第５１回に引き続き，藤原です。第５２回目は前\回紹介した問題の解説です。今回の問題は微分方程

B=-V0V0，A= -B =kckc

以上より，式をテーマにした問題でした。
物理において，「未来を予測する」「未来を計画すxc(t) =る」とき，初期値（初期座標や初速度）とそれがどのように変化するか（運動方程式）から，予測，計V0dx(1- e-k t )， c (t) = V0e-k tkcdtcc＜数学的補足＞画を立てていきます。

上記の解答は，x(t) の一般解が与式の様な t の指これは物理だけではなくて未来を考えるときの根数関数「A + Be-k t」である事を前提に解かれている。

本的な思考で，例えば「貯金計画」を立てる際も，「現cもちろん，この微分方程式は高校範囲から外れて時点の所持金」と「今後それがどのように変化するか（お小遣い，自分の浪費ぐせなど）」を予想して， いる内容であるため，誘導文に従って解く事が要求されるが，「A + Be -k t」が与えられていない状態で計画を立てていくと思います。
c

解を求めるならば，以下の様な導出法がある。

数学の世界で，その考え方に近いのが数列の漸化式と関数の微分方程式だと思います。初めの値と，2⇔それがどのように変化するか（傾きの式）が与えら

d 2 xcdxc+ kc=02dtdt

これの両辺に ek t をかけてcれて，それらをヒントに条件を満たす関数を考える，

d 2 xc k t
dxc k te + kc
e =02dtdt

といった思考です。

c⇔

今回は模範解答の他に，「この様な問題の考え方はどうか」といった事を＜補足＞の部分で書いてみdxc k td(e ) =0dtdtc

微分した値が 0 となるのは定数であるのでました。参考にしてみて下さい。

dxc k te =Pdt（ P：積分定数）c

解説を書いた後に「１割物理＋９割数学の問題だな」と感じましたが，物理学においても重要な計算⇔ですので，開き直って物理のページに掲載したいと

dxc= Pe-k t
dtc

更に t で積分して，思います。
では解説を始めたいと思います。

xc(t) = Q -1
Pe-k tkcc（ Q：積分定数）となり，これに初期条件 (t=0 での値 ) を代入すれば，【解答解説】

P，Q が求まり，（１）解 xc(t) =与式 3 を 2 に代入して，mca2Beat = - gca2Beat\ a=-cgc
= -kc
mccc

＜物理的補足＞
東大後期の総合科目Ⅱは，数学の力だけでほぼ解dx
よって xc(t) = A + Be-k t， c (t) = -kcBe-k t
dt
cV0dx(1- e-k t )， c (t) = V0e-k t を得る。
kcdt

ける問題もあれば，理科の理解度を要求する問題もcあり，その種類は多様である。今回の問題に関して

ここで，初期条件 (t=0) より言えば，「自動車の速度」を表す式を問うているが，dxxc(0) = A + B = 0， c (0) = -kcB = V0dt1

それがdxc(t) である事を理解していることが要求
dtxd(t)=されている。さらに言えば，与えられた運動方程式(kc + kd )V0
kd V0
kc V0-k t+ee-k t，
kc kd
kc (kc − kd )kd (kc − kd )cdkd V0
kc V0dxd(t) = - k − k e-k t+ k − k e-k t
cdcddtc2d xcのは加速度を表す。つまり今回の問題は力学dt 2dの種々の値について「定義」を理解していないと， また，b = 0 または E = 0 のときは，設問の意味が読み取れないと思える。
kd V0dxd(t) = - k − k e -k t となり，これは初期条件
これは一般的な前期試験物理問題にも通じる事
cddt
で，物理問題を解く上で重要なのは，数学的な「計dxd(0) = V0 をみたさないので不適。
算力」に加えて，物理量・物理法則の十分な理解かdtらもたらされる「読解力」である。
c＜数学的補足＞（２）
与式 5 と a = -kc を 4 に代入して，（２）の解答も（１）と同様に，「A + Be-k t」が与c

えられていない状態で解を求めることができる。

md(kc2De-k t+b2Eebt)
c= - gd(-kcDe-k t + bEebt-V0e-k t)
cdxc(t) = V0e-k t を代入してdtcca= -kc π b より，t ≥ 0 のすべての t で上式が成立するためには，e -k t と e bt を変数とする恒等式とみ4⇔cなして係数を比較するとc

これの両辺に ek t をかけて

mdkc2D = gdkcD + gdV0
かつ

d 2 xd + k dxd = k V e-k t
dd 0dt 2dtd

mdb2E = - gd bE2ek t d x2d + kdek t dxd = kdV0e(-k +k )tdtdtdg d V0kd V0\ D==kc (md kc − g d )kc (kc − kd )dddよって，
kd V0e-k t + Ee-k t
kc (kc − kd )ccdd1
kd V0xd(t)=T + k (k − k ) e-k t- k Se-k t（ T：積分定数）
cccdddとなり，これに初期条件 (t = 0 での値 ) を代入すれば，kd V0xd(0) = C ++E=0kc (kc − kd )S，T が求まり，kd V0dxd(0) = - k − k - kdE = V0cddtxd(t)=E=-d

更に t で積分して，d

ここで，初期条件 (t=0) より\ccdkd V0dxd(t) = - k − k e-k t - kdEe-k tcddtcddxd k td(e ) = kdV0e-(k -k )tdt
dt
kd V0dxd k t\e = - k − k e-(k -k )t +S（ S：積分定数）
cddtkVd 0dxd⇔
= - k − k e-k t +Se-k tcddt⇔gd
また，bπ0，Eπ0 として \ b = = -kd
mdxd(t) = C +c(kc + kd )V0
kd V0
kc V0+ k (k − k ) e-k t- k (k − k ) e-k t，
kc kdccddcdcdkd V0
kc V0dxd(t) = - k − k e-k t+ k − k e-k tcdcddt

kc V0，
kd (kc − kd )cを得る。

kd V0(kc + kd )V0
C=-E =kc (kc − kd )kc kd

＜物理的補足＞

以上より，2d本文中に自動車の座席との運転手の，「地面かられている様に，「自動車が受ける抵抗力の大きさ」ら見た移動距離」を x c (t)，x d (t) としているため，は自動車の速度dxcに比例し，「運転手が受ける抵
dt

dxc
dxd(t)，(t) は「地面から見た速度」である。 抗力の大きさ」は自動車に対する運転手の相対速度dtdt
一方，与式 4 右辺の (dxddxc) は，「自動車かdtdt

速度 (dxddxc) に比例ので，自動車と運転手のdtdt

ら見た運転手の相対速度」である。本文中にも明記

速度変化は大まかに，以下のグラフの様に変化する

してあるが，シートベルトから受ける力は相対速度と思われる。に比例した大きさの抵抗力が発生する。

速度

文中に与えられている条件が，式としても与えら速度の差（相対速度）が最大の瞬間
運転手の速度変化の傾きの大きさも最大V0れている事を理解しておいてほしい。

(自動車)

（３）
f(t) = L - (xd(t) - xc(t)) とおく。

(運転手)

dxd
dxc
(t) +(t)dtdtf'(t) = -0

kd V0kc V0= k − k e-k t- k − k e-k t + V0e-k tcdcdckc V0d= k − k (e-k t-e-k t)
cct1

時刻ct=0 では，自動車，運転手共に速度 V0，相対速度dda π b より，kc π kd である為，kc，kd の大小によらず， 0 であるため，運転手は初め抵抗力を受けず，速度f'(t) ≤ 0 となり，f(t) は単調減少となって，t → • 変化は 0（傾き 0）。一方で自動車は初めから抵抗力を受けて速度減少する。

で f(t) は最小。よって limf(t) ≥ 0 であれば題意はt→∞満たされる。

図中にあるように，運転手の速度減少（負の傾き）の大きさは，２つの速度の差に比例する。このグラ

lim ｛L - (xd(t) - xc(t))｝
t→∞=L-V0(kc + kd )V0+kc
kc kd

フより，常に速度）であり，t → • のときに最も運転手はハンドV0=L≥0kd\gd = kdmd ≥dxc dxd≥（運転手の速度≥自動車のdtdtルに近づいているはずと予想される。
理科的な思考では先に直感的な予測から始まり，

md V0L

後でそれを数理計算や実験で検証する，といった考え方をする事が多い。

＜補足＞
総合科目Ⅱは原則的に「数学の問題」と考えるべ （４）きなので，直感的に運転手とハンドルとの距離 f(t)式 4 の右辺より，運転手が受ける抵抗力 R(t) につ= L - (xd(t) - xc(t)) は，t → • で最小のはず，と決いてめつけてしまわず，上記の解答の様に増減を確かめ

R(t)= - gd (ながら考える方が適切である。
物理的，直感的に考えてみる。式 2，4 で与え3dxddxc) = gd f'(t)dtdt

kc V0dRdx d(gd) = mdV0kc(xdg ddg d dx

ここで f''(t) = k − k (-kce-k t+kde-k t) =0 となるのccddは，⇔-kce-k t+kde-k t=0cde(k -k )t=cd= mdV0kc∑

kc
kd= md2V0ekc
1\ t=log(= t1)kd
kc − kdt0f´
´(t)
f´(t)

…

t1 …

-0

∞

x>0 において，x+0x|R(t1)| = -gdf'(t1)

0…

1…

-0+0

x>0 で g(x) ≥ 0 である。

g d kc V0(e-k t -e-k t )kc − kdc 1

g d kc V0kc ()kc − kdkdkd)
kc

よって，x>0 の範囲においてd 1

g d kc V0
kc =｛()
kc − kdkdkc
kc − kdkc
kc − kdkc -()kd(1-kd
kc − kddR(gd) = md2V0xdg d｝kc)
kdであり，x=1
1− xx log x + 1 − x≥0x(1 − x)2kd
md=
g d であるので， R (g d ) は，kc
kcx および gd に対して単調増加するので，抵抗力が最kd
kc − kdも小さくなる瞬間の値 R (gd)(=|R(t1)| ) をなるべく小さくするためには，x および gd がなるべく小さくす（５）れば良い。

|R(t1)| = （４）で求めた抵抗力の最R (gd) とおき，

ただし，ハンドルにぶつからない条件を満たさな小値が，g d によって，どのように値が変化するかをければならないので，（３）より gd ≥考える。
k
R (gd)= gdV0 ( d )kc（ここで k d =log x1｝
2 +(1 − x)x(1 − x)x log x + 1 − xx(1 − x)2g(x)= gdV0 ()>0，x(1-x)2 ≥ 0 である。

g´(x)

このとき，

=-

11− x

11 − x logxであり，増減表は下の様になり，

kc
1logのときである。
kd
kc − kd=-

11− x｛)g(x)=xlogx+1-x とおくと，g'(x)=logx+1-1=logx

0| R(t) | が最大となるのは，f'(t) が最小のとき，すな

わち t1 =

11 − x logx

= md2V0x以下の増減表より，

md d(ekc dx

11− xkdkc − kd

以上より，gd =gdであり，質量 m d は g d によらない
mdmd V0L

md V0にすればよい。
L＜補足＞ので，k d は g d によって変化する値である事に注意

最後の問題（５）は，k d も g d に比例して変化すする。）

る変数である事に気づいていないとkd
mdmddx
ここで，x==gd とおくと，=kckckcdg dd
R= 定数，dg dと勘違いする。数学力だけでなく，物理量の変数，定数を見抜く力も要求される難問。

よって，

4なお，模範解答では別の変数 x に置き換えて計算しているが，g d の関数 k d (g d ) を残したまま g d で微分しても，同じ解を得られる（ただ文字が多くなり，計算がやや煩わしくなる）。
＜最後に＞微分方程式は高校範囲からは一応外れています
が，発展項目として数Ⅲの教科書や問題集に掲載されています。大学の数学や物理では頻繁に用いる計算ですので，今回の問題のように，計算方針を指示された状態で出題される事は考えられます。暗記すべき公式はありませんが，文中にいきなり与えられても慣れていなければ，対応するのはなかなか厳しいと思います。
出来れば高校生の時点で簡単な微分方程式の例に触れておき，微分方程式の考え方に慣れておいた方が良いかと思います。

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