数理解析研究所講究録
第 895 巻 1995 年 15-2315量子群とゼータ函数の q-analogue について
上野喜三雄 (Kimio Ueno) 早大理工
西澤道知 (Michitomo Nishizawa) 早大理工

Introduction

1

zeta 函数の定義のひとつに、 Laplacian 等のスペクト$\ovalbox{\tt\small REJECT}$による、 spectral zeta 函数と呼ばれるものがある。それを量子群上で定義し、性質を調べることは興味ある問題だと思われる。 また、この構成の仕方を一般化することにより、種々の zeta 函数の q-analogue を考えることもできる。
この稿では、そのような考え方に従い、 Hurwitz zeta 函数の q-analogue $\zeta(s,z :q)$ を定義し、それが、 Hurwitz zeta 函数の持つ種々の性質の q-analogue を満たすことを示し、 それに関する
若干の一般化を行なう。
このような、 zeta 函数についての考察が、 spectral zeta 函数を通した量子群の幾何学の研究に結び付くことが期待される。

2

$q-$

Hurwitz zeta 函数の定義

この稿を通じて、 $0<q<1$ ,同$\Re z>0$$= \frac{1-q^{z}}{1-q}$$q$,$\delta=2\pi i/1ogq$$(x:q)_{\infty}= \prod_{n=0}^{\infty}(1-xq^{n})$とする。
スペクトルの列$0\leq\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\cdots\leq\lambda_{n}\leq\cdotsarrow\infty$に対し、 spectral zeta 函数 $Z(s)$ は$Z(s)= \sum_{n=1}^{\infty}\lambda_{n}^{-s}$と定められる。 これを、 $A(SU_{q}(2))$ を左 $U_{q}(sl(2))-$ 加群と見たときの Casimir 作用素のスペクトル$\backslash _{4}i$$–$$\lambda_{n}=(\frac{q^{\frac{\mathfrak{n}}{2}}-q^{-\frac{n}{2}}}{q-q-1})^{2}$$($

重 $aRn^{2})$で定義する (cf.[8]) 。このときの、 spectral zeta 函数 $z_{\gamma}(s :SU_{q}(2))$ は$Z(s:SU_{q}(2))= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{\lambda_{n^{S}}}=(1+q^{-1})^{2s}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}q^{ns}}{[n]_{q}^{2s}}$となる。 これとの比較により $\Re s>0$ にお Vl て、 Hurwitz の zeta 函数$\zeta(s, z)=..\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+z)^{s}}$.

16の q-analogue $\zeta(s,$ $z$ : $q)$ を$\zeta(s, z:q)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{q^{s\langle k+1)}}{[k+z]_{q}^{s}}$で定義する。以後 $\zeta(s, z:q)$ を q-Hurwutz zeta 函数と呼ぶ。 このとき、無限和は、広義一様絶対収束なので、 $\zeta(s, z:q)$ は $s,$ に対し正則で、 しかも、上の範囲で古典極限 $qarrow 1-0$ は、$z$に一致する。
次に、 これを全 s- 平面に解析接続することを考える。 $[k+z]_{q}^{s}$ の $(1-q^{k+z})^{s}$ の部分を $=$ 項$\zeta(s, z)$

展開することにより、 $\zeta(s, z:q)$ は、$\zeta$仲 $:q)$

$=$

.

$=$

$(1-q)^{s} \sum_{k=0}^{\infty}t^{q^{(k+1)s}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{(s)_{f}}{r!}q^{(k+z)r}}\}$(1)$(q-q^{2})^{s} \sum_{r=0}^{\infty}\frac{(s)_{r^{\backslash }}q^{rz}}{r!1-q^{\tau+s}}$と整理しなおすことができる。 ただし、 $(s)_{f}=s(s+1)\cdots(s+r-1)_{\circ}$ (1) の形にすることにより、 $\zeta(s, z :q)$ は貌 $s<0$ に解析接続できる。 さらに $s=0$ での Laurant 展開を行なうことにより、次の定理を得る。

Theorem 1 q-Hurw 伽 zeta 函数 $\zeta(s,z:q)$ は全 s- 平面に解析接続できる。極は $s=-r+$$(r\in Z\geq 0, l\in Z)$ で、 $s=0$ における Laura 説展開は$\delta l$$\zeta(s, z:q)=\frac{\alpha_{-1}}{s}+\alpha_{0}+s\{\alpha_{1}-\log(q^{z}:q)_{\infty}\}+O(s^{2})$

,

(2)

where
$\alpha_{-1}=-\frac{1}{\log q}$,$\alpha_{0}=\frac{1}{2}-\frac{\log(q-q^{2})}{\log q}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}=-\frac{1}{12}\log q+\frac{1}{2}\log(q-q^{2})-\frac{1}{2}\frac{\log^{2}(q-q^{2})}{\log q}$

ただし $\log^{k}x=(\log x)^{k}$ とお」いた。

3Euler-MacLaurin 展開
次に、通常の zeta 函数について行なわれているように, Euler-MacLaurin の和公式を用いて、( $(s,.z$ : のを解析する。

Theorem 2(Euler-MacLaurin の和公式)$\sum_{r=AI}^{N-1}f(r)=\int_{M}^{N}f(t)dt$$+ \sum_{k=1}^{n}\frac{B_{k}}{k!}\{f^{\langle k-1)}(N)-\cdot f^{\langle k-1)}(M)\}$$+$$(-1)^{n-1} \int_{M}^{N}\frac{\overline{B}_{n}(t)}{n!}f^{(n)}(t)dt$.

(3)

ただし、 $B_{k}(t)$ は$\frac{ze^{tz}}{e^{z}-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}(t)}{n!}z^{n}$で定義される Bemoulli 多項式で疏
号
$)$

。

$=B_{k}(0)$ 、$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{n}(t)=B_{n}(t-[t])$である$([t]$

は Gauss 記

17

ここで$f(t)= \frac{q^{\langle t+1)s}}{(1-q^{t+z})^{\epsilon}}$

とおいて、 $M=0,$ $N=\infty$ として (3) を用いる。超幾何函数の積分公式$F( \alpha,\beta,\gamma:x)=\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\beta)\Gamma(\gamma-\beta)}\int_{0}^{1}u^{\beta-1}(1-u)^{\gamma-\beta-1}(1-xu)^{-\alpha}du$(4)を用いると、第一項が超幾何函数で表され、$\zeta(s,z:q)$

ただし A $(x;s)$ は

$x$

$=$

$(1-q)^{s} \sum_{k=0}^{\infty}f(k)$$=$$- \frac{(q-q^{2})^{s}}{s\log q}F(s,s, s+1:q^{z})+\frac{1}{2}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{s}$$+$$s( \frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{s}\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(\frac{\log q}{q^{z}-1})^{2k-1}P_{2k-1}(q^{z};s)$$-$$R_{2m}(s,z:q)$

(5)

の多項式で
$P_{0}(x;s)= \frac{1}{s}$,$P_{1}.(x;s)=1$,$(x-x^{2})P_{k}’(x;s)+(kx+s)P_{k}(x;s)=P_{k+1}(x;s)$ .

で定義されるもので、$R_{2m}(s.z:q)=|s \int_{0}^{\infty}\frac{\overline{B}_{2m}(t)}{(2m)!}(\frac{\log q}{q^{t+z}-1})^{2m}(\frac{1-q}{1-q^{\ell+z}})^{s}$qs(t l)P2m 狩 $; s)dt$
$+$

$($

となる。 さらに (5) において、 $m=1$ としたときの式$\zeta(s, z:q)=$の $R_{2}(s,z:q)$ に$\overline{B}_{2}(t)$$-$$\frac{(q-q^{2})^{s}}{s\log q}F(s,s,s+1:q^{z})+\frac{1}{2}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}}I^{s}$$+$$\frac{s}{12}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{s}(\frac{\log q}{q^{z}-1})-R_{2}(s,z:q)$,の Fourier 展開$\overline{B}_{2}(t)=\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2\pi nt)}{n^{2}}$を代入すると、$R_{2}^{\cdot}(s,z:q)$$=$$(1-q)^{s} \int_{0}^{\infty}\frac{\overline{B}_{2}(t)}{2}f’’(t)dt$$=$$\frac{(1-q)^{s}}{2\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}t\frac{1}{n^{2}}[f’(t)\cos(2\pi nt)]_{0}^{\infty}+\frac{2\pi}{n}\int_{0}^{\infty}f’(t)\sin(2\pi nt)dt\}$$=$$\frac{s}{12}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{s}(\frac{\log q}{q^{z}-1})+\frac{(q-q^{2})^{s}\log q}{2\pi i}\sum_{l\neq 0}\int_{0}^{\infty}e^{2\pi\cdot lt}\frac{q^{st}}{(1-q^{t+z})^{s+1}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$=$$\frac{s}{12}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{\epsilon}(\frac{\log q}{q^{z}-1})+\frac{s(q-q^{2})^{s}}{2\pi i}\sum_{l\neq 0}\frac{1}{l(s+\delta l)}F(s+1, s+\delta l,s+\delta l+1:q^{z})$となり、超幾何函数を成分とする無限級数で表せる。 これは $s\neq-r+\delta k$
で広義一様絶対収束なので、 この表示は全 s- 平面に解析接続できる。

$(r\in Z_{\geq 0}, k\in Z_{\neq 0})$

18

Theorem 3 $s\neq-r+\delta k$$\zeta$$(r\in Z\geq 0$,$k\in Z\neq 0)$ で

個 $z:q)=- \frac{(q-q^{2})^{s}}{s\log q}F(s,s,s+1:q^{z})+\frac{1}{2}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}}I^{\theta}$$+ \frac{s(q-q^{2})^{\epsilon}}{2\pi i}\sum_{l\neq 0}\frac{1}{l(s+\delta l)}F(s+1,s+\delta l,s+1+\delta l:q^{z})$

4

.

(6)

古典極限
(6) を用いて $\zeta(s, z:q)$ の古典極限を考える。 $qarrow 1-O$ での挙動は、超幾何函数の接続公式$F(\alpha,\beta,\gamma:x)$$=$$\frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(\alpha+\beta-\gamma)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}(1-x)^{\gamma-\alpha-\beta}F(\gamma-\alpha,\gamma-\beta,\gamma-\alpha-\beta+1:1-x)$$+ \frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(\gamma-\alpha-\beta)}{\Gamma(\gamma-\alpha)\Gamma(\gamma-\beta)}F(\alpha,\beta,\alpha+\beta-\gamma+1:1-x)$を用いて嗣ぺることができる。 これを Theorem3 に代入し・整理すると$\zeta(s, z:q)$$+$$\frac{(q-q^{2})^{s}q^{-zs}\pi}{\log q\sin\pi s}$$=$$\frac{1}{1-s}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{s}(\frac{q^{z}-1}{\log q})F(1,1,2-s:1-q^{z})+\frac{1}{2}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{s}$$+$$\sum_{\iota\neq 0}\frac{1}{l}[(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{s}\sum_{r=0}^{\infty}\{\frac{(\delta l)_{f}}{(1-s)_{f}}(1-q^{z})^{t}\}$$-$$\frac{\Gamma(1-s)\Gamma(s+\delta l)}{\Gamma(\delta l)}(q-q^{2})^{s}q^{-z\epsilon}e^{-2\pi}:\iota$

(7)

このとき、
$\frac{q^{z}-1}{\log q}arrow z$$\lim_{qarrow 1-0}(1-q)^{s}\frac{\Gamma(s+\delta l)}{\Gamma(\delta l)}=(-2\pi il)^{s}$(8)に注意して、極限を求めると$\lim_{qarrow 1-0}\{((s, z:q)+\frac{(q-q^{2})^{s}q^{-zs}}{\log q}\frac{\pi}{\sin\pi s}\}$$= \frac{z^{1-s}}{s-1}+\frac{z^{-s}-}{2}+\frac{sz^{-s}}{2\pi i}\sum_{\iota\neq 0}\frac{1}{l}U(1,1-s:-2\pi ilz)$

ただし、$U(\alpha,$$\gamma$.

: のは合流型超幾何函数$F( \alpha,\gamma:z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{n}}{n!(\gamma)_{n}}z^{n}$を用いて$U( \alpha,\gamma:x)=\frac{\Gamma(1-\gamma)}{\Gamma(1+\alpha-\gamma)}F(\alpha,\gamma:x)+\frac{\Gamma(\gamma-1)}{\Gamma(\alpha)}e^{x}x^{1-\gamma}F(1-\alpha, 2-\gamma:-x)$と定義される函数である cf. $[13])_{0}$ 一方でこの函数は積分表示$($$U( \alpha,\gamma:x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}e^{-xu}(1+u)^{\gamma-\alpha-1}du$

(9)

19

をもち、 これを用いれば、 $\zeta(s, z)$ の $m=1$ までの Euler-MacLaurin 展開$\zeta(s, z)=\frac{z^{1-s}}{s-1}+\frac{z^{-\epsilon}}{2}+\frac{s}{12}z^{-s-1}-\frac{s(s+1)}{2!}\int_{0}^{\infty}\frac{\overline{B}_{2}(t)}{(z+t)^{s+2}}$

鹿は、前と同様な方法で$\zeta(s, z)=\frac{z^{1-s}}{s-1}+\frac{z^{-s}}{2}+\frac{sz^{-s}}{2\pi i}\sum_{\iota\neq 0}\frac{1}{l}U(1,1-s:-2\pi ilz)$となり、 (9) の右辺と一致する。以上よりTheorem 4$s$が正整数でないとき、$\lim_{qarrow 1-0}\{((s,z:q)+\frac{(q-q^{2})^{s}q^{-zs}\pi}{\log q\sin\pi s}I=\zeta(s, z)$5.

函数等式との関連
以後$\zeta^{*}(s,$とする。 $\Re s<0$ ,$z:q)= \zeta(s, z:q)+\frac{(q-q^{2})^{s}q^{-zs}}{\log q}\frac{\pi}{\sin\pi s}$$0<z\leq 1$ のとき、$\frac{1}{2\pi i}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{s}\sum_{l\neq 0}\frac{1}{l}F(\delta l, 1,1-s:1-q^{z})$$=- \frac{\prime 1}{s-1}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{\iota}\frac{q^{z}-1}{\log q}F(1,1,2-s:1-q^{z})-\frac{1}{2}(\frac{q-q^{2}}{1-q^{z}})^{S}$が成立する。 これと前節の定理を用いるとTheorem 5 $0<z\leq 1$ ,$\Re s<0$,$s\neq-r+\delta l$$(r\in Z\geq 0, l\in Z\neq 0)$とすると$\zeta^{*}(s,z:q)=-\frac{1}{2\pi i}(q-q^{2})^{s}q^{-zs}\Gamma(1-s)\sum_{l\neq 0}\frac{1}{l}\frac{\Gamma(s+\delta l)}{\Gamma(\delta l)}e^{-2\pi}:\iota_{z}$

(10)

がいえる。

Theorem 4 と、 (8) より、 (10) の古典極限は$((s, z)=\Gamma(1-s)\{(2\tau\dagger i)^{s-1}\mathcal{L}_{1-s}(z)+(-2\pi i)^{s-1}\mathcal{L}_{1-s}(1-z)\}$となる。ただし、$\mathcal{L}_{s}(z)$は、 generalized polylogarithm$\mathcal{L}_{s}(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2\pi\cdot nz}}{n^{\epsilon}}$$(\Re s>0)$である。つまり、 Theorem 5 は、 Hurwitz の表示の q-analogue であると考えられる (11)$z=1$ とお たときに Riemann の zeta 函数の函数等式$V\backslash$$\zeta(s).\cdot=2^{\theta}\pi^{s-1}\Gamma(1-s)\backslash \sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)$$-$を与える cf. [4], [9]
$($

$)$

。

(11)

$\circ$は20

6q-Hurwitz zeta 函数と q-gamma 函数
Hurwitz zeta 函数と gamma 函数の間には$[ \frac{d}{ds}$$\zeta$個(12)$z)]_{s=0}= \log(\frac{\Gamma(z)}{\sqrt{2\pi}})$の関係がある。同様の関係が q-Hurwitz zeta 函数と q-gamma 函数$\Gamma(z+1:q)=(1-q)^{-z}\frac{(q:q)}{(q^{z}:q)}$の間にも成立する。 Theorem 1 と Theorem 4 の Corollaly として、次が成立する。

Corollary 1$[ \frac{d}{ds}\zeta^{*}(s,z:q)]_{s=0}=\log(\frac{q^{\frac{z^{2}}{2}-z+\frac{5}{12}}e^{\frac{\pi^{2}}{61ogq(}}\Gamma(z.q)}{(1-q)^{\frac{1}{2}}q.q)_{\infty}})$

この式の古典極限は (12) となる。
古典論では、 Hurwitz zeta 函数の $s=0$ での Laurant 展開と Euler-MacLaurin 展開の の1 次の項を比較することにより、 Stirling の公式が得られる。 ここでも同様なことが考えられるが、古典極限をとるときの挙動が見にく い ので、 まず、 q-shifted factorial $(q^{z}:q)\infty$。の漸近的な挙動から考える。 $\zeta(s, z :q)$ の 2 通りの表示 (1), (5) の $s=0$ での正 aurant 展開の の 1 次の係数を比較することにより, 次の式が得られる。
$s$

$s$

$\log(q^{z}:q)_{\infty}$$=$$\frac{l}{\log q}Li_{2}(q^{z})-\frac{1}{12}\log q+\frac{1}{2}\log(1-q^{z})$$-$$\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(\frac{\log q}{q^{z}-1})^{2k-1}P_{2k-1}(q^{z})+R_{2m}(z:q)$

(13)

ただし、
2 $m$ ( $qt+z$ ) ぬ$R_{2m}(z:q)= \frac{1}{s}R_{2m}(s,z:q)|_{s=0}=\int_{0}^{\infty}\frac{\overline{B}_{2m}(t)}{(2m)!}(\frac{\log q}{q^{t+z}-1})^{2m}$ $P$

で、 $P_{k}(x)=P_{k}(x,$ $0),$ $Li_{2}(x)$ は、 Euler の dilogarithm$Li_{2}(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}$である (q-shifted factrial の $qarrow 1$ での 漸近的挙動の主要項に dilogarithm が現れる こ とは [5] にも示されている) 。

これより、次の定理が成り立つ。

Theorem 6$\log\Gamma(z:q)$霞$\sim(z-\frac{1}{2})\log(\frac{1-q^{z}}{1-q})+\log q\int_{1}^{z}\xi\frac{q^{\zeta}}{1-q^{\xi}}$$+$$C_{1}(q)+ \frac{1}{12}\log q+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(\frac{\log q}{q^{z}-1})^{2k-1}P_{2k-1}(q^{z})$$(\Re zarrow\infty)$

21

ただし、
$C_{1}(q)=- \frac{1}{12}\log q-\frac{1}{12}\frac{\log q}{q-1}+\int_{0}^{\infty}\frac{B_{2}(t)}{2}(\frac{\log q}{q^{t+l}-1})^{2}q^{\ell+1}dt$との漸近展開は $0<q\leq 1$ で一様に成立する。特に $q=1$ のとき、 これは

$S$

.

痂伽

$g$

の公式と一致する。
これは、 $\frac{d}{dz}\log\Gamma(z :q)$ に Euler-MacLaurin の和公式を用いて、 Stirling の公式の q-analogueを求めた Moak[101 の結果と一致している。
また、 q-shifted factorial の漸近的挙動の式 (13) と polylogarithm の展開式 (cf. Lewin [7])$\frac{l}{b\log q}Li_{2}(q^{a})=\frac{\pi^{2}}{6b\log q}-\frac{a}{b}\log a-\frac{a}{b}\log(-\log q)+\frac{a}{b}+O(\log q)$を用いることにより、$\log(q^{a}:q^{b})_{\infty}=\frac{\pi^{2}}{6b\log q}$$+$$( \frac{1}{2}-\frac{a}{b})\{\log(-\log q)+\log b\}+\frac{1}{2}\log(2\pi)$$-$$\log\Gamma(\frac{a}{b})+O(\log q)$.

が $_{1}k$ る。 これより Ramanujan’s Notebook の式 (cf.Bemdt $[3],p.285$ )$\log\frac{1}{(q^{2}:q^{5})_{\infty}(q^{3}:q^{5})_{\infty}}=-\frac{\pi^{2}}{15\log q}-\frac{1}{2}\log(\frac{5+\sqrt{5}}{2})+O(\log q)$$\log\frac{1}{(q:q^{5})_{\infty}(q^{4}:q^{5})_{\infty}}=-\frac{\pi^{2}}{15\log q}-\frac{1}{2}\log(\frac{5-\sqrt{5}}{2})+O(\log q)$

.

が導ける。

7

多重化

最後に、今までの考察の一般化について、概略を述べる。 Hurwitz zeta 函数の一般化として、
多重 zeta 函数$\zeta_{f}(s, z)=\sum_{k_{1},k_{2},\ldots k,,=0}^{\infty}\frac{1}{(k_{1}+k_{2}+\cdots+k,+z)^{s}}$が知られている。 この q-analogue として、 q- 多重 zeta 函数$\zeta_{f}(s,z:q)$

$=$

$=$

$\sum_{k_{1},k_{2},\ldots k_{\Gamma}=0}^{\infty}\frac{q^{\epsilon(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r}+1)}}{[k_{1}+\cdots+k_{f}+z]_{q}^{s}}$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\begin{array}{l}k+r-1r-1\end{array})q^{s(k+1)}}{[k+z]_{q^{l}}}$が定義できる。 このとき、 Euler-MacLaurin 展開には、一般化された超幾何函数が生ずる。 さらに$\{[\frac{\partial}{\partial s}\zeta_{f}(s,z)]_{s=0}\}^{\{-1)^{r-1}}$を正規化することで、多重 gamma 函数 $G_{f}(z)$ が定義できる。多重 gamma 函数は Bohr-Morrelupの定理の一般化22

1. $G_{f}(z+1)=G_{r-1}(z)G_{r}(z)$ ,2. $G_{f}(1)=1$ ,3.

$\frac{d^{r+1}}{dz^{r+1}}\log G_{r}(z+1)\geq 0$

for $z\geq 0$ ,4. $G_{0}(z)=z$を満たす。 これに対し、

1. $G_{f}(z+1:q)=G_{r-1}(z:q)G_{f}(z:q)$ ,2. $G_{r}(1:q)=1$ ,3.

$\frac{d^{r+1}}{dz^{r+1}}\log G_{f}(z+1:q)$$\geq 0$

for $z\geq 0$ ,4. $G_{0}(z;q)=[z]_{q}$を fflk す$q$ -多重 gara 函数を$G_{0}(z+1:q)=[z+1]_{q}$ ,$G_{1}(z+1:q)=\Gamma(z+1;q)$ ,$\ovalbox{\tt\small REJECT}(z+1:q)=(1-q)^{-()}r\prod_{n=1}^{\infty}z[(\frac{1-q^{z+n}}{1-q^{n}})^{(-1)^{r}()}n+r-2r-1(1-q^{n})^{g,(z.n)}]$,ただし$g_{f}(z,n)= \sum_{m=1}^{r-1}(-1)^{m-1}(\begin{array}{l}zr-m\end{array})(\begin{array}{l}-n+m2-ml\end{array})$.

で定義することができる $(cf.[11])$ 。これと q- 多重 zeta 函数は古典論と同様に関係づけられる。
多重 gara 函数の漸近的挙動に は polylogarithm li れる。
$\Re$

$q$ -

参考文献
[1] E.W.Barnes, The theory of $G- function’$ , Quat. J. Math 31 (1899) p.264-314[2] E.W.Bames, On the theory of the multiple gamma $function_{f}$ Trans. Cambridge. Phil. Soc
19 (1904) p.374-425[3] B.C.Bemdt, Ramanujan’s Notebooks Part IV, Springer-Verlag[4] J.Dufresnoy and C.Pisot, Sur la relation fonctionalle $f(x+1)-f(x)=\phi(x)_{f}$ Bull. Soc.
Math. Belgique 15 (1963) p.259-270[5] L.D.Fadeev and R.M.Kashaev, Quantum Dilogarithm, Mod. Phys. Lett. A 9 (1994) p.427-

434[6] N.Kurokawa, Lectures delivered at Tokyo Institute of Technology,1993.
[7] L.Lewin Polylogarithms and Associated Functions, North Holland[8] T.Masuda, K.Mimachi, Y.Nakagami, M.Noumi and K.Ueno, Repoesentation of the Quantum group $SU_{q}(2)$ and the Little q-Jacobi Polynomials, J. Funct. Anal. 99 (1991), p.357-

386

23

[9] J.Milnor, On Polylogarithms, Hufwitz Zeta-Functions and the Kubeft Identities, L’Enseignement
Math.t.29 (1983), p.281-322[10] D.S.Moak, The q-analogue of Stirling $Fo$ mula, Rocky Mountain J. Math,14 (1984),p.403-

413[11] M.Nishizawa, On A q-analogue of Bame’s G-function, preprint[12] P.Podle\’{s}, Quantum Sphe $res$, Lett. Math. Phys. 14 $(1987),p.193-202$[13] L.J.Slator. Confluent Hypergeometnc Functions, Cambridge. Univ. Press[14] K.Ueno, M.Nishizawa. Quantum groups and zeta-functions Proc.of the Karpacz WinterSchool 1994, hep-th/9408143