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Stochastic tunneling in de Sitter Spacetime
D2 宮地大河（神戸大）
w/ 早田次郎（神戸大), 德田順正（CTPU）
Based on : arXiv:2309.

2023/8/28 熱場の量子論とその応用

目次

1. Motivation
2. Stochastic approach
3. Hawking-Moss tunneling
4. Coleman-de Lucia tunneling
5. Summary and future work2

目次

1. Motivation
2. Stochastic approach
3. Hawking-Moss tunneling
4. Coleman-de Lucia tunneling
5. Summary and future work3

宇宙論におけるトンネリンング
初期宇宙においてトンネリングは重要な非摂動現象

fl・バブル同士の衝突による重力波 [Kosowsky, Turner, Watkins (1992)]
・Electro weak baryogenesis [Kuzmin, Rubakov, Shaposhnikov (1985)]
・Chain in ation [Freese, Spolyar (2005)]

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de Sitter 時空とトンネリング
・宇宙の時空は曲がっているので、重力がトンネリングに与える影響を考慮する必要がある。
・de Sitter 時空：Minkowski 時空と同じ最大対称な時空
22ds = − dt + e2Htdx2- 非自明な時空の中でも扱いやすい- 得られた結果はインフレーション中の現象論に応用可能
・この2点を踏まえてde Sitter 時空中のトンネリングを論じることにする。

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虚時間法とトンネリング
・de Sitter 時空中のトンネリングを記述する鞍点解として有名なものが2つある。
- Coleman-de Luccia (CDL) インスタントン- Hawking-Moss (HM) インスタントン
・どちらも虚時間法で論じられるトンネリング。
・ただし、HM インスタントンは一様な解 ϕ = ϕtop なので、偽の真空から真の真空への遷移として解釈しにくい。
・実時間形式で記述できれば、トンネリングとしてのHM インスタントンの描像がはっきりする。

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本研究の流れ・Stochastic approach の導入
・Langevin 方程式の導出
・経路積分形式を導入
・鞍点近似でトンネル確率を評価する

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目次

1. Motivation
2. Stochastic approach
3. Hawking-Moss tunneling
4. Coleman-de Lucia tunneling
5. Summary and future work

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Stochastic approach のアイデア

9（量子的な）短波長モードは宇宙の加速膨張に伴って引き伸ばされ、（古典的な）長波長モードになる。

1∼εH

A. A. Starobinsky and J. Yokoyama (1994)

加速膨張中に伴って長波長モードに転化する寄与を、ノイズとして取り扱った上で、長波長モードのダイナミクスを追う。

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Langevin equation

・場と共役運動量について、IR パートのダイナミクスのみに注目

ϕ = ϕIR+ϕUV, Π = ΠIR+ΠUV
・簡単のため、空間一様性とslow-roll 近似を課した場合を考える
・Langevin equation (実質0+1次元の理論)

1·ϕ
ϕIR = −V′(ϕIR) + ξ3Hϕ（ξ ：ノイズ）

・各時刻でランダムな値を取るノイズは次のような統計性を持つ￼￼￼< ξ ϕ(t) > = 0,3H< ξ ϕ(t)ξ ϕ(t′) > = 2 δ(t − t′)4π11

経路積分表示・実はLangevin 方程式と等価な経路積分表示がある（Martin-Siggia-Rose-Jansenn-de Dominicis functional integral）
ϕc(t)=ϕc∫ϕ (t′)=ϕ′p(ϕc, t | ϕ′c, t′) =cc·(ϕc, ΠΔ) exp dt(ΠΔϕc − H(ϕc, ΠΔ))[∫]V′(ϕc)
H3 2H(ϕc, ΠΔ) := −ΠΔ − 2 ΠΔ
3H8π（赤字はノイズ項）・p(ϕc, t | ϕ′c, t′) は遷移確率・ϕ′c を偽の真空、ϕc をトンネリング後の配位（真の真空 or￼𝒟￼￼￼￼￼￼￼バブル）に指定することで、トンネル確率になる。

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1. Motivation
2. Stochastic approach
3. Hawking-Moss tunneling
4. Coleman-de Lucia tunneling
5. Summary and future work

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Hamilton flow
・先ほどのハミルトニアンから得られる (ϕc, ΠΔ) 上の ow・ハミルトン運動方程式

ϕtop
ϕfalseϕtrue

3V′(ϕ)
H·c
ϕc = −− 2 ΠΔ
3H4πV′′(ϕc)·ΠΔ =ΠΔ3H・黒線は H = 0 に対応

ϕtrue へ至る owが存在する。

￼flfl

V. Elgart and A. Kamenev (2004)￼￼

・偽の真空 ϕfalse から真の真空

14HM配位とトンネル確率・先ほどの非自明な ow から右図の配位が得られる。
・この配位に対する作用はHMインスタントンの結果と完全に一致する。
t2t*

28π8π··
I = dt [ΠΔϕc − H(ϕc, ΠΔ)] = −dt
ϕV′(ϕ)=−ΔVcc∫t′
3H 4 ∫t′
3H 42

￼

￼

flfl

￼

￼8π（非自明な owの上では ΠΔ = 0, −が満たされている）
V′
3H 4目次

1. Motivation
2. Stochastic approach
3. Hawking-Moss tunneling
4. Coleman-de Lucia tunneling
5. Summary and future work

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3+1次元の場合の定式化
・Langevin 方程式（近似なし）·
ϕIR = a −3ΠIR + ξ ϕ ,·
ΠIR = a ∇2 ϕIR − a 3V′(ϕIR) + ξ Π⟨0 | ξ α(t, x) | 0⟩ = 0,(α, β = ϕ, Π),sin(kc(t)r) αβ
1 ·
α
β2′
⟨0 | ξ (t, x)ξ (t′, x ) | 0⟩ = 2 kc(t)kc(t)g (t)δ(t − t′)
2πkc(t)r・対応する経路積分形式
p(ϕc(x), t | ϕ′c(x), t′) =ϕc(t,x)=ϕc(x)∫ϕ (t′,x)=ϕ′(x)c(ϕc, Πc, ϕΔ, ΠΔ)expc··d 4 x ΠΔϕc − ϕΔΠc − H(ϕc, Πc, ϕΔ, ΠΔ)
[∫()]

￼￼￼￼

（赤字はノイズ項）
￼￼𝒟￼￼￼G αβ(x, x′) = ⟨0 | ξ α(x)ξ β(x′) | 0⟩

￼￼￼￼￼

ΠcΠΔ
1
234αβ
H(ϕc, Πc, ϕΔ, ΠΔ) =−(a∇ϕ−aV′(ϕ))ϕ−dx′
X(x)G(x,x′)X(x′)
ccΔαβ∫a32∑α,βノイズ項とカットオフスケール
・IR と UV を分けるカットオフ kc(t) = εa(t)H・この時のg αβ (in Bunch-Davies vacuum)1
1−3−1+1=ε+ε2 2) 2Ha3 ()c ( kc ηH 2η 2gϕϕ= 2kgΠΠkcgϕΠHa 3= 22 = 2 ε2H η=g

Πϕ*1
11 −1i= 2 k η + i = − 2ε + 2( c)・ε ≪ 1 (super horizon)の時、G ϕϕ が支配的→ HM インスタントンの結果も再現する
・ε ≫ 1 (sub horizon)の時、G ΠΠ が支配的→ この時、CDL トンネリングが支配的になっている

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経路積分形式（CDL ver）
・経路積分形式p≃∫(Πc, ϕΔ)exp[∫·d x (−ϕΔΠc − HCDL(Πc, ϕΔ))4]

1 4HCDL(Πc, ϕΔ) = − (a ∇ ϕc[Πc] − a V′(ϕc[Πc])) ϕΔ −d x′ϕΔ(x)G ΠΠ(x, x′)ϕΔ(x′)
2∫23・non-local term を局所化して近似する
21 4H
ε 3 2
ΠΠ
−d x′ϕΔ(x)G (x, x′)ϕΔ(x′) ≃ −a ϕΔ(x)2∫6π￼￼￼￼￼

￼￼𝒟

￼

2H
ε 3 2
23HCDL(Πc, ϕΔ) ≃ − (a ∇ ϕc[Πc] − a V′(ϕc[Πc])) ϕΔ −a ϕΔ
6π

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CDL 配位・H=0を満たす非自明な軌道上の運動方程式···
ϕc + 3Hϕc = V′(ϕc) − a −2 ∇2 ϕc,(ϕΔ ≠ 0)
・実は Euclidean AdS 時空上のKlein-Gordon 方程式
なので 、O(4) 対称性を課して解くことができる。

∂2ϕ3 ∂ϕ V′(ϕc)+=2∂ρtanh ρ ∂ρH2dϕcdρlim ϕc = ϕfalse,￼￼ρ→∞=0ρ=0CDL トンネル確率20・この配位に対する作用を計算する
2 224πα·4I ≃ d x [−ϕΔΠc − HCDL(Πc, ϕΔ)] := −Ĩ(μ,ρ̄)∫Σ
H 2ε・計算の結果、HM トンネリングより確率が大きいポテンシャルパラメータとカットオフスケール ε が確認できた・CDL インスタントンとの関係はまだ不明（future work）
注）ε はUV パートでポテンシャルを線形近似した関係で上限がついている目次

1. Motivation
2. Stochastic approach
3. Hawking-Moss tunneling
4. Coleman-de Lucia tunneling
5. Summary and future work21

22Summary• Stochastic approach に経路積分形式を導入し、トンネル確率を定式化した。

• Hawking-Moss インスタントンの結果を再現する自然な配位を見つけた• Coleman-de Luccia インスタントン的な配位を見つけ、トンネル確率を計算し、HM よりも大きくなるパラメータを確認した

23

Future work
• Euclidean method との関係
• 他のreal-time formalismとの関係 (ex: Lefschetz thimble
method, 初期量子ゆらぎの時間発展)• 他の散逸やノイズがある系に応用できるか (ex: Warmflin ation)

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ご清聴ありがとうございました25

Back up

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Decay rate in QM
量子力学の場合、トンネリングの確率はWKB法を用いて次のように評価できる。
2 aPdecay ∼ exp −dx 2V(x)[ ℏ ∫0]V(x)a

虚時間 t = − iτ を導入して変形すると

x· 2
SE[x]
1 ∞x(τ)Pdecay ∼ exp −dτ+ V(x):= exp −(ℏ )[ ℏ ∫−∞ ( 2)]

ここで SE はユークリッド作用。
軌道 x(τ) は次の境界条件を満たす。

x(τ = ± ∞) = 0, x(τ = 0) = a−V(x)axDecay rate in QFT (Flat spacetime)
この形式を場の量子論へ拡張すると

Pdecay ∼ exp (−SE[ϕ])V(ϕ)

ここでユークリッド作用は
ϕtrue

1 μ
SE = d x ∂ ϕ∂νϕ + V(ϕ)[2]∫2ϕスカラー場ϕが満たす境界条件はϕ(τ, x)⃗|x|=∞⃗dϕ(0, x)=0dτ= 0,ϕ(τ, x)⃗τ=±∞=0この境界条件を満たすようなスカラー場の配位はバウンスと呼ばれている。

−V(φ)φtrue φ27

Hawking-Moss インスタントン

28・Klein-Gordon 方程式 (in Euclidean de Sitter spacetime)a′2∂τ ϕ + 3 ∂τϕ +a1 2∂V∇ ϕ−=02a∂ϕV(ϕ)

・Hawking-Moss インスタントン
ϕ = ϕtop ( = const.)
ϕtop・真空崩壊率

8πH4πΓ ∼ exp −V(ϕtop) − V(0)= exp −V(ϕtop) − V(0)43
[ 3H ()][ ( 2π ) 3H ()]−12￼de Sitter温度

Habble体積エネルギー密度ϕ

Langevin equationの導出
Klein-Gordon 方程式 (in de Sitter spacetime)1 2∂V2∂t ϕ + 3H∂tϕ − 2 ∇ ϕ +=0a∂ϕ
場と共役運動量をIRとUVのパートに分ける。
̂ϕ̂ = ϕIR + ϕUV̂π ̂ = πIR + πUV̂ は次のようなモード展開をしている。(k = ϵa(t)H)
ϕUV
c3dkik⋅x†−ik⋅x
̂ =̂̂ϕUV
θ(k−k)[aϕ(t)e+aϕ*(t)e]ckkkk∫ (2π)3d 3k·ik⋅x† ·−ik⋅x
̂̂̂ =πUV
θ(k−k)[aϕ(t)e+aϕ*(t)e]ckkk k∫ (2π)329Langevin equationの導出
また、モード関数ϕk(t)は次をみたす。

22∂V(ϕIR)k2∂t ϕk + 3H∂tϕk + 2 ϕk +ϕ=0ka∂ϕ 2

この時、Klein-Gordon方程式は次のようになる。
·ϕIR = a −3πIR + ξ ϕ∂V23π· IR = a ∇ ϕIR − a+ ξπ∂ϕ
ここで、ξ ϕ, ξ π はUVパートからくる量子的なノイズ
3dk·
ϕik⋅x
†
−ik⋅x
̂̂
ξ = kcδ(k−k)[aϕ(t)e+aϕ*(t)e]ckkk k∫ (2π)3·ξ = kcπ3d k·ik⋅x† ·−ik⋅x
̂ ϕk(t)e + ak̂ ϕ*k (t)eδ(k−k)[a]ck∫ (2π)330

Langevin equationの導出
Bunch-Davis真空を仮定する。
ak | 0 >BD = 0,
ϕk ∝ e −ikη,∀kk | η | ≫ 1,

(ηは共形時間)

さらに、・一様等方性 ( ∇ϕ = 0)・late-time limit (k | η | ≪ 1 ⇒ ξ π ∼ 0)
·2
・slow-roll近似 (ϕ ≪ 2V,···| ϕ | ≪ 3Hϕ)を課すと、最終的に次の表式が得られる。

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