数理解析研究所講究録 1295 巻 2002 年 1-81

代数的局所コホモロジー類の満たす
ホロノミック系の構成法について垣(Shinichi Tajima) ’
Dept. of Information Engineering, Faculty of Engineering,
Niigata University お茶の水女子大学大学院中村弥生 (Yayoi Nakamura) \dag er
Graduate School of Humanities and Sciences, Ochanomizu University
新潟大学工学部田島$/\ovalbox{\tt\small REJECT}$–

本稿では, 零次元多様体に台を持つ代数的局所コホモロジー類の満たすホロノミック系の構成法について述べる.

一般に, 代数的局所コホモロジー類を annihilate する線形偏微分作用素全体 $Ann$ は, 微分作用素環 $Dx$のイデアルをなし, -加群 $D_{X}/Ann$ はホロノミック系となる. 特に, 代数的局所コホモロジー類が零次元多様体に台を持つような場合, $D_{X}/Ann$ はその各点において, -加群としてシンプルとなる. この特性に注目することで, Grothendieck 留数や Jacobi の補間積分, Grothendieck 双対性等の研究にホロノミック系の理論を応用することができる ([7], [8], [9], [10]).
これらの応用のためには, イデアル $Ann$ を具体的に構成する必要があるが, $Ann$ のグレブナ基底は,
般にはかなり複雑であり, その計算は困難な場合が多い. しかし, 零次元多様体に台を持つ代数的局所コホモロジー類の場合, イデアル $Ann$ は, 多くの場合高々 1 階の微分作用素で生成される. また, 代数的局所コホモロジー類が多少複雑であっても, 例えば, modality が 1 または 2 であるような semiquasihomogeneous
例外型特異点に付随したものである場合でも, $Ann$ ま高々 2 階の微分作用素で生成されることが分かっている ([3], [4], [5]). このように, $Ann$ のグレブナ基底を求めなくても, 予め階数を制限して微分作用素を構成することにより, イデアルの生成元を求められる場合がある. 更に, 階数を制限して構成した annihilatorを用いることにより, ホロノミック系としての特徴を導き出せる場合も多い. 実際, ホロノミック系を用いた孤立特異点の構造の解析 ([4], [5]) では, この考え方が有効であった.
論文 [2] では, 与えられた代数的局所コホモロジー類に対する, 1 階の線形偏微分作用素と 2 階の線形偏微分作用素で与えられる annihilator を構成した. 本稿では, それらの構成法に改良を加え, 効率化をはかる.
[2] での構成法で基にした syzygies の計算は用いず, 可換環でのグレブナ基底を活用することにより, 微分作用素の構成を線形代数の計算 (未定係数法) に帰着させる. 51 では, 作用素の階数を制限した annihilatorの構成法の原型を与える. \S 2 では, その構成法を局所化する. さらに, \S 3 で 2 階の作用素の構成法の効率化をはかる. \S 4 では, 幾つかの例に対し, 2 階の偏微分作用素を実際に計算し, これらの構成法の計算量を比較する. 具体的には, 2 変数例外型特異点と Reiffen が論文 [6] の中で扱っている特異点のパラメーターに適
time,
time を与える. なお
当な値を代入したものに関し, 出力される作用素の個数と計算に要したにこれらの構成法をインプリメントして行なった.
計算は, 数式処理システム$\mathrm{D}$$\mathrm{D}$–$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}$$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}/\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}$‘ajima@geb ge.niigata-u.ac\dagger nakamura@math.ocha.ac.j$.\mathrm{j}\mathrm{p}$$\mathrm{p}$1-1$\mathrm{g}\mathrm{c}$2
代数的局所コホモロジー類と annihilator の構成

1$X=\mathbb{C}^{n}$

上の $n$ 個の多項式の列 $F=\{f1, \ldots, f_{n}\}$ ,の生成する多項式環

により決まる$F=\{f1, \ldots, f_{n}\}$

と置く.

ここで

のイデアルを$\mathbb{Q}[z]$$Ox$$f_{j}\in \mathbb{Z}[z]$$I=\langle f1, \ldots, f_{n}\rangle$とし,は $X$ 上の正則関数のなす層であり,とし,$\partial=(\partial/\partial z_{1}, \ldots, \partial/\partial z_{n})$$A_{n}$$I$の定める variety を $Z=V(I)\subset X$ と置く.

に台を持つ代数的局所コホモロジー類を$Z$

つ代数的局所コホモロジー群の層が正規列をなすとする. また, これらの多項式$\sigma_{F}=[1/f_{1}\ldots f_{n}]\in H_{[Z]}^{n}(\mathcal{O}_{X})$$H_{[Z]}^{n}(\mathcal{O}\mathrm{x})=\Gamma(X, \mathcal{H}_{[Z]}^{n}(\mathcal{O}\mathrm{x}))$

は

$Z$

に台を持

の大域切断である.
変数の Weyl 代数,には適当な項順序が定まっているものとする. 以下, 1, 2 階の作用素$A_{n}$$?t_{[Z]}^{n}(O_{X})$を$n$$\mathbb{Q}[z](\partial)$$\succ$の構成法について述べる.

1.1

1 階の作用素の構成法$(\mathfrak{U}-1)$

1 階の線形偏微分作用素$P=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+p(z),$で与えられる annihilator の構成法について述べる.

annihilating ideal

は $A_{n}I$ となるので$Ann^{(0)}(\sigma_{F})$$\sigma_{F}$$p_{j}(z),$ $p(z)\in \mathbb{Q}[z]$を annihilate する 0 階の微分作用素の生成する$(\mathrm{c}.\mathrm{f}.

[9])$, 係数 $P1(z),$ $\ldots,p_{n}(z),p(z)$ は$\mathbb{Q}[z]/I$から取れば十分であることが分かる.
次の形の微分作用素

を考える.

$v$

$v=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}},$$p_{j}(z)\in \mathbb{Q}[z]/I,$$j=1,$ $\ldots,n$ .

(1)

Proposition A([4]) 次の 2 つの条件は同値である.

1. $vh(z)\in I$ for
2.

$\forall_{h(z)}\in I$$\exists p(z)\in \mathbb{Q}[z]/I\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

. $(v+p(z))\sigma_{F}=0$ .

この性質を用いることにより, 代数的局所コホモロジー類$\sigma_{F}$の1 階の annihilator の集合$L^{(1)}( \sigma_{F})=\{P=p_{1}(z)\frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+p(z)|P\sigma_{F}=0, p_{j}(z), p(z)\in \mathbb{Q}[z]/I\}$は次のようにして構成することができる.

Algorithm
入力 : $f1,$$(\mathfrak{U}-1)$$\ldots,$

1.

$\mathbb{Q}[z]/I$(代数的局所コホモロジー類$f_{n}\in \mathbb{Q}[z]$$\sigma_{F}$を annihilate する 1 階の偏微分作用素):. 多項式の正規列の標準的な単項基底 $\{e_{1}(z), \ldots, e_{\mu}(z)\}$ を取る. 但し, $\mu=\dim \mathbb{Q}[z]/I$ である.

2. 未定係数$c_{k},$$c_{ik},$$k=1,$$\ldots,$$\mu,$$i=1,$$\ldots,$$n$を用いて, $p(z)= \sum_{k=1}^{\mu}c_{k}e_{k}(z),$ $p_{i}(z)= \sum_{k=1}^{\mu}c_{ik}e_{k}(z)$ ,$i=1,$ $\ldots,n$ と置く.

3. 任意の $h(z)\in I$ に対し,
$k=1,$$\ldots,$$\mu,$$i=1,$$\ldots,$$n$$p_{1}(z) \frac{\partial h}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial h}{\partial z_{n}}\in I$

を求める.

I-2

となる $p_{i}(z)$ の組, つまり, 係数$c_{ik}$,3
4. 3. で求めた $(p_{1}(z), \ldots,p_{n}(z))$ {こ対し.
$- \sum_{i=1}^{n}p_{i}(z)\sum_{j=1}^{n}f_{1}\cdots\frac{\partial f_{j}}{\partial z_{i}}\cdots f\text{。}+p(z)f_{1}\cdots f_{n}\in\langle f_{1}^{2},$を満たすよう (こ $p(z)$ , つまり, 係数

5.

$k=1,$$c_{k},$$P=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+p(z)$

出力 : ベクトル空間$L^{(1)}(\sigma p)$$\ldots,$$\mu$$f_{n}^{2})$$\ldots,$

を求める.

と置く.

の基底

を
の高々 1 階の偏微分作用素で与えに対し ,Proposition 代数的局所コホモロジー類られる annihilator の生成するイデアルとする. このとき, $Ann^{(1)}(\sigma_{F})=A_{n}(L^{(1)}(\sigma_{F})\cup I)$ が成り立つ.
$Ann^{(1)}(\sigma_{F})$$\sigma_{F}$

1.2

2 階の作用素の構成法$\sigma_{F}$( $[2]$ の \S 2.2)$(\mathfrak{U}- 2)$$p(z),pi(z),pij(z)\in \mathbb{Q}[z]/I,$ $i=1,$ $\ldots,n;i\leq j\leq n$ [こ対し,(2).

$P= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j\geq i}^{n}p_{j(\chi)\frac{\partial^{2}}{\partial z_{i}\partial z_{j}}+\mathrm{I}^{p_{i}(z)\frac{\partial}{\partial z_{*}}+p(z)}}\dot{.}$と置く. このとき, $P\sigma_{F}=0$ を満たす $p(z),pi(z),pi\mathrm{j}(z)$ は次のように求めることができる.

1.

$\mathbb{Q}[z]/I$の標準的な単項基底 { $e_{1}(z),$2. 未定係数, c り , $i=1,$$c_{k},$ $c_{ik}$$\sum_{k=1}^{\mu}c:ke_{k}(z),$

$k$

$n,$

, ep(z 垣を取る. 但し, $\mu=\dim \mathbb{Q}[z]/I$ である.

$f_{n}^{3}\rangle$$\ldots,$$1/f_{1}\cdots f_{n}$を満たす$k=1,$$i\leq j\leq n,$$p_{ij}(z)= \sum_{k=1}^{\mu}c_{ijk}e_{k}(z),$3. 偏微分作用素 (2) を
4. $g(z)\in(f_{1}^{3},$$\ldots,$$\ldots$$\ldots,$$\mu$を用いて $p(z)= \sum_{k=1}^{\mu}c_{k}e_{k}(z),$ $p:(z)=$$i=1,$ $\ldots,n;i\leq i\leq n$ と置く.

に施し , $P(1/f_{1}\cdots f_{n})=g/f_{1}^{3}\cdots f_{n}^{3}$ を満たす $g=g(z)$ を求める.

$c_{k},$ $c_{ik},$$c_{ijk},$$i=1,$$\ldots,$$n;i\leq j\leq n,$ $k=1,$ $\ldots,\mu$を求める.

このとき, 偏微分作用素$P= \sum_{\dot{\iota}=1}^{n}\sum_{j\geq\dot{\iota}}^{n}p_{ij}(z)\frac{\partial^{2}}{\partial z_{i}\partial z_{j}}+\sum_{\dot{\iota}=1}^{n}p_{i}(z)\frac{\partial}{\partial z_{\dot{l}}}+p(z)$$(p(z)= \sum_{k=1}^{\mu}c_{k}e_{k}, p_{i}(z)=\sum_{k=1}^{\mu}c_{ik}e_{k},$ $p_{ij}(z)= \sum_{k=1}^{\mu}c_{ijk}e_{k})$の annihilator となる. (は, 代数的局所コホモロジー類
作用素 (2) が $P\sigma_{F}=0$ を満たす必要十分条件であるという結果を用いた)$g(z)\in\langle f_{1}^{3}, \ldots, f_{n}^{3}\rangle$$\sigma_{F}$(以上の計算において ,\S 2.2 を参照されたい.

2$f_{1}\cdots f_{n}$及び$f_{1}^{3}\cdots f_{n}^{3}$が成り立つことが, 偏微分の順序は変更しないこと) 計算の詳細については [2] の局所的な作用素の構成与えられた多項式 $f1,$与えられたとする. 各
ロジー群$H_{[Z]}^{n}(\mathcal{O}_{X})$$I\ell$$\ldots,$$f_{n}\in \mathbb{Q}[z]$

の

は, 各

$Z\ell$の生成するイデアル$I$の準素イデアル分解が $I=I_{1}\cap\cdots$ 寡

iety を $Z\ell=V(I_{\ell})$ と置く. このとき,
に台を持つ

$n$

$Z$

に台を持つ

次代数的局所コホモロジー群$H_{[Z_{\ell}]}^{n}(\mathcal{O}_{X})$$H_{[Z]}^{n}(\mathcal{O}_{X})=H_{[Z_{1}]}^{n}(\mathcal{O}_{X})\oplus\cdots\oplus H_{[Z_{m}]}^{n}(\mathcal{O}_{X})$

I-3

$n$

$I_{m}$

で次代数的局所コホモによる直和分解4を持つ. この分解に対応して, 代数的局所コホモロジー類
ロジー類$\sigma\ell$

であり,に対し , 各$\sigma_{F}$$Z_{\ell}$を満たすものが存在する. そこで,$\sigma_{F}=\sigma_{1}+\cdots+\sigma_{m}$に台を持つ代数的局所コホモを分解する準素イデアルのひ$I$の annihilator を直接構成する方法についに台を持つ代数的局所コホモロジー類
に注目し,
て述べる.
をそれぞれ 2 乗, 3 乗した多項式の生成するイデアルの準素イデアル分与えられた多項式 $f1,$\cap Im(3ゝとする. ここで, イデアノレの添字は
解を
(

とつ

$Z\ell$$I\ell$$\sigma\ell$$\ldots,$$f_{n}$$(f_{1}^{2}, \ldots, f_{n}^{2})=I_{1}^{(2)}\cap\cdots\cap I_{m}^{(2)},$$f_{n}^{3}\rangle=I_{1}^{(3)}\cap\cdots$$f_{1}^{3},$$\ldots,$$\sqrt{I_{\ell}}=\sqrt{I_{\ell}^{(2)}}=\sqrt{I_{\ell}^{(3)}}$2.1となるようにそろえておく. また,

1 階の annihilator の構成法

代数的局所コホモロジー類$\sigma\ell$

に対し,$A_{n}$に適当な項順序$\succ$が定まっているものとする.

$(\mathfrak{B}-1)$

を annihilate する 1 階の線形偏微分作用素$\sigma\ell$$P=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+p(z),$$p(z),$ $p_{\dot{2}}(z)\in \mathbb{Q}[z]$の 0 階の微分作用素の生成する annihilating ideal Ann(0)(\sigmaの構成法について述べる. ここで,から取ればよいことが分かる.
であるから, 係数 $p_{1}(z),$ $\ldots,p_{n}(z),p(z)$ は
次の形の微分作用素 を考える.

$A\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\sigma\ell$$\mathbb{Q}[z]/I_{\ell}$$(\mathrm{c}.\mathrm{f}.

[9])$

$v$

$v=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}},$

Proposition$\mathrm{B}$.

(3)

次の 2 つの条件は同値である.

1. $vh(z)\in I\ell$ for2.

$p_{j}(z)\in \mathbb{Q}[z]/I_{\ell}$$\forall_{h(z)\in I_{\ell}}$$\exists p(z)\in \mathbb{Q}[z]/I_{\ell}\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

.

$\cdot(v+p(z))\sigma_{\ell}=0$.

この性質を用いることにより, 1 階の線形偏微分作用素で与えられる annihilator の集合$L^{(1)}( \sigma_{\ell})=\{P=p_{1}(z)\frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+p(z)|P\sigma_{\ell}=0, p(z), p_{1}.(z)\in \mathbb{Q}[z]/I_{\ell}\}$は次の手順により構成することができる.

Algorithm
1.

$\mathfrak{B}-1$$\mathbb{Q}[z]/I\ell$

人力 : $f1,$$\ldots,$の標準的な単項基底 $e_{1}(z),$2. 未定係数$c_{k},$$c_{\dot{\iota}k}$4.

$\ldots,\mu\ell,$$\ldots,$$e_{\mu\ell}(z)$$I\ell$: 準素イデアルを取る. 但し, $\mu\ell=\dim \mathbb{Z}[z]/I\ell$ である.

を用いて, $p(z)= \sum_{k=1}^{\mu p}c_{k}e_{k}(z),$ $p_{i}(z)= \sum_{k=1}^{\mu p}c_{ik}e_{k}(z),$ $i=1,$

3. 任意の $h=h(z)\in I\ell$ [こ対し ,$k=1,$: 多項式の正規列,$f_{n}\in \mathbb{Z}[z]$$P1(z) \frac{\partial h}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial h}{\partial z_{n}}\in I\ell$$\ldots,$$n$と$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\langle$.

となる $p:(z)$ つまり, 係数$c_{1k}.$,$i=1,$ $\ldots,n$ を求める.

$- \sum_{\dot{\iota}=1}^{n}p_{\dot{l}}(z)\sum_{j=1}^{n}f_{1}\cdots\frac{\partial f_{j}}{\partial z_{\dot{l}}}\cdots f_{n}+p(z)f_{1}\cdots f_{n}\in I_{\ell}^{(2)}$を満たす $p(z)$ つまり, 偵\rightarrow 文$c_{k},$$k=1,$$\ldots,\mu\ell$

を求める.

5.
出力 :

$P=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+p(z)$$\sigma\ell$と置く.

に対する 1 階の annihilator $P$

に対し , Ann(y(\sigmaの高々 1 階の偏微分作用素で与えら
Proposition 代数的局所コホモロジー類
れる annihilator の生成するイデアノレとする. このとき, $Ann^{(1)}(\sigma\ell)=A_{n}(L^{(1)}(\sigma\ell)\cup I\ell)$ が成り立つ.
$\sigma\ell$$\sigma\ell$

I-4

5
22

2 階の annihilator の構成法

代数的局所コホモロジー類$(\mathfrak{B}- 2)$

に対し , 2 階の偏微分作用素$\sigma\ell$(4)$P= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j\geq i}^{n}p_{ij}(z)\frac{\partial^{2}}{\partial z_{i}\partial z_{j}}+\sum_{i=1}^{n}p_{i}(z)\frac{\partial}{\partial z_{i}}+p(z)$で与えられる annihilator の構成法について述べる. \S 1.2 では$\sigma_{F}$を annihilate する大域的な 2 階の作用を導入し ,
を満たすように係数を求めた.
素を構成するために,を満たすように係数
annihilate するよう作用素 $P$ を構成するには, 関数 $g(z)$ がの 2 階の annihilator は次のように構成することができる.
を求めればよい. つまり,

関数 $g(z)$$g(z)\in I^{(3)}$$c_{k},c_{ik},$ $c_{ijk}\in \mathbb{Q}$$g(z)\in I_{\ell}^{(3)}$$c_{k},$$\sigma\ell$

を$c_{ik},c_{ijk}\in \mathbb{Q}$$\sigma\ell$

1.

の標準的な単項基底$\mathbb{Q}[z]/I\ell$

2. 未定係数$c_{k},c_{ik}$$\sum_{k=1}^{\mu p}c_{ijk}e_{k}(z),$, c り , $k=1,$$k$$i=1,$

3. 偏微分作用素 (4) を
4.

$g(z)\in I_{\ell}^{(3)}$$\ldots,$$\{e_{1}(z), \ldots, e_{\mu\ell}(z)\}$$\ldots,\mu_{\ell}$を満たす$c_{k},$

を用いて $p(z)= \sum_{k=1}^{\mu p}c_{k}e_{k}(z),$ $p_{i}(z)= \sum_{k=1}^{\mu p}c_{ik}e_{k}(z),$ $p_{ij}(z)=$$n;i\leq j\leq n$$1/f_{1}\cdots f_{n}$を取る. 但し, $\mu\ell=\dim \mathbb{Q}[z]/I\ell$ である.

と置く.

に施し , $P(1/f_{1}\ldots f_{n})=g(z)/f_{1}^{3}\cdots f_{n}^{3}$ を満たす $g(z)$ を求める.

$c_{ik},c_{ijk},$$k=1,$$\ldots,$$\mu\ell$を求める.

このとき, 偏微分作用素$P= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j\geq}^{n}.\cdot p_{ij}(z)\frac{\partial^{2}}{\partial z_{i}\partial z_{j}}+\sum_{i=1}^{n}p_{i}(z)\frac{\partial}{\partial z_{i}}+p(z)$は, 代数的局所コホモロジー類

3$\sigma\ell$の annihilatorとなる.

効率化 (L-2)\S 1.1 (resp. \S 2.1) [こおいて,$Ann^{(1)}(\sigma_{F})/Ann^{(0)}(\sigma_{F})$(resp. $Ann^{(1)}(\sigma\ell)/Ann^{(0)}(\sigma\ell)$ ) [こ属する 1 階の作用素を構成するため, 1 階の作用素の係数を(resp.
) から取った. そこで, この節では, 同様な考え方を用いて, 2 階の annihilator の構成法の効率化を行なう. つまり, 1 階の annihilator と偏微分作
用素との積からなるようなものを予め計算から除外して, 2 階の作用素の構成を行なう. この方法は大域的な作用素, 局所的な作用素いずれの構成にも用いることができるが, ここでは, 局所的な場合について$\mathbb{Q}[z]/I$$\mathbb{Q}[z]/I\ell$$/\partial z_{i}$

説明する.

集合

$V\ell$を次で定める.
$V\ell=${$v=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}|vh(z)\in I\ell$

ご$h(z)\in I_{\ell}$}.

これは, \S 2.1 で与えた 1 階の annihilator の構成法で基本的な役割を果たす作用素 (Algorithm
3) の集合である.
を用いて次のような集合を考える.

$\mathfrak{B}- 1$の step$V\ell$$N\ell=\{\mathrm{h}\mathrm{m}(v)|v\in V\ell\}$

ここで,

用素

$\mathrm{h}\mathrm{m}(v)$$/\partial z$:

は$A_{n}$の項順序$(i=1, \ldots,n)$$\succ$

に関する

$v$

.

の leading monolIiialの一次式と見た時の$/\partial zj$の係数の集合を,$N_{\ell:}= \{e\in M_{\ell}|e\frac{\partial}{\partial z_{\dot{*}}}\in N_{\ell}\}$I-5を表す. さらに,$N\ell$の要素を偏微分作

6,と置く. 但し, $M$ は$\mathbb{Q}[z\mathit{1}/Ie$の$\succ$に関する標準的な単項基底の集合$\{e_{1}(\ovalbox{\tt\small REJECT}, \ldots\rangle e_{pp}(z)\}$とする. また,$\sigma$’を annihilate する 2 階の線形偏微分作用素$P= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j\geq i}^{n}p_{ij}(z)\frac{\partial^{2}}{\partial z_{i}\partial z_{j}}+\sum_{i=1}^{n}p_{i}(z)\frac{\partial}{\partial z_{i}}+p(z)$$(p_{ij}(z), p_{i}(z),$ $p(z)\in \mathbb{Q}[z]/I_{\ell})$[こおいて, 係数 $pij(z),$ $pi(z),$ $i=1,$ $\ldots,n,$ $i\leq j\leq n$ が次のような形で与えられているとする.
$p_{1j}.(z)= \sum_{k=1,e_{k}\in Mp\backslash (Np:\cup Np_{\mathrm{j}})}^{\mu\ell}c_{ijk}e_{k}(z)$

,

$\{$

$p_{i}(z)= \sum_{k=1,e_{k}(z)\in M\ell\backslash N_{\ell:}}^{\mu p}c_{ik}e_{k}(z),$今ベクトノレ空間$L^{(1)}(\sigma\ell)$$i=1,$ $\ldots,n;i\leq j\leq n$の基底が $L^{(1)}(\sigma\ell)=\{L_{1}, \ldots, L_{s}\}$ であたえられているとする. このとき,$P= \sum_{1\leq:\leq n,1\leq j\leq\epsilon}(b_{ij}\frac{\partial}{\partial z_{i}}+b_{0j})L_{j},$$b_{ij}\in \mathbb{C}$, b りが零となるとき, そのときのみである. このことから, \S 2.3 の手順が成り立つのは, 全ての係数
2. を次で置き換えることにより, 効率的に 2 階の作用素を構成することができる.
$c_{ijk},$

2’. 未定係数$c_{k},$ $c_{ik},$$c_{ijk},$$c_{ij}$$i=1,$ $\ldots,n,$ $i\leq j\leq n,$ $k=1,$$p:(z)= \sum_{k1,e_{k}\in M_{\ell}\backslash N_{\ell:}}^{\mu\ell}=c_{ik}e_{k}(z),$$\ldots,$$\mu\ell$$p_{ij}(z)= \sum_{k=1,e_{k}\in M_{\ell\backslash (N_{\ell:}\cup N_{p_{\mathrm{j}}})}}^{\mu p}$を用いて $p(z)= \sum_{k=1}^{\mu p}c_{k}e_{k}(z)$ ,c り kek(z), $i=1,$ $\ldots,n;i\leq j\leq n$と置く.

大域的な作用素を構成する場合は,置き換え,: に対応する集合 $N,$

$V\ell$$N\ell,$4$N\ell$を Algorithm$N_{i},$$\mathfrak{U}- 1$の step

3. により決まる作用素 (1) の集合$V$

で$i=1,$ $\ldots,n$ を導入すればよい.

各段階における計算時間の比較を用い本稿で与えた代数的局所コホモロジー類の annihflator の構成法を数式処理システムて計算機に実装し , 幾つかの例について, 2 階の作用素を計算した。 以下に, 出力された作用素の個数と計算時間を与える.
, L-2 はそれぞれ \S 1.2, \S 2.2, fi3 で与えた 2 階の作用素の構成法を表す. 構成法の原点に台を持つ直和成分について計算を行なった. なお, 例 1, 例 2 に挙げた代数的局, L-2 では,
所コホモロジー類については, 高々 2 階の線形偏微分作用素の生成する annihilating ideal を構成することにより, シンプルなホロノミック系を与えることができることが分かっている (例 1 で扱う標準型のうち,
modality が 1 の場合については [3] 参照).
$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}/\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}$$\mathfrak{U}- 2,$$\mathfrak{B}- 2$$\mathfrak{B}- 2$$\sigma_{F}$例 12 変数関数 $f=f(x, y)$ は, 原点に semiquasihomogeneous 例外型特異点を与え, その modality は 1
または 2 であるとする. $f$ の偏微分を $f1=\partial f/\partial x,$

をと置き, 代数的局所コホモロジー類
考える. 次の表は, unimodal semiquasihomogeneous 例外型特異点の標準型,,と, bimodal semiquasihomogeneous 例外型特異点の標準型$W_{18}([1])$ に関して 2 階の作用素を計算し , 出力されたの個数を上段に, 計算の所要時間を下段に与えたものである. 表の中の ? は, メモリの関係で計算できなかったものである.
$W_{12},$$f_{2}=\partial f/\partial y$$\sigma_{F}$$E_{18},$$W_{13}$

I-6$E_{12},$$E_{13},$$E_{14},$$E_{19},$$E_{20},$$Z_{17},$$Z_{11},$$Z_{18},$$Z_{12},$$Z_{19},$$Z_{13}$$W_{17}$

7$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathfrak{U}-2\mathfrak{B}-2E-2$$\sum$.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}|\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}$ $\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}}$ $\underline{\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}}-$$\sum^{E_{12}}$$\mathrm{B}|7.53+1.86940$ $\infty_{1.899+0.7766}^{40}$$\overline{\underline{||0.3512+0.1201||2}}$$\sum^{E_{13}}$$\infty_{4.635+1.674}^{43}$$\infty_{1.636+0.7087}^{43}$$\mapsto_{0.3266\dagger 0.1551}^{2}$$\sum^{E_{14}}$ $\mathrm{B}_{3.246+1.731}^{48}$$\infty_{1.104+0.5254}^{48}$$\mapsto_{0.2888+0.1588}^{2}$$\sum^{Z_{11}}$$\infty_{11.89+2.996}^{38}$$\infty_{3.1+0.8193}^{38}$ $\mapsto_{0.563+0.1529}^{4}$$\sum^{Z_{12}}$$\infty_{22.36+5.479}^{42}$$\infty_{4.762+1.322}^{42}$$\mapsto_{0.6682+0.1556}^{2}$$\sum^{Z_{13}}$$\infty_{20.75+4.951}^{46}|$$\infty_{2.585+0.6239}^{46}$$\mapsto_{0.6173+0.1899}^{4}$$\neg W_{12}-$ $\infty_{3.262+1.434}^{43}$$\mathrm{B}_{0.7774+0.41}^{43}$$\mapsto_{0.2426+0.1103}^{4}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{464}W_{13}461.829+1.0610.6462+0.33510.2105+0.1091$

例 2

とする.

$f_{1}=3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}+y^{5},$ $f_{2}=5xy^{4}+7y^{6}$$f_{1},$ $f_{2}$は, 原点において$E_{12}$型と同じ” 複雑を与える. また, 上であげた 2 変数 semiquasihomogeneous 特異点の標準型の場合は, 原点のみに 1 より高い重複度を持った場合であったが, この例では, 原点以外にも 1 よりさ” を持った局所環$\mathbb{C}[[x,y]]/\langle f_{1}, f_{2}\rangle$

高い重複度を持つ点が存在する. (原点:重複度 12, (1, 0):重複度 8, 他 4 点:重複度 1)$u-2$$\mathfrak{B}-2$$\mathcal{L}-2$$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}$$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}$$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}$6740$2289+282$ . 1$3.939+0.7$

2
06881

$+$

0.1174の最後により複雑な例として, 論文 [6] で扱われている関数 $f=x^{6}+xy^{7}+y^{8}$ について考える.
の annihilator を計算す
偏微分を $f1=6x^{5}+y^{7},$ $f_{2}=7y^{6}x+8y^{7}$ と置き, 代数的局所コホモロジー類
る. この例は, 例 1 で扱った 2 変数 semiquasihomogeneous 特異点の標準型の場合に比べ, Tjurina algebraの構造が大変複雑になっている. (原点:重複度 35, 他 2 点:重複度 1)

例 3

$f$

$\sigma_{F}$$\mathfrak{B}-2$$\mathrm{L}-2$$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}$$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}$$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{u}+\mathrm{g}\mathrm{c}$

140

140
23 $52+3415$$3.558+0.543$$\mathfrak{U}-2$$297.9+45.32$

6

参考文献. Arnol’d, Critical points of smooth functions and th $eir$ normal forms, Russian Math. Surveys 30:5(1975),
1-75.
[2] 中村弥生, 田島慎一, 代数的局所コホモロジー類の満たすホロノミック系の構成法について , 京都大学数理解析研究
所講究録 1199 「数式処理における理論と応用の研究」 (2001), 70-89[3] 中村弥生, 田島慎一, Unimod 一例外型特異点における代数的局所コホモロジー類, 京都大学数理解析研究所講究録
1211 「微分方程式の漸近解析と超局所解析」 (2001), 155-165.
[4] Y. Nakamura and S. Tajima,
study of semiquasihomogeneous singularities by using holonomic system,
都大学数理解析研究所講究録 「特異点と Newton 図形」掲載予定.
研究所講[5] Y. Nakamura,study of Bimodal exceptionabingula 加 ty with holonomic system, 京都大学数理[1]$\mathrm{V}.\mathrm{I}$$A$$fi_{\backslash }^{1}rightarrow$$\Re \mathrm{m}$$A$

究録 「 Painleve’ 系と超幾何系」掲載予定.

[6] H.-J. Reiffen, Das Lemma von Poincare’ffir holomorphe
Mth Zeitschr. 101(1967), 269-284.
I-7

Differentialfomen auf komplexen R\"aumen,78[7] 田島直一 , 非同次常微分方程式の可解条件について , 京都大学数理解析研究所講究録 1168 「完全最急降下法」 (2000),

66-79.
[8] 田島慎一, 多変数留数の biorthogonal 基底 (双対基底) と偏微分作用素, 京都大学数理解析研究所講究録「 Painlev\’e系と超幾何系」掲載予定.
[9] 田島慎一, Algorithms for computing Grothendi $eck$ local residues -improvement with rescue $step-$ , 京都大学数理解析研究所講究録 「特異点と Newton 図形」掲載予定.
[10] S. Tajima, Inhomogeneous ordinary differenhal equations, and local cohomologies and residues Proceedingsof International Conference on Finite or Infinite dimensional Complex Analysis, Hanoi, to appear.
$a$I-8