数理解析研究所講究録 1277 巻 2002 年 84-93

84

被

覆面

の型

名工大 (名誉教授)

中井三留 (Mitsuru Nakai)

Nagoya Institute of Technology (Professor Emeritus)

大同工大

瀬川

重男 (Shigeo Segawa)Daido Institute of Technology

1. 序論
解析関数の環に関わる様々な構造の解明に, 指定された性質を持っ様な解析関数の構成が重要な役割を果たす事例は屡々目にする所である. この様な解析関数を求める最も直接的な方法としては, 主関数問題 (ROdin-SariO[5] 参照) としての扱いがあり, これに関しては 2000 年暮の関数環研究集会でその一端を論じ(林・中井 [2]) その詳細は論文として発表予定ながら未だ準備中である.
別視点の構成法として古くからあるものに被覆面の方法がある. 例えば, 単位円
板 叉は有限複素平面上解析関数 があると, これは複素球面
を基底面と$\mathrm{D}$$f$$\mathbb{C}$$\hat{\mathbb{C}}$する射影 $f$ の被覆面叉は , 詳しくは三っ揃い
叉は
$f$
の性質が
または
を与え,
のむの覆い方と言う幾何学的対象として視覚的に与えられることになる.
$(\hat{\mathbb{C}})^{\sim}=\mathrm{D}$$\mathrm{D}$$\mathbb{C}$$(\mathrm{D},\hat{\mathbb{C}}, f)$$(\mathbb{C},\hat{\mathbb{C}}, f)$$\mathbb{C}$

そこで構成法としてはこれを逆に見て, 構成したい 叉は 上の関数 の持っぺき指定された性質を
叉はの無限葉被覆面 (む) を単連の覆い方と捕え,結となる様に配慮しつつ鋏と糊付け的に構成する. この場合非常に大切となるの$\mathrm{D}$$\mathrm{D}$$\mathbb{C}$$f$$\sim$$\hat{\mathbb{C}}$$\mathbb{C}$は, $f$ の定義域として欲しいのはなのか叉はなのかに従って, 上に作った単が連結リーマン面であるか (このときでは双曲型と言う) 叉はあるか (このとき (む) は放物型と言う) のいずれかである様にせねばならぬ. っ
まり上の構成の途中で単連結性のみでなく (む) の型への配慮も重要となる. この見地からして, 単連結被覆面 (む) の型を判定することは大変重要な課題で, これ$\mathrm{D}$$(\hat{\mathbb{C}})^{\sim}$$\mathbb{C}$$\mathrm{D}$$(\hat{\mathbb{C}})^{\sim}$$\mathbb{C}$$\sim$$\sim$$\sim$

は型問題と呼ばれ特に値分布論との関連で昔から研究されてきた古典関数論の主要な問題の一つである (これについては Nevanlinna[4] に詳しい).

この様な型問題はリーマン面の分類理論の中にとり込まれ, 基底面としては$\hat{\mathbb{C}}$を一般のリーマン面 $R$ に取り,を射影とするその被覆面がに於て双曲的 (即ちの場合の様に,上にグリーン関数が存在する) か放物的 (即ちの場合の様に, 上にグリーン関数が存在しない) かを決定する問題として論ぜ$\pi$$\tilde{R}$$\tilde{R}$$\mathrm{D}$$\mathbb{C}$$(\tilde{R}, R, \pi)$$\tilde{R}$られる様になり (Tsuji[7], SariO-Nakai[6] 等参照), 更に被覆面論の枠組みを離れて,85与えられたリーマン面 $R$ が放物的 (この事を, グリーン関数 (G) がない (O) ことを示唆したリーマン面の族を O。で表し, R\in O。とかく) か双曲的 (即ち $R\not\in O_{G}$ )かを決定する問題として論ぜられる (例えば $[5],[6]$ 等参照).
上の解析関数の構築の重要性に鑑み, 最も古い設
叉は本論文では, 前述の$\mathbb{C}$$\mathrm{D}$

問である型問題に帰り, その一側面, 特に, 一般に分岐点分布と型との独立性に着目する. リーマン面の分類理論の前駆時代での型問題は, 分岐点の数が有限の場合を主として考察の対象とした. ただ分岐点としては代数的なものばかりでなく, 対
数分岐点も含めて考えていたので, 我々の, 分岐点の数は自由とするが, 通常の被覆面論の設定通り代数分岐点以外は考えないと言う場合と前提条件においてすつ
かり異なっている点を強調しておく.

2. 被覆面からリーマン面 $R$ への解析写像 があるとき, 三つに対し, $R$ をを, $R$ の被覆面と言う. 被覆面を, 時には雑にリーマン面$\tilde{R}$

$\pi$

揃い
を射影と言う.
基底面 ,中心の座標円板
任意の上手くとると》 の局所表現は$(\tilde{R}, R, \pi)$$\tilde{R}$$\tilde{R}$$\pi$$\tilde{p}\in\tilde{R}$$(\tilde{U},\tilde{z})$と $p:=\pi(\tilde{p})\in R$ 中心の座標円板 $(U, z)$ を$\pi$$z=\pi(\tilde{z})=\tilde{z}^{n}$の形となり, 自然数 は上の様な表示の仕方に無関係に定まる. $n>1$ の時 は重はの孤立点集合と記すと,の分岐点と呼ばれる. 分岐点の全体を複度で従って特に可算集合である. $B=\pi(\tilde{B})$ は $R$ 内の可算集合であるが, もはや一般$\tilde{p}$$n$$\tilde{R}$$\tilde{B}$$\tilde{B}$$n$は不分岐であのとき被覆面には孤立点集合とはならない. 特に,) であるか否かにかかわ(特にる, 叉は滑らかであると言う. 従って
は $B$ が閉集合であるかぎり常に滑らかとなる.
らず一般に$R$ の二つの被覆面 $(\tilde{R}_{i}, R, \pi_{i})(i=1,2)$ に於て, 夫々の分岐点集合 $\tilde{B}_{i}(i=1,2)$ のとの重複度は一致しかにが対応して間に全単射があって,$(\tilde{R}, R, \pi)$$\tilde{B}=\emptyset$$B=\emptyset$$\tilde{B}=\emptyset$$(\tilde{R}\backslash \pi^{-1}(B), R\backslash B, \pi)$$\tilde{p}_{2}\in\tilde{B}_{2}$$\tilde{p}_{1}\in\tilde{B}_{1}$

つ $\pi_{1}(\tilde{p}_{1})=\pi_{2}(\tilde{p}_{2})$$\tilde{p}_{2}$$\tilde{p}_{1}$となっているとき二つの被覆面は同一の分岐点をもつと言う.

本論文での被覆面は更に次の様な条件をみたすものばかりを対象とする:
対して一定のすべての $z\in R$ に対して$\nu\in \mathrm{N}\cup\{\aleph_{0}\}$

card

(

$\mathrm{N}$は自然数の全体,$\aleph_{0}$$\pi^{-1}(z)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{\tilde{z}\in\tilde{R} :$\tilde{R}$には可算無限濃度) が定まって,\pi(\tilde{z})=z\}=\nu$,

ただし cardX は集合 $X$ の濃度, となる様な被覆面ばかりを考察の対象とするののときは有限葉或いは更に詳をの葉数と言う.
である. このとき$\nu\in \mathrm{N}$$\tilde{R}$$\nu$$\tilde{R}$は無限葉であると言う.
のとき
葉,上に述べた様に葉数が定まる被覆面ばかりを考えるが, その為の十分条件であるが完備であるとは, $R$ の各点に次の条件にも注意を向けたい. 被覆面をとると, $\pi^{-1}(U)$ の各成分が完閉 (compact) となる様に対し, その適当な近傍が滑らかな場合は, 上の出来ることである (Ahlfors-Sario[l] 参照). 特に
しく有限

$\nu$

$\tilde{R}$$\nu=\aleph_{0}$$(\tilde{R}, R, \pi)$$U$$(\tilde{R}, R, \pi)$

86
完備性は
な

の正則性と同値である: 滑らか性 $+$ 完備 $=$ 正則. ここで滑らかが正則であるとは, 基底面 $R$ の任意の曲線弧 $C$ と $C$ の始点上の被$(\tilde{R}, R, \pi)$$(\tilde{R}, R, \pi)$上の任意の点を指定すると, それを始点とする $C$ に沿う接続 が 上にとれる (つまり $\pi(\tilde{C})=C$ ) ことである. 正則性は叉, 非有界とか無限界とか相対境界を持たぬとか様々な呼ばれ方をしている. 接続の唯一性とか一価性定理 (即ち, $C_{i}(i=1,2)$ を基底面 $R$ のホモトープな 2 曲線弧とすると, 夫々の同一始点の接続 $\tilde{C}_{i}(i=1,2)$ は内でホモトープとなると言う主張) 及びその様々な帰結,$R$が単連結ならば :例えば,は等角写像となる, 等は大切な認識である([1] 参照).
覆面$\tilde{R}$$\tilde{C}$$\tilde{R}$$\tilde{C}$$\tilde{R}$$\pi$$\tilde{R}arrow R$

以下では特に基底面が複素球面む叉は複素平面$\mathbb{C}(=\hat{\mathbb{C}}\backslash \{\infty\})$である様な被覆面を考える. この様な被覆面の型が分岐点の分布, 面の位相的な繋がり具合で決定されるか否かは素朴ながら第一に浮んでくる疑問である. これについて, 次の点を指摘するのが本論文の目的である:
主定理. その射影が無限遠点のみに集積する様な同一の分岐点を共有し, さらに,分岐点を固定する位相写像で互いに対応すると言う意味で, 同一の繋がり具合にある様な複素球面の二つの単連結無限葉被覆面で, 一方は有限複素平面 (放物型), 他
方は単位円板 (双曲型) となるものがある.

つまり, 言う迄もないことながら, 被覆面の型は, 分岐点分布や面の位相的な繋がり具合のみでは決定されず, 計量的条件やらその他何等かの因子が関わってくることになり, 型の決定は単純な問題ではない. 上の定理は, ある具体的な, 鋏と糊で一定の手順で構成する被覆面の型の決定定理を証明し, その系として導かれる.
と二つのリーマン面が曲線弧 を共有すると
3. 特殊被覆面の構成.
する. その意味は, $R$ の適当な座標円板 ( , z
内の曲線
あって
,
弧
で考えた二つのを考えることである. 特に $R$. が平面をとるとき,
領域の場合や $R_{1}=R_{2}$ の場合などは本来の自然な意味 (即ち叉はをとして解釈する. そのときでの除去跡とみて, その両側
でとと下岸(それぞれを適当に上岸
の下岸
の上岸
と定める)
$R_{1}$$R_{2}$$z_{1}^{-1}.(\gamma)$$R_{i}$$\gamma$$\gamma$$z\dot{.}(U_{1}.)=\mathrm{D}$$U.\cdot$$\gamma\subset R_{1}\cap R_{2}$$\gamma\subset R_{1}=R_{2})$$\gamma$$\gamma^{+}$

及び$R_{2}$(雑にはの下岸$\gamma^{-}$と$R_{1}$$R\backslash \gamma$$R_{1}$$\gamma^{-}$の上岸$\gamma^{+}$$R_{2}$$\gamma^{-}$

を同一視する. このことを$R_{1}\backslash \gamma$$\gamma^{+}$と$R_{2}\backslash \gamma$) を に沿って貼り合わせると言う. するとその結果一っのりー
マン面 $R$ が生ずる.
の端点以外の所では等角構造は元々のでのそれでの局所座標 を使って, $\sqrt{z-c}$ で等角を自然に与え, の端点 では
は $R$ 内では構造を与えたのである. するととなり, それは $R$ 内のジョがルダン閉曲線となる. もし内の解析曲線弧であるとすれば$R$は内ではジョルダン解析閉曲線となる. この様な $R$ のことを記号で$R_{1}$と$R_{2}$$\gamma$$\mathrm{D}(\subset R.)$$\gamma$$\mathrm{D}(\subset R.)$$c$$\gamma$$\gamma^{+}\cup\gamma^{-}$$\gamma$$\gamma$$z$$R_{i}$$\gamma=\gamma^{+}\cup\gamma^{-}$$R=R_{1}\cup \mathrm{x}_{\gamma}R_{2}$と表し,$R_{1}$と$R_{2}$の$\gamma$に沿う貼り合わせと呼ぶことにする. 記号$\mathfrak{G}_{\gamma}$

の成り立ち

87
は,

は一緒にすること,はそのときの互い違いの貼り合わせ作業を示唆し, 勿論
は作業場所を示すことを一体化したものである.
さて今から複素平面むの上に拡がった単連結無限葉 (即ち葉) 被覆面 $W(=$(む)\sim ) を構成するのであるが, 出来合いの材料としてはむの可算個のコピー列(即ち), 自由に選択できる材料としては分岐点の射影集$\cup$$\cross$$\gamma$$\aleph_{0}$$V_{n}:=\hat{\mathbb{C}}(n\in \mathrm{N})$$(V_{n})_{n\in \mathrm{N}}$合$\{\pm a_{n}\}_{n\in \mathrm{N}}$と, 十$a_{n}$とー$a_{n}$

を上半平面 $\mathbb{C}^{+}:=\{z\in \mathbb{C} : {\rm Im} z>0\}$ 内で結ぶ単純

曲線集合
である.
まず実軸
上の点列
数列 (即ち実軸の正部分$\{\gamma_{n}\}_{n\in \mathrm{N}}$$\mathbb{R}$をとる. よって実数列とみて$(a_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$\mathbb{R}^{+}:=\{z\in \mathbb{R}$で,:$z=\mathrm{R}\mathrm{m}$は第一に正$(a_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$z>0\}$ 内の点列) でさらに増加列に発散するものとする:$+\infty$(1)$0<a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}<a_{n+1}\nearrow+\infty$$(n\nearrow\infty)$.

この条件をみたす限り数列は全く任意に選んでよいとする.
次に各とを結ぶ単純曲線に対し, 実軸上の 2 点一で, 端点士 an以外は上半平面内にあるものをとる. ただし各に対する相互間の関係$(a_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$n\in \mathrm{N}$$a_{n}$$a_{n}$$\gamma_{n}$$\mathbb{C}^{+}$$n$$\gamma_{n}$としては(2)\gamma ユロ
である. だから各はと$\gamma_{n-1}$$\gamma_{n}$$\gamma_{n+1}$$(n, m\in \mathrm{N}, n\neq m)$$\gamma_{m}=\emptyset$

は原点 0 と無限遠点を内で分離する$\infty$$\gamma_{n}$$\mathbb{C}^{+}\cup \mathbb{R}$を$\mathbb{C}^{+}\cup \mathbb{R}$$(n\in \mathrm{N})$内で分離しており, 又, ただし $0<a_{0}<a_{1}$ となは線分を意味するものとする. 曲線を任意にとって固定して,もやはり (2) をみたす限り全く任意である. ただし, 点列
弧列は(1) の制限下全く任意ながら一度選んだら終始固定したものと考えるのに対し, 曲
線列はやはり (2) の制限下で全く任意であると同時に様々に動かしてみるる$a_{0}$$[-a_{0}, a_{0}]$$\gamma_{0}$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$(a_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$と言う対象である.

さて,$(V_{n})_{n\in \mathrm{N}}$を$\hat{\mathbb{C}}$のコピーの列とする:$V_{n}:=\hat{\mathbb{C}}(n\in \mathrm{N})$. 勿論各$V_{n}$は$\hat{\mathbb{C}}$として皆同じものであるが, それらを別々のものと考えようと言うのである. その上で切り込みのある複素球面列(3)$W_{1}:=V_{1}\backslash \gamma_{1}$,$(W_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$W_{n+1}$を次の様に作る::=V, ヤハ$(\gamma_{n}\cup\gamma_{n+1})$

次に帰納的に双曲的単連結リーマン面 (等角的円板) 列
する:

(4)

$R_{1}:=W_{1}$,は (この時$R_{n+1}=R_{n}\cup \mathrm{x}_{\gamma_{n}}W_{n+1}$$(n\in \mathrm{N})$を以下の様に構成$(R_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$(n\in \mathrm{N})$

.

.

の
葉の
は元々の曲線弧そのものと考える),
被覆面と自然に考えられ, しかも,は払,1 の部分 (境界内のジョ付き) リーマン面となっており (そのときはは払

従って$R_{n}\cup\gamma_{n+1}$$\hat{\mathbb{C}}$$n$$\gamma_{n+1}$$\overline{R_{n}}:=R_{n}\cup(\gamma_{n+1}^{-}\cup\gamma_{n+1}^{+})$$\gamma_{n+1}=\gamma_{n+1}^{-}\cup\gamma_{n+1}^{+}$$+1$

ルダン閉曲線と考える)$R_{1}\subset\overline{R}_{1}\subset R_{2}\subset\overline{R}_{2}\subset\cdots\subset R\text{、}\subset\overline{R}_{n}\subset R_{n+1}\subset\overline{R}_{n+1}\subset\cdots$

88である. そこで最後にリーマン面(5)$W:=\cup R_{n}=\cup(\cdots((W_{1}\mathrm{U}\cross_{\gamma_{1}}W_{2})\cup \mathrm{x}_{\gamma_{2}})\cdots)\cup \mathrm{x}_{\gamma_{n}}W_{n+1}n\in \mathrm{N}n\in \mathrm{N}$を考える.
は, $W$ から への, 作り方から自然に定まる射影, をもった,は (が解析的の単連結無限葉被覆面となる. $W$ は開リーマン面で,
$W$
は
内相対完
でないことを ‘準’ で示唆した意味での) 準正則近似列を与える:$\hat{\mathbb{C}}$$(W,\hat{\mathbb{C}},\pi)$$\pi$$\hat{\mathbb{C}}$$\partial R_{n}$$(R_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$R_{n}$

閉ジョルダン領域で,几の各成分 (実は唯一つ) は非相対完閉で,.
, かつの在り方に依らず $W$ の分岐点集合
曲線列
は可算無限集合で, 夫々は各 $a\in B:=$ {\pm an}n。N の上に一つづつありいずれも重複度は 2 である. だからををもち, 互いにの取り方に依らず, $W$ はすべて同一の分岐点集合
固定する位相写像により同相である.
の型を決定したい. 結論は, 曲線弧列の分布状態でさて被覆面の分布
放物型 (即ち $W\in O_{G}$ ) にも双曲型 (即ち) にもなり得る.
が無限遠点状態を記述する為次の様な述べ方と記号を用意する. まずに収束するとは, 任意の閉円板 $\overline{\Delta}(0, \rho):=\{|z|\leq\rho\}(\rho>0)$ に対して番号 $N$ が定$\overline{R}_{n}\subset R_{n+1}$$W\backslash$$(n\in \mathrm{N})$$W= \bigcup_{n\in \mathrm{N}}R_{n}$$\tilde{B}$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$\tilde{B}$$\tilde{B}$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$(W,\hat{\mathbb{C}},\pi)$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$W\not\in O_{G}$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$\infty$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$となることであるとする. 次に

上の線
と実軸
と記し
内の (従って分 $[-a_{n}, a_{n}]$ で囲まれた,内の) 有界領域を
に関する
の補集合を
とかく, 即ち. 閉包を で考えるまり$\gamma_{n}\subset \mathbb{C}\backslash \overline{\Delta}(0, \rho)(n\geq N)$$\mathbb{C}^{+}$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}^{+}$$\overline{G}_{n}$$(n\in \mathrm{N})$$G_{n}$$\Omega_{n}:=\mathbb{C}^{+}\backslash \overline{G}_{n}$$\Omega_{n}$$\mathbb{R}$$\gamma_{n}$$\hat{\mathbb{C}}$

とき

(6)A

$:=\cap\ovalbox{\tt\small REJECT}$$n\in \mathrm{N}$とおくならば, 常に無限遠点内の連続体である. A が退化するで, A はである. よって A が非退化である為の必要十分条$\infty\in \mathrm{A}$$\hat{\mathbb{C}}$

為の必要十分条件はである.
件は上記諸概念諸記号を使って $W$ が特定の型となる為の必要十分条件を与える. す
ると次の結果が成立する:$\mathrm{A}=\{\infty\}$$\hat{\mathbb{C}}\backslash \Lambda=\mathbb{C}\backslash \Lambda\not\in O_{G}$

定理.

複素球面
の単連結無限葉被覆面は互いに同値である:(a) $W$ は放物型である, 即ち $W\in O_{G}$ ;は無限遠点に収束する;(b) 曲線列;(c)は退化する, 即ちは完備である.
(d) 被覆面$(W,\hat{\mathbb{C}}, \pi)$$\hat{\mathbb{C}}$に対して, 次の四つの条件$\infty$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$\mathrm{A}=\{\infty\}$$\Lambda$$(W\backslash \pi^{-1}(\infty), \mathbb{C}, \pi)$

三条件 (b) と (c) と (d) の相互の同値性は自明であろう. 事実 (b) ならばに入に対してはのとしても, どの点も十分大きな番号の, 特にらないので (c) が出る. 逆に (c) を仮定する. すると
叉は$\mathbb{C}$$\mathbb{C}^{+}\cup \mathbb{R}$$n$$\overline{\Omega}_{n}$$\mathbb{C}\cap(\bigcap_{n\in \mathrm{N}}\overline{\Omega}_{n})=\emptyset$

89
口。

$\in \mathrm{N}$

が

(

ロ

$\mathbb{C}$$\overline{\Omega}_{n}$)$=\emptyset$

なので,に於て両辺の補集合をとると,$\mathbb{C}$なので$G_{n}’:=G_{n}\cup[-a_{n}, a_{n}]\cup(\mathbb{C}\backslash \overline{\mathbb{C}^{+}})$

をとるとき,$\mathbb{C}=\bigcup_{n\in \mathrm{N}}G_{n}’$$\overline{\Omega}_{n}$の$\mathbb{C}$での補集合となる. よって任意のなので, 被覆定理によりある番号 $N$ が定まってとなるので,, つまり(b) が出る. よって, (b) と (c) の同値性が確かめられた. 次に (c) を仮定して任意のをとる.
ならば 中心の小開円板 $V$ を適当にとるとで $p=a_{n}$となり, $\pi^{-1}(V)$ と各葉の交わりは又 $V$ である. ある叉は一の場合でも分岐点のある二枚の葉でそれと $\pi^{-1}(V)$ の交わりが二葉円板であるものを除いて各葉との交わりは $V$ である, ただし $V$ は中心の小円板で$B\cap\overline{V}=\{p\}$ となるものとする.
いずれにしろ (d) が出る. 逆に (d) を仮定して,を除外しでその任意の近傍 $V$ に対し, 有限個のは非退化, 従ってある点てとなる. すると $\pi^{-1}(V)$ の成分中無限葉のものがあり, それは相対完閉でない. 故に (c) と (d) も同値である.
この様な次第で, 上の定理の証明には, (a) と残りの三条件 (b) と (c) と (d) の内のどれか一つとの同値性を出せばよい. その為には, 例えば (c) の否定から (a) の否定を導き, 次いで (d) から (a) を導けばよい. 従って次の二命題 (主張 1 と 2) の証明を行えばよい:$\rho>0$$\overline{\triangle}(0, \rho)\subset\bigcup_{n\in \mathrm{N}}G_{n}’$$\overline{\triangle}(0, \rho)\subset\bigcup_{n\leq N}G_{n}’=G_{N}’$$\gamma_{n}\subset \mathbb{C}\backslash \overline{\triangle}(0, \rho)(n\geq N)$$p\not\in B=\{\pm a_{n}\}_{n6\mathrm{N}}$$p\in \mathbb{C}$$p$$B\cap\overline{V}=\emptyset$$n\in \mathrm{N}$$a_{n}$$\Lambda$$p\in \mathbb{C}$$n$$V\cap\gamma_{n}\neq\emptyset$

主張 1.

集合

主張 2.

被覆面

$\Lambda$が非退化ならば W\not\in O。である.
$(W\backslash \pi^{-1}(\infty), \mathbb{C}, \pi)$が完備ならば W\in O。である.

主張 1 は, その原型となる, 石田 [3] による, あるの双曲型無限葉被覆面の構
成に着想の原点がある. ここに石田久教授への深い感謝の意を表明したい. 証明
は第 4 節で与える. 主張 2 の証明は第 5 節で述べる. この証明の中にあらわれるモ
デュラス和級数 の発散評価については, 成田淳一郎博士の注意のお陰で, 我々の元々の幾分面倒な見積り方法が非常に簡易化されたので, 彼にも御礼を申し上げた$\mathbb{C}$$\sigma$い.

さて主定理との関わりであるが, まず各(7)$\gamma_{n}$$n\in \mathrm{N}$: $z=a_{n}e^{it}$について$(0\leq t\leq\pi)$,は上記定理の条件 (b)を原点中心半径
即ち,の上半円周にとるとき,をみたすので, 上記定理により (a), 即ち W\in O。となることがわかる. 次に実数
列を, つまり実軸 上の点列$\gamma_{n}$$(b_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$(\gamma_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$a_{n}$$\mathbb{R}$$(b_{n})_{n\in \mathrm{N}}$$0<b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{n}<b_{n+1}\nearrow a_{1}/2$$(n\nearrow+\infty)$

をみたす様に任意にとりしかる後固定する. そのとき各$\gamma_{n}$:$z=- \frac{a_{n}^{2}-b_{n}^{2}}{2b_{n}}i+\frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2b_{n}}e^{it}$$n\in \mathrm{N}$に対し$( \tan^{-1}\frac{a_{n}^{2}-b_{n}^{2}}{2a_{n}b_{n}}\leq t\leq\pi-\tan^{-1}\frac{a_{n}2-b_{n}^{2}}{2a_{n}b_{n}})$

,

90
即ち,

$\gamma_{n}$を三点$a_{n},$$b_{n}i,$を通る円周の$-a_{n}$$\Lambda=\{z\in \mathbb{C} :$\mathbb{C}^{+}\cup \mathbb{R}$内にある円弧にとるとき,{\rm Im} z\geq a_{1}/2\}\cup\{\infty\}$だから, 上記定理の (c) がみたされず, 従って上記定理より (a) がみたされぬことになり, W\not\in O。となる. こうして, 上記定理を利用して, 主定理の主張が導かれる.
集合
を非退化, 即ちに注目する. すると

4. 主張 1 の証明
域$P:=\mathbb{C}^{+}\backslash \Lambda$$\Lambda$$\Lambda\cap \mathbb{C}\neq\emptyset$$P=\cup G_{n}=G_{1}\cup n\in \mathrm{N}(k$N(Gn ヤハ, として, 平面$G_{n}$)$\mathbb{C}$

の部分領

$)$

の様に分解される. そこで $W$ の部分領域$P:=(\pi^{-1}(G_{1})\cap W_{1})\cup(_{n\in \mathrm{N}}\cup\pi^{-1}(G_{n+1}\backslash G_{n})\cap(W_{n+1}\cup\gamma_{n}))$を考えると, これは $\pi^{-1}(P)$ の成分の一つであり,
(9)

$\pi$

:

$P’\cup\partial_{W}Parrow P\cup \mathbb{R}$は $P’$ の $W$ に関する相対境界の意味である. (9)は位相写像となる, ただしであった領域の同相性に基づいて, $P’$ と $P$ を同一視することにより, 元々$P$ を又 $P\subset W$とみなすことも出来る, 即ち平面領域 $P$ は $W$ の部分領域として$\partial_{W}P’$$P\subset \mathbb{C}$にも埋め込まれていると考える.
最初で考えて, 次の関数をとる:$W$$P\subset \mathbb{C}$$h\in H(P\backslash \overline{G}_{1})\cap C(\overline{P\backslash \overline{G}_{1}})$(ただし$H(X)$ で $X$ 上のすべての調和関数の族を表す) で, 境界条件として$h|\gamma_{1}\cup(\partial_{\mathbb{C}}\mathbb{C}^{+}\backslash [-a_{1}, a_{1}])=0$となるものをとる (ただし, 上記

かつ$h|\Lambda\cap\overline{P}=1$のはと同様に関する相対の境界の意味).
に関する相対境界点はすべて非退化連続体である非内点集合に含まれ, 従ってすべてディリクレ問題の正則点であり, 更に理想境界 ( に於てに関する相対境界以外の境界の意味で実際は一点) は非正則点からな$P\backslash \overline{G}_{1}$$\partial_{\mathbb{C}}\mathbb{C}^{+}=\mathbb{R}$$\partial_{W}$$\mathbb{C}^{+}$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}$$\hat{\mathbb{C}}$$\mathbb{C}$$\infty$

るから, 上の様な関数 が唯一つ定まる.
今度は $P\subset W$ とみたとき, $P$ 上
は, 特に各 $n>1(n\in \mathrm{N})$ につき,
迄連続に拡張出来(各とみて) 上の調和関数であって,
$h$

$h$

$G_{n}\subset W_{n}$(10)$G_{n}\backslash \overline{G}_{1}$$\overline{G_{n}\backslash \overline{G}_{1}}$$h|\gamma_{n}<1$となっていることに注意する.
次にかつ$w_{n}\in H(R_{n}\backslash \overline{R}_{1})\cap C(\overline{R}_{n}\backslash R_{1})$h|($(G_{n}\backslash \overline{G}_{1})\backslash \gamma_{n}$) $=0$

で境界値は $w_{n}|\partial_{W}R_{1}=0$ かつ $w_{n}|\partial_{W}R_{n}=1$91である様な関数$w_{n}$

が一意に定まる. 境界値の比較から $w_{n}\leq w_{n+1}(n\in \mathrm{N})$ であるので, $W$ 上の関数
$w:= \lim_{narrow\infty}w_{n}$が定まる. この関数 $w$ は$W\backslash \overline{R}_{1}$

上の $W$ の理想境界の調和測度と呼ばれ,

上 $w>0$ か叉は $w\equiv 0$ のいずれかとなり, W\not\in O。は, 前者, 即ち$w>0$ , で特徴づけられる. 故に主張 1 の証明を完結させる為には,を示せばよい.
に制限すれば, 同様(11)$w_{n}|\gamma_{n}=1$である.

と $w$ を同時に完閉領域$h$wn|( Wかつ$G_{n}\backslash \overline{G}_{1}$$P\underline{\backslash \overline{G}_{1}\text{上}}w>0$

かつ) $=0$$(G_{n}\backslash \overline{G}_{1})\backslash \gamma_{n}$$G_{n}\backslash \overline{G}_{1}$$=\gamma_{n}\cup(\partial_{W}(G_{n}\backslash \overline{G}_{1})\backslash \gamma_{n})$$w_{n}(z)\geq h(z)$( $z\in$$(G_{n}\backslash \overline{G}_{1})$)となるので, 比較原理 (最大値の原理) により同じ不等式がそこで $narrow\infty$ とすることにより上上調上で考えるとき, 両者共上の境界値を較べ$\overline{G_{n}\backslash \overline{G}_{1}}$の境界 W(Gn\--Gl)
和で,とたとき, (10)(11) により$W\backslash \overline{R}_{1}$$w_{n}\in H(G_{n}\backslash \overline{G}_{1})\cap C(G_{n}\backslash \overline{G}_{1})$$h$$\overline{G_{n}\backslash \overline{G}_{1}}$$W\backslash \overline{R}_{1}$$P\backslash \overline{G}_{1}$$G_{n}\backslash \overline{G}_{1}$上で成立する.

上 $w\geq h$ となる. ここで$\Lambda$の非退化性

より $h>0$ であり, 従って $w\equiv 0$ は不成立であり, W\not\in O。が結論出来る.

口$W$ の分岐点はの各点の上に一つづつあり, い
5. 主張 2 の証明
ずれも重複度は 2 であった. これらの全体を , 更に $B:=\pi(\tilde{B})$ とかくと, 無論$B=$ {\pm an}n。N である. $W$ から $\pi^{-1}(B\cup\{\infty\})$ を取り除いて得られる面を $W’$ と$\{\pm a_{n}\}_{n\in \mathrm{N}}$$\tilde{B}$

する:.
$W’:=W\backslash \pi^{-1}(B\cup\{\infty\})$このとき, $W’$ は$\mathbb{C}\backslash B$の滑らかな被覆面となる.

.

$(W\backslash \pi^{-1}(\infty), \mathbb{C}, \pi)$が完備であると言うのが主張 2 の仮定であるので,は, 滑らかかつ完備であるから正則であることが結論される.
任意の番号をとるごとに, $a_{n}<c<a_{n+1}$ となる様な任意の正の実数: $z=$をとり, $\gamma(c):=\partial\Delta(0, c)=\{z : |z|=c\}$ とおく. これを又閉曲線弧$B$
上 $W_{n+1}$ 内にあり,$ce^{it}(0\leq t\leq 2\pi)$ とみる.のどの点も通らず, を出発
とする.
含むものを
し
に戻るジョルダン曲線で, その内側に , 外側に$(W’, \mathbb{C}\backslash B, \pi)$$n\in \mathrm{N}$$c$$\gamma(c)$$c$$\mathbb{C}$$c$$\gamma_{n+1}$$\gamma_{n}$$\gamma\subset\pi(W’)$とみたとき,$\gamma$$\gamma$

そのものを $W’$ で考えて, $c\in W_{n+1}$ とみてそのを始はホモトピッ$c$に沿う接続と考えることも出来る. $\pi(W’)$ 内で とを $W’$ 内の $c\in W_{n+1}$ をクだから, 一価性の定理 (モノドロミー定理) により,はホモトピックとなり,始点とするに沿う接続とすれば, $W’$ 内で との内部が定まるが $W$ 内のジョルダン曲線となる. $W$ は単連結なので,故それを $R(c)$ と記すことにする. 構成から容易に分かるように $B$ に入らぬ二正–$R(c)\subset
R(c’)$ となる.
で $c<c’$ ならば
数 と
点とする

$\gamma$$\gamma$$\gamma(c)$$\Gamma(c)$$\gamma(c)$$\Gamma(c)$$\Gamma(c)$$\Gamma(c)$$c$$\gamma$

$c’$

92
二正数列
あたっては条件$(a_{n}^{+})_{n\in \mathrm{N}}$及び$(a_{n+1}^{-})_{n\in \mathrm{N}}$を後述の様な条件をみたす様にとるが, さし$a_{n}<a_{n}^{+}<a_{n+1}^{-}<a_{n+1}$$(n\in \mathrm{N})$をみたす限りは全く任意にとる. すると領域列$R(a_{1}^{+}),$$R(a_{2}^{+}),$$R(a_{2}^{-}),$$R(a_{3}^{-}),$

は $W$ の正則近似列となる. この近似列を$\cdots,$$R(a_{n}^{+}),$$(S_{n})_{n\in \mathrm{N}}$び $S_{2n}=R(a_{n+1}^{-})(n\in \mathrm{N})$ とおくのである. さて$R(a_{n+1}^{-}),$ $\cdots$と記す, 即ち $S_{2n-1}=R(a_{n}^{+})$ 及
上の円環$\mathbb{C}$

A、$:=\{z\in \mathbb{C} : a_{n}^{+}<|z|<a_{n+1}^{-}\}$$(n\in \mathrm{N})$及ひ $W$ 上の二重連結領域 (アニュラス)$\tilde{A}_{n}:=S_{2n}\backslash \overline{S}_{2n-1}=R(a_{n+1}^{-})\backslash \overline{R(a_{n}^{+})}$$(n\in \mathrm{N})$を考える. すると $\pi(\tilde{A}_{n})=A_{n}$ である.
とおくとき, $W’$ 内での $W_{n+1}$の点を始点とするに沿う接続をとすると, の終点は $a_{n+1}^{-}\in W_{n+1}\subset W’$となる. するととなる.
は単連結なので,$\alpha:=[a_{n}^{+}, a_{n+1}^{-}]$$a_{n}^{+}$$\tilde{\alpha}$$\alpha$$\tilde{\alpha}$$\pi(\tilde{A}_{n}\backslash \tilde{\alpha})=A_{n}\backslash \alpha$$(W’, \mathbb{C}\backslash B, \pi)$$A_{n}\backslash \alpha$が正則であり,かつ丸なので, 一価性の定理 (の系, 即
ち単連結領域の正則な滑らかな被覆面は又単連結で射影は等角写像となることをは全単射で言う主張) により, :は等角写像で, 又 :は等角写像なることがわあり, が の各点で解析的なことから, :かる. 以上によりやのモデュラス mod に関する最も肝心な等式$\tilde{A}_{n}\backslash \tilde{\alpha}\subset W’$

$\pi$

$\pi$

$\backslash \alpha\subset \mathbb{C}\backslash B$$\tilde{A}_{n}\backslash \tilde{\alpha}arrow A_{n}\backslash \alpha$$\tilde{\alpha}$

$\pi$

$\pi$

$A_{n}$$\tilde{A}_{n}arrow A_{n}$$\tilde{A}_{n}$mod \tilde 、(12)$\tilde{\alpha}arrow\alpha$$=\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$$A \text{、}=\log\frac{a_{n+1}^{-}}{a_{n}^{+}}$$(n\in \mathrm{N})$が結論出来る.
及ひ an-+l\uparrow a 一とすると $\log(a_{n+1}^{-}/a_{n}^{+})\uparrow\log(a_{n+1}/a_{n})$ である故 [こ, 各
を
こ対して
及び
$a_{n}^{+}\downarrow a_{n}$$n\in \mathrm{N}\}$$a_{n}^{+}$$a_{n+1}^{-}$$\log\frac{a_{n+1}^{-}}{a_{n}^{+}}>\frac{1}{2}\log\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$となる様に選ぶことが出来る. これが上に予告した$(a_{n}^{+})_{n\in \mathrm{N}}$方で, 上の様に定めたものを固定する. すると (12) から(13)$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \tilde{A}_{n}>\frac{1}{2}\log\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$$(n\in \mathrm{N})$が導かれる.
そこで $W$ の正則近似列$(S_{n})_{n\in \mathrm{N}}$に関するモデュラス和$\sigma:=\sum_{m\in \mathrm{N}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(S_{m+1}\backslash \overline{S}_{m})$及び$(a_{n+1}^{-})_{n\in \mathrm{N}}$

の選ひ

93
を考える. すると$\sigma$の和をとびとびにとり$\sigma=\sum_{m\in \mathrm{N}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (S_{m+1}\backslash \overline{S}_{m})>\sum_{n\in \mathrm{N}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (S_{2n}\backslash \overline{S}_{2n-1})=\sum_{n\in \mathrm{N}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \tilde{A}_{n}$となる. よって更に (13) を使うと$\sigma\geq\frac{1}{2}\sum_{n\in \mathrm{N}}\log\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}\lim_{Narrow\infty}\sum_{1\leq n\leq N}\log\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}\lim_{Narrow\infty}(\log a_{N+1}-\log a_{1})=+\infty$により $\sigma=+\infty$ となる. W\in O。となる為には, $\sigma=+\infty$ となる $W$ の正則近似列が存在すること (この場合がそれ) が必要十分であると言う SariO-Noshiroの判定条件 (例えば [6] 参照) により (実際今の所十分性を使うだけであるが), $W$ が
口
放物型 (即ち $W\in O_{G}$ ) であることが結論出来る.
$(S_{n})_{n\in \mathrm{N}}$

参照文献

[1]

$\mathrm{L}.\mathrm{V}$. AHLFORS AND L. SARIO: Riemann Surfaces, Princeton Univ. Press,

1960.
[2] 林実樹廣・中井三留: 主関数問題と有理型関数体, 研究集会 「関数環論とその応用」 , 2000 年 12 月, 早稲田大学.

[3 石田久: 私的な会話, 2001 年 7 月, 京都大学数学教室.
[4 R. NEVANLINNA: Analytic Functiom, Springer, 1970.

[5 B. RODIN AND L. SARIO: Principal Functions, Van Nostrand, 1970.
[6] L. SARIO AND M. NAKAI: Calssification Theory of Riemann Surfaces,$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}_{1}$1970.
[7] M. TSUJI: Potential Theory in Modern Function Theory, Maruzen, 1959.