CMB非ガウス性の幾何学的解析松原隆彦（名古屋大学）@大阪市立大学
2010/5/26
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ビッグバン宇宙400,000

0.5

最初期の銀河

インフレーション

宇宙背景放射image from Cosmic Mystery Tour page
Copyright, © 1995: Board of Trustees, University of Illinois
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宇宙大規模構造宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)• 宇宙の晴れ上がり：宇宙年齢約40万年の光2010年5月26日水曜日

宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)• 1965年：ペンジアスとウィルソンにより背景放射が偶然発見される

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宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)• 空のどの方向を見ても同じ温度でやってくる

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宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)• 地球の運動によるドップラー効果

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宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)• 全く一様では困る• 背景放射：約140億年前の宇宙の姿• 完全に一様な場合：現在も構造ができない• 一様でない場合：重力により非一様性が増幅

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CMBのゆらぎ• 背景放射の温度ゆらぎの発見• 1992年人工衛星COBE

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CMBのゆらぎ• WMAP による詳細な観測• 2001年打ち上げ

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CMB温度ゆらぎの意味• 温度ゆらぎのスペクトル解析• 特別な波長のゆらぎが大きくなるという特徴

Hu & White: Scientiﬁc American より転載
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温度ゆらぎのパワースペクトル• 温度ゆらぎを球面調和関数で多重極展開• パワースペクトル：l-モードの振幅• より一般的な定義（回転対称性を考慮すると上と等価）•

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パワースペクトル：理論と観測のみごとな一致

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宇宙モデル依存性• 温度ゆらぎスペクトルから宇宙の成分等がわかる2010年5月26日水曜日

温度ゆらぎスペクトルの理論解析• 宇宙の成分が詳細に判明

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CMB• 観測されたパワースペクトルは宇宙の初期のゆらぎに依存• 得られた初期ゆらぎを再現する初期宇宙モデ
ルを探すことができる• さまざまなインフレーション理論などを選別• とはいえ、パワースペクトルが合うインフレーション理論は無数にある

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インフレーションと初期ゆらぎ• 「インフラトン」が非自明なポテンシャル中を運動するときの真空エネルギー• スローロール：宇宙を加速膨張（ド・ジッター宇宙）2010年5月26日水曜日

インフレーションと初期ゆらぎ• スローロール中に生成されるゆらぎ• 観測に合う「ハリソンゼルドビッチスペクトル」に近いものが説明できる• 十分なスローロールをするようなモデルはいくらでも作れる

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非ガウス性• インフレーション理論など、初期ゆらぎを予言できる初期宇宙のモデルを区別するには、パワースペク
トルだけでは不十分• パワースペクトルはゆらぎの統計的性質を尽くしていない• パワースペクトルはガウスゆらぎの性質を完全に特徴づける量• 非ガウス性に関する情報を引き出すことが今後の宇宙論の重要課題のひとつ

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非ガウスゆらぎ• パワースペクトルは同じでも、非ガウス性を持たない分布と持つ分布は異なる

gNL

6= +10gNL

6= -10Chingangbam & Park 20092010年5月26日水曜日

高次の統計指標• パワースペクトルとは、実空間で固定した間隔の２点の温度値の平均量（２点相関関数）に対応• ３点以上の温度値の平均量（多点相関関数）が非ガウス性を特徴づける

２点相関：１変数
３点相関：３変数

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４点相関：６変数

高次スペクトル• 非ガウス性は、ゆらぎの高次統計量により特徴づけられる• 高次スペクトル：多点相関関数の多重極展開• B: bispectrum, T: trispectrum• 回転対称性により 3j-symbol が現れる
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CMB非ガウス性の検出方法• 高次スペクトルをダイレクトに見積もる方法• 足が多いため解析が複雑になりすぎる• 最適化された重みの指標を用いる方法• Optimal estimators• ゆらぎパターンの幾何学的解析• ミンコフスキー汎関数など

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ゆらぎパターンの幾何学的解析• 温度ゆらぎの幾何学的パターンを特徴づけるため、スムージン
グしてから温度がある一定値をとる線（等温度線）を考える

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ゆらぎパターンの幾何学的解析• 温度ゆらぎの幾何学的パターンを特徴づけるため、スムージン
グしてから温度がある一定値をとる線（等温度線）を考える

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ゆらぎパターンの幾何学的解析• 温度ゆらぎの幾何学的パターンを特徴づけるため、スムージン
グしてから温度がある一定値をとる線（等温度線）を考える

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ゆらぎパターンの幾何学的解析• 温度ゆらぎの幾何学的パターンを特徴づけるため、スムージン
グしてから温度がある一定値をとる線（等温度線）を考える

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ゆらぎパターンの幾何学的解析• 温度ゆらぎの幾何学的パターンを特徴づけるため、スムージン
グしてから温度がある一定値をとる線（等温度線）を考える

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ゆらぎパターンの幾何学的解析• 温度ゆらぎの幾何学的パターンを特徴づけるため、スムージン
グしてから温度がある一定値をとる線（等温度線）を考える

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ゆらぎパターンの幾何学的解析• 温度ゆらぎの幾何学的パターンを特徴づけるため、スムージン
グしてから温度がある一定値をとる線（等温度線）を考える

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ミンコフスキー汎関数• ミンコフスキー汎関数：等温度線の幾何学的な形に関する統計指標（しきい値となる温度の関数）• 高温領域の面積• 等温度線の長さ• 高温領域数 ー 低温領域数（オイラー数）

ex.)

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ミンコフスキー汎関数

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ミンコフスキー汎関数• ガウス場に対する解析的理論式は古くからよく知られていた• Tomita’s formula (Tomita 1986)2010年5月26日水曜日

原始非ガウス性とミンコフスキー汎関数

形が異なれば、非ガウス性のシグナル

V2

V1V0• しきい値の関数としてのミンコフスキー汎関数は、ガウス場に対して普遍的な形
10.80.60.40.201.4
1.2
10.8
0.6
0.4
0.2
0420-2-4-4 -3 -2 -1
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0i

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原始非ガウス性とミンコフスキー汎関数• WMAP team による解析• WMAP5から計算したミンコフスキー汎関数とガウシアン予言からのずれをプロット• 現在のところエラーの範
囲内でガウシアンで説明できる

Komatsu et al. (2009)2010年5月26日水曜日

原始非ガウス性とミンコフスキー汎関数• これまで、非ガウス場に対するミンコフスキー汎関数の理論予言は、個々のモデルごとにシミュレーションにより求めていた• 大変な数値計算が必要な上、結果は個別的で一般性がない• 非ガウス場に対する一般的な解析的理論式が必要！
• とはいっても、非ガウス場には無限の可能性がある• 非ガウス性が弱ければ、非ガウス性の強さに関する展開が可能で、かなり一般的に求めることができた• TM (1994); TM (2004); Hikage et al. (2008); TM (2010)2010年5月26日水曜日

非ガウス場のミンコフスキー汎関数• 結果：

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非ガウス場のミンコフスキー汎関数• CMBではだからこの展開は十分よい• ここに現れてくる係数：• 温度ゆらぎとその微分のモーメントから得られる量• 拡張 skewness, 拡張 kurtosis

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非ガウス場のミンコフスキー汎関数• これらの係数は bispectrum と trispectrum により与えられる

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非ガウス場のミンコフスキー汎関数• 以上により、非ガウス場の bispectrum やtrispectrum を与えると、ミンコフスキー汎関数の解析的理論式が評価できる• 初期ゆらぎ非ガウス性のモデルにはよらない一般的な結果• 非ガウス性を予言する初期宇宙モデルを観測で制限するための有力な方法になり得る

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局所型非ガウスゆらぎの場合• 局所型非ガウス性• ニュートンゲージ重力ポテンシャルに対して次の形• この場合のCMBのbispectrum, trispectrumの形はよく知られている [Komatsu & Spergel (2001); Okamoto &Hu (2002)]• bispectrum• trispectrum• したがってミンコフスキー汎関数の解析式もこれら非ガウス性パラメータの線形結合で与えられる
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局所型非ガウスゆらぎの場合• 数値シミュレーションと解析式との比較 (Sachs-Wolfe limit)
120.8

6fNL = 10 , gNL = 10V1

V00.6
0.40(V1 - V1G) / V1G,max(V0 - V0G) / V0G,max

0.2

0.002
0.001
0-0.001-4-3-2-1240i

1234

1.4
1.2
10.8
0.6
0.4
0.2
00.0060.0040.0020-0.002-0.004

fNL = 102gNL = 106-4-3-2-10i

12346fNL = 10 , gNL = 10V22上パネル：ミンコフスキー汎関数の値
下パネル：ガウス場からのずれ0(V2 - V2G) / V2G,max-2-40.0050

データ点：10万個のシミュレーションによるサンプルを平均した値-0.005-0.01-0.015-0.02-4

2010年5月26日水曜日-3-2-10i

1234

パラメータの非縮退• ミンコフスキー汎関数の解析式はの線形結合• その係数は直交するエルミート多項式• これらのパラメータを観測から別々に決定することができる：観測量にパラメータ縮退がない
246fNL = 10 , gNL = 10V220(V2 - V2G) / V2G,max-2-40.005

赤線と青線が fNL と gNLからの寄与（この例ではtauNLの寄与は無視できるほど小さい）

gNL

0-0.005

fNL-0.01-0.015-0.022010年5月26日水曜日-4-3-2-10i

1234

WMAPシミュレーションとの比較• Hikage et al. (2008): fNL• 観測ノイズも含めてシミュレーションし、解析式の妥当性と有効性を確認

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WMAPデータの解析• Hikage et al. (2008) : fNL• WMAP3

gNL, tauNL についても同様の解析中
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まとめ• ミンコフスキー汎関数• 温度ゆらぎパターンの幾何学的な統計指標• 非ガウス性を調べるのに都合がよい• 2次のオーダーまで非ガウス場の解析的公式を導いた• WMAPなどデータを用いてfNLの解析を実際に行った• 今後：• gNL, tauNL についてもデータを用いて解析• 局所型でないモデルへMFから観測的制限を与える• 偏光マップへの応用（解析式はほぼそのまま使える）
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