平成 27 年度
千葉大学先進科学プログラム入学者選考課題
課題論述
課題[II-A], [II-B], [II-C], [II-D]（ 10:00－15:30 ）注意事項
課題 II には，[II-A], [II-B], [II-C], [II-D] の 4 題があります。
志望するコースによって，次に示す問題を解答してください。
・物理学コース：[II-A], [II-B]の２題を解答してください。
・フロンティアテクノロジーコース：[II-A], [II-B], [II-C], [II-D] の中から 2 題を選択して解答してください。ただし，[II-A]あるいは[II-B]の少なくとも 1 題は選択すること。

II-A


 1 :  !"#$ 2 : %&'( $) *+,-. /012 1234  56789:;
 3 : <=>? T  @  !ABC a  @DEF
GH7 567 EFI :;()(2)

3T2a3=4 2GMJKL G MNOP9Q M RS:;
T UVW XYZ8[ \W:]^_`a: bcMNOP 567deLJ f:UVWg hijk6 lfmn6oJ Tkp :RSRS qr(st6:uvL76 wmL7 6,

,aPbQ

Aa−aB
ae−aa−b−ax  ! yz{ ! y|{1:} 1 x yz{  A) a   !/t >~>? T:<=L76  RS M UVRS<=>? T ABC a b c T a 67 Lmn6
} 2 x y|{  ABC* a :AC* b ap e  !
/t >~>? T :<=L76  TT: e :;
RS M M T T 67 Lmn6
1PA

A

0P,

01

Q=B

B

PA

B

QA,

P,

Q

1

12yyPbb

Aa x−aQB
ae−a−ba x−bx  ! yz{ ! y|{n7x  '  y{YwJ   !:; !1 %&' y'z C{ L7:; L7 !1*Y' L7 676  TJ YY2:2PQQBPx2y2+a2 a2 (1 e2 )=1

6 : nEFstn !"-G q #$L76  wf LL  x; y ; , L 
 x; y ae; ,} 3 !*BC  x; y a; :  3n !stn
 a e b c <=>? T T 67 Lmn6JKL 
 %&#$9: tm6 L7xy 13nmn6} 4  *BC , x; y a;  t t LJ ; 2A()=(() = (0 0)B0)()=(, ,0)

PP,Q)=(0)QPA

P((x; y ) = (0; b); (= Pa; 0); (0; b)  -t  T : Lmn6} 5  *BC , x; y a;  t t LJ ; P

Q()=(P0)(x; y ) = (0; b); (= Qa; 0); (0; b)  -t  T : Lmn6} 6  34 x ](*sm, mn6oJ 34 x](sI a e T 67 Lmn6
QQQQ,,

Q2} 7   !BC YLJC YLJ  /67Lmn6
 56734* /0  e = Lmn LT6 Ct
L7 >?( /0T  C  (:  7 6YLJC YLJ 5  o*BCD L6 T } 8 } 7 : J34-.  34     567Hmn6Q=1 210m

Q =02P3Q

II-B
単色の平行光の干渉について考えよう。以下では，単色光の波長を λ，光速を c とする。
問 1 まず，x 軸上を正の向きに進行する単色光について考える。光は電場と磁場が振動する横波であり，平面波の進行と同様に考えることができる。ここで，x = x0 の位置で，光による電場の進行方向に垂直な成分が E = E0 cos ωt と書けるとする。

(1) ω を λ と c のうち必要な記号を用いて表しなさい。
(2) x = x0 + ℓ の位置での電場の進行方向に垂直な成分を E = E0 cos(ωt − kℓ) と書くとき，k を λ と c のうち必要な記号を用いて求めなさい。
問 2 図 1 のように x = 0 であらわされる面 (yz 平面) 内に 2 本のスリットのある無限に広い板を置く。ただし，それぞれのスリットは y 軸上の 2 点 (x = 0, y = −δ)，(x = 0, y = δ) にあり，z 軸方向に無限に長く，その幅は δ や λ に比べて十分に小さいとする。この 2 本のスリットに，平行な単色光を入射する。単色光は位相がそろっており，スリットの位置において光は同位相であるとする。xy 平面内で，原点 O を通り x 軸からの角度が θ で表される向きに距離 L だけ離れた点 P で光の強度を観察する。ただし，L は δ と比べて十分に大きいとする。
yy༢ⰍගPδ sin θδℓ1δLθℓ2x2δ O−δθxO−δδ sin θ䝇䜽䝸䞊䞁ᣑ኱ᅗ

図1(1) θ = 0 の向きで観測された光の強度が極大であった。θ を増加させていくとき，はじめて強度が極小になる θ を θmin とする。sin θmin を求めなさい。ただし，2つのスリットから θ の方向へ進む光について，スリットから点 P までの光路長ℓ がそれぞれ ℓ1 = L − δ sin θ，ℓ2 = L + δ sin θ であると考えればよい。

4

(2) スリットで回折された光による点 P における電場を考える。ℓ が λ や δ と比べて十分に大きいとき，電場は一定の平面内を向いており，E = E1 cos(ωt − kℓ)と書ける。E1 はスリットからの距離に依存するが，ℓ が δ に比べて十分に大きい時には，2 つのスリットから回折されてくる光について E1 は等しいとしてよい。電磁場は重ね合わせができるため，ある点における電場はそれぞれのスリットから回折されてきた光による電場を足し合わせることにより得られる。
このことを用いると，点 P における電場 E(θ) は E(θ) = f (θ) cos (ωt − kL) と書ける。このとき f (θ) を求めなさい。
f (θ)とするとき、F (θ) を求め，F (θ) が E1 によらないことを示しな(3) F (θ) =f (0)さい。
(4) 光強度 I は，電場を 2 乗したものを 1 周期にわたって積分した値に比例する。比例係数を A として，光強度 I を θ の関数として求めなさい。また，λ = 500 nm, δ =115.0 µm として，光強度 I を θ の関数として見たときのグラフを − < θ <1010の範囲で配布した方眼紙に描きなさい。グラフには極小点の θ の値を明記すること。ただし，グラフを描くときには，θ は十分に小さいとして，sin θ を θ で近似してよい。

5

問 3 次に，図 2 のように x = 0 であらわされる面 (yz 平面) 内に 1 本のスリットのある無限に広い板を置く。ただし，スリットは y 軸上の線分 −a < y < a 上で光を透過し，z 軸方向に無限に長いとする。このスリットに，平行な単色光を入射することを考える。単色光は位相がそろっており，スリット内のすべての点において，光は同位相であるとする。xy 平面内で，原点 O を通り x 軸からの角度が θ で表される向きに
距離 L だけ離れた点 P で光の強度を観察する。ただし，L は a と比べて十分に大きいとする。
y༢ⰍගPLaxθ
2a O−a䝇䜽䝸䞊䞁

図2(1) スリットで回折された光による電場が問 2 (2) と同様に表されるとき，点 (x =0, y = b, z = 0) から広がっていく光について，点 P における電場 E1 (b, θ) を求めなさい。
(2) (1) で求めた電場 E1 (b, θ) はスリット内の 1 点から回折されてきた光によるものである。スリット全体から回折してきた光による電場は b が −a から a までの各点から広がってきた光による電場を積分することにより得られる。すなわ
ち，点 P における電場 E ′ (θ) は∫ a′
E (θ) =E1 (b, θ)db−aと表すことができる。この積分を実行し，変形すると E ′ (θ) = g(θ) cos (ωt − kL)g(θ)となる。この g(θ) について，G(θ) =とおくとき，G(θ) を求めなさい。たg(0)sin xだし， lim= 1 は証明せずに用いてよい。
x→0 x(3) 光強度 I は，電場を 2 乗したものを 1 周期にわたって積分した値に比例する。比
例係数を B として，光強度 I を θ の関数として求めなさい。また，λ = 500 nm,11の範囲で配布した方眼
a = 5.0 µm として，その関数のグラフを − < θ <1010紙に描きなさい。グラフには極小点の θ の値を明記すること。ただし，グラフを描くときには，θ は十分に小さいとして，sin θ を θ で近似してよい。

(4) 単色光の代わりに白色光を入射した場合には，スクリーンにどのような像が映ると予想されるか? なぜそのように考えたかも含めて答えなさい。

6このページは空白です
短辺の長さ  ，長辺の長さ   の長方形がある。 次元直交座標系において，この短辺は  軸に平行，長辺は  軸に平行， 軸が長方形と直交し，かつ，対角線の交点と原点が一致するよう配置されている。

解答用紙の  次元直交座標系に長方形を書き入れなさい。

問原点    と点    を通る直線の周りの回転を考える。

問 軸上の点   （ただし ）を，直線の周りに Æ 回転するとき，この点が描く軌跡を，解答用紙の  次元直交座標系に書き入れなさい。
問

もとの長方形を，この直線の周りに Æ および  Æ 回転させたときの位置にある長方形を，解答用紙の  次元直交座標系に書き入れなさい。

もとの長方形を ，上の回転移動後の位置にある長方形の一方を 、他方を とする。の各頂点から および の頂点のうち最も近い距離にあるすべての頂点を線分で結ぶ。
同様に から および に対して， からＡおよび に対して，それぞれ線分で結ぶ。

問

線分は全部で何本あるか答えなさい。ただし，両端点が一致する線分は合わせて 本と数えること。

上の問題で求めた線分と長方形なっている。

， ， の短辺をあわせたものは、ある多面体の辺に問

面は全部でいくつあるか答えなさい。

問

多面体が正多面体となるときのの値を求めなさい。答えだけでなく計算の過程も示すこと。

上の問題の正多面体の各辺を三等分する内分点について考える。

問

正多面体のある頂点に関して，この頂点を端点とする各線分の内分点のうち，この頂点に近い方の内分点すべてを通過する平面に対して，この頂点から下ろした垂線の長さを， を用いた式で表しなさい。答えだけでなく計算の過程も示すこと。

正多面体の全ての頂点に関して，問  で考察した平面で頂点側を切り落としたときにできる立体を考える。

問

面は全部でいくつあるか答えなさい。

問

身近にあるものでこの多面体の構造を利用しているものを示しなさい。

II-D[  !"#$  %&' ( )*+,-*./ 0123 *4567 82696:;<=> ' ? @A6+ B 
A6+ C D67EFGHIJK=LM?:N OPQR℄(())

ST ? !"#UVWX YZ[\N]^_`abcdZ[efg Z hi j k Z "# !?l $YZ[efgmj ? !m#@Ynof? !Yp7qrs * )[tufvwxy [   !Y [g?
 ST[zwSTxf? [{Z ?|}J~ ]w Z
[efg e Z[efg1e ehi  _    {_e{k   ?   @ _ cTw [[$ \X 2>  ¡hi O¢
gSeNB£¤hiR _n ¡¥  ¥ ¡¦ j k  _§¨ j T\©ª  «¬  ¡¥  ?­¡®¯e & \°±²  {T³_´ `abc $¬v  3  2 [µ¶·¸f     ¡¥N_e{k  4  2 [ 3 ¹º:n » \°¼½ ®i ¡e¾¿ [k n: ! # Y¼½fÀ $®i ¡e¾¿ÁczÂ {_ \°kÃ^$zÂS1[S1.E1℄E1[S3℄[S4.E4.N4.W4℄[S4.E4.W4℄[S3.E3.N3.W3℄[S4.E3.W3℄[S2.E2.N2.W2℄[S4.E2.W2℄[S4.E1.W1℄

45

[S4℄

[S3℄

[S2℄

[S1.E1.N1.W1℄[S1℄410