[II–A] 解答例
問１(a) 点 P を錐体の頂点とする２つの錐体によって切り取られる球殻上の２つの微小部
分 MA , MB の質量 MA , MB の比は，２つの錐体が相似で，質量（面）密度が一定
22であることから，MA : MB = rA: rBである。微小部分 MA , MB が質点 m に及ぼす万有引力は反対向きでその大きさの比は，
22FA
GmMA /rA
MA rB
===1
22FB
GmMB /rB
MB rA(1)であるから，互いに打ち消しあう。球殻全体は，このようなペアの集合に分割できるので，球殻が質点に及ぼす万有引力は，全てキャンセルする。

(b) 球対称質量分布を球心を中心とする薄い球殻に分割する。質点の外側に位置する各球殻からの万有引力は (a) で示したようにキャンセルする。よって，質点より内側の球体部分からの万有引力のみを考えればよい。
r(c) 外側 r > R は，性質（*）より，力の大きさは，F (r) =GmM
r2(2)GmM
GmM=−2rr(3)そのポテンシャルは，∫ rU (r) = U (∞) +dr∞

内側 r < R は，性質（*）より，質点より内側にある質量は，M0 = 43 πr3 ρ0 である
から，力の大きさは，

F (r) = G

mM04GmM=Gmπρr=r0r23R3(4)そのポテンシャルは，∫ r
441GmM 2GmM+drGm πρ0 r = Gm πρ0 (r2 − 3R2 ) =(r − 3R2 ) (5)U (r) = −3R
3322RR
グラフは，以下の通り。
UFR0GMm
R20r

R4GMm
R3GMm
2Rr

(d) 半径 r の点で働く力は，∫ r

GmM (r)F (r) =,r2

da4πa2 ρ(a)M (r) =(6)0である。これが一定であることから，F (r) = C すなわち
∫ rC
da4πa2 ρ(a) = Kr2 , K =Gm0(7)

両辺を r で微分すると，4πr2 ρ(r) = 2Kr，つまり ρ(r) は r−1 に比例する。M (R) =M より，比例係数を求めて，
M
ρ(r) =(8)2πR2 r
問２(a) 質点の球心からの距離が r = (x2 + a2 )1/2 であるから，万有引力のトンネルに沿う成分は，4π(x2 + a2 )3/2 ρxx√Fx = F (r) = − Gm 3222rx +ax + a2GmM4x= − Gm πρx = −3R3(9)ここで，a は球心からトンネルの中心までの距離 R sin ϕ である。力の向きは，トンネルの中心に向かう向き。

Bx mj(b) 質点の運動方程式は，(a) より

aFjARGmM
Ox(10)
R3√GMとなり，a = −ω 2 x より，角振動数 ω =の単振動をあらわす。t = 0 でR3x(0) = R cos ϕ, v(0) = 0 より，(√)
GMx(t) = R cos ϕ cost(11)R3ma = −T は周期に等しいので，
2π= 2πT =ω5√

R3GM(12)(c) 万有引力が等速円運動の向心力となっているので，等速円運動の角振動数を Ω とすると，
GmM= mRΩ2(13)R2√
これより，Ω = GMとなるので，
R32π
T0 == 2πΩ√

R3GM(14)(d) 点 A を端点とし，球心を通る単振動は，等速円運動を直径（球心を通るトンネル）上に射影したものに等しいから，その単振動の周期は (c) の等速円運動の周期と等しい。一方，点 A を端点に持ち球心を通らない任意のトンネル内の単振動は，球心を通る単振動を射影したものと等しいから，この単振動の周期は球心を通る単振動のそれと同じである。このことは，(b) の単振動が，トンネルの角度 ϕ に依らないことからも分かるが，図に示すと明らかである。以上より，任意の角度のトンネル内の単振動の周期は，等速円運動の周期に等しい。

m O’BAϕO(e) (e-1) エネルギー保存則より，
1 2 GmMGmM
mv0 −=−2Rr
これより

r=(15)

R(16)R
1 − 2GMv02v0
Bv0A(e-2) 点 B を通過した後は，（球面上に再び到達するまでは）質点は楕円軌道を描いて運動する。エネルギー保存則より，
GmM
1 2 GmM
1mv −= mv02 −2r
2
R

(17)

前問 (e-1) と異なり，v が未定なので，これだけでは r は決まらない。一方，面積速度一定（角運動量保存則）より

rv = Rv0 sin ϕ(18)の関係がある。なぜなら，面積速度は，球心から速度の方向に下ろした垂線の長さと v0 との積に等しいが，この垂線の長さは，球心からトンネルの中心までの距
離 a = R sin ϕ に等しいから（図を参照）。

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これら 2 つの式から，v を消去すると，r の 2 次式)(2GM2− v0 r2 − 2GM r + R2 v02 sin2 ϕ = 0Rになるが，r の最大値を求めるには，解として√GM + G2 M 2 + (−2GM Rv02 + R2 v04 ) sin2 ϕr=2GM− v02R(19)(20)を採用する。この式は，ϕ = 0 のとき，確かに上の結果 (e-1) を再現する。ϕ → π/2のときは，
Rv 2r = 2GM 0 2(21)− v0R

ϕBRaA
ϕOmrv(f) 万有引力は，GmF (r) = 2r{4π3(1R2)3[( )3 ] }14π 3
ρ2 +r −Rρ132

万有引力のトンネルに沿う成分は，r = (x2 + a2 )1/2 より{)}(x 4π
1 3x1 3xFx = F (r) = Gm ρ2 R 3 + ρ1 x − R 3r
38 r
8 r{}
4π
1 3x
R (ρ2 − ρ1 ) 2+ ρ1 x= Gm
38(x + a2 )3/2
そのポテンシャルは，
∫ x
GmM
GmM
U (x) =dxFx −= V (x) − V (x0 ) −,RRx0
ここで，x0 = R cos ϕ，V (x) の定義は，{}
1 3 (ρ1 − ρ2 )14π2GmR+ ρ1 x ,V (x) =38 (x2 + a2 )1/2 2
一方，全質量は，

4π
M=3(1R2)3a = R sin ϕ[( )3 ]
4π
14π ρ2 + 7ρ1 33
ρ2 +R −R
ρ1 =R32387(22)(23)(24)(25)(26)

エネルギー保存則

1GmM
E = mvx2 + U (x) = −2R

より速度は，√vx =2[E − U (x)] =m√2[V (x0 ) − V (x)]
m(27)

(28)

従って，vx をできるだけ大きくするには，ポテンシャル U (x) あるいは V (x) をできるだけ小さくすればよい。このためには，M を一定に保ちながら，単振動か(ρ1 −ρ2 )らのずれの部分 (x2 +R2 sin2 ϕ)1/2 をできるだけ大きな負の値にすればよい。よって，
ρ2 , ρ1 ≥ 0 の範囲で，ρ2 + 7ρ1 (= c) を一定に保ちながら，ρ2 − ρ1 (= s) をできるだ
け大きな正の値にすると同時に ϕ はできるだけ小さな値にすればよい。2 つの直線が交わる範囲を考えれば，s = c の場合にこれが実現する。
以上より，vx が最も大きくなるのは，トンネルが密度 ρ2 の球に接する場合で，

ϕ = π/6,

ρ1 → 0,M()34π 1
R32(29)dx√
E − U (x)(30)

ρ2 →AR2R2R2O ρ2ρ1
周期は，

∫ t2
T =dt =

√t1

∫ x22mx1を計算すれば求められる。
質点の速度を最大にするには，質点ができるだけ大きな力を受けられるように，トンネルより内側にできるだけ多くの質量が近い距離に集中するほうがよいと考えられるが，この結果は確かにこの直感的理解と一致する。

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