令和元年度 課題研究 P3

KUANS の熱中性子を用いた中性子スピン干渉実験

荒木 隼人
安藤 翼
大湊 浩明
鷲見 響太郎寺内 健太

2020 年 5 月 16 日

概要
本実験の目的は中性子スピン状態の分解・再結合による中性子スピン干渉を確認することである.KUANS ではパルス型陽子加速器を用いて熱中性子を発生させている. この中性子を偏極させ,スピンフリッパーを用いてスピンを分解する. スピンフリッパー間の位相差を利用し, スピンの向きによって位相のズレを生じさせ, 再びスピンフリッパーでスピンを再結合させることで干渉させる. これにより, 量子力学特有のスピン状態とその重ね合わせを確かめる実験を行った．その結果，実験ミスにより意図していた π/2 フリップの重ね合わせではなく，3π/2 フリップの設定になってしまったが，重ね合わせによる干渉を観測することができた．

目次
1

中性子スピン干渉とは

2

2

理論

3

2.1

磁場中における中性子スピンの振る舞い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2

フリッパーコイル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

中性子ミラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

実験

20

3
3.1

検出: 3 He ガス比例計数管

3.2

TOF 法

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3

実験概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.4

予備実験：磁場測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.5

予備実験：PSD のチャネルと位置の対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.6

ビームアライメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.7

バックグラウンドと規格化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.8

共鳴条件の π フリップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.9

3π/2 フリップによる位相干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

考察

43

4.1

シミュレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.2

位相の横ずれ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

結論と今後の展望

53

5.1

結論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.2

今後の展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

謝辞

54

4

5

6

1

1 中性子スピン干渉とは中性子スピン干渉法とは，中性子のスピン固有状態 |z+⟩ と |z−⟩ の間のスピンと磁場の相互作用による位相差に着目した干渉法のことである．従来の中性子干渉計ではビームを空間的に分離して位相差をつけていたが，スピン干渉法ではスピン状態空間で分離してから重ね合わせるものになっている（図 1.8)．今回我々が行った実験では次のような経路で状態を変化させていく．

1|↑⟩ → √ (|↑⟩ + e−iχ1 |↓⟩)2
1 −iϕ
→ √ (e|↑⟩ + e−i(χ1 −ϕ) |↓⟩)
2i
1 h −iϕ→e (|↑⟩ + e−iχ2 |↓⟩) + e−i(χ1 −ϕ) (eiχ2 |↑⟩ + |↓⟩)
2


 i
1 h −iϕ=e+ ei(−χ1 +χ2 +ϕ) |↑⟩ + ei(χ2 −ϕ) + ei(−χ1 +ϕ) |↓⟩2
up 成分を選択して観測 →(1.0.1)(1.0.2)(1.0.3)(1.0.4)

1 + cos(∆χ + 2ϕ)(∆χ = χ2 − χ1 )2

位相差 ϕ は偏極を保つためのガイド磁場による位相シフト，χ1 , χ2 は後述のフリッパーコイルによる振動磁場の位相である．

図 1.1: スピン干渉の概念図

2

2 理論
2.1 磁場中における中性子スピンの振る舞い
中性子スピン干渉法では磁場 B と中性子磁気モーメント µn との相互作用

Vmag = −µn · B(2.1.1)を利用することで中性子の偏極やスピン空間での分波および重ね合わせなどを行う．Pauli 行列を使えばµn = µn σ(2.1.2)

Vmag = −µn σ · B = |µn |(σx Bx + σy By + σz Bz )(2.1.3)

Pauli 行列はおなじみの
σx = 


0 1



 , σy = 

1 0

0

−i

i

0





 , σz = 


1

0

0

−1



(2.1.4)である．磁場と磁気モーメントの相互作用の計算をするときは相互作用項 (2.1.3) を対角的になる
ように z 軸をとるのが便利である．このときスピン状態 |z+⟩ と |z−⟩ が感じるポテンシャルの符号が逆になる:(+|µn |Bz (|z+⟩)V =−|µn |Bz (|z−⟩)

この違いを利用することで中性子スピンの制御をおこなう．

2.1.1 垂直静磁場中でのスピン状態の振る舞い

図 2.1: 0≤x≤L の領域に z+ 方向の静磁場 B がかかっている系のポテンシャル. 実線はスピン上向き成分, 破線はスピン下向き成分が感じるポテンシャル.

z 軸方向に偏極した中性子ビーム |z+⟩ が進行方向に垂直な静磁場中を通過するとどうなるだろうか．これは単なるポテンシャル障壁の問題になる．ポテンシャルを V ，入射運動エネルギーを3

K としてK = ℏ2 k 2 /2mn , K − V = ℏ2 k ′2 /2mn

(2.1.5)とおけば，入射振幅 1 に対する反射振幅 R と透過振幅 T はそれぞれ

R= q
T =q
tan ∆ϕ ≡i(k ′2 − k 2 ) sin k ′ Lei∆ϕ

4k ′2 k 2 cos2 k ′ L + (k ′2 + k 2 )2 sin2 k ′ L
2k ′ kei∆ϕ e−ikL(2.1.6)4k ′2 k 2 cos2 k ′ L + (k ′2 + k 2 )2 sin2 k ′ L

k ′2 + k 2
tan k ′ L
2k ′ kで与えられる*1 ．特に K ≫ V のとき，V = ℏω, K = mn v 2 /2 とおくと

r
′

k =
と書ける．さらにk′=k

2mn (K − V )
ω
≈k−
ℏ
v

r

(2.1.8)Vk≈1, ′ ≈1Kk

(2.1.9)tan ∆ϕ ≈ tan k ′ L ⇒ ∆ϕ ≈ k ′ L(2.1.10)

1−

より，

つまり，

R≈0
′

T ≈ ei∆ϕ e−ikL ≈ e−i(k−k )L ≈ e−iωL/v(2.1.11)

つまり入射エネルギー K に比べてポテンシャル V が十分小さければ*2 ，ほとんど反射はなく，ポテンシャル領域 0 ≤ x ≤ L を通過する際に生じるのは位相の変化のみとみなせる．したがってポ
テンシャル領域の入り口と出口での波動関数の関係は

ψout = T ψin ≈ e−iωL/v ψin(2.1.12)である．スピンの向きが逆の場合は V → −V とすればよい．よって，透過波のスピン up 成分とdown 成分では合計で 2ωL/v 分の位相差が生じていることになる．つまり,ω(∝ B) を調整することで位相差を制御することができるのである．

*1

次式のように波動関数を設定して接続条件を解けばよい．

ikx + Re−ikxe′′ψ(x) = Aeik x + Be−ik x

 ikx
Te

(x < 0)(0 ≤ x < L)(L ≤ x)*2 今回の実験の場合，中性子の波長は数Å，典型的な磁場スケールは 10 G ほどで実際に成り立っている．

4(2.1.7)

2.1.2 垂直静磁場によるスピン期待値の回転
入射する中性子スピン状態をψin = e−iϕ cos θ

(2.1.13)eiϕ sin θと表す*3 と，入射時のスピン期待値は⟨Sx ⟩in = (ℏ/2) sin 2θ cos 2ϕ⟨Sy ⟩in = (ℏ/2) sin 2θ sin 2ϕ(2.1.14)⟨Sz ⟩in = (ℏ/2) cos 2θと計算できる*4 ．

図 2.2: (2.1.14) 式におけるスピン期待値ベクトル

一方透過波のスピン状態は前節より

ψin = e−i(ϕ+ωL/v) cos θei(ϕ+ωL/v) sin θ(2.1.15)

同様に⟨Sx ⟩in = (ℏ/2) sin 2θ cos (2ϕ + 2ωL/v)⟨Sy ⟩in = (ℏ/2) sin 2θ sin (2ϕ + 2ωL/v)(2.1.16)⟨Sz ⟩in = (ℏ/2) cos 2θ
となり z 軸回りに 2ωL/v だけ回転していることがわかる．ωL = 2ω = 2|µn |B/ℏ は Larmor 振動数と呼ばれるものである．結局，磁場中では磁場回りにスピン空間で回転する性質を持っていることが分かった．
*3 ノルムが 1，定数倍は自由にずらして OK というのを使えばよい．
*4 S = ℏ σ を代入して計算．
25

2.2 フリッパーコイル

図 2.3: フリッパーコイル

ビームが領域 I から入射し，フリッパーがつくる振動磁場である領域 II を通過し，領域 III を通過する．各領域には，z 方向に一様磁場 Bz がかかっているとする．領域 II では x 方向に振動磁場

2Br cos ωr t がかかっている．

6

図 2.4: 領域 I から x 正方向へ入射した中性子ビームがフリッパーによる振動磁場 (II) を通過し，領域 III を通過する系

2.2.1 領域 II の Schrödinger 方程式
領域 II における磁場は，

B = x̂2Br cos ωs t + ẑBz

(2.2.1)となる振動磁場であるが，これは Br ≪ Bz のとき，回転磁場

B = x̂Br cos ωs t + ŷBr sin ωs t + ẑBz

(2.2.2)で近似できることがわかっている*5 ．以下領域 II の磁場はこの回転磁場として考える．

*5 参考文献 [3] によれば，回転磁場に近似せず，振動磁場のまま解いた場合には，後に説明する共鳴条件が回転磁場の場合からずれる．回転磁場の場合の共鳴条件を満たすようなガイド磁場の大きさを Bz ，振動磁場の場合を満たすものを Bz ∗ と書くことにすると，()

Bz ∗ = Bz

1−

Br 2

16Bz ∗2が成り立つ．ただし，Br は回転磁場の振幅（または振動磁場の振幅の 1/2）．この式から，Bz ∗ は Bz から
Br 2 /16Bz ∗2 だけずれることがわかる．上式はこのずれを見やすくした形だったが，両辺に Bz ∗2 /Bz 3 をかけて整理してみると，
(
)
)
(

Bz ∗
Bz

3

−

Bz ∗
Bz

2

+

Br 2
=0
16Bz 2とできる．Bz ∗ /Bz がおおよそ 1 程度の大きさであるとして，Br ≪ Bz なら最後の項は無視できるほど小さいから，最初の 2 項だけ考えて解は近似的に Bz ∗ ≃ Bz になる．このことから，Br ≪ Bz つまり「ガイド磁場に比べて振動磁場の振幅が非常に小さい」状況であれば，振動磁場を回転磁場と考えて共鳴等の議論をしても差し支えない
ことがわかる．

7図 2.5: フリッパーによる振動磁場 (II) を回転磁場に置き換えた系|µn |Br = ℏωr , |µn |Bz = ℏωz(2.2.3)とおくと，Schrödinger 方程式は，





ωz
∂ψII
ℏ ∂
= −
+ ℏ
2
∂t
2m ∂x
ωr eiωs t
2iℏ
ユニタリ変換

2


iωs t
e 2

UT = exp[iσz (ωs t/2)] =0ωr e−iωs t−ωz ψII .

(2.2.4)0e−iωs t2(2.2.5)を用いると，

ψR = UT ψII(2.2.6)の満たす Schrödinger 方程式は，

ωz − ω2s
∂ψR
ℏ ∂


+ℏ
iℏ
= −
∂t
2m ∂x2ωr2となる. ここで，

ϵ=



2

ωs
− ωz ,2ωA =ωr−ωz + ω2s ψRp
ϵ2 + ωr2(2.2.7)(2.2.8)をとし，合成磁場 BA = ℏωA /|µn | を考える. BA と z 軸のなす角を θ とすれば，cos θ =−ϵωr
, sin θ =
.
ωA
ωA
8

(2.2.9)変換行列

UD = exp[iσy (θ/2)] = cos(θ/2)sin(θ/2)− sin(θ/2)

cos(θ/2)

(2.2.10)を用いて対角化すると，

ψD = UD ψR = UD UT ψII(2.2.11)の満たす Schrödinger 方程式は，



2
2
ωA
ℏ
∂
∂ψD
iℏ
= −
+ ℏ
2
∂t
2m ∂x
0


0
−ωA

 ψD

(2.2.12)となる. 領域 II での中性子の全エネルギーを En = ℏωn とすると，波動関数 ψD は，




ψD =

+
+
α+ eikn x + βn+ e−ikn x
 −iωn t n−−αn− eikn x + βn− e−ikn xe(2.2.13)±は合成磁場 BA 中
ここで，上付き添え字 ± はスピン上向き状態，下向き状態をそれぞれ表し，knでの波数であり，(ℏkn± )2
= ℏ(ωn ∓ ωA )2m

(2.2.14)の関係がある．以上から，波動関数 ψII は，

ψII = UT−1 UD−1 ψD
i
h

+
−
+
−
θ
θ
x
x
−i(ωn +ωs /2)tx
+ −iknx− −ikn+ ikn− ikn) − sin 2 (αn e) e+ βn e+ βn ecos 2 (αn e
.
i
= h
+
−
+
−
θ
θ
+ ikn x− ikn x+ −ikn x− −ikn x−i(ωn −ωs /2)tsin 2 (αn e+ βn e+ βn e) + cos 2 (αn e) e(2.2.15)±±±
任意定数 A±n , Bn , Cn , Dn を導入して書き換えると，

i

−
−
+
+
ikn
x
ikn
x
+ Bn− e−ikn x ) e−i(ωn +ωs /2)t(A+
+ Bn+ e−ikn x ) + (A−
ne
ne
.
i
ψII = h
+
+
−
−
+ ikn
x
+ −iknx− iknx− −iknx−i(ωn −ωs /2)t(Cn e
+ Dn e) + (Cn e+ Dn e) ehただし，このときCn± =ϵ ± ωA ±ϵ ± ωA ±An , Dn± =
Bn
ωr
ωr

(2.2.16)(2.2.17)の関係がある．

2.2.2 透過振幅
入射中性子のエネルギーを

E0 = ℏω0 =9(ℏk0 )22m(2.2.18)

とすると，領域 I(x ≤ 0) での波動関数は









+
I0+ eik0 x
I0+ e−iωz x/v−iω0 t eik0 x e−iω0 t
ψin =
e
≃
− ik0− x− iωz x/v
I0 e
I0 e

(2.2.19)

E0 ≫ |µn |Bz(2.2.20)

ただし，のとき，1 次の近似で

r
k0± =

2m
ωz
(E0 ∓ |µn |Bz ) ≃ k0 ∓2ℏv

(2.2.21)が成り立つことを用いた．境界 x = 0 で波動関数が任意の時刻 t において一致しなければならな
いから，ωn + ωs /2 = ω0 あるいは ωn − ωs /2 = ω0 を満たす ωn が存在する．領域 II の波動関数を考慮すれば，領域 II の上向きスピン状態でE = ℏω0 , ℏ(ω0 + ωs )(2.2.22)E = ℏω0 , ℏ(ω0 − ωs )(2.2.23)

下向きスピン状態でのエネルギー状態が存在することがわかる．ゆえに領域 I の波動関数は入射成分と反射成分を考
慮し，


i
+
+
+
I0+ eik0 x + R0+ e−ik0 x e−iω0 t + R1+ e−ik1 x e−i(ω0 +ωs )t.
iψI = h+ −ik0− x− −ik1− x −i(ω0 −ωs )t− ik0− x−iω0 te+ R0 ee+ R1 eI0 ehと書ける．ただし，

r
k1± =

2m
ωs
ωz
(E0 ± ℏωs ± ℏωz ) ≃ k0 ±
±
ℏ2
v
v

(2.2.24)(2.2.25)とする．k1+ はエネルギー ℏωs を得てスピン上向き状態に移った成分の，k1− はエネルギー ℏωs を失ってスピン下向き状態に移った成分の，磁場 Bz 中における波数をそれぞれ表している．同様に
領域 III (x ≥ d) の波動関数は透過成分を考えて，

ψIII = ++T0+ eik0 x e−iω0 t + T1+ eik1 x e−i(ω0 +ωs )t−−
T0− eik0 x e−iω0 t + T1− eik1 x e−i(ω0 −ωs )t.

(2.2.26)と書ける．以上から x = 0, d での境界条件を解くと，

R0± = R1± = 0,



ϵ
ωs d
ωs d
±
± ∓iϵd/v
T0 = I0 e± i sin
,
cos
v
ωs
v
ωr
ωs d
T1± = −I0∓ ie∓iϵd/v
sin
ωs
v

10

(2.2.27)(2.2.28)(2.2.29)

2.2.3 回転磁場の角振動数に定数位相が付く場合前節までで，フリッパーによるスピンへの作用の基本的な部分はほとんどわかったのだが，少しだけいじった状況として，フリッパーの回転磁場に定数位相が加わった場合を考えてみよう．これはつまり，回転磁場の位相部分を

ωs t → ωs t + χ(2.2.30)と変更するということであり，χ がここで加えた定数位相だ．一応，変更後の回転磁場（＋ガイド
磁場）の式も明示しておくと

B = x̂Br cos (ωs t + χ) + ŷBr sin (ωs t + χ) + ẑBz

(2.2.31)となる．(2.2.4) 式から見て取れるように，定数位相のないときの相互作用ポテンシャルは−iωs t



Bz
Br e

Vmag = |µn | 
iωs t
−Bz
Br e


−iωs t
ωz
ωr e

= ℏ
iωs t
ωr e
−ωz

(2.2.32)

χと書けたことを思い出すと，定数位相 χ を加えた時の相互作用ポテンシャル Vmag
は，単純に位相部分に χ を付け加えればよく，


ωz

χ
Vmag
= ℏ
ωr ei(ωs t+χ)ωr e−i(ωs t+χ)
−ωz




(2.2.33)と変更される．これは元々の χ = 0 の場合に比べて，単に回転磁場の位相が xy 平面で χ 進んでいる状況を表しているだけなので，z 軸回りに座標のほうを角度 χ だけ回転してやれば，定数位相のなかったときと同様に扱える．z 軸回りに角度 χ だけ回転する変換は
h σ χiSz χzUχ = exp i= exp iℏ2(2.2.34)と表せるから，定数位相を打ち消すように座標変換した後の系（χ = 0 とみなせる系）での波動関
χ=0数 ψ χ=0 と相互作用ポテンシャル Vmagは

ψ χ=0 = Uχ ψ



ωz
χ=0
χ
Vmag
= Uχ Vmag
Uχ−1 = ℏ ωr eiωs tωr e−iωs t

−ωz




となる．
結局，回転磁場に定数位相 χ があるときはどのように考えればよいかというと

11(2.2.35)

1. 実験室系での波動関数 ψ に Uχ を作用させて，定数位相部分を打ち消すような新しい系に移る

2. 前節まで (χ = 0) と同様に計算する
3. 逆回転変換 Uχ−1 を作用させて，元の実験室系での表示に戻すとすればよい．実際に，



+



α+ eik0 x

 e−iω0 t
ψin = − ik0− xα e(2.2.36)という状態の中性子が入射したとして，フリッパーに定数位相 χ がある場合に上の手順に沿って実験室系における波動関数の透過成分を計算すると


+ + ik0 x+ − ik1+ x −i(ωs t+χ)T0 α e+ T1 α eeχ=0ψout = Uχ−1 ψout=
− + ik1− x i(ωs t+χ)
− − ik0− x
T1 α ee+ T0 α e(2.2.37)となる．定数位相 χ がなかったときと比べて変わったのは，T1± を含む項の位相部分で ωs t →ωs t + χ と置き換わったところである．単純に言えば，スピン反転を伴う成分 T1± には位相因子e∓iχ が付き，スピン反転をしない成分 T0± は変化しないと理解すればよい．
明示的に計算はしないが，フリッパーを 2 回通過することで，2 回ともスピンフリップ（結局元の向きに戻る）した成分には対応する定数位相因子が付くことがわかる．この成分が，1 度もスピンフリップせずに位相因子のつかなかった成分と干渉することで生じる干渉縞を見るのが実験における目標である*6 ．

2.2.4 フリッパーの共鳴条件
これまでの計算結果から，フリッパーでのスピン反転率は以下のように表せる：





ω2
ωA d
P (up → down) = |T1− |2 = 2r sin2
,
ωA
v


ωr2
ωA d
+ 2
2
P (down → up) = |T1 | = 2 sin
ωAv(2.2.38)2
この反転率をできるだけ大きくするためには，sin2 の係数 ωr2 /ωAをできるだけ 1 にする方が良い．

これはつまり*6 具体的には，1 つ目のフリッパーにつけた定数位相を χ1 ，2 つ目のフリッパーの定数位相を χ2 としたとき，合わせて ei(χ2 −χ1 ) という位相因子が付く．このことから，2 つのフリッパーにつけた定数位相の差 χ2 − χ1 =: ∆χ を（ファンクションジェネレータで）操作することで，中性子スピンの干渉が変化していく様子を自在に観測できる．
また，各定数位相の値そのままではなく，それらの差 ∆χ のみが干渉に寄与するという事実も納得がいく．なぜなら，それぞれの定数位相の値 χ1 , χ2 は，基準とする時刻や座標の採り方に依って変わってしまう量なので物理的に意味がないが，それらの差についてはそういった任意性に依らず決まる量だからである．

12

ωs ：回転磁場の角振動数，Bz ：垂直磁場（ガイド磁場），|µn |：中性子磁気モーメントの大きさ|µn |Bzωs=: ωz =ℏ
2
ωsi.e. ϵ :=− ωz = 02(2.2.39)(2.2.40)が成り立つということである．実際，このとき ωr = ωA になる．この条件をフリッパーの共鳴条件という．また，この条件を満たすとき，k1± = k0± となり，透過振幅は

T0+ = cos Ω,

T1+ = −i sin Ω,

T1− = −i sin Ω,(2.2.41)

T0− = cos Ω(2.2.42)と書ける．ただし，ωr d/v =: Ω とおいた．d/v はフリッパー領域を通過するのにかかる時間を表すので，ωr はフリッパーによるスピン空間での回転角速度，Ω は結局スピン空間で回った角度を表すことが読み取れる．
例として，スピン上向き状態の中性子がフリッパーに入射する場合を考える．入射中性子のエネ
ルギー E が E ≫ |µn |Bz = ℏωz を満たすとき，入射状態は一次の近似で

ψin

 
1
=   e−iωz x/v eik0 x−iω0 t
0(2.2.43)と書ける．すると，フリッパー通過後の出口では

T0+ e−iωz x/v eik0 x−iω0 t
ψout = T1− eiωz x/v eiωs (t−x/v)(2.2.44)で 表 さ れ る 状 態 に 遷 移 す る ．共 鳴 条 件 を 満 た す 場 合 に は ，T0+ = cos Ω, T1− = −i sin Ω =ei(−π/2) sin Ω, ωs = 2ωz となるので
−iωz x/v

cos Ω e eik0 x−iω0 t
ψout = i(−π/2)esin Ω eiωz x/v eiωs t e−i2ωz x/v


cos Ω
 e−iωz x/v eik0 x−iω0 t=i(ωs t−π/2)esin Ω(2.2.45)

がフリッパー通過後の状態である．これを見ると，スピン上向き状態の中性子が共鳴条件を満たす
フリッパーを通過すると，スピンの上向き成分と下向き成分の間に位相差 ωs t − π/2 が生じることがわかる．同様に下向き状態の中性子が入射した場合を計算すると，位相差 ωs t + π/2 が生じる．
このように，上下どちらかに偏極した中性子が共鳴条件を満たすフリッパーを通過したとき，通過後の上向き成分と下向き成分の間には位相差しか生じないので，運動量は変わらない（ただし前
述のように，スピン反転した成分のエネルギーについては ±ℏωs の増減があることに留意）．この性質は理論・実験の上で扱いやすく，便利である．

13

また，上で得たフリッパー通過後の波動関数の表式を用いてスピン期待値を計算してみると

ℏπ
sin 2Ω cos ωs t −
2
2

ℏ
π
⟨Sy ⟩ = sin 2Ω sin ωs t −22ℏ⟨Sz ⟩ = cos 2Ω
2⟨Sx ⟩ =

(2.2.46)

2.3 中性子ミラー
中性子ミラーでは，膜の厚さを少しずつ変化させた多層膜により，全反射と Bragg 反射の性質を利用して，入射した中性子のうち，上向きスピン状態のみを選択的にとりだすことができる．

図 2.6: 中性子ミラー14

2.3.1 中性子の光学ポテンシャル
中性子波の物質による散乱を考える．入射中性子波が平面波であるとき，自由な 1 個の原子による散乱波は，散乱体から十分離れた場所で球面波で表わされ，

eikr
.
r

(2.3.1)

drV (r)e−ik·r .

(2.3.2)

Ψ(r) = eikz + f (θ)

Born 近似により，mn
f (θ) = −2πℏ2Z

ただし，mn は中性子の質量．
中性子が物質に入射し散乱されるのは核力によるもので，中性子波長に対し核力の及ぶ範囲が十分小さいため，中性子との散乱ポテンシャルを次式のように記述する（Fermi の擬ポテンシャル）:V (r) =

2πℏ2bcoh δ(r).
mn(2.3.3)

ただし，bcoh は干渉性散乱長とする．
平面波で表せる中性子が厚さ l の物質を透過するとする．このとき，波長 λ ≫ l と仮定する．

図 2.7: 平面波 eikz が長さ l の物質を透過

15中性子の透過波は入射波と干渉性散乱波の重ね合わせから，N0 を物質の原子数密度とすれば，対称性から微小な円筒の体積 2πyldy の寄与を考えると次のように書ける．

eikz− 2π l N0 bcoh

Z ∞

eikr
.
r

(2.3.4)dreikr .

(2.3.5)y dy
0r2 = y 2 + z 2 ，y dy = r dr より，eikz− 2π l N0 bcoh

Z ∞
z

ここで，

Z ∞
dre
z

ikr

Z ∞
= lim
2

p →0

dre

ikr −p2 r

e

z

より，

eikz
=−
ik


e

ikz

!
2
2
eikR e−p R
e−p R R→∞−−−−→ 0≤ik − p2
k − p2(2.3.6)∵2π l N0 bcoh
1−i
k


.

(2.3.7)

eiknl+ik(z−l) = eikz eik(n−1)l .

(2.3.8)2π l N0 bcoh
= eik(n−1)l .
k(2.3.9)一方中性子の物質に対する屈折率を n とすると，透過波はゆえに次の等式が成り立つ．

1−i透過する物質の厚さ l は十分小さく，eik(n−1)l = 1 + ik(n − 1)l,(2.3.10)のように近似できる．よって，中性子の物質に対する屈折率を n は次式のようになる．

n=1−

2π N0 bcoh.
k2

(2.3.11)

物質中での波数を k ′ とすると，屈折率の定義式 n = k ′ /k より，

1 − n2 =4π N0 bcoh
.
k2

16

(2.3.12)

物質を 1 次元ポテンシャルとして考えるとき，エネルギー保存 k 2 − k ′2 = 2mV /ℏ2 を用いて，中性子に対する平均ポテンシャル Vnucl は，Vnucl =2πℏ2 N0 bcoh.
mn

(2.3.13)

強磁性体内では物質の磁化 B により，磁気ポテンシャル Vmag = −µn · B が存在するから，中性子に対する磁化が飽和した強磁性物質の光学ポテンシャル Vop は，

Vop = Vnucl + Vmag =2πℏ2 N0 bcoh
− µn · B.
mn(2.3.14)2.3.2 中性子ミラー
シリコン基板に金属を一層蒸着させた中性子ミラーを考える．中性子の入射角を θ として，1 次
元のモデルで考える．単層膜をミラー面に垂直な方向での 1 次元ポテンシャルと考える．入射見込
み角 θ で平面波が入射するとして，Snell の法則から臨界角 θc を用いると，全反射の条件は

πn ≤ sin− θc = cos θc .
2

(2.3.15)

図 2.8: 入射中性子が単層膜ミラーで反射・透過

屈折率の定義式 n = k ′ /k ，エネルギー保存 k 2 − k ′2 = 2mV /ℏ2 から

n2 = 1 −2mV≤ cos2 θc .
ℏ2 k 217(2.3.16)

ゆえに全反射が起きるための入射エネルギー E の条件は

E sin2 θ ≤ E sin2 θc =

ℏ2 k 2sin2 θc ≤ Vop .
2m(2.3.17)

ミラーの光学ポテンシャルは前節から Vnucl を定数としてみると，

V ± = Vnucl ± |µn |B(2.3.18)

V − < E sin2 θ < V +(2.3.19)と表せるから，を満たすエネルギーの中性子を用いて，スピン上向きの中性子を分離することができる．このとき，スピン上向きの中性子は全反射し，スピン下向きの中性子はほとんどが透過する．

図 2.9: ミラーの中性子に対する光学ポテンシャル

ここで，入射平面波の波数ベクトルを k0 ，ミラー面に垂直な方向の端数成分を k0⊥ = |k0 | sin θとすると，入射領域 0，膜の領域 1，基盤領域 2 でのミラー面に垂直な方向の Schrödinger 方程式は

−

ℏ2 k⊥
ℏ2 d2
ψ⊥ (x) + Vop (x)ψ⊥ (x) =ψ⊥ (x).
2m dx
2m(2.3.20)

前節からミラー面に垂直な方向に関しては連続した 1 次元矩形ポテンシャルとみなすことがで
2き，k0⊥− 2mVj /ℏ2 = n2j k02 = kj2 とすると，j 番目の層内の法線方向の波動関数は次式を満たす．




d2
2
+ kj ψj = 0.
dx

18(2.3.21)

境界条件を満たすように解くと，反射率 R，透過率 T はそれぞれ，

R = 1 − 4k12 k0 k2 k12 (k0 + k2 )2 + (k02 − k12 )(k22 − k12 ) sin2 (k1 d)−1

T = 4k12 k0 k2 k12 (k0 + k2 )2 + (k02 − k12 )(k22 − k12 ) sin2 (k1 d)

.

−1

,

(2.3.22)(2.3.23)

ミラーのポテンシャルよりもエネルギーの低い長波長の中性子はミラーで全反射され，それよりもエネルギーの高い短波長の中性子は屈折して膜の領域に入り込む成分も存在する．反射率の正弦関数の部分に着目すると，反射率が高い，すなわち中性子が強め合うのは，


2d =

1
N+
2



λ1
.
sin θ

(2.3.24)λ1
ただし，N は負でない整数， sin
θ は膜領域での中性子波長のミラー面に垂直な方向成分．多層

膜ミラーの場合も同様に考えればよい．

図 2.10: 多層膜ミラーに入射した中性子ビーム19

オートデスク学生版により作成

3 実験

Gd

オートデスク学生版により作成

オートデスク学生版により作成

フリッパーの位相差による中性子の位相干渉を観測するために実験した．

Analyzer

DetectPolarizer
Flipper
Flipper

図 3.1: 実験の概念図
オートデスク学生版により作成

3.1

検出: 3 He ガス比例計数管

中性子は電荷を持たないため, 中性子を直接検出するのは一般に困難である. そこで, 中性子による原子核反応により発生した荷電粒子を検出することで間接的に中性子を検出する手段がとられる. 本実験では中性子検出器として 3 He ガス比例計数管を用いた. この検出器は円筒状の形をしており, 中心に陽極のワイヤが通っていて前置増幅器へと繋がっている. また, 内部は 3 He ガスで満たされている.
検出器に入射してきた中性子は内部の 3 He ガスと以下の反応を起こす：

n +3 He →3 H + p + 0.764 MeV(3.1.1)

この反応で発生した陽子は 3 He ガスを電離させる. こうして生まれた二次荷電粒子は陽極-陰極間にかけられた電場によって外部に信号として取り出される. 上式の反応断面積は 5330 barn と大きな値であるため, この反応を用いて効率良く中性子を検出することができる.
3

He ガス比例計数管は中性子が入射して反応した位置は分からないが, 陽極であるワイヤに抵抗をもたせると中性子が反応した (ワイヤに沿っての)1 次元的位置を知ることができる. これは中性子の入射位置から陽極ワイヤの両端までの距離の比は, 陽極両端での電荷量の逆比で表されるからである. よって陽極の両端で電荷量を測定すれば, 中性子の入射位置が分かる. このように中性子の位置を検出できる 3 He ガス比例計数管は位置敏感型検出器 (PSD) と呼ばれる. 本実験ではビーム
アライメントの際に用いた.

20

図 3.2: 3 He ガス比例計数管の概念図

3.2 TOF 法
中性子の波長やエネルギー分布を求めるために本実験では TOF(Time of Flight) 法を用いている.TOF 法とは中性子が中性子源から検出器まで到達するのにかかる時間から波長やエネルギー分布を求める手法である. そのため, 常に中性子ビームが出続けていると中性子の飛行時間を正しく計測することは困難なので, 中性子ビームはパルス状のものを用いている. 本実験では時間解析装置 (3.3.2 参照) より中性子の飛行時間を計測している.
式を用いると次のように中性子の飛行時間から波長やエネルギーが求まることが分かる:

L
t= =
v

(

mn Lλ
h
p
n
L m
2E

(波長)
(エネルギー)(3.2.1)

3.3 実験概要
実験は，京都大学理学部 5 号館東棟の KUANS (Kyoto University Accelerator-driven Neutron

Source) の中性子ビームを用いて，図 3.4 のセットアップで行った．本節では，ビーム上流側から
実験セットアップの流れを説明する．

3.3.1 KUANS
KUANS ではまず，陽子線形加速器でパルス状の 3.5 MeV 陽子ビームを生成する．今回の実験
は，ビームのパルス幅 60 µs ，繰り返し周波数 100 Hz で行った．
次に，加速器からの陽子ビームを Be ターゲットに当てて熱中性子を生成する．ターゲットで生成した中性子はエネルギーが高いため，熱中性子領域まで減速するためポリエチレンおよびメシチ
レンの減速材を用いている．また，減速された中性子は減速材表面全体からあらゆる方向に放出されるため，中性子取り出し孔の方向でより多く取り出せるよう黒鉛ブロックの反射体が設置されている．

21

減速材に用いられたメシチレンは 2018 年に導入されたものであり、100 × 100 × 35 mm3 の真
空容器に入っている．また、メシチレンは 28 K までに冷却されている．メシチレンを使うことで生成される中性子の総カウント数は減少してしまうが、実験で扱う波長帯 (0.3 nm 以上) の低速中性子の個数は増加している。
今回の実験では，ビームが発散しないよう方向を厳しく制限するため，取り出し孔の出口に遮蔽体によるスリットを設置した．この詳細についてはビームアライメントの項で述べる．

3.3.2 セットアップᐇ㦂䝉䝑䝖䜰䝑䝥

ビーム取り出し以降のセットアップのを簡略化して表したものが図 3.3 である．なお，ビームア
ライメント時に使用した PSD は省略している．
䜺䜲䝗䝁䜲䝹

+H᳨ฟჾ
)OLSSHU

3RODUL]HU$QDO\]HU

EHDP䝣䜯䞁䜽䝅䝵䞁
䝆䜵䝛䝺䞊䝍








'&㟁※









䝇䝔䞊䝆䝁䞁䝖䝻䞊䝷
$03
$03

$03

䝟䞊䝋䝘䝹
䝁䞁䝢䝳䞊䝍

᫬㛫ゎᯒ⿦⨨/$1


図 3.3: 簡略化したセットアップ．中性子ビームは左方向から入射する．

ビーム取り出し以降では，主に次の装置を用いて実験を行った．

• ガイドコイル• Polarizer (上流ミラー)• スピンフリッパー 2 点• Analyzer (下流ミラー)• Position Sensitive Detector (PSD)• 3 He 比例計数管 (HeM)• 6 Li 比例計数管 (LiM)
また以降では，図 3.4 のビーム方向 (図の下方向) に x 軸，鉛直上向き (紙面手前方向) に z 軸，

x 軸と z 軸に直交する向き (図の右方向) に y 軸をとった座標系を用いる．加速器実験ではビーム
22

Moderator

Be target

1595

ShieldShield slit 1

Alignment Laser
Peak neutron beam

Shield830

Shield slit 2

302

Polarizer

15

Guide coil

Flipper

Analyzer

1007

PSD

170

HeM

1.5°

1.5°

図 3.4: 実験セットアップ

23

オートデスク学生版により作成

Flipper

622

1301

オートデスク学生版により作成

Proton linac

オートデスク学生版により作成

オートデスク学生版により作成

15

方向に z 軸をとるのが一般的だが，今回はスピンの量子化軸を z 軸とするためにこのようにした．
ガイドコイルは，上流ミラーから下流ミラーまでの間でスピン偏極を維持するため，z 方向に一様磁場を印加するためのものである．この詳細については磁場測定の項で述べる．

Polarizer (上流ミラー) は，スピンの z 成分について ↑ の中性子だけを選択的に反射し，空間的に分離するためのものである．このミラーは中性子が反射面に対して 0.75° で入射するとき，波 以上の中性子を反射する．
長 2.48 A
スピンフリッパーは，z 方向に偏極したスピンを回転させるため，x 方向に交流磁場を印加するためのものである．この詳細については共鳴条件の節で述べる．

Analyzer (下流ミラー) は，上流ミラーと同様にスピン ↑ の中性子だけを選択的に反射するものである．反射については上流ミラーと同様だが，反射面の裏側に Gd を含む中性子吸収層があり，反射されなかった中性子は透過せず吸収される．

PSD, HeM, LiM は全て中性子検出器とその信号読み出しモジュールである．PSD はビームア
ライメントの際に中性子ビームの位置を特定するため，HeM と LiM はアライメント後の中性子の計数および規格化のために用いた．

3.4 予備実験：磁場測定
2.2.4 節で述べたように，交流磁場によってスピン期待値が回転するためにはガイド磁場の強さと交流磁場の振動数が共鳴条件を満たしている必要がある．しかし，交流磁場の振動数を空間的に変化させることはできないため，交流磁場が印加されている空間ではガイド磁場の一様性が求められる．今回の実験では，中性子が通過する空間での磁場の一様性を調べるため，ガイドコイルが作る磁場のシミュレーションと，実際のセットアップでの磁場分布測定を行った．

3.4.1 シミュレーション
ガイドコイルが発生させる磁場のシミュレーションを，2 次元電磁場計算ソフト Poisson

Superﬁsh と，2016 年度の課題研究 P3 で作成された 3 次元電磁場計算プログラムの 2 通りで行った．

Poisson Superﬁsh で yz 平面のシミュレーションを行った様子が図 3.5 である．このとき，原点の z 方向の磁場の絶対値が 0.38 mT となっており，後述する 3 次元での計算値や実測値に比べて10 % 以上小さい．これは，2 次元計算のため x 方向に無限に続く電磁石を仮定しており，y 方向のコイルが作る磁場がシミュレーションできていないことが原因と考えられる．

3 次元電磁場計算プログラム (Savart super sheep) によってガイドコイル中心部の xz 平面および xy 平面のシミュレーションを行った様子が図 3.6 および図 3.7 である．ガイドコイルはヘルム
ホルツコイルに類似した形状であるため，中心部での磁場分布は一様性が高くなっていることがわかる．
これらのシミュレーション結果と実験の比較は次節で述べる．

24

Guide Coil
50

50

45

45

40

40

35

35

30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

0

0
0

10

20

30

40

50

60

70

図 3.5: Poisson による磁場シミュレーションで得られた yz 平面の磁場分布

図 3.6: yz 平面のシミュレーション結果

図 3.7: xy 平面のシミュレーション結果

3.4.2 磁場分布測定用治具の開発
ガイドコイルによる磁場分布を高い位置精度で測定するため，ガウスメーターのプローブを自動ステージに固定して操作できるようにするための治具を開発し，測定に利用した．実際に開発した治具の写真を図 3.8 に示す．
この治具は，ガウスメーターのプローブをシグマ光機製の光学ステージに固定するためのものである．光学ステージに接続することで，円柱形のロッドの利用して xy 平面内で回転させて固定でき，またそのロッドを自動ステージに接続することで，自動ステージの位置精度を利用した磁場分布測定を行うことができる．手持ち測定でなくなったことで手ブレによる影響を排除でき，また自動ステージを利用することで多くの測定点のデータを短時間で測定することができるように
なった．

25

図 3.8: 磁場分布測定用治具

3.4.3 測定
ガイドコイルの領域内での磁場分布を測定する実験を行い，シミュレーションの計算値と比較
した．

0.5

Poisson Superﬁsh
Savart Super Sheep
Experiment

0.48|Bz | [mT]

0.46
0.44
0.42
0.4
0.38
0.36
−20

−10

0

10

20

30

40

50

y [mm]
図 3.9: y 方向の磁場分布の計算値および実験値．ガイドコイルの電流値は 2.0 A で行った．

26

ビーム断面方向 (y 方向) の磁場分布の 2 種類の計算値および実験値が図 3.9 である．シミュ
レーションおよび実験はいずれもガイドコイルの電流値が 2.0 A の条件で行った．また，Bz はい
ずれも z 軸負方向 (鉛直下向き) の成分の大きさを表しており，実験値には実験を行った場所での地磁気の垂直成分 0.29 ± 0.05 mT がオフセットとして加算されていると考えられる．

1.4

Savart Super Sheep
Experiment

1.2
1|Bz | [mT]Polarizer

Flipper

0.8
0.6
0.4
0.2
0

−800

−700

−600

−500

−400

−300

−200

−100

0

x [mm]
図 3.10: x 方向の磁場分布の計算値および実験値．ガイドコイルの電流値は 3.0 A で行った．

ビーム方向 (x 方向) の磁場分布の計算値および実験値が図 3.10 である．シミュレーションおよび実験はいずれもガイドコイルの電流値が 3.0 A の条件で行い，磁場測定は x ≥ −600 mm の領域で行った．図にはビーム実験の際に上流ミラー (Polarizer) とフリッパーを設置していた位置を表示している．磁場測定の際にはフリッパーのみ撤去していたが，フリッパーを設置して近傍の磁場を測定し，フリッパーの有無が磁場に大きな影響を与えないことを確認した．y 方向の分布と同様に地磁気の垂直成分が加算されているため，x > 200 mm の領域でシミュレーションより実験値が大きくなっている．また上流ミラー周辺で急激に磁場が変化しているのは，ミラーの偏極を保持するためのネオジム磁石の漏れ磁場の影響であると考えられる．
この実験から，ガイドコイルの領域内での磁場の一様性は，y, z 方向には 50 mm で ±2.5% の範囲に収まっていることがわかった．また x 方向には，電流 3.0 A の条件ではミラーから 0.35 m の地点で漏れ磁場の影響が 10% 以下になるということがわかった．このミラーの漏れ磁場の影響を小さくするためには，ガイド磁場を大きくすることで漏れ磁場を相対的に小さくすることが有効だと考えられる．また，上流ミラーと下流ミラーの間で z 方向の磁場がゼロになる点が存在する場

27

合，中性子ビームのスピンの偏極が維持されないため，このセットアップで実験を行う場合はガイ
ドコイルの電流を 1.5 A 以上に設定する必要があるとわかった．

3.5 予備実験：PSD のチャネルと位置の対応
3.5.1 ビーム照射実験
PSD の位置チャネルと実際の位置の対応を調べるため，PSD の一部を中性子遮蔽体であるボロ
ンゴムで隠して中性子ビームを照射する実験を行った．

図 3.11: PSD をボロンゴムで遮蔽した様子．

図 3.11 のように PSD を 3 本並べ，ビームアライメント用のレーザーポインターが示す点の周辺に遮蔽体を貼り付け，中性子ビームを照射した．また PSD を動かさずに遮蔽体を取り外し，同様にビームを照射した．
これによって得られた中性子の位置分布のうち， PSD1 のものを図 3.12 に示す．図中の (A) から (E) は図 3.11 の遮蔽体の各端点と対応する．この測定結果から，端点 (A) から (E) に対応する
チャネル数を読み取った結果が表 3.1 である．表中の ch/mm は，位置の間隔から 1 mm に相当するチャネル数を計算したものである．また表中の LP は，1 mm に相当するチャネル数と，端点とレーザーポインターの間隔から，レーザーポインターの位置に対応するチャネル数を計算したものである．600 mm の PSD を 10 bit (1024 ch) で読み出した場合，理想的には 1.71 ch/mm となるので，概ね正常に動作していると考えられる．
表 3.1: 遮蔽体の実際の位置とカウント数の変化のチャネル数

(A)

(B)

(C)

LP

(D)

(E)

ch/mm

y [mm]

66.2

36.2

20.0

0.0

-25.0

-45.0

PSD1 [ch]

548

600

630

668 ± 1715

750

1.83 ± 0.02

PSD2 [ch]

568

621

650

691 ± 1738

778

1.90 ± 0.03

PSD3 [ch]

606

660

692

735 ± 2784

829

2.01 ± 0.04

これによって，ビームのピーク位置がレーザーポインターと一致するようアライメントすること28with boron rubbers
without boron rubbers

800
700

Counts

600
500
400
(E)

300
200
100
0
450

500

(A)

(B) (C)

550

600

650

(D)
700

750

800

850

PSD Channel
図 3.12: PSD1 の一部を遮蔽した時とそうでない時の中性子の位置分布．

ができるようになった．

3.6 ビームアライメント
実験で用いる 2 つのミラー (polarizer, analyzer) は，中性子ビームの入射角に対する条件が厳
しく，また検出器は単純に中性子の計数するものであるため，スピンによる選択や反転を行った中性子を空間的に分離する必要がある．そこで，ビームシミュレーションによる遮蔽体およびミラーの設置位置の検討を行い，実際の中性子ビームに対して PSD を用いて空間分離を確認した．

3.6.1 ミラーによる反射条件
2.3 節で述べたように，中性子の磁気モーメントを利用して片方のスピンのみを選択的に反射するための装置が磁気多層膜ミラーである．
実験においてミラーを使用した状況の概念図が図 3.13 である．熱中性子のエネルギーはミラーの磁気ポテンシャルよりも比較的大きいため，選択的全反射の条件を満たすためには反射面に対してかなり浅い角度で入射させる必要がある．Fe-Si 多層膜は 1 層あたりの厚さが 96.5 Å から 1000

Å までの異なる厚さの層が重ねられている．
今回の実験で使用した中性子ミラーはミラーの反射面に対して 1◦ で侵入した中性子を反射するよう設計されている．反射面の多層膜は厚さ 1 mm の基盤の片面に形成されており， analyzer

29

䝯䞁䝖
PPîᯛ

䛺⌮⏤䠖䞁೫ᴟ䜢⾜䛖䛯䜑

ᗘ䛜㐺ษ䛷䛺䛔䛸䠈䝇䝢䞁೫ᴟ䛥䜜䛺䛔䠊䛷ධᑕ



PP

୰ᛶᏊ䛾䜏䜢✵㛫ⓗ䛻ศ㞳䛩䜛䛯

PPྥ䛝䛻㛵ಀ䛺䛟୰ᛶᏊ䛾ಶᩘ䜢ᩘ䛘䜛䛾䛷䠈
図 3.13: ミラーを使用した状況の概念図ᛶᏊ䛸㏱㐣䛧䛯୰ᛶᏊ䜢✵㛫ⓗ䛻ศ㞳䛧䛡䛜᮶䜛✵㛫䛻᳨ฟჾ䜢䛚䛛䛺䛡䜜䜀䛺䜙䛺䛔䠊⾲㠃 PPîPP
䛛䜙䜋䜌➼᪉ⓗ䛻ᨺฟ䛥䜜䠈ᣦྥᛶ䛜䛺のみ基盤の反対側の面に中性子吸収剤である
Gd を含む塗料が塗布されている．これによって，
analyzer で反射されなかった中性子は吸収されるようになっている．

より多くの中性子を反射できるよう，この基盤を 50 枚重ねている．ただし，ミラーは反射面の䛷䝇䝸䝑䝖䜢タ⨨䛧䠈䝡䞊䝮䛾᪉ྥ䜢ไ㝈
裏側から入射した中性子も反射するため (背面反射)，最も効率よく中性子を反射するためには入射䛴䛡䜛䛯䜑䠈䝡䞊䝮䝅䝭䝳䝺䞊䝅䝵䞁䜢ᐇ᪋䛧䛯䠊
角を 0.82◦ にする必要がある．これ以上の角度では 1 回反射された中性子が再度背面反射し，また䛪䛻䜰䝷䜲䝯䞁䝖䛷䛝䜛䜘䛖䠈⮬ື䝇䝔䞊䝆䜢㐲㝸᧯స䛧䛯䠊
これ以下の角度では適切な入射角でもミラーに当たらない経路が生じる．実験では，反射面に対して 0.75◦ で入射するようアライメントした．


3.6.2 ビームシミュレーション
実際に中性子ビームを用いて位置分布を測定するためには，バックグラウンドに対してビームの中性子を識別するために 5 分程度のビーム照射を行う必要がある．ビームタイムが限られている中でアライメントにかける時間を短縮するため，中性子の軌道を計算機でシミュレーションして遮蔽体やミラーの最適配置を検討した．
シミュレーションの条件は以下の通りである．

• ビームは遮蔽体の表面全体から等方的に出射される．
• 遮蔽体は完全に中性子を遮蔽する．
• ミラーは適切な入射角の中性子を 40% 以下の確率で反射する．
• 反射確率は，ビームから見たミラーの面積に比例する．
• 上流ミラーの背面反射および下流ミラーの吸収層の影響は考慮しない．
実際に検出に用いる HeM は直径 1 インチ (25.4 mm) であるため，analyzer で反射されたビームを他のビームから最低でも 20 mm 程度分離する必要がある．さらに，実際に遮蔽体やミラーを置くことができる場所には制約があるため，それらを考慮して最適配置を検討した．
このビームシミュレーションに対して，実際の遮蔽体とミラーの配置を入力したものが図 3.14である．実験前の検討では，セットアップを設置する防振台が取り出し孔に対して平行に設置されていると考えていたため，2 つのミラーの間を通るビームがそれに平行 (図の水平方向) になるよう

30

150

100

50

0

-50

-100
0

1000

2000

3000

4000

5000

図 3.14: 実際の機器配置でのビームシミュレーションを行った様子．左側がビーム軌道を，右側が検出器の位置での中性子のカウント数を表している．

な配置を検討していた．しかし，実際には取り出し孔に対して防振台が 2.00◦ 東側を向いていたため，それに合うような配置にした．

3.6.3 PSD で検出
実際に中性子ビームを照射して， PSD で位置分布を測定しながらミラーのアライメントを行った．アライメントの手順は次の通りである．

1. ミラーをビーム軌道から外し，レーザーポインターの位置とピークの位置のずれを観測
2. レーザーポインターの位置にピークが来るように遮蔽体の位置を調整
3. 上流ミラーをビーム軌道上に設置し，角度を調整
4. 下流ミラーをビーム軌道上に設置し，角度を調整
ただし，遮蔽体の位置調整中に行ったビームシミュレーションから，スリット幅を狭めないと HeMでの測定に十分な分離が得られないことがわかったため，スリット幅を 40 mm から 15 mm に変更している．
ビーム実験中は放射線防護のため測定室内に立ち入ることができないことから，ミラーおよび後述する HeM の位置を遠隔操作できるよう，シグマ光機製自動ステージを使用した．この自動ス31

テージはステッピングモータによってステージを平行移動または回転させることができ，移動量はパルス数に比例する．また，自動ステージのコントローラである HIT-S を Ethernet によってKUANS の LAN に接続することで，同じ LAN に接続したコンピュータから遠隔操作できるようにした．各ステージを使用した状況は表 3.2 である．なお，移動量は予備実験によって測定した値であり，回転ステージの精度はメーカー公称値である．
表 3.2: 自動ステージの使用状況

Ch.

設置場所

移動方向

型番

移動量

備考

2

HeM

y 軸平行移動SGSP-20-85

25000 pulse/mm

3

Polarizer

z 軸回転

SGSP-60YAW-0B

10000 pulse/degree

精度 0.1◦4

Analyzerz 軸回転

SGSP-40YAW

8000 pulse/degree

精度 0.1◦

5

Polarizer

y 軸平行移動SGSP-33-100

50000/3 pulse/mm

6

Analyzery 軸平行移動SGSP-20-85

50000 pulse/mm

正式な型番不明

これによって得られた各過程での位置分布の変化が図 3.15 である．

CountsDefault slit 40 mm
Aligned slit 15 mm
Polarizer aligned
Analyzer aligned

reﬂected by polarizer

reﬂected by analyzer

−100

−50

0

50

100

150

y [mm]
図 3.15: PSD1 で測定したアライメントの各過程での中性子の位置分布．スリット幅 40 mm の場
合のみ，カウント数を 37.5 % に換算している．

32

3.7 バックグラウンドと規格化
これ以降の実験では，異なる条件でビームランを行い，それらの計数を除算した比を解析する．
このとき，バックグラウンドの減算や，ビーム照射時間とフラックスの違いに応じた粒子数規格化
を正しく行わなければならない．本節では，以降の実験で用いたバックグラウンド処理と粒子数規格化の方法を説明する．

3.7.1 バックグラウンド処理
今回の実験での主なバックグラウンドの要因は以下のものが考えられる．

• 宇宙線などの環境放射線• 測定室内で散乱された中性子
宇宙線などの環境放射線は，実験に用いた 3 He 比例計数管が中性子だけでなく γ 線などが侵入した場合にも検出してしまうことに由来する．ただし，3 He は熱中性子に対する捕獲断面積が他の物質に比べて大きく，また気体は γ 線に対する感度が低いことから，実験に用いた検出器は環境放射線の影響を低減できていると言える．
測定室内で散乱された中性子は，中性子源から発生したあと測定室内のあらゆる場所で散乱または反射されて検出器に入ることに由来する．これは，減速材から検出器までの直線軌道上に遮蔽体が配置されていても，加速器のパルスからある時間分布を持って検出されることから確認できる．
この分布は減速材からの熱中性子を直接観測した時にみられる Maxwell 分布とは異なっていることから，高速中性子がさまざまな長さの経路を通って検出されていると考えられる．今回の実験では，ビームアライメントの方向制限用の遮蔽以外にも中性子遮蔽体であるホウ素入りポリエチレン
ブロックを積み，また HeM のビーム照射方向以外からの中性子を遮蔽するために曲げた金属板を貼り付けて，測定室内散乱による影響の低減をはかった．
以上を考慮して，実際のビーム測定のデータのうち以下の全ての条件を満たす約 83 分間のもの
をバックグラウンド測定とした．

• HeM での測定である (PSD ではない)• 2 つのミラーで透過・反射したビームがいずれも直接到達しない位置に HeM が設置されている 以上の波長域で単調減少である• ミラーで反射可能な 2.48 A
いずれの場合も他のビーム測定での HeM の位置から 50 mm 以内であり，環境放射線および測定
室内散乱の影響はビーム測定と同程度であると考えられる．

33

3.7.2 フラックス強度規格化
中性子の計数の変化から確率の変化を観測するためには，分母となる総中性子数を知らなければならない．そこで，中性子源のフラックス強度を LiM で測定し，その計数で規格化する手法を用いた．

LiM は中性子源の減速材から約 1.2 m の位置に設置されている 6 Li 比例計数管で，後段のセットアップに関係なく減速材からの中性子を観測する．そのため，LiM での計数は加速器のコンディ
ションなどによって変化する中性子フラックス強度に比例しているとみなせる．また， HeM のデータ収集と同時刻同時間に LiM で計数することによって，ビーム照射時間による規格化よりも正確な規格化を行うことができる．

400
350

LiM count per sec

300
250
200
150
100
50
0
0

10

20

30

40

50

60

70

80

Run number
図 3.16: ビーム実験ごとの LiM のカウント数の変化

実際に計測した単位時間あたりの LiM の計数の変化を図 3.16 に示す．図からわかるように，その場で強度低下が指摘された No.28 を除いてもフラックス強度が最大 ±10% 程度変化している．
これでは強度一定とみなしての時間規格化は不適切であると考え，LiM カウント数による規格化を行った．またこの規格化は，規格化前のデータとの比較が容易に行えるよう No.35 の 186,082
カウント (591 秒間) を基準とした．

34

3.8 共鳴条件の π フリップ
理論パートからの話の受け継ぎ．
実験的には，フリッパーコイル 1 つに対して操作することができるパラメーターは，コイルに加える交流電圧の振幅と周波数 (振動数) の 2 つである．そこで，振幅と周波数をそれぞれ変化させた場合に中性子のスピン反転率がどのように変化するかを調べる実験を行い，反転率が最大となる条件を求めた．

3.8.1 フリッパーの作る磁場
フリッパーコイルの作る磁場を，Poisson Superﬁsh でシミュレーションした結果が図 3.17 である．ただし，コイルの電流値は 1.0 A とした．このコイルは直径 90 mm，長さ 30 mm ，30 回巻きのソレノイド コイルであり，対称な条件からコイル自体は図の 0 mm から 15 mm の場所にある条件で行ったが，図からわかるようにその 3 倍程度の領域には最大値の半分以上の大きさで漏れ出していることがわかる．

0.8
0.7

|Bx | [mT]

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0

50

100

150

200

x [mm]
図 3.17: フリッパーコイルが作る x 方向の磁場のシミュレーション結果

また，このシミュレーションから 1 つのフリッパーコイルでの作る磁場 Br の積分値はZ

Br (x) dx = 3.42 × 10−5 (T · m)
35

(3.8.1)

と求まった．これはコイルの電流値に比例するので，この値から目的の波長の中性子のスピンをあ の中性
る角度だけ回転させるのに必要な電流値を計算することができる．例として，波長 3.42 A
子を π フリップするのに必要な磁場の積分値は 3.97 × 10−5 T · m であるので，フリッパーコイルには電流 I = 3.97/3.42 = 1.16 A を振幅とする交流電流を流せばよいとわかる．
また，このフリッパーは直径 90 mm, 長さ 30 mm なので長岡計数は KN = 0.4292 であり，これをもとにインダクタンスは L = 102.9 µH と計算できる．電気抵抗を 0 とすると，実験で使用した周波数 f = 18.7 kHz でのインピーダンスはZ = ωL = 2πf L = 12.08 (Ω)(3.8.2)

である．よって，このコイルに振幅 1.16 A の交流電流を流すときには，振幅 14.02 V の交流電圧をかければ良い．

3.8.2 振幅による変化
フリッパーコイルで生じる交流磁場の振幅は，コイルを流れる電流の振幅に比例する．フリッ
パーコイルが理想的なコイルであるとすると，コイルを流れる交流電流の振幅はコイルに印加する
交流電圧の振幅に比例するので，交流電圧の振幅を操作することによって，コイルの交流磁場の振幅を操作することができる．また交流磁場の振幅を変化させると，スピン反転条件を満たす中性子の波長が変化する．

 以上の中性子しかミラーで反射できないことから今回の実験セットアップでは，波長が 2.48 A
中性子の波長分布が偏っているため，最もカウント数が多い波長の中性子を利用するためには交流
電圧の振幅を適切に設定することが必要である．そこで，交流電圧の振幅を変化させて波長に対す
るスピン反転率の変化を観測した．
実験で用いた交流電圧はファンクションジェネレーターを信号源として，アンプで増幅してからフリッパーコイルに供給した．また電圧振幅の操作は，ファンクションジェネレーターでの交流電圧の最大ピークと最小ピークの差の電圧差 Vpp (Voltage peak to peak) を変化させることで行い，1.40 V と 1.82 V の 2 通りで実験した．
2 通りの振幅の交流磁場を印加した時の各波長での中性子のカウント数は図 3.18 のようになった．交流磁場を印加しなかった noﬂip での波長分布に対して，交流磁場を印加した 1.40 Vpp, 1.82

Vpp はいずれも熱中性子のカウント数が減少していることがわかる．また， background に対し
 周辺では，1.40 Vpp よりも 1.82 Vpp の方が大きく減て noﬂip の場合のカウント数が多い 3.1 A
少していることがわかる．これは，フリッパーでスピンが反転した中性子が analyzer で反射されなかったため，検出されなくなったことを表している．
この実験結果から，各波長でのスピンの非反転率を計算したものが図 3.19 である．スピン反転
した中性子は検出されなくなるので，検出された中性子数を (background を差し引いて) noﬂip の場合の中性子数で割ることによって求めた．また，スピン非反転率が最小となる付近で 2 次関数

f (x) = A(x − B)2 + C によってフィットし，反転率最大 (非反転率最小) となる波長を求めた．その結果が表 3.3 である．

36

300

backgroundnoﬂip
1.40 Vpp
1.82 Vpp

250

Counts

200

150

100

50

0
0

1

2

3

4

5

6

7

Wavelength [Å]
図 3.18: 振幅を変えた場合の波長に対するカウント数の変化 (18.2 kHz)

表 3.3: スピン非反転率のフィッティング結果

ﬁtting range [Å]A

B [Å]

C

1.40 Vpp

3.6 - 4.6

1.37 ± 0.29

4.052 ± 0.027

0.135 ± 0.028

1.82 Vpp

2.6 - 3.6

0.66 ± 0.40

3.161 ± 0.080

0.243 ± 0.037

 の中性子のスピンを π-ﬂip させるには 1.82 Vpp が最適
これによって，カウント数の多い 3.1 Aであるとし，次の周波数による変化を観測する実験ではこの電圧振幅を用いる．

3.8.3 周波数による変化理論で示したように，ガイド磁場の大きさと交流磁場の周波数が共鳴条件を満たすとき，スピンの反転率が最大になる．そこで，交流磁場の周波数を変化させてスピン反転率を測定する実験を行った．
理想的なコイルの場合，コイルを流れる電流 I と印加する電圧 V は

V = −L37

dI
dt(3.8.3)

1.4

1.40 Vpp
1.82 Vpp

Unﬂipped neutron ratio

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0

1

2

3

4

5

6

7

Wavelength [Å]
図 3.19: 振幅を変えた場合の波長に対するスピン非反転率の変化 (18.2 kHz)の関係にあり，交流電圧 V = V0 eiωt を印加した場合の電流の振幅 I0 は

|I0 | =V0
ωL

(3.8.4)となる．よって振動数 ω を変化させた場合には，電圧振幅 V0 を変化させなくても電流振幅 I0 は変化してしまうことになる．このとき前節で扱ったスピン反転率最大となる波長も変化することになるが，今回は波長の変化が 10% 程度なら十分なカウント数があり，基準となる波長を選び直すだけで良いのでこの影響を無視する．
振幅を前節で求めた 1.82 Vpp に固定し，周波数を 17.6 kHz から 19.9 kHz に変化させて各波長での中性子を計数した．これを前節と同様に 2 次関数でフィッティングし，頂点に相当する C を
最小非反転率として比較した結果が図 3.20 である．
最小非反転率 C は共鳴条件を満たしている場合に最小となるので，これを 2 次関数で ﬁt した結果， 18.62 ± 0.24 kHz が反転率最大となることがわかった．しかし，共鳴条件から考えるとこれはガイド磁場が 0.636 mT の場合に相当するものであり，実際の磁場測定の結果 (図 3.10) から考えると大きい値となっている．本来ならもっと低い周波数まで測定するべきだったが，簡易的な磁場測定ではフリッパー周辺でのガイド磁場が 0.64 mT となっていたことから，現場ではこれに気づかず実験を進めてしまった．これによる影響は後に論じる．
以降の実験では，この時に反転率が最大だった 18.7 kHz を用いる．

38

0.28

Minimum unﬂipped ratio (C)

0.26
0.24
0.22
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
17.5

18

18.5

19

19.5

20

Frequency [kHz]図 3.20: 周波数を変化させたと場合のスピン非反転率の変化 (1.82 Vpp)

3.8.4 下流側
下流側のフリッパーでも同様に，特定の波長で反転率が最大となるための振幅と周波数を求めなければならない．ただし，フリッパーの位相差を用いた干渉実験を行うためには，同じ周波数で同じ波長が反転率最大となっていなければならない．そのため，共鳴条件を満たすために下流フリッ
パーにはガイド磁場補正用コイルがあり，これによって上流フリッパーと同じ周波数で共鳴条件を満たすようにガイド磁場を補正する必要がある．
実験装置の配置および構造は対称であることから，理想的には同じ条件で同様の結果が得られると考えられるため，まずはガイド磁場補正用コイルを用いずに上流フリッパーと同じ条件でスピン非反転率を測定した．その結果が図 3.21 である．
これによって既にほぼ同じ波長で同程度に共鳴条件が満たされていると判断したため，以降の実
験では下流フリッパーは上流フリッパーと全く同じ条件を用いる．また，このとき上流と下流のフ であった．
リッパーでの反転率最大となる波長の平均が 3.27(3) A
3.8.5 3π フリップ
これまでの結果から，スピンを反転させることには成功した．実験時にはこれで π フリップに成功したと考え次の位相干渉実験に進んだが，後日行った解析で計算し直したところ，これが π フ

39

1.4

upstream ﬂipper
downstream ﬂipper

Unﬂipped neutron ratio

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0

1

2

3

4

5

6

7

Wavelength [Å]
図 3.21: 上流フリッパーと下流フリッパーの波長に対する非反転率

リップではなく 3π フリップであったことが判明した．
実際，3.8.1 節で計算した π フリップさせるためにコイルに印加すべき交流電圧振幅は 14.02 Vであった．これに対し，スピン反転実験では Vpp が 1.82 V，すなわち振幅 0.91 V の交流電圧を，アンプで 50 倍に増幅して振幅 45.5 V で印加していた．これは π フリップの場合の約 3 倍で，当然スピンの回転角も 3 倍すなわち 3π フリップとなる．
このようなミスが発生した原因は，

1. フリッパーの磁場シミュレーションが円筒対称モードになっていなかったため，交流磁場を約 0.8 倍小さく見積もっていた

2. フリッパーコイルのインダクタンス計算に間違った数値を使用し，インダクタンスを約 1.5
倍大きく見積もっていた

3. コイルの交流電流の振幅を一定にしなければならないのに，電圧振幅を一定にしたまま周波数を変更していた

4. 使用したアンプの不具合により，増幅率を操作盤で 100 倍と設定しても実際は 50 倍しか出力されていなかったの 4 つの要素がある．1. と 2. は単純な計算ミスで，チェックが不十分であったために起きた．3.
については実験中にはフリッパーコイルの配置変更やガイドコイルの電流変更など，フリッパーコ

40

イルの位置でのガイド磁場の強さが想定より大きく変化するセットアップ変更を行っており，それを考慮していない実験手順のまま実行したために起きた．4. については実験後に計算の数値と一致しないことからアンプの増幅率測定を行って判明したが，これを予備実験として本実験前に行っていれば防ぐことができた．

 で反転率が最大となるのは π
なお，図 3.19 の 1.82 Vpp を cos でフィットすると，目的の 3.2 A
ではなく 3π であることがわかる*7 ．ただ，実験現場ではバックグラウンドを差し引いていなかったため，このような明らかな結果を見ることはできなかった．


図 3.22: 1.82 Vpp のスピン非反転率に対し余弦関数をフィットした結果 (ﬁtrange: 2.6-6.6 A,
ﬁt-p = 0.71)

以上のように，今回の実験では π フリップを目的としていたものの，ミスによって 3π フリップになってしまっていた．しかし，3π でも反転量を半分にすれば 3π/2 で重ね合わせになり，干渉を起こすことはできる．

3.9 3π/2 フリップによる位相干渉
π フリップの際にフリッパーコイルに印加していた交流電圧を 1/2 にすることによって，スピン期待値の回転も 1/2，すなわち 3π/2 フリップとなる．そこで，上流と下流のフリッパーで共に3π/2 フリップして重ね合わせる干渉実験を行った．
フリッパーの交流電圧の信号源であるファンクションジェネレーターは，2 つの出力の位相差*7 なお，波長に対するスピン非反転率の理論値は正確には cos ではないため，このフィットはあくまで特徴を観察するためのものである．

41

を操作することができるので，その位相差を変化させながらスピン非反転率を測定した．前節までと同様にカウント数を noﬂip の場合で割って波長に対するスピン非反転率を求め，2 次多項式


2


に
f (x) = A x − λ̃ + B x − λ̃ + C の軸 λ̃ を π フリップで反転率最大であった波長 3.29 A
固定してフィットし，切片 C の値をスピン非反転率とした．

Unﬂipped neutron ratio

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0

45

90

135

180

225

270

315

360

Phase shift [degree]
図 3.23: フリッパーコイルの位相差を変化させたときのスピン非反転率の変化

これによって求めたフリッパーの位相差に対するスピン非反転率は，図3.23 のようになった．


2π+ C で ﬁt した結果，A, B, C は表 3.4 のようになっ360
た．また，このときの p-value は 0.810 であった．
また，これを f (x) = A cos (x − B)

表 3.4: 実験値を ﬁt して得られたフィッティングパラメーター

parameter

value

A

0.427 ± 0.021

B

152.9 ± 2.7

C0.581 ± 0.015

42

4 考察
4.1 シミュレーション
今回,Br > Bz となってしまい回転磁場による近似の雲行きが怪しいということで, 数値的に実験結果を説明することを試みた.

4.1.1 root-sim
root-sim は (2.1.16) 式を用いたシミュレーションである. 即ち,E ≪ V のもとでの静磁場回りにスピン期待値が回転するといった描像を, 各点各時刻で中性子が感じる磁場を静磁場であるとして適用する. シミュレーションする領域は上流ミラーと下流ミラーの間の約 1 m ほどの経路であり,1000 分割*8 して実験データのフィットや磁場シミュレーションで得た各点での磁場ベクトルを用いて各点でのスピン期待値を計算していく*9 .
まず, ガイド磁場については実験で測定したデータを多項式 (内側で 4 次, 外側で 5 次) でフィッ
トし, そのフィット結果をガイド磁場の値として用いた. フリッパーコイルによる磁場ついては測定することができなかったため, 多数の円電流を並べていく*10 ことで発生する磁場を数値的に計算した. その際, 後述する磁場の y, z 方向の分布による影響を評価するため,3 次元的に磁場分布を算出した. 下図は 3π フリップしたと思われる実験データの電流値での磁場分布である*11 .

*8 分割数を 10000 まで大きくしてもそれほど計算結果に変わりはないため, シミュレーションを回す時間を短縮するた

めに分割数を 1000 に選んだ.
*9 2 成分スピノールの場合, スピン期待値から状態を再構成することができるのでこちらの方が何かと便利*10 この描像が正しいかどうかの確認のため, 隣の電流とつながるように電流の経路をずらして計算してみたが変化はほぼなかった.
*11 電流値は正確な値がわからなかったため, 上流フリッパーのみ, 下流フリッパーのみで 3π フリップを観測した際のデータに合うように電流値を微調整した.

43

図 4.1: コイル面に垂直な方向の磁場分布

図 4.2: コイル面に平行な方向の磁場分布

高さは磁場の強さ [mT],z はコイル面との距離 [mm],r はコイル中心軸からの距離 [mm]

この磁場分布を用いて下流ミラー入り口でのスピン期待値の z 成分を波長ごと, 振動磁場の位相差ごとに計算し, 実験データと比較していく. シミュレーション結果が 0(σz = −1 に対応) にタッ
チしてデータと合わなくなってしまうため, 後述のスリットやミラーの大きさによるビームの広がりを考慮に入れることでその問題を回避した. また, 様々なパラメータを変えつつ比較していくとガ
イド磁場に 0.055 mT 加えたときにシミュレーション結果と実験結果がよく合うことが分かった.
以下にその時のシミュレーション結果と実験でデータの比較を示す.

44

図 4.3: 位相差 0°

図 4.4: 位相差 45°

図 4.5: 位相差 90°

図 4.6: 位相差 135°

図 4.7: 位相差 180°

図 4.8: 位相差 225°

図 4.10: 位相差 315°

図 4.9: 位相差 270°4.1.2 分布のある静磁場に対する位相差z 方向に磁場 Bz (x) がかかっている場合の Schrödinger 方程式は次式のようにあらわせる.
∂ℏ2 ∂ 2iℏ ψ = −+ |µn |Bz (x) ψ∂t2m ∂x2
ここで,x = vt が成り立つような領域では ψ = Aeikx e− ℏ (Et+|µn |i(4.1.1)∫t

Bz (x′ )dt′ )

q
(k =

2mE
ℏ2 ) とすると上式を満たすことがわかる.





Z t
∂
′
′
(左辺) =
Et + |µn |Bz (x )dt
ψ∂t
= (E + |µn |Bz (x))ψ

 2 2
ℏ k
+ |µn |Bz (x) ψ(右辺) =
2m= (E + |µn |Bz (x))ψ

(4.1.2)(4.1.3)(4.1.4)(4.1.5)

B の符号が up,down で異なることに注意すると磁場分布による up 成分と down 成分の位相差は次式で表せる.(t = 0 での位相差を 0 とした)

45

Z
Z
2|µn | x
2 x′′
Bz (x )dt =Bz (x )dx =ωz (x′ )dx′
(4.1.6)
ℏv 0
v 0
0
RL
結局, 一定の静磁場の時に比べると ωz L を 0 ωz (x)dx で置き換えればよいことがわかる.
|µn |
2
ℏ

Z t

′

′

4.1.3 回転磁場の空間依存性
共鳴条件 (ωs = 2ωz ) 下, 回転系でのスピンは静磁場 Br (x) に対するラーモア歳差運動をしている. 前節より, フリッパーコイルを通して Ω フリップさせるには v2

Rx0ωr (x′ )dx′ = Ω となればよい.
今回の 3π/2 フリップの場合の振動磁場を回転磁場での近似が使えると仮定して v2Rx0ωr (x′ )dx′

を上流フリッパーのみの場合に 3.2 Å(実験データからは 3π/2 フリップしていると思われる領域)の中性子に対して計算してみると, フリッパーコイル中心を通るとしたときは 1.61π, フリッパー中
心からの z 方向ズレが 10, 20, 30 mm の場合にはそれぞれ 1.62π, 1.66π, 1.74π であった.

図 4.11: 入射位置の z 方向のズレによるスピン回転の変化

3π/2 からのズレをみると, やはり回転磁場による近似からずれることがわかる. また, 回転磁場近似が成り立っているときでも, ビームの広がりによる影響を受けることも推察される. シミュレー
ションでも同様に 3.2 Å の中性子に対して z 方向のスピン期待値推移を計算した結果, 以下のグラフを得た. 縦軸はスピン期待値の z 成分, 横軸は上流ミラー端からの距離である. 黒線がコイル中央を通った場合, 赤線が 30 mm ズレた場合を表している.

46

図 4.12: 上流フリッパーのみ

図 4.13: 干渉実験

上流フリッパーのみの場合のシミュレーション結果から 30 mm のズレによるスピン期待値の角度変化を計算したところ, 球座標の θ 方向では 0.05π 程であった*12 .
以上のことから,TOF(波長) は同じでも異なる角度にフリップされた状態が検出器に届くことになるため, それらが平均されて干渉曲線が 0 にタッチしなくなる. このように, フリッパーコイルによる振動磁場の空間依存性が干渉実験に影響を及ぼしていたと思われる.

4.1.4 回転磁場がガイド磁場に垂直ではない場合
共鳴条件 (ωs = 2ωz ) 下, 回転磁場が y 軸回りに δ(≪ 1) 傾いた状況を考える.(フリッパーコイル
外部の中心から外れた場所の状況)








cos δ cos (ωs t)

cos (ωs t)









Br (t) = Br  sin (ωs t)  → Br sin (ωs t)sin δ cos (ωs t)
0
z 軸回りに角速度 ωs で回転する系で見ると

cos (ωs t) sin (ωs t) 0
cos δ cos (ωs t)






Br (t) = Br  − sin (ωs t) cos (ωs t) 0  sin (ωs t)



0
0
1
sin δ cos (ωs t)
1 − (1 − cos δ) cos2 (ωs t)= Br  (1 − cos δ) sin (ωs t) cos (ωs t) sin δ cos (ωs t)*12 ベクトル自体のなす角ならば 0.1π 程

47(4.1.7)(4.1.8)(4.1.9)更に y 軸回りに π/2 回転させると,− sin δ cos (ωs t)Br (t) = Br  (1 − cos δ) sin (ωs t) cos (ωs t) 

1 − (1 − cos δ) cos2 (ωs t)(4.1.10)

Schrödinger 方程式は




c1
d  c1 = |µn |(Br · σ) 
iℏ
dt
c2
c2


c˙1
 = ℏωr [− sin δ cos (ωs t)σx + (1 − cos δ) sin (ωs t) cos (ωs t)σy
iℏ 
c˙2


c
1

+ {1 − (1 − cos δ) cos2 (ωs t)}σz ] 
c2






(4.1.11)(4.1.12) c1   e−iωr t a1 =
 とおくと,

 

iωr t
c2
e
a2

（左辺）= ℏωr σz e−iωr t a1
e

iωr t

a2





 + iℏ e−iωr t a˙1
e

iωr t




(4.1.13)

a˙2

よって


iℏ 

e−iωr t a˙1eiωr t a˙2 = ℏωr [− sin δ cos (ωs t)σx + (1 − cos δ) sin (ωs t) cos (ωs t)σye−iωr t a1−(1 − cos δ) cos2 (ωs t)σz 

(4.1.14)eiωr t a2a˙1 (t) = −iωr [−(1 − cos δ) cos2 (ωs t)a1 (t)+e2iωr t {− sin δ cos (ω t) − i(1 − cos δ) sin (ω t) cos (ω t)}a (t)]
s

s

s

2


a˙2 (t) = −iωr [(1 − cos δ) cos2 (ωs t)a2 (t)+e−2iωr t {− sin δ cos (ωs t) + i(1 − cos δ) sin (ωs t) cos (ωs t)}a1 (t)](4.1.15)
この微分方程式から実験室系で状態がどう振舞うかを知りたければ数値計算で解を求めてユニタリ変換をすればよい. ここでは定性的な振る舞いを知るために両辺を積分して次のような近似を施す(一次の摂動計算).

48





a1 (t)










a2 (t)








Z t
= a1 (0) − iωr[−(1 − cos δ) cos2 (ωs t′ )a1 (0)02iωr t′+e
Z t= a2 (0) − iωr{− sin δ cos (ωs t′ ) − i(1 − cos δ) sin (ωs t′ ) cos (ωs t′ )}a2 (0)]dt′[(1 − cos δ) cos2 (ωs t′ )a2 (0)0′+e−2iωr t {− sin δ cos (ωs t′ ) + i(1 − cos δ) sin (ωs t′ ) cos (ωs t′ )}a1 (0)]dt′(4.1.16)

更に簡単のため，δ について 1 次の項までとってくると
a1 (t)a2 (t)ωrωs sin (ωs t)e2iωr t + 2iωr cos (ωs t)e2iωr t − 1 a2 (0)224ωr − ωsωr
ωs sin (ωs t)e−2iωr t − 2iωr cos (ωs t)e−2iωr t − 1 a1 (0)= a2 (0) − iδ 224ωr − ωs
= a1 (0) − iδ

(4.1.17)
この結果に y 軸回りに π/2 回転を表すユニタリ変換を作用させてやり,up 成分のノルムを計算してみると下図のようなグラフを描ける.

図 4.14: 計算結果のプロット

縦軸は up 成分のノルム, 横軸は磁場領域での滞在時間 t である. パラメータは ωs = 3, ωr = 1,

δ = 10◦ と，摂動による影響が結構大きくなるようにとったが, 図からわかるようにほぼ cos の形を保っているため, 振動磁場の角度分布による観測への影響は小さいと考えられる.

49

(補足)3π フリップを見た実験では偶然ωs≈ 2ωr だったので, この影響を摂動で扱えな12.8 G 相当
15 G 相当い領域の話になっている*13 . もしかしたらこの実験に限れば影響は大きいのかもしれない.

4.2 位相の横ずれシミュレーションの結果から，実験によって得られたデータをよく再現するのはガイド磁場の測定値から 0.055 mT を加算したときであるということがわかった．しかし，これは磁場測定での測定誤差の 2 倍以上であり，単に測定誤差として考えるには疑問が残る．そこで，シミュレーションから得られた 0.055 mT の加算が妥当かどうかを考えるため，実験によって得られた位相の横ずれ(表 3.4 の B) について考察した．
1 + cos (∆χ + 2ϕ)の干渉縞が観測され，∆χ を変2化させて得られた実験結果が図 3.23 であった．ここで，位相の横ずれ B は理論値の 2ϕ すなわち1 章で述べたように，今回のスピン干渉では

ガイド磁場による位相の回転に対応する:

Z
ϕ=Z
ωz dt =dtµnµn
Bz (x) dt =
ℏ
dx
ℏv

Z
Bz (x)dx.

(4.2.1)

つまり，B はガイド磁場の強さに関する情報を持っている．ただし，今回の実験では ϕ に対して

±nπ の違いであれば同じ干渉縞になるということに注意が必要である．
4.2.1 ∆χ のオフセット
まず ϕ について考える前に，∆χ のオフセットについて考える．∆χ のオフセットになる要素としては，

1. ファンクションジェネレータの位相の零点のずれ
2. 飛行時間によってつく位相差の 2 つが考えられる．
ファンクションジェネレータの位相の零点のずれについては，ファンクションジェネレータから出力された信号を測定室内のアンプの直前でオシロスコープによって観測することによって，直接測定した．その様子が図 4.15 である．これにより，ファンクションジェネレータの零点のずれは0.667π rad であることがわかった．
次に飛行時間によってつく位相差を考える．2 つのフリッパーの中心間距離は 622 mm で，干渉実験に用いた中性子の波長は TOF から 3.274 ± 0.033 Å を選んでいたことから，中性子がフリッ
パー間を飛行するのにかかる時間は 514.9 ± 5.2 µs である．この間に，周波数 18.7 kHz の高周波が回る位相は18.7 × 103 × 2π × (514.9 ± 5.2) × 10−6 = (19.26 ± 0.19)π rad*13 n 次の摂動項には()nωsδ 4ωω2r−ω
が効いてくるので, これが大きいと摂動で扱えなくなる
2
r

s

50

(4.2.2)

図 4.15: 測定室で観測したファンクションジェネレータからの信号 (位相差 0 に設定して出力した
もの)

と求まる．
これら 2 つを合わせて，∆χ のオフセットは∆χ0 = (19.93 ± 0.19)π = (20 + (−0.07 ± 0.19)) π rad(4.2.3)となる．実際には，∆χ の ±2nπ の違いは干渉縞に現れないので，∆χ0 = (−0.07 ± 0.19)π として問題ない．

4.2.2 ガイド磁場の推定
実験によって得られた位相の横ずれ B は 152.9 ± 2.7°

= (0.849 ± 0.015)π rad であったことから，ガイド磁場による位相の変化 ϕ は

2ϕ = (0.92 ± 0.21)π + 2nπ⇔

ϕ = (0.46 ± 0.10)π + nπ rad(4.2.4)となる．これを式 (4.2.1) に代入することで，位相からガイド磁場の積分値を求めることができる．
実際に，磁場測定の値から求めたガイド磁場の積分値と，上記の位相のずれから計算した積分値を比較したものが表 4.5 である．この表のうち，磁場測定の結果に基づく積分値は 2 つのフリッパーの中心間の範囲で積分している．磁場測定に基づく 2 つの積分値に誤差を表記していないのは，この積分区間の端をどこにとるかによって積分値および誤差が大きく変化するためである．ガ
イド磁場が位相差に影響を与えるのはフリッパーの交流磁場によってスピンが分波してからである
が，実験の章で述べたようにフリッパーの磁場はコイルより広い範囲に漏れ出しており，分波の端点を明確に定めることはできない．
磁場測定に基づく積分値の誤差を考慮すると，n = 9 での ϕ の計算結果は磁場測定の結果と一致すると言える．一方で，n = 10 での結果は磁場測定に 0.055 mT を加算した結果と一致すると言51

RBz (x)dx [T · m]

ϕ(n = 9)(3.918 ± 0.057) × 10−4

Measured

3.99 × 10−4ϕ(n = 10)

(4.333 ± 0.055) × 10−4

Measured + 0.055 mT

4.33 × 10−4

表 4.5: 磁場測定値と位相のずれからそれぞれ計算したフリッパー間のガイド磁場の積分値

える．この結果からは，磁場測定の結果に対して 0.055 mT 加算することの是非を両者とも棄却することはできないので，加算が妥当かどうかの判断をすることはできなかった．

52

5 結論と今後の展望
5.1 結論3π/2 フリップによる干渉を観測することに成功した. また, シミュレーションの結果によって振幅が理論値よりも小さくなってしまう主な原因の一つがビームの広がりであるということが分かった。

5.2 今後の展望ここまでの内容を踏まえた上で KUANS での中性子干渉実験をより理想的なものに近づけ, 本
実験当初の目的であった地磁気の影響を見ることを達成するためには以下のような手段が考えられる.

1. 中性子ミラーからの漏れ磁場を低減するリターンヨークを設計し，ガイド磁場を小さくする
2. ミラーの磁気の向きを反転させられるような治具を設計し，地磁気に対して反転した磁場で実験する

3. 高性能な減速材を用いてより長波長の中性子で実験する (地磁気との相互作用時間を長くする)

4. フリッパーコイルの半径を大きくして振動磁場の一様性を上げる
4.2 節で述べたようなガイド磁場の強さが磁場測定と干渉実験で異なっていた可能性があることについては，干渉実験の間もガイド磁場の強さをモニターできるようプローブと遠隔読み出しを設置することで，その原因がガイド磁場の意図しない変化であった場合にはある程度検知することができると考えられる．
また, スピン干渉をより定量的に理解するためにはガイド磁場の変更,2016 年度の P3 のような磁場による位相シフトなどを組み合わせることも有効であろう. そのほかにも, 今回は偶然 3π/2 フ
リップを観測できたため,5π/2 フリップや 7π/2 フリップなども観測できるか試してみるのも面白そうである. 理論的なアプローチとして,Br > Bz となってしまった場合でも適用できるような振幅などの定量的表現を試みるということもできるかもしれない. これらに関しては未来の P3 諸君に期待するばかりである.

53

6 謝辞
理論ゼミを担当し多くの重要な示唆をくださった菅沼さん, 実験ゼミを担当し本実験にも協力してくださった成木さん, 工学部よりはるばる本実験に協力してくださった田崎さん,KUANS の廣瀬さん,TA の小早川さん, 中須賀さん, 大畑さん
ご協力していただいた皆様には厚く御礼申し上げ, 感謝の意を表します.

参考文献[1] 阿知波紀郎ほか (2003). 『中性子スピン光学』. 九州大学出版会.
[2] W.R.Leo. (1994) Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments. Springer.
[3] F. Bloch and A. Siegert (1940). Magnetic Resonance for Nonrotating Fields. PhysicalReview, 57, 522-527.
[4] J.J. Sakurai (2014). 『現代の量子力学（上）』（桜井明夫訳）. 吉岡書店.
[5] 加須屋春樹ほか (2017). 『KUANS における熱中性子を用いたスピン干渉実験』, 2016 年度課
題研究 P3.

[6] Yuiki Takahashi (2019), The installation of the cold neutron source to the Kyoto University
Accelerator-driven Neutron Source, 2018 年度課題研究 P2.

54