確 率 数 理 工 学3
これまでの内容を逆にたどってみる.
o

分布関数下がfに）感がリ「"感が"に0， egan，G） ）（<yEFA)=Fla） （右連続）が与えられたとする
oに対し、そのためには｛H （w)E 川

Fに対応する（RAIN ）上の確率測度Pが一意に存在する.

は可測でなくてはいけない 確率変数の定義

ﬁt"湉城
㗴ば的に""激時ほ）.

jfEx）=
PCX下川）
を想定

ある確率変数xiPao,a ］）=FG）（とER ）をみたすPT

品がEからは"集合半代数"に次いで晶補足資料 「Yfj

まず脈がない下に）はb）とする① 8=1cab］1-aE a s bなっている。などの集合族までに矛盾なく拡ら長できる？-1
Pはをみたすことが示せる（非自明）P（（ab］）=！Mai,bit ）（下（b）-FH=I （下（以下（a）））

pは8上で6- 加と言うにAES ）｛pに1・S上で6- 加法的ND.坳］のコンパクト性を使う.

。

③ Hopfの拡張定理（の一般化）：

上の3つの性質をみたす
S上の集合関本文PSに1］はSを含む最小の6- 加法族6（S）上の確率測度へ一意に拡張される。

6（5）はを含む最小の6- 加法於̲A.

④ 6（S）=BCR ）であることより.示したことが言えた.

確率数理工学3 (2022)

1 / 17この講義では.確率空間は所与のものとし、その構成法"にしかし、構成法の過程自体は知っておいた方が理解の助けになる.
は深く立ち入らない。

68上の測度15）まで拡張する方法：ーー
1つを任意の集合ACR に対し、筏な亹がをPTA ）：=Afin（HERR ）等の条件は課さない）

Bi

嶂無限個 R，132，...ES（PTAにとおく.

i館

PCB ：

馿臖）

:ES （有限側 化合）とするとな測度と呼ばれる
B i . . . i Bmday
i nf

ただしAc B.. は任意，ものになるが.これでは不十分である.

こ こ で.

）

D：=｛DcR I P T D ) t PHD =1｝
とおくと.0は6- 加法族になり、P*はD上の確率測度になる.（非自明、前回補足資料）
BCR ）=6（8）CDでもある。
さらに、 SCO が容易に示せるので、PCA ）=が（A）にAES ）も示せるので、他はPの脈）への拡張を

Dynkinの不入定理により保証される。
与えている。 拡張の一意性は確率数理工学3 (2022)（前回の補足資料）

2 / 17をここで'D：=｛Dcr

I PYD ）+ MDC）=I｝とおくと、 以下が成り立つ、

凹1.0は 6- 加法族.
2 .

がのDへの制限は（r.&）上の確率測度になっている。

.
（非自明、前回補足資料に証明はのせてある）
今、Sの定義と、 PがS上6- 加法的であることから、SCO が示せるので、8が6- 加法族であることと合わせて、6（SKD もわかる. 8

A ES ならMA）=PCA ）で. HE8 に対して、
Bm）|す
ヨBi,Bz.... 、Bm E S で 、 バ = R u - . - u Bm
る た Pに）=PCA=PCA）
B i o. . . u
全部「ら元.と.
十割麗川である。

（互いに押阪）uVAE S で PTA ）=PA）も示せるので、P*は.P の6（S）への"拡張"を与えているの場合、6（S ）=BCR ） なので、P*はBCR ）上の確率測度を与える.

用いて確率数理工学3 (2022)

3 / 17

・-拡張の一意性
Dynkinので入定理
P が一意に
目標： 分布関数Fが与えられれば対応する確率測度定まることを言いたい。
つまり、2つの確率測度R.B がP. （は、a］）= Bに a］）FK） をみたすなら、
P，（A）
Pz (A） （KAE B側） となること==を示したU.

'#. たシステム：-（ただし、そのような測度が存在することは仮定）

Hop の拡張定理
f集合族Pがたシステム

A.BE PならAnB E D（有限回の共通部分を取る操作についてBIA：=BnAC

a , r e d
爪に）
BHEL
ABEL,ACB（3 K A K A , E E d）A I AnE L

たシステム： 集合族人が九一システムの(Dynkin 族）

閉じている）

6- 加法族はたシステムでも入システムでもある。

/6（P）：Pを含む最小の6- 加法族LP ）：Pを含む最小の入・システム型（Dynkinの定理）

PCL ）であるとする。
い） Pはたシステムで、人はPを含む入・システム（
すると、 6 （ P ) C Lである。
（2）

たシステムPに対し、G ( P ） = LCP ）が成り立つ.

/

言正明は後で与えるが. （りいに）はすぐにわかる。なぜなら、いつより6（P)C 人（P）は示されており、かつ任意の6- 加法族は入・6（P）はPを含むがシステムでもある。つまり6 （PDL(P ）が成り立っシステムでもあるので、た 2 6（P）=LLP ） である。

確率数理工学3 (2022)

4 / 17

Dynkinの定理より次の命題が示せる。 （証明は次のページ）に「（r.F）上の確率測度しAE Pをみたすなら、でR . B が 、 あるたシステムPCF において.

RCA ）=BCA）「BE6 （P）で R（13）=13（13）が成り立つ.

確率数理工学3 (2022)

X

5 / 17

.
これから. Dynkinの定理を示すが、その前に次のことを注意しておく

|

した

（証明）

（1）'s E L
（2）'A E dA と 2' A n n Am=中 に吽n）， AnEdなら、AnE L である.

（う）

Iy（ニ）のみ示す）（1）'は定義から自明.

が従う.

（ら）'を示す。に1'も n E d な の で R I A EL. つ ま りA'EL

そのため、まずはA.BEL,An13=4 に対し、RIAなので.
N I A ) I BE んでもある。ここで（RIA）|B=AS か なので. A hB E L .に）'より、A h B E f な ら （AhB' ）EAUB E L である.

A uBEL であることを示す.

（2）よりRHEL である。また B C

D t Aたが あとは. ht年にも 出Aa E d より従/Am（AndIt)⇐ ）は自分でチェックせよ.

確率数理工学3 (2022)

leastt（3）より.

今示した.

Bn治作

単調増大

は6 / 17

確率数理工学3 (2022)

7 / 17

iii.

？：な空きになら幾選前にはLCP ）の定義より.なか つ 、L前
邶脳が喉にこれが示されば、 f(P ）76（P）であり、とf(P ）がたシステムであることの証明：

GA：= 1 BE6 （D1AnBed）とする。

｝（i) AEHP ）なら GA は入・システムである。
なぜなら、（l）' R'（2）

E GA

rn

A=A獄

B E G A な ら. A n BEL(P ）であり、 A Ed(P ）であることとあわせて. Al(An B） = A n BCE LCP ）でもある。

つまり、（ろ'）f

E

B'EGA である.

.
Ba E GA が互いに排反であるとする

I fREGA を示したa.

A n ( I Bn）= Y(AnBn）であるが. B nEaより、AnB nE N Dである。しかも. （AnBn)nは互いに押阪であるのでY(AnBn)EL CP ）. つまり. I、BnEGA である。

よって GAは九・システムである.

（ii) A EP な ら LCP)CGAである。

なぜなら、まずAEL(P ）でもあることから（i）より私は入・システムであること

BE P は B nA EP である。つまり、に 注意する。 Pはなシステムなので「「BEP は BEGA である （PCGA）. よってGAは今、Pを含む九・システムなので、LCP)CGA である.

I、

このことから. A E P . B E LCP ） に対し、 A nB E LCP ）である。

あとはA を AEHP ）まで広げたい.

（iii) A E N D なら、 LCP ）はAである。
なぜなら、（ii）より、UBE Pに対し. A nB ELCP ）であることは示されているので、GAである。また（i）よりAは（P）なら私は入・システムなので、PC
LCP)CGA

確率数理工学3 (2022)でもある。 よって、AEd）なら、名は）でBEND ）をみたす

つまり、と（P）はたシステムである.

An/ /8 / 17咀（多変量確率変数、多次元確率変数、確率がに、扑の測空間が（い.....Xn ）：r R" が多変量確率変数（確率ベクトル）⇐ >r

R が 確 率 変 数. i e , X i K a aD E F E a t

Myに". . n )別の安達

T:r 成が確率ベクトルかが（A)EF(TEB 側）.

長に砅であるてきた！た碆いた？！！！！：

石は連続関数なので「1測。叶測関数の合成は「1測なので、Xkもの測じたい.....h ）.

d=1I、x...x In41で（IE CanbeT. a t ） ｝とすると.A=I，がIn
あとは、Etに対し.が（A）=ただ（Ia)EF である。

GA）=B（1が） と が（6（t））=6ばば）に気をつければ.
が（BAR" ））=が16（か）=6（MAI）を得る.
。

TTQF なので

C F

で集合族が対で（第鼺）が（tにした（A)IAEA ｝と書く.

/

直積6- 加シ學： （ m Fa）（た1.....n ）を可測空間とする.

斎.si
r.x.in上の6加法族たがな
1 A , x x A nl A nET らを含む最山の6加えた̲賑を怍
これを.直積6- 加法族と呼ぶ.

実は、BC）が 1皦る奴）
確率数理工学3 (2022)である。（演習問題）

9 / 17甠（同時分布関数）に，FP）：確率空間""たの.....灬FGにFN......In)t Pば1Xe爕k（4.....Xn ）：I R"

を確率ベクトルとする.

I=（1.... ，Ku)ER" について.

Exit)

FK. ）に）としたとき、 Fをした（K.....Xu ）の同時分布関委父 と言う（joint distribution function）

特にFa....、川=！！...f ﬂu......an)du....dun（ルベーグ積分）に？：：：鬱鬱.：：：：：..と言う.
fを同時確率密度関数
時'！：：：：：：：：：：：襲
下がルベーグ測度にいてE（同時分布関数の性質）
I .

a Ease,2 .

bint.at 。
ル、b,EhFlab.）E Fla，に）Fいい）に） =Flab）（単調性）（右連続性）

ル、
いbt o

3.

感が"""". ！！：：F""" に、燕；F"""2 ）=031， +.確率の連続性より極限の取り方によらない
ftp.3についても同様の性質
yが成り立つ.に 上 1次元の場合と同様にして.性質1.23を満たすFがよえられれば、（R".B 側）の確率測度が一意に決まる. （た入定理、㗅の拡張定列

確率数理工学3 (2022)

10 / 17DI（周辺分布）

F（川）= FN、，to）=P(KEK ）にPM E X n k Ea））

周辺分布関数という.
（marginal distribution fund）

を、と のた（k）= P(Xz E N ） も 同様

より一般に Fhいた）= P（たかた） をXaの周辺分布関数と言う

Fellaにﬁfthと非負に1測）関数なを用いて書ける時.

for を 周辺確率密度関数という同時分布が絶対連続なら. 周辺密度は.

yfe Pla）=ﬀﬀﬂu......Um ，た，hi.....Un)dui dueで与えられる.

確率数理工学3 (2022)

これだけ固定d e a du n11 / 17咀（確率変数の独立性）
X.. . . . s k i n . が独立

tFM.... ，xn）= FCK ）-̲- た（xn）にいい.... が）ER" ）/と分解できる.

以下の定義はその中でもわかりやすい定義である.
同値な定義がいくつかある。

凹 .

X.....X:r.v. が独立もP MEA..... ，KEAn） にP自信熊川

iain：：.
.

= M eA.）...PC K E An）#

（証明）

下の定義が上の定義を与えることはすぐわかる。

逆を示したu、
た入一一定理を用いる。（再掲、前ページおよび前回補足資料参照）
そのためにoたシステムi集合族PがたシステムもA.BE PならAnB E P

o入システム：| A . B E L、ACBB)A.C a - E L
AsA、c ofA nE L集合族Lが入・システム⇐） a ) re

L

L

（2）

正（Dynkinの不入定理）

注：6- 加法族は志碧台長。

あるがシステムLが、あるなシステム
Pを含む（PCL ）なら、6 （DCLである.

//が証明は多変数の場合は同様に帰納法で示せる

2変数で示すA ， = 1 f a n ] l KER ｝， d =K AGA ， 「BE A

また、1人が23|KER ｝とする，前回の補足資料を参照のこと.

に対し.PIKEA、KGB に脈EA）脈EB ）で、6（A）=BCR ）、6（d）=BCR ） であることにも注意する.

確率数理工学3 (2022)

12 / 17

今. A zE d を1つ固定して.とする.に LAERR)IP(KE A n K E Az）=P(KEA)Paz EADY
Lsd. であることは独立性の定義から従う

人が入システムであることが示せればな入定理より. old，）=BCR ）はが言える.

（a) r = R E L .

なぜなら PMER ，たEA）= P（たEA）=PEELP a z EA）（b) A . B E L か つAC Bとする、このとき.

P(XE(BIA ）， h e A.）=PHXEB h KEADY=A.BE 人より To（c）

BIA E L

月、CNC-..

E L

P(KEB,Xz EA2）-P(KEA,X2GHz)

P ME B ) P M GAz）-P(KEA ）.MEA. ）=（P(KER ）-PCx EA））PCX2GHz ）=よって.

K E AI nKEN ））P(X 、ERIA ）・P H E Az）のとき.

PIXIE YT, KEA2 ）=Plo r

X' にAn）= Yが（An）より{KEI,D n IKEA.1 ］

P(I(ME問n 142EN ）には、1） に確率の連続性
P(MEN=ﬁgに.Inの単調性）=

n=ﬁg PMEIn）.PH姤）靡
In）・P（42EA2 ）P(KEY 袽=よって.

YEInE L である.

が言えた、6（A）ははA-システムなので.
以上より L
つまり、瘕火鉱）「AEBM 、 「BEA に対し. P(AEX.BE に）=P(AEx）.P(BE た）.

BCR ）を固定して.dz の方に適用し.

.AEさらに. 同じ議論を6（d）=BCR ）と6（A）=BCR ）確率数理工学3 (2022)まで拡張すれば良い.

/ /13 / 17

（独立性について続き.）咀（事象の独立性）
任意の部分集合I d に.... の4に対し.
A nAz..... AnE F が 独 立 がP（品PLAN、 Ah)=葒
y

事象の独立性の言葉を用いると.
先のr . i r の独立性は、
EBR)
X..... Xuが独立 Xi'(Ai)..... が(An)が任意A...... Anのに対して独立.

は加法族とは限らない）と言いかえられる.

咀（6- 加法族の独立性）

同様に集合族の....tng sの独立性も定義できるな 上 の n 個の6- 加法族の..... たが独立.

任意のA F F , Az EE.... ， AnE たが独立.

がD/ /（確率変数によって生成される6- 加法族）

x:(r,下） (R.BR) ）

に対し、

def

" "。杣、集合の逆像で（作られ36 加法族）

1MA)1AE B(Rt}
6 ( X ) = が(BRI)/と書く。こ れ を. X の生成する6- 加法族と言う=

すると.

6(x).... ，6(Xn) が独立

K . . . . . X u (ru)でもある。

実は、先のXの独立性の同値性と同じ議論により、一次のことも示せる.

T h i n （参考）-t i . . . . . d nを rが(l)ニ ）における非空な集合族とする.
（た1.2..... n )d k はたシステム
d . . . . . . d n は 独 立.

G ( d ) ，. . . . G Hn)も独立.

確率数理工学3 (2022)/ /14 / 17

密度関数を持つ場合は.
f (K.... ，）(n)=f （か）... fnGln)と書けることが独立性の必要十分条件になる.

区（正規分布）が した] e が、で平均E= [ 着 差 I ER" た分散共分散行列( a j =区[Him)(Xg m ) ] ）同時密度f （いに）=，奩 （̲Iex p、定州一型等）

周辺密度if、いいに化 が ど( x m )92= E n = 0

K（参考）：実は.TNいた）が2変量正規分布⇐ >確率数理工学3 (2022)

を.. たE R に対し、a x t d たが正規分布

9"-2⑦ との〇分布

15 / 17

条件付き石隺率
D I （条件付き確率）@B: 身長が170c m 以 上

が年収が500 万以上

事象B が起こったもとでの事象
A が起きる確率(A.BEF)

は三〇囨"/ /P (AIB)竺 P A IPCB).

ただし、PCB) t o とする.

B:固定のもとで.AE F - P A 113）は(RA)上の確率測度になっていることはすぐに石隺認できる.

well-deﬁnedにできない、
PCB)=0の場合はた上この定義だと.

に対し.13={4=31} とした時等にそのような状況は連続でr. l i X
そのような状況も扱える条件付き確率の定義は起きる。

後で述べる、

丘（条件付き確率の公式）

積の公式

い）

P (AnB ) = P(AIR) PCB)に） Bayes の公式

2TTTTY|確率を逆ば結果から原因の算できる。
H.deの原因から結果の確率が⑥ PCAI B ) = 1 ' 例 興
PCB)T

特 に An.... Anが互いに排反か）

YAi n ならPA 113）= 1つ都

確率数理工学3 (2022)

est側脈興）16 / 17週

人口の0.1% がかかる病気がある.

ある検査では、 病気の患者の99% が陽性を示し、健常者の 10%が陽性を示す。

この検査を受けてみて陽性だった時、本当に病気である確率は？
PGA1B) =病気

陽性

1つり刂礐ニ 加 側 が-

̲--

̲-

P(BIANCA) tRNAりPa y=

0.99 0.00/-0.99
1+0.1 0.999

0. 。。

三0.0098--11% にもみたなu)に と ベイズの定理はロボットの自己位置推定や天気予報等にも使われている.

確率数理工学3 (2022)

17 / 17