最適輸送理論と Ricci 曲率に関する今後の課題

桒田 和正(東京工業大学大学院理工学研究科)
Encounter with Mathematics
2015 年 2 月 20 日 – 21 日 中央大学

1. 解析系の問題

(1) 境界条件
Q. 境界条件下での，最適輸送と熱流
Neumann 条件下での，RCD 型条件の確率解析(境界の形状に依存；凸なら無問題) [F.-Y. Wang]⇝ 最適輸送理論で定式化できるか？
(e.g. 距離の修正による convexification [Sturm])⇝ 測度距離空間への拡張？
Dirichlet 境界条件 or 非保存的条件と最適輸送／ RCD 条件([Figalli & Gigli ’10]: ≡ 1 の境界条件)
3 / 11

(1) 境界条件
Q. 境界条件下での，最適輸送と熱流
Neumann 条件下での，RCD 型条件の確率解析(境界の形状に依存；凸なら無問題) [F.-Y. Wang]⇝ 最適輸送理論で定式化できるか？
(e.g. 距離の修正による convexification [Sturm])⇝ 測度距離空間への拡張？
Dirichlet 境界条件 or 非保存的条件と最適輸送／ RCD 条件([Figalli & Gigli ’10]: ≡ 1 の境界条件)
3 / 11

(2) 測度距離空間上の確率解析⋆ RCD 空間
⇒ Pt ↔ Xt : 標準的拡散過程 (Brown 運動)
Q. 特異空間での確率微分幾何d(z, Xt ) の比較定理 ([K. & Kuwae] In progress)(⇒ 熱核比較定理)
Q. 分布 (Wasserstein 距離) の評価 ⇒ 見本路の解析
Brown 運動の平行移動カップリング [Sturm]
鏡映カップリング ([K.] In preparation)
いずれも N = ∞．N < ∞ では？
4 / 11

(2) 測度距離空間上の確率解析⋆ RCD 空間
⇒ Pt ↔ Xt : 標準的拡散過程 (Brown 運動)
Q. 特異空間での確率微分幾何d(z, Xt ) の比較定理 ([K. & Kuwae] In progress)(⇒ 熱核比較定理)
Q. 分布 (Wasserstein 距離) の評価 ⇒ 見本路の解析
Brown 運動の平行移動カップリング [Sturm]
鏡映カップリング ([K.] In preparation)
いずれも N = ∞．N < ∞ では？
4 / 11

(2) 測度距離空間上の確率解析⋆ RCD 空間
⇒ Pt ↔ Xt : 標準的拡散過程 (Brown 運動)
Q. 特異空間での確率微分幾何d(z, Xt ) の比較定理 ([K. & Kuwae] In progress)(⇒ 熱核比較定理)
Q. 分布 (Wasserstein 距離) の評価 ⇒ 見本路の解析
Brown 運動の平行移動カップリング [Sturm]
鏡映カップリング ([K.] In preparation)
いずれも N = ∞．N < ∞ では？
4 / 11

(3) 偏微分方程式族の “Universality”
RCD(K, N ) (N < ∞) は，Porous medium eq. の解でも characterize 可能[Ambrosio, Savaré & Mondino](LSI) ⇔ Ent(µt ) の指数減衰 (µt : 熱流)⇔ Pt の超縮約性

5 / 11

(3) 偏微分方程式族の “Universality”
RCD(K, N ) (N < ∞) は，Porous medium eq. の解でも characterize 可能[Ambrosio, Savaré & Mondino](LSI) ⇔ Ent(µt ) の指数減衰 (µt : 熱流)⇔ Pt の超縮約性

5 / 11

(3) 偏微分方程式族の “Universality”
RCD(K, N ) (N < ∞) は，Porous medium eq. の解でも characterize 可能[Ambrosio, Savaré & Mondino](LSI) ⇔ Ent(µt ) の指数減衰 (µt : 熱流)⇔ Pt の超縮約性⇔ Hopf-Lax 半群の超縮約性[Bobkov, Gentil & Ledoux ’01]

5 / 11

(3) 偏微分方程式族の “Universality”
RCD(K, N ) (N < ∞) は，
Porous medium eq. の解でも characterize 可能[Ambrosio, Savaré & Mondino](LSI) ⇔ Ent(µt ) の指数減衰 (µt : 熱流)⇔ Pt の超縮約性⇔ Hopf-Lax 半群の超縮約性[Bobkov, Gentil & Ledoux ’01]
Q. 熱方程式での特性 ⇔ 他の PDE での特性は，どこまで，どう成り立つか？
5 / 11

(4) ベクトル値の関数／測度の解析

Q. 多様体上，ベクトル値測度の最適輸送理論は？
また，テンソル値熱方程式との関係は？
ベクトル値関数の関数不等式？
Q. ベクトル値関数の解析を介する結果を(別手法で) 特異空間上に拡張できるか？

6 / 11

(4) ベクトル値の関数／測度の解析

Q. 多様体上，ベクトル値測度の最適輸送理論は？
また，テンソル値熱方程式との関係は？
ベクトル値関数の関数不等式？
Q. ベクトル値関数の解析を介する結果を(別手法で) 特異空間上に拡張できるか？

6 / 11

(5) Markov 連鎖／飛躍型過程と Ricci 曲率
Markov 連鎖の Wp -収縮性
[Ollivier / Veysseire / S.-T. Yau et al. /Jost et al. / Kuwae / Kitabeppu / . . .]Markov 連鎖への Otto 解析• W2 型距離の導入 [Maas / Mielke / Erbar / . . .]• Lévy 過程への拡張 [Erbar]
グラフ上の最適輸送による Ent の凸性[Gozlan et al. / Hillion / Léonard / . . .]7 / 11

(5) Markov 連鎖／飛躍型過程と Ricci 曲率
Markov 連鎖の Wp -収縮性
[Ollivier / Veysseire / S.-T. Yau et al. /Jost et al. / Kuwae / Kitabeppu / . . .]Markov 連鎖への Otto 解析• W2 型距離の導入 [Maas / Mielke / Erbar / . . .]• Lévy 過程への拡張 [Erbar]
グラフ上の最適輸送による Ent の凸性[Gozlan et al. / Hillion / Léonard / . . .]7 / 11

(5) Markov 連鎖／飛躍型過程と Ricci 曲率
Markov 連鎖の Wp -収縮性
[Ollivier / Veysseire / S.-T. Yau et al. /Jost et al. / Kuwae / Kitabeppu / . . .]Markov 連鎖への Otto 解析• W2 型距離の導入 [Maas / Mielke / Erbar / . . .]• Lévy 過程への拡張 [Erbar]
グラフ上の最適輸送による Ent の凸性[Gozlan et al. / Hillion / Léonard / . . .]7 / 11

(5) Markov 連鎖／飛躍型過程と Ricci 曲率
Markov 連鎖の Wp -収縮性
[Ollivier / Veysseire / S.-T. Yau et al. /Jost et al. / Kuwae / Kitabeppu / . . .]Markov 連鎖への Otto 解析• W2 型距離の導入 [Maas / Mielke / Erbar / . . .]• Lévy 過程への拡張 [Erbar]
グラフ上の最適輸送による Ent の凸性[Gozlan et al. / Hillion / Léonard / . . .]百家争鳴…同値性不在
7 / 112. 幾何系の問題

(1) 理論の適用範囲の拡大
Q. RCD 条件の修正版は？
多様体上，RicN ≥ K の K を関数に [Sturm](最適輸送／勾配流の理論不在)
重みつき Ricci で，∇V を非勾配型に• 重みつき Riemann 多様体にはならない• 拡散過程による最大直径定理 [K. ’13]
時間依存計量 (e.g. 後進 Ricci 流と，L-型距離)• W2 -収縮性型定理[Topping / Lott / K. et al. / . . .]• 熱流は Entvolt の勾配流ではない！
9 / 11

(1) 理論の適用範囲の拡大
Q. RCD 条件の修正版は？
多様体上，RicN ≥ K の K を関数に [Sturm](最適輸送／勾配流の理論不在)
重みつき Ricci で，∇V を非勾配型に• 重みつき Riemann 多様体にはならない• 拡散過程による最大直径定理 [K. ’13]
時間依存計量 (e.g. 後進 Ricci 流と，L-型距離)• W2 -収縮性型定理[Topping / Lott / K. et al. / . . .]• 熱流は Entvolt の勾配流ではない！
9 / 11

(1) 理論の適用範囲の拡大
Q. RCD 条件の修正版は？
多様体上，RicN ≥ K の K を関数に [Sturm](最適輸送／勾配流の理論不在)
重みつき Ricci で，∇V を非勾配型に• 重みつき Riemann 多様体にはならない• 拡散過程による最大直径定理 [K. ’13]
時間依存計量 (e.g. 後進 Ricci 流と，L-型距離)• W2 -収縮性型定理[Topping / Lott / K. et al. / . . .]• 熱流は Entvolt の勾配流ではない！
9 / 11

(2) 平均 RCD 条件⋆ RCD(K, N ), K > 0⇒ (W2 での) 熱分布の定常分布への指数的収束

10 / 11(2) 平均 RCD 条件⋆ RCD(K, N ), K > 0⇒ (W2 での) 熱分布の定常分布への指数的収束
Q. 同様の結論を導く，より弱い (幾何的な) 条件は？

10 / 11(2) 平均 RCD 条件⋆ RCD(K, N ), K > 0⇒ (W2 での) 熱分布の定常分布への指数的収束
Q. 同様の結論を導く，より弱い (幾何的な) 条件は？
空間の直径の情報を加味？ (e.g. [Bakry & Qian])
曲率の空間平均？
• [Veysseire ’10]: Spec. gap 評価• 微分幾何的に意味あり [G.-F. Wei et al. / . . .]10 / 11(2) 平均 RCD 条件⋆ RCD(K, N ), K > 0⇒ (W2 での) 熱分布の定常分布への指数的収束
Q. 同様の結論を導く，より弱い (幾何的な) 条件は？
空間の直径の情報を加味？ (e.g. [Bakry & Qian])
曲率の空間平均？
• [Veysseire ’10]: Spec. gap 評価• 微分幾何的に意味あり [G.-F. Wei et al. / . . .]10 / 11(2) 平均 RCD 条件⋆ RCD(K, N ), K > 0⇒ (W2 での) 熱分布の定常分布への指数的収束
Q. 同様の結論を導く，より弱い (幾何的な) 条件は？
空間の直径の情報を加味？ (e.g. [Bakry & Qian])
曲率の空間平均？
• [Veysseire ’10]: Spec. gap 評価• 微分幾何的に意味あり [G.-F. Wei et al. / . . .]10 / 11(2) 平均 RCD 条件⋆ RCD(K, N ), K > 0⇒ (W2 での) 熱分布の定常分布への指数的収束
Q. 同様の結論を導く，より弱い (幾何的な) 条件は？
空間の直径の情報を加味？ (e.g. [Bakry & Qian])
曲率の空間平均？
• [Veysseire ’10]: Spec. gap 評価• 微分幾何的に意味あり [G.-F. Wei et al. / . . .]10 / 11

(3) 下に非有界な Ricci 曲率
Q. 空間の特性に応じ，条件 (達) が拡張できるか？
劣 Riemann 多様体 (or 準楕円型生成作用素) でのBakry-Émery 理論[Baudoin & Garofalo / . . .]⇝ 最適輸送理論との関係は？
フラクタル上の最適輸送？
([Kajino]: Ent の RCD 条件不成立)
無限次元空間では？
(e.g. [S. Fang et al.] ／ Wasserstein diﬀusion)

11 / 11

(3) 下に非有界な Ricci 曲率
Q. 空間の特性に応じ，条件 (達) が拡張できるか？
劣 Riemann 多様体 (or 準楕円型生成作用素) でのBakry-Émery 理論[Baudoin & Garofalo / . . .]⇝ 最適輸送理論との関係は？
フラクタル上の最適輸送？
([Kajino]: Ent の RCD 条件不成立)
無限次元空間では？
(e.g. [S. Fang et al.] ／ Wasserstein diﬀusion)

11 / 11

(3) 下に非有界な Ricci 曲率
Q. 空間の特性に応じ，条件 (達) が拡張できるか？
劣 Riemann 多様体 (or 準楕円型生成作用素) でのBakry-Émery 理論[Baudoin & Garofalo / . . .]⇝ 最適輸送理論との関係は？
フラクタル上の最適輸送？
([Kajino]: Ent の RCD 条件不成立)
無限次元空間では？
(e.g. [S. Fang et al.] ／ Wasserstein diﬀusion)

11 / 11

(3) 下に非有界な Ricci 曲率
Q. 空間の特性に応じ，条件 (達) が拡張できるか？
劣 Riemann 多様体 (or 準楕円型生成作用素) でのBakry-Émery 理論[Baudoin & Garofalo / . . .]⇝ 最適輸送理論との関係は？
フラクタル上の最適輸送？
([Kajino]: Ent の RCD 条件不成立)
無限次元空間では？
(e.g. [S. Fang et al.] ／ Wasserstein diﬀusion)

Q. z 1/n の Riemann 面達 と log z の Riemann 面 を，最適輸送 or 熱分布の挙動で区別できるか？
また， Walsh Brown 運動 との対比では？
11 / 11