水平 2 方向加振試験による高減衰積層ゴムの捩れ応力に基づく捩れ歪の評価方法の提案
東京理科大学 柿沼貴博
Y
楕円軌道Fy

δyX
カメラ

δyMt

δxφFxδγyτs

１．はじめに免震構造の主要部材である積層ゴムは，定面圧下の水平 1 方向加振試験により，限界歪などの限界性能が設定されている。2007 年，山本・嶺脇らにより，実大試験体を用いた水平 2 方向加振試験を実施され，高減衰積層ゴムでは，減衰性能によって捩れ歪が発生し，1 方向加振時と比較して破断せん断歪が大きく減少することが確認された 1),2)。しかし，免震建物の水平 2 方向応答解
析で広く利用されている MSS モデル 3)などの方法では，捩れ歪は直接算出できない現状である。
本研究では，捩れ歪が試験において直接計測できないため，既往の研究で行われた水平 2 方向加振試験を用いて，画像解析によって捩れ歪を算出し，分析検討する。次に，応答結果である水平変位とせん断力から算出できる捩れ応力に着目し，捩れ応力に基づく捩れ歪の評価方法を提案する。その後，観測波を入力とする地震応答解析を実施し，捩れ応力から捩れ歪を算出することで，水平 2 方向応答を検討する。
２．捩れ歪と捩れ応力の定義
積層ゴムには，水平 2 方向加振時に，減衰性能により捩れモーメント Mt が発生し，捩れ変形u が生じる 2)。水平 2 方向加振時の高減衰積層ゴムの概念図を図 1 に，捩れモーメント Mt と捩れ変形 u の高さ方向分布を図 2 に示す。図 1 において，δx と δy 及び Fx と Fy は，X 方向と Y 方向の水平変位及びせん断力を表す。捩れモーメ
ント Mt は，上下フランジが回転固定されているため，上下端部で最大となり，下式で表される。
M t  Fx   y  Fy   x / 2(1)捩れ変形 u は，積層ゴムの表面に転写した格子点を試験動画から取り込んだ静止画像より読み取り，積層ゴムの各層において全体変形から水平変位を取り除いた変形とする。捩れ変形u は， z 軸の原点を積層ゴムの中間高さに取り，高さ z の 2 次関数で近似し，下式で表される。
(2)u( z )  az 2  H 2 / 4
ここで，a は近似した 2 次曲線の係数である。
積層ゴムに生じる X 方向と Y 方向，変位方向の平均せん断歪は，次式で算出される。

図 1 水平 2 方向加振時の高減衰積層ゴムの概念図

zMt
H2u0δy

H2M t

図 2 捩れモーメントと捩れ変形の高さ方向分布 x   x / hr ，  y   y / hr

(3a, b)(4)   / hr
ここで，hr は積層ゴムのゴム総厚さを表し，積層ゴムの内部鋼板は，水平変形に寄与しないと考える。積層ゴムの外周部には，図 1 に示すように，平均せん断歪に加えて，捩れ変形 u の発生に伴い，捩れ歪  が発生する。捩れ歪  は，式(2)を高さ z で微分して算出され，積層ゴムの上下端(z =±H /2)において最大となり，下式で表される 4)。
(5)   aH
α は捩れ変形に寄与しない内部鋼板の厚さに対する補正項(=hr/H)，β は試験画像の遠近補正項である 5)。捩れ歪  は，図 2 に示すように，鉛直軸に対して時計回りを正とする。
積層ゴムの外周部には，捩れ歪  に対応する
捩れ応力  s が作用する。捩れ応力  s は，図 1 に示すように，半径方向に一様に変化すると仮定し，下式で算出される。
 s  Mt / Z p(6)ここで，Zp は極断面係数を表す。
３．水平 2 方向加振試験に基づく捩れ歪の分析
3.1 試験概要
本論文は，2009 年に日本免震構造協会で実施された縮小試験 6)と，2012 年に国土交通省平成24 年度建築基準整備促進事業で実施された実大試験 5)を使用する。

表 1 試験体諸元
試験体

楕円加振
 x =250%

Y(mm) 100

S-S33 S-S40-1,2 S-S50

直 径 D (mm)

50

L-S50

158

158

158

1000

積 層 ゴ ム 高 さ H (mm) 77.5

63.06

50.7328.6

ゴ ム 層 厚 さ h r(mm)

47.9

39.1

31.5

201-502次 形 状 係 数 S 23.30

4.05

5.024.98

基準面圧 σ7.3

10.7

13.0

15.0

8 の字加振 x =200% -100

せん断弾性率 G0.620.620.620.62

図 3 変位オービット

変位(mm)3002001000-100-200-300

X00-100-500Y50100X(mm)S2=4.05

時間 (s)

306090120150

図 4 地震応答波加振における変位の時刻歴波形
捩れ歪 

平均せん断歪 残留捩れ歪  r

2.52.0歪

1.5
1.00.50.0
 x =50%

100150200

25050100150200250(a) 縮小試験における楕円加振(S-S50-1)
2

歪

10-1

 x =100%

200(b) 縮小試験における 8 の字加振(S-S40-2)
1.51.0歪2 つの試験における試験体諸元を表 1 に示す。
一例として縮小試験の S2=4.05 の積層ゴムにおける変位オービットを図 3 に示す。
縮小試験は，
X 軸と Y 軸の比が 2：1 となる楕円加振と 8 の字加振を行っている。楕円加振は，加振周期 10秒で  x =50~250%まで 50%ずつ漸増させ，8 の字加振は，S2=4.05 の積層ゴムにおいて，加振周期100 秒で  x =100，200%としている。試験は基準面圧とし，それぞれ 3 サイクルずつ行っている。
実大試験の地震応答波加振における水平変位の時刻歴波形を図 4 に示す。
地震応答波加振は，長周期地震動を想定した模擬波を使用している。ただし，試験機能力の都合により，面圧は基準面圧よりも小さい状態で行っている。
3.2 捩れ歪の試験結果
捩れ歪  は，加振時の積層ゴムで X 方向より撮影した動画から，縮小試験においては 60Hz，実大試験においては 30 Hz で静止画像を読み取る画像解析によって算出した。縮小試験における S2=5.02 の積層ゴムの楕円加振と 8 の字加振，実大試験の地震応答波加振による平均せん断
歪  と捩れ歪  の時刻歴波形を図 5 に示す。図5 より，捩れ歪  は，平均せん断歪  の増加に伴って増大する。図 5(c)の地震応答波加振では，他の 2 つの加振と比較して捩れ歪  が小さい。
図 5(a)の楕円加振では，大きな残留捩れ歪  r が確認でき，その影響で 1 回目の楕円加振と比較して，2 回目の捩れ歪  が増加した。楕円加振の残留捩れ歪  r は，1 回目の加振において捩れ歪  の増加に伴って増大し， 2 回目では 1 回目の最終加振時の残留捩れ歪  r を維持して，ほぼ同じ大きさのまま変化しない。一方，図 5(b),(c)の 8 の字加振と地震応答波加振では，残留捩れ歪  r が小さく，捩れ歪  の向きが変化することで，残留捩れ歪  r が打ち消されると考えられる。
以上より，残留捩れ歪  r は，経験した最大捩れ
歪 e  m に依存して発生すると考えられる。
3.3 経験した最大捩れ歪と残留捩れ歪の関係経験した最大捩れ歪に対する残留捩れ歪の比率を R (=  r / e  m )とし，経験した最大捩れ歪e  m と比率 R の関係を図 6 に示す。図 6 より，経験した最大捩れ歪 e  m が 50%より小さい範囲
では，比率 R は比較的大きくなり，50%より大きい範囲では概ね一定の値に近づく傾向を示すことから，比率 R の上限値と平均値は，秋山

0.50.00306090120150(c) 実大試験における地震応答波加振(L-S50)
図 5 平均せん断歪と捩れ歪の時刻歴波形

R 1.0縮小試験

0.8

式(7) （楕円加振）
式(8)
S-S33
S-S40-1
S-S50

0.60.40.20.00.00.5

1.01.5



2.0S2=3.30

経験した最大捩れ歪 e m図 6 経験した最大捩れ歪 e m と比率 R の関係ら方法 7)にならって，次式を設定した。
 e m  0.5
1 / 1  3e m 
上限値： R (7) e m  0.5
0.4
平均値： R 3 / 4  12e m 0.3

 e m  0.5(8)
 e m  0.5

４．捩れ応力に基づく捩れ歪の評価方法
4.1 捩れ歪と捩れ応力の関係
縮小試験における 1 サイクル目の捩れ歪  と捩れ応力  s の関係を実線で，最大捩れ歪  m と最大捩れ応力  sm の関係をプロットで図 7 に示す。
図 7 より，楕円加振における最大捩れ歪  m が 8の字加振(◆プロット)より大きい。この違いは，
楕円加振時の最大捩れ歪  m に残留捩れ歪  r が付加されているためだと考えられ，捩れ歪  を

01.2

縮小試験

0.8S-S33
S-S40-1
S-S40-2

捩れ応力0.40.0（8 の字）-0.4

S-S50-0.8-1.0-0.5

0.00.51.0
捩れ歪1.52.02.5

図 7 捩れ歪  と捩れ応力  s の関係
楕円：
8 の字：
1.5

1.2

S-S33
S-S40-1
S-S40-2

S-S500.4

 em  m0.0G'eq

捩れ応力0.8S-S33
S-S40-1
S-S40-2
S-S50-0.4

1.00.70.5
0.0-0.8-1.0-0.5

0.00.51.01.52.02.50.0捩れ歪図 8 捩れ歪と捩れ応力の関係(1 サイクル目の em   sm と m   sm )0.51.0
純捩れ歪1.5

図 9 捩れの等価せん断弾
性率 Geq と純捩れ歪 e の関係

0.100.050.00

t0-0.05(a) 捩れ応力  s t 0.20.10.0-0.1(b) 純捩れ歪 e t 0.2

 t0 e m0.1

 t 0.0

r t t0-0.1
80859095100(c) 捩れ歪  t  と残留捩れ歪 r t 
図 10 捩れ歪  t  の算出方法の概念図
0.20.1捩れ歪捩れ応力  s の影響で作用する純捩れ歪  e と残留捩れ歪  r の 2 つの成分に分離する。試験結果
では，捩れ歪  から試験開始時の残留捩れ歪  rを差し引いた値を純捩れ歪  e とする。縮小試験における 1 サイクル目の最大捩れ歪  m と最大捩れ応力  sm の関係を色塗りで，最大純捩れ歪  emと最大捩れ応力  sm の関係を白抜きで図 8 に示す。図 8 より，楕円加振の最大純捩れ歪  em が，8 の字加振(◆プロット)と概ね一致する。よって，
捩れ歪  は，2 つの成分に分離して評価する。
純捩れ歪  e と捩れ応力  s の関係において，捩 は下式で算出される。
れの等価せん断弾性率 Geq   sm /  emGeq(9)
縮小試験の 1 サイクル目における捩れの等価せ と純捩れ歪  e の関係を図 9 に示
ん断弾性率 Geq
 は，す。図 9 より，捩れの等価せん断弾性率 Geq
試験ごとにばらつきが見られるものの，歪依存性は比較的小さく，概ね 0.7 の値を示す。
4.2 捩れ応力に基づく捩れ歪の評価方法
捩れ応力  s t  を用いた捩れ歪  t  の評価方法を示す。捩れ歪  t  の算出方法の概念図について地震応答波加振結果を用いて図 10 に示す。
図 10(a)に示すように，捩れ応力  s t  は，X 方向と Y 方向の水平変位 δx と δy，及びせん断力 Fxと Fy を式(1)，(6)に代入して算出する。次に，
図 10(b)に示すように，算出した捩れ応力  s t  を で除し，純捩れ歪捩れの等価せん断弾性率 Geq
e t  を算出する。その後，純捩れ歪 e t  と残留捩れ歪 r t  を加算し，捩れ歪  t  を算出する。
図 10(c)に示すように，残留捩れ歪 r t  は，捩れ応力の向きが変化した時刻 t 0 から経験した最大捩れ歪 e m を式(7)，(8)に代入して算出し，捩れ歪  t 0  の絶対値と大きい方の値を用いる。ただし，図 10(c)のように，残留捩れ歪 r t  が打ち消し合う場合(  t 0   e t   0 )，捩れ歪  t 0  からの歪量を用いて経験した最大捩れ歪 e m を算出し，
捩れ歪  t  から残留捩れ歪 r t  を減少させる。
４.３ 捩れ歪の評価方法の精度検証
実大試験の地震応答波加振試験における捩
れ応力  s t  を用いて，前節で示した評価方法より捩れ歪  t  を算出し，試験結果と比較検証する。地震応答波加振試験における捩れ歪  の時
刻歴波形について，試験結果を灰色線で，提案する評価方法の結果を黒線で図 11 に示す。図11 より，提案する評価方法は，試験結果の捩れ

0.0-0.1

捩れ歪  :-0.2030提案する評価方法
60

試験結果_90120150

図 11 捩れ歪  の時刻歴波形

歪  や残留捩れ歪  r を概ね再現でき，楕円加振や 8 の字加振の試験結果に基づいて提案した評価方法の妥当性を示した。
５．地震動による水平 2 方向応答への影響
5.1 建物モデル
免震層を高減衰積層ゴムのみで構成した免震建物を，水平 2 方向のみに自由度を有する 1
質点 2 自由度振動系にモデル化する。解析モデ
ルの諸元を表 2 に，積層ゴムの復元力特性を図12 に示す。積層ゴムには，水平 2 方向の検討において広く利用されている MSS モデルを使用
し，せん断ばねを 16 本，せん断ばねに与える復元力特性を修正バイリニアモデルとする。解析パラメータである 1 次剛性 K1，2 次剛性 K2，

表 2 解析モデル諸元
積層ゴム直径 D (mm)

M

1000

2次形状係数 S 25X

免震周期 T (s)4.0Y Qmax
Qd

質量 M (ton)482.4

せん断弾性率 G eq (N/mm 2 )0.62 *

等価減衰定数 H eq0.24 *

降伏荷重特性係数 U0.408 ** 平均せん断歪 100%時の特性値

MSS モデル(16 本)

Keq

K2

δmax

K1

スケルトンカーブ

図 15 積層ゴムの復元力特性

表 3 地震波ごとの応答解析結果


 max

r

 max / 

JMA KOBE

1.84

0.33

1.98

0.00

1.08051SFB

0.93

0.15

0.96

0.00

1.03

HACHINOHE

0.88

0.20

1.04

0.00

1.19

K-NET MYG013

1.86

0.43

2.12

0.01

1.14

K-NET KNG013

1.37

0.31

1.55

0.00

1.14

地震波
直下地震

長周期地震

解析結果 :
直下地震
楕円加振の試験結果(S2=5.02) :

長周期地震

4

最大せん断歪1.51.0捩れ歪切片荷重 Qd は，次式で算出される 8)。
(10a, b)K1  10K 2 ， K 2  K eq 1  U Qd  UK eq
(11)
ここで，Keq は等価剛性，U は降伏荷重特性係数を表す。また，減衰は履歴減衰のみとする。
5.2 入力地震動
入力地震動は，直下地震として，1995 年兵庫県南部地震の JMA KOBE 波（神戸），2008 年四川汶川地震の 051SFB 波（什邡八角）を用い，長周期地震動として，1968 年十勝沖地震のHACHINOHE 波（八戸港湾），2011 年 3 月東北
地方太平洋沖地震の K-NET MYG013 波（仙台），
K-NET KNG013 波（小田原）を用いる。
5.3 解析結果の分析
地震波入力時における平均せん断歪  ，捩れ歪  ，2 つの歪の絶対値和である最大せん断歪 max のそれぞれの最大値，および残留捩れ歪  r ，平 均 せん 断歪 に対 する最 大 せん 断歪 の比 率 max /  を表 3 に示す。表 3 に示した平均せん断歪  と捩れ歪  の関係を図 13(a)に，平均せん断歪  と最大せん断歪  max の関係を図 13(b)に，解析結果と同じ S2=5 である縮小試験の楕円加振の試験結果とともに示す。表 3 より，地震応答では，地震応答波加振試験と同様に，残留捩れ歪  r が小さい。長周期地震動の比率  max /  は，直下地震より大きく，1.2 程度の大きさとなる。
図 13 より，捩れ歪  は，平均せん断歪  の増加に伴って増大し，その影響で最大せん断歪  maxも同様に増大するが，楕円加振試験の結果よりも小さく，水平 2 方向の評価に使用されている楕円加振試験が安全側の評価となる。
６．まとめ
既往の水平 2 方向加振試験をもとに，捩れ応力に基づく捩れ歪の評価方法を提案した。一連の検討から得られた知見を以下に示す。
(1) 楕円加振では，残留捩れ歪が生じ，捩れ歪が増大する。8 の字加振と地震応答波加振では，捩れ歪の向きが変化するため，残留捩れ歪が打ち消され，小さくなる。
(2) 平均せん断歪に対する最大せん断歪の比率は，直下地震よりも長周期地震動において大きく，1.2 程度の大きさとなる。
(3) 捩れ歪の地震応答は，楕円加振試験の結果よりも小さく，水平 2 方向の評価に使用される楕円加振試験が安全側の評価となる。

0.50.032
10012

平均せん断歪30123

平均せん断歪(a)    の関係(b)    max の関係
図 16 地震波入力時の応答解析結果と楕円加振の試験結果

謝辞
本研究は，(株)ブリヂストンと東京理科大学北村研究室の共同研究の成果の一部を用いたものです。国土交通省平成 24 年度建築基準整備事業「27-3 長周期地震動に対する免震建築物の安全性検証方法に関する検討」で実施した内容の一部を使用しました。ここに感謝の意を表します。
参考文献
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演梗概集 B，pp.313~316，1985.104) 下沖航他：水平二方向入力時の履歴型・粘性型減衰機構を持つ高減衰積層ゴムの捩れ歪の検討，日本建築学会構造系論文集，第 77 巻，第 678 号，pp.1247-1256，2012.85) Sachie Yamamoto et al：. Study on Multi-cyclic Characteristicsof Devices for Seismic Isolation against Long PeriodEarthquake Motions (Multi-cyclic Loading Experiment on
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層ゴム支承の性状について－限界特性－，2009.77) 秋山宏他：地震時における柔剛混合せん断型多層骨組の残留変形，日本建築学会大会学術講演梗概集，B-2，
pp.397-398，1998.98) ㈱ブリヂストン：高減衰積層ゴム(X0.6)技術資料，認定
番号：MVBR-0341，2007.4