環境照明下の布の高速レンダリングと外観編集
Interactive Cloth Rendering and Appearance Editing under Environment Lighting
水谷一貴 ⋆

Kazutaka MIZUTANI⋆ ,⋆Kei IWASAKI⋆ ,和歌山大学† 北海道大学/CREST‡ 東京大学/広島修道大学

土橋宜典 †

岩崎慶 ⋆

Yoshinori DOBASHI†

西田友是 ‡

andTomoyuki NISHITA‡⋆

Wakayama University† Hokkaido University/CREST‡ The University of Tokyo/Hiroshima Shudo University

E-mail: ⋆ {s131048,iwasaki}@sys.wakayama-u.ac.jp

はじめに

1

ンダリングする手法を提案した [2]．Adabala らは，単純な BRDF モデルを用いて効率的に布をレンダリングする

CG 分野において，布の質感をリアルに表現することは手法を提案した [1]．これらの手法では，もっともらしい

重要な研究課題の一つである．布のレンダリングでは，現外観の表現に重きを置いており物理的正確さにかける．

実世界の複雑な照明（環境照明）下において布の質感を表

布の繊維構造をモデリングすることにより布をレンダリす散乱特性をインタラクティブに変化させて外観を編集す

ングする手法がいくつか提案されている [13, 3]．これらのることが望まれる．従来の布のレンダリング手法では，単手法はリアルな布のレンダリングが可能であるが，反射モ

純な光源のみを対象としているか [6]，計測データを用い

デルのコントロールが難しい．安田らは，布の特徴的な光ているため外観をインタラクティブに編集することが難し

沢反射を再現する手法を提案した [14]．しかしながらこのい [7, 8, 9]．

手法は非常に簡略化したモデルであり，現実の布モデルと本稿は，織り合された糸から構成される布の高速レンダの検証・照合を行っていない．Westin らは，繊維レベルの微リング法および布の外観編集法を提案する．本稿では，布の散乱モデルとして Sadeghi らの提案したマイクロシリン

細構造から布の反射特性を予測するモデルを提案した [11]．
Zhao らは，布の CT 画像からボリュームレンダリングを用

ダモデル [6] を使用する．マイクロシリンダモデルにおけいて布をレンダリングする手法を提案した [15, 16]．これる布の輝度は，入射光の輝度，布の散乱関数，および布をらのモデルは非常に高品質な布のレンダリングが可能であ構成する糸の幾何構造に基づいた重み関数の積を積分する

るが，特定の布に限られている．Irawan らは，編み込んだことによって計算される．提案法では入射光（環境照明）

絹の布の外観を表現するレンダリング手法を提案した [5]．

を球面ガウス関数の線形和で表現する．球面ガウス関数，

この手法は，糸によるシャドウィングおよびマスキングの散乱関数と重み関数の積の積分を，球面ガウス関数と重み効果を考慮していない．

関数の畳み込み積分と，球面ガウス関数と散乱関数の積分

本稿では，Sadeghi らの提案したマイクロシリンダモデの積で近似する．畳み込み積分は前計算可能であり，レンル [6] を用いて布の輝度を計算する．マイクロシリンダモ

ダリング時にテーブル参照するだけでよい．球面ガウス関

デルは，糸における散乱モデルを定式化し，実際の布の計数と散乱関数の積分は解析的に計算可能なため，レンダリ

測データを用いてこのモデルの有効性を検証している．マ

ング時に布の材質特性をインタラクティブに変更すること

イクロシリンダモデルでは，散乱関数のパラメータをコンが可能となる．

トロールすることにより様々な布の散乱特性を表現することが可能である．しかしながら，この手法では環境照明を

1.1

関連研究

布のレンダリングに関する研究は CG の分野において重考慮していない．そこで提案法では，マイクロシリンダモ
デルを用いて環境照明下の布をインタラクティブにレンダリングする手法を提案する．

要な研究分野の一つであり，25 年以上研究がなされてきている．初期のレンダリング手法では，実験によるシェー
ディングモデルに基づいている [10, 4]．Weil は，レイト

1.2関数・用語の定義

レーシングによってリアルな布をレンダリングする手法を提案法で使用する球面ガウス関数 G・円形ガウス関数 g c・

提案した [10]．Daubert らは，編み糸を陰関数表面でモデガウス関数 g ・正規化ガウス関数 g u は以下の式で表現さリングし，BTF に類似したデータ構造を用いて布をレンれる．

ダリングする手法を提案した [4]．Ashikhmin らは，マイクロファセットモデルをもちいてサテンやベルベットをレG(ω; ξ, σ)=exp(2(ω · ξ − 1)/σ 2 )(1)

g c (x; µ, σ) =exp(2(cos(x − µ) − 1)/σ 2 )(2)g(x; µ, σ) =exp(−(x − µ) /σ )(3)g u (x; µ, σ) =22√exp(−(x − µ)2 /σ 2 )/( πσ)(4)

ここで，ω は方向（単位）ベクトル，ξ は球面ガウス関数の軸（単位）ベクトル，σ, µ はパラメータで，σ 2 /2, µ は(a)smallest patch
(c)

(b)

tangent curves(d)

分散，平均に相当する．布の輝度は，糸の接線方向 t，法線方向 n からなるローカル座標系（図 1 参照）で計算さ

図 1: マイクロシリンダモデルにおける角度の表記，small-

れる．t を法線とする平面とのなす角を θ，法線 n との

est patch, tangent curves．

方位角を ϕ とし，光の入射方向 ωi と反射方向 ωo の角度をそれぞれ θi , ϕi , θo , ϕo とする．また，θd = (θi − θo )/2,

θh = (θi + θo )/2,ϕd = ϕi − ϕo とする．ωi , ωo を n と t がなす平面へ投影したベクトルと n とのなす角をそれぞれ
ψi , ψo とし，ψd = ψi − ψo とする．

関数 W (t, ωi , ωo ) は，シャドウィング・マスキングの関
数 M (t, ωi , ωo ) とスクリーンへ投影される糸の長さを表す
関数 P (t, ωi , ωo ) から以下の式で計算される [6]．

W (t, ωi , ωo ) = M (t, ωi , ωo ) · ∑2

マイクロシリンダモデルを用いた布の輝度計算

P (t, ωi , ωo )(6)′t′ ∈C1 ∪C2 P (t , ωi , ωo )M (t, ωi , ωo ) と P (t, ωi , ωo ) は，表記簡略化のため D(x, y, z) =(1 − x) · y · z + x · min(y, z) とすると以下の式で表される．

マイクロシリンダモデルでは，布地を 2 つの直交した方

M (t, ωi , ωo ) = D(g(ϕd ; 0, σ), max(cos ϕi , 0), max(cos ϕo , 0))

向に沿った円筒からなる糸が織り合わされたメッシュとみなP (t, ωi , ωo ) = D(g(ψd ; 0, σ), max(cos ψi , 0), max(cos ψo , 0))

す (図 1(c))．糸の織り込みパターンのなかで最小な部分をsmallest patch と呼ばれる [6]．布地は smallest patch の反ここでパラメータ σ は 15◦ から 20◦ の値とする．

復によって構築される．布地における ωo 方向の輝度 Lo (ωo )は，smallest patch の 2 つの糸ごとに計算した輝度 L1 (ωo )と L2 (ωo ) の線形和 Lo (ωo ) = a1 L1 (ωo ) + a2 L2 (ωo ) で表現される．ここで，a1 および a2 は，2 種類の糸が smallest

patch を占める面積の割合であり，隙間なく織り込まれて

3

提案法

提案法では，環境照明 Li (ωi ) を K 個の球面ガウス関数
G の線形和で表現する．

いる場合 a1 + a2 = 1 となる．smallest patch を構成する
各糸 j(= 1, 2) について接線分布を表す tangent curve をLi (ωi ) ≈定義する（図 1(d) のグラフ）．糸 j の tangent curve を等

K∑

Lk G(ωi ; ξk , σk )

(7)

k=1

間隔にサンプリングして得られる接線の集合を Cj とする

ここで，ξk ,σk ,Lk はそれぞれ k 番目の球面ガウス関数のと，糸 j における反射光の輝度 Lj (ωo ) は以下の式で計算

軸ベクトル, ローブの鋭さ，係数を表し，球面ガウス関数

される．

の数 K は K = 10 としている．以降表記簡略化のため∫∑
Lj (ωo ) = Li (ωi )fs (t, ωi , ωo )W (t, ωi , ωo ) cos θi dωiΩt∈Cj

ここで，Ω は半球上の方向の集合, fs (t, ωi , ωo ) は糸の散乱関数であり，表面散乱関数 fr,s (t, ωi , ωo ) と体積散乱関数 fr,v (t, ωi , ωo ) の和で計算される [6]．

を式 (5) に代入すると，式 (5) は以下の式に変形される．
K ∑∫∑
Gk (ωi )fs (t, ωi , ωo )W (t, ωi , ωo ) cos θi dωi
Lj (ωo ) =k=1t∈Cj Ω

以降，Lj,k (t, ωo ) を以下の式で定義し，Lj,k (t, ωo ) の計算
2

fs (t, ωi , ωo ) = (fr,s (t, ωi , ωo ) + fr,v (t, ωi , ωo ))/ cos θd ,fr,s (t, ωi , ωo ) = Fr (η, θd , ϕd ) cos(ϕd /2)g u (θh ; 0, γs ),(1 − kd )g u (θh ; 0, γv ) + kd
A.
fr,v (t, ωi , ωo ) = F
cos θi + cos θoGk (ωi ) = G(ωi ; ξk , σk ) とおく．球面ガウス関数の線形和(5)について説明する．
∫
Lj,k (t, ωo )= Gk (ωi )fs (t, ωi , ωo )W (t, ωi , ωo ) cos θi dωi (8)Ω

散乱関数 fs は，θi , θo , ϕi , ϕo の関数として表現できるため，

Fr はフレネル反射率，η は糸の屈折率，F は繊維に入射し球面ガウス関数との積の積分は解析的に計算可能であるこ再び出射する光のフレネル透過率の積を表し，kd は等方散とが知られている [12]. 一方 W は複雑な関数であり，球面

乱パラメータ，A はアルベド，γs ,γv はパラメータとする．

調和関数や球面ガウス関数などの基底関数の線形和で表現
することも解析的な積分を行うことも難しい (図 2 参照)．

提案法は，Is を円形ガウス関数 g c を用いて計算する．まず，Gk は θi , ϕi についての円形ガウス関数の積に分解で
きる．
(a)

(b)

Gk (ωi ) = g c (θi , θk , σk )g c (ϕi ; ϕk , σk′ )

(c)

(10)

√
ここで，θk , ϕk は ξk の角度，σk′ = σk / cos θi cos θk とする．さらに，ガウス関数 g u (θh ; 0, γs ) を以下のように円形ガウス関数で近似する．
(d)

(e)

(f)

g u (θh ; 0, γs ) =

(h)

(g)

( 2)
θ
exp − γh2
s
√
πγs
( (
exp −

(i)

=
(

図 2: 関数 W (t, ωi , ωo ) の可視化. 上段 (a)(b)(c) は t =(1, 0, 0)T , 中段 (d)(e)(f) は t = (cos(25◦ ), 0, − sin(25◦ ))T ,=下段 (g)(h)(i) は t = (cos(−25◦ ), 0, − sin(−25◦ ))T , 1≈

列目は (θo , ϕo ) = (−π/4, −π/3), 2 列目は (θo , ϕo ) =(−π/4, 0),3 列目は (θo , ϕo ) = (−π/4, π/3) のときの W を可視化したものである．

θi +θo
2
γs2

)2 )

√
πγs

)
2
i +θo )
exp − (θ(2γ2g(θi ; −θo , 2γs )
s)
√
√
=
πγs
πγs
c
g (θi ; −θo , 2γs )√πγsさらに，円形ガウス関数同士の積は定数倍の円形ガウス関数で表現される（付録 1 参照）ため，提案法では Lj,k (t, ωo ) を W と G の畳み込み積分を用いて以下の式で近似する．
∫
G (ω )W (t, ωi , ωo )dωiΩ k ∫ iLj,k (t, ωo ) ≈G (ωi )dωi
Ω k∫×Gk (ωi )fs (t, ωi , ωo)cos θi dωi(11)とおくと，Is は以下の式に変形される．
∫ π2 c∫ π
ϕdgi (θi ) cos2 θi 2 cαg (ϕi ; ϕk , σk′ )Fr (η, θd , ϕd ) cos( )dϕi dθi2
cos θd
2
−π
−π
2
2

Ω

ここで，T (t, ξk , ωo ) を以下の式で定義する．
∫
Gk (ωi )W (t, ωi , ωo )dωi∫
T (t, ξk , ωo ) = ΩG (ωi )dωiΩ k√g c (θi ; θk , σk )g c (θi ; −θo , 2γs )/( πγs ) = α · gic (θi )まず，ϕi についての積分を計算する．フレネル項 Fr (η, θd , ϕd )を Schlick の近似によって(9)Fr (η, θd , ϕd ) ≈ F0 + (1 − F0 )(1 − cos θd cos(ϕd /2))5 (12)T は糸の幾何形状にのみ依存するため，前計算しておきレンダリング時に参照する．しかしながら T は 6 次元の関数（ξk , ωo 2 次元, σk １次元, t は tangent curve 上をサンプルで計算する．ここで，F0 = (1 − η)2 /(1 + η)2 である．この近似式を展開すると，cos(ϕd /2) の 5 次の多項式として表現される．

しているため 1 次元）のためデータ量が膨大になるという問題がある．提案法では，t, σk について離散化したテーブ

Fr (η, θd , ϕd ) =5∑

Cl (θd , η) cosl (ϕd /2)

(13)

l=0

ルを Tt,σ (ξk , ωo ) とし，Tt,σ (ξk , ωo ) を特異値分解し圧縮する．実験により少ない特異値で Tt,σ (ξk , ωo ) を精度よく

ここで Cl (θd , η) は cosl (ϕd /2) の係数とする．式 (13) を Is近似できる．

に 代入すると ϕi についての積分は以下の式で計算される．
5
∑

3.1

円形ガウス関数を用いた輝度計算

次に，球面ガウス関数 G と散乱関数 fs の積の積分について述べる．本稿では説明簡略化のため表面散乱成分 fr,sの計算について述べるが，体積散乱成分 fr,v についても同様に計算している．Lj,k の後半の積分項に式 (5) を代入し

l=0

(
)
∫ π2
ϕi − ϕoc′l+1dϕi (14)
Cl (θd , η) g (ϕi ; ϕk , σk ) cos2−π2

式 (14) の積分は ϕo , ϕk と σk′ の 3 次元テーブル Tl (ϕo , ϕk , σk′ )として前計算することが可能である．次に，θi についての積分を計算する．式 (14) を Is に代入すると以下の式に変形される．
たものを Is とおく．
5 ∫ π
∫
∑
2
cos2 θiccos θiug(θ)
Cl (θd , η)Tl (ϕo , ϕk , σk′ )dθi (15)
I
≈
α
i
s
i
Is =
Gk (ωi )Fr (η, θd , ϕd ) cos(ϕd /2)g (θh ; 0, γs ) 2 dωi
2θ
π
cos
d
−
cos θd
2
l=0
Ω

(a)

(b)

(c)
(b)

(a)

(c)

図 5: シルクのレンダリング結果．(a) は提案法によるレンダリング結果，(b) は参照画像，(c) は差分画像（輝度を 4
(e)

(d)

倍で表示）．

(f)

図 3: 赤い糸と緑の糸からなるシルクショットファブリッ
クの例．球面ガウス関数 G(ωi , (0, 1, 0), σ) を入射照明としてレンダリングした例．上段が参照画像，下段は畳み込み
積分結果を特異値分解して輝度を計算した例．

(a)

(b)

(c)

図 6: ポリエステル・サテン・シャルムーズのレンダリン
グ結果．(a) は提案法によるレンダリング結果，(b) は参照
画像，(c) は差分画像 (輝度を 4 倍で表示)．
(a)

(b)

(c)

図 4: リネンのレンダリング結果．(a) は提案法によるレンダリング結果，(b) は参照画像，(c) は差分画像 (輝度を 8倍で表示)．

4

結果
提案法でレンダリングされた布の画像を図 3,4,5,6,7 に示す．実行環境は CPU が Core i7-2700K, GPU が GeForce

580GTX の PC である．画像サイズは 640 × 480 で，GLSL
θi についての積分を計算するために，円形ガウス関数 g c (θi )のフラグメントプログラムによりピクセル単位で輝度計算をガウス関数 g(θi ) で近似する．次に，h(θi ) を以下の式でを行っている．レンダリング速度は 4 から 8fps である．前定義する．

計算時間は約 3 時間で特異値分解が大部分を占めている．

cos2 θih(θi ) =Cl (θd , η)Tl (ϕo , ϕk , σk′ )cos2 θd(16)

Tl のデータ量は 1.7MB である．Tt,σ のデータ量は布ごとに異なり，30MB から 80MB である．寄与率が 90% 以上となる最小の特異値数を用いている．ξk , ωo はともに半球

関数 h(θi ) は θi に関して滑らかに変化する関数であるため，

上を 48 × 48 だけ離散化して Tt,σ の特異値分解を行った．

ガウシアンとの積の積分は [12] の手法を用いて計算するこ

図 3 は関数 W と球面ガウス関数 G との畳み込み積分とができる．積分区間 [− π2 π2 ] を等間隔に分割し，分割区による近似（下段）と参照画像（上段）を表している．入間 [θs θs+1 ] において h(θi ) ≈ as θi + bs と線分で近似する．

射照明として 1 つの球面ガウス関数 G(ωi , (0, 1, 0), σ) を用

線分の係数 as , bs は h(θs ), h(θs+1 ) から計算される．分割

いた．布を構成する糸はシルクショットファブリックであ

区間 [θs θs+1 ] における積分は以下の式で近似される．

り，赤い糸と緑色の糸からなる．図 3(a)(d) は 2/σ 2 = 10,∫ θs+1(b)(e) は 2/σ 2 = 100, (c)(f) は 2/σ 2 = 1000 のときのレンθs∫ θs+1∫ θs+1h(θi )g(θi )dθi ≈ as
θi g(θi )dθi + bs
g(θi )dθiθsθs

これらの積分は解析的に計算することが可能となる．提案法では，6 分割で十分なレンダリング結果を得ている．

ダリング結果である．この図より，提案法による畳み込み
積分による近似により参照画像と似た画像を生成することができる．
図 4 は，リネンのレンダリング結果を示している．(a)は提案法によるレンダリング結果，(b) は参照画像であり，

6 × 32 × 32 の環境マップの各方向からの寄与を累積して計

(a)

(b)

25

≉␗್䛾ᩘ

20

t1

䝫䝸䜶䝇䝔䝹䝃䝔䞁䝅䝱䝹䝮䞊䝈t8
tangent curve

15
t1
10
5
0

(d)

(c)

t8

4

1024

図 9: ポリエステル・サテン・シャルムーズの糸 1 における

䝅䝹䜽

Tt,σ (ξk , ωo ) の寄与率 90% 以上となる特異値の数の片対数
グラフ．横軸は σ22 ，縦軸は特異値の数を表す． σ22 が大き
い，すなわち球面ガウス関数のローブが鋭くなるに従い必䝧䝹䝧䝑䝖

要となる特異値の数が増加する．寄与率 90% となる特異値に環境照明を表示)．

の数が t1 , t2 , t3 , t4 および t5 , t6 , t7 , t8 で等しいため，t1 お

t2

t3
t4

t1

≉␗್䛾ᩘ

図 7: レンダリング結果 (上図：γs , γv を編集した例，左下t5tangent curve

よび t8 を図示している．

20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

している（ハイライトが鋭くなっている）レンダリング例
t1

およびシルクとベルベットのレンダリング例を示す．

t3

図 8,9 にシルクおよびポリエステル・サテン・シャルムー
ズの糸 1 における特異値の数のグラフを示す．球面ガウス関数のローブの鋭さを表す 2/σk2 が大きくなるに従い寄与

4

1024

率 90% となる特異値の数が増加しているが，比較的少な
い特異値数で高次元データを表現できている．

図 8: シルクの糸 1 における Tt,σ (ξk , ωo ) の寄与率 90% 以上となる特異値の数の片対数グラフ．横軸は σ22 ，縦軸は特異値の数を表す． σ22 が大きい，すなわち球面ガウス関数

5

まとめのローブが鋭くなるに従い必要となる特異値の数が増加す
る．寄与率 90% となる特異値の数は t1 , t2 , t4 , t5 で等しい
ため，t1 および t3 を図示している．

本稿は，環境照明下における布の高速レンダリング法お
よび外観編集法を提案した．環境照明を球面ガウス関数の線形和で近似し，球面ガウス関数，重み関数および散乱関数の三重積積分を，球面ガウス関数と重み関数の畳み込み算した結果である．(c) は (a) と (b) の差分画像の輝度を 8積分と球面ガウス関数と散乱関数の積分の積で近似するこ

倍した画像である．図 4(a) のレンダリング速度は 8fps でとによりインタラクティブレンダリングを可能にした．球あり，図 4(b) をレンダリングするのに要した時間は 184

面ガウス関数とガウス関数で表現される散乱関数の積分は，秒であった．提案法により参照画像と遜色ない画像をイン

球面ガウス関数を円形ガウス関数の積に分解することで解タラクティブにレンダリングすることが可能である．リネ

析的に計算することが可能となった．これにより，散乱関ンにおける Tt,σ のデータ量は 30MB である．

数の各種パラメータをレンダリング時に動的に変更するこ

図 5 は，シルクのレンダリング結果を示している．(a)は提案法によるレンダリング結果，(b) は参照画像，(c) はとができ，布の外観編集をインタラクティブな速度で行うことが可能となった．

(a) と (b) の差分画像の輝度を 4 倍した画像である．シルクにおける Tt,σ のデータ量は 41MB である．図 6 は，ポまた，重み関数を前計算するため，布の糸の構造をインタ

リエステル・サテン・シャルムーズのレンダリング結果をラクティブに編集することが難しい．そのため，今後の課示している．(a) は提案法によるレンダリング結果，(b) は題として影の考慮および重み関数の前計算の高速化が挙げ

参照画像，(c) は (a) と (b) の差分画像の輝度を 4 倍したられる．

画像である．シルクにおける Tt,σ のデータ量は 66MB である．
図 7 に散乱関数のパラメータ γs , γv を変更することにより，ポリエステル・サテン・シャルムーズ布の外観を編集

提案法の欠点として影を考慮していない点が挙げられる．

謝辞
本研究は，科研費 (若手研究 (B) 研究課題番号：24700093)
および科研費（新学術領域研究研究課題番号：13324688）[11] Stephen H. Westin, James R. Arvo, and Kenneth E.
Torrance. Predicting reflectance functions from complex surfaces. In Proc. of SIGGRAPH’92, pages 255–
264, 1992.

の助成を受けたものである．

[12] Kun Xu, Li-Qian Ma, Bo Ren, Rui Wang, and Shi-

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[9] Jiaping Wang, Peiran Ren, Minmin Gong, John Snyder, and Bainin Guo. All-frequency rendering of dynamic, spatially-varying reflectance. ACM Transactions on Graphics, 28(5):133:1–133:10, 2009.
[10] Jerry Weil. The synthesis of cloth objects. SIGGRAPH Computer Graphics, 20(4):49–54, 1986.

付録 1
2 つの円形ガウス関数 g c (x; .µ1 , σ1 ), g c (x; µ2 , σ2 ) の積は円形ガウス関数の定数倍 α · g c (x; µ3 , σ3 ) で表される．ここで各パラメータは以下の式で計算される．
µ3=

arctan(n, m)
1
σ3 = √
4
2
m + n2222
α = exp(− 2 − 2 + 2 )σ1σ2σ3
cos µ1cos µ2
m =
+
2
σ1
σ22
sin µ1sin µ2
n =
+
σ12
σ22

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