制振機構を有するケーブルにおけるモードシェイプを用いた張力等の算定に関する研究
古川愛子* 1
1．研究の目的
斜張橋や吊り橋等のケーブル構造物を維持管理する上で，ケーブルの張力が許容値以内であるかどうかを確認する必要がある．現在はケーブルの固有振動数を利用する振動法や高次振動法 1)で張力を推定するのが一般的である．しかし近年，ケーブルの振動を低減するために，ダンパーが設置されることも多く，従来の手法では張力を正確に推定するのが難しくなっている．加えて，ダンパーの劣化状態を把握することも重要であり，張力のみならずダンパーの性能も推定する手法が求められている．そこで廣瀬ら 2)によって固有振動数から張力，曲げ剛性，ダンパー諸元を同時推定する手法(以降 Method0F)が開発された．この手法により，張力を良い精度で推定できることを確認したが，ダンパー諸元の推定精度には課題を残した．そこで本研究では，固有振動数の虚数部や Mode Shape を考慮に入れることで，各諸元の推定精度を高める新たな手法の開発を目的とする．
2．研究の方法(1) 本研究の各諸元同時推定手法
本研究では，ダンパーを有するケーブルを Fig.1 のようなダンパー（ばね定数𝑘𝑘，減衰係数𝑐𝑐）を有する張力のかかったはりでモデル化する．偏微分方程式(1)を境界条件のもと解くと式(2)が得られ，式(2)を整理し固有振動数の式(3)を導出した 2)．ここで𝑖𝑖:モード次数，𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 :モード次数𝑖𝑖の固有振動数，𝐿𝐿:ケーブル長，𝑇𝑇:張力，𝐸𝐸𝐸𝐸:曲げ剛性，𝐴𝐴：断面積，𝜌𝜌：密度である．𝑘𝑘 ∗ はダンパーの複素ばね定数で，粘性ダンパーの場合は𝑘𝑘 ∗ = 𝑘𝑘 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗，高減衰ゴムダンパーの場合は𝑘𝑘 ∗ =𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗である．式(2)-(7)はケーブルやダンパー諸元を含む関数である．ダンパーを有する場合，式(3)は複素固有振動数𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 となり，式(8)のように実数部と虚数部に分離することができ，実数部が計測で得られる固有振動数である．ここで 𝐻𝐻𝑖𝑖 :固有振動数の実数部と虚数部の比, 𝑗𝑗:虚数単位である．本研究では，固有振動数の虚数部を無視せず扱うことが新しい点である．ただし，𝐻𝐻𝑖𝑖 を正確に観測することが難しいため未知数として扱う．なお𝛼𝛼𝑖𝑖 , 𝛽𝛽𝑖𝑖 , 𝜃𝜃𝑖𝑖 も複素数となる．
まず Method0F について説明する．ケーブルを加振し，得られた加速度波形をフーリエ変換し計測固有振動数𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚を求める．𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚 を式(9)で表される目的関数に代入し，目的関数を最小にするような各パラメータを推定値とする．
Method1F は式(10)を目的関数とする．固有振動数の虚数部を未知数および目的関数に用いている．Method2F は式(11)を目的関数とする．固有振動数の理論式(3)を導出する前の式(2)を直接扱う．Method2F では計測された固有振動数が何次モードであるか入力する必要がない．
更に，固有振動数に加え Mode Shape を用いた手法について説明する．ここで Mode Shape とは，ケーブルに設置した 2 地点(𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 )の加速度計から得られる加速度波形をフーリエ変換し，フーリエ振幅の大きい方を 1 に正規化したものとする．理論値の Mode Shape 𝜙𝜙𝑖𝑖𝑡𝑡 と計測で得られる ModeShape 𝜙𝜙𝑖𝑖𝑚𝑚 が 等 し い と い う 制 約 式 (12) を Method1F 及 び
Method2F に加えたものを Method1FM, Method2FM とする．
*

京都大学大学院・工学研究科・准教授

Fig.1 Analytical model of a cable with a damper

𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 = �𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝜃𝜃𝑖𝑖 =𝜕𝜕 4 𝑦𝑦𝜕𝜕 2 𝑦𝑦𝜕𝜕 2 𝑦𝑦+ 𝜌𝜌𝜌𝜌 2 − 𝑇𝑇 2 = 0𝜕𝜕𝑥𝑥 4𝜕𝜕𝑡𝑡
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼𝑖𝑖 𝐿𝐿 − 𝜃𝜃𝑖𝑖 ) = 0𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐸𝐸𝜃𝜃𝑖𝑖 4𝑇𝑇𝜃𝜃𝑖𝑖 2
�𝑖𝑖 + � +�𝑖𝑖 + �4𝜌𝜌𝜌𝜌𝐿𝐿4𝜋𝜋4𝜌𝜌𝜌𝜌𝐿𝐿2𝜋𝜋𝑘𝑘 ∗ 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑙𝑙1(𝛼𝛼𝑖𝑖 𝛽𝛽𝑖𝑖 3 + 𝛼𝛼𝑖𝑖 3 𝛽𝛽𝑖𝑖 )𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑘𝑘 ∗ 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑙𝑙1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑙𝑙1 − 𝑘𝑘 ∗ 𝑆𝑆

(1)
(2)
(3)
(4)

𝑆𝑆 = 𝛼𝛼𝑖𝑖 (1 + 𝑒𝑒 −2𝛽𝛽𝑖𝑖𝐿𝐿 − 𝑒𝑒 −2𝛽𝛽𝑖𝑖𝑙𝑙1 − 𝑒𝑒 −2𝛽𝛽𝑖𝑖𝑙𝑙2 )/2(1 − 𝑒𝑒 −2𝛽𝛽𝑖𝑖𝐿𝐿 )(5)𝛽𝛽𝑖𝑖 = ��(𝑇𝑇/2𝐸𝐸𝐸𝐸)2 + 𝜌𝜌𝜌𝜌(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑖𝑖 )2 /𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑇𝑇/2𝐸𝐸𝐸𝐸(7)𝛼𝛼𝑖𝑖 = ��(𝑇𝑇/2𝐸𝐸𝐸𝐸)2 + 𝜌𝜌𝜌𝜌(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑖𝑖 )2 /𝐸𝐸𝐸𝐸 − 𝑇𝑇/2𝐸𝐸𝐸𝐸(6)

𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚 (1 + 𝐻𝐻𝑖𝑖 𝑗𝑗)(8)𝑛𝑛𝑦𝑦(𝑇𝑇, 𝐸𝐸𝐸𝐸, 𝑘𝑘, 𝑐𝑐) = � (𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 )/𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚 − 1)2𝑖𝑖=1𝑦𝑦(𝑇𝑇, 𝐸𝐸𝐸𝐸, 𝑘𝑘, 𝑐𝑐, 𝐻𝐻𝑖𝑖 ) =𝑛𝑛

�{(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 )/𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚 − 1)2 − (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 )/𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚 − 𝐻𝐻𝑖𝑖 )2 }𝑖𝑖=1𝑦𝑦(𝑇𝑇, 𝐸𝐸𝐸𝐸, 𝑘𝑘, 𝑐𝑐, 𝐻𝐻𝑖𝑖 ) =𝑛𝑛

�{(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼𝑖𝑖 𝐿𝐿 − 𝜃𝜃𝑖𝑖 )))2 − (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼𝑖𝑖 𝐿𝐿 − 𝜃𝜃𝑖𝑖 )))2 }𝑖𝑖=1𝜙𝜙𝑖𝑖𝑡𝑡 (𝑝𝑝1 )𝜙𝜙𝑖𝑖𝑚𝑚 (𝑝𝑝2 ) − 𝜙𝜙𝑖𝑖𝑡𝑡 (𝑝𝑝2 )𝜙𝜙𝑖𝑖𝑚𝑚 (𝑝𝑝1 ) = 0(9)(10)(11)(12)(2)模型実験による妥当性検証
各推定手法の妥当性を検証するため模型実験を行った．
実験装置の概要を Fig.2 に示す．ケーブル長は 61.8m で，Table 1 のようにダンパーの強さや設置位置を変えて 9 ケース実施した．Table 1 のダンパーのばね定数を𝑘𝑘，損失係数を 𝛾𝛾 と す る と ， 複 素 剛 性 ば ね は 𝑘𝑘 ∗ = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑢𝑢 = 1/

�1 + 𝛾𝛾 2 ，𝑣𝑣 = 𝛾𝛾/�1 + 𝛾𝛾 2 )となる．加速度計を p1 = 1014mm，p2 = 2014mm に設置し，低い方から 7 つの固有振動数とMode Shape を読み取り，1～7 次モードの値と見なした．
各手法における各諸元推定結果を Fig. 3 に示す．推定値を真値で除して正規化しており，値が 1 に近いほど精度が高いことを意味する．ケーブルの真値はロードセルの測定値を，曲げ剛性の真値には設計値を，ダンパー諸元の真値には要素試験結果を用いた．どの手法も張力以外の諸元(𝐸𝐸𝐸𝐸, 𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑘𝑘𝑘𝑘 )は推定精度が高くないことが分かる．張力に関して，Method2F, 2FM は全てのケースで正しく推定できているが，Method0F, 1F, 1FM では No.5, 9 の推定精度が低い．
その原因を Table 2 に示す．No.5,9 はダンパーを内寄りに設置しているケースであり，ダンパーの影響が強く支点のようにケーブルを拘束していることがわかった．その証拠として，ダンパーを境界として，ケーブルの長い側と短い側を分け，それぞれの両端をピン支持と仮定して固有振動数を理論式から求めたものを Theoretical freq.(long side)，Theoretical freq.(short side)とする．そして，それらの固有振動数を小さい順に並び替えたものを Theoretical freq.とする．
Theoretical freq.と計測された固有振動数(Measured freq.)を比較すると，計測値では 6 次モード，すなわち短い側の 1次モードを読み飛ばしていることが分かる．そこで，計測値の読み飛ばしを考慮してモード次数を正しく設定し直して張力の推定を行った結果が Table 3 である．Method0F, 1F,1FM においても固有振動数の次数を調整すれば推定精度の向上が可能であると考えられる．
3．得られた成果
本研究では，固有振動数の実数部に加えて，固有振動数の虚数部と Mode Shape の影響も考慮に入れた新しいケー
ブル張力，曲げ剛性，ダンパー諸元の同時推定手法を提案した．模型実験の結果より，張力の推定精度は固有振動数の読み飛ばしの影響を受けない Method2F, 2FM が最も良いことが分かった．なおダンパー諸元の推定精度はどの手法も精度が悪く，原因としては計測ノイズの影響等が考えられる．ダンパー諸元の推定精度の向上が今後の課題である．

(a)Comparison among Method0F, 1F and 1FM

4．謝辞
研究遂行にあたり，理論計算を担当した当研究室修士課
程学生の鈴木秀弥君，実験を担当してくださった神鋼鋼線工業株式会社の関係者各位に心より感謝申し上げます．
TensionT
FixingBracketTensionT

Damper
Accelerometers
l1
p1

p2

Cable

LoadCellL(b)Comparison among Method0F, 2F and 2FM
Fig.3 Accuracy of estimated parameters

Fig.2 The Experimental device

Table 3 The ratio of the estimated tension to the true value after
the modification of the mode number

Table 1 The Experimental conditionsCableDamper

Model
NumberTrue Tension

Location

Spring Constant(kN)

l1 (m)(kN/m)

123456789

177.36180.19180.86181.03181.2
176.02178.86179.02179.36

―
2.472
4.326
6.18
9.27
2.472
4.326
6.18
9.27

―
25
25
25
25
50
50
50
50

No.

Loss Factor
―
0.61
0.61
0.61
0.61
0.55
0.55
0.55
0.55

Table 2 Natural frequencies of Model No.5 (Hz)Mode
1st 2nd 3rd 4th
Measured freq. 2.0 4.0 5.9 8.0
Theoretical freq. 2.0 3.9 5.9 7.95(long side) 2.0 3.9 5.9 7.9(short side) 11.1 22.3 33.7 45.2

5th
10.
9.8
9.8
57.

6th
12.
11.1
11.8
69.2

7th
13.9
11.8
13.8
81.7

8th
15.9
13.8
15.7
94.6

No.
59

Method0F
1.02
1.04

Method1F
1.02
1.04

Method1FM
1.03
1.03

発表論文
古川愛子，鈴木秀弥，小林亮介，廣瀬克也，ダンパーを有するケーブルの張力，曲げ剛性，及びダンパー諸元の同時推定手法，土木学会 第 23 回応用力学シンポジウム講演
概要集，S01A-02，2020 年 5 月．
参考文献
1) 山極伊知郎，宇津野秀夫，遠藤浩司，杉井謙一：高次の固有振動数を利用した線材の張力と曲げ剛性の同定法，日本機械学会論文集（C 編），66 巻，649 号，pp.2905-2911，2000 年.
2) 廣瀨克也, 古川愛子, 小林亮介：振動計測によるダンパーを有するケーブルの張力推定手法の開発, 2019 年度土木学会関西支部年次学術講演会講演概要集, 1-26, 2019 年.