Lurie’s quasi category topos theory― 松本堯生先生に1―
変換群論シンポジュウム報告集
南 範彦(名古屋工業大学)
1. Introduction
Lurie 氏は 730 ページを超える大論文2[BOOK] Jacob Lurie,
Higher Topos Theory, September 26, 2008,
http://www-math.mit.edu/ lurie/topoibook/highertopoi.pdf
において，Quillen モデル圏よりも一般な quasi category の枠組みで Rezk 流のモデルトポスの理論を一般化し，更にそれに続く Derived Algebraic Geometry の一連の論文 [DAGI],[DAGII], [DAGIII], [DAGIV], [DAGV], [DAGVI] … において，Toën-Vezzosi 流の Homotopical Algebraic Geometryの理論も E∞ 環スペクトラムの枠組みに拡張して導出する
ことに成功した．
この，Lurie 氏の [BOOK] の出発点となるのが米田の補題の quasi category 版である．これに関しては，ごく最近その証明の粗筋を若干見通し良くした紹介記事を書いた：
南範彦，”Lurie’s quasi category Yoneda’s lemma”,
京都大学数理解析研究所講究録 1612 , 変換群の幾何とその周辺, 21-40 (2008).
本稿を，私の若年期に身近で多くの研究の刺激をいただ
いた松本堯生先生に捧げます．
2
ArXiv で download できるものは，typo がもっと有る
古い version なので注意して下さい．必ず Lurie さんのホームページに行って download して下さい！
1

1

2

本講演では，Lurie 氏に従い，quasi category を∞-category とよび，上述の quasi category Yoneda’s lemma
を出発点として，次の示唆的な表を説明することを目標とする：
Vague analogies between Higher Category Theory and Algebra

Remark (BOOK, Remark 6.1.1.3.). Let X be an ∞category. The assumption that colimits in X are universal can be viewed as a kind of distributive law. We
have the following table of vague analogies:
Higher Category Theory
Algebra∞-Category
Set
Presentable ∞-Category
Abelian Group
Colimits
Sums
Limits
Products
lim→ (Xα ) ×S T ' lim→ (Xα ×S T ) (x + y)z = xz + yz∞-Topos
Commutative Ring
この表の理解を切り口として，より多くの方々が Lurie 氏の [BOOK] 理解への試みに参入されることを，意図するのである．
なお，本稿の結果はすべて Lurie 氏の [BOOK] によるもの
で，著者にはオリジナリティーは一切ない．しかも大著の主結果の紹介である事も有り，証明など殆どない．[BOOK]の一部の定義と定理のただ単なる寄せ集めかも知れない．
それにも拘わらず著者がこの講演報告書を敢えて著わす
所以は，Lurie 氏の [BOOK] が 730 ページ以上にもわらる余りの大作でしかも現時点ではまだ typo 等も時折見受けられるため，その重要性にもかかわらずなかなか読む気になる
人が多くないという，極めて嘆かわしい現状を少しでも打破したいからである．

3

それゆえ本稿は，時間のない読者が [BOOK] を斜め読みするときの指針として使われることを意図して書いて有る．
本稿により少しでも多くの方々が Lurie 氏の [BOOK] を読まれる気になっていただき，読み進まれる上で少しでも手助けとなれば幸いである．

2. 復習
Fact. 単体集合 S は，
∧ni

∀fi

S

定義

Kan 複体 ⇐⇒ 0 5 ∀i 5 n,

;

∃f

4n
∧ni

∀fi

小圏の nerve に ∼= ⇐⇒ 0 < ∀i < n,

S

∃1f

4n

Definition 2.1. 単体集合 S に対し，
定義

∧ni

S が ∞-category ⇐⇒ 0 < ∀i < n,
4n

∀fi

S

∃f

Remark. 定義より ∞-category は，Kan 複体 S と小圏 c のnerve N (c) を共に一般化する．それゆえ，∞-category C に対し，C0 の元を object，C1 の元を morphism と考える．
それゆえ，∞-category 論は，通常のホモトピー論と(small) category 論を共に一般化する理論と思える．
Warning. しかしながら、通常の圏が small とは限らない
ように、∞-category や，より一般に 単体 “集合” も、必ずしも small とは限らないものも考えていく。

4Definition-Proposition 2.2 (Joyal). ∞-category C に対し，
• C0 の元を object と呼ぶ．
• C1 の元を morphism と呼ぶ．
• [BOOK, Proposition 1.2.2.3.] X, Y ∈ C0 に対し，
HomR
C (X, Y )n ={σ ∈ Cn+1 | σ の最後のの頂点は Y ; その対面は X に退化 }で定まる単体集合 HomR
C (X, Y ) は Kan 複体となる．
• [BOOK, Remark 1.2.2.5] X, Y ∈ C0 に対し，

HomLC (X, Y )n ={σ ∈ Cn+1 | σ の最初のの頂点は X; その対面は Y に退化 }で定まる単体集合 HomLC (X, Y ) は Kan 複体となる．
L• HomRC (X, Y ) と HomC (X, Y ) はホモトピー同値
L• しかしながら、HomR
C (X, Y ), HomC (X, Y ) 共に合成に関しては上手く振舞わない。

Definition 2.3. quasi category C に対し，object X ∈ C
定義
は initial ⇐⇒∀f0 : ∂4n → C, s.t. f0 ({0}) = X,

∃f : 4n → C, s.t. f |∂4n = f0 .

Theorem 2.4. C に対し，object X ∈ C は initial ⇐⇒∀Y ∈ C, HomLC (X, Y ) は可縮.
Remark.
(1) この性質は Lurie によって quasi category を用いて“Derived Aﬃne Schme” を張り合わせて “Derived
Scheme” を構成するときに使用されている。詳細はLurie の一連の [DAG] シリーズを参照されたい。ごくごくさわりのとこだけは次に書いた：5

南範彦, Lurie さんの楕円コホモロジー, Proceedings of the 34th Symposium on Transformation Groups, Wing Col, Ltd. November
2007, p.107-p.116.
(2) この議論は双対化されて ∞-categoryC の対称 Y が “initial” という概念も，object Y ∈ C は final⇐⇒ ∀X ∈ C, HomR
C (X, Y ) は可縮.

となるように定義される．
(3) ([BOOK, 1.2.12]) これらの ∞-category の “initial”,“final” という概念を用いて，∞-category の “colimit”,“limit” という概念が定義される．(後ほど言及します！)

3. Presentable ∞-category

目標の表で Abelian Group に喩えられている Presentable∞-category は，次のように定義される．

presentable ∞-category

Definition 3.1 (BOOK, Definition 5.5.0.18.).
An ∞-category C is presentable,
if C is accessible and admits small colimits.
Question.
(1) strict の意味で結合性がないため category でない ∞category の colimit とは何ぞや？
(2) ∞-category が，acccessible とは何ぞや？

6

3.1. colimit.
joint と cone point
Definition 3.2 (BOOK, Definition 1.2.8.1.). 単体集合
S, S 0 の join SFS 0 を，次で定まる単体集合として定義する: 各勇元線形順序集合 J, に対し，
a0
(SFS )(J) =S(I) × S 0 (I 0 ),J=I∪I 0

ここで和集合は，各々の i ∈ I, i0 ∈ I 0 に対して常に i < i0が満たされるような，J の互いに素な分割 J = I ∪ I 0を，I または I 0 が空集合である場合も含めて (この場合は S(∅; ) = S 0 (∅; ) = ∗ として)，すべて考える．
もっと具体的に表すと，以下のようになる：[(SFS 0 )n = Sn ∪ Sn0
Si × Sj0 .
i+j=n−1

join operation は，空単体集合 ∅ = 4−1 . を identity
として， Set4 にモノイダル構造を付与し，次の自然な同型を与える：
φij : 4i−1 F4j−1 ' 4(i+j)−1 , for all i, j ≥ 0.

Notation 3.3 (BOOK, Notation 1.2.8.4.). 単体集合 K
に対し，left cone K / := 40 FK

right cone K . .

:= KF40

いづれの場合も，40 に含まれる distinguished vertex を
cone point と呼ぶ．
これらの join を用いて，単体写像 p : K → C から新しい単体集合 Cp/ , C/p , C p/ , C /p を作ることが出来る：

7p/

Cp/ , C/p , C , C/p

単体写像 p : K → C に対し，
(1) (Proposition 1.2.9.2, Remark 1.2.9.5., p.200, Remark 4.2.1.9.) 単体集合 Cp/ , C/p , C p/ , C /p が以下の随伴にて定まる：HomSet4 (Y, C/p ) = Homp (Y ? K, C),
HomSet4 (Y, Cp/ ) = Homp (K ? Y, C),

HomSet4 (Y, C /p ) = Hom(Set4 )K/ (Y ♦K, C),

HomSet4 (Y, C p/ ) = Hom(Set4 )K/ (K♦Y, C).

Homp は，HomSet4 の中で K への制限が p となるものだけを考えることを意味する．
(2) (Remark 1.2.9.4., Remark 1.2.9.5) 特に X = 40
で，p : 40 → C の像が C の対象 X の場合，以下のようにも書く：
C/X = C/p ,CX/ = Cp/

(3) (Proposition 1.2.9.3, Remark 1.2.9.5., Proposition
4.2.1.5., Remark 4.2.1.9.) C が ∞-category のとき
は，Cp/ , C/p , C p/ , C /p も ∞-category となる．さらに，
自然な射
Cp/ → C p/

C/p → C /p

はともに ∞-category の equivalence となる．
(4) C が ∞-category のときは，• C/p は ，C の overcategory , も し く は ，
p 上の C の対象のなす ∞-categoryと よばれ，• Cp/ は C の undercategory , もしくは
p の下の C の対象のなす ∞-category とよばれる．

8

colimit と limit
Definition 3.4 (Definition 1.2.13.4 (Joyal [43). ).] ∞categoryC への単体写像 p : K → C に対し，
• p の colimit とは，Cp/ の initial object のことをいう．
• p の limit とは, C/p . の final object のことをいう．
Remark (Remark 1.2.13.5.). diagram p : K → C のcolimit は，p を拡張する単体写像
p : K . = KF40 → Cと同一視される．一般に，単体写像 p : K . → C がcolimit diagram であるとは，それが p = p|K の colimit であるときをいう．この場合，∞ を K . の cone pointとおき，p(∞) ∈ C を p の colimit とよぶ用語の乱用を行う．

Theorem 3.5 (Theorem 4.2.4.1.). F : I → C を，fibrant な simplicial 圏の間の simplicial 関手とする．C の
対象 C ∈ C への両立した射のなす族 {ηI : F (I) → C}I∈Iが与えられたとき，次の条件は同値:(1) 射の族 ηI は，C を図式 F の homotopy colimit として表現する．
(2) N (F ) : N (I) → N (C) を，{ηI } によって与えられる N (F ) : N (I) → N (C) の拡張とすると，N (F )は N (C) における colimit diagram となる．

9

3.2. acccessible ∞-category.
acccessible ∞-category

Definition 3.6 (BOOK, Definition 5.4.2.1.).
Let κ be a regular cardinal. An ∞-category C isκ-accessible if there exists a small ∞-category C 0 andan equivalence (Definition 5.3.5.1.)
Indκ (C 0 ) ' C

We will say that C is accessible,
if it is κ-accessible for some regular cardinal κ.

3.2.1. equivalence.
(C, N ) は随伴関手を定める• Cat4 は余完備、i.e. ∀ colimit が存在、
• ∀ 単体集合 X は、4n たちの colimit、• simplicial 小圏 S の simplicial nerve N (S) は、以下のように定められた：
HomSSets (4n , N (S)) = HomCat4 (C[4n ], S)=⇒ ∀ 単体集合 X と ∀ simplicial 小圏 S に対して
HomSSets (X, N (S)) = HomCat4 (C[X], S)となるように、

C : SSets → Cat4が定義でき、(C, N ) は随伴関手を定める：

SSets

C
N

Cat4 ,

10(categorical) equivalence
Definition 3.7 (BOOK, Definition 1.1.5.14.).
単体集合 S の homotopy category hS は、simplicial
圏 C[S] の homotopy category hC[S] として定義される.
しばしば、hS を H-豊穣圏とみなす. つまり、各頂点対x, y ∈ S に対し,
MaphS (x, y) =[MapC[S] (x, y)](写像空間のホモトピー型).
単体写像
f :S→Tが (categorical) equivalence とは、誘導された H-豊穣関手
hf : hS → hT
が H-豊穣圏の同値 ( ⇐⇒ essential surjective かつ H-豊穣の意味で fully-faithful) のときをいう.

3.2.2. Indκ (C 0 ).
Indκ (C 0 )Definition 3.8 (BOOK, Definition 5.3.5.1.).
C を小 ∞-category, κ を正則基数とするとき，³´
opIndκ (C)⊆ P(C) := Fun(C , N (Kan))

により，右 fibration C˜ → C で C˜ が κ-filtered な ∞category なものを分類する関手
f : C op → N (Kan) からなる部分圏を表す．
κ = ω の場合には，Indκ (C) を単に Ind(C) と表す．Ind(C)は，C の Ind-objects のなす∞-category と呼ばれる．
Question.
(1) ∞-category の意味での部分圏とは何ぞや？
(2) κ-filtered な ∞-category とは何ぞや？
(3) 右 fibration とは何ぞや？
(4) そもそも，N (Kan) は，右 fibration の“分類 ∞-category” なの?

11

部分圏：.
最初に homotopy category の準備．

Definition 3.9 (BOOK, Definition 1.1.5.14.).
単体集合 S の homotopy category hS は、
simplicial 圏 C[S] の homotopy categoryhC[S]として定義され，しばしば、hS を H-豊穣圏とみなす. つまり、各頂点対 x, y ∈ S に対し,
MaphS (x, y) = [MapC[S] (x, y)] (写像空間のホモトピー型).

単体写像 f : S → T が (categorical) equivalence とは、誘導された H-豊穣関手 hS → hT がH-豊穣圏の同値となるときをいった.

Proposition 3.10 (BOOK, Proposition 1.2.3.1.).
C[•]h : SSets −−→ Cat4 = CatSSetshforget→ CatHo(SSets) = CatH −−−→ CatSet = Cat−は通常の nerve functor N : Cat → SSets と随伴関手 (h, N )
をなす：
h

SSets

N

Cat

HomSSets (X, N (C)) = HomCat (hX, C)
Proof. 随伴関手 (π0 , inclusion)
SSets

π0

Set

inclusion

HomSSets (X, inclusion(E)) = HomSet (π0 X, E)
は、対応する豊穣圏の間の随伴関手 (h, i) を誘導：

Cat4 = CatSSetshi

CatSet = Cat

HomSSets (X, inclusion(E)) = HomSet (π0 X, E)

12

通常の nerve functor N は、iN

N : Cat ⊆ Cat4 −→ SSets.

=⇒ 随伴関手の合成 (h, N ) = (h ◦ C[•], N ◦ i) を得る：
C[•]

Cat4 = CatSSets

h : SSetsNhi

CatSet = Cat : N¤

Corollary 3.11. 単体集合 S に対し，
h

→
−

Cat4

C[S]

Cat

7→

hC[S] =: hSの随伴として，以下の単体写像が得られる：

S → N (hS)Definition 3.12 (BOOK, 1.2.11 Subcategories of ∞-Categories).
C : ∞-category に対し，通常の圏として部分圏(hC)0 ⊆ hCが与えられたとき，∞-category C 0 を単体集合としての pullback として定義する：

C0

C

N ((hC)0 )N (hC).

(C 0 が ∞-category となるのは，それが ∞-categoryC のなかで，頂点がすべて (hC)0 に属する単体で生成される単体集合のため．)
このとき，C 0 を (hC)0 によって生成される C の部分圏 とよぶ．
一般に，このようにして得られる単体部分集合
も，部分圏 と呼ぶ．

C0 ⊆ C13

κ-filtered な ∞-category：.
Definition 3.13 (BOOK, Definition 5.3.1.7.). 正則基数 κが与えられたとき，∞-category C は κ-filtered⇐⇒ ∀ κ-small(濃度が κ より小な) simplicial set K,
K.

∀

K =K ?4

f

0

C
∃

f

C は filtered ⇐⇒ ω-filtered
右 fibration：.

Definition 3.14 ((Joyal)). BOOK, Definition 2.0.0.3] 単体写像 f : X → S は，

• すべてのホーンの入射 Λni ⊆ 4n , 0 ≤ i < n. に関して right lifting property を持つとき， left fibrationと呼ばれる．
• すべてのホーンの入射 Λni ⊆ 4n , 0 < i ≤ n. に関して
right lifting property を持つとき， right fibrationと呼ばれる．
• すべてのホーンの入射 Λni ⊆ 4n , 0 < i < n. に関して
right lifting property を持つとき， inner fibrationと呼ばれる．

Remark. 単体集合 X に対して，自明な射 p : X → 40 は inner fibration⇐⇒ X は ∞-category

右 fibration の “分類 ∞-category” としての N (Kan)： .
これに関する本質的な質問：

14∞-category の “集まり”Cat∞ の定式化∞-category のなす集まり Cat∞ を，
以下を満たすように定式化したい：(a) Ob(Cat∞ ) は ∞-category の集まり．
(b) 再び ∞-category となる (勿論 large)．
(c) ∞-category としての colimit, limit を持つ．
Approach. 適当な simplicial category Cat4∞ で，4(a’) Ob(Cat∞ ) は ∞-category の集まり，(b’) Cat4∞ の各射の写像空間は Kan 複体．
∃(c’) homotopy colimit, ∃ homotopy limitとなるものを見つけて，以下のように置く：
Cat∞ := N (Cat4∞)
Definition 3.15 (BOOK, Definition 3.0.0.1.). simplicial category Cat4
∞ を以下のように定義する：¡ 4¢(1) Ob Cat∞ は (small) ∞-category からなる．
(2) ∞-category C, D に 対 し ，MapCat4∞ (C, D)
を ，∞-category
Fun(C, D) に 含 ま れ る
largest Kan complex として定義する．
ここで，次のように定義する：
Cat∞ := N (Cat4∞ ).

すると，Kan 複体からなる充満部分圏 Kan ⊆ Cat4
∞ を通し，“空間” のなす圏 S := N (Kan) が登場：

S = N (Kan) → N (Cat4∞ ) = Cat∞

Question.
• largest Kan complex とは何？
• 何故 Cat4∞ の各射の写像空間は Kan 複体？

15

Kan complex と quasi category
Proposition 3.16 (BOOK, Proposition 1.2.5.1 (Joyal)). 単体集合 C に対し次は同値：(1) C は ∞-category でその homotopy category hC は groupoid.
(2) C は Kan complex.
復習： ∞-category C の morphism (f : X → Y ) ∈ C1 が equivalenceとは、∞-category C のホモトピー圏を

hC := hC[C]によって定義 [BOOK, Definition 1.1.5.14.] したとき、0 iによる射 i の像

1

hC[f ] : {• −→ •} = hC[41 ] → hC[C] =: hC
0

1

hC[f ](i) ∈ MorhC[C] (hC[•], hC[•])が isomorphism であるものとして定義した

Proposition 3.17 (BOOK, Proposition 1.2.5.3 (Joyal) ). ∞-category
C に対し, C 0 ⊆ C を C 0 のすべての edge が C の equivalence [BOOK,
Proposition 1.2.4.1. の直前] であるような最大の部分単体集合とすると，
C 0 は Kan complex となり、次によって特徴づけられる：∀ Kan complex K, 次の誘導写像は全単射：
HomSet4 (K, C 0 ) → HomSet4 (K, C)[BOOK, Proposition 1.2.5.3] より関手 C 7→ C 0 は Kan complex のなす
SSets の充満部分圏圏 Kan から∞-category のなす SSets の充満部分圏 Cat∞ への入射関手 i の右随伴となる (ここでは Kan, Cat∞ の豊穣構造は忘れる)：
Kan

i
(−)0

Cat∞

HomKan (K, Q0 ) ∼= HomCat∞ (i(K), Q)∞-category Q に対し、Kan complex Q0 の部分圏としての入射 Q0 → Q
は圏同値∼
h(Q0 ) −→ Grouppoid (hQ)を誘導する。ただし圏 C の Groupoid(C) は圏 C の同型射からなる部分圏である。Q0 は ∞-category Q に含まれる largest Kan complex．

16

Cat4
∞ =

³

Set+
4

´O

Definition 3.18 (Definition 3.1.0.1.). 単体集合 Xとその退化した edge(すなわち X の vertex の恒等射)を す べ て 含 む edge の 集 合 E か ら な る 対 (X, E) を ，marked simplicial set と呼ぶ．X の edge は， E に属するとき marked と呼ばれる．
marked simplicial set の間の射
f : (X, E) → (X 0 , E 0 ) とは，単体写像
f : X → X 0 で f (E) ⊆ E 0 となるもの．
marked simplicial sets の圏を，Set+
4 で表す．
各単体集合 S は，通常多くの異なった形で marked simplicial set とみなされる．特に２つの極端な場合が言及に値する：• S ] = (S, S1 )．
• S [ = (S, s0 (S0 ))．
Notation³³´3.19 (Notation´ 3.1.0.2.). 単体集合 S に対して， Set+:= Set+
.
4
4
]
/S

/S

Good News. Set+
4 には単体的モデル構造が入り，その³´O+
cofibrant かつ fibrant な object の集まり Set4 が Cat4
∞
を導く：
³
´
Cat4
∞ =

Set+
4

O

∴ Cat4∞ の各射の写像空間は Kan 複体となる．
更に，より一般に³´ (small とは限らない) 単体集合 S に対+しても， Set4
上に Cartesian モデル構造 が入る．
/S

Question.
• どうして marked された simplicial set を考えなくてはならないの？
• Cartesian モデル構造って何？ それに答えるには
Cartesian fibration を述べなくてはならない．

17marked simplicial set を考える理由
Trial and Error (BOOK, 3.1.).
• S → Cat∞ = N (Cat4∞ ) は，S 上の “fibration” p : X → S を分類すると考えたいが，そのとき p が Set4 上の Joyal モデル構造
における fibration である，Categorical fibration ならば，p の各
s ∈ S におけるファイバー Xs = p−1 (s) も ∞-category となる．
• しかしながら，我々は対応
S → Cat∞s 7→ Xs = p−1 (s)を “関手的” にしたい．
そのためには，Categorical fibration p : X → S のファイバーXs たちは，S における射，すなわち S の edge に関してよい振る
舞いをしなければならない．そのようなものが，Cartesian fibration や coCartesian fibration である．これらは微分幾何における 接続付き のファイバー束に喩えられよう．
• Cartesian fibration と coCartesian fibration の違いは，射と見做された edge が当然向き付きなので，“平行移動” の出発点を，edgeの target と取るか (Cartesian fibration の場合)，edge の source と取るか (coCartesian fibration の場合)，の違いが起こることに起因する．
• p : X → S が Cartesian fibration の場合，定義から S の各 edgef : x → y と， X の p(ỹ) = y なる各 vertex ỹ に対し，p(f˜) = f
なる
p-Cartesian edge f˜ : x̃ → ỹ が存在する．よって，X の pCartesian edge の集まりが重要なデータとなる．
• marked してない (Set4 )/S 上に，Joyal モデル構造とは 異なった
モデル構造を導入し，そこでの fibrant 対象がまさに Cartesianfibration であるようにしたいのだが，そうすると fibrant replacement:φ→ (q : Y → S)
(p : X → S) −
X

Y

φ
p

q

S
において，X のどの edgef が fibratn replacement を施したあとφ(f ) に Y の q-Cartesian edge であるべきかを理解してなりと，Yを fibrant replacement として構成できない．
• こうして，marked された edge を考えることが自然の流れとな
った．

18

p-Cartesian edge, Cartesian fibration, coCartesian fibration
Definition 3.20 (BOOK, Definition 2.4.1.1.). p : X →S を単体集合の間の inner fibration，f : x → y を X のedge とするとき．
f が p-Cartesian であるとは，誘導写像
X/f → X/y ×S/p(y) S/p(f )が trivial Kan fibration であるときをいう.

Definition 3.21 (BOOK, Definition 2.4.2.1.). 単体写
像 p : X → S が Cartesian fibration であるとは，次の条件が満たされるときをいう：(1) 単体写像 p は inner fibration.
(2) S の各 edge f : x → y と， X の p(ỹ) = y なる各
vertex ỹ に対し，p(f˜) = f なる
p-Cartesian edge f˜ : x̃ → ỹ が存在する．
p が coCartesian fibration とは，
opposite な単体写像 pop : X op → S op がCartesian fibration のときをいう.
Proposition 3.22 (Proposition 2.4.2.4.).
p : X → S が単体集合の間の inner fibration であるとき，次の条件は同値である:(1) p は Cartesian fibration で，X の各 edge は p-Cartesian.
(2) p は right fibration.
(3) p is a Cartesian fibration で，p の各 fiber は Kan complex.
Question. ある (Set+
4 )/S 上のモデル構造が存在して，次が成立するか？
対象 X ∈ (Set+
4 )/S がそのモデル構造に関して fibrant⇐⇒ ある Cartesian fibration Y → S に対して，
X ' Y ].
Answer. Yes! Cartesian モデル構造

Remark. f が Joyal モデル構造の weak equivalence である Categorical equivalence とは，単体的豊穣関手 C[f ]が Dwyer-Kan 同値であると定義したように，Cartesian
モデル構造の weak equivalence である Cartesian equivalence も，写像空間を用いて定義される．

19

(Set+
4 )/S における写像空間
Fact (BOOK, 3.1.3.). (Set+
4 ) は Cartesian closed，つX∈ (Set+
まり，各対象 X, Y ∈ (Set+
4 ) に対して Y4 ) が存在して，“評価写像” Y X × X → Y が各 Z ∈ Set+
4 に対して全単射を誘導する：
HomSet+4 (Z, Y X ) → HomSet+4 (Z × X, Y )Definition 3.23 (BOOK, 3.1.3.).
Map[ (X, Y ): (Y X ∈ Set+
4 ) の marking を忘れて，
Set4 の対象とみなしたもの．
Map] (X, Y ): 単体 σ ⊆ Map[ (X, Y ) ですべてのedge が Y X の marked edge となるものからなる，
Map[ (X, Y ) の部分単体集合.
すると，次が成立する (これが supscript[, ] の理由)：
HomSet4 (K, Map[ (X, Y )) ' HomSet+4 (K [ × X, Y )HomSet4 (K, Map] (X, Y )) ' HomSet+4 (K ] × X, Y )これらより，Y X の正体が鮮明になる：(Y X )n := HomSet4 (4n , Map[ (X, Y ))' HomSet+4 ((4n )[ × X, Y )Y X の marked edge のあつまり= HomSet4 (4n , Map] (X, Y ))' HomSet+4 ((4n )] × X, Y )∀∀Definition 3.24 (BOOK, 3.1.3.). X, Y ∈

³

Set+
4

´

，

/S

Map[S (X, Y ) = Map[ (X, Y ) ∩ Map(Set4 )/S (X, Y )Map]S (X, Y ) = Map] (X, Y ) ∩ Map(Set4 )/S (X, Y )Remark(BOOK, Remark 3.1.3.1.). 任意の X ∈³´
Set+と Cartesian fibrationp : Y → S に対して，
4/S
Map[S (X, Y ] ): ∞-category;
Map]S (X, Y ] ): ∞-category Map[S (X, Y ] ) に含まれる

largest Kan complex.

20

Cartesian model structure
Lemma 3.25 (BOOK, Lemma 3.1.3.2). ∞-category 間の関手 f : C → D
に対し，TFAE:(1) 関手 f は categorical equivalence.
(2) 各単体集合 K に対し，誘導関手 Fun(K, C) → Fun(K, D) は categorical equivalence.
(3) 各単体集合 K に対し，誘導関手 Fun(K, C) → Fun(K, D) は，
Fun(K, C) の largest Kan complex と Fun(K, D) の largest Kancomplex の間のホモトピー同値を誘導する．
Proposition 3.26 (BOOK, Proposition 3.1.3.3.). 単体集合 S と(Set+
4 )/S における射 p : X → Y に対し，以下は同値：(1) ∀ Cartesian fibration Z → S, 誘導射Map[S (Y, Z ] ) → Map[S (X, Z ] )は，∞-category の同値.
(2) ∀ Cartesian fibration Z → S, 誘導射Map]S (Y, Z ] ) → Map]S (X, Z ] )は，Kan complex の homotopy 同値.

(Set+4 )/S の射 X → Y は，Proposition 3.1.3.3. の同値な条件を満たすと
き，Cartesian equivalence と呼ばれる．
Proposition 3.27 (BOOK, Proposition 3.1.3.7.). S を単体集合とすると，(Set+4 )/S 上に Cartesian model structure と呼ばれる，left proper,
combinatorial な model structure で，次で特徴つけられるものが存在する：(C) cofibration は，単体写像とみなしたときに cofibration となるもの．
(W) weak equivalences は Cartesian equivalences.
(F) fibrations は，すべての cofibration かつ Cartesian equivalence なものに対して right lifting property をもつもの．
Proposition 3.28 (BOOK, Proposition 3.1.4.1.). 対象 X ∈ (Set+
4 )/Sが Cartesian model structure に関して fibrant⇐⇒ ある Cartesian fibration Y → S に対して，X ' Y ] .

Question. どのようにすれば，S を base とする Cartesian fibration を沢
山作り出せるか？
Answer. fibrant object がわかりやすいモデル圏 M を source, (Set+4 )/Sを target とするような，右 Quillen 随伴関手を構成し，この右 Quillen 随伴関手を M の fibarant object たちに適用すれば良い．

21

これが極めて本質的!
Theorem 3.29 (Theorem 3.2.0.1.). S ：(small と限らない) 単体集合，
C :simplicial category に対し，任意の Cat4 の射
φ : C[S] → C op

に対し，随伴対：

(Set+
4 )/S

St+
φ
U n+
φ

C
(Set+
4) ,

が存在して，次の性質を満たす：+(1) 随伴対 (St+φ , U nφ ) は，• (Set+4 )/S with the Cartesian model structureC• (Set+4 ) with the projective model structureの間の Quillen adjunction を定める．
(2) φ が simplicial category の間の同値( ⇐⇒ ホモトピー圏での同値) とすると，+(St+
φ , U nφ ) は Quillen equivalence.

St+
φ を straightening functor ,U n+
φ を unstraightening functor と呼ぶ．
勿論，“unmarked” な version もある (がここでは使わない)：

Theorem 3.30 (Theorem 2.2.1.2.). S ：(small と限らない) 単体集合，
C :simplicial category に対し，任意の Cat4 の射
φ : C[S] → C op

に対し，随伴対：

Stφ(Set4 )/S

U nφ

(Set4 )C ,が存在して，次の性質を満たす：(1) 随伴対 (Stφ , U nφ ) は，• (Set4 )/S with the contravariant model structure• (Set4 )C with the projective model structureの間の Quillen adjunction を定める．
(2) φ が simplicial category の間の同値( ⇐⇒ ホモトピー圏での同値) とすると，(Stφ , U nφ ) は Quillen equivalence.

marked version の方がここではより重要なのは，前述のように “ファイブレーション” p : X → S から定まる対応
S → Cat∞を関手的にしたいから．

s 7→ Xs = p−1 (s)+C
Remark. 故に，(Set+
4 ) の fibrant 対象があれば，U nφ を適用して，(Set+4 )/S の fibrant 対象，i.e. base が S の Cartesian fibration が得られる．

Question.
• projective model structureって何？
• contravariant model structureって何？
+• St+
φ , U nφ はどのようにして構成するの？

22

projective model structure と injdective model structure
Notation 3.31 (BOOK, A.3.3).
S := excellent モデル圏
A := combinatorial S-豊穣モデル圏
C := 小 S-豊穣圏
AC := C から A への S-豊穣関手のなす圏
例： S = SSet, C = Sing |C[K]|, A = SSets のとき、AC = SSetsSing |C[K]|Definition 3.32 (BOOK, Definition A.3.3.1.). AC における自然変換 α : F → G は：
• 各 C ∈ C に対して誘導射 F (C) → G(C) が A における cofibration となるとき、weak cofibration と呼ばれる。
• 各 C ∈ C に対して誘導射 F (C) → G(C) が A における fibration となるとき、weak fibration と呼ばれる。
• 各 C ∈ C に対して誘導射 F (C) → G(C) が A における weak equivalence となるとき、weak equivalence と呼ばれる。
• AC の weak equivalence かつ weak cofibration であるような各射 β に対して
right lifting property を持つとき、strong fibration と呼ばれる。
• AC の weak equivalence かつ weak fibration であるような各射 β に対してleft lifting property を持つとき、strong cofibration と呼ばれる。
C
Remark (BOOK, Remark A.3.3.5.). 各対象 C ∈ C, A ∈ A にたいして, 関手 FA∈ AC
を次で与える：D 7→ A ⊗ MapC (C, D).

[BOOK, Proposition A.2.8.3] の証明のように, AC における strong cofibrations のクCC→ FA
ラスは、A の cofibration A → A0 から得られる j : FA
0 の形の cofibrations によって生成される。これより、すべての strong cofibration は weak cofibration となる。
双対的に、すべての strong fibration は weak fibration となる。
Proposition 3.33 (BOOK, Proposition A.3.3.2.). AC 上に２つの combinatorialmodel structures が存在する：• strong cofibrations, weak equivalences, weak fibrations によって定まる
projective model structure.
• weak cofibrations, weak equivalences, strong fibrations によって定まる
injective model structure.
Remark. AC 上で projective model structure と injective model structure のどちらを考えても、[BOOK, A.3.3.5] より評価写像 e : AC ⊗ C → A は次を誘導する：e : (AC )◦ ⊗ C → A◦
Proposition 3.34 (BOOK, Proposition A.3.3.7.). f : C → C 0 を、小 S-豊穣圏の間
0の S-豊穣関手、f ∗ : AC → AC を f との合成によって定まるものとする。
∗
すると、f は 右随伴 f∗ と 左随伴 f! を持ち、さらに:
0(1) 随伴対 (f! , f ∗ ) は、AC と AC の projective model structures に関する Quillen
随伴を定める。
0(2) 随伴対 (f ∗ , f∗ ) は、AC と AC の injective model structures に関する Quillen
随伴を定める。
Proposition 3.35 (BOOK, Proposition A.3.3.8.). f : C → C 0 を、小 S-豊穣圏の間の S-豊穣同値とすると、、
0(1) Quillen 随伴対 (f! , f ∗ ) は、AC と AC の projective model structures に関す
る Quillen 同値を定める。
0(2) Quillen 随伴対 (f ∗ , f∗ ) は、AC と AC の injective model structures に関す
る Quillen 同値を定める。

23

covariant model structure と contravariant model structure
Definition-Proposition 3.36 (BOOK, Definition 2.1.4.5., Proposition
2.1.4.7., Proposition 2.1.4.8.).
単体集合 S に対し (Set4 )/S の射 f : X → Y が(C) covariant cofibration とは，単体集合としての単射であるときをいう．.
(W) covariant equivalence とは，誘導射
a
a
X/
S →Y/
S
X

Y

が categorical equivalence のときをいう．
(F) covariant fibration とは，すべての covariant cofibration かつ
covariant equivalence な射に関して right lifting property を持つときをいう．
すると，(Set4 )/S 上には，covariant model structure と呼ばれる，これらから定まる left proper かつ combinatorial な model structure が定まる．covariant model structure は，自然な simplicial 構造に関して，
simplicial model structure を定める．

Proposition 3.37 (BOOK, Proposition 2.1.4.10., Remark 2.1.4.11.).
(i) 単体写像 j : S → S 0 は，２つの covariant model structure の間のQuillen 随伴 (j! , j ∗ ) を誘導する：(Set4 )/S

j!
j∗

X

X
p

j!

X 0 ×S 0 S
S

j◦p

S0

S

p0 ×S 0 idS(Set4 )/S 0 ,

X0
j∗

p0

S0

(ii) j : S → S 0 が categorical equivalence ならば，(i) の Quillen 随伴(j! , j ∗ ) は Quillen 同値となる．
Definition 3.38 (BOOK, Remark 2.1.4.12.).
単体集合 S に対し (Set4 )/S の射 f : X → Y が(C) cotravariant cofibration とは，単体集合としての単射であるときをいう．.
(W) contravariant equivalence とは，f op が (Set4 )/S op においてcovariant equivalence のときをいう．
(F) contravariant fibration とは，f op が (Set4 )/S op において covariant fibration のときをいう．
すると，(Set4 )/S 上には，contravariant model structure と呼ばれるモデル構造が定まる，

24

手始めに− Stφ , U nφ の構成

Definition 3.39 (BOOK, 2.2.1). 単体集合 S, 単体豊穣
圏 C と単体豊穣関手 φ : C[S] → C op が与えられたとすると，各対象 X ∈ (Set4 )/S と X . の cone point v に対し，• 入射 X ,→ X . の誘導する C[X] ,→ C[X . ]X∈(Set4 )/Sφ→ C op• C[X] −−−−−−−→ C[S] −を用いて，C op から {v} への単体豊穣圏間の correspondence が構成される：`op• 単体豊穣圏：CX= C[X . ] C[X] C op
op
• 単体豊穣関手 F : CX
→ C[41 ]• 同一視：C op ' F −1 {0}, {∗} ' F −1 {1}• 単体豊穣関手
C × {∗} → Set4

(C, ∗) 7→ MapM (C, ∗)これから単体豊穣関手 Stφ X を定義する：

Stφ X : C → Set4

C 7→ (Stφ X) (C) := MapCXop (C, ∗).

これより straightening functor Stφ が定義される：

Stφ : (Set4 )/S → (Set4 )C
X 7→ Stφ X

すると unstraightening functor

U nφ : (Set4 )C → (Set4 )/S

は，Stφ の右随伴として定義される：
Stφ(Set4 )/S

U nφ

(Set4 )C ,+Question. St+
φ , U nφ の場合は？

25

∗
St+
φ , U nφ の構成• 各対象 X ∈ (Set4 )/S に対し，その頂点 c ∈ (X)0 の合成：
(X)0 → (X . )1 = Set4 (41 , X . )op→ Cat4 (C[41 ], C[X . ]) → Cat4 (C[41 ], CX)©
ªc 7→ cF id40 : 41 = 40 F40 → XF40 = X .

による像は，以下の元と思える：c̃ = (φ(c) → ∗) ∈ MapC op (φ(c), ∗) = (Stφ X) (φ(c))
X• X の射 f : c → d の合成：

(X)1 → (X . )2 = Set4 (42 , X . )op→ Cat4 (C[42 ], C[X . ]) → Cat4 (C[42 ], CX
)
©
ª
2
1
0
0
.
f 7→ f F id40 : 4 = 4 F4 → XF4 = X

による像は，以下を与える：
op— CX
における 可換とは限らない 図式：
φ(f )

φ(c)
c̃

φ(d)
d˜

∗

— MapC op (φ(c), ∗) = (Stφ X) (φ(c))
X˜．
における edge (f˜ : c̃ → d˜ ◦ φ(f ) = φ(f )∗ d)Definition 3.40 (BOOK, 3.2.1.2). 単体集合 S, 単体豊穣圏 C³と単体豊´
穣関手 φ : C[S] → C op が与えられたとすると，各対象 (X, E) ∈ Set+
4/Sに対して，単体豊穣関手 St+
φ (X, E) を定義する：++
Stφ (X, E) : C → Set4
C 7→ St+φ (X, E)(C) := (Stφ X(C), Eφ (C))´³
= MapC op (C, ∗), Eφ (C)X

ここで，Eφ (C) = {G∗ f˜ | (f ; d → e) ∈ E, G ∈ MapC op (C, φ(d))1 }

これより straightening functor St+
φ が定義される：
³
´
+
C
St+
→ (Set+φ : Set4
4)/S(X, E) 7→ St+
φ (X, E)

すると unstraightening functor

³
´
+ C
+
U n+
:
(Set
)
→
Set
φ
4
4

/S

は，St+
φ の右随伴として定義される：

(Set+
4 )/S

St+
φ
U n+
φ

C
(Set+
4) ,

26

Universal Fibrations+ O+
Step 1: Cat4
∞ = (Set4 ) ,→ Set4 は，
Cat4∞.
(projectively) fibrant object F ∈ (Set+4)
Step 2:+
op(q : Z → Catop(F ) ∈ (Set+∞ ) := U nCatop
4 )/Cat∞∞は universal Cartesian fibration ．
実際，任意の Cartesian fibration p : X → S
に対して，p を 分類する 関手 f : S → Catop∞ で
Cartesian fibration の equivalence

X → Z ×CatopS ' U n+Sf∞を誘導するものが存在する．
Step 2’: 双対的に，∀ coCartesian fibration
p : X → C は，有る関手 C → Cat∞ によって 分類される．
Step 3: Kan 複体からなる充満部分圏 Kan ⊆ Cat4∞
を通し，“空間” のなす圏 S := N (Kan) が登場：
op
S op = N (Kan)op → N (Cat4= Catop∞)∞

op
Step 4: この射 S op → Catop∞ を用いて，Cat∞ 上のuniversal Cartesian fibration を S op に引き戻す：

Z 0 = Z ×Catop
S op
∞
q0

S op

Z

q

Catop
∞

q 0 : Z 0 → S op = N (Kan)op は，ただ単に Cartesian fibration ではなく，さらに各 fiber が Kan 複体となるので，right fibration となることが示さ
れ，universal right fibration と呼ばれる．
実際，任意の right fibration p : X → C に対して，p を 分類する 関手 f : C → S op = N (Kan)op
で right fibration の equivalence
X → Z 0 ×S op C ' U n+
Sfを誘導するものが存在する．
Step 4’: 双対的に，∀ left fibration p : X → C は，有る関手 C → S = N (Kan) によって 分類 される．
Step 5: Step4 より，P(C) := Fun(C op , N (Kan))
は，C 上の right fibration の分類関手のなす圏．

27

3.3. Simpson の presentable ∞-category の特徴付け．
.
Abelian Group に喩えられている Presentable ∞-category
から Commutative Ring に喩えられている ∞-topos を「特殊化」するには，次の Simpson による presentable ∞-categoryの特徴付けのうち，∞-category Yoneda’s lemma を出発点とする (5) が明確な指針となる：
Simpson’s characterization of presentable ∞-category

Theorem 3.41 (BOOK, Theorem 5.5.1.1 (Simpson) ).
∞-category C に対して，次の条件は同値:(1) ∞-category C は presentable.
(2) ∞-category C は accessible で，各正則基数 κ に対し, 充満部分圏 C κ は κ-small colimits を許容する．
(3) 正則基数 κ であって，C が κ-accessible かつ C κ がκ-small colimits を許容するものが存在する．
(4) 正則基数 κ と κ-small colimits を許容する small∞-category D であって，equivalence Indκ D → C
が存在する．
(5) small ∞-category D であって，C が P(D) のaccessible localization となるものが存在する.
(6) ∞-category C は locally small で small colimits
を許容し, 正則基数 κ と C の κ-compact object からなる (small) set S が存在して，C の各対象は，
S によって span される C の充満部分圏に値を持つ
small diagram の colimit となる．
Question. Simpson’s characterizqation に現れる，• localization とは何？
• 正則基数 κ に関する様々な概念は何？

Definition 3.42 (Definition 5.2.7.2.). ∞-category 間の関
手 f : C → D が localization とは，f が fully faithful な
right adjoint を持つときをいう．

28

正則基数 κ に関する諸概念
Definition 3.43 (BOOK, Definition 5.3.4.5.). C を，small, κ-filteredcolimits を 許 容 す る ∞-category と す る ．関 手 f : C → D がκ-continuous とは，κ-filtered colimits を保つときをいう.
KAN (ここだけの記号) で large Kan 複体の圏を表し，対象 C を含む (豊穣射の集合 HomC (•, •) すら small とは限らない，一般に large な )∞category C(例えば，large∞-category のなす ∞-category?) に対し，
jC : C → Sb := N (KAN )D 7→ N (Sing | HomC (C, D)|)とおく．
C が κ-filtered colimits を許容する時，jC が κ-continuous の場合, C をκ-compact という．
C は compact ⇐⇒ C は ω-compact (かつ C は filtered colimits を許容する).
正則基数 κ と, small, κ-filtered colimits を許容する ∞-category C に対し，left fibration C˜ → C が κ-compact とは，κ-continuous 関手 C → Sb
によって分類されるときをいう.

Notation 3.44 (BOOK, Notation 5.3.4.6.). ∞-category C と正則基数
κ に対し，C κ で C. の κ-compact object で span される充満部分圏を表す．

その一方で，Abelian Group に喩えられている Presentable∞-category から Commutative Ring に喩えられている ∞topos を「特殊化」するには，上の Simpson による presentable ∞-category の特徴付けのうち，∞- category Yoneda’s
lemma を出発点とする (5) が明確な指針となる．
実際，∞-topos の定義は，上の (5) の条件に，“left exact”という条件を更に課すことによって与えられる：

4. ∞-topos∞-topos

Definition 4.1 (BOOK, Definition 6.1.0.4.). ∞category X が ∞-topos とは，small ∞-category C とaccessible left exact localization functor P(C) → X が存在するときをいう．

29“left exact” という条件は， 喩えの表からすぐ予測されるように，Abelian Groups を Commutative Rings に特殊化するのに必要となる，「分配法則」に喩えられる．
Definition 4.2 (BOOK, Definition 5.3.2.1.).
(i) ∞-category の間の関手 F : A → B と正則基数 κ に対し，F が κ-right exact⇐⇒ ∀ right fibration B 0 → B where B 0 is κ-filtered, ∞category A0 = A ×B B 0 もまた κ-filtered.
F は right exact ⇐⇒ ω-right exact.
(ii) ∞-category の間の関手 F : A → B と正則基数 κ に対し，F が κ-left exact⇐⇒ ∀ left fibration B 0 → B where B 0 is κ-filtered, ∞category A0 = B 0 ×B A もまた κ-filtered.
F は left exact ⇐⇒ ω-left exact.
以上により，喩えの表を理解するに必要な概念はほぼすべて紹介したつもりである．
なお，[BOOK] に述べられている Simpson’s characterization of presentable ∞-category の証明や，∞-category の性質に関しては，また次の機会に紹介したいと思う．

nori@nitech.ac.jp