第30回土質工学研究発表会(金沢)平成7年7月
E-o494酬数グラフの雛と留意点㈱ジオトップ正会員平山英喜
1.まえがき両対数グラフでは、広範囲の2変数の値がコンパクトにまとめられることや、指数関数y二Cxk(C,k二定数)が直線になるなどの特徴がある。地盤工学の分野でも載荷試験や圧密試
験などの結果をグラフにする場合に、両対数グラフが用いられ、結果の解釈の際にその折点、あるいはより広義には最大曲率点が利用されることがある。しかし、グラフの曲率やその変化率は座標軸の目盛りの種類(等分目盛り、対数目盛り)やそのスケールで変化し、図形のマジックPと呼ばれる現象が生じる場合がある。
本稿では、文献2,での概説を補足して(x,y〉座標におけるグラフとの比較も含めて、(logx、10gy〉座標におけるグラフの最大曲率点の位置について数学的に考察する。また、その結果に基づいて、パソコンなどで、両対数グラフを作図する場合の留意点を述べる。
2.関数とグラフの関係
独立変数xに対して従属変数yを対応させる、ある関数fによるy賃f〈x〉をグラフにする場
合、x、yが無次元であれば各々の単位長さは同一にとるのが普通である。しかし、対象とするxの変域(do聰ln)とyの値域(聡ngのによっては、異なる単位長さでグラフ化する場合もある。2変数が、物理的に異なる次元を持つもの(例えば、艮さの単位の沈下量とカの単位の荷重〉の場合は、各座標軸の単位長さあるいなスケールは、任意に設定できる、というよりせざるをえない。
図一1に示すように単位長さを等しくとったy瓢f(x〉のグラフと、x軸をm倍引き伸ばしてX軸としたグラフy鴬f(X)を考えてみる。
両者とも関数fをグラフ化したものである。しかしながら、y離f(X〉のグラフは、元の(x,y〉座標上ではy訟f{9〈X)1,9(X)箪X/mと合成関数で表される異なる関数をグラフ化し・たものになる。
図一1において、x軸の引き伸ばしにより、最大曲率点のyの値が小さくなっているのは明かであるρそこで、元の(x,y〉座標上で、その図形的関係を数学的に検討してみる。y鴬flg(x〉},g(x》x/m⇒x瓢の第1階・2階の導関数は、次のようになる。
dy/dx二=f'〈Xm)9'(x〉
篇f'(Xm〉/m……・…(1〉d2y/dx2鴬ヂ(Xm)9㌧(x)=f"(x冊〉/m2……・…(2〉
したがって、曲率Kは次式で与えられる。
K=1(i2y/dx2!/[1+(dy/dx〉213!2判f竹(Xm)/m21/[1+lf'〈X鯖〉/m}2〕3!2・……・……・(3)
ここで、曲率は、その逆数が曲率半径であるように、平面曲線のある点での曲がりの度合を表す、曲線の図形的性質に関するものであり、導関数のように、x、yの次元に対応しうるものでない。これが、前述の図形のマジックの種となる。
dK/dx藩0から次式を得る。
lfm(Xm〉1[1+{f'(Xm)ノm12〕
一3f(Xm)ヂ(Xm〉lf"(x浴)1/m2嵩0・……・……・(4)y●・幅●●■■●'
y=f(x〉y鴬f(X〉
ory#f(x/m〉
XXm・・jm....σ/10“U図～1〈x,y)座標におけるy謹f(x〉とy二f(x/m〉のグラフ"C臨acter減icεo鍛09-10991ap胎a範dre恥arkson協eバ
Hideki田RAYA紐A(GEOTOPCorPoration)
一1297一嘱
謎v含蓄・、
ハ翅
聴
諦
磁.一
揖熱留
出■網嚢!血、嚢甜笙繕嚢馨礎(4)式から、曲率最大となる点、すなわち曲率半径最小となる点、のyの値は、mに依存することになる。
具体例として、次のKondner型の双曲線
f(x〉=x/(a+bx)・・・・・・・・・…(5〉9(x)=x/mニXm・・・・・・・・・・・…(6)を仮定して、yニf{g(x)}の特性を検討してみる。第1階、2階の導関数は次式で与えられる。
y'ニ(a/t2)(1/m)、・・・・・・・・・・・…(7〉y";(一2ab/t3)(1/m2)・・・・・・…(8)ここに、tニa+b(x/m)・=a+bXm
したがって、曲率Kおよびその導関数は次式で与えられる。
K=(2abt3/m2)/(t4+a2/m2)3!2・・(9)dK/dx=(6ab2t2/m3)(a2/m2-t4〉/(t4+a2/m2〉5!2・・・・・…(10〉dK/dx=0から、ma≦1の時、t・而▽万を得る。すなわち、点((面一ma〉/b,(1一応召)/b)で、曲率が最大となる。初期接線勾配は(7〉式から1/maとなるので、初期接線勾配が45。以上になるようにグラフ化すると最大曲率点が存在するが、その(x,y)座標は座標軸のスケールに依存し、初期接線勾配を急にするほど、最大曲率点でのyの値の極限値(=1/b)に対する比率は大きくなる。
実際例として、杭の荷重一沈下量(P-S)
曲線のSのスケールが8倍違うグラフを比較したものを、図一2に示す3)。このP-S曲線を、(5)式と同型の双曲線P=S/(a+bS)で表すと、P>50[tf]では、a=0.0056[cm/tf]、b=0.0086[1/tf]とした曲線とほぼ一致する。これらの値から、図一2(a)では、1/ma=9/2、図一2(b)では、1/ma=36となり、最大曲率点の荷重は、各々61[tf]、97[tf]と算定される。このように、P-S曲線の急変する点による支持力判定法は、座標軸のスケールによって無視しえない影響がでる4》。これは、(3〉式に関連して述べたように、曲線の図形的な性質には、両軸の持つ物理的な次元は考慮されないことに起因する。したがって、等分目盛りの方眼紙は、読み取り易さの点から最も自然なものであるが、曲線形状は関数固有のものでないことに、留意する必要がある。
3.両対数グラフの特性
図一1に示した2曲線、すなわちy=f(x)とy=f{g(x)}=f(x/m)を、両対数座標にグラフ化する場合を検討してみる。両対数方眼紙は、市販のもののように、縦横の対数目盛りの単位長さ(1サイクル)が等しいものとする。図一3に示すように、yニf(x/m〉のグラフは、yニf(x〉のグラフをそのままlogmだけ平行移動したものになる。これは、比が差になる対数の特性、すなわち10g(x/m)・10gx-10gm、による。したがって、例えばxが沈下OrO123[Eo]一ζoε㊤コ一①の(a)40り乙』怯〉2b(一図』図〇一
Load[tons]50100一一～一一一一一一一}』}一一}一一}一一一一一一一}一一一一一一一一一一一一一}一一一一一一一一}
Sのスケールの異なるP-S曲線3)y=f(x〉
y・=f(x/m)
10gm
一1298一1mlogx
図一3(10gx,10gy)座標におけるy=f(x)とy=f(x/m)のグラフ量とすると、m血単位とcm単位の問のような常用対数の底の10の整数乗の変換だけでなく、inch単位で表してもグラフはそのまま平行移動するだけである。
また、爾対数グラフの場合の接線勾配は、次式のようにxに関するyのelasticity([経済学におげるエ弾力性タ、d(10gy〉
dy/yd(10gx)dx/x・、一一(11)になるので、無次元であり、単位の採り方に無関係になる。したがって、平行移動するだけなので当然のことであるが、x、yが次元を有する場合でも、グラフの図形的性質は変化しない。
具体例として、再度(5)(6)式の双曲線を仮定して、y=f{9(x〉}の両対数座標での特性を検討してみる。第1階、2階の導関数に相当するものは次式で与えられる。
yl。9'=(dy/y)/(dx/x)二a/い・(12)y1。ず二d(1yl。の/(dx/x)=二rabx沁/t2・““"…一(13〉ここ1こ、t==a十bXm
したがって、曲率Kおよびその導関数に相当するものは次式で与えられる。
K判ylqgr/{1+(yl。9')2}3!2=abx臓t/(t2+a2)3!2・…(14)dK/d(10gx)=
一a(t2-a2〉(t2-3at+a2〉/(t2+a2〉5!2…………・・……(15〉臥b。o咽y驕f(X)y瓢f(X)
iory=f(xi!n〉
dK/d(10gx)誰。から、t転{(3+r5〉/2}aを得る。したがって、点({(1+ザ5)/2}(ma/b),{(r5-1)/2}(1/b)〉で、曲率が最大となる。
すなわち、最大曲率点でのy、の値は極限値(鴬1/b)の(ノ』5-1)/2=o.618倍で、一定となる。
なお、図一2のデータを両対数でグラフにした娚台＼最大(苗率点の荷董ぼ72ぐ{fヱとなる。
4.繭対数グラフにおける留意点
前章で、縦横の対数目盛りの単位長さが等しい両対数方眼紙においては、両軸が無次元量でなくてもグラフの図形的性質は変化しないことを述べた。しかし、最近では、パソコンなどでグラフ作成ソフトを利用することも多くなってきたが、このような場合、両軸の対数目盛りの・単位長さが異なる対数グラフが作図されるケースも見られる。そのようなグラフでは、上述の対数グラフの特性はなくなり、2章で述べた関数とグラフの関係に関する問題点が生じることを、以下広示すσ
図一4に示した対数目盛りの単位長さを等しくとったy=f(x)のグラフと、109』X軸をn倍引き伸ばして10gX軸とし.たグラフの図形的関係を、元の(10gx,10gy〉座標上で検討してみる。
(109x,10gy)座標上で、y二f{9(x)},9(X)嵩X1!n頴Xn(すなわち、10gX/10gXn峯n)の.ylo9'、ylo9"ほ、(王2〉(13〉式と同様にしてyl。9㌧xηf'(Xn)/{nf(Xn)}一(16)yl。ず=(1/n2〉[x軸2ゼ(Xn〉/f(Xn)+Xnf'(Xn)/f(Xn)
一{Xnf'(Xn〉/f〈Xn)}2]"(17)となる。(16)(17)式は(1)(2〉式と同様の性質を持ち、曲率最大となる点のyの値は、nに依存することになる。
具体例として、ここでも(5)式の双曲線をベースに、f(x)・=X/(a+bx)・…・・…,(5)bis
1031101:1Gη1・gxg(x〉二xi■n=Xn…………(i8)10aloi!nlOIlogXを仮定して、y繍f{9(x)}の両対数グラフの図一4(10gx,logy)座標における特性を検討してみる。
y=f(x)とy=f(x1!n〉のグラフ前章と同様にして・次式が得られる(ここに・
一1299一

灘
灘
.吾震
∫羅
油墨嚢揮弱
慧『蓮.
t=a+bXn)oyl。9'=(a/t)(1/n〉…・・……(19〉ylog"=(一abxn/t2)(1/n2)"・(20〉K=(abxnt/n2〉/(t2+a2/n2)3!2・・(21〉dK/d(10gx〉=一(1/n3〉abxn
・(t3-2at2-2a2t/n2+a3/n2)/(t2+a2/n2)5/2…………(22〉dK/d(10gx)=0から、次の3次方程式を得る。
t3-2at2-2a2t/n2+a3/n2=0…(23)
この式は、n≠1の時は因数分解できないが、判別式によると3実根を持つので、trigonomicsolutionが適用できる5)。t≧aから、次の根を得る。
t一(2/3)(1+瀟・c。sα)awithcos3α=(16+9/n2)/12(4+6/n2)3!21…・………(24)例えば、n=2、1、1/2に対して、最大曲率点を与える点(x,y)が、(24)式から次のように得られる(図一5参照)。
nニ2(1.385(a/b)2,0.541/b)n=1(1.618(a/b),0.618/b)
n=・1/2(1.679(a/b〉1!2,0.738/b)
3章で述べたように、縦横の対数目盛りの単位長さが等しい両対数方眼紙において、(5)(6〉
式の最大曲率点でのyの値は極限値の。.618倍で一定であったものが、単位長さの比を変化させると、上記のように変わることになる。
圧密試験結果のe-p関係を、e-10gpで10日
旨図oH
10-1・・'"!
n=名..・…"●'1..…'●/..・"1n=1///n=1/2/
グラフ化するよりも10g(1+e)一10gpなどの両対数でグラフ化する方が良いという提案6〕もある。この場合、pの変化範囲に比べて、eの変化範囲は一般にずっと小さいので、単位長さがかなり異なる両対数グラフが作図されることが多い。直線部の傾きを直接用いるのには問題ないが、最大曲率点の位置は、関数の性質にもよるが、スケ引目ル比にかなり依存する可能性があるので、スケール比を変えた複数のグラフで変動をチェックするなど、留意が必要である。
5.あとがき縦横の対数目盛りの単位長さが等しい両対数
方眼紙では、最大曲率点などの図形の性質は、単位の変換の影響を受けない。しかし、両対数グラフでも、単位長さの比を変化させると、いわゆる図形のマジックが生じる。データが離散関数である場合は、折線近似の折点で処理するのが一般的であるが、事情は同じである。最大曲率点の物理的意味は別途検討すべきものであるが、グラフ作図上留意する必要がある。
[一'一'一考!◎
参考文献1〉斎藤追孝:第1章土質工学における誤りやすい諸問題,土質調査試験結果の解釈と適用例一第1回改訂版一,土質工学会,pp.
1-31,1979.
2〉平山英喜:杭の載荷試験法の基準類の背景,
土と基礎,VoL43,No.5,1995.
3〉vanderVeen,C.:Thebearingcapacityofapile,Proc.3rdICSMFE,・Vo1.2,pp.84-90,1953.
4)土質工学会:杭の鉛直載荷試験方法・同解説,1993,,一一一一一'5)例えば、Korn,G.A.and●最大曲率点
10晒1
106
10gx101
図一5y=x1!n/(a+bx1!n)の両対数グラフ(a・b=1の場合)
Korn,T.M.:Mathematical
HandbookforScientists
andEngineers,McGrawHillBook,N.Y.,1961.
6)Butterfield,R.:Anat11ralcompressionlawfor
soils(anadvanceone109P'〉,Geotechnique,Vo1.29,No.4,PP.469480,1979.
一1300一