修士論文 要旨

ケーブルの緩みを考慮したテンセグリティ構造の動的解析法
丹波 俊明

数理情報学専攻 96221

寒野 善博 准教授

指導教員

1 はじめに3 運動の支配式

構造物に外力が作用せず，かつ非零の内部応力が存在し，静テンセグリティの運動の中で，ケーブルが緩んだ状態から的な釣合状態を満たす条件を自己釣合条件という．圧縮力の張力をもつ状態に変化することがあり得る．その際，ケーブみを負担するストラットと張力のみを負担するケーブルの 2ルの運動の慣性力に対する力として衝撃力が存在することが種類の部材が節点でピン接合された構造物が自己釣合条件を予想される．この衝撃力を考えるために，ケーブルの変化を満たし，かつ各節点に対し接続するストラットが高々 1 本で物体が壁に完全非弾性衝突するモデルで置き換えることを考あるとき，テンセグリティと呼ぶ [1]．

える（図 1）．壁につながれたバネは，ケーブルの弾性に対応

本研究では，テンセグリティの運動中にケーブルが緩んだりしている．また，壁ははじめケーブルの自然長の位置に置か張ったりすることで生じる衝撃力を考慮したテンセグリティれているものとしている．ケーブルが緩んだ状態から張力をの動的解析手法を提案する．また運動中に生じる部材どうしもつ状態に変化する際の慣性力に対する力は，モデルでは，物の接触を検出する手法を提案する．さらに，提案したそれぞ体が壁と衝突する際に生じる衝撃力に置き換えられて考える

れの手法に関する数値実験を行い，テンセグリティの動的なことができる．ケーブルが緩んだ状態から自然長に変わるこ挙動の特徴を探る．とを，モデルでの物体と壁が接触する現象に対応して，接触と呼ぶことにする．

2 Measure diﬀerential inclusion
常微分方程式の集合で記述される次の力学系を考える．

ẋ(t) = f (t, x(t)),x(t) ∈ Rn .

(1)

ここで x は，状態ベクトルである．また，f (t, x(t)) はベクトル場と呼ばれ，状態ベクトルの時間微分を記述する．f (t, x)を線形有界であると仮定する．支配法則がある条件を境に切図 1. 接触のモデル

り替わるような力学系においては，(1) の f (t, x) が不連続になる．そのような場合にも対応するため (1) を拡張したのが，

diﬀerential inclusionẋ(t) ∈ F (t, x(t))(2)

である．ここで F : R × Rn → P(Rn ) は，集合値写像である．不連続な x(t) を考えるために，(2) で ẋ(t) を用いる代わ(eec ≥ 0, esc ≤ 0) と表すことにする．伸びの時間微分 vc = e˙c (vcs = e˙sc , vce =e˙ec ) と定義する．ある接触時刻 tIm において，接触時にケーブルに生じる衝撃力 τ Im と vcs + (tIm ) の間には次のような相補ケーブルの伸び ec を ec = eec + esc性条件が成り立つ．

τ Im ≥ 0,

りに diﬀerential measure を用いてdx ∈ F (t, x(t))dt(3)3.1−vcs + ≥ 0,

τ Im vcs + = 0.

(5)ケーブルの接触がない場合を考える．時間に関する不連続性を考慮した有界変動時間発ケーブルの接触がない場合には，構造系の運動方程式が展を記述するために，diﬀerential measure dx は，atomic な

M (u)ü(t) + Ks (u)u(t) + Bc⊤ (u)τ (u) − f (t) = 0(6)項をもつ．したがって (3) を次のように拡張する．

dx ∈ F (t, x(t))dt + G(t, x(t))dη.

(4)と書ける．ただし，M ∈ Rn×n は正定値対称な質量行列，

ここで G(t, x(t)) は，x+ と x− に依存する写像である．まKs ∈ Rn×n は構造系のストラットである全ての部材に対する剛性行列，f ∈ Rn は外力をそれぞれ表す．運動の支配式は，

た，dη =

これにケーブルの構成則，ケーブルの伸びと構造系全体の変∑i dδti である．

(4) の解 x(t) は，有界変動関数であり，すべてのコンパク
トな区間 I = [t0 , t] に対して
∫x+ (t) = x− (t0 ) + f (t, x)dt + g(t, x)dη位の関係を加えて，

M (u)ü(t) + Ks (u)u(t) + Bc⊤ (u)τ (u) − f (t) = 0
seb⊤
i u = ec i = ec i + ec i

τi = kc i eec i

I(esc i ≤ 0, eec i ≥ 0)(∀i ∈ Ic )(∀i ∈ Ic )と書ける．ただし f (t, x) と g(t, x) は，となる．Ic はケーブルである部材の添字の集合を表す．

f (t, x) ∈ F (t, x),を満たす．

g(t, x) ∈ G(t, x)(7)

ケーブルの緩みを考慮したテンセグリティ構造の動的解析法 (丹波 俊明)

ケーブルの接触が起こる場合
時刻 t に接触がある場合は，慣性力に対する力としてケーブルの張力 τ Im が瞬間的に存在する．この力を考慮すると運3.2で近似し，(13) の各項を次のように積分する．

∫ tf

動方程式は以下のようになる．

M (u)ü(t) + Ks (u)u(t) + Bc⊤ (u)τ (u) − f (t)∑+→M m (v f − v i ),M m := M (um )Ks udt→Ksm um ∆t,

Ksm := Ks (um )∫ tf(8)ti∫ tf ∑bci (u)τiIm = 0.

i∈IcIm (t)ti

運動の支配式は，

+ Ks (u)u(t) + Bc⊤ (u)τ (u) − f (t) M (u)ü(t)∑ +bci (u)τiIm = 0 i∈I Im (t)bci dτi∑→i∈Icbmci τˆi ,mbm
ci := bci (u )i∈Ic

これら用いて measure diﬀerential inclusion (12), (13) は，次のような線形相補性問題に書き直せる．

∑ mmfim mbci τˆi = 0 M (v − v ) + Ks u ∆t +
i∈Ic

⊤ ffv
≤0=) bm(vciciτ̂≥0
i⊤ fτ̂i (bm(i ∈ I = {∀i | eci (t) = 0}).(15a)ci v ) = 0ces(esc i ≤ 0, eec i ≥ 0) (∀i ∈ Ic )b⊤i u = ec i = ec i + ec i




(9a)
τi = kc i eec i (∀i ∈ Ic )
 ImImIm s +s +τj ≥ 0, −vcj ≥ 0, τj vcj = 0 (∀j ∈ Ic (t))となる．

ただし，ここで τˆi =∫ tfdτi としている．この線形相補性問
題 (15) は次の 2 次計画問題の KKT 条件である．

4 解析手法4.1

M dvti

手法 1：ケーブルの剛性が無限大の場合

min

ケーブルの剛性が無限大と仮定する（ストラットの剛性はs.t.

有限）．それぞれのケーブルの伸びは，

ec i ≤ 0(∀i ∈ Ic )1 f⊤ m fv M v + (−M m v i + Ksm um ∆t)⊤ v f
2⊤ fbm
ci v ≤ 0

この 2 次計画問題を解くことで v − から v + を求めることがとなる．またケーブルの構成則 τi = kc i ec i から τi は定まらできる．

なくなってしまう．ケーブル i の伸び ec i と張力 τi の間には，

4.2

手法 2:ケーブルの重量が無視できる場合

3.2 節では，ケーブルが緩んだ状態から張力をもつ状態へ

次の相補性条件がなりたつ.

τi ≥ 0,ti−ec i ≥ 0,ec i τi = 0.

(10)の変化を物体が壁に完全非弾性衝突するモデルで置き換えた（図 1）．ここで，ストラット（球）の重量を ms ，ケーブル（ば続いて，この相補性条件を速度に関する条件に置き換えるねの板）の重量を mc ，衝突直前のモデル化した球の速度をことを考えていく．初期時刻 t = 0 において (10) を満たすとv − ，衝突後の球と板の速度を v + とする（完全非弾性衝突な仮定する．このとき，時刻 ∀t ∈ {t | ec i (t) = 0} において，ので両者の速度は一致する）．このとき衝突時の運動量保存τi (t) ≥ 0,+−vci(t) ≥ 0,+
τi (t)vci(t) = 0,(11)則は，ms v − = mc v + + ms v +という相補性条件が成り立てば (10) が常に成り立つ．
節点変位 u の速度 v を v = u̇ とし，速度 v に関する測度
を dv = vdt + (v + − v − )dη とおく．張力に関する測度をdτi = τi dt + τiIm dη とおく．このとき，(5) および (11) より
dτi ≥ 0,+−vci≥ 0,+dτi vci=0となる．ケーブルの重量がストラットの重量に対してとても小さい場合を考える．このとき，重さ mc はゼロとみなすことができ，(16) より(12)v− = v+(i ∈ I = {∀i ∈ Ic | ei (t) = 0})が成り立つ．(6) および (8) より，測度に関する運動方程式はM (u)dv + Ks (u)udt +∑bci (u)dτi = 0(13)(16)となる．よって衝突時に速度が変化しないので，衝撃力の影響を受けていないと考えることができる．このとき，

τ Im = 0i∈Icとなる．(12), (13) が measure diﬀerential inclusion となる．

4.1.1 問題の変形となる．よって接触が起こる場合も運動方程式は接触なしの場合と同じになり，支配式は (7) となる．v i から v f を求める

(12), (13) を time-steping algorithm を用いて数値計算にには，線形方程式を解けばよい．

よって解いていくことを考える．
時間間隔 [ti , tf ] (tf − ti = ∆t) を考える．初期時刻 ti における u, v は既知であるとし，それぞれ ui , v i とおく．中点[1] R. Motro. Tensegrity. Kogan Page Science, London,
2003.

法に基づき，時刻 tm := ti + ∆tにおける変位を2um = ui + v i

∆t2

参考文献

(14)