Measurement of CP -Violating Asymmetries in the Neutral B Meson
Decaying to the ρπ State Using a Time-Dependent Dalitz Plot
Analysis∗
Enrico Fermi Institute and Kavli Institute for Cosmological Physics, University of Chicago
日下 暁人
akito@kicp.uchicago.edu
2007 年 11 月

はじめに

1

しかしながら，これらの崩壊過程を用いた φ2 の測定はb → d 転移を伴う所謂 “ペンギンダイアグラム” からの寄標準理論において，CP 対称性の破れは Cabbibo-

与による “汚染” という問題が伴う。このダイアグラムは

Kobayashi-Maskawa (CKM) 行列の縮約不可能な複素位相によって記述される [1, 2]。特に，B 0 中間子系においては，大きな CP の破れが B 0 と B 0 の間での時間に依存す現れる。このため，崩壊過程全体の弱相互作用複素位相る崩壊分岐比の違いとして現れる [3, 4, 5]。2 つの非対称てしまい，φ2 とは異なる。この過程が図 1 下の崩壊過程

図 2 に表されるもので，CKM 行列要素として Vtd Vtb∗ がは，B 0 -B 0 混合の CKM 行列要素と合わせると 0 となっ型 B-factory である Belle/KEKB および BaBar/PEP-IIと同じ終状態を持つため，これらは原理的に区別するこは，これを利用して B 0 中間子系における CP の破れをとができず，CP の破れから直接測定される位相角 φeﬀ2

測定し [6, 7]，その破れの大きさが小林益川理論と一致す

は φ2 からずれてしまう3 。従って，φ2 の測定においては，ることを示した。小林益川理論が標準理論の一部としてCP の破れを測定するだけではなく φ2 と φeﬀ
2 の違いをいかにして制限するかが重要となる。

確立された現在，複数の測定量を精密に測定し，それらが小林益川理論と無矛盾であるかどうかの検証を行うこ

Snyder と Quinn は，B 0 → ρπ → π + π − π 0 崩壊過程に時間依存性を用いたダリッツプロット解析を適用する
ことで，この b → d 過程からの寄与を取り除き，さらにとで新物理を探索することが B-factory の次なる目標となっている。

CP の破れを表すユニタリティ三角形の角度測定におB → ππ や ρρ を用いたときに現れるような離散的な不定性なしに φ2 を制限できることを指摘した [9]。加えて，いては，φ1 に関しては既に精密な測定がなされており，

φ2 および φ3 の測定精度を上げることが現在の課題であ関連する崩壊過程である B + → ρ+ π 0 , ρ0 π + からの情報

1る 。本研究は，このうち φ2 に対して感度がある。複素を加えることで φ2 決定の精度を向上することが可能であ

位相角 φ2 は CKM 行列要素 Vtd , Vtb , Vud , Vub により以る [10, 11]。

下の通り定義される(
φ2 ≡ arg

Vtd Vtb∗∗−Vud Vub

本研究 [12, 13] は B 0 → π + π − π 0 崩壊過程の 時間依).

存性を用いたダリッツプロット解析による解析結果を与(1)

え，そこから φ2 への制限を導くものである。この解析
は，高エネルギー加速器研究機構の KEKB 加速器 [14] お

従って，これらの行列要素が関与する物理過程を用いる

よび Belle 検出器 [15] において Υ(4S) 共鳴状態の上で得ことで φ2 を測定することができる。図 1 に示すとおり，られた 414 fb−1 のデータに基づいており，このデータは∗Vtd Vtb∗ は B 0 -B 0 混合に，Vud Vub
は b → u 転移を伴う
0
+ −
0
+ −
0
B → π π ，B → ρ ρ ，B → ρ± π ∓ などの崩壊過程に現れる2 。従って，これらの崩壊過程を測定すれば原

449 × 106 BB の BB 対に相当する4 。

理的には φ2 に制限を与えることが出来る [8]。
∗ 第 9 回 (2007 年度) 高エネルギー物理学奨励賞受賞論文の解説
3 このずれ φeﬀ − φ は崩壊過程ごとに異なる。
2
24 本研究のより定性的な解説については，文献 [8] を参照されたい。

1 (α, β, γ) = (φ , φ , φ ) という表記もしばしば使用される。
21
32 以下，明記しない限り荷電共役の過程も含むものとする。

1

Vtb∗

b

よって定義される:

Vtd

t

d 





B0 


W

W
d

b

Vtd

t

s+ ≡ (p+ +p0 )2 , s− ≡ (p− +p0 )2 , s0 ≡ (p+ +p− )2 . (3)


 0
B


ここで，p+ , p− , p0 はそれぞれ π + π − π 0 終状態におけるπ + , π − , π 0 の 4 元運動量である。

Vtb∗

(

u !

Vud

+

π /ρ

性を持つ。

d

Vub∗

W

u !

B0

A3π (s+ , s− )π − /ρ−q
A3π (s+ , s− )p

図 1: B -B 混合 (上) および b → u 転移を伴う崩壊過程
0(下) のファインマンダイアグラム。

fκ (s+ , s− )Aκ ,

(4)

∑

=

f κ (s+ , s− )Aκ .

(5)

κ=(+,−,0)

ここで，Aκ (Aκ ) は κ = +, −, 0 において B 0 (B 0 ) →ρ+ π − , ρ− π + , ρ0 π 0 に対応する複素振幅である。B 0 →(ρπ)0 → π + π − π 0 崩壊以外の B 0 → π + π − π 0 崩壊は寄

W





B0 




=

κ=(+,−,0)

d

d

b


∑

+

b

0

)

崩壊振幅 A3π は以下ようなダリッツプロットへの依存

+

Vtb

Vtd∗

与が非常に小さいため式 (4), (5) において無視されておd !

り，後に系統誤差の要因として考慮する。

π + /ρ+

(

t
g

u !

しており，以下の式によって表される。
π − /ρ−

(

d

d

)

関数 f κ は B 0 → (ρπ)0 崩壊の運動学的な効果を記述

u

)

(

)

κ
f κ (s+ , s− ) = TJ=1
F πκ (sκ )((κ = +, −, 0) .

(6)

)

κ
ここで，TJ=1と F πκ (sκ ) は，それぞれ ρκ のヘリシティ角

図 2: b → d 転移を伴うペンギンダイアグラム。

分布と不変質量分布 (lineshape) に対応する。Lineshapeは ρ(770) とその励起状態 ρ(1450), ρ(1700) に対応する相

2

定式化

2.1

信号事象の確率分布

対論的 Breit-Wigner 関数 [16] によって表される:
(

)

(

)

我々が注目するのは Υ(4S) → B 0 B 0 → (π + π − π 0 )ftag

F πκ (s) = BWρ(770) + β κ BWρ(1450) + γ κ BWρ(1700) ,
(7)
( )
( )
ここで， β κ と γ κ は，励起状態の相対的な大きさと位相崩壊過程である。ここで，ftag は崩壊した元の B が B 0に対応する複素数パラメータである。係数 β κ と γ κ はか B かを区別するような終状態 (フレーバー固有状態)()

程においてすべて異なり得る。しかし，ここではそのよ存した微分崩壊幅はうな違いが無いものと仮定し，すべてに共通の値 (β, γ)を用いることとして解析をすすめ，後に系統誤差においてそのような違いによる影響を議論，考慮する。この仮定によって，f κ (s+ , s− ) = fκ (s+ , s− ) という関係が得ら(2)れる。この関係式と，式 (4), (5) により，式 (2) における
係数は

)

∑

|A3π |2 ± |A3π |2 =によって与えられる。 A3π はローレンツ不変な B 0 (B 0 ) →π + π − π 0 崩壊の複素振幅，qtag は b-フレーバー電荷 [ftag0)B 0 (B 0 ) → ρ+ π − , ρ− π + , ρ0 π 0 に対応する 6 つの崩壊過である。この過程における時間とダリッツプロットに依

(

)

(

0

{(
/
)
dΓ d∆t ds+ ds− ∼ e−|∆t|/τB0 |A3π |2 + |A3π |2)(− qtag |A3π |2 − |A3π |2 cos(∆md ∆t)
(
)
}
q ∗
+ qtag 2Im
A3π A3π sin(∆md ∆t)p(0が B (B ) 固有状態に対応する場合に qtag = +1 (−1)+2となるような量]，∆t は 2 つの B 中間子の崩壊時間差∑|fκ |2 Uκ±κ∈{+,−,0}

(
) (8)
±,Re
±,Im
Re[fκ fσ∗ ]Uκσ
− Im[fκ fσ∗ ]Uκσ,

κ<σ∈{+,−,0}((t3π − ttag ) である。p と q は中性 B 中間子の質量固有状

Im態を pB 0 ± qB 0 によって定義するようなパラメータであり, この固有状態の平均寿命を τB 0 ，質量差を ∆md と定義する。ダリッツプロット変数 s+ , s− , s0 は以下の式に)∑
q ∗A3π A3π =|fκ |2 Iκpκ∈{+,−,0}
∑ (
) (9)
Im
Re
+
Re[fκ fσ∗ ]Iκσ
+ Im[fκ fσ∗ ]Iκσ,κ<σ∈{+,−,0}2と書き下すことが出来る。ただし，Uκ±Iκ
±,Re(Im)UκσRe(Im)
Iκσ

1
θ0 .
(17)
π
√
ここで，m0 = s0 ，mmax= mB 0 − mπ0 と mmin=002mπ+ は m0 の運動学的な上限および下限であり，θ0 は
θ0 ≡= |Aκ |2 ± |Aκ |2 ,(10)
[ κ κ∗ ]= Im A A,(11)[ κ σ∗]κ σ∗= Re(Im) A A ± A A,(12)][ κ σ∗= Re(Im) A A −(+) Aσ Aκ∗ . (13)π + π − 系のヘリシティ角である。J はパラメータ変換のヤコビアンであり，その行列式は以下の通りである。

式 (10)–(13) に対応する 27 の係数が，測定すべきパラ| det J |メータである [17]。このうち特に，(10)–(11) を非干渉パ= 4|~p+ ||~
p0 |m0 ·ラメータ，(12)–(13) を干渉パラメータと呼ぶ。このようなパラメータの取り方をすることで，部分崩壊幅を独立

mmax− mmin00π sin(πm0 ) · π sin(πθ0 ) .
2(18)な関数基底の線形結合として表し，その線形係数をフィッ

ここで，p~+ および p~0 はそれぞれ π + π − の静止系におけトのパラメータとできるため，フィットの振る舞いが良くる π + および π 0 の 3 元運動量である。図 3, 4 を見ると，+なる。全体の正規化を U+= 1 を要求することによって

方形ダリッツプロットにおいては分布がより広がってい行うので，実際にフィットで定められるのは 27 のうち 26

ることが分かる。
30

擬二体崩壊の CP 非保存測定と比べると，時間依存性θ′2s−(GeV )のパラメータである。

25を用いたダリッツプロット解析は干渉パラメータの測定

0.8

20

を含んでおり，この干渉パラメータは混合終状態におけ

15る CP 非保存に関わる情報を持っている。原理的には，こ10

れらの測定量から複素振幅 Aκ および Aκ のすべての相対5

的な大きさと位相を決定することができる。これらはア

0

0.6
0.4
0.2
0

2

(a) 通常のダリッツプロット

づけられる [10, 11]:

A+ + A− + 2A0.
A+ + A− + 2A00

5 10 15 20 25 300

0.2 0.4 0.6 0.8

s+(GeV )イソスピン関係を用いることで以下の式により φ2 と関連

e+2iφ2 =1

1m′(b) 方形ダリッツプロット

図 3: 信号事象のダリッツプロット分布 (モンテカルロに

(14)

よる)。

従って，少なくとも統計が非常に大きい極限においては

φ2 を離散的不定性無しに決めることができる。
θ′2s−(GeV )

2.2

30
25

方形ダリッツプロット

0.8

20

信号事象と，本解析で主要な背景事象である continuum

15と呼ばれる e+ e− → qq (q = u, d, s, c) 過程から来る事象

10

0.6
0.4
0.2

5

は，通常のダリッツプロットの中の運動学的な境界付近

0に多く分布する (図 3, 4)。ダリッツプロットの確率密度

1

0

0

5 10 15 20 25 30
20

0.2 0.4 0.6 0.8

s+(GeV )分布 (probability density function, PDF) の一部はヒス(a) 通常のダリッツプロット

トグラムによって取り扱うことになるので，このような

1m′(b) 方形ダリッツプロット

狭い領域に集中した分布は扱いが難しい。そこで，我々

図 4: Continuum 事象のダリッツプロット分布 (実データは以下のパラメータ変換を用いる:の Mbc サイドバンド領域より)。

ds+ ds− → | det J |dm0 dθ0 .

(15)

変換後のパラメータ (m0 , θ0 ) で表現されるのが，方形ダリッツプロット (square Dalitz plot, SDP) [18] である。

3

このあたらしい座標は，以下の式によって計算される。
()
m0 − mmin
10
m0 ≡ arccos 2 max
−
1
,
(16)
π
m0 − mmin0

B 0 → (ρπ)0 事象の再構成

B 0 → π + π − π 0 崩壊を再構成するために，まず２本の正負の荷電粒子飛跡を選別する。荷電 π 中間子を選択す3

るために，各検出器の応答から粒子識別情報を求め，荷電てカットをかけ事象選別を行うことで，効率的に背景事K 中間子および電子と同定された荷電飛跡を除外する。
光子 (γ) は荷電粒子飛跡から独立した電磁カロリメータのクラスタとして同定する。その光子の対の中から，実験室象を排除することが出来る。

系で 0.1 GeV/c 以上の運動量を持ち，不変質量が 0.1178

補の選別を行う。信号事象のうち約 30%がこのような複GeV/c2 から 0.1502 GeV/c2 の範囲にあるものを π 0 の数の B 中間子候補を含んでいる。

候補として用いる。

B 中間子の候補を一つに絞り込んだ後に，ダリッツプロ
ット変数 s+ , s0 , s− を再構成する。この際に用いるのは，1)
π + および π − の 4 元運動量，2) ρ0 のヘリシティ角 (すなわ

同一の事象に B 中間子の候補が 2 つ以上再構成された
場合には，再構成された π 0 の質量と R を用いて最尤候+ − 0

選択，再構成された π π π の重心系でのエネルギー
および運動量の和が，候補となる再構成された B のエネル
cms
ギー EB
および運動量 pcms
B となる。B 中間子の候補は，
√ cms
cms
cms
2
∆E ≡ EB −Ebeam および Mbc ≡ (Ebeam)2 − (pcms
B )ち, π + π − 系のヘリシティ角), そして 3) ダリッツプロット

cmsの２つの量を用いて同定する。ここで，Ebeamは重心系である。ここで，π 0 のエネルギーが露わには使われていでのビームエネルギーである。

ないことに注意されたい。これによって，ダリッツプロッ

変数が満たす関係式 mB 0 2 +2mπ+ 2 +mπ0 2 = s+ +s− +s0 ，候補のうち，フィット領域として定義した −0.2 GeV <2

ト変数の精度を向上することが出来る。B 中間子候補のう2∆E < 0.2 GeV および 5.2 GeV/c < Mbc < 5.3 GeV/cを満たす領域のものを選択する。このフィット領域の中

ち，以下のダリッツプロットの領域に含まれるものは除外√√
する: s0 > 0.95 GeV/c2 かつ s+ > 1.0 GeV/c2 かつ√√
s− > 1.0 GeV/c2 の領域，および， s0 < 0.55 GeV/c2√√
または s+ < 0.55 GeV/c2 または s− < 0.55 GeV/c2に，信号領域が −0.1 GeV < ∆E < 0.08 GeV および

Mbc > 5.27 GeV/c2 を満たす領域として定義される。フィット領域のうち，信号領域でない部分がサイドバンド領の領域である。これらの領域においては，B 0 → ρπ 信√
号事象の割合は小さい。さらに， s > 1.0 GeV/c2 の領域である。

B 0 → π + π − π 0 崩壊の崩壊点は，SVD のヒット数の条

域 (s は s+ , s− , s0 のいずれか) では ρ(770) の励起状態

件を満たす荷電粒子飛跡から再構成する [19]。一方，ftagに含まれていないものから再構成される。これらの崩壊[ρ(1450) および ρ(1700)] が主要な B 0 → π + π − π 0 への寄与となっている。これらの励起状態の崩壊振幅は一般に基底状態 ρ(770) のそれとは異なっており，従って励起状

点再構成においては，衝突点分布も用いて精度を向上さ

態からの寄与は我々の解析においては背景事象に相当すせている。

る。励起状態からの寄与が大きい領域を除外することで，側の崩壊点は荷電粒子飛跡のうち B 0 → π + π − π 0 崩壊側+ − 0ftag 側の B 中間子の b-フレーバーは，B → π π π0ここから来る系統誤差を減少させている。

崩壊側に含まれていない粒子から総合的に判別される。

図 5 は再構成された B 0 → π + π − π 0 候補の Mbc と ∆E

このフレーバーの情報は，フレーバー電荷 qtag および rの分布を示している。信号事象の数は 4 次元の unbinnedを用いて表される [20]。r はモンテカルロ (MC) によってしたパラメータで，0 (フレーバーが全く決定できなかっ

extended-maximum-likelihood ﬁt を ∆E-Mbc とダリッ
ツプロットでの分布について行うことで決める。このとき，ダリッツプロットの情報は ∆E-Mbc の信号領域でのた場合) から 1 (フレーバーが完全に決定できた場合) のみ用いる。フィットに用いる PDF は，信号事象，信号事決められたフレーバー決定における間違いの割合に関連囲に分類する。フレーバー決定の間違いの確率を，その500

6 つの範囲のそれぞれについて wl (l = 1, 2, · · · , 6) とし，また，間違い確率の B 0 と B 0 の間での違いを ∆wl とす

Events / 0.001GeV

Events / 0.002GeV/c2範囲の量である。この r に対応してイベントを 6 つの範
(a)

300

400

150

200

プル (B → D∗ `ν, B → Dπ など) を用いて決定されてい

100

100

る [20, 21, 22]。
前述の通り，B 0 → π + π − π 0 信号事象に対する主要な背0
5.2 5.22 5.24 5.26 5.28 5.3

Mbc (GeV/c2)

景事象は e+ e− → uu, dd, ss, または cc の所謂 continuum

signal
SCF
–
BB
–
qq

200

300

る。wl と ∆wl は高統計の b → c 崩壊コントロールサン

(b)

250

50
0
-0.2

-0.1

0

0.1

∆E (GeV)0.2

事象である。これらの事象はジェット状の幾何学的な形状

図 5: Mbc (a) および ∆E (b) の分布とフィット結果。

を持つので，それを球状の幾何学的形状をもつ B 中間子

Mbc (∆E) については，∆E (Mbc ) 信号領域の事象のみを表示している。

の信号と区別するような，イベントの幾何学を特徴付ける likelihood 比 R を計算する事ができる。この R を用い

4

象でありながら B 中間子を正しく再構成できなかったも

リシティ角の分布を，それぞれの ρπ 成分の比率の多い領の (所謂 self-cross-feed, SCF)，continuum 背景事象，BB域について示す (図 7 左列, 中央列)。特に，U0+ は 4.8 σ

背景事象 (B 0 → π + π − π 0 以外の崩壊過程による背景事の優位性で 0 より大きな値を示しており，以前の Belle の象) の各成分から成る。フィットの結果，971 ± 42 (誤差結果 [23] を追認する形で，B 0 → ρ0 π 0 の存在を明確に

は統計誤差のみ) の B 0 → π + π − π 0 事象が信号領域内に示した。図 7 右列はそれぞれの ρπ 領域における ∆t 分布

あると推定された。

と背景事象を差し引いたフレーバー非対称度を示している。それぞれの ∆t ビンにおいて，フレーバー非対称度
は (N+ − N− )/(N+ + N− ) によって定義される。ここで，時間依存性とダリッツプロットを用

4

N+ (−) は背景事象を差し引いた qtag = +1 (−1) の事象数

いた CP 非対称度測定である。ρ− π + の比率の多い領域においては，明確に cos

フィット関数

対応している。ただし ρ− π + は CP 固有状態ではないの

4.1−状の非対称をが確認でき，これは U−
が 0 でないことにで，これは CP を破るような効果ではない。どの領域に式 (10)–(13) に対応する 26 のダリッツプロットのパラ

おいても sin 状の非対称は観測されなかった。

メータを決めるために，事象ごとの PDF を下記の通り定
義した:

(a)

signal
SCF
–
BB
–
qq

150

ここで，Psig , PBB および Pqq はそれぞれ信号事象，BB

fqq はそれらの事象の割合であり，fsig + fBB + fqq = 1

100

50
0

を満たす。PDF の引数 ~x は，下記の事象ごとの変数の組

0

0.2

0.4

に対応する。

~x ≡ (∆E, Mbc ; m0 , θ0 ; ∆t, qtag , l; pπ0 ) .

150

100

背景事象，continuum 背景事象の PDF，fsig , fBB および

(b)

200

Events / 0.02

200

(19)

Events / 0.02

P (~x) ≡ fsig Psig (~x) + fBB PBB (~x) + fqq Pqq (~x) ,

θ’

0.6

0.8

50
0

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m’

図 6: θ0 (a) および m0 (b) の分布とフィット結果。

(20)

信号事象の PDF である Psig のうち，ダリッツプロットに検出器の検出効率，分解能および b-フレーバー決定の0100したものに相当する。PDF の詳細に関しては参考文献を参照されたい [12, 13]。
この PDF を用いて，likelihood 関数を下記のように定
義する。

L≡

∏

P (~xi ) .

(21)

(b)

50

(e)

100

50
0

0

(c)

0

(f)

50

25

i

ここで，i はイベント番号に対応する。L を最大とするよ

0

0.6

0.8

2

1

mκ (GeV/c )うな 26 のパラメータを探すことで最適なパラメータを求
めた。
図 7:

4.2

Events / 0.05

2のダリッツプロットから方形ダリッツプロットへと変換

(d)
100

50

Events / 0.025GeV/c

間違い確率および SCF の成分を考慮に入れた上で，通常(a)Background subtracted asymmetry100と時間依存性にかかる部分は，理想的な分布である式 (2)

0
-1

0

cosθκ

1

1
0
-1

(g)

1

(h)

0
-1
1

(i)

0
-1
-8

0

∆t (ps)8

ρ+ π − [(a),(d),(g)], ρ− π + [(b),(e),(h)], ρ0 π 0[(c),(f),(i)] の比率が大きなダリッツプロットの部分における，不変質量 (a)–(c) とヘリシティ角 (d)–(f) の分布，

結果

および背景事象を差し引いた ∆t 依存のフレーバー非対

信 号 領 域 内 の 2824 に 対 し て unbinned-maximum-

称分布 (g)–(i)。(a)–(f) のヒストグラムにおける各成分のlikelihood ﬁt を行い，表 1 の結果を得た。図 6 に，方表記法は図 6 と共通である。

形ダリッツプロットの２つの軸へ射影したデータの分布を，フィット結果に重ねて示す。また，ρ の質量およびヘ5

非常に小さく上限値しか得られていないため，節 4.2 に

表 1: 時間依存性を用いたダリッツプロット解析のフィッ

おけるフィットでは分岐比を 0 と仮定している。我々はト結果

これらの分岐比の 68.3% C.L. 上限値を用いて MC を行+
U+

Fit Result

い，その影響を見積もった。その他に比較的大きな系統+1 (ﬁxed)

誤差の要因として，崩壊点再構成に関連するもの，所謂

+
U−
U0+
+,Re
U+−

+1.27 ± 0.13 (stat.) ± 0.09 (syst.)+0.29 ± 0.05 (stat.) ± 0.04 (syst.)+0.49 ± 0.86 (stat.) ± 0.52 (syst.)

tag-side interference [24] からの寄与が挙げられる。

+,Re
U+0
+,Re
U−0
+,Im
U+−

+0.29 ± 0.50 (stat.) ± 0.35 (syst.)+0.25 ± 0.60 (stat.) ± 0.33 (syst.)+1.18 ± 0.86 (stat.) ± 0.34 (syst.)

5

+,Im
U+0
+,Im
U−0
−
U+
−
U−
U0−
−,Re
U+−
−,Re
U+0
−,Re
U−0
−,Im
U+−
−,Im
U+0
−,Im
U−0

−0.57 ± 0.35 (stat.) ± 0.51 (syst.)−1.34 ± 0.60 (stat.) ± 0.47 (syst.)

擬二体崩壊における測定量
上記の 時間依存性を用いたダリッツプロット解析の結果を用いて，擬二体崩壊過程における CP 非対称度パラメータを求めることが出来る。

B 0 → ρ± π ∓ 過程の時間依存性を持つ部分崩壊幅は以下の式によって与えられる+0.23 ± 0.15 (stat.) ± 0.07 (syst.)−0.62 ± 0.16 (stat.) ± 0.08 (syst.)+0.15 ± 0.11 (stat.) ± 0.08 (syst.)dΓ−|∆t|/τB 0∝ (1±ACPρπ ) ed∆t[−1.18 ± 1.61 (stat.) ± 0.72 (syst.)−2.37 ± 1.36 (stat.) ± 0.60 (syst.)

1 − qtag (C ± ∆C) cos(∆md ∆t)−0.53 ± 1.44 (stat.) ± 0.65 (syst.)−2.32 ± 1.74 (stat.) ± 0.91 (syst.)−0.41 ± 1.00 (stat.) ± 0.47 (syst.)

符号は，B 0 → ρ+ π − (ρ− π + ) 崩壊過程に対して上 (下)−0.02 ± 1.31 (stat.) ± 0.83 (syst.)のものを用いる。式に現れるパラメータ ACPρπ , C, ∆C, S,

I+
I−−0.01 ± 0.11 (stat.) ± 0.04 (syst.)+0.09 ± 0.10 (stat.) ± 0.04 (syst.)

および ∆S が，B 0 → ρ± π ∓ 崩壊過程の CP および荷電

I0
Re
I+−

+0.02 ± 0.09 (stat.) ± 0.05 (syst.)+1.21 ± 2.59 (stat.) ± 0.98 (syst.)

存のない直接的 CP 非対称性，C はフレーバー依存性を

Re
I+0
Re
I−0
Im
I+−

+1.15 ± 2.26 (stat.) ± 0.92 (syst.)−0.92 ± 1.34 (stat.) ± 0.80 (syst.)−1.93 ± 2.39 (stat.) ± 0.89 (syst.)

CP 非対称性に対応し，∆C と ∆S は CP を破らないパ

Im
I+0
Im
I−0

−0.40 ± 1.86 (stat.) ± 0.85 (syst.)−2.03 ± 1.62 (stat.) ± 0.81 (syst.)

けられる。

4.3

非対称性を特徴付ける。このうち，ACPρπ はフレーバー依示す直接的 CP 非対称性，S は B 0 -B 0 混合の関与するラメータである5 。これらのパラメータは，時間依存した
ダリッツプロット解析の結果と以下の式によって関連づ

ACP
ρπ =

系統誤差

+
+
U+
− U−
+
+ ,
U+
+ U−

C+ + C−
C+ − C−, ∆C ≡
,
2
2
+
−
+
−
S −S
S +S
, ∆S ≡,S≡
2
2
C≡

系統誤差の要因は様々だが，ここではそのうち主要な物のみを紹介する (詳細は参考文献 [13] を参照されたい)。これらの系統誤差は，その要因となるパラメータを不定性の

−
−
U+
U−
−
,
C
=
+
+ ,
U+
U−
2I+
2I−
S+ = + , S− = + .
U+
U−の変化量を見ることで求めている。全体の系統誤差は，各C+ =の寄与の二乗和を取ることで得られる。最も大きな干渉パ
(

(23)

ただし，

分だけ動かしてデータのフィットまたは MC を行い，結果)ラメータへの寄与は，ρ の励起状態から来る。我々は，( β κ ,
(

(22)

]
+ qtag (S ± ∆S) sin(∆md ∆t) .

)γ κ ) の (β, γ) からのずれ，パラメータ β, γ の不定性，各共鳴状態のの質量と幅の不定性を考慮した。非干渉パラメー(24)

タへの大きな寄与は，B 0 → f0 (980)π 0 , f0 (600)π 0 , ωπ 0 や
非励起 π + π − π 0 など，ρπ を経由しない π + π − π 0 終状態
5 すなわち，∆C または ∆S が 0 でなかったとしても，CP は破れていない。

への崩壊過程から来る。これらの崩壊過程は，分岐比が6統誤差を合わせたもの)。

ACP
ρπ

C

C

+1.00
−0.17

+1.00

∆C
S
∆S

+0.09
+0.01
−0.00

+0.16
−0.02
−0.01

S

∆S

2
+−

∆C

+1.00
−0.00
−0.02

Aρπ

ACP
ρπ

3
0.5

1

0

0

+1.00
+0.29

Confidence Level (σ)

1

表 2: 擬二体崩壊のパラメータの相関行列 (統計誤差と系

-0.5

+1.00

-1

我々の結果から，以下の値を得た。

-1

ACP
ρπ

= −0.12 ± 0.05 ± 0.04 ,

(25)

C

= −0.13 ± 0.09 ± 0.05 ,

(26)

∆C

= +0.36 ± 0.10 ± 0.05 ,

(27)

S

= +0.06 ± 0.13 ± 0.05 ,

(28)

∆S

= −0.08 ± 0.13 ± 0.05 .

(29)

-0.5

0

A−+
ρπ

0.5

1

−+
図 8: 直接的 CP 非対称のパラメータ A+−ρπ と Aρπ における信頼度の等高線。

ここで，2 つの誤差は統計誤差と系統誤差である。各パラ

B 0 → ρ± π ∓ 仮定における直接的 CP 非対称性を表す−+
パラメータ A+−ρπ および Aρπ は，以下の式によって定義

メータ間の相関は表 2 に示した。

される。

ペンギンダイアグラムの寄与がない極限で φ2 と等しくなる位相角 φeﬀ
2 を，下記の式により定義することが出来る [25]

φeﬀ
2 ≡)
1 ( eﬀ,+
φ2+ φeﬀ,−
2
2

(30)

(

および

)

S ± ∆S√
1 − (C ± ∆C)2()δ̂ = arg A−∗ A+ .

Γ(B 0 → ρ− π + ) − Γ(B 0 → ρ+ π − ),Γ(B 0 → ρ− π + ) + Γ(B 0 → ρ+ π − )

(34)

A−+
ρπ =

Γ(B 0 → ρ+ π − ) − Γ(B 0 → ρ− π + ).
Γ(B 0 → ρ+ π − ) + Γ(B 0 → ρ− π + )(35)

これらのパラメータは，上で紹介した ACPρπ , C, ∆C を用

ここで，

2φeﬀ,±± δ̂ = arcsin
2

A+−
ρπ =

いて以下の通り計算できる。

,

(31)

CP
ACP
ρπ + C + Aρπ ∆C,
1 + ∆C + ACP
ρπ C

(36)

CP
ACP
ρπ − C − Aρπ ∆C.
1 − ∆C − ACP
ρπ C

(37)

A+−
ρπ

= +0.21 ± 0.08 ± 0.04 ,

(38)

A−+
ρπ

= +0.08 ± 0.16 ± 0.11 ,

(39)

A+−
ρπ = −
A−+
ρπ =

(32)

我々の結果より，

我々は，
◦

φeﬀ
2 = ( 88.0 ± 3.9 ± 1.7 ) ,(33)◦を得た。ここで φeﬀ
2 ∼ 90 であることは，S と ∆S が 0 に近い値であることに対応している。また，arcsine の多価性から，等価なもう一つの解として φeﬀ
2 = (2.0 ± 3.9 ± 1.7)を得た。2 つのパラメータの間の相関係数は +0.47 であ◦る。この値は，直接的 CP の破れがない場合 (A+−ρπ = 0◦◦も許される。さらに，φeﬀ
2 ∼ 45 および 135 という解も原かつ A−+
ρπ = 0) と比べて 2.3 標準偏差 (σ) のずれがある

理的には許されるが，これらの解は 2φeﬀ,++δ̂ と 2φeﬀ,−−δ̂22(図 8)。
B 0 → ρ0 π 0 過程の CP 非保存パラメータもまた計算可が ∼ 180◦ だけ違う状況にに対応しており，比較的穏やかな理論的仮定により除外することができる (フレーバー能である。この過程における時間依存部分崩壊幅は以下

SU(3) または QCD factorization は 180◦ よりもずっと小eﬀ
さい値を支持する) [25]。我々が得た φeﬀ
2 から，φ2 − φ2の式で与えられる[dΓ∝ e−|∆t|/τB0 1 + qtag Aρ0 π0 cos(∆md ∆t)
d∆t]に制限を与えるような理論的な仮定を用いることで，モデルに依存する形で φ2 を制限することが出来る [25, 26]。

+ qtag Sρ0 π0 sin(∆md ∆t) ,

7

(40)

ここで，Aρ0 π0 および Sρ0 π0 が測定すべきパラメータで1ある。これらのパラメータは，時間依存性を用いたダリッ
ツプロット解析の結果から，以下のように計算される。

U0−
,
U0+

Sρ0 π0 =

2I0
.
U0+

1−C.L.

Aρ0 π0 = −

0.8

(41)

0.6
0.4

我々は，以下の値を得た。

C.L.=68.3%
0.2

Aρ0 π0= −0.49 ± 0.36 ± 0.28 ,(42)Sρ0 π0=+0.17 ± 0.57 ± 0.35 .

(43)

0
0

2 つのパラメータの間の相関係数は −0.08 であった。Aρ0 π0

30

60

90
120
φ2 (degrees)

150

180

図 9: 1 − C.L. と φ2 の関係。点線が 時間依存性を用いたの測定は，Belle の以前の測定結果 [23] と良く一致する。

ダリッツプロット解析のみを用いたもの，実線が 時間依Sρ0 π0 に関しては，これが世界で初めての測定であった。

存性を用いたダリッツプロット解析と荷電 B 中間子崩壊
過程を含む完全なアイソスピン解析 (ペンタゴン解析) を

6

φ2 への制限合わせた解析の結果である。

我々の解析から得られたパラメータを用いて，CKM 位
相角 φ2 を文献 [9] に記述された手法により制限すること

A(B + → ρ0 π + ) [28]。これらは，我々の解析から得られが出来る。B 0 → (ρπ)0 で記述される崩壊過程が３つある

た 26 の測定量と相関がない。上記 31 の測定量を用いて，ことから，φ2 を含む 9 つの自由度が存在する:

ダリッツ解析と B ± の崩壊過程を含むアイソスピン解析

9 =(6 complex amplitudes = 12 d.o.f.) + φ2(ペンタゴン解析) を組み合わせた解析を行った。5 つの関連する崩壊過程があるので，φ2 を含む自由度の数は 12である:−(1 global phase) − (1 global normalization) (44)−(1 isospin relation = 2 d.o.f.) .

12 =(10 complex amplitudes = 20 d.o.f.) + φ2

ここで，アイソスピン関係 [10, 11] のうち中性 B 中間−(1 global phase)子に関連する式 (14) のみを用いる。時間依存性を用いた−(4 isospin relations = 8 d.o.f.) .

ダリッツプロット解析で得られた 26 の測定量を制約条(45)

件として用い，6 つの複素振幅を 9 つのパラメータで記χ2 の 定 義 の 詳 細 は 参 考 文 献 [13] を 参 照 さ れ た い 。

述することで，χ2 関数を定義する。まず，この 9 つのパ得られた χ2min は 10.2 であり，31(measurements) −ラメータを χ2 が最小となるように最適化し，この最小12(free parameters) = 19 の自由度において妥当であ値を χ2min とする。次に，φ2 を 0◦ から 180◦ まで変化さる。上記と同様の手順に従って，図 9 の実線に示されせながら残りの 8 つのパラメータを最適化し，それぞれる 1 − C.L. 曲線を得た。ここから，標準理論に矛盾のの φ2 に関する χ の最小値 χ (φ2 ) を求める。∆χ (φ2 ) をない 68.3%信頼区間として 68◦ < φ2 < 95◦ の範囲を得∆χ2 (φ2 ) ≡ χ2 (φ2 )−χ2min により定義する。この ∆χ2 (φ2 )た。ただし，その他の標準理論とは一致しない領域にも

2

2

2

に基づき，文献 [27] の手法に従って MC を行うことで，我々の解析からは許される解が存在する (0◦ < φ2 < 5◦ ,

図 9 に示す 1 − C.L. のプロット (点線) を得た6 。

25◦ < φ2 < 32◦ , 108◦ < φ2 < 180◦ )。

さらに，利用しうる全ての情報を合わせるために，時間依存性を用いたダリッツプロット解析に加えて，関連す7

る我々の解析から得られた崩壊分岐比 B(B 0 → ρπ all )[13]および下記の崩壊分岐比と CP 非対称の世界平均を用いる: B(B

壊過程における時間依存性を用いたダリッツプロット解

6 通常，∆χ2 (φ ) は自由度 1 の χ2 分布に従うので，χ2 分布を用2析を行った。我々の解析結果と，関連する荷電 B 中間子+ 0+→ ρ π ), B(B

我々は，414 fb−1 のデータを用いて，B 0 → π + π − π 0 崩→ ρ π ),+

→ ρ π ), A(B

まとめ

+ 0

+

0 +

いて 1 − C.L. を求めるのが一般的である。しかし，MC により検討した結果，我々の場合においてはこのようにして得られた信頼区間が小さすぎる (under coverage) ことが分かった。このため，我々は χ2 分布を仮定せずに MC を行うことで正しい信頼区間を計算した。

の崩壊過程からの情報を合わせてダリッツ解析とアイソ
スピン解析 (ペンタゴン解析) を組み合わせた解析を行い，

8

モデルに依存しない方法で φ2 への制限を与えた結果，標[12] A. Kusaka, C. C. Wang, H. Ishino, et al. (Belle

準理論に一致する 68.3%信頼区間として 68◦ < φ2 < 95◦

Collaboration), Phys. Rev. Lett. 98, 221602 (2007).

を得た。しかし，標準理論とは一致しない領域にも我々[13] A. Kusaka, C. C. Wang, et al. (Belle Collaboration) (2007), submitted to Phys. Rev. D.,の解析からは許される大きな領域がある。また，擬二体崩壊に関連するパラメータについても，多くの有用な測

arXiv:0710.4974 [hep-ex].

定結果を得た。

[14] S. Kurokawa and E. Kikutani, Nucl. Instrum.
Meth. A 499, 1 (2003), and other papers included

謝辞

in this volume.

本研究は，共同で解析を進めた台湾大学 C. C. Wang

[15] A. Abashian et al. (Belle Collaboration), Nucl. Instrum. Meth. A 479, 117 (2002).

氏をはじめ，多くの Belle φ2 解析チームおよび CP -ﬁt 解
析チームの方々からの貢献により完成されたものです。ま[16] G. J. Gounaris and J. J. Sakurai, Phys. Rev. Lett.
21, 244 (1968).

た，この結果は，KEKB 加速器グループの努力によって得られた非常に大きなルミノシティを基にしており，Belle
グループの全面的サポートの上に成り立っています。こ[17] H. R. Quinn and J. P. Silva, Phys. Rev. D 62,の場を借りて謝意を表します。最後に，博士論文を指導

054002 (2000).

してくださった相原博昭先生に感謝致します。

[18] B. Aubert et al. (BaBar Collaboration), Phys. Rev.
D 72, 052002 (2005).

参考文献[19] H. Tajima et al., Nucl. Instrum. Meth. A 533, 370(2004).

[1] N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10, 531 (1963).
[2] M. Kobayashi and T. Maskawa, Prog. Theor. Phys.
49, 652 (1973).

[20] H. Kakuno et al., Nucl. Instrum. Meth. A 533, 516[3] A. B. Carter and A. I. Sanda, Phys. Rev. Lett. 45,
952 (1980).

[21] K. Abe et al. (Belle Collaboration), Phys. Rev. D
71, 072003 (2005).

[4] A. B. Carter and A. I. Sanda, Phys. Rev. D 23,1567 (1981).

[22] K. F. Chen et al. (Belle Collaboration), Phys. Rev.
D 72, 012004 (2005).

[5] I. I. Y. Bigi and A. I. Sanda, Nucl. Phys. B 193,
85 (1981).

[23] J. Dragic et al. (Belle Collaboration), Phys. Rev. D[6] K. Abe et al. (Belle Collaboration), Phys. Rev.

[24] O. Long, M. Baak, R. N. Cahn, and D. Kirkby,
Phys. Rev. D 68, 034010 (2003).

(2004).

73, 111105 (2006).

Lett. 87, 091802 (2001).

[25] M. Gronau and J. Zupan, Phys. Rev. D 70, 074031(2004).

[7] B. Aubert et al. (BABAR Collaboration), Phys.
Rev. Lett. 87, 091801 (2001).
[8] 石野宏一, 日下暁人: 高エネルギーニュース Vol. 25
No. 4, 1 (2007).

[26] M. Gronau, E. Lunghi, and D. Wyler, Phys. Lett.

[9] A. E. Snyder and H. R. Quinn, Phys. Rev. D 48,
2139 (1993).

[27] J. Charles et al. (CKMﬁtter Group), Eur. Phys. J.
C 41, 1 (2005).

[10] H. J. Lipkin, Y. Nir, H. R. Quinn, and A. Snyder,Phys. Rev. D 44, 1454 (1991).

[28] Heavy Flavor Averaging Group (HFAG) (2006),
hep-ex/0603003; and online update of Winter 2006

B 606, 95 (2005).

(http://www.slac.stanford.edu/xorg/hfag).
[11] M. Gronau, Phys. Lett. B 265, 389 (1991).
9