確 率 数 理 要 論 4•

確率分布の気温咀（弱収束）
が R k 値 確 率 変 数 m にいたが7異なって良いだ Xnの分布関数

X：1は値確率変数
F :Xの分布関委と（分布収束、法則収束とも言う）

XnがXに弱り興.
⇐>1st.P)o n

全ての下の連続_点とEP に お いた（x）-）F（水）f./PnをFnに対応する（処、脈ち）上の確率測度とすると、（ほりた（A)Xn N h X ,のように書く.

※

Fn M t F ,

ながCAD

RAMP.

確率収束、概収束と異なりXnとXは同じ確率空間上で定義されている必要はない

あくまでそれぞれの分布が近くなるということ.

区

X n と X は 独 立 で Part）=P(Xn=0）=ミとすると.

IX n - X I = 1

X . やXでもない。

XnM s X
確率数理要論4

P（に1）=P(x-）=主wp主しかし.

ではある.

なので.

Fn=FXn

Xでも(En）なので/1/9空

Pn= 8年（つまり、RCA）=|lO（方EA)(tea，F = 1Cee） なので、

P = So とすると. Fn= 1［た。），a t o
しかし、のとき.

）の時、よりた（x） - ） F b i ）Flo）やFG)

Pnm P

Otnに）
K

(Portmanteauの定理）
以下は全て同値

E⑧（I)に）任意の有界連続関数f= 処→ R に対して一 つ（5）Elf(X）］）

任意の 閉集合Aに対して
PCA）
RCA)
Elimy
任意の 開集合 B に 対 に

limit

R(A） と（Proof）（4）や（ち）は自明

PCA）に Aが開く A'が開なので、補集合とることで-（2）Elf(x）］

任意の有界一様連系を関数 f：昈→Rに対して、
Elf(Xn）］ -（4）e .

Xn i n X

E[f(Xn）］（3）

た3.2れて定義とすることが多い

方からもう一方を示せる）（3）も自明なず（1） （2）を示す

L. 次 に i t

確率数理要論42/9"（1） = ）に）た=1として言正明する. たと2でも同様、.

E>0を任意に取って来る。
すると、確率の連続性より、あるMが存在してF t M)EE. F(H)El-Eとできる。 しかも、 下の不連続点は高々可算個なので-14，14 ともに下の連続点とすることができる。
これより、 十分大きなN に対して、 UhE N でた（M）21-2E

Fn（-M)E2と，とできる.

じ かMXの定義より）

このとき.fは連続 なので EH,MI上で一様連糸売.
よって、 ある_M=かくかく）にくーーーく）（k=Mがあって.

たが主 な品、仙， Ifに）-fam)I E Eが、各か が下の連続点 となるようにできる、
このとき、

fq(x）==とすればf G：）1a，仙］ G）(x）｝fが）｛1taxis(x）-1taxi
器

If(x）-fa M
supK E E MM］である。 また、E [ f a(Xn）］ =なので、 X n m x よりG

E EYがっ）（た（かい）-Fn（）に））He(x）］=Ha(Xn）1EEが成り立つ.

よって、

1 EH e An）］- E H An）］1 EE[He(Xn）-f(Xn）1］=ftp.mlfc-fldRtfniyjlfa-fld R t /（no, He-8MRE
確率数理要論42s y If川・29 + E=（411Alot1）-E（例が卵脈1）

3/9

E l l ta(x）-f(x）1］E （4例。+1）-E同様にして.とできる。

以上より、b i nsup I E l fan）］-h → aElf(X）） I

h i s u p I E l fNn）］- E l f s k i l lENn）］- E l f a ( x D Iた。
Hq
EIbnapt h i s u p I E Ifs（刈- EH(x）） I+21411flat1）-Eとは任意なので、 E X 0 とすることで（2）が示せる.
E（3）/ /（4）

任意のがに対し、閉集合Aについて
max10，1_とする。 ただし、
da.A）=f G）=d（望ーーij

11つは11.

|8は 有界一様連続である.

すると.

Heら、
※※薄、

（x ERた I d ( K A ) E E｝=とすると、13）より

bing.IR(A) E Gyp Elf(Xn）に E l f MEP(Ae）とは任意なので、確率の連続性より 無PLAa）= PCA）である.

T

よって示された（4）. （ち）/ここでAが閉であることを使った.

？As=A（1））に F の 連 続 点 とする.

A=

（ -a,x］ は 閉集合なので、 14） より

b i n sup たに）=

l i msup R(A) E

水は F の 連糸売点なので、PCA） =な>0， ヨE>o け .

FM、I FH E ） - F ( D I E S .

この時、 15）より.

l i m i t た（川？ l i m i t R（にかかる））IP（（-a，にし））確率数理要論4

4/9

"（4），（ち）（1）

がFの連続点とする.

A = （ -a,x］ は閉集合なので、 14）より
l i msup R(A) E PCA）= F M 、
b i n sup たに）=

一方、 15）より.

l i m i t た（川？ l i m i t R（にかかる））に（5））

IP（（-a，にし））EP（（-a,K-9］）
た 'Fa c e ) E=

F は い

l i m i t Fu（）（）Elinsap F n ( x ) E

F（ツルは連続点なので、himたい）=FPC）を得る。
G O

でy直（連続写像定理）
X n m X

なら連続関寿久f：健→RM に対して.
f(X)Msf(X）（Proof）

任意の有界連続関数だが→Rに対し
hof： が→Rも有界連続なので、E [ h o t］

→E［おf(X）］にXnmx）.

これは同時に f(Xn) Mfk）も示している.

確率数理要論4y5/9

「血はXnでX

ならX n m X

（逆はダメ）

任意の閉集合Aに対し、 と でPn(A)EPIIYER！な人にAs）よって.

b i n su p RCA)EP(Aa）.

Etoとすれば P ( A a ） → PCA） より. b i n sup M A ) E PCA）.
つまり. X n m X
by Portmanteau.

丘

確率数理要論4yx uxx が x

X . m x6/9

・極値分布メ、，-_-，Xu ~G(i.i.cl.） の と き .

max!Xi.....Xn｝ の分布に興味がある。

Mn（応用例： リスク分析）

Mnの分布
た に は P(MnE x ） =武P(Xi E x ）=G"（川を極値分布と言う.
E t (Gumbel分布）

1 %で"GG）=-いた（川=（x Z o )n o ，は20） ：指数分布|（1-e-N）" （）（z。，（）（<o）O

こ こ で . K）（で た（x）→O(n→a） なので、Fnは何らかの分布関数に弱収束しない。
そこで.

M r がlog(n）の分布を考える.

（民日をずらす）P ( M r が A G) E x ）===P(Mn E K+がleg(n））

11（1- e-（か+9川）"。

（にんどがO（）（るーまlog(n））（）（くーるlog(n））（()ii）

ここで、確率数理要論4

7/9

(the"）"
がわかるfay：=e e n，

_E E "：

G m

Mrのlog(n) m s Gumbel 分布.
E(Freshet分布）G（川ニ｛1-での（xz1）は"）：化十分布(xa）O2のとき.

た（水）= （1-）に'）"（x?I）

これも た （ 川 → 0151）
代わりに、を考える.

長P（無 言水）

==が_9
F（川=|

匤（Weibull分布）

G（川=|e-）は（トらが）"e_が（）（Zo）

（xo）

oI

た（Mr Enた）

Hm，、

（）
（で）

（aa）

(x<o）

O：

F r e ehit分布.

：Beta分布の特殊な）は70）

このときたい」=確率数理要論4

1

1-（HH）"（o8/9匤（Weibull分布）
Gat

Y！

（にリトル川'（aa）：（M）

Beta分布の特殊例（N）なと言い）｛1-（いはず に 任 1 ）これは、 1 に 退化した分布に収束 （1点のPoint massになる）=

そこで、n文（Mn-1）

を代わりに考えると、

P(n文（Mn-1）Ex)t e n｛こFa c t =い，。

（"20）（）（Co）

w e i b o . t bull分布と呼ぶことが多い.
k 実 際 は -X：

Wei型(i.i.cl.）
Xい-.-，Xn - G
M n = m a i l Xi.....Xn lが退化しない分布に収束 （1点に収束しない）
ヨan.hn E R s t .

Mr.事分布の収束先は Gumbel,Freehet.Wei bullのどれかになる。

つまり、裾の落ち方が1：鬱禁
多項式オーダー年.と、確率数理要論4落ち方の速士で決まる.

-Gumbel→F r e eh e t→

Weib u l l9/9