■ 研究紹介

固有振動について−断熱遷移とニュートリノ振動−
岡山大学 理学部物理学科

作田 誠
西山 由弘

sakuda@psun.phys.okayama-u.ac.jp
nisiyama@psun.phys.okayama-u.ac.jp
神戸大学 理学研究科物理学専攻

園田 英徳

hsonoda@kobe-u.ac.jp
2008 年 5 月 25 日

1

このニュートリノ振動と等価な物理を目で見るには，連振り子模型とニュートリノ振動

成振り子を使えばよい．まず，長い方の振り子だけを振大学で「振動」を教える時に一番重要となる概念は固らせておく．そのひもの長さをゆっくり短くして，最終有振動である．固有振動を使わずには，振動現象が理解的にもう片方の振り子よりも短くする．この過程で，振できないばかりか，運動方程式さえ解けない．目で見え動のエネルギーは一方から他方へほぼ 100%移る．

る模型で固有振動を学生に実感してもらい，かつその考1978 年度ノーベル物理学賞受賞者の S. Weinberg がえが最先端の研究にも役立つことを認識してもらうこと

1986 年の高エネルギー物理国際会議の講演で「太陽ニュートリノ振動は連成振り子を使って説明できる」と述
べ [3, 4]，また自らデモを披露したという話を聞いて，筆を，筆者らはめざした1 ．
これをつぎの三つのステップで行う．

者らも連成振り子の模型を作ってみることにした．おも1. 単振り子で固有振動を簡単に説明する．

りを動かして振り子の長さを変えられるように，おもり

2. 連成振り子で，うなりが現れる場合と，片方の振り子の長さをゆっくり変えて断熱遷移が起きる場合について，模型を使って説明する．

に小型モーターを，そして振り子の軸にベアリングを取り付けた．まずこの模型を紹介してから，固有振動の概念を強調しつつ断熱遷移を説明したい．断熱遷移は，素粒子に限らず，磁性の研究でもよく議論されている重要3. 連成振り子のこの二つの現象と，量子力学的なニュートリノ振動の等価なことを説明する．

な概念である [5]．

物理を履修した高校生や大学生は，うなりは習っている

2ので，ミュー型とタウ型のニュートリノ振動については理解してくれる．しかし，太陽の中で起こっているニュー

固有振動と単振り子について固有振動の典型例として単振り子を考える．振り子のトリノ振動を理解してもらうには，もう一工夫が必要で振幅が小さい場合にのみ単振動となるのだが，講義の教ある．太陽中心で生じた電子型ニュートリノは，表面から材としては一番使いやすい．長さ ℓ の振り子の先に質量出るときにはミュー型ニュートリノに化けてしまう [2] 2 ．

m のおもりがついているとき，真下の位置からの変位をx とすると，運動方程式は，g を重力加速度としてそこでは片方の振動のエネルギーが，他方の振動へ移っ
たまま戻らない，という面白い現象（断熱遷移）が現れる．断熱遷移の理解には，固有振動の概念が必須である．

m

1 この固有振動の解説は，日本物理学会の許可を得て，「大学の物理x
d2 x= −mg sin
dt2
ℓ

(1)

となる．微小な振れ (|x| ≪ ℓ) のとき，教育」会誌の記事 [1] を高エネルギーニュースのために書き直したものである．
2 太陽ニュートリノ振動の場合のミュー型ニュートリノとは実はミュー型とタウ型との最大混合であることが分かっている。ここでは簡単のため、電子型からミュー型の転化とする．

d2 x= −ω 2 x
dt2
1√
ただし ω ≡gℓ(2)

となる．この一般解は，x = A cos(ωt + α) である．このߨߓࠇ߫ߨ᛼ߐ߃

ように運動が正弦波で書けるときを，固有振動（調和振ߨߓࠇ߫ߨ OO ⋥ᓘ㧕୘⋡ߩᝄࠅሶߣㅪ⚿₹ゲฃߌ動）といい，ω を固有角振動数，角振動数に独立な A をᡰ߃

振幅，α を初期位相という．角振動数 ω と周期 T には，

T = 2π/ω の関係がある．周期は，長さだけで決まり，質量 m に無関係となる．角振動数 ω と振り子の長さ ℓ の関

EO

♻

係式 (2) を図 1 に示した．ℓ < 30cm では，パイプ (80cm，45g) の慣性モーメントの効果が効く．簡単のためその補正については述べないが，補正をすると点線のようにな߅߽ࠅ

りデータを再現できる．また，ここでは振幅は 30 度以下

C ஥㕙࿑

ࡑࠗࠢࡠࡕ࡯࠲㨎 ೨㕙࿑

の振れとする．この場合，式 (2) が成り立ち，正弦波でよく近似できる．

図 2: 振り子の長さを変えるための仕組みを (a) 側面図,10(b) 前面図で示した. 連成振動の場合は，モータの付いていない振り子が連結される．

8

w

6

4

2

0
0

20

40

L

図 1: 角振動数 ω =

√g
ℓ

60
EO

80

100

[1/s] と振り子の長さ ℓ [cm] の関係 (実線). データ点も示した．点線は振り子のパイプの慣性モーメントを考慮した関係．

図 3: おもりとその上に載ったモータと電池の写真．

物理学会誌や大学の物理教育誌にも工夫された連成振3

連成振り子 — うなりと断熱遷移 —動の実験模型が紹介されている [6, 7]．ここでは，振り子
模型 [6] に改造を加えることで振動数の変化を可能にし長さが ℓ1 と ℓ2 の二つの振り子を，ねじればねとして働た．振り子の長さを変えるための仕組みを図 2 に示した．

くステンレス棒で連結する．二つの振り子の振れ角度を θ1 ,

θ2 とすると，ステンレス棒に働くモーメントは c(θ2 − θ1 )である．振り子のパイプの重さが無視できるとき，運動方程式は次のようになる．
{ d2 θ
gc1dt2 = − ℓ1 θ1 + mℓ21 (θ2 − θ1 )
(3)
g
d2 θ2
c
dt2 = − ℓ2 θ2 − mℓ2 (θ2 − θ1 )

図 3 はおもりとその上に載ったモータと電池の写真である．図 4 は連成振り子の模式図である．

6V 駆動のマイクロモーター (直径 1.2cmφ, 長さ 5cm,
重さ 30g)[8] の軸に糸を巻き，パイプの直径 (5mmφ) に合わせて，おもりにベアリングシャフト [9] をつけた．断熱遷移では二つの振り子の長さに十分な違いが必要なの2で，振り子の長さを 80cm にした．また，元の振り子模

これを，振り子の変位 x1 = ℓ1 θ1 , x2 = ℓ2 θ2 について表型の減衰振動を減らすため，ねじればね (2mmφ のステ

すと

 2
(
)
 d x21 = − g + c 2 x1 + c x2
dt
ℓ1
mℓ
mℓ(1
)1 ℓ2
g
c
c
 d2 x22 =dt
mℓ1 ℓ2 x1 − ℓ2 + mℓ2 x2

ンレス棒) の軸受けに直径 2.0mmφ の玉軸受け [10] をつけた．これにより，摩擦による減衰の大きさを 1/4 に減らせることができ，摩擦なしでの計算との比較が可能に(4)

2なった3 ．

となる．ここで右辺の係数から成る 2 次正方行列は，マ3 減衰の効果は，関係式 (2) に付加項 − Γ dx をつけて表すことがでℓ dt) が掛かる．ℓ = 10, 20, 30, 40, 80cm
き，結果として振幅に exp(− Γtℓ

イナス符号をつければ正値対称行列であるので，直交行での振幅の測定により, Γ = 0.3 (cm/s) を得た．図 8 もこの項を入れると t > 50(s) で 10-20%の補正を受け，データとよく合うが，この解説では簡単のため省略する．また，慣性モーメントの影響は図 1 で見たように，ℓ < 20cm で効果が現れる．その効果は，減衰効果よりも小さく，以下の議論では省略する．われわれの実験では，これらの効果を避けるため振り子の長さを長くし，また玉軸受けを使うことにより減衰の効果を減らした．

2

きる．ω− の固有振動には，ねじればねは寄与しないので，
単振り子の固有振動と同じ固有振動数を持つ．ω+ の固有振動数は，ねじればねの寄与分だけ ω− より高くなる．

θ

θ

L1

1

x
x

L2

2

ここで，実験のパラメターを示す：m1 = m2 = 0.385 kg，

c = 0.174 Nm. 振り子 (ℓ = 0.8 m) の復元力を示す
g/ℓ = 12.3 s−2 に対して，振り子の間のねじれ棒の強さを表す c/mℓ2 は，0.71 s−2 である．つまり，振り子間の2

ばねの強さはそれぞれの振り子の復元力に比べて 1 桁小1さい．
連成振り子の一般的な運動は，二つの固有振動の重ね合わせであり{x1 = A cos(ω− t + α) + B cos(ω+ t + β)

図 4: 連成振り子の模型図 [6]．図 2 を二つ連結したもの
を模式的に書いた．

ωx2 = A cos(ω− t + α) − B cos(ω+ t + β)

ω
+

-

(8)

と与えられる．第１項が ω− の固有振動であり，第２項
が ω+ の固有振動である．
たとえば，二つの振り子のうち片方の振り子を最初に

2

1

1

振らせると，「うなり」が実現する. つまり，t = 0 での初2

期値をが全く同じ振動をするモード (x1 = x2 ) であり（左図），

dx2
dx1
=
=0
dt
dt
とすると，一方の振り子の振動が小さな結合を通して一ω+ の固有振動は二つの振り子が異符号の振動をするモー定の周期で他方の振り子の振動に完全に移り，また同じ

ド (x1 = −x2 ) である（右図）．X = (x1 + x2 )/2 =周期で戻り，振動が行ったり来たりする．解x1 = x20 (cos ω− t + cos ω+ t)= x cos ω+ +ω− t · cos ω+ −ω− t,

x1 = x0 , x2 = 0,

図 5: 二つの固有振動．ω− の固有振動は，二つの振り子

A cos(ω− t + α), Y = (x1 − x2 )/2 = B cos(ω+ t + β) で
ある．

0

0

列で対角化できることに注意する．運動方程式を解くと，

2

[
]
√
A + B ± (A − B)2 + 4C 2

2り子の角振動数 3.5 (1/s) に等しいはずなので，計算でき(5)

る．うなりの周期は，T = 2π/(ω+ − ω− ) のはずで比較的長く測定しやすい．今の場合，これは 32 秒であり，ストッ
プウォッチを使い 10 回程度の平均を測定すれば約 0.2 秒(6)の正確さで測定できる．そうすれば，ω+ = ω− + 2π/T =3.70 (1/s) を正確に計算できる．
いままで ℓ1 = ℓ2 の場合を考えてきたが，次に，二つの以下しばらく，特に二つの振り子の長さが等しく ℓ1 =ℓ2 = ℓ のときを考えよう．固有角振動数は
√
√
g
g
2c
ω− =
, ω+ =
+
ℓ
ℓ
mℓ2

2

(9)

ばねの強さや ω+ を正確に測ることができる．ω− は単振

ただし

c
g
c
c
g
+
,B≡
+
,C≡
A≡
ℓ1
mℓ21
ℓ2
mℓ22
mℓ1 ℓ22の様子を図 6 に示した．うなりを観測することで，ねじれ二つの固有角振動数 ω± (ω− < ω+ ) が得られる．

1
2
ω±
=

2


x2 = x20 (cos ω− t − cos ω+ t)= −x sin ω+ +ω− t · sin ω+ −ω− t

振り子の長さがかなり違う場合，例えば，ℓ1 ≫ ℓ2 の場
合を考えると

(7)

√
ω− ≅

となリ，図 5 に示したように，ω− の場合は二つの振りg, ω+ ≅
ℓ1

√

g
ℓ2

(10)

子がまったく同じ振動をするモード (x1 = x2 ) であり，となり，その固有振動は，それぞれが独立に振れているω+ の場合は二つの振り子が異符号の振動をするモード場合に近い．実際は，ω− の固有振動では，主に振れるの(x1 = − x2 ) である．
初期条件を x1 = x2 ，または x1 = − x2 になるように設定し，運動を始めると，それぞれの固有振動を実現では長い振り子１だが，振り子２も同じ方向に小さく振れている．ω+ の固有振動では，短い振り子２が主に振れており，振り子１は逆方向に小さく振れている．

3

4x (cm)

X1 (cm)

4

2


 

-4
60



L (cm)

20












 

0

10

20

30

40

50

60

70

80

t (sec)t (sec)
X2 (cm)

40




-2

40

 



-2

20

 

2
0

0





0

-4

60

80

4

図 7: 単振り子で振り子の長さ (ℓ = 80 cm から 20 cm ま2定理が正しいと，振幅はほぼ ℓ1/4 に比例して減少する．

で) を変えたときの変位 x．データ点も示した．断熱不変

t > 50 秒でデータ点が計算より少し低いのは減衰効果で
ある．

0

-2

て，振り子１の長さを，ℓ1 = 80 cm から 10 cm までゆっく

-4
0

20

40

60

80

り短くするとどうなるか考える．方程式 (3) を初期条件:

t (sec)θ1 =図 6: うなり — 同じ長さ二つの振り子 ℓ1 = ℓ2 = 80cm

4 cm
dθ2
dθ1
[rad], θ2 = 0,
=
=0
80 cm
dt
dt

のうち片方の振り子を最初に振らせた場合の振り子の変の下に数値的に厳密に解くと，図 8 のようになる．横軸

位 x1 = ℓθ1 (cm), x2 = ℓθ2 (cm) の計算値と測定点（四は時間 [s] であり，縦軸は振れ x1 = ℓ1 θ1 , x2 = ℓ2 θ2 [cm]角）．測定誤差は 0.2cm 程度.

を表す．振り子 1 の長さは 1 秒に約 1cm の割合で短くした4 ．最初は振り子１が振れており，1 つの振り子の長さ4を短くした場合の図 7 のように変化して行く．しかし，ℓ1

断熱遷移が 40cm に近くなるに従い，振り子 2 の振幅が大きくな

まず，単振り子の振動で，系をゆっくり変化（断熱変り，ついには振り子 2 がほとんどのエネルギーを受け取化）させることを考える．たとえば，振り子の糸をゆっ

り，振り子１は長さが 30cm より短くなるとあまり振動

くり短く，または長くする．この時，固有振動のエネル

しなくなってしまう．
これは，固有振動の考え方を使うと次のように説明でき

ギー E は，

E/ω =1
mωA2 = J2(一定)

る．方程式 (4) から得られる二つの固有角振動数 ω− , ω+

(11)

を振り子 1 の長さ ℓ1 の関数として図 9 に表した．そのの関係を満たしながら E と ω がともに変化する．系の変ときの振り子の様子を図 10 に示した． これを図 1 の単化が振動の周期に比べてゆっくりならば，J は一定に保た

振り子の場合と比べて頂きたい．ℓ1 が 80 cm から短くれる．これを断熱不変定理という．微小振動する力学系

なる時，固有角振動数の小さい方 ω− は，図 1 の様に増は，一般にいくつかの固有振動の和として記述でき，断加して行くが，40 cm より短くなるとほぼ一定の値をと

熱不変定理はそれぞれの固有振動のエネルギーと振動数る．一方，固有角振動数の大きい方 ω+ は，ℓ1 が 80 cm

について成り立つ．単振り子では，式 (2) により角振動数√は ω = g/ℓ なので，断熱変化のもとで，振幅 A は ℓ1/4から 40 cm まではほぼ一定（ℓ2 = 40 cm に対応する単振り子の固有角振動数）であるが，ℓ1 がさらに短くなると，に比例して変化する．それを示したのが，図 7 である．

図 1 に従って大きくなる．二つの固有角振動数の曲線は量子力学の確立の過程で，断熱不変定理は重要な役割ℓ1 = ℓ2 = 40 cm の位置で「交差しない」．ここで断熱不を果たした．この量子力学の歴史については，朝永振一

変の公式 (11) を思い出そう．振り子１だけが振動してい郎の「量子力学 I」に詳しい解説がある [11]．

る状態で出発するならば，この系はほぼ ω− の固有振動

次に，連成振り子の断熱変化を考える．最初に ℓ1 =4 振り子の長さが変わる速さは断熱的であればよい．2 倍の 2cm/s
でもこの議論は変わらない．

80 cm, ℓ2 = 40 cm として，振り子１だけを振らす．そし4

80
X1 (cm)

4


60






40

   ‫׍‬ஊᚌਰѣૠᵆᵏᵍᶑᵇ

L (cm)

20

13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3




2









0



  -2X2 (cm)

-4

0

20

80

60

40
t (sec)

4

(2)

ω−
(1)

10


 









      

20

30

40

50

60

70

80

ᝄ䉍ሶ㪈䈱㐳䈘㩷㪣㪈㩷㩿㪺㫄㪀

 


2


0

図 9: 振り子 1 の長さ ℓ1 を変えたときの二つの固有角振
動数 ω− と ω+ ．振り子 2 の長さは，ℓ2 = 40 cm で固定

-2
-4

ω+

している．この場合、(1) の経路は (2) と交差しないことに注意する．
0

20

40
t (sec)6080に対応し，質量の小さな差が弱いばねによる固有振動数の差に対応する．二つのニュートリノ間の振動はうなり

図 8: 最初に振らせた振り子 1 の長さを，ℓ1 = 80 cm からに対応する．

10 cm までゆっくり短くした時 (断熱遷移) の振り子 1 と2 の変位 (x1 , x2 )．振り子 2 の長さは ℓ2 = 40 cm のまま．

さらに 2002 年には，スーパーカミオカンデ実験とス
ノー実験により，太陽の中心で核融合の際に発生する電四角は目で観測したデータ点である．測定誤差は 0.4cm

子型ニュートリノが，別の型のニュートリノに転換してい程度.

ることが報告された．これは 1960 年代末から 30 年にわ
たって R. Davis によって得られていた実験結果を裏付けをしていると考えてよい．ω+ の固有振動は小さい．それるものであった 5 ．この太陽ニュートリノ振動では，断熱ぞれの固有振動のエネルギーは式 (11) を満たす．つまり，遷移が起こっている．

E+ /ω+ = J+ ∼ 0 ≪ E− /ω− = J− である．そして図

大気ニュートリノ振動と太陽ニュートリノ振動の二つを，

9,10 の (1) に沿って時間が進む．実際に，ℓ1 = 40 cm の近くでは，ω− の固有振動であるため，二つの振り子は同前節で見た連成振り子に対応させて議論しよう．まずミ
ュー型ニュートリノとタウ型ニュートリノの間の振動にじ向きに振動するすることが観測される．もし初期条件ついて考える．ミュー型ニュートリノとタウ型ニュートdθ2
1
が，θ1 = 0, θ2 = 4 cm/40 cm, dθ
dt = dt = 0 ならば，図リノの波動関数を Ψµ ，Ψτ とすると，これらは次のよう

9,10 の (2) を辿って時間が進む．そして，それぞれの振なシュレディンガー方程式{dΨih̄ dtµ = EΨµ + aΨτれは，図 8 で時間 t = 80 s から逆に進んだ図になる．この場合，ℓ1 = 40 cm の近くでは，ω+ の固有振動であるたτih̄ dΨ
= aΨµ + EΨτdt

め，二つの振り子は逆向きに振動するすることが観測さ(12)を満たす．ここで，E は二つの固有状態の平均のエネル

れる．

ギーであり，a が混合の程度を表す．この方程式は ℓ1 = ℓ25の場合の式 (4) と同じ形をしており，解は{Ψµ = A e−iω− t + B e−iω+ t

ニュートリノ振動におけるうなりと断熱遷移Ψτ = A e−iω− t − B e−iω+ t

1998 年にスーパーカミオカンデ実験は，ミュー型ニュートリノが振動により減っていることを発見した。この大(13)のように，エネルギー固有解の重ね合わせとして与えら

気ニュートリノ振動を簡単のためミュー型ニュートリノとれる．エネルギー固有値は E± = h̄ω± = E ± a である．

タウ型ニュートリノの間の振動とすると、ミュー型ニュー5 Davis はこの業績により 2002 年度ノーベル物理学賞を受賞した．
日本の小柴昌俊氏，アメリカの Giacconi との同時受賞である．

トリノとタウ型ニュートリノは長さの等しい連成振り子

5

(1) ω_ ⁁ᘒ

ある．電子型とミュー型の場合の混合角は，実は 45◦ では(2) ω + ⁁ᘒなく 33◦ である．太陽中心では密度に比例する A(r = 0)
が 2a cos 2θ よりずっと大きいため，式 (15) の固有角振動

L1=80cm数 ω+ の固有状態 Ψ+ は，Ψ+ ≅ Ψe である．つまり，質

量が小さいにも関わらず，高い電子密度のせいで，エネ

ルギーの高い固有状態は電子ニュートリノの状態である．
ニュートリノはほぼ光速で太陽の外に向かって運動する．
このとき A(r) は徐々に減少し，最終的にニュートリノがL1=40cm









太陽の表面から出るときには，A(r) = 0 となる．この変化は断熱変化と考えられる．断熱不変定理 (11) により，ニュートリノは固有エネルギーの高い状態にいつづけな

L1=10cm

ければならない．その A(r) = 0 での固有状態は，波動

関数 Ψ+ = Ψe sin θ + Ψµ cos θ で表される質量の大きい
ニュートリノの状態にあるはずである．このエネルギー

図 10: 図 9 の (1)，(2) に沿って，ω− , ω+ の固有振動をの固有状態は地球に到達するまで保たれる．Davis の実励起するとどうなるか，を図示したもの．

験や水チェレンコフ検出器のように，電子型ニュートリ
ノとのみ反応する実験装置6 の場合は，Ψ+ のうちの電子

最初 t = 0 でミュー型ニュートリノである場合，Ψµ =ニュートリノの成分 Ψe としか反応しないので，反応確率1, Ψτ = 0 であり，解は次のようになる．
{
Ψµ = (e−iω− t + e−iω+ t )/2

トリノ問題」の説明である．これがほぼ 40 年間未解決でΨτ = (e−iω− t − e−iω+ t )/2|〈Ψ+ |Ψe 〉|2 は太陽中心での 1 から sin2 θ ≅ 1/4 へと減少する．これが，1968 年に Davis が報告した「太陽ニュー(14)あったのも無理はない．最終的な決着は，2002 年のスー
パーカミオカンデ実験，スノー実験およびカムランド実波動関数 Ψµ ，Ψτ の絶対値の２乗が任意の時間 t でそれ

験の結果を待たねばならなかった [2]7 ．eµ および µτ 間のぞれミュー型ニュートリノとタウ型ニュートリノである

ニュートリノ振動が存在するのみならず，A(r) がニュー確率を表す．連成振り子の場合と同じく，二つの状態間トリノの質量 2 乗差 2a cos 2θ に等しくなる共鳴点が太陽に「うなり」が起こり，周期的にミュー型ニュートリノ

内に存在したとは，自然のいたずらと言うしかない．図

とタウ型ニュートリノとの間で振動を起こす．

11 に太陽中でのニュートリノのエネルギーに対する固有値を密度の関数として模式的に示した．ρ = 大 (ρ = 0)

つぎに電子型ニュートリノとミュー型ニュートリノの間の断熱遷移について考えよう [12, 2]．太陽の中心は，重が太陽中心 r = 0 (太陽表面 r = R⊙ ) に対応する．

力により圧縮されているので，高密度，高温度の状態に断熱遷移は，ニュートリノに限らず，たとえば分子磁ある．太陽中心で，４個の陽子が１個のヘリウム原子核に性体でも，実現されているようである [5]．分子磁性体は，変わる核融合反応によって，太陽エネルギーは生じる．そ

磁気能率（スピン）を持った分子で構成されている．各々の際，26.7 MeV のエネルギーと共に２個の電子型ニューの分子磁性は，互いに，ほぼ孤立しているので，それらトリノが発生する．太陽中のニュートリノは，一般に電の分子磁性を，独立な少数自由度の量子力学系とみなす

子型とミュー型の混合状態にあり，電子型の波動関数をことができる．その固有状態を，連成振動子の固有モーΨe ，ミュー型の波動関数を Ψµ とすると，シュレディン
ガー方程式
{
e
= (E − a cos 2θ + A(r))Ψe + a sin 2θΨµih̄ dΨ
dtdΨµih̄ dt = a sin 2θΨe + (E + a cos 2θ)Ψµ(15)

ドと同一視すれば，古典力学と同様の議論を進めることができる．スピンは磁場と結合しているので，磁場を適当に掃引することで，（非）断熱遷移を引き起こすことができる．すなわち，磁場をゆっくり掃引すると，スピンは，磁場に追随する（断熱遷移）が，非常に速く掃引すが成り立っている．ここで A(r) は，中心から r 離れた

ると，スピンは，元々の向きを保持し続ける（非断熱遷場所で高い電子密度によって生じるポテンシャルエネル

移）．図 9 で，(1),(2) の経路が断熱遷移では交差せず、非ギーであり，電子型ニュートリノにしか働かない．先程

6 水チェレンコフ検出器では中性カレントも寄与するが、小さい．
7 断熱遷移による理論的な解釈は，Mikheyev と Smirnov による．彼
らの仕事は Wolfenstein の仕事に基づいているので，断熱遷移は MSW効果と呼ばれている．

のミュー型とタウ型の間の振動の方程式 (12) は，この式
で混合角 θ = 45◦ ，かつ A(r) = 0（真空）とした場合で6m[3] S. Weinberg, Int.J.Mod.Phys.A2,301 (1987). 19862

ν

年に Weinberg が，この Berkeley で行われた高エネル

eギー国際会議会議のまとめ (Summary and Outlook)の中で，Berkeley での講義でデモンストレーションνν

0をしたという短いコメントがある．音叉を使ったとµいうことであるが詳細は不明．

[4] J.N.Bahcall, Neutrino Astrophysics, Cambridge
University Press (1989).

µν[5] 宮下精二， 日本物理学会誌 解説 1998 年第 53 巻

ρe

4 号，259–265;
S. Miyashita, J. Phys. Soc. Jpn. 64 (1995) 2734.
[6] 際本泰士，連成振動の実験道具，日本物理学会誌
物理の小道具 2006 年第 59 巻第 11 号, 806-808.

図 11: 太陽中でのニュートリノのエネルギーに対する固有値を密度の関数として模式的に図示したもの．二つの固有状態は断熱遷移では交差しない．実際の電子密度 ρ の[7] 増田健二，大学の物理教育 1999-3 号，44–49.

3

値は太陽中心で約 100NA /cm (NA はアボガドロ数) で

松本節子，大学の物理教育 2002-1 号，31–35.

ある．

[8] 光進電気工業 DC マイクロモータ 1224-012S（遊星ギア）．

断熱遷移では交差しうることを意味する．

6[9] THK リニアブッシュLM5．
[10] NTN ミニアチュア玉軸受け開放型内径 2.0mmφ．

まとめ[11] 朝永振一郎，「量子力学 I」みすず書房．

拘束された運動は，微小であるかぎり調和振動になる．
調和振動は，それをいくつかの固有振動に分解すること[12] B.Kayser,

によって理解できる．ここでは，固有振動のあらわれとしofPhys.Lett.B592, 145-153,2004.

てうなりや断熱遷移の現象が理解できることを見た．これらの現象は普遍的で，古典力学の適用されるマクロな世界だけでなく，原子・分子・素粒子のミクロな世界にも登場する．固有振動は，古典力学・量子力学のどちらにとっても，もっとも単純でかつ重要な概念である．
この記事は初めにことわったように「大学の物理教育」に掲載された解説を転載・加筆したものである．高エネ
ルギーニュースの読者には初等的過ぎるかもしれないが，院生および学部生の教育または専門外の人々の啓蒙に役立てて頂けると幸いである.

参考文献[1] 作田 誠，西山 由弘，園田 英徳，「固有振動と断熱遷移についての教育」，大学の物理教育誌，2008 年
Vol.14 No.1, 36-41.
[2] 中畑雅行，鈴木洋一郎,

Review

日本物理学会誌 解説 2003

年第 58 巻 4 号，337–342; H. A. Bethe, Phys. Rev.

Lett. 56 (1986) 1305–1308.
7

Particle

Physics,