確率数理工学（1）

情報学工学物理学など様々な場面で現れる「確率」との数学的な基礎を学ぶ.

統計機械学習・量子力学・粒子の運動→などなど...

"確率は必須項目

講義オ避

確率空間
2 . 確 率 変 数→
叮測関数
3 . 期待値と母関数
I .

→ルベーグ積分・モーメント母関数特性関数

4確率不等式→5.

データの平均が期待値のまわりにどれくらい集中するか？

確率変数の収束
法則収束確率収束概収束→

6 . 大数の法則と中心極限定理

確率数理1

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7. 確 率 過 程>ガウス過程・加法過程・マルコフ過程-

8. マルコフ過分主→

到達可能性・同値類再帰は定常分布

評価： レポートによる.（予定）鋙真佐藤挺［neverははじめての確率論、測度から確率。

共立出版。舟木直久・確率論。朝倉書店の伊藤清 「確率論。岩波書店（新た基礎数学選書）

e n d a n yCambridge university press.

当面の目標：もオンラインでpdf入手J「確率」を定義する.
→［6-加法族" →確率空間""確率測度"

確率数理1

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「サイコロをふる」といった1つ1つの試行の結果、観測される事象の確率を定める。試行o（trial）

i標本空間

r

標本点o w a r i←試行の結果全体の集合（sample space)（Sample）

が試行の結果値（サイコロ投げ）

試行： サイコロをふる.
rW

En：（事象）咀・o

A c r ："2"等、サイコロの目

事象（event）
も標本空間の部分集合

AC：=r-A：余事象=（サイコロの目の全体）

11.2.3.4.5.6）=

1WE I IW E At①がに

確率数理1

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ooA、u A

i l WEs

I WEA、また、一はWE A」｝

和事象

A n Az：=1we s

I WEA._が W E A2｝

積事象

製に｛偶数の目）=｛2/4，6｝

南/A NA r

A nA r

A . =13の倍数の町=｛3/6｝
A i n Az=｛63，A t UAE｛2，3/4.6｝

事象に「確率」を定めた4.ee

標本空間Rが有限集合なら難しくない。

（サイコロ）

e

連続"、無限"も扱いたい。

下手にやると"矛盾"が起きることが知られている。
（事象をバラバラに分割して、それらを合体しても元の"大きさ"にならない）と1Banach.Tarski
ルベーグを所測集合.
確率数理14 / 17→

確率を定義しても矛盾が生じない体系を用意する。
この範囲の集合なら気算）無限個の事象の和や積を取っても大丈夫という"範囲"を定めた4「6-加法族」 「町測空間」

で「確率測度」（6-加法族）に重よま咀rの部分集合族Fが6-加法族⇐f（1）REFに） A G F

ACE Fに壒無限個）|
YA，=｛w E s p n で W E An｝
B)A.An...GFも下に含まれる（IA n e F ）86-加法性（宗全加法性）と言う.
※ 非可算無限和は許さない
確率数理1x5 / 17い）：

標本空間全体には確率を定めたu.に） ：Aの確率が定まっていれば、（ろ ：）パの確率（Aが起きない確率）も定まってほしい.

確率の定まっている事象を蟬無限個寄せ集めたものにも確率は定まってい2ほしい.
ニ）

これのおかげで極限操作ができる。
→→離散と連糸売をつなげられる.

面積の和で積分を定義できる.

flints）（細かく区切って足し合わせることが矛盾なくできる）

上の性質をみたすFは全26加法族を名乗る資格がある.

確率数理1

6 / 17値n=｛1，2/3｝
A、ニ ｛l｝，A、=12｝， As=13），
A a = ｛1/2｝， As=｛1，33，AG= ｛2/3｝，A7=｛1，2/3｝←集合族：集合の集合であったことを思い出す.

F=！A..Az,As.Aa As.AG,An0｝「空集合とすれば、Tは6-加法族になっている.

'・・饠
Az

☆ F =/1At.Ab.A7，013 も 6-加法族になっている（と加法族"は一意的に定まるものではない.）

確率数理1

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6-加法族の中でも 13蚍集𦥯は重要である.

咀（Borel集合族）

R上のBorel集合族BCR）は"臽e.な邃義nなt𪘂孿た飳塾

Borel集合族の元をBorel集合と言う.

y一般の位相空間Sに対しても|参 同様に.Bored集合族B(S）はSの任意の開集合を含考］ む最小の6-加法族）として定義される.

Borel集合族のモチベーション：

で"か。って>

こんな開区間 Cab）の面積（確率）は定まってUてほしい、

定義より 「a<bに対し、 Cab)EBR）である.

実は、lab)lab ER,a<b）を含む最小の6-加法族
確率数理1がB(R）である.

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○○を含む最小の6-加法族とは？
F . た：

a加法族が、ともに任意の開集合を含むとする.

（つまり、ACRが開集合なら、AEF.AE石である）

このとき、

F i n た ニ ｛ A C R I AEFかつA E た 3

4 I n た = 1 A n BIAEF.BEたとではないことに注意sも任意の開集合を含むことはF，たが開集合を全て含むことからわかる。

さらに、 Fnたは6-加法族にもなっている-_い）

F , REたより R E F n た（z) A E F . n た な ら A ' E F i , A と 石 で あ る（1）sEので.
（ろ）ACE F i n た で あ る .

Ai,An...E F n たなら.

l f A nEF、かつ Y A nEたでもあるので.

※ An E F , n た でもある。
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F i n た は F，たの部分集合なので、F.たより"小さい"と言える.

なので、開集合を全て含む6-加法族を全て集めてき2、それらの共通部分をとれば、"最小の6-加法族"を構成できる。つまり、BCR）= AEF'1では任意の開集合を木毒成のしかたから、含む6-加法族｝

BUNは6-加法族とか先と同様のギロンでは（l) なに）BCR）は任意の開集合を含む

さらに、BCR）より小さくてそのような条件をみたすG-加法族は存在しない.

もこれもなくわの構成からわかる

一行測空間と言う」とその上の6-加法族下の組 に，下）を「この叮測空間に'確率"を定める.

確率数理110 / 17"!
（確率測度）D I

P：下→Rが（IF）上の確率測度-_-ifも言えそうげいてRの値を返す関数であるという意味
つまり、AGFに対し、PCA）=0.4とかの値が決まっでる、⇐（ I)

HE F でO E PCA)E||PG）=1（0 Aいた、...EFが互いにま型も噬無限個
3）An）PGI）=EPC（2）/（☆互いに押阪やAin A j = 0 （なな））（3）の性質を6-加法性（完全加法性）と呼ぶ.

！！
が※

確率数理1

それぞれの確率の町算和が全体の確率に：心一致する.

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※ バラバラにしてそれぞれの確率を測り、それを足し合わせたものが、元の全体の確率となる.
6-加法族として変なものを持って来ると、これが成り立たない（非可算無限和もゆるうと.
"変なもの"が出てしまう）

6-加法性が成り立つに.扣）には興先のBorel集合族はその一例である.

型

線分

r=［0，1］，Pr上の一様分布

F=1Bn［0/1］I B E BCR）｝とする。

An=［ト言ト主）か（An EFは籍）を考える.

H t t An）=p（岾）uは、年）u-）=p（1917）=I

Ehはじの確率=0なのでEpa）=自主= 1
確率数理1

PGいたNo.冂）=1j

た詩

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可測空間（IF）とその上の確率測度Pの組（ R F P ） を 確 率 空 間 と言う_-_-tree-_-__-.

_mein

記法の補足：

I An=［wE r Iある日でWEAn}
IA n = ｛WErl全てなんてWE An}

A C B や Kw EAがWEBをみなす

確率数理113 / 17［確率測度の基本公式］（空集合の確率は0）い）

P（0） = o（2）P(AC）= 1 - PCA）
Pした？An）= 1-p(IAT）（3）

を（Anらはないに排をとり限らない（4）

Bi,Bz，...が 互いに排なかったB i nなら.
（ち）

H E 下 で PCA）= IP(An Bn）（には、-.-）： 互いにな非友とは限型

AnE Fp ( I An)E&PH n）（劣加法性）（6） 和の公式：
NANA2）=PCA）+PCA）-PLAN As）
（ク）

その一般化
Sm

確率数理1=

E . a m PCAm n - _ - n Arm)
14 / 17（ク）その一般化にE.am咖品な鉛島とすると、P(Y,An）=&いが'Sm（包除原理）⑧18）確率の連続性I:
A ,C A 」 C As C-_-：事象の列

A=W A n とすると.

（AEFに注意）

P1がbm學⑧（9）確率の連続性玉AD A D A p -pしたAn）=感Pan)※ この2つは超重要！
確率数理1（AnEFとする）

作
はMbtaにlimp(An)A nPt？！

A

PLANたRAI
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（証明）
い）
.

た Pに）= P h u t u t u du-_-）排 反 ーによって.
（2）oEPH) E l

H r ) t Http（い んた t . c h 中=0）ニ）

Iu= >st-_-e.

r

6でなく2はいけないでもあるので. R 0）=0である.

duALtu..-）(AuPに）=Pにr(う）n=ese=PCA)+1が）+ P G ) + . . .

t

互いに抖を反（水）PCA)+Pにt e p e e
Oにより

P ( I An)= 1-N※プ）=1-RI A i )(Morgan の法則（自分で示してみよ）.

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(8）.

B T A . . B E ATA , ，Bn=An-Amとすると.

一四〇-がいるかを..な蠶、EPC
〇"？
If"=
him!
（R)に？

は互いにな非反.

i=m==

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確率数理1efig

P(Bn)（たP，_As

A T？

Bn)

PCA)=tIBiBn)

ftp.P (Am)--y1017 / 1317