ガリレオに挑戦！（２日目）

授業者：諏佐 洋一（筑波大学大学院修士課程教育研究科 1 年）

2年
氏名組番

０． 昨日の内容
・ ガリレオの「比例コンパス」は目盛りの取り方が工夫されていた。
・ 測量に使うときには、目盛りが 100 tanαとして取られている四分円を用いることによって、簡単な計算で山の高さを測ることができた。
今日の目標

ガリレオの「比例コンパス」を使って、自分たちで測量に使われる目盛りを作成してみよう

１．四分円の目盛りを作ろう
単位円において考えるとき、tanα（ 0° ≤ α ≤ 90° ）は図でどのように表せただ
ろうか？
y1

α−1

O

1

x−1
さらに準備として、「比例コンパス」での、直線の分割の仕方を見てみよう！

1２． 直線の分割
ガリレオの「比例コンパス」の説明書には、はじめに直線の分割の仕方が書かれている。

（中略）

（中略）

2

＜和訳＞
直線の分割
操作１
この新たな幾何学的で軍事的なコンパスの使用の詳しい説明をするのに、最初に分割と目盛りがともなった 4 つの直線の組がマークされている面で考える。
最初にこれらの直線のうち、一番内側のものについて話をする。それらは等差数列になるように分割されている、つまり 250 まで等しい増加量で進むということから、算術線と言われる。
（中略）
与えられた線が中間の大きさで、器具の開く範囲を超えないとき、普通のコンパスでその全体の長さをとり、器具を開いて、算術線上のある数[と反対側の腕に対応する]にこの距離を横に対応させる。そして、与えられた線の分割される部分の数と同じ倍数の選ばれた数を割り切る、より小さな数がある。この小さい数を結ぶ点の間でとられた距離が間違いなく与えられた直線を、必要とする部分に分割するだろう。
（中略）
今、与えられた線分がとても短いとき、そして例えば線分 AB を 13 個の部分に分割するような多くの部分に分けるとき、2 つ目のルールで続行する。
線分 AB を直線に沿って C まで伸ばし、それぞれの部分が AB と等しくなるようにマークする；今それらの 6 個分、即ち AC は AB より 6 倍分長いとする（AC は AB の７倍）。AB は 13 個の部分を含んでいるのは明らかで、全 AC は91 個の部分を含んでいる。それゆえ、コンパスで全 AC をとって、器具を開き、91‐91 の点で横に対応させる。次に、90‐90 の点に対して少しコンパスを閉めて、C から A の方に距離を動かす。A の近くの点でマークされ，これが全 CAの 91 番目、即ち BA の 13 個目の部分である。そして、89、88、87…とコンパスを少し閉じ、我々は与えられた直線 AB の小さな部分を見つけ、マークしながら、C から A の方向への距離を移していく。
※ compass（目盛りのないコンパス）と Instrument（比例コンパス）の違いに注意する。

この直線の分割を使って、四分円の目盛りを描いてみよう！
(ワークシート)3３． 算術線のその他の使い方
① 三数法

② 換金4

①

三数法

＜和訳＞

コンパスと算術線によって解かれる三数法
操作４
今の直線は、いろいろな直線の問題を解くためだけでなく、これをユークリッドが我々に教えていることに相当するものとする算術的規則のために使われる；3 つの数が与えられたとき、4 つ目の比例項を見つけること。これは黄金律であり、与えられた 3 つの数に対して、4 つ目の比例項を見つけることを行う人には三数法と呼ばれた。例によって実証するのに、はっきり理解できる例を述べる：80 が 120 を与えるとすると、100 はいくつ与えるだろうか。ここで、80、120、100 がこの順で 3 つの数が与えられている。求める 4 番目の数を見つけるために、２番目の与えられた数（120）を器具上で縦にとり、これを最初（80）に対して横に対応させる。そして、３番目の数（100）を横にとり、目盛りにそって縦の長さを測る。あなたが見つけたもの（150）が求める 4 番目の数である。
②

換金＜和訳＞換金のルール
操作６

これらの等差的直線によって、簡単でスピーディーな方法でどんな種類の通貨も他の通貨に換えることができる。これは最初に交換したいお金での価格を縦にとって、これを交換で作られるお金での価格を横に合わせて、器具をセットすることによってなされる。

問題 比例コンパスを用いて、換金をしてみよう。
17 世紀のころ、ヴェネツィアではお金の単位として ducat が使われ、フィレンツェでは scudo（複数形 scudi）が使われていた。また、イタリア全土で一般に 広 く 流 通 し て い た 銀 貨 は sold （ 複 数 形 soldi ） で 、 1ducat=160soldi 、1scudo=124soldi である。このとき、186 ducats は何 scudo に換金できるか？

答

5scudo４． 幾何学線

（中略）

6

＜和訳＞
幾何学線とその使い方
操作８（上で説明した）算術線の次にくる線は 50 までの幾何学的な数列※で分割されていることから幾何学線と言われる。
（中略）
同じ直線（幾何学線）で我々はどのように 2 つの似た平面図形の比をみつけることができるか。
操作９
例えば、A、B の 2 つの正方形、もしくは実際、それらの 2 つの線分 A、B が相応する辺を示す 2 つの図形で与えられるとしよう。その面積の比がいくつであるか見つけたい。コンパスで線分 B をとり、器具を開いて、幾何学線の点の組（20‐20）で合わせる。そして、器具を動かさずに、コンパスで線分 A をとり、幾何学線に当てはまるときに対応する数がいくつかわかる；10 とわかった
とき、2 つの面積の比は 10 に対して 20 を持つ；すなわち 2 倍であると言える。
※ geometrical progression は等比数列とも訳されるが、ここでは等比数列ではない

幾何学線によって、ある正方形の面積を与えられた比に分割する、正方形の 1 辺の長さを求めることができる
21
幾何学線はどのように目盛りが取られているのだろうか？
実際の目盛り n に対して、1＜比例コンパス＞2の長さで取られている。

7

５． 幾何学線の作図目盛りがどう取られているのかわかったところで、四分円同様、どのように目盛りが作図されるか考えてみよう。

1

明日へ続く

8

補足
(昨日の補足の解答)
仰角が 45°以上のときの測量

9目盛りを見るとわかるように、45°以上の目盛りは、単に tanαで取られているわけではない。よって、45°以上の時には違った計算法で求めなければならない。どうやって計算されているか見てみよう。

10

＜和訳＞
しかし、次の図形で我々の目が I にあり、糸が点 M と O を通るときに、高さGH を測りたいとするときに見られるように、糸が別の 100（45°以下での目盛りとは別の目盛り）で切断するならば、目盛りの数字をとり、その数で 10000を割る；その結果が高さ GH に等しい単位の数になるだろう。例えば、もし、糸が（視点の近くの方での）50 で切断されたら、10000 を 50 で割って、200を得る。そして、（100 に相当する IH の）単位の数が高さ GH に等しいだろう。

なぜこの計算で高さ GH が測れるのだろう？
これまで学んできた数学で考えてみよう。

∠ＩＭＯ＝αとする。
ＧＨ＝100 × tan（90°−α）
１tanα
分母、分子にそれぞれ100をかけて10000
ＧＨ＝100tanαだから、仰角が45度のときは、上の計算で高さが求められるのである。
＝100 ×11