2 時間目
年組番

氏名

授業資料
デカルトの幾何学〜新しい方法〜

授業者：新木 伸次（筑波大学大学院修士課程教育研究科 1 年）

［平面的な問題とは何か］
次に、問題が通常の幾何学によって解ける場合、つまり平面上に描かれた直線と円だけを用いて解ける場合は、最後の方程式が完全に整理されたとき、たかだか 1 個の未知の平方が方程式の根に或る既知量を掛けたものと、やはり既知の他の或る量との加法か減法によって生ずるものに等しい、ということになるであろう。
［それはどうして解けるか］
こうなれば、この根、つまり未知の線は容易に見いだされる。なぜならば、
たとえば、

z 2 = az + bbが得られたとすれば、直角三角形 NLM を作って、辺 LM を既知量 bb の平方根1b に等しく、他の辺 LN を a 、つまり未知2の線と仮定する z が掛かっていた他の量の半分にする。次に、この三角形の底辺 MNを O まで延長して、NO が NL に等しくなるようにすれば、全体 OM が求める線 z である。そしてこの線は次のように表される。
z=11a+aa + bb24

もし、yy = −ay + bbが得られたとし、y が見いだされるべき量であるとすれば、同じ直角三角形 NLMを作り、底 MN から NL に等しい NP を除けば、残り PM がもとめる根 y である。ここでは、

11y=− a+aa + bb24が得られる。
同様に、もしx 4 = − ax 2 + b 2が得られたのであれば、PM は x2 であり、11x= − a+aa + bb24となるであろう。他の場合も同様である。
【デカルト『幾何学』，「デカルト著作集[1]」白水社（2001）】1デカルトの方程式の解の表現を考えてみよう。
（ z 2 = az + bb が得られたときの場合）
方べきの定理より、MO ⋅ ()=()2であり、MO ⋅ (MO − (ここで、 LM = b 、 LN =)) = ()21a であるから、2となり、これは与えられた方程式と同じ形であるから､MO が求める線 z であることがわかる。
次に、MO を違う表しかたをすると､三角形 NLM は直角三角形であるから、MN = (ここで、 LM = b 、 LN =)2 + ()21a であるから、a、b を使って表すと、2MN = ()また、OM は MN を延長したものであるから、MO = () + MNであり、 NO = NL であるから、求める線 OM = z は、2（ yy = − ay + bb が得られたときの場合）
方べきの定理より、MO ⋅ ()=()2であり、ここで、 LM = b 、 LN =1a であるから、2となり、これは与えられた方程式と同じ形であるから、PM が求める線 y であることがわかる。
次に、PM を違う表しかたをすると､3

最後に、z 2 = az − bb1が得られたのであれば、前と同様に NL を a に等しく、LM2を b に等しくしたうえ、点 M，N を結ぶかわりに、LN に平行に MQR をひき、N を中心として L を通る円を描いて、MQR を点 Q，R において切る。求める線 z は MQ または MRである。なぜならば、この場合には z はふたつの仕方、すな
わち

11z = a+aa − bb
24および z = 1 a − 1 aa − bb
24によってあらわされるからである。
点 N を中心とし点 L を通る円が直線 MQR を切ることも、これに接することもないならば、方程式にはまったく根がなく、提出された問題の作図は不可能と断定することができる。
【デカルト『幾何学』，「デカルト著作集[1]」白水社（2001）】（ z = MQ となるとき）
方べきの定理より、

ML2 = () ⋅ MQとなり、MQ が得られた方程式の形を満たすことがわかる。

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次に、MQ を違う表し方をすると、

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『幾何学』

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『幾何学』

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［幾何学に受け入れられる曲線はどのようなものか］
幾何学の問題のうち、或るものは平面的、或るものは立体的、或るものは曲線的であることに古代人は十分気づいていた。すなわち、或るものは直線と円を描くだけで作図しうるが、或るものは少なくともある円錐曲線を用いなければ作図しえず、最後に他のものはより複雑な他の曲線を用いなければ作図しえない、という意味である。しかし、彼らがさらに進んで、より複雑なこれらの線の間に種々の段階を区別しなかったことに私は驚かざるをえないし、彼らがこれらの線をどうして幾何学的と呼ばずに機械的と呼んだか、理解に苦しむ。
なぜならば、これらを描くには何らかの機械を使うことが必要だからと言うのであれば、同じ理由で、円と直線も〔幾何学から〕退けねばなるまい。これらを紙の上に描くにはコンパスと定木を使わねばならず、これも機械にちがいないからである。また、これらの複雑な曲線を描くに用いられる器具は定木やコンパスより複雑なため、あまり正しくはありえない、という理由からでもない。
なぜならば、このような理由からは、人の手になる作品の正しさが要求される機械学からこれを退けるべきであって、推論の正しさだけが求められる幾何学から退けるのは当たるまい。幾何学はたしかに他の線に関してと同様にこれらの線に関しても完全な知識を与えうるのである。古代人が要請の数を増すことを好まず、与えられた 2 点を直線で結び、また与えられた点を中心とし与えられた点を通る円を描きうるということに同意を得るだけで足れりとしたためであるともいえない。現に彼らは、これらのこと以外に、円錐曲線を論ずるため、与えられたあらゆる円錐を与えられた平面によって切りうると仮定することを辞さなかったのである。それに、私がここに導入しようとしているあらゆる曲線を描くためには、2 本またはそれ以上の線が互いによって動かされ、それらの交点が他の線を作り出す、ということを仮定するだけでよいのであって、この仮定が古代人のものよりむずかしいとは私には思えない。いかにも、古代人は円錐曲線を完全には彼らの幾何学に受けいれなかったし、私としても慣用によって確立された用語を変えるつもりはない。
（中略）
あるいは、円錐曲線についてまだわずかなことしか知らないことを彼らは自覚し、また定木とコンパスで作りうるものについてさえ未知のことが多いのを自覚して、より困難な主題には手をつけるべきではないと考えたのかもしれない。
しかし、私が提案する幾何学的計算を使いこなすほどの人ならば、今後、平面ないし立体問題に暇をかけることはあるまいと思うから、これらの人々には、訓練の材料にけっしてこと欠かぬ他の研究をすすめるのが至当であると考えるのである。
【デカルト『幾何学』，「デカルト著作集[1]」白水社（2001）】

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『幾何学』第２巻

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立方体の倍積の問題
一辺 a の立方体の倍の体積を持つ立方体を作るには、x 3 = 2a 3 となるような、一辺 x を作図すればよいということが分かります。どうすればこの x は作図できるのでしょうか。
キオス（ギリシャ）のヒポクラテス（紀元前 5 世紀頃）は、2 つの線分の間に2 つの比例中項を見つければよいということを発見しました。
a と b の間に 2 つの比例中項を見つけるとは、a : x = x: y = y :bという x、y を見つけるということです。（立方体の倍積問題の時は、 b = 2a として考えればよい。）
2 つの線分の間に 1 つの比例中項を作図することはできます。
どのようにすれば 2 つの比例中項を作図することができるのでしょうか。
下の絵は 2 つの線分の間に 2 つの比例中項を求めることができる道具です。
下の道具自体は紀元前 4 世紀頃には考え出されていました。

Albrecht Düerer『Unterweisung der messung』（1525）

10メソラボス・コンパスについては、1 時間目の最初の道具の仕組みの説明の後に､次のように著されています。

さて、このようにして角 XYZ を開く間に、点 B は線 AB を描くが、これは円である。他の定木が交差する他の点 D、F、H は他の線 AD、AF、AH を描く。あとに来る線ほど最初の線に比べて複雑であり、最初の線自体は円より複雑である。しかし、この最初の線の描き方を、円の場合、少なくとも円錐曲線の場合と同様に明晰判明に考えるのをさまたげるものは何もないはずである。また、第 2、第 3、そのほか描きうるかぎりの線を第 1 の線と同様に考え、したがって、それらすべてを同様に受け入れて、幾何学の研究に使うのをさまたげるものもないはずである。
【デカルト『幾何学』，「デカルト著作集[1]」白水社（2001）】（下線部加筆；授業者）

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Cabri Geometry Ⅱを使って、実際にメソラボス･コンパスを作って動かしてみよう。
メモ13