J. Plasma Fusion Res. Vol.97, No.1 (2021)２
０‐２７

講座 宇宙機用電気推進機のための計測法

４．宇宙機用電気推進機のための推力測定
4. Thrust Measurement Methods for Electric Propulsion
各務聡

KAKAMI Akira
東京都立大学（原稿受付：２
０
２
０年９月２
０日）

電気推進機は，燃費の良さを表す比推力が高いため，「はやぶさ」のような探査機の主推進や静止衛星の南北制御に使われてきました．その一方で，スラスタヘッドは，重量が 10 N 級であるにもかかわらず，推力が nNから 100 mN と非常に小さいため，打ち上げ用のロケットエンジンの性能評価で利用されているようなロードセ
ルを用いることができません．そのため，その測定には，重力の影響を打ち消すことができる振り子が用いられてきました．そこで，本講座では，推力測定装置（スラストスタンド）について解説します．また，微小推力の場合や，推進機への供給系に可撓性が低い要素がある場合は，スラストスタンドでの推力測定が困難になることがあります．その場合，スラストターゲットと呼ばれる，プルームを振り子に当てその変位から推力を求める方式が用いられることもあるためこれついても紹介します．
Keywords:
electric rocket propulsion, thrust measurement, thrust stand, thrust target４．
１ はじめに軸状に移動させるためのカウンタウエイト，余分な振動を第１章でも言及されていますが，電気推進の推力は，非抑制するための渦電流ダンパを取り付けています．推進機

常に小さく mNクラスは普通で，μNオーダも珍しくありまの発生する推力（インパルス）と振り子の変位（振動の振せん．また，放電時間が短くインパルス状の推力（力積，以幅）が比例することを用いて，振り子の変位により推力を下，推力インパルス）を発生するパルス型プラズマ推進機

測定します．

（pulsed plasma thruster）も存在します．宇宙機用の化学推

また，PPT など推力重量比が著しく小さい推進機で進でも MR-103 のような軌道調整用のものは推力が僅か

は，スラストターゲットも用いられています．これは，推0.9 N で力強さの代名詞のようなロケットエンジンという進機のプルームをスラストターゲットに当てて振り子の変言葉からは想像できないくらい小推力のものもあります．

位から推力を算出する方式で高い感度が得られます．本章

そのため，特に電気推進では，推力重量比が１を大きく

では，電気推進機の性能評価に必須である推力測定につい下回り，ロードセルで推力を測定することが困難です．そて紹介します．

こで，重力の影響を排除して推力を高精度で測定するた４．
２ 偏位法（定常推力測定）

め，図１のような振り子が推力測定に供されてきました．
これは，ヒンジを回転軸とする水平振り子で，重心を回転

原理は非常に簡単で，振り子の変位が外力に比例することを利用しています［１‐４］．振り子は，その振動面により，
水平振り子と垂直振り子に大別されますが原理は同じです．ただし，復元力の発生源が異なり，前者が弾性ヒンジ，
後者が重力のみまたは重力と弾性ヒンジに由来します．そこで，水平振り子を用いて解説します．
図２は，水平振り子型のスラストスタンドです．弾性ヒ
ンジを支点としたアームに推進機とカウンタウエイトを搭載しています．カウンタウエイトは，重心を支点に移動させて，真空ポンプや歩行による振動を絶縁し，振動に由来するノイズの抑制が可能です．また，不要な振動を抑制するためにダンパが設けられており，振り子の変位は，レー

図１

試作した水平振り子型スラストスタンド．

ザー変位計などで測定されています．

Tokyo Metropolitan University, Hino, TOKYO, 191-0065, Japanauthor’s e-mail: kakami@tmu.ac.jp

２０!2021 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

4. Thrust Measurement Methods for Electric Propulsion

A. Kakami

テップ状の理想的な推力（推力 "!）が ($!で発生したとき，変位 *は%%"*$ & - !!
$'("!'.+%
&
!%
$

$

%
%
*,&"!%#$'(,()&"!%#)'(
#"
"%
（８）
#
#
&"!%
となります．式（８）の第１項が定常項で，第２項が過渡項であり，これをもとに規格化変位を図示したものが図３です．規格化変位は，一定推力 "!が加えられたときの定常時
図２

の変位（%
%
$）で規格化したもので，１のときに推力を!"&"偏位法を用いたスラストスタンド．

正確に評価していることを示します．ダンパがないとき
次に，推力測定を力学的観点から検討します．簡単のた（%$!）を除き，過渡項は '.+%$'(
&で減衰しますが，定!%めに，アームを剛体として考えるとすると，回転の運動方

常項は最後まで残り１に収束します．このように，変位は

程式は［５］，角度を #，推力を " として，推力の瞬間値を必ずしも表していません．

/
0
#$%
#
!
#
"
"$
"#
-

（１）

*$%
&#

（２）

研究している推進機が点火後に迅速に推力を発生して，過渡項の減衰より長く安定作動しているのであれば，減衰を待ってから定常感度を用いて推力を評価すれば問題あり

ここで，!は慣性モーメント，#は減衰係数，$はばね定数，ません．しかし，過渡応答は推力を表していないことを覚%-は支点と推進機の距離，%& は支点と変位計までの距離，*

えておいてください．オーバーシュートを推力として算出

は変位計が計測する変位です．$は，水平振り子の場合はしている論文を散見しますが，これは間違いです．なお，

弾性ヒンジのばね定数ですが，垂直振り子の場合は，弾性ロードセルによる推力測定も原理は偏位法であるため，過ヒンジのばね定数 $,と振り子の重量 &&（推進機やアーム

渡項の取り扱いには同様な注意が必要です．
過渡項の扱いを間違えると，せっかくの推進機の魅力がなどの総重量）によるばね定数の和になります．
$$$,"&&%$

削がれます．一般に，変動や遅れは制御を不安定にする原（３）

因です．そのため，過渡項がある図３の波形を推力履歴と%$ は支点から重心までの距離です．すると，推力一定の場して扱うと，ステップ状の推力を生成する理想的な推進機

合，式（１）の解の過渡項は減衰するので感度 *"［m/N］"

なのにもかかわらず，システム設計者の目には推力に変動

は，や遅れがある危険な要素として映ってしまいます．
%
* %
$ -&
"
$

また，推進機の作動時間が，過渡応答が残存する時間とほぼ同じ場合は，スラストスタンドのチューニングが必要（４）です．ただし，作動時間が振り子の固有周期よりも十分に

以下，これを仮に定常感度と呼ぶことにします．よって，小さければ，４．
３の方法で推力インパルスを求められます．

水平振り子では，定常感度は，ばね定数が小さいほど，変では，偏位法は，推力変動をどこまで正しく評価できる

位計やスラスタの位置が支点から離れているほど高いことのでしょうか．そこで，変位の周波数応答を考えます．

が分かります．一方，垂直振り子では，ばね定数が式（３）

図４は，横軸が固有振動数で規格化した推力の変動周波数で表され，%-に伴って増加するため，$も %
-に伴って
$が %

で，縦軸が各周波数成分に対する感度を定常感度（式（３））

増加することに注意が必要です．

で規格化したものです．これは，式（１）と（２）をフーリエ

しかし，実際には，推力や振り子の変位は変動するため，振動について理解する必要があります．そこで，式（１）（２）を用いて解析するため次のように一般化します．
%%
#
0
/
*
*$ & -"
%
$'*
"#
"$'
%

（５）

$
$' $
'!

（６）

!
%$ #
#' $

（７）

ここで，$' は固有角振動数です．式（５）の解は，減衰比%により形が異なりますが，ダンパの設計上，臨界制振や過制振にするのは手間がかかり応答性を損なうため，不足

図３

制振（%!"）になっていることが多いです．すると，ス
２１

ステップ応答．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.97, No.1 January 2021

変換することにより求まります．&"!はダンパがない場

すれば良く，&"!
!
$以下にすることで固有振動数の１０％程合に相当し，固有振動数で共振するためこの時の感度は無度まで感度と位相の誤差を１％以内にできます．しかし，限大です．!#&#"では，推力の変動周波数に伴って感度減衰比を下げすぎると過渡項の減衰に時間を要します．以

が増加して共振点で振幅がピークになり，その後減衰しま

上のように，力学の理解は正確な推力測定に貢献します．

す．位相は，推力変動の周波数が固有振動数より十分に小なお，ロードセルは，力学系が振り子と等価で測定可能周

さければ，推力変動に遅れなく追従しますが，共振点に近波数に上限があります．カタログ上の固有振動数は，ローづくと看過できない遅れが生じ推力変動の周波数に伴ってドセル単独の値で，推進機を付けたときの系の固有振動数

さらに増加していきます（図５）．一方で，過制振または臨（"%"$&）は，推進機質量のためにロードセル単独の固有振動

界制振（&#"）になると，図３のようにオーバーシュート

数より著しく低下します．感度と位相に１％の測定誤差をが消失しますが，図４と５のように低周波数から感度が減許すとしたとき，!
!
""%"$&が限界です．推力測定が可能な周

衰し位相も遅れ推力変動の測定が困難になります．

波数は，カタログに記載された固有振動数や測定可能周波数より低くなることをゆめゆめ忘れないでください．

以上のように，推力変動の計測可能な周波数は，固有振動数より低くなります．また，感度と周波数応答は二律背反です．高感度化には，小さなばね定数 #が好ましいです４．
３ 偏位法（推力インパルス測定）
４．
２では，振り子の固有周期よりも十分に作動時間が長が，固有振動数が低下し高域での周波数応答が劣化しまい推進機の推力測定法を述べました．一方で，PPT のようす．逆に，応答性を求めると感度が低下します．
それでは，周波数応答はどのように向上すれば良いのでなパルス型推進機では，作動時間がマイクロ秒オーダで，しょうか．一般に，感度は，推力，変位センサ，真空容器

振り子が推力に追従できません．そこで，振り子の周期よの直径の制約を受け，ばね定数の決定では定常感度を優先

りも推進機の作動時間が十分に短い場合は，推力履歴の計せざるを得ません．よって，所要の定常感度のもとで，周測を諦めて，推力インパルスを求めるのが一般的です

波数特性を向上する方法を模索するのが正着手です．そこ［５‐７］．推力インパルスを !
+としたとき，角速度の初期値

で，ダンパを調整することで可能な限り周波数特性を向上

は，させることを考えます．最適な減衰比は，許容できる誤差

$!
$$
!%
" ++
!

に依存し，１％までの感度の誤差を許すのであれば，図４より，減衰比を 0.70 前後にすることで固有振動数の４０％程（９）度まで測定可能になります．ただし，位相の遅れは３４°に達となります．すると，不足制振の変位は，式（１）（２）を解してしまいます．位相の精度を求めるには減衰比を小さく

くと
'"

$
$
+
+
#
%!
%%&
*
'
($
&,)$
%
%
!&
!"!&%%&!!"!&#%%（１０）を得ます．係数に !
+が含まれていることから，推力インパ
ルスは振幅から算出できます．
本方式は，10 μNs のような微小な推力インパルスを測定可能です．このような微小なインパルスは想像つかないかもしれませんが，おおよそ，掌でゆっくりと扇いだときの風のインパルスです．ため息は個人差があるでしょうが100 μNs を優に超えます（意図せず偶然に実測，レンジ
オーバーのため正確な値は不明，再測の予定なし）．
図４

ただし，慣性モーメント !の 0.5 乗の項（!
%%）が分母に周波数応答（振幅）．

あるため，推力重量比が著しく小さいと変位が極めて小さ
くなり，測定が困難になります．そのような場合，４．
５で説明するスラストターゲットを利用することがあります．

４．
４ 零位法
零位法は，振り子の変位を０に保つようにアクチュエー
タを制御し，駆動電流や電圧により推力を評価する方法です［８‐１１］．すなわち，原理は天秤と同じで錘の代わりにアクチュエータを使用します．零位法は，偏位法より迂遠に感じるかもしれません．しかし，出力が入力に対して非線形で，感度が入力により変化するセンサが多々あるため，零位法は広く利用されています．すなわち，零位法は，非図５

周波数応答（位相）．

線形性を逆手に取り，高感度化・高精度化を実現する方法
２２

Lecture Note

4. Thrust Measurement Methods for Electric Propulsion

A. Kakamiと言えます．変位センサにも，高精度で廉価だが距離によ位を小さくし振り子の固有振動数を増加させるため，高精り感度が変化する非線形型があります．偏位法への適用は度な変位センサと高いデジタル制御周波数 (&が求められま

困難ですが，零位法ならば，高感度が得られる距離を零位す．また，微分要素は，ダンパの役割をして高周波帯の応法の平衡点として変位測定の精度を高め，推力測定の精度答性に貢献しますが，過大な +" は制御を不安定にします．

や周波数応答を向上可能です．また，副次的な効果として，積分要素は，低周波数領域の測定精度を向上します．比

デジタル制御のパラメータの変更で，周波数特性や感度を例要素は，変位を０にする役割を持ちますが，低周波数領柔軟に調整でき，一台で多くの推進機に対応できます．

域では効果が薄く定常偏差（"'）が生じます．すると，定常

次に，図６の剛体振子モデルを用いて零位法による推力偏差による弾性力（+"'）がスラストスタンドに作用し誤差測定の原理を説明します．振り子の運動方程式は，ソレノとなります．そこで，変位を積分して，定常偏差や低周波

イドアクチュエータを利用する場合，ソレノイドの推力

数の推力変動による振動を抑制します．

!は，駆動電流 )と距離により変化することから，
,
+
"
"
"
"#,
%",
)
!
"&
"'
"+
%!%
*

PID パラメータの決定には，ボード線図などで位相余裕，ゲ イ ン 余 裕 を 評 価 し，制 御 系 を 安 定 化 さ せ ま す

（１１）

［１２，
１３］．また，現代制御理論を用いても PID パラメータを,+定置制御により，"!
"!
"$!となるので，決定できます．式（１０），（１３），（１４），（１５）を線形状態方程式で表せば，最適制御や局配置法を用いて設計可能です

,
)
#! *
%
!!,
%

［１３‐１５］．しかし，最適制御の Q 行列や R 行列，局配置法の（１２）

極の値は，シミュレーションを用いて検討する必要がありとなり，推力を駆動電流で表すことができます．なお，こます．

こで，零位法により変位が小さくなるので，ソレノイドの

なお，微分操作には注意を要します．多くの場合，速度

推力電力比が位置によらず一定であるとしています．

は，変位の測定値を微分して求めますが，変位センサの出次に，制御系について簡単に説明します．現在もなお古力にはノイズが含まれており，微分するとノイズの高周波典制御を利用することが多いため，PID（比例・積分・微成分が増幅されることから，適切なフィルタが必要です．

分制御）を用いるとします．電流出力アンプを使う場合，変位計の出力にアナログフィルタを挿入しても良いですが，デジタルフィルタを使う手もあります［１６］．FIR+)#+$""+"""+"""&.

（Finite Impulse Response）フィルタは，過去値の線形和を（１３）

用いるリアルタイムフィルタの一種で，係数を &)，$ 段とするとき，時刻（-は，０以上の整数で時刻を表す）フィルとなります．ここで，+$ は比例ゲイン，+" は微分ゲイン，+#は積分ゲインです．角速度や角度の積分は変位計によるタの出力値 0'-(は，時刻 j におけるセンサの計測値 /'*(

測定値から算出します．なお，電磁アクチュエータに電圧として，出力のアンプを利用する場合，インダクタンスのために，$応答性が低下しますが，LR 回路の時定数が，ミリ秒単位

0'
-(
-!)
#! &
'
(
)/

（１４）

)#!

で，定置制御下の振り子の周期より小さいことが多く，LR回路による遅延を無視できることもあります．

で表されます．なお，時系列データの平均を取る移動平均

PID パラメータは，慣性モーメント，フィードライン

は FIR フィルタの一種です．所要の周波数特性から &)を求（チューブやワイヤー）の剛性，弾性ヒンジのばね定数に応めるには，Scilab などの制御シミュレーションソフトの関じて適切に設定する必要があり，不適切だと制御系が不安数（wfir，ffilt など）を用いると良いでしょう［１７］．

定になります．その調整のためにその役割を知っておくと

次に，ケーススタディーとして，直径 1 m の真空容器を良いでしょう．比例要素は，バネの働きをし変位の抑制と用いて，重量 1 kg，推力 10 mN の推進機の推力測定を考え周波数応答の向上に貢献します．しかし，過大な値は，変ます．スラストスタンドの断面をジュラルミンの矩形管（40×40 mm，厚さ 3 mm）とし，その他の諸元を表１に示

表１

零位法のシミュレーションの想定パラメータ．
パラメータ
，m
,
*
,
%，m
,
&，m

図６

+(
+"
##
，Hz
(
&
+)，Nm/rad!!，N/A

零位法を用いたスラストスタンド．

２３

値
0.5
0.2
0.2
7500
100
100
1000
0.76×2
1.0

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.97, No.1 January 2021

４．
５ スラストターゲット

します．アクチュエータは線形性に優れるボイスコイル
モータとし，分解能 0.1 μm のレーザー変位計を使用するこ

推力重量比が小さいときや推進機に可撓性が悪いフィーととします．この条件下で，Scilab を用いてシミュレー

ドラインがあると，スラストスタンドで測定できないことションをしました．

があります．このような場合，スラストターゲットが利用

図７と８は，感度の周波数応答の計算結果です．図７でされることがあります［２０‐２２］．図９は，PPT で使用されは，１が正確に表されていることを，１未満は過小評価てきたスラストターゲット［２０］で，この他にもコーン型を，１以上は過大評価を示します．低周波数領域ではほぼ［２０］やプレート［２１，２２］など用いられました．

正確に推力変動を評価していますが，徐々に過大評価する

原理は，プルームをターゲットに衝突させることによりようになり，1.1 Hz で１％の誤差が生じ，このときの位相

推力方向の運動量を振り子に吸収させてその運動に変換しは 0.24°遅れます．それ以降は急激に過剰評価して，9.7 Hz

ます．定常推力，推力インパルスを与えた時のターゲット

でピークになり，それ以降は単調に減少するため，高い周の変位は，それぞれ式（８），（１０）のようになります．

波数の推力変動は計測できません．また，位相は，遅れが定常推力の場合，式（８）の係数に質量が含まれていませ

単調に増加します．このように，零位法も，高い周波数のんが，式（３）のように垂直振り子のばね定数は振り子の重推力変動の評価は困難です．

さに比例するため，軽量化が容易なターゲットで高い感度

なお，測定可能周波数は，制御器の調整，デジタル制御が得られます．一方で，インパルス状の推力では，式（１０）の高周波数化，高分解能の変位計の利用により改善できまのように慣性モーメント !の 0.5 乗の項が分母にあるため，すが，偏位法と同様，高い周波数の変動測定には限界があ軽量なスラストターゲットによって感度の向上が可能でります．そこで，著者は，加速度計測で零位法を補償してす．以上より，定常型，パルス型の両方で，スラストター

直流から高周波数の推力変動を評価する方式を提案し，ゲットを用いた高感度測定ができるようになります．

80 Hz までの推力変動を評価できることを示しています

しかし，本方式は，誤差への不安を払拭しきれません．

［１８］．弾性ヒンジの半径方向の弾性のために，振り子が推衝突後のプルームが悉く半径方向に進むことが前提です

力方向に並進振動し 80 Hz が上限ですが，重心位置の調整が，これが崩れるとどうなるでしょうか．単純に考えるとと加速度の２点計測により高周波数化する方法も提案しシ

最大で２倍の誤差が生じます．高校物理の衝突を思い出し

ミュレーションで実証しています［１９］．

てほしいのですが，質量 " の質点が速度 #で壁に完全弾性衝突して，反対方向に跳ね返ったとき，壁が受ける力積は"#です．すなわち，衝突後のプルームの角度によりター!
ゲットが受ける力積が変化します．そのため，柳らは，
PPT 用スラストターゲット（図９）に円環を設けて中心軸
方向のプルーム運動量を余すことなく回収し高精度化を図っています［１９］．その上で，スラストスタンドで実測した結果と比較しスラストターゲットの妥当性を実証しました．しかし，推進機の種類や作動条件でプラズマの速度や密度などが異なり，衝突後のプルームが理想通りの挙動をするとは限りません．よって，精度を確実に担保するにはスラストスタンドが無難と言えます．

４．
６ 校正
図７

零位法を用いたときの感度の周波数応答．

いかなる測定器も校正せねばなりません．感度は理論的に求められますが，実験では，フィードラインが取り付けられ，その剛性は僅かな変形で変化します．そのため，既知の外力（以下，校正推力）を与え，出力（変位計の出力

図８

零位法を用いたときの感度の周波数応答（位相）
．

図９

２４

スラストターゲット．

Lecture Note

4. Thrust Measurement Methods for Electric Propulsion

A. Kakami

図１０は，スラストスタンドの設計の検証に使用した固有電圧など）との相関を求めることが必要です．
定常型推進機の校正では，一定の校正推力を与え続ける

モード解析の結果で，SolidWorks に付属の有限要素解析必要があるため，錘がよく使われます．錘を付けた紐の一（FEM）ツールを用いました．なお，推進機は 1 kg の剛体

端を推進機に固定し，プーリーを介して錘の重力を推進機でモデル化しています．図１０は，フレームが変形する振動に加え，錘の重さと変位センサ出力の相関を求めます．単

モードにおける変位を表しており，補強板を追加したにも!

純ですが，線形回帰の決定係数 " は 0.99 以上にできます．

かかわらず固有振動数はわずか 70 Hz です．

また，ロードセルを利用した校正も可能です．直流成分

推力変動の周波数と弾性振動の固有振動数が一致しなけも計測可能なひずみゲージ型ロードセルに永久磁石を取りれば弾性振動への配慮は不要と思えるかもしれません．し付けて，ソレノイドにより磁石に作用する電磁力を校正推かし，ステップ関数やデルタ関数が広い周波数成分を含む

力として与えます．駆動電流で校正推力を調整できるためため，点火時の急峻な推力変化や推力インパルスは，弾性校正作業を簡素化でき，真空中の校正も容易です．なお，振動を誘起します．また，零位法では，デジタル制御が弾

ロードセルにコイルを取り付けるボ イ ス コ イ ル モ ータ

性振動の原因になり得ます．デジタル制御では，制御周期（VCM）や静電アクチュエータ［４］でも校正できます．

ごとにアクチュエータを調整することから，制御周波数と推力インパルスの校正には，金属球などを錘とする振り

その高調波を含む振動を振り子に与えるのと等価です．そ子が用いられることがあります．これは，糸で吊した錘をのため，制御周波数と弾性振動の固有振動数が近いと，部衝突させる方式で，錘の質量と衝突前後の速度からインパ材が共振して異音を生じ制御系が不安定になります．

ルスを算出できます．錘の速度は，高速度カメラの画像か高い剛性だけでなく，利便性や感度のためには軽量さもら求めることが可能です．また，フォトインタラプタを用重要なことから，アルミフレームのような中空管が多用さいれば錘の通過時間の差から速度が得られます．なお，衝れています．もし，弾性振動が問題となるのならば，固有突した錘を両面テープで振り子に接着させて，衝突後の速モード解析を使うとよいでしょう．固有モード解析用の度評価を省くこともあるようです．

ツールの性能と入手性が良くなったため，これを活用しな

この他にも，圧電型のロードセルも校正に適用できまい手はありません．現に，図１０の解析は 3DCAD のバンド

す．これは，ひずみにより生じた電荷で力を評価するセンルソフトで実施し，Elmer や SALOME-MECA のような

サで，直流や低周波数成分を測定できませんが，高剛性でオープンソースが公開されてます［２３，２４］．

応答性に優れ急速な変動を計測可能です．そこで，圧電型支点は，摩擦やヒステリシスを生ずることなく回転以外

ロードセルをアームに取り付けて錘を衝突させ，そのときの運動を抑制する重要な要素で，flexural pivot などの弾性の校正推力の時間変化を測定します．また，このロードセ

ヒンジなどが使用されています．これは，図１１のように円ルに磁石を取り付けてソレノイドをパルス駆動し，電磁力

管を板バネで結合したもので，摩擦やヒステリシスを生ずをアームに与えてもかまいません．なお，校正推力インパ

ることなく復元力を発生します．また，半径方向の剛性がルスは，校正推力の時間変化を数値積分して求めます．ま高く，しっかりと部材を固定できるため組み立てが簡単にた，駆動電流で校正推力インパルスや履歴を調整できます

なり，実験中のずれもありません．しかし，いくつか注意

が，そ の 発 生 時 間 の 最 小 値 は，ソ レ ノ イ ド の 時 定 数（!"!
""）程度です．
なお，フィードラインは僅かな変形でも剛性が変化し感度に影響を与える可能性があります．そのため，推進機やフィードラインに触れたのならまず校正すべきでしょう．

４．
７ 各要素について
振り子のアームを剛体と仮定しましたが，実際には弾性を有し，弾性振動，特に固有周波数が小さい横振動（長手方向に対して垂直方向の振動）に注意が必要です．意外に

図１
０ スラストスタンドの固有モードの解析例．

も，厳つく頑丈そうな金属も共振の前には無力で，いとも簡単に共振します．もし，振り子の周波数と弾性振動の周波数が近いと連成振動が起きて複雑な波形のノイズが乗ります．これは振幅を用いる推力インパルス測定では致命的です．その上，スラストスタンドは，端点に推進機を固定した片持ち梁で横振動が起こりやすくなっています．また，振り子の固定のための部材も弾性変形します．そのため，スラストスタンドの軽量化や高精度化を望むなら，その固有振動数に対する配慮が必要です．なお，振り子をワ（a）
写真

イヤーで懸垂することもありますが，ワイヤーは横振動はおろか縦振動の固有振動数も低いので注意してください．

（b）
解析用モデル
図１
１ 弾性ヒンジ．

２５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.97, No.1 January 2021があります．まず，一部の部材が磁性体であるため，強磁げる現象を利用しており，流体が不要でリークの心配もあ場が発生する推進機とは距離を取らねばなりません．

りません．また，ヒステリシスが極めて小さく減衰力は速また，重量バランスがとれていないと，図１２（静荷重解度に比例し，減衰係数は磁石の種類や体積，磁気回路の析の結果）のように半径方向に変形して，ばね定数が変化

ギャップで調整可能です．単純な構造の渦電流ダンパであし，塑性変形するか壊れる可能性があります．さらに，これば，減衰係数は理論的に求められます［２５‐２７］．設計にの半径方向の弾性のために，振り子が半径方向の振動モーは磁束密度が必要ですが，磁気回路の断面が円筒形や矩形

ドを持ちます．このばね定数はかなり大きいので問題にはであれば FEMM などの二次元の FEM で簡単に求められまなりにくいと思いますが，推進機が重い場合は，推力の変す［２８］．ただし，平行平板の二次元解析は，無限に長い平動周波数に近くなる可能性はあります．

板を解析しているため，実際とは若干異なります．もし，ナイフエッジを垂直振り子の支点として用いることがあ

複雑で高性能なダンパや解析に厳密さを求めるなら，三次ります．その名の通り，先端がナイフのように鋭いくさび

元のFEMで渦電流を解析する必要があります．なお，ソレ型のヒンジで，摩擦もヒステリシスも小さく製作が容易でノイドでも磁場を得られますが発熱に注意してください．

す．一方で，ナイフエッジには遊びがあり，正確な位置でアクチュエータは，零位法の定置制御，校正用の推力のの固定が困難で，設置が悪いと点接触になって望まない方発生，ダンパなどに利用できます．ソレノイドアクチュ

向の運動が起きるという難があります．

エータは，ソレノイドに可動鉄心が挿入されています．推

カウンタウエイトは，機械的ノイズを振り子に伝えない力は強いが，プッシュまたはプル動作しかできないので，ための重要な要素です．外部の振動は，振り子の重心に慣プッシュプル動作にはコイルが２個必要です．また，可動性力として作用し，振り子の重心が支点からずれると振動

鉄心の位置で推力電流比が変化することに注意を要しまが伝播して測定ノイズになります．そこで，カウンタウエ

す．

イトを用いて重心を支点上に移動させて外部からの振動を

VCM は，磁気回路の間隙に可動コイルを挿入し，電磁力

絶縁します．推力インパルスの測定では，感度向上のためを発生します．可動コイルが軽量なため応答性に優れ，電に慣性モーメントと小さくする必要があります．そこで，流の方向で力の方向を制御できます．また，推力電流比は

錘を重くしてなるべく支点から近い位置に配置することに可動コイルの位置や電流によらず一定で線形性も良いのがより，振動の絶縁によるノイズ低減と感度低下の防止を両特徴です．ただ，推力が他の電磁アクチュエータより小さ立できます．なお，重心が支点の上にあるかを確認する簡いという難点があります．なお，以上の電磁力を利用する

便な方法として，振り子の長手方向（図２の !軸）周りにアクチュエータの推力電流比，電気抵抗，インダクタンス

傾ける方法があります．傾けてもなお振り子の平衡点がずはFEMで予測可能です．なお，静電力を利用したアクチュ

れなければ，重心と支点のずれは小さいと言えます．

エータも使用されています［４］．

ダンパは，振り子の無用な振動を減衰させる要素であ

変位計には，分解能が高く線形性に優れ非接触測定が可り，代表的なものとしてオイルなどを用いた流体ダンパが能なものが使用されています．レーザー変位計は，設置のあります［２５］．構造が簡素で設計も容易ですが，シールに自由度が高く推力測定との適合性を有するセンサで，廉価よりヒステリシスが発生します．また，粘性流体を封止しなものでも分解能が 0.5 μm あります．なお，変位が大きけなければヒステリシスや摩擦を防げますが，流体が真空中

れば，同じ原理の LED 変位計も使用可能です．また，渦電に暴露するため，蒸気圧は真空容器の背圧より低くなけれ

流変位計は，ソレノイドを高周波数の電流で駆動し，変動ばなりません．さもないと，沸騰して振動の原因になりま

磁場が対向金属に加えられると渦電流が生じ，ソレノイド

す．

のインピーダンスが変化することを利用したセンサで，分解能 0.2 μm が得られます．

渦電流ダンパも有用です．これは，静磁場中で導体が移動すると渦電流が発生し，ローレンツ力が導体の運動を妨

差動トランス（LVDT）も使用されています．これは，可動鉄心をもつトランスで，一次側を10 kHz台の交流で駆動
すると，可動鉄心の位置で二次側の電圧振幅が変化することを利用しています．廉価で分解能が優れていますが，ト
ランス内に鉄心を挿入しなければならず，設置がレーザー変位計などに比べてやや困難です．
この他にも，対向する金属とLC発振回路を形成し，その発振周波数が距離に依存することを利用したセンサもあります．変位と出力が非線形ながら廉価で高分解能（50 nm未満も可）であるため零位法に適用可能です［１８，１９］．
フィードラインの振り子への取り付けと配線方法も重要です．推進機からの伝熱やプラズマジェットからの輻射のため，フィードラインの温度が上昇して熱変形し，要らぬ外力を振り子に与え誤差となります．これは，サーマルド

図１
２ 弾性ヒンジの静荷重解析結果．

リフトと呼ばれています．その対策として，フィードライ
２６

Lecture Note

4. Thrust Measurement Methods for Electric Propulsion(2003).
［８］O. Stephane et al., Rev. Sci. Instrum. 73, 7, 2694 (2002).
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４］大住 晃：線形システム制御理論（森北出版，２
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［２８］FEMM, http://www.femm.info/［２９］山内雄介：宇宙輸送シンポジウム，宇宙輸送シンポジ
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［３０］A. Kakami et al., Aero Space Tech. 104, 105896 (2020).

ンを振り子に固定するときは，支点に近い場所でしっかりと固定します．これにより熱変形に起因するモーメントを小さくできます．また，フィードラインに曲率を持たせるとサーマルドリフトを低減可能です［２９］．

４．
８ おわりに
以上のように，電気推進機の推力や推力インパルスの測定の原理や設計に関する注意事項を述べてきました．本章がこれから推力測定に挑戦する大学院生や学部生の皆さんのヒントとなれば幸いです．また，推力測定は，nN の分解能で測定する方法［４］など，今もなお改良が重ねられており，著者も加速度計測の併用による DC〜高周波数の推力変動を計測する方法［１８］，磁気浮上を利用した推力ベクトル測定方法［３０］を研究しています．優れた推進機の実現には，推力測定の高精度化だけでなく，推力偏向や変動の特性を知悉することが望ましく，推力測定法は発展の余地があると考えています．読者にも新しい推力測定法の創出にも興味を持っていただければ幸甚です．

参考文献［１］T.W. Haag, Tech. Rep. NASA-TN-D-7029 (1971).
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［５］近藤恭平：工学基礎 振動論（培風館，１９９３）．
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［７］小 泉 宏 之 他：日 本 航 空 宇 宙 学 会 論 文 集 51, 593, 270!!!!!!!!!!!!!!

かか

み

あきら

聡

東京都立大学 システムデザイン学部．航空宇宙システム工学科 准教授，学位：
２００
３年東京大学大学院工学系研究科・博士（工学）．パルス型プラズマ推進機に水推進剤を利用する研究で博士号を取った後，九州工業大学で化学推進の研究に従事し，それ以来，宇宙機に搭載する電気・化学推進，推力測定装置を柱として研究してきました．

!!!!!!!!!!!!!!

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各 務

A. Kakami!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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