T192 H192
23 .S4
192

T48
Q8 .S348

3. G は 23 次 Mathieru 群 M23（M24 y Ω の安定化群）への埋め込みを持ち、付随した自然な 24 次置換表現は 5 つ以上の軌道をもつ．
ただし、An と Sn は n 次交代群と n 次対称群を表す．D8 と Q8 は位数 8 の二面体群と四元数群を表し、単に n と書いたら位数 n の巡回群である．また、24 .A5 は初等
アーベル群 24 と 5 次交代群 A5 の半直積を表す等々である．

2

§2

Enriques と Mathieu

完備非特異代数曲面2 S は条件

H 1 (S, OS ) = H 2 (S, OS ) = 0, 2KS ∼ 0
をみたすとき、Enriques 曲面という．この最後の条件より、標準束 KS に伴う不分
岐 2 重被覆 X → S が定義され、被覆曲面 X は K3 曲面となる．よって、Enriques
曲面は K3 曲面を自由（固定点のない）対合3 で割って得られる．
Enriques 曲面 S の自己同型は大域 2 重 2 形式の空間 H 0 (S, OS (2KS )) に自明に作用するとき、semi-symplectic（半シンプレクティック）と呼ぶ．これは K3 曲面のsymplectic 自己同型のごく自然な類似物である．定理 2 の Enriques 版として次が得られている．
定理 3 (Mukai-Ohashi[19]) 有限群 G に対して次の条件は同値である．

1. G はある Eneriques 曲面に M-semi-symplectic に作用する．
2. G は以下の 5 個の極大群どれかの部分群と同型である．
A6 , N72 = 32 .D8 , S5 , 2 × A4 , 2 × 4.
3. G は 6 次対称群 S6 への埋め込みを持ち、その 2-Sylow 群は S6 のそれより真に小さい．
M-semi-symplectic 作用は semi-symplectic 作用の中でもより Mathieu 群との親和性の高いものである（付録 A 参照）．この定理の出発点となったのは、最初の 3 個の群が M-semi-symplectic に作用する Enriques 曲面が次のデータから構成できることの発見であった（付録 A や [15] 参照）．
Ω+ t Ω− の分解型

群

位数

G1

A6

360

(1 + 1 + 10)+(6 + 6) (A5 + A5 )+

G2

N72

72

(1 + 2 + 9)+

(6 + 6)

G5

S5

120

(1 + 5 + 6)+

(2 + 10) (A1 + A9 )+図 1: Ω± の分割とルート型
2
3

コンパクト複素解析曲面としてもよい．
involution: 位数 2 の自己同型．

3

ルート型

(A5 + A5 )+ここで、Ω+ t Ω− は M24 の作用域 Ω を二つの special octads への分解を表す．この分解を保つ群 {g ∈ M24 : g(Ω+ ) = Ω+ } は M12 と記される有限単純群で、Ω+ にもΩ− にも 5 重推移的に作用する．M12 の位数は 12 · 11 · 10 · 9 · 8 に等しい．

§3

Steiner 系

Steiner 系 St(a, b; c) とは、固定された集合 S の部分集合の集合 B ⊂ P(S) で次をみたすものをいう．
1) 集合 S は c 個の点よりなる．
2) B の元（ブロックと呼ばれる）の要素の個数は b である．
3) S のどの a 点に対しても、それらを含むブロックが一意的に存在する．
前節末の 12 次置換作用 M12 y Ω+ は Steiner 系 St(5, 6; 12) を保っていることが著しい．この Steiner 系はSt(2, 3; 9) 99K St(3, 4; 10) 99K St(4, 5; 11) 99K St(5, 6; 12)(3)という系列の最後のものである．

1. 3 元体 F3 上の 2 次元アフィン平面 A2 において点と直線のなす関係を考える．この平面 A2 は 9 個の点よりなり、どの 2 点をとっても、それらを通る直線がただ一つ定まる．アフィン直線 A1 は 3 個の点よりなるので、直線の集合は Steiner()
系 St(2, 3; 9) をなす．直線の本数は 92 /3 = 12 である．
2. 9 元体 F9 上の射影直線 P1（前項の A2 の 1 点コンパクト化）と調和点列のなす関係を考える．どんな 3 点 p1 , p2 , p3 ∈ P1 に対しても、p1 , p2 , p3 , p4 が調和的となる 4 番目の点 p4 が一意的に存在する．よって、これらは Steiner 系 St(3, 4; 10)( )/4 = 30 である．
（射影直線上の 4 点は複比がをなす．調和点列の個数は 10
3−1, 2, 1/2 のいずれかに等しいとき調和的であるというが、標数 3 の体では、
この 3 個の値が同一であることに注意．
）
( )
/5 =
3. 前項の St(3, 4; 10) を拡張する St(4, 5; 11) が存在する、ブロックの個数は 11
466 である．
( )/6 = 132 である．
4. さらに St(5, 6; 12) に拡張する．ブロックの個数は 125
M12 y Ω+ とその安定化群 M11 , M10 , M9 がそれぞれの Steiner 系を保つ．M10 は 6
次交代群 A6 を指数 2 の部分群として含む群である．また、M9 は定理 2 に出現する群 32 .Q8 である．

4

§4

(A5 + A5)+ 型の Enriques 曲面

6 次交代群 A6 の Enriques 曲面への作用は、最初、図１のデータを用いて構成された．この Enriques 曲面の K3 被覆は Keum・小木曽・Zhang[9] で構成されているものと同型である．逆に、[9] を用いて A6 の作用する Enriques 曲面を構成することもできる．ただし、これらはともに Torelli 型定理を用いるもので（付録 A）、直接構成が望ましいのは言うまでもない（例えば正標数への還元）．(A5 + A5 )+ 型の Enriques
曲面には 10 次の偏極を保って 6 次交代群 A6 が作用すると同時に、18 次の偏極を保って群 N72 も作用する．
（両作用の関係については付録 C の Theorem C を見よ．
）両者を理解する出発点になるのは、次の記述である．
例 4 5 次元射影空間 P5 の中の 3 個の 2 次超曲面の完全交叉

√
√
2
2

x
−
(1
+
3)yz
=
u
−
(1
−
3)vw


√
√
2
2
X y − (1 + 3)xz = v − (1 − 3)uwz 2 − (1 + √3)xy = w2 − (1 − √3)uv(4)

は（8 次）K3 曲面である．この K3 曲面の自由対合

ε : (x : y : z : u : v : w) 7→ (x : y : z : −u : −v : −w)
による商曲面 S = X/ε は（4 次）Enriques 曲面である．
この K3 や Enriques 曲面 X, S は平面 3 次曲線の Hesse pencil

x3 + y 3 + z 3 − 3λxyz = 0,

λ ∈ P1(5)と密接に関係している．この 3 次曲線（Hesse の標準形）が位数 4 の虚数乗法をもつ√のは、パラメータ λ が (4) に現れる係数 1 ± 3 に等しいことと同値である．
Hesse pencil の 9 個の基点を爆発することによって有理楕円曲面 R −→ P1 をえる√が、上の Enriques 曲面 S = X/ε は、この R を λ = 1 ± 3 上の二つのファイバーで（位数 2 の）対数変換したものと同型である．P2 への群 32 の Heisenberg 的作用4 が、√P5 へのそれに拡張され、その作用でもって X や S は保たれる．また、λ を 1 ± 3 ととったことにより、位数 4 の虚数乗法も作用し、S には（4 次偏極を保って）群 32 .4が作用する．この群は A6 の指数 10 の部分群で、N72 (= 32 .D8 ) の指数 2 の部分群である．S の上の非特異有理曲線 P1 の配置や楕円ファイバー構造を調べることによって、作用が A6 にも N72 にも（semi-symplectic に）拡がることが示せる．
有理楕円曲面 R −→ P1 は、4 点（1 の 3 乗根と ∞）において、退化ファイバーをもつ．それらは 3 直線の和なので、全部で 12 本の直線が出現する．古典的事実
4

座標 x, y, z の巡回置換と対角的変換 [1, ω, ω 2 ] で生成される作用．Hesse pencil については、例
えば、[1] を見よ．

5

としてよく知られているように、(5) の 9 個の基点とこの 12 直線が前節の Steiner
系 St(2, 3; 9) をなしている（標数 3 から複素数体 C への持ち上げ）．Enriques 曲面
S = X/ε に A6 が作用するのは、対数変換でもって、有理楕円曲面 R の対称性に対応する St(2, 3; 9) から、(3) の意味でより大きな Steiner 系 St(3, 4; 10) に移ることに対応している．Hesse pencil 内の 12 本の直線が Enriques 曲面 S = X/ε の 30 本の非特異有理曲線 P1 の配置に拡張されるが、これは二つの Steiner 系の間のブロックの拡張に対応する．
このことは標数 3 の還元で最も端的に現れる．実際、Enriques 曲面 S = X/ε の
mod 3 還元は指数 2 の Coble 有理曲面（付録 C）であり、直積 P1 × P1 を、Frobenius
射のグラフ Γ = {t, t3 } とその転置 Γt = {t3 , t}(transpose) の交わり Γ ∩ Γt の 10 点で爆発した曲面である．より正確には、爆発 Bl10 (P1 × P1 ) において Γ と Γt の強変換をつぶして得られる特異有理曲面5 が S の mod 3 還元である．
Enriques 曲面の格子不変量 (lattice invariant) やルート不変量 (root invariant) については付録 B.1、[15] や Nikulin[21] を見よ．

§5

T2,3,7 と多面体

Enriques 曲面の第 2 コホモロジー群 H 2 (S, Z) は標準因子 KS（第 1 Chern 類 c1 (S)と言っても同じ）を捩れにもつが、それで割ってえられる自由加群を H 2 (S, Z)f で表す．これは階数 10 で、カップ積（交点形式）でもって（2 次整）格子になる．偶かつ unimodular(1, 9) なので、格子としては E8 + U と同型になる．
)( であり、符号は0 1
を内積とする格子を、E8 は次を Dynkin 図形とする負定値な
ただし、U は
1 0
ルート格子を表す．

e

e

e

e

e

e

e

e

図 2: E8 格子 T2,3,5格子としての H 2 (S, Z)f は図 2 の長い足をさらに二つ延ばした図 3 からえられる．
E8 の基本ウェイトのような表現論的意味は不明であるが、この H 2 (S, Z)f ' T2,3,7（E10 とも呼ばれる）の基本ウェイトを形式的に考えることができる．下の図ではそ52 個の (1, 1)/4 型商特異点をもつ．

6

のノルム（平方長）を下付添字で表した（交点行列の逆行列の対角成分）．これら
は Enriques 曲面の偏極を考える際に重要になる ([2], [4])．

w10

w18

e

e

w42
e

w30
e

w20

w12

e

w6

e

e

w2
e

w0
e

e

w10

図 3: 格子 T2,3,7 (= E10 ) と基本ウェイト

Eniques 曲面の射影モデルの中でもこれらの 10 個の基本ウェイトに対応するもの
は美しい構造をもっている．射影モデルの研究の副産物として、多面体との図 4 のような対応もえられる．
楕円 ﬁbration に対応する w0 と堀川モデルに対応する w2 は、多面体が退化しているので、略した．w4 に対応する Godeaux モデルとは、例 4 のようなものを言う．
w10 に対応する Fano モデルとは、Enriques 曲面を 10 次曲面 S10 ⊂ P5 として表す方法を言う．一般のものは 2 次超曲面に含まれず、10 個の 3 次斉次式でもって定義される．w6 に対応する Enriques sextic とは、Enriques 自身の最初の発見に現れるもので、P3 内の非正規な 6 次曲面の正規化のことである．付録 B.2 や [18] を見よ．
基本ウェイト
射影モデル、偏極多面体

w12
f1 + · · · + f4
菱形 12 面体6w4
w10∑
Godeaux Fano, ( 10
1 fi )/3
正 8 面体正 20 面体w20
f1 + · · · + f5
菱形 20 面体w30
f1 + · · · + f6
菱形 30 面体

w6
Enriques sextic, f1 + f2 + f3
立方体

w42
f1 + · · · + f7
菱形 42 面体w18
∑9
( 1 fi )/2?

図 4: Enriques 格子と多面体
対応する多面体の表面積は基本ウェイトのノルムと一致している．ただし、表面
積は 3 角形は面積 1/2、4 角形は 1 で数える．

§6

付録について3 つの付録は筆者が、Oberwolfach 数学研究所（独）において講演した際のアブストラクトである．それぞれ独立に読めるようになっているので、重複はそのままに
6

英語では rhombic dodecahedron, rhombic icosahedron, rhombic triacontahedron,... という．図は入れられなかった．各自ウェッブ上で観賞されたい．

7

した．

A 「多くの semi-symplectic 自己同型をもつ Enriques 曲面」（2010 年 9 月）
定理 3 が弱い予想の形になっているが、そのままにしてある．

B 「自己同型群が概アーベル7 な Enriques 曲面」（2012 年 9 月）
(A5 + A5 )+ 型の Enriques 曲面は付録 B.2 の最後で他の 3 種
A9 , E7 + A2 , (D6 + A3 + A1 )+Wと共に概アーベルな自己同型群から除外されるが、かえってそれ故に面白いとも言える．実際、最近の研究 [20] では、(E7 + A2 ) 型の Enriques 曲面の場合に自己同型群が決定されている．A9 型は調和有理曲面（付録 C）を Coble 極限にもつ 30 次 Enriques 曲面の 1 次元族である．また、(D6 + A3 + A1 )+W 型は、[18] において octahedral Enriques sextic と呼ばれている Enriques 曲面である．

C 「有理曲面に隣合う曲面としての Enriques 曲面、また、その逆」（2013 年 5 月）
Enriques 曲面と Coble 有理曲面の密接な関係を自己同型群の観点から調べたものである．
3 種の曲面の関係についての Persson 氏の意見を記しておく．
Enriques surfaces straddle the land between K3 surfaces and rational surfaces. With rational surfaces, more precisely rational elliptic
surfaces, they share the Hodge diamond . . . With K3 surfaces theyshare the potential of many competing elliptic ﬁbrations. To borrow
notions from paleontology, their similarities with rational surfaces
are analogies8 , with K3 surfaces homologies9 . (MR986969)

Appendix

7

virtually abelian: 有限群を法としてアーベル群．
相似 (analogy) とは発生起源を異にするが、同じ機能をもつために似た形態になること．
9
相同 (homology) とは異種の生物の器官で、形状や機能が異なるが、発生的には同一起源である
こと．
9

8

A

Enriques surfaces with many semi-symplectic
automorphisms (Sep. 2010, Oberwolfach)

An automorphism of a K3 surface S is sympletic if it acts on H 0 (OS (KS )) trivially.
All ﬁnite groups which have symplectic actions on K3 surfaces are classiﬁed in termsof the Mathieu group M24 by Mukai [12] and Kondo [11]. An automorphism of
an Enriques surface S is semi-symplectic if it acts on H 0 (OS (2KS )) trivially. A
smart classiﬁcation similar to K3 surfaces is desirable for semi-symplectic actionsof Enriques surfaces but still far from complete investigation. Here I propose a
restricted class of semi-symplectic actions.
Deﬁnition An eﬀective semi-symplectic action of a ﬁnite group G on an Enriques surface is M -semi-sympletic if the Lefschetz number of g equals 4 for every
automorphism g ∈ G of order 2 and 4.
Here the Lefschetz number of an automorphism σ is the Euler number of the ﬁxed
point locus Fix σ, and equal to the trace of the cohomology action of σ on H ∗ (S, Q).
M -semi-symplectic actions are closely related to the symmetric group S6 of degree
6 via the Mathieu group M12 though S6 itself has no semi-symplectic actions. It
is known that S6 has six maximal subgroups upto conjugacy, and four modulo
automorphisms. The four subgroups are
1. the alternating group A6 ,2. the symmetric group S5 of degree 5,
3. (C3 )2 .D8 , the normalizer of a 3-Sylow subgroup, and4. the direct product S4 × C2 ,where Cn and Dn denote a cyclic and a dihedral group of order n, respectively.
Theorem The three maximal subgroups A6 , S5 , (C3 )2 .D8 and the abelian group(C2 )3 have M -semi-symplectic actions on Enriques surfaces.
Remark By Kondo [10], there are two Enriques surfaces whose automorphismgroups are isomorphic to S5 . One is called type VII and the other is the quotientof the Hessian of a special cubic surface (type VI). The action of S5 is M -semisymplectic for the former and not for the latter.
The action of the three maximal subgroups are constructed reﬁning the methodof [13]. We use
1. embeddings of S6 into the Mathieu group M12 ,9

2. the action of M12 × C2 on the Leech lattice, and3. Torelli type theorem for Enriques surfaces.
An Enriques surface S = Km(E1 × E2 )/ε of Lieberman type has a semi-symplectic
action of (C2 )4 by translation by 2-torsion points. One involution σ ∈ (C2 )4 isnumerically trivial in the sense of [17], that is, its Lefschetz number is the maximal(= 12). Moreover, the action of (C2 )4 is M -semi-symplectic except for σ. Hence S
has an M -semi-symplectic action of (C2 )3
Question Is a ﬁnite group isomorphic to a proper subgroup of the symmetricgroup S6 , if it has an (eﬀective) M -semi-symplectic action on an Enriques surface?
The deﬁnition of M -semi-symplectic action is modeled on the permutation group
M12 of degree 12. The permutation type of g ∈ M12 depends only on its order n if
it has a ﬁxed point (on the operator domain of cardinality 12). The type and thenumber of ﬁxed points µ+ (n) are as follows.
n
12
permutation type (1) (2)4µ+ (n)
12
4

3
(3)3
3

4
(4)2
4

5
(5)2
2

6
(6)(3)(2)1

8(8)(2)
2

11
(11)
1

It is well known that a symplectic involution of a K3 surface have exactly 8 ﬁxed
points. But for an involution σ of an Enriques surface, the ﬁxed point set Fix σ isnot necessarily ﬁnite and the Lefschetz number varies from −4 to 12. (Note thatevery involution of an Enriques surface is semi-symplectic.) The required number
4 in our deﬁnition is one half of 8, the mean of −4 and 12 and equal to µ+ (2). A
semi-symplectic action of G on an Enriques surface is M -semi-symplectic if and only
if the Lefschetz number and µ+ are the same on G since the order of semi-symplectic
automorphism is either ≤ 6 or ∞ by H. Ohashi.

B

Enriques surfaces whose automorphism groups
are virtually abelian (Sep. 2012, Oberwolfach)A (minimal) Enriques surface S is the quotient of a K3 surface X by a ﬁxed-pointfree involution ε : X → X. We consider it over the complex number ﬁeld. Its Picard
group is isomorphic to the second cohomology group H 2 (S, Z). The torsion part ofH 2 (S, Z) is generated by the ﬁrst Chern class c1 (S). The torsion free part is an evenintegral unimodular lattice of rank 10. An Enriques surface S is algebraic and theautomorphism group Aut S is discrete. Its number of moduli is 10.
10

If an Enriques surface S is (moduli theoretically) very general, then S does notcontain a smooth rational curve on it. Every positive isotropic divisor class on suchan S deﬁnes an elliptic ﬁbrtation whose Mordell-Weil rank10 is 8. In particular,
Aut S is inﬁnite if S is very general. The automorphism group Aut S shrinks when
S becomes special and has smooth rational curves on it. As the most extreme case,
Nikulin[21] and Kondo[10] classiﬁed the Enriques surfaces with only ﬁnitely many
automorphisms into seven types I, –, VII. In this talk we explain our recent result(and its proof) on the next case. Recall that a group is called virtually abelian if it
contains a ﬁnitely generated abelian group as normal subgroup of ﬁnite index.
Theorem A. The automorphism group Aut S of an Enriques surface S is virtuallyabelian if and only if either Aut S is ﬁnite or S is of (lattice) type E8 , that is, thetwisted Picard group Picω S contains the (negative deﬁnite) root lattice of type E8 as
sublattice.
The following lists the lattice type of Enriques surfaces with virtually abelian
automorphism groups.
No.
Lattice type

I
E8

VI
E6 + A4
Hessian (cf. [6])

II
D9

III
(D8 + A1 + A1 )+W
Lieberman type(see Example C)IV(D5 + D5 )WV(E7 + A2 + A1 )W
Kondo-Mukai type(cf. [14])VII(A9 + A1 )+Fano[8]Here L+ denotes an odd (integral) lattice which contains L as sublattice of index
2. See Deﬁnition B below for lattice type L or LW , which is the key of our proof of
the theorem. Our lattice type is a reﬁnement of the root invariants of Nikulin[21]in terms of the twisted cohomology group.

B.1

Twisted cohomology

The kernel of the Gysin map π∗ : H 2 (X, Z) → H 2 (S, Z) is a free Z-module of rank
12, which we call the twisted cohomology group of an Enriques surface S and denoteby H ω (S, Z), where π : X → S is the canonical (or universal) covering. H ω (S, Z)
is isomorphic to the second cohomology group H 2 (S, ZωS ) of S with coeﬃcients inthe unique non-trivial local system ZωS . Hence, the natural non-degenerate pairing
For an elliptic ﬁbration Φ : S → P1 , the rank of the Mordell-Weil group of its Jacobian ﬁbration
is called the Mordell-Weil rank of Φ for short.
10

11ZωS ×ZωS → ZS induces a Z-valued bilinear form on H ω (S, Z), for which the following
holds (cf. [5]):• H ω (S, Z) is an odd unimodular lattice I2,10 of signaure (2, 10).
• H ω (S, Z) carries a polarized Hodge structure H ω (S) of weight 2 with Hodge
number (1, 10, 1).
• The (1, 1)-part of H ω (S) is the kernel of the pushforward map π∗ : Pic X →Pic S. We call it the twisted Picard lattice and denote by Picω S.
• The modulo 2 reduction H ω (S, Z) ⊗ Z/2 is canonically isomorphic to the usual
cohomology H 2 (S, Z/2) with Z/2 coeﬃcient.
The twisted Picard lattice Picω S is negative deﬁnite, and does not contain a(−1)-element by Riemann-Roch. Let L be such a lattice, that is, negative deﬁnite
and 63 (−1)-element.
Deﬁnition B. An Enriques surface S is of lattice type L (resp. LW ) if the twisted
Picard lattice Picω S contains L as primitive sublattice and if the orthogonal complement of L ,→ H ω (S, Z) is odd (resp. even).
The orthogonal complement is even if and only if L ⊗ Z/2 contains Wu’s class,that is, c1 (S) modulo 2. The number of moduli of Enriques surfaces of (lattice) type
L or LW is equal to 10 − rank L.
Example C. An Enriques surface is called Lieberman type if it is isomorphic to
the quotient of a Kummer surface Km(E1 × E2 ) of product type by ε+ , where Ei ,i = 1, 2, is an elliptic curve and ε+ is the composite of (−1E , 1E ) and the translation
by a 2-torsion (a1 , a2 ) with 0 6= ai ∈ (Ei )(2) . An Enriques surface S is of Lieberman
type if and only if it is of type D8,W , that is, Picω S contains D8 primitively andthe orthogonal complement of D8 ,→ H ω (S, Z) is isomorphic to U + U (2),( where)
0 1
U (resp. U (2)) denotes the rank 2 lattice given by the symmetric matrix
1 0
)
(
0 2
). (The orthogonal complement is isomorphic to h1i + h−1i + U (2)(resp.
2 0
if S is of type D8 .) The IIIrd Enriques surface in the above table is of Lieberman√
type with E1 = E2 = C/(Z + Z −1).
If C is a smooth rational curve on an Enriques surface, then its pullback splits
into two disjoint rational curves C0 and C1 . Their diﬀerence [C0 ] − [C1 ] deﬁnes a(−2)-element in Picω S up to sign, which is called the twisted fundamental class of C.
In particular, a tree of smooth rational curves on S of ADE-type deﬁnes a negative
deﬁnite sublattice of the same type in Picω S.
12

B.2

Outline of proof of Theorem A

Assume that Aut S is not ﬁnite but virtually abelian. Then S has an elliptic
ﬁbration Φ0 : S → P1 of positive Mordell-Weil rank, and all other elliptic ﬁbrations
Φ 6= Φ0 have Mordell-Weil rank zero. In particular S has one and only one elliptic
ﬁbration of positive Mordell-Weil rank modulo Aut S. By an argument similar to[21], S is of type either E8 , A9 , E7 + A2 , (A5 + A5 )+ or (D6 + A3 + A1 )+W . Except
for E8 , S has more than one elliptic ﬁbrations of positive Mordell-Weil rank. For
example, in the cases of type A9 and (A5 + A5 )+ , it is deduced from the action of
the alternating group A5 . In the last case, it is deduced from the fact that S is thenormalization of the diagonal Enriques sextic
)
(
√
1
1
1
1
2
2
2
2
S̄ : (x0 + x1 + x2 + x3 ) + −1+++
x0 x 1 x2 x3 = 0x20 x21 x22 x23
in P3 . (This equation was found in [18] as the octahedral Enriques sextic.) In thecase of type E8 , Aut S is virtually abelian by Barth-Peters[3, §4].

C

Enriques surfaces as neighbors of rational surfaces and vice versa (May 2013, Oberwolfach)

Enriques surfaces are similar to K3 surfaces. Both are of Kodaira dimension one
and can be studied lattice theoretically by virtue of Torelli type theorem. But
Enriques surfaces, with the same birational invariants q = pg = 0, are similar
to rational surfaces too. They mildly degenerate to rational surfaces with quotient
singularities of type (1,1)/4, and change into rational elliptic surfaces by logarithmictransformation. This similarity and intimacy is very useful in studying Enriques andrational surfaces. In my talk I discussed Theorems A–C on automorphism groups
from this view point.
Let R5 be a quintic del Pezzo surface, the blow-up of the projective plane P2 atfour points in general position, say, at (x0 : x1 : x2 ) = (1 : ±1 : ±1). It has tenlines, that is, smooth rational curves of anti-canonical degree one, and the dualgraph of their conﬁguration is the Petersen graph. There are 15 intersection points
among the ten lines in total. Let R−10 be the blow-up of R5 at the 15 intersection
points. The Cremona transformation (x0 : x1 : x2 ) 7→ (1/x0 : 1/x1 : 1/x2 ) induces
an involution of R−10 , which we denote by σ. Taking conjugate by the action of
Aut R5 ' S5 , we obtain ﬁve involutions σ = σ1 , . . . , σ5 .

13

Theorem A. The automorphism group of R−10 is generated by Aut R5 and σ.
Moreover, it is isomorphic to the semi-direct product of the amalgam of ﬁve involutions hσ1 i ∗ · · · ∗ hσ5 i by S5 .
The double cover of R5 with branch the union of ten lines is a K3 surface with 15
nodes. The minimal resolution X4 is a double cover of R−10 . (The suﬃx “4” denotes
the discriminant of rank 2 transcendental lattice of the K3 surface.) Hence R−10 ,with the strict transform of ten lines, is a Coble-Enriques surface in the following
sense.
Deﬁnition A smooth algebraic surface S with a boundary divisor B = tm
1 Bi is a
Coble-Enriques surface of index m if S is the a quotient of a smooth K3 surface X
by an involution ε whose ﬁxed point locus is the disjoint union of m smooth rational
curves and if B is the branch divisor.
The boundary components Bi ’s are all smooth rational curves with self intersection
number (Bi2 ) = −4. When index m = 0, S is nothing but an Enriques surface. Thosewith positive index are classiﬁed by Dolgachev-Zhang [7]. The maximum index is
m = 10 and the rational surface R−10 above is the unique Coble-Enriques surface of
maximum index.
Example (1) Let B̄ ⊂ P2 be an (irreducible) plane sextic with ten nodes and R−1
the blow-up of P2 at the ten nodes. Then R−1 with the strict transform B of B̄ isa Coble-Enriques surface of index one.
(2) Let B̄ be the union of six lines in P2 . Then the blow-up R−6 of P2 at the 15
intersection points, with the strict transform B of B̄, is a Coble-Enriques surface ofindex six.
Returning to Theorem A, let L ' Z10 be the orthogonal complement of theboundary components B1 , · · · , B10 in the Picard lattice Pic R−10 ' Z20 . The 15
exceptional curves of the blowing up R−10 → R5 deﬁne 15 roots, that is, divisor
classes of self intersection number −2, in L. The ﬁve involutions σ1 , . . . , σ5 alsodeﬁne ﬁve roots in L. These 20 roots have the same graph as the Enriques surface
S of type VII in Kondo [10]. Theorem A is proved in an analogous way to his proof
of Aut S ' S5 .
Remark Since the Picard lattice of the covering K3 surface X4 is 2-elementary,
Aut X4 is the central extension of Aut R−10 by the covering involution. Hence thelatter half of Theorem A also follows from Vinberg [22]. Our proof is the one which
eliminates the K3 surface X4 and Torelli type theorem from his.
Let S be an Enriques surface which has semi-symplectic action of both the alternating group A6 of degree six and the group 32 D8 of order 72 and are found in [15]14and [19]. (An automorphism of an Emriques surface S is semi-symplectic if it acts
trivially on H 0 (OS (2KS )) ' C.) The covering K3 surface of S is the one found by
Keum-Oguiso-Zhang [9] using the Leech lattice and Leech roots.
Theorem B. S is isomorphic to the logarithmic transform of the Hesse elliptic
surfaceR0 := Bl9 P2 · · · → P1 ,at the two ﬁbers over (1 ±√(x0 : x1 : x2 ) 7→ (x30 + x31 + x32 : 3x0 x1 x2 )3 : 1) (with multiplicity two).

By a similar argument with the proof of Theorem A, we have
Theorem C. The semi-symplectic automorphism group of S is isomorphic to theamalgam (32 D8 ) ∗ A6 over 32 C4 .
The Enriques surface S has 40 roots of P1 ’s and involutions. It is interesting toobserve that the graph of these 40 roots are the same as that of Example (2). Whenthe six lines tangent to the same conic, the Coble-Eniques surface R−6 of index six
is the projection of a Kummer quartic surface from one of 16 nodes, say n0 . The∑
boundary B = 61 Bi is the image of six tropes passing through n0 . In this case,the 40 roots of R−6 consists of 15 P1 ’s over the remaining 15 nodes n1 , . . . , n15 , 15involutions of Hutchinson-Göpel type ([16]) and the images of 10 tropes which does
not pass through n0 .

参考文献
[1] Artebani, M. and Dolgachev, I.: The Hesse pencil of plane cubic curves, Enseign. Math. 55(2009), 235–273.
[2] Barth, W.: Lectures on K3- and Enriques surfaces, in “Algebraic Geometry”,
Lect. Notes in Math. 1124, Springer Verlag, 1985, pp. 21–57.
[3] Barth, W. and Peters, C.: Automorphisms of Enriques surfaces, Invent. Math.
73 (1983), 383–411.
[4] Cossec, F. and Dolagchev, I.: Enriques surfaces. I, Progress in Math., 76,
Birkhauser, Boston, MA, 1989.
[5] Degtyarev, A., Itenberg, I. and Kharlamov, V.: Real Enriques surfaces, Lecture
Notes in Math. 1746(2000), Springer Verlag.

15[6] Dolgachev, I. and Keum, J.-H.: Birational automorphisms of quartic Hessiansurfaces, Trans. Amer. Math. Soc. 354(2002), 3031–3057.
[7] Dolgachev, I. and Zhang, D.Q.: Coble rational surfaces, Amer. J. Math.
123(2001), 79–114.
[8] Fano, G.: Sperﬁcie algebriche di genre zero e bigenere uno e loro casi particolari,Rend. Circ. Mat. Palermo 29(1910), 98–118.
[9] Keum, J., Oguiso, K. and Zhang, D.Q.: The alternating group of degree 6 in
the geometry of the Leech lattice and K3 surfaces, Proc. London Math. Soc.
90(2005), 371–394.
[10] Kondo, S.: Enriques surfaces with ﬁnite automorphism groups, Japan. J. Math.,
12(1986), 191–282.
[11] Kondo, S.: Niemeier lattices, Mathieu groups and ﬁnite groups of symplectic
automorphisms of K3 surfaces, Duke Math. J. 92(1998), 593–598.
[12] Mukai, S.: Finite groups of automorphisms of K3 surfaces and the Mathieu
group, Invent. math., 94(1988), 183–221.
[13] Mukai, S.: Lattice theoretic construction of symplectic actions on K3 surfaces,
Appendix to [11], Duke Math. J. 92(1998), 599–603.
[14] Mukai, S.: Numerically trivial involutions of Kummer type of an Enriquessurface, Kyoto Math. J. 50(2010), 889–902.
[15] Mukai, S.: Lecture notes on K3 and Enriques surfaces (Notes by S. Rams), in“Contributions to Algebraic Geometry”(IMPANGA Lecture Notes), European
Math. Soc. Publ. House, 2012, pp. 389–405.
[16] Mukai, S.: Kummer’s quartics and numerically reﬂective involutions of Enriquessurfaces, J. Math. Soc. Japan 64(2012), 231–246.
[17] Mukai, S. and Namikawa, Y.: Automorphisms of Enriques surfaces which act
trivially on the cohomology groups, Invent. math., 77(1984), 383–397.
[18] Mukai, S. and Ohashi, H.: Enriques surfaces of Hutchinson-Göpel type andMathieu automorphisms, in “Arithmetic and Geometry of K3 surfaces andCalabi-Yau threefolds”, Fields Institute Communications 67, 2013, pp. 429–
454.

16

[19] Mukai, S. and Ohashi, H.: Finite groups of automorphisms of Enriques surfaces
and the Mathieu group M12 , in preparation.
[20] Mukai, S. and Ohashi, H.: The automorphism groups of Enriques surfaces
covered by symmetric quartic surfaces, to appear. RIMS-preprint # 1715(2014).
[21] Nikulin, V.V.: On the description of the groups of automorphisms of Enriquessurfaces, Dokl. Akad. Nauk SSSR 277(1984), 1324–1327; English translation,
Soviet Math. Dokl. 30(1984), 282–285.
[22] Vinberg, E.B.: The two most algebraic K3 surfaces, Math. Ann. 265 (1983),
1–21.

京都大学数理解析研究所
向井 茂

17