関西化学機械製作株式会社
創立７４周年記念技術書

原

書: Transport Process Chemical Engineeringの著作権について

Copyright© 2021 by the author. All rights reserved. No part of this book may be
reproduced in any form without the prior permission of the author.
The author sincerely gave a personal permission to the following three parties ororganizations only for education.
(1) Department of Chemical Science and Engineering, Kobe University, Japan(2) Kansai Chemical Engineering Co., Ltd., Japan(3) Department of Chemical Engineering, Louisiana State University, USA
This book will be placed as the PDF file in the respective web sites within their
homepages.
Within these parties, any teachers and students can freely access their individual
URL web site shown below to get any useful knowledge and/or information andmaterials for study and investigation.
Kansai Chemical Engineering: https://www.kce.co.jp/en/library
Kobe University: https://doi.org/10.24546/90008260
http://www.lib.kobe-u.ac.jp/handle_kernel/90008260
Permission for any other use must be obtained in writing from the author or fromone of the above three parties.
DOI: 10.24546/90008260

本書は、上記のように原書 Transport Process Chemical Engineering の著作権を保護したままで、著者本人が翻訳したものである。
大学での化学工学系の基礎教育だけでなく、産業界においても、我が国の化学産業を支える化学工学技術者の再教育を意図して、活発な開発意欲をもって活躍できるように、もう一度、原点に立ち返って研修・育成することを目的とした教科書「輸送プロセス化学工学」である。
この日本語版の本も神戸大学附属図書館のリポジトリにおいて、下記のように
JaLC DOI が取れて有効となっています。
神戸大学： https://doi.org/10.24546/90008775
この日本語版の本書は関西化学機械製作（株）の下記の URL に公開されています。
https://www.kce.co.jp/tec-info/anniversary_74th/

本 書 に 寄 せ て本書が供する輸送プロセス化学工学 (Transport Process Chemical Engineering) は化学工学教育の中で，大きな意義深い基礎分野である。
著者である片岡邦夫神戸大学名誉教授は学部，大学院に連続する化学工学基礎教育科目において，35 年間，この主題で講義をして来られました．この TPCE はその学部から大学院に跨る基礎教育的な教科書と言えます．学部学生が数学コースで難しいベクトルやテンソルの解析学を習っている間で，この TPCE により最初に現物としてのベクトルやテンソ
ルに接することになり，たじろぐかも知れません．大学院学生ともなれば，一段上に進んだ課題のための第２の発想源として，もっと実際的な様相を見直すことに使えるので，恩恵を受けるのではないかと思われます．
本テキストは熱，物質，運動量の輸送に関するミクロな収支とマクロな収支を根本から考えています．それらの各章は個々に対処すべき問題に対して簡単化して解くことができるように，一般化された数学から始めるようになっています．簡単化のための仮定にも限界があることも明確に示しています．各章にはいろいろな例題とその解法が示されていると共に、適切な問題も用意していますので，学生には自分たちの解法が正しいかどうか，知ることができると思います．
学生は複雑な問題や事象に対して，さまざまな方向から，いろいろなやり方で対応しようとすることを私自身の４０年にわたる講義経験から知っています．ある学生のグループが一人の著者の表現に対して応答が非常によく，理解しようと意欲を示しても，他の学生のグループは同じ著者の同じ表現であっても，まったく応答が悪く，興味を持ちにくくて理解しようとする意欲が現れないことがよくあります．しかし、このような応答が悪い学生グループでも，他の著者の幾分異なったやり方や表現で同じ問題や事象を与えますと，非常によい対応をすることがあります．本書はその補完的な役割もすることでしょう．この点を強調するために，学内のある敬服する教授が最近，このようなことを言いました．
「新しい講義を準備する時はいつも上記のような２種類の学生がいることを念頭に置いた方がいい．」と．
この教科書は英語で書かれているので，世界中の化学工学の学生にとって有用なはずです．特に，片岡教授は全ての興味のある人たちに無料で見てもらうことができるように，
下記の web site の URL を掲載する道として選択したことは意義深いと思います．
関西化学機械製作株式会社 (https://www.kce.co.jp/en/library)
神戸大学 (https://doi.org/10.24546/90008260)
ただし、次の URL (http://www.lib.kobe-u.ac.jp/handle_kernel/90008260) も 2022 年
9 月のシステム変更までは有効ですが、期限切れになる予定です。
ルイジアナ州立大学 化学工学科
名誉教授 ダグラス・ハリソン（訳者：片岡邦夫）

本書の発刊の目的と意義について
本書は原書 ”Transport Process Chemical Engineering” (2021) を、弊社の特別顧問として活躍中の著者自身が日本語に翻訳した化工技術者の基礎教育のための教科書です。その目指すところは、化学工学が成熟して工学基礎分野となった今、工学基礎教育における大学と産業界の力点の間に、現在、大きな乖離があること、そして活躍すべき化工技術者の経験や知識のバックグランドに変化が起き、多様化して力点がバラバラになって、薄まって来ていること，技術の進化・発展のために必要と思われる「基礎原理の原点に立ち帰ろう」とする動きが鈍って来ていること、等々を真摯に受け止め，お互いを理解し合いながら原点を共有することだと思います。これらの問題意識から、化工技術者が本来の目標を失わないように、これからどうあるべきか，どうあってほしいかを考えて、化学工学基礎の教科書を発刊することにしました。学界，産業界いずれにとっても将来のために考えるべき重要な問題であり，本書は一石を投じるだろうと思います。
日常生活や通常の多様な業務、産業界の多方面の生産業務にも経済的不利益や不便であったり、能率が悪かったり、不安定であったりで、技術開発、改善をやらなければならな
い問題は多々あります。当然、面倒な作業や操作の改善、コストダウンは常にありますが、これからの産業界を支えるためには、本質的な R&D の活性化とグレイドアップが重要であり、本来の多様なニーズの活発な探求、エネルギー問題や環境保全問題への貢献、持続的循環型社会の構築への活動と貢献、そしてやはり化学プロセスの現象やその原理そのものの基礎の理解と有用な知識の蓄積と基礎実験と試行が重要であり、本書が優秀な化工技術者の育成の一助となることを期待します。
関西化学機械製作株式会社代表取締役社長

野田秀夫

２０２１年１１月
なお、上記の原書は，弊社ホームページの下記の URL へアクセスすれば、自由に見ることができます。
https://www.kce.co.jp/en/library
この日本語版も弊社の HP の次の URL で公開しています。
https://www.kce.co.jp/tec-info/anniversary_74th/
英語の原書については、神戸大学附属図書館のご厚意により、付属図書館のリポジトリ
ーに保管され、公開することになり，下記の URL にもアクセスすることができます。
https://doi.org/10.24546/90008260
ただし、次の URL （http://www.lib.kobe-u.ac.jp/handle_kernel/90008260）もシステムの変
更工事が予定されている 2022 年 9 月までは有効です。

ⅰ

序

文

本書は学部３年生から大学院博士前期課程１年生の３年間にわたって，半期２単位の３
基礎科目を連続して受講する履修要件の化学工学系の学生を対象にした化学工学の基礎教
育の教科書として書かれている．初期の目的である技術教育の国際化のために書いたつもりの英語による教科書を，我が国の技術教育と産業界の技術者の育成のために，後で日本語に翻訳しなおした書でもある．
バイブルとも言える輸送現象に関する歴史的な教科書は，ウィスコンシン州立大学の R.
B. Bird, W. E. Stewart そして E. N. Lightfoot の３教授が 1960 年に発刊された“Transport
Phenomena” (John Wiley & Sons, Inc.)である．彼らが，それまで別々に論じられていた流動，
伝熱，物質移動を初めて統一的な輸送の概念により解析し，見事にまとめ上げたのである．
すでに 60 年を過ぎるが，このコンセプトは変化することなく，今も凛々しく生き続けている．
著者は神戸大学化学工学科に在職して 1968 年以来，退官するまでの 35 年間，この分野の講義を担当し，その改善・充実のために研鑽して来た．幸運なことに，その間の 1978 年に 1 年間，ルイジアナ州立大学化学工学科に招聘されて，化学工学基礎の一必須科目の講義を担当する有益な機会を得たことは大きな人生の転換期になった．もちろん，その時に採用した教科書は “Transport Phenomena” であった．その滞在期間中に，偶然，訪問されていた Bird 教授にお会いして，貴重なコメントやアドバイスをもらったおかげで，本書の著者の教育理念になっている．
本書は流体力学，熱力学，伝熱工学，物質移動工学をモデリングを重視するプロセス技
術者の観点から統一的にまとめ上げた教科書である．ただし，放射伝熱は同じ統一的概念
では論じることは困難であり，ここには入れていない．本書が通常の教育課程の教科書としてだけでなく，自習あるいは研究のための参考書としても役立ってくれるならば，望外の喜びである．
本書の目的は，“Transport Phenomena” の構成とは異なり，輸送プロセスの課題を基礎原理から実際的な応用へと発展的に展開する方向で論じることにしている．
本書を大学での化学工学コースのカリキュラムに沿って使う場合，第１部（PART I）の全範囲と第２部（PART II）の第 20 章を学部コースで学ぶのが適切である．第２部（PARTII）の第 11 章から 16 章は一歩，進んだ議論になっており，大学院コースに向いている．
残る第 17 章から 19 章は少し難解な乱流理論であり，必要でない読者もいると思われるが，
ドクターコースの学生やこの分野に精を出す学術研究者に参照してもらうのが適当であろう．
第 2 章は運動量，熱，物質の輸送物性定数の基礎的な定義を説明している．続く第 3 章
は学ぶ前の基礎知識として流体の流れの基本的な形態（層流と乱流）を紹介し，乱流の発生（不安定現象）について定性的に説明している．第 4 章は工業的に使われる実際の装置
や容器，パイプのようなマクロな大きさの部分についての運動量，エネルギー，物質の収支を論じるための，コントロール・ボリューム法を導入し，種々の化学装置の実際的な設計に応用できる重要かつ一般性を有する基礎方程式を導出している．また実際的な装置に対して基礎方程式の簡単な応用例も説明しており，この 3 章が学部コースでの最重要な基礎知識を提供している．
第 5 章は微分の概念を入れて，運動量，エネルギー，物質それぞれについて，着目したミクロな領域（微分要素）における出入の収支を考察して，いかに一般性のある（Navier-Stokes の運動方程式のような）基礎輸送方程式を微分方程式の形で導出するか，を論じている．少し数学的ではあるが，すべてのプロセスの根底であるので学部，大学院
とも体験できた方がよい．ただし，数式を一般化するためのベクトルやテンソルの表現は大学院生向きであろう．第 6 章は，もっぱら基礎輸送方程式の応用例を論じている．先ず

ii

は運動量に関する流動の問題で，最初の 2 例はニュートン流体の Navier-Stokes の運動方程式を解く問題である．続く 2 例は大学院向きの非ニュートン流体についての応用例である．
次に，熱移動と物質移動に関する微分方程式を解く問題 4 例を扱っている．この 4 例は学部生，大学院生とも有益であろう．いずれも，基礎輸送方程式をいかに適用して，難しい偏微分方程式から出発して，簡単に解ける常微分方程式にまで簡略化するかを学ぶことになる．実際の化学工学が直面する現象は運動量や熱および物質の移動が気液とか固液とか固気とか異相間の境界を越えて移動する場合がほとんどであり，第 7 章から第 10 章まで
は，異相間の移動をどのように取り扱うかを学ぶ．すなわち，異相間の境界（界面と呼ぶ）
付近に存在する抵抗の逆数（移動のし易さ）を表す移動係数を定義し，両相の抵抗を論じ
る境膜理論（film theory）を理解する．この移動係数の概念がいかに実際的な設計にとって重要であるかを学ぶ．ほとんどの化学工学プロセスのシステム設計は異相間移動の概念に基づいて，コントロール・ボリューム法によりモデリングするので，非常に重要な章である．第 9 章の後半には円柱周りの伝熱の移動係数の知識を応用して，流体の速度を計測する「熱線流速計」原理についても説明している．
第 2 部 (PART II) においては，第 11 章から第 13 章までは，蒸留と調湿プロセスについて，輸送化学工学の概念，特に熱と物質の同時移動の考え方を導入して論じている． 第11 章は平衡段モデルの観点から，従来と同様の手法で蒸留の基礎について学部生向きに説明している．第 12 章は大学院生向きに，熱と物質の同時移動のより進んだ概念を入れた新たなコントロール・ボリューム法を定義して，充填塔の蒸留プロセスを論じている．第 13章も同時移動の概念により，エア・コンディショナーのような空気・水系の実際的な化学装置の設計の仕方について説明している．第 14 章は，大学院向けに電解溶液内でのイオンの物質移動を扱っている．物質移動量を電気的に計測するには移動するイオンが電極に到達して放電する量を測定するのが便利であり，物質移動の動的観察をする研究をやっている大学院生には有用であろう．
第 15 章と第 16 章は相変化を伴う伝熱（凝縮・蒸発）と化学反応を伴う拡散の解析について論じている．第 15 章の膜状凝縮伝熱のメカニズムは正攻法の伝熱解析が可能であり，理解し易いが，沸騰現象は複雑で，理論的解析は省略している．第 16 章では反応吸収を取り上げているが，反応項を伴う拡散方程式となると，かなり面倒な解析となるので，今日ではコンピューターによる数値解析で解を出す方が便利かも知れない．第 17 章は乱流輸送
現象の根本的様相を，これを専門とするような大学院生や研究者のために説明して提供している．
第 18 章の境界層理論と第 19 章の自然対流は大学院コースが適切で，より進んだ流動解析モデル（境界層理論，流れ関数など）や相似性理論（運動量，熱，物質の移動の間に相似性があること）を紹介して，現象論的な，より深化した解釈を提供している．
最終の第 20 章は，また実際的な問題に戻って，化学工学操作の基本となる非常に実際的な「撹拌・混合」を取り扱っている．非常に応用的な分野であるので，複雑な流れの解析は難しいが，基本的な考え方と実装置へのスケールアップの方法について論じている．最終章ではあるが，学部生の技術者になるための基礎知識になると信じている．
輸送現象の観点から多様な化学工学のプロセスとシステムを技術的に開発研究することは，実際の産業界では益々必要になって来ている．本書などが将来のプロセス・システム
開発，プロセス強化，技術刷新に有効に寄与できればと思っている．
著者の友人であるルイジアナ州立大学の D. P. Harrison 名誉教授には本書の発刊前の原稿を反応工学専門家の立場で一読してもらい，貴重な意見やアドバイスをもらった．
筆を置くに当たって，神戸大学の化学工学科の全教職員，学生・卒業生の皆さんから，そして，化学工学会から広く，絶えずありがたいご支援，ご協力を授かったことに謝意を表します．
また、関西化学機械製作株式会社，代表取締役社長の野田秀夫様からは温かいご支援，
ご理解そして実際の応用的な観点からのコメントをいただいたことに感謝申し上げます．
片岡 邦夫*神戸大学名誉教授*関西化学機械製作（株）特別顧問
2021 年 6 月

iii

目

次

第１部
1

序

2

運動量，エネルギー，物質の移動に関する基礎法則
2.1
粘度 (Newton の粘性の法則)
2.2
熱伝導度 (Fourier の熱伝導の法則)
2.3
拡散係数 (Fick の拡散の法則)
2.4
運動量，エネルギー，物質の分子的輸送の間の相似性(Prandtl 数および Schmidt 数)
2.5
非ニュートン（Non-Newtonian）流体

7
7
9
11

3

粘性流
3.1
3.2

(層流と乱流)
円管内流における層流と乱流乱れの発生 (乱流遷移)

17
17
18

4

巨視的収支論：コントロール・ボリューム法
4.1
運動量，エネルギー，物質の保存の原理
4.2
物質の巨視的収支
4.3
運動量の巨視的収支
4.4
エネルギーの巨視的収支
4.5
力学的エネルギーの収支4.6
非等温系の熱エネルギーの収支
4.7
個々の成分に関する巨視的収支

21
21
21
23
26
28
33
37

5

微視的収支：微分収支5.1
物質と運動量の微分収支
5.1-1 物質の微分収支 (連続の式)
5.1-2 運動量の微分収支 (Navier-Stokes の運動方程式)
5.2
エネルギーの微分収支 (エネルギーの輸送方程式)
5.3
物質の微分収支 (物質の輸送方程式)

41
41
41
43
46
48

6

微分輸送方程式の応用
6.1
運動方程式の応用問題 (I)6.2
運動方程式の応用問題 (II)6.3
運動方程式の応用問題 (III) 非ニュートン流体
6.4
運動方程式の応用問題 (IV) 非ニュートン流体

51
51
55
57
59

説
1.1
輸送プロセス化学工学で何を学ぶか?
1.2
概念と定義
(1) 輸送科学の二つの観点(2) 単位(3) 物理量の３つのカテゴリー(4) 輸送強度(5) 流体の力

1
1
3

14
15

iv

6.5
エネルギー輸送方程式の応用問題 (I)6.6
エネルギー輸送方程式の応用問題 (II)
6.6-1 定常熱伝導問題
6.6-2 非定常熱伝導問題
6.7
物質輸送方程式の応用問題

61
66
66
68
71

7

異相間運動量移動
7.1
乱流の性質
7.2
管内流の流体摩擦係数と圧力降下
7.3
管内流の摩擦係数の次元解析
7.4
力学的エネルギーの損失
7.4-1 管内における力学的エネルギー損失
7.4-2 管附属物による力学的エネルギー損失
7.4-3 円形断面でないチャンネルの水力相当直径
7.5
浸漬物体に働く抗力

77
77
80
82
84
84
85
89
91

8

異相間エネルギー移動
8.1
乱流伝熱と伝熱係数の定義
8.2
乱流伝熱におけるエネルギー輸送方程式の応用問題
8.3
総括伝熱係数と熱交換器
8.3-1 総括伝熱係数の定義
8.3-2 対数平均温度差

93
93
95
97
97
99

9

伝熱装置
9.1
シェル・アンド・チューブ熱交換器（多管式熱交換器）
9.2
管内側伝熱係数9.3
二重管式熱交換器の環状部側伝熱係数9.4
シェル（胴）側の伝熱係数
9.5
1－2 熱交換器の真の温度差9.6
多管式熱交換器の工学的設計
9.6-1 二重管式熱交の熱的設計
9.6-2 多管式熱交の熱的設計
9.7
浸漬物体周りの対流伝熱9.7-1 直交流中の単一円柱
9.7-2 熱線風速計
9.7-3 直交流中に浸漬された単一球

103
103
104
104
105
106
107
108
109
114
114
115
116

10

異相間物質移動 （ガス吸収）10.1
物質移動係数の定義
10.2
熱と物質の移動の間のアナロジー（相似性）
10.3
異相間物質移動の理論
10.3-1 基礎論 ---ガス吸収の気液平衡10.3-2 ガス吸収の異相間物質移動
10.3-3 ガス吸収の物質移動モデル
10.3-4 充填式ガス吸収塔における物質移動係数10.4
充填塔の物質移動係数の相関10.4-1 液相の移動単位高さ（HTUL）
10.4-2 気相の移動単位高さ（HTUG）
10.5
充填塔の塔径と圧力損失
10.6
乾き充填塔の圧力損失

119
119
121
121
121
122
124
128
128
128
130
130
132

v

第２部
11

物質移動装置
（蒸 留）
11.1
蒸留の基礎
11.1-1 蒸留の相平衡
11.1-2 温度・組成線図（定圧気液平衡）
11.2
蒸留装置
11.2.1 連続式棚段蒸留塔
11.2-2 棚段塔の基礎
11.2-2-1 理想段の定義
11.2-2-2 物質収支
11.2-2-3 McCabe-Thiele 法
11.2-2-4 McCabe-Thiele 階段作図計算法
11.2-2-5 還流比
11.2-2-6 エンタルピー・組成線図法 (Ponchon-Savarit 階段作図法)
11.3
蒸留塔における物質移動 （段塔）
11.4
トレイモデル (段効率)11.4-1 マーフリー段効率（Murphree Plate Efficiency）
11.4-2 蒸留の物質移動実験
11.5
設計計算手順11.6
蒸留塔システムの熱収支

135
135
135
136
137
137
139
139
140
142
144
145
145
148
151
151
152
154
155

12

熱と物質の同時移動 - I
12.1
熱と物質の同時移動の理論 - I
12.2
充填塔蒸留プロセスの輸送現象
12.2-1 物質とエネルギーの同時移動モデル
12.2-2 充填式蒸留塔の効率
12.3
充填蒸留塔の物質移動，エンタルピー移動間のアナロジー

159
159
161
161
163
164

13

熱と物質の同時移動 - II13.1
熱と物質の同時移動の理論 – II
(調 湿：加湿と除湿)
13.2
調湿と蒸発冷却における熱と物質の同時移動
13.2-1 湿球温度の理論
13.2-2 湿度図表
13.3
蒸発冷却 --- 冷水塔 ---

169
169
172
172
174
177

14

イオンの物質移動
14.1
電解槽
14.2
電気化学反応システムのイオンの物質移動
14.3
電気化学的手法による物質移動の計測法
14.4
壁面における速度勾配の測定法

181
181
182
183
185

15

相変化を伴う伝熱15.1
凝縮
15.1-1 凝縮伝熱
15.1-2 鉛直壁面における純蒸気の膜状凝縮
15.1-3 凝縮伝熱係数15.1-4 塔頂コンデンサーの工学的設計
15.2
蒸発
15.2-1 沸騰の伝熱
15.2-2 プール沸騰

189
189
189
189
191
192
194
194
194

vi

15.2-3 プール沸騰の伝熱相関15.2-4 限界熱流束16化学反応を伴う物質移動
16.1
均相化学反応を伴う拡散
16.1-1 静止流体中における均相反応を伴う拡散 ---- 浸透理論 ----16.1-2 1 次反応を伴うガス吸収16.2
２分子瞬間反応を伴うガス吸収
16.3
充填式吸収塔の設計

196
197

199
199
199
201
202
206

17 乱流輸送現象
17.1
乱流輸送の基礎方程式
17.1-1 乱流の基礎的性質
17.1-2 乱流の運動方程式
17.1-3 乱流のエネルギーと物質の輸送方程式
17.2
乱流輸送の現象論的理解
17.2-1 乱れの非線形作用による効果
17.2-2 混合距離理論と渦拡散係数
17.2-3 乱流相関に基づく混合距離モデル
17.3
乱れの構造
17.3-1 乱れの力学的エネルギーのエネルギースペクトル17.3-2 空間的相関と時空間的相関 ----- 渦サイズの定義
17.4
円管内乱流の速度分布17.5乱流構造と乱流渦の役割
17.5-1 円管内流の乱流構造
17.5-2 輸送プロセスにおける乱流渦の役割

213
213
213
215
216
216
216
217
219
222
222
226
228
231
231
232

18 境界層理論
18.1
流れ関数
18.2
平板に沿う層流の境界層理論
18.3
境界層流の積分方程式
18.3-1 平板に沿う層流の境界層流の運動量積分方程式
18.3-2 層流の境界層流のエネルギー積分方程式
18.3-3 乱流境界層流18.4
流れ関数の衝突流への適用
18.5
衝突噴流伝熱18.6
速度勾配計測法に関する境界層理論解析

235
235
237
241
241
242
243
244
246
247

19 自然対流
19.1
19.2

251
251
253

自然対流の境界層理論による解析法
自然対流伝熱20 撹拌
20.1
液の撹拌と混合20.1-1 撹拌装置の一般的構造
20.1-2 撹拌槽における流動パターン
20.2
撹拌槽における消費動力
20.2-1 次元解析
20.2-2 動力相関
20.3
撹拌槽における伝熱20.4
撹拌槽のスケールアップ設計

257
257
257
259
259
259
262
263
264

索 引

269

第１部

第１章
序

説

1.1 輸送プロセス化学工学で何を学ぶか？
これから何を学ぶかを知るために，化学プラントの例として，重質油からメタンを製造するプロセスについて，考えてみよう．
図１ はそのフローシートを示す．重質油は通常，原油を蒸留するプラント１から沸点が高い塔底産物の一つとして抜き出される．このメタン製造プロセスはガス化，精製分離，
メタン化反応（methanation と言う）などから構成されている．

図 1.1-1. 化学プラントのプロセスフローの図例

重質油，酸素，水蒸気は，熱交換器２と３を通った後に，ガス化反応装置４に供給される．そこで，分子量の大きい炭化水素は触媒なしで熱分解反応を受けて，CO と H2 になる．ガス化反応装置４からの出口ガスは冷却され，スート（すす）分離器６を通過後，脱硫装置７に入る．脱硫（硫黄分除去）装置７を経過したガスの組成は CO, H2, と少量の CO2からなっている．このガスは二つのラインに分かれて，精製ラインとメタン生成（methanation） ラインに供給される．精製ラインでは水による飽和器８，加熱器を通って

2

序

説

後，水性ガス化反応装置１０に送られる．この反応装置は固体触媒粒子を充填した固定床であり，ニッケル系触媒の存在下で，CO + H2O → CO2 + H2 なる反応を受ける．この反応は可逆的な発熱反応である．このシフトガスは H2 と CO2 が主成分であり，直接冷却器，熱交換器１１を通って後，CO2 吸収装置１２に入り，水かアルカリ水溶液などで CO2 が吸収除去される．このガス吸収装置は充填塔であり，ガスは塔底から塔内を上昇させ，吸収液は塔頂から流下させ，直接，向流接触させる．その気液の接触をよくするために工夫された形状の固体充填物が充填されている．この装置から出てきたガスはメタン化反応の原料となる水素の濃度が高いガスである．
他方，ガス化装置からもう一つのガスは，上記の精製ラインからの水素含有ガスと混合され，一連のメタン化反応装置１４に供給される．メタン化反応装置はニッケル系触媒粒子の充填床反応装置であり，CO + 3 H2 → CH4 + H2O なる反応が行われる．反応装置から出て来た生成ガスは，水蒸気を含んでいるので，コンデンサー１５で水蒸気を除去した後，メタンが主成分の製品ガス５として得られる．ただし，製品ガスの転化率を，したがって収率を高めるために，圧縮機１６により，ある割合で製品ガスを反応装置１４にフィードバックしている．
工業的な装置を設計するに必要な知識・情報の必要要件として，個々の操作の基礎的性
質や特性を理解しておく必要がある．このプラントは，これから学ぶ種々の運動量，エネルギー（熱），物質の輸送プロセスの例を示している．
管路の設計にあたっては，我々は次のような項目を知る必要がある：
1) 流れる流体の力学的エネルギーの損失（または圧力損失）
2) ポンプ，圧縮機，送風機などの動力，所要流量を達成できる管直径
所要動力計算のための力学的エネルギー収支（修正 Bernoulli 式）および管路中の個々の部分における圧力損失を計算するための摩擦係数，相当長さと摩擦損失係数の概念，などを，このコースで学ぶ．
熱交換器の設計にあたっては，次のような項目を知る必要がある：
1) シェル（胴）側および管側の流れの圧力損失
2) 必要伝熱速度を達成するに必要な伝熱面積 (熱交換器のサイズ)
熱交換器の大きさを求めるために，流体の排出温度計算のためのエネルギー収支および伝熱係数の概念を，このコースで学ぶ．
ガス吸収装置の設計にあたっては，次のような項目を知る必要がある：
1) 操作条件 (液・ガス流量比，温度，圧力など)
2) 要求分離効率を達成するに必要な吸収塔の高さ
3) 希望の液・ガス接触条件を満たす吸収塔の塔径
相平衡は熱力学のコースで学ぶことになる．物質移動係数の概念は必要物質移動面積す
なわち吸収塔の必要（充填層）高さの算定のために学ぶ．
上のプラント例には蒸留プロセスがないが，蒸留は最もよく使われる単位操作の一つである．多くの蒸留塔は製油所のプラントで出逢う重要な装置である．蒸留塔の設計にあたっては，
1) 操作条件（原料供給量，還流比，温度，圧力，液・ガス流量比など）
2) 原料混合物の性質に適した塔内部構造（棚段塔，充填塔）
3) 要求分離効率条件を満足する必要段数，必要充填層高さ

概念と定義34) 希望気液接触条件を達成できる塔径
ほとんどの蒸留塔の設計法は平衡段モデルに基づいているので，蒸留プロセス工学のために相平衡は非常に重要である．
蒸留塔の実際的な設計のために，平衡段モデルに基づいた工学的計算の基礎を学んだ後，
我々は熱と物質の移動の観点から蒸留プロセスを理解することを試みる．
反応装置の設計にあったては，次のような項目を知る必要がある：
1) 操作条件（温度，圧力，原料組成など）
2) 希望転化率と生産量を満足する反応装置の大きさ
3) 適切な触媒の選択
反応動力学（反応速度，化学平衡，など）は他のコース（化学熱力学，反応工学など）で習う．実際には反応速度は温度・圧力だけでなく，反応成分の物質移動に大きく依存するので，流動パターンや熱および物質移動特性は本コースで習うべきものである．
粉塵の除去装置（ 集塵装置）の設計にあったては，次のような項目を知る必要がある：
1) 捕捉できる粒子の最小直径
2) 集塵効率
粒子の挙動に関する基礎力学は流体力学と一緒に学ぶことになろう．
このように，化学工学のプロセスの設計における主要な問題は装置の大きさを求めることである．すなわち，熱あるいは物質の要求される移動速度が得られるために必要な接触面積を計算することである．
化学工学の装置における流体の流れは大抵，乱流である．したがって，熱・物質移動および反応に対する乱れの混合効果は特に重要である．ゆえに，本コースで乱流の現象論的な理解をすることは新しい装置の設計や，装置の効率・改善において，読者には非常に役立つであろう．
残念ながら，乱流輸送現象に対する問題に対する一般的な解決手法などはない．定量的かつ精密な予見などは，経験や実験によるデータに強く依存する方法なしには，あり得な
いことである．近年はコンピュータのソフトウェアの著しい発達により，乱流輸送メカニ
ズムにもコンピュータ支援モデリングによって挑戦する試みがかなり多くなって来てはいるが，そのレベルは，ちょっとここでは高いので，本コースでは扱っていない．
輸送プロセス化学工学は，工学的観点から個々の操作を理解するために構成された最も基礎的で，最も重要な科学領域の一つである．

1.2 概念と定義(I)

輸送科学のための二つの観点
ラグランジュおよびオイラーの観点

物理領域の表現のためには二つの異なった視点がある．ラグランジュ手法（Lagrangian
approach）では，物理変化は着目要素が動くにつれて, 視点も動くようにして表現される．
したがって，座標は動く要素の時間に依存する位置で表現される．この観点は主に飛行とか運動する個々の粒子や剛体の力学において使われる．他方，オイラー手法（Eulerian
approach）では，物理変化は固定された静止線や静止面で表現される．重要な前提条件として，輸送科学では流体は粒子の集合体ではなく，連続体と見なされることである．その点，オイラーの観点は，流れる流体における物理変化を表現するのに最も適している．

序

4

説

流体粒子は場所によって，それぞれ異なる速度で運動するから，この手法は流路の断面における流体の速度分布のように，与えられた位置，時間における流体変数を与えてくれるので便利である．
(II)単
位
国際標準単位系 (Systeme International), いわゆる “SI units” を本コースでは使用する．
基本単位である質量には kilogram, (kg), 長さには meter, (m), 時間には second, (s)を使う．
力の単位には newton, (N) を使うが，これはニュートン（Newton’s law of motion）の運動の法則の最も簡単な形：𝑭 = 𝑚 𝒂 を使って容易に定義できる．1 N は，質量 1 kg の物体に加速度 1 m/s2 を与えるに要する力である．エネルギーあるいは仕事の単位は joule, (J),であり，物体の変位（動いた距離）とその方向の力の成分との積である．熱に関係する
単位は，基本的には絶対温度, degrees Kelvin, (K), を使うが，便利なので，摂氏 degrees
Cerlsius, (℃), も使う．化学工学では，扱うに便利で有用な別の単位としてモル単位の概念がある．例えば，化学反応を含むプロセスでは，kilogram moles, (kmol), が使われ，質量 kilograms よりはるかに便利である．
(III) 物理量の三つのカテゴリー
本コースで出逢う物理量は次の３カテゴリーのどれかである：(1) スカラー量，例えば，
時間，温度，密度，エネルギーなど，(2) ベクトル量，例えば，速度，加速度，運動量，熱流束，物質流束など，(3) テンソル量，例えば，せん断応力すなわち運動量流束，せん断速度など．ベクトルは３成分から成り，テンソルは９成分から成る．
直角座標系では，例えば，速度ベクトルは次のように表される：
𝒗 = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 )(1.2-1)
せん断応力のテンソルは次のように表される：
𝜏𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝝉 = [𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧 ](1.2-2)𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑧𝑧[ 例 題 1.1-E1] ラグランジュの観点での力の釣り合い
ラグランジュ法の例として，質量 𝑚 の飛球ボールの軌跡に関する問題について考えて見よう．ボールの位置 (x, y) は時間𝑡 の関数である．
時間𝑡 における速度 𝒗 は次式のように分解される：
𝑑𝑥
𝑑𝑦𝒗 = 𝑑𝑡 𝒊 + 𝑑𝑡 𝒋
(1.2-3)

ここで 𝒊 と 𝒋 はそれぞれ x- 方向，y-方向の単位ベクトルである．
ボールに働く外力は重力 𝑚 𝑔 とボール周りの空気が及ぼす（飛行を止めようとする）
抗力 𝑹 = 𝑅𝑥 𝒊 + 𝑅𝑦 𝒋 である．
ニュートンの運動の第２法則をこのボールに適用して：
𝑚 𝑑𝑡 2 = − 𝑅𝑥𝑑2 𝑥

(1.2-4)𝑑2 𝑦

𝑚 𝑑𝑡 2 = − 𝑅𝑦 − 𝑚 𝑔(1.2-5)もし抗力が速度の関数として知られているならば，上の方程式は解くことができる．
その解は次式のような形で得られるはずである．
𝑥 = 𝑥(𝑡) and 𝑦 = 𝑦(𝑡)(1.2-6)

概念と定義5

図 1.2-1. 飛球ボールの運動方程式

変数の時間 t を消去すると，飛行ボールの軌跡が次式のように得られる：
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0(1.2-7)
このような解法は噴霧乾燥機における液滴や遠心沈降分離機における固体粒子の飛跡の計算に適用できる．
(IV) 輸送強度の考え方
今，板を垂直に貫く熱移動速度 (J/s) が同じ２枚の固体の平板がある．一方の板（前者）の面積は他方の板（後者）の面積の２倍あるとしよう．この場合，熱の輸送強度(J/s/m2)（熱流束と呼ぶ）は前者の板の方が後者の板の半分の大きさになる．すなわち
流束 =
速度 =

注目する量の移動量(面積)(時間)
注目する量の移動量
時間（英語では flux と言う）

(1.2-8)（英語では rate と言う）

(1.2-9)

例えば，硫酸銅の電解液中における２枚の銅電極があるとする，一方の電極（陽極）は他方の電極（陰極）よりはるかに大きな（活性な）面を持っている．ある電極間電位差(emf)
で電極反応が起きている時，陽極で発生・放出する銅イオンと同じ速度で陰極には銅イオンの析出が起きる．両極同じイオン物質移動速度にも拘わらず，流束は単位面積当たりなので，陰極への銅イオンの析出の物質流束は陽極の銅イオン放出の物質流束よりずっと大きくなっている．この場合，陰極近傍の物質移動に対する抵抗が支配的になっている．
(V)
流体の力(5-1) 体積力と面積力
例えば質量中心に働くとする重力のような体積力はその系の質量に比例する．面積力，例えば圧力や摩擦力は作用する面積に比例し，通常，直交成分すなわち面に平行な接線成分と直角な法線成分の項で与えられる．
(5-2) 静圧
流体はせん段応力を受けると，連続的に変形して行くが，静止流体の場合，応力は流体要素の面に直角方向に働くだけである．この法線応力を静圧と言う．流体が流れている場合，法線応力は一般に静圧と流体運動により生じた付加的な法線応力の和である．
例えば，法線応力の一成分は次式のように表される：
𝜎𝑥𝑥 = 𝑝 + 𝜏𝑥𝑥(1.2-10)22
圧力や応力の単位は N/m である．パスカル Pascal (1 Pa = 1 N/m ) が圧力の単位としてよく使われる．
(5-3) 静止流体力学
密度一定な流体だけでなく圧縮性の流体の場合でも，静圧は鉛直方向に次式のように
変化する：

序

6
𝑑𝑝
𝑑𝑦

= 𝜌𝑔

説

(1.2-11)

図 1.2-2. 水タンクの静止流体力学

水の入ったタンクについて考えてみよう．水の自由表面より下方の深さℎ の位置における静圧はいくらか？ 水は非圧縮性流体と見なせる： 𝜌 = const.
式(1.2-11) を 𝑦 について積分すると𝑝ℎ𝑝 − 𝑝0 = ∫𝑝 𝑑𝑝 = ∫0 𝜌 𝑔 𝑑𝑦 = 𝜌 𝑔 ℎ
0(1.2-12)

ここで 𝑝0 は自由表面における圧力で，通常，大気が及ぼす圧力である．
[ 問 題 1.2-P1]
マノメータは２点間の圧力差を測定する道具である．密度 𝜌 の流体が円管内を流れている．今，密度 𝜌𝑚 の流体を入れた U-字管式マノメータが管路の AB２点の圧力タップに取り付けられている．マノメータの指示（読み）は ℎ である時，２点間の圧力差 𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 を求めよ．

図 1.2-P1. マノメータによる円管内流の圧力差測定[ 問 題 1.2-P2]
下図に示す円筒形水タンク（直径 𝐷）にはタンク底部に一つのノズルを有している． 水は次の基礎式に従って，重力により水を排出する：
𝑣 = 𝑐 √2 𝑔 ℎ
ここで 𝑣 は出口直径 𝑑 のノズルから排出する（断面平均の）流速であり，ℎ は時刻 𝑡において，ノズルの位置から上方に ℎ の位置に水面があることを意味している．平方根の前の係数は通常 0.95 辺りを仮定する（流出）係数である．最初，高さ ℎ0 にあった水面がノズル高さ ℎ𝑁 に到達するに要する時間を求めよ．

図 1.2-P2. タンクからの水の排出所要時間

第２章
運動量，エネルギー，物質の移動に関する基礎法則
全ての物質は分子から成る集合体である．しかし，これら多数の構成分子の挙動を個々に予知しようとする，いかなる理論も非常に難しく，現在のレベルでは我々の能力からはほど遠い．そのため，ほとんどの工学的な取り扱いは，流体を物質の連続的な分布すなわ
ち連続体と見做す巨視的な挙動に関してなされている．本コースにおいても，我々は連続体手法を用いることにしている．すなわち，速度，密度，圧力，温度，物質濃度，運動流
束，エネルギー流束，物質流束，等々，あらゆる物理量は連続関数として挙動すると見做している．輸送の法則の分子に着目した厳密な導出は他のコースの非平衡熱力学によってなされている．

2-1 粘度 (Newton の粘性の法則)
粘度とは，下図の非常に単純な流れを使って理解することができる．今，気体あるいは液体，どちらでもよいが，流体が平行に置かれた大きな２枚の固体平板の間に存在する．
２枚の板は y-方向の間隔 ∆𝑌 は小さく，x- 方向， z-方向には無限に広がっている．

図 2.1-1. 平行な２平板間の流体層を横切る運動量輸送

最初は２平板，流体とも静止していたが，時間 𝑡 = 0 において，上側の板が急に力 𝐹 に
よって一定速度 ∆𝑉 で正の x-方向に運動を開始し，その運動を続けるとする．
時間経過とともに，上板から離れた流体も（引きずられるように）速度（運動量）を得て，ついには定常な直線的な速度分布に到達する．輸送科学では，x-方向の運動量 𝜌 𝑣𝑥 がy-方向に移動したと解釈する．上板の有限の面積 𝐴 に外力 F が働いていたとすると，𝐹と∆𝑉 の間に次のような経験則が得られる：
𝐹∆𝑉= − 𝜇 ∆𝑌
(2.1-1)
𝐴
この比例定数 𝜇 が流体の粘度として定義されるものである．止まっているように見えるが，定常状態においても，下式の直線的速度分布を維持するために，x-方向の運動量 𝜌 𝑣𝑥 は常に y-方向に移動しているのである．

運動量，エネルギー，物質の移動に関する基礎法則

8
𝑣𝑥

𝑦

= 1 − ∆𝑌∆𝑉

(2.1-2)微分形では，式.(2.1-1) は次のようになる：𝑑𝑣
𝜏𝑦𝑥 = − 𝜇 𝑑𝑦𝑥(2.1-3)

これが，Newton の粘性の法則の１次元流れに関する定義式である．この法則は，位置y における局所のせん断応力 𝜏𝑦𝑥 がその位置における局所の速度勾配 𝑑 𝑣𝑥 ⁄𝑑𝑦 に比例することを述べている．下付き添え字の yx は y に垂直で x に平行な面に働くせん断応力（摩擦応力）換言すれば y-方向に拡散する x-成分の運動量を意味している．せん断応力は運動量流束と同じ次元なので，次式のように局所の運動量流束は単位体積当たりの運動量の局所的な勾配に比例するとも考えられる：𝑑𝜚𝑣
𝜏𝑦𝑥 = − 𝜈 𝑑𝑦 𝑥
(2.1-4)ここに 𝜈 = 𝜇 ⁄𝜚 は動粘度“kinematic viscosity”と呼ばれるもので，拡散係数と同じ単位を持っている．動粘度は運動量の分子的な拡散係数と考えられる．
せん断応力とせん断速度勾配との関係により，流体は「ニュートン流体」と「非ニュートン流体」に分類される．ニュートンの粘性法則に従わない流体を非ニュートン流体と呼ぶ．全てのガスや簡単な構造の液体はニュートン流体に属す．ポリマー溶液やポリマー溶
融物，エマルション，スラリー，ペーストなどはしばしば非ニュートン流体の挙動をする．
非ニュートン流体に関する２，３のモデルについては，本章の 2.5 節で学ぶ．
粘度の単位は次のように得られる：
m2/s

𝜏𝑦𝑥 (=)

𝑀 𝐿 𝑇 −2
𝐿2

𝑀 𝐿 𝑇 −1

(= )

( =)

𝐿2 𝑇

𝑁

(2.1-5)𝑚2

せん断応力の単位は圧力の単位と同じであるから，粘度の単位は
𝑀 𝐿−1 𝑇 −2

𝜏𝑦𝑥

𝑀

𝑘𝑔

(2.1-6)𝜇 (=) (𝑑𝑣 ⁄𝑑𝑦) (=) (𝐿⁄𝑇) 𝐿−1 (=) 𝐿 𝑇 (=) 𝑚 𝑠𝑥𝐿2𝜈 (=) 𝜇 ⁄𝜚 (=) 𝑇 (=)

𝑚2(2.1-7)𝑠

ここに 𝑀, 𝐿, 𝑇 は質量，長さ，時間それぞれの特性次元を表している．
1 kg/m s (= Pa s) = 10 poise (= g/cm sec) = 1,000 centipoise (= cP).
Newton の粘性の法則の一般形は直角座標系と円柱座標系について，下の表 2.1-1 に挙げておく．
表 2.1-1 ニュートンの粘性の法則[直角座標系 (𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝜏𝑥𝑥 = − 𝜇 [2𝜏𝑧𝑧 = − 𝜇 [2

𝜕 𝑣𝑥
𝜕𝑥
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑧

−
−

2
3
2

3
𝜕 𝑣𝑦

(𝛻 ∙ 𝒗)] 𝜏𝑦𝑦 = − 𝜇 [2

𝜕 𝑣𝑦
𝜕𝑦

2

−

3
𝜕 𝑣𝑥

(𝛻 ∙ 𝒗)] 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 = − 𝜇 [

𝜕𝑦
𝜕 𝑣𝑧

𝜕𝑣

(𝛻 ∙ 𝒗)]
+

𝜕 𝑣𝑦

𝜕𝑥
𝜕 𝑣𝑥

]

𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = − 𝜇 [+ 𝑧 ] 𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑥𝑧 = − 𝜇 [
+
]
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑧(∇ ∙ 𝒗) =
+
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
[円柱座標系 (𝑟, 𝜃, 𝑧)]
𝜕𝑣
2
1 𝜕𝑣𝜃
𝑣
2
𝜏𝑟𝑟 = − 𝜇 [2 𝑟 − (𝛻 ∙ 𝒗)] 𝜏𝜃𝜃 = − 𝜇 [2 (+ 𝑟 ) − (𝛻 ∙ 𝒗)]
𝜏𝑧𝑧 = − 𝜇 [2

𝜕𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧

−

3
𝜕𝑣𝜃

𝜏𝜃𝑧 = 𝜏𝑧𝜃 = − 𝜇 [(∇ ∙ 𝒗) =

1 𝜕
𝑟 𝜕𝑟

3
2

𝜕𝑧

𝑟 𝜕𝜃

(𝛻 ∙ 𝒗)]+(𝑟 𝑣𝑟 ) +

1 𝜕𝑣𝑧
𝑟 𝜕𝜃
1 𝜕𝑣𝜃
𝑟 𝜕𝜃

𝜏𝑟𝜃 = 𝜏𝜃𝑟 = − 𝜇 [𝑟
]
+

𝜕
𝜕𝑟

𝜕𝑣𝑧

𝜏𝑧𝑟 = 𝜏𝑟𝑧 = − 𝜇 [
𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑟

𝑟

+

3

𝑣𝜃

( )+
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑧

1 𝜕𝑣𝑟
𝑟 𝜕𝜃

]

]

𝜕𝑧

(直交座標系の一つである球座標系は省略しているので，他書を参考にしてほしい．)

熱伝導度（フーリエの熱伝導の法則）

97[問 題 2.1-P1] 共軸２重円筒がある．外側の円筒は 20 RPS (rotation per second) で回転
し，内側の円筒は静止している．円筒間の環状部はグリセリン 50% の水溶液で満たされており，その粘度は 5 cP すなわち 0.0005 Pa s である．両円筒は長さ 500 mm 環状部幅は2.5 mm である．

図 2.1-P1. 共軸２重円筒間間隙における速度分布

両円筒の半径は，それぞれ 𝑅𝑖 = 25 mm，𝑅𝑜 = 27.5 mm である． 周方向の速度成分の半径方向の分布は次のように得られている：
𝑅𝑖 𝑅𝑜

𝑣𝜃 =

2

𝑅𝑜 − 𝑅𝑖

𝑟

𝑅𝑖

𝑅𝑖

𝑟

𝑅𝑜 𝜔𝑜 ( −2)

(2.1-P1)

定常回転を維持するに要するトルクは幾らか？
[ 問 題 2.1-P2] 同じく共軸２重円筒がある．外円筒は回転速度 10 RPS で回転している．両円筒の半径は，それぞれ 0.04 m， 0.05 m である．両円筒の長さはともに 0.75 m
である．環状部には粘度未知の液体で満たされている．内円筒を静止状態で維持するには，
トルク 𝑇𝑞 = 5.53 × 10−3 N-m が必要であった．この液体の粘度はいくらか？
[ 問 題 2.1-P3] 水平に置かれた円形断面の２重管の環状部における層流の速度分布は次のように表される：
𝑣𝑧

2

𝑟

2

𝑟

= 𝐴 [1 − (𝑅 ) + 𝐵 ln 𝑅 ]𝑉𝑜𝑜(2.1-P2)

ここに 𝑉 = 平均速度（一定），𝐵 = (𝑟 ∗2 − 1)⁄ln 𝑟 ∗， 𝑟 ∗ = 𝑅𝑖 ⁄𝑅𝑜
外管の内面および内管の外面に働くせん断応力を求めよ．

2.2

熱伝導度 （Fourier の熱伝導の法則)

粘度の定義と同様に，熱伝導度を定義することができる．Y-方向に互いに ∆𝑌 だけ離れた２枚の非常に大きな平行平板がある．２平板の間隙 ∆𝑌 には固体あるいは流体が満たされており，最初，全部が温度 𝑇0 に一様に保たれている． 時間 𝑡 = 0 において，上側の板がステップ状に温度 𝑇0 から温度 𝑇1 に変化して𝑇1 = const に保たれる．時間の経過とともに，熱エネルギーは y-方向に拡散して，ついには直線的な定常温度分布に到達する．
∆𝑌 は十分に小さいので，平板間の物体（固体または流体）は静止状態を続けるとする．
また温度域もそう高くなく，放射伝熱は無視できるものとする．
この平板を貫く熱流の速度（伝熱速度）𝑄 と温度差 ∆𝑇 = 𝑇1 − 𝑇0 の間には次のよ
うな関係がある：𝑄∆𝑇= − 𝜅 ∆𝑌
(2.2-1)
𝐴
この比例定数 𝜅 がその物質の熱伝導度と呼ばれるものである．

運動量，エネルギー，物質の移動に関する基礎法則10

図 2.2-1. ２平行平板間にある固体あるいは流体層の中における熱エネルギー輸送

微分形では，上式は次のように表される：
𝑑𝑇
𝑞𝑦 = − 𝜅 𝑑𝑦

(2.2-2)

これが１次元の熱流の場合の Fourier の熱伝導の法則である．この法則は位置𝑦 における局所の熱流束 𝑞𝑦 が同じ位置の局所の温度勾配 𝑑𝑇⁄𝑑𝑦 に比例すると述べている．下付き
添え字 y は熱の流れる方向を意味している．
密度，熱容量が一定の場合は、上式は次のように書き直すことができる：
𝑞𝑦 = − 𝛼𝑑 (𝜌𝐶𝑝 𝑇)(2.2-3)𝑑𝑦

この式は局所の熱流束（エンタルピー流束）が単位体積当たりのエンタルピーの局所の勾配に比例すると述べている．ここで 𝛼 = 𝜅⁄𝜚𝐶𝑝 は熱の拡散係数 “thermal diffusivity” と呼ばれるもので，物質の拡散係数と同じ単位を持つ．
熱の伝導度と拡散係数の単位は下のように得られる：
𝑞𝑦 (=)

𝑀 𝐿 𝑇 −2 𝐿
𝐿2𝑇𝑞𝑦(=) 𝐽⁄𝑚2 𝑠 (=) 𝑊 ⁄𝑚2𝜅 (=) (− 𝑑𝑇⁄𝑑𝑦) (=)

𝑇−2 𝐿
𝑀𝐿 2
𝐿 𝑇

( =)

𝑀 𝐿2 𝑇 −2(2. 2-4)(=) 𝐽⁄𝑚 𝑠 𝐾 (=) 𝑊 ⁄𝑚 𝐾

𝑡 ⁄𝐿
𝐿𝑇𝑡
𝑀 𝐿 𝑇 −2 𝐿 ⁄𝐿𝑇𝑡
𝐿2𝛼 (=) 𝜅⁄𝜌𝐶𝑝 (=) (𝑀⁄𝐿3 )(𝑀 𝐿2 𝑇−2⁄𝑀 𝑡) (=) 𝑇 (=) 𝑚2 ⁄𝑠(2.2-5)(2.2-6)

ここで 𝑡 は時間ではなく，次元解析のための温度のと l 九生次元を表している．
Fourier の熱伝導の法則の一般形を表 2.2-1 に示しておく．
表 2.2-1 フーリエの熱伝導の法則[直角座標系 (𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑞𝑥 = − 𝜅𝜕𝑇𝜕𝑇𝜕𝑇, 𝑞𝑦 = − 𝜅, 𝑞𝑧 = − 𝜅
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧

𝑞𝑟 = − 𝜅

𝜕𝑇
1 𝜕𝑇
𝜕𝑇
, 𝑞𝜃 = − 𝜅, 𝑞𝑧 = − 𝜅
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧

[円柱座標系 (𝑟, 𝜃, 𝑧)](直交座標系の一つである球座標系は省略しているので，他書を参考にしてほしい．)[ 問 題 2.2-P1] 平行に固定された一対の非常に大きな鋼板がある．その板間間隔は 2mm で，中には水銀が満たされている．上側の鋼板は 303 K に，下側の鋼板は 285 K に保たれている．水銀の熱伝導度は 8.4 W/m K である．水銀層は静止していると仮定して，熱流束はいくらか？
[ 問 題 2.2-P2] ある一つの窓が１枚のガラス板（面積 𝐴 = 1 m2, 厚さ 𝛿 = 3 mm, 熱伝
導度 𝜅 = 0.814 W/m K) でできている．室内側表面が 15 C に維持されており，外気側表面
は 5 C に保たれている．ガラス板を貫く室内側から外気側への熱損失はいくらか？

拡散係数 （フィック の拡散の法則)

11[ 問 題 2.2-P3] 中空円柱がある．外表面は温度 𝑇𝑜 に，内表面は温度 𝑇𝑖 (𝑇𝑖 > 𝑇𝑜 ) に保たれている．円筒固体部の定常温度分布は次式で与えられている：
𝑇 −𝑇
𝑇 = 𝑇𝑜 + 𝑖 ⁄ 𝑜 ) ln(𝑟⁄𝑅𝑜 )𝑅𝑖 < 𝑟 < 𝑅𝑜
(2.2-P1)ln(𝑅𝑖 𝑅𝑜

この中空円柱の固体の熱伝導度は 𝜅 である．外表面における熱流束を計算せよ．

2.3

拡散係数 (Fick の拡散の法則)

拡散は個々の成分の分子の速度が異なる混合物（溶液）を扱うので，運動量や熱エネル
ギーの分子的な輸送に似てはいるが，もっともっと複雑である．
（混合物を構成する個々の成分が別々に色々な方向に動くため）拡散プロセスの進行とともに質量中心自身が動くので，混合物（溶液）の速度は関係するすべての成分の速度を平均して評価しなければならない．前節の運動量輸送やエネルギー輸送はオイラーの静止座標系で議論できた．
（あの例
題では，輸送方向 y- 方向とは垂直な x- 方向には運動量やエネルギーの輸送はなかった．）
ところが，拡散現象は分子自身の移動で起きるので，分子の移動による質量中心（したがって座標自身）が動くので，ラグランジュの考え方を取り入れる必要がある．
下図のように，A, B２成分の混合物を考えよう．A 分子が濃度（分子数）が高い左から右へ移動（拡散）するが，B 分子は右の方が濃度は高いが，（淀むように）留まっている場
合（この条件は一方拡散によるガス吸収で起きる）で説明しよう．左側の A, B からなる集合で，線で囲んだ分子 A の群が移動（拡散）し，少し時間∆𝑡 だけ経過すると右の曲線で囲んだ位置へ移動した場合，最初の分子 A 群の質量中心が，個々の分子移動により右の図の分子 A 群の t 流心位置に距離∆𝐿 だけ移動する．この質量中心の移動は個々の分子 A の分子拡散だけでなく，集合体全体としての分子 A 群の移動の総合的な移動（バルク移動と呼ぶ）によるものであり，分子拡散のみを考える場合，ラグランジュ的な座標自身の速度𝑣 = ∆𝐿⁄∆𝑡 を伴う移動と考えることになる．また質量中心は流れそのもので移動することも考慮しなければならない．

図 2.3-1. ２成分系における分子 A の分子拡散の考え方

すなわち質量中心の移動は座標の原点の移動であり、この移動する原点に対して相対的に分子 A が純粋に分子拡散のみによって，どのように拡散したかを考える必要がある．図では、分子 A が相対的に分子拡散によって少し右へ移動しているように見える．

運動量，エネルギー，物質の移動に関する基礎法則

12

先ず，最初に，n-成分系混合物における２種類の濃度の定義をしよう．すなわち，成分 iの質量濃度（単位体積当たりの成分 i の質量） 𝜌𝑖 ; 成分 i のモル濃度（単位体積当たりの成分 i のモル数）𝐶𝑖 = 𝜌𝑖 /𝑀𝑖 である．ここに 𝑀𝑖 は i 成分の分子量である．
混合物の質量密度とモル密度は次式のように各成分の濃度の総和である：
𝜌 = ∑𝑛𝑖=1 𝜌𝑖and𝑐 = ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖(2.3-1)だから質量分率 (mass fraction) およびモル分率 (mole fraction) は次のように与えられる：𝜔𝑖 = 𝜌𝑖 ⁄𝜌
および𝑥𝑖 = 𝐶𝑖 ⁄𝑐
ある成分の拡散係数を考えるためには，他の成分の動きも考慮しなければならないので，
ここで，全成分の速度の平均の仕方について考えよう．成分 i の絶対速度を静止座標系に関して，𝑣𝑖 とする．
質量平均速度 𝑣 は（重心の移動速度のように）
𝑣 = ∑𝑛𝑖=1 𝜌𝑖 𝑣𝑖 / ∑𝑛𝑖=1 𝜌𝑖(2.3-2)となり，これは純流体の速度 𝑣 に相当し, 質量中心の動く速度である．（これは純粋な分子拡散による速度ではなく，全体的な動きや対流など流れも加味した速度と考えればよい．）
同様に，モル平均速度 𝑣 ∗ は次のように定義される：
𝑣 ∗ = ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝑣𝑖 / ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖(2.3-3)
これも，分子の数に関して平均した混合物の全体的な（モル中心の移動する）速度である．
そこで，着目する成分 i について，２種類の基準の異なる拡散速度が上記の混合物の全体的な平均速度に対して相対速度のように定義される： 𝑣𝑖 − 𝑣 と 𝑣𝑖 − 𝑣 ∗.
与えられた着目成分 i の拡散流束は，平均速度に垂直な面の単位面積当たりを平均速度で通過する着目成分の量で表すベクトル量である．
簡単にするため，議論を A, B ２成分系に限定しよう．
質量平均速度で動く質量中心に対する（分子拡散のみによる）A 成分の物質流束は次式で定義される：
𝑗𝐴 = 𝜌𝐴 (𝑣𝐴 − 𝑣)
(2.3-4)
同様に，モル平均速度で動くモル中心に対する相対的な A 成分のモル流束が次式となる：
𝐽𝐴 = 𝐶𝐴 (𝑣𝐴 − 𝑣 ∗)(2.3-5)

図 2.3-2 は拡散物質の線状源から分子的拡散により着目成分が広がって行く様子を時間変化する濃度分布および白黒の濃淡によって表現している．
熱力学の観点からは，分子拡散の推進力は化学ポテンシャルである．等温，等圧での均相系理想溶液の場合，化学ポテンシャルは次のように定義される：
𝜇𝑐 = 𝜇 0 + 𝑅 𝑇 ln 𝐶𝐴(2.3-6)
モル表現の y-方向の拡散は化学ポテンシャルの局所勾配に比例して起きている：
𝑑𝜇𝑣𝐴𝑦 − 𝑣 ∗ 𝑦 = − 𝑢𝐴 𝑑𝑦𝑐(2.3-7)
ここで 𝑢𝐴 は単位推進力の作用により動く速度であり，成分 A の易動度である．上式から
𝑑 𝜇𝑐
𝑅 𝑇 𝑑𝐶= 𝐶 𝑑𝑦𝐴(2.3-8)𝑑𝑦
𝐴

したがって y-成分のモル流束は次式で与えられる：
𝑑𝐶
𝑑 𝐶𝐴
𝐽𝐴𝑦 = 𝐶𝐴 (𝑣𝐴𝑦 − 𝑣 ∗ 𝑦 ) = − 𝑢𝐴 𝑅 𝑇 𝐴 = − 𝐷𝐴𝐵𝑑𝑦𝑑𝑦(2.3-9)

これがモル平均速度に対して相対的な１次元分子拡散のフィックの法則である．ここで比例定数 𝐷𝐴𝐵 が A-成分が B-成分中を拡散する拡散係数と呼ばれるものである．

拡散係数（Fick の拡散の法則）

（続）

13

(この濃度勾配以外にも化学ポテンシャル勾配を生じる多くの他の物理条件が存在する．例
えば，温度勾配，圧力勾配など．本コースでは簡単のために，濃度勾配により生じる通常の拡散のみに限定している．)

図 2.3-2. 線状源から分子拡散で広がる様子を濃度分布と濃淡で表現した組成分布

等温，等圧条件下では，モル密度 𝑐 は一定であるから
𝑑𝑥
𝐽𝐴𝑦 = − 𝑐 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑦𝐴
𝐶𝐴 (𝑣𝐴𝑦 − 𝑣 ∗𝑦 ) = − 𝑐 𝐷𝐴𝐵

𝑑 𝑥𝐴(2.3-10)(2.3-11)𝑑𝑦

２成分系ではモル中心の（モル中心のバルク移動）速度は𝑣 ∗ 𝑦 = (𝐶𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝐶𝐵 𝑣𝐵𝑦 )⁄𝑐
したがって𝐶𝐴 𝑣 ∗ 𝑦 = 𝑥𝐴 (𝐶𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝐶𝐵 𝑣𝐵𝑦 )この式を代入して
𝑑𝐶
𝑑𝐶
𝐶𝐴 𝑣𝐴𝑦 = 𝐶𝐴 𝑣 ∗ 𝑦 − − 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑦𝐴 = 𝑥𝐴 (𝐶𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝐶𝐵 𝑣𝐵𝑦 ) − 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑦𝐴(2.3-12)(2.3-13)(2.3-14)上の二つの項 𝐶𝐴 𝑣𝐴𝑦 ， 𝐶𝐵 𝑣𝐵𝑦 は静止座標系に対する A, B 各成分の y-方向のモル流束を意味しており，𝑁𝐴𝑦 と 𝑁𝐵𝑦 で与えられる．
最終的に静止座標系の拡散の基礎式は下記のように得られた：
𝑑𝑥
𝑁𝐴𝑦 = 𝑥𝐴 (𝐶𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝐶𝐵 𝑣𝐵𝑦 ) − 𝑐 𝐷𝐴𝐵 𝐴(2.3-15)𝑑𝑦

ここでは濃度勾配として，モル密度を微分の外へ出して，A 成分のモル分率の勾配を使っている．
上の式は以下のように述べている．静止座標系に固定された面での局所的なモル流束は２成分混合物の全体的なバルク運動による移動（第１項）と濃度（単位体積当たりの成分 Aのモル質量：モル分率）の局所勾配に比例する分子拡散による移動（第２項）からなる．
同様に，Fick の法則は質量流束に関して次式のように表せる：𝑑𝜌𝑑𝜔𝑗𝐴𝑦 = − 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑦𝐴 = − 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑦𝐴(2.3-16)𝑛𝐴𝑦 = 𝜔𝐴 (𝑛𝐴𝑦 + 𝑛𝐵𝑦 ) − 𝜌𝐷𝐴𝐵

𝑑 𝜔𝐴
𝑑𝑦

(2.3-17)運動量，エネルギー，物質の移動に関する基礎法則

14

下付き添え字 y は拡散方向を示す．
表 2.3-1 に， Fick の法則を，モル平均速度 𝑣 ∗ 分を差し引いたモル濃度勾配で表した拡散分のみの一般形で示している．
表 2.3-1

平均速度基準の Fick の分子拡散の法則[直角座標系 (𝑥, 𝑦, 𝑧)]
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝐶𝐴
𝑗𝑥 = − 𝐷𝐴𝐵, 𝑗𝑦 = −𝐷𝐴𝐵
, 𝑗𝑧 = − 𝐷𝐴𝐵𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧[円柱座標系 (𝑟, 𝜃, 𝑧)]𝜕𝐶𝐴
1 𝜕𝐶𝐴𝐵𝜕𝐶𝐴𝐵
𝑗𝑟 = − 𝐷𝐴𝐵, 𝑗𝜃 = − 𝐷𝐴𝐵, 𝑗𝑧 = − 𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧

分子拡散のみで表す Fick の法則が Fourier の法則と同じような関数形になることを認識すべきである．
物質流束，濃度，拡散係数の単位は次のようになる：
𝑀
𝑘𝑚𝑜𝑙 𝑜𝑓 𝐴
𝐽𝐴𝑦 , 𝑁𝐴𝑦 (=) 2 (=)(2.3-18)2
𝐿 𝑇
𝑚 𝑠
𝑘𝑚𝑜𝑙 𝑜𝑓 𝐴

𝑀

𝐶𝐴 (=) 𝐿3 (=)
𝑗𝐴𝑦 , 𝑛𝐴𝑦 (=)

𝑚3
𝑘𝑔 𝑜𝑓 𝐴𝑚2 𝑠𝑘𝑚𝑜𝑙 𝑜𝑓 𝐴

𝑥𝐴 (=) 𝑘𝑚𝑜𝑙 𝑜𝑓 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑢𝑟𝑒
𝑘𝑔 𝑜𝑓 𝐴𝜔𝐴 (=) 𝑘𝑔 𝑜𝑓 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑢𝑟𝑒

𝑘𝑔 𝑜𝑓 𝐴𝜌𝐴 (=) 𝑘𝑔 𝑜𝑓 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑢𝑟𝑒
𝐽𝐴𝑦(𝑀⁄𝐿2 𝑇)𝐿2

𝐷𝐴𝐵 (=) (𝑑𝐶 ⁄𝑑𝑦) (=) (𝑀⁄𝐿3 /𝐿) (=) 𝑇 (=) 𝑚2 ⁄𝑠𝐴

拡散の現象は非常に難解であり，本コースでは簡単化されたモデルで易しい問題の基礎的な様相を理解することにする．

2.4

運動量，エネルギー，物質の分子的輸送の間の相似性(Prandtl 数 と Schmidt 数)

物性一定の流体 (𝜌, 𝐶𝑝 : constant) において，運動量，エネルギー，物質の１次元の輸送は次式のように書き変えられる：𝜏𝑦𝑥 = − 𝜈𝑞𝑦 = − 𝛼𝑑(𝜚 𝑣𝑥 )𝑑𝑦𝑑(𝜚𝐶𝑝 𝑇)

𝐽𝐴𝑦 = − 𝐷𝐴𝐵

𝑑𝑦
𝑑 𝐶𝐴
𝑑𝑦

(2.4-1)(2.4-2)(2.4-3)

どの式も次の共通ルールを述べている：(着目物理量の流束) = (その物理量の拡散係数)×(単位体積当たりのその物理量の勾配)

運動量の拡散係数と熱エネルギーの拡散係数の比をプラントル数 “Prandtl number”:
𝑃𝑟 = 𝜈⁄𝛼 と呼んでいる．もし，この無次元パラメータが 1.0 の場合，熱と運動量は流体中を同じ移動速度で拡散することを意味する．
ま た ， 運 動 量 の 拡 散 係 数 と 物 質 の 拡 散 係 数 の 比 を シ ュ ミ ッ ト 数 “Schmidt number”:
𝑆𝑐 = 𝜈/𝐷𝐴𝐵 と呼んでいる．同じく，もし，𝑆𝑐 = 1.0 ならば，物質と運動量は流体中を同じ移動速度で拡散することを意味する．
プラントル数とシュミット数の比はルイス数 “Lewis number” と呼ばれ,𝐿𝑒 = 𝑃𝑟⁄𝑆𝑐 = 𝐷𝐴𝐵 ⁄𝛼 .となる．

非ニュートン流体

15[ 問 題 2.4-P1] 温度 373 K の水銀と圧力 10 mmHg，温度 10 K の水素のプラントル数を比較せよ．この水素は非常に低粘度であり，一方，この水銀は非常に大きな熱伝導度を持っている．そこで，非常に低いプラントル数の流体の熱輸送について論じよ．
[ 問 題 2.4-P2] 非常に粘度の大きなポリマー溶液と電解質溶液のシュミット数を比較せよ．このポリマー溶液（密度 𝜌 = 1,200 𝑘𝑔⁄𝑚3 ) は粘度 10 Pa s ，拡散係数 10-4 m2/s を持っている．一方の電解質溶液 (密度𝜌 = 1,100 𝑘𝑔⁄𝑚3 ) は粘度 10-3 Pa s ，拡散係数 10-9
m2/s を持っている． 流動条件の差異を考慮しながら，非常に大きなシュミット数における拡散について論じよ．

2.5

非ニュートン流体

2.1 節で学んだように，ニュートンの粘性の法則は,通常の流れにおける運動量流束（せん断応力）は速度勾配（せん断速度）に比例すると述べている．しかし，ニュートンの粘性法則に従わない流体も存在する．一般に，せん断応力とせん断速度の間の関係は次式によって表現される：𝑑𝑣
𝜏𝑦𝑥 = − 𝜂 𝑑𝑦𝑥(2.5-1)
通常のニュートン流体では，係数 𝜂 は比例定数と見做される．すなわち粘度： 𝜂 = 𝜇 となる．しかしながら，図 2.5-1 のように， 係数 𝜂 が 𝑑𝑣𝑥 ⁄𝑑𝑦 か 𝜏𝑦𝑥 の関数になる工業的な物質は世の中には多く存在し，これらを非ニュートン流体と呼んでいる．
式(2.5-1)を説明する経験的なモデルは数多く存在するが，本コースの目標範囲を超えているので，簡単な２モデルに言及する．

図 2.5-1. 非ニュートン流体の運動量流束対速度勾配の模式図

少し簡単な代表的な例として，次の２種の２パラメータモデルがある：(1) ビンガムモデル（Bingham model）
𝑑𝑣𝜏𝑦𝑥 = − 𝜇0 𝑑𝑦𝑥 + 𝜏0
if 𝜏𝑦𝑥 > 𝜏0
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦

=0

if 𝜏𝑦𝑥 < 𝜏0

(2.5-2)(2.5-3)

このモデルはせん断応力 𝜏𝑦𝑥 が降伏応力 𝜏0 より小さい時，流体は（変形しない）剛体のように挙動するが，降伏応力より大きい𝜏𝑦𝑥 > 𝜏0 になると，ニュートン流体のように挙動すると言っている．

運動量，エネルギー，物質の移動に関する基礎法則

16(2) 指数法則モデル（Power law model）
𝑑𝑣 𝑛−1 𝑑𝑣𝑥

𝜏𝑦𝑥 = −𝑚 | 𝑑𝑦𝑥 |𝑑𝑦(2.5-4)

この式は，𝑛 = 1 の時，係数 𝑚 = 𝜇 となり，ニュートン流体を示す．𝑛 < 1 の時，擬塑性流体となり，𝑛 > 1 の時，ディラタント流体となる．
円管内をビンガム流体が層流で流れる場合について，後の節で学ぶことになろう．
記

号

表

𝐴
２平行平板の表面面積, [m2]𝐶𝐴
成分 A の濃度, [kmol/m3]
𝐶𝑝
熱容量, [J/kg K]𝑐（全成分の合計の）モル密度, [kmol/m3]
𝐷𝐴𝐵
B の中を A が移動する拡散係数 diffusivity, [m2/s]
𝐹
せん断力, [N]𝑗𝐴 , 𝐽𝐴
質量平均速度およびモル平均速度に対する相対的な物質流束, [kg/m2s] or [kmol/m2s]𝑛𝐴 , 𝑁𝐴
静止座標系における質量流束，モル流束, [kg/m2s] or [kmol/m2s]
𝑃𝑟
プラントル数, [ - ]𝑄
伝熱速度, [W]𝑞𝑟 , 𝑞𝜃 , 𝑞𝑧 円柱座標系における熱流束の各成分, [W/m2]
𝑞𝑥 , 𝑞𝑦 , 𝑞𝑧 直角座標系における熱流束の各成分, [W/m2]𝑟, 𝜃, 𝑧円柱座標系, [m, - , m]𝑆𝑐
シュミット数, [ - ]𝑡
時間, [s]𝑣𝑖
質量速度, [m/s]𝑣∗
モル速度 [m/s]𝑣𝑟 , 𝑣𝜃 , 𝑣𝑧 円柱座標系における速度の各成分, [m/s]𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 直角座標系における速度の各成分, [m/s]𝑥, 𝑦, 𝑧,直角座標系, [m]𝑥𝑖モル分率, [ - ]∆𝑇
平行な２平板の上側の平板に与えられた一定な温度差, [K]∆𝑉
平行な２平板の上側の平板に与えられた一定速度, [m/s]∆𝑌
２平行平板間の距離, [m]𝛼熱の拡散係数, [m2/s]𝜅
熱伝導度, [W/m K]
μ粘度, [kg/m s]𝜇𝑐
化学ポテンシャル, [J/mol]𝜈
動粘度または運動量の拡散係数, [m2/s]𝜌
密度, [kg/m3]
𝜏𝑥𝑥 , 𝜏𝑦𝑥 , 𝜏𝑧𝑥 , − −運動量流束またはせん断応力, [N/m2] or [kg/s2m]
𝜏0降伏応力, [N/m2]𝜔
質量分率, [ - ]下付き添え字
A
成分 A
w
壁

第３章
粘 性 流
(層 流 と 乱 流)
3.1 円管内の層流と乱流流体が（管路や物体周りなど）着目系を動く時，２つの異なる流動形態のどちらかが起きる．
図 3.1-1 に示すように，透明なパイプ内を水が定常状態（時間に関して変化がない一定な状態）で流れるとおり，その流れ中へ，（注射器などで）染料の糸状の流れを注入するとしよう．水の速度は十分に小さい時は，染料は広がらず，平行かつ直線的に流れる。
しかし, 水の速度がある臨界値を超えると，その染料はパイプの全断面に瞬間的に混合し，水全域が色づいてしまうことに気付く．前者の流動形態を「層流」と呼び，この時，流体粒子（流体の小さな塊のように考える）は層状をなす流線に沿って動く．この層流状
態では，運動量，エネルギー（熱エネルギー），物質などは流れに対して横断方向には，分子的な（拡散）効果のみで輸送される．一方，第２の流動形態を「乱流」と呼び， 流体粒
子は不規則に激しい渦運動をしながら動く．だから，運動量，エネルギー、物質などは横断方向（半径方向）に輸送される．したがって，乱流の方が層流よりはるかに速く，横断方向にも輸送することができる．

図 3.1.1. 層流と乱流の特徴（レイノルズ Reynolds の実験)

1883 年, レイノルズ（this systematic experiment was first conducted by Osborne Reynolds 1)）
は初めて，流動形態を予見する臨界条件として無次元パラメータ𝑅𝑒 = 𝑉 𝐷 𝜌⁄𝜇 を提案する
系統的な実験を行った．ここに 𝑉 は（パイプ断面）平均速度，𝐷 はパイプの内径，𝜇 は流れている流体（ここでは水）の粘度である．この無次元パラメータはレイノルズを冠して，レイノルズ数（Reynolds number）と呼ばれ，重要な流体力学の基礎パラメータである．

粘性流

18

（層流と乱流）

パイプ内流れにおいては，層流から乱流への遷移は, 普通，工業的に使われているパイ
プの場合，約 𝑅𝑒 = 2,100 において起きる．
層流パイプ内流れでは，速度分布は放物線状になり，理論曲線は次式のように表される：
𝑣𝑧 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 [1 − (𝑟⁄𝑅)2 ](3.1-1)
この解法は第６章で学ぶ予定である．
[ 問 題 3.1-P1] ある粘性流体 (𝜇 = 0.05 kg/m s, 𝜌 = 1050 kg/m3) が内径 50 mm の円管内を流れている．その管軸方向の速度の半径方向の分布は次式のように表される：
𝑣𝑧 = 𝑣𝑧𝑚𝑎𝑥 [1 − (𝑟⁄𝑅)2 ] ここで最大速度は 𝑣𝑧𝑚𝑎𝑥 = 0.5 m/s，円管内半径は 𝑅 = 0.025 m
である． 管内壁の流れ方向長さ 5 m の領域に働く摩擦応力，流量，レイノルズ数を計算
せよ．
1.

Reynolds, O., Trans. Roy. Soc. (London), 174A, 935 (1883)

3.2 乱れ運動の発生 （乱流への遷移）
図 3.2-1 のように，流体の流量が増加して行くと，層流の放物線状の速度分布は, 最大速度が増加し，管壁付近の速度勾配が大きくなってくる．
今，パイプの壁近傍の流線に沿って動く流体の（小さな）塊を考えよう．
図 3.2-2 のように，（楕円で示している）流体塊の上側の速度 𝑣1 の方が下側の流速𝑣2 より大きくなる．したがって，加速するための摩擦力は流体塊の上側に働き，減速するための摩擦力は下側に働く．その結果，これらの摩擦力は流体塊に回転運動を起きさせるモーメ
ント（角運動加速度）を生じさせる．

図 3.2-1. 円管内層流の不安定性

図 3.2-2. 平行に流れる粘性流における乱れ運動の発生

乱れ運動の発生（乱流への遷移）19だから流量が増加して壁近傍の速度勾配がある臨界値を超えると，流体塊は急傾斜の速度勾配のせいで非常に強い回転の角加速度を受け，その結果，流体塊の回転によって渦（eddy ）運動が生起する．すなわち，この鉛直な２つの位置の間の速度差 𝑣1 − 𝑣2 が非常に大きくなると，渦が発生する回転条件が実現するのであり，これが乱れの起源，すな
わち乱流への遷移現象の定性的な理解となる．
乱流においては，流体のある固定点で速度を観測すると，図 3.2-3 のように，時間平均値の周りで，不規則に変動している．この非定常的な変動運動はあの複雑な渦 (eddy) 運動から生じているのであって，この渦運動が流体塊の横断方向の交換となり，大きな混合効
果を生み出すのである．

図 3.2-3. 乱流の速度変動繰り返すが，流量がある臨界値を超えると，壁近傍の層流せん断流れが渦運動を引き起こす回転モーメントにより不安定になり，その結果，乱流遷移が起きるのである．

図 3.2-4. 円管内流れの乱流の特徴

したがって，管内乱流の場合，時間平均の速度分布は主流域（管断面の中央域）においてかなり平坦になり，壁近傍で非常に険しい傾斜となる． 乱流は複雑で厳密な解法はないが，その時間平均の速度分布についての半経験的な式の一例を次式に挙げておく：𝑣̅𝑧 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 [1 − (𝑟⁄𝑅)]1⁄7(3.2-1)th4
この式は 1/7 乗法則（the “1/7 power law）と呼ばれており，レイノルズ数が 10 から 105までの範囲で，よい速度分布の近似を与えると言われるが，乱流の本質の乱流構造まで詳
細に表すものではないことを留意すべきである．
レイノルズ数とは，速度の代表値（例えば断面平均速度）と，長さの代表値（例えば管内径）と，流体の密度を粘度で除した値の積である．結果は無次元数となり，流体の慣性力を粘性力で除した比である．臨界レイノルズ数は一般にパイプの内壁の表面状態（平滑か粗いか）に依存する．
𝑉𝐷𝜌
inertial force[− ] =
𝑅𝑒 =(3.2-2)𝜇viscous force

粘性流

20

（層流と乱流）[ 問 題 3.2-P1] 1/7 乗法則を使って，円管内乱流の（流れ断面）平均の速度 𝑣𝑧 と中心軸の最大速度 𝑣𝑧𝑚𝑎𝑥 との関係を求めよ．
[ 問 題 3.2-P2] 内径 100 mm の円管内を体積流量 50 m3/h で，NaOH 水溶液が流れている．50 ˚C (= 323 K)において，その水溶液の密度と粘度は 1,510 kg/m3 ，0.025 kg/m s, である．レイノルズ数を求め，流れは乱流か？ 確認せよ．
[ 問 題 3.2-P3] ある粘性液体 (𝜇 = 50 cp. = 0.05 kg/m s, 𝜌 = 1,050 kg/m3) が内径 50 mmの円管内を流れている．その速度分布は次式で与えられる：
𝑣𝑧 = 𝑣𝑧𝑚𝑎𝑥 [1 − (𝑟⁄𝑅)2 ]ここで 𝑣𝑧 は軸方向速度 m/s ，𝑟 は半径 m である．最大速度は 𝑣𝑧𝑚𝑎𝑥 = 0.5 m/s であり，
管半径は 𝑅 = 0.025 m である．このパイプの内壁面の長さ 5 m に働く摩擦応力を計算せよ．また流量とレイノルズ数を求めよ．
[ 問 題 3.2-P4]与えられる：

上の問題で，内壁面おける層流の速度勾配は平均速度の項で次のように

𝑑𝑣𝑧
4 𝑣𝑎𝑣
|
=−
𝑑𝑟 𝑟=𝑅𝑅
もし，臨界レイノルズ数 𝑅𝑒𝑐𝑟 が 2,100 と与えられるならば，その時の臨界速度勾配はい
くらか。

記

号

𝐷
𝑟, 𝜃, 𝑧
𝑅
𝑉
𝑣𝑧
𝑦
𝑅𝑒
𝜏𝑞

表
代表長さまたはパイプ内径, [m]円柱座標系, [m, - , m]
パイプ内半径, [m]代表速度, [m/s]
パオイプ内流れにおける軸方向速度成分, [m/s]
パイプ内壁面からの距離, [m]レイノルズ数, [ - ]トルク, [Nm]第４章
巨視的収支論： コントロール・ボリューム法
4.1 運動量，エネルギー，物質の保存の原理
本コースにおいては，運動量，エネルギー，物質の保存の法則は一般的なコントロール・
ボリュームに対して，次のように，述べられる：
着目系に
運動量の
運動量の
運動量の
(
) = (流入速度) − (流出速度) + (働く外力)
蓄積速度
IN
OUT
の総和

(4.1-1)

エネルギーのエネルギーのエネルギーの周囲から着目系() = ( 流入速度 ) − ( 流出速度 ) + ()
蓄積速度になされる仕事IN
OUT(4.1-2)

物質の

物質の

物質の

(
) = (流入速度) − (流出速度)
蓄積速度
IN
OUT
均相反応による
物質 A の物質 A の物質 A の() = ( 流入速度 ) − ( 流出速度 ) + ( 物質 A の )
蓄積速度
IN
OUT
生成速度

(4.1-3)(4.1-4)

図 4.1-1. コントロール・ボリュームおける運動量，エネルギー，物質 A の収支（Shell balance と言う）で表した保存則

4.2 物質の巨視的収支
図 4.2-1 に示すコントロール・ボリュームおける物質収支を考えよう．（ここでの物質は均質系で濃度は一様で成分に着目すべきものではない．）

巨視的収支論：コントロール・ボリューム法

22

コントロール・ボリューム内の任意の微小体積要素の質量は時刻 𝑡 において 𝜌Δ𝑉 である．だから，時刻 𝑡 におけるコントロール・ボリューム全体の質量は，微小体積要素の総和であるから𝑚 = ∫𝑉 𝜚 𝑑𝑉
(4.2-1)
ここに密度 𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 場所および時間の関数である．
時刻 𝑡 から 𝑡 + Δ𝑡 までの時間 Δ𝑡 の間に蓄積された質量は時刻 𝑡 と時刻 𝑡 + Δ𝑡 の質量の差であるから:∫𝑉 𝜚 𝑑𝑉 |𝑡+Δ𝑡𝑑− ∫𝑉 𝜚 𝑑𝑉 | = 𝑑𝑡 ∫𝑉 𝜚 𝑑𝑉 ∙ Δ𝑡𝑡

(4.2-2)

図 4.2-1. 巨視的物質収支

この物質はコントロール・ボリュームの表面に垂直な速度成分によって流入・流出するから，コントロール・ボリュームに流入する速度成分 𝑣𝑛 は次式のように表される．
⃗ ∙𝒏⃗⃗ ) = −𝑣 cos 𝛼
𝑣𝑛 = − (𝒗(4.2-3)⃗ は着目点の表面に垂直な外向きの単位ベクトルである． 𝛼 はベクトル 𝒗
⃗ と 𝒏
⃗
ここで 𝒏
との間の角度である．
物質の移動速度は 次のように考えられる：物質の移動速度 = (質量)/(単位時間) = (質量/単位体積)(長さ/単位時間)(面積)
コントロール・ボリュームの全表面積にわたって，物質が流入する正味の（ネットの）速度 = ∫𝑆 𝜌 𝑣𝑛 𝑑𝑆 であるから，質量保存則を適用すると
𝑑⃗ ∙𝒏⃗ ) 𝑑𝑆∫𝑉 𝜌 𝑑𝑉 = − ∫𝑆 𝜌 (𝒗
流入，流出は速度の正負で考慮されている．これが巨視的物質収支である．
𝑑𝑡

下の図 4.4-2 に示す少し簡単な流路の場合= 𝜌1 〈𝒗𝟏 〉𝑆1 − 𝜌2 〈𝒗𝟐 〉𝑆2𝑑𝑚𝑑𝑡(4.2-4)(4.2-5)となる．質量流量の記号を導入して表すと⃗ ∙𝒏⃗⃗ ) 𝑑𝑆𝑤 = 𝜌 〈𝑣 〉𝑆 = − ∫𝑆 𝜌 (𝒗
非定常の巨視的物質収支の基本式は𝑑𝑚= − ∆𝑤
𝑑𝑡（時間変化のない）定常の場合は∆𝑤 = 0 or 𝑤2 = 𝑤1となる．

(4.2-6)(4.2-7)(4.2-8)

運動量の巨視的収支

23

図 4.2-2.１個の入り口と１個の出口を有する簡単な流路系[ 問 題 4.2-P1] 下に示す管路には定常状態でセクション１を断面平均速度 0.3 m/s で水が流れている．セクション１での管内径は 0.3 m である．下流の内径が 0.1 m であるセクション２における平均速度を求めよ．

図 4.2-P1. 水平に置かれた断面が縮小する流路における物質収支

4.3 運動量の巨視的収支

図 4.3-1 巨視的運動量収支のためのコントロール・ボリューム⃗ が流出入するコントロール・ボリュームの小さな表面積要
単位体積当たりの運動量 𝜌 𝒗
素 ∆𝑆 について考えよう．
この表面積要素 ∆𝑆 を流出入する速度は

巨視的収支論：24

コントロール・ボリューム法

運動量の流出入速度（運動量/時間）＝（運動量/体積）（長さ/時間）（面積）であるから
次のように書ける：⃗ ) 𝑣𝑛 𝑑𝑆 = (𝜌 𝒗⃗ ) [− ( 𝒗⃗ ∙𝒏⃗ )𝑑𝑆](𝜌 𝒗(4.3-1)⃗⃗ が外向きだから，上式のようにマイナス記号が必要である．
ここで単位ベクトル 𝒏
したがって，コントロール・ボリュームの全表面を流出入する運動量の正味の速度は
⃗ (𝒗
⃗ ∙𝒏
⃗⃗ )𝑑𝑆− ∫𝑆 𝜌 𝒗(4.3-2)⃗ ∆𝑉 であるから，コントロール・ボリュームの小さな体積要素 ∆𝑉 における運動量は 𝜌 𝒗
運動量の蓄積速度は
𝑑
𝑑𝑡

⃗ 𝑑𝑉
∫𝑉 𝜌 𝒗(4.3-3)

このコントロール・ボリュームに働く外力の総和は ∑ ⃗𝑭 である．
運動量の保存則を適用して,𝑑⃗⃗ 𝑑𝑉 = − ∫ 𝜌 𝒗
⃗ (𝒗
⃗ ∙𝒏
⃗⃗ )𝑑𝑆 + ∑ 𝑭
∫ 𝜌𝒗
𝑑𝑡

𝑉

𝑆

(4.3-4)

これが運動量の巨視的収支式であり，ニュートンの運動の第２法則のことである．
通常の流体の普通の流れの場合，外力の項 ∑ ⃗𝑭 は流体に働く粘性力（摩擦力）∑ ⃗⃗⃗⃗𝑭𝒇 ，圧⃗⃗ 𝑑𝑆，重力 𝑚 𝒈⃗⃗ などである．
力 − ∫𝑆 𝑝 𝒏
定常状態では左辺はゼロであるから上式は次式となる：
⃗ =0
⃗ (𝒗
⃗ ∙𝒏
⃗⃗ )𝑑𝑆 + ∑ 𝑭−∫ 𝜌 𝒗(4.3-5)（非常に平坦な速度分布になる）乱流の場合，断面平均に次のような近似が使える〈𝑣 〉 ≅ 〈𝑣 2〉/〈𝑣 〉(4.3-6)ゆえに，管内乱流の場合，パイプに働く力は次式によって与えられる：⃗⃗⃗⃗⃗𝑭′ = −⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒇 = 𝑤1 〈⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟏 〉 − 𝑤2 〈⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟐 〉 − 𝑝1 𝑆1 ⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟏 − 𝑝2 𝑆2 ⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟐 + 𝑚 𝒈(4.3-7)𝑆

ここで，単位ベクトルは外向きであることに注意しよう．
角度 𝜃 だけ傾斜した直管（内径 𝐷, 長さ𝐿）内を流れる非圧縮性流れの場合，管内面に働く力は次式のような馴染みの力の釣り合いの式となる：
𝜋𝜋𝐹 ′ = (𝑝0 − 𝑝𝐿 ) 4 𝐷 2 + 4 𝐷 2 𝐿 𝜌𝑔 cos 𝜃 = 𝜏𝑤 𝜋𝐷𝐿(4.3-8)
この結果は次のようなことを意味している．
「管内にあるため円柱状の流体に圧力差と重力によって下流方向に働く正味の力は，流れを止めようとして管内壁に働く上流向きの摩擦
力と釣り合っている．」 この式は層流，乱流かに関わらず，どちらにも適用できる．

[ 例 題 4.3-E1] 水平に設置された 90˚ベンド（直角方向に流れの方向を変える曲がり管）に働く力について考えよう．ある製油所内の冷却用の温度 20℃ の水が流量 700 kg/s の割合で流れている．パイプラインは内径 300 mm の鋼管でできており，ベンドとその解析に関係する数量は図 4.3-E1 に示している．
[ 解 ] 現実はベンドの部分でも，そこに働く粘性力によって生じる圧力損失があるはずであるが，セクション１と２の間では圧力損失は小さいので，簡単化するために，ここでは，無視小と仮定する． 解析の第１段階では，流線に垂直な面“1” and “2” とベンドの内壁で囲まれた領域をコントロール・ボリュームとして選定する．第２段階は，乱流（ほとんどフラットな速度分布）と仮定して，全体的な運動量収支を順々に各項を求めて行く．
先ず，運動量の流出入について
⃗ (𝒗
⃗ ∙𝒏
⃗⃗ )𝑑𝑆 = − ∫𝑆 𝜌𝒗
⃗ (𝒗
⃗ ∙𝒏
⃗⃗ )𝑑𝑆 − ∫𝑆 𝜌𝒗
⃗ (𝒗
⃗ ∙𝒏
⃗⃗ )𝑑𝑆 = 𝑤1 ⃗⃗⃗⃗− ∫𝑆 𝜌𝒗
𝒗𝟏 − 𝑤2 ⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟐
1

2

(4.3-E1)

運動量の巨視的収支（続き）25

図 4.3-E1 90˚ ベンドに働く力の解析

速度ベクトルと単位ベクトルの間がなす角度 𝛼 は入口”1” で 180˚，出口”2” で 0˚ であるから，負号のようになる．
定常な流れであり，連続の式より
𝑤1 = 𝑤2 = 𝑤 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
体積流量についても𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
だから定常状態で式(4.3-4) は簡単になって，次式となる
𝑤 (⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟐 − ⃗⃗⃗⃗𝒗𝟏 ) = ∑ ⃗𝑭
(4.3-E2)
ここで ⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟏 = 𝑄(− ⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟏 )/𝑆 と ⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟐 = 𝑄 ⃗⃗⃗⃗
𝒏2 /𝑆
だから
⃗ = (𝑄) (𝒏∑𝑭⃗⃗⃗⃗𝟐 + 𝒏⃗⃗⃗⃗𝟏 )𝑤
(4.3-E3)
𝑆
パイプラインは水平であるから，重力の影響を考える必要はない．したがって，ベンド内部の流体に結果として働く外力は，圧力 ⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒑 とベンドに流体の流れ自身が及ぼす力 ⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒃 で構成される．
圧力については⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 + ⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒑 = −𝑝 𝑆 (𝒏𝒏𝟐 )
(4.3-E4)
ここで，前述の仮定により，セクション１と２は等しい圧力であるとする．
（現実は圧損でセクション２がほんの少しだけ圧力が小さくなるはずである．）⃗⃗⃗⃗𝒃 の反作用の力であり，方向は求めようとしているベンドに働く力 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭′𝒃 は流体に働く力𝑭
逆である：
𝑤𝑄⃗⃗⃗⃗𝒃 = (𝑄) 𝑤(⃗⃗⃗⃗
𝑭
𝒏𝟏 + ⃗⃗⃗⃗𝒏𝟐 ) + 𝑝 𝑆 (⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟏 + ⃗⃗⃗⃗𝒏𝟐 ) = ( + 𝑝 𝑆) (⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟏 + ⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟐 )(4.3-E5)𝑆𝑆

与えられている数値を入れて⃗⃗⃗⃗𝑭𝒃 = [

(700

𝑘𝑔 2
)
𝑠

𝑘𝑔
(1000 3)(0.0707 𝑚2 )
𝑚

105 𝑁

+ (1 × 𝑚2 )(0.0707 𝑚2 )] × (⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟏 + ⃗⃗⃗⃗𝒏𝟐 ) = 1.4 × 104 (⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟏 + ⃗⃗⃗⃗𝒏𝟐 ) N

すなわち流体からベンドに働く力は⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭′𝒃 = − ⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒃 .

[ 問
題 4.3-P1]
20 ˚ C の 水 が 下 図 の よ う に ， 水 平 な 縮 流 管 を 体 積 流 量−2
3⁄
𝑄 = 5 × 10 𝑚 𝑠 で流れている．上流側”1”における圧力は 𝑝1 = 2 × 105 Pa である．
縮流部での摩擦損失は小さいので，無視して，下流側”2” における圧力を計算せよ．

26

巨視的収支論：

コントロール・ボリューム法

図 4.3-P1 水平な縮流パイプの壁面に働く力

4.4 エネルギーの巨視的収支
この節では，熱力学の第１法則を得るために，厳密に最初から一般形のエネルギーの巨視的収支式を導出することにする．時間制限がある場合は，結果を理解するに留め，誘導部分は省略してスキップしてもよい．

図 4.4-1 巨視的エネルギー収支に使うコントロール・ボリューム

質量に伴われるエネルギーには優しい場合を考えても，位置のエネルギー 𝐸𝑝（ポテンシャルエネルギーと言う），運動のエネルギー 𝐸𝑘 ，（直接，熱エネルギーに関係する）内部
エネルギー 𝐸𝑢 の３種がある．
厳密に言うと，全エネルギー 𝐸𝑇 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑘 + 𝐸𝑢 の蓄積速度は次式で与えられる：𝑑∫𝑉 𝜌 𝐸𝑇 𝑑𝑉コントロール・ボリュームの全表面にわたるエネルギーの正味の流出入速度は𝑑𝑡(4.4-1)⃗ ∙𝒏⃗ ) 𝑑𝑆(4.4-2)∫𝑆 𝐸𝑇 𝜌 𝑣𝑛 𝑑𝑆 = − ∫𝑆 𝐸𝑇 𝜌(𝒗コントロール・ボリュームの中へ流体の質量を得るためには，いくらかの流体をコントロール・ボリュームに圧力で（ピストンのように）押し込めねばならない．コントロール・エネルギーの巨視的収支（続き）

27

ボリュームが周囲に仕事をするためには，コントロール・ボリュームの境界が外へ向かって仕事をする、すなわち膨張しなければならない．この仕事は”流れ仕事”と呼ばれ，単位質量の流体をコントロール・ボリュームに付与するに必要な流れ仕事は（ピストンのように）次のように考える：(圧力)(流体の比容積) = (力/面積)(体積/質量) = (仕事/質量) = 𝑝 𝑉𝑠
よって，コントロール・ボリューム全体に与えられる流れ仕事は次式となる：⃗ ∙𝒏⃗⃗ ) 𝑑𝑆
𝑊𝑓 = − ∫𝑆 𝑝 𝑉𝑠 𝜌(𝒗(4.4-3)
熱力学によれば，エンタルピーは内部エネルギーと pV 仕事の和：𝐻𝑒 = 𝐸𝑢 + 𝑝 𝑉𝑠 であるから，質量とともに境界を通過して輸送されるエネルギーの正味の速度は⃗ ∙𝒏⃗ ) 𝑑𝑆 + ∫𝑆 𝑝 𝑉𝑠 𝜌(𝒗⃗ ∙𝒏⃗⃗ ) 𝑑𝑆] = − ∫𝑆 (𝐻𝑒 + 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 )𝜌(𝒗⃗ ∙𝒏⃗⃗ ) 𝑑𝑆− [∫𝑆 𝐸𝑇 𝜌(𝒗(4.4-4)

境界を通過する質量に伴われる訳でなく，（境界が固体であり物質が通過できない障壁である場合の間接的加熱あるいは冷却による）熱入出力を 𝑄 (入熱を正とみなす) とする．またポンプやタービン、あるいは撹拌機のように外から仕事をして流体のエネルギー与えるのを軸仕事 – 𝑊 と言う．したがってタービンの場合，流体からエネルギーをもらうので，
𝑊 > 0，ポンプの場合，流体にエネルギーを与えるので，𝑊 < 0 である．
最終的にエネルギーの巨視的収支式の一般形は次式となる：
𝑑
𝑑𝑡

⃗ ∙𝒏
⃗ ) 𝑑𝑆 + 𝑄 − 𝑊∫𝑉 𝜌 𝐸𝑇 𝑑𝑉 = − ∫𝑆 (𝐻𝑒 + 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 )𝜌(𝒗(4.4-4)<巨視的エネルギー収支の簡単化>
単一の流体入口（面”1”，断面積 𝑆1 ) と単一の流体出口（面”2”，断面積 𝑆2 )を有する流路についてエネルギーの巨視的収支を取ると次式のようになる：𝑑𝑑𝑡

𝒗𝟏 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟏 )𝑑𝑆1∫𝑉 𝜌 𝐸𝑇 𝑑𝑉 = − ∫𝑆1 (𝐻𝑒1 + 𝐸𝑘1 + 𝐸𝑝1 )𝜌1 (⃗⃗⃗⃗− ∫ (𝐻𝑒2 + 𝐸𝑘2 + 𝐸𝑝2 )𝜌2 (⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟐 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝒏𝟐 )𝑑𝑆2 + 𝑄 − 𝑊
𝑆2= (𝐻𝑒1 + 𝐸𝑘1 + 𝐸𝑝1 )𝜌1 〈𝑣1 〉𝑆1 − (𝐻𝑒2 + 𝐸𝑘2 + 𝐸𝑝2 )𝜌2 〈𝑣2 〉𝑆2 + 𝑄 − 𝑊= − ∆[(𝐻𝑒 + 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 )𝑤] + Q – W(4.4-5)
ここで 〈 〉 のカッコは断面平均を意味し，𝑤 = 𝜌〈𝑣 〉𝑆 は質量流量である．
厳 密 に言 う と， 上の 簡 略化 は，面 ”1”, “2” の各 断面 に おい て密度 も 他の 物 理 量
𝐻𝑒 , 𝐸𝑘 , 𝐸𝑝 , 𝐸𝑇 もあまり変化しない時においてのみ正当である．特に，運動のエネルギー項の場合，流れが乱流で，平坦に近い速度分布の場合に正当である．通常，一定な重力場における運動のエネルギーと位置のエネルギーは (1⁄2) 𝜌𝑣 2 + 𝜌 𝑔 ℎ のように書けるから，最終的に次のようにまとめることができる：𝑑𝐸𝑇𝑜𝑡
1= − ∆ [(𝐻𝑒 + 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ℎ) 𝑤] + 𝑄 − 𝑊(4.4-6)𝑑𝑡2

ここに着目系（コントロール・ボリュームなど）での全エネルギーは𝐸𝑇𝑜𝑡 = ∫𝑉 𝜌 𝐸𝑇 𝑑𝑉 = ∫𝑉 𝜌(𝐸𝑢 + 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 )𝑑𝑉
式(4.4-6)が流れ系に適用される熱力学の第１法則の一形式であり，エネルギーが関与する化学工学の応用問題を扱う際に出発点となる重要な式である．
定常状態において一定質量流量で全項を割って整理すると
1− ∆ (𝐻𝑒 + 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ℎ) + 𝑄𝑚 − 𝑊𝑚 = 0(4.4-7)
2

ここで 𝑄𝑚 は着目系（コントロール・ボリューム）に流体を伴わずに与える（流体の単位
質量当たりの）熱エネルギーであり，𝑊𝑚 は着目系の流体がその周囲（例えば，タービン

巨視的収支論：

28ブレード）に及ぼす（単位質量当たりの）仕事量である．
上式はさらに簡単化することができる．
（１） 流体を理想気体と仮定できるならば
𝑝 𝑉 = (1⁄𝑀) 𝑅 𝑇 を使って
𝑇2
1
∫𝑇 𝐶𝑝 𝑑𝑇 + ∆ 2 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ∆ℎ = 𝑄𝑚 − 𝑊𝑚1（２） 非圧縮性流体と仮定するならば (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐶𝑣 = 𝐶𝑝 )エンタルピー変化は次のように表せる：∆𝐻𝑒 = ∆𝐸𝑢 + ∆(𝑝 𝑉𝑠 ) = ∆𝐸𝑢 + 𝑉𝑠 ∆𝑝 = ∆𝐸𝑢 + (1⁄𝜌) ∆𝑝
したがって，非圧縮性流体のエンタルピー変化の式は
𝑇2
𝑝 −𝑝
1
∫𝑇 𝐶𝑝 𝑑𝑇 + 2 𝜌 1 + ∆ 2 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ∆ℎ = 𝑄𝑚 − 𝑊𝑚
1

コントロール・ボリューム法(4.4-8)(4.4-9)(4.4-10)

この式は加熱や冷却を伴う（熱交換器のような）流れ系に通常，使用する式である．

4.5 力学的エネルギーの収支
ベルヌーイの式“Bernoulli equation” と呼ばれる力学的エネルギーの収支式は，種々の配管設計への工学的応用のために，非常に重要で，有用である．
熱交換などによる入出熱なし (𝑄𝑚 = 0) の流れ系の場合，エンタルピー変化は∆𝐻𝑒 = ∆𝐸ℎ + ∆(𝑝𝑉𝑠 ) = 𝑇 ∆𝑆 + 𝑉𝑠 ∆𝑝(4.5-1)
摩擦の存在は流体摩擦熱のせいで不可逆的プロセスを生み，
𝑇 ∆𝑆 = 𝑄𝑚 + 𝐹𝑟𝑚 だから ∆𝐻𝑒 = 𝑄𝑚 + 𝐹𝑟𝑚 + 𝑉𝑠 ∆𝑝.
(4.5-2)
ここに 𝐹𝑟𝑚 は力学的エネルギーが摩擦により熱エネルギーに変換されることを意味する．
この式を定常状態のエネルギー収支式に代入して
𝑝2
1(4.5-3)∫𝑝 𝑉𝑠 𝑑𝑝 + ∆ 2 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ∆ℎ = − 𝐹𝑟𝑚 − 𝑊𝑚1

この式がベルヌーイの式 “Bernoulli equation” の一般形であり，理想気体や非圧縮性流体のどちらにも適用できる．ここで 𝐹𝑟𝑚 は摩擦効果により力学的エネルギーが失われる速度であり，（単位時間，単位質量当たりの）力学的エネルギー損失である．この式は力が力学的エネルギーが流体の粘性消散により，不可逆的に熱エネルギーに変換されることを意味しており，力学的エネルギー損失𝐹𝑟𝑚 はよく摩擦損失 “friction loss” と呼ばれる．
定常状態で何も付加的な熱入力（heat input）がない等温系の場合，粘性消散により熱エネルギーの生じる速度はコントロール・ボリュームから熱が除去される速度に等しくなる．
理想気体の場合 (𝑉𝑠 = (𝑅 𝑇⁄𝑀 )(1⁄𝑝)𝑅𝑇𝑝1ln 2 + ∆ 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ∆ℎ = − 𝐹𝑟𝑚 − 𝑊𝑚
(4.5-4)𝑀𝑝12

非圧縮性流体 (𝑉𝑠 = 1⁄𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
𝑝2 − 𝑝1
1〈𝑣 〉2 + 𝑔 ∆ℎ = − 𝐹𝑟𝑚 − 𝑊𝑚+∆
𝜌2

(4.5-5)層流の場合は，放物線状速度分布であるため，〈𝑣 3〉⁄〈𝑣 〉 = 2 〈𝑣 〉2 になるので，運動のエ
ネルギー項 ∆(1⁄2)〈𝑣 〉2 は by ∆〈𝑣 〉2 に置き換えるべきである．
[ 問 題 4.5-P1] 水平に置かれた断面積 𝑆 = 3.14 × 10−2 𝑚2 の直線状の円管内を，理想気体（分子量 𝑀 = 29）が温度 𝑇 = 298 K (= 25℃) で，等温乱流で流れている．ある面”1”と そ れ よ り 下 流 の 面 ”2” に お け る 圧 力 は そ れ ぞ れ 𝑝1 = 1.013 × 105 𝑃𝑎 (= 1 𝑎𝑡𝑚) と𝑝2 = 0.87 × 105 𝑃𝑎 である．質量流量は 𝑤 = 0.15 𝑘𝑔⁄𝑠 である．この円管の面”1”と面”2”との間の長さ 𝐿 = 20 𝑚 における摩擦損失を 𝐹𝑟21 = 𝑤 𝐹𝑟𝑚21 in 𝑘𝑔 𝑚2 /𝑠 3 の形で求めよ．
ただしガス定数は 𝑅 = 8.314 × 103 (kg m2 ⁄s 2 )/kmol K のように与えられている．

力学的エネルギーの収支（続き）

29[ 問 題 4.5-P2] タービンの断面積 0.1 m2 の入り口から水が平均速度 10 m/s で流入している．静圧は入口において 1 MPa ，断面積 0.3 m2 の出口において 2 MPa である．
入口―出口間の高さの差は 10 m である． 粘性消散は小さいとして仮定して，理論動力を計算せよ．

図 4.4-P2. 水力タービンによる動力の計算[ 例 題 4.5-E1] ある消防艇に，下図のような円形縮流ノズル（放水ノズル）が備わっている．このノズルは水平線より 30˚上方に向けられている．ノズル出口内径は 80 mm ，それより上流の面”1” における内径は 150 mm である。
そのノズルから水(𝜌 = 1,000 𝑘𝑔/𝑚3 )が平均流速 100 𝑚/𝑠 の高速ジェットで発射される．
摩擦損失および重力の影響は無視小と仮定して，面”1” における静圧を求めよ．また水を噴射しているノズルを静止状態に保つに必要な力の水平方向成分を求めよ．

図 4.5-E2. 円形縮流ノズルの運動量収支[ 解 ]非圧縮性流体の乱流を仮定して，この系に適用する力学的エネルギー収支式は
1
1
𝑝 −𝑝
2
〈𝑣 〉 − 〈𝑣1 〉2 + 2 1 = 0(4.5-E1)2 2
2
𝜌
ここで重力の影響 𝑔 ∆ℎ = 0, 摩擦損失 𝐹𝑟𝑚21 = 0 , このノズル内には機械的な仕事をするものはないから 𝑊𝑚 = 0 などと仮定される．
そこで非圧縮性流体の低上流では，上流の面”1”の静圧 𝑝1 は次式から求められる：
1
𝑝1 = 2 𝜌 (〈𝑣2 〉2 − 〈𝑣1 〉2 ) + 𝑝2
(4.5-E2)𝑤 = 𝜌〈𝑣2 〉𝑆2 = 𝜌〈𝑣1 〉𝑆1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(4.5-E3)
ノズル出口における静圧 𝑝2 は大気圧と考えられる．
また上流の面”1”の平均流速は〈𝑣1 〉 = (𝑆2 ⁄𝑆1 )〈𝑣2 〉 = (80⁄150)2 (100 𝑚⁄𝑠) = 28.4 𝑚/𝑠(4.5-E4)

巨視的収支論: コントロール・ボリューム法

30

したがって上流の面”1”の静圧 𝑝1 は
𝑝1 = (1⁄2)(1000 𝑘𝑔⁄𝑚3 )[(100 𝑚⁄𝑠 )2 − (28.4 𝑚⁄𝑠 )2 ] + 1.013 × 105 𝑃𝑎= 4.70 × 106 𝑃𝑎 = 4.70 𝑀𝑃𝑎(4.5-E5)
質量流量も下式のように計算される：
𝑤 = 𝜌〈𝑣 〉𝑆 = (1000 𝑘𝑔⁄𝑚3 )(100 𝑚⁄𝑠)(𝜋⁄4)(0.08 𝑚)2 = 502.7 𝑘𝑔⁄𝑠
(4.5-E6)
重力項は 𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑔 = 0 と仮定して，運動量収支式を適用すると：⃗ = −(⃗⃗⃗⃗
𝑭
𝒗𝟐 𝑤 − ⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟏 𝑤) − (𝑝2 𝑆2 𝒏𝟐 + 𝑝1 𝑆1 𝒏𝟏 )(4.5-E7)ノズルの軸方向に働く力は次式となる：
𝐹 = −(502.7 𝑘𝑔⁄𝑠)(100 𝑚⁄𝑠 − 28.4 𝑚⁄𝑠) − (1.013 × 105 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠 2 )× (𝜋⁄4)(0.08 𝑚)2 + (4.70 × 106 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠 2 )(𝜋⁄4)(0.15 𝑚)2= 4.66 × 104 𝑘𝑔 𝑚⁄𝑠 2 = 4.66 × 104 𝑁(4.5-E8)ノズルしたがって消防艇を静止しておくには，次のような水平方向の力が必要である．
𝐹𝑥 = 𝐹 cos 30° = (4.66 × 104 ) √3⁄2 = 4.04 × 104 𝑁(4.5-E9)[ 例 題 4.5-E2]
グローブバルブにおける摩擦損失を測定するために，下図のような一定断面を持つ水平なパイプラインを使う．流す流体には水(density 𝜌𝑤 ) を，圧力測定用のマノメータに入れる流体として水銀 (density 𝜌𝑚) を使うことにする．マノメータの（液高さの）読みが ℎ である時の摩擦損失を求めよ．ただし，セクション𝑙1 と 𝑙2 における摩擦損失は，今，求めようとしているバルブ部分の摩擦損失と比べて非常に小さいと仮定できる．
[ 解 ] 圧力タップ（取り出し口）間の等温非圧縮性流体流れに対する巨視的な力学的エ
ネルギー収支式を使う：
𝑝2 − 𝑝1
1+ ∆ 2 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ∆ℎ = − 𝐹𝑟𝑚 − 𝑊𝑚
(4.5-E10)𝜌
𝑤

行って断面のパイプだから，平均流速は一定 〈𝑣1 〉 = 〈𝑣2 〉 , 運動のエネルギーの変化なし
1∆ 2 〈𝑣 〉2 = 0 ，また水平なパイプラインだから ∆ℎ = 0 ．今，考えている範囲には動力機器はないから𝑊𝑚 = 0

図 4.5-E2. グローブバルブにおける摩擦損失の計測

マノメータ―内の静止流体の力の釣り合いから
𝑝1 − 𝑝2 = (𝜌𝑚 − 𝜌𝑤 )𝑔 ℎ
したがって摩擦損失は次のように求められる
𝜌 −𝜌
𝐹𝑟𝑚 = 𝑚 𝑤 𝑔 ℎ𝜌𝑤(4.5-E11)(4.5-E12)

力学的エネルギーの収支（続き）

31[ 例 題 4.5-E3] ピトー管による流速測定
流体の流れの中の流速分布を測定できる最も簡便で歴史的な機器にピトー管がある．
図 4.5-E3 のように，その本体部は同心二重円管からなり，その内側のチューブの一方の端は開放されており，他方の端は外側の同心のチューブと溶接して封じられている．外側のチューブの溶接部に近い側面には数個の小さなドリル孔が開いている．両チューブは測定している流体（例えば空気）と同じ流体で満たされており，マノメータ―のチューブの両端と連結している．このピトー管は内側のチューブの開口部が測定しようとする速度の方向に直面するように置かれる．したがって流体は，この開口面（衝突開口面）に垂直に衝突するので，近づく流体の運動のエネルギーが圧力のエネルギーに変換される．これを「動圧」と言う．また外側のチューブの側面に開けられた孔は静圧孔と呼び，チューブ側面が接近する流線と平行であるので，流れ本体の静圧のみを取り込むことになる．
非圧縮性流の力学的エネルギー収支式を 1 から 2 までの短い距離の流線に沿った接近流に適用すると，
12𝑣2 − 0 +𝑝𝑠 − 𝑝𝑡
𝜌

=0

したがって

𝑣= √

2 (𝑝𝑡 − 𝑝𝑠)𝜌(4.5-E13)

ここで，衝突圧力（動圧） (1⁄2) 𝜌 𝑣 2 は衝突開口面における静圧 𝑝𝑡 と流れ本体の静圧 𝑝𝑠との差である．外側チューブ側面の孔は静圧に等しいから，
マノメータの高さの読み ℎ と流速 𝑣 との関係は次式となる：

𝑣= √2 (𝜌𝑚 − 𝜌)𝑔 ℎ𝜌

(4.5-E14)

ここに 𝜌𝑚 はマノメータに封入した液の密度，𝜌 は流れている流体の密度である．ピトー管の速度変化に対する応答は流体自身の慣性効果により遅い．したがって乱流においては
時間平均された速度の計測のみに使うことができる．

図 4.5-E3.ピトー管（ Pitot tube）[ 問 題 4.5-P3] 下表は内径 60 mm の円管内を温度 20˚C の水が流れており，その流れの中にピトー管を横断方向（半径方向）にトラバースして測定した流速分布の実験値であ巨視的収支論: コントロール・ボリューム法

32

る．マノメータ内に封じた液体は密度 𝜌𝑚 = 1,600 kg/m3 の CCl4 である．局所速度を計算
して，指数法則表示の流速分布を得るために，これらのデータをプロットせよ．またレイノルズ数はいくらか。
Position of Pitot tube
Radial distance fromthe pipe axis (mm)Manometer
readings (mm)

0.0
2.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
27.0
28.0
29.0
29.5
29.8

375
364
357
330
300
268
225
202
168
140
119
93

[ 例 題 4.5-E4] 下の図 4.5-E4 に示すように，水平な円管（内径𝐷1 ）の直管部分に設置したオリフィス流量計について考えよう．

図 4.5-E4. オリフィス流量計

図の黒い部分のオリフィス円盤は中心に１個の孔が開けられており，その鋭いエッジ側に
直径 𝐷0 （断面積 A0）の非常に短い直管部分を有している．図に示す管路の領域では，ポンプのような軸仕事をする機器はなく，一のエネルギーの変化もないので，図中の面”1” と“2”の圧力タップが設けられた間の領域に対して，非圧縮性流体の力学的エネルギー収支（摩擦損失項を入れたベルヌーイ式）を適用すると，〈𝑣𝑧2 〉22−〈𝑣𝑧1 〉22+

𝑝2 − 𝑝1
𝜌1+ 𝜍 2 〈𝑣𝑧2 〉2 = 0(4.5-E15)

ここに 𝜍 は摩擦損失係数（無次元）と呼ばれる係数である．最後の項が断面積の急激な変化 A1 → A2 によって引き起こされる摩擦損失を与える．通常、強い乱流の場合，流れの断面積は A0 → A2 まで変化する．この A2 が最も収縮した流れの部分の断面積を与える．

非等温系の熱エネルギーの収支33

この最小流れ断面となる所（最収縮部）をヴィナコントラクタ “Vena-contracta.” と呼んでいる．この収縮係数は 𝛼 = 𝐴2 ⁄𝐴0 のように定義され，接近率 𝑚 = 𝐴0 ⁄𝐴1 によって変化する．連続の条件によれば，近似的に 𝐴1 〈𝑣𝑧1〉 = 𝐴2 〈𝑣𝑧2 〉 であるが，非常に複雑な流れパターンなので，簡単のために，上式の第１項の前にあるべき収縮係数は 1 と仮定している．
そこで工学的な簡便さのために，流量係数 𝐶𝑑 を導入して，〈𝑣𝑧1 〉 = 𝐶𝑑 𝑚 〈𝑣𝑧2 〉 とする．
ここで導入した流量係数 𝐶𝑑 は与えられたオリフィスの構造配置条件に対して，主にレイノルズ数によって変化する．結局，最収縮部における平均速度は次のようになる：〈𝑣𝑧2 〉 =2(𝑝1− 𝑝2 )1
√1− 𝐶𝑑 2 𝑚2√

𝜌

(4.5-E16)

そこでオリフィスの孔の位置での流速は〈𝑣𝑧 〉0 = ( 𝜉𝐶𝑑 ⁄√1 − 𝐶𝑑 2 𝑚2 ) √2(𝑝1 − 𝑝2 )⁄𝜌

(4.5-E17)

その結果として，測定したい体積流量は次の式によって与えられる：𝑉 = 〈𝑣𝑧 〉0 𝐴0 = 𝐶𝑐 𝐴0 √2(𝑝1 − 𝑝2 )⁄𝜌

(4.5-E18)

ここに 𝐶𝑐 は 𝜉𝐶𝑑 ⁄√1 − 𝐶𝑑 2 𝑚2 の影響を考慮に入れた修正係数である．
液体の流れの場合でも流量計の較正は必要である．
気体のような圧縮性流体の場合は等エントロピー条件からのずれは無視できないので，気体に対してオリフィス流量計の較正をする場合は，体積流量が得られるガスメーターを使うべきである．

4.6 非等温系の熱エネルギーの収支
非等温流れ系の場合，運動のエネルギーと位置のエネルギーの効果は熱エネルギーに比して小さくて無視できる．だから伝熱の多くの実際の問題の場合のエネルギー収支式は次のように簡単になる：∆𝐻𝑒 = 𝑄𝑚 − 𝑊𝑚
(4.6-1)だから摩擦損失項は力学的エネルギーの損失を求めるべき時以外では無視できる．もし着目している系にポンプや他の軸仕事をする機器（タービンや撹拌混合機など）がない場合
は、エンタルピー収支式は次のような簡単な式になる：∆𝐻𝑚 = 𝑄𝑚
(4.6-2)[ 例 題 4.6-E1]
次図に示すパイプラインを水のような非圧縮性流体が流れている問題を考えよう．このパイプラインの一定断面積の管路であり，その中に１台のポンプ，1 台の熱交換器が装備され，一定断面積の円管で連結されている．図のように，３個のサブシ
ステムに分割して考えよう．
(Ⅰ) ポンプのあるサブシステム： ポンプを含む面”1”と 面“2” で挟まれた短い水平な管路部分について考える．エネルギー収支は次式のようになる：1− ∆ (𝐻𝑚 + 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ℎ) + 𝑄𝑚 − 𝑊𝑚 = 0(4.6-E1)
2

力学的エネルギー収支は次式となる：
𝑝2
1∫𝑝 𝑉𝑠 𝑑𝑝 + ∆ 〈𝑣 〉2 = − 𝐹𝑟𝑚 − 𝑊𝑚
1

2

(4.6-E2)

このサブシステムには熱交換器はないから，入熱項 𝑄𝑚 は一般にポンプによってなされる
軸仕事 𝑊𝑚 に比して無視できるほど小さいと仮定する．

巨視的収支論: コントロール・ボリューム法

34

図 4.6-E1. 簡単なパイプラインにおけるエネルギーの巨視的収支

この例題のように液体のためのポンプや気体のためのポンプ（気体の場合は送風機と言うが）は通常，入口，出口での流速が等しいように設計されているから運動のエネルギーの変化はゼロと考えてよい： ∆(1⁄2)〈𝑣 〉2 = 0
式(4.4-9)における項 ∆𝐻𝑒 は流体がポンプの中を通過する際に得られるエンタルピー変化である．
非圧縮性流体の場合
𝑝𝑝 −𝑝∆𝐻𝑚 = ∫𝑝 2 𝑉𝑠 𝑑𝑝 + 𝐹𝑟𝑚 = 2 𝜌 1 + 𝐹𝑟𝑚21(4.6-E3)
1

ポンプの理論所要動力は下の力学的エネルギー収支式によって求められる：
𝑝 −𝑝− 𝑊𝑚 = 2 𝜌 1 + 𝐹𝑟𝑚21(4.6-E4)

ここのサブシステムのパイプ部分は短いので，摩擦損失 𝐹𝑟𝑚21は無視できる．
(Ⅱ) 熱交換器のあるサブシステム： 典型的な通常の熱交換器は中に軸仕事をするものはなく，一のエネルギーに関係する入口―出口の高さの差はないように設計されている．
すなわち
𝑊𝑚 = 0 そして ∆ℎ = 0
非圧縮性流体の場合，運動のエネルギーも各項とも無視できるほど小さい．摩擦損失 𝐹𝑟𝑚
は力学的エネルギーの収支を使って所要動力を求める時にのみ重要となる．したがって力
学的エネルギー収支式は簡単化されて次式になる：
𝑝2
𝑝 −𝑝(4.6-E5)∫𝑝1 𝑉𝑠 𝑑𝑝 = − 𝐹𝑟𝑚 or 3 𝜌 2 = − 𝐹𝑟𝑚32
右辺の摩擦損失項は面”2”，面”3”間のパイプ内面におけ摩擦損失と熱交換器内部での摩擦損失の合計である．
全エネルギー収支に関しては
𝑇3
𝑝 −𝑝(4.6-E6)∫𝑇 𝐶𝑝 𝑑𝑇 + 3 𝜌 2 = 𝑄𝑚
2

ここの圧力変化項は熱交の伝熱によるエンタルピー変化に比して十分に小さい．
一定熱容量の場合，次の重要な式が得られる：
𝑄𝑚 = 𝐶𝑝 (𝑇3 − 𝑇2 ) i.e. 𝑄 = 𝑤 𝐶𝑝 (𝑇3 − 𝑇2 )(4.6-E7)
この式は「非圧縮性流体は熱交において（系外から加える）入熱速度に等しいエンタルピ
ー増加を得る」ことを意味している．例えば，別の温度の高い流体が二重管熱交換器の環状部に質量流量 𝑤′ で供給されている場合であれば，
𝑄 = 𝑤 ′ 𝐶𝑝′ (𝑇 ′ 3 − 𝑇 ′ 2 ) = 𝑤 𝐶𝑝 (𝑇3 − 𝑇2 )(4.6-E8)非等温系の熱エネルギーの収支 （続）35

ここで 𝑇′3 と 𝑇′2 は相手側の高温流体の入口，出口の温度である．式(4.6-E8) は熱交換器の設計で重要な熱収支の基礎式である．
(Ⅲ) パイプのみのサブシステム： 面”3”, 面“4”間の領域は長い直管と方向転換するための２個のエルボを有し，出口は入口より∆ℎ だけ高い．この領域では熱の出入りはなく，𝑄𝑚 = 0 ，ポンプのような軸仕事もなく，𝑊𝑚 = 0 である． このパイプラインは同じ内径の円管で構成されているので，非圧縮性流体の場合，速度の変化はない，すなわち〈𝑣 〉4 = 〈𝑣 〉3 .
力学的エネルギー収支式は次式のようになる：
𝑝4 − 𝑝3+ 𝑔 (ℎ4 − ℎ3 ) = − 𝐹𝑟𝑚43(4.6-E9)𝜌
ここでは管路での摩擦損失は大きい．
これら３つの式を足し合わせると，総括的な力学的エネルギー収支式が得られる：
𝑝2 − 𝑝1𝑝 −𝑝
𝑝 −𝑝+ 3 𝜌 2 + 4 𝜌 3 + 𝑔(ℎ4 − ℎ3 ) = −(𝐹𝑟𝑚21 + 𝐹𝑟𝑚32 + 𝐹𝑟𝑚43) − 𝑊𝑚
(4.6-E10)𝜌
最終的には次式のようにまとめられる：
𝑝4 − 𝑝1+ 𝑔(ℎ4 − ℎ3 ) + ∑ 𝐹𝑟𝑚 = − 𝑊𝑚𝜌

(4.6-E11)

この式は面”1”と面”4”との間のシステムに適用した力学的エネルギー収支式と考えることができる．
（ポンプに要求される）流体を一定流量で流すに必要な軸仕事量− 𝑊𝑚 は，（第１項の）流れ仕事の差，（第２項の）位置のエネルギーの差，（第３項の）パイプライン全長における粘性消散による全摩擦損失（力学的エネルギーの損失）の総和であることを述べている．これが配管の設計方程式である．今までの 𝑊𝑚 の単位は J/kg であるので，ポンプの所要動力は質量流量を掛けて次式で求められる．
𝑃𝑤 = −𝑤 𝑊𝑚(4.6-E12)[ 例 題 4.6-E2] 乾燥した酸素ガス 𝑊𝑜 kg/s を温度 𝑇𝑖 から 𝑇𝑜 𝐾まで，水平に設置された二重管式熱交換器で冷却したい．内管の流路断面積は 𝑆 𝑚2 である．冷却用冷媒として粗液体窒素を使い，熱交の環状部に飽和温度で流すことにする．この液体窒素は環状部
で核沸騰になり，その蒸発潜熱は，𝜆𝑁 J⁄kg で与えられる．環状部は全長，沸騰伝熱であるとしよう．内管の入口，出口における圧力はそれぞれ 𝑝𝑖 ，𝑝𝑜 𝑃𝑎 である．酸素ガスは理想気体であるとし，熱容量𝐶𝑝𝑂 J⁄kmol K. （一定）で内管内を乱流で流れるものとする．
粗液体窒素によって管壁を通して酸素ガスが冷却されるときのエネルギーの除去速度を計
算せよ．また必要な粗液体窒素の供給流量を与えよ．

図 4.6-E2. 液体窒素による乾燥酸素の冷却のエネルギー収支[ 解 ]内管の入口―出口間の巨視的なエネルギー収支式は1− ∆ (𝐻𝑚 + 2 〈𝑣 〉2 + 𝑔 ℎ) + 𝑄𝑚 − 𝑊𝑚 = 0(4.6-E13)

巨視的収支論: コントロール・ボリューム法

36

一定熱容量の理想気体の場合，エンタルピー変化は次式となる：
𝑇
𝑇
1
𝐶𝑝
Δ𝐻𝑚 = ∫𝑇 𝑜 𝐶𝑝𝑚 𝑑𝑇 = 𝑀 ∫𝑇 𝑜 𝐶𝑝𝑂 𝑑𝑇 = 𝑀𝑂 (𝑇𝑜 − 𝑇𝑖 )J⁄kg

(4.6-E14)

質量流量は一定 𝜌𝑖 〈𝑣𝑖 〉𝑆𝑖 = 𝜌𝑜 〈𝑣𝑜 〉𝑆𝑜 = 𝑊𝑜 .
理想気体の法則は
1
1 𝑅𝑇
=
𝜌
𝑀 𝑝

(4.6-E15)𝑖𝑖

これを運動のエネルギー変化に入れると
1
1
Δ 2 〈𝑣 〉2 = 2 (𝑊𝑜 ⁄𝑆)2 [(𝑅𝑇𝑜 ⁄𝑀 𝑝𝑜 )2 − (𝑅𝑇𝑖 ⁄𝑀 𝑝𝑖 )2 ]J⁄kg

(4.6-E16)

𝑊𝑚 = 0 であり Δℎ = 0 である．
したがって，酸素が熱エネルギーを失う速度は
1
𝑄 kJ⁄s = 𝑊𝑜 𝑄𝑚 = (𝑊𝑜 𝐶𝑝𝑂 ⁄𝑀)(𝑇𝑜 − 𝑇𝑖 ) + 2 𝑊𝑜 (𝑊𝑜 ⁄𝑆)2 [(𝑅𝑇𝑜 ⁄𝑀 𝑝𝑜 )2 − (𝑅𝑇𝑖 ⁄𝑀 𝑝𝑖 )2 ](4.6-E17)⁄⁄
冷媒としての粗液体窒素の必要流量は 𝑄 𝜆𝑁 kg s である．
[ 例 題 4.6-E3] あるアルカリ水溶液を貯槽タンクから体積流量 0.002 m3/s（= 120 L/min）
で，操作圧は大気圧で運転されているガス吸収塔へ反応吸収のために供給したい．管路の高さの変化は，吸収塔の液供給孔が図に示すように，タンク液面より 8 m 高い位置にある．
この水溶液の物性定数は水の物性定数に近似的に等しいと仮定できる．計算の結果，この系（貯槽タンクから吸収塔までの管路, バルブやエルボ，その他の管附属物がなどがある）の全摩擦損失は計算により 𝐹𝑟𝑚 = 58 J⁄kg であるとわかっているとする．パイプラインには内径 50 mm の円管を使うならば，乱流と仮定して，与えられた原料供給速度のために必要なポンプの所要動力を求めよ．
[ 解 ] 図 4.6-E3 に示すように，収支計算が簡単になるように，面”1”として貯槽タンク内のアルカリ水溶液の液表面（大気圧）を，一方の面”2” には吸収塔内のパイプライン出口（操作圧大気圧）を選ぶ．

図 4.6-E3. アルカリ水溶液のガス吸収塔への輸送の所要動力

等温，非圧縮性流体の場合の巨視的な力学エネルギーの収支式は𝑝2 − 𝑝1
1+ ∆𝑣 2 + 𝑔 ℎ = − 𝐹𝑟𝑚 − 𝑊𝑚
𝜌2

(4.6-E18)

𝑝2 − 𝑝1 = 0 Pa ， 𝑣1 ≅ 0 m/s， 𝑣2 = (2 × 10−3 m3 ⁄s)⁄[(𝜋⁄4)(0.05 m)2 ] = 1.018 m⁄s,𝑔 ∆ℎ = (9.8 m⁄s 2 )(8 m) = 78.4 m2 ⁄s 2 or J⁄kg

個々の成分に関する巨視的収支

37

したがって
− 𝑊𝑚 = 58 + 0 + (1⁄2)(1.0182 − 0) + 78.4 = 136.9 J⁄kg
(4.6-E19)
よって質量流量を掛けて，ポンプの理論所要動力は𝑃𝑤 = 𝑤(−𝑊𝑚 ) = (2 × 10−3 m3 ⁄s)(1000 kg⁄m3 )(136.9 J⁄kg)(1 kW⁄1000 J⁄s) = 0.274 kW
このように，小さな流量の輸送では理論所要動力は通常，大きくない．
[ 問 題 4.6-P1]
鉱 油 ( 𝜌 = 850 kg⁄m3 , 𝐶𝑝 = 2.3 kJ⁄kg K,
𝜇 = 0.03 Pa s , 𝜅 =0.143 W⁄m K) が内径 25 mm のスチール円管内を（断面）平均速度 〈𝑣 〉 = 0.4 m⁄s で流れている．管壁は外部から一定熱流束 𝑞𝑤 = 80 W⁄m2 （内面積基準）で加熱されている．
レイノルズ数を計算せよ．単位管長当たりの鉱油の温度上昇 K/m はいくらか。
[ 問 題 4.6-P2] ある鉱油 (𝜌 = 800 kg⁄m3 , 𝐶𝑝 = 2.1 kJ⁄kg K ) を貯槽タンクから水素プラントまで 10 ton/h で輸送したい．その管路上には鉱油を温度 308 K から 321 K まで加熱するための熱交換器が存在する．この熱交換器の入口―出口間の圧力降下は 5 kPa である．この熱交換器用における摩擦損失を m2/s2 の単位で，伝熱速度を J/h の単位で求めよ．
この供給ラインに設置すべきポンプの入口（吸引側）と出口（吐出側）の圧力はそれぞれ0.08 MPa および 1.8 MPa である設定する．ポンプの所要動力を kW の単位で求めよ．

4.7 個々の成分に関する巨視的収支
たとえ全質量が保存されても，一般に，化学反応を含むプロセスにおいては、個々の成分までは保存されない．ある均相系の化学反応を有するコントロール・ボリュームに物質保存の原理を適用すると，成分 A の物質収支式は次式のように書ける：𝑑⃗ ∙𝒏⃗ ) 𝑑𝑆 + ∫𝑉 𝑟𝐴 𝑑𝑉(4.7-1)∫𝑉 𝐶𝐴 𝑑𝑉 = − ∫𝑆 𝐶𝐴 (𝒗
ここに 𝐶𝐴 は成分 A の質量濃度であり，𝑟𝐴 は成分 A の単位体積当たりの質量の生成速度（すなわち反応速度）である．
𝑑𝑡[ 例 題 4.7-E1] 図 4.7-E1 が示すように，典型的な蒸留塔プラント は蒸留塔本体と塔頂
コンデンサー，塔底リボイラーで構成されている．簡単にするために，A, B ２成分系で説明する． A と B の混合物（通常，溶液）からなる原料は成分 A, B に分離するために，蒸留塔本体の中間段に質量流量 𝐹 で供給される．揮発しにくい成分 B（沸点が高い）のい
くらかは塔内を上昇する蒸気の中から凝縮する一方，その潜熱をもらって揮発し易い成分
A（沸点が低い）が下降する液から蒸発する．このような相変化は A, B 成分間の潜熱の授受で行われる．
下降して来る液（内部還流液と言う）が塔底に到達すると，一部の液は缶出液 W として抜き出すが，残りの液は，例えば水蒸気で加熱されているリボイラーによって蒸発され，その蒸気は塔底へ戻され，再び回収部（原料供給段より下の部分）を上昇する．抜き出される缶出液は高沸点成分 B が高濃度の塔底製品である．他方，塔内を上昇する蒸気が塔頂に到達すると，例えば水で冷却されている塔頂コンデンサーによって蒸気は全部凝縮され，凝縮液の一部は留出液 D として抜き出すが，残りの液は還流ポンプにより塔頂段へ戻され，再び下降液（内部還流液）として濃縮部（原料供給段より上の部分）を流下し，続いて回収部を流下する．このように，蒸留プロセスは上昇する蒸気と流下する内部還流液が直接接触することなしには進行しないのである． コンデンサーから抜き出される凝縮液の一部（留出液）は低沸点成分 A が高濃度の塔頂製品である．

38

巨視的収支論: コントロール・ボリューム法

図 4.7-E1. 蒸留プラントの物質収支

A 成分のモル分率 𝑥𝐹 ，供給量 𝐹 kmol/h の原料が供給され，蒸留塔において，A 成分のモル分率 𝑥𝐷 , 留出量 𝐷 kmol/h の塔頂製品と A 成分のモル分率 𝑥𝑊 ，缶出量 𝑊 kmol/hの塔底製品に分離されている．
定常状態において，全体の物資収支は以下のようになる．
全物質収支： 𝐹 = 𝐷 + 𝑊(4.7-E1)
成分 A の物質収支： 𝐹 𝑥𝐹 = 𝐷 𝑥𝐷 + 𝑊 𝑥𝑊
還流液量： 𝐿𝑅 = 𝑉𝑡 − 𝐷(4.7-E2)
ここに 𝑉𝑡 は塔頂に到達し，塔頂コンデンサーに向かう蒸気流量である．
[ 例 題 4.7-E2] 塔内で気液が直接接触する，もう一つの塔（ガス吸収塔）を考えよう．
この装置は図 4.7-E2 に示すように，気相，液相それぞれで，単一の入口と単一の出口を有しており，通常，塔の断面積 𝑆 は一定である．塔内を上昇する気体には分離したい成分 Aを含んでおり，下降する液に溶解・吸収される．
気相における成分 A の巨視的な物質収支は𝑑(4.7-E3)∫𝑉 𝐶𝐴 𝑑𝑉 = 𝐶𝐴1 〈𝑣1 〉𝑆 − 𝐶𝐴2 〈𝑣2 〉𝑆 − 𝑊𝐴𝑖 + ∫𝑉 𝑟𝐴 𝑑𝑉
ここに 〈𝑣1 〉 と 〈𝑣2 〉 は塔頂，塔底における「空塔速度」と呼ばれる気体速度（“superficial
velocities”と呼ばれる）である．すなわち塔自身が（固体充填物とか下降する液なしで）仮に気体のみで占められているとした場合の塔断面平均速度と定義される．また 𝑊𝐴𝑖 は成分
A が気液が接触する界面を通過して液相に吸収される物質移動速度である．
通常，吸収塔は気液向流で直接接触される効率をよくするために，塔内にいろいろ工夫
された固体の充填物やトレイなどを入れるので，このような空塔速度の考え方が有効なのである．
化学反応なしの定常状態での気相の物質収支式は(𝐶𝐴1 〈𝑣1〉 − 𝐶𝐴2 〈𝑣2 〉)𝑆 = 𝑊𝐴𝑖(4.7-E4)𝑑𝑡

個々の成分に関する巨視的収支

39

図 4.7-E2. ガス吸収塔の物質収支同様に，反応なしの定常状態での液相の物質収支は(𝐶′𝐴1 〈𝑣′1〉 − 𝐶′𝐴2 〈𝑣′2〉)𝑆 = 𝑊𝐴𝑖(4.7-E5)〈〉〈〉
ここで上付きのプライムは液相を指している．また 𝑣′1 と 𝑣′2 は塔頂，塔底における「空塔速度」と呼ばれる液速度であり，塔自身が（固体充填物とか上昇する気体なしで）仮に液体のみで占められているとした場合の塔断面平均速度と定義される．

[ 問 題 4.7-P1] 窒素ガスが多孔質の壁面を持つパイプ（内管）の中を流れている．この多孔質の管壁を通して外管の環状部から水素ガスが供給速度 𝑚𝐻 kg/m2 s で注入される．
多孔質部が始まる入口位置 (𝐿 = 0) において窒素の流量は 𝑤𝑁 kg/s である．N2 と H2 の分子量を 𝑀𝑁 と 𝑀𝐻 とする．この多孔質部の開始点から下流の（任意の）位置 𝐿 における（水素を含んだ窒素の）気体の質量流量 ならびにガス組成を与える式を，𝐿 を変数とする関数として求めよ．

図 4.7-P1. 多孔質管壁を有する管内の窒素ガス流への水素ガスの注入の物質収支
記
𝐶𝐴

号

表
成分 A のモル濃度, [kmol/m3]

40

巨視的収支論: コントロール・ボリューム法

熱容量, [J/kg K]
管内径, [m] または 蒸留塔の塔頂製品（留出液）の抜き出し量, [kmol/s]
運動のエネルギー，位置のエネルギー，内部エネルギー, [J/kg]
外力ベクトル,𝐹
蒸留塔への原料供給量, [kmol/s]
𝐹𝑟
摩擦損失 または 力学的エネルギーの損失, [J/kg]𝑔
重力の加速度, [m/s2]
𝐻𝑒
エンタルピー, [J/kg]ℎ
高さ, [m]𝐿
管長さ, [m]𝐿𝑅
蒸留塔の還流液量, [kmol/s]𝑚
コントロール・ボリュームの質量, [kg]⃗𝒏単位ベクトル𝑝
圧力, [Pa]𝑄
体積流量, [m3/s] または 周囲からの入出熱量, [J/s]𝑟𝐴
反応速度, [kmol/m3s]
𝑆
表面積, [m2]または エントロピー, [J/kg K]𝑡
時間, [s]⃗𝒗
速度ベクトル𝑉
体積，容積, [m3]𝑉𝑠比体積，比容積, [m3/kg]
𝑉𝑡
蒸留塔の塔頂での蒸気流量（モル基準）, [kmol/s]𝑣
速度, [m/s]
𝑊
流体によって周囲になされる仕事, [W] または 蒸留塔の塔底製品（缶出液）の抜き出し量, [kmol/s]𝑤
質量流量, [kg/s]
𝑥𝐹 , 𝑥𝐷 , 𝑥𝑊 蒸留における原料，塔頂製品，塔底製品中の低沸点成分のモル分率, [ - ]𝜌
密度, [kg/m3]
𝜏𝑤
壁面におけるせん断応力, [N/m2]
𝐶𝑝
𝐷
𝐸𝑘 , 𝐸𝑝 , 𝐸𝑢
⃗
𝑭

第５章
微視的収支： 微分収支
5.1 物質と運動量の微分収支 (連続の式と運動方程式)
この節では，物質と運動量の保存の方程式の一般形を導出する．一旦，厳密な一般形の方程式を得ておいたならば，それを使って，手許の解こうとする問題の条件に合うように簡単化して行けばよいので便利である．下記の輸送現象論の原書 1) (Bird et al., 1960) を参考にするとその意義が理解できよう．
1.

Bird, R.B., Stewart, W.E., and Lightfoot, E.N., Transport Phenomena, Wiley, New York, Chapt.3 (1960)

5.1-1 物質の微分収支（連続の式）1)
先ず，図 5.1-1 に示す静止した直方体の微分コントロール・ボリューム ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 に対して，物質の微分収支を考えよう．

図 5.1-1.直角座標系における微分コントロール・ボリューム

一般的な基礎方程式を得るためには，この直方体のコントロール・ボリュームに対して，
流体は６面全部を流通する．流体は均質であり，その密度は温度と圧力によって変化する．
流通する物質の移動量は次のように書ける：(流入する物質の移動量) = (流入する質量)/(単位時間) = (質量/単位体積)(長さ/単位時間)(面積)だから，図 5.1-2 に示すように，物質は, 𝑥 の位置と𝑥 + ∆𝑥 の位置の ∆𝑦∆𝑧 なる面に垂直に速度成分 𝑣𝑥 のみで出入りする．𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 は面∆𝑦∆𝑧 に平行なので出入りできない．だから 𝑥 の位置の面 ∆𝑦∆𝑧 に流入する物質の移動量は 𝜌|𝑥 𝑣𝑥 |𝑥 ∆𝑦∆𝑧 であり，𝑥 + ∆𝑥 の位置の面 ∆𝑦∆𝑧 から流出する物質の移動量は 𝜌|𝑥+∆𝑥 𝑣𝑥 |𝑥+∆𝑥 ∆𝑦∆𝑧 である．同様の式が残りの２対の面∆𝑧∆𝑥, ∆𝑥∆𝑦 についても得られる：𝜌|𝑦 𝑣𝑦 |𝑦 ∆𝑧∆𝑥， 𝜌|𝑦+∆𝑦 𝑣𝑧 |𝑦+∆𝑦 ∆𝑧∆𝑥， 𝜌|𝑧 𝑣𝑧 |𝑧 ∆𝑥∆𝑦，𝜌|𝑧+∆𝑧 𝑣𝑧 |𝑧+∆𝑧 ∆𝑥∆𝑦 ．

微視的収支: 微分収支

42

時間 𝑡 と時間 𝑡 + ∆𝑡 におけるコントロール・ボリュームの質量は 𝜌|𝑡 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 と𝜌|𝑡+∆𝑡 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 である．したがって物質の単位時間当たりの蓄積速度は
𝜌|𝑡+∆𝑡 − 𝜌|𝑡() ∆𝑥∆𝑦∆𝑧∆𝑡

図 5.1-2 コントロール・ボリュームの面 𝒙 と面 𝒙 + ∆𝒙 を横切って移動する物質流量全部出揃ったので，質量保存の原理を適用すると，次式が得られる：) ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 = [𝜌|𝑥 𝑣𝑥 |𝑥 − 𝜌|𝑥+∆𝑥 𝑣𝑥 |𝑥+∆𝑥 ]∆𝑦∆𝑧

𝜌|𝑡+∆𝑡 − 𝜌|𝑡(∆𝑡[𝜌|𝑦 𝑣𝑦 |𝑦 − 𝜌|𝑦+∆𝑦 𝑣𝑦 |𝑦+∆𝑦 ] ∆𝑧∆𝑥 − [𝜌|𝑧 𝑣𝑧 |𝑧 − 𝜌|𝑧+∆𝑧 𝑣𝑧 |𝑧+∆𝑧 ]∆𝑥∆𝑦(5.1-1)

辺々を体積 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 で割って，極限 ∆𝑡, ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 → 0 をとると
𝜕𝜌

𝜕 𝜌𝑣

= − ( 𝜕𝑥 𝑥 +
𝜕𝑡

𝜕 𝜌𝑣𝑦
𝜕𝑦

+

𝜕 𝜌𝑣𝑧
𝜕𝑧

)

(5.1-2)

これが連続の方程式の一般形である．
ベクトル記号で書くと次式のようになる：𝜕𝜌⃗= − ∇ ∙ 𝜌𝒗

(5.1-3)𝜕𝑡

この式はオイラーの観点の静止座標系の，ある固定点での密度の変化速度を述べている．
上式の右辺を展開して、右辺と左辺へ分けると，
𝜕𝜌
𝜕𝑡

𝜕𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑣

𝜕 𝑣𝑦

𝜕𝑣

+ 𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧 = − 𝜌 ( 𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧𝑧 )(5.1-4)

左辺はラグランジュの観点から流体の運動について行く座標から観測した密度の変化速度を表している．だから、もし流体が静止しているならば，全ての項は消えてしまう．左辺
全体を一つの微分（導関数）と考えて，実質微分と呼ばれる．
工学的問題においては，流体密度が一定である非圧縮性流体の仮定をよくする．だから一定密度の流体の場合は，左辺の全項が消えるので，右辺、も次式のように 0 になる．
𝜕 𝑣𝑥
𝜕𝑥

+

𝜕 𝑣𝑦
𝜕𝑦

+

𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑧

=0

(5.1-5)この方程式が連続の式の形として非常に重要である．これをベクトル表示すると，⃗⃗⃗ = 0∇∙𝒗
(5.1-6)連続の式の一般形を表 5.1-1 に挙げておく．
表 5.1-1 密度一定の流体に関する連続の式(1) 直角座標系
𝜕 𝑣𝑥

𝜕 𝑣𝑦

𝜕𝑣

+ 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧𝑧 = 0
𝜕𝑥(2) 円柱座標系
1 𝜕 𝑟𝑣𝑟
𝑟

1 𝜕𝑣

𝜕𝑣

+ 𝑟 𝜕𝜃𝜃 + 𝜕𝑧𝑧 = 0𝜕𝑟

運動量の微分収支（Navier-Stokes の方程式）

435.1-2 運動量の微分収支(Navier-Stokes の運動方程式)1)
連続の微分方程式の導出の時に用いた手順と同様に，同じ微分コントロール・ボリュー
ム ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 (図 5.1-1) に対して，運動量の保存の原理を適用しよう．
1.

Bird, R.B., Stewart, W.E., and Lightfoot, E.N., Transport Phenomena, Wiley, New York, Chapt.3 (1960)

運動量は方向も関係してくるベクトル量であるから，保存の方程式は，３個の直交する運動量方程式に分解して考えることができる．
各項の x-運動量（運動量の x-成分）について考えよう．
時間 𝑡 と時間 𝑡 + ∆𝑡 における着目するコントロール・ボリュームの x-運動量はそれぞれ (𝜌𝑣𝑥 )|𝑡 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 と (𝜌𝑣𝑥 )|𝑡+∆𝑡 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 である．したがって，単位時間当たりの x-運動量の蓄積（x-運動量の蓄積速度）は(𝜌𝑣𝑥 )|𝑡+∆𝑡 −(𝜌𝑣𝑥 )|𝑡(∆𝑡) ∆𝑥∆𝑦∆𝑧(5.1-7)

一般に，運動量は次の２種類のメカニズムによりコントロール・ボリュームの６面に出入りする：流体の運動による「対流」と分子運動による「拡散」である．

図 5.1-3 運動量の微分収支のためのコントロール・ボリューム

先ず，x-運動量の対流輸送について考えよう．直方体のコントロール・ボリュームの各面は非常に小さいと考えているので，各面上では，運動量流束は一様であると仮定する．

図 5.1-4 𝒚 と 𝒚 + ∆𝒚 における面を横切って𝒗𝒚によって対流輸送される x-運動量

微視的収支: 微分収支44

位置 𝑥 の面 ∆𝑦∆𝑧 に速度成分𝑣𝑥 |𝑥 により x-運動量が流入する速度は (𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥 )|𝑥 ∆𝑦∆𝑧である． 同じく 𝑥 + ∆𝑥 の面 ∆𝑦∆𝑧 では (𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥 )|𝑥+∆𝑥 ∆𝑦∆𝑧 である．つまり 𝜌𝑣𝑥 は 単
位 体 積 当 た り の x- 運 動 量 で あ り ， 𝑣𝑥 ∆𝑦∆𝑧 は 体 積 流 量 の 次 元 を 持 っ て い る か ら ，
𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥 |𝑥 ∆𝑦∆𝑧 が単位時間にコントロール・ボリュームに持ち込まれた x-運動量の次元（x運動量の移動速度）になるのである．同様に，図 5.1-4 に示すように，位置𝑦 の面 ∆𝑧∆𝑥 では，x-運動量は面に垂直な 𝑣𝑦 |𝑦 によって対流で持ち込まれるから，持ち込まれる輸送速度
は (𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑦 )|𝑦 ∆𝑧∆𝑥 となる．同様に 𝑦 + ∆𝑦 の面 ∆𝑧∆𝑥 での持ち出される宇壮速度は(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑦 )|𝑦+∆𝑦 ∆𝑧∆𝑥 となる．残りの面も同様に考えられるから，結局，対流によって６面を横切って流出入する x-運動量の正味の輸送速度（単位時間当たりの量）は[(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥 )|𝑥 − (𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥 )|𝑥+∆𝑥 ]∆𝑦∆𝑧 + [(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑦) | − (ρ𝑣𝑥 𝑣𝑦 )|] ∆𝑧∆𝑥 + [(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑧 )|𝑧 − (𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑧 )|𝑧+∆𝑧 ]∆𝑥∆𝑦𝑦+∆𝑦𝑦(5.1-8)次も同じく，直方体の各面上では運動量流速は一様であると仮定して，x-運動量の拡散による輸送の寄与を考えよう．位置 𝑥 の面 ∆y∆z を分子拡散によって持ち込まれる x-運
動量は運動量流束の形で 𝜏𝑥𝑥 |𝑥 ∆y∆z となる．同じく 𝑥 + ∆𝑥 の面から持ち出される輸送速度は 𝜏𝑥𝑥 |𝑥+∆𝑥 ∆y∆z である．添え字は x-方向に移動する x-方向の運動量を意味する．注意
すべきは，𝜏𝑥𝑥 は x-軸に垂直な面に働く x-方向の法線応力でもある．同様に考えて，𝜏𝑦𝑥 はy-軸に垂直な面 ∆z∆x を分子拡散によって入ってくる x-運動量の流束であるから，𝑦 の面とy + ∆𝑦 の面から拡散によって輸送される速度は，𝜏𝑦𝑥 |𝑦 ∆z∆x と𝜏𝑦𝑥 |𝑦+∆𝑦 ∆z∆x である．
（運動量/時間）＝（運動量流束）（面積）＝（運動量/（面積ｘ時間））（面積）

換言すれば，𝜏𝑦𝑥 は y-軸に垂直な面に x-方向に働くせん断応力である．結局，拡散によりコントロール・ボリュームの全６面を出入する正味の x-運動量の単位時間当たりの量は(𝜏𝑥𝑥 |𝑥 − 𝜏𝑥𝑥 |𝑥+∆𝑥 )∆𝑦∆𝑧 + (𝜏𝑦𝑥 | − 𝜏𝑦𝑥 |) ∆𝑧∆𝑥 + (𝜏𝑧𝑥 |𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 |𝑧+∆𝑧 )∆𝑥∆𝑦(5.1-9)𝑦𝑦+∆𝑦

図 5.1-5 x-運動量の y 方向への分子拡散による輸送と圧力の効果

圧力自身はスカラー量であるが，圧力による力は作用する面に垂直に働くのでベクトル量である．今，考えているのは x-方向の運動量についてであるから，x-方向に働く正味の効果は次式である：(𝑝|𝑥 − 𝑝|𝑥+∆𝑥 )∆𝑦∆𝑧(5.1-10)
重力は体積力であるからコントロール・ボリュームの質量中心に働き，その x-成分は
𝜌𝑔𝑥 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 である．

運動量の微分収支（Navier-Stokes の方程式）

（続）

45

ここまで取り上げて来た全ての効果を全部，運動量の保存の法則の式に代入して，次にコントロール・ボリュームの体積要素 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 で割ると
(𝜌𝑣𝑥 )|𝑡+∆𝑡 − (𝜌𝑣𝑥 )|𝑡=∆𝑡(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥 )|𝑥+∆𝑥 − (𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥 )|𝑥

−[
𝜏𝑦𝑥 |

∆𝑥

𝑦+∆𝑦

− 𝜏𝑦𝑥 |𝑦∆𝑦+(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑦 )|

𝑦+∆𝑦

𝑦

∆𝑦

𝜏𝑧𝑥 |𝑧+∆𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 |𝑧+− (𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑦 )|∆𝑧𝑝|𝑥+∆𝑥 − 𝑝|𝑥

]−

∆𝑥

+

(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑧 )|𝑧+∆𝑧 − (𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑧 )|𝑧
∆𝑧

𝜏

|

] − [ 𝑥𝑥 𝑥+∆𝑥

− 𝜏𝑥𝑥 |𝑥

∆𝑥

+ 𝜌𝑔𝑥

+

(5.1-11)極限 ∆𝑡, ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 → 0 を取ると，x-運動量の保存の方程式の一般形が得られる．これが求める運動方程式の x-成分である：
𝜕𝜕𝑡𝜕𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥(𝜌𝑣𝑥 ) = − (𝜕𝑥+𝜕𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑦𝜕𝑦+𝜕𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑧𝜕𝑧𝜕𝜏) − ( 𝜕𝑥𝑥𝑥 +

𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦

+

𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧

𝜕𝑝

) − 𝜕𝑥 + 𝜌𝑔𝑥(5.1-12)

残りの y-成分，z-成分も同様の手順で導出できる．これら３成分の方程式をまとめてベクトル記号で表すと，一つのベクトル方程式になる：⃗
𝜕𝜌𝒗⃗𝒗⃗⃗⃗ − ∇ ∙ ⃗𝝉
⃗ − ∇𝑝 + 𝜌𝒈⃗⃗
= − ∇ ∙ 𝜌𝒗
(5.1-13)
𝜕𝑡

ちょっと難しく感じるかも知れないが，ベクトル方程式に最大の利点は「ベクトル方程式はいかなる直交座標系でも成立するので，直角座標系だけでなく，円柱座標系，球座標系でも適用できる．」である．ただし，ここでは直角座標系から曲線座標系への面倒な変換については論じないことにする．これらの方程式はニュートン流体だけでなく，非ニュートン流体でも適用できる．速度分布などを求めたい場合は，応力と速度勾配の関係式（ニュートンの粘性の法則など）を運動方程式の 𝜏 の項に入れなければならない．非ニュートン流体の場合は，せん断応力項に非ニュートンの粘性モデルを入れなければならない．
ここからは，使い易い簡単な方程式を目指して，一定な密度，粘度を持つニュートン流体を仮定して，運動方程式を簡単化して行こう．さらに連続の方程式の助けを借りて，変形して行こう．先ず，対流項（慣性項）は一定密度の連続の式により
𝜕𝜕𝑡(𝜌𝑣𝑥 ) + (𝜕𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥
𝜕𝑥+𝜕𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑦𝜕𝑦+𝜕𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑧
𝜕𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣

) = 𝜌 ( 𝜕𝑡𝑥 + 𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑥 )分子拡散項（せん断応力項）にはニュートンの粘性の法則を使って𝜕𝜏𝑥𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕 2 𝑣𝑥 𝜕 2 𝑣𝑥 𝜕 2 𝑣𝑥++
= −𝜇 ( 2 +
+
)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2

物性定数一定の流体の場合の運動方程式の x-成分は次式のように幾らか簡単になった：
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑝

𝜕2 𝑣

𝜕2 𝑣

𝜕2 𝑣

𝜌 ( 𝜕𝑡𝑥 + 𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑥 ) = − 𝜕𝑥 + 𝜇 ( 𝜕𝑥2𝑥 + 𝜕𝑦 2𝑥 + 𝜕𝑧 2𝑥) + 𝜌𝑔𝑥(5.1-14)

残りの y-成分，z-成分の運動方程式も同様にして得られる。
これらの各成分の方程式はまとめられて，次のベクトル方程式となる：⃗
𝜕𝒗⃗ ∙ ∇ )𝒗
⃗ ] = − ∇𝑝 + 𝜇∇2 𝒗⃗ + 𝜌𝒈⃗⃗ρ [ 𝜕𝑡 + (𝒗(5.1-15)これがよく知られているナビエ・ストークスの運動方程式（Navier-Stokes equation）と呼ばれるものである．微分演算子の ∇2 はラプラシアン（Laplacian operator）と呼ばれる．
この節で導いたこれらの方程式は直角座標系と円柱座標系について，表 5.1-1 にまとめている．
簡単で便利な式のみ挙げて，球座標系は省略している．球座標系のこれらの方程式は，
直角座標系の速度成分 (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) と球座標系の速度成分. (𝑣𝑟 , 𝑣𝜃 , 𝑣𝜙 ) との間の関係を考慮しながら，(𝑥, 𝑦, 𝑧) から (𝑟, 𝜃, 𝜙) への座標変換をやれば，作業はかなり面倒ではあるが，得られる．

微視的収支: 微分収支46

表 5.1-2 密度および粘度一定のニュートン流体に対する運動方程式 (Navier-Stokes equation)(1) 直角座標系 (x, y, z)
x: 𝜌 (

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑝

𝜕2 𝑣

𝜕2 𝑣

𝜕2 𝑣

y: 𝜌 (

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑝

𝜕 2 𝑣𝑦𝜕 2 𝑣𝑦𝜕 2 𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑝

𝜕2 𝑣

𝜕2 𝑣

𝜕2𝑣

z: 𝜌 (+ 𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑥 ) = − 𝜕𝑥 + 𝜇 ( 𝜕𝑥2𝑥 + 𝜕𝑦2𝑥 + 𝜕𝑧 2𝑥 ) + 𝜌 𝑔𝑥
𝜕𝑡+ 𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧 ) = − 𝜕𝑦 + 𝜇 ( 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧 2 ) + 𝜌 𝑔𝑦
𝜕𝑡+ 𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑧 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑧 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑧 ) = − 𝜕𝑧 + 𝜇 ( 𝜕𝑥2𝑧 + 𝜕𝑦2𝑧 + 𝜕𝑧2𝑧 ) + 𝜌 𝑔𝑧
𝜕𝑡(2) 円柱座標系 (𝑟, 𝜃, 𝑧)
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝑣 𝜕𝑣

𝑣𝜃 2

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝑣 𝜕𝑣

𝑣𝑟 𝑣𝜃

r: 𝜌 ( 𝜕𝑡𝑟 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟𝑟 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃𝑟 −𝜌 ( 𝜕𝑡𝜃 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟𝜃 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃𝜃 +
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑝

𝜕

𝜕𝑣

1 𝜕𝑝

1 𝜕2𝑣

1𝜕

2 𝜕𝑣

𝜕2𝑣

+ 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑟) = − 𝜕𝑟 + 𝜇 [𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟 (𝑟𝑣𝑟 )) + 𝑟 2 𝜕𝜃2𝑟 − 𝑟 2 𝜕𝜃𝜃 + 𝜕𝑧 2𝑟] + 𝜌 𝑔𝑟
𝑟
𝑟

𝑣 𝜕𝑣

𝜕

1 𝜕2𝑣

1𝜕

2 𝜕𝑣

𝜕2𝑣

+ 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝜃) = − 𝑟 𝜕𝜃 + 𝜇 [𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟 (𝑟𝑣𝜃 )) + 𝑟 2 𝜕𝜃2𝜃 + 𝑟 2 𝜕𝜃𝑟 + 𝜕𝑧 2𝜃] + 𝜌 𝑔𝜃 
𝜕𝑣

𝜕𝑝

1𝜕

𝜕𝑣

1 𝜕2𝑣

𝜕2𝑣

z: 𝜌 ( 𝜕𝑡𝑧 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟𝑧 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃𝑧 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑧) = − 𝜕𝑧 + 𝜇 [𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟𝑧 ) + 𝑟 2 𝜕𝜃2𝑧 + 𝜕𝑧2𝑧] + 𝜌 𝑔𝑧

5.2 エネルギーの微分収支（エネルギーの輸送方程式）1)
巨視的エネルギー収支の所で前述したように，質量を伴うエネルギーには運動のエネル
ギー，位置のエネルギー，と内部エネルギーの３種類がある．一般に，流体の運動を伴う
非等温プロセスは，様々な仕事，例えば，粘性消散（摩擦による発熱），圧力による仕事，
重力による仕事などを受けながら進行する．今，この段階ではエネルギー方程式を厳密な一般形で導くのは難しすぎるので，一定な物性定数を持つ非圧縮性流体の場合について，
熱エネルギーの輸送方程式を展開することにした．この簡単化された熱の輸送方程式は，温度や速度の変化が中庸な非等温系で広く使われており，非常に有用である．
この方程式の導出には次の仮定が必要である：(1) 密度以外に熱容量，熱伝導度も一定な非圧縮性流体(2) 運動のエネルギーと位置のエネルギーの効果は無視できるほど小さい(3) 静圧によってなされる仕事は無視できるほど小さい(4) 粘性による法線方向の力と接線方向の力による仕事の無視できるほど小さい(5) 重力による仕事も無視できるほど小さい(6) 放射伝熱の効果も無視できるほど小さい
図 5.2-1 に示す微分体積要素 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 をコントロール・ボリュームとし，これにエネ
ルギーの保存の原理を適用しよう．物性定数が一定である流体の場合の熱エネルギーはエンタルピー 𝜌𝐶𝑝𝑇 の形で書ける．
コントロール・ボリュームの流体の熱エネルギーの蓄積速度は(𝜌𝐶𝑝𝑇)|𝑡+∆𝑡 − (𝜌𝐶𝑝𝑇)|𝑡∆𝑡∆𝑥∆𝑦∆𝑧(5.2-1)

一般に，熱エネルギーは対流と伝導（拡散）でコントロール・ボリュームに流出入する．
(1) 対流による輸送：
先ず，対流効果を考えよう．速度の x-成分 𝑣𝑥 |𝑥 が，これに垂直な面 ∆𝑦∆𝑧 を横切って，熱エネルギー 𝜌𝐶𝑝𝑇 を対流で持ち込む量は (𝜌𝐶𝑝𝑇)|𝑥 𝑣𝑥 |𝑥 ∆𝑦∆𝑧 である．同
様 に ， 𝑥 + ∆𝑥 に お け る 面 ∆𝑦∆𝑧 に お い て 𝑣𝑥 |𝑥+∆𝑥 に よ り 持 ち 出 さ れ る 量 は(𝜌𝐶𝑝𝑇)|𝑥+∆𝑥 𝑣𝑥 |𝑥+∆𝑥 ∆𝑦∆𝑧 となる．

エネルギーの微分収支（エネルギーの輸送方程式） （続）47

図 5.2-1 対流と熱伝導によるエンタルピーの微分収支
1.

Bird, R.B., Stewart, W.E., and Lightfoot, E.N., Transport Phenomena, Wiley, New York, Chapt.10 (1960)

残りの他の面も同様に得られるので，コントロール・ボリュームの全６面を流出入する
正味の熱エネルギーの量は次式となる：[(𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑥 )|𝑥 − (𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑥 )|𝑥+∆𝑥 ]∆𝑦∆𝑧 + [(𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑦 )| − (𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑦 )|] ∆𝑧∆𝑥 + [(𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑧 )|𝑧 −𝑦𝑦+∆𝑦(𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑧 )|𝑧+∆𝑧 ]∆𝑥∆𝑦(5.2-2)次に，(2) 熱伝導による輸送：
𝑥 の位置の面 ∆𝑦∆𝑧 から x-方向に熱伝導で熱エネルギーが入って来る速度は
𝑞𝑥 |𝑥 ∆𝑦∆𝑧 である．この𝑞𝑥 は x-軸に垂直な面を伝導により x-方向に拡散する熱流束である．同様に，𝑥 + ∆𝑥 の面 ∆𝑦∆𝑧 から出ていく速度は𝑞𝑥 |𝑥+∆𝑥 ∆𝑦∆𝑧 である．
したがってコントロール・ボリュームの全６面を熱伝導で出入りする熱エネルギーの正味の速度は[𝑞𝑥 |𝑥 − 𝑞𝑥 |𝑥+∆𝑥 ]∆𝑦∆𝑧 + [𝑞𝑦 | − 𝑞𝑦 |] ∆𝑧∆𝑥 + [𝑞𝑧 |𝑧 − 𝑞𝑧 |𝑧+∆𝑧 ]∆𝑥∆𝑦(5.2-3)𝑦𝑦+∆𝑦

これら全ての寄与をエネルギー保存の法則の方程式に代入して，その結果の式を体積要素 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 で割って，次に，極限 ∆𝑡, ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 → 0 を取ると，次式が得られる：
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇)𝜕𝑡= −[𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑥 )𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑦 )𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑧 )
𝜕𝑧

𝜕𝑞𝑥

]− (

𝜕𝑥

𝜕𝑞𝑦

𝜕𝑞

+ 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧𝑧 )ベクトル表示すると
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇)⃗ ∙ 𝜌𝐶𝑝𝑇 𝒗⃗ ∙𝒒⃗ ) + (∇⃗)=𝟎+ (∇(5.2-4)(5.2-5)𝜕𝑡

このベクトル方程式は，もちろん，円柱座標系でも成立する．
もう少し簡単化して行こう．
上の方程式は連続の式とフーリエの熱伝導の式を使って、非圧縮性流体の場合について書き直すと

𝜌𝐶𝑝 (

𝜕𝑇
𝜕𝑡

+ 𝑣𝑥

𝜕𝑇
𝜕𝑥

+ 𝑣𝑦

𝜕𝑇
𝜕𝑦

+ 𝑣𝑧

ベクトル表示すると
𝜕𝑇⃗ )𝑻] = 𝜅 ∇2 𝑇⃗ ∙𝛁𝜌𝐶𝑝 [ + (𝒗
𝜕𝑡

𝜕𝑇
𝜕𝑧

)= 𝜅 (

𝜕2 𝑇
𝜕𝑥 2

+

𝜕2 𝑇
𝜕𝑦 2

+

𝜕2 𝑇
𝜕𝑧 2

)

(5.2-6)(5.2-7)

微視的収支: 微分収支48

もちろん、このベクトル方程式も直交座標系に対して成立する．これらの式を直角座標系と円柱座標系のこれらの方程式を表 5.2-1 に挙げておく．エネルギー輸送には流れがからむので，温度分布を計算する前に，流動の問題を解いて流れ場の速度を求めておく必要がある．
表 5.2-1 物性定数 𝜌, 𝐶𝑝, 𝜅 一定のニュートン流体の場合のエネルギ輸送方程式(1) 直角座標系 (x, y, z)
2
2
2
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 𝜕 𝑇𝜌𝐶𝑝 (+ 𝑣𝑥 + 𝑣 𝑦 + 𝑣 𝑧 ) = 𝜅 ( 2 +
+
)
2
2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(2) 円柱座標系 (𝑟, 𝜃, 𝑧)22
𝜕𝑇𝜕𝑇 𝑣 𝜕𝑇
𝜕𝑇1𝜕
𝜕𝑇1𝜕 𝑇 𝜕 𝑇𝜌𝐶𝑝 (+ 𝑣𝑟 + 𝜃 + 𝑣𝑧 ) = 𝜅 (
(𝑟
)+ 2
+
)
𝑟 𝜕𝜃
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑡
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃2 𝜕𝑧2

5.3 物質の微分収支(物質の輸送方程式)1)

この節では，同じ微分体積要素のコントロール・ボリュームにおいて，成分 A, B による２成分系混合物中の成分 A についての微分収支をとって輸送方程式を導出しよう．簡便さのために，モル濃度に代わって質量濃度の項で表したフィックの法則（下式）を使うことにする．
𝜕𝜔𝑛𝐴𝑥 = 𝜔𝐴(𝑛𝐴𝑥 + 𝑛𝐵𝑥 ) − 𝜌 𝐷𝐴𝐵 𝜕𝑥𝐴(5.3-1)

ここで 𝜔𝐴 = 𝜌𝐴 ⁄𝜌 = 質量分率，
𝜌𝐴 = 成分 A の質量密度（単位：kg of A/m3 で表した質量濃度），𝜌 = 全3
質量密度（通常の密度，単位：kg of (A+B)/m ），そして 𝑛𝐴𝑥 = 成分 A の質量流束の x-成分（単位： kg
of A/m2/s）
式(5.3-1) は静止座標系における物質流束はが対流（第１項）と拡散（第２項）から成っていることを示している．
成分 A の蓄積速度は次式となる：
𝜌𝐴 |𝑡+∆𝑡 − 𝜌𝐴 |𝑡∆𝑥∆𝑦∆𝑧∆𝑡
コントロール・ボリュームの全６面から対流と拡散の両効果により流入出する成分 A の正味の速度は
𝑛𝐴𝑦 |𝑦+∆𝑦 − 𝑛𝐴𝑦 |𝑦𝑛𝐴𝑥 |𝑥+∆𝑥 − 𝑛𝐴𝑥 |𝑥𝑛𝐴𝑧 |𝑧+∆𝑧 − 𝑛𝐴𝑧 |𝑧−[++] ∆𝑥∆𝑦∆𝑧∆𝑥∆𝑦∆𝑧
コントロール・ボリューム内での化学反応により成分 A の生成速度は，反応速度を 𝑟𝐴 とすると，𝑟𝐴 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 である．
これらの寄与を全部足し合わせた式を体積要素 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 で割り，次に極限∆𝑡, ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 → 0 をとると
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡

𝜕𝑛

= − ( 𝜕𝑥𝐴𝑥 +

𝜕𝑛𝐴𝑦
𝜕𝑦

+

𝜕𝑛𝐴𝑧
𝜕𝑧

) + 𝑟𝐴

これが成分 A の連続の式の一般形である．
ベクトル表示すると𝜕𝜌𝐴= − ∇ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗𝒏𝑨 + 𝑟𝐴𝜕𝑡

２成分系の質量流束ベクトルは流速ベクトルと次のように関係づけられる：⃗𝑛⃗𝐴 + 𝑛⃗𝐵 = 𝜌 𝒗
フィックの法則の次のような形を使って，もっと方程式を簡便な形にする．
⃗ − 𝜌𝐷𝐴𝐵 ∇𝜔𝐴⃗⃗⃗⃗𝑛𝐴 = 𝜔𝐴 (𝑛⃗𝐴 + 𝑛⃗𝐵 ) − 𝜌 𝐷𝐴𝐵 ∇𝜔𝐴 = 𝜌𝐴 𝒗
この式を式(5.3-3) に代入シテ、
𝜕𝜌𝐴⃗ ) − (𝒗⃗ ∙ ∇)𝜌𝐴 + 𝜌𝐷𝐴𝐵 ∇2𝜔𝐴 + 𝑟𝐴
= − 𝜌𝐴 (∇ ∙ 𝒗
𝜕𝑡すなわち，直角座標系においては，次のようになる：
𝜕𝜌𝐴𝜕𝑡𝜕𝜌𝐴 𝑣𝑥= −[+𝜕𝜌𝐴 𝑣𝑦+𝜕𝜌𝐴 𝑣𝑧

]

𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕
𝜕𝜔𝐴
𝜕
𝜕𝜔
𝜕
𝜕𝜔
+ [ (𝜌𝐷𝐴𝐵) + (𝜌𝐷𝐴𝐵 𝐴 ) + (𝜌𝐷𝐴𝐵 𝐴 )] + 𝑟𝐴
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧

物性定数𝜌, 𝐷𝐴𝐵 一定の流体については，次のように簡単化される：(5.3-2)(5.3-3)(5.3-4)(5.3-5)

物質の微分収支（物質の輸送方程式）
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡

（続）

49

⃗ ) + (𝒗⃗ ∙ ∇)𝜌𝐴 = 𝐷𝐴𝐵 ∇2 𝜌𝐴 + 𝑟𝐴
+ 𝜌𝐴 (∇ ∙ 𝒗⃗ ) = 0 であるから
密度 𝜌 一定の連続の式によれば， (∇ ∙ 𝒗𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡(5.3-6)⃗ ∙ ∇)𝜌𝐴 = 𝐷𝐴𝐵 ∇2 𝜌𝐴 + 𝑟𝐴
+ (𝒗

モル濃度基準にするために，A 成分の分子量 𝑀𝐴 で辺々割って，𝜕𝐶𝐴𝜕𝑡(5.3-7)⃗ ∙ ∇)𝐶𝐴 = 𝐷𝐴𝐵 ∇2 𝐶𝐴 + 𝑅𝐴
+ (𝒗

ここで 𝐶𝐴 = 𝜌𝐴 ⁄𝑀𝐴 は単位 kmol of A/m3 で表した濃度，𝑅𝐴 = 𝑟𝐴 ⁄𝑀𝐴 は単位 kmol of
A/m3/s で表した反応速度である．
この方程式は，密度，拡散係数ともに一定と仮定できる希薄溶液に対する，一定温度，圧力の場での拡散方程式である．モル質量流束の項で書かれた成分 A の連続の方程式は式(5.3-2)を分子量𝑀𝐴 で割って得ることができる．
𝜕𝑁𝐴𝑦
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑁
𝜕𝑁
= − ( 𝐴𝑥 ++ 𝐴𝑧 ) + 𝑅𝐴
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧

(5.3-8)ベクトル表示では
𝜕𝐶𝐴⃗ 𝐴 ) = 𝑅𝐴
+ (∇ ∙ 𝑁
𝜕𝑡

直交座標系における拡散の方程式を次表に挙げる．
表 5.3 – 1 成分 A の連続の方程式 1)(1) 直角座標系 (x, y, z)
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡

+ (

𝜕𝑁𝐴𝑥
𝜕𝑥

+

𝜕𝑁𝐴𝑦
𝜕𝑦

+

𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝑧

) = 𝑅𝐴(2) 円柱座標系 (𝑟, 𝜃, 𝑧)
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡

1 𝜕

+ [

𝑟 𝜕𝑟

(𝑟 𝑁𝐴𝑟 ) +1 𝜕𝑁𝐴𝜃𝑟𝜕𝜃+

𝜕2 𝑁𝐴𝑧𝜕𝑧 2] = 𝑅𝐴

表 5.3 – 2 物性定数 𝜌, 𝐷𝐴𝐵 一定の場合の拡散方程式 1)(1) 直角座標系 (x, y, z)
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝐶
𝜕𝐶
𝜕𝐶
+ 𝑣𝑥 𝐴 + 𝑣𝑦 𝐴 + 𝑣𝑧 𝐴
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧

= 𝐷𝐴𝐵 (

𝜕 2 𝐶𝐴𝜕 2 𝐶𝐴𝜕 2 𝐶𝐴++) + 𝑅𝐴
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2

(2) 円柱座標系 (𝑟, 𝜃, 𝑧)
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑇
𝑣 𝜕𝐶
𝜕𝐶
+ 𝑣𝑟 + 𝜃 𝐴 + 𝑣𝑧 𝐴
𝜕𝑡
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧

記

= 𝐷𝐴𝐵 (1𝜕𝜕𝐶
1 𝜕2 𝐶𝜕 2 𝐶𝐴(𝑟 𝐴) + 2 2𝐴 +) + 𝑅𝐴
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧 2

1.

Bird, R.B., Stewart, W.E., and Lightfoot, E.N., Transport Phenomena, Wiley, New York, Chapt.18 (1960)

号

表

𝐶𝑝
熱容量, [J/kg K]𝑔
重力の加速度, [m/s2]
𝑁𝐴𝑥 , 𝑁𝐴𝑦 , 𝑁𝑛𝐴𝑧
直角座標系におけるモル質量流束, [kmol/m2s]
𝑛𝐴𝑥 , 𝑛𝐴𝑦 , 𝑛𝐴𝑧
直角座標系における質量流束, [kg/m2s]𝑝
圧力, [Pa]
𝑞𝑟 , 𝑞𝜃 , 𝑞𝑧 円柱座標系における熱流束, [J/m2s]
𝑞𝑥 , 𝑞𝑦 , 𝑞𝑧 直角座標系における熱流束, [J/m2s]
𝑟𝐴 , 𝑅𝐴
反応速度, [kg/m3s], [kmol/m3s]𝑟, 𝜃, 𝑧円柱座標系, [m, - , m]
𝑇
温度, [K]𝑡
時間, [s]𝑣𝑟 , 𝑣𝜃 , 𝑣𝑧 円柱座標系における速度成分, [m/s]𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 直角座標系における速度成分, [m/s]50
𝑥, 𝑦, 𝑧,直角座標系, [m]𝜇粘度, [kg/m s]𝜌
密度, [kg/m3]
𝜏𝑤
壁面せん断応力, [N/m2]
𝜏𝑥𝑥 , 𝜏𝑦𝑥 , 𝜏𝑧𝑥 , − −運動流束またはせん断応力の各成分, [N/m2] or [kg/s2m]

微視的収支: 微分収支

第６章
微分輸送方程式の応用
6.1

運動方程式の応用問題 (Ⅰ)

この節では，流体運動の微分方程式をいかに使うか，例題を使って学ぼう．
最もわかり易く有用な速度分布の一つが円管内の流れである．

図 6.1-1 円管内の入り口領域における流れの発達

一般的には，管内流は速度分布が変化しない十分に発達した状態に至るまで，管入口から下流へある一定距離 𝐿𝑒𝑛𝑡 が必要である．図 from the entrance until the velocity profile
becomes fully developed. At the entrance to the pipe as shown in Fig.6.1-1 に示すように，管の入口では，流れの断面積の急激な突然の縮小のせいで，まだ壁面から止めようとする摩擦応力を受けていないから，プラグのように速度分布はほとんど一様である． その後，流体は管内を下流へ移動するにつれて，壁面の粘性摩擦応力により減速させられる境界層が（厚さが増加して）成長して行く．やがて境界層の外縁が管軸に到達した後，それより下流の速度分布がもはや管軸 z 方向の管長さとともには変化しない一定状態になる．この変化しない，充分に発達した速度分布を，充分発達領域における速度分布と呼んでいる．
第３章で少し紹介されたが，レイノルズ数 𝑅𝑒 が 2,100 より小さい時，流れは層流を維持し，十分発達領域おける速度分布は放物線になる．
それでは，長さ 𝐿, 半径 𝑅 の傾いた円管内を非圧縮性流体が層流で流れる問題を考えよう．管長さ 𝐿 の間に起きる圧力降下は (𝑝0 − 𝑝𝐿 ) で与えられる．
この流れ系に最も適切な座標系は何か？ 管内の位置を表すには円柱座標系が特に適切である．
(1) 運動量のどの成分について運動方程式を考えるべきか？ 層流の場合，管軸に沿う

微分輸送方程式の応用

52

z-成分の運動量のみが重要であると仮定できる．だから次式の密度，粘度一定の流体のz-成分の運動方程式が与えられる：
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝑣 𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑝

1𝜕

1 𝜕2 𝑣

𝜕𝑣

𝜕2 𝑣

𝜌 ( 𝜕𝑡𝑧 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟𝑧 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃𝑧 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑧 ) = − 𝜕𝑧 + 𝜇 [𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟𝑧 ) + 𝑟 2 𝜕𝜃2𝑧 + 𝜕𝑧 2𝑧] + 𝜌 𝑔𝑧
(6.1-1)

図 6.1-2 円管の充分発達領域における層流(2)

次のステップは，手許のこの問題の条件に合うように，上式を簡単化して行くことである．定常状態の層流では，流体は管軸に平行な直線状の流線に沿って流れることは容易に想像できる．したがって，

𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡（時間が変化しても変わらない）であり=0𝑣𝜃 = 𝑣𝑟 = 0 である．
𝜕𝑣

円管内流れは軸対称であるから 𝜕𝜃𝑧 =𝜕 2 𝑣𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝜃2

=0

（𝜃 が変化しても𝑣𝑧 は変化しない）

𝜕2 𝑣

流れは十分に発達した領域だから 𝜕𝑧𝑧 = 𝜕𝑧 2𝑧 = 0 （𝑧 が変化しても𝑣𝑧 は変化しない）
したがって 𝑣𝑧 は 𝑟 のみの関数であるので，偏微分から常微分になり
𝜕
𝜕𝑟

𝜕𝑣

𝑑

𝑑𝑣

(𝑟 𝜕𝑟𝑧 ) = 𝑑𝑟 (𝑟 𝑑𝑟𝑧 ) となる．

傾いた円管内流れは圧力効果と重力効果の両方が作用している．また静圧は管断面内は一様であると仮定できるから，z-方向にのみ変化する，すなわち 𝑝 = 𝑝(𝑧)．パイプの傾斜角度 𝛽 であるので，重力の加速度の z-成分は 𝑔𝑧 = 𝑔 cos 𝛽 である．
結局，運動方程式はじしきのようになる：
𝑑𝑝

1 𝑑

𝑑𝑣

(6.1-2)0 = − 𝑑𝑧 + 𝜇 𝑟 𝑑𝑟 (𝑟 𝑑𝑟𝑧 ) + 𝜌 𝑔 cos 𝛽
この式を z に関して微分すると
𝑑𝑝

𝑑2 𝑝
𝑑𝑧 2

= 0 となるから，この式を今度は積分すると，
𝑑𝑝= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 であることがわかる．すなわち圧力効果は 𝑑𝑧 =𝑑𝑧

された．
結局，𝑣𝑧 に関する２階の常微分方程式が得られた：

𝑝𝐿 − 𝑝0𝐿であることｈが示

運動方程式の応用問題
49
1 𝑑

（I）

𝑑𝑣

𝜇 𝑟 𝑑𝑟 (𝑟 𝑑𝑟𝑧 ) = −（続）

𝑝0 − 𝑝𝐿𝐿− 𝜌 𝑔 cos 𝛽 = −53𝑷𝟎 − 𝑷𝑳

(6.1-3)

𝐿

ここで 有効圧力 𝑷 は 𝑷 = 𝑝 − 𝜌 𝑔 𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝛽 のように定義されている．もし、高さ𝑧 = 0 に あ る 面 を 参 照 面 ”1” に 選 ん だ 場 合 ， 有 効 圧 力 は 𝑷𝟎 = 𝑝0 ， 参 照 面 ”2” は𝑷𝐿 = 𝑝𝐿 − 𝜌 𝑔 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝛽 となる．
(3) 上の微分方程式を１回不定積分して
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟

= −

𝑷𝟎 − 𝑷𝑳
2𝜇𝐿

𝑟+

𝐶1

(6.1-4)𝑟

出て来た積分定数 𝐶1 を決めるための境界条件は管軸における次式である：
𝑑𝑣𝑧
B.C.1 at 𝑟 = 0=0
𝑑𝑟(6.1-5)（管中心軸において速度分布は平坦であることを意味している）
分母に r があるので 𝐶1 は 0 でなければならない．もう一度，不定積分して𝑷 −𝑷
𝑣𝑧 = − 𝟎 𝑳 𝑟 2 + 𝐶2
(6.1-6)4𝜇𝐿

出て来た積分定数 𝐶2 は，もう一つの管壁における下の境界条件で決められる．
B.C.2 at 𝑟 = 𝑅
𝑣𝑧 = 0(6.1-7)(流体は管壁でスリップせず，壁面で止められていることを意味している)
したがって，𝐶2 は次のようになるべきである：
𝑷 −𝑷
𝐶2 = 𝟎4𝜇𝐿 𝑳 𝑅2
(6.1-8)
これを式(6.1-6)に代入して，次のような放物線の速度分布式が得られる：

𝑣𝑧 =𝑷 𝟎 − 𝑷𝑳4𝜇𝐿

𝑟 2

𝑅2 [1 − ( ) ](6.1-9)𝑅

この式より最大速度は管中心軸において得られることがわかる：
𝑷 −𝑷
𝑣𝑧,𝑚𝑎𝑥 = 𝟎4𝜇𝐿 𝑳 𝑅2

(6.1-10)

図 6.1-3. 円管内層流の放物線状速度分布とせん断応力の直線状分布(4) 一般に，流れの断面平均の速度は面積平均値： 〈𝑣 〉 =∫𝐴 𝑣 𝑑𝐴∫𝐴 𝑑𝐴のように定義される．円管においては軸対称流れであるから，断面平均速度は，上の積分式に速度分布の関数を代入して，次のように得られる：

微分輸送方程式の応用

54
𝑅〈𝑣𝑧 〉 =

∫0 𝑣𝑧 2𝜋𝑟 𝑑𝑟𝑅∫0 2𝜋𝑟 𝑑𝑟=

𝑷𝟎 − 𝑷𝑳
8𝜇𝐿(6.1-11)𝑅2

断面平均速度は最大速度の丁度半分であることがわかる．
(5) 体積流量も次のように得られる：
𝑅

𝑄 = ∫0 𝑣𝑧 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 =𝜋(𝑷𝟎 − 𝑷𝑳 )8𝜇𝐿

(6.1-12)𝑅4

この式は有名なハーゲン・ポアズィユの式（Hagen-Poiseuille equation）として知られており，体積流量と有効圧力の降下との関係を与えている．もし平均速度かレイノルズ数の項で上式を表すならば，
16 𝐿 1𝑷𝟎 − 𝑷𝑳 = 8𝜇𝐿 〈𝑣𝑧 〉⁄𝑅2 or 𝑷𝟎 − 𝑷𝑳 = 4 𝑅𝑒 𝐷 2 𝜌〈𝑣𝑧 〉2(6.1-13)
この式は，管内層流における圧力降下を予知する重要な設計式である．
(6) せん断応力 𝜏𝑟𝑧 の分布を求めるために，rz-成分のニュートンの粘性の法則式を使う．
𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑟𝜏𝑟𝑧 = − 𝜇 (
+
)
𝜕𝑟
𝜕𝑧

今の円管内流の場合，𝑣𝑟 = 0 であり 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 (𝑟) であるから
𝑑𝑣𝑧
𝜏𝑟𝑧 = − 𝜇𝑑𝑟
この微分に速度分布を代入して
𝑷 −𝑷
𝜏𝑟𝑧 = 𝟎2𝐿 𝑳 𝑟(6.1-14)

この式から，せん断応力（運動量流束）が直線状の分布を持ち，管中心軸において 0，
管壁において最大値になることがわかる．
𝑷 −𝑷
𝜏𝑟𝑧,𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑤 = 𝟎2𝐿 𝑳 𝑅(6.1-15)(7) 円管内流れの場合，次のファニングの摩擦係数（Fanning friction factor）と呼ばれる摩擦係数の定義式をよく使う：
𝐿 1
𝑃0 − 𝑃𝐿 = 4 𝑓 𝐷 2 𝜌〈𝑣𝑧 〉2(6.1-16)
左辺の項は通常の重力の影響がない場合（水平円管），静圧降下であり，よく使われる式である．摩擦係数は無次元パラメータである．
式(6.1-13) より円管内層流の場合の摩擦係数が次式で与えられる：
16
𝑓 = 𝑅𝑒(6.1-17)

この式が層流の場合の摩擦係数がレイノルズ数のみの関数であることを示していることは重要である．後章で出て来るが，乱流の場合も摩擦係数がレイノルズ数のみの関数になることは一般性があり，意義深いことである．
[ 問 題 6.1-P1] 下図のように，あるニュートン流体（密度 𝜌 = 1,050 𝑘𝑔⁄𝑚3 , 粘度
𝜇 = 1.0 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒 = 0.10 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠）が内径 30-mm の水平かつ平滑な管路を貯槽タンクから撹拌
タンク反応装置まで輸送されている．その体積流量は 2 × 10−4 𝑚3 ⁄𝑠 である．管路の両端部とバルブなどの圧力損失を含む管路全体の相当長さは 50 m である．
（相当長さとは管附属物を含む管路全体の圧力損失を与えるこの円管のみの場合の長さと定義されている．）ポンプの所要動力を計算せよ．

運動方程式の応用問題
49

（II）

55

図 6.1-P1 撹拌タンク反応装置のための原料供給パイプラインの設計

6.2 運動方程式の応用問題 (Ⅱ)
この節では，円柱座標系における運動方程式を使う応用問題を考えよう．今，共軸二重円筒の環状部には非圧縮性ニュートン流体が入っている．内側の円筒を静止・固定しており，外側の円筒が一定角速度 𝜔 で回転しているので，環状部には定常状態で安定な回転流が形成されている．両円筒は十分に長く，端効果を無視して，速度分布を求めてみよう．
この問題では次の𝜃-成分の運動方程式がもっとも適している：
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝑣 𝜕𝑣

𝜌 ( 𝜕𝑡𝜃 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟𝜃 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃𝜃 +
+𝜇 [

𝜕

(

𝑣𝑟 𝑣𝜃

1𝜕

𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟

𝑟

𝜕𝑣

1 𝜕𝑝

+ 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝜃 ) = − 𝑟 𝜕𝜃(𝑟𝑣𝜃 )) +1 𝜕 2 𝑣𝜃2 𝜕𝑣𝑟𝑟 2 𝜕𝜃

𝑟 2 𝜕𝜃

2 ++𝜕 2 𝑣𝜃
𝜕𝑧2] + 𝜌 𝑔𝜃 

(6.2-1)

層流と考えて、全ての流線は回転軸のまわりで同心円を形成していると考えられる．だから速度成分 𝑣𝑟 と 𝑣𝑧 は 0 であり，同心円の運動だから 𝑣𝜃 は軸対称で 𝑟 のみの関数である．またの二重円筒は鉛直に置かれているので 𝑔𝜃 = 0 である．

図.6.2-1 外円筒が回転する共軸二重円筒の環状部における層流のせん断流れ.

結局，𝜃-成分の運動方程式は次の 𝑣𝜃 に関する２階常微分方程式に簡単化される：
𝑑1 𝑑

0 = 𝑑𝑟 (𝑟 𝑑𝑟 (𝑟 𝑣𝜃 ))(6.2-2)

𝑟 に関して２回不定積分すると
𝐶𝐶𝑣𝜃 = 21 𝑟 + 𝑟2

(6.2-3)

二つの積分定数は次の２個の境界条件により決めることになる：
B.C.1 at 𝑟 = 𝑅𝑖𝑣𝜃 = 0
B.C.2 at 𝑟 = 𝑅𝑜𝑣𝜃 = 𝑅𝑜 𝜔微分輸送方程式の応用

56

次のように求められる：
𝐶1

𝑅 2

𝑅𝜔

= 𝑅 −(𝑅𝑖 2⁄𝑅 ) = 𝑅 2 −𝑜 𝑅 2 𝜔
2
𝑜

𝑖

𝑜

𝑜

𝑖

𝑅 2𝑅 2𝑅𝑖 𝜔

𝐶2 = − (1⁄𝑅 )−(𝑅 ⁄𝑅 2) = − 𝑅 𝑖2 − 𝑜𝑅 2 𝜔
𝑖

𝑖

𝑜

𝑜

𝑖

その結果，双曲線状の速度分布が得られた：

𝑣𝜃 =

𝑅𝑖 𝑅𝑜
𝑅𝑜 2 − 𝑅𝑖 2

𝑟

𝑅𝑖

𝑅𝑖

𝑟

𝑅𝑜 𝜔 [ −(6.2-4)]ニュートンの粘性の法則によれば，せん断応力 𝜏𝑟𝜃 は下式のように表されているから，
𝜕

𝑣

1 𝜕𝑣

(6.2-5)𝜏𝑟𝜃 = − μ [𝑟 𝜕𝑟 ( 𝑟𝜃 ) + 𝑟 𝜕𝜃𝑟 ]この流れでは 𝑣𝑟 = 0 であるから
𝑑𝑣(6.2-6)𝜏𝑟𝜃 = − μ 𝑟 𝑑𝑟 ( 𝑟𝜃 )この式に速度分布式を代入して
𝜏𝑟𝜃 = −2𝜇𝜔

𝑅𝑖 2 𝑅𝑜 2

1(6.2-7)

𝑅𝑜 2 − 𝑅𝑖 2 𝑟 2

この式は 𝜏𝑟𝜃 が常にマイナスであり，負の r-方向に（内側に向かって）運動量が輸送されることを示している．
このような装置では，外円筒の回転を維持するに要するトルクを求めたいことが多い．
⃗ はモーメント，すなわち，力のベクトル 𝐅 と回転中
そこで，思い起こそう，トルク 𝐓
心からの腕の半径 𝐫 とのベクトル積である．この流れ系では腕の長さは外円筒の半径であり，力は外円筒の内壁面に作用するせん断力である．したがって
2⃗⃗ | = (2𝜋𝑅𝑜 𝐿)(−𝜏𝑟𝜃 )|𝑟=𝑅 ∙ 𝑅𝑜 = 4𝜋𝜇𝐿𝑅𝑜 2 𝜔2 2𝑅𝑖 2
𝑇𝑞 = |𝐓𝑜22= 8𝜋 𝜇𝐿𝑅𝑜 𝑁𝑟

𝑅𝑖 22
𝑅𝑜 − 𝑅𝑖 2

𝑅𝑜 − 𝑅𝑖(6.2-8)

この結果は，トルクが外円筒の回転数 𝑁𝑟 (1/s) に比例すること，そして比例定数が流体の粘度であることを意味している．この式が回転粘度計（Couette-Hatschek viscometers）の原理である．
この流れ系における層流は遠心力により強く安定化されている．すなわち，外円筒に近い所を回っている流体粒子は，内円筒に近い所を回っている流体粒子より回転速度が大きいので，遠心力が大きいせいで，中心軸へ向かおうとする動きが強く抑制されるのである．
その結果，この流れは非常に高いレイノルズ数まで，層流を安定化できる．

図 6.2-2. 内円筒が回転する共軸二重円筒の環状部に生起するセル状の渦対.

運動方程式の応用問題
49

（III）

57

これに対して，内円筒が回転し，外円筒が静止している共軸二重円筒間流れを考えることは非常に興味深い．この場合は，流体の速度は半径 r が減少すると増加するので，半径が小さいところの方が遠心力が大きいので，遠心力が不安定性を誘起する傾向がある．
この流れ系は円筒の曲率を考慮した修正レイノルズ数を使う：
𝑇𝑎 =𝜌𝑅𝑖 𝜔𝑖 𝑑
𝜇𝑑√𝑅(6.2-9)𝑖

この無次元パラメータはこの流れの先駆的研究者 1) の名を採って，テイラー数（Taylor
number）と呼んでいる．レイノルズ数に曲率効果（遠心効果）を考慮するために，√𝑑 ⁄𝑅𝑖 を導入している．テイラー数がある臨界値（二重円筒の環状部の隙間が非常に小さい場合，
𝑇𝑎𝑐𝑟 = 41.2 ）を超えると，遠心力により不安定になって，図 6.2-2 のような円形ドーナッ
ツ状のセル状渦対の列が環状部に出現する．しかしながら，セル状渦対が生起する臨界テイラー数は幾何学的な環状部間隙幅に依存して変化する．例えば，𝑑 ⁄𝑅𝑖 = 1⁄3 になると，
𝑇𝑎𝑐𝑟 = 51.4 になる．この時にできる渦流れは乱流ではなく，トロイド運動をする精巧な層流渦流である．これより回転数を上げると，次のテイラー数の臨界値があり，渦運動に周方向の波運動が重畳した波動テイラー渦流が生起する流動遷移が起きる．さらにテイラ
ー数を大きくすると，渦運動に重畳する波動が振幅変調した二重周期性波動テイラー渦に遷移する．これ以上のテイラー数になるとやっと乱れ（カオス）を生じ，ついに乱流のテ
イラー渦流になると言われている．
（例えば，比較的間隙幅が大きい，𝑑 ⁄𝑅𝑖 = 0.62 ～ 1.14の場合，𝑇𝑎 > 𝑎𝑏𝑜𝑢𝑡 15,000)．管内乱流発生問題と違って，この流れ系が時間変化しない層流からカオス発生に至るまでに，いくつもの遷移点を経過しなければならない，このようなシナリオ 2, 4)は物理学において，非常に興味を持たれた問題である．
上記のように，局所的にも時間的にも変動するセル状渦対列によって制御されている物
質移動が測定されている 2, 3)．局所的にも，時間的にも変動する物質移動速度の測定ができる（外円筒の内壁に埋め込んだ）電極による電気化学的測定法は第１４章で学ぶことがで
きる．
1.
2.
3.
4.

Taylor, G.I., Phil. Trans., A223, 289m (1923), Proc. Roy. Soc. (London), A151, 494 (1935)
Kataoka, K., “Taylor vortices and instabilities in circular Couette flows,” Encyclopedia of Fluid Mechanics, Gulf Pub., Houston,ed. by N. P. Cheremisinoff, Chap. 9, pp.236 – 274 (1986)
Kataoka, K., Doi, H., and Komai, T., Int. J. Heat Mass Transfer, 20, 50 (1977)
Kataoka, K., Bitou, Y., Degiuchi, T., and Minakuchi, T., The 3rd Taylor Vortex Flow Working Party Meeting, Nancy, France, April
5-7 (1983)

6.3 運動方程式の応用問題 (Ⅲ) 非ニュートン流体第 2.5 章において，ニュートンの粘性の法則によって表すことができない特殊な流体が存在することを知った．参考のために，ビンガム流体（Bingham plastic fluid）が水平円管内を流れる問題を学ぼう．
管長 𝐿 間での圧力降下は (𝑝0 − 𝑝𝐿 )⁄𝐿 で与えられている．
円柱座標系におけるビンガムモデルの簡単化された式は次のようになる：𝑑𝑣𝜏𝑟𝑧 = − 𝜇0 𝑑𝑟𝑧 + 𝜏0
if 𝜏𝑟𝑧 > 𝜏0
(6.3-1a)𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟

if 𝜏𝑟𝑧 < 𝜏0=0

(6.3-1b)

一般に，円柱座標系の z-成分の運動方程式は

𝜌(

𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡

+ 𝑣𝑟

𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟

+

𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧
𝑟 𝜕𝜃

+ 𝑣𝑧

𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧

)= −

𝜕𝑝
𝜕𝑧

− (

水平円管なので、重力項は 𝑔𝑧 = 0 である．

1 𝜕
𝑟 𝜕𝑟

(𝑟 𝜏𝑟𝑧 ) +1 𝜕𝜏𝜃𝑧
𝑟

𝜕𝜃

+

𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧

)

(6.3-2)微分輸送方程式の応用

58

第 6.1 章と同じように，非圧縮性流体の層流の場合，𝑣𝜃 = 𝑣𝑟 = 0 と仮定できるから，式(6.3-2) は 簡単化されて
1 𝑑𝑝 −𝑝(𝑟 𝜏𝑟𝑧 ) = 0 𝐿(6.3-3)𝑟 𝑑𝑟
𝐿𝑟 に関して１回，不定積分して
𝑝 −𝑝𝐶𝜏𝑟𝑧 = 02𝐿 𝐿 𝑟 + 𝑟1

(6.3-4)

ビンガムモデルのせん断応力は次のようになる：
𝜏𝑟𝑧 = − 𝜇0
境界条件は

𝑑𝑣𝑧
𝑝0 − 𝑝𝐿
𝐶1+ 𝜏0 =
𝑟+
𝑑𝑟2𝐿
𝑟

B.C.1 𝜏𝑟𝑧 = 𝜏0 at 𝑟 = 𝑟0だから積分定数は下のように決まる：
𝑝 −𝑝
𝐶1 = 𝑟0 𝜏0 − 02𝐿 𝐿 𝑟0 2
換言すると，これは半径 𝑟 = 𝑟0 において速度勾配がゼロになることを言っている．
上の式より，次の微分方程式が得られる：
𝑑𝑣𝑧
𝑝0 − 𝑝𝐿
𝜏0
𝐶1 1
= −
𝑟+
−
𝑑𝑟
2𝜇0 𝐿
𝜇0 𝜇0 𝑟
これを不定積分して
𝑣𝑧 = −

𝑝0 − 𝑝𝐿 𝑟 2
2𝜇0 𝐿 2𝜏𝐶

(6.3-5)+ 𝜇0 − 𝜇1 ln 𝑟 + 𝐶2
00

この積分定数の値は次の境界条件によって決めることができる：
B.C.2 at 𝑟 = 𝑅
𝑣𝑧 = 0(no slip condition)
次のように決まった．
𝑝 − 𝑝 𝑅2

𝜏𝐶

(6.3-7)0𝐿𝐶2 = 2𝜇+ 𝜇0 − 𝜇1 ln 𝑅
𝐿 2
0

0

(6.3-6)0

最終的には，速度分布式は次式のようにまとめられる：
𝑣𝑧 = −
𝑣𝑧 = −

𝑝0 − 𝑝𝐿 𝑟 2

2𝜇0 𝐿

2

𝜏

𝐶

+ 𝜇0 − 𝜇1 ln 𝑟 + 𝐶2

2𝜇0 𝐿 2𝑝0 − 𝑝𝐿 𝑟02

0

0

𝜏

𝐶

+ 𝜇0 − 𝜇1 ln 𝑟0 + 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
0

0 < 𝑟 < 𝑟00

ここにおいて 𝐶1 = 𝑟0 𝜏0 −𝑝0 − 𝑝𝐿
2𝐿(6.3-8)𝑟0 < 𝑟 < 𝑅

𝑝 −𝑝

𝑅2

𝜏

(6.3-9)𝐶0
𝐿
𝑟0 2 ， 𝐶2 = 2𝜇
+ 𝜇0 − 𝜇1 ln 𝑅
𝐿 2
0

0

0

半径 𝑟0 はせん断応力𝜏𝑟𝑧 が閾値 𝜏0 になる位置を示す．

図 6.3-1 円管内におけるビンガム流体の流れ

図 6.3-1 で分かるように，管壁近傍 𝑟0 < 𝑟 < 𝑅 ではニュートン流体のような流れになるが，管中央域 0 < 𝑟 < 𝑟0 では一様速度のプラグ（栓）のような流れとなる．

運動方程式の応用問題
49

（IV）

59

6.4 運動方程式の応用問題 (Ⅳ) 非ニュートン流体第 2.5 章の式(2.5-3)のように，もう一つの非ニュートン流体のモデルとして，指数法則
モデル（Power law model）にも関心がある． The Ostwald-de Waele Model とも呼ばれている．
指数法則モデルの直角座標系と円柱座標系の幾つかの式を挙げると
𝑑𝑣 𝑛−1 𝑑𝑣𝑥(6.4-1)

𝜏𝑦𝑥 = −𝑚 | 𝑑𝑦𝑥 |𝑑𝑦𝑑𝑣𝑧 𝑛−1 𝑑𝑣𝑧

𝜏𝑟𝑧 = −𝑚 | 𝑑𝑟 |

𝑑𝑟

𝑑

𝑣

𝑛−1

𝜏𝑟𝜃 = −𝑚 |𝑟 𝑑𝑟 ( 𝑟𝜃 )|(6.4-2)𝑑𝑣(6.4-3)𝑟 𝑑𝑟 ( 𝑟𝜃 )式(6.4-1) は矩形流路内流れとか平板に沿う境界層流れ，垂直な固体壁を流下する流れ等々に使える．式(6.4-2) は円管内の流れや共軸二重円管間流れ（いわゆる環状部流れ）などに使える．式(6.4-3) は共軸二重円筒間の接線方向の流れのような回転流に使える．
指数が 𝑛 = 1 の場合，この指数法則モデルはニュートンの粘性の法則 m = μ に帰着する．
[ 例 題 6.4-E1] 今度は指数法則モデルに従う非ニュートン流体が水平な円管内を流れる問題を考えよう．
この場合の指数法則モデルは次の形になる：
𝜏𝑟𝑧 = 𝑚 (−

𝑑𝑣𝑧 𝑛
𝑑𝑟

(6.4-E1))

解くべきナビエ・ストークスの方程式は式(6.3-2) である．すなわち𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧 𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑝
1 𝜕
1 𝜕𝜏𝜃𝑧 𝜕𝜏𝑧𝑧
(𝑟 𝜏𝑟𝑧 ) +
𝜌(
+ 𝑣𝑟
+
+ 𝑣𝑧
)= −
− (
+
)
𝜕𝑡
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑟 𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧

定常状態では 𝜕𝑣𝑧 ⁄𝜕𝑡 = 0 ． 軸対称流れだから 𝜕𝑣𝑧 / ∂θ = 0 かつ 𝜕𝜏𝜃𝑧 ⁄∂θ = 0 である．
充分に発達した領域とすると 𝜕𝑣𝑧 / ∂z = 0 かつ 𝜕𝜏𝑧𝑧 ⁄∂z = 0.
全ての流線は管壁に平行であるから 𝑣𝑟 = 0
したがって解くべき方程式は次の式となる．
1 𝜕𝜕𝑝(𝑟 𝜏𝑟𝑧 ) = −(6.4-E2)𝑟 𝜕𝑟𝜕𝑧

水平円管内流れの圧力降下は与えられていて𝜕𝑝− 𝜕𝑧 =

𝑝0 − 𝑝𝐿(6.4-E3)

𝐿

したがって次の常微分方程式となる：
1 𝑑𝑝 −𝑝(𝑟 𝜏𝑟𝑧 ) = 0 𝐿
𝑟 𝑑𝑟𝐿𝑟 で積分すると
𝑝 −𝑝𝐶
𝜏𝑟𝑧 = 02𝐿 𝐿 𝑟 + 𝑟1

(6.4-E4)(6.4-E5)

せん断応力 𝜏𝑟𝑧 は管中心軸の位置で無限大にはならないから，𝐶1 はゼロでなければならない．したがって𝑝 −𝑝𝜏𝑟𝑧 = 02𝐿 𝐿 𝑟(6.4-E6)
このせん断応力の直線状の分布はニュートン流体の式(6.1-14) と同じ形になっていることに気付く．
もし指数法則モデルをせん断応力式に使うならば，上式は次のように書ける：
𝑑𝑣𝑛𝑚 (− 𝑑𝑟𝑧 ) =𝑝0 − 𝑝𝐿
2𝐿

𝑟

すなわち

微分輸送方程式の応用

60
𝑑𝑣

𝑝 −𝑝

1⁄ 𝑛

− 𝑑𝑟𝑧 = ( 20 𝑚𝐿𝐿)

(6.4-E7)

𝑟 1⁄ 𝑛積分すると
𝑝0 − 𝑝𝐿 1⁄𝑛 𝑛
𝑣𝑧 = − ()
𝑟 1+𝑛⁄𝑛 + 𝐶2
2 𝑚𝐿
1+ 𝑛
境界条件より at 𝑟 = 𝑅, 𝑣𝑧 = 0.
だから
𝑝0 − 𝑝𝐿 1⁄𝑛 𝑛
𝐶2 = ()
𝑅1+𝑛⁄𝑛2 𝑚𝐿
1+ 𝑛結局，指数法則モデルが成り立つ非ニュートン流体の円管内層流の速度分布は
𝑝 −𝑝

1⁄ 𝑛

𝑣𝑧 = ( 20 𝑚𝐿𝐿 )⁄𝑟 1+𝑛 𝑛𝑛𝑅1+𝑛⁄𝑛 [1 − (𝑅)1+ 𝑛](6.4-E8)

指数が 𝑛 = 1 の場合は，ニュートン流体の場合の放物速度分布に帰着する．

[ 問 題 6.4-P1] 下図のように，水平な矩形断面チャネル（横方向幅 𝑊, 高さ 2 𝐻）の中を非圧縮性流体（密度 𝜌 ，粘度 𝜇一定）が層流で流れている． 静圧は (𝑝0 − 𝑝𝐿 )⁄𝐿 な
る速度で降下するとする．𝑊 ≫ 2𝐻 であり，両側壁による端効果は無視できるものとする．
充分発達領域における速度分布の式を求めよ．最大速度と平均速度の比 〈𝑣𝑧 〉⁄𝑣𝑚𝑎𝑥 は幾らか．上側の壁面に働くせん断応力は幾らか．体積流量を求めよ．

図 6.4-P1 矩形断面のチャネル内の層流[ 問 題 6.4-P2] 下図のように，ある液体のニュートン流体（密度 𝜌，粘度 𝜇 一定）
が鉛直に置かれた長い円管の内壁を重力により層流の液膜となって流下している．十分に発達した領域において管の内半径は 𝑅，液膜の厚さは 𝛿 である．
この液膜の空気と接触する側の気液界面における境界条件について説明せよ。
十分発達領域での定常状態の速度分布が下式のようになることを示せ．
𝑣𝑧 =

𝜌𝑔 𝑅2
4𝜇

𝑟 2

𝛿 2

𝑟

[(1 − ( ) + 2 (1 − ) ln ( )]𝑅
𝑅𝑅

(6.4-P1)

運動方程式の応用問題
49

（IV）

（続）

61

図 6.4-P2. 鉛直に置かれた円管内壁を流下する液膜流[ 問 題 6.4-P3] 下に示す油送パイプラインを設計したい．15℃ の原油をポンプで内径80 𝑚𝑚 の水平な平滑円管に体積流量 1 × 10−2 𝑚3 ⁄𝑠 で流そうとしている．原油の 15℃
における粘度 8 × 10−2 kg⁄m s と密度 880 𝑘𝑔⁄𝑚3 である． 吐出圧（吐出側と吸込み側の圧力差）が 4 × 105 Pa であるポンプを，一定間隔で設置する場合，ポンプ間の距離 𝐿 は幾らか．また効率 100% と仮定してポンプの所要動力を求めよ．ただしパイプラインに付設する附属物（バルブ，流量計，エルボなど）による圧力降下への寄与は無視してよい．

図 6.4-P3 設計しようとする油送パイプラインと圧力降下

6.5 エネルギー輸送方程式の応用問題 (Ⅰ)
円管内層流における熱輸送の問題を考えよう。今，物性定数は一定，そして粘性消散は
小さくて無視できると仮定しよう．円柱座標系でのエネルギー輸送方程式は次式である：
𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑇

1𝜕

𝜕𝑇

1 𝜕2 𝑇

𝜕2 𝑇

𝜌𝐶𝑝 ( 𝜕𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧 ) = 𝜅 (𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟 ) + 𝑟 2 𝜕𝜃2 + 𝜕𝑧 2 )(6.5-1)(1) 一般に，流れ系では速度分布が分からないとエネルギー輸送方程式は解くことはできな
い．今，定常状態で，かつ十分発達した層流に限定しよう．
だから次のような条件での簡単化から始めよう： 𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0 かつ 𝜕𝑇⁄𝜕𝑡 = 0．
また伝熱も軸対称であると仮定して 𝜕𝑇⁄𝜕𝜃 = 𝜕 2 𝑇⁄𝜕𝜃 2 = 0.
式(6.5-1) は次ようになる：
𝜕𝑇

1 𝜕

𝜕𝑇

𝜕2 𝑇

𝜌𝐶𝑝 𝑣𝑧 𝜕𝑧 = 𝜅 [𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟 ) + 𝜕𝑧2 ](6.5-2)微分輸送方程式の応用

62

通常，右辺第２項（ 𝜕 2 𝑇⁄𝜕𝑧 2 を含む項），すなわち軸方向への熱伝導の影響は, 半径方向への伝導効果（第１項）に比して無視できるほど小さいと仮定できるので，次の方程
式となる：
1 𝜕

𝜕𝑇

𝑣 𝜕𝑇

(𝑟 𝜕𝑟 ) = 𝛼𝑧 𝜕𝑧(6.5-3)𝑟 𝜕𝑟
ここに 𝛼 = 𝜅⁄𝜌𝐶𝑝 である．
(2) さらに，この問題を，右辺の項に関連して，温度場も z-方向に変化しない十分発達領域に限定する．先ず，ある加熱条件下で，パイプ長さ方向には不変である無次元の温度分布が存在することを具現化する必要がある．
体積流量は次式のように計算できる：
𝑅

𝑄 = ∫0 𝑣𝑧 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 =𝜋(𝒑𝟎 − 𝒑𝑳 )8𝜇𝐿

𝑅4

簡単にするために，流体の平均温度 𝑇𝑚 は次式のように定義される：
𝑅
𝜌𝐶𝑝 𝑄 𝑇𝑚 = ∫0 𝜌𝐶𝑝 𝑇 𝑣𝑧 2𝜋𝑟 𝑑𝑟
物性定数は一定としているから𝑅
2
𝑇𝑚 = 〈𝑣 〉𝑅2 ∫0 𝑣𝑧 𝑇 𝑟𝑑𝑟(6.1-12)(6.5-4)(6.5-5)𝑧

この温度 𝑇𝑚 は時々，流体本体温度（bulk fluid temperature）とか混合平均温度（cup-mixing temperature）と呼ばれている．
ここでこの平均温度 𝑇𝑚 を使って，無次元温度を次のように定義する：(𝑇𝑤 − 𝑇)⁄(𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 )ここに 𝑇 は任意の位置の温度変数である．
もし，この無次元温度が管軸方向に不変であれば
𝜕

𝑇 −𝑇(6.5-6)( 𝑤 )=0𝜕𝑧 𝑇 − 𝑇𝑤𝑚

これをさらに，𝑟 に関して微分すると
𝜕 𝜕𝑇𝑤 − 𝑇()=0𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝑇𝑤 − 𝑇𝑚ここで微分の順序を入れ替えて，今度は 𝑧 に関して積分すると
𝜕𝑇 −𝑇( 𝑤 )|
𝜕𝑟 𝑇 − 𝑇𝑤𝑚(6.5-7)= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟=𝑅

𝑇𝑚 と 𝑇𝑤 が 𝑟 の関数でないことに注意すると−

𝜕𝑇|
𝜕𝑟 𝑟=𝑅𝑇𝑤 − 𝑇𝑚(6.5-8)= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

ここで，これらの平均温度の項で，伝熱係数を次式のように定義しよう：
𝜕𝑇
𝑞𝑤 = ℎ (𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 ) = − 𝜅 ( )|(6.5-9)𝜕𝑟𝑟=𝑅

この定義式は，流れが層流でも乱流でも正当であり，大変重要な定義式である．
式(6.5-4) ～ 式(6.5-9) は全て乱流でも成立する．
この定義式は管壁から流体中への熱流束が代表温度差（温度差の特性値）に比例することを意味している．
管壁における温度勾配 (𝜕𝑇⁄𝜕𝑟 )|𝑟=𝑅 が流れの条件に依存するから，伝熱係数は物性定数（例えば，プラントル数）だけではなく，流れの条件（例えば，レイノルズ数）の関数であることがわかった．（この考え方は伝熱係数のデータを一般化してデータベース化するために，無次元パラメータで相関づけられることを示唆しているので，大変重要な道理付けである．）
このように，式(6.5-8) から

エネルギー輸送方程式の応用問題
49
ℎ
𝜅

−

=

𝜕𝑇
|
𝜕𝑟 𝑟=𝑅𝑇𝑤 − 𝑇𝑚

（I）

（続）

すなわち

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡63(6.5-10)ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

充分に発達した温度場は一定な伝熱係数の条件の場合，管入口から十分に下流において見られる得ることを示している．事実，大抵の熱交換器は十分発達域の一定な伝熱係数に基づいて設計されているのである．
もう一度，充分発達域の温度分布の定義に戻って
𝜕𝑇𝑤 − 𝑇()=0𝜕𝑧 𝑇𝑤 − 𝑇𝑚z に関する微分を展開すると
𝜕𝑇
𝑑𝑇𝑤
𝑇𝑤 − 𝑇 𝑑𝑇𝑤
𝑇𝑤 − 𝑇 𝑑𝑇𝑚
=
−
+
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 𝑑𝑧
𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 𝑑𝑧
これをエネルギーの輸送方程式に代入して
1 𝜕

(𝑟

𝑟 𝜕𝑟

𝜕𝑇
𝜕𝑟

)=

𝑣𝑧 𝑑𝑇𝑤𝛼[𝑑𝑧−

𝑇𝑤 −𝑇 𝑑𝑇𝑤+

𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 𝑑𝑧

𝑇𝑤 −𝑇 𝑑𝑇𝑚
𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 𝑑𝑧(6.5-11)]この方程式は，実際によくある代表的な下の２伝熱条件によって解くことができる：
𝜕𝑇
Case Ⅰ: 壁面で熱流束一定 𝑞𝑤 = ℎ (𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 ) = − 𝜅 ( )|= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(6.5-12)𝜕𝑟Case Ⅱ: 壁温一定

𝑟=𝑅

𝑇𝑤 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(6.5-13)

最初の加熱条件は，向流式の熱交換器で向流接触する２流体の質量熱容量流量が𝑤 𝑐𝑝 = 𝑊 𝐶𝑝 同じである時，しばしば見られる．ここに 𝑤, 𝑊 は熱交換する（熱を与える）高温側と（熱をもらう）低温側の質量流量であり，𝑐𝑝, 𝐶𝑝 は対応する熱容量（比熱）である．
Case Ⅰ の 伝熱係数 ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 温度差 𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 の場合は
𝑑𝑇𝑤
𝑑𝑧

−

𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑧

= 0 i.e.

𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑧

=

𝑑𝑇𝑤
𝑑𝑧

=

𝜕𝑇
𝜕𝑧

(6.5-14)

熱流束一定の場合に解くべき方程式は次式となる：
1 𝜕
𝑟 𝜕𝑟

(𝑟

𝜕𝑇
𝜕𝑟

)=

𝑣𝑧 𝑑𝑇𝑚𝛼(6.5-15)𝑑𝑧

Case Ⅱ の壁温一定の伝熱条件は，熱交換する２流体の内の一つが凝縮や蒸発のように相変化をする場合の熱交換器によく見られる．
壁温一定の場合，
𝑑𝑇𝑤=0(6.5-16)𝑑𝑧
壁温一定の場合の解くべきエネルギー輸送方程式は次式のようになる：
1 𝜕
𝑟 𝜕𝑟

(𝑟

𝜕𝑇
𝜕𝑟

)=

𝑣𝑧

𝑇𝑤 −𝑇

𝑑𝑇𝑚

𝛼 𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 𝑑𝑧(6.5-17)

これらの微分方程式，式 (6.5-15) と式(6.5-17) を次の例について解いてみよう．
これら２ケースに対して，管長さによる温度変化を下図に示す．

微分輸送方程式の応用

64

図 6.5-1 伝熱管内を流れる流体の壁温と平均温度の軸方向の変化[ 例 題 6.5-E1]
第１のケースについて解こう．
𝜕𝑇

Case Ⅰ: 一定熱流束条件

𝑞𝑤 = ℎ (𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 ) = − 𝜅 (𝜕𝑟 )|𝑟=𝑅= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡充分発達領域の層流の放物線状速度分布を仮定し，熱輸送方程式に代入すると
1 𝜕

2 〈𝑣𝑧 〉

𝜕𝑇(𝑟 𝜕𝑟 ) =𝑟 𝜕𝑟

𝛼𝑟 2 𝑑𝑇𝑚[1 − ( ) ]𝑅(6.5-E1)𝑑𝑧

𝑟 について積分すると
𝜕𝑇
2 〈𝑣𝑧 〉 𝑟 2
𝑟 4 𝑑𝑇𝑚
[ −
]
=
+ 𝐶1
𝜕𝑟
𝛼
2
4 𝑅2 𝑑𝑧
次の境界条件が積分定数 𝐶1 を決めるのに適用できる：
𝑟

B.C.1

𝜕𝑇

at 𝑟 = 0

𝜕𝑟= 0.

したがって 𝐶1 はゼロでなければならない：
もう一度積分して𝑇=

2 〈𝑣𝑧 〉
𝛼

[

𝑟2

𝑟4

𝐶1 = 0𝑑𝑇− 16 𝑅2 ] 𝑑𝑧𝑚 + 𝐶2
4

この積分定数 𝐶2 は次の境界条件で決めることができる：
B.C.2 at 𝑟 = 𝑅
𝑇 = 𝑇𝑤 .
したがって
2 〈𝑣𝑧 〉 3 2 𝑑𝑇𝑚
𝐶2 = 𝑇𝑤 −𝑅
𝛼 16𝑑𝑧
この式を代入して，最終的に次式のような温度分布が得られる：

𝑇 = 𝑇𝑤 +2 〈𝑣𝑧 〉
𝛼

𝑟2

𝑟4

4

16 𝑅 2

[ −

−

3
16

𝑅2 ]

𝑑𝑇𝑚

(6.5-E2)𝑑𝑧

平均温度の定義式によれば
2𝑅

11 2 〈𝑣𝑧 〉 𝑑𝑇𝑚

𝑇𝑚 = 〈𝑣 〉𝑅2 ∫0 𝑣𝑧 𝑇 𝑟 𝑑𝑟 = 𝑇𝑤 − 96
𝑧

𝛼

𝑑𝑧

𝑅2

(6.5-E3)

したがって伝熱の推進力（driving force と言う）は次のように得られる：
11 2 〈𝑣𝑧 〉 𝑑𝑇𝑚

Δ𝑇 = 𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 = 96

𝛼

𝑑𝑧

𝑅2

(6.5-E4)

他方，壁面における温度度勾配は次式のようになる：
〈𝑣 〉

𝜕𝑇

(𝜕𝑟 )|

𝑟=𝑅= 2 𝑧𝛼 𝑅

𝑑𝑇𝑚𝑑𝑧

式(6.5-E4)を使って，次式の熱流束の式が得られる：(6.5-E5)

エネルギー輸送方程式の応用問題
49

（II）

65

11 2 〈𝑣𝑧 〉 2 𝑑𝑇𝑚
𝑅
96 𝛼
𝑑𝑧
式(6.5-E5) を使って，壁面における熱流束は〈𝑣𝑧 〉 𝑑𝑇𝑚
𝜕𝑇
𝑞𝑤 = 𝜅 ( )|= 𝜅𝑅𝜕𝑟 𝑟=𝑅
2𝛼𝑑𝑧
これらの式から伝熱係数 ℎ を求めると
24 𝜅
ℎ=
11 𝑅
この式から，熱流束一定の円管内層流の場合の伝熱係数の無次元数（ヌッセルト数と呼ぶ）が次のように得られた：ℎ𝐷
48
𝑁𝑢 = 𝜅 = 11 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(6.5-E6)
𝑞𝑤 = ℎ (𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 ) = ℎ

このヌッセルト数（Nusselt number）は物理的には対流伝熱と伝導伝熱の比を意味している． すなわちℎ Δ𝑇
𝑁𝑢 =(6.5-E7)⁄ )𝜅(Δ𝑇 𝐷

スタントン数（Stanton number）は次のように定義される：𝑆𝑡 =ℎ𝜚𝐶𝑝〈𝑣𝑧 〉

=

𝑁𝑢
𝑅𝑒 𝑃𝑟

(6.5-E8)

この場合のスタントン数は管内層流における熱流束一定の伝熱条件における無次元伝熱係数である．

𝑆𝑡 𝑃𝑟 =

(48⁄11)
𝑅𝑒(6.5-E9)上の式は無次元グループ 𝑆𝑡 𝑃𝑟 がレイノルズ数のみの関数になることを示しており，
前述の流体摩擦係数がレイノルズ数のみの関数（下式）になることと相似である．
16
𝑓 = 𝑅𝑒(6.5-E10)
上のヌッセルト数は円管の伝熱がなされている領域の十分に下流における極限的な値であると解釈される．
式(6.5-E6) は熱的に入口領域であっても適用可能である：
𝐿𝑒𝑛𝑡
𝐷> 0.05 𝑅𝑒 𝑃𝑟(6.5-E11)

層流の伝熱係数の実験データは，Sieder and Tate によって次式のように相関づけられている：
𝑁𝑢𝑚 = 1.86 [𝑅𝑒 Pr(𝐷⁄𝐿)]1⁄3 (𝜇 ⁄𝜇𝑤 )0.14(6.5-E12)層流の場合は管長さが右辺に入ってくることに注意すること．
[ 問 題 6.5-P1] 物性定数 (𝜌, 𝜇, 𝜅) 一定のニュートン流体が水平に置かれた矩形チャ
ンネル内を層流で流れている．(参照 問題 6.4-P1)．伝熱速度は流体の流量に依存するけれ
ども，上側の壁は加熱されて温度 𝑇𝑤1 に保たれており，下側の壁は一定温度 𝑇𝑤2 .
( 𝑇𝑤1 > 𝑇𝑤2 ) に冷却されて維持されている．側壁も外部とは断熱されている．したがって，流体温度は横方向 y-方向には変化しないと仮定できる．充分発達域で鉛直方向 x-方向の温度分布式を求めよ．速度の x-軸方向の分布には問題 6.4-P1 で得られた式を使って，流れの断面2 𝑊 𝐻 を通過するエンタルピー流量を計算せよ．壁の温度を上側 𝑇𝑤1 ，下側𝑇𝑤2 に，維持するために必要な熱流束は幾らか？

66

微分輸送方程式の応用

図 6.5-P1 水平に置かれた矩形チャンネル内の充分発達領域の層流の温度分布.

6.6 エネルギー輸送方程式の応用問題 (Ⅱ)
6.6-1 定常熱伝導
中空の円柱における熱伝導の例として，図のように 3 種類の炉材を３層に重ねた溶鉱炉の壁内部の熱伝導を考えてみよう．その外側には補強のために鋼板カバーが巻かれている．
定常運転において，一番内部の耐火煉瓦層の内側の表面と一番外側の補強カバーの鋼板の外側の表面温度は，それぞれ 𝑇1 ，𝑇4 に一定に保たれている．（ただし 𝑇1 > 𝑇4 ）鋼板カバーは他の炉材と比べて非常に大きい熱伝導度を持つので，この鋼板内における熱伝導の抵抗は無視できるほど小さいと仮定できる．したがって保温煉瓦層の外側表面の温度は 𝑇4 に等しいと仮定できる．内側から耐火煉瓦，ムライトアルミナ煉瓦，保温煉瓦，
それぞれの熱伝導度は 𝜅1 , 𝜅2 , 𝜅3 である．

図 6.6-1 高炉の耐火・保温煉瓦層の温度分布

この炉の高さ 𝐿 の外表面（側面）からの放熱による熱損失を求めてみよう．
保温煉瓦の外表面は鋼板と同じ温度であると仮定したので，鋼板抜きで保温煉瓦の外表面が𝑇4 一定に保たれている問題と考えることができる．
円柱座標系の輸送方程式において，炉壁は全部固体のため，全ての速度成分は消える．
円柱状の炉は鉛直方向に高いので，炉壁温度は図の高さ方向 𝑧 および周方向 𝜃 の関数ではないと仮定できる． したがって，炉壁の温度は 𝑟 のみの関数であり，解くべき方程式

エネルギー輸送方程式の応用問題
49

（II）

（続）

67

は次式のような常微分方程式となる：
𝑑
𝑑𝑟

𝑑𝑇

(6.6-1)(𝑟 𝑑𝑟 ) = 0

𝑟 に関して 2 回，不定積分すると，一般解は𝑇 = 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2
(6.6-2)
これら２つの積分定数は個々の煉瓦層での次の境界条件により求められる：
B.C.1 at 𝑟 = 𝑟1 , 𝑇 = 𝑇1
B.C.2 at 𝑟 = 𝑟2 , 𝑇 = 𝑇2
B.C.3 at 𝑟 = 𝑟3 , 𝑇 = 𝑇3
B.C.4 at 𝑟 = 𝑟4 , 𝑇 = 𝑇4
ここに壁内部の半径 𝑟2 と 𝑟3 における温度は未知数であり， 𝑇2 と 𝑇3 とする．
先ず，式(6.6-2)に一番内側の耐火煉瓦層の内側，外側の温度 𝑇1 ，𝑇2 の境界条件を使って温度分布を求めると
𝑇1 − 𝑇2
𝑇 = 𝑇2 + ln(𝑟ln(𝑟⁄𝑟2 )𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2
(6.6-3)⁄𝑟 )1

2

同様に，𝑇2 ，𝑇3 の境界条件を使って𝑇2 − 𝑇3
𝑇 = 𝑇3 + ln(𝑟ln(𝑟⁄𝑟3 )⁄𝑟 )𝑟2 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟3

(6.6-4)

続いて，𝑇3 ，𝑇4 の境界条件を使って𝑇3 − 𝑇4
𝑇 = 𝑇4 + ln(𝑟ln(𝑟⁄𝑟4 )⁄𝑟 )𝑟3 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟4

(6.6-5)

2

3

3

4

この系の場合，式(6.6-1) に熱伝導度を掛けて次式となる：(𝑟 𝑞𝑟 ) = 0
𝑑𝑟𝑑(6.6-6)

この式を積分すると，
𝑟 𝑞𝑟 = 𝑟4 𝑞𝑟 |𝑟=𝑟4 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(6.6-7)となり，半径方向に放射状に流れる伝熱量が一定である、つまり連続であることを示す．
保温煉瓦内で外表面（𝑟 = 𝑟4 ）の温度勾配 𝑑𝑇⁄𝑑𝑟 を温度分式(6.6-5) から求めると𝑑𝑇
𝑇3 − 𝑇4|=
𝑑𝑟 𝑟= 𝑟4
𝑟4 𝑙𝑛 (𝑟3 ⁄𝑟4 )
したがって式(6.6-7) は𝑇3 − 𝑇4
𝑟4 𝑞𝑟 |𝑟=𝑟4 = 𝜅3 ln(𝑟(6.6-8)⁄𝑟 )4

同様に
𝑟3 𝑞𝑟 |𝑟=𝑟3 = 𝜅23

𝑇2 − 𝑇3(6.6-9)ln(𝑟3⁄𝑟2)
𝑇1 − 𝑇2
𝑟2 𝑞𝑟 |𝑟=𝑟2 = 𝜅1 ln(𝑟2 ⁄𝑟1 )

(6.6-10)上の３個の式は同じ定数になるので，つぎのように結びつけることができる：

𝑟4 𝑞𝑟 |𝑟=𝑟4 =𝑇1 − 𝑇21𝑟ln( 2 )
𝜅1
𝑟1=

𝑇2 − 𝑇31𝑟ln( 3 )𝜅2
𝑟2=

𝑇3− 𝑇41𝑟ln( 4 )
𝜅3
𝑟3

= 1
𝜅1

𝑟
𝑟1

ln( 2 )+

𝑇1 − 𝑇41𝑟1𝑟ln( 3 )+ ln( 4 )
𝜅2
𝑟2
𝜅3
𝑟3

(6.6-11)

一番右の式は加比の定理で，前の３つの分数の分子同士の足し算と分母同士の足し算をしてできた式である．式(6.6-11) の各分母はそれぞれの単一層の伝熱抵抗と解釈できる．鋼板カバーの伝熱抵抗は無視小なので，その項は省略されている．
直列に並ぶ３層の抵抗の合計は式(6.6-11) の最後の分数の分母である：
1

𝑟

1

𝑟

1

𝑟

1

1

2

2

3

3

𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜅 ln (𝑟2 ) + 𝜅 ln (𝑟3 ) + 𝜅 ln (𝑟4 )(6.6-12)

最終的に，炉の外表面からの放熱による熱損失 𝑄 は次式で与えられる：
2𝜋𝐿 (𝑇1 − 𝑇4)
𝑟2
1
𝑟
1
𝑟
ln( )+ ln( 3 )+ ln( 4 )
𝜅1
𝑟1
𝜅2
𝑟2
𝜅3
𝑟3

𝑄 = 2𝜋𝑟4 𝐿𝑞𝑟 |𝑟=𝑟4 = 1(6.6-13)微分輸送方程式の応用

68

図 6.6-2 直列に並ぶ熱伝導抵抗指定された温度での炉材３層の円柱の中での熱の流れは図 6.6-2 に示すように，電気のオームの法則とまったく相似である．
断熱煉瓦層の厚みが増加する（𝑟3 ⁄𝑟2 が増加する）と熱損失は減少する．経済的観点からは，エネルギーコストと断熱材コストを勘案して，最適な厚みを計算すべきである．明
らかに，この考え方は炉材層を何層にするかにまで広げることができる．また，ここでの解析では各層の接触面での抵抗をゼロと仮定したが，各層の間にたとえ薄くても空気の隙間があれば，伝熱に対する，かなりな接触抵抗ができてくることがある．
[ 問 題 6.6-P1] ある熱伝導度 𝜅 W/m K の円柱状ロッド（半径𝑅 m）を安全のために冷却しなければならない．今，このロッドはその内部で，常に一様に𝑄𝐸 (W/m3) の割合
で内部発熱するので，ロッド表面が原子力の安全規制により決められた安全指定温度
𝑇0 K に維持されるように，温度 𝑇𝑎𝑖𝑟 K の空気により，定常状態で冷却されている．
(a) 温度分布を求めるための熱伝導方程式を導け．
(b) 温度分布の無次元の表現式を得よ．
(c) ロッド表面からの放熱速度が発生熱量に等しくなることを確認せよ．
この問題は燃料棒（ロッド）の半減期が非常に長く，短い時間の間では定常状態であると仮定されている．
6.6-2 非定常熱伝導 1)y-方向の厚み 2𝑏 の平板状固体（スラブ）を非定常で冷却する問題を考えよう．ただし，
x-方向，z-方向の長さは十分に大きいとする．このスラブは最初， 𝑇0 一様に保たれていたが， 時間 𝑡 = 0 に 𝑦 = ±𝑏 の両表面が瞬間的に 𝑇𝑐 に冷却され，その後，常に 𝑇𝑐 に維持される．この時の時間変化する温度分布を求めよう．
適用すべきエネルギー輸送方程式は次のように簡単になる：
𝜕𝑇
𝜕𝑡

= 𝛼

𝜕2 𝑇

(6.6-14)𝜕𝑦 2

この偏微分方程式を解くために，次の無次元変数にする：
𝑇− 𝑇
温度： 𝛩 = 𝑇 − 𝑇𝑐0𝑐

(6.6-15)

エネルギー輸送方程式の応用問題
49

（II）

（続）

69

図 6.6-3. 固体の有限スラブの冷却

y-方向の長さ：
𝛼𝑡

𝑦

𝜂= 𝑏

時間： 𝜏 = 𝑏2
ここで 𝛼 = 𝜅⁄𝜌𝐶𝑝 は熱の拡散係数である．
この変数変換で無次元方程式が得られ，境界条件も次のようになる：
𝜕𝛩
𝜕𝜏

= 𝛼

𝜕2 𝛩
𝜕𝜂2

I.C.
at 𝜏 = 0𝛩=1
B.C.1
at 𝜂 = +1
𝛩=0B.C.2
at 𝜂 = −1
𝛩=0
変数分離法を使って，次式のように温度の関数であると仮定する：
𝛩(𝜂, 𝜏) = 𝑓(𝜂)𝑔(𝜏)この関数を式(6.6-18)に代入して，次のように整理できる：
1 𝑑𝑔
𝑔 𝑑𝜏

=

1 𝑑2 𝑓𝑓 𝑑𝜂2(6.6-16)(6.6-17)(6.6-18)(6.6-19)(6.6-20)(6.6-21)(6.6-22)(6.6-23)

左辺は 𝜏 のみの関数であり，右辺は 𝜂 のみの関数であることになる．
このような条件になるのは両辺が定数になる時だけであるから，その定数を − 𝑐 2 であるとする．したがってこの問題は次の二つの常微分方程式を解くことに帰着する：𝑑𝑔= − 𝑐2 𝑔(6.6-24)
𝑑𝜏
𝑑2 𝑓
𝑑𝜂2

= − 𝑐2 𝑓(6.6-25)

これらの方程式をそれぞれ不定積分して
𝑓 = 𝐾1 sin 𝑐 𝜂 + 𝐾2 cos 𝑐 𝜂(6.6-26)
g = 𝐾3 exp(− 𝑐 2 𝜏)
(6.6-27)
今，温度分布はスラブの中心線の両側に面対称であるべきであると考えられる．
だから積分定数 𝐾1 はゼロでなければならない．また境界条件から，
𝑓𝜂=0 = 𝐾2 cos 𝑐 = 0 これは次のことを示している：
𝑐 = (𝑛 + 1⁄2)𝜋𝑛 = 0, ±1, ±2, − − − − − −(6.6-28)
結局，解は次のような形になる：
2 2
Θ = ∑∞(6.6-29)
𝑛=0 𝐶𝑛 exp(−(𝑛 + 1⁄2) 𝜋 𝜏 ) cos(𝑛 + 1⁄2) 𝜋 𝜂
未知の定数 𝐶𝑛 は初期条件を使って求められる：At 𝜏 = 0 Θ = 1 → 1 = ∑∞(6.6-30)
𝑛=0 𝐶𝑛 cos(𝑛 + 1⁄2) 𝜋 𝜂微分輸送方程式の応用

70

直交関係を応用するために，cos(𝑚 + 1⁄2) 𝜋 𝜂 𝑑𝜂 を掛けて，次に 𝜂 = −1 から 𝜂 = +1
まで積分する：+1+1(6.6-31)∫−1 cos(𝑚 + 1⁄2) 𝜋 𝜂 𝑑𝜂 = ∑∞𝑛=0 𝐶𝑛 ∫−1 cos(𝑚 + 1⁄2) 𝜋 𝜂 cos(𝑛 + 1⁄2) 𝜋 𝜂 𝑑𝜂𝑛 = 𝑚 の場合を除いて，右辺の積分はゼロになる．
式 (6.6-31) は次のようになる
𝜂= +1
1
1
( ) (𝑚 + 1/2)𝜋 𝜂 + ( )𝑠𝑖𝑛 (𝑚 + 1/2) 2𝜋 𝜂
4= 𝐶𝑚 ( 2)|(𝑚 + 1/2)𝜋
𝜂= −1
𝜂= +1

sin (𝑚 + 1⁄2) 𝜋 𝜂|(𝑚 + 1⁄2) 𝜋

𝜂= −1

上式を 𝐶𝑚 について解くと2 (−1)𝑚= 𝐶𝑚(𝑚 + 1⁄2) 𝜋
最終的に，温度分布式は次のように得られる：
𝑇− 𝑇𝑐
(−1)𝑛
1
𝜋𝑦
= 2 ∑∞
exp (−(𝑛 + )2 𝜋 2 𝛼𝑡⁄𝑏2 ) cos (𝑛 + 1⁄2)
𝑛=0
𝑇0 − 𝑇𝑐(𝑛+1⁄2) 𝜋2𝑏(6.6-32)

この解は多くの非定常熱伝導問題に使われる有用な式である．この解法の場合，非常に短い時間においては，収束が遅くなることを留意すべきである．
1.
2.

Bird, R.B., Stewart, W.E., and Lightfoot, E.N., Transport Phenomena, Wiley, New York, Chapt.3 (1960)
Carslaw, H. S., and Jaeger, J. C., Conduction of Heat in Solid, Oxford Univ. Press, p. 101 (1959)[ 問 題 6.6-P2] ある縦横高さが 0.3 m x 2 m x 10 m の寸法の直角な平行六面体の鉄のインゴットが温度 1,050℃ で一様に保たれ，鉛直に固定されている． この高温のインゴッ
トの両側面 2 m x 10 m に温度 40℃の水ジェットを衝突させて，急激に，かつ一様に冷却したい．インゴットの表面においては水ジェットによる膜沸騰状態になるので，冷却期間の間，表面温度は 180℃ に維持されると仮定する． インゴットの中心 (𝑧 = 0) の温度が300℃ に到達するに要する時間を求めよ．ただしインゴットの密度は 730 kg/m3 ，熱伝導度は 49 W/m K 一定であると仮定することができる．

図 6.6-P1. ２方向から衝突させる水ジェットによる鉄インゴットの冷却

物質の輸送方程式の応用問題
49

6.7

71

物質の輸送方程式の応用問題

純粋な溶質ガスが入っている容器の中を層流状態の液体のジェットが鉛直下方に流下している．この水ジェットの円柱状の表面における物質移動の問題を考えよう．
大きな容器に入っている２酸化炭素 CO2 が水ジェットにより吸収される．この水ジェットは出口部にシャープなエッジを持つ縮流ノズルから発せられ，その表面はリップルはなく，平滑である．
（一般に，よくデザインされた縮流ノズルは一様な出口速度をもつ液ジ
ェットを発することができる．）純粋な CO2 が円柱状の水ジェットを取り囲むように存在しているから，気相の物質移動抵抗は無視できる．今は非常に短い時間（10 ms のオーダー）に少量の CO2 が吸収される問題を考えるので，CO2 が溶解して水ジェットの中を浸透する深さはジェットの直径（1 mm のオーダー）に比して非常に小さい．
したがって，この問題は平坦な表面として取り扱うことができる．水ジェットの断面は一様な速度分布： 𝑣𝑧 = 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. を有している．
下の直角座標系で書かれた物質輸送方程式が液ジェット内に適用される：
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡

+ 𝑣𝑥

𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥

+ 𝑣𝑦

𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦

+ 𝑣𝑧

𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧

= 𝐷𝐴𝐵 (

𝜕2 𝐶𝐴

𝜕2 𝐶𝐴

𝜕2 𝐶𝐴

𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧 2

+
2

+
2

) + 𝑅𝐴

定常状態では 𝜕𝐶𝐴 ⁄𝜕𝑡 = 0. また CO2 と H2O との化学反応はない: 𝑅𝐴 = 0 と無視する．
全ての流線は液ジェットの軸に平行であるので，𝑣𝑥 = 𝑣𝑦 = 0 である．したがって，CO2
濃度 𝐶𝐴 は 𝑥 と 𝑧 とともに変化すると予想される．しかし 𝜕𝐶𝐴 ⁄𝜕𝑦 = 0 である．
したがって次式のように簡単化される：
𝜕𝐶

𝜕2 𝐶

𝜕2 𝐶

𝑣𝑧 𝜕𝑧𝐴 = 𝐷𝐴𝐵 ( 𝜕𝑥2𝐴 + 𝜕𝑧 2𝐴 )(6.7-1)

図 6.7-1 CO2 ガス吸収のための実験装置

左辺の 𝑣𝑧 よる対流項に比して拡散項（𝜕 2 𝐶𝐴 ⁄𝜕𝑧 2 ) は無視できる。
その結果，𝐶𝐴 に関する次の偏微分方程式を得る：
𝜕𝐶

𝜕2 𝐶

𝑉 𝜕𝑧𝐴 = 𝐷𝐴𝐵 𝜕𝑥2𝐴

(6.7-2)微分輸送方程式の応用

72

図 6.7-2 流下する液ジェットに吸収される CO2 ガスの濃度分布

境界条件は次のようになる：
B.C.1 at 𝑧 = 0,
𝐶𝐴 = 0
B.C.2 at 𝑥 = 0,
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0(solubility of CO2 into H2O)
B.C.3 at 𝑥 = ∞,𝐶𝐴 = 0ノズルと液ジェットの受器との間のジェット長さは短い（50 mm のオーダー）ので，CO2は液柱の表面からあまり奥深くまで浸透しないと考える．第３の境界条件は，この問題を一定速度 𝑉 で下方へ流下する無限大の厚みを持つ液ジェットとして取り扱ってもよいことを示している．
ここで濃度と位置に関する無次元変数を定義しよう：𝐶𝑥
𝜙 = 𝐶𝐴𝜂=(6.7-3)⁄𝐴𝑜√4𝐷𝐴𝐵 𝑧 𝑉

合成関数の微分を式(6.7-2)に適用すると，偏微分方程式が次の常微分方程式に簡単化される：
𝜙 ′′ + 2𝜂 𝜙 ′ = 0(6.7-4)
ここでプライム ′ は 𝜂 に関する全微分を示す．
境界条件は次のようになる：
B.C.2
at 𝜂 = 0,
𝜙=1(6.7-5)B.C.1 and 3 at 𝜂 = ∞,𝜙=0
(6.7-6)
もし 𝜙 ′ を 𝜓 とすると，上式は次のようになる：
𝜓′ + 2 𝜂 𝜓 = 0(6.7-7)′−𝜂2
この微分方程式を解いて 𝜓 = 𝜙 = 𝐶1 𝑒
この時点で，𝐶1 を決める適切な境界条件を持っていない．
２回目の積分をすると，2
𝜂
𝜙 = 𝐶1 ∫0 𝑒 −𝜂 𝑑𝜂 + 𝐶2
(6.7-8)第１境界条件より
𝐶2 = 1 でなければならない．
第２の境界条件を適用すると，物質の輸送方程式の応用問題
49

𝐶1 = −

1∞

2∫0 𝑒 −𝜂 𝑑𝜂

= −

73

2
√𝜋

結局，手許の方程式の解は次式によって与えられる：2
𝜂2
𝜙 = 1 − 𝜋 ∫0 𝑒 −𝜂 𝑑𝜂 = 1 − 𝑒𝑟𝑓 𝜂√(6.7-9)すなわち，次式によって濃度分布が得られた：
𝐶𝐴𝑥= 1 − 𝑒𝑟𝑓⁄
𝐶
√4𝐷𝐴𝐵 𝑧 𝑉𝐴𝑜

ここに erf 𝑋 は誤差関数 “error function” と呼ばれるもので，定義式は次式である,
𝑒𝑟𝑓 𝑋 =2𝜉2∫ 𝑒 −𝜉 𝑑𝜉√𝜋 0

濃度分布が一旦、わかると，全吸収速度は計算できる． 𝑧⁄𝑉 は流体粒子がノズルから
軸方向距離 𝑧 まで移動するに要する時間である． A （今は CO2）成分の B（今は H2O）の中への溶解度が低いことと，また x-方向への流れもないので，x-方向の分子拡散は x方向への対流移動よりはるかに大きいと考えられる．
だからジェット表面 (𝑥 = 0) での局所の物質流束は次のように書ける：
𝜕𝐶

𝑁𝐴𝑥 |𝑥=0 = − 𝐷𝐴𝐵 𝜕𝑥𝐴 |

𝑥=0

𝐷

𝑉

(6.7-10)= 𝐶𝐴𝑜 √ 𝜋𝐴𝐵𝑧

それで（液ジェット全表面への）全吸収速度は𝐿

4 𝐷𝐴𝐵 𝑉𝑊 = 𝜋𝐷 ∫0 𝑁𝐴𝑥 |𝑥=0 𝑑𝑧 = 𝜋𝐷𝐿 √

𝜋𝐿

𝐶𝐴𝑜

(6.7-11)

物質移動係数を物質流束と推進力（特性的な濃度差）の比で定義すると
𝑁𝐴𝑥 |𝑥=0 = 𝑘𝐿 (𝐶𝐴𝑜 − 𝐶𝐴∞ )(6.7-12)
この場合，𝑘𝐿 は界面の液側の平均物質移動係数である．液相内の CO2 濃度はジェットの表面（界面）から内部へある深さ入った位置において近似的にゼロとなる．
その深さ 𝛿 は物質移動に対する抵抗が働いている液濃度境膜の厚さ（浸透厚さ）と呼ばれる．
すなわち at 𝑥 = 𝛿
𝐶𝐴∞ = 0 である．
したがって，式(6.7-12) は次のようになる：
𝑁𝐴𝑥 |𝑥=0 = 𝑘𝐿 𝐶𝐴𝑜(6.7-13)
この式を式(6.7-11) と比較すると，4 𝐷𝐴𝐵 𝑉𝑘𝐿 = √

𝜋𝐿(6.7-14)

ここで 𝐿⁄𝑉 は接触時間 𝑡𝑐 に対応している．
多くの工業的な気液接触装置は小さい接触時間で操作されている．この応用問題のように，界面から流体本体への拡散は輸送プロセスとして進行する．上の例はヒグビーの浸透説（Higbie’s penetration theory 1) ）を理解するために学んだ．すなわち，浸透説では物質移動係数が拡散係数を接触時間で除して平方根を採ったものに比例することを示している．
この例題の実験装置のシステムは，CO2 の H2O への拡散係数の測定のためによく使われるものである．
1. Higbie, R., Trans. A.I.Ch.E., 31, 365 (1935)[ 例 題 6.7-E1]
上の問題のガス吸収システム（図 6.7-1） を使って，分子拡散係数をいかに求めるかを学ぼう．吸収速度 𝑊 は，吸収されて減少した CO2 分を一定圧力に保つように容器（吸収装置）に補給する量から求められる．円柱状の水ジェットの表面積 𝜋𝐷𝐿 と接触時間

微分輸送方程式の応用

74

𝑡𝑐 = 𝐿⁄𝑉 はジェットの長さ，直径，と水の流量の計測値から直接，計算する．
したがって，次の式から分子拡散係数を決定できる：
𝜋𝐿

2

𝑤

𝐷𝐴𝐵 = 4𝑉 (𝜋𝐷𝐿 𝐶 )𝐴𝑜(6.7-E1)

この場合，気相は CO2 のみと考えられるので，濃度分布はなく，気相の物質移動に対する抵抗はない．

二重境膜理論 < Two film theory >液相を取り巻く周囲の気相には液相に溶解しない不活性ガス（例えば，N2, 空気など）が含まれている場合，界面の気相側に新たな物質移動抵抗が生じる．気相側にも濃度勾配が形成される．
図 6.7-3 のように，気液界面近傍に形成される濃度分布に対して気液両相の物質移動係数を論じなければならない．図のように，気相側，液相側ともに気液界面近傍で濃度分布に強い勾配ができている．この勾配が強い部分に物質移動抵抗が集中する．この領域を境膜と呼んでいる．
この場合，溶質は気相から液相へと物質移動する時，気相・液相の抵抗が直列に並んでいる中を通過して一定速度 𝑁𝐴 で輸送されなければならない．
気相，液相，それぞれに物質移動係数を定義することになる：
𝑁𝐴 = 𝑘𝐺 (𝑦𝐴𝑏 − 𝑦𝐴𝑖 ) = 𝑘𝐿 (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴𝑏 )(6.7-E2)
ここに 𝑦𝐴 と 𝐶𝐴 は気相の溶質 A のモル分率，液相の溶質 A のモル濃度である．
界面では平衡状態であると仮定すると
𝑦𝐴𝑖 = 𝐻 𝐶𝐴𝑖(6.7-E3)
この式はヘンリーの法則（Henry’s law）として知られている．

図 6.7-3 気液界面における物質移動抵抗，濃度分布，物質移動係数

実際のプロセス設計のために，輸送速度（物質流束）を次式のように流体本体の濃度と総括の物質移動係数の項で表しておくと便利である．
総括物質移動係数の定義は
𝑁𝐴 = 𝐾𝐺 (𝑦𝐴𝑏 − 𝐻𝐶𝐴𝑏 ) = 𝐾𝐿 (𝑦𝐴𝑏 ⁄𝐻 − 𝐶𝐴𝑏 )(6.7-E4)

物質の輸送方程式の応用問題
4975であるが，総括の推進力（気相本体濃度と液相本体濃度の引き算）を使わねばならない．
次のような推進力を入れた定義式は濃度の引き算が正しくない： 𝑁𝐴 = 𝐾𝐺 (𝑦𝐴𝑏 − 𝐶𝐴𝑏 )なぜならば，液相濃度 𝐶𝐴 と気相濃度 𝑦𝐴 は濃度単位の基準が異なるからである．推進力
として濃度差を用いる場合，同じ単位系で差をとるために，ヘンリー定数 （Henry’s constant）
を使うことができる．すなわち，𝐻𝐶𝐴𝑏 は，液本体濃度 𝐶𝐴𝑏 を気相の単位に換算するため∗に，ヘンリー定数を使って，𝐶𝐴𝑏 と仮に平衡である（仮想的な）気相濃度 𝑦𝐴𝑏= 𝐻𝐶𝐴𝑏 と∗するのである．同様に，𝑦𝐴𝑏 ⁄𝐻 が，気相本体濃度 𝑦𝐴𝑏 と平衡な（仮想的な）液相濃度 𝐶𝐴𝑏とするのである．
これらの式(6.7-E2)，式(6.7-E4)を統合すると，次の電気のオームの法則とよく似た流束の式が得られる：∗𝑦𝐴𝑏 − 𝐻𝐶𝐴𝑏
𝑦𝐴𝑏 − 𝑦𝐴𝑖
𝐻𝐶𝐴𝑖 − 𝐻𝐶𝐴𝑏
𝑦𝐴𝑖 − 𝑦𝐴𝑏
𝑁𝐴 =
=
=
=
𝐻
𝐻
1
1
𝑘𝐿
𝑘𝐿
𝐾𝐺
𝑘𝐺
例えば，気相基準の総括物質移動係数 1⁄𝐾𝐺 について解いて：𝑁𝐴 =∗𝑦𝐴𝑏 − 𝑦𝐴𝑏
1
𝐾𝐺=

𝑦𝐴𝑏 − 𝑦𝐴𝑖
1
𝑘𝐺

=

∗
𝑦𝐴𝑖 − 𝑦𝐴𝑏
𝐻
𝑘𝐿

=

∗
𝑦𝐴𝑏 − 𝑦𝐴𝑏
1
𝐻
+
𝑘𝐺 𝑘𝐿

(6.7-E5)

すなわち
1
𝐾𝐺

1

𝐻

𝐺

𝐿

=𝑘 + 𝑘

(6.7-E6)

この式は，総括の物質移動抵抗が直列に並ぶ気相，液相の抵抗の和であることを言っている．同様に，
1
1
1=+(6.7-E7)
𝐾
𝐻𝑘
𝑘
𝐿

𝐺

𝐿

これら二つに式は全く同じ意味のことを言っているのであって、どちらを使ってもよい．
この二重境膜理論は本書の輸送問題の重要な基礎理論であり，後の章でよく習う．ここの例題で本質を理解するきっかけを得られれば幸いである．
[ 問 題 6.7-P1] 純粋な水の中での CO2 ガスの拡散係数を流下する液ジェットの方法を使って測定したい．装置本体容器内には脱気した純粋な水のジェットが流下し，その周りを取り囲むように純粋な CO2 ガスが入っていて，全体が圧力 𝑝 = 1 𝑎𝑡𝑚 (1.013 ×
105 𝑃𝑎) ，温度 20℃ 一定に保たれている．ロタメーターで計測した純粋の水の供給流量
は1.5 𝑚𝑙 ⁄𝑠 である．水ジェットの直径，長さはそれぞれ 1.2 mm, 40 mm である．またガ
スビュレットで測定した CO2 の吸収速度は 0.038 𝑚𝑙 ⁄𝑠 である．
CO2-H2O 系のヘンリーの法則は 𝑝 = 𝐻 𝐶𝐴 であり，ヘンリー定数は20℃ において𝐻 = 25.5 (atm m3 ⁄kmol) である．
(1) 20℃における H2O 中の CO2 の拡散係数を求めよ．
(2) 𝐶𝐴 の値が 0.01 𝐶𝐴𝑜 になる位置の液表面からの x-方向の距離を浸透厚さ（penetration
thickness） 𝛿 と定義しよう．前述のように，浸透厚さは次の関数となる：
𝛿 = 4 √𝐷𝐴𝐵 𝑧⁄𝑉
液ジェットのレシーバーの位置（水ジェットの最下端）における浸透厚さを評価せよ．
[Answer: 𝐷𝐴𝐵 = 1.7 × 10-9 m2/s,

𝛿 = 2.86 × 10-2 mm]微分輸送方程式の応用

76
記

号

𝐶𝐴
𝐶𝑝
𝐷
𝐷𝐴𝐵
𝑓
𝑔
𝐻
ℎ
𝐾𝐺
𝑘𝐺
𝐾𝐿
𝑘𝐿
𝐿
𝑁𝐴
𝑁𝑢
𝑃𝑟
𝑝
𝑄
𝑞𝑤
𝑅
𝑅𝑖 , 𝑅𝑜𝑅𝑒𝑟, 𝜃, 𝑧
𝑆𝑡
𝑇
𝑇𝑎
𝑇𝑞
𝑉
𝑣𝑟 , 𝑣𝜃 , 𝑣𝑧
𝑊
𝛼
𝛿
𝜅
𝜇
𝜌
𝜏𝑟𝑧
𝜏0
𝜔

表
成分 A の質量濃度, [kg/m3]
熱容量, [J/kg K]
パイプの内径, [m]拡散係数, [m2/s]
流体摩擦係数, [ - ]重力の加速度, [m/s2]
ヘンリー定数, [m3/kmol]
伝熱係数, [W/m2K]
気相濃度基準の総括物質移動係数, [kmol/m2s]
気相物質移動係数, [kmol/m2s]
液相濃度基準の総括物質移動係数, [m/s]
液相物質移動係数, [m/s]
パイプの長さ または 液ジェットの長さ, [m]成分 A の物質流束, [kg/m2s] or [kmol/m2s]
ヌッセルト数, [ - ]プラントル数, [ - ]圧力, [Pa]
体積流量, [m3/s] または 熱損失, [J/s]
壁面熱流束, [W/m2]
パイプ半径, [m]
二重円筒の内側円筒と外側円筒の半径, [m]レイノルズ数, [ - ]円柱座標系, [m, - , m]
スタントン数, [ - ]温度, [K]
テイラー数, [ - ]トルク, [N m]
流下する液ジェットの流速, [m/s]円柱座標系における速度成分, [m/s]全吸収速度, [kg/s]
熱の拡散係数, [m2/s]
浸透厚さ, [m]熱伝導度, [W/m K]
粘度, [kg/m s]
密度, [kg/m3]
管内流の r の位置におけるせん断応力, [N/m2]
降伏応力, [N/m2]
角速度, [1/s]Brackets〈 〉断面平均
Subscripts
m
本体
w
壁

または

混合平均

第７章
異相間運動量移動
7.1 乱流の性質
層流においては，全ての流線は滑らかな曲線か直線の形状を呈している．特に定常層流においては，これら流線は動かず静止している．しかしながら，乱流においては，全ての流線はあらゆる方向に不規則に振動している．
しかし，連続の式と運動方程式は乱流にも適用できることは確かである．つまり，瞬間の速度，圧力は不規則に振動する関数であるので，いかに簡単な乱流問題でも未だ厳密には解けていない．したがって，工学への適用のためには，また別の方法が必要であった．
そこで，例として円管内の定常乱流について考えよう．
流れ場のある固定点に我々は立って，その位置における速度と圧力を観測しているとしよう．瞬間の速度 𝑣𝑧 と圧力 𝑝 は，これらの有限の時間平均値の周りを不規則に変動しているが，一方，この速度とは垂直な成分 𝑣𝑟 と 𝑣𝜃 はゼロの時間平均値の周りで変動している．そのオッシログラムは図 7.1-1 のような感じである．.

図 7.1-1. 円管内乱流の場合の変動する速度と圧力のオッシログラム

速度，圧力の時間平均値は次のように定義される：
𝑡+𝑡1𝑣̅𝑧 = 𝑡 ∫𝑡 0 𝑣𝑧 𝑑𝑡
0

𝑝̅ =

𝑡+𝑡0
𝑝 𝑑𝑡
∫
𝑡
𝑡0
1

(7.1-1)(7.1-2)

これらはある任意の時間 𝑡 から 𝑡 + 𝑡0 までのある時間間隔 𝑡0 の間で計測された瞬間の速度と圧力を上の式のように時間平均したものである．時間間隔は実際の変動の周期に比異相間運動量移動

78

して十分に大きいものであるべきである．
そこで，各瞬間の速度，圧力を次のように時間平均値と変動値に分けて考える：𝑣𝑧 (𝑟, 𝜃, 𝑧, 𝑡) = 𝑣̅𝑧 (𝑟, 𝜃, 𝑧) + 𝑣𝑧′ (𝑟, 𝜃, 𝑧, 𝑡)(7.1-3)𝑝(𝑟, 𝜃, 𝑧, 𝑡) = 𝑝̅ (𝑟, 𝜃, 𝑧) + 𝑝′(𝑟, 𝜃, 𝑧, 𝑡)(7.1-4)円管内の定常乱流の場合は時間平均値は一定である：
𝑣̅𝑧 = 𝑣̅𝑧 (𝑟, 𝑧) and 𝑝̅ = 𝑝̅ (r, z)
定義式(7.1-1) により
1 𝑡+𝑡0 ′∫𝑣̅𝑧′ =
𝑣𝑧 𝑑𝑡 = 0𝑡0 𝑡
̅ = 0 𝑣̅𝑟 = ̅̅̅
同様に， 𝑝′𝑣𝜃 = 0 𝑣̅𝑟′ = ̅̅̅𝑣𝜃′ = 0
瞬間の速度の中の変動分 𝑣𝑟′ , 𝑣𝜃′ , 𝑣𝑧′ は不規則にプラス・マイナスに振動するので，三角関数の時間平均値がゼロであることと同様にゼロになるのである．
2
2
2
しかし，２乗すれば全てプラスになるので，𝑣𝑟′ , 𝑣𝜃′ , 𝑣𝑧′ は常にプラスである．その中でも流れ方向成分である ̅̅̅̅𝑣𝑧′ 2 を使って，乱流の強さの尺度を定義している．
すなわち，乱流強度は下式のように定義する：
𝑇𝑢 =

̅̅̅̅̅
′2
√𝑣
𝑧

(7.1-5)̅̅̅𝑣𝑧

この乱流強度は管内乱流のような典型的な乱流では通常，0.01 から 0.10 程度の値をとる．
乱流速度の多くの計測法がある中で，熱線風速計が簡便で最も満足できる方法である．
流速を検出するセンサー部分は非常に細いかつ短い金属線（例えば，空気流の場合，直径5 𝜇𝑚, 長さ約 5 mm 程度の白金線）でできている．この白金線が計測する周囲流体流れの温度より一定温度分高くなるように制御されて，電流により加熱維持される．
この熱線を測定しようとする速度に垂直に設置しなければならない．
電気により発熱している熱線から周囲流体への放熱量（熱損失量）は普通の流れ条件では流速の平方根 √𝑣 に比例することがわかっている．またこの金属線は非常に細くて熱容量が小さいので，熱線の温度は早い速度変動にも追従できる．つまり高い周波数の振動にも追従できるのである．放熱による熱損失速度が電気的なジュール加熱により生じる熱発生
速度 𝐼 2 𝑅 に等しい．ここに 𝐼 は電流であり，𝑅 は熱線の電気抵抗である． 最新の方法（定抵抗法あるいは定温度法）では，熱線の電気抵抗をフィードバック制御法によりできるだ
け一定になるようにしており，風速変化に応じて電気抵抗に変化が起きようとすると，すぐにフィードバック回路により電流で補償して，補償電流で計測している． 熱線に接近す
る風速の変化に対する応答時間は 0.1 ms より小さいオーダーである．
それで，放熱とジュール熱発生との間の 𝐼 2 と 𝑣 との関係を使う：
𝐼 2 𝑅 = 𝛼 + 𝛽 √𝑣
(7.1-6)
ここに，係数 𝛼 と 𝛽 は通常，実験によって求められている．時間平均値と変動値
𝐼 = 𝐼 ̅ + 𝐼 ′ と 𝑣 = 𝑣̅ + 𝑣 ′ を上式に代入して，電流変動 𝐼 ′ と速度変動 𝑣 ′ の間の近似的な関係式を得る：(𝐼 ̅ + 𝐼 ′ )2 𝑅 = 𝛼 + 𝛽 √𝑣̅ + 𝑣 ′時間平均速度は次式によって与えられる：𝐼 2̅ 𝑅 = 𝛼 + 𝛽 √𝑣̅
(7,1-7)′′
̅
第一近似として 𝑣 ≪ 𝑣̅ , i.e. 𝐼 ≪ 𝐼 の場合，𝛽√𝑣̅𝐼 ′ = 4 𝐼𝑅̅ 𝑣̅ 𝑣 ′(7.1-8)′

上式により変動速度 𝑣 を測定することができる．
定温度法の熱戦風速計の簡単なブロックダイアグラムの図を下に示しておく．

乱流の性質49

79[ 問 題 7.1-1] 模擬的ではあるが，ある位置の乱流速度の成分が次式のような周期振動の式で表されると仮定する：
𝑣𝑧 = 𝑎 + ∑∞(𝑎, 𝑏1 , − − −−, 𝑏𝑛 , − − −∶ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡)(7.1-P1)
𝑛=1 𝑏𝑛 cos 2𝜋𝑛 𝑡
時間平均速度と乱流強度を計算せよ．

（解） 𝑣̅𝑧 = 𝑎,

𝑇𝑢 =

̅̅̅̅̅
′2
√𝑣
𝑧
̅̅̅
𝑣𝑧

=

1
√2 𝑎

2
√∑∞
𝑛=1 𝑏𝑛

図 7.1-2 定温度法の熱線風速計のブロックダイアグラム

図 7.1-3 矩形断面のチャンネル内の速度変動の横断方向の分布

図 7.1-3 に示すように，矩形断面のチャンネル内の乱流強度の分布は管壁近傍で最大値を持つ．このことは乱れが管壁近くの速度勾配の不安定性により発生し，管中心と管壁の両方向に拡散することを教えている．流れ方向，すなわち z-方向の速度変動の方が，それと垂直な x-方向の速度変動より大きい．壁近傍では，分子的な運動量輸送が重要になって来るが乱流変動は非常に小さくなる．円管内乱流も同じような傾向になる．
我々は通常，管内乱流を三つの領域. (three-layer concept) に分けて考える．

異相間運動量移動80

管壁に一番近い第１領域を粘性底層（viscous sublayer）と呼んでいる，この領域では,流れを表現するのに，ニュートンの先生の法則が適用される．ここでは分子的な輸送が支配的だから，異相間運動量輸送に対する主たる抵抗を呈する．第２領域は，緩衝層（buffer zone）
あるいは遷移層（transition zone）と呼び，ここでは，層流効果と乱流効果が同程度で働いている．第３領域は，充分発達した乱流領域あるいは乱流本体（turbulent core）と呼んでおり，ここでは粘性効果は無視できるほど小さい．

[ 問

題 7.1-2]（解） 𝑇𝑢 =熱線風速計を使用して，いかに乱流強度を測定するか．求める式を導け．

̅̅̅̅̅
2
√𝑣′
𝑣̅

=

̅̅̅̅
2
4 𝐼 ̅ 𝑅√𝐼′
𝐼 ̅ 𝑅− 𝛼7.2 管内流の流体摩擦係数と圧力降下
工学的に重要なほとんどの輸送の問題は乱流領域で起きる．
そこで，円管内の乱流における運動量輸送について考えてみよう．
図 7.2-1 は十分発達領域における時間平均の速度分布を示している．前述のように，流れ領域を三つの領域に分けることができる：(1) 乱流本体，(2) 緩衝領域，(3) 粘性底層

図 7.2-1 管内乱流流れ場の三つの領域の時間平均の速度分布

乱流本体（turbulent core）では，速度勾配は非常に小さく，渦運動（eddy motion）により運動量は非常に速く輸送されている．しかしながら，壁近傍になると，渦運動は粘性効果により強く抑制される．特に，粘性底層では，運動量輸送はもっぱら分子拡散によって輸送される．だから運動量輸送に対する主たる抵抗は壁近傍の非常に薄い層（境界層）に存在し，ここで（速度勾配がきつい）速度変化の大半が起きる．
そこで，管壁における運動量流束（すなわち せん断応力） は m ニュートンの粘性の法則で与えられる：
𝜏𝑤 = −𝜇

̅̅̅𝑧
𝜕𝑣

|

𝜕𝑟 𝑟=𝑅

(7.2-1)

壁近傍での速度分布は次式で近似される：̅̅̅𝜕𝑣− 𝜕𝑟𝑧 |

𝑟=𝑅

=

〈𝑣
̅̅̅〉
𝑧
𝛿

(7.2-2)

管内流の流体摩擦係数と圧力降下
49

81

ここで 𝛿 は仮想的な粘性境膜の厚さである．
式(7.2-1) は次のように書き変えられる：𝜏𝑤 = 𝜇

〈𝑣
̅̅̅〉
𝑧
𝛿

(7.2-3)境膜厚さは流れの条件，流体の性質，流れ系の幾何学的形状などの複雑な関数である．
管内流の場合，圧力降下のデータが通常ほしいので，そのデータの相関は流体摩擦係数の項で与えられている．この摩擦係数は「作用する力の大きさ 𝐹 が動的頭（動圧）あるい
は代表的な運動のエネルギー 𝐾 に比例する」とすることによって定義される：
𝐹=𝑓𝐾𝐴(7.2-4)
ある与えられた幾何学的形状の場合，摩擦係数 𝑓 はレイノルズ数 𝑅𝑒 のみの関数であるから，式(7.2-4) は非常に有利な定義式である．すなわち
𝑓 = 𝑓(𝑅𝑒)(7.2-5)円管内流の場合， 𝐴 は濡れ表面積（流体が触れている管内則面積面）2𝜋𝑅 𝐿 であり, 𝐾 は平均速度に基づいた運動のエネルギー (1⁄2)𝜌〈𝑣̅𝑧 〉2 で与えられる． 管内壁に働く力 𝐹′ は𝐹 ′ = 2𝜋𝑅 𝐿 𝜏𝑤 . したがって
1𝜏𝑤 = 𝑓 2 𝜌〈𝑣̅𝑧 〉2(7.2-6)この式は管内流の壁面せん断応力が運動のエネルギーに比例することを示している．
この式を境膜厚さ 𝛿 に関する式(7.2-3) と結び付けて
〈𝑣
̅̅̅〉
1
𝜇 𝑧 = 𝑓 𝜌〈𝑣̅𝑧 〉2(7.2-7)
𝛿

2

結局この式から
𝛿𝐷

2

1= 𝑅𝑒 𝑓(𝑅𝑒)(7.2-8)

この式は無次元の境膜厚さがレイノルズ数のみの関数になることを教えている．

図 7.2-2

傾斜した円管内部の流れの力の釣り合い

図の 𝑧 = 0 と z = 𝐿 との間の流れる流体の流れ方向の力の釣り合いを十分発達領域でとると2𝜋𝑅 𝐿 𝜏𝑤 = (𝑃0 − 𝑃𝐿 ) 𝜋 𝑅2
(7.2-9)摩擦係数 𝑓 の定義式を代入すると
𝐿 1
𝑃0 − 𝑃𝐿 = 4 𝑓 𝐷 2 𝜌〈𝑣̅𝑧 〉2(7.2-10)
この式がよく知られたファニングの摩擦係数の定義式である．
もし円管が水平に置かれている場合は𝐿 1
𝑝0 − 𝑝𝐿 = 4 𝑓 𝐷 2 𝜌〈𝑣̅𝑧 〉2(7.2-11)

一旦 𝑓 と 𝑅𝑒 の関係が得られたならば，容易に圧力降下を計算できることになる．

異相間運動量移動82[ 例

題 7.2-1]

図 7.2-E1 半径 r の円柱状の流体要素における力の釣り合い

図 7.2-E1 に示すように，十分発達領域にある 長さ 𝐿 ，半径 𝑟 の円柱状の流体要素に対する力の釣り合いをとって見ると(𝑃0 − 𝑃𝐿 ) 𝜋 𝑟 2 = 𝜏𝑟𝑧 2𝜋𝑟 𝐿(7.2-E1)
ここで 𝜏𝑟𝑧 は半径 𝑟 の円柱面に働く分子的輸送寄与と乱流的輸送寄与の合計で表した全
見かけのせん断応力である．そこで上式を壁面におけるせん断応力 𝜏𝑤 で割って，次の式
を得る：
𝜏𝑟𝑧
𝑟
= 𝑅
(7.2-E2)
𝜏𝑤

充分発達領域においては，層流，乱流に関わらず，全見かけのせん断応力は管軸でゼロで管壁で最大値となる直線的な分布になることが示された．
流体摩擦係数は次式を使って実験により測定することができる：

𝑓=

1 𝐷 𝑃0 − 𝑃𝐿
4 𝐿

(7.2-E3)

1
2
̅̅̅〉
𝜌〈𝑣
𝑧
2

7.3 管内流の摩擦係数の次元解析
次に運動方程式に次元解析を適用して，摩擦係数がどのようなものか，その意義について考えてみよう．壁面近傍の粘性底層のみを考えるので，運動量輸送に対する乱流の寄与を無視することにする．
層流，乱流に関わらず，粘性底層では次の方程式が使える：
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝑣 𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑝

1𝜕

𝜕𝑣

1 𝜕2 𝑣

𝜕2 𝑣

𝜌 ( 𝜕𝑡𝑧 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟𝑧 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃𝑧 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑧 ) = − 𝜕𝑧 + 𝜇 [𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟𝑧 ) + 𝑟 2 𝜕𝜃2𝑧 + 𝜕𝑧 2𝑧 ] + 𝜌 𝑔𝑧 (7.3-1)
この方程式を次の条件で解いて行く：̅̅̅𝜕𝑣
𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 𝑣𝑧 = 0 そして 𝜏𝑤 = 𝜏𝑟𝑧 |𝑟=𝑅 = −𝜇 𝑧 |𝜕𝑟 𝑟=𝑅at 𝑟 = 𝑅

次の圧力降下の条件も入れる：𝜕𝑝− 𝜕𝑧 + 𝜌𝑔𝑧 =𝑃0 − 𝑃𝐿𝐿(7.3-2)

次に全変数を次の無次元変数に変換する：
𝑟 = 𝑟⁄𝐷, 𝑧 ∗ = 𝑧⁄𝐷, 𝑣𝑟∗ = 𝑣𝑟 ⁄〈𝑣̅𝑧 〉, 𝑣𝜃∗ = 𝑣𝜃 ⁄〈𝑣̅𝑧 〉, 𝑣𝑧∗ = 𝑣𝑧 ⁄〈𝑣̅𝑧 〉, 𝑝∗ = (𝑃0 − 𝑃𝐿 )⁄ 𝜌〈𝑣̅𝑧 〉2∗(7.3-3)摩擦係数の定義式によると
1
𝜏𝑤 = 𝑓 𝜌〈𝑣̅𝑧 〉22(7.3-4)

管内流の摩擦係数の次元解析
49

83

したがって摩擦係数は次の形を持つことになる：

𝑓= 1
2

𝜏𝑤

=
2

̅̅̅̅
𝜕𝑣
𝑧|
𝜕𝑟 𝑟=𝑅
1
2
̅̅̅〉
𝜌〈𝑣
𝑧
2

−𝜇

̅̅̅〉
𝜌〈𝑣
𝑧

=-

2

𝜕𝑣𝑧∗

|

(7.3-5)𝑅𝑒 𝜕𝑟 ∗ 𝑟 ∗ =1⁄2

定常状態では，上式は次のように無次元化される：
𝜕𝑣 ∗𝑣 ∗ 𝜕𝑣 ∗

𝜕𝑣 ∗

𝜕𝑝∗

1

1 𝜕

𝜕𝑣 ∗

1 𝜕2 𝑣∗

𝜕2 𝑣∗

𝑣𝑟∗ 𝜕𝑟𝑧∗ + 𝑟𝜃∗ 𝜕𝜃𝑧 + 𝑣𝑧∗ 𝜕𝑧𝑧∗ = − 𝜕𝑧 ∗ + 𝑅𝑒 [𝑟 ∗ 𝜕𝑟 ∗ (𝑟 ∗ 𝜕𝑟𝑧 ) + 𝑟 ∗ 2 𝜕𝜃2𝑧 + 𝜕𝑧 ∗ 2𝑧](7.3-6)
このような次元解析で，レイノルズ数 𝑅𝑒 = 𝐷 〈𝑣̅𝑧 〉 𝜌/𝜇 が自動的に出現したことから，レイノルズ数の物理学的意義が理解できよう．
この方程式は解析的に解くことは困難である．しかし，その解が次のような関数形になることは推定できる：
𝑣𝑟∗ = 𝑣𝑟∗(𝑟 ∗ , 𝜃, 𝑧 ∗ , 𝑅𝑒), 𝑣𝜃∗ = 𝑣𝜃∗ (𝑟 ∗ , 𝜃, 𝑧 ∗ , 𝑅𝑒), 𝑣𝑧∗ = 𝑣𝑧∗ (𝑟 ∗ , 𝜃, 𝑧 ∗ , 𝑅𝑒)(7.3-7)充分に発達した領域の軸対称な速度場であると仮定できるから
𝜕𝑣𝑧∗= 0 そして
𝜕𝑧 ∗

𝜕𝑣𝑧∗
𝜕𝜃

=0

したがって解くべき速度成分はつぎのような簡単な関数形になると考えられる：𝑣𝑧∗ = 𝑣𝑧∗(𝑟 ∗ , 𝑅𝑒)(7.3-8)𝜕𝑣 ∗管壁での速度勾配 𝜕𝑟𝑧∗ | ∗𝑟 =1⁄2は 𝑅𝑒 のみの関数である．だから摩擦係数は十分発達領域では 𝑅𝑒 のみの関数であることがわかった：
𝑓 = 𝑓 (𝑅𝑒)(7.3-9)〈〉
この結果，摩擦係数 𝑓 が，それぞれの変数 𝐷, 𝑣̅𝑧 , 𝜌, 𝜇 個々にどのような関数形になるかを求めるよりも，𝑅𝑒 のみに対して単一の相関線にプロットした方が，ずっと便利であることがわかった．
図 7.3-1 は円管内流の場合の摩擦係数の経験的な 𝑓 対 𝑅𝑒 の相関曲線を与えている．

図 7.3-1 平滑円管内流れの摩擦係数

異相間運動量移動84

層流の場合，摩擦係数はハーゲン・ポアズィユの法則（Hagen-Poiseuille law）より理論により導出でき，次のようになる：
16
𝑓 = 𝑅𝑒(7.3-10)
水力学的に平滑な円管の場合の乱流の相関曲線は，次式によって 𝑅𝑒 = 2.1 × 103 から
5 × 106 までのカーブ・フィッティングができる：
1= 4.0 𝑙𝑜𝑔10 (𝑅𝑒 √𝑓 ) − 0.40
(7.3-11)√𝑓

同様に，次の式も得られ，適用範囲は 2.1 × 103 < 𝑅𝑒 < 5 × 105

である．

0.0791

𝑓 = 𝑅𝑒 1⁄4(7.3-12)

この式はブラジウスの式と呼ばれている．
もしもパイプが平滑でない場合，特に乱流の場合は，望む流量を達成するために要求される圧力降下は，平滑管で予想される値よりもかなり大きな値となる．粗面管の摩擦係数はレイノルズ数のみでなく相対粗度 𝜖 ⁄𝐷 と呼ばれる突起の大きさも関数に入ってくる．ここに 𝜖 は管壁面から飛び出した突起の高さである．
もしも粗面要素（突起）の高さ 𝜖 が小さくて，粘性底層を超えないならば，乱流の場合でも粗面の影響は小さいと考えられる．このような条件は「水力学的に平滑」“hydraulicallysmooth.” と言われている．突起が緩衝領域にまで及ぶ場合は，突起部に流体が衝突することによる形状抗力 (Form drag) が加わるので，流動抵抗したがって圧力降下は増加する．
[ 問 題 7.3-1] ガソリン (𝜇 = 0.4 𝑐𝑃, 𝜌 = 710 𝑘𝑔⁄𝑚3 ) を平滑な直管(400 mmID, 長さ
𝐿 = 10 𝑘𝑚) に通して流量 10 m3 /min で製油所から空港まで輸送したい．ポンプの効率70% としてポンプの所要動力を計算せよ．もしも相対粗度 𝜖 ⁄𝐷 = 0.001 のパイプを使用したならば，ポンプの所要動力は何%アップするか．
[ 問 題 7.3-2] 内径 50 mmID の円管を用いて 20℃ の水を流量 0.15 m3 /min で輸送
したい．その時の 式(7.2-8)で定義される粘性境膜の厚さを計算せよ．

7.4 力学的エネルギーの損失
7.4-1 管内おける力学的エネルギー損失
図 7.4-1 に示すように，傾斜した円管の参照面 1 と 2 の間の長さ 𝐿 の領域に対して巨
視的運動量収支をとると，− 𝐹 = 𝑤1 〈⃗⃗⃗⃗𝑣1 〉 − 𝑤2 〈⃗⃗⃗⃗𝑣2 〉 − 𝑝1 ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 S− 𝑝2 ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 S + ρV𝑔(7.4-1)(𝑃1 − 𝑃2 )𝑆 = (𝑝1 − 𝑝2 )𝑆 + 𝜌𝑉𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝐹 = 𝜋𝐷𝐿 𝜏𝑤 , 〈⃗⃗⃗⃗𝑣1 〉 = 〈⃗⃗⃗⃗𝑣2 〉,ここに 𝑃 = 𝑝 − 𝜌𝑔𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜃 は重力の影響も入れた有効圧力である．
このような条件により運動量収支式は次のように簡単になる：
𝐹 = 𝜋𝐷𝐿 𝜏𝑤 = (𝑃1 − 𝑃2 )𝑆(7.4-2)次に，同じ管内領域での巨視的力学的エネルギー収支をとると∆𝑃1+ ∆ 2 〈𝑣 〉2 = −𝐹𝑟𝑚 − 𝑊𝑚
(7.4-3)𝜌
この場合は管内径は変わらず，領域内にポンプなどもないから
𝑃1 − 𝑃2= 𝐹𝑟𝑚
𝜌𝑊𝑚 = 0,〈𝑣1 〉 = 〈𝑣2 〉(7.4-4)

力学的エネルギーの損失
4985

図 7.4-1 傾斜した円管長さ L の領域での乱流における巨視的運動量収支式(7.2-26) を式(7.2-24)と対比すると𝐹 = 𝜌 𝐹𝑟𝑚 𝑆
摩擦係数の定義から
1
F = f 2 𝜌〈𝑣 〉2𝜋𝐷𝐿(7.4-5)(7.4-6)

最終的に次の式が得られる：
𝐿 1
〈𝑣 〉2
𝐹𝑟𝑚 = 4𝑓

(7.4-7)

𝐷 2

これが円管内乱流の場合の摩擦係数の定義式である．
一旦，摩擦係数がレイノルズ数の関数として与えられたならば，その式から，長さ 𝐿 の直管における力学的エネルギーの損失（摩擦損失）が計算できる．
一般的な流れ系は一定の管内径とは限らないし、また力学的エネルギー損失を引き起こ
すバルブ，エルボ，その他いろいろな管附属物が管路に存在することが多い．大抵の計算では，管路の附属物やバルブによる損失は「相当長さのモデル」を用いて考慮される．このモデルは高レイノルズ数域において成り立つものであり，相当長さ 𝐿𝑒𝑞 は「管附属物やバルブがもたらす力学的エネルギー損失と同じ値を，同じ流量条件で直管が示すであろう
直管の長さ」と定義されている．
標準的なサイズの管附属物による相当長さは次式として与えられる：
𝐿𝑒𝑞 1
〈𝑣 〉2
𝐹𝑟𝑚 = 4𝑓
(7.4-8)𝐷 2

最終的には，等温の乱流の管路の場合の力学的エネルギー損失を有用な式を得ることができた（一般化された修正ベルヌーイ式と呼ばれている）：
𝐿
𝑝 𝑑𝑝
1
𝐿 1
1
〈𝑣 〉2 ) + ∑𝑗 (4𝑓 𝑒𝑞 〈𝑣 〉2) = 0∆ 〈𝑣 〉2 + 𝑔∆ℎ + ∫𝑝 2 + 𝑊𝑚 + ∑𝑖 (4𝑓(7.4-9)
2

1

𝜌

𝐷 2

𝑖

𝐷 2

𝑗

左辺第５項は直管部分の損失を，第６項がバルブその他の管附属物による損失を与えてい
る．
7.4-2 管附属物による力学的エネルギー損失 1,2)
バルブや管路の断面の拡大，縮小部，その他の附属物などの力学的エネルギー損失を求めるために，次の摩擦損失係数のモデルもまたよく使われている：
1
𝐹𝑟𝑚 = 𝜍 2 〈𝑣 〉2(7.4-10)ここに 𝜍 は摩擦損失係数であり，無次元である．このモデルは図 7.3-1 にあるように，粗面管の摩擦係数が乱流域で，ほぼ一定になる事実に準拠してできたものである．つまりバルブなどの内部の大きな流路断面の変化も粗面管の突起と同じような作用としていると考えているのである．

異相間運動量移動

86

摩擦損失係数の式を挙げると(1) 流路断面の急激な拡大（内径が 𝐷1 から𝐷2 に拡大）：
1

𝐹𝑟𝑚 = 2 〈𝑣

〉2

2
𝐷1 2

(1 − ( ) )𝐷(7.4-11)2

ここに 〈𝑣 〉 は上流側の平均速度， 𝐷1 には上流側の管径を， 𝐷2 には下流側の管径を用いる．
(2) 流路断面のタンクのような非常に大きな領域への拡大：
1
𝐹𝑟𝑚 = 2 〈𝑣 〉2(7.4-12)
この式は(𝐷2 ⁄𝐷1 → ∞)の場合，摩擦損失係数が 𝜍 = 1 になることを示している．
摩擦損失係数および相当長さの値の典型的な例について以下に列挙しておく．
(1) シャープなエッジの入口への急激な縮小（タンクから管路への入口部など）

𝐴2⁄𝐴1
𝜍

0
0.5

0.2
0.45

0.4
0.36

0.6
0.21

0.8
0.07

1.0
0

(2) 内径 D のパイプへ丸く変化する入口部（15% 以上の曲率半径）の断面縮小
𝐹𝑟𝑚 = 𝜍

1
〈𝑣 〉2
2 2

𝜍 = 0.04(3) シャープなエッジの出口における急激な断面拡大（パイプからタンクへ流入など）
𝐹𝑟𝑚 = 𝜍

1
〈𝑣 〉2
2 1

𝜍 = (1 −(4) バルブ(i)

摩擦損失係数の式では下流速度を使う：

𝐴1 2
)
𝐴2
1

𝐹𝑟𝑚 = 𝜍 2 〈𝑣2 〉2

ゲートバルブGatevalve𝜍𝐿𝑒𝑞 /𝐷

Fully
open
0.17
7

3/4
open
0.9
40

1/2
open
4.5
200

1/4
open
24.0
800

管附属物による力学的エネルギーの損失
49

(ii)

87

ダイアフラムバルブ
Diaphragmvalve𝜍𝐿𝑒𝑞 /𝐷(iii)

Fully open

3/4 open

1/2 open

1/4 open

2.3
125

2.6
140

4.3
235

21.6
1140

グローブバルブ
Bevel seat

Fully open
6.0

𝜍Composition seat𝜍𝐿𝑒𝑞 /𝐷

Plug disk
𝜍(iv)

チェックバルブ

open
9.0

1/2 open
9.5

Fully open
6.0
330

3/4 open
13.0

1/2 open
8.5
470

1/2 open
36.0

1/4 open112.0（全開のみ）
Check valve𝜍𝐿𝑒𝑞 /𝐷

swing
2.0
110

disk
10.0
500

ball
65
3500

(5) 管附属物 1, 2)
標準ティーStandard tee𝜍𝐿𝑒𝑞 /𝐷

0.4
20

1.3
60

1.5
70

標準エルボ

𝜍
𝐿𝑒𝑞 /𝐷

0.74
32

0.3
15

1.0
46

異相間運動量移動88

ベンド

90˚ bend

180˚ bend

90˚ bend
R/D

0.5
36

𝐿𝑒𝑞 /𝐷

1.0
16.5

2.0
10

4.0
10

8.0
14.5

180˚ bend 𝑅 ≫ 𝐷
𝜍 = 1.2
1.
2.

𝐿𝑒𝑞
𝐷

= 50

Perry, R.H. and Chilton, C.H., Chemical Engineers’ Handbook, McGraw-Hill, New York, 5th ed. (1973)
Lydersen, A. L., Fluid Flow and Heat Transfer, John Wiley, New York, p.9(1979)[ 例 題 7.4-1] 局所排気装置の一例を図 7.4-E1 に示す．
今，キャノピ型フードが鉛ヒュームで汚染された空気を流量 300 m3 ⁄h で吸引している．
排気装置の管路のパイプの内径は 100 mm である．気体の流れであるので，位置のエネル
ギーの変化は無視できる．空気の密度は 0.89 kg⁄m3 で，粘度は 0.022 cp すなわち
2.2 × 10−5 kg⁄m s である．
フード部での圧力降下は次式で与えられる：1∆𝑝ℎ𝑜𝑜𝑑 = 𝜍 2 𝜚〈𝑣 〉2(7.4-E1)
ここに風速 〈𝑣 〉 は下流（管路部）の速度を用いる．そのフードでの摩擦損失係数は 𝜍 = 0.4
である．小型の電気集塵機での圧力降下は，この流量の時， Δ𝑝𝐸𝑃 = 30 mm H2 O で与えられている．この排気装置の管路には５個の標準エルボと最後の排気煙突部があり，煙突の圧力降下も 7 mm H2 O と推定されている． ターボブロアーの所要動力を計算せよ．ただし，ブロアーの効率を 60% と仮定すること．

図 7.4-E1 局所排気装置のパイプライン

円形断面でない管路の水力学的相当直径
49

(

)

解

〈𝑣 〉 =

89

パイプ内での平均風速は𝑄=(𝜋⁄4)𝐷2

300 𝑚34( 3600 𝑠 ) 𝜋(0.10 𝑚)2 = 10.6 𝑚⁄𝑠(7.4-E2)

下のレイノルズ数の計算結果に示すように，流れは乱流である．
𝐷 〈𝑣 〉𝜚
(0.10 m)(10.6 m⁄s)(0.89 kg⁄m3 )== 4.3 × 104 > 2,100
𝜇2.2 × 1 − 0−5 kg⁄m s
参照面 “1”, “2” の位置は両位置で大気圧になるように，フードの外側と排気煙突の外側にとる．空気流の温度・圧力変化は小さいとして，修正ベルヌーイの式は次式のようになる：
1
𝐿 1(〈𝑣2 〉2 − 〈𝑣1〉2 ) + 𝑔(ℎ2 − ℎ1 ) + (𝑝2 − 𝑝1 )⁄𝜌 + 𝑊𝑚 + ∑𝑖 (4𝑓〈𝑣 〉2 )
𝑅𝑒 =

2

𝐷 2

+ ∑𝑗 (4𝑓

𝐿𝑒𝑞 1
𝐷 2

〈𝑣 〉2 ) + (∆𝑝𝐻 + ∆𝑝𝐸𝑃 + ∆𝑝𝐸𝑆 )⁄𝜌 = 0𝑗𝑖(7.4-E3)

流体摩擦係数の f 対 Re の,チャートから， 𝑅𝑒 = 4.3 × 104 において平滑管の摩擦係数は
𝑓 = 0.0055
である．
この管路は一つの内径 0.10 m のパイプのみで構成されおり，直管部の合計の長さは，𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (2 + 20 + 2 + 5 + 10 + 1 + 5 + 5)𝑚 = 50 𝑚
フードでの圧力降下は
1∆𝑝𝐻 = 𝜁 𝜚 〈𝑣〉2 = (0.4)(1⁄2)(0.89)(10.6)2 = 20.0 kg⁄m s 2(7.4-E4)2

この管径 (0.10 m) での標準エルボの相当長さは 𝐿𝑒𝑞 = 3.20 m となる．
電気集塵機での圧力降下はΔ𝑝𝐸𝑃 = 30 mm H2 O = (1000 𝑘𝑔⁄𝑚3 )(9.8 m⁄s 2 )(0.03 m) = 294 kg⁄m s 2(7.4-E5)排気煙突での圧力降下は
Δ𝑝𝐸𝑆 = 7 mm H2 O = 68.6 kg⁄m s 2 である．
(7.4-E6)〈〉〈参照面”1”と “2” は大気であり，平均風速は小さいと仮定できるので， 𝑣1 = 𝑣2 〉 = 0 か
つ 𝑝2 = 𝑝1 である．
空気なので密度が非常に小さいので，位置のエネルギーの変化は無視できる，すなわち𝑔(ℎ2 − ℎ1 ) ≅ 0
したがって修正ベルヌーイ式は次のようになる：
4𝑓 1∆𝑝 + ∆𝑝𝐸𝑃 + ∆𝑝𝐸𝑆
4(0.0055) 1〈𝑣 〉2 (∑𝑖 𝐿𝑖 + ∑𝑗 𝐿𝑒𝑞𝑗 ) + 𝐻− 𝑊𝑚 ==
10.62 (50 + 5 × 3.20) +𝐷 2
20+294+68.6
0.89

𝜌

= 816 + 430 = 1,246 m

2⁄ 2

s

0.10

2

(7.4-E7)

結局，質量流量を掛けて，ターボブロアーの所要動力は次のように計算される：
𝑤(−𝑊𝑚 )
𝜌𝑄(−𝑊𝑚 )(0.89)(300⁄3600)(1246)−𝑊 ==== 154 𝑘𝑔 m2 ⁄s 3 = 0.154 kW(7.4-E8)
𝜂

𝜂

0.60

7.4-3 円形断面でないチャンネルの水力相当直径 (Equivalent diameter)
非円形断面の長い直管における摩擦損失は円管の場合の摩擦損失の式に「相当直径」の概念を導入して計算する方法がある．つまりレイノルズ数には非円形断面のチャンネルの代表径としての相当直径と断面平均速度を代表速度として使えばよい．
相当直径（equivalent diameter） 𝐷𝑒𝑞 は，「管路の断面積の４倍を管路の濡れ縁長さで割った比として定義される：

異相間運動量移動

90

𝐷𝑒𝑞 =

4 × 𝑆𝑐(7.4-13)

𝐿𝑤𝑝

当然ながら，円管の場合は上式により計算される相当直径は実際の円管内径と一致する．
この相当直径は乱流の場合には便利で有効なパラメータであるが，層流の場合は（その速度分布のせいであるが）補正係数なしでは適用できないので，注意を要する．
相当直径の概念は次のような流動に関する経験的な情報に基づいて考え出された．乱流の場合，流路断面の大部分にわたって速度分布は平坦になるので，速度分布の変化の大部分は壁近くの粘性底層にある．粘性底層は非常に厚みが薄いので，チャンネルの形状（つまり濡れ辺長）をしている．したがって，濡れ辺長となる管壁でのせん断応力はほぼ一様である限り，流路断面の形状に依存しないと考えられるからである．
下の例題で相当直径の意味を理解することができよう．
この時のレイノルズ数は次式である：
𝑅𝑒𝑒𝑞 =

𝐷𝑒𝑞 𝐺(7.4-14)𝜇

ここに 𝐺 = 𝜌 〈𝑣 〉 は断面平均速度に密度を掛けた質量速度と言うものである．
[ 例 題 7.4-2]
下図のように，20 ˚C の水が水平な二重円管の環状部を平均速度 〈𝑣 〉 = 1.5 𝑚⁄𝑠 で流れている．外側にパイプの内径は 0.20 m，中側のパイプ外径は 0.10 m である．充分発達領域における平滑な管表面を仮定して，パイプの単位長さ当たりの圧力降下を計算せよ．

図 7.4-E2 二重円管環状部の相当直径( 解 ) 20 ˚C の水の密度，粘度は
𝜌 = 1,000 kg⁄m3 ， 𝜇 = 1 𝑐𝑃 = 1 × 10−3 kg⁄m s
この環状流路の相当直径は次のようになる：
4(𝜋⁄4)(𝐷𝑜 2 − 𝐷𝑖 2 )𝐷𝑒𝑞 == 𝐷𝑜 − 𝐷𝑖 = 0.2 − 0.1 = 0.1 𝑚
𝜋(𝐷𝑜 + 𝐷𝑖 )平均流速も与えられているから，レイノルズ数は𝑅𝑒𝑒𝑞 =

𝐷𝑒𝑞 𝜌〈𝑣𝑧 〉𝜇=(0.10)(1000)(1.5)
1 × 10−3= 1.5 × 105(乱流)

円管の場合の摩擦係数チャートを使って，
𝑓 = 0.0041 at 𝑅𝑒𝑒𝑞 = 1.5 × 105
水平なパイプの場合のファニングの摩擦係数の式より
𝑝0 − 𝑝𝐿
1 1
4(0.0041) 1(1000)(1.5)2 = 184.5 Pa⁄m
=4𝑓
𝜌〈𝑣𝑧 〉2 =
𝐿
𝐷𝑒𝑞 2
0.1
2
（図のように，乱流の場合，流路断面の大半で平坦な速度分布となり，流動抵抗の主因となる粘性底層は両方の円管の円周（濡れ辺長）に付着するように存在することに留意すべきである．
）

浸漬物体に働く抗力
4991

7.5 浸漬物体に働く抗力
円管内流に関する摩擦係数の定義式(7.2-4) と同じように，次のように定義できる．浸漬
物体の場合は摩擦係数ではなく，抗力係数(“drag coefficient”)と呼ぶが，本質は同じである．
𝐹𝐷 = 𝐶𝐷 𝐾 𝐴(7.5-1)
ここに 𝐹𝐷 は物体に働く抗力，𝐾 は物体の周囲の流体の運動のエネルギー (1⁄2)𝜌𝑣∞ 2 ,𝐴 は浸漬物体の投影面積を採用する代表面積である．
通常，摩擦係数 f の代わりに，係数 𝐶𝐷 が使われ，抗力係数と呼ばれる．管内流と同じように，抗力係数はレイノルズ数のみの関数である：
𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 (𝑅𝑒)(7.5-2)直径 𝐷𝑝 の球に衝突する直交流について考えよう。この場合，直交する周囲流体の運動のエネルギーは 𝐾 = (1⁄2)𝜌𝑣∞ 2 ，代表面積は球の投影面積だから円の面積 𝐴 = (𝜋⁄4)𝐷𝑝 2 ．
レイノルズ数は 𝑅𝑒 = 𝐷𝑝 𝑣∞ 𝜌⁄𝜇 で定義される．

図 7.5-1. 単一球の場合の抗力係数のレイノルズ数による変化

速度 𝑣∞ の一様流に囲まれた単一球の場合の抗力係数 𝐶𝐷 対レイノルズ数のチャートを図 7.5-1 に示す．円管内流と違って，層流から乱流へのシャープなジャンプの遷移はな
い．しかしながら，流速 𝑣∞ が増加すると，球の背後に出現する渦運動が大きくなる．そして， 𝑅𝑒 = 2 × 105 になると，点線で示したように，突然，ドロップが起きる．これは球表面の境界層の剥離位置が球の前面から後面にシフトする現象である．管内流と違って，球に働く力は摩擦による抗力以外に周囲流体の衝突による（動圧的な）形状抗力(Form dragと言う)を伴う．
次の抗力係数の相関式は多くの実験データから得られた相関式である：
24(1) 𝐶𝐷 = 𝑅𝑒
𝑅𝑒 < 0.1(7.5-3)18.5(2) 𝐶𝐷 = 𝑅𝑒 3⁄5(3) 𝐶𝐷 ≅ 0.44

2 < 𝑅𝑒 < 5 × 102
5 × 102 < Re < 2 × 105

式(7.5-3) は次式のストークスの法則（Stokes’s law）から与えられる．
𝐹𝐷 = 3𝜋𝜇𝐷𝑝 𝑣∞(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)

異相間運動量移動92

２番目の式(7.5-4) は中間領域における相関の近似式である．
３番目の式(7.5-5) はニュートンの法則として知られるもので，抗力係数がほぼ一定になることを示している．これは抗力が流体の運動のエネルギーに比例することを意味している．

記

号

𝐷
𝐷𝑒𝑞
𝐹
𝐹𝑟
𝑓
𝐺
𝐻
𝐼
𝐿
𝐿𝑒𝑞
𝑝
𝑅
𝑅𝑒
𝑇𝑢
𝑡
𝑣𝑟 , 𝑣𝜃 , 𝑣𝑧
𝑊
𝑦
𝛿
𝜍
𝜇
𝜏𝑤

表
管内径, [m]（水力）相当直径, [m]
外力, [N]
摩擦損失, [m2/s2]
摩擦係数, [ - ]質量速度, [kg/m2s]
矩形チャンネルの高さ, [m]
電流, [A]
管長さ, [m]管相当長さ, [m]
圧力, [Pa]
熱線の電気抵抗, [Ω] または ホイートストーブリッジの抵抗, [Ω]レイノルズ数, [ - ]乱流強度，乱れ強度, [ - ]時間, [s]円柱座標系での速度成分, [m/s]
所要動力, [W]
壁からの距離, [m]仮想的な粘性境膜の厚み, [m]摩擦損失係数, [ - ]粘度, [kg/m s]
壁面せん断応力, [N/m2]

上付き添え字´
時間変動̅
時間平均（オーバーライン）
Brackets〈 〉流れの断面にわたる平均

第８章
異相間エネルギー移動
8.1 乱流伝熱と伝熱係数の定義
エネルギー源からエネルギー受器への熱の輸送のされ方には三つの異なる方法がある：
伝導，対流，放射である．伝導は物質の正味の流れに独立な分子運動のみによる熱エネル
ギーの輸送である．われわれは，すでに伝導による熱輸送を述べたフーリエの法則を知っている．放射伝熱は電磁学的な放射の輻射とそれの吸収によるエネルギーの輸送である．
この放射伝熱だけは他の輸送原理と異なる電磁学的原理に基づくので，統一的な原理究明ができないので，本書では取り扱わないことにしている．
対流伝熱は流体の運動，すなわち流れにより熱を輸送するメカニズムから成っていて，化学工学において非常に重要なテーマである．もちろん流体塊が流れで熱を運んだ後は周囲流体との間で熱伝導効果により熱を放出して一様温度になろうとするので、対流伝熱のメカニズムの中では熱伝導も絡んでいる．
先ずは，乱流状態で流れている流体からパイプの壁面への熱の流れについて考えよう．
図 8.1-1 に示すように，対流伝熱が起きている乱流場において，各瞬間の流体温度は速度と同じように激しく不規則に変動している．
そのため，時間平均速度の時と同じように，次の時間平均温度を対流伝熱の解析に使用
する：
𝑡+𝑡
1
𝑇̅ = 𝑡 ∫𝑡 0 𝑇 𝑑𝑡
0

(8.1-1)

図 8.1-1 乱流場における瞬間の流体温度の変動

管内乱流において強制対流伝熱の場合，時間平均の流体の温度分布は，図 8.1-2 のように，伝熱が起きている固体表面の近傍に形成される．管中心部では，渦混合が強くて平坦な温度分布になっているため，伝熱の抵抗になっているのは壁近傍の流体膜に集中してい異相間エネルギー移動

94

図 8.1-2 乱流で流れる流体と対流伝熱する固体表面近傍の時間平均の流体温度の分布

ると考えられる．また，前述のように，対流伝熱によって輸送される熱は到着先で結局は伝導によって放出するので，対流と伝導は緊密に関係している．
乱流本体では，強い渦運動による混合のせいで時間平均温度はほぼ一様な分布になっているので，温度勾配は非常に小さいが，エネルギーは非常に速く輸送されている．一方，
管壁近くの粘性底層では，そのような渦運動は抑制されて，分子的輸送（伝導）のみに頼るわけで，勾配のきつい直線的温度分布をなしている．緩衝層（遷移層）では乱流渦による輸送と伝導による輸送が同程度になると考える．（このような乱流伝熱の考え方は第 17章の乱流輸送現象のモデルで習う．）
故に，伝熱に対する主たる抵抗は管壁近くの流体の厚さが薄く，乱流運動が抑制された層に集中するので，管壁近傍の熱流束はフーリエの法則を使って次式のように書ける：
𝜕𝑇.𝑞𝑤 = 𝑞𝑟 |𝑟=𝑅 = − 𝜅 |(8.1-2)𝜕𝑟 𝑟=𝑅

熱に関する流体膜厚さ 𝛿𝑇 を導入して，温度勾配は次のように近似できる：
𝑇 −𝑇
𝑞𝑟 |𝑟=𝑅 = 𝜅 𝑚𝛿 𝑤
𝑇

(8.1-3)

ここに 𝑇𝑚 は混合平均温度（本体温度），𝑇𝑤 は壁温，そして 𝛿𝑇 は仮想的な伝導に関する
流体層厚さである．このような流体層を境膜と呼んでいる．
混合平均温度の定義式は次式である：
𝑅

𝑇𝑚 − 𝑇𝑤 =∫0 2𝜋𝑟 𝑣𝑧 𝜌𝐶𝑝(𝑇− 𝑇𝑤 )𝑑𝑟(8.1-4)𝑅∫0 2𝜋𝑟 𝑣𝑧 𝜌𝐶𝑝 𝑑𝑟

これらを考え合わせると
𝜅
𝑞𝑤 = 𝛿 (𝑇𝑚 − 𝑇𝑤 ) = ℎ (𝑇𝑚 − 𝑇𝑤 )(𝑇𝑚 > 𝑇𝑤 )𝑞𝑤 = 𝛿 (𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 ) = ℎ (𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 )(𝑇𝑚 < 𝑇𝑤 )

𝑇

𝜅

𝑇

(8.1-5)

これが（対流伝熱の）境膜伝熱係数の重要な定義式である．
上式からわかるように，対流伝熱係数と熱伝導度の関係はℎ = 𝜅⁄𝛿𝑇(8.1-6)
この流体の境膜厚さ 𝛿𝑇 は流れの条件，流体の物性定数，流れ系の構造の幾何学的形状，
したがってレイノルズ数とプラントル数の複雑な関数である．故に，伝熱係数もまた，レイノルズ数とプラントル数の関数であり，その単位は，SI 単位系で J⁄m2 s K である．

乱流伝熱におけるエネルギー輸送方程式の応用問題
49

95

8.2 乱流伝熱におけるエネルギー輸送方程式の応用問題
粘性底層では伝熱に対する乱流効果の寄与は小さいと仮定できる．したがって，輸送方
程式を粘性底層に限って適用すればよい．すなわち，下の両輸送方程式は，流れが層流であっても乱流であっても粘性底層では有効である：
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝑣 𝜕𝑣

𝜕𝑣

1𝜕

𝜕𝑣

1 𝜕2 𝑣𝜕𝑇1 𝜕2 𝑇

𝜕2 𝑇

𝜕𝑝

𝜕2 𝑣

𝜌 ( 𝜕𝑡𝑧 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟𝑧 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃𝑧 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧𝑧 ) = − 𝜕𝑧 + 𝜇 [𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟𝑧 ) + 𝑟 2 𝜕𝜃2𝑧 + 𝜕𝑧 2𝑧 ]
𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑇

1𝜕

𝜌𝐶𝑝 ( 𝜕𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑟 + 𝑟𝜃 𝜕𝜃 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧 ) = 𝜅 [𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟 ) + 𝑟 2 𝜕𝜃2 + 𝜕𝑧 2 ](8.2-1)(8.2-2)この式(8.2-2) では，粘性消散項（粘性摩擦での発生熱の項）および圧力仕事項は，大きくないとして無視している．
これら２方程式は円管内流の場合，次の境界条件で解かねばならない．
𝑣𝑧 = 𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0 そして
𝜕𝑇

そして𝑇 = 𝑇𝑤𝜕𝑣− 𝜇 𝜕𝑟𝑧 = 𝜏𝑤

− 𝜅 𝜕𝑟 = 𝑞𝑤

at 𝑟 = 𝑅(8.2-3)at 𝑟 = 𝑅(8.2-4)伝熱係数の定義式によれば
𝑞𝑟 |𝑟=𝑅 = 𝑞𝑤 = ℎ (𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 )すなわち1

(8.2-5)𝜕𝑇ℎ = 𝑇 − 𝑇 (− 𝜅 𝜕𝑟 )|𝑤(8.2-6)𝑟=𝑅𝑚

そこでエネルギー輸送方程式の適用のために，次元解析を始める．
次の無次元の変数を導入する：
𝑟 ∗ = 𝑟⁄𝐷, 𝑧 ∗ = 𝑧⁄𝐷, 𝑇 ∗ = (𝑇𝑤 − 𝑇)⁄(𝑇𝑤 − 𝑇𝑚 ), 𝑣𝑟∗ = 𝑣𝑟 ⁄〈𝑣𝑧 〉,𝑣𝜃∗ = 𝑣𝜃 ⁄〈𝑣𝑧 〉,𝑣𝑧∗ = 𝑣𝑧 ⁄〈𝑣𝑧 〉, 𝑝∗ = (𝑝 − 𝑝0 )⁄(𝜌 〈𝑣𝑧 〉2 )〈𝑣𝑧 〉 は流れ断面で平均した流れ方向の代表速度である．
上の方程式は次のように無次元化される：
𝜕𝑇 ∗𝑣 ∗ 𝜕𝑇 ∗

𝜕𝑇 ∗

1

1

𝜕𝑇 ∗

𝜕

1

𝜕2 𝑇∗

𝜕2𝑇 ∗

𝑣𝑟∗ 𝜕𝑟∗ + 𝑟𝜃∗ 𝜕𝜃 + 𝑣𝑧∗ 𝜕𝑧 ∗ = 𝑅𝑒 𝑃𝑟 [𝑟 ∗ 𝜕𝑟 ∗ (𝑟 ∗ 𝜕𝑟 ∗ ) + 𝑟 ∗ 2 𝜕𝜃2 + 𝜕𝑧∗ 2 ](8.2-7)

このような次元解析により，レイノルズ数 𝑅𝑒 = 𝜌 𝐷 〈𝑣𝑧 〉⁄𝜇 と プラントル数 𝑃𝑟 = 𝐶𝑝 𝜇 ⁄𝜅が自動的に出て来たことは物理的に意義があることと意識すべきである．
運動方程式も定常状態で無次元化すると，𝜕𝑣 ∗𝑣 ∗ 𝜕𝑣 ∗

𝜕𝑣 ∗

𝜕𝑝∗

1

1

𝜕

𝜕𝑣 ∗

1

𝜕2 𝑣∗

𝜕2 𝑣∗

𝑣𝑟∗ 𝜕𝑟𝑧∗ + 𝑟𝜃∗ 𝜕𝜃𝑧 + 𝑣𝑧∗ 𝜕𝑧𝑧∗ = − 𝜕𝑧 ∗ + 𝑅𝑒 [𝑟 ∗ 𝜕𝑟 ∗ (𝑟 ∗ 𝜕𝑟𝑧∗ ) + 𝑟 ∗ 2 𝜕𝜃2𝑧 + 𝜕𝑧 ∗ 2𝑧](8.2-8)運動方程式の場合も無次元化により自動的レイノルズ数 𝑅𝑒 = 𝜌 𝐷 〈𝑣𝑧 〉⁄𝜇 に出てくる．
一般に，この方程式は解析的に厳密に解くことは無理であるが，速度の解が下記のような関数になるであろうことは想像できる：
𝑣𝑟∗ = 𝑣𝑟∗ (𝑟 ∗, 𝜃, 𝑧 ∗ , 𝑅𝑒)𝑣𝜃∗ = 𝑣𝜃∗ (𝑟 ∗, 𝜃, 𝑧 ∗ , 𝑅𝑒)(8.2-9)∗∗ ∗∗𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 (𝑟 , 𝜃, 𝑧 , 𝑅𝑒)
もしも上のエネルギー輸送方程式が（運動方程式から得られるはずの）無次元の速度解を代入して解くことができるとすると，温度の解は次のような関数形になるであろうと推定できる：𝑇 ∗ = 𝑇 ∗ (𝑟 ∗ , 𝜃, 𝑧 ∗ , 𝑅𝑒, 𝑃𝑟)(8.2-10)
今，充分発達領域で，軸対称の温度場であると仮定すると
𝜕𝑇 ∗

= 0
𝜕𝑧 ∗

そして

𝜕𝑇 ∗
𝜕𝜃

=0

異相間エネルギー移動

96

したがって，無次元温度は 𝑇 ∗ = 𝑇 ∗ (𝑟 ∗ , 𝑅𝑒, 𝑃𝑟) のような関数形になることがわかった．
𝜕𝑇 ∗壁面における温度勾配は 𝜕𝑟 ∗ | ∗𝑟 =1/2は 𝑅𝑒 と 𝑃𝑟 のみの関数であるべきである．

境界条件も無次元化されて次式のようになる：
𝜕(𝑇𝑤 −𝑇)
|
𝜕𝑟
𝑟=𝑅

ℎ𝐷

𝜕𝑇 ∗

= (𝑇 − 𝑇 )⁄𝐷 = − 𝜕𝑟 ∗ | ∗ 1
𝜅

𝑁𝑢 =

𝑤

𝑚

𝑟 =

(8.2-11)2

左辺に新しく出て来た無次元パラメータはヌッセルト数（Nusselt number）と呼ばれる伝熱係数の代表的な無次元パラメータである．定性的には，ヌッセルト数が対流伝熱と伝導伝熱の比であり，レイノルズ数とともに増加する傾向がある．換言すると，上の式はヌッセルト数が伝熱面での無次元の温度勾配であると述べているのである．だから，ヌッセル
ト数が十分に発達した温度場において，無次元パラメータ 𝑅𝑒 と 𝑃𝑟 の関数であることがわかった．
ここまで求めて来たヌッセルト数は局所の伝熱係数を与えるパラメータである．
𝑁𝑢 = 𝑁𝑢 (𝑅𝑒, 𝑃𝑟)(8.2-12)
同様に，パイプ長さにわたって平均されたヌッセルト数もまた𝑅𝑒 と 𝑃𝑟 の関数である．
ヌッセルト数以外にも，次の新しい伝熱係数の無次元パラメータも使うと便利である：ℎ

𝐶𝑝 𝜇

𝑗𝐻 = 𝐶 𝐺 ( 𝜅 )
𝑝

𝑓

2⁄ 3

= 𝑁𝑢 𝑅𝑒 −1 𝑃𝑟 − 1⁄3(8.2-13)

ここに， 𝐺 は質量速度 = (流体密度) x (平均速度) 𝜌〈𝑣 〉 である．
これは伝熱に関する j-ファクター（j-factor）と呼ばれる．このパラメータは，運動量，エ
ネルギー，物質の対流輸送が同じメカニズムで行われると言う相似性の概念を論じる時によく使われるものである．上式の下付き添え字 f は物性定数（プラントル数）が次の定義
式の境膜温度にて評価されることを表している：
𝑇𝑚 + 𝑇𝑤
𝑇𝑓 =2

Fig.8.2-1 円管内流の対流伝熱の j-factor による相関総括伝熱係数と熱交換器
4997

温度差が大きくて境膜内での温度変化が大きい場合は，粘度 𝜇 の温度による変化を考慮すべきである．
図 8.2-1 は円管内での対流伝熱に関する j-ファクターの相関を図示したものである．ただし，粘度の温度変化が重要な場合も考えて，補正係数：𝜙 = (𝜇𝑏 ⁄𝜇𝑤 )−0.14 を入れている．
温度変化が大きくない場合，この補正係数はほぼ 1 になる．
高レイノルズ数の乱流域では，次の運動量輸送とエネルギー輸送の間の相似性を表す経験式が Colburn1) によって提唱されている．
𝑓𝑗𝐻 = 2(8.2-14)

このアナロジー式は第 17 章において，平板に沿う層流境界層流れの解析において例証する．
歴史的には，このアナロジー式は，同じ流動条件であるならば，伝熱係数を伝熱実験をせずに流体摩擦のデータから予知できることを認めるものであり，当初は工業的に非常に有用性が評価されたものである．層流の場合は，ヌッセルト数，j-ファクターともに管長さが影響し，𝐿⁄𝐷 に依存することを付記する．（式(9.2-5) 参照）
乱流域では，次の経験的な相関式 2) が使用できる：
ℎ

𝐶𝑝 𝜇

( 𝜅 )
𝐶 𝐺

𝑓

𝑝

1)
2)

2⁄ 3

𝜇

−0.14

(𝜇 𝑏 )𝑤

𝐷𝐺= 0.026 ( 𝜇 )

− 0.2

𝑅𝑒 =

𝑏

𝐷𝐺
𝜇

> 104

0.6 < Pr < 100(8.2-15)

Colburn, A.P., Trans. A.I.Ch.E., 29, 174-210 (1933)
Sieder, E.N. and Tate, G.E., Ind. Eng. Chem., 28, 1429 (1936)

8.3 総括伝熱係数と熱交換器
8.3-1 総括伝熱係数の定義

図 8.3-1

二重管式熱交換器

熱交換器の基本的な考え方ができ，非常に簡単で理解し易い例として，二重管式熱交換器（図 8.3-1）を考えよう．議論を明確にするため，温度の高い流体が内側の管内を流れて冷却され，温度の低い流体が二重管の環状部を流れて加熱される条件に設定しよう．したがって，熱は内管の壁を横切って外管側環状部の流体に伝わる．図中の矢印のように，こ異相間エネルギー移動

98の２流体は互いに反対方向に流れる，いわゆる「向流」“counter-current flow” 状態とする．
（２流体が同じ方向に流れる場合は，「並流」“parallel flow” と言う．）
ここでは定常状態の乱流であると仮定する．外管の外表面は保温されていて，外気への熱損失は無視少とする．図では温度の横断方向（半径方向）の変化を高温側から低温側へ
𝑇ℎ , 𝑇𝑤ℎ , 𝑇𝑤𝑐 , 𝑇𝑐 の順に実線で示している．点線は温度分布から推進力（代表温度差）を求め，内外両方の管の伝熱係数 ℎ𝑖 , ℎ𝑜 を定義するために，境膜理論から設定する境膜を模式的に表している．厳密に言うと，混合平均温度の定義から高温側の混合平均温度 𝑇ℎ𝑚 は乱流本体（中心部）の最高温度 𝑇ℎ より少し低いが，低温側の混合平均温度 𝑇𝑐𝑚 は環状部の乱流
本体の最低温度 𝑇𝑐 より少し高い．しかし、境膜分の占める流体体積は小さいから，混合平均温度と乱流本体温度との差は非常に小さく，混合平均温度は乱流本体温度と等しいと仮定しても，それによる誤差は乳井作，普通，大きな問題は起きない．
内管の管壁厚みと熱伝導度はそれぞれ 𝛿𝑡 ， 𝜅𝑡 である．
直列に並ぶ多くの層を横切って熱が流れる伝熱速度の計算においては総括抵抗の概念を適用するのが便利である．すなわち内管の内壁の境膜，内管の管壁，そして内管の外壁の境膜の３層が直列に存在する．電気における一つの電流の流れる線に直列に三つの電気抵抗が並んでいることと類似している．外管の内壁は外管が十分に保温されていると仮定しているから，外管から外部への熱損失はないと考えている．したがって外管の内壁面における温度勾配は 0 と仮定していることになる．
総括的な熱流束は推進力である温度差 𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚 に比例すると考えることができる．
内管の非常に小さい微分長さ 𝑑𝑧 の領域の伝熱速度は３つの層における個々の温度降下の項で次式のように表される：
𝑇 −𝑇
𝑑𝑄 = ℎ𝑖 𝜋𝐷𝑖 𝑑𝑧 (𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑤ℎ ) = 𝜅𝑡 𝜋𝐷𝑎𝑣 𝑑𝑧 𝑤ℎ𝛿 𝑤𝑐 = ℎ𝑜 𝜋𝐷𝑜 𝑑𝑧 (𝑇𝑤𝑐 − 𝑇𝑐𝑚 )(8.3-1)𝑡

この式は次式のように書くこともできる：

𝑑𝑄 =𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑤ℎ1ℎ𝑖 𝜋𝐷𝑖 𝑑𝑧=

𝑇𝑤ℎ − 𝑇𝑤𝑐
𝛿𝑡𝜅𝑡 𝜋𝐷𝑎𝑣 𝑑𝑧=

𝑇𝑤𝑐 − 𝑇𝑐𝑚
1ℎ𝑜 𝜋𝐷𝑜 𝑑𝑧(8.3-2)

ここで 𝐷𝑎𝑣 は内管の外径と内径の対数平均値である．
上式はオームの電流の法則と同様の考えによる熱の流れを示す式である．左辺が伝熱速度 𝑑𝑄 すなわち電流に相当し，右辺のそれぞれの分子が推進力である温度差つまり電圧降下に，分母がそれぞれの伝熱抵抗すなわち電気抵抗に相当している．
分子同士，分母同士で足し算をすると同じ値の分数になる加比の定理により

𝑑𝑄 =𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚
1
𝛿𝑡
1
+
+
ℎ𝑖 𝜋𝐷𝑖 𝑑𝑧 𝜅𝑡 𝜋𝐷𝑎𝑣 𝑑𝑧 ℎ𝑜 𝜋𝐷𝑜 𝑑𝑧(8.3-3)

右辺の分母が直列３層の抵抗の合計（総括抵抗）である．分子は各層の温度差の合計である総括推進力の温度差を示している．
そこで内管の外表面基準の総括伝熱係数 𝑈𝑜 を定義することができる：
𝑇 −𝑇
𝑑𝑄 = ℎ𝑚 1 𝑐𝑚 = 𝑈𝑜 𝜋𝐷𝑜 𝑑𝑧 (𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚 )(8.3-4)

𝑈𝑜 𝜋𝐷𝑜𝑑𝑧

この分母が総括伝熱抵抗（熱の伝わり難さ）であるから，その逆数が熱の伝わり易さ，すなわち総括伝熱係数の次式を与える：

𝑈𝑜 = 1 𝐷𝑜

1

𝛿 𝐷
1+ 𝑡 𝑜+ℎ𝑖 𝐷𝑖 𝜅𝑡 𝐷𝑎𝑣 ℎ𝑜(8.3-5)

総括伝熱係数と熱交換器
49

（続）

99

右辺の分母の個々の項は内管の壁面とそれを内外から包む二つの流体膜（境膜）の個々の伝熱抵抗を表している．現時点では 𝑈𝑜 は総括伝熱係数の局所値を意味している．
[ファウリング，伝熱面の汚れ]
普通，実際の熱交換器の伝熱面は余計な物質の膜が沈着し易い．この現象を「ファウリング」と呼び，熱交換器の冷却水側にしばしば起きる，望ましくない伝熱阻害現象である．
冷却水に海や河の水あるいは地下水を利用するせいである．天然水であるため溶存する化学物質（例えば，CaCO3）が温度の高い壁面に析出したり，浮遊していた微生物が装置内で成長する.．天然の水を多量に利用する製油所や発電所ほか化学工場で，固体の伝熱面に望ましくない物質の蓄積による膜が成長して，時間とともに伝熱抵抗が増加する問題が起きるのである．
このような場合はファウリングによる新たな伝熱抵抗を総括伝熱係数の定義式の中で，次式のように考慮する：
1

1 𝐷

𝑜

𝑖

1 𝐷𝑜

𝑜
=
+ ℎ
𝑈
ℎ 𝐷
𝑖

𝑠𝑖

𝛿 𝐷

1

1

𝑡

𝑜

𝑠𝑜

𝑡 𝑜
+
+ ℎ + ℎ
𝐷
𝜅 𝐷
𝑖

𝑎𝑣

(8.3-6)

ここに，ℎ𝑠𝑖 および ℎ𝑠𝑜 は管の内外表面にできるファウリング抵抗の逆数である．伝熱係
数（汚れ係数）の形で取り扱ってはいるが，本質は新たに加わる伝熱抵抗の逆数に過ぎないことを注意することである．またこのファウリング係数は時間とともに変化するので、経験値を仮定するのが一般的である．
8.3-2 対数平均温度差 1)
パイプを用いる熱交換器では流体流れで移動するにつれて加熱あるいは冷却されるので、総括推進力の温度差はパイプの長さ方向に変化する．熱流束もまたパイプ長さとともに変化する．図 8.3-2 に，向流条件における流体温度の変化の例を示す．

図 8.3-2. 二重管式熱交換器の向流条件でのパイプ長さによる流体温度の変化

熱交換器の全面積に対して 𝑈𝑜 の定義式を適用し，(1) 総括伝熱係数は一定，(2) ２流体の熱容量も一定の二つの簡単化のための仮定を使って積分しなければならない．
図 8.3-3 に向流条件での二重管式熱交換器を示す．内管の外径と内径はそれぞれ𝐷𝑜 ，𝐷𝑖で，管長さは 𝐿 としている．

異相間エネルギー移動

100

図 8.3-3. 二重管式熱交換器の向流条件における異相間伝熱

高温流体を内管内に流し，低温流体を内管と外管との間の環状部に流すとする．
管軸方向の任意の距離 z において， 𝑧 から z + dz までの dz 区間の体積要素に対する
微分エネルギー収支をとると，
𝑑𝑄 = − 𝑤ℎ 𝐶𝑝ℎ 𝑑𝑇ℎ𝑚 = 𝑤𝑐 𝐶𝑝𝑐 𝑑𝑇𝑐𝑚
(8.3-7)
低温流体は高温流体とは反対の方向に流すので，その流量 𝑤𝑐 は負である．
z-方向の温度変化は 𝑑𝑇ℎ𝑚⁄𝑑𝑧 < 0, 𝑑𝑇𝑐𝑚⁄𝑑𝑧 < 0 である． 𝑤ℎ の前のマイナス記号は 𝑑𝑄が正であるべきとする条件から来ている．
𝑈𝑜 を使って，dz 区間での伝熱速度𝑑𝑄は次式のように書ける：

𝑑𝑄 = 𝑈𝑜 𝜋𝐷𝑜 𝑑𝑧 (𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚 )(8.3-8)式(8.3-7) と式(8.3-8) から高温流体，低温流体それぞれの微分方程式が得られる：−

𝑑𝑇ℎ𝑚
𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚
𝑑𝑇𝑐𝑚

𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚

= 𝑈𝑜

= 𝑈𝑜

𝜋𝐷𝑜 𝑑𝑧(8.3-9)𝑤ℎ 𝐶𝑝ℎ𝜋𝐷𝑜 𝑑𝑧(8.3-10)

𝑤𝑐 𝐶𝑝𝑐

ここまでは総括伝熱係数 𝑈𝑜 は位置 z における局所値として取り扱って来ている．
この二つの方程式を辺々足し算をすると−𝑑 (𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚 )𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚

1

1

= 𝑈𝑜 (𝑤 𝐶𝑝 + 𝑤 𝐶𝑝 ) 𝜋𝐷𝑜 𝑑𝑧ℎℎ𝑐(8.3-11)𝑐

ここで 𝑈𝑜 一定の条件（仮定）で，熱交換器の全長にわたっての積分をすると，
𝑇

−𝑇

1

1

ln (𝑇ℎ𝑚1 − 𝑇𝑐𝑚1 ) = 𝑈𝑜 (𝑤 𝐶𝑝 + 𝑤 𝐶𝑝 ) 𝜋𝐷𝑜 𝐿
ℎ𝑚2

𝑐𝑚2

ℎ

ℎ

𝑐

(8.3-12)𝑐

全管長 𝑧 = 0 から 𝐿 までのエネルギー収支によれば，熱交換器の全伝熱速度は𝑄 = 𝑤ℎ 𝐶𝑝ℎ (𝑇ℎ𝑚1 − 𝑇ℎ𝑚2 ) = − 𝑤𝑐 𝐶𝑝𝑐 (𝑇𝑐𝑚1 − 𝑇𝑐𝑚2 )=𝑇ℎ𝑚1 − 𝑇ℎ𝑚2
1
𝑤ℎ 𝐶𝑝ℎ=-(𝑇𝑐𝑚1 − 𝑇𝑐𝑚2 )1
𝑤𝑐 𝐶𝑝𝑐=(𝑇ℎ𝑚1 − 𝑇ℎ𝑚2 )− (𝑇𝑐𝑚1 − 𝑇𝑐𝑚2 )1
1+
𝑤ℎ 𝐶𝑝ℎ𝑤𝑐 𝐶𝑝𝑐

そこで次の関係を得る：[(𝑇)−(𝑇ℎ𝑚2− 𝑇𝑐𝑚2)]
1
1−𝑇+= ℎ𝑚1 𝑐𝑚1
𝑤ℎ 𝐶𝑝ℎ𝑤𝑐 𝐶𝑝𝑐𝑄
これを前の式(8.3-12) に代入して，最終的に次式を得る(8.3-13)(8.3-14)

総括伝熱係数と熱交換器
49

𝑄 = 𝑈𝑜 𝜋𝐷𝑜 𝐿 {（続）(𝑇ℎ𝑚1 − 𝑇𝑐𝑚1 )−(𝑇ℎ𝑚2 − 𝑇𝑐𝑚2 )𝑇− 𝑇𝑐𝑚1)
𝑇ℎ𝑚2 − 𝑇𝑐𝑚2ln( ℎ𝑚1

101}(8.3-15)

この式は次のように書かれれる：

𝑄 = 𝑈𝑜 𝐴𝑜 (𝑇ℎ𝑚 − 𝑇𝑐𝑚 )𝑙𝑚 = 𝑈𝑜 𝐴𝑜 (∆𝑇𝑚 )𝑙𝑚(8.3-16)
全体の平均的な推進力は入口部と出口部での温度差の対数平均値（次式）となった：(∆𝑇𝑚 )𝑙𝑚 =∆𝑇𝑚1 − ∆𝑇𝑚2
∆𝑇𝑚1
∆𝑇𝑚2

ln

(8.3-17)

この式は並流でも向流でも成立し，二重管式熱交換器に限らず，いろいろな熱交換器の工学的熱設計計算の非常に重要な基礎式である．この結果式は，要求されている所要伝熱面積を決定するためには，温度差として熱交換器の両流体の間の混合平均温度の差の熱交両端における対数平均値（省略して対数平均温度差 LMTD と書く）を使うべきことを述べている．
ここまでの二重管式熱交換器の解析は広く共通の基礎的解析であり，種々の熱交換器の熱工学的設計においても適切な温度差として対数平均温度差 LMTD を使うことができ，それぞれの熱交換器の条件に合わせて何らかの補正を行えばよいことと理解することができ
た．
1.

記

Bird, R.B., Stewart, W.E. and Lightfoot, E.N., Transport Phenomena, Wiley, New York, Chapt.15, Example 15.4-2 (1960)

号

𝐶𝑝
𝐷
𝑓
𝐺
ℎ
𝑗𝐻
𝑃𝑟
𝑄
𝑞𝑟 , 𝑞𝑤𝑅𝑅𝑒𝑟, 𝜃, 𝑧𝑇𝑡𝑈𝑣𝑟 , 𝑣𝜃 , 𝑣𝑧
𝑤𝑐 , 𝑤ℎ
𝑧
𝛿𝑡
𝛿𝑇
𝜇
𝜅
𝜌
𝜙

表
熱容量, [J/kg K]
パイプ直径, [m]摩擦係数, [ - ]質量速度, [kg/m2s]
伝熱係数, [W/m2K]
j-ファクター（伝熱の場合）, [ - ]プラントル数, [ - ]伝熱速度, [W]半径位置 r における熱流束, 壁における熱流束, [W/m2]
パイプ半径, [m]レイノルズ数, [ - ]円柱座標系, [m, - , m]
温度, [K]
時間, [s]
総括伝熱係数, [W/m2K]
円柱座標系の速度成分
低温流体の質量流量，高温流体の質量流量, [kg/s]
軸方向座標, [m]管壁厚さ, [m]伝熱における流体境膜厚さ, [m]
粘度, [kg/m s]
熱伝導度, [W/m K]
密度, [kg/m3]
粘度に対する温度補正係数, [ - ]上付き添え字
∗
無次元
´
時間変動

異相間エネルギー移動

102
̅

時間平均

下付き添え字
c
低温
f
境膜
h
高温
i
内管
l.m.
対数平均
m
本体 またはo
外管 または
t
管
w
壁
括弧
〈 〉

混合平均
外側表面

流れ断面での平均値

第９章
伝 熱 装 置
9.1 多管式熱交換器
工業プロセスには種々の熱交換器が使用されている：二重管式熱交換器，多管式熱交換器（シェル・アンド・チューブ熱交と言う），直交流式プレート熱交換器 等々．

1:伝熱管， 2:シェル（胴）， 3:固定管板， 4:遊動頭管板， 5:遊動頭カバー（蓋）， 6:シェルカバー（蓋），7:邪魔板， 8:シェル側ノズル， 9:固定頭ノズル， 10:流路仕切り板， 11:タイロッドとスペーサー， 12:
衝突板， 13:チャンネルカバー（蓋）図 9.1-1. 遊動頭式 1-2 熱交換器

図 9.1-1 は遊動頭式（シェル側１流路，管側２流路）熱交換器を示す．
ここでは，工業的に一番よく使われている，大きな伝熱面積を比較的小さなボリュームに収められるシェル・アンド・チューブ熱交換機の熱工学的解析を取り扱うことにする．
上図は胴側１流路，管側２流路の場合のシェル・アンド・チューブ熱交換器のスケッチである．通常，高温流体を管内側に，低温流体を管外側（胴側）に流す．管外側（伝熱管外表面側）と管内側の伝熱係数は同程度に重要で，総括伝熱数が満足できる程度の大きさを与えるように，考えねばならない．伝熱管のシェル内での配列は正方形配列か三角形配列の方式のどちらかがとられる．その管配列のピッチ（管間隔）𝑃𝑡 は隣同士の管と管の最短中心間距離である． 通常，三角形配列の場合，ピッチに管外径の 1.25 倍程度が採用されている．シェル側の流速は管側と比べてどうしても小さくなるので，シェル側の流路面積を大きくするために，25%-cut の邪魔板を入れている，その邪魔板のせいで，流体が管束に平行に流れるよりは管束に垂直に衝突，通過する直交流が主になるようにしてシェル側伝熱係数を大きくする工夫をしている．普通，伝熱管の標準的な長さは 4 ~ 5 m である．シ
ェルは小さい場合はパイプそのもので造ればようが、胴径が大きい場合は鋼板やステンレ
ス板などをロールして造られる．
管内流速が大きくならない場合は，レイノルズ数を大きくしたいので，すなわち伝熱係
数を大きくするために，流路仕切り板によって管内流路をいくつかの流路に分けて流路数（パス数）を多くする工夫がなされる．伝熱管サイズは外径 15 mm から 30 mm OD のものが多く使われている．

伝熱装置

104

9.2 管内側伝熱係数
前章（第８章）で，充分発達領域では，ヌッセルト数はレイノルズ数とプラントル数のみの関数になることを結論づけた．多管式熱交の管側の管内伝熱係数 ℎ𝑖 は次式の j-ファ
クターの形で相関づけることができる：
𝑁𝑢

−0.14

𝜇

𝑗𝐻 = 𝑅𝑒 𝑃𝑟 −1/3 ( 𝜇𝑚)(9.2-1)𝑤

ここで 𝜇𝑚 , 𝜇𝑤 管内側の混合平均温度 𝑇𝑚 と管壁温度 𝑇𝑤 での粘度である．その温度差が−0.14
非常に大きくない限りは，この粘度の温度補正係数 𝜙 = (𝜇𝑚 ⁄𝜇𝑤 )はほぼ 1 である．
高レイノルズ数の乱流の管内流では，次式の経験式がよく使われる (Sieder and Tate 相関式)1)
𝐷 𝐺 0.8 𝐶𝑝 𝜇 1/3 𝜇𝑚 0.14

ℎ𝑖 𝐷

= 0.026 ( 𝜇 )
𝜅

(

𝜅

)

(

𝜇𝑤

)

(9.2-2)あるいは同じ内容だが，Colburn の j-factor 相関式
𝑗𝐻 = 0.026 𝑅𝑒 −0.2
(9.2-3)45⁄が使われる．これらの式は，𝑅𝑒 = 10 ~ 10 , Pr = 0.6 ~ 100, 管長さ 𝐿 𝐷 > 10 の範囲において管内伝熱係数を±20 % 以内の誤差で与える．error in the range 𝑅𝑒 = 104 ~ 105 ,Pr = 0.6 ~ 100 , and 𝐿⁄𝐷 > 10. 中庸の出ん熱条件では粘度の温度補正は必要な く，
𝜇𝑚 ⁄𝜇𝑤 ≅ 1 である．
また。次式も同様の条件範囲内で有効である：
𝐷 𝐺 0.8 𝐶𝑝 𝜇 1/3ℎ𝑖 𝐷= 0.023 ( 𝜇 )
𝜅

(

𝜅

)

(9.2-4)

これらの乱流の場合と違って，円管内層流の場合は，パイプ入口から発達する境界層の影響を考慮しなければならず，次式のように管長さの入った相関式がある：
ℎ𝑖 𝐷

0.14

𝜇

= 1.86 (𝑅𝑒 Pr 𝐷⁄𝐿 )1/3 ( 𝜇𝑚)𝜅(9.2-5)𝑤

この相関式は 𝑅𝑒 Pr 𝐿⁄𝐷 > 10 の範囲で有効で，誤差±20 %以内で管内伝熱係数を与える．
式(9.2-5) は発達過程の温度場の平均伝熱係数を与えることを留意すべきである．前章の図
8.2-1 の左側の平行な直線群がこの層流の伝熱相関を与えていることに注意すべきである．
1.

Sieder, E.N. and Tate, G.E., Ind. Eng. Chem., 28, 1429 (1936)

9.3 二重管式熱交換器の環状部側伝熱係数 1)
環状部側の伝熱係数を評価するためには，非円形断面流路に対する水力相当直径を考えねばならない．
乱流の環状部流れにおける，環状部側から内管側への伝熱に関しては，円管内流れに使われる相関式に環状部の幾何学形状を考慮に入れて類似の相関式が得られている．つまり水力相当直径 𝐷𝑒𝑞 が考慮されている．
その相関式の一つがℎ𝑜 𝐷𝑒𝑞𝜅

𝐷𝑒𝑞 𝐺 0.8 𝐶𝑝 𝜇 0.4 𝐷2 0.45

= 0.023 (

𝜇

)

(

𝜅

)

( )
𝐷1

𝐷𝑒𝑞 = 𝐷2 − 𝐷1 ,である．

(9.3-1)
𝑅𝑒 > 104

二重管式熱交換器の環状部側伝熱係数49105

ここに 𝐷2 と 𝐷1 は二重管の外管の内径と内管の外径である．左辺の 𝐷𝑒𝑞 は円形断面でない環状部の流路の代表径であり，水力相当直径と呼ばれるものである．（第 7.4-3 章参照）
1.

Kern, D. Q., Process Heat Transfer, McGraw-Hill, New York, 137 (1950)

9.4 シェル（胴）側の伝熱係数
図 9.4-1 に示すような２種類の伝熱管配列方式を考えると，三角形ピッチの方が高い伝熱係数を与える，なぜならば，隣り合う伝熱管の間を通過する流体は次の列の管束に直接衝突するからである．ただし，正方形配列に比べて三角形配列の方がファウリングの掃除などが面倒である．

図 9.4-1. 多管式熱交のシェル側の２種類の管配列方式と水力相当直径

シェル側流体は，ある領域（平行流部）では管束に平行に流れ，ある領域（直交流部）
では管束を垂直に通過するので，これらの流れに特徴的な代表速度と代表径を持ちることにする．
直交流部の質量速度 𝐺𝑐 はシェル中心で評価するので，熱交の中心線にある管列（または中心線に一番近い管列）の隙間を質量流量 𝑊𝑠 の流体が垂直に横断する際の全流れ断面
𝑆𝑐 で割って得られる：
𝑊
𝐺𝑐 = 𝑃 𝐷 − (𝐷 𝑠⁄𝑃 )𝑃 𝑑
（正方形配列，三角形配列共用）(9.4-1)
𝑏 𝑠

𝑠

𝑡

𝑏 𝑜

ここに 𝑃𝑡 は管配列ピッチ，𝑃𝑏 は邪魔板間隔である．

図 9.4-2. 伝熱管束を通過するシェル側流体の流路

伝熱装置

106

直交流部の質量速度 𝐺𝑐 を代表速度に選ぶ．シェル側の相当直径𝐷𝑒𝑞 には，邪魔板なしの仮想的な平衡流に対するものを使う．

𝐷𝑒𝑞 =
𝐷𝑒𝑞 =

𝜋
1
√3
𝑃 2 − 𝑑𝑜 2 )
4 𝑡
4
2
1
𝜋 𝑑𝑜
2
2 𝜋
4(𝑃𝑡 − 𝑑𝑜2 )
4

4(

𝜋 𝑑𝑜

（三角形配列）(9.4-2)（正方形配列）(9.4-3)

このような質量速度 𝐺𝑐 と相当直径 𝐷𝑒 を使うならば，一例として，ヌッセルト数は次式のように相関づけられている：ℎ𝑜 𝐷𝑒𝑞𝜅= 0.36 (𝐷𝑒𝑞 𝐺𝑐 0.55𝜇)(

𝐶𝑝 𝜇 1/3 𝜇𝑚 0.14
𝜅

)

(

𝜇𝑤

)

(9.4-4)

𝑅𝑒 = 2,000 ~ 1,000,000.

9.5 熱交換器の真の温度差 1)
図 9.5-1 は，図に示すノズル位置の 1-2 熱交換器について，温度 対 管長さの模式的な線図である．曲線 𝑇ℎ𝑖 → 𝑇ℎ𝑡 と 𝑇𝑐𝑖 → 𝑇𝑐𝑜 は向流熱交のものであり，曲線 𝑇ℎ𝑡 → 𝑇ℎ𝑜 と𝑇𝑐𝑖 → 𝑇𝑐𝑜 は並流熱交に対応している．
向流の対数平均温度差 LMTD は形式的に次のように書ける：

𝐿𝑀𝑇𝐷 = (∆𝑇)𝑙𝑚 =(𝑇ℎ𝑖 − 𝑇𝑐𝑜 )−(𝑇ℎ𝑜 − 𝑇𝑐𝑖 )𝑇 − 𝑇𝑐𝑜𝑇ℎ𝑜 − 𝑇𝑐𝑖

ln ℎ𝑖

(9.5-1)

しかし，これは真の平均温度差を計算するには，どうしても補正なしには使えない．補正係数 𝐹 は，向流の対数平均温度差 LMTD にこの補正係数を掛けることによって，正しい
真の平均温度差が得られるように，定義されている． 図 9.5-2 は 1-2 熱交の補正係数 𝐹
for 1-2 を二つの無次元パラメータの関数として線図で与えている．この図 9.5-2 の補正係
数は 1 シェルパスなら偶数のチューブパスにも使用可能である．必要ならば，他のいろいろなシェルパス，チューブパスの場合の補正係数の線図はハンドブックなど他書を参照す
ることができる．
1.

Bowman, R.A., Mueller, A.C. and Nagle, W.M., Trans. A.S.M.E., 62, 283 (1940)

図 9.5-1.

1-2 熱交の温度 対 管長さの模式線図

多管式熱交換器の工学的設計
49107

図 9.5-2 1 シェルパス，偶数チューブパスの補正係数プロット

したがって，真の平均温度差 (∆𝑇)𝑙𝑚 𝐹 を使って，多管式熱交換器の所要伝熱面積 𝐴𝑜 の
式は次のようになる：
𝑄 = 𝑈𝑜 𝐴𝑜 (∆𝑇)𝑙𝑚 𝐹(9.5-2)
ここに入れるべき LMTD は流体の入り口・出口の位置が向流式の二重管式熱交換器と同じならば，その対数平均温度差を使って，これに補正係数 𝐹 を掛ければよい．種々の位置
関係の複雑な熱交換器の補正係数については，ここでは省略するので，必要ならば，他のハンドブックなどを参照されたい．

9.6 多管式熱交換器の工学的設計
簡単にするため，基本となる設計基礎計算法を学ぼう．
(1) 熱交における圧力損失(1-A) 管側の圧力損失
伝熱管内側の圧力損失は単一の直管における圧力降下と基本的に同様の方法で計算できる．すなわち，管側の圧力損失は直管部の圧力降下と熱交の前後の頭で管板を出入りする時に起きる流れの方向変化による圧力降下の合計で評価される．
① 直管部の圧力降下：∆𝑝𝑡 =4 𝑓 𝐺𝑡 2 𝐿 𝑛
2 𝐷 𝜌 𝜙𝑡(9.6-1)

ここで 𝑛 は管側のパス（流路）数である．したがって (1⁄2)𝐺𝑡 2 /𝜌 は運動のエネルギー (1⁄2)𝜌 𝑣𝑡 2 を 意 味 し ， 𝐿 𝑛 流 路 の 全 長 で あ る ． 分 母 に は 粘 度 補 正 項 𝜙 =−0.14(𝜇𝑚 ⁄𝜇𝑤 )が入っている．この式は直管の圧力降下の式 (6.1-16) と本質的に同じである．
② 方向変化による圧力降下：
1
Δ𝑝𝑟 = 4 𝑛 2 𝜚𝑣𝑡 2(9.6-2)
この式はある一つのパス（流路）から次のパスに移動するときの急激な方向転換による圧力降下を与えているが，１パス当たり速度頭（動圧）の４倍になる．
(1-B) シェル（胴）側の圧力損失
胴側の圧力損失は邪魔板間にある管束を流体が何回横切るかの回数と横切る距離に比例すると考える． 式(7.4-8) をシェル側の圧力損失に使用できる形に修正して，次

伝熱装置

108

の経験的相関式が用意されている：
𝐺 2 𝐷 (𝑁+1)∆𝑝𝑠 = 4 𝑓𝑠 (1𝑐⁄2)𝑠𝜌 𝐷 𝜙

𝑒 𝑠(9.6-3)

ここで (1⁄2)𝐺𝑐 2 /𝜌 は運動のエネルギー (1⁄2)𝜌 𝑣𝑐 2 を意味しており，𝐷𝑠 (𝑁 + 1) は−0.14
流体が辿る一種の相当長さである．ここでも粘度の温度補正項 𝜙 = (𝜇𝑚 ⁄𝜇𝑤 )を入れている．𝑁 がシェル内の邪魔板の枚数であるので，シェル側の流体は管束を(N +1) 回横切ることを意味している．すなわち，(N + 1) は管長 𝐿 と邪魔板間隔 𝑃𝑏 との比に等しい．相当直径 𝐷𝑒𝑞 伝熱の計算に用いたものと同じである．上の式は入口，
出口での圧力損失も含んでいる．
式(9.6-3) 中のシェル側の摩擦係数は次式で与えられる：
𝑓𝑠 = 0.43 𝑅𝑒𝑠 −0.19
500 < 𝑅𝑒𝑠 < 105(9.6-4)
𝐷𝑒𝑞 𝐺𝑐
ここでレイノルズ数は 𝑅𝑒𝑠 = 𝜇 である．
9.6-1 二重管式熱交の熱的設計下の実例の例題で実際的な熱的設計方法を学ぼう．
[ 例 題 9.6-1] 蒸留塔の塔頂コンデンサーより抜き出される 4,000 kg/h のメタノール（98 mol%）を二重管式熱交で 62 C (=335 K) から 30 C (=3034 K) まで冷却したい．二重管式熱交の内管は外径 50 mm OD, 厚さ 2 mm の銅管で，外管は内径 80 mm ID の銅管でできている．メタノールを内管内側に，冷却水を環状部に向流で流す．冷却水の入り口温度は 20 C (=293 K) ，出口温度は 25 C (=298 K) に設定する．二重管の必要長さを求めよ．
[

解] 内管内流体（メタノール）の平均温度 46 C (=319 K)での物性定数は：:
𝜌 = 780 𝑘𝑔⁄𝑚3 , 𝐶𝑝 = 2.59 × 103 𝐽⁄𝑘𝑔 𝐾 , 𝜇 = 0.0004 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠, 𝜅 = 0.196 𝑊 ⁄𝑚 𝐾.
熱収支は 𝑄 = (4000)(2.59 × 103 )(335 − 303) = 𝑊 (4.183 × 103 )(298 − 293)
= 3.3165 × 109 𝐽⁄ℎ = 0.921 × 105 𝑊
この式より必要冷却水量を求めると
𝑊 = 1.585 × 104 𝑘𝑔⁄ℎ
メタノール側の伝熱係数を求めねばならない．
質量速度は(4000⁄3600)⁄ 2𝐺=
2 = 668.6 𝑘𝑔 𝑚 𝑠(𝜋⁄4)(0.046)

𝑅𝑒 = 𝐷 𝐺 ⁄𝜇 = (0.046) (668.6)⁄0.0004 = 76,900
(乱流)
3
⁄
⁄
𝑃𝑟 = 𝐶𝑝 𝜇 𝜅 = (2.59 × 10 ) (0.0004 0.196) = 5.286式(9.2-4) からℎ𝑖 = 0.023 (𝜅⁄𝐷) 𝑅𝑒 0.8 𝑃𝑟 1⁄3 = (0.023)(0.196⁄0.046)(76,900)0.8 (5.286)1⁄3= 1,380 𝑊 ⁄𝑚2 𝐾
冷却水側の伝熱係数を求める．流路は環状部だから，相当直径は
𝐷𝑒𝑞 = 𝐷2 − 𝐷10 = 0.08 − 0.05 = 0.03 𝑚
質量速度は(1.6585 × 104 ⁄3,600)

𝐺𝑜 = (𝜋⁄4)((0.08)2− (0.05)2) = 1,440 𝑘𝑔⁄𝑚2 𝑠
平均温度 22.5 C (=295.5 K) における水の物性定数は are: 𝜌 = 1,000 𝑘𝑔⁄𝑚3 ,𝐶𝑝 = 4.183 × 103 𝐽⁄𝑘𝑔 𝐾 , 𝜇 = 0.0009 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠, 𝜅 = 0.616 𝑊 ⁄𝑚 𝐾 .
𝑅𝑒𝑒𝑞 = 𝐷𝑒𝑞 𝐺𝑜 ⁄𝜇 = (0.03)(1440⁄0.0009) = 48,000
𝑃𝑟 = 𝐶𝑝 𝜇⁄𝜅 = (4.183 × 103 ) (0.0009⁄0.616) = 6.11式(876) から環状部の伝熱係数は次式のように計算される：

二重管式熱交の熱的設計
49

109

0.45
ℎ𝑜 = 0.023 (𝜅𝑏 ⁄𝐷𝑒𝑞 )(𝐷𝑒𝑞 𝐺𝑜 ⁄𝜇 )0.8 (𝐶𝑝 𝜇 ⁄𝜅)0.4 (𝐷2 ⁄𝐷1 )= 0.023 (0.616⁄0.03)(48000)0.8 (6.11)0.4 (80⁄50)0.45 = 6690 𝑊 ⁄𝑚2 𝐾
銅管の伝熱抵抗は小さいとして無視できるとし，総括のファウリングによる伝熱抵抗を 1⁄ℎ𝑠 = 4.4 × 10−4 (𝑊 ⁄𝑚2 𝐾 )−1 と仮定すると，総括伝熱係数は
1
𝑈𝑜 == 726.1 𝑊 ⁄𝑚2 𝐾
1 0.0501−41380 0.046 + 4.4 × 10 + 6690

向流の場合の対数平均温度差は𝐿𝑀𝑇𝐷 = (∆𝑇)𝑙𝑚 =(335−298)−(303−293)
335−298
303−293ln= 20.6 𝐾

したがって，指定した伝熱速度に対する所要伝熱面積は𝐴𝑜 = 𝑄⁄𝑈𝑜 (∆𝑇)𝑙𝑚 = (0.921 × 105 )⁄(726.1)(20.6) = 6.16 𝑚2
故に必要な伝熱管の全長は
𝐿 = 𝐴𝑜 ⁄𝜋𝐷 = 6.16⁄𝜋(0.05) = 39.2 𝑚
二重管式熱交の一段当たりの伝熱管長を 5 m とすると，８段必要となる．
9.6-2 多管式熱交の熱的設計
下の例題に従って，実際の設計手順を学ぼう．
[ 例 題 9.6-2] 30,000 kg/h の有機系の液体混合物を蒸留塔に原料として供給する前に，30℃(= 303 K) から 70℃ (= 343 K) まで多管式熱交で加熱したい．
この液体混合物をシェル側に流し，加熱媒体として他の蒸留塔のリボイラーから105℃ (= 378 K) で出てきた 42,000 kg/h のトルエンを管内側にて利用する．熱交の設計条件として，外径 25 mm OD，内径 22 mm ID，長さ 5 m の平滑な鋼管を伝熱管として用い， その配列は正方形配列の 35 mm ピッチとする，また邪魔板間隔は 250 mmとする．管内側，シェル側とも1 × 105 Pa が許容圧力降下とする．また総括のファウリングによる伝熱抵抗1⁄ℎ𝑠𝑡 を3.8 × 10−4 (W/m2K)-1 であると仮定する．
この要求に対して必要な多管式熱交換器のサイズを求めよ．
表 9 有機系液体混合物およびトルエンの物性定数
𝑇℃
30
50
70
90

𝜌

kg/m3
890
870
855
845

𝜇 kg/m s
0.00170.00120.000940.00076

𝑇℃
50
70
90
110

𝜌

kg/m3
850
820
800
770

𝜇 kg/m s
0.000400.000340.000280.00021

𝜅

W/m K
0.150
0.147
0.145
0.142

𝐶𝑝 J/kg K
1.85 x 103
1.91 x 103
1.98 x 103
2.04 x 103

𝜅

W/m K
0.128
0.124
0.117
0.114

𝐶𝑝 J/kg K
1.80 x 103
1.88 x 103
1.97 x 103
2.05 x 103

Toluene[ 解 ]平均温度における熱容量は液体混合物 𝐶𝑝𝑜 = 1.91 × 103

J/kg K

at

𝑇𝑐𝑜 =

30+70
2

= 50 ℃

伝熱装置

110

Toluene𝐶𝑝𝑖 = 1.97 × 103

J/kg Kat

𝑇𝑐𝑜 =105+77.4
2= 91.2 ℃（トルエンの出口温度は未知であるが，次の全熱収支の計算に試行法を適用して上のトルエンの熱容量を求めている）
(i)
熱収支：
𝐽
𝑄 = (30,000)(1.91 × 103 )(70 − 30) = 2.292 × 109 = 6.367 × 105 𝑊ℎ= (42,000) 𝐶𝑝𝑖 (105 − 𝑇𝑖2 )この式から試行法で管内側のトルエンの出口温度が求められて
𝑇𝑖2 = 77.4 ℃.
(ii)
真の温度差：先ずは二重管式熱交の形で対数平均温度差を求めると(105 − 70) − (77.4 − 30)
𝐿𝑀𝑇𝐷 = (∆𝑇)𝑙𝑚 == 40.9 K
105 − 70
ln 77.4 − 30
1 – 4 熱交の場合のパラメータの値は105 − 77.4
𝑍=
= 0.6970 − 3070 − 30
𝑌== 0.533
105 − 30
このパラメータの時，図 9.5-2 により, F = 0.88
だから真の温度差は ∆𝑇 = (∆𝑇)𝑙𝑚 𝐹 = (40.9)(0.88) = 36.0 𝐾 となる．
(iii) 試行法：
総括伝熱係数を仮定する： 𝑈𝑜 = 300 𝑊 ⁄𝑚2 𝐾
仮定した総括伝熱係数を使って，必要な全伝熱面積は𝐴𝑜 = 𝑄⁄𝑈𝑜 ∆𝑇 = 6.367 × 105 ⁄(300)(36.0) = 58.95 𝑚2
伝熱管１本当たりの外表面積は
𝑎𝑜 = 𝜋𝐷𝑜 𝐿 = 𝜋(0.025)(5) = 0.393 𝑚2
必要伝熱管本数は 𝑛𝑡 = 𝐴𝑜 ⁄𝑎𝑜 = 58.95⁄0.393 = 150 < 152
管側４流路ならば，各チューブパスに収容できる本数は 38 本となる．
これに対して，新たな総括伝熱係数を仮定しなおさねばならない．新しい仮定値は𝑈𝑜 = 𝑄⁄𝑛𝑡 𝑎𝑜 ∆𝑇 = 6.367 × 105 ⁄(152)(0.393)(36.0) = 296.1 𝑊 ⁄𝑚2 𝐾
管側
管１本当たりの流路面積は 𝑎𝑡 = (𝜋⁄4) 𝐷𝑖 2 = (𝜋⁄4)(0.022)2 = 3.80 × 10−4 𝑚2
チューブパス当たりの流路面積は 𝐴𝑡 = (152⁄4)(3.80 × 10−4 ) = 0.0144 𝑚2
質量速度は 𝐺𝑖0 = 𝑊𝑖 ⁄𝐴𝑡 = (42,000⁄3600)⁄(0.0144) = 810.2 𝑘𝑔⁄𝑚2 𝑠
トルエンの粘度は at 𝑇𝑐𝑖 = 91.2℃: 𝜇𝑖 = 0.000276 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠
管内側のレイノルズ数：
𝑅𝑒𝑖 = (0.022) (810.2)⁄0.000276 = 64,600
管長 5 m だから𝐿⁄𝐷𝑖 = 5⁄0.022 = 227,
管内側伝熱係数を求めるために，図 8.2-1 の乱流域の線より
𝑗𝐻𝑖 = 0.0028 at 𝑅𝑒𝑖 = 64,6000.
𝑇𝑐𝑖 = 91.2℃ におけるトルエンの 𝐶𝑝𝑖 = 1.97 × 103 J/kg K, 𝜅𝑖 = 0.117 𝑊 ⁄𝑚 𝐾
プラントル数： 𝑃𝑟𝑖 = 𝐶𝑝𝑖 𝜇𝑖 ⁄𝜅𝑖 = 4.65.
したがって，管内側の伝熱係数は次式となる：Then the inside heat-transfer coefficient isℎ𝑖 ⁄𝜙𝑖 = (𝑗𝐻𝑖 ⁄𝜙𝑖 )(𝜅𝑖 ⁄𝐷𝑖 )𝑅𝑒𝑖 𝑃𝑟𝑖 1⁄3 = (0.0028)(0.117⁄0.022)(64,600)(4.65)1⁄3= 1,606 𝑊 ⁄𝑚2 𝐾

多管式熱交の熱的設計
49

111

ここでは粘度の温度補正係数はそのまま残しているが，温度変化は大きくないので，補正係数はほぼ 1 であると見做している．
シェル側
外径 25 mm OD の伝熱管 152 本を収容できるシェルの内径は，35 mm ピッチの正方形配列で実際に配列作図をすれば求められる。概算をして見ると，正方形配列の一つの正方形は (0.035)2 = 0.00123 m2 の面積を持っていて，１本の伝熱管を収容できる．152 本収容するには次式のようなシェル断面積が必要である：(𝜋⁄4) 𝐷𝑠 2 = (0.00123)(152) = 0.187 𝑚2
この段階では第一近似として，シェル内径は
𝐷𝑠 = 0.488 𝑚 （最小値）となる．伝熱管束の一番外側の管がシェルの内壁にぶつからないようにするために，管半本分の 𝐷𝑜 ⁄2 のスペースがシェルの直径の両端に必要である：
𝐷𝑠 = 0.488 + (0.0125 × 2) = 0.513 𝑚
また邪魔板などを固定するためのタイロッド
を管束内に入れるので，さらに伝熱管外径分のスペースが管束の外縁とシェル内壁との間に必要である：
𝐷𝑠 = 0.513 + (0.025 × 2) = 0.563 𝑚
一方，正方形配列の相当直径は4 (𝑃𝑡 2 − (𝜋⁄4) 𝐷𝑜 2 )4 ((0.035)2 − (𝜋⁄4) (0.025)2 )𝐷𝑒𝑞 === 0.0374 𝑚𝜋𝐷𝑜𝜋(0.025)
直交流位置での質量速度は𝑊𝑜(30,000⁄3,600)
𝐺𝑐 ==(0.25)(0.563) − (0.563⁄0.035)(0.25)(0.25)
𝑃𝑏 𝐷𝑠 − (𝐷𝑠 ⁄𝑃𝑡 )𝑃𝑏 𝐷𝑜
2⁄= 207.2 𝑘𝑔 𝑚 𝑠
誘起系液体混合物の 𝑇𝑐𝑜 = 50℃ における物性は 𝐶𝑝𝑜 = 1.91 × 103 𝐽⁄𝑘𝑔 𝐾,
𝜇𝑜 = 0.0012 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠, 𝜅𝑜 = 0.147 𝑊 ⁄𝑚 𝐾 ,プラントル数： 𝑃𝑟𝑜 = 15.6.
レイノルズ数：𝑅𝑒𝑜 = 𝐷𝑒𝑞 𝐺𝑐 ⁄𝜇𝑜 = (0.0374) (207.2)⁄0.0012 = 6,460
シェル側の伝熱係数は式 (9.4-4) よりℎ𝑜 ⁄𝜙𝑜 = 0.36 (𝜅𝑜 ⁄𝐷𝑒𝑞 ) 𝑅𝑒𝑜 0.55 𝑃𝑟𝑜 1⁄3= (0.36)(0.147⁄0.0374)(6460)0.55 (15.6)1⁄3 = 440.6 𝑊 ⁄𝑚2 𝑠 𝐾
管壁の温度
ファウリングの抵抗を無視した熱収支をとるとℎ𝑖1(𝑇𝑤 − 𝑇𝑐𝑖 ) = 𝜙𝑖 𝜙𝑜 (𝑇𝑐𝑜 − 𝑇𝑐𝑖 )
𝜙
𝑖

ℎ𝑖

+

ℎ𝑜

これより管壁温度を求めるとℎ𝑜 ⁄𝜙𝑜(𝑇 − 𝑇𝑐𝑖 )(ℎ𝑖 ⁄𝜙𝑖 ) + (ℎ𝑜 ⁄𝜙𝑜 ) 𝑐𝑜
= 91.2 + (440.6)(50 – 91.2)/(1606 + 440.6) = 82.3 C (= 355.3 K)
有機系液体混合物の 𝑇𝑤 = 82.3 𝐶 における粘度は
𝜇𝑤𝑜 = 0.000829 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠, 𝜇𝑤𝑖 = 0.000303 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠
したがって粘度の補正係数は
𝑇𝑤 = 𝑇𝑐𝑖 +

伝熱装置

112

𝜙𝑜 = (𝜇 ⁄𝜇𝑤 )

0.14

0.14

= (0.0012⁄0.000829)= 1.050.14
0.14
𝜙𝑖 = (𝜇 ⁄𝜇𝑤 )= (0.000276⁄0.000 − 303)
= 0.99シェル側，管内側とも補正係数はほぼ 1 である．
補正係数を使って，求める真の伝熱係数は以下のようになる：ℎ𝑜 = (ℎ𝑜 ⁄𝜙𝑜 ) 𝜙𝑜 = (440.6)(1.05) = 462.6 W/m2Kℎ𝑖 = (ℎ𝑖 ⁄𝜙𝑖 ) 𝜙𝑖 = (1606)(0.99) = 1590 W/m2K
鋼管の熱伝導度は 𝜅𝑡 = 45.0 𝑊 ⁄𝑚 𝐾
伝熱管自身の管内外径の平均として，対数平均値をとると(𝐷𝑜 − 𝐷𝑖 )0.025 − 0.022
𝐷𝑎𝑣 === 0.0235 𝑚
𝐷𝑜
0.025
ln 𝐷
ln 0.022𝑖
総括伝熱係数
ここまでに求めてきた伝熱係数などを代入して，総括伝熱係数を求めると
1
𝑈𝑜 =1 𝐷𝑜 𝛿𝑡 𝐷𝑜
1
1ℎ𝑖 𝐷𝑖 + 𝜅𝑡 𝐷𝑎𝑣 + ℎ𝑜 + ℎ𝑠𝑡
1= 1 0.025 0.0015 0.025 1= 303. 8 W/m2K (vs. 296 assumed)−4
1590 0.022+

45.0 0.0236

+

462.6

+3.8× 10仮定値が 296 であったがその値を使って計算しなおすと 303.8 が得られた．
計算しなおした値が仮定値より大きく外れている場合は，新たな仮定値で上の計算を繰り返さねばならないが，上で得られた計算値は仮定値よりたった 2.6% だけ
安全側に大きい側へずれているだけであるので，これを決定値とする．シェル内径
𝐷𝑠 の厳密な値は 35 mm ピッチの正方形配列の作図を流路仕切り板やタイロッドの他，挿入する附属物などを考慮に入れて，実際にやって決めるべきである．
熱的設計の結果をまとめるとSHELL SIDE
1 passTUBE SIDE
4 tube passes

𝐷𝑠 = 0.563 m

𝐷𝑜 = 0.0-25 m, 𝐷𝑖 = 0.022 m, 𝐿 = 5 m

𝑇𝑜1 = 30 C

𝑇𝑖1 𝑇𝑖1 = 105 C

𝑇𝑜2 = 70 C

𝑇𝑖2 = 77.4 C

𝑇𝑐𝑜 = 50 C

𝑇𝑐𝑖 = 91.2 C

𝑅𝑒𝑜 = 6,460

𝑅𝑒𝑖 = 64,600ℎ𝑜 = 462.6 W/m2Kℎ𝑖 = 1,590 W/m2K
𝑄 = 6.367 x 105 W∆𝑇 = 36.0 K, 𝑇𝑤 = 82.3 C
𝑛𝑡 = 152
𝑈𝑜 = 303.8 W/m2K

(iv)

圧力損失
(a) シェル側：式(9.6-4)にシェル側のレイノルズ数を入れて，𝑓𝑠 = 0.43 𝑅𝑒𝑠 −0.19 = 0.0812 at
𝑅𝑒𝑠 = 6,460
この熱交の場合，式(9.6-3)において， 𝑁 = 20, 𝜙𝑠 = 1.05 , 𝐺𝑐 = 207.2 kg/m2 s,
𝐷𝑠 = 0.563 m，𝜚 = 870 kg⁄m3 , 𝐷𝑒𝑞 = 0.0374 m

多管式熱交の熱的設計
49

（続）

113

したがってシェル側の圧力損失は次のように計算される：(207.2)2 (0.563)(21)∆𝑝𝑠 = 4 (0.0812)= 2,400 < 105 Pa
2 (870)(0.0374)(1.05)
この値は許容限度より十分に小さい．
(b) 管側：図 7.3-1 より，𝑓 = 0.0049
at 𝑅𝑒𝑖 = 64,600
直管部については，式(9.6-1)において，𝐺𝑡 = 810.2 kg⁄m2 s , 𝐿 = 5 m, 𝑛 = 4,
𝜙𝑡 = 0.99 , 𝜚 = 798 kg⁄m3, 𝐷𝑖 = 0.022 m
4 (0.0049)(810.2)2 (5)(4)∆𝑝𝑡 == 7,403 Pa
2 (0.022)(798)(0.99)
方向転換部については，式(9.6-4)において，𝑣𝑡 = 𝐺𝑖 ⁄𝜌 = 810.2⁄798 = 1.02 m⁄s∆𝑝𝑟 = 4 (4)(1⁄2)(798)(1.02)2 = 6,642 Pa
したがって管側のトータルの圧力損失は次のようになる：∆𝑝 = ∆𝑝𝑡 + ∆𝑝𝑟 = 7,403 + 6,642 = 1.04 × 104 < 105 Pa
この値もまた，許容限界範囲内で許される値である．

[ 問 題 9.6-1]
ある 1-2 多管式熱交換器が 4,000 kg/h の石油系ハイドロカーボンを冷却する運転をしている．現在，この石油系液体混合物を管側に流して 90 C (=363 K) から 63 C (= 336 K)まで冷却している一方，シェル側には冷却水が流され，その温度は 30 C (= 303 K) から
38 C (= 311 K)まで上昇する．この熱交の有効伝熱面積は管外径基準で 10 m2 である．石
油系液体混合物の熱容量は 𝐶𝑝 = 2.2 × 103 J⁄kg K ，密度は 𝜌 = 880 kg⁄m3 である．この運転時の総括伝熱係数はいくらか計算せよ．.
(答： 162.2 W/m2K)[ 問 題 9.6-2]ある製油所において， 100,000 kg/h の原油を第一蒸留塔に原料として供給する前に，70 C (= 343 K) から 100 C (=373 K) まで多管式熱交換器で加熱したい．原油を管側に流し，加熱媒体としてのケロセン 65,000 kg/h を供給温度 200 C (= 473 K) でシェル側に流したい．この熱交には外径 25 mm OD, 内径 22 mm ID 長さ 5 m の平滑な鋼管を 35 mmの三角形配列で装備する．また管外側の流速を上げるために，25%-cut の邪魔板を 250 mm
間隔で入れる．この多管式熱交換器の熱的設計をせよ．ただし，管側およびシェル側の許容圧力損失はそれぞれ 3 × 105 and 1 × 105 Pa である．ファウリング抵抗係数には次の値が使用できると仮定する：−1−11⁄ℎ𝑠𝑖 = 3.5 × 10−4 (W⁄m2 K) ,1⁄ℎ𝑠𝑜 = 1.8 × 10−4 (W⁄m2 K)
表 9.6-2
𝑇 ℃
120
140
160
180
200

ケロセンおよび原油の物性定数𝜌 𝑘𝑔⁄𝑚3

𝐶𝑝 𝑘𝐽⁄𝑘𝑔 𝐾

𝜇 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠κ 𝑊 ⁄𝑚 𝐾

740
720
710
690
680

2.39
2.47
2.55
2.63
2.71

0.000480.000390.000310.000260.00021

0.135
0.133
0.131
0.130
0.128

𝑇 ℃
60
80
100
120
140
160

𝜌 𝑘𝑔⁄𝑚3

𝐶𝑝 𝑘𝐽⁄𝑘𝑔 𝐾

𝜇 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠κ 𝑊 ⁄𝑚 𝐾

820
810
790
780
770

2.08
2.16
2.24
2.34
2.43

0.00320.00230.00170.00130.000960.00071

0.132
0.131
0.130
0.129
0.128

伝熱装置

114

9.7

浸漬物体周りの対流伝熱9.7-1 直交流中の単一円柱 1,2)
一様な流速 𝑣∞ と一様な温度 𝑇∞の自由流れ中に浸漬された円柱（直径 𝐷）が温度 𝑇𝑆 である時の円柱周りの熱輸送について考えよう．

図 9.7-1. 円柱の軸に垂直な一様流中に置かれた円柱周りの熱輸送

ヌッセルト数とレイノルズ数の定義：ℎ 𝐷
𝑣 𝐷𝜌
𝑁𝑢𝐷 = 𝑙𝑜𝑐
𝑅𝑒𝐷 = ∞𝜇 ∞𝜅𝑓𝑓

ここで，粘度 𝜇𝑓 と熱伝導度 𝜅𝑓 は境膜温度（流体温度と円柱温度の平均）で評価する．

図 9.7-2 直交する空気流中の円柱周りの局所ヌッセルト数

レイノルズ数が十分に小さい時には，前面側の淀み点から発する境界層は層流に維持され，背面側に形成される（境界層の）剥離域における流れにおいてもまだ層流を維持されている．図 9.7-2 はこのような低レイノルズ数において局所ヌッセルト数が滑らかに低下
減少して行く典型的な曲線を示している．それより下流の円柱背後の剥離が起きている後流において少しヌッセルト数の増加が見られる．またレイノルズ数が十分に大きくなった
時は，境界層は層流から乱流に遷移し，伝熱の局所分布は大きく変化する．、また剥離が起きる位置も 90˚を超えて上流側へシフト（移動）し，剥離領域で伝熱係数が非常に大きくなる．

浸漬物体周りの対流伝熱49115

工学的計算にとっての主たる関心は，伝熱の合計的な速度あるいは円周方向に平均した伝熱係数 ℎ𝑎𝑣 にある．
経験的な伝熱相関として，二つのレイノルズ数領域で次のような相関式がある：
𝑁𝑢𝐷 = (0.43 + 0.50 𝑅𝑒𝐷0.5 )𝑃𝑟 0.38
1 < 𝑅𝑒𝐷 < 103(9.7-1)
0.6
0.38
3
5
𝑁𝑢𝐷 = 0.25 𝑅𝑒𝐷 𝑃𝑟
10 < 𝑅𝑒𝐷 < 2 × 10
(9.7-2)
ここに，円柱表面と流体本体との温度差によるプラントル数の比 𝑃𝑟∞ ⁄𝑃𝑟𝑆 は近似的に 1であると仮定されている．
ヌッセルト数は円柱周囲で平均された伝熱係数で次のように定義されている：ℎ 𝐷
𝑁𝑢𝐷 = 𝑎𝑣
(9.7-3)𝜅𝑓

1.
2.

Eckert, E. R. G. and R. M. Drake, Jr.: “Analysis of Heat and Mass Transfer,” McGraw-Hill, Chap.9, 406 (1972)
Zhukauskas, A. A., V. Makarevicius and A. Shlanciauskas: “Heat Transfer in Banks of Tubes in Crossflow of Fluid,” Mintis,
Vilnius, Lithuania (12968)

9.7-2 熱線風速計式 (9.7-1) は熱線風速計の計測原理に使われる重要な式である．熱線風速計には二つの計測方式：定電流法と定温度法がある．どちらも同じ物理的原理をつかっているが，使い方が異なっている．
非常に細くて十分に長い金属（タングステンあるいは白金など）の細線（熱線直径 𝑑, 長さ 𝑙, 電気抵抗 𝑅𝑤 ) から空気流（風速 𝑣∞ , 温度 𝑇∞) への放熱による熱輸送は次のような関数式で表される：
𝑁𝑢𝑑 = 𝛼 + 𝛽√𝑅𝑒𝑑(9.7-4)
この式は（熱線が細線だから）非常に小さなレイノルズ数に適用された式 (9.7-1) の関数形である．プラントル数の効果は空気流の温度が一様ならば一定と考えているので，定数として消している．簡単で理解し易くするため，定温度法の場合の測定法を学ぼう．
この金属細線には電流を流すので，ジュール熱 𝐼 2 𝑅𝑤 が生じて，この細線表面から空気流へ放熱が起きてバランスし，ある熱的平衡温度に到達する．
熱線である金属線の電気抵抗は 𝑅𝑤 = 𝑅𝑤0 (1 + 𝑟0 (𝑇𝑤 - 𝑇0)) に従う温度変化を示すので，熱線自身の温度 𝑇𝑤 をブリッジ回路にて計測する 𝑅𝑤 から求めることができる．この定数 𝑟0 は線の金属の抵抗の温度係数である．

図 9.7-3. 熱線風速計測法の熱線とブリッジ回路

伝熱装置

116

伝熱係数は次式により計算できる：
𝐼2 𝑅ℎ𝑎𝑣 = 𝜋𝑑𝑙(𝑇 𝑤−𝑇 )(9.7-5)

細線のレイノルズ数は次のように与えられる：𝑣 𝑑𝜌
𝑅𝑒𝑑 = ∞𝜇 ∞(9.7-6)𝑤∞∞

非常に細い熱線であるので，レイノルズ数は非常に小さい値に保たれる．
結局，接近する風速 𝑣∞ はバランス検出用のガルバノメータの入ったホィートストンブ
リッジによってバランスをとって測定された電流 𝐼 から次式を使って求められる：𝐼 2 = 𝛼 ′ + 𝛽′ √𝑣∞(9.7-7)
ここで 𝛼 ′ ，𝛽′ は検定によって決めなければならない定数である．
9.7-3 直交流中に浸漬された単一球
一様流速 𝑣∞ ，一様温度 𝑇∞ の自由流れ中に浸漬された円形の単一球（直径 𝐷）について考えよう．円柱の場合と同様に，周りの局所伝熱係数の分布はレイノルズ数に依存して変化する．工学的な目的のために，単一球の周囲の平均の伝熱係数に注目する．
広いレイノルズ数の範囲で適用できる有名な伝熱相関式が，Ranz and Marshall1) によって与えられている:ℎ𝑚 𝐷
𝜅𝑓= 2.0 + 0.60 (𝐷 𝜌𝑓 𝑣∞
𝜇𝑓

1⁄2

)

(

𝐶𝑝 𝜇𝑓
𝜅𝑓

1⁄3

)

1 < 𝑅𝑒 < 7 × 104

0.6 < Pr < 400(9.7-8)

ここで物性定数は境膜温度（流れ本体の温度と球表面の温度との平均値）𝑇𝑓 = (𝑇∞ + 𝑇𝑆 )⁄2で評価する．
この相関式は無限空間の流体の流れの中を飛んでいる粒子，気泡，液滴の伝熱係数を推算できる実用的で非常に便利な式である
1. Ranz, W. E. and W.R. Marshall, Jr.: Chem. Eng. Prog., vol.48, 141, 173 (1962)[ 問 題 9.7-1] トルエンの１個の液滴が，一様速度 𝑣∞ = 1 m/s で上方に向かって流れる
トルエンのみの過熱蒸気(圧力 1 atm, 温度 𝑇∞ = 125 ℃) の中で，非常に細い熱電対線の高温側接点に懸垂されている．この過熱トルエン蒸気流はこの液滴は形状を球形に維持し，その温度はトルエンの沸点 𝑇𝑆 = 110℃ に保たれる。 スタート時点 𝑡 = 0 で，液滴径はD = 𝐷0 = 4 𝑚𝑚 である．この液滴が蒸発により消滅すまでに必要な経過時間を求めよ．

図 9.7-P1. 過熱蒸気流中に置かれた単一液滴からの蒸発

浸漬物体周りの対流伝熱49

117

一様流中に浸漬された単一円柱と単一球の平均伝熱係数の式(9.7-1), (9.7-2), (9.7-8) をまとめてプロットすると下図のような相関線になる．円柱の線と球の線がほぼ重なる結果となる．このことは一様流中に垂直に置かれた円柱と球の周囲の対流伝熱はよく似ており，円柱や球の周囲で平均した平均伝熱係数はほぼ同じ値になることは大変興味深い結果である．

図 9.7-4. 円柱および球の平均伝熱係数の相関線

記
𝐴
𝐶𝑝
𝐷
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑠
𝑑
𝑑𝑜
𝐹
𝑓
𝐺
𝐺𝑐
ℎ
𝐼
𝑗𝐻
𝐿
𝑁
𝑁𝑢
𝑛
𝑛𝑡
𝑃𝑟
𝑃𝑏
𝑃𝑡
𝑄
𝑅𝑒
𝑇
𝑇𝑠
𝑈
𝜇
𝜙

号

表
伝熱面積, [m2]熱容量, [J/kg K]
円管内径, [m], 円柱直径, [m] または 球直径, [m]相当直径, [m]シェル（胴）の内径, [m]
熱線の直径, [m]伝熱管の外径, [m]真の温度差のための補正係数, [ - ]摩擦係数, [ - ]質量速度, [kg/m2s]
直交流部における質量速度, [kg/m2s]
伝熱係数, [W/m2K]
熱線を流れる電流, [A]
伝熱に関する j-ファクター（j-factor）, [ - ]管長さ, [m]邪魔板の全枚数, [ - ]ヌッセルト数, [ - ]チューブパス（管側）の流路数, [ - ]伝熱管総本数, [ - ]プラントル数, [ - ]熱交のシェル側の邪魔板間隔, [m]管配列のピッチ（配列間隔）, [m]伝熱速度, [W]
レイノルズ数, [ - ]温度, [K]
表面温度, [K]
総括伝熱係数, [W/m2K]
粘度, [kg/m s]
粘度に対する温度補正係数, [ - ]118
下付き添え字
c
低温
D
円柱
f
境膜
h
高温
i
内管，内表面，入口m
流体本体 または 混合平均o外管，外表面 または 出口s
シェル側（胴側）
t
管側
w
壁
∞
自由流れ

伝熱装置

第１０章
異相間物質移動 （ガス吸収）10.1 物質移動係数の定義
物質移動のメカニズムには次の二つのカテゴリーがある：分子的輸送と対流的輸送．
前に学んだフィックの法則（Fick’s law）は固定座標系で通常の拡散を次のように述べている：
𝜕𝑥
𝑁𝐴 − 𝑥𝐴 (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 ) = −𝑐 𝐷𝐴𝐵 𝐴(10.1-1)𝜕𝑦

ここで 𝑥𝐴 は成分 A のモル分率，𝑐 は全成分の合計のモル密度である．
左辺第２項は（全体の動き，すなわち）流体本体の動き（bulk motion と言う）の物質移動に対する寄与を表している．
界面（𝑦 = 0）にフィックの法則を適用すると
𝜕𝑥
𝑁𝐴𝑤 − 𝑥𝐴𝑤 (𝑁𝐴𝑤 + 𝑁𝐵𝑤 ) = −𝑐 𝐷𝐴𝐵 𝐴 |(10.1-2)
𝜕𝑦 𝑦=0伝熱係数の定義と同様の考えで，物質移動係数を定義すると
𝑁𝐴𝑤 − 𝑥𝐴𝑤 (𝑁𝐴𝑤 + 𝑁𝐵𝑤 ) = 𝑘𝑥∗ (𝑥𝐴𝑚 − 𝑥𝐴𝑤 )(10.1-3)
ところが，物質移動係数自身が物質移動速度の関数になることに注意すべきである．
一例として，円管壁から管内を流れる流体への A 成分の物質移動について考えよう．
安息香酸（固体）の鋳物でできた管壁から乱流で流れる水への溶解・拡散が馴染みやす
いよい例である．図 10.1-1 に管壁近くの安息香酸の濃度分布を示している．

図 10.1-1. 安息香酸の鋳物ででき円管内面近くの時間平均の濃度分布

管内壁面における物質流束はフィックの法則によって次のように書ける：
𝜕𝑥
𝑁𝐴 |𝑟=𝑅 − 𝑥𝐴 (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 )|𝑟=𝑅 = −𝑐 𝐷𝐴𝐵 𝐴 |𝜕𝑟 𝑟=𝑅(10.1-4)

物質移動の主たる抵抗は，半径方向の濃度分布の濃度降下の大半が集中している，管壁に接する非常に薄い流体膜（境膜と言う）に集中している．

異相間物質移動120

したがって，次のような近似により仮想的な拡散抵抗膜の厚さ 𝛿𝐷（境膜厚さ）を定義できる：
𝜕𝑥− 𝜕𝑟𝐴 |

𝑟=𝑅=

𝑥𝐴𝑤 − 𝑥𝐴𝑚

(10.1-5)

𝛿𝐷

ここに 𝑥𝐴𝑚 は成分 A の混合平均濃度 (流れ本体濃度)， 𝑥𝐴𝑤 は壁面における A 成分濃度である．すなわち今の場合，安息香酸の溶解度（飽和濃度）である．
円管内流における混合平均濃度の定義式は次式である：
𝑅

𝑥𝐴𝑤 − 𝑥𝐴𝑚 =∫0 2𝜋𝑟 𝑣𝑧 (𝑥𝐴𝑤 − 𝑥𝐴 )𝑑𝑟(10.1-6)𝑅∫0 2𝜋𝑟 𝑣𝑧 𝑑𝑟

上の式(10.1-4) は対流物質移動係数の定義式になる：[𝑁𝐴 − 𝑥𝐴 (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 )]𝑟=𝑅 = (𝑐 𝐷𝐴𝐵 ⁄𝛿𝐷 )(𝑥𝐴𝑤 − 𝑥𝐴𝑚 ) = 𝑘𝑥∗ (𝑥𝐴𝑤 − 𝑥𝐴𝑚 )(10.1-7)
この場合，物質移動係数 𝑘𝑥∗ は kmol/m2s なる単位を持つ．
伝熱のヌッセルト数に類似の物質移動の無次元パラメータは次式のように定義できる：𝑘∗ 𝐷

𝑆ℎ = 𝑐 𝐷𝑥(10.1-8)𝐴𝐵

この無次元パラメータはシャーウッド数（Sherwood number）と呼ばれる．
伝熱の相関式を導出したのと同じような考え方により，小さい物質移動速度の場合の物質移動相関式は次式のような関数形になることがわかる：
𝑆ℎ = 𝑆ℎ(𝑅𝑒, 𝑆𝑐, 𝐿⁄𝐷 )(10.1-9)
前述のように，物質移動係数自身が物質移動速度に依存しているため，厳密には上式のような物質移動係数を考えるが，複雑過ぎるので，実際は，物質移動のデータの大半は 𝑘𝑥∗ の物質移動係数ではなく，次の定義式を使って相関づけられている：
𝑁𝐴𝑤 = 𝑘𝑥 (𝑥𝐴𝑚 − 𝑥𝐴𝑤 )(10.1-10)気相における物質移動の場合，分圧差を推進力に用いることもできる：
𝑁𝐴𝑤 = 𝑘𝐺 (𝑝𝐴𝑚 − 𝑝𝐴𝑤 )(10.1-11)2
この場合の物質移動係数 𝑘𝐺 の単位は kmol/m s atm となる．
液相の場合はモル濃度差が推進力として使われ，物質移動係数の単位は m/s である．
𝑁𝐴𝑤 = 𝑘𝐿 (𝐶𝐴𝑚 − 𝐶𝐴𝑤 )(10.1-12)∗
物質移動速度を考慮した物質移動係数 𝑘𝑥 と違って，これらの移動係数は流体本体の動き（bulk motion）の物質移動に対する寄与𝑥𝐴 (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 ) を含んでいることを忘れてはいけない．
２成分系で，A 成分が移動しても，一方の成分 B が移動せず淀んでいる 𝑁𝐵 = 0 の場合，（本章の後半で学ぶガス吸収に置いて、このような条件になるが）
𝑘𝑥∗𝑘∗(𝑥𝐴𝑚 − 𝑥𝐴𝑤 ) = 𝑥 (𝑥𝐴𝑚 − 𝑥𝐴𝑤 ) = 𝑘𝑥 (𝑥𝐴𝑚 − 𝑥𝐴𝑤 )𝑁𝐴𝑤 =(10.1-13)(1− 𝑥𝐴𝑤 )𝑥𝐵𝑤

気相側に分圧差を使うならば𝑘∗
𝑁𝐴𝑤 = 𝑥 (𝑥𝐴𝑚 − 𝑥𝐴𝑤 ) = 𝑘𝐺 (𝑝𝐴𝑚 − 𝑝𝐴𝑤 )𝑥𝐵𝑤

ここで 𝑥𝐵𝑤 = 𝑝𝐵𝑤 ⁄𝑃 (𝑃 : 全圧).
𝑘𝑥∗ = 𝑘𝑥 𝑥𝐵𝑤 , 𝑘𝑥∗ = 𝑘𝐺 𝑝𝐵𝑤 , 𝑘𝑥∗ = 𝑘𝐿 𝐶𝐵𝑤
ガス吸収の場合，このケースになる．
液相の場合は𝑘∗
𝑁𝐴𝑤 = 𝑥 (𝑥𝐴𝑚 − 𝑥𝐴𝑤 ) = 𝑘𝐿 (𝐶𝐴𝑚 − 𝐶𝐴𝑤 )𝑥𝐵𝑤(10.1-14)(10.1-15)(10.1-16)

ここで 𝑥𝐵𝑤 = 𝐶𝐵𝑤 ⁄𝑐 (𝑐 : 全成分のモル密度) である．
等モル相互拡散 𝑁𝐴 = − 𝑁𝐵 の場合，（質量中心は動かないので bulk motion はない．）
𝑘𝑥∗ = 𝑘𝑥 , 𝑘𝑥∗ = 𝑘𝐺 𝑃, 𝑘𝑥∗ = 𝑘𝐿 𝑐
(10.1-17)
まさに蒸留プロセスはこのケースになる．

熱と物質の移動の間のアナロジー（相似性）
49

121

10.2 熱と物質の移動の間のアナロジー（相似性）
次元解析により， 𝑆ℎ も 𝑁𝑢 と同じ次のような関数形になることを確かめることができるが，解析手順は省略する：
𝑁𝑢 = 𝑁𝑢(𝑅𝑒, 𝑃𝑟)
𝑆ℎ = 𝑆ℎ(𝑅𝑒, 𝑆𝑐)
物質移動の場合の新たな無次元パラメータ（j-ファクター）を次のように定義する：
𝑘

𝜇

𝑀

𝐴𝐵

𝑗𝐷 = 𝐺 𝑥 (𝜌𝐷 )2⁄ 3= 𝑆ℎ 𝑅𝑒 −1 𝑆𝑐 −1⁄3

(10.2-1)

𝑓

下付き添え字 f
は 物 性 定 数 を 境 膜 温 度 𝑇𝑓 = (𝑇𝑚 + 𝑇𝑤 )⁄2 と 境 膜 濃 度
𝑥𝐴𝑓 = (𝑥𝐴𝑚 + 𝑥𝐴𝑤 )⁄2 で評価することを意味している．
次のチルトン・コルバーンの相似則 1) (Chilton-Colburn analogy）は重要な経験的相似則である：
𝑗𝐷 = 𝑗𝐻

or

𝑘𝑥
𝐺𝑀

𝜇

(𝜌𝐷 )
𝐴𝐵

𝑓

2⁄ 3

ℎ

𝐶𝑝 𝜇

= 𝐶𝑝 𝐺 ( 𝜅 )

2⁄ 3

𝑓

(10.2-2)

この相似則は同等の境界条件の場合の伝熱データから物質移動係数を計算してもよいことを示唆している．この 𝑗𝐷 と 𝑗𝐻 の間のアナロジー則は熱と物質の同時移動のプロセスにも適用できる．
1.

Chilton, T. H. and A. P. Colburn, Ind. Eng. Chem., 26, 1183 (1934)

10.3 異相間物質移動の理論
化学工学において，ガス吸収や蒸留のように，物質移動のほとんどが二相間の接触界面を横切る物質
移動（異相間物質移動）で執り行われている．異相間移動は平衡からの隔たりから生じる濃度勾配によって起きるのである．

10.3-1 基礎論 --- ガス吸収の気液平衡
ガス吸収においては，通常，簡単のために，不活性ガス（例えば，空気）の液への溶解度は無視し，液相（例えば，水）から気相への蒸発による気相での蒸気の存在も無視する．だからガス吸収では四つの変数：圧力，温度と成分 A（溶質）の気相と液相での濃度が考えるべき変数である．さらに簡単にするために，温度と圧力は通常，固定されるので，溶質の濃度が残された独立変数として選ばれることになる．結局，非揮発性の吸収液と溶質ガスとの間の平衡関係が重要な要件となる．ガス吸収における気液の平衡関係は，液相中の溶質の濃度 𝑥𝑒 と気相中の溶質の濃度 𝑦𝑒 との間の関係を表すダイアグラムとして表現される．その重要な基礎式の一つとして，ヘンリーの法則（Henry’s law）：
𝑦𝐴 = 𝐻 𝑥𝐴(10.3-1)
あるいは分圧とモル濃度で表した
𝑝𝐴 = 𝐻′ 𝐶𝐴(10.3-2)
ここで 𝑥𝐴 は溶質ガス A のモル分率，𝐻 はヘンリー定数（Henry’s constant）である．
式(10.3-2) の 𝑝𝐴 は気相における溶質ガスの分圧，𝐶𝐴 は溶質 A のモル濃度，そして𝐻′ がこの単位系でのヘンリー定数である．
図 10.3-1 は（水のような）溶媒へのガスの溶解度を模式的に示している．

122

異相間物質移動

図 10.3-1 ガスの溶解度曲線の模式図

10.3-2 ガス吸収の異相間物質移動
不活性ガス B 中に含まれるある成分 A が移動して非揮発性液体 C と接触して溶解・吸収されるプロセスを考えよう．
実験室規模ではあるが，その簡単な例が煙道ガス中の SO2 ガスを濡れ壁塔を流下する水によって吸収除去するプロセスである．
水は円筒の内壁面を液膜状に重力によって流下する，一方，煙道ガスは同じ円筒内を向流
で上方へ向かって流れる．
一般に成分 A の異相間物質移動には界面を挟んで三つの直列に並ぶ抵抗が存在する：
すなわち気相境膜層，気液界面，そして液相境膜層である．気液２相の濃度勾配を図 10.3-2に示す．成分 B と C は濃度勾配があるにも拘わらず，拡散しないことに注意すること．
Whitman が一番最初に提案した「二重境膜理論」はこの段階でのガス吸収プロセスの説
明に最適である．

図 10.3-2. 気液接触界面近傍における濃度分布

先ず，次の三つの仮定をする：(1) 気液界面を通過する成分 A の移動抵抗はない，（これは気液二相が界面で近似的に平衡状態にあると仮定することと同じである），(2) 界面のガス吸収の異相間物質移動49123

両側の境界層は厚さが薄く，そこでの成分 A のホールドアップ量は移動する量と比べて無視できるほど小さい，そして (3) それぞれの相の本体ではよく混合されている．
ガス吸収のための充填塔の場合は，ガスは充填物の隙間を上昇し，液は隙間を滴り落ちる．

界面近傍の速度分布も，流れを仮想的に気相，液相両側に分けて，同じ図 10.3-2 に模式的に示している．気液界面ではスリップしないと考えられるから，気相境膜は相平衡になるまで液相と十分な接触時間があると考えられる．
二重境膜理論によって定義される物質移動係数を使って，定常状態の物質流束はじしきのように表される：𝑁𝐴 = 𝑘𝑦𝐴 (𝑦𝐴𝑚 − 𝑦𝐴𝑖 ) = 𝑘𝑥𝐴 (𝑥𝐴𝑖 − 𝑥𝐴𝑚 )(10.3-3)
ここで 𝑦𝐴𝑚 と 𝑥𝐴𝑚 両相の混合平均濃度（流体本体の濃度）， 𝑘𝑦𝐴 と 𝑘𝑥𝐴 は気相、液相の対流物質移動係数で kmol of A/m2 s の単位を持つ．
（ここでは対流効果も含めた物質移動係数を使っている．）
上の仮定によれば，界面において気液の濃度は平衡曲線上にあるから
𝑦𝐴𝑖 = 𝑓 (𝑥𝐴𝑖 )(10.3-4)
ここに f は気液平衡の関数である．これらの平衡濃度は気液２相が無限大時間の間，接触しているならば，到達できると考えられる到達濃度である．ヘンリーの法則が濃厚でない溶液の場合の平衡関係の関数の一例である：
𝑦𝐴𝑖 = 𝑚 𝑥𝐴𝑖(10.3-5)
ここに m は濃度にモル分率を使う場合のヘンリー定数である．簡単のために，ヘンリーの法則が，この後のガス吸収の異相間物質移動の理論展開においても有効な法則であると仮定して使用される．気液界面の濃度の測定は困難なので，測定し易い気液本体の濃度𝑦𝐴𝑚と 𝑥𝐴𝑚 による総括的な推進力に基づいた総括物質移動係数 𝐾𝑦𝐴 と𝐾𝑥𝐴 を定義すると便利である．この考え方は総括伝熱係数の定義の場合とよく似ている．然し，総括推進力として，𝑦𝐴𝑚 − 𝑥𝐴𝑚 は同じ単位系でないので，不適である，すなわち 𝑦𝐴𝑚 の単位は kmol of
A/kmol of A+B ，一方の 𝑥𝐴𝑚 の単位は kmol of A/kmol of A+C であり，分母の基準が異なり，引き算ができないのである．
上の式(10.3-3) は次のように書き変えられる：
𝑦 −𝑦
𝑥 −𝑥
𝑁𝐴 = 𝐴𝑚1 𝐴𝑖 = 𝐴𝑖 1 𝐴𝑚
(10.3-6)
𝑘𝑦𝐴

𝑘𝑥𝐴

一番右の分数の分子，分母にヘンリー定数 m を掛けてできる新しい分数も左の分数と同じ値になる（加比の定理）から
𝑁𝐴 =

𝑦𝐴𝑚 − 𝑦𝐴𝑖
1=𝑚(𝑥𝐴𝑖 − 𝑥𝐴𝑚 )

𝑘𝑦𝐴

𝑚
𝑘𝑥𝐴

=

∗
𝑦𝐴𝑚 − 𝑦𝐴𝑚
1

𝑘𝑦𝐴

+

𝑚
𝑘𝑥𝐴

∗
= 𝐾𝑦𝐴 (𝑦𝐴𝑚 − 𝑦𝐴𝑚)(10.3-7)∗
ここに 𝑦𝐴𝑚= 𝑚 𝑥𝐴𝑚 は液相本体の濃度 𝑥𝐴𝑚 をヘンリーの法則を使って気相の濃度の単位に変換した仮想濃度である．
結局，気相濃度単位の推進力を使う総括物質移動係数は次式で与えられる：1
𝐾𝑦𝐴 = 1 𝑚
(10.3-8
𝑘𝑦𝐴

+

𝑘𝑥𝐴

同様に，液相濃度単位の推進力を使う総括物質移動係数は次のようになる：
𝑁𝐴 =
𝐾𝑥𝐴 =

(𝑦𝐴𝑚 ⁄𝑚) −( 𝑦𝐴𝑖 ⁄𝑚)
1
𝑚𝑘𝑦𝐴

1
1
1
+
𝑚𝑘𝑦𝐴 𝑘𝑥𝐴=

𝑥𝐴𝑖 − 𝑥𝐴𝑚
1

𝑘𝑥𝐴

=

∗
𝑥𝐴𝑚
− 𝑥𝐴𝑚

1
1
+
𝑚𝑘𝑦𝐴 𝑘𝑥𝐴∗= 𝐾𝑥𝐴 ( 𝑥𝐴𝑚− 𝑥𝐴𝑚 )

(10.3-9)(10.3-10)

𝐾𝑦𝐴 と 𝐾𝑥𝐴 は濃度の単位こそ違うが，二重境膜の総括的な物質移動のし易さを表しており，本質的に同じものであることに注意すること．

124

異相間物質移動

10.3-3 ガス吸収の物質移動モデル
ガス吸収は不活性ガス中に含まれる溶質ガスが非揮発液体に吸収される典型的な物質移動操作である．吸収プロセスには純粋に物理的な場合と液柱で化学反応を伴う場合とある．
ボイラーの排出ガスから SO2 を水またはアルカリ水溶液で洗浄，除去するプロセスなども典型的な例である．
ガス吸収装置はガスと液とを効率的に接触させる工夫をして設計される．
典型的な連続式のガス吸収装置としては，円筒形の塔に小さな不溶性の固体（不規則充填物）をランダムに並べるように充填する方式か，気液の流路を規則正しい構造に製作された規則充填物を直接，装備する方式の充填式ガス吸収塔がある．どちらの充填物も気液２相の接触界面をできるだけ大きくするように工夫されている．図 10.3-2 に僅かではあるが，３種の不規則充填物，そして１種の規則充填物とその内部構造例を示す．

図 10.3-3. 不規則充填物と規則充填物 (a: Raschig ring, b: Berl saddle, c: Pall ring, and d:corrugated structured packing, e: partial structure of structured packing)図 10.3-4. ラシッヒリング（Raschig rings）を充填した充填塔ガス吸収装置

簡単のために，不活性ガス B 中に含まれる一つの溶質成分 A の非揮発性の溶媒 C への（反応を伴わない）物理吸収を取り扱うことにする．
（反応を伴う場合については第１６章
で学ぶことにする）
図 10.3-4 に 不規則充填物 ラシッヒリング を充填したガス吸収塔を示す．吸収液は液分散器により充填層のトップに均等にスプレイされてから，下方へ重力によって充填物の表面を滴り落ちる．溶質を含むガスは充填層の下端へ供給され，充填層の中を（上へ行くにつれ低下する）圧力降下により間隙部を上昇する． この向流による気液の直接的な接触により成分 A の物質移動が起きる．吸収液は充填層を下に行くにつれて成分 A の濃度が上ガス吸収の物質移動モデル
49

125

昇し，濃縮されて塔底の液出口から排出する．気相中の成分 A の本体濃度は上昇するにつれて減少 A 濃度が薄くなったガスは塔頂のガス出口より排出する．
図 10.3-5 に示すように，成分 A の要求される回収率を達成するに要する塔高さ 𝑍𝑇 を求める問題について展開しよう．塔高さは気液接触による物質移動面積の観点から計算される．ガス吸収は等温で執り行われるとする．通常のガス吸収操作では，液および気体の流量 𝐿𝑀 ，𝐺𝑀 は A 成分の液相への吸収で充填層の下端から上方に行くにつれてかなり変化する．そこで，気液の流量と濃度の単位として，溶質抜きのモル流量とモル比を使うと便利である．なぜならば，不活性ガス B も非揮発性液 C もモル流量は塔高さ全体にわたって一定であるからである．したがって，ガス流れは A 抜き基準（A-free basis）でのモル流′
速 𝐺𝑀
で塔内を流通する．塔に入るときの A のモル分率を 𝑦𝐴1 とする．吸収装置の設計の通常の要件では，設計者には供給される吸収液の供給濃度 𝑥𝐴2 （既知）に対して必要となる吸収液のモル流速 𝐿′𝑀 （A-free basis）を計算して決定することが要求される．出口ガス
濃度𝑦𝐴2 は 成分 A の回収率の仕様から与えられる場合が多い．
成分 A の全体的な物質収支は次のようになる：
𝑦𝐴1
𝑥
𝑦𝐴2
𝑥
′
′
𝐺𝑀
+ 𝐿′𝑀 1−𝐴2
= 𝐺𝑀
+ 𝐿′𝑀 1−𝐴1
1− 𝑦
𝑥
1− 𝑦
𝑥
𝐴1

𝐴2

𝐴2

𝐴1

(10.3-11)

各項は全部，次のような単位になることに注意する，
kmol of B
kmol of A
kmol of A=(m2 of the bed)(s) kmol of B
(m2 of the bed)(s)′′
これらのモル流速 𝐺𝑀 と 𝐿𝑀 はモル空塔速度と呼ばれるものである．すなわちガス，液ともに，仮に塔から充填物を除き，空にした状態で塔内で示すであろう A 抜き基準のモル流速である．

図 10.3-5. 充填式ガス吸収装置の物質収支のためのコントロール・ボリュームと物質移動モデルのための微分コントロール・ボリューム

現段階では 𝐿′𝑀 ，𝑥𝐴1 ともに未知である．上の式は液出口濃度 𝑥𝐴1 は（与えるべき）液流量 𝐿′𝑀 を減少させると増加する傾向にあることを示している．図 10.3-5 に点線で囲んだ部分を任意のコントロール・ボリュームとし，成分 A の物質収支式を得る：

異相間物質移動

126
𝑦

𝑦

𝑥

𝑥

′
𝐺𝑀
(1− 𝐴𝑦 − 1− 𝐴2) = 𝐿′𝑀 (1−𝐴𝑥 − 1−𝐴2
)
𝑦
𝑥
𝐴

𝐴2

𝐴

𝐴2

(10.3-12)

これが塔の任意の位置（高さ）において接触している気相，液相の本体濃度の間の関係を与える操作線の式である．液流速 𝐿′𝑀 は最小液ガス比の観点から決定することができる．

図 10.3-6. 最小液ガス比の概念

図 10.3-6 がガス吸収の場合の操作線と平衡線の関係をグラフにより示したものである．
′
与えられた空塔基準のガス流速 𝐺𝑀に対して，空塔基準の液流速 𝐿′𝑀 を減少させて行くと，操作線の傾きが減少して来る．塔上下端の濃度 𝑦𝐴2 , 𝑥𝐴2 と𝑦𝐴1 を固定して液流速 𝐿′𝑀 を減
少して行くと操作線の上端が平衡線に近づいて来る．丁度，操作線が平衡線に触れた時に，可能な最小の液流速 (𝐿′𝑀 )𝑚𝑖𝑛 を与える．
この条件の時，塔底近傍で非常に小さな推進力になるため，無限に高い充填層が必要になる．
したがって，実際の塔では，液流速を最小値より幾らか大きい値にしなければならない．
∗
式(10.3-12) の 𝑦𝐴 と𝑥𝐴 を 𝑦𝐴1 と𝑥𝐴1に置き換えて，次の最小液ガス比の式を得る：
𝐿′

( 𝑀
′ )
𝐺𝑀

=

𝑚𝑖𝑛

𝑦𝐴1⁄(1−𝑦𝐴1 )− 𝑦𝐴2⁄(1−𝑦𝐴2)∗ ⁄(1−𝑥 ∗ )− 𝑥 ⁄(1−𝑥 )
𝑥𝐴1
𝐴2
𝐴2
𝐴1

(10.3-13)∗
ここに 𝑥𝐴1= 𝑦𝐴1 ⁄𝑚′ は入口の気相濃度 𝑦𝐴1 に平衡な液相濃度であるが，換言すれば，𝑦𝐴1
をヘンリーの法則を使って液相濃度の単位に変換したものである．経済的な観点からは，最適な液ガス比を通常，操作線が平衡線に平行になる下式の条件で決める：′ )(𝐿′𝑀⁄𝐺𝑀𝑚′=1(10.3-14)

実際の液流量（空塔液流速）は最小値より 25 から 100% 大きい値にすることが多い．
一旦，このような方法で実際の液流量を決めたら，液の出口濃度 𝑥𝐴1 も計算することができる．しかし要求される分離条件に対して必要な装置の大きさは物質移動速度と物質移動面積との関係を考慮することなしでは決定できない．実際の充填塔の挙動は非常に複雑で単刀直入にはモデル化は困難である．
そこで，実際の充填物の入った塔の複雑な気液流れを，図 10.3-5 の右の図のように，一つのガス流れと一つの液流れに分けて，それらが向流で接触する簡単な仮想的なシステムにして物質移動モデルを考えて行こう．これら二つの流れは逆混合がなく，仮想的な界面
で直接、互いに接触していると仮定する．その界面の面積に関しては，次のように考える．
充填層の単位体積当たりの気液接触面積“𝑎” と物質移動係数 𝑘𝑦 , 𝑘𝑥 , 𝐾𝑦 , 𝐾𝑥 は充填層の全高さにわたって一定であると仮定する．

ガス吸収の物質移動モデル
49

127

まず最初に，充填塔の塔頂から任意の距離 𝑍 の位置での微分高さ 𝑑𝑍 をコントロー
ル・ボリュームとして物質収支をとると：
𝑦𝑦′𝑁𝐴 𝑎 𝑑𝑍 𝑆 = 𝐺𝑀
𝑆 (1−𝑦𝐴 |𝐴 𝑍+𝑑𝑍𝑥− 1−𝑦𝐴 | ) = 𝐿′𝑀 𝑆 (1−𝑥𝐴 |𝐴 𝑍

すなわち微分の公式から
𝑦

𝐴 𝑍+𝑑𝑍𝑥− 1−𝑥𝐴 | )
𝐴 𝑍

𝑥

′
𝑁𝐴 𝑎 𝑑𝑍 = 𝐺𝑀𝑑 (1− 𝐴𝑦 ) = 𝐿′𝑀 𝑑 (1−𝐴𝑥 )
𝐴

𝐴

あるいは
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑥
′
𝑁𝐴 𝑎 𝑑𝑍 = 𝐺𝑀
= 𝐿′𝑀 (1−𝑥𝐴 )2(1−𝑦 )2
𝐴

𝐴(10.3-15)(10.3-16)(10.3-17)充填層の塔断面積 S は通常，充填層単位高さ当たりの圧力降下と十分な有効な気液接触状態を与える安定な流動形態の（空塔基準の）ガス速度から決定される．
界面積を入れた物質移動は式(10.3-17) の微分収支に対して次のように書ける：
𝑁𝐴 𝑎 𝑑𝑍 = 𝑘𝑦 𝑎(𝑦𝐴 − 𝑦𝐴𝑖 )𝑑𝑍 = 𝑘𝑥 𝑎(𝑥𝐴𝑖 − 𝑥𝐴 )𝑑𝑍(10.3-18)∗∗
𝑁𝐴 𝑎 𝑑𝑍 = 𝐾𝑦 𝑎(𝑦𝐴 − 𝑦𝐴 )𝑑𝑍 = 𝐾𝑥 𝑎(𝑥𝐴 − 𝑥𝐴 )𝑑𝑍(10.3-19)
これらの収支式から，一例として次のような方程式が得られる：式(10.3-17) と式(10.3-19) とを結びつければ，次の微分方程式が得られる：
𝑑𝑦𝐴∗
𝐺𝑀= 𝐾𝑦 𝑎(𝑦𝐴 − 𝑦𝐴∗ )𝑑𝑍(10.3-20)(1−𝑦 )2
𝐴

ここで物質移動係数と有効接触面積の積で表した 𝑘𝑦 𝑎, 𝑘𝑥 𝑎, 𝐾𝑦 𝑎, 𝐾𝑥 𝑎 物質移動容量係数（volumetric mass transfer coefficient）と呼ばれる．
式(10.3-20) を積分すると要求されている分離の条件を満足する充填層の塔高さが得られ
る：
̅̅̅̅
𝐺∗
𝑦
𝑑𝑦𝐴
𝑍𝑇 = 𝐾 𝑀𝑎 ∫𝑦 𝐴1 (1− 𝑦 )2(𝑦(10.3-21)− 𝑦∗ )
𝑦

𝐴2

𝐴

𝐴

𝐴

残っている三つの方程式でも同様に，積分して次のような式が得られる：
̅̅̅̅
𝐺∗
𝑦
𝑑𝑦
𝑍𝑇 = 𝑘 𝑀𝑎 ∫𝑦 𝐴1 (1− 𝑦 )2(𝑦𝐴 − 𝑦 )
𝐴2
𝑦

=

𝐴

𝐴

𝐴𝑖

̅̅̅̅
𝐿∗𝑀

𝑥𝐴1
𝑑𝑥𝐴
∫
∗ −𝑥 )
𝐾𝑥 𝑎 𝑥𝐴2 (1− 𝑥𝐴 )2 ( 𝑥𝐴
𝐴

̅̅̅̅
𝐿∗𝑀

𝑥𝐴1

𝑑𝑥𝐴
2
(1−
)
𝑥
𝐴2
𝐴 ( 𝑥𝐴𝑖 −𝑥𝐴 )積分記号の前にある項 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐺𝑀′ ⁄𝐾𝑦 𝑎 , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐺𝑀′ ⁄𝑘𝑦 𝑎 , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐿′𝑀 ⁄𝐾𝑥 𝑎 , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐿′𝑀 ⁄𝑘𝑥 𝑎

=

𝑘𝑥 𝑎

∫𝑥

(10.3-22)

は塔頂と塔底の間で概算的に平均された近似的な塔高さに関するパラメータで“移動単位高さ”（Height of a Transfer Unit，
略して HTU）と呼ばれる．これらの物質移動容量係数 𝐾𝑦 𝑎, 𝐾𝑥 𝑎, 𝑘𝑦 𝑎, 𝑘𝑥 𝑎 は（空塔基準′ ⁄の）ガスの質量速度 𝐺𝑀 = 𝐺𝑀
(1 − 𝑦𝐴 ) に依存し，ガス吸収塔の塔底から塔頂に向かって吸収されたっ分，減少する．この観点から，次式の方が精度は高い．
𝑦
𝐺
𝑑𝑦
̅̅̅̅
𝑍𝑇 = 𝐾 𝑀𝑎 ∫𝑦 𝐴1 (1− 𝑦 )(𝑦𝐴 − 𝑦∗ )(10.3-23)
𝑦

𝐴2

𝐴

𝐴

𝐴

[ 問 題 10.3-1]
塩素ガスで汚染された 30 kmol/h の空気 (塩素のモル分率：𝑦𝐴 = 0.06 ) を，充填塔を用
いて水で吸収し，出口濃度を𝑦𝐴 = 0.005 まで洗浄したい．吸収塔は 1 atm ，20˚C(=293 K)
で運転する．物理吸収であると仮定して，最小液流速を求めよ．
1 atm，20˚C における塩素ガスの水への溶解度は近似的に次の式で表すことができる：
𝑝 = 1.92 × 109 𝑥 2.16
ここで 𝑥 は塩素 Cl2 の水中でのモル分率，p は空気中での塩素の分圧 (mmHg) である．

異相間物質移動128

10.3-4 充填式ガス吸収塔における物質移動係数
通常，充填塔ガス吸収装置の物質移動データは次のパラメータの形式で相関されている：
𝐺

𝐻𝑂𝐺 = 𝐾 𝑀𝑎𝑦,𝐺

𝐻𝐺 = 𝑘 𝑀𝑎𝑦,𝐿

𝐻𝑂𝐿 = 𝐾 𝑀𝑎𝑥,𝐿

𝐻𝐿 = 𝑘 𝑀𝑎(10.3-24)𝑥

これらのパラメータは移動単位高さ (HTU)と呼ばれている．その概念は充填層部を移動単位と呼ばれる接触単位の数に分ける考え方に基づいている．
次の積分が，その移動単位数 (NTU)の定義式である：
𝑦𝑑𝑦
𝑁𝑂𝐺 = ∫𝑦 𝐴1 (1−𝑦 )(𝑦𝐴 −𝑦∗ )(10.3-25)
𝐴2

𝐴

𝐴

𝐴

𝑦
𝑑𝑦
𝑁𝐺 = ∫𝑦 𝐴1 (1−𝑦 )(𝑦𝐴 −𝑦 )
𝐴2
𝐴
𝐴
𝐴𝑖
𝑥𝐴1
𝑑𝑥𝐴
𝑁𝑂𝐿 = ∫𝑥 (1−𝑥 )(𝑥∗ −𝑥 )
𝐴2
𝐴
𝐴
𝐴
𝑥𝐴1
𝑑𝑥𝐴
𝑁𝐿 = ∫𝑥 (1−𝑥 )(𝑥 −𝑥 )
𝐴2
𝐴
𝐴𝑖
𝐴

したがって，必要な塔高さは移動単位数と移動単位高さの積として計算するのである：
𝑍𝑇 = 𝐻𝑂𝐺 𝑁𝑂𝐺 = 𝐻𝐺 𝑁𝐺 = 𝐻𝑂𝐿 𝑁𝑂𝐿 = 𝐻𝐿 𝑁𝐿(10.3-26)
二重境膜理論を使って，総括移動単位高さは気液両相の移動単位高さと次の関係がある：
𝑚𝐺
𝐿
𝐻𝑂𝐺 = 𝐻𝐺 + 𝐿 𝑀 𝐻𝐿 and 𝐻𝑂𝐿 = 𝐻𝐿 + 𝑚 𝐺𝑀 𝐻𝐺(10.3-27)
𝑀𝑀

これらの式は異相間物質移動の総括抵抗は界面を挟んで気相と液相の直列に連なる抵抗からなっていることを述べている．

10.4 充填塔の物質移動係数の相関式(10.3-25)からわかるように，異相間物質移動に対する総括抵抗 𝐻𝑂𝐺 は気相境膜抵抗
𝐻𝐺 と液相境膜の抵抗 (𝑚𝐺𝑀 ⁄𝐿𝑀 )𝐻𝐿 .からなっている．
10.4-1 液相移動単位高さ
Sherwood and Holloway1) は溶存する酸素，水素，二酸化炭素の水からの放散（吸収の逆）現象をローディング点までの広いガス流量範囲にわたって測定して，次の液相側の物質移
動抵抗の相関式を得ている：
1

𝐿

𝑛

𝜇

0.5

𝐻𝐿 = 𝛼 (𝜇 ) (𝜌 𝐷𝐿 )𝐿

(10.4-1)

𝐿 𝐿

温度範囲： 278 < 𝑇 < 313𝐾 ，（空塔基準の）液流速範囲： 0.556 < 𝐿 < 20.8 𝑘𝑔⁄𝑚2 𝑠 ，
𝜇𝐿 は液の粘度 (kg/m s), 𝐷𝐿 は液中でのガスの拡散係数 (m2/s) , 𝜌𝐿 は液の密度 (kg/m3)である．
ローディング点とは充填塔内のガス流速がもうこれ以上大きくすると液が充填層内を流下しにくくなる風速のことを言い、第 10.5 章で説明する．
1.

Sherwood, T.K. and Holloway, F.A.L.: Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., vol.36, 39 (1940)

Packing
Raschig rings

Berl saddles

表 10.4-1 HTUL 相関におけるパラメータsize in.(I= 25.4 mm)
𝛼
3/8
3,100
1/2
1,400
1
430
1 1/2
380
2
340
1/2
600
1
780
1 1/2
730

n
0.46
0.35
0.22
0.22
0.22
0.28
0.28
0.28

充填式ガス吸収塔における物質移動係数49129

上式より，ローディング点までの液相の移動単位高さ 𝐻𝐿 にはガス流速は無関係であることに気付くことになる．
Onda et al.1) （恩田ほか）は次の無次元沿うか式を与えている：
𝜌1⁄ 3

𝑘𝐿 (𝜇 𝐿𝑔)
𝐿

= 0.0051 (𝑎

2⁄ 3

𝐿
𝑤

)
𝜇
𝐿

𝜇

(𝜌 𝐿𝐷 )
𝐿

−0.5

𝐿

(𝑎𝑡 𝐷𝑝 )0.4

(10.4-2)

ここで充填層を流下する液の気体と接触する表面積 𝑎𝑤 （濡れ表面積）は非常に複雑であるが，次の表面張力を考慮した式で与えられている：
0.75(𝐿⁄𝑎𝑡 𝜇𝐿 )0.1 (𝐿2 𝑎𝑡 ⁄𝜌𝐿 2 𝑔)−0.05 (𝐿2 ⁄𝜌𝐿 𝜎𝑎𝑡 )0.2 }𝑎𝑤 ⁄𝑎𝑡 = 1 − exp{− 1.45 (𝜎𝑐 ⁄𝜎)(10.4-3)
1.

Onda, K., Takeuchi, H., and Okumoto, Y., J. Chem. Eng. Japan, 1(1), 56 (1968)

充填物自身の固体の全表面積 𝑎𝑡 と充填物のサイズの呼称（代表径）𝐷𝑝 が乾き基準の空隙率 𝜀 と関係づけられて下の表 10.4-2 のようにまとめられている．
表 10.4-2 Geometrical data of Packings1)
Packing
Steel Raschig rings

Size in. (= 25.54 mm)
3/4
1
1 1/2
2
5/8
1
1 1/2
2
1/4
1/2
3/4
1
1 1/2
2
1/4
1/2
3/4
1
1 1/2
2

Steel Pall rings

Ceramic Raschig rings

Ceramic Berl saddles

1.

𝑎𝑡 m2 ⁄m3
364
184
128
95.1
341
207
128
102
712
367
243
190
121
91.9
899
466
285
249
151
105

𝜀 m3 ⁄m3
0.73
0.86
0.90
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.62
0.64
0.72
0.74
0.73
0.74
0.60
0.62
0.66
0.68
0.71
0.72

Perry, R. H., and Chilton, C. H., Chemical Engineers’ Handbook, McGraw-Hill, New York, 5th ed.,Table 18-6 (1973)疋田 1) は次のシャーウッド数の相関式を得ている：
𝑘𝐿 𝐷𝑝
𝐷𝐿

4𝐿

0.45

= 𝑐 (𝑎 𝜇 )
𝑤 𝐿

𝜇𝐿

0.5

(𝜌 𝐷 )𝐿 𝐿

𝜌𝐿 2 𝑔 𝐷𝑝 3

(

𝜇𝐿 2
4𝐿

1⁄6

)

(10.4-4)

液のレイノルズ数の範囲： Re 𝑎 𝜇 = 50 ~ 1,000
𝑤 𝐿

ここの係数 𝑐 = 0.31 （ラシッヒリング），𝑐 = 0.37 （バールサドル，鞍型とも言う）.
𝐿 (kg/m2h): （空塔基準の）液流速, 𝐷𝑝 (cm): 充填物サイズ，𝜎 (dyne/cm): 表面張力．
濡れ表面積と乾き全表面積との間の経験的な式として，疋田は次式を提案している：−0.48 )
𝑎𝑤 ⁄𝑎𝑡 = 0.0406 𝐿0.455 𝜎 (−0.83 𝐷𝑝（ラシッヒリング）−0.98 )(−0.495𝐷
0.455
𝑝𝑎𝑤 ⁄𝑎𝑡 = 0.0078 𝐿𝜎（バールサドル）(10.4-5)
1.

Hikita, H.: Kagakukogaku (Chem. Eng. Japan), vol.26, 725 (1962)

異相間物質移動13010.4-2 ガス側の移動単位高さ
Fellinger1) のアンモニア・空気・水系のガス吸収データは空塔基準のガス流速のローディ
ング点までの範囲で次の相関式で与えられている：
2⁄ 3

𝜇𝐻𝐺 = 𝑐 𝐺 𝑝 𝐿𝑞 (𝜌 𝐷𝐺 )(10.4-6)

𝐺 𝐺

ここで 𝐻𝐺 = 気相の移動単位高さ (m), 𝐺 = 空塔基準のガス流速，範囲 1,000 ~ 3,500kg/m2 h， 𝐿 = 空塔基準の液流速，範囲 2,500 ~ 7,500 kg/m2 hFellinger, L. Sc.D. thesis in Chem. Eng. M.I.T. (1941) from Perry, J.H.: Chemical Engineers’ Handbook, 4th ed. Vol.18-42,
McGraw-Hill, New York (1963).

1.

疋田によって計算された上式の未知のパラメータ 𝑝, q, c を表 10.4-3 に示す．
Packing
Raschig rings

Berl saddles

表 10.4-3 Parameters for correlation Eq.(10.4-6 )size in.(I= 25.4 mm)
𝑝
q
3/8
0.45
- 0.47
1/2
0.43- 0.601
0.32- 0.51
1 1/2
0.38- 0.662
0.41- 0.451/2
0.30- 0.241
0.36- 0.401 1/2
0.32- 0.45

c
0.85
4.2
3.07
9.59
1.44
0.262
0.745
2.20

Hikita, H.: Kagakukogaku (Chem. Eng. Japan), vol.26, 725 (1962)

Onda et al.1)の実験による気相物質移動相関式は下式のように与えられる：
𝑘𝐺𝐺

𝑎𝑝 𝐷 𝐺

0.7= 5.23 (𝑎 𝜇 )
𝑝 𝐺

𝜇

1⁄ 3

(𝜌 𝐷𝐺 )𝐺 𝐺

(𝑎𝑝 𝐷𝑝 )−2

気相の HTU の 𝐻𝐺 は空塔基準のガス速度 𝑢𝑠𝑓 を使った次式で計算できる：
𝑢𝑠𝑓
𝐻𝐺 = 𝑘 𝑎
𝐺 𝑒(10.4-7)(10.4-8)

ここで 𝑎𝑒 は単位容積当たりの気液の接触に対する有効接触界面積である．
1.

Onda, K., Takeuchi, H., amnd Okamoto, Y., J. Chem. Eng. Japan, 1, No.1, 56 (1982)

10.5 充填塔の塔径と圧力損失
充填塔において，指定された供給速度でガス混合物を供給するに要する送風機の動力は主に充填層における圧力降下に依存している．充填層の単位高さ当たりの圧力降下 ∆ 𝑝⁄𝑍𝑇の傾向は 図 11.4-1 の模式的なグラフのように特徴づけられる．向流のガス吸収装置の場
合，圧力降下は充填層の中を流れる液によりガスが通り抜けるための容積が減少することにより増加する．
液の質量速度（空塔基準）𝐿 を一定にして，ガスの質量速度（空塔基準）𝐺 を増加して行くと，三つの流れ形態が順に起きる．非常に低いガス流速に置いては，（後述する）乾き充填層の場合と同じように圧力降下はガス流速の（近似的に）２乗に比例する．ガス速度 𝐺をさらに上げると，圧力降下 ∆ 𝑝⁄𝑍𝑇 は 𝐺 2 とともには増加しなくなる．ガス流の運動のエネルギーが充填層の間隙部に液を保持してしまい，流下されにくくする事実のせいである．これをローディング点“loading point”と言う．ローディング点への移行は通常，徐々に

充填塔の塔径と圧力損失
49131

起きる．ガス流速をさらに大きくしてある臨界値を超えると，液は充填層内を流下することができず，カラム内の液はオーバーフローする． これをフラッディング点“flooding point”と言う．

図 10.5-1. 充填塔吸収装置の圧力降下特性とフラッディングガス流速
フラッディングのデータに関する初期の相関の一つに，次の Eckert によって修正された相関図がある：
𝜌𝐺 𝑢𝑠𝑓 2
𝜇𝐿 0.2
𝐿 𝜌𝐺
(
)
𝑣𝑠.
√
𝜌𝐿 𝑔(𝜀 3 ⁄𝑎𝑡 ) 𝜇𝑤
𝐺 𝜌𝐿
ここに 𝑢𝑠𝑓 = フラッディング点における空塔ガス速度(m/s), 𝜌𝐺 ，𝜌𝐿 = ガス，液の密度 (kg/m3),
𝜇𝐿 ，𝜇𝑤 = 液，ガスの粘度 (kg/m s), 𝑎𝑡 = 充填物の全表面積 (m2/m3) ，𝜀 = 空隙率 (m3interstices/m3 packed bed)． 上の左の分数はガスの流れの運動のエネルギーと液の流れの位
置のエネルギーの比を意味していることに注意．数種の充填物（パッキング）の場合の 𝑎𝑡と 𝜀 はそれらの充填物のサイズ（呼称）に関連して前節に表にしている．
充填塔吸収装置における圧力降下は次のような関数形で表されている：
𝐺 2 𝐹𝑝 𝜓 (𝜇𝐿 ⁄𝜇𝑤 )0.2
𝐿 𝜌𝐺
𝑣𝑠.
√
𝜌𝐺 𝜌𝐿 𝑔𝐺 𝜌𝐿
ここに 𝜓 = 𝜌𝑤 ⁄𝜚𝐿 は水の密度と試験液の密度の比，𝐹𝑝 (1/m) はパッキングファクターと呼ばれるもので，種々の不規則充填物の特性として与えられている．例えば，呼称 25-mm(1 in.)の鋼製ポールリング（steel Pall rings） は 𝐹𝑝 = 157 1/m と与えられている．.
(𝜇𝐿 ⁄𝜇𝑤 )0.2 は一種の補正係数と見做す限りは，残る左辺の項は無次元の特性的な運動のエ
ネルギー𝑢𝑠 2 group であり，上の関数形と同質である．
図 11.3-1 は Eckert 相関 1)に沿って再計算した不規則充填物塔の圧力降下の一般化された相関を与えている．

異相間物質移動132

図 10.5-2.

1.

充填塔のフラッディングと圧力降下に関する一般化された相関線（Eckert の相関から再計算)

Eckert, E. R. G., Chem. Eng. Progr., 66(3), 39 (1970)[ 問 題 10.5-1] 呼称 25-mm Pall rings (𝐹𝑝 = 157 1/m) を充填したガス吸収塔で SO2 を含む空気（入口ガス流量 500 m3/h）を処理したい．
供給ガスには SO2 が 2 mol% 含まており，残りは空気である．吸収液として供給する
水には SO2 は含まれていない．温度は 25˚C，圧力は 1 atm である．ガス流と液流との比は1 kg gas/1 kg water とする．ガス流速（空塔基準）はフラッディング流速の半分とする．
(a) 塔径を求めよ．
(b) 充填層部が 7 m の時，圧力損失はいくらか？

10.6 乾き充填塔の圧力損失
前節で，充填塔で気液向流の場合の圧力降下を勉強した．充填塔で単相の流れに関しては，次の経験式がある：1, 2)
𝑃0 − 𝑃𝐿𝐿=

150 𝜇𝑢𝑠 (1− 𝜖)2
𝐷𝑝 2

𝜖3

+

1.75 𝜌𝑢𝑠 2 (1− 𝜖)𝐷𝑝𝜖3(10.6-1)

この式は充填層の長さ 𝐿 の間での圧力降下 𝑃0 − 𝑃𝐿 を与えている．最初の項は層流におけるブレイク・コゼニ―（Blake-Kozeny equation）の式で，第２項は乱流におけるブルク・プルマー（Burke-Plummer equation）の式である．充填塔ガス吸収装置と違って，液はなく，充填物も球，円柱や種々の商業的なものである．ここに𝑢𝑠 は空塔速度，𝜖 は空隙率，𝐷𝑝 は充填粒子の平均径（球なら直径）．
平均径の定義式は次式である：
𝐷𝑝 = 6⁄𝑎𝑣(10.6-2)
ここに 𝑎𝑣 は非球形粒子（パッキング）の比表面積（粒子表面積/粒子体積）．
管内流の場合と類似に，充填層の場合の摩擦係数を次式のように定義する：

乾き充填塔の圧力損失49
𝑃0 − 𝑃𝐿
𝐿
1
𝜌𝑢𝑠 2
2

=

𝐷𝑝

𝑓

133

(10.6-3)円管の場合と同じように，第１項は層流だから次のように書ける：
𝑓= ((1− 𝜖)2
𝜖3

75) 𝐷 𝜌𝑢 ⁄𝜇𝑝𝑠(10.6-4)

この式は管内層流の次式と同質である．
16
𝑓 = 𝑅𝑒(6.1-17)

同様に第２項は次のようになる：
1− 𝜖
𝑓 = 0.875 𝜖3(10.6-5)

高レイノルズ数域の乱流での粗面管の摩擦係数はレイノルズ数に依らず一定である．充填層の場合はバルブなどの管附属物のように充填物で流路が凸凹しており，強い粗面管とも考えられ，上式のように一定になると理解できる．
第２０章の撹拌槽について学ぶが，邪魔板付き撹拌槽の場合の動力数（一種の摩擦係数）
も乱流域において同じように一定になる傾向を示す．
1.
2.

Bird, R. B., Stewart, W. E., and Lightfoot, E. N., “Transport Phenomena,” Wiley, New York (1960)
Ergun, S., Chem. Eng. Prog., 48, 89 (1952)

記

号

𝑎, 𝑎𝑒
𝑎𝑡
𝑎𝑣
𝐶𝐴
𝐶𝑝
𝑐
𝐷
𝐷𝐴𝐵
𝐷𝑝
𝐹𝑝
𝑓
𝐺, 𝐿
𝐺𝑀 , 𝐿𝑀
𝐻, 𝐻′
𝐻𝐺 , 𝐻𝐿
𝐻𝑜𝐺 , 𝐻𝑜𝐿
𝑗𝐷 , 𝑗𝐻𝑘𝐺 , 𝑘𝐿
𝐾𝑦 , 𝐾𝑥
𝑘𝑦 , 𝑘𝑥𝐿𝑚𝑁𝐴
𝑁𝑢
𝑁𝐺 , 𝑁𝐿
𝑁𝑜𝐺 , 𝑁𝑜𝐿
𝑝
𝑝𝐴
𝑅
𝑅𝑒
𝑟
𝑆𝑐
𝑆ℎ
𝑥𝐴

表
充填層の単位容積当たりの有効界面積, [m2/m3]
充填物（パッキング）の全表面積, [m2/m3]
非球形パッキング粒子の比表面積, [m2/m3]
溶質 A のモル濃度, kmol/m3 solution
熱容量, [J/kg K]
全モル密度, [kmol/m3]
管内径, [m]成分 A の拡散係数, [m2/s]
充填粒子のサイズ呼称または直径, [m]パッキングファクター, [1/m]摩擦係数, [ - ]気体，液体の質量速度（空塔基準）, [kg/m2s] or [kg/m2h]
気相，液相のモル流速（空塔基準）, [kmol/m2s]
ヘンリー定数（Henry’s constant）
気相，液相の移動単位高さ HTU (Height of a Transfer Unit), [m]総括移動単位高さ HTU, [m]物質移動に関する j-ファクター，熱移動に関する j-ファクター, [ - ]気相，液相の物質移動係数, [kmol/m2s Pa], [m/s]気相濃度単位を使う総括物質移動係数と液相濃度単位を使う総括物質移動係数, [kmol/m2s]
モル分率を濃度差に使う気相と液相の境膜物質移動係数, [kmol/m2s]
パイプの長さ, [m]ヘンリー定数（Henry’s constant）, [ - ]成分 A のモル流束, [kmol/m2s]
ヌッセルト数, [ - ]気相，液相の移動単位数 NTU (Number of Transfer Units), [m]総括移動単位数 NTU, [m]
圧力, [Pa]
溶質ガス A の分圧, [Pa]
パイプの半径, [m]レイノルズ数, [ - ]半径座標, [m]シュミット数, [ - ]シャーウッド数, [ - ]成分 A のモル分率, [ - ]異相間物質移動

134

𝑢𝑠
𝑢𝑠𝑓
𝑍
𝑦
𝛿𝐷
𝜀
𝜇
𝜅
𝜎

ガスの空塔速度, [m/s]フラッディング点での空塔ガス流速, [m/s]
充填層の高さ, [m]
管壁から垂直方向の距離, [m]物質移動の場合の境膜厚さ, [m]空隙率, [ - ]粘度, [kg/m s]
熱伝導度, [W/m K]
表面張力, [N/m]

下付き添え字f
境膜 ilm
G
ガス
i
界面
L
液
m
本体または混合平均w
壁または濡れ第２部
第 11 章物質移動装置（蒸 留）

11.1 蒸留の基礎
11.1-1 蒸留の相平衡
異相間物質移動速度は気液平衡からのずれの大きさとともに増加する．蒸留の勉強には
気液平衡のルールにある程度の知識が必要である．特定の状態において独立変数の数すな
わち自由度を確定するには次の相律がある：
𝑭 =𝑪−𝑷+𝟐(11.1-1)
これによると，蒸留しようとする２成分系混合物を考えると，成分数：𝑪 = 2, 相の数：𝑷 = 2, したがって自由度 𝑭 = 2． 蒸留の場合は A, B 両成分とも気液両相に存在する．
したがって相の数は２，そして液相，気相での A 成分の濃度つまり成分数は２，合計４
独立変数になると考えられる．例えば，圧力を固定すると，ただ一つの独立変数，例えば
液相濃度のみが独立に変化できる訳で，温度も気相濃度も追従することになる．だから平衡データは普通，一定圧力（等圧）条件での温度・組成線図で表現される． そのような平衡曲線は液相濃度（モル分率）𝑥𝑒 に対して平衡な気相濃度（モル分率）𝑦𝑒 をプロットすることによって得られる．ここで非常にシンプルな平衡関係を紹介する．
平衡状態では気液の成分 A の活量は等しくあるべきである．
理想溶液の場合は，次のラウールの法則（Raoult’s law）が適用できる：
𝑝𝐴 = 𝑃𝐴 𝑥𝐴(11.1-2)
ここに 𝑝𝐴 は成分 A の気相中の分圧，𝑃𝐴 は成分 A が純粋な条件で示す蒸気圧，𝑥𝐴 は成分
A の液相中の濃度（モル分率）である．
２成分系(𝑥𝐴 , 𝑥𝐵 ) の場合，全圧は 𝑃 = 𝑝𝐴 + 𝑝𝐵 だから，気相濃度は次式で計算される：
𝑝 𝑥
𝑦𝐴 = 𝐴𝑃 𝐴(11.1-3)

図 11.1-1 モル分率 𝒚𝑨 対 𝒙𝑨 で表された平衡曲線（xy 線図）

136

物質移動装置

２成分系の平衡関係の x-y 線図は低沸点成分に対してプロットすることになっている．
さらに一般的な平衡関係は通常，次のような式が使われる：
𝑦𝐴 = 𝐾𝐴 𝑥𝐴(11.1-4)
ここの 𝐾 は気液平衡係数と呼ばれている定数である．
多成分系では、任意に選ばれた２成分 A ，B に対して，次の相対揮発度が定義される：
𝑦 ⁄𝑥𝐾𝛼𝐴𝐵 = 𝑦𝐴 ⁄𝑥𝐴 = 𝐾𝐴
𝐵

𝐵

𝐵

(11.1-5)２成分系の場合，気液平衡関係は，この相対揮発度 𝛼𝐴𝐵 を使って次式のようになる：
𝛼𝐴𝐵 𝑥𝐴𝐵𝑦𝐴 =(11.1-6)1+(𝛼𝐴𝐵 −1) 𝑥𝐴𝐵

相対揮発度が狭い温度範囲ならばあまり変化しないので，𝛼𝐴𝐵 を一定と仮定すれば，解析的なプロセスシミュレーションのために便利な式である．
11.1-2 沸点線図（組成対平衡温度線図）
気液平衡関係の簡単な例として，２相，２成分系について，沸点線図“Boiling point
diagram”と呼ばれる図 11.1-2 を参照しながら，平衡温度（露点と泡点）とその時のモル分率の項で解釈することができる．

図 11.1-2 沸点線図（等圧），組成対平衡温度線図（T, xy 線図）

低沸点成分 A と高沸点成分 B からなる２成分系混合物の等圧条件における沸点線図は
A 成分と B 成分それぞれの沸点 𝑇𝐴, 𝑇𝐵 を両端とし，沸騰蒸発する泡点線と凝縮液化する露
点線からなる．この２曲線の両端が純粋な A 成分と B 成分の沸点に一致する．露点線と呼ぶ上側の曲線は気相が温度 𝑇𝑑𝑒 (dew point) で凝縮し始める時の気相濃度 𝑦𝐴𝑒 との関係を表し，泡点線と呼ぶ下側の曲線は液相が温度 𝑇𝑏𝑒 (bubble point)で沸騰し始める時の液相濃度 𝑥𝐴𝑒 との関係を表している．同じ水平線上の d, b ２点は温度 𝑇𝑒 で平衡状態にある気液の組成を与える．露点線より上の領域では混合物は全体に平衡状態にない気体であり，泡点線より下の領域は混合物は平衡状態にない液体である．２曲線の間の領域は混合物は部
分的に液体と気体になり，両相が共存する．
図 11.1-2 に示されているように, 水平線が気相濃度 𝑦𝐴𝑒 が温度 𝑇𝑑𝑒 = 𝑇𝑏𝑒 において，液相
濃度 𝑥𝐴𝑒 と平衡状態にある気液平衡関係を意味している．

蒸留装置

137

11.2 蒸留装置
11.2-1 連続式棚段蒸留塔
物質移動装置は２相が緊密に接触するように設計される．そこで連続式棚段精留塔をいかに設計するかを勉強しよう．典型的な蒸留塔をその付帯設備と一緒に図 11.2-1 に示す．
普通，蒸留プラントは本体の精留塔，塔頂に連結するコンデンサーと塔底に連結するリボイラーで構成される．
蒸留にかける原料は（予熱器で加熱して）泡点で飽和した液にして蒸留塔の中間高さにある棚段に供給されるとしよう．この原料供給段より上の全棚段が濃縮部を，下の全棚段（原料供給段を含む）が回収部を構成している．供給された原料液は重力で塔内の回収部の各段を通過した後，リボイラーに至り，そこで加熱して部分蒸発され，できた蒸気をまた塔底に戻す．リボイラーの液プール部にある液の一定量はそのまま（高沸点成分の濃度が高い）缶出液製品として液プールから抜き出される．塔底に戻した蒸気は塔内を回収部
そして濃縮部の各段を通過して塔頂に至り，コンデンサーで凝縮（全縮）される．塔内圧力は塔底で一番高く，各段での圧力損失による低下により，塔頂が一番低い．この圧力降下により蒸気は上昇するのである．コンデンサーで凝縮した液の一定量は（低沸点成分の濃度が高い）留出液製品としてコンデンサーの凝縮液集液器から抜き出される．濃縮部には気液接触するために流下する液が必要なので，コンデンサーの残りの凝縮液はまた元の塔頂へ戻される．このフィードバック流れを還流と言う．

図 11.2-1. 典型的な連続式棚段蒸留塔システム

棚段にはいろいろなクロスフロー（直交流）型トレイとデュアルフロー（向流）型トレイがある．図 11.2-2 に示されているように，蒸気はどちらのトレイでも上方へ通過する．
クロスフロータイプでの液はトレイ自身を通過しないで，（蒸気と直交する）水平方向に
トレイ上を流れて，溢流堰を越えて，ダウンカマー“downcomer” と呼ばれる側壁に設けら138

物質移動装置れたパイプを流下して１段下のトレイに流入する．デュアルフロータイプでの液はトレイに配列している孔や開口部から直接流下する．

図 11.2-2. クロスフロー型とデュアルフロー型トレイの蒸気と液の流れ

従来は 泡鐘段塔（Bubble-plate column）と多孔板塔 (Sieve-plate column)が工業的にはよく使われていたが，最近では充填物の発達により充填塔もよく使われるようになった．原料として蒸留にかける液混合物が，塔の中央辺りの段に連続的に供給される．前述のように，原料液は重力で回収部を流下する時，リボイラーからフィードバックされた蒸気と向流で気液接触する．蒸気は供給段より上の濃縮部も上昇してコンデンサーにまで到達するが，濃縮部に気液接触すべき液流れが必要なため，コンデンサーでの凝縮液を塔頂段に還流する．この還流液は濃縮部を流下後，原料液と合流して回収部を流下するのである．

図 11.2-3. 伝統的なクロスフロー型トレイ（シーブトレイとバブルキャップトレイ）

図 11.2-3 に伝統的な２種類のトレイを示す．クロスフロー型トレイの場合，塔内を流下する還流液がオーバーフローするための溢流堰とトレイから一段下のトレイへ流下するためのダウンカマーが装備されている．各トレイには小さなドリル孔が配列して設けられているか，あるいはトレイ上の液中に浸漬された泡鐘キャップが配列されており，ドリル
孔か泡鐘キャップのスロットに強制的に蒸気を通過させる際にできた気泡が 気液接触界面となり，液プール内を潜り抜ける間，異相間物質移動が起きる．気泡内の蒸気中に存在する高沸成分のいくらかが 凝縮して潜熱を放出し，その熱をもらって液相に存在する低沸成分のいくらかが蒸発する．その結果，気相は上昇するにつれて，低沸成分が濃縮され

棚段塔の基礎

139て行く，一方，液相はカスケード的に段から段へ流下するにつれて，高沸成分が濃縮されて行く．
実際の蒸留塔における物質移動プロセスは複雑過ぎて簡単にはモデル化できない．だか
ら実際の蒸留塔の工学的設計のためには，この困難を克服するために理想段の概念が導入されている，つまり段効率の概念が考慮されている．ここでは，先ずは，物質移動の観点
から蒸留を考える前に，理想段モデルとそれに基づく工学的設計法について勉強しよう．
11.2-2 棚段塔の基礎
11.2-2-1 理想段の定義
ある蒸留塔における単一の棚段（塔頂から数えて第 n 段）について考えよう．図 11.2-4に見るように，第 n 段に入ってくる二つの流れと第 n 段を出て行く二つの流れがある．
第 n-1 段から入ってくる液の流れ 𝐿𝑛−1 kmol/s と第 n+1 段から入ってくる蒸気の流れ 𝑉𝑛+1
kmol/s が第 n 段上で緊密に接触して後，蒸気の流れ 𝑉𝑛 と液の流れ 𝐿𝑛 が第 n 段から去って行く．理想段あるいは平衡段とは，「第 n 段を去って行く蒸気と液は平衡状態にある」と定義される．したがって 𝑥𝐴𝑛 と 𝑦𝐴𝑛 は平衡濃度である．

図 11.2-4 理想段あるいは平衡段の定義

図 11.2-5 沸点線図 (等圧条件)

図 11.2-5 に，このような平衡関係にある沸点線図を示す．通常，気液両相の低沸成分の濃度が蒸留塔の高さとともに上昇する． 第 n 段を去る二つの流れの 𝑦𝐴𝑛 と 𝑥𝐴𝑛 は平衡であっても，入ってくる流れの 𝑦𝐴𝑛+1 と 𝑥𝐴𝑛−1 は一般に平衡ではない．つまり第 n+1 段からの蒸気と第 n-1 段からの液が第 n 段へ持ち込まれて，高沸成分 B の幾らかが蒸気から凝縮して，その潜熱で低沸成分 A の幾らかが蒸発する．

140

物質移動装置

その結果，液の低沸成分濃度は 𝑥𝐴𝑛−1 から 𝑥𝐴𝑛 まで減少し，蒸気の低沸成分濃度は
𝑦𝐴𝑛+1 から 𝑦𝐴𝑛 まで増加する．例えば，ベンゼン・トルエン２成分系のような理想溶液では，成分 A を蒸発させるに要する潜熱は成分 B の凝縮で放出する潜熱によって賄われる．
このような状況は図 11.2-6 で表現される．理想溶液は A, B のモル蒸発潜熱が等しい溶液と定義されている．

図 11.2-6 理想段上での精留効果による濃度変化に関する沸点線図

11.2-2-2 物質収支
図 11.2-7 に示す蒸留塔には, 供給速度 𝐹 kmol/h，濃度 𝑥𝐹 (低沸成分 A のモル分率)の原料が供給される．塔頂コンデンサーから留出速度 𝐷 kmol/h， 濃度 𝑥𝐷 の塔頂製品が，塔底リボイラーから缶出速度 𝐵 kmol/h，濃度 𝑥𝐵 の塔底製品が抜き出されている．塔頂からの蒸気 𝑉𝑡 は全部凝縮される．（全縮と言う） その凝縮液の一部は還流液 𝑅 として塔頂段に返される．
全体の物質収支は以下のように書ける：
全物質収支
𝐹 =𝐷+𝐵(11.2-1)
成分 A の物質収支
𝐹𝑥𝐹 = 𝐷𝑥𝐷 + 𝐵𝑥𝐵(11.2-2)
塔頂コンデンサー周りの物質収支
𝐷 = 𝑉𝑡 − 𝑅(11.2-3)
還流比の定義（外部還流比とも言う）
𝑅
𝑉 −𝐷
𝑟 = 𝐷 = 𝑡𝐷
(11.2-4)𝑛 − 1 段からのモル流量 𝐿𝑛−1 kmol/h，モル分率 𝑥𝑛−1 の（内部）還流液と𝑛 + 1 段からのモル流量 𝑉𝑛+1 kmol/h ，モル分率 𝑦𝑛+1 の蒸気を第 n 段で緊密に接触させて，モル流量 𝑉𝑛
kmol/h，モル分率 𝑦𝑛 の蒸気とモル流量 𝐿𝑛 ，モル分率 𝑥𝑛 の液が第 n 段から出て行く．各段
では液は泡点にあり，蒸気は露点にある．

141

物質収支

図 11-2-7. 全体の物質収支に使う蒸留塔

図 11-2-8. 濃縮部における物質収支 （点線で囲んだ部分が着目するコントロールボリューム）

第 𝑛 + 1 段より上の濃縮部で塔頂コンデンサーも含む破線で囲まれた部分をコントロール
ボリュームとして選び，物質収支をとると
𝐷 = 𝑉𝑛+1 − 𝐿𝑛
(11.2-5)
𝐷 𝑥𝐷 = 𝑉𝑛+1 𝑦𝑛+1 − 𝐿𝑛 𝑥𝑛(11.2-6)
この式は整理すると次式となる：
𝐿
𝐷
𝑦𝑛+1 = 𝑛 𝑥𝑛 +𝑥𝐷
(11.2-7)
𝑉𝑛+1

𝑉𝑛+1

これが濃縮部の操作線式と呼ばれるもので，第 n 段へ入ってくる蒸気 𝑉𝑛+1 の濃度 𝑦𝑛+1 と出ていく液 𝐿𝑛 の濃度 𝑥𝑛 の関係を与える式である．

142

物質移動装置

図 11-2-9 回収部における物質収支 （点線で囲んだ部分が着目するコントロールボリューム）

同様に，第 m 段より下のリボイラーも含む回収部をコントロールボリュームに選んで収支をとると𝐵 = 𝐿′𝑚 − 𝑉′𝑚+1(11.2-8)
𝐵 𝑥𝐵 = 𝐿′𝑚 𝑥𝑚 − 𝑉′𝑚+1 𝑦𝑚+1
(11.2-9)式(11.2-9)より
𝐿′𝐵
𝑦𝑚+1 = 𝑉′ 𝑚 𝑥𝑚 − 𝑉′𝑥𝐵
(11.2-10)𝑚+1

𝑚+1

これが回収部の操作線式であり，同じく，回収部の第 m 段に入ってくる蒸気の濃度と出て行く液の濃度との関係を与える．
11.2-2-3 マッケィブ・シール（McCabe-Thiele）法
仕様として指定された分離条件を達成するに要する理想段の数はマッケィブ・シールの理想段の階段作図法を使って計算することができる．理想段の定義は第 n 段を上へ出ていく蒸気 𝑉𝑛 と下へ出ていく液 𝐿𝑛 との間で平衡状態にあるとしている．

図 11.2-10. 棚段についての理想段の定義

気液平衡関係の簡単化に関して，揮発度の概念を考えることができる．すなわち２成分系 A ，B の場合の相対揮発度は次式のように定義できる：𝑦 ⁄𝑥

𝛼 = 𝑦 𝐴 ⁄𝑥 𝐴
𝐵𝐵

ここに 𝑦𝐵 = 1 − 𝑦𝐴, 𝑥𝐵 = 1 − 𝑥𝐴 .

(11.2-11)

McCabe-Thiele 法

143（あまり広くない温度範囲の場合には）相対揮発度 𝛼が一定と仮定すると，平衡関係は次のように近似できる：
𝛼𝑥𝑦 = 1+(𝛼−1)𝑥(11.2-12)２成分系の平衡関係の x-y 線図は低沸成分に対してプロットされる．
McCabe-Thiele 法は次の二つの仮定に基づいている：(1) ２成分は等しいモル蒸発潜熱を持つ（理想溶液を仮定）(2) 塔からの熱損失はなく，気液の混合熱も無視できる
したがって，塔内を上昇する蒸気と流下する液について，モル流量が一定とする概念が得
られる：
（濃縮部）
𝑉𝑛 = 𝑉𝑛−1 = − − − − − = 𝑉1 = 𝑉𝑡 = 𝑉(11.2-13)
𝐿𝑛 = 𝐿𝑛−1 = − − − − − = 𝐿1 = 𝑅 = 𝐿(11.2-14)（回収部）
𝑉′𝑚 = 𝑉′𝑚+1 = − − − − − = 𝑉′
(11.2-15)
𝐿′𝑚 = 𝐿′𝑚+1 = − − − − − = 𝐿′
(11.2-16)
したがって操作線式は次のように簡単化される：𝐿𝐷
𝑦𝑛+1 = 𝑉 𝑥𝑛 + 𝑉 𝑥𝐷
(11.2-17)
𝐿′𝐵

𝑦𝑚+1 = 𝑉′ 𝑥𝑚 − 𝑉′ 𝑥𝐵
操作線の傾斜 𝐿⁄𝑉 は時には内部還流比と呼ばれ，次のようになる：(11.2-18)

𝐿(11.2-19)

𝑅𝑟= 𝑉 = 1+𝑟
𝑉𝑡

原料供給段周りの物質収支より
𝐿′ = 𝐿 + 𝑞 𝐹(11.2-20)
𝑉 = 𝑉 ′ + (1 − 𝑞 )𝐹
(11.2-21)
ここに， 𝑞 は供給する原料の熱的条件の尺度である：
1 モルの原料を供給状態から飽和蒸気にする熱量𝑞=
原料のモル蒸発潜熱
もし，飽和蒸気混合物にして供給されるならば， 𝑞 = 0 であり
𝐿′ = 𝐿𝑉 = 𝑉′ + 𝐹(11.2-22)
もし，飽和液混合物にして供給されるならば，𝑞 = 1 であり，
𝐿′ = 𝐿 + 𝐹
𝑉 = 𝑉′(11.2-23)
図 11.2-11 に示すように， q-線（q-line）は原料供給段の位置で濃縮部と回収部の操作線の交点を通る．
q-線の一般的な式は次式のようになる：𝑞1
𝑦 = 𝑞−1 𝑥 − 𝑞−1 𝑥𝐹(11.2-24)
ここに 𝑞 = 0
𝑞=1の時は 𝑦 = 𝑥𝐹の時は 𝑥 = 𝑥𝐹

(11.2-25)

144

物質移動装置図 11.2-11. ２操作線と q-線との関係（𝒒 = 𝟏 の場合）

11.2-2-4 McCabe-Thiele 階段作図計算法 1)
濃縮部の操作線が塔頂製品（留出液）の濃度 𝑥𝐷 の位置で対角線(𝑦 = 𝑥) で交差する．同様に，回収部の操作線が塔底製品（缶出液）の濃度 𝑥𝐵 の位置で対角線と交差する．
1.

McCabe, W. L., and Thiele, E. W., Ind. Eng. Chem., 17, 605 (1925)

図 11.2-12. 理想段の McCabe-Thiele 階段作図

理想段の定義から，第 n 段を出ていく蒸気と液の 𝑦𝑛 と 𝑥𝑛 が平衡状態にあるから，平衡曲線上の点 A(𝑦𝑛 , 𝑥𝑛 ) が平衡段 n を意味している．これに対して，操作線は各段において，その段から上へ向けて出ていく蒸気と一つ上の段から入ってくる液の濃度の組合わせ（例：𝑦𝑛 , 𝑥𝑛−1 ）を表している．すなわち， 𝑦𝑛 における水平線 AB は操作線上の点 B (𝑦𝑛 ,𝑥𝑛−1 ) を通るので，第 n 段を出ていく蒸気と第 n-1 段から入ってくる液の濃度の関係を表している．𝑥𝑛 における鉛直 AC は操作線上の点 C (𝑦𝑛+1 , 𝑥𝑛 ) を通るので，第 n+1 段から第n 段に入ってくる蒸気と第 n 段を出ていく液の濃度の関係を表している．このように ，平衡曲線と操作線を交互に使って，出発点 (𝑥𝐷 , 𝑥𝐷 ) から順々に階段のように下方に向けて理想段を数えて濃縮部の必要段数が求められる．段番号を上から下へ付ける場合は，図11.2-12 の右側の図のように，回収部も同じようなやり方で，上から順々に理想段を数えMcCabe-Thiele 法

145

ることができるが，リボイラー自身も部分蒸発になる平衡段であるので，リボイラーも 1
理想段とカウントされる．平衡曲線上の点(𝑦𝐵 , 𝑥𝐵 ) がリボイラーの気液の濃度を示している．回収部の出発点（第１段）は原料供給段になるべきだが，濃縮部の階段作図の最終段
が原料供給段を跨いでしまう場合が多く，少し修正や補正などが必要になることもある．
上記のように数えた理想段数（仮想的な平衡段数）はマーフィリーの段効率（Murphreeplate efficiency）を導入して，実際の塔の設計の必要段数に変換する必要がある．
段効率については，本章の 11.4-1 において学ぶことになる．
.
11.2-2-5 還流比
前述のように，還流比は式 (11.2-4) で定義されている．還流比を減少して行くと，濃縮部と回収部の２操作線の交点は平衡曲線に近づいて行く．その交点が平衡曲線に触れた時，（McCabe-Thiele の階段作図法によれば）仕様として要求された分離条件を達成するに要する理論段数が無限大になってしまう．この状態になる時の還流比を最小還流比と呼ぶ．
実際の蒸留塔の経済的な最適還流比は普通，最小還流比の 1.5 倍程度にすることが多い．

図 11.2-13. 最小還流比の時の McCabe-Thiele 階段作図

11.2-2-6 エンタルピー・組成線図法（ポンション・サバリ法 Ponchon-Savarit step-by-step method)1,2)
物質収支と相平衡と一緒にエンタルピー収支もとることによって，精留塔の解析をする
ことができる，この方法は各段が平衡段であることと塔から周囲への熱損失がないことの２仮定だけによる段数決定法であり，エンタルピーが物質の潜熱，顕熱はもちろん，混合熱などすべてを包含したものであるから，混合熱無視や２成分のモル蒸発潜熱が等しいな
どの仮定も要らず，McCabe-Thiele の階段作図法より精密である．図 11.2-14 の横座標は２成分系の気液組成を，縦座標は成分 A,B 混合物の（単位モル当たりの）エンタルピーを与える．沸点線図と同じように，曲線 KL は露点の蒸気を，曲 MN は泡点の液を示している．
図の濃縮部において，第 n+1 段から上昇して第 n 段に入ってくる蒸気（流量 𝑉𝑛+1 ）のエ
ンタルピーは 𝐻𝑉𝑛+1 で与えられる．一方，第 n 段から出ていく液（流量 𝐿𝑛 ）のエンタル
ピーは 𝐻𝐿𝑛 で与えられる．この蒸留塔が断熱（熱損失がない）であると仮定すると，点P, 𝑉𝑛+1 , 𝐿𝑛 は同一線上（同図の太い破線）にある．この線をエンタルピー操作線“enthalpy
operating line”と呼ぶ． 点 P は濃縮部の全ての段の 𝑉𝑛+1 ， 𝐿𝑛 に対して共通の操作点を表している．（全てのエンタルピー操作線は点 P を通る．）点 P, Q はそれぞれ濃縮部，回収部の極点と呼ばれる．

146

物質移動装置図 11.2-14. Ponchon-Savarit 法 のエンタルピー・組成線図

点 P, 𝑉𝑛+1 , 𝐿𝑛 は同一線上にあるので重心の原理（てこの原理）を使って,
𝑉𝑛+1
𝐿𝑛

=

𝑃𝐿𝑛
𝑃𝑉𝑛+1

=

𝑥𝐷 − 𝑥𝑛
𝑥𝐷 − 𝑦𝑛+1

同様に，回収部も点𝑉′𝑚+1, 𝐿′𝑚 , Q は同一線上にあるので
𝑉′𝑚+1
𝑥𝑚 − 𝑥𝑤
=
𝐿′
𝑦
−𝑥
𝑚

𝑚+1

𝑤

(11.2-26)(11.2-27)

熱損失のない断熱操作をしている濃縮部においては，蒸気流によって上方へ運ばれるエンタルピーと液流によって下へ運ばれるエンタルピーとの差は一定である．このコントロールボリュームにおいて塔頂コンデンサーによって抜かれるエンタルピーは熱量 𝑄𝑐 （通常一定に固定する）である．
コントロールボリュームにおいてエンタルピー収支をとると
𝐿𝑛 𝐻𝐿𝑛 + 𝐷𝐻𝐷 + 𝑄𝑐 = 𝑉𝑛+1 𝐻𝑉𝑛+1(11.2-28)
図より
𝐻𝑃 = 𝐻𝐷 + 𝑄𝑐 ⁄𝐷(11.2-29)
したがって𝐷𝐻𝑃 = 𝑉𝑛+1 𝐻𝑉𝑛+1 − 𝐿𝑛 𝐻𝐿𝑛(11.2-30)
つまり断熱操作の場合，𝐷𝐻𝑃 (蒸気流と液流の運ぶエンタルピーの差) は濃縮部のどこの段においても同じことになる．
同様に，回収部においてもエンタルピー収支をとると𝑊𝐻𝑊 = 𝐿′𝑚 𝐻𝐿𝑚 − 𝑉 ′ 𝑚+1 𝐻𝑉𝑚+1 + 𝑄𝑟
(11.2-31)
𝐻𝑊 = 𝐻𝑄 + 𝑄𝑟 ⁄𝑊(11.2-32)′
𝑊𝐻𝑄 = 𝐿′𝑚 𝐻𝐿𝑚 − 𝑉 𝑚+1 𝐻𝑉𝑚+1(11.2-33)
つまり𝑊𝐻𝑄 は回収部のどこの段においても同じになる．
留出液 𝐷 と缶出液 𝑊 は仕様により一定であるから，𝐻𝑃 と 𝐻𝑄 もまた一定である．
McCabe-Thiele 法と同じやり方で，仕様の分離条件を達成するに要する理想段の数を
step-by-step の作図で決めるために，エンタルピー操作線とタイライン（対応線とも言う）と交互に使って数えるのである．後述する例題で理解がし易くなるはずである．
この方法をポンション・サバリ法 “Ponchon-Savarit method”と呼んでいる．

147

エンタルピー・組成線図 法

還流比に関しては，「てこの原理」を使って：
𝐻 −𝐻
𝑅 = 𝐻𝑃 − 𝐻𝑉1
𝑉1

𝐷(11.2-34)

この式は点 P が還流比によって指定されることを意味している．
1)
2)

Randall, M. and Longtin, B., Ind. Eng. Chem., 30, 1063, 1188 (1938)
McCabe, W. L. and Smith, J. C., “Unit Operations of Chemical Engineering,” McGraw-Hill, 3rd ed., 571 – 585(1976)[ 例 題 12.2-1 ] モル分率で 0.4 のメタノールと 0.6 の水からなる２成分系混合物 2
kmol/h をメタノールのモル分率で塔頂製品 0.85 と塔底製品 0.2 に分離しようとしている．
操作条件は圧力 1 atm, 還流比 3 とする．原料は飽和液体で供給する．
（注意：塔頂製品 と塔底製品の濃度を意識的にあまり分離できていない中庸に指定している理由は，エンタルピー・組成線図での作図を見やすくするためである．特に，塔底製品濃度が通常より非常に大きめに指定されている．）(1) 塔頂製品 1 kg 当たり塔頂コンデンサーでどれだけ熱を除去しなければならないか．塔
底リボイラーでどれだけ熱を加えなければならないか．
(2) エンタルピー・組成線図上で必要理想段数を求める段数計算をポンション・サバリ法を使って，説明せよ．
[ 解 ](1) 塔全体の物質収支から 𝐷 = 0.615 ， 𝑊 = 1.385 kmol/h
原料供給点とする点 F を泡点曲線上の 𝑥𝐹 = 0.4 に決める． 塔頂製品の点 D と塔底製品の点 W は泡点曲線の 𝑥𝐷 = 0.85 と 𝑥𝑊 = 0.2 の位置に決める．点 P は指定された還流比𝑅 = 3 から次のように決める．
図 11.2-E1 から 𝐻𝑉1 = 42,610, 𝐻𝐷 = 5,645 kJ/kmol が得られる．そこで𝐻𝑃 = 𝑅(𝐻𝑉1 − 𝐻𝐷 ) + 𝐻𝑉1 = 3 × (42,610 − 5,645) + 42,610 = 79,575 kJ/kmol
したがって，点 P は 𝐻𝑃 = 79,575 kJ/kmol， 𝑥𝐷 = 0.85 に決まった．したがって−𝑄𝑐 ⁄𝐷 = 79,575 − 5,645 = 73,930 kJ/kmol.
すなわち冷却負荷は次の値になった：−𝑄𝑐 = 73,930 kJ⁄kmol × 0.615 kmol⁄h = 45,470 kJ/h
点 W は原料点 F が通る overall-enthalpy 線 PF と 𝑥𝑊 = 0.2 の線との交点で決まり，そこ
では 𝐻𝑊 = 6,245 kJ/kmol となる．したがって
𝑄𝑟 ⁄𝑊 = 𝐻𝑊 − 𝐻𝑄 = 6,245 − (−27,000) = 33,240 kJ/kmol
結局，リボイラーの過熱負荷は次の値となる：
𝑄𝑟 = 33,240 kJ⁄kmol × 1.385 kmol⁄h = 46,040 kJ⁄h(2) 𝑥𝐷 = 𝑦1 = 0.85 であるから，点 V1 は露点曲線上の 𝑥𝐷 = 0.85 の位置にある．
気液平衡関係によると，この蒸気の 𝑦1 = 0.85 は 𝑥1 = 0.656 と平衡である．
したがって，点 V1 から泡点曲線上の 𝑥1 = 0.656 の点 L1 まで図のように矢印線のタイラインを引くことができた．次に P と L1 を通る操作線は露点曲線と点 V2 (𝑦2 = 0.75) と交差する．これで第 2 段の蒸気が決まった．次に気液平衡関係から蒸気の 𝑦2 = 0.75 は
𝑥2 = 0.442 と平衡であるから，図のように，矢印線のタイラインにより泡点曲線上の𝑥2 = 0.442 の位置に点 L2 を決めることができた．次にこの点 L2 が通る overall-enthalpy
線 P L2 は露点線と交差するので，点 V3 が 𝑦3 = 0.655 に得られた．次のタイラインは図からわかるように，点 F が通る overall-enthalpy 線を横切ってしまう．ここで，濃縮部の操作線は点 F を通る overall-enthalpy 線の右側にあるべきであり，回収部操作線は左側にあるべきであると考えることができる．

148

物質移動装置図 11.2-E1. 精留塔に関する Ponchon-Savarit step-by-step 作図計算法

原料供給段の最良の位置は液濃度が泡点曲線と overall-enthalpy 線との交差点の横軸値より小さい一番初めの段上にあると考えられるので，原料供給段はこの場合は第４段上にあるべきである．点 L3 は線 PFQ の左側にあるから，次の操作線は 点 Q から引くべきである．この操作線は V4 (at 𝑦4 = 0.380) で露点曲線と交差する．その次のタイラインが泡点線と交差する点 L4 の 𝑥4 = 0.0857 は 𝑥𝑊 より小さいから，４ステップで充分であると考えられる．リボイラーと第 3 段である原料供給段と３理想段を指定することができた．（注意：塔底の缶出液の濃度は，この例題においては，通常値より大きいので，原料供給段はリボイラーの一つ上の第 3 段となっている．図の step-by-stepの作図計算が見やすくしたためである．）
ここまで述べて来たように，蒸留塔の設計は，McCabe-Thiele 法や Ponchon-Savarit 法などに見られるように，蒸留塔が平衡段で構成されているとの仮定に基づいている．これに現実的な効率を考慮して実際の塔を設計するには，物質移動の概念の導入が必要になる．

11.3 蒸留塔における物質移動 （段塔）
一般に，実際の塔は上述の理想段塔と同じようには旨く動かない．物質移動の観点から，段塔の蒸留効率について考えよう．段効率の計算は二重境膜理論に基づいてなされる．
A, B ２成分系混合物の A, B のモル蒸発潜熱が等しいと仮定して，基礎式は異相間物質移動の考えから導かれる．
次の三つの仮定がなされた：(1) ある一つの相内で，ある成分の物質移動速度は，その相の流体本体の濃度と気液が接触する界面での濃度との差に比例する．
(2) 界面において気液は平衡状態にある．
(3) 界面の両側にある境界層（あるいは境膜）における移動する成分のホールドアップは

149

蒸留塔の物質移動（段塔）

このプロセスで移動する量と比べて無視できるほど小さい．（境膜厚さが十分に薄いことによる）

図 11.3-1. 気液界面の近傍における移動成分の濃度分布

単位面積当たりの物質移動速度すなわちモル物質流束は次式のように書ける：
N A  K yA ( y*A  y A )  k yA ( y Ai  y A )  k xA ( x A  x Ai )(11.3-1)

ここに 𝑥𝐴 ，𝑦𝐴 は低沸点成分 A のモル分率である．
境膜物質移動係数 𝑘𝑦 , 𝑘𝑥 は次のように定義できる：
𝑘𝑦𝐴 = 𝐷𝐺 ⁄𝛿𝐺𝑦 , 𝑘𝑥𝐴 = 𝐷𝐿 ⁄𝛿𝐿𝑥
(11.3-2)
二重境膜理論によると，異相間物質移動に対する直列に並ぶ二つの抵抗は次式である：
1
1
𝑚
1
1
1
=
+
,
=
+
(11.3-3)
𝐾
𝑘
𝑘
𝐾
𝑚𝑘
𝑘
𝑦𝐴

𝑦𝐴

𝑥𝐴

𝑥𝐴

𝑦𝐴

𝑥𝐴

そこで， 第 n 段上のプール液を突き抜けてバブリングする蒸気について考えよう．

𝐺𝑀 (1 × 1)𝑑𝑦 = 𝐾𝑦 (𝑦 ∗ − 𝑦)𝑎 (𝑑𝑧 × 1 × 1)
図 11.3-2. ある段上のバブリングしている泡沫層（高さ 𝒁𝒑）の微分コントロール
ボリューム dz における成分 A の物質収支

150

物質移動装置図 11.3-2 について
微分コントロールボリューム 𝑑𝑧 × 1 × 1 に対して，低沸点成分 A の物質収支をとると：𝐺𝑀 𝑑𝑦𝐴 = 𝐾𝑦𝐴 (𝑦𝐴∗ − 𝑦𝐴 )𝑎 𝑑𝑧(11.3-4)
2
3
ここで 𝑎 はバブリングしているガスと液の単位体積当たりの界面積 m /m である．
𝐾𝑦𝐴 𝑎⁄𝐺𝑀 が一定であると仮定して，第 n 段の泡沫層分について積分すると
𝑦′

𝑑𝑦

𝑛+1

𝐴

𝑁𝑂𝐺 = ∫𝑦 𝑛 𝑦∗ −𝑦 =𝐾𝑦𝐴 𝑎 𝑍𝑝

(11.3-5)

𝐺𝑀𝐴

この式は蒸留塔の各段についての移動単位数 NTU（Number of Transfer Units）の局所値を定義している．ここで，右辺の 𝑍𝑝 は第 n 段上の泡沫層の高さ（bubbling pool height）である．第 n 段へ入ってきた入口蒸気は入る前によく混合されると仮定する，したがって入ってくる蒸気の濃度 𝑦𝐴𝑛+1 は一定値と見做される．しかし，この種の直交流（クロスフロー）
トレイの場合，泡沫層から出ていく出口蒸気の濃度 𝑦′𝐴𝑛 は一般に，第 n 段に沿う出口堰
からの距離の関数になる．上式の右辺の項 𝐻𝑇𝑈 =𝐾𝑦𝐴 𝑎 𝑍𝑝
𝐺𝑀

Transfer Unit” と呼ばれるものである．
同様の式が他の移動単位に対しても得られる：:
𝑦′𝑁𝐺 = ∫𝑦 𝑛 𝑦𝑑𝑦=

𝐴𝑖 −𝑦𝐴

𝑛+1

𝑥′′

𝑑𝑥

𝑁𝑂𝐿 = ∫𝑥′ 𝑛 𝑥 −𝑥∗ =
𝑛

𝐴

𝑥′′

𝑑𝑥

𝐴

𝑁𝐿 = ∫𝑥′ 𝑛 𝑥 −𝑥 =𝑛𝐴は移動単位高さ “Height of𝑘𝑦𝐴 𝑎 𝑍𝑝

(11.3-6)

𝐺𝑀
𝐾𝑥𝐴 𝑎 𝑍𝑝

(11.3-7)

𝐿∗ 𝑀
𝑘𝑥𝐴 𝑎 𝑍𝑝

(11.3-8)

𝐿∗ 𝑀

𝐴𝑖

ここで局所の液相の移動単位は気液が向流接触を前提とする式になっているが，実際の液流れはトレイ上を水平方向に流れているから、実際の物質移動状況を表していないことに注意すること．すなわち，積分の上限と下限の 𝑥′𝑛 と 𝑥"𝑛 は液プールのトップとボトムの仮想的な液濃度であり，𝐿∗ 𝑀 はトレイの有効面積で割った仮想的なモル流速であると解釈すべきである．これに関しては， 後の節で，移動単位の平均値を定義している．
仮想的なモル流速と実際のモル流速との関係は
𝐿𝑀 𝑍𝑝 = 𝐿∗ 𝑀 𝐿𝑡
(11.3-9)
ここに 𝐿𝑡 は第 n 段を水平方向に液が流れる有効長さ（距離）である．
物質移動の総括抵抗は個々の気相，液相の物質移動抵抗の項で次のように書かれる：𝐺𝑀
𝐺
𝑚𝐺= 𝑘 𝑀𝑎 + 𝑘 𝑀𝑎
(11.3-10)
𝐾 𝑎
𝑦𝐴

𝑦𝐴

𝑥𝐴

ここで 気液平衡曲線は広くない濃度範囲では，次式のように局所的に直線であると仮定している：
𝑦∗ = 𝑚 𝑥 + 𝑏(11.3-11)
𝐺𝑀
𝐺𝑀
𝐿∗ 𝑀
𝑍𝑝 = 𝐾 𝑎 𝑁𝑂𝐺 = 𝑘 𝑎 𝑁𝐺 = 𝑘 𝑎 𝑁𝐿 であるから
𝑦𝐴

𝐺𝑀
𝐾𝑦𝐴 𝑎

=

𝑍𝑝
𝑁𝑂𝐺

𝑦𝑎

,

𝐺𝑀
𝑘𝑦𝐴 𝑎

=

𝑍𝑝
𝑁𝐺

𝑥𝑎

,

𝑚 𝐺𝑀
𝑘𝑥𝐴 𝑎

= (𝑚

𝐺𝑀

∗ )

𝐿∗𝑀

𝐿 𝑀 𝑘𝐴𝑥 𝑎

= (𝑚

𝐺𝑀

)

𝑍𝑝

𝐿∗ 𝑀 𝑁𝐿,

このようにして，式(11.2-10) は次のように書き替えることもできる：
1
𝑁𝑂𝐺

1

𝜆

𝐺

𝐿

= 𝑁 + 𝑁(11.3-12)

ここで 𝜆 = 𝑚⁄(𝐿∗ 𝑀 ⁄𝐺𝑀 ) は平衡曲線と操作線の勾配の比である．ストリッピングファクタ
ー “stripping factor” と呼ばれる．非常に大きな径の塔を除けば，商業スケールの工業的塔に対して各段の有効段面積（孔が配列されている部分）によって平均されている移動単位を式(11.2-10) に適用してもよい．

151

トレイモデル（段効率）11.4 トレイモデル (段効率)11.4-1 マーフリー段効率（Murphree Plate Efficiency）
段効率の定義のために，次の仮定がなされる：(1) 入口（入ってくる），出口（出ていく）の蒸気は濃度 𝑦𝑛+1 ，𝑦𝑛 でそれぞれよく混合されている，(2) 入口（入ってくる），出口（出ていく）の液はよく混合されているが，その濃度は入口濃度 𝑥𝑛−1 から出口濃度 𝑥𝑛 まで変化する．
Murphree 段効率は次式で定義される：
𝑦 −𝑦
𝐸𝑀𝐺 = 𝑦 ∗𝑛 − 𝑦𝑛+1
(11.4-1)𝑛+1𝑛

図 11.3-1. Murphree 段効率と点効率

ここに 𝑦 ∗ 𝑛 は，濃度 𝑥𝑛 でその段を出ていく液と平衡になるであろう蒸気の濃度であり，平衡の式は 𝑦 ∗ 𝑛 = 𝑚 𝑥𝑛 + 𝑏 である．𝑦𝑛 は理想段でないために到達する（出ていく）蒸気
濃度である．第 n 段に入ってくる蒸気はよく混合されていて濃度 𝑦𝑛+1 は一定である．
McCabe-Thiele 法の節で述べたように，理想段の場合は，第 n 段から出ていく蒸気は第n 段から出ていく液（濃度 𝑥𝑛 ）と平衡状態にある．だから理想段では 𝐸𝑀𝐺 = 1.
同様に，液相についての段効率も次のように定義できる：
𝑥−𝑥
𝐸𝑀𝐿 = 𝑥 𝑛−1− 𝑥∗𝑛(11.4-2)𝑛−1𝑛気相の点効率は次のように定義される：
𝑦′ − 𝑦𝐸𝑃𝐺 = 𝑦′∗𝑛 − 𝑦𝑛+1

(11.4-3)

𝑛+1

𝑛

同様に
− 𝑥′

𝑥

𝐸𝑃𝐿 = 𝑥 𝑛−1− 𝑥′∗𝑛𝑛−1(11.4-4)𝑛

ここに 𝑦 ′𝑛 と 𝑥 ′𝑛 は出口堰から上流側へ距離 𝑙 の位置において，泡沫層から上方へ出ていく蒸気の局所濃度と泡沫層へ直交流で入ってくる液の局所濃度である．
この点効率は蒸留塔の各段上の移動単位数の局所値式 (11.3-5)1)と関係している．
（水平方向に流れる）液流れの断面にわたって液はよく混合されていて，𝑦 ′∗ 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
である．
𝑁𝑂𝐺 の定義と 𝐸𝑃𝐺 の定義を組み合わせて𝑦′𝑦 ′∗ − 𝑦 ′𝑑𝑦

𝑁𝑂𝐺 = ∫𝑦 𝑛 𝑦∗−𝑦 = − ln 𝑦′∗ 𝑛− 𝑦 𝑛
𝑛+1
𝑛

𝑛+1

すなわち
𝑦 ′∗ − 𝑦 ′exp(− 𝑁𝑂𝐺 ) = 𝑦′∗ 𝑛− 𝑦 𝑛 = 1 − 𝐸𝑃𝐺𝑛𝑛+1

この式が移動単位数から点効率を計算する式である．

(11.4-5)

152

物質移動装置

その段（第 n 段）の有効段面積全域（孔の開いている部分）で平均した移動単位数は次のように書かれる：𝑦̅̅̅̅̅
𝑁𝑂𝐺 = ∫𝑦 𝑛

𝑛+1

𝑑𝑦

=
𝑦 ∗ −𝑦𝑥𝑑𝑥
̅̅̅̅̅𝑁𝑂𝐿 = ∫𝑥 𝑛−1 𝑥− 𝑥∗ =𝑛

𝐾𝑦 𝑎 𝑍𝑝𝐺𝑀
𝐾𝑥 𝑎 𝑍𝑝
𝐿∗ 𝑀

,

𝑦
̅̅̅̅
𝑁𝐺 = ∫𝑦 𝑛𝑛+1

𝑑𝑦𝑘𝑦 𝑎 𝑍𝑝

𝑖

𝐺𝑀

=
𝑦 −𝑦

𝑘𝑥 𝑎 𝑍𝑝𝑥𝑑𝑥, ̅̅̅̅̅
𝑁𝑂𝐿 = ∫𝑥 𝑛−1 𝑥− 𝑥 = 𝐿∗𝑛𝑖𝑀

(11.4-6)液相の移動単位数の上の定義式において，液の入口，出口濃度 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 が液プールのトップとボトムの濃度の代わりに採用されている．
第 n 段上の液が完全混合状態にある場合は点効率と段効率は同じになる：
𝐸𝑃𝐺 = 𝐸𝑀𝐺 = 1 − exp(− ̅̅̅̅̅
𝑁𝑂𝐺 )(11.4-7)
1.

Kister, H. Z., Distillation Design, McGraw-Hill, Newb York, P.367 (1992)

11.4-2 蒸留の物質移動実験 1)
棚段塔の蒸留プロセスにおける物質移動を理解するためには，気相，液相それぞれの物
質移動係数を分離して議論することが重要である．
移動単位数 NTU は物質移動係数と気液接触面積の関数である．
したがって，移動単位数は次のような形になると考えることができる：
̅̅̅̅
𝑁𝐺 = ̅̅̅̅𝑁𝐺 (𝑆𝑐𝐺 , 𝑊𝑒, 𝑅𝑒𝐺 , ℎ𝑤 ⁄𝐿𝑡 , 𝑑 ⁄𝐿𝑡 , 𝐿𝑀 ⁄𝑉𝑀 , 𝑛 𝐿𝑡 2 )̅𝑁̅̅𝐿̅ = ̅𝑁
̅̅𝐿̅ (𝑆𝑐𝐿 , 𝑊𝑒, 𝑅𝑒𝐿 , ℎ𝑤 ⁄𝐿𝑡 , 𝑑 ⁄𝐿𝑡 , 𝐿𝑀 ⁄𝑉𝑀 , 𝑛 𝐿𝑡 2 )(11.4-8)
ここで 𝑊𝑒 はウェ－バ数（Weber number）と呼ぶ無次元パラメーターで，慣性力と表面張力との比である：𝑊𝑒 =𝑢𝐺0 2 𝜌𝐺 𝑑
𝜎(11.4-9)

レイノルズ数は気相，液相それぞれで𝑢 𝜚 𝑑
𝑅𝑒𝐺 = 𝐺0𝜇 𝐺
𝐺

𝑅𝑒𝐿 =

𝑢𝐿0 𝜚𝐿 𝑑𝑒𝑞
𝜇𝐿(11.4-10)

ここに，n , d と ℎ𝑤 はトレイの単位面積当たりの開口孔の個数，その孔の直径，と出口堰の高さである． また，𝑢𝐺0 は孔を通過する蒸気速度，𝑢𝐿 はトレイのデッキ（ガイド）に沿って水平方向に流れる液流速，𝑑𝑒𝑞 はトレイの水力相当直径である． 移動単位数はこれ
ら多くの因子が複雑に関係するはずであると言う関数形なのである．
このような観点での例として，蒸留塔の効率に関する大研究調査プロジェクトとして
AIChE Research Committee1) が何十年も前に実施した，バブルキャップトレイ（泡鐘段）の実験データが今も使用可能な状態（ただし，有次元の相関式）で存在する．
図 11.4-1 にクロスフロートレイの幾何学的構造とバブリングする泡沫層を示す．

図 11.4-1 直交流トレイ（クロスフロートレイ）の構造とバブリングする泡沫層

153

蒸留の物質移動実験

ここでの空塔蒸気速度 𝑢𝐺 (m/s) は段上の有効面積（バブリング領域）基準である．
気相の効率を基準として展開された相関式 1,2) がアンモニア-空気-水系とアセトン-ベンゼン系の実験から得られている：
1
𝑁𝐺 = 𝑆𝑐 (0.776 + 4.57 ℎ𝑤 − 0.238 𝐹 + 105 𝐿)(11.4-11)√𝐺

ここに ℎ𝑤 は出口堰高さ， 𝐹 は 𝑢𝐺 √𝜌𝐺 で与えられる F-factor (m/s)(kg/m3)1/2, 𝐿 はその段の横断方向の単位幅当たりの液の体積流量 m3/m s である．
バブリング領域の単位長さ当たりの液ホールドアップ ℎ𝐵 も次のように与えられる：ℎ𝐵 = 4.2 × 10−2 + 0.19 ℎ𝑤 − 1.36 × 10−2 𝐹 + 2.49 𝐿(11.4-12)液相での移動単位数にも次の相関式がある：
𝑁𝐿 = 2.08 × 104 √𝐷𝐿 (0.213 𝐹 + 0.15)𝑡𝐿(11.4-13)
2
ここに 𝐷𝐿 は液相での拡散係数 m /s である．右辺の滞留時間 𝑡𝐿 (s) は図 11.4-1 に示すように、水平方向に流れる液がバブリング領域の液の流れ方向の長さ 𝐿𝑡 を通過する時間である．いずれにしてもこれらは有次元式であるので，有用性を一般化することは難しいが，傾向を学ぶことも輸送現象論の観点から価値がある．
1.
2.

AIChE Research Committee, Bubble Tray Design Manual, New York (1958)
AIChE Research Committee, Tray Efficiencies in Distillation Columns, Final Report from the Univ. Delaware (1958)

ちょっとここで，移動単位数として表現された物質移動相関式から段効率をいかに計算するかを学ぼう．
[ 例 題 11.4-1] あるベンゼン・トルエンの液混合物を塔径 2 m のバブルトレイ（泡鐘）
塔で蒸留する．この塔は 18 段のトレイを有し，段間隔は 0.50 m である．原料は 54 mol%のベンゼンを含み，泡点の飽和液として供給される．操作条件およびトレイの構造条件は
表 11.4-1 に挙げている．液は完全混合であると仮定して，濃縮部の段効率を求めよ．
表 11.4-1 操作条件
原料供給速度
原料組成
塔頂製品速度塔頂製品組成
還流比

蒸気流量
液流量
平均温度
平均圧力
平均液組成
平均蒸気組成0.139 kmol/s
54 mol% benzene
0.075 kmol/s
99 mol% benzene
1.67
濃縮部
0.20 kmol/s (Rectifying section)
0.125 kmol/s (Rectifying section)
98℃
0.15 MPa
90 mol% benzene
94 mol% benzene

トレイ構造条件
2m
0.0762 m
三角形配列
1.7 m (平均幅)1.2 m (平均長さ)
出口堰高さ
0.08 m
出口堰横断方向長さ
1.5 m
トレイ直径
キャップサイズ
キャップ配列バブリング領域

154

物質移動装置[ 解 ](Step Ⅰ) 𝑁𝐺 の計算： 98℃ and 0.15 MPa における蒸気の物性定数は
𝜌𝐺 = 4.0 kg⁄m3 , 𝜇𝐺 = 8.5 × 10−6 kg⁄m s, and 𝐷𝐺 = 2.94 × 10−6 m2 ⁄s ,これより シュミット数 𝑆𝑐𝐺 = 0.72. 蒸気の平均分子量は 𝑀𝐺 = 78.8 kg⁄kmol．
したがって，蒸気の体積流量は
𝐺 ′ = 𝐺𝑀 𝑀𝐺 ⁄𝜌𝐺 = (0.20)(78.8)⁄4 = 3.94 m3 ⁄sバブリング領域基準の空塔速度は
𝑢𝐺 = 𝐺′⁄𝐴 = 3.94⁄(1.2 × 1.7) = 1.93 m/s
これより F-factor が次のように得られる
1⁄ 2
𝐹 = 𝑢𝐺 √𝜌𝐺 = (1.93)√4 = 3.86 (m⁄s)(kg⁄m3 )液の平均密度は 𝜌𝐿 = 800 kg⁄m3 . 液の平均分子量は 𝑀𝐿 = 79.4 kg⁄kmol
液の体積流量は𝐿′ = 𝐿𝑀 𝑀𝐿 ⁄𝜌𝐿 = (0.125)(79.4)⁄800 = 0.0124 m3 ⁄s
したがって出口堰の単位幅当たりの液流量が得られる
𝐿 = 0.0124⁄1.5 = 0.00827 m3 ⁄s m
そこで，式(11.4-11) を使って，気相の移動単位数が求められる：
𝑁𝐺 = (0.72)−1⁄2 (0.776 + 4.57 (0.08) − 0.238 (3.86) + 105𝑏 (0.00827)) = 1.286(Step Ⅱ) 𝑁𝐿 の計算：: 式(11.4-12) から，トレイ上の液ホールドアップが計算される：ℎ𝐵 = 4.2 × 10−2 + 0.19 (0.08) − 1.36 × 10−2 (3.86) + 2.49 (0.00827) = 0.0253 m
液の接触時間はバブリング領域面積に基づいて計算すべきである
𝑡𝐿 = ℎ𝐵 𝐿𝑡 ⁄𝐿 = (0.0253)(1.2)⁄0.00827 = 3.67 𝑠
液相の拡散係数は𝐷𝐿 = 6 × 10−9 m2 ⁄s
そこで，式(11.4-13) を使って，液相の移動単位数が求められる：
𝑁𝐿 = (2.028 × 104 ) (6 × 10−9 )1⁄2 (0.213 × 3.86 + 0.15)(3.67) = 5.605(Step Ⅲ) 𝑁𝑂𝐺 の計算：
平衡曲線の勾配は𝑥 = 0.90 において𝑚 = 0.5 と与えられる． よって stripping factor は
𝜆 = 𝑚 𝐺𝑀 ⁄𝐿𝑀 = (0.50) (0.20)⁄0.125 = 0.80
ゆえに，式(11.3-12) より総括の移動単位数が求められる：
1
𝑁𝑂𝐺

1

𝜆

𝐺

𝐿

1

0.80

= 𝑁 + 𝑁 = 1.286 + 5.605 = 0.920 or 𝑁𝑂𝐺 = 1.087(Step Ⅳ) 点効率の計算：
式(11.4-7) より
𝐸𝑃𝐺 = 1 − exp(− 𝑁𝑂𝐺 ) = 1𝑏 − exp(−1.087) = 0.663
液流れが完全混合であるとの仮定により，点効率と段効率は同じになる．
したがって，段効率は𝐸𝑀𝐺 = 𝐸𝑃𝐺 = 0.663 or 66.3%となる．

11.5 蒸留塔の設計計算手順
仕様などで指定差された分離精製条件を達成するに要する実際の棚段の総数を求める設
計計算は次の手順で行うことになっている：
(i)
理想段の数
step-by-step の階段作図法には次の情報が必要である：

蒸留塔の設計計算手順

(ii)

(iii)

155

気液平衡関係，物質収支，最適な還流比，操作線，そして理想段を構成するための平衡段モデルによる McCabe-Thiele stage-by-stage 計算法
段効率
段効率は物質移動の情報から考えるべきである．気相の移動単位数，液相の移動単位数，総括の移動単位数，点効率，それらによって混合効果を考慮した段効率
総括効率（塔効率とも言う）
総括効率は実段の数に対する理想段の数の比として定義される．
もし平衡線と操作線とも直線ならば，総括効率は：𝐸𝑂𝑉 =ln[1+ 𝐸𝑀𝐺 (𝜆−1)]ln 𝜆(11.5-1)

これに代わる方法としては，修正 McCabe-Thiele 法がある．実段の数は真の平衡曲
線 𝑦𝑒 を下式を使って，わかっている Murphree の段効率 𝐸𝑀𝐺 を考慮した有効曲線𝑦𝑒′ に置き換えて， McCabe-Thiele の階段作図法で step-by-step に数えて行く方法である．
𝑦𝑒′ = 𝑦 + 𝐸𝑀𝐺 (𝑦𝑒 − 𝑦)(11.5-2)
図 11.5-2 はこの修正 McCabe-Thiele 法を例示している．

11.6 蒸留塔システムの熱収支
低沸点成分 X のモル分率 𝑥𝐹 ，高沸点成分 Y のモル分率 (1 − 𝑥𝐹 ) からなる２成分系混合物である原料 𝐹 (kmol/h)を，低沸点成分濃度 𝑥𝐷 の塔頂製品と高沸点成分濃度 (1 − 𝑥𝐵 )の塔底製品に分離する条件で下に示す連続式蒸留塔を設計したい．

図 11.6-1.

(i)

連続式蒸留塔のフローシート

塔頂および塔底製品の量 𝐷 と 𝐵 を求めよ．
還流比は 𝑟 = 𝑅⁄𝐷 であり，還流液の温度は泡点である．原料 𝐹 は，熱交 Ⅰ

156

物質移動装置

(ii)

(iii)
(iv)

(v)
(vi)

で温度 𝑡𝐹0 から 𝑡𝐹1 (K) まで，熱交 Ⅱで 𝑡𝐹1 から 𝑡𝐹2 (K)まで，熱交Ⅲで𝑡𝐹2 から 𝑇𝐹 (K) まで加熱される．その結果，原料は泡点で飽和の液として蒸留塔に供給される．
操作線式と q-line の式を求めよ．
X, Y 混合物のモル潜熱とモル熱容量は下記の近似式で評価できる：
Δ𝐻𝑀 = 𝑥 Δ𝐻𝑋 + (1 − 𝑥 )Δ𝐻𝑌
(J/kmol)()
𝐶𝑝𝑀 = 𝑥 𝐶𝑝𝑋 + 1 − 𝑥 𝐶𝑝𝑌 (J/kmol K)
塔頂から出ていく蒸気は熱交 Ⅱと塔頂コンデンサーにより露点 𝑇𝐷 (K)で完全に凝縮される．
冷却水は塔頂コンデンサーに温度 𝑡𝑖 (K) で入り， 𝑡𝑜 (K) で出ていく．冷却水の必要量を求めよ．
塔底製品は泡点 𝑇𝐵 (K) の液としてリボイラーを出ていく．リボイラーにおいて圧力 𝑃𝑆 (Pa) の水蒸気が凝縮することによって放出される熱が混合物である溶液の蒸発潜熱 𝐻𝑆 (J/kg) に等しいと仮定できるならば，必要な水蒸気量はいくらか。
熱交Ⅲの出口で塔底製品の温度はいくらか．
もし気相の Murphree 段効率の一定値 𝐸𝑀𝐺 (-) がリボイラーを除く各段に与えられるならば，実段は何段必要か．原料供給段はどの位置にすべきか．

[ 解 ]
(i)
塔全体の物質収支：
𝐹 =𝐷+𝐵𝐹 𝑥𝐹 = 𝐷 𝑥𝐷 + 𝐵 𝑥𝐵
これらの式から塔頂，塔底製品 𝐷 ，𝐵 (kmol/h) が求められる：
𝑥 −𝑥
𝑥 −𝑥
𝐷 = 𝑥 𝐹− 𝑥𝐵 𝐹 ， 𝐵 = 𝑥𝐷−𝑥𝐹 𝐹(11.6-1)(11.6-2)

原料は飽和液で供給されるから，𝑞 = 1 ．
したがって q-line の式は 𝑥 = 𝑥𝐹 ．
𝑞 = 1 の場合，気液の流量は 𝐿′ = 𝐿 + 𝐹 ， 𝑉 ′ = 𝑉
これらの式は還流比の項によって表すことができる．
𝐿′ − 𝐹 = 𝐿 = 𝑅 = 𝑟 𝐷
𝑉 ′ = 𝑉 = 𝑅 + 𝐷 = (𝑟 + 1)𝐷したがって，操作線式は次のようになる：
(濃縮部)
𝐿
𝐷
𝑟
1
𝑦 = 𝑉 𝑥 + 𝑉 𝑥𝐷 = 𝑟+1 𝑥 + 𝑟+1 𝑥𝐷(11.6-3)(11.6-4)

𝐷

(ii)

𝐵

𝐷

𝐵

(11.6-5)

(回収部)
𝐿′

𝐵

𝑓+ 𝑟

𝑏

𝑦 = 𝑉′ 𝑥 − 𝑉 ′ 𝑥𝐵 = 𝑟+1 𝑥 − 𝑟+1 𝑥𝐵(11.6-6)
ここに 𝑓 = 𝐹 ⁄𝐷 ，𝑏 = 𝐵⁄𝐷 .
(iii) 濃縮部における蒸気流量は𝑉 = (𝑟 + 1)𝐷
塔頂蒸気が凝縮して放出する熱量は次のように書ける：(𝑟 + 1)𝐷 [𝑥𝐷 ∆𝐻𝑋 + (1 − 𝑥𝐷 )∆𝐻𝑌 ]
平均熱容量は温度の関数ではないから，熱交 Ⅱでの伝熱速度は𝐹 [𝑥𝐹 𝐶𝑝𝑋 + (1 − 𝑥𝐹 )𝐶𝑝𝑌 ](𝑡𝐹2 − 𝑡𝐹1 )コンデンサーでの熱収支から必要冷却水量 𝑊 (kg/h) は次式で求められる：(𝑟 + 1)𝐷 [𝑥𝐷 ∆𝐻𝑋 + (1 − 𝑥𝐷 )∆𝐻𝑌 ] − 𝐹 [𝑥𝐹 𝐶𝑝𝑋 + (1 − 𝑥𝐹 )𝐶𝑝𝑌 ](𝑡𝐹2 − 𝑡𝐹1 )蒸留塔システムの熱収支

(iv)

(v)

(vi)

157

= 𝑊 𝐶𝑝𝑤 (𝑡𝑜 − 𝑡𝑖 )(11.6-7)
ここに 𝐶𝑝𝑤 は水の熱容量 (J/kg K) である．
液の 𝑉′ (kmol/h) を蒸発するに要する熱量は𝑉 ′[𝑥𝐵 ∆𝐻𝑋 + (1 − 𝑥𝐵 )∆𝐻𝑌 ] = 𝑆 ∆𝐻′𝑆
(11.6-8)
この式から必要な水蒸気量 𝑆 (kg/h) が計算できる．
熱交Ⅲで熱収支をとって，出口温度 𝑡𝐵 (K) は計算される．
𝐹 [𝑥𝐹 𝐶𝑝𝑋 + (1 − 𝑥𝐹 )𝐶𝑝𝑌 ](𝑇𝐹 − 𝑇𝐹2 ) = 𝐵[𝑥𝐵 𝐶𝑝𝑋 + (1 − 𝑥𝐵 )𝐶𝑝𝑌 ](𝑇𝐵 − 𝑡𝐵 )(11.6-9)
図 12.1-2 のように，有効平衡曲線 𝑦′𝑒 vs. 𝑥 は段効率を入れた次式を使って，真の平衡曲線 𝑦𝑒 vs. 𝑥 から得られる．
𝑦′𝑒 = 𝑦 + 𝐸𝑀𝐺 (𝑦𝑒 − 𝑦) (11.6-10)

図 11.6-2. 修正 McCabe-Thiele step-by-step 段数計算法

図 11.6-2 に示すように，McCabe-Thiele step-by-step 作図計算法は有効平衡曲線と操作線との間で階段作図をすれば，必要実段数を決めることができる．真の平衡曲線は平衡段と考えられるリボイラーにあたる最終ステップで使われる．結果，リボイラーと N 段の実段が必要であること，原料供給は塔頂から第 i 番目の段が適当であることなどがわかった．
蒸留塔の熱消費を解析することは重要課題である．蒸留塔は回収部では下降する液に接触する上昇する蒸気を造る塔底リボイラーが必要であり，また濃縮部では上昇する蒸気と接触する液（内部還流液）を造る塔頂コンデンサーが必要である．すなわち塔底で加熱し，塔頂で冷却しているため，蒸留塔は大きなエネルギー消費型装置であるから，このプロセスの省エネルギーは重要な問題である．
記

号

𝑎
𝐶𝑝
𝐷
𝐷𝐺 , 𝐷𝐿
𝐸𝑀𝐺
𝐸𝑃𝐺 , 𝐸𝑃𝐿
𝐹
𝐺𝑀

表充填層部の単位体積当たりの有効接触面積, [m2/m3]
熱容量, [J/kmol K]
塔頂製品量, [kmol/s]
気相，液相の拡散係数, [m2/s]
Murphree の段効率, [ - ]気相，液相の点効率, [ - ]原料供給速度, [kmol/s] または F-ファクター [(m/s)(kg/m3)0.5]
モル基準のガスの空塔質量速度, [kmol/m2s]158

𝐻𝑋 , 𝐻𝑌ℎ𝐸𝑇𝑃ℎ𝑤
𝐾
𝐾𝑥 , 𝐾𝑦
𝑘𝑥 , 𝑘𝑦𝑚
𝑁𝐺 , 𝑁𝐿
𝑁𝑂𝐺
𝑛
𝑅𝑒
𝑆𝑐
𝑇, 𝑡
𝑥𝐴 , 𝑦𝐴𝑧𝛼𝐴𝐵𝛿𝐺 , 𝛿𝐿
𝜆𝜇

物質移動装置

成分 x ，y の蒸発潜熱（エンタルピー）, [J/kmol]
HETP (Height Equivalent to a Theoretical Plate), [m]
出口堰高さ, [m]気液の平衡係数, [ - ]推進力に，液相濃度単位で，気相濃度単位で定義された総括物質移動係数, [kmol/m2s]
液相境膜および気相境膜の物質移動係数, [kmol/m2s]
平衡曲線の傾き, 𝑑𝑦⁄𝑑𝑥,
気相，液相の移動単位数 G:gas phase, L:liquid phase, [ - ]総括移動単位数, [ - ]理論段番号, [ - ]レイノルズ数, [ - ]シュミット数, [ - ]温度, [K]
液相および気相の成分 A のモル分率, [ - ]充填層部の高さ, [m]相対揮発度, [ - ]気相，液相の境膜厚さ, [m]ストリッピングファクター（stripping factor）, [ - ]粘度, [kg/m s]

下付き添え字A, B
成分 A, B
G, L
気相，液相
𝑖
界面

第１２章
熱と物質の同時移動- I
12.1 熱と物質の同時移動の理論 - I
ガス吸収と異なり，蒸留プロセスは非等温であり，気液接触界面近傍において高沸点成
分 B の凝縮で放出される凝縮潜熱とそれを低沸点成分 B の蒸発潜熱としてもらうエンタ
ルピー交換を伴って，相互拡散の形で進行する．然しながら，現在においても，高沸点成
分 B の放出する凝縮潜熱が全部，低沸点成分の蒸発のために消費されるか，どうかを確認することは困難である．実験で確かめるのが難しく，この問題は不可逆過程の熱力学の重要な研究テーマではある．しかし，本書の域を越えているので，ここでは化学工学の基礎として，凝縮と蒸発で等しいエンタルピー交換が行われるとするシンプルなモデルを解析する．
すなわち，この章では，高沸点成分 B が凝縮して放出する全モルエンタルピー 𝑁𝐵 ∆𝐻𝐵が丁度，低沸点成分 A の蒸発に消費されるとする仮定の基に熱と物質の同時移動論により蒸留を考えることにする．次のエンタルピー収支が存在することになる：
𝑁𝐵 ∆𝐻𝐵 = 𝑁𝐴 ∆𝐻𝐴(12.1-1)∆𝐻𝐵 = ∆𝐻𝐴 , ならば 𝑁𝐵 = 𝑁𝐴 .
すなわち，この条件は“等モル相互拡散”を意味している．
例えば，ベンゼンとトルエンは凝縮と蒸発のためのモル潜熱は近似的に等しい．

図 12.1-1. 蒸留プロセスにおける熱と物質の移動

図 12.1-1 に示すように, 蒸気流と液流は向流で流れており，蒸気流本体でエンタルピー
𝐻𝐺𝐵 を持っている高沸点成分 B は左から右へ対流物質移動で移動して気液界面に到達し，凝縮することによって潜熱 𝑁𝐵 ∆𝐻𝐵 を放出する，一方，低沸点成分 A は液流れ本体から右から左へ反対方向に対流物質移動によって移動して界面に到達し，成分 B が放出した熱を吸収して，蒸発する．と同時に，熱エネルギー自身も成分 A の移動とは反対方向に蒸気

160

熱と物質の同時移動 - I

流本体から界面を通過して液流本体へと対流伝熱で移動する． 簡単のために，上記の仮定によって界面近傍には温度分布のジャンプがないと考える．
ここでは，充填塔（塔断面積𝑆 ）において低沸点成分 A が液相から気相へ物質移動することに注目しよう． モル蒸発潜熱が A, B で等しい∆𝐻𝐴 = ∆𝐻𝐵 (J/kmol)とすると，等モル相互拡散が起きる．
成分 A の異相間物質移動は Fick の法則と二重境膜理論に基づいた次の質量流束の式で表現できる：𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑁𝐴 = − 𝜌𝐺 𝐷𝐴𝐵𝐺 𝑑𝑧𝐴 |𝑧=0= − 𝜌𝐿 𝐷𝐴𝐵𝐿 𝑑𝑧𝐴 |𝑧=0(12.1-2)

ここに 𝜌𝐺 と 𝜌𝐿 (kmol/m3) は気液のモル密度であり， 𝐷𝐴𝐵𝐺 と 𝐷𝐴𝐵𝐿 (m2/s) は気相と液相における B 中の A の拡散係数である．

図 12.1-2. 気液が接触する界面近傍における組成と温度の分布であるから，対流伝熱係数および対流物質移動係数は次のように定義される：
𝑑𝑦
𝑁𝐴 = − 𝜌𝐺 𝐷𝐴𝐵𝐺 𝑑𝑧𝐴 |= 𝜌𝐺 (𝐷𝐴𝐵𝐺 ⁄𝛿𝐺 )(𝑦𝐴𝑖 − 𝑦𝐴 ) = 𝑘𝑦𝐴 (𝑦𝐴𝑖 − 𝑦𝐴 )(12.1-3)𝑑𝑥𝐴

𝑧=0

𝑁𝐴 = − 𝜌𝐿 𝐷𝐴𝐵𝐿 𝑑𝑧 |

𝑧=0

𝑑𝑇

𝑄 = − 𝜅𝐺 𝑑𝑧𝐺|
𝑑𝑇

𝑧=0

𝑄 = − 𝜅𝐿 𝑑𝑧𝐿 |𝑧=0= 𝜌𝐿 (𝐷𝐴𝐵𝐿 ⁄𝛿𝐿 )(𝑥𝐴 − 𝑥𝐴𝑖 ) = 𝑘𝑥𝐴 (𝑥𝐴 − 𝑥𝐴𝑖 )(12.1-4)= (𝜅𝐺 ⁄𝛿𝐺 )(𝑇𝐺 − 𝑇𝑖 ) = ℎ𝐺 (𝑇𝐺 − 𝑇𝑖 )(12.1-5)= (𝜅𝐿 ⁄𝛿𝐿 )(𝑇𝑖 − 𝑇𝐿 ) = ℎ𝐿 ((𝑇𝑖 − 𝑇𝐿 ))(12.1-6)

ガス吸収と違って，蒸留の物質移動係数は等モル相互拡散のため，バルク流れの効果を含んでいないことに注意しよう．
図 12.1-2 のように，気液間の総括の推進力は液相本体の濃度 𝑥𝐴𝑚 と気相本体濃度 𝑦𝐴𝑚との差となるべきであるが，濃度の単位の基準が違うため，不適であり，共通の基準の濃度単位を使う必要がある．
そこで，もしモル分率において気相濃度を使うならば，総括推進力は 𝑦𝐴∗ − 𝑦𝐴 となる，
ここに 𝑦𝐴∗ は液相本体濃度 𝑥𝐴 と平衡であるとする仮想的な濃度である．すなわち，𝑦𝐴∗ は
液相本体濃度 𝑥𝐴 を気液平衡関係，例えば𝑦𝐴 = 𝑚 𝑥𝐴 を使って単位換算したことになる．

充填塔蒸留プロセスの輸送現象

16112.2 充填塔蒸留プロセスの輸送現象
12.2-1 物質とエネルギーの同時移動モデル
蒸留に供するあるプロセス流体混合物にはファウリングや重合そして熱分解などの熱プ
ロセスの問題がないならば，充填物の発達とともに，充填塔は蒸留操作でよく使われている．
それでは，蒸留プロセスを熱と物質の同時移動の立場から見直してみよう 1)．
1.

Nishimura, G., Kataoka, K., Noda, H., and Ohmura, N., Proc. 30 th European Symposium on Computer Aided Process
Engineering (ESCAPE30), 1-6, May 24-27, Milano, Italy (2020)

ガス吸収と違って，通常の複雑でない蒸留プロセスは等モル相互拡散の条件下で行われる．すなわち，気液界面近傍には空気のような不凝縮ガスが停滞していない．
図 12.2-1 は不規則充填物か規則充填物を３層に積んだ普通の充填塔である．原料供給段
より上の充填層は濃縮部，下の充填層を濃縮部と言う．それぞれの充填層と充填層との間のスペースには液流れの分布の不均一性をできるだけ避けるために，集液器や液分散器が装備されている．

図 12.2-1. 充填式蒸留塔

図 12.2-2. 充填式蒸留塔の微分コントロールボリュームにおける物質とエンタルピー収支

162

熱と物質の同時移動 - I

図 12.2-2 は熱と物質の収支をとるための微分の充填層高さ𝑑𝑧 を持つコントロールボリ
ュームの模式的な図である
蒸留プロセスにおいては，蒸気および液のモル流量 𝐺𝑀 と 𝐿𝑀 は等モル相互拡散のせい
で一定に保たれていると仮定することができる．
だから，式(12.1-3~6) を参照して，物質および熱の収支式は次のように書ける：
𝑁𝐴 𝑆 𝑑𝑧 = 𝐺𝑀 𝑑𝑦𝐴 𝑆 = 𝑘𝑦𝐴 𝑎 (𝑦𝐴𝑖 − 𝑦𝐴 )𝑆 𝑑𝑧 = 𝑘𝑥𝐴 𝑎 (𝑥𝐴 − 𝑥𝐴𝑖 )𝑆 𝑑𝑧(12.2-1)
𝑄 𝑆 𝑑𝑧 = 𝐺𝑀 𝑑𝐻𝐺 𝑆 = ℎ𝐺 𝑎 (𝑇𝐺 − 𝑇𝑖 )𝑆 𝑑𝑧 = ℎ𝐿 𝑎 (𝑇𝑖 − 𝑇𝐿 )𝑆 𝑑𝑧(12.2-2)
2
ここで 𝐺𝑀 ，𝐿𝑀 (kmol⁄m s) は蒸気および液の空塔基準のモル流速である．
モル質量流束 𝑁𝐴 とエンタルピー流束 𝑄 の単位はそれぞれ (kmol⁄m2 s) と (W⁄m2 ) である．
総括容量係数 𝐾𝑦𝐴 𝑎 と 𝑈𝑎 を使って𝐺𝑀 𝑑𝑦𝐴 = 𝐾𝑦𝐴 𝑎 (𝑦𝐴∗ − 𝑦𝐴 )𝑑𝑧(12.2-3)()
𝐺𝑀 𝑑𝐻𝐺 = 𝑈 𝑎 𝑇𝐺 − 𝑇𝐿 𝑑𝑧(12.2-4)
これらの式には，充填層単位容積当たりの有効接触界面積 𝑎 (m2/m3) が導入されている．
普通，気液接触界面積𝑎 (m2/m3) を測定する事は容易ではないので，総括容量係数 𝐾𝑦𝐴 𝑎と 𝐾𝑥𝐴 𝑎 の形で充填層物質移動を論じるのが便利である．
同様に，液相の濃度単位を推進力に使った 次の総括係数 𝐾𝑥𝐴 も定義できる：
𝑁𝐴 𝑎 𝑆𝑑𝑧 = 𝐾𝑥𝐴 𝑎(𝑥𝐴 − 𝑥𝐴∗ )𝑆𝑑𝑧
(12.2-5)
ここで 𝑥𝐴∗ は蒸気流本体濃度 𝑦𝐴 に平衡と考えられる仮想的な濃度である．
式(11.2-3)によると
𝐺𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐾 𝑀𝑎 𝑦 ∗ − 𝐴𝑦
(12.2-6)
𝑦𝐴

𝐴

𝐴

𝐺𝑀

この係数 𝐾𝑦𝐴 𝑎が一定であると仮定して，塔頂から塔底まで積分すると

𝑍
𝑦
𝐺
𝑑𝑦
̅̅̅̅̅̅̅
𝑍𝑇 = ∫0 𝑇 𝑑𝑧 = 𝐾 𝑀𝑎 ∫𝑦 𝐴2 𝑦∗ − 𝐴𝑦
𝐴1

𝑦𝐴

𝐴

(12.2-7)𝐴

𝐺̅̅̅̅̅̅
ここに， 積分の前の係数 𝐻𝑂𝐺 = 𝐾 𝑀𝑎 は塔高さにわたって平均されたもので，移動単位高𝑦𝐴

さ “Height of a Transfer Unit” と言うもので略して HTU と呼ばれる．厳密に言うと，HTU
は実際は塔底から塔頂へ向けて増加する傾向がある．設計仕様などで要求された分離条件
達成に要する充填層全高さ𝑍𝑇 を計算するためには，しかしながら，この総括容量係数
𝐾𝑦𝐴 𝑎 は本質的なメカニズムがわかる気相，液相それぞれの物質移動係数に分けて評価した方がよい． そこで
二重境膜理論に基づいた異相間物質移動抵抗は次式のようになる：
11𝑚= 𝑘 + 𝑘(12.2-8)
𝐾
𝑦𝐴

𝑦𝐴

𝑥𝐴

ここに平衡曲線の傾き 𝑚 が右辺第２項の分子に出てきたのは液相濃度から気相濃度の単位に換算に使われたためである．
気相，液相境膜物質移動係数𝑘𝑦𝐴 と 𝑘𝑥𝐴 が与えられているならば，充填塔の総高さ 𝑍𝑇 は式(12.2-8)を用いて計算できる．
物質移動抵抗に関しては，下式のように，総括移動単位高さ，気相，液相の移動単位高さの形で定義されている：
𝐺𝐿
𝐻𝑂𝐺 = 𝐾 𝑀𝑎 , 𝐻𝑂𝐿 = 𝐾 𝑀𝑎
(12.2-9)𝑦𝐴

𝐺𝑀

𝐻𝐺 = 𝑘

𝑦𝐴 𝑎

𝑥𝐴

,

𝐿𝑀

𝐻𝐿 = 𝑘𝑥𝐴 𝑎(12.2-10)だから式(11.2-8) にモル蒸気流速 𝐺𝑀 を掛けて，界面近傍に気液２境膜の物質移動抵抗が直充填式蒸留塔の効率

163

列で存在することを示す次の式が得られる：
𝐻𝑂𝐺 = 𝐻𝐺 + 𝜆 𝐻𝐿
(12.2-11)
ここに 𝜆 = 𝑚⁄(𝐿⁄𝑉) は平衡曲線と操作線の傾きの比であり，ストリッピングファクター“stripping factor” と呼ぶ．
この式は異相間物質移動で，気相？液相？どちらの抵抗が支配的かをチェックする重要な式である．これらの物質移動パラメータの経験的なデータはいくらかは相関のデータバン
クに集積されてはいるが，実験によるチェックなどをしないで、実際の工学的な塔設計に適用することは，難しい．
12.2-2 充填式蒸留塔の効率
棚段塔の段効率の概念は充填式蒸留塔に直接適用することはできない．
Murphree の 段 効 率 の 代 わ り に ， 充 填 塔 の 蒸 留 効 率 は HETP (Height Equivalent to
Theoretical Plate) によって評価される．これは充填塔ではあるが，（実験と段数計算で得た）
必要理論段数で実際の充填塔の充填高さを割って定義される． だからこの特性値は実際の充填塔で蒸留実験した結果と平衡段を仮定した McCabe-Thiele の stage-by-stage のプロセ
スシミュレーションの計算結果を対比することによって求められる．しかし充填塔における蒸留効率の局所変化を知りたい場合は局所の HETP の定義のためのコントロールボリュ
ーム法を導入する必要がある．図 12.2-3 はコントロールボリューム法 2) を使って，定義される HETP の意味を示している．この場合， HETP は，コントロールボリュームのトップから出ていく蒸気（濃度𝑦𝐴𝑛 ）が，コントロールボリュームのボトムから出ていく液（濃度 𝑥𝐴𝑛 )と平衡であると言う条件に対して定義された，実際の充填塔のコントロールボリ
ュームの高さである．
第 n 番目のコントロールボリュームで低沸点成分 A の物質収支をとると∗𝐺𝑀𝑛 𝑦𝐴𝑛 − 𝐺𝑀𝑛+1 𝑦𝐴𝑛+1 = 𝐾𝑦𝐴,𝑛 𝑎 (𝑦𝐴𝑛
− 𝑦𝐴𝑛 )𝑙.𝑚. ℎ𝐸𝑇𝑃,𝑛(12.2-12)
ここで，物質移動の推進力として各コントロールボリュームのトップとボトムの対数平均∗濃度差が使われている．濃度 𝑦𝐴𝑛
は液流本体の濃度 𝑥𝐴𝑛 を気相濃度の単位に換算したものである
この式は式 12.2-3 と同質のものである．.

図 12.2-3. 理想段塔における平衡段と実際の充填塔の HETP との相互の関係

164

熱と物質の同時移動 - I

もし理論段の必要数（すなわち，コントロールボリュームの必要数）が N であるならば，与えられた分離の仕様条件を満足する充填層の総高さ 𝑍𝑇 は下式のように計算される：
𝐺

𝑦

−𝐺

𝑦

𝑀𝑛 𝐴𝑛
𝑀𝑛+1 𝐴𝑛+1
𝑁
𝑍𝑇 = ∑𝑁𝑛=1 ℎ𝐸𝑇𝑃,𝑛 = ∑𝑛=1∗

𝐾𝑦𝐴,𝑛 𝑎 (𝑦𝐴𝑛 − 𝑦𝐴𝑛)𝑙.𝑚.

(12.2-13)

普通 𝐻𝑂𝐺 = 𝐺𝑀 ⁄𝐾𝑦𝐴 𝑎 は充填層高さとともに変化する．
理想溶液の場合， 𝐺𝑀𝑛 はほぼ一定であり，もし 𝐻𝑂𝐺 に平均値を使うならば，上式は次のように簡単になる：
𝐺

𝑀
𝑍𝑇 = ∑𝑁𝑛=1 ℎ𝐸𝑇𝑃,𝑛 = (𝐾 𝑎)
𝑦𝐴

𝑎𝑣

∑𝑁
𝑛=1

𝑦𝐴𝑛 − 𝑦𝐴𝑛+1
∗ −𝑦
(𝑦𝐴𝑛
𝐴𝑛 )𝑙.𝑚.

(12.2-14)

この式は式(12.2-7) に一致する．
2.

Nishimura, G., Kataoka, K., Noda, H., and Ohmura, N., J. Adv. Chem. Eng., Vol.11, Issue 2 (2021) DOI: 10.35248/20904568.21.11.195 (2021)[ 問 題 12.2-P1] 図 12.2-P1 は HETP と HOG の関係を表している． HETP と HTUOG との下の関係式を導出せよ．
ln 𝜆𝐻𝐸𝑇𝑃 = 𝜆−1 𝐻𝑂𝐺(12.2-P1)

ここに 𝜆 は平衡曲線と操作線の傾きの比 ストリッピングファクターである．

図 12.2-P1. HETP と HTU との関係.

12.3 充填蒸留塔の物質移動，エンタルピー移動間のアナロジー3)
充填塔蒸留プロセスは非等温で，相変化を伴う相互拡散の異相間物質移動で進行する．
実のところは，蒸留効率，例えば HETP が鉛直方向上向きに流れとともに変化する．そのような充填式蒸留塔内部での複雑な蒸留の輸送現象を観察している実験的研究がある．
この研究 1) は実の蒸留塔による実験と平衡段モデルに基づくプロセスシミュレーション解析との相互の補完によって，コントロールボリューム法による半経験的なモデルを取り扱っている．規則充填物（wire-mesh corrugated structured packing）を装備した実際のサイズの塔において得られた実験結果を少し紹介する．

充填蒸留塔の物質移動，エンタルピー移動間のアナロジー

165

気液界面を通して低沸点成分 A が液相から気相へ移動する場面を考えよう．HETP 測定でよく使われる全還流実験がメタノール・エタノール２成分系で実施されている．
式 12.2-12 と同様に，物質とエンタルピーの異相間の移動は図 12.3-1 に示す円筒形のコ
ントロールボリュームを定義して，次の式によって表現される：

図 12.3-1. 実の蒸留塔において定義された第 j 段目のコントロールボリューム

第 j 番目のコントロールボリュームにおける物質とエンタルピーの収支：(物質移動)
𝐺𝑀𝑗 𝑦𝐴𝑗 − 𝐺𝑀𝑗+1 𝑦𝐴𝑗+1 = (𝑘𝑦𝐴 𝑎)𝑗 (𝑦𝐴𝑗,𝑖 − 𝑦𝐴𝑗 )ℎ𝐸𝑇𝑃𝑗(12.3-1)= (𝑘𝑥𝐴 𝑎)𝑗 (𝑥𝐴𝑗 − 𝑥𝐴𝑗,𝑖 )ℎ𝐸𝑇𝑃𝑗= (𝐾𝑦𝐴 𝑎)𝑗 (𝑦 ∗𝐴𝑗 − 𝑦𝐴𝑗 )

𝑙.𝑚.

ℎ𝐸𝑇𝑃𝑗

(エンタルピー移動)
𝐺𝑀𝑗+1 𝐻𝐺𝑗+1 − 𝐺𝑀𝑗 𝐻𝐺𝑗 = (ℎ𝐺 𝑎)𝑗 (𝑇𝐺𝑗 − 𝑇𝑖𝑗 )ℎ𝐸𝑇𝑃𝑗= (ℎ𝐿 𝑎)𝑗 (𝑇𝑖𝑗 − 𝑇𝐿𝑗 )ℎ𝐸𝑇𝑃𝑗= (𝑈𝑎)𝑗 (𝑇𝐺 − 𝑇𝐿 )𝑙.𝑚. ℎ𝐸𝑇𝑃𝑗(12.3-2)

コントロールボリュームを定義する際に，高さに HETP の局所値 ℎ𝐸𝑇𝑃𝑗 を与えていること
がモデリングのキーポイントである．
ここで 𝐺𝑀𝑗 , 𝐿𝑀𝑗 は気液の（空塔基準の）モル流速 (kmol/m2s), 𝑘𝑦𝐴 𝑎, 𝑘𝑥𝐴 𝑎, 𝐾𝑦𝐴 𝑎 は気相境膜，
液相境膜，総括の物質移動容量係数 (kmol/m3s), ℎ𝐺 𝑎, ℎ𝐿 𝑎, 𝑈𝑎 は気相境膜，液相境膜，総括の伝熱容量係数 (W/m3K), 𝑦𝐴 , 𝑥𝐴 は気相，液相の低沸点成分のモル分率， 𝑇𝐺 , 𝑇𝐿 は気相，液相の温度 (K) である．下付き添え字 j は j 番目の理想段を意味し， i は気液界面を意味する．星印の付いた 𝑦 ∗𝐴𝑗 は気相濃度単位に変換した液相本体濃度を表す．この研究では物質およびエンタルピーの移動係数のみならずコンピューターシミュレーションの助けを借りて蒸留実験で得られた HETP についても局所変化を解析している．物質とエンタルピ
ーの移動の間のアナロジーについて，エンタルピー移動自身も同時に移動する揮発成分それ自身の移動とともに同じ場で確認しているので，より適切な理解が得られていると考えられる．
これよりアナロジー解析に入る．（ここからは境界層理論に基づくデータ解析になるので，第 18 章 18.2 を学んでからでもよい．）
空塔蒸気速度は充填層内において鉛直方向にほとんど一定に維持されるので，平板に沿う境界層の外側の自由流れと同じように考えられるとする．また，気相の流速の方が液流

166

熱と物質の同時移動 - I

速よりずっと速いので，蒸気流支配と考えられ，下から上へのこの蒸気流が境界層流れの自由流と同じように考えられないかを論点に解析している．
気相における物質とエンタルピーの移動の間の相関を考えるために，物質およびエンタ
ルピーの移動に関する局所の j – ファクターを次のように定義する：
𝑘𝑦𝐴 𝑎

𝑗𝐷𝐺 = 𝑎 𝐺 𝑆𝑐𝐺 2⁄3(12.3-3)ℎ𝐺 𝑎(12.3-4)

𝑝 𝑀

𝑗𝐻𝐺 =

𝑎𝑝 𝐶𝑝𝐺 𝐺

𝑃𝑟𝐺 2⁄3

平板に沿う境界層流れの局所解析と同じように，次の流れ方向の距離を考慮した局所の長さレイノルズ数（length Reynolds number）を定義する．ただし，この充填層の流れ系は気液向流であるので，空塔速度に気液の相対速度𝑢𝑠 = 𝑢𝐺𝑠 − 𝑢𝐿𝑠 を採用している．
𝑅𝑒𝑧𝐺 =𝑢𝑠 𝜌𝐺 (𝑍⁄𝑑𝑒𝑞 )𝑎𝑝 𝜇𝐺(12.3-5)

ここで 𝑍 は充填層のボトム（最下端）から上方への距離であり，𝑑𝑒𝑞 は規則充填物の水力
相当直径， 𝑎𝑝 は充填層の単位容積当たりの充填物の表面積である．
図 12.3-2 に j – ファクターの局所の長さレイノルズ数による変化を境界層理論と類似のプ
ロットによる実験結果を示している．左が物質移動の j – ファクター，右がエンタルピー
移動の j – ファクターである．両図に示す F は実験条件を示すための，充填塔の塔頂における空塔蒸気流速 𝑢𝐺𝑠 で定義された F-ファクターである． 𝜌𝐺 はその場での蒸気密度である．
𝐹 = 𝑢𝐺𝑠 √𝜌𝐺(12.3-6)
図 12.3-2 に左側の j – ファクターの縦軸の位置が充填層の最下端（開始点）に対応し，長さレイノルズ数の増加とともに右に行くにつれて充填層の上方に向かう．物質およびエンタルピーの局所移動係数の j – ファクターは鉛直方向に下流（上方）に行くに従い減少していることがわかる．この傾向は加熱された平板に沿う境界層流れとよく似ていることに気付く．もし図 12.3-3 に示されているように，充填層の気液の向流の流れに空塔速度を用いるコントロールボリューム法が認められるならば，充填層の j – ファクターの局所変化は平板に沿う境界層流れの場合と非常によく類似していることがわかる．この２ケースでただ一つの違いは，充填層での蒸留では塔内で空塔蒸気速度は一定であるが，蒸気組成
は高さ方向に大きく変化することである．一方，境界層の外の自由流れは速度も濃度も一定と考えられている． また，同じような境界層流れの傾向は濡れ壁塔による蒸留において見られるはずである．

図 12.3-2. j – ファクターの長さレイノルズ数による変化の相似性プロット

167

充填蒸留塔の物質移動，エンタルピー移動間のアナロジー

図 12.3-3. 充填式蒸留塔内蒸気流と平板に沿う境界層流れの対比

物質移動とエンタルピー移動の j-ファクター 𝑗𝐷𝐺 , 𝑗𝐻𝐺 が局所の長さレイノルズ数に対して同じ傾向で変化することがわかる．このことは蒸留の蒸気相の境膜における熱と物質の同時移動には局所相似性があることもわかる．
ゆえに，j-ファクターの比𝑗𝐻𝐺 ⁄𝑗𝐷𝐺 = C (constant) なる結果は次のようになる：
𝑗𝐻𝐺
𝑗𝐷𝐺

=

(ℎ𝐺 ⁄𝐶𝑝𝐺 )𝑘𝑦𝐴(

𝑃𝑟𝐺 2⁄3
𝑆𝑐𝐺)(12.3-7)

蒸留プロセスが次式のように，相似性のある移動メカニズムで進行することを意味している：ℎ𝐺 ⁄𝐶𝑝𝐺
𝑘𝑦𝐴= 𝐶 𝐿𝑒 −2⁄3

(12.3-8)

液相の j-ファクターもよく似た依存性を示してはいるが，非常に複雑な移動メカニズム
で，この本の領域を越えているので，ここでは実験結果を省略する．
充填層の最下端（開始点）は境界層流れの平板の最先端（leading edge）に対応すべきであるが，充填層の場合は仮想原点 𝑧 = 0 は少し蒸留側にシフトして明確でない．

3.

Nishimura, G., Kataoka, K., Noda, H., and Ohmura, N., Proc. 30th European Symposium on Computer Aided Process
Engineering (ESCAPE30), 1-6, May 24-27, Milano, Italy (2020)

上述のように，蒸留の熱と物質同時移動のモデルは塔底から塔頂へ向かう上昇蒸気によって形成される境界層に類似した解析ができることがわかった．つまり蒸留の効率は，特に充填塔では，塔底から塔頂へ向かって局所変化しているので，今後の蒸留塔設計は平衡段モデルと熱と物質の同時移動モデルとを統合する方向になると考えられる．
記

号

表

𝑎
充填層単位容積当たりの有効接触面積, [m2/m3]𝑎𝑝
充填層単位容積当たりの充填物の表面積, [m2/m3]
𝐶𝑝
熱容量, [J/kmol K]
𝐷𝐴𝐵𝐺 , 𝐷𝐴𝐵𝐿 気相，液相の拡散係数, [m2/s]
𝑑𝑒𝑞
水力相当直径, [m]𝐹F-factor [(m/s)(kg/m3)0.5]
𝐺
空塔蒸気質量流速, [kg/m2s]
𝐺𝑀
空塔蒸気モル流速, [kmol/m2s]

168

熱と物質の同時移動 - I

𝐻𝐴 , 𝐻𝐵
成分 A,B の蒸発潜熱, [J/kmol]
𝐻𝑂𝐺 , 𝐻𝐺 , 𝐻𝐿 移動単位高さ HTU (height of transfer unit), OG: 総括， G: 気相, L: liquid phase, [ - ]𝐻𝑉 , 𝐻𝐿
気相，液相のエンタルピー, [J/kmol]ℎ𝐸𝑇𝑃
HETP (Height Equivalent to a Theoretical Plate), [m]ℎ𝐺 , ℎ𝐿
気相境膜，液相境膜の伝熱係数, [W/m2K]

𝑗𝐷𝐺 , 𝑗𝐻𝐺 気相の物質移動，エンタルピー移動の j-ファクター, [ - ]𝐾𝑥 , 𝐾𝑦
𝑘𝑥 , 𝑘𝑦𝐿𝑀𝑚
𝑁𝐴 , 𝑁𝐵𝑛
𝑄
𝑅𝑒𝑥 , 𝑅𝑒𝑧𝑆
𝑆𝑐
𝑇𝐺 , 𝑇𝐿𝑈
𝑥𝐴 , 𝑦𝐴𝑧
𝑍𝑇𝛿𝐺 , 𝛿𝐿
𝜅𝐺 , 𝜅𝐿
𝜚𝐺 , 𝜌𝐿

液相濃度差で，気相濃度差で定義された総括物質移動係数, [kmol/m2s]
気相，液相の境膜物質移動係数, [kmol/m2s]
空塔基準の液のモル流速, [kmol/m2s]
平衡曲線の傾き, 𝑑𝑦⁄𝑑𝑥,
成分 A, B のモル質量流束, [kmol/m2s]
コントロールボリュームの番号, [ - ]エンタルピー流束, [J/m2s]
長さレイノルズ数(length Reynolds number), [ - ]充填塔の断面積, [m2]シュミット数, [ - ]気相，液相の温度, [K]総括のエンタルピー移動係数（伝熱係数）, [W/m2K]
成分 A の液相，気相でのモル分率, [ - ]充填層の任意高さ, [m]充填層総高さ, [m]気相境膜，液相境膜の厚さ, [m]気相，液相の熱伝導度, [J/m s K]
気相，液相のモル密度, [kmol/m3]

Subscripts
A, B
成分 A, B
G, L
気相，液相
𝑖
界面
T
温度

第１３章
熱と物質の同時移動 - II13.1 熱と物質の同時移動の理論 II（調湿：加湿と除湿）

ガス混合物から凝縮性の蒸気 A が凝縮される時，エンタルピー移動は二つの効果因子
によって進行する：一つは温度勾配による熱伝導，もう一つは物質移動によるエンタルピ
ー移動である．

図 13.1-1. 冷却管の管壁近傍における温度および濃度の分布の模式図

図 13.1-1 は冷却管の管壁近傍の温度，濃度の模式的な分布図を示す．この冷却管の内壁では凝縮液が膜状に流下しているとする．
それでは， 膜状に流下する液とガス混合物が接触する界面の気相側境膜（厚さ 𝛿）を貫通するエンタルピー移動について考えよう．ガス境膜に入るトータルのエンタルピー流
束は温度勾配による熱伝導流束−𝜅(𝜕𝑇⁄𝜕𝑧 ) と 拡散によるエンタルピー流束 𝑁𝐴 𝐶𝑝𝐴 (𝑇 −𝑇0 ) + 𝑁𝐵 𝐶𝑝𝐵 (𝑇 − 𝑇0 ) との合計である．
ここで 𝑇0 は後で選ぶ標準状態の温度であり，𝐶𝑝𝐴 , 𝐶𝑝𝐵 は成分 A，B のモル熱容量である．
ガス相境膜の厚さと組成は鉛直方向の変化は横断方向（z- 方向）の変化と比べて小さいと仮定する．
厚さ𝑑𝑧 で体積𝑑𝑧 × 1 × 1 の微分コントロールボリュームに対して物質収支をとると
𝜕𝑁𝐴
𝑁𝐴 |𝑧+𝑑𝑧 − 𝑁𝐴 |𝑧 = 0 →=0
𝑁𝐵 |𝑧+𝑑𝑧 − 𝑁𝐵 |𝑧 = 0 →だから𝑁𝐴 = 𝑁𝐴0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑁𝐵 = 𝑁𝐵0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Fick の法則によれば

𝜕𝑧
𝜕𝑁𝐵
𝜕𝑧

=0

(13.1-1)(13.1-2)

170

熱と物質の同時移動 - II𝜕𝑦𝐴

𝑁𝐴 − 𝑦𝐴 (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 ) = −𝑐 𝐷𝐴𝐵(13.1-3)𝜕𝑧

ここで 𝑦𝐴 は成分 A のモル分率， 𝑐 はガス境膜のモル密度である．
今， 𝑁𝐴 = 𝑁𝐴0 および 𝑁𝐵 = 𝑁𝐵0 であるから，
𝜕𝑦𝑁𝐴0 − 𝑦𝐴 (𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) = −𝑐 𝐷𝐴𝐵 𝐴
𝜕𝑧

濃度分布について解くべき方程式は次式となる．
𝑑𝑦𝐴
𝑁 +𝑁
𝑁
− 𝐴0 𝐵0 𝑦𝐴 = − 𝐴0
𝑑𝑧

𝑐𝐷𝐴𝐵

(13.1-4)

𝑐𝐷𝐴𝐵

不定積分すると
𝑦𝐴 = 𝑁𝑁𝐴0𝑁

𝐴0 + 𝑁𝐵0+ 𝑁𝐵0+ 𝐶1 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐴0𝑐𝐷

𝐴𝐵

(13.1-5)𝑧)

積分定数 𝐶1 は境界条件：𝑦𝐴 = 𝑦𝐴0 at 𝑧 = 0 を使って次のように定められる．
𝑁𝐴0
𝐶1 = 𝑦𝐴0 −𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0
したがって，ガス境膜における濃度分布の解は
𝑦𝐴 = 𝑁𝑁𝐴0
𝐴0 + 𝑁𝐵0+ (𝑦𝐴0 − 𝑁

𝑁𝐴0
𝐴0 + 𝑁𝐵0

𝑁+ 𝑁𝐵0) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐴0𝑐𝐷

𝐴𝐵

(13.1-6)

𝑧)

すなわち
𝑁𝐴0
𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0𝑁𝐴0
𝑦𝐴0 −𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0

𝑦𝐴 −

𝑁

+ 𝑁𝐵0

= 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐴0𝑐𝐷

𝐴𝐵

(13.1-7)𝑧)

他方，同じコントロールボリュームに対してエンタルピー収支をとると−𝜅 (𝜕𝑇 𝜕 2 𝑇
𝜕𝑇+𝑑𝑧) + 𝜅+ 𝑁𝐴 𝐶𝑝𝐴(𝑇 − 𝑇0 )|𝑧+𝑑𝑧 + 𝑁𝐵 𝐶𝑝𝐵 (𝑇 − 𝑇0 )|𝑧+𝑑𝑧
2
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
− 𝑁𝐴 𝐶𝑝𝐴(𝑇 − 𝑇0 )|𝑧 − 𝑁𝐵 𝐶𝑝𝐵 (𝑇 − 𝑇0 )|𝑧 = 0

整理すると
𝑑2 𝑇

− 𝑑𝑧 2 +𝑁𝐴𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵 𝐶𝑝𝐵 𝑑𝑇𝜅𝑑𝑧(13.1-8)=0

温度分布について解こうとする方程式は
𝑑2 𝑇
𝑑𝑧 2

𝑑𝑇

− 𝐾 𝑑𝑧 = 0

ここで係数 𝐾 =(13.1-9)
𝑁𝐴 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵 𝐶𝑝𝐵𝜅

境界条件は
𝑇 = 𝑇𝑏at z = δ
𝑇 = 𝑇0at z = 0
解は次のようになる：
1−exp(𝐶0 𝑧⁄𝛿)𝑇 = 𝑇0 + (𝑇𝑏 − 𝑇0 )(13.1-10)(13.1-11)

1−exp(𝐶0 )

ここで
𝐶0 =

𝑁𝐴 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵 𝐶𝑝𝐵
𝜅 ⁄𝛿

温度勾配は次のように計算される：
𝜕𝑇− (𝐶0⁄𝛿 ) exp(𝐶0 𝑧⁄𝛿)= (𝑇𝑏 − 𝑇0 )𝜕𝑧(13.1-12)

1− exp(𝐶0 )境膜理論で定義されるガス境膜における伝熱係数を使って，界面における熱流束は
𝜕𝑇
𝐶0
𝐶0
𝑞𝑤 = 𝜅 |= − (𝜅⁄𝛿 )(𝑇𝑏 − 𝑇0 )= ℎ (𝑇𝑏 − 𝑇0 )(13.1-13)𝜓=𝜕𝑧 𝑧=0𝐶0exp(𝐶0 )−11− exp(𝐶0 )exp(𝐶0 )−1(13.1-14)

もし，界面温度 𝑇0 を標準温度と採るならば，𝑞𝑤 は界面における全エンタルピー流束に等しくなる．

熱と物質の同時移動の理論 II (調湿：加湿と除湿)

171

関数 𝜓 は物質移動に対するアッカーマン補正因子（Ackermann correction factor）と呼んでいる．このように物質移動によるエンタルピー移動に対して物質移動が影響を与える効
果をアッカーマン効果と言う．この例の凝縮のように，熱の移動方向に物質も移動して熱を運ぶ場合もあれば，蒸発のように熱の移動と反対方向に物質移動が作用する場合もあるのである．
Ackermann 補正因子は物質移動速度因子 𝐶0 に対してプロットすると，図 13.1-2 のようになる．

図 13.1-2. アッカーマン補正因子の物質移動因子による変化

凝縮のように，A と B の物質移動が界面に向かう場合，𝐶0 はマイナスであり，その時
𝜓 > 1 である．これは見かけの伝熱係数 ℎ 𝜓 が物質移動によって増加することを暗示している．他方，蒸発のように，A と B の物質移動が反対方向になる場合，𝐶0 はプラスであり，その時 𝜓 < 1 である．これは見かけの伝熱係数 ℎ 𝜓 が物資移動によって減少することを示している．
蒸発や凝縮のように，界面で相変化が起きているプロセスの場合は，付加的な潜熱によるエンタルピー効果を考慮すべきである．物質流束𝑁𝐴0 と 𝑁𝐵0 を受け取る凝縮液膜の表面に入ってくる全エンタルピー流束は，（エンタルピー変化には潜熱による変化も入っているから）物質流束 𝑁𝐴0 と 𝑁𝐵0 によるエンタルピー流束の効果と熱伝導 𝑞𝑤 による効果の合計であり，次式のようになる：
𝑄 = 𝑞𝑤 − (𝑁𝐴 ∆𝐻𝐴 + 𝑁𝐵 ∆𝐻𝐵 )(13.1-15)
注意すべきは，凝縮の場合，𝑁𝐴 と 𝑁𝐵 は負（マイナス）であるが， 𝑄 と 𝑞𝑤 は正（プラス）であることである．
１成分 A のみが凝縮する場合は 𝑁𝐵 = 0 である．したがって
1
𝜕𝑦𝐴
𝑁𝐴 = −𝑐 𝐷𝐴𝐵
1 − 𝑦𝐴 𝜕𝑧
今， 𝑁𝐴 = 𝑁𝐴0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 としているから𝛿

𝑦𝐴𝑏∫ 𝑁𝐴0 𝑑𝑧 = 𝑐 𝐷𝐴𝐵 ∫
0

𝑦𝐴0

−

𝑑𝑦𝐴
1 − 𝑦𝐴

すなわち
𝑐 𝐷𝐴𝐵
1− 𝑦𝐴𝑏1− 𝑦𝐴𝑏𝑁𝐴0 =ln= 𝑘𝑦 ln𝛿

1− 𝑦𝐴01− 𝑦𝐴0(13.1-16)2

ここで 𝑘𝑦 はガス相境膜における物質移動係数 kmol A/m s である．
成分 A のみが凝縮する界面における全エンタルピー流束は次式のようになる：

172

熱と物質の同時移動 - II

𝑄 = ℎ (𝑇𝑏 − 𝑇0 )𝐶0exp(𝐶0 )−1− ∆𝐻𝐴 𝑘𝑦 𝑙𝑛

1− 𝑦𝐴𝑏1− 𝑦𝐴01− 𝑦𝐴𝑏

ここで 𝐶0 = 𝑁𝐴 𝐶𝑝𝐴 ⁄ℎ であり， 𝑙𝑛 1− 𝑦(13.1-17)は凝縮の場合，マイナスであることに注意すべ

𝐴0

きである．

13.2 調湿と蒸発冷却における熱と物質の同時移動
13.2-1 湿球温度の理論
図 13.2-1 に示す乾湿球湿度計について考えよう．

図 13.2-1. 乾湿球湿度計

乾湿球湿度計は左の感熱部が裸の乾球温度計と右の感熱部が純粋な液 A （水の場合が多い）で濡れた布（ガーゼや綿など）で覆われている湿球温度計とで一対になっている．凝縮性のガス A （大抵の場合，水蒸気）と非凝縮性のガス B （大抵の場合，空気）からな
るガス混合物（大抵の場合，湿度を測りたい空気）が，これらの乾球と湿球の上を流れている場合を考える．
乾球が示す温度は接近するガス混合物の温度 𝑇∞ と同じである．しかし，湿球が示す温度 𝑇𝑤𝑏 （この温度は濡れた布の表面温度と近似的に等しくなる）は液 A の 布からの定常的な蒸発のせいで 𝑇∞ より低い一定温度に維持されている; 熱は流れているガス混合物から濡れた布の気液界面に運ばれ，布から純粋な液 A が蒸発するので，その分の液 A が受器から毛管現象で補給される．定常状態では，界面への熱流束は液 A の蒸発に要するエン
タルピー量と等しくなる．
界面での蒸発による質量流束は式 (13.1-16) で与えられる
1− 𝑦
𝑁𝐴0 = 𝑘𝑦 ln 1− 𝑦 𝐴∞
𝐴𝑤𝑏

ここで 𝑘𝑦 はガス相境膜の物質移動係数， 𝑦𝐴𝑤𝑏 は界面におけるガスの成分 A の濃度である．
蒸発のための界面への 熱流束は式 (13.1-13) によって与えられる
𝐶0
𝑞𝑤 = ℎ𝐺 (𝑇∞ − 𝑇𝑤𝑏 )exp( 𝐶0 ) − 1

173

調湿と蒸発冷却における熱と物質の同時移動

ここで 𝑇𝑤𝑏 は界面での温度である．したがって相変化のエンタルピーの釣り合いから𝐶
1− 𝑦ℎ𝐺 (𝑇∞ − 𝑇𝑤𝑏 ) exp(𝐶0 )−1 = ∆𝐻𝑒𝑣 𝑘𝑦 ln 1− 𝑦 𝐴∞
(13.2-1)
0

𝐴𝑤𝑏

ここで ∆𝐻𝑒𝑣 はモル当たりの蒸発潜熱である．
このケース 𝑁𝐵 = 0 では 𝐶0 = 𝑁𝐴 𝐶𝑝𝐴 ⁄ℎ𝐺 は正（プラス）である．
熱移動と物質移動の間のコルバーンの相似則（Colburn’s analogy）によれば，
𝑗𝐻 = 𝑗𝐷 or

ℎ𝐺
𝐶𝑝 𝐺

𝑃𝑟 2⁄3 =𝑘𝑦
𝐺𝑀

𝑆𝑐 2⁄3(13.2-2)

2

ここで 𝐺𝑀 はモル流速 kmol/m s である．
相似則（アナロジー）を式(13.2-1) に代入して(𝑇∞ − 𝑇𝑤𝑏 )𝐶0∆𝐻𝑃𝑟 2/3= 𝐶𝑝𝑒𝑣 ( 𝑆𝑐 )exp(𝐶 )−1
0

𝑚

1− 𝑦

ln 1− 𝑦 𝐴∞

𝐴𝑤𝑏

(13.2-3)

ここで 𝐶𝑝𝑚 = 𝑀𝑎𝑣 𝐶𝑝 は接近するガス混合物のモル熱容量である．
右辺の比 Pr/Sc はルイス数（Lewis number） 𝐿𝑒 と呼ばれている．界面におけるモル分率
𝑦𝐴𝑤𝑏 は, 温度 𝑇𝑤𝑏 ，圧力（全圧）𝑃 で液 A の示す蒸気圧 𝑝𝐴𝑣𝑎𝑝 によって決められる平衡濃度である．
𝑦𝐴𝑤𝑏 = 𝑝𝐴𝑣𝑎𝑝 ⁄𝑃(13.2-4)
測定したい湿度である接近してくるガスの濃度 𝑦𝐴∞ は測定した 乾球温度 𝑇∞ と湿球温度
𝑇𝑤𝑏 を入れて上式によって計算できる．
少し簡単な例として、空気・水系に対する湿球温度計と乾球温度計を考えよう．
普通の物質移動条件では，アッカーマン補正因子 𝜓 は 1 に非常に近いから，界面への熱の入力（熱流束）は次式で与えられる：
𝑞𝐺 = ℎ𝐺 (𝑇𝐺 − 𝑇𝑤𝑏 ) (J⁄m2 s)(13.2-5)
水蒸気のモル分率 𝑦𝐴 の代わりに湿度を導入する．湿度はつぎのように定義されている：
𝑀 𝑦

𝐴 𝐴
𝐻 = 𝑀 (1−𝑦 )𝐵𝐴kg−water vapor(

kg−dry air)(13.2-6)

ここで 𝑀𝐴 ，𝑀𝐵 は水と空気の分子量である．したがって，界面から出ていく水蒸気の物質移動速度は
𝑁𝐴 = 𝑘𝐻 (𝐻𝑤𝑏 − 𝐻𝐺 )(13.2-7)
2
ここで 𝐻𝑤𝑏 は湿球温度で平衡である湿度， 𝑘𝐻 は物質移動係数 kg-dry air/m s である．定常状態では，熱の入力の全てが水の蒸発に消費され，界面温度は 𝑇𝑤𝑏 一定に保たれる．
したがって、定常状態でのエンタルピー収支は次式で与えられる：ℎ𝐺 (𝑇𝐺 − 𝑇𝑤𝑏 ) = Δ𝐻𝑒𝑣 𝑘𝐻 (𝐻𝑤𝑏 − 𝐻𝐺 )(13.2-8)
ここで ∆𝐻𝑒𝑣 は湿球温度 𝑇𝑤𝑏 における水の蒸発潜熱 (J/kg-water) である．
湿った空気の比熱，すなわち次のように湿り比熱を定義する：
𝐶𝐻 = 𝐶𝑝𝑎 + 𝐻 𝐶𝑝𝑤

J((kg−dry air)K)(13.2-9)コルバーンの熱と物質の移動の間のアナロジー則（Colburn’s analogy） (𝑗𝐻 = 𝑗𝐷 ) は次のよ
うに書ける
ℎ𝐺
𝑘
𝑃𝑟 2/3 = 𝐺𝐻 𝑆𝑐 2/3
or
𝐶 𝐺
𝐻

ℎ𝐺

𝑘𝐻 𝐶𝐻

= 𝐿𝑒 −2/3

ここで 𝐺 は乾き空気基準の接近するガスの質量速度である．
空気・水系の場合，ルイス数（Lewis number）は 1 に非常に近い．すなわちℎ𝐺≅ 1 (air-water system)𝑘 𝐶
𝐻 𝐻

これをルイスの関係（Lewis relation）と言う．
これを使って(13.2-10)(13.2-11)

174

熱と物質の同時移動 - II

𝑇𝐺 − 𝑇𝑤𝑏 =

∆𝐻𝑒𝑣
𝐶𝐻

(𝐻𝑤𝑏 − 𝐻𝐺 )あるいは𝐶𝐻 𝑇𝐺 + ∆𝐻𝑒𝑣 𝐻𝐺 = 𝐶𝐻 𝑇𝑤𝑏 + ∆𝐻𝑒𝑣 𝐻𝑤𝑏(13.2-12)
これが湿球温度 𝑇𝑤𝑏 から温度 𝑇𝐺 の接近する空気の湿度 𝐻𝐺 を計算するための重要な式である．
湿り空気の全エンタルピーの定義は
𝑖𝐻 = 𝐶𝐻 (𝑇 − 𝑇0 ) + ∆𝐻𝑒𝑣 𝐻(13.2-13)
ここで 𝑇0 は標準温度である．したがって，上式は次のようになる：
𝑖𝐻𝐺 = 𝑖𝐻𝑤𝑏
(13.2-14)
この式は湿り空気本体のエンタルピーが水で飽和された空気のエンタルピーと等しいことを意味しており，次のように書き変えられる：𝐶
𝐻𝐺 = − ∆𝐻𝐻 (𝑇𝐺 − 𝑇𝑤𝑏 ) + 𝐻𝑤𝑏(13.2-15)𝑒𝑣

もし液体の水で覆われた表面と不飽和の空気が接触したならば，その空気の 𝑇𝐺 と 𝐻𝐺が変化しても，空気・水の界面は湿球温度 𝑇𝑤𝑏 に保たれることがわかった．
次に，図 13.2-2 に示す噴霧室（spray chamber）について考えよう．
水分に関して未飽和の空気（𝐻 ，𝑇）が噴霧室に入って冷却され，加湿される．
水がポンプにより循環され，蒸発により減じた水分量を補うためにある一定量の水が連続的に供給される．定常状態では水温はある決まった飽和温度 𝑇𝑎𝑠 に保たれる，そして噴霧室を出ていく空気は水と平衡状態になる．この温度を断熱飽和温度“adiabatic-saturation
temperature” と言う．
空気・水系の場合，断熱飽和温度は実質的に湿球温度に等しくなる．

図 13.2-2. 空気を加湿するための噴霧室

13.2-2 湿度図表
1 atm の空気・水系の湿度図表を図 13.2-3 に示す．
100% と付記した線は飽和空気の湿度を空気温度の関数として表した飽和線である．この飽和線より下のどの点 (𝐻, 𝑇) も空気と水蒸気の未飽和混合物を表している．傾斜した径
路線は「断熱冷却線」”adiabatic-cooling lines” と言われ，各線は与えられた一定の断熱飽
和温度に対して勾配 − 𝐶𝐻 ⁄∆𝐻𝑒𝑣 で引いた直線である．関係湿度 𝐻𝑅 は，その温度での空気
中の水蒸気の分圧を水そのものの蒸気圧で割った比である．

175

湿度図表

図 13.2-3. 湿度図表 （空気・水系， 1 atm）

[ 例 題 13.2-1] ある一滴の水滴（初期直径 𝐷𝑝 = 3 mm）が湿った温度の高い空気流 （温度 𝑇𝑏 = 98 𝐶 = 371 𝐾, 湿度 𝐻𝑏 = 0.03 kg-water/kg-dry air, 圧力 𝑝 = 1 atm = 1.0133 × 105
Pa, 平均速度 𝑣∞ = 0.3 m/s) に懸垂されている．水滴の表面の温度と湿度はいくらか。蒸発により水滴が完全に消えるまでの所要時間を求めよ．ただし，球周りの平均の物質移動係数は下記の Ranz and Marshall の式によって与えられると仮定する．
𝑣𝑓 𝑘𝐻 𝐷𝑝
𝐷𝐴𝐵

= 2 + 0.6 (𝜌𝑓 𝑣∞ 𝐷𝑝
𝜇𝑓

1/2

)

𝑆𝑐 1/3

図 13.2-E1. 温度の高い湿り空気流中に懸垂された水滴からの蒸発

176

熱と物質の同時移動 - II

湿り空気に対する物性定数は次のように与えられているとする．
𝜇 = 10.53 × 10−6 √𝑇
𝐷𝐴𝐵 𝑣 = 5.01 × 10−9 √𝑇 3
𝑆𝑐 = 0.60[

解 ]液滴の表面温度は湿球温度 𝑇𝑤𝑏 になり，界面湿度は湿球温度に対する平衡湿度 𝐻𝑤𝑏 にな る と 考 え ら れ る ． 湿 度 図 表 か ら 𝑇𝑤𝑏 = 42 C = 315 K, 平 衡 湿 度 は 𝐻𝑤𝑏 = 0.054 kgwater/kg-dry air となる．境膜温度と湿度はつぎのように平均値で与える．
𝑇𝑓 = (𝑇𝑤𝑏 + 𝑇𝑏 )⁄2 = 70 C = 343 K, 𝐻𝑓 = (𝐻𝑤𝑏 + 𝐻𝑏 )⁄2 = 0.041 kg-water/kg-dry air．
この境膜の条件で，比容積は 𝑣𝑓 = 1.03 m3/kg-dry air．したがって密度は
𝜌𝑓 = (1 kg-dry air/kg-dry air + 0.041 kg-water/kg-dry air)/(1.03 m3 humid air/kg-dry air) = 1.01
kg/m3.
粘度は
𝜇𝑓 = 10.53 × 10−6 √343 = 1.95 × 10−5 kg/m s
𝐷𝐴𝐵 = 5.01 × 10−9 (343)3/2 = 0.318 × 10−4 m2/s
Ranz and Marshall の式は下記のように計算去れる。
1𝑣∞ 𝐷𝑝 𝜌𝑓 2 1
𝐷𝐴𝐵
𝑘𝐻 =(2 + 0.6 () 𝑆𝑐 3 )
𝑣𝑓 𝐷𝑝
𝜇𝑓
=

0.318 × 10−4
1.03 𝐷𝑝

1(2 + 0.6 (0.3×𝐷𝑝×1.01 2

1(0.6)3 ) =−5 )1.95×101𝐷𝑝(0.6175 × 10−4 + 0.003245 √𝐷𝑝 )(1)

液滴は球形と考えると蒸発により液滴体積が減少し，蒸発した水蒸気は次式の物質移動
式に従う：
𝑑
𝜋
( 𝐷𝑝3 𝜌𝐿 ) = 𝑘𝐻 (𝜋 𝐷𝑝2 )(𝐻𝑤𝑏 − 𝐻𝑏 )
(2)
𝑑𝑡

6

ここで 𝜌𝐿 は水の密度である．値を入れて整理すると
𝑑 𝐷𝑝
2(𝐻𝑤𝑏 − 𝐻𝑏 )2(0.054−0.03)=𝑘=𝑘𝐻 = 4.8 × 10−5 𝑘𝐻
𝐻
𝑑𝑡
𝜌
1000

(3)

式 (1) を式 (3)に代入して
𝑑 𝐷𝑝
1= 𝐷𝑝 (2.964 × 10−9 + 1.5576 × 10−7 √𝐷𝑝 )
𝑑𝑡

(4)

𝐿

この式は所要時間を計算するために下表のように、数値計算できる．
表 13.2-E1 水滴の蒸発に要する時間の数値計算
t (min)T (s)Dp (m)Δt (s)
0
0
60
0.003
1
60
60
0.00277
2
120
60
0.002533
180
60
0.002274240
60
0.00200
5300
60
0.001706360
600.001377420
60
0.0009888480600.000511
8.66
519.4
39.4
0

水滴の蒸発に要する時間は 8.66 min となった．

ΔDp (m)0.000230
0.000242
0.0002560.000274
0.000298
0.000331
0.000382
0.000477
0.000511

蒸発冷却

－冷水塔

－

177

13.3 蒸発冷却 ----- 冷水塔 ----水はその表面を空気に曝すと冷却できる．充填塔は熱交換器やいろいろなプロセス機器に循環する冷却水を造るために幅広く使われている．
図 13.3-1 はその冷水塔である．冷却すべき水は水温より低い断熱飽和温度の空気と接触させる．冷水塔の底部の側方から供給される空気は充填層内を上方へ流れ，塔頂部に散水された水は充填層内を空気と向流に流下する．

図 13.3-1. 充填層の冷水塔

水の物質収支は𝐿2 − 𝐿1 = 𝐺 (𝐻2 − 𝐻1 )𝐿2 − 𝐿 = 𝐺 (𝐻2 − 𝐻)
ここで 𝐺 は乾き基準の空気の質量速度である．
同様にエンタルピー収支は𝐺 (𝑖𝐺2 − 𝑖𝐺1 ) = 𝐿2 𝐶𝑝𝐿 𝑇𝐿2 − 𝐿1 𝐶𝑝𝐿 𝑇𝐿1
𝐺 (𝑖𝐺2 − 𝑖𝐺 ) = 𝐿2 𝐶𝑝𝐿 𝑇𝐿2 − 𝐿𝐶𝑝𝐿 𝑇𝐿
水の蒸発速度 (𝐿2 − 𝐿1) は液流量 𝐿2 に比して小さいので
𝐿2 ≅ 𝐿1 ≅ 𝐿
したがって上のエンタルピー収支式は次のように近似される：装置全体に対しては
𝐺 (𝑖𝐺2 − 𝑖𝐺1 ) ≅ 𝐿2 𝐶𝑝𝐿 (𝑇𝐿2 − 𝑇𝐿1 )任意の中間位置までに対しては
𝐺 (𝑖𝐺2 − 𝑖𝐺 ) ≅ 𝐿2 𝐶𝑝𝐿 (𝑇𝐿2 − 𝑇𝐿 )後者の式は書き変えられて
𝐿 𝐶𝑝
𝑖𝐺 = 2𝐺 𝐿 (𝑇𝐿 − 𝑇𝐿2 ) + 𝑖𝐺2(13.3-1)(13.3-2)(13.3-3)(13.3-4)(13.3-5)(13.3-6)(13.3-7)(13.3-8)

これが任意位置における液温度と気相のエンタルピーの関係を与える操作線の式である．
塔の微分高さ 𝑑𝑧 に対する物質収支は次式で与えられる：
𝑑𝐿 = 𝐺 𝑑𝐻 = 𝑘𝐻 𝑎 (𝐻 ∗ − 𝐻 ) 𝑑𝑧
(13.3-9)

178

熱と物質の同時移動 - II

同様に，気相の境膜における顕熱の移動速度は次のようになる：
𝑑𝑞𝐺 = ℎ𝐺 𝑎 (𝑇 ∗ − 𝑇𝐺 ) 𝑑𝑧 = 𝐺 𝐶𝐻 𝑑𝑇𝐺(13.3-10)

図 13.3-2. 充填冷水塔の物質とエンタルピーの収支

液相の境膜における熱移動速度は
𝑑𝑞𝐿 = ℎ𝐿 𝑎 (𝑇𝐿 − 𝑇 ∗ )𝑑𝑧 = 𝐿 𝐶𝑝𝐿 𝑑𝑇𝐿
湿り空気の全エンタルピーを導入すると
𝑖𝐺 = 𝐶𝐻 (𝑇𝐺 − 𝑇0) + ∆𝐻𝑒𝑣 𝐻(13.3-11)(13.3-12)

蒸発した水分によるエンタルピー移動は𝐺 𝑑𝐻 [∆𝐻𝑒𝑣 + 𝐶𝑝𝑊 (𝑇 ∗ − 𝑇𝐺 )](13.3-13)∗
ここで 𝑇 は界面温度であり，湿球温度に維持される．𝐶𝑝𝑊 は水蒸気の熱容量である．
同じく任意位置 𝑧 の微分高さ 𝑑𝑧 周りのエンタルピー収支は次のようになる：
𝐺 𝑑𝑖𝐺 = ℎ𝐺 𝑎(𝑇 ∗ − 𝑇𝐺 )𝑑𝑧 + 𝑘𝐻 𝑎 (𝐻 ∗ − 𝐻 )𝑑𝑧 [∆𝐻𝑒𝑣 + 𝐶𝑝𝑊 (𝑇 ∗ − 𝑇𝐺 )]ℎ= 𝑘𝐻 𝑎 𝑑𝑧 [(𝑖𝐺∗ − 𝑖𝐺 ) + ( 𝐺 𝐶𝐻 − 𝐶𝑝𝑎 )(𝑇 ∗ − 𝑇𝐺 ))](13.3-14)
𝑘𝐻 𝐶𝐻

ここで空気・水系では
ℎ𝐺
𝑘𝐻 𝐶𝐻

ℎ

(13.3-15)

𝐺
𝐶𝐻 − 𝐶𝑝𝑎 ≅ 𝐶𝑝𝑎 (𝑘 𝐶0− 1) ≅ 0
𝐻

𝐻

したがって次式を得る：
𝐺 𝑑𝑖𝐺 = 𝑘𝐻 𝑎(𝑖𝐺∗ − 𝑖𝐺 ) 𝑑𝑧
必要とされる充填層高さは次式となる：
𝑍

𝐺

𝑖

𝑑𝑖

𝐻

𝐺1

𝐺

(13.3-16)

𝑍𝑇 = ∫0 𝑇 𝑑𝑧 = 𝑘 𝑎 ∫𝑖 𝐺2 𝑖 ∗ −𝐺𝑖 = 𝐻𝑇𝐺 𝑁𝐺
𝐺
𝑖𝐺2

𝑑𝑖𝐺
∗
𝐺1 𝑖𝐺 − 𝑖𝐺

ここで移動単位数 𝑁𝐺 = ∫𝑖(13.3-17)𝐺と移動単位高さ 𝐻𝑇𝐺 = 𝑘 𝑎 である．
𝐻

これらの考え方は第 10 章の充填塔のガス吸収と第 11 章の充填塔の蒸留と類似である．
上式は次のように近似できる：
𝐺

𝑖

𝐻

𝐺

−𝑖

𝑍𝑇 = 𝑘 𝑎 (𝑖 `∗𝐺2− 𝑖 )𝐺1

𝐺 𝑙.𝑚.

(13.3-18)

蒸発冷却

－冷水塔

179

－

図 13.3-3 は平衡線と操作線の間の関係を表している．
物質移動を伴うエンタルピー移動は次式のように書ける：
𝐺 𝑑𝑖𝐺 = 𝑘𝐻 𝑎(𝑖𝐺∗ − 𝑖𝐺 ) 𝑑𝑧
𝐺 𝐶𝐻 𝑑𝑇𝐺 = ℎ𝐺 𝑎 (𝑇 ∗ − 𝑇𝐺 )𝑑𝑧
前者の式を後者の式で割ると
𝑑𝑖𝐺

𝑘 𝐶

𝑖 `∗ − 𝑖𝑖 `∗ − 𝑖= ( 𝐻ℎ 𝐻 ) 𝑇𝐺∗ − 𝑇𝐺 ≅ 𝑇𝐺∗ − 𝑇𝐺

𝑑𝑇𝐺

𝐺

𝐺

𝐺

同様に
𝐺 𝑑𝑖𝐺 = 𝑘𝐻 𝑎(𝑖𝐺∗ − 𝑖𝐺 ) 𝑑𝑧
𝐿 𝐶𝐿 𝑑𝑇𝐿 = ℎ𝐿 𝑎 (𝑇𝐿 − 𝑇 ∗ ) 𝑑𝑧
前者の式を後者の式で割ると
𝑑𝑖𝐺

=
𝑑𝑇
𝐿

`∗
− 𝑖𝐺
𝐿 𝐶𝐿 𝑘𝐻 𝑖𝐺()
𝐺ℎ𝐿 𝑇𝐿 − 𝑇 ∗(13.3-19)(13-.3-20)(13.3-21)(13.3-22)

これがタイラインと呼ばれる式であり，(𝑖𝐺 , 𝑇𝐿 ) と (𝑖𝐺∗ , 𝑇 ∗ ) との間の関係を与える．

図 13.3-3. 平衡曲線と操作線の関係

この章では，主として，空気・水系の熱と物質の同時移動モデルとそれによる装置設計について学んだ．エアコンディショナーのような空調関係装置の改良と開発には，エネル
ギー効率とそれが関連する省エネルギーの問題を多方面から追及して行く必要がある．

記

号

𝑎
𝐶𝐻
𝐶𝑝
𝐷𝐴𝐵
𝐷𝑝
𝐺
𝐻
𝐻𝑇𝐺
ℎ
ℎ𝐺
𝑖𝐺 , 𝑖𝐻𝑘𝐻𝑘𝑦

表
有効界面積, [m2/m3 packed volume]
乾き空気基準の湿り比熱, [J/(kg-dry air)K]
熱容量, [J/kg K]
拡散係数, [m2/s]
液滴の直径, [m]
乾き空気の質量流量, [kg/s]
湿度, [kg-water vapor/kg-dry air]
充填層の移動単位高さ HTU (Height of Transfer Unit) , [m]伝熱係数, [W/m2K]
気相境膜伝熱係数, [W/m2K]
湿り空気の全エンタルピー, [J/kg-dry air]
物質移動係数, [kg-dry air/m2s]
気相境膜物質移動係数, [kg/m2s/mass fraction]

180

熱と物質の同時移動 - II

𝐿𝑒
𝐿𝑁𝐺
𝑁𝐴 , 𝑁𝐵
𝑝𝐴𝑣𝑎𝑝
𝑃𝑟
𝑞𝐺
𝑞𝑤
𝑆𝑐
𝑇𝐺 , 𝑇𝐿
𝑇∞ , 𝑇𝑤𝑡𝑣𝑦𝑧

ルイス数 Lewis number, [ - ]液（水）の質量流量, [kg/s]
充填層の移動単位数 NTU (Number of Transfer Unit) , [ - ]成分 A, B の物質流束, [kg/m2s]
水の蒸気圧, [Pa]プラントル数 Prandtl number. [ - ]エンタルピー流束, [J/m2s]
壁面における熱流束, [J/m2s]
シュミット数 Schmidt number, [ - ]気体，液体の温度, [K]気相本体と壁の温度, [K]
時間, [s]
速度, [m/s]
質量分率, [ - ]凝縮液膜の表面からの距離, [m]∆𝐻𝑒𝑣

水の蒸発潜熱, [J/kg]

𝛿𝜅

気相境膜の厚さ, [m]気相の熱伝導度, [J/m s K]𝜓アッカーマン補正因子 Ackermann correction factor, [ - ]下付き添え字
𝑓
H
L
W
wb
0
1, 2

境膜
湿り
液
水
湿球
凝縮液膜の表面
入口，出口

第１４章
イオンの物質移動14.1 電解槽
電池や電気分解のような電解プロセスにおいて起きている輸送現象は多数の因子が絡んでおり，非常に複雑なので，本書の程度を超えている．本書では電解質水溶液の電解槽における非常にシンプルな濃度差によるイオンの物質移動の例のみを学ぶに留める．
電解質水溶液の中に二つの電極がある距離だけ離れて入っている電解槽を考えよう．外部から電位差 emf (電位ポテンシャルの差，電圧)をかけて生じた電流が電解槽の中を流れる場合，電極反応が次の三つのステップで起きている：(1) 溶液本体からイオンが二つの電極のどちらかへ移動する（例えば，陽イオンの場合
は陰極の方へ移動）(2) 両電極でそれぞれの電子の授受による電気化学反応が進行する(3) 反応生成物が生じ，それが電極表面に析出するか，または電極表面から離脱する
このような現象は不均質化学反応の特別なケースと考えられる．
無 限 希釈 で 単一 の電 解 質の 拡 散係 数 𝐷𝐴𝐵 m2/s は 一般 に ネル ンス ト ・ハス ケ ルの 式
（Nernst-Haskell equation）によって与えられる：:
𝐷𝐴𝐵 =

𝑅𝑇 (1⁄𝑛+ + 1⁄𝑛− )
𝐹𝑎2 (1⁄𝜆0+ + 1⁄𝜆0− )ここで 𝑇 は温度 (K)，𝑅 はガス定数 (J/K kmol)， 𝜆0+, 𝜆0− は陽イオン，陰イオンそれぞれの限界イオン電導度（コンダクタンス） (A/m2)(V/m)(kg-equiv/m3)，そして 𝑛+ , 𝑛− は陽イオ
ン，陰イオンの価数 ( - )，𝐹𝑎 はファラデー定数 Faraday constant (A s/kg-equiv.)である．
電解質の混合物（溶液）のイオンの移動は，イオン種それぞれの電位ポテンシャル勾配とそのイオン種の濃度勾配の両方の作用が絡んだ結果として起きる．
例えば，金属が析出する電極反応の場合，図 14.1-1 のように，金属 M の陽極（anode）
では 陽極反応により電子を捨てることにより酸化した陽イオン（カチオン） M+ を生じる．
この陽イオン M+ が溶液中を移動して陰極に到達し，そこで陰極反応により電子を受け取り，還元されて（電荷を持たない）金属 M となって陰極面への析出が起きる．
静止した電解質溶液中を移動するカチオン M+ のモル流束は次式で与えられる：
𝑁𝐴 = − 𝑐 𝐷𝐴𝐵 [∇𝑥𝐴 +𝑀𝐴 𝑥𝐴 𝜖𝐴
𝑅𝑇

𝑚𝐴

∇Φ]

(14.1-1)

ここで 𝑥𝐴 が M+ イオンのモル分率，𝑀𝐴 は分子量， 𝜖𝐴 イオンの電荷，𝑚𝐴 イオンの質量．

182

イオンの物質移動

図 14.1-1. 電解槽（電解質イオン M+ ， X- の水溶液の場合）

上式の第１項はイオンの濃度勾配 ∇𝑥𝐴 による普通の拡散を，第２項は 電位ポテンシャ
ルの勾配 ∇Φ による（つまりクーロン力による）電気的な拡散を意味している．イオンは濃度勾配による拡散以外に電位ポテンシャルの勾配によって生じるクーロン力（Coulomb
force）によって移動するが，溶液中に多くのイオンが存在すれば，溶液の電気電導度が大きくなり，勾配が非常に小さくなった電位分布となる．このような状態になってくるとクーロン力は非常に小さくなる．電気分解などで経験しているように，電気化学の反応速度
すなわち電解槽を流れる電流は負荷する電圧とともに急速に増加する．
上述のように，電気化学プロセスは本書の中心の運動量，熱，物質の輸送だけでなく，電位分布を持ち，多種多様なイオンが存在する溶液構造などの影響を考えると非常に複雑な輸送現象になる．しかし，本書の趣旨を越えているので，イオンの移動も濃度勾配による輸送が支配的な条件についてのみ学ぶことにし，物質移動の実験の測定技術への応用に力点をおくことにする．

14.2 電気化学反応システムのイオンの物質移動
電解槽内の電解質の塩類の水溶液について考えてみよう．一般に，個々のイオン種は電場の影響がなくても，数種類の不均衡な外力を受けて不可逆的に拡散する．しかし，本書の範囲を超えるので，これ以降，簡単化のために，圧力拡散，重力拡散，熱拡散の効果を無視することにする．したがって，濃度勾配による普通の拡散と静電力による強制的拡散の二つを考える．
そこで，硫酸銅の低濃度水溶液に注目しよう．この水溶液には電気化学反応に直接は関与しない支持電解質（無関係塩とも言う）として硫酸も入っている．
それでは，図 14.2-1 のような三つのイオン種：Cu++, H+ , SO4 — の電解質水溶液が入ったシンプルな電解槽を考えよう．銅板でできた陽極（アノード）で電子を陽極に預けて
Cu++ イオンとなって溶出することを酸化と言う．水溶液本体の銅イオンは電位勾配と濃度勾配により陰極（カソード）に向かって移動し，陰極にたどり着いて，陰極から電子をもらって金属銅になって陰極に析出する．このように銅イオンが電子をもらって電荷がなくなることを還元と言う．電極間電圧を上げて反応速度を大きくして行くと電極表面で銅イオンの消費速度が増大するので，十分に速い反応になると銅イオン濃度が実質 0 になる．
そこで，このような反応速度の状態にするに充分な電極間電圧を電解槽にかけた場合について考えよう．

電気化学的手法による物質移動 の計測法

183

図 14.2-1. 電解質 𝐂𝐮++ , 𝐇 + , 𝐒𝐎𝟒−− の水溶液の電解槽

Cu++ イオンのモル流束，すなわち電極反応速度は電解槽での電流密度（電流/電極面積）に比例する． 電極間にかけた電圧を増加して行くと，反応速度が増加する．その時，電位ポテンシャル（静電ポテンシャルとも言う）の分布に関しては，図 14.2-1 のように，溶液の濃度が薄い場合は（溶液の電気抵抗が大きくて）電気電導度が高くないため，電位勾配がついた，傾斜した分布が形成される．しかしながら，電極反応に直接は関与しない支
持電解質（今の例では硫酸）の濃度が十分に高くすると，水溶液の電気電導度が非常に大きくなるために電位ポテンシャルの勾配がほとんど 0 になる．このような状態になると，銅イオン Cu++はそれ自身の濃度勾配による普通の拡散のみで移動することになる．（本当は移動するのは電荷を持ったイオンであるので，電位分布が平坦になった場合でも銅イオンの周囲には支持電解質による多くのイオンが取り巻いている．したがって周囲イオンを引きずって移動することになるので，無限希釈の溶液構造と違って拡散係数には影響が出ると思われるが，ここでは単なる濃度勾配による普通の拡散であると仮定して進めることにする．）

14.3 電気化学的手法による物質移動の計測法 1,2,3,4)
前例の硫酸の濃度が十分に高くなったならば，溶液の電気電導度も非常に高くなるので，電位ポテンシャルの勾配が電解槽の電極間のほぼ全電場領域で無視小になる．前述のように，この状態では銅イオンは普通の濃度拡散のみで移動する．したがって，電極間にかけた電圧降下のほとんどは両電極表面に形成される電気二重層のみで起きる．
電気二重層の厚さは拡散層に比して無視できるくらい薄い．電極間電圧𝐸 を上げて行くと，電流密度𝐼 は図 14.3-1 のような変化をする．電極間電圧 𝐸 が特性的な電解電圧 𝑉0 を超えると Cu の析出が陰極で始まる． さらに 𝐸 を大きくして行くと電流密度は急激に増加
するが，𝐸𝑑 より大きくなると，電圧を上げて電極反応速度をいくら速くしようとしても物質移動によるイオンの供給が追い付かなくなり，電流密度はもはや増加せず，一定になってしまう．この状態を拡散律速状態または限界電流状態と呼んでいる．すなわち，電極反応は 反応イオンのCu++ イオンの物質移動によって支配されている．この状態の時，陰184

イオンの物質移動

図 14.3-1. 電流密度の電極間電圧による変化

極表面における Cu++ イオンの濃度は実質的に 0 になっている．
もしも負荷する電圧 emf をさらに上げて，次のイオンの電解電圧 𝑉1 より大きくなると，
図 14.3-1 に破線で示したように，次の別の電極反応が始まる．例えば，このケースの場合，
水の電気分解のように，水素イオンが陰極で電子をもらい，水素の気泡が放出される．
上述の限界電流条件で電気化学的方法を利用したならば，普通の拡散でやって来た銅イ
オンの陰極での放電による物質移動の時間変動や局所変化を測定できるはずである．1)
析出を伴わない都合のよい試験溶液例として，等モル濃度(0.01 M) のフェリシアン化カ
リとフェロシアン化カリ（potassium ferri- and ferro-cyanide）の水溶液がある．支持電解質
として 1 M 濃度の水酸化カリ（potassium hydroxide KOH）を入れている．流体温度をコン
トロールすれば，この溶液のシュミット数は 𝑆𝑐 = 1,800 一定となる．
図 14.3-2 は物質移動係数測定のための電極例を示す．主陰極のニッケル平板は物質移動を測定したい固体壁に平坦に固着する．図には示していないが，大きなニッケル板を陽極として流れ場を乱さない下流側に設置する．主陰極板は陽極板より十分に小さい面積にする
ことにより，陽極の電流密度を十分に小さくして，陰極表面のみで電流密度𝐼 A/m2，したがって境膜の物質移動を観測することができる．

図 14.3-2. 電気化学的方法における主陰極と孤立局所陰極 寸法例の単位は mm.

壁面における速度勾配の測定法

185

次の電極反応を拡散律速状態にする：
4−
3−
−
−
[cathode] Fe(CN)3−[anode] Fe(CN)4−
6 + e → Fe(CN)6
6 → Fe(CN)6 + e
このケースの場合，電極反応で金属の析出も，ガスなどの放出もなく，イオンの価数が変化するだけである．
ニッケル線でできた非常に直径の小さな円形陰極を前述の主陰極板に開けた円形ドリル
孔に挿入，絶縁して埋め込む．主陰極板上に配列した孤立局所陰極（テスト陰極とか点電極と呼んでいる）を主陰極と同電位にすれば，区別のない物質移動状態で局所値を測定することができる．
イオンの物質流束 𝑁𝐴 は次式によって与えられる：
𝑁𝐴 = 𝐼𝑑 ⁄𝐹𝑎 = 𝑘(𝐶𝐴 − 𝐶𝐴𝑤 )(14.3-1)
3−
拡散律速条件では，フェリシアンイオンFe(CN)6 の点電極表面の濃度 𝐶𝐴𝑤 も 0 になるから，局所の物質移動係数 𝑘 m/s は次式で計算できる：
𝑘 = 𝐼𝑑 ⁄𝐹𝑎 𝐶𝐴(14.3-2)
ここで 𝐼𝑑 (A/m2) はテスト陰極表面での限界電流密度， 𝐹𝑎 はファラデー定数 (= 96,500
3
C/kg-equiv.) ，𝐶𝐴 はFe(CN)3−
6 の液本体の濃度（kg-equiv./m ）である．
限界電流状態では陰極表面濃度は 𝐶𝐴𝑤 = 0 であるから測定する必要がない利点がある．

図 14.3-3 時間変動するイオンの物質移動を観測する回路

このように， Fe(CN)3−
6 イオンがテスト陰極（面積 𝑆）に放電する電流密度から時間変動する局所の物質移動流束を測定することができる．簡単な回路を図 14.3-3 に示す．
点電極での時間依存の電流密度 𝑖𝑑 = (𝑉𝑠 ⁄𝑅𝑠 )/𝑆 は標準抵抗𝑅𝑆 での電圧降下 𝑉𝑆 から観察
される．
1.
2.
3.
4.

Kataoka, K., H. Doi and T. Komai: Int. J. Heat Mass Transfer, vol.20, pp.57-63 (1977).
Kataoka, K., Y. Kamiyama, S. Hashimoto and T. Komai: J. Fluid Mech., vol.119, pp.91-105 (1982).
Hanratty, T. J.: Phys. Fluids Suppl., vol.10, S126 (1967).
Mizushina, T.: Advances in Heat Transfer (1971), Vol.7, p.87. Academic.

14.4 壁面における速度勾配の測定法 2,3,4)
この電気化学的方法は液体の流れの観測をしたい固体壁近傍での速度勾配の時間変動や局所分布なども測定することができる．
図 14.4-1 に示すように，導電性でない固体壁に開けた横幅 𝐿𝐵 mm のスリット孔に，厚さ L mm のニッケルシートを挿入して固定することにより，小さな長方形のテスト陰極 を造る．固体壁での速度勾配の測定は，このテスト陰極と陽極の間に負荷した電圧でテスト
陰極に放電する限界電流密度を測定することによって実現する．

186

イオンの物質移動4−
高シュミット数 （1 M 支持電解質 KOH と等濃度の Fe(CN)3−
6 ，Fe(CN)6 からなる電解質水溶液, 𝑆𝑐 = 1,800 ) であるため，矩形テスト陰極の先端（leading edge と言う）から発達する濃度境界層は（ずっと上流から発達して来た）速度境界層より厚さが非常に小さい．

図 14.4-1

固体壁における速度勾配を測定するための矩形テスト陰極

したがって，濃度境界層内の速度分布は直線であると仮定できる．それぞれの矩形テス
ト陰極で限界電流密度状態の電流密度 𝐼𝑑 を測定して，局所分布を持つ，かつ時間変動する壁面速度勾配 s を次式によって求めることができる：
𝑠 = 1.90 (𝐼𝑑 ⁄𝐹𝑎 𝐶𝐴 )3 (𝐿⁄𝐷𝐴𝐵 2 )(14.4-1)
3−
ここで 𝐷𝐴𝐵 はフェリシアンイオンFe(CN)6 の KOH 水溶液中の拡散係数．
この式(14.4-1) は第 18 章において境界層理論解析によって導出できることを示している．
この電気化学的測定法は乱流の粘性底層内で，時間変動する速度勾配を観察できる点が特筆される．通常，緩衝層（buffer zone）で乱流の乱れは発生するが，その影響で粘性底層（viscous sublayer）内においてさえ明確な速度変動が現れることは記憶に留めておくべ
きである．
3
4−
[ 問 題 14-1] ある 0.02 kg-equiv./m3 のFe(CN)3−
6 イオンと 0.02 kg-equiv./m のFe(CN)6 イ
3
オンからなる電解質水溶液で，支持電解質として 1 kmol/m の KOH を含んでいる水溶液が図 14-P.1 のような矩形断面のチャンネル（横断方向の幅 𝑎 = 1200 mm，高さ 𝑏 =10 mm）を 0.001 m3/s の流量で流れている． 水溶液の密度 1,010 kg/m3, 粘度 0.0015 Pa s，
拡散係数 8.3 × 10−10 m2/s である．支持電解質を入れて溶液の電気電導度を大きくしているので，電位ポテンシャルによるフェリシアンイオンの拡散は無視できる．反応イオン
3
Fe(CN)3−
6 の流れ本体における濃度は水溶液の濃度 0.02 kg-equiv./m に等しいと仮定できる．
主陰極も各テスト陰極も表面は乱れが発生しないように，チャンネルの壁面と同一面に仕上げている．各テスト陰極の活性な電極表面は 0.5 mm x 3 mm = 1.5 mm2 の矩形であり，3mm の幅が流れに垂直になるように設置されている．
(a) この流れは乱流か？ 層流か？
(b) 主陰極も矩形テスト陰極と同じ電位 EMF (V) にした時，図中の二つのテスト陰極の（時間平均した）電流密度はそれぞれ 8 × 10−2 and 5.3 × 10−2 μA であった．
各矩形テスト陰極の位置における局所の物質移動係数 𝑘 (m⁄s)を計算せよ．
(c) 主陰極を電気的に不活性にして，これら二つの矩形テスト陰極に電極間電圧をかけると（時間平均の）限界電流は，それぞれ 5.2 and 4.7 𝜇𝐴 であった．このチャンネルの内壁面におけるこれらの矩形テスト電極の位置における速度勾配 𝑠 (1⁄s) は幾らか計算せよ．

壁面における速度勾配の測定法

187

図 14-P1. 電気化学的方法による壁面における物質移動と速度勾配の測定

参考のために，速度勾配の測定例を示して置こう．図 14.4-2 のように，円形の出口を持4−
つ縮流ノズル（直径𝑑 = 28 mm）から上述のFe(CN)3−
6 ，Fe(CN)6 電解質溶液の自由噴流が同じ電解質溶液内に発射されて，距離（𝐻 = 6𝑑 = 168 mm）だけ下流に設置された大きな平板に垂直に衝突する，いわゆる衝突噴流で衝突平板上にできる衝突領域の流れを，この電気化学的方法で観察している．2) 図中に示す小さな矩形表面を持つ速度勾配測定用のニッケルシートのテスト陰極（𝐿 = 0.2 mm）の衝突板上の配列を示す。上述の測定原理で測定した衝突領域の壁面速度勾配の分布の結果を図 14.4-3 に, 速度勾配の時間変動の乱れ強度の結果を図 14.4-4 に示す．

図 14.4-2

円形縮流ノズルより発する衝突噴流

図 14.4-3

衝突領域における壁面摩擦応力の半径方向の分布 （H/d = 6）

188

イオンの物質移動

図 14.4-4

衝突領域における壁面摩擦応力の半径方向の分布 （H/d = 6）

図 14.4-3 の縦軸は壁面速度勾配 𝑠 から算出した衝突領域における局所の壁面摩擦応力𝜏𝑤 を無次元にした特性値である．淀み点から半径方向に加速される領域では摩擦応力
したがって速度勾配は増加しているが，衝突領域でも下流になると速度勾配は減少している．図 14.4-4 の縦軸は衝突領域の壁面の速度勾配の時間変動 𝑠′ から乱れ強度を算出している．加速域では乱れ強度が大きいのは分母の（時間平均の）速度勾配が小さいからである．このように，電気化学測定法では拡散律速状態にすれば，壁面における物質移動速
度や速度勾配の局所変化や時間変動を観察することが可能になる．
記
𝑐
𝐶𝐴
𝑑
𝐷𝐴𝐵
𝐸
𝐹𝑎
𝐼
𝐼𝑑
𝑘
𝐿
𝑀𝐴
𝑁𝐴
𝑅
𝑅𝑒𝑜
𝑆
𝑠
𝑇
𝑈𝑜
𝑥𝐴
𝜖
𝛷
𝜏𝑤

号

表
全モル密度, [kmol/m3]
反応イオンの濃度, [kmol/m3]
ノズル出口直径, [m]イオン A の拡散係数, [m2/s]
電極間電圧, [V]ファラデー定数（Faraday constant = 96,500 A s/kg-equiv.）
電流密度, [A/m2]
限界電流密度, [A/m2]
イオンの物質移動係数, [kmol/m2s]
テスト陰極の流れ方向の長さ, [m]分子量, [kg/kmol]
反応イオン A のモル流束, [kmol ion/m2s]
ガス定数, [J/kmol K]
ノズル出口速度基準のレイノルズ数, [-]電極表面積, [m2]電極表面での速度勾配, [1/s]
温度, [K]
ノズル出口速度, [m]反応イオンのモル分率（またはモル濃度）, [kmol/kmol]
イオン電荷
静電ポテンシャル, [EMF]
壁面摩擦応力, [Pa]下付き添え字Dw‘

限界電流状態
電極表面
時間変動

第１５章
相変化を伴う伝熱15.1 凝 縮
15.1-1 凝縮伝熱
純粋な１成分の蒸気の凝縮を勉強しよう．
ある与えられた圧力で飽和している純蒸気が冷却されている表面と接触すると，飽和すな
わち平衡温度において等温状態で，蒸気から液への相変化が起きる．
この時，蒸気相本体の 圧力は蒸気の移動のために凝縮液面の飽和圧力よりほんの少し高い圧力になっていて，図 15.1-1 に示すように，凝縮液膜の気液界面に向かっての物質移
動は濃度分布のない自己拡散により移動するのである．凝縮によって放出された潜熱は凝縮液膜を通って冷却壁面に流れねばならない．したがって，伝熱の主たる抵抗は凝縮液膜にあり，抵抗がない蒸気相は一様な平衡温度になっていると仮定される．

図 15.1-1. 純蒸気の凝縮
もし凝縮液が冷却面を濡らさない性質のものならば，個々の凝縮液の液滴は互いに衝突して大きくなって行き，重力により冷却表面を滑り落ちる．これを「滴状凝縮」と呼ぶ．もし凝縮液が冷却面を濡らす性質のものならば，冷却面上に連続した液膜を形成し，重力により流下する．これを「膜状凝縮」と呼ぶ．滴状凝縮は液膜で覆われていない裸の冷却面が直接蒸気と接触するので，膜状凝縮よりはるかに大きい凝縮速度になる．水蒸気が冷却面に特別な処理や特別な性質を持たせた場合，滴状凝縮が可能となる唯一の純蒸気として知られている．実際の工業的な凝縮器で滴状凝縮を維持することは非常に困難なので，膜状凝縮を仮定して設計するのが慣例である．

15.1-2 鉛直壁面における純蒸気の膜状凝縮
図 15.1-2 に示す鉛直壁面上での純粋な飽和蒸気の膜状凝縮について考えよう．

190

相変化を伴う伝熱図 15.1-2. 膜状凝縮における層流流下液膜

有名なヌッセルトの解析 (Nusselt approach)1) を例証するために，以下の仮定をする：(1) 純蒸気は飽和温度 𝑇𝑠𝑡 にある(2) 凝縮する蒸気によって運ばれる熱は潜熱のみであり，界面にて放出された潜熱は凝縮
液膜内を熱伝導のみによって移動する(3) 凝縮液膜の流下は界面にさざ波などのない層流である(4) 凝縮液膜は厚みが薄いので，膜内の温度分布は直線である(5) 固体である冷却面は一定温度 𝑇𝑤 に維持されている(6) 気液界面におけるせん断は無視できる(7) 凝縮液膜の成長による表面の曲がりは無視小で，熱流束は壁面にほぼ垂直である
流下する液膜の膜厚さはトップからボトムに向かって蓄積的に増加するので，鉛直壁面で凝縮する蒸気の場合の凝縮係数（伝熱係数）もトップからボトムへ向かって減少する．
適用する運動方程式は
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑝
𝜕 2 𝑣𝑧 𝜕 2 𝑣𝑧 𝜕 2 𝑣𝑧
𝜌𝐿 (
+ 𝑣𝑥
+ 𝑣𝑦
+ 𝑣𝑧
)= −
+ 𝜇𝐿 ( 2 ++) + ( 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 ) 𝑔𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2

であるが，次の仮定を考慮して簡単化する．
(1) z- 成分の速度 𝑣𝑧 は横断方向 x- 方向には変化しない𝜕𝑝(2) 静圧は流れ方向に大きくは変化しない； 𝜕𝑧 ≅ 0𝜕𝑣(3) 速度分布は流れ方向には変化しない； 𝜕𝑧𝑧 ≅ 0
定常状態では，凝縮液の流下液膜の層流の運動方程式は，慣性力（対流）項を無視すると自紙のようになる：
𝜕2 𝑣

𝜇𝐿 𝜕𝑦2𝑧 = ( 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 ) 𝑔𝑧

(15.1-1)

高い操作圧力の時は，浮力が液膜に働くので右辺の重力項は 𝜌𝐿 の代わりに 密度差( 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 ) となる．結局，運動方程式は次式のように簡単化される：

191

鉛直壁面における純蒸気の膜状凝縮
𝑑2 𝑣𝑧
𝑑𝑦 2

𝜌 − 𝜌𝑉= − ( 𝐿𝜇𝐿)𝑔

(15.1-2)

下流への距離 𝑧 における液膜厚さを 𝛿 とすると，境界条件は：
𝑣𝑧 = 0at 𝑦 = 0𝑑 𝑣𝑧= 0 at 𝑦 = 𝛿𝑑𝑦(15.1-3)

式 (15.1-2) を積分し，境界条件を考慮すると，凝縮液膜内の速度分布が得られる：
𝜌 − 𝜌𝑉𝑣𝑧 = ( 𝐿𝜇𝐿

1) 𝑔 (𝛿𝑦 − 2 𝑦 2 )(15.1-4)

速度分布を使って，（yz 面に垂直な）単位濡れ幅当たりの質量流量は𝛿𝛤 = ∫0 𝜌𝐿 𝑣𝑧 𝑑𝑦 =𝜌𝐿 ( 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 )𝑔 𝛿 3(15.1-5)

3 𝜇𝐿

𝛿 に関して微分すると
𝑑𝛤

=
𝑑𝛿

𝜌𝐿 ( 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 )𝑔 𝛿 2(15.1-6)𝜇𝐿

次に，エネルギー方程式を凝縮液膜に適用するための境界条件は𝑇 = 𝑇𝑤
at 𝑦 = 0
𝑇 = 𝑇𝑠𝑡 at 𝑦 = 𝛿
その結果，次の直線の温度分布式が得られた：
𝑦𝑇 − 𝑇𝑤 = (𝑇𝑠𝑡 − 𝑇𝑤 )
𝛿

(15.1-7)(15.1-8)

凝縮液膜内での温度降下を考慮するために，飽和温度の液表面で凝縮し，中へ入って凝縮液膜の平均の液温度まで過冷却されることによる蒸気の平均のエンタルピー変化（修正潜熱）Δ𝐻′𝑓𝑔を計算する必要がある：
𝛿

Δ𝐻′𝑓𝑔 = Δ𝐻𝑓𝑔 + 𝐶𝑝𝐿 (𝑇𝑠𝑡 − 𝑇𝑚 ) = Δ𝐻𝑓𝑔 +1 𝛿∫ 𝜌 𝑣 𝐶𝑝 (𝑇 − 𝑇)𝑑𝑦
𝛤 0 𝐿 𝑧 𝐿 𝑠𝑡3
= Δ𝐻𝑓𝑔 + 8 𝐶𝑝𝐿 (𝑇𝑠𝑡 − 𝑇𝑤 )∫0 𝜌𝐿 𝑣𝑧 𝐶𝑝𝐿 (𝑇𝑠𝑡 − 𝑇)𝑑𝑦𝛿

∫0 𝜌𝐿 𝑣𝑧 𝑑𝑦= Δ𝐻𝑓𝑔 +(15.1-9)

ここで Δ𝐻𝑓𝑔 が飽和温度での潜熱である．
15.1-3 凝縮伝熱係数
流下液膜のコントロールボリューム（𝑑𝑧 × 1） において，蒸気は d𝛤 の速度で凝縮する．
そこで放出される熱 ∆𝐻′𝑓𝑔 d𝛤 は厚み 𝛿 の液膜を通って 𝑇𝑠𝑡 から 𝑇𝑤 まで熱伝導で流れねばならないから，次式のように書ける：
𝑇𝑠𝑡 − 𝑇𝑤(𝑑𝑧 × 1) = Δ𝐻′𝑓𝑔 d𝛤 × 1
𝑞𝑦 (𝑑𝑧 × 1) = 𝜅𝐿𝛿
この式に式(15.1-6) を代入して
𝜅 𝜇 (𝑇 − 𝑇 )𝑤
𝛿 3 𝑑𝛿 = 𝜌 ( 𝜌𝐿 −𝐿 𝜌𝑠𝑡)𝑔 Δ𝐻′
𝐿

𝐿

𝑉

𝑓𝑔

𝑑𝑧

(15.1-10)

𝛿 = 0 (at 𝑧 = 0) から 𝛿 = 𝛿 (at 𝑧 = 𝑧) まで積分すると
1/4

4𝜅 𝜇 (𝑇 − 𝑇 )𝑤
𝛿 = [𝜌 ( 𝜌𝐿 −𝐿 𝜌 𝑠𝑡)𝑔 Δ𝐻′
𝐿

𝐿

𝑉

𝑓𝑔

𝑧]

(15.1-11)

ここで，局所の凝縮係数を ℎ𝑐 = 𝜅𝐿 ⁄𝛿 のように定義するとℎ𝑐 = [𝜌𝐿 ( 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 )𝑔 Δ𝐻′𝑓𝑔 𝜅𝐿 3
4𝜇𝐿 (𝑇𝑠𝑡 − 𝑇𝑤 )𝑧

1/4](15.1-12)

鉛直な高さ 𝐿 の平板表面上で凝縮する蒸気の平均の凝縮係数 ̅̅̅ℎ𝑐 は局所値 ℎ𝑐 を高さ 𝐿 にわたって積分することによって次のように得られる．

192

相変化を伴う伝熱
3 1/4

1 𝐿
2 √2 𝜌𝐿 ( 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 )𝑔 Δ𝐻′𝑓𝑔 𝜅𝐿̅̅̅]ℎ𝑐 = 𝐿 ∫0 ℎ𝑐 𝑑𝑧 = 3 [𝜇 (𝑇 − 𝑇 )𝐿
𝐿

𝑠𝑡

𝑤

(15.1-13)

全ての物性定数は液膜の平均温度で評価される：
𝑇𝑓 = (𝑇𝑠𝑡 + 𝑇𝑤 )⁄2
以上が，初めて達成した有名なヌッセルトの解析結果 1) である．
上の解析は鉛直な平板についてなされたけれども，この解析の展開は鉛直に置かれたチューブの内表面でも外表面でも，チューブの直径が液膜厚さと比して十分に大きければ，
成り立つ．
1.

Nusselt, W.; Z. Ver. Dtsch. Ing., 60, 541-546, 569-575 (1916)

15.1-4 塔頂コンデンサーの工学的設計
ある蒸留塔において塔頂より出てくる蒸気は，温度 55℃ (= 327 K), 圧力 1.7 atm (= 0.172
MPa)で，流量 3,000 kg/h のペンタン飽和蒸気（98 mol% of n-pentane）である．これを下に示す鉛直に置かれた 1-1 コンデンサーにより，温度 51.7 ℃ (= 324.7 K) で完全に凝縮したい．

図 15.1-3. 縦置きの塔頂 1-1 コンデンサー

コンデンサーの冷媒として，70,000 kg/h の温度 32℃ (= 305 K) の水を使うことにする．
ここでは計算を簡単にするために，コンデンサーのシェル（胴）の邪魔板は省略する．
シェル底部には普通，過冷却ゾーンが存在するが，熱収支におけるこのゾーンの寄与は無視できるものとする．長さ 3 m で外径 25 mm OD，内径 22 mm ID の鋼管を伝熱管として使うならば，必要な伝熱管本数を求めよ．
エンタルピーチャートによれば， n-pentane の 55 ℃ の蒸気と 51.7 ℃ の液とのエンタル
ピー差は∆𝐻𝑓𝑔 = 3.37 × 105 J/kg
ここ値は過冷却効果のせいで，飽和温度での n-pentane の潜熱より少し高い．
[ 解 ]冷却水により吸収されるべき熱量は𝑄 = (3000 kg⁄h)(h⁄3,600 s)(3.37 × 105 J⁄kg) = 2.81 × 105 W
この水の出口温度は

193

塔頂コンデンサーの工学的設計

𝑡2 = (𝑄⁄𝑊 𝐶𝑝𝑤 ) + 𝑡1

2.81 × 105= (70,000 𝑘𝑔⁄ℎ)(ℎ⁄3,600 𝑠)(1 𝑘𝑐𝑎𝑙⁄𝑘𝑔 𝐾)(4.184 × 103 𝐽⁄𝑘𝑐𝑎𝑙) + 32 = 35.5℃
凝縮する蒸気の平均温度は𝑇𝑠𝑡 = (55 + 51.7)⁄2 = 53.4 ℃
水の平均温度は𝑡𝑐 = (35.5 + 32)⁄2 = 33.8 ℃
先ずは，総括伝熱係数を仮定する
𝑈𝑜 = 525 J⁄m2 s K
対数平均温度差は(𝑇 − 𝑡1 ) − (𝑇𝑠𝑡 − 𝑡2 )(∆𝑇)𝑙.𝑚. = 𝑠𝑡𝑇 − 𝑡ln 𝑇𝑠𝑡 − 𝑡1
𝑠𝑡2
(53.4 − 32) − (53.4 − 35.5)== 19.6 K
53.4 − 32
ln 53.4 − 35.5
凝縮に要する伝熱面積は𝑄
2.81 × 105 𝐽⁄𝑠
𝐴𝑜 === 27.3 m2
𝑈𝑜 (∆𝑇)𝑙.𝑚.
(525 J⁄m2 s K)(19.6 K)
１本の伝熱管の伝熱に供する外表面積は
𝑎𝑜 = 𝜋𝑑𝑜 𝐿 = 𝜋(0.025m)(3 m) = 0.236 m2
したがって，必要本数は
𝑁 = 𝐴𝑜 ⁄𝑎𝑜 = (27.3 m2 )⁄(0.236 m2 ) = 115.6 < 116
伝熱管内面の伝熱係数を次の相関式で計算する：ℎ𝑖 𝑑𝑖
𝐺𝑖 𝑑𝑖 0.8 1⁄3) 𝑃𝑟= 0.023 (𝜅𝑤
𝜇𝑤
管内の質量速度は𝑊(70,000 kg⁄h)(h⁄3,600 s)
𝐺𝑖 == 441 kg⁄m2 s
2 =
2
⁄
(
)
(𝜋
4)
0.022
m
(116)
(𝜋⁄4)𝑑𝑖 𝑁
冷却水の温度 𝑡𝑐 = 33.8 ℃ における物性は
𝜇𝑤 = 8 × 10−4 kg⁄m s, 𝜅𝑤 = 0.622 J⁄m s K, Pr = 4.5
𝑅𝑒𝑖 = 𝐺𝑖 𝑑𝑖 ⁄𝜇𝑤 =(441 𝑘𝑔⁄𝑚2 𝑠)(0.022 𝑚)= 1.21 × 104
8 × 10−4 𝑘𝑔⁄𝑚 𝑠(乱流)

管内の伝熱係数は0.622 J⁄m s Kℎ𝑖 = (0.023) () (12,100)0.8 (4.5)1⁄3 = 1,980 J⁄m2 s K
0.022 m凝縮係数を次のように仮定する
̅̅̅ℎ𝑐 = 737 J⁄m2 s K
管壁温度を伝熱管の金属の抵抗が無視小と仮定して計算すると𝑇𝑠𝑡 − 𝑡𝑐
𝑇𝑤 − 𝑡𝑐
𝑞=
=
1
1 𝑑𝑜
1 𝑑𝑜
+
̅̅̅
ℎ𝑖 𝑑𝑖
ℎ𝑐 ℎ𝑖 𝑑𝑖この式から管壁温度は次の値になる
1 0.0251980
0.022(53.4 − 33.8) = 39.6℃
𝑇𝑤 = 33.8 +1
1 0.025
737 + 1980 0.022
液体の n-pentane の温度 𝑇𝑓 = (53.4 + 39.6)⁄2 = 46.6 ℃ における物性定数は

194

相変化を伴う伝熱𝜅𝐿 = 0.133 J⁄m s K, 𝜇𝐿 = 1.9 × 10−4 kg⁄m s, 𝜌𝐿 = 600 J⁄m3 , 𝐶𝑝𝐿 = 2.39 × 103 J⁄kg K
操作圧力において、蒸気の密度は液に比して十分に小さいから𝜌𝐿 ≅ 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉
平均のエンタルピー変化 ∆𝐻"𝑓𝑔 は次のようになる：
3∆𝐻′𝑓𝑔 = ∆𝐻𝑓𝑔 + 𝐶𝑝𝐿 (𝑇𝑠𝑡 − 𝑇𝑤 )8
= 3.37 × 105 + (3⁄8)(2.39 × 103 )(53.4 − 39.6) = 3.49 × 105 J⁄kg
式 (15.1-13)を使って，平均の凝縮係数は次のように求められる：
1/4

2√2 𝜌𝐿 ( 𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 )𝑔 Δ𝐻′𝑓𝑔 𝜅𝐿 3
̅̅̅̅
[
]
ℎ𝑐 =
3
𝜇𝐿 (𝑇𝑠𝑡 − 𝑇𝑤 )𝐿21⁄ 4(600 kg⁄m3 ) (9.8 m⁄s 2 )(3.49 × 105 J⁄kg)
3= (0.943) [× (0.133 J⁄m s K) ](1.9 × 10−4 kg⁄m s)(3 m)(53.4 − 39.6)= 734.6 J⁄m2 s K
計算で出て来たこの値は，仮定した値 737 J⁄m2 s K とほぼ等しくなった．したがって，
総括伝熱係数は計算によって得られたℎ𝑖 と ℎ𝑐 を使って
1
𝑈𝑜 == 519 J⁄m2 s K
1
1 0.025734.6 + 1980 0.022
仮定した値 525 𝐽⁄𝑚2 𝑠 𝐾 は計算値と 2% 以内の誤差で一致している．
結局，伝熱管の必要本数は
𝑄
𝑁=
= 117
𝑈𝑜 (∆𝑇)𝑙.𝑚. 𝑎𝑜
ここでは，簡単のために，伝熱管内の水側でのファウリングや伝熱管壁の金属による伝熱抵抗を無視して計算したが，これらの抵抗を無視してよいかどうか，を設計計算において，
時々チェックした方がよい．（この例のように，水を伝熱管内に流す場合，水に含まれる微量の塩類や微生物が時間とともに析出したり，成長して，ファウリングが問題になることも多い．シェル側の n-pentane の凝縮においては，きれいな有機蒸気を凝縮するので，
普通，ファウリングは起きにくい．）

15.2 蒸 発
15.2-1 沸騰の伝熱
沸騰は相変化を伴う伝熱プロセスの，また別の例である．
一般に，沸騰には２種類の操作：プール沸騰と強制流動沸騰がある．釜やタンクのように液をプールしている状態での水の沸騰は撹拌などの強制流動なしのプール沸騰であるが，この場合，多くの水蒸気の泡が発生して，それ自身により液プールを強く撹拌してくれる．
これに対して，沸騰により蒸気を発生しながら熱交換器内を気液二相流の場合は，ポンプにより器内に液が供給される強制流動沸騰である．沸騰による熱流束は，相変化なしの対流伝熱などと比べて，ずっと大きい．
15.2-2 プール沸騰
プール沸騰伝熱は，いわゆる沸騰曲線の形で旨く理解することができる．沸騰曲線とは
加熱壁の熱流束 対 過熱度 ∆𝑇𝑒𝑥 （加熱壁と周囲の飽和液との間の温度差）の関係を表
す沸騰の特性曲線である．

蒸

発

沸騰伝熱

195

図 15.2-1. プール沸騰と強制流動沸騰

図 15.2-2. 種々の沸騰形態を観察する抜山の実験 1)

プール沸騰の物理的な理解を得るには，有名な抜山の実験 1)がある．
彼の実験装置を簡単に描くと図 15.2-2 のようになる．１本の細い白金線を容器に入れられた蒸留水のプールに浸漬する．その水は大気圧下で飽和温度より幾らか低い一定温度
𝑇𝑓 < 𝑇𝑠𝑡 に制御されている．そこで，浸漬されている白金線が電気的にジュール加熱されている場合を考えよう．白金線の表面積，白金線の両端に印可する電圧，白金線の温度を測定することによって，容易に沸騰曲線を得ることができる．表面積は線の直径と長さからわかり，白金線の温度は白金線の温度対抵抗の関係を使って電流計と電圧計により抵抗値で求められる．
1.

Nukiyama, S., J. Soc. Mech. Eng., Japan, 37(206), 367 (1934)

図 15.2-3 は白金線の場合の模式的に描いた沸騰曲線である．ここでは，熱流束（縦軸）を過熱度（横軸）の関数としてプロットしている．白金線の温度が沸点を 2~3 ˚C 以上超えない限り(AB range)，ジュール熱で発生した熱は相変化がなく，自然対流によって水本体に移動する．電流値を増加して白金線の温度を上げて行くと，点 B に到達する．ここでは白金線表面に隣接する水のエネルギーレベルが十分に高くなっており，点 B で水の蒸気泡が白金線表面の少数の位置（サイトと言う）から発生し始める．これが核沸騰形態（nucleate boiling regime）の開始点である．さらに電流を増加して過熱度を上げて行くと核沸騰が激しくなり，核沸騰領域 BC の曲線をたどる．この領域の最初の状態では，蒸気泡は加熱面から発生して成長することにより，白金線近くから温度の高い水をそれより低い温度の水本体中に押し上げることにより熱の移動を促進している．

196

相変化を伴う伝熱図 15.2-3. 水のプールに浸漬された白金線で得られる典型的な沸騰曲線

熱流束をさらに上げると，蒸気泡の発生数を増加すると，蒸気泡が衝突し，蒸発による伝熱が支配的になる． 過熱度をさらにもっと上げると，蒸気泡を発生するサイトの数が著しく増えてくると，多くの蒸気泡が衝突・合体して，連続した蒸気層を形成するようになり，液が加熱面に接触する場所が減り始めるのである．点 C に至ると，熱流束はもうこ
れ以上増加せず，すなわち熱流束は最大値に到達する．点 C を越えて，さらに白金線の温度を上げて熱流束を増加しようとしても，逆に図中に示した破線のように，熱流束は減少する．この最大熱流束に到達する点 C における過熱度を臨界過熱度（バーンアウト点とも言う)と言う．この臨界過熱度を越えると，白金のように金属線 の融点が十分に高い場合
は，核沸騰から膜沸騰に遷移が起きる．このケースが図 15.2-3 における点 C から点 E への遷移に対応している．この遷移では過熱度が点 C から点 E まで飛んでしまうので，もし発熱源の金属線の融点が低い場合は融けて切れてしまう．この現象をバーンアウトと言う． 残る点 D から始まる曲線は十分に発達した膜沸騰を示している．膜沸騰の場合，加熱面から沸騰させたい水に熱を伝えるには蒸気膜を熱伝導と放射伝熱で通過して，蒸発が起きている気液界面に達しなければならない．
強制流動沸騰の対流沸騰曲線もプール沸騰の曲線に幾らか似てはいるが，その伝熱形態
は気液の速度，過冷却，多様な気液の流動パターンなどにより非常に複雑である．
15.2-3 プール沸騰の伝熱相関
沸騰伝熱においては，気液の物性定数を除けば，蒸発潜熱，表面張力，表面特性，圧力などを考える必要がある．絡んでくる変数が非常に多いので，プール沸騰の全領域に適用できるような単一の相関式はない．非常に複雑であるため，広く認められている，
Rohsenow1) が提案した半経験式を紹介しておく：

𝑞 = 𝜇𝐿 ∆𝐻𝑓𝑔 √(𝜌𝐿− 𝜌𝑉)𝑔𝜎[

𝐶𝑝𝐿 (𝑇𝑤 − 𝑇𝑠𝑡)
∆𝐻𝑓𝑔𝑃𝑟𝐿 𝑠𝐶𝑠𝑓

3]

ここに 𝐶𝑝𝐿 : 飽和液体の比熱， J/kg K
𝐶𝑠𝑓 : 実験定数， dimensionless，∆𝐻𝑓𝑔 : 蒸発のエンタルピー（潜熱）， J/kg，𝑞 ∶ 加熱面の熱流束， J/m2s ，
𝜇𝐿 ∶ 液体の粘度， kg/m s，
𝜌𝐿 , 𝜌𝑉 ∶ 飽和液体，飽和蒸気の密度， kg/m3
1.

Rohsenow, W. M., Trans. ASME, 74, 969 (1952)(15.2-1)
𝑔 ∶ 重力の加速度， m/s2
𝑃𝑟𝐿 ∶ 飽和液体のプラントル数，
𝑇𝑤 − 𝑇𝑠𝑡 : 過熱度， K
𝜎 ∶ 表面張力， N/m

197

プール沸騰の伝熱相関表 15.2-1 核沸騰の実験定数 1)
定 数 𝐶𝑠𝑓
流体と加熱面との組み合わせ
Water on Ground and Polished Stainless Steel
0.0080
Water on Mechanically Polished Stainless Steel
0.0132
Water – brass, Water – nickel
0.0060
Water – platinum
0.0130
Water – copper
0.0130Ethanol – chromium
0.0027Isopropanol – copper
0.00225
35% K2CO3 – copper
0.0054
Benzene – chromium
0.0100n-Pentane – chromium
0.015

指 数 𝑠
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.7
1.7
1.7
1.7
1.7

これらの定数は，下記の Kreith の本の中の表から拾っている．
1.

Kreith, F.; “Principles of Heat Transfer,” 3trd ed., Intext Press, Inc., 1973

式(15.2-1) は核沸騰における熱流束は過熱度の 3 乗に比例することを示している．実験
定数 𝐶𝑠𝑓 は特定する流体と加熱面との組み合わせに依存しており，また加熱面の表面粗さによって影響を受ける．
表 15.2-1 がその実験値を与えている．式中でプラントル数にかかっている指数 𝑠 は水の場合 1.0 ，多くの他の流体の場合 1.7 としている．
15.2-4 限界熱流束 1,2,3)
限界熱流束は核沸騰から膜沸騰への遷移が起きる時の熱流束を与える非常に重要な特性であえる．限界熱流束を予知することは二つの工学的観点から非常に重要である：つまり（１）この値が多くのシステム・装置の能力の最大値を意味すること，（２）この限界熱流束点を越えると大きな熱流束の降下を来たし，それに伴う表面温度の急激な上昇による加熱表面の損傷（バーンアウト）が起きることである．
限界熱流束を予測するモデルは多く提案されているが，その中から Zuber’s model1) を紹介しておく：
𝑞𝑚𝑎𝑥 =𝜋24

𝜌𝑉 ∆𝐻𝑓𝑔 [𝜎(𝜌𝐿 − 𝜌𝑉 )𝑔 1/4
𝜌𝑉 2

]

(

𝜌𝐿
𝜌𝐿 + 𝜌𝑉

−1/2)(15.2-2)

この式は「加熱表面から発する蒸気の体積流量が加熱表面に向かう液の流量に等しい」とする前提の上で，流体力学的不安定性理論に基づいて得られたものである．他のどの相関式でも Zuber の式と形の上で，あまり差はない．
1.
2.
3.

Zuber, N. and M. Tribus; “Further Remarks on the Stability of Boiling Heat Transfer,” Rep.58-5, Dept of Eng., Univ. of
Calif., Los Angeles (1958)
Rohsenow, W. M.; “A Method of Correlating Heat-Transfer Data for Surface Boiling Liquids,” Trans. ASME, 74, pp. 969(1952)
Rohsenow, W. M.; “Boiling Heat Transfer,” Dev. In Heat Transfer, W. M. Rohsenow, ed. (Cambridge, Massachusetts: MIT
Press, 1964), pp.169-260[ 例 題 15.3-1] 機械仕上げにより磨かれたきれいなステンレス表面（表面温度 110℃(= 383 K)）から，1 atm で水が沸騰する時の熱流束を計算せよ．また核沸騰であることを確認するために得られた値を限界熱流束と比較せよ．
[ 解 ]表 15.3-1 から 与えられた流体・加熱表面の組み合わせの場合，実験定数
𝐶𝑠𝑓 = 0.0132 となる．
100℃ and 1 atm における物性定数を以下に示す：∆𝐻𝑓𝑔 = 539 kcal/kg = 2.26 × 106 J/kg, 𝜌𝐿 = 961.8 kg/m3, 𝜌𝑉 = 0.598 kg/m3

198

相変化を伴う伝熱𝑃𝑟𝐿 = 1.78, 𝜇𝐿 = 0.130 × 10−3 kg/m s, 𝐶𝑝𝐿 = 4.18 × 103 J/kg K, 𝜎 = 0.0588
過熱度 ∆𝑇𝑒𝑥 = 110 − 100 = 10 𝐾.
式 (15.2-1) により，熱流束は
13(961.8 − 0.598)(9.8) 2(4.18 × 103 )(10)𝑞 = (0.130 × 10−3 )(2.26 × 106 ) [] [](2.26 × 106 )(1.78)(0.0132)
0.0588= 5.736 × 104 J/m2s
Zuber の式(15.2-2) から限界熱流束は
1

12(0.0588)(961.8 − 0.598)(9.8) 4𝜋
961.8(0.598)(2.26 × 106 ) × [𝑞𝑚𝑎𝑥 =] () = 1.11 × 106
2
24
0.598
961.8 + 0.6

𝑞 < 𝑞𝑚𝑎𝑥 となるから，核沸騰になるとした仮定は妥当であることが確認できた．
この章では，凝縮と蒸発の簡単な例の理解に留めているが，実際は，例えば，蒸留塔に見られるように，塔頂にはコンデンサーが，塔底にはリボイラーが常設されている．この相変化を伴う伝熱は機械工学の伝熱分野に詳しいので，必要な場合はそこを参照してほし
い．
記

号

𝐴𝑜
𝑎𝑜
𝐶𝑝
𝑑𝑖
𝑔
ℎ𝑐
ℎ𝑖
𝐿
𝑁
𝑃𝑟
𝑝
𝑞
𝑡
𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧
𝑈𝑜𝑊𝑥, 𝑦, 𝑧
Γ
𝛿

∆𝐻𝑓𝑔
𝛥𝑇
𝜅
𝐺
𝜇
𝜌
𝜎

表
過熱表面の全伝面積, [m2]伝熱管の外表面積, [m2]熱容量, [J/kg K]
伝熱管の内径, [m]重力の加速度, [m/s2]
凝縮係数, [J/m2sK]
管内伝熱係数, [J/m2sK]
鉛直平板の高さ, [m] または 鉛直管の長さ, [m]伝熱管の本数, [ - ]プラントル数 Prandtl number, [ - ]圧力, [Pa]
熱流束, [J/m2s]
時間, [s] または 温度, [K]直角座標系の速度成分, [m/s]
伝熱管外表面基準の総括伝熱係数, [W/m2K]
質量流量, [kg/s]
直角座標系, [m]流下する凝縮液膜の単位幅当たりの質量流量, [kg/s m]
凝縮液膜厚さ, [m]蒸発潜熱, [J/kg]
温度差, [K]
凝縮液の熱伝導度, [J/m s K]
質量速度, [kg/m2s]
粘度, [kg/m s]
密度, [kg/m3]
表面張力, [N/m]

下付き添え字
f
L
l.m.
st
V
W

膜
液
対数平均
飽和
蒸気
壁

第１６章
化学反応を伴う物質移動16.1 均相化学反応を伴う拡散
16.1-1 静止流体中における均相反応を伴う拡散---- 浸透理論 ----

ガス吸収プロセスでは，溶質ガスに対する溶媒の吸収容量を大きくしたり，物理吸収で得られるよりも大きな吸収速度にしたりするために，化学反応が応用される．
多くの工業的な気液接触装置は通常，気液の短時間の接触を何度も繰り返すように操作している．そこで，図 16.1-1 のように，半無限大に広がった静止した液体混合物の液相内を溶解してきたガス A が非定常拡散する場合について，Higbie の浸透理論を使って，考えてみよう．ここでは，この液相内では溶解ガス A と液相に含まれている一成分 B との間で反応速度定数が 𝑘1 の不可逆１次反応が起きるとする．

図 16.1-1. 液相内での不可逆１次化学反応を伴うガス吸収

気液界面から液相内に距離 𝑦 だけ入った位置での微分コントロールボリューム𝑆 𝑑𝑦 での物質収支をとると(− 𝐷𝐴𝑚𝜕𝐶𝐴
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝐶𝐴| + 𝐷𝐴𝑚|)𝑆 =𝑆 𝑑𝑦 + 𝑘1 𝐶𝐴 𝑆 𝑑𝑦
𝜕𝑦 𝑦
𝜕𝑦 𝑦+𝑑𝑦𝜕𝑡

この収支式を整理すると次の偏微分方程式が得られる：
𝜕2 𝐶

𝐷𝐴𝑚 𝜕𝑦2𝐴 =𝜕𝐶𝐴𝜕𝑡+ 𝑘1 𝐶𝐴(16.1-1)200

化学反応を伴う物質移動

新しく，次の濃度の変数に変換する： 𝐶𝐴′ = 𝐶𝐴 − 𝐶𝐴∞
𝜕2 𝐶 ′𝐷𝐴𝑚 𝜕𝑦𝐴2 =

𝜕𝐶𝐴 ′
𝜕𝑡

+ 𝑘1 𝐶𝐴 ′(16.1-2)境界条件は次のようになる
𝐶𝐴′ = 𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴∞ at 𝑦 = 0
𝐶𝐴′ = 0at 𝑦 = ∞式 (16.1-2) をラプラス変換すると
2𝐶 ′
2𝐶 ′
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅𝑑𝑑
𝑘 +𝑠
𝐷𝐴𝑚 𝑑𝑦2𝐴 = 𝑠 𝐶𝐴 ′ + 𝑘1 𝐶𝐴 ′ 整理して 𝑑𝑦𝐴2 − ( 𝐷1 ) 𝐶𝐴 ′ = 0(16.1-3)(16.1-4)𝐴𝑚

境界条件は次式である
𝐶𝐴 ′ = 𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴∞ at 𝑦 = 0
𝐶𝐴 ′ = 0
at 𝑦 = ∞式 (16.1-4) の一般解は
𝑘 +𝑠

𝐶𝐴 ′ = 𝑎 𝑒𝑥𝑝 (√ 𝐷1

𝐴𝑚(16.1-5)𝑘 +𝑠𝑦) + 𝑏 𝑒𝑥𝑝 (− √ 𝐷1

𝐴𝑚𝑦)(16.1-6)境界条件を使って
𝑘 +𝑠

𝐶𝐴 ′ = (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴∞ ) 𝑒𝑥𝑝 (− √ 𝐷1

𝐴𝑚𝑦)(16.1-7)

したがって，界面において物質流束は次のように表現できる：
𝑑𝐶 ′𝑁𝐴 = − 𝐷𝐴𝑚 𝑑𝑦𝐴 |= (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴∞ ) √(𝑘1 + 𝑠)𝐷𝐴𝑚

𝑦=0(16.1-8)

逆ラプラス変換により，物質流束は次式のようになる：
𝑁𝐴 = (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴∞ )√𝑘1𝐷𝐴𝑚 [erf(𝑘1 𝑡)1/2 +exp (− 𝑘1 𝑡)√𝜋 𝑘1 𝑡](16.1-9)

ここで純粋に物理吸収の場合は, 𝑘1 = 0 であるから
𝑁𝐴0 = (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴∞ ) √𝑠 𝐷𝐴𝑚すなわち𝐷

𝑁𝐴0 = (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴∞ ) √ 𝜋𝐴𝑚
𝑡(16.1-10)得られた式 (16.1-10) は，もし露出時間（気相との接触時間）𝑡 を 𝑧⁄𝑉 （z まで速度𝑉 で流下する時間）で置き換えるならば，式 (6.7-10) と等価であることに注意すべきである．
吸収速度の全露出時間 𝑡 にわたる平均値は式 (16.1-9) を使って，次式になる：
𝑡𝑡1

exp (− 𝑘1 𝑡)1√𝜋 𝑘1 𝑡𝑊𝐴 = ∫0 𝑁𝐴 𝑑𝑡⁄∫0 𝑑𝑡 = (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴∞ ) √𝐷𝐴𝑚 𝑘1 [(1 + 2 𝑘 𝑡) erf (𝑘1 𝑡)1⁄2 +](16.1-11)

これに対応する時間平均の物質移動係数 𝑘𝐿 は次式となる：
1

exp (− 𝑘1 𝑡)1√𝜋 𝑘1 𝑡𝑘𝐿 = √𝐷𝐴𝑚 𝑘1 [(1 + 2 𝑘 𝑡) erf (𝑘1 𝑡)1⁄2 +](16.1-12)

物理吸収の場合の物質移動係数 𝑘𝐿0 は式 (16.1-10) の平均をとって，
4𝐷

𝑘𝐿0 = √ 𝜋 𝐴𝑚
𝑡(16.1-13)反応を伴う場合と反応のない場合の物質移動速度の比 𝛽 （反応係数と言う）を導入すると
𝜋𝑘 𝑡

1

exp (− 𝑘1 𝑡)1√𝜋 𝑘1 𝑡𝛽 = √ 41 [(1 + 2 𝑘 𝑡) erf (𝑘1 𝑡)1⁄2 +](16.1-14)

𝑘1 𝑡 の値が小さい場合は
𝛽 =1+

𝑘1 𝑡

−
3

(𝑘1 𝑡)230+ −−−(16.1-15)

反応係数（reaction factor）は純粋に物理吸収 の場合 (𝛽 = 1) からのずれを意味する．

201

均相化学反応を伴う拡散

𝑘1 𝑡 の値が大きい場合は𝜋

𝛽 = √ 4 [√𝑘1𝑡 + 2

1
√𝑘1 𝑡

− − − −]

(16.1-16)

もし露出時間と反応速度定数が与えられたならば，反応係数は計算できる．この浸透理論で計算された反応係数は他の理論（境膜理論，表面更新理論など）で計算された反応係数ともよく一致する．
16.1-2 １次反応を伴うガス吸収
図 16.1-2 に示す充填塔ガス吸収装置について考えよう．この装置内では，気相からのガス A が溶解して後，液相の連続的な液混合物の流れの中を拡散している際に１次化学反応が進行している．
充填層内の微分コントロールボリューム 𝑆 𝑑𝑧 に対して物質収支をとると
𝑘𝐿 𝑎 (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴𝐿 )𝑆 𝑑𝑧 + (𝐶𝐴𝐿 |𝑧 − 𝐶𝐴𝐿 |𝑧+𝑑𝑧 )𝐿𝑀 𝑆⁄𝜌𝑀 − 𝑘1 𝐶𝐴𝐿 𝑆 𝑑𝑧 𝜀 = 0
整理して
𝐿 𝑑𝐶
𝑘𝐿 𝑎 (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴𝐿 ) = 𝜌𝑀 𝑑𝑧𝐴𝐿 + 𝜀 𝑘1 𝐶𝐴𝐿
𝑀(16.1-17)(16.1-18)

ここに 𝑘𝐿 は反応を伴った液相の物質移動係数， 𝜌𝑀 は全モル密度， 𝜀 は充填層の液の体積分率である．
塔全体の移動単位数 𝑁𝐿 = 𝑍𝑇 𝜌𝑀 𝑘𝐿° 𝑎⁄𝐿𝑀 と層高さ z までの移動単位数 𝑛𝐿 = 𝑧 𝜌𝑀 𝑘𝐿° 𝑎⁄𝐿𝑀 aが，純粋に物理吸収の場合の液相の物質移動係数 𝑘𝐿° を使って導入される．

図 16.1-2. 1 次均相化学反応を伴う充填塔ガス吸収装置

滞留時間（全ホールドアップ時間）は次のように計算される
𝜃 = 𝜀 𝑆 𝑍𝑇 𝜌𝑀 ⁄𝐿𝑀 𝑆 = 𝜀 𝑍𝑇 𝜌𝑀 ⁄𝐿𝑀
したがって上の方程式は次式になる：
𝑑 𝐶𝐴𝐿
𝑑𝑧

+

𝑘𝐿 𝜌𝑀
𝐿𝑀

𝑘

𝜌

(𝑎 + 𝑘1 𝜀) 𝐶𝐴𝐿 = 𝑘𝐿 𝑎 𝐶𝐴𝑖 𝐿𝑀
𝐿

𝑀(16.1-19)(16.1-20)

移動単位数 𝑛𝐿 と露出時間 𝜃 を使って
𝑑 𝐶𝐴𝐿
𝑑𝑛𝐿

𝑘

+ (𝛽 + 𝑁1 𝜃) 𝐶𝐴𝐿 = 𝛽 𝐶𝐴𝑖
𝐿(16.1-21)

202

化学反応を伴う物質移動

境界条件は
𝐶𝐴𝐿 = 0 at 𝑧 = 0
𝐶𝐴𝐿 について解いた下式は成分 A の液本体濃度の鉛直方向の分布を示す：
𝛽 𝑁𝐿
𝐶𝐴𝐿 = 𝐶𝐴𝑖 () {1 − exp[− (𝑘1 𝜃 + 𝛽 𝑁𝐿 )(𝑛𝐿 ⁄𝑁𝐿 )]}𝑘1 𝜃+ 𝛽 𝑁𝐿

(16.1-22)

したがって，単位断面積当たりの全吸収速度は次のように計算できる：
𝑍
𝑁
𝐿
𝑁𝐴𝑇 = ∫0 𝑇 𝑘𝐿 𝑎(𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴𝐿 ) 𝑑𝑧 = 𝛽 𝜌𝑀 ∫0 𝐿 (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴𝐿 ) 𝑑𝑛𝐿
𝐿𝑀

𝛽 𝑁𝐿

𝑀

𝐿

𝑀

𝛽 𝑁𝐿

= 𝐶𝐴𝑖 𝜌 (𝛽 𝑁 + 𝑘 𝜃) {𝑘1 𝜃 + 𝛽 𝑁 + 𝑘 𝜃 [1 − exp(− (𝛽 𝑁𝐿 + 𝑘1 𝜃))]}1

𝐿

1(16.1-23)

もし反応係数 𝛽 と全ホールドアップ時間（滞留時間）𝜃 が与えられたならば，全吸収速度 𝑁𝐴𝑇 は物理吸収のデータを使って計算できることになる．しかしながら，境膜理論における境膜厚さに関する限り，露出時間は評価することは一般に困難である．
実際の工学的な設計問題では，次式がよく使われる：
𝑁𝐴 = 𝐾𝐺 (𝑝𝐴 − 𝑝𝐴∗`) = 𝑘𝐺 (𝑝𝐴 − 𝑝𝐴𝑖 ) = 𝛽 𝑘𝐿° (𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴𝐿 )(16.1-24)
そして二重境膜理論による物質移動抵抗の式は
1
1𝐻= 𝑘 + 𝛽 𝑘°
(16.1-25)
𝐾
𝐺

𝐺

𝐿

ここで 𝐻 は純粋に物理的平衡の場合のヘンリー定数（Henry’s constant）であり， 𝑝𝐴∗` は反応していないガス A の液相本体濃度であるが，ヘンリーの法則を使って，気相の濃度単位（ここでは分圧）に変換したものである．すなわち, 𝑝𝐴∗` = 𝐻 𝐶𝐴𝐿 ．

16.2 ２分子瞬間反応を伴うガス吸収
工業的に重要な吸収プロセスは次のような２分子反応を伴っている場合が多い．
A + ν B → products
不可逆反応，例えば SO2 + 2 NaOH → Na2 SO3 + H2 O が液相に溶解した反応ガス A と液相中に元々含まれている不揮発性反応成分 B の間で進行しているとしよう．
２分子反応を伴う液相での拡散の問題は幾らかのシンプルなケースを除けば，まだ解析的には解けていない． 極端なケースの一つが，反応速度が非常に大きくて，A と B が瞬間的に非常に厚さが薄いゾーンで完全に反応し，そのゾーン（反応面と呼ぶ）が時間とともに移動する場合である．最初，気液界面にあった反応面が，下図のように，現在，界面から 𝑧𝑟 (𝑡) の位置に来ている場合を考えよう．
図 16.2-1 のように，反応速度 𝑟 = 𝑘2 𝐶𝐴 𝐶𝐵 反応面の位置以外では，どこでも 0 である．
気液界面と移動する反応面との間の領域（0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑟 (𝑡)）での A の濃度は，反応はない
が，時間変化を考慮する 𝐶𝐴 に関する拡散方程式を解くことによって求められる．B についても同様で，移動する反応面から右側の半無限の液相の領域（𝑧𝑟 (𝑡) ≤ 𝑧 ≤ ∞）での，反応はないが，時間変化を考慮する 𝐶𝐵 に関する拡散方程式を解くことになる．だから浸透理論をまた使うことになる．

203

２分子瞬間反応を伴うガス吸収

図 16.2-1. ２分子瞬間反応を伴うガス吸収の濃度分布の模式図

解くべき微分方程式は次の２式である：
𝜕 𝐶𝐴

𝜕 2 𝐶𝐴𝜕 𝐶𝐵

𝜕𝑧 2
𝜕 2 𝐶𝐵

= 𝐷𝐴𝑤
𝜕𝑡
𝜕𝑡

= 𝐷𝐵𝑤

𝜕𝑧 2

𝐶𝐵 = 0 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑟 (𝑡)(16.2-1)

𝐶𝐴 = 0(16.2-2)

𝑧𝑟 (𝑡) ≤ 𝑧 ≤ ∞ここで 𝐷𝐴𝑤 ， 𝐷𝐵𝑤 は溶液中での A ，B の拡散係数である．上の方程式には何も反応に関する項は入っていないことに注意しよう．
上の二つの方程式の一般解は 次のような 関数形になると考えられる：𝐶𝐴𝑧= 𝐾1 + 𝐾2 erf 2 𝐷 𝑡 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑟 (𝑡)(16.2-3)
𝐶
√ 𝐴𝑤
𝑧

𝐴𝑖

𝐶𝐵
𝐶𝐵∞

= 𝐾3 + 𝐾4 erf 2 𝐷

𝑧𝑟 (𝑡) ≤ 𝑧 ≤ ∞√ 𝐵𝑤 𝑡反応面では，A ，B は瞬間的に反応するから
𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 = 0 at 𝑧 = 𝑧𝑟 (𝑡)完全微分の公理から
𝜕𝐶

𝜕𝐶

𝑑𝐶𝐴 = ( 𝜕𝑧𝐴 ) 𝑑𝑧𝑟 + ( 𝜕𝑡𝐴 ) 𝑑𝑡 = 0
𝑟

𝑧𝑟

𝑡

(16.2-4)(16.2-5)(16.2-6)

この式から
𝑑𝑧𝑟
𝑑𝑡

𝜕𝐶

𝜕𝐶

= − ( 𝜕𝑡𝐴 ) ⁄( 𝜕𝑧𝐴 )𝑧𝑟𝑟(16.2-7)𝑡

式 (16.2-3) を微分して
(

𝜕𝐶𝐴
2
1
𝑧𝑟 2
𝑧𝑟
) = 𝐾2 𝐶𝐴𝑖(−) exp (−)
𝜕𝑡 𝑧𝑟
2𝑡
4 𝐷𝐴𝑤 𝑡 2 √𝐷𝐴𝑤 𝑡
√𝜋
𝜕𝐶𝐴
2 1
𝑧𝑟 2
𝑧𝑟
(
) = 𝐾2 𝐶𝐴𝑖( ) exp (−)
𝜕𝑧𝑟 𝑡
4 𝐷𝐴𝑤 𝑡 2 √𝐷𝐴𝑤 𝑡√𝜋 𝑧𝑟

これらの関係を式 (16.2-7) に代入して𝑧= 2 𝑟𝑡𝑑𝑡𝑑𝑧𝑟

この式が反応面の移動の速さを求める方程式である．積分すると𝑧𝑟 (𝑡) = √4 𝛼 𝑡
反応面の位置は時間の平方根で移動することが分かる．

(16.2-8)(16.2-9)204

化学反応を伴う物質移動

ここで √4 𝛼 は任意に選んだ積分定数である．また５個の積分定数 𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 , 𝐾4 , 𝛼 は次の５つの初期，境界条件によって評価することができる．
I.C. or B.C.1 at 𝑡 = 0 𝐶𝐵 = 𝐶𝐵∞ 0 ≤ 𝑧 ≤ ∞orat 𝑧 = ∞ 𝐶𝐵 = 𝐶𝐵∞ 𝑡 > 0
B.C.2
at 𝑧 = 0 𝐶𝐴 = 𝐶𝐴𝑖
B.C.3
at 𝑧 = 𝑧𝑟 𝐶𝐴 = 0(16.2-10)
B.C.4
at 𝑧 = 𝑧𝑟 𝐶𝐵 = 0
𝜕𝐶
𝜕𝐶
B.C.5
at 𝑧 = 𝑧𝑟 − 𝜈 𝐷𝐴𝑤 𝜕𝑧𝐴 = 𝐷𝐵𝑤 𝜕𝑧𝐵
最後の境界条件は「１モルの A が 𝜈 モルの B と反応する」化学量論的要件から来ている．
積分定数は次のように決めて行くことができる．
境界条件２（B.C.2）から 𝐾1 = 1
1

境界条件３（B.C.3）から 𝐾2 = −erf𝑧𝑟
2 √𝐷𝐴𝑤𝑡

= −

1

erf √

𝛼
𝐷𝐴𝑤

境界条件１（B.C.1）から 𝐾3 = 1 − 𝐾4
𝛼

境界条件４（B.C.4）から

0 = (1 − 𝐾4 ) + 𝐾4 erf √𝐷

𝐵𝑤

この式から 𝐾4 =
したがって

1
𝛼
𝐷𝐵𝑤

1−erf √

1

𝐾3 = 1 −𝛼𝐷𝐵𝑤

1−erf √

境界条件５のために
𝜕𝐶𝐴

|

𝜕𝑧 𝑧𝑟
𝜕𝐶𝐵

|

𝜕𝑧 𝑧𝑟

= −
=

1
erf √

𝐷𝐴𝑤

1
1−erf √

𝐶𝐴𝑖

𝛼

𝛼

𝐶𝐵∞

𝐷𝐵𝑤

2
√𝜋
2
√𝜋

𝑧𝑟 2

exp (−

4 𝐷𝐴𝑤 𝑡𝑧𝑟 2

exp (−

4 𝐷𝐵𝑤 𝑡))1

(16.2-11)

2 √𝐷𝐴𝑤 𝑡
1(16.2-12)

2 √𝐷𝐵𝑤 𝑡

これらの式と式 (16.2-9)との関係を境界条件５（B.C.5）に代入して
𝛼

𝛼

𝐵𝑤

𝐵𝑤

exp (𝐷 ) [1 − erf √𝐷] = exp (

𝛼

𝛼

𝐷𝐴𝑤

) erf √𝐷

𝐴𝑤

𝐷𝐵𝑤

𝐶𝐵

𝐴𝑤

𝜈 𝐶𝐴𝑖

√𝐷

積分定数 𝛼 を決めるためには，上の式を試行法で解かなければならない．
A と B の濃度分布は次のように与えられる．
𝐶𝐴
1
𝑧
= 1−
erf 2 𝐷 𝑡 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑟 (𝑡)
𝛼
𝐶
𝐴𝑖

𝐶𝐵
𝐶𝐵∞

√ 𝐴𝑤

erf √

𝐷𝐴𝑤

= 1−

erf

1

+

𝛼
𝐷𝐵𝑤

1−erf √𝑧
2 √𝐷𝐵𝑤 𝑡𝛼𝐷𝐵𝑤

1− erf √𝑧𝑟 (𝑡) ≤ 𝑧 ≤ ∞(16.2-13)(16.2-14)(16.2-15)

したがって，吸収速度は次式のように計算される：
𝜕𝐶

𝑁𝐴 |𝑧=0 = − 𝐷𝐴𝑤 𝜕𝑧𝐴 |

𝑧=0

=

1

𝐷

𝛼

erf √

𝐴𝑤
√ 𝜋𝑡
𝐶𝐴𝑖

(16.2-16)𝐷𝐴𝑤

全露出時間 𝑡 にわたっての平均の吸収速度は𝑡𝑡

𝑊𝐴 = ∫0 𝑁𝐴 |𝑧=0 𝑑𝑡⁄∫0 𝑑𝑡 =

1
erf √

4𝐷

𝛼

√ 𝜋𝑡𝐴𝑤 𝐶𝐴𝑖(16.2-17)

𝐷𝐴𝑤

𝐶𝐴𝑖 の前にある係数が２分子反応を伴った場合の物質移動係数を意味している．すなわち

205

２分子瞬間反応を伴うガス吸収

4𝐷

𝛼𝑘𝐿 = √ 𝜋𝑡𝐴𝑤⁄erf √𝐷(16.2-18)

𝐴𝑤

物理吸収の結果である式 (16.1-13)と比較すると，反応係数は次式となる：
1
𝛽=
𝛼
erf √

(16.2-19)

𝐷𝐴𝑤

ここからは， 𝛼 が 𝐷𝐴𝑤 , 𝐷𝐵𝑤 と比べて十分に小さい場合について，反応係数がどのような既知の変数の関数として得られるかを考えよう．このような状況は，𝐶𝐵∞ が 𝐶𝐴𝑖 に比べて十分に大きい時に得られることを後で示す．
𝛼 が小さい場合：
𝛼
𝛼
1 𝛼 2
exp (
+ (
)= 1+
) + −−−−−𝐷𝐴𝑤
𝐷𝐴𝑤 2 𝐷𝐴𝑤
erf √

𝛼
𝐷𝐴𝑤

2

=

[(

√𝜋

𝛼
𝐷𝐴𝑤

)

1⁄2

1 − erf √

−

1
3

(

𝛼
𝐷𝐴𝑤

)

3⁄2

+

1
10

(

𝛼

𝐷𝐴𝑤

)

5⁄2

− − − −]𝛼2
𝛼 1⁄2 1 𝛼 3⁄2
1
𝛼 5⁄2
=1−
[(
) − (
) +
(
) − − − −]
𝐷𝐵𝑤
3 𝐷𝐵𝑤
10 𝐷𝐵𝑤√𝜋 𝐷𝐵𝑤

これらの関係式を式 (16.2-13)に代入して[1 −𝛼 1⁄2 1 𝛼 3⁄2
1
𝛼 5⁄2
[(
) − (
) +
(
) − − − −]]3 𝐷𝐵𝑤
10 𝐷𝐵𝑤√𝜋 𝐷𝐵𝑤
𝛼1 𝛼 2
2
𝛼 1⁄2 1 𝛼 3⁄21
𝛼 5⁄2= [1 ++ ([() + − − −]
) − (
) +
(
) − −
𝐷𝐴𝑤 2 𝐷𝐴𝑤
3 𝐷𝐴𝑤
10 𝐷𝐴𝑤√𝜋 𝐷𝐴𝑤2− −] √

𝐷𝐵𝑤 𝐶𝐵∞
𝛼
1 𝛼 2
[1 +
+ (
) + − − −]𝐷𝐴𝑤 𝜈 𝐶𝐴𝑖
𝐷𝐵𝑤 2 𝐷𝐵𝑤

𝛼 ≪ 𝐷𝐴𝑤 , 𝐷𝐵𝑤 の場合，上の式は近似できて，整理すると次のようになる：
2𝛼2𝛼𝐷𝐵𝑤 𝐶𝐵∞
√
≅
√
√
𝐷
𝐷
√𝜋
√𝜋
𝐵𝑤
𝐴𝑤 𝐷𝐴𝑤 𝜈 𝐶𝐴𝑖1−

この式は𝛼 について解くことができる：
𝜋1

𝛼= 4 [ 𝐷

√ 𝐵𝑤

+

1
√𝐷𝐴𝑤

𝐷𝐵𝑤 𝐶𝐵∞

√𝐷

𝐴𝑤

𝜈 𝐶𝐴𝑖

−2

]

（ 𝛼 が小さい場合）(16.2-20)

この式は，𝐶𝐵∞ が𝐶𝐴𝑖 に比して十分に大きい時には， 𝛼 は小さくなることを暗示している．
だから 𝐶𝐵∞ が大きくなればなるほど，反応面は界面により近い所に留まる． このことは気相から吸収した反応ガス A が界面近くの溶液中の反応物質 B の濃度が大きいので，この B によって消費されてしまい，なかなか A が液相内部に浸透しないことを意味している．
𝛼 が小さい場合，反応係数は次のように近似することができる：

𝛽=

1
erf √

𝛼
𝐷𝐴𝑤

≅

1

(16.2-21)2𝛼√√𝜋 𝐷𝐴𝑤

式 (16.2-20) を上式に代入して
𝐷

𝐷

𝐷𝐵𝑤

𝐷𝐴𝑤 𝜈 𝐶𝐴𝑖

β = √ 𝐴𝑤 + √ 𝐵𝑤

𝐶𝐵∞

（𝐶𝐵∞ が大きい場合）

拡散係数が等しい 𝐷𝐴𝑤 ≅ 𝐷𝐵𝑤 の場合は𝐶
β = 1 + 𝐵∞
（ 𝐶𝐵∞ が大きく，かつ 𝐷𝐴𝑤 ≅ 𝐷𝐵𝑤 の場合）
𝜈 𝐶𝐴𝑖

(16.2-22)(16.2-23)

純粋に物理吸収の場合や１次反応の場合に得られた結果と違って，２次反応を伴う吸収
速度は吸収されようとする物質の濃度に比例しない．気相における A の濃度が低いせい206

化学反応を伴う物質移動

で，それと平衡となる界面濃度 𝐶𝐴𝑖 が非常に小さい時であっても，吸収速度 は𝐶𝐵 の効果のせいで大きくなる可能性があることを知っておくべきである．
式 (16.2-22) によると，得られた反応係数は拡散係数 𝐷𝐴𝑤 , 𝐷𝐵𝑤 , 液相本体の濃度 𝐶𝐵 と界面の濃度 𝐶𝐴𝑖 のみの関数である．この結果は，𝛼 が装置の幾何学的構造の条件や流れの条
件の関数ではないので，どのようなタイプの吸収装置にも適用できるのである．
今まで全産業的に化石燃料の使用に頼っていたために，大量の CO2 ガス排出によるグ
ローバルな気候変動に関しては，多くの化学会社や電力会社が CO2 捕捉のためにアミン系水溶液を使って反応ガス吸収の技術開発にチャレンジしてきたが，その一つの可能な反応系として，下記の CO2 とモノエタノールアミンの反応が考えられる：
2 RNH2 + CO2 ↔ RNHCOO− + RNH3+
これは吸熱性２分子反応であるが，かなり難しいメカニズムであるため，ここでは取り扱
わないことにする．

16.3 充填式吸収塔の設計
次の例題を使って，反応を伴うガス吸収の充填塔の実際的な設計について学ぼう．
[ 例 題 16.2-1] 空気中から SO2 を吸収除去するために，NaOH 水溶液を使って，不規則充填物である 1-in. セラミック製ラシッヒリング（Raschig rings）を充填した充填層吸収塔（内径： 0.5 m）を設計しよう．この反応吸収は 25℃(= 298 K) ，1 atm (= 1.013
× 105 Pa)の等温で 行われ，10 mol% の SO2 を含む空気流が塔底から流量 40 kmol/m2hの割合で供給される．吸収液の 2 M-NaOH (=7.4 wt% = 3.47 mol%) 水溶液は塔頂から
流量 400 kmol/m2h の割合で供給される．空気流から 95% の SO2 を除去するためにお要求される充填層高さを求めよ．
[ 解 ](1) 第１ステップ：先ず物理吸収の場合の物質移動係数 𝑘𝐺 , 𝑘𝐿° を計算する(a) 気相物質移動係数 𝑘𝐺 :空気中の SO2 の濃度が低いので，空気流の粘度，密度は空気のもので近似する：
𝜇𝐺 = 1.85 × 10−5 kg/m s, 𝜌𝐺 = 1.19 kg/m3.
空気中の SO2 の拡散係数は Hirschfelder et al. の式より 𝐷𝐴𝑔 = 1.27 × 10−5 m2/s.
シュミット数は𝜇
𝑆𝑐𝐺 = 𝜌 𝐷𝐺 = 1.22
𝐺 𝐴𝑔

質量速度は
𝐺 = (40 kmol⁄m2 h)[(0.90)(29) + (1 − 0.90)(64)] kg⁄kmol = 1,300 kg⁄m2 h
L = (400 kmol⁄m2 h)[(0.965)(18) + (0.0347)(40)] kg⁄kmol = 7,500 kg⁄m2 h
気相物質移動係数上の質量速度を使って，式 (10.4-6) から 𝑘𝐺 を求めることができる：
𝜇2⁄ 3

𝐻𝐺 = 𝑐 𝐺 𝑝 𝐿𝑞 (𝜌 𝐷𝐺 )𝐺 𝐺

(16.3-1)

1-in. ラシッヒリングの場合， 𝑝 = 0.32, 𝑞 = −0.51, 𝑐 = 3.07. したがって，
𝐻𝐺 = (3.07)(1300)0.32 (7500)−0.51(1.22)2⁄3 = 0.365 m
表 10.4-2 から 𝐷𝑝 = 0.0254 m, 𝑎𝑡 = 190 m2 ⁄m3 .
25℃ における水の表面張力は
𝜎 = 72.0 dyne⁄cm = 0.072 N⁄m.

207

充填式吸収塔の設計

有効界面面積 𝑎 は式 (10.4-5) によって次のように与えられる：
𝑎 = 0.0406 (7500)0.455(72.0)−0.83(2.54)−0.48 = 46.2 m2 ⁄m3
𝐻𝐺 の定義： 𝐻𝐺 = 𝐺𝑀 ⁄𝑘𝑦 𝑎 から， 𝐺𝑀 = 𝐺𝑀1と仮定して(16.3-2)(40 kmol⁄m2h)𝐺

𝑘𝑦 = 𝐻 𝑀𝑎 = (0.365 m)(46.2 m2⁄m3 ) = 2.37 kmol⁄m2 h
𝐺

したがって𝑘𝐺 = 𝑘𝑦∗ ⁄𝑝𝐵 = 𝑦𝐵 𝑘𝑦 ⁄𝑝𝐵 = 𝑘𝑦 ⁄𝑃 = 2.37 kmol⁄m2 h atm(16.3-3)°(a) 液相物質移動係数 𝑘𝐿 :25℃ における水の粘度と密度は
𝜇𝐿 = 0.895 cP = 0.895 × 10−3 kg⁄m s, 𝜌𝐿 = 997 kg⁄m3 .
水の中での SO2 の拡散係数は 𝐷𝐴𝑤 = 1.85 × 10−9 m2 ⁄s.
シュミット数は0.895 × 10−3
𝑆𝑐𝐿 =
= 485
(997)(1.85 × 10−9 )𝐿 = 7500⁄3600 = 2.083 kg⁄m2 s ．式(10.4-1) を使って，1-in. ラシッヒリング(𝛼 = 430, 𝑛 = 0.22) の場合の物理吸収の 𝑘𝐿° を計算する
𝐻𝐿 =

1
430

(

2.083
0.895 × 10

0.22

−3 )

(485)0.5 = 0.282 m

𝐻𝐿 の定義： 𝐻𝐿 = 𝐿𝑀 ⁄𝑘𝑥 𝑎 から， 𝐿𝑀 = 𝐿𝑀2 を仮定して𝐿𝑀
400 kmol⁄m2 h
𝑘𝑥 === 30.7 kmol⁄m2 h
𝐻𝐿 𝑎(0.282 𝑚)(46.2 m2 ⁄m3 )したがって
𝑘𝐿 = 𝑘𝑥∗ ⁄𝐶𝐵 = 𝑥𝐵 𝑘𝑥 ⁄𝐶𝐵 = 𝑘𝑥 ⁄𝑐 = (18 m3⁄1000 kmol)(30.7 kmol⁄m2 h) = 0.553 m⁄h(16.3-4)(2) 第２ステップ： SO2 – 電解質水溶液系の平衡関係
厳密に言うと，SO2 – 水系はヘンリ―の法則（Henry’s law）に従わない．しかし，簡単のために，非常に低い蒸気圧 (0_ ≤ 𝑝𝐴 ≤ 0.1) の領域では，平衡曲線は線形関係したがってヘンリ―の法則によって近似できる：
𝑝𝐴 = 0.54 𝐶𝐴(16.3-5)
ここにヘンリー定数は 𝐻𝑤 = 0.54 atm m3 /kmol.
表 16.3-1
SO2 –水系の平衡関係
𝑝𝐴 atm
𝐶𝐴 kmol⁄m3
0.793
1.17
0.519
0.783
0.248
0.391
0.143
0.243
0.09080.156
0.05990.109
0.04080.07790.02230.04690.01340.03120.009170.02350.005200.01560.00191
0.007830.000724
0.00312

208

化学反応を伴う物質移動

図 16.3-1.

平衡曲線の近似曲線

一般に，ガスの溶解度は電解質溶液のイオンの存在で減少する． van Krevelen andHoftijzer1,2) によると， そのような溶液の場合のヘンリー定数は次の経験式と関係づけられる．
𝐻
log 𝐻𝑤 = − ∑𝑗 ℎ𝑗 𝐼𝑗(16.3-6)
ここで 𝐼𝑗 はイオン強度，そして ℎ𝑗 = ℎ+ + ℎ− + ℎ𝐺 は経験定数
イオン強度は次式によって計算できる：
1
𝐼 = 2 ∑𝑖 𝑧𝑖 2 𝐶𝑖

(16.3-6)

ここで 𝑧𝑖 はモル濃度 𝐶𝑖 を持つイオンの正または負の電荷の価数
1.
2.
3.

Van Krevelen, D. W. and P.J. Hoftijzer: Rec. Trav. Chim., vol.67, 563 (1943)
Van Krevelen, D. W. and P.J. Hoftijzer: Chim. Ind. XXI Congr. Int., Chim. Ind., p.168 (1948)
Sherwood, T. K., R. L. Pigford, and C.R. Wilke: “Mass Transfer,” p. McGraw-Hill, New York (1975)

定数 ℎ の値を表 16.3-2 に挙げておく．
表 16.3-2
cations
𝐻+
𝑁𝑎+
𝐾+
𝑁𝐻4+
𝑀𝑔++
𝐶𝑎++

式 (16.3-6) の定数ℎ+ m3 ⁄kg − ion anions
0.0
𝑂𝐻−
0.091
𝐶𝑙−
0.074
𝑆𝑂4 −−
0.028
𝐶𝑂3 −−
0.051
𝐵𝑟 −
0.053
𝑆𝑂3 −−ℎ− m3 ⁄kg − ion
0.066
0.021
0.022
0.021
0.012
0.001

gas
𝐻2
𝑂2
𝐶𝑂2
𝑁𝐻3
𝑆𝑂2
𝐻2 𝑆

ℎ𝐺 m3 ⁄kmol-0.0020.022-0.019-0.054-0.103-0.033上の ℎ𝐺 の値は lues were picked up from the data taken at 25℃ で採られたデータから拾ったものである．
1.

Danckwerts, P.V.: “Gas‒Liquid Reaction,” p.19, McGraw‒Hill, Nerw York (1970)(a) 塔 頂：NaOH の場合
𝐶1 = 2 kg − ion Na+ /m3
𝐶2 = 2 kg − ion OH −/m3

𝑧1 = 1𝑧2 = 1

209

充填式吸収塔の設計
1

𝐼 = 2 ((2)(1)2 + (2)(1)2 ) = 2
表 16.2-2 からℎ = ℎ𝐺 + ℎ+ + ℎ− = −0.103 + 0.091 + 0.066 = 0.054
log 𝐻 = − ∑𝑗 ℎ𝑗 𝐼𝑗 = −(0.054)(2) = −0.108
𝐻𝑤(16.3-7)

したがって，電解質溶液のヘンリー定数は次のように計算される
𝐻𝑤= 0.78 → 𝐻 = 𝐻𝑊 /0.78 = 0.54/0.78 = 0.69 atm m3/kmol
𝐻

塔頂での NaOH のモル流速 = (400)(0.0347) = 13.88 kmol/m2h
空気流から SO2 を除去する速度 = (40)(0.10)(0.95) = 3.8 kmol/m2h
塔頂での SO2 のモル流速 = (40)(0.10)(1 – 0.95) = 0.2 kmol/m2h
反応により NaOH のモル消費速度 = (2)(3.8) = 7.6 kmol/m2h(b) 塔 底：NaOH のモル流速 = 13.88 – 7.6 = 6.28 kmol/m2h
NaOH の濃度 ≅ 6.28⁄400 = 0.0157 (mole fraction)
1000 0.0157
𝐶𝑁𝑎𝑂𝐻 ≅ 18 1−0.0157 = 0.89 kmol/m3
Na2SO3 のモル流速 = 3.8 kmol/m2h
Na2SO3 の濃度 ≅ 3.8⁄400 = 0.0095 (mole fraction)
1000 0.0095
𝐶𝑁𝑎2 𝑆𝑂3 ≅ 18 1−0.0095 = 0.53 kmol/m3

NaOH に関して ℎ = −0.103 + 0.091 + 0.066 = 0.054
𝐼 = (1⁄2)((0.89)(1)2 + (0.89)(1)2 ) = 0.89
Na2SO3 に関して ℎ = −0.103 + 0.091 + 0.001 = − 0.011
𝐼 = (1⁄2)((0.53)(2)2 + (0.53 × 2)(1)2 ) = 1.59
したがって𝐻
log 𝐻𝑤 = − ((0.054)(0.89) + (−0.011)(1.59)) = −0.0306(16.3-8)

塔頂と塔底の間で平均をとって
𝐻𝑤
0.108 + 0.0306
log= −= −0.0693
𝐻2
塔全体にわたって平均されたヘンリー定数は次のようになる：
𝐻𝑤= 0.852 → 𝐻 = 𝐻𝑊 /0.78 = 0.54/0.852 = 0.634 atm m3/kmol
𝐻(16.3-9)(3) 第３ステップ： 吸収速度𝐷

𝐷𝐶

] 𝑘𝐿° 𝐶𝐴𝑖
𝑁𝐴 = 𝑘𝐺 (𝑝𝐴 − 𝑝𝐴𝑖 ) = 𝛽 𝑘𝐿° 𝐶𝐴𝑖 = [ √𝐷𝐴𝑤 + √𝐷𝐵𝑤 𝜈 𝐵∞
𝐶
𝐵𝑤

𝐴𝑤

𝐷

𝐴𝑖

𝐷

= 𝑘𝐿° [ √𝐷𝐴𝑤 𝐶𝐴𝑖 + √𝐷𝐵𝑤
𝐵𝑤

𝐴𝑤

𝐶𝐵∞
𝜈

]

(16.3-10)

水中での NaOH の拡散係数は文献より 𝐷𝐵𝑤 = 1.25 10−9 m2 ⁄s (at 25℃). 液相拡散
係数 𝐷𝐴𝑤 , 𝐷𝐵𝑤 に対する Na2 SO3 の影響は低濃度なので無視できるほど小さいと仮定できる．
今のケースでは 𝐷𝐴𝑤 ≅ 𝐷𝐵𝑤 と仮定できるから
𝐶𝐵∞)
𝑁𝐴 = 𝑘𝐺 (𝑝𝐴 − 𝑝𝐴𝑖 ) = 𝑘𝐿° (𝐶𝐴𝑖 +𝜈𝑝 −𝑝
𝐻 𝐶𝐴𝑖 +𝐻 𝐶𝐵∞ /𝜈
𝑝 +𝐻 𝐶 /𝜈
= 𝐴 1 𝐴𝑖 == 𝐴 1 𝐵∞
(16.3-11)
𝐻
𝐻
𝑘𝐺

𝑘°𝐿

𝑘𝐺

+ °
𝑘

𝐿

210

化学反応を伴う物質移動(4) 第４ステップ： 総括物質移動係数 𝐾𝐺
1
1
𝐻
1
0.66
=
+
=
+
= 1.62
°
𝐾
𝑘
𝑘
2.37
0.553
𝐺

𝐺

𝐿

𝐾𝐺 = 0.62 kmol⁄m2 h atm(5) 第５ステップ： 物質収支
高さ𝑧 = 0 から 𝑧 までの充填層の物質収支をとると次の操作線式が得られる：
2 × (molar rate of SO2 absorbed) = ( molar rate of NaOH consumed)
𝑝
𝑝
′
𝜈 𝐺𝑀
( 𝐴 − 𝐴2 ) = 𝐿𝑀2 𝑥𝐵2 − 𝐿𝑀 (𝐶𝐵∞ ⁄𝑐 )(16.3-12)
1− 𝑝𝐴

1− 𝑝𝐴2

ここで 𝑐 は溶液のモル密度 kg/m3 である．
イオンの濃度は非常に小さいので，モル流速 𝐿𝑀 とモル密度 𝑐 は充填層全高さにわたって，一定と考えることができる．
𝑐 ≅

1000
+ 2 = 57.6 kmol⁄m3 at the top
181000+ 0.89 + 0.53 + 0.53 = 57.5 kmol⁄m3 at the bottom
18
𝐿𝑀 ≅ 𝐿𝑀2 = 400 kmol⁄m2 h
微分コントロールボリューム 𝑑𝑧 で物質収支をとると
𝑐 ≅

𝑝

𝑑𝑝

𝐴
′
′
𝜈 𝐺𝑀
𝑑 (1− 𝐴𝑝 ) = 𝜈 𝐺𝑀
= 𝐾𝐺 𝑎 𝑑𝑧 (𝑝𝐴 +(1− 𝑝 )2
𝐴

𝐴

𝐻 𝐶𝐵∞
𝜈

)

(16.3-13)

充填層高さは次式で与えられる：𝜈 𝐺′

𝑝

𝑍𝑇 = 𝐾 𝑎𝑀 ∫𝑝 𝐴1𝐴2 (𝑝𝐴 +

𝐺

𝑑𝑝𝐴
𝐻 𝐶𝐵∞
)(1− 𝑝𝐴 )2
𝜈(16.3-14)
𝜈 𝐺′

塔頂から塔底までの充填層で平均された移動単位高さ HTU = 𝐾 𝑎𝑀 を使って
𝐺

𝑍𝑇 =

′
𝜈 𝐺𝑀

𝑝𝐴1
𝑑𝑝𝐴
∫
𝐾𝐺 𝑎 𝑝𝐴2 (𝑝𝐴 + 𝐻 𝐶𝐵∞ )(1− 𝑝𝐴 )(16.3-15)𝜈反応は次の不可逆２分子反応の形を持つ：
SO2 + 2 NaOH → Na2 SO3 + H2 Oだから 𝜈 = 2
イオンの影響を考慮した修正ヘンリー定数は 𝐻 = 0.66 atm m3 /kmol
そして総括物質移動係数は 𝐾𝐺 = 0.62 kmol⁄m2 h atm と求まっている．
モル質量速度は平均して𝐺𝑀 = (𝐺𝑀1 + 𝐺𝑀2 )⁄2 = (40 + 36.2)⁄2 = 38.1 kmol⁄m2 h
先ず，SO2 の分圧に対応している塔液本体の NaOH の濃度が操作線式を使って各充填層の位置で計算される：
𝑐

𝑝

𝑝

𝑝

′
[ 𝐴 − 𝐴2 ]} = 2.06 − 10.4 𝐴
𝐶𝐵∞ = 𝐿 {𝐿𝑀2 𝑥𝐵2 − 𝜈 𝐺𝑀
1− 𝑝
1− 𝑝
1− 𝑝
𝑀

𝐴

𝐴2

𝐴

(16.3-16)

次に，下式を数値的に積分することにより，求める必要充填層高さが得られる：
𝑍𝑇 =

0.10
(2)(38.1 kmol⁄m2 h)
𝑑𝑝𝐴
∫
2
2
3
(0.62 kmol⁄m h atm)(46.2 m ⁄m ) 0.00552 (𝑝 + 0.66 𝐶𝐵∞ ) (1 − 𝑝 )𝐴𝐴2′
ここで 𝑝𝐴2 = 0.2⁄( 𝐺𝑀+ 0.2) = 0.2⁄(36 + 0.20) = 0.00552 atm

下表のように数値積分することができる：

211

充填式吸収塔の設計

𝑝𝐴
0.00552
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0.050
0.055
0.060
0.065
0.070
0.075
0.080
0.,085
0.090
0.095
0.100
∑

𝐶𝐵∞
2.00
1.955
1.902
1.848
1.793
1.738
1.683
1.627
1.570
1.513
1.455
1.396
1.337
1.277
1.217
1.156
1.094
1.031
0.968
0.904

1⁄(𝑝𝐴 + 0.33 𝐶𝐵∞ )(1 − 𝑝𝐴 )
1.511
1.542
1.580
1.620
1.663
1.708
1.755
1.806
1.860
1.916
1.977
2.043
2.113
2.188
2.268
2.355
2.450
2.554
2.666
2.789

∆𝑝𝐴
(𝑝𝐴 + 0.33 𝐶𝐵∞)(1 − 𝑝𝐴 )11
= ( ) (1.511 + 1.542)(0.01 − 0.00552) + ( ) (1.542 + 1.580)(0.015 − 0.01)
22
1+ ⋯ ⋯ ⋯ + ( ) (2.666 + 2.789)(0.1 − 0.095) = 0.190 atm−1
2

結局，最終的には要求充填層高さは
𝑍𝑇 = (2.66 m atm)(0.190 atm−1 ) = 0.505 m
実際の工学的設計の観点からは，この結果は予想よりもかなり小さいようであり，
通常，安全率を考慮する必要がある．
記

号

𝑎
𝐶𝐴
𝐻
𝐷𝐴𝑚 , 𝐷𝐴𝑤
𝐷𝐵𝑤
𝐺
𝐻𝐺
𝐼𝑗
𝑘1
𝑘𝐿
𝐾𝐺 , 𝑘𝐺
𝐿
𝐿𝑀
𝑁𝐴
𝑁𝐿
𝑝
𝑟𝐴
𝑆
𝑆𝑐
𝑊

表
充填層の有効接触面積, [m2/m3]
成分 A のモル濃度, [kmol/m3]
ヘンリー定数（Henry’s constant）, [ - ]成分 A の拡散係数, [m2/s]
成分 B の拡散係数, [m2/s]
ガスの質量速度, [kg/m2s]
気相の移動単位高さ HTU (Height of Transfer Unit), [m]イオン強度,
１次反応の反応速度定数, [1/s]
液相物質移動係数, [m/s]
総括物質移動係数と気相境膜物質移動係数, [m/s] or [kmol/m2s Pa]
液の質量速度, [kg/m2s]
液の空塔基準モル速度, [kmol/m2s]
モル質量流束, [kmol/m2s]
液相移動単位数, [ - ]分圧, [Pa]
１次反応の反応速度, [kmol/m3s]
物質移動方向に垂直な面の面積, [m2]シュミット数, [ - ]質量流量, [kg/s]

212

化学反応を伴う物質移動

𝑡
𝑦
𝑧
𝑍𝑇
𝑧𝑖
𝑧𝑟

時間, [s]
界面に垂直な液側の座標, [m]充填塔の鉛直方向座標, [m]充填塔の高さ, [m]正または負の電荷の価数, [ - ]反応面の位置（界面からの距離）, [m]

𝛼
𝛽
𝜀
𝜃

積分定数, [m2/s]
反応係数, [ - ]充填層内で液が占める体積分率, [ - ]全ホールドアップ時間, [s]下付き添え字
A
B
f
G
i
L
M
∞

成分 A
成分 B
境膜
気相
界面
液相
モル基準
本体

第１７章
乱流輸送現象17.1 乱流輸送の基礎方程式
17.1-1 乱流の基礎的性質
実際の工学的プロセスにおいては，大抵の流れは乱流である．乱流は常に高いレイノルズ数において起きる．円管内での流れでは，層流はレイノルズ数が約 2,100 を越えると小さな乱れが現れると不安定になり，乱流へと遷移することを我々はよく知っている．
乱流の一つの特徴は不規則性である：流れ内のどの位置においても，速度はその方向も大きさも時間とともに変化する．乱れは複雑な３次元的な回転性を有している．図 17.1-1
は乱流流れ場のある点に設置した熱線流速計によって計測された時間変動する速度の実際のオッシログラムを模したグラフである．熱線流速計の原理に関しては， 第 9 章の 9.7-2
を参照してほしい．同図にあるように，静圧も類似した変動を有しており，静圧は，例えば，ピエゾ差圧センサ（piezo-electric pressure transducer）によって観察することができる．

図 17.1-1. 乱流の速度と圧力のオッシログラム（模式図）

これらのオッシログラムから，統計的観点から見れば，速度変動も圧力変動もある程度の規則性がない訳ではないことに気付くはずである．各瞬間の速度 𝑣 は，時間平均された
速度 𝑣̅ と各瞬間の速度変動𝑣′ に次のように，分解して考えることができる：
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑣̅ (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑣 ′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)(17.1-1)
上線（overbar）は時間平均を意味する．
時間平均は次式で定義される：
1 𝑡 +𝑇𝑣̅ = lim 𝑇→∞ 𝑇 ∫𝑡 0 𝑣 𝑑𝑡
(17.1-2)0定常状態 ならば𝜕𝑣̅𝜕𝑡= 0 である．

214

乱流輸送現象ピトー管で測定した速度は，極端に高い乱れ強度の乱流を除けば，時間平均された速度に近似的に等しい．乱流の乱れは大きなスケールの断続的運動に様々な小さい周期的運動が重畳するような構造になっている．低周波数の音の上に様々な高周波数の音が重畳する
オーケストラの音のようなものである．
三角関数のような周期関数のように，各瞬間の速度変動は非常に度々マイナスにもなる．
だから，変動量を時間平均すると，定義から 0 になる：
̅ = lim 𝑇→∞ 1 ∫𝑡0 +𝑇(𝑣 − 𝑣̅ )𝑑𝑡 = lim 𝑇→∞ 1 ∫𝑡0 +𝑇 𝑣 𝑑𝑡 − 𝑣̅ = 0𝑣′(17.1-3)
𝑇 𝑡
𝑇 𝑡
0

0

しかしながら，２乗の平均は絶対に負にはならないから，乱れの大きさの尺度として，乱れ強度（乱流強度とも言う）は次式のように定義される：
𝑇𝑢 =

√𝑣′2

(17.1-4)𝑣

普通の円管内乱流においては乱れ強度は大体, 0.01 から 0.10 程度の範囲内にある．
乱流の多くの速度測定法の中で，熱線風速計法が最も便利で有用である． 第 9 章の 9.72 で述べているように，熱線風速計の原理は，測定しようとする流れに垂直に設置された
非常に細い金属線から発するジュール熱の流れへの対流伝熱に基づいている．検出エレメ
ントは非常に細い金属線 (空気流の場合，直径 5 μm dia.，長さ 5 mm の白金線)で流れの温度より高い一定温度に（金属線を流れる）電流でジュール発熱で加熱する．この金属線は測ろうとする速度成分に垂直に置かれている．金属線から周囲の流れへの放熱の速度は，通常の流れの条件においては，流れ速度の平方根 √𝑣 に比例する．金属線は細く，非常に小さな熱容量なので，金属線の温度は非常に速い速度変動にも追従することができる．
線からの放熱速度は電流によるジュール熱の発生速度 𝐼 2 𝑅 に等しくなる．ここに𝑅 は線の電気抵抗である．よく使う測定方法（定抵抗法とか定温度法と言う）だと，フィードバ
ック回路によって，線の電気抵抗をできる限り素早く一定になるように制御して，代わりに，その制御のために変化させた電流値を測定する．接近する速度の変化に追従する応答
時間は 0.1 ms より短いオーダーである．
ところで 𝐼 2 と 𝑣 との間の関係式を知っている：
𝐼 2 𝑅 = 𝛼 + 𝛽 √𝑣
(17.1-5)
ここに係数 𝛼 と 𝛽 は通常，実験によって決められる．
今， 𝐼 = 𝐼 + 𝐼′ と 𝑣 = 𝑣 + 𝑣′ を，式(17.1-5) に代入すると，電流の変動量 𝐼′ と速度の変動
量 𝑣′ の間の近似的な関係式が得られる：
2

𝐼 𝑅 = 𝛼 + 𝛽 √𝑣
𝛽√𝑣

𝐼 ′ = 4 𝐼 𝑅 𝑣 𝑣′

(平均速度)(速度変動)′′

最後の式は， 𝑣 ≪ 𝑣, i.e. 𝐼 ≪ 𝐼 なる条件の時の第１近似として得られる．
この熱線風速計法の通常のブロックダイアグラムを図 17.1-2 に示す．

(17.1-6)

215

乱流輸送の基礎方程式

図 17.1-2. 定温度法の場合の熱線風速計のブロックダイアグラム

図 17.1-3. 矩形断面のチャンネル内流れの乱れ強度とレイノルズ応力の分布

図 17.1-3 に示すように，矩形断面内乱流の乱れ強度は壁近くにおいて最大になる．
流れ方向，すなわち z 方向の変動量 √𝑣𝑧 ′2 はそれと横断方向，すなわち x 方向の変動量√𝑣𝑥 ′2 より大きいことがわかる．壁近くにおいては，分子的運動量移動が重要になってくるが，変動量は非常に小さい．パイプ内の乱流も同じような傾向を示す．
このような乱流の特性と構造については，第 17 章の 17.2~ 17.5 において詳しく述べる．
17.1-2 乱流の運動方程式
乱流であっても，連続体において起きる連続的な現象である．したがって，運動方程式
は乱流でも成立し，適用できるのは本当である．例えば，
𝜕(𝜌𝑣𝑥 )
𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑥 )𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑦 )𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑣𝑥 𝑣𝑧 )
𝜕𝑧

= −

𝜕𝑝
𝜕𝑥

+ 𝜇(

𝜕2 𝑣𝑥
𝜕𝑥 2

+

𝜕2 𝑣𝑥
𝜕𝑦 2

+

𝜕2 𝑣𝑥
𝜕𝑧 2

)

(17.1-7)

各瞬間の速度と圧力は時間平均値と各瞬間の変動量に分解することができる：
𝑣𝑥 = ̅̅̅
𝑣𝑥 + 𝑣𝑥 ′𝑣𝑦 = ̅̅̅
𝑣𝑦 + 𝑣𝑦 ′𝑣𝑧 = 𝑣̅𝑧 + 𝑣𝑧 ′𝑝 = 𝑝̅ + 𝑝′

(17.1-8)216

乱流輸送現象

これらの瞬間量を式(17.1-7) に代入して，その式を時間に関して平均すると，時間平均の流れ（平均流とも言う）を支配する運動方程式を得る：
̅̅̅̅
𝜕(𝜌𝑣
̅̅̅𝑥 ̅̅̅)
𝑣𝑦
𝜕(𝜌𝑣
𝜕(𝜌𝑣
̅̅̅𝑥 ̅̅̅)𝑣𝑥
𝜕(𝜌𝑣̅̅̅𝑥 ̅̅̅̅
𝑣𝑧 )𝜕𝑝̅
𝜕2 ̅̅̅
𝑣𝑥 𝜕2 ̅̅̅𝑣𝑥 𝜕2 ̅̅̅
𝑣𝑥
𝑥)
+
+
+
=−
+ 𝜇( 2 +
+
)
2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 2
−(

̅̅̅̅̅̅̅̅̅)𝜕(𝜌𝑣𝑥 ′𝑣𝑥 ′
𝜕𝑥+̅̅̅̅̅̅̅̅̅)𝜕(𝜌𝑣
𝑥 ′𝑣𝑦 ′𝜕𝑦+̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝜌𝑣𝑥 ′𝑣𝑧 ′)

(17.1-9))𝜕𝑧

アンダーラインを引いた最終項が速度変動量の非線形効果として新の残った．最終項がもしなかったら，層流の方程式と同じ方程式になって，層流でも乱流でも同じ速度分布になることを意味するが，実際はそうではなく，乱流になると時間平均速度分布が層流とは異なることがわかる．
̅̅̅̅̅)
𝜕(𝜌𝑣
定常乱流の場合は， 𝜕𝑡 𝑥
上の平均の計算のプロセスにおいて，平均値と変動値との掛け算の項は次のように消える
𝑣𝑥 𝑣𝑦 = (𝑣𝑥 + 𝑣𝑥′ )(𝑣𝑦 + 𝑣𝑦′ ) = 𝑣𝑥 𝑣𝑦 + 𝑣𝑥 𝑣𝑦′ + 𝑣𝑥′ 𝑣𝑦 + 𝑣𝑥 ′ 𝑣𝑦′ = 𝑣𝑥 𝑣𝑦 + 𝑣𝑥 ′ 𝑣𝑦′

ここに，平均値は平均化作業に関する限りは単なる一定係数（定数）と見做している．
17.1-3 乱流のエネルギーと物質の輸送方程式
エネルギー方程式は一定物性値の乱流熱輸送方程式のために使われる：𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇)𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣𝑥 𝑇)𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣𝑦 𝑇)𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣𝑧 𝑇)
𝜕𝑧

𝜕2 𝑇

𝜕2 𝑇

𝜕2 𝑇

= 𝜅 ( 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧2 )(17.1-10)

各瞬間の温度についても平均値と変動値に分解する：(17.1-11)

𝑇 = 𝑇 + T′

同様の平均化のやり方で次の乱流熱輸送方程式を得る：
̅̅̅ 𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣̅̅̅̅
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇)̅̅̅𝑥 𝑇̅) 𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣̅𝑧 ̅̅̅𝑇)𝜕2 𝑇̅ 𝜕2 𝑇̅ 𝜕2 𝑇̅
𝑦 𝑇)
+
+
+
= 𝜅 ( 2 +
+
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2
−(

̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣𝑥 ′𝑇′)
𝜕𝑥+̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣𝑦 ′𝑇′)𝜕𝑦+̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑣𝑧 ′𝑇′)
𝜕𝑧)(17.1-12)

ここでも速度変動量と温度変動量の非線形効果によるアンダーラインを引いた項が新たに残った．
̅̅̅𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇)
定常乱流温度場では， 𝜕𝑡 = 0
化学反応を伴わない場合の乱流物質輸送方程式を得る：
̅̅̅
̅̅̅
𝜕 ̅̅̅
𝐶𝐴 𝜕(𝑣
̅̅̅𝑥 ̅̅̅
𝐶𝐴 ) 𝜕(𝑣𝜕(𝑣̅𝑧 ̅̅̅̅𝐶𝐴 )
𝜕2 ̅̅̅
𝐶𝐴 𝜕2 ̅̅̅𝐶𝐴 𝜕2 ̅̅̅𝐶𝐴𝑦 𝐶𝐴 )+++= 𝐷 ( 2 +
+
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2
−(

̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑣𝑥 ′𝐶𝐴 ′)
𝜕𝑥+̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑣𝑦 ′𝐶𝐴 ′)𝜕𝑦+̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑣𝑧 ′𝐶𝐴 ′)
𝜕𝑧)

(17.1-13)𝜕 ̅̅̅̅
𝐶

定常乱流濃度場では， 𝜕𝑡𝐴 = 0
同様に，新たに非線形効果による最終項が出てきている．

17.2 乱流輸送の現象論的理解
17.2-1 乱れの非線形作用による効果
上の３方程式，式(17.1-6)，式(17.1-9)，式(17.1-10) において，下線で示した新たな項が出て来た．これらは変動量の非線形相互作用から来るエディー（渦）運動による新たな乱流輸送に関係している．乱れのこれらの非線形効果がもし存在しないならば，時間平均された速度，温度，濃度分布は層流の場合の分布と同じになってしまうべきだが，実際はそうはならない．

217

乱流輸送の現象論的理解

次のグループが乱流運動量流束のテンソルの９成分を構成する：(𝑡)̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜏𝑥𝑥 = − 𝜌𝑣
𝑥 ′𝑣𝑥 ′(𝑡)(𝑡)̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 = − 𝜌𝑣
𝑦 ′𝑣𝑥 ′(𝑡)(𝑡)̅̅̅̅̅̅̅
𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 = − 𝜌𝑣𝑧 ′𝑣𝑥 ′(𝑡)̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜏𝑦𝑦 = − 𝜌𝑣𝑦 ′𝑣𝑦 ′(𝑡)(𝑡)̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = − 𝜌𝑣𝑦 ′𝑣𝑧 ′(𝑡)̅̅̅̅̅̅̅
𝜏𝑧𝑧 = − 𝜌𝑣𝑧 ′𝑣𝑧 ′

(𝑡)
(𝑡)
(𝑡)
これらは普通レイノルズ応力と呼ばれている．その中で対角成分 𝜏𝑥𝑥, 𝜏𝑦𝑦 , 𝜏𝑧𝑧 は乱流法
線応力である．多くの乱流において，これら法線応力の運動輸送に対する寄与はほとんど(𝑡)(𝑡) (𝑡)(𝑡) (𝑡)(𝑡)ない．その他の 6 成分 𝜏𝑥𝑦= 𝜏𝑦𝑥 , 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 が乱流せん断応力である．分子的輸送が支配的な粘性底層を除けば，乱流での運動量輸送の主たる役割を果たしている．
我々は第 3 章の 3.2 を学んで，円管内乱流の時間平均速度の分布が層流の場合よりも（流れの中心部である）主流において，ずっと平坦であることは知ってしる．このような事実が乱流特有のレイノルズ応力のせいなのである．つまり，主流領域において，渦(eddy) 運動による横断方向の混合効果が大きいためと解釈できる．
同じように，次のグループが乱流熱流束のベクトルの３成分を構成する：(𝑡)𝑞𝑥

̅̅̅̅̅̅
= − 𝜌𝐶𝑝𝑣
𝑥 ′𝑇′

(𝑡)

𝑞𝑦

̅̅̅̅̅̅̅
= − 𝜌𝐶𝑝𝑣
𝑦 ′𝑇′

(𝑡)

𝑞𝑧

̅̅̅̅̅̅
= − 𝜌𝐶𝑝𝑣
𝑧 ′𝑇′

同様に，次のグループが乱流物質流束のベクトルの３成分を構成する：(𝑡)𝑗𝑥= − ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑣𝑥 ′𝐶𝐴 ′(𝑡)𝑗𝑦= − ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑣𝑦 ′𝐶𝐴 ′(𝑡)𝑗𝑧= − ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑣𝑧 ′𝐶𝐴 ′これらが乱流の輸送現象の主役であり，非線形効果により乱流運動量輸送，乱流エネルギ
ー輸送，乱流物質輸送を支配しているのである．
17.2-2 混合距離理論と渦拡散係数
乱流輸送現象のもっと詳しい理解をするためには，乱流強度や乱流渦の大きさを含む乱れに関する定量的な解釈が必要である．そのような背景で物理モデルに基づいた多くの直接数値解析は発達してきた．しかしながら，これらの理論，モデル解析はこのコースのレベルをはるかに超えている．
歴史的に言えば，今に至っても，プラントルの混合距離モデル（Prandtl’s mixing length
model） が乱流輸送メカニズムを理解する上で有益なモデルとして役に立ち続けている．
この混合距離モデルが乱流運動量輸送問題を解く一つのカギとなるのは，乱流運動量流束(𝑡)𝜏𝑥𝑦 と時間平均の速度勾配 𝜕𝑣𝑥 ⁄𝜕𝑦 との間の関係を仮定することである．速度勾配が大きくなればなるほど， 𝑣𝑦 ′ によって 誘導される 𝑣𝑥 ′ が大きくなる，したがって，乱流運動量流束(𝑡)̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜏𝑦𝑥 = − 𝜌𝑣
𝑦 ′𝑣𝑥 ′ が大きくなることは明らかである．
乱流中の流体塊（eddy, 渦）のランダムな動きが運動量，エネルギー，物質の乱流輸送を引き起こしている．気体運動理論における平均自由行程（mean free path）と類似して，
いわゆるプラントルの混合距離 𝑙 を，大きなスケールの渦（流体塊）が生まれてから崩壊して実態を失うまでに横断方向に動いた距離の尺度であるとする．

図 17.2-1 が二つの平行に流れる流体層の間で渦交換をするモデルを示している．

218

乱流輸送現象図 17.2-1 混合距離理論

流れに対して横断方向の運動量，エネルギー，物質の輸送は，次のように，二つの平行な流体層の間での渦（流体塊）の交換の結果として引き起こされる：(𝑡)𝜏𝑦𝑥 = 𝜌𝑣𝑥 |𝑦 𝑣𝑦′ − 𝜌𝑣𝑥 |𝑦+∆𝑦 𝑣𝑦′ = − 𝜌𝑣𝑦′ 𝑙𝑀
(𝑡)

𝑑 𝑣𝑥

𝑞𝑦

= 𝜌𝐶𝑝𝑇|𝑦 𝑣𝑦′ − 𝜌𝐶𝑝𝑇|𝑦+∆𝑦 𝑣𝑦′ = − 𝜌𝐶𝑝𝑣𝑦′ 𝑙𝐻(𝑡)= 𝐶𝐴 |𝑦 𝑣𝑦′ − 𝐶𝐴 |𝑦+∆𝑦 𝑣𝑦′ = − 𝑣𝑦′ 𝑙𝐷

𝑗𝑦

𝑑 𝐶𝐴
𝑑𝑦

(17.2-1)𝑑𝑦𝑑𝑇
𝑑𝑦(17.2-2)(17.2-3)

ここに混合距離 𝑙 は２流体層の間の微分的距離 ∆𝑦として定義される．
もし２流体層の時間平均の速度差，温度差，濃度差がその領域におけるそれぞれ速度変
動，温度変動，濃度変動と 𝑣𝑥 |𝑦+∆𝑦 − 𝑣𝑥 |𝑦 ≅ 𝑣𝑥′ ， 𝑇|𝑦+∆𝑦 − 𝑇|𝑦 ≅ 𝑇′， 𝐶𝐴|𝑦+∆𝑦 − 𝐶𝐴 |𝑦 ≅ 𝐶𝐴 ′ のように関係づけられると仮定するならば，各乱流輸送流束は次のように与えることが可能
である：
(𝑡)

𝜏𝑦𝑥 = − 𝜌𝑣𝑦 ′𝑣𝑥 ′(17.2-4)(𝑡)𝑞𝑦 = − 𝜌𝐶𝑝𝑣𝑦 ′𝑇′(𝑡)𝑗𝑦 = − 𝑣𝑦 ′𝐶𝐴 ′(17.2-5)(17.2-6)

式 (17.2-1), (17.2-2), (17.2-3) において，速度変動と混合距離の積𝑣𝑦′ 𝑙𝑀，𝑣𝑦′ 𝑙𝐻 ，𝑣𝑦′ 𝑙𝐷 は拡散係数の単位 𝑚2 ⁄𝑠 を持つ． したがって，渦拡散係数を次のように定義できる：(𝑡)

𝜏𝑦𝑥 = − 𝜌𝜀𝑀

𝑑 𝑣𝑥(17.2-7)𝑑𝑦𝑑𝑇(𝑡)𝑞𝑦 = − 𝜌𝐶𝑝𝜀𝐻
𝑑𝑦
(𝑡)

𝑗𝑦

= − 𝜀𝐷(17.2-8)

𝑑 𝐶𝐴(17.2-9)𝑑𝑦

これら渦拡散係数 𝜀𝑀 ，𝜀𝐻 ，𝜀𝐷 は本来，流体の物性を含むだけではなくて流れの条件（レイノルズ数など）によって変化し，乱流域では分子拡散係数ν, 𝛼, 𝐷𝐴𝐵 よりはるかに大きい値となる．分子的運動が無視小でなくまだ及んでいる時は，全乱流輸送流束は次のように
書ける：
(𝑡)

𝑑 𝑣𝑥

(𝑡)

𝑑𝑦
𝑑𝑇

(𝑙)

𝜏𝑦𝑥 = 𝜏𝑦𝑥 + 𝜏𝑦𝑥 = − 𝜌(𝜈 + 𝜀𝑀 )(𝑙)(17.2-10)

𝑞𝑦 = 𝑞𝑦 + 𝑞𝑦

= − 𝜌𝐶𝑝(𝛼 + 𝜀𝐻 )(17.2-11)(𝑙)(𝑡)𝑗𝑦 = 𝑗𝑦 + 𝑗𝑦

= −(𝐷𝐴𝐵 + 𝜀𝐷 )(17.2-12)

𝑑𝑦
𝑑 𝐶𝐴
𝑑𝑦

充分に発達した管内流において，流れが層流，乱流に関わらず，せん断応力分布は直線である：
𝑟𝜏𝑟𝑧 = 𝑅 𝜏𝑤
(17.2-13)だから渦拡散係数 𝜀𝑀 は次の式を使って，測定された（時間平均の）速度分布から算出できる：

混合距離理論と渦拡散係数

𝜀𝑀
𝜈

219

𝑟

=

𝜏𝑤 𝑅
𝑑𝑣

− 𝜇 𝑑𝑟𝑧−1(17.2-14)

図 17.2-2 は円管内の充分発達流域における渦拡散係数の半径方向の分布を与えている．
これらの分布の曲線は多くの経験的なデータを考慮して模式的に描かれている．渦拡散係数 𝜀𝑀 ⁄𝜈 の最大値は管軸と管壁との間の中間位置において起きる．このことは乱流渦がそのような場所で生産される事実によると考えられる．（実際の乱れの発生はもう少し管壁よりである．）管軸に近づくにつれて，𝜀𝑀 ⁄𝜈 は最大値から減少して行く．パイプの軸近く
では，式 (17.2-14) を使って，平均流から渦拡散係数を算出しようとしても式右辺の分数の分子も分母もほぼ 0 になるので，不定になってしまい，計算できない．それでも 𝜀𝑀 ⁄𝜈
は管壁の極近傍を除けば，1 よりはるかに大きい値になることを注視すべきである．また
これら𝜀𝑀 ⁄𝜈 の分布曲線が，第 7 章の図 7.1-3 の乱流強度の分布と似ていることも注視すべきである． しかし，実際の乱れの運動のエネルギーは管壁にもっと近い位置で生産されるはずである．後述する緩衝層辺りで乱れの速度変動の運動のエネルギーは生産されると言われている．

図 17.2-2. 円管内流における運動量の渦拡散係数の半径方向の分布

17.2-3 乱流相関に基づく混合距離モデル
第 3 章において，乱流運動の発生に関して，定性的な説明ではあったが，すでに理解している．この節では，乱れのもっと厳密な理論を使って，もう一度，混合距離 “mixing
length” の概念について考えてみよう．
図 18.2-3 に示す乱流速度場において，流れに平行な流体層のある横断方向の位置 𝑦 = 0に存在する流体要素（小さな流体塊で乱流渦と解釈できる）が時間 𝑡 = 0 に出発して，横断方向の任意の位置 𝑦 まで時間 𝑡 かかって飛行する場合を考えよう．

220

乱流輸送現象図 17.2-3. 乱流相関に基づく混合距離モデル

流体要素が飛行中に，元の位置 𝑦 = 0 において持っていた運動量 𝜌 𝑣𝑥 (0, 0) を失わないとするならば，時間𝑡 の間の飛行距離 𝑦 での運動量欠損（あるいは得た量）はΔ𝑀 = 𝜌 𝑣𝑥 (𝑦, 𝑡) − 𝜌 𝑣𝑥 (0, 0) = 𝜚(𝑣𝑥 (𝑦) − 𝑣𝑥 (0)) + 𝜚(𝑣𝑥′ (𝑦, 𝑡) − 𝑣𝑥 ′(0, 0))(17.2-15)

多くの普通の乱流において，乱流強度の値は大体，1 %から 10% 程度であるから，第２項は第１項に比して小さいので，
Δ𝑀 ≅ 𝜚(𝑣𝑥 (𝑦) − 𝑣𝑥 (0))

𝑦 の小さい値に対して，速度差はテイラー級数の第１項で近似できる：
Δ𝑀 ≅ 𝜚[𝑣𝑥 (𝑦) − 𝑣𝑥 (0)] = 𝜌

𝑑 𝑣𝑥

|

𝑑𝑦 𝑦=0𝑦(17.2-16)

横断方向に対して垂直な単位面積当たり単位時間に運ばれる流体の体積は，飛行する流体要素の瞬間速度の横断方向成分 𝑣𝑦 ′ である．
ラグランジュの観点（Lagrangian viewpoint）から
𝑣𝑦′ =

𝑑𝑦

(17.2-17)𝑑𝑡

ここで 𝑦 は流体要素の飛行した位置である．
運動量流束は(momentum/volume)(volume/area/time) の次元を持つから，出発位置 𝑦 = 0 における平均の乱流運動量流束は次のようになる：
(𝑡)

𝜏𝑦𝑥 |

𝑦=0

= ∆𝑀 𝑣𝑦 ′ = 𝜌

𝑑𝑣
𝑑𝑦
1
𝑑𝑣
𝑑 𝑦2
𝑣 ′𝑦 = 𝜌 𝑥 |𝑦 |= 𝜌 𝑥|||
𝑑𝑦 𝑦=0 𝑦
𝑑𝑦 𝑦=0𝑑𝑡 𝑦=02
𝑑𝑦 𝑦=0 𝑑𝑡 𝑦=0

𝑑 𝑣𝑥(17.2-18)

上線（overbar）は今の場合，𝑦 = 0 から出発した飛行する非常に多くの流体要素の個数平均を意味している．

221

乱流相関に基づく混合距離モデル

図 17.2-4 長さスケールと時間スケールの意味

したがって， 相関 𝑣𝑦 ′𝑦 は，横断方向の長さスケール 𝑙 と同程度の距離 𝑦 において実質0 になると仮定することができる．横断方向の速度変動の RMS 値 √𝑣𝑦 ′2 を𝑢𝑦 ′ で表すと，
相関 𝑣𝑦 ′𝑦 は𝑢𝑦 ′𝑙 のオーダーになるから次のように書ける：(17.2-19)
この横断方向の長さスケールを混合距離 “mixing length” と呼んでいる．故に乱流運動量流束は次式のように書くことができる：
𝑑 𝑣𝑥(𝑡)𝜏𝑦𝑥 = 𝐾1 𝜌𝑢𝑦′ 𝑙(17.2-20)𝑑𝑦
𝑣𝑦 ′𝑦 = 𝐾1 𝑢𝑦 ′𝑙

通常，𝐾1 𝑙 = 𝑙𝑀 のオーダーであるので，混合距離 𝑙 に未知の数値係数 𝐾1 を含めてしまう．
もし混合距離 𝑙 と速度乱れの RMS 値 𝑢𝑦 ′ が流れ場全域で分かっていたら，乱流の運動方
程式は解けるべきだが、実際は難しい．混合距離は乱流運動量輸送において支配的な役割を果たす大きな渦 (eddy) のサイズに比例すると考えられる．
流体要素が時間 𝑡 の間に飛行する距離 𝑦 は𝑡
𝑦 = ∫0 𝑣𝑦′ (𝑡 ′)𝑑𝑡′(17.2-21)
上記の相関 𝑣𝑦 ′𝑦 の中にこれを入れて𝑡𝑡𝑣𝑦 ′(𝑡)𝑦 = 𝑣𝑦′ (𝑡) ∫0 𝑣𝑦′ (𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ = ∫0 𝑣𝑦′ (𝑡)𝑣𝑦′ (𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′(17.2-22)
同じく上線は 𝑦 = 0 に出発する流体要素の個数に関して平均していることを意味している．
この相関 𝑣𝑦′ (𝑡)𝑣𝑦′ (𝑡 ′ ) は基点となる時間 𝑡 = 0 の位置には依存しないが，時間差 𝑡 − 𝑡 ′ = 𝜏に依存する．
したがって，この相関は下式のようなラグランジュの相関係数（Lagrangian correlation
coefficient）になる：
𝑣 ′ (𝑡)𝑣𝑦′ (𝑡− 𝜏)𝑦𝑅𝐿2 (𝜏) =𝑢𝑦 ′2(17.2-23)

ラグランジュの積分時間スケール（Lagrangian integral time scale） ℑ2 は長さスケール（混合距離）𝑙 を流体要素が飛行するに充分な時間間隔（所要時間）の尺度と見做すことができる：∞ℑ2 = ∫0 𝑅𝐿2 (𝜏) 𝑑𝜏
(17.2-24)
ラグランジュ相関は時間間隔 𝜏 が大きくなるにつれて，速度変動 𝑣𝑦 ′(𝑡) は 𝑣𝑦 ′(𝑡 − 𝜏) とは波形が似なくなる，すなわち𝑣𝑦 ′(𝑡) と 𝑣𝑦 ′(𝑡 − 𝜏) との間の相関度が低下してくることを意味している．一つの観測点で，現時点の瞬間の速度波形は，𝜏 が大きい，ずいぶん離れた後の時刻の波形とは似ていなくなると言う意味である．
したがって，乱流運動量流束は次式のように，表すことができる：

222

乱流輸送現象(𝑡)𝜏𝑦𝑥 = 𝜌𝑑 𝑣𝑥 ∞ ′∫ 𝑣𝑦 (𝑡)𝑣𝑦′ (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 =𝑑𝑦 0𝜌𝑑 𝑣𝑥 ∞∫ 𝑢𝑦 ′2 𝑅𝐿2 (𝜏)𝑑𝜏 =
𝑑𝑦 0

𝜌

𝑑 𝑣𝑥
𝑢𝑦 ′2 ℑ2𝑑𝑦

ラグランジュの積分長さスケール 𝑙𝐿 のように考えればよい．
𝑙𝐿 = 𝑢𝑦′ ℑ2(17.2-25)(17.2-26)

他方，オイラーの積分スケール（Eulerian integral scale） 𝑙 は次式のように定義される：∞
𝑢𝑦 ′2 𝑙 = ∫0 𝑣𝑦 ′(𝑦)𝑣𝑦 ′(0) 𝑑𝑦(17.2-27)
上式の上線（overbar）は，二つの観測位置（ 𝑦 = 0 と𝑦 = 𝑦 ）での二つの速度変動の間の時間遅れなしの長い時間にわたっての時間平均を意味している．
もし 𝑙𝐿 と 𝑙 が大きさが同程度であると仮定するならば，
𝑑𝑣(𝑡)𝜏𝑦𝑥 = 𝐾𝑀 𝜌 𝑢𝑦′ 𝑙 𝑥(17.2-28)𝑑𝑦
この式は 乱流運動量流束がオイラーの積分スケール（Eulerian integral scale） 𝑙 を使って評価できることを暗示している．

レイノルズ応力（Reynolds stresses）の定義から(𝑡)(17.2-29)

𝜏𝑦𝑥 = 𝜌 𝑣𝑦 ′𝑣𝑥 ′これらの式を対比することにより，次のような関係式が得られた：
𝑢𝑥′ = 𝐾 𝑙

𝑑 𝑣𝑥
𝑑𝑦

(17.2-30)

同じような考え方で，乱流熱流束と乱流物質流束の同様の関係式を得ることができる：
𝑑𝑇(𝑡)𝑞𝑦 = 𝐾𝐻 𝜌𝐶𝑝 𝑢𝑦′ 𝑙
𝑑𝑦
𝑑𝐶
(𝑡)
′
𝑗𝑦 = 𝐾𝐷 𝑢𝑦 𝑙𝑑𝑦

(17.2-31)(17.2-32)

数値係数 𝐾𝑀 , 𝐾𝐻 , 𝐾𝐷 は 1 のオーダーである．
最終的に渦拡散係数は 𝑢𝑦′ 𝑙 のオーダーであることがわかった：
𝜀𝑀 = 𝑢𝑦′ 𝑙𝑀(17.2-33)′
𝜀𝐻 = 𝑢𝑦 𝑙𝐻(17.2-34)′
𝜀𝐷 = 𝑢𝑦 𝑙𝐷(17.2-35)
レイノルズ応力の層流の粘性応力との比は通常，壁極近傍を除けば，流れ場のほとんどの領域で非常に大きい値になる．
(𝑡)

𝜏𝑦𝑥

(𝑙) =

𝜏𝑦𝑥

𝑑 𝑣𝑥
𝑑𝑦
𝑑 𝑣𝑥
𝜌𝜈
𝑑𝑦

𝜌𝜀𝑀

=

𝜀𝑀
𝜈

= 𝐾1

′ 𝑙
𝑢𝑦

𝜈

(17.2-36)

上式にある項 𝑢𝑦 ′𝑙⁄𝜈 は渦レイノルズ数“eddy Reynolds number” と呼ばれることもある．

17.3 乱れの構造
17.3-1 乱れの力学的エネルギーのエネルギースペクトル
一見無秩序に見えるカオス的な乱流においても，統計的解析法によって規則性があることを見出すのは，伝熱促進や物質移動促進など，化学工学の基礎技術のために重要である．
もし統計量，例えば 𝑣𝑥 ′2 , 𝑣𝑥 ′𝑣𝑦 ′ など が時間に依存しないならば，その乱流は静的（stationary）であると特性づけられる．また，統計量が空間において変化しないならば，その乱流は一様（homogeneous）であると見做され，統計量が方向によって不変であるな
らば，等方的（isotropic: 𝑣𝑥 ′2 = 𝑣𝑦 ′2 = 𝑣𝑧 ′2 ）であると言われる．

乱れの構造223

金網のような一様なグリッドの後方の乱流は局所的に一様で等方性の乱れに近い乱れの構造を有していることが知られている． 円管内乱流，その特に管壁に近い流れは一様でなく，かつ等方性もない．
時間に関して統計的に一様である流れ場では，速度変動の一定な時間平均値が存在する．
乱れの力学的エネルギーは次のように書ける：
12

𝜌 (𝑣𝑥 ′2 + 𝑣𝑦 ′2 + 𝑣𝑦 ′2 )乱流運動を定量的に言い表すためには，乱れの強度とスケールの概念を導入する必要がある．乱流速度変動の強度は速度変動の RMS（root-mean-square）値を時間平均の速度で割って定義される：
𝑇𝑢𝑣 =√𝑣𝑥 ′2𝑣𝑥(17.3-1)

普通，乱流強度には平均流と同じ方向の速度変動成分を使う．乱れは大きなスケールの運動の上に種々の小さな周期的運動が重畳して構成されている．
小さな周期的運動はある回転を伴う渦（vortex motion）から生じている，その広がり（大きさ）が乱れ渦 (“eddy”と言う) と呼ばれている． 換言すれば，乱れは種々のサイズの乱れ渦が重畳したものである．また乱れ渦 eddy のサイズは周期運動の周波数に対応しているので，eddy が小さいほど，高い周波数になる．（小さな渦の回転と大きな渦の回転を考えれば理解できよう．）
図 17.3-1 にしめすように，大きなスケールの渦は非常に多くの小さな渦を内包している．
これら全ての渦が大体、平均速度𝑣𝑥 で一緒に運ばれると考える．熱線風速計の熱線を平均
速度 𝑣𝑥 に垂直に設置すると，小さな渦がその熱線を横切るに要する時間は，大きな渦が横切る時間よりも短いわけである．振動波形の各振幅は各渦の乱れの力学的エネルギーに対応しているのである．

図 17.3-1. 種々の大きさの小さな渦運動を内包する大きな渦の構造

図 17.3-2 は渦のサイズと変動周波数との間の関係を説明している．
エネルギースペクトルとは周波数領域で重畳する種々の渦の乱れの力学的エネルギー
𝑣𝑥 ′2 の分布を表したものである．乱れのこの解析は光の波や音の波の周波数分析をするのと同様である．

224

乱流輸送現象図 17.3-2. 乱れ渦のサイズと変動の周波数との関係

図 17.3-3.

エネルギースペクトルの模式的な分布線図

図 17.3-3 は１次元のエネルギースペクトルの模式図で，その中の分布関数 𝐸1 (𝑛) が確
率密度関数と類似している．
乱流速度変動の周波数が 𝑛 から 𝑛 + 𝑑𝑛 までの微小な 𝑑𝑛 の範囲における乱れの力学的エネ
ルギー 𝑣𝑥 ′2 に対するの寄与は 𝑣𝑥 ′2 𝐸1 (𝑛)𝑑𝑛 で与えられる．
∞
分布関数の定義によって∫0 𝐸1 (𝑛)𝑑𝑛 = 1
１次元のエネルギースペクトルは熱線流速計によって測定ができる．熱線からのシグナル
は時間平均して𝑣𝑥 を得るから，元の生のシグナル 𝑣𝑥 から時間平均の𝑣𝑥 を差し引いて変動
量 𝑣𝑥 ′ を求めることができる．得られた変動量 𝑣𝑥 ′ を濾波（フィルター）回路により周波数帯 𝑛 から 𝑛 + 𝑑𝑛 までの変動量を得る．この濾波された変動量を２乗して時間平均して𝑣𝑥 ′2 𝐸1 (𝑛) を得ることができる．
もう今の時代は，デジタル計算機が発達して，この種の統計解析にも非常によく使われている．時間変動する速度シグナル（アナログ）を AD 変換によりデジタル化して，コン乱れの構造（続）

225

ピューターのメモリーに時系列データとして保管する．エネルギースペクトルは時系列データとなった速度変動をフーリエ変換することによって得ることができる．
乱れは消散的である，つまり乱れは粘性により減衰し，消えて行くので，乱流を維持するためには，常時，乱れを発生し続けねばならない．乱れ渦（eddy）は回転的であるので，渦が小さければ小さいほど，渦内の速度勾配は大きい．だから粘性によるせん断応力が非常に高い周波数（非常に小さいスケール）の渦運動と相互作用している．しかし最小渦のサイズには統計的に下限がある．エネルギースペクトルのもっとも高い周波数が最も小さい渦と対応しているが，いくら最小渦であっても流体の分子の平均自由行程（mean freepath）よりずっと大きい．すなわち乱れも連続体の現象なのである．
乱れの力学的エネルギー（運動のエネルギー）は最小の渦における粘性せん断応力による渦の変形仕事のせいで流体の内部エネルギー（摩擦熱）に変換され続ける．
だから乱れは力学的エネルギーの（粘性消散による）消失を補うために乱れのエネルギ
ーの連続的な補給が必要なのである．乱れの力学的エネルギーはエネルギースペクトルの
低周波数領域に対応する大きなスケールの乱れ渦によって平均流（時間平均された速度）から抽出されるのである．小さなスケールの乱れの生成は大きなスケールの変動の非線形相互作用に基因しているのである．三角関数を使って，このような非線形メカニズムを理解しよう．
速度変動の２成分が次のようなフーリエ級数の形であるとしよう：′
𝑣𝑥 = ∑𝑚 𝐴𝑚 cos 2𝜋𝑚𝑡
(17.3-2)
𝑣𝑦′ = ∑𝑛 𝐵𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑡
(17.3-3)
この二つの関数の積は次のように非線形相互作用を意味している：
𝑣𝑥′ 𝑣𝑦 ′ = ∑𝑚 ∑𝑛 𝐴𝑚 𝐵𝑛 cos 2𝜋𝑚𝑡 cos 2𝜋𝑛𝑡
(17.3-4)
1= ∑𝑚 ∑𝑛 𝐴𝑚 𝐵𝑛 (cos 2𝜋 (𝑚 + 𝑛)𝑡 + cos 2𝜋(𝑚 − 𝑛)𝑡)2

ここに ， 高い方の周波数の変動 cos 2𝜋(𝑚 + 𝑛)𝑡 と低い方の周波数の変動 cos 2𝜋(𝑚 − 𝑛)𝑡 は
cos 2𝜋𝑚𝑡 と cos 2𝜋𝑛𝑡 の非線形相互作用により生産される． 今， 𝑚 = 𝑛 の場合にのみ，時間平均の低周波成分 cos 2𝜋(𝑚 − 𝑛)𝑡 は新たな平均流を生み出す速度変動の非線形効果を意味している．（乱流の速度分布を思い出してみよう，つまり乱れによって平均流も変化する）：(𝑚 ≠ 𝑛 )𝑣𝑥′ 𝑣𝑦 ′ = 01= ∑𝑛 𝐴𝑛 𝐵𝑛(𝑚 = 𝑛)(17.3-5)2

このことは時間平均の速度分布が非線形相互作用によって歪まされることを暗示している．図 17.3-4 に見られるように，エネルギー含有渦（大きな渦）から小さい渦へのスペク
トルの周波数域上の低い周波数から高い周波数へとエネルギーの移動が起きている．
最終的に，最小渦が消滅する時の粘性消散による摩擦熱に変換される速度は，大きな渦による乱れの力学的エネルギーの生産速度と近似的に等しいのである．これはまた，乱れの構造は，局所における乱れの力学的エネルギー（運動のエネルギー）の生産速度が局所の力学的エネルギーの消失速度とバランスして動的平衡にあることを意味している．
したがって，渦（eddy）の大きさの尺度が必要になってくる．その方法としては，流体運動（例えば，速度）をある距離だけ離れている２地点で観測する場合だとか，同一地点
で，ある時間差だけ離れている２時点で観測する場合，２点のそれらが互いにある相関を持っているかどうかで，領域（距離だとか時間差で定義して）を流れ場の広がり（渦の大きさ）を決めようとすることである．

226

乱流輸送現象図 17.3-4. 速度変動の非線形相互作用によるスペクトル領域におけるエネルギー移動

17.3-2 空間的相関と時空間的相関 ----- 渦サイズの定義
乱れ渦（eddy）のサイズと向き（方向）は流れ場内の２位置で同時に測定された速度変動間の空間的相関によって定義できる．
オイラーの観点から，流れ方向（x-方向）の速度変動の相関係数𝑓(𝑟) は距離 𝑟 だけ離れた２点で測定された流れ方向の速度変動の間で次のように定義される：
𝑓 (𝑟 ) =𝑣𝑥 ′(𝑥)𝑣𝑥 ′(𝑥+𝑟)(17.3-6)√𝑣𝑥 ′(𝑥)2 √𝑣𝑥 ′(𝑥+𝑟)2一様（homogeneous）な乱流場では
𝑓 (𝑟 ) =√𝑣𝑥 ′(𝑥)2 = √𝑣𝑥 ′(𝑥 + 𝑟)2であるから

𝑣𝑥 ′(𝑥)𝑣𝑥 ′(𝑥+𝑟)𝑣𝑥 ′2

図 17.3-5 は流れ方向の速度変動の相関を模式的に表している．

図 17.3-5. 流れ方向の速度変動の相関(17.3-7)空間的相関と時空間的相関

227

同様に，横断方向の速度変動の相関係数 𝑔(𝑟) は流れ方向に距離 𝑟 だけ離れた２点で測定された横断方向の速度変動成分の間で次式のように定義される：
𝑔 (𝑟 ) =𝑣𝑦 ′(𝑥)𝑣𝑦 ′(𝑥+𝑟)𝑣𝑦 ′2(17.3-8)

図 17.3-6 は横断方向の速度変動の相関を模式に示している．

図 17.3-6. 横断方向の速度変動の相関

これらの空間的相関は２セットの熱線流速計を使って測定することができる．一つの熱線を 𝑥 の位置に固定し，もう一つの熱線は下流の任意の位置 𝑥 + 𝑟 の位置に置いて測定することができる． 二つの熱線からのシグナル 𝑣𝑥 (𝑥) と 𝑣𝑥 (𝑥 + 𝑟) からそれらの時間平均値
𝑣𝑥 (𝑥) と 𝑣𝑥 (𝑥 + 𝑟) を差し引いて，それぞれの変動値 𝑣𝑥′ と 𝑣𝑥 ′(𝑥 + 𝑟) を得る．これらの変動シ
グナルを時間遅れ 0 で互いに掛け算をして時間に関して平均すれば，相関 𝑣𝑥 ′(𝑥)𝑣𝑥 ′(𝑥 + 𝑟)が得られる．二つの流体要素が互いに非常に近い距離にあれば，同じような速度で動くに違いない．この時， ２流体要素には高い相関があると言う，すなわち２点は同じ渦の中にあるのではないかと考えるのである．
相関係数の定義から 𝑓(0) = 1 ， g(0) = 1
２点間の距離 𝑟 が大きくなると，相関は低くなる．化学工学の立場からは，運動量，熱そして物質の対流輸送に非常に大きな貢献をする大きな渦のサイズの尺度が欲しい．特に，界面近傍において，これらの大きなスケールの渦による界面更新運動は異相間輸送に非常に効果的であるからである．
そこで，（大きなスケールの渦を意味する）オイラーの乱れのマクロスケール（Eulerian
macroscale of turbulence）は次式のように定義される：∞
Λ𝑓 = ∫0 𝑓(𝑟)𝑑𝑟(17.3-9)∞Λ𝑔 = ∫0 𝑔(𝑟)𝑑𝑟(17.3-10)
これらのパラメータは二つの速度変動の間には互いに相関がある最大の空間の間隔の尺度であると考えられる，すなわち２点での流体要素が実質的に同じ速度で同じ方向に動く仲間であると考えるのである．
次に，ラグランジュの観点から，また別の相関係数を，同一の流体粒子の違った時間における速度変動の間で定義することができる：

𝑅𝐿 (𝜏) =𝑣𝑥 ′(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)𝑣𝑥 ′(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡+𝜏)𝑣𝑥 ′(𝑥,𝑦,𝑧)2(17.3-11)

これが ラグランジュの自己相関係数（Lagrangian autocorrelation coefficient）である．

228

乱流輸送現象図 17.3-7. ラグランジュの自己相関図 17.3-7 がラグランジュの自己相関の模式図である．この自己相関は１本の熱線で測定した速度変動シグナルを遅れ時間を与える回路を使って，遅れ時間なしのシグナルと掛け算をして得られる．
ラグランジュの積分時間スケールは次式のように定義される：∞ℑ = ∫0 𝑅𝐿 (𝜏) 𝑑𝜏
(17.3-12)
このパラメータは，ある位置での速度変動 𝑣𝑥 ′(𝑡) そのものを，時間 𝜏 だけ後の同じ位置での速度変動と掛けて相関があるか，どうかを調べるもので，（大きな渦を意味する）最大の時間間隔の尺度である．
一様な乱流場が一定の時間平均速度 𝑣𝑥 を持つならば
Λ𝑓 = ℑ 𝑣𝑥(17.3-13)
これらのマクロな乱れのスケールは運動量，熱，物質の乱流輸送に関連して重要であり，対流輸送の主役を演じる大きなスケールの渦のサイズを意味している．

17.4 円管内乱流の速度分布
少し古典的ではあるが，乱流の感覚的な理解には役立つので，充分発達領域における乱流速度分布を誘導してみよう．
層流，乱流に関わらず，管内のせん断応力分布は直線的である：𝑟𝜏𝑟𝑧 = 𝜏𝑤
(17.4-1)
𝑅

半径方向に流速の変化は連続的であるけれども，（連続変化で考えるのは難解であるので）３層モデルの概念を使うことにする：（１）粘性効果が支配的な粘性底層（viscous
sublayer），（２）粘性効果と乱流効果が同じ程度である緩衝層（buffer layer，遷移層とも言う），（３）粘性効果は小さ過ぎて乱流効果が支配的な乱流本体（turbulent core）．固体壁からの効果によって乱流は形成される，すなわち，ある点において時間平均した速度は円管の壁からの距離すなわち局所条件の関数であると考えることができる。したがって，半径ではなくて，壁からの距離 𝑦 = 𝑅 − 𝑟 が横断方向の座標として使われる．
[例 題 17.4-1]
次元解析
乱流せん断層における時間平均の速度分布が，次元解析により，下式のような二つの無次元グループの関数であるべきことを証明せよ．
𝑣𝑥√𝜏𝑤 ⁄𝜌

𝑦 √𝜏𝑤 ⁄𝜌

=𝑓(

𝜈

)

(17.4-E1)

229

円管内乱流の速度分布[解 ]次元解析のために，𝑈 ， 𝑌 を特性的な代表速度と代表長さとして，形式的に速度分
布を次のように表す：
𝑣𝑥
𝑦
=𝑓( )
(17.4-E2)
𝑈
𝑌
時間平均した速度は壁からの局所条件の関数であるから，考えられる物理量に対して未知の指数𝑎, 𝑏, 𝑐 を使って，次のような関数になるであろうと考える：𝑦
𝑀 𝑎 𝑀 𝑏𝑀 𝑐
= 𝑦 𝜏𝑤 𝑎 𝜚𝑏 𝜇𝑐 = 𝐿 ( 2 ) ( 3 ) ( ) = 𝐿1−𝑎−3𝑏−𝑐 𝑀𝑎+𝑏+𝑐 𝑇 −2𝑎−𝑐
𝑌
𝐿𝑇
𝐿
𝐿𝑇

(17.4-E3)式(17.3-E3) の右辺は無次元になるべきだから，
1 − 𝑎 − 3𝑏 − 𝑐 = 0，
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0，
−2𝑎 − 𝑐 = 0
これより
𝑎 = 1⁄2, 𝑏 = 1⁄2, 𝑐 = −1 となる．
この結果は次の無次元距離を意味している：
𝑦=𝑌𝑦 √𝜏𝑤 ⁄𝜚= 𝑦+

𝜈(17.4-E4)

同様に
𝑣𝑥(17.4-E5)
やはり右辺が無次元になるためには， A = − 1⁄2, B= 1⁄2 , 𝐶 = 0 であることがわ
かる．
この結果は次の無次元速度を意味している：
𝑈𝑣𝑥
𝑈= 𝑣𝑥 𝜏𝑤 𝐴 𝜚 𝐵 𝜇𝐶 = 𝐿1−𝐴−3𝐵−𝐶 𝑀𝐴+𝐵+𝐶 𝑇 −1−2𝐴−𝐶=𝑣𝑥√𝜏𝑤 ⁄𝜚

= 𝑢+(17.4-E6)

結果として
𝑢+ = 𝑓(𝑦 + )(17.4-E7)
速度分布関数が上の無次元の関数形を使って表現すべきことがわかった．
上の例題の考え方を使って，円管内乱流の速度分布を求めてみよう．
Viscous sublayer（粘性底層）
管壁に非常に近い領域（非常に薄い層）では，せん断応力は壁での値 𝜏𝑤 からほんの少ししか変化していないので，𝜏𝑤 一定と仮定して，乱流効果も無視小であるとすると，次式となる：𝑑𝑣𝜏𝑤 = 𝜚 𝜈 𝑧(17.4-2)𝑑𝑦
この仮定は粘性底層が非常に薄いので，そこでの速度分布が直線であると仮定しているのと同じである．
変形して
d𝑣𝑧 =

𝜏𝑤
𝜚𝜈

𝑑𝑦

が得られるので，無次元にして積分すると，𝑣𝑧√𝜏𝑤 ⁄𝜚

=𝑦 √𝜏𝑤 ⁄𝜚𝜈

+ 𝐶1

境界条件 𝑣𝑧 = 0 at 𝑦 = 0 を使って，積分定数 𝐶1 = 0 でなければならない．結局，粘性底層における速度分布は次式となった．
𝑢+ = 𝑦 +(17.4-3)∗項 √𝜏𝑤 ⁄𝜚 は速度の次元を持っており，摩擦速度（friction velocity）と呼び， 𝑢 = √𝜏𝑤 ⁄𝜚
とする．

230

乱流輸送現象緩衝層（遷移層）
この領域は層流と乱流の効果が同程度になるので，ここでの速度分布を解析的に求めることは困難である．よく使われる経験式の一つを下に示す：
𝑢+ = −3.05 + 5.00 ln 𝑦 +(17.4-4)
乱流本体
ここでは，乱流の効果が支配的である．
全せん断応力（せん断力の層流成分と乱流成分の和）は，混合距離モデルを使って次のように書ける：𝑑𝑣(𝑡)𝜏𝑟𝑧 = 𝜏𝑟𝑧 = 𝜚 𝑢𝑦′ 𝑙𝑀 𝑧
(17.4-5)𝑑𝑦
横断方向の速度変動の RMS 値 𝑢𝑦′ が軸方向（流れ方向）の速度変動の RMS 値 𝑢𝑧′ に比例すると仮定すると
𝑢𝑦′ = 𝐶2 𝑢𝑧′(17.4-6)
小さな 𝑦 に対して
𝑑 𝑣𝑧
𝑢𝑧′ ≅ 𝐾 𝑙𝑀
(17.4-7)𝑑𝑦
よって次の式が得られる：(𝑡)𝜏𝑟𝑧 = 𝜏𝑟𝑧 = 𝜚 𝑙𝑀 2 (𝑑 𝑣𝑧 2)𝑑𝑦(17.4-8)上の数値となる係数 𝐶2 と 𝐾 は未知の混合距離 𝑙𝑀 の中に吸収してもよいからせん断応力分布から
𝑅−𝑦) = 𝜚 𝑙𝑀 2 (𝑑 𝑣𝑧 2)(17.4-9)

一方，円管内乱流の運動方程式は次のように書かれる：𝑃 −𝑃
1 𝑑(𝑟 𝜏𝑟𝑧 )0= 0 𝐿−(17.4-10)

𝜏𝑟𝑧 = 𝜏𝑤 (

𝑅

𝐿

𝑑𝑦

𝑟 𝑑𝑟

(𝑙)
(𝑡)
ここで全せん断応力 𝜏𝑟𝑧 = 𝜏𝑟𝑧+ 𝜏𝑟𝑧 である．
境界条件 𝜏𝑟𝑧 = 0 at 𝑟 = 0 を使って，上の方程式を積分すると次式が得られる：

𝜏𝑟𝑧 =すなわち壁面せん断応力は
𝜏𝑤 =(𝑃0 − 𝑃𝐿 )𝑅(𝑃0 − 𝑃𝐿 )𝑅 𝑟
𝑟
= 𝜏𝑤
2𝐿
𝑅
𝑅

(17.4-11)2𝐿

この式は，層流か乱流かに関わらず，管壁での摩擦力が流れの断面に作用する圧力と釣り合っていることを意味している．乱流の速度分布が流れの断面のほとんどの部分でほとんど平坦であり，残る壁近傍において急傾斜の速度変化が起きることはよく知られている．
そこで Prandtl はせん断応力 𝜏𝑟𝑧 が管壁での値𝜏𝑤 からそれほど大きくは変化しないと仮定をして𝜏𝑟𝑧 ≅ 𝜏𝑤 = 𝜚 𝑙𝑀 2 (𝑑 𝑣𝑧 2𝑑𝑦)(17.4-12)

この仮定が粘性底層ではなくては乱流本体においてもなされたことは，非常に大胆な推算と見做すべきである．
さらに，彼は混合距離 𝑙𝑀 が壁からの距離 y に比例すると仮定した．
𝑙𝑀 = 𝜅 𝑦(17.4-13)
このようにして，解くべき方程式は次のようになった：
𝜏𝑤

𝑑𝑣

2

= 𝜅 2 𝑦 2 ( 𝑑𝑦𝑧 )𝜌𝑢∗ = √𝜏𝑤 ⁄𝜚
𝑑 𝑣𝑧
𝑑𝑦

𝑢∗

= 𝜅𝑦

(17.4-14)だから平方根をとって(17.4-15)231

円管内乱流の速度分布

緩衝領域の外縁 𝑦𝑏 （乱流本体の内縁）から積分すると
1𝑦𝑣𝑧 − 𝑣𝑧,𝑏 = 𝜅 𝑢∗ ln 𝑦𝑏(17.4-16)

無次元の形にすると
𝑢+ − 𝑢𝑏+ =

1

𝑦+

ln 𝑦+
𝜅

(17.4-17)𝑏

このような結果から次のようなことが予測できる．すなわち，実験で得られる乱流の速度分布が縦軸 𝑢+ ，横軸 𝑦 + の座標において普遍的な分布曲線を与えること，乱流本体においては対数分布式になり，管壁近くの粘性底層においては直線の分布式になることを予測できる．最終的にまとめると，経験的に得られる普遍速度分布は次式のように表すことができる：
Viscous sublayer𝑦+ ≤ 5𝑢+ = 𝑦 +(17.4-18)
Buffer layer
5 ≤ 𝑦 + ≤ 30 𝑢+ = −3.05 + 5.0 ln 𝑦 +(17.4-19)+++
Turbulent core𝑦 ≥ 30
𝑢 = 5.5 + 2.5 ln 𝑦(17.4-20)
多くの実験データから，不変定数 𝜅 = 0.4 であることが知られている．上の普遍速度分
布半経験則は時間平均速度によるレイノルズ数の広い範囲 𝑅𝑒 > 20,000 で正当であることも知られている．しかしながら，３層モデルは層の両端で渦拡散係数 𝜀𝑀 が不連続になる
こと，そして管中心で速度勾配が 0 でないことは注意すべきである．と言うのは，３層の境界で速度勾配が連続になるべきとの条件を考慮に入れていないからである．特に，式(17.4-20) が管中心における実際の境界条件 𝜕𝑣𝑧 ⁄𝜕𝑟 = 0 at 𝑟 = 0 に適合していないことである．管中心部を議論する時には，注意を要する．
[ 問 題 17.4-P1] 円管内流の普遍的速度分布式のセット，式 (17.4-18~20) が得られている．
𝑢+ vs. log 𝑦 + からなる半対数座標を使って，壁からの無次元距離に対して無次元速度の分 布 を プ ロ ッ ト せ よ ． 今 ， 内 径 𝐷𝑖 = 1.0 m の 円 管 内 を ニ ュ ー ト ン 流 体(𝜌 = 1,000 kg⁄m3 , 𝜇 = 0.0012 Pa s) が断面平均速度 〈𝑣𝑧 〉 = 1.5 m⁄s で流れている．流体
摩擦係数は幾らか．また壁面摩擦応力は幾らか．乱流の充分発達領域において，時間平均の軸方向速度の半径方向の分布 𝑣𝑧 ⁄〈𝑣𝑧 〉 vs. 𝑟⁄𝑅 を求めよ．

17.5 乱流構造と乱流渦の役割
17.5-1 円管内流の乱流構造
もう一度，化学工学プロセスの観点から，円管内乱流について学ぼう．図 17.5-1 は乱流強度とレイノルズ応力の半径方向の分布を示している．
流れの大部分の流域では，速度変動の軸方向成分の乱流強度 𝑣𝑧 ′2 は 他の方向の成分の乱流強度 𝑣𝜃 ′2 , 𝑣𝑟 ′2 よりずっと大きく，管壁近傍で最大になる．しかし，管中心に近づく
につれて，流れはほぼ等方性になる： 𝑣𝑧 ′2 = 𝑣𝜃 ′2 = 𝑣𝑟 ′2 ．
乱流強度だけでなく，レイノルズ応力もまた，管壁近傍で最大値を示す．だから，このことは緩衝層（buffer layer）が乱れの運動エネルギーの発生源であることを暗示している．
乱れの運動エネルギー 𝑣𝑧 ′2 は主として緩衝層(𝑦 + ≅ 15) において， レイノルズ応力− 𝑣𝑟 ′𝑣𝑧 ′ を通して，時間平均速度の勾配 𝜕𝑣𝑧 ⁄𝜕𝑟 から生産される． そこでは速度勾配
𝜕𝑣𝑧 ⁄𝜕𝑟 もレイノルズ応力 − 𝑣𝑟 ′𝑣𝑧 ′ も非常に大きいからである．

232

乱流輸送現象図 17.5-1. 乱流強度とレイノルズ応力の半径方向分布の模式図

この領域にて生じる大きな乱流渦はエネルギー含有渦 “ energy-containing eddies” と呼ばれる．と言うのは、この渦がエネルギースペクトルにおいて一番大きなエネルギー密度
𝐸1 (𝑛)𝑚𝑎𝑥 を持っているからである．
積分スケール Λ𝑓 は大きさが大きいエネルギー含有渦のサイズによって主に決まってくる．充分発達した流れでさえも，エネルギー含有渦よりずっと小さいエネルギーしか持っていないが，大きさがもっと大きな永続的な渦も存在する．一方，壁近くでは，エネルギー含有渦（低周波数）から小さい渦へもっと小さい渦（高い周波数，もっと高い周波数）へとスペクトル上のエネルギーの移動が起きている．
乱れのエネルギーの生産速度は粘性によるエネルギーの消散速度とほぼ動的に平衡状態になる．この動的エネルギーバランスが第 20 章の撹拌槽のスケールアップ設計の原理に利用されている．
それでもなお，残りの乱れの運動のエネルギーのエネルギー生産域から管中心に向けての乱流拡散の流束が存在する．これが乱れエネルギーの発生源が存在しない管中心部への乱れエネルギーの唯一の供給となっている．このように，乱流拡散によって輸送されるエネルギーは粘性消散によって消費されてしまうのである．このことは ，エネルギー生産域（緩衝層）におけるエネルギー含有渦は管中心部の渦よりずっと大きいが，エネルギー
生産域における消散渦は管中心部の渦よりずっと小さいのである．乱流本体における大きな渦は z-方向（流れ方向）に引き延ばされる．z-方向の積分スケールΛ𝑓 は r-方向とθ-方向の積分スケール Λ𝑔 より大きい．例えば，高いレイノルズ数域では，Λ𝑓 は 0.5 R のオーダーであるが， Λ𝑔 は 0.2 R のオーダーである．（R は円管の半径）17.5-2 輸送プロセスにおける乱流渦の役割
熱や物質の輸送を含む種々のプロセスを学ぶ時，流体粒子（小さい渦）を流体塊（大きな渦）と区別して考える必要がある．
流体粒子は流体の非常に小さな体積（ミクロスケールのオーダー）ではあるが，流体の分子の平均自由行程よりははるかに大きい．そのような流体粒子内では，速度，温度，濃度などは一様であると仮定している．流体塊（fluid lump）は非常に大きな体積の流体で乱流構造と乱流渦の役割

233あり，非常に多くの流体粒子から構成されている．そのような流体塊の大きさは積分スケ
ールのオーダーであり，乱流流れ場の幅と同程度の大きさである．（例えば，パイプ内流れでは半径，自由噴流流れでは半値幅の 1/2 ，境界層流れでは境界層の厚さのオーダーである．）
普通の乱流では，運動量，熱，物質の乱流輸送は流体塊によって大体，支配されている．
しかしながら，熱，物質の輸送における支配的な役割をしている乱流渦のサイズは運動量輸送を支配している渦のサイズとは少し異なっているようである．
乱流拡散は化学工学におけるもっとも重要な因子の一つである．化学工学者は熱や物質の輸送速度を加速すると同時に流体混合物を混ぜたり，一様にするために乱流効果を利用している． 化学反応速度はしばしば乱流混合によって加速されている．異相系の化学反応，例えば撹拌槽における液―液反応 は分散する液体粒子（液滴）と周囲の渦との相対的な大きさが反応速度との関係で重要なファクターとなる．もし装置内のレイノルズ数を上昇したら，積分スケール（大きな渦）はほとんど一定のままであるが，ミクロスケール
がもっと小さくなる傾向がある：つまり相対的に高いレイノルズ数における乱流は細かい
小さなスケールの乱流構造となる．燃焼プロセスもまた乱れが関わっており，しばしば乱流混合と燃料ガスと酸化剤の拡散に依存している．ボイラーのパイプ内におけるミストの場合，小さな水滴と水蒸気流の乱流渦の相対的大きさ が，水滴の加熱壁への乱流拡散を考える際に重要なファクターとなるかも知れない．
このテキストでは，異相間の界面を通しての熱と物質の輸送の勉強に主に境膜理論を採用している．
しかしながら，最近の流体力学の研究は界面近傍の乱流渦運動に注目していることを記
憶に留めておくべきである．物質輸送速度を支配する大きなエネルギー含有渦の観点から，
気液界面近くでの物質輸送の挙動を乱流エネルギースペクトルと 関係づけようとする多くの試みがある．
ごく最近では，円管流のように壁に囲まれた乱流の壁近傍領域にコヒーレントな（組織化された）“coherent” (or well-ordered) な構造が存在することが可視化技術の発達のお陰で例証されて来ている：すなわち，壁と壁から離れた流域との間の断続的な大きなスケールの相互作用が存在することを見出している．例えば，遅い速度の流脈が引き延ばされる
縦渦状構造になって，壁から舞い上がる（lifted up）現象を ejection と言っている． その次に，壁から離れた速い速度の流体層が壁を掃くように舞い降りて来る（sweep）現象をバースティング“bursting”と言っている． このような断続的かつ組織的な運動がみだれの生産や乱流輸送において重要な役目をしている．異相間輸送速度を流体塊の界面近くでの断続的な bursting 運動による更新と結び付けようとする試みも出てきている．
記

号

表

𝐶𝐴
𝐶𝑝

成分 A のモル濃度, [kmol/m3]
熱容量, [J/kg K]

𝐸1 (𝑛)𝑓(𝑟)𝑔(𝑟)１次元エネルギースペクトル（エネルギー密度関数）, [ - ]流れ方向の速度相関係数, [ - ]横断方向の速度相関係数, [ - ]𝐼𝑗𝑙𝑀 , 𝑙𝐻 , 𝑙𝐷
𝑙𝐿
𝑝
𝑞
𝑅

電流, [A]
モル物質流束, [kmol/m2s]
運動量，熱，物質の混合距離, [m]ラグランジュの積分スケール, [m]
圧力, [Pa]
熱流束, [J/m2s]
電気抵抗, [Ω] または パイプ半径, [m]234

乱流輸送現象

𝑅𝑒
𝑅𝐿2
𝑟
𝑇
𝑇𝑢
𝑡
𝑢∗

レイノルズ数, [ - ]ラグランジュの相関, [ - ]半径座標, [m], または 観測２点間の距離, [m]
温度, [K]
乱流強度, [ - ]時間, [s]
摩擦速度, [m/s]𝑢+

無次元速度 =

𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧
x, y, z直角座標系の各速度成分, [m/s]直角座標系, [m]𝑦+壁からの無次元距離 =𝑣𝑧√𝜏𝑤 ⁄𝜚

𝑦 √𝜏𝑤 ⁄𝜚
𝜈Δ𝑀
運動量の欠損（または取得）, [kg/m2s]
𝜀𝑀 , 𝜀𝐻 , 𝜀𝐷 運動量，熱，物質の各渦拡散係数, [m2/s]𝜅
熱伝導度, [W/m K]
Λ𝑓
オイラーの流れ方向の積分スケール, [m]

Λ𝑔
𝜇
𝜈
𝜌
𝜏

ℑ2

オイラーの横断方向の積分スケール, [m]
粘度, [kg/m s]
動粘度または運動量の拡散係数, [m2/s]:
密度, [kg/m3]
運動量流束またはせん断応力, [kg/s2m] or [N/m2] または時間差, [s]時間スケール, [s]上付き添え字
‘
変動量
(l)
(t)

時間平均
層流
乱流

下付き添え字
A

成分 A

w

壁

第１８章
境界層理論
18.1 流れ関数 1)２次元の非圧縮性流れ（ ρ = const , 𝑎𝑛𝑑 𝜕 ⁄𝜕𝑧 = 0）の場合， 直角座標系の連続の式と運動方程式は次のように与えられる：
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥

𝜕𝑣𝑦

(18.1-1)+ 𝜕𝑦 = 0

𝜕𝑣

𝜕𝑣

1 𝜕𝑝

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑦

1 𝜕𝑝

𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 = − 𝜌 𝜕𝑥 + 𝜈 (𝜕 2 𝑣𝑥
𝜕𝑥 2
𝜕 2 𝑣𝑦𝜕𝑥 2𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦 = − 𝜌 𝜕𝑦 + 𝜈 (++𝜕 2 𝑣𝑥
𝜕𝑦2
𝜕 2 𝑣𝑦𝜕𝑦 2)(18.1-2))(18.1-3)

この１組の方程式は，流れ関数 “stream function” と呼ばれる，新しい関数 𝜓(𝑥, 𝑦) を導入することによって一つの未知変数に関する一方程式に簡単化できる．
その新しい関数は連続の式を自動的に満足するように，次のように定義される：
𝜕𝜓𝜕𝜓

𝑣𝑥 = 𝜕𝑦 and 𝑣𝑦 = − 𝜕𝑥(18.1-4)

流れ関数 𝜓 は 𝑥 と 𝑦 の関数であるから，全微分は
𝑑𝜓 =

𝜕𝜓
𝜕𝜓
dx +
dy = − 𝑣𝑦 dx + 𝑣𝑥 dy𝜕𝑥𝜕𝑦もし 𝜓 = const (i.e., 𝑑𝜓 = 0) ならば𝑑𝑦|𝑑𝑥 𝜓=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑣𝑦

= 𝑣

𝑥

(18.1-5)

𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 なる経路は流線を表しているとみられるのは，流線が速度ベクトルに対して接しているからである．ここで速度ベクトルは次式である：
𝑣⃗ = 𝑣𝑥 𝑖⃗ + 𝑣𝑦 𝑗⃗(18.1-6)
図 18.1-1 は流れ関数の定義を説明している．

図 18.1-1. 流れ関数𝝍 の定義

236

境界層理論

式 (18.1-2) を𝑦 に関して，式 (18.1-3) を 𝑥 に関して微分し，これら二つの方程式から圧力項を消去すると，
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦𝜕𝜕𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦+−+ 𝑣𝑦 ) (−()() + (𝑣𝑥
)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑥

= 𝜈 (

𝜕𝑣𝑦
𝜕2
𝜕2
𝜕𝑣
+ 2) ( 𝑥 −
)
2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥

(18.1-7)

次に， 𝜓 を式 (18.1-6) に代入すると
𝜕𝜓 𝜕
𝜕𝜓 𝜕
𝜕 2𝜓 𝜕 2𝜓
𝜕2
𝜕2
𝜕 2𝜓 𝜕 2𝜓
(−)( 2 +
)
=
𝜈
(
+
)
(
+
)
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2

これにより，未知の関数 𝜓 に関する４次の微分方程式を得る：−

𝜕(𝜓,∇2𝜓)𝜕(𝑥,𝑦)= 𝜈 ∇4 𝜓(18.1-8)

それでもなお，これの一般解を得ることは，非線形性のために非常に難しい．
ここで使っている微分記号は下記のものである．
𝜕2

𝜕2

𝜕2

𝜕2

𝜕2

𝜕2

∇2 = 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2 and ∇4 = (𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2 ) (𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2)𝜕𝑓⁄𝜕𝑥
𝜕(𝑓,𝑔)= |𝜕(𝑥,𝑦)
𝜕𝑔⁄𝜕𝑥(18.1-9)𝜕𝑓⁄𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑔 𝜕𝑓 𝜕𝑔|=−
𝜕𝑔⁄𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥

２次元流 (i.e., 𝑣𝑧 = 0 and 𝜕 𝑣𝑟 ⁄𝜕𝑧 = 𝜕 𝑣𝜃 ⁄𝜕𝑧 = 0) に対する円柱座標系での方程式は次のようになる：1 𝜕(𝜓,∇2𝜓)−𝑟

𝜕(𝑟,𝜃)= 𝜈 ∇4 𝜓(18.1-10)
∇2 =

𝜕2
1 𝜕
1 𝜕2
+
+
𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝜃 2

円柱座標系での流れ関数 𝜓 の定義は下式になる：
1 𝜕𝜓𝜕𝜓
𝑣𝑟 = 𝑟 𝜕𝜃 and 𝑣𝜃 = − 𝜕𝑟

この章で学んでいる，境界層，そして流線や流脈によって層流や乱流をイメージすれば，実験して観察している時や装置開発をしている時に，いろいろな装置の流れを感覚的にも理解し易くなると考えられる．
[ 問 題 18.1-1]
粘度なし流体（完全流体と言う）の一様な流れの中に垂直に円柱（半径 𝑅）を固定している時，流れ関数は次のように求められている：
𝑅2

𝜓 = 𝑣∞ (𝑟 − 𝑟 ) sin 𝜃

円柱の半径の式 𝑟 = 𝑅 自身も円を描くから，一つの流線でなければならない．円柱周りの流線を描け．速度成分 𝑣𝑟 and 𝑣𝜃 を求めよ．

237

平板に沿う層流の境界層理論

18.2 平板に沿う層流の境界層理論 2)
この例は，（下流へ流れて行くにつれて）発達して行く流れにおいて摩擦係数やヌッセ
ルト数がどのように局所的に変化して行くかを理解するために，非常に役立つものである．
図 18.1-2 に示されているように，平板は一定壁温度 𝑇𝑤 一定に加熱されている． 自由流
れは，一様速度 𝑣∞ ，一様温度 𝑇∞ を持っており，平板に平行に接近し，平板に沿って流下する．速度境界層の厚さは次のように定義される．
通常，境界層厚さ 𝛿 は，自由流れの速度 𝑣∞ の 99% に到達する平板表面からの距離としている．同様に，温度境界層の厚さ 𝛿𝑇 は自由流れの温度 𝑇∞ の 99% に到達する境界層外縁、までの距離としている．
ここで展開する境界層理論で，局所の摩擦係数とヌッセルト数を局所のレイノルズ数の項で表す式を導いてみよう．
1.
2.

Bird, R. B., Stewart, W. E., and Lightfoot, E. N., “Transport Phenomena,” Wiley, New York (1960)
Schlichting, H., “Boundary Layer Theory,” 4th ed., McGraw-Hill, New York (1960)

図 18.2-1. 加熱された平板に沿う境界層流れ（接近する流体の速度も温度も一様）

局所レイノルズ数とは平板先端（leading edge と言う）から平板に沿って下流へ移動した距離 𝑥 を使った次の式で定義される：
𝑣 𝑥
𝑅𝑒𝑥 = ∞𝜈
(18.2-1)
長さレイノルズ数（length Reynolds number と言う）と呼ばれている．
次の二つの２次元流の方程式を適用できる：
𝜕𝑣

𝜕𝑣

1 𝜕𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝜕2 𝑇

𝜕2 𝑣

𝜕2 𝑣

𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 = − 𝜌 𝜕𝑥 + 𝜈 ( 𝜕𝑥2𝑥 + 𝜕𝑦2𝑥 )𝜕2 𝑇𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦 = 𝛼 (𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2)
ここで二つの拡散係数 𝜈 = 𝜇 ⁄𝜌 ，𝛼 = 𝜅⁄𝜌 𝐶𝑝 である．
境界層より外側の自由流れの速度と圧力は下式のように維持されている：
𝑑𝑃
𝑣∞ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 and 𝑑𝑥 = 0
扱い易くするために，温度 𝑇 を温度差 𝑇𝑤 − 𝑇 に置き替える．

(18.2-2)(18.2-3)

238

境界層理論

レイノルズ数が十分に大きい時，境界層の厚さは流れ方向距離 x に比して非常に小さい．
だから x-方向速度𝑣𝑥 ，温度𝑇𝑤 − 𝑇の変化は y 方向よりも x 方向の方がずっと小さい．
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑇

≪ 𝜕𝑦𝑥 and 𝜕𝑥 ≪ 𝜕𝑦

解くべき境界層方程式は次のように簡単化された：
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥

𝜕𝑣

(18.2-4)+ 𝜕𝑦𝑥 = 0𝜕𝑣

𝜕𝑣𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 = 𝜈𝑣𝑥𝜕(𝑇𝑤 − 𝑇)𝜕𝑥+ 𝑣𝑦

𝜕 2 𝑣𝑥𝜕𝑦 2

𝜕(𝑇𝑤 − 𝑇)𝜕𝑦(18.2-5)= 𝛼

𝜕 2 (𝑇𝑤 − 𝑇)𝜕𝑦 2

(18.2-6)

もしもプラントル数が 1 (unity) ならば，i.e., Pr = 1, 式 (18.2-5)と式 (18.2-6) は形が同じになる．このことは，得られる無次元の速度分布と無次元の温度分布が重なって，一致することを意味している．
連続の式，式 (18.2-4) から
𝑦 𝜕𝑣𝑥

𝑣𝑦 = − ∫0𝜕𝑥(18.2-7)𝑑𝑦

この式を式 (18.2-5) と式 (18.2-6) に代入すると
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕2 𝑣

𝑦 𝜕𝑣

(18.2-8)𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 − 𝜕𝑦𝑥 ∫0 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦 = 𝜈 𝜕𝑦2𝑥𝑣𝑥

𝜕(𝑇𝑤 − 𝑇)𝜕𝑥−𝜕(𝑇𝑤 − 𝑇)𝜕𝑦𝑦 𝜕𝑣∫0 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦 = 𝛼

𝜕 2 (𝑇𝑤 − 𝑇)𝜕𝑦 2

(18.2-9)境界条件は下の４つである：
B.C.1 𝑦 = 0: 𝑣𝑥 = 0
B.C.2 𝑦 = 𝛿: 𝑣𝑥 = 𝑣∞
(18.2-10)
B.C.3 𝑦 = 0: 𝑇𝑤 − 𝑇 = 0
B.C.4 𝑦 = 𝛿𝑇 : 𝑇𝑤 − 𝑇 = 𝑇𝑤 − 𝑇∞(18.2-11)
速度分布および温度分布はそれぞれ，リーディングエッジ（平板先端）からの種々の位置で相似であると仮定しても妥当である．このことは，種々の位置での速度分布の曲線と温度分布の曲線が自由流れの速度𝑣∞ と温度差 𝑇𝑤 − 𝑇∞ および境界層厚さ 𝛿 と 𝛿𝑇 を選んでやれば，互いに一致させることができることを暗示している．そこで，
速度分布，温度分布における相似性の原理を適用できるように，各変数を解析的に次のように表現する：𝑣𝑦𝜙 (𝜂 ) = 𝑣 𝑥
𝜂 = 𝛿(𝑥)(18.2-12)∞

𝑇 −𝑇

Θ(𝜂𝑇 ) = 𝑇 𝑤− 𝑇𝑤∞𝑦𝜂𝑇 = 𝛿 (𝑥)𝑇(18.2-13)

図 18.2-2 相似性変換に基づいた速度および温度の分布の形

境界層厚さ 𝛿 ，𝛿𝑇 は x の関数である． 式 (18.2-12) と式 (18.2-13) は変数変換のための非常に重要な変数の１セットを構成している．これを相似性変換と呼んでいる．さらに境

平板に沿う層流の境界層理論

239

（続）

界層厚さの比 𝛿𝑇 ⁄𝛿 が発達距離 𝑥 に無関係な定数であると仮定する．
Δ = 𝛿𝑇 ⁄𝛿 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(18.2-14)
これらの新しい変数を使って，境界層方程式は次のように変数変換される：
𝜕𝑣𝑥
𝑣∞ 2 𝑑 𝛿𝑣𝑥= − 𝜂 𝜙′ 𝜙
𝜕𝑥
𝛿 𝑑𝑥
−

𝜂
𝜕𝑣𝑥 𝑦 𝜕𝑣𝑥
𝑣∞ 2 𝑑 𝛿∫
𝑑𝑦 = (𝜙 ′ ∫ 𝜂 𝜙 ′ 𝑑𝜂 )𝜕𝑦 0 𝜕𝑥
𝛿 𝑑𝑥
0

𝜕 2 𝑣𝑥𝑣∞= 𝜈 2 𝜙"2𝜕𝑦𝛿
それによって式 (18.2-8) は次のようになる：𝜈𝜂

(𝜙 ′ ∫0 𝜂 𝜙 ′ 𝑑𝜂 − 𝜂 𝜙 ′ 𝜙)𝛿

𝑑𝛿

ここに 𝜙 ′ = 𝑑𝜙⁄𝑑 𝜂 である．
𝛿𝑇 = 𝛿 ∆ を使って
𝑣𝑥

𝜕(𝑇𝑤 − 𝑇)𝜕𝑥= − 𝜂𝑇 Θ′ 𝜙

𝜈(18.2-15)= 𝑣 𝜙"𝑑𝑥∞

𝑣∞ (𝑇𝑤 −𝑇∞ ) 𝑑 𝛿𝛿𝑑𝑥𝜂𝜕(𝑇𝑤 − 𝑇) 𝑦 𝜕𝑣𝑥𝑣 (𝑇𝑤 −𝑇∞ ) 𝑑 𝛿−∫0 𝜕𝑥 𝑑𝑦 = Θ′ ∫0 𝜂 𝜙 ′ 𝑑𝜂 ∞ ∆𝛿𝜕𝑦𝑑𝑥𝜕 2 (𝑇𝑤 − 𝑇)𝛼(𝑇𝑤 − 𝑇∞ ) "
𝛼
=
Θ
2
𝜕𝑦
∆2 𝛿 2

したがｙって，式 (18.2-9) は
Θ′ 𝜂
𝑑𝛿
𝛼
∫ 𝜂 𝜙 ′ 𝜙 𝑑𝜂 − 𝜂 𝑇 Θ′ 𝜙] 𝛿 𝑑𝑥 = 𝑣 Θ"∆ 0∞
ここに 𝛩′ = 𝑑𝛩⁄𝑑𝜂 𝑇 である．

(18.2-16)∆2 [If 式 (18.2-15) を平板表面から境界層外縁までの境界層厚さ(from 𝜂 = 0 to 1) にわたって積分すると，𝛿 に関する 1 階の常微分方程式を得ることができる：
1

𝜂

𝑑𝛿

𝜈

∫0 (𝜙 ′ ∫0 𝜂 𝜙 ′ 𝑑𝜂 − 𝜂 𝜙 ′ 𝜙) 𝑑𝜂 𝛿 𝑑𝑥 = − 𝑣 𝜙′(0)(18.2-17)∞

ここで境界条件 𝜕𝑣𝑥 ⁄𝑦 = 0 at 𝑦 = 𝛿 が適用された．もし速度分布関数 𝜙(𝜂) がわかっているならば，上の方程式は解ける．そこで，４次の多項式を仮定する：
𝜙 (𝜂 ) = 𝑎 + 𝑏 𝜂 + 𝑐 𝜂 2 + 𝑑 𝜂 3 + 𝑒 𝜂 4(18.2-18)
５個の未知定数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 を評価するために必要な５個の境界条件は図 18.2-3 に示すような近似的な分布関数を仮定して得ることができる．

B.C.1 𝜂 = 0 ∶ 𝜙 = 0
B.C.2 𝜂 = 0 ∶ 𝜙" = 0
B.C.3 𝜂 = 1 ∶ 𝜙 = 1
B.C.4 𝜂 = 1 ∶ 𝜙′ = 0
B.C.5 𝜂 = 1 ∶ 𝜙" = 0

図 18.2-3. 近似の速度分布関数

２番目の境界条件は境界層方程式の𝑦 → 0 の極限をとることによって得られる．この条
件は速度 𝑣𝑥 の壁での２回微分値が圧力勾配に等しいことを述べている．５番目の条件は速度分布の曲線が境界層の外縁（𝑦 = 𝛿）で変曲点を持つことを意味している．

240

境界層理論

このようにして，次式の近似の速度分布関数が得られた：
𝜙 (𝜂 ) = 2 𝜂 − 2 𝜂 3 + 𝜂 4
これを 式 (18.2-17) に代入して積分項を計算すると
𝑑𝛿

630 𝜈

𝛿 𝑑𝑥 =(18.2-19)(18.2-20)

37 𝑣∞

この常微分方程式を 𝑥 に関して積分すると1260 𝜈

𝛿= √

37 𝑣∞

(18.2-21)𝑥

ここの計算では初期条件 (at 𝑥 = 0, 𝛿 = 0) が適用された．
この場合の局所の流体摩擦係数𝑓𝑥 は次式のように定義される：
𝜏 (𝑥)(18.2-22)

𝑓𝑥 = 1 𝑤
2𝜌 𝑣∞ 2多項式の速度分布関数をニュートンの粘性の法則に適用すると
𝜕𝑣

𝜇𝑣

𝜏𝑤 (𝑥 ) = 𝜇 𝜕𝑦𝑥 |𝑦=0

37 𝜌𝜇 𝑣∞ 3∞
= 𝛿(𝑥)
𝜙 ′ (0) = √315

(18.2-23)𝑥

これを式 (18.2-22) に代入して，局所の摩擦係数は長さレイノルズ数の関数で得ることが
できる：
𝑓𝑥 =

√148⁄315√𝑣∞ 𝑥⁄𝜈≅

0.685(18.2-24)

𝑅𝑒𝑥 1/2

温度の境界層に関しては，速度分布関数の多項式近似の場合と同じやり方で，次の近似の多項式を得ることができる：
𝛩(𝜂𝑇 ) = 2 𝜂𝑇 − 2 𝜂𝑇 3 + 𝜂𝑇 4
(18.2-25)
境界層厚さ比 ∆ には二つの可能性がある： ∆ ≤ 1 and ∆ ≥ 1 ． すなわち，Pr = 1 ならば， ∆ = 1 になる．ここでは温度境界層が速度境界層より薄いケース（∆ ≤ 1）について考えよう．
𝜂 と 𝜂𝑇 の間の関係は
𝜂 = 𝜂𝑇 ∆(18.2-26)であるから，式.(18.2-16) を境界層厚さ (from 𝜂𝑇 = 0 to 1) にわたって積分すると
1 Θ′∆2 ∫0 [

∆

𝜂𝑇 ∆

∫0

𝜂 𝜙 ′ 𝜙 𝑑𝜂 − 𝜂𝑇 Θ′ 𝜙(𝜂𝑇 ∆)] 𝑑𝜂𝑇 𝛿

𝑑𝛿
𝑑𝑥

= −

𝛼
𝑣∞

Θ′ (0)(18.2-27)

ここで 境界条件 (𝜕𝑇⁄𝜕𝑦 = 0 at 𝑦 = 𝛿𝑇 ) を適用した．
式(18.2-27) を式(18.2-17) で割って1 Θ′ 𝜂𝑇 ∆𝜂 𝜙′ 𝜙 𝑑𝜂− 𝜂𝑇 Θ′ 𝜙(𝜂𝑇 ∆)]𝑑𝜂𝑇
∫
∆ 0
1
𝜂
∫0 (𝜙′ ∫0 𝜂 𝜙′ 𝑑𝜂 − 𝜂 𝜙′ 𝜙)𝑑𝜂

∆2 ∫0 [=

1 Θ′ (0)𝑃𝑟 𝜙′(0)式(18.2-19) と式 (18.2-25) を式.(18.2-28)に代入して，その積分を計算すると
31
37 1∆3 − 280 ∆5 + 360 ∆6 = 630 𝑃𝑟 (∆ ≤ 1)
15
1

この６次式は次式により誤差 5% 以内で近似することができる：∆ = 𝑃𝑟 −1⁄3
フーリエの法則によれば
𝜕𝑇2𝜅
𝑞𝑥 (𝑥 ) = 𝜅 |=(𝑇𝑤 − 𝑇∞ )𝜕𝑦 𝑦=0∆𝛿

局所伝熱係数と局所ヌッセルト数を次のように定義する：
𝑞𝑤 = ℎ𝑥 (𝑇𝑤 − 𝑇∞ )ℎ 𝑥
𝑞 𝑥
𝑁𝑢𝑥 = 𝜅𝑥 = 𝜅 (𝑇 𝑤− 𝑇 )𝑤∞(18.2-28)(18.2-29)(18.2-30)(18.2-31)(18.2-32)(18.2-33)

式. (18.2-21), 式(18.2-30), と式 (18.2-31)を使うと，式(18.2-33) は次のようになる：

平板に沿う層流の境界層理論

2

（続）

37

𝑁𝑢𝑥 = ∆ 𝛿 = 2 √1260 𝑅𝑒𝑥 1⁄2 𝑃𝑟 1⁄3 = 0.343 𝑅𝑒𝑥 1⁄2 𝑃𝑟 1⁄3

241(18.2-34)

ここで導入した境界層理論により，局所の摩擦係数が局所のレイノルズ数（長さレイノルズ数）の平方根に逆比例すること，局所のヌッセルト数が局所レイノルズ数の平方根とプラントル数の 1/3 乗に比例することなどが明らかになった．
伝熱に関する j-因子（j-factor for heat transfer）の定義は次式である：
𝑁𝑢
𝑗𝐻𝑥 = 𝑅𝑒 𝑃𝑟𝑥1⁄3(18.2-35)

j-ファクターが式(18.2-34) によって計算できるならば
0.343
𝑗𝐻𝑥 =
1⁄2

(18.2-36)

式(17-2-24) から
𝑓𝑥
0.343
=
1⁄2
2

(18.2-37)

𝑥

𝑅𝑒𝑥

𝑅𝑒𝑥

運動量と熱の輸送の間のアナロジー（相似性）式 𝑗𝐻 = 𝑓𝑥 ⁄2 が，平板に沿う層流の境界層での運動量と熱の輸送の間に明確に成立することが例証された．
この平板に沿う境界層の解析法を同様に物質移動に適用すると，層流の場合，次の結果を得ることができる：
𝑆ℎ𝑥 = 0.343 𝑅𝑒𝑥 1⁄2 𝑆𝑐 1⁄3(18.2-38)
ここでシャーウッド数は次のように定義される：
𝑐𝑘 𝑥
𝑆ℎ𝑥 = 𝐷 𝑥
(18.2-39)
𝐴𝐵

チルトン・コルバーンの相似則（Chilton-Colburn analogy）が伝熱と物質移動の間に存在することも確認できた：
𝑗𝐷 = 𝑗𝐻(18.2-40)
ここで物質移動の j-因子（j-factor for mass transfer）の定義は
𝑆ℎ𝑗𝐷𝑥 = 𝑅𝑒 𝑆𝑐𝑥1⁄3(18.2-41)𝑥

似たような解析法が乱流の境界層流れの場合にも存在する．その境界層理論も運動量と熱の輸送の間にアナロジーがあるとする有益な概念を与えるものである．
第 8 章の円管内流れにおける対流伝熱の節でも，類似のアナロジー式(8.2-14) を提示していることを付記する．

18.3 境界層流の積分方程式
18.3-1 平板に沿う層流の境界層流の運動量積分方程式
境界層方程式の厳密解を得るのは普通，困難である．
この困難を克服する近似解法が存在する．
x-方向に流れる定常２次元流れに関する境界層方程式は次式のように与えられる：
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝑑𝑝

𝜕2 𝑣

𝜌 (𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 ) = − 𝑑𝑥 + 𝜇 𝜕𝑦2𝑥

(18.3-1)

外部流れ（粘性なしを仮定するポテンシャル流と言う）の運動方程式は𝑑𝑣𝑑𝑝
𝜌 𝑣∞ 𝑑𝑥∞ = − 𝑑𝑥

(18.3-2)

242

境界層理論

（前節の平板に沿う境界層の外側の流れも一種のポテンシャル流であった）
式 (18.3-2) を式 (18.3-1) に代入して
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕2 𝑣

𝑑𝑣

(18.3-3)𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 = 𝑣∞ 𝑑𝑥∞ + 𝜈 𝜕𝑦2𝑥

この方程式を y に関して，y = 0 （壁） から 𝑦 = 𝛿 （境界層外縁）まで積分すると
𝛿

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑣 𝛿

𝑑𝑣

𝜏

∫0 (𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 − 𝑣∞ 𝑑𝑥∞ ) 𝑑𝑦 = 𝜇 𝜕𝑦𝑥 | = − 𝜌𝑤
𝑦 𝜕𝑣

連続の式 𝑣𝑦 = − ∫0 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦 を代入して，
𝛿

𝜕𝑣

𝑦 𝜕𝑣

𝜕𝑣

(18.3-4)

0𝑑𝑣

𝜏

(18.3-5)∫0 (𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 − 𝜕𝑦𝑥 ∫0 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦 − 𝑣∞ 𝑑𝑥∞ ) 𝑑𝑦 = − 𝜌𝑤
第２項は部分積分して
𝛿

∫ (
0

𝛿
𝛿
𝜕𝑣𝑥 𝑦 𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥∫𝑑𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑣∞ ∫𝑑𝑦 − ∫ 𝑣𝑥
𝑑𝑦𝜕𝑦 0 𝜕𝑥𝜕𝑥0 𝜕𝑥0

それによって式 (18.3-5) は次式になる𝛿∫ (2𝑣𝑥
0

𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝑑𝑣∞
𝜏𝑤
− 𝑣∞
− 𝑣∞
) 𝑑𝑦 = −
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝜌

この式はまとめられて次式のようになる：
𝛿 𝜕
𝛿
𝑑𝑣
𝜏
∫0 (𝑣𝑥 (𝑣∞ − 𝑣𝑥 )) 𝑑𝑦 + ∞ ∫0 (𝑣∞ − 𝑣𝑥 )𝑑𝑦 = 𝑤
𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝜌

(18.3-6)

次の２種類の物理的意味のある境界層厚さ 𝛿𝐷 と𝛿𝑚 を導入することができる：
𝛿𝑣∞ 𝛿𝐷 = ∫ (𝑣∞ − 𝑣𝑥 )𝑑𝑦0𝛿𝜌𝑣∞ 𝑣∞ 𝛿𝑚 = 𝜌 ∫ 𝑣𝑥 (𝑣∞ − 𝑣𝑥 )𝑑𝑦0

ここに 𝛿𝐷 と 𝛿𝑚 をそれぞれ「排除厚さ」，「運動量厚さ」と言う．上側の排除厚さは境界層による減速のせいで境界層外へ排除される流体の体積が外部流れのどの厚み分に相当するかで定義しており，下側の運動量厚さは境界層による減速のせいで失われる運動量が外部流れのどの厚み分に相当するかで定義している．
これらを式(18.3-6)に適用して，積分方程式は次式になる：
𝜏𝑤
𝑑𝑑𝑣= 𝑑𝑥 𝑣∞ 2 𝛿𝑚 + 𝑣∞ 𝛿𝐷 𝑑𝑥∞(18.3-7)𝜌
これが層流でも乱流でも成立する積分形の境界層方程式である．よってこの方程式は乱流のマクロな解析にとって有用である．

18.3-2 層流の境界層流のエネルギー積分方程式
２次元の熱の境界層方程式は次式のように与えられる：
𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝜕2 𝑇

(18.3-8)𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦 = 𝛼 𝜕𝑦2連続の式を代入して
𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝜕2 𝑇

𝑦𝜕𝑣

(18.3-9)𝑣𝑥 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 ∫0 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦 = 𝛼 𝜕𝑦2

𝑦 = 0 （壁）から 𝑦 = 𝛿𝑇 (境界層外縁)まで積分して
𝛿𝑇∫0𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 𝑦 𝜕 𝑣𝑥
𝜕 𝑇 𝛿𝑇𝑞𝑤−∫𝑑𝑦) 𝑑𝑦 = 𝛼
| = −
(𝑣𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦 0 𝜕𝑥𝜕𝑦 0
𝜌𝐶𝑝

温度 𝑇 の代わりに温度差 𝛩 = 𝑇∞ − 𝑇 を使って
𝛿

𝜕𝛩

𝜕𝛩

𝑦𝜕𝑣

𝑞

𝑇
𝑤
∫0 (𝑣𝑥 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 ∫0 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦) 𝑑𝑦 = − 𝜌𝐶𝑝

第 2 項は部分積分をすると(18.3-10)243

層流の境界層流のエネルギー積分方程式

𝛿

𝜕𝛩

𝑦𝜕𝑣

𝛿 𝜕𝑣

𝛿

𝜕𝑣

∫0 𝑇 ( 𝜕𝑦 ∫0 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦) 𝑑𝑦 = 𝛩∞ ∫0 𝑇 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦 − ∫0 𝑇 𝛩 𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑦

第 1 項は 0 になるから，方程式は次のようになる：
𝛿

𝜕𝛩

𝜕𝑣

𝑞

𝑇
𝑤
∫0 (𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝛩 𝜕𝑥𝑥) 𝑑𝑦 = − 𝜌𝐶𝑝

𝑑
𝑑𝑥

𝛿

すなわち

𝑞

𝑇
𝑤
∫0 𝛩 𝑣𝑥 𝑑𝑦 = − 𝜌𝐶𝑝(18.3-11)

これが層流でも乱流でも成立する積分形の境界層エネルギー方程式である．
18.3-3 乱流境界層流 1)
図 18.3-1 に見るように，層流境界層である初期部分において，長さレイノルズ数（length Reynolds number） 𝑅𝑒𝑥 とともに境界層厚さが増加する．その後，壁近くの流れが不安定になり境界層は乱流に遷移する．境界層外の自由流れの乱れ強度が 0.5% のレベルの場合は，シャープなリーディングエッジを持つ平角な平板における乱流遷移の臨界長さ
レイノルズ数は大体，下記の範囲にあると見做されている：
3 × 105 ≤ 𝑅𝑒𝑥 ≤ 5 × 105
1.

Schlichting, H., “Boundary Layer Theory,” 4th ed., McGraw-Hill, New York (1960)

図 18.3-1. 平板上の境界層の乱流遷移

遷移領域は，そこでは不安定で振動を伴うが，ある有限の長さを持つ．流体要素の横断
方向の交換のせいで，乱流境界層内の速度分布は層流境界層での速度分布よりもはるかに平坦になる．
平板の先端（リーディングエッジ）に細い線（“tripping wire”と言う) を張ると，初めから乱流境界層で成長して行く．
境界層の積分方程式は難しい乱流境界層流れを解析するためのシンプルな道具として利用することができる．それに加えて，あの 1/7 乗法則を乱流境界層にも適用可能な速度分布であると仮定するならば，簡単な解を得ることができる
中庸の高いレイノルズ数の場合，1/7 乗法則は次の形になる：
1/7
𝑢+ = 8.74 𝑦 +𝑢+ と 𝑦 + の定義から⁄
𝑦 𝑣∗ 1 7𝑣𝑥 = 8.74 𝑣 ∗ ( 𝜈 )(18.3-12)

ここで 𝑣 ∗ = √𝜏𝑤 ⁄𝜌 は例の速度の次元を持つ摩擦速度 “friction velocity”である．
速度境界層の外縁では

244

境界層理論

𝑢+ = 𝑣∞ + at 𝑦 = 𝛿
外縁(𝑦 = 𝛿) において式 (18.3-12) を適用して，壁面せん断応力は次式のように計算去れる．
𝛿𝑣

−1⁄4

𝜏𝑤 = 0.0225 𝜌 𝑣∞ 2 ( 𝜈∞ )(18.3-13)

1/7 乗法則を排除厚さと運動量厚さの定義式に代入すると
𝛿

1
𝑣 𝛿
8 ∞
0
𝛿
𝜌 𝑣∞ 2 𝛿𝑚 = ρ ∫0 𝑣𝑥 (𝑣∞ − 𝑣𝑥 )𝑑𝑦 = 0.0972 𝜌 𝑣∞ 2 𝛿𝑣∞ 𝛿𝑑 = ∫ (𝑣∞ − 𝑣𝑥 ) 𝑑𝑦 =一様で一定な速度の自由流れの場合，
𝑑 𝑣∞
=0
𝑑𝑥

(18.3-14)

したがって，積分運動量方程式は次のようになる：
𝜏𝑤
𝑑=𝑣 2 𝛿𝑚𝜌𝑑𝑥 ∞(18.3-15)

式(18.3-13) を 式(18.3-15) に代入して
𝑑𝛿

𝜈

1⁄ 4

𝛿 1⁄4 𝑑𝑥 = 0.231 (𝑣 )(18.3-16)∞

この微分方程式を境界条件𝛿 = 0 at 𝑥 = 0 を使って積分すると
4 5⁄ 4
𝜈 1⁄4
𝛿
= 0.231 ( ) 𝑥5𝑣∞
この式から次の式が結果として得られる：
𝛿𝑥= 0.37 𝑅𝑒𝑥 − 1⁄5(18.3-17)− 1⁄ 5

これにより，乱流境界層の無次元厚さ𝛿 ⁄𝑥 は 𝑅𝑒𝑥
とともに減少することがわかった．
式(18.3-13) と局所の摩擦係数の定義式を結びつけて,
𝑓𝑥 = 1
2

𝜏𝑤
𝜌 𝑣∞

⁄
𝛿 𝑥 𝑣∞ −1 4

= 2 × 0.0225 (𝑥2𝜈)= 0.058 𝑅𝑒𝑥 − 1⁄5(18.3-18)

これは非常に価値ある重要な結果である．層流境界層と違って，実際の局所摩擦係数は
𝑅𝑒𝑥 − 1⁄5 とよく相関がとれる
この式は 𝑅𝑒𝑥 = 3~5 × 106 に至る領域まで実験値とよい一致が見られると言われている．
加熱された平板からの乱流伝熱の場合も
𝑁𝑢𝑥
𝑗𝐻 =~𝐶 𝑅𝑒𝑥 − 1⁄5⁄
1
3
𝑅𝑒𝑥 𝑃𝑟
運動量と熱の輸送の間のアナロジーが乱流境界層流れでも成立することは記憶すべきことである．上式の経験的な係数 C は乱流遷移の位置が不明なため決定するのは難しい．

18.4 流れ関数の衝突流への適用
図 18.4-1 に示す平面型２次元の衝突流（紙面に垂直な方向には変化なし）は流れ関数を使うことによって，解くことができる．正の y 方向から接近する流体が𝑦 = 0 なる面に垂直に衝突して方向転換して左右に分かれて𝑦 = 0 の面に沿って流れる．境界層の外の自由
流れは面に対して平行な，次の速度を持っている：
𝑣𝑥𝑝 → 𝑐 𝑥 as 𝑦 → ∞(18.4-1)
この速度は非粘性流を仮定したポテンシャル流理論に求める事ができる．（注意：ずっと
遠方から接近する流れの速度𝑣𝑦∞ であるが，自由流れであってもも面に近い所では速度245

流れ関数の衝突流への適用

𝑣𝑥𝑝 一定）で左右に横方向に流れている．）しかし境界層ができている 𝑦 = 0 なる面の表面
では”no-slip”の条件は満足しいる．

図 18.4-1 平坦な面に衝突する淀み流れ

流れ関数は式 (18.1-4) によって定義される：
𝜕𝜓𝜕𝜓

𝑣𝑥 = 𝜕𝑦 and 𝑣𝑦 = − 𝜕𝑥

解くべき方程式は次式である：−

𝜕 (𝜓,∇2 𝜓)
𝜕 (𝑥,𝑦)= 𝜈 ∇4 𝜓(18.4-2)

境界条件は
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝜕𝜓
𝜕𝑥

as 𝑦 → ∞(18.4-3)= 𝜕𝑥 = 0 at 𝑦 = 0(18.4-4)→𝑐𝑥
𝜕𝜓

最初の境界条件は解くべく解が次のような形であることを暗示している：
𝜓 = 𝑥 𝑓(𝑦)(18.4-5)
この仮定によって，微分方程式(18.4-2)は次のようになる：− 𝑓 𝑓 ′′′ + 𝑓 ′ 𝑓 ′′ = 𝜈 𝑓 𝑖𝑣
(18.4-6)
ここでプライム ′ は 𝑦 に関する微分を示している．
この式を𝑦 に関して積分すると(𝑓′)2 − 𝑓 𝑓 ′′ − 𝜈 𝑓 ′′′ = 𝐾 2(18.4-7)
2
ここで 𝐾 は積分定数である．この式は次に定義する変数変換により簡単化できる：
𝜑=

𝑓
√𝐾𝜈

𝐾

and 𝜂 = √ 𝜈 𝑦

変数変換して，式(18.3-7) は次式となる：
φ′′′ + 𝜑 𝜑 ′′ − (𝜑 ′ )2 + 1 = 0
ここでのプライム ′ は 𝜂 に関する微分を表している．
対応する境界条件は
𝜑 ′ → 1 as 𝜂 → ∞𝜑 = 𝜑 ′ = 0 at 𝜂 = 0
式 (18.4-9) から数値解析により算出される解は図 18.4-2 中に示されている．

(18.4-8)(18.4-9)(18.4-10)(18.4-11)

246

図 18.4-2.

境界層理論

式(18.4-9) の数値解析解

図より x-成分の速度 𝜑 ′ = 𝑣𝑥 ⁄𝑣𝑥𝑝 が 𝜂 = 2.4 で 0.99 になることがわかる．このことは，境界層の厚さが次式で与えられることを示している．
𝛿 = 𝜂𝛿 √𝜈⁄𝐾 = 2.4 √𝜈⁄𝐾
(18.4-12)
境界層厚さが衝突領域全域にわたって一定値に留まることは注目すべきである．この速度境界層厚さ𝛿 はまた，温度境界層厚さ 𝛿𝑇 とある関係を持っている． 積分定数 𝐾 は接近する速度𝑣𝑦∞ のような流れの条件に依存している．

18.5 衝突噴流伝熱 1,2)
この種の衝突流は金属板やガラス板，機器の焼鈍などの加熱/冷却技術，紙やフィルムの乾燥技術のためにしばしば実際に応用されている．例えば，図 18.5-1 に示すように，縮流ノズルから発する自由噴流を大きな平板に垂直衝突させている．

図 18.5-1. 伝熱を伴う平板に衝突する噴流の模式的な図

247

衝突噴流伝熱ノズル-平板間距離が短いと，自由噴流はノズル出口での速度を減衰することなく，発達する前に平板に衝突する．噴流中心による淀み点周りの衝突領域は前述の衝突流の中央領域とよく似ている．伝熱効率に関係して，淀み点での熱流束が最大になるには，伝熱面を持つ平板をノズルから下流のどの位置に設置すべきかと言う工学的に重要な問題が出てくる．ノズル・平板間隔が大きいと，自由噴流が十分に発達してから平板に衝突することになり，淀み点伝熱係数は小さい． つまり，充分発達領域の自由噴流では，自由噴流中
心速度はノズル出口からの距離に反比例して減速する．
例えば，次のような衝突噴流伝熱の淀み点での相関式がある 1,2)：
𝑁𝑢𝑠
𝑁𝑢= 𝐶 (1 + 𝜖 ) ( 1⁄2 1⁄2 )(18.4-13)
1⁄2
1⁄2
𝑅𝑒𝑠

𝑃𝑟

𝑅𝑒𝑠

𝑃𝑟

𝑇𝐹

ここに定数 𝐶 は，われわれの研究では，Pr ≤ 1 のガス流れの場合，経験値として 0.88 を与えている．
レイノルズ数 𝑅𝑒𝑠 = 𝜌𝐷 𝑈 ⁄𝜇 と乱れ強度 𝑇𝑢 = √𝑢′2 ⁄𝑈 は伝熱板の設置位置における自由噴流が衝突置いたがない時に持つであろう値で定義している．係数 𝜖 は乱流の乱れ降下による伝熱促進効果を示す係数であり，接近する噴流の中心軸位置で定義された𝑇𝑢 √𝑅𝑒𝑠の関数である．下付き添え字 TF は乱れのない層流理論解を示している．
上の例のように，伝熱面に乱流を衝突させると対流伝熱が大きく増進され，適切な一方法であることを知っておくべきである．例えば，多管式熱交換器のシェル側に伝熱管束に垂直にシェル側流れを衝突させるために邪魔板を装備しているのは伝熱管外側の伝熱係数を大きくするための一方法であることを思い出すべきである．
1.
2.

Kataoka, K., Sahara, R., Ase, H. and Harada, T., J. Chem. Eng. Japan, 20(1), 71 (1987)f
Kataoka, K., Suguro, M., Degawa, H., Maruo, K. and Mihata, I., Int. J. Heat Mass Transfer, 30(3), 559 (1987)

18.6 速度勾配計測法に関する境界層理論解析
第 14 章の 14.4 において，電気化学的方法で液流れの固体壁における局所の速度勾配を測定できることを紹介した．表面が長方形のテスト陰極により，反応イオンの拡散律速状態下でイオンの物質移動係数を測定することによって壁面速度勾配を電流として計測するのである．反応イオンの液本体濃度は使用する電解液の濃度 𝐶𝐴 であるが，拡散律速状態
ではテスト陰極表面での濃度 𝐶𝐴𝑤 は 0 なのである．第 14 章より，物質流束とイオンが放電する電流密度との関係は次式である．
𝑁𝐴 = 𝐼𝑑 ⁄𝐹𝑎 = 𝑘𝐶𝐴
壁面速度勾配は次式で与えられる：
𝑠 = 1.90 (𝐼𝑑 ⁄𝐹𝑎 𝐶𝐴 )3 (𝐿⁄𝐷𝐴𝐵 2 ) = 1.90 𝑘 3 (𝐿⁄𝐷𝐴𝐵 2 )(14.4-1)
ここで，上式が境界層理論により，どのようにして得られるかを，もう一度，考えてみよう．
層流物質移動の２次元の境界層方程式は次のように書ける：
𝑣𝑥

𝜕𝐶𝐴
𝜕𝐶𝐴
𝜕 2 𝐶𝐴
+ 𝑣𝑦
= 𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦 2

左辺の第２項に連続の式を使うと

248

境界層理論

𝜕𝐶

𝑣𝑥 𝜕𝑥𝐴 −

𝜕𝐶𝐴

𝑦 𝜕𝑣

𝜕 2𝐶

∫ 𝑥 𝑑𝑦 = 𝐷𝐴𝐵 𝜕𝑦2𝐴
𝜕𝑦 0 𝜕𝑥

(18.6-1)

図 18.6-1 長方形表面の孤立陰極の上における速度と濃度の境界層

図 18.6-1 に示すように，濃度境界層はこの陰極の先端（リーディングエッジ）からスタートしているので，厚さは非常に薄い，一方，速度境界層はイオンの移動に関係ないので，ずっと上流から発達してきているから，速度境界層の厚さははるかに大きい．だから，濃度境界層内だけの速度分布は直線で近似でき， 𝑣𝑥 = 𝑠 𝑦 のように仮定できる．ここに s が求めたい壁面速度勾配である．このテスト陰極の流れ方向（x-方向）の長さ x による速度の変化は非常に小さいから， 𝜕𝑣𝑥 ⁄𝜕𝑥 ≅ 0 のようになる．
結局，テスト陰極上の濃度境界層の方程式は次式のように簡単になる：
𝜕2 𝐶

𝜕𝐶

𝑠𝑦 𝜕𝑥𝐴 = 𝐷𝐴𝐵 𝜕𝑦2𝐴

(18.6-2)

この式を y で割って，新たに定義した物質流束関数 𝑓 = 𝐷𝐴𝐵 (𝜕𝐶𝐴 ⁄𝜕𝑦) に変数変換して，
次に y に関して微分すると次式が得られる：
𝜕𝑓

𝜕

1 𝜕𝑓

𝑠 𝜕𝑥 = 𝐷𝐴𝐵 𝜕𝑦 (𝑦 𝜕𝑦)されに，次の変数変換をする：
𝜓 = 𝑓 ⁄𝑓0 , 𝜂 = 𝑦⁄𝛿𝑐 , 𝜆 = 𝐷𝐴𝐵 𝑥⁄𝑠 𝛿𝑐 3
ここで 𝛿𝐶 は濃度境界層の厚さである．
上の方程式を無次元化して
𝜕𝜓
𝜕𝜆

𝜕

1 𝜕𝜓

= 𝜕𝜂 (𝜂 𝜕𝜂 )これが得べき方程式である．
境界条件はB.C. 1: at 𝜆 = 0, 𝜓 = 0
B.C. 2: at 𝜂 = 0, 𝜓 = 1
B.C. 3: at 𝜂 = ∞, 𝜓 = 0(18.6-3)(18.6-4)(18.6-5)(18.6-6)

幸いにして，この方程式は下の独立変数 式(18.6-7) を使って，変数の組合わせ法により常微分方程式にして解析的に解くことができる：
𝜂
χ= 3(18.6-7)√9 𝜆

このような変数変換の結果，最終的に物質流束方程式は次のようになる：

249

速度勾配計測法に関する境界層理論解析

𝜒 𝜓" + (3 𝜒 3 − 1) 𝜓′ = 0
境界条件は次式のようになる：
B.C. 1: at 𝜒 = 0, 𝜓 = 1
B.C. 2: at 𝜒 = ∞, 𝜓 = 0
プライムは𝜒 による常微分を意味する： 𝜓 ′ = 𝑑𝜓⁄𝑑𝜒解は次式のように得られる：
3

∞

𝜓=

∫𝜒 𝜒 𝑒 −𝜒 𝑑𝜒3∞(18.6-8)(18.6-9)3= Γ(2⁄3) ∫𝜒 𝜒 𝑒 −𝜒 𝑑𝜒∞
3∫0 𝜒 𝑒 −𝜒 𝑑𝜒(18.6-10)

ここで，方程式(18.6-8) を解く計算手順については，スペースを節減するために省略している．
濃度分布は積分によって得ることができる：
𝐶𝐴∞∞
1(18.6-11)∫𝐶 𝑑𝐶𝐴 = − 𝐷 ∫𝑦 𝑓 𝑑𝑦 = (𝐶𝐴∞ − 𝐶𝐴 (𝑦))𝐴𝐴𝐵

無次元濃度は次式になる：∞
𝐶 −𝐶3
𝛬 = 𝛿 𝐴𝑓 ⁄𝐷𝐴∞ = √9𝜆 ∫𝜒 𝜓 𝑑𝜒
𝑐 0

(18.6-12)𝐴𝐵

ここで，右辺分母の𝜕𝐶(18.6-13)

𝑓0 = 𝐷𝐴𝐵 𝜕𝑦𝐴 |𝑦=0

式(18.6-10) を式(18.6-12)の積分に代入して，次の式が得られる：
𝛬=

2

3

3

Γ( ,𝜒 )𝑒 −𝜒
√9𝜆 [Γ(2⁄3) − 𝜒 {1 − 3 2 }]Γ( )3

(18.6-14)3

ここに Γ(𝑝, 𝑥) 次式で定義される第２種不完全ガンマ関数 “incomplete gamma function,” と呼ばれるものである：∞
Γ(𝑝, 𝑥 ) = ∫𝑥 𝑡 𝑝−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡(18.6-15)2

今，物質移動が起きている壁面は 𝜒 = 0 に位置しているから， Γ(3 , 𝜒 3 ) は Γ(2⁄3) になり，第２項は消える．通常のガンマ関数の定義は次式である：∞
Γ(𝑝) = ∫0 𝑥 𝑝−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
ここで， Γ(2⁄3) ≅ 1.35411.
したがって，式(18.6-13) は壁面 𝜒 = 0 において次のように書ける：
𝐶

3

3

−𝐶

√9𝜆

𝐴𝑤
𝛬𝜒=0 = 𝛿𝐴∞= Γ(2⁄3) =
𝑓 ⁄𝐷
𝑐 0

𝐴𝐵

𝐷

𝑥

(18.6-16)

1⁄3√9( 𝐴𝐵3 )𝑠 𝛿𝑐(18.6-17)=1

Γ(2⁄3)

なぜならば，境膜理論によると，次の関係式が，どの位置 x においても成立するからである．
𝜕𝐶𝐴
𝐶𝐴∞ − 𝐶𝐴𝑤|
𝑓0 = 𝐷𝐴𝐵= 𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑦 𝑦=0𝛿𝑐
ゆえに式(18.6-14) は次のようになる
3

√9

3

3

𝐷

√9

3

3

𝐷

𝑠 = [Γ(2⁄3)] ( 𝛿𝐴𝐵3 ) 𝑥 = [Γ(2⁄3)] ( 𝛿𝐴𝐵) 𝐷
𝑐

𝑐

3

𝑥

√9

𝐴𝐵

3

3
2 = [Γ(2⁄3)] 𝑘
𝐷𝑥𝐴𝐵(18.6-18)2

長方形のテスト陰極の壁面における速度勾配は x = 0 から x = L までの陰極長さでの平均値として次式のように与えられる：
3

𝑠= [

√9
]
Γ(2⁄3)

3

𝑘3

3
𝐿
1
√9
[
]
𝑥
𝑑𝑥
=
∫
2
𝐷𝐴𝐵 𝐿 02 Γ(2⁄3)

1

1

3

𝑘3

𝐿
𝐷𝐴𝐵 2

≅ 1.8124 𝑘 3

𝐿
𝐷𝐴𝐵 2

(18.4-19)

この結果は式 (14.4-1) と形が一致するが，係数 1.8124 は式 (14.4-1)の 1.90 とは僅かにずれ
ている．

250

境界層理論

この電気化学的方法により種々の乱流の粘性底層の変動する速度勾配を観察できることは興味深いことである．
記

号

表

𝐶𝐴
𝐶𝑝
𝐷𝐴𝐵
𝐹𝑎
𝑓
𝑓𝑥
𝐼𝑑
𝑗𝐷𝑥
𝑗𝐻𝑥
𝐿
𝑁𝑢𝑥
𝑃𝑟
𝑝
𝑞𝑥
𝑅𝑒𝑥
𝑟, 𝜃, 𝑧Sc𝑆ℎ𝑥𝑠𝑇

反応イオン A のモル濃度, [kmol/m3]
熱容量, [J/kg K]
成分 A の拡散係数, [m2/s]
ファラデー定数 (96,500 C/kg-equiv.),
物質流束関数, [kmol/m2s]
局所摩擦係数, [ - ]限界電流密度, [A/m2]
物質移動に関する局所 j-因子(j-factor) , [ - ]伝熱に関する局所 j-因子(j-factor), [ - ]長方形電極の流れ方向の長さ, [m]局所ヌッセルト数, [ - ]プラントル数, [ - ]圧力, [Pa]
局所熱流束, [J/m2s]
局所長さレイノルズ数, [ - ]円柱座標系, [m, - , m]シュミット数, [ - ]局所シャーウッド数, [ - ]壁面速度勾配, [1/s]
温度, [K]𝑢+

無次元速度 =𝑢∗𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧𝑣∞x, y, z

摩擦速度, [m/s]直角座標系における速度成分, [m/s]
自由流れの速度, [m/s]直角座標系, [m]𝑦+壁からの無次元距離 =

𝛼
∆
𝛿, 𝛿𝑇
𝛿𝑐
𝛿𝐷
𝛿𝑚
ϵ
𝛩
𝛬
𝜈
𝜌
𝜓

熱の拡散係数, [m2/s]
温度と速度の境界層厚さの比, [ - ]速度と温度の境界層厚さ, [m]濃度境界層厚さ, [m]境界層の排除厚さ, [m]境界層の運動量厚さ, [m]
伝熱促進係数, [ - ]温度差, [K]
無次元の濃度差, [ - ]動粘度または運動量の拡散係数, [m2/s]:
密度, [kg/m3]流れ関数, [m2/s]𝑣𝑧√𝜏𝑤 ⁄𝜚

下付き添え字p
ポテンシャル流s
衝突噴流の淀み点
w
壁
∞
自由流れ

𝑦 √𝜏𝑤 ⁄𝜚𝜈

第 19 章自然対流
19.1 自然対流の境界層理論による解析法
流体密度の勾配によって引き起こされる流体運動を自然対流または自由対流 “natural or
free convection” と呼ぶ．
簡単な例として，鉛直に立てられた平板に沿う層流の自然対流について考えよう．その平板は一定温度 𝑇𝑤 に内部より加熱されていて，一定温度 𝑇∞ の大きな体積の気体に囲まれているとする． 𝑇𝑤 > 𝑇∞ であるならば，平板近傍では浮力により上向きの気体の流れが生じ，その様子は図 19.1-1 のように境界層の構造が形成される．簡単のために，流体の物性定数は浮力にある流体密度以外は一定であると仮定する．

図 19.1-1. 鉛直に置かれた加熱平板に沿う自然対流（ここで厳密に理論解析法を展開するのは，レベル的にそう簡単ではないので，この章の後半に紹介している，実験に基づく自然対流の工学的計算に有用な伝熱相関式以外はスキップしてもよい．）

252

自然対流

次の２次元運動方程式が適用できる 1,2)：
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕2 𝑣

𝜕𝑝

𝜕2 𝑣

𝜌∞ ( 𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 ) = − 𝜕𝑥 + 𝜇 ( 𝜕𝑥2𝑥 + 𝜕𝑦2𝑥 ) − 𝜌𝑔(19.1-1)

どの水平位置においても，そこでの圧力は重力による圧力に等しいから
𝑝 = − 𝜌∞𝑔 𝑥
ここで 𝜌∞ は温度 𝑇∞ における流体密度である．境界層内の温度 𝑇 における密度 𝜌 は基
準温度 𝑇∞ （周囲流体温度としている）の周りでのテイラー級数に展開できる：𝜕𝜌
𝜌 = 𝜌∞ + | (𝑇 − 𝑇∞ ) + − − − ≅ 𝜌∞ − 𝜌∞ 𝛽(𝑇 − 𝑇∞ )(19.1-2)
𝜕𝑇
𝑇∞

1 𝜕𝜌

ここで 𝛽 = − 𝜌
1則により 𝛽 =は流体の体膨張係数である．気体の場合はボイルシャルルの法|∞ 𝜕𝑇 𝑇∞𝑇∞である．

だから浮力は次式で与えられる：𝜕𝑝𝑇− 𝑇∞− − 𝜌𝑔 = 𝜌∞ 𝛽(𝑇 − 𝑇∞ )𝑔 = 𝜌∞ 𝑔
𝜕𝑥𝑇∞

(19.1-3)

このようにして解くべき方程式のセットは次のようになる：
𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑥

+ 𝜕𝑦 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝜕2 𝑣

𝜕2 𝑣

𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 = 𝜈 ( 𝜕𝑥2𝑥 + 𝜕𝑦2𝑥 ) + 𝑔
𝜕2 𝑇

𝑇− 𝑇∞

𝜕2 𝑇

𝑇∞

(19.1-4)𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦 = 𝛼 (𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2)

ここで 𝜈 = 𝜇⁄𝜌 , 𝛼 = 𝜅⁄𝜌 𝐶𝑝 である．
𝑦 方向の変化と比べて 𝑥 方向の変化の割合はずっと小さいので，それによる境界層近似により
𝜕 2 𝑣𝑥≅ 0 and
𝜕𝑥 2

𝜕2 𝑇
𝜕𝑥 2

である．

≅0

ここで 𝑇 の代わりに，無次元の局所温度𝛩 = (𝑇 − 𝑇∞ )⁄(𝑇𝑤 − 𝑇∞ ) を導入すると方程式のセットは次のようになる：
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥

𝜕𝑣𝑦

(19.1-5)+ 𝜕𝑦 = 0𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕 2 𝑣𝑥
𝜕𝑦2
𝜕2 𝛩𝑣𝑥 𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦𝑥 = 𝜈
𝜕𝛩

𝜕𝛩

+ 𝑔

(𝑇𝑤 − 𝑇∞ )𝑇∞𝛩

(19.1-6)(19.1-7)𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦 = 𝛼 𝜕𝑦2

境界条件は
𝑣𝑥 = 𝑣𝑦 = 0,
𝛩=1
at 𝑦 = 0𝑣𝑥 = 0 𝛩 = 0 at 𝑦 = ∞(19.1-8)
先ず，この問題に適切などのような相似変換をするかを考えるべきである．
そこで次のような流れ関数を導入する：
𝜓(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥)= 𝜁(𝜂)

𝑦(19.1-9)

𝜂 = 𝐿(𝑥)これが１種の相似変換である．ここに𝜁(𝜂) が無次元の流れ関数であり， 𝜂 のみの関数
である．すなわち 𝜂 は無次元の y-座標であり， 𝐿 が境界層厚さに関係する未知の特性長さである．そして 𝑓(𝑥) が決定したい未知の関数なのである．
速度成分は流れ関数を使って
𝜕𝜓
1
𝑣𝑥 =
= 𝑓 (𝑥 )𝜁 ′(19.1-10)
𝜕𝑦

𝜕𝜓

𝐿
′( )

𝑓(𝑥) 𝑑𝐿= −𝑓 𝑥 𝜁 (𝜂) + 𝜂𝜁′
𝐿 𝑑𝑥
ここで 𝜁 = 𝑑𝜁 ⁄𝑑𝜂 そして 𝑓 ′(𝑥 ) = 𝑑𝑓 ⁄𝑑𝑥 である．
これらを運動方程式に代入して，
𝑣𝑦 = −

𝜕𝑥′(19.1-11)

253

自然対流の境界層理論による解析法

𝑓 𝑓′

𝑓2 𝑑𝐿

𝐿

𝐿3 𝑑𝑥
⁄ 2

[(𝜁′ )2 − 𝜁′′ 𝜁] −2

(𝜁 ′ )2 =𝜈𝑓𝐿3𝜁′′′ + 𝑔

𝑇𝑤 − 𝑇∞𝑇∞(19.1-12)

𝛩

この式の各項を 𝑓 𝑓′ 𝐿 で割って𝑓[(𝜁′ )2 − 𝜁′′ 𝜁] −𝑑𝐿

𝑓′ 𝐿 𝑑𝑥(𝜁 ′ )2 =𝜈

𝜁′′′ + 𝑔
𝐿 𝑓′

𝑇𝑤 − 𝑇∞ 𝐿2
𝑇∞

𝑓 𝑓′

𝛩

(19.1-13)

各項は無次元であるはずであるから，各項の係数も無次元係数で与える：
𝑓𝑑𝐿

𝑓′ 𝐿 𝑑𝑥= 𝐾1 ,𝜈
𝐿 𝑓′= 𝐾2 , 𝑔

𝑇𝑤 − 𝑇∞ 𝐿2
𝑇∞

𝑓 𝑓′

(19.1-14)= 𝐾3

この式 (19.1-14) の三つの式から，次の常微分方程式が得られる：𝑑𝐿

𝐿3 𝑑𝑥 =

𝐾1 𝐾3

𝜈2

𝐾2 2

𝑇 −𝑇
𝑔 𝑤 ∞
𝑇∞

(19.1-15)

任意定数 𝐾1 𝐾3 ⁄𝐾2 2 を 1 としても一般性を失わないと考えられる．初期条件 𝐿 =0 at 𝑥 = 0 を考慮して積分すると
4

4 𝜈2 𝑇4

1 4(19.1-16)

𝐿 = √𝑔 (𝑇 −∞𝑇 ) √𝑥 = 𝛾 √𝑥𝑤∞

これは速度と温度の境界層厚さが 𝑥 1⁄4 に比例して発達することを示している．便宜上，式(19.1-14)の第２の式の定数 𝐾2 を 1/3 とすると
𝑓 (𝑥 ) = 4 𝜈 𝛾 𝑥 3⁄ 4
(19.1-17)相似変換は次の形となることがわかった：𝑦𝜂=𝛾 4(19.1-18)√𝑥𝜓(𝑥, 𝑦) = 4 𝜈 𝛾 𝑥 3⁄4 𝜁(𝜂)(19.1-19)
速度成分は次のようになる：
𝑣𝑥 = 4 𝜈 𝛾 2 𝑥 1⁄2 𝜁′(19.1-20)−1⁄4′𝑣𝑦 = 𝜈 𝛾 𝑥(𝜂𝜁 − 3 𝜁)
(19.1-21)
結局，解くべき境界層方程式は常微分の次の二つの方程式となった：
𝜁′′′ + 3 𝜁′ 𝜁 − 2 (𝜁′ )2 + 𝛩 = 0(19.1-22)
𝛩′′ + 3 𝑃𝑟 𝜁 𝛩′ = 0(19.1-23)
ここでプライムは 𝜂 に関する微分を意味している．
境界条件は
𝜁 = 𝜁′ = 0 𝛩 = 1
at 𝜂 = 0(19.1-24)
𝜁′ = 0 𝛩 = 0
at 𝜂 = ∞(19.1-25)
このセットの微分方程式を解析的に解くことは非常に難しい．このコースのレベル的な制限のために，コンピューターによる数値解析をここでは示さないが，数値解析結果はSchmidt and Beckmann1) によって得られている速度分布，温度分布の実験結果とよく一致していることが知られている．
1.
2.

Schmidt, E. and Beckmann, W., Tech. Mech. U. Thermodynamik, 1, 341 and 391 (1930)
Schuh, H., Boundary Layers of Temperature, in W. Tollmien (ed.), “Boundary Layers,” British Ministry of Supply, German
Document Center, Ref. 3220T (1948)

19.2 自然対流伝熱上の数値解析結果を使って，壁面熱流束は次のように計算することができる：
𝜕𝑇
𝜕𝑇 𝑑𝛩 𝜕𝜂𝛾 𝑑𝛩||𝑞𝑤 = − 𝜅 |= −𝜅
= − 𝜅(𝑇𝑤 − 𝑇∞) 4(19.2-1)
𝜕𝑦 𝑦=0𝜕𝛩 𝑑𝜂 𝜕𝑦 𝑦=0√𝑥 𝑑𝜂 𝜂=0

Pr = 0.73 (air) の場合，壁面における無次元温度勾配は数値解析によって次のように与えられている：

254

𝑑𝛩

自然対流

|

𝑑𝜂 𝜂=0(19.2-2)= −0.508

伝熱係数は次のように定義される：
𝑞ℎ𝑥 = 𝑇 −𝑤𝑇
𝑤(19.2-3)∞

したがって，局所のヌッセルト数は次のようになる：
𝑁𝑢𝑥 =

ℎ𝑥 𝑥
𝜅

= 0.508𝛾 𝑥 3⁄4 =

0.508
4

[
1⁄4

𝑔 𝑥 3 (𝑇𝑤 − 𝑇∞ )
𝜈2 𝑇∞

]

1⁄4

= 0.359 𝐺𝑟𝑥 1⁄4(19.2-4)

ここで 𝐺𝑟𝑥 が局所のグラショフ数と呼ばれる無次元数である．
平板の平均のヌッセルト数は次式の積分によって求められる：𝐻ℎ 𝐻
𝑁𝑢,𝑚 = 𝑚𝜅 = 0.508 𝛾 ∫0 𝑥 − 1⁄4 𝑑𝑥 = 0.677 𝐺𝑟𝐻 1⁄4(19.2-5)

ここでのグラショフ数（Grashof number）は下の定義のように，浮力と粘性力との比で
ある．
𝐺𝑟𝐻 =

𝑔 𝐻 3 (𝑇𝑤 − 𝑇∞ )(19.2-6)

𝜈2 𝑇∞

この結果の式(19.2-5) 層流の自然対流の経験的な伝熱相関を理解する上で非常に重要である．つまり，平均のヌッセルト数が層流の自然対流においては，グラショフ数の 1/4 乗に比例することを示しているからである．
このような自由対流の場合， 108 < 𝐺𝑟𝐻 Pr < 1010 の領域で層流から乱流へ遷移する．
次の経験的な相関式を Eckert and Jackson1) らは推奨している：
𝑁𝑢𝑚 = 0.555 (𝐺𝑟𝐻 𝑃𝑟)1⁄4
𝐺𝑟𝐻 Pr < 109 (層流)(19.2-7)⁄52
9𝑁𝑢𝑚 = 0.021 (𝐺𝑟𝐻 𝑃𝑟)
𝐺𝑟𝐻 Pr > 10
(乱流)
(19.2-8)
1.

Eckert, E. R. G., and Jackson, T. W., NACA RFM 50 D25, July (1950)

これらの相関式(19.2-7) と (19.2-8) は鉛直に置かれた円柱に対しても適用可能である．
水平に置かれた長い円柱の場合は，McAdams1) による次の実験データの相関式がある：:ℎ 𝐷
𝑁𝑢𝑚 = 𝑚𝜅 = 0.525 (𝐺𝑟𝐷 𝑃𝑟)1⁄4
𝐺𝑟𝐷 Pr > 104(19.2-9)
ここでのグラショフ数は
1.

𝐺𝑟𝐷 =

𝑔 𝐷3 (𝑇𝑤 − 𝑇∞ )
𝜈 2 𝑇∞

McAdams, W. A., Heat Transmission, Second ed., McGraw-Hill, New York (1942)[ 例 題 19.2-1]
大きな円筒状の炉の外面からへの熱損失を計算する．この炉は簡単のために三つの炉材：耐火煉瓦，保温煉瓦，補強用の鋼鉄 からできているとする． 図 19.2-E1 に示すように，一定温度 𝑇𝑖 でよく混合されている溶融した鉄が耐火煉瓦層の内面を𝑇𝑖 に保っている．
炉の外壁から充分離れた周囲空気は一定温度 𝑇∞ で静止していると仮定する．炉の近くでは空気が浮力で上昇する．炉は高さが𝐻 ，外径が 𝐷𝑜 である．簡単にするために，炉の側面からの熱損失を注視して，ここでは炉の上面からの熱損失は考えないことにする．この炉の側面は４つの伝熱抵抗が直列に存在する．

255

自然対流伝熱図 19.2-E1. 炉の外側の鉛直な壁からの熱損失

総括の伝熱抵抗は次式のように表される：
1
𝑈𝑜

1(𝐷𝑜 −𝐷3 )⁄2

𝐷𝑜

𝑜

𝜅3

𝐷3𝑎𝑣

= ℎ +

+

(𝐷3 −𝐷2 )⁄2

𝐷𝑜

𝜅2

𝐷2𝑎𝑣

+

(𝐷2 −𝐷𝑖 )⁄2

𝐷𝑜

𝜅1

𝐷1𝑎𝑣

(19.2-E1)

ここで各平均直径は対数平均を採っている．
𝐷3𝑎𝑣 =𝐷𝑜 − 𝐷3
𝐷3 − 𝐷2, 𝐷2𝑎𝑣 =,ln(𝐷𝑜 ⁄𝐷3 )ln(𝐷3 ⁄𝐷2 )𝐷1𝑎𝑣 =

𝐷2 − 𝐷𝑖ln(𝐷2 ⁄𝐷𝑖 )

ここで外側の炉壁における伝熱係数ℎ𝑜 が式 (19.2-7) か，または式(19.2-8) の計算によって得られる．
炉の外壁の表面温度 𝑇𝑜 がグラショフ数（Grashof number）を決めるために必要である．
どちらの式がよいかは，得られた グラショフ数とプラントルの積によって層流か乱流かを判別して決められる．
総括的な熱収支式が使われる：
𝑈𝑜 𝜋𝐷𝑜 𝐻 (𝑇𝑖 − 𝑇∞ )𝜋𝐷𝑜 𝐻(𝑇𝑖 − 𝑇∞)(𝐷 −𝐷 )⁄2 𝐷𝑜(𝐷3 −𝐷2 )⁄2 𝐷𝑜
+
+ 2 𝑖
𝐷3𝑎𝑣
𝜅2
𝐷2𝑎𝑣
𝜅1
𝐷1𝑎𝑣

= (𝐷𝑜−𝐷3)⁄2 𝐷𝑜
𝜅3

外表面温度 𝑇𝑜 は上の式において試行法により計算される．
その結果，総括の熱損失は次式によって与えられる：
𝑄 = 𝑈𝑜 𝜋𝐷𝑜 𝐻 (𝑇𝑖 − 𝑇∞ )(19.2-E2)(19.2-E3)[ 問 題]
LD 転炉とは溶融銑鉄のカーボン濃度を下げるために使用する炉である．超音速の酸素
ガスジェットを溶融している銑鉄の液に衝突させて，銑鉄内のカーボンを酸素で CO にして除去している．３層の壁：反射煉瓦層 (𝜅1 = 6.1 W/m K)，保温煉瓦層 (𝜅2 = 3.1 W/m K), 鋼
鉄板 (𝜅3 = 44 W/m K) の厚さはそれぞれ 450 mm, 200 mm, 50 mm である．溶融銑鉄は強いジェット撹拌により一様温度 1,800 K に維持されている．外気の温度は 𝑇∞ = 313 K 一定で
ある．

256

自然対流

この LD 転炉の鉛直な側面の壁から大気への熱損失を求めよ．また，鋼鉄板の表面温度はいくらか。

図 19.2-P1. LD 転炉からの熱損失

記

号

𝐷
𝑔
𝐺𝑟𝐻
𝐺𝑟𝑥
ℎ𝑥
𝐿
𝑁𝑢𝑥
𝑃𝑟
𝑝
𝑄
𝑞𝑤
𝑅𝑒𝑥
𝑇
𝑈
𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧
x, y, z
𝛼
𝛽
𝛩
𝜅
μ
𝜈
𝜌
𝜓

表
円柱直径, [m]重力の加速度, [m/s2]
グラショフ数, [ - ]局所のグラショフ数, [ - ]局所伝熱係数, [W/m2K]
未知の特性長さ, [m]局所ヌッセルト数, [ - ]プラントル数, [ - ]圧力, [Pa]
熱損失, [J/s]
壁面熱流束, [J/m2s]
長さレイノルズ数, [ - ]温度, [K]
総括伝熱係数, [W/m2K]
直角座標系の速度成分, [m/s]直角座標系, [m]熱の拡散係数, [m2/s]
体膨張係数, [1/K]
無次元局所温度, [ - ]熱伝導度, [W/m K]
粘度, [kg/m s]
動粘度, [m2/s]:
密度, [kg/m3]流れ関数, [m2/s]

下付き添え字
D
円柱
h
高温平板
m
平均値
w
壁面
∞
流体本体

寸法の単位は mm

第 20 章撹

拌20.1 液の撹拌と混合
撹拌は化学そして化学工学のほとんどのプロセスにおいて活用されている有用な技術である．下記のような目的で非常によく使われている：(1) 液中に浮遊あるいは溶解する固体粒子（溶解槽，液相触媒反応），(2) 液のブレンド（ブレンダー）, (3) 第１液に不溶性の第２液の分散，エマルションの生成，（乳化装置） (4) 液中への気泡の分散， (5) 伝熱の促進や化学反応の促進の混合（熱交換装置，蒸留・蒸発缶，液相反応装置），(6) 気体の溶解速度の促進（ガス吸収，バイオリアクター），(7) 液液系での物質移動の促進（抽出，液液反応），(8) 高粘性流体の混合（重合反応）
20.1-1 撹拌装置の一般的構造
典型的かつシンプルな撹拌容器の一例を図 20.1-1 に示す． 撹拌翼（impeller）は駆動用モーターの回転シャフトに取り付けられている．容器としてよく使われるタンクと撹拌翼などの寸法比はいろいろな目的に応じて，広く変えることができる．標準化された実用的な設計の場合でも，供給入口ノズルや製品排出ノズル，コイル（蛇管），ジャケット，
測定機器など，多くの附属部品、機器も考える必要がある．

図 20.1-1.

撹拌槽の標準的な構造

258

撹

拌

低粘性流体の場合，撹拌翼は次の２種類に分類される：軸流型撹拌翼は撹拌翼のシャ
フトに平行流れを生じるのに対して，放射流型撹拌翼は接線方向あるいは半径方向に吐出流を生じる．
低粘性液に有効な数種の翼形式を図 20.1-2 に示す： (a) 標準型スクリュー，３枚羽，(b) 平羽根パドル，４枚羽根， (c) タービン翼ディスクタイプ，８枚羽根， (d)鉛直 湾曲羽根パドル，８枚羽根．
図.20.1-3 に高粘性および非ニュートン流体に使われる２種類の撹拌翼を示す： (a) アン
カータイプ， (b) ヘリカルリボンタイプ．
これらの種類の撹拌槽における流れは３次元的で非常に複雑である．したがって，運動方程式を使って理論解を得ることは難しい，特に乱流の場合，大変難しい． その上，撹拌槽の構造も複雑なので，境界条件を指定するのも困難である．市販されている CFD
モデルに基づくシミュレーターパッケージはかなり進化したので，高粘性流や層流のためにはかなり妥当な結果を提供している．翼の回転によってできる主流は接線方向（回転流）
であるが，接線方向の速度成分は混合に対してはあまり効果的ではない． 混合効果としては，半径方向成分（回転翼による吐出方向）と軸方向成分（回転軸に平行な方向）が重要である．また，邪魔板がないタンクタイプの撹拌槽では，シャフトの周りに回転流による遠心力によって，液面が凹んだ望ましくない渦（ボルテックスと呼んでいる）を形成す
る．撹拌翼の回転数がさらに大きくなると，この渦面から空気などを吸い込むので，目的によっては、この状態を避ける必要がある．
少し厳密な話をすると，主流の回転流とは別の独立した２次流の回転流を示すリング状
ドーナッツの形状の孤立混合領域が，邪魔板のないタンクの場合，撹拌翼の上下に形成される．しかし，この孤立混合領域の混合効果はあまりよくない．上述の液表面にできるボ
ルテックスをできないようにする一般的な方法は邪魔板を入れることである．通常，数枚の邪魔板を鉛直にタンク内側面に取り付ける．（図 20-1-4 参照）

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

図 20.1-2. 低粘性流体のための撹拌翼： (a) marine-type propeller, three blades, (b) open
straight blade turbine, four blades, (c) bladed disk turbine, eight blades, (d) vertical curved blade
turbine, eight blades, (e) pitched-blade turbine, four blades

259

撹拌槽における流動パターン

(a)

(b)

図 20.1-3. 高粘性または非ニュートンの流体のための撹拌翼： (a) anchor, (b) helical ribbon

20.1-2 撹拌槽における流動パターン
タービン翼を装備した撹拌槽における流動パターンについて考えよう．混合効果の観点から，半径方向および軸方向の速度成分を観察する必要がある． 図 20.1-4 に，タービン翼を装備した邪魔板付きの円筒状の撹拌槽に形成される流動パターンを模式的に示す．観
察断面は図のように，丁度，撹拌翼のシャフトと邪魔板面を通っている． 流体は翼から半径方向外側に吐出されて，タンク内壁に衝突すると，上下に分かれて軸方向流れとなる．
下向きの軸方向流れはタンク底部に，上向きの軸方向流れは液上面に達して，それぞれ半径中向きのシャフトに向かう流れとなる．図において実線の矢印で示したように，撹拌翼の上下に，循環する流れが形成される．

図 20.1-4. タービン翼を装備した撹拌槽内の循環流の模式図

20.2 撹拌槽における消費動力
20.2-1 次元解析
撹拌槽の設計において，撹拌翼の回転に要するを動力を考慮することは大変重要である．
撹拌翼の種類に応じた撹拌所要動力消費量 𝑃 は次に示す次元解析によって求められる．
簡単な平板のパドル翼を念頭に解析してみる．腕の長さ𝑅 の撹拌翼が角速度𝜔で回転しているとする．この時，羽根に垂直に作用する抗力（動圧のイメージ）は流体の単位体積当たりの運動のエネルギー (1⁄2)𝜌𝑣𝜃 2 に比例し，作用する表面積 𝐴 である．ここで，

260

撹

拌

𝑣𝜃 = 𝑅𝜔 は特性的な（周方向の）速度である．翼に作用するトルクはモーメント(torque) =(force)·(lever length) と考えられるので， (1⁄2)𝜌𝑣𝜃 2 𝐴 × 𝑅 である．したがって，撹拌翼に与える動力の入力 (work/time) は（トルク） x （角速度） の関数であり， (1⁄2)𝜌𝑣𝜃 2 𝐴 × 𝑅𝜔となる．

図 20.2-1. 回転る撹拌翼に働くトルク

図 20.2-2. タービン翼撹拌槽のタンクおよびタービン翼の寸法

撹拌翼の先端の周方向速度は 2𝜋 (𝑑 ⁄2)𝑁 で与えられるから，翼のレイノルズ数は次式のように定義される：
𝑅𝑒 =𝑑2 𝑁 𝜌
𝜇(20.2-1)

ここで 𝑑 は翼の特性的な直径（図参照），𝑁 は翼の回転数である．このようにして，動力の消費量は次のような関数形になることがえわかった：
𝑃 = 𝐶 (1⁄2)𝜌 𝑣𝜃 3 𝐴
次元解析において使う共通の変数は，長さ（羽根の直径），𝑑；速度（周方向成分），
𝑑 𝑁; 流体粘度； 𝜇；密度， 𝜌; 重力の加速度； 𝑔; 面積，𝐴 ~ 𝑑 2 である．
ここで消費動力は次式のように無次元化しておく：
𝑃
𝑁𝑝 = 𝜌𝑁3𝑑5(20.2-2)
これを動力数 “power number” と呼ぶ．この無次元パラメータは円管内流れの摩擦係数と物理的意味において同じであると考えてよい．

261

撹拌槽における消費動力

したがって，動力数はレイノルズ数の関数になると推測できる．
（次 元 解 析）
多くの化学工学の問題は物理的な状況や条件が十分にわかっていない限り，理論的に解くことはできない．撹拌槽内の混合の物理現象は大変難しいので，どうしても次の次元解
析に頼らざるを得ない．
消費動力は次のような変数に依存していると期待できる：
𝑁𝑝 = 𝑎′ 𝑑 𝑏′𝑁 𝑐′ 𝜌 𝑑′𝜇 𝑒′𝑔 𝑓′= 𝑎′ 𝐿𝑏′𝑡 −𝑐′(𝑀 ⁄𝐿3 )𝑑′ (𝑀 ⁄𝐿𝑡)𝑒′(𝐿⁄𝑡 2 ) 𝑓′
(20.2-3)
ここで，𝑀, 𝐿, 𝑡 は次元解析における基本的な質量，長さ，時間の次元を表す．
バッキンガムのπ定理（Buckingham’s π theorem）は次のように言っている：「ある関係式が物理変数を n 個含み，それらの変数が k 種類の独立な基本単位を有するならば，その式は元の物理変数で構成される 𝑝 = 𝑛 − 𝑘 個の無次元パラメータを含む式と等価である．」
今，ここで求めようとしている関係式がどのような関数であるか，わかっていなくても，物理式の両辺および各項の次元は等しくなければならない．次元的に斉一（homogeneous）
であるならば，無次元パラメータの積のセットで構成される関係式に収まるべきである．
上の式が次元的に斉一であるためには，次の条件が成立していなければならない：
M: 0 = 𝑑 ′ + 𝑒′
L: 0 = 𝑏′ − 3𝑑 ′ − 𝑒 ′ + 𝑓′
t: 0 = −𝑐 ′ − 𝑒 ′ − 2𝑓′
この連立方程式からは５個の未知数の中の３個が，残る２個の未知数の項で次のように表される：
𝑐 ′ = 2𝑏′ − 3𝑑′𝑒 ′ = −𝑑′𝑓 ′ = −𝑏′ + 2𝑑′
最終的に，動力数の式は次式のような二つの無次元パラメータの関数になる：′′
𝑁𝑝 = 𝑎′ 𝑑 𝑏′𝑁 2𝑏 −3𝑑′𝜌 𝑑′𝜇 −𝑑′𝑔−𝑏′+2𝑑
𝜌𝑑2 𝑁

𝑑′

= 𝑎′ ( 𝜇 )𝑑 𝑁2(𝑏 ′ −2𝑑′ )(20.2-4)( 𝑔 )第１の無次元パラメータはレイノルズ数であり，第２の無次元パラメータがフルード数（Froude number）と呼ばれるものである．これらの無次元数の物理的意味は，
inertial force

レイノルズ数 𝑅𝑒 = viscous force =

𝑑2 𝑁𝜌
𝜇

inertial force

𝑉2, フルード数 𝐹𝑟 = gravity force = 𝐿𝑔 =𝑑 𝑁2
𝑔.(20.2-5)である．撹拌槽の液の回転による遠心力効果で液面が中心で一番低く，半径方向外側に行くにしたがい，液面が上昇して，液面が回転凹面形になる，いわゆるボルテックスができる場合に，フルード数を考慮しなければならない．フルード数の効果は邪魔板を装備したならば，普通，非常に小さい．邪魔板がないと，回転翼とともに液体があたかも固体の円柱のように一定角速度の周速度 𝑣𝜃 = 𝑟 × 𝜔で回転してしまう，いわゆる固体的回転渦ができる．この部分では混合がよくないので，邪魔板で半径方向内向きの流れを作って固体的回転渦を崩壊するために邪魔板を装備するのである．
式(20.2-4) の未知数 𝑎′ , 𝑑 ′, 𝑏′ − 2𝑑′ は実験によって定めねばならない．
いずれにしても，現象が複雑で理論解析が困難な場合でも，次元解析により，式(20.24) の無次元パラメータの関数になると推論できたことは実験に対して有益な指針を与える．

262

撹

拌

レイノルズ数と動力数以外に，もう一つの基本的な無次元数として次式で定義する吐出流量数がある：𝑞
𝑁𝑞 = 𝑁 𝑑3(20.2-6)

例えば，放射流撹拌翼の場合，前述の流動パターンのように，翼から吐出される流量𝑞𝑑 が層内を一巡して戻ってくるならば，槽内の循環流 𝑞𝑐 は吐出流量 𝑞𝑑 に等しい．
翼を通って吐出される体積流量 𝑞 は周方向速度 𝜋𝑑 𝑁 と翼先端部が掃き出す面積 𝜋𝑑 𝑏の積に比例すると仮定できる： 𝑞 ~ 𝑁 𝑑 3 ，ここで 𝑏~𝑑 と考えている．１周に要する時間
は回転数の増加とともに減少するから，循環流量も循環回数も増加して混合効果を大きくするから，スケールアップで考慮すべき重要なパラメータである．
吐出流量数はレイノルズ数とともに増加する傾向があるが，乱流になるとほぼ一定になる，そこでは翼直径とタンクの内径の比に依存する． 詳しいことは省略する．
20.2-2 動力相関
前節 (20.2-1) において， 動力数がレイノルズ数とフルード数の関数であることを知った．
しかしながら，タンクに邪魔板が設置されているならば，ボイルテックスは形成されず，
ほぼ水平な液面に保たれる．この状態では，動力数はほとんどフルード数に依存しなくなる． 図 20.2-3 はいくらかの種類の撹拌翼の場合の動力数の経験的な相関を邪魔板のある場合とない場合に対して示している．
ここで，縦軸の Ф はフルード数を考慮に入れた次式のような関数形の動力数である：
𝛼−log 𝑅𝑒𝛷 = 𝑁𝑝 × 𝐹𝑟 𝛽𝛼，𝛽 とも翼の種類および翼径対タンク径の寸法比で与えられる経験的な定数である．

図 20.2-3. 撹拌槽における翼の動力数のレイノルズ数による変化の相関線図(Np 邪魔板あり, Ф 邪魔板なし)

高レイノルズ数域 𝑅𝑒 ≥ 10,000 においては，動力数はほぼ一定になり，レイノルズ数に無関係になる．特に邪魔板によるこの効果は円管の内面に大きな凹凸がある粗面管の場
合の高レイノルズ数域で一定になる摩擦係数とよく似ている．放射流タイプの撹拌翼の場

撹拌槽における伝熱263

合，低レイノルズ数域 𝑅𝑒 ≤ 500 での 𝑁𝑝 対 𝑅𝑒 の線図が，邪魔板あるなしに関わらず一直線に一致し，その勾配が – 1 になるのは，多くの流れの層流の特徴である． 動力数を計算する時，撹拌槽の幾何学的構造の効果をシェープファクターと呼んでいる寸法比：
𝑆1 = 𝐷⁄𝑑 , 𝑆2 = 𝐻𝑝⁄𝑑, 𝑆3 = 𝑙 ⁄𝑑, 𝑆4 = 𝑏 ⁄𝑑 , 𝑆5 = 𝐻⁄𝑑 を使って考慮しなければならな
い．これらの寸法比は 図 20.2-2 に与えられている．普通，撹拌槽の典型的な寸法配分は
撹拌槽の径，および撹拌翼の大きさ（直径）と設置高さの次元で標準化されている．
邪魔板付きタンクにおける強い撹拌においては，液面は乱れはするが，ボルテックスはできず，水平かつ平坦に保たれるので，フルード数の動力数に対する影響は考える必要はない．
邪魔板なしの撹拌槽で低粘性流体の場合，遠心力により液面が凹面になるボルテックスが形成される．このようなボルテックスにより半径方向に液深分布ができ，フルード数が関係してくるのである．少し前述したように，動力数にフルード数の影響を入れた無次元
パラメータは次式のようになる：
𝛷 = 𝑁𝑝 𝐹𝑟 𝑚
(20.2-7)
ここで 𝑚 は次のようなレイノルズ数の関数である．
𝑚=𝑎−log 𝑅𝑒𝑏

(20.2-8)

例 え ば ， プ ロ ペ ラ 翼 ( 𝑑 ⁄𝐷 = 1⁄3) ： 𝑎 = 2.1 , 𝑏 = 18.0 ， デ ィ ス ク タ ー ビ ン 翼(𝑑 ⁄𝐷 = 1⁄3) ：𝑎 = 1.0 , 𝑏 = 40.0.

20.3 撹拌槽における伝熱
一般に，タンク式化学反応装置には加熱あるいは冷却用のジャケットだけでなく，図20.3-1 に示すように，加熱あるいは冷却用のチューブコイル（蛇管）なども付いた複雑な構造のものが多い．チューブコイルは反応液の中心域を加熱したり，除熱するためにしばしば使われる．撹拌・混合の工学技術書においては，設計に使用できる多くの伝熱相関が載っているが，この本の本来の目的による制限から，ここでは，それらの多くの相関式やデータを取り扱うことはできないので，理解しやすいように，シンプルな例を考えるだけ
に留める．

264

撹

図 20.3-1拌

一般的な撹拌槽バッチ反応器

図 20.3-2 に示すような邪魔板なし，コイルなしで構造もシンプルなジャケット付き撹拌
槽反応器を考えよう．今は，簡単でやりやすいように，容器内で化学反応が起こっていな
いとする．したがって，容器内では発熱反応も吸熱反応もないとする．

図 20.3-2 邪魔板なしのジャケット付き撹拌槽を用いた連続式流通反応器における伝熱

ある液が連続的に撹拌タンクに水蒸気ジャケットで加熱されている．熱はタンク外側に設けられたジャケットでの水蒸気の凝縮によって供給されている．普通，水蒸気の凝縮液
膜およびタンク壁である金属板の伝熱抵抗はタンク内壁の液境膜の伝熱抵抗に比して十分に小さいと仮定できる．したがって，主たる支配的な伝熱抵抗は反応器の内壁の対流伝熱境膜に存在する．ジャケットが取り巻いていない部分も含めて，充分に保温あるいは断熱
ｓだれているととする．
一例として，物性定数一定とした伝熱相関式 1, 2)を挙げておく：
𝑁𝑢 =

ℎ𝑖 𝐷

𝜇

0.14

= 𝛼 𝑅𝑒 2⁄3𝑃𝑟 1⁄3 (𝜇 )𝜅𝑤

(20.3-1)

種々の撹拌翼と容器の構造と附属物によって，上式の係数 𝛼 は大きく変化する．邪魔板
なしのタービン翼撹拌槽の場合，経験値である 𝛼 = 0.44 を上式において使うことができ
る．
1.
2.

Uhl, V. W., and Gray, J. B., “Mixing,” vol.1, p.284, Academic, New York (1966)
Chilton, T. H., Drew, T. B., and Jebens, R.H., Ind. Eng. Chem., 36, 510 (1944)

20.4 撹拌槽のスケールアップ設計
撹拌槽の運転特性は一般に，測定したデータを無次元数の関数として相関づけることによって，経験的に求めている．無次元数グループからなるこれらの相関式はスケールアップの設計のために使われる．幾何学的に相似な装置構造の条件のもとでは，スケールアッ
プすべき化学装置の物理的目的（分散させたい？加熱したい？溶解したい？ ----- ）に応じて適切な相関式や規則を選択しなければならない．撹拌翼によって与えられる動力は，

撹拌槽のスケールアップ設計

265

タンク内の流体が連続的に粘性消散により力学的エネルギーから不可逆的に熱エネルギーに劣化することを，我々は乱流理論により知っている．だから指定された撹拌翼によって単位体積当たりの液に消費される動力を混合効果の尺度と見做すことができる．普通，種々の撹拌機やタンク，容器のスケールアップのために，多くの消費動力相関式が用意されている．
ここでは，低粘性の液体の混合装置のスケールアップ設計について考えてみよう．
各変数の下付き添え字 1 は実験室とかパイロットプラントとか小さいスケール側を意味
し，2 はスケールアップする大きい側を意味する．
次に説明する３つの条件を小さいスケール 1 から大きなスケール 2 への基本的なスケー
ルアップ規則として考えるべきである：先ず，小さいスケールと大きいスケールで動力数を同じにすること：
𝑁𝑝1 = 𝑁𝑝2
(20.4-1)
次に前述の流量数を両システムについて同じにすることも考える：
𝑁𝑞1 = 𝑁𝑞2
(20.4-2)(1) 低粘性の均一溶液：
単位体積当たりの消費動力 𝑃𝑣 (W⁄m3 ) が，小さいスケールのタンクと大きなスケールのタンクでお互いに等しい：
𝑃𝑣1 = 𝑃𝑣2
(20.4-3)
このスケールアップ条件は単位体積当たりの液において，力学的エネルギーの消散速度が小さいスケールも大きいスケールも互いに等しいことを意味している．例えば，１個のビーカーでの撹拌・混合と同じ撹拌・混合条件のビーカーを 100 個一緒にしたようなタンクこと比較をして、単位体積当たりの力学エネルギーの消費速度すなわち混合条件が同じであるべきだとする考え方である．つまり，単位体積当たりの流動条件が同じであるべきと言う意味である．しかし厳密に言うと，両方のシステムとも１基の撹拌機である場合，
スケールアップ則で得られる翼の回転数は小さいスケールよりも大きなスケールで普通非常に小さいから両システムで流れの構造を同じにすることは無理である．
この基本概念の基にスケールアップ則を導こう．
液レベル（液深さ）がタンク径に等しい，𝐻⁄𝐷 = 1 と仮定する． タンク径に対する翼直径の比が𝑘 = 𝑑 ⁄𝐷 で与えられるならば，単位体積当たりの消費動力は次のように表わすことができる：
𝑃𝑣 = 𝑃⁄[(𝜋⁄4)𝐷 2𝐻 ] = 𝜌𝑁 3 𝑑 5 𝑁𝑝⁄[(𝜋⁄4)(𝑑 ⁄𝑘 )2 (𝑑 ⁄𝑘)] ~ 𝑁 3 𝑑 2 𝑁𝑝
(20.4-4)だから大きいスケールシステムの回転数は次式で与えられる：𝑁2 = (𝑑1 ⁄𝑑2 )2⁄3 (𝑁𝑝2 ⁄𝑁𝑝1)1⁄3 𝑁1(20.4-5)
図 20.2-3 でわかるように，消費動力は乱流の広いレイノルズ数の範囲において，ほぼ一定になる．したがって，両システムのレイノルズ数がたとえ違っていても，動力数は互いに等しいと仮定することができる： 𝑁𝑝2 = 𝑁𝑝1
この関係を使って，大きいスケールの方のレイノルズ数と消費動力は次のようになる：
𝑅𝑒2 = 𝑑2 2 𝑁2 𝜌⁄𝜇 = (𝑑2 ⁄𝑑1 )2 (𝑁2 ⁄𝑁1 ) 𝑅𝑒1 = (𝑑2 ⁄𝑑1 )4⁄3𝑅𝑒1(20.4-6)533
53
𝑃2 = 𝑁𝑝2 𝜌𝑁2 𝑑2 = (𝑁2 ⁄𝑁1 ) (𝑑2 ⁄𝑑1 ) 𝑃1 = (𝑑2 ⁄𝑑1 ) 𝑃1
(20.4-7)
これの結果によると，例えば，翼直径を小さい方の 8 倍 𝑑2 = 8 × 𝑑1にスケールアップ
する場合，タンク径も 𝐷2 = 8 × 𝐷1 ，翼回転数は 𝑁2 = (1⁄4) × 𝑁1 になる．しかしながら，
レイノルズ数と消費動力は 𝑅𝑒2 = 16 × 𝑅𝑒1 , 𝑃2 = 512 × 𝑃1 のように非常に大きくなる．単位体積当たりの消費動力（時には撹拌強度と呼ぶ）が等しいと仮定してタンクをス
ケールアップする場合，翼回転数が小さくなるから，また，１本の撹拌機であるので，あちこちで弱い混合領域が形成される可能性がある．

266

撹

拌

(2) 液液分散の混合：
液液分散系を造るために，撹拌翼先端の近くにおける周方向速度の勾配が，液体塊を引きちぎって小さな液滴にする重要な役割をする．だから，この目的のためのスケールアップ則は次式で与えられる：𝑁2 = (𝑑1 ⁄𝑑2 )𝑁1(20.4-8)
乱流領域では，𝑁𝑝2 = 𝑁𝑝1 のように仮定できるから
この場合の消費動力は
𝑃2 = (𝑁2 ⁄𝑁1 )3 (𝑑2 ⁄𝑑1 )5 𝑃1 = (𝑑2 ⁄𝑑1 )2 𝑃1(20.4-9)
レイノルズ数は次のようになる：
𝑅𝑒2 = (𝑑2 ⁄𝑑1 )2 (𝑁2 ⁄𝑁1 ) 𝑅𝑒1 = (𝑑2 ⁄𝑑1 )𝑅𝑒1
(20.4-10)
エマルション重合反応装置はこのケースに属す．しかし，邪魔板付きの反応器にすると，邪魔板間の凹状の淀み領域において望ましくない重合物の沈着の問題が起きるので，なるべくならば，邪魔板なしの反応槽にすべきである．
(3) ジャケット付き容器の伝熱：
先ずは両スケール 1, 2 の間で単位体積当たりの消費動力が等しいと考えるべきである．
流動状態は十分に発達した乱流であると考える．すなわち， 𝑁𝑝2 = 𝑁𝑝1 .
大きなスケールのシステムの回転数は式 (20.4-5) で与えられる：𝑁2 ⁄𝑁1 = (𝑑1 ⁄𝑑2 )2⁄3
(20.4-5)
加熱あるいは冷却ジャケット付き容器のスケールアップにおいては，熱交換速度の必要条件は次式のように表される：
𝑄2 ⁄𝑄1 = ℎ2 𝐷2 𝐻2 (𝑇𝑤 − 𝑇𝐿 )2 ⁄ℎ1 𝐷1 𝐻1 (𝑇𝑤 − 𝑇𝐿 )1(20.4-11)
ここに， ℎ1 , ℎ2 は両システムの伝熱係数である．
スケールアップの目的から，温度差 ∆𝑇 = 𝑇𝑤 − 𝑇𝐿 は両システムの間で互いに等しくなければならない．
システム設計の標準化のために，システムの何学的構造が相似であるべきとする規則は採用する： 𝑑 ~ 𝐷 and 𝐻 ~ 𝑑.
新たにスケールアップの長さの比を次のように与える：
𝜆 = 𝐷2 ⁄𝐷1 = 𝑑2 ⁄𝑑1(20.4-12)
したがって𝑄2 ⁄𝑄1 = ℎ2 𝐷2 2 ⁄ℎ1 𝐷1 2
(20.4-13)
伝熱の相関式 (20.3-1) によると
𝑁𝑢 =

ℎ𝑖 𝐷
𝜇 0.14= 𝛼 𝑅𝑒 2⁄3 𝑃𝑟 1⁄3 ( )𝜅𝜇𝑤

両スケールシステムの間では，𝑃𝑟2 = 𝑃𝑟1 and (𝜇 ⁄𝜇𝑤 )2 = (𝜇 ⁄𝜇𝑤 )1 .
上の式から伝熱係数の関係式は
2⁄ 3

ℎ2

𝐷

𝑅𝑒

1

2

1

𝑅𝑒2

𝑑

1

1

(20.4-14)= (𝐷1 ) (𝑅𝑒2 )ℎ

𝑁𝑝2 = 𝑁𝑝1 の条件の下で，式 (20.4-5) から 𝑁2 ⁄𝑁1 = (𝑑1 ⁄𝑑2 )2⁄3 となる．
したがって，式(20.4-6) は次のようになる：
2

𝑁

𝑑

1

1

4⁄ 3

= (𝑑2 ) (𝑁2 ) = (𝑑2 )𝑅𝑒= 𝜆4⁄3

レイノルズ数は大きくなるが，翼の回転数は小さくする．
最終的に(20.4-15)

267

撹拌槽のスケールアップ設計

𝑄2

ℎ

𝐷

2

𝐷

𝑅𝑒

2

1

2 ⁄3

= ℎ2 (𝐷2 ) = [(𝐷1 ) (𝑅𝑒2 )
𝑄
1

1

1

𝐷

2

𝑑

8⁄ 9 𝐷
2

1

1] ( 2) = ( 2)𝐷𝑑1

(𝐷 ) = 𝜆17⁄9 ~ 𝜆1.89(20.4-16)式(20.4-14) から，伝熱係数は次式によって与えられる：
ℎ2
ℎ1

𝐷1

⁄
𝑅𝑒2 2 3= (𝐷 ) (𝑅𝑒 )
2

1

𝐷1

⁄ 2⁄3
𝑑2 4 3= (𝐷 ) [(𝑑 )21]= 𝜆−1⁄9(20.4-17)大きいスケールの伝熱係数の方が小さなスケールの場合よりほんの少し小さくなることが
わかった．

記
𝐷
𝐹𝑟
𝑔
𝑏
𝑑
𝐻
𝐻𝑝
ℎ𝑖
𝐽
𝑙
𝑁
𝑁𝑝
𝑁𝑞
𝑁𝑢
𝑃
𝑃𝑟
𝑃𝑣
𝑄
𝑅
𝑅𝑒
𝑇
𝑣𝜃
𝜅
𝜆
μ
𝜌
𝛷
𝜔

号

表
撹拌槽/タンクの直径, [m]フルード数（Froude number）, [ - ]重力の加速度, [m/s2]
撹拌翼の縦幅, [m]翼の直径, [m]
容器内の液深さ, [m]
容器の底面からの翼の取り付け高さ, [m]
容器の内面における伝熱係数 l, [W/m2K]
邪魔板幅, [m]撹拌翼の羽根の長さ, [m]翼の回転数, [1/s]
動力数, [ - ]吐出流量数, [ - ]ヌッセルト数, [ - ]消費動力, [W]プラントル数, [ - ]単位体積当たりの消費動力, [W/m3]
熱交換速度, [W]加点する腕の長さ (= d/2), [m]レイノルズ数, [ - ]温度, [K]
周方向の速度成分, [m/s]熱伝導度, [W/m K]
スケールアップ長さ比, [ - ]粘度, [kg/m s]
密度, [kg/m3]
修正動力数, [ - ]角速度, [1/s]

下付き添え字w
壁1
小さいスケールのシステム
2
スケールアップする大きいスケールのシステム

268

269

索

引

ア行
アッカーマン(Ackermann) 効果, 補正因子, 171,
(調湿参照)
圧 力
静圧, 5,
圧力降下, 圧力損失
円管内流, 54 (層流), 81 (乱流),充填塔, 131 (湿), 132 (乾),多管式熱交換器, 107,
アナロジー Analogy（相似理論）
運動量と熱の移動, 241,
熱と物質の移動, 121, 166, 241,
充填蒸留塔の場合, 164, 166,
チルトン・コルバーンのアナロジー, 241,
コルバーンのアナロジー, 173,
イオンの物質移動,
電極反応, 182, 183, 電気二重層, 183,
イオンのモル流束, 185, 支持電解質, 183,
速度勾配の測定法, 185, 247,
物質移動係数の測定法, 183,
異相間移動 Interphase Transport
運動量輸送, 77, 79,
熱またはエンタルピー輸送, 94, 143, 145,
物質輸送, 106, 吸収, 124, 蒸留, 148,
移動単位数 NTU,
128（充填塔）, 150, 152 (段塔)
移動単位高さ HTU , 127, 150,
移動容量係数, Volumetric Transfer Coefficient
ガス吸収, 127, 蒸留, 162 （充填塔）
ウェーバー数, 152 （蒸留）渦/ボルテックス, Cellular Vortex
セル状渦, 57, (Taylor 渦)
渦（乱流渦 Eddy）
渦拡散係数, 217, 渦スケール, 221, 226
長さスケール, 221, 時間スケール, 221,
HETP (height equivalent to a theoretical plate),
150, （充填式蒸留塔参照）
HTU (height of a transfer unit), 127, 150, 162,
（充填式吸収または蒸留塔参照）
エネルギースペクトル, 224, （乱流参照）
F-ファクター(F-factor）,
153 (段塔), 166 (充填塔)), （蒸留参照）
エルボ（肘管）, 34, 87, 88 （管附属物参照）
円柱/円筒/球共軸回転円筒流, 55, 浸漬球, 91 (抗力), 116 (伝熱),浸漬円柱, 114 (伝熱),オイラーの観点, 3, 226, (cf. ラグランジュの観点 )オリフィス流量計, 132,

カ行
回収部, 137, (cf. 濃縮部, 蒸留塔参照)
階段作図・計算（Stage-by-stage calculation）, 144,
( 蒸留 McCabe-Thiele 法参照)
化学反応, 199~211, （主として反応吸収）

１次均相反応, 201~202, ２分子瞬間反応, 202~206,
ガス吸収, 199, 反応係数, 200, 202,
電気化学反応, 171~173, （物質移動測定法）
拡 散
フィックの法則, 11,
拡散律速, 183, 限界電流, 183, イオンの拡散, 181,
非定常拡散, 199, 202, 化学反応を伴う拡散, 199,
拡散係数 (フィックの法則), 11, 定義, 11,
質量流束, 12, モル流束, 12,
撹拌/撹拌翼, 257,
撹拌翼, 258, 次元解析, 259, 邪魔板, 258,
流動パターン, 259, フルード数, 261,
伝熱相関, 263, 消費動力, 261, 動力相関, 262,,
動力数, 260, 修正動力数, 262, 流量数, 262,
レイノルズ数, 261, スケールアップ, 264,
核沸騰, 196, （沸騰伝熱参照）(cf. 膜沸騰)
環状流路
二重管式熱交換器, 90, 97, 99, 相当直径, 105, 108,
伝熱, 104, 回転二重円筒, 9, 55,
吸 収
液ジェットへの吸収, 71,
Higbie の浸透理論, 73,
充填吸収塔
操作線, 126, 限界液ガス比, 最小液ガス比, 126,
吸収の HTU, 127, 128,
物質移動モデル, 124, 物質移動係数, 122, 123, 128,
物質移動相関, 128~130, NTU, 128, (充填層)
化学吸収/反応吸収, 199~211,
電解質溶液へのガスの溶解度, 208,
設計 (反応吸収塔), 206~211,
境界層理論, 235,
エネルギー（温度）境界層, 237,
エネルギー積分方程式, 242,
自然対流の境界層, 251, 流体摩擦係数, 244,
平板に沿う層流流れ, 237, 長さレイノルズ数, 237, 240,
流れ関数, 235,
アナロジー理論, 241, j-因子 ( j-factor), 240,
乱流境界層, 243, 積分境界層方程式,241,
自然対流の境界層流, 251,
イオンの物質移動, 247,
凝 縮, 189,
滴状凝縮, 189, 膜状凝縮, 189, 191,
伝熱解析, 191, 塔頂コンデンサー, 192,
境 膜
運動量, 80, 伝熱, 94, 物質移動, 120,
二重境膜理論, 74, 122, 148,
巨視的収支 Macroscopic
物質, 21, 運動量, 23, 熱エネルギー, 26, 28,33,
力学的エネルギー, 28, 個々の成分の物質, 37,
観 点
オイラー観点, 3, 219, ラグランジュ観点, 3, 220,
還流/還流比, 140, （蒸留塔参照）
空塔速度（Superficial velocity）, 125, 153, 162,
グラショフ（Grashof）数, 254, （自然対流参照）
限界熱流束, 197, (沸騰参照),
限界電流, 183, （イオンの物質移動参照）

270
降伏応力, 15, 57, (非ニュートン流体参照)
抗力係数, 91, (cf. 摩擦係数)
国際単位 SI units (Systeme International), 4,
混合距離理論, 217, 220,
渦拡散係数, 217~219,

サ行
軸仕事（Shaft work）, 27, （力学的エネルギー収支参照）
次元解析,
撹拌槽, 259, チャネル，パイプ流れ, 82, 229,
円管内流伝熱, 95,
指数モデル（Power law model）, 16, 59,（非ニュートン参照）
自然対流（自由対流）, 251,
境界層理論, 251, 対流伝熱, 253,
グラショフ（Grashof）数, 254, ヌッセルト数, 254,
伝熱相関, 254,熱損失, 254,
湿 度
湿球温度, 172, (調湿参照), 湿度図表, 174,
自由対流（自然対流参照）
シャーウッド（Sherwood）数, 120, (定義)j-因子, j-ファクター（j-factor）
伝熱, 95, 97, 121, 166, 240,
物質移動, 121, 1766, 240,
境界層, 241,
シェル（Shell）, 胴多管式熱交換器, 103, 相当直径, 105, 108,
シェル側伝熱, 105, シェル側圧力降下, 107,
真の温度差, 106,シュミット（Schmidt）数, 14, (定義)充 填 塔
ガス吸収, 121~130,
最小液ガス比, 126,
圧力降下, 131 (湿), 132 (乾),塔高さ, 127, HTU,127, 128,
物質移動, 120, 相関, 121,
設計, 塔直径,130,
蒸留, 161, フラッディング, 131,
熱またはエンタルピー輸送, 164,
充填物, 124,
不規則, 124, 規則, 124,反応を伴う吸収, 199~206,
反応係数, 200, 202, 反応吸収塔設計, 206~211,
縮流ノズル, 29, 187,
衝突流, 244,
流れ関数解析, 244, 衝突噴流, 187, 246, 伝熱, 246,
蒸発, 194, （沸騰参照）
蒸発伝熱係数相関, 196,
蒸発冷却, 177, 冷水塔, 177,
操作線, 177, 湿球温度, 172,
蒸 留,
相律, 135, 沸点線図, 136, 露点, 136, 泡点, 136,
相対揮発度, 136, 143, 気液平衡係数 136,
ラウールの法則（Raoult’s law）, 135,
理想段, 139, 142,
マッケィブ・シール（McCabe-Thiele）法, 142,
ポンション・サバリ（Ponchon-Savarit）法, 145,
操作線, 141, 142, q-線（q-line）, 143,
濃縮部, 137, 141, 回収部, 137, 142,

還流比, 140, 145, 最小還流比, 145,
塔頂コンデンサー, 137, 192, リボイラー, 137,
連続蒸留, 137,
棚段塔, 138, 139, 充填塔, 161~164,
ダウンカマー, 138, （トレイ参照）
塔の設計, 154, 設計計算, 154,
効率（段効率, 151，充填塔効率, 163）
HETP, 163 (充填塔), マーフリー段効率, 151,
理想段, 139,
トレイモデル, 151,
二重境膜理論, 149(段塔), 162 (充填塔),
F-ファクター, 154, 166,
物質移動モデル,コントロールボリューム法,149（段塔）, 163 (充填塔)
HTU, 150 (段塔), NTU, 150 (段塔)
総括移動係数, 162, j-因子, j-factor, 166,
エンタルピー収支, 145, 155, (段塔), 161, 165, (充填塔)
物質，エンタルピーのアナロジー, 166,
レイノルズ数, 152, (トレイ), 166, (充填層)
ストリッピング・ファクター, 150, 163,,
浸透理論, 73, (cf. Higbie)
スタントン（Stanton）数, 65, (定義)
静止流体力学, 5
積分方程式, 241, （境界層参照)
遷移/流動遷移
層流/乱流遷移, 18, 境界層流, 243,
せん断応力（Shear stress）, 8, (運動量流束)
総括伝熱係数, 98, 100, 162,
総括物質移動係数
ガス吸収, 123, 蒸留, 162,
操作線
ガス吸収, 126, （吸収参照），蒸留, 141, (蒸留参照)
冷水塔, 177,
相似性 （シミラリティ―）Similarity
運動量, 熱, 物質の分子輸送の間の相似性, 14,
相対揮発度, 136, (蒸留参照)
相当管長さ, 85, （管路附属物の流動抵抗）
相当直径, 89, （非円形流路）
定義, 89, 水力相当直径, 89,
非円形チャネル, 81, 熱交シェル側 94,
層 流
円管, 18, 境界層, 237, 共軸回転円筒, 55,
速 度 (velocity)
質量平均速度, 12 (拡散係数参照)
モル平均速度, 12 (拡散係数参照)
速度変動, 19, 78, 84, 192, (乱流)
1/7th 指数法則, 19, 243,
非ニュートン流体, 57, 59,
F-ファクター（F-factor）, 154, 166, （蒸留参照）
空塔速度, 125, 153, 162, (ガス吸収・蒸留))
普遍速度分布, 231,
粘性底層, 229, 緩衝層, 230, 乱流本体, 230,
摩擦速度, 229,
速度 Rate (cf. flux)
定義, 5, 移動速度：運動量,24, 熱, 75, 物質, 23,
粗度/粗面管相対粗度, 84,

271

タ行
対数平均温度差 LMTD , 99, 106, （熱交換器参照）
タイライン Tie-line, 179 (調湿),対流伝熱円管, 61, 97, 浸漬物体, 114 ( 円柱), 116 (球),二重円管環状路, 104, 熱交換器シェル側, 106,
棚段塔
泡鐘トレイ, 138, シーブトレイ, 138,
ダウンカマー, 138,
リボイラー, 137, 塔頂コンデンサー, 137,
タービン翼, 260, 264,（撹拌翼参照）
調 湿, 169,
断熱冷却線, 174, 断熱飽和温度, 174, 湿度図表, 174,
エンタルピー収支, 170, 173, 湿度, 173,
ルイス（Lewis）の式, 173, 操作線, 177, 冷水塔, 177,
湿球温度, 172,
抵抗/移動抵抗
伝熱抵抗, 67, 物質移動抵抗, 75, 123,
テイラー渦流(Taylor vortex flow), 57,
テイラー（Taylor）数, 57, 共軸二重円筒流れ, 56,
電解反応/電極反応, 171, 173,
電気化学反応法, 183~186, 247,
電解槽（セル）, 171, 限界電流, 183,
物質移動測定法, 183, 速度勾配測定法, 185,
テンソル, 4,
伝 熱
沸騰, 194, 凝縮 , 189, 対流： 円管, 61, 104, 円柱, 114,
球 116, 衝突噴流伝熱, 246,
伝熱係数定義, 62, 94, 凝縮伝熱, 191,
プール沸騰伝熱, 196, 自然対流, 253, 熱損失, 254,
同時移動/同時輸送, （熱と物質の同時移動）
159 (蒸留), 169 (調湿),チルトン・コルバーン（Chilton-Colburn）のアナロジー則, 241,
物資とエンタルピー, 121, 166,
動力数, 260, （撹拌参照）
トルク
回転円筒, 56, 撹拌翼, 260,
トレイ, 138, (蒸留塔参照)
直交流型トレイ, 138,
二重流れ（Dual-flow）型トレイ, 138,
泡鐘トレイ（Bubble-cap）, 138,
シーブ（Sieve）トレイ, 138,
ダウンカマー, 138,
段効率/マーフリー（ Murphree）効率, 151,

ナ行
長さレイノルズ数, 237, 240,（境界層参照）
流れ関数, 235,
応用, 251, 衝突流, 244, 自然対流, 252,
流れ仕事, 27, （力学的エネルギー収支参照）
1/7 乗法則（One-seventh power law）
乱流境界層, 243, 管内乱流, 19,
ナビアー・ストークス方程式, 43,
ニュートン（Newton）の粘性の法則, 7,
ヌッセルト（Nusselt）数
円管内層流, 65, 96, 円管内乱流, 94, 96,
自然対流, 253,

熱伝導
熱伝導度, 9, 定常, 66, 非定常, 68,
フーリエ（Fourier）の熱伝導の法則, 9,
熱交換器, 103,
二重円管, 101, 104,
対数平均温度差 LMTD, 101,
設計, 101, 伝熱, 104, 106,
多管式（シェル・アンド・チューブ）103,
邪魔板, 設計, 107,
塔頂コンデンサー, 107,
管側伝熱, 104, 管側圧損, 107,
シェル側伝熱, 105,
伝熱管レイアウト（配列配置）, 105,
シェル側伝熱, 106,
シェル側圧力損失, 107,
工学的設計, 107,
総括伝熱係数, 100, 107,
真の温度差, 106, 103, 補正係数, 107,
熱線風速計, 79, 115, 214,
熱輸送伝導度（Fourier’s law）, 9,
熱の拡散係数, 8, 伝熱抵抗 62,
境膜伝熱係数定義, 94,
粘性消散, 225, (乱流参照)
粘 度
定義 (Newton’s law), 7, 動粘度, 8,

ハ行
ハーゲン・ポアズイユ（Hagen-Poiseuille）の式, 54,
配 管
相当直径, 89, 相当長さ, 85, 管附属物, 85,
摩擦損失係数, 85, ポンプ所要動力, 35,
パイプライン, 33, 85, バルブ, 86,
バルブ/弁, 87,チェック, 87, ダイアフラム, 87,
ゲート, 87, グローブ, 30, 87,
反応吸収, 199~211, (吸収参照)
非ニュートン流体, 15,ビンガム（Bingham）モデル, 15, 57,
指数法則（Power law）モデル, 16, 59,
降伏応力, 15, 57, 円管内流れ, 59, (応用例)
微視的収支（微分収支）, 41,
エネルギー, 46, 物質, 41, 48, 運動量 43,
ピトー管, 31,
微分収支, 41, (微視的収支参照) Microscopic
ビンガムモデル, 15, (非ニュートン流体参照)
ビンガムプラスチック, 15, 57,
不安定性/乱流遷移
境界層, 243, 円管内流れ, 18, 共軸二重回転円筒, 57,
物質移動移動係数定義,120, 123, 128, 149,
物質移動相関, 128~130, 異相間移動, 121,
ガス吸収のモデル, 124, 127, 浸透理論, 73,
蒸留のモデル, 148 (棚段塔), 161 (充填塔),
沸 騰, 194,
沸騰曲線, 195, 沸騰伝熱, 196, 限界熱流束, 197,
伝熱相関, 196, 核沸騰, 196, プール沸騰, 194, 196,
ファウリング, 99, （熱交換器参照）
フーリエ（Fourier）の熱伝導の法則, 9,272
フィック（Fick）の拡散の法則, 11, 119,
ブラジウスの式, 84, (流体摩擦係数参照)
フラッディング(Flooding), 131, （充填塔参照）
プラントル（Prandtl）数, 14,
浮力, 251, (自然対流参照)
鉛直加熱平板近傍流れ, 251, 253,
フルード（Froude）数, 261, （撹拌参照）
噴 流/Jet
衝突噴流, 187, 液体ジェット, 71,
平 均
質量平均, 12, (cf. モル平均)
断面平均, 53, 時間平均, 93, 213,
平衡段/理想段, 139, (蒸留塔参照)
変化の方程式 （輸送方程式）
微分収支（微視的収支）, 41,
連続の式, 41 エネルギーの式, 46, 物質の式, 48,
運動量の式, 43,
応用編（運動量）：円管内流, 51, 回転円筒, 55, 非ニ
ュートン, 57, 59,
応用編（エネルギー）：円管, 61, 中空円柱, 66,
応用編（物質）：液体ジェット, 71,
乱流：運動方程式, 216, エネルギー輸送方程式, 216,
物質輸送方程式, 216,
ベクトル, 4,
単位ベクトル, 22, ベクトル方程式, 42, 45, 47, 48,
ベルヌーイの式, 28, 54, (力学的エネルギー参照)
ベンド（曲管）, 24, 88, (管附属物参照)
ヘンリー（Henry）の法則, 74, 121, (ガス吸収参照)
保存則, 21, (巨視的収支参照)
コントロールボリューム法, 21,
エネルギー収支, 26, 物質収支, 21, 運動量収支, 23,
力学的エネルギー収支, 28,
ポンション・サバリ（Ponchon-Savarit）法, 145,
ポンプ （力学的エネルギー収支参照）
所要動力, 27, 33(ポンプ), 88 (ブロアー)

マ行
摩擦係数/摩擦損失, 81,
定義, 81, 85, 抗力係数, 91,
ファニングの摩擦損失式, 54, 81,
摩擦損失係数, 85, (管路附属物)
層流円管内流,85, 非円形チャネル内流, 89,
熱交換器, 107, 乾き充填塔, 132, 乱流境界層, 243,
マッケーブ・シール（McCabe-Thiele）法, 142,
マーフリー(Murphree) 段効率, 151 （蒸留）乱れ (Turbulence)
乱れの発生, 18, 運動のエネルギー, 214,
エネルギースペクトル, 224, 乱れ強度, 78, 214,
相関関数，相関係数, 空間/時空間, 220,
渦の大きさ, 221, 乱れの構造, 222, 粘性消散, 225,
長さ/時間スケール, 221, 乱れのスケール, 221,

ヤ行
淀み点, 244, 246 （衝突流参照）,
伝熱, 246, 衝突噴流, 246,
輸送強度，流束，輸送速度, 5
容量係数,
伝熱容量係数, 162, 物質移動容量係数, 127, 162,

ラ行
ラウールの法則（Raoult’s law）, 135,
ラグランジュの観点, 3, 220 (cf. オイラーの観点)
ランツ・マーシャル (Ranz- Marshall) の式, 127, 175,
乱 流
境界層流, 243, 円管内流, 17, 214,
乱れ変動, 19, 78, 213, 乱れ強度, 71, 214,
普遍的速度分布, 231, 乱流本体, 230,
熱および物質の乱流流束, 217,
乱流輸送方程式, 215, 216,
力学的エネルギー
収支, 28, ベルヌーイの式, 28, 85,
力学的エネルギー損失, 28, 84, 管附属物, 85,
理想段/平衡段, 139, (蒸留塔参照)
流束, flux（cf, 速度, rate）, 5
定義, 5, 熱流束, 10, 物質流束, 13, モル質量流束, 13,
運動量流束, 8, イオンの物質流束, 181, 185,
乱流：熱流束, 217, 物質流束, 217, 運動量流束, 217,
流体の流動体積力, 5, 面積力, 5, 静圧, 5
力の釣り合い, 24, 81, パイプ流れ, 53,
ベンド（曲がり管）, 25, 縮流ノズル, 29,
オリフィス流量計, 132, ピトー管流速計, 31,
レイノルズ数, 17, 19,
層流, ニュートン流体, 8,
非ニュートン流体,15, 57, 59,
管内流の速度分布, 18,乱流, エネルギースペクトル, 224,
乱流強度, 78, 214,運動のエネルギー, 214, 管内流, 214,
レイノルズ応力, 217, 乱れのスケール, 221,
移動流束, 217, 218, 乱流速度変動, 19, 78, 214,
速度分布, 231, (普遍的速度分布)
ルイス（Lewis）数, 14, 173, （調湿参照）
冷水塔, 177, （充填塔）
エンタルピー収支, 177,
操作線, 177, タイライン, 179,
レイノルズ（Reynolds）数
定義, 17, 19, 撹拌槽, 261, 境界層流れ, 240,
円管内流, 17, 共軸二重回転円筒, 57 (テイラー数)
熱交換器（管側, 104, シェル側, 106, 108）,
二重管式熱交, 104,
充填塔内流れ, 166, 棚段塔流れ, 152,
長さレイノルズ数, 237, 240, 243, (境界層流れ)
レイノルズ応力, 217, 232 (cf. 乱流運動量流束)

ローデイング点, 130 （充填塔参照）