数理解析研究所講究録 1273 巻 2002 年 115-123

115

An Extension of the Borovkov-Sakhanenko
Bound for the Bayes Risk
筑波大・数学 小池健一 (Ken-ichi Koike)
筑波大・数学 田中秀和 (Hidekazu Tanaka)

1

はじめに

適当な正則条件の下で, 未知母数の関数の不偏推定量の分散に対する下界を与える情報不等式の 1 つとして Cram\’er-Rao の不等式があり (Cram\’er(1946)),

その下界を達成する分布族は指数型に限るということはよく知られている.

しかし, 指数型分布族においてであっても Cram\’er-Rao の不等式の下界を達成しないことは多い. そこで, Cram\’er-Rao の不等式を精密化した情報不等式として
Bhattacharyya の不等式がある (Bhattacharyya(1946), Zacks(1971)).
一方, Bayes リスクに対する下界を与える式として Borovkov-Sakhanenko の,不等式による下界が知られている (Borovkov and SakhanenkO(1980),
かしながら, Bayes リスクが Borovkov-Sakhanenko の下界を達RaO(2001) .
成する状況は, 分散が Cram\’er-Rao の不等式の下界を達成する状況より起こり難いように見える.
そこで, 本論では Borovkov-Sakhanenko の下界を Bhattacharyya 型に精密化$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{o}(1992)$$\text{し}$$)$し, さらに下界の漸近的評価式を与える.
なお, Brown and Gajek(1990), Sato and Akahira(1996) は推定量の偏りを考慮に入れた下界について考察している. 偏りを考慮した方が優れた下界を得られるが, 本論では偏りに依存しない下界について述べる. また, Ghosh, Sinha andJoshi(1982) は Bayes リスクを漸近的に求めているが, 本論の下界との関係については, まだ必ずしも良くわかつていない (Ghosh(1994)).

2

準備は互いに独立に, ある -有限測度 に対する確率密度関をもつ分布に従っているとする. 但し,
数は未知とする. が与えられたときの $X:=(X_{1}, \ldots, X_{n})$ の同時確率密度関数を $f(x|\theta)(=\Pi_{i=1}^{n}f(x_{i}|\theta))$ で表す. 損失関数は 2 乗誤差 $L(\theta, d):=(d-\theta)^{2}$ と確率変数$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$$\sigma$$f(x|\theta)(x\in \mathcal{X}\subset \mathrm{R}^{1})$$\mathrm{R}^{1}$

し,

$\nu$

$\theta\in\Theta=(\underline{\theta},\gamma\theta\subset$$\theta$$\theta$の Lebesgue 測度に対する事前密度を $q(\theta),$ $(X, \theta)$の同時分布に関する期

116が与えられたときの $X$ の条件付分布に関する期待値を,事後分布に関する期待値を
で表す.
$X$
を
また,
に基づく
を推定量
の推定量,
のリスク,
を推定量 の平均リスク,
を事前密度 の下での Bayes リスク (ここでは Bayes 推定量の平均リスクの意
味) とする.
待値を$E_{q}[\cdot],$$\theta$$E_{\theta}[\cdot]$$E_{q}[\cdot|\eta$$\hat{\theta}=\hat{\theta}(X)$$R(\theta,\hat{\theta}):=E_{\theta}[L(\theta,\hat{\theta})]$$\theta$$E(q,\hat{\theta}):=E_{q}[R(\theta,\hat{\theta})]$$\hat{\theta}$$\hat{\theta}$$E(q)= \inf_{\hat{\theta}}B(q,\hat{\theta})$$q$

まず, 次の正則条件を仮定する.

(A1) f(xl のの台はについて 2 階連続微分可能.
(A2)$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(f):=\{x\in \mathcal{X}|f(x|\theta)>0\}$$f(x|\theta)$

(A3)

は

に依存しない.

$\theta$$\theta$$\mu_{ij}(\theta):=E_{\theta}[(_{f(X|\theta)f(X|\theta)}\mapsto)^{:}(\mapsto)^{j}]\epsilon_{f(X|\theta)^{\underline{\partial}^{2}}\tau^{f(X|\theta)}}(i,j, =0,1, \ldots)$が有限確定.

特に, Fisher 情報量を $I(\theta):=\mu 20(\theta)$ で表す.
さらに, 関数(A4)(A5)$h(\theta)$$h(\cdot)$に対して, 次の正則条件$(\mathrm{A}4)\sim(\mathrm{A}7)$を仮定する.

は 2 階連続微分可能.

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(h),$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(h’),$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(h’’)\subset \mathrm{e}$.
.

$( \mathrm{A}7)(\mathrm{A}6)\lim_{\lim_{\thetaarrowarrow\theta\overline{\theta}}}\thetaarrow\underline{\theta}\overline{\theta}\frac{f(\partial}{\partial\theta}\{f(X|\theta)h(\theta)\}=0,1^{\frac{\theta}{}}\dot{\mathrm{m}}_{\thetaarrow\underline{\theta}^{\frac{(}{\theta}\theta\frac{)h\partial}{\partial\theta}\{f(oe|\theta)h(\theta)\}=0}}oe|\theta)h(\theta)=0,\lim\theta f\thetaarrow,\overline{\theta}x|\theta(\theta)=0.$

このとき$S. \cdot:=S\dot{.}(ae, \theta)=\frac{\partial^{\frac{\dot{\#}}{r}\{f(ae|\theta)h(\theta)\}}}{f(x|\theta)q(\theta)}$

とおき, $.2\cross 2$ 行列$V_{n}$。$=1,2$ )を $V_{n}:=(E[S\dot{.}S_{j}])$ とし, 次の (A8) を仮定する.

(A8) $E[S_{1}.S_{j}](i,j=1,2)$ が有限確定.

3

本論
Borovkov-Sakhanenko の下界は Bayes リスクに対する Cram\’er-Rao 型の下界であり, 本節ではこの下界を Bhattacharyya 型に改良する. また, 下界の漸近的評価も与える.
補題 1. 条件 (AI),(A2),(A4)\sim (A7) を仮定する. このとき
$E_{q}[( \hat{\theta}-\theta)S_{1}]=E_{q}[\frac{h}{q}]$,117$E_{q}[(\hat{\theta}-\theta)S_{2}]=0$が成り立つ.
証明. 部分積分法と条件 (A6), (A7) から$E_{q}[( \hat{\theta}-\theta)S_{1}]=\iint_{\Theta}(\hat{\theta}(x)-\theta)\frac{\partial}{\partial\theta}(f(x|\theta)h(\theta))d\theta dx$$= \int\{[(\hat{\theta}(x)-\theta)f(x|\theta)h(\theta)]_{\underline{\theta}}^{\overline{\theta}}+\int_{\underline{\theta}}^{\overline{\theta}}f(x|\theta)h(\theta)d\theta\}$$= \int_{\underline{\theta}}^{\overline{\theta}}h(\theta)\int f(x|\theta)dxd\theta=E_{q}[\frac{h(\theta)}{q(\theta)}]$$E_{q}[( \hat{\theta}-\theta)S_{2}]=\iint_{\Theta}$($\hat{\theta}(oe)$$\theta$
一

)

doe

,

$\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}(f(x|\theta)h(\theta))d\theta dx$$= \int\{[(\hat{\theta}(x)-\theta)\frac{\partial}{\partial\theta}(f(x|\theta)h(\theta))]_{\underline{\theta}}^{\overline{\theta}}+\int_{\underline{\theta}}^{\overline{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}(f(x|\theta)h(\theta))d\theta\}dx$$= \int[f(x|\theta)h(\theta)]_{\underline{\theta}}^{\overline{\theta}}dx=0$となる.

$\blacksquare$

以下, $x,$$\theta$を省略し, さらに補題 2. 条件$(\mathrm{A}1)\sim(\mathrm{A}8)$$f’:= \frac{\partial}{\partial\theta}f(x|\theta),$$f”:=arrow\partial\theta\partial^{2}$f(xl のと表す.

を仮定すると$E_{q}[S_{1}^{2}]=nE_{q}[( \frac{h}{q})^{2}I]+E_{q}[(\frac{h’}{q})^{2}]$,$E_{q}[S_{1}S_{2}]=nE_{q}[( \frac{h}{q})^{2}\mu_{11}]+2nE_{q}[\frac{hh’}{q^{2}}I]+E_{q}[\frac{h’h’’}{q^{2}}]$,$E_{q}[S_{2}^{2}]=nE_{q}[( \frac{h}{q})^{2}\mu 02]+2n(n-1)E_{q}[(\frac{h}{q})^{2}I^{2}]$$+4nE_{q}[( \frac{h’}{q})^{2}I]+E_{q}[(\frac{h’’}{q})^{2}]+4nE_{q}[\frac{hh’}{q^{2}}\mu_{11}]$である.

証明. まず, $E_{\theta}[(f’/f)^{2}]=nI$ より$E_{q}[S_{1}^{2}]=E_{q}[( \frac{(fh)’}{fq})^{2}]=E_{q}[(\frac{f’}{f}\frac{h}{q}+\frac{h’}{q})^{2}]$118$=E_{q}[( \frac{f’}{f})^{2}(\frac{h}{q})^{2}]+2E_{q}[\frac{f’}{f}\frac{hh’}{q^{2}}]+E_{q}[(\frac{h’}{q})^{2}]$$=E_{q}\{$ $( \frac{h}{q})^{2}E_{\theta}[(\frac{f’}{f})^{2}]]+2E_{q}[\frac{hh’}{q^{2}}E_{\theta}[\frac{f’}{f}]]+E_{q}[(\frac{h’}{q})^{2}]$$=nE_{q}$$[( \frac{h}{q})^{2}I]+E_{q}[(\frac{h’}{q})^{2}]$となる. また, $E_{\theta}[(f’/f)(f’’/f)]=n\mu_{11}$ より$E_{q}[S_{1}S_{2}]=E_{q}[ \frac{(fh)’}{fq}\frac{(fh)’’}{fq}]$$=E_{q}[( \frac{f’}{f}\frac{h}{q}+\frac{h’}{q})(\frac{f’’}{f}:+2\frac{f’}{f}\frac{h’}{q}+\frac{h’’}{q})]$$=E_{q}[ \frac{f’}{f}\frac{f’’}{f}(\frac{h}{q})^{2}]+2E_{q}[(\frac{f’}{f})^{2}\frac{hh’}{q^{2}}]+E_{q}[\frac{f’}{f}\frac{hh’’}{q^{2}}]$$+E_{q}[ \frac{f’’}{f}\frac{hh’}{q^{2}}]+2E_{q}[\frac{f’}{f}(\frac{h’}{q})^{2}]+E_{q}[\frac{h’h’’}{q^{2}}]$$=E_{q}[( \frac{h}{q})^{2}E_{\theta}[\frac{f’}{f}\frac{f’’}{f}]]+2E_{q}[\frac{hh’}{q^{2}}E_{\theta}[(\frac{f’}{f})^{2}]]+E_{q}[\frac{hh’’}{q^{2}}E_{\theta}[\frac{f’}{f}]]$$+E_{q}[ \frac{hh’}{q^{2}}E_{\theta}[\frac{f’’}{f}]]+2E_{q}[(\frac{h’}{q})^{2}E_{\theta}[\frac{f’}{f}]]+E_{q}[\frac{h’h’’}{q^{2}}]$$=nE_{q}[( \frac{h}{q})^{2}\mu_{11}]+2nE_{q}[\frac{hh’}{q^{2}}I]+E_{q}[\frac{h’h’’}{q^{2}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$となる. 同様に, $E_{\theta}[(f’’/f)^{2}]=n\mu_{40}+2n(n-1)I^{2}$ より$E_{q}[S_{2}^{2}]=E_{q}[( \frac{(fh)’’}{fq})^{2}]=E_{q}[(\frac{f’’}{f}\frac{h}{q}+2.\frac{f’}{f}\frac{h’}{q}+\frac{h’’}{q})^{2}]$$=E_{q}[( \frac{h}{q})^{2}(\frac{f’’}{f})^{2}]+4E_{q}[(\frac{h’}{q})^{2}(\frac{f’}{f})^{2}]+E_{q}[(\frac{h’’}{q})^{2}]$$+4E_{q}[ \frac{hh’}{q^{2}}\frac{f’f’’}{f^{2}}]+4E_{q}[\frac{h’h’’}{q^{2}}\frac{f’}{f}]+2E_{q}[\frac{hh’’}{q^{2}}\frac{f’’}{f}]$$=E_{q}[( \frac{h}{q})^{2}E_{\theta}[(\frac{f’’}{f})^{2}]]+4E_{q}[$ $( \frac{h’}{q})^{2}E_{\theta}[(\frac{f’}{f})^{2}]]+E_{q}[(\frac{h’’}{q})^{2}]$119$+4E_{q}[ \frac{hh’}{q^{2}}E_{\theta}[\frac{f’f’’}{f^{2}}]]+4E_{q}[$ $\frac{h’h’’}{q^{2}}E_{\theta}[\frac{f’}{f}]]+2E_{q}[$ $\frac{hh’}{q^{2}},E_{\theta}[\frac{f’’}{f}]]$$=nE_{q}[( \frac{h}{q})^{2}\mu_{02}]+2n(n-1)E_{q}[(\frac{h}{q})^{2}I^{2}]$$+4nE_{q}[( \frac{h’}{q})^{2}I]+E_{q}[(\frac{h’’}{q})^{2}]+4nE_{q}[\frac{hh’}{q^{2}}\mu_{11}]$となる.

$\blacksquare$

定理. 条件$(\mathrm{A}1)\sim(\mathrm{A}8)$を仮定する. このとき

$V_{n}$

が正定値であれば, Bayes リ

スクに関して, 不等式(3.1)$B(q) \geq(E_{q}[\frac{h}{q}])^{2}\frac{E_{q}[S_{2}^{2}]}{|V_{n}|}=:K_{2n,h}$が成り立つ. ここで, 等号は,

(3.2)$\theta$の Bayes 推定量$\hat{\theta}_{\mathrm{B}}$について$\hat{\theta}_{\mathrm{B}}(x)-\theta=a_{1n}S_{1}(x,\theta)+a_{2n}S_{2}(x,\theta)\mathrm{a}.\mathrm{e}.(x$が成り立っときに限る. ただし,

(3.3)

$a_{1n},$$a_{2n}$,のは$(\begin{array}{l}a_{1n}a_{2n}\end{array})=\frac{E_{q}[\frac{h}{q}]}{|V_{n}|}(\begin{array}{l}E_{q}[S_{2}^{2}]-E_{q}[S_{1}S_{2}]\end{array})$とする.

の分散共分散行列, $g:=t(E_{q}[ \frac{h}{q}],$ $0)$ とする.
は転置を表す. このとき, 補題 1 より

証明. まず,
ただし$t$$\Sigma_{n}$を$(\hat{\theta}_{\mathrm{B}}-\theta, S_{1}, S_{2})$$\Sigma_{n}=(\begin{array}{lll}E_{q}[(\hat{\theta}_{\mathrm{B}}-\theta)^{2}] E_{q}[(\hat{\theta}_{\mathrm{B}}-\theta)S_{1}] E_{q}[S_{1}^{2}] E_{q}[(\hat{\theta}_{\mathrm{B}}-\theta)S_{2}] E_{q}[S_{1}S_{2}] E_{q}[S_{2}^{2}]\end{array})=(\begin{array}{ll}E_{q}[(\hat{\theta}_{\mathrm{B}}-\theta)^{2}] {}^{t}gg V_{n}\end{array})$となり, そして$|\Sigma_{n}|=|V_{n}|\{E_{q}[(\hat{\theta}_{\mathrm{B}}-\theta)^{2}]-{}^{t}gV_{n}^{-1}g\}\geq 0$となるから, $V_{n}>0$ より (3.1) を得る. また, 等号を達成するのは $|\Sigma_{n}|=0$ のとの第 1 列が第 2 列と第 3 列の線型結合で表きであり, $|V_{n}|\neq 0$ より, これは$\Sigma_{n}$されるときに限るから$E_{q}[(\hat{\theta}_{\mathrm{B}}-\theta-a_{1n}S_{1}-a_{2n}S_{2})^{2}]=0$120となり (3.2) を得る. また, 補題 1 と (3.2) より$V_{n}(\begin{array}{l}a_{1n}a_{2n}\end{array})=(_{0}^{E_{q[\frac{h}{q}]}})$となり (3.3) を得る.

$\blacksquare$

以下, 定理の下界 $K_{2n,h}$ に対して, Borovkov-Sakhanenko の下界を 1 次の下界と呼び,
$K_{1n,h}:=(E_{q}[ \frac{h}{q}])^{2}/E_{q}[S_{1}^{2}]$

で表す.
系. 条件

$(\mathrm{A}1)\sim(\mathrm{A}8)$の下で$K_{1n,h}= \frac{(E_{q}[\frac{h}{q}])^{2}}{nE_{q}[(\frac{h}{q})^{2}I\mathrm{I}}[1-\frac{E_{q}[(\frac{h’}{q})^{2}]}{nE_{q}[(\frac{h}{q})^{2}I]}]+o(\frac{1}{n^{2}})$,$K_{2n,h}= \frac{(E_{q}[\frac{h}{q}])^{2}}{nE_{q}[(\frac{h}{q})^{2}\neg I}[1-\frac{E_{q}[(\frac{h’}{q})^{2}]}{nE_{q}[(\frac{h}{q})^{2}\neg I}.+\frac{\underline{\{E}_{q}[(\frac{h}{q})^{2}\mu_{11}]+2E_{q}[_{q}^{\underline{h}h}\acute{\tau}I]\}^{2}}{2nE_{q}[(\frac{h}{q})^{2}I]E_{q}[(\frac{h}{q})^{2}\mathrm{T}I^{2}}]$$+o( \frac{1}{n^{2}})$である.

証明は補題 2 の値を用いて漸近的に注意 1. 関数$h(\cdot)$$\mathrm{o}(1/n^{2})$のオーダーまで求めればよい.

は $K_{1n,h}$ (または $K_{2n,h}$ ) を最大にする$h$を選ぶのが妥当である. $n$ が十分大きいと仮定すれば $1/n$ の係数$(E_{q}[ \frac{h}{q}])^{2}/E_{q}[(\frac{h}{q})^{2}I]$を最大にするを選べばよいことになる. このような よ Cauchy-Schwarz の不等式から $h=h_{1}:=q/I$ となる. ただし, 条件をみたしているものとする. 一方, Cram\’er-Rao 及ひ Bhattach 釘 a 型の不等式を導いたのと同様にすれば $h=h_{2}:=q$ となる.
$h$

$h$

$(\mathrm{A}4)\sim(\mathrm{A}8)$121を改良, つまり注意 2. 簡単な計算から, 下界 $K_{20,h}$ が下界であることがわかる. またとなるための必要十分条件は$K_{2\ovalbox{\tt\small REJECT}}\ovalbox{\tt\small REJECT}>K_{10}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$K,n\ovalbox{\tt\small REJECT}$$E[S\mathcal{F}_{2}]\neq 0$$\eta_{h}:=E_{q}[(\frac{h}{q})^{2}\mu_{11}]+2E_{q}[\frac{hh’}{q^{2}}I]$

とおくと, 系より $K_{2n,h}$ が $K_{1n,h}$ を改良するための十分条件として$\eta_{h}\neq 0$が得られる. 特に $h=h_{1}$ のときは$\eta_{h_{1}}=E_{q}[\frac{\mu_{11}}{I^{2}}]$であり, $h=h_{2}$ のときは$\eta_{h_{2}}=E_{q}[\mu_{11}]+2E_{q}[\frac{\phi}{q}I]$

である.

4

例

本節では, 定理で与えた下界 $K_{2n,h}$ が Borovkov-Sakhanenko の下界 $K_{1n,h}$ を改良している例を挙げる.
が互いに独立に 2 項分布 $B(1$ ,P(の) に従っ
例 (2 項分布). 確率変数
\mbox{\boldmath $\zeta$}よているとする. ただし, $p(\theta)=e^{\theta}/(1+e^{\theta})(-\infty<\theta<\infty)$ とする. またに従っていると仮定する. つまり, の事前密事前分布がペータ分布 B$X_{1},$$X_{n}$$\ldots,$$p(\theta)$$\theta$$e(\alpha, \beta)$度関数は$q( \theta)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}p(\theta)^{\alpha}(1-p(\theta))^{\beta}$である. ただし,$\alpha,$$\beta$は条件 (A8) をみたすように十分大きくとる. このとき$\eta_{h_{1}}=E_{q}[\frac{\mu_{11}}{I^{2}}]=-\frac{(\alpha+\beta-1)(\alpha-\beta)}{(\alpha-1)(\beta-1)}$,$\eta_{h_{2}}=E_{q}[\mu_{11}]+2E_{q}[\frac{q’}{q}I]=\frac{\alpha\beta(\alpha-\beta)}{(\alpha+\beta+2)(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}$であれば $K_{2n,h}$ が $K_{1n,h}$ を改良していることがわかとなり, 注意 2 より$\beta>2$ でる. 正確には, $h=h_{1}$ のときには, 条件 (A8) を考慮すると,$\alpha\neq\beta$$\alpha\neq\beta,$

あれば改良している.

$\alpha,$

122
5

まとめ

本論では, Borovkov-Sakhanenko の下界の改良を試みたが, その有用性につぃて, まだ必ずしも納得のいく説明が出来ていない. っまり, 確かに改良してぃる
が, 下界を達成する例を与えていない. かろうじて改良してぃる例を紹介できた.
その原因は色々考えられるが, 主な原因は Bayes リスクが陽に求められる場合
はそう多くはないという点が挙げられる. よく知られてぃるように, 理論的に扱い易いのは指数型分布族からの無作為標本で, 未知母数 の事前分布が共役分布の場合である.
かし, 母数 が期待値母数の場合, Brown and Gajek(1990)
において (証明無しで) 述べているが, Bayes リスクは Borovkov-Sakhanenko の下界を達成する. (実はこの主張につぃては疑問が残る ) っまり, この場合はBorokov-Sakhanenko の下界を改良する必要はないわけである. 第 4 節で紹介し$\theta$$\text{し}$$\theta$た例はこのような理由から期待値母数にならないよう $B(1,p(\theta))$ からの無作為標本とした.
また第 1 節で触れたように, 推定量の偏りを考慮に入れた下界が考えられ, この下界の方が優れていることが予想される. (1 次の下界につぃては Brown andGajek(1990) で証明済. 2 次の下界につぃての証明は未完成である ) しかし, この下界は Bayes 推定量の偏りについての情報が必要である. 本来, (Bayes) リス

クを評価する不等式, およびその下界は (Bayes) リスクが計算出来ない場合にこそ意味があると考えられる. 偏りにつぃても計算出来ないときにも通用する下界は, その意味で有用だと思われる.

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