確率数理工学に）"？！！.
𥓙：：：：な鬱※鼠慶応！！！！'凞
が、"で咄確率変数）

いたが確率空間

関 数 X:r-Rが .な ERでが（は、x］）：=1WE

r|X(w)EMを満たす時、Xを確率変数（randomvariable,no.）と呼ぶ。

| 炎南淵
燕村
「鹼

t.euな事鰍叶測yummy。｛wereでのことをいいがらと書く
竹測関数」とも言う「確率変数=可測関数」

.

」

な ○
ド-9点"

。任意のボレル集合BEBCR）に対し.X'（DEFであることと、上記の定義は同値. （証明は次ページ）
oより一般に、「1測空間に、F），（MF）に対し.
※ r → n ' が 、UAEなどが（A)EFをみたす時、Xを みた叮測関数と言う（このとき.X：（r.F）→（i.F'）と書いたりする）には）（t.FI

熖一〇・が一〇べげ「xsxである確率ば測れて欲しい，TEACHER例）である石隺率は測れる型.he｛金銀、銅、はずれし たが（全部分集合）」の確率変数

賞金X（金）=too.X（銀）=100，X（銅）=10，X（はずれに0

確率数理工学2P（金）=0.1，P（銀）=0.2，P（銅）=0.3，P（はずれに0.4
1 / 10

$-_-_me_。A：蕪：：：
I - _ - 一XIA)EF-E BAR）-w1-）X(w)Te,！

が（1-a,a］）|：：超"= ｛ W E N X CW E a }
E F

iii.
派

"

幽州する確率崩/一人をたて）kw)
ランダムに

w の

身長が（は、170］）=｛170cm以下の日本人と確率数理工学22 / 10

（補足ページ）o k B E BCR） に対し.が（IDEF であることの言正明（BoはBCR）の部分集合、これがB . = 1 B E BCR）|X'（B)ET｝ とおくBCR）と一致することを示したい）

確率変本文の定義よりGaa]EB。 （IER） である。
しかも.Boが6-加法族であることもわかる。なぜならい） が （ R ） = R E F （下の定義より）

T e n tなので.REB。 ！（チェックせX'（A)EF （MAI）にFなの定義（2） A E B 。

（3）A..An...EB。

が（An)EFよ）が（パ）eF

A c e B。

Yが（An)EFで下は6加法族）が（YAn)EFじ騑（An）=が信州
恕囁問題IA nEB。

以上より B . は ｛E・.a］1GER｝を含む最小の6-加法族を含む
それは RR）である （前回の演習問題を参照せよ）、つまり一方.定義より.
ないがね。
なく脈）なので、日.な例である4_ox.rs

r 'r'の部分集合族B'に対し、6（B'）をB'を含む最小の6-加法族とする

F'=GCB）なら、「Xが計測 ← > U A E B' に対し.が（A)EF」
TF'ではない.

が成り立っ.

（B'はF'を"生成する.Xの71だけ測性を担保するには.B'における叮測性のみ調べれば十分）.

（演習問題参照）o※（R.F）-）に'.F'），に：に.F'）-）に".F"）（の測関数に対し、

k=Xz。X、： W E Rいた（かい）Er" も F 1 だ け 測 .

確率数理工学23 / 10

トキの下に（R.B（仏）のとき、X:I→Rが連続ならXは 叮 測が（（a.か）は開集合なので（Xの連続性より）.

（Proof）

が（（aa））EBCR）であるよってX'（にでもある。

s1 /咀（分布関数）☆
重 〇X i ru.

DEADa］）=が（（ac r e s s・

要っrandom variableの略てFM）=P（｛werI X(w)Ex｝） （KER）とすると、Xの（累積）分布門學 と言う.

F を（Cumulative distributionfunction,C型F（水）=p(XE）し）や.FM=N｛×（w）壬川）とも言こ
す，たが定義されるためには

先のくじびきの例：

䰗 jiが一.TL?
jYFa

ハ任っりが汗測である必要がある.
Xがt.irなら、2の叮測性が担保される.

i .iiii.s，

䰗（銅） （銀）型（分布関数の性質）い） っくくり（金）

下にEFは）

右連糸売（単調非減少）

（右連続）

（2）

感a。下川=Fla）（3）fine形に0， 感がルにI※ fyi。下川=Fk ） と は 限 型

しかいた極限は興

確率数理工学2|，た「！"彧
た極限祭金払）1想派）

4 / 10#(Proof）（I)

A=1w|X(w)Ex3，B=1w|X H E Y ｝ とおくと.
）（Ey より、 ACBである、確率の単調性よりPCA)E PCB）である。

（2））いった>-.->aで考える.

ffdn=Gである数列をJ1爍！=嶋基に注意すると.
をつはすぐわかる

石隺率の連続性より.

figFan）=figPan）=PCA）=F(a）である.

fi.となったiii)
そのWはJKに）がn｝に入らない。

何 も同様/ /Remark-にしりいろ）をみたすFMRが存在したら、対応する CRB側）上の確率測度Qが一意に存在する、
そのQはQ1（-a,a］）= F k） はER）.Q（（ab》=F（以下（a）

した<b)をみたす.

QF-（分布）（測度）

Pを調べる代わりに.Fを調べた方が楽なことが多い。（弱収束など）
nR

p ×一つ下に爾が新定まる
Q""派一例でもあ確率数理工学2|でもがが外脈制Pの4によるpushy
これをツがタグ言う.

る、Q=X#Pとも書く.

-5 / 10"I(rFiD-.-𤺋！
@i-.f"㘅

I州しPIMA））=Q(A）

例：2=［0/1］たがい），には上の一様分布X(o）=Iなら、｛WENX(w)Ex｝ニ｛WEI I W E x）

=ftp.WEke？
い いPhotoF"）=|R(o（troExEI）：（x>1）※f※-に移り！！鑵"瞬HI=F'（川=エ| （coast一作業𤄃！
）側が（は、別確率数理工学2豔Eに1）=にa s い等しい
6 / 10!

確率分布の種類連 続-

絶対連続｛-特異連続-離 散-咀（連続分布）にしERにおいてFNが連糸売、つまりPCにつく）=0（しaR）と鬱鬱
𣷓....ii！灣
鼗に筮が濹=扉."1）（関係ないことに注意

Fが連糸売である非負関数fを用い（Borel、測）（絶対連続分布て一一反例を作ってみよ）

だい=fi f ( u ) d uと書けるとき、その分布は絶対連続であると言う.

fを右隺率密度関寿久（probability densi f function,pdf）と言う地（Radon-Nikodymの定理）

連続である.

！

ME）=0をみたす任意のEEBCR）について、PCE）=0である.

⇐

Fは絶対連糸売/こちらを定義としても良い.

&（一様分布）区間［a.b］，で［9.b]i[a.6］上の一様分布"""に信！！？
［㷀鏜i j（otherwise）

adf.FM=（Ka)（xEca.D).

確率数理工学27 / 10

@Ex.l正規分布）-ガウス分布」とも言う。

平均MER、分散63o
faに兗.aptly，，Er覚える

M f.........iN(M62）で表す
ーーも分布と言う
N10.1） を標準正夫「adf.EC川=1でflu)du を誤差関数と言う.
咀（特異連続分布）<一（今は覚えないでも良い
Fは連糸売であり、かつあるEE BCR）に対してPAGE）=1かつ.ME）=0（ルベーグ測度）

が！！！：：：.......！！
：ie..
：鮗：：密度関数をもたない！

巫r=［0.1），たBUH）），

Pをに川上の一様分布とする。

w=E岳なる2進数展開を用いてX(w）=E2台 とする。

io .が-_Ii

燕：摩○KPack）=1

一方.

Mk） =0である。

（Kは非可算濃度だが.
ルベーグ測度=0）（Mk）=が知らx-_-.=o）（聖鬱𥶡：籮？籩饠
線分のまん中の領域を取り除くという確率数理工学2）

8 / 10!

D i e （離散分布）

X の取りうる範囲が高々可算個。
つまり、ある たにいた，-.-} C R が存在して、（有限個でも良い）

書PCX m ) = 1=が成り立つとき、 離散分布 と言う.

f ( Va ) = P（がた）のことを、確率質量関数 と言う.
(proba bi l iG mass function,の/ /分布関数は F （川= E e x f l a tで与えられる。

巫(Bernoulli分布）

lに{0/1}，
p払.は ） = 0 . t k / - O _eO EO E

Ber（0） と記す

r

コイン投げ2日表..I裛0.

型に項分布）に {o.1.2..... n }OEO E l .

( nE N )回のコイン投げでzgrn表が出た同- 数 たの

hmffmfhjokctophe

分布.

B (n.0） と記す(Poisso分布）nに 10.1.2.... 3，

R > 0HE)= e " 烋た！
稀に起こる現象が一定期間内に起きる回数の分布：M mf .

も--確率数理工学2

工場で1日に生産される不良品の本文

宇宙線を1時間に観測する回数
9 / 10（補足）I（ルベーグの分解定理）(R.呦）上の確率測度 P は、絶対連続な分布 R、特異連続な分布に、離散分布Bに分解できる。すなわち、

OEO..02，03=1，0/+02+03=1である 01，02，0，を用いて.に0，R + 0 2 B + 0 3 Bと分解でき、さらにこの分解は一意である.

確率数理工学2

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