ＩＳＳＮ２４３６－０３５Ｘ

国立研究開発法人 海上・港湾・航空技術研究所

港湾空港技術研究所
報告
REPORT OF
THE PORT AND AIRPORT RESEARCH INSTITUTE

VOL. 60

No. 3

December 2021

NAGASE, YOKOSUKA, JAPANNATIONAL INSTITUTE OF
MARITIME, PORT AND AVIATION TECHNOLOGY

総
1.

次

劣化した PC 桟橋上部工の構造性能に関する解析的検討
田中

豊，川端

雄，小笠原
2.

目

雄一郎，加藤

絵万，鈴鹿

良和，河邊

修作，中嶋

道雄，石井

哲也

MPM を用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究
中村

圭太，松村

聡，水谷

崇亮

豪，立神

久

港湾空港技術研究所報告第 60 巻第 3 号（2021.12）

MPM を用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

中村

圭太*・松村聡**・水谷

要

崇亮***

旨

港湾の施設の基礎に用いられる開端杭はこれまで杭径が一定のストレート杭がよく利用されてきたが，その鉛直支持力は先端閉塞現象の発現に大きく依存することが知られている．一方，杭径が先端に向けて徐々に小さくなるテーパー杭は，テーパー部の押し広げ効果によって支持力を発揮するため，先端閉塞に頼ることなく安定的に支持力が得られる可能性があることが近年の実験結果よりわかってきた．本研究では，このようなストレート
杭とテーパー杭の支持力特性の違いを大変形解析手法の一つである MPM（Material Point Method）を用いて解析的に検証した．解析では杭が地盤へ貫入する過程をそのままシミュレートすることで，杭貫入中の周辺地盤の応力状態や，杭が受けもつ荷重の分担率（先端抵抗・周面抵抗等），杭周面に生じる抵抗力等を算出し，両杭の支持力特性を包括的に考察している．また，解析条件を既往の模型実験条件をもとに設定し，実験結果との比較も行った．その結果，解析においてもテーパー杭の押し広げ効果が確認され，先端閉塞が生じない場合はストレート杭より大きな支持力が得られることがわかった．

キーワード：MPM，開端杭，先端閉塞現象，テーパー杭，鉛直支持力*

地盤研究領域

基礎工研究グループ

研究官**

地盤研究領域

基礎工研究グループ

主任研究官

***

地盤研究領域

基礎工研究グループ

グループ長〒239-0826 横須賀市長瀬 3-1-1 国立研究開発法人海上・港湾・航空技術研究所 港湾空港技術研究所
電話：046-844-5057

Fax：046-844-0618

e-mail：nakamura-ke@p.mpat.go.jp-3-

REPORT OF THE PORT AND
AIRPORT RESEARCH INSTITUTE
Vol.60, No.3 (Dec. 2021)

Analytical Study on the Bearing Capacityof Open-ended Straight and Tapered Piles Using MPM

Keita NAKAMURA*
Satoshi MATSUMURA**
Takaaki MIZUTANI***

Synopsis

It is well known that the bearing capacity of open-ended pipe piles used in port and harbor facilities
depends on the so-called “soil plug”. On the other hand, previous model tests showed that tapered piles,
in which the pile diameter gradually decreases toward the tip, can provide stable bearing capacity without
relying on the plugging behavior, because the bearing capacity of the tapered pile is exhibited by the wedge
eﬀect of the tapered part. In this study, the diﬀerence in the bearing capacity between straight and tapered
piles was analytically veriﬁed by using the Material Point Method (MPM) which is one of the particle
methods. We simulates the penetration process of the pile into the ground and visualizes the stress stateof the surrounding ground, the pile resistance (tip resistance, shaft resistance, etc.), and the distributionof frictional resistance on the pile. The analytical conditions is set up based on previous model tests andcompares with those results. From the simulation results, it is conﬁrmed that the bearing capacity of thetapered pile is larger than that of the straight pile when the plugging does not occur.
Key Words：MPM，open-ended pile，soil plug，tapered pile，bearing capacity*

Researcher, Foundations Group, Geotechnical Engineering Department**

Senior Researcher, Foundations Group, Geotechnical Engineering Department***

Head, Foundations Group, Geotechnical Engineering Department
3-1-1 Nagase, Yokosuka, 239-0826 Japan
Phone: +81-46-844-5057

Port and Airport Research InstituteFax: +81-46-844-0618-4-

e-mail: nakamura-ke@p.mpat.go.jp

目

次

1.

はじめに

6

2.

既往の模型実験の概要

62.1

実験概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62.2

模型地盤・模型杭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

実験方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

解析条件

7

3.

解析結果と考察9

4.1

杭の貫入の様子と杭周辺地盤の変位場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94.2

杭の荷重–変位関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.3

ストレート杭，テーパー杭の荷重分担率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.4

地盤内の応力分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.5

杭の周面抵抗力度，軸力分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.6

杭内部の砂吸引解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

おわりに

17

4.

5.

参考文献

20

付録 A

22

MPM の計算手順

A.1

形状関数とその勾配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.2

粒子から格子への物理量の輸送（Particle-to-grid transfer）

A.3

節点速度の更新. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

A.4

格子から粒子への物理量の輸送（Grid-to-particle transfer） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

A.5

時間ステップの決め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

-5-

22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

中村

圭太・松村

聡・水谷 崇亮

条件は大きく分けて 3 つある．（1）大変形解析：杭を地盤へ貫入する際は極めて大きなせん断変形が生じるため，リメッ

1. はじめにシュ（メッシュの切り直し）を逐次行うなどの煩雑な操作を港湾施設の基礎には，鋼管杭（開端杭）が多く用いられ，近しない限り，通常の FEM では要素が潰れてしまい計算が破

年関心が高まっている洋上風力発電施設の建設においても，

綻する．
（2）土の構成則が適用できるか（連続体解析）否か：

その多くに開端杭が採用されている．開端杭は，施工時の貫たとえ大変形に適用できると言っても，個別要素法（DEM）

入抵抗が比較的小さく抑えられる一方で，先端閉塞現象がのような砂粒子一つ一つをモデル化する手法では実スケール

発達することでより高い支持力も期待できる．先端閉塞現象

での解析は非現実的である上，土の構成則を適用できないた

1, 2)

は，杭を貫入していくに従って先端が詰まり，開端杭でめ設計には適さない（砂・粘土等の材料の性質を簡単に考慮あっても閉端杭と同等の支持力を発揮しうる現象であり，こできないため）．
（3）杭と地盤との相互作用の考慮：先端閉塞

れまでにも盛んに研究 3, 4) がなされてきた．それら多くの研現象には杭と地盤との摩擦が大きな影響を与えることから，究成果の蓄積もあり，その実態がわかってきてはいるものの，この相互作用を適切に考慮しなければ信頼性のある数値解析

先端閉塞現象が，いつ，どのように生じるかの判断は現在では実現しない．

も難しい．このように，ストレート杭は，先端閉塞が生じる

以上を満足し，杭の貫入問題を精緻に再現できた例はこれことで閉端杭のような大きな支持力を発揮できるものの，地までになく，著者らは Material Point Method（MPM）を

盤条件や杭の諸元によっては，想定どおりの支持力を得られ用いてこの課題解決に取り組んできた．MPM はメッシュがない懸念がある．

潰れてしまうような大変形問題でも解析可能な手法であり，以上のようなストレート杭の欠点を克服するポテンシャル

構成則も適用できることから，この手法を用いれば必要条件を持つ杭として，テーパー杭が近年着目されつつある 5, 6) ．

（1），（2）はクリアされる．また，条件（3）については，杭

テーパー杭は，杭先端に向かって杭径が小さくなるような杭と地盤との相互作用を適切に考慮する新たな接触アルゴリズ

である．このような形状から，ストレート杭とは異なり，杭ム 9) を開発した．本手法の杭貫入問題への適用可能性につい内部に侵入した土は応力が解放される傾向にあるため先端閉ては，試計算の実施等により進めてきたが 10) ，杭の内・外周塞が生じにくい．先端閉塞が生じにくいとストレート杭に比面に生じる摩擦抵抗力の分布など，杭の鉛直支持力特性に関べて支持力が劣るように思えるが，テーパー杭の場合は，地する検証は行っていない．そこで本研究では，より詳細に解盤を押し広げる効果が大きく発揮されることがわかっている．

析手法の妥当性を確認するとともに，ストレート杭だけでな

つまり，言い換えれば，テーパー杭は杭の先端閉塞現象に頼く，テーパー杭の地盤への貫入問題をシミュレートすることることなく支持力を発揮することができるため，先端閉塞現で，それぞれの支持力機構の違いについても検証を行う．

象の不確実性を取り除くことができ，結果として安定的に支持力が得られる施工性・信頼性の高い支持構造となりうる．

2. 既往の模型実験の概要

このような背景のもと，著者らはこれまで大型模型実験を実施して，ストレート杭に対するテーパー杭の支持力機構の2.1 実験概要

違いについて検証を進めてきた 7) ．既往の実験結果 7, 8) から既往実験 7) では，杭の支持力に及ぼす閉塞効果と杭の形

これまでにわかったことをまとめると以下のようになる．

状の影響を調べることを目的として，杭の貫入過程から鉛直• テーパー杭はストレート杭に比べて先端閉塞現象が極めて載荷試験までの一連の実験をストレート杭およびテーパー生じにくい．

杭についてそれぞれ行なった．模型地盤は，大型の土槽（幅• テーパー杭の支持力は，地盤の押し広げ効果によるところ

6000 mm，奥行き 3000 mm，深さ 3000 mm）内に空中落下が大きい．

法を用いて乾燥砂質地盤を作製した．その後，模型杭を準静• ストレート杭が完全閉塞する場合，テーパー杭の支持力は的に地盤内に貫入し，所定の貫入量となったところで鉛直載

ストレート杭に比べて同じか，やや劣る傾向にある．

荷試験を行った．本研究では，既往の実験 7) で実施した実験• ストレート杭が閉塞しない場合，テーパー杭の支持力はス

ケースのうち，主に STR04 及び TPR04 のケースを扱う．

トレート杭を大きく上回る．

2.2 模型地盤・模型杭

最後の項目については，模型実験では杭内部に侵入した土を吸い出すことによって確認した．本手法は，現実とはかけ離実 験 に は ，港 湾 空 港 技 術 研 究 所 所 有 の 大 型 土 槽（ 幅

れた多少極端な状況ではあるが，テーパー杭はそのような状

6000 mm，奥行き 3000 mm，深さ 3000 mm）を用いた．地況下であっても，ほとんど影響を受けずに支持力が低下しな

盤材料は相馬硅砂 4 号（物性値および粒径加積曲線はそいという結果が得られた．言うまでもなく，ストレート杭はれぞれ表-1，図-1）の乾燥砂で，相対密度 60 %，地盤深さ

先端閉塞が強制的に壊されるため，支持力は大きく低下した．

3000 mm を目標として空中落下法により地盤を作製した．地

本研究では，これらの実験結果を踏まえて，数値解析により

盤の相対密度は，500 mm 毎に地盤高さを計測することで管ストレート・テーパー杭の支持力機構を検証する．杭の地盤理し，出来上がりの相対密度はそれらの平均値をもって算出への貫入問題を数値解析によりシミュレートするための必要した．地盤の地盤作製完了後の模型地盤の深さは 2750 mm，-6-

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

表-1

荷をして，貫入装置の盛り換えを行っている．鉛直載荷試験

相馬硅砂 4 号の物性値

項目では，貫入速度を 2 mm/min として，杭の貫入量が 60 mm ま値

土粒子密度 (g/cm3 )

2.64

最大間隙比

0.970

最大間隙比

0.634

平均粒径 D50 (mm)0.77で載荷を行った．
杭にはひずみゲージを取り付けており，その配置は図-3 に示す．図のように，杭体の外側表面に A 列，B 列の 2 列，それぞれ深さ方向に①〜⑭の計 28 枚を貼付した．なお，実験後のデータ整理では，杭体のひずみ A 列，B 列においてほとん
ど差が認められなかったため，各深度でのひずみは，A 列側

100

Cumulative percent (%)と B 列側の平均値を用いることとした．
杭に貼付した土圧計の位置を図-4 に示す．図に示すよう

80に，土圧計は C 列（杭外側），D 列（杭内側）の 2 列，それぞ60

れ深さ方向に①〜⑤の計 10 枚を貼付した．ひずみゲージを

40

ている．

貼り付けた A 列，B 列（図-3）とは，90 度ずれた位置となっ20

3. 解析条件
0
0.001

0.01

0.1

1

10

100

本研究では，MPM を用いてストレート杭及びテーパー杭Particle size (mm)図-1の地盤への貫入問題をシミュレートした．解析手法は，既往相馬硅砂 4 号の粒径加積曲線の研究 9, 10) で用いたものと同じである．計算手順の概略については付録に示す．

表-2

解析モデルと境界条件を図-5 に示す．図に示すように解析

模型杭に用いた鋼材 SS490 の諸元

項目
密度 (g/cm3 )ヤング係数 (N/mm2 )ポアソン比は軸対称問題としており，バックグラウンドメッシュの要素値

幅（格子幅）は 2.5 mm である．1 要素につき 4 粒子を等間7.85隔に配置しており，全粒子数は 1,440,000 粒子である．また，

205,000

杭の内側と外側の領域を計算上完全に区別するには，粒子の0.3

影響範囲を考慮すると，杭の肉厚は最低でも 2 要素分を確保する必要がある 10) ．そこで，本研究では必要最小限の 2 要素

表-3
項目

杭の寸法

分を肉厚とし，肉厚は 5 mm（模型杭と同じ）である．
地盤材料モデルは，線形弾性体を用いた Drucker–Prager

ストレート杭テーパー杭

D1 (mm)

150

150

D2 (mm)150

100

t (mm)

5

5

L (mm)

3000

3000

ここで，σ は応力テンソル，J2 ，I1 はそれぞれ偏差応力の第l (mm)

0715

2 不変量，応力の第 1 不変量である．A，B は内部摩擦角 ϕ

θ (°)

0

2

と粘着力 c を用いて以下のように表される材料パラメータでモデルを採用した．降伏関数は以下のように表される．

f (σ) =√

J2 − (A − BI1 )

(1)

ある．
平均相対密度は 57.7 % であった．

A= √模型杭は，鋼材 SS490（表-2）を用いて作製した．図-2 に杭の寸法の定義，表-3 に実験で用いたストレート杭およびテー

6c cos ϕ,3(3 − sin ϕ)B=√

2 sin ϕ3(3 − sin ϕ)(2)

流れ則は以下の非関連流れ則を用いた．

パー杭の寸法を示す．

ϵ̇p = λ̇2.3 実験方法

∂g
∂σ

(3)

ここで，ϵp は塑性ひずみテンソル，λ̇ は塑性乗数で，g は

実験は，杭を準静的に 1900 mm 貫入させた後，鉛直載荷試験

g(σ) =を実施した．貫入・鉛直載荷装置は最大載荷容量 100 kN，最大√J2 + bI1(4)

載荷ストローク 500 mm，載荷速度 2 mm/min〜25 mm/minと表される．b は，ダイレイタンシー角 ψ を用いて以下のよ

で，変位制御の試験を実施することができる．貫入実験では，

うに表される材料パラメータである．

貫入速度は 25 mm/min で一定とした．また，装置のストロー

b= √クの制限から一度に 1900 mm を貫入することができないた
め，400 mm，700 mm，1100 mm，1500 mm 貫入時に一度除-7-

2 sin ψ3(3 − sin ψ)

(5)

中村

圭太・松村

聡・水谷 崇亮： 杭長： テーパー長： テーパー角： ストレート部の直径： 先端部の直径： 杭の板厚図-2杭の寸法の定義

715
①

A列

B列

②

1585
③

10.0
238.3

238.3

④⑤

⑥

10.0

10.0

238.3

198.13⑦

198.13⑧

198.13⑨

198.13700⑩

198.13⑪

198.13⑫

198.13⑬⑭

198.13 100

3000
715
①

A列

B列

②

1585
③

10.0
238.3

238.3

④⑤

⑥

10.0

10.0

238.3

198.13⑦

198.13⑧

198.13⑨

198.13700⑩

198.13⑪

198.13⑫

198.13⑬⑭

198.13 100

3000
単位：mm

図-3

C 列（外側）

①

②

③

④

ひずみゲージ貼り付け位置⑤

A列
D 列（内側）
50

200

200

200

115
3000

C 列（外側）

①

②

③

④

⑤

A列
D 列（内側
50

200

200

200

115
3000
単位：mm

図-4

土圧計貼り付け位置-8-

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

5 mm

解析における杭の貫入速度は，計算時間との兼ね合いから

0.4 m/s とした．これは実験に比べてはるかに速いが，本解析で用いる Drucker–Prager モデルは時間依存性はない．また，貫入速度は一定としているため，加速度が計算結果に与える75 mm
axisymmetric

影響も小さいと考えられる．既往の研究 10) では，載荷速度によって計算結果に大きな差異は生じていない．杭と地盤と

pile (rigid body)の摩擦係数には 0.41 を用いた．また，垂直応力 σy と水平応力 σx の初期値は以下のように設定した．

σy = ρgH,

σ x = σy

ν
1−ν

(6)

ここで，H は地表面からの深さ，g は重力加速度，ν はポア
ソン比である．

3,000 mmgrid spacing: 2.5 mm
number of particles per cell: 4 points

4. 解析結果と考察
4.1 杭の貫入の様子と杭周辺地盤の変位場
図-6，図-7 に，それぞれストレート杭，テーパー杭の地盤への貫入の様子を示す．図では，地盤の様子がわかりやすい
ように，厚さ 40 mm の縞模様を 100 mm 間隔で色をつけている．本解析は，動的な衝撃を与えることなく杭を一定速度で圧入する解析であるため，地盤内を大きく乱すことなく地

750 mm

盤を切るように杭が貫入していることがわかる．杭と地盤との接触面に着目すると，杭–地盤間の摩擦により，地盤は鉛直

図-5

解析モデル

下向きに引きずられるように移動していることが確認できる．
また，テーパー杭に比べてストレート杭の方が，杭先端以深の表-4地盤のパラメータ（Drucker–Prager モデル）項目値

地盤が鉛直下向きに押し下げられていることから，ストレー
ト杭はテーパー杭に比べて，杭下端以深の地盤条件の影響を受けやすい可能性がある．

ヤング率 E (MN/m2 )10.0

杭先端付近の地盤の変位量のコンター図を図-8，図-9 に示

ポアソン比 νす．図は，杭先端付近の領域を切り取って図示している．ま粘着力 c (kN/m2 )

0.333
0.0

内部摩擦角 ϕ (°)

32

200 mm 貫入する間の変化量となっている．ストレート杭とダイレイタンシー角 ψ (°)

0

テーパー杭を比べると，ストレート杭は杭先端周辺から杭1486.4先端以深にかけて，球根状に変位が広がっているのに対し乾燥密度 ρd (kg/m3 )た，コンターは変位ベクトルの長さを図示しており，杭がて，テーパー杭はテーパー部周辺で大きな変位が生じており，
なお，本解析ではダイレイタンシー角 ψ は 0° とした．以上のテーパー杭の押し広げ効果の要因であると考えられる．この地盤の材料パラメータは表-4 にまとめる．

変位量は特にテーパー部で大きく，ストレート部では減少しダイレイタンシー角 ψ を 0° とすると，土にせん断変形が生ていることから，地盤の押し広げそのものが生じるのは主にじても，土粒子の配列状態の変化に伴う体積圧縮・膨張が全くテーパー部であると考えられる．また，テーパー部に生じた生じない計算となる．そのため，計算中の誤差を除けば，ダ変位はおおよそ一様であり，ストレート杭のように杭先端にイレイタンシー角 ψ を 0° とした Drucker–Prager モデルは，

向けて変位が増加するような傾向は見られない．このことか

土の体積圧縮・膨張が弾性変形によってのみ生じることとな

ら，テーパー部であれば一定の地盤の押し広げが生じると考る．本解析でダイレイタンシー角 ψ は 0° とした理由は，通えられる．

常の Drucker–Prager モデルにおいてダイレイタンシー角を

4.2 杭の荷重–変位関係

設定すると，塑性変形が生じた際に常に体積膨張あるいは圧縮が生じ続けてしまう問題があるためである．これは，限界4.2.1

状態モデル等 11, 12) の構成則を用いることで解消されるが，ストレート杭ストレート杭の荷重–変位関係を図-10 に示す．図を見る

本研究では可能な限りシンプルな構成則を用いることとした．

と，杭の貫入量が 1200 mm を超えた辺りから実験では荷重が土のダイレイタンシー特性を考慮したより高度な数値シミュ

ほとんど変わらなくなっているが，それ以前の部分について

レーションは今後の研究課題である．

はおおよその傾向は数値解析においても捉えられている．こ

-9-

中村

圭太・松村

聡・水谷 崇亮

杭貫入量 0mm

貫入量 400mm

貫入量 800mm

図-6ていないため

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

ストレート杭の貫入の様子のような荷重が増加しない現象は他の実験ケースでは見られ
8, 7)

貫入量 1200mm

辺りからは，両者の抵抗増加率が逆転し，外周面の抵抗が急，本実験ケースの模型地盤の作製精度の影

激に大きくなっている．これは，先端閉塞により土が杭内部

響等も考えられる．次に，杭内に侵入した地盤の地表面変位に侵入できず，杭周辺に押し広げられることが要因と考えらは，実験結果と大きく値が異なる結果となった．このようなれる．

結果となった要因として考えられることは，本解析において土のダイレイタンシーを考慮していない点である．実現象で

4.2.2

テーパー杭

は杭の先端閉塞に伴って杭先端周辺の土が圧縮されるが，本テーパー杭の荷重–変位関係を図-11 に示す．図より，数値解析における土の体積圧縮は弾性変形によってのみ生じるた

解析結果はよく実験結果を捉えているが，解析では荷重の変め，土の圧縮量を過小評価してしまう可能性がある．この点動が大きい結果となった．本ケースはテーパー杭であるが，をより厳密に検証するには，土のダイレイタンシー特性を表実験の際も先端閉塞が生じた時のような荷重の変動が見られ現可能なより高度な構成則を用いる必要がある．

ていた 7) ．このような現象は解析においても生じており，杭次に，杭の荷重の分担率に着目する．図-10 を見ると，先端内部に侵入した土が瞬間的に詰まり，その後すぐに解消する

抵抗は貫入量が 0.7 m を超えた辺りからほぼ一定で推移して現象が繰り返され，結果として荷重に変動が生じていた．まいることがわかる．ここでの先端抵抗は，一般的に用いられた，シミュレーションの際の極端な荷重変動は，特に設定しる先端部で発揮される総合的な抵抗力ではなく，杭の肉厚部た杭の貫入速度が速いと生じやすいことがわかっており 10) ，分での真の先端抵抗であるため，以後「真先端抵抗」とする．

よりゆっくり貫入することで改善されると考えられる．

このことから，粘土地盤などの摩擦が働きにくい地盤条件を杭内に侵入した地盤の地表面変位に着目すると，ストレー

除けば，基本的に開端杭は杭周面の摩擦抵抗で支持しており，

ト杭の結果に比べて実験値に近い値を示しているものの，貫根入れ長による真先端抵抗の増大は期待できない．次に図中入量 800 mm を超えた辺りから実験の方が大きく地表面が低の杭内周面（inside）及び外周面（outside）の抵抗を見ると，下している．ストレート杭の場合と同様に，これも土のダイ

両者ともに杭径（D = 150 mm）に対しておよそ 2D の貫入

レイタンシーを考慮していないことが原因と考えられる．杭量から徐々に抵抗が発揮される．それらの増加率は，外周面内部に侵入した土が圧縮も膨張もしない（ダイレイタンシーに比べて内周面の方が大きく，先端閉塞の発達に大きく寄与特性がない）と仮定して，幾何学的に算出した杭内部の地表していることが推察される．また，貫入量が 1.5 m を超えた面変化（図中の analytical）に着目すれば，数値解析結果とほ- 10 -

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

杭貫入量 0mm

貫入量 400mm

貫入量 800mm

図-7

貫入量 400mm

図-8

貫入量 800mm

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

テーパー杭の貫入の様子

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

ストレート杭先端付近の地盤変位量．変位の値は，それぞれ杭の貫入量 (d − 200 mm)〜d 間に生じた変化量である。

- 11 -

中村

貫入量 400mm

図-9

貫入量 800mm

圭太・松村聡・水谷 崇亮

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

テーパー杭先端付近の地盤変位量．変位の値は，それぞれ杭の貫入量 (d − 200 mm)〜d 間に生じた変化量である。

ぼ同じ値を示しており，貫入量 800 mm を超えた辺りから実要がある．図-12 において色の濃淡（外側・内側）を比較する

験値との乖離が見られる．

と，ストレート杭は杭の内周面抵抗による支持力が主となる

次に，杭の荷重の分担率に着目する．図-11 を見ると，スため，lower（青色）のうち色が薄い内周面の分担率が大きい

トレート杭と同様に，テーパー杭においても真先端抵抗は貫ことがわかる．一方，ストレート杭は杭の外周面抵抗による入量が 0.7 m を超えた辺りからほぼ一定で推移している．こ支持力が主となるため，lower（青色）のうち色が濃い外周面のことから，テーパー杭も根入れ長の増加による真先端抵抗の分担率が大きい．また，テーパー杭においては upper（赤の増大は期待できないと考えられる．杭内周面（inside）及色）の部分ではほとんど内周面の抵抗が効いていないことかび外周面（outside）の抵抗に着目すると，両者はストレートら，杭内部に侵入した土は，下端付近を除いてほとんどの土杭とは異なった傾向が見られた．テーパー杭の場合は，杭径が応力が解放された状態にあると考えられる．

（D = 150 mm）に対しておよそ 1D1 の早い地点から，杭外周面の抵抗が上昇し始めており，その後も大きな分担率を維4.4 地盤内の応力分布

持し続けている．杭内周面の抵抗は，貫入量が 0.8 mm を超

図-13 にストレート杭貫入時の地盤の平均応力分布を示す．

えた辺りから少しずつ上昇しているが，杭外周面に比べて増ストレート杭では，杭を貫入すると杭下端に楔形の圧縮領域加率は小さい．

が形成される（貫入量 400 mm）．その後杭の貫入が進むに従って杭先端内部の地盤の平均応力が徐々に増加し，圧縮領

4.3 ストレート杭，テーパー杭の荷重分担率

域が杭内部の広い範囲に渡って広がっていることがわかる．

前節までで示した荷重の分担率について，次はテーパー杭の

これは，杭先端の閉塞現象が発達していることを示している．

テーパー部，ストレート部に着目して考察を行う．図-12 は，

圧縮領域が発達するにつれ杭内部の地盤面が杭の貫入ととストレート・テーパー杭の荷重分担率である．図中の lower

もに低下している様子が確認できる．杭の先端が閉塞するとは，杭先端から 715 mm までの値（テーパー杭におけるテー

杭内部に土が侵入しなくなるため，杭周辺に押し込まれる．

パー部），upper は 715 mm 以降の値（テーパー杭におけるス

結果として図に示されるように，杭先端以深の広い範囲にわ

トレート部）である．図より，総荷重値はストレート杭の方

たって圧縮領域が発達している．図-14 にせん断応力分布をがテーパー杭より高い結果となった．しかし，テーパー形状示す．圧縮領域は塊として一体となって動くことから，せん

等により荷重値は変わる可能性があるため，詳細な検討はパ

断応力分布も平均応力分布と似た分布を示した．
次に，図-15 にテーパー杭貫入時の地盤の平均応力分布を

ラメトリックスタディを実施する必要がある．
次に，杭の lower（青色）と upper（赤色）が全体の抵抗に示す．テーパー杭もストレート杭と同様に杭を貫入すると杭占める割合をストレート杭とテーパー杭で比べると，両者は下端に楔形の圧縮領域が形成される（貫入量 400 mm）が，ス

大きく変わらないことがわかる．これは，ストレート杭ではトレート杭と比べてその後大きく圧縮領域は発達しない．一

先端閉塞による内周面抵抗，テーパー杭ではテーパー部によ方で，杭外周面において平均応力が増加する様子が確認でき，る地盤の押し広げ効果がそれぞれ発揮されるためである．そこれはテーパー杭の押し広げ効果によるものと考えられる．

のため，両者の違いを確認するには lower と upper だけでな

この押し広げ効果は特にテーパー部で大きく，ストレート部

く，杭の内周面（inside）か外周面（outside）かも着目する必では減少しており，押し広げ効果はテーパー部で顕著に働く- 12 -

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

80

Vertical load (kN)

Vertical load (kN)

60

40

20

0

200

400

600

0
200
400
600
800
simulation
experiment

1,000
1,200

0

200

400

600

800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

total
insideoutsidetip
total (experiment)

60

40

20

0

800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000
Ground displacement inside of pile (mm)0Ground displacement inside of pile (mm)

80
total
insideoutsidetip
total (experiment)

0

200

400

200
400
600
800

simulation
experiment
analytical

1,000
1,200

0

200

Pile resistance (kN)

600

800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

図-11

貫入量 800mm

テーパー杭の荷重–変位関係と地盤内変位

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

80

80

80

80

80

60

60

60

60

60

40

40

40

40

40

20

20

20

20

20

0

Straight

Taper
tip

図-12

400

Vertical displacement (mm)ストレート杭の荷重–変位関係と地盤内変位

貫入量 400mm

800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,0000Vertical displacement (mm)

図-10

600

0

Straight

Taperinside lower part0

Straight

Taperoutside lower part0

Straight

inside upper part

Taper

0

Straight

Taperoutside upper part

ストレート・テーパー杭の荷重分担率．lower はテーパー杭におけるテーパー部（杭先端〜715 mm），upper はテーパー杭におけるストレート部（715 mm〜杭頭）を表す。

- 13 -

中村

貫入量 0mm

貫入量 400mm

貫入量 800mm

図-13

貫入量 0mm圭太・松村

貫入量 400mm

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

ストレート杭貫入時の地盤の平均応力分布

貫入量 800mm

図-14

聡・水谷 崇亮

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

ストレート杭貫入時の地盤のせん断応力分布- 14 -

貫入量 2000mm

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

貫入量 0mm

貫入量 400mm

貫入量 800mm

図-15

貫入量 0mm

貫入量 400mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

テーパー杭貫入時の地盤の平均応力分布

貫入量 800mm

図-16

貫入量 1200mm

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

テーパー杭貫入時の地盤のせん断応力分布- 15 -

貫入量 2000mm

中村

圭太・松村

聡・水谷 崇亮

ことがわかる．図-16 にせん断応力分布を示す．テーパー杭たため断続的に砂を吸引していたが，シミュレーションではもストレート杭と同様に，圧縮領域は塊として一体となって杭内の地盤高さが先端から常に 1D1 となるように逐次粒子を動くため，平均応力分布と似た分布となった．

削除することで砂の吸引を模擬した．また，砂の吸引を実施したケース（港空研資料，ケース STR/TPR02）は，杭の諸元が表-3 とは異なり肉厚が 2 mm であり，実施した模型地盤も4.5 杭の周面抵抗力度，軸力分布

本解析で再現したケース（港空研資料，ケース STR/TPR04）

図-17 に，ストレート杭に働く周面抵抗力度を示す．図よとは異なる．そこで本解析では，砂の吸引を実施したケーり，杭が貫入するに従って抵抗力が生じ，貫入初期は杭内周ス（港空研資料，ケース STR/TPR02）を直接再現するので面の方が値が大きいが，貫入が進むにつれ杭外周面においてはなく，本解析で再現した実験ケース（港空研資料，ケースも内周面と同等の抵抗力が発揮されている．これは，杭の先

STR/TPR04）と同じ条件で砂を吸引することで，砂吸引に端閉塞が発達し閉端杭のように周辺地盤を押し広げているこ

よる先端閉塞解消が及ぼす支持力特性への影響を検証した．

とが要因と考えられる．次に，図-17 に，テーパー杭に働く周面抵抗力度を示す．テーパー杭の周面抵抗力も杭の貫入に伴

4.6.2

い徐々に増加するが，その大部分は杭のテーパー部（杭先端から高さ 715 mm）で発揮されていることがわかる．2 m 貫

吸引しながら貫入した際の地盤の平均応力分布を示す．図よ

入時には，ストレート部においても抵抗力が発揮されている

り，杭内部に侵入した砂は，杭先端から 1D1 の高さを超えるのが確認できるが，テーパー部との境から急激に値が減少しと強制的に除去（吸引）されていることがわかる．なお，スている．また，ストレート杭では基本的に杭先端に向かうほ

トレート杭，テーパー杭ともに杭径は先端径ではなく杭頭径

ど大きな抵抗力が生じているが，テーパー杭の場合は，テーとしているため両者の砂吸引高さは同じである．

パー部で一様に大きな抵抗力が発揮されており，特に 2 m 貫ストレート杭貫入時の地盤の平均応力分布（図-21 を見る

入時には，先端よりも上部側の方がやや大きな値を示していと，杭内部の砂を吸引している場合は杭内部の平均応力がほる．なお，ここでの周面抵抗力は，ストレート杭の場合は杭ととんど増加せず，先端閉塞が生じていないことがわかる．砂地盤の周面摩擦力であるが，テーパー杭の場合は摩擦力だけの吸引を実施していない図-13 と比較してもそれは明らかででなく，テーパー部分が鉛直方向に地盤を押し込む（地盤をあり，杭先端以深に圧縮領域が広がる様子も見られない．一押し広げる）抵抗力も含まれていることに注意が必要である．

方，テーパー杭で砂を吸引すると（図-22），杭内部の平均応

次に，図-19，図-20 にそれぞれストレート杭，テーパー杭力が増加しないのはストレート杭と同様であるが，杭外周面の軸力分布を示す．杭の全体の支持力（図-10，図-11）におのテーパー部においてストレート杭では見られなかった平均

いて実験値との違いが生じていることから，軸力分布におい応力の増加が見られる．そのため，テーパー杭では杭内部のても同様の差異が認められる．しかしながら，ストレート杭，

砂を吸引しても押し広げ効果が発揮されていることがわかる．

テーパー杭の両者において，杭頭から杭先端にかけて徐々テーパー杭の 2000 mm 貫入時の結果を見ると，杭先端以深のに軸力が低下する傾向は捉えられており，特にテーパー杭の中心軸上で不自然な圧縮領域が観測されているが，これは数テーパー部（杭先端から 715 mm）で急激に軸力が低下する

値計算上のエラーと考えられ，杭の貫入速度を小さくするこ

様子は解析結果でも同様に確認できる．

とで改善するものと推察される．

4.6 杭内部の砂吸引解析
4.6.1

砂吸引の様子と地盤の平均応力分布

図-21，図-22 にそれぞれストレート杭とテーパー杭の砂を4.6.3

杭の荷重–変位関係と荷重分担率

図-23 に砂吸引解析におけるストレート杭の荷重–変位関

解析の概要

最後に既往の大型模型実験 7) で実施した杭内部の砂を吸引係を示す．図より，ストレート杭は砂吸引を実施していないしたケースを数値シミュレーションで模擬した．本実験ケーケース（図-10）と比べると支持力が大きく低下し，1/4 程度とスは，先端閉塞しない場合のストレート杭とテーパー杭の支なっていることがわかる．特に杭内周面の摩擦抵抗が全く増持力特性を比較することを目的としている．実験では，砂の加しないことから先端閉塞も発現せず，貫入抵抗は真先端抵

吸引は杭の貫入量がそれぞれ 400 mm，700 mm，1100 mm，

抗と外周面抵抗のみが働いていることがわかる．一方，テー

1500 mm 時に，杭内部の地盤高さが先端から 1D1 の高さにパー杭の荷重–変位関係（図-24）を見ると，支持力は杭吸引をなるように実施した．これにより，杭の先端閉塞を強制的に実施していないケースに比べておよそ 4/5 程度で，ストレー

壊すことができるため，杭が閉塞しない場合のストレート杭

ト杭のような大きな支持力低下は見られない．特筆すべき点とテーパー杭の支持力を擬似的に比較することができる．本

は，テーパー杭の外周面の抵抗力は，砂吸引を実施していな手法以外にも，杭内周面の摩擦を小さくする方法であれば，杭いケースと比べてもほとんど減少しておらず，支持力の低下

内周面にグリスを塗る等のどんな方法を用いても構わないが，は主に真先端抵抗と内周面抵抗の低下によって生じている点

確実に先端閉塞を生じさせない保証がない．そのため，多少である．
上記の点をより明確にするために，図-25 に杭の荷重分担率

な極端な状況ではあるが，本研究では杭内部の砂を吸引するを示す．砂吸引を実施していないケース（図-12）と比べると手法を採用した．

ストレート杭，テーパー杭両者において内周面の抵抗（薄い実験では貫入中に杭内部の砂を吸引することが困難であっ- 16 -

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

貫入量 400mm
2,000

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

2,000

2,000

2,000

1,800

1,800

1,800

1,800

1,600

1,600

1,600

1,600

1,600

1,400

1,400

1,400

1,400

1,400

1,200

1,200

1,200

1,200

1,200

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

800

800

800

800

800

600

600

600

600

600

400

400

400

400

400

200

200

200

200

200

insideoutside1,800

Height from tip of pile (mm)

貫入量 800mm
2,000

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

図-17

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)ストレート杭に働く周面抵抗力度

青，薄い赤）はほとんど生じていないことがわかる．内周面て強制的に先端閉塞を解消した場合，ストレート杭は大きくの抵抗に頼っているストレート杭は，大きく支持力が低下し，支持力が低下したのに対して，テーパー杭はほとんど支持力

外周面の抵抗で支持力を発揮するテーパー杭は，ストレートが低下しない結果となった．これまで，支持力が先端閉塞に杭と比較しても支持力が安定して得られている．このような大きく依存するストレート杭は，その現象発現の不確定さか傾向は既往の実験結果

7)

でも確認されている．

ら現場での支持力推定が困難であった．テーパー杭は先端閉塞に頼ることなく支持力を発揮できることから，ストレート

4.6.4

杭の周面抵抗力度

杭では支持力を発揮できないような場合であっても安定して最後に，図-26，図-27 にストレート杭とテーパー杭の周面支持力が得られる可能性が示唆された．今後は，土のダイレ

抵抗力度の分布をそれぞれ示す．これまで述べてきたように，

イタンシーを考慮可能な構成則を用いて，より精緻な数値解

ストレート杭，テーパー杭ともに内周面抵抗はほとんど効い析を実現していく予定である．

ておらず，ストレート杭は大きく抵抗力が低下している．一（2021 年 11 月 5 日受付）

方，テーパー杭については，図-18 と比較してもほとんど変わらない周面抵抗力が発揮されており，砂吸引による影響をほ

参考文献

とんど受けないことがわかる．以上より，テーパー杭は不確定要素である先端閉塞に依らない支持構造を有しており，ス

1) Samuel G Paikowsky, Robert V Whitman, andトレート杭が支持力を得られないような場合であっても安定

Mohsen M Baligh. A new look at the phenomenon

的に支持力が得られる可能性があると考えられる．

of oﬀshore pile plugging.

Marine Georesources &Geotechnology, Vol. 8, No. 3, pp. 213–230, 1989.
2) Antony De Nicola and MF Randolph. The plugging

5. おわりに

behaviour of driven and jacked piles in sand. Geotech-

本研究では，ストレート杭とテーパー杭の支持力特性を大nique, Vol. 47, No. 4, pp. 841–856, 1997.

変形解析手法の一つである MPM（Material Point Method）

3) 菊池喜昭, 佐藤宇紘, 森川嘉之. 開端杭貫入時の杭先端周を用いて解析的に検証した．解析結果は，模型実験での杭の辺地盤の変形挙動の観察. 港湾空港技術研究所資料, No.

鉛直支持力や，定性的なストレート杭とテーパー杭の支持力

1177, 2008.

特性をおおよそよく捉えており，MPM を用いた杭の支持力

4) Lichen Li, Wenbing Wu, M Hesham El Naggar, Guox-

評価の妥当性が示された．また，ストレート杭の先端閉塞現iong Mei, and Rongzhu Liang. Dem analysis of the

象やテーパー杭の押し広げ効果もよく再現されており，実験

sand plug behavior during the installation process ofで推察されたそれぞれの支持力特性の違いが解析上でも明確

open-ended pile. Computers and Geotechnics, Vol. 109,に現れた．解析結果では，先端閉塞が生じる場合はストレー

pp. 23–33, 2019.

ト杭の方がやや支持力が大きかったが，杭内部の砂を吸引し

5) 佐々木隆光, 末政直晃, 橋爪秀夫中村和之. テーパー杭の- 17 -

中村

貫入量 400mm

貫入量 800mm

2,000

聡・水谷 崇亮

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

2,000

2,000

2,000

1,800

1,800

1,800

1,800

1,600

1,600

1,600

1,600

1,600

1,400

1,400

1,400

1,400

1,400

1,200

1,200

1,200

1,200

1,200

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

800

800

800

800

800

600

600

600

600

600

400

400

400

400

400

200

200

200

200

200

0

insideoutside

0

50

100

0

150

Side resistance (kPa)

0

50

100

0

0

50

100

0

150

Side resistance (kPa)

0

2,000

1,800

1,800

1,600

1,600

1,400
1,200
1,000
800
600

0

0

20

40

60

80

150

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

1,400
1,200
1,000

400mm
800mm
1200mm
1600mm200

100

Side resistance (kPa)

2,000

400

50

テーパー杭に働く周面抵抗力度

Height from tip of pile (mm)Height from tip of pile (mm)150Side resistance (kPa)

図-18

800
600
400mm
800mm
1200mm
1600mm

400
200
0

100

0

Axial force (kN)

図-19

貫入量 2000mm

2,000

1,800

Height from tip of pile (mm)

圭太・松村

20

40

60

80

100

Axial force (kN)ストレート杭の貫入量毎の軸力分布（破線は実験値）

図-20

テーパー杭の貫入量毎の軸力分布（破線は実験値）

支持力特性に関する研究. 土木学会第 57 回年次学術講演

末政直晃. 開端杭の引抜き抵抗力に及ぼす施工過程と杭会, 2002.

形状の影響に関する模型実験. 港湾空港技術研究所資料,

6) 佐々木隆光, 末政直晃, 橋爪秀夫中村和之. テーパー杭のNo. 1364, 2019.

鉛直支持力に関する研究. 土木学会第 58 回年次学術講演

9) Keita Nakamura, Satoshi Matsumura, and Takaaki

会, 2003.

Mizutani. Particle-to-surface frictional contact algo-

7) 中村圭太, 元水佑介, 松村聡, 水谷崇亮, 新谷聡, 大下英治,

rithm for material point method using weighted least

末政直晃. 開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関squares.

する大型模型実験. 港湾空港技術研究所資料, No. 1391,

Computers and Geotechnics, Vol. 134, p.

104069, 2021.
10) 中村圭太, 松村聡, 水谷崇亮. MPM–剛体シミュレーショ

2021.
8) 中村圭太, 元水佑介, 松村聡, 水谷崇亮, 新谷聡, 大下英治,

ンのための最小二乗法を用いた摩擦接触アルゴリズムの- 18 -

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

貫入量 0mm

貫入量 400mm

図-21

貫入量 0mm

貫入量 400mm

図-22

貫入量 800mm

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

ストレート杭貫入時の地盤の平均応力分布（砂吸引解析）

貫入量 800mm

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

テーパー杭貫入時の地盤のせん断応力分布（砂吸引解析）- 19 -

中村

圭太・松村聡・水谷 崇亮

80
total
insideoutsidetip

60

Vertical load (kN)

Vertical load (kN)

80

40

20

0

0

200

400

600

800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

total
insideoutside
tip

60

40

20

0

0

200

400

Vertical displacement (mm)図-23Pile resistance (kN)

80

図-24

貫入量 1200mm

80

ストレート杭の荷重–変位関係（砂吸引解析）80

貫入量 1600mm

80

60

60

60

60

60

40

40

40

40

40

20

20

20

20

20

0

Straight

Taper
tip

図-25

貫入量 800mm

80

800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

Vertical displacement (mm)ストレート杭の荷重–変位関係（砂吸引解析）

貫入量 400mm

600

0Straight

0

Taperinside lower part

Straight

Taperoutside lower part0

Straight

inside upper part

Taper

0

貫入量 2000mm

Straight

Taperoutside upper part

ストレート・テーパー杭の荷重分担率（砂吸引解析）．lower はテーパー杭におけるテーパー部（杭先端〜715 mm），upper

はテーパー杭におけるストレート部（715 mm〜杭頭）を表す。

開発と開端杭の地盤への貫入挙動への適用. 港湾空港技術研究所報告, Vol. 60, No. 1-7, 2021.

11) M. G. Jeﬀeries. Nor-sand: a simle critical state model
for sand. Géotechnique, Vol. 43, No. 1, pp. 91–103,
1993.
12) A Gajo and Muir Wood.

Severn–trent sand:akinematic-hardening constitutive model: the q–p formulation. Géotechnique, Vol. 49, No. 5, pp. 595–614,
1999.
13) Deborah Sulsky and Howard L Schreyer. Axisymmetric form of the material point method with applications
to upsetting and taylor impact problems. Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.
139, No. 1-4, pp. 409–429, 1996.
14) Richard Courant, Kurt Friedrichs, and Hans Lewy.
On the partial diﬀerence equations of mathematicalphysics. IBM journal of Research and Development,
Vol. 11, No. 2, pp. 215–234, 1967.
- 20 -

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

貫入量 400mm
2,000

貫入量 1600mm

貫入量 2000mm

2,000

2,000

1,800

1,800

1,800

1,800

1,600

1,600

1,600

1,600

1,600

1,400

1,400

1,400

1,400

1,400

1,200

1,200

1,200

1,200

1,200

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

800

800

800

800

800

600

600

600

600

600

400

400

400

400

400

200

200

200

200

200

0

insideoutside

0

50

100

150

0

Side resistance (kPa)050

貫入量 400mm
2,000

100

150

0

Side resistance (kPa)

図-26

0

50

100

150

0

Side resistance (kPa)

0

50

100

150

0

Side resistance (kPa)

貫入量 800mm

貫入量 1200mm

貫入量 1600mm
2,000

1,800

1,800

1,800

1,800

1,600

1,600

1,600

1,600

1,600

1,400

1,400

1,400

1,400

1,400

1,200

1,200

1,200

1,200

1,200

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

800

800

800

800

800

600

600

600

600

600

400

400

400

400

400

200

200

200

200

200

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

図-27

100

150

貫入量 2000mm

2,000

0

50

ストレート杭に働く周面抵抗力度（砂吸引解析）

2,000

insideoutside0

Side resistance (kPa)

2,000

1,800

Height from tip of pile (mm)

貫入量 1200mm
2,000

1,800

Height from tip of pile (mm)

貫入量 800mm
2,000

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

0

0

50

150

Side resistance (kPa)

テーパー杭に働く周面抵抗力度（砂吸引解析）- 21 -

100

0

0

50

100

150

Side resistance (kPa)

中村

圭太・松村

聡・水谷 崇亮

図-28 に示すように，剛体内の格子節点は無効化（inactive），

付録 A

すなわち形状関数（式 (A.3) と (A.4)）の構築の際は除外す

MPM の計算手順る必要がある．ただし，粒子の移動を適切に表現するために，

ここでは，MPM と剛体の連成解析の定式化を文献 9) を参

例外として接触した粒子を囲む格子節点については，剛体内考にしながらその概略を示す．また，MPM の軸対称問題ににあっても有効化（active）する．

ついては，文献 13) が参考になる．

各粒子において，粒子が剛体と接触しているかの判定が必要である．判定式は次式のように表される．

A.1 形状関数とその勾配

d = dp − d0 ,重み関数 w については，本研究では 2 次の B-スプライン

ここで，d0 は接触判定における閾値である（d = dp − d0 < 0関数を使用する．

(
wi (x) = N

x − xih)(Ny − yih)(Nz − zih(A.10)の場合，接触が発生する）．この閾値は，2lp を粒子径とす)

ると，lp で与えることができる．1 次元では，例えば Np 個

(A.1)

の粒子が h の間隔の格子の間に並んでいる場合，粒子径は2lp = h/Np となる．厳密には，粒子サイズは現在の粒子サイ

ここで h は格子間隔で N は以下のように定義される．

ズでなければならず，また，粒子の形状も球形ではないが（例2(3 − 4|ξ|2 ) 0 ≤ |ξ| < 0.51
N (ξ) =
(3 − 2|ξ|)2
1 ≤ |ξ| < 1.58
0
1.5 ≤ |ξ|

えば，2 次元では長方形），計算のしやすから，ここでは初期(A.2)の粒子径を使用し，球形の粒子を用いる．また，この値は計算条件が厳しい場合には，少し大きな値を用いることで計算をより安定して解くことができる．本研究では，d0 = 1.5lp

位置 xp における形状関数とその勾配は，それぞれ次のようの値を用いた．

に表される．

粒子が剛体と接触している粒子のみ，法線方向の接触力

ϕi (xp ) = wi (xp )qi (xp ) · p0

(A.3)

∇ϕi (xp ) = wi (xp )qi (xp ) · ∇p0(A.4)

fic,nor と剛体の速度 virigid も，それぞれ式 (A.11) と式 (A.12)を用いて計算する必要がある．

ここで p0 = p(x − xp )|x=xp である．p は多項式の基底で，

fic,nor =軸対称平面を用いている本解析では，∑

ϕi (xp )fpc,nor(A.11)p∈contact∑

pT (x) = [1, x, y]virigid =

(A.5)

となる．

rigid
p∈contact wi (xp )mp vp∑p∈contact wi (xp )mp(A.12)

ここで，fpnor = −(1 − ξ)2mp
(dp − d0 )np(∆t)2(A.13)

A.2 粒子から格子への物理量の輸送（Particle-togrid transfer）

である．パラメータ ξ は，本研究では ξ = 0 を用いた．また，

速度ベクトル vi ，質量マトリクス mi ，内力ベクトル fiint ，vprigid は杭の貫入速度となるから vprigid = [0, −0.4]T である．
粒 子 と 剛 体 の 間 に 摩 擦 が な い 場 合 ，接 線 成 分 は ゼ ロ

外力ベクトル fiext をそれぞれ式 (A.7)，(A.8)，(A.9) で計算

c,tan

（fi

する必要がある．

∑mi =p wi (xp )mp Cp · p(xi − xp )

∑

vi =

∑

fiint =∑[
Vp ∇ϕi (xp ) · σp +の速度と剛体の速度が一致する粘着状態（stick condition）

(A.7)
{

ϕi (xp )rp (σθθ )pp

fiext =∑方向の成分はクーロン摩擦に基づいて評価する．まず，粒子(A.6)

p wi (xp )mpmp ϕi (xp )p= 0）であるため，ノード i における接触力 f c は，fic,nor となる．一方，摩擦による接触を考えた場合は，接線

ϕi (xp )mp bp0の接線力を計算する．粒子と剛体表面の相対速度は，以下の}]ように表される．

v̂i = vi − virigid(A.8)(A.14)

そのため，接線方向は以下となる．

(A.9)

v̂itan = v̂i − (v̂i · ni )nip(A.15)c,nor
ここで ni = fi/∥fic,nor ∥ である．ゆえに，接線方向の力
fistick は以下のように計算される．

ここで Cp は d × m の係数マトリクス（d は解析の次元），rp
は粒子の対称軸からの距離（半径方向の座標）である．b は単位質量あたりの体積力で，本研究では重力加速度 g を用いて

fistick = −[0, −g] とした．

mi v̂itan∆t(A.16)

クーロン摩擦を考慮すると，次のような接線力（摩擦力）がA.2.1

粒子と剛体が接触している場合

導かれる．

剛体に接触している粒子は，粒子の局所領域 Ωp と剛体が重() fistick
fic,tan = min µ∥fic,nor ∥, ∥fistick ∥∥fistick ∥なるため，形状関数とその勾配を適切に処理する必要がある．

- 22 -(A.17)

MPM 用いた開端ストレート・テーパー杭の支持力特性に関する解析的研究

active nodal point
inactive nodal point
contacted material pointmaterial point

local domain
rigid surface
図-28

局所領域 Ωp における形状関数の構築の際に除外する格子節点．

よって，節点での接触力は次式となる．

最後に，粒子の位置は次のように更新できる．

fic = fic,nor + fic,tan(A.18)

xp,n+1 = xp,n + ∆tvp,n+1

A.3 節点速度の更新

A.5 時間ステップの決め方

節点速度 vi は，式 (A.19) を用いて更新される．

f int + fiext + fic
vi,n+1 ← vi,n+1 + ∆t imi,n

陽解法による時間積分で安定した解を得るためには，CFL（Courant–Friedrichs–Levy condition）14) を考慮する必要が(A.19)

ある．その時間増分は次のように与えられる．

A.4 格 子 か ら 粒 子 へ の 物 理 量 の 輸 送（Grid-toparticle transfer）∆tcr =

vi,n+1 ⊗ wi (xp,n )qi (xp,n )

速度を表す．音速は次のように計算できる．

√(A.20)

c=i

これを用いて更新された粒子の速度は以下のように得られる．

vp,n+1 =∑vi,n+1 ϕi (xp,n )∑∇vp,n+1 = i vi,n+1 ⊗ ∇ϕi (xp,n )0

す．本研究では ∆t = 0.5∆tcr を用いている．

0(vr )p,n+1  (A.22)
rp

更新された節点速度を用いれば，変形勾配テンソルは以下のように更新される．

Fp,n+1 = (I + ∆t∇vp,n+1 ) · Fp,n(A.23)

客観応力速度に Jaumann 応力速度を選択した場合，応力は次のように更新できる．

σp,n+1 = σp,n +T : ∆dp +(∆ωp ·σp,n −σp,n ·∆ωp ) (A.24)
ここで，T は構成則の接線係数テンソルである．d と ω はそれぞれ変形速度テンソルとスピンテンソルであり，次のように表される．

]
1[T∇vp,n+1 + (∇vp,n+1 ) ∆t
2
]
1[
T
∆ωp =
∇vp,n+1 − (∇vp,n+1 ) ∆t2
∆dp =K + 43 Gρ(A.29)

ここで，K は体積弾性率，G はせん断弾性率，ρ は密度を表(A.21)i

また，その空間勾配は次式となる．

(A.28)

ここで，h は格子間隔，cp と vp はそれぞれ粒子 p の音速とを更新する．まず，係数行列 C は次のように更新できる．

∑hmax(cp + ∥vp ∥)p

式 (A.19) を用いて節点の速度を更新した後，粒子の物理量

Cp,n+1 =(A.27)(A.25)(A.26)- 23 -

港湾空港技術研究所報告第 60 巻 第 3 号

２０２１．１２

編集兼発行人

国立研究開発法人海上・港湾・航空技術研究所

発

港 湾 空 港 技 術 研 究 所

行

所

横 須 賀 市 長 瀬 ３ 丁 目 １ 番 １ 号
TEL. 046(844)5040 URL. http://www.pari.go.jp/

C （2021）by MPAT
Copyright ○All rights reserved. No part of this book must be reproduced by any means without the written
permission of the President of MPAT
この資料は、海上・港湾・航空技術研究所理事長の承認を得て刊行したものである。したがって、
本報告書の全部または一部の転載、複写は海上・港湾・航空技術研究所理事長の文書による承認を得ずしてこれを行ってはならない。

CONTENTS
1. Numerical Analysis on Structural Performance of Deteriorated Open-Type Wharf with Prestressed

Concrete Superstructure
Yutaka TANAKA，Yuichiro KAWABATA， Ema KATO，Yoshikazu SUZUKA，Shusaku KAWABE，
Michio NAKAJIMA，Tsuyoshi ISHI，Hisao TATEGAMI，Tetsuya OGASAWARA
2. Analytical Study on the Bearing Capacity of Open-ended Straight and Tapered Piles Using MPM

Keita NAKAMURA，Satoshi MATSUMURA，Takaaki MIZUTANI