確率数理工学に）咄確率変数）

いたが確率空間

関 数X : r - R が . な E R で"？！！.

鼠慶応！！！！'凞
が、"でr|X(w)EMが（は、x］）：=1WEを満たす時、Xを確率変数（randomvariable,no. ）

| 炎南淵
燕村
「鹼

t.euな事鰍叶測yummyと呼ぶ。

。｛wereでのことをいいがらと書く.

竹測関数」とも言う「 確 率 変 数=可 測 関 数 」」

なド-9 点"。任意のボレル集合
BE BCR ）に対し.X' （DEF であることと、上記の定義は同値. （証明は次ページ）
oより一般に、「1測空間に、F），（MF）に対し.
rn ' が 、UAEなどが（A)EF をみたす時、Xを みた叮測関数と言う（このとき.X ：（r.F ） （i.F' ）と書いたりする）

熖一〇・が一〇べげには）（t.FI「xsx である確率ば測れて欲しい ，TEACHER 例）である石隺率は測れる」

型.he｛金銀、銅、はずれし たが（全部分集合）の確率変数

賞金X（金）=too.X（銀）=100，X（銅）=10，X（はずれに0

確率数理工学2

P（金）=0.1，P（銀）=0.2 ，P（銅）=0.3 ，P（はずれに0.4

1 / 10：蕪：：：I - ̲ - 一XIA)E

F--̲-̲me̲。A

E BAR ）-w1-）X(w)Te,iii.

！

|：：超"が（1-a,a ］）=｛W E N X C W E a }E F派"

幽州する確率崩/一人をたて）kw)
ランダムにwの身長が（は、170］）=｛170cm以下の日本人と確率数理工学22 / 10

（補足ページ）o k B E BCR ） に対し.が（IDEF であることの言正明（BoはBCR ）の部分集合、これがB . = 1 B E BCR ）|X' （B)ET ｝ とおくBCR ）と一致することを示したい）

確率変本文の定義より
Gaa ]EB 。 （IER ） である。
しかも.Bo が6- 加法族であることもわかる。なぜならい） が （R ）= R E F （下の定義より）

T e n tX'（A)EFなの定義（2） A E B 。

（3）

超A..An...EB 。

なので.REB 。 ！（チェックせMAI）にFAn)EFよ）

が（パ）eFA c e B。

Yが（An)EF で下は6加法族）が（YAn)EF じ騑（An）=が信州
恕囁問題IA nEB 。

6- 加法族を含む
以上より B . は ｛E・.a］1GER｝を含む最小の
それは RR ）である （前回の演習問題を参照せよ）、つまり一方.定義より.
ないがね。
なく脈）なので、日.な例である4̲ox.rsr 'r'の部分集合族B' に対し、6（B' ）をB' を含む最小の6- 加法族とする

F'=GCB ）なら、「Xが計測が成り立っ.

> U A E B' に対し.が（A)EF 」
TF' ではない.

（B' はF' を"生成する.X の71だけ測性を担保するには.B' における叮測性のみ調べれば十分）.

（演習問題参照）o （R.F）-）に'.F' ），に：に.F'）-）に".F" ）
に対し、

（の測関数

k=Xz 。X、： W E Rいた（かい）Er" も F 1 だ け 測.

確率数理工学23 / 10

トキの下に（R.B （仏）のとき、X I Rが連続なら
X は叮測

が（（a.か）は開集合なので（Xの連続性より）.

（Proof ）が（（aa））EBCR ）であるよってX' （にでもある。

1 /重〇咀（分布関数）X i ru.

DEADa］）=が（（ac r e s s・

要s

っrandom variable の略てFM）=P（｛werI X(w)Ex ｝） （KER ）Xの（累積）分布門學 と言う.とすると、 F を（Cumulative distributionfunction,C型

F（水）=p(XE）し）や.FM=N｛ （w）壬川）とも言こす，

先のくじびきの例：

䰗 jiが一.TL
jYFa

i .iiii.s

たが定義されるためにはハ任っりが汗測である必要がある.

Xがt.ir なら、2の叮測性が担保される.

，

䰗（銅） （銀）型（分布関数の性質）（3）

右連糸売|，た（右連続）感a。下川=Fla）「！"彧
ﬁne形に0， 感がルにIい） っくくり

（2）

（金）

EF は）

（単調非減少）た極限1想派）

fyi。下川=Fk ） と は 限 型
しかいた極限は興 祭金払）-

確率数理工学24 / 10

(Proof ）（I)

A=1w|X(w)Ex3，B=1w|XH E Y ｝ とおくと.

）（Ey より、 ACB である、確率の単調性よりPCA)E PCB ）である。

（2）） い っ た> - . - > a で ﬀdn=Gである数列を考える.

J1爍！=嶋基に注意すると.

石隺率の連続性より.

ﬁgFan）=ﬁgPan）=PCA ）=F(a）で あ る.

そのWはJK に）がn｝に入らない。

何 も同様/ /Remark-ﬁ.となったiii)

をつはすぐわかるにしりいろ）をみたす
FMRが存在したら、Qが一意に存在する、対応する CRB 側）上の確率測度
そのQはQ1（-a,a ］）= F k） はER ）.Q（（ab》=F（以下（a）をみたす.

Q

した<b)

F-（測度）（分布）

Pを調べる代わりに.F を調べた方が楽なことが多い。（弱収束など）
nR

一つ下に爾が新定まる

pQ"" 派一例でもある

確率数理工学2|でもがが外脈制Pの4によるpushy
これをツがタグ言う.

、Q=X#P とも書く.

-5 / 10I(rFiD-.！
@i-.f"
㘅I

州しPIMA））=Q(A）

2=［0/1］たがい），には上の一様分布
例：
X(o ）=Iなら、｛WENX(w)Ex ｝ニ｛WE I I W E x）

=ftp.WEke？
い いPhotoF"）=|R(o（troExEI）：（x>1）-

fに移り！！鑵"瞬HI=F'（川=エ| （coast）

側が（は、別

確率数理工学2豔Eに1）=にa s い等しい
6 / 10確率分布の種類
連 続-

咀

絶対連続

｛- 特異連続-離 散-（連続分布）と鬱鬱....ii！灣
鼗にしER においてFNが連糸売、つまりPC につく）=0（しaR）に筮が濹=扉."
1）（関係ないことに注意

Fが連糸売である非負関数
fを用い（Borel 、測）（絶対連続分布て一一反例を作ってみよ）

だい=ﬁ f ( u ) d uと書けるとき、その分布は絶対連続であると言う.

fを右隺率密度関寿久（probability densi f function,pdf ）と言う連続である.

地（Radon-Nikodymの定理）！

ME）=0をみたす任意のEEBCR ）について、PCE ）=0である.

⇐Fは絶対連糸売/こちらを定義としても良い.

&（一様分布）""" に信！！？
［㷀鏜i j区間［a.b ］，で［9.b ]i[a.6 ］上の一様分布（otherwise ）adf.FM=（Ka)（xEca.D).

確率数理工学27 / 10

@Ex.l 正規分布）- ガウス分布」とも言う。

平均MER、分散63ofaに兗.aptly，，Er覚.........iえる

M f

N(M62 ）で表すーーも分布と言う
N10.1） を標準正夫「adf.EC川=1でﬂu)du を誤差関数と言う.
咀（特異連続分布）<一（今は覚えないでも良い
Fは連糸売であり、かつある
EE BCR ）に対してが！！！：：：.......！！
：ie..
：鮗：：PAGE）=1かつ.ME）=0（ルベーグ測度）

密度関数をもたない！

巫r=［0.1），たBUH）），

Pをに川上の一様分布とする。

w=E岳なる2進数展開を用いてiiX(w）=E2台 とする。

o .が-̲-I

燕：摩Pack ）=1一方.

Mk ）=0である。

（Kは非可算濃度だが.
ルベーグ測度=0）（Mk）=が知らx-̲-.=o ）線分のまん中の領域を取り除くという確率数理工学2K）

8 / 10D i e （離散分布）

X の取りうる範囲が高々可算個。
つまり、ある たにいた，-.-} C R が存在して、（有限個でも良い）書PCX m ) = 1=が成り立つとき、離散分布 と言う.

f ( Va ) = P（がた）のことを、確率質量関数と言う.
(proba bi l iG mass function, ので与えられる。

分布関数はF （川= E e x ﬂ a t

巫(Bernoulli分布）

lに{0/1}，p払.は ） = 0 . t k / - O ̲e

O EO E

Ber（0） と記す型に項分布）に {o.1.2.....
OEO E l .

n}

( nE N )/ /r

コイン投げ2日表.. I裛0.

zgrn
表が出た同
- 数 たの

hmﬀmfhjokctophe

回のコイン投げで分布.

B (n.0 ） と記す(Poisso 分布）
nに 10.1.2....

3，R > 0HE)= e " 烋た！
稀に起こる現象が一定期間内に起きる回数の分布：M mf .

も--確率数理工学2

工場で1日に生産される不良品の本文

宇宙線を1時間に観測する回数
9 / 10（補足）I（ルベーグの分解定理）(R.呦）上の確率測度P は、絶対連続な分布R、特異連続な分布に、離散分布Bに分解できる。すなわち、 OEO..02 ，03=1，0/+02+03=1である 01，02 ，0，を用いて.に0，R + 0 2 B + 0 3 Bと分解でき、さらにこの分解は一意である.

確率数理工学2y10 / 10