数理解析研究所講究録 1242 巻 2002 年 40-4940
非線形楕円型偏微分方程式に対する粘性解の内部正則性について(Interior regularity of viscosity solutions for nonlinear second order

ellitic partial diflerential equations)

神戸商船大学克幸 (Katsuyuki Ishii)

石井Abstract. This note presents abrief introduction of regularity theory of viscosity solutions of nonlinear second order effiptic partial differential equations.
We mainly describe
estimates of viscosity solutions.
$C^{2,\alpha}$

1Introduction
本稿では非線形楕円型偏微分方程式に対する粘性解の内部正則性につぃての最近の結果を紹介する. まず, 次のような線形楕円型偏微分方程式を考える.
(1.1)$-a_{j}(x)u_{xx_{j}}=f(x)$ここで,$\Omega\subset R^{n}$in$\Omega$は開集合で, $a_{-j}(x)$ は一様楕円性の条件\lambda I\leqq (a り (x))\leqq \Lambda I$(\forall x\in\Omega,0<\lambda\leqq\Lambda<+\infty)$を満たすとする.

(垣) に対する解の内部正則性については以下のような結果がよく知られてを $\Omega=B_{1}$ としたときの (1.1) の有界な解とする.
いる. $0<\alpha<1,1<p<+\infty$ とし,$u$(1) (Cordes-Nirenberg) 小さな $\delta=\delta(\alpha)>0$ に対して (a り (x)) がを満たすと仮定する. このとき,$\delta_{-j}||_{L(B_{1})}\infty\leqq\delta$||u||cl.。(-B,,2)(2) (Schauder)$\underline{\leq}C(||u||_{L\infty(B_{1})}+||f||_{L(B_{1})}\infty)$$a_{-j},$$||a- j$$u\in C^{1,\alpha}(\overline{B}_{1/2})$

ならば,
を満たす.

$f\in C^{\alpha}(\overline{B}_{1})$$C(||u||_{L(B_{1})}\infty+||f||_{C^{\alpha}(B_{1})})$(3) (Calder\’on-Zygmund)$a- \mathrm{j}\in C(B_{1}),$

-

かっ

を満たす.

$u\in C^{2,\alpha}(\overline{B}_{1/2})$$f\in L^{p}(B_{1})$が$\vee\supset||u||_{C^{2}}$$(\overline{B}_{1/2})\leqq$,。

ならば, $u\in W^{p}’(B_{1/2})$

かつ $||u||_{W^{2.\mathrm{p}}(B_{1/2})}\leqq C(||u||\iota\infty(B_{1})+||f||_{L^{\mathrm{p}}(B_{1})})$ を満たす.

これらは方程式 (垣) を Laplace 方程式の摂動とみなし, Laplace 方程式に対する解の正則性の結果を使うことで得られている. その後の発展や詳細については D. Gilberg-N. S. Trudinger [5] 等を参照のこと.

41
非発散系の非線形楕円型偏微分方程式に関しては, N. S. Trudinger [8] によっ-評価が初めて得られた. また, 1989 年に L. A. Caffarelli [2] はて粘性解の上記 (1) $-(3)$ に対応する結果を一般の非線形一様楕円型偏微分方程式の粘性解に対して得た. 本稿では線形方程式 (1.1) に対して解説した Q. Han-F.-H. Lin-評価についてその概要を紹介する. 詳しい[6] に沿って [2] の結果, 特に彼らの本や内容に関しては,L. A. Caffarelli-X. Cabr\’e [1] を参照されたい. また, 最近の進展については小池茂昭氏の解説 [7] を参照されたい.
$C^{1,\alpha}$$C^{2,\alpha}$

2Preliminaries
方程式 (1.1) に関して次の仮定をおく.

(A .1) 正定数 , A$\lambda$$(\lambda\leqq\Lambda)$が存在して$\lambda I\leqq(a_{j}.\cdot(x))\leqq\Lambda I$$(\forall x\in\Omega)$を満たす.

(A.2) $a\text{り}\in C(\Omega)(i, j=1, \cdots, n)$ .
(A .3) $f\in C(\Omega)\cap L^{n}(\Omega)$ .
本稿では線形方程式 (1.1) の解について考えるが, 非発散系の非線形楕円型
偏微分方程式の解を念頭に置いている. そのため, 弱解として粘性解を用いる.

定義 2.1 $u\in C(\Omega)$ とする.

(1)

$u$

が (1.1) の粘性劣解であるとは, 任意の$x_{0}\in\Omega$$\varphi\in C^{2}(\Omega)$に対して $u-\varphi$ がで最大値を取るとき$-a_{j}.\cdot(x_{0})\varphi_{x:x_{j}}(x_{0})\leqq f(x_{0})$

を満たす.

(2)

$u$

が (1.1) の粘性優解であるとは, 任意の$x_{0}\in\Omega$$\varphi\in C^{2}(\Omega)$に対して $u-\varphi$ がで最小値を取るとき$-a_{*j}.(x_{0})\varphi_{x.x_{j}}.(x_{0})\geqq f(x_{0})$

を満たす.

(3)

$u$

が (1.1) の粘性解であるとは, (1.1) の粘性劣解かつ粘性優解であると

きをいう.

42
より一般の非線形楕円型偏微分方程式に対する粘性解の定義やその理論に関しては M. G. Crandall-H. Ishii-P.-L Lions [3] 等を参照されたい.

(1.1) の粘性解に対する C2.\mbox{\boldmath $\alpha$}-評価を導くためにいくっかの定理や系を用意す
る. 解の内部正則性を考えているので, 今後は $\Omega=B_{1}$ としておく.

定理 2.2 (Alexandorff-Bakelman-Pucci maximum principle) (A .1), (A 3) を仮定する. $u\in C(B_{1})$ を (垣) の粘性優解とし,上で $u\geqq 0$ と仮定する.
このとき,$\partial B_{1}$$\sup_{B_{1}}u^{-}\leqq C(\int_{\{x\in B_{1}|u(x)=\Gamma_{l}(x)\}}(f^{+}(x))^{n}dx)^{1/n}$が成り立つ. ここで $C=C(n, \lambda,\Lambda)>0$ は定数, $u^{-}= \max\{-u,0\}$ で$\Gamma_{u}(x)=\sup${ $L(x)|L\leqq-u^{-}$ in$B_{1},$ $L$: affine function}.

定理 2.3 (Harnack inequality) (A.1), (A 3) を仮定する. $u\in C(B_{1})$ を (1.1)の非負な粘性解とする. このとき, 次の評価を得る.
$\sup_{B_{1/2}}u\leqq C\{\inf_{B_{1/2}}u+||f||_{L^{n}(B_{1})}\}$.

ここで $C=C(n, \lambda, \Lambda)>0$ は定数.

系 2.4 (Local
estimate) (A 1), (A 3) を仮定する. $u\in C(B_{1})$ を (1.1)の粘性解とする. このとき, $u\in C^{\alpha}(B_{1})(\exists\alpha=\alpha(n, \lambda,\Lambda)\in(0,1))$ となり, 次の評価を満たす. 任意の $x,$ $y\in B_{1/2}$ に対して$\mathrm{H}\tilde{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$$|u(x)-u(y)| \leqq C|x-y|^{\alpha}\{\sup_{B_{1}}|u|+||f||_{L^{n}(B_{1})}\}$.

ここで $C=C(n, \lambda, \Lambda)>0$ は定数.

これらの結果についての詳細, 及ひその後の進展に関しては小池氏の解説参照されたい.

3$C^{2,\alpha}$-estimate

前節の結果を用いて, (1.1) の粘性解に対する C2.\mbox{\boldmath $\alpha$}-評価を導く.

$\mathrm{I}$を43の粘性解とする. 更に,定理 3.1 (-(A3) を仮定する. $uarrow C(B,)$ を (1に対してある
$f$ に関して次を仮定する.
$\mathfrak{y}$$\mathrm{A}.\mathfrak{h}$$\alpha \mathrm{C}(0,$$\mathfrak{y}$$a_{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}},$(3.1)$[g]c_{L^{\hslash}}^{\alpha}(0) \equiv\sup_{0<r<1}\frac{1}{r^{\alpha}}(\frac{1}{|B_{f}|}\int_{B_{r}}|g(x)-g(0)|^{n}dx)^{1/n}<+\infty$$(g=a_{j}.\cdot, f)$が成り立つ. このとき次多項式 $P$ が取れる.

(3.2)
(3.3)

$u$

は原点 $O$ で$C^{2,\alpha}$である. 即ち, 次の評価を満たす 2$||u-P||_{L(B_{r})}\infty\leqq C_{*}r^{2+\alpha}$$(0<\forall r<1)$,$|P(0)|+|DP(0)|+||D^{2}P(0)||\leqq C_{*}$ ,

(3.4)

,

$C_{*}\leqq C\{||u||_{L(B_{1})}\infty+|f(0)|+[f]_{C_{L^{\hslash}}^{\alpha}}\}$

但し $C=C$ ( $n,$$\lambda,$$\Lambda,$$\alpha$, [al.j]c。7) $>0$ は定数.

注意 (1) 仮定 (3.1) t ま $g(0)$ を基準にしたときの $g(x)$ の振動が小さいことを意味する. 従って$f(0)=0$ としたとき, 方程式 (1.1) は Laplace 方$f$ の原点 $O$ における H\"older 連
程式の摂動とみなせる. また, この仮定は続性よりも弱い仮定である (Introduction で述べた Schauder 評価 (2) を参照).
$a_{1j}.(0)=\delta_{*j}.,$$a_{j}.\cdot,$を定義する際に現れるセミノルムの評(2) (3.2) は Campanato 空間
価と考えることができる. Campanato 空間の定義や性質などについては M.
Giaquinta [4] 等を参照のこと.
$\mathcal{L}_{2}^{\infty,2+\alpha}$(3) (3.2)-(3.4) のような評価が, 例えば, 任意の $x\in B_{1/2}$ で成り立つとすると,が言える.

$u\in C^{2,\alpha}(B_{1/2})$

定理 3.1 を証明する上で次の補題 ((1.1) の粘性解$u$の近似) が重要である.

補題 3.2(A.1)-(A.3) を仮定する. $u\in C(B_{1})$ を (1.1) の粘性解とし,を満たすとする. 更に, ある $\epsilon\in(0,1/16)$ に対して$||u||_{L(B_{1})}\infty\leqq$$1$$||a_{jj}-a_{j}(0)||_{L^{n}(B_{3/4})}\underline{\leq}\epsilon$, かつが成り立つと仮定する. このとき, -aij(0)hxixj $=0$ inが存在して次の評価を満たす.
となる関数$B_{3/4}$$1$$h\in C(\overline{B}_{3/4})$$||u-h||_{L^{\infty}(B_{1/2})}\leqq C\{\epsilon^{\gamma}+||f||_{L^{n}(B_{1})}\}$

但し, $C=C(n, \lambda,\Lambda)>0,$ $\gamma=\gamma(n, \lambda,\Lambda)\in(0,1)$ は定数.
証明.

(3.5)

$h\in C(\overline{B}_{3/4})$を次の境界値問題の古典解とする.
$\{$$h=u-a_{ij}(0)h_{x:x_{j}}=0\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}B_{3/4}\partial B_{3/4}’$.

.

$||h||_{L(B_{3/4})}\infty\leq$44
最大値原理よりつことを使うと,$||h||_{L\sim(B_{374})}\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$

$h$

である.

$u$

は次の評価を満たす.

に関して, 系||h||c。/2( s74)\leqq C||u||c。(-Bs7J\leqq C(n,$\lambda,\Lambda$$\mathrm{J}$また, $u-h=\mathrm{O}$ on$\partial B_{3/4}$$2\ovalbox{\tt\small REJECT}$の評価が成り立) $\{1+||f||_{L^{n}(B_{1})}\}$ .

と上の評価より$||u-h||_{L^{\infty}(\partial B_{S/4-\delta})}\leqq C\delta^{\alpha/2}\{1+||f||_{L^{n}(B_{1})}\}$$(0< \forall\delta<\frac{1}{4})$.

更に (3.5) の解に対する内部 C2-評価より$|D^{2}h(x)|\leqq C\delta^{-2+\alpha/2}\{1+||f||_{L^{n}(B_{1})}\}$$(\forall x\in B_{3/4-\delta})$を得る. $u-h$ が$-a_{1j}.(u_{x:lj}-h_{x.x_{j}}.)=f(x)-(a_{-j}(x) -a_{-j}(0))h_{x.x_{\mathrm{j}}}.(x)$
$\{$

$h=u$

in
on

$B_{3/4}$,$\partial B_{3/4}$.

の粘性解になることど定理 22 より$||u-h||_{L(B_{s\mu-\delta})}\infty\leqq C(\delta^{\alpha/2}+\delta^{-2+\alpha/2}\epsilon)\{1+||f||_{L^{\hslash}(B_{1})}\}+C||f||_{L^{\hslash}(B_{1})}$

が成り立つ. ここで,$\delta=\epsilon^{1/2},$$\gamma=\alpha/4$と取ればよい.

$0$

定理 3.1 の証明. Step 1. 簡単のため, $f(0)=0$ と仮定しておく. 更に(3.6)$||u||_{L()B_{1}}\infty\leqq 1,$$[\tilde{a}j1c_{\iota^{n}}^{\circ}(0)\leqq\delta,$$[\tilde{f]}_{C_{L^{\hslash}}^{a}}(0)\leqq\delta$と仮定してよい.

何故ならば, スケール変換$\tilde{u}(y)=\frac{r_{1}^{-2}u(r_{1}y)}{r_{1}^{-2}||u||_{L^{\infty}(B_{1})}+\delta^{-1}[f1c_{t}^{a}.(0)}\equiv\frac{r_{1}^{-2}u(r_{1}y)}{K}(y\in B_{1/r_{1}})$

により$\tilde{u}$は$-\tilde{a}_{j}.\cdot(y)\tilde{u}_{y.y_{\mathrm{j}}}.=\tilde{f}(y)$in$B_{1/r_{1}}$$( \tilde{a}_{j}.\cdot(y)=a_{j}(r_{1}y),\tilde{f}(y)=\frac{f(r_{1}y)}{K})$の粘性解で$||u||\iota\infty(B_{1/r_{1}})$となる. ここで$\frac{1}{r^{\alpha}}(\frac{1}{|B_{r}|}\int_{Br}|\tilde{a}_{j\mathrm{j}}(y)-\tilde{a}_{j\mathrm{j}}(0)|^{*}’ dy)^{1/n}$

,

,

45
$=r_{1}^{\alpha}( \frac{1}{(r_{1}r)^{\alpha}}\frac{1}{|B_{f/\mathrm{r}_{1}}|}\int_{B_{r/r_{1}}}|ajj(x)-a\dot{.}j(0)|^{n}dx)^{1/n}$$\leqq r_{1}^{\alpha}[a_{ij}]_{C_{L^{\mathit{7}}}^{a}}(0)$,$\frac{1}{r^{\alpha}}(\frac{1}{|B_{r}|}\int_{B_{r}}|\tilde{f}(y)|^{n}dy)^{1/n}$$= \frac{r_{1}^{\alpha}}{K}\frac{1}{(r_{1}r)^{\alpha}}\frac{1}{|B_{r/t1}|}(\int_{B_{r/r_{1}}}|f(x)|^{n}dx)^{1/n}$$\leqq\delta r_{1}^{\alpha}$であるから, rl=

$\{$

,

\mbox{\boldmath $\delta$}([a り]cLan (0) $+1$ )(3.7)$[\tilde{a}_{j}.\cdot]_{C_{L^{\hslash}}^{\mathrm{Q}}}(0)$とできる.

Step 2.

$\tilde{u},\tilde{a}_{-j},\tilde{f}$をそれぞれ $u,$$\}^{1/}$’ととること [こより, [f]C2、(0)$a_{ij},$$f$$\leqq\delta$と見なせばよい.

を小さく取ること [こより, 次のことが成り立つことを示す: $u\in C(B_{1})$ を $||u||_{L}\infty(B_{1})\leqq 1$ となる (1.1) の粘性解とし, a り, $f$ は(3.7) を満たすとする. このとき,$\delta=\delta(n, \lambda, \Lambda, \alpha)>0$

(3.8)
(3.9)

$||u-P||L\infty(B_{r}(\mathrm{O}))\leqq Cr^{2+\alpha}$$(0<\forall r<1)$,$|P(0)|+|DP(0)|+||D^{2}P(0)||\leqq C$,を満たす 2 次多項式 $P$ が存在する. 但し, $C=C(n, \lambda,\Lambda,\alpha)$ は定数. これが証明できれば, スケール変換を元に戻すことにより, 定理の結論が導かれる.

Step 3.

前 Step の主張を示すには以下の事柄が証明できればよい:
及び, 2 次多項式の列$\mu=$$\mu(n, \lambda, \Lambda, \alpha)\in(0,1)$$P_{k}(x)=a_{k}+ \langle b_{k}, x\rangle+\frac{1}{2}\langle C_{k}x, x\rangle$$(k=0,1,2, \ldots)$

が存在して

,

(3.10)$-ajj(0)P_{k,x:x_{\mathrm{j}}}=0$(3.11)$||u-P_{k}||_{L^{\infty}(B_{\mu_{k}})}\leqq\mu^{k(2+\alpha)}$(3.12)$|a_{k}-a_{k-1}|+\mu^{k-1}|b_{k}-b_{k-1}|+\mu^{2(k-1)}||C_{k}-C_{k-1}||\leqq C\mu^{(k-1)(2+\alpha)}$,を満たす. 但し, $P_{-1}=P_{0}\equiv 0,$ $C=C(n, \lambda, \Lambda, \alpha)$ は定数.

が取れたとして, 前 Step の主張を示す. まず, (3.12)は収束するので, それらの極限をそれぞれ ,とおく. このとき, 多項式

このような$\mu,$$\{P_{k}\}_{k\geqq 0}$

より $\{a_{k}\}_{k>0}\approx’\{b_{k}\}_{k>0},$ $\{C_{k}\}_{k}>0$$b_{\infty},$$C_{\infty}$$p(x)=a_{\infty}+ \langle b_{\infty},x\rangle+\frac{1}{2}\langle C_{\infty}x,x\rangle$$a_{\infty}$

46
は$|x|\underline{\leq}\mu^{k}$となる任意の$x$[こ対して$|P_{k}(x)-p(x)|\leqq C\{|x|^{2}\mu^{\alpha k}+|x|\mu^{(\alpha+1)k}+|x|\mu^{(\alpha+2)k}\}\leqq C\mu^{(2+\alpha)k}$を満たす. よって $|x|\leqq\mu^{k}$ となる任意の$x$に対して (3.11) とこの評価を使って$|u(x)-p(x)|\leqq|u(x)-P_{k}(x)|+|P_{k}(x)-p(x)|\leqq C\mu^{(2+\alpha)k}$が成り立つ. 任意の $x\in B_{1}$ に対して $k\geqq 0$ を $\mu^{k}\leqq|x|\leqq\mu^{k-1}$ となるように取り, 上の評価を用いると$|u(x)-p(x)|\leqq C\mu^{-1}|x|^{2+\alpha}$が言える. 故に任意の $0<r<1$ に対して (3.8) を得る. (3.9) は明らかである.

Step 4. Step 3 の主張を証明する. $k=0$ のときは明らかである. $k=$
こ対して (3.10)-(3.12) を満たすが取れたと仮定する ( の決め方は後でわかる).

$0,1,$ $\cdots,$$l$$\mu,$$\tilde{u}(y)=\frac{1}{\mu^{(2+\alpha)l}}(u-P_{l})(\mu^{l}y)$とおくと$\tilde{u}$$P_{k}$$\mu$$(\forall y\in B_{1})$は$-\tilde{a}_{1j}.(y)\tilde{u}_{y.y_{j}}.=f^{\sim}(y)$in$B_{1}$$\tilde{a}_{-j}(y)=\frac{1}{\mu^{\alpha l}}a_{ij}(\mu^{l}y),$ $f^{\sim}(y)= \frac{1}{\mu^{\alpha l}}\{f(\mu^{l}y)-a_{-j}(\mu^{l}y)P_{k,y:},\}$

を粘性解の意味で満たす. ここで仮定 (3.1) と (3.12) エり$||D^{2}P_{l}|| \leqq\sum_{k=1}^{l}||D^{2}P_{k}-D^{2}P_{k-1}||\leqq\sum_{k=1}^{l}\mu^{(k-1)\alpha}\leqq C$が言えることに注意すると,$\tilde{a}-j,\tilde{f}$が$||\tilde{a}_{\mathrm{j}}-\tilde{a}_{\mathrm{j}}.\cdot(0)||_{L^{n}(B_{1})},$

を満たすことは容易に確かめられる.

$||\tilde{f}||_{L^{n}(B_{1})}\leqq C\delta$$\epsilon=C\delta$$-\tilde{a}.\cdot j(0)h_{x:x_{J}}=0$$\{$$h=\tilde{u}$inonとおく. すると, 補題 32 より$B_{3/4}$,$\partial B_{3/4}$,

及ひ,$||h||_{L(B_{3/4})}\infty\leqq 1$,$||\tilde{u}-h||_{L\infty(B_{1/2})}\leqq C\{\epsilon^{\gamma}+\epsilon\}\leqq 2C\epsilon^{\gamma}$

47
を満たす

$h\in C(\overline{B}_{3/4})$が取れる.

$\tilde{P}(y)=h(0)+\langle Dh(0), y\rangle+\frac{1}{2}\langle D^{2}h(0)y, y\rangle$

とおく.

$h$

の内部評価を使って$||\tilde{u}-\tilde{P}||_{L(B_{\mu})}\infty\leqq||\tilde{u}-h||_{L^{\infty}(B_{\mu})}+||h-\tilde{P}||_{L^{\infty}(B_{\mu})}\leqq 2C\epsilon^{\gamma}+C\mu^{3}\leqq\mu^{2+\alpha}$と(即ち ) を小さく選ぶが, その選ひ方は $k=0,1,$を得る. ここで,よらないことに注意する. スケール変換を元に戻すと$\delta$$\mu$$\epsilon$$\cdots$に$(x\in B_{\mu^{l+1}})$$|u(x)-P_{l}(x)-\mu^{(2+\alpha)l}\tilde{P}(\mu^{-l}x)|\leqq\mu^{(l+1)(2+\alpha)}$となる. そこで$P_{l+1}(x)=P_{l}(x)+\mu^{(2+\alpha)l}\tilde{P}(\mu^{-l}x)$とおけば$P_{l+1}$

は (3.10)-(3.12) を満たす.

$\mathrm{o}$

次に (1.1) の粘性解に対する C10-評価を述べる.

定理 3.3 (A .1)-(A3) を仮定する. $u\in C(B_{1})$ を (1.1) の粘性解とする. 更に, $a:j$ に関して次を仮定する: 任意の $\alpha\in(0,1)$ に対して次を満たすが存在する.
$\theta=$$\theta(n, \lambda, \Lambda, \alpha)>0$(3.13)
このときが取れる.

(3.14)(3.15)(3.16)$(0<\forall r\leqq 1)$$( \frac{1}{|B_{r}|}\int_{B_{r}}|a:j(x)-a_{j}.\cdot(0)|^{n}dx)^{1/n}\leqq\theta$

$u$

は原点

$\mathit{0}$で$C^{1,\alpha}$.

である. 即ち, 次の評価を満たす affine 関数$||u-L||_{L^{\infty}(B_{r}(0))}\leqq C_{*}r^{1+\alpha}$$|L(0)|+|DL(0)|\leqq C_{*}$$(0<\forall r<1)$

$L$

,

,

$C_{*} \leqq C\{||u||_{L(B_{1})}\infty+\sup_{0<\mathrm{r}<1}r^{1-\alpha}(\frac{1}{|B_{r}|}\int_{B_{r}}|f(x)|^{n}dx)^{1/n}\}$,

但し $C=C(n, \lambda,\Lambda, \alpha)>0$ は定数.

の振動が小さいこと
注意 (1) 仮定 (3.13) は $a_{ij}(0)$ を基準にしたときのの主要部は Laplace
方程式
(1.1)
としたとき,を意味する. 従って作用素の摂動とみなせる. この点に関しては Introduction で述べた CordesNirenberg 評価 (1) で置かれている仮定よりも弱いものとなっている.
$a_{j}\dot{.}(x)$$a_{1j}.(0)=\delta_{-j}$(2) (3.2) は Campanato 空間と考えることができる.

’$\mathcal{L}_{1}^{\infty 1+\alpha}$を定義する際に現れるセミノルムの評価

48(3) (314)-(316) のような評価が, 例えば, 任意のと, $u\mathrm{C}C^{1.0}(B,/2)$ が言える.

$x\mathrm{C}B,/2$で成り立っとする

定理 33 の証明方法は定理 3.1 のそれと同じなので省略する.

最後に Introduction で述べた Calder\’on-Zygmund 評価 (3) に対応する粘性解の W2.p-評価について述べておく.
定理 $.4 (A .1)-(A 3) を仮定する. $u\in C(B_{1})$ を (1.1) の粘性解とする. 更に関して次を仮定する: 任意の $p\in(n, +\infty)$ に対して次を満たすに,が存在する.
$a_{jj}$$\epsilon=$$\epsilon(n, \lambda,\Lambda,p)>0$(3.17)(–り $(x)-a$ り

このときであり, 次の評価を満たす.

$|B_{r}(x_{0})|1 \int_{B_{r}(x_{\mathit{0}})}|a$$u\in W_{lo\acute{\mathrm{c}}}^{2p}(B_{1})$$(xo)|^{n}dx)^{1/n}\leqq\epsilon$$(\forall B_{r}(x_{0})\subset B_{1})$.

$||u||_{W^{2.\mathrm{p}}(B_{1/2})}\leqq C\{||u||_{L(B_{1})}\infty+||f||_{L^{\mathrm{p}}(B_{1})}\}$

但し $C=C(n, \lambda,\Lambda,p)>0$ は定数.

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