数理解析研究所講究録
第 1560 巻 2007 年 121-136

121

The Fisher information metric and Poisson kernels

over negatively curved Riemannian manifolds

筑波大学数理物質科学研究科

伊藤光弘 (Mitsuhiro Itoh)

筑波大学数理物質科学研究科

宍戸雄一 (Yuichi Shishido)

1.

Fisher 情報計量

1. 1 $(M, h)$ をコンパクトな向き付けられた -次元 $C^{\infty}Riemann$ 多様体とする. $h= \sum h_{ij}dx^{i}dx^{j}$ は Riemann 計量で, 単位体積をもつ体積要素を$dv$ であらわすとする。すなわち伽はRiemann 体積要素の $M$ の体積分の$n$1 とする : $dv=(V\circ l(M))^{(-1)}\sqrt{\det(h_{ij})}dx^{1}\cdots dx^{n}$Fisher 情報行列間$\mathcal{P}(M)$体を.

の一般化である Fisher 情報計量 を確率測度の空の上に定義する. $M$ 上の正値確率測度 $\mu=p(x)dv(x)$ の全であらわす :$(g_{ij})$$g$$C^{\infty}$$\mathcal{P}(M)$$\mathcal{P}(M)=\{\mu=p(x)dv(x)|p\in C^{\infty}(M), p(x)>0, \int_{M}p(x)dv(x)=1\}(1)$Fisher 情報計量を定義するまえに,$\mathcal{P}(M)$の位相等について簡単に述

べる.

を一つ固定する. 任意の確率測度 は $\mu=\mu_{0}+\tau,$ $\tau=q(x)dv(x)$ ,$\int_{M}\tau=0$ と書ける.
すなわち $\mathcal{P}(M)\subset\mu_{0}+Q(M)$ , . ここに測度$\mu_{0}$$\mu$$\mathcal{Q}(M)=\{\tau=q(x)dv(x)|q\in C^{\infty}(M), \int_{M}q(x)dv(x)=0\}$(2)

さらに関数 $q(x)$ と $n$-形式 $q(x)dv(x)$ を同一視し, $C^{\infty}(M)$ を -階以下の導関数が -可積分な関数からなる関数空間として完備化した空間を $W_{k}^{2}(M)$とする. $Q_{k}^{2}(M)= \{\tau=q(x)dv(x)|q(x)\in W_{k}^{2}(M), \int_{M}\tau=0\}$ とおくと,$k$$L^{2}$

は $W_{k}^{2}(M)$ の閉部分ベクトル空間となる.

をアフィン空間 $\mu_{0}+Q_{k}^{2}(M)$ の部分集合で密度関数がいたるところ正値となる $n$-形式$p(x)dv(x)$ 全体とする. $k>n/2$ とする. Sobolev 不等式から
は開集合になり, $Q_{k}^{2}(M)$ をモデルとする無限次元多様体となる.
$Q_{k}^{2}(M)$$\mathcal{P}_{k}^{2}(M)$$\mathcal{P}_{k}^{2}(M)$

今後断りなく添数$k$などは省略し$\mathcal{P}(M),$$\mathcal{Q}(M)$と略記する.

122の点とみなされる. 曲面上各確率測度 $\mu=p(x)dv(x)$ は多様体の点に接線ベクトル, 接平面が考えられるように, 点 $\mu=p(x)dv(x)$ での接ベクトル, 接ベクトル空間が定まる. 実際に, 点 $\mu=p(x)dv(x)$ での接$\mathcal{P}(M)$ベクトルは $\tau=q(x)dv(x)$ であって $\int_{M}\tau=\int_{M}q(x)dv(x)=0$ をみたすものとしてあらわされる. 無限次元ベクトル空間 $Q(M)$ が点 での接ベクを与える.
が接ベクトルである理由 : をパラメータ
トル空間
$\mu$

$T_{\mu}\mathcal{P}(M)$$t$$\tau$とする $M$ での測度の曲線 : $\mu+t\tau,$ $|t|<\epsilon$ , を考えると,曲線であり, $t=0$ での速度ベクトルが であるから.

$\mathcal{P}(M)$内の$\tau$

定義 1.1(Fisher 情報計量)$T_{\mu}\mathcal{P}(M)$上の正定値内積$g_{\mu}$を次で定義する :,(3)$g_{\mu}( \tau_{1},\tau_{2})=\int_{M}\frac{d\tau_{1}}{d\mu}\frac{d\tau_{2}}{d\mu}\mu=\int_{M}\frac{q_{1}(x)}{p(x)}\frac{q_{2}(x)}{p(x)}p(x)dv(x).$

ここで $\tau_{i}=q_{t}’(x)dv(x),$ $i=1,2$ であり,$\frac{d\tau_{i}}{d\mu}=\frac{q_{i}(x)}{p(x)}$$g.=\{g_{\mu}|\mu\in \mathcal{P}(M)\}$$i=1,2$ .

,(4)を Fisher 情報計量という.

.

1.2 注. $a$
多様体 $M$ は必ずしもコンパクトでなくてもよい.
を $n$-次元実数空間, 上の急減少関数のなす空間 $S(R^{n})$ を $S_{0}bolev$ ノル$W_{k}^{2}(R^{n})$$R^{n}$

ムで完備化した空間とする.
をモデルとする確率測度のなす空が考察可能である. [G] 参照.
間$W_{k}^{2}(R^{n})$$\mathcal{P}(R^{n})$$b$. Fisher 情報行列 (g のの解釈 : パラメター空間菖

$\subset R^{m}$から$\mathcal{P}(M)$への埋め込み写像が与えられたとき, Fisher 情報行列は Fisher 情報計量の引き戻し, すなわちパラメータによる微分が与える接ベクトルの, Fisher 情

報計量による内積とみなすことができる: $\mu=p(x;\xi)dv,$ $\xi=(\xi_{1}, \ldots, \xi_{m})$のとき\partial p/\partial るより $d\tau_{i}/d\mu=p^{-1}x\partial p/\partial\xi_{i}=d$ log $p(x;\xi)/d\xi$ より. [A-N] を参照のこと.
$\tau_{i}=$$g_{ij}=g_{\mu}(\tau_{i}, \tau_{j})$1.3 例.

, 分散の正規分布とする.
をパラメターにもつに属する確率測度の族である. Fisher 情報行列
計量としては; $g_{11}=1/\sigma^{2},$ $g_{12}=0,$ $g_{22}=2/\sigma^{2}$ .
$(1/\sigma^{2})(d\mu^{2}+2d\sigma^{2})$ とあらわされ,パラメータ空間 $\{(\mu, \sigma)|-\infty<\mu<$$0<\sigma$} はガウス曲率 $-2$ の双曲平面となる. この事実は 甘利俊一
先生から直接伺った。
$N(\mu, \sigma^{2})$

を期待値

$\mu$

$\sigma^{2}$$(\xi_{1}, \xi_{2})=(\mu, \sigma)$$\mathcal{P}(R)$$(g_{ij})$$\Sigma g_{ij}\xi_{i}\xi_{j}=$$\infty,$

1.4 Fisber 情報計量の幾何的性質については次の定理が基本的である.

123
定理 (T.Friedrich [F]).

(i) Fisher 情報計量の Levi-Civita(Riemann) 接続$\nabla$は次で与えられる :点 $\mu\in \mathcal{P}(M)$ で(5)$\nabla_{\tau_{1}}\tau=(\frac{d\tau}{d\mu}\cdot\frac{d\tau_{1}}{d\mu}-\int_{M^{\frac{d\tau}{d\mu}\cdot\frac{d\tau_{1}}{d\mu}\mu}})\mu$$\tau,\tau_{1}\in T_{\mu}\mathcal{P}(M)$

(ii)

$g$

.

の断面曲率は一定でその値は 1/4.

がに推移(iii) 向きを保つ $M$ の微分同相写像からなる群の作用は :, すなわち n-形式 の的に作用する (による引き戻し):$\mathcal{D}^{+}(M)$$\psi\in \mathcal{D}^{+}(M)$$\psi$$\murightarrow\psi^{*}\mu$$\mathcal{P}(M).=\mathcal{D}^{+}(M)/\mathcal{K}$$\mathcal{K}$$\mathcal{P}(M)$$\mu$$\psi$,

はある $\mu\in \mathcal{P}(M)$ を固定する自己同相写像 $\psi\in \mathcal{D}^{+}(M)$ の全体のなす部分群.

(iv) 測地線に関して完備ではない.
この定理については [Sh-l] をも参照のこと.
1.5 注. 離散ケース:$\mathcal{P}=\{\mu=(p_{1},p_{2},p_{3})\in R^{3}|p_{i}>0, \sum_{i}p_{i}=1\}$(6)は内の平面 $x+y+z=1$とし、その上の Fisher 情報計量を求める.
は開 2-単体である. 点 $\mu=(p_{1},p_{2},p_{3})\in \mathcal{P}$ での第一象限部分をさす.
の接ベクトル空間は$\mathcal{P}$$R^{3}$$\mathcal{P}$$T_{\mu} \mathcal{P}=\{\tau=(v_{1},v_{2},v_{3})\in R^{3}|\sum_{i}v_{i}=0\}$$\frac{d\tau}{d\mu}=(\frac{v_{1}}{p_{1}},\frac{v_{2}}{p_{2}}, \frac{v_{3}}{p_{3}})$

.

(7)

に注意して

$g_{\mu}( \tau,\tau’)=\int_{M}\frac{d\tau}{d\mu}\frac{d\tau^{l}}{d\mu}\mu=\frac{1}{p_{1}}v_{1}v_{1}’+\frac{1}{p_{2}}v_{2}v_{2}’+\frac{1}{p_{3}}v_{3}v_{3}’$ここで接ベクトル $\tau=(1,0, -1),$ $\tau’=(0,1, -1)$ を Fisher 情報計量に代入. $g_{11}=g_{\mu}(\tau, \tau),$ $g_{12}=g_{\mu}(\tau, \tau’),$ $g_{22}=g_{\mu}(\tau’,\tau’)$ を求めると$g_{11}= \frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{3}},$$g_{12}=g_{21}= \frac{1}{p_{3}},$$g_{22}= \frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{p_{3}}$

124
より,

点

$\mu$

において
$g$

$=g_{11}dp_{1}^{2}+2g_{12}dp_{1}dp_{2}+g_{22}dp_{2}^{2}$$( \frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{3}})dp_{1}^{2}+\frac{2}{p_{3}}dp_{1}dp_{2}+(\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{p_{3}})dp_{2}^{2}$

変数変換して $p_{1}=s^{2},$$p_{2}=t^{2}$$0<r<1$ ,とおくと$0<\theta\leq 2\pi$

とおき,

さらに $s=r\cos\theta$ ,$t=r$ sin$\theta$,$g= \frac{4}{1-r^{2}}dr^{2}+4r^{2}d\theta^{2}$

これはガウス曲率$K= \frac{1}{4}$の 2 次元球面 (半径 2) の一部分をあらわす.

平坦な 2-単体が Fisher 情報計量的には一様に曲がって見えることになる.
ガウス曲率は Riemann 多様体の断面曲率なので, このことはFisher 情報計量の断面曲率の値が一定値

1.6$\mathcal{P}=\mathcal{P}(M)$$\frac{1}{4}$$\mathcal{P}(M)$

上のであることと符合する.

上の Fisher 情報計量に関して双対接続が定義できる.
.

3階共変対称テンソル $T$ を$T$:$T_{\mu} \mathcal{P}xT_{\mu}\mathcal{P}xT_{\mu}\mathcal{P}arrow R;T(\tau^{1}, \tau^{2}, \tau^{3})=\int_{M}(\frac{d\tau^{1}}{d\mu}\frac{d\tau^{2}}{d\mu}\frac{d\tau^{3}}{d\mu})\mu(8)$と定めると, 任意実数$t$について接続$\nabla^{t}=\nabla-tT,$$\nabla^{-t}=\nabla+tT$(9)は振れなしの互いに双対な接続である. [Shi] 参照.

2. 負曲率多様体と Poisson 核
2.1 (X, h) を単連結, 完備 -次元 Riemann 多様体で, 次の負曲率条件を$n$みたすものとする :$-b^{2}\leq K_{Y}\leq-a^{2}<0$

は正定数.

(10)

は任意の断面 $Y$ についての断面曲率である.
Cartan-Hadamard の定理より, 負曲率条件から $(X, h)$ は $n$-次元ユーク
ここに $a,$$b$$K_{Y}$

リッド空間と微分同相である.

125
2.2 例.

$n$-実双曲空間$(D^{n}, h_{\text{。}})$:$D^{n}=\{x\in R^{n}||x|<1\}$ ,上半空間モデルもある.

$n$

単位円板 Poincar\’e モデル(11)$h_{o}= \frac{4}{(1-|x|^{2})^{2}}\sum_{i=1}^{n}dx_{i}^{2}$-実双曲空間は定曲率空間なので $K_{Y}=-1$ .

曲率条件 2.1 は Poisson 核が定義されるための必要条件である.
上の測地線は, 以下すべて単位スピードかつ向きを持った測地線とする. このような測地線を正規な測地線とよぶ. 測地線の負曲率多様体上での基本的性質等については, [E], [S] 参照のこと.
$X$

向きをもった単位速度, 半開測地線 $c_{1}=$

2.3 定義 (測地線の漸近同値).

,

が漸近同値とは, 距離 $d(c_{1}(t), c_{2}(t))$ がとかく.
ついて上に有界であるときをいう. このとき
$c_{2}=c_{2}(t)$$c_{1}(t),$$0\leq t<\infty$$t$に$c_{1}\sim c_{2}$$\mathcal{G}(X)$関係
レ\rangle ,$\sim$

で向きをもった単位スピード, 半開測地線全体の集合とし, 同値を理想境界, または無限遠境界といで類別した商空間とあらわす.
$\mathcal{G}(X)/\sim$$\partial X$

基点 $x_{o}\in X$ を固定する.

$\partial X$

は x。での接ベクトル空間の単位接球面$X||v|=1$ } と同一視できる. 理由は任意の元 $\theta=[c]\in$に対し一意的に基点を出発する半開測地線 でとなるものが存在する. よってはつねに基点に関する単位接球面と同一視される.
結果として,
は $n-1$ 次元球面 $S^{n-1}$ とみなされる. さらに $X\cup\partial X$$U_{x}$

$X=$

。

{

$v\in T_{x}$。

$\partial X$$\gamma$$\theta=[\gamma]$$\partial X$$\partial X$に錐位相をいれることにより $X$ のコンパクト化を与える. 位相の入れ方については $[E|,[S]$ を参照.

2.4

$n$

-次元実双曲空間基点とする) はまさにの理想境界: この場合理想境界 (原点中心, 半径 1 の球面 $\partial D^{n}=S^{n-1}$ である.

$(D^{n})h_{\text{。}})$

$0$

$0$

を

2.5 古典的 Dirichle’t 問題との類推として無限遠 Dirichl\’et 問題が考えられる ([P] を参照). (X, h) の Laplacianについて $\Delta u=0$$\Delta=-\sum_{i}h^{ij}\nabla_{i}\nabla_{j}$をみたす関数 $u:Xarrow R$ を調和関数という. 理想境界上で与えられた関数と一致し $X$ において調和な関数を求める問題を (無限遠) Dirichl\’et$\partial X$

問題という.

定理 (Anderson, Sullivan).
にたいし,
任意の

$(X, h)$ は 2.1 の条件をみたすものとする.

$\psi\in C^{0}(\partial X)$$\Delta u=0$

in $X$ ,$u|_{\partial X}=\psi$

(12)

126
をみたす関数 $u\in C^{\infty}(X)\cap C^{0}(XU\partial X)$ がただ一つ存在する. [Sch-Y] を参照のこと.
同一視 $\partial X=U_{x}$ $X=S^{n-1}$ のもとにあらわす :$\partial X$。

上の単位体積標準測度を$d\theta$

で(13)$d \theta=\frac{1}{Vol(S^{n-1})}d\theta^{1}\wedge\cdots\wedge d\theta^{n-1}$

ここに $\{d\theta^{i}\}h.U_{x}$ $X=S^{n-1}$ の, 向きに同調した局所正規直交基 $\{e_{1}, \cdots, e_{n-1}\}$。

の双対基.
Dirichl\’et 問題の解 は, 2.1 の条件をみたす (X, h) にたいして, Poisson
核による積分表示をもつことが知られている ([Sch-Y]).
$u$について定まった関数 $\Phi(x, \theta)\in C^{0}(X\cup$
2.6 定義 (Poisson 核). 各
は, $x\in X$ について調和関数であり, さらに次をみたすとき基点において正規化された Poisson 核という :$\theta\in\partial X$$\partial X\backslash \{\theta\})$1.

$\Phi(x, \theta)$

$>$

$0$

2.

$\Phi(x_{o},\theta)$

$=$

$1$

3.
4.

,

$=\infty$$\lim_{xarrow\theta}\Phi(x, \theta)$$\theta’\in\partial X,$

for any $x\in X$ ,,$\theta’$$\neq\theta\Rightarrow\lim_{xarrow\theta’}\Phi(x, \theta)=0$.

解 $u=u(x)$ は Poisson 積分表示をもつ:(14)$u(x)= \int_{\partial X}\Phi(x,\theta)\psi(\theta)d\theta$

2.7 例. 実双曲空間$(D^{n}, h_{\text{。}})$

の中心

$0$

を基点とする正規化された Poisson

核は$\Phi(x,\theta)=(\frac{1-|x|^{2}}{|x-\theta|^{2}}I^{n-1},$

ここに$|\cdot|$$x\in D^{n},$$\theta\in\partial D^{n}$(15)

は $D^{n}\subset R^{n}$ の標準ノルム.

定理 (Schoen-Yau [Sch-Y]). 曲率条件 2.1 をみたす ( $X$ , h). に対して

Poisson 核の存在と一意性がいえる.

.

は, 固定点 $x\in X$ にたいし
命題 2.1 $([I-Sh],[Sh-2])$ Poisson 核上の確率密度関数を与える : すなわち $\mu=\Phi(x, \theta)d\theta$ はて理想境界$\partial X$$\mathcal{P}(\partial X)$の元である.

$\Phi(x, \theta)$

127
上恒等的に 1 に等しい関数 についての Dirichlet 問題の解 は明らかに恒等的に 1 に等しい関数である. よって Poisson 積分表示から証明.

$\partial X$$u$$\psi$$1= \int_{\partial X}\Phi(x,\theta)d\theta(\theta)$

すなわち2.8 定義.
定義する.

$\Phi(x, \theta)d\theta(\theta)$

は2.9 注. 重心写像$b$:の元である.

$\mathcal{P}(\partial X)$

Poisson 核写像$\varphi$

(16)

,

:

$Xarrow \mathcal{P}(\partial X)$

を$\varphi$:$x\vdash+\Phi(x, \theta)d\theta$

でについて議論するため Douady &$\mathcal{P}(S^{1})arrow D^{2}$を実双曲平面に対して定義した ([D-Ea]). Besson, Courtois
への, Poisson 核写像と類似の写像を定&Gallot は $X$ から義し, (X, h) の対称空間としての特徴づけを行っている ([B-C-G]).

Earle は写像$\varphi$$L^{2}(\partial X, d\theta)$$\varphi$

3. Fisher 情報計量と Poisson 核写像
3.1: $Xarrow P(\partial X)$ は $X$ の点をパラメータとする
上の確率測度の族を与える. Fisher 情報計量,g のこの写像 による引き戻しを考$\mu=\varphi(x)$察する. そのために写像の微分写像 ::$\varphi$$\partial X$$x$$\varphi^{*}g$$\varphi$$d\varphi$$T_{x}Xarrow T_{\mu}\mathcal{P}(\partial X),$と, 以下に述べる幾何学的に定義された Busemann 関数を調べる必要がある.

3.2 定義 (Busemann 関数). $(X, h)$ は曲率条件 2.1 をみたす非コンパク
ト完備 Riemann 多様体とする.
に対し $X$ 上の関数 $x\mu+B(x, \theta)$$\theta\in\partial X$

を$B(x, \theta)=\lim_{tarrow\infty}(d(c(t),x)-t)$

,

(17)

で定義する. $B(x, \theta)$ を, 基点 についての Busemann 関数という. ここに$c(t)$ は基点を出発し, に到達する正規測地線; $c( O)=x_{\text{。}},\lim_{tarrow\infty}c(t)=\theta$$x_{o}$$\theta$$x_{o}$Busemann 関数 $B(x, \theta)$ のみたす性質:

1.
2.

3.

$B(x_{o},\theta)$$=0$ ,$\lim_{xarrow\theta}B(x,\theta)$$=$$-\infty$,$\lim_{xarrow\theta’}B(x,\theta)$$=$$+\infty$,$\theta’\neq\theta$

Busemann 関数 $B(x, \theta)$ は変数 $x\in X$ について C2-級である ([S]). 負曲率完備多様体上の Busemann 関数の基本的性質については [E], [S] を参照
のこと.

128
3.3 さて単連結, 負曲率完備 Riemann 多様体 (X, h) が階数 1 の非コンパクト型対称空間であると仮定する. すると次の定理が成り立っ.

.

定理 3.1 $([I-Sh],[Sh-2])$ 階数 1, -次元非コンパクト型対称空間 (X, h)による Fisher 情報計量に対して, Poisson 核写像 は埋め込みであり,は次をみたす:の引き戻し$n$$\varphi$$\varphi$$\varphi^{*}g$

$g$

(18)

$\varphi^{*}g=\frac{\rho^{2}}{n}h$

いいかえると$g_{\varphi(x)}(d \varphi(u), d\varphi(v))=\frac{\rho^{2}}{n}h_{x}(u, v),$$x\in X$$u,$ $v\in T_{x}X,$(19)

ここに $\rho=\rho(X,h)$ は (X, h) の体積エントロピーと呼ばれる量で、 (X, h) 内の測地球 $B(x;r)$ の体積の指数増大度を表す:$\rho(x)=\lim_{rarrow\infty}\frac{1}{r}\log Vol(B(x;r))$対称空間の場合, 空間が等質的なので$\rho$,$x\in X$,(20)

は $x$ に依存しない量となる.

3.4 この定理の主張は, (X, h) の接ベクトルの内積を Poisson 核写像を通して Fisher 情報計量 で測っても本来の計量 で測っても定数倍の違い
$h$

$g$

しかないということである. しかも定数は体積エントロピーなる幾何学量で与えられる.
証明は以下に示すように対称空間の等長変換群に関する推移性, Poisson
核と Busemann 関数の関係式, および等長変換が理想境界上ひきおこす変換の Jacobian の Poisson 核表示式を用いる.
$\partial X$

3.5 対称空間の定義は [p.170, $H$] を参照のこと. 幾何学的典型的空間であ-次元ユークリッド空間,
る -次元球面,-次元実双曲空間を包摂する
完備 Riemann 多様体 (X, h) で, 各点 にたいして等長変換 $s_{x}\in I(X, h)$
$n$

$n$

$n$

$x$

で次を満たすようなものが存在するとき (X, h) を対称空間という :( $X$ の恒等変換)
かつ はの孤立した固定点である.
$s_{x^{\circ}}s_{x}=id_{X}$$x$$s_{x}$

ここに $I(X, h)$ は等長変換 (計量を保つ微分同相変換) の全体, 等長変は点 を通る測地線を逆向きにする変換, すな
換群を表す. 実際には
わち測地対称で与えられる ([p.170, $H]$ ). 実数が正, 零, 負数に分かれる
ように, 対称空間もコンパクト型, ユークリッド型, 非コンパクト型に$s_{x}$$x$

分類される. このうち負曲率で曲率条件 2.1 をみたすのは非コンパクト型のもので階数 1 のものに限られることが知られている. 階数 1 の非
$=$

129
, 複素双曲空間
ンパクト型対称空間は 4 種類ある : 実双曲空間
4 元数双曲空間
元数双曲空間.
次元は dim $H_{F}^{n}=n\cdot\dim_{R}F,$ $F$ は各双曲空間に対応する体.
体積エントロピーは $\rho=n+\dim_{R}$ F-2. [B-C-G] を参照のこと.
$H_{R}^{n}$$H_{H}^{n},$$8$$H_{C}^{n}$,$H_{Q}^{n}$

3.6 階数 1 の非コンパクト型対称空間の Poisson 核
される ([B-C-G]) :$\Phi(x, \theta)$

は次であらわ(21)$\Phi(x,\theta)=\dot{e}xp(-\rho B(x,\theta))$

この事実より, まず Poisson 核写像 は単射. なぜならば, $\varphi(x)=\varphi(y)$ ,$x\neq y$ と仮定する. 2 点 $x,$を結ぶ正規測地線 $c=c(t),t\geq 0,$ $c(O)=x$ , の上の点を とし, 正規化した Busemann 関数
定める理想境界を考えると, $B(z, \theta)=B_{c}(z, \theta)+d(x, x_{\text{。}}),$ $z\in X$ , とあらわされる ([E],[S]$\varphi$$y$$\partial X$$\theta$$B(\cdot, \theta)$

は測地線 に関する Busemann 関数である. しを参照). ここにでのたがって 2 点 $x,$の値は異なり, 上の Poisson 核表示から$P6isson$ 核の値も異なる. これは矛盾. よって
は単射.
$B_{c}(z, \theta)$$c$$B(\cdot, \theta)$$y$$\varphi$

3.7 対称空間 (X, h) のもつ著しい性質として, 等長変換群 $I(X, h)$ が (X, )を基点 (原点) としたとき, 任意の点 に対しに推移的に作用する:て x。をに写す等長変換 $\gamma\in I(X, h)$ があること.
$h$

$x$

$x_{o}$$x$

3.8 一般的設定に戻って, (X, h) を曲率条件 2.1 をみたす単連結完備
Riemann 多様体とする. このとき次がいえる.
等長変換 $\gamma\in I(X, h)$ は測地線 $c=c(t)$ を測地線 $\gamma\circ c=\gamma(c(t))$ に移し,
なおかつ距離をたもつ ; $d(\gamma(x))\gamma(y))=d(x, y)$ , ので漸近的同値な 2 測地
線
は漸近的同値 2 測地線に移される. すなわちの変換 (同じ記号 であらわす) が定まる:$c,$$\gamma oc,$ $\gamma oc’$$c$$\partial X$$\gamma$$\gamma$: $\partial Xarrow\partial X;\theta=[c]\vdash+\gamma(\theta)=[\gamma\circ c]$ .

3.9 重要な事実と記号の約束:

変換

形式を $(n-1)$ -形式に引き戻す操作:$\partial Xarrow\partial X$

は$\partial X$

上の $(n-1)-$の変換は $\partial X=S^{n-1}$ 上の $(n-1)$ -形式のなすベクトを引き起こす.
ル空間である. ここで写像$\Omega^{n-1}(\partial X)$$\gamma$(22)$\gamma$:$\gamma^{*}$

により$\mathcal{P}(\partial X)\subset\Omega^{n-1}(\partial X)$$\Omega^{n-1}(\partial X)arrow\Omega^{n-1}(\partial X)$$\gamma(\mu):=(\gamma^{-1})^{*}(\mu)$

を

(23)

で定義する. すると次に示すように左作用がえられる :$(\gamma 0\gamma_{1})(\mu)$$:=\gamma(\gamma_{1}(\mu)),$$\gamma,\gamma_{1}\in I(X, h)$

(24)

130
定理 (M.Bourdon([B]). 等長変換 $\gamma\in I(X, h)$ が引き起こす理想境界の変換 は次の Jacobian 表示式をもつ :$\partial X$$\gamma$$\gamma^{*}(d\theta(\theta’))=\Phi(\gamma^{-1}(x_{\text{。}}))\theta)d\theta(\theta)$;$\theta’=\gamma(\theta)$

ここに x。は正規化された Poisson 核の基点. すなわち右辺の Poisson 核関

数は左辺の正規化標準体積要素 の による引き戻し (Jacobian に相当)の密度をあたえる. たとえば が基点を固定する変換 $(\gamma(x_{o})=x_{0})$ とする$d\theta$$\gamma$$\gamma$と $\gamma^{*}(d\theta(\theta’))=\Phi(x_{o}, \theta)d\theta(\theta)=d\theta(\theta)$ となる. このことは,$\gamma$が$x_{o}$

での接ベクトル空間の等長的線形変換であるという事実, 同一視 $\partial X=U_{x}$ $X$ お
上の標準体積要素であるという事実より,よびが単位接球面
。

$U_{x_{o}}X$$d\theta$

が$\gamma$$d\theta$

で不変となることと符合する.

Bourdon の公式から正規化された Poisson 核について変換公式がえられる ([B-C-G]):(25)$\Phi(\gamma(x),\theta)=\Phi(x,\gamma^{-1}(\theta))\Phi(\gamma(x_{o}),\theta)$

命題 3.2 $([I-Sh],[Sh- 2])$ . Poisson 核写像
変換$\gamma$$\varphi$:$Xarrow \mathcal{P}(\partial X)$

は $X$ の等長と可換である :(26)$\varphi(\gamma(x)=\gamma(\varphi(x)), x\in X$

すなわち$x\in X$$\Phi(\gamma(x),\theta)d\theta=\gamma(\Phi(x,\theta)d\theta),$

.

(27)

.

命題 3.3 $([\grave{I}-Sh],[Sh- 2])$ 等長変換 $\gamma\in I(X, h)$ が引き起こす理想境界上の確率測度の空間$\mathcal{P}(\partial X)$の変換は情報計量$g_{\gamma(\mu)}(d\gamma(\tau_{1}),d\gamma(\tau_{2}))=g_{\mu}(\tau_{1},\tau_{2}),$3.9 命題の証明.

$\mu=m(\theta)d\theta$$i=1,2$ とおく.

$\partial X$$g$に関して等長変換となる :$\tau_{i}\in T_{\mu}\mathcal{P}(\partial X),$

とおく.

さらに

$i=1,2,$$\mu\in \mathcal{P}(\partial X)$$\tau_{i}=f_{i}(\theta)\mu\in T_{\mu}\mathcal{P}(\partial X)$,:の変換としてみた $\gamma\in I(X, h)$ の微分写像
上の. $(n-1)-$
は写像
による
:
$d\gamma$$\partial Xarrow\partial X$$T_{\mu}\mathcal{P}(\partial X)arrow T_{\mu}\mathcal{P}(\partial X)$$\gamma^{-1}$

形式の引き戻しに他ならない :$d\gamma(\tau_{i})=(\gamma^{-1})^{*}(\tau_{i})$$m(\gamma^{-1}(\theta))\gamma(d\theta)=m(\gamma^{-1}(\theta))\Phi(\gamma(x_{\text{。}}), \theta)d\theta,$$\partial X$.

計算すると,$\tau_{i}=f_{i}(\theta)\mu$$d\gamma(\tau_{i})=\gamma(\tau_{i})=f_{i}(\gamma^{-1}(\theta))\gamma(\mu)$より$\gamma(\mu)=$

131
よって

$\frac{d\gamma(\tau_{i})}{d\gamma(\mu)}=f_{i}(\gamma^{-1}(\theta))$

.

したがって
$g_{\gamma(\mu)}(d\gamma(\tau_{1}),d\gamma(\tau_{2}))$$= \int_{\partial X}\frac{d\gamma(\tau_{1})}{d\gamma(\mu)}\cdot\frac{d\gamma(\tau_{2})}{d\gamma(\mu)}\gamma(\mu)$$\int f_{1}(\gamma^{-1}(\theta))f_{2}(\gamma^{-1}(\theta))m(\gamma^{-1}(\theta))\Phi(\gamma(x_{o}),\theta)d\theta$

ここで$(\gamma^{-1})^{*}(d\theta)=\Phi(\gamma(x_{o}),\theta)d\theta$より$\theta’=(\gamma^{-1})^{*}(\theta)$と変数変換すると, 積分は$\int_{\theta’\in\partial X}f_{1}(\theta’)f_{2}(\theta’)m(\theta’)d\theta’$

これは Fisher 情報計量の定義より$g_{\mu}(\tau_{1}, \tau_{2})$に等しい. よって命題は示された.

3.10 定理の証明. 等長変換群の推移性により原点 x。で Poisson 核写像の微分写像:$\mu=\varphi(x_{o})$ が所与の等式をみたすことを示せばよい. $\varphi(x)=\Phi(x, \theta)d\theta=\exp(-\rho B(x, \theta))d\theta$ および$d\varphi$$\varphi$$T_{x}$$Xarrow T_{\mu}\mathcal{P}(\partial X),$。

$B(x_{o}, \theta)=0$

より $u\in T_{x}$ $X$ を任意単位接ベクトルとすれば。

$d\varphi(u)$$=$$-\rho dB(\cdot,\theta)(u)exp(-\rho B(x_{o},\theta))d\theta$$=$$-\rho dB(\cdot,\theta)(u)d\theta,$$u\in T_{x}$

(28)

$X$
。

$\varphi^{*}g(u,u)$(29)$= \rho^{2}\int_{\partial X}(dB(\cdot,\theta)(u))^{2}d\theta$$\rho^{2}\int(h(u,c’(0))(dB(\cdot,\theta)(c’(0)))^{2}d\theta$である. 第 2 の等号は x。で正規化された Busemann 関数の性質$-1$ を用いた.

ここで $c(t)$ は始点$x_{o},$$\lim_{tarrow\infty}c(t)=\theta$

ある.

$\varphi^{*}g(u,u)$$= \rho^{2}\int(h(u,c’(0)))^{2}d\theta$$dB(\cdot, \theta)(c’(O))=$なる正規測地線で

(30)

132

$=$

$\rho^{2}\int_{w}h(u,$$w)^{2}dw$$\rho^{2}\int_{w\in\partial X=S^{n-1}}h(u)w)^{2}dw$$\rho^{2}\int_{w\in\partial X=S^{n-1}}\xi_{1}^{2}dw$

ここで$\xi_{1}$は $w$ の,

$T_{x}$$X$。

分である. 球面積分公式の正規直交基底 1 より右辺は$\{e_{1}=u, e_{2}, \cdots, e_{n}\}$に関する成$\int_{S^{n-1}}\xi_{1}^{2}dw=_{\overline{n}}$$\frac{\rho^{2}}{n}=\frac{\rho^{2}}{n}h(u,u)$.

証明おわり.

341 注. 定理より Poisson 核写像ははめ込みとなり, 3.6 で示した単射性
からさらに埋め込みでもある.

走理 3.12 $(I-Sh],[Sh- 2])$ . $(X, h)$ を階数 1 の非コンパクト型対称空間とする. すると Poisson 核写像は極小埋め込み写像である.

にて極小性
3.11 定理の証明. Poisson 核写像の同変性により. 基点とする. $d\varphi(u)=$の正規直交基底をを示せばよい.
. ここに は同一なので, 基点 x。では
$X$ のもとでのの ,-成分. Fisher 情報計量の Levi-Civita 接視
続の公式より$x_{o}$$\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\}$$T_{x_{\text{。}}}X$$d\varphi(e_{i})=-\rho\theta_{i}d\theta$$-\rho dB(\cdot, \theta)(u)d\theta$$\partial X=.U_{x}$$\theta$$\theta_{i}$$e$。

$\nabla_{d\varphi(e_{i})}d\varphi(e_{j})=\frac{1}{2}(\rho^{2}\theta_{i}\theta_{j}-\rho^{2}\int_{S^{n-1}}\theta_{i}\theta_{j}d\theta)d\theta$$\Sigma\theta_{i}^{2}=1$

.

(31)

より
$\sum_{i=1}^{n}\nabla_{d\varphi(e)}:d\varphi(e_{i})=0$

.

(32)

よって Poisson 核写像は極小である.

4. Poisson 核の幾何学
4.1 解析的に定義される Poisson 核と測地線的幾何学的に定義される Busemann 関数の関係は相性がよい. 特に階数 1 の非コンパクト型対称空間群では顕著である. 実際$\Phi(x,\theta)=\exp(-cB(x,\theta))$

(33)

133
なる関係式 ( は定数) をもつ. そこで, この関係式をみたす単連結完備
負曲率多様体は階数 1 の対称空間かという逆問題を考えよう. この特徴付け問題について次の定理がえられる.
$c$定理 4.2 $([I-Sh],[Sh-2])$ . $(X, h)$ を単連結完備 n-次元負曲率 Riemann 多様体で曲率条件 2.1 をみたすものとする. $n\geq 3$ かつ ( $X$ , h) はコンパク
はコン
ト商をもつ (すなわち $I(X, h)$ の部分群 が存在して商空間-多様体となる) と仮定する. もし Poisson 核がパクト$X/\Gamma$$\Gamma$$C^{\infty}$$\Phi(x, \theta)=\exp(-cB(x, \theta))$

,

(34)

( は定数) で与えられるならば, (X, h) は階数 1 の非コンパクト型対称空間である. さらに は体積エントロピー に一致する.
$c$

$c$

$\rho$

証明には次の定理を用いる.
定理 ([B-C-G]). (X, h) を, 連結コンパクト -次元負曲率 Riemann 多様が漸近的調和 (すなわち任意のホロ球面体とする. $X$ の普遍被覆空間の平均曲率が一定である) ならば,は階数 1 の対称空間である.
$n$$\overline{X}$$\tilde{X}$定理 4.2 の証明. 点 での接ベクトル空間 $T_{x}X$ の正規直交基底を $\{e_{i}|i=$で $\nabla_{e}e_{j}=0$としてよい. 関
一般性を失うことなく,$\cdots,n$ } とする.
:を作用させると,の形から
数 $x-’\Phi(x, \theta)$ に Laplacian
$x$

$1,$

$x$

$\Delta$$\Delta\Phi(x,\theta)$$\Phi(x, \theta)$

(35)

$=$

$- \sum_{i=1}^{n}\nabla_{e_{i}}\nabla_{\epsilon_{i}}\Phi.(x,\theta)$$=$$-c\{\triangle B(x,\theta)+c\Vert\nabla B(x,\theta)\Vert^{2}\}\Phi(x,\theta)$

一般的に, Busemann 関数は各点において $\Vert\nabla B(x, \theta)\Vert=1$ ([E],[S] 参照)
より,

.

(36)

よって右辺,$\Delta B(x, \theta)=-c$ で$\Delta\Phi(x,\theta)=-c\{\Delta B(x,\theta)+c\}\Phi(x,\theta)$

Poisson 核は調和関数なので,

左辺は

$0$

.

ある.

中心のホロ球面 $H_{x}(\theta)=\{y\in X|B(y, \theta)=$$B(x, \theta)\}$ のにおける内向き法線ベクトルである. さらに法線ベクトルについての第二基本形式 は点 $y\in H_{x}(\theta)$ において
さてベクトル $\nabla B(x, \theta)$ は$\theta$

$x$

$\Pi$

$\nabla B(x, \theta)$$\Pi(v,w)$$=$$-HessB(\cdot,\theta)(v,w),$$=$$-\langle\nabla_{v}(\nabla B(\cdot,\theta)),w\rangle$$v,w\in T_{y}H_{x}(\theta)$

.

(37)

134
単位ベクトル$e_{1}$

をベクトル$\nabla B(\cdot, \theta)$ととれることおよび$\nabla B(\cdot, \theta)$が測

地線に接することに注意して$\Delta B(\cdot,\theta)$$=$$- \langle\nabla_{\epsilon_{1}}(\nabla B(\cdot,\theta)))e_{1})-\sum_{i=2}^{\dot{n}}\langle\nabla_{\epsilon_{i}}(\nabla B(\cdot,\theta)),e_{i}\rangle$(38)$- \sum_{i=2}^{n}(\nabla_{e_{l}}(\nabla B(\cdot,\theta)),e_{i}\rangle$

でのトレースに等しい. すなわちここの右辺はー $HessB(\cdot, \theta)$ の T 炉砺
れは平均曲率をあらわすので, 平均曲率はホロ球面上一定である. Besson,$(\theta)$

Courtois, Gallot の定理を適用できて定理の証明が終わる.
4.3 実は定理の逆命題がえられる.

.

命題 4.3 $([I-Sh],[Sh-2])$ $(X, h)$ を単連結, 完備負曲率 Riemann 多様体
で, 曲率条件 2.1 をみたすものとする. どのホロ球面の平均曲率も一定でしかも共通の値 $c>.0$ をとるものとする. すると Poisson 核関数は Busemann関数を指数関数の肩にもつ:(39)$\Phi(x, \theta)=\exp(-cB(x, \theta))$

証明は次のようにする. 仮定よりホロ球面の平均曲率が一定でしかも共通の値をとるので, さきほどの定理の証明中の議論の逆をたどれば$\Delta B(x, \theta)=-c$ である.
ここで新たな関数を $\Psi(x, \theta)=\exp(-cB(x, \theta))$はとおく. 定理の証明の中の議論からについて調和関数である. また Busemann 関数の性質より \Psi (x, ) は Poisson 核の性質をみたす.
正規化された Poisson 核の一意性より ([Sch-Y]),
は正規化された
Poisson 核に他ならない.
$\Psi(x, \theta)$$x$$\iota$$\theta$$\Psi(x, \theta)$

系 4.4 (X, h) を単連結, 完備負曲率 Riemann 多様体で, 曲率条件 2.1 をみたすものとする. Poisson 核が Busemann 関数を指数関数の肩にもつことと,どのホロ球面の平均曲率も一定でしかも共通の値
こととは同値である.

$c$をとるという5. 残された問題と今後の課題
または定理 3.1 プラス定理 3.12 の結論から逆に
5.1 問題: 定理 3.1(X, ) は階数 1 の対称空間となるか?
$h$5.2 問題 :定理 4.2 においてコンパクト商の仮定がとれるか? 関連し.て Damek-Ricci 空間なる負曲率をも’\supset 単連結完備 Riemann 等質空間が存135
在する. 等質性から曲率条件 2.1 がみたされ, 調和的であるので漸近調和でもある. ホロ球面の平均曲率が共通一定値をとるかどうかそして, Poisson
核と Busemann 関数の関係性を調べることは興味ある問題である. なぜならば Damek-Ricci 空間はコンパクト商をもたないことが [B-C-G] において示されているので, 定理 4.2 でのコンパクト商の仮定が本質的かどうか検証できることになる.

5.3 熱核 $k(x, y;t)$ は熱方程式の基本解である:$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u$

.

(40)

Poisson 核と同様に, 熱核写像
: $Xarrow \mathcal{P}(X)$ ; $\varphi_{t}(x)=k(x,y;t)dv$の幾何学が考えられる. Poisson 核写像との違いは値域を $X$ 自身上の確$\varphi_{t}$率測度空間にとれるということである. 熱核は確率論的にはまさに Brown 運動そのものである.
$\mathcal{P}(X)$

5.4 熱核の例. ユークリッド空間 (X, ) $=(R^{n}, h_{o})$ 上, 熱核 $k(x, y;t)$ は$h$$k(x,y;t)=(4 \pi t)^{-n/2}\exp\{-\frac{|x-y|^{2}}{4t}\}$

.

(41)

[K-K] 6 章参照.
命題 5.1. ユークリッ. }‘‘‘空間 (X, )の熱核写像による引き戻しは次をみたす :$h$$=(R^{n}, h_{o})l^{\underline{}}$

対して Fisher 情報計量$( \varphi_{t})^{*}g(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}})=\frac{1}{t^{2}}\{x_{i}x_{j}+2t\delta_{ij}\}$

(42)

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