免震部材の多様性を考慮した免震建物の設計用地震荷重分布－非線形モーダルアナリシスによる地震応答構造の分析－

明治大学

1. はじめに免震建物の技術的基準として建設省告示2009 号 1)(以下，免震告示)が制定され，これにより，免震告示の適用範囲内であれば，動的解析によらない構造計算が可能となった。しかし免震告示の設計用せん断力係数分布の計算方法は地震応答を過小評価する傾向があると多くの研究者・設計者から指摘されている 2)。
本研究では，これらの問題点を改善する設計用せん断力係数分布の評価式の提案を目的とする。さらに，非線形モーダルアナリシスにより，免震建物における地震応答のメカニズムを分析し，ダンパー種別ごとに異なる高次モード発生の程度の違いや提案式の特性を把握する。
なお，本研究では，高次モード応答を十分に評価し得る 10 質点系せん断モデルを用いて，固有周期の変化やダンパーの特性,入力地震動をパラメータとした時刻歴応答解析による検討 3)を行っているが，モデル等の詳細は割愛する。
2. 設計用地震荷重分布の評価式
2.1 免震告示による評価法
免震告示では，建物各階の設計用せん断力係数分布 Cri を次式で与えている 1)。
Qiso Ai (Q h + Qv ) + Qe
(1)
C ri = γ ⋅⋅M ⋅g

Q h + Qv + Qe

ここに，γ ：免震部材の力学特性のばらつき等の影響を考慮する係数， Qiso ：免震層の最大応答せん断力， M ：上部構造の総質量， g ：重力加速度， Ai ：建築基準法の基準せん断力係数分
布， Qh , Q v , Q e ：それぞれ，履歴型ダンパー，速度依存型ダンパー，弾性支承が免震層の基準変位時に負担するせん断力(1)式は，弾性支承の負担せん断力係数は上部構造で増幅せず，上部構造の応答増幅は専らダンパーに支配されるという知見 4)に基づき，ダンパーの負担分に対し高さ方向増幅を Ai 分布で評価した簡便な評価方法であり，履歴型のみを考慮した場合では，図 1 の形で表現できる。
2.2 本研究による評価法
本研究では，免震告示や日本建築学会の免震-1-

松田紳吾

構造設計指針の評価法の構成を踏襲し，Ai 分布による応答増幅作用を補正する増幅率 βeq,i を導入したせん断力係数分布 α i を(2)式で提案する。
QA ⋅ β (Q + Qv ) + Qe
α i = iso ⋅ i eq,i h(2)M ⋅g

Qh + Qv + Qe

この増幅率 β eq,i は，履歴型および速度依存型ダンパーによる応答増幅の程度を表し，(3)式で求められる。 N は上部構造の層数である。
 β eq − 1 
 i + N − β eq
 N −1 N −1

β eq ,i =(3)β eq は直線に近似した β eq,i 分布の最上層の値であり， β eq を免震の隔絶度を表す指標である
等価免震係数 Ieq で評価するのが本評価式の特色である。しかし，この Ieqは，skinner らの免震係数 I の定義 5)とは異なることに注意されたい。
β eq =

5 .0+ 0.6 ( β eq = 3.0 を上限値とする) (4)2I eq

I eq = Teq T0(5)
ここに，Teq：免震層のみかけの初期剛性 Keq に対する等価周期（= 2π M K eq ）， T0 ：上部構造基礎固定時の 1 次固有周期
QhKeq = ks ⋅+ kf(6)Qh + Qv
ここに， k s ：履歴型要素の初期剛性， k f ：弾性支承の剛性(2)式から(6)式で算出する設計用せん断力係数分布の計算フローを図 2 に示す。この(6)式
は，skinner らの免震係数 I と異なり，履歴型と速度依存型のダンパーの負担せん断力比に応じて履歴型の剛性を低減することで速度依存型の効果を考慮した I eq を算出するための“みかけの初期剛性”である。ただし，(6)式では速度依存型に対し履歴型が支配的となるケースにおいて，地震応答を過大評価する場合もある。
これをより適切に評価する場合には、 I eq の別途算出あるいは既報での評価法 3)を用いるのが望ましいが，詳細はここでは省略する。
(4)式における β eq と等価免震係数 Ieqの関係は，
図 3 に示す時刻歴応答解析から得られた β eq の0.94αe Ai ⋅αh+20%(1)式 (2)式

3storyβi ⋅ Ai ⋅αh(4)式

2αe = Qe/Mg
αh = Qh/Mg

αe α h10

免震告示の過小評価範囲

10.60.30

提案式(2)式

図 1 αi の構成

024

図3免震係数 と0Ieq860

図4の関係(履歴型のみの場合)

QeksQvkf+＜履歴型ダンパー＞+＜速度依存型ダンパー＞＜弾性支承＞

みかけの等価剛性

Keq = ks ⋅Qh+ kfQh + Qv

等価免震係数I eq = Teq T0M
Teq = 2πK eq

設計用地震荷重分布

αi =Qiso Ai ⋅ β eq,i (Qh + Qv ) + Qe
⋅Mg
Qh + Qv + Qe

増幅率

β eq =

5 .0
I eq

2+ 0.6 (3.0を上限とする)

0.30.6α100.9(時刻歴)

応答予測精度の比較(10 質点系せん断モデル最上層)
上部構造におけるせん断力の応答増幅の程度を表す

Qh-20%

免震告示(1)式

αiα10α10 (予測式)

N

時刻歴解析
移動平均値

 β eq − 1 
 i + N − β eq
 N −1 N −1β eq ,i =β eq

履歴型ダンパーのみ

3

履歴型と速度依存型を併用
速度依存型ダンパーのみ

2β eq =5 .0I eq

2+ 0 .61長0短上部構造の周期T002

46I eq

免震効果を表す指標(隔絶度)

図5

図 2 地震荷重分布の算出手順平均値を捉えるように設定している。β eq は，Ieqの減少に伴い増加し，入力地震動によるばらつきも大きくなる。 I eq ≤ 3.5 の領域は免震告示(1)
式が地震応答を過小評価する可能性が高い範囲を示しており，一方， 3.5 ≤ I eq では Ai 分布による高さ方向への応答増幅を低減させる領域も存在することを示している。免震告示および提案式によりせん断力係数分布を予測した場合の最上層での時刻歴応答との対応を図 4 に示す。提案式(2)式を用いることで免震告示に比べて大幅な応答予測精度の改善が確認できる。
免震建物において時刻歴応答解析の結果により認識されてきた“履歴型のみに比べ速度依存型を併用した場合に，上部構造での応答が低減される”といった知見 6)に対して，導入するダンパー量や上部構造との周期比で等価免震係数 Ieq を算出することで上部構造での応答増幅作用の変動(増幅率 β eq,i )を連続的かつ定量的に捉えることが可能となる(図 5)。これにより設計時に地震応答を容易にかつ適切に評価した分布形を設定することが可能となる。
3. 地震応答構造の分析
Skinner らの両端自由振動モード 5)を用いた非線形モーダルアナリシスにより，せん断力係とを用いた提案式の特性数分布の応答増幅に及ぼす高次モード応答の影響度を把握し，等価免震係数 Ieqに対する増幅率 βeq,i の変動メカニズムおよび高次モード応答の発生要因を分析する。
3.1 両端自由振動モードによるモード分析
両端自由振動モードは，免震層の剛性を 0 とした場合の振動モードであり，免震建物の振動特性を包括的に表現するのに有効とされる。
上部 N 質点の免震建物について，免震層の剛性を 0 とした剛性行列 K FF ，質量行列 M とすれば両端自由振動モードの s 次固有ベクトル s u FFと固有振動数 s ω FF の関係は次式となる。
2(7)K FF ⋅ s u FF = s ω FF
⋅ M ⋅ s u FF
免震層の抵抗力 Qiso ，地動加速度 &y&g とすると，相対変位ベクトル y についての振動方程式は次式となる。
TM ⋅ &y& + C ⋅ y& + K FF ⋅ y + (0 n−1 Qiso ) = −M ⋅ 1 ⋅ &y&g (8)ここに， C ：減衰行列， 0 n ：n 次のゼロベク
トル， 1 :要素が全て 1 の列ベクトル
固有ベクトル s u FF を用いて(8)式を展開すると(9)式となる。なお，減衰項の振動モード間での連成は小さいためここでは無視する。
ss2&y& + 2⋅s h⋅s ωFF ⋅s y& + s ωFF⋅s y +u FF⋅ s uFF,1 ⋅ Qiso=−s Γ FF ⋅s u FF ⋅ &y&g (9)uTFF ⋅ M⋅s u FFs-2-

10

886

story

story

1042

速度依存型
Ieq=2.50

00

図60.2

α0.4i

1次
2次
3次
4次
5次
SRSS
時刻歴告示式
提案式

642

履歴型
Ieq=0.61

000.2ss
2&y& + 2 ⋅ s h ⋅ s ω FF ⋅ s y& + s ω FF
⋅s y = −2次4次SRSS
告示式

α100.30.20.20.10.13

図769履歴型

0.412Ieq15001234Ieq5

せん断力係数 α10 と免震係数 の関係がわかる。図 7 に，最上層のせん断力係数 α 10 と免震係数 Ieqの関係を示す。 Ieqが小さい範囲で高次モード応答の影響が強くなる傾向にあり，提案式は免震係数 Ieqに対する増幅率 βeq,i の導入により，高次モードによるせん断力係数分布の増幅傾向を適切に表現していることが分かる。
3.3 各種免震部材による応答増幅作用
各免震部材が免震層の相対加速度スペクト
ル 1 S a ( rel ) ( s T , s h ) に及ぼす影響を検討する。

(10)u FF ⋅ s u FF,1 ⋅ Q iso
Ts u FF ⋅ M ⋅ s u FF

0.30

ここに，s h： s 次モードの減衰定数，s u FF,1 ： s 次
固有ベクトルの上部構造第 1 層の成分， s Γ FF ：s 次刺激係数(9)式は，1 次モード( s =1)の場合では，固有振動数 1ω FF =0，刺激関数 1 Γ FF ⋅1 u FF = 1 となることから(10)式となり，高次モード( s ≧2)の場合では， s Γ FF ⋅s u FF = 0 となるため(11)式となる。
&y& + 1 ⋅ &y&g = −1 ⋅ Qiso mT

1次3次5次
時刻歴
提案式

速度依存型

0.40

α0.4i

各次モードのせん断力係数分布(T0=1.6s)

1α10(11)

表 1 に解析モデルを示す。履歴型のみを使用した状態(HD100)を基準とし、免震層の最大応
ここに， mT ：建物全質量答変位が一定となるように徐々に履歴型の負(11)式より，高次モード応答は，免震層の抵抗力 Qiso による加振によって生じることになる。 担せん断力を減らし、代わりに速度依存型で減衰を確保するものとし、最終的には速度依存型
Qiso の時刻歴波形には，入力地震動および免のみ(VD100)となるものとする。
震部材の振動特性が反映されるため，これを分
図 8 に示す各モデルにおける 1 S a ( rel ) ( s T , s h ) で析することで各次モードへの影響が評価可能は，速度依存型要素が加わるにつれて全体的にとなる。ここで，Qiso mT に対する相対加速度応応答が小さくなり，両端自由の 2 次，3 次での答スペクトル 1 S a ( rel ) ( s T , s h ) を用いて，高次モー周期帯でも変動が大きい。このとき HD60 におド( s ≧2)の相対加速度応答の最大値 s &y& max を求めると，(10)式と(11)式の関係から次式となる。 ける Qiso を部材別の負担せん断力 Qe , Qh , Qv に分解したものを図 9 に示し，免震層 Qiso に対す
s u FF ⋅ s u FF,1(12)y& max = T⋅ mT ⋅1 S a ( rel ) ( sT , s h )s&る比率を各周期帯で表したものを図 10 に示す。
s u FF ⋅ M ⋅ s u FF
ここでは，履歴型と速度依存型の負担耐力 Qh,，次に，この加速度より各次モードの最大せん
Qv を単純和しダンパー群として評価する Qh＋断力係数を，さらに SRSS により地震応答の最Qv のスペクトルも併せて示す。このダンパー群大値を近似的に表現すると以下の式となる。
Nのスペクトル Qh＋Qv と弾性支承のスペクトルy&g ) / ∑iN=1 mi ⋅ g = Qiso / mT g (s=1) (13)1αi = ∑i=1 mi (1 &y&i + &Qe を SRSS したものが免震層の応答値を的確にNN(s≧2) (14)s αi = ∑i=1 mi ⋅s &y&max,i / ∑i=1 mi ⋅ g
捉えていることから，上部構造の応答増幅を発生させる両端自由の高次モード周期帯におけ(15)α i ( SRSS ) = ∑ SN=1 s α i2るスペクトルでは，履歴型および速度依存型の割合が支配的であり，免震告示や提案式におけ3.2 せん断力係数分布の高次モード応答るダンパーの負担耐力 Qh＋Qv にせん断力係数(13)式から(15)式により各次モードのせん断の増幅を考慮する構成が妥当であるといえる。
力係数および SRSS を用いた最大応答せん断力
これらの相対加速度応答スペクトルより算係数分布（5 次モードまで考慮）を算出し，時出した高次モードの加速度応答分布を図 11 に刻歴応答との比較を図 6 に示す。速度依存型ダ示す。ここで，比較としてダンパーなしの場合ンパーに対して履歴型ダンパーでは全体応答に対する高次モード応答の寄与度が高いことの分布も示している。ダンパーなしでは，2 次-3-と 3 次のモード応答は極めて小さく，ダンパーを加えることによって短周期帯のスペクトルが増すことから高次モード応答が励起されることになる。また履歴分のみ(HD100)に対して速度依存型が少量でも加わった際の高次モードの変動が大きいことが認められ，文献 6)による知見とも整合する。図 12 に示す(13)式から(15)式によるせん断力係数においても(a)時刻歴と(b)SRSS の対応は良好である。(c)提案式においては，応答値をやや大きめに設定する傾向
だが，(d)時刻歴に対する倍率でみれば全体的な分布の平均値を捉えられているといえる。以上のことより，本章で示す非線形モーダルアナリシスおよびせん断力係数の評価式が妥当であることが確認される。
4. まとめ
本論では，免震告示の過小評価を改善した新たな設計用せん断力係数分布の評価式を提案した。本評価法は，ダンパーの種別を問わず，Sa.[cm/s2]

上部構造での応答増幅作用の変動を連続的かつ定量的に捉えられ実務的にも有効性の高い評価式といえる。さらに免震建物における高次モード応答の影響度を分析し，増幅率は高次モード応答によるせん断力係数の増幅を適切に評価しており，評価式の妥当性が確認された。
参考文献
1) 国土交通省住宅局指導課など編：免震建築物の技術基
準解説及び計算例とその解説，2001.5
2) 高山峯夫，森田慶子：免震建築告示における上部構造のせん断力係数に関する考察，日本建築学会大会学術講演梗概集，B-2，pp.473-474，2002.8
3) 小林正人，谷崎豪，松田紳吾：免震部材の多様化に対応した免震建物の設計用地震荷重分布，日本建築学会
構造系論文集，第 676 号 pp.859-868，2012.6
4) 秋山宏：エネルギー集中型構造物の Ds 値，日本建築学会論文報告集 No.341，19845) R. I. Skinner, W. H. Robinson and G. H. McVerry : An
Introduction to Seismic Isolation, Wiley, 1993（監訳 川島一彦，北川良和：免震設計入門，鹿島出版会，1996）
6) 白山敦子，山下忠道，鈴木祥之，井上豊：履歴・粘性減衰を複合利用した基礎免震建物の地震応答特性 免震層の最大変形が同じ場合，日本建築学会大会学術講演梗概集，B-2，pp.917-918，2007.8

Sa.[cm/s2]

400

HD80
HD50
HD20

Qiso
QhQh+Qv

500

QeQv

Sa(免震層)/Sa(各部材)

HD100
HD60
HD40
VD100

SRSS

400
300
200200両端 2 次:0.45s
両端 3 次:0.23s

1000.1

T[s]1010.1

図 8 免震層の相対加速度スペクトル両端自由2 次モード

860%
40%
20%0%
両端4次 両端3次 両端2次 免震周期

図 9 部材別の加速度スペクトル1010

図 10 免震層に対する割合

表 1 ダンパー特性を変動させた解析パラメータ

両端自由8 3 次モード

CASE名
上部構造T 0 (10質点系)[sec ]HD100 HD80 HD60 HD50 HD40 HD20 VD100
基礎固定:0.8 (両端2次：0.45，両端3次：0.23)
履
履
履
履
履
履
速速速速
速
速

HD100HD80HD60HD50HD40HD20VD10042HD100HD80
HD60HD50HD40HD20VD100

420200Acc.[cm/s400 ] -400

0-200

20-20001.0cm

降伏変位δ y履歴型
ダンパー0.06

降伏せん断力係数α s

ダンパーなしダンパーなし-400

6storystory

使用するダンパー

6QhSRSS80%

T[s]101QeQh+Qv

100%

CASE: HD60

00QisoQv

120%

6006002200Acc.[cm/s400 ]リリーフ速度V r
減衰低減率γ
速度依存型
ダンパー
初期減衰定数h
等価減衰定数h eq
応答変位δ max (cm)
免震層
等価免震係数I eq

－－
46.0
1.00

0.048

0.036

9.9%
3.5%
46.0
1.60

32cm/s0.068
19.8% 24.5% 28.7% 37.3% 46.5%
7.4% 9.5% 11.6% 16.4% 22.4%
46.0
45.9
45.9
45.9
46.0
1.81
1.96
2.26
3.54
5.00

0.03

0.024

0.012

－

図 11 各次モードの応答加速度分布
108888

時刻歴HD100HD80HD60HD50HD40HD20VD10042SRSS6HD100HD80HD60HD50HD40HD20
VD100420story

60.20.4(a)時刻歴応答α0.6i提案式
HD100
HD80HD60HD50HD40HD20VD10042006story

10story

10story

100.20.4

α0.6i(b)SRSSSRSS提案式(2)式

000.20.4(c)提案式(2)式

図 12 せん断力係数分布-4-42006α0.6i00.5

11.5(d)時刻歴に対する倍率