Année universitaire 2013-2014
Agrégation

Université Claude Bernard Lyon 1
Département de Mathématiques

FEUILLE D’EXERCICES
ALGÈBRE BILINÉAIRE

1. Formes quadratiques - Manipulations élémentaires
Exercice 1.
(1) Soit q(x) = x21 +6x22 +56x23 −4x1 x2 +14x1 x3 −36x2 x3 dans la base canonique3
de R . Ecrire q dans la base (f1 = (1, 0, 0), f2 = (2, 1, 0), f3 = (−3, 2, 1)).
(2) Simplifier l’expression suivante q(x + y) + q(y + z) + q(x + z) − q(x + y + z) où q est uneforme quadratique quelconque.
(3) Déterminer les signatures des formes suivantes :(a) q1 (x) = x21 + x22 + x23 − 4(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) ;(b) q2 (x) = x21 + x22 + x23 − x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 ;(c) q3 (x) = (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x1 − x3 )2 ;P(d) q4 (x) = i<j xi xj sur R4 .
(4) Trouver la forme bilinéaire associée à la forme quadratique suivante q(x) = x21 + 3x22 +−4x1 x2 .
Exercice 2. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et q une forme quadratique nondégénérée sur E. Montrer que tout vecteur isotrope est inclus dans un plan U tel que la restriction
de q à U a signature (1, 1). Un tel plan est dit hyperbolique.
Exercice 3. Soit E = R2n . Soit q une frome quadratique non dénénérée sur E. Montrer que lesassertions suivantes sont équivalentes :(1) La signature de q est (n, n) ;(2) Il existe un sous-espace totalement isotrope de dimension n dans E.
Exercice 4. Soit q une forme quadratique sur E. Montrer que la restriction de q à un supplémentaire du noyau de q est non dégénérée.
Exercice 5. Quelle est la signature de la forme quadratique suivante sur Mn (R) :A 7−→ tr(A2 ).
2. Vrai ou Faux
Exercice 6. Ici, F désigne un sous-ev de E et q une forme quadratique sur E. Les assertions
suivantes sont-elles vrai ou fausses.
(1) Si q est non dégénérée alors q|F l’est.
(2) Si q est non dégénérée et q(x) = 0 alors x = 0.
(3) L’orthogonal de l’orthogonal de F est F .
(4) Les formes x21 − 2x22 et x21 − 3x22 sont équivalentes sur Q.
(5) Deux formes non dégénérée sur Cn sont équivalentes.
(6) Le groupe orthogonal est distingué dans le groupe linéaire.
(7) Tout supplémentaire au noyau de q est orthogonal au noyau.
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FEUILLE D’EXERCICES

ALGÈBRE BILINÉAIRE

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3. Théorème d’Inertie
Exercice 7. Trouver sans calcul la signature de la forme quadratique de Rn suivante :(x1 + · · · + xn )2 − (x21 + · · · + x2n ).
4. Groupe orthogonal
Exercice 8. Soit E l’espace des matrices 2×2 à coef réels. Soit S et T les sous-espaces des matrices
symétriques et antisymétriques respectivement. Posons q(X) = det(X).
(1) Montrer que q est une forme quadratique sur E. Quelle est sa signature ? Ecrire sa matricedans la base canonique.
(2) Soit b la forme polaire de q. Trouver X1 telle que b(X1 , ·) = tr.
(3) On considère l’action de GL2 sur E donnée par g.M = gM t g. Vérifier qu’il sagit bien d’une
action linéaire.
(4) Montrer que l’image de SL2 dans GL(E) est incluse dans SO(q).
(5) Montrer que S et T sont stables par cette action.
5. Matrices symétriques
Exercice 9. Soit A, B deux matrices symétriques réelles positives. On suppose que pour toutX ∈Rn , 0 ≤ t XAX ≤ t XBX. Montrer que detA ≤ detB.
Exercice 10. Soit E un espace euclidien de dimension n. Soit H un hyperplan de E. Soit A unendomorphisme symétrique de E et q la forme quadratrique associée. Soit λ1 ≤ · · · λn les valeurs
propres de A. Soit µ1 ≤ · · · ≤ µn−1 les valeurs propres de la restriction de q à H.
Montrer que pour k ≤ n − 1, on a :λk ≤ µk ≤ λk+1 .
6. Un peu de topologie
Exercice 11. Montrer que la fonction que à une forme quadratique associe le premier entier p desa signature est semi-continue inférieurement.
Exercice 12. Inégalité de Hadamard. Soit A ∈ Mn (R). On note C1 , · · · , Cn les vecteurscolones de A. Montrer que|det(A) ≤ kC1 k · · · · · · · kCn k.