数理解析研究所講究録
第 1764 巻 2011 年 126-138

126

有限確定多重芽上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群の生成元について西村尚史(横浜国立大学)

1. 序

本稿では，有限確定な多重芽上の持ち上げ可能ベクトル場がなす加群の生成元に関する筆者の最近の研究 [22,19] を概説する．
の有記号や概念の準備から始めよう． を実数体 または複素数体 とし， を限集合とする．本稿において可微分とは，実数体 の場合は級のことであり，複素数体 の場合は正則 (holomorphic) のこととする．可微分な写像芽 : $(K^{n}, S)arrow K^{p}$
が $f(S)=0$ を満たしていたら: $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ と表記し．可微分多重芽と呼ば
$K$

$S$

$\mathbb{C}$$\mathbb{R}$$K^{n}$$c\infty$$\mathbb{R}$$f$$\mathbb{C}$$f$れる．本稿の主要な対象は可微分多重芽である．
$c_{s}$$=$$\{\varphi$

$C0$

$=$

$\{\psi$:$(K^{n},$$S)arrow K$ 可微分:$(K^{p},$$0)arrow K$

可微分

,

$\}$

$\}$

とおく．これらは $K$ の $K$-代数構造から得られる自然な $K$-代数構造を持っている．
$ms$

$=$

$\{\varphi$

$m0$

$=$

$\{\psi$::$(K^{n},$$S)arrow(K,$ $0)$

可微分$(K^{p},$$0)arrow(K,$ $0)$

可微分

,

$\}$

$\}$

$f^{*}:C_{0}arrow Cs$ を $f^{*}(u)=u\circ f$
とおく．可微分多重芽 : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ に対して，$Q(f)=C_{S}/f^{*}m_{0}C_{S}$ とおく．
で定義される -代数の準同型とし，
$f$

$K$

可微分写像芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow K^{p}$ に対して，$\theta_{S}(f)=\{\xi$と定義する，ただしる．

$\theta_{S}(f)$$T\mathbb{K}^{p}$:$(K^{n},$$S)arrow TK^{p}$} $fK^{p}$ の接束であり可微分 $|\pi\circ\xi=f\}$$\pi$: $TK^{p}arrow K^{p}$ は底空間への射影であの元は $f$ に沿ったベクトル場と呼ばれる．

$\theta_{S}(f)$造が入り，自由加群$\underline{Cs\oplus\cdots\oplus Cs}$$p$$\theta_{\{0\}}(id_{(N^{\rho},0)})$には自然にと同型となる．

$C_{S}$-加群の構$\theta_{S}(n)=\theta s(id_{(K^{n},S)}),$$\theta_{0}(p)=$個

とおく，ここに$id_{(K^{n},S)}$

や $id_{(Kt0)}$ はそれぞれ $(K^{n}, S)$ および $(K^{p}, 0)$の恒等写像芽である．
可微分多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ に対して，Mather[14] に従い，二つの写像 $tf$とを以下のように定義する，ここに $df$ は $f$ の導写像である．
$\omega f$$tf:\theta_{S}(n)arrow\theta_{S}(f)$,$tf(\eta)=df\circ 7\mathfrak{j}$$\omega f:\theta_{0}(p)arrow\theta_{S}(f)$,$\omega f(\xi)=\xi\circ f$

.

,

127
次に，同じ

$f$

に対して，Wa11[29] に従い以下のようにおく．
$T\mathcal{R}(f)=tf(ms\theta_{S}(n))$,$T\mathcal{R}_{e}(f)=tf(\theta_{S}(n))$$T\mathcal{L}(f)=\omega f(m_{0}\theta_{0}(p))$,$T\mathcal{L}_{e}(f)=\omega f(\theta_{0}(p))$$T\mathcal{A}(f)=T\mathcal{R}(f)+T\mathcal{L}(f\cdot)$,$T\mathcal{A}_{e}(f)=T\mathcal{R}_{e}(f)+T\mathcal{L}_{e}(f\cdot)$$T\mathcal{K}(f)=T\mathcal{R}(f)+f^{*}m_{0}\theta_{S}(f)$,$T\mathcal{K}_{e}(f)=T\mathcal{R}_{e}(f)+f^{*}m_{0}\theta_{S}(f)$可微分多重芽

$f$

,
,

,

.

: $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ に対して，$\xi of\in T\mathcal{L}_{e}(f)\cap T\mathcal{R}_{e}(f)$を満たすベクトル場
を 上持ち上げ可能なベクトル場という． 上持ち上げ可能なベクトル場の集合は自然に -加群の構造を持っている．与えられた可微分
多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ に対して，$f$ 上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群$\xi\in\theta_{0}(p)$

$f$

$f$

$C_{0}$の構造を調べたい．具体的には，以下を問題とすることにする．
問題 1. $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ を可微分多重芽とする．

(1)

$f$

上持ち上げ可能なベク トル場がなす加群はいつ有限生成となるのであろうか ?

(2) f]:持ち上げ可能なベクトル場がなす加群が有限生成の時，生成元の最小数はどのように特徴づけられるのであろうか ?
(3) 上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群が有限生成の時，生成元の最小数はどのように計算できるのであろうか ?
.
(4) 上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群が有限生成の時，どのように生成元を構成できるのであろうか ?
$f$

$f$

可微分多重芽なす加群は，$f\cdot$: $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ に対して， 上持ち上げ可能なベクトル場がで定義される写像$f$$\hat{\omega}f\cdot(\xi)=[\omega f(\xi)]$$\hat{\omega}f:\theta_{0}(p)arrow\frac{\theta_{S}(f)}{T\mathcal{R}_{e}(f)}$のカーネルに他ならない．Looijenga[13] は，$K=\mathbb{C},$ $n\geq

きに限ってはいるものの， :$\hat{\omega}f$$\theta_{0}(p)arrow\frac{\theta s(f)}{T\mathcal{R}_{e}(f)}$p,$ $S=${one point } のと$x$

を $f$ の小平・スペンサー写像と呼び，

小平スペンサー写像の簡約版である,$\overline{\omega}f([\xi])=[\omega f(\xi)]$$\overline{\omega}f:\frac{\theta_{0}(p)}{m_{0}\theta_{0}(p)}arrow\frac{\theta_{S}(f)}{T\mathcal{K}_{e}(f)}$$K=$も導入している．Mather は，Looijenga の本の出版より 15 年近くも前に既に，$n\geq p,$ $S=$ {one point} などという制限は一切なしの全く一般の状況において，$\mathbb{C},$(安定多重芽の特徴付けのために) 小平・スペンサー写像の簡約版を [15] において導で小平．
入しているので，本稿では Mather に敬意を表して Mather が用いた記号$\overline{\omega}f$スペンサー写像の簡約版を表すことにし 1, 簡約された小平・スペンサー・マザー写像と呼ぶことにする．与えられた可微分多重芽$f$が $\dim_{K}\theta_{S}(f)/T\mathcal{K}_{e}(f)<\infty$ を満たしていたら，簡約された小平．スペンサー．マザー写像のターゲットに対して次の同型 (有限次元ベクトル空間としての同型) がある．

.

$\frac{\theta_{S}(f)}{T\mathcal{K}_{e}(f)}\cong\frac{\frac{\theta_{S}(f)}{T\mathcal{R}_{e}(f)}}{f^{*}m_{0}(\frac{\theta_{S}(f)}{T\mathcal{R}_{\epsilon}(f)})}$

1[13] の記号では，小平スペンサー写像が$\rho_{f,x}$, その簡約版が$\rho_{f}(x)$

である．

128
従って，予備定理 2 がすぐに使えるような舞台設定になっていると言えよう．予備定理の全射性のみでにより，簡約された小平・スペンサー．マザー写像$\theta_{S}(f)=T\mathcal{A}_{e}(f)$$\overline{\omega}f$となることがわかる (逆は自明).

の高次版を考えて， と同様に予備定理がすぐに使える舞台設定になっているであろうから有用なはず，と期待するのは自然であろう．任意の非負整数 に対して，テイラー展開して $(i-1)$ 次までの項が簡約された小平・スペンサーマザー写像$\overline{\omega}f$$\overline{\omega}f$

$i$

あるいは
という記号で表すことにする．すると，
や $m_{0}^{0}=C_{0}$ となっていることがわかる．任意の非負整数 と任意の可微分

ゼロとなる関数芽の集合を$m_{S}^{0}=C_{S}$

多重芽

$f$

$rn_{0}^{i}$$m_{S}^{i}$$i$: $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ に対して写像$i \overline{\omega}f:\frac{m_{0}^{i}\theta_{0}(p)}{m_{0}^{i+1}\theta_{0}(p)}arrow\frac{f^{*}m_{0}^{i}\theta_{S}(f)}{T\mathcal{R}_{e}(f)\cap f^{*}m_{0}^{i}\theta_{S}(f)+f^{*}m_{0}^{i+1}\theta_{S}(f)}$をで定義する．

1 は well-defined な ( $f$ を通した)

$C0$

-加群の準

同型である．
となっているので， は簡約された小平スペンサー . マのター
ザー写像の高次版とみなせる．簡約された小平スペンサーマザー写像とを満たす
ゲットである加群と同様に，任意の非負整数
任意の可微分写像芽 に対して， のターゲットである加群は次と同型となる．
$i \overline{\omega}f([\xi])=[\omega\int(\xi)]$$i\overline{\omega}f$$0^{\overline{\omega}f=\overline{\omega}f}$$i\overline{\omega}f$$\overline{\omega}f$

$i$

$f$

$\dim_{K}\theta_{S}(f)/T\mathcal{K}_{e}(f)<\infty$$i\overline{\omega}f$$\frac{\frac{fm_{0}^{i}\theta s(f)}{T\mathcal{R}_{e}(f)\cap fm_{\dot{0}}\theta_{S}(f)}}{f^{*}m_{0}(\frac{f\cdot m_{o}^{i}\theta_{S}(f)}{T\mathcal{R},.(f)\cap f\cdot m_{0}^{l}\theta_{S}(f)})}$.

であることの必要十分条件はが全射となること」がわかる．次の補題は自明である．

従って，予備定理により，「$f^{*}m_{0}^{i} \theta_{S}(\int)\subset T\mathcal{A}_{e}(f)$$i\overline{\omega}f$

補題 1.1. 可微分多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ が $\dim\kappa\theta_{S}(f)/T\mathcal{K}_{e}(f)<\infty$ を満たしているとする．そのとき，以下が成立する．
$i<j$ を満
(1) ある非負整数 に対して両 が全射となっているとする．すると，は全射となる．
たす任意の整数 } こ対して
$j<i$ を満(2) ある非負整数 こ対して両 が単射となっているとする．すると，は単射となる．
たす任意の非負整数 に対して
$f$

$i$

$i$

$j\overline{\omega}f$$f$$i\ovalbox{\tt\small REJECT}$$j$$J^{\overline{\omega}f}$

定義 1.1. 可微分多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ が $\dim_{K}\theta_{S}(f)/T\mathcal{K}_{e}(f)<\infty$ という条件を満たしているものとする．

(1) $I_{1}(f)=\{i\in\{0\}UN|_{i}\overline{\omega}f$ は全射$\}$とおき，il $(f)$ を$i_{1}(f)=\{\begin{array}{ll}\infty (if I_{1}(f)=\emptyset)\min I_{1}(f) (if I_{1}(f)\neq\emptyset).\end{array}$として定義する．

(2)$t_{2}(f)=\{i\in\{0\}UN|_{i}\overline{\omega}f$

は単射

$\}$

とおき，

$i_{2}(f)$を$(if I_{2}(f)=\emptyset)$$i_{2}(f)=\{$$\max I_{2}(f)-\infty$$\infty$$(if \emptyset\neq I_{2}(f)\neq\{0\} UN)$$(if I_{2}(f)=\{0\}UN)$ .

として定義する．

2 準備定理と訳されることもある．

の場合は Weirestrass の予備定理として古くから知られての場合のそれは 20 世紀後半になって Malgrange によって得られたものである．また，こいたが，こで使う予備定理というのは代数型の予備定理と呼ばれる，Thom によりその有用性が観察されて以降写像の特異点論ではよく使用されるようになった形のものである．日本語の文献としては [6,7,10,11,23]$K=\mathbb{C}$$K=\mathbb{R}$などに詳しく紹介してある．

129
n- 微分多重芽$\int$り立っ自然数$k$$f$: $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ は，という包含関係が成$m_{S}^{k}\theta_{S}(f)\subset TA_{e}(f)$が存在するとき有限確定と言われる．

命題 1. 可微分多重芽: $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ が有限確定であって$f\cdot$

いう条件を満たしているとする．そのとき，$i_{2}(f)\geq 0$$\theta_{S}(f)\neq T\mathcal{A}_{e}(f)$とが成立する．

可微分多重芽 $f$ は $\theta_{S}(f)=T\mathcal{A}_{e}(f)$ を満たすとき安定多重芽と呼ばれることを思い出すと，この命題の こ課す条件は少々奇妙に映るかもしれないが．ターゲットのベクトル場とソースのベクトル場の関係を調べる立場からは自然な条件なのである．
実際，$S=$ {one point} の場合ではあるが同一の条件が [29] 補題 452 においても登場しており，そこではこの条件を満たす有限確定写像芽に対してターゲットのベクト
ル場とソースのベクトル場の関係を調べて次の等式が成立することが証明されてい$f\ovalbox{\tt\small REJECT}$る．その証明は命題 1 の証明としても通用する．

$\dim_{K}\frac{m_{S}\theta_{S}(f)}{T\mathcal{A}(f)}=\dim_{K}\frac{\theta_{S}(f)}{T_{e}\mathcal{A}(f)}+n$

さて，以下ではの場合に限定して考察することにする．その理由は，$n>p$の場合は既に十分豊かな理論が構築されている 3 のに対して，$n<p$ の揚合は，問題 1$n\leq p$に対する解答の手がかりさえなんら得られていないように思えるからである (後に見るように $n<p$ の場合は，安定多重芽に対してすら，生成元の最小数は自明な場合を除きターゲットの次元 よりも大きくなり，持ち上げ可能ベクトル場がなす加群は自$p$

由加群とはならない．だから，ターゲットの次元$p$は問題 1(2) の解答にはなり得ないことにご注意いただきたい). 本稿で概説している筆者の研究を一言で述べようと試$r_{n}\leq p$
みれば，の場合に，持ち げ 能ベクトル場の観点から素性の良さを測る指$.\vdash$$|iJ$

標を $i_{1}(f),$ $i_{2}(f)$ を使って導入し，その指標で測ったときにもっとも素性の良い有限確定多重芽に対して問題 1 の解答を与える」と言えるであろう．指標の導入の準備として，(命題 1 のように)$i_{1}(f),$ $i_{2}(f)$命題 2. 可微分多重芽: $(K^{r\iota}, S)arrow(K^{p}, 0)$ が $\dim_{K}\theta_{S}(f)/T\mathcal{K}_{e}(f)<\infty$ という条

$f\cdot$

件を満たしているとする．

$n\leq p$の一般的性質を調べることをもう少し続ける．

を仮定する．すると，$i_{1}(f)<\infty$であることと $f$ が有限確定であることは同値である．

命題 2 は以下のように証明される． : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ が有限確定であると仮定すが成立することは自明なので)
ると，(
が成立す
$f$

$f^{*}m_{0}C_{S}\subset m_{S}$る自然数$\infty$$k$$f^{*}m_{0}^{k}\theta_{S}(f)\subset T\mathcal{A}_{e}(f)$が存在することになり，従ってという条件を満たす可微分多重芽

るような自然数$f$:$k\overline{\omega}f$は全射となる．逆に，$\dim_{K}\theta_{S}(f)/T\mathcal{K}_{e}(f)<$$(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$が存在するとする．すると，予備定理より得られるのだった．仮定よりであるので，この場合は$k$$n\leq p$という条件から$f$ は有限確定となる．
よって，$m_{S}^{\ell}\subset f^{*}m_{0}C_{S}$に対して$k\overline{\omega}f$が全射とな$f^{*}m_{0}^{k}\theta_{S}(f)\subset T\mathcal{A}_{e}(f\cdot)$が$\dim_{K}\theta_{S}(f)/T\mathcal{K}_{e}(f)<\infty$が従うことを Wall が示している ([29] 定理 462).

次に $i_{1}(f)$ と $i_{2}(f)$ の大小関係を調べる．調べやすくするための可微分多重芽 $f$ の: $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)(n\leq p)$ が余階数たかだか
rank $Jf\cdot(sj)|1\leq i\leq|S|\}\leq 1$ となっていることである，こ条件をまず定義する．可微分多重芽一であるとは，$\max\{r\iota-$

こに $J \int(sj)$ は$\int$$f$の $s_{j}\in S$ におけるヤコビ行列であり$|S|$

は $S$ の異なる要素の数を表している．

命題 3. 有限確定多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)(n\leq p)$ が余階数たかだか一であるとする．そのとき，il $(f)\geq i_{2}(f)$ が成立する．

命題 3 の証明については [22] をご覧いただきたい．命題 3 から次の系が容易に従う．
$3_{Saito[26]}$, Terao[27], Looijenga[13], van Straten[28] などによる．

130
系 1. 可微分多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p},0)(n\leq p)$ が有限確定であり余階数たかだ
か一であるとする．さらに， が全単射となるような非負整数 の存在も仮定する．
そのとき以下が成立する．
$i$$i\overline{\omega}f$(1) $i<i$ を満たす任意の非負整数 に対し， は単射ではあるが全射ではない．
(2) $i<j$ を満たす任意の整数 {こ対し， は全射ではあるが単射ではない．
$i$$j\overline{\omega}f$$i$$j\overline{\omega}f$

例 1.1.
: $Karrow K^{2}$ は $e(x)=(x, 0)$ で定義される埋め込みを表しているものとし，任の原点の周りの角度 の回転という線形写
意の実数 に対して: $K^{2}arrow K^{2}$ を像を表すものとする．ようするに， は以下のように表せる．
$e$$\theta$$K^{2}$$R_{\theta}$$\theta$$R_{\theta}$$R_{\theta}(\begin{array}{l}XY\end{array})=(\begin{array}{ll}cos\theta -sin\thetasin\theta cos\theta\end{array})(\begin{array}{l}XY\end{array})$

任意の非負整数$\ell$$e_{j}$

に対して$\ell$に対して $S=\{s_{0}, \ldots, s_{\ell+1}\}$$\theta_{j}=j\frac{\pi}{\ell+2}$と定義し，さらに任意の.

$(Sj\neq s_{k} if i\neq k)$$j(0\leq j\leq\ell+1)$

とおく．そのに対して，写像: $(K, s_{j})arrow(K^{2},0)$ を $eJ(Xj)=R_{\theta_{j}}\circ e(x_{j})$ で定義する (ただし $x_{j}=x-Sj$ とお. すると，: $(K, S)arrow(K^{2},0)$ は余階数たかだかーの
有限確定多重芽となる． の像は line arrangement であり斉次多項式で定義される
いている)$E\ell=\{e_{0}, \ldots, e\ell+1\}$$E_{\ell}$ので， の像の定義方程式のオイラーベクトル場は 上持ち上げ可能なベクトル場$\ell=0$ の場合ですらは単射ととなる．従って，
は単射ではない．さらに，$Ep$$E_{\ell}$$0\overline{\omega}E_{\ell}$$1\overline{\omega}F_{\lrcorner}\ell$

であることがわかの場合は命題 1 から従う容易な事実) ので，なる (る．他方，$i_{1}(E_{\ell})=P$ を示すことができる．従って，il $(E_{\ell})-i_{2}(Ep)=\ell$ となっている$i_{2}(E_{\ell})=0$$P\geq 1$

ことがわかる．

命題 3 の仮定を満たす$f\ovalbox{\tt\small REJECT}$

こ対して $i_{1}(f)-i_{2}(f)$ が$0$以上であることは命題 3 か$i_{1}(f)-i_{2}(f)$ の一般的な上限は存在しないことがこの例からわかる．まら従うが，た，この例により，持ち上げ可能ベクトル場の観点から，与えられた余階数たかだか

一の有限確定多重芽がどの程度素性が良い特異点になっているかを測る指標として，$i_{1}(f)-i_{2}(f)$を採用できると言えよう．

$f$ が持ち上げ可能ベクとなるとき (すなわち，
トル場の観点から最も素性が良い多重芽であるとき) には，問題 1 の (1), (2) の解答を次のように与えることができる．

我々の指標 $i_{1}(f)-i_{2}(f)$ が最小値

$0$

定理 1. 余階数たかだかーの有限確定多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)(n\leq p)$ に対して，$i_{1}(f)=i_{2}(f)=i)$ とする．そのが全単射となる非負整数 が存在する すなわち，$i$$i\overline{\omega}f$$($

とき， 上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群の生成元の最小数は$f$$\dim_{K}ker(_{i+1}\overline{\omega}f)$である．

定理 1 の証明については [22] をご覧いただきたい．例 1.1 の埋め込み は定理 1の例ではないことにご注意いただきたい．実際， が全射ではあるけれども単射で$e$$0^{\overline{\omega}e}$$i_{1}(e)=0,$ $i_{2}(e)=-\infty$ であり，我々の指標 $i_{1}(e)-i_{2}(e)$ ははないので，となる．他
方，例 1.1 の可微分多重芽
は，命題 1 の仮定を満たさないにもかかわらず，我々のは であり，定理 1 の例となっている．定理 1 の例は他にもた指標$\infty$$E_{0}$$i_{1}(E_{0})-i_{2}(E_{0})$$0$くさんあり，そのうちのいくつかを \S 2 で紹介する．

(簡の簡約版である次に問題 1 の (3) を考えることにする．マザーの写像
約された小平・スペンサー．マザー写像) の高次版を考えたのので，もうひとつのマザーの写像 $tf$ の簡約版の高次版を考えるのも自然であろう．マザーの写像 $tf$ の簡$\omega f$$\overline{\omega}f$

131
約版は Wall [29] で世に現れた 4 次の写像である．
$\overline{t}f:Q(f)^{n}arrow Q(f)^{p}$,$\overline{t}f([\eta])=[tf(\eta)]$.

条件 $\dim_{K}Q(f)<\infty$ を満たす可微分多重芽 $f$ : $(K^{r\iota}, S)arrow(K^{p}, 0)$ に対し，$\delta(f)=$
を
$f$
と非負整数
に対し
とおき，
のカーネルの次元とする．その$\dim_{K}Q(f)$$\gamma(f)$$\overline{t}f$$i$ととおき，そのベクトル空間としての次元をや$0\delta(f)=\delta(f)=\dim_{K}Q(f)$と$0Q(f)=Q(f)$いう記号で表すことにする．すると，$Q(f)$$iQ(f)^{n}$加群であるはそれぞれ以下と同一視できる．
なっている．
や，て $iQ(f)=f^{*}m_{0}^{i}C_{S}/f^{*}m_{0}^{i+1}C_{S}$$i\delta(f)$$Q(f)^{p}$and$\frac{f^{*}m_{0}^{i}\theta_{S}(n)}{f^{*}nl_{0}i+1\theta_{S}(n)}$次で定義される $Q(f)$ -加群の準同型$i\overline{t,}f$

が $tf$ の簡約版

$i\overline{t}f:_{i}Q(f)^{n}arrow iQ(f)^{p}$$i\overline{\omega}f$のカーネルの次元を$i$$\gamma$$\frac{f^{*}m_{0}^{i}\theta_{S}(f)}{f^{*}m_{0}^{i+1}\theta_{S}(f)}$,$\overline{t}f$.

の高次版である．

.

$i \overline{t}\int([\eta])=[tf(\eta)]$(のという記号で表すことにする．

$i\delta(f)$や $i\gamma(f)$ は [21]であれば $i\delta(f)<\infty$ となり，$\gamma(f)<\infty$ であればで導入されたもので，$i\gamma(f)<\infty$ となることがわかっている
を参照
).
([21]
$\delta(f\cdot)<\infty$

命題 4. 可微分多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ が余階数たかだかーであり $\delta(f)<\infty$ とが全射となっていいう条件を満たすものとする．さらに，非負整数 に対して
$i$$i+1\overline{\omega}f$ると仮定する．そのとき，以下の等式が成立する．
$\dim_{K}ker(_{i+1}\overline{\omega}f)=p\cdot(\begin{array}{l}+pii+l\end{array})-((p-n)\cdot i+1\delta(f)+i+1\gamma(f)-i\gamma(f))$,

ここに中心のドット $()$ は積を表すものとする．
命題 5. 可微分多重芽 $f$ : $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ が余階数たかだかーであり $\delta(f)<\infty$ という条件を満たすものとする．そのとき，以下が成立する．
(1) $0\gamma(f)=\gamma(f)=\delta(f)-|S|$ .
(2)$i\delta(f)=(\begin{array}{ll}n +i-1 i\end{array})\cdot\delta(f),$$i\gamma(f)=(\begin{array}{ll}n +i-l i\end{array})\cdot\gamma(f)$$(i\in N\cup\{0\})$.

命題 4, 命題 5 の証明については [22] をご覧いただきたい．命題 4 と命題 5 を結び付ければ，余階数たかだかーであり $\delta(f)<\infty$ という条件を満たす可微分多重芽 :”$(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)$ とが全射となる非負整数 に対しては，”という -不変量をという -不変量を用いて容易に計算できることがわ$i_{1}(f)-i_{2}(f)=0$を満たしている余階数たかだか一の有限確定多重芽
かる．従って，に対しては，定理 1, 命題 4, 命題 5 が問題 1(3) の解答を与えていることになる．
$f$$\mathcal{A}$$\delta(f),$ $\gamma(f)$$\dim_{K}ker(i+1\overline{\omega}f)$$i$$i+1\overline{\omega}f$$\mathcal{K}$$i_{1}(f)-i_{2}(f)=0$ を満たしている余階数たかだかーの有限確定多重芽に対以上で，しては問題 1(1), (2),(3) の解答を得たわけである．次節においていくつかの具体例で検証してみる．

4 そもそも $tf$ はよりも扱いやすいのだから， の簡約版はの簡約版よりも早く世に現れていの意味が明瞭
$tf$ の簡約版の重要性を知らしめたのは Wall の功績のつである．
になることを発見し，$\omega f$$tf$$\omega f$$tf$ の簡約版を使えば [17] にあるても不思議ではないが，歴史はそうはならなかった．

$\gamma(f)$

132
2. 例
例 2.1. $\varphi(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, y)=(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, y^{r\iota+1}+\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}y^{i})$ で定義される可微分写像芽: $(K^{n}, 0)arrow(K^{n}, 0)$ を考える．この写像芽はモラン型の安定写像芽としてよく知られた写像芽であり， が全単射となることも知られている ([20, 16] など
上持ち上げ可能なベクトル場のなを参照) . 従って，定理 1, 命題 4, 命題 5 により$\varphi$$0^{\overline{\omega}\varphi}$$\varphi$

す加群の生成元の最小数は次のように計算できるはずである．
$n\cdot(\begin{array}{l}nl\end{array})-((n-n) .

1\delta(\varphi)+1\gamma(\varphi)-0\gamma(\varphi))$$=$$n^{2}-((n-n)\cdot n\cdot(n+1)+n\cdot(n+1-1)-(n+1-1))$

$=$

$n$

.

の場合は 上持ち上げ可能なベクトル場のなす加群の生成元の最小数は確かとなることが Arnold[l] によって示されているので，定理 1, 命題 4, 命題 5 によにり正しい数値が得られていることがわかる．

$K=\mathbb{C}$$\varphi$$n$

例 22. 可微分写像芽殊: $(K^{2k-2},0)arrow(K^{2k-1},0)$ は以下で定義されているとする．
$\varphi_{k}(u, uv,., \tau)$$(u_{1},$$=$$\ldots,$$u_{k-2},$ $v_{1},$$\ldots,$$v_{k-1},$ $y^{k}+ \sum_{i=1}^{k-2}u_{i}y^{i},\sum_{i=1}^{k-1}v_{i}y^{i})$.

が全単この写像芽もモラン型の安定写像芽としてよく知られた写像芽であり，射となることも知られている ([20,16] などを参照). 従って，定理 1, 命題 4, 命題 5$0^{\overline{\omega}\varphi_{k}}$持ち上げ可能なベクトル場のなす加群の生成元の最小数は次のように計算できるはずである．
により$\llcorner$$\varphi_{k}$-$(2k-1)$ . $(2k -11)-(((2k-1)-(2k-2)) . 1\delta(\varphi_{k})+1\gamma(\varphi_{k})-0\gamma(\varphi_{k}))$$=$$(2k-1)^{2}-(((2k-1)-(2k-2))$ . $(2k-2)\cdot k$$+(2k-2)$ . $(k-1)-(k-1))$$=$$K=\mathbb{C}$$3k-2$ .
の場合は$\varphi_{k}$上持ち上げ可能なベクトル場のなす加群の生成元の最小数は確

かに $3k-2$ となることが Holland-Mond[8] によって示されている 5 ので，定理 1, 命題

4, 命題 5 により正しい数値が得られていることがわかる．
例 23. 可微分写像芽 $\psi_{n}:(K^{n}, 0)arrow(K^{2n-1},0)$ は以下で定義されているとする．

.

$\psi_{n}(v_{I}, \ldots, v_{n-1}, y)=(v_{1}, \ldots, v_{n-1}, y^{2}, v_{1}y, \ldots, v_{n-1}y)$この写像芽はホイットニーの傘という名でよく知られている安定写像芽であり，が全単射となることも知られている ([30,31,16] などを参照). 従って，定理 1, 命題
上持ち上げ可能なベクトル場のなす加群の生成元の最小数は次の4, 命題 5 により$0^{\overline{\omega}\psi_{n}}$$\psi_{n}$ように計算できるはずである．

$(2n-1)\cdot(2n -1l)11$$=$$(2n-1)^{2}-((n-1)\cdot n\cdot 2+n\cdot(2-1)-(2-1))$$=$$2n^{2}-3n+2$ .

5 さらに，Houston-Littlestone[9] によって具体的な生成元も求められている

133$K=\mathbb{C}$の場合でも，一般の

$n$

に対して

$\psi_{n}$上持ち上げ可能なベクトル場のなす加群の生成元の最小数の計算に関する既存の結果を筆者は知らない．しかし，n $=2$ の場合

は， は例 3.2 の$\psi_{2}$$\varphi_{2}$と一致するので，$K=\mathbb{C}$で $n=2$ の場合には Holland-Mond[8]で $n=2$ の場合によって示されているとも言える．さらに，Bruce-West[4] はで$n=2$ の場合の生成元の最小数は 4 であるこを詳細に調べている．従って，とが知られている状況であったが，上記の 2 $n^{2}-3n+2$ に $n=2$ を代入すると 4 とな
$K=\mathbb{C}$$K=\mathbb{C}$るので，定理 1, 命題 4, 命題 5 により正しい数値が得られていることがわかる．

例 2.4. 例 3.1, 例 32, 例 33 は以下のように一般化できる．可微分写像芽 $f$ : $(K, 0)arrow$は $2\leq\delta(f)<\infty$ という条件を満たしているとし，$F:(K\cross K^{c}, 0)arrow$
を $f$ の$f$ の-最小普遍開折とは [15] の最小普遍開折とする，ここで$(K^{p}, 0)(p\geq 2)$$(K^{p}\cross K^{c}, 0)$$\mathcal{K}$-$\mathcal{K}$(5.8) で $c=r$ とおいて得られる写像芽のこと 6 である．そのとき，Mather[15, 16] によりは全単射となることが知られている．[29] の定理 45.1 を使えば $c=p\delta(f)-1-p$と表せることがわかり，定理 1, 命題 4, 命題 5 により上持ち上げ可能なベクトル場$0\overline{\omega}F$$F$のなす加群の生成元の最小数は次のように計算できるはずである．
$(p+c)$ . $(\begin{array}{l}p+cl\end{array})11$$=$$(p+c)^{2}-((p-1) .

(1+c)\cdot\delta(f)+c\cdot(\delta(f)-1))$$=$$p^{2}\cdot\delta(f’)-p\cdot\delta(f)+\delta(f)-p$.

マザーの分類定理 ([15] の定理 A) 7, [15] の命題 (16)8, 安定写像芽に関するマザーの標準形定理 ([15] の定理 (5.10)) 9, $p\delta(f)-p\delta(f)+\delta(f)-p>p+c$ という等号な$2$

しの不等式が成立する事実 10, そして，はめ込み多重芽上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群が自由加群であるための必要十分条件は $p=r\iota+1$ である事実 11 を用いれば，次の命題を得ることができる．
命題 6.

$f\cdot$: $(K^{n}, S)arrow(K^{p}, 0)(n<p)$ を余階数たかだかーの安定多重芽とする．そのとき， 上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群が自由加群であるための必要十分$f$

条件は $p=n+1$ および $\delta(f)=|S|$ が満たされていることである．

さて，ここまでの例はすべて $i=0$ に対して

$i\overline{\omega}f$が全単射となるものであり，マザー

理論に慣れている人にとっては新鮮さは今一つであったかもしれない．
$i=0$ に対して両 $f$ が全単射となる例のみでなく，$i=1$ に対して

が全単射となる例もいくつ$i\overline{\omega}f$

か用意して 2010 年夏にサンカルロス (ブラジル) で開催された “11th international
workshop on real and complex singularities” にて定理 1 こついて話した 12 ところ，案$i\geq 2$ に対して翔の定，が全単射となる例の存在について質問されてしまった．そ
$F$

$f$

のときは「例は持ち合わせていません．あるのかどうかもわかりません．
」と答える
しか術がなかった．

6[7] の第 I 部『特異点とマザー理論』においては，ベクトル空間$\hslash^{i}p$$\frac{\theta(F’)}{tF.(\theta(n-k))+F.m_{p-k}\theta(F.)}$の$\kappa_{i\overline{\pi}}$である (4.3,8) の形の写像芽のことである$\tau_{[7)}$の第 1 部『特異点とマザー理論』においては，$S=$ {one point} の場合のみしか扱われていないが定理 42.1 のことである．

8 多重写像芽の安定性をそれぞれの枝についての言葉で置き換える命題．[7] の第 I 部『特異点とマザー理論』ではこの命題そのものは登場していないが，定理 6.5.2 の使用例の箇所で実質的に登場しているとも言える．

9[7] の第 I 部『特異点とマザー理論』においては，(4.3.8) のこと．
$10_{p,\delta(f)}\geq 2$なので計算してみるとすぐわかる．

11 はめ込み多重芽なのですぐわかることである．
12[3, 12, 24, 25] などに載っている標準形のいくっかは$i\geq 2$ に対して
でも，

$i\overline{\omega}f$$1\overline{\omega}f$が全単射になることを既に確認していた．

が全単射となる例はその時点では持ち合わせていなく，そういう例があるのかどうか気になっていたところではあった．

134
帰国したのち暫くして「もしかしたらマルチカスプが例になっているかもしれな
い」と思うようになった．マザー理論に明るい溝田裕介氏 (九州大学大学院生)13 の協力を得て，「任意の自然数 $if$ こ対してカスプの数が $i+1$ 個のマルチカスプ を考えが全単射となっている」
ると，ということを示すことができた．第 2 節の残りで$f$$i\overline{\omega}f$はマルチカスプに関する溝田氏との共同研究 [19] について概説する．
可微分写像芽 $c:Karrow K^{2}$ は $c(x)=(x^{2}, x^{3})$ で定義されているとし，任意の実数の回転を: $K^{2}arrow K^{2}$ という記号で表すこに対しての原点のまわりの角度$\theta$$K^{2}$$K^{2}$$R_{\theta}$とにする．
$R_{\theta}(\begin{array}{l}XY\end{array})=(\begin{array}{ll}cos\theta -sin\thetasin\theta cos\theta\end{array})(\begin{array}{l}XY\end{array})$$\theta_{0},$$\theta_{i}$$\ldots,$.

を $0\leq\theta_{j}<2\pi(0\leq i\leq i)$ と $0\neq|\theta_{j}-\theta_{k}|\neq\pi(i\neq k)$ を満たす実数列とする．

とおき，可微分写像芽 : $(K, sj)arrow(K^{2},0)$で定義する，ここに $Xj=x-Sj$ である．可微分多重芽$(Sj\neq sk if j\neq k)$$S=\{s_{0}, \ldots, s_{i}\}$を $c_{\theta_{j}}(x)=R_{\theta_{j}}\circ c(xj)$$c_{\theta_{j}}$という記: $(K, S)arrow(K^{2},0)$ をマルチカスプと呼ぶことにし，の場合はダブルカスプと呼ぶ$i=1$$i=0$ の場合は単にカスプ，号で表すことにする．
$\{c_{\theta_{0}}, \ldots, c_{\theta_{:}}\}$$c_{(\theta_{0},\ldots,\theta_{i})}$のは自然であろう．
マルチカスプ$c_{(\theta_{0},\ldots,\theta:)}(i\in N)$

に対して，

,

$c_{\theta_{j}^{\wedge}}=\{c_{\theta_{\text{。}}}, \ldots, c_{\hat{\theta}_{j}}, \ldots, c_{\theta_{\mathfrak{i}}}\}:(K, S-\{s_{j}\})arrow(K^{2},0)$

とおく，ここにめには$i$$c_{\hat{\theta}_{j}}$は$c_{\theta_{j}}$というカスプを除くことを意味している．. を定義するた$c_{\theta_{j}}$は正でなくてはならないことにご注意いただきたい．任意の自然数 $i\in N$ に対してマルチカスプを考えると，以下のように，
ルという $(i+1)$ 個の線形部分空間は常に綺麗に配置される．

$i\overline{\omega}c_{\dot{\theta}_{j}}(0\leq j\leq i)$$c_{(\theta_{\text{。}},\ldots,\theta_{i})}$定理 2. 任意の自然数 $i\in N$ と任意のマルチカスプ$c_{(\theta\text{。},\ldots,\theta.)}$$\frac{m_{0}^{i}\theta_{0}(2)}{m_{0}^{i+1}\theta_{0}(2)}=\bigoplus_{j=0}^{i}ker(_{i}\overline{\omega}c_{\theta_{j}^{\wedge}})$のカーネに対して以下が成立する．

.

定理 2 の証明については [19] をご覧いただきたい．
系 2. 任意の自然数 $i\in N$ と任意のマルチカスプ
全単射である．

$c_{(\theta_{0},\ldots,\theta_{:})}$

に対して，$i\overline{\omega}c_{(\theta_{0}\ldots.,\theta_{:})}$

は系 2 の証明をしよう．は自然数であるから，定理 2 より次を得る．
$i$$ker(i\overline{\omega}c_{(\theta_{0},\ldots,\theta_{i})})\subset\bigcap_{j=0}^{i}i)=\{0\}$だから.

は単射である．
のソースとターゲットの次元の計算をしてみると$i\overline{\omega}c_{(\theta_{0},\ldots,\theta_{:})}$$i\overline{\omega}c_{(\theta_{0},\ldots,\theta_{:})}$$\dim_{K}(\frac{m_{0}^{i}\theta_{0}(2)}{m_{0}^{i+1}\theta_{0}(2)})=2(i+1)$,$\dim_{\mathbb{I}C}(\frac{f^{*}m_{0}^{i}\theta_{S}(f)}{T\mathcal{R}_{e}.(f)\cap f^{*}m_{0}^{i}\theta_{S}(f)+f^{*}m_{0}^{i+1}\theta_{S}(f)})=2(i+1)$となる，ここに$f=c_{(\theta_{0},\ldots,\theta_{i})}$

とおいている．よって$i\overline{\omega}c_{(\theta_{0},\ldots,\theta_{i})}$,はソースとターゲッ

トの次元が等しい線形空間の間の単射線形写像であることがわかり，従って全単射であることがわかる

13 学部生のときに [7] の第 1 部『特異点とマザー理論』を読破したそうな．

口

135
3. 問題 1(4)

本稿では定理 1 の証明を記載していないので恐縮だが，実は原理的には，定理 1 の仮定を満たす与えられた余階数たかだかーの有限確定多重芽$f$上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群の生成元の構成法を，定理 1 の証明で与えていると言え，従って，問題 1(4) へは定理 1 の証明により答えていると，原理的には言える状況になっている．本節ではそのことをいくつかの例で検証してみることにする．

3.1. 例 23 の上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群の生成元．

$\psi_{n}$$(V_{1}, \ldots, V_{r\downarrow-1}, W. X_{1}, \ldots, X_{n-1})$

を$K^{2r\iota-1}$の標準座標とする．

$0\overline{\omega}\psi_{n}$ことにする．たとえば以下がは全単射なので，まず$ker(1\overline{\omega}\psi_{n})$$(1\leq i,$ $j\leq n_{-1)}$$X_{i} \frac{\partial}{\partial V_{j}}+m_{0}^{2}\theta_{0}(2n-1)$2の基底を求める$(1 \leq i, j\leq n_{-}1)$$V_{i} \frac{\partial}{\partial V_{j}}+X_{i}\frac{\partial}{\partial X_{j}}+m_{0^{\theta_{0}(2n_{-1)}}}^{2}$

2$ker(_{1}\overline{\omega}\psi_{n})$の基底となることが簡単にわかる．

$X_{i} \frac{\partial}{\partial W}+m_{0}^{2}\theta_{0}(2n_{-1)}$,,$(1 \leq i\leq n_{-}1)$$W \frac{\partial}{\partial W}+\sum_{j=1}^{n-1}X_{j}\frac{\partial}{\partial X_{j}}+m_{0^{\theta_{0}(2n_{-}}}^{2}1)$,.

のどの成分関数も単項であることから，持ち上げ可能ベクトル場の高次項を簡単の持ち上げ可能ベク トル場がなに求めていくことができ，その結果として以下が$\psi_{n}$$\psi_{n}$す加群の生成元を構成していることがわかる．
$V_{i} \frac{\partial}{\partial V_{j}}+X_{i}\frac{\partial}{\partial X_{j}}$,$X_{i} \frac{\partial}{\partial V_{j}}+V_{i}W\frac{\partial}{\partial X_{j}}$$(1 \leq i, j\leq n_{-}1)$$(1\leq i,$ $j\leq n_{-1)}$$2X_{i} \frac{\partial}{\partial W}+\sum_{j=1}^{r\iota-1}V_{i}V_{j}\frac{\partial}{\partial’X_{j}}$232. ダブルカスプ$W \frac{\partial}{\partial W}+\sum_{j=1}^{n-1}X_{j}\frac{\partial}{\partial X_{j}}$$c_{(0,\frac{\pi}{2})}$$(x^{2}, x^{3}),$ $C_{\delta}^{n}(x)=(x^{3}, x^{2})$を$K^{2}$る．
下がとおいたときが全単射であるので$ker(2\overline{\omega}f)$$(1 \leq i\leq n_{-}1)$,.

上持ち上げ可能なベクトル場がなす加群の生成元．$c_{0}(x)=$の標準座標とし，簡潔さのために$1\overline{\omega}f$,$ker(_{2}\overline{\omega}f)$$c_{(0_{5}^{\pi})}=\{C_{0}, C_{T}^{\pi}\}$$f=c_{(0}$ , 晋),となるのであった．$(X, Y)$$fi=c0,$ $f_{2}=C\pi$ とおくことにすの基底をまず求めることにする．たとえば以の基底となることが容易にわかる．

$6XY \frac{\partial}{\partial X}+4Y^{2}\frac{\partial}{\partial Y}+m_{0}^{3}\theta_{0}(2),$$\eta 1,1,1=3x^{4}\frac{\partial}{\partial x},$$771,2,1=2_{X^{3}} \frac{\partial}{\partial x},$

$4X^{2} \frac{\partial}{\partial X}+6XY\frac{\partial}{\partial Y}+m_{0}^{3}\theta_{0}(2)$とおくと以下を得る．

$\xi_{1,1}=6XY\frac{\partial}{\partial X}+4Y^{2}\frac{\partial}{\partial Y}$$\xi_{1,1}\circ fi-df0=-5x^{6}\frac{\partial}{\partial Y}$$\xi_{1,1}of_{2}-df_{2}o\eta 1,2,1=0$

.

.

,

136
$\xi_{1,2}=5X^{3}\frac{\partial}{\partial Y}$とおくと以下を得る．
$(\xi_{1,1}+\xi_{1,2})\circ f_{1}-df_{1}\circ\eta_{1,1,1}=0$

(5.1)

,

$( \xi_{1,1}+\xi_{1,2})\circ f_{2}-df_{2}\circ\eta_{1,2,1}=5x^{9}\frac{\partial}{\partial Y}$$\xi_{1,3}=-5XY^{3}\frac{\partial}{\partial Y},$$\eta_{1,1,2}=-\frac{5}{3}x^{9}\frac{\partial}{\partial x}$

.

(5.2)

とおくと以下を得る．

,$( \xi_{1,1}+\xi_{1,2}+\xi_{1,3})\circ fi-df_{1}\circ(\eta_{1,1,1}+\eta_{1,1,2})=\frac{10}{3}r^{10}\frac{\partial}{\partial X}$$(\xi_{1,1}+\xi_{1,2}+\xi_{1,3})of_{2}-df_{2}o\eta_{1,2,1}=0$$\xi_{1,4}=-\frac{10}{3}X^{2}Y^{2}\frac{\partial}{\partial X},$$\eta_{1,2,2}=-\frac{10}{9}x^{8}\frac{\partial}{\partial x}$.

とおくと以下を得る．

$(\xi_{1,1}+\xi_{1,2}+\xi_{1,3}+\xi_{1,4})\circ f_{1}-df_{1}\circ(\eta_{1,1,1}+\eta_{1,1,2})=0$

,

(5.3)

$( \xi_{1,1}+\xi_{1,2}+\xi_{1,3}+\xi_{1,4})\circ f_{2}-df_{2}\circ(\eta_{1,2,1}+\eta_{1,2,2})=\frac{20}{9}x^{9}\frac{\partial}{\partial Y}$

すると，(5.3) の右辺は (5.1) の右辺の辺の$( \frac{2}{3})^{2}$$( \frac{2}{3})^{2}$

.

(5.4)

倍になっており，(5.4) の右辺は (5.2) の右倍になっていることがわかる．従って，以下のベクトル場$\xi_{1}$は $f$ 上持ち上げ可能になっていなければならない．
$\xi_{1}$$=$$\xi_{1,1}+\xi_{1,2}+(1+(\frac{2}{3})^{2}+(\frac{2}{3})^{4}+\cdots)(\xi_{1,3}+\xi_{1,4})$$=$$(6XY-6X^{2}Y^{2}) \frac{\partial}{\partial X}+(4Y^{2}+5X^{3}-9XY^{3})\frac{\partial}{\partial Y}$

次に，$\eta_{2,1,1}=2x^{3}\frac{\partial}{\partial x},$$\eta_{2,2,1}=3x_{\mathfrak{X}}^{4\partial},$$\xi_{2,1}=4X^{2}\frac{\partial}{\text{\^{o}} X}+6XY\frac{\partial}{\partial Y}$.

とおく．すると以下を得る．
$\xi_{2,1}\circ f_{1}-df_{1}o\eta_{2,1,1}=0$,$\xi_{2,1}\circ f_{2}-df_{2^{\circ rl2,2,1}}=-5x^{6}\frac{\partial}{\partial X}$$\xi_{2,2}=5Y^{3}\frac{\partial}{\partial X}$.

とおく．すると以下を得る．
$( \xi_{2,1}+\xi_{2,2})\circ f_{1}-df_{1}\circ\eta_{2,1,1}=5x^{9}\frac{\partial}{\partial X}$$(\xi_{2,1}+\xi_{2,2})\circ f_{2}-df_{2}\circ\eta_{2,2,1}=0$$\xi_{2,3}=-5X^{3}Y\frac{\partial}{\partial X},$$\prime l2,2,2=-\frac{5}{3}X^{9_{\frac{\partial}{\partial x}}}$

(5.5)

,

.

(5.6)

とおく．すると以下を得る．

$(\xi_{2,1}+\xi_{2,2}+\xi_{2,3})\circ f_{1}-df_{1}\circ(\eta_{2,1,1})=0$,$( \xi_{2,1}+\xi_{2,2}+\xi_{2,3})\circ f_{2}-df_{2}\circ(+)=\frac{10}{3}x^{10}\frac{\partial}{\partial Y}$$\xi_{2,4}=-\frac{10}{3}X^{2}Y^{2}\frac{\text{\^{o}}}{\text{\^{o}} Y},$$\eta_{2,1,2}=-$lo$x^{8} \frac{\partial}{\partial x}$.

とおく．すると以下を得る．

$( \xi_{2,1}+\xi_{2,2}+\xi_{2,3}+\xi_{2,4})\circ f_{1}-df_{1}o(\eta_{2,1,1}+\eta_{2,1,2})=\frac{20}{9}x^{9}\frac{\partial}{\partial X}$$(\xi_{2,1}+\xi_{2,2}+\xi_{2,3}+\xi_{2,4})\circ f_{2}-df_{2}o(\eta_{2,2,1}+\eta_{2,2,2})=0$

.

,

(5.7)

(5.8)

137
すると，(5.7) の右辺は (5.5) の右辺の辺の$( \frac{2}{3})^{2}$$( \frac{2}{3})^{2}$倍になっており，(5.8) の右辺は (5.6) の右倍になっていることがわかる．従って，以下のベク トル場$\xi_{2}$は $f$ 上持ち上げ可能になっていなければならない．
$=$$\xi_{2,1}+\xi_{2,2}+(1+(\frac{2}{3})^{2}+(\frac{2}{3})^{4}+\cdots)(\xi_{2,3}+\xi_{2,4})$$=$$(4X^{2}+5Y^{3}-9X^{3}Y) \frac{\partial}{\partial X}+(6XY-6X^{2}Y^{2})\frac{\partial}{\partial Y}$$\xi_{2}$以上により，次の二つのベクトル場は$f$.

上持ち上げ可能なベクトル場のなす加群の生成元を構成していることがわかる．

ノート:$\xi_{1}$$=$$(6XY-6X^{2}Y^{2}) \frac{\partial}{\partial X}+(4Y^{2}+5X^{3}-9XY^{3})\frac{\partial}{\partial Y}$,$\xi_{2}$$=$$(4X^{2}+5Y^{3}-9X^{3}Y) \frac{\partial}{\partial X}+(6XY-6X^{2}Y^{2})\frac{\partial}{\partial Y}$.

[12] によりダブルカスプは(ダブルカスフ o を $f$ で表すと)$\mathcal{A}$-単純な多重芽 $(K, S)arrow(K^{2},0)$ であり，

$T\mathcal{A}(f)=T\mathcal{K}(f)$を満たしている “open“ と呼ばれる多重芽になっている．従って，ダブルカスプの連続した族のどのダブルカスプも同一の-同値類に属することになり，持ち上げ可能ベクトル場のなす加群の生成元を具体的に求めることの意義が幾分不明瞭かもしれない．しかし，ダブルカスプの場合に$\mathcal{A}$

生成元を具体的に求めてみることはカスプの数がもっと多いマルチカスプの場合の試金石になる可能性がある．実際，[19] の共著者である溝田氏はさまざまな角度のダブ
ルカスプに対して生成元を具体的に求めてみることを何度となく繰り返した後，カスブの数が $(i+1)$ 個でそれぞれの角度も一般のマルチカスプの生成元を具体的に求めることにどうやら成功した模様である ([18]).

REFERENCES[1] V. I. Arnol : Wave front evolution and equivariant Morse lemma, Commun Pure Appl.
Math., 29(1976), 557-582.
[2] V. I. Arnol , S. M. Gusein-Zade and A. N. Varchenko: Singularities of Differentiable Maps
(Monographs in Mathematics 82), Birkh\"auser, Boston, 1985.
[3] J. W. Bruce and T. J. Gaffney: Simple singularities of mappings, J. London
Math. Soc., 26(1982), 465-474.
[4] J. W. Bruce and J. M. West: Functions on a crosscap, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.,
123(1998), 19-39.
[5] J. Damon: A-equivalence and the equivalence of sections of images and discriminants, Singularity theory and its applications, Part (Coventry, 1988/1989), Lecture Notes in Math.
1462, Springer-Verlag, Berlin, 1991, 93-121.
[6] 福田拓生: 微分可能写像の特異点論，数学，34(1982), 116-139.
[7] 福田拓生・西村尚史: 特異点と分岐，特異点の数理第 2 巻，共立出版，2OO2.
[8] M. P. Holland and D. Mond: Stable mappings and logarithmic relative symplectic forms,
Math. Z., 231 (1999), 605-623.
[9] K. Houston and D. Littlestone: Vector fields liftable over corank 1 stable maps. $arXiv.org$
math (2009), no. 0905.0556.
[10] 泉 脩蔵吉永悦男福井敏純: 解析関数と特異点，特異点の数理第 3 巻，共立出版，2002.
[11] 泉屋周一石川剛郎: 応用特異点論，共立出版，1998.
[12] P. A. Kolgushkin and R. R. Sadykov: Simple singularities of multigerms of curves, Rev. Mat.
Complut., 14(2001), 311-344.
[13] E. J. N. Looijenga: Isolated Singular Points on Complete Intersections, London Mathematical Society Lecture Note Series, 77, Cambridge University Press, Cambridge, 1984.
[14] J. Mather: Stability ofmappings, III. Finitely determined map-germs, Publ. Math. Inst.
Hautes Etudes Sci., 35(1969), 127-156.
$d$

$d$

$I$

$\mathbb{C},$$I$$c\infty$$0arrow \mathbb{C}^{2},0$138
mappings, IV, Classification of stable map-germs by R-algebras,[15] J. Mather: Stability of\’Etu
des Sci., 37(1970), 223-248.
Pttbl. Math. Inst. Haules[16] J. Mather: Stability of C -mappings V. Transversality, $Adv$ . in Math., 4(1970) 301-336.
[17] J. Mather: Stability of C -mappings VI. The nice dimensions, Lecture Notes in Math., 192,
Springer-Verlag, Berlin, (1971), 207-253.
[18] Y. Mizota: Private communications, 2011.
[19] Y. Mizota and T. Nishimura: Multicusps, preprint, 2011,[20] B. Morin: Formes canoniques des singularites d’une application differentiable, Comptes Rendus, 260(1965), 5662-5665 and 6503-6506.
[21] T. Nishimura: -simple multigerms and C-simple multigerms, Yokohama Math. J., 55(2010),$c\infty$$\infty$$\infty$$\mathcal{A}$93-104.

[22] T. $Nisl_{1}ilIlura$ : Vector fields liftable over finitely deterrnined niultigerms of corank at mostone, preprint, 2010(corrected 2011).
23] 野口 広・福田拓生: 復刊初等カタストロフィー，共立出版，2002.
[24] J. H. Rieger: Families of maps from the plane to the plane, J. London Math. Soc., 36(1987),$|$

351-369.

[25] J. H. Rieger, M. A. S. Ruas and R. Wik Atique: M-deformations of -simple germs from, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 144(2008), 181-195.
to[26] K. Saito: Theory of logarithmic differential forms and logarithmic vector fields, J. $Fac$ . Sci.
Univ. Tokyo Sect. $IA$ Math., 27(1980), 265-291.
[27] H. Terao: The bifurcation set and logarithmic vector fields, Math. Ann., 263(1983), 313-321.
[28] D. van Straten: A note on the discriminant of a space curve, manuscrepta math., 87(1995),$\mathbb{R}^{n}$$\mathcal{A}$$\mathbb{R}^{n+1}$

167-177.

[29] C. T. C. Wall: Finite determinacy of smooth map-germs, Bull. London Math. Soc., 13(1981),

481-539.

[30] H. Whitney: The general type of singularities of a set of $2n-1$ smooth functions of variables,
Duke Math. J., 10(1943), 161-172.
[31] H. Whitney; The singularities of a smooth n-manifold in $(2n-1)$ -space, Ann. of Math.,
45(1944), 247-293.
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