$J$

数理解析研究所講究録
第 727 巻 1990 年 53-68

超特異アーベル多様体の定義体と代数曲線の有理点

九州大学教養部

この小文では、伊吹山

知義(Tomoyoshi Ibukiyama)

very special abelian variety について、

Deuring のsupersingular elliptic curve の定義体に関する結果を拡張し、その応用として、十分多くの有理点を持っ種数 3 の代数曲線の存在を示すことを目的とする。前半は桂利行氏との共同研究である。
手法は整数論的で、一部、 跡公式を用いる。詳しい証明、数値、
文献等はプレプリント[6] [5] を参照されたい。

アーベル多様体と 「次形式」 (ないし、エル ミ

数的エルミ
る。「

$2$

$-$

$2$

ー

ト形式、 4 元ト形式) の整数論は多くの点で密接な関係があ

次形式」 に関する多くの数論的不変量 (格子の類数、 自己同型群等) は、 それぞれ何らかの幾何学的意味を持っている。

たとえばアーベル多様体 $A$ の偏極の同型類とある種の 「

$2$

次形

式」 の類数が関係しているのは、 $A$ の N\’eron-Severi 群が古典的なformally real Jordan algebra になっているこ と からの当然の帰結である。 (もちろん具体的に対応関係を書こうと思えば $A$ になん5$\dot{*}^{;}$

らかの条件が必要になるし、 また結論は自明ではない。 この方向の結果としては、 たとえば, 文献 [7] などを参照されたい。) それ以外でも、たとえば moduli 内での supersingular abelian surfacesのlocus の規約成分の個数や適当なレベル構造からのガロア群

なども「
参照。)

$2$

次形式」 の整数論の言葉で記述できる。 (文献 $[8]$

、

$[4]$

このように幾何学的対象を数論で置き換えるということは、 単に見かけの異なるものの間の関係を与えているばかりではなく、 幾何学的には計算しにくい量を、 手法的には幾何と無縁なコンパク ト群上の保型形式の跡公式等の強力な手段で計算できるという点で面白いように思われる。

1

Deuring の結果の復習
標数

$p$

の有限素体

分点を持たないとき$F_{p}$の代数閉包$\overline{F}_{p}$上の楕円曲線 $E$ は、 p-

supersingular と呼ばれる。 このときは $B=$

End $(E)\otimes_{Z}Q$ とおくと $B$ はちょうど$P$と$\infty$の分岐する $Q$ 上の 4

元数体であり、 $O=End(E)$ はその極大整数環になる。一般に $B$の極大整数環は同型を除いても一意的には決ま らないが、 その同型類の個数 $T$ は有限であり、 $B$ の類数 $H$ 以下であることが知られている。 この数 $T$ のこ とを $B$ の type number と い う

2。

定理 (Deuring) 任意の supersingular elliptic curve はをも$-\supset$。

また、 supersingular elliptic curves の数は $H$ に等しい。 このうち

$F_{p}$$\overline{F}_{p}$$F_{p^{2}}$上の model上の同型 類 の 個

上の model を持つ ものの個数は$2T-H$ 個である。

ちなみに $H$ と$T$の具体的な値は Eichler または Deuring によりわ

かっている。 (ここでは省略する。)

2

アーベル多様体に付いての主結果
Shioda, Deligne, Ogus によれば、 2 っ以上の supersingular elliptic

curves の直積は
下、
とし

$n$

$\overline{F}_{p}$上、 皆同型であることが知 られている。以を $n\geq 2$ なる自然数とする。 $E$ を supersingular elliptic curve$A=E^{n}$とする。 $E$ としては

$F_{p}$

上 defined で、 しかも$F_{p}$

上のFrobenius endomorphism $F$ が $F^{2}=-p\cdot id_{A}$ と なる も の をと って おくことにする。 (このようなものはいつでも存在するし、 また前述の結果によればこうとっても本質的な差はない o) 以下で扱うのは主偏極アーベル多様体 $(A, \Theta)$ であるが、 念のために定義を復習してお く$\Theta p_{\grave{\grave{a}}\text{、}}$

。

$A$

の

divisors のなす 1 っの algebraic equivalence classeffective divisor $D$ て n-fold intersection nunber $(D^{n})=n!$ とる代表をもつとき、$\Theta$を主偏極という。

3$r_{\overline{A}}$次に、 これと関係する数論的対象を説明する。左 B-ベク トル空
間は、基底の取り替えを除いて、 ただ 1 っ正定値 4 元数的$B^{n}$

エルミ–

ト計量をもつ。 この計量に付いて、$O^{n}$

を含む (maximal O-lattices の) genus を principal genus と い う。

$B^{n}$のあと の都合のため、 もう少し詳しく定義を復習する。 $Q$ 上の代数群 $G$ を$G=${$g\in M_{n}(B);g^{t}\overline{g}=n(g)1_{n}$for some $n(g)\in Q^{x}$ }で定義する。 この代数群のアデール化を$v$について $G_{A}$ の

$v$

-成分を

$G_{v}$で表す。

$B^{n}$$G_{A}$、

任意の $Q$ の place

内の left O-lattice (普通の意味の lattice で left O-module になるもの) の集合$\mathcal{L}$

を次で定義

する。

{ : left O-lattice ; for all $v<\infty,$$L$$\mathcal{L}=$この$\mathcal{L}$を principal genus というているが、 この作用による$0\mathcal{L}$$L\otimes Z_{v}=(O_{v})^{n}g_{v}$

には

$G$

for some$g_{v}\in G_{v}$が自然に右から作用しG-orbit の個数 $H$ は有限で、 これをprincipal genus の類数という。 次に G-orbit の完全代表系を$L_{H}$}とする。各 $i(1\leq i\leq H)$ について $M_{n}(B)$ の部分環

$R_{i}$$L_{1},$$\ldots$,を$R_{i}=\{g\in M_{n}(B);L_{i}g\subset L_{i}\}$で定義する。 いま、ある $g\in G$ について $gR_{i}g^{-1}=R_{j}$ となる とき、$R_{i}$ると$G$$R_{j}lh$G- 同型と呼ぶことにする-同型類の個数 $T$ を$\mathcal{L}$の$\circ R_{1},\ldots,R_{H}$のう ちで、 異なtype number と呼ぶことにする。
4

主偏極アーベル多様体 $(A, \Theta)$ の同型類の個数は $H$ であり、 各$(1\leq i\leq H)$と 1 対 1 に対応することがわかっている。 (cf.

$L_{i}$)$[7|$

定理 1 (with Katsura)

記号を上の通りとすると、アーベル多様体 $A$ の主偏極
つでも$F_{p^{2}}$の内で$F_{p}$$\Theta$は、 い-rational である。 さらに、主偏極アーベル多様体$(A, \Theta)$

上で定義された model をもつようなものの (上の)$\overline{F}_{p}$同型類の個数は 2T-H に等しい。

注意:

$n$

が小さければ $H$ と $T$ は具体的に計算されている。 たと

えば $n=1$ な ら Deuring, Eichler の古典的な結果である。 $H$ につい$n=2,3$ については文献 [3], [1], にある。

ては

$T$

については

、

$n=$

2 ならば $T$ が実はある種の 5 変数 2 次形式の類数に等しいことがわかり $(cf.[3])$、この類数は知られている (Teruaki Asai) ので具体的な値がわかる。結論の式は長くなるのでここでは省略する
が、 数値例を挙げておく。

下の表で、$n=2$ であ り、 indecomp.
つ$\Theta$$/F_{p}$の欄は、$F_{p}$

上の model をもが indecomposable な主偏極アーベル多様体の同型類の個数(いいかえる と

curve

$C$

$F_{p}$

上の model をもつ genus 2 の irreducible nonsingular

でその Jacobian variety が$E^{2}$

5と同型な ものの個数) を表$\text{す_{}0}$Hecke 作用素

3a

前述の類数 $H$ が群 $G$ の Hecke 作用素の跡を用いて表せるこは良く知られているが、 実は $T$ もそうである。 これを説明し$\vee($

おきたい。 ( $n=1$ の場合は Eichler による $on=2$ の場合は実すでにの[3] に述べておいた。)

compact 部分群$U_{v}$

$0$

ここで

$v$

について、 $G$

を

.
で定義する

まず $Q$ の有限素点$U_{v}=G_{v}\cap GL_{n}(O_{v})$$O_{v}=O\otimes_{Z}Z_{v}$であり、 $GL_{n}(O_{v})$ は $M_{n}(O_{v})0$.

(この環の内部で) 可逆な元全部のなす群である。
$U$$\backslash$$G_{A}$の部分君を$U=G_{\infty} \cross\prod_{v<\infty}\ovalbox{\tt\small REJECT}$と定義する。通常通り部分群とみなす。
$\mathcal{M}_{0}(U)$$G_{A}$$G$を diagonal に$G_{A}$に埋め込んで、 $G_{A}0$.

上の $U$ に関する weight$0$の保型形式の空間は次で定義される。

$\mathcal{M}_{0}(U)=${ : $G_{A}arrow C;f(uga)=f(g)$ for all $a\in G,$$f$

6$g\in G_{A},$$u\in U$}

この空間は有限次元であり、 その次元が $H$ である。 さて、 通常の保型形式論により、一般に$G_{A}$

内の U-double coset $UgU$ は$\mathcal{M}_{0}(U)$に作用する。 (e.g. Hashimoto [2]) すなわち
$UgU=i=1L^{d}]Uh_{i}$(disjoint)と片側 coset に分解するとき $f\in \mathcal{M}_{0}(U)$ について$(f|[UgU])(g)= \sum_{i=1}^{d}f(h_{i}g)$とおけば、 こ れは

$G_{A}$のU-double coset のなす Hecke 環の$\mathcal{M}_{0}(U)$への作用になっている。 たとえば U-double coset として $U$ 自身をとれば trivial action になる。 この作用を普通 $T(1)$ と書くが、 あきら
かに$H=$ 計 $(T(1))$

である。 さて次に

$\pi$

を

$\mathcal{O}$の元で $\pi^{2}=-p$ となるものとしておく。

われわれの $E$ の取り方により、 このような元は存在する。

$G_{A}$の

元 $g=(g_{v})$ を $g_{p}=\pi$ かつ $v\neq p$ のとき $g_{v}=1$ と定義する。 また、$R(\pi)=UgU$ とおく。 (簡単のため、 $R(\pi)$ で決ま る$\mathcal{M}_{0}(U)$上の作

用素も $R(\pi)$ とかくことにする。) すると簡単な計算により$tr(R(\pi))=2T-H$がわかる。 これらにより、 $T$ と $H$ の計算は結局、特殊な Hecke 作

用素の跡公式に帰着する。 もちろん具体的な計算は一般の

7

$n$

で

60

は面倒である。 なお、念のためにつけ加えると、$R(\pi)$ は、 いわゆるmultiplicator$p$のHecke 作用素 $T(p)$ の うち の一 部 の double cosetだけ取りだした形になっている。っまり、 $n\geq 2$ では、 いつでも$R(\pi)\neq T(p)$

4

である。

代数曲線の有理点に付いての主結果$F_{p^{2}}$上の非特異絶対規約代数曲線 $C$ の

いては、

$g$

$F_{p^{2}}$-有理点の個数に付を $C$ の genus とするとき、 A.Weil による評価$|\#(C(F_{p^{2}}))-p^{2}-1|\leq 2gp$が良く知られている。 しかし、 この評価はるときbest possible とは限らない。

$p$

$p$

または $g$ を固定すを固定したときに$g$の増大にともない個数がどうなるかに付いては Y.Ihara, Manin 等により完全にわかっている。 この深い結果に付いてはここでは詳し
くは触れないが、 結論の一部を借用すれば、

$p$

に比較して

$g$

が

十分大きいときには $\#(C(F_{p^{2}}))$ は We 垣の評価の最大値 $1+p^{2}+2gp$を決して attain し ない。 一方で、 J.P.Serre は
大きいすべての$p$$g$を固定すると十分については、最大値を attain する curve があ るのではないかと問題提起し、 また $g\leq 2$ については証明も与えている。 ここでの新しい結果は次の通りである。

8

61

定理 2
$p$

を 3 以上の素数とする。 このとき

$F_{p}$

上定義された genus 3 のirreducible nonsingular curve $C-\tau$$\#(C(F_{p^{2}}))=1+p^{2}+6p$となるものが存在する。 しかも、な

curve の (注意 1$\overline{F}_{p}$$P$が増大するに従ってこのよう上の同型類の) 個数も無限に増大する。

: $p=2$ では正しくない。 (Serre)

また、 この定理は前節の定理からただちにでるわけではない。 どこが微妙かは後で説
明する。
注意 2

: 上の curve$C$が hyperelliptic であるか否かは、一般的には

まったくわからない。 ($p$に適当な条件をっければわかる場合も. ある。)

5

定理 1 の証明の概要
証明のポイントは定義体に付いての Weil criterion を数論的に書く ことにある。 そもそも $A$ は$(A, \Theta)$$F_{p}$

上定義されているのだから、も有限体上定義されているとして良い。 よって、 Frobenius

endomorphism $F$ についての条件で書ける。 まず、$\Theta$が$F_{p^{2}}$-rational

であるのは $F^{2}=-p$ と取ったことから容易に示せる。 (ここで9

62は $A$ のmodel を取り替える必要もない。) また、

model を持っための必要十分条件は、 $D$ を $0$ の表、$\sigma$$F_{p^{2-}}$が$F_{p}$

上のrational な代

を $Gal(F_{p^{2}}/F_{p})$ の generator とする とき(algebraic equivalence)$\epsilon(D^{\sigma})\approx D$となる$(A, \Theta)$$A$の(アーベル多様体と しての)

automorphism$\epsilon$が存在することである。 これを数論的に書き直せば、 $(A, \Theta)$ と対応する

lattice$L_{i}$の右 order$R_{i}$の$p$の上にある両側 ideal が $G$ の元で生成されることと同値であることがわかる。 (ここでは、一般には$A$

自身 model を取り替える必要がある。) この性質を持っ$R_{i}$の個数と $tr(R(\pi))$ が一致する事がわかり、証明できたことになる。

6

定理 2 の証明の概要
まず、 F.Oort and K.Ueno の結果によれば、 任意の 3 次元主偏極アーベル多様体は、 (reducible かもしれない) ‘good’ curve のヤ

コービ多様体になっていることが知られている$o$(もちろん 4次元以上では正しくない。 これが定理で genus を 3 に限 っ た主要な理由である。) 従って

$A$

の主偏極と

principal genus の関係、 お

よび $n=1,2,3$ についての類数公式を用いると、 $p\geq 3$ ならば

irreducible curve $C-\zeta J(C)\cong(A, \Theta)$ ( $J(C)$ ea$C$のJacobian variety)となるものが存在することはわかる。一方、 $(A, \Theta)$ は10$F_{p^{2}}$上定義されていて、 しかも $A$ の Frobenius endomorphism に付いての条

件からの$F_{p^{2}}$、Frobenius の固有多項式が $(x^{2}+p)^{3}$ となるから、一見$C$-rational points の個数が $1+p^{2}+6p$ であることが容易に結論できそうであるが、実際には非常に微妙である。実はこの部分が微妙であるということは 1984 年頃 Serre に教えていただいた。

Serre に教わったことは大体次の通りである。

定理 $-(Serre)$

一般の主偏極アーベル多様体 $(A, \Theta)/F_{p^{e}}$ が curve $C’$ のヤコービ多様体と$F_{p^{e}}$$\overline{F}_{p}$上同型だったと仮定する。 このとき、上定義されるものがある。 さらに、 もしら $(A, \Theta)$ と $J(C)$ の間の同型写像も$F_{p^{e}}$$C$$C^{l}$

の

model

$C$

で

が hyperelliptic な上定義されるように取れる。 しかし、 もし $C$ が non-hyperelliptic ならば、一般には、 この同型写像は$F_{p^{e}}$$F_{p^{e}}$上定義されるように取れるとは限らない。 ただしの 2 次拡大上では定義されているものが取れる

証明は Torelli の定理による

$0$

$0$

non-hyperelliptic では Jacobian の自己同型と curve の自己同型が 2 対 1 (hyperelliptic では 1 対 1) なので、このような複雑な現象が生じる。一般論としてはこれ以上の結果は望めない。そこでvariety が$E^{3}$、

Serre は hyperelliptic curve でその Jacobianになるものを見つけると良いという示唆を してい

11

64

る。 しかし、私の知る限り、 N\’eron-Severi 群の元を見て ( われわ$\cdot$れの立場で言えば quaternion hermitian lattice をみて) hyperelliptic

か否かを知る有効な手段は見っかっていない$o$(たとえばテータ因子が singular かどうかというような条件は確かめようがな
い。) 従って、少し別の方策を考えたい。 ところで、主偏極アーベ

ル多様体 $(A, \Theta)$ で$F_{p}$

variety との同型が上の model を持つものを考えると$F_{p^{2}}$、Jacobian

上で取れるので、 一見うまく行きそうであるが、 これも正しくない。 model を取り替える同型写像がどこで定義されているかわからないからである。 従って、 次のよ
うなことがいえれば良いことになる。

定理 3

記号を \S 2 の通りとする。各素数 $p\geq 3$ について、 次の 2 つの条件を満たす主偏極アーベル多様体 $(A, \Theta)$ が存在する。

(1) $0$ が indecomposable である。

(2)

$F_{p}$

上のmodel$(A_{0}, \Theta_{0})$で$(A, \Theta)$と$F_{p^{2}}$上同型なものが存在する。

実際の手続きでは、 まず上の条件 (2) を満たすものを数えて、それから decomposable のものの個数を引いた値が positive になる

ことを言えば良い。 ところで、 条件 (2) は少なくとも見かけ

12上 (そして $n\geq 3$ ならば、 たぶん実際にも)、

単に$F_{p}$

上 model が取れると言うよりも強い条件であって、 数論的翻訳が前どは変わってくる。 すなわち、 (2) と同値な数論的条件は、 対応する
$R_{i}$が $g^{2}=-p$ かつ $g\in G$ なる元を含むということである。 このような$R_{i}$の個数を直接、跡公式で求めるのは、少なくともすぐには望めないので、 かわりに次のような量を考える。以下では$n=3$ として、前と同様、 $L_{1},\ldots,L_{H}$ を$i(1\leq i\leq H)$ について

$G$

の部分群

$\Gamma_{i}$$\mathcal{L}$の完全代表系とする。各を$\Gamma_{i}=\{g\in G;L_{i}g=L_{i}\}$で定義する。次に、Hecke 作用素の跡公式に良く現れる種類の一種の mass を定義する。すなわち、 $M(3)$ で次の量を表す。
$M(3)= \sum_{i=1}^{H}\frac{\#\{g\in G\cap R_{i};g^{2}=-p\}}{\#(\Gamma_{i})}$

この量は、$F_{p}$

上の model が$F_{p^{2}}$上の同型の取り替えで得られる

ような $(A, \Theta)$ の個数を直接与えているわけではないが、 右辺の各項は、 今の条件を満たす主偏極アーベル多様体でのみ正 (つまり、 ゼロでない) から、存在定理を示すにはこれで十分役に立っ。 ところで、 実は $M(3)>0$ となることだけなら非常に簡単にわかるが、 ここでは、主偏極が indecomposable かどうかはまったく考慮していないので、 これだけではわれわれの目的には遠く及ばない。 従って $M(3)$ から decomposable な部分の寄与を引か

13

$bb$

ねばな らない。 $n=1,2$ についても同様に mass を定義してそれを $M(1),$ $M(2)$ と書き、 また$M’(3)= \sum_{L_{i}:indecomposable}\#(\{g\in G\cap R_{i\}}\#(\Gamma_{i})^{g^{2}=-p\})}$とおけば、$M’(3)=M(3)-M(1)M(2)+ \frac{1}{3}M(1)^{3}$となることが容易にわかる。 よって、 もし $M’(3)>0$ がわかれば目的は達したことになる。 masses $M(n)(n=1,2,3)$ は跡公式の計算で具体的に求められる。具体的な $M(3)$ 等の値を求めるには、

もちろん跡公式の長く複雑な計算を必要とし、かなり面倒であるが、 ここでは結果のみ述べ詳細は省略する。

定理 4$M’(3)$の値は次の通り。

(0) $p=3$ のとき、$\frac{1}{2^{3}\cdot 3}$(1) $p\equiv 1mod 4$ のとき、$\frac{1}{2^{5}\cdot 3^{2}}h(\sqrt{-p})B_{3,\chi}-\frac{1}{2^{5}\cdot 3}h(\sqrt{-p})^{2}(4p-1)+\frac{1}{2^{3}\cdot 3}h(\sqrt{-p})^{3}$(2) $p\equiv 3mod 8$ ,$p\neq 3$のとき、$\frac{77}{2^{4}\cdot 3^{2}}h(\sqrt{-p})B_{3,\chi}-\frac{1}{2^{2}\cdot 3}h(\sqrt{-p})^{2}(8p-5)+\frac{8}{3}h(\sqrt{-p})^{3}$

14

(3) $p\equiv 7mod 8$ のとき、$\frac{13}{2^{4}\cdot 3}h(\sqrt{-p})B_{3,\chi}-\frac{1}{6}h(\sqrt{-p})^{2}(p-1)+\frac{1}{3}h(\sqrt{-p})^{3}$

ここで $h(\sqrt{-p})$ は虚 2 次体 $Q(\sqrt{-p})$する

Dirichlet character、また$B_{3,\chi}$の類数、$\chi$.

は $Q(\sqrt{-p})$ に対応

は一般 Bernoulli 数である。一般

Bernoulli 数の簡単な評価をしてみると、 この定理 4 により $p\geq 3$
ならば、 $M’(3)>0$ が示される。また、$\lim_{parrow\infty}M’(3)=\infty$

もわかる。 $\#(F_{i})$ は $p$ によらない量でおさえられるので、以上により定理 2 は示されたことになる。

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b8

[4] T. Ibukiyama. On automorphism groups of positive definite binary

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[5] T. Ibukiyama. On rational points of curves of genus three over finite

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[6] T. Ibukiyama and T. Katsura. On the field of definition of very special
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