数理解析研究所講究録
第 895 巻 1995 年 1-14

1

$E_{6}$型極大トーラス部分群と 3 次曲面
京大 . 理松澤淳一(Jun-ichi

三次元複素射影空間にのる 3 次曲面の族を$P^{3}(\mathbb{C})$$E_{6}$

Matsuzawa)で定義された非特異 3 次曲面の moduli 空間と、 その上型ルート系と Weyl 群および

$E_{6}$型随伴群の極大トー ラス

部分群を用いて構成するという、 成木勇夫氏との共同研究の報告をしたい。
3 次曲面と$E_{6}$型ルート系、 Weyl 群との関係は古くからさまざまな角度から研究されてきた。たとえば、 (1)3 次曲面上には 27 本の射影直線がのっているが、 その交わり方を変えない置換群が$H_{2}(S, Z)$

して$E_{6}$$E_{6}$

型 Weyl 群と向型である。 (2)$S$の中間ホモロジー

において、 標準因子のホモロジー類に直交する sublattice は交叉形式に関型 root lattice と同型になる。 (3)$E_{6}$

型単純特異点の普遍変形は$E_{6}$

型リー環の Cartan 部分環を用いて記述されるが、 この変形の非特異ファイバーのコンパクト化として 3 次曲面が得られる、 などということがわかっている。 このように 3 次曲
面と$E_{6}$型リー環なりルート系、 Weyl 群とは深い関係にある。一方、 非特異 3 次曲

面 (marking 付き) の moduli を D4 型随伴群の極大トーラス部分群と D4 型ルート系

を用いて構成する事ができる ([3])。 さらに [2] ではこの空間を複比の立場からとらえ直し、 そのコンパクト化が構成されている。 こうした背景から、 [2] での手法をさらに$E_{6}$型ルート系に応用する事により、 moduli の上にのる曲面の族をルート系やWeyl 群を用いて構成する事が期待される。実際それができるという事を以下説明したい。

13 次曲面とルート系$S$を$P^{3}(\mathbb{C})$で定義された非特異 3 次曲面とする。

ている。 これを$S$

上には 27 本の射影直線がのっ,$L_{1},$$\ldots,$$L_{27}$としよう。 これらは第一種例外曲線の集合と $-$ 致している。
$\mathcal{L}_{S}=\{L_{1}, \ldots, L_{27}\}$

2$ffi|\rfloor$l(Clebsch の diagonaI surface)$S= \{(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4})\in P^{4}|\sum_{i=0}^{4}x_{i}^{3}=\sum_{i=0}^{4}x_{i}=0\}$$S$

上には $x_{i}+x_{j}=0,$ $x_{k}+x\iota=0$ ( $i,j,$ $k,$$l$:distinct) で定義される直線が 15 本、$x_{j}+\alpha x_{k}=0,$ $x_{l}+x_{m}+(1-\alpha)x_{n}=0(i,j,$$k$: distinct,$l,$$m,$ $n$$x_{i}+$: distinct, $\#(\{i,j, k\}\cap$$\{l, m, n\})=1,$ $\alpha^{2}-\alpha-1=0)$ で定義される直線が 12 本ある。

$S$の 2 次元ホモロジー群を考える。
$H_{2}(S,\mathbb{Z})\simeq Z^{\oplus 7}$標準因子の類を柄とすると次が成り立つ。

命題 1 (see e.g. [1])$S$を非特異 3 次曲面とする。

$V_{Z}:=k_{s}^{\perp}=\{v\in H_{2}(S, \mathbb{Z})|(v, k_{S})=0\}$$V:=V_{Z}\otimes_{Z}\mathbb{R}$,,, ここで ,

$Rs:=\{\alpha\in V_{Z}|(\alpha, \alpha)=-2\}\subset V$

$($

$)$

は交叉形式

とすると、

(i) $(V, R_{S})$ は交叉形式に関して$E_{6}$型ルート系となる。 (ただし内積は negative def-inite)(ii) $R_{S}=\{[L_{i}]-[L_{j}]|L_{i}, L_{j}\in \mathcal{L}_{S}, 1\leq i,j\leq 27, i\neq j, L_{i}\cap L_{j}=\emptyset\}$の直線$L_{i}$$[L_{i}]$は $S$ 上のホモロジー類。

(iii) $W_{R}=$ { $g\in$ Aut $(H_{2}(S,$$E_{6}$、$\mathbb{Z}))|g$は内積 (, ) を保ち$k_{S}$

を固定} とすると、$W_{R}$

は型 Weyl 群に同型になる。

ランク 7 の lattice$U_{Z}=$

ZZ$\oplus$Ze$1\oplus\cdots\oplus Ze_{6}$に双一次形式が $(l, l)=1,$ $(l, e_{i})=0,$ $(e_{i}, e_{i})=-1,$ $(e_{i}, ej)=0,$ $(1\leq i,j\leq 6, i\neq j.)$のように入っているとする。 $k=-3l+e_{1}+\cdots+e_{6}$ とし$\ovalbox{\tt\small REJECT}:=\{u\in U_{Z}|(u, k)=0\}$$V:=V_{Z}\otimes_{Z}\mathbb{R}$,,$R(E_{6});=\{\alpha\in V_{Z}|(\alpha,$ $\alpha)=-2\}$

3とすると $R(E_{6})$ は V における

$E_{6}$型ルート系となる。 また$\mathcal{L}:=\{v\in V_{Z}|(v, v)=(v, k)=-1\}$とすると$\mathcal{L}=\{e_{i}, l-e_{i}-ej(i\neq j), 2l-\sum_{n=1}^{6}e_{n}+e_{i}|1\leq i,j\leq 6\}$となり乙は 27 個の元からなる集合になる。

ん $=l-e_{i}-e_{j}$ ,$g_{i}=2l- \sum_{n=1}^{6}e_{n}+e_{i}$

とおく。
$S$

$\pi\wedge\ovalbox{\tt\small REJECT}$

上の 27 本の直線の集合$\mathcal{L}_{S}$に対して、 乙から$\mathcal{L}_{S}$への写像$m:\mathcal{L}arrow \mathcal{L}_{S}=\{L_{1}, \ldots L_{27}\}$であって、 $\#\{L_{i}\cap L_{j}\}=(m^{-1}(L_{i}),m^{-1}(L_{j}))$ となるものがある。 これを $S$ の mark-ing とよぶ。 また命題 $1(ii)$ より marking $m$ は $R(E_{6})$ から $Rs$ への isometry をひきおこす。 これを$\tilde{m}$と書くことにする。 $S$ と $m$ のペア $(S, m)$ を marking 付 3 次曲面と呼ぶ。

marking 付 3 次曲面 $(S, m),$ $(S’, m’)$ が同型であるとは、 同型$\pi\infty\ovalbox{\tt\small REJECT}$

あって、

2

$\Phi$が引き起こす写像$\Phi_{*}:\mathcal{L}_{S}arrow \mathcal{L}_{S’}$$\Phi$: $S\simeq S’$ でが $\Phi_{*}om=m$‘をみたすときをいう。

周期写像とルート系$S$を非特異 3 次曲面、 $m$ を marking とする。 $S$ 上の点$p$における接平面を$T_{p}$とする。 $T_{p}\cap S$ は 3 次曲線となる。

補題 2$C_{p}=T_{p}\cap S$とする。 $S$ を定義する 3 次式を $F(x)$、$F$の Hessian を $Hess(F)$とし、 $Hess(F)=0$ で定義される $S$ 上の曲線 (12 次曲線) を $H$ とする。 $H$ を parabolic

curve という。 $S^{*}:=S\backslash (HUL_{1}\cup\cdots\cup L_{27}),$(i)$p\in s*\Rightarrow C_{p}$は node をもつ 3 次曲線。

(ii) $p\in L_{i}\Rightarrow C_{p}=conic\cup$ line(iii)

$p\in H\Rightarrow C_{p}$は cusp をも、つ 3 次曲線。

$(L_{i}\in \mathcal{L}_{S})$としたとき、

4

となる。
$D$

を $S$ 上の楕円曲線とする。 $S$ 上の line bundle を $D$ に制限する事により、準同型

Pic $(S)arrow$ Pic $(D)$を得る。 $-$ こで、 Pic(X) は X の Picard 群 (line bundle の同値類のなす群)。 この準同型を $S$ の canonical line bundle(degree が$0$の直交補空間に制限した写像の像は Pico(D)の因子の類) に入る。
$($

$D$

$K_{S}$

Pic $(S))^{\perp K_{S}}arrow Pic^{0}(D)$が node を持つとき、 $D$ の orientation をきめれば同型

Pico(D {node})$\simeq \mathbb{C}^{*}$$\backslash$は定数倍をのぞいてきまるが、

$S$

$($

は同型 Pico(D$\backslash${node})

あるから命題 1 より Pic$($

markingから$\mathbb{C}^{*}$$\tilde{m}$が非特異ならばこの同型を通じてPic$(S))^{\perp K_{S}}arrow \mathbb{C}^{*}$の取り方によらずきまる。いま Pic $(S)\simeq H_{2}(S, Z)$ で$\simeq \mathbb{C}^{*}$$(S))^{\perp K_{S}}$は$E_{6}$

型 root lattice$\mathbb{Z}R_{S}$に同型である (命題 1)。

: $R(E_{6})\simeq Rs$ により、結局 $(S, D, m)$ に対して、$E_{6}$

型 root lattice $ZR(E_{6})$への写像$\varphi(S,D,m)^{;R(E_{6})}arrow \mathbb{C}^{*}$ができた。 こうして得られた周期写像$(S, D, m)\varphi(S_{:}D,m)\in Hom(\mathbb{Z}R(E_{6}), \mathbb{C}^{*})$

を $S$ 上の直線を使って書いてみよう。
$P\in s*$とする。ルート $\alpha\in R(E_{6})$ に対し、する。命題 1 より、 ルート$\alpha$に対して、 $S$ 上の直線$\alpha=[L_{i}]-[L_{j}]$となるものが存在する。 また、$T_{p}$$P$とにおいて $p$ を通る直線は$S$$P^{1}$,$L_{i},$ $L_{j}$$C_{p}$$\alpha$と書くことにであって、は一点で交わる。

でパラメトライズされる.
$l,$ $l’$を略して$L_{i}\cap L_{j}=\emptyset$

上の任意の直線とが node だから 2 本あるがこれを$p_{i}$$R_{S}\ni\tilde{m}(\alpha)$

$P$

における

$C_{p}$の接線はとする. いま $p_{i}=L_{i}\cap C_{p}(i=1,2)$ とし,を通る直線をらとするとき, 複比の組$\{[l, l’;l_{i}, l_{j}], [l‘, l;l_{i}, l_{j}]\}$

を考える。

$C_{p}$

$p$

の

5

orientation$\epsilon$

を決めれば, このどちらかの値を指定できるので, その値を$\chi_{p}^{\epsilon}(\alpha)$と書くことにする.

or$\chi_{p}^{\epsilon}(\alpha)=[l,l’;l_{i}, l_{j}]$$[l’, l;l_{i}, l_{j}]$$\chi_{p}^{-\epsilon}(\alpha)=(\chi_{p}^{\epsilon}(\alpha))^{-1}$$\chi_{p}^{\epsilon}$

は root lattice $ZR(E_{6})$ から像蛾 sc。両である。 したがって方によらず、 $p,m,$$\alpha$$\mathbb{C}^{*}$

への準同型をあたえる. これが上でもとめた写$\chi_{p}^{\epsilon}(\alpha)$はルート$\alpha$に対する $S$ 上の直線$\chi_{p}^{\epsilon}$

は$E_{6}$$L_{j}$の選びのみによって決まる。
$T(E_{6})=Hom($ ZR $(E_{6}),$だから$L_{i},$$\mathbb{C}^{*})$型の随伴群の極大トーラス部分群丁 (E6) の元を定める. いま invo-

lution$\iota:T(E_{6})arrow T(E_{6})$を $\iota(t)=t^{-1}$ とする.

よらな 、ので$\vee$$\chi_{p}$$T(E_{6})$$arrow$

T(E6)/$<\iota$〉による$\chi_{p}^{\epsilon}$の image は orientation にと書くことにする. 点 $p\in s*$ に対して $\chi_{p}\in T(E_{6})/<\iota$ 〉を対応させることにより写像$\tau:S^{*}arrow T(E_{6})/<\iota>$$\text{を_{}i^{B}}’\yen$る.

$\backslash$

このとき

命題 3

写像
$\tau:S^{*}arrow(T(E_{6})\backslash \triangle)/<\iota>$は単射. ここで,$\Delta:=\{t\in T(E_{6})|\alpha(t)=1$

for some $\alpha\in R(E_{6})\}$ . さらに$\tau(S^{*})=(T(E_{6})\backslash \Delta)/<\iota>$[(s,m)]$\in$皿

ここで頒 $=$ {marking 付非特異 3 次曲面の同型類}

3$E_{6}$型ルート系の部分ルート系から決まる複比

前節最後の命題を使って marking 付非特異 3 次曲面の族と moduli をルート系の言葉で記述するために次のように, ルート系に対応した $T(E_{6})/<\iota>$ 上の有理関数

を考える.

6

を D4 型ルート系とする.

$R(D_{4})$$R^{+}(D_{4})$を正ルートの集合とする.

$R^{+}(D_{4})$は 12個の元からなる集合で, 次のように 3 つの部分集合に分けられる.

$\{\begin{array}{l}R^{+}(D_{4})=R_{1}uR_{2}UR_{3}, |R_{i}|=4,\alpha,\beta\in R_{i}, \alpha\neq\beta\Rightarrow(\alpha,\beta)=0,\alpha\in \text{尾}, \beta\in R_{j}, i\neq j\Rightarrow(\alpha,\beta)\neq 0,\sum_{\alpha\in R_{1}}\alpha=\sum_{\beta\in R_{2}}\beta.\end{array}$

たとえば,$R(E_{6})\supset R(D_{4})$を$\alpha_{2},$$\alpha_{3},$$\alpha_{4},$$\alpha_{5}$で生成される部分)$\triangleright$-$\}\backslash$

系とする.

$0—0—0—0—0$$\alpha_{3}$$\alpha_{1}$$\alpha_{4}$$\alpha_{5}$$\alpha_{6}$$o|$$\alpha_{2}$$R_{1}=\{\alpha_{4}, \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{2}+\alpha_{4}+\alpha_{5}, \alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}\}$$R_{2}=\{\alpha_{2}+\alpha_{4}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{5}, \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}\}$$R_{3}=\{\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}, \alpha_{2}+\alpha_{3}+2\alpha_{4}+\alpha_{5}\}$

この分解に付随して次のような関数を考える.
$r= \prod_{\gamma\in R_{1},\gamma’\in R_{2}}\frac{e^{\gamma}-1}{e^{\gamma}’-1}$(ここで,$e^{\gamma}$

はルート$\gamma$を丁上の関数と見なしたときの記号). いま$1-r=-e^{\alpha_{2}} \prod_{\gamma\in R_{3},\gamma’\in R_{2}}\frac{e^{\gamma}-1}{e^{\gamma}’-1}$$= \frac{(e^{-\alpha_{2}}-1)(e^{-\alpha_{3}}-1)(e^{-\alpha_{5}}-1)(e^{\alpha_{2}+\alpha_{3}+2\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)}{(e^{\alpha_{3}+\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)(e^{\alpha_{2}+\alpha_{4}}-1)(e^{-\alpha_{2}-\alpha_{3}-\alpha_{4}-\alpha_{5}}-1)}$となり, 分子の因子は$R_{3}$の元に符号士 1 を掛けたものになっている. これを$1-r= \prod_{1\leq i\leq 4}\frac{e^{\gamma}\cdot-1}{e^{\gamma’}\dot{\cdot}-1}$

と書くと

(1)

をみたす.

$\{\begin{array}{l}\sum_{1\leq i\leq 4}\gamma_{i}=\sum_{1\leq i\leq 4}\gamma_{i}’(\gamma_{i},\gamma_{j})=(\gamma_{i}’,\gamma_{j}’)=0(i\neq j),(\gamma_{i},\gamma_{j}’)\neq 0.\end{array}$

7

補題 4
(i) $R_{D}\subset R(E_{6})$ を D4 型部分ルート系とする。
$S$

(RD)

$=\{(\{\gamma_{i}\},$RD $(1\leq i\leq 4)$ は (1) をみたす。

$\{\gamma_{i}’\})|\gamma_{i},\gamma_{i}’\in$$\}$$cr(S(R_{D}))= \{\prod_{i=1}^{4}\frac{e^{\gamma_{*}}.-1}{e^{\gamma_{*}’}-1}|(\{\gamma i\}, \{\gamma_{i}’\})\in S(R_{D})\}$

とする。
また

$\sum\gamma_{i}=\sum\gamma_{i}’$だから $cr(S(R_{D}))$ の元は $T(E_{6})/\iota$ 上の有理関数となる。

$\forall(\{\gamma_{i}\}, \{\gamma_{i}’\})\in S$(RD) に対して.

$r= \prod_{i=1_{e^{\gamma_{*}}}^{\neg}}^{4e^{\gamma}i_{\frac{-1}{-1}}}$とおくと、$cr(S(R_{D}))=\{r^{\pm 1}, (1-r)^{\pm 1}, (1-1/r)^{\pm 1}\}$

となる。

(ii)

$\gamma_{i},\gamma_{i}’\in R(E_{6})$が (1) をみたすとする$r=\Pi_{=1}^{\dot{4}}$$\circ$鶉とすると、 ある D4 型部

分ルート系 RD があって、 $r\in cr$ ( $S$ (RD)) となる。

$g\wedge\ovalbox{\tt\small REJECT} D_{4}$型部分ルート系$R_{D}$

に対して決まる $cr(S(R_{D}))$ の元$r$を$D_{4}$型 cross ratioとよぶ。集合$\{r^{\pm 1}, (1-r)^{\pm 1}, (1-1/r)^{\pm 1}|\}$

を

$r$

の属する

$D_{4}$型 cross ratio system とよぶ。

上の補題から次の一対一対応があることがわかる。

{
以上、$R(E_{6})$$E_{6}$の $D_{4}$型部分ルート系}$\underline{1:1}${$D_{4}$型 cross ratio systems}型ルート系 $R(E_{6})$ の D4 型部分ルート系に対して $T(E_{6})/<\iota$ 〉上の有理関数を考えたが、次に A3 型部分ルート系に対して、複比の性質をもった有理関数
を考える。

R4 を

$A_{3}$型部分ルート系とする。例えば $R_{A}\subset R(E_{6})$ をものとする。
$r= \frac{(e^{\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)}{(e^{\alpha_{3}+\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{4}+\alpha s}-1)}$とすると$1-r= \frac{(e^{-\alpha_{3}}-1)(e^{\alpha}5-1)}{(e^{-\alpha_{3}-\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{4}+\alpha}5-1)}$$\alpha_{3},$$\alpha_{4},$$\alpha_{5}$で生成される8

ここで分子に現れるルートを(2)$\{\gamma_{1},$$\gamma_{2}\}$、

分母に現れるルートを$\{\gamma_{1}’$, 分とすると、$\gamma$$\{\begin{array}{l}\sum_{1\leq i\leq 2}\gamma i=\sum_{1\leq i\leq 2}\gamma_{i}’(\gamma_{1},\gamma_{2})=(\gamma_{1}’, \gamma_{2}’)=0,(\gamma_{i}, \gamma_{j}’)\neq 0.\end{array}$が成り立つ。

補題 5(i) $R_{A}\subset R(E_{6})$ を$A_{3}$型部分ルート系とする。

$S(R_{A})=\{(\{\gamma_{i}\},$ $\{\gamma_{i}’\})|\gamma_{i},\gamma_{i}’\in R_{A}(1\leq i\leq 2)$

は (2) をみたす。

$\}$$cr(S(R_{A}))= \{\prod_{i=1}^{2}\frac{e^{\gamma_{*}}-1}{e^{\gamma_{i}’}-1}|(\{\gamma_{i}\}, \{\gamma_{i}’\})\in S(R_{A})\}$

とする。
また

$\sum\gamma_{i}=\sum\gamma_{i}’$だから $cr(S(R_{A}))$ の元は $T(E_{6})/\iota$ 上の有理関数となる。

$\forall(\{\gamma_{i}\}, \{\gamma_{i}’\})\in S(R_{A})$に対して$r= \prod_{i=1}^{2}\frac{e^{\gamma}\cdot-1}{e^{\gamma’}i-1}$とおくと、$cr(S(R_{A}))=\{r^{\pm 1}, (1-r)^{\pm 1}, (1-1/r)^{\pm 1}\}$

となる。

(ii)

$\gamma i,$が (2) をみたすとする。

$\gamma_{i}’\in R(E_{6})$分ルート系$g\wedge\ovalbox{\tt\small REJECT} A_{3}$$R_{A}$$r= \prod_{i=1}^{2}\frac{e^{\gamma}\cdot-1}{e^{\gamma’}\dot{\cdot}-1}$とすると、 ある

$A_{3}$型部があって、 $r\in cr$ ( $S$ (RA)) となる。

型部分ルート系$R_{A}$

に対して決まる $cr(S(R_{A}))$ の元とよぶ。 また集合 $\{r^{\pm 1}, (1-r)^{\pm 1}, (1-1/r)^{\pm 1}\}$ を$r$($\emptyset$

属する

$r$

$A_{3}$

を$A_{3}$型 cross ratio型 crossratio systemとよぶ。

上の補題から次の一対一対応があることがわかる。

{$R(E_{6})$の$A_{3}$型部分ルート系}$\underline{1:1}$

そこで、全ての D4 型部分ルート系および{$A_{3}$$A_{3}$型 cross ratio systems}

型部分ルート系に対してこのような有理関数を考えることにする。

定義$CR(D_{4}):= \{\prod_{i=1}^{4}\frac{e^{\gamma:}-1}{e^{\gamma’}:-1}|\gamma_{i},\gamma_{i}’\in R(E_{6})(1\leq i\leq 4), (\{\gamma_{i}\}, \{\gamma_{i}’\})\#h(1)$を $h- \text{す_{}0}\}$$CR(A_{3}):= \{\prod_{i=1}^{2}\frac{e^{\gamma_{*}}.-1}{e^{\gamma’}\cdot-1}|\gamma_{i},\gamma_{i}’\in R(E_{6})(1\leq i\leq 2), (\{\gamma_{i}\}, \{\gamma_{i}’\})\}h(2)$を$*arrow \text{す_{。}}\}$

94$A_{3},$ $D_{4}$型 cross ratio の幾何学的な意味$(S,m)$ を marking 付非特異 3 次曲面とする.

前節で定義した有理関数を使って上の有理関数であって複比の性質を持った関数を次のように定義する.
$S\backslash (H\cup L_{1}\cup\cdots\cup L_{27})$$CR(A_{3})$, (H:parabolic curve,とする. 命題 3 の写像$\tau$$L_{i}$

:

$S$

$S$

$p\in S^{*}=$

上の直線), $r\in CR(D_{4})$ orを通じて $S$ 上の有理関数$r^{s}$を$r^{s}(p)=r(\tau(p))$

で定義する.

$W(E_{6})$の $CR(D_{4}),$ $CR(A_{3})$ への作用を次で定義する.

,$r= \prod\frac{e^{\gamma i}-1}{e^{\gamma_{i}}’-1}$$w(r)= \prod\frac{e^{w(\gamma\dot{.})}-1}{e^{w(\gamma_{*}’)}-1}$$R(E_{6})$,$w\in W(E_{6})$における 2 つの D4 型部分ルート系は $W(E_{6})$ の元でうつりあう. また$A_{3}$型

部分ルート系についてもそうである。 さらに 1 っの cross ratio system の 6 個の元は互いに $W(E_{6})$ の作用でうつりあうので、

命題 6$r^{S}$$W(E_{6})$は $CR(D_{4}),$ $CR(A_{3})$ に可移に作用する.

の zero locus と pole locus を調べるために次のような関数を考える.

$\gamma\in R(E_{6})$に対して$A=\frac{(e^{\gamma}-1)^{2}}{e^{\gamma}}$$\backslash$とする.

$f_{\gamma}$

は $T(E_{6})/\iota$ 上の有理関数である.

$f_{\gamma}^{s}$

を $S$ 上のルート関数と呼ぼう。

$r= \prod\frac{e^{\gamma}\cdot-1}{e^{\gamma_{i}’}-1}$

を$D_{4}$

または$A_{3}$型 cross ratio とすると,,$\Sigma\gamma_{i}=\Sigma\gamma_{i}’$だから$r^{2}= \prod\frac{f_{\gamma}}{f_{\gamma^{\dot{\prime}}}}$

となる.

定義

$f_{\gamma}^{S}$の zero と$\gamma\in R(E_{6})$pole を調べる.

とする. 命題 1 より,なる $S$ 上の直線 $L,$ $L’$ があるが,$H_{2}(S, Z)$

において $m(\gamma)=[L]-[L’]$ とこのような直線の組は全部で 6 組ある. これらの組

10$\{(L, L’)|1\leq i\leq 6\}$を, ルートツに対して決まる double six という. 略して$D(\gamma)=(\begin{array}{lll}L_{1} \cdots L_{6}L_{1} \cdots L_{6}\end{array})$と書く. このとき、 この研究の出発点となったつぎの重要な定理が成り立つ。

定理 7$\gamma$に対して決まる double six を

は $S$ 上の parabolic curve $H$ , pole locus は

さて

$r$

を

$D_{4}$)とすると、$\{(L_{i}, L_{i}’)\}$$\bigcup_{i=1}^{6}(L_{i}\cup L_{i}’)$$f_{\gamma}^{s}\sigma$

zero locusとなる。

型 cross ratio とする。

$(r^{2})^{s}= \prod_{i=1}^{4}\frac{(f_{\gamma}.\cdot)^{S}}{(f_{\gamma_{i}’})^{S}}$

このとき各$f_{\gamma}^{S}$のzero と pole はキャンセルされて$(R^{2})^{S}\}h$定数となる事がわかる。たとえば markingm を
易 $=m(e_{i}),$ $F_{ij}=m(l-e_{i}-e_{j}),$$G_{i}=m(2l- \sum_{n=1}^{6}e_{n}+e_{i})$とし、$\alpha_{1}=e_{1}-e_{2},$$\alpha_{2}=l-e_{1}-e_{2}-e_{3},$$\alpha_{4}=e_{3}-e_{4},$$\alpha_{5}=e_{4}-e_{5},$$\alpha_{3}=e_{2}-e_{3}$,$\alpha_{6}=e_{5}-e_{6}$とする。

$r= \frac{(e^{\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{2}+\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)(e^{\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)}{(e^{\alpha_{3}+\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)(e^{\alpha_{2}+\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)}$$= \prod\frac{e^{\gamma i}-1}{e^{\gamma_{i}}’-1}$のとき Double six は—()E .D( 2D( 32D( 4 ) — –( 鷹驚雛誠濃離畿鍛:5F F G 34 :) ,”D D( 3) G 53)舞–5G EF離 EFl :)345FG 62F5 6 )$\alpha$$\alpha\alpha$$\alpha\alpha$$\alpha$423$)$$++++\alpha$–$+$$\alpha$$+$$\alpha$舞)11となるので、$(r^{2})^{S}$$D(\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5})$$\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5})$、の pole は $4H+D(\alpha_{4})+D(\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4})+D(\alpha_{2}+\alpha_{4}+\alpha_{5})+$

zero

となる (

$\ovalbox{\tt\small REJECT}h4H+D(\alpha_{3}+\alpha_{4})+D(\alpha_{4}+\alpha_{5})+D(\alpha_{2}+\alpha_{4})+D(\alpha_{2}+$に対する double sb【の直線の和を$\gamma$$D(\gamma)$と略記した)。 とこ

ろで、$\bigcup_{\gamma_{*}}D(\gamma_{i})=\bigcup_{\gamma_{*}’}D(\gamma_{i}’)$だから zero と pole はキャンセルされては$r$

は定数となる。他の$D_{4}$型 cross ratioに $W(E_{6})$ の元を作用させて得られるので同様に $S$ 上定数となる。従って、

定理 8$r^{S}$$(r^{2})^{S}$$(S, m)$を marking 付非特異 3 次曲面とし、$r$を D4 型 cross ratio とするとは定数となる。
この定理により、 marking 付非特異 3 次曲面の moduli が$D_{4}$型 cross ratio を使って記述できることがわかる。
次に$A_{3}$型 cross ratio を考える。例えば$r= \frac{(e^{\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha}5-1)}{(e^{\alpha_{3}+\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)}$とすると D4 型 cross ratio のときと同様に考えて・$F_{34})$、$(r^{2})^{S}$の zerolocus は $2(F_{25}+$

pole locus は $2(F_{24}+F_{35})$ となる。 また、$1-r= \frac{(e^{-\alpha_{3}}-1)(e^{\alpha_{5}}-1)}{(e^{-\alpha_{3}-\alpha_{4}}-1)(e^{\alpha_{4}+\alpha_{5}}-1)}$

だから、 $((1-r)^{2})^{S}$ の zero locus は $2(F_{23}+F_{45})$

pole locus は $2(F_{24}+F_{35})$ とな、る。すなわち$((1- r)^{2})^{s}=( \frac{F_{23}F_{45}}{F_{24}F_{35}})^{2}$$(r^{2})^{S}=( \frac{F_{25}F_{34}}{F_{24}F_{35}})^{2},$ここで直線$F_{ij}$の定義式を伺じ記号で$F_{ij}$と書いた- いま$S$$\circ$の tritangent(互いに交わる 3 本の直線の和) を$\ovalbox{\tt\small REJECT}=F_{25}\cup F_{34}\cup F_{16}$とすると、$r^{s}$

は$T_{1}\backslash F_{16}$,$T_{2}=F_{24}\cup F_{35}\cup F_{16}$

上で

$0$

$T_{2}\backslash F_{16}$、関数となる。 $T_{1}\cap T_{2}\cap T_{3}=F_{16}$ である。

上で
$F_{16}$$\infty$,、$T_{3}=F_{23}\cup F_{45}\cup F_{16}$$T_{3}\backslash F_{16}$上で 1 の値をとる有理を通る平面 $P$ 全体は$P^{1}$

でパラメトライズされる。
$\varphi:\{P|P\supset F_{16}\}arrow P^{1}$

鶉をふくむ平面乃に対して、$\varphi(P_{i})$が、 それぞれ

とっておく。 $\varphi|_{S}:Sarrow P^{1}$ を $(S\cap P)\backslash F_{16}$ 上の点に$0$、$\infty$$\varphi(P)$、1 となるように$\varphi$をを対応させるように決め

12

ると、
$S$

$\varphi|_{S}$は$r^{s}$に一致する。従ってを切ることによって、 $S$ 上の点に

命題 9

$r$

を

$A_{3}$$A_{3}$$P^{1}$型 cross ratio は、 $S$ 上の直線を通る平面での点を対応させる関数である。

型 cross ratio とする。 $S$ の直線 $L$$\varphi:\{P$$\varphi(T_{1}\backslash L)=0$、

tritangents$T_{1},T_{2}$, 乃と、: 平 ffi $|P\supset L\}arrow P^{1}$,$\varphi(T_{3}\backslash L)=1$$\varphi(T_{2}\backslash L)=\infty$であって、$r^{S}=\varphi|_{S}$となるものがある。

5

複比写像
cross ratio のつくる、乗法群について少しふれておく。
$\Gamma(D_{4})=\{r|r\in CR(D_{4})\rangle$

をそれぞれ D4 型 cross $ratio$、$A_{3}$,$\Gamma(A_{3})=\{r|r\in CR(A_{3})\rangle$型 cross ratio のつくる乗法群とする。

命題 10
(i)

(ii)

$\Gamma(D_{4})\subset\Gamma(A_{3})$$\Gamma(A_{3})$の元の間の関係式は $r_{1}r_{2}=r_{3}$ という形で書ける関係式と、$\{r^{\pm 1},$$(1-r)^{\pm 1},$$(1-1/r)^{\pm 1}\}$の間の関係式で書ける。

(m)$\mathbb{C}(T(E_{6}))<\iota>\simeq \mathbb{C}(\Gamma(A_{3}))$

ここで $\mathbb{C}(T(E_{6}))=\mathbb{C}(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{6})$$\alpha_{i}^{-1}$($\alpha_{i}$($\mathbb{C}[\Gamma(A_{3})]$の商体): 基本ルート) としたときで定義される involution。このことから、 $T(E_{6})/\iota$ と有理同値であることがわかる。 ここで、$\sigma)\mathbb{C}subalgebra_{0}$$\mathbb{C}[\Gamma(A_{3})]$$\iota$は$\iota(\alpha_{i})=$$Spec(\mathbb{C}[\Gamma(A_{3})])$

は $CR(A_{3})$ で生成されるは双$\mathbb{C}(\alpha_{1\cdots,\alpha_{6})}$

13

$r$

を

$A_{3}$型または D4 型 cross ratio とすると、$r^{S}$

は $S$ からへの写像となる。

$P^{1}$$r^{S}:Sarrow P^{1}$

このとき、

定理 11
$\phi_{S}:Sarrow(P^{1})^{N_{A}}\cross(P^{1})^{N_{D}}$を $\phi_{S}(x)=(r_{i}^{S}(x))\cross((r_{j}’)^{S}(x)),$ $r_{i}\in CR(A_{3}),$ $r_{j}’\in CR(D_{4}),$$|CR(D_{4})|$で定義すると、$\phi_{S}$$N_{A}=|CR(A_{3})|,$ $N_{D}=$は embedding となる。

写像$\bigcup_{[(S_{2}m)]\in \mathfrak{M}}Sarrow(P^{1})^{N_{A}}\cross(P^{1})^{N_{D}}$を複比写像と呼ぶこ$\Phi$:にする。 ここで飢 $=$ {marking 付非特異 3 次曲面の同型類}$X=(T(E_{6})\backslash \Delta)/\iota^{\underline{\varphi_{1}}}(\mathbb{C}_{y}^{*}\backslash \{1\})^{N_{A}}\cross(\mathbb{C}^{*}\backslash \{1\})^{N_{D}}$幹1$\varphi_{2}$$k\backslash$は inclusion$(t)=(r_{A}^{i}(t))\cross(r_{D}^{j}(t))$$\Delta$、,$r_{A}^{i}\in CR(A_{3}),$は鏡映の固走点集合、$\Phi=\varphi_{2}$。

$\varphi_{1}$呂$(P^{1})^{N_{A}}\cross(P^{1})^{N_{D}}$$r_{D}^{j}\in CR(D_{4})$とする。 また$\pi:(P^{1})^{N_{A}}\cross(P^{1})^{N_{D}}arrow(P^{1})^{N_{D}}$を projection とする。

命題 12
$S\simeq\overline{\Phi 0\tau(S^{*})}$

右辺は$(P^{1})^{N_{A}}x_{-}(P^{1})^{N_{D}}$での閉包。

$M=\pi 0\Phi(X)$ とすると、 つぎの定理が成り立つ。

定理 13
(i)
$M=Spec(\mathbb{C}[\Gamma(D_{4})])$

であってこれは marking 付非特異 3 次曲面の moduli となる。ただしここで$\mathbb{C}[\Gamma(D_{4})]$は $CR(D_{4})$ で生成される$\mathbb{C}(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{6})$の$\mathbb{C}$

subalgebra。

14

(ii)
劣 $=\overline{\Phi(X)}\cap\pi^{-1}(M)$とすると、 実は非特異な多様体となり、射影$\pi$: 劣 $arrow M$ は proper iiat mor-phism で $\pi^{-1}(x),$ $(x\in M)$ は非特異 3 次曲面となる。 さらに構成のしかたか
ら Weyl 群 $W(E_{6})$ は実, $M$ に equivariant に作用する。

注(i) $M$ は次のような多様体と同型である。 $T(D_{4})$ を D4 理の随伴群の極大トーラ
スとする。 $T(D_{4})$ を単位元で blow up する。
$\varphi:\tilde{T}arrow T(D_{4})$$\tilde{T}$から $T(D_{4})$ の鏡映面の proper transform をぬいた多様体を$\Sigma$とする。

$\Sigma=\tilde{T}\backslash \bigcup_{\alpha\in R(D_{4}}{}_{)}H_{\alpha}’$$H_{\alpha}=\{t\in T(D_{4})|\alpha(t)=1\}$$H_{\alpha}’=\overline{\varphi^{-1}(H_{\alpha}\backslash \{1\})}$

このとき$M\simeq\Sigma$(ii) 劣は$P^{2}$の 7 点 (順序付き) の $moduli$、$M$

は 6 点 (順序付き) の moduli となっている。

以上 marking 付非特異 3 次曲面の moduli と total space を群論的に構成したが、現在実のコンパクト化がどのような構造をもっているか研究中である。 これについては別の機会にゆずりたい。

参考文献[1] Yu. I. Manin, Cubic Forms, 2nd edition, North-Holland, Amsterdam, 1986.
[2] I. Naruki, Cross ratio variety as a moduli space of cubic surfaces,Proc. London
Math. Soc. (3), 45 (1982), pp. 1-30.
[3] I. Naruki and J. Sekiguchi, A modification of Cayley’s family of cubic surfaces
and birati.onal action of $W(E_{6})$ over it, Proc. Japan Acad.,56 (1980), pp.

122-125.