数理解析研究所講究録1022 巻 1997 年 93-96

93Th\’eor\‘emes de convergence pour les groupes

kleiniens d\’ecomposables.h..i Ohshika$\mathrm{K}$$\mathrm{e}\mathrm{n}’ \mathrm{i}\mathrm{c}$.

le 20$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}$, 1997

Dans cette note, on annoncera quelque r\’esultats sur la convergence des groupes
qu’on a expliqu\’e \‘a la conf\’erence du RIMS. Une partie des r\’esultats est
d\’ej\‘a apparue dan $s[6]$ , et on a un plan d’en publier le reste dans [7].
L’un des buts les plus importants de la th\’eorie de groupe kleinien est ded\’eterminer le type topologique de l’espace de d\’eformation pour un groupe kleinien
donn\’e. Il semble que la premi\‘ere \’etape pour cela soit de distinguer les uites convergentes dans l’espace de d\’eformation des divergentes. Il
des th\’eor\‘emesde convergence pour les groupes kleiniens. Le premier exemple des th\’eor\‘emes dece type serait celui de Bers [1], dans lequel il a montr\’e que la “tranche” de Bers
est pr\’ecompacte dans l’espace de d\’eformation. On peut interpr\’eter ce th\’eor\‘emecomme celui de convergence comme suivant:
Soit $QH_{0}(s)$ l’espace de groupes fuchsiens isomorphes au groupe fondamental d’une surface de type hyperbolique pr\’eservant la parabolicit\’e. D’apr\‘es lesth\’eor\‘emes d’Ahlfors, Bers, Kra, Maskit, et Sullivan, parmi les autres, on sait que$QH_{0}(s)$ est hom\’eomorphe au produit direct
des espaces de Teichm\"uller,. Appelons l’hom\’eomorphici-descelui d’Ahlfors-Bers. Prenons unesuite des structures conformes
dan$sT(S)$ et un point. Soient desgroupes kleiniens avec des omorphismes :, qui
par l’hom\’eomorphid’Ahlfors-Bers.
contient une sous-suite qui converge modulo conjugai on.
Les oeuvres r\’evolutionnaire de Thurston pendant la d\’ecennie75-84 ont introduitdes nouveaux outils dans l’\’etude de l’espace de d\’eformation. En particulier, il ad\’emontr\’e que les espaces de d\’eformation de groupes kleiniens qui sont isomorphes
aux groupe fondamentaux des vari\’et\’es acylindricales sont compactes. Ce r\’esultat$\acute{\mathrm{k}}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}s$

$s$

$s$

$s’ \mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{I}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}$$S$$\mathcal{T}(S)\cross$$\mathcal{T}(S)$$s\mathrm{m}\mathrm{e}$$s\mathrm{u}s$$\{m_{i}\}$$n\in \mathcal{T}(S)$$\mathrm{i}s$$\phi_{i}$$(m_{i}, n)\in \mathcal{T}(S)\cross \mathcal{T}(S)$$\pi_{1}(S)arrow\Gamma_{i}$$\Gamma_{i}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mu \mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$$s\mathrm{m}\mathrm{e}$$\mathrm{A}1_{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}_{A}}..1\mathrm{a}..\mathrm{S}\mathrm{u}_{!}.\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}.\{\phi_{i}\}j$

$s$

$s$

$s$

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donn\’ee dans [11], avec sa technique de surface pliss\’ee, ont
ci et sade th\’eor\‘eme de Bers pour lesfait possible de prouver une sorte degroupes kleiniens ind\’ecomposables (voir [4] [5]).
D’autre part, m\^eme les r\’esultats puissants de Thurston ne suffisent pas \‘a obtenirde th\’eor\‘emes de convergence pour les groupes kleiniens d\’ecomposables aussi
g\’en\’eraux que ceux de cas de groupes ind\’ecomposables. Jusqu’\‘a maintenant,essentiellement on n’a eu que trois r\’esultats, de Canary, d’Otal, et de l’auteur[2] [8] [6]. Le oeuvres de Canary et Otal ont trait\’e la convergence des suites
finis.
de groupes Schottky, c’est-\‘a-dire groupes kleiniens libres
Le th\’eor\‘eme principal de [6] est celui de convergence pour les groupes kleiniens
g\’eom\’etriquement fini qui sont isomorphes aux produits libres de deux groupes deurface. Son \’enonc\’e pr\’eci se est comme suivant. Rappelons que lorsqu’un groupe
par l’espace dekleinien est d\’ecomposable, on a rev\^etement universel dedu domaine de discontinuit\’e au lieu de l’hom\’eomorphisme d’AhlforsBers, lequel on appellera le rev\^etement universel d’Ahlfors-Bers.
$\mathrm{g}^{\text{\’{e}}_{\mathrm{n}}\text{\’{e}} \mathrm{I}}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{g}^{\text{\’{e}}_{\mathrm{n}\text{\’{e}} \mathbb{R}}}1\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}$

$s$

$s$

$s$

$\mathrm{g}^{\text{\’{e}}_{0}\mathrm{m}}\text{\’{e}} \mathrm{m}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$

$s$

$s$

$QH_{0}(\mathrm{r})$$\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}$Th\’eor\‘eme 1 Soit un groupe kleinien g\’eom\’etriquement fini qui est isomorphe\‘a un produit libre de deux groupes de surface close $\pi_{1}(S)\cross\pi_{1}(T)$ . On note$\Gamma$la somme connexe de et T. Soit :nle rev\^etement universel d’Ahlfors-Bers. Consid\’erons une suite {} dansqu’il a un ensemble compact dans, et queconverge vers une lamination mesur\’ee
qui contient tout les
maximak dans le domaine de Masur. Alors { $q(mi,$ ni, } converge dans l’espacede d\’eformation quitte \‘a en extraire une sous-suite.
$S$$\Sigma$$q$$\mathcal{T}(\Sigma)\cross \mathcal{T}(S)\cross \mathcal{T}(T)arrow QH_{0}(\mathrm{r})$$(m_{i,}$$T(\Sigma)\cross \mathcal{T}(S)\cross \mathcal{T}(T)teHe$$\mathcal{T}(S)\cross \mathcal{T}(T)$$y$$(n_{i}, r_{i})$$\gamma)$$\{m_{i}\}$$\Gamma i)$

On peut trouver unede ce th\’eor\‘eme dans [6].
On \’enonceIa ci-dessous dans Th\’eor\‘eme 2 une condition suffisante de convergence pour les groupes kleiniens tel que les vari\’eoes hyperboliques correspondantes contiennent des coeurs hom\’eomorphes aux bretzels creux. Ceci est une
du th\’eor\‘eme ci-dessus. On notele bord ext\’erieur d’un bretzel
creux , eton bord int\’erieur.
$\mathrm{d}\text{\’{e}} \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}S\mathrm{t}\mathrm{I}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}$$s$$\partial_{e}C$$\mathrm{g}^{\text{\’{e}}_{\mathrm{n}\acute{\mathrm{e}}}}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{n}$$C$$\partial_{i}Cs$

un groupe kleinien g\’eom\’etriquementfini qui est isomorphe \‘aun produit libre des groupes de surface close et un groupe libre de rang au plus 2tel quecontiens un coeur hom\’eomorphe \‘a un bretzel creux. Soitl’espace des d\’eformations quasi-conformes de modulo conjugaison conforme,Th\’eor\‘eme 2 Soit$\mathrm{H}^{3}/\Gamma$$\Gamma$$C$$QH_{0}(\mathrm{r})$$\Gamma$

et soit $q:T(\partial c).arrow QH_{0}(\Gamma)$ le rev\^etement$unive\gamma \mathrm{s}e-l$d’Ahlfors-Bers.

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et une suite $\{(m_{i}, n_{i})\}(mi\in$comne suivant. On suppose qu’il ait un sous-ensemble, et queconverge vers
contenant tout les points decompact deune lamination mesur\’ee marimak et connexe dans le domaine de Masur.
corwerge dans l’espace de d\’eformation $AH(\Gamma)$ quitte \‘a en
Alors {Consid\’erons la factorisation$\mathcal{T}(\partial_{i}C),$$\mathcal{T}(\partial_{i}c)\cross T(\partial_{e}C)$$n_{i}\in T(\partial_{i}C))$$y$$\{m_{i}\}$$\mathcal{T}(\partial_{i}C)$$\{n_{i}\}$$q(m_{i,i}n)\mathrm{I}$extraire une sous-suite.

Les techniques qu’on utilise pour d\’emontrer ce th\’eor\‘eme sont entiellement
similaires \‘a celles d’Otal [8] et Ohshika [6]. D’abord, on suppose qu’une sous-suite
dediverge dans l’espace de d\’eformation. Alors, d’apr\‘es les th\’eor\‘emesde Morgan-Shalen, Bestivina, et Paulin, il doit avoir une action de sur un arbrer\’eel munie du petit stabilisateur. En analysant l’action de sur $Ts$ elon les types
d’isomorphe de , on peut montrer que l’existence de telle action contredirait
vers une lamination mesur\’ee dans le maine del’assomption que
Masur.
On doit supposer que ne contienne pas un groupe libre de rang 3 comme
un facteur d’un produit libre parce qu’il a des action avec petits stabilisateursd’un groupe libre de rang 3 sur un arbre r\’eel, qui ne sont pas duals aux laminations
mesur\’ees. (Voir Levitt [3].)On peutconsid\’erer une g\’en\’eralisation de ce th\’eor\‘eme en \’eliminant l’assomption. M\^eme dans cette situation
qu’il ait un ensemble compact contenantg\’en\’erale, on peut prouver un th\’eor\‘eme similaire si l’on suppose que chaque coordonn\’ee deconverge vers une lamination mesur\’ee maximale connexe. On a
aussi besoin d’utiliser le fait que les actions libres d’un groupe de surface sur unarbre r\’eel sont duals aux laminations mesur\’ees, que Skora a d\’emontr\’e dans [10].
$\mathrm{e}ss$$\mathrm{t}q(m_{i}, n_{i})\}$$\Gamma$$\mathrm{y}$$T$$\Gamma$$\Gamma$d..o$\{n_{i}\}_{\mathrm{C}\mathrm{o}}\mathrm{n}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{r}..\mathrm{g}.\mathrm{e}$$\Gamma$$s$$\mathrm{y}$$\{m_{i}\}$$\mathrm{y}$$\{m_{i}\}$Bibliographie[1] L. Bers, On boundaries of Teichm\"uller spaces and on kleinian groups I, Ann.
of Math. 91, (1970), $570- 6(\mathrm{n}$[2] R. Canary, Algebraic convergence of Schottky groups, Tran s. Amer. math.
Soc. 337, (1993), 235-258[3] K. Levitt, Constructing free actions on

633$\mathrm{R}$-trees, Duke Math. 69 (1993), 615-96[4] K. Ohshika, On limits of quasi-conroImal defomation s of Kleinian groups,
Math. Z. 201, (1989), 167-176[5] K. Ohshika, Limits of geometrically tame Kleinian groups, Inv. Math. 99,(1990), 185-203:[6] K. Ohshika, Convergence theorem for Kleinian groups which are free products, Math. Ann. (1997)[7] K. Ohshika, Convergence theorem for Kleinian groups which are free prod-ucts II, en pr\’eparation[8] J-P Otal, Sur la d\’eg\’en\’erescence des groupes de Schottky, Duke Math. J. 74,(1994), 777-792[9] J-P Otal, Courants g\’eodesiques et s urfaces, Th\‘ese,$\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}\dot{\mathrm{e}}\mathrm{r}s$it\’e de Paris-Sud[10] R. Skora, Splittings of surfaces, J. AMS

Hyperbolic structures on 3-manifolds III: Deformations of3-manifolds with incompressible boundary, preprint, Pninceton Univ.

[11] W. Thurston :