―身近な現象の物理―

切り紙に潜む物理磯部翠〈お茶の水女子大学〉

奥村剛〈お茶の水女子大学

okumura＠phys.ocha.ac.jp〉
4

日本人にとってなじみ深い折り紙は，近年は科学界でもこのように，切り紙構造は簡単な加工によってシート材

Origami と呼ばれ，広い分野で注目されている．特に人料を大きく変形させることを可能にする．これを利用して，工衛星の太陽光電池パネルに利用されたミウラ折 1）でよくグラフェンシート，6） リチウムイオンバッテリー，7） 太陽知られている．このように，シート材料を折りたたむこと光電池パネル 8）など，様々なシート材料の応用の可能性がで小さくまとめることや立体造形をも可能にするとして，大きく広がることを期待した研究が行われている．

Origami は今や重要な工学的応用のアプローチのひとつと一方で，より基礎的な，この構造自体の物理的特性はま2, 3）なり，物理分野でも盛んに研究がされてきている．
まだよくわかっていない．本稿では，その力学的振る舞いにた，大ヒットした映画『シン・ゴジラ』では，ゴジラの謎

9）
ついて調べてみよう．

を解くカギが折り紙に秘められているという展開で，折り紙研究の一端が多くの人の目に触れることとなった．4）
そのような中，ごく最近 Kirigami というアイデアが2.

実験方法

まずは試料となる切り紙構造を作る．紙に市販のカッ知られるようになってきた．語源は Origami と同様に日本ティングプロッタを用いて切れ込みを入れ，簡単に切り紙語の「切り紙」だというが，日本人のイメージする切り紙構造を作ることができる．それを引き伸ばした様子が図 2

細工とはいささか異なった発展をしているようだ．様々な（a）である．元の紙と比べて大きく変形しているのは想像タイプの Kirigami が提案されているが，我々は特に，シー通りだが，変形にはムラがあり，均一に孔が開くわけではトに多数の平行で規則的な切れ込みを入れたものに着目し，ないことがわかる．

切り紙構造と呼ぶ．5）

なるべく均一な変形を観察したいので，今回は図 2（b）のように，縦一列に 10 本の切れ込みの入った試料を用い

1.

切り紙構造

図 1 に，我々が見つけた身近な切り紙構造を挙げてみた．

（a）は多くの人が目にしたことがあるだろう．ワインを買ることにした．上下の端は拘束されており中央付近とは変形の様子が異なる．この端の効果を減らすため，縦は十分長くとることにした．

うとよくつけてもらえる緩衝材である．切り紙構造によっ

切り紙構造を特徴づける変数は，切れ込み長さ w（〜10て紙がネット状になり，よく伸縮するという性質を利用し，mm），切れ込み間隔 d（〜1 mm），紙の厚さ h（〜0.1 mm）

ボトルを包み込んでいる．外国ではあまり見かけないと聞がある．簡単のため，今回は縦・横方向の切れ込み間隔をくので，やはり日本発祥の構造なのかもしれない．（b）は等しくとる．

インテリア商品で，円形の紙に同心円状の切れ込みを入れw，d はカッティングプロッタの設定で簡単に変えるこたものを変形させたものである．紙を立体的に変形させてとができるが，h に関しては自分で変えることはできない．

様々な形の壺状にできるのが楽しい．ミュージアムショッ

そこで，素材として 4 種類の厚さのものが市販されている

プや雑貨屋などで買うことができる．その他には七夕飾りケント紙を選んだ．ケント紙は湿度と温度を適切に管理すにも，切り紙構造を利用したものがある．

れば弾性率がほぼ一定とみなせる点も利点である．

図 1 （a）ワインボトルの緩衝材，（b）「空気の器」（トラフ建築設計事務所）．

図 2 （a）切り紙構造の紙を引き伸ばしている様子，（b）簡単化した試料．

360©2017 日本物理学会

日本物理学会誌

Vol. 72, No. 5, 2017

測定装置として，フォースゲージとスライダーによって（1）初期領域と（2）第 2 領域の境となる極大点があるの簡単な引っ張り試験機を組んだ．試料の上下の辺をそれぞで，転移点と呼ぶことにする．グラフでは明らかな変化がれ治具で留めて下辺は装置に固定し，上辺はフォースゲー

見て取れるが，正面から見ると，変位も小さく，転移によっ

ジから吊り下げる．フォースゲージはスライダーに取り付て何が変化しているのかはよくわからない．しかし，このけてあるので，等速で変位を与えながら，試料にかかって変化は横からみるとよくわかる．ぜひ実際にワインを買っいる力を測定できるようになっている．て前述の切り紙を入手するか，適当な紙にカッターで切れ込みを入れるかして観察してみてほしい．

3.

実験結果―力学応答と転移現象―

切り紙を引き伸ばして横から見ると，ただの紙を引っ一回の実験について，伸ばしはじめてから破断するまで張ったときと違い，元の紙面の厚み方向にも変形しはじめの測定結果をグラフにしたものが図 3 である．塑性材料のる．引っ張りはじめたときには，横から見てもただの紙と場合によく見られる，非線形的な振る舞いをすることがわ同じように平たく見えていたものが，ある時点で立体的なかる．

変形をするようになるのだ．この平面内から平面外変形へ

この振る舞いの全般的特徴をみると，（1）初期の硬い線の移行が，転移にあたる（図 4）．

形弾性領域（初期領域），（2）プラトー領域（第 2 領域），（3）

逆に言えば，平面的な状態ではシートは硬く，十分に大破壊直前の領域（第 3 領域）の 3 つの領域に分けられる．

きく変形させることはできない．転移して立体的な変形を各点での試料の様子を写真で示した．

することによってはじめて，切り紙構造特有の大きな変形が可能になっているのだ．つまり，切り紙の伸張性のカギとなっているのが，この転移現象であるといえる．

4.

実験結果―スケーリング則―

以降では，初期領域と転移を特徴づける 2 つの量 K1 ，Xcに着目しよう．
初期領域では，力 F とのび X の関係は線形である．このことから，この領域での振る舞いを F＝K1 X と書くことができる．つまり，K1 は初期領域の弾性ばね定数にあたり，切り紙の硬さを表す．パラメータを変えたときの K1 の実

図 3 （a）伸ばしはじめから切れるまでの力学応答，（b）試料の様子．

図 4 転移の模式図．（上）断面を見たときの転移，（下）単位要素を見たときの転移（w À d）．
話題

切り紙に潜む物理

図 5 初期の弾性率 K1 の実験結果．
（a）生データ，（b）導いたスケーリング則に基づいて無次元化したもの．文献 9 をもとに作製．

361©2017 日本物理学会

験値を図 5（a）に示した．切り紙のパラメータ w，d がわず験結果とよく整合する．

か数ミリ違うだけで，同じシートを用いても弾性が 10 倍

Xc～以上変わっているということがわかる．
実験結果と後述の理論的考察により導かれたスケーリン
グ則は次式である．
K1 ～ Eh2d（2）

この式によれば，転移条件は切れ込み長には依存せず，紙の厚さに強い依存性をもつ．厚ければ厚いほど転移しづd 3hw3（1）らく，初期領域が長く続く．
式（2）を利用することで，切り紙シートの転移点におけE は，切れ込みを入れない状態でシート材料がもつヤンる伸長の大きさを自在にコントロールできる．切り紙構造

グ率である．切れ込み長 w が大きくなると柔らかくなるなの硬い初期領域を利用したければ，d を小さく，h を大きど，直感に反しない結果である．この式に基づいて規格化くすれば良い．d を小さくすることで，転移しにくい切りし全データを整理したものが図 5（b）である．別の言い方

紙を作ることもできる．

をすれば，データが式（1）に従っていれば，図の点線と同じ傾きをもつ一直線上に収斂するようにグラフを書き直したものである．したがって，データが点線上によく並んだ

5.

スケーリング則の導出

式（1），（2）を理論的に導出してみよう．切り紙の変形をこの図から，初期の弾性率がこのスケーリング則でかなりよく見てみると，単純に曲げられた板がたくさん連なって良く説明できることがわかる．

いるとみなせることがわかる．この板 1 枚を単位要素と呼この結果は，切り紙加工によって弾性率を定量的に制御ぶことにする．単位要素 2 枚で 1 つの孔を形作っているこできることを意味する．例えば，この式を指導原理とするとになるので，孔の数を N とすると，単位要素の数は 2Nことで，決まったヤング率・厚さでしか製造できない特殊となる．

なシート材料に切り紙加工を施し，材料の使用場面に合わせた弾性率へと加工することができる．

これらの単位要素は左右端と中点に，上下方向の力がかかって曲げられている．w À d という条件を付ければ，図Xc は，転移するときののびである．つまり転移条件は4 の下図に示したような板の曲げ変形（座屈）とみなすこ

X＝Xc で与えられる．実験結果は図 6（a）に示した．この図とができそうだ．そこで，この仮定の下で単位要素のもつの補助線は，グラフを見やすくするために Xc＝βh （ β は定曲げのエネルギーを計算してみることにする．

数）に相当する直線を引いたものである．導かれたスケー

5.1

2

リング則は次式であり，この式も図 6（b）に示す通り，実初期の弾性ばね定数 K1

一般的に，辺の長さ a，b の矩形断面をもつ長さ L の板を，長さ a の辺に平行な方向に変位 x だけ曲げたとき，弾性エネルギーは次式のようになることが知られている．9）
U ～Ea 3b 2xL3（3）切り紙の単位要素が長さ w の板だと考え，このエネルギーに当てはめる．初期領域の平面内変形では，図 4 を見ると，曲げの変位に平行な辺，垂直な辺がそれぞれ長さd，h の辺にあたる．すると，エネルギーはU in ～ E

d 3h 2xinw3（4）となる．一片あたりの曲げの変位 xin は，全体の変位 X とは xin＝X / 2N という関係にある．
エネルギー Uin を xin で微分して変位方向にかかっている力を導くと，
F ～Ed 3hxinw3（5）となる．この式を線形ばねの変位と力の関係 F＝K1 X の形と比較すると式（1）が導出される．
なお，図 5（b）において緑色のマーカーで示した点は，ある意味での整合性を示す．なぜなら，これらのデータは条件 w À d という条件を十分にはよく満たしていないデー
図 6 初期の弾性率 Xc の実験結果．（a）生データ，（b）導いたスケーリング則に基づいて無次元化したもの（ Xc＝2 Nxc）．文献 9 をもとに作製．

362©2017 日本物理学会タであるため，他のデータが並ぶ直線からわずかに外れていると考えられるからだ．
日本物理学会誌

Vol. 72, No. 5, 2017

5.2

転移条件 Xc

えば，第 2 領域と第 3 領域のクロスオーバーや破壊限界の同様にエネルギーを計算して式（2）を導く．切り紙に変定量化は実用的にも重要な課題である．

位 X が与えられたとき，変形には平面内変形と平面外変形

また，図 3 に示した力学応答の概形は，樹脂や金属などの 2 通りがあり得る．したがって，それぞれのエネルギーに見られる塑性変形の典型的な SS カーブと類似している．

Uin ，Uout を比較すると，X < Xc の間は Uin < Uout ，X > Xc とな

切り紙の物理と材料物性の理論との類似性に着目する展開

ると平面外変形に転移して Uin > Uout となるはずだ．

もあるだろう．

そこで，Uout を計算し，Uin と Uout を比較して Xc を求める．

切り紙の切れ込みの幾何学形状と立体的変形の関係につ転移の瞬間，平面的変形から平面外変形に移行すると，単いても，定量的にはまだ何もわかっていない．例えば図 1

位要素の変位の方向も変わることになる．この単位要素の（b）では，切れ込みを同心円状に入れた場合は，花瓶のよ

変位は図 4 にある xout に対応する．これから切り紙を正面うな立体が得られることを示した．このように，切れ込みから見たのび方向の変位 xin を求める．横から見た図 4 かの形状やパターンの入れ方と，様々な立体形状の間の関係

ら幾何学的に考えると，xout＝（x 2in＋2 xin d）1/2 が得られる．

が定量的にわかれば，切り紙を使ったデザインに役立つだ

今回は Uin を求めたいときと異なり，変位と平行な辺が長ろう．
冒頭に述べたように，今回着目したような切り紙構造以さ h の辺になるので，エネルギーは次式となる．
U out ～ E

33hd 2hdxout ～ E 3 xin dw3w

（6）

外にも，パターンや大きさに関わらず切れ込み・穴をあけ11）
た シ ー ト が 広 く Kirigami と 呼 ば れ，研 究 さ れ て い る．

ここで，d À xin として xin d に対し xin の二次の項は無視した．

Kirigami が研究されるようになってからまだ日が浅いが，こうして求めた式（6）を，転移点において平面的変形と平近い将来，Kirigami も Origami に並ぶバリエーションをも面外変形のエネルギーがつり合うと考え，式（4）とバランち，幅広く研究・利用されるようになるのかもしれない．

スすると，式（2）が導かれる．

参考文献

切り紙は簡単な加工によるシンプルな構造であるが，そ

1）三浦公亮：地図 35（1997）1.
2）L. Mahadevan, et al.: Sience 307（2005）1740.
3）C. Py, et al.: Phys. Rev. Lett. 98（2007）156103.
4）中島林彦：日経サイエンス（2016）12 月号―折り紙で解くシン・ゴジラ．
5）T. C. Shyu, et al.: Nature Mater. 14（2015）785.
6）M. K. Blees, et al.: Nature 524（2015）204.
7）Z. Song, et al.: Sci. Rep. 5（2015）10988.
8）A. Lamoureux, et al.: Nat. Commun. 6（2015）8092.
9）M. Isobe and K. Okumura: Sci. Rep. 6（2016）24758.
10）磯部 翠，武居 淳，奥村 剛：「切り紙構造のシート材，これを用いた細胞シートとフォースセンサー，及びシート材の弾性調整方法」
特願 2016-082472.
11） D. M. Sussman, et al.: Proc. Natl. Acad. Sci. 112（2015）7449.の振る舞いには興味深い点がまだたくさん残っている．例（2016 年 12 月 20 日原稿受付）

6.

さいごに

今回は簡単な切り紙の試料を作って引っ張り実験を行い，力学応答を調べた．その結果，切り紙の伸張性の起源が平面内変形から平面外変形への転移現象にあることを実験と理論の一致から示し，初期の弾性率と転移の条件についてスケーリング則を導くことができた．これらの結果は，すでに述べたようにシート材料の弾性を定量的に制御するための指導原理としても利用できる．10）

話題

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