数理解析研究所講究録 1262 巻 2002 年 75-83

75

STANDARD PATHS FIXED BY
A DIAGRAM AUTOMORPHISM
佐垣大輔 ( Daisuke SAGAKI )内藤聡 (Satoshi NAITO)

筑波大学大学院数学研究科

筑波大学数学系

Graduate School of Mathematics,
University of Tsukuba

Institute of Mathematics,
University of Tsukuba

sag ki\copyright math.tsukuba.ac.jp

naito@math.tsukuba.ac.jp

http://www.math.tsukuba.ac.jp/\sim sagaki/ から,
プレプリントをダウンロード可能 (2002 年 1 月現在)

0Introduction.
[NS3] において, 我々は Dynkin 図形のグラフ白己同型の作用と, standard path,
で得らおよび standard monomial の関係を調べ, これらを用 で, [FRS], [FSS]
れた, symmetrizable Kac-Moody algebra 上の integrable highest weight moduleのの twining character に関する公式や, [KN], [S] で得られた Demazure module$\mathrm{A}\mathrm{a}$twining character に関する公式の別証明を与えた. 本稿で {よ, これらの結果を簡単に説明する.

1Preliminaries.
Kac-Moody algebras.

1.1

Kac-Moody algebra に関する記号 \uparrow よ以下の通り:: symmetrizable generalized Cartan matrx (GCM) with $\#(I)<\infty$
associated to: symmetrizable Kac-Moody$A=(a_{ij})_{i,j\in I}$$A$$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}/\mathbb{C}$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(A)$$\mathfrak{h}$: Cartan subalgebra of$\{\alpha_{i}\}_{i\in I}$: the set of simple roots,$\{x_{i}, y_{i}\}_{i\in I}$$\mathfrak{n}_{+}$$\mathfrak{g}$$\{\alpha_{i}^{\vee}\}_{i\in I}$: Chavalley generators, where: the sum of positive root spaces: the set of simple coroots$x_{i}\in \mathfrak{g}_{\alpha}$

:and

:

$y_{i}\in\emptyset-\alpha$76
Borel subalgebra of$b:=\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}+:$$W$: Weyl group of$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$$L(\lambda)=\oplus_{\chi\in \mathfrak{h}^{*}}L(\lambda)_{\chi}$: irreducible highest weight module of highest weight$L_{w}(\lambda):=U(\mathrm{b})L(\lambda)_{w(\lambda)}$$\lambda$: Demazure module of lowest weightin,where is a dominmt integral weight and $w\in W$$w(\lambda)$$L(\lambda)$$\lambda$

Diagram automorphisms.

$1.2$$a_{\omega(:)}$$\omega:Iarrow I\text{を}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{C}\vee$for a,\mbox{\boldmath $\omega$}(j)=a りを満たすものとする. すなゎち,$\omega$(1.2. 1)

$j\in I$

は GCM $A$ の Dynkin

である (市 agram automorphism). このとき,$\omega(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}$

$i,$

は

$\omega$,$\mathfrak{g}$図形のグラフ自己同型の自己同型$\omega\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathfrak{g})$

で,

およひ

(1.2.2)$\{\begin{array}{l}\omega(x_{|}.)=x_{\omega(|)}\omega(y_{\dot{l}})=y_{\omega(|)}\omega(\alpha^{\vee}\dot{.})=\alpha_{\omega(|)}^{\vee}\end{array}$$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}i\in Ii\in Ii\in I,$”

を満たすものを誘導する (see [FSS, \S 3.2]$\mathrm{m}\mathrm{d}[\mathrm{S},$$(\omega^{*}(\lambda))(h):=\lambda(\omega^{-1}(h))$

for\S 1.1]).
$\lambda\in \mathfrak{h}^{*},$$\omega^{*}:$$\mathfrak{h}^{*}arrow \mathfrak{h}^{*}\text{を}$(1.2.3)$h\in \mathfrak{h}$で定め,$(\mathfrak{h}^{*})^{0}:=\{\lambda\in \mathfrak{h}^{*}|\omega^{*}(\lambda)=\lambda\}$とおく.

$(\mathfrak{h}^{*})^{0}$を(1.2.4)$\overline{W}:=\{w\in W|\omega^{*}w=w\omega^{*}\}$の元は symmetric weight と呼ばれる.

-stable をであるものとし,$P\subset \mathfrak{h}^{*}$,$\omega^{*}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\Psi^{\mathrm{a}1}$

weight lattice で, 任意の $i\in I$ に対して,.

$\alpha:\in P$

for a 垣 $i\in I\}$

(1.2.5)で生或される巡回群 {の $L(\lambda)$ への作用

$P_{+}:=\{\lambda\in P|\lambda(\alpha_{1}^{\vee}$ $)\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$と定める.
$\lambda\in P_{+}\cap(\mathfrak{h}^{*})^{0}$とする. このとき,$\omega$

で, 以下を満たすものが唯一っ存在することが知られてぃる$\omega\rangle$(cf.

$\{\begin{array}{l}\omega\cdot(xv)=\omega(x)(\omega\cdot v)\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x\in g,v\in L(\lambda)\omega\cdot v_{\lambda}=v_{\lambda}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}v_{\lambda}\in L(\lambda)_{\lambda}\end{array}$$[\mathrm{N}\mathrm{S}1,$\S 4.1]):(I.2.6)

77
また,$w\in\overline{W}$

こで,$L(\lambda)$であるとき,の restricted dual$\langle\omega\rangle$

および$L(\lambda)^{*}$

for$(\omega\cdot f)(v)=f(\omega^{-1}\cdot v)$の作用で不変であること力\sigma 分力 る. そ$\backslash$はこの$L_{w}(\lambda)$

への$L_{w}(\lambda)^{*}$$\{\begin{array}{l}f\in L(\lambda)^{*}(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}..

$\langle\omega\rangle$の作用を,(1.2.7)

f\in L_{w}(\lambda)^{*})v\in L(\lambda)(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}v\in L_{w}(\lambda))\end{array}$で定める.

13Orbit Lie algebras.

$i,$

に対して,

$j\in I$

(1.3.1)$c_{ij}:= \sum_{k=0}^{N_{j}-1}a_{i,\mathrm{t}v^{k}(j)}$とおく. ここで, $N_{i}:=\#\{\omega^{k}(i)|k\geq 0\}$ である.

系$\hat{I}$

$I$

#こお

$\mathrm{F}f$る$\omega$-orbit の完全代表を取り, $\dot{I}:=\{i\in\hat{I}|c_{ii}>0\}$ とおく. さらに,$\hat{a}_{ij}:=2c_{ij}/c_{j}$for(1.3.2)$j\in\hat{I}$$i,$とする. ここで,$c_{ii}$$c_{i}:=\{$

if$i\in\dot{I}$,(1.3.3)2otherwise,とする. このとき, 次の命題が成立する (see[FRS, Lemma 2.1]).

Proposition LLあり,$\hat{A}:=(\hat{a}_{ij})_{i,j\in\hat{I}}$$\hat{A}:=(\hat{a}_{ij})_{i,j\in\dot{I}}$$\hat{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}(\hat{A})$subalgebra,

をは, symmetrizable Borcherds-Cartan matrix では, symmetrizable GCM である.

口を Cartanに付随した generalized Kac-Moody algebra とし,を Weyl group とする.
を Chevalley generators,$\hat{\mathfrak{h}}$$\hat{A}$$\overline{W}$$\{\hat{x}_{i},\hat{y}_{i}\}_{i\in\hat{I}}$で生或される
Definition 12. とをに対する orbit Lie algebra と呼ぶ.
$\hat{\mathfrak{h}}$$\hat{\mathfrak{g}}$$\{\hat{x}_{i},\hat{y}_{i}\}_{i\in\dot{I}}$の subalgebra を$\dot{\mathfrak{g}}$で表し, これ$\omega$

次の命題が知られている (see$[\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{S},$Proposition 13. M 形同型写像
で, 任意の$\hat{w}\in\overline{W}$$P_{\omega}^{*}$:

Propositon 3.3 and Corollary 3.4]):$\hat{\mathfrak{h}}^{*}arrow(\mathfrak{h}^{*})^{0}$

および群同型写像$\Theta$:$\overline{W}arrow\overline{W}$に対して,$arrow\hat{w}$$\hat{\mathfrak{h}}$$\hat{\mathfrak{h}}$$\downarrow P_{\omega}^{*}$$P_{\omega}^{*\iota}$(1.3.4)$(\mathfrak{h}^{*})^{0}arrow(\mathfrak{h}^{*})^{0}$$\Theta(\hat{w})$が可換になるものが存在する.

口

78
2

Path Models.
このセクションでは path model につぃて復習する (cf.

2.1$[\mathrm{L}1]-[\mathrm{L}5]$).

Notation. 区分的に線形で連続な写像 :で, $\pi(0)=0$ を満たすものを, path と呼ぶ. ここで, 2 っの path
に対して, 区分的に線形で,全射な非減少連続関数: $[0, 1]arrow[0,1]$ で,を満たすものが存在するとき, とを同一視することにする (reparmetrization).
を path 全$\pi$$[0, 1]arrow \mathrm{R}\otimes_{\mathrm{Z}}\mathfrak{h}^{*}$$\pi,$$\psi,$$\psi’$$\pi’$$\pi\circ\psi=\pi’\circ\psi’$$\pi’$$\pi$$\mathrm{B}$体の集合 (modulo reparametrization) とし,$e_{\dot{*}}$:$\mathrm{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}\cup\{\theta\}arrow \mathrm{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}\cup\{\theta\}$

およひ$f_{\dot{l}}$:$\mathrm{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}:=\{\pi\in \mathrm{B}|\pi(1)\in P\}$raising root operator, lowering root operator とする (cf. [L2,
適当な symbol である .1 これらの root operator を用いて,Lakshmibai-Seshadri paths.

の L-Spathweight の列$\mathbb{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$:$\nu_{1}>\nu_{2}>\cdots>\nu_{\epsilon}$path) である.

(ここで,で, shape$\lambda$

は$\geq$

理数の列 $\underline{a}:0=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{\epsilon}=1$ の組$\mathrm{B}(\lambda)$$\theta$は,#こは, crystal の構$W\lambda$$(\underline{\nu}:\underline{a})$の L-Spath 全体の集合を表しとする. shape$\lambda\in P_{+}$とは, “chain condition” と呼ばれる条件を満たす,$\underline{\nu}$: に関する

path model の理論において, 最も基本的な path は Lakshnibai-Seshadri path(L-S$\lambda$$\alpha$\S 1]). ここで,造が入ることが知られてぃる.

2.2

を,

$\mathrm{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}\cup\{\theta\}arrow \mathrm{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}\cup\{\theta\}$

とおく.

上の “

$\mathrm{B}$$W\lambda$に含まれる

市 at order”)と有で定まる path のことである.

,(2.2.1)$\mathrm{B}_{w}(\lambda):=\{(\nu_{1}, \ldots ; \underline{a})\in \mathrm{B}(\lambda)|\nu_{1}\leq w(\lambda)\}$とおく. このとき, 次の定理が成立する.

Theorem 2.1 ([L1](2)$\mathrm{B}(\lambda)\cup\{\theta\}$(3) 任意の$\mathrm{m}\mathrm{d}[\mathrm{L}2]$). (1)$\mathrm{B}(\lambda)\subset \mathrm{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$.

は root operator で不変である.

$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$に対して,$i_{1},$$i_{2},$$\ldots,$$ik\in I$が存在して,$\pi=f_{1}.1f_{1}.2\ldots f_{1}.k\pi_{\lambda}$となる. ここで, $\pi_{\lambda}(t):=(\lambda;0,1)=t\lambda$ である.

(4) {$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)|e:\pi=\theta$(5)

for a 垣 $i\in I$ }$\sum e(\pi(1))=\mathrm{c}\mathrm{h}L(\lambda)$が成立する.
就

$1$

の理論

.

$\sum$\pi \epsilon へ$\pi\in \mathrm{B}(\lambda)$$1\mathrm{c}$,$=\{\pi_{\lambda}\}$$e(\pi(1))=\mathrm{c}\mathrm{h}L_{w}(\lambda)$,(2.2.2)$(\lambda)$$\square$$\mathfrak{l}^{-}.b^{\backslash }$ける$‘\eta$,,t\breve -*‘}rL‘‘する. 任意の $t\in[0,1]$ に対して $\pi(t)=0$ という path と区別するために別の記号を使うことにした.

79
23Standard paths.

2 つの path$\pi_{1},$に対して,$\pi_{2}\in \mathrm{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$$\pi_{1}(2t)$if $0\leq t\leq 1/2$ ,$\pi_{1}(1)+\pi_{2}(2t-1)$

if(2.3.1)$(\pi_{1}*\pi_{2})(t):=\{$と定める (と$\pi_{1}$$\pi_{2}$の concatenation).

このとき,$\pi_{1},$$1/2\leq t\leq 1$$\pi_{2},$$\pi_{3}\in \mathrm{B}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$,に対して, modulo

reparametrization で, $(\pi_{1}*\pi_{2})*\pi_{3}=\pi_{1}*(\pi_{2}*\pi_{3})$ が成立することが分かる.
$\lambda_{1},$$\lambda_{2},$$\ldots$, \lambda n\in P。とする. \pi i\in B(\lambda

紡个靴,(2.3.2)$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}\pi_{i}=\pi_{1}*\pi_{2}*\cdots*\pi_{n}$とし,(2.3.3)$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}\mathrm{B}(\lambda_{i}):=\{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}\pi_{i}|\pi:\in \mathrm{B}(\lambda_{i})\}$と定める.

Remark 22(cf. [L2, Lemma 27]).
で不変である. さらに, crystal として,$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}\mathrm{B}(\lambda_{i})\cup\{\theta\}$$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}\mathrm{B}(\lambda_{i})\cong \mathrm{B}(\lambda_{1})\otimes \mathrm{B}(\lambda_{2})\otimes\cdots\otimes \mathrm{B}(\lambda_{n})$砲 crystal の構造が入る).

である (Theorem 2.1 (1), (2) より, 各 B(\lambda$\lambda:=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}$, および$\underline{\lambda}$

は root operator の作用$:=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n})$とする.

$\pi_{\underline{\lambda}}:=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{\dot{\iota}=1}^{n}\pi_{\lambda}:\in$root operator を作用させていって得られる path のことを shapeの standard path と呼ぶ (すなわち, standard path とはの highest weight component に含まれる元に対応する path のことである (cf.

$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}$

B(\lambda$\underline{\lambda}$$\mathrm{B}(\lambda_{1})\otimes \mathrm{B}(\lambda_{2})\otimes\cdots\otimes \mathrm{B}(\lambda_{n})$Remark 22)).
$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}$

B(\lambda

慮気 standard になるための必要十分条件が知られている:

Proposition 23([L3, Theorem 10.1 and Lemma 10.2]).
$\mathrm{B}(\lambda_{i})$とする $(i=1,2, \ldots, n)$ . このとき,dard であるための必要十分条件は,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$chain)(i)(ii)$W\lambda$$\pi_{i}=(\nu_{i,1}, \ldots, \nu_{i,s} ;:が, stan-$\pi=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}\pi_{i}\in \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{t}_{i=1}^{n}\mathrm{B}(\lambda_{i})$の元の列$\{\lambda_{i,j} \}_{i=1,2,\ldots,n,j=1,2,\ldots,s}:(\pi$\underline{a}_{1}.)\in$に対する defin-$\text{で}$$\lambda_{1,1}\geq\cdots\geq\lambda_{1,s_{1}}\geq\lambda_{2,1}\geq\cdots\geq\lambda_{2,s_{2}}\geq\cdots\cdots\geq\lambda_{n,1}\geq\cdots\geq\lambda_{n,s_{n}}$$p_{i}(\lambda_{i,j})=\nu_{\dot{\iota},j}$,,を満たすものが存在することである. ここで,ある. さらに, standard path

$\pi$

に対して,

$\pi$

$p_{i}$:$W\lambdaarrow W\lambda_{i}$は canonical map でに対する defining chain$\{\lambda_{\pi_{j}}^{\min}\}_{i,j}i,j$

次の意味で最小のものが唯一つ存在する (minimal defining chain):
対する defining chain$\{\lambda_{i,j}\}_{i,j}$に対して,$\lambda_{\pi- i,j}^{\min}\leq\lambda_{i,j}$が, すべての

任意の$i,$ $j$

$\pi$

で,
に

に対して或

80
$\mathrm{B}(\underline{\lambda})$で, shapeの standard path 全体の集合を表す.

$\underline{\lambda}$

また, $w\in W$ に対して,(2.3.4)$\mathrm{B}_{w}(\underline{\lambda}):=\{\pi\in \mathrm{B}(\underline{\lambda})|\lambda_{\pi 1,1}^{\mathrm{m}\dot{\mathrm{m}}}\leq w(\lambda)\}$とおく. このとき,$\mathrm{B}(\underline{\lambda})$およひに対しても Theorem 2.1 と同様の事実が或$\mathrm{B}_{w}(\underline{\lambda})$り立つ. 例えば, 次の character formula が成立する:$\sum$$e(\pi(1))=\mathrm{c}\mathrm{h}L(\lambda)$,$\sum$\pi \epsilon へ$\pi\in \mathrm{B}(\underline{\lambda})$3,$e(\pi(1))=\mathrm{c}\mathrm{h}L_{w}(\lambda)$(2.3.5)$(\underline{\lambda})$Main Results.
以下では,

3.1

$\lambda_{1},$$\lambda_{2},$$\ldots$, \lambda n\in P や寡

およひ$(\mathfrak{h}^{*})^{0}$Standard paths fixed by ’. pathと定める. このとき,$\mathrm{B}(\underline{\lambda})$およひは$\mathrm{B}_{w}(\underline{\lambda})$$\mathrm{B}^{0}(\lambda):=\{\pi\in \mathrm{B}(\lambda)|\omega^{*}(\pi)=\pi\}$$\omega^{*}$,$[\mathrm{N}\mathrm{S}3$-stable であることが分かる. ここで,$\hat{\pi}:[0,1]$, Theorem 4.4]). $i=1,2,$$\hat{\lambda}:=\hat{\lambda}_{1}+\hat{\lambda}_{2}+\cdots+\hat{\lambda}_{n}$$\Theta^{-1}(w)$に対して, $(\omega^{*}(\pi))(t):=\omega^{*}(\pi(t))$(3.1.1)\rightarrow ^h*1 こ対して,$(P_{\omega}^{*}(\hat{\pi}))(t):=$と定める. このとき, 次の定理が成立する.

Theorem 3.1(
とし,

とする.

$\mathrm{B}_{w}^{0}(\lambda):=\mathrm{B}_{w}(\lambda)\cap \mathrm{B}^{0}(\lambda)$

とおく. また orbit Lie algebra に関する path
$P_{\omega}^{*}(\hat{\pi}(t))$$\pi$$w\in\overline{W}$

およひ$\ldots,$

$n$

に対して,

$\hat{\underline{\lambda}}:=(\hat{\lambda}_{1}, \hat{\lambda}_{2}, \ldots, \hat{\lambda}_{n})$.

$\hat{\lambda}_{1}$$:=(P_{\omega}^{*})^{-1}$とおく. また,(\lambda$\hat{w}:\ovalbox{\tt\small REJECT}$とする. このとき,$\mathrm{B}^{0}(\underline{\lambda})=P_{\omega}^{*}(\dot{\mathrm{B}}(\hat{\underline{\lambda}}))$

が成立する. ここで,$\dot{\mathrm{B}}(\hat{\underline{\lambda}})$path 全体の集合であり,

chain の初項が$\hat{w}(\hat{\lambda})$,は orbit Lie algebra$\dot{\mathrm{B}}_{\hat{w}}(\hat{\underline{\lambda}})$(3.1.2)$\mathrm{B}_{w}^{0}(\underline{\lambda})=I_{\mathrm{t}t}^{*}(\dot{\mathrm{B}}_{\hat{w}}(\hat{\underline{\lambda}}))$は, shape$\hat{\underline{\lambda}}$$\dot{\mathfrak{g}}$に関する shape$\hat{\underline{\lambda}}$の standardの standard path で, 而 nimal defining

以下のもの全体を表す.

口

Remark 3.2. $n=1$ のとき, Theorem 3.1 は L-Spath に対する主張になる (see[$\mathrm{N}\mathrm{S}3$, Theorem 4.2] . これは,

では,

3.2

$)$

$\dot{I}=\hat{I}$$[\mathrm{N}\mathrm{S}1, \mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}3.2.4]$の一般化になってぃる ([NS1](cf. \S 1.3) を満たす diagram automorphism のみを扱った).

Standard monomials fixed bymonomial と呼ばれるら全体の集合$\pi\in \mathrm{B}(\underline{\lambda})$$\{p_{\pi}|\pi\in \mathrm{B}(\underline{\lambda})\}$

が$\omega$.

[L6] において, Littelmann は standardに付随したベクトル$L(\lambda)^{*}$$p_{\pi}\in L(\lambda)^{*}$

を定義し, それの基底をなすことを示した (ここで$p_{\pi}$の81
weight は $-\pi(1)$ である). さらに力ゞ

$\{p_{\pi}|_{L_{w}(\lambda)}\in L_{w}(\lambda)^{*}|\pi\in \mathrm{B}_{w}(\underline{\lambda})\}$

底になることも示した. これらの standard monomial との$\langle\omega\rangle$$L(\lambda)^{*}$$L_{w}(\lambda)$

の基

上への作用

(cf. Ql 2) との関係は次の定理で与えられる :Theorem 33($[\mathrm{N}\mathrm{S}3$, Theorem 4.6]). 任意のが成立する. したがって,$p_{\pi}$であることである. さらに,

#こ対して,$\omega\cdot p_{\pi}=p_{\omega^{*}}(\pi)$で固定されるための必要十分条件はの作用で固定される standard monomial 全体の集が$\omega$$\pi\in \mathrm{B}(\underline{\lambda})$$\pi\in \mathrm{B}^{0}(\underline{\lambda})$$\omega$

合と orbit Lie algebra に関する standard monomial 全体の集合の間 l こ [よ次の自然
な 1 対 1 対応が存在する:$p_{\pi}rightarrow.\dot{p}_{\hat{\pi}}1.1$. ここで,$\dot{p}_{\hat{\pi}}$は$\hat{\pi}:=(P_{\omega}^{*})^{-1}(\pi)\in\dot{\mathrm{B}}(\hat{\lambda})$に付随した standard monomial である.

4Twining Character Formulas.
前セクションの結果を使って, twining character formula を証明しよう.

41Definition. \lambda \in P や口$(\mathfrak{h}^{*})^{0},$$w\in\overline{W}$のとき,$L(\lambda)$

および$L_{w}(\lambda)$の twining

character はそれぞれ以下の式で与えられる:$\mathrm{c}\mathrm{h}^{\omega}(L(\lambda)):=\sum_{\chi\in(\mathfrak{h}^{*})^{0}}|\mathrm{t}\mathrm{r}(\omega|_{L(\lambda)_{\chi}})e(\chi)$(4.1.1),$\mathrm{c}\mathrm{h}^{\omega}(L_{w}(\lambda)):=\sum_{\chi\in(\mathfrak{h}^{*})^{0}}\mathrm{t}\mathrm{r}(\omega|_{L_{w}(\lambda)_{\chi}})e(\chi)$.

(4.1.2)

42Twining character formula.
Corollary 4.1 (see also [FRS], [KN], and [S]).

$\hat{\lambda}:=(P_{\omega}^{*})^{-1}(\lambda),\hat{w}:=\Theta^{-1}(w)\text{と}$おく. このとき, 次の公式が成立する:$\mathrm{c}\mathrm{h}^{\omega}(L(\lambda))=P_{\omega}^{*}(\mathrm{c}\mathrm{h}\dot{L}(\hat{\lambda}))$

ここで,は, highest weight$\dot{L}(\hat{\lambda})$$\dot{L}_{\hat{w}}(\hat{\lambda})\subset\dot{L}(\hat{\lambda})$Proof.

$L(\lambda)$.

,$\hat{\lambda}$$\mathrm{c}\mathrm{h}^{\omega}(L_{w}(\lambda))=P_{\omega}^{*}(\mathrm{c}\mathrm{h}\dot{L}_{\hat{w}}(\hat{\lambda}))’$の integrable highest weight(4.2.1)-module であり,$\dot{\mathfrak{g}}$は嘉に関する Demazure module である.

に関する公式のみ示そう ((7) twining character$L_{w}(\lambda)$についても同様である). まず,$\text{を}$$\mathrm{c}\mathrm{h}^{\omega}(L(\lambda)^{*}):=\sum_{\chi\in(\mathfrak{h}^{*})^{0}}\mathrm{t}\mathrm{r}(\omega|_{(L(\lambda)^{*})_{\chi}})e(\chi)$.

$L(\lambda)^{*}$

82
で定める.

.

で説明した通り, {with(L(\lambda ) ぇの基底になってぃる. また, Theorem 33の前半の主張にょり,
であれば, この基底はの作用で保たれることが分かる. したがって$\ovalbox{\tt\small REJECT} 2$$p$$\epsilon L(\lambda)\ovalbox{\tt\small REJECT}\pi \mathrm{C}\mathbb{B}(\ovalbox{\tt\small REJECT})$$-\pi(\mathfrak{y}\ovalbox{\tt\small REJECT}\chi$$\chiarrow$

} は,
(hっ0

$\langle\omega\rangle$$\mathrm{t}\mathrm{r}(\omega|(L(\lambda)*)_{\chi})=\#${$p_{\pi}|\omega\cdot p_{\pi}=p_{\pi},$$\pi\in \mathrm{B}(\underline{\lambda})$with $-\pi(1)=\chi.$ }$=\#\{\pi\in \mathrm{B}^{0}(\underline{\lambda})|-\pi(1)=\chi\}$by Theorem 3.3,となり, よって(4.2.2)$\mathrm{c}\mathrm{h}^{\omega}(L(\lambda)^{*})=\sum_{\pi\in \mathrm{W}(\underline{\lambda})}e(-\pi(1))$となる. [KN, Theorem 322] の証明より,

ch\mbox{\boldmath $\omega$}(L(\lambda ))=\Sigma \chi \in 。っ。

$c_{\chi}e(-\chi)$ch”(L(\lambda )っ =\Sigma \chi \in (fJ.)。へ e(\chi ) とすると,となることが分かる. したがって,$\mathrm{c}\mathrm{h}^{\omega}(L(\lambda))=\sum_{\pi\in \mathrm{W}(\underline{\lambda})}e(\pi(1))$

by (4.2.2)$=P_{\omega}^{*}( \sum_{\hat{\pi}\in\check{\mathrm{B}}(\hat{\lrcorner\lambda}}e(\hat{\pi}(1)))$$=P_{\omega}^{*}(\mathrm{c}\mathrm{h}\dot{L}(\hat{\lambda}))$by Theorem 3.1

by (2.3.5).

となり, 公式が得られる.

口

REFERENCES.
[FRS]

J. Ehchs, U. Ray, and C. Schweigert, Some automorphismsof generalized KacMoody algebras, J. Algebra 191 (1997), 518-540.

[FSS]

J. Ehchs, B. Scheuekens, and C. Schweigert,
Dynkin diagram
to fixed point structures, Comm. Math. Phys. 180 (1996),$\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{m}$$\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\infty$

39-97.

[KN]

M. Kanda and S. Naito, A
preprint.

[KK]

S.-J. Kang and J.-H. Kwon, Graded Lie superalgebra.s, supertrace
formula, andorbit Lie superalgebras, Proc. London Math. Soc. 81 (2000),$\mathrm{t}\mathrm{w}\dot{\min}\mathrm{g}$character formula for Demazure modules,

675-724.

[L1]
[L2]

P. Littelmam, ALittlewood-Richar&on rule for symmetrizablegebras, Invent. Math. 116 (1994), 329-346.
P. Littelmmn, Paths

142 (1995), 499-525.

[L3]$\mathrm{m}\mathrm{d}$-Moody al-$\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{c}$root operators in repraeentation theory, Ann.

of Math.

P. Littelmann, Aplactic algebra of semisimple Lie algebras, $Adv$. Math. 124(1996), 312-331.

83
[L4]

in “Representation
P. Littelmann, Characters of representations and paths in), Proc.
Knapp,
Theory and Automorphic Forms” (T. N. Bailey and A. W.
1997.
Providence,. 61, pp. 29-49, Amer. Math. Soc.,
Sympos. Pure Math.
map and standard
P. Littelmann, The path model, the quantum Frobenius(R. W.
monomial theory, in “Algebraic Groups and Their Representations”$175-212$,. $517,$ .
Sci. Inst. Ser.
), NATO
Carter and J. Saxl,
Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998.
for symP. Littelmann, Contracting modules and standard monomial
metrizable Kac-Moody algebras, J. Amer. Math. Soc. 11 (1998), 551-567.
$\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*},$$\mathrm{E}\mathrm{d}\mathrm{s}.$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$[L5]$\mathrm{C}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$$\mathrm{E}\mathrm{d}\mathrm{s}.$

[L6]
[N1]
[N2]
[N3]
[N4]
[NS1]

$\mathrm{p}\mathrm{p}$$\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{v}.$$\mathrm{t}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{y}$S. Naito, Twining character formula ofbras, preprint.

$\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{c}$-Wakimoto type for affine Lie alge-

preprint.
S. Naito, Twining characters and Kostant’s homology formula,
the BernsteinS. Naito, Twining characters, Kostant’s homology formul , andGelfand-Gelfand resolution, to appear in J. Math. Kyoto Univ.
$\mathrm{a}$S. Naito, Twining character formula of Borel-Weil-Bott type, preprint.
diagram autoS. Naito and D. Sagaki, Lakshmibai-Seshadri paths fixed by a.
morphism, J. Algebra 245 (2001), 395-412,$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{i}:10.1006/\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{r}.2001.8904$

[NS2]

[NS3]
[S]

decomposition
S. Naito and D. Sagaki, Certain modules with twining maps andrules of Littelmann type, to appear in Comm. Algebra.
fixed byS. Naito and D. Sagaki, Standard paths and standard monomials
diagram automorphism, to appear in J. Algebra.

$\mathrm{a}$formula for
D. Sagaki, Crystal bases, path models, and a twining character
Inst. Math. Sci.
Demazure modules, to appear in Publ.
${\rm Res}.$