J. Plasma Fusion Res. Vol.94, No.10 (2018)４
７５‐４８１

解説

ホール型推進機における電離振動の理論・シミュレーション研究の進展
Progress of Theory and Simulation on Ionization Oscillationsin Hall Effect Thrusters
原健太郎

HARA Kentaro
テキサス A&M 大学（原稿受付：２
０
１
８年７月５日）ホール型推進機における10−30 kHz程度の電離振動現象は，従来は捕食・被食関係を用いた簡易なモデルでのみ現象が説明されていたが，最新の理論や数値解析をもとに電子輸送並びに電子の熱流束のバランスが振動に寄与していることが示された．本解説では，ホール型推進機における電離振動のメカニズムに加えて，Hybriddirect kinetic モデルを用いた数値計算や電離振動理論について議論する．
Keywords:
Hall effect thruster, breathing mode, ionization oscillation, direct kinetic simulation, linear perturbation theory

１．ホール型推進機の研究状況

ら流入された推進剤（一般的にキセノンを使用）は，磁場

近年，プラズマ化した推進剤を加速・排気することによに捕捉された電子により電離される．生成されたイオンはり低燃費を実現できる宇宙電気推進機を用いた全電化衛星

磁場の影響を受けずに静電的に放電室外に加速・排気さが注目されており，日本でも２０２１年の打ち上げをめざしれ，その反作用で推力を得る．放電室内壁面，並びに推進

JAXA を中心に開発が進んでいる［１］．米国 NASA や空軍，

機外部壁面（ポールピース）はそれぞれ絶縁体であり熱にヨーロッパでも，商用・軍事用の人工衛星に搭載する推進も強い BN のようなセラミックを用いる．陰極から生成さ機として既に利用されている．全電化衛星用の電気推進機

れた電子は，プルーム中でイオン流れを中性化させ衛星表の第１候補としてホール型推進機の研究開発が世界各国で面に帯電を起こさない働きも持っている．イオンエンジン

盛んに行われている．

では加速グリッド間にて空間電荷制限が起こり抽出できる

図１にホール型推進機の作動原理を示す．電極間に生じイオン電流密度が制限されてしまう一方，ホール型推進機

る軸方向の電場とそれに直交する外部磁場によって引き起では電離とイオン加速が同時に起こるため比較的高い推力こされる "!!ドリフトにより電子を円環形状の放電室に密度を達成できることが特色の一つである．

閉じ込め，周方向にホール電流が形成される．陰極（ホホール型推進機は様々な物理現象が複雑に干渉し合うこ

ローカソード）から生成された電子は放電室内で強い磁場とで物理的にも研究対象として注目されている．磁場を横に捕捉され磁場を横切る輸送を抑制される．アノード面か切る方向の電子輸送は実験結果に基づく異常拡散として議論されることが多く，第一原理に基づく理論・モデルは今のところ提唱されていない．径方向の磁場と壁面とが直交していない条件でのプラズマ壁面干渉は電子輸送の理解に必要である．これまでホール型推進機のみの放電プラズマ解明が重視されてきた一方，ホローカソードのプルームにおけるプラズマ振動の研究も近年行われており，カソードの損耗や放電プラズマとのカップリングなどもホール型推進機の解明には重要であることが示唆されている．地上における真空槽での実験と宇宙空間での実ミッションでの作動の差異（facility effect）を理解することもホール型推進機の開発において非常に重要である．

図１

ホール型推進機の簡略図及び作動原理．

これら複雑な物理現象が多く存在する中，これまでの研Department of Aerospace Engineering, Texas A&M University, USA
author’s e-mail: khara@tamu.edu

４７５!2018 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.10 October 2018

たい．

究によってホール型推進機の放電プラズマ中には様々な不安定性や振動が確認されている．例えば，電子のサイクロ

ホール型推進機の計算手法としては，これら３つの計算

トロン周波数による GHz 程度の高周波振動から電離不安

手法を全ての粒子種に用いる方法と粒子種のよって異なる定性によるkHz程度の低周波振動まで幅広い周波数帯での手法を用いるハイブリッド法がこれまで用いられてきた．

振動が相互干渉をしている．低周波振動の中でも特筆すべ

本解説では，ホール型推進機の放電プラズマ計算におけるき２つの振動現象は，放電振動と周方向に起こる Rotating

主流であるハイブリッド法を採用した結果を紹介する．イ

spokes がある．

オンは電離と加速が同時に行われるため非マクスウェリア

10−30 kHz 程度の放電振動は，推進剤である中性粒子とンになり，その評価が推進性能，すなわち比推力や推力，

プラズマの生成と移流に寄与する振動であることから，通を正確に算出することが重要であるため運動論モデルを用

称 Breathing mode と呼ばれる．推進機の損耗を招くだけでいることが推奨されている．本モデルでは数値振動（ノイなく，衛星開発時に放電を維持する電源の設計や推進機がズ）による電離振動という物理的な挙動への影響を避ける

発生する電磁ノイズの評価に強く影響を及ぼすため，このため DK 法を用いる［１０］．電子に関しては，準中性を仮定

振動が発生しない作動領域を大きく確保することが求めらし，かつ，ドリフト拡散近似を適用する．

れる．これまでの実験によると，Breathing mode は磁場形

２．
１ ホール型推進機放電プラズマの数値計算

状・強さ，電圧，推進剤流量や陰極の作動状態などの様々

本 Hybrid-DK モデルの詳細は文献［１０，１１］に記述していな要素に影響を及ぼされることが確認されている［２，３］．

るが，本解説でも概要を示す．まず，イオンに関しては１

数値解析においても，流体法・粒子法・ハイブリッド法と次元の運動論モデルを用いるが，以下の方程式を解く．

様々な解析手法によって同じような振動現象は再現できて/+*&"+,+,&"$,++&
#&
'
-*
*

いる［４，
５］一方，その電離振動のメカニズム，すなわち，電（１）なかった．これまでは，Lotka-Volterra 方程式に代表され

ここで，&
*
,
"
+,"
&は速度分布関数，,は実空間，+,は速#&%/度，*は時間，$,#%"$')は加速度，&'-**は衝突項を示す．

る捕食・被食関係（Predator-prey）を用いて説明されてきさらに，%は電気素量，"は電場，')はイオン質量である．

た［６，７］．このモデルでは，イオン及び電子が捕食，中性粒

数密度，平均流速，温度は速度分布関数 か ら そ れ ぞ れ子が被食で電離振動が起こることを模擬しているが，電子０次，１次，２次のモーメントによって算出することがでに関する考察がほぼされていなかったが，本解説では電子

きる．本モデルではイオンの衝突項に中性粒子の基底状態の挙動が電離振動に影響を及ぼすことを議論する．また，と励起状態からの電離を含む．数値解析の観点からいう

Rotating spokes に関しても研究が進められているが，最新と，式（１）は多次元の双極型偏微分方程式である．物理空の研究［８］ではプラズマ下流でドリフト不安定性が発生し間及び速度空間における移流と衝突を Strang splittingを用

周方向に生じるプラズマの擾乱が電離振動とカップリング

いて別々に解く．二つの移流方程式に関しては，３次精度するというメカニズムが示唆されている．

のスキームを基にしている Arora-Roe スキームを用い有限

離振動・減衰の条件，に関してはこれまで理解がされてい要素法の一つである MUSCL 法を採用する［１０］．数値ス

２．Hybrid-DK シミュレーション

キームによっては数値振動を引き起こし，速度分布関数がホール型推進機の計算手法紹介の前に，３つの主なプラ

負の値になった時に電離とカップリングすることで計算結ズマの数値解析手法に関して紹介する．まず，流体法は質果が不安定になることも見られたので，非負の値を保証す

量・運動量・エネルギー保存則などを解く手法で，Mag-る堅牢なスキーム・手法を採用することを勧める．また本

neto hydrodynamic（MHD）や二流体モデルなどに代表さ

DK 手 法 は，捕 捉 粒 子 不 安 定 性［１１］，プ ラ ズ マ 波 動れる．計 算 コ ス ト が 低 い 一 方，ク ヌ ー セン 数 が 小 さ い［１２，１３］，及びプラズマ壁面干渉［９］などに幅広く使用され（%,#!
!
"）粒子間の衝突が起こる領域で有効である．次ている．

に，粒子法は希薄流体や非衝突の流体に有用であり，非マ電子の記述に関しては，ドリフト拡散近似を採用する．

クスウェリアンの速度分布関数を考慮することができる．

軸方向の電子流束（%(.）は以下のように記述できる．

計算コストやメモリの観点から実粒子を仮定することは不%(.#!(('("-!'($-)(&

可能であるため，１０の５乗から８乗程度の実粒子を一つの（２）超粒子（superparticle）で模擬し，運動論に基づき粒子の

ここで，'(は電子の移動度，((は電子数密度，)(& #((#(&

移流，加速・減速，衝突をモデル化する．最大の欠点は超は電子の圧力，#(& は電子温度（単位は eV）を示す．また，粒子により数値ノイズが不可避であることであることが挙周方向の電子流速 は %() #&%(-と仮定する．&#*$$(+

げられる．最後に，粒子の第一原理則であるボルツマン方

はホールパラメータ，*$ #%!$'(はサイクロトロン周波

程式やヴラソフ方程式を離散化された格子状で解き，直接数，! は磁場，'(は電子質量，(+ は運動量交換衝突周波

速度分布関数を求める手法がある．著者はこれを Direct数を示す．磁場を横切る方向の電子移動度は，非磁化時のKinetic（DK）法と呼んでおり，これまでランダウ減数・プ!"
電子移動度 '!#%$
と表
'((
%
"
"&#&
+ &を用い，'(#'!%

ラズマ波動現象・プラズマ壁面干渉など主に１次元のプラせる．古典拡散と異常拡散で記述されることを仮定し，(+ズマ流れに適応されてきた．この２つの運動論モデルの比は中性粒子との弾性衝突及び非弾性衝突（励起や電離）に

較，また低温プラズマ現象への適応は文献［９］を参照されおける衝突周波数に加えて壁面衝突や異常拡散項も含む．
４７６

Commentary

Progress of Theory and Simulation on Ionization Oscillations in Hall Effect Thrusters

K. Hara一方，イオンと電子の質量保存則から，準中性及び一価イ

果，そして図２（c）
は本モデルであるハイブリッド DK 法をオンのみを仮定した場合，&$#)であり放電電流保#(%&$使った計算結果である．H6 の実験から高速プローブとカ存を満たす．静電場 !%!&%を用い，式（２）を電流保存則

メラを使って，放電振動が起こる低磁場領域では周方向のに代入すると，スポークが発生せず，放電振動が安定化した高磁場領域で-(&(&%(&(&.("#*(
&$
'
%&$
'

はスポークが生じることが観測された．放電振動の際はプ（３）ラズマが周方向一様であるため Global ionization mode（以と記述できる．準中性条件を用いることで電子数密度はイ

降単に global model），周方向のスポークの場合を Local

オン数密度と等しくなり（-(%-*），イオン数密 度 は式

ionization mode（以降単に local mode）と呼ぶ．

（１）の速度分布関数を用いて求めることができる．ここ

図３は図２に示される放電振動の詳細を示す．SPT-100

で，準中性仮定によってポアソン方程式の適用ができないの実験結果は参照文献［３］から抽出してきたものであり，ため，電位に関する２次の楕円型偏微分方程式である式

その論文には相当する放電電流の時間経過は報告していな（３）を用いる．

かったので，H6 の実験とSPT-100の計算結果との比較を行

電子の全エネルギーは運動エネルギーと内部エネルギー

う．推進機の大きさが違うため，放電電流の絶対値に差異（温度）の和で表せる．一般的な低温プラズマでは拡散項がはあれど，定性的な挙動は良い一致を得られたことが見ら支配的である場合，運動エネルギーは内部エネルギーに比れる．放電振動が大きいときは，放電電流は正弦波のようべ無視できる，すなわち，平均流速が熱速度よりも小さい．

な波形からパルスのような波形に遷移する．このことから

しかし，ホール型推進機では %#$ドリフトが周方向に放電振動は非線形な物理現象であることが示唆される．更106 m/s ほどの速度を持つため，相当する運動エネルギーはに，振動モード［図３（a）と（c）］においては，振動周波数は

10 eV 程になるため電子温度と同じオーダーになる［１０］．電実験，計算それぞれ 10 kHz，20 kHz ほどであることがわか子の全エネルギー保存則は以下のように記述できる．

り，同じオーダーの振動周波数が再現できた．
実験と数値解析ともに，磁場が小さくなるに連れて時間

*+'
-($
#(-$
"*1'
%*
((
(".
(0
(-"/
(-(
(-!2!%,!%&（４）

平均した電流値は上昇している．ホールパラメータが十分

ここで，$(は電 子 の 全 エ ネ ル ギ ー，.
(%(+
(，+
$&
$は
ボ ル ツ マ ン 定 数，&(は 電 子 温 度（単 位 は K），/(-は 熱流 束，0(-%#(-!
#(-は 電-(は 電 子 の 平 均 流 速，*(-%!(
子 電 流 密 度，%, は 壁 面 へ の 熱 損 失，%&は 衝 突 に よ る
エネル ギ ー 損 失 を 示 す．本 解 析 手 法 で は，壁 面 へ の 熱
損 失 モ デ ル は %, %-("$,',の よ う に 与 え る が&(""(は 一 電 子 が 壁 面 と の 衝 突 の 際 に 失 う"$, %"平 均 エ ネ ル ギ ー，'
"$'
!!)(
)
*は 電 子 の 壁 面
, %0
*
,!
"
"
衝 突 周 波 数，"(%,('
0(!
"は 運 動 エ ネ ル ギ ー，
(
-"0
((

!!
"
は ボ ー ム 速 度，"$は 放 電 室 の 幅，
0*, %'
+$&(!
,*(

)%)'
&((は二次電子放出率を示す．また，電子の全エネル
ギーは $!
+$&(のように運動エネルギーと熱エ#"((%"("'
ネルギーの総和で表される．
最後に，中性粒子に関しては速度一定を仮定し，質量保存則を解く．基底状態と励起状態の中性粒子をそれぞれ想定し，励起状態からの脱励起も含む．
２．
２ 実験結果との比較
世界で最も使用されているホール型推進機の一つである
SPT-100 を 想 定 し た 数 値 解 析 を 行 う．放 電 室 長 さ は#&)%2.5 cm，外径は 5 cm，内径は 3.45 cm，解析領域は陽極から放電室出口の外1 cmまでを含む．陽極からの推進剤
流量は 5 mg/s，放電室放電電圧は ''%300 V，磁場形状は
磁場強さが変化しても変わらないと仮定する．本計算では，背景ガスの影響と電荷交換衝突は無視している．異常拡散項はサイクロトロン周波数の 1/160 を放電室内部で，それの 1/16（ボーム拡散に相当）をプルーム中で仮定している．
計算結果と実験結果の比較を図２に示す．図２（a）は米

図２

国ミシガン大学で実験された H6 スラスタの放電振動の挙動［１４］，図２（b）は SPT-100 の ノ ミ ナ ル 条 件 で の 実 験 結
４７７

ホール型推進機における放電振動．（a）
H6 スラスタ実験，（b）
SPT-100 実験，（c）
SPT-100 数値解析．[１
１］
より転載．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.10 October 2018

図３

図２に示されている放電振動の詳細．H6 スラスタ実験：（a）Global mode，（b）
Local mode，SPT-100 計算：（c）
Global mode，（d）
Local mode.［１
１］
より転載．

図４

ホール型推進機放電プラズマ内の電子熱流束バランス．
（a）Global mode: B = 120 G，（b）Local mode: B = 180 G.
［１
１］
より転載．

大きい場合は，"&%#!!と記述できる．磁場が小さい場&!

時間短縮や簡略化のため励起状態は考慮されないことが多合は，電子の移動度も上がるので，電場が一定だと仮定すかったが，陽極付近での電子温度は 5 eV 以下程度であるた

ると電子電流も増加する．そのため放電電流も増加するのめに励起状態からの段階的な電離を模擬することが重要でで放電振動領域（Global mode）内での #& はある程度一定ある．
（"）異常拡散のモード遷移に対する影響は大きい．

であると考えられる．図２（a）と（b）にあるように，実験結例えば，放電室内の異常拡散項を増やしたところ放電振動

果では磁場が増加するにつれて放電電流が一定になっていは起こりにくくなり，プルーム中の異常拡散項を減らすとるのは #& が増加している可能性が高い．また，Local mode

振動モードの領域が広がる．
（#）図４に示すように，電子で周方向のプラズマが一様でなく &($"$'が非零の場合は，熱流束，すなわち１次元でのエネルギー収支が電離振動に

周方向のプラズマ振動により軸方向への電子輸送の増加に寄与している示唆を得られた．必ずしもすべての電離振動寄与する［１５］が，本モデルは軸方向１次元の計算なのでこがこの条件を満たすとは限らないが，電子に関する議論のの影響を捉えることはできず軸方向と周方向の２次元の計重要性を初めて示すことに成功した．

算をする必要があることに留意されたい．
２．
３ 放電振動の解明
図４はGlobal mode（"$120 G）とLocal mode（"$180 G）

３．電子温度の変動を考慮した電離振動の理論的アプローチ

における電子電流で割った電子熱流束のバランスを示す．

上述の結果は実験結果と数値解析結果を比較した（Vali-ジ ュ ー ル 熱 の 効 果 は 電 場 の プ ロ フ ァ イ ル と 比 例 し，dation）上で物理現象を検討したもので，理論との比較に"$120 G と 180 G 両方でほぼ変わらない．電子エネルギー

よる Verification を行うことが電離振動の解明につながる．

の定常解を得るためには，ジュール加熱と同程度のエネル

数値解析は軸方向の１次元で行った一方，１次元の理論を

ギー損失が必要となる．本ハイブリッド DK 法を用いた結構築する前に０次元の理論を構築し知見を得られるかを探果，磁場が小さい場合，##"ドリフトは大きいため運動エる方針を取る．なお，本節の理論及び結果は文献［１６］を元ネルギーが大きくなる．そのため電子の内部エネルギーにしている．

（電子温度）は低下し壁面衝突による熱損失は低減される．

３．
１ 従来のモデル：Predator-prey

放電室内，及び出口付近では中性粒子との非弾性衝突によ

従来の電離振動の理論的モデルは，Predator-prey モデ

る電子エネルギーの損失は無視できる．そのため，電子エルが採用されてきた［６，７］．これはイオン（準中性仮定で電ネルギー損失は移流によるものでのみ可能になる．一方，

子数密度と等しい）と中性粒子の連続式を以下のように考Local mode の放電振動が低減された際は，壁面による熱損

慮する．

失が主な損失メカニズムとなり移流項が小さいことがわかる．磁場が増加した分##"ドリフト，すなわち運動エネル
ギー，は小さくなるため同程度の全エネルギーがある場%)$%"$%%%!
#$$%$('%('（５）%)$'!$'%'!
#$!$%$('%('（６）

ここで $ と % はそれぞれ平均化された数密度と特性的な速合，電子温度が高くなる．

度，添字の%と'はそれぞれイオンと中性粒子，#は電離長，また本モデルを用いて，以下の知見を得ることに成功した．（!）励起状態の中性粒子による放電振動への影響を確'%('は電離の速度係数を示す．どのような系でもこのよう認した．これまでのホール型推進機での数値解析では計算に時間変化する場合は，線形化し不安定性が生じるかを調
４７８

Commentary

Progress of Theory and Simulation on Ionization Oscillations in Hall Effect Thrusters

K. Hara

本モデルから，準一次元の電離長をプラズマの特性と放べることで振動現象の解明また制御の指針を得ることがで#"$はイオンの排気速度，
きる．ここでは，&*&'
(
''"
,*(
$

電室形状から求めることができる．式（８）と（１０）を比較す&-は中性粒子の熱速度程度で一定であると仮定する．任意

ると &*"!#&*"!&)"&*2"$$であるため，の変数 # を線形近似する場合，###""#,(3/'
(!*
(と

!#
&*$$(
!#!&)'#"&*2!&)"

置くこ と が で き る．#"は 時 間 平 均 し た値（０次の項），（１２）%は 周 波数で#,は擾乱の大きさ（１次 の 項），(#(0"*(0が実成分，%が不安定性の成長率である．すなわち，%

例えば，放電室幅が小さい場合は電離長が短くなることがが非負であればその系は振動が増幅されることがわかる．

め，実質的に電離が起こる領域が狭くなると理解できる．

このような線形摂動理論は非線形の現象を解明できるもの

式（１２）を用いると，０次成分は "-"#&*"!+*.-(と表せ'ではないものの，非線形の現象が生じる条件を示す重要なるが，放電室内中の中性粒子密度は陽極からの推進剤流量ステップである．さて，"*と "-の摂動を考慮すると，０次によるそれを超えることはできない．"-"!"*-1は定常解をの成分は &*"!#"-"+*.-，&-"!#"*"+*.-となる．更に，１次

持 つ条 件であると言える．すなわち &
+*.-'
%((
*
.-!
,%
3#"*
-1

わかる．これはイオンの径方向への拡散が支配的になるたと&"!を用いると，&
*
.-!
,%
3#&
%
&
&
(+と表せる．左辺
%
&
&
(+#&*

の成分は，
!#"*,"-"+*.-""*""-,+*.("*,""*,&*"!*("-,!"-,&-"!#!"*,"-"+*.-!"*""-,+*.!*

は流入された推進剤が全て電離した場合の最大イオン生成（７）率で，右辺はイオンの加速による損失率に相当する．この（８）条件式より，プラズマの定常解を持つための最低限必要さ
れている電子温度を求めることができる．図５に SPT-100を得られ，これらを組み合わせることで，$($#"-""*"+*.
-の例を示す．なお，+*.-'%((は［１７］のモデルを利用した．例（９）えば，放電電圧が大きく推進剤流入量が小さい場合は，高い電子温度を必要とすることがわかる．もし電子温度がこという 分 散 関 係 式 が 導 出 で きる．０次 成 分 を 用 い ると
#"
$

(#$'
&*&-( "!と記述することができる．Predator-prey

れより小さい場合は，定常解を持つことができない条件なモデルが好まれていた理由としては，導出される（実）周ので，非定常なプラズマとなる．すなわち，定常解周りを波数が放電振動のそれと近い値が求められるところにあ振動するモードは成り立たず，不安定な（例えば，パルスる．例えば，イオンの排気速度 20 km/s，中性粒子の熱速度状の）振動モードが起こると考えられる．
電子温度が一定である場合，１次の線形摂動成分は300 m/s，電離長が放電室長さと同程度であると仮定すると!#2 cm．これらから，(#1.2×10 rad/s，すなわち周波6!#$("*-1"*"+*.-'"*-1!"-"(""-""*"+*.
#"（１３）
!($!*
-

数は )
'#19.5 kHz と求められる．これは図２に示す$#("
Global mode（振動しているケース）の周波数とほぼ一致すと導出することができ，周波数の実成分と不安定性の成長

る．一方，着目すべきは，この分散関係式からは不安定性

率は以下のように表せる．

（%）に 関 す る 解 を 求 め る こ と が で き な い た め，上 述 の#"$$"*""-"+*.
(0#$'
!%$(
-

Predator-prey モデルは初期条件の差異がそのまま振動現"*-1(%#!"*"+*.-"$'#!"-""*)

象に結果する記述であることがわかる．実験結果ではプラ

（１４）
（１５）

ズマパラメータの僅かな変化で大きなモード遷移が行われ線形不安定性の成長率は負となることから，振動は無条件

ることが観測されているので，このモデルはホール型推進で減衰するので，電子温度や電離長など電子の挙動が振動

機の電離振動を記述するのには不十分であると結論づける

しない限り電離振動は起こらないと示唆される．また，ことができる．

"*"%"-"となる弱電離である場合，もしくは，%+ "の場

３．
２ ホール型推進機の電離モデル
Predator-prey モデルが不十分である理由は不安定性の
議論の欠如に加えて，連続式がホール型推進機の物理現象を考慮していないことである．０次元のグローバルモデルの概念を使い，イオンと中性粒子の連続式は以下のように書き表すことができる．
)1"*""*&*"!&)""*&*2"$$#"*"-+*.-（１０）"-!"*-1(&-"!&)#!"*"-+*.)1"-"'（１１）

Predator-prey モデルからの変更点は以下の３つである．
まず，電離長の代わりに実際の放電室形状を用いる（!&)と$$）．次に，イオンの壁面への拡散を考慮する（&*2：径方向におけるイオンのボーム速度）．最後に，中性粒子の流束は陽極からの推進剤流入が一定であることから一定の"*-1を考慮し，かつ，中性粒子もイオンと同様放電室外へ

図５排出されるため中性粒子流束における符号を変更した．
４７９

定常プラズマ解を持つための最低限必要な電子温度．［１
２］
より転載．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.10 October 2018

合は，Predator-prey モデルの解と一致する．以上のことより，電子温度が一定である場合は電離振動は減衰することがわかる．
電子温度を一定とすると振動が無条件で減衰するため，
次に外的に電子温度を強制的に振動 さ せ プ ラ ズ マ密度と中性粒子密度の時間変化を調べる．すなわち式（１０）・（１１）中 の (*.-$%(%の 項 を 一 定 と 仮 定 せ ず，例 え ば，(*.-#(!&
%!*
"""'
./$
%
'と時間変化させる．図６は，電離反応速度の振動大きさ "を変化させたときの電離振動の時間変化を示す．ここでは，%!#2×105 rad/s，#*-0#2×1019 m−3，#-!#1019 m−3，#*!#1017 m−3，(!#2×10−13 m3/s．最初の２，３サイクルのあとはほぼ一定な振幅である振動モードが確認できる．"が０に近づくにつれて振動は成長せず
初期条件で大きな振動を仮定していても振動は減衰する．
図６には，電離振動の振幅が小さい場合と大きい場合の２つを示すが，これらはそれぞれ線形モードと非線形モードと呼ばれる［７］．線形モードでは中性粒子とプラズマ密度ともに正弦波のような振動が確認できる．一方，非線形モードでは正弦波ではなく，強い電離による急激なプラズ
マ密度の増加及び中性粒子の減少が確認できる．中性粒子の減少に続いて陽極近傍からの推進剤流入によって中性粒
子密度の増加が行われた際に電離がまた誘発されるという

図６

外的に電離反応速度 kion = k0［1 ＋ "cos ( %0 t) ］と振動させた際のプラズマ密度と中性粒子密度の振動．（上）振幅 "＝1％，（下）
振幅 "＝ 5％．

図７

線形摂動理論による不安定性成長率の結果．SPT-100 を想定する．

電離振動が起こる．
３．
３ 電子エネルギー方程式を含む電離振動理論
イオンと中性粒子の連続式に加えて，イオンの運動量保存則と電子エネルギー保存則を考慮する．
&0#*"#*&*!
"##*#-(*.-（１６）#-!#*-0%&-!
"')#!#*#-(*.&0#-"$

（１７）

&0$
)*
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（１８）

#*#
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"#$+
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%
$%
"$
(%
(!
.1,
(!$
2&
,
,!$
'
.,
,

（１９）

各項の詳細は文献［１６］を参照されたい．本モデルでは，壁面への 熱 流 束 成 分 に 対 し て 放 電 室 内２０％の プ ラ ズ マが$2&,,に寄与するという仮定を含む．
図７に SPT-100 を想定した線形摂動理論による不安定性
成長率の結果を示す．ここでは実成分の周波数のグラフは示していないが，不安定性成長率が正である解に関しては，実成分は０であった．このことから０次元のモデルでは電離不安定性がある場合は固有の実振動周波数を持たな
いことがわかる．しかし，この理論における最も重要な結にいく）につれて電離不安定性が大きくなることである．

果は，電子エネルギー方程式の摂動を考慮した際に電離不

その次には，同じ電子速度（&(）において不安定性は電子安定性が確認できることである．これは電子温度の振動こ

温度が 20 eV 程度で最大となるが，それ以上の電子温度とそが電離振動を引き起こす原因の一つであることが強く示なる場合は振動が減衰する．これは電子温度が高くになる

唆される結果であり，その振動・減衰条件も熱流束のバラにつれて電子の壁面への熱流束が増加することによると考ンスによることが示されている．

えられる．すなわち，０次元の電子エネルギー方程式を含電子温度が図５に示される最低温度より下回る場合は，

む電離振動理論によって，電子輸送と電子の熱流束（特に定常的なプラズマが生成されないため線形摂動理論による壁面への損失）が電離振動に大きく寄与していると示唆さ解を持たない．すなわち非定常なモードになる．電子温度

れた Hybrid-DK モデルの結果と一致した結果が得られたがそれを上回るとき式（１６）〜（１９）の解が存在することとなと結論づけることができる．

り，$が正である場合は振動モード，$が負である場合は減４．まとめ衰モードと場合分けができる．図７からは大まかに２つの本解説では，ホール型推進機特有の電離振動である研究

特性がわかる．まず，電子の移流項が強くなる（縦軸を下４８０Commentary

Progress of Theory and Simulation on Ionization Oscillations in Hall Effect Thrusters

K. Haraを報告した．これまでの計算手法に則りつつイオンに数値を求められる可能性がある．一方，低周波振動を理解する

ノイズを含まない DK モデルを適用させた Hybrid-DK モデ

ことは異常拡散など高周波のプラズマ振動の解析にも非常ルを使って放電振動を再現し，実験結果と比べ振動周波数に有用であると考える．これまではプローブや高速カメラなど定性的な一致を得た．数値計算結果を用いて，実験的を使った低周波振動の実験が多かったが，レーザーを用いに得ることが難しい電子の挙動についての考察を行ったとた non-intrusive な実験手法が期待される．磁場を横切る電

ころ，電子輸送と電子の熱流束が振動モードの励起・減衰子の異常拡散に関する数値解析などが今後の注目される研に寄与している示唆が得られた．特に本計算結果では，究テーマになることが予想されるが，それら高周波プラズ

ジュール熱による加熱に対応する熱損失のメカニズムに注マ振動が低周波の電離振動にどのような影響を及ぼすかを目した．低磁場で起こる振動モード（global mode）では移解明することが課題となる．

流項が支配的であり，高磁場で起こる安定モード（localmode）では壁面への熱流束が支配的であった．電離振動は

参考文献

放電室内とプルーム中の異常拡散項にも依存することがわ［１］D. Lev et al., 35th International Electric Propulsion Conference, IEPC-2017-242.
［２］G.N. Tilinin, Sov. Phys. Tech. Phys. 22, 974 (1977).
［３］N. Gascon et al., Phys. Plasmas 10, 4123 (2003).
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［１０］K. Hara et al., Phys. Plasmas 19, 113508 (2012).
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［１２］K. Hara et al., Phys. Plasmas. 22, 022104 (2015).
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［１４］M.J. Sekerak, J. Propul. Power 32, 903 (2016).
［１５］T. Lafleur et al., Phys. Plasmas 23, 053502 (2016).
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［１７］D. Goebel and I. Katz Fundamentals of Electric Propulsion:
Ion and Hall Thrusters (Wiley, 2008).

かり，電子輸送の第一原理的理解が必要である．
さらに数値解析に得られた知見に基づき，電離振動の理論開発を行った．まず，電気推進業界で最も言及されている捕食・餌食関係の Predator-prey モデルのレビュー，またホール型推進機の物理に忠実な電離モデルの開発を行った．線形摂動理論によって定常プラズマ解を持つための最低限の電子温度の導出をし，電子温度の振動がない条件下
では電離振動は無条件に減衰するような解が得られた．電離振動の線形・非線形のモードは電子温度の振動の大きさによるものであることを示した上，電子エネルギー方程式を含む電離振動理論を構築し，電子輸送と電子の熱流束によって不安定性成長率が正である解が存在することが確認された．これは Hybrid-DK モデルが示唆する結果と良い一致が得られたと結論づけることができる．
最後に，数値解析・理論ともに改善の余地があることに言及する．例えば，１次元のモデルでは２次元のプラズマ
拡散や複雑な磁場形状における電子の熱損失などが正確にモデル化できていない．また，理論においても１次元の理論を構築できればより正確な分散関係式（周波数と波数）!!!!!!!!!!!!!!!!

はら

けん

原

健 太 郎

た

ろう

テキサス A&M 大学航空宇宙工学科アシス
タントプロフェッサー．東京大学工学部卒
（２
０
０
８）
，東京大学大学院工学系研究科修士
修了（２
０
１
０）
，ミシガン大学航空宇宙工学科にて博士号取得（２０１５），日本学術振興会海外特別研究員としてプリンストンプラズマ物理研究所に在籍後，２
０
１
６年より現職．専門は，低温プラズマ物理，電気推進，数値計算手法の開発の研究．

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