カントロビッチ不等式と統計学
数理的・計量的な学問において不等式は様々な役割を果たしている。直接評価することが困等式）であり、m≤a 1 ,…,a n ≤Mを満たす任意の正の数mとMに対して、難な量に対してその近似値や上・下界を与える
実用的な不等式もあれば、理論や概念の本質に（2）関わる不等式もある。後者の例としては、統計学における「相関係数」が挙げられる。よく知と表される（実際はもっと一般的であるが、られる通り、相関係数は２つの変数の間の直線それについては後述する）。mとMのシャー的関係の強さの尺度であり、これをrと表せ

プな選び方はmをa 1,…,a nの最小値とし、Mを最ば、rは-1≤r≤1なる範囲に値を取り、変数間の大値とすることである。係数（m+M） /4mM

直線的関係が強くなるほど1または−1に近づは、mとMの算術平均（m+M）/2と相乗平均く。そして完全な直線的関係が成り立てば√│m│M の比の2乗に等しい。あるいは、算術平均

r=±1となる。これらの性質は、よく知られた（m+M）/2と調和平均{（m +M ）/2} =2mM/

コ ー シ ー ・ シ ュ ワ ル ツ 不 等 式（m+M）の比とみることも出来る。また、この（）から殆ど直ちに係数をmとMの関数とみてk（m,M）と置くと、導かれるものである。相関係数の概念の殆どは次のような性質（対称性や不変性）が簡単に示

この不等式によって出来ていると言ってよい。

せる。

本稿では、古典的不等式の中で、現在でも様々な観点から研究され応用されているカントロ

2-1



-1-1

（3）

ビッチ不等式を取り上げ、それが統計学で果たしている役割を平易な例を通して紹介する。

さて、同一条件の下で独立に行ったn回の観n個の正の数a 1,a 2,…,a nが与えられたとする。

測から得られた観測値Y 1 ,…,Y n があり、各Y i は周知の通り、その算術平均Aと調和平均（=逆真の平均μ（未知かつ共通）と誤差ε（観測不i数の平均の逆数）Hとの間には「調和平均≦算能）の和として、術平均」なる関係がある：と書けるものとする。誤差は平均が0で（1）12分 散 がσ （ 未 知 か つ 共 通 ） で あ る と する。真の平均μは、n個の観測値の平均カントロビッチ不等式を一旦この文脈で紹介しによってておくと、（1）式のある種の逆の不等式（す推定されることが多い。実際、̅
Y はμの推定量

なわちAのHに対する相対的な上界を与える不として様々な長所や最適性を持つ。最も基本i-的な長所は、Y に偏りがない（不偏である）こがあり、最適な推定量とはならない。最適な推と、すなわちY の期待値がμに等しい（E（Y）

定量を導くため、各εi の分散σ i について、そ=μ）ことである。実はもっと顕著な結果が成れらの比は既知であるとしよう（例えばσ 1 ：り立ち、Y は線形かつ不偏な推定量の中で最もσ 2 ：σ 3 =1：2：1）。より正確に、各σ i は未推定精度が良い、つまり最も分散が小さい。こ知のσ（>0）と既知のa1,…,an（>0）によって---222222

れは一つの最適性であり、最良線形不偏性と呼＾が線形であるばれる。ここで、μの推定量μと表現出来るものと仮定する。このとき、分散＾がY 1 ,…,Y n の加重和（線形形式）で書とは、μの比はσ1：…：σn=a1：…：anとなる。a1=…

＾=c 1Y 1+…+c nY n=Σ ni=1c iY iけること、すなわちμ=a n=1とすると分散は均一となり、これまでのという形で書けることである。そして、線形議論に帰着する。最適性すなわち最良線形不偏＾ = Σ ni= 1 c i Y i が 不 偏 で あ る た め に は 、推定量μ性を持つ推定量は、σ i の大きさに応じてY i のΣ ni=1 c i =c 1 +…+c n =1となることが必要十分でウェイトを変えた222＾ = Σ ni= 1 c i Y i の 分 散 はある。線形不偏推定量μ2 n2222σ Σ i=1 c i=σ （c 1+…+c n）となることが知られ（4）ている。従って最小の分散を持つ推定量を求nn2-める問題は、Σ i=1ci=1なる条件の下でΣi=1ciを最＾の 推 定 精で与えられる。2つの推定量Yとμ小にする（c 1 , … ,c n ）を求める問題に等しく、度をそれらの分散で比較すると、Y の分散はこれは簡単に解けて、c 1 =…=c n =1/nのとき最＾の分散
σ 1 /n,…,σ n /nの算術平均に等しく、μ小、すなわち平均Y が最良線形不偏推定量であは調和平均となる。従って、（1）－（3） 式-2ることが分かる。その分散はσ /nに等しい。

-22よりこれまで各Y i =μ+εi に含まれる誤差の分散2を共通（全てσ ）として議論してきたが、観（5）測時点の天候などといった観測者にコントロールできない要因により、条件が不均一となるこが得られる。ここで、mとMはm≤a 1,…,a n≤Mをとがしばしばある。これを表現するため、各εi＾の分満たす任意の正の数である。また、Y とμ2の分散をσ iとし（i=1, … ,n）、これらは必ずし-散はそれぞれも等しくないとする。この場合、観測値によってばらつき具合が異なるため、信頼性の度合いの異なる観測値が混在することとなる。このよと分解出来、誤差の分散が均一な場合の推定量

うな場合でもμの推定に平均Y を用いることはの分散（第1因子）と不均一性による影響を表出来る。実際、Y は依然として不偏である。しす部分（第2因子）との積に分けることが出来

かし、̅
Y は分散がばらばらのn個の観測値を等る。

--

しいウェイト（1/n）で扱っている点に不合理

ii

2

2

上 で σ 1, … , σ nの 比 を 既 知 と 仮 定 し た が 、

応用上の多くの場合でそれは未知であり、そが成り立つことを示している。ここで、A≤ L B＾は利用出来ない。未知の比を推定しの場合μはB−Aが非負値定符号という意味である。

（4）式に代入することもあるし、単に平均 Y

この式は（5）式の多次元版である。実際、を用いることもある。平均Y を用いたとする（8）式においてp=1、X=（1,…,1） とし、Aをと、（5）式は、比が既知であれば利用出来た対角要素σ 1 ,…,σ n を持つ対角行列とすると、＾に比べ、Y をがどれほであろう最適な推定量μ（8）式は（5）式に帰着する。（8）式は線形回

ど推定精度において劣るか、すなわちどれほ帰モデル---T

22

ど分散が大となるかを示している。例えば、1≤a 1 ,…,a n ≤2である場合は、m=1、M=2とし2において、誤差が必ずしも独立ではなく、またて、（m+M）/4mM=9/8=1.125が得られ、平均一分散でもない場合における、回帰係数の推＾の分散の1.125倍に均Yの分散は最適な推定量μ定問題に応用可能である。その議論は上述の平なり得ることが分かる。

均の推定問題と共通であるから、ポイントを述-さて、一般にカントロビッチ不等式と言うと2べるに止める。誤差（ε1 ,…,εn ）の分散共分散

次のようなものを指すことが多い ：Aをn×n行列をAとすると、（8）式の中辺の行列は最正値定符号行列とし、その固有値をλ1≤…≤λnと小2乗推定量の分散共分散行列に等しく、最左T置く。このときx x=1なる任意のn×1ベクトル辺の行列は最良線形不偏推定量の分散共分散行xに対して、列に等しいことが示せる。従って、上と同様
2（6）Tの議論により、最右辺の係数k（A）=（λ1+λn） /4λ1λnは、最小2乗推定量が最良線形不偏推定量が成り立つ。但しx はベクトルや行列の転置に比べてどれほど推定精度が悪くなり得るかをを表す。また、mとMはm≤λ1 ≤λn ≤Mなる任意表す量である。係数k（A）はの正の数である。あるいは下式の右の不等式（7）

のようにも表現される。なお、（7）式においTを満たす。これは（3）式に対応している。
カントロビッチ不等式は様々な観点から研究され、現在でも作用素論や行列解析などの分野てはx x=1なる条件は不要である。簡単のたで多くの論文が発表されている。統計学の立場

め、以下ではm=λ1、M=λnとする。

からも、これまで行列Aが正値定符号とはなら

3

Marshall and Olkin （1990） は、カントロない場合への拡張や、推定精度を1次元の尺度ビッチ不等式の行列版として、任意のフルラ（行列のトレース、行列式、ノルムなど）でンクのn×p行列X=（x ij ）（但しp≤n）に対し評価した場合の研究など様々なものが発表さて、れてきたが、近年はほぼ結果が出尽くした感が2

T -1 -1
T -1 TT -1 （λ +λ ）T -1 -1
（X A X） ≤L（X X） X AX（X X） ≤L 1 n （X A X） （8）4λ1λnカントロビッチ不等式と統計学あり、ややインパクトが薄らいでいるようである。しかし、他分野での発展如何では再び統計iii

学と接点を持つこともあり得るから、目を離すことは出来ない。

註
1

分散という概念に馴染みのない方は、「分散は確率変数が平均周りにどれくらいばらつくかを評価する量であり、確率変数の平均がμ、分散がσ2乗ならば、その変数はおよそ95％の確率でμ±2σの範囲（例：平均10、分散9ならば10±6）に収まる」として解釈されたい。これは正規分布の場合だが、この目安が通用する分布も多い。

2

文献としてはR.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press （1985）が定番である。統計学の立場から書かれたものとしてはS. Puntanen, G.P.H. Styan and J. Isotalo, Matrix Tricks for Linear Statistical Models, Springer（2011）がある。いちいち挙げないが和文文献（紀要論文や解説記事など）にも優れたものがあり、本稿執筆に際して参考になった。

3

A.W. Marshall and I. Olkin, Matrix versions of the Cauchy and Kantorovich inequalities, Aequationes Mathematicae, 40 （1990）,89-93.

倉田博史（くらたひろし）［生年月日］1967 年生［専門領域］数理統計学、計量経済学、行列論［著書・論文］ここ数年は、Linear Algebra and its Applications 誌、Journal of Statistical Planning and Inference 誌、
Annals of the Institute of Statistical Mathematics 誌などに論文が掲載されている。詳細はhttp://www.geocities.jp/h_kurata_statistics/ を参照のこと。
［所属］総合文化研究科・教養学部、教授［所属学会］日本統計学会、日本数学会、Journal of Japan Statistical Society 誌 Editor-in-Chief, Annals of theInstitute of Statistical Mathematics 誌 Co-Editoriv

東京大学大学院情報学環紀要

情報学研究№90