春号’0466

発行日
平成 1 6 年 4 月 16 日
ムラタ計測器サービス株式会社
横浜市戸塚区秋葉町 15 番

「 四 分 位 数 」 に 関 す る 2,3 の 知 見〔はじめに〕（社）日本分析学会主催、（社）日本環境測定分析協会

今まで、この点に関しましては、あまり深く考えずに「四共催で行っている環境分析分野の技能試験においては、各分位数法」を使っておりましたので、ここで原点に戻って試験所からの報告値の「ロバストな統計計算手法」として、③、④、⑤の式の意味を考えることにします。

「四分位数法」を採用しております（クォータリー

１. 13 本の杉の木の高さの四分位数

No.48,49,50 参照）。

数が多いと判りにくいので、13 本の杉の木の場合につその手順について簡単に復習しますと、(1) 全報告値を小さいものから順（昇順）に並べる。
(2) 小さい方からの順位が 1/4,2/4,3/4 の試験所の報
告値を、それぞれ、第 1 四分位数（Q1：25 百分位数*）、第 2 四分位数（Q 2：50 百分位数）、第 3 四分位数（Q3：75 百分位数）とする。

いて、その四分位数がどうなっているかを考えてみることにしましょう。
まず、杉の木を低い方から高さの順に等間隔に植えかえて、その木の天辺を紐で結びます（図１）。

（*：パーセンタイルとも呼ぶ）。
(3) 求められた Q 1、Q3 を①式に代入して正規四分位数h1

範囲（ロバストな標準偏差(S)）を求める。
ｓ＝（Q3−Q1）×0.7413

h2h3h4h5h6h8h7h11h12h13h9h10

K10 k11
K 11 k12
K 12 k13
K 13k10

高さ･･････①(4) 試験所(i)の報告値（Xi）について、②式により当該試験所のｚスコア(zi)を求める。
zi =X i − Q2s

木の番号 K
k11

Kk22

Kk33

Kk44

Kk55

Kk66

Kk77

Kk88

Kk99

○○○●

○○

●

○○･･････②
四分位数

1/4

木の位置(5) ｜zi｜について評価を行う。

2/4

●

○○

○

10

1112

3/4

←a→
0

1

234

5

6

789

K 1からの隔たりとなります。
ここで、四分位数は、全報告値が N 個の場合、それぞれ次の順位に該当する報告値とされております。

図１ 13 本の杉の木とその四分位数(1)
この 13 本の杉の木について、上記の③〜⑤式を適用して四分位数を求めると、

第 1 四分位数（Q1）＝｛（N−1）×1/4｝＋1 ･････③

Q 1＝4 番目の木（K 4）の高さ ：h 4

第 2 四分位数（Q2）＝｛（N−1）×2/4｝＋1 ･････④

Q 2＝7 番目の木（K 7）の高さ ：h 7

第 3 四分位数（Q3）＝｛（N−1）×3/4｝＋1 ･････⑤

Q 3＝10 番目の木（K 10）の高さ ：h10

具体的に N＝101 の場合で計算すると、Q1＝26、Q2＝51、Q 3＝76 番目の報告値になります。ここで、単純に101×1/4＝25.25、101×2/4＝50.5、101×3/4＝75.75 番目としないのは何故か？という疑問が生じます。

-1-に該当することになります。
今、この木の位置を黒く塗り潰してみるとK7 が 13 本の木の中央ということは判りますが、K 4 が 4 分の 1 番目、K 10が 4 分の 3 番目というのがピンときません。

murata Quarterly No.66そこで今度は、両端の木を黒く塗ってみましょう（図２）。 のは誤りです）。
３. Q1,Q 2,Q3 に小数部分が出る場合
木の順位 K1K2K3K4K5K6K7K8K9K10 K 11 K 12 K 13

●

○○●

○○●

○○

●

四分位数

1/4

木の位置

2/4○

○

報告値の総数(N)が「4 の倍数＋1」の場合は、各四分位●数に該当する報告値が存在しますが、それ以外は、⑦式の3/4

←a→
012

3

456

7891011

計算結果に小数部分が出ます。このような場合は、その値12K 1からの隔たりに近接する報告値の間を、その小数部分の割合に補間して求めます。図１の例でいえば、該当する木の間に張り渡し

図２ 13 本の杉の木とその四分位数(2)た紐までの高さが、その位置における「求める値」となる
このようにしてみると、K4 が 4 分の 1 の位置の木、K10が 4 分の 3 の位置の木ということが判ると思います。
ここでもう一度図２を見てみると、1/4、2/4、3/4 と呼んでいるのは、K1 から K13 までの木の間隔（12a）を、それぞれの割合に分割した位置であることが判ります。更に、木の位置（K1 からの隔たり）＝木の番号−1 ･･････⑥となっていることが判ります。

わけです。
４.ISO/IEC 13582 7.3 記載の百分率順位についてたまたま、ISO/IEC 13582 をぱらぱらとめくっていたところ、その 7.3 に percentage rank（百分率順位）というのが載っていました。その計算式は、「順位を i ＝1,2,3･･･p」とすると、百分率順位は、（百分率順位）＝100×（i−1/2）/p

２. 四分位数の計算式の意味･･････⑨として計算される、と記載されております。

以上、１で判ったことを踏まえて、各四分位数を求める式（⑦式）の意味を考えてみましょう。

これを⑦乃至⑧式の形及び同じ記号で書き直しますと、i（該当する報告値の順位）＝N×r’/100＋0.5 ･･････⑩

Qr に該当する木の番号＝{(N−1)×r/4}＋1 ･･････⑦（r’：百分率順位、N＝P、i：報告値の順位）（r は 1,2 又は 3 のいずれか）となり⑦、⑧式と異なることが判ります。

① N：全体の木の数

この式に r’＝0 を入れると i＝0.5 となり、r’＝100 を入② N−1：K1 から KN までの隔たりの数れると i＝N＋0.5 になりますので、この式は、0.5 から N

③ r/4：求める位置までの隔たりの割合＋0.5までをベースにして100 等分していることになりま④ （N−1）×r/4：求める位置までの隔たりの数す。これに対して、⑦、⑧式は 1 から N までを 100 等分し⑤ {(N−1)×r/4}＋1：求める位置の木の番号ていることになります。

従って、⑦式から求めた番号の木の高さが Q r に該当する高さということになります。

⑨式の意味はよく判りません。経済的な統計量として、何かの指標に使われているのではないかと思いますが、ごなお、⑦式は、四分位数の場合です。百分位数（パーセンタイル）の場合は、存知の方がおられましたらお教え下さい。 （なお、⑩式の場合、i＝0.5 又は i＝N＋0.5 に該当する値をどのよう（パーセンタイル）＝{(N−1)×r’/100}＋1 ･･････⑧にして算出したらよいのでしょうか。i＝1 と 2 の値、ま（r ＝1〜100 のいずれかの値）

たはi＝N−1 とN の値から外挿して計算するのもおかしいの順位の値となりますので、と思いますが･･･。
）

第 1 四分位数＝25 百分位数

〔おわりに〕

第 2 四分位数＝50 百分位数

以上、四分位数についての検討結果をまとめました。参第 3 四分位数＝75 百分位数考にして戴ければと存じます。

であることがわかると思います。
（単純に割合を乗ずる-2-

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