第一工業大学研究報告第26号（2014）pp .1－5

1

第一工業大学研究報告第24号(2012), pp.00-00

超音速流中の楔周りの流れと後退翼理論についての考察
超音速流中の楔周りの流れと後退翼理論についての考察
酒酒 井井
第一工業大学航空工学科

謙 二二
謙（〒899-4395

鹿児島県霧島市国分中央1-10-2）

E-mail:k-sakai@daiichi-koudai.ac.jp

The Study of the Supersonic Flow around the Wedge and the Study of the Swept
Wing Theory.
Daiichi Institute of TechnologyKenji SAKAI
The supersonic flow around the wedge by using the Mach wave analysis and the Prandtl

Meyer expansion analysis with the shock wave analysis has been studied. The analysis
error for the two methods was studied. And swept wing theory has been studied by theadditional effect of the lateral flow. The result of this new analysis with considering thelateral flow shows the good agreement with the experimental results.
Key Words: Supersonic flow around the wedge, Mach wave analysis, Prandtl Meyer

expansion analysis, Shock wave analysis, New method for the Swept wing teory.
１． はじめに超音速流にある代表的な楔周りの流れ計算を「マッハ波ベース」と、「斜めの衝撃波とプラントルマイヤーの膨張理論の組み合わせ」の両方で解析し、これら解析法による解析精度を検討する。また、航空機の巡航マッハ数を増加させるために後退角が付けられているが、その理論ベースとなる後退翼理論について、横流れを考慮することで、単純後退翼理論の限界と、実験式の意味づけを検討する。

２．１マッハ波による解析

２．楔まわりの超音速流れについて解析モデルとしては、下図に示す左右対称な楔を検討例として採用した。
半頂角M?

M

図２．１

解析楔モデル

楔の周りの超音速流流れは、最初の半頂角を流れるときに圧縮されて、マッハ数が減少し、次の角を回るときには膨張されて、マッハ数は増加する。
その後、後縁で再度圧縮されてマッハ数が減少し、後縁を過ぎるときには、前方マッハ数と等しくなる。
超音速流れでは、後方の流れの影響は受けない
ため、解析は前から順次解くことができる。
従って、求められた後縁後方のマッハ数が楔前方のマッハ数と同じになるかどうかで、解析方法の精度を検討することができる。

２．１．１

解析方法

解析方法としては、弱い圧縮、膨張を仮定したマッハ波の発生によって、楔上で圧縮、膨張、圧縮が起こると仮定する。マッハ波について詳細は省略するが、次の図で説明される。

第一工業大学研究報告

2第26号（2014）

２．１．２

解析結果

解析マッハ数としては、Ｍ１＝２．０、２．５、３．０、３．５の４種類とした。また、計算した半頂角δ１は、半頂角δ１は３°、５°、７．５°、１０°、１２．５°の５ケースとした。
代表的な例として、楔角度δ1＝１２．５°とし、前方マッハ数を２．５，３．５とした時の解析結果
を図２．４と図２．５に示す。
図２．２

マッハ波についてＭ分布《δ１２．５° Ｍ１＝２．５）

また、楔周りのマッハ数、角度の定義について下図で示す。

3誤差
マッハ波

2.5
2Ｍ 1.5

膨張波
圧縮波

圧縮波

δ１Ｍ２

10.5

δ２Ｍ３0M４

Ｍ１M１Ｍ２

図２．４

δ３Ｍ３Ｍ４

Ｍ分布（Ｍ１＝２．５）
Ｍ分布(δ12.5°M1=3.5)

図２．３

マッハ波仮定の流れ

楔前方のマッハ数をＭ１とし、楔の半頂角をδ１とする。最初の圧縮波の後のマッハ数をＭ２とし、次の膨張角をδ２とする。膨張後のマッハ数をＭ３とし、後縁での圧縮角度をδ３とする。後縁後方のマッハ数をＭ４とする。
左右対称の楔の今回の場合は、δ２＝２δ１となり、δ３＝δ１となる。
マッハ波理論の誤差がないと、Ｍ４＝Ｍ１となる。
マッハ波の場合、角度変化δが小さいとすると、角度変化δとマッハ数変化δＭとの関係は以下の式で表わされる。
２
δＭ
1+0.5（γー１）Ｍ＝±δ ｘ（１）Ｍ（Ｍ２－１）

ここで＋は膨張波の場合、－は圧縮波の場合を表す。またγは比熱比で空気の場合は１．４となる。
今回の場合、（１）式をベースに、Ｍ１とδ１が与えられると、圧縮後の楔上のマッハ数Ｍ２は以下の式で求められる。

43.5
32.5
M21.5
10.50

誤差マッハ波Ｍ１

図２．５（２）

Ｍ３Ｍ４

Ｍ分布（Ｍ１＝３．５）

Ｍ１とＭ４との差が、解析誤差となる。
計算した全ケースの誤差とＭ１との計算結果を図２．６に示す。
この図から全てのδ１で、Ｍ１に対しほぼ直線的に誤差は大きくなり、またδ１が大きくなるにつれて、誤差が大きくなっていることが分かる。

誤差（Ｍ１－Ｍ４）
16
δ１＝１２．５
δ１＝１０
δ１＝７．５δ１＝５
δ１＝３141210

Ｍ２＝Ｍ１＋δＭ

Ｍ２

誤差％ 864

次に、このマッハ数Ｍ２と膨張角度δ２が与えられると、同様に、楔上のＭ３を求めることができ、同じように後縁後方のマッハ数Ｍ４も順次求めることができる。

20
1

1.5

22.5

33.5

Ｍ１

図２．６

誤差～Ｍ１（δ１）

4酒井：超音速流中の楔周りの流れと後退翼理論についての考察

Ｍ１＝２．５のケースについて、δ１を変えた結果を図２．７に示す。
誤差はδ１のおおむね２乗に比例して大きくなっていることが分かる。

誤差（％）

12近似
誤差%

誤差（％）

10863α～Ｍ（δ1＝１２．５°）9080706050α4030201004123Ｍ１452

図２．９00246

斜めの衝撃波後のマッハ数をＭ２、衝撃波後方角をβとすると、Ｍ１とαとの関係は以下の式で求められる。

δ１

図２．７２．２

α ～ Ｍ（δ1）

誤差～δ１（Ｍ１＝２．５）

斜めの衝撃波とプラントルマイヤーの膨張との組み合わせ解析

この解析では、マッハ波一本ではなく、その集合体である斜めの衝撃波とプラントルマイヤーの膨張理論との組み合わせで、流れが変化するとして解析を行う。解析モデルを図２．８に示す。

22

M2 sin β＝(γｰ1)M1 2 sin 2 α+ 2)2γM1２ sin２αｰ (γｰ１）また、β＝α―δ1であるから、この式から、斜めの衝撃波後方のＭ２を求めることができる。
２．２．２ プラントルマイヤーの膨張解析手順

プラントルマイヤーの膨張斜めの衝撃波

斜めの衝撃波βδ１αＭ２

δ２Ｍ３M１

詳細は省略するが、あるマッハ数 M に対応する
プラントルマイヤー角度νとＭとの関係式は以下に示す式で示される。

M４ν=
δ３２γ+ 1γ+ 1tan-1（M -1γ-1 γ- 1-２tan-1 （M-1（４）

この式を計算した結果を図２．１０に示す。
図２．８ 解析概要
２．２．１

ν（°）～Ｍ100

斜めの衝撃波の解析手順

図２．８に示すような斜めの衝撃波を考えると
前方マッハ数Ｍ１と衝撃波前方角αと角度変化δ１との関係は以下の式で表わされる。

8060
ν
4020

2

Ｍ１ ＝2(cotα＋tanδ1）(2)２cot αsin２αｰ tanδ1(γ+ cos 2α）

この式から、δ１が固定されると、Ｍ１に対する斜めの衝撃波角αを求めることができる。
δ＝１２．５°の衝撃波の角度αとマッハ数Ｍ１との関係を図２．９に示す。

01234567Ｍ

図２．１０

ν～Ｍ

膨張前のマッハ数 M1 と偏向角δが与えられると、膨張後のマッハ数 M2 との関係は

第一工業大学研究報告

4第26号（2014）

ν（M2）＝ν（M1）+δで与えられる。
すなわち、ν（M1）とδを足した値になるように、M2 を求めることができる。
２．３

解析結果の比較検討

組み合わせによる、代表的な例として、楔角度
δ1＝１２．５°、前方マッハ数を２．５，３．５とした時の解析結果の比較を図２．１１に示す。

この図から、組み合わせ解析にすることにより、誤差はおおむね１／３に減少するが分かった。
ただし、組み合わせ解析の方も、依然と誤差は発生しており、その主原因は、この計算では粘性効果を無視していることにあると考えられる。この効果については粘性を含むナビアストークス方程式を解く必要があり、計算空気力学（ＣＦＤ）を行う必要があると考えられる。
３．後退翼理論に対する検討

M

衝撃波ＰＭ
マッハ波

3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0

M=2.5

翼前方のマッハ数Ｍ∞を上げていくと、翼面上で局所マッハ数が１．０に達する。
この時の翼前方のマッハ数Ｍ∞を臨界マッハ数（Ｍｃｒ）と呼ぶ。通常、これ以上Ｍ∞を上げると、翼面上に衝撃波が発生して、空気抵抗が増大する。
３．１

Ｍ１Ｍ２

図２．１１

Ｍ３

単純後退翼理論

後退角効果概要を図３．１に示す。

Ｍ４

Ｍ比較（Ｍ１＝２．５）（Mcr）Λ ・cosΛ

衝撃波ＰＭ M1=3.5

5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
M 2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0(Mcr)Λ ・sinΛマッハ波(Mcr)Λ＝０（Mcr ）Λ
ΛMw

Ｍ１Ｍ２Ｍ３Ｍ４Mw

図３．１ 後退角効果概要

図２．１２ Ｍ比較（Ｍ１＝３．５）
この図から、マッハ波解析と、衝撃波／プラントルマイヤーの膨張の組み合わせ解析との差の多くは膨張部で発生していると考えることができる。
次に、楔角度δ１＝１２．５°の場合のマッハ波
解析と衝撃波／プラントルマイヤーの膨張の組み合わせ解析との誤差の比較と、各々の直線近似の比較を図２．１３に示す。

単純後退翼理論とは、後退角を付けたときの臨界マッハ数を（Ｍｃｒ） Λ とすると、図３．１のように、後退角を付けると実質（Ｍｃｒ）Λ ｘｃｏｓΛの流れが翼に直角に当たることとなり、後退角の無いＭｃｒを（Ｍｃｒ）Λ＝０ とすると（Ｍｃｒ）Λ ｘ ｃｏｓΛ＝（Ｍｃｒ）Λ＝０の関係式が求められる。すなわち、

誤差（％）

マッハ誤差%

誤差（％）

衝撃波誤差％

181614121086420（Ｍｃｒ）Λ ＝（Ｍｃｒ）Λ＝０／ｃｏｓΛ

マッハ近似
衝撃波近似

11.52となり、後退角をつけることで、後退角ありの臨界マッハ数（Ｍｃｒ）Λは後退角の無い臨界マッハ数（Ｍｃｒ）Λ＝０ の１／ｃｏｓΛ 倍となる。
これが、一般的に言われている単純後退翼理論である。 しかし、実際の計測では、
2.533.54M１

図２．１３ 誤差～Ｍ１（δ＝１２．５°）（Ｍｃｒ）Λ ＝ （Ｍｃｒ）Λ＝０／cosΛとなることが知られている。この差は、単純後退酒井：超音速流中の楔周りの流れと後退翼理論についての考察

３．２

横流れ成分の考慮

後退角を付けると、マッハ数（Ｍｃｒ） Λ は翼に直角な成分（Ｍｃｒ）Λ x ｃｏｓΛ と 横流れ成分（Ｍｃｒ） Λ x ｓｉｎΛ とに分けられる。
単純後退翼理論では、この横流れ成分（Ｍｃｒ） Λ x ｓｉｎΛ を省略したといえる。
後退角の無い翼の場合の臨界マッハ数（Ｍｃｒ）Λ＝０ と、翼面上の局所マッハ数（Ｍｗ）との比をＫと置くと。
マッハ数の増加率 ＫはＫ＝Ｍｗ／（Ｍｃｒ）Λ＝０と考えてよい。
後退角Λの場合、（Ｍｃｒ）Λ x ｃｏｓΛ に対する増加率は同じであるため、垂直成分による翼面上の増加は(Ｍｃｒ)Λ ｘ ｃｏｓΛ ｘ Ｋとなる。

このマッハ数に横流れ成分の (Ｍｃｒ)Λ ｘ
ｓｉｎΛ を加わえたものが、翼面上のマッハ数となる。速度ベクトルの関係式から以下の式が求められる。
((Ｍｃｒ)Λ＝０ｘ Ｋ)

2＝（(Ｍｃｒ)Λ x2

ｃｏｓΛxＫ） ＋（(Ｍｃｒ)Λ x ｓｉｎΛ）
この式から(Mcr)Λ＝（Mcr）Λ＝０2

K
K cos Λ＋sin 2Λ
２２となる。
この式で、横流れを考慮しないと、ｓｉｎΛ＝０となり、単純後退翼理論と一致する。
今、Ｍｗ＝１．０とおいて、後退角Λ を２０°、２５°、３０°、３５°と変え、（Ｍｃｒ）Λ＝０ をパラメータとして、（Ｍcr）Λ＝０ を ０．６，０．７，０．８として計算した結果を図３．２に示す。

この結果から、実験結果は（Ｍｃｒ）Λ＝０を０．７とし、Ｍｗ＝１とした時と良い一致を示す。
このことから、実験式は（Ｍｃｒ）Λ＝０ を０．７として得られたデータを基本としていることが予想される。
また、最近のスパークリティカル翼型の採用などにより、翼面上の局所マッハ数が１を超えても、大きな衝撃波が発生しないということを考慮して、Ｍｗ＝１．１にしたときの解析結果を図３，３に示す。
（Ｍｃｒ）Λ／（Ｍｃｒ）Λ＝０ ～ Λ

1.25（Ｍｃｒ）Λ／（Ｍｃｒ）Λ＝０

翼理論では考慮されていない横流れ成分が効いていると考えられる。

51.20(McrΛ=0)=0.8(McrΛ=0)=0.7

1.15(McrΛ=0)=0.61.10

実験式

1.05

単純後退翼理論

1.00
2025

Λ

3035

図３．３（Ｍｃｒ） Λ ／（Ｍｃｒ） Λ＝０ ～ Λ（Ｍｗ＝１．１）
この結果からは、実験式が概ね （Ｍｃｒ）Λ＝０を０．７５と求められたものと考えられる。
Ｂ７２７，Ｂ７３７、Ｂ７４７、Ｂ７５７などの旅客機の後退角の平均値はおおよそ２８°程度であり、その後退角に対して、今回の結果を使って、検討された臨界マッハ数 （Ｍｃｒ）Λ を推算すると、（Ｍｃｒ）Λ＝０ が０．７の場合は、（Ｍｃｒ）Λが０．７５となり、（Ｍｃｒ）Λ＝０が０．７５の場合は、（Ｍｃｒ）Λ が０．８０となる。 これは多くの旅客機が検討すると考えられる巡航マッハ数にほぼ近くなる。
４．まとめ
授業で教えている高速空気力学について、日頃、確認したい以下の２つの事項について検討をおこなった。
①超音速流中の楔周りの流れ解析②後退翼理論
その結果、理論の限界や、理論と実験式との差を明らかにすることができた。

(Mcr）Λ／（Ｍｃｒ）Λ＝０ ～ Λ(Mcr）Λ／（Ｍｃｒ）Λ＝０

1.25(McrΛ=0)=0.8

1.20(McrΛ=0)=0.7

1.15(McrΛ=0)=0.6

1.10

実験式

1.05

単純後退翼理論

1.0020

図３．２25Λ3035(Ｍｃｒ)Λ ／（Ｍｃｒ）Λ＝０ ～Λ（Ｍｗ＝１．０）

５．参考文献（１）流体力学序論：内田茂男（森北出版）（２）高速流体力学：永田雅人（森北出版）