ダイポールモーメントを保存する場の理論におけるフラクトンの記述とその有効理論について
京都⼤学基礎物理学研究所
中⻄泰⼀
本多正純⽒，戎弘実⽒との共同研究に基づく

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本発表の概要• X-cubeモデルと呼ばれる格⼦模型に現れるフラクトンと呼ばれる準粒⼦を記述する場の理論• Pretkoによるダイポールモーメントを保存する場の理論• Seiberg, Shaoらによるsigma model-likeな場の理論（部分系対称性）• そのほかにも様々な場の理論的モデルがある• ダイポールモーメントを保存する場の理論におけるいくつかの解析を⾏った• ダイポールモーメントを保存する理論において，ヒッグスポテンシャルを導⼊し，場の期待値が⼗分⼤きいときの有効理論として，sigma model-likeな理論が得られることを⽰す．
• フラクトンを記述する様々な理論を統⼀的にとらえるための⼀歩？

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内容
• フラクトンとは？
• ダイポールモーメントを保存する場の理論の性質• ⼤域的対称性とダイポール対称性の⾃発的破れ• まとめと今後の展望

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フラクトンとは？
• 単独で空間中を移動できない準粒⼦．
• 格⼦スピンモデルの局所的励起として現れる．
最も有名な例（”X-cubeモデル” : トーリックコードの３次元への拡張）• ダイポールを組んで運動することは可能．
• 真空からダイポールを⽣成することで移動することは可能．
※さらに多重極モーメントを保存するようなモデルや，そもそも移動可能な束縛状態を持たないモデルもある．
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フラクトンを考える動機• 量⼦情報的な動機
フラクトン的な励起を持ついくつかのモデルはエラーに対して強く，従来よりも多くのqubitを扱うことができる．[Vijay et al. 2016, Haah 2011]→量⼦コンピュータへの応⽤• 物性的な動機
いくつかのモデルの相は通常のトポロジカル相などとは異なり，多様体の葉層構造で特徴づけられる新しい相である．

→物質の相に対する新しい分類• 素粒⼦論的な動機（詳細は後述）
フラクトンの場の量⼦論による記述を通して，既存の場の理論のクラスを超えた⼀般化や新しい概念が発⾒されてきた．[Seiberg-Shao 2020 etc.]
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フラクトンへの素粒⼦論的な動機• これまでにない性質を持った場の理論• 部分系対称性
ゲージ対称性と⼤域的対称性の中間的な性質を持った新しいタイプの対称性• 葉層の場の理論
位相的場の理論の⼀般化
新しい数理物理学を⽣み出す可能性• テンソルゲージ理論（ダイポールを保存する場の理論）
⼀般化されたゲージ理論

閉じ込めなどを議論できる• テンソルゲージ理論と線形化重⼒理論との関係
対称性がbiform symmetryという概念でまとめられる[Hinterbichler et al. 2022]• 弦理論の概念との関係
ホログラフィーとの関係やブレーンからの構成[Yan 2019, 2020, Geng et al. 2021]
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内容
• フラクトンとは？
• ダイポールモーメントを保存する場の理論の性質• ⼤域的対称性とダイポール対称性の⾃発的破れ• まとめと今後の展望

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ダイポールモーメントを保存する理論でのフラクトンの記述• X-cubeモデルのフラクトンの特徴
単独で移動することができない
ダイポールを組むと移動することができる• ダイポールモーメントを保存量として持つような場の理論を構成したい．
• 総電荷とダイポールモーメントは電荷密度分布𝜌を⽤いて以下のように書けるはずである．
𝑄 = ∫ 𝑑 ! 𝑥 𝜌,𝑃" = ∫ 𝑑 ! 𝑥 𝜌𝑥 " .
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ダイポール対称性[Pretko 2018]• 以下のようなラグランジアンを考える
ℒ=
$$
$
$
= 𝜕# Φ − 𝑚 Φ − 𝑔 Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φ− 𝑔& {Φ∗ $ Φ𝜕" 𝜕 " Φ − 𝜕" Φ𝜕 " Φ + Φ∗ 𝜕" 𝜕 " Φ∗ − 𝜕" Φ∗ 𝜕 " Φ∗ Φ$ }𝑚, 𝑔, 𝑔& : const• このラグランジアンは時間微分項𝜕# Φ，
空間微分項Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φからなる最も簡単な形のラグランジアン
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ダイポール対称性• このようにして構成したラグランジアンは以下の⼆つの対称性を持つ：• ⼤域的位相回転対称性• ダイポール対称性

Φ → 𝑒 "( Φ𝛼: const

Φ → 𝑒 ")⋅+ Φ
𝜆: constant spatial vector*このことは空間微分項Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φが
Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φ → 𝑒 ")⋅+ Φ 𝜕" 𝜕% 𝑒 ")⋅+ − 𝜕" 𝑒 ")⋅+ Φ 𝜕% 𝑒 ")⋅+
= 𝑒 $")⋅+ (Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φ)のように変換することからわかる．
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対称性のネーターカレント• ⼤域的位相回転対称性のネーターカレント
𝜌 = 𝑖 Φ∗ 𝜕# Φ − 𝜕# Φ∗ Φ ,𝐽" = 𝑖𝑔𝜕% Φ∗ $ Φ𝜕 " 𝜕 % Φ − 𝜕 " Φ𝜕 % Φ − Φ∗ 𝜕 " 𝜕 % Φ∗ − 𝜕 " Φ∗ 𝜕 % Φ∗ Φ$
𝜕# 𝜌 + 𝜕" 𝐽" = 0.
このカレント保存則は２つの空間の脚を持つ量を定義することで書き換えることができる．
𝐽"% = 𝑖𝑔 Φ∗ $ Φ𝜕 " 𝜕 % Φ − 𝜕 " Φ𝜕 % Φ − Φ∗ 𝜕 " 𝜕 % Φ∗ − 𝜕 " Φ∗ 𝜕 % Φ∗ Φ$
𝜕# 𝜌 + 𝜕" 𝜕% 𝐽"% = 0.
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ダイポール対称性のネーターカレント• ダイポール対称性のネーターカレントは⼤域的位相回転対称性のネーターカレントを⽤いて以下のように書くことができる．
𝜌J , = 𝑥 , 𝜌,𝐽K,",, "∗$= 𝑥 𝐽 − 𝑖𝑔𝛿% Φ Φ𝜕 " 𝜕 % Φ − 𝜕 " Φ𝜕 % Φ − Φ∗ 𝜕 " 𝜕 % Φ∗ − 𝜕 " Φ∗ 𝜕 % Φ∗ Φ$=𝑥 , 𝐽" − 𝐽,"
𝜕# 𝜌J , + 𝜕" 𝐽K," = 012/21

対応する保存量• これらのネーターカレントに対応する保存量は𝑄 = ∫ 𝑑! 𝑥 𝜌𝑃, = ∫ 𝑑 ! 𝑥 𝜌J , = ∫ 𝑑 ! 𝑥 𝑥 , 𝜌• これらの量はそれぞれ総電荷，ダイポールモーメントと解釈することができる．

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フラクトン的振る舞い• ダイポールモーメントが保存することからフラクトン的な振る舞いを読み取ることができる．
• 仮に荷電粒⼦が単独で移動したとすると，ダイポールモーメン
トの保存則を破ることになる．
• このことから，荷電粒⼦はダイポールを組むか，真空から新たなダイポールを⽣成することでしか移動することができない．
• この振る舞いはX-cubeモデルのフラクトンの特徴を再現する．

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内容
• フラクトンとは？
• ダイポールモーメントを保存する場の理論の性質• ⼤域的対称性とダイポール対称性の⾃発的破れ• まとめと今後の展望

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ダイポールを保存する理論におけるヒッグス機構[Pretko 2018, Chen-Ye 2023, Ebisu-Honda-Nakanishi on-going work]• ダイポール保存理論のラグランジアンにヒッグス項を加える：ℒ$$$$= 𝜕# Φ − 𝑚 Φ − 𝑔 Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φ− 𝑔& {Φ∗ $ Φ𝜕" 𝜕 " Φ − 𝜕" Φ𝜕 " Φ + Φ∗ 𝜕" 𝜕 " Φ∗ − 𝜕" Φ∗ 𝜕 " Φ∗ Φ$ }$1− 𝜆 Φ $ − 𝑣$
2
• このヒッグスポテンシャルは⼤域的位相回転対称性とダイポール対称性を⾃発的に破る．
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ダイポールを保存する理論におけるヒッグス機構• 複素スカラー場Φを，実スカラー場𝜎，𝜙を⽤いて
1
Φ=𝑣 + 𝜎 𝑒 "- ,2のように書き直す．この時ラグランジアンはℒ$
11𝑚= 𝜕# 𝜎 $ + 𝑣 + 𝜎 $ 𝜕# 𝜙 $ −𝑣+𝜎 $222$𝑔$.
−𝑣 + 𝜎 𝜕" 𝜕% 𝜎 − 𝜕" 𝜎𝜕% 𝜎 + 𝑣 + 𝜎 𝜕" 𝜕% 𝜙4&$𝑔1−𝑣 + 𝜎 $ 2 𝑣 + 𝜎 𝜕" 𝜕 " 𝜎 − 2𝜕" 𝜎𝜕 " 𝜎 − 𝜆 𝑣𝜎 + 𝜎 $4217/21

ダイポールを保存する理論におけるヒッグス機構• 実スカラー場𝜎の質量は 𝑚$ + 2𝜆𝑣 $ .
• パラメータ𝑣を⼗分⼤きくとると，𝜎の質量が⼤きくなるので，𝜎についての積分を⾏ってしまうことができ，𝜙の有効的なラグランジアンが得られる．
.
𝑣$𝑔𝑣
$$ℒ=
𝜕# 𝜙 −𝜕" 𝜕% 𝜙 .
24• このラグランジアンは場の２次であり，以下のような場のシフト対称性を持っている：
𝜙 → 𝜙 + 𝛼,
𝜙 → 𝜙 + 𝜆 ⋅ 𝑥.
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保存量の代数と⾃発的対称性の破れ• ⼤域的対称性の保存量を𝑄，ダイポール対称性を𝑄" とすると，これらは𝑖𝑃" , 𝑄% = 𝛿"% 𝑄という代数を満たす．ここで𝑃" は並進対称性の保存量．
• このことから，仮に⼤域的対称性が⾃発的に破れたとすると，ダイポール対称性と並進対称性のどちらかは破れていなければならないことが帰結される．
Ω 𝑄 Ω ≠ 0 ⇒ Ω 𝑖𝑃" 𝑄" − 𝑖𝑄" 𝑃" Ω ≠ 0⇒ Ω 𝑃" Ω ≠ 0 or Ω 𝑄" Ω ≠ 0• 今回のヒッグス項は⼤域的対称性とダイポール対称性の両⽅を破る．ダイポール対称性だけを破るような項は作れるか？
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内容
• フラクトンとは？
• ダイポールモーメントを保存する場の理論の性質• ⼤域的対称性とダイポール対称性の⾃発的破れ• まとめと今後の展望

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まとめと今後の展望• 近年，素粒⼦論を含む様々な分野においてフラクトンと呼ばれるタイプの準粒⼦が注⽬を集めている．
• フラクトンの中でも特に注⽬されているX-cubeモデルと呼ばれる理論の特徴を再現するように，ダイポールモーメントを保存する理論が作られた．
• ダイポールモーメントを保存する理論における対称性の⾃発的破れを考えることで，空間微分の形が通常とは異なる実スカラー理論が得られることを⾒た．
• ⼤域的対称性を保ったままダイポール対称性だけを⾃発的に破るようなポテンシャル項を⾒つけられるか？
• ダイポール対称性のゲージ化の⼿続きはどうなるか？
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BACK UP SLIDES

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2D Toric Code• Square lattice with periodic boundary
condition• Qubits on each edge
• Hamiltonian
𝐻 = − $ 𝐴! − $ 𝐵"
𝑋 ≔ 𝜎# ,𝑌 ≔ 𝜎$ ,𝑍 ≔ 𝜎%!

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2D Toric Code• 𝐴/ , 𝐴/ ! = 𝐴/ , 𝐵0 = 𝐵0 , 𝐵0! = 0• 𝐴$/ = 𝐵0$ = 1• The Ground states of the toric code are +1 eigenstates of allthe 𝐴/ ʼs and 𝐵0 ʼs.
• One of such states can be constructed easily:Ω ∝ Z 1 + 𝐵0 |0 ⋯ 0⟩024/21

2D Toric Code• If one act a 𝑋 or 𝑍 operator on a certain edge, it result therise of the energy because such 𝑋 or 𝑍 operator does notcommute with edge or plaquette operators in theHamiltonian.

×: energy excitation(The eigenvalues ofcorresponding vertex or
plaquette operators turn to -1)

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2D Toric Code• We can deform theexcitation without
raising up the energy
any more by
successively
multiplying 𝑋 or 𝑍operators.
• We can recognize theexcitations in theendpoints of thesestring operators as(quasi-)particles.
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2D Toric Code• If two quasi-particles are carried to the same vertex(plaquette), the excitations are annihilated

𝑋!"

𝑍!"

• Ground state degeneracy
Non-trivial X- or Z-loop operators map ground states toground states.
𝑋12 𝑍1$ = −𝑍1$ 𝑋12 , 𝑋1$ 𝑍12 = −𝑍12 𝑋1$ , other operators commute
They acts on GSʼs like 2-qubit Pauli operators
𝐺𝑆𝐷 = 2$27/21

X-cube ModelZZ
ZZ
ZZ
Z
Z

XX

ZZ ZZ

X
X

X
X

X

X

X
X

X
X

• Hamiltonianℋ = − d 𝑋3 − d 𝑍
3One of the 3D generalizations of 2D toric code
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X-cube Model
33!

3$=𝑍

• 𝑋 ,𝑋•𝑋= 𝑋3, 𝑍$= 𝑍 ,𝑍&=0=1• The ground states of 3D toric code are +1 eigenstates of allthe 𝑋 3 ʼs and 𝑍 ʼs.
• One of the ground states can be constructed easily:Ω ∝ Z(1 + 𝑋 3 )|0 ⋯ 0⟩
∗29/21

X-cube Model• Non-trivial rigid loop operators map ground states to groundstates.

ZZ

ZZZZ

• Non-trivial loop operators embedded in a certain plane map
ground states to ground states.
𝐺𝑆𝐷 = 2$4"3$4#3$4$56

X
X
X

X

X

X

X

X

X
X

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Fracton, Linenon and Planon
FractonLineonPlanon• Lineon: the endpoint of rigid string operators cannot bend
without increasing the energy.
Z• Fracton: the corner of membrane operators cannot movealone without increasing the energy.
• Planon: dipole of lineons or fractons canonly move in a plane.

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内容
• フラクトンとは？
• ダイポールモーメントを保存する場の理論の性質• ⼤域的対称性とダイポール対称性の⾃発的破れ• 対称性のゲージ化• まとめと今後の展望
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対称性のゲージ化[Ebisu-Honda-Nakanishi on-going work]• 通常の⼤域的対称性のゲージ化• ラグランジアン$"$ℒ = ℒ7 + 𝜌𝐴# + 𝐽 𝐴" − 𝐴# − 𝜕% 𝐴"
このラグランジアンはゲージ変換
Φ → 𝑒 "( Φ,𝐴# → 𝐴# + 𝜕# 𝛼,
𝐴" → 𝐴" + 𝜕" 𝛼のもとで不変• ゲージ場を改めて

𝐴# ,𝐴"% ≔ 𝜕" 𝐴%𝐴# → 𝐴# + 𝜕# 𝛼,
𝐴"% → 𝐴"% + 𝜕" 𝜕% 𝛼と定義する．
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対称性のゲージ化• ゲージ化されたラグランジアンは元の微分を共変微分に置き換えたものに⼀致する
𝜕# Φ − 𝐴# Φ,Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φ − 𝐴"% Φ$
ℒ$$
$
$ $
= 𝜕# − 𝑖𝐴# Φ − 𝑚 Φ − 𝑔 Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φ − 𝑖𝐴"% Φ− 𝑔& fΦ∗ $ Φ𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ𝜕% Φ − 𝑖𝐴"% Φ$∗∗∗∗∗$+ Φ 𝜕" 𝜕% Φ − 𝜕" Φ 𝜕% Φ + 𝑖𝐴"% Φ Φ$ g
• ダイポール対称性のカレントをゲージ場とカップリングさせることでの対称性のゲージ化を⾏うことはできるか？
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