（シリーズ） ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その３） 現代風の微分・積分へのアプローチ－
鎌田 弘*

小島 隆史**

由良 諭***Development of Assistant Tool for Learning Derivation and Integration
through Galileo’s Acceleration Experiment― ( Part 3) Approach to Modern Derivation and Integration ―Hiroshi KAMADA, Takafumi KOJIMA and Satoshi YURA
Abstract

The series of studies describe development of teaching materials to make a goal of modern derivation andintegration basic concept through explanation of Galileo’s acceleration experiment and exhibition of function
graph under Cartesian coordinates. The teaching materials are named “Galileo’s-like derivation and integration”
because of find of derivation and integration basic concepts. The third report shows the approach to modernderivation and integration using development of previous series studies.
Keywords : Galileo and Descartes, Galileo’s-like Derivation and Integration

1. はじめについても，平均速度𝑣̅ から計算した累積値と瞬間速度𝑣から求めた積量（積分値という）の値が同じである．

1-1 目標本シリーズその２２）：無限小操作を導入して，ガリレ

本シリーズは，高等専門学校２年生が，微分・積分オの斜面実験の中に，微分・積分の基本概念の萌芽をの基本概念を習得することを目標としている．その目見つけ，それをガリレオ流の微分・積分と名づけた．①

標を達成するために，その１～その３のシリーズ教材

時間区間［t － h ，t ＋ h］の平均速度𝑣̅ と中間時点 t開発を試みた．の瞬間速度𝑣の関係を関数 y＝t 2 グラフに関わる直線１）の傾きで捉え，いかなる h に対しても平均速度𝑣̅ と瞬間

その１：ガリレオの斜面実験をひも解く

２）

その２：ガリレオ流の微分・積分を模索する速度𝑣が等しくなることに着目した．このとき， 𝑣 ＝

その３：現代風の微分・積分へのアプローチ

dy／dt と𝑣̅ ＝Δy／Δt は同じ値で，これをガリレオ流の本報告は，上記シリーズその３の教材開発について微分と呼ぶ．②移動距離についても，平均速度𝑣̅ から計算した累積値 y1 と瞬間速度𝑣から求めた積量（積分値）である．の値 y が，いかなる h に対しても同じ値となることに1–2 教材開発の概略

3着目した．このとき，y1＝∑𝑛𝑖=1 𝑣̅𝑖 𝛥ｔ と y＝∫0 𝑣𝑑𝑡

まず，本シリーズのその１，その２の概略を振り返っておく．本シリーズその１１）：①ガリレオの斜面落下実は同じ値で，これをガリレオ流の積分と呼ぶ．

験の測定値から，時間 t と移動距離 y の関数関係 y＝t 2

本シリーズその３：ガリレオ流の微分・積分を現代風に注目した．②測定データから計算した平均速度𝑣̅ から， の微分・積分に繋げるアプローチが本報告である．学ガリレオの図形的解釈３）により瞬間速度𝑣を推定した．

習内容は，デカルト座標での図解が可能な初等的関数その２つを直交座標上の関数グラフで表現することにを想定しており，ライプニッツやニュートンが初期により，瞬間速度は関数 𝑣＝2t となる．③移動距離 y にイメージした無限小と誤差の処理を念頭においた筆者の解釈である４）－８）．そのとき，無限小操作に伴う数理* 香川高等専門学校 名誉教授** 香川高等専門学校 機械工学科*** 香川高等専門学校 機械電子工学科

処理が，現代風の微分・積分ではガリレオ流の微分・積

1

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 13(2022)

分とは違ってくる．

（２）授業後には疑問・質問，感想等のアンケートを行う．

1–3 本シリーズでの数理処理（３）授業内容の理解程度を調べるため，宿題１（微直交座標上の関数グラフ y＝t 2 と𝑣＝2t を用い，ガリ分），宿題２（積分）の形成的評価問題を課す．

レオの斜面実験での物理量をグラフの図形量で置き換え，その計算で数理処理をする．特に現代風の微分・積

2-2 授業用教材スライド（参照：巻末の（付録Ⅰ）ス

分では，無限小操作に伴い誤差が発生するので，それライド A と（付録Ⅱ）スライド B）が０に収束することを数理的と図形的に説明し，無限今回の本論はスライド A であり，前回の復習用はス小解析に繋がる道筋とした．その道筋を数理式で示す

ライド B である．学生の現状から復習が必要ならば，と，以下の①，②になる．

復習用を授業の初めに利用することを考えた．
授業の流れの大筋は，ガリレオ流の微分・積分計算か①ガリレオ流微分計算式 dy／dt＝Δy／Δt（等式関係） ら現代風の微分・積分計算への移行であり，以下の４から，現代風微分計算式 dy／dt＝lim∆𝑦∆𝑡→0 ∆𝑡

つの図の流れで示す．

（極限関係）

へ．
② ガリ レオ 流積 分計 算式

3∫0 𝑣𝑑𝑡 ＝ ∑30 𝑣̅𝑖 ∆𝑡 ＝

∑30 𝑣𝑖 ∆𝑡 (等式関係)から，（ただし，区間∆𝑡での平均速度𝑣̅𝑖 は，中間時点での瞬間速度𝑣𝑖 に等しい．
）現代風積𝑏

分計算式 ∫𝑎 𝑣𝑑𝑡 = lim ∑𝑏𝑎 𝑣𝑖 ∆𝑡 （極限関係）へ．
𝑛→∞（ただし，区間∆𝑡での瞬間速度𝑣𝑖 は，左端時点𝑡𝑖 での𝑣𝑖である．
）
図１ ガリレオ流の微分計算
1–4 図形処理における次元量変換（量変換）次元解析に用いる式から，以下のように考えた．
①「速さ𝑣̃（cm/s）＝移動距離Δy（cm）／時間Δt（s）」の計算では，移動距離Δy／時間Δt の比の値（Δy/Δt）
を微分計算という．このときΔy を，y と t のグラフでは 1 次元量（長さ量）として扱っている．
②「速さ𝑣̃（cm/s）×時間Δt（s）＝移動距離Δy（cm）」の計算では，移動距離Δy の総和（ΣΔy）を積分計算という．このときΔy を，𝑣̃と t のグラフでは２次元量（面積量）として扱っている．
③このΔy の扱い方①と②を，1 次元量と 2 次元量間の図２ 現代風の微分計算

次元量変換（量変換）と呼ぶ．
2．シリーズその３（本報告）の授業計画（案）
高等専門学校２年生クラスの１時間（５０分）での授業計画案である．
2-1 実施方法（案）（１）授業用教材スライドの要点プリントを学生に配布する．教材スライドをプロジェクターで投影し，それを説明する方法は一斉授業形式で行う．
図３ ガリレオ流の積分計算

2

鎌田弘 他：（シリーズ）

ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その３）

現代風の微分・積分へのアプローチ―

0 (Δt→ 0) を経て現代風微分計算式 dy／dt＝lim∆𝑦∆𝑡→0 ∆𝑡（極限関係）へ．
（２）ガリレオ流積分計算式

3∫0 𝑣𝑑𝑡 ＝∑30 𝑣̅𝑖 ∆𝑡 ＝

∑30 𝑣𝑖 ∆𝑡 (等式関係)から，（ただし，区間∆𝑡での平均速度𝑣̅𝑖 は，中間時点での瞬間速度𝑣𝑖 に等しい．
）現代風積𝑏

分計算式 ∫𝑎 𝑣𝑑𝑡 = lim ∑𝑏𝑎 𝑣𝑖 ∆𝑡（極限関係）へ．
（ただ𝑛→∞

図４ 現代風の積分計算

し，区間∆𝑡での瞬間速度𝑣𝑖 は，左端時点𝑡𝑖 での𝑣𝑖 である．
）

2-3 微分・積分の基本公式の導出

この（１），（２）の過程で，微分・積分の基本公式の導出の仕方として何通りか考えられる．代表的なの導出について，従来の教科書の証明法とは異なる数理は，高校の教科書等の証明法なので，掲載は省略する．

的方法を見つけたのは，思わぬ気づきであった．また，他方スライド A で，簡単な導出法を提案した．

微分・積分の基本公式を図解的に説明できる方法及び簡単な微分方程式を解く過程を図解的に説明できる方

2–4 授業後のアンケートと宿題の案を示す（参照：本法にも関心が広がった．それらについては，シリーズ

報告の付録Ⅲ）後の雑感として別の機会に報告する予定である．

（１）授業後アンケートの疑問・質問，感想等は，学生の自由記述である．

＜授業用教材スライドの提供＞（２）授業内容の理解程度を調べる宿題１（微分），授業用教材スライドは，巻末の（付録Ⅰ）スライド A

宿題２（積分）を形成的評価問題として課し，後日回と（付録Ⅱ）スライド B に掲載している．授業等での収して評価をする．

活用を希望される方は，筆者までご連絡をいただきたい．

３．おわりに
参考文献
１）鎌田，小島，上代，由良，“（シリーズ）ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その１）ガリレオの斜面実験をひも解く－”，香川高等専門学校研究紀要，
Vol.11，pp.7-12，2020

筆者らの授業経験では，微分・積分の基本概念の理解不足から専門科目の学びで苦労している高専２年生がいるのが現状である．その対応策が，本シリーズ教材（その１，２，３）であり，数学と専門科目の学びにお２）鎌田，小島，上代，由良，“（シリーズ）ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その２）ガリレオ流の微分・積分を模索する－”，香川高等専門学校研究紀要，
Vol.12，pp.7-14，2021

ける橋渡しになればとの試みである．
ガリレオの斜面実験３）と思索９）をスタートとして，そこにガリレオ流の微分・積分の萌芽を探り２），それを３）今野武雄・日田節次訳，“ガリレオ・ガリレイ，新科学対話（下）”，pp.35，36，第 47 図，岩波文庫，1937

現代風の微分・積分（教科書で習う内容）に繋げていく試みが今回の報告である．それにより，微分・積分の基

４）吉田信夫，“ニュートンとライプニッツの微分積分”，
技術評論社，2013

礎概念の理解を促進することを目指した．
ガリレオとデカルトの出会いを仮想し，ガリレオの

５）中野猿人訳・注，“アイザック・ニュートン プリンシピア－自然哲学の数学的原理－”， 第Ⅰ編 物体の運動，第Ⅰ章 補助定理２，３，講談社，2019

斜面実験のデータを直交座標上の関数グラフで再構成し，それを解析的に処理する教材の開発であった．こ

６）中村幸四郎，“近世数学の歴史－微積分の形成をめぐって－”，日本評論社，1980のとき，ガリレオ流の微分・積分を経由することが，現代風の微分・積分の基本概念に「改めて気付く」ために

７）高木貞治，“解析概論（改訂第三版）”，岩波書店，
1966は有効であった．改めて，ガリレオ流の微分・積分と現代風の微分・積分の違いを述べる．
（１）ガリレオ流微分計算式 dy／dt＝Δy／Δt（等式８）大田邦郎，“読むだけ微積分”，学研，2009

関係）から，Δy／Δt ＝ dy／dt＋Δe／Δt，Δe／Δ𝑡 →９）今野武雄・日田節次訳，“ガリレオ・ガリレイ，新科学対話（上）”，岩波文庫，1948

3独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 13(2022)（付録Ⅰ）スライド A（授業用教材 本論の章）

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ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その３）5

現代風の微分・積分へのアプローチ―

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 13(2022)6

鎌田弘 他：（シリーズ）

ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その３）（付録Ⅱ）スライド B（授業用教材 復習 S2 の章）

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現代風の微分・積分へのアプローチ―

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 13(2022)（付録Ⅲ）アンケートと宿題の内容と形成的評価等
１．アンケート（１）疑問・質問，（２）感想等は，学生の自由記述である．
２．宿題の内容と形成的評価（１）宿題１：t の区間［t，t + h］で，グラフ y＝t 2 を考える．点 T（t，t 2 ），点Ｂ（t + h ，（t + h)２ ）として，図形的に線分 TＢに注目する．
①増分Δt を h とする．増分Δy を t と h で表せ．
②線分 TＢの傾き（図形量）に対応する平均の速さ𝑣̅
（物理量）を考える．𝑣̅ ＝Δy/Δt を計算し，t とh で表せ．
③ℎ → 0として，時刻 t での瞬間速度 𝑣 を t で表せ．
（現代風の微分法）④点Ｔで，瞬間速度𝑣は図形的に何を意味するか．
⑤グラフ y＝ t 2 上の点Ｔで，上の④の意味を示す
直線を描け．
（宿題１の解答）採点集計表（正解〇，半正解△，不正解×）

〇△×計

①②③④
⑤（２）
宿題２：グラフ𝑣＝2t について，次の問に答えよ．
① t の区間［0，t］を４等分割したとき，微小区間Δの長さは 1/ 4 となる．このとき，t の各分割区間の左端点の時刻を考える．
「0，t /4，□，□，t」の □を t で表せ．
②①のt の各分割区間の左端点に対する瞬間速度𝑣の値を考える 𝑣の値は，「 0，t /2，□，□，2 t」となる．
□を t で表せ．このとき，各微小区間Δt における各微小移動量Δy の計算は，Δy＝𝑣(t)×Δt で計算する．
𝑡③瞬間速度 𝑣 での移動距離 ∫0 𝑣𝑑𝑡 と，その近似値（ΣΔy）との誤差 E を考える．このとき，0≦誤差 E≦誤差 F となる誤差 F を，授業時の要領で図形的に考えて計算し，h で表せ．
④ 今，t の区間［0，t］を n 等分割してから，そこで操作 n→∞をすると，誤差 F(n)及び誤差 E(n)が収束𝑡する値をいえ，その結果，∫0 𝑣𝑑𝑡 ＝lim ∑𝑛−1
𝑖=0 𝑣𝑖 ∆𝑡𝑛→∞となる．
（現代風の積分計算）⑤ ④から，「微分・積分の基本公式」が導出される．

8鎌田弘 他：（シリーズ）

ガリレオの斜面実験から微分・積分へ―（その３）

それは，以下である．
𝑡∫0 𝑣𝑑𝑡 ＝ y(t) － y(0) である．ただし，dy／dt ＝ 𝑣𝑡である．
「微分・積分の基本公式」を利用して，∫0 2𝑡𝑑𝑡を計算せよ．
（宿題２の解答）採点集計表（正解〇，半正解△，不正解×）

〇

△×

計

①②③
④⑤9

現代風の微分・積分へのアプローチ―