【別解１】（加法定理・近似を利用：検定教科書風）

研伸館 物理科の米田 誠です．強者の戦略 HP の物理のページ，第 54 回目は第 53 回目で紹介した『２０１０コンデンサーのリアクタンスは年度 和歌山県立医科大学 前期日程（改題）』からの出題，ンデンサーの最大電圧 V0 と I1 の最大値 I10 の関係は，「交流回路における力率」に関する問題の解答解説 +aです。

V0 =1I10wC→

I10 = wCV0

ここで，コンデンサーに流入する電流の位相は，電圧【解答解説】
本解説では第 53 回の紹介文でも示したように『加法および『インピーダンスの計算における作図法』に着目します。問題自体はオーソドックスゆえ，類題の解pだけ進んでいるので，2の位相よりも定理・近似を用いた解法 VS 微分・積分を用いた解法』=
I1ªI10 sin wt +ºp= wCV0 cos wt2となる。

答の流れを知っていれば，この問題を完答することは難しくありませんので，できれば読者の皆さんには完【別解２】（微分・積分を利用）

答するだけでなく，納得することに軸足を置いて頂け

キルヒホッフの法則からればと思います。

Q= V0 sin wt
C(A)→Q = CV0sinwt

ここで，電流の連続条件（ I (t) =I1

A+QCI

B-Q=
I1dQ=dtdQ(t)）からdtwCV0 cos wtが得られる。
V = V0sinwt

34，1LC

単位時間当たりにコンデンサーに流入する電気量がI1 であるから，Dt 間における電気量の変化は
DQ = I1 Dt

1[W] なので，コwC

DI2…①2
Dt 間での電圧の変化量 DV はI=DV V0 sin w(t + Dt) − V0 sin wt

キルヒホッフの法則から= V0 (sin wt cos wDt + cos wt sin wDt) − V0 sin wt

V −L≒ V0 (sin wt + wDt cos wt) − V0 sin wt

=
I1

DQ
=Dt

C DV
= wCV0 cos wt
Dt

DI 2=0 →Dt

V=L

DI 2
Dt

…②

ここで，コイルに流れる電流の変化 DI2 は= V0 wDt cos wt
ここで，①式から

V = V0sinwt=
DI 2

I 20 sin{w(t + Dt) + a} − I 20 sin(wt + a)=

I 20 sin{(wt + a) + wDt} − I 20 sin(wt + a)

≒ I 20 wDt cos(wt + a)となる。

これを②に代入し，また V = V0sinwt ゆえに

1ª=V0 sin wt

wLI 20 sin wt + a +p2ºwC =となる。ここで上式は任意の時刻にて成立するので，
I 20 ==I2

また，このときの角周波数 w は w =V0p， a= −wL2である。以上から，ªº

キルヒホッフの法則から，となる。
【別解１】（加法定理・近似を利用：検定教科書風）
コイルのリアクタンスは wL [W] ゆえに，V0 と I20 の=V

RI 2 + L

9，4関係は，∴

I 20 ==
V=
Vª10と 同 様 に 考=
え て， DI 2ºVp= − 0 cos wt2wL

RI 20 sin(wt + f) + wLI 20 cos(wt + f)

I 20 R 2 + (wL)2 sin(wt + f + b)

（ただし， tan b =→f+b=0
キルヒホッフの法則から
V=LdI 2dtdI 2=dt

V=Ltan=ff = -btan(−b) = −wLRが得られる。また，=V0V0sin wt
L

I 20 =

両辺を t で積分してV0
R + (wL)22

ここで， tan f = −V0
cos wtwLwL
R

これを⑤に代入して，5I 20 =キルヒホッフの第１法則（電流の法則）から，
wCV0 cos wt −I= I1 + I 2=ª1cos wtwL，

7= V0 wC −º…③ª1wLV0cos fRが得られる。

V0cos wtwL=
I V0 wC −③から，t = 0 のとき，

I 20 R 2 + (wL)2 ゆえに…⑤→

wL = -Rtanf なのでRR 2 + (wL)2 =R 1 + tan 2 f =cos fが得られる（積分定数を 0 としている）。

6wL）
Rとなるので，【別解２】（微分・積分を利用）

I2 = −…④となる。④と V = V0sinwt を比較すると，となる。

→

I 20 wDt cos(wt + f)

ここで，三角関数の合成を考えて，p遅れるので，
2I 20 sin wt −DI 2Dtとなるので，

V0wL

ここで，コイルを流れる電流の位相は電圧の位相より=I21である。
LC8V0Vpsin wt −= − 0 cos wtwL2wL

V0 = wLI201となるときに，電流は最小値 I = 0 となる。
wLº となるので，
2

【別解】（ベクトル図を用いた解法）ª

RI 20 sin(wt + f) + wLI 20 sin wt + f +=V

p2(t) I (t) V0 I 0 sin(wt) sin(wt + f) で
P (t) V=
瞬時電力は=º表されるので，有効電力 P は周期 T =に お い て，RI20sin(wt + f) を 大 き さ が RI20， 位 相 がP=

wt + f のベクトルの sin 成分として捉える。また，同ª様にして wLI 20 sin wt + f +位 相 が wt + f +p2T∫ P(t)dt0VIº を，大きさがwLI ，=∫ sin(wt) sin(wt + f)dt
T=えると，下図のように大きさR 2 + (wL)2 ，位相が=wt + f + b の合成ベクトルの sin 成分と V が一致することがわかる。

=

VT0 020pの ベ ク ト ル の sin 成 分 と し て 捉
20Tcos(f) − cos(2 wt + f)dt
2V0 I 0T∫

V0 I 02T∫ ”cos(f) − cos(2wt + f)’ dt0T0

V0 I 01cos(f) ⋅2T=

V0 I 0cos(f) − 02=

V0 I 0cos(f)⋅2 2wLI20
f1T2pとして，w

RI20∫ dt − 2 “ 2w sin(2wt + f)‘T

V0 I 01T00が得られます。

wt

ここで，V(t)，I(t) の実効値をそれぞれ V ，I とすると，有効電力 P はまた，ベクトル図から

P = V I cos(f)wLtan f =Rcos f =→…⑥で表され，また，皮相電力（apparent power）：S は
S =VIR…⑦ で定義されるので，⑥，⑦から

R 2 + (wL)2

P = S cos(f)R
R 2 + (wL)2 =cos fが得られます。
これらのことから，有効電力 P は，皮相電力 S のV
これを④に代入して， I 20 = 0 cos f
Rcos(f) 倍であることがわかります。この cos(f) を力が得られる。

率といい，交流電源から供給される電力のうち，実際に消費される電力の割合を示します。ここで，電圧＜考察＞力率についてV(t) と電流 I(t) の位相差 f（0 < f < 90°）の値が 0 に近この問題で扱われている「正弦波交流電流」におけいほど力率は大きくなる，すなわち供給される電力をる電力（電圧と電流の積）の計算においては，その電有効に利用することができるようになります。実際の流や電圧が時間的に変化することから，直流電流におモーターなどではこの位相差 f を小さくするため，進ける諸量の定義に加えていくつかの物理量が定義され相コンデンサー（電圧の位相を進める，電流の位相にています。（任意の時刻における瞬間の電力 V(t)I(t) を近づける効果がある）などの部品を回路に組み込むこ

瞬時電力 P(t) といい，P(t) は周期的に変化します。）とで力率を向上させる工夫がなされています。

まず，有効電力（effective power）とは，瞬時電力

ちなみに，無効電力 Q は Q = IV sin(f) で表され，P(t) を 1 周期 T にわたって平均した値であり，V (t) = V0 sin(wt)=I (t)，Q が大きいほど無駄な電力を浪費している（家庭レベI 0 sin(wt + f)

ルで言うと余計な電気料金を支払う）ことになります。とすると，

以3上