住宅ローン債権担保証券に対する評価法の効率化:
強度モデルによるアプローチ
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1.

数理第二研究室

西辻泰典

はじめに住宅ローン債権担保証券（Residential Mortgage-NISHITSUJI Yasunori

数近似の 1 つである Gram-Charlier 展開を利用して効率的に RMBS の近似価格を評価する手法を提案する．

Backed Securities: RMBS）とは，複数の住宅ローン債権から支払われる元利金に基づいてキャッシュフローが発生する債券である．一般に，住宅ローン債務者は2.

契約時に定められた一回当たりの元利金支払額以上の体の初期残存元本額は G0 とする．元利金支払時点は返済（部分償還）や，残存元本の完済（一括償還）のti := i/m (i = 1, 2, . . . , mT ) とする．期限前償還がな権利（期限前償還権）を有しているため，将来時点のい場合の時点 ti における予定残存元本額 Gi は，RMBS の設定

RMBS の裏付となる各住宅ローン債権の契約条件は満期 T 年，1 年当りの元利金支払回数 m，利率 c で，全残存元本額は不確定であり，それに伴って RMBS 保有者の受け取るキャッシュフローも不確定になる．このよ

Gi = G0

うに，RMBS は一般的な債券と同様に金利リスクを有(1 + c/m)mT − (1 + c/m)mti(1 + c/m)mT − 1

するほか，期限前償還リスクを有しており，RMBS のである．期限前償還を考慮した残存元本額を G∗i と価格評価では債務者の期限償還行動を考慮することがして，生存率 Si および期限前償還率 Hi をそれぞれ

Si := G∗i /Gi ，Hi := (Si−1 − Si ) /Si−1 で定義す∗債務者は金利低下時に有利な借換が可能となるため， る．このとき，RMBS のキャッシュフローは CFi =(1 + c/m) Gi−1 Si−1 − Gi Si で与えられる．
金利が低下するにつれ期限前償還は多くなるという傾
時点 ti において，債務者が借換の指標とするのはそ向がある. それゆえ，金利と期限前償還は独立ではなの時点の住宅ローン金利であるが，これを τ 年利回りく，複雑な金利モデルと金利との依存性を充分に考慮必要となる．

した期限前償還モデルのもとでは，RMBS の価格評価は困難になる．解析解が求まらない場合，モンテカル

Ri (τ ) で代替し，期限前償還モデルは以下のような折れ線関数型とする：

ロ法やツリー法などの数値計算的負荷の大きい手法がHi =A (c − Ri (τ )) 1{0≤c−Ri (τ )<B/A}

使われることが多いが，大規模なポートフォリオの評+ B1{B/A≤c−Ri (τ )} .

価や様々なリスク指標の計算には，短時間にある程度の精度を持つ解を近似解析的に求めることが有効であると考えられる．
先行研究として Kolbe and Zagst [3] では金利に Cox-Ingersoll-Ross（CIR）モデルを用い，金利と期限前償還率の関係を折れ線関数でモデル化して，RMBS の近3.

AJD モデル

瞬間的な金利（スポット・レート）r はリスク中立測度のもとで以下の確率微分方程式に従うとする：

dr(t) = µ(r)dt + σ(r)dW (t) + dZ(t).

似解析解を導出している．CIR モデルは初期の金利モデ続的な変動まで考慮した Aﬃne Jump Diﬀusion（AJD）

こ こ で ，W (t) は 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動 ，Z(t) は∫t∫K(dy)λ(r)ds を compensator に 持 つ ジャン0 R

モデルが Duﬃe, Pan, and Singleton [2] などにより提プ過程である．また，k0 , k1 , h0 , h1 , l0 , l1 を定数としてルの代表例であるが，現在では CIR モデルを含み，非連案されている．本研究では，期限前償還モデルを折れ線µ(r) = k0 + k1 · r, σ(r) = h0 + h1 · r, λ(r) = l0 + l1 · r関数により表現し，金利モデルは AJD とした．AJD モである．

デルでは，一般に将来時点における金利の確率密度関は，このような場合に確率密度関数の級数近似を用いB(における預金勘定（savings account）
i を時点 ti )∫ ti
exp 0 r(s)ds として，r(tj ) の（相対）l 次モーメ[]ントを Ml := E rl (tj )/Bj で定義する．Pan [4] は積て金融商品の価格評価を行っている．本研究では，級率母関数が既知の場合に，モーメントの効率的な計算数は求まらないが，Collin-Dufresne and Goldstein [1]法を導出しているが，積率母関数が未知の場合においても，常微分方程式系を解くことでモーメントが求ま

また，異時点間の期限前償還率の依存性が小さいときることを示す次の定理が成り立つ．に有効な近似式として以下を得る：

定理 1 関数 α, β および γq (q = 0, 1, . . . , l) が次の常微V ≈分方程式系の解とする：()}(1 + c/m) Gi−1 − Gi 1 − Hii /Pi

i=11α′ = k0 β + h0 β 2 + l0 (ξ(β) − 1) ,21β ′ = −1 + k1 β + h1 β 2 + l1 (ξ(β) − 1) ,2′γq = Iq γq + Jq+1 γq+1 + Kq+2 γq+2

ここで，Pi は満期 ti の割引債価格 E [1/Bi ] である．ま+ (1 − δql )l0 Lq + (1 − δq0 )l1 Lq−1 .

た，Hji := E [Hj /Bi ] であり，これは Gram-Charlier 展

初期条件は α(0) = 0，β(0) = 0，γq (0) = 0 (q =0, 1, . . . , l − 1)，γl (0) = 1 である．ここで，ξ(β) :=∫ βye K(dy) である．また，I, J, K, L は l 以下の添字Rに対して，(q + 2)(q + 1)
Iq := q(k1 + h1 β), Kq+2 :=h0 ,2(q )Jq+1 := (q + 1) k0 + h0 β + h1 ,2( )l∑p (p−q)
Lq :=γpξ(β)
q
p=q+1であり，l + 1 以上の添字に対しては 0 とする．
∑l
このとき，Ml = eα(tj )+β(tj )·r(0) q=0 γq (tj )rq (0) が× Pii−1∏(1 − Hji /Pi)].

j=1開を利用して次式で与えられる：
cjj
2 2
Hji = Pj eα(∆ij )+c1 β(∆ij )+ 2 β (∆ij )l∞ ∑∑qlj
l=0 n=0( )ln√(√)l−n 
cj2 β(τ ) D×cj2 β(∆ij )BInD1 + A
Jn 2τ}()α(τ ) + β(τ )(cj1 + cj2 β(∆ij ))D2+A+ c In.
τ∫ここで，∆ij := ti −tj ，InD := D hn (z)ϕ(z)dz ，JnD :=∫zhn (z)ϕ(z)dz である．積分領域 D = D1 , D2 は折れD
線関数のパラメータ A, B および cj , α, β, ∆ij , τ から定まる．

成り立つ．

4.

mT [∑{

発表では，提案手法による数値計算結果の精度およGram-Charlier 展開

一般には，AJD モデルに従うスポット・レートのび計算時間の既存手法との比較を報告する．

確率密度関数の閉形表現は求まらないため，本研究で参考文献は Gram-Charlier 展開による近似を適用する．r(tj ) の[1] Collin-Dufresne, P., and R. S. Goldstein: Pricing

tj フォワード中立測度のもとでの確率密度関数 fj のGram-Charlier 展開は以下のように与えられる： ∞jj∑qljx−cx−cfj (x) =√ hl  √ 1  ϕ  √ 1  .
c2
l=0cj2
cj2

Swaptions within an Aﬃne Framework. Journal ofDerivatives 10, 1-18, 2002.

ここで，cjl は tj フォワード中立測度のもとでの r(tj )の l 次キュムラント，qlj は l 次以下のキュムラントから定まる定数，hl は l 次エルミート多項式，ϕ は標準正規分布の確率密度関数である．

5.

RMBS の価格評価

RMBS の無裁定価格 V は V =∑mT∗
i=1 E [CFi /Bi ] で与えられる．本研究の主要な結果として，価格 V に対する近似的閉形表現が以下のように得られる：
mT [i−1∑∑{(1 + c/m) Gi−1 − Gi } Pi −V =Hji 
i=1+ Gi Hii]j=1()+ O ||H||2 .

[2] Duﬃe, D., J. Pan, and K. Singleton: Transform Analysis and Asset Pricing for Aﬃne JumpDiﬀusions. Econometrica 68, 1343-1376, 2000.
[3] Kolbe, A., and R. Zagst: Valuation of MortgageBacked Securities and Mortgage Derivatives:
A Closed-Form Approximation. Working Paper,
2007.
[4] Pan, J.: The Jump-Risk Premia Implicit in Options: Evidence from an Integrated Time-Series
Study. Journal of Financial Economics 63, 3-50,
2002.