慶應義塾大学 日吉物理学教室

2008 年 9 月 1 日

固体の弾性
o 目的
水平な棒の中央に荷重をかけたときに生じる棒のたわみの量（中点降下量）を測定して、棒の弾性の強さを表すヤング（Young）率を求める。同時に、この実験を通じて、微小な回転角や微小な変位の測定を経験する。

o 実験用具ユーイング（Ewing）の装置、オプチカルレバー、試験棒、補助棒、スケール付望遠鏡、巻尺、マイクロメーター、ものさしo 原理(1) ヤング率
固体に力を加えて変形させると、力を加えている間だけ変形が起こり、力を取り除くともとの状態に戻る。このような性質を弾性という。一般に、変形が小さいときには力と変形の大きさは比例すると考えてよい。これはフック（Hooke）の法則としてよく知られている。
金属棒の両端に力を加えて引っ張ったり、押したりすると棒の長さが変わる。力があまり大きくないうちは、力と伸び（または縮み）とは比例する。この場合の比例定数
は、物質の種類だけでなく、棒の太さや長さなどの形状によっても異なる。
しかし、太さ一様の棒状の物体の場合、長さを L、伸びを ∆L、断面積を S 、加える力を F として、フックの法則をF∆L=E×SL(1)の形に書くと、比例定数 E は物質の種類だけに関係する定数（物質定数）とみることができる。この E をヤング率（伸びの弾性率）とよぶ。
ヤング率を測定によって求めるには、L、S のほかに、力 F とそれを加えたときの伸び ∆L を知らなければならないが、金属のような固い物質では ∆L は非常に小さく、正確に測ることは簡単ではない。この実験では、金属棒を直接引っ張って、伸び変形を起こさせる代わりに、図 1 のように、水平に支持した金属棒の中点におもりをつるし、中点における棒のたわみの量（中点降下量）を測って、金属棒のヤング率を求めることにする。
棒のたわみとヤング率との関係は、(2) 式に示されている。くわしい説明は省略する
が、およその原理は 図 2 で理解できるであろう。
厚さ d、幅 b の長方形断面をもった一様な棒の両端部を、図 1 のように支えて、その中点に質量 m の分銅をつるしたとき、2 つの支点間の距離を l、中点の降下量を e と1

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RQP

P: た わ み に よ っ て 伸 び た 部 分
Q: た わ み に よ っ て 縮 ん だ 部 分     

R-R : 伸 び 縮 み の な い 部 分

図1

図2

すれば、これらの量と棒のヤング率 E との間にl3mg·34bd
eE=(2)という関係がある。ここで g は重力の加速度である。
この実験では、m をいろいろに変えて中点の降下量 e を測定し、試験棒の材質に対するヤング率 E の値を求めることにする。

(2) 光学的装置
微小な中点降下量を測るには、次の 2 つの光学的装置を用いる。

(a) オプチカルレバー（optical lever）

Ｍ

図3オプチカルレバー

BACs
オプチカルレバーとは、非常に薄い板の厚さの測定などに用いる装置（図 3）で、3 つの脚 A、B、C をもつ小さな台に鏡 M を取り付けたものである。鏡の面は2

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AB に平行である。
はじめ水平な面の上にオプチカルレバーをのせ、脚 C を距離 e だけ上下すると、台と鏡はともに AB を軸として回転する。C から直線 AB までの垂直距離を sとすると、s に比べて e が十分小さければ、このときの回転角 α（ラジアン）はα=es(3)によって与えらえる。それゆえ、α と s が測定できれば e を求めることができる。α の測定には次の装置を用いる。

(b) スケール付望遠鏡
xＴO＝２yＡＢＣ

図4eＣ'sy

スケール付望遠鏡とは、スタンドに、望遠鏡を水平に、スケールを鉛直に取り付けた装置である。望遠鏡の中には十字線が張ってあって、視野の中に見えるようになっている。
図 4 で、鏡がはじめ M の位置にあるとき、望遠鏡 T の視野の中で、スケールの目盛 y が十字線の交点と一致している。鏡が α だけ回転して M 0 の位置にきた
とき、十字線の交点が目盛 y 0 に一致して見えたとする。これは、はじめ望遠鏡は y から出た反射光を見ていたが、後では y 0 から出た反射光を見ていることになる。∠yOy 0 = β とすると（O は鏡の中心）、光の反射の法則によって β = 2αの関係がある。中心 O からスケールまでの垂直距離を x とすると、鏡の回転角

α が十分小さければ
β=|y 0 − y|xと表すことができる。したがってe = sα =3s|y 0 − y|2x(4)慶應義塾大学 日吉物理学教室

2008 年 9 月 1 日となる。それゆえ、s と x を測っておいて、y と y 0 を読めば、e を計算することができる。

o 装置の調整¶³

注意

次のことに特に注意を払って、装置の調整および測定を行う。

(1) ここで用いる光学的装置は、わずかな振動でも測定値に大きな影響を与えるので、台はガタつかないような場所に置かなければいけない。

(2) オプチカルレバーは壊れやすいので、試験棒と補助棒の上に安定するように置き、落とさないように注意する。

(3) 分銅をのせたり、はずしたりするときには鏡が動かないように注意する。
(4) 測定を 2 回以上繰り返す場合には、そのたびに試験棒を裏返して行う。
µスケール

望遠鏡
試験棒
オプチカルレバー
補助棒

ナイフエッジA'

図5

分銅
ナイフエッジB'

試験棒に分銅をつるすには、ユーイングの装置をもちいる。この装置は支点となる 2 つのナイフエッジ A0 、B0 （図 5）を備えた鉄製の台で、分銅と、分銅をつるすための金具が付属している。

(1) ナイフエッジ A0 、B0 の上に、同じ形の試験棒と補助棒を平行にのせ、試験棒支点間

4´

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2008 年 9 月 1 日（A0 –B0 間）の中点につり金具をつるす。オプチカルレバーの脚 A、B を補助棒の上にのせ、脚 C をつり金具の穴にさしこんで、試験棒の上にのせる。脚 C のネジを回して鏡の台を水平にし、鏡の面を試験棒に平行にして直立させる。

(2) 鏡 M の前方 1 ∼ 2 m のところに望遠鏡を置き、スケールを鉛直にする。望遠鏡の視野内で十字線がはっきり見えるように、接眼鏡を調整する。

(3) 望遠鏡の筒を、鏡の面にほぼ直角にそして同じ高さになるように水平に固定し、スケールの面が鏡の面に平行になるようにする。次に、接眼鏡の付近に眼をおいて、望遠鏡を通さずに鏡を見て、鏡にスケールの目盛がうつるように、望遠鏡の位置や向きを細かく修正する。目盛の像が見えたなら、その視線の方向に正しく望遠鏡の筒を向け、鏡の中の目盛の像に焦点を合わせる。十字線の交点が、望遠鏡の筒の付近のスケールの目盛とかなりずれている場合には、さらに修正を要する。

o 実験方法(1) 荷重 0g（分銅のない状態）から始めて、200g の分銅を 1 個ずつ増していったときの望遠鏡の十字線の位置を、スケールの目盛上で読み取る。それらの値をレポート用紙の増重の欄に記録する。

(2) 分銅を 1 個ずつ減らして、荷重 0g までの目盛の読みを減重の欄に記録する。増重と減重とで、同じ荷重に対する目盛の読みに大きな差がある場合には、測定をやりなおす。

(3) 同じ荷重に対する目盛の読みの平均値を求める。
(4) 荷重に対する目盛の読み（平均値）をグラフ用紙に記入し、このグラフがほぼ直線になることを確かめる。直線からいちじるしくはずれている場合には、測定をやりなおす。

(5) スケールと鏡の距離 x、試験棒支点間の距離 l を巻尺で測定する。
(6) オプチカルレバーを軽く紙面に押しつけ、その脚の跡にものさしをあてて、s を測定する（図 3 参照）。

(7) 試験棒の幅 b、厚さ d をマイクロメーターで測定する。
(8) (2) 式より ヤング率 E を計算する。

5

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o 実験例
目盛の読み [mm]

荷重[g]

増重減重

平均値

09.2

9.8

9.5

200

21.7

22.522.1

400

35.035.2

35.1

600

47.8

48.2

48.0

800

60.4

61.2

60.8

1000

73.2

73.273.2

表1

目盛の読み（平均値）〔mm〕

8060402000200400600

800

荷重 〔g〕
図6（グラフの傾きはマイナスになる場合もある）

61000

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x = 166 [cm] = 1.66 [m]スケールと鏡の距離：

オプチカルレバーの脚 C と AB 間 の垂直距離 ：s = 3.02 [cm] = 3.02 × 10−2 [m]
試験棒の幅（5 カ所の平均値）：

b = 15.9 [mm] = 1.59 × 10−2 [m]試験棒の厚さ（5 カ所の平均値）：

d = 4.40 [mm] = 4.40 × 10−3 [m]試験棒支点間の距離：

l = 40.0 [cm] = 0.400 [m]荷重 0kg における目盛の読み（グラフから読み取ったもの）：

y = 9.4 [mm] = 9.4 × 10−3 [m]荷重 1kg における目盛の読み（グラフから読み取ったもの）：

y 0 = 73.8 [mm] = 73.8 × 10−3 [m]¯¯
荷重 1kg に対する目盛の変化量： ∆y = ¯y 0 − y ¯ = 64.4 × 10−3 [m]荷重：s∆y= 5.86 × 10−4 [m]2xm = 1.00 [kg]重力加速度：

g = 9.80 [m/s2 ]∆y に対する実際の降下量：e=求めるヤング率：

E=
=

l3
mg
·34bde0.4003 × 1.00 × 9.80
4 × (1.59 × 10−2 ) × (4.40 × 10−3 )3 × (5.86 × 10−4 )= 19.8 × 1010 [N/m2 ]o 参考
実験に使用する材料のヤング率 E の標準値を表 2 に示しておく。ヤング率が大きいものは伸びにくく、小さいものは伸びやすいことが、(1) 式よりわかるであろう。ゴムのヤング率は、(1.5 ∼ 5.0) × 106 N/m2 である。
物質
ヤング率 E[×1010 N/m2 ]

真ちゅう

銅

鉄（鋼）

ソーダガラス9.7 ∼ 10.2

12.3 ∼ 12.9

19.5 ∼ 21.6

6.7 ∼ 7.8

表27