数理解析研究所講究録 1271 巻 2002 年 135-144135
液膜の非線形波動現象
阪大

1

基礎工

吉永隆夫 (Yoshinaga Takao)

はじめに
液膜とは薄い液体の膜をさすが, ここでは分子間力 (ファンーデアーワールスカ) の影響が現れないほど厚い, すなわち少なくとも厚みが数百ナノメートルはあり, がっ流体運動がナヴイアーストークス方程式で記述できるような場合について考える. このような液膜の例は, シャボン玉にはじまり, 傾いた壁面上の流れ, フライパンに引いた油, 関節液や涙など我々のまわりでしばしば見られるだけでなく, 潤滑油, コー
ティング, 凝縮器, 遮蔽膜などその応用は工業的にも重要である.

液膜は多くの場合界面が自由表面で, 僅かな変形でも液膜の厚みに比べれば大変形となるので強い非線形性が現れるなどの特徴がある. そのような現象を数値的に調べることは有効で, これまで離散渦法 [1]や MAC 法 [2] などのラグランジュ的な方法や Level Set 法 [3] などのオイラー的な方法が用いられてきた. しかし, 数値解析特有の数値粘性などにょる解の精度の低下の問題や長時間にゎたる計算時間の問題

と共に, 解が個々のパラメータに対して個別的にしか得られないため, 現象に対する見通しが悪くなるな

どの欠点がある. 一方, 解析的には膜の厚みが薄いことを考慮した \mbox{\boldmath $\zeta$}薄膜近似’ をナヴイアスストークス方

程式に用いて, 現象をうまく記述するような非線形方程式の摂動的な導出もおこなゎれてきた [4]. この場合, 解は比較的容易に求めることができ, また現象に対する見通しもよい反面シート形状が多価になる
ような複雑な現象は調べることはできず, また各変数のスヶ– リングの設定を個々の問題に適するようにおこなう必要がある. 特に, 固体壁がある場合と無い場合で液膜の振る舞いは大きく異なる. 前者では粘性が重要な役割を果たし, 後者では慣性が重要な役割を果たす. そのため, 摂動におけるスヶ– リング
もこの両者間で異なってくる.
本稿では, 自由界面を持っ液膜の現象に注目し, その振る舞いを調べるための解析的な手法につぃて紹介すが, まず薄膜近似の方法について述べる.

2

薄膜近似 (潤滑理論)
薄膜近似の方法は, その最低次の近似で固体壁間の薄い液膜の解析における ‘潤滑理論’ として古くがら知られている [5]. 今, 液膜の厚みの程度を, 現象の代表長さを , 代表速度をのとする.
程度の大きさに取り, 液膜の薄さを $h_{0}/\ell\sim\epsilon(\ll 1)$ 程度であると考える.
座標系での速度成分を$(u, w)$ として, $u\sim u_{0}\sim 1,$ $x\sim\ell\sim 1,$ $t\sim\ell/u_{0}\sim 1,$, の程度と考えることができる. このとき,となるので, 連続の式よりと評価できる. さらに、運動方
程式 (ナヴイアースのクス)
成分では, 圧力項と粘性項の釣り合いよりとおける$h_{0}$$\ell$$u_{0}$$l,$$u_{0}\sim 1$$(.x., \approx)$$z\sim h_{0}/\ell\sim\epsilon$$\partial/\partial t,$$\partial/\partial x\sim 1,$$\partial/\partial z\sim\epsilon^{-1}$$\text{ト}-$ので,$w\sim\epsilon\cdot n\sim\epsilon$$x$$\partial^{2}u/\partial z^{2}\sim\partial p/\partial x$程度と見積もることがでる. 一方,

成分では, 主要項は
この結果, 最低次の薄膜近似により得られる方程式 (潤滑モデル) は$p\sim\epsilon^{-2}$p/\partial z $=0$ ,$z$$-\partial p/\partial_{X+l^{l}}\partial^{2}u/\partial z^{2}=0$,$\partial u/\partial.x+$$p/\partial z\sim 0$となる.

lp’/\partial \tilde \tilde . $=0$ ,

(1)

.

(2)

となり, その解は以下のように与えられる:$p=p(x)$ ,$u= \frac{1}{2_{t^{\mathrm{t}}}}\frac{\partial p}{\partial x}\approx^{2}+C_{1}’z+C_{2}$,$\int_{0}^{h}.\frac{\partial\iota\iota}{\partial x}.\cdot \mathrm{d}\approx+[u’]_{0}^{\mathit{1}\iota}=0$

136$\neq \mathrm{a}\vee Cu,$$w\emptyset\oplus ffi\ovalbox{\tt\small REJECT}\#[]’.$\d ag er

$O\not\in \mathrm{a}\mathrm{e}C_{1},$$C_{2}k^{\backslash }\mathrm{A}\sigma\pi_{\mathrm{u}}n\mathrm{a}\mathrm{e}p\mathrm{i}*b\mathrm{b}\hslash o$.

図 2. スクイーズ流れ

図 1. 流体ベアリング

例として, 図 1 に示すように速度 $U$ で移動する平面壁に緩やかな傾斜を持った長さ の固定片が向かい合い, その楔形のすきま (最大値 ) に引き込まれる流体が発生する E 力で固定片が支えられている (流体ベアリング’ の問題を考える. このとき, 楔形斜面 $z=h(x)$ での法線ベクトルおよひ接線ベクトルは$\mathrm{n}=(h_{x}, -1)/(1+h_{x}^{2})^{3/2},$ $\mathrm{s}=(1, h_{x})/(1+h_{x}^{2})^{3/2}$ で与えられ, 傾きが緩やかであることから最低次の近似で境界条件は $z=h(x)$ で $u=w=0,$ $z=0$ で $u=U,$ $w=0$ となる. この条件より (2) 式でのが決定され, さらに圧力 に関する線形方程式$L$$h_{0}$$C_{1}.C_{2}$$p$$H_{\xi}= \frac{1}{6}(H^{3}P_{\xi})_{\xi}$(3),が得られる. ただし, 無次元変数 $\xi=x/L,$ $H=\epsilon^{-1}h/L,$ $P=\epsilon^{-2}p(L/\mu U)$ が導入されている. (3) 式はレイノルズ方程式と呼ばれ 与えられた壁面の形状 $H$ に対して発生する圧力 $P$ の分布を決定でき , 軸受
け (ジャーナル軸受け) のモデルとして知られている.

一方, 図 2 に示すように, $z=0$ で $u=w=0,$ $z.=h$ で $u=0,$
このとき (3) 式の代わりに,$w=\partial h/\partial t$のような境界条件を考える.

$H_{\tau}= \frac{1}{12}(H^{3}P_{\xi})_{\xi}$(4)が得られる. ただし, $\tau=tU/L,$ $w\sim U$ とする. この方程式はスクイーズ方程式として知られているが、を一定, $\tau=0$ で $H=H_{0}$ などの条
特に, $H=H(\tau)$ の場合, $\xi=0,1$ で $P=0$ とし, 外力$F(= \int_{0}^{1}P\mathrm{d}\xi)$

件を用いると $H^{-2}-H_{0}^{-2}=2\tau F$ の解が得られる. この解は液膜の厚みが 0 になるのに無限の時間を要することを意味している. これは, 固体壁面に荒らさがなければ粘性のため液体は壁面に粘着し続けるという性質からきており, 関節にかかる大きな加重が関節液により支えられているのはその例である.

3

固体壁のある場合の液膜

一方が固体壁で他方が自由界面の液膜を, 水平平面壁の上での液膜と斜面を流れ落ちる液膜の二つの場合に分けて考える. 後者の場合は前者ほど粘性の影響が大きくなく , それらを考慮したスケーリングを行う必要がある.

137

図 3. 水平平面壁上の液膜
図 4. 斜面流

3.1$\rho,$

水平平面壁上の液膜

図 3 は自由界面を持つ水平平面壁上の液膜を示しており [4], 液体は非圧縮, その密度およひ粘性率を, 重力加速度を , 重力のボテンシャルを とする. さらに, 固体壁及ひ界面上方の温度 がそれぞれ$\phi$$g$$\mu$$\theta$とする. また, 表面張力 の温度依存性を考で与えられ, 界面での熱伝達を考え, その係数をと仮定し, 液体の熱伝導率を, 比熱を とする. このとき,
運動方程式
エネルギー式
基礎方程式は連続の式,(ナヴイアストークス),(熱伝導方程式) から$\theta_{0},$$\theta_{\infty}$$\sigma$$\alpha_{th}$慮し, 温度の減少関数$\mathrm{d}\sigma/\mathrm{d}\theta=-\gamma(\gamma>0)$$k_{th}$$c$$u_{x}+w_{z}=0$ ,(5)$\rho(u_{t}+uu_{x}+wu_{z})=-p_{x}+\mu(u_{xx}+u_{zz})-\phi_{x}$ ,(6)$\rho(w_{t}+uw_{x}+ww_{z})=-p_{z}+\mu(w_{xx}+w_{zz})-\phi_{z}$ ,$\rho c(\theta_{t}+u\theta_{x}+w\theta_{z})=k_{th}(\theta_{xx}+\theta_{zz})$$(_{(}^{-})$.

(8)

境界条件は $z=h$ での運動学的, 接線, 法線方向の応力連続, 熱流束の釣り合いの条件 (ニュートンの冷却則) より
ht+uh エー $w=0$ ,(9)$\mu(1-h_{x}^{2})(u_{z}+w_{x})+2\mu(w_{z}-u_{x})h_{x}=\sigma_{x}(1+h_{x}^{2})^{-1/2}$

,

(10)

$-p+2\mu[(1-h_{x}^{2})w_{z}-(u_{z}+w_{x})h_{x}](1+h_{x}^{2})^{-1}=\sigma h_{xx}(1+h_{x}^{2})^{-3/2}$$k_{th}(\theta_{z}-h_{x}\theta_{x})(1+h_{x}^{2})^{-1/2}+\alpha_{th}(\theta-\theta_{\infty})=0$

,

(11)

,

(L2)

壁面 $z=0$ では固着条件と温度一定の条件より$u=w=0$ ,$\theta=\theta_{0}$が得られる. 以下では, 自由表面での撹乱の波長$p_{x}\sim\mu u_{zz}$ を仮定する.
このとき,$\lambda$$t\sim\lambda/u_{0}\sim\epsilon^{-1},$

り,$p\sim\mu/\epsilon\sim\epsilon^{-1}$

,

(14)

を代表長さ, 代表速度を$x\sim\lambda\sim\epsilon^{-1},$とし,$u_{0}$$z\sim h_{0}\sim 1,$ $u\sim 1,$$h_{0}/\lambda=\epsilon\ll 1$$w\sim\epsilon$

で,の程度 [こなを仮定するので, 以下のようなスケーリングを考慮した変数変換を導入する :$\xi=\epsilon x/h_{0}$,$(=z/h_{0}, \tau=\epsilon t(u_{0}/h_{0})$$H(\xi, \tau)=h/h_{0}$,$U(\xi, \zeta, \tau)=u/u_{0}$$\Phi(\xi, \zeta, \tau)=\epsilon\phi h_{0}/\mu u_{0}$

さらに従属変数を(I3)$\epsilon$,$\Theta(\xi,$

,

,

(15)

$W(\xi, \zeta, \tau)=\epsilon^{-1}w/u_{0}$$(, \tau)=(\theta-\theta_{\infty})/(\theta_{0}-\theta_{\infty}),$,$P(\xi$,$(, \tau)=\epsilon ph_{0}/l^{\iota u_{0}}$$\mathrm{I}=(\Sigma_{0}-M\ominus)=\epsilon\sigma/\mu U_{0\backslash }$.
(16)

で以下のように展開する :$(U, W, P, \ominus)=(U_{0}, W_{0}, P_{0}, \ominus_{0})+\epsilon(U_{1}, W_{1}, P_{1}, \ominus_{1})+\epsilon^{2}(U_{2}, \nu \mathfrak{s}\acute{\prime}, {}_{2}P_{2}, \ominus_{2})+\cdots$.

$(1_{l}^{-})$

138
上式を基礎方程式及ひ境界条件に用いて, 最低次の近似から$U=( \Phi-\frac{H_{\xi\xi}}{C},)_{\xi}\frac{(^{2}}{2}..-(\Phi-\frac{H_{\dot{\zeta}\xi}}{C’})_{\xi}H(+\underline{\nabla}\zeta\dot{\mathrm{t}}$$\ominus=1-\frac{\mathrm{B}\mathrm{i}(}{1+\mathrm{B}\mathrm{i}H}$などと共に $H$ の非線形発展方程式,$H_{\tau}+[ \frac{\epsilon^{3}H^{3}\mathrm{W}\mathrm{e}}{3}H_{\xi\xi\xi}-\frac{\mathrm{G}’H^{3}}{3}H_{\zeta}+\frac{\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{M}}{2(1+\mathrm{B}\mathrm{i}H)^{2}}H^{2}H_{\xi}]_{\xi}=0$, 重力定数が導入され, $\Phi|_{\zeta=H}=GH$ およひを得る. ここで, 無次元パラメータとしてウエバー数$\mathrm{W}\mathrm{e}=\sigma_{0}/_{l}\iota_{0}(\sim\epsilon^{-3})$, マランゴニー数である. (19) 式の $[]$ 内第 1 項は表面張力による項, 第 2 項は重力による項, 第 3 項}数$\triangle$$\mathrm{M}=\Delta\sigma/_{l}\iota\tau\iota_{0}$$\mathrm{B}\mathrm{i}=\alpha_{th}h_{0}/k_{th}$表面での温度分布により引き起こされる表面張力の変化による項 (マランゴニー効 1
このような液膜の安定性をみるため, 実波数 , 複素角周波数$k.$$\omega$をもつ微小撹乱 H-

を (19) 式に用いて線形分散関係式.

$\omega+[.\frac{k^{4}\epsilon^{3}\mathrm{W}\mathrm{e}}{3}+\frac{G}{3}k^{2}-.\frac{\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{M}}{2(1+\mathrm{B}\mathrm{i})}k^{2}]=0$を得る. ボンド数$\mathrm{B}\mathrm{o}=\mathrm{G}/\mathrm{W}\mathrm{e}=\rho gl\mathrm{t}_{0}^{2}/\sigma_{0}$とおくと,$0<k<k_{c}=\sqrt{-\frac{\mathrm{B}\circ}{\epsilon^{3}}+\frac{3\mathrm{B}\mathrm{i}}{2\epsilon^{3}(1+\mathrm{B}\mathrm{i})}\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{W}\mathrm{e}’}}$となるような波数 の範囲に対して $\omega>0$ となり撹乱は不安定となる.
の場合は撹乱は常に安定であることが;(21) 式で M=0(温度差がなく) かつになると, (19) 式は表面張力が支配的な流れを表し, 眼球表面での涙の膜などはこのの場合, 重力により駆動される流れを示し. 溶岩
できる例である. 一方,
水の薄い層 (塩水楔) などがこの方程式で記述できることが知られている. 特に. ニ
コンパクトサポート ( の有限領域でのみ $H$ は値を持ちその他では 0) な相似解を持る [6]. これは非線形効果によるものであり, この方程式を $H=1$ 回りで線形化して$k$$\mathrm{B}\mathrm{o}\geq 0$$\mathrm{W}\mathrm{e}=0,$$\mathrm{M}=0$

$($

$\xi$

式では, $\tau=0$ で の有限領域にある解も $\tau>0$ では無限領域にまで広がってしまうの場合, 液膜は長波長撹
すなわち(温度差がなく) でも,さらに,なる. この不安定はレイリー-テイラー不安定として知られ, 液膜の場合上面が固体個場合に相当する. このような不安定では, 最初 (19) 式でかけるような 2 次元撹乱力墳
成長すると 3 次元性が重要になり, 液膜の場合 6 角形パターンなどの構造が現れ崩:$\backslash \cdot$$\xi$$\mathrm{M}=0$$\mathrm{B}\mathrm{o}<0$$\mathrm{G}<0$

れている [7].

となるような温度差がある場合でも液一方,で, 液膜の上下界面でして不安定になる. 液膜自由表面での熱伝達を考えているので, 界面での等温を仮 i
凹凸に応じて温度分布が現れる. 通常の液体では, 温度が高いほど表面張力は小さく
面よりも温度が高いとき山よりも谷の部分の温度が高くなり, 表面張力は山の部分るため流体は谷から山に引つ張られ, 凹凸はますます大きくなり不安定化される [8].
$\mathrm{b}\mathrm{f}\neq 0$$\Delta\sigma>0$

線形性の影響のため山が比較的なだらかで谷が急峻になることが示されている. 表により引き起こされるこの現象はマランゴニー現象と呼ばれている. 薄く油を引いるとき直接炎の当たっている部分の界面がへこんで谷になり, 温度の低い部分は盛象の例である.

139
3.2

斜面流

図 4 に示すように水平面と角度をなす斜面を流れる液膜を考える [9]. このとき, (6),式で$\phi_{z}=\rho g\cos\psi$ とおくことができる.
とし, 前節同様
を仮定す$\phi_{x}=-\rho g\sin\psi,$$\psi$$(^{arrow}()$$h_{0}/\lambda=\epsilon(\ll 1)$

るが, 流れを考えるので粘性の影響が前節の場合よりも弱いとして
厚み$p_{x}\sim\ell\iota\tau\iota_{\sim}- z$$p\sim l\iota/\epsilon\sim 1$を仮定する. 一様流の膜を代表長さ, そのときの表面での流速 $u_{0}=h_{0}\rho g\sin\psi/2l\iota$ を代表速度として変数のスヶ– リング:$h_{0}$$\xi=\epsilon x/h_{0}$$H(\xi, \tau)=h/h_{0}$,,$U(\xi, \zeta, \tau)=u/u_{0}$,,$\tau=\epsilon t(u_{0}/h_{0})$,$W(\xi, \zeta, \tau)=\epsilon^{-1}w/u_{0}$,$\zeta=z/h_{0}$(22)$P(\xi,\tilde{\zeta}, \tau)=p/\rho u_{0}^{2}$

,

(23)

を導入し, さらに従属変数を$(U, W, P)=(U_{0}, W_{0}, P_{0})+\epsilon(U_{1},$ $W_{1}$,$P\text{ }+\epsilon^{2}(U_{2)}W_{2}, P_{2})\cdots$.

のように展開して, 基礎方程式およひ境界条件に用いて の幕で整理する. その結果,$\epsilon$$U_{0}=2 \zeta(H-\frac{1}{2}\zeta)$

さらに,$\mathrm{O}(\epsilon^{2})$,$P_{0}=(H- \zeta)\mathrm{F}\mathrm{r}\cos\psi-\epsilon^{2}\frac{\mathrm{W}\mathrm{e}}{{\rm Re}}H_{\xi\xi}$,(24)$\mathrm{o}(1)$$V_{0}=-H_{\xi}\zeta^{2}$$\mathrm{O}(\epsilon)$

,

で

(25)

で以下の非線形振幅方程式$H_{\tau}+2H^{2}H_{\xi}+ \epsilon[\frac{8}{15}{\rm Re} H^{6}H_{\xi}-\frac{2}{3}\cot\theta H^{3}H_{\xi}+\frac{1}{3}\epsilon^{2}\mathrm{W}\mathrm{e}H^{3}H_{\xi\zeta\xi}]_{\xi}=0$を得る. ただし, レイノノレズ数

れ,

およひ

${\rm Re}=h_{0}u_{0}\rho/\mu$, ウェバー数$\mathrm{W}\mathrm{e}=\sigma/\mu u_{0}$, フノレード数の関係が成り立っ.

,(26)$\mathrm{F}\mathrm{r}=h_{0}g/u_{0}^{2}$

が導入さ
程度で成

この方程式はベニー方程式としてよばれており,り立つことが知られているが, さらに大きなレイノルズ数に対しては上式では十分ではなく境界層の影$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{F}\mathrm{r}=2/\sin\psi$${\rm Re}\sim 1$

響を考慮する必要がある [10].
(26) 式の線形安定性を調べるため複素角周波数を$\omega=\omega_{R}+\mathrm{i}\omega I$

とおいて, $H-1\propto\exp[\mathrm{i}(k\xi-\omega\tau)]$のような微小撹乱を仮定し以下の関係を得る :$\omega_{R}=2k$,$\omega_{I}=\epsilon k^{2}[\frac{8}{15}{\rm Re}-\frac{2}{3}\cot\theta-\frac{1}{3}\epsilon^{2}\mathrm{W}\mathrm{e}k^{2}]$

.

(27)

(27) の第 1 式で無次元化された位相速度が $v_{p}=\omega_{R}/k=2$ となることから, 撹乱の速度は界面での流速の 2 倍であることがわかる. 一方, 第 2 式から臨界レイノルズ数
Rc $=(5/4)\cot\theta$ が存在して,$u_{0}$${\rm Re}\leq$

Rc の場合$\omega_{I}\leq 0$となるので常に安定,${\rm Re}>\mathrm{R}\mathrm{c}$では$0<k<k_{c}=2^{\cdot}\sqrt{\frac{2({\rm Re}-\mathrm{R}\mathrm{c})}{5\epsilon^{2}\mathrm{W}\mathrm{e}}}$

,

(28)

となるので不安定となることが分かる. この領域で $k=k_{m}=k_{c}/\sqrt{2}$.
に対して最大増幅率
が Rc から離れるにっれて増をとり,幅率は増大する. さらに, \psi =\pi /2(垂直壁) のとき,となり常に不安定となることを注意しておく.
ところで, 線形不安定により撹乱が増幅された後どのようになるかという疑問に対しては, 非線形の安定性を調べる必要がある. 今, 非線形性の程度を微小 とする弱非線形問題を考える.
での領域の長波長撹乱に対して$\omega_{I}>0$$(\omega I)_{\max}=(3\epsilon)/(\epsilon^{2}\mathrm{W}\mathrm{e})[8({\rm Re}-\mathrm{R}\mathrm{c})/15]^{2}$${\rm Re}$$\mathrm{R}\mathrm{c}=0$$\delta$${\rm Re}\sim \mathrm{R}\mathrm{c}+\mathrm{O}(\delta^{2})$の変調安定性を調べるため, $H-1=\delta A(\tau_{2})\exp[\mathrm{i}(k\xi-\omega_{R}\tau)]+C.C$ . とおいて,の引き延ばされた時間座標を導入し,程度の弱い増幅率を仮定する. これらを, (26) に用いると,で次の$\tau_{2}=\delta^{2}\tau$$\omega_{I}\sim\delta^{2}$$\mathrm{o}(\tilde{\delta}^{3})$振幅変調の方程式を得る:$|A|_{\tau_{2}}=\omega_{I}|A|+J|A|^{3}$

ここで,

,

(29)

の実関数で $0<k<k_{s}=k_{c}/2$ で $J>0$ , ks<k<k。で $J<0$ である. この方程式はランダウ方程式として知られており, (29) 式で撹乱 $|A|$ が十分小さければ, 右辺第 2 項は無視でき, 先の線
$J$

は

$k$

140
形安定性の問題に帰着する. しかし不安定により撹乱の振幅が大きくなってくると. 右辺第 2 項の影響
. で常に正になるが, ks<k<k、では $J<0$ となるので. 撹乱はを考慮する必要がある.
は口 $|=\sqrt{-\omega_{I}/J}$ の定常解に漸近することが可能である (超臨界分岐). さらに, $0<k<k_{s}$ ではもはや定常解は存在せず, 解は不安定となり別の状態へ移る (亜臨界分岐) ことが予想される. このような線形,$\omega_{I}$$0<k<\Lambda_{\grave{\mathrm{t}}}$弱非線形安定性の領域が図 5 に示されている.

(29) 式は中立安定に近い波数 近傍での撹乱の発展(変調安定性) を調べているに過ぎず. 複数個の不安定な波の相互作用や低波数の撹乱により現れる現象を記述するには十分でない. 事実 (26) 式は波数 .
の波とその高調波との相互作用の結果, 定常的に伝播する孤立波が存在することが知られている. また.
$k$$l_{\backslash }$$k_{c}>k>k_{s}$ の範囲での定常解は波数 $k/\cdot 2$ の撹乱に対して不安定 (分数調波不安定) となるため, 撹乱の波数

は次第に低下していき不安定な波数領域$0<\Lambda\cdot<k.,\backslash$へと移り, カオス的な不規則波が現れる場合もある.

ところで. このような段階までは流れ方向の撹乱が横方向の撹乱に対してより支配的であったが. さらに下流に進むにつれて孤立波を含め 2 次元構造は横方向の撹乱に対して不安定となり 3 次元的な構造が現れるようになる. そして, 最終的には界面の 3 次元的に不規則な現象へと発展していくが、このとき不規則な波の中に局在する 3 次元的な構造が見られる $.[11]$最近, (26) 式を高次微小分散項まで含め 3 次元に拡張したべ— 一方程式が数値的に調べられ, 適当な分散性のもとでは実験で観察されているような馬蹄形の局在パルス構造が現れることが示されている [12].

4固体壁のない場合の液膜

固体壁がある場合, 壁面での粘性効果が液膜の振る舞いに重要な役割を果たし. 摂動的な取り扱いではを仮定してきた. しかし, 固体壁のない場合, 液膜の振る舞いには
圧力項と粘性項の釣り合いを仮定する. 平面シートの場合, 図
粘性よりも慣性項が重要であり, 慣性項と圧力項の釣り合い
6 に示すような対称モード, 図 7 に示すような反対称モードの二つの撹乱モードが可能であるが, 両者の間で摂動のスケーリングは異なるので, 以下ではそれらを分けて述べることにする. さらに, 両面が自由$l^{J_{x}}\sim\mu u_{xx}$$p_{x}\sim\rho\cdot n_{\mathrm{t}}$境界の場合容易に大変形し, これまで述べてきた摂動的な取り扱いでは十分でない場合があるため, 展開

パラメータに独立及ひ従属変数を含むシートの厚みによる展開方法についても述べる.

図 6. 対称モード

図 -’. 反対称モード

141
4.1

$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{R}1_{-}^{-}\mathrm{A}o \mathrm{J}j\not\in(*\backslash \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\yen-\vdash.)$

図 6 に示すような対称モード撹乱に対しては, 粘性がなければ波数

$k$

と角周波数

$\omega$の間で分散関係(30)$\omega=.\sqrt{\frac{\sigma k^{3}}{\rho}\mathrm{t}\prime \mathrm{a}111\iota\frac{kb_{0}}{\mathit{2}}}.‘$’

を満す必要があり, まわりの流体との相互作用が無ければ常に安定である.
を撹乱のない場合の膜厚. とおくと, (30) 式は $\omega\sim v_{s}k^{2}(1-k^{2}b_{0}^{2}/24+\cdots)$
みとすれば, 長波撹乱 $(k\ll 1)\}$ こ対してと近似できる. この関係を用 ると $\exp[\mathrm{i}(kx-\omega t)]\sim\exp[\mathrm{i}(kx-k^{2}v_{s}t)]$ となるので,となるような長波長撹乱に対して位相が $0(1)$ の程度でに変化するためには,の程度でなければならない. このとき, 圧力項と慣性項の釣り合いの仮定よりとなり、連続の式がらの程度と見積もれる. さらに, を位相速度と同程度にとるととなる.
ここでは簡単のために, 主流の速度がない場合 (または, 一定流れ速度に乗った系がらみた場合) の液膜について考え, 液体の粘性, シート両面間での温度差による表面張力の温度依存性の影響を考慮する.
上で見積もった大きさの程度を考慮して, 独立変数およひ従属変数のスヶ– リングを以下のように導入$b_{0}$$v_{s}=\sqrt{\sigma b_{0}/2\rho}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$k\sim\epsilon$$x\sim\epsilon^{-1},$ $t\sim\epsilon^{-2}$$p_{x}\sim\rho u_{t}$$\omega/k$

$u$

する:
$\xi=\epsilon(x/b_{0})$$U=\epsilon^{-1}ub_{0}/\nu$

ただし, $\nu=\mu/\rho,$$b_{0}$,$p\sim\epsilon u$.
,$\sim \mathrm{e}\iota\{$$u\sim\omega/k\sim k\mathrm{t}_{S}’.\sim\epsilon$$\zeta=\approx/b_{0}$$w(\nu/b_{0})=\epsilon^{2}\nu V$$\iota\dot{\iota},$,$\tau=\epsilon^{2}t(\nu/b_{0}^{2})$$p(b_{0}^{2}./\rho\nu^{2})=\epsilon^{2}P$,,$h_{\pm}/b_{0}=H_{\pm}$

(.31)

,

$\theta/\overline{\theta}=$.

を撹乱のない場合のシートの厚み, $z=h_{\pm}$ をシートの上面下面を示し,(.32)$\overline{\theta}$

を両面間での平均温度とする. さらに, 従属変数を以下のように展開する:.

$(U, \nu V, P, \ominus)=(U_{0}, \nu V_{0}, P_{0}, \ominus_{0})+\epsilon^{2}.(U_{1}, W_{1}, P_{1}, \ominus_{1})+\epsilon^{4}(U_{2}, \nu V_{2}, P_{2}..\theta_{2}.)+\cdots$(33)

以上を基礎方程式及ひ両面を自由境界とした境界条件に代入して の幕で整理する. その際, シート厚み$b=H_{+}-H_{-}$ およひシート中心線位置 $\eta=(H_{+}+H_{-})/2$ を導入しておく.
シート両面間で温度差のために, シート面内で厚みにわたる速度分布と温度分布$\epsilon$$\Delta\ominus$,$U_{0}=- \frac{\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{i}\Delta\ominus}{(\mathrm{B}\mathrm{i}b+2)^{2}}b_{\xi}\zeta+C^{r}(\xi, \tau)$$\ominus_{0}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{i}\Delta\ominus}{\mathrm{B}\mathrm{i}b+2}.(\zeta-7\mathfrak{j})+1$

.

(.34)

が現れる. さらに, $E$ を重心座標に関する適当な定数としたとき, 中心線と厚みの関係$\eta=\frac{\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{i}\Delta\ominus}{4\mathrm{S}}[\frac{b^{2}}{(\mathrm{B}\mathrm{i}b+2)}-E]$,$(3\cdot\overline{.)}\rangle$

より, 厚みに応じて中心線が変化することから, 初期にシート界面が対称モード $(\eta=0)$ でも, 温度差のために界面は非対称になっていくことが示される. また, 厚み と面内での一様速度成分 に関して .
が十分小さい場合
$C’$

$b$

,

(36)

$b_{\tau}+(bC) \xi-\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{i}\Delta\ominus[\frac{\eta bb_{\xi}}{(\mathrm{B}\mathrm{i}b+2)^{2}}]_{\xi}=0$$b(C_{\tau}’+C’C \xi-.\frac{\mathrm{S}}{2}b\xi\xi\xi)=4(bC\xi)\epsilon+\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{i}\Delta\ominus[\cdots]+(\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{i}\Delta)^{2}[\cdots]$のように表される [1.3]. ただし, $[]$ 内は$b,$$\eta$などの高次項を示す.

$\mathrm{p}_{1}$,$(.\cdot 3_{\mathfrak{l}}^{-})$

142
このとき, 複素角周波数 と実波数 を用いに比例するような撹乱に対てする (35), (36), (37) 式の線形安定性を調べる$k$$\omega$$\exp[\omega\tau+\mathrm{i}k\xi]$と長波長近似の範囲内ではシートの安定性
は両面間での温度差により決定され, そのとき二つの臨界温度差が存在する. さらに, シート両面間での温度$\Delta\ominus_{c},$差$\Delta\ominus$

が$\Delta\ominus\geq\Delta\ominus_{c}$$\vee$$\Delta\ominus_{s}(\Delta\ominus_{c}>\Delta\ominus_{s})$で撹乱は非振動的不安

定 $({\rm Re}\omega\geq 0,{\rm Im}\omega=0),$$\Delta_{c}>\Delta\ominus\geq\Delta\ominus_{s}$で非振動的安定 $({\rm Re}\omega<0,1\mathrm{m}\omega=0)$ , さらに)で振動的安定 (Reuが大きとなる. そして, この臨界温度差は$(\mathrm{b}|p,.1\alpha u\triangleleft.\iota.s=1m\sim 3$$<0,1\mathrm{m}\omega\neq 0$$\Delta\ominus_{s}>\Delta$$\mathrm{P}\mathrm{r}$くなると減少する.
このような不安定性により, 初期の微小な対称撹乱は非対称な撹乱へと発展し, 局所的にシー.

ト厚みが薄くなるため最終的には破断に至る可能性がある. 図 7 には, 界面の温度差による非対称な変形と共に, 表面張力の温度依存性のためシート内にマランゴニー対流が誘起されている様子が示されている.

42

図 8. シート形状とマランゴニー対流

摂動展開による方法 (反対称モード)

図 7 に示すような反対称モードの場合, 分散関係は$\omega=\sqrt{\frac{\sigma k^{3}}{\rho}\coth\frac{kb_{0}}{2}}$

(38)

,

で与えられる. この場合も, 周りの流体の影響がなければ安定である. 長波長撹乱}こ対して$\exp[\mathrm{i}(kx-\omega t)]\sim\exp[\mathrm{i}k(x-v_{a}\mathrm{F})-$として, $\omega\sim v_{a}k(1+k^{2}b_{0}^{2}/24+\cdots)$ のよう [こ近似できるので, 撹乱}と見積もること力 できる. ここでも,とすれば, $x-v_{a}t\sim\epsilon^{-1},$
で表わされ,$v_{a}=\sqrt{2\sigma/\rho b_{0}}$$\mathrm{h}$$\mathrm{i}$$p_{x}\sim\rho u_{t}$$t\sim\epsilon^{-3}$$k\sim\epsilon$$\mathrm{i}(k^{3}/24)v_{a}b_{0}^{2}t]$を仮定しているので$p\sim\epsilon^{2}u$となり, 連続の式より

その結果,$\xi=\epsilon(x-v_{a}t)$,( $=z,$$\tau=\epsilon^{3}t$$w\sim\epsilon u$$u=U$ ,,, さら}こ $u\sim\omega/k\sim v_{a}\sim 1$ とする.
,

$w=\epsilon W$

(39)

,

$p=\epsilon^{2}P$のようなスケーリングが導入でき , さらに従属変数は$(U_{0}, W_{0}, P_{0})+\epsilon^{2}(U_{1}, W_{1}, P_{1})+\epsilon^{4}(U_{2}, W_{2}, P_{2})+\cdots$$(U, W, P)$$=$$(b, \eta)$$=$$(b_{0}, \eta 0)+\epsilon^{2}(b_{1}, \eta_{1})+\epsilon^{4}(b_{2}, \eta_{2})+\cdots$

(40)

,

(41)

,

のように展開できる. これらを. 粘性およひ表面張力の温度依存性を無視した基礎方程式およひ境界条で線形 1<ー dV 方程式と厚みの変化分
件に用いて の各幕で整理する. $U_{0}=v_{a}$ で は定数として,$\mathrm{O}(\epsilon^{4})$$b_{0}$$\epsilon$$\eta_{0\tau}-(v_{a}b_{0}^{2}/24)\eta 0\xi\zeta\epsilon=0$0$(\epsilon^{6})$,$b_{1}=(b_{0}/2)\eta_{0\xi}^{2}$

,

(42)

で非線形の振幅方程式,$\eta_{1\tau}-(v_{a}b_{0}^{2}/24)\eta_{1\xi\xi\xi}=(v_{a}b_{0}^{4}/680)\eta_{0\zeta\xi\xi\xi\xi}-(v_{a}b_{0}^{2}/16)\eta_{0\xi}^{2}?\mathfrak{j}0\xi\xi\xi-(v_{a}b_{0}^{2}/8)\eta_{0\xi\xi}^{2}\eta_{0\xi}$

(43)

143
が得られる. (42), (43) 式は以下の周期解を持つことが示せる :$\eta_{0}=A\exp(\mathrm{i}\tilde{\theta})+C’.C’$,$\eta_{1}=-(3/16)A^{3}\exp(3\mathrm{i}\tilde{\theta})+C’.C$

ここで, 永年項を消去するために座標の繰り込みを行っている.

.

(44)$\tilde{\theta}=\tilde{\xi}-(v_{a}b_{0}^{2}/24)\tau,\tilde{\xi}=\xi+\epsilon^{2}v_{a}b_{0}^{2}(b_{0}^{2}/640+|.4|^{2}/16)\tau$(44) により表される解は, の比較的大きな値 (強い非線形性) に対してシート中心面 の曲率が大きな部分で瘤状の膨らみ (対称モード) が現れることが示されるが, シートの破断を予測するには至らない.
(42), (43) 式では分散性の効果が大きく取り込まれているため, 相対的に非線形性の取り込みが弱くなっ$\epsilon$$\eta$ている. 従って, シートの崩壊を記述するためにはさらに強い非線形性を考慮した解析が必要である.

4.3

厚み展開

以下では, さらに強い非線形性を考慮するため, 以下で示すような従属変数 $u,$ $w,$$p$$u(x, z, t)$$=$$u_{0}(x, t)+(z-\eta)u_{1}(x, t)+(z-\eta)^{2}u_{2}(x, t)+\cdots$ ,$w(x, z, t)$$=$$w_{0}(x, t)+(z-\eta)w_{1}(x, t)+(z-\eta)^{2}w_{2}(x, t)+\cdots$ ,$p(x, z, t)$$=$$u_{0}(x, t)+(z-\eta)p_{1}(x, t)+(z-\eta)^{2}p_{2}(x, t)+\cdots$の展開を行う [14]:

(45)

.

であらわすとき, $\eta=(h_{+}+h_{-})/2$ はシート中心面を表わし, シート厚み-\eta |\leq |h よー $\eta|=b/2$ となり高々膜厚みの半分程度である.
簡単のため粘性, 重力, 温度差などの影響を考えず, 上式を基礎方程式及ひ境界条件に用いることにより,

ここで, シート上下界面をを b=h ヤーとすると,
$h_{-}$$h_{\pm}$$|z$$b_{t}+(u_{0}b)_{x}=0$,$w_{0}=\eta_{t}+u_{0}\eta_{x}$$u_{0t}+u_{0}u_{0x}=- \frac{P_{x}}{\rho}+\frac{\Delta P}{\rho b}\eta_{x}$,$w_{0t}+u_{0}w_{0x}=- \frac{\Delta P}{\rho b}.$

,
,

(46)

のような簡単化された非線形の方程式を得る [垣, 15]. ここで, $P=(P_{+}+P_{-})/2$ , \triangle P=P ヤー,$f_{\pm}=(1+\eta_{x}^{2}\pm\eta_{x}b_{x}+b_{x}^{2}/4)$ . (46) 式は薄い液膜に対する連続の式, 運動学$P_{\pm}=\mp\sigma$ (士 $b_{xx}/2$ )境界条件, $x,$ 方向の運動方程式を示している. 特に, 対称モードの場合, $\eta=0$ とおくことで$P_{-}$$\eta_{xx}$$f_{\pm},$$z$$b_{t}+(u_{0}b)_{x}=0$,$u_{0t}+u_{0}u_{0x}=- \frac{\sigma}{2\rho}\{\begin{array}{l}2b_{xx}()\end{array}\}$

,

(47)

のようなさらに簡単な非線形方程式に帰着し, 厳密な周期解が楕円関数を用いて得られている. 初期条件
が反対称モードの場合, (46) 式の数値解は, 前節 (44) でも述べたように, シート曲率の大きな部分で瘤状の対称モードとくひれが現れ, その薄い部分で破断する可能性があることが示されている. しかし, 対称モードの場合 (47) 式で周期解が得られていることからもわかるように破断には至らない. また, 両方程式では強い非線形性が取入れられているため, 相対的には分散効果が弱い. このような場合, 特に反対称モードでの破断’ 所近傍では, 非線形性に伴って現れる高調波成分に対する分散効果の影響が弱くなり,破断までの時間が短く見積もられている可能性があると考えられる.

5

おわりに

液膜の振る舞いに関する解析的な取り扱いを中心にのべてきたが, 最後にいくつかの注意点を述べておく. 不安定により界面が多価になるほど大変形する場合, 現在のところ数値的な方法に頼るしか方法がないようである. また, 強い非線形方程式の導出法として厚み展開が有効ではあるが, 粘性を含む平面
シートの場合などは必ずしもうまく行くとはかぎらないようである. さらに, 液膜の崩壊や破断付近では, もはやナヴイアーストークス方程式だけでは十分ではなく, ファンデアワールスカの影響も考慮すベ

144
参考文献
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