GET SEMINAR 2010/12/10

Darcy, Forchheimer,
そして ManningMi登坂博行（東大）（吉岡真弓（産総研） 佐々木憲二（crearia)）（吉岡真弓（産総研）、佐々木憲二（crearia)）

流れの場の概念（吉岡、2010、地下水学会を改変）
吉岡 2010 地下水学会を改変）
地圏には様々な流れが起こる
岩石間隙、土壌間隙中の流動：穏やかな流れ ダルシ 流れ
岩石間隙、土壌間隙中の流動：穏やかな流れ→ダルシー流れ
土壌パイプなどの発達した地下浅部の降下浸透、側方流／割れ目系岩盤中の降下浸透、トンネル湧水／石灰岩の溶食亀裂中の流れ／崖錐
礫 扇状地扇頂付近の礫 礫質帯水層中の降下浸透／揚水井 注水
礫、扇状地扇頂付近の礫、礫質帯水層中の降下浸透／揚水井、注水
井周辺の流れ／浸透ますなど礫質材料中の降下浸透＊より速い非ダルシー流れ（乱流）地表流、管内流

地表流

海流れの場の概念（吉岡、2010、地下水学会を改変）
吉岡 2010 地下水学会を改変）
地圏には様々な流れが起こる
岩石間隙、土壌間隙中の流動：穏やかな流れ ダルシ 流れ
岩石間隙、土壌間隙中の流動：穏やかな流れ→ダルシー流れ
土壌パイプなどの発達した地下浅部の降下浸透、側方流／割れ目系岩盤中の降下浸透、トンネル湧水／石灰岩の溶食亀裂中の流れ／崖錐
礫 扇状地扇頂付近の礫 礫質帯水層中の降下浸透／揚水井 注水
礫、扇状地扇頂付近の礫、礫質帯水層中の降下浸透／揚水井、注水井周辺の流れ／浸透ますなど礫質材料中の降下浸透＊より速い非ダルシー流れ（乱流）地表流、管内流
土壌パイプ・降下浸透
トンネル湧水降下浸透・側方流

揚水井

浸透桝
地表流

海割れ目系岩盤
礫質帯水層中の流れ
地下地層中の流れ

水の流れに関し、我々は大きく3つのレジームを水流れに関し、我 は大きくを知っている。

乱流状態

J = bu

慣性流状態

J = au + bu

22

流路の拡縮によりエネルギ が失われる効果を伴う流れ流路の拡縮によりエネルギーが失われる効果を伴う流れ

層流状態

J = au河川屋はM
河川屋はManningの乱流世界に住むi の乱流世界に住む（地表流 河川流 管内流など）（地表流、河川流、管内流など）

R 2/3u =n∂Ψ,∂x

Ψ = z+h
水路勾配＋水深勾配⎛ Wh ⎞R =⎜⎟ ( rectan g u lar o p en ch an n el)⎝ W + 2h ⎠⎛ π r2 ⎞ r
R =⎜(tu b e) 径深（hydraulic radius）⎟=⎝ 2π r ⎠ 2⎛ n2 ⎞ 2∂Ψ= ⎜ 4/3 ⎟ u = b u 2
J =∂x
⎝R⎠

地下水屋はDarcyの世界に住む（土壌や岩石などの多孔質体中の流体流動）K ∂Ψ
u = −,μ ∂x∂ΨμJ =u=∂xKΨ = P + ρ gz
uD：Darcy流速[m/s]μ ：粘性係数[Pa・s]Ψ ：ポテンシャル [Pa]K ：浸透率[m2]x ：位置 [m]

直列の法則・低透水部が律速する
・低透水部が律速する。
・直列媒体の平均浸透率は調和平均的となる
l1 + l 2
K =l2 ⎞
⎛ l1+⎜⎟KK2 ⎠⎝ 1K 1 = 1 0 −8 m 2 , K 2 = 1 0 −12 m 2
l1 = 1 .00 m , l 2 = 1 .00 m

K ≈ 2 × 1 0 −12 m 2・一部に低透水媒体があると全体もDarcy流れと考えてよい。
・高透水媒体中でも飽和流れは玉突き状態で、Darcyと考えてよい。
・地下深部の流れは、大亀裂があってもDarcy流れと考えてよい。
地下深部の流れは、大亀裂があってもDarcy流れと考えてよい。

中間的な流れはどこにある か？
中間的な流れはどこにあるのか？

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

降下浸透実験（吉岡ら 2010)
降下浸透実験（吉岡ら,2010)
装置
カラム長さ
試料長さ
初期状態
追加注入量

透明塩ビ 直径:0.1m
パイプ0.4m

方法
初期状態から下方を開放し初期状態から下方を開放し、飽和流れ→不飽和流れに至る累積流出量を電子天秤により測定する。
測定開始から約60秒後に追加注水を行う
測定開始から約60秒後に追加注水を行う。

waterSample
Sl
0.5m 初期状態
= 水飽和
パンチング
メタル

試料物性
基準位置
（水位0m）（開孔率50%）

電子天秤

1.0m
10m 直径：0.1m
直径：0 1m
0.5m
試料は水飽和、初期水位は0.9m
300ml / 500ml

CCase

材質

粒径

間隙率B05

ガラスビーズ5mm

0.42B10

ガラスビーズ
ガラスビ
ズ

10mm

0 450.45CR

砕石

5mm*

0.40

*砕石の粒径は平均等価体積粒径

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

降下浸透実験（吉岡ら 2010)
降下浸透実験（吉岡ら,2010)
透明塩ビ 直径:0.1m
パイプ

初期水位
0 9m
0.9m
0.4m

SampleSl
0.5m 初期状態
= 水飽和

試料物性
基準位置
（水位0m）（開孔率50%）

電子天秤

1.0m
10m 直径：0.1m
直径：0 1m
3cm
0.5m
試料は水飽和、初期水位は0.9m
300ml / 500ml

方法
初期状態から下方を開放し初期状態から下方を開放し、飽和流れ→不飽和流れに至る累積流出量を電子天秤により測定する。
測定開始から約60秒後に追加注水を行う
測定開始から約60秒後に追加注水を行う。

water

パンチング
メタル装置
カラム長さ
試料長さ
初期状態
追加注入量

CCase

材質

粒径

間隙率B05

ガラスビーズ5mm

0.42B10ガラスビーズ
ガラスビ
ズ10mm

0 450.45CR

砕石

5mm*0.40*砕石の粒径は平均等価体積粒径

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

降下浸透実験結果（吉岡 2010)
降下浸透実験結果（吉岡,2010)
累積流流出量 [kg]]Stage 1飽和流れの区間におけるバルク流速

4B05
B10CR

20

累積積流出量 [kg]Stage 2

04080

5

飽和流れ

0010Time[s]20304.560

B050 056
0.056

B100.11

CR0.061

飽和流れの区間におけるレイノルズ数 Re

Injection2

バルク流速[m/s][s]

5.54Case

70
80
Time[s]

累積流出量の時間変化

90Case

ReB05332

B101221

CR275

Darcy領域
Re＜1〜10非Darcy流れこのような高透水媒体の飽和から不飽和にわたる挙動を再現できるか？

Darcy型2相流れのモデル
uD , p ：p相のDarcy流速[m/s]2成分2相流体系の質量保存式

ρp：p相の密度[kg/mp相 密度[ g 3]∂∂
S p ：p相の飽和度[-]
−−=uρ
kρ
q
ρ
ϕS()
()
D,w
w
r,wwwww水相
ϕ ：間隙率[-]∂x∂tkr , f ：相対浸透率[：相対浸透率[-]]∂∂気相 − ( u D , g ρ g kr , g ) − ρ g qg = ( ρ gϕ S g ) ρ p q p：p相の質量生産速度[kg/(m3s)]∂x∂tp ：相（w：水相，g：気相）

相対浸 率 rw, krg)・毛管圧力(h相対浸透率(k毛管 力 c)：van Genuchtenモデル
デ(1 − (1 − Se ) )Se =(krg = (1 − Se ) 1 − Ser

ここで1m

S w − S wr
, m = 1 −1 n , r = 1 3
1 − S wr

Se：有効飽和度m 21mS w , S wr：飽和率，残留飽和率)

2m

hc
krg

krw

毛管圧力力krw = Se

12

相対対浸透率1n1 ⎛ 1 − Se1 m ⎞hc = ⎜ 1 m ⎟α ⎝ Se ⎠水飽和率van Genuchtenモデルによる相対浸透率・毛管圧ー水飽和率曲線

非Darcy型2相流れのモデル予想形（吉岡ら、2010)
Darcy型とのアナロジーで予想されるもの→実験的に適切性の検討が必要

2成分2相流体系 質量保存式
2成分2相流体系の質量保存式∂∂uρkρq−−=( F ,w w r ,w ) w w( ρ wϕ Sw )
水相
∂x
∂t
∂∂
気相 − ( u F , g ρ g kr , g ) − ρ g qg = ( ρ gϕ S g )∂x∂t

相対浸透透率

相対浸透率(krw, krg) ：van Genuchtenモデル

krw

Forchheimerの流速の式

uF , p =−a '+ a '2 + 4b ' ∂ψ ∂x
2b 'Ergunらの係数で表わすと、

a ' = aρ p g =μpKpb ' = bρ p g

吉岡他（2010）ではvan Genuchtenモデルを用い、毛管圧力(hc)＝0n = -2krgを与えることで、実験結果を良好に再現。
与で、実験結果 良好 再現。

水飽和率室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

実験結果の再現性の検討(吉岡ら 2010)
実験結果の再現性の検討(吉岡ら,2010)
0.1m

計算設定
大気層には微小値
大気層は微小値
初期状態（1.0×10-5）を設定
水飽和度：水飽和状態(=0.999)
温度：一定（28℃）
圧力 静水圧分布（大気 流出層
圧力：静水圧分布（大気・流出層=1013.25hPa)
大気層
注入設定
(1m)
注入量：500ml／300ml at 62秒後
＊本計算では毛管圧力=0として設定．
計算時間：240秒
タイムステップ：最大1秒（収斂状況に合わせて可変）

・・・

10層

試料(0.5m)

浸透率 → 推定した浸透率を使用
相対浸透率 → van Genuchtenの係数nを変化

流出層格子設定(1cm)

最下層の流出層への累積流出曲線と実験結果を比較する．

媒体の浸透率の推定
変水位試験のDarcy型解析解

h(t ) KA
ln=th0aL
実験値はほぼ直線的！

-0.2
Water llevel (log))

h−adh = kA dt
LB05
B05
B10B10CR
CR-0.4-0.60.62

この実験はRe＞100だがDarcyの実験は ＞
だが cy 的的？

4Time [s]

6

B05
B05
B10B10CR

Water level (log)
W-0.202

CR-0.4-0.624
Time [s]6Fig.5 Water level changes during the saturated flows

実は、詳しくみると、 れは曲線となっている。
実は、詳しくみると、これは曲線となっている。

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

浸透率の推定 方法
累積流出量量 [kg]●実験結果（飽和流れ）●飽和流れの数値計算⎛ μ⎞
J = −⎜uF + buF uF ⎟ρgK⎝⎠

4

飽和流れ

2a=μρ gKErgun(1952)の式より⎛ρf a ⎞b = ⎜ 0.0204
3 ⎟μg
φf
⎝⎠12

飽和度[ ] kr , f ：相対浸透率[-]
流速[ / ] S p ：飽和度[-]
相対浸透率[ ]uF , w：流速[m/s]

0010

累積流出量

Time[s]2030

ρ p q p：水相の質量生産速度[kg/(m3s)]

Qcal ,t [ K ]Qobs ,t●目的関数
nJ = ∑ ⎡⎣Qcal ( K ) − Qobs ⎤⎦t =1t：時間, n：飽和流れの区間2

目的関数Jが最小になるKを推定

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

浸透率の推定結果（吉岡 2010）
浸透率の推定結果（吉岡、2010）
絶対浸透率とJ（目的関数）の関係
0 01
0.0101
0.1B05
CR0.06B05

目的関数数J

目的関数数J

0.08

0.04
0.0200.0E+00

2.0E-08

4.0E-08

浸透率 K [m2]目的関関数 J0.005

CR0.0 -8

2.16×100 05
0.05
0.04

1.80×10180×10-88m2

B10m2

B10

1.35×10-7m2

1.0×10-7

2.0×10-7

浸透率 K [m2]目的関数Jを最小にする浸透率K：

0.03

KJ

B05

1.80×10-80.00352

B10

1.35×10135×10-7

0 00284
0.00284

CR

2.16×10-80.002200.02
0.01
00.0E+00

2.0E-07

浸透率 K [m2]4.0E-07

B05
B05
B10B10CR-0.2
Water levvel (log)CR

Darcy流れとして逆解析
y流れ
逆解析-00.44
K* ：慣性効果の入った値
Forchheimerとして逆解析-0.606
K：層流状態の本来の浸透率で、K*の5～10倍程度倍程度

24Time [s]6Fig 5 Water level changes during the saturated flows
Fig.5

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

再現計算結果（吉岡,2010))

Stage 1

累積流
流出量[kg]B05(ガラスビーズ5mm) B10(ガラスビーズ10mm)
552.52.5420

実験値
計算値

実験値
計算値

-8[m2]
0 K=1.80×101020300n=-2.0経過時間[s]

実験値
計算値

-720 K=1.35×101020[m ] 30

経過時間[s]n=-1.3

累積流出量
量[kg]

05.55.2Stage 2CR（砕石）-8[m2]
0 K=2.16×10102030

n=-1.5経過時間[s]5.24.854.84.44.5607080

経過時間[s]90607080

経過時間[s]90607080

経過時間[s]90z本手法により推定した浸透率Kを用い、相対浸透率にかかる係数nに負の値を与えることで、媒体の異なる3種の実験結果を良好に再現することができた。

114

Relative permeability

2Pc

00

Water saturation(a) n = 510krwkrg
2Pc
00

Water saturation(b) n = -2

Fig.9 The relationships between water saturation and capillarity pressure(Pc),) relative
l i permeability
bili off liquidli id (krw) andd gas (krg) byb van
Genuchten model with n = 5 (a) and n=-2 (b).

01CCapillarity
prressure [m]krwCCapillarity
prressure [m]krg

Relative ppermeabilityy4Cumulative oC
outflow [kg]Cumulative oC
outflow [kg]420

Cumulative outflow [kg]01020
Elapsed time [s]

30

4

200

103020Elapsed time [s]Observation

4Forchheimer model with aestimated by inversion
Darcy model with aestimated by inversion

2Darcy model with K
estimated by FHP test

001020Elapsed time [s]30

Fig.10 Comparing results of Forchheimer model between Darcy modelwith the estimated coefficients a and b by inversion analysis andthe falling head permeability (FHP) method.

得られた知見z 変水位試験からDarcy流れを仮定して回帰された浸透率

は、K *はもはやDarcy浸透率ではなく、慣性流状態の浸透率である。
z 変水位試験の結果からForchheimerモデルにより得られる浸透率は本来のDarcy 浸透率Kと考えられる。
z KはK*の数倍大きくなる。
z Forchheimer式とKを使って、実験結果は良好に再現される。
z Darcy式とKを使って実験結果は再現されないs。
z Darcy式とK*を使って、実験結果はある程度再現できる。
z 高透水媒体中の不飽和流れの相対浸透率は通常の形から大 く大きく異なり、比較的直線的になる。
比較的直線的まとめz 陸域の水の流れには、大きく層流、慣性流、乱流がある。
陸域の水の流れには 大きく層流 慣性流 乱流がある。
z 地表流はManning型乱流、地下はDarcy 型層流、そして、地下浅部高透水性媒体中の不飽和浸透ではForchheimer型慣性流が考えられる。
z 不飽和慣性流は、通常と形の異なる相対浸透率形により再現可能であると考えられる。
z 不飽和慣性流の効果が水文解析結果に与える影響については、今後の検討が必要であるが、Forchheimer型により水文系全体をモデル化する とが望まし かもしれな水文系全体をモデル化することが望ましいかもしれない。