数理解析研究所講究録
第 1872 巻 2014 年 176-182

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有限群の 部分群と斜準同型写像について
On p-subgroups and crossed homomorphisms of finite groups$p$(愛媛大学)
Takashi Niwasaki (Ehime University)(近畿大学)
Tsunenobu Asai (Kinki University)

庭崎隆

淺井恒信

本講演の内容は，竹ケ原裕元氏 (室蘭工業大学), 千吉良直紀氏 (熊本大学) との共同研究に基づくものである。

1

予想，及び関連する命題
有限群 $A$ は有限群 $G$ に群の自己同型として作用しているとする。 写像$\lambda$: $Aarrow G$ が斜準同型写像であるとは$\lambda(ab)=\lambda(a)\cdot a(\lambda(b)) , a, b\in A$を満たすときにいう。 これは$\tilde{\lambda}:Aarrow G\rtimes A, a\mapsto\lambda(a)a$の半直積群を表す。
$GxA$ は $G$ とが群の準同型写像となることと同値である。 ここで，から $G$ への斜準同型写像全体のなす集合を $Z^{1}(A, G)$ で表す。 また， の交換子群を$A’$ と書く。 斜準同型写像の個数 $|Z^{1}(A, G)|$に関して，次の合同式が成り立つことが予想さ
$A$

$A$

$A$

れている。

mod gcd $(|A/A’|, |G|)$

予想 1 ([5]). $|Z^{1}(A, G)|\equiv 0$

この予想は，幾つかの特別な場合に成り立つことが確かめられている ([2], [3], [4], [5], [6],[8] 等)。 本稿の内容に特に関わるのは，次の場合である。 これらにおいて，有限群$G$及びその上の作用は任意でよい。
$\bullet$$\bullet$$A$が巡回群の場合 (Frobenius の定理，Hall の定理)。

$A=C\cross E$で，$\circ C$$E$ は初等可換 $p$ 群の場合。 ここで $p$ は素数。
は巡回 $p$ 群，

さて，予想 1 における交換子群を， の一般の正規部分群$A$$|Z^{1}(A, G)|\equiv 0$$A_{1}$に置き換えて，合同式

mod gcd $(|A/A_{1}|, |G|)$が成り立つ条件を考察し，次の結果を得たことを第 28 回代数的組合せ論シンポジウムで報告した ([1])。 ここで，自然数$n$に対し， は$n_{p}$$n$を割る最大の$P$

巾 (即ち $P$-part) を表す。

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定理 2.

$A_{1}$を $A$ の正規部分群とする。 $|A/A_{1}|$ を割る任意の素数 $p$$|A/B|=|A/A_{1}|_{p}$不変な任意の$p$となる $B$が存在して，任意の$\lambda\in Z^{1}(A, G)$に対して，, 及び$A_{1}\leq B\underline{\triangleleft}A$$C_{G}(\tilde{\lambda}(B))$

での $\tilde{\lambda}(A/B)$

部分群 $K$ に対して，

mod gcd $(|A/B|, |K|)$$|Z_{\lambda}^{1}(A/B, K)|\equiv 0$が成り立つとする。 このとき$|Z^{1}(A, G)|\equiv 0$

mod gcd $(|A/A_{1}|, |G|)$が成り立っ。

なお，全ての素数$P$$A/A_{1}$ が巾零群であるこについて上記の部分群 $B$ が存在することは，とと同値であることに注意する。

定理 2 を用いることにより，以下のことが証明できる (または同様の議論が証明に使われた)。

定理 3. 全ての素数$p$と，アーベル$p$

群 $A$ , 及び一般の有限群 $G$ に対し，

mod gcd $(|A|, |G|_{p})$$|Z^{1}(A, G)|\equiv 0$が成り立っならば，予想 1 は正しい。
定理 4([5]). 一般の有限群 $A,$ $G$ に対して，$|Z^{1}(A, G)|\equiv 0$

mod gcd $(|A/A’:\Phi(A/A’)|, |G|)$が成り立つ。 ここで，$\Phi(A/A’)$ は $A/A’$ のフラッチニ部分群である。
命題 5. $A$ の正規部分群 $B$ と，$A/B$ が作用する $G$ の任意の部分群 $H$ に対し，$|Z^{1}(A/B, H)|\equiv 0$

mod $gcd(|A/B|, |H|)$が成り立つならば，$|Z^{1}(A, G)|\equiv 0$

mod gcd $(|A/B|, |G|)$が成り立つ。
命題 6. $K$ を $G$ の部分群とし，$K_{A}$

を $K$ の $A$ 不変な最大の部分群とする。

$|Z^{1}(A, K_{A})|\equiv 0$

mod gcd $(|A|, |K_{A}|)$が成り立つならば，$|Z^{1}(A, G)|\equiv 0$が成り立つ。

mod gcd(lAl, lKl)

このとき，もし

178
2

例外

$p$

群の自己準同型写像の個数

定理 2 における仮定部の合同式は，一般には成り立たない。 本節では，例外$p$

群 $P$ に対して，$|Hom(P, P)|_{p}=|P/P’|$ であることを計算により確かめる。 ここで，例外 群とは，$p=2$$p$のときは巡回群，二面体群，一般四元数群，準二面体群のいずれか， が奇素数のときは巡回$p$群となる $p$ 群を指す。

まず一般に，有限群の， 自身への自明な作用を考える。 このとき，$Z^{1}(P, P)=$$Hom(P, P)=$ End $(P)$ は， の自己準同型写像全体のなす集合 (モノイド) である。 その位数 End
は，もし の部分群 達を分類でき，その自己同型群の位数 Aut $(H)|$$P$

$P$

$P$

$H$

$P$$(P)|$$|$$|$

がすべて分かるならば，次の等式により計算することができる。
$| End(P)|=\sum$$|$$\sum_{H\leq P}$(1 )Aut $(H)|$$N\underline{\triangleleft}P$$H\simeq P/N$

を素数とし， で位数 の巡回群を表す。 以下のアーベル群の例では，(1) 式を用いずとも Endが求まり，それが $|P|=|P/P’|$ で割り切れる

例 7(巡回群と初等可換 群).
$p$$C_{n}$

$p$

$|$

$n$

$(P)|$

ことが容易に確かめられるが，(1) 式が実際にどのような値を与えているかを示す。

1. $P=C_{p}$ のとき。
$|$$|$

Autと$(C_{p})|$End $(C_{p})|=|$ Aut $(C_{p})|+|$ Aut (1) $|=(p-1)+1=p.$Aut(l)l はいずれも$|$切れること，しかし$p$$p$と互いに素で，足し算を行って初めて$P$で割りで 1 度しか割り切れないことを注意しておく。

2. $P=C_{p^{2}}$ のとき。
$|$End $(C_{p^{2}})|=|$ Aut $(C_{p^{2}})|+|$ Aut $(C_{p})|+|$ Aut (1) $|=(p^{2}-p)+(p-1)+1=p^{2}.$3. $P=C_{p}\cross C_{p}$ のとき。
$P$ は上の 2 次元ベクトル空間であり，1 次元部分空間 (つまり位数 の部分群) は個ある。 Aut $(C_{p}\cross C_{p})|=|GL_{2}(p)|=(p^{2}-1)(p^{2}-p)$ であるから$p$$\mathbb{Z}_{p}$$\frac{p^{2}-1}{p-1}=p+1$

$|$

$|$

End $(C_{p}\cross C_{p})|=|$ Aut $(C_{p}\cross C_{p})|+(p+1)\cdot(p+1)|$ Aut $(C_{p})|+|$ Aut (1)$|$$=(p^{2}-1)(p^{2}-p)+(p+1)^{2}(p-1)+1=p^{4}.$位数が同じいる。

$p^{2}$

であっても，一般に，End$|$$P=C_{p}\cross\cdots\cross C_{p}$と$P=C_{p}\cross C_{p}$$(C_{p^{n}})|=|C_{p^{n}}|=P^{n}$であり，これは$P=C_{p^{2}}$($n$個の直積)の$|$

End $(P)|$ は大きく異なってでは割り切れない。 他方，$P^{n+1}$のとき，End $(P)|=|M_{n}(p)|=p^{n^{2}}$ である。
$|$179
例 8(二面体群). $n=2^{m},$ $m\geq 0$ として，位数 $2n$ の二面体群$D_{2n}=\langle x, y|x^{n}=y^{2}=1, yxy=x^{-1}\rangle=\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle$を考える。 $D_{4}=C_{2}\cross C_{2}$ であり，$D_{2}=C_{2}$ である。
また，$Aut(D_{2n})$ は次の通りである。

Aut$(D_{2n})\simeq\{\begin{array}{ll}1 (n=1)S_{3} (n=2)\mathbb{Z}_{n}\rtimes U(\mathbb{Z}_{n}) (n\geq 4)\end{array}$

ここで， は 3 次対称群で位数 6, また$S_{3}$$\frac{n^{2}}{2}=2^{2m-1}$$U(\mathbb{Z}_{n})$は$\mathbb{Z}_{n}=\mathbb{Z}/(n)$である ([2])。

$n=4$ のとき，End $(D_{8})|$ は次のように計算できる。
$|$$D_{8}$の単数群で，$|\mathbb{Z}_{n}\rtimes U(\mathbb{Z}_{n})|=$の位数 2 の部分群は 5 個あり，中心 $Z(D_{8})=\langle x^{2}\rangle$ だけが正規である。 位数 4(つまり指数 2) の 3 個の部分群はすべて正規で， だけが巡回群である。 従って$\langle x\rangle$

End $(D_{8})|=|$ Aut $(D_{8})|+1\cdot 2|$ Aut $(D_{4})|+3(4+1)|$ Aut $(D_{2})|+|$ Aut (1)$|$$|$$=8+1\cdot 2\cdot 6+3\cdot 5\cdot 1+1=36.$$n\geq 8$$|$のときも同様に，次のように計算できる。

End $(D_{2n})|=|$ Aut $(D_{2n})|+1\cdot 2|$ Aut $(D_{n})|+1\cdot 4|$ Aut $(D_{n/2})|+\cdots$$+1 \cdot\frac{n}{4}|$Aut$(D_{8})|+1 \cdot\frac{n}{2}|$Aut $(D_{4})|+3(n+1)|$ Aut $(D_{2})|+|$ Aut (1)$|$$=2^{2m-1}+1\cdot 2\cdot 2^{2m-3}+1\cdot 2^{2}\cdot 2^{2m-5}+\cdots$$+1\cdot 2^{m-2}\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{m-1}\cdot 6+3(2^{m}+1)\cdot 1+1$$=(n+2)^{2}.$なお，$n\geq 2$のとき，$D_{2n}$の交換子群は$\langle x^{2}\rangle$であり，$|D_{2n}:\langle x^{2}\rangle|=4$である。 一方，上の計算結果より$|$End $(D_{2n})|=n^{2}+4n+4\equiv 4$であるから，この場合に予想 1 の合同式 (つまり，End$|$$(mod 2n)$$(D_{2n})|$は 4 で割り切れる) は確かに成り立っているが，8 では割り切れない。

例 9(一般四元数群). $n=2^{m},$ $m\geq 2$ として，位数 $2n$ の一般四元数群$Q_{2n}=\langle x, y|x^{n/2}=y^{2}, yxy=x^{-1}\rangle$を考える。 Aut $(Q_{2n})$ は次の通りである。

Aut$(Q_{2n})\simeq\{\begin{array}{ll}S_{4} (n=4)\mathbb{Z}_{n}\rtimes U(\mathbb{Z}_{n}) (n\geq 8)\end{array}$

ここで， は 4 次対称群で位数 24 である。
$S_{4}$

180$n=4$ のとき，End $(Q_{8})|$ は次のように計算できる。
$|$$\langle x^{2}\rangle$$Q_{8}$の位数 2 の部分群は中心 $Z(Q_{8})=$だけである。 位数 4 の 3 個の部分群はすべて正規で，巡回群である。 従って$|$End $(Q_{8})|=|$ Aut $(Q_{8})|+3\cdot 1|$ Aut $(D_{2})|+|$ Aut (1)$|$$=24+3\cdot 1\cdot 1+1=28.$のときも同様に，次のように計算できる (これは $n=4$ の場合を含まない)。

$n\geq 8$$|$

End $(Q_{2n})|=|$ Aut $(Q_{2n})|+3$ .

$1|$

Aut $(D_{2})|+|$ Aut (1)$|$$= \frac{n^{2}}{2}+4.$

なお，$Q_{2n}$$|$の交換子群はく$x^{2}\rangle$であり，$|Q_{2n}:\langle x^{2}\rangle|=4$である。 一方，上の計算結果より

End $(Q_{2n})|\equiv 4(mod 2n)$ であるから，この場合にも予想 1 の合同式は成り立っているが，やはり 8 では割り切れない。
例 10 (準二面体群). $n=2^{m},$ $m\geq 3$ として，位数 $2n$ の準二面体群$SD_{2n}=\langle x, y|x^{n}=y^{2}=1, yxy=x^{-1+n/2}\rangle=\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle$を考える。 Aut$(SD_{2n})\simeq 2\mathbb{Z}_{n}\rtimes U(\mathbb{Z}_{n})$$SD_{2n}$ の正規部分群は次のいずれかである。 一方，である。
$\langle x^{j}\rangle\simeq C_{n/j}$$($

ただし $j|n)$ ,単位群を除いて，これらはすべての自明でない剰余群はように計算できる。
$|$$D_{n}$$\langle x^{n/2}\rangle$$\langle x^{2},$$y\rangle\simeq D_{n},$を含み，また$\langle x^{2},$$SD_{2n}$$xy\rangle\simeq Q_{n},$$SD_{2n}/\langle x^{n/2}\rangle\simeq D_{n}$であるので，$SD_{2n}$の剰余群，つまり二面体群である。 従って，End $(SD_{2n})|$ は次の$|$End $(SD_{2n})|=|$ Aut $(SD_{2n})|+1\cdot 1|$ Aut $(D_{n})|+1\cdot 2|$ Aut $(D_{n/2})|+\cdots$$+1 \cdot\frac{n}{8}|$Aut$(D_{8})|+1 \cdot\frac{n}{4}|$Aut $(D_{4})|+3( \frac{n}{2}+1)|$ Aut $(D_{2})|+|$ Aut (1)$|$$=2^{2m-2}+1\cdot 1\cdot 2^{2m-3}+1\cdot 2\cdot 2^{2m-5}+\cdots$$+1\cdot 2^{m-3}\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{m-2}\cdot 6+3(2^{m-1}+1)\cdot 1+1$$= \frac{n^{2}}{2}+2n+4.$

なお，である。 一方，上の計算結果よであり，End $(SD_{2n})|\equiv 4(mod 2n)$ であるから，この場合にも予想 1 の合同式は成り立っている$SD_{2n}$

り$|$の交換子群も$\langle x^{2}\rangle$が，やはり 8 では割り切れない。

$|SD_{2n}:\langle x^{2}\rangle|=4$

1813

例外

$p$

群の特徴づけ

本節では， を非可換 2 群とする。 次は Alperin-Feit-Thompson の定理である。
$P$定理 11$($[9, (4.9)]$)$.

$P$の位数 2 の元の個数を$t$とおく。 もし $t\equiv 1$ (mod4) ならば，$|P/P’|=4$ である。

この定理の仮定は，$|Hom(C_{2}, P)|\equiv 2(mod 4)$ と同じである。 予想 1 は， が巡回群の場$A$合には証明されているので，$|Hom(C_{2}, P)|$ は必ず偶数である。 従って，この定理の仮定は，$|Hom(C_{2}, P)|\not\equiv 0(mod 4)$とも同じである。

次は Taussky の定理と呼ばれている。

定理 12 ([7, Theorem 5.4.5]). もし $|P/P’|=4$ ならば，$P$ は例外 2 群である。

これらから，$|Hom(C_{2}, P)|\not\equiv 0(mod 4)$ ならば， は例外 2 群であることが分かる。 ま$P$た，この逆が成り立っことも容易に確かめることができる。
この命題は Murai-Takegahara により，更に次のように拡張されている。
定理 13 ([10], [11]). ある自然数

らば， は例外 2 群である。

$r$に対して，$|Z^{1}(C_{p^{r}}, P)|\not\equiv 0$

mod $gcd(p^{r+1}, |P|)$ となるな

$P$

このような観点に立っと，前節までの結果から，次のバリエーションに辿り着く。
定理 14. 非可換 2 群 $P$ に対し，$P$が例外2 群であることと，End$|$$(P)|\not\equiv O(mod 8)$であることとは同値である。

証明． が例外 2 群のとき，主張が正しいことは前節で確かめた。 逆に， は例外 2 群でないと仮定する。 Taussky の定理 (定理 12) より，$|P/P’|\geq 8$ である。の正規部分群$P/B$ が位数 8 の可換群となるものが存在する。
で，このとき，$P/B$ はのいずれかに同型であるが，これらの群については予想 1 が解決されており，
$P$

$P$

$P$

$B$

$C_{8},$$C_{4}\cross C_{2},$$C_{2}\cross C_{2}\cross C_{2}$$|Z^{1}(P/B, H)|\equiv 0$

mod $gcd(|P/B|, |H|)$ が任意の有限群 $H$ とその上への作用に対して成り立っている。 よって，命題 5 より$|$を得る。

End $(P)|=|Hom(P, P)|\equiv 0$

mod $gcd(|P/B|, |P|)=8$
口

なお，講演時には 「予想 1 が正しければ，定理 14 が成り立つ」 と紹介したが，後日竹ケ原氏から，命題 5 を用いた上記の証明が指摘されたので，ここではそれを掲載させてぃただいた。

182
参考文献
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[11] M. Murai and Y. Takegahara, Hall’ relations in finite groups, J. Algebra 271 (2004)$s$

312-326.