確 率 数 理 要 論 2
確 率 変 数 と期待値・確率変数

2 .

（rt.P）：確率空間

咀（確率や學
X:r→Rが、任意のBorel集合とE BCR）に対し.

が（C)EFをみたすとき、Xを右隺率も學と言う.
（random variable)r n※X'（C）：=1WEr|X(w)EC） とする.

が （ c ) E F (CEB(R））なので、P（どい）が定まる、 これを.

口翟方※と/PIXEL）=p(X」（い）= P（1weR I X（いEc3）蛆と書く.

より一般には測空間に.F）.（IF）に対し.
UC E F'に対してX'（C)EFをみたすとき
X : r → N がX を叮測関本久 という。 （より詳しく下げ叮測とも言う）（これをni値確率変数とも言う）

X'（F'）：= | X ' K ) I C E F'｝

で は ' ） C F # X：叮測
確率数理要論2xと書くと.とも言える.
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（コイン投げ）匤

1裏表と、 本 で×（表に1， X（裏にO1部分集合全体）

でx は 確 率 変 数型（無限回のコイン投げ）
I=｛0/1｝か， W=（Wi，に....），W i E｛0/1｝

Xn(w）=Wnとする.

F：「nでXnが叮測となる最小の6-加法族

Xnは確率変数※ In=10.1）とすると、｛BixB a x . . . x BnX R n t i x In+2-_-I B i C h i ，が、2.-_-）

を全て最小の6-加法族がF.

参考○より

一般に

咀（直積6-加法族）

あるインデックス集合T
H E T（非可算でも良い）があって、（な中）に対し、（Inた）が付随しているとする.

X R t 上の直積6-加の二歯以下のように定義される. が「「直積集合it(WD e l w a E A がこのとき、思，Ft：=6（1i B t ITdi篰alin

B t E F a ( T-T ）ただし有限個のtをのぞいてB t Rtt）.

/ /今もしTが可算集合で.たが吩な距離空間A上のB o re l 6 - 加 法 族 （ F t Ba））なら、黒なに魲甽=6（雑）確率数理要論22 / 11

!となることが知られている. ただし、真生真無想 が入っているとする.

前S.には⑧ 直積位相： 荘，た の形の集合で生成される位相.
ただし.なはたの開集合で、有限個の中をのぞいて.た=Soである。

（ Kalle berg: Foundations of Modern Probably，2nd ed.の門）
直積6-加法族は、各tへの射影な新rent( W Dto，1-） W tを 可測にする最小の6-加法族でもある。

例：

B（1）で）=

日（R）のB(R)

B(R'）= GAR）とX: r → N（叮測とは限らない） に対し.

が（下りは6-加法族をなす.

1趾（i）が（I）=
RE

ルErIX(w)ENにrが（F'）

yより（ii) AEF'のとき. が（A）に 1WEr l Xlw）4A1
1 w e r M w ) E A た が（AC）
=なので、

（iii）

確率数理要論2

M A Y EX'（F'）

1次ページ
3 / 11"A、，Az....EX'ば） のとき、

(iii)

ヨ B . . B z . . . . で X"（Bn）=An とできる。

このときA=n1 w e r にns.t.WE An1=

1w E r にn s .t . X H E B n ］=

1 w a r | Xに）EY Bn｝=が（Y Bn)T E F 'E（i）. （iii.（iii）よりしたが（F'）にでは6-加法族）

かげ）は6-加法族

gd ' を n'のある部分集合族とする。 16-加法族とは限らない）
が16（d'））
6（MA'））='韭y

まず、 先のLemより が（dd'））は6-加法族であり、 かつが16（d'））つが（d'）であるため、 が（6（d'りつ 6（がはり）である（6（-）は最小の6・加法族）

一方、

とおくと.

f|

確率数理要論2

下に I C ' c r i Iが（C) E6（が（d'）））では6-加法族である。 なぜなら（i) N E F '(ii) A ' E F '

た が （ r ' に R e d Mt'）））が（A'）E61が（d'））！！熒で61がはり）（iii) A nE F Tn） = ） が（An)E6（が（d'））

A''E F '（En）が（Yn)EG(X'（t'））

Y An

E

F '
4 / 11また、 t ' s F ' もすぐわかるので、

6 （ d ' ） C F ' である。 （F'が6-加法族なので）さらにでの定義より かげ）C6（がはり）である、X'（G(t'））C X'（F'） C 6（がはり）これらより.

が（6（Al）= 6（かはり）

以上より.

型である

y

ある集合族A'を用いて. た6は）と書けるとき、
X: n → r '6（XI(d'））Prfと=ド（6（d'ノ）= が（F）が（（-a,x］）EF

X: n → R が t . V . e s1趾

より従う.

y（たER）/6（11-an］にER））= RR） から先のThanより従う.

y

こちらを r.ttの定義とすることも多い.

※た上には）=（Rd，日（Rd））

X : n → R（i)のとき、が 連続なら X は N . 何測）である.

Xの連続性よりX"（（x.か）
よって が（い，すると.

は開集合 （たER）））EB(Rd） でもある.

が（いがた が（（-e,x］） EB(Rd）でもあるのXはMである.

確率数理要論2が 叮 測 や X」（A)c F

で.//

5 / 11❤

咀 （多次元確率変数）
X:n→RdがXI(C)ETT o B瓞）に対し、であるとき、（つまり.X:seRdがFIB側-51測なとき）Xを多次元確率ーー変数と言う（もしくは、石隺率ベクトル）

一方. X......Xd:r→Rがそれぞれに.のとき、加）nが（にがい）n-.-nが（にXi'（1-ad））EFである. よって、
X(w）=（X，（w），た（w），....

Xd(w））とすればが（（ーかい］×（一・.）に］×-.-x（ーがd］）=JだにかいDEFである。 今、 日（Rd）=6（1※（exit）より.
これもまた、 多次元確率変数である。

⇐期待値

石隺率変数×の期待値
ーEN］=fadeを定義する.

ー（I) AEFに対し、 A の 「定義関数」：

X(W）=者（w）=｛！

であるとき、（WEA）に 妙

E [ X ］ ： = PCA）

gy.rs例
-とする.
（2）

X.

-Xが非負の「単関数」：

apa，-7膕が側Jai

名" " 店 - >

杣（w）
X(w）=
ただし、 d i ? O . A : E F ， た 有 限 .
E [ X にJapan）のとき.とする.
確率数理要論2

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（3）

Xが非負の確率変数

実は単関数の単調非減少列が....Xnが存在して、X(w）=無Xn(W） （Kwesi）とできる、
これを用いて、

E[X］：=fig E [ X n ］とする。

たとえば、Xn(w）=|言n（主EX（いく当，i。1.2.....nでい）(X(w)En）とすれば良い.

E M a の と きXを「1積分であると言う（4）

titleも単関数

一般のM.Xに対しては、（ド=max(Vo），X=max Exo））
X=が-Xと分解して、×+とかがともに7積分なら （1×1が7積分）

た［X］=たが1-E[X］とする。

Mが叮積分のとき、Xを「1積分であると言う.

だいは単関数列の取り方に一、依存せず1veddef.in（3） における.

Y i . た . . . . を別の単関数列でメルに島と（w）であるとする。
このとき'

b i n E M ］ = bin E N Dであることを示す
確率数理要論2

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（3） におけるE M

は単関数列の取り方に依存せずwell-definedである.

Y i . た . . . . を別の単関数列で メルに島と（w）であるとする。
このとき、

b i n E l Xn］= bin E l Yn］
である、

これを示すには，Umで E l Y m ] E 1協三［Xn］ を示せば良い、（あとは対称性より、 E [ X m ) E t 三 ［ Y n） が示せるので、等号が示せる.）

E>0を任意に固定する. （inも固定）
An｛war I Xn(w)Z Ym(w）-E｝
とおく. すると. Anは単調非減少か>

Y An=1であるから、確率の連続性より. f s P(An）=1 である。
で加法性が使われている！

-

特に、 I N で . Uh?Nにおいて P(An）と1-E とできる.
すると、

M E N において.

e(x）+=max Go）とする

E [ X n ］ と E[Xn1An]EE［（Ym-E）+1An]I=

E l Ym1An］- E

E [ Ym -Ym t ］と E［た］-に O f tanE1）- E

P(An'）.melt

Ymは単関数なので有限E E

E N

ここで.970は任意なので、示された.

確率数理要論2"""..たエ'y

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（期待値の性質）⑧ 西X Y ： 可積分い）

E [ a × + b Y］= a E [ x ］ + b E [ Y ］（tabER）（2）

X z oB）

1単調収束定理）(as）almostsurely←Xnはr.in（単関数とは限らない）

Xn(w）→X(w）

L E [ X n ］ = EN］（Fateaの補題）（単調性）

E[x］？oO EX,EX2E-_-かつ（4）（線形性）（0.S.） なら、（右辺=eでも成り立っ）←これもXnはr.io、

Xn Z o ならば
i nf X n ] E limit E M I

Elling（ち）（優収束定理）Xn→X(GS） なるt.ir.の列（Xn)nが1と叮積分な 非負にしYに対し、 は協El(Proof）（3）

Xn］=EN]

期待値の構成から、よって、h）をみなすなら、x

E [ X n ] E E EXIは明らか.

E[Xn]EE[X］.

である単関数の列 （Ym)mに対し、kmでH E [ X n ］ と E l Ym］ が言えれば一方、 Y m t
X

指E[Xn］と E [ X ］

が成り立つ、任意の970に対し. Anニ｛WEr I Xn(w）とYm(w）-E｝とすると、JP(An）= M Y An）= I なので、先と同様にヨNで.
t h ? N で PCAn）21-Eである.
確率数理要論29 / 11

このとき、「hZ N でE [ X n ] E E [ X n1 A n に E ［ （ Ym t ） 1 A nI

E l Ym（1-1胴］-EE

E[Ym］-=y1ないINN）-Eと E [ Ym ］ - O G ） .
よ、2 . 9 t o と す る こ と でこと

GE[Xn］2E[Ym） を 得 る .

seeの測であることはチックできる.

Yn二品のXm とおけば、 Y E た E（4）-E l Y n ) E E [ X n ］ にmen）
H Y D E の点E""'

定義より.

なり、あとは単調収束定理より、
E [ l i m i t-単調収束定理

Yn］=9inXn）=E[binE M )E（ち）_感出たからY- X n お よ び Y t X n に Fatuの補題を適用すれば示せる（ M E Yより、 O S 社 X n であることに注意）•yy

Fataの補題の反例 （=が成り立たない例）
ぬを+1=が一jY翏こees
れた二，

P:G.2］上の一様分布.
L l i m i t Xn］= o z キ
l i m i t X n = 0 より. E limitた［Xn］=If
一方、E[Xn）=ミ（う）より.

←（want嚇ぼに嵆崧

優収束定理の反例には3）=金 （た1.2....）， k(w）= l た （w=n） E[Xn］=C t o一方で.
確率数理要論2

h i Xn(w）=0 （Uw）

E[binXn］=0acted

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#G（微分と手齢の交換）
X : R x r → R( t ,w ） 1 - >X は w ）にかで XH，。）は叮測.

X が 各 W E Rにおいて夫につい2供給可能で、b）での積分が曲りその導関数2等が区間（a関数Yを用いて、12×楽にY(w） （HElab），とEn）であるとする。すると、HE(a.b）で最fxa.us d P H = f孨×（もりが成り立っ（Proof）/

微分の定義より

2興=無Xtremeである。

十分小さなhに対し、中間値の定理より

メばたんエ= 「響たがoh(of玵（w)E1）が成り立つ. 仮定より.h：十分小に対して、一様に1×では、いなけん）-1=12學|EY(w）である。これより、優収束定理より.

（な1xawHPH〜tfiifxltth.bd P(w）

品/XはいdNw）=1×（かんい。

側は一.
確率数理要論2

fermentedHw)

gy11 / 11