null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い
天羽 将也

基礎物理学研究所 D１ （2023年1月〜7月@U. Barcelona）

2

現代物理学の発展は微少量での展開によると言っても過言でないだろう⚫ large N⚫ 結合定数での展開⚫ …

厳密に解けないものがあるとき → 物理量の大きさの階層を利用するというのは自然な考え．

What else?
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

3null測地線の𝒓−𝟏 展開⚫ 一見，自明．遠方で重力は効かない気がする．
⚫ 本当だろうか？

⚫ 実は，4次元ではnull測地線の軌道の𝒓−𝟏 展開の主要項に重力の寄与が
ある．

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

4null測地線の𝒓−𝟏 展開
なんでこんなことを考えるのか？
元々の動機は別にあった（BH, photon sphereの一般化）
十分遠方は本当にこうなのか？

脱出
円錐

脱出
円錐

脱出
円錐

BHからの
距離
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

5

主題

null測地線の軌道の𝑟 −1 展開を議論し，十分遠方から角度方向に放った光がに到達するかどうか調べる．

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

6

本発表のアウトライン

1. 導入

2. null測地線の𝒓−𝟏 展開

3. 外的曲率の𝒓−𝟏 展開

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

7

テーマ①：光の無限遠への到達条件

セットアップ⚫ 十分遠方から「動径座標一定方向」に出した光がに到達するか調べる．

⚫ 測地線方程式をその都度解かなくても済む判定条件を求める．

𝑛次元漸近的平坦時空．十分遠方の計量：
ステップ１：[Bondi et al. (1962), Sachs (1962), Tanabe et al. (2011)]

𝑑𝑠 2 = 𝑔𝑢𝑢 𝑑𝑢2 − 2𝑔𝑢𝑟 𝑑𝑢𝑑𝑟 − 2𝑔𝑢𝐼 𝑑𝑢𝑑𝑥 𝐼 + 𝑔𝐼𝐽 𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽
放射直後の振る舞いを解析[𝐼, 𝐽: 角度座標]

但し，𝑔𝑢𝑢 = −1 + 𝑚𝑟 − 𝑛−3 + 𝐴𝑟 −(𝑛/2−1) +(高次), 𝑔𝑢𝑟 = −1 + 𝑂 𝑟 −(𝑛−2) ,ステップ２： −(𝑛/2−2)
𝑔𝑢𝑢 = 𝑂 𝑟
, 𝑔𝐼𝐽 = 𝜔𝐼𝐽 𝑟 2 + ℎ𝐼𝐽 𝑟 −(𝑛/2−3) + (高次),放射から有限affine parameter後の振る舞いを解析
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い: 𝑢有限かつ 𝑟 無限大

8への到達条件（結論）[Bondi et al. (1962), Sachs (1962), Tanabe et al. (2011)]

十分遠方の計量：

𝑔𝑢𝑢 = −1 + 𝑚𝑟 − 𝑛−3 + 𝐴𝑟 −(𝑛/2−1) +(高次), 𝑔𝑢𝑟 = −1 + 𝑂 𝑟 −(𝑛−2) ,𝑔𝑢𝑢 = 𝑂 𝑟 −(𝑛/2−2) , 𝑔𝐼𝐽 = 𝜔𝐼𝐽 𝑟 2 + ℎ𝐼𝐽 𝑟 −(𝑛/2−3) + (高次).
を考える．
[Amo, Izumi, Tomikawa, Yoshino,
Shiromizu Phys. Rev. D (2021)]

𝑑𝑟
十分遠方から ≥ 0で放ったヌル測地線について，
𝑑𝜆1
𝑛 = 4：Ω𝐼𝐽 ≔ 𝜔𝐼𝐽 − ℎሶ 𝐼𝐽 + 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 が正定値かつ𝑚ሶ ≤ 0ならば 到達．
2
Null Energy Condition
物質の流束や重力波の放射が𝑛 ≥ 5：常に到達．
外向きに十分弱い（典型的な時空）: 遅延時間 𝑢での 微分ሶ𝜔 : 平坦時空における半径一定面上の計量
𝐼𝐽

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞いに対応

9( ′ : affine parameter微分)

角度方向 𝑟 ′ = 0 に放射した直後の振る舞い
光的条件 &𝑟 ′ = 0 & 測地線方程式：

𝑟 ′′ = −𝛤 𝑟𝜇𝜈 𝑥 𝜇 ′ 𝑥 𝜈 ′ = 𝑟 𝛺𝐼𝐽 𝑥 𝐼 ′ 𝑥 𝐽 ′ + (𝑟 −1 展開の高次)
𝑑2 𝑟
<0
𝑑𝜆2

𝑑2𝑟
>0
𝑑𝜆2

𝑟 = 一定𝛺𝐼𝐽 ≔1
𝜔𝐼𝐽 − ℎሶ 𝐼𝐽 + 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽
2
𝜔𝐼𝐽(𝑛 = 4)(𝑛 ≥ 5): 遅延時間 𝑢での 微分ሶ𝜔 : 平坦時空における半径一定面上の計量
𝐼𝐽•

𝛺𝐼𝐽 が正定値のとき，十分遠方で𝑟 ′′ > 0•

4次元時空でのみ 𝑟 → ∞でも重力が軌道に影響
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

10: 𝑢有限かつ 𝑟 無限大

𝑟 ′ ≥ 0で出した光の到達：証明の流れ 1(/5)

を示す．
lim 𝑟 = ∞ および lim 𝑢 < ∞ を示す．

𝜆→∞

𝜆→∞

null条件 + 𝑟 の測地線方程式

𝑟 ′′ = −𝑚𝑟ሶ −1 𝑢′ 𝑟 ′ + Ω𝐼𝐽 𝑟 + 𝑂 𝑟 0> −𝐶1 𝑟𝑟 ′ (> 0)で割って，整理>0−2 ′ 2𝑥𝐼′

𝑥 𝐽 ′ + 𝑂 𝑟 −2 𝑟 ′>0> −𝐶1 𝑟 −2 𝑟 ′𝑟′′> −𝐶1 𝑟 −2 𝑟 ′𝑟′

log 𝑟 ′ > 𝐶1 𝑟 −1 + 𝐶2
天羽将也

2

（for some 𝐶1 = const. > 0）𝑟[log 𝑟 ′ ]′ > 𝐶1 𝑟 −1 ′積分2積分定数 𝐶2
null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

11𝑟 ′ ≥ 0で出した光の到達：証明の流れ 2(/5)

lim 𝑟 = ∞ および lim 𝑢 < ∞ を示す．

𝜆→∞

𝜆→∞

両辺 exp𝑟 ′ > exp 𝐶1 𝑟 −1 + 𝐶2 > exp 𝐶2
積分
𝑟 > exp 𝐶2 𝜆 + 𝐶3

積分定数 𝐶3∴ lim 𝑟 = ∞𝜆→∞log 𝑟 ′ > 𝐶1 𝑟 −1 + 𝐶2
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

12𝑟 ′ ≥ 0で出した光の到達：証明の流れ 3(/5)

lim 𝑟 = ∞ および lim 𝑢 < ∞ を示す．

𝜆→∞

𝜆→∞

null条件 + 𝑢 の測地線方程式
𝑢′′ = − 𝑟 −1 + 𝑂 𝑟 −2 𝑢′2 − 2𝑟 −1 + 𝑂 𝑟 −2 𝑢′ 𝑟′<0> − 2𝑟 −1 − 𝐶4 𝑟 −2 𝑢′ 𝑟′
𝑈 ≔ 𝑟 2 exp 𝐶4 𝑟 −1 𝑢′

𝑈 ′ = exp C4 𝑟 −1 𝑟 2

for some 𝐶4 = const. > 0

2𝑟 −1 − 𝐶4 𝑟 −2 𝑢′ + 𝑟 2 𝑢′′ < 0
<0

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

13𝑟 ′ ≥ 0で出した光の到達：証明の流れ 4(/5)

lim 𝑟 = ∞ および lim 𝑢 < ∞ を示す．

𝜆→∞

𝜆→∞

積分

𝑈 < 𝐶5𝑈 ≔ 𝑟 2 exp 𝐶4 𝑟 −1 𝑢′

整理

積分定数 𝐶5𝑟 2 exp 𝐶4 𝑟 −1 𝑢′ < 𝐶5
𝑈 ′ = exp C4 𝑟 −1 𝑟 2 2𝑟 −1 − 𝐶4 𝑟 −2 𝑢′ + 𝑟 2 𝑢′′ < 0
𝑢′ < 𝐶5 𝑟 −2 exp −𝐶4 𝑟 −1 < 𝐶5 𝑟 −2
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

14𝑟 ′ ≥ 0で出した光の到達：証明の流れ 5(/5)

lim 𝑟 = ∞ および lim 𝑢 < ∞ を示す．

𝜆→∞

𝜆→∞

𝑟 > exp 𝐶2 𝜆 + 𝐶3
𝑢′ < 𝐶5 (exp 𝐶2 𝜆 + 𝐶3 )−2𝑢0 (𝜆0 ), 𝑢(𝜆) で積分
𝑢 − 𝑢0 < −exp −𝐶2 𝐶5 exp 𝐶2 𝜆 + 𝐶3 −1 − exp 𝐶2 𝜆0 + 𝐶3 −1< exp −𝐶2 (exp 𝐶2 𝜆0 + 𝐶3 )−1 < ∞−1 < 𝐶 𝑟 −2
𝑢′ < 𝐶5 𝑟∴−2lim
exp𝑢−𝐶
𝑟
4
5
<∞
𝜆→∞

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

15[結果] 光の無限遠到達の判定条件
十分遠方から𝑑𝑟≥ 0で出した光の無限遠への到達について：
𝑑𝜆計量の𝑟 −1 展開の係数で定義されるΩ𝐼𝐽 と𝑚に対して，
ሶΩ𝐼𝐽 が正定値 かつ 𝑚ሶ ≤ 0 ならば無限遠に到達
物質の外向き流束や重力波の外向き放射が．（Planck光度に比べて）十分弱い & NECcf). Brans-Dicke理論のfall-off： See Cao-Li-Wu [2109.05973]

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

16

𝛺𝐼𝐽 について

[再掲]

𝑑2 𝑟
𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽= 𝑟 Ω𝐼𝐽 𝑑𝜆 𝑑𝜆 +(高次の項)
𝑑𝜆2⚫ 極端な状況でなくとも，4次元では𝛺𝐼𝐽 次第で 𝑟 → ∞でも重力の影響が見られる⚫ 𝛺𝐼𝐽 はどんな物理/幾何を意味しているのか？
物質の外向き流束があると軌道を内向きに曲げる寄与 具体例：Vaidya時空
1

Ω𝐼𝐽 ≔

(𝑛 = 4)1

𝜔𝐼𝐽 − 2 ℎሶ 𝐼𝐽 + 2 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽
𝜔𝐼𝐽

遠心力（重力ではない）(𝑛 ≥ 5)外向き重力波があると
具体例：平面重力波
軌道を曲げる寄与

𝑛 = 4で𝛺𝐼𝐽 の各項の意味を具体例を通して見てみる
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

17

単純な具体例との対応
1 ሶ
Ω𝐼𝐽 ≔ 𝜔𝐼𝐽 − ℎ𝐼𝐽 + 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 の解釈 ①： 𝜔𝐼𝐽 の項
2
厳密にflatな時空を考える．

𝑑𝑠 2 = −𝑑𝑢2 − 2𝑑𝑢𝑑𝑟 + 𝜔𝐼𝐽 𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽

𝑑𝑟= 0で出したヌル測地線について，
𝑑𝜆𝑑2 𝑟
𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽= 𝑟𝜔𝐼𝐽𝑑𝜆2
𝑑𝜆 𝑑𝜆（単なる遠心力）対応

𝑛 (≥ 4) 次元

𝑑2𝑟
𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽= 𝑟𝛺𝐼𝐽+(高次の項)
𝑑𝜆2
𝑑𝜆 𝑑𝜆
天羽将也

𝑟Ω𝐼𝐽 =

1𝑟𝜔𝐼𝐽 − 𝑟ℎሶ 𝐼𝐽 + 𝑟𝑚
ሶ 𝜔𝐼𝐽
2
𝑟𝜔𝐼𝐽

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い(𝑛 = 4)(𝑛 ≥ 5)18

単純な具体例との対応
1 ሶ
1 ሶ
Ω𝐼𝐽 ≔ 𝜔𝐼𝐽 − ℎ𝐼𝐽 + 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 の解釈 ②： − ℎ𝐼𝐽 の項
2
2
Minkowski背景時空𝑟 → ∞で外向きの重力波は
平面重力波に漸近．
i.e., 𝑟と𝑧が同じ役割．

𝑑𝑠 2 = 𝜂𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 = −𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2
𝑧方向に進む平面重力波を考える 𝑔𝜇𝜈 = 𝜂𝜇𝜈 + ℎ𝜇𝜈 ．
𝑑𝑧= 0で出したヌル測地線について，
𝑑𝜆

𝑑2𝑧
1
𝑑𝑥 𝐴 𝑑𝑥 𝐵= − 2 ℎ𝐴𝐵,𝑡 𝑑𝜆 𝑑𝜆𝑑𝜆2(𝐴, 𝐵 ∈ {𝑥, 𝑦})𝑛 = 4で対応
𝑛 (≥ 4) 次元

𝑑2𝑟
𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽= 𝑟𝛺𝐼𝐽+(高次の項)𝑑𝜆2
𝑑𝜆 𝑑𝜆𝑟Ω𝐼𝐽 =

1𝑟𝜔𝐼𝐽 − 𝑟ℎሶ 𝐼𝐽 + 𝑟𝑚
ሶ 𝜔𝐼𝐽
2
𝑟𝜔𝐼𝐽

(𝑛 = 4)(𝑛 ≥ 5)cf,) 𝑔𝐼𝐽 = 𝜔𝐼𝐽 𝑟 2 + ℎ𝐼𝐽 𝑟 −(𝑛/2−3) + (高次)天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

19

単純な具体例との対応
1 ሶ
Ω𝐼𝐽 ≔ 𝜔𝐼𝐽 − ℎ𝐼𝐽 + 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 の解釈 ③： 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 の項
2
4次元−1 < 𝑚ሶ < 0のとき

𝑑𝑟
外向きVaidya時空で𝑑𝜆 = 0で出したヌル測地線を考える．

𝑑𝑠 2 = −𝑑2𝑟=𝑑𝜆2𝑛 (≥ 4) 次元2𝑚
1 − 𝑛−3𝑟

𝑑𝑢2 − 2𝑑𝑢𝑑𝑟 + 𝑟 2 𝜔𝐼𝐽 𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽

𝑟 + 𝑚𝑟ሶ − 𝑛−5+ 𝑂 𝑟 − 𝑛−4

cf. NEC: 𝑚ሶ ≤ 0𝑚ሶ = 0のとき
null flux

𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽
𝜔𝐼𝐽
𝑑𝜆 𝑑𝜆

null測地線

𝑟 = 一定𝑛 = 4で対応

1𝑟𝜔
−𝑟ℎሶ 𝐼𝐽 + 𝑟𝑚
ሶ 𝜔𝐼𝐽(𝑛 = 4)
𝐼𝐽
2
𝐼
𝐽
𝑑 𝑟
𝑑𝑥 無限遠近傍で，軌道に外向きnull𝑑𝑥
2 fluxが横切ることで= 𝑟𝛺𝐼𝐽+(高次の項) 𝑟Ω𝐼𝐽 =
2
𝑑𝜆
𝑑𝜆 𝑑𝜆
𝑟𝜔𝐼𝐽
(𝑛 ≥ 5)（有限の角度）内向きに曲げられる

20

単純な具体例との対応
1 ሶ
Ω𝐼𝐽 ≔ 𝜔𝐼𝐽 − ℎ𝐼𝐽 + 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 の解釈 ③： 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 の項
2𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 は外向きfluxに対応するが，この効果はnull測地線を内に曲げることを見た．

外向きflux

内向きfluxではどうか？
内向きflux

21

単純な具体例との対応

内向きVaidyaではどうか？
𝑑𝑟
内向きVaidya時空で = 0で出したヌル測地線について， 4次元
𝑑𝜆
𝑑2 𝑟
=
𝑑𝜆2

𝑟 − 𝑚𝑟ሶ − 𝑛−5 + 𝑂 𝑟 − 𝑛−4

𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽
𝜔𝐼𝐽
𝑑𝜆 𝑑𝜆

Null Energy Condition: 𝑚ሶ ≥ 0𝑚ሶ = 0のとき

null flux

null測地線

𝑟 = 一定無限遠近傍で，軌道に動径方向のnull fluxが横切ることでnull fluxの向きによらず内向きに曲げられる
天羽将也

0 < 𝑚ሶ < 1のとき

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

22

本発表のアウトライン

1. 導入

2. null測地線の𝒓−𝟏 展開

3. 外的曲率の𝒓−𝟏 展開

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

23

無限遠近傍の近似的photon surface

𝜴𝑰𝑱 𝒓 とphoton surfaceの対応[Claudel et al. (2001)]

超曲面 𝑆 がphoton surfaceであるとは，𝑆に接する任意のヌル測地線が𝑑2𝑟
少なくとも有限時間 𝑆 内にとどまることをいう 半径一定面では 2 = 0と対応
𝑑𝜆

[再掲] 光的条件 &𝑑𝑟= 0 & 測地線方程式：𝑑λ𝑑2 𝑟𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈
𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽𝑟− 𝑛−5 /2
=
−𝛤
=
𝑟
𝛺
+
O
𝑟
𝜇𝜈
𝐼𝐽
𝑑𝜆2
𝑑𝜆 𝑑𝜆
𝑑𝜆 𝑑𝜆

𝑑𝑥 𝐼 2𝑑𝜆𝛺𝐼𝐽 = 0の条件は，半径一定面がphoton surfaceであることと近似的に対応していると期待
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

24

無限遠近傍の近似的photon surface

近似的photon surface
𝛺𝐼𝐽 =0𝑑2 𝑟
𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽= 𝑟𝛺𝐼𝐽+(高次の項)
𝑑𝜆2
𝑑𝜆 𝑑𝜆

こっちを
確かめてみよう

当初の予想

𝑟 =一定面がphoton surface⟺

𝑟 =一定面の外的曲率のトレースレス部 𝜎𝑎𝑏 が0

Claudel et al. (2001),
Perlick (2005)

𝒓 =一定面の外的曲率のトレースレス部 𝝈𝒂𝒃 の𝒓−𝟏 展開の主要項が0のとき
𝒓 =一定面を近似的photon surfaceと呼ぶ
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

25

無限遠近傍の近似的photon surface

近似的photon surfaceの条件
Amo-Shiromizu-Izumi-Yoshino-Tomikawa PRD (2022)

𝒓 =一定面の外的曲率のトレースレス部 𝝈𝒂𝒃 ：[4次元][𝑛 (≥ 5)次元]
2
1
+ 𝑚ሶ
3
3

𝜎𝑢𝑢 =𝑛−1 𝑟 −1 + 𝑂 𝑟 − 𝑛/2−1

𝜎𝑢𝑢 =𝜎𝑢𝐼 = 𝜎𝐼𝑢 = 𝑂 𝑟 − 𝑛/2−1

𝜎𝑢𝐼 = 𝜎𝐼𝑢 = 𝑂 𝑟 −1

𝑛−2

1

𝑟 −1 + 𝑂 𝑟 −2

1

1

𝜎𝐼𝐽 = 3 𝜔𝐼𝐽 − 2 ℎሶ 1 𝐼𝐽 + 6 𝑚𝜔
ሶ 𝐼𝐽 𝑟 + 𝑂 𝑟 0

1

𝜎𝐼𝐽 =𝑛−1 𝜔𝐼𝐽 𝑟 + 𝑂 𝑟 − 𝑛/2−3→ 𝜎𝑎𝑏 の𝑟 −1 展開の主要項が0→ 𝜎𝑎𝑏 の𝑟 −1 展開の主要項はノンゼロ

1

1⇔ Ω𝐼𝐽 ≔ 𝜔𝐼𝐽 − 2 ℎሶ 1 𝐼𝐽 + 2 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 = 0

高次元とは異なり，4次元のときは近似的photon surfaceが存在しうる天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

26

具体例との対応

外向きVaidya時空でΩ𝐼𝐽 =0となる具体例
Amo-Shiromizu-Izumi-Yoshino-Tomikawa PRD (2022)

外向きVaidya計量：

𝑑𝑠 2 = −

2𝑀 𝑢
1−
𝑟

𝑑𝑢2 − 2𝑑𝑢𝑑𝑟 + 𝑟 2 𝜔𝐼𝐽 𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽 .

特に

𝑑𝑀(𝑢)
2𝑀(𝑢)
=− 1−
𝑑𝑢
𝑟PS

3𝑀(𝑢)
1−
𝑟PS

のとき，𝑟 = 𝑟PS は厳密なphoton surface． 𝑟PS は任意に大きく取れる．

4次元のときは厳密なphoton surfaceが存在しうる（ただし有限時間）
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

27

まとめ
外向き
重力波

✓

外向き
物質流

へのnull測地線の到達の十分条件
1

Ω𝐼𝐽 ≔
✓

1
𝜔𝐼𝐽 − 2 ℎሶ 𝐼𝐽 + 2 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 (4次元)

𝜔𝐼𝐽が重要な役割(高次元)

近傍のphoton surfaceの存在条件

4次元ではnull測地線の軌道の𝑟 −1 展開の主要項に重力の寄与！
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

28

バックアップ29

導入

ブラックホール（BH）⚫ 一般相対性理論で予言．
⚫ future null infinityとcausal curveで結べない領域．
⚫ 我々とcausal curveで結ばれないBHは，我々に影響を与えない．

BH（のようなもの）を我々とcausal curveで結ばれる領域で再定義できないだろうか？（純粋な興味）
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

30

導入

photon sphere⚫ 静的球対称時空で光の周回軌道を集めてできる球面
photon sphere⚫ Schwarzschildで 𝑟 = 3𝑀
⚫ 実質的な観測限界を与える（BH shadowのふち）⚫ 数理的にもrichな構造

EHT Collaboration

BH shadow

photon sphereをより一般の時空で考えたい．
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

31

具体例

Outgoing Vaidya（4次元）
Outgoing時空で
𝑑2𝑟
𝑑𝜆2

𝑑𝑟
= 0で出したヌル測地線について，𝑑𝜆= Ω𝐼𝐽 𝑟 + 𝑂 𝑟 0=−1 < 𝑚ሶ < 0のとき

𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽
𝑑𝜆 𝑑𝜆1(1 + 𝑚)𝑟ሶ 𝜔𝐼𝐽 + 𝑂 𝑟 02𝑚ሶ = 0のとき
𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽
𝜔𝐼𝐽
𝑑𝜆 𝑑𝜆

null flux

null測地線

𝑟 = 一定11 (1)Ω𝐼𝐽 = 1 + 𝑚ሶ 𝜔𝐼𝐽 − ℎሶ 𝐼𝐽
2
2

到達の必要条件を破る𝑚を考えて，到達しない例を作れないか？
ሶ「 Ω𝐼𝐽 が正定値 かつ 𝑚ሶ ≤ 0 」 ⇔ 「−1 ≤ 𝑚ሶ ≤ 0」
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

32

具体例

Outgoing Vaidya
Setup•

十分遠方（𝑚, Δ𝑢 ≪ 𝑟0 ）からtan 𝜗0 = O(𝑟00 )で光(null測地線)を放射•

𝑚(𝑢)は下図（到達の必要条件を破る場合も許す）

𝜗0
𝑟0

光の放射点

𝑚
任意 (正の有限値)

一定

結果
任意の
関数形
任意 (正の有限値)への到達の十分条件「 Ω𝐼𝐽 が正定値 かつ 𝑚ሶ ≤ 0 」を一定破る例でも，tan 𝜗0 = O(𝑟00 )なら常に到達．

Δ𝑢

𝑢

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

任意の幅
（有限）

33

dark horizonの直感的説明

Schwarzschild時空における脱出円錐

脱出
脱出
円錐
円錐

脱出
円錐

ある大円が脱出円錐の外側

𝟑𝑴
photon sphere

脱出 脱出
円錐 円錐

ある大円が脱出円錐の内側※ 大円：球の中心を通る平面と球面との交線
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い𝒓

34

バックアップinner dark horizon・outer dark horizonの性質まとめ
従来の一般化の試み

可視
光子球面

横捕捉面

動的
横捕捉面

黒集合

内部暗黒
地平面

外部暗黒
地平面

○

○

○

×

○

○

回転Kerr BHの周りの存在

未定義

○

△

○

○

○

III. 時空の対称性

必要

必要

不要

不要

不要

不要

空間的超曲面の導入

不要

必要

必要

不要

必要

必要

I. photon sphereの一般化であるかII.

inner dark horizon・outer dark horizonは
空間的超曲面に依存した概念であるが，従来の課題を克服した．
天羽将也 （京大基研D1）

光的無限遠を参照した光子球の一般化

35

バックアップinner dark horizon・outer dark horizonの性質まとめ
従来の一般化の試み

photonsphereI. photon sphereの一般化であるか

一般化①(横捕捉面)

動的
横捕捉面

黒集合

inner
outer
dark horizon dark horizon

○

○

○

×

○

○

回転Kerr BHの周りの存在

未定義

○

△

○

○

○

III. 時空の対称性

必要

必要

不要

不要

不要

不要

空間的超曲面の導入

不要

必要

必要

不要

必要

必要

II.

天羽将也 （京大基研D1）

光的無限遠を参照した光子球の一般化

36

バックアップphoton sphereの一般化の従来の試み
赤字：課題点「横捕捉面」「動的横捕捉面」「黒集合」

Yoshino et al. (2017)

Yoshino et al. (2020)

Siino (2020)

（○）

○

○

×

○

未定義

○

△

○

不要

必要

必要

不要

不要

理想

photon sphere

I. photon sphereの一般化であるか○II. 回転 Kerr BHの周りの存在III. 時空の対称性

高速回転のとき困難

課題点を克服した定義を構築したい（これまで定義されていない）
天羽将也 （京大基研D1）

光的無限遠を参照した光子球の一般化

37

バックアップphoton sphereの一般化の動機（論理展開の補足）
物理学のこれまでの歴史を鑑みると，適切な概念の定式化により，理論の理解が促進されてきた．

一つの方向性として，「適切な概念を導入し，一般的な性質を数理的に導き，何らかの形で観測に結びつくことを期待する」という方法が挙げられる．

今後のBH観測に向けて，観測される「事象の地平面の少し外の領域」の理論的な定式化を進めることは重要であろう．
天羽将也 （京大基研D1）

光的無限遠を参照した光子球の一般化

38

バックアップ

面積不等式[𝐴𝑃 : 最も外側の「photon sphere」の面積，𝐴𝑆 : シャドウの面積， 𝐴𝐻 : ホライズンの面積，𝑀: BH質量]① Penrose不等式（一般のブラックホール時空での予想．対称性のない時空で未解決予想．）

3
2

2

𝐴𝐻 ≤ 4π 𝟑𝑀2[cf.) 宇宙検閲官仮説]② photon sphereの面積不等式 (静的球対称)

32

2

𝐴𝐻 ≤ 𝐴𝑃 ≤ 4π 3𝑀 2より一般の時空で機能する定義を構成したい
天羽将也 （京大基研D1）

光的無限遠を参照した光子球の一般化

39

バックアップphoton sphere時間

photon sphereとは，一言で言えば，静的球対称時空において「角度方向に放った光が半径一定であり続ける」面

𝑆がphoton sphereである条件:

1. 𝑆 に接する全ての光が𝑆に乗り続ける
2. 時間並進・回転で不変
3. 𝑆に乗り続ける光の軌道に外向きの摂動を与えると無限遠に到達例：質量𝑀のSchwarzschild時空では𝑟 = 3𝑀の球面はphoton sphere
天羽将也 （京大基研D1）

光的無限遠を参照した光子球の一般化

𝑺
光photon sphere40

例：定常回転BH，球対称動的BH

Outgoing Vaidya時空での形状r
𝑟 = 3𝑚(𝑢)darkhorizonの半径

u
天羽将也 （京大基研D1）

光的無限遠を参照した光子球の一般化

41

テーマ①：光の無限遠への到達条件

可視光子球面の一般化に向けて⚫ 可視光子球面は，「角度方向に放射した光が半径一定であり続ける」“直感的には”無限遠に到達しそう

実際に正しいか調べる．

十分遠方から角度方向に出した光がBHに落ちる放射点と無限遠に到達する放射点の境目の構造を捉えたい

無限遠に到達するか調べる．

42

無限遠近傍の近似的photon surface

近似的photon surface[Claudel et al. (2001), Perlick (2005)]

𝑆 がphoton surface ⇔ 𝑆 の外的曲率のトレースレス部 𝜎𝑎𝑏 が0𝒓 =一定面の外的曲率のトレースレス部 𝝈𝒂𝒃 の𝒓−𝟏 展開の主要項が0のとき
𝒓 =一定面を近似的photon surfaceと呼ぶ

𝝈𝒂𝒃 の主要項が0であることと
𝛺𝐼𝐽 (𝑟)の主要項が0であることが，対応していると期待43

単純な具体例との対応

Vaidya時空⚫ 動的球対称な解（Schwarzschildの拡張）⚫ 流束が外向き（Outgoing Vaidya）と内向き（Ingoing Vaidya）がある⚫ 流束の速さは光速
Outgoing Vaidya :2𝑚2
𝑑𝑠 = − 1 − 𝑛−3𝑟

𝑑𝑢2 − 2𝑑𝑢𝑑𝑟 + 𝑟 2 𝜔𝐼𝐽 𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽

Ingoing Vaidya :Outgoing
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

Ingoing44

単純な具体例との対応

Vaidya時空の𝑚の項の解釈（雑記）ሶOutgoing : 𝑇𝑢𝑢 = −𝑚 𝑢 ,𝑢4𝜋𝑟 2Ingoing :𝑇𝑣𝑣 =𝑚 𝑣 ,𝑣
4𝜋𝑟 2fluxの向きによらず内に曲げられることの解釈 （まだ完全にはしっくりきていません． ）候補①：半径が小さい方が「密度」が大きい
候補②：Newton力学同様に球対称分布では，動径座標が大きいところからの引力同士が相殺して動径座標が小さいところからの引力のみが働いている？

十分遠方から角度方向に放った光の測地線方程式について，
Schwarzschildでも現れる寄与は高次であり，null物質が流れる事による内向きに曲げる寄与がleading．
このことから何か面白いことが言えないだろうか？既知の何かと関係？
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

45

導入

photon sphereの一般化の従来の試みex.) Yoshino et al. (2017), Yoshino et al. (2019), Siino (2021).

状況によって，便利な定義が異なる．
• 動的な時空は扱えないが，定常な時空にも適用できる定義• 高速回転するKerr BHは記述不可だが，動的な時空にも適用できる定義• BHがない時空でのphoton sphereは記述できないが，高速回転するKerr BHも扱える定義… 詳細はさておき，とにかくphoton sphereの一般化は一長一短！

課題点を克服した定義を構築したい
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

46

具体例との対応

内向きVaidya時空でΩ𝐼𝐽 =0となる具体例
内向きVaidya計量：

𝑑𝑠 2 = −

2𝑀 𝑣
1−
𝑟

𝑑𝑣 2 + 2𝑑𝑣𝑑𝑟 + 𝑟 2 𝜔𝐼𝐽 𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽 .

特に

𝑑𝑀(𝑣)
2𝑀(𝑣)
= 1−
𝑑𝑣
𝑟PS

3𝑀(𝑣)
1−
𝑟PS

のとき，𝑟 = 𝑟PS は厳密なphoton surface．

外向きの放射でも内向きの放射でも，photon surfaceが形成される
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

47

dark horizonの直感的説明

脱出円錐
光的無限遠に到達する光の方向を，(接空間内の) 時間一定面に射影→各点ごとにこの向きを2次元球面上に表したものを脱出円錐という．
Σ
BH

脱出
円錐

脱出
脱出
しない

天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

48

dark horizonの直感的説明

Schwarzschild時空における脱出円錐

脱出
脱出
円錐
円錐

への到達を議論

脱出
円錐ある大円が脱出円錐の外側

𝟑𝑴
photon sphere

脱出 脱出
円錐 円錐

ある大円が脱出円錐の内側※ 大円：球の中心を通る平面と球面との交線
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い𝒓

49

dark horizonの直感的説明

photon sphereの一般化：2種類のdark horizon
時空の各点を，その点での脱出円錐によって3つに分類：

脱出
円錐

脱出
円錐

任意の大円がinner dark horizonと呼ぶ脱出円錐の境界と交わるある大円が脱出円錐の外側
この境界の点の集まりを

脱出円錐

この境界の点の集まりをある大円が脱出円錐の内側
outer dark horizonと呼ぶ

2つの総称：dark horizon
天羽将也

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

BHからの
距離

50

dark horizonの直感的説明※射影する空間的超曲面 Σ に依存

event horizonとの比較

脱出
円錐

脱出
円錐

ある大円が ある大円が脱出円錐の外側脱出円錐の外側

脱出円錐

任意の大円が脱出円錐の境界と交わる

この境界の点の集まりがこの境界の点の集まりを
event horizon
inner dark horizonと呼ぶ

この境界の点の集まりを
outer dark horizonと呼ぶ

2つの総称：dark horizon
天羽将也

ある大円が
脱出円錐の内側

null測地線の無限遠近傍の漸近的振る舞い

BHからの
距離

51

無限遠近傍の近似的photon surface

Photon surface[Claudel et al. (2001)]

超曲面𝑺がphoton surfaceであるとは， 𝑺に接する任意のヌル測地線が少なくとも有限時間𝑺に接し続けることをいう[再掲]

𝑑𝑟= 0 の光的測地線方程式：𝑑λ𝑑2 𝑟𝑑𝑥 𝐼 𝑑𝑥 𝐽= 𝑟 𝛺𝐼𝐽 (𝑟) 𝑑𝜆 𝑑𝜆 + O 𝑟 − 𝑛−5 /2𝑑𝜆2|

𝑑𝑥 𝐼 2𝑑𝜆|𝛺𝐼𝐽 = 0の条件は，半径一定面がphoton surfaceであることと近似的に対応していると期待

BH
BH

photon surface

52

近似的photon surfaceの存在条件

角度方向
光的条件 &𝑑𝒓=𝟎𝑑λに放射した直後の振る舞い

𝑑𝑟= 0 & 測地線方程式：
𝑑λ

𝝁 𝑑𝒙𝝂
𝑰 𝑑𝒙𝑱
𝒅𝟐 𝒓
𝑑𝒙
𝑑𝒙
𝒓
− 𝒏−𝟓 /𝟐
=
−𝚪
=
𝛀
(𝒓)
𝒓
+
O
𝑟
𝝁𝝂 𝑑λ 𝑑λ
𝑰𝑱
𝒅𝝀𝟐
𝑑λ 𝑑λ

𝛀𝑰𝑱 (𝑟) ≔(𝟏 +

|

𝑑𝒙𝑰 𝟐
𝑑λ

|

𝟏
𝟏 1
𝜇𝑟
ሶ −(𝑛/2−2) ) 𝝎𝑰𝑱 − 𝒉ሶ 𝐼𝐽 𝑟 −(𝑛/2−2)𝟐𝟐計量の𝑟 −1 での展開係数
𝑛 = 4のときのみ
主要項が異なる: 遅延時間 𝑢での 微分ሶ𝝎 : 平坦時空における半径一定面上の計量
𝑰𝑱

4次元時空でのみ重力が𝑟 −1 展開の主要項に寄与

53

具体例

Weakly asymptotically simpleな時空（雑記）weakly asymptotically simpleが成立するように漸近的平坦性を定義する場合が多いのある近傍で，asymptotically simpleな別の時空ののある近傍とisometricTownsend,
gr-qc/9707012

無限遠近傍で光の半径一定の軌道を無限に長い時間保つことが可能であるとき，時空はweakly asymptotically simpleではないのでは？

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重宇a11 天羽将也 （京大基研D1）

photon sphereの一般化「dark horizon」

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重宇a11 天羽将也 （京大基研D1）

photon sphereの一般化「dark horizon」

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