数理解析研究所講究録1022 巻 1997 年 58-70

58

Pentagonal Curve の構成について
大.
$\backslash \theta\downarrow$朗

徳島大学総合科学部

e-mail:ohbuchi@ias.tokushima-u.ac.jp

第$0$章準備及び結果について上定義された代数曲線とする。記号として $C$ 上の線形系\mbox{\boldmath $\delta$}が $\dim\delta=r$の様に書く事にする。代数曲線と線形系の組 $C=(c_{g_{d}^{1}},.)$
で $\deg\delta=d$ を満たす時に\mbox{\boldmath $\delta$}を
$C$

を複素数体

$\mathbb{C}$$g_{d}^{r}$について以下の用語は良く使われる。
定義 $1.C=(c_{g_{d}^{1}},)$ が -gonal curve であるとは,C 上に base point free な
が存在しない時とする。
つ $e<d$ に対して $C$ 上に$d$$g_{d}^{1}$が存在してか$g_{e}^{1}$

2-gonal は hyperelliptic,3-gonal は trigona1,4-gona1 は tetragonal と言い 5-gonal の事をが与えられると は complete linear system とpentagonal と呼ぶ。 d-gonal curve
なるのは明らかである。 さてここで代数曲線と線形系の ( -gonal は必ずしも仮定しない)$(c_{g_{d}^{1}},)$$g_{d}^{1}$$d$

組 $C=(c_{g_{d}^{1}},)$ について

定義

$2.\downarrow C$$g_{d}^{1}$

が完備である時に以下を考える。

を非特異代数曲線とする。 この時フィルトレーション$F_{0}=\tau(c_{\omega},c)\supset F_{1}=\Gamma(C,\omega c\otimes O(g^{1}d)^{\otimes}-1)\supset\cdots\supset Fn=\tau(c_{\omega_{C}},\otimes O(g_{d}1)^{\otimes}-n)\supset\cdots$

を考える。 ここでそれぞれの inclusion

は F(C,$\mathit{0}’(.g_{d}^{1})$

) の元

$s$

$\Gamma(C,\omega c\otimes O(g_{d}^{1})\otimes-i)\supset\Gamma(C, \omega_{C}\otimes O(g_{d}^{1})^{\otimes-}(i+1))$

を–つあらかじめ与えておいて, 部分空間.

$\Gamma(c_{\omega_{C}\otimes},o(g_{d}^{1})\otimes-(i+1))\cdot s\subset\Gamma(c, \omega C$ $\otimes o(g^{1}d)^{\otimes i}-)$と$\Gamma(C, \omega c\otimes \mathcal{O}(g_{d})^{\otimes()}1-i+1)$を同–視して考えている。 これらについて,$e_{i}=e_{i}(g_{d}^{1})=\#\{j\in \mathrm{N};\dim(F_{j-1}/F_{j})\geq i\}-1$と定義する。

59

この不変量は scroilar invariants と呼ばれる (参照)Q これらは$e_{1}\geq\cdots\geq e_{d-1}\geq 0$ 及び $e_{1}+\cdots e_{d-1}=g-d+1$ を満たす事は定義から容易である。又,\alpha i $=\dim\tau(C, o((i+1)g_{d}^{1}))-\dim\Gamma(C, O(ig_{d}^{1}))(i\in \mathrm{N}\cup\{0\})$ により数列$e_{1},$$\cdots,$$e_{d-1}$$[\mathrm{K}\mathrm{O}]\mathrm{p}.4588$$\{\alpha_{n}\}_{n=}^{\infty}0$を定義すると scrollar invariantsel, $\cdots ed-1$ はこの数列を使って以下の様に言い換える事が可能である。
命題 1. $e_{i}= \min\{j;\alpha j\geq d-i+1\}-1(i=1, \cdots d-1)$ .
今 $C$ は non-hyperelliptic であると仮定して$D\in g_{d}^{1}$$Carrow \mathrm{P}^{g-1}$

を canonical embedding とする$\circ$に対して$\overline{D}=\bigcap_{HD\subset}H=D$

とおき $D$ の linear span と呼ぶ。 ここで $H$ は$\mathrm{P}^{g-1}$の超平面である。
$X= \bigcup_{D\in g_{d}^{1}}\overline{D}\subset \mathrm{P}^{g-}$と置く。 $X$ に対して以下の事実が知られている (定理 1(Harris). $X$ は projective bundle$[\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{G}\mathrm{H}]\mathrm{p}.96$

等を参照の事)。

の\mbox{\boldmath $\pi$}*(0(H))$O(e_{1})\oplus\cdots O(e_{d}-1)$ を満たす tautologicalsheaf $O(H)$ により与えられる完備な線形系 $|H|$
で決まる写像の像である。
$\mathrm{P}(\mathcal{O}(e_{1})\oplus\cdots\oplus O(e_{d-1}))arrow\pi \mathrm{P}^{1}$$\cong$

従ってこれから$C$$arrow$$g_{d}^{1}\backslash$$\mathrm{p}(O(e_{1})\oplus\cdots O(ed-1))$$\swarrow\pi$$\mathrm{P}^{1}$となる可換図式が与えられる。 この様な形で scro 垣 ar invariants を定式化する事も出来る。
以下の定理は$[\mathrm{K}\mathrm{O}]_{\mathrm{P}^{45}}.88$

による。

定理 2. 代数曲線と完備線形系の組 $C=(c_{g_{d}^{1}},)$ について

ample であれば$.e_{1}\leq e_{2}+e_{d1}-+2$,$e_{2}\leq e_{3}+e_{d}-1+2$,$.e_{d-2}\leq 2e_{d-1}+2$が成立する。

$O(g_{d}^{1})^{\otimes}e_{d}-1+2$

が birationally very

60

定理 3. 代数曲線と完備線形系の組 $C=(c_{g_{d}^{1}},)$ についてが素数であれば,0(D)\otimes \otimes ed-l+2$d$は birationally very ample である。

次に $e0=e\mathrm{o}(g_{d}^{1})=0$ と決める。更に\alpha \in Z/dZ に対しても\alpha
なる

を取って

$i$

定理 4.

$d$

$e_{\alpha}=e_{i}$$=i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} d\mathbb{Z}(0\leq i\leq d-1)$とと決める。 この時更た以下の定理を得る事も出来る。

が素数であれば$i,j\in \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$に対し$e_{i+j}\leq e_{i}+e_{j}+2$が成立する。

更にこの定理の逆については以下の事実がある。
定理$5(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{i})$.

$e_{1}\geq e_{2}\geq 0$

ある種数$e_{1}\leq 2e_{2}+2\Leftrightarrow$$g$で $e_{1}+e_{\mathit{2}}=g-2$ の時,の trigonal curve $(c,g_{3})1$ で $e_{i}(g_{3}^{1})=e_{i}$ となる物が存在する

この事実は以下の様に–般化されている (定理$6(\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o},\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i})$$e_{1}\geq e_{2}\geq e_{3}\geq 0$$[\mathrm{K}\mathrm{O}]\mathrm{p}.4589$

参照)。

であり $e_{1}+e_{2}+e_{3}=g-3$ であるとする。 この時に$1).e_{1}\leq e_{2}+e_{3}+2$ かつ $e_{2}\leq e_{3}+2\Rightarrow$

かつ$O(g_{4}^{1})^{\otimes}e3+\mathit{2}$

ある種数

$g$

の tetragonal curve $(c_{g_{4}^{1}},)$ で $e_{i}(g_{4}^{1})=e_{i}$は birationally very ample となる物が存在する o$2).e_{1}\leq e_{2}+e_{3}+2\Leftrightarrow$

ある種数

$g$

の tetragonal curve$(C\ovalbox{\tt\small REJECT},g_{4}^{1})$で $e_{i}(g_{4}^{1})=e_{i}$ となる物が存在する。

定理 6. $e_{1}\geq e_{2}\geq e_{3}\geq e_{4}\geq 0$ であり $e_{1}+e_{\mathit{2}}+e_{3}+e_{4}=g-3$ であるとする。 この時に
$e_{1}\leq e_{2}+e_{4}+2,$ $e_{3}+\leq e_{4}+2,$ $e_{3}\leq 2e_{4}+2$

curve $(c,g_{5})1$ で$e_{i}(g_{5}^{1})=e_{i}$かつ $e_{1}\leq 2e_{3}+2\Rightarrow$ ある種数$g$の pentagonalとなる物が存在する。

第 1 章定理 4 の証明の概略

この節のみ,divisor $D$ に対して$\Gamma(C, O(D))=\{f\in K;(f)+D\geq 0\}$ (但し $K$ は $C$ の有理函数体)に対し F(C,) $=[1, x]$ と書く事が出来る。 さの定義と命題 1 に従って先ず $i=1,$ $\cdots,.e_{d-1}+1$ の時,と考えて議論をする事にする。
て$e_{1},$$\cdots,$$e_{d-1}$$(c_{g_{d}^{1}},)$$O(g_{d}^{1})$$\Gamma(C, \mathcal{O}(igd)1)=[1, X, \cdots, X^{i}]$61であり, 更に $i=e_{d-1}+2,$$\cdots,$ $e_{d-\mathit{2}}+1$の時,$\tau(C, O(igd1))=[1, x, \cdots, x^{i},y_{1,\cdots,y_{1}}x^{i}-e_{d1}--\mathit{2}]$であり, 隠 $i=e_{d-j}+2,$$\cdots,$$e_{d-(j+1}$ )$+1$ の時 $(j=1,2, \cdots, d-2)$,$\Gamma(C, \mathcal{O}(ig_{d}1))=[1,X, \cdots, x, y1, \cdots, y_{1}x^{i}-ed-1^{-2}, \cdots,xy_{j}, \cdots, y_{j}-ed-j-2]ii$

最後に $i\geq e_{1}+2$ の時,$\Gamma(C, O(igd1))=[1, x, \cdots, x^{i},y_{1}, \cdots, y1x-, \cdots, y_{d-}1, \cdots, y_{d}-1x-e1^{-\mathit{2}}]i-e_{d1}-\mathit{2}i$となる様に F(C,$O(ig_{d}^{1})$) の基底を与えられる。今,s, $j=0,$$\cdots,$$d-1$ に対して

$e_{d-j}\leq e_{d-jS}++e_{d-}+s2$

である雨を示せれば定理 4 が示せた事になる。 $s=0$ の時及び
$1\leq s,j\leq d-1$ として良い。

そこで先ず j$\leq s$$=0$

は各々明らかなのでの時を考える。 この時は

$e_{d-jS^{=}}+es-_{\dot{\mathrm{J}}}\text{な}$ので示すべき事は $e_{d-j}\leq e_{s-j}+e_{d-\mathit{8}}+2$ となる。 $s-i.=0$ の時は明らか。 又 $s-j\geq 1$の時は $d-1\geq d-j\geq d-j\geq s-j\geq 1$ となるので,ed-l $\leq e_{d-j}\leq e_{s-j}\leq e_{1}$ とな

り, この場合も定理 4 の成立は明らかである。次にとなり $d-j+s=0$ の時は$e_{d-j}.,$$=e_{d-s}$$>s$ の時は $0\leq d-j+s\leq d..-1$より不等式は明らか。従って $j\geq s+1$ で$1\leq d-j+s\leq d-1$ の場合のみ考えれば良い。 ここで $j<2..s$ の時は$e_{d-j}\leq e_{d-j+s}.+e_{d-S}+2$ である事が示せる。

$s$の帰納法により

実際 $s=1$ の時は定理 2 と定理 3 により不等式は得られて, $s-1$ 迄不等式が正しければ $d-(s-1)\leq d-j+s\leq d-1$ により帰納法の仮定を $e_{dj+s}-$ に当てはめて不等式を得る。 以上から $1\leq s,j\leq d-1,j\geq s+1$ で$1\leq d-j+.s\leq d-1$ かつ $j\geq 2.s$ と仮定して不等式を示す。

となる

$j$

$\text{ここでもし_{}2S}.\leq j\leq d-1$

で $e_{d-j}>e_{d-j+s}+e_{d-S}+2$ となる $j$ が存在したとすると $s+1\leq k\leq j$(i.e.l $\leq k-s\leq j-s$ ) に対して F(C, $O((ed-(k-s)+2)g_{d}^{1})$ ) $\subset\Gamma(C, O((ed-(j-s)+2)g_{d}^{1}))$だから$\Gamma(C, O((e_{d}-(k-S) \dagger 2)g_{d}^{1}))\Gamma(c, O((e_{d}-s+2)g_{d}^{1}))\subset$$\Gamma(C, O((e_{d-}(k-S)+2+e_{d-S}+2)g_{d}^{1}))\subset$$\Gamma(C, O((ed-k+2)g^{1}d))\subset\tau(c, o((e_{d-j}+1)g_{d}1))$となる。 従ってある$x$$y_{s}y_{1}$の多項式 $a_{i}(x),$ $b_{ij()}x$ が存在して$=a_{1}(x)+b_{11}(x)y_{1}+\cdots+b_{1j-1}(.X)y_{j-}1$$y_{S}y_{jS}-=a_{js}-(X)+b_{j1}-s(X)y1+\cdots+b_{js}-j-1(X)y_{j-}1$62となる。 故に$-(_{a_{j-}}^{a_{1}+b_{1j-1}}\mathit{8}+bj-Sj-1y_{j}-1^{+}+\cdot.\cdot+b_{jj-}yj-1..\cdot.\cdot.+b1j-S-1y_{1}j-S-Ss-yj-s-1-1)$

.

$=$

(

$y_{S}$.

$..$と書く事が出来る。 ここで * の部分は
. .

$b_{j-sj-s}-*ys$.

)の多項式のみが表れている所である。 ここで$x$$B=(_{*}^{b_{11}-}y_{S}$$b_{j-sj-s}-*ys)$と置くと $\det(B)\neq 0$ である。何故ならば $B$ は $j-s$ 次の正方行列なので $\det(B)=^{\mathrm{o}}$ であれば ys は$\text{数}$, また$.k(x)\text{上}.j-_{\mathrm{r}}..s$$y_{s}\not\in k(x)$次の関係式を持つ事になるが拡大 $k(C)/k(x)$ はであるので $j-s\leq d-2$ であるから矛盾

従って$\circ$

$d$

次であり

$d$

は素

$\mathrm{d}\mathrm{e}\dot{\mathrm{t}}(B)\neq\prime 0\dot{\text{と}なる}$。

仮定より $s\leq j-s$ であるから, 従って $B$ の随伴行列 B\tilde に対して式 (A)$\text{の両辺に}\tilde{B}$

を掛け

る事で
’

) $yj-l$..
$+\cdots+$ ( $\deg\leq j-s-1$ のの多項式)yj-s-lとなる。 ここで\mbox{\boldmath $\lambda$} $=\det(B)y_{S}$ と置く。今\mbox{\boldmath $\lambda$}\in k(x) であれば関係式\mbox{\boldmath $\lambda$} $=\det(B)y_{S}$ は $k(x)$ 上$\det(B)y_{s}=$( $\deg\leq j-s-1$ の $y_{S}\text{の多項式}$$y_{S}$の$j-s-1$ 次の関係式となるから $j-s-1\leq d-1-s+1\leq d-1$ より矛盾。 よって$\lambda\not\in k(x)$となる。 これから 1,$\lambda,$$\lambda^{d-1}$$\cdots,$

は拡大 $k(C)/k(x)$ の基底となる。従って $y_{S}=$$\mu\iota(x)\in k(x),$)( $0\leq l\leq d-$ であって\mu 1 $(x),$と書ける。よって y, は $k(x)$ 上で $l(j-s’)$ 茨の関係式を持つ事になるので $d|l(j-s)$ とな$\mu_{1}(x)+\mu 2(X)\lambda+\cdots\mu l(X)\lambda^{l}$$1$$\mu_{l}(_{X})\neq 0$$\cdots,$

.

る。

$d$

は素数なのでこ也は矛盾である。以上により定理 4 の証明を得た。

注意. 今の証明で定理 2 と定理 3 を使ったが定理 3 は容易であり, 又定理 2 も今の証明の$1\leq s,j\leq d-1,j\geq s+1$ で $1\leq d-j+s\leq d-1$ かつ $j\geq 2s$ である場合の部分の議論とほぼ同じ議論をそのまま使って証明する事が出来る。その為, ここでは詳細は省略する事にする。

第 2 章定理 6 の証明の概略$\mathrm{Y}_{1}$

に

,Y2 を

$\mathbb{C}$

上定義された上面$D_{1}\subset Y_{1},D_{2}\subset \mathrm{Y}_{2}$をそれぞれ$g_{1},$$P_{1},$$g_{2}$$P_{\mathit{2}}$の代数曲線とする。又$P_{1}$$\in \mathrm{Y}_{1},$$P_{\mathit{2}}\in \mathrm{Y}_{\mathit{2}}$を取る。更の座標近傍として,x’ : $D_{i}arrow D=\sim\{z\in \mathbb{C}||z|<1\}$$(i=1,2)$ を $x_{1}(P_{1})=0,x_{2}(P_{\mathit{2}})=0$ である様な局所座標とする。 先ず$\mathrm{Y}_{1}\mathrm{x}D\supset D_{1}\mathrm{x}D$

63

と巧

に対してそれぞれ $D_{1}\cross D\supset F_{1}=\{(q, t)\in D_{1}\cross D||x_{1}(q)|\leq$$\cross D\supset D_{\mathit{2}}\cross D$$|t|\},D_{2}\cross D\supset F_{2}=\{(q, t)\in D_{1}\cross D||x_{2}(q)|\leq|t|\}$$\mathrm{Y}_{1}\cross D\backslash F_{1},\mathcal{Y}_{\mathit{2}}=Y_{2}\cross D\backslash F_{2}$$U_{1},$$U_{2}$

はそれぞれ$\mathcal{Y}_{1},$$\mathcal{Y}_{2}$: $U_{2}=\succ Z$ を\iota 2(q, )$t$$\iota_{2}$を $p_{1}(q, t)=t,p_{2}$ :とする。 年 t2 の定義に従って$p^{-1}(t)=X_{t}$$p_{1},p_{\mathit{2}}$と書くと $t\neq 0$ なら

2 個のそれぞれ

及び pZ は

$X_{t}$$\mathcal{X}=\mathcal{Y}_{1}\mathrm{U}Z\cup y_{9}\sim$

を $p_{\sim}9(q, t)=t$ 又$\mathcal{Y}_{\mathit{2}}arrow D$$\mathcal{X}$$p_{Z}$

この写像に:$p_{1}$$qz(t_{1,\mathit{2}}t)=t_{1}t_{2}$は摂理 $g_{1}+g_{2}$ の代数曲線であり $t=0$ の時は$\mathrm{Y}_{1}\ni P_{1}=P_{\mathit{2}}\in$$X_{\mathit{0}}$は巧に

Y2 と局所座標: $D_{2}arrow D(X_{2}(P_{9,\sim})=0)\sim$ が与えられれば必ず構成出来る事に$P_{1}$$x_{1}:D_{1}’arrow D(x_{1}\sim(P_{1}.)=0)’\backslash x_{2}$

注意しておく。 $\Gamma(\}^{r_{2}}, o(dP2))\geq 2$ さてを満たすとする。又$\circ$$\circ$を上で定義されて $p:\mathcal{X}arrow D$ を定義する。

$\mathrm{Y}_{1},\mathrm{Y}_{\mathit{2}}$を満たす部分空間とするとしてと定義する。

: $Zarrow D$ をに同型な既約成分からなりその既約成分は於いてのみ transversal に交わる。以上の族は$\Gamma(1_{2}’, \mathcal{L}_{2})\geq 2$$\mathcal{Y}_{1}=$$\text{て^{}\backslash }\iota_{1}..U_{1}\mathrm{c}arrow Z$とする$=( \frac{t}{x_{1}(q)}, x_{2}(q))$とみなして, この同–視により$U_{1}\subset Z,Z\supset U_{\mathit{2}}$$\mathcal{Y}_{1}arrow D$$U_{1}=D_{1}\cross D\backslash F_{1},U_{2}=D_{\mathit{2}}-\cross D\backslash F_{\mathit{2}}$の開集合である。 $Z=D\cross D$ と書く。 ここ$\iota_{1}(q, t)=(x_{1}(q), \frac{t}{x_{1}(q)}),$

より

とする。

となる部分集合を取って$a_{1}<b_{1}$$V_{1}$を$\in D_{1}\subset \mathrm{Y}_{1},P_{\mathit{2}}\in D_{\mathit{2}}\subset$$\mathcal{L}_{1}\in \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{d}(\mathrm{y}_{1}’)$と$\mathcal{L}_{2}\in \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{d}(Y_{\mathit{2}})\text{が}\Gamma(\mathrm{Y}_{1}, c1)\geq 2$$\subset\Gamma(\mathrm{Y}_{1}, \mathcal{L}_{1})V_{\mathit{2}}\subset\Gamma(\mathrm{Y}_{2}, \mathcal{L}_{2})$$V_{1}$の$P_{1}$

が-ordersequencs とし,a2$\mathrm{d}\mathrm{i}.\mathrm{m}V_{1}.=\dim V_{2}=2$$<b_{2}$を$V_{2}$の$P_{\mathit{2}}$-ordersequencs とする o 今$a_{1}+b_{2}=d,$ $a_{2}+b_{1}=d$であると仮定する。
$\sigma_{2},$$\tau_{2}$$\sigma_{1},$を巧の基底で$x_{1}(P_{1})=0$$\tau_{1}$$x_{2}$:$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{p}1\sigma_{1}=a_{1},\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{P}1\tau_{1}=b_{1}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{P_{2}}\sigma_{\mathit{2}}=a_{2},\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{P_{2}}\mathcal{T}_{2}=b_{\mathit{2}}$となる局所座標となる局所座標

を防の基底で$x_{1}$$D_{1}\sim$
D$ (は: $D_{1}arrow($D_{2}\sim$ は $P_{2}$$D_{\mathit{2}}arrow D$を満たす物として,を満たす物とする。

の座標近傍),の座標近傍) をとる。更に$P_{1}$$\frac{\tau_{1}}{\sigma_{1}}=x_{1}^{b_{1}-a_{1}}$$\frac{\tau}{\sigma}z_{2}=x_{2^{2}}b-a_{2}$でで $x_{2}(P_{2}).=0$$e_{1}= \frac{\tau_{1}}{x_{1}^{a_{1}}}=\frac{\sigma_{1}}{x_{1}^{b_{1}}},e_{2}=\frac{\tau_{2}}{x_{2^{\circ}}^{a_{\sim}}}=\frac{\sigma}{x_{2}^{b_{2}}}\underline’$はそれぞれ $D_{1},D_{2}$ 上でいたる所件を満たす p:$.q$として

$y_{1}$$\mathcal{X}arrow D$$y_{1}arrow \mathrm{Y}_{1}$$q_{1}$

上で$q_{1}^{*}(\mathcal{L}_{1}$ $)$.
$q_{2}^{*}(\mathcal{L}2)|$にならないと仮定して差し支えない。これらから上記の条を構成出来る。 :とを $q_{1}(q, t)=q,q2(q, t)=$:上で
それと $.Z$ 上で,を考える。 1*(L 科 $|C^{T_{1}},=Oe_{1}$ ,$0$$\mathcal{Y}_{2}$

ろ $=Oe_{2}$ であるので$q_{\mathit{2}}$$O$$q_{1}^{*}(\mathcal{L}_{1})$$U_{1}\subset Z\supset U_{2}$$y_{\mathit{2}}arrow \mathrm{Y}_{\mathit{2}}$と見なして際に$Oe_{1},q_{2}^{*}(\mathcal{L}2)|U_{1}\cap U_{2}=\mathit{0}_{e_{2}}\text{それ}\dagger 1\vee-\mathit{0}_{z}|U_{1}\cap U_{2}=O$$.q$$U_{1}\cap U_{2}$

上に$q_{1}^{*}(\mathcal{L}_{1})|U_{1}\mathrm{n}U_{2}=$が考えられるが,Ul\cap U2 上で $(Z_{1}, z_{2})\in Z$.

として$e_{\mathit{2}}$即ち,elと $1\in O_{Z}|U_{1}\cap U_{2}=O$ を同–視して,$=z_{\mathit{2}}^{d}e_{2}$の関係式により得られる$\mathcal{X}$$e_{1}$と $z_{2}^{d}\in O_{Z}|U_{1}\cap U_{2}=O$ を同–視上の可逆層を$\mathcal{M}_{1}=\mathcal{M}_{Y_{1}}$

とし ’

64

$e_{1}$と $1\in O_{Z}|U_{1}\cap U_{2}=O$ を同–視して,$\text{即ち_{}ez^{d}e_{1}},\mathit{2}.=1$の関係式により得られる$e_{\mathit{2}}$と $z_{1}^{d}\in O_{Z}|U_{1}\cap U_{2}=O$ を同–視上の可逆層を$\mathcal{X}$.

$\mathcal{M}_{2}.=\mathcal{M}_{\mathrm{Y}_{2}}$.

とする。 この時以下の事実を得る。
補題. Ml|X\Xo\cong M2|X\Xo。従って Ml|Xt\cong M2|X 下し $0\neq t\in D$
この事実により $t\neq 0$ の時に$\mathcal{L}_{t}=\mathcal{M}_{1}|X_{t}=\mathcal{M}_{2}|Xt$と$\mathcal{L}_{t}$。

を定義出来る。更に次の事実も

成立する。
補題.

$p_{*}(\mathcal{M}^{\bigotimes_{1}\iota_{)}}$と$p_{*}(\mathcal{M}_{\mathit{2}}^{\otimes\iota})$

一般に共に次数が で次元$d$の P1=P らにつき$[\mathrm{E}\mathrm{H}]_{\mathrm{P}^{34}}.8$

定義 3.

の

$n$

$l\in \mathrm{N}$$Y_{1}$に対して locally free sheaf である o上の線形系$W_{1}$-order sequence をとする。 $L=$ {, (Y2,
参照)。
$P_{1}$

での$W_{1}$

を $a_{0}^{2}<.\cdots a_{n-1}^{2}$る (は$(\mathrm{Y}_{1},$$a_{0}^{1}+a_{n-1}^{\mathit{2}}\geq d,$$W_{1})$$a_{1}^{1}+a_{n-2}^{2}\geq d,$$\cdots,$と Y2 上の線形系$a_{0}^{1}<\cdots a^{1}P_{\mathit{2}}n-1$$W_{2})$’$a_{0}^{1}.+a_{n-1}^{2},$とを与えた時にでの$X_{0}$で. sequence$W_{2^{-}}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$} と書き, この記号の下で以下を定義す..

$a_{n-1}^{1}+a_{0}^{2}\geq d$$=d,$linear series であると言う。心
つ時に は himit linear series であると言う。

$W_{2}$

が成り立つ時に$a_{1}1+a_{n-\mathit{2}}^{2}=d,$$\cdots,$$L$は crude himit$an-11+a_{0}^{2}=d$ が成り立$L$

$V_{1}(l)=p_{*}(\mathcal{M}^{\otimes}1\mathrm{t})\otimes k(0)$$V_{2}(l)=p_{*}(\mathcal{M}\otimes\iota)2\otimes k(\mathrm{o})$と置く。 自然にるので ($V_{1}(l)\subset\tau(Y_{1}, \mathcal{L}^{\bigotimes_{1}\iota})$$[\mathrm{E}\mathrm{H}]_{\mathrm{P}^{34}}.8$

であり,K(l)$\subset\Gamma(\mathrm{Y}_{2}, \mathcal{L}_{2}^{\otimes l})$であるとみなす事ができ参照), $L(l)=\{(Y_{1}, V_{1}(l)), (Y_{2}, V_{2(}l))\}$ とする。次の事実は$[\mathrm{E}\mathrm{H}]\mathrm{p}.348$

参照。
補題勝手な

$l\in \mathrm{N}$に対して $L(l)$ は crude limit linear series になる$\circ$

さて次に Pardini の結果 ([P] 参照) からの引用を行なう。先ず Y を代数多様体,G を位数が素数 p の巡回群として$G^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G, \mathbb{C}^{\mathrm{x}})$

して invertible she]$\mathcal{L}_{\chi}\in \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(Y)$に対して Cartier divisor$D\psi$を $G$ の charactor group とする。今,\mbox{\boldmath $\chi$}\in G*\{0} に対を対応させて更に$\mathcal{L}0=^{o_{Y}}$と置いておく。又\psi \in G*\{0}を対応させておく。 ここで\mbox{\boldmath $\chi$}, $\chi’\in G^{*},$$\xi=\psi^{i_{\chi}},\chi^{r}=\psi_{\chi’}^{i}(i_{\chi}, i_{\chi}’=0, \cdot’\cdot,p-1)$

として

$0$
$\epsilon_{\chi,\chi’}^{\psi}=\{$$i_{\chi}+i_{\chi}’<p$1otherwise$\psi\in G^{*}\backslash \{0\}$

に対して

65

により

$\epsilon_{\chi,\chi’}^{\psi}$を与える。又標準的な同型$\Gamma(\mathrm{Y}, \mathcal{L}_{x^{\otimes c}x}’\otimes \mathcal{L}_{\chi x}^{-1},)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{L}_{x\prime}^{-1_{\otimes \mathcal{L},c_{x\chi},)}}\chi-1-1$

により

補題.

$\Gamma(\mathrm{Y}, \mathcal{L}_{\chi}\otimes \mathcal{L}_{\chi’}\otimes \mathcal{L}_{xx’}^{-}1)$$\mathcal{O}_{\mathrm{Y}}$の元を写像$\mathcal{L}_{\chi}^{-1}\otimes \mathcal{L}_{\chi’}^{-1}arrow \mathcal{L}_{\chi\chi}^{-}1$, と見なす事が出来る。

-加群 $A$ を$A=O_{\mathrm{Y}^{\oplus}}$$\oplus$$\mathcal{L}_{\chi}^{-1}$$x\epsilon c*\backslash \{0\}$により定義する。

さて以上に加えて条件$\mathcal{L}_{\chi}\otimes c_{x}’\cong \mathcal{L}_{\chi\chi^{l}}\otimes o(\sum_{\mathit{0}\psi\epsilon c*\backslash \{\}}\epsilon_{\chi,\chi’}^{\emptyset}D\psi)$$x’\psi D\psi$$\text{を仮定する。この時に}\sum_{\psi\in G*\backslash \{0\}}\epsilon x,$$\mathcal{L}_{x\mathrm{x}}^{-1},\text{が決るからこれによ_{って}}$ $O_{Y}$を定義する section により準同型写像$\mathcal{L}_{\chi}^{-1}\otimes \mathcal{L}_{\chi}^{-1},arrow$-癖群としての準同型写像$\mu:S^{2}Aarrow A$が決る。以上より次の命題が成立する (定理$8(\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i})$.

$\mathcal{O}_{Y}$$[\mathrm{p}]_{\mathrm{P}^{19}}.9$-鎖群としての準同型写像\mu :Proposition 2.1 参照)。
$S^{\mathit{2}}Aarrow A$

は $A$ 上に$\mathit{0}_{\mathrm{Y}}$-algebra 構造を導入して自然な写像$f:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)arrow Y$

は次の巡回被覆を与えて は$\cup$$\mathrm{f}$$\mathrm{P}$$D_{\psi}$

上で分岐する。又全ての\psi ,$\psi’\in G^{*}\backslash \{0\}$に対$\psi\in G^{*}\backslash \{0\}$

して $D\psi\cap D_{\psi}’=\emptyset$ で $D_{\psi}\subset Y$ が非特異部分多様体であれば$\mathrm{s}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{c}}}(A)$は正規になる。

ここで $d=5$ の場合を考える。 自然数 $0\leq e_{4}\leq e_{3}\leq e_{\mathit{2}}\leq e_{1}$ と $g$ を与えて

$e_{1}+e_{2}+e3+e4=g-4$$e_{1}\leq e_{2}+e_{4}+2$$e_{2}\leq e_{3}+e_{4}+2$$e_{3}\leq 2e_{4}+2$$.\backslash$.

$e_{1}\leq 2e_{3}+2$が満たされたとする。 この時に種数$\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}1g_{5}1$の組$(c_{g_{5}^{1}},)$$g$の代数曲線 $C$ と $C$ 上の base point free で次数 5 のを $e_{i}(g_{5}^{1})=e_{i}(i=1,2,3,4)$ である様に構成する事を考える。以下 2つの場合に分けて構成を行なう。

..

66

Case $1:e_{1}+e_{4}=e_{2}+e_{3}$ の時
先ず $d_{1},d_{2,3,4}dd\in \mathrm{N}$ を$2e_{1}+2-e_{2}=d_{\mathit{2}}+d_{4}$$e_{1}+e_{2}+2-e_{3}=d_{3}+d_{4}$$e_{1}+e_{3}+2-e_{4}=d_{2}+d_{4}$$e_{1}+e_{4}+4=d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}$$2e_{\mathit{2}}+2-e_{4}=d_{3}+d_{4}$$e_{\mathit{2}}+e_{3}+4=d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}$$e_{2}+e_{4}+2-e_{1}=d_{1}+d_{3}$$2e_{3}+2-e_{1}=d_{1}+d_{2}$$e_{3}+e_{4}+2-e_{2=}.=d_{1}+d_{2}$$2e_{4}.+2-e_{3}=d_{1}+d_{3}$となる様に取る。 ここで\Gamma (P\perp ,reduced かつ$D_{1},$ $D_{2},$ $D_{3},$)$(i=1,2,3,4)$ を $D_{i}=(s_{i})_{0}(i=1,2,3,4)$ が$D4$ はお互いに共通部分を持たない様に取り$\mathcal{O}(d_{i})$$\ni si$$\mathcal{L}_{i}=\dot{O}(e_{i}+|2)(i=1,2,3,4)$とすると先程の連立方程式の解の与え方より$\mathcal{L}^{\otimes\otimes-}12_{\otimes \mathcal{L}_{2}}1\cong O(d_{2})\otimes O(d4)$$c_{1}\otimes^{c_{2}\otimes \mathcal{L}^{\bigotimes_{3}}O()}-1\cong d3\otimes O(d4)$$\mathcal{L}_{1}\otimes c_{3}\otimes \mathcal{L}^{\bigotimes_{4}-}1\cong O(d2)\otimes c9(d4)$$\mathcal{L}_{1}\otimes \mathcal{L}_{4}\cong O(d_{1})\otimes O(d\underline,)\otimes O(d_{3})\otimes O(d_{4})$$\mathcal{L}^{\bigotimes_{2}\otimes-}2_{\otimes c4}1\cong O(.d_{3})\Theta\dot{O}(d_{4})$$\mathrm{C}_{2}$$\otimes \mathcal{L}_{3}\cong O(d_{1})\otimes O(d_{2})\otimes O(d_{3})\otimes O(d_{4})$$\mathcal{L}_{2}\Theta \mathcal{L}_{4}\otimes \mathcal{L}_{1}\otimes-1\cong O(d1)\otimes O(d3)$$\mathcal{L}_{2}^{\otimes \mathit{2}_{\otimes}}\mathcal{L}^{\bigotimes_{1}-1}\cong O(d_{1})\otimes o(d2)$$\mathcal{L}_{3}\Theta \mathcal{L}_{4}\otimes c\bigotimes_{2}-1\cong O(d_{1})\otimes O(d3)$$c_{4}^{\otimes\otimes-}2_{\otimes \mathcal{L}_{3}}1\cong O(d_{1})\otimes o(d_{\mathrm{s}})$となる。 これより Pardini の定理に従って$s_{1},$

上に O-algebra の構造を導入して構造射\mbox{\boldmath $\pi$} :てかつ$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)$$s_{2},$$s_{3}$,84 が$A=\mathcal{L}_{1}^{-1}\oplus \mathcal{L}_{2}^{-1}\oplus \mathcal{L}_{3}^{-1}\oplus \mathcal{L}_{4}^{-1}$$\mathrm{s}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{c}}}(A)arrow \mathrm{P}^{1}$

は正規となる。 $g_{5}^{1}=\pi^{*}(O(1))$ と置くと

$g_{5}^{1}$

は次数 5 の巡回被覆を与えは定義より base point free

で完備な次数 5 の pencil となる o 今\sim (OC) $=A$ である事より特に$O(l)$である。従って特に各々の $i(f=1,2,3,4)$ に対して自然な inclusion $Oarrow A\otimes$$O(e_{i}+2)$

り$\pi_{*}(o_{C(}lg^{1}\mathit{5}))=A\otimes$.

は$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\eta_{i}\in\Gamma(C, o_{c(}(ei+2)g_{5}^{1}))$を定義して $A$ 上の演算の与えかたによ$\eta_{1}^{5}=\pi^{*}(s1S_{2^{SS^{4})}}^{3\frac{}{3},}’ 4’\eta_{9}\sim 5=\pi^{*}(s_{1}^{\mathit{2}_{S}}\mathit{2}S^{4}3S_{4}3), \eta_{\mathrm{s}}^{5}=\pi^{*}(_{S_{1\mathit{2}4}^{3}}S^{4}s_{3^{S^{2}}}),$ $\eta^{5}4=\pi^{*}(s_{1}^{4}s_{\mathit{2}^{S_{34}}}^{2}S)3$

を得る

$0$

67

従って $(\pi^{*}(S_{i}))\mathit{0}=5E_{i}(i=1,2,3,4)$ と書いて $(\eta_{1})_{0}=E_{1}+3E_{\mathit{2}}+2E_{3}+4E_{4},$$(\eta_{2})_{0}=$$2E_{1}+E_{2}+4E_{3}+3E_{4},$ $(\eta_{3})0=3E_{1}+4E2+E_{\mathrm{s}+E_{4}}2$ $ $(\eta_{4})\mathit{0}=4E_{1}+2E_{\mathit{2}}+3E_{3}+E4$となる$\text{。}$

従って F(C, $O((\iota-1)g^{1}5)$ ) $\otimes\Gamma(C, O(g5)1)arrow\Gamma(C’, o(lg51))$ が全射にならないのが$l=e_{4}+2,$ $e_{3}+2,$ $e_{2}+2,$ $e_{1}+2$ の時のみであり$\eta_{4},$$\eta_{3},$$\eta_{\mathit{2}},$がその cokernel の基底を与え$\eta_{1}$ているのは作り方より明らかである。故に $P\in E_{1}$ の時の F(C,
$1\leq l\leq e_{4}+1$)-order sequence はの時,0, 5, 10, 15, . . であり $e_{4}+2\leq l\leq e_{3}+1$ の時にこの列に 4, 9, 14,$\cdot$加わり $e_{3}+2\leq l\leq e_{\mathit{2}}+1$ の時にこれらの列に更に 3, 8, 13,でこれらの列に 2, 7, 12,
る。 $P\in E_{2},$$O(lg_{5}^{1}$ $)$$E_{3},$ $E_{4}$$\cdot$$\cdot$$\cdot$. .が. . が加わり $e_{2}+2\leq l\leq e_{1}+1$. . が加わり, 最後に $e_{1}+2\leq l$ の時に以上の列に 1, 6, 11, . . が加わ$\cdot$の時も同様の事実が成直する。

Case 2:一般の時上には次数 5 の固定点を持たない–次元完備な$C$$\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{i}1}g^{1}5$が存在して $O(g_{5}^{1})\cong O(5P_{1})$ である様な点 $P_{1}\in C$ があるとする。例えば Case 1 で構成した $C$ 等はこの条件を満たす。又 $E$

を楕円曲線として勝手な点$P_{2}$$\mathcal{L}_{2}=O(5P2),V_{1}=\Gamma(\mathrm{Y}_{1}, \mathcal{L}_{1})$となる様な部分空間とする

底とし,$\{\sigma_{2}, \tau_{\mathit{2}}\}$

を$P=P_{2}$でのとし,$V_{2}(l)-\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}$

.

.

をちでの

$V_{2}\subset\Gamma(Y_{2}, \mathcal{L}_{\mathit{2}})$$\circ\{\sigma_{1}, \tau_{1}\}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{P_{2}}(\sigma_{\mathit{2}})=0,$

初で構成した $p:\mathcal{X}arrow D,$を取る。上記の記号法で $\mathrm{Y}_{1}=C,\mathrm{Y}_{2}=E.\mathcal{L}_{1}=O(5P_{1})$ ,$\in E$を$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathrm{P}_{1}}(\sigma_{1})=0,$$\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}P2(\tau_{2})=5$

又 $V_{1}(l),$$\mathcal{M}_{1},\mathcal{M}_{2}$-ordersequence が $0<5$

ordpl $(\tau_{1})=5$ である様な防の基である様な$V\mathit{2}(l)$$V_{2}$$V_{2}$の基底とする。 この節の最等がこれらから構成出来る。 明らかに

er sequencs は $0<1<...<5l-2<5l$ の部分列である。 さてこの $p:\mathcal{X}arrow D$ に対して $0\neq t\in D$ を取って $X_{t}=_{P^{-}}- 1(t),$ $\mathcal{L}_{\{}=\mathcal{M}1|x_{t}=\mathcal{M}_{2}|x_{t}$ を考える。
$\mathcal{L}_{t}$は$X_{t}$

上で次数 5 の可逆層だが作り方から $\dim\Gamma(x_{t}\vee, c_{t})=2$ で base point free である。

これから得られる完備な pencil を$g_{5}^{1}(t,)$と書いて $e_{i,t}=e_{i}(g_{5}^{1}(t))(i=0,1,2,3,4)$ と定める。 ここで次の補題を得る。 証明は省略する。

補題.

$e_{1}\leq e_{1,t},$ $e_{\mathit{2}}\leq e_{2,t},$ $e_{3}\leq e_{3,t},$ $e_{4}\leq e_{4,t}$である oこれから $i(1\leq i\leq 4)$ で $e_{i,t}=e_{i}+1$ かつ $e_{j,t}=e_{j}(.j\neq i)$ となる値が取れるのでこの値を
.

$i$

(

$P_{1}$,$P_{2}$, Yl , Y2) の様に書くことにする。 ここで以下の成立は容易であるので証明は省略する。

定理 9. $P_{1}\in C=Y_{1}$ に於ける-order sequence について, もし $l\leq e_{i}+1$ では vanishing order 1 が現われず $l\geq e_{i}+2$ で vanishing order 1 が現われるとすると$i=i$ (, Y2) である。従って
め値は君, にのみ依存して決まる。
$P_{1},$ $P_{2},Y_{1}$$\Gamma(C, \mathcal{L}^{\otimes l})$$i(P_{1}, P_{2_{\mathit{1}}}.Y_{1}, \}_{2}’)$$\mathrm{Y}_{1}$

又 $l\leq e_{i}+1$ で $\dim V_{1}(\iota)=\dim\Gamma(C, \mathcal{L}^{\otimes i}),$ $\iota\geq e_{i}+2$ で $\dim V_{1}(\iota)=\dim\tau(c, \mathcal{L}^{\otimes l})-1$ である。

上の補題に従って ($i$$P_{1}$,$P_{2}$,$l_{1}^{r}$, Y2) を$i(P_{1},\mathrm{Y}_{1}^{\gamma})$

あるい tJ $i(P_{1})$ と書く事にする。次に

68$(\mathrm{Y}_{1}, \mathcal{L}_{1}).=(c, \mathcal{L})$と $C$ 上の$\mathcal{L}\cong O(5P_{1})\cong o(5P)$

かつ $i(P)=i(P_{1})$ である点 $P,$

条件 A. もし\eta \eta \in F(C,$\mathcal{L}^{\otimes e_{i+2}}$$P_{1}$

についてそれぞれ以下の条件を考える事にする。

) が$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{P_{1}}(\eta)=1,\eta(P)=0$を満たすなら必ず$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{P(\eta)}=1$である。

を Case 1 で構成したとし,P, $P_{1}\in E_{i}(i=1,2,3,4)$ とするとこの$(C, \mathcal{L}, P, P1)$ は今の条件
A を満たす。更に以下の事実が成立する (証明は省略)。
明らかに$(C, \mathcal{L})$補題. 一般の Case 2 の仮定を満たす$(C, \mathcal{L})$$(C, \mathcal{L})$と $\mathcal{L}\cong O(5P_{1})\cong O(5P),i=i(P)=i(P_{1})$ である $P,$ $P_{1}\in C$ が条件 A を満たすとし, 更に $i=1$ または $e_{i}+1<e_{i-1}$ であるとする。 この時,D の $F\geq 0$ である有限個の点からなる閉集合 $F\supset D$ が存在して全ての $0\neq t\in D\backslash F$
である

$t$

について $P\in X_{t}$ での$\mathcal{L}_{t}^{\otimes}\iota$-order sequence に vanishing order 1 は $l\leq e_{i}+2$ には現われず,1 $\geq e_{i}+3$ では必ず現われる。
補題. 一般の Case 2 の仮定を満たす$(C, \mathcal{L})$と $\mathcal{L}\cong O(5P_{1})\cong O(5P)\cong O(5Q),i=$$i(P)=i(Q)=i(P_{1})$ である $P,$ $Q,$ $P_{1}\in C$ がどの 2 個についても条件 A を満たすとし,

更に $i=1$ または $e_{i}+1<e_{i-1}$ であるとする。 この時,D の$F\not\supset 0$

らなる閉集合 $F\supset D$ が存在して全ての $0\neq t\in D\backslash F$ である$\mathcal{L}_{t}\cong o(5P)\cong O(\bm{5}Q)$.
$t$である有限個の点かについて $.P,$ $Q\in X_{t}$ は

かつ $i(P)=i(Q)$ であって条件 A を満たす。

これから以下の事実を得る事が出来る。

定理 10. 自然数\alpha が存在して, 一般の Case 2 の仮定を満たす$\mathcal{O}(.5P_{\alpha}),$$i=i(P_{1})=\cdots=$$i(P_{\alpha})$である$P_{1},$$\cdots,$$P_{\alpha}\in C$$(C, \mathcal{L})$と $\mathcal{L}\cong O(5P_{1})\cong,$ . .

$\cong$が存在してどの 2 点も条件 A を満たすとし, 更に $i=1$ またはであるとすると, 種数 g+\alpha の代数曲線$X$ と base point
free で $\dim\Gamma(x, O(h1)5)=2$ である $X$ 上の完備な pencil hA が存在して
.:..
’: .,
$e_{i}(h^{1})5e=i(g_{5}^{1})+\alpha$ を満たす。
$e_{i}(\mathcal{L})+\alpha\leq e_{i-1}(\mathcal{L})$$e_{j}(h_{5}^{1})=e.j(g_{5}^{1})(\mathrm{j}\neq i),$$:‘.\cdot$$\cdot$これらから定理 6 を得るのほ容易である。
証明の概略終わり

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