目次

旨 ························································································································

3

1. まえがき ···················································································································

4要

2. サンドウェーブ発達予測モデルの概要 ············································································

4

2.1

サンドウェーブ地形上の流れ ·················································································

5

2.2

サンドウェーブ地形上の漂砂 ·················································································

6

3. 発達予測モデルの計算例 ······························································································

6

4. 発達予測モデルのパラメタ設定 ······················································································ 7
4.1

パラメタ設定のための現地調査データ ······································································· 7

4.2

予測式中のパラメタの設定 ····················································································

8

5. まとめ ······················································································································· 10
6. あとがき ··················································································································· 10
参考文献 ························································································································ 10
記号表 ··························································································································· 11
付録A ····························································································································· 12
付録B ····························································································································· 14-1-Development of Analytical Model for Sand Wave Prediction
Satoshi NAKAMURA*

Synopsis
In the Bisan-seto strait channel, the responsible area of the development and maintenance was
expanded to 12 times in December 2009. In the channel and the surrounded area, there are manysand waves which are consecutive sand bank of several meters of wave height and tens of meters ofwave length. The sand waves cause the channel trouble by the water depth becoming shallow locally.
In this study, the prediction model of sand wave growth is developed in the given external conditionof the water depth, the current velocity and the bottom grain size.
The base of the sand wave model is an analytical technique for stability theory of the dune. As thecondition of promoting growth of sand waves, the spatial distribution of sand transport rate causedby the vortex at the top is set. As the conditions of limiting growth of sand waves, underwater angleof repose of sediments and continuity of sediment movement at the trough are set. As a result, theexpressions of the displacement velocity and the growth rate of sand waves are obtained. Moreover,referring to the existing investigation results of the displacement velocity, wave height andwavelength of sand waves, the parameter included in the expressions are decided.
Key Words: Bisan strait, sand wave, growth prediction, channel maintenance* Research Director, Coastal and Estuarine Environment Field
3-1-1 Nagase, Yokosuka, 239-0826 Japan
Phone：+81-46-844-5045
Fax：+81-46-844-1274
e-mail:nakamura_s@pari.go.jp-2-サンドウェーブ地形の発達予測計算モデルの開発
中村

聡志*

要

旨

備讃瀬戸航路では，平成 21 年 12 月にその開発保全航路範囲が拡大され，維持管理の責任を負う
面積は 12 倍に広がった．航路とその周辺では，多数存在するサンドウェーブ（波高数 m 波長数十m 程度の連続した砂堆）によって，航路水深が局所的に浅くなることによる航行障害が生じており，
その対応および航路障害を未然に防ぐため，計画的な維持管理を行うことが求められている．そこで，本研究では，地形形状や潮流速を外力条件として，簡易にサンドウェーブの発達を予測できる計算モデルを開発した．
サンドウェーブの発達予測モデルの基礎には，河床波の安定理論として古くから用いられている
Kennedy(1963)の河川流と河床波との相互作用をポテンシャル流理論と流砂の連続式で記述した解析的手法を用いている．サンドウェーブの発達予測モデルへの適用に際して，海底砂の水中安息角による制限条件，および，サンドウェーブの谷における砂礫移動の連続性による制限条件を加えた．
また，サンドウェーブの勾配に比例する漂砂量を加えることによって，渦によるサンドウェーブ地
形前面での砂礫の巻上げ，および，背面での堆積を考慮した，サンドウェーブ波高の時間発達式および移動速度の式を求めた．さらに，既存調査で得られているサンドウェーブの波高，波長，移動速度などの値をもとに，予測式に含まれるパラメタを決定した．
キーワード：備讃瀬戸，サンドウェーブ，発達予測，航路維持管理* 沿岸環境研究領域 上席研究官〒239-0826 横須賀市長瀬3-1-1 港湾空港技術研究所
電話：046-844-5045 Fax：046-844-1274
e-mail:nakamura_s@pari.go.jp-3-

1. まえがき本研究では，海底サンドウェーブの発達予測モデルの基礎に，河床波の安定理論として古くから用いられてい備讃瀬戸航路では，平成 21 年 12 月にその開発保全航

る Kennedy(1963)の解析的手法を用いる．河床波安定理

路範囲が拡大され，維持管理の責任を負う面積はこれま

論は河床の初期擾乱が発達するか消滅するかを判定する

での 12 倍に広がった．開発保全航路とその周辺の海底にものであるが，現地でのサンドウェーブの波長に比べ，は，波高数 m，波長数十 m の大きさの砂堆が連続するサ

その振幅が小さいことから，河床波安定理論の考え方がンドウェーブが多数存在する．このサンドウェーブによサンドウェーブの発達成長過程においても十分適用可能って，航路水深が局所的に浅くなり船舶の航行に障害がである．また，海底サンドウェーブモデルへの適用に際生じている．航路障害を除去するため，あるいは，航路して，海底砂礫の水中安息角を超えて砂礫が堆積するこ障害を未然に防ぐためにサンドウェーブの発達予測を行とはできないと考え，サンドウェーブ地形の勾配によっい，維持浚渫等の対策を適時に行うこと，および，計画てサンドウェーブ波高の発達が制限される条件を与え，的な維持管理を計画することが求められている．サンド

また，サンドウェーブの谷においても砂礫の移動が連続

ウェーブは，広域の地形形状が海釜-砂州-海釜と水深お的に生じる必要があることから，サンドウェーブの谷のよび海峡幅が変化する浅部周辺に存在し，潮汐流による流速値による波高の成長制限条件を加える．サンドウェ

砂礫の移動によって，その形状は成長しつつ移動する．

ーブ地形が発達するために必要な条件であるサンドウェ

本研究では，地形形状や底質粒径，潮流速を外力としてーブの漂砂量側については海の砂礫移動では一般的に使与え，簡易に計算できるサンドウェーブの発達予測モデわれている流速の 3 乗に比例する漂砂量を用い，さらに，

ルの開発を目的とする．

サンドウェーブ頂部に生じる渦による砂礫移動量の空間瀬戸内海では，潮流によって移動堆積する漂砂の調査

分布を考慮するためにサンドウェーブの勾配による漂砂が行われてきた．赤城ら(1965)は，備讃瀬戸で行われた量の増減パラメタを導入する．これらを加えたサンドウ

漂砂調査を取りまとめ，東西方向に交互生じる潮流によェーブ波高の時間発達式および移動速度の式を求め，交って毎潮時大きな砂礫の移動が東西方向に生じているこ

互に流速が反転する潮汐流に対して計算を行い，これまと，年間の平均的な砂礫の移動方向が四国側から北に向での調査で得られたサンドウェーブの波高，波長，移動かって生じていることなど漂砂の卓越方向を明らかにし速度などの観測結果を基に，時間発達式および移動速度

た．田中ら(1973)は，サンドウェーブの平均的な特性と式のパラメタを決定する．

水理量との関係について調査し，イノサキノツガイのサ

2. サンドウェーブ発達予測モデルの概要

ンドウェーブが水深に規定された Dunes に近いことを示した．また，小笹(1975)は，サンドウェーブは砂州に伴って現れること，潮流が砂州に乗り上げる際の渦およびサンドウェーブは，図-1に示すように数kmの範囲で海乱れと関係していることを示した．そのほか，備讃瀬戸

釜-砂州-海釜と水深が変化する地形の浅部周辺に存在す

航路では北航路と南北連絡航路にまたがる砂州上に生じる．潮汐流によって砂礫が移動することによって，砂洲るサンドウェーブ，および，南航路の法面に生じるサン

上に波型地形が生じ，その形状は成長しつつ移動する．

ドウェーブについて，発生メカニズム解明と形状発達予

サンドウェーブの発達予測モデルの開発に当たって，測手法の開発のための調査・検討が継続的に行われてき河床に生じる波形模様（Dune）の安定性を予測するためた．特に，イノサキノツガイと呼ばれる北航路と南北連に用いられているKennedy(1963)のポテンシャル流理論と絡航路にまたがる砂州上のサンドウェーブについては，

流砂の連続式を用いて流れと河床波との相互作用を解析

航行障害を度々生じさせる ことから頻繁 に測量調査した手法を用いる．この解析手法は河床波の安定理論と(1985, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 2001, 02,

して古くから用いられているものであり，河床地形の初03, 04, 05, 06, 07, 08, 09) および潮流調査(1983, 94,

期擾乱が大きく発達するか，あるいは，擾乱が減少して

2001-05, 06, 10)が行われている．加藤ら(1997)は，イノサ消滅するかを判定するのに使われている．海底のサンド

キノツガイの測量結果に基づく平均水深変化とサンドウ

ウェーブ現象予測モデルの開発に際して，以下の修正を

ェーブの頂高さ変化に関する近似予測式を求め，維持浚

加え，サンドウェーブ波高の時間発達式および移動速度

渫計画の検討を行った．伊福ら(2002)は，潮流と地形変式を求める．

化の計算を試みたが，海底の起伏が大きな場所でのサンドウェーブ地形の再現性は良くない．

-4-

ポテンシャル流理論から海底面での流れを求めると（図U: Current
潮流

Sand bar D:Water depth
水深砂州

Caldron
海釜-2），水平流速uと鉛直上向き流速vは式(2)で表される．ここで，gは重力加速度である．水平流速uは，サンドウェーブが海底面にあるにことよって流路が狭められるため，

Caldronサンドウェーブの峰で流速が速く，谷で流速が遅くなる．
また，サンドウェーブに沿う流れとなるため，鉛直方向
流速成分vが生じる．図-3は，ポテンシャル流れを平均水

Sand wavesサンドウェーブ

深D=24m，一様流速U=1m/s，サンドウェーブの波高H=10m，H:Wave height

サンドウェーブの波長L=120mの条件で計算した時の水平方向流れu/U(□)と鉛直方向の流れv/U(■，正が上向き流

L:Wave length
図-1れ)の鉛直分布を図化したものである．流れのポテンシャ

サンドウェーブの発生場所と空間スケール

ル理論による計算であるため，山の左右で水平流速値は変わらず，渦による流れの非対称性は計算できない．渦a)河床波の理論では，水深や流速に応じて流速の3から4によってサンドウェーブ地形背面で流れが緩やかになる乗に比例する漂砂量則を用いているが，海岸の砂の移動ことによる砂礫の堆積現象については，次節の漂砂量式

については一般的に流速の3乗に比例する漂砂量則が用の中で考慮する．

いられていることから，本予測モデルの開発においても流速の3乗に比例する漂砂量則とする．また，砂の初期移y, v

動限界流速（砂粒が動き始める流速の閾値）については，x, u

一方向流速おける解析解を求める際には考慮せず．潮流

ξ: surface

交互流による数値計算を行う際に一定以上の流れのとき
砂粒が移動するとして，初期移動限界を考慮する．

D: water depth

U: current→

η: bottom

H: sand wave height
L: lengthb) 地形変化は，漂砂量の空間差分によって計算されるため，流れによって生じる漂砂について，いかなる漂砂量式を用いて計算するかが問題となる．サンドウェーブ波
高の成長発達メカニズムとして，サンドウェーブ頂から

図-2

サンドウェーブの発達予測モデル概念図

背面にかけての漂砂量の減少による砂礫の堆積が重要となる．そこで，本予測モデルの開発では，サンドウェー

  a sin k ( x  C t )ブ地形の勾配に応じて漂砂量が増減するという補正を加え，頂部で発生する渦によって変化する漂砂量の空間分

(1)

u U

布を疑似的に与えることによって，サンドウェーブ頂部

 cosh kD  U 2 k g sinh kD  Uak  sin k ( x  C t )2
 sinh kD  U k g cosh kD v  Uak cos k ( x  C t )k  2 Lの成長発達メカニズムを考慮する．
c) これまでのサンドウェーブ地形の現地調査結果から，サンドウェーブの波高には上限がある．そこで，海底砂(2)の水中安息角による制限地形勾配，および，サンドウェ
ーブの谷の位置で十分な底質移動が生じるだけの流速がRatio of current-5

ともに徐々に成長が制限される効果を付加する．
2.1

0

0.5

0

サンドウェーブ地形上の流れ

海底面に生じるサンドウェーブ地形を式(1)に示すように，波高H(振幅a = H/2)，波長L(波数k = 2π/L)，速度C

1

1.5

-0.5

0

0.5

0
u/U
v/U

-5

u/U
v/U

1

1.5

-0.5 0
0
-5

-10

-10

-10

-15

-15

-15

-20

-20

-20

-25

-25

-25

-30

-30

-30

図-3

0.5

1

1.5

u/U
v/U

-0.5 00

Water depth (m)-0.5必要という条件を与え，サンドウェーブの波高が発達と

-5

0.5

1

1.5

u/U
v/U

-10
-15
-20
-25
-30

サンドウェーブ上の流れ計算例

で移動するsin波形と仮定する．ここで，移動速度Cはゆっ

縦軸：水深D（ｍ），横軸：各地点での水平流速u，

くりとした動きであるとする．平均水深Dの海域にsin波形

鉛直流速vと一様流速Uとの比状の海底面があり，平均流速Uの一様な流れがある場合の

-5-

2.2

サンドウェーブ地形上の漂砂

速あるいは下げ流速作用時の平均流速とした．水中安息

底質の移動は海底面上の流れによって生じる．砂の移角φについては，文献値あるいは実験値をもとに与える．

動量の推定に際して，海岸の海底地形変化予測計算では，
底面流速の2乗に比例する底面摩擦力が一定以上になると漂砂が生じ始めるといる閾値を持ち，流速の3乗に比例 cosh kD  U 2 k g sinh kD C  3kMU 3 2 sinh kD  U k g cosh kD 

(6)

at 
k 2 MU 3
 1  a

a
MAX 
a 

(7)

するという漂砂量式がよく用いられる（付録A-式(9)）．そこで，本サンドウェーブの発達予測モデルでは，水平流
速uと斜面勾配ηxとで表される式(3)の漂砂量Qを用いるこ

量係数を含む係数（単位はs2/m）であり，サンドウェーブ tan ,a MAX  min  kの成長や移動，底質粒径等の現地調査結果を考慮して決式(6) 式(7)中の係数Mについては，掃流漂砂量式との対ととする．ここで，下付き添え字は微分を表す．式(3)の右辺第一項は，初期移動限界の閾値を持たない流速の3乗に比例する漂砂量式である．係数Mは海底摩擦係数や漂砂める．第二項は，斜面勾配による漂砂量の増減を考慮し


u 


1  s 

U



2
 cosh kD  U k g sinh kD  k
2 sinh kD  U k g cosh kD  

(8)

比から，

た式であり，サンドウェーブの成長に大きく関わるもの

M である．αはサンドウェーブの成長速度を決めるパラメタ
であり，振幅aがサンドウェーブ振幅の最大値aMAXになっAC 1f .5(9)s  1gた時α=0となるよう，式(4)とする．底質移動の流速閾値にとし，本報告では，式(10)を用いて摩擦係数を計算し，漂

ついては簡便な式とするため漂砂量式中には含めないが，砂量係数内の無次元定数Aを求めることとする．ここで，潮流によるサンドウェーブ地形の移動を計算する際に限Aは漂砂量係数で無次元の定数，Cfは摩擦係数，sは底質の界値以下では動かないとして考慮する．

比重である．式中に明示的に底質の粒径は表れていない

Q  Mu 3 1   x (3)

  1  a aMAX

(4)

t  Qx  0が，摩擦係数Cfは，たとえば，水深Dの流れに対して，海底面の粗度ksを通じて，底質の中央粒径dと関係があり，さまざまな式が提案されている．
2

 1  11D  ,   0.4,
C f   ln    k s (5)

k s  2 .5 d

(10)

底面の砂の連続式(5)に式(1)～(4)を代入して，波長Lに3. 発達予測モデルの計算例

比べて振幅aが小さいという条件のもとで式を整理すると，サンドウェーブ波形の移動速度Cは式(6)で表される(波長Lに比べて振幅aが小さいという条件は最大振幅

まず，一方向流下の解析解式(6)および式(7)のサンドウ

aMAXを式(8)で制限するので波高は際限なく大きくはなら

ェーブの波長Lによる移動速度C，および，振幅aの変化傾ず，常に条件は満たす)．式(6)から移動速度Cは，サンド向を見るために，係数Mには適当な値0.001を用いて図化

ウェーブの振幅aに関係せず，したがって，時間によってする．現地サンドウェーブの調査結果を用いたパラメタ

変化することもない．外力となる一様流速Uとその場所のの設定は次章で行うこととする．まず，サンドウェーブ

平均水深D，サンドウェーブの波長Lによって移動速度がの移動速度 C について，図-4に流速 U=2m/sと 4m/s，水深決まり，サンドウェーブが移動することになる．また，

D=10mと20mの場合の移動速度Cと波数k=2π/Lとの関係をサンドウェーブ波形の成長率at/aは式(7)で表される．この示す．図から，サンドウェーブの波長Lが長い(kが小さい)

式はサンドウェーブの振幅aが大きくなるほど成長率at/a

ほど移動速度Cが遅いこと，一様流速Uが速いほど移動速が小さくなるため，振幅aの成長とともにaMAXに漸近する．

度Cが速いこと，平均水深Dが深いほど移動速度Cが遅い

ここで，サンドウェーブの振幅の最大値aMAXについては，

ことがわかる．また，波長Lが長い(kが小さい)時，曲線

サンドウェーブ波形の最大勾配akが底質粒径などによっの傾きが小さいことから，移動速度Cがサンドウェーブのて決まる勾配tanφを超えることはないとの仮定，および，波長Lによってあまり違わない．波長Lが短い(kが大きい)

サンドウェーブの谷での流速uが底質の移動限界流速ucよ時，水深Dによる移動速度Cの違いがないことがわかる．

り大きいとの仮定から，式(8)とした．ここで，Uは上げ流式(7)については，初期振幅a(0)を与え，時間について積-6-分すると，振幅aの時間変化を表す式(11)が得られる．図ノサキノツガイでのサンドウェーブ地形の現地調査によ-5は式(11)を図化したものである．サンドウェーブの振幅って得られている結果から，サンドウェーブの波高，波aは波長Lに応じて最大値を持ち，成長が制限されること，長，移動速度などの値を求め，計算結果との比較によっ

波長の長いサンドウェーブは，最大振幅が大きいがゆって決定した．

くりと成長し，波長が短いサンドウェーブは，最大振幅は小さいが急速に成長することがわかる．

10
M=0.001
U=2,D=20

C (m/s)1

U=4,D=20
U=2,D=10

0.1

0.01
0.001
0.01

図-4

0.1

1

k (1/m)10(a)

サンドウェーブの移動速度と波数の関係
測線 LineA

横軸：波数k(1/m)，縦軸：サンドウェーブの移動速
度C (m/s)，Uは一様流速(m/s)，Dは水深(m)


 a

a t   a MAX 1   MAX  1 exp  k 2 MU 3t   a 0  





1

(11)

2
M=0.001, U=1.0

Amplitude a

1.5

(b)
1
0.5

Long wave length
Short wave length

0
0

図-5

1
2
Elapsed time t

3

９サンドウェーブ振幅の時間発展
横軸：経過時間，縦軸：サンドウェーブの振幅

4. 発達予測モデルのパラメタ設定
4.1

パラメタ設定のための現地調査データ

予測モデルのパラメタの設定に当たって，既存の現地調査の結果として以下の文献を参考にした．備讃瀬戸航路埋没予測調査報告書(1997)では，測量調査(1985, 86, 87,
88, 89, 90, 92, 93, 94, 95, 96)の取りまとめが行われており，
加藤ら(1997)は，このイノサキノツガイの測量結果を解析
し，平均水深変化とサンドウェーブの頂高さ変化に関する近似予測式を求め，維持浚渫計画の検討を行っている．

図-6

これらのうち，予測モデルのパラメタ決定に際して，イ

と成長

-7-

(c)
イノサキノツガイにおけるサンドウェーブの移動

図-6は備讃瀬戸航路埋没予測調査報告書(1997)および加藤ら(1997)において調査解析が行われたイノサキノツ
10

ガイ上の測線Aにおけるサンドウェーブ波形の移動と成現地観測結果aMAX

長を取りまとめたものである．イノサキノツガイは備讃
瀬戸北航路，および，南航路，南北連絡航路にまたがる
1a(m)

砂州地形であり(図-6(a))，この砂州上に南北に峰線をもつサンドウェーブ波形が形成されている図-6(b)．このサンドウェーブ波形の移動と成長を南北の測線A上で図示0.1したものが，図-6(c)である．平均水深24mの凸型地形上にサンドウェーブが形成され，1985年から1996年の間に砂州地形の浅いほうから深いほうに向かってサンドウェ

0.01
0.01

ーブの波形が移動していることがわかる．測線A上のそれ
ぞれのサンドウェーブ波形の移動速度については，峰の0.1
k(1/m)

1

移動速度から4m/yr～23m/yrと推定されている．
図-8

図-7はイノサキノツガイ上の全測線A～H上の波高Hとサンドウェーブの振幅aと最大振幅aMAX

波長Lを図から読み取り，図示したものである．点線で示

横軸：サンドウェーブの波数(1/m)，縦軸：サンドすようなサンドウェーブの波長Lに応じた波高Hの上限がウェーブの振幅(m)，実線は式(8)による振幅最大値ある．数値モデルで用いている振幅aと波数ｋに変換し両対数グラフで表すと図-8となる．図中に式(8)で表される

4.2

サンドウェーブの最大振幅aMAXを実線で示す．水中安息角次に，式(6)中の係数Mについて，調査測線Aのサンドウについてはφ=20°を用いて計算した．付録Bに示すガラス

ェーブの移動速度を用いて値を定める．測線Aの移動速度

ビーズの水中安息角実験においても，粒径1㎜前後のガラは，ほぼ毎年1回行われた深浅測量結果からサンドウェー

スビーズの水中安息角はφ=10°～25°となっており，以後

ブの峰の進行速度を求めたものであり，この場所の潮汐の計算では水中安息角φ=20°とする．底質の移動が始まによる往復流が何度となく繰り返した際の峰の移動量とる潮流速度をucについては，底質の条件（粒径dや安息角なっている．したがって，予測モデルにおいても1日2回

φ，その他に粒度分布などにも関係する）によって異な生じる往復流を考慮した年間の移動量から，移動速度をると考えられるので，実験結果および現地観測結果など計算する必要がある．測線Aの周辺では，図-6(c)のサンによる値の調整が必要である．

ドウェーブ番号⑨の周辺で潮流調査が実施されており，予測式中のパラメタの設定

上げ(西向き)最大速度が1.2m/s，下げ(東向き)最大速度が0.9m/sという結果が得られている．この結果から，簡便な

71日の潮流速モデルは，図-9のようになる．この潮汐によ

H(m)

6

る往復流に対して，底質砂礫の移動が始まる潮流速度を5考慮しつつ，時間毎のサンドウェーブ地形の移動速度を4

図化すると，図-10となる．ここで，底質砂礫の移動が始まる潮流速度については，別途実施したガラスビーズの3

初期移動速度実験から，uc=0.5m/sとした．毎時の移動速2度を積算した移動距離は図-11のようになり，点線で示す

1

直線の勾配が平均的なサンドウェーブ地形の移動速度となる．図-12に係数Mの値を変化させた時の平均的な移動

0
0

図-7

50

100

150

200

速度Caveの関係を示す．この図から，現地調査結果の図L(m)-6をもとに，水深D=24m，サンドウェーブの波長L=120m

イノサキノツガイ上のサンドウェーブの波高Hととし，サンドウェーブ⑨の移動速度8.7m/yrとほぼ一致す
る係数Mの値としてM=6.5×10-6とした．無次元定数Aにつ

波長L
横軸：サンドウェーブの波長(m)，縦軸：サンドウ

いては式(10)と現地砂の平均粒径1mmを用いてA=2.54がェーブの波高(m)，点線は波高の上限を結ぶ直線

得られる．

-8-

1.5
Displacement velocity
C (m/yr)

14

Currant (m/s)

1

12

0
-0.5

8
6
4
2

0
0.0E+00 2.0E-06 4.0E-06 6.0E-06 8.0E-06 1.0E-05
Coefficient M (s2/m)

-1
-1.5
0

図-9

y = 1.328E+06x

10

0.5

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24
Time (hour)

図-12

漂砂量係数Mと平均移動速度Caveの関係（D=24m,

L=120mの場合）

一日の潮汐流モデル
横軸：時間(時)，縦軸：潮流の速度，1日の潮流速

現地観測結果との比較によって得られた係数Mの値をの変化をモデル化する．

用いて，サンドウェーブ振幅aの成長式(11)を図化すると，
図-13のようになる．図は全ての波数kのサンドウェーブの初期振幅a(0)=0.01として，1年後，5年後，…，100年後

Displacement velocity
C(m/s)

3.0E-06の振幅aの大きさを図示している．サンドウェーブ振幅aは波長Lが長い時，一定値(1-uc/U)Dに漸近する．ここでは，

2.0E-06

uc=0.5m/s，U=0.78m/s，D=24mとした．波長L=10mの場合，1.0E-06

1年未満でサンドウェーブの波高は最大値に達し，その後は成長しないことがわかる．また，波長L=100mの場合，0.0E+00

約20年から50年でサンドウェーブの波高は最大値に達し，-1.0E-06

その後は成長しないことがわかる．実際のサンドウェー
ブ地形では，波数の異なる波形が重なり合ったものにな-2.0E-06
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Time (hour)
図-10

る．波数kによって発達成長率が異なるため，年毎の振幅分布にはピーク値が存在する．このため，全体の波形と一日のサンドウェーブの移動速度変化

しては，振幅がピークとなる波数（波長）のサンドウェ

横軸：時間(時)，縦軸：サンドウェーブの地形のーブが顕著に表れる．

移動速度，流れが遅い時には移動しない．

1

L=100

5

10

10

0.03

20

0.025

50

1

0.02

a (m)

Moved distance (m)

0.035

0.015

0.1

100
aMAX

0.01

L=10

0.005

0.01
0.001

0
0

図-11

2

4

6

0.01

0.1

1

10

k (1/m)8 10 12 14 16 18 20 22 24
Time (hour)

図-13

一日のサンドウェーブの移動

サンドウェーブの成長と最大振幅に達するまでの時間

横軸：時間(時)，縦軸：サンドウェーブの地形の横軸：サンドウェーブの波数，縦軸：サンドウェ

移動距離，点線の傾きは平均移動速度Cave

ーブの振幅，初期振幅0.01mの各波数のサンドウェーブの1年～100年後の成長を予測，aMAXは式(8)-9-6. あとがき‐18

Water depth (m)‐19本予測モデルは，サンドウェーブ上の流れと砂礫移動‐20の式を用いて，サンドウェーブの発達成長を物理的な過Eq.(11)程を考慮しつつ，できるだけ簡単な予測式となるよう開Katoh1997 Sand wave Tip‐21

発したものである．そのため，現地の水深や潮流速，底Katoh1997 Average Depth

質砂礫の粒径を条件として与えれば，さまざまな場所に‐22

おいて適用可能なものとなっている．ただし，現地調査

‐23
0

図-14

1

2

3

4
5
6
7
Elapsed Time (year)

89

結果との比較を行ったのは，現地データが豊富にそろっ10ている備讃瀬戸航路内のイノサキノツガイに生じるサン

既存の予測モデルと本モデルによる予測結果とドウェーブ地形に対してのみである．今後，備讃瀬戸航の比較

路の他の場所に生じているサンドウェーブの調査や豊後
横軸：経過時間(年)，縦軸：水深(m)，初期水深

水道，関門海峡などでの調査，および，予測式の適用を

22.85mにある初期振幅1.1mのサンドウェーブの発

通じて，より使いやすい予測計算モデルへと，より一層達を予測．実線はサンドウェーブ頂の水深予測結の改良を図る必要がある．

果，点線は平均水深の予測結果（2014年11月7日受付）

図-14は，年毎のピーク値の振幅を用いて，サンドウェ
ーブ頂の水深予測を行い，加藤ら(1997)の予測値と比較し参考文献たものである．式(11)（○実線）の結果と加藤らの予測値

赤城正典・中野拓治・田中則男・入江功(1965)：備讃瀬戸（△実線）は良く一致している．加藤らの水深予測では，の調査報告について，海岸工学講演会講演集，第12サンドウェーブ頂の水深予測式の他に，サンドウェーブ

回，pp.122-127.

地形の平均水深の予測式（△点線）についても得られて

伊福誠・小林泰之・坂田健治・西本光宏・中田正人(2002)：

いるが，本予測手法については，平均水深は変わらない

深浅測量結果に基づく備讃瀬戸航路の地形変化，海ものとしてサンドウェーブの振幅のみ発達成長するモデ

岸工学論文集，第49巻，pp.556-560.

ルとなっている．

運輸省第三港湾建設局高松港工事事務所(1997)：備讃瀬戸

5. まとめ

小笹(1975)：備讃瀬戸における海底砂州，サンドウェーブ

航路埋没予測調査報告書，p.89.
の調査，港湾技術研究所報告，第14巻，第2号，pp.3-45.
本数値モデルによって，潮流速や水深，底質の条件を加藤一正・久米秀俊・黒木敬司・長谷川準三(1997)：備讃

与えることによって，サンドウェーブの移動と発達，波瀬戸航路のサンドウェーブと航路保全，海岸工学論

高の最大値を計算することが可能となった．これまでの文集，第44巻，pp.686-690.

イノサキノツガイにおける現地調査結果をもとに，サン

田中則男・小笹博昭・柴山煒彦(1973)：備讃瀬戸におけるドウェーブ移動速度の実測値8.7m/yrと予測モデルの移動

サンドウェーブの特性について，海岸工学講演会論

速度計算値の合わせこみを行うことにより，予測モデル

文集，第20回，pp.365-369.

-6が得られた．さらに，式

Kennedy, J.F.(1963)：The mechanics of dunes and antidunes inのパラメタである係数M=6.5×10(10)の底面摩擦係数と底質粒径，水深との関係式を用いて，

erodible-bed channels, J. Fluid Mech. Vol.16, Part4,

漂砂量の無次元係数A=2.54を得た．これにより，底質粒

pp.521-544.

径および水深の異なる場所で本モデルを適用することができる．本予測モデルによる計算値と加藤ら(1997)の観測データ近似による計算値を比較して，良く一致した．
今度の検討として，イノサキノツガイ以外の場所で生じているサンドウェーブ地形の現地観測結果とモデルで計算されるサンドウェーブの最大高さとの比較を行い，他の場所での予測精度の検証を行う必要がある．

- 10 -

記号表a：サンドウェーブの振幅（m）

aMAX：サンドウェーブの最大振幅（m）

a(0)：サンドウェーブの初期振幅（m）

a(t)：t 時間後のサンドウェーブの振幅（m）

A：漂砂量の無次元係数

A(t)：t 時間後の海面の振幅（m）

C：サンドウェーブの移動速度（m/s）

Cave：非対称な往復流によって移動するサンドウェ
ーブの平均移動速度（m/s）

Cf：海底面の摩擦係数d：底質砂礫の粒径（m）

D：水深（m）g：重力加速度（m/s2）H：サンドウェーブの波高（m）k：サンドウェーブの波数（1/m）

ks：相当粗度（m）

L：サンドウェーブの波長（m）

M：漂砂量係数（s2/m）q：単位幅当たりの局所漂砂量（m2/s）

Q：斜面を考慮した局所漂砂量（m2/s）

s：底質砂礫の比重t：時間（s）u：水平流速（m/s）

uc：底質砂礫の初期移動限界流速（m/s）

U：潮流速（m/s）v：鉛直流速（m/s）

x：水平距離（m）

y：鉛直距離（m）

α：サンドウェーブの発達制限関数

η：海底面形状（m）

ξ：海面形状（m）

κ：カルマン定数φ：流れの速度ポテンシャル海面形状（m2/s）

φ：海底砂礫の水中安息角Ψ：シールズ数Ψc：底質砂礫の初期移動限界シールズ数- 11 -

付録A サンドウェーブ発達予測式の導出

y, v
x, u

サンドウェーブ発達予測式を求めるために，河川におξ: surface

ける河床波の安定理論として古くから用いられている
Kennedy(1963)による解析的手法をもとに予測式を導出し

D: water depth

U: current→

η: bottom

H: sand wave height
L: length

た．
はじめに，平均水深D，一様流Uの流れがある場所の海底面に連続した砂堆があると仮定する．海底面形状ηを三角関数で近似して，
η ,

図-A.1
A-(1)

sin

a

サンドウェーブ地形と流れの定義図

とおく．ここで，a(t)はゆっくり変化するサンドウェーブ

次に，砂礫移動に伴うサンドウェーブ地形の変化から地形の振幅，kは波数（k=2π/L），Lはサンドウェーブの波

発達予測式を導く．海岸における局所漂砂量qとして良く

長，Cはサンドウェーブ地形の移動速度，サンドウェーブ

以下のような漂砂量式が用いられる．

の高さH＝2aで表される．海底面に起伏があることによっ
ξ ,

sin

.

＝

て生じる水面形状ξについても同様に，

，

＝

A-(9)

A-(2)

ここで，sは砂礫の比重，dsは砂礫の粒径，Ψはシールズ

とおく．A(t)はa(t)と同様にゆっくりと時間変化する水面数，Ψcは砂礫の初期移動限界，ABLは無次元の漂砂量係数，の振幅を表す．図-A.1のように座標軸をとると，水面は，Cfは流れと底面粗度によって決まる底面摩擦係数を表す．

A-(3)サンドウェーブの発達予測式の展開においても，流速の3yξ ,乗に比例する漂砂量式を用いることとする．以下の導出

海底面は，
y

A-(4)

,

では係数等をまとめ簡略化した次式を用いる．

で表される．流れとして断面2次元ポテンシャル運動を仮.

＝定すると，流れの境界条件は，＋
φ＋＝φ＝const.

＋

0

,

ln

A-(10)

ここで，κはカルマン乗数＝0.4，ksは相当粗度＝2.5dsで

0

φｘ ＋φ

,

ある．砂礫の初期移動限界については，流速の限界値uc

A-(5)に換算し，潮流速がuc以上になった場合に砂礫移動を計算＝φ

することによって考慮することとする．

ここで，φは流れの速度ポテンシャル，gは重力加速度，

実際のサンドウェーブ地形上の砂礫の移動状態は，流下付きの添え字はその変数による偏微分を表す．サンドれによって，砂礫が斜面上を駆け上がり，サンドウェー

ウェーブの波長Lに比べて，振幅A(t)とa(t)が小さいとして，ブの頂上付近から発生する渦によって生じたサンドウェ

ラプラス方程式∇2φ=0と流れの境界条件を満たすφを求ーブ背面の流れが緩い場所に砂礫が留まり，堆積が進む．

めると，ポテンシャル流れの理論を用いた流れ場では，当然のこ

φ＝

⁄
⁄

cos

とながら，こうした渦を生じた流れを求めることはできA-(6)ない．そこで，こうしたサンドウェーブ頂部にできる渦が得られる．ここで，C<<U，および，at<<Uak，の条件

による砂礫移動を考慮するため，海底勾配の影響を付加が必要となるが，実際のサンドウェーブの移動速度Cおよ

した漂砂量式として，

び潮流速U，発達速度atなどはこの条件を満たしている．

＝ 1＋α

A-(11)

この速度ポテンシャルφを用いて，サンドウェーブ上のを用いることとする．ここで，αは後述するサンドウェ

砂礫移動による地形変化を計算する際に必要となる海底ーブの発達制限式を表し，α＝0の場合にはサンドウェー

面近くでの流速(u,v)を求めると，

ブは発達成長しない．なぜなら，ポテンシャル流理論で

⁄
⁄

cos

sin

は，流れの前面と背面での流速の差がないため，頂部付

A-(7)近での砂礫の堆積は生じないからである．サンドウェー
ブ地形ηは，流れによる生じる砂礫の局所漂砂量の空間

A-(8)

となる．

分布によって発達する．海底面における砂礫移動の連続式は，- 12 -

＋については，谷での流速が初期移動限界流速ucより大きい

A-(12)＝0で表される．ここで，Qは単位幅当たりの局所漂砂量．式という条件を用いて，は局所漂砂量Qの空間差分によって地盤高さ η が変化す

⁄

から

⁄

ることを示している．この連続式に漂砂量式，および，
底面近くでの流速式，サンドウェーブの形状を代入して，が得られる．この2式の値の小さい方をサンドウェーブ振を無視すると，幅の最大値aMAXとして，

＋ cot

1

tan
⁄
⁄

cosh
sinh

3

min

sinh
cosh
A-(13)となる．

の関数なので，{}＝0でなければならないことから，サンドウェーブの移動速度C，および，サンドウェーブの成長率at/aが次式で得られる．
⁄

＝3

⁄

A-(14)
A-(15)

サンドウェーブの成長率at/aのαを定数として式を積分
すると，
0 exp

A-(16)となる．ここで，a(0)はサンドウェーブの初期振幅．この関数は，時間とともに値が急激に増大する．現地のサンドウェーブにおいては，水深に規定され（小笹(1975)），
その成長は時間とともに漸近する（加藤ら(1997)）．そこ
で，変数αをサンドウェーブの振幅aの関数として次式を用いる．
A-(17)

α＝1

ここで，aMAXはサンドウェーブ振幅の最大値を表す．
サンドウェーブの成長率at/aをαがaの関数として積分す
ると，
1

1 exp

A-(18)となる．
最後に，サンドウェーブ振幅の最大値aMAXについては，
サンドウェーブ地形の勾配が砂礫の水中安息角を超えない条件とサンドウェーブの谷での砂礫移動が連続しているという条件とのうち，値の小さい方を用いる．サンド
ウェーブの地形の勾配の最大値が水中安息角φより小さいという条件を用いて，
|

|

tan

から

cosh
sinh

⁄
⁄

sinh
cosh
A-(21)

が得られる．サンドウェーブの振幅aはxに依らないtだけaA-(20)⁄⁄

低次のak2の項までを集めて，値が極めて小さい高次の項

A-(19)

が得られる．サンドウェーブの谷での砂礫移動の連続性- 13 -

付録B

ガラスビーズの水中安息角

底質の水中安息角を知るために，均一粒径のガラスビーズを水中に投下してできる斜面の角度を実験的に調べた．実験は均一粒径のガラスビーズを水槽の端から5回に分けて投入し，各回にできる斜面の勾配を計測し，その平均値を粒径ごとの安息角とした．写-B.1はガラスビー
ズ粒径0.8㎜の場合の5回投入後の斜面の状況，写-B.2は粒径1㎜の場合の5回投入後の斜面の状況である．図-B.1は，粒径毎の安息角を示したものである．粒径0.3㎜以下のガ
ラスビーズでは，投入したビーズは水槽の底一面に広が図-B.1

り，斜面を構成しなかったので，図から除外した．粒径1

ガラスビーズの粒径と水中安息角
横軸：ガラスビーズの粒径の中央値(mm)㎜の前後で安息角の傾向が異なる結果となった．

縦軸：水中安息角の平均値(°)

写-B.1

粒径0.8㎜のガラスビーズ

写-B.2

粒径1㎜のガラスビーズ- 14 -