数理解析研究所講究録 1262 巻 2002 年 66-74

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Generalized Verma modu-les and contraction
和地輝仁 (WACHI Akihito).
北海道工業大学総合教育研究部 (Hokkaido Institute of Technology)

1Introduction
Definition 1.1 $(G,\rho, V)$ を代数群の複素ベクトル空間 $V$ 上の表現とする. 以下では,
単に $(G, V)$ と書くこともある. このとき, $(G,\rho, V)$ が概均質ベクトル空間 (PV) であると上に Zariski 稠密な -軌道が存在することをいう. これは開軌道となる. $G$ が簡約は,であるとき, $(G, P)$ を簡約概均質ベクトル空間 (簡約) と呼ぶ.
この時多項式が相対不変式であるとは, 指標が存在して,
すべての $g\in G,$ $v\in V$ に対して, $f(gv)=\chi(g)f(v)$ となることをいう.
$V$

$G$

$G$

$\mathrm{P}\mathrm{V}$$f\in \mathrm{C}[V]$Definition1.2$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}_{-}, \mathrm{C})$$\chi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G, \mathrm{C}^{\mathrm{x}})$を半単純リー代数,に対して,$\mathfrak{g}$$\mathfrak{p}\subset$

佳をその . 物型部分代数とするとき, 指標$\text{放}$$\lambda\in$$M_{g}(\lambda)=U(\mathfrak{g})\otimes_{U(p)}\mathrm{C}_{\lambda}$と定め, スカラー型一般バーマ加群と呼ぶ.
において縮約 (contraction) という操作が知られてぃる. PV $(G, V)$ と相対木変式が与えられたときこれを縮約すると, $G$ の subquotient $G’$ と $V$ の部分空間 $V’$ により別のが得られ, $f|v$ ’ は再ひ相対不変式となる (Definition 2.1). このとき $f$と $f|v$ ’ の糾関数のが関数
(Definition 23) は次数が等しく, こ$\mathrm{P}\mathrm{V}$$f\in \mathrm{C}[V]$$\mathrm{P}\mathrm{V}(G’, V’)$$b_{f}(s)\in \mathrm{C}[s]$$b_{f}|_{V^{l}}(s)\in \mathrm{C}[s]$れらの零点は適当に並べ換えると, 整数差を除いて一致してぃることも知られてぃる.
単純代数群 とその放物型部分群 の組 $(G, P)$ を考え, の巾単根基が可換であるとする. この時, 組 $(G, P)$ から
が得られる
.
,
( Ad, )
ここで, は のレビ部分群であり, ドイツ文字は対応する群のリー代数を表す. また, 単純代数群 $G’$ とその放物型
部分群 $P’$ \emptyset 組 ( $G’$ , Pっをとって, これがら得られる( $L’$ , Ad,) が ( ,Ad, ) の縮約
$G$

$P$

$\mathrm{P}\mathrm{V}$

$P$

$L$

$N^{+}$$L$$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{n}^{+’}$$\mathrm{P}\mathrm{V}$

$L$

$P$

$\mathfrak{n}^{+}$となるように出来る.

$—arrowarrow O$$(L,\mathfrak{n}^{+})(G,P)\downarrow$$\mathrm{P}\mathrm{V}$組 $(G, P)$ と$(L’,\mathfrak{n}^{+})(G’,P’)\downarrow’$の縮約からスカラー型一般バーマ加群が得られ, 組 ( $G’$ , Pっとからスカラー型一般パーマ加群が得られるが, スヵラー型一般バーマ加群の既約性を相対不変式の糾関数の零点が制御してぃること (Theorem 3.2) と, 縮約にょり零点は g 数だけずれる (Theorem 2.4) というふたっの行者氏の結果を用いると,の既約性がの既約性を導くことがわかる.
が可換とは限らない場合, 表現 ( , Ad, ) はもはやではなく縮約を考えることはできないが, 組 $(G, P, L)$ から組 $(G’, P’, L’)$ を得る適切な操作を定義し (Definition4.1),$\lambda\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$$\lambda|_{l’}$$M_{\mathrm{g}}(\lambda)$$M_{\mathrm{g}},(\lambda|_{\mathrm{P}’})$$M_{\mathrm{g}}(\lambda)$$M_{\mathfrak{g}’}(\lambda|_{\mathrm{P}’})$$N^{+}$$L$$\mathfrak{n}^{+}$$\mathrm{P}\mathrm{V}$67
M。(\lambda ) の既約性が$M_{\mathrm{g}’}(\lambda|_{\mathfrak{p}’})$の既約性を導くようにしたい.
適切な ‘縮約’$(G, P, L)$$(G’, P’, L’)$$—arrow$$M_{\mathrm{g}’}(\lambda|_{\phi’})\downarrow$$M_{\mathrm{g}}(\lambda)\downarrow$–$-arrow$

既約性の伝播この論説の目的は, 組 $(G, P, L)$ から組 $(G’, P’, L’)$ を得る操作を定義し, G=SL、の場

合に一般バーマ加群の既約性がその操作によって伝播することを証明することである.

2Prehomogeneous vector spaces
を相対不変式とする. この時 $\{v\in V|f(v)\neq$
をの中に, $V$ からの相対位相に関する Zariski 閉 $G$-軌道が一意的に存在し, そこからとす
ラスをとりは簡約代数群であり, その極大の固定化群
とり固定する.
る. すると, 表現

Definition 21 $(G, V)$ を簡約$\mathrm{P}\mathrm{V},$$f\in \mathrm{C}[V]$$v_{f}$$0\}$$\vdash-$$T_{f}$$G_{v_{f}}$$v_{f}$$(G^{(J)}, V^{(J)}):=(Z_{G}(T_{f})/T_{f}, V^{T_{f}})$を得るが, 以上の $(G, V)$ から $(G^{(J)}, V^{(J)})$ を得る操作を縮約 (contraction) と呼ぶ.
が自明でない場合は, $G$ も$T_{f}=\{1\}$ の場合, 縮約によって $(G, V)$ は変化しないが,$V$ も次元は下がる.
$T_{f}$

Theorem 2.2 (Gyoja [2]) $(G, V)$ を簡約 $PV,$ $(G^{(f)}, V^{(f)})$ をその縮約とすると, $(G^{(f)}, V^{(f)})$ロは概均質ベクトル空間である.
を相対不変式とするとき, 多項式
は $V$ 上の定数係数微分作用素でを満たす. ここで,
( $V$ 上の定数係数微分作用素環) なる自然な同型により $f$ と対応すを $f$ の糾関 と呼ぶ.

Definition 23 $(G, V)$ を簡約$\mathrm{P}.\mathrm{V},$$b_{f}(s)\in \mathrm{C}[s]$$f\in \mathrm{C}[V]arrow$が存在して $f^{*}(\partial)f^{s+1}=b_{f}(s)f^{\theta}$あり,$f^{*}(\partial)$$\mathrm{C}[V]\simeq S(V^{*})\simeq$. るものである.

$b_{f}$$.\text{数}$Theorem 24(Gyoja[3]) $(G, V)$ を簡約 $PV,$との縮約とする. この時, u 関数
視して,
$b_{f}(s)\in \mathrm{C}[s]$と書いたとすると,) となる.
(in$\alpha_{j}’$$f\in \mathrm{C}[V]$を相対不変式, $(G^{(J)}, V^{(J)})$ をその次数は等しく, 定数倍は無$b_{J1^{V}’}(s)\in \mathrm{C}[s]$$b_{f}(s)$$=$$(s+\alpha_{1})\cdots(s+\alpha_{d})$$b_{f|V’}(s)$$=$$(s+\alpha_{1}’)\cdots(s+\alpha_{d}’)$の順序を必要であれば並べ換えて, すべての

$j$

に対して

$\alpha_{j}\equiv\alpha_{j,\square }’$$\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{Z}$Remark 2.5 Theorem 2.4 において, $(G, V)$ が既約 PV(既約表現でありかつは, すべての$j$に対して$\alpha_{j}\geq\alpha_{j}’$$\mathrm{P}\mathrm{V}$

) の場合

とできる.

を巾単根基が可換である の放物型部分群とするとき, Iniroduction でみたような,’の縮約を考えたとき
組 $(G, P)$ から得られる( , Ad, ) は既約なので, この
$G$

$P$

$\mathrm{P}\mathrm{V}$

とできる.

$L$

$\mathfrak{n}^{+}$$\mathrm{P}\mathrm{V}$$\alpha_{j}\geq\alpha_{j}$683Generalized
Definition 3.1

modules$\cdot \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}$を代数群, 佳をそのり一代数とし,のカルタン部分代数, を佳のを含むものとする.
を基本ウェイトとする.
B- ウェイトベクトルであって, 対応する指標が.
):であるものと定める. ここで はワイル群の最長元である. は定数倍を除 て一意
に定まる.
.
に対して,
と定め, 半不変 (semi-in ziant) と呼ぶ.
:
例えば $G\cdot=SL_{n+1}$ \emptyset 場合*, $G=Sp..(\subset GL_{2’\iota})$ のある(標準的ではない) 実現の場
$G$

レル部分代数で$(i=1, \ldots,n)$ をを$\mathfrak{h}$$\mathrm{b}$$\mathfrak{g}$$’\dotplus_{\backslash }$$\mathfrak{h}$$\varpi_{1},$$\ldots,$$\varpi_{n}\in \mathrm{b}^{*}$$f-\in \mathrm{C}[G]$$B\mathrm{x}$$\exp\langle w_{0}\varpi:$$w_{0}$$\lambda=\sum$$f_{-}$$\lambda_{:}\dot{\varpi}-$$f^{\lambda}= \prod.|.f_{-}^{\lambda:}$$\cross \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}$$\mathrm{A}\backslash$$\varpi$$\Psi\backslash \mathrm{J}$$\text{式}$$\mathrm{A}_{-}$

は,は $G$ の左下角の$f_{-}$$i\cross$

嫁 ‘行列式で与えられる.

Theorem 3.2(Gyoja [1]) Definu. ion. S. 1 の叫号, を用いる.
は, に制限す と anti-d.ominant であることと, さらに若干の条件を仮定する.
が
ただし,anti-dominunt と , すべての正)に対して, \mbox{\boldmath $\alpha$} / \mbox{\boldmath$\alpha$}. ,なること:を言う. は正ルートの和の半分である.
が極大放物型 ffl 分代数の場合, スヵラー型一般バーマ加群が既約であるため$\lambda\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$$\mathrm{b}$$\text{る}$$\mu\in \mathfrak{h}^{*}$$1\mathrm{f}$$I\mathrm{s}-\mathrm{k}\alpha$$2\langle\mu+\rho$$($$\cdot$$\alpha:)\not\in-\mathrm{z}_{\geq 0}$$\rho$.

$\mathfrak{p}$$M_{l}(\lambda)$$\text{の},\ell_{\backslash \yen \text{十分}k\text{件}\dagger\mathrm{h}’,\text{すへ^{}*}\text{ての}m\in|\mathrm{z}_{>0}\}^{}\text{対して}b_{f^{\lambda}}(\lambda.-m)\neq 0}^{\backslash }....\text{と}r_{J}\text{る}.\text{とであ_{る}}$で,%を、る単純ルートの番号で,$i\dagger\mathrm{h}.\text{極大放}.\cdot$

また,$\mathfrak{p}$$\text{型}.\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}.\cdot \text{分}\mathrm{t}\mathrm{t}\text{数}\mathfrak{p}$が極大ではない場合も.

$\overline{\mathrm{H}}\hslash^{\text{の}}$.

$\mathrm{f}$: である.

.

$.\cdot$$\lambda=\lambda_{j}\varpi$

張が成立する.

$\mathrm{o}$Remark 3.$ 上の定理において, いくっがの場合には anti-dominant 等の仮定が不要である. 特に, の巾零根基が可換の場合にそうである.
$\mathfrak{p}$が巾$arrow \text{と}\mathfrak{p}\text{の}$.

る$\text{零根}.\text{基}\theta^{\mathrm{S}}.\overline{\mathrm{u}}\Gamma \mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}2.\cdot 4$$\text{の場_{}\mathrm{D}}^{A}.,‘ \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\hslash^{\backslash }’|^{}.\text{よと}\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}3\cdot 2(\text{と}$

りそスれ

. マ加導

$\text{カ_{}\overline{7}}-\text{型らの}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{m}・\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{k})^{1^{}\text{よ}般_{}J\backslash -}.$

約が,$\mathrm{t}^{\backslash \text{れる}の}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}$$\cdot\theta^{\mathrm{f}}\#.\text{れ}6\text{のあら}$すじを見てみる. De 飾 tion 31 の記号を引き続き用いる.
の巾零根基が可換な場合は, は極大放物型部分代数であり,はと書くことができる.
をのルートの -1 倍のに 応する部分 数とす . 半不変式
を
を通して
に制
たものを
とする
は
と,
( , Ad, ) の相対不変式であり,との糾関数は一致することも$\mathfrak{n}^{+}$.

$\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$\lambda=\lambda_{j}\varpi_{j}$$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{n}^{-}$$\mathrm{K}\mathrm{s}-\text{ト}$$\lambda\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$$\text{対}$$\mathrm{f}\mathrm{t}$$\text{る}$$f.\cdot\in\cdot \mathrm{C}[G]$$\overline{f}\in \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{-}]$$L$$\mathrm{P}\mathrm{V}$$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}:\mathfrak{g}arrow G$$\text{限}$$\mathfrak{n}^{-}$$\mathfrak{n}^{-}$$f_{-}$$\llcorner$$\overline{f}\in \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{-}]$$\overline{f}$

わかる.
こ

おける

$\overline{f}$( , Ad,) を縮約するのではなく, (佳律) を次のように ‘縮約’ する.
にの零点集合の補集合はの開軌道であるがら, それ自身相対閉な L 軌道であ$.\text{で}\mathrm{P}\mathrm{V}$$L$$\mathfrak{n}^{-}$$\mathrm{P}\mathrm{V}$を適当にとり, ZL‘(\rightarrow の中の極大
ラスのり一代数 をとる.
の縮
る
$
.
,
は半単純リー代数, はその極大放物 . 部分代数で巾零根基が可換である. したがっる. そこから$\text{ト}-$$\acute{f}$$\mathrm{t}$約\mbox{\boldmath $\tau$}はここで ZL(りを$g$$\mathfrak{n}^{-}$$\Rightarrow.\grave{\lambda}$$\theta^{\mathrm{S}},$$\text{そ}$$\dagger 2\# T,$$\mathrm{P}\mathrm{V}$.

$\mathrm{g}’.=Z_{\dot{\mathit{9}}}(.\cdot \mathrm{t})/\zeta \mathrm{p}’=.Z_{l}(\mathrm{t})/\mathrm{t}\text{と}$$\text{定める}$$\text{すると}$$\mathrm{g}$$\mathfrak{p}’$$\text{て}$これらか$\text{ら}\mathrm{P}\mathrm{V}(L’;\mathfrak{n}^{-\prime})$が同様にしで得られるが,これは PV ( $L,$$\mathfrak{n}^{-}[perp]$(Introduction のひとつめの図) が (省略す名力っ証明できる. さらに,式を制限したものに等しいこともわかる.

G’ へ制限–$f_{j}$『へ制 限

刀$\circ$$O$$\downarrow$$\mapsto$$\overline{f.}$$\downarrow$n-f へ制限$\overline{f}|_{n^{-\prime}}$n-1 へ制脹

以上の準備の下,$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}2.4$とその . emark にょり,

$b_{\overline{f}(\cdot)}$

へ-’(s)$\mathrm{R}$$=$$(s+\alpha_{1})\cdots(s+\alpha_{d})$,$=$$(s+\alpha_{1}’)\cdots(s+\alpha_{d}’)$,$(\alpha_{j}\geq\alpha_{j}’)$の縮約であること$f|_{\mathfrak{n}^{-\prime}}$

は $G’$ の半不変

69

で0\hslah\mbox{\boldmath$\tau$}6s\hlash\brev -6\suceq\mbox{\boldmath$\thea$}\leftarow\chek‘\chek,と\mbox{\boldmath$\alph$}ljf, j’\not\in tZ‘,ら-i。.\mbox{\boldmath $\the a$}\mbox{\boldmath $\tau$}‘*n\hsla h @\epsilon .
$\geq\alpha\lambda_{i}$$\subsetneqq_{\text{と}^{\backslash }l^{\mathrm{a}}\text{ら},b_{\overline{f}(\lambda.-m)}\neq 0x\text{ら}\mathfrak{l}\mathrm{f}^{\backslash }b_{\overline{f}1\mathfrak{n}^{-}},(\lambda_{i}-m)\neq 0}x\text{る}.’.\text{すへ^{}\grave{\backslash }}\text{ての}.m\in \mathrm{Z}>0l^{}\backslash farrow*\backslash 11_{\vee}^{-}C(\lambda.\cdot-m)+\alpha_{j}$

したがって Theorem 32 とその Remark により,ることがわかる.

$M_{\mathrm{g}}(\lambda)$が既約ならば

$M_{\mathrm{g}’}(\lambda|_{\mathfrak{p}’})$

が既約であ.

この例を以下に示す.

Example 3.4

,

$P$

$=$

$\{(\begin{array}{ll}A B D\end{array})\in G\}$

$L$

$=$

$\{(A D)\in G\}\simeq\{$ ( $A$ D)\in GLn,とし, ドイツ文字でそれぞれのり一代数を表す.
基本ウエイト : を通常の番号づけでとる.

$\mathfrak{g}$$\cross$

GL 訂,. のカルタン部分代数は対角或分にとり,$\varpi$$f(\begin{array}{ll}A BC D\end{array})=\det C$,( , Ad,) の基であるか
本相対不変式である. 例えば Capelli 恒等式を用いて, $b_{f}(s)=(s+1)\cdots(s+n)$が既約であるための必を取ったとき, 一般バーマ加群
ら,である.
要十分条件は, Theorem 32 とその Remark により,
における
をしてみる
.
の ‘縮約’
次にこの例の直前にあるような,次単位行列 が取れる.
$f=\det$ の零点集合の補集合から,だから, この中の極大可換部分代数として{ $(t,$ $t);t$ は 次対角行列} がとれる.
とすると $f$ は $G$ の半不変式であり,$\mathfrak{n}^{-}$

への制限 (同じく $f$ と書く) は$\mathrm{P}\mathrm{V}$$L$$\mathfrak{n}^{-}$$M_{\mathrm{g}}(\lambda)$$\lambda=\lambda_{n}\varpi_{n}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$$\lambda_{n}\not\in \mathrm{Z}_{>-n}$$\mathfrak{n}^{-}\simeq \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n, \mathrm{C})$$(\mathfrak{g}, \mathfrak{p})$$Z_{\mathrm{l}}(I_{n})=\{(A, A) ; A\in \mathfrak{g}\mathrm{I}_{n}\}$$I_{n}$$n$$\mathrm{t}=$$Z_{q}(\mathrm{t})=\{(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$;$n$$a,$ $b,$ $c,$

$d$

は

$n$

次対角行列},

であるから,$\mathfrak{g}’$$\mathfrak{p}’$$=$$Z_{g}(\mathrm{t})/\mathrm{t}\simeq\{(\begin{array}{ll}a bc -a\end{array})\in \mathfrak{g}$$\simeq$$\{(\begin{array}{ll}a b -a\end{array})\in \mathfrak{g}’\}$,; . $,b,$$a$$\mathfrak{l}’\simeq\{$

$c$

は $n$

次対角行列}$(a -a)\in$ 佳$\simeq(\epsilon 1_{2})^{\oplus n}$$’\}\simeq(\mathfrak{g}\mathrm{I}_{1})^{\oplus n}$,,のである. 相対不変式
であり,への制限は,となる. 従って, \leq 縮約 ‘後の一般バーマ加群) が既約であるための必要十分条件は,である ( が極大放物型部分代数ではない
Theorem 3.2 とその Remark により,
$f\in \mathrm{C}[\mathfrak{n}^{-}]$$\mathfrak{n}^{-\prime}$$f|_{\mathfrak{n}^{-\prime}}=\det c$$b_{f|\mathrm{n}^{-\prime}}(s)=(\mathrm{s}+1)^{n}$$M_{g}\langle\lambda|_{\mathfrak{p}’}$$\lambda_{n}\not\in \mathrm{Z}_{>-1}$$\mathfrak{p}’$ので Theorem 3.2 のステートメントは直接は適用できないが, 極大でない場合のステートをの一般バーマ加の分解に応じてメントを用いる力\searrow あるいは,
この場合‘縮約’ が群の 個の外部テンソル積に分解すれば, 既約条件は求まる). 従って,
ロ
一般バーマ加群の既約性を保存することが確認できた.
$\mathfrak{g}’\simeq(\epsilon \mathfrak{l}_{2})^{\oplus n}$$n$$M_{\mathfrak{g}}(\lambda|_{\mathrm{f}’})$$s\mathrm{I}_{2}$70‘Contraction’ of Verma modules

4の巾零根基が可換でない場合は, ( , Ad, n+). はもはやではなく, したがって以上のよ
うな ‘縮約’ も行えないが, 一般バーマ加群の既約性の伝播が起こるような |縮約’ を の巾
零根基が可換でない場今にも定義することが巨標となる. 既約性の伝播が糾関数の零点の$L$$\mathfrak{p}$$\mathrm{P}\mathrm{V}$$\mathfrak{p}$整数差から導かれれば埋想的である.
この節では の巾*根基が可換とは限らない場合にある \leqq 縮約’ を定義し,が場合に既約性が伝播することを証明する. ただしが関数を用いた証明ではない.
$G$$\mathfrak{p}$Definitionの$SL_{n}$を半 g 純代数群, をその放物型部分群, を のレビ部分群とする.
$Z_{L}(w)$ が簡約部分群
なるような $uJ\in G$ \mbox{\boldmath $\theta$}‘. 与えられたとき,
ラスを) の中の極大
とり, $(G’, P’, L’)=(\dot{Z}_{G}(T)/T, Z_{P}(T)/T,\dot{Z}_{L}(T)/T)$ と定め, 組 $(G, P, L)$ がら組 $(G’, ?, L’)$.

$4\cdot 1G$

$P$

$P$

$L$

$[]^{}$$Z_{L}\{w$を求める操作を に関する ‘縮約’ と呼ぶ.とは別の極大トーラス
をとると, . と.の中で共役である. 従って, $Z_{G}(T)$ とも.
の取り方によらない.

$T$$\mathrm{b}-$

$w$

$T$

$T$

$T_{1}$$T_{1}$$Z_{G}(T_{1})$

また

から,

の元にょり共役なととなり, ‘縮約’ は$T$

力 $L$ の元で共役であるときは, $Z_{L}(w_{1})$ と $Z_{L}(w_{2})$ が $L$ の中で共役であるに関する ‘縮約’ とに関する ‘縮約’ は同型である.

$w_{1}$$w_{1}$$L$

は $Z_{L}(w)$ の中で共役であるから特に $L$と$\mathrm{s}$$w_{2}$$w_{2}$

Theorem 4.2 Defindion 4.1 の記号の下, $G’$ は半単純代数群, $P’$ はその放物型部分群,$L’$

は $P’$ のレビ部分群である.

Proof. まずの半単純性を示す. $Z_{G}(T)$ は簡約部分群だから, $T=Z(Z_{G}(T))_{0}$ (右辺の下付き 0 は単位連結或分), つまり,を示す. ドイッ文字は対応する群のリー代数を表すこととする.
【を満たす のカルタン部分代数 をとる.
であり,. は自己中心化
部分代数である ら,は に含まれる. 特に, 【にも含まれる. また, $T\subset Z_{L}(w)$より $w\in Z_{G}(T)$ だから, $[w, Z(Z_{G}(T))]\subset[Z_{G}(T), Z(Z_{G}(T))]=\{e\}$. っまり, $Z(Z_{G}(T))\subset$$Z_{G}(w)$ である. これらより,である. 従って,はの可換部の極大性にょり$G’$を含んでいるがら
,
である
.
の半単純性
ff 代数であり$G’$$\mathrm{t}=Z(Z_{g}(\mathrm{t}\rangle)$$\mathrm{t}\subset \mathfrak{h}\subset$$\mathrm{b}$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{h}\subset Z_{l}(\mathrm{t})$$\mathfrak{h}$$p\backslash$$Z(Z_{\mathrm{g}}(\mathrm{t}))$$\mathfrak{h}$$Z(Z_{\mathfrak{g}}(\mathrm{t}))\subset Z\iota(w)$$Z_{\iota}(w)$$Z(Z_{\mathrm{g}}(\mathrm{t}))$$\mathrm{t}$$\mathrm{t}$$Z(Z_{\mathrm{g}}(\mathrm{t}))=\mathrm{t}$が示された.

次に $P’$ が $G’$ の放物型部分群であることを示す.

であり,
めると,

と

$Z,(\mathrm{t})$$\mathfrak{p}$は$Z_{\bullet}(\mathrm{t})$【であるがら,は 9 のルート空\sim 分解を引き継いでぃる. 適当に単純ルート系. の 4 ての正$\mathrm{J}\mathrm{s}$–$\text{ト}$$\mathfrak{g}$の正ルート空間を含むから,$\mathfrak{p}’$$\mathfrak{h}\subset$$\mathfrak{h}\subset Z_{\mathfrak{p}}(\mathrm{t})\subset Z_{l}(\mathrm{t})$空間を含むようにできて, そのときは $g’$ の放物型ることから,
ことがわかる. ただし,$\mathrm{A}\backslash$$Z_{\mathrm{f}}(\mathrm{t})$がは$Z_{l}(\mathrm{t})$$\mathfrak{n}^{+}$$\mathfrak{p}$は$Z_{\bullet}(\mathrm{t})$分代数である.

定の全て$\mathrm{f}\dot{\mathrm{f}\mathrm{l}}$最後に $L’$ が $P’$ のレビ部分群であることを示すが, 上と同様に

で$Z_{1}(\mathrm{t})$$\text{を}$めレビ部分代数であり,の巾零根基である.

$Z_{\mathfrak{n}}+(\mathrm{t})$.

$\mathrm{K}\mathrm{s}-\text{ト}$が$Z_{1}(\mathrm{t})$空間分解を引き継の巾零根基である$\square$(縮約》が既約性の伝播を引き起こすことにつぃて, 少なくとも A 型の場合は, としてワイル群の最長元を取ったとき が可換の場合の拡張になってぃることを, 次の定理が示し$w$$\mathfrak{p}$ている.

Theorem 4.3 $G=SL(n+1, \mathrm{C}),$ を の放物型部分群で上三角行列を含むもの, をのレビ部分群で対角行列を含むものとし, ドイッ文字でそれぞれのリー代数を表す
$P$

$G$

$L$

$P$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$のカルタン部分代数$\mathfrak{h}$を対角行列にとる. (店 ) のワイル群の最長元$\mathfrak{h}$$w_{0}=k(_{1}$.

$\cdot$. $1)$ ,$w_{0}$

として,

71
は, $G$ に含まれるための適当な定数倍である. 組
に関する ‘縮約 ’ とする.
が既約ならぱ,に対して, 一般バーマ加群ととる. ただしの$w_{0}$$(G’, P’, \ovalbox{\tt\small REJECT})$$k$$M_{\mathfrak{g}}(\lambda)$$\lambda\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$が簡約部分群になることを見ておく.

$M,,(\lambda\ovalbox{\tt\small REJECT})$を組 $(G, P, L)$も既約である.

であるから $x\in$だから ${}^{t}Z_{L}(w_{0})^{-1}=Z_{L}(w_{0})$ である.
$Z_{L}(w_{0})$ に対して, $w_{0}{}^{t}g^{-1}.w_{0}^{-1}={}^{t}(w_{-}^{-1}gw_{0})^{-1}={}^{t}g^{-1}$

Proof. はじめに

$Z_{L}(w_{0})$$\mathrm{t}v_{0}=w_{0}$は簡約部分群である.
従って,まず, $w_{0}Lw_{0}^{1}=L$ の場合を考える.
$Z_{L}(w_{0})$

$G=$

$\{$

$\in SL_{n+1}$$(\begin{array}{lll}A_{11} A_{12} .A_{1d}A_{21} A_{22} .A_{2d}\vdots \vdots \vdots A_{d1} A_{d2} ..A_{dd}\end{array})p_{1}p_{2}\cdots p_{d}$.

;$\mathrm{A}_{j}$は$p_{i}\cross p_{j}$$.p_{1}..p_{2}p_{d}$$PL==$

行列},$\{(\begin{array}{llll}A_{11} A_{12} \cdots A_{\mathrm{l}d} A_{22} \cdots A_{2d} \ddots \vdots A_{dd}\end{array})\{(\begin{array}{llll}A_{11} A_{22} \ddots A_{dd}\end{array})\in G\}\in G.\}\cdot’$,と区分けすることができるが, $p_{1}=p_{d},$ $p_{2}=p_{d-1},$-\lfloor d/2」とな で る.
は を超えない最大の整数を表す.
ただしにの元で共役な元で ‘縮約’. しても同型になで ‘縮約’ しても,‘縮約’ をする時にとL の元で共役である
るのであ $c.’$ . そこで,$\mathrm{A}\backslash$$\text{っ}$$\cdots,$$\lfloor x\rfloor$$p_{\lfloor d/2\rfloor}=p_{d+1}$$x$$w_{0}$$w_{0}$$L$$w_{0}$.

$w=k’$$(\begin{array}{llll} I_{\mathrm{P}t} \cdot I_{h} I_{p1} \end{array})$,で ‘縮約’ する. ただし $k’$ は, $G$ に含まれるための適当な定数倍である. 組 $(G, P, L)$ を ‘縮も考慮
約’ するだけであればこれでよいが, 一般バーマ加群を考えるため,
.
の共役では
[
の中心でのみゼロでない値をもつので,しなくてはならない. しかし, は変化しない. また が奇数であるときは、 $w$ のまん中の 4(d+。/2 の所は共役によって単位\uparrow \acute -r 列にはならな \vee ‘が, g 位行列としてし っても ‘縮約’. 後\emptyset –\Re バーマ加群の既約性には影響しないので, 上のように $w$ をとることにする.
組 $(G, P, L)$ を $w$ に関して ‘縮約’ する.
$\lambda\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$$L$$\lambda$$d$$\text{ま}$$Z_{L}(w)=\{(\begin{array}{l}A_{1}A_{2}\end{array}$$A_{d})\in G;A_{:}=A_{d+1-1}.\}$,

72
だから, この中の極大トーラスとして$T=\{(\begin{array}{lll}t_{1} \ddots t_{d}\end{array})\in Z_{L}(w)$; : は p\sim 次対角行列,$t$がとれる. 従って, これまでの区分けと同じ区分けにょって,$Z_{G}(T)$$=$$\in G;A_{i},$$G’=Z_{G}(T)/T\simeq$$\in Z_{G}\langle T$

B-, C-, :|よ対角行列$D$);$\det(\begin{array}{ll}\mathrm{A} B-C_{|} D_{i}\end{array})=1(i=1, \ldots, \lfloor d/2\rfloor)’\}$$\simeq$となる. $P’$ と $L’$ はそれぞれ$G’\text{の}$ブロック上三角或分とブロック対角或分に同型である.

では, 一般バーマ加群の既約性を調べる. 通常のよ うに,を $(i, i)$ 行列単位の座標関数とし, 基本ウエイトをとおく. すると,とかける. Jantzen[4] の記述から, 一般バーマ加群
が$\circ$$\epsilon:\in \mathfrak{h}^{\mathrm{r}}$$\varpi_{i}=\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{i}$$\lambda=\lambda_{\mathrm{P}1}\varpi_{p1}+\lambda_{p_{1}+p2}\varpi_{p_{1}+\mathrm{P}2}+$$\ldots+\lambda_{p_{1}+\cdots+pd-1}\varpi_{p_{1}+\cdots+pd-1}$$M_{\mathrm{g}}(\lambda)$

既約であるための必要十分条件は,$1\leq:<j\leq d$ を満たすすべての $i,j$ に対して$\lambda_{p_{1}+\cdots+pj}+\cdots+\lambda_{p_{1}+\cdots+p--1}\not\in \mathrm{Z}_{>-(+\cdots+p_{j-1})-\min(p:,\mathrm{P}j)}p:+1$であることがわかる, 次に, ‘縮豹’ 後の一般バーマ加群$\mathfrak{p}^{J}$に単純に制脹ができないが,ある. 上で見た $G’$ め形から,なり, 従って

である.

(4.1)

’

の既約性を調べる. はの既約性を考えて るという意味ではいく o がのの一般バーマ加群のテンソル積に$M_{l},(\lambda[,)$$\lambda$$U(Z_{l}\langle \mathrm{t}))\emptyset u(Z,(1\})\mathrm{C}\lambda$$M_{l}(\lambda|\nu)$$\mathrm{A}\backslash$$s\mathrm{I}_{2}$が既約になるための必要十分条件は, それらが全て既約であることが既約になるための必要十分条件は,$M_{\mathrm{g}}.’(\lambda \mathrm{t}\nu)$$M_{l’}(\lambda|_{l’})$$\lambda_{\mathrm{P}1}+\cdots+\lambda_{p_{1}+\cdots+\mathrm{P}t-\mathrm{t}}$\lambda pl+力十...

$+\lambda_{p_{1}+\cdots+p\ell-2}$$\not\in$$\mathrm{z}_{>-1}$$\not\in$$\mathrm{Z}_{>-1}$$\not\in$$\mathrm{Z}_{>-1}$

..

,
,

$\cdot$$\lambda_{p_{1}+\cdot\cdot+\mathrm{P}\iota d/2\rfloor}+\cdots+\lambda_{p\mathrm{z}+\cdots+\mathrm{P}d+1-\iota t/2\downarrow}$

,

(4.2)

である. ふたつの条件 (4.1) と (4.2) をみると, ‘縮約’ が既約性を保存してぃることが分がる.

次に,.

とは限らない場合を考える. この場合は の代ゎりにを考える とで, $Z_{L}(w)$ や を $L\cap w_{0}Lw_{0}^{1}$ の中にとることができる.
はによる共役で不変であるから, $w_{0}Lw_{0}^{-1}=L$ の場合と同様に議論できて, ‘縮約’ が既約性を保存していることも分かる.
ロ$w_{0}Lw_{0}^{-1}=L$
$$

$L$

$T$

》

$L\cap w_{0}Lw_{0}^{-1}$$L\cap w_{0}Lw_{0}^{-1}$$w_{0}$

73
Example 4.4 $G=SL_{6}$ とし, カルタン部分代数

を$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}=\epsilon[_{6}$$P=\{(\begin{array}{lll}A B C D E F\end{array})\in G;A,$ $\ldots,$ $F$

とおき,

$P$

のレビ部分群$L$の対角或分にとる.

は $2\cross 2$

行列},をブロック対角或分にとる.

$w_{0}=(\begin{array}{llll} I_{2} I_{2} I_{2} -\end{array})$,($I_{\acute{2}}$l よ 2 次単位行ダリ)とすると,$Z_{L}(w_{0})=\{(\begin{array}{lll}A B A\end{array})-\in L\}$,であり, この中の極大トーラスとして$T=\{(\begin{array}{lll}t s t\end{array})\in L;t,$ $s$は2次対角行列},がとれて,$Z_{G}(T)=\{(\begin{array}{lll}t_{1} uv t_{2} t_{3}\end{array})\in G;tj,$ $u,$

$v1\mathrm{f}2^{\backslash }\mathrm{A}\lambda 1\backslash \text{角}\acute{\uparrow}\overline{\mathrm{T}}F|\mathrm{J}\}$,となる. 従って,$G’=$$Z_{G}(T)/T\simeq\{(\begin{array}{lllll}a_{1} b_{1} a_{2} b_{2}a_{3} b_{3} I_{2} a_{4} b_{4}\end{array})\in G;(\begin{array}{ll}a_{1} a_{2}a_{3} a_{4}\end{array}),$$\simeq SL_{2}\cross S$ $L_{2}$

.

$P’=$

$(\begin{array}{ll}b_{1} b_{2}\mathrm{k} b_{4}\end{array})\in SL_{2}\}$,$Z_{P}(T)/T\simeq\{(\begin{array}{lllll}a_{1} b_{\mathrm{l}} a_{2} b_{2} I_{2} a_{4} b_{4}\end{array})\in G$;$(\begin{array}{ll}a_{\mathrm{l}} a_{2} a_{4}\end{array}),$$(\begin{array}{ll}b_{1} b_{2} b_{4}\end{array})\in$.

$SL_{2}\}$となる.
の $(i, i)$ 或分の座標関数をと書き, 単純ルートを
さて, 通常のよとすると,を書く.
で定め, 対応する基本ウエイトをが既約であるための必要十分条件は [4] より計算できて,
般バーマ加群$\grave{\gamma}\mathrm{V}^{\sim}.\mathfrak{g}$$\alpha:\cdot=\epsilon:-\epsilon:+1$$\epsilon_{j}$$\lambda=\lambda_{2}\varpi_{2}+\lambda_{4}\varpi_{4}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathfrak{p}, \mathrm{C})$–$\varpi_{i}$$M_{9}(\lambda)$$\lambda_{2},$である.
.
また ‘縮約’ 後の$\lambda_{4}\not\in \mathrm{Z}_{>-2}$

かつ$\lambda_{2}+\lambda_{4}\not\in \mathrm{Z}_{>-4}$の分解に応じて, ふたつの 5【2 の一般バーマが既約であるための必要十分条件は, これら加群の外部テンソル積になるから,で表すの基本ウエイトをふたつの一般バーマ加群がともに既約であることである.
$M_{\mathrm{g}’}(\lambda|_{\phi’})$は,$\mathfrak{g}’\simeq s\mathfrak{t}_{2}\oplus s1_{2}$$M_{\mathrm{g}},(\lambda|_{\mathfrak{p}’})$$\epsilon 1_{2}$$\varpi$

74
と, これ

$\text{ら}$の最高ウエイトはともに$(\lambda_{2}+\lambda_{4})\varpi$

るための必要十分条件は,である. したがって,$M_{l’}(\lambda|_{\mathfrak{p}^{J}})$が既約であ$\lambda_{2}+\lambda_{4}\not\in \mathrm{Z}_{>-1}$

である.

以上より,

$M_{g}(\lambda)$が既約ならば

$M_{l}\acute{(}\lambda|,$) も既約であることが確認できる.

ロ$\mathrm{R}\epsilon \mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}$[1] Gyoia, A., Highoet weight moduloe and -fimctions of semi-invariants, Publ. RIMS,.
. Kyoto Univ. 30 (1994),$b$$353\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$[2] Gyoja, A., A.ofSoc. Japan 48 (1996), 161-167.
$\mathrm{t}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathit{4}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{y}$type or prehomogeneous vector spaoes, J. Math.

[3] Gyoja, A., private note.
[4] Jantzen, J. C., Kontravariante Fomen auf induzierten DarsteUungen halbeinfacher, Math. Ann. 226 (1977), 53-65.

$\mathrm{L}\mathrm{i}\triangleright- \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}$