確率 数 理 要 論 1 1
マルチンゲールの続き、は連続なセミマルチンゲール嶧用
確率積分 /fredBe いた確率積分まで拡張できる.
（参考）

X：連続たマルチンゲール⇐ ）に Y o tMtA

Xo：たけ測|連続硝駿麵程M：連続な局所=剰積分マルチンゲールでM。=0-パスが連糸売-ヨちくたく-_-→（停止時刻の列）

Hな=（Mtnな人が二乗「は責令マルチンゲールつまり啠。E［1世）2］<o/ H dX t =※y（独、-Xの）for妣 _ n a m e sな適合faiした。））

JU；11の.たい）（が単過程［症などに毗によThine、E[ME］くかる確率積分について軽く説明する。
また（は）atb：二乗可尓責分マルチンゲールがないMalo）はadding（右連続かつ左極限が存在）.

↳ 次ベン
確率数理要論11

1 / 11（ME）* は劣マルチンゲールとなる.

Jensenの不等式よりすると、ある連続時間版の Dobの分解より.
「1予測、右連続な増加過程船 が存在して、T N X A CAEFs）， TLTが適合，AreがAnいが非減少しSIXB ( B E E ） .
で生成されるCab］×r上の最の6-加法族Pに対して.

けん）にXt(w）が叮測になる確率過生主

ME_An がマルチンケンルとなる。

こ の At を 〈 M A と書く. （compensator，補償ると言う）

例：

・M t = Bt（ブラウン運動）〈 M Y= もニ）

実際E[Bit1万］=E1（Br-13が+2Bs(Ba-B）-1135-キ1万）三・大 stB E キ ニ 135-S

M*= N a - a t

ただし、Ntは強度入の定常ポアソン過程<MA=atDt2（Cab］，M）を全2の中E1/18が〈MA］くか予測かつをみたす確率過程の集合とする.

（H）、 Eよ（G.b），11）を.

単過程とするify(w）= 点で（w）1（たいのコル）.

このとき、その Mによるf f a d Mt

： =f|a.mn等の極限.ただRemainstieKies積分：&信（くthe-44Her.）

しかだ。は|分割点）

確率積分を言edw） （Mt..Mt....）と定める
確率数理要論11

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（等長性）

血

上記のかのに対して.

E l (Idf.d Mt）2］※=

Ella'ti d i n I"

M r Btのとき. 〈M〉がtであったことを思い出すと、これは以前に紹介した伊藤の等長性の一般化になっていることがわかる。
このことから 一般の f EであってE Gabi,M） に対しては単過程の列では知州

Elf!HatがMe］→oをみたすものを取っ2来て.

/！ft dM t ： = 無 作がdM tと定義する。

この後で述べる伊藤の公式も〈M〉のを用いてマルチンゲールまで拡張することができる.

確率数理要論113 / 11!
一

伊藤の公式と確率微分方程式
一（Bt）た。： Brown運動（た）た 。 ：(Baはした）-適合が、 B-Beはたと独立）

filtration（S2大）I I （ 伊 藤 過 程 ， I t s process）
EGO,TI）（UtH ：た）-適合でFluid t（Vt)y E

X。tXt=と書ける時、o(as）Uss t f f n d Bd

（Useは（いな）と書く）( t e GD）

（Xx)teen を伊藤過程と言う形で興dXa=Ute d

N s dB st tと書く.

な適合なkに対し、I t s dxs-Its u s d s t I f s v s d Bとする.

2れも.

f e dX t = f a u l t t f r e u dBeと書く。

確率数理要論11（先のセミマルチンゲールによる積分と整合性のある定義になっている）

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（伊藤の公式. I t s ' s formula）

亟（Xx)neon i 伊 藤 過 程
U H , a ) E C"（Coo)xR）（つまり、昔、器，器2が存在して連続）（器（txt）でthea i g E E G T D
4（TXT）=

4（ex。）+［巽（t.HNt++に長けた）Undt

t［噐（t.tn)ndB t

士［器（きた）で-_-た

た=4（かた）とすると.

d Y t =背けた）t器は、Xt)dxと書ける。

yat式器はこの項がなければ合成関数の微分の形.

直観

dY t が h e - Y a なる従え小変化を表していると考えると.

テイラー展開よりd'は二 発（かた）dt+となる。

t噐（txt)dX x士（器（かた）が+2嵓（班）（d×が+2器が州dth)t(higher order）

問題は2次の項で.ここにdX t = U t dt t n d Btを代入するとIf器が+2嵓（uidf t e n d e d Batだ（dBが）+2器が（undA t t e n d Badt）］となる。
確率数理要論11

5 / 11!
ここで、以下のルールをあてはめるidが = od t dB a = 0=dtd BI（伊藤の公式）すると.

e ）た が d tとなるので、

dY t = 器 d t t 噐 h i t た 器 w eを得る
（dBE=dtはEl(Bae-Btf］=EであることからdBE=dtとみなせる）（略証）

4が連続2回微分可能かつ導関数がーー有界であるとする。

また、Us（じ）を（S.w）によらず一定であるとする.

0=もくもく...st.ニキを等分割した=前）とする.

UH，た）-410.4。）ニ 言/とは、独）-4（たいな」）］である。テイラー展開より、4は..Yn）-4した，Xtm）

噐（たい、独」）は一が）t噐（たいな...）（Xがない）=t）は.tn？）2tII（た.た）（への.

十）（の_た，）駅、が×で，といった④（なだした23.it/t...t..TJhtaEXaE.XamTi
中点）の：確率数理要論11（Xx）のは蓮織かつ器は有界連続なので点の 一 つ に言（sxs)dsCas.）.

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！！學t たであることを思い出すと.

Xti-Xの十二②：

璺点②= 言△な器（た，が、，）十点0た器（たけた，）
であるが.

Us敔（たった一，）->Us許し'S Xs） （分）れた、，た）（S）- で噐（9Xs）

G Ns噐（たがなので、かつ.i𣷹は有界，get）

だ。有界 便収束)（inよどか）←：伊藤の等長性

点 @ → F us前4（sxs)dst Fu噐（sxs)dB=ド郡（s.Xs)dX s③⑤ ：器は有界なので、

約三簽呦磯侍は鬱-0
つまり（dが二0（た）のはas.で連続なので、，にし品NEXの一、1→0（as）

さらに、砦.は有界なので、緑県でいい't！燄_𤎼州・総利一
l y r l④ ：（が-4の_，）2=（△で.）年（△た）2+2△で△た。

last

であるが.

（た）2，0た△たの項は上と同様にして、EC）→0（aが言える.

⑥ た）2の工員は鑾きた！！！
が....（Bath.）2に伊藤積分，Usは定数）
灤であり、
確率数理要論11

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忌器.した、独）𠹤、1（13-13と列にしたまい

大数の興］NGE）か）☆

器は州のいた、 （ が た ） -（2次平均収束）
0/器（s,Xs)vids

ゝ(as）にRieman積分の定義）
よって示された.

xd た = BadBa( V E Bt,Unoとする）とは、水）=が として、伊藤の公式を当てはめる.

器、=2）し、器=2，噐=0d CBE） = 2 B a d B t t= 2 B a dB a t
BEx a

医より、t.z.dkd t=県+213響け！璺
=（前回の例）

EBI-Et（Black-Scholesモデル）

Y =cexp(att G B t )Xt=let t o BtUH，）（）=cどな、= 器= e で 、 巽

Yt=c +=

c +Ys>0か つ .

た=4（かた）.とすると.
=より、伊藤の公式より

f t Ysdxsな/Ys ident""に M Ysds t f i G Y sd B s t Ifを2Ysds
た6YsdBsはマルチン'たルなので、ながマルチンゲール
確率数理要論110

私な解析が可能M E 株価を21144たルとみなす
o※になる.

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-

多次元の場合型（多次元版伊藤の公式）

Bがが 名 。 im次元Brown運動（鬱/独立なBM

何( E ）のEIKOTJ）， にがみたEdた。，TJ）
d X が U n dttと書ける時、t（なるE[m］）

n d Badxが=uがdat点でが訓が'の意味）
Xn=（メが、-_-、×が）「をd次元伊藤過程と呼ぶ.

YEE(Rd）， （器（xx）でがる）HEよ（GD） （もうj），た=4（Xx） のとき、-.-）

dY a =区&𥻘城が十士澍灥州紀が「灎りdtX a .Ya ： 伊 藤 過 程（Na=andt + 6 が dB a dYa = G d t + 6 が 喉 ）d（なな）= X a d Y a t Y a dX t t I ( N a d Y t t d Yadxt）
Y d Y a t Y a dY a + 6 が=たHadY a =Yaな一%とー/Y.Na-16が公がdt（部分積分の公式）

確率数理要論11

9 / 11確率微分'學H . G：の測関数s.tk(Xx)EL(GTD,a(Xx)EEGT DdXtこり器蓀巌 t a l k s ) d Ba

：

拡散係数

確率微分方程式eDE）
qual -(stochastic differentialをみたす（Xx)aを求める問題を考える.
☆ Xtの振るまいは自身のこれまでの振るまいで決定される.

S DEは右辺第2項がなければ通常の（一階線形）御給方程式になる.

甠（Xx）たがSDEをみたす時、 （強）解（strong solution）という。
この時、 拡 散 過 程 （diffusion process）とも呼ばれる.

区（Ornstein.oh l e nbeck process)

M E R ， 6 7 0 に対して、
dX t = µ × + d t t o d B tSD E :の解をOrnstein.Uh l e nbeck過程と言う （0で一過程）
eではXa に伊藤の公式を使う （4（かくに がた）と、d（がた）=一µがなdt t
ニ 、=よ、て、penanceot

X i e

で「（txldtt o Be）e-なBe

どなた=x。+fをEMS dBs
Mtがひな

Xo t

To で はdBs

toのとき、原点に戻る力が働いている.

確率数理要論1110 / 11

区

Black-ScholesモデルはSD E :

d X n =（ME)Xadt +6XadBeの解になっている。

幾何Brown運動とも呼ばれる。

凹あるc>0があって.

H E GT］，

I bが）-btはIEC1には1，にはER,16が）-GはIEC1つには1

IbaM I E C ( I t IN）， l a ( x ) I E C ( I t IN）
をみたすとき、 S D E は一意的な解を持っ-に） ：確率数理要論11-た りに対し、（一意の意味は、2つの解が が成り立つという
何 P ( Y = Y ( H E GT）））=1 こと.）

（1） ：

_x

Lipschitz連続性
線形増大性

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