確率数理要論に
oGirsan.vn定理
I--M=（た（w」）a E f(Co,TJ），

E(G(w））a E L YG T D

E = （器約.Eで（GD）とする.

d x t = m a d t t G l a d Ba：

ドリフトありdI t =：がリフトなし

d a d By

また、

MT(w）= expにたたき-dxa=とする.

E[Mi］=1exp（ーだ器dBatーまだ器dt）であるとき、石隺率測度Qを Pに対して絶対連続で男（w）= MT(w） であるものとする
つまり、

If「器dt）（Dが確率測度になることは保補できる）

Q(A）=E11AM） （AEF） とする。

このとき、Qの下でのXの分布はPの下での女の分布と等しい。

特に、 Qの 下 で （Xx)aはマルチンゲールとなる.
・y

M T は QはPに対するRadon-Niko dym微分 である。

1 次 元 Gauss分布 における以下の関係を無限次元に拡張したものと考えられる：tp(self.62）

も発出器=岸。exp（_ （した）に対に=exp（た等）==exp（_ないa p t た 響 ーるな）

TPのもとで標準正規分布Nにりに従う.

確率数理要論12

1/7

であるための条件としては、.E[MTに1E[exp(IN器）2dt）］（Novikov条件）

くが知られている。

血heよ（いな）

に対し、 MT(w）=exp（/た（w)dBtーんだな（wilt）

が E[MT］ =1を み た す と す る .
W. =は.

※

Br-ffhs ds

d o = M i dP に関してBrown運動となる.

yたとおく、E[MT］=1に）u2：M n =(OE t E T ）exp(JTATTEIFKETTHT）とおくと、伊藤の補題より
dM-n--exp1XHdXatIexplXN@xD2MadX1-EM.hEdt
M t （ - I h / t t hadB t t さ だ が=二である。

H t h a dB t

M E Iより
Ha= I tI F Msh a d Bs

で適当なな積分条件のもと、第2項はマルチンゲールなので、（Malaもマルチンゲール.. 特に E [ M i ］ = 1 である。

泓wの定理はヨーロピアン・オフに一-ンの適性なE.
価格付けに用いられている。

（複製ポートフォリオ）

Black Scholes Mertonの方程式
確率数理要論122/7

生成作用素と後向き・前向き方程式

KERに対して、 時間的に一様な拡散過程

忰 = ル t T bas)dst f Eas)dBを考える.

咀b.6はLipschitz連続かつ線形増大とする.

（生成作用素）A t a）=無左派型一例.

comで定まるAをXiの生成作用素という。
※ Yは時間的に一様なので、Aは夫に依存しない.

Xnの分布を知りたい→ 任意の関数f，期待値の性質を調べる。
（は特性関数，Portmanteauの定理）

し#f EE(R）

で停止時刻 s t たに］く

（なER）

「初期値X。=ルで条件付け

E，、［f(XE）］

f a t E.cl/E(b(Xx）器（なりないが数が））dt］=（）（ER）/を各証）

は二f(Xx）とすると.

dYa=金andXa

な一高が確率数理要論12=t主器（xx）62（Xx)dt（伊藤の公式）

ド発as)bNs)dst！嚚（Xs)dxddBs

十IT器（x）62（Xshlet
期待値0、任意抽出定理
L：3/7たてを代入して 期待値をとれば、確率積分のmartingale性と任意抽出定理より右辺第2項=0なのでOk.
y型

f e ECR） に対し、A M ） = b（川噐（D t EGG）器（x)に） Lemより明らか.

yy

多次元の拡散過程に対しても Lemは成り立ち、A f 川 = fがいい点（x） +うた-G a圳姑に）器がり ー かがい叶境界値問題への応用ーー

D.

処内の有界で連結な集合、境界のは十分なめらかとする。

偏微分方程式：を考える.

|

A f（川=0（xED）

f(DにE2D）=中（x）

だと対応する拡散過程としてThe）=int｛キ20|※w)E2D}とする.

i三に1くかとする。

Det:D

この時、境界値問題の解fが存在するなら

f Gc）=En［中（Xt）］で表される。 また、その解は一意である.

確率数理要論12（Aなかで与えた形）

y4/7

（略証）

←例えばUPにEx HAE）］

先のLemより. UをUMに中（川 （RED）をみたす関数とすると、E，、14（Xi）］=UH)tEx[FAU(xx)dt］.

水をDの内点とする.

Aた興=Au（川 t A E x HEAT)dt］
EAU(Xx)dt〗一E，、1だ仏仏）dt"
ルの関数と二Aua)thoをした/ExElみなす=Au（り+ 想 を I E d EA a n d t -［Au(Xx)dt］｝
u

Au(x）-Ex[AU（川）= Au（川-Au（水）=0=ー/ /kdm.gov？後向き前向き方程式
ーd X t = h ( X x ) d t t a n d Be
対応する生成作用素

At二ha（いた t（一次元、時間に非一様）

讐品9 が ） とする.

X t はMarkov過程になる.

-Xs=ル の下でのかの条件付確率密度を
p a y I s x）

（推移確率密度）とする.
ー

chapman-kolmogor.ro#程式ーp(u.ZIS.sc）=fpC u zIt.いたがIs,x,dy

確率数理要論12

G.ZE R , U H 〉 に D

5/7

直at(x），bが）はキについて連続で、1について Lipschitz連続かつ線形増大であるとする。 また、 Atにし）とも70/0EHとする、ET，とER）
さらに、 詎、 無， 2器 も Lipschitz連続かつ線形増大であるとする.
すると、 Pは以下をみたす唯一の解である：-_-As PMは19-）に

後向き方程式= 哿（t.dk、水）=一bs G）器には1SD - a s a）器（t.gl sx）

前向き方程式i 叕（t.glいた 一言｛hPa別別に新たは）Pay
Is州=A t N i l s ." l y(Aaの共役作用素）

Fokkertlankelとも言うか）.

（略証）

GP H I IS.川 = kは） （Diracのデルタ関数）

OH）= f fは）pay IS.の）dy0は幻==fとする.

H E ECR）は任意）

fは）［fp a s s I t , z ) P a z Is.いdz]dy

ffffは1-HZ）+HH）では、aH t t ) H t t Is，川dtdy=

E l Ex.は仏リ］-f(Xx) tf(Xx）］E

E l E At(Xx） +8（Xx）］=0は） t

E=OH) tE/P(t.gl!x)Af（ま） d yf AYp a y IS.）（）fdyに共役作用素の定義より）

よって、また

O'は1=

O'は1=

なので、確率数理要論12/HH A t pails.x)ly d y.
f fly） 部（t.glいいdy孨ではいかに A t p a y IS.）1） を得る.

/
6/7

※凹OH）をUH，）（）と書くと、後向き方程式より 長い=Au で あ る .

dX n = m d t t d B a（がリフト付きBrown運動）

斝 = 一µばな器

f は公學］では別砅）=，京がexp

型

0 で 過 程Xt=で「X。+6今では"dBではいかにmf a tepf！ぽか）學｝

Xaの周辺分布は正規分布なので平均と分散を計算すればわかる。

e

実際の（t.glS.川は前向き方程式をみたす.
※

toのとき、定常分布 （かつ極限分布）はN）=期は呦=|嘉 exp（_噐ど）（初期値のは指数関数的に忘れる.）！
前向き方程式で叕=oをみたす

勾配ランジュバン動力学

応用：

、慼""

d X a = 一 O f ( X x ) t d By

発=-710Ha)Paは））toPaは）：

Fokker-Plank方程式「連続の方程式」とも呼ばれる.

た。（y）のexp（-f（り）が定常分布i

羿=0T ) deep（一M）からサンプリングしたければ、勾配ランジュバン動力学に従って粒子をサンプリングすれば良い、

確率数理要論127/7