数理解析研究所講究録
第 820 巻 1993 年 157-162

157

基本群と符号理論
今井 潤

Jun IMAI

NTT コミュニケーション科学研究所
NTT Communication Science Laboratories
1序論

1 9 9 年、 J. A. Wood は $rso(n)$ の被覆空間 Spin(n) の diagonal extra-special 2-group の abelian 2subgroups は任意の self-orthogonal linear binary code of block と対応関係があり、特に even self-orthogonal
code に関しては、 Spin(n) の equivariant cohomology ring の prime ideal と 1 対 1 の対応がある。 また equivalence classes of maximal doubly-even self-dual codes は $H^{*}(BSpin(n), Z_{2})$ の而 nimal prime ideal と 1 対 1 の対応がある。 」 という結果を発表した。方法は前者に関しては 2 次形式の Clifford theory を用いて直接対応をつけ、後者については Lie group の分類空間の equivalent cohomology に関する Borel, Serre, Quillen 等による結果、特に cohomology の elementary abelian -group に関する結果を全面的に引用し、 その系として導いている。 またその応用として Morse theory を用いて cohomology ring の prime ideal を調べることによって self-orthogonal code$s$$n$$p$の情報を得ることができることを述べている。本研究は上記の結果をすべての符号に対して一般化することを最終目的としている。 その一般化された符号を特徴づけるために、 まず考えるのが次節で述べる第一基本原理である。

2符号理論の第一基本原理

まず最初に議論するのは、 与えられた条件を満足する符号を構成するのに必要な指導的原理と、 その結果得られた符号あるいは符号族の持つ情報の所在をしめす基本原理である。 この原理は、すべての符号 (あるいは符号族) が本来所有している性質を明確に認識するために必要となる。 またこの性質を理解するために一般化が必要となる。

category of codes,subcategory of covering spaces with covering transformation group(or the subcategory of principal bundle) とする。 この時つぎの 1., 2., 3., 4. の性質を満たす対応 :が存在する。
, :第一基本原理$\mathcal{G};the$$\mathcal{X};the$

$F$

$G$

1.

$\mathcal{X}arrow \mathcal{G}$$C\in Ob(\mathcal{G})$に対して、$F(C)$:$\tilde{X}arrow X$; (the covering space with some transformation group $C$ )such that: X;connected$F(C)_{*}(\pi_{1}(\tilde{X}))$; normal in $\pi_{1}(X)$$\pi_{1}(X)/\pi_{1}(\tilde{X})\cong C’$

C’ は$C’$2.

$Y\in Ob(\mathcal{X})$$\tilde{X}$上に自由に作用する。 (acts freely on$\tilde{X}$)は $C$ の Cokernel\pi o(X)\approx Cokernel(C)に対して、 その base space を X とするとき $G(Y);code$ such that

またこの時、$\}’$[X, BCoke $\tau\cdot nel(G(Y))$ ] $\approx Hom$ ($\pi_{1}(X)$に対応する classifying map をとすると、$\varphi$, Cokernel(G $(Y))$ ) (bijective)$\pi_{0}(\tilde{X})\approx Coke\dagger\cdot nel(G(Y))/im(\varphi)$$\mathcal{G}arrow \mathcal{X}$158
3. bijectivity;$G(F(C))=C,$ $F(G(Y))=Y$ for any $C\in Ob(\mathcal{G})$ and $Y\in Ob(\mathcal{X})$4. 任意の$C\in Ob(\mathcal{G})$に対し、 ある $F$ が存在し、 $Z$ を $F(C)$ の universal covering space とするとき、 コホが符号 $C\in Ob(\mathcal{G})$ を部分符号に持つある符号の、 あるいは $C$ を部分集合に持つある符号族に関する全ての情報を含む。但し、 $F$ は適当な群あるいは、局所係数、 または層を意味する

モロジー環$H^{*}(BZ, \mathcal{F})$ものとする。

但し、 $B*$ は、$*$のclassifying space を表し、群$gx\neq x$$C$のfree action とは、

for all $x\in X$ and $g\neq 1$ in $C$を意味する。

この原理は従来の符号の概念、従来の符号のカテゴリーでは定義もできないし、 かつ理解不能である。本論文の目標は、 この原理が成立するように、 符号の概念を、従来の符号の概念をふまえて一般化し、 その結果として符号の構成や、復号、 そして符号の持っている性能の分析を明解に行なえるようにすることにある。符号の一般化復号については既に著者により与えられているので、本稿では、上記原理を満たすような covering space のモデルとして如何なるものを取ることができるかについて考察する。
モデルの取り方として、 考えられる方法は 2 通りある。抽象的な同変複体を用いる構成方法と、低次元複体による構成方法である。後者を議論する必然性としては、次の様な事が考えられる。

.
.

第一基本原理の主張から、高次元の部分はおおきな影響を持たないはずである。

符号が具体的な 1 次元複体と関係が付けられれば、符号を評価する新しい明解な尺度となりうる。

なおこの研究において、符号理論の第二基本原理と呼ばれる主張は、復号の原理に関するものである。 (imai 1992)

3

第一基本原理の正当性

先ず、 線形符号とは群である。 しかもより大きな群に部分群として埋め込まれており、 かつ、 大きい群の位相に関して、埋め込まれた群の元どうしはある距離以上離れているという状況にある。つまり、距離を考慮しなければ群の拡大を考えていることになる。具体的には適当な体上の線形空間における超平面群の共通部分 (連立方程式の解集合) であるから、群の拡大がカテゴリーとして大き過ぎるならば一般の加群の短完全系列に制限してもよい。加群で重要な概念であるのが自由性 (free) であるが、環上の加群を議論するのならば射影的 (projective) を自由性の代わりに考慮するのが自然であり、群の拡大なら、分裂性を考慮するべきである。 このような代数的な範疇で議論をする場合、我々に与えられた道具は群のコホモロジーであり、 Grothendieck group (algebraic K-theory) である。
この部分の議論については既に著者により不完全ではあるが議論されている。 しかし、代数的な範疇を越える時には前節に述べたような原理が成立し得るはずである。 なぜなら、第一基本原理に述べたことは代数の世界で成立することを、 vector bundle (topological K-theory) という幾何学的な世界での表現に置き換ることによって得られるべき事実が中心となっているからである。但し、幾何学的な世界も非常に広いので、完全に一般化してしまうと有用な性質が見えなくなる虞があるので. principal bundle (covering space) に制限している。 この世界では、射影性は局所自明性に置き換わり、幾何学的な resolution により定義される幾何学的なコホモロジー群が存在し、幾何学的世界において固有な現象である群の作用を考慮するとき群のコホモロジーとの関係が生じ、その顕著な場合が $K(G,1)$(Eilenberg-Maclane space) である。 このように符号 (群) に幾何学的世界における対応する対象を考えた場合に特徴的な現象は群の作用の存在である。 そして vector bundle には universal bundle (universal covering) を考えることで同類の対象をひとまとめに考察できる。 (classical algebraic K-theory では universal central extension に対とすれば、応する。) これは作用する群を$G$$Garrow EGarrow BG$と書ける。 但し EG は群 $G$ の無限個の join から作られる空間で. BG はそれをの作用で割ったものであり、 分類空間と呼ばれる。 (この例は $G$ は位相群で、 bundle は principal G-bundle であるものとする。 ) 分類空間の特徴は、任意の底空間 X の G-bundle の同値類を homotopy class $[X, BG]$ で特徴付けることができることであり$G$$H^{n}(G, R)\cong H^{n}(BG, R)f$or$\forall R$

159となることである。 もし CW-complex で BG をとるならば、 これは先ほどの $K(G, 1)$ である。 ここで注意すべき点は、 この空間のホモトピー群が基本群を除いて自明である事である。つまり 1 次元的な部分のみが本質的で、高次元の部分はある意味で自明な幾何学的対象によって bundle は分類できるという事実が重要である。 このことは代数的、幾何学的という 2 極的構造に付け加えて、組合せ論的構造という第 3 の構造が付随していることを示唆している。 1 番目、 2 番目の構造が、 ある対象の異なる側面を記述しているのに対し、第 3 の構造はそれらを繋げる具体的操作に関する情報を与える。以上をまとめると次の様になる。

1. 群の拡大あるいは加群の短完全系列

2. principal G-bundle あるいは covering space

3. graphs with group action.
.
.

が基本的な三角形を形成している。 さらにこの時、(1)、(3) を関係づける対応:graph of groups, graph automorphism group(1)、(2) を関係づける対応:fundamental group, genus, algebraic and topological K-theory (from (1)to (2)(2)$:B^{*}$.

from (2) to (1): covering transformation group)(3) を関係づける対応:topological structures of graph and $Z_{p}structure$ of cohomologyのようになっていると考えられる。
そして、 Wood の結果は self-orthogonal code に (1) を限定すると、$K(Z_{2},1)arrow BSpin(n)arrow BSO(n)$という bundle あるいは universal covering space に対応していることを具体的に示したものといえる。 また同時にある種の有用な符号のクラスは spin structure と関係があり、 self-orthogonality は 4 次元多様体論のゲージ理論的研究と関係を持っていることも意味している。

4

実用的な符号に対する例の場合
self-orthogonal codes over
まずこの符号をカテゴリー (2) において特徴付ける。 このために次の事実に注意する。
$F_{2}$

Definition 4.1 (ordinary code) 従来の符号理論は (線形符号に関する限り) 次のような short exact sequenceで表すことができる。
$0arrow K^{l}arrow^{\varphi}K^{n+l}arrow^{\psi}K^{n}arrow 0$, 全射をとし、適当な基底に対するその行列表示をそれぞれ $G,$を parity check mat $riX$ と呼び、 また、を符号の generaior malrix と呼ぶ。

ここで、 この系列に現れる単射をき、$H$(exact)$\psi$$\varphi$$H$とすると$G$

Proposition 4.1 (Classifying Theorem for ordinary codes) $G(n+l, l)$ を冗長度

$n$を持つ情報記号長 の線$l$形符号全体の集合とする。 このとき、以下が成立する。
$G(n+l, 1)\subset[X, x_{0} ; BG, *]$(the group of homotopy class for some space$X$

to classifying space of some Group

Proof: 上に定義された符号を別の立場で、 観察してみる。
$0arrow K^{l}arrow^{\varphi}K^{n+l}arrow^{\psi}K^{n}arrow 0$(exact)の元 は、 $\psi^{-1}(p)$ に推移的に作用している (例えば、
今、 $K^{n+l}$ においての section との直積で表現されていると見ることができる。すなわち$K^{t}$

は$\psi$$v$$K^{l}$$\tilde{X}$$:=K^{n+l},$$X$$:=K^{n},$$G$$:=K^{l}$$v$)$G$による平行移動) 。また $K^{n+l}$160と見ると、 $\tilde{X}arrow X$ は pricipal G-bundle あるいは、 covering space with deck transformation groupすることができる。 (位相を考慮しない場合には. principal homogeneos G-set になる。 ) この場合には、$G$, と解釈$G$の適当な線形表現を考え、 その像をあらためて $G$ と考える。 従って分類定理により、 符号は $[X, x_{0} ; BG, *]$ の元とみなすことができる。
上の主張より、 通常の線形符号を被覆空間あるいは pricipal G-bundle と対応させることが可能となる。 も っ と詳し

く述べると、 $GL(n)$ の部分群を構造群とする bundle である。次に. self-orthogonal code を次のように特徴付ける。

Definition 4.2$1arrow Narrow Garrow Earrow 1$ (exact)

但し、 $N$ : cyclic of order 2, $E$ : elementary abelian 2-group of orderform$q$(extraspecial 2-group) また、 quadratic: $Earrow N$ を $x\in E$ の逆像あ $\in G$ の 2 乗で与え、 symmetric bilinear fonn : $E\cross Earrow N$ を以下の様$2^{n}$$b$に定義する。
$b(x, y)$$:=(\tilde{x}\tilde{y})^{2}=\tilde{x}^{2}\tilde{y}(\tilde{y}^{-1}\tilde{x}^{-1}\tilde{y}\overline{x})\tilde{y}=\tilde{x}^{2}\tilde{y}^{2}[\tilde{x},\tilde{y}]$(Defindion 終り)
この時、次がわかる。
$H^{*}(E, F_{2})=F/2(x_{1}, \ldots, x_{n}),$ $deg(x_{i})=1$

そして上の central extension を決める特性類は$q(v)\in H^{2}(E, F_{2}),$ $v\in V$

但し

$k$

また、

$:=k\otimes_{P_{2}}E$

は標数 2 の代数的閉体である。
$e_{1},$$\ldots,$$e_{n}$を $E$ の$F_{2}$上の基底とし、 $v= \sum_{i=1}^{n}x;e_{i}$ とする時、$q(v)=q( \sum_{i=1}^{n}x_{i}e;)=\sum_{1=1}^{n}q(e_{i})x_{i}^{2}+\sum_{1\leq:<i\leq n}b(e_{i},$今、 $k[V]$ 上の Frobenius map を $F$ と書く時、 これは ; を時、次が成立する。
$x$

Theorem 4.1 (Quillen)$G$$x_{i}^{2}$$e_{J)x;x;}$.

へ写す k-linear ring homomorphism になる Q このを上で与えられた群とするとき$H^{*}(G, F_{2})=F_{2}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/(q(v), b(v, F(v)), \ldots, b(v, F^{h-1}(v)))\otimes F_{2}[(]$

但し、 $deg(x;)=1,x_{i}$ は $H\sim E,$ ) からの inflation map の像 o 整数 は maximal F-stable isotropic subspaceの $V$ における codimension. (言い替えると、は $G$ における maximal elementary abelian subgroup の index)$h$$F_{2}$$2^{h}$(は $H\sim N,$$F_{2}$) への$r\dot{\tau}st$

加 ction map による像が自明でない任意の degree$2^{h}$の元である。 また$b(v, F^{j}(v))\in(q(v), b(v, F(v)), \ldots, b(v, F^{h-1}(v))),$ $(j\geq h)$(Theorem 終り)

Remark: Wood は最初から、 以下のような位相群の完全系列を self-orthogonal code を特徴付けるために用いた。
$0arrow^{.}Z_{2}arrow Spin(n)arrow SO(n)arrow 0(exact)$

これは Clifford theory を用いて議論しているためであり、かつ Quillen の Lie group の分類空間の$Z_{p}$-cohomologyに関する計算結果を利用するためであった。 しかし、後で述べる様にカテゴリー (2) へ写すと上で与えたものの像と同値な bundle になる。本稿では各カテゴリー間の対応を明確にするために上記のような特徴付けをした。 また Liegroup で特徴付けると、各カテゴリーにおけるオブジェクトに明確な違いが出ないことが多いという理由 (位相群はそれ自体が幾何学的対象) 、また cohomology も幾何学的なものを用いるか代数的なものを用いるかを明確にしたいという理由もある。。逆に、 このような Lie group の完全系列は符号理論的に非常に重要なオブジェクトであるとも言える o (Remark 終り)161
次に. カテゴリー(1) から (2) への対応を考える。 出発点となる central extension は universal なものだかuniversal なものが対応することが望ましい。 この部分の対応は K-theoretical に各群の分類空間をとるという操作を採用する。すると以下の fibration が得られる。
ら、 (2) においても$BZ_{2}=K(Z_{2},1)arrow BGarrow$ BE(universal)

以下第一基本原理の 4 番目の主張が満たされることを見ることにする。先ず Quillen, Borel による compact Liegroup の cohomology ring に関する性質をまとめておく。

Theorem 4.2 (Borel) $G:a$ compact connected Lie group

1. $H^{*}(G;Z)$ は p-torsion を持たないならば、 $H(G;Z_{p})$ は extergor algebra of a graded vector space with genemtors of odd degree となる。

2. $H^{*}(G;Z)$ が torsion free ならば $H^{*}(G;Z)$ は exterior algebra of a free abelian group であり、 その基底はすべて、 odd degree の元からなる。 この時生成元の数は $G$ の rank に等しい。

かつ、 その生
3. $H^{*}(G;Z_{p})$ (resp. $H^{*}(G;Z)$ ) が exterior
exterior algebra of a vector space (resp. free abelian$B^{i}$

成元の degree は全て奇数$r_{1},$$\ldots,$$r_{l}$であったとすると、 $H^{*}(BG;Z_{p})(resp.H(BG;Z))$ はpolynomial algebra であり、 その生成元の degree は $r_{1}+1,$$\uparrow l+1$$\ldots,$$Z_{p}$(resp.

) 上の$Z$(even degrees) となる。

(Theorem 終り)

Theorem 4.3 (Quillen) G. a compact Lie group$H_{G}$$:=\oplus_{i\geq 0}H^{*}(BG;Z_{p}),$$(p=odd)H_{G}$ $:=\oplus_{i\geq 0}H^{*}(BG;Z_{2}),$ $(p=2)$とおく。 この時、 以下が成立する。

1. $dimH^{*}(BG;Z_{\rho})=the$ maximum rank of an elementary abelian p-subgroup of2.

$A:Z_{p}$–torus in$\phi_{A}$の kemel を $p_{A}$($G$$Z_{p}$–tori)$G$: $H_{G}arrow H_{A}arrow H_{A}/\sqrt{0}=S(H^{1}(BA;Z_{p}))$とする時、 これは phme ideal である。

3. $A,$ $A’:Z_{p}$ –tori in.
$ifA$ is conjugate to a subgroup $ofA’$ . (2)$p_{A}=p_{A’}$ if and only $ifA$ is conjugate toonlyand(1)
if$A’$. (3) $map$ (from maximal $Z_{p}-to’$ us
in into the pri me ideal ) は conjugacy classes of maximalと minimal prime ideals in$Z_{p}-tori$ inの間の 1 対 1 対応を誘導する。
$G$$p_{A}\subset p_{A’}$

$A$

$G$

4.

$H_{G}$

5.

$J$

$G$

$p_{A}$$H_{G}$の prime ideal が$(A : Z_{p}-torus)$ の形で表現されるための条件は $Hc$ が homogeneous かつ Steenrod
operation に対して安定であることである。
$p_{A}$: 以下の regular sequence から生成された $H^{*}(BSO(n);Z_{2})$ の ideal.
$w_{2},$$Sq^{2^{h-}}Sq^{2^{h-2}}\cdots Sq^{1}w_{2}$$Sq^{1}w_{2},$$\ldots,$,

は 2nd universal Stiefel- Whitney class, rk $kSq^{i}$ は Steenmd operator.
$(n)$ とする。 この時、以下は同型である。
Spinof
ここで$w_{2}$$\Delta_{\theta}$.

$H^{*}(BSO(n);Z_{2})\otimes(Z_{2})[w_{9h,\sim}(\Delta_{\theta})]arrow H^{*}(BSpin(n);Z_{2})$(Theorem 終り)
以上の準備から以下の結果が導かれる。

Theorem 4.4 第一基本原理の 4 番目の主張は self-orthogonal code に対して満たされる。

を spin representation

162
参考文献

Proof: Definition 42 で与えた central extension において、 ( $BG$ ;Z2) が self-orthogonal code に関する情報を持っていることを示す。 $G$ は discrete group で、 $BG=K(G, 1)$ であるから、$H^{*}$$H^{n}(BG;Z_{2})\cong H^{n}(K(G, 1);Z_{2})\cong H^{n}(G\}Z_{2})$また Theorem 4.1 において、 $q(v),$ $b(v, F(v)),$$\ldots,$$b(v, F^{h-1}(v))$. が regular sequence であることと、$b(v, F^{r}(v))= \sum_{1\leq i<i\leq n}b(e;, e_{j})(x;x_{j}^{2^{r}}+x_{j}x_{j}^{2^{r}})=Sq^{2^{r-1}}Sq^{2^{r-z}}\ldots Sq^{1}q(v)$となることが容易に確認できる。従って、$H^{*}(BSO(n);Z_{2})\cong Z_{2}[w_{2}, w_{3}, \ldots, w_{n}]$に注意すると、 Theorem 4.1 と Theorem 43 から$H(BG, Z_{2})\cong H(BSpin(n);Z_{2})$が示され、 ここで Wood の結果を用いれば、 $H\sim BG$ ;Z2) が所記の性質を持つことがわかる。 (proof 終り)

Remark: bundle$BZ_{2}=K(Z_{2},1)arrow BGarrow BE$

universal 故、前 Remark において予告した事が同時に示された。 また、底空間 $BSO(n)=Gr(n, \infty)$ すなわから成る Grassmann variety となる。 この事は Proposition 4.1 の事実に呼応する。 なぜなは GL(n) の部分群であり、 かつ $BG\cong BGL(n)\cong BSO(n)\cong Gr(n, \infty)$ だから、線形符
ら、線形符号の構造群
号に関しては、 カテゴリー (2) において、 Grassmannian を底空間とする canonical bundle を分類写像で引き戻したものが対応しているべきであるからである。 (Remark 終り)
はち、 n-planes in$R^{\infty}$$G$5(1) と (3) の関係(3) を繋げる具体的理論としては、 graph of groups を用いて定義した G-tree (tree with group ac(1)tion) が有用である。 具体的には拡大したい群 の作用する connected G-graph X を考え、 これから graph of groupsを構成し、群の拡大をこの graph of groups の fundamental group を用いて構成する。 この時やはり graph covering が生じ、 (1) と (2) の間の関係に類似した現象が現れる。 また低次元 complex から生じる cohomology を考、$G$慮すると (1)、(2) の対応関係を凝縮 L た様なモデルとなる。 また covering の分岐に着目した復号法も考えられる。 これらの議論の詳細については本稿の拡張版において説明する予定である。

参考文献[1] Wood, J. A. Spinor groups and algebraic coding theory, Journal of Combinatorial Theory, Series A 1989.
[2] Quillen, D. A cohomological criteri on for p-nilpotence,J. Pure Appl. Algebra 1, 1971. 361-372[3] Quillen, D. The mod 2 cohomology rings of extm-special 2-groups and the spinor groups, Math. Ann. 194,
1971, 197-212[4] Borel, A. Sur la cohomologie des espaces fibr\’es pnncipaux et des espaces homog\‘enes de Lie compacts, Ann.
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