数理解析研究所講究録
第 1928 巻 2014 年 63-88

63

非分離型 2 次元ウェーブレットの構成と画像処理への応用

Construction of two-dimensional nonseparable wavelets andtheir applications to image processing
藤ノ木健介

$*$

東海大学理学部情報数理学科

Kensuke Fujinoki

Department of Mathematical Sciences, Tokai University
概要

非分離型 2 次元ウェーブレットを 2 次元格子に構成する方法を述べる．結晶構造の定式化をもとにした 1 次元ウェーブレットの直接的な一般化を用いて，3 角形格子に 2 次元リフティングを使って一連の双直交ウェーブレットを構成する．画像処理における応用例を紹介し，格子上の直交 Haar ウェーブ
レットについても触れる．

1

はじめに

非分離型 2 次元ウェーブレット (two-dimensional nonseparable wavelets) [2, 14,
15, 16] とは，1 次元ウェーブレットをテンソル積により 2 次元へと拡張した分離型

ウェーブレットとは異なり，本質的な 2 次元ウェーブレットを意味する．通常の離散ウェーブレット変換は，ウェーブレットフィルタと呼ばれるある条件を満たすフィルタの組を信号に適用することであるが，分離型の方法ではこの (1 次元の) フィルタをもとに 2 次元フィルタを構成する [18]. つまり分離型の$\{h[k], g[k]\}_{k\in \mathbb{Z}}$2 次元フィルタは 1 次元の形に分解できるため，構造が簡単で扱いやすいという特長がある．しかし逆にそれが制約となってフィルタの特性が均質的になってしま
い，たとえば画像の方向性解析など，2 次元信号特有の状況に応じた複雑な処理には適していないといえる．

非分離型の場合は上のように分離できないため構造はいくらか複雑になるが，望む性質を持ったフィルタを設計することができる．より自由度の高い多様なフィ*e-mail: fuj inoki@tokai-u. jp

64
ルタを設計できる利点の反面，フィルタ係数が複素数になるなど，その設計はやさしくない．

本稿では 1 次元ウェーブレットの直接的な一般化を用いた，極めて扱いやすい
非分離型 2 次元ウェーブレットの構成法を紹介する．このアプローチでは，固体物理学における結晶構造の定式化をもとにしており，さまざまな形の 2 次元格子に応じたウェーブレットの設計が考えられるが，ここでは主に 3 角形格子の場合に着目した 3 角形ウエーブレット (triangular wavelet) [20, 10] を扱う．これは，六方対称性 (hexagonal symmetry) をもつため，応用では等方的画像処理を可能とする特長がある．

本稿では主に双直交の場合を想定し，関数系よりもフィルタの性質にフオーカスする．このため，2 節ではまず 1 次元の双直交ウェーブレットフイルタとその周辺の簡単なレビューからはじめる．3 節では，リフティング (lifting) [23, 24] を格子上に拡張して，一連の非分離型 2 次元双直交ウェーブレットを構成する方法を述べ，3 角形格子の場合における理論を展開する．また，直交 Haar ウエーブレッ
トの構成法にも触れ，最後に画像処理における応用と展望について述べる．

2 1 次元双直交ウェーブレツト
2.1 ポリフエーズ表現
解像度$2^{j},$$j\in \mathbb{Z}$の数列データ，または信号$\{\mathcal{C}j[k]\}_{k\in \mathbb{Z}}$のフーリエ変換を$\hat{c}_{j}(\omega)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}c[k]e^{-i\omega k}, \omega\in \mathbb{R}$とし，$c_{j}[k]$を偶数番地 $c_{j}[2k]$ と奇数番地 $c_{j}[2k+1]$ からなる独立な成分$\hat{c}_{j,e}(\omega)=\sum_{k\in Z}c_{i}[2k]e^{-i\omega k}, \hat{c}_{j,0}(\omega)=\sum_{k\in Z}c_{i}[2k+1]e^{-i\omega k}$(2.1)

として定義する．同様に信号のフーリエ変換も偶数と奇数にわけると$\hat{c}_{j}(\omega)=\sum_{k}c_{j}[k]e^{-i\omega k}=\sum_{k}c_{j}[2k]e^{-i\omega 2k}+\sum_{k}c_{j}[2k+1]e^{-i\omega(2k+1)}$$= \sum_{k}c$ ノ $[2k]e^{-i2\omega k}+e^{-i\omega} \sum_{k}c_{j}[2k+1]e^{-i2\omega k}$となり，上の定義から次式を得る．
$\hat{c}_{j}(\omega)=\hat{c}_{j,e}(2\omega)+e^{-i\omega}\hat{c}_{j,0}(2\omega)$

(2.2)

65
のポリフエーズ表現 (polyphase representation) と呼び，この場合はとの周期の 2 つのポリフェーズ成分で扱うことになる．
信号を性を利用して両辺にを代入し，これらを逆に解けば関係式
これを$\hat{C}j(\omega)$$\hat{c}_{j,e}(\omega)$$\hat{c}_{j}(\omega)$$\hat{c}_{j_{0}},(\omega)$$\omegaarrow\omega+\pi$$\hat{c}_{j,e}(2\omega)=\frac{\hat{c}_{j}(\omega)+\hat{c}_{j}(\omega+\pi)}{2}, \hat{c}_{j.0}(2\omega)=\frac{\hat{c}_{j}(\omega)-\hat{c}_{j}(\omega+\pi)}{2e^{-i\omega}}$(2.3)の項は信号を偶数と奇数にわけた際，つまり 2 でダウンサンプ
リングした際に生じるエイリアス成分である．
ウェーブレット変換はポリフェーズ表現を用いて次のように定義される．

を得る．

$\hat{\mathcal{C}}j(\omega+\pi)$$(\begin{array}{l}\hat{c}_{j- 1}(\omega)\hat{d}_{j- 1}(\omega)\end{array})=\overline{P}(\omega)^{\dagger}(\begin{array}{l}\hat{c}_{j,e}(\omega)\hat{c}_{j,o}(\omega)\end{array})$

ここで，$\hat{P}(\omega)^{\uparrow}$

はポリフェーズ行列$\hat{P}(\omega)$のエルミート共役を表す．もともと$\hat{c}_{j,e}(\omega)$はそれぞれ原信号の半分の長さの成分しか含んでいないことから，この
変換は信号を解像度が半分の近似成分 $c_{j-1}[k]$ と詳細成分 $d_{j-1}[k]$ に分解すると$\hat{c}_{j,0}(\omega)$$c_{j}[k]$ことを意味する．
はローパスフィルタ
ここで，ポリフェーズ行列
タのポリフエーズ表現から$\overline{P}(\omega)$$\{h[k]\}_{k\in \mathbb{Z}}$とハイパスフィノレ$\{g[k]\}_{k\in \mathbb{Z}}$$\overline{P}(\omega)=(\begin{array}{ll}\hat{h}_{e}(\omega) \hat{g}_{e}(\omega)\hat{h}_{o}(\omega) \hat{g}_{o}(\omega)\end{array})$(2.4)と定める．もとの信号を再構成するためには，上記の双対フイルタ (dual filters)$\{\tilde{h}[k], \tilde{g}[k]\}_{k\in \mathbb{Z}}$から構成される双対ポリフェーズ行列$\wedge\overline{P}(\omega)=(\begin{array}{ll}\hat{\tilde{h}}_{e}(\omega) \hat{\tilde{g}}_{e}(\omega)\hat{\tilde{h}}_{o}(\omega) \hat{\tilde{g}}_{o}(\omega)\end{array})$

を用いて$(\begin{array}{l}\hat{c}_{j,e}(\omega)\hat{c}_{j,o}(\omega)\end{array})=\overline{\overline{P}}(\omega)(\begin{array}{l}\hat{c}_{j- 1}(\omega)\hat{d}_{j- 1}(\omega)\end{array})$とすればよいが，フィルタは完全再構成条件 (perfect reconstruction condision)$\overline{\overline{P}}(\omega)\hat{P}(\omega)^{\dagger}=I$(2.5)

を満たさなければならない． は 2 次の単位行列である．これは双直交条件としても知られており，関係式 (2.3) を用いて$I$$\hat{h}^{*}(\omega)\hat{\tilde{h}}(\omega)+\hat{g}^{*}(\omega)\hat{\tilde{g}}(\omega)=2$(2.6)$\hat{h}^{*}(\omega+\pi)\hat{\tilde{h}}(\omega)+\hat{g}^{*}(\omega+\pi)\hat{\tilde{g}}(\omega)=0$

66
とも表現できる． は複素数値関数 の複素共役である．一行目はフィルタ処理
からの信号の完全再構成を保証し，2 行目は信号を偶数と奇数にわける (ダウンサンプリングする) ことにより生じるエイリアス成分をキャンセルする条件である．
この条件を満たすフィルタは通常次のような関係で結ばれている．
$\hat{h}$$\hat{h}^{*}$(2.7)$\hat{g}(\omega)=e^{-i\omega}\hat{\tilde{h}}^{*}(\omega+\pi) , \hat{\tilde{g}}(\omega)=e^{-i\omega}\hat{h}^{*}(\omega+\pi)$

このような性質を持つフィルタを双直交フィルタ，あるいは完全再構成フイルタとはの双直交基底呼び， $\{h[k-2\ell], g[k-2\ell]\}_{t\in Z}$ , およびとなることが知られている．ウェーブレット理論ではスケーリング関数$\{h\sim[k- 2\ell], \tilde{g}[k-2\ell]\}_{t\in Z}$$\ell^{2}(\mathbb{Z})$$\phi(t)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}\sqrt{2}h[k]\phi(2t-k) , \tilde{\phi}(t)=\sum_{k\in Z}\sqrt{2}h[k]\tilde{\phi}(2t-k)$,とウェーブレット$\psi(t)=\sum_{k\epsilon Z}\sqrt{2}g[k]\phi(2t-k) , \tilde{\psi}(t)=\sum_{k\in Z}\sqrt{2}\tilde{g}[k]\tilde{\phi}(2t-k)$が各フィルタから生成され，それぞれ伸張方程式 (dilation equation)とウェーブ

レット方程式 (wavelet equation) で定義される．これらは $L^{2}(R)$ の双直交基底と
なる．

2.2

リフティング

双直交ウェーブレットを作るのに便利なリフティングは次の 4 ステップで記述できる [25].

1. スプリット (Split) :まずは信号$c_{j}[k]$を偶数番地$c_{j,e}[k]$と奇数番地$c_{j,0}[k]$にわけて扱う．
$c_{j,e}[k]:=c_{j}[2k]$(2.8)$c_{j,0}[k]:=c_{j}[2k+1]$

2. 予測 (Predict) :次に予測作用素 (prediction operator)$P$

により $c_{j,e}[k]$ を用いを予測することを考える．その予測誤差 (prediction error) を詳細成分 $d_{j-1}[k]$ として，と置き換える．
て$c$

あ$0[k]$$c_{j,e}[k]$$c_{j,0}[k]arrow d_{j-1}[k]=c_{j,0}[k]-p(c_{j,e})[k]$3. アップデート (Update) :アップデート作用素 (update operator)
測誤差の結果 $d_{ノ-1}[k]$ を使って

$c_{j,e}[k]$

$u$

により予

をスムースな $c_{j-1}[k]$ として置き換える．

$c_{j,e}[k]arrow c_{j-1}[k]=c_{j,e}[k]+u(d_{j-1})[k]$67
4. スケーリング (Scaling) :最後に必要であれば変換前後でエネルギー等が変わらないよう定数 $K$ で正規化する．
$c_{j-1}[k]=Kc_{j-1}[k]$$d_{j-1}[k]=1/Kd_{j-1}[k]$ここで，予測を主リフティング (primal lifting), アップデートを双対リフティンと呼ぶ場合もある (文献により逆の場合もあるので注意). 各リ
フティングステップは構造上，逆変換が容易に可能である．
グ (dual lifting)$c$

沸 $e[k]=c_{j-1}[k]-u(d_{j-1})[k]$$c_{j,0}[k]=d_{j-1}[k]+p(c_{j,e})[k]$

リフティングを先ほどのポリフェーズ領域で考えてみよう．まずスプリットという操作は本質的にはポリフェーズ領域で信号を偶数と奇数にわけて扱う (2.1) に他
ならないことがすぐにわかる．さらに，リフティングのスケーリング アップデー
ト，予測の各ステップは$\overline{P}(\omega)^{\uparrow}$を次の形に分解することに対応する [5].
(2.9)$\hat{P}(\omega)^{\dagger}=(\begin{array}{ll}K 00 1/K\end{array})(\begin{array}{ll}1 \hat{u}(\omega)0 l\end{array})(\begin{array}{ll}1 0-\hat{p}(\omega) 1\end{array})$

たとえば簡単に$\hat{p}(\omega)=],$$K=$$\hat{u}(\omega)=\frac{1}{2},$亟とすれば Haar フィルタ$\hat{h}(\omega)=\frac{1+e^{-i\omega}}{\sqrt{2}}, \hat{g}(\omega)\frac{-1+e^{-i\omega}}{\sqrt{2}}$が得られる．ここで関係式 (2.2) を使った．Haar フィルタは
交フイルタである 1. $K$ はそのままにして線形予測 (linear prediction)$h=\tilde{h},$$g=\tilde{g}$となる直$\hat{p}(\omega)=\frac{1+e^{i\omega}}{2}, \hat{u}(\omega)=\frac{1+e^{-i\omega}}{4}$を用いれば，2 次の双直交ウェーブレットフィルタ$\hat{h}(\omega)=\frac{-e^{i2\omega}+2e6+2e^{-i\omega}-e^{-i2\omega}}{\sqrt{2}},$$\hat{g}(\omega)=\frac{-1+2e^{-i\omega}-e^{-i2\omega}}{2\sqrt{2}}$(2.10)

が得られる．これは CDF $(2,2)$ 双直交ウェーブレットフィルタ $2[3]$ と呼ばれ，双対フィルタ$\hat{\tilde{h}}(\omega)$,$\hat{\tilde{g}}(\omega)$は (2.9) の逆行列を用いて次のように与えられる．

$\wedge\overline{P}(\omega)=\overline{P}(\omega)^{\dagger^{-1}}=(\begin{array}{ll}1 0\hat{p}(\omega) 1\end{array})(\begin{array}{ll}1 -\hat{u}(\omega)0 1\end{array})(\begin{array}{ll}1/K 00 K\end{array})$とすれば双直交 (非正規形) Haar フィルタが得られるの次数 ( $\omega=0$ での零点) を表し，各ウェーブレットのモーメント消滅個数に対応する．また 5/3 ウェーブレットフィルタと呼ぶ場合もある．この場合は各フィルタ係数の個数を表す．
$1K=1$$2(N,\overline{N})$は $g$ と$\tilde{g}$68
ポリフェーズ行列のリフテイング表現 (2.9) では逆行列が存在することは自明であり，このような形で導かれたフイルタは必ず完全再構成条件 (2.5) を満たす．また，各リフティングステップの行列式は常に 1 であることも明らかである．もとであることか直交ウエーブレットのポリフエーズ行列はを変えない変換であることがわかる．このことから，ら，リフティングは予測作用素 とアップデート作用素 を任意に決めることにより，様々な性質をもと，(双)$\det\overline{P}(\omega)=1$$\det\hat{P}(\omega)$$\hat{u}$$\hat{p}$持った完全再構成フイルタを導出できる．三角多項式を選ぶと有限インパルス応
答を持つ FIR (finite impulse response) フイルタが得られる．

たとえば，線形予測により得られたフイルタは 2 次の次数を持つが，さらに次数の高い $N$ 次のフイルタはラグランジュ補間 (Lagrange interpolation) [19] をもとに次のように を決定し，$p$$(-1)^{k+L-1} \prod(L+1/2-n)2L$$p^{N}[k]= \frac{n=1}{(L-k)!(L-1+k)!(k-1/2)}, L\geq 1, -L<k\leq L$

この結果を

$u$

(2.11)に利用して$u^{\overline{N}}[k]= \frac{\overline{p}^{\overline{N}}[k]}{2}, \overline{N}\leqN$と定めることで算出できる．なお $\overline{p}[k]=p[-k],$ $N=2L$ である．このラグランジュ
補間をもとにしたリフテイングの予測 (2. 11) を補間予測 (interpolaing prediction) と呼ぶこととする．この方式から得られるフイルタは $N$ 次の Deslauriers-Dubuc フィはハーフバンド条件 (halfband condition)
ルタ [6, 7] と呼ばれ，$\hat{\tilde{h}}(\omega)$(2.12)$\hat{\tilde{h}}(\omega)+\hat{\tilde{h}}(\omega+\pi)=1$を満たすラグランジュハーフバンドフィルタ (Lagrange halfband filter) [11 と等価となる．さらに，(2.13)$\hat{\tilde{h}}(\omega)=\backslash (-\omega)$となる対称性も持っており，関連するスケーリング関数$\tilde{\phi}(t)$は $N-1$ 次の多項式を復元する補間スケーリング関数 (interpolating scaling function) である．
補間予測 (2.11) において任意の補間次数 を選べば，(2.12) と (2.13) を満たす
$L$

$2N$

次の補間フィルタを設計することができる．たとえば$N=\overline{N}=4$$\hat{p}^{4}(\omega)=\frac{-e^{i\omega}+9+9e^{-i\omega}-e^{i2\omega}}{16}$として，以下を得る．
$\hat{h}(\omega)=\frac{348+144e^{\pm i\omega}-63e^{\pm i2\omega}-16e^{\pm i3\omega}+18e^{\pm i4\omega}-e^{\pm i6\omega}}{256}$$\hat{g}(\omega)=\frac{e^{i\omega}-9+e^{-i\omega}-9e^{-i2\omega}+e^{-i4\omega}}{16}$

なお $N=\overline{N}=2$ の場合は CDF $(2,2)$ フィルタ (2.10) に帰着する．

のときは

69

3 非分離型 2 次元ウェーブレツト
3.1

ブラベー格子

固体物理学では，一部の結晶は 3 つの基本並進ベクトル (primitive translation
vectors) により生成されるブラベー格子 (Bravais lattice) として分類される [13].

これは，結晶構造を系統的に記述する優れた方法として知られている．この方法を利用して格子空間内に非分離型 3 次元ウェーブレット [17] を構成することができるが，ここではこの結晶構造の定式化を 2 次元信号に応用することを考える．
を定義する．これらは線形独立ではあるが，互いに直交する必要はない．ブラベー格子 は基本並進ベクトルの線形結合により次のように生成される．
まず 2 つの基本並進ベクトル$t_{1},$$t_{2}\in \mathbb{R}^{2}$$\Lambda$$\Lambda=\{t=n_{1}t_{1}+n_{2}t_{2}|(n_{1}, n_{2})\in \mathbb{Z}^{2}\}$

ふつうの 2 次元格子は $t_{1}=(10)^{T},$ $t_{2}=(01)^{T}$ としたときであり，一般的なディジに画素値が与えられていると考えればよい．画像のピクセルに相当するのは，ウィグナーザイツ胞 (Wigner-Seitz cell)3 と呼ばれる領域で，これが平面を埋め尽くす．
ブラベー格子には逆格子 (reciprocal lattice) が存在する．2 つの逆格子ベクトルを(reciprocal lattice vectors)
タル画像は格子上の各点$t\in\Lambda$$\lambda_{1},$$\lambda_{2}$$\lambda_{k}\cdot t_{k}=0, k=1, 2$(3.1)となるように定めると，逆格子は次のように与えられる．
$\overline{\Lambda}=\{2\pi(\lambda=m_{1}\lambda_{1}+m_{2}\lambda_{2})|(m_{1},m_{2})\in \mathbb{Z}^{2}\}$

ブラベー格子$\Lambda$上に定義される信号$\{c_{j}[t]\}_{t\in\Lambda}$のフーリエ変換を$\hat{c}_{j}(\omega)=\sum_{t\in\Lambda}c_{j}[t]e^{-i\omega\cdot t}, \omega\in \mathbb{R}^{2}$で定めると，$\hat{c}_{j}(\omega)$は$ _{}j(\omega)=\hat{c}_{j}(\omega+2\pi\lambda)$,$\lambda\in\overline{\Lambda}$の二重周期構造を持つ．逆格子はブラベー格子のフーリエ領域に対応しており，ブ(Brillouin zone) と呼ばれる領域が定義される．これはフィル
リルアンゾーン
タの基本領域となり，ナイキスト周波数 $(1 次元の場合の区間 [-\pi, \pi])$ に対応しに相当する点はであり，二重周期性のため 2 つている．特に，あることに注意しよう．
$\mathcal{B}$$\omega=\pi$

3 文献

よって

$\omega=\pi\lambda_{1},$ボロノイセ (Voronoi Cell)$\pi\lambda_{2}$と呼ぶ場合もある．

70$\downarrow$(b) 3 角形格子(a) 正方格子

図 1: ブラベー格子$\Lambda$, 基本並進ベクトル$t_{1},$$t_{2}$,

ウィグナーザイツ胞．

いま基本並進ベクトルを$t[=(\begin{array}{l}10\end{array}), t_{2}=(^{\frac{1}{\frac{\sqrt{3}2}{2}}})$(3.2)と定義すると，図 1 のような 3 角形ブラベー格子が生成される．この 3 角形格子の場合のウィグナーザイツ胞は 6 角形の領域となる．

$\Lambda$

逆格子ベクトルは$\lambda_{1}=(\begin{array}{l}0\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}), \lambda_{2}=(\begin{array}{l}1\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array})$とする．したがってブリルアンゾーンも 6 角形の領域である (図 2 を参照). ここで $t_{3}=-t_{1}-t_{2},$とすれば格子上でのポリフェーズ表現を考える上で後$\lambda_{3}=\lambda_{1}-\lambda_{2}$に便利なことがわかる．また $to=\lambda_{0}=0$ であり，$e^{-i\pi n\lambda_{i}\cdot t_{j}}=\{\begin{array}{l}1, i=j,i, j=1, 2, 3, n\in \mathbb{Z}(-1)^{n}, i\neq j,\end{array}$

(3.3)

である．

3.2 格子上でのポリフエーズ表現
以下では，3 角形ブラベー格子において 1 次元ウェーブレットの直接的な一般化について述べる．まず，ブラベー格子 は 4 つの独立な部分格子 (sublattices)$\Lambda$$\Lambda_{m},$$m=0$ , 1, 2, 3 に分解することができる．

$\Lambda=\sum_{m=0}^{3}\Lambda_{m}, \Lambda_{m}=\{2t+t_{m}|t\in\Lambda\}$

(3.4)

71

図 2: 図 1(b) の $\omega=(\xi, \eta)$ 空間における逆格子$\overline{\Lambda}$,

逆格子ベクトル$2\pi\lambda_{1},$$2\pi\lambda_{2}$, ブリ

ルアンゾーン．

逆格子についても同様である．
$\hat{\Lambda}=\sum_{m=0}^{3}\hat{\Lambda}_{m}, \hat{\Lambda}_{m}=\{2\pi(2\lambda+\lambda_{m})|2\pi\lambda\in\hat{\Lambda}\}$(3.5)

各部分格子におけるすべての格子点を集めれば，もとの格子が復元される．これはブラベー格子のポリフェーズ分解に他ならない．つまり，部分格子の各格子点の選択には 4 つの組み合わせ$\Lambda_{0}=\{2t+0|t\in\Lambda\}$(even, even),$\Lambda_{1}=\{2t+t_{1}|t\in\Lambda\}$,(even, odd)$\Lambda_{2}=\{2t+t_{2}|t\in\Lambda\}$,(odd, even)$\Lambda_{3}=\{2t+t_{3}|t\in\Lambda\}$,(odd, odd)

(3.6)

が考えられる．
この事情に関連して，信号$\{c_{j}[t]\}_{t\in\Lambda}$は各部分格子$\Lambda_{m}$上の独立な点として$ _{}m,j(\omega)=\sum_{t\in\Lambda}c_{j}[2t+t_{m}]e^{-i\omega\cdot t}, m=0, 1,2, 3$(3.7)のようにフーリエ領域において 4 つのポリフェーズ成分で表される．これは (2.1)の一般化であり，1 次元では信号を偶数と奇数にわけて扱うことに相当する．した

72
がって

$\{c_{j}[t]\}_{t\in\Lambda}$のフーリエ変換も 4 つにわけることで，ポリフェーズ表現は$ _{}j(\omega)=\sum_{t\in\Lambda}c_{j}[t]e^{-i\omega\cdot t}=\sum_{m=0}^{3}\sum_{t\in\Lambda_{m}}c_{j}[t]e^{-i\omega\cdot t}$$= \sum_{m=0}^{3}\sum_{t\in\Lambda}c_{j}[2t+t_{m}]e^{-i\omega\cdot(2t+t_{n})}$$= \sum_{m=0}^{3}e^{-i\omega\cdot t_{m}}\sum_{t\in\Lambda}c_{j}[2t+t_{m}]e^{-i2\omega\cdot t}$$= \sum_{m=0}^{3}e^{-i\omega\cdot t_{m}}\hat{c}_{m,j}(2\omega)$周期であることから，1 次元の場合に倣って上の式に$k=1$ , 2, 3 を代入するとで与えられる．
$\omegaarrow\omega+\pi\lambda_{k},$$\hat{\mathcal{C}}j(\omega)$が2$\pi\lambda$$\hat{c}_{j}(\omega+\pi\lambda_{k})=\sum_{m=0}^{3}e^{-i(\omega+\pi\lambda_{k})\cdot t_{m}}\hat{c}_{m,j}(2\omega)$を得る．行列形では$(\begin{array}{l}\hat{c}_{j}(\omega)\hat{c}_{j}(\omega+\pi\lambda_{1})\hat{c}_{j}(\omega+\pi\lambda_{2})\hat{c}_{j}(\omega+\pi\lambda_{3})\end{array})=\hat{U}(\omega)(\begin{array}{l}\hat{c}_{0,j}(2\omega)\hat{c}_{1,j}(2\omega)\hat{c}_{2,j}(2\omega)\hat{c}_{3,j}(2\omega)\end{array}),$$\hat{U}(\omega)=(\begin{array}{llll}l e^{-i\omega\cdot t_{1}} e^{-i\omega\cdot t_{2}} e^{-i\omega\cdot t_{3}}l e^{- i\omega\cdot t_{l}} -e^{- i\omega\cdot t_{2}} -e^{- i\omega\cdot t_{3}}1 -e^{-i\omega\cdot t_{1}} e^{- i\omega\cdot t_{2}} -e^{-i\omega\cdot t_{3}}1 -e^{-i\omega\cdot t_{l}} -e^{- i\omega\cdot t_{2}} e^{- i\omega\cdot t_{3}}\end{array})$

(3.8)

となるから

$(\begin{array}{l}\hat{c}_{0,j}(2\omega)\hat{c}_{1,j}(2\omega)\hat{c}_{2,j}(2\omega)\hat{c}_{3,j}(2\omega)\end{array})=\hat{U}(\omega)^{-1}(\begin{array}{l}\hat{c}_{j}(\omega)\hat{c}_{j}(\omega+\pi\lambda_{l})\hat{c}_{j}(\omega+\pi\lambda_{2})\hat{c}_{j}(\omega+\pi\lambda_{3})\end{array})$という関係が導かれる．位相因子からなる行列使った．

$\hat{U}(\omega)$の計算には関係式 (3.3) を

3.3 格子上でのウェーブレット変換
ブラベー格子での部分格子
数成分 ，と 3 つの奇数成分$ _{}0_{\dot{J}}$$\Lambda_{m}$$\hat{c}_{k,j},$の組み合わせ (3.6) に倣えば，信号$\{c_{j}[t]\}_{t\in\Lambda}$

は偶$k=1$ , 2, 3 として独立に表現できる．そこで，信73
号を対応する各成分にわけ，ブラベー格子$\Lambda$

上でのウエーブレット変換は$(\begin{array}{l}\hat{c}_{j- 1}(\omega)\hat{d}_{1,j- 1}(\omega)\hat{d}_{2,j- 1}(\omega)\hat{d}_{3,j- l}(\omega)\end{array})=\overline{P}(\omega)^{\dagger}(\begin{array}{l}\hat{c}_{0,j}(\omega)\hat{c}_{1,j}(\omega)\hat{c}_{2,j}(\omega)\hat{c}_{3,j}(\omega)\end{array})$と3で与えられるとする．これより，信号 $c[t]$ は解像度が半分の近似成分
つの詳細成分 $d_{k,j-1}[t],$ $k=1$ , 2, 3 に分解されるが，この分解には 4 つの独立なフイはルタの組が必要であることが示唆されている．ここでポリフェーズ行列, $m=0$ , 1, 2, 3 と(2.4) を一般化して，ポリフエーズ形式のローパスフィルタ$\mathcal{C}j-1[t]$$\hat{P}(\omega)^{\uparrow}$$\hat{h}_{m}(\omega)$

3 つの独立なハイパスフィルタ$\hat{g}_{k,m}(\omega)$から$\overline{P}(\omega)=(\begin{array}{llll}\hat{h}_{0}(\omega) \hat{g}_{l,0}(\omega) \hat{g}_{2,0}(\omega) \hat{g}_{3,0}(\omega)\hat{h}_{1}(\omega) \hat{g}_{1,1}(\omega) \hat{g}_{2,1}(\omega) \hat{g}_{3,1}(\omega)\hat{h}_{2}(\omega) \hat{g}_{1,2}(\omega) \hat{g}_{2,2}(\omega) \hat{g}_{3,2}(\omega)\hat{h}_{3}(\omega) \hat{g}_{1,3}(\omega) \hat{g}_{2,3}(\omega) \hat{g}_{3,3}(\omega)\end{array})$と構成される．ここで$\hat{h}_{m}(\omega)=\sum_{t\in\Lambda}h[2t+t_{m}]e^{-i\omega\cdot t},$$m=0, 1, 2, 3$$\hat{g}_{k,m}(\omega)=\sum_{t\in\Lambda}g_{k}[2t+t_{m}]e^{-i\omega\cdot t},$である．

逆変換は同様に構成された双対ポリフェーズ行列$\wedge\overline{P}(\omega)$を使つて$(\begin{array}{l}\hat{c}_{0,j}(\omega)\hat{c}_{1,j}(\omega)\hat{c}_{2,j}(\omega)\hat{c}_{3,j}(\omega)\end{array})=\overline{P}(\omega)\wedge(\begin{array}{l}\hat{c}_{j- l}(\omega)\hat{d}_{1,j- 1}(\omega)\hat{d}_{2,j- 1}(\omega)\hat{d}_{3,j- 1}(\omega)\end{array})$と定められ，完全再構成条件は$\overline{\overline{P}}(\omega)\hat{P}(\omega)^{\dagger}=I$と一般化される．

$I$

(3.9)

は 4 次の単位行列である．この条件より，双直交条件 (2.6) も74
2 次元に拡張することができる．
$\hat{\tilde{h}}(\omega)\hat{h}^{*}(\omega)+\sum_{k=1}^{3}\hat{\tilde{g}}_{k}(\omega)\hat{g}_{k}^{*}(\omega)=4$$\hat{\tilde{h}}(\omega)\hat{h}^{*}(\omega+\pi\lambda_{1})+\sum_{k=1}^{3}\hat{\tilde{g}}_{k}(\omega)\hat{g}_{k}^{*}(\omega+\pi\lambda_{1})=0$(3.10)$\hat{\tilde{h}}(\omega)\hat{h}^{*}(\omega+\pi\lambda_{2})+\sum_{k=1}^{3}\hat{\tilde{g}}_{k}(\omega)\hat{g}_{k}^{*}(\omega+\pi\lambda_{2})=0$$\hat{\tilde{h}}(\omega)\hat{h}^{*}(\omega+\pi\lambda_{3})+\sum_{k=1}^{3}\hat{\tilde{g}}_{k}(\omega)\hat{g}_{k}^{*}(\omega+\pi\lambda_{3})=0$

3.4 2 次元リフテイング
1 次元の場合に倣って，リフティングを 2 次元に拡張すれば，$\hat{P}(\omega)^{\uparrow}$$\hat{P}(\omega)^{\uparrow}=(\begin{array}{lll}K 0 000 \frac{1}{K} 000 0 \frac{l}{K}00 0 \frac{1}{K}0\end{array})[_{0}^{1}00\hat{u}_{1}(\omega)\hat{u}_{2}(\omega)010010\hat{u}_{3}(0\omega)01)(\begin{array}{lll}01 0 0-\hat{p}_{1}(\omega)1 0 0-\hat{p}_{2}(\omega)0 1 0-\hat{p}_{3}(\omega)0 0 1\end{array})$は(3.11)と分解できる．直接的な一般化を用いているため，各行列の行列式は 1 のままでが存在する
$k=1$ , 2, 3 を設定してもとあり，どのような三角多項式
ことは明らかである．各行列のブラベー格子における意味，つまりは格子上にお$\hat{P}(\omega)^{\dagger^{-1}}$$\hat{p}_{k}$$\hat{u}_{k},$けるリフティングは次のように解釈することができる．
まず， $c[t]$ のポリフェーズ分解で観測したように，格子上に与えられた信号と 3 つの奇数成分 $c_{j}[2t+t_{k}]$ に分割できることから，スプリッは偶数成分$c_{j}[t]$$\mathcal{C}j[2t]$トを$c_{0,j}[t]:=c_{j}[2t]$$c_{k,j}[t]:=c_{j}[2t+t_{k}], k=1, 2, 3$と定める．予測誤差 $d_{k,j-1}[t]$ の計算は 3 つの奇数成分を適用することでに予測作用素れ，偶数成分

$c_{k,j}[t]$$c_{0,j}[t]$に対してそれぞれ行わ$p_{k}$$c_{k,j}[t]arrow d_{k,j-1}[t]=c_{k,j}[t]-p_{k}(c_{0,j})[t], k=1, 2, 3$(3.12)と表される．ここで，予測作用素久が 3 つあることに注意しよう．次にこの結果を用いて $c_{0,j}[t]$ は

$c$

ノ-1

$[t]$

へとアツプデートされる．

$c_{0,j}[t]arrow C_{j-1[t]=c_{0,j}[t]+\sum_{k=1}^{3}u_{k}(d_{k,j-1})[t]}$(3. 13)75
最後に必要であれば正規化を行う．この変換を任意のレベルのような階層構造を有する展開係数が得られる．

$J$まで繰り返せば，次$c_{j}[t]arrow\{d_{k,j-1}[t], d_{k,j-2}[t], \cdots, d_{k,J}[t], c_{J}[t]\}, k=1,2, 3$

なお$\overline{P}(\omega)^{\dagger}arrow\hat{P}(\omega)^{\dagger}(\begin{array}{llll}1 0 0 0 0-1 1 1 01 -1 1 01 1 -1\end{array})$とする Twist リフティング [9] もあるが，以下では通常の (3.11) を使って双直交フイ

ルタを構成する．Twist 型を用いれば 3 角形直交 Haar フイルタが得られるが，その詳しい導出過程は付録を参照されたい．

3.5 3 角形双直交ウェーブレット
3 角形格子 に定義される最も簡単な非分離型ウエーブレットフイルタは 3 角形
双直交 Haar フイルタ [20] と呼ばれ，2 次元リフテイング (3.11) において$\Lambda$$\hat{p}_{k}(\omega)=1, \hat{u}_{k}(\omega)=\frac{1}{4}, K=2, k=1, 2, 3$としたとき関係式 (3.8) を使って$\hat{h}(\omega)=\frac{1+e^{-i\omega\cdot t_{1}}+e^{-i\omega\cdot t_{2}}+e^{-i\omega\cdot t_{3}}}{2}$(3.14)$\hat{g}_{k}(\omega)=\frac{-1+e^{-i\omega\cdot t_{k}}}{2}, k=1, 2, 3$で与えられる．

図 3 にブリルアンゾーン内における$|\hat{h}(\omega)|$の特性を示す．双対フィルタは 1 次元の場合と同様に，式 (3.11) の性質から$\overline{P}(\omega)=\hat{P}(\omega)^{\uparrow-1}$$\hat{h}(\omega)$,$\hat{\tilde{g}}_{k}(\omega)$とすることで算出でき，これらのフィルタは完全再構成条件 (3.9) を満足する．
この条件を満たす 3 角形格子上の完全再構成フィルタは他にもいくつかあるが[4, 21, 22], いずれも数値計算を用いて構成している．3 角形ウエーブレットは一般化されたリフティングスキームを用いて構成される．実際，補間予測をもとにした$p_{k}$の決定方法も直接的に一般化でき，(2.11) に $karrow\ell,$$\ell\in \mathbb{Z}$$p_{k}^{N}[\ell t_{k}]=p^{N}[\ell], k=1, 2, 3$と定めれば，これをもとに$u_{k}$

を代入して(3.15)

を$u_{k}^{\overline{N}}[t]= \frac{\overline{p}_{k}^{\overline{N}}[t]}{4}, \overline{N}\leq N, k=1, 2, 3$(3.16)

76

図 3: ブリルアンゾーンにおける 3 角形双直交 Haar フイルタの周波数特性とすることで任意の次数の$N=\overline{N}=2$$(N,\overline{N})$$(|\hat{h}(\omega)|^{2})$.

双直交フイルタが算出できる [10].

のときの線形予測の場合は$\hat{p}_{k}^{2}(\omega)=\frac{1+e^{i\omega\cdot t_{k}}}{2}, \hat{u}_{k}^{2}(\omega)=\frac{1+e^{-i\omega\cdot t_{k}}}{8}, k=1, 2, 3$となり，2 次の 3 角形双直交フイルタ$\hat{h}(\omega)=\frac{1}{8}(10+2e^{\pm i\omega} -e^{\pm i2\omega} +2e^{\pm i\omega} -e^{\pm i2\omega} +2e^{\pm i\omega} -e^{\pm i2\omega}$$\hat{g}_{k}(\omega)=\frac{1}{4}(-1+2e^{-i\omega\cdot t_{k}}-e^{-i2\omega\cdot t_{k}}) , k=1, 2, 3$が得られる．これは (2.10) の CDF $(2,2)$ フイルタの一般化である．双対フィルタ$\hat{\tilde{h}}$は一般化されたハーフバンド条件(3.17)$\hat{\tilde{h}}(\omega)+\sum_{k=1}^{3}\hat{\tilde{h}}(\omega+\pi\lambda_{k})=2$を満たす格子上に定義されるラグランジュハーフバンドフイルタである．

ここで，3 角形双直交フィルタの性質について考察する．図 4 に Haar と線形予測フィルタの逆格子における密度プロットを示す．図 3 に示したローパスフィル

タの六方対称性がより明らかになっていることが確認できる．なお Haar の場合は,となることに注意しよう．この対称性により，ローパスフイルタ
は各逆格子ベクトル煽，$m=1$ , 2, 3 の方向において同じ構造を持っていることが予想される．実際，等式 (3.17) において各 煽方向における 1 次元特性を見れば，$\hat{h}=\hat{\tilde{h}}$$\hat{h}(\omega)$$\hat{\tilde{h}}(\omega)$$\omega$$\hat{\tilde{h}}(\omega)$は$\hat{\tilde{h}}(\omega\lambda_{k})+\hat{\tilde{h}}(\omega\lambda_{m}+\pi\lambda_{m})=2, k, m=1, 2, 3$というハーフバンド特性を有していることがわかる．さらに，双直交条件 (3.10)
より$\hat{h}^{*}(\omega\lambda_{k})\hat{\tilde{h}}(\omega\lambda_{k})+\hat{h}^{*}(\omega\lambda_{m}+\pi\lambda_{m})\hat{\tilde{h}}(\omega\lambda_{m}+\pi\lambda_{m})=4$

77$|\hat{\tilde{h}}(\omega)|$$|\hat{h}(\omega)|$$|\hat{\tilde{g}}_{2}(\omega)|$

$i$

-r

:

$-$

‘

:

$-$

’

$-$

$arrow$

:

$-$

$|$

$\langle^{:} \xi f \backslash ^{\fbox{Error::0x0000}}$( ) $N=\overline{N}=6$$d$

図 4: 3 角形双直交ウェーブレットフィルタの周波数特性と$\pi\lambda_{m},$$m=1$ , 2, 3.

78

表 1: 3 角形双直交ウエーブレットフイルタの零点が成り立つ．興味深いことに，るっている．

$\hat{g}_{k}(\omega\lambda_{m})$と$\hat{h}(\omega\lambda_{m})$$\hat{\tilde{g}}_{k}(\omega\lambda_{m})$と h($\omega\lambda$のの特性は 1 次元のそれと等価とな, $k\neq m$ についても正規化は異なるが同様のことがいえる．つまりハイパスフィルタにおいても，煽方向に対する 1 次元特性を用いて，式 (2.7) のような関係式が成り立つ．

$\hat{g}_{k}(\omega\lambda_{m})=\{\begin{array}{ll}0, k=m\frac{1}{2}e^{-i\omega t_{k}\cdot\lambda_{m}}\hat{\tilde{h}}(\omega\lambda_{m}+\pi\lambda_{m}) , k\neq m\end{array}$$\hat{\tilde{g}}_{k}(\omega\lambda_{m})=\{\begin{array}{ll}\hat{\tilde{h}}(\omega\lambda_{m}+\pi\lambda_{m}) , k=me^{-i\omega t_{k}\cdot\lambda_{m}}\hat{h}(\omega\lambda_{m}+\pi\lambda_{m}) , k\neq m\end{array}$

図 4 ではハイパスフィルタは $k=2$ のみ描いているが，いて様に，は逆格子にお$\hat{g}_{3}$を $\pm 2\pi/3$ だけ回転することにより得ることができる．ハイパスフィルタ$\hat{g}_{2}$$\hat{g}_{k}(\omega\lambda_{m})$と$\hat{g}_{1}$,$\hat{\tilde{g}}_{k}(\omega\lambda_{m})$$\hat{h}(\omega\lambda_{m})$と, $m=1$ , 2, 3 はそれぞれ $\omega=0$ において $(N, N-)$ 個の零点をもつ．同$\hat{\tilde{h}}(\omega\lambda_{m})$はエイリアスポイントに対応する$\omega=\pi\lambda_{m}$, つまり $\omega=\pi$において $(N, N)$ 個の零点をもつ．この事情をまとめると各フィルタの零点は表 1のようになる．

次にスケーリング関数とウエーブレットの性質についても観察してみよう．図 5に Haar のスケーリング関数$\phi(r)=\sum_{t\in\Lambda}2h[t]\phi(2r-t) , \tilde{\phi}(r)=\sum_{t\in\Lambda}2\tilde{h}[t]\tilde{\phi}(2r-t)$とウェーブレット$\psi_{k}(r)=\sum_{t\in\Lambda}2g_{k}[t]\phi(2r-t)$,$\tilde{\psi}_{k}(r)=\sum_{t\in\Lambda}2\tilde{g}_{k}[t]\tilde{\phi}(2r-t)$$k=1$ , 2, 3,の場合は白がとなる．ここで，を示す．図 4 と同様に，Haar の場合は1 で黒が の値を表し，他の吸， については白が 1, グレーが , 黒が $-1$ となつ$\phi=\tilde{\phi}$$\phi=\tilde{\phi}$

$0$

$0$

$\tilde{\psi}_{k}$ている．

とウエーブレット戦， のすべてにおいてフラク
タルな形状が確認できる．これは 1 次元の場合と同様の Haar の不連続性から生じ
図より，スケーリング関数$\phi,$$\tilde{\phi}$$\tilde{\psi}_{k}$79$\phi(r)=\tilde{\phi}(r)$$\psi_{1}(r) \psi_{2}(r) \psi_{3}(r)$$-0.5$

05

$1D$

05

$-0.5$$1D$$x$$\tilde{\psi}_{1}(r) \tilde{\psi}_{2}(r) \tilde{\psi}_{3}(r)$$-05 0 1D -05 05 1D$$x$

図 5: 3 角形双直交 Haar ウェーブレット．

80$\psi_{2}(r)$$\phi(r)$$\tilde{\psi}_{2}(r)$”( ) $N=\overline{N}=2$
$b$

$($’

( ) $N=\overline{N}=4$$c$( ) $N=\overline{N}=6$$d$

図 6: 3 角形双直交ウェーブレット．

るものと考えられるが，この構造はシェルピンスキーのギャスケット (Sierpinski
gasket) のそれと酷似していることがわかる．文献 [12] では同様の性質を持つグラフが 2 の self-similar tilings として，正方格子の場合において描かれている．図 6を示すが，次数が上がると，このに補間フィルタをもとにした場合のフラクタル性は見られなくなる．さらにはサポートも広がり，6 角形を基本領域と$\mathbb{R}$$\{\phi, \psi_{2}, \tilde{\phi}, \tilde{\psi}_{2}\}$した特性をもつことが確認できる．

81

まとめと画像処理への応用

4

本論文で紹介した格子上のウェーブレット変換の手順をまとめると，以下のようになる．

1. 基本並進ベクトル
2. ブラベー格子$\Lambda$$t_{1},$$t_{2}$

を決め，ブラベー格子$\Lambda$を構成するの部分格子への分解 (3.4) が成り立つように$t_{3}$を定める．

3. 2 次元リフティングにおける予測作用素蘇とアップデート作用素晦を各$1$$t_{k},$$k=$, 2, 3 方向に設定する．

4. 予測 (3.12) とその結果を使ったアップデート (3.13) を用いて詳細成分 (予測
誤差)

5.

$c$

ノ-1

$d_{k,j-1}[t]$$[t]$と近似成分 $Cj-1[t]$ を計算する．

を新たな信号として上の変換を任意のレベルまで繰り返す．

手順 3. における各作用素の設定には，ポリフェーズ行列の分解形 (3.11) の構造から明らかなように，どのようなものを用いても完全再構成フィルタが得られる
が，ラグランジュの補間法に基づき久を補間予測 (3.15) で定め， を (3.16) のよ$u_{k}$

うに設定すると任意の次数 $N$ の補間フィルタが得られる．

また勲を設計することは，格子上の各復方向に対する指向性を持ったハイパス
フイルタ
を (3.8) によって構成することと等価となる．このため，この構成法
では，解析対象である信号の方向特性に応じた娠を定義し，そこから生成される$g_{k}[t]$任意の格子において久を設計できる自由度があるといえる．本稿では 3 角形格子$\Lambda$において $120^{o}$ 毎に配置された各娠方向に$p_{k}$

をそれぞれ等しく設計しているたを得ることが可能となる．
および詳細成分
め，等方的なフィルタ
なおこの選択は図 4 に示したように $h[t],$ $h[t]$ には六方対称性を与える．
こうして得られた 3 角形ウェーブレットフィルタは，画像の等方性を保ったエッ
ジ検出，特徴量抽出，非線形近似［101 や，キーポイント解析 [8］などへと応用する$d_{k,j}[t]$$g_{k}[t],$ $\tilde{g}_{k}[t]$ことができるが，ここでは基本となる等方的な画像分解を紹介する．図 7 は画像を
$j=9$ とし，従来のテンソル形式による Haar ウエーブレットを用いた画像分解と，3 角形 Haar ウェーブレットのそれとを比較した結果である．分解画像が配置されている．なお，は，左上から時計回りの順に3 角形ウェーブレットを標準画像に適用するには画像をブラベー格子 上の点としてリサンプルする必要があるが，ここでは簡単なため，画像のピクセルがあらかじめ格子点に対応していると仮定する．
図より，は娠方向 (横縦・斜) の詳細成分であることから，各方向のエッジ成分が均一に得られていることがわかる．よって，3 角形ウエーブレットは従来のテンソル形式の方法よりも高い等方性をもつといえる．この特性を利用すれば，$k=1$ , 2, 3 からのみ画像を
例えば図 8 のように， $c_{8}[t]=0$ と置いて詳細成分再構成したエッジ抽出において，優位な結果を得ることができる．
$\{c_{j}[t]\}_{t\in\Lambda},$$c_{8}[t],$$d_{1,8}[t],$$d_{3,8}[t],$$d_{2,8}[t]$$\Lambda$$d_{k,j}$$d_{k,8}[t],$82

図 7: 3 角形 Haar (左) とテンソル Haar (右) による画像分解例．

図 8: 詳細成分からのエッジ抽出結果．原画像 (左), 3 角形 Haar(中央), テンソ
ル Haar (右).

付録

3 角形直交 Haar ウェーブレット

以下では 1 次元における直交ウェーブレットの直接的な一般化により，3 角形ブラベー格子上に非分離型 2 次元直交 Haar ウェーブレットを構成する．リフティン
グを拡張する直感的な方法 [9] もあるが，ここでは 3 角形格子 に定義される正規直交スケーリング関数の性質を調べることからはじめる．
$\Lambda$$\phi(r)\in L^{2}(\mathbb{R}^{2})$まず，スケーリング関数が満たす伸張方程式を$\phi(r)=\sum_{t\in\Lambda}2h[t]\phi(2r-t)$,$r\in \mathbb{R}^{2}$

(A.1)

83
とする．フーリエ領域では(A.2)$\hat{\phi}(\omega)=\frac{1}{2}\hat{h}(\frac{\omega}{2})\hat{\phi}(\frac{\omega}{2})$である．あるいは，1 次元の場合に倣って，ローパスフィルタ$\{h[t]\}_{t\in\Lambda}$のフーリエ変換を用いて$\hat{\phi}(\omega)=\prod_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2}\hat{h}(\frac{\omega}{2^{j}})$と表現できる．なお$\hat{\phi}(0)=\int\int_{\mathbb{R}^{2}}\phi(r)d^{2}r=1$であると仮定する．このとき，スケーリング関数$\phi(r)$の正規直交条件は$\langle\phi|\phi(\cdot-t)\rangle=\iint_{\mathbb{R}^{2}}\phi^{*}(r)\phi(r-t)dr$$= \frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\int\int_{\mathbb{R}^{2}}e^{-i\omega\cdot t}|\hat{\phi}(\omega)|^{2}d^{2}\omega$$=\delta[t]$で与えられる．ここで，$\delta[t]=\{\begin{array}{ll}1, t=00, t\neq 0\end{array}$は Kronecker のデルタである．また， $\Delta(T)$ は $T=(t_{1}t_{2})$ における行列式の値であり，問$|\Delta(T)|(2\pi)^{2}$はブリルアンゾーン$\mathcal{B}$の領域の面積を表している．1 次元では区に対応する．ふつうの正方格子 $(t_{1}=(10)^{T}, t_{2}=(01)^{T})$ では $|\Delta(T)|=1$ であることに注意しよう．
この直交条件は，ブリルァンゾーン の周期的なタイリングにより
平面を分割し，の周期性を利用して$2\pi$$\mathcal{B}$$\omega\in \mathbb{R}^{2}$$e^{-i\omega\cdot t}$$\frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\int\int_{R^{2}}e^{-i\omega\cdot t}|\hat{\phi}(\omega)|^{2}d^{2}\omega=\frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\sum_{2\pi\lambda\in\overline{\Lambda}}\int\int_{\mathcal{B}}e^{-i(\omega+2\pi\lambda)\cdot t}|\hat{\phi}(\omega+2\pi\lambda)|^{2}d^{2}\omega$$= \frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\int\int_{\mathcal{B}}e^{-i\omega\cdot t}\sum_{2\pi\lambda\in\overline{\Lambda}}|\hat{\phi}(\omega+2\pi\lambda)|^{2}d^{2}\omega$$= \frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\int\int_{\mathcal{B}}e^{-i\omega}.td^{2}\omega$と展開できる．したがって， の直交性に関する次の等式を得る．
$\phi$$\sum_{2\pi\lambda\in\overline{\Lambda}}|\hat{\phi}(\omega+2\pi\lambda)|^{2}=1$( $A$ .3)

84
ここで，さらに伸張方程式 (A.2) とブラベー格子
適用すれば$\hat{}\Lambda$のポリフエーズ分解 (3.5) を$\sum_{2\pi\lambda\in\overline{\Lambda}}\int\int_{\mathcal{B}}e^{-i\omega\cdot t}|\hat{\phi}(\omega+2\pi\lambda)|^{2}d^{2}\omega$$= \frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\sum_{2\pi\lambda\in\overline{\Lambda}}\int\int_{\mathcal{B}}e^{-i\omega\cdot t}\frac{1}{4}|\hat{h}(\frac{\omega+2\pi\lambda}{2})|^{2}|\hat{\phi}(\frac{\omega+2\pi\lambda}{2})|^{2}d^{2}\omega$$= \frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\sum_{m=0}^{3}\sum_{2\pi\lambda\in\overline{\Lambda}_{m}}\int\int_{\mathcal{B}}e^{-i\omega\cdot t}\frac{1}{4}|\hat{h}(\frac{\omega+2\pi\lambda}{2})|^{2}|\hat{\phi}(\frac{\omega+2\pi\lambda}{2})|^{2}d^{2}\omega$$= \frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\sum_{m=0}^{3}\sum_{2\pi\lambda\in\overline{\Lambda}}\int\int_{\mathcal{B}}e^{-i\omega\cdot t}\frac{1}{4}|\hat{h}(\frac{\omega+2\pi(2\lambda+\lambda_{m})}{2})|^{2}|\hat{\phi}(\frac{\omega+2\pi(2\lambda+\lambda_{m})}{2})|^{2}d^{2}\omega$$= \frac{1}{|\Delta(T)|(2\pi)^{2}}\int\int_{\mathcal{B}}e^{-i\omega\cdot t}\sum_{m=0}^{3}\frac{1}{4}|\hat{h}(\frac{\omega}{2}+\pi\lambda_{m})|^{2}d^{2}\omega$

となるから
(A.4)

$| \hat{h}(\omega)|^{2}+\sum_{k=1}^{3}|\hat{h}(\omega+\pi\lambda_{k})|^{2}=4$が得られる．これは，逆格子において一般化された直交$\omega\in \mathbb{R}^{2}$

空間は$|\hat{h}(\omega)|^{2}$とその平行移動$\omegaarrow\omega+\pi\lambda_{k}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\searrow-$

フバンド条件であり，によって隙間なく埋め尽くされることを意味する．ブラベー格子における上の等式は$\sum_{t\in\Lambda}h^{*}[t]h[t+2s]=\delta[s], s\in\Lambda$と表現できるが，これより$\sum_{t\in\Lambda}|h[t]|^{2}=1$が成り立ち，伸張方程式 (A. 1) よりフィルタの総和則 (sum rule)$\hat{h}(0)=\sum_{t\in\Lambda}h[t]=2$が導かれる．またハーフバンド条件 (A.4) によりエイリアスポイントでは$\hat{h}(\pi\lambda_{1})=\hat{h}(\pi\lambda_{2})=0$となっていることがわかる．

以上の観察より，ブラベー格子における直交ウエーブレットフィルタを導くためには， $|\hat{h}(0)|^{2}=4$ でかつ$\hat{h}(\pi\lambda_{k})=0,$$k=1$ , 2 となるローパスフイルタ$\hat{h}$

を探すと

85

$(a)|\hat{h}(\omega)|^{2},$$2\pi\lambda_{m}$$(b)|\hat{g}_{1}(\omega)|^{2},$$\pi\lambda_{1}$$(b)|\hat{g}_{2}(\omega)|^{2},$$\pi\lambda_{2}$(b)$|\hat{g}_{3}(\omega)|^{2},$$\pi\lambda_{3}$

図 9: 逆格子における 3 角形直交 Haar フイルタの周波数特性．

いう問題になる．3 つのハイパスフィルタ

より，$\hat{h}(\omega)$$\hat{g}_{k},$$k=1$ , 2, 3 はハーフバンド条件 (A.4)

をもとに$k=1$ , 2, 3

( $A$ .5)$h[t_{0}]=h[t_{1}]=h[t_{2}]=h[t_{3}]= \frac{1}{2}$(A.6)$\hat{g}_{k}(\omega)=-\hat{h}(\omega+\pi\lambda_{k})$,とすることで得られる．

最も簡単な解はとしたときで，そのフーリエ変換は(A.7)$\hat{h}(\omega)=\frac{1+e^{-i\omega\cdot t_{1}}+e^{-i\omega\cdot t_{2}}+e^{-i\omega\cdot t_{3}}}{2}$である．これを 3 角形直交 Haar フィルタと呼ぶが，h . のフィルタ係数は双直交 Haar
に関しては，(A.5) を使ってフィルタ (3.14) のそれと全く同じである．しかし，$\hat{}$$\hat{g}_{k}$全く異なるフィルタが導かれる．まとめると，3 角形直交 Haar フイルタは( $A$ .8)$(\begin{array}{l}\hat{h}(\omega)\hat{g}_{1}(\omega)\hat{g}_{2}(\omega)\hat{g}_{3}(\omega)\end{array})=(_{\hat{\tilde{g}}_{3}(\omega)}^{\hat{\tilde{h}}(\omega)}\hat{\tilde{g}}_{2}(\omega)\hat{\tilde{g}}_{1}(\omega)]=\frac{1}{2}(\begin{array}{lll}11 1 1-1-1 1 1-11 -1 1-11 1 -1\end{array}) (\begin{array}{l}1e^{- i\omega\cdot t_{l}}e^{- i\omega\cdot t_{2}}e^{- i\omega\cdot t_{3}}\end{array})$

からなる係数行列は，各行と列が互いに直交すで与えられることになる．このる形になっており，4 次のアダマール行列 (Hadamard matrix) [11] こ等しい．各$\pm 1$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

フィルタの非ゼロ要素は格子において娠方向に対称的に配置されることから，すべてのフィルタが六方対称性を有することがわかる (図 9)

また，$\hat{g}_{k}(\omega)$は$\hat{h}(\omega)$

燕だけ各逆格子ベクトルの方向にシフトした形になっている．
関連するウェーブレットを図 10 に示す．双直交の場合よりもサポートが広がっていることがわかるが，Haar の不連続性から生じるフラクタルな形には変わりない．
をもとに$\omegaarrow\pi$

86$\psi_{1}(r)$$\psi_{2}(r)$$\psi_{3}(r)$図 10: 3 角形直交 Haar ウェーブレット

謝辞
本研究は元東京電機大学教授の榊原進先生との共同研究に基づきます．本論文をまとめるにあたり，改めて先生の功績が大きいことを実感しました．この場をお借りして感謝の意を表します．また，今回の講演と講究録を書く機会を与えてくださった，大阪教育大学の芦野隆一教授と京都大学の山田道夫教授に深く感謝いたします．

参考文献[1] R. Ansari, C. Guillemot, and J. F. Kaiser, Wavelet construction using Lagrange

halfband filters, IEEE Trans. Circuits Syst. 38 (1991) 1116-1118.
[2] A. Cohen, I. Daubechies, Non-separable bidimensional wavelet bases, Revista

Matemaica Iberoamericana, Vol.9, No. 1, pp. 51-137, 1993.
[3] A. Cohen, I. Daubechies, and J. Feauveau, Bi-orthogonal bases of compactly sup-ported wavelets, Comm. Pure Appl. Math., Vol.45, pp. 486-560, 1992.
[4] A. Cohen and J. M. Schlenker, Compactly supported wavelets with hexagonal

symmetry, Construct. Approx., Vol. 9, pp. 209-236, 1993.
[5] I. Daubechies and W. Sweldens, Factoring wavelet transforms into lifting steps, J.

Fourier Anal. Appl., Vol.4, No. 3, pp. 247-269, 1998.
[6]

G. Deslauriers and S. Dubuc, Symmetric iterative interpolation processes, Construct. Approx., Vol. 5, pp. 49-68, 1989.

87
Interpolation through an iterative shceme, J. Math. Anal. Applicat.,Vol. 114, pp. 185-204, 1986.

[7] S. Dubuc,[8] K. Fujinoki, Multiscale Keypoint Analysis with Triangular Biorthogonal Wavelets

Via Redundant Lifting, EUSIPCO 2014, September 2014 (To appear).
[9] K. Fujinoki and S. Ishimitsu, Triangular Biorthogonal Wavelets with Extended

Lifting, International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, Vol. 11, No. 4, pp. 1-24, July 2013.
[10]

K. Fujinoki and O. V. Vasilyev, TriangularWavelets: An Isotropic Image Representation with Hexagonal Symmetry, EURASIP Journal on Image and Video
Processing, No. 248581, 16 pages, 2009.
Geramita and J. Seberry, Orthogonal Designs:
Hadamard Matrices, New York: M. Dekker, 1979.

[11] A. V.

Quadratic Forms and[12] K. Gr\"ochenig and W. R. Madych, Multiresolution analysis, Haar bases, and self-similar tilings of$R^{n}$, IEEE Trans.

Information Theory, Vol. 38, No. 2, pp. 556-568,

1992.
[13]

G. Grosso and G. P. Parravicini, Solid State Physics, Elsevier Academic Press,

2000.
[14]

H. Kawabata, H. Toda, Z. Zhang and H. Fujiwara, A new complex wavelet transform by using RI-spline wavelet, Proc. IEEE Int. Conf Acoust., Speech, Signal
Processing, Vol.2, pp. 937-940, 2004.

[15] N. Kingsbury, The dual-tree complex wavelet transform: a new technique for shift

invariance and directional filters, Proc. 8th IEEE $DSP$ Workshop, Paper No. 86,
1998.
[16]

J. Kova\v{c}evi\v{c} and M. Vetterli, Nonseparable multidimensional perfect reconstruction filter banks and wavelet bases for , IEEE Trans. Information Theory,
Vol.38, No. 2, pp. 533-555, 1992.
$\mathbb{R}^{n}$[17]

遠藤智子，坂本直道，安野拓也，武川直樹，結晶構造の分析に適用可能な三次元ウェーブレットの構築，電子情報通信学会論文誌 , Vol. J92-A, No. 8, pp.
540-550, 2009.
$A$

[18]

S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Academic Press, 2008.

[19] M. J. D. Powell, Approximation theory and methods, Cambridge University Press,

1981.

88
Sakakibara and Oleg V. Vasilyev, Construction of triangular biorthogonal
wavelet filters for isotropic image processing, Proceedings of European Signal
Processing Conference (EUSIPCO 2006), Florence, Italy, September, 2006[20] S.

[21] E. P. Simonchelli and E. H. Adelson, Non-separable extensions of quadrature mir-ror filters in multiple dimensions, Proc. IEEE, Vol.78, No.4, pp. 652-664,1990.
[22] E. P. Simonchelli, W. T. Freeman, E. H. Adelson and D. J. Heeger, Shiftable

Multiscale Transform, IEEE Trans. Information Theory, Vol.38, No.2, pp. 587607, 1992.
[23] W. Sweldens, The lifting scheme: a custom-design construction of biorthogonal

wavelets, J. Appl. Comput. Harmon. Anal., Vol.3, No. 2, pp. 186-200, 1996.
[24] W. Sweldens, The lifting scheme: a construction of second generation wavelets,

SIAM J. Math. Analysis, Vol.29, No. 2, pp. $511$ -546, 1997.
[25] W. Sweldens and P. Schr\"oder, Building your own wavelets at home, ACM SIG-

GRAPH course notes, 1996.