!

確率数理工学3
これまでの内容を逆にたどってみる.
o

分布関数下がfに）感がリ「"感が"に0， egan，G） ）（<y 下（川EFA)=Fla） （右連続）fが与えられたとするFに対応する（RAIN）上の確率測度Pが一意に存在する.

oPao,a］）=FG）（とER）をみたすPTほ）.

!ij

ある確率変数xEx）=
PCX下川）を想定に対し、↳ そのためには｛H×（w)E川は可測でなくてはいけない→確率変数の定義

品がEからは"集合半代数"に「Yfj次いで晶補足資料

まず脈がない下に） はb）とする

fit"湉城㗴ば的に""激時① 8=1cab］1-aE a s bなっている。などの集合族までに矛盾なく拡ら長できる？-1
Pはをみたすことが示せる（非自明）P（（ab］）=！Mai,bit）（下（b）-FH=I（下（以下（a）））

pは8上で6-加と言う

ND.坳］のコンパクト性を使う.

。

｛pが迦 にAES）に1・S上で6-加法的③ Hopfの拡張定理（の一般化）：

上の3つの性質をみたすS上の集合関本文PS→に1］はSを含む最小の6-加法族6（S）上の確率測度へ一意に拡張される。

6（5）はを含む最小の6-加法於_A.

④6（S）=BCR）であることより.示したことが言えた.

確率数理工学3 (2022)

1 / 17

"

この講義では.確率空間は所与のものとし、その構成法"にしかし、構成法の過程自体は知っておいた方が理解の助けになる.
は深く立ち入らない。

68上の測度1つを15）まで拡張する方法：ーー
任意の集合ACRに対し、筏な亹がをPTA）：=

Afin（HERR）等の条件は課さない）

iBi

PCB：

館馿臖）

嶂無限個→R，132，...ES（PTAにとおく.

:ES（有限側☆化合）とするとな測度と呼ばれる
B i . . . i Bmday
i nf

ただしAc!B..は任意，ものになるが.これでは不十分である.

ここで.

）

D：=｛DcR I PT D ) t PHD =1｝
とおくと.0は6-加法族になり、P*はD上の確率測度になる.（非自明、前回補足資料）
さらに、 SCOが容易に示せるので、BCR）=6（8）CDでもある。

PCA）=が（A）にAES）も示せるので、他はPの脈）への拡張を与えている。 拡張の一意性はDynkinの不入定理により保証される。
確率数理工学3 (2022)（前回の補足資料）

2 / 17をここで'D：=｛DcrI PYD）+ MDC）=I｝とおくと、 以下が成り立つ、

凹1.0は 6-加法族.
2 .

がのDへの制限は（r.&）上の確率測度になっている。

（非自明、 前回補足資料に証明はのせてある）.
今、Sの定義と、 PがS上6-加法的であることから、SCOが示せるので、 8が6-加法族であることと合わせて、6（SKDもわかる. 8A ESならMA）=PCA）で. HE8に対して、Bm）|すヨBi,Bz....、Bm E S で 、 バ = R u - . - u Bm
る た Pに）=PCA=PCA）
B i o. . . u
全部「ら元.と.
十割麗川である。

（互いに押阪）u

VAE S で PTA）=PA）も示せるので、P*は.Pの6（S）への"拡張"を与えている☆ の場合、 6（S）=BCR） なので、 P*はBCR）上の確率測度を与える.

確率数理工学3 (2022)

3 / 17

・-拡張の一意性
Dynkinので入定理
目標： 分布関数Fが与えられれば対応する確率測度Pが一意に定まることを言いたい。
つまり、2つの確率測度R.BがP.（は、a］）= Bに a］） FK） をみたすなら、P，（A）
Pz (A） （KAEB側） となること==を示したU.

（ただし、そのような測度が存在することは仮定）

Hop の拡張定理
f'#.たシステム：-集合族Pがたシステム

たシステム：

A.BEPならAnB E D（有限回の共通部分を取る操作について
BIA：=BnACa , r e d
爪に）
BHEL
ABEL,ACB（3 K A K A , E E d）A I AnE L

集合族人が九一システムの(Dynkin族）

閉じている）/☆ 6-加法族はたシステムでも入システムでもある。
6（P）：Pを含む最小の 6-加法族
LP）：Pを含む最小の入・システム型（Dynkinの定理）い） Pはたシステムで、 人はPを含む入・システム（PCL）であるとする。
すると、 6 （ P ) C Lである。
（2）

たシステムPに対し、G ( P ） = LCP）が成り立つ.

/

言正明は後で与えるが. （りいに）はすぐにわかる。なぜなら、いつより6（P)C人（P）は示されており、かつ任意の6-加法族は入・6（P）はPを含むがシステムでもある。つまり6（PDL(P）が成り立っシステムでもあるので、た 2 6（P）=LLP） である。

確率数理工学3 (2022)

4 / 17

Dynkinの定理より次の命題が示せる。に「（r.F）上の確率測度しAE Pをみたす なら、で（証明は次のページ）

R . B が 、 あるたシステムPCFにおいて.

RCA）=BCA）「BE6（P）で R（13）=13（13）が成り立つ.

確率数理工学3 (2022)

X

5 / 17

これから. Dynkinの定理を示すが、その前に次のことを注意しておく.

したんが九一システム（|（1）'s E L（2）'A E d（う）

A と 2

' A nn Am=中 に吽n）， AnEdなら、AnE L である.

Iy（証明）（ニ）のみ示す）（1）'は定義から自明.

が従う.

（ら）'を示す。に1'も n E d な の で R I A EL.つ ま り A'EL

そのため、まずはA.BEL,An13=4 に対し、RIAなので.
N I A ) I BEんでもある。ここで（RIA）|B=ASか なので. A hB E L .に）'より、 A h B E f な ら （AhB'）EAUB E L である.

A uBELであることを示す.

（2）より RHELである。また B C

D t Aたが あとは. ht年にも 出Aa E d より従/Am（AndIt)⇐ ）は自分でチェックせよ.

確率数理工学3 (2022)leastt（3）より.

今示した.

Bn治作

単調増大

は6 / 17確率数理工学3 (2022)

7 / 17

？：な空きになら幾選前にはLCP）の定義より.なかつ、Lf(P）76（P）
前
邶脳が喉にiii.

これが示されば、であり、とf(P）がたシステムであることの証明：

GA：= 1 BE6（D1AnBed）とする。
｝（i) AEHP）なら GA は入・システムである。
なぜなら、（l）''（2）

R E GAB E G A な ら . A n BEL(P）であり、 A Ed(P）であることとあわせて. Al(AnB） = A n BCELCP）でもある。

つまり、（ろ'）f ! r n A=AE※※獄B'EGA である.

Ba E GA が互いに排反であるとする.

I fREGAを示したa.

A n ( I Bn）= Y(AnBn） であるが. B nEaより、AnB nE N Dである。しかも. （AnBn)nは互いに押阪であるので、Y(AnBn)ELCP）. つまり. I

BnEGA である。

よって GAは九・システムである.

（ii) A EPな ら LCP)CGA である。

なぜなら、まずAEL(P）でもあることから（i）より私は入・システムであること

Pはなシステムなので「BE P は B nA EPである。つまり、に 注意する。
「BEPは BEGAである （PCGA）. よってGAは今、Pを含む九・システムなので、LCP)CGA である.

I、

このことから. A E P . B E LCP） に対し、 A nB ELCP）である。

あとは A を AEHP）まで広げたい.

（iii) A E N D なら、 LCP）はAである。
なぜなら、 （ii）より、 UBEPに対し. A nB ELCP）であることは示されているので、GAである。また（i）よりAは（P）なら私は入・システムなので、PCLCP)CGA でもある。 よって、AEd

確率数理工学3 (2022)）なら、名は）でBEND）をみたすつまり、と（P）はたシステムである.

An/ /8 / 17!

咀（多変量確率変数、多次元確率変数、確率がに、扑の測空間が（い.....Xn）：r→R"が多変量確率変数（確率ベクトル）⇐ > ※ r → R が 確 率 変 数 . i e , X i K a aD E F E a t

Myに ". . n )別の安達

T:r→成が確率ベクトルかが（A)EF(TEB側）.てきた！た碆いた？！！！！：

×長に砅である（上 下）：

石は連続関数なので「1測。叶測関数の合成は「1測なので、Xkもの測じたい.....h）.

d=1I、x...x In41で（IE CanbeT. a t ） ｝とすると.A=I，がIn
あとは、Etに対し.が（A）=ただ（Ia)EFである。

GA）=B（1が）TTQFなのでとが（6（t））=6ばば）に気をつければ.
が（BAR"））=が16（か）=6（MAI）
C Fを得る.
。

で集合族が対で（第鼺）が（tにした（A)IAEA｝と書く.

/

直積6-加シ學： （ m Fa）（た1.....n）を可測空間とする.

斎.si
r.x.in上の6-加法族たが×な
1 A , x x A nl A nETらを含む最山の6加えた_
賑を怍
これを.直積6-加法族と呼ぶ.

→）が×1皦る奴）
実は、BC

確率数理工学3 (2022)である。（演習問題）

9 / 17!

❤

甠（同時分布関数）に，FP）：確率空間""たの.....灬FGにFN......In)t Pば1Xe爕k（4.....Xn）：I→R"を確率ベクトルとする.

I=（1....，Ku)ER"について.

Exit)FK.）に）としたとき、 Fをした（K.....Xu）の同時分布関委父と言う（joint distribution function）

特にFa....、川=！！...f!flu......an)du....dun（ルベーグ積分）に？：：：鬱鬱.：：：：：..摯
f を 同 時 確 率 密 度 関 数 と言う.
時'！：：：：：：：：：：：襲
下がルベーグ測度にいてE（同時分布関数の性質）
I .

a Ease, b , E h

2 .

binFlab.）E Fla，に）Fいい）に） =Flab）（単調性）（右連続性）

t.at。
ル、ル、
いbt o

3.

感が"""".！！：： F"""に、燕；F"""2）=031，→+.確率の連続性より極限の取り方によらない
ftp.3についても同様の性質
yが成り立つ.
1次元の場合と同様にして.性質1.23を満たすFがよえられれば、に 上（R".B側）の確率測度が一意に決まる.（た入定理、㗅の拡張定列

確率数理工学3 (2022)

10 / 17DI（周辺分布）
F（川）= FN、，to）=P(KEK）にPM E X n k Ea））

周辺分布関数という.
（marginal distribution fund）

を、と のた（k）= P(XzE N ） も 同様

より一般に Fhいた）= P（たかた） をXaの周辺分布関数と言う

Fellaにfifthと非負に1測）関数なを用いて書ける時.

for を 周辺確率密度関数という同時分布が絶対連続なら. 周辺密度は.

yfe Pla）=ffffflu......Um，た，hi.....Un)duidueで与えられる.

確率数理工学3 (2022)

これだけ固定d e a du n

11 / 17咀（確率変数の独立性）
X.. . . . s k i n . が独立

tFM....，xn）= FCK）-_-た（xn）にいい....が）ER"）と分解できる.

/同値な定義がいくつかある。 以下の定義はその中でもわかりやすい定義である.

凹 .

X.....X:r.v.が独立

もP MEA.....，KEAn） にP自信熊川= M eA.）...PCK EAn）#iain：：.
.

（証明）

下の定義が上の定義を与えることはすぐわかる。

逆を示したu、た入一一定理を用いる。 （再掲、前ページおよび前回補足資料参照）
そのためにoたシステムi集合族PがたシステムもA.BE PならAnB E P
o入システム：集合族Lが入・システム⇐）| A . B EL、ACB ！筲（LB)A.C a - E L
AsA、c ofA nE La ) reL（2）注：6-加法族は志碧台長。

正（Dynkinの不入定理）

あるがシステムLが、あるなシステムPを含む（PCL）なら、6（DCL
2変数で示すである.

多変数の場合は同様に帰納法で示せる

A ， = 1 f a n ] l KER｝， d =K AGA ， 「BEA
また、//が証明は1人が23|KER｝とする，

補足資料を参照のこと.

に対し.PIKEA、KGBに脈EA）脈EB）で、

6（A）=BCR）、6（d）=BCR）

確率数理工学3 (2022)

前回のであることにも注意する.
12 / 17

今. A zE d を1つ固定して.とする.に LAERR)IP(KEA n K E Az）=P(KEA)PazEADY
Lsd.であることは独立性の定義から従う

人が入システムであることが示せればな入定理より. old，）=BCR）はが言える.
（a) r = R E L . なぜならPMER，たEA）= P（たEA）=PEELP a zEA）
（b) A . B E L か つ AC B

このとき.とする、

K E AI nKEN））

P(XE(BIA）， h e A.）=PHXEB hKEADY

A.BE人より T=

P(KEB,XzEA2）-P(KEA,X2GHz)oP ME B ) P M GAz）-P(KEA）.MEA.）=（P(KER）-PC
x EA））PCX2GHz）

=

よって.
（c）

P(X、ERIA）・ P H E Az）

BIAE L

月、CNC-.. E L のとき.

PIXIE YT, KEA2）=Plo r

X'にAn）= Yが（An）より{KEI,D n IKEA.1］

P(I(ME問n 142EN）には、1） に確率の連続性
P(MEN=figに.Inの単調性）=n=fig PMEIn）.PH姤）靡
In）・P（42EA2）P(KEY 袽=よって.

瘕火鉱）

YEInE L である.

が言えた、6（A）ははA-システムなので.
以上より L
つまり、「AEBM、 「BEAに対し. P(AEX.BEに）=P(AEx）.P(BEた）.

BCR）を固定して.dzの方に適用し.

さらに. 同じ議論を.AE

6（d）=BCR）と 6（A）=BCR）

確率数理工学3 (2022)まで拡張すれば良い.

/ /13 / 17

!

!
（独立性について続き.）咀（事象の独立性）
任意の部分集合I d に....の4に対し.
A nAz.....AnE F が 独 立 がP（品PLAN、 Ah)=葒
y
先の r . i rの独立性は、事象の独立性の言葉を用いると.

X..... Xuが独立

Xi'(Ai).....が(An)が任意 A......AnEBR)のに対して独立.

は加法族とは限らない）と言いかえられる.

咀（6-加法族の独立性）

同様に集合族の....tng sの独立性も定義できるな 上 の n 個の6-加法族の.....たが独立.

任意のA F F , Az EE....， AnE たが独立. / /がD（確率変数によって生成される6-加法族

x:(r,下）→(R.BR)）に対し、" "）。杣、集合の逆像で（作られ36加法族）

def1 MA)1AE B(Rt}
6 ( X ) = が(BRI)と書く。 こ れ を . X の生成する6-加法族と言う/=

すると.

K . . . . . X u (ru)が独立くでもある。

実は、 先の Xの独立性の同値性と同じ議論により、一次のことも示せる.

T h i n （参考）-t i . . . . . d nを rが(l)ニ ）6(x)....，6(Xn)が独立における非空な集合族とする.
（た1.2.....n )d k はたシステム
d . . . . . . d nは 独 立 .

G ( d ) ， . . . . G Hn)も独立.

確率数理工学3 (2022)/ /14 / 17

密度関数を持つ場合は.
f (K....，）(n)=f （か）... fnGln)と書けることが独立性の必要十分条件になる.

区（正規分布）がした] e が、で平均E= [ 着 差 I ER"た分散共分散行列( a j =区[Him)(Xg m ) ] ）同時密度 f （いに）=，奩 （_Iex p

化 が ど ( xm )、定州一型等）周辺密度if、いいに☆ K としたが独立く 92= E n = 0（参考）：実は.TNいた）が2変量正規分布⇐ >確率数理工学3 (2022)

を ..たE R に対し、 a x t d たが正規分布•9"-2との⑦〇分布15 / 17

条件付き石隺率@B:身長が170c m 以 上

D I （条件付き確率）

が年収が500万以上

事象B が起こったもとでの事象A が起きる確率 (A.B EF)

は三〇囨"P (AIB)竺 P A IPCB).
ただし、 PCB)t o とする.

/ /B:固定のもとで.AEF - P A 113）は(RA)上の確率測度になっていることはすぐに石隺認できる.

well-definedにできない、
PCB)=0の場合はた上この定義だと.

そのような状況は連続でr . l i X に対し.13={4=31}とした時等にそのような状況も扱える条件付き確率の定義は起きる。

後で述べる、

丘（条件付き確率の公式）
い）

積の公式

P (AnB ) = P(AIR) PCB)に） Bayesの公式⑥ PCAI B ) = 1 ' 例 興

2TTTTY|確率を逆ば結果から原因の算できる。
H.deの原因から結果の確率がPCB)

T

特 に An....Anが互いに排反か）

YAi n ならPA:113）= 1

つ都確率数理工学3 (2022)

est

興側脈）

16 / 17週

人口の0.1%がかかる病気がある.
ある検査では、 病気の患者の99%が陽性を示し、健常者の 10%が陽性を示す。
この検査を受けてみて陽性だった時、本当に病気である確率は？
PGA1B) =病気

陽性

1つり刂礐ニ 加 側 が-_--_-

P(BIANCA)tRNAりPa y=0.99×0.00/-0.99×0.。。
1+0.1×0.999

三0.0098--11%にもみたなu )にとベイズの定理は ロボットの自己位置推定や天気予報等にも使われている.

確率数理工学3 (2022)

17 / 17