Black hole の影と共役点の問題
椎野 克
CQG 38 025005(2020)，PRD 106 044020 (2022)、arXiv/2305.08362

1 導入：Black hole shadow
2 wandering null geodesics○ 定義○ 存在・性質
3 Black room
○ 定義
○ 存在まとめ
4 関係ない話○Cheeger理論

Black hole shadow by photon sphere
Rough sketch of black hole shadow Schwarzschild BH
Null geodesic の集積と離散

Sch.BH＝ photon sphere{Unstable circular orbit r＝3m}
天体情報〇背景光源, 降着光源
Gralla,Holz,WaldNarayan, Johnson,Gammie

幾何学情報
BH解、重力理論
非対称 Solution？….

No coordinate, No orbit因果構造によるGeneralized photon sphere
i+EH

Not smoothc.f. asymptotically simple

I+
Neutral null geodesic＝null geod. Not crossing EH
And I+⇒軌道との関係がはっきりしない（回っている？）（affinely long??)wandering null geod. congruencei+ timelike
infinity
Neutral null geodesici+
Wandering nullgeodesic
Congruence

Riemann curvature
Raychaudhri eq.

Conjugate point∞

Θ→－Not crossing EH ⇒ complete with infinite
not going to I+
conjugate points
Affinely long

gravitation

Conjugate point and wandering set (globally hyperbolic)
CQG??
Theorem ９．３．１１
pp233 in Waldq on boundary is connected to p by null geod.
without conjugate point: ∂J generator+I(p)Schwarzschildqp

It appears repeatedly

conpoinTruncated wandering null
シュワルツシルトではwandering null geod. From ∀pexist

q2

q2
Truncated wandering null geodesic
q1
Formation of
wandering nullp

We should truncate p---q1 to discuss formation

Wandering null geodesicの集積とシャドウ

wandering null geo.

Event horizon
null surface
commonplaceness
achronal boundary
They are affinely
separating in past byRlnln＝ρ/6－2m/r^3≷0.

Various N()
going away without conjugate pts.

汎存(cosmopolitan)定理
M:asymptotic flat, globally hyperbolic, black hole spacetime
S[t]：singularity avoiding slice
十分大きいtにEHの外は含まれる

S[t]

I+I+

B

Bの閉包
i0

S[0]p
どちらにもいかない長いヌル
Rabcd.>c →wanderingi0〇globally hyperbolicなら
A=S[t]∩J⁺(p)はcompactで連結〇smooth GH spacetimeなら
Λ＝S[t]∩ {λ[p:q]}はS2のAへの連続なimmersionpWandering null geodesicの汎存性
From the Libsitz continuity (possible on the surface of star andglobal hyperbolicity
All the black hole (Rabcd≠0、E≥0） spacetime point possesses
wandering null geodesicsUniquely ?
wandering

Go to black hole

Go to null infinity

Continuous if it is compact(GH)Hiroshi Okamura. Condition n´ecessaire et suffisanteremplie par les ´equations diff´erentielles ordinaires sanspoints de peano. Mem. Coll.
Sci., Kyoto Imperial Univ., A (in French), 24: 21–28, 1942.

deviation equation

conformal trs. でこの項を除去

null測地線はnull測地線のままアフィンで無くなる

注意、リッチによる特異点

発散しない直線解

first order

摂動のconsistencｙがワイルを抑える

Evaluation for 共形構造
Bh region

q1
Formation ofwandering null1/C|CBy solving Conformally transformed geodesic deviation equation

Skip calc.

abcd| C

系
大域的共形平坦ならNo conjugate point
光測地線は共形不変○Cabcd=0 , locally no wandering set○Inside of Oppenheimer Snyder star
No truncated wandering nullglobally
conformally flatConjugate pointはくさびのカタストロフィー（構想安定）を伴う事ができる。

2024/2/10

MBR: Maximal Black room R
空間的に有限、null geodesic が入ってきたら出て行かない

Black hole is also black room
Black room≧Black holeBlack room
BHRMaximal black room R :a black room include
all black room

∂R Is corresponding to the photon sphereNot Photon surface but Rays surfacee

Prop.2 in PRD 106 044020 (2022)
MBR is bounded by a non spacelike surface
containing at least one null geodesici.e., horizon generator, wandering null geo. , or future
endpoint [光線曲面≃rays surface］
under the energy condition, generic conditionφθ

Direction whereapparent Mass is smalle.g., Kerr

Conformally flat pict.

Supposing null geo. not on ∂R there is three types of null geo.
Type αType γType βRRp∂R∂RdeniedR∂Rp
SmallneighborhoodRpp∂RφType βType αθ
Type βOKExtension gives larger
Black room光線曲面と同じような証明で総MBRの不安定性体的に不安定（nonoscillatory)が証明できる
一様星は大域的安定でない？ 光子曲面の安定性
R（l,n,l,n）≶0（古賀、原田）⊥
Oppenheimer-SnyderBH形成のMBRはBH

Ｂｒでない

maximalでない

Oppenheimer Snyder
Locally
stableLocally
unstable

大域的（曲率スケール）に持続しない「光を未来に飛ばしてgeneratorを探すことができる」

Bounded by null geodesic of:null generator(null sur.) → horizon generator
In time like surface → wandering null geodesic
endpoint→ only for horizon generator
KTBH （岡林、安積、中尾 2020）,（湯本、新田、千葉、杉山 2012,）

MaximalBlack Room

Horizongenerator

horiozn generator

wanderingnull geodesic

endpoints
軸対称スピンなし
対称性からどちらかが必ず存在

Cunha,Herdeiro,Rodriguez 2018

MBRの存在性について論理的に言って.: maximal black roomformation is corresponding to event horizon⇒MBR exists（選択公理？）
ブラックホールformation⇒ブラックホール≣MBR
ブラックホール

MBRはエキゾチック星を区別できる？
エキゾチック星（asymptoticallysimple）
c.f. 球対称静的なら
photon surfaceはBH(naked sing.)かしかるべく重い物質
Claudel, Virbhadra,Ellis

Dynamicalに光子球面があったとしてもblack roomは無いと言ってよいのでは？

Photonsphereを伴う透明度の高い星＝

エキゾチック星
c.f. 球対称定常なら photon surfaceはBHかしかるべく重い物質光子球面があったとしてもblack roomは無いと言ってよいのでは？ー＞
証明割愛

Aのｒ依存性次第である。
但しこの時はペンローズダイアグラムも変わってしまうので、子宇宙があると言うべきだろう
MBH⇒BH（naked sing.） or 子宇宙（void?）（Claudel,Virbhadra,Ellisよりは強い主張？）
軸対称でもまたしかりMaximal Black Room を探す

Initial ｔ＝－∞なら不安定性より母線のtotally
wandering null geodesicがほぼuniqueに決まる
Initial t=t0 noBH なら、MBR=BH
Initial t=t0 with BHなら、境界条件を与える必要がある。
○初期面は光り始めなどの物理で決める○∂MBR は初期面に垂直（orbit concept）→球対称はある程度解析的にわかる→非球対称なら数値解析が必要。
何本あるかも分からないので難しいが軸対称などは議論が可能smoothly continued
wandering null geodesic
seamlessly generated

Tirays’ surfaces
by wandering null geodesics

Conformallyflat geom.
Schw. geom.
r(t)Winding aroundthe photon sphereΣ0 t＝t0

R(T)EHΣ1 T=T1

Σ2 T=T2

Astrophysicall
determinedboundary condition

Tf

1、R0を仮定、ｋiはz軸に垂直
２、wandering null
２,1 光線を発射（NDSolve)
2,2 Tf後に落ちない逃げないなら３へ2,3向きは変更させて（今回は極座標＆モンテカルロでズル）2,1へ３、 次の点を生成（Δθ）、今回は一回微分＆
極座標
４、 2へ行く５、角度πないし2πで境界条件をチェック
６、R0を変更ΔθR0

Φ＝一定の断面おまけ

同じ考え方で球対称の境界条件をチェックできる。

今後は○中心をずらす○座標変換で擬似的に球対称でなくす10回程度の試行錯誤によるwandering

まとめ

まとめ

球対称ならかなり簡単に決定
軸対称性が利用できる場合もありその数値解析プログラムを開発しつつあるquestion
非等方なMBRの様相

アパレントな概念

EHにとってのAH

例えば（吉野、泉、白水、富川＋天羽）の面

まとめ• black hole shadow is gegnerally explained bywandering null geodesics
展望
一般的構造（面？、安定性？など）
by catastrophe (=gravitational lens)• Blackhole identity とMaximal black room

Cheeger理論と測度距離空間○Ricci flowによる多様体の崩壊→測度距離空間、距離空間○量子論的な時空の病像→離散的？非可換空間？、string？,,Loop表現？
→量子多様体？？？
○重力は距離さえあれば定義できる。
○metricityの無い接続も流行っている。
測度距離空間○リフシッツ的Cheeger微分による。。。
測度論的可微分構造でもってtangentbundleを定義。→上限、下限という意味で曲率が考察されている。
→unmetricity???

○運動方程式～gradient flowの測度距離空間への十分条件で拡張（upper gradient)u’(t)=ー▽f(u(t))⇔ (f◦u)’(t)≤－1/2||u’(t)||^2－1/2||▽f(u(t))||^2||▽f(x)||≤g(x)で抑える
Newton理論 ポテンシャルは～Ⅰ／d（x、y）

前提
Black hole image→一般化photon sphere→｛完備無限個
conjugate pointsヌル測地線｝→ぐるぐる集合（wandering set）
arXive:未来向き（過去向き）ぐるぐる集合
摘まんだぐるぐる集合

Wandering null geodesic を探す

Eventhorzon

Photonsphere○○ trappedsurface?
Θの分布

初期条件

EH
AH

AHe.g.,DTTS
吉野etc,〇汎存性定理が多分正しいので、寧ろ排除率が在れば役に立つ〇AHやEHには排除率があるので、外には無いと言える面があると良い。

Black room’s topology change○by def.: maximal black room formation iscorresponding to event horizon○endpoint for saddle point is of horizon
generator
Ex. Kastor Trascen BH never merge Okabayashi, Azumi, Nakao（2020）
Topology change→ endpoiont

Endpoint →horizon generator
cannot observed初期条件をあたえる時刻によるMBR時間遷移の例
Oppenheimer Snyder

Smooth generator
condition *2

wandering

Conformally
flatSchw.

r(t)

t3
R(t)
PSに巻き付いているEH
t2

t1

Astrophysicallydeterminedboundarycondition

Summary and problem• Interesting but not clear for observation• Name for Guru-Guru set– ○○○ photon surface?
– Imprison , bounded null, surrounding null,– ～horizon,～surface••••

Existence theorem is not necessary condition
Rather integration of the collapsed congruence
The boundary of Guru-Guru set?
topology• Stability for more general situation
EH

そもそも原理的にはブラックホールは見えないわけで、、、
S ２～〇BHはcrease setの未来として与えられるfuture set

一般的な 合体するブラックホール

Crease set

Emparan, etc.(2018)
Teukolsky, etc. (2016)
Husa and Winicour (1999)
MS, Koike, Ida, …(from 1998)

ブラックホールのアイデンティティとは？

動いているブラックホールはどう見える？

M. Wielgus et al.: “Monitoring the Morphology of M87* in 2009-2017 with
the Event Horizon Telescope”, in Astrophysical Journal (2020, September23)
DOI: 10.3847/1538-4357/abac0d

Totally wandering null geodesics
ー＞一般光子球面• Totally (future past) wandering null geodesic→generalized photon sphere• Truncated wandering null geodesic→formation of photon sphereQuestions:○What is this quasi photon surface
K_ab k^ak^b≧0 equal at least one k^aCausal concepts○Can explain
final state of merger?
Other problem:○Catastrophic nature○axial symmetry○black room and quantum physics

Schwartzschilld

球対称×折り目（動径座標）

球対称、安定→不安定

くさび（2次元角度座標、時間）×くさび（動径座標）

非球対称、永続的くさび（2次元角度座標）×折り目（動径座標）

非球対称、形成

燕の尾（2次元角度座標、時間）×折り目（動径座標）

非球対称、安定→不安定

くさび（2次元角度座標、時間）×くさび（動径座標）

その他 局所的に上の性質を実現

直積でないもの は 蝶 双曲へそ 楕円へそ 放物へそ永続的なくさび燕の尾によるくさびの生成

くさび×折り目

ｒ＝３ｍ

ｒ＞３ｍ

Catastrophyとconjugate point
本来congruence
は無限小なのでこのような有限なcongruenceとは限らない

p(u,v,w)q(x,y)

距離の一階微分が零 測地線
二階微分が零三階微分が零 共役点
高階微分も零 面になる

カタストロフィー集合
分岐集合↓

構造安定なconjugate pointを調べる
距離L=L(x,y;u,v,w)の変分原理→Thomの定理より候補は二つ

algorism

Try and error
photon surface

peak of potential

closed orbit
regionNot suitable for dｙnamical situation

Stability for such,,,＾ )R=3m(１+δR
Time function
Φ

t=

r=3m

∫

0

u=1/r

Φ
dφ α／[l u(φ)^2(1－2mu(φ)]

Geodesics(elliptic fn.) around r=3m
δr
Fermat principle

δ(u)～C cosh m(φ+φ０)
δr＝ｍ ｘ∂ t（δR,Φ;x）／ ∂x＝０ → geodesict=

Fold(折り目)catastrophe → structually stableシュバルツシルドのphoton sphereは折り目のカタストロフィー（構造安定）になっている→
不安定円軌道と言っている。

ｐ

ｐを通る光測地線

Black roomでない
Black room
より大きなblack roomがある
ｐｐを通る光測地線

Black room

ＴＯＥＨ ａｎｄ the crease set Ref. PRD58104016

From Poincare=Hopf th. and the fact that the crease set isa connected acausal set, TOEH changes as the following
figures by the rearrangement of a timeslicing.
0-d crease set

trivial1-d crease set

trivialthe coalescence of two EHs

2-d crease set trivial

torus EHthe coalescence of three EHs

double torus EH