数理解析研究所講究録 1282 巻 2002 年 106-120

106
ノンツイスト. ハミルトン系における不変トーラスの崩壊
篠原晋

1$\mathrm{t}$(早大理工)

はじめに

近可積分ハミルトン系における不変ラスの存在は(KAM) の定理によって保証される. 近可積分系の不変トーラスの性質は, 数値計算を援用した研究にょっても詳しく調べられ, 最終不変トーラス崩壊の臨界点や, その臨界点における相空間微細構造のス
ケール則等が決定された $[12, 13]$ . 最近では, 不変ラスの安定性 (robustness) と, 回転数の数論的性質との詳しい関係も明らかになりっつある. そのような研究の多くは, KAM の定理が存在を保証する不変トーラスの精密な性質を理解しようとするものであるが, その一方で, KAMの定理が仮定する条件を破る系における不変トーラスの性質も研究されてぃる. KAM の定理では, 無摂動系にツイスト条件が課され, 摂動関数には解析性に関する条件が課される [16]. ここ$\text{ト}-$$\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v},\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d},\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\text{ト}-$では,前者のツイスト条件が満たされない場合の不変トーラス崩壊過程を考える.

ツイスト条件は, 作用変数 から角速度への写像 $I\mapsto\omega(I)$ が一対一であることを課す条件である. その破れは, 帯状シアー流のモデル [2, 4, 24] や負磁気シアートヵマクのモデル$I$$\omega(I)$[1, 9, 15] など, 様々な数理モデルで見出されている. また, 無摂動系がツィスト条件を満たす場
合でも, 相空間の局所構造を記述するハミルトニアンにツィスト条件の破れが現れる場合がある.
たとえば, 周期点の回転数が 1:3 共鳴を通過する際に起こる generic な分岐においてツィスト条

件の破れが発生することが示されている [7].
本報告では, ツイスト条件を破るハミルトン系 (ノンツィスト系) の典型例として詳しく研究されてきた quadratic non-twist 写像 [5, 6, 10, 11, 17, 19] について, ツィスト条件を破る相空間領域にどのような現象が起こるか述べ, それらを系統的に解析した我々の結果を述べる.

2Quadratic non-twist map
Quadratic non-twist (QN) 写像は次式で定義される 2 パラメータニ次元保測写像である.
$T:[-\pi, \pi)\mathrm{x}\mathrm{R}\mapsto[-\pi, \pi)\mathrm{x}\mathrm{R}:(x,p)\mapsto(x’,p’)$$x’=x+f(p-K\sin(x))$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2\pi$

(1)

$\{$

$d=p-K\sin(x)$ ,$f(p)=2\pi\nu-p^{2}$

,

.

(2)

はツイスト関数 $f$ の極大値を変えるパラメータ,
は非線形性の大きさを変えるパラメータである. この写像は, ツィスト関数 $f$ が二次関数であるためツィスト条件
ここで,$\nu\in \mathrm{R}$$K\in \mathrm{R}$$\frac{\partial d(x,p)}{\partial \mathrm{p}}\neq 0$

現在の所属: 立命館大理工

for$\forall p$

(3)

107
を破る. 二次のツイスト関数は一般に $f(p)=a_{2}p^{2}+a_{1}p+a_{0}$ (変数およびパラメータを.
$-\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(a_{2})x\mapsto x$,$\sqrt{|a_{2}|}(p+\frac{a_{1}}{2a_{2}})\mapsto p$-S 朋 (a2) $\sqrt{|a_{2}|}K\mapsto K$,-s 誹 (a2)$a_{2},$ $a_{1},$ $a_{0}$は定数) と書かれるが,,(4)$(a_{0}- \frac{a_{1}^{2}}{4a_{2}})\mapsto 2\pi\nu$,(5)と置き換えることにより, ツイスト関数を式 (2) の形に帰着させることができる.
写像は変換 $(p, K)arrow(-p, -K),$ $(x, \nu)arrow(x-2\pi, \nu+1)$ のもとで不変である. よっ
また,$\mathrm{Q}\mathrm{N}$て, 以下ではパラメータ値を次のような基本領域に制限する.
$0\leq K\leq\infty$,(6)$-0.5\leq\nu<0.5$$\mathrm{p}$$\mathrm{x}$図 1: $(\mathrm{a})-(\mathrm{c}):\nu=0.05$ と固定し $K$ を変化させた場合の, 周期 1 ツインチェインのリコネクション$\nu=-0.49$ と固定し $K$ を変化
過程; (a) $K=0.05,$ $(\mathrm{b})K=0.1173906615$ , (c) $K=0.2$.

$(\mathrm{d})-(\mathrm{f})$:させた場合の, 周期 2 ツインチェインのリコネクション過程 ;(d) $K=0.4,$ $(\mathrm{e})K=0.50132565$ ,(f) $K=0.7$ .

108
まずはじめに, ツィスト条件の破れが相空間構造の如何なる特徴として現れるのか述べる. $K=0$のとき
写像は可積分である. そのとき,写像の不変 }
ラスは,軸に平行な直線を描
く. 不変 }
ラスの回転数は, ツィスト関数をで割ったものに等しい. 回転数が極値をとるところ, すなわち $p=0$ は, ツィスト条件が破れるところである. 回転数の極値に対応する不変 }ラスをシアーレス.
ラスと呼ぶ [5]. ツィスト条件 (3) は曲線 $p=K\sin(x)$上で破れており, $K=0$ のときこの曲線はシアーレス・トーラスに一致する.
シアーレス. }ラスの両側には, 同一回転数の軌道が存在し対をなす. 摂動が加ゎると, 有理数の回転数をもつ不変 } ラスは「島 (island chains)」へ変ゎるが (Birkhoff の定理), ノ
ンツイスト系では, 同一回転数の島がシアーレス. }ラスの両側に現れることになる (図参照). このように対になった島構造は, ツィンチェインと呼ばれる [22]. パラメータを変化させると, ツインチェインのセパラトリクスは接触し, セパラトリクスの組替えが起こる. 図
およひは,の値を固定し, $K$ の値を変えたときの組替え過程である. このような過程は(セパラトリクス) リコネクションと呼ばれる [10].
写像では, 偶数周期のツィンチェインのセパラトリクス接触では図のように双曲点の結合を伴う. 一方, 奇数周期の場合は図のように, 双曲点の結合は起きず,
方向に位相がずれて接触する.
$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$\backslash -$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$\backslash -$$p\equiv p_{0}$$f(p\mathrm{o})$$\backslash -$$x$$2\pi$$|\backslash -$$\backslash -$$\backslash -$$\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}’\triangleright$$\backslash -$$1(\mathrm{a})(\mathrm{d})$$1(\mathrm{a})-(\mathrm{c})$$(\mathrm{d})-(\mathrm{f})$$\nu$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$1(\mathrm{e})$$1(\mathrm{b})$$x$3$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$写像における indicator points

写像では, 写像の対称性を用いることにょって, シアーレス・$\text{ト}-$ラスが通過する幾っがの点の座標を導出することが出来る. それらの点を初期点とする軌道の振舞いを調べることにょり, シアーレス・ラス, リコネクション現象, 最終不変
ラス崩壊などに関して詳しい情報が得られることから, 我々はそれらの点を indicator points と呼んだ [19]. 本節では,
写像の二つの対称性について述べ, indicator points を導出する.
$\text{ト}-$$\text{ト}-$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$

3.1$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$

写像の対称性

写像は次の二つの対称性をもっ.

(a) 写像 $T$ は包合 (involution) の積で表される. すなゎち,れる写像を用いて, $T=M_{2}M_{1}$ と書ける.

$M_{1}^{2}=M_{2}^{2}=1$を満たす次で定義さ$M_{1},$ $M_{2}$:$M_{1}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$:$x’=-x$(7)$\{$$p’=p-K\sin(x)$ ,$x’=-x+2\pi\nu-p^{2}$$\{$.

m 何 $2\pi$$p’=p$(8)(b) 写像 $T$ は次式で定義される写像 $S$ と可換である. i.e., $TS=ST$ .
$x’=x+\pi$$S:\{$$d=-p$.

m 何 $2\pi$

(9)

109
32Indicator points の導出
写像におけるシアーレス. }$\backslash -$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$

ラスは次の性質を満たす.

シアーレス・トーラスは写像 $S,$

補題

$M_{1},$の不変集合である.

$M_{2}$とおぐと, $TS=ST$ より,
ラスを
このことは次のようにして示される. シアーレス. }とは等しい回転数を持つ. シアーレス. } ラスの回転数田 回転数の極ラス
不変 }でなければならない. すなわち, シアーレス・トーラス 1 よ写像 の値に相当するので,の不変集合であること
およひ
不変集合である. また, 写像 $T$ の任意の不変 } ラス I が軸との交点を $x0=(0,p\mathrm{o})$ とおき, 不変トーラス
ラス I とが次のようにして示せる. 不変 }$\backslash -$$\mathrm{I}_{\epsilon}$$\backslash -$$\backslash -$$S\mathrm{I}_{s}$$\mathrm{I}_{s}$$S$$S\mathrm{I}_{s}=\mathrm{I}_{S}$$\backslash -$を$\mathrm{I}=\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}T^{n}x0$と表す.

$M_{1}$$M_{2}$$M_{1}$$\backslash -$$p$$M_{1}x0=x0$ となるので,の定義式 (7) より,(10)$M_{1} \mathrm{I}=\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}M_{1}T^{n}x_{0}=\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}T^{-n}M_{1}x_{0}=\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}T^{-n}x_{0}=\mathrm{I}$が成り立つ. よって, $T$ の不変トーラス I はの不変集合である. また,$M_{1}$$T\mathrm{I}=\mathrm{I}$より$M_{1}\mathrm{I}=M_{2}\mathrm{I}$の不変集合でもある.
上の補題を用いて, 次の命題を示すことが出来る.

Iは

なので,

命題

$\blacksquare$$M_{2}$

シアーレス・トーラスが存在するならば, 次の点を通過する.
$x_{1}^{(\pm)}=$($x_{1}^{(\pm)}$,p(l\pm ))=(士$\frac{\pi}{2’}\pm\frac{K}{2})$$0)$$x_{2}^{(\pm)}=(x_{2}^{(\pm)}, p_{2}^{(\pm)})=( \pi(\nu\pm\frac{1}{2}),$

命題の証明$\mathrm{g}\text{する}$

まず,$x_{1}^{(\pm)}$

がシアーレス.

}$\backslash -$

(11}

,

.

(12)

ラス上にあることを示す. 直線$l\pm$

を次のよう #こ定.
$l_{\pm}= \{(x, p)|x=\pm\frac{\pi}{2}\}$

これらの直線は次を満たす.
$M_{1}l\pm=Sl_{\pm}=l_{\mp}$シアーレス.

}$\backslash -$ラスと直線$l_{+}$

(13、

,

(14)

,

が横断的に交差する場合を考え, その $2s-1$ 個の交点

$c_{j}=(, \frac{\pi}{2},$$P_{j})$,$j=1,$$\cdots,$$(s\in \mathrm{N})$

を

(15)

$2s-1$おラスは, 写像とする. 補題よりシアーレス. }のによる像と $S$ による像 [よ, シアー
よび g 像 $S$ の不変集合であり, $M_{1}l_{+}=l_{-}$ だから,とおく. ただし,$c_{j}$との交点になる.
レス・トーラスと直線は直線$d_{j}=M1cj$ とおくと, 式 (14) より
定義式 (7) より $P_{j}’=P_{j}-K$ なので,

$M_{1}$$\backslash -$$P_{1}>P_{2}>\cdots>P_{2s-1}$$M_{1}$$l_{-}$$d_{j}$$l_{-}4.\mathrm{i}$にある.

$P_{1}>P_{2}>\cdots>P_{2s-1}$$d_{j}$の $p$ 或分を

$P_{j}’$とすると,$M_{1}$

の

(16)

110
が成り立つ. また,
とおくと, 式 (14) よりと書くと, $S$ の定義式 (9) より一乃なので,$<\ovalbox{\tt\small REJECT} s_{9}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

は直線

上にある.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$<$ の $P$

或分を弓’$q’\ovalbox{\tt\small REJECT}$(17)$P_{1}’<P_{2}’<\cdots<P_{2\epsilon-1}’$が成り立つ. 直線$l_{-}$とシアーレス.

$|\backslash -$ラスの交点の集合は,と表されるが, 式が成り立っ. すなゎち,は次の方程式$\mathrm{v}jd_{j}=\cup jd_{j}’$(16)(17) と交点の数が奇数個であることから,を満たす.

$d_{\delta}=c_{s}’’$$c_{\epsilon}$(18)$M_{1}c_{\delta}=Sc_{\epsilon}$

この方程式を解くと,次に,$x_{2}^{(\pm)}$

シアーレス・

がシアーレス.

$\mathrm{t}\backslash -$$\text{ト}-$ラスと直線$l_{\pm}$との交点の座標 (式 (11)) が得られる.

ラス上にあることを示す. 写像 $T$ の$x$に関する定義域を $[-\pi, \pi)$から[$\pi(\nu-1),$ $\pi(\nu+1))$(19)に取り直した写像を $T’$ とおき, 線分 $m\pm$ を次のように定義する.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$m_{+}=\{(x,p)|x\in[\pi\nu,$ $\pi(\nu+1)),$ $p=0\}$(20)$m_{-}=\{(x,p)|x\in[\pi(\nu-1),$ $\pi\nu),$ $p=0\}$(21)と $S$ についても, 定義域を式 (19) に取り直し $.-$ ものを, それぞれ.

$M_{2}’$

,

$S’$

とおくと,

(22)

$\ovalbox{\tt\small REJECT} m\mp=S’m\pm=m\pm$が成り立つ.

シアーレス・トーラスと線分$m_{-}$との交点を$\ovalbox{\tt\small REJECT}=(X_{j},0)$,$j=1,$$2s-1,$$\cdots,$(23)$s\in \mathrm{N}$とおく. ただし, $X_{1}>X_{2}>\cdots>X_{2s-1}$ とする. 補題よりシアーレス・と写像 $S’$ の不変集合であり, また $M_{2}’m_{-}=m_{+}$ が成り立っので,の. よる像は,$\}^{\sim}$$d_{j}’=(X_{j}’, 0)$$d_{j}$$M_{2}$$M_{2}’$

ラスは, 写像$\ovalbox{\tt\small REJECT}$にょる像およひ $S’$

ラスと線分 m\sim 交点になる. すなゎち, $d_{j}=M_{2}’dj$ とおくと,の定義式より $X_{j}’=-X_{j}+2\pi\nu$ である. したがって,

シアーレス・と書け,$\text{ト}-$$\text{ト}-$$X_{1}’<X_{2}’\leq\cdots<X_{2\epsilon-1}’$

また, $d_{j}’=S’d_{j}$ とおくと,がって,$d_{j}’=(X_{j}’’,0)$

と書け,

$S$

.

(24)

の定義式より $X_{j}’’=X_{j}+\pi$ である. した(25)$X_{1}’’>X_{2}’’>\cdots>X_{2\epsilon-1}’’$

が成り立つ. 式 (24)(25) と,交点の数が奇数個であることから,$M_{2}d_{l}=Sd_{l}$が成り立つ. この方程式を解くと, シアーレス.

$\text{ト}-$$d_{\epsilon}’=d_{l}’$

, っまり

(26)

ラスと $x$ 軸との交点の座標 (式 (12)) が得られる.

111$\mathrm{x}$図 2: 回転数$1/\gamma$のシアーレス.

}$\backslash -$ラス崩壊臨界点 $(\nu, K)=$ (-0.313951, 154156) での相空間.

写像における indicator points(IP)ララスが最終不変と呼ぶ. 黄金比の逆数 $1/\gamma=(\sqrt{5}-1)/2$ を回転数にもつシアーレス. }スとなって崩壊する臨界パラメータ値\ddagger での相空間を図 2 に示す. 図 2 ではシアーレス・トーラ
式 (11)(12) で定義される 4 点$x_{1}^{(+)},$$x_{1}^{(-)},$ $x_{2}^{(+)},$ $x_{2}^{(-)}$

を$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$\text{ト}-$$\backslash -$スを$\mathrm{I}\mathrm{P}$を初期点とする軌道として描いている.

4Indicator points を初期点とする軌道の振舞い
4.1

Indicator points の回転数

本節では$\mathrm{I}\mathrm{P}$を初期点とする軌道の振舞いを, その回転数によって分類する.

を初期点とする軌道の回転数は等しい. そこで,

ので,

$x_{j}^{(+)}$

をとおく. Le.,$\mathcal{R}_{j}$と$x_{j}^{(-)}$$\mathcal{R}_{j}(\nu, K)=\lim_{Narrow\infty}\frac{1}{2\pi N}(\pi_{x}(\hat{T}^{N}\hat{x}_{j}^{()}’)$$-\pi_{x}(\hat{x}_{j}^{(\epsilon)}))$のはそれぞれ写像 $T$ , 点の回転数が値
は点 $\hat{x}=(x,p)\in \mathrm{R}^{2}$ の 或分を表す.

ここで, 写像$\hat{T}$, 点$x\in \mathrm{T}\cross \mathrm{R}$$\hat{x}$$x$0$(\alpha)\text{とお}\langle$.

$\mathrm{i}.\mathrm{e}.$$x_{j}^{(\pm)}$$1/\gamma$

なx(-ゝの軌道の回転数$s=+\mathrm{o}\mathrm{r}-$$\cdot(27)$

への持ち上げを表す. また,をとるような’ ラメータ値の集合を$\pi_{x}(\hat{x})$$S$$\alpha$$|\mathcal{R}_{j}(\nu, K)=\alpha\}$のシアーレス. } $-$ ラス崩壊の臨界パラメータ値 (\mbox{\boldmath $\nu$}。’
回転数(論文 [5], 第 4 節参照).
等によって決定された
Negrete$t$と$\mathrm{R}^{2}$,,(。) $+K)$.

$x_{j}^{(+)}$$S^{(\pm)}oe_{j}=x_{j}^{(\mp)}$.

$K_{\epsilon}$$j=1,2$(28、) $=(-0.313951,1.54156)$ は, del-CastillO-

112
とくに $K=0$ のとき$\mathrm{I}\mathrm{P}$

の回転数は

なので,

$\nu$

$(\alpha, 0)\in P_{j}(\alpha)$,$j=1,2$(29)

が戒り立つ.

あるパラメータ値$(\nu_{0}, K_{0})$で回転数 ( は無理数) のシアーレス. }ラス上を稠密に埋めるので,$\alpha$正の軌道はシアーレス. }たがって, 回転数 のシアーレス・$\backslash -$$\alpha$$\backslash -$$\alpha$ラスが存在するとき,$\mathcal{R}_{1}(\nu_{0}, K_{0})=\mathcal{R}_{2}(\nu_{0}, K_{0})$$\text{ト}-$ラスが存在するパラメータ区間において,である.

$P_{1}(\alpha)$とし$P_{2}(\alpha)$は一致する. しかし, シアーレス・トーラスが存在しない場合, 両者は一致するとは限らない. たとえば,とが有理数の場合,は一致しない (第 43 節参照).
$P_{1}(\alpha)$$\alpha$4.2$P_{2}(\alpha)$

Indicator points の回転数$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{l}- \mathrm{C}\mathrm{a}s\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{U}\mathrm{e}\succ \mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}$等は,$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\mathcal{R}_{j}$が無理数の場合の回転数が黄金比の逆数 $1/\gamma=(\sqrt{5}-1)/2$ になる場合の集合を, $(\nu, K)=(1/\gamma, 0)$ を通る一次元曲線として数値的に決定してぃる [5]. さらに彼らは,乃
その一次元曲線にパラメータ値を制限した写像を考え, Groene の方法 [8] を用いて回転数のシアーレス・トーラス崩壊の臨界点を決定した.
写像では, 任意にパラメータ値を変化させた場合, 不変トーラス崩壊過程とリコネクション過程が並行して進み, 相空間構造の変化は大変複雑なものになるが, パラメータ値を乃に制限した場合は, リコネクション現象を 「凍結」 させることができ, 不変トーラス崩壊過程のみを追跡することが可能になる.
$(1/\gamma)$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$1/\gamma$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$(\gamma)$

4.3

Indicator points の回転数

次に,$\mathcal{R}_{j}$が有理数の場合の回転数が有理数 になる場合, すなわちが周期点またはヘテロクリニック点になる場合を考える. $K=0$ のとき,
は回転数 のシアーレス・
ラス $(p\equiv 0)$ 上にあるが,そのシアーレス・トーラス (共鳴トーラス) は $K>0$ で消滅してしまう. しかし, $K>0$ のときも$\mathrm{r}\mathrm{P}$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\alpha$$\text{ト}-$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\alpha$は特別なパラメータ値に対応することが数値的に調べた結果明らがとなった. が有理数の場合, 集合乃はセパラトリクスの接触条件を与える. 図に, それぞれ,乃$(\alpha)$$\alpha$$(\alpha)$$\mathcal{R}_{1}=1/3$$3(\mathrm{a})(\mathrm{b})$を満たすパラメータ値での相空間を示す. 図

セパラトリクス上にある. 一方, 図$3(\mathrm{b})$では,$x_{1}^{(\pm)},$$x_{2}^{(\pm)}$$\mathcal{R}_{1}=1/2$

がが双曲点になり,がともにセパラトリクス上にある.

$3(\mathrm{a})$では$x_{1}^{(\pm)}$

図 3: $(\mathrm{a})\nu=-0.4900528,$ $K=0.5$ , (b) $\nu=$ -0.3124513, $K=0.7$$x_{2}^{(\pm)}$

.

113

第 2 節で述べたように、 ツインチェインの周期の偶奇によって、 セパラトリクスの結合の仕方は異なる. すなわち, 偶数周期の場合は双曲点の結合を伴い, 奇数周期の場合は伴わない. 様々のな回転数のツインチェインについて数値的に調べた結果, セパラトリクス結合時の振舞いは, 表 1 のようにまとめられることが分かった. ただし, この対応関係は非線形性の’ ラ
メータ $K$ の値が十分小さい場合についてである. $K$ の値が大きくなると, ツインチェインを構$X_{1}(\pm),$$X_{2}(\pm)$$S$

或する双曲点が分岐を起こす場合があり 「 $19$], そのような場合は, 新たなツインチェインが生まれ, 上のような簡単な対応関係にはまとめられなくなる.
表 1 の対応関係を用いれぽ, IP の振舞いからセパラトリクス接触の閾値を決定することがでが (a) 偶数周期の周期点になる条件, およひ (b) 奇数周期双曲点のホモクリ
きる. 以下では,への持ち上げを用いる
ニック点になる条件を求める. このような条件を式で表すには, 正ののへの持ち上げをそれぞれ次のように与える.
のが便利である.
$\iota$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\mathrm{R}^{2}$$x_{1}^{(\pm)},$$x_{2}^{(\pm)}$.

$\mathrm{R}^{2}$$\hat{x}_{1}^{(r)}=(x_{1}^{(r)},p_{1}^{(r)})=(\frac{\pi}{2}(2r-1),$$(-1)^{r+1} \frac{K}{2})$$\hat{x}_{2}^{(r)}=(x_{2}^{(r)},p_{2}^{(r)})=(\pi\nu+\frac{\pi}{2}(2r-1),$である. また以下では,$0)$で定義された写像 $F$ の$x_{j}^{(\pm)}(j=1,2)$ が方程式 (18) (26) の解であることに対応して,

ここで$r\in \mathrm{Z}$$\hat{x}_{j}^{(r)}$$\hat{M}_{jj}.(r)=R^{r}\hat{S}\hat{x}_{j}^{(r)}$

,

(30)

.

$\mathrm{R}^{2}$$\mathrm{T}\cross \mathrm{R}$,(31)
への持ち上げをは次を満たす.

$\hat{F}$$\dot{g}=1,2$

と書く.

(32)

ここで, $R(x, p)=(x-2\pi, p)$ である.

(a)$\mathrm{I}\mathrm{P}$$x_{j}^{(\pm)}$が偶数周期の周期点になる条件
が回転数 $P/Q$ ( $Q$ は偶数) の周期点になる条件は$R^{P}\hat{T}^{Q}\hat{x}_{j}^{(\mathit{0}}=\hat{x}_{j}^{(r)}$,$j=1,2$と $K$ の関係式を定め, その関係式が乃 $(P/Q)$ に相当する.
と書かれる. この条件は,偶数 $Q$ について, 式 (33) から乃 $(P/Q)$ を求めると, 表 2 のようになる.
$\nu$

(33)

8 以下の

114

$\mathrm{K}$$\mathrm{v}$

図 4: Indicator points が偶数周期の周期点になるパラメータ値.

ここで,
$\xi$

( ,
$\nu$

K)=1+2\subset 自\supset (2\pi \mbox{\boldmath $\nu$}-AK2),$\eta(\nu, K)=1+\frac{\infty \mathrm{s}(3\pi\nu-K^{2}\infty \mathrm{s}^{2}(\pi\nu))}{\infty \mathrm{s}(\pi\nu)}$

(34)

,

(35)

とおいた. 図 4 に表 2 の関係式のグラフを示す. 表 2 およひ図 4 から明らかなように,が周期点になる場合は, 集合
と
と
は異なる.
のとちらがセパラトリクスの接触条件を与えるかは $P,$ $Q$ に依存する.
$\mathrm{I}\mathrm{P}$$P_{1}$(b)$P_{2}$$P_{1}$$P_{2}$

が奇数周期双曲点のヘテロクリニツク点になる条件
図のようにが回転数 $P/Q$ ( は奇数) の双曲点のヘテロクリニック点であるならば,が成り立っ. 幾っかの奇数周期ツィンチェインにつぃて数値的に調べた結果,がヘ
テロクリニック点になるのは, ツィンチェインの上側の双曲点から発する安定 (不安定) 多様体と,T 側の双曲点から発する不安定 (安定) 多様体とがちょうと接するときであることが分かった. リ
コネクション過程では, 上側の双曲点のタングルと下側の双曲点のタングルが通過するため (図5 参照), 微小であるが有限のパラメータ区間で両タングルは交差する. そのパラメータ区間の端$\mathrm{I}\mathrm{P}$$3(\mathrm{b})$$oe_{j}^{\mathrm{t}\pm)}$$Q$$\mathcal{R}_{j}=P/Q$$\mathrm{I}\mathrm{P}$

点を与える条件が $\mathcal{R}_{1}(\nu, K)=P/Q$ と $\mathcal{R}_{2}(\nu, K)=P/Q$ である. 例として図, 周期 1のツインチェインにつぃて, 上側双曲点の安定多様体と下側双曲点の不安定多様体の接触時と分$6(\mathrm{a})(\mathrm{b})\mathrm{F}_{\vee}^{\sim}$

115を増していったときに, 二つのチェインが接し始めるときにがタングルの接点となり $\mathcal{R}_{2}=P/Q$ が成り立ち (図 6(a)), 二つのチェインが離れるときに).
が接点となって $\mathcal{R}_{1}=P/Q$ が成り立つ (図がヘテロクリニツク点になることを利用すると, 奇数周期チェイ
セパラトリクス接触時にが回転数 $P/Q$ ( $Q$ は奇数) のンのセパラトリクス接触閾値を精密に決定することができる.
双曲点のヘテロクリニツク点になるパラメータ値, すなわち $P_{1}(P/Q)$ を, $Q\leq 9$ の全ての回転離時の様子を示す.

を固定して

$K$

$\nu$

$x_{2}^{(\pm)}$$x_{1}^{(\pm)}$$6(\mathrm{b})$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$x_{1}^{(\pm)}$数に対して数値的に求めたものを図 7 に示す\S . 非線形性のパラメータ $K$ の値が大きくなるにつれ, ツインチェインの双曲点近傍の不安定性も大きくなる. そのため図 7 では, 数値計算の精度の限界から, ある有限の. $K$ までしか $P_{1}(P/Q)$ が求められていない.

(a)

図 5: リコネクション過程におけるタングルの振舞い$\mathrm{p}$$\mathrm{x}$$\mathrm{x}$図 6: $K=0.4,$ $(\mathrm{a})\nu=0.113217295446379$ , (b) $\nu=0.113221565539798$$x_{1}^{(\pm)},$$x_{2}^{(\pm)}$.

$\mathrm{O}$,$\blacksquare$

は, それぞれを初期点とする軌道を表す.

$\S p_{1}(P/Q)$ が表すパラメータ曲線とが表すパラメータ曲線との差は極僅かである. たとえば, 図 6 の場
合, 両パラメータ曲線の 方向への差は $K=0.4$ のとき $O(10^{-6})$ である.
$\mathcal{P}_{2}(P/Q)$

$\nu$

116

$\mathrm{K}$

図 7: hdicator po.nts

5$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$x_{1}^{(\pm)}$が奇数周期双曲点のヘテロクリニック点になるパラメータ値 $P_{1}(P/Q)$ .

写像における最終不変トーラスの崩壊

写像ではツイスト条件が破れてぃる相空間領域の不変トーラスが、他の不変$\text{ト}-$ラスに比べ安定 (robust) である. 非線形性を十分大きくすると, 相空間の大半はカオスになり,
の近傍
の不変 }
ラスが残存し, カオス領域を二っに分割する (図 8 参照). そこで,を初期点とする$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\backslash -$$\mathrm{I}\mathrm{P}$方向に有界かどうがを調べることにょり, 相空間に不変 } ラスが存在するがどぅかを
判定することが出来る.
図 9 は, パラメータ空間 ( $\nu-K$ 空間) の基本領域 (式 (6)) において,の軌道が有界であるか
とうかを数値的に調べた結果である. 灰色の領域のパラメータ値では,の軌道が有界になり,白い領域では非有界 (拡散的) になる. 数値計算では,を写像 で回反復し, その間 の絶 値が 2 を越えない場合を有界とした. この数値計算においての軌道が有界ならば, 次の
軌道が

$p$

$\backslash -$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$T$$10^{5}$$p$$.\text{対}\backslash$$\mathrm{I}\mathrm{P}$

二つの可能性が考えられる :(i) シアーレス. }ラスが存在し,はその上にある ;(ii) シアー
レス. }ラスは存在しないが, 軌道を有界領域に閉じ込める不変 } $-$ ラスが存在する. っまり,の軌 g が有界ならぼ, 相空間に不変 }ラスが存在することが言える. それに対して,)軌道が非有界ならば, 不変 } ラスは存在し得ない. したがって, 図 9 の灰色領域と白色領域の境界は, 最終不変 }ラス崩壊の臨界点に相当する. 第 42 節で述べた del-CastiU\sim Negrete 等が決定した臨界点は, その境界の一点になってぃる.
不変
ラスの存在・非存在の相図に, 第 4 節で求めた $P_{j}(P/Q)$ を重ねたのが図 10 と図 11である. これらの図から, 不変 }ラス存在相と非存在相の境界の形状は, 曲線群が骨$\backslash -$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\backslash .-$$\mathrm{I}\mathrm{P}$$\backslash -$$\mathrm{I}\mathrm{P}\mathcal{O}$$\backslash -$$\backslash -$$\text{ト}-$$\backslash -$$P_{j}(\alpha)$

組みを与えていることが分がる. すなわち,$\mathrm{I}\mathrm{P}$の回転数$\mathcal{R}_{j}(\nu, K)$が一定になるようにパラメー

117
タを変化させた場合に, 大域的カオスの発生が一点で起こる. Del-CastillO-Negrete 等の結果 [よ,シアーレス・トーラスカ ’ 最終$\mathcal{R}_{j}(\nu, K)=1/\gamma$ が満たされるようにパラメータを変化させた場合,$\mathrm{a}$だけに限らない. 我々は,ラスになるこどを示したものであったが, このことはラメータを変化さが満たされるよが $\sqrt{2}-1$ および $e/10$ の場合について,ラスが最終不変
ラス崩壊過程を調べたが, いずれの場合もシアーレス. }せた場合の不変 }不変 }$\alpha$$1/\gamma$$\backslash -$$\grave{\prime)}\iota_{\sim^{y\backslash ^{\mathrm{O}}}}^{\sim}$$\mathcal{R}_{j}(\nu, K)=\alpha$$\backslash -$$\backslash -$トーラスであることを確認した. 図 12 に臨界点での相空間を示す. $\sqrt{2}-1$ は, 連分数展開の部
分商が全て 2 になる数で, しぼしば sflver mean と呼ばれる [14]. この数は実二次無理数である
また, $e/10$
がノーブル数 (連分数展開の部分商があるところから全て 1 になる無理数) ではな
は連分数展開に特別な規則性をもたず, ノーブル数でも実二次無理数でもない. これらの結果かラスが最が満たされるようにパラメータを変化させた場合, シアーレス.
う,$\mathrm{A}\mathrm{a}$.

$\mathrm{t}\backslash -$$\mathcal{R}j(\nu, K)=\alpha$

終不変$\text{ト}-$ラスになるという性質は, かなり広いクラスの無理数$\alpha$に対してなりたつことが予想

される.

6

結語

写像に対して indicator points
本報告では, ノンツイスト系の典型例として研究されてきた
番定義し, それらを初期点とする軌道の振舞いと, ツイスト条件の破れから生じる相空間構造との関係を述べた. さらに, indicator points を用いて, 大域的カオス発生の臨界点を二次元 ラメータ空間において決定し, 不変トーラス存在相と非存在相の境界の骨組みが, ツインチェイン$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$1\backslash ^{l}$のセパラトリクス接触閾値によって与えられていることを示した.
ラスに比べて robust
ラスが他の不変 }写像系の著しい特徴の一つは, シアーレス. }写像のような特殊な対称であるという性質である. シアーレス・トーラスの robustness は,性 (式 (9)) を持たない他のノンツイスト系でも報告されており $[1, 11]$ , ノンツイスト系に普遍的な性質と予想される. ツイスト条件の破れと不変トーラスの robustness の関係を明らかにすることは今後の課題である.
$\backslash -$$\backslash -$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$$\mathrm{Q}\mathrm{N}$

図 8: $\nu=0.304348$ , $K=1.\mathrm{O}$ のときの相空間.

118$\mathrm{v}$

図 9: 不変 }ラスの存在・非存在を表す相図. 回転数力 golden mean, silver
mean, $e/10$ のシアーレス・トーラス崩壊の臨界点に 印が記されてぃる.
$\backslash -$$\grave{\grave{\mathrm{a}}}$$\cross$

図 10

119

$\mathrm{v}$

図 11$\mathrm{p}$$\mathrm{x}$$\mathrm{x}$図 12: シアーレス・トーラス崩壊臨界点での相空間. (a) $\nu=0.4467103385,$ $K=1.404^{\cdot}16$ ; シアー
レス・トーラスの回転数は $\sqrt{2}-1$ (silver mean), (b) $\nu=0.3177917,$ $K=1.1835$ ; シアーレス.

トーラスの回転数は $e/10$

.

120
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$1$

;ibid. DIOO

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