数理解析研究所講究録 1432 巻 2005 年 5-12

5遅れを持つ非自励系 Lotka-Volterra 方程式のPermanence について
早稲田大学・理工・数理科学 飯田

一輝 (Kazuki Iida), 室谷

義昭 (Yoshiaki Muroya)Department of Mathematical Sciences, School of Science and Engineering,
Waseda University

1

イントロダクション
次の形で表される, 遅れを持つ複数種の非自励系 Lotka-Volterra 方程式を考える. $i=1,2,$ . . .

.

$n$

に対して,

$\frac{dx_{i}(t)}{dt}=x_{i}(t)[a_{i}(t)-b_{i}(t)x_{i}(t)-\sum_{j=1}^{n}c_{ij}(t)x_{j}(t-\tau_{ij}(t))-\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{ij}}^{0}k_{ij}(t,$$s\backslash ,x_{j}(t+s)ds]$

(1.1)

$\{$

$x_{i}(t)=(p_{i}(t)\geq 0,$

ただし,$x_{i}(t)$$\tau=\sup\{\tau_{ij}(t),$は$i$$\sigma_{ij}|t\geq t_{0},$番目の種の時刻$t$上で定義され,$\sigma_{ij}(i, j=1,2, \ldots, n)$$\mathrm{i},$$\phi_{i}(0)>0$$j=1,2,$$\ldots,$

$n\}$

.

での人口密度を表している.

は $R=(-\infty, +\infty)$ 上で定義され,$R\mathrm{x}[-crij, 0]$

かつ$-\tau\leq t\leq 0$$a_{i}(t),$$b_{i}(t),$任意の $t\in R$ に対して連続である.

$t\in R$に関して連続で,$s\in[-\sigma_{ij}, 0]$$c_{ij}(t),$$\tau_{ij}(t)(i, j=1,2, \ldots, n)$$k_{ij}(t, s)(i, j=1,2, \ldots, n)$はに関して積分可能である. また,は非負の定数とする.

Definitic)n 1.1. 系 (1.1) の任意の正の解 $x_{i}(t)$ に対して,$0< \lim_{tarrow\infty}\inf x_{\dot{\mathrm{t}}}(t)\leq\lim_{larrow}\sup_{\infty}x_{i}(t)<+\infty,$$\mathrm{i}=1,2,$ $\ldots,n$が成立するとき, 系 (1.1) は persistence であるという.

Definition 1.2. 系 (1.1) の任意の正の解$x_{i}(t)$に対して,$0<m \leq\lim_{tarrow\infty}\inf x_{i}(t)\leq\lim_{tarrow}\sup_{\infty}x_{i}(t)\leq M<+\infty,$$\mathrm{i}=1,2,$ $\ldots,n$となる初期値によらない正定数 と $M$ が存在するとき, 系 (1.1) は permanence であるという.
$[1,2]$ , Ahmad(1.1) のような式は数理生態学において非常に重要なモデルであり, これまで Tengand Lazer [3], Gopalsamy $[4,5]$ , Tineo and Alvarez [6], Zhao, Jiang and Lazer [7] 等の多くの論文$m$で研究されてきた. Teng[l] は系 (1.1) が permanence かっ global at 廿 active であることを証明してに関してはその証明に不十分な箇所があるのではな かと思い, 条件をいるのだが,

permanence$\mathrm{I}_{l}\mathrm{a}$簡潔にして証明を完全にすることにした.
$t_{0}\in R$

を初期時刻とし, 系 (1.1) に対して次の条件を考える. ただし, 関数 $f(t)$ に対して,$f(t)=f^{-}(t)+f^{+}(t),$

(A1)
て,

$1\leq i,$ $j\leq n$$a_{i}(t),$ $b_{i}(t),$$f^{-}(t)= \min\{0,f(t)\},$

に対し,$\tau_{ij}(t)$$f^{+}(t)= \max\{0,f(t)\}$$a_{i}(t),$ $b_{i}(t),$ $c_{ij}(t),$ $\tau_{ij}(t)$は非負とする.

は$[t_{0}, \infty)$とする.

上で有界で, かつ, 任意の $t\geq t0$ におい

6
(A2)

任意の

つ,

数

に対し, 任意の $t\geq t0$ において,$1\leq i,$ $j\leq n$$h_{0}(t)$と $s\in[-\sigma_{ij},0]$ に対して,$t\geq t_{0}$$k_{ij}(t, s)$

は $s\in[-\sigma_{ij}, 0]$ に関して積分可能,$|k_{ij}(t, s)|\leq h_{0}(t)$かとなる非負で $(-\infty, 0]$ 上積分可能な関が存在する.

(A3) 各 $1\leq j\leq n$ に対して,$\lim_{tarrow}\inf$(A4) $j=1,2,$$\ldots,$

$n$

に対して,

$\{b_{i}(t)+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}^{-}(t)+\sum_{j=1}^{n}f_{-\mathit{0}_{\dot{l}j}}.k_{ij}^{-}(t, s)ds\}>0$$\lambda_{i}(t),$$\xi_{i}(t)$

(1.2)

.

を次のように定義する.
,$\lambda_{i}(t)=b_{i}(t)+c_{ii}^{+}(t)+\int_{-\sigma_{\iota i}}^{0}k_{ii}^{+}(t, s)ds$$\xi_{i}(t)=\sum_{j\neq i}^{n}\backslash c_{ij}^{+}(t)+f_{-\sigma_{ij}}/k_{\dot{\mathrm{t}}j}^{+}(t, s)ds)M$.

ただし,$a_{i}(t)$$M= \sup\{$$|t\geq t_{0},$$\mathrm{i}=1,2,$$\ldots,$

$n\}$

(1.3)

$b_{i}(t)+ \sum_{j=1}^{n}c_{ij}^{-}(t)+\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{ij}}^{0}k_{ij}^{-}(t, s)ds$

とする.

このとき,
$\lim_{tarrow\infty}\int_{t_{0}}^{t}[a_{i}(n)-\eta_{0}\lambda_{j}(u)-\xi_{i}(u)]du=+\infty,$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}[a_{\mathrm{i}}(u)-\eta_{0^{J}}\mathrm{t}_{i}(u)-\xi_{i}(u)]du\geq-m’,$を満たす正定数$\eta_{0},$$m’$$\mathrm{i}=1,2,$$\forall t_{2}>\forall t_{1}\geq t_{0},$$\ldots,$

(1.4)

$n$

$\mathrm{i}=1,2,$ $\ldots,n$(1.5)

が存在する.

次の定理が本報告の主結果である.

Theorem LL$(\mathrm{A}1)-(\mathrm{A}4)$を仮定すると, 系 (1.1) の任意の解$x_{i}(t)$$0<m \leq\lim_{tarrow\infty}\inf$ $x_{i}(t) \leq\lim_{t\prec}\sup_{\infty}x_{i}(t)\leq M<+\infty,$に対して,$i=1,2,$を満たすような, (1.6) で定義した $M$ と $m=\eta_{0}\exp(-m’)$ が存在する.

$\ldots,$$n$$M,m$ は初期値によらない正定数である. つまり, 系 (1.1) は permanence である.

Remark. Teng [1] は, 条件 (A3) と (A4) 代わりに以下の条件 (A5) と (A6) を用いて系 (1.1) がpermanece であることを証明している.
(A5)

しかし,

その証明は不完全であると思われる.

$\text{関^{}\backslash }\text{数}$$\beta_{i}(t)=b_{i}(t)p_{i}+\sum_{j=1}^{n}c_{\dot{f}j}^{-}(t)(1+\alpha)p_{j}+\sum_{j=1}^{n}[_{-\sigma_{ij}}k_{ij}^{-}(t, s)(1+\alpha)p_{j}ds$が,$\mathrm{P}\mathrm{f}_{\cup}^{\mathrm{B}},\in \mathrm{J}_{\backslash }$の $t\geq t_{0}$ において $\beta_{i}(t)\geq a_{i}(t),$$\beta(\mathrm{r})=\min_{1\leq i\leq n}\beta_{i}(t)>0,$

満たすような正定数 $p_{i}(\mathrm{i}=1,2, \ldots, n)$ と(A6) 任意の$t\geq t_{0}$に対して$\mathrm{i}=1,2,$$\rangle$$\alpha$$\ldots,$$\int_{t_{0}}^{\infty}\beta(t)dt=\infty,$が存在する.
$n$で,$\int_{t}^{t+\omega}[a_{i}(u)-\sum_{j\neq i}^{n}c_{ij}^{+}(u)pj-\sum_{j\neq i}^{n}I_{-\sigma_{ij}}^{k_{ij}^{+}}(u, s)p_{j}ds]du\geq\zeta$となるような正の定数$\omega,$$\zeta$が存在する.

$\lim_{tarrow}\sup_{\infty}\frac{a_{i}(t)}{\beta(t)}\leq 1\mathrm{g}_{\mathrm{i}}$7

2 Theorem 1.1 の証明
Theorem 1.1 をLemma 21.

$\overline{\pi}_{\overline{\overline{\mathrm{p}}}}1$$\text{明}$3 つの Lemma をするのに,$ffl_{\mathrm{J}}^{\mathrm{R}}\mathrm{s}_{\backslash }$する.

を oe\not\in する. そのとき, 系 (1.1) の{\not\equiv ,$=\in\nirightarrow\backslash$$(\mathrm{A}1)-(\mathrm{A}3)$$\mathrm{i}=1,2,$$\lim_{tarrow}\sup_{\infty}x_{\mathrm{i}}(t)<+\infty,$の$\ldots,$$\mathrm{g}_{*}^{\pi}$$x_{i}(t)$

に対して,

$n$

が成り立つ.

Proof.

$\{1, 2, \ldots, n\}$の部分集合 $F$ が存在して,いると仮定する. すると,$\{-j_{p}\}_{p=1}^{\infty}$$x_{j}(t)\leq x_{j}(\overline{t}_{p}^{j}),$が存在する. ただし,十分大きな正の整数

$p$

に対して,

$\lim\sup_{tarrow\infty}x_{j}(t)=+\infty$

が成立して$j\in P$ に対して,$D^{-}x_{j}(-\dot{d}_{p})\geq 0,$となる点列$j\in P$$t_{0}\leq t\leq\dot{F}_{p}$$D^{-}x_{j}(t)$かつ$\lim_{parrow\infty}x_{j}(\overline{t}_{p}^{j})=+\infty$

は $x_{j}(t)$ の Dini の左下微分を表すとする, また,に対して,$t_{0}\leq\forall t\leq\tilde{t}_{p}^{\mathrm{a}_{p}},$$x_{j}(t)\leq x_{i_{p}}(t_{p}^{\rho})\prec,$となる $i_{p}\in P$ が存在する.

$1\leq j\leq n$

このとき,$0\leq D^{-}x_{j}(i_{p}^{\mathrm{e}_{p}})$$\leq x_{i_{p}}(\acute{t}_{p}^{i_{p}})[a_{i_{p}}(i_{p}^{\dot{\mathrm{a}}_{p}})-(b_{i_{\beta}}(^{\triangleleft}t_{p}^{\rho})+\sum_{j=1}^{n}c_{i_{p}j}^{-}(^{\prec}t_{p}^{p})+\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{i_{p}j}}^{0}k_{i_{P}j}^{-}(t_{p}^{\mathrm{a}_{p}}, s)ds)x_{t_{p}C^{\dot{\prec}}}t|)]$よって (1.2) より,$b_{i_{p}}( \overline{t}_{p}^{i_{p}})+\sum_{j=1}^{n}c_{i_{p}j}^{-}(t_{\mathit{1}^{\mathit{2}}}^{p}.)\prec+\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{i_{P}j}}0.k_{i_{\beta}j}^{-}(t_{p}^{p}, s)ds\mathrm{a}>0$なので,$a_{i_{p}}(t_{p}^{p})\triangleleft$$<+\infty$$x_{i_{p}}(i_{p}^{i_{p}})\leq$$b_{\mathrm{i}_{p}}(t_{l^{J}}^{p})+ \sum_{j=1}^{n}\dot{\dashv}(^{\prec}t_{p}^{p}c_{i_{p}j}^{-})+\sum_{j=1}^{n}[_{-\sigma_{i_{p}j}}k_{i_{P}j}^{-}(\overline{t}_{p}^{\dot{\mathrm{z}}_{p}}, s)ds$

を得るが,

口

これは矛盾.

Lemma 22.

$(\mathrm{A}1)-(\mathrm{A}3)$を仮定する. そのとき, 系 (1J) の任意の解$\lim_{tarrow}\sup_{\infty}x_{i}(t)\leq M,$が成り立つ.

$M$$j=1,2,$$\ldots,$$n$.

$\lim_{tarrow}\sup_{\infty}x_{i}(t)<+\infty(i=1,2, \ldots,n)$

なので,

(2.1)

$\overline{x}=\max_{1\leq i\leq n}\{\lim_{tarrow}\sup_{\infty}x_{i}(t)\}$$\overline{x}$

このとき,

(i)

$x_{i_{0}}(t)$に対して,は (1.6) で定義したものである.

Proof. Lemma 2. 1 より,となる$x_{i}(t)$をとることができる. つまり, i=l 而$\overline{x}\leq M$となることを示す.

$\overline{x}>M$$\sup_{tarrow\infty^{X}}i_{0}(t)$となる $i_{0}\in\{1,2, \ldots, n\}$ が存在する.

を仮定する.

がある時刻より先では, 単調減少する場合 :$\overline{x}>M$$-x>M+\eta$

より,

(2.2)

8
となる $\eta>0$ がとれる.

この$\eta$

に対して, 十分大きな時刻 $T_{0}>0$ をとると,$t\geq T_{0}$において,$0< \epsilon<\eta\inf\{b_{i}(t)+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}^{-}(t)+\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{ij}}^{0}k_{ij}^{-}(t, s)ds|i=1,2,$$\ldots,$

(2.3)

$n\}$

$b_{i}(t)- \sum_{j=1}^{n}c_{ij}^{-}(t)-\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{jj}}^{0}k_{ij}^{-}(t, s)ds$

を満たす$\epsilon$

をとり,

(2.4)

$\overline{x}-\epsilon<x_{i_{0}}(t)<\overline{x}+\epsilon$とすることができる. また, (2.1) より, 一般の $1\leq i\leq n$ に対しても,,$x_{i}(t)<\overline{x}+\epsilon$とすることができる.

$T_{0}’=T0+\tau$$i=1,2,$$\ldots,$$t\geq T_{0}$

において,

(2.5)

$n$

とおくと, (2.2), (2.4), (2.5) より,$t\geq T_{0}’$に対して,$x_{i_{0}}’(t)<x_{i_{0}}(t)[a_{i_{0}}(t)-b_{i_{0}}(t)( \overline{x}-\epsilon)-\sum_{j=1}^{n}c_{\mathrm{i}_{0}j}^{-}(t)(\overline{x}+\epsilon)-\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{i_{0}j}}^{0}k_{i_{0}j}^{-}(t, s)(\overline{x}+\epsilon)ds]$$<x_{i_{0}}(t)[a_{i_{0}}(t)-(b_{i_{0}}(t)+ \sum_{j=1}^{1f}c_{i_{0}j}^{-}(t)+\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{i_{0}j}}^{0}k_{i_{0}j}^{-}(t, s)ds)M$$-(b_{i_{0}}(t)+ \sum_{j=1}^{n}c_{i_{0}j}^{-}(t)+\sum_{j=1}^{n}I_{-\sigma_{\mathrm{i}_{0}j}}^{k_{i_{0}j}^{-}(\mathrm{r},S)ds)\eta}$$+(b_{\dot{:}0}(t)- \sum_{j=1}^{n}c_{i_{0}j}^{-}(t)-\sum_{j=1}^{n}[_{-\sigma_{i_{0}j}}k_{i_{0}j}^{-}(t, s)ds)\epsilon]$(2.6)となる. すると, (1.3), (2.3) より,$a_{i_{0}}(t)-(b_{i_{0}}(t)+ \sum_{j=1}^{n}c_{i_{0}j}^{-}(t)+\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{i_{0}j}}^{0}k_{i_{0}j}^{-}(t, s)ds)M<0$-()$b_{i_{0}}(t)+ \sum_{j=1}^{n}c_{i_{0}j}^{-}(t)+\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma j_{\mathrm{Q}^{j}}}^{0}k_{i_{0}j}^{-}(t, s)ds$$\eta+(b_{i_{0}}(t)-\sum_{j=1}^{n}c_{i_{0}j}^{-}(t)-\sum_{j=1}^{n}f_{-\sigma_{i_{0}j}}k_{i_{0}j}^{-}(t, s)ds)\epsilon<0$なので, (2.6) において,(2.7)$x_{i_{0}}’(t)<-\delta x_{i_{0}}(t)$を満たす定数$\mathit{5}>0$をとることができる.

$xi_{0}(t)<x_{i_{0}}(T_{0}’)\exp\{-\delta(t-T_{0}’)\}$となり,

ここで, (2.7) の両辺を$tarrow\infty$とすれば,$T_{0}’$

から$t$まで積分すると,$x_{i_{0}}(T_{0}’)\exp\{-\mathit{5}(t-T_{0}’)\}arrow 0$

となるので

矛盾.

(ii) (i) 以外の場合 : このとき,
る.

$x_{i_{0}}’(t_{P}^{i_{0}})\geq 0$

かつ$\lim\sup_{parrow\infty}x_{i_{0}}(t_{p}^{i_{0}})=\overline{X}\text{と}$また, (i) と同様にして, (2.2) を満たす $\eta>0$ がとれる. この$T_{1}>0$と正の整数$p_{1}$

をとると,$t\geq T_{1}$$\eta$

なる点列$\{t_{p}^{i_{0}}\}_{p=1}^{\infty}$が存在すに対して, 十分大きな時刻

かつ $p\geq p_{1}$ において,$b_{i}(t)+ \sum_{j=1}^{n}c_{ij}^{-}(t)+\sum_{j=1}^{n}f_{-\sigma_{ij}}k_{ij}^{-}(t, s)ds$$|i=1,2,$$0< \epsilon<\eta\inf\{$$b_{i}(t)- \sum_{j=1}^{n}c_{ij}^{-}(t)-\sum_{j=1}^{n}f_{-\sigma_{j}}k_{ij}^{-}(t, s)dsj$$\ldots,$

$n\}$

(2.8)

9
を満たす

$\epsilon$

をとり,

(2.9)

$\overline{x}-\epsilon<x_{i_{0}}(i_{p}^{0})$$x_{i}(t)<\overline{x}+\epsilon$とすることができる.
(2.9),$(2,10)$ より,

とおく .

$T_{1}’=T_{1}+\tau$$p\geq p_{1}$$i=1,2,$,$t_{p_{1}}^{i_{0}}\geq T_{1}’$$\ldots,$(2.10)$n$としても一般性を失わない. よって, (2.2),のとき,$0\leq x_{i_{0}}’(t_{p}^{i_{0}})$$<x_{\mathrm{i}_{0}}(t_{p}^{i_{0}})[a_{i_{0}}(t_{\mathit{1}^{y}}^{i_{0}})-b_{i_{0}}(t_{p}^{i_{0}})( \overline{x}-\epsilon)-\sum_{j=1}^{n}c_{i_{0}j}^{-}(\dot{f}_{p^{0}})(\overline{x}+\epsilon)-\sum_{j=1}^{n}[_{-\sigma_{i_{0}j}}k_{i_{0}j}^{-}(t_{p}^{i_{0}}, s)(\overline{x}+\epsilon)ds]$$<x_{i_{0}}(t_{p}^{i_{0}})[a_{i_{0}}(t_{p}^{i_{0}})-(b_{i_{0}}(i_{p}^{0})+ \sum_{j=1}^{n}c_{\mathrm{i}_{0}j}^{-}(t_{p}^{i_{0}})+\sum_{j=1}^{n}[_{-\sigma_{i_{0}j}}k_{\mathrm{i}_{0}j}^{-}(t_{\mathit{1}^{J}}^{i_{0}}, s)ds)M$$-(b_{i_{0}}( \dot{\mu}_{p})+\sum_{j=1}^{n}c_{i_{0}j}^{-}(t_{p}^{i_{0}})+\sum_{j=1}^{n}[_{-\sigma_{0^{j}}}\dot{‘}k_{i_{0}j}^{-}(t_{p}^{\mathrm{i}_{0}}, s)ds)\eta$$+(b_{i_{0}}(t_{p}^{i_{0}})- \sum_{j=1}^{n}c_{i_{0}j}^{-}(t_{p}^{i_{0}})-\sum_{j=1}^{n}\int_{-\sigma_{\mathrm{i}_{0}j}}^{0}k_{i_{0}j}^{-}(t_{p}^{iq}, s)ds)\epsilon](2.11)$となる. すると, (1.3), (2.8) より, (2.11) はLemma 23.

$(\mathrm{A}1)-(\mathrm{A}4)$を\mbox{\boldmath $\varpi$}$\hat{i\mathrm{E}}$$0\leq x_{i_{0}}’(t_{p}^{j_{Q}}.)<0$

する. そのとき, 系 (1.1) の$0<m \leq\lim_{tarrow\infty}\inf x_{i}(t),$となり矛盾.

$4\mathrm{f}_{\mathrm{u}\backslash }^{\mathrm{B}},\approx$の$\mathrm{E}\Pi\not\simeq x_{i}(t)$$\square$に対して,$i=1,2,$ $\ldots,n$を満たす正定数 $m=\eta_{0}\exp(-m’)$ が存在する.

Proof. ある番号
分大きな

$T_{2}$$\mathrm{i}_{1}\in\{1,2, \ldots, n\}$に対して, 任意の $t\geq T_{2}$ において $x_{i_{1}}(t)<\eta_{0}$ が成立するような十がとれると仮定する. (1.1) より,$x_{i_{1}}’(t) \geq x_{i_{\mathrm{t}}}(t)[a_{\mathrm{i}_{1}}(t)-b_{i_{1}}(t)x_{i_{1}}(t)-\sum_{j=1}^{n}c_{i_{1}j}^{+}(t)x_{j}(t-\tau_{i_{1}j}(t))-\sum_{j=1}^{n}\int_{-\zeta\Gamma_{i_{1}j}}^{0}k_{i_{1}j}^{+}(t, s)x_{j}(t+s)ds]$$>x_{i_{1}}(t)[a_{i_{1}}(t)-\eta_{0}\lambda_{i_{1}}(t)-\xi_{i_{1}}(t)]$(2.12) を$T_{2}$

から$t$まで積分すると,$x_{i_{1}}(t)>x_{i_{1}}(T_{2}) \exp(\int_{T_{2}}^{\iota}[a_{i_{1}}(u)-\eta_{0}\lambda_{i_{1}}(u)-\xi_{i_{1}}(u)]du)$

ここで $tarrow\infty$ とすれば,(1.4) より,

盾. ゆえに,を満たす十分大きなら$t$$X_{\dot{f}3}(T_{2})=\eta_{0}$(2.12).

$x_{i_{1}}(T_{2})\exp\{$ $I_{T_{2}}^{t}[a_{i_{1}}(u)-\eta_{0}\lambda_{i_{1}}(u)-\xi_{i_{1}}(u)]du)arrow\infty$

2 が存在することがわかる.

$T$

を得る.

となり, 矛次に, (2.12) を$T_{2}$

力\supsetまで積分すると, (1.5) より,$x_{i_{1}}(t)>x_{i_{1}}(T_{2}) \exp(\int_{T_{2}}^{t}[a_{i_{1}}(u)-\eta_{0}\lambda_{i_{1}}(u)-\xi_{i_{1}}(u)]du)\geq\eta_{0}\exp(-m’)$を得る. よって,$m=\eta_{0}\exp(-m’)$とすればよい.

Proof of Theorem 1.1. Lemma 21-23 より, Theorem 1A の結論を得る.

口
口

10

3 条件について
まず, 条件 (A4) が条件 (A6) を含むことを示す.

Lemma 31. 有界で積分可能な関数 $g(u)$ に対して,(3.1)$\lim_{tarrow\infty}\inf\int_{t}^{t+\omega}g(u)du>0$

を満たす正定数$\omega$が存在すると仮定する. そのとき,$g(u)$ は(3.2)$\lim_{tarrow\infty}\int_{0}^{t},g(u)du=+\infty$を満たし, また,.
$\int_{r_{1}}^{t_{?}}$$g(u)du\geq-m’,$(3.3)$\forall \mathrm{r}2>\forall t1\geq t_{0}$を満たす正定数 $m’$ が存在する.

Proof. (3.1) より,$\lim\inf_{tarrow\infty}f_{t}^{t+\omega}g(u)du=m$を満たす $m>0$ を取ることができ, また, 4\neq B,R- の$t>T$ に対して,(3.4)$\int_{t}^{t+\omega}g(u)du\geq m-\epsilon>0$が成立するような$\epsilon>0$と十分大きな

まず, (3.1)\Rightarrow (3.2) を示す.

$g(u)$

$T$

を

$t$

が存在する.
から $t+n\omega$ まで積分すると, (3.4) より,$\int_{t}^{t+n\omega}g(u)du=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{i\omega+t}^{(i+1)\omega+t}g(u)du\geq n(m-\epsilon)$$narrow\infty$とすれば,$\int_{t_{0}}^{\infty}g(u)du=+\infty$

次に, (3.1)\Rightarrow (3.3) を示す.

$g(u)$.

となるので (3.2) が成立.
を

$t_{1}$

から$t_{2}$

まで積分すると (ただし,$t_{2}>t_{1}\geq T$),$\int_{t_{1}}^{t_{2}}g(u)du=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{l_{1}+\mathrm{i}\omega}^{t_{1}+(i+1)\omega}g(u)d_{lt}+\int_{t_{1}+n\omega}^{t_{2}}g(u)du\geq n(m-\epsilon)+\int_{1}^{t_{2}},+n\omega g(u)du$を得る.

$0\leq t_{2}-(t_{1}+n\omega)<\omega$としても一般性を失わない.

$g(u)$ は有界であるので,$n(m- \epsilon)+\int_{t_{1}+n\omega}^{t_{2}}g(u)du\geq-m’$を満たす $m’>0$ が存在する. 以上より, (3.3) は成立
ここで, (3.2) と (3.3) を満たすが,$\square$(3.1) は満たさない $g(u)$ の例を紹介する.

Example.
$g(u)=\{$$\frac{\pi}{2^{3n+1}}\sin(\frac{\pi}{2^{3n}}u)$$(2^{3n}\leqq u\leqq 2^{3n+1})$$\pm^{\pi}2^{n1}\sin(\frac{\pi}{2^{3n+1}}u+\pi)$$(2^{3n+1}\leqq u\leqq 2^{3n+2})$0$(2^{3n+2}\leqq u\leqq 2^{3n+3})$

11
とする.

$g(u)$ を $2^{3n}$から $2^{3n+1}$ までと,$2^{3n+1}$

から $2^{3n+2}$ までそれぞれ変数変換を用いて積分すると,$\int_{23n}^{2^{3n+1}}g(u)du=\frac{1}{2}\int_{\pi}^{2\pi}\mathrm{s}.\mathrm{n}\theta d\theta=-1,$を得る. 今,$t=t_{n}=2^{3n}$に対して,$0\leq\omega_{n}\leq 2^{3n}$$\int_{2^{3n+1}}^{2^{3n+2}}g(u)du$ $= \int_{2\pi}^{3\pi}\sin$を満たすような$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{t_{n}+\omega_{n}}g(u)du\leq 0$

これは (3.1) を満たさない.

となり,$Odfl=2$をとると,$\omega_{n}$

,

しかし,

$\lim_{tarrow+\infty}\int_{t_{0}}^{r}g(u)du=+\infty,$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}g(u)du\geq-1$

であり, つまり, (3.2) と (3.3) を満たす.

この例では関数 $g(u)$ を与えているが, (1.1) の係数 $a_{i}(u)$ 等は与えていない. つまり, (1.1) の具体例は与えていないのだが, この例によって, 条件 (A6) が条件 (A4) に含まれることがわかる.

Corollary. Ahmad and Lazer [31 による averaged conditions を用いると, (1.4) と (L5) の十分条件$\backslash$として,$m[a_{i}-\xi_{i}]>0$を得ることができる. ただし,$[t_{0}, +\infty]$

and$M[\lambda_{i}]<+\infty,$$\mathrm{i}=1,2,$

..

$-,$

$n$

上で有界で連続な関数 $c(t)$ に対して,$m[c]= \lim_{1arrow}\inf_{\infty}\{\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}c(s\rangle ds|t_{0}\leq t_{1}<t_{2}$and$t_{2}-t_{1}\geq t\}$

,

$\{$

$M[c]= \lim_{larrow}\sup_{\infty}\{\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}c(s)ds|t_{0}\leq t_{1}<t_{2}$and$t_{2}-t_{1}\geq t\}$.

と定義する.

4

まとめと今後の課題
Teng[l] では, 上界に関して, 各$i$ごとに異なる上界をとっていたが, ここでは条件を簡潔にし,共通の上界 $M$ をとることによって証明した. また, Muroya[8] では, 係数行列の対角成分以上が正という符号条件をつけて persistence であることを証明して る力 , ここではそのような符号条
件をな 1. permanence まで証明した. 下界に関しては, Teng[l] の条件を 2 つの条件にわけて証$\grave{1}\backslash$$1_{J}\backslash$$\langle$[91 に見られる
明した. これが改良点である. 今後の課題としては, S.Liu, M.Kouche, and N.Tater

ような逐次反復法を使うことによって, 各成分$i$

ことに上界・下界を改善することが期待される.

参考文献[1] Z. Teng, Nonautonomous$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{k}\mathrm{a}rightarrow \mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{a}$Systems with Delays, J.

Differential Equations

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