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レプリカ交換の手法を用いたアルゴリズムと行列幾何学
筑波大学素粒子論 D2

菅野聡
熱場の量子論とその応用

2023/8/28

花田政範さん(ロンドン大学)、松浦壮さん(慶應大)、渡辺展正さん(YITP)との共同研究2/17

1. Introduction(𝒑 + 𝟏)dim SYM

string theory[Itzhaki-Maldacena-Sonnenscein-Yankielowicz]

action&1
1𝑔&&()!"#&𝑆 = #𝑑 𝑥 tr 𝐹$% + 𝐷$ 𝑋' +𝑋' , 𝑋* + (fermion)42
4

9 − 𝑝 個のスカラー場 𝑋!

(gauge theoryをもとにstring theoryの)D-brane配置はどう再現されるか

$𝜆 = 4𝜋𝑔! 𝑁 = 𝑔"# 𝑁

≪1

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[Witten]

𝑋! =𝑝 + 1 dim 𝑈(𝑁) SYM

平行に並んだ𝑁個の𝐷𝑝-brane( 9 − 𝑝 個のスカラー場𝑋! を含む)(とその間のopen string)

4/17

$
𝜆 = 4𝜋𝑔! 𝑁 = 𝑔"# 𝑁$𝐸∼𝑁𝑋! =?

≫ 1,′t Hooft large 𝑁 limit

Black 𝑝-brane solution

𝜆 ≫ 1の時にはgeometryはどう再現できるか5/17

Geometryを読み取るには…
配位{𝑿𝑰 }を用いて

𝐦𝐢𝐧𝑹2 𝑼
𝑼=𝑈 ∶ element of 𝑆𝑈(𝑁)𝑰
𝐦𝐢𝐧 𝐦𝐚𝐱 𝑿𝜶 −𝑼𝑰,𝜶𝑼

5𝟏 𝑰

𝒀𝑼 𝜶を最小化する行列 𝒀𝑰 を決定 [Hanada,SK,Matsuura,Watanabe]

極小値が多く、最小化は数値的に困難6/17

本研究の結果レプリカ温度を導入した、効率的な最小化アルゴリズムの提案
Generalized REMC、Generalized RESA
応用
toy modelを用いて、geometryを読み取った

7/172. 最小化のアルゴリズム
シミュレーティッドアニーリング(SA)𝛽# 𝑅+⋮𝛽, 𝑅+𝜷 ≪ 𝟏では抜け出せる
温度を導入
𝛽! < 𝛽" < ⋯ < 𝛽#作用𝛽' 𝑅(𝜷𝟏 → 𝜷𝟐 → ⋯ → 𝜷𝒏 とすることで効率的に最小化できる8/17

レプリカ交換モンテカルロ法(REMC)
温度だけが違うレプリカを用意 𝜷𝒊 𝑹#

SAと異なりレプリカ間を行き来できる計算は重くなるがSAの一方通行性が解決されている!!

Generalized REMC: 作用も異なるレプリカを用意
𝑹𝒑 𝑿 = ? 𝑿𝑰𝒊𝒋 − 𝑼3𝟏 𝒀𝑰 𝑼 𝒊𝒋𝒑

𝟏/𝒑𝒊,𝒋,𝑰

極小の数少ない

𝑅& 𝑋

≥

𝑅- 𝑋

≥多い⋯≥

𝑅+ (𝑋)

𝛽"𝑅"
𝛽#𝑅#

⋮
𝛽$ 𝑅$

各レプリカで極小の構造が異なり最小への通り道が豊富
𝛽% ≪ 1までいかなくても探索範囲を広げられる

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10/17REMCとgeneralized REMCの結果
最小値がmin 𝑅+ = 1としてわかっている行列)! *(𝑌 = + 𝜏&(𝜏& ∶ 𝑆𝑈(𝑁)の⽣成⼦)

これの最小化&'(

この行列を適当なユニタリー行列𝑉で変換 𝑉𝑌𝑉 3# GeneREMC  





REMC









6×6行列配位に対する最小化のHistory





6×6行列,replica数500での距離1.025までの反復数(計算コスト)

11/17

レプリカ交換SA(RESA)
𝛽% ≪ 1までいかなくても探索範囲を広げられる→全てのレプリカを行き来しなくても効率的に最小化!!
: 𝛽! のラベル

SAと拡張REMCを組み合わせてコスト削減
MC time12/17REMCとRESAの結果
mock dataに対して、REMC : 温度 990 ∼ 1000
温度 2 ∼ 11温度 3 ∼ 12⋯

温度 990 ∼ 1000RESA 

RESA :REMC

※logプロット、8×8行列 



13/173. 数値計算結果
𝑚$ $ 1 %𝑆 = 𝑁 tr
𝑋 + 𝑋
24で生成した配位に対して𝑅 = min max 𝑈𝑋𝑈 3# − 𝐶 989の期待値をRESAで計算する
𝑐 + 𝛿𝑐
𝐶=
⋮0⋯⋱
⋯

0
⋮
−𝑐 − 𝛿𝑐,𝑐=−𝑚&

14/17

𝑁 = 8で生成した1000配位に対する固有値分布

𝑚" = −10








𝑚" = −2

固有値がつながりgeometryが見れない15/17

50配位に対する最小値の平均と標準偏差   

    

 





紫 : N=4
緑 : N=6
⻘ : N=8    𝑚! = −10    








𝑚! = −2

この手法では𝑚" = −2でも最小値を見つけてgeometryがわかる16/17

50配位に対する最小値の外挿 

             

 





𝑚! = −10







𝑚! = −2

𝑁 → ∞で完全にgeometryを決められそう17/17

4. summary and discussion• 強結合でも適応可能な経路積分形式でのgeometryの読み取り手法を提案した• 極小値が多い最小化問題の効率的なアルゴリズムを提案した• One matrix modelでこの手法が有用であることを示した• これからより複雑な行列模型に適用していきたい18/17

Backup slide19/17$50 configでのOne matrix model(𝑚 = −10)parameter
𝑁 = 4,6

トラジェクトリー

𝑁=8800

トラジェクトリー

レプリカ

2-30

レプリカ

2-50

SAの𝑀

3000

SAの𝑀30001500

20/17parameter
トラジェクトリー
レプリカ 2-30
SAの𝑀 3000
800

トラジェクトリー
レプリカ 2-50
SAの𝑀 3000

1500       𝑁 = 8以外はレプリカの個数が30で十分



※レプリカの個数70でも解析中



21/17

ヒストグラムの結果(𝒎 = −𝟏𝟎)𝟐     

紫 : N=4、緑 : N=6、
⻘ : N=8 









22/17𝟐

𝑵 = 𝟒の𝜹𝒄の幅(𝒎 = −𝟏𝟎)

  Δ) ∼ −0.17 

Δ) ∼ 0.16

        23/17

𝟐

𝑵 = 𝟔の𝜹𝒄の幅(𝒎 = −𝟏𝟎)  Δ) ∼ −0.15 Δ) ∼ 0.14

        

24/17𝟐

𝑵 = 𝟖の𝜹𝒄の幅(𝒎 = −𝟏𝟎)   Δ) ∼ −0.1 Δ) ∼ 0.07

        

25/17

Δ = Δ! − Δ"
𝑁=4
𝑁=6
𝑁=8

Δ ∼ 0.33
Δ ∼ 0.29
Δ ∼ 0.17

1.138(1.2247)
1.706(1.1547)

26/17$50 configでのOne matrix model(𝑚 = −2)
parameter
トラジェクトリー 800
レプリカ

2-30

SAの𝑀300027/17

ヒストグラムの結果(𝒎 = −𝟐)
𝟐





       

紫 : N=4、
緑 : N=6、
⻘ : N=8 

28/17𝟐

𝑵 = 𝟒の𝜹𝒄の幅(𝒎 = −𝟐)   Δ) ∼ −0.30 

Δ) ∼ 0.505






    

29/17𝟐

𝑵 = 𝟔の𝜹𝒄の幅(𝒎 = −𝟐)    

Δ) ∼ −0.31 Δ) ∼ 0.42

30/17𝟐𝑵 = 𝟖の𝜹𝒄の幅(𝒎 = −𝟐)  Δ) ∼ −0.29 Δ) ∼ 0.31





31/17

Δ = Δ! − Δ"
𝑁=4
𝑁=6
𝑁=8Δ ∼ 0.805
Δ ∼ 0.73
Δ ∼ 0.60

1.1027(1.2247)
1.2167(1.1547)