Toward the application of large-N
deconﬁnement to SU(3) QCD

Hiromasa Watanabe / 渡辺 展正 (京大基研)
花田政範氏(Queen Mary, U. London)、大畑宏樹氏(京大基研)、島田英彦氏(京大基研)との共同研究(in progress)

2023/08/28 @ 熱場の量子論とその応用 2023, KEK

KEK研究会 熱場の量子論とその応用 2023

Introduction
QCD 相図SU(3) QCD w/ Nf quarks
Nf
1 3a 2ℒQCD =(Fμν) +ψ̄f (D/ + mf )ψf
∑
∑
4 a=1
f=1

ZQCD = 𝒟Adet(D/ [A] + mf ) e−SYM[A]∏∫f

格子QCD計算で精力的に研究

From [Fukushima, Hatsuda, (2011)]• なぜ Polyakov loop が閉じ込めのよい“秩序変数”なのか？
Center symmetry は厳密な対称性ではない• “相転移”の過程での中間領域はどうなっている？
相転移ではなく、crossoverとされる

2 / 19c.f. [Aoki, Endrodi, Fodor, Katz, Szabo, (ʼ06)]

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Main message
QCD 相図SU(3) QCD w/ Nf quarks
Nf1 3a 2ℒQCD =(Fμν) +ψ̄f (D/ + mf )ψf
∑
∑
4 a=1
f=1

ZQCD = 𝒟A
det(D/ [A] + mf ) e−SYM[A]∏∫f【本発表】

格子QCD配位を使って研究

From [Fukushima, Hatsuda, (2011)]• なぜ Polyakov loop が閉じ込めのよい“秩序変数”なのか？
→ SU(3) Haar random distributionからのズレを特徴づける• “相転移”の過程での中間領域はどうなっている？
→ 非自明な中間領域の存在を示唆
our work

3 / 19Large N 理論からの知見を活用
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Contents• Introduction• Deconﬁnement at large N• Deconﬁnement at ﬁnite N (N = 3 QCD)
• Summary & Prospects

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Deconﬁnement• Polyakov loop が（非）閉じこめを特徴づける (ﬁnite/large N)[Polyakov, (1978) / Wilson, (1974)]

β1
P = tr P exp i dt At ∼N[ ∫0]

P=0: ConfinedP≠0: Deconfined

静的クォーク生成に必要な自由エネルギー

τ = − it← クォーク生成に無限大の自由エネルギーが必要x⃗• Large N での ʼt Hooft countingによる特徴づけ
鞍点近似が厳密な結果を与える

F ∼ O(N 0) : ConfinedF ∼ O(N 2)

5 / 19: Deconfined[Witten, (1998)]

熱力学量のkinematicalな振る舞いから相転移を判定できる← color singlets (e.g. glueball, meson)← each color d.o.f. (e.g. QGP)Polyakov loopによる記述と関係がある
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d−1
Weakly-coupled YM on ℝ × SR

随伴場のみの U(N) large N ゲージ理論の相構造が一般的に調べられている[Sundborg, (1998) / Aharony, Marsano, Minwalla, Papadodimas, V.Raamsdonk, (2003)]• 作用や経路積分が 多重巻きPokyakov loop un を使って記述される
11 N inθj large Nun(T ) = tr P exp in At =e≈dθ ρ (P)(θ; T ) einθ[ ∮ ] N∑∫N
j=1•

Veff ({un}) の停留条件から、自由エネルギーF = − β ln Z(T )が計算できる
1E /N 2 & | P |E /N 2 & | P |E /N 2 & | P |

T2

T1

T

T1 = T2

T“heavy quark mass”

6 / 19→ 2つの相転移と、中間相が存在

T1 T2

T

“light quark mass”(：部分閉じこめ)KEK研究会 熱場の量子論とその応用 2023

Two phase transitions at large N[Hanada, Ishiki, HW, (2018) / Hanada, Maltz, (2016) / Berenstein (2016) /…]部分閉じ込め相では、カラー自由度の二相分離が起きている；

un(T ) = dθ ρ (P)(θ; T ) einθ∫P=0

ρ (P)(θ) =connectedP≠0

conﬁnedπ∑

une−inθn=−∞Hagedorntransition−π∞disjointed

GWW
transition−ππ“partially-deconﬁned”[Hagedorn, (1965), …]−ππ“completely-deconﬁned”[Gross, Witten, (1980) / Wadia, (1980)]

中間相ではMM (P)(P)ρ (θ) = 1 −ρcon(θ) + ρdec(θ)(),NN(P)M/N によって物理量が決まっている

7 / 19→EPD = Econ + Edec(M) ,…

M個のカラー自由度だけ（非）閉じ込め
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Contents• Introduction• Deconﬁnement at large N• Deconﬁnement at ﬁnite N (N = 3 QCD)
• Summary & Prospects
Large N 理論での教訓• なぜ Polyakov loop が閉じ込めのよい“秩序変数”なのか？
→ Large N 理論での ʼt Hooft counting (カラー自由度の数え上げ)• “相転移”の過程での中間領域はどうなっている？
→ 2つの相転移で隔てられた中間相が厳密に存在

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Contents• Introduction• Deconﬁnement at large N• Deconﬁnement at ﬁnite N (N = 3 QCD)
• Summary & Prospects

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With ﬁnite Nc & inﬁnite Volume[Hanada, Ohata, Shimada, HW, (in progress)]

重要な考察：相転移するには、large N 極限の代わりに無限体積極限が必要

P = ⟨Px⟩⃗ space = dθ ρs(θ)eiθ
∫TPx1⃗ Px2⃗ ⋯N
1 31(x)⃗3
ρs(θ) =d x ρx (θ)=dxδ(θ−θ)⃗j∑
V∫
NV ∫j=1

Vx1⃗ x2⃗ ⋯xn⃗ V

Polyakov loopsも同様に定義することが可能
ρs(θ) =∞

∑n=−∞−inθune

1=+une−inθ + u−ne+inθ)(2π ∑n>0un(s) = dθ ρs(θ)einθ
∫：空間平均を先に取らないことが鍵

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Intermediate phase[Hanada, Ohata, Shimada, HW, (in progress)]

A naive guess;
ラージN理論での分布関数

P=0−ππconnected

P≠0−ππdisjointed−ππが、有限のN・クォーク（基本表現）がいる理論でも類似の振る舞いをする。
ただし、• 厳密な相転移では隔てられていないはず• 低温相では“一様分布”が実現しているはず• 分布が不連続になる現象は、場の理論で普遍的に起こるはずSU(3) QCDでは何が起こるか？

11 / 19→格子QCD配位を使って数値解析
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Proﬁle of lattice QCD conﬁguration
Gauge conﬁg. by WHOT-QCD collaboration[Phys. Rev. D. 85, 094508 (2012)]• 2+1 ﬂavor, RG-improved Iwasaki gauge + NP O(a)-improved Wilson quarks• T = 0 conﬁg. of CP-PACS & JLQCD collaboration [Phys. Rev. D. 78, 011502 (2008)]
332• × nt lattice with nt = 4, 6, ⋯, 16−1
a= 2.79 GeV,
β=2.05,•(a ≃ 0.07 fm), mπ /mρ ≃ 0.63 : heavy quark

Tpc ≈ 190 MeV

from [WHOTQCD collab. (2012)]

12 / 19Nt

16 - 10864T ≃ 174, 199, ⋯, 697 MeV
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Phase distribution ρs(θ; T)ρs(θ)

preliminaryθ

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Haar randomness“SU( )” Haar random

そもそも、Large N での uniform phase distributionとは？

→ SU(N) Haar-random distribution
Distribution

1N 2
1 − (−1)cos(Nθ)()2πN−ππ(少なくともN = 2, 3 は平坦から遠い)

preliminaryT ≃ 174 MeV
c.f. [Polyakov, (1975)/(1978)]• Random SU(3) matrix が時空各点に住んでいる• Center symmetry よりも強い理論的拘束を与えうる (後述)

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n-wound Polyakov loops
un(s) =1tr P exp in At(x)= dθ ρs(θ) einθ[ ∮]⟩∫Nc ⟨spaceSU(3) Haar random であれば、| un(s) |preliminary

15 / 191(s)u3 = ,3: n回巻き Polyakov loops

un(s) = 0preliminary

un ごとに異なる温度で変化し始め、非自明な中間領域を示唆
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Viewpoint from characters
Polyakov loopよりも “よい” 基底
Rr(g) : Representation matrix of rep. r

χr(g) = tr Rr(g)g∈G=∏SU(3) : holonomy (~Polyakov line eiΘ)x⃗正規直交性 (r, s : 規約表現)

1dg χr(g)χ̄s(g) = δrsVol(G) ∫GP(g) : 群多様体上での分布

11=dgP(g)Vol(G) ∫Haar random
P(g) : constant <=>1Pr ={0P(g) =∑Pr χr(g),rχtrivial(g) = 1r : trivialr : otherwise

deconfinement : characterによるHaar-random distribution からのズレで特徴づけられる

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Characters & Polyakov loops
χ(1,0) =χ(1,1) =3∑eiθjχ(2,1) = 2 +j=1

χ(3,0) = 1 +j≠k∑e3iθj +j=1

∑ei(θj−θk)

j≠k

==

preliminary

preliminary= χ̄(1,0)

preliminary∑ei(θj−θk)3…

…

P = u1 ∝ χ(1,0)

u2 ∝ χ(2,0) − χ(1,1)

u4 ∝ χ(4,0) − χ(3,1) + χ(1,0) : P が低温でのHRからのズレに敏感

δn,31
1dg un(g) =dg χtrivial(g)un(g) =∫∫Vol(G) GVol(G) G
317 / 19

: u3 のみが χtrivial を含む

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Contents• Introduction• Deconﬁnement at large N• Deconﬁnement at ﬁnite N (N = 3 QCD)
• Summary & Prospects

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Summary & Prospects【本研究】

格子QCD配位を使って SU(3) QCD w/ quarks を研究• なぜ Polyakov loop が閉じ込めのよい“秩序変数”なのか？
→ SU(3) Haar random distributionからのズレを特徴づける• “相転移”の過程での中間領域はどうなっている？
→ 非自明な中間領域の存在を示唆【課題】

our work

Large N 理論の知見• 中間相を特徴づけるスケールや物理的現象は？
Large N ではglobal symmetry のSSBと対応[Hanada, Holden, Knaggs, OʼBannon, (2021)]

QCD の chiral 対称性と相関しているのか？

• さらに詳細な数値解析
温度方向の格子点を増やす、高温側、他の物理量との比較、物理点上、…

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