平成２０年度
理学研究科 博士前期課程 学力検査問題(基盤理学専攻・物理学コース)

専門科目 (物理学)
試験時間 13:00 ∼ 17:00

注意事項

1. 問題 I, II, III, IV の全てについて解答すること。
2. 各問題ごとに別の解答用紙を使用すること。１枚の解答用紙に複数の問題を解答してはいけない。また，各問題について１枚以上の解答用紙を提出すること。
3. 全ての解答用紙の所定欄に, 問題番号と受験番号を必ず記入すること。
4. 別途配布する草稿用紙は回収しない。

I
図 1 のように，質量 m の質点 A と質量 m の質点 B を，自然長 2ℓ0 ，ばね定数 k の質量が無視できるばねでつなぎ，滑らかな水平面上に静かに置いた。質点 B の位置を原点とし，BA の方向を x 軸，水平面上でこれに垂直な方向を y 軸とする。時刻 t = 0 に質点 A に y 方向の初速v0 を与えた。質点 B の初速度は 0 とする。以下の設問に答えなさい。なお，ばねは直線形状を保ち，AB 間にはばねの伸びに比例する復元力が働くものとする。
yy'Av0B2 0AGrqx'xB}P}Q

1. 質点 A の座標を (xA , yA )，質点 B の座標を (xB , yB ) とする。時刻 t > 0 の質点 A，B の運動方程式の x 成分と y 成分をそれぞれ書きなさい。
2. 質点 A と質点 B の重心 G の座標を (X, Y ) とする。この重心の運動方程式を書きなさい。
3. 重心 G の座標 (X, Y ) を時刻 t の関数としてあらわしなさい。
4. 図 2 のように G を原点とする座標系をとり，x′ 軸，y ′ 軸はそれぞれ x 軸，y 軸に平行とする。極座標 (r, θ) で表示した質点 A の運動方程式が次式で与えられることを示しなさい。
r̈ = rθ̇2 −k(2r − 2ℓ0 )m

d 2(r θ̇) = 0dt
5. θ̇ = dθ/dt を ℓ0 ，v0 ，r を用いてあらわしなさい。
6. エネルギー保存式をm 2ṙ + Ueﬀ (r) = 02の形にあらわし，有効ポテンシャル Ueﬀ (r) を r の関数として求めなさい。

7. 有効ポテンシャルの概形を横軸を r，縦軸を Ueﬀ (r) とするグラフにあらわし，質点 A がr 方向に運動する範囲をグラフ中に記入しなさい。

8. 有効ポテンシャルが極小となるときの r を rm とおく。|rm − ℓ0 | ≪ ℓ0 のとき，Ueﬀ (r) をδr = r − ℓ0 の関数として微小量 δr/ℓ0 の 2 次までの項を残して求め，rm を m, v0 ，k, ℓ0を用いてあらわしなさい。
9. |rm − ℓ0 | ≪ ℓ0 となるのはどのような場合か，その条件を m, v0 , k, ℓ0 を用いてあらわし，物理的な意味を述べなさい。
10. |rm − ℓ0 | ≪ ℓ0 の場合の質点 A の AB 方向の振動の周期を |rm − ℓ0 |/ℓ0 の 1 次の項までを残して求め，m, v0 , k, ℓ0 を用いてあらわしなさい。

II
1. 真空中（誘電率を ε0 , 透磁率を µ0 とする）に導体が置かれた場合について，次の設問に答えなさい。
(1) 半径 a の中空（厚みは十分薄い）の筒状導体に，一様な電流 I が軸に平行に流れている（図 1）。筒状導体は無限に長いとし，中心軸からの距離を r として，磁束密度の大きさを r の関数として求めなさい。
図 2 に示すように，半径 a の中空円筒状導体 A と中心軸が共通な半径 b（> a）の中空円筒状導体 B がある。それぞれの導体は無限に長く厚みは薄い。

(2) 導体 A の表面に一様な電流 I が，導体 B の表面に一様な電流 −I が，軸に平行に流れているとする。このときの磁束密度の大きさを，中心軸からの距離 r の関数として求めなさい。また，磁束密度の方向を，断面図を書き矢印で示しなさい。
(3) 導体 A, B に電荷が一様に分布しており，その単位長さあたりの電荷がそれぞれ λ, −λ であるとする。このときの両円筒間の電位差を求めなさい。
(4) この導体 A, B がコンデンサを形成しているとして，両円筒間の単位長さあたりの電気容量 C を求めなさい。

図1

図22. 真空中でのマクスウェル方程式を書きなさい。記号は慣例に基づいて適宜指定しなさい。
3. 導体表面の磁場が導体内に侵入する距離を求めたい。図 3 のように，導体表面上（z = 0）で一様に振動している磁場 Hx (0, t) = H0 e−iωt が存在しているとする。ただし，Hy = Hz = 0とする。導体は一様で，透磁率 µ，電気伝導率 σ を持ち，マクスウェルの変位電流は無視できるとして，z > 0 の領域のみを考える。次の設問に答えなさい。
(1) Hx (z, t) の解を Hx (z, t) = h(z)e−iωt とおく。h(z) に対する下記の方程式を，マクスウェル方程式とオームの法則から導きなさい。必要であれば，ベクトル場 A に対する恒等式∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ · A) − ∇2 A を使ってよい。
)( 2d+ iµσω h (z) = 0dz 2(2) 磁場の強さが導体表面（z = 0）における値の 1/e に減衰する距離 δ を侵入距離という。
lim Hx (z, t) = 0 として Hx (z, t) を求め，侵入距離 δ を µ, σ, ω で表しなさい。また，そz→∞の結果から振動数 ω や電気伝導率 σ に対して電磁波の侵入距離がどのように変わるか説明しなさい。

図3III
1 次元の Schrödinger 演算子
Ĥ = −~2 d2+ U (x)2m dx2の固有値問題

Ĥψ(x) = E ψ(x)について考えよう。1 次元の場合，束縛状態（|x| → ∞ のとき ψ(x) → 0 となる固有状態）は離散的なエネルギー固有値を持ち，その束縛状態には縮退がないことが知られている。以下の設問でこの結果を証明なしに用いてよい。

1.

ポテンシャル関数 U (x) が
V1U (x) =(I : x ≤ 0)

−V0
0

(II : 0 < x < L)(III : x ≥ L)

で与えられる場合を考える（V0 , V1 は定数）。ただし，V0 , V1 > 0 である。以下，領域 I, II, III
での波動関数をそれぞれ ψI (x), ψII (x), ψIII (x) と書くことにする。

(1) E > 0 の場合には束縛状態が存在しないことを，ψIII (x) に着目して示そう。
(a) ψIII (x) の満たすべき方程式を書き下し，その一般解を求めなさい。
(b) 境界条件を考慮して，E > 0 の場合には束縛状態が存在しないことを示しなさい。
(2) 束縛状態に対しては必ず E ≥ −V0 となること，すなわち，⟨ ¯ ¯ ⟩ ∫ +∞
ψ ¯Ĥ ¯ψ =dx ψ ∗ (x)Ĥψ(x) ≥ −V0−∞を示しなさい。

(3) V1 → +∞ のとき ψI (x) = 0 となることを，(1) にならって示しなさい。
(4) (1), (2) の結果から，束縛状態は 0 > E ≥ −V0 の範囲でしか存在しない。以下，V1 → +∞の場合のみ考える。
(a) もし束縛状態があるとすれば，(αL)2 + (βL)2 = 2mV0 L2 /~2および

αLtan(αL)√√が成り立つことを導きなさい。ここで，α = 2m(E + V0 )/~, β = −2mE/~ である。
βL = −

(b) V0 が十分小さいときには，束縛状態が存在しないことを示しなさい。
なお，詳しい計算を実行すれば，V0 L2 ≥ ~2 π 2 /(8m) を満たすときにのみ束縛状態が存在することを示すことができる。

2.
(1) 一般に，ポテンシャル関数 U (x) が偶関数，すなわち U (x) = U (−x) のとき，束縛状態の固有関数 ψ(x) は偶関数か奇関数のどちらかになることを示しなさい。
(2) ポテンシャル関数 U (x) が
0U (x) = −V00(I : x ≤ 0)
(II : 0 < x < L)(III : x ≥ L)

で与えられる場合を考える（V0 は定数）。ただし，V0 > 0 である。前問 (1) を踏まえて，波動関数が x = L/2 に節を持つ（すなわち，ψ(L/2) = 0 となる）束縛状態が存在するためには，V0 と L に対してどのような条件が必要か，問 1. (4) の場合の条件
V0 L2 ≥ ~2 π 2 /(8m) と比較して答えなさい。

IV
高分子の弾性を表す簡単な模型として，棒状単量体（長さ ℓ）がマクロな数 N 個，鎖状につながった分子を考える。この高分子の鎖の一方の端を点 O に固定し，もう一方の端には質量 m のおもりを取り付ける。
それぞれの単量体は鉛直方向の上か下かを向くものとし，その質量は無視してよい。高分子の鎖とおもりを合わせて一つの系とみなし，平衡状態ではおもりは常に静止しているものとする。ボルツマン定数をkB ，重力加速度を g とする。必要ならば，以下の公式を用いなさい。

N ≫ 1 のとき

OLlog N ! ∼ N log N − N

1. 上向きと下向きの単量体の数がそれぞれ nu , nd であるときの微視的状態の数を求めなさい。
m

2. 点 O をおもりの位置エネルギーの基準点にとり，系のエネルギーU を nu , nd を用いて表しなさい。

ࡖ3. U と N の関数として，系のエントロピー S(U, N ) が以下のようになることを示しなさい。ここでは ϵ ≡ mgℓ とした。
()()()()}{UU1UU
11+log 1 +−1−log 1 −S(U, N ) = N kB log 2 −2NϵNϵ2NϵNϵ
4. U と N の関数として，系の温度 T (U, N ) を求めなさい。
以下では，N と温度 T で指定される平衡状態を考える。自由エネルギー G(T, N ) を次の Legendre
変換で定義する。右辺は，U を変化させたときの {· · · } 内の式の最小値という意味である。

G(T, N ) ≡ min {U − T S(U, N )}U

5. {· · · } 内の式を最小にする U を T と N の関数として求めなさい。この U (T, N ) がこの平衡状態のエネルギーである。
6. 問 3. のエントロピーの表式に，上で求めた U (T, N ) を代入すると，T と N の関数としてエントロピー
S(T, N ) ≡ S(U (T, N ), N )が求まる。以下の関係が成り立つことを示しなさい。

∂G(T, N )= −S(T, N )∂T
7. それぞれの単量体の向きを変数 σi = ±1（上向きのとき +1 とする）で表すことにする。
この σi を用いて微視的状態のエネルギーを表しなさい。
8. この系の分配関数 Z(β, N ) (β ≡ 1/kB T ) を求めなさい。

この分配関数 Z(β, N ) は自由エネルギー G(T, N ) とG(T, N ) = −kB T log Z(β, N )という関係で結ばれている。以下では高温 (kB T ≫ ϵ = mgℓ) の場合を考える。

9. エントロピー S(T, N ) が次のようになることを示しなさい。
{}(mgℓ)2S(T, N ) ∼ N kB log 2 −2T22kB

10. 図のように定義した鎖の長さ L(T, N ) を求めなさい。温度が上昇したとき鎖の長さはどう変化するか，またその理由を簡単に述べなさい。