Espaces hermitiens :Rappel : On note A∗ =t Ā. Matrice hermitienne : A∗ = A. Matrice antihermitienne : A∗ = −A.
Matrice normale : A∗ A = AA∗ .
Exercice 1 On pose E = C3 , et on définit l’application q de E dans E par :q(x) = |x1 |2 + 3|x2 |2 + 6|x3 |2 + ix¯1 x2 − ix1 x¯2 + 2ix2 x¯3 − 2ix¯2 x3a) Démontrer qu’il existe une forme hermitienne f : E ×E → E telle que pour tout x, f (x, x) =q(x).
b) Calculer la matrice de f dans la base canonique.
c) Calculer une base orthonormale de f .
Correctiona) Directement, ou matrice de q, ou formule de polarisation (mais c’est galère à calculer). Onobtient : f (x, y) = x1 y¯1 +3x2 y¯2 +6x3 y¯3 +ix¯1 y2 −ix¯2 y1 +2ix¯3 y2 −2ix¯2 y3 . La forme f est évidemment
hermitienne (vu son expression).
b) La matrice de f est :[1 i 0][-i 3 -2i]
[0 2i 6]c) On part de la base canonique, et on applique Gram-Schmidt :e1 = (1, 0, 0) est le premier vecteur de la base.
Pour calculer e2 , on projette (0, 1, 0) sur l’orthogonal de e1 , donc on cherche λ ∈ C tel que(0, 1, 0) + λ(1, 0, 0) = (λ, 1, 0) soit orthogonal à (1, 0, 0). On résoud f ((λ, 1, 0), (1, 0, 0)) = 0, et on
trouve λ = −i.
Pour e3 , on projette (0, 0, 1) sur l’orthogonal de e1 et e2 , donc on cherche λ et µ tels que(0, 0, 1) + λe1 + µe2 soit orthogonal à e1 et e2 . On résoud comme précédemment (sauf que là, ona deux équations au lieu d’une) et on obtient λ = 0 et µ = i/2. Finalement, on normalise les trois
vecteurs obtenus, et on trouvebase orthonormée√ la √√ suivante :e1 = (1, 0, 0), e2 = (−i/ 2, 1/ 2, 0), e3 = 3/ 2 × (1/2, i/2, 1)(A condition que mes calculs soient justes, mais en tout cas l’idée est là.)
Exercice 2 Soit E = C3 avec sa structure hermitienne canonique. Soit F le sous-espace d’équationx1 − x2 + ix3 .
a) Calculer l’orthogonal de F .
b) Calculer la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base canonique.
c) Trouver une base orthonormale de F .
Correctiona) Un vecteur orthogonal à F est (1, −1, i). L’orthogonal de F est la droite engendrée par ce
vecteur (pour des raisons de dimension).
b) Comme dans la méthode de Gram-Schmidt : on cherche la projection de (1, 0, 0) sur F
parallèlement à (1, −1, i). On calcule donc le produit scalaire de (1, 0, 0)+λ(1, −1, i) et de (1, −1, i),et lorsque ce produit scalaire est nul, on obtient la bonne valeur de λ. Au final, on a (1, 0, 0) projeté
sur (0, 1, −i), et ainsi de suite. Sauf erreur de calcul, la matrice de la projection orthogonale estalors :[0 1 i][1 0 -i][-i i 0]1c) Méthode de Gram-Schmidt appliquée à une base quelconque de F . Comme il y a plein debases possibles, je n’écris pas de calculs, mais il n’y a qu’une seule étape dans Gram-Schmidt ici
de toute façon, donc c’est facile de contrôler les calculs...
Exercice 3 L’ensemble des matrices hermitiennes est-il un sous-C-espace de Mn (C) ?
Démontrer que c’en est un sous-R-espace, et calculer sa dimension.
Démontrer que l’ensemble des matrices antihermitiennes (A∗ = −A) en est un supplémentaire.
Correction
Ce n’est pas un sous-espace complexe. Par exemple, l’identité est hermitienne, mais i fois l’identité ne l’est pas.
C’est un sous-espace réel (facile). Sa dimension (sur R, donc) est n+n(n−1) = n2 : la diagonale
doit être réelle, d’où le n, puis il faut choisir un nombre complexe (i.e. deux nombres réels) pourchaque élément de la partie triangulaire supérieure, c’est-à-dire n(n − 1)/2 nombres complexes, oun(n − 1) nombres réels.
Si A est hermitienne, et B est antihermitienne, alors A + B = 0 implique A − B = 0 (en passantà l’étoile), donc A = 0, et B = 0. Donc, la somme est directe. La dimension des antihermitiennes
est n2 également (la diagonale doit être imaginaire pure, et pareil pour le reste). Donc, ces deux
espaces sont supplémentaires.
Exercice 4 Soit M ∈ Mn (C). Démontrer qu’il existe un unique couple de matrices hermitiennes(H, H 0 ) telles que M = H + iH 0 . Démontrer que M est normale si et seulement si HH 0 = H 0 H.
Correction
Existence : On cherche donc une matrice hermitienne H telle que M − H soit antihermitienne(i.e. A∗ = −A) puisque iH 0 est antihermitienne lorsque H 0 est hermitienne. Donc (M − H)∗ =M ∗ − H = H − M , d’où H = (M + M ∗ )/2, et H 0 = (M − H)/i = (M ∗ − M )/2i, donc existence,et paf !
Unicité : Si H, H 0 et K, K 0 sont comme ça, on obtient H − H 0 = i(K 0 − K), donc H − H 0 est àla fois hermitienne et antihermitienne, donc est nulle. Donc H = H 0 et K = K 0 , unicité, et boum !
(En fait, la démonstration de l’unicité est déjà plus ou moins contenue dans celle de l’existence ;voyez-vous pourquoi ?)On a alors M = H + iH 0 et M ∗ = H − iH 0 . On fait le calcul M M ∗ et M ∗ M , et on voit
directement l’équivalence demandée.
Exercice 5 Soit E un espace hermitien (de dimension finie), et u ∈ L(E). Si u est normal,démontrer que ker(u) = (im(u))⊥ .
Correction
Cet exercice est utilisé dans l’exercice 8.
Il peut être utile de rappeler (ou de redémontrer) que im(u)⊥ = ker(u∗ ).
On doit donc démontrer que ker(u) = ker(u∗ ). Pour des raisons de dimension (u et u∗ ontmême rang, donc leurs noyaux ont même dimension), il suffit de démontrer une inclusion. Soitx ∈ ker(u). Comme u est normal, u et u∗ commutent, donc u∗ stabilise ker(u) (ils doivent savoirça depuis le cours d’algèbre 4 sur la réduction, sinon c’est facile à vérifier directement). Doncu∗ (x) ∈ ker(u) = im(u∗ )⊥ , et u∗ (x) ∈ im(u∗ ). Donc u∗ (x) est forcément nul, donc x ∈ ker(u∗ ), ce
qui démontre l’inclusion cherchée.

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Exercice 6 Soit E un espace hermitien (de dimension finie). On suppose que l’endomorphisme fest tel que pour tout x ∈ E, on ait (f (x), x) = 0.
a) Démontrer que pour tous x, y ∈ E, on a (f (x), y) = 0.
b) En déduire que f est l’endomorphisme nul.
c) Peut-on démontrer la même chose dans le cas euclidien ?
Correctiona) On développe les expressions (f (x+y), x+y) = 0 et (f (x+iy), x+iy) = 0. On obtient respectivement (après avoir supprimé les termes nuls) : (f (x), y)+(f (y), x) = 0 et (f (x), y)−(f (y), x) = 0,et en additionnant les deux égalités, on trouve (f (x), y) = 0.
b) On peut le voir par exemple en disant que pour tout x, (f (x), f (x)) = 0, donc f (x) = 0.
c) Dans le cas réel, ce n’est plus vrai : par exemple en dimension 2, la rotation d’angle π/2
envoie chaque vecteur sur un vecteur orthogonal, mais n’est évidemment pas nulle.
Exercice 7 a) Soit A ∈ GLn (R). Démontrer que A∗ A est la matrice d’un produit scalaire réel(euclidien). (ici, l’étoile, c’est juste la transposée)b) Est-ce que l’énoncé du a) avec GLn (C) est vrai ?
Correctiona) La matrice A∗ A est symétrique et inversible de manière évidente. Il reste donc à démontrer
que la forme bilinéaire associée est positive, puisqu’elle sera alors symétrique définie positive (doncun produit scalaire).
La forme associée associe à un vecteur (réel) X le vecteur X ∗ A∗ AX = (AX)∗ (AX), qui est unréel positif (somme des carrés des modules des coefficients de AX). Ceci achève la démonstration.
b) Oui, si la conclusion est d’obtenir un produit scalaire complexe (hermitien). La démonstration
est la même.
Exercice 8 Soit u un endomorphisme normal d’un espace hermitien E.
Démontrer que Im(u) = (Keru)⊥ . (voir exercice 5)
Si v est un autre endomorphisme normal de E, démontrer que u ◦ v = 0 si et seulement siv ◦ u = 0.
Correction
Il suffit clairement de démontrer une seule implication. On prend u et v normaux, et on supposeu ◦ v = 0. Alors im(v) ⊂ ker(u) = (im(u))⊥ . On passe à l’orthogonal dans cette relation, ce qui
inverse l’ordre de l’inclusion : im(u) ⊂ im(v)⊥ = ker(v). Donc v ◦ u = 0.

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