授業研究第 1 日目

日本の測量における六分儀

２年

授業者：筑波大学大学院修士課程

組

氏名

教育研究科教科教育専攻数学教育コース 1 年
今居利彦
10. はじめに皆さんに作ってきてもらったこれは、一体何でしょう。
この道具、名前を六分儀、英語名はセキスタント(sextant)といいます。
六分儀をじっくり観察してみましょう。どのような特徴があるでしょうか。

六分儀は鏡の反射を巧みに利用して、動揺する船の上からでも日月・星の地平高度角を容易に測定できる装置(測角器)である。航海用具であるが、主として天体の高度角を測定するから天体観測装置でもある。
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1.

六分儀の構造かん目盛を読み取る指度捍IBはIを中心に円弧AB上で回転する。Iの部分には指度捍と一緒に回転できる指示鏡が AI に平行に取り付けられている。
観測者は E にある小穴を通して H の方向を覗く。H の位置には半分が透明なガラス、他の半分は E の方向を向いた鏡がある。
B の位置を調節することによって、水平方向からの光 GHE と、太陽からの光CIHE とを同時に同じ視野内に見る(左右一直線に並ぶ)ことができる。
これが六分儀の最も本質的なアイデアである。

β2 つの方向を同時に見ているので、動揺する船の上でも水平方向にさえ六分儀を向けておけば、2 つの方向のなす角度が測定できることになる。鏡 I と鏡 H とが平行になる指度捍の位置 A が角度の原点(0 度の位置)で、この時透明ガラス部と鏡部には同じ景色(海上なら普通は水平線)が見えている。

実際に角度を測ってみよう。

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―六分儀の原理―
ところで、“鏡をある角度だけ回すと反射光は 2 倍の角度だけ増える”という幾何光学の基本定理によって常にβ＝2αという関係が成り立っている。

証明→

太陽が見えるまでα度動かす。
太陽の光の入射角をγとする。

⎧θ = α + γ⎨⎩β + γ = θ + α

β + γ = (α + γ ) + α
β = 2α + γ − γ∴ β＝２α即ち、六分儀の円弧部に実際の角度の倍の数値を目盛っておけば、水平方向と天体 C とを鏡 H の同じ視野に入れることによって、天体の高度角 CIG’(β)を直接円弧上で読み取ることが可能になる。
42. 六分儀の歴史
大航海時代、今現在船が何処にあるのかを知ることはとても重要だった。船の位置を知るには、船上からの天体の高度角を測定することだった。それによって正確な緯度の測定ができた。正確な緯度の測定は、ヨーロッパから西インド諸島に航海する時に最も深刻な問題であった。荒天のため正しい緯度が測定できず途中の目印の一つであるバルバドス島を見失ったが最後、強い貿易風に逆らって船は元の進路に戻るのに何週間も費やすか、永遠に西インド諸島にはたどり着けないことも珍しくなかった。従って、荒天でも使える測定装置の要望は非常に強かったのである。

六分儀の発明鏡の反射を利用した緯度測定装置のアイデアはロバート・フック、ニュートンやハーレーも提案しているが、実用的な航海用の装置を発明したのは John Hadley が最初である。彼が 1731 年 5 月に英国王立協会に提出した装置は基本的に現在の八分儀(英語名：オクタント(octant))の機能を全て備えていた。
八分儀を実際の航海に初めて活用した一人は Captain John Campbell で、キャンベルはその経験から 1757 年に八分儀を改良した六分儀を提案した。六分儀は 60 度弧(円周の 1/6)であり、八分儀は 45 度弧(円周の 1/8)である。この意味から日本名がそれぞれ六分儀、八分儀となった理由も推測される。

3.

日本への導入1731 年に八分儀が英国で公表された訳だが、江戸時代の日本にオランダを通して八分儀が輸入されたのはいつ頃であろうか。オランダ船が長崎に来航するのに欠くことのできない航海用具だったはずで、オランダ船はハドレーの発表後じきに八分儀の使用を開始したと想像されるが、日本側の記録に現れるのは遅く 18 世紀末近くである。
日本では鎖国政策のために、六分儀のような優れた航海用具が西洋から入ってきても遠洋航海に使う機会はなかった。
日本では、六分儀の相互角距離測定の機能に着目し、これを測量における 2 地点の角度測定に応用することを考えたのである。やがて、測量における六分儀の有用性が認識されてくると、多数の測量に関する著書で六分儀・八分儀を取り上げるようになってきた。その背景には、文化頃から外国勢力の北方侵入などが相次いだため、国防・海防の意識が高まり、測量や砲術に対する要求が強まったことがあげられる。
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ではどのように使われたか具体的にみていこう。

3. 村田佐十郎恒光『六分圓器量地手引草』
嘉永六年(1853)の版本

津藩の村田は幕府天文方に出仕したことがある。

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書き下し文現代語訳

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ではどのようにして距離を求めたのだろう。
書き下し文

訳

図のような三角形の甲角︑乙角︑甲乙間の辺の長さが分かっている︒
甲丙間の辺の長さ及び乙丙間の長さを問うこと︒

cf) 1 間=約 1.8m
この書では、1 間=10 分、1 分＝10 厘
即ち、9 間 6 分＝9.6 間
8図

文章を参考にして求めてみよう
現代語訳

→

9第一測
ここに測り得た三角形がある︒
甲乙間の辺の長さ及び甲角︑乙角の角度がわかっている︒
よって甲角から乙角を減じ︑丙角七度半を得る︒
よって対辺対角法を用いて︑乙角二十五度の正弦〇四二二六二と進んだ距離三間とを乗じ︑丙角七度半の正弦〇一三〇五二で除き甲丙間の辺の長さ九間六分を得る︒

では、ここで対辺対角法とは何を意味しているのだろう。

―補足 1―
六分儀の原理β=2αの別証明 (法線を用いる証明)△ IHE に注目すると∠CEH=β=∠CIH−∠IHE=2i−2j=2(i-j)△IHD に注目すると∠IDH=α=∠IHF−∠HID=(90°−j)−(90°−i)=i-j∴ β＝2α−補足 2−
視差について…実は六分儀を地上測量に用いる場
合、視差が生じる
目標物：無限遠点(太陽などの天体)六分儀で読んだ角度：2α2 点間の実際の角度：2α+θ
目標物が十分遠い場合は、θは非常に小さいので無視。
即ち、2α≒2α+θ
しかし、目標物が近い場合、θは無視できない。
元々そういう装置ではないので近い目標物の角度を測るのには向かない。
地上測量する場合、視差が現れるので要鏡と対鏡が平行のままだと像が一致しない。像が一致しないと角度を測り始める基準にならない。対鏡を調整するのはこのためである。

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―補足 3―・どうして天体(恒星)の高度角が解れば、緯度が解るのか。
恒星までの距離は、太陽系に比べて極めて大きい。したがって、恒星は動かないものとして考えることができる。恒星の見かけの位置は、地球の自転・公転のよって刻々と変わっていく。恒星の位置が解れば、地球上での位置を計測することができる。通常、地球から各恒星までの位置は、近いものから遠いものまで様々であるが、地球から極めて遠いことを考えれば、天球という概念を取り入れて恒星の位置を表すことができる。天球の存在は否定されたが、地球から天体の位置を表すための基準として現在も使われている。
「緯度の計測法」
天体の南中高度を測る…位置(特に赤緯)の既知な天体の南中高度を測れば、緯度を導くことができる。

＊

赤緯…天体の位置を表す値。天球での赤緯は、地球での緯度のようなもの。

＊

精密に天体の南中高度を測ったとしても地球は真の球ではなく、回転楕円体なので実は誤差がある。

太陽の場合はどうなるのか。
太陽までの距離は大きいが、上で考えた恒星ほど遠くはないので、太陽の赤緯は場所によって異なる。
太陽の南中高度は場所によって違うが、夏至(南中高度が一番高い)の時と冬至(南中高度が一番低い)の時の太陽の南中高度は、以下の式で表される。
○ 夏至の時の太陽の南中高度(度) = 90° – (その場所の緯度) + 23.4°○ 冬至の時の太陽の南中高度(度) = 90 °– (その場所の緯度) – 23.4°
それ以外の時は、太陽が北よりに位置しているのか、南よりに位置しているのかを示す「視赤緯(みかけの赤緯)」の値が計算に必要となり、以下の式で計算できる。
○ 太陽の南中高度(度) = 90° – (その場所の緯度) + (太陽の視赤緯)
即ち、(その場所の緯度) = 90 °– 太陽の南中高度(度) + (太陽の視赤緯)で求められることになる。
太陽の南中高度については、北が解れば求められる。
太陽の視赤緯については、1485 年に南中時太陽赤緯表(noon solar declination table)
因みに p2 の写真は八分儀です
等が次々出版されている。
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