ＩＳＳＮ ０９１５－６０８９

SCIENCEon

FORM

第３１巻 第２号 ２０１６

BULLETIN OF THE SOCIETY FOR SCIENCE ON FORM

形の科学会
http://katachi-jp.com/

形の科学会誌 第 31 巻 第 2 号 (2016)

目

次

【論文】
内外圧力差による弾性円管の座屈高木隆司 ·······································································

38

面積保存方向保存写像における同周期分岐と周期軌道の安定性の交代
山口喜博 ········································································

51【解説論文】
構造化光投影による 3 次元計測の分類とワンショット動体形状計測法
佐川立昌，川崎洋，古川亮 ················································

65

【書評】
山口喜博・谷川清隆「馬蹄への道－２次元写像力学系入門－」
関口昌由 ········································································

77【シンポジウム】
第 82 回形の科学シンポジウム「産業技術とかたち」
プログラム ·······················································································

80

第 80 回形の科学シンポジウム「スポーツ・パフォーミングアーツに現れる形」
討議記録 ··························································································

84

第 81 回形の科学シンポジウム「量子科学とかたち」
討議記録 ··························································································

93【会告など】
会告 ··································································································

99

形の科学会誌の原稿募集 ······································································· 107

論文

形の科学会誌 第 31 巻 第 2 号

内外圧力差による弾性円管の座屈高木隆司〒248-0014 鎌倉市由比ガ浜 2-23-12
E-mail: jr.takaki@iris.ocn.ne.jp

Buckling of an elastic tube owing to pressure difference
Ryuji Takaki
2-23-12 Yuigahama, Kamakura, Kanagawa 248-0014, Japan(2016 年 7 月 7 日受付，2016 年 8 月 8 日受理)
Abstract: An elastic circular tube under a pressure from outside begins to collapse
to have a cross sectional shape similar to the ellipse, when the pressure exceeds
a certain value. This phenomenon is called “buckling”. In this paper the ratio of
longer and shorter diameters of the ellipse-like shape of the cross section isanalyzed theoretically based on the mechanics of elastic bodies. This study ismotivated by a need of theoretical works in the field of clinical medicine, where
the collapse of vein by the outside pressure is a matter of interest.
Keywords: Elastic tube, Pressure difference, Buckling, Nonlinear analysis

1. はじめに一般に座屈とは、弾性体に加える力を徐々に強めたとき、それがある臨界値を越えると突然大きく変形する現象を指す。その代表的なものは、まっすぐな棒に縦方向に加える力を強めたとき、突然湾曲し始める現象である。この問題については、弾性体力学についての多くの教科書で解説されている（文献 1）。本論文で問題にする現象は、弾性体でできた円管の内圧を外圧より低くした場合、圧力差がある臨界値を越すと円管の断面形が円形か
らずれてつぶれが起きるという現象であり、座屈の一種と考えることができる。これらの問題は、従来は、建築工学や機械工学の分野で関心をもたれていたが、最近は生体内の血管や機関の変形の問題に関連して、医学分野でも注目されている。
円管の座屈について機械工学で問題にされた現象は、ある容器内の空気を真空ポンプで抜くときに、パイプの設計を間違えるとパイプがつぶれることがあった。この現象については、座屈が起きる臨界圧力差∆𝑝C が、次のように求められている（文献 2, 3）。
∆𝑝C =

𝐸
𝐷 3
(
)
4(1 − 𝜈 2 ) 𝑅0

(1.1)

ここ で、 𝐸は 物質 の弾 性 の強 さを 表す ヤ ング 率 であ る。 ヤン グ 率の 値 は、 ゴム では 𝐸 =(1.5～5.0) × 106 N/ｍ 2 、金属などの硬い物質では𝐸 = (5～20) × 1010 N/ｍ 2 である。𝜈はポア
ソン比と呼ばれる物質定数で、弾性体をある方向に伸ばしてそれと垂直な方向に縮んだと– 38 –

き、伸びに対する縮みの割合である。その値は、全ての物質で 0 ≤ 𝜈 ≤ 0.5の範囲にあり、 ゴ
ムでは𝜈 = 0.5に近い。𝐷は管の壁の厚さ、𝑅0 は円管の半径（外径と内径の平均）である。
一方、∆𝑝C 以上の圧力差を与えて座屈が始まったとき、円形からどの程度ゆがむかという問題がある。この問題では、管の変形を表す量について非線形の解析をしなければならないので、数学的な困難が伴う。この問題については、Levy によって一般的な定式化が提案された（文献 4）。変形が比較的弱い場合について Carrier によって解析されている(文献 5)。変形後の形については、Tadjbakhsh & Odeh によって、変形が大きい場合も含めて数値解析を用いた結果が得られている（文献 6）。
ところで、本研究の動機は、臨床医学の分野におい て静脈血管内外の圧力差を管のつぶれの程度から推定したいという希望があり、それを可能にするための理論結果が望まれていることであった（文献 7）。そこで、本研究の目的を、管の変形に対して大胆な仮定を導入しながら、生体に関するいろいろなパラメータを変数として含んだままで、数値解析に頼らずに理論結果を提示することとした。実際の測定においては、変形した血管の長半径と短半径を測定することは容易である。それと比較するために、変形した血管の断面形を楕円形に近い形と仮定し、変形の程度を表す変数について簡単化された非線形の方程式 を導くという方針を設定した。
なお、生体内の管でも生体外でも、管の内部に流れが生じている場合があり、それが管の変形に影響を及ぼすことが考えられる。この問題は、問題の複雑さを避けるために考慮しないことにし、文献を紹介するにとどめる（文献 8,9）。
以下では、第 2 節で弾性体力学の基礎的事項として、円管の外部に圧力をかけて円形のままで変形したとき、変形の強さがどのように決まるかという問題について解説する。それから、座屈が起きたときの変形の定性的な様子を述べ、第 3 節以降で展開する非線形理論の前提を説明する。

2. 管の変形についての基礎的な事項
2.1. 弾性変形の基本法則
無限に長い円管に外側から圧力差∆𝑝がかかったとき、円管が円形のままで縮んだとする。
ただし、圧力差をかける以前の円管には内部にひずみがなく、円管を変形させたとき初めてひずみが現れると仮定する。そのとき、半径𝑅0 はどれだけ減少するかという問題を考えてみよう。図 2.1 のように、圧力差∆𝑝によってその半径が∆𝑅0 だけ減少したとする。このとき管の上半分の長さ𝜋𝑅0 は𝜋∆𝑅0 だけ減少する。この減少は、円管の下側が線分 AB で表した断面を通して上側を押す力によって生じると考えることもできる。今、円管のうち軸方向に長さ𝑊をもつ部分を考え、それにかかる力を考える。その力は、円管の下側にかかる圧力の上方向成分の合計であり、2𝑅0 ∆𝑝に等しい。円管の上側と下側の境界は左右 2 つあり、その片方（断面 AB）には、その半分の力𝑅0 ∆𝑝がかかっている。

– 39 –

図 2.1

圧力∆𝑝による円管の縮小

図 2.2

円管の変形を平板の縮小とみなす

ここで求めた力は常に円管の周方向に働いているので、この事情は、図 2.2 のように長さ𝜋∆𝑅0 、奥行き𝑊、厚さ𝐷の平板に両側から𝑊𝑅0 ∆𝑝 の力がかかり、そのために𝜋∆𝑅0 だけ縮む場合と同じである。このとき、縮む割合∆𝑅0 /𝑅0 と力との関係は、ヤング率𝐸を用いて次式で与えられる。
力 = 𝑊𝑅0 ∆𝑝 = 𝐸

∆𝑅0
𝑊𝐷,
𝑅0

したがって

∆𝑝 = 𝐸

∆𝑅0 𝐷
∙
𝑅0 𝑅0

(2.1)

なお、断面 AB 内に働く圧力は∆𝑝よりはるかに強く、(2.1)の左の式で表した力を幅𝑊𝐷で割ったものであり、𝐸 ∙ ∆𝑅0 /𝑅0 に等しい。
第１節で述べたように、弾性体が圧力によってある方向に縮むとその垂直方向に伸びる傾向があり、奥行き方向の長さ（円管では軸方向の長さ）𝑊に対する伸び∆𝑊の割合は次式で与えられる。
∆𝑊
∆𝑅0
=𝜈
𝑊
𝑅0

(2.2)

ここでは、無限に長い円管を考え、奥行き方向（中心軸方向）の伸び縮みがないと仮定しているので、その方向に∆𝑊/𝑊の割合の縮みを与える必要がある。その結果新たに円周方向に𝜈 ∙ ∆𝑊/𝑊 = 𝜈 2 ∙ ∆𝑅0 /𝑅0 の割合の伸びが生じる。結局、円周方向の縮みの割合は、このあらたな伸びだけ減少し、 (1 − 𝜈 2 )∆𝑅0 /𝑅0 となってしまう。そこで、∆𝑅0 /𝑅0 の割合の伸びを生むには、∆𝑝を1/(1 − 𝜈 2 )倍だけ強くする必要がある。結局、圧力と伸びの割合との関係は、次式で与えられる。
∆𝑝 =𝐸 ∆𝑅0 𝐷∙1 − 𝜈 2 𝑅0 𝑅0(2.3)

以上は、加えた圧力差によって円管は半径を減少させるだけで座屈は起きない場合の結果である。

2.2. 座屈が起きた場合の考え方
圧力が（1.1）式で与えられる圧力 ∆𝑝𝐶 を超えると何がおきるかということを、まず定性的に予想してみよう。

– 40 –

図 2.3

縮んだ平板から曲板への転移

図 2.4 縮んだ円管からより強く曲がった管への転移

管の断面が円形からずれると、いままで考えてきた円周方向の伸び縮みから、板の曲げという状態に転移する。図 2.3 の上側のように平板を左右に圧縮したとき（斜線部分が縮んだ部分）、座屈によって図 2.3 下側のように円弧状に曲がると、板の内部で伸び縮みの分布が生じる。その際、厚さ方向の中央の面（中立面、図中の点線）は伸び縮みせず、上側の伸びと下側の縮みの組み合わせになる。この場合、縮む部分と伸びる部分のそれぞれの体積変化は、平面のままで縮む（上側の図）に比べてはるかに小さい。したがって、板は弾性変形を最小にするように平板から曲板に転移し、上側の図のような全体的な縮みが解消する。これが座屈の仕組みである。
円管の断面が楕円形に近い形に転移する現象も、同じように理解できる。図 2.4 の上側は、円管が円形のままで縮む場合の、その一部分の変化であり、斜線部分だけ縮んでいる。
下側の図は、座屈が起きたために管の一部分が強く曲がり、内部で伸び縮みの分布が生じ、同時に全体的な伸びが解消した場合を表す。この場合、管の断面形が全体として楕円形に近い形になるので、図 2.4 の部分から離れた所では、より平板に近づく部分もある。ただし、周囲全体の長さは、圧力差∆𝑝を加える前の円管の周囲長に戻り、そのために図 2.3 の場合と同じように弾性変形が最小の状態になる。
以上から、座屈が起きる圧力差のもとでは、円管は強く曲がった部分をもつ楕円形に近い形になり、管のどの部分も周方向の長さが変化しないような状態に転移すると仮定してよい。

2.3. 弾性変形に伴うエネルギーの増加
2.2 節で「弾性変形が最小になる」という表現を使ったが、より正確には「弾性変形のエネルギーが最小になる」というべきである。弾性体の変形を求める方法として、外から加えられた力（外力）と弾性変形による復元力がつりあうという考え方と、弾性変形によって弾性体内部に蓄えられたエネルギーと外力がする仕事によって蓄えられたエネルギーの和が最小になるという考え方の２つがある。本論文であつかう問題では、後者の考え方がより容易である。まず、簡単な例によって、これら２つの考え方が同じ結果を導くことを示すことにする。

– 41 –

(a)

図 2.5

(b)

(a)重りによるバネの伸び、 (b)エネルギー最小の原理からの解法。

図 2.5(a)は、バネ定数𝑘のバネでつるされた重さ𝑚の重りが、𝑥だけ伸びてつりあっている状態を示す。このとき、復元力𝑘𝑥が重力𝑚𝑔と等しいということから、伸びは𝑥 = 𝑚𝑔/𝑘となる。この結果をエネルギーの考え方で求めてみよう。伸びによる弾性変形のエネルギー𝑈e は 𝑘𝑥 2 /2 で与えられる。重力の位置エネルギー 𝑈g は力と落下距離の積で与えられ、𝑈g = −𝑚𝑔𝑥 となる。これらの和 𝑈 = 𝑘𝑥 2 /2 − 𝑚𝑔𝑥 を最小にするような𝑥の値は、図 2.5(b)に示すように、𝑈を𝑥で微分したものが 0 になるという条件で求められる。
𝑑𝑈
𝑚𝑔= 𝑘𝑥 − 𝑚𝑔 = 0,
⇒
𝑥=
𝑑𝑥
𝑘

(2.4)

結局、力のつり合いの式を使うことと、弾性エネルギーと重力エネルギーの和を最小にすることは同じ結果に導くのである。
ここで、円管の一部がその曲率を変えた場合について、その部分の弾性エネルギーを表す式を導いておく。図 2.6 は、変形前（曲率半径𝑅0 ）と変形後（曲率半径分布𝑅(𝑠)）の管の一部分を示し、点線で示した中立面はどちらも 𝑑𝑠という短い同じ長さをもつ（上で仮定したように、円管が座屈を起こしても周囲方向の長さが変化しないことに対応する）。ここ
で、この中立面から測った厚さ方向の座標𝑧を導入する。

図 2.6

厚さ D の管壁の微小部分。左：変形前、右：変形後。斜線部分の伸び縮みを考える。

– 42 –

𝑧の位置にある厚さ 𝑑𝑧の薄い部分では、変形前の長さ 𝑙は (𝑅0 + 𝑧)𝑑𝜙0 であり、伸び 𝑑𝑙は
1
1𝑑𝑙 = (𝑅𝑐 + 𝑧)𝑑𝜙 − (𝑅0 + 𝑧)𝑑𝜙0 = 𝑧(𝑑𝜙 − 𝑑𝜙0 ) = 𝑧 ( − ) 𝑑𝑠
(2.5)
𝑅𝑐 𝑅0
で与えられ、この伸びによる弾性エネルギーは、
𝑑𝑈e =𝐸 𝑑𝑙 2( ) 𝑥𝑉
2 𝑙(2.6)

である。これは、バネの伸びの弾性エネルギー 𝑘𝑥 2 /2 と類推の形をもつ。ただし、連続に分布する弾性体なので、エネルギーは微小部分の体積 𝑉にも比例する。このエネルギーを
円管のすべての部分で積分したものが、全弾性エネルギー 𝑈eである。
一方、変形を引き起こした圧力差 ∆𝑝 がした仕事 𝑈p は、円管の変形に伴う内部体積の変化と圧力差との積で与えられる。これらのエネルギーの具体的な表現は、変形後の管の形を導入した後で示す。

3. 管の変形の数学的表現とエネルギー増加の評価
3.1. 理論解析のための仮定
本論文で仮定することを、すでに述べたことも含めて箇条書きで示す。
（1）座屈によって管壁は曲るだけで、周方向の伸び縮みはない。
（2）管壁の厚さ𝐷や軸方向の長さは変化しない。これは、図 2.6(b)に示したように、
曲げによって中立面の上側は伸び下側は縮んでいるので、両方の効果が打ち消し
あうことから理解できる。
（3）変形前には内部ひずみはなく、弾性力は働いていない。
（4）管壁の厚さ𝐷は管半径𝑅0 に比べてはるかに小さい（解析を容易にするための仮定）。

3.2. 管の座屈変形を表す変数を導入する
図 3.1 に示すように、管の周囲方向に沿って計った長さ s を独立変数とし、管の形を原点から管壁までの距離𝑅(𝑠)で表す。変形前は𝑅(𝑠) = 𝑅0 である。管は変形後も上下左右の対称性を保つと仮定し、管の 1/4 の部分（0 < 𝑠 < 𝜋𝑅0 /2）を解析の対象とする。管が大きく変形しても周方向の長さは一定と仮定しているので、独立変数 𝑠 の範囲が一定であり、解析が容易になる。図 2.6(a), (b)に示したのは、この図で原点および曲率中心を含む扇形の部分である。なお、変形後の管壁は円形ではないので、図 2.6(ｂ)は正確には扇形ではない。しかし、角度 𝑑𝜙 が微小なので扇形とみなしてよい。上の仮定(4)から、図 3.1 の管壁の厚さは小さく、図 2.6 の点線の長さ 𝑑𝑠 が図 3.1 の 𝑑𝑠 に対応する。

– 43 –

図 3.1

曲げに関係する定数や変数

図 3.2

𝑅C と 𝑅(𝑠) の関係。右側は円弧部分の拡大図

こ こ で 、 式 (2.5)で 与 えた 伸 び 𝑑𝑙 を 、 変 形 後 の 半 径分 布 𝑅(𝑠)に よ っ て 表 す 式 を 導く 。 図 3.2に示すように、中心 O から微小な弧 𝑑𝑠 を見る角度 𝑑𝜃 （図 3.1 の 𝑑𝜃 と同じ）、中心Ｏからの半径と曲率中心からの半径の間の角度 𝜓を導入する。𝜓は、A 点と B 点とでわずかに異なり、それぞれ 𝜓(𝑠)、𝜓(𝑠 + 𝑑𝑠)と表す。このとき、多少の計算の後に次式が導かれる（ Appendix 1 参照）。

𝑑𝜓 𝑑 2 𝑅= 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2
𝑑𝑠
𝑑𝑠

(3.1)

図 3.2 からわかるように 、𝑑𝜙 + 𝜓(𝑠 + 𝑑𝑠) = 𝑑𝜃 + 𝜓(𝑠) であり、微分の公式 𝜓(𝑠 + 𝑑𝑠) − 𝜓(𝑠) =𝑑𝜓𝑑𝑠

ds を使うと、次式が導かれる。
𝑑𝜙 = 𝑑𝜃 + 𝜓(𝑠) − (𝑠 + 𝑑𝑠) = 𝑑𝜃 −𝑑𝜓√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑 2 𝑅=(− 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 ) 𝑑𝑠
𝑑𝑠𝑅𝑑𝑠

これから弧 AB の曲率が次のように表される。

1𝑑𝜙√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑 2 𝑅==(− 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 )
𝑅C 𝑑𝑠
𝑅
𝑑𝑠

(3.2)

3.3. 座屈後の弾性エネルギー増加 𝑼𝐞 を求める
管軸方向の長さ１の部分について、座屈変形後の弾性エネルギーを求める。まず、図2.6(a)と図 2.6(b)における斜線部分の長さの差、すなわち式（2.5）の伸び𝑑𝑙を、関数𝑅(𝑠)を用いて次のように表す。
𝑑𝑙 = 𝑧 (√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑 2 𝑅
1− 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 − ) 𝑑𝑠
𝑅
𝑑𝑠
𝑅0

(3.3)

式(2.6)の中の分母 𝑙 は正確には (𝑅C + 𝑧)𝑑𝜙0 であるが、仮定(4)から 𝑙 = 𝑑𝑠 とした。
一方、長さ𝑑𝑠、厚さ𝑑𝑧をもつ図 2.3 の斜線部分の体積は𝑉 = 𝑑𝑧･ 𝑑𝑠 なので、その部分の弾性エネルギーは2

𝐸 𝑑𝑙 2𝐸√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑 2 𝑅
1
𝑑𝑈e = ( ) × 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑠 = ∙ 𝑧 2 (− 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 − ) × 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑠
2 𝑑𝑠
2
𝑅
𝑑𝑠
𝑅0
となる。これを図 2.6 に示した (−𝐷/2, 𝐷/2) の範囲で ｚ について積分すれば、長さ𝑑𝑠の部
分のエネルギーが次のように求められる。

– 44 –

2

𝐸𝐷 3 √1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑 2 𝑅
1
𝑑𝑈e =
(
− 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 − ) 𝑑𝑠
24
𝑅
𝑑𝑠
𝑅0
これを 𝑠について (0, 𝜋𝑅0 /2) の範囲で積分すれば、全弾性エネルギー 𝑈e が次の積分形で求められる。
2

𝐸𝐷 3 𝜋𝑅0 /2 √1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑 2 𝑅
1
𝑈e =
∫
(
− 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 − ) ∙ 𝑑𝑠
24 0
𝑅
𝑑𝑠
𝑅0

(3.4)

3.4. 座屈後の全エネルギーを求める
変形した管内の体積は、奥行きが 1 であるので、図 3.2 の扇形 OAB の面積の合計である。これは三角形 OAC の合計とほとんど等しいので、 𝑅(𝑠) ∙ AC/2 を積分すればよい。 ACについてはAppendix A の式(A1)を用いれば、変形の前後での体積変化が次の式で表される。
𝜋𝑅0 /2体積変化 = ∫0

1
1
𝑅(𝑠) ∙ √1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑𝑠 − 𝜋𝑅0 2 ≤ 0
2
4

(3.5)

圧力差 ∆𝑝 のもとで体積変化が起きると、それに伴うエネルギーの変化は ∆𝑝 と体積変化の積である。今の場合は体積変化がマイナスの値をもつので、その値は下記のようにマイナスになる。
𝜋𝑅0 /2𝑈p = ∆𝑝 ∙ [∫0

1
1
𝑅(𝑠) ∙ √1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑𝑠 − 𝜋𝑅0 2 ] ≤ 0
2
4

(3.6)

結局、全エネルギー 𝑈 は、 𝑈e と 𝑈p の和であり、2

𝐸𝐷 3 𝜋𝑅0 /2 √1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑 2 𝑅
1𝑈=∫(− 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 − ) ∙ 𝑑𝑠
24 0
𝑅
𝑑𝑠
𝑅0
𝜋𝑅0 /2+∆𝑝 ∙ [∫
0

(3.7)

1
1
𝑅(𝑠) ∙ √1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 𝑑𝑠 − 𝜋𝑅0 2 ]24となる。この U の値を最も小さくするような関数 𝑅(𝑠) を求めれば、管の変 形 が求めら れる。

4. 変形した管の近似解
4.1. 変数の無次元化
以下では、数式展開の煩雑化を減 らすた めに、 変 数 𝑅(𝑠)、 𝑠、 𝑈を次のよ う に無 次 元化 する。

𝑅(𝑠) = 𝑅0 𝑅 ∗ (𝑠 ∗ ),𝑠 = 𝑅0 𝑠 ∗ ,𝑈=

𝐸𝐷 3 ∗
𝑈
24𝑅0

(4.1)

＊をつけた変数は、割合を表す無次元量である。前節の 𝑈の式の両辺を 𝐸𝐷 3 /24𝑅0 で割ると、
𝜋/2
∗

𝑈 =∫
0

2

√1 − (𝑑𝑅 ∗ ⁄𝑑𝑠 ∗ )2 𝑑 2 𝑅∗(
− ∗ 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅 ∗ ⁄𝑑𝑠 ∗ )2 − 1) ∙ 𝑑𝑠 ∗
𝑅∗
𝑑𝑠
𝜋/2

+∆𝑝𝐶 ∙ [∫0

1 ∗1
𝑅 ∙ √1 − (𝑑𝑅 ∗ ⁄𝑑𝑠 ∗ )2 𝑑𝑠 − 𝜋]
24– 45 –(4.2)

となる。𝐶 =24𝑅0
𝐸𝐷3は管壁の変形しやすさを表すパラメ ータである。以後は、無次元変数につけた添え字＊を省略する。

4.2. Ｒ (𝒔) の近似解
𝑅(𝑠) に 対し て、 𝑠 = 0で最 大 、 𝑠 = 𝜋/2で最小 にな るよ う な滑 らか な関 数と して 、 次の 形を仮定する。

𝑅(𝑠) = 1 + 𝑎 cos 2𝑠 , 𝑎 ≪ 1(4.3)

この 𝑅(𝑠) の形を図 4.1 に示す。このとき、管の長半径と短半径の比は、(1 + 𝑎)⁄(1 − 𝑎)となる。

図 4.1

近似解における管の形

式(4.3)を(4.2)に代入し、関数 Ｒ (𝑠)に関わる量を a について級数展開し、4 次の項まで残す。
ここで、微少量 ｘ についてのつぎの公式をつかう。

1𝑥 𝑥 2 𝑥 3 5𝑥 4
= 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯ ,++ ⋯,√1 + 𝑥 = 1 + − +1+𝑥
2 8 16 128𝑥 𝑥 2 𝑥 3 5𝑥 4
1𝑥 3𝑥 2 5𝑥 3 35𝑥 4
−
+ ⋯,
=1− +
−
+
+ ⋯,
√1 − 𝑥 = 1 − − −2 8 16 128
2
8
16
128
√1 + 𝑥1𝑥 3𝑥 2 5𝑥 3 35𝑥 4
=1+ +
+
+
+⋯
2
8
16
128
√1 − 𝑥式(4.2)の各項の級数展開は Appendix 2 で示し、 𝑈eと 𝑈pに対する展開式を以下に示す 。
𝜋/2

𝑈e = ∫[3𝑎 cos 2𝑠 + 𝑎2 (cos2 2𝑠 − sin2 2𝑠) + 𝑎3 (cos3 2𝑠 + 10 cos 2𝑠 sin2 2𝑠) + ⋯ ]2 𝑑𝑠

0
𝜋/2

=∫

[9𝑎2 cos2 2𝑠 + 𝑎4 (cos 2 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠)2 + 2 ∙ 3𝑎4 cos 2𝑠 ∙ (− cos 3 2𝑠 + 10 cos 2𝑠 sin2 2𝑠) + ⋯ ] 𝑑𝑠

0

1 𝜋/2
1
𝑈p = ∆𝑝𝐶 ∙ [ ∫ (1 + 𝑎 cos 2𝑠) (1 − 2𝑎2 sin2 2𝑠 − 2𝑎4 sin4 2𝑠 + ⋯ ) 𝑑𝑠 − 𝜋]
2 0
4
𝜋/2

= ∆𝑝𝐶 ∫

(−𝑎2

2

4

(4.4)

4

sin 2𝑠 − 𝑎 sin 2𝑠 + ⋯ ) 𝑑𝑠

0

なお、それぞれの 2 行目においては 𝑎、, 𝑎3 に比例する項は積分の際に消えるので省略し、𝑎5以上の項も省略した。これらの積分 に含まれる三角関数の 積分公式は、Appendix 3 に示す。
以上から、全エネルギーの 𝑎 に対する依存性を表す式が、次のように求められる。

– 46 –

𝑈 = 𝑈e + 𝑈p9𝜋 23𝜋 𝜋 3𝜋
3𝜋 10𝜋𝜋
3𝜋=
𝑎 + 𝑎4 ( − + ) + 6𝑎4 (−+) + ∆𝑝𝐶 ∙ (− 𝑎2 − ) 𝑎4
4
16 4
4
16
16
4
16
9𝜋 2
𝜋 4
=
𝑎 (9 − ∆𝑝𝐶) + 𝑎 (53 − 3∆𝑝𝐶)
4
16

(4.5)

この結果は、 𝑈 の 𝑎2 に対する依存性が、 ∆𝑝𝐶 の値に応じて次のように分類されることを示す。
(1) ∆𝑝𝐶 ≤ 9 :𝑎2 = 0 のとき 𝑈 が最小、すなわち円管のままである。

(2) 9 < ∆𝑝𝐶 < 53/3 : 𝑎2 の特定の値で、 𝑈 が最小になる。
(3) 53/3 ≤ ∆𝑝𝐶

𝑎2 が大きくなるほど 𝑈 は小さくなる。すなわち、管は強くつぶれる。

これらの 3 つの場合について、 𝑈と 𝑎2 の関係を図 4.2 に示す。

図 4.2

𝑈 の 𝑎2 依存性条件(2)では 、与 えら れ た ∆𝑝𝐶 の値に 対し て 𝑈が最小 値をも つ。 その ときの 変 形の強 さ 𝑎2の値は、 𝑎2 = 𝑥 と変換して、 𝑑𝑈/𝑑𝑥 = 0 という条件から求めることができる。ここで

𝐴=

𝜋 2
𝜋
𝑎 (9 − ∆𝑝𝐶), 𝐵 = 𝑎4 (53 − 3∆𝑝𝐶)
4
8

と置くと、

𝑑𝑈
𝑑
𝐵𝑥 2
=
(𝐴𝑥 +
) = 0,𝑑𝑥 𝑑𝑥2となる。以後は、 𝑈を最小にする 𝑎 の値 𝑎𝑚 を、単に 𝑎 と記す。
以上から、条件(2)の場合の 𝑎2 と ∆𝑝𝐶 の関係が次のように求められ る。

𝑎2 = 𝑥 = −𝐴/𝐵 =2(∆𝑝𝐶 − 9)
53 − 3∆𝑝𝐶(4.6)(4.6)の関係、およびそれから導いた 𝑎 と ∆𝑝𝐶 の関係を、図 4.3 に示す。
解析結果の曲線は、 ∆𝑝𝐶 が 53/3 ≅ 17.7 のところで発散する。また、変形が 0 になるのは（ 𝑎 = 0）、∆𝑝𝐶 = 9 のときである。横軸上の黒点は、式 (1.1)の臨界値に対応する値であり、解析結果の臨界値より小さい。これについては次節で議論する。

– 47 –

図 4.3 𝑎2 と ∆𝑝𝐶 、および 𝑎 と ∆𝑝𝐶 の関係。横軸上の黒丸は 式(1.1)に示した臨界値に対応する。横軸近くの点線は補正曲線、上部の点線は理論結果の適用外であることを示す。

5. 結果の考察
ここで提示した 理論では、 𝑎2 が１に比べて小さいということを仮定した。したがって、図4.3 に示した曲線は、大ざっぱに言って 𝑎2 > 0.5、すなわち∆𝑝𝐶 > 12 の範囲ではよい近似ではなくなる。
一方、式(1.1)に示した臨界圧力 に𝐶をかけたものは∆𝑝C 𝐶 =

𝐸
𝐷 3 24𝑅0
6
(
) ∙
=
2
3
4(1 − 𝜈 ) 𝑅0𝐸𝐷
1 − 𝜐2(5.1)となり、ゴムについての値 𝜈 = 0.5 を用いると、右辺の値は 8 になる。これは、上に求めた臨界値 9 より少し小さい。この事情は次のように解釈される。本論文では、管壁は曲がるだけで伸び縮みはないということを仮定した。しかし、この仮定は、臨界条件およびその ごく近くの
圧力∆𝑝においては、次の理由で 成り立たないと思われる。式(1.1)の圧力をわずかに超えたあたりでは、弱い座屈が起きていて 、座屈が起きる前に存在していた 周囲長の縮みと、円形からの微小な変形が 共存している状況だと考えられる からである。したがって、 𝑎2 が 0 にごく近い条件では、式（4.6）の結果に修正が必要である。
∆𝑝𝐶 の値が 8 から 9 あたりまでの曲線を、上記の考察に従ってより現実的なものに補正する
簡便な方法は、図 4.3 中に点線で示したように∆𝑝𝐶 = 8 の点と理論曲線の ∆𝑝𝐶 = 9 あたりを滑らかにつなぐことであろう。しかしながら、より精密な理論によってこの領域での理論曲線を修正することが、将来の課題として残っている。 なお、比較的弱い変形についての Carrierの解析は（文献 5）、外力によって構成された円環が、さらに加えられた外力によって変形する現象を扱っているので、本論文であつかっている問題と少し異なる。
ここで求めた圧力差の値を、ヒトの 血管における ∆𝑝 の値と比べてみよう。ここで、理論で用いたパラメータの値を、以下のように仮定する。
管の材料をゴムとすると、 𝐸 = (1.5～5.0)×10 6管のサイズ:

N/ｍ 2 、

半径 𝑅0 ＝ 5~10 mm = 0.005~0.01 m､

厚さ D = 1mm = 0,001m

典型的な圧力差 : ∆𝑝 = 6 mmHg = 800 Pa（パスカル）．

– 48 –

𝜈 = 0.5

𝐸と 𝑅0 について､上記の最大値あるいは最小値を選ぶと、 ∆𝑝C 𝐶 の範囲は 0.48 < ∆𝑝C 𝐶 < 12.8 となる。この範囲は、図 4.3 に示したグラフの 実線の範囲を含んでいる。したがって、本論文で導いた理論結果は、血管における座屈の問題に有効に適用できることが期待される。

参考文献
1) L.D. ランダウ、E.M. リフシッツ：弾性理論、東京図書㈱、 1989．
2) 柴田俊忍、能見利彦 、中井 浩：複数の減肉 部をもつパイプの外圧に よる破壊強度に関する研究、材料, 第 32 巻, 第 354 号, 1983, pp. 298-303.
3) 鵜戸口英善、川田雄一、倉西正嗣：材料力学、下巻、裳華房、1959、12.5 節「円管の圧壊」
pp. 391-393．
4) M. levy: Mwmoire sur un cas integrable du problem de l’elastique et l’une desses
Applications, J.math.pures et appl, ser. 3, 1884, pp.5-42.
5) L.G.F. Carrier: On the Buckling of Elastic Rings, J. Math. And Phys, Vol. 26, 1947,
pp.94-103.
6) I. Tadjbakhsh and F. Odeh: Equilibrium States of Elastic Rings, J. Math, Anal. andAppl., Vol. 18 (1969) pp.59-74.
7) 高木俊介、私信､ 2016.
8) J.E. Flaherty, J.B. Keller & S.I. Rubinow, Post Buckling Behavior of Elastic Tubes
and Rings
with(1972),pp.446-455.

Opposite

Sides

in

Contact.

SIAM

J.

Appl.

Math.,

23(4)9) M. Heil and O.E. Jensen: Flows in Deformable Tubes and Channels, in Flow in Collapsible
Tubes and Other Highly Compliant Boundaries, (Ed.by P.W. Carpenter and T.J. Pedley),
Kluwer, 2003.

Appendix
Appendix 1
弧 AB と線分 AC、BC で囲まれた領域は、 𝑑𝜃 が微小であれば 直角三角形とみなしてよい。また、AB＝𝑑𝑠、BC＝𝑑𝑅 = 𝑅(𝑠 + 𝑑𝑠) − 𝑅(𝑠) =𝑑𝑅
𝑑𝑠𝑑𝑠であるので、

AC = 𝑅𝑑𝜃 = √AB 2 − BC 2 = √1 − (𝑑𝑅/𝑑𝑠)2 𝑑𝑠,
一方、

𝑑𝑅
𝑑𝑠

=

BC
AB

⟹ 𝑑𝜃 =√1 − (𝑑𝑅/𝑑𝑠)2
𝑑𝑠
𝑅

(A1)

= sin 𝜓 を ｓ で微分して、

𝑑 2 𝑅 𝑑 sin 𝜓 𝑑 sin 𝜓 𝑑𝜓𝑑𝜓 AC 𝑑𝜓==∙= cos 𝜓 ∙
=
2
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝜓
𝑑𝑠
𝑑𝑠 AB 𝑑𝑠𝑑𝜓
√1 − (𝑑𝑅/𝑑𝑠)2 𝑑𝑠 𝑑𝜓=∙= √1 − (𝑑𝑅/𝑑𝑠)2 𝑑𝑠 ∙𝑑𝑠𝑑𝑠𝑑𝑠
これから、(3.1)式、

𝑑𝜓
𝑑𝑠

𝑑2 𝑅

= 𝑑𝑠2 ⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 が導かれる。

– 49 –(A2)

Appendix 2式(4.2)の積分において、各項に式 (4.3)を代入して展開した結果。

1/𝑅 = 1 + 𝑎 cos 2𝑠 + 𝑎2 cos 2 2𝑠 − 𝑎3 cos 3 2𝑠 + 𝑎4 cos 4 2𝑠 + ⋯𝑑𝑅/𝑑𝑠 = −2𝑎 sin 2𝑠, 𝑑 2 𝑅/𝑑𝑠 2 = −4𝑎 cos 2𝑠√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 = √1 − 4𝑎2 sin2 2𝑠 = 1 − 2𝑎2 sin2 2𝑠 − 2𝑎4 sin4 2𝑠 + ⋯1⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 = 1⁄√1 − 4𝑎2 sin2 2𝑠 = 1 + 2𝑎2 sin2 2𝑠 + 6𝑎4 sin4 2𝑠 + ⋯𝑅 ∙ 𝑑 2 𝑅⁄𝑑𝑠 2 = (1 + 𝑎 cos 2𝑠)(−4𝑎 cos 2𝑠) = −4𝑎 cos 2𝑠 − 4𝑎2 cos 2 2𝑠
√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2⁄𝑅 = (1 − 2𝑎2 sin2 2𝑠 − 2𝑎4 sin4 2𝑠 + ⋯ )(1 + 𝑎 cos 2𝑠 + 𝑎2 cos2 2𝑠 − 𝑎3 cos3 2𝑠 + 𝑎4 cos4 2𝑠 + ⋯ )= 1 − 𝑎 cos 2𝑠 + 𝑎2 cos2 2𝑠 − 𝑎3 cos3 2𝑠 + 𝑎4 cos4 2𝑠 + ⋯ + (−2𝑎2 sin2 2𝑠)(1 − 𝑎 cos 2𝑠 + 𝑎2 cos2 2𝑠 + ⋯ ) − 2𝑎4 sin4 2𝑠 + ⋯= 1 − 𝑎 cos 2𝑠 + 𝑎2 (cos2 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠) − 𝑎3 (cos3 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠 cos 2𝑠) + 𝑎4 (cos4 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠 cos2 2𝑠 − 2 sin4 2𝑠 + ⋯ )𝑑2𝑅⁄√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 = −4𝑎 cos 2𝑠 ∙ (1 − 2𝑎2 sin2 2𝑠 − 2𝑎4 sin4 2𝑠 + ⋯ )𝑑𝑠 2= −4𝑎 cos 2𝑠 − 8𝑎3 cos 2𝑠 ∙ sin2 2𝑠 + ⋯𝑅 ∙ √1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠)2 = (1 + 𝑎 cos 2𝑠)(1 − 2𝑎2 sin2 2𝑠 − 2𝑎4 sin4 2𝑠 + ⋯ )= 1 + 𝑎 cos 2𝑠 − 2𝑎2 sin2 2𝑠 − 2𝑎3 cos 2𝑠 ∙ sin2 2𝑠 − 2𝑎4 sin4 2𝑠 + ⋯√1 − (𝑑𝑅⁄𝑑𝑠 )2 𝑑2 𝑅
− 2 ⁄√1 − (𝑑𝑅 ⁄𝑑𝑠 )2 − 1𝑅𝑑𝑠= 1 − 𝑎 cos 2𝑠 + 𝑎2 (cos2 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠) − 𝑎3 (cos3 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠 cos 2𝑠) + 𝑎4 (cos4 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠 cos2 2𝑠 − 2 sin4 2𝑠 + ⋯ )−(−4𝑎 cos 2𝑠 − 8𝑎3 cos 2𝑠 ∙ sin2 2𝑠 + ⋯ ) − 1= 3𝑎 cos 2𝑠 + 𝑎2 (cos2 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠) − 𝑎3 (cos3 2𝑠 + 10 cos 2𝑠 ∙ sin2 2𝑠) + 𝑎4 (cos4 2𝑠 − 2 sin2 2𝑠 cos2 2𝑠 − 2 sin4 2𝑠 ) + ⋯Appendix 3
エネルギー 𝑈 を求めるための積分公式。
𝜋
2

𝜋/2

∫
0

𝜋
2

𝜋/2

∫
0

𝜋

𝜋/2
2
𝜋
𝜋
cos 2𝑠 ∙ 𝑑𝑠 = ∫ cos 𝑋 ∙ 𝑑𝑋⁄2 = , ∫ sin2 2𝑠 ∙ 𝑑𝑠 = ∫ sin2 𝑋 ∙ 𝑑𝑋⁄2 =
4 0
4
0
0
2

2

𝜋

𝜋/2
2
3𝜋
3𝜋
cos 2𝑠 ∙ 𝑑𝑠 = ∫ cos 𝑋 ∙ 𝑑𝑋⁄2 =, ∫ sin4 2𝑠 ∙ 𝑑𝑠 = ∫ sin4 𝑋 ∙ 𝑑𝑋⁄2 =
16 0
16
0
0
4

𝜋/2
2

2

4

𝜋
2

∫

cos 2𝑠 ∙ sin 2𝑠 ∙ 𝑑𝑠 = ∫ cos2 𝑋 ∙ sin2 𝑋 ∙ 𝑑𝑋⁄2 =0

0– 50 –

𝜋16

論文

形の科学会誌 第 31 巻 第 2 号

面積保存方向保存写像における同周期分岐と周期軌道の安定性の交代
山口喜博
帝京平成大学 〒290-0193 千葉県市原市うるいど南 4-1（連絡先：〒290-0073 千葉県市原市国分寺台中央 2-4-14）
chaosfractal@iCloud.com

Equiperiod bifurcation and the stability exchanges of the periodic
orbits in the area and orientation preserving map
Yoshihiro Yamaguchi
Teikyo Heisei University(2016 年 6 月 8 日受付，2016 年 8 月 14 日受理)
Abstract: The area and orientation preserving map named the sine-sine map isintroduced. This map includes the two parameters. Using the sine-sine map, we study
the bifurcation that the two daughter periodic orbits appear through the equiperiodbifurcation of the mother periodic orbit. We remark that the periods of daughter
orbits and that of the mother orbit are the same. Using the geometrical method, thestability exchanges of the symmetric periodic orbits related to this bifurcation are
discussed.
Keywords: Sine-sine map, Equiperiod bifurcation, Symmetric periodic orbits,
Stability exchange

1. はじめに同周期分岐は周期倍分岐ほどよく知られていないと思われるので ，最初に面積保存写像
における同周期分岐の説明を行う. 詳細は拙著[1]を参考にしてほしい．
写像𝑇を二次元面積保存方向保存写像とする.周期 𝑞 ( ≥ 1) の周期軌道を考える．
周期軌道 の軌道 点を点 𝑧𝑘 (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑞 − 1) とする.周期軌道 点に おいて線 形解析 を実行
すると 2 行 2 列の線形化行列 𝑀(𝑧𝑘 ) が得られる．𝑞周期の場合，𝑀 = 𝑀(𝑧𝑞−1 ) ⋯ 𝑀(𝑧1 )𝑀(𝑧0 )の固有値を 𝜆 とすると，下記の固有方程式が得られる．
𝜆2 − 2 𝑟λ + 1 = 0.

(1)

この式の左辺の 1 は 2 行 2 列の線形化行列の行列式が 1 であることによる．この性質は写像が面積保存方向保存写像であることに起因している． 𝑟 は写像 𝑇 を特徴付けるパラメータを含む． |𝑟| < 1 満たす場合，点 𝑧 は楕円型周期軌道点である．この場合，二つの固有値 𝜆± は複素共役となる.
λ± = 𝑟 ± 𝑖 √1 − 𝑟 2 ≡ exp(±𝑖𝜃).

– 51 –(2)

ここで |λ± | = 1 ， tan 𝜃 = √1 − 𝑟 2 /𝑟．図 1 に示したように，角度 𝜃 を測る．

図 1：複素平面上における固有値の動き ．黒丸で示された複素共役の固有値を持つ場合 ，周期
軌道は楕円型周期軌道である ．(a) 周期倍分岐．パラメータの増加 (または減少) につれて 𝜃は𝜋 に近づく．白丸で示された固有値をもつ周期軌道は ，反転をともなうサドル型周期軌道である．(b) 同周期分岐．パラメータの増加 (または減少) につれて 𝜃は 0 に近づく．白丸で示された固有値を持つもつ周期軌道は ，サドル型周期軌道である．

周期倍分岐と同周期分岐を対比しながら説明を行う ．まず，𝑟 を −1 に近づけると，点𝑧 は周期倍分岐を起こす (図 1(a))．この場合， 𝜃 は 𝜋 に近づく．一方で，𝑟 を +1 に近づけると，点 𝑧 は同周期分岐を起こす (図 1(b))．この場合，𝜃 は 0 に近づく．
周期倍分岐が生じた後，点 𝑧 の固有値はλ− = 1/λ+ < −1 < λ+ < 0を満たす．つまり，点𝑧は 反 転 を と も な う サ ド ル 型 周 期 軌 道 点 と な る ． 同 周 期 分 岐 が 生 じ た 後 ， 点 𝑧の 固 有 値 は
0 < λ− = 1/λ+ < 1 < λ+ を満たす．つまり，点𝑧は通常のサドル型周期軌道点となる．
周期倍分岐によって，母周期軌道𝑧から母周期軌道の周期の二倍の娘周期軌道が一つ現れる．娘周期軌道の周期が母周期軌道の周期の二倍になることより ，この分岐は周期倍分岐と呼ばれる．同周期分岐によって，母周期軌道𝑧から母周期軌道の周期と同じ周期の娘周期軌道が二つ現れる．母周期軌道と同じ周期の娘周期軌道が生じることより ，この分岐は同周期分岐と呼ばれる．この逆の過程を逆同周期分岐と呼ぶ．
次に本論文の目的を紹介する．隣り合っている楕円型周期軌道点 (楕円点と書く) とサ
ドル型周期軌道点 (サドル点と書く) の安定性が入れ替わる現象について，ウィルブリン
ク(Wilbrink)[2]が 1987 年に報告した．内容は，あるパラメータで楕円点がサドル点に変わり，更にパラメータを増加すると隣りにあるサドル点が楕円点になるという現象である ．
これと同様の現象を筆者は 2001 年に別の写像で見つけた[3]．これら論文では，安定性の入れ替わりの現象の理論的な解析は行われていない ．本論文の主目的は，簡単な例を用いて楕円点とサドル点の安定性が交代する現象の理論的な説明を与え ることにある．二つの対称線の周期軌道点での交差の仕方の変化に注目し幾何学的に安定性の交代現象を説明する．そして，交代現象を引き起こす原因が同周期分岐と逆同周期分岐であることを示す ．
第 2 章で，本論文で使用する写像を紹介し，写像の対合表現を導入する．対称線を導入
した後，対合による点の動きを説明する．第 3 章で，楕円点とサドル点の安定性が交代する現象と(逆)同周期分岐の関係を議論する．第 4 章で，結果をまとめ今後の課題を述べる．

– 52 –

2. 準備2.1. 写像
本論文で使用する面積保存写像 (Sine-sine map) 𝑇𝑎,𝑏 [3]を紹介する．写像𝑇𝑎,𝑏 はトーラ
ス面 (0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, 0 ≤ 𝑦 < 2𝜋)で定義されている．
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓𝑎,𝑏 (𝑥𝑛 ) (mod 2π),(3)𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛+1 (mod 2π).

(4)

ここで 𝑓𝑎,𝑏 (𝑥) = 𝑎 sin(𝑥 + 𝑏 sin 𝑥), 𝑎 ≥ 0, 0 ≤ 𝑏 < 1, 𝑓𝑎,𝑏 (𝑥) = −𝑓𝑎,𝑏 (−𝑥)．
周期軌道の軌道点において線形解析を行い得られた固有値が実数で正ならば ，この周期軌道をサドル型周期軌道と呼ぶ．固有値が複素共役である場合，この周期軌道を楕円型周期軌道と呼ぶ．また固有値が実数で負の場合は，反転を伴うサドル型周期軌道と呼ぶ．写像𝑇において，𝑎 > 0では，不動点が二つある．P = (0,0)とQ = (𝜋, 0)である．式(3)と(4)の表現をシンプレクティック形式という．
不動点以外の周期軌道の中で，トーラス面を𝑥軸方向に回転している周期軌道を考える．
本論文では，特に軌道点が𝑥 = 2𝜋を左から右へと出て𝑥 = 0より入ってくる周期軌道のみ扱
う．

図 2：標準写像の関数

𝑓1,0 (𝑥) は灰色で描かれている ．関数 𝑓1,1/3 (𝑥) は黒色で描かれている.

写像𝑇𝑎,𝑏 で，𝑏 = 0とすれば標準写像 (Standard map) [4]となる．図 2 を利用して，関数
𝑓𝑎,0 (𝑥)と𝑓𝑎,𝑏 (𝑥)の違いを説明しよう．区間[0, 𝜋]において，関数𝑓𝑎,0 (𝑥)は𝑥 = 𝜋/2を軸として左右対称である．しかし，関数𝑓𝑎,𝑏 (𝑥) (𝑏 ≠ 0)は区間[0, 𝜋]においてこのような対称性を持たな
い．区間[0, 𝜋]における，関数𝑓𝑎,𝑏 (𝑥)の極大は，𝑏の増加につれて𝑥 = 𝜋/2より左に移動する．
区間[𝜋, 2𝜋]における，関数𝑓𝑎,𝑏 (𝑥)の極小は，𝑏の増加につれて𝑥 = 3𝜋/2より右に移動する．
これからの議論で誤解を生じない場合，𝑇𝑎,𝑏 を𝑇と，𝑓𝑎,𝑏 (𝑥)を𝑓(𝑥)と簡便に記す．
本論文で使用する写像𝑇における性質で最も重要な単調ねじれ性について述べておく ．
一般に 𝜕𝑥𝑛 /𝜕𝑦𝑛 > 0 (< 0) が成立する写像を単調ねじれ性を有する写像という．ここで使用する写像𝑇の場合，𝑥軸の任意の位置に垂直に立てた直線は𝑇によって右に 45 度傾く．よって，𝜕𝑥𝑛 /𝜕𝑦𝑛 = 1が成り立つ．例として𝑥 = 𝜋軸上を不動点Qより上方に移動するにつれて，𝑥方向への移動距離が増加する (図 3)．これは𝑦座標値が増えるとより速く回転することを意味している．

– 53 –

図 3：𝑥軸に垂直な線分は，𝑇によって右に 45 度傾く．直線𝑥 = 𝜋 (𝑦 ≥ 0)の場合を描いた.

2.2. 対合と対称線
写像𝑇を対合 (ついごう，Involution) を利用して記述する[1]．最初は𝑇 = 𝐻 ∘ 𝐺と分解する．ただし，𝐻 ∘ 𝐻 = 𝐺 ∘ 𝐺 = 𝑖𝑑， det ∇𝐻 = det ∇𝐺 = −1．対合による作用は一種の反転操作である．写像が対合の積で書ける場合，この写像はバーコフの意味での可逆性を持つといわれる．以下では簡潔に書くために分割の切れ目の∘を省くことがある．対合𝐺と𝐻の定義を下記に示す．
𝐺 ∶ 𝑦 ← 𝑦 + 𝑓(𝑥), 𝑥 ← −𝑥,(5)𝐻 ∶ 𝑦 ← 𝑦, 𝑥 ← 𝑦 − 𝑥.

(6)例として，𝑥 ← 𝑦 − 𝑥 は，(𝑦 − 𝑥)をあらためて𝑥にせよという意味である．他の矢印記号についても同様である．𝐺 ∘ 𝐺 = 𝑖𝑑は，任意の点に𝐺を二回写像すると元の位置に戻ることを意味している．また，𝐻 ∘ 𝐻 = 𝑖𝑑も同様の意味である．det ∇𝐺 = −1は，𝐺の線形化行列の行列式の値が−1であることを意味している．det ∇𝐻 = −1も同様である．
次に別の分解𝑇 = ℎ ∘ 𝑔を行う．ただし，ℎ ∘ ℎ = 𝑔 ∘ 𝑔 = 𝑖𝑑, det ∇ℎ = det ∇𝑔 = −1．対合𝑔とℎの定義を与える.
𝑔 ∶ 𝑦 ← −𝑦 − 𝑓(𝑥), 𝑥 ← 𝑥,(7)ℎ ∶ 𝑦 ← −𝑦, 𝑥 ← 𝑥 − 𝑦.

(8)

対合の不動点の集合は対称線と呼ばれる ．ここで対合𝐺の対称線を𝑆𝐺 と書く．残りの対合の対称線に関しても同様の記法を利用する．
𝑆𝐺 ∶ 𝑥 = 0, 𝜋,(9)𝑆𝐻 ∶ 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 2(𝑥 − 𝜋),(10)𝑆𝑔 ∶ 𝑦 = −(1/2)𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝜋 − (1/2)𝑓(𝑥),(11)𝑆ℎ ∶ 𝑦 = 0.

(12)

– 54 –

ここで対称線𝑆𝐺 の導出について説明する．式(5)から，直ちに𝑥 = 0が得られる．式(4)では，𝑥に対して mod 2𝜋 を作用する．これより，式(5)は 𝑥 ← 2𝜋 − 𝑥 と書いてもよい．よって，もうひとつの対称線𝑥 = 𝜋が得られる．同様に考えて，残りの対称線も決まる．特に𝑆𝑔 の対称線のひとつである𝑦 = 𝜋 − (1/2)𝑓(𝑥)については注意が必要である．もし写像𝑇𝑎,𝑏 を円筒面で定義すると，この対称線は存在しない．この対称線はトーラス面でのみ存在する．
写像𝑇の定義面をトーラス面とした理由は，この対称線を利用するためである．

図 4：トーラス面 (0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, 0 ≤ 𝑦 < 2𝜋) における対称線．𝑥軸 (太線) が𝑆ℎ である．𝑆𝐺 は二つあり，ひとつは 𝑦軸 (太線)で，もう一つは 𝑥 = 𝜋である．𝑎 = 1.2670．𝑏 = 1/3．対称線𝑦 = 𝜋 −(𝑎/2) sin(𝑥 + 𝑏 sin 𝑥)の極小を𝑦 = 2𝑥が通過し，極大を𝑦 = 2(𝑥 − 𝜋)が通過している．

トーラス面 (0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, 0 ≤ 𝑦 < 2𝜋) での対称線を図 4 に示した．対称線上に軌道点を持つ周期軌道を対称周期軌道と呼ぶ．
対合による対称線を挟んだ点の動きからから，𝑆𝐺 と𝑆𝐻 を左右の対称線と呼び，𝑆𝑔 と𝑆ℎ を上下の対称線と呼ぶ．写像𝑇は左右と上下の対称性を持つので，写像𝑇は二重対称写像とも呼ばれる．式(3)と(4)のようなシンプレクティック形式の面積保存方向保存写像は上下の対称性を持つ．写像𝑇が左右の対称性を持つ原因は，写像関数𝑓(𝑥)が変数𝑥に関して奇関数であることによる．

– 55 –

図 5：二つの周期 2 の軌道点と対称線の関係 ．図中の {𝑧0 , 𝑧1 }と {𝑤0 , 𝑤1 }が周期 2 の軌道点．(a) 𝑎 =2.5, 𝑏 = 1/3．(b) 𝑎 = 1, 𝑏 = 1/3.

ここで本論文で議論する周期 2 の周期軌道について図 5 をもとに説明しよう.一つは対称線𝑆𝐺 上に軌道点を持つ周期軌道で，軌道点は𝑧0 = (0, 𝜋)と𝑧1 = (𝜋, 𝜋)である．もう一つは対称線𝑆𝐻 上に軌道点を持つ周期軌道で，軌道点は𝑤0 と𝑤1 である．これらの周期軌道は，1 周期の間に𝑥軸方向にトーラスを 1 回転する．このことを考慮すると，これらの周期軌道を
回転数 1/2 の周期軌道と呼ぶことができる．また，回転数 1/2 の周期軌道の軌道点は左右の対称線上にあり，かつ上下の対称線上にもある．このような対称周期軌道は二重対称周期軌道と呼ばれる．それぞれの軌道点を４本の対称線が通過している．例として点𝑧1における対称線𝑆𝑔 と𝑇𝑆𝑔 の交差の仕方に注目してほしい．図 5(a)における交差の仕方と図 5(b)における交差の仕方が逆転している．この現象について次の§2.3 と§3 で議論する．

– 56 –

まず，図で𝑇𝑆𝐺 と書かれた対称線の意味を説明する．𝑇 2 = 𝑇𝐻 ∘ 𝐺と分解しよう．点𝑧1は𝑆𝐺
上 (𝑥 = 𝜋上) にある．よって，点𝑧1 = (𝜋, 𝜋)を対合𝑇𝐻で不変となる対称線が通過しているはずである．天下り的であるが，対合𝑇𝐻に関して𝑇𝑆𝐺 が不変であることを示す.
𝑇𝐻(𝑇𝑆𝐺 ) = (𝐻𝐺)𝐻(𝐻𝐺)𝑆𝐺 = 𝐻𝑆𝐺 = (𝐻𝐺)𝑆𝐺 = 𝑇𝑆𝐺 .

(13)

簡単に𝑇𝑆𝐺 の表式が得られる．
𝑇𝑆𝐺 ∶ 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝜋 (mod 2𝜋).

(14)

𝑇𝑆𝐺 は対合𝑇𝐻に関して不変であるから，これも対称線と呼ぶ．
次に，図で𝑇 −1 𝑆𝐻 と書かれた対称線の意味を説明する．これらは𝑤0 と𝑤1 を通過している．
𝑇 2 = 𝐻 ∘ 𝐺𝑇と分解しよう．対合𝐺𝑇に関して𝑇 −1 𝑆𝐻 が不変であることを示す.
𝐺𝑇(𝑇 −1𝑆𝐻 ) = 𝐺𝑆𝐻 = (𝐺𝐻)𝑆𝐻 = 𝑇 −1 𝑆𝐻 .

(15)

最後に，図で𝑇𝑆𝑔 と書かれた対称線の意味を説明する．𝑇 2 = 𝑇ℎ ∘ 𝑔と分解しよう．点𝑧1は𝑆𝑔 上にある．よって，𝑧1 = (𝜋, 𝜋)を対合𝑇ℎで不変となる対称線が通過しているはずである．
対合𝑇ℎに関して𝑇𝑆𝑔 が不変であることを示す.
𝑇ℎ(𝑇𝑆𝑔 ) = (ℎ𝑔)ℎ(ℎ𝑔)𝑆𝑔 = hg(g𝑆𝑔 ) = 𝑇𝑆𝑔 .

(16)

これからの議論で𝑇𝑆𝑔 の表式が必要となる．
𝑇𝑆𝑔 ∶ 𝑦 = 𝜋 + (1/2) 𝑓(𝑥 − 𝑦).

(17)

2.3. 対合による点の動き
写像𝑇 2 による軌道点𝑧1 の周りの点の運動を調べる ．写像𝑇 2 = 𝑇ℎ ∘ 𝑔を作用することは，
まず𝑔を作用し，次に𝑇ℎを作用することである．点𝑧1 の近くの点𝑢に𝑇 2 を作用しよう．点𝑢に𝑔を作用することは，𝑆𝑔 で折り返すことを意味する．次に𝑇ℎを作用することは，𝑇𝑆𝑔 で折り返すことになる．運動は𝑥軸方向に2𝜋だけ移動しているのだが，上記のように考えると𝑥軸方向への移動を忘れて，点𝑧1の近傍での運動のように解釈することができる．すなわち，
点𝑧1を𝑇 2 の不動点として扱える．

図 6：対合による点の動き．対称線の交差の仕方で点の動きが異なる ．対称線上の矢印は，点𝑧1の近傍の𝑇2 による対称線を横切る流れの方向を示す ．細い矢印は，対合による点の動きを表す．
(a) 𝑢から𝑇 2 𝑢 = 𝑇ℎ(𝑔𝑢)へは，点𝑧1 の周りを時計回りに回転する ．(b) 𝑣から𝑇 2 𝑣 = 𝑇ℎ(𝑔𝑣)へは，
点𝑧1 の周りを反時計回りに回転する .

– 57 –

図 6(a)では点𝑢を𝑆𝑔 の上部に置いた．点𝑢に𝑔を作用すると，𝑢は𝑆𝑔 の下部に移動する．この点𝑔𝑢は，𝑇ℎによって𝑇𝑆𝑔 の反対側に移される．点𝑧1 から見ると，点𝑢から𝑇 2 𝑢 = 𝑇ℎ(𝑔𝑢)へ
は時計周り回転に見える．図に描かれた対称線を横切る矢印は𝑇 2 による流れの方向を示す．
一方の図 6(b)では，𝑣から𝑇 2 𝑣 = 𝑇ℎ(𝑔𝑣)へは反時計周り回転に見える．つまり，点𝑧1における，𝑆𝑔 と𝑇𝑆𝑔 の交差の仕方によって𝑧1の周りの点の動きが決まる．
図 6 について補足をしておく．図(a)では対称線𝑆𝑔 の𝑧1における傾きが，対称線𝑇𝑆𝑔 の𝑧1における傾きより大きいことを意味している．ここでは分かりやすくするために対称線𝑇𝑆𝑔 の𝑧1における傾きを負として描いた．しかし，対称線𝑇𝑆𝑔 の𝑧1における傾きが正であってもよい．図(b)では対称線𝑆𝑔 の𝑧1 における傾きが，対称線𝑇𝑆𝑔 の𝑧1 における傾きより小さいことを意味している．この図で対称線𝑆𝑔 の𝑧1 における傾きが負として描かれているが，正でもかまわない.

図 7：対称線上の矢印は ，点𝑧1 の近傍の𝑇2 による対称線を横切る流れの方向を示す ．(a) 点𝑧1 =𝑇 2 𝑧1 を視点とした場合．(b) 細い矢印は，対合𝐺と𝑇𝐻による点の動きを示す.

点𝑧1は𝑇 2 について不動点である．ここに視点を置いて近傍の𝑇 2 による流れを観測する．
𝜕𝑥/𝜕𝑦 = 1は，𝑄から離れるにつれて回転の仕方が増加することを意味している ．𝑧1の上部は𝑧1より速く動くから，点𝑧1を視点とすると時計回りに回転しているように見える．逆に𝑧1の下部は𝑧1より遅く動くから，点𝑧1を視点とすると時計回りに回転しているように見える．
これらの様子を図 7(a)に示した．次に，点𝑧1を通過する左右の対称線は𝑆𝐺 (𝑥 = 𝜋)と𝑇𝑆𝐺 である (図 7(b))．𝑇𝑆𝐺 として𝑦 = 𝑥を利用する．図 7(b)では点𝑤を𝑆𝐺 (𝑥 = 𝜋)の左側に配置した．𝐺𝑤は𝑆𝐺 の右側にある．これに𝑇𝐻を作用することは，対称線𝑇𝑆𝐺 について折り返すことである．そうすると𝑇 2 𝑤 = 𝑇𝐻(𝐺𝑤)は𝑇𝑆𝐺 の右にあることが分かる ．これらから点𝑤の𝑇 2 による𝑧1の周りの運動は時計回りの回転であることが再度確認でき ，かつ𝑇 2 による対称線𝑇𝑆𝐺を横切る流れは時計回りであることが導かれた．
対合𝑔と𝑇ℎによる点の動きと，対合𝐺と𝑇𝐻による点の動きを利用すると，点𝑧1 が楕円点な
らば点𝑧1を視点として見たときの周りの流れは図 8(a)のようになり，点𝑧1がサドル点ならば点𝑧1を視点として見たときの周りの流れは図 8(b)のようになる．図(a)は，𝑇𝑆𝐺 の点𝑧1における傾き 1 に比べ，𝑆𝑔 の点𝑧1における傾きが小さいという条件のもとで描いた ．図(b)は，
𝑇𝑆𝐺 の点𝑧1における傾き 1 に比べ，𝑇𝑆𝑔 の点𝑧1における傾きが小さいという条件のもとで描いた．これらの条件については§3 で検討する．

– 58 –

図 8：対称線上の矢印は ，点𝑧1 の近傍の対称線を横切る流れの方向を示す ．(a) 軌道点𝑧1 が楕
円点の場合． (b) 軌道 点 𝑧1 がサドル点の 場合 ．点 𝑧1 から出ている太 い矢線は 𝑧1 の不安定多様体
𝑊𝑢 (𝑧1 )を表し，点𝑧1 に向かう太い矢線は 𝑧1 の安定多様体 𝑊𝑠 (𝑧1 )を表す.

図 9：対称線上の矢印は ，点𝑤1 の周りの𝑇2 による対称線を横切る流れの方向を示す ．(a) 軌道
点𝑤1 が楕円点の場合．(b) 軌道点𝑤1 がサドル点の場合 ．点𝑤1 から出ている太い矢線は 𝑤1 の不安定多様体𝑊𝑢 (𝑤1 )を表し，点𝑤1 に向かう太い矢線は 𝑤1 の安定多様体 𝑊𝑠 (𝑤1 )を表す.

ここで図 8(b)における点𝑧1がサドル点となる理由を説明する．点𝑧1の右上方にある𝑆𝐻 を横切る流れの方向と，同じく𝑧1の右上方にある𝑇𝑆𝑔 を横切る流れの方向を見ると，このままではこれらの流れがぶつかる．流れがぶつからないためには，点𝑧1の右上方にある𝑆𝐻 と𝑇𝑆𝑔の間に𝑧1 の不安定多様体が存在していなければならない．また点𝑧1 の右下方にある𝑆𝐺 を横切る流れの方向と，𝑆𝑔 を横切る流れの方向について整合性を持たせるためには，𝑧1 の右下方にある𝑆𝐺 と𝑆𝑔 の間に𝑧1の安定多様体が存在していなければならない．以上より点𝑧1がサドル点であることが決まり，𝑧1 の周りの流れより𝑧1 の安定多様体と不安定多様体の 配置が決定された．
次に点𝑤1 の周りの軌道点の動きを調べる．そのために点𝑧1 の周りの軌道点の動きを調べた方法を再度利用する．詳細は省くが図 9 が得られる．点𝑤1 における𝑆𝐻 の傾きは 2 である．
よって，ここでは𝑆𝑔 と𝑇𝑆𝑔 の傾きが 2 より小さい場合を考えている．図 9(a)は点𝑤1 が楕円点の場合で，図 9(b)は点𝑤1 がサドル点の場合である．対称線の名称が異なるだけで，楕円点かサドル点かの判定については点𝑧1の場合と同じである．

– 59 –

ここで紹介した幾何学的な方法は，線形解析を行わなくても周期軌道点の安定性を決められるという利点がある.

3. 安定性の交代の解析
対称線𝑆𝑔 と対称線𝑇𝑆𝑔 は，点𝑧1 = (𝜋, 𝜋)を通過する．これらの点𝑧1における傾きを調べよう．
𝑆𝑔 の傾き𝜉𝑆𝑔 (𝜋)は，式(11)を微分して得られる．
𝑎𝜉𝑆𝑔 (𝜋) = × (1 − 𝑏).
2
𝑇𝑆𝑔 の傾き𝜉𝑇𝑆𝑔 (𝜋)は，式(17)を微分して得られる．
𝑎(1 + 𝑏)𝜉𝑇𝑆𝑔 (𝜋) = ×.
2 1 + 𝑎(1 + 𝑏)/2
図 8(a)を描くための条件は𝜉𝑇𝑆𝑔 (𝜋) < 1である．これより𝑎についての条件
2
𝑎<
1−𝑏

(18)

(19)

(20)

が求まる．
条件𝜉𝑆𝑔 (𝜋) = 𝜉𝑇𝑆𝑔 (𝜋)より，臨界値𝑎2 が求まる．
4𝑏
𝑎2 =
.
1 − 𝑏2(21)

ここで式(20)を考慮すると
𝑎2 =

4𝑏
2
<
2
1−𝑏
1−𝑏

(22)

が成り立つ必要がある．条件𝑏 < 1より，この関係は成立する．臨界値𝑎2 は線形解析を利用しても得られる．しかし， 線形解析では点𝑧1を通過している対称線の配置が分からない．
そのために上記の方法を用いた．
点𝑧1を通過している対称線の配置についてまとめておく．𝑎 > 𝑎2 ならば，𝜉𝑆𝑔 (𝜋) > 𝜉𝑇𝑆𝑔 (𝜋)が成立する．図 8(a)より，点𝑧1は楕円型周期軌道点である．𝑎 < 𝑎2 ならば，𝜉𝑆𝑔 (𝜋) < 𝜉𝑇𝑆𝑔 (𝜋)が成立する．図 8(b)より，点𝑧1はサドル型周期軌道点である．
次にもう一つの周期 2 の軌道点𝑤0 と𝑤1 で，特に点𝑤1 を通過する対称線について調べる．
点𝑤1 における，𝑆𝑔 の傾き𝜁𝑆𝑔 (𝑤1 )と𝑇𝑆𝑔 の傾き𝜁𝑇𝑆𝑔 (𝑤1 )を求めよう．𝑤1 = (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )と書く．
𝜁𝑆𝑔 (𝑤1 ) = −(1/2)𝑓′(𝑥 ∗ ),𝜁𝑇𝑆𝑔 (𝑤1 ) =(1/2)𝑓′(𝑥 ∗ ).
1 + (1/2)𝑓′(𝑥 ∗ )

(23)
(24)

ここで𝑓 ′ (𝑥 ∗ ) = 𝑎 cos(𝑥 ∗ + 𝑏 sin 𝑥 ∗ )(1 + 𝑏 cos 𝑥 ∗ )．𝜁𝑇𝑆𝑔 (𝑤1 )を導くために，𝑦 ∗ = 2(𝑥 ∗ − 𝜋)を利用
して変数𝑦 ∗を消去した．また，𝑓 ′ (𝑥)が周期2𝜋の周期的偶関数であることも利用した．𝑓 ′ (𝑥 ∗ )は𝑥 = 𝑥 ∗における関数𝑓(𝑥)の傾きである．
条件𝜁𝑆𝑔 (𝑤1 ) = 𝜁𝑇𝑆𝑔 (𝑤1 )より，𝑎の臨界値を決めるための関係式
𝑓 ′ (𝑥 ∗ ) = 0, −4(25)が得られる．交点𝑥 ∗が𝜋 − 𝑓(𝑥 ∗ )/2 = 2(𝑥 ∗ − 𝜋)を満たすことを利用して，𝑓 ′ (𝑥 ∗ ) = 0を数値的に解いて，𝑎の臨界値𝑎1 が𝑏の関数として求まる．数値計算で得られた𝑎1 の𝑏依存性を図 10– 60 –

qx

k

U5

X

qx

X

ex

a

É

∗

]

il

!il

pe

ef

n

U1

e

ik

k

]P M
p1

E

U = 1.3
nsp3

p1
U = 1.6

= −4

hm

U1

X = 1/3

pl
k

q

e

U5

X

U = 1.2
nqx
(3 (1

D

xs

U1

U5

q

e

e

p3

p1
F

U = 1.4
nqx

s
U

]n

(3

ns
(1

式𝑓 ′ (𝑥 ∗ ) = 0は，𝑎 = 𝑎1 では周期 2 の軌道点が対称線𝑦 = 𝜋 − 𝑓(𝑥)/2の極大点と極小点にあることを意味している．つまり，極小点を𝑆𝐻 のひとつである𝑦 = 2𝑥が通過し，極大点を𝑆𝐻 のもうひとつである𝑦 = 2(𝑥 − 𝜋)が通過している (図 2 を参照のこと) ．前者が点𝑤0 で，後者が点𝑤1 である．
図 5(b)では，対称線𝑆𝑔 の𝑤1 での傾きは正である．これより，0 < 𝑎 < 𝑎1では𝑓 ′ (𝑥 ∗)は負であることが分かる．よって𝜁𝑆𝑔 (𝑤1 ) > 𝜁𝑇𝑆𝑔 (𝑤1 )が成り立つ．図 9(a)より，点𝑤0 と点𝑤1 は楕円型周期軌道であることが導かれる．図 5(a)では，対称線𝑆𝑔 の𝑤1 での傾きは負である．よって，𝑓 ′ (𝑥 ∗ )は正である．つまり𝑎 > 𝑎1 では，𝜁𝑆𝑔 (𝑤1 ) < 𝜁𝑇𝑆𝑔 (𝑤1 )が成り立つ．図 9(b)より，点
𝑤0 と点𝑤1 はサドル型周期軌道であることが得られる．
𝑏 = 1/3の場合の分岐現象をまとめる．数値計算で得られた𝑎1 は𝑎1 = 1.2670 …である．明らかに𝑎1 < 𝑎2 = 3/2．安定性の交代の様子を図 11 に示した．対称線の形状の変化を描いた
模式図 12 も参考にしてほしい．
(1) 0 < 𝑎 < 𝑎1 ．点𝑤0 と点𝑤1 は楕円型周期軌道点で，点𝑧0と点𝑧1はサドル型周期軌道点．
(2) 𝑎 = 𝑎1 ．点𝑤0 と点𝑤1 が同周期分岐を起こす．𝑎の値を，𝑎1 より大きくすると点𝑤0 から楕円型周期軌道𝑢0 と𝑢1 が生じ，点𝑤1 から楕円型周期軌道𝑣0 と𝑣1 が生じる．生じたこれらの周期軌道点は対称線上にある．つまり，これらは対称周期軌道である．
(3) 𝑎2 > 𝑎 > 𝑎1 ．点𝑤0 と点𝑤1 はサドル型周期軌道点で，点𝑧0 と点𝑧1 もサドル型周期軌道点．パラメータの増大とともに，𝑢1 は𝑤0 から右に移動し，𝑧1 に左から近づく．𝑢0 は𝑤0 から左に移動し，𝑧0 に右から近づく．𝑣0 は𝑤1 から左に移動し，𝑧1 に右から近づく．𝑣1 は𝑤1 から右に移動し，𝑧0に左から近づく．対称線の形状が変化することで，これらの対称線上の移動が可能になる．
(4) 𝑎 = 𝑎2 で，点𝑧0に𝑢0 と𝑣1 が吸収され，点𝑧1に𝑢1 と𝑣0 が吸収される．逆同周期分岐によって，点𝑧0と点𝑧1はサドル型周期軌道点から楕円型周期軌道点に変わる ．
(5) 𝑎 > 𝑎2 ．点𝑤0 と点𝑤1 はサドル型周期軌道点で，点𝑧0と点𝑧1は楕円型周期軌道点．

図 12：𝑏 = 1/3に固定して，𝑎を増加したときの安定性の交代の模式図 ．ここでは対称線 𝑆𝑔 を直線として描いた．下から上へとパラメータ 𝑎の値は増加する．二点 𝑢1 と𝑣0 が対称線上を移動し，これらは点 𝑧1 に吸収される ．

– 62 –

4. まとめと今後の課題
この論文で使用した関数𝑓𝑎,𝑏 (𝑥) = 𝑎 sin(𝑥 + 𝑏 sin 𝑥) (𝑎 > 0, 0 < 𝑏 < 1)は，通常の標準写像とは異なった性質を持つ．写像𝑇𝑎,𝑏 で生じる周期軌道の安定性の交代という現象を通して ，(逆) 同周期分岐の意味と重要性が理解できるであろう ．特に，対称線の周期軌道点での交差の仕方と周期軌道点の性質の違いに注目する方法は他の現象の理解にも応用 できる[1]．
安定性の交代現象にはいくつかのバリエーションが考えられるので以下で紹介する ．
(1) サドル点がサドル型娘周期軌道を二つ放出し楕円点になる．放出された二つのサドル
点が別の楕円点に吸収されて，楕円点がサドル点になる．
(2) 左右の対称性のみを持つ周期軌道の安定性の交代の場合 ，同周期分岐で生じた娘周期
軌道は非対称周期軌道である．これを理解するためには図 12 で描かれている対称線を無視すれば良い．対称線上を移動しないにもかかわらず，二つの周期軌道の吸収が行われる．
この現象は非常に不思議である．例は参考文献[2,3]の図版を見てほしい．
(3) 生じた娘周期軌道の吸収が行われない交代も考えられる ．例として，楕円点から二つの楕円型娘周期軌道を放出する．サドル点から二つのサドル型娘周期軌道を放出する．これらの結果，安定性の交代は完了する．生じた二つの楕円型娘周期軌道と，二つのサドル型娘周期軌道が存在し続ける可能性がある．
標 準 写 像 の 関 数 𝑓𝑎,0 (𝑥) = 𝑎 sin 𝑥を 変 形 す る 別 の 方 法 を 紹 介 す る ． 一 つ は 𝑓1 (𝑥) = 𝑎 sin 𝑥 +𝑏 sin 3𝑥と か 𝑓2 (𝑥) = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 sin 2𝑥の よ う に ， サ イ ン 関 数 に 高 調 波 を 追 加 す る 変 形 で あ る[2,5,6]．これらの写像では，標準写像で生じない様々な現象が生じることが報告されている．しかし，現象の理解は進んでいない．
ウィルブリンク[2]による関数𝑓3 (𝑥) = √1 + 𝜖 sin−1(sin 𝑥 /√1 + 𝜖)を見てみよう．𝜖を 0 にする極限では，この関数は折れ線関数となる．逆に𝜖を無限大にする極限では，この関数はサイン関数となる．この関数は，𝜖を変えることで微分可能な関数から折れ線関数まで記述できるため扱いやすい．関数の形状がサイン関数から外れると様々な分岐が生じる．この写像についても多くの未解決の問題が残されている．
関数𝑓1 (𝑥)と𝑓3 (𝑥)は，標準写像の関数𝑓𝑎,0 (𝑥)の持つ対称性(区間[0, 𝜋]と区間[0, 2𝜋]のそれぞれの区間における左右対称性)を維持している．このような写像でも楕円点とサドル点の交代が生じる．安定性の交代現象は，関数の幾何学的な対称性の破れだけでなく，関数の解
析的な性質の違いでも生じる．交代現象を引き起こす原因は(逆)同周期分岐であることが分かったのは一歩前進である．写像関数の何が原因で(逆)同周期分岐が生じるのかについての検討が今後必要である．
参考文献[3]で指摘したように，ホモクリニック点における安定多様体と不安定多様体の交差の仕方が変化することも，周期軌道の安定性の交代と関係している．周期軌道の安定性の交代は，系全体に影響を与える．このような視点での研究が今後必要である．
本論文に適切なコメントをしてくださった査読者に感謝いたします ．

– 63 –

参考文献[1] 山口喜博，谷川清隆，馬蹄への道 ，共立出版，(2016)．可逆性と対合については第 1.2
節を，同周期分岐については第 1.4 節を参照のこと.

対称線の周期軌道点での交差の仕方を利用する応用例は第 3.5 節にある.
[2] Wilbrink, J., Erratic behavior of invariant circles in standard-like mappings ,Phyisica, 26D (1987), 358-368. 関係する図版は Fig.10.
[3] Yamaguchi, Y., and Tanikawa, K., Running homoclinic and periodic points instandard-like mappings , Prog. Theor. Phys., 105, (2001), 399-407. 関係する図版は Fig.4.
[4] MacKay, R. S., Renormalisation in area-preserving maps , World Scientific (1993).
[5] Baesens, C., and MacKay, R. S., Cantori for multiharmonic maps , Physica, D69,
(1993), 59-76.
[6] Baesens, C., and MacKay, R. S., The one to two-hole transition for cantori , Physica,
D71, (1994), 372-389.

– 64 –

解説論文

形の科学会誌 第 31 巻 第 2 号

構造化光投影による 3 次元計測の分類とワンショット動体形状計測法
佐川 立昌 1)，川崎 洋 2) ，古川 亮 3)
1) 産業技術総合研究所 知能システム研究部門
2) 鹿児島大学 理工学研究科
3) 広島市立大学 情報科学研究科
ryusuke.sagawa@aist.go.jp

Classification of 3D Acquisition by Structured Light Methods
and One-shot 3D Scanning of Moving Objects
Ryusuke Sagawa 1) , Hiroshi Kawasaki 2), and Ryo Furukawa 3)1) National Institute of Advanced Industrial Science and Technology
2) Kagoshima University
3) Hiroshima City University(2016 年 8 月 13 日受付，2016 年 9 月 21 日受理)
Abstract: The methods of active 3D reconstruction measure 3D shapes of objects using
special light sources in addition to passive optical sensors like cameras. Some ofthose methods that project 2D patterns, for example, using a video projector are
called structured-light methods for 3D reconstruction. While the structured -lightmethods were developed to measure static objects in the early stage of research, therecent studies have attracted the attention by extending them to m easure dynamic
objects. In this paper, we classify various structured-light methods from theviewpoint of the solution of correspondence problem, and introduce our one -shot 3Dreconstruction to measure dynamic objects.
Keywords: structured light, correspondence problem, one-shot 3D scanning

1. はじめにカメラを用いた３次元距離計測法、形状計測法の原理の１つに、２台以上のカメラを用
い、三角測量に基づいて距離を計測する方法が挙げられる。三角測量では、カメラ間の相対位置が既知であることを仮定し、２つのカメラ画像で同じ３次元点が写っている画像点を見つけると、交差する視線方向を用いて２台のカメラと３次元点からなる三角形が計算でき、カメラからの距離がわかるものである。
コンピュータビジョンの分野において、パッシブセンサであるカメラのみを利用した 3次元計測の代表例は、ステレオ復元である。しかし、近年の最先端の多視点ステレオ法を– 65 –

利用しても、同じ点がどこに写っているか正確に決められない場合 (例えば、滑らかで一様な表面を持つ工業製品など)、対象物の形状を高密度、高精度に計測することは困難である。
一方、特殊な光源を利用してパターン光（構化光）を投影するアクティブ 3 次元計測では、上記の問題を比較的容易に解決でき、高精度、高密度な計測結果が得られる。このことから、実際の形状計測では、アクティブ 3 次元計測手法が多く利用されてきた。
構

化光によるアクティブ３次元計測の多くは、プロジェクタ・カメラ系による三角測量システムとして実現されるため、その本質的な課題は、撮影されたカメラ画像と投影したパターンのどの部分が同じか、という対応点問題を解決することである。本稿では、対応点問題について、その代表的な解決手法である、時間エンコード法および空間エンコード法を中心に解説する。より詳しい内容については、文献[1]を参照されたい。さらに、近年注目されつつある動いている観測対象の形状計測を行う方法として、ワンショット形状
計測法を紹介する。

2. 対応点問題およびその解決方法による分類
構

化光による形状復元では、プロジェクタで単一又は複数のパターンをシーンに投影し、撮影することで 3 次元復元を行う。そのためには、投影パターン上の点と撮影されたシーンとの対応関係を知ることが必要である。典型的なシステム構成および対応点問題を
図 1(左)に示す。プロジェクタの光学系はカメラと同等とみなせるため、計測システムはステレオカメラにおける 1 台のカメラをプロジェクタに置き換えたものに等しい。従って、対応点問題の解決にエピポーラ拘束を用いることができる。エピポーラ拘束とは、 2 台のカメラで撮影された画像上における幾何的な性質から導かれ。片方の画像上で撮影された点は、その点の奥行きに関わらず、もう一つの画像上で一本の線上にある（これをエピポ
ーラ線と言う）という拘束である[2]。このため、カメラ画像上でのプロジェクタ上の特徴
点の探索は、エピポーラ線上の 1 次元に限定される。この性質を利用すれば、例えば縦方向に同じ色を持つストライプパターンなどを用いることができ、実際に多くの手法はそのようなパターンを用いている。対応関係の取得方法としては、パタ ーンの時間的あるいは
空 間 的 変 化 を 用 い て 位 置 情 報 を 埋 め 込 む こ と が 考 え ら れ る [3]。 時 間 エ ン コ ー ド 法 は 図1(中)に示すように複数枚のパターンを投影し、その時間的な変化に位置情報を埋め込む。
一方で、空間エンコード法は図 1(右)に示すように色情報などを利用して、ある一定の空間的領域に位置情報を埋め込む。時間的変化のみを利用する方法は実装が容易であり、精度も高く密で安定なため、実アプリケーションにおいて広く利用されている。しかし、この手法は複数の画像を必要とするため、動きのある物体の形状復元には不向きである。一方で、プロジェクタから投影する画像に、各々の画素位置を同定するための情報をパターンとして空間中に埋め込む方式だと、一枚の撮影画像のみからシーンを復元することができるため動きのあるシーンに適している。しかしこの場合、対象物体が複雑な形状や色をしているとパターンの見え方が大きく変わり、画像位置の情報を正しく取り出せなくなり、
正しく計測できなくなることがある。この問題を解決することが空間エンコード法の課題となる。

– 66 –

図 1：(左)プロジェクタ・カメラ系の対応点問題、 (中)時間エンコード法、(右)空間エンコード法.

2.1. 時間エンコード法
時間エンコード法では、プロジェクタの画素の位置情報を複数のパターンに時間的にコード化することでこれを行なう。このような画像の時間的変化を利用する方法は、実装が容易なため、古くから利用されている[4,5,6,7,8]。以下では、基本的な時間エンコード法
である、バイナリコードパターン投影法と位相シフト法について説明する。

2.1.1. バイナリパターン投影法
時間エンコード法としてよく用いられる方法が、図 1（中）のように白黒 2 値ストライ
プパターンを投影する方法である。投影するパターンの各画素の𝑥座標が、𝑁ビットの符号
𝐜 = 𝑐0 𝑐1 ⋯ 𝑐𝑁−1で表されるとする。この時、パターンを各ビットを表す 𝑁個の画像に分割し、𝑖番目の画像の各画素は、𝐜の最上位ビット(MSB)から𝑖ビット目の値𝑐𝑖 で決められる(𝑐𝑖 = 0な
ら黒, 𝑐𝑖 = 1なら白)とする。このような𝑁個のパターンを時系列でシーンに投影して、その白黒を判別することに より各画素について 𝑁ビットのバイナリ系列 𝐝 = 𝑑0 𝑑1 ⋯ 𝑑𝑁−1 を得ることができる。観測の誤りがなければ𝐝 = 𝐜であり、𝐜とに対応するプロジェクタ座標𝑥は一意に決定できるので、画像の画素とプロジェクタ座標𝑥との対応が求められる。
座標値𝑥から𝒄を作る単純な方法は𝑥の 2 進コードを𝐜とするものであるが、この方法は、誤りに弱いことが知られている。例えば𝑁 = 4の場合に𝑐0 が誤ると、𝑥は正しい値から 4 ずれてしまう。
これを避けるために、バイナリ系列としてグレイコードがよく用いられる。 𝑥の 2 進表
示を𝐛 = 𝑏0 𝑏1 ⋯ 𝑏𝑁−1、グレイコード表示を𝐠 = 𝑔0 𝑔1 ⋯ 𝑔𝑁−1 とすると、𝐛から𝐠への変換は排他的論理和⊕を用いて、
𝑔0 = 𝑏0 , 𝑔𝑖+1 = 𝑏𝑖 ⊕ 𝑏𝑖+1,(1)

𝑏0 = 𝑔0 , 𝑏𝑖+1 = 𝑏𝑖 ⊕ 𝑔𝑖+1

(2)

逆に𝐠から𝐛への変換はで行うことができる。例えば、バイナリコード 0101 はグレイコードの 0111 に対応する。
グレ イコ ード に は、 座 標値 𝑥のコ ード 𝐜(𝑥)と 、隣 り 合う 座標 𝑥 + 1のコ ー ド 𝐜(𝑥 + 1)が、1ビットしか変化しないという性質がある。これには 二つの利点がある。一つは、パターンの境界(ここでは白黒判別の誤りが生じやすい)が、𝐜(𝑥)と𝐜(𝑥 + 1)の間で一つの画像のみに現れ、パターン全体の境界の数が最小になることである。もう一つはパターンの境界において判別誤りが生じても、誤った 𝐜′は正しいパターン𝐜の隣のパターンになるため、𝑥の誤– 67 –

差が 1 に抑えられることである。

2.1.2. 位相シフト法
時間エンコード法でよく用いられるもう一つの方法として位相シフト法がある。位相シ
フト法では、正弦波パターンなどの周期的な輝度値パターンを位相をずらしながら複数回
観測対象に投影する。位相に伴う輝度値変化を観察すると、各画素について周期の位相を計算できる。輝度値を利用して位相を決定するため、サブピクセル精度でカメラ、プロジ
ェクタ間の対応を得ることができる。
𝑁(≥ 3)個のパターンを利用し、輝度値から位相を計算するための方法を説 明する。単位
プロジェクタ座標に対するパターンの空間周波数を 𝑓とすると、プロジェクタ座標𝑥における正弦波の位相は、2𝜋𝑓𝑥となる。これを𝜙(𝑥)とおく。𝑛番目(0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1)のパターンを
2𝜋𝑛(3)
𝑃𝑛 (𝑥) = 𝐴 cos (𝜙(𝑥) +)+𝐵𝑁とする。ただし、𝐴は正弦波の振幅で、𝐵は直流成分である。これは、1/𝑁周期だけずらされた𝑁個の正弦波パターンである。
あるカメラ画素𝑝での𝑛番目の観測値を𝐼𝑛 (0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1)とする。対応するプロジェクタ
座標を𝑥とし、直接反射成分が、入射光の強さに対して線形であることを仮定すると、観
測値は、
𝐼𝑛 = 𝐶 cos (𝜙(𝑥) +

2𝜋𝑛
)+𝐷
𝑁

(4)

となる。ただし、𝐶と𝐷は観測される正弦波の振幅と直流成分で、画素 𝑝によって異なる。
𝐼𝑛 = cos(2𝜋𝑛/𝑁) (𝐶 cos(𝜙(𝑥)) ) − sin(2𝜋𝑛/𝑁)(𝐶 sin(𝜙(𝑥)) ) + 𝐷(5)から、𝐸 ≡ 𝐶 cos(𝜙(𝑥)), 𝐹 ≡ 𝐶 sin(𝜙(𝑥)) と置きなおすと、未知数𝐷, 𝐸, 𝐹についての𝑁個の線形方程式が得られる。𝑁 = 3なら直接これを解くことができ、𝑁 > 3なら疑似逆行列を用いて最小二乗解を求められる。すると、𝐸, 𝐹から画素𝑝の位相𝜙(𝑥)を求められる。
𝜙(𝑥)はプロジェクタ座標に関する周期的な相対座標を表している。したがっ て、各周期内での対応は一意に決定できるが、周期の曖昧性が残っている。そのため、位相アンラッ
ピングと呼ばれる曖昧性を取り除く処理を行い、各カメラ画素とプロジェクタ座標を一意に対応づける必要がある。位相アンラッピングには、積分順序を工夫する方法 [8]、バイナ
リコードと組み合わせる方法[9]、複数波長の周期パターンを利用する方法[10]などが提案されている。いずれの手法でも、撮影枚数が大幅に増えてしまうと言う問題があるが、最近、縦横 2 方向のフェーズ画像のみから、その間の拘束条件を用いることで位相アン ラップを実現するという手法も提案されている[11]。

2.2. 空間エンコード法
第 2.1 節で紹介した時間エンコード法は、簡易な構成で 比較的高い計測精度が実現できるため、これまで数多く研究・商品化されてきた。一方で、特殊なパターンを用いて空間的にエンコードする手法は、対象物体の形やテクスチャの影響を受けやすく、精度や密度を高くすることが難しく、これまで実用化が遅れていた。しかし、最近になり、単一フレ– 68 –

ーム画像のみによる形状計測が、動物体などの計測に向いているとして注目されるようになり、多くの研究が行われるようになってきている 1 [12, 13, 14, 15]。
アクティブ計測の最も重要な課題は、安定かつ曖昧性のない対応点を十分な密度で獲得することである。第 2 節の冒頭で述べたように、構化光による 3 次元形状計測システム

では、対応点の獲得に関してエピポーラ線上における 1 次元の曖昧さがある。空間エンコード法ではこれを解消するため、パターンの 2 次元的な配置の中に対応点情報を埋め込む（エンコードする）。このため高密度な計測を行おうとすると、パターンの密度を高める必要があるが、高密度なパターンでは、繰り返し同じパターンが出現する可能性が増すため、曖昧さが増す。一般に、マッチングの曖昧さを無くすためには、色数を増やしたり、パターンの形状を利用するなど、パターンを複雑にすることが行われるが、画像処理の精度や、対象物体の表面形状やテクスチャなどの影響を考慮すると、パターンの色数や形状は、逆に少ない程（単純な程）良い。このように、パターンの複雑さや解像度・精度などにはトレードオフの関係がある。さらに、実際の計測シーンでは、投影する対象が 3 次元物体であることや、これをカメラで撮影する際に 2 次元に射影されることから、必然的にパターンが歪むという問題がある。このように厳しい条件の中で、高密度かつ曖昧さが少ない、と言う矛盾した要求を同時に満たす効率的なパターンを生成する ことが、空間エンコード法の重要な目的の一つである。
これまで、このような空間エンコード法として提案されてきた手法は、対応点の獲得方法により、大きく以下の３つの手法に分類することができる。それぞれの手法の概要を図2 に示す。以下で各手法の詳細について紹介する。

(a)

(b)

(c)

図 2：ワンショット方式のエンコード法：(a)ラインベースの手法の例。図において、ライン同士の対応関係の判定は、 連続した３個のラインの 色で判定されている。 (b)エリアベースの手法の例。対応関係は、４個の色から成る２次元特徴のマッチングで判定される。特徴のマッチ
ングは、エピポーラ線に 沿って行われる。(c)グ リッドグラフベースの手 法の例。 ○、□、△の対応点候補をエピポーラ線に沿って探索するとそれぞれ複数あるが、それらの接続の関係か
ら、候補の曖昧性を解消可能である。緑色の点線は、正しい対応点の位置を表す。

2.2.1. ラインベースの手法
この方式では、ラインパターンを投影し、これとエピポーラ線との交点により対応関係を確定させる。このため、検出されたラインが、投影パターン上のどのラインか、という対応関係を得るため、その情報をラインに埋めこむ。この手法の例を図 2(a)に示す。
これまで提案されてきた手法としては、ラインに直接情報を埋め込む方式が取られることが多い[4,13,19,20,21,22]。最も単純な手法としては、輝度値をそのまま ID とすること
1

このような、単一フレーム画像を用いた計測手法は、ワンショットスキャンと呼ばれる。

– 69 –

が考えられ、これはダイレクトメソッドと呼ばれる。ダイレクトメソッドでは輝度値を直接用いるため、特殊な条件下での例が幾つか報告されているだけであり、精度や信頼性の低さから実用化は難しいと考えられる。そこで、動物体などの実用的な計測に用いるために、エピポーラ線上に沿ってその前後の輝度値も同時に利用することで安定性を増すことが通常行われている。例えば、RGB それぞれの輝度値を用いる手法[13]や、さらにデブルイン系列を用いて色つきのラインに情報を埋め込む手法などがある[23]。しかし、輝度値自体に情報を持たせる手法は、パターンの輝度値が、投影対象の物体表面のテクスチャの影響を直接受けるため、その精度は一般に低く不安定である。このため、その問題を回避するために、パターンの On/Off という２値のみを用いる方法が考えられる。例えば、ラインを破線にしてその破線パターンとして情報を埋め込む手法 [20]や、ラインの太さを凸凹にすることで、情報を埋め込む手法[21]などがある。

2.2.2. エリアベースの手法
ラインベースの手法では、対応情報をラインに沿って埋め込んだり、ライン単位によるデコードを前提としているため、ある程度の長さのラインが検出されるか、ある程度連続したパターン列が観測されなければならない。これは現実的には大 きな制約となるため、エンコードに際して On/Off 以外に、連続的な輝度情報が用いられることも多く、その場合、今度はテクスチャの影響を受けやすくなり復元が不安定となる。この問題を解消する手法
として、ある程度の広がりを持ったエリアに情報を埋め込み、ウィンドウマッチングなどに よ り 対 応 関 係 を 得 る 手 法 が 提 案 さ れ て い る [12,14,15,16,17,24] 。 こ の 手 法 の 例 を 図2(b)に示す。
例えば Morano らは M-array という𝑀 × 𝑀ピクセルのエリアで一意性を確保するパターンを用いた手法を提案している[16]。木村らは2 × 2のセルに RGB により対応点情報を埋め込む手法を提案している[17]。Kinect[25]は単色でありながら、ドットをうまく配置することで、視差の範囲内で一意性を保つパターンを使用している。
エリアペースの手法でも、ラインベースの手法同様にエピポーラ幾何が成り立つため、ローカルエリアのパターンのユニークさは各エピポーラ線上でのみ実現されていれば良い。
このため、エリアベースの手法では情報を 2 次元的に効率良く埋め込むことが可能であり、対象の大きな形状変化や、テクスチャの変化に比較的ロバストとなる。ただし、精度向上のためにカメラとプロジェクタの距離（ベースライン）が離れていたり、対象物体の表面の向きが視線方向に対して垂直に近い場合等にはパターンが大きく歪むため、単純なエリ
アマッチング手法では対応付けに失敗し形状復元ができなくなるという問題がある。パターンのエンコード・デコードで工夫することで、ある程度の歪みにも対応できる手法も提案されているが、限界がある。

2.2.3. グリッドグラフ（ラインどうしの接続関係）による手法
前述のようにエリアベースの手法では、現実には、ベースラインや形状変化によるパターンの歪や、物体テクスチャの影響を受けて精度が低下する。一方で、ラインパターンの場合、ラインが連続的につながってさえいれば歪みの影響はほとんど受けない。しかし、ラインベース法で必要となる長く連続したラインまたはパターンの検出は、テクスチャの– 70 –

影響や形状の不連続部分においてラインが必然的に切れてしまうため現実には難しい。

(a)

(b)

図 5： (a) グリッドグラフベースのパターン例、(b) グラフ連結の例 (左)2 つの連結グラフ、(右)一つの連結グラフ

もし図 5(a)に示したラインパターンが図 5(b)のようにグラフ状に連結されて撮影されており、そのグラフ上での連結性（接続性）が、ライン一本一本の連続性に準じて利用可
能であれば、パターンの歪みの影響を受けにくい極めてロバストな対応関係の取得が可能となる。このような考えに基づき、ラインどうしの交点の「配置」と、その交点どうしの「つながり」により、対応関係を確定させる手法が提案されている[26,27,28]。この手法
では、ラインやエリアそのものには何の情報は埋め込まれないため、パターンは非常にシンプルとなり、検出もロバストであり、形状が激しく変化することが多い動物体計測などに適している。この手法の例を図 2(c)に示す。
最初に提案された手法では、1 台のプロジェクタから縦横２種類の直線状パターンをグリッド状に照射し、これらパターンどうしの交点に共面性条件が成立することを利用して、3 次元形状の復元を行うものであった[26]。共面性条件とは、画像上で観測される平面ど
うしの交線や交点に存在する幾何学的な拘束条件であり、解空間が 4 自由度であることが知られている[29,30]。
これにより 1000 コマ／秒で撮影した風船が破裂する瞬間の形状計測に成功している。
その後、解の安定性を増すために、デブルーイン系列を色[27]や、パターン間隔[28]に用いる手法などが提案されている。デブルーイン系列とは、記号数 𝑞、位置を一意に特定するのに必要な長さ𝑛からなる長さ𝑞𝑛 の数列である。長さ𝑛 、記号数𝑞のデブルーイン系列は、
長さ𝑞𝑛 の数列であり、長さ𝑛の部分数列を観測すれば、数列中の位置が一意に特定可能という特徴を持つ。このため、アクティブスキャンのカラーコードの識別などにも用いられている[12,15,23]。

3. ワンショット形状計測法
アクティブ方式の形状計測に基づいて、動体の形状計測を実現するため、我々は第 2.2.3
節に述べたグリッドグラフによって得られる拘束条件を利用したワンショット計測法を研究開発してきた。本節では、カラーパターンを用いた密な形状計測、単色波線パターンを用いた形状計測、全周形状計測への拡張という３つの方法について紹介する。

– 71 –

3.1. カラーグリッドパターンを用いた密な形状復元
時間エンコード法は当初よりピクセル毎の対応関係が得られるため、一般に高い密度での形状復元が実現できる。一方で空間エンコード法（ワ ンショット計測）の場合、2.2 節
で述べたように、一定のエリアに情報を埋め込む性質上、高密度な形状復元が原理的に難しい。動物体計測のニーズの高まりから、空間エンコード法による計測システムの実用化が進む中、空間エンコード法においても密な形状復元手法が強く望まれるようになってきている。
そこで、デブルーイン系列に基づいたカラーパターン[27]の画像処理を拡張し、滑らかな領域ごとにセグメンテーションして、そのセグメント内においては全ピクセルが非常に密なグリッドを構成していると考えることで、高密度かつ安定した復元を実 現する手法も提案した[11,31]。グリッドグラフのラインの間をガボールフィルタを用いて効率よく補間することで、ピクセル単位での形状復元を実現する手法となっている。この手法により、液体にボールが投げ込まれた際の細かい水面波の形状変化や、顔の筋肉の微妙な変形などの計測に成功している(図 6)。

図 6：密な形状復元例: (左) ボールの水しぶきの様子 (中) 布とボール (右) 人物の顔

3.2. 単色波線グリッドパターンを用いた形状計測
色情報を利用すると、パターンの自由度を上げることができ、一意に決定できるパターンを作りやすくなる、という利点がある。しかし、色情報を利用すると、観測対象の表面が RGB の各色要素を十分に反射する必要がある。また、市販 のプロジェクタでは各色要素
間のスペクトル分布が干渉するため、各画素の色の決定には誤差が生じやすいという問題– 72 –

が発生する。このため、色を利用しない空間符号化手法を実現するとこのような問題を解決できる。そこで、線検出ができれば良いというグリッドグラフに基づいた手 法の利点を生かしつつ、単色で一意に決定できるパターンとして、図 7 のようにグリッドパターンを構成する線を波線にする方法を提案した[32,33]。正弦波で表される縦横の波線の周期とずれるように波線間隔を設定すると、交点が起こる波線の位相が変わるため、交点付近の波線の形を使ってパターンを見分けることができる。この局所的なパターンから得られる特徴量と、グリッドグラフから得られる拘束条件を使って一意に対応を決めることができる手法である。図 8 に動作する人物の形状計測例を示す。

3.3. 全周形状計測
一つの視点からの画像を利用した 3 次元形状計測では、3 次元形状の一部しか計測できない。しかし、多くの応用では、3 次元形状全体を計測することは大きな重要性を持つ。
このためには、複数の視点からの 3 次元形状計測を同時に行う必要がある。

図 7：縦横の波線からなる単色波線グリッドパターン
図 8：単色波線グリッドパターンを用いた人物の三次元形状計測

アクティブ光源を利用する計測において、全周囲計測を行うためには、複数の光源を対象物体に投影する必要がある。この場合、複数の光源が干渉するため、これを分離できるようにすることが必要となる。このための方法としては、時分割による方法や、色による方法などが考えられるが、利用可能な色数の問題や、装置が複雑になるなどの問題がある。
そこで我々は、プロジェクタとカメラを交互に円周状に配置し(図 9)、動的なシーンの全周囲形状計測を行う手法を提案した[34]。投影される光源は、それぞれ 2 色の平行パターンである。平行パターンは、角度情報等を用いて、比較的簡単に分離することができる。
上記文献の手法では、確信伝搬法(Belief Propagation)によるセグメンテーションにより、平行線群が連続性を考慮して分離される[27]。
抽出された平行線パターンからの復元は、パターン同士の交点を利用して、グリッドグ
ラフによる復元手法[26,27,28]と(2.2.3 節を参照)類似した方法で行われる。交点に置けるパターン同士の接続性を考慮すると、連結なパターン集合の 3 次元位置は、ほぼ 1 次元の曖昧性を持つ。この曖昧性を、複数のカメラによる照合によって解消す ることで、安定した 3 次元復元が実現されている。図 9（右）に復元結果を示す。複雑なパターンが重なっているにもかかわらず全周の形状が復元できていることが分かる。

– 73 –

図 9：全周囲形状計測システム :(左)機器構成、 (中)入力画像、(右)計測結果。

4. おわりに
本稿ではプロジェクタ・カメラ方式による構化光を用いたアクティブ 3 次元計測について、その主たる問題である対応点問題の解決法の観点から様々な方法を分類した。また、
これを動物体計測に応用するための手法として、これまでに提案してきたグリッドグラフに基づいたワンショット形状計測法を紹介した。今後は、爆発や衝突シーン、ジェットエ
ンジン内で回転するタービンブレードなど、さらに高な動きでも計測可能な超ハイスピードスキャンや、炎天下の屋外で広い範囲にわたり運動するスポーツ選手などを計測可能
なワイドレンジなスキャンシステムの開発が望まれる。そのためには、計測アルゴリズムに加えて、強力かつ被写界深度の深い光源の開発などが必要になってくると考えられ、レーザーと組み合わせたパターン光源などの新たな光学機器の開発も課題となっている。本
解説が、そのようなアクティブ 3 次元計測の今後の発展や理解に役立つことを期待する。

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Society, 2010.

– 76 –

書評

形 の 科 学 会 誌 第 33 巻 第 2 号

山口喜博・谷川清隆「馬蹄への道－２次元写像力学系入門－」
関口昌由
木更津高専
masa@kisarazu.ac.jp

Yamaguchi and Tanikawa “Roads to Horseshoe – Introduction to
Two-dimensional Reversible Mappings”
Keywords: Smale Horseshoe, Topological Entropy, Non-Birkhoff Periodic Orbits,
Homoclinic Orbits

1. はじめにあらかじめお断り申し上げておくが、評者は両著者に日頃お世話になっている。そのため、この書評が偏っている可能性はあながち否定できない。
評者はこの分野（離散力学系）の専門家ではない。「門前の小僧」程度である。もし読者も評者と同程度、との自覚がおありならば、本書の「はじめに」を熟読されることを推奨する。通常、評者は、序文は斜めに読む。なぜな らば内容を理解するためにはそれで十分だと思っているからだ。一方、本書では「はじめに」は必携の道案内である。評者もこれで迷わずに済んだ。
「はじめに」では、まず完全可積分系（等速並進運動系）を内包するカオス系（可逆ス
メール馬蹄系）を俯瞰できる。等速並進運動系を出発し、接続写像族なるワンパラメータ
写像族に沿って、記号力学を頼りに、位相的エントロピーで高度を測りながら、可逆スメール馬蹄系という頂上に到達する。ここに書名の由来がある。
次に、本書の全体構成を眺めることができる。第１章から第６章までは準備である。ただし、第 6 章は後回しにしてよいらしい。第７章と第８章が本論である。また、対比としてエノン写像への言及がある。これによって本書の位置づけが明らかにされる。
末尾には、必要な『数学的道具』が列挙されているが、著者の謙遜なのか、過少である。
少なくとも参考文献に挙げられているうちの 1 冊には目を通しておいた方がよい。本書副題に「入門」の文字があるが、どちらかと言えばハードである。あるいは、それでも入門編と称するほどに、この分野が難解であることを物語っているいるのかもしれない。我々には、馬蹄系のほかにもう一つの山がある。本書の通読もまた登山に譬えられよう。

2. 諸概念の準備（第１章～第５章）
第 1 章では、2 次元接続写像が定義され、面積保存性、方向保存性、可逆性、軌道の対称性も説明されている。不動点の分岐に伴うポアンカレ指数の変化が詳細に記述され、安定多様体、不安定多様体と基本領域が導入される。

– 77 –

第 2 章では、基本領域上の写像の不変集合として可逆スメール馬蹄 Λ が定義される。
Λ は記号列空間と全単射で対応するため、写像系は記号力学で研究できる。周期軌道に対応する有限記号列（コード）の回転数、偶奇性、時間反転対称性が説明される。とくにコードの順序保存性の解説に伴い、順序保存周期軌道としてバーコフ型周期軌道が定義される。
第 3 章では、普遍被覆面上の対称線と楕円型不動点の回転数を用いて対称周期軌道が分類され、そのコードの時間反転対称性や主軸定理が説明される。さらにサドル型、楕円型の周期軌道のコード決定、とくに対称バーコフ型のコード決定が紹介される。
第 4 章では、楕円型周期点の共鳴領域と共鳴鎖が定義され、コードの最大値表示・最小値表示の決定方法が与えられる。サドル型不動点に伴う安定・不安定多様体の弧による共鳴領域の分割に基づいてブロックが定義される。またブロックが示す２領域間の遷移行列が与えられる。さらに周期軌道のコードはすべてブロックで表示できることが示される。
第 5 章では、主ホモクリニック軌道と２次ホモクリニック軌道が定義され、その違いや記号列の特徴が説明される。とくに核と内核はホモクリニック軌道を特徴づける重要 な概念である。内核のブロック表示が与えられ、核のデコレーションが定義される。ホモクリニック点の方向指数が定義され、ホモクリニック軌道の記号列に対応して決定することが示される。

3. 位相的エントロピー（第６章）
位相的エントロピーを用いると接続写像系の複雑さを測定できる。まず周期解の個数の増加率をもとに位相的エントロピーが定義される。その下限は、不動点の個数の増加率、とくに順序保存性を利用して評価できるというボウエンの定理が示される。 6.4 節ではホ
モクリニック交差を利用した位相的エントロピーの計算方法であるトレリ ス法が紹介される。トレリス法は、軌道を組みひもに置き換えることで力学系を分類するニールセン・サーストンの定理を前提としている。この解説に、6.2 節、6.3 節が割り当てられている。

4. 本論（第７章、第８章）
7.3 節は、展望台と言うべきところで、前後左右の関係性が概観できる。また、 8.1 節
を読むと、著者の研究意図が見えてくる。すなわち、2 次元写像系の順序関係は半順序であるから、本書は、可逆スメール馬蹄 Λ の周期軌道全体を線形順序に従う族たちに分類整理しようという挑戦であることがわかる。7.5 節、8.4 節に分類と順序の例が与えられている。そういえば登山道にもこのような案内板がところどころあるものだ。
第 7 章では、対称非バーコフ型周期軌道の出現順序が整理される。ボウエンの定理に基づいて位相的エントロピーの下限が評価される。それらの出現順序は位相的エントロピーの大小関係に一致する。その両極限にホモクリニック軌道が位置する。
第 8 章は、ホモクリニック軌道を対象とする。その出現順序から、内核のブロック表示を利用した議論が展開される。こうして第 2 の方法で位相的エントロピーが計算される。
圧巻は図 8.10（p. 245）である。この山の断面図のようにも見え、象徴的だ。

– 78 –

5. おわりに付録だけでも 40 ページを超える。ポアンカレ・バーコフの定理や線路算法、様々なア
ルゴリズム、第７章（pp. 215-216）に収めきれなかった周期軌道のデータ、プログラムに至るまで網羅されている。参考文献も 110 件を数え、著者の苦労が想像できる。
評者はこの山を制覇したつもりだが、その理解は怪しい。おや、と思われる諸兄におかれてはぜひご購入の上、ご自身で確かめられたい。

書籍情報
書名：馬蹄への道―2 次元写像力学系入門―
著者：山口 喜博・谷川 清隆
ISBN：978-4-320-11149-3
判型：A5
ページ数：322 ページ
発行年月：2016 年 04 月
本体価格：4,600 円– 79 –

シンポジウム・プログラム

形の科学会誌 第 31 巻 第 2 号

第 82 回形の科学シンポジウム「産業技術とかたち」要旨（講演予稿集は http://katachi-jp.com/paper/Symposium82v2.pdf よりダウンロードできます）

れる。これらの手法は，静止物体の計測から研究が始

10 月 7 日(金)

められたが，近年では動的な物体の計測にも利用され，産業技術とかたち（公開講演）

注目を集めている．本稿では，様々な構造化光投影法【招待講演】

を対応点問題の解決法の観点から分類するとともに、材料の原子構造を表現するための多面体の命名法

動的な物体の計測法としてワンショット形状計測法を

西尾憲吾（産業技術総合研究所）

紹介する。

Polyhedra are ubiquitous. For example, when we lookat materials at the atomistic level, each atom is

形の科学一般surrounded by neighboring atoms and the neighboring

対称周期軌道の安定性は何が決めているのか

atoms form the vertices of a polyhedron. In

山口喜博（元帝京平成大学）

amorphous materials, in particular, atoms form a

Stability

variety of polyhedra. Some polyhedra may be highly

determined by the configuration at which the twosymmetric ones such as icosahedra [1,2]. But mostsymmetry axes intersect. Using this fact, we obtainof them are non-symmetric ones, and are nameless.

the necessary and sufficient con- dition for the

Since names are a fundamental tool to identify anddominant axis theorem to hold in the area preserving

distinguish objects, the lack of names of polyhedra

maps.

of

symmetric

periodic

orbitsisis a serious problem in understanding how atoms arearranged in materials. In this talk, as a solution

ニュートン力学誕生そしてヤコブ・へルマンの逆問題

of this problem, I explain a method to give names

解析

to polyhedra in such a way that their names instruct

ウェルフェア ジャスティン飛鳥（神奈川大学大学院）、

how to construct them from their building-block

山口幸（同）、杉本剛（同）

polygons [3]. The method can be generalized to

Isaac Newton (1642-1727) solved the direct Kepler

higher-dimensional polytopes, and provides the

problem: given the first and second Kepler’s laws,basis for studying structures in any dimension.

find the physics of the universe. His method ofsolution is geometry with limiting operations. In

構造化光投影による 3 次元計測の分類とワンショット

1687 Newton publish his treatises as ‘Principia.’

動体形状計測法

There occurred a

佐川立昌（産業技術総合研究所）、川崎洋（鹿児島大学）、

Gottfried Leibniz (1646-1717) and Newton: who

古川亮（広島市立大学）

invented ‘calculus’ first. Leibniz’s ranks

カメラのようなパッシブな光学センサだけでなく、特accused Newton of not solving the inverse Kepler

殊な光源を利用して，光を対象物体に照射することでproblem: given the inverse-square laws, find the

計測を行う手法をアクティブ 3 次元計測という。そのorbit. Jacob Hermann (1672-1733) is the first to

中でビデオプロジェクタなどを利用して 2 次元パター

solve this problem in 1710, although he made

ンを投影する方法は，構造化光投影 3 次元計測と呼ばmistakes twice and hence reached spuriously the– 80 –

conflict

nominally

betweenright conclusion.

His

treatiseincludestheof a graphical presentation of solving complex

Laplace-Runge-Lenz vector. Hermann, augmented bypolynomial equation, developed by a mathematician

the Leibnitzian calculus, could solve the said

Prof. Bahman Kalantari, and a calligraphy by Takaki.

problem.

The other work “Fijihitotsu” is a combination ofa graphical presentation of mapping of complex

Forum

numbers, developed by the second author Yamaoka,

反応拡散アルゴリズムを用いた肝類洞パターン抽出法

and a calligraphy by Takaki.

とその応用
昌子浩登（京都府立医科大学）、山田耕太郎（阿南工業

大学生に対するアンケートによる 2009 年～2015 年の高等専門学校）

糸魚川ジオパーク認知度の推移

In hepatic lobule, which is the basic unit of liver,

大河内春香（新潟大学）、松岡篤（同）

each hepatocyte contacts with hepatic blood vessel,

The Itoigawa Global Geopark was established in 2009.

sinusoid,

which

(3D)

Questionnaire survey on the geopark has been

periodic

networklasercarried out at a classroom in Niigata University

microscope (CLM) images are used for observing 3D

since 2009. Results of the questionnaire revealed

images of sinusoidal endothelial cells, but CLM

thatimage alone cannot detect 3D networks of sinusoid.

faculties do not recognize the existence of the

We propose a new approach for image segmentation

Itoigawa Global Geopark in spite of continuous

based on the Turing reaction-diffusion model. We

efforts of the people concerned. This tendency does

here applied this method to test groups ofnot change in the last seven years.

form

three-dimensional

patterns.

Confocalabout 80%

students

belonging to eightsteatohepatitis related to metabolic syndrome andtheir controls. Significant difference was found in

放散虫のトランプthe spatial scaling parameter. Therefore, this松岡篤（新潟大学）、大河内春香（同）approach may have the power not only for image

A set of playing cards using images of radiolariansegmentation but also detecting the periodicities

skeletons was prepared for enhancing a degree ofof patterns.

social recognition of radiolarians. This will beutilized to advertise the 15th meeting of the

10 月 8 日(土)展示説明International

Associationofradiolarists(InterRad 15) held in October 2017 in Niigata,Japan.

数理を応用したアート制作
高木隆司（東京農工大学）、山岡久俊

形の科学一般Two artworks are exhibited, which are created by

福島第 1 原発の放射能汚染パターン

applying computer graphics mathematics, especially

小川進（長崎大学）、斎藤恵介（同）

analyses of complex functions, and by combining

A particle model expressed more actually thanthem with calligraphies. The motifs of the artworks

atmospheric diffusion models in Fukushima.

are taken from Haikus by Buson Yosano, a famous poetin Edo era. One work “Nanohanaya” is a combination– 81 –

凸五角形（Rice1995）を用いて形成出来るタイリング

vectors of all polygons of 3D models, ‘Wave styling

杉本晃久（科学芸術学際研究所 ISTA）

by 2.5D lamination’ and ‘Dragon body styling

In 1995, Marjorie Rice discovered an interesting

concentrated on

tiling by using the convex pentagon that belongs tostyling preference of Ihachi and Yoshimitsu.

mass’ are proved to be theboth type 1 and type 5 in convex pentagonal tiles.
We have discovered new tilings by using the convex

平面画像の立体認識による分離方法と製品

pentagon of the tiling discovered by Rice in 1995.

鈴木英雄（株式会社一心助け）、鈴木博英（同）show it while being a plane image as if there is a

第 15 回国際放散虫研究集会 (新潟,2017 年)と形の科

three-dimensional thing and let it is hard to let

学

the other division Zone invade it from the running

松岡篤（新潟大学）

traffic division Zone and do it and am a method to

The15th Meeting of the International Association of

let an accident decrease sharply and a product.

Radiolarists (InterRad 15) will be held in Niigata,Japan in October, 2017. The Society of Science on

形と知Form is one of co-organizing associations of the

可視化された相互コメントの時間的変化の分析

meeting. The main theme of the InterRad 15 will be

河野広和（東京学芸大学附属世田谷小学校）、松浦執（東“The evolution of marine plankton since 500

京学芸大学）

million years ago”. The purpose of the InterRad 15

A collaboration tool for iPad was used for students’

covers not only research field but also educational

mutualand outreach ones.

experiments on plant growth. A concentration ofcommenting

on

the

results

ofgroupcommenting on the particular groups was found in the
形と知earlier phase of the activity.

長方形の可撓体の一部を重ね合わせて作る立体の研究
阿竹克人（阿竹研究所）

３次元技術の活用によるカンボジア文化遺産の模型作This study shows a method to almost cover various

製

curved surfaces without a gap by putting the

内田龍之介（千葉工業大学）、宮本圭佑（同）、手嶋吉

diagonal of the rectangular bendable body on the法（同）side of the polyhedron.

It is very significant that the shape of thehistorical spot is preserved as a digital data. We

ポリゴンメッシュで再現された歴史的木彫に対する形

generated 3D shape data of historical spots in

態分析

Sambor Prei Kuk in Cambodia and created 3D real

王健（千葉大学）、久保光徳（同）

models by 3D printing.

The study aims to determine the basic stylingpreferences of the wooden carving sculptors .The

形の科学一般existence of ‘Imaginary circle’ hidden in the

空間曲線による幾何学模様の生成

wave of Ihachi and ‘Imaginary sphere’ hidden in

森田克己（札幌大谷大学）

the dragon of Yoshimitsu are detected. According to
the result of k-means cluster analysis to the normal– 82 –

触覚学習用地球儀の開発と評価

10 月 9 日(日)手嶋吉法（千葉工業大学）、細谷洋介（同）、酒井一磨

形の科学一般（同）、中野司（産業技術総合研究所）、田中明子（同）、

筋電及び動作解析からみた剣道

青松利明（筑波大学附属視覚特別支援学校）、山澤建二

西畑大輔（福井大学大学院）、髙田宗樹（同）、平田隆（理化学研究所）

幸（同）Three-Dimensional tactile models of Earth were

剣道における身体運動の計測をバランス Wii ボードとconstructed for the visually impaired. We utilized

筋電計同時計測によって行った。武道における重心の

exact topography data

移動は重要である。我々は、バランス Wii ボードによ

explorations. Therefore, 3D models of Earth by

り、構えおよび打ちの動作中の重心移動を計測できる

additive manufacturing possess exact shape of

可能性を示せた。また、未経験者、経験者の打ち動作

reliefの違いを明らかにするため筋電図の比較を行った。そimprovements were given to models to suit tactileの結果、剣道の経験の有無による違いが筋電図にもみ

learning. Experimental results showed that theられることを明らかにした。

Earth models developed in this study by additive

on

their

obtained

spherical

bysurfaces.

planetary

Severalmanufacturing were useful for tactile learning of
シミュレーションから連なり線を決定する新手法

the globe of the visually impaired.

根岸利一郎（埼玉工業大学）、関口久美子（同）、内田正哉（同）
We calculated parastichies in sunflower seeds andpineapple rementa using Fourier.

The parastichies

for the seeds and rementa were simulated.

We foundthat as imperceptibly changing the divergence angle,
Fibonacci and Lucas sequences alternately appeared.
In conclusion, it is effective to apply Fouriertransform in calculating the parastichies.

形の科学一般画像セグメンテーション用アルゴリズム GrowCut の紹介
中島善人（産業技術総合研究所）
The ‘GrowCut’ is a simple but useful digital image
segmentation algorithm using cellular automata.
The brief description of the GrowCut technique andexamples successfully applied to the segmentation
of

sand

dykes

inducedby

theearthquakeliquefaction are presented.

– 83 –

シンポジウム・討議記録

形の科学会誌 第 31 巻 第 2 号

第 80 回 形の科学シンポジウム 「スポーツ・パフォーミングアーツに現れる形」
討論記録（記録のあるもののみ掲載）【主催】形の科学会【会期】2015 年 11 月 21 日（土）、22 日（日）、23 日（月・祝）【会場】東京電機大学 鳩山キャンパス〒350-0394 埼玉県比企郡鳩山町石坂
講演会場：12 号館 1 階 124 教室 （11 月 22 日の最終セッションのみ 1 階アトリウム）
展示会場：12 号館 1 階アトリウム【代表世話人】 松浦昭洋（東京電機大学理工学部）【参加費】 会員・非会員ともに一般 5,000 円、学生 1,000 円【懇親会】 2015 年 11 月 21 日（土）18：00 より、HATO CAFE にて（一般 4,000 円、学生 2,000 円）【第 80 回 形の科学シンポジウム WEB サイト】http://katachi-jp.com/sympo80
討論記録は、質問者が討論記録用紙に記載した内容にもとづいており、講演者の校正がないものもあります。
Q: 質問、A: 回答、C: コメント
討論記録

11 月 21 日（土）講演会場：12 号館 1 階 124 教室
形の科学一般アルコール摂取時における重心動揺の数値解析
森柚樹（福井大学）、木下史也（名古屋大学）、平田隆幸（福井大学）、高田宗樹（福井大学）
Q1. 野村和泉
被験者の平均値で比較しているが、算術平均値がそれぞれのカテゴリーの最確値と扱ってよいか。残差のばらつきはどうか。
A1.
ヘモグロビン濃度については有意な差が出ていると言っていいのではないか。
重心動揺についても充分有意。
Q2. 野村和泉
血中濃度 0.5mg/ml, 1.0mg/ml の違いで、各検査について、被験者の意識の試験への影響はどうか。
A2.
ほろ酔い程度なので、立位試験は自覚的に受けられる。
Q. 根岸利一郎 (元埼玉工業大学)
重心動揺は中心動揺ではいけないのか。
A.
今回は重心動揺で計測した。
Q. 手嶋吉法
血中アルコール濃度を 0.5mg/ml と 1.0mg/ml で一定値と仮定して議論していたが、それ自体が時間とともに変化するのでは？
A.
変化する。血中アルコール濃度は約 30 分後にピーク値をとる。0.5 および 1.0mg/ml がピーク値になる様に被験者ごとに酒量を調整して実験を行った。
姿勢変化時における胃電図とその数理モデル化に関する研究木下史也（名古屋大学）、森柚樹（福井大学）、松浦康之（福井大学）、宮尾克（名古屋大学）、高田宗樹（福井大学）
Q1. 手嶋吉法
今回の数理モデルを採用した事の妥当性は？（他分野の聴衆にもわかる様に説明してほしい） これ以外の数理モデルで説明できる可能性は？
A1.
今回の数理モデルの基となるファンデルポール方程式は、断続的な（？）波形をモデル化する際に使われる基本的な方程式であり、先行研究でも使われていたので、今回もこれを用いた。

Q2. 手嶋吉法
今回の数理モデルで実験結果をうまく説明できてない点はあるか？
A2.
現在のモデルで実験を完全に再現できるわけではない。基礎的な検討の段階である。
C. 高木隆司
ファンデアポール方程式を使ったことについての質問があった。それについてコメントを追加する。この方程式は構 安定であり、どんな摂動項を加えても解の挙動が大きく変化す
ることがない。この意味で、この方程式は使いやすいと言える。
書写書道教育の視点から見た左利き手書き漢字のメカニズ
ム沓名健一郎（福井大学）、高田宗樹（福井大学）
Q. 手嶋吉法
左利きの場合、「引く」ではなく「押す」という結論だった。
今回の実験はシャープペンシルだが、毛筆の場合は押すのは難しいのでは？
A.
熟練者は押すことが可能であるが、非熟練者は毛羽立ち、押すのは難しい。
Q1. 野村和泉
書く道具は何を使ったのか。
A1.
使い慣れたシャープペンシル、0.5mm 芯太。
Q2. 野村和泉
らせんの向きは反時計回りに固定か。
A2.
回転向きは自由。
Q1. 佐々木康成
書かれたラセンの角度の分析をされてはどうか？
ラセンの方向と書字方向との関係もあると思うが？
A1.
角度分析はまだしていない。
あくまでも書字教育の中での研究との位置づけ
Q2. 佐々木康成
教育（？）は「できるだけたくさんのラセンを描くこと」か？
A2.
ハイ
手書き書字時の手の使い方
宮原優美（静岡大学）、佐藤大樹（静岡大学）、永田瀬里菜（静岡大学）、沓名健一郎（福井大学）
Q. 手嶋吉法
個人的に鉛筆等(シャープペンシル、ボールペンを含む)の持
ち方に興味があり、授業中に学生の筆記具の持ち方を観察しているのだが、意外と 2 本がけの人もいる。これは幼い頃の– 84 –

癖がそのまま続いていると考えるが、一本がけに変更すべきと考えるか。
A.
一本がけが適切と考える。
Q. 高田宗樹筆跡（画像）から回転量は推定できますか？
A.
鉛筆の場合、一画ごとに回転させる。筆の場合、現在のところ不明。
書道作品の視点と散らしについて
佐藤大樹（静岡大学）、宮原優美（静岡大学）、永田瀬里菜（静岡大学）、沓名健一郎（福井大学）
Q1. 手嶋吉法
補空の点は特定の文字だけで打てるのか？(素人が勝手に打つと誤字とされるように思う)
A1.
補空の点を打つ明確なルールはない。今回示したのは中国の古典からである。我々書道を学ぶ学生も勝手に打つ事はない。
Q2. 手嶋吉法
1 文字だけを見たバランスと周りの文字を含めたバランスは異なるので、補空の点を打つべきかどうかの判断はどのようになされるか。
A2.
1 文字と全体のバランスのどちらによるかは一概には言えない。
Q. 高田宗樹
補空の点や散らしを定量的に分析して、それらの必要性を機
械的に規定するようなことはできないでしょうか？
A.
現在のところ感覚的な部分が多く、定量化をおこなっていな
い。
星型一様多面体の構成面形状(稜線長さ)を求める
山口陸幸
Q. 高田宗樹
最初の定義で、一様多面体に対する双対多面体は１対１対応していると考えて良いのか？
A.
Yes.
Q. 根岸利一郎
双対多面体に見える五角形は必然か？
A.
パワーポイントに正五角形の図を何度も描いています。
これは黄金比系星型一様多面体の双対多面体の構成面の 1 種
である翼型の稜線長さの比がｃ/ｄ＝τ（黄金比）であることを示すために描いた図です。ｄの長さを 1 辺の長さとして描いた正五角形の対角線の長さは τｄとなり、即ち、その長さが ｃ＝τｄ となることを示したものです。
白銀比系星型一様多面体ではｃ/ｄ＝√2 となりますから、正方形の 1 辺の長さとその対角線長さの比と一致します。
招待講演・公開講演（スポーツ・パフォーミングアーツに現れる形・第１部）
運動スキル熟達化のダイナミクス
工藤和俊（東京大学）
Q. 高木隆司
動作のゆらぎの解析において、ゆらぎの大きさではなく、そのスペクトルの型（白色か 1/f か）に着目されたのは何故か。
A.
運動スキルの熟達化に伴う変動（ゆらぎ）の減少は数多くの先行研究によって示されている。一方、熟達化や運動の時間発展に伴う時系列変動特性の変化についてはこれまで不明であったため、スペクトル型の変化に着目した研究を行った。
Q1. 川上保衛
テニス選手のスキルについての事例として、ATPF における、錦織選手とフェデラーとのゲームで、錦織が、２時間の中でストロークの正確さがブレるという波が何回かあったが、これは一体どういう問題なのか。運動スキルの解析の時間分析
からみてどうか。
A1.
勝負どころでストロークが決まるかどうかという問題は、時系列特性だけで論じることのできない複雑な問題である。呼吸、体力などの生理学的変数や集中、自信などの心理学的変数を含めた解析が必要になると思われる。個人的には第３セットに、フェデラー選手のストロークが浅くなったところ錦織選手がやや中途半端なアプローチからネットに出て、バッ
クハンドのクロスでパッシングショットを打たれて失点した
ポイントが一番悔やまれる。
Q2. 川上保衛
彼の様に世界トップの熟達者でも、今後のスキルアップとゲーム全時間帯での自己統制の力のアップはあるのかどうか。
A2.
ジョコビッチ選手は、2011 年に世界ランキング１位になってから現在に至るまで、安定感のあるプレーに磨きがかかっている。錦織選手も、攻めと守りの見極めなど向上の余地が大いにある。
Q. 成塚拓真
ノイズの漂白化現象を記述する数理モデルは提案されているか？
A.
解析手法としては様々なものが提案されているが、漂白化に関わるパラメータを具体的に記述した数理モデルは未だ提案されていない。
Q. 佐々木康成
溝やカベの単相性のものだけでると多属性のある現象には探索されているのかA.
たとえばドラム演奏の例では左右差という制約が制御パラメータとなり溝やカベを作り出していた。実際のドラム演奏では、たとえば筋の脱力やリズムの知覚など学習時間スケールの異なる多くの制約が関与していることから、これら多数のパラメータが関与することにより単相性ではない複雑な振る舞いが観察されると思われる。
バリ舞踊の形と動き
中村美奈子（お茶の水大学）
Q. 北沢美帆
モーションキャプチャで見えたバリ人ダンサーと日本ダンサーの手の動きや空間の使い方の違いは、バリの人と日本の人の違いだという印象はありますか？あるとすれば、両者のもつ文化やイメージなどの違いなのでしょうか？
A.
バリ人と日本人の違いだけでなく、個人差という側面のほうが強いと思われます。バリ人の間でも手や空間の使い方の差はあきらかにみとめられますので。そういう状況のなかで、バリらしく踊りたいという気持ちはあるけれど、何がバリらしさなのか、定量化できるものなのか、被験者数も少ないため、未知数です。
Q1. 出原立子
ラバノーテーション（Labanotation）で日本舞踊のような踊りを記譜することも可能ですか？また本方法が現段階で、様な舞踊を記譜する方法として、一番すぐれたものと評価されているのでしょうか？
A1.
日本舞踊の記譜も可能です。ラバンは、舞踊を記録するためではなく、工場労働者の身体運動を記録して動きを分析するために考案したものですので、身体運動を記述する方法として優れているとされています。よって、どのようなタイプの踊りでも記述が可能な普遍的な記譜法という意味で優れてい
る一方、個別の舞踊の特徴的で平易な動きがとても複雑な記述になってしまう場合もあり、向き不向きがあります。
Q2. 出原立子
モーションキャプチャーを用いて踊ることで、自動的に記譜する、自動記譜システムのようなものはあるのでしょうか？

– 85 –

A2.
作りたいと思っていますが、まだ開発途上です。前述のように、舞踊の動作は複雑なものもあるため、どこまで対応する
べきか見極めが難しいところです。現在は、簡単な舞踊動作
であれば自動生成が可能なレベルです。
Q1. 川上保衛＜Laban Edition 3＞のソフトは公開されているか
A1.
まだ、公開はしていません。ソースコードが整理できたら、いずれオープンにしたいと考えています。
Q2. 川上保衛
モーションキャプチャとラバノーテーションの結合がありう
ると思うが、どうかでしょうか？モーションキャプチャを動かす記譜としてのラバノーテーションであると言えますか？
Laban Edition 3 があれば、舞踊指導で強力な視覚道具（デバイス）となると思われますが。学生がラバノーテーションを記譜し、かつそれで表現行動ができるようになるには、5
年、10 年の学習・修練が必要なのではないでしょうか？
A2.
モーションキャプチャとラバノーテーションの連携は常に頭の中にありますが、ご存知のように、モーションキャプチャのデータ（数値）は、精緻すぎるため、ラバノーテーションの記号との対応が難しく、今後の研究課題です。現在、キネ
クトとラバノーテーションの連携はある程度成果が出ています。
Laban Edition 3 の開発が進めば、ラバノーテーションの学習教材としての利用や、ラバノーテーションによる舞踊の振り付け支援が可能になると思います。しかし、実際に身体を用いて表現行動をすることは別次元であり、そのためには、かなりの年月を必要とします。

書けない。例えば、放物線のように単純な曲線であっても楕
円関数となる。
形の科学一般ディオクレスの「火取り鏡について」
ウェルフェアジャスティン飛鳥（神奈川大学）、山口幸（神奈川大学）、杉本剛（神奈川大学）
Q1. 手嶋吉法
3D プリンタの精度は高くないので、モデラ（商品名）などで削った方が高精度な曲面ができると思う。
A1.
我々が利用出来る加工機として 3D プリンタを今回は用いた。
Q2. ：手嶋吉法
今回用いた 3D プリンタはどのタイプか？材料は？
A2.
ABS 樹脂である。
Q. 根岸利一郎「火取り鏡」の温度が 3 種で異なった理由は何ですか。
A.
3 種で焦点が異なっているため。
Q. 海野啓明
ヒルベルト、コーン・フォッセン『直観幾何学』に図２と同じ図があるが、本にはダンドラン球の名称は使われていなかったと思うが、知っているか。
A.
いいえ。
C. 海野啓明
矢野健太郎『幾何学の発想』にはアポロニウスの節で図２を紹介してあったので、講演で活かされたような問題があることがわかった。

スポーツ・パフォーミングアーツに現れる形・第２部
サッカーのパス回しネットワークにみられる次数分布について成塚拓真（早稲田大学）、山本健（中央大学）、山崎義弘（早稲田大学）
Q. 吉野隆関数 ρ, R の選び方が良かったことが理論と結果がよく合う
理由ですか。
A.
導出した次数分布は R, ρ を具体的に与えることで形が決まる。その意味で理論とデータの一致は R と ρ の選び方に依存する。但し、今回仮定した R と ρ の関数にはある程度理論的根拠がある。
凸曲面上のバトンの転がりの物理解析
山田優貴（東京電機大学）、松浦昭洋（東京電機大学）
Q1. 手嶋吉法
塑上運動は、三次元の物理シミュレータで再現出来ているか。
A1.
再現出来ていない。
Q2. 手嶋吉法
遡上運動の実演は、熟練者にしか出来ないか。遡上現象が起きる条件がわかっていれば知りたい。
A2.
実演には一定の練習が必要。
遡上現象は、バトンに加わる力や摩擦等がある条件下でのみ起きる。詳しい条件は調査中である。
Q. 佐々木康成
実世界でバトンは自転するか？
A.
自転する。特に、バトンを曲面の対角方向に転がすと、自転により、直線から逸れた方向に転がる。
Q. 三谷尚バトンの端の軌跡を解析関数で書けないか。 度、加 度の時間依存性をも解析関数で書けないか？
A.
曲面の湾曲が円弧状なら、解析関数になるが、殆どの場合は4℃の水 実験と現象論
小川直久（北海道科学大学）、福原朗子（北海道科学大学）、
金子文俊（大阪大学）、長澤修一（函館工業高等専門学校）
Q1 手嶋吉法
実験結果のグラフは、さらに時間が経つとすべて－15℃に収束するという理解で良いか。
A1
途中で相転移が起こって、表面は凍り、水と氷の界面温度が0℃になるため、一旦 0℃に向かって収束してゆくが、全体が凍った後に-15℃に収束します。
Q2 手嶋吉法
実験を 1℃の水からスタートしたら、各温度計の値は上から順に高くなるという予想で良いか。
A2
最初から 4℃よりも温度が低いので、上から順に冷えてゆく。
下の方が温度が高い。
Q3 手嶋吉法
水の密度が最大となるのは、4℃ちょうどか。少しずれるか。
理論はあるか。
A3
少しずれる。水の最大密度は 4.0℃のわずかに下にあり、 最
大値は 0.9999749g/cm3。これは CRC ハンドブック （20142015）による。もちろん理論ではなく実験。
最大密度を与える温度の理論はおそらく存在しないが、MDの計算機実験で議論されることがある。
C. 本多久夫
子供の頃に、池が凍っても、底が 4℃の水だから魚たちは大丈夫と聞いていたが、それを顕著にあらわす実験でおもしろ
いと思いました。
Q. 三谷尚氷ができたらやっかいだと思いますが。氷はできなかったですか？
A.
—2.1℃の過冷却水ができているが、氷は見られなかった。
氷が見られる場合は、水面が—4℃くらいまで過冷却した場合で、出来た瞬間に一旦温度が 0℃に跳ね上がるので、それと– 86 –

わかる。

ゼロレベルクロッシングのみみると下手な人の演奏でもほとんど変化がないというのが結論である。
時間軸上で、ゼロレベルクロスの密度、すなわちセミミクロな量を見る。時間軸上の、ゼロクロスの詳細な位置は、諸要
因により変わるが、これは、楽曲全体を扱う当研究では、重要でない。

11 月 22（日）講演会場：12 号館 1 階 124 教室
形の科学一般簡単な折り紙としてのフラクタル矩形根岸利一郎（埼玉工業大学）、関口久美子（埼玉工業大学）
Q. 石原正三
折り紙の講座を実施する際に、正方形ではない折り紙を使うと「折り紙」と見なしてもらえないことがよくあるのですが、長方形の折り紙を用いた講義などを実施しているのでしょうか。
A.
本講演に関する講義は実施していない。
Q. 手嶋吉法
拡張定理１と２は、今回初めて提案されたという理解で良いか。また、この拡張定理を用いると折り回数を減らせるという理解で良いか。
A.
拡張定理は、今回我々が提案した。芳賀の定理の折り回数よ
りは、拡張定理を用いた折り回数の方が少なくなる。
ルービック・ハイパーキューブの実装
吉野隆（東洋大学）
Q1. 山口陸幸
８色の立体図は、８方向からの透視図ですか？
A1.
そうです。
Q2. 山口陸幸
超立方体は構成胞となっている８ヶの立方体が互いに面を共有しています。この透視図では４面が共有されている様に見えますが、実際そうなのですか？
A2.
中心投影なので、側面の４面のほかに内部と大外の２面も接しています。
Q. 石原正三
白で表現されている部分は白い色をしているところか。
A.
白い色を表現している。あまり良い色ではなく、中心投影した際に見にくくなってしまった。
Q. 手嶋吉法
今回独自に４次元ルービックキューブを実装されたと思うが、既存の４次元ルービックキューブとの違いがあれば知りたい。
A.
既存の４次元ルービックキューブについては、後で知った。
回転の仕方などは一意に定まるので同じはず。表示（投影）方法は、一意ではない。
C. 手嶋吉法
今回のお話は３次元ルービックキューブの高次元化であるが、低次元化としては正方形（２面体）の表と裏を２色で塗り分けるのが１つのやり方だと思っている。
楽曲の瞬間波数変動における f 分の１スペクトルの原因
三谷尚（福岡教育大学）、平原誠（福岡教育大学）、豊田光（福岡教育大学）、荒木裕大（福岡教育大学）
Q. 石原正三「作曲家のせい」というご発言の意味は、作曲家の個性を意味しているのか。
A.
楽譜音楽と実演奏に差がない、というところから、作曲家に基づくものであるという意味。
Q. 佐々木康成
伴奏が入った時に変化がないというのは解析の仕方によるのではないか。二つの波が重なるとゼロ点も変化しうると思う
が。
A.

形と知
空間を埋め尽くす立体形状の開発
宮川大毅（千葉工業大学）、手嶋吉法（千葉工業大学）
C. 本多久夫
エッシャーの２次元でのうめつくしパターンでは三つ巴のような動的な感じのするものなど、興味深いものがある。このようなものの三次元版を期待しています。
Q1. 根岸利一郎
3 次元空間での隙間をゆるす形状は何というのか。
A1.
平面上で互いに重ならないように円を詰め込んでいくと、必ず隙間が生じる。これを円のパッキングと呼ぶ。
Q2. 根岸利一郎
空間充填形状を作る方法はどんな方法か。
A2.
例えば、空間を埋め尽くす形状（立方体など）から出発し、１つの面を出っ張らせ、それと反対の面を同じだけ凹ませれ
ば、空間を埋め尽くす形状を維持できる。これを繰り返して行った時、輪郭だけ見た時に何かを想起させる形状に辿り着ければ成功である。
出来た形状を集合させた時に、隙間無く埋め尽くせているか、あるいは干渉がないかは、CAD の機能で確認している。
Q1. 三谷尚
鏡映対称性等はパッキングのために必要ないのか？（私は必要ないと思うが）A1.
埋め尽す為に個別の要素が対称性（点群的な対称性）を持つ
必要はない。ただし、埋め尽くした後の周期構 は空間群のどれかに該当する。
本講演では、空間群は未特定である。
Q2. 三谷尚
一個の立体に、他何個の立体が接するか？ その数は色々なのか。
A2.
色々である。統一的には言えない。
例えば、立方体は 6 個、切頂 8 面体は 14 個、菱形 12 面体は12 個となる。
回転式パズル遊戯具の開発
宮本圭佑（千葉工業大学）
Q. 野村和泉（確認）「独立に回転できる理由は、６軸中３軸である」とは？
A.
回転する領域の中心に回転軸がある。その回転領域が重なり合わない場合は独立に回転出来る。そのような回転軸は、全６軸中、３軸である。
形の科学一般陰影あるテクスチャ画像の音韻による表現と感性評価
佐々木康成（金沢星稜大学）、坂東敏博（同志社大学）
Q1. 本多久夫
ザラザラ、ガリガリがとげとげしいものを表し、なめらかなものとは対応しないようなことは使用する言語などで異なら
ないのか？
A1.
オノマトペは、恣意的であるとされる言葉とは異なり、音の象徴性の高い言葉であり、質感を直接的かつ直感的に表現できるので、音の持つ言語間での共通性はかなり高く、音と質感との対応性は言語間で大きくは異ならないと考えられています。アメリカ人でも似ている傾向のある子音や母音は多く– 87 –

あります。
Q2. 本多久夫
その対応関係は神経系などを形成するゲノムにより先天的にきまっているのでしょうか。
A2.
人間においてはある程度生得的な傾向はあるかもしれません
が、チンパンジーなど近縁の霊長類を用いて調べてみると面白いと思います。音とテクスチャとの対提示による連合のされやすさを調べたり、音の提示中にテクスチャを貼ったボタンを複数提示して自由反応させたりするなど、さまざまな方法が考えられると思います。
Q. 石垣 健記認識による正答率等の問題と子音分布などの問題が混在す
る実験をあえて行われたのは何故でしょうか？
A.
画像刺激を「正しく」認識するかどうかは、多分に実験参加
者本人の主観に依るところが大きいので、正答率そのものを算出することはしませんでした。また、 同じ参加者であっても、ざらざらして見えている画像刺激が、ある瞬間につるつるして見えてしまってくる、という現象も少なからずあり（実際にはその見え方の反転自体も面白い現象なのですが）、テ
クスチャ画像のコントラストや明るさをはじめとして様々な要因について今後検討していく予定です。
Q. 野村和泉
180 度回転させた２次元図（３次元投影）に対して蝕感の調査を行っているが、回転の同じ写真ということは、どちらかの解答かが３次元的に“正解”であることいえる。正答率は調査したか。
A.
正答率については調査していません。ただし、無意識的に 上からの照明を仮定して、影の付き方を脳で補完もしくは補正
して知覚しようとする傾向が強ければ（実際，強いわけですが）、 下からの照明のある画像を 正しい画像として処理するのではなく、上からの照明があるように「正しい」画像として知覚することに結果的にはなるということになります。
Q1. 手嶋吉法
元の画像とそれを１８０℃回転させた画像を見せて「触った時どちらが痛いか」という問いに対する正しい答えは「どちらも同じ痛さ」であると感じた。ふだん、上からの照明に慣れすぎているため、180 度回転させた画像を見ると凹凸が逆転したような錯覚を起こすという理解で良いか。
A1.
基本的にはその理解で良いと思います。ただし、「どちらも同じ痛さ」と感じられたのだとしたら、テクスチャ画像の部
分的な質感、つまり、画像の局所的な見方に依存するものと考えられ、一方「違う痛さ」（例えば，ざらざらとつるつる）に感じられたのだとしたら、テクスチャ画像の全体的な質感、つまり、画像全体から感じられる相対的なざらつき感やすべ
すべ感を感じるような見方をされることに依るものと考えられます。
Q2. 手嶋吉法
90 度回転や 270 度回転の画像を用いるとどんな結果になるか。
A2.
それぞれの回転による画像は，照明を右からあてた場合や左からあてた場合に対応しています。過去に予備的に調査した
ところ、左右の 印象としての違いは見られる傾向にありました。西洋画によくある室内に窓から光が差している絵画や街並みに光があたっている絵画などにおいても、どちらか一方からの光のあたり方となっている構図のほうが若干多いかかもしれないので、左右の異方性については調べていくと面白
いと思います。
自由学園工芸研究所「プラネテ」デザインと音楽のジップ則を利用した融合
高橋由佳（自由学園最高学部）、河原弘太郎（自由学園最高学部）、遠藤敏喜（自由学園最高学部）

Q. 手嶋吉法
今回の発表は、楽譜からプラネテパタン（色付きバーコード）を生成するルールを決めたと理解した。その際、ジップ則を用いるとどういう効能があるのか。
A.
プラネテの持つ色合いと間隔の情報と、楽譜の持つ高低と長短の情報の対応をあわせることができるため、与える印象が同じになることが期待できるかもしれない。
Q. 北沢美帆
音楽から受ける印象とデザインから受ける印象は関連するのでしょうか？例えばリズミカルな音楽を縦模様におきかえたら、リズミカルな印象を与えるデザインになるのでしょうか？
A.
まだ研究はそこまで至っていないが、例えば短い音符がたくさんある音楽なら、細い線がたくさんある模様になるので何らかの相関は出ると考えている。同じ印象を与えるものとそうでないものも勿論あると思うが、今後詳細に研究していきたい。
Q. 石垣健記譜法における 1/2^n 的な時間分割と 形におけるプロポーション（例えば黄金比）の関連について御意見があればお聞かせ下さい。
A.
たいへん興味深いが、現時点では何もない。
Q. 佐々木康成
プラネテありきの話なのか？プラネテから音に変えることはできるか？
A.
元来は楽譜の図形表現を探求する研究であるが、楽譜の 1 次
元的構 から自然に縞模様に絞り、その過程で自由学園にとって馴染み深いプラネテデザインと音楽（メロディ）との対応に興味を持った。
プラネテから音に変えることは可能であるが、今のままでは色数が足りず、メロディも特定の音だけになってしまう。そのため、プラネテから脱却する必要がある。今後は縞模様で行う予定である。
招待講演・公開講演（形の科学一般）
空間と形
岩城和哉（東京電機大学）
Q. 高木隆司
講演の中で，建築の本質は囲うこと、支えることであるという話があった。さらに、より魅力的にするためのキーワード
として「unit の種類は数少なくする」、「線（竹）の向きを少しずつ変える」という話があった。その２つが、最後のまとめにあった。
「単純な原理」と「多様性」に対応すると考えてよいか。
A.
その通りである。各制作においては試行錯誤を繰り返しているが、結局はこれら２つを追及したことになる。
C. 手嶋吉法竹という直線的な部材で、柔らかい曲面的な構 物を られていて興味深い。
Q1. 手嶋吉法
斬新な建築デザインに対して、内部に人が入っても安全かど
うかのチェックはどの様にされるか。
A1.
紹介した竹の作品は小規模なので制作時に安全の確認を行っている。一般的な建築では、デザインする人と構 計算する人が協力して仕事をする。構 計算は近年は計算機シミュレーションでおこなう。くぎを使わない伝統構法などは、計算に乗せにくく、最近は りにくくなっている。
Q2. 手嶋吉法
竹を使えないような場合は、紙パイプなどの活用を考えるか。
A2.
紙パイプ、樹脂パイプ、金属パイプの活用を考える。これらは形状がそろっているが故、予期しない変化が起こらないと– 88 –

いう面はある。
Q. 吉野隆LACHIKU において、基本となるモジュールの形が５角形になると内部が直線状から曲線に変わりました。これは、モジ
ュールの形が複雑になったことと関係していますか？
A. 関係していません。単純な断面でもつなぎ方で曲線にする
ことができます。

ンに１秒程度でモーフィングすることで、自分があたかも犬になってどこかに行ってしまったように感じさせることができる。
Q. 手嶋吉法「これも自分と認めざるをえない展」の内容を教えてください。
A.
2010 年 7 月～11 月まで 21_21DesignSight で開催された展覧会。属性をテーマにいままで気付かなかった自分というモノを考えさせる。本展覧会中では「展覧会を楽しむための４
つの準備」「属性の積算」「ふるまいに宿る属性」「休憩所」の４作品の制作に関わった。

格差社会の自己組織化
小田垣孝（東京電機大学）
Q. 本多久夫
人口過密の結果、格差ができるのは仕方ないとする。しかしせめて負け組が勝ち組になる可能性が残っている制度にはできないだろうか。勝った者がより強くなることになってしまっている。
A.
累進課税制などで勝ち組にリスクを負わせる制度はあるが、勝ち組がいつも損をする社会は受け入れられないのではないか。
Q. 種村正美
複雑な社会現象を比較的簡単な統計力学モデルで説明出来ている点で感銘を受けたが、好戦的人間と平和的人間がどちらも 50%ずつという場合に、平和的人間が上位ランクを占める
結果になるということに不思議な感じを受けたが、どういう理由でしょうか？
A.
結果的に平和的人間は勝ち抜けたということです。

特別講演（含・実験）
ボールルームダンスにおける身体運動
九矢光章（クヤ・ダンスカレッジ）、勝又洋子（東京電機大学）
Q. 手嶋吉法
世の中は、ドアノブの回す方向にしろ、文字の形にしろ、右利きの人に都合よく出来ている面が多いが、ボールルームダ
ンスも同様か。例えば先程見せていただいたピクチャーポーズは、男性の右手と女性の左手が引っ張り合う形だったが、逆もあるのか。
A.
ピクチャーポーズに関しては逆もある。スタンダードの基本
姿勢は、逆はなく、いつも同じ向きで組むが、右利きのダンサーが有利という訳ではない。ペアによっては、相手が左利きの方が踊りやすい場合もある。

講演会場：12 号館 1 階アトリウム
スポーツ・パフォーミングアーツに現れる形・第３部
シアターゲームに現れる形
安藤敏彦（仙台高等専門学校）
Q. 佐々木康成「負圧」についてもう少し詳しく教えてください。
A.
パントマイムなどでもスペースを区切った表現をしていると、そのスペースの「カベ」からの圧力を感じるように実際になっていくが、それがはずれるときのような感覚が負圧を感じることのもととなっていると考える。
Q. 野村和泉
棒つなぎの相関で、指先‐指先、肩‐肩ではなく、体幹‐指先等になるのは何故か。
A.
肘から先の部位が棒を落とさず支える役割をするのに対し、相手の動きに合わせた制御を体幹が行うので、相手の指先や体幹と自分の体幹の相関が高くなるようである。
最小限に捨象した動きに現れる形とその技術的背景
安本匡佑（神奈川工科大学）
Q. 佐々木康成
モーションキャプチャで線のつながりが起こったときに、子どもたちはどのように行動し始めますか。
A.
相手にちょっかいを出したり、線やポイントの動きや関係性に合わせた動きをし始めた、棒の動きや意味に合うような動きをするようになる。
Q. 北沢美帆「てんにんげん」では、ミニマルで何点くらいあれば人らしいとして認識されるでしょうか。
A.
前後の文脈があれば 2,3 点でも人らしいと感じることがあります。
Q. 野村詩織
人のバイオロジカルモーションが犬のモーションになるというのはどういうことか。
A.
自分だと認識して制御できていた点群が、自分で制御不可能
なあらかじめモーションキャプチャされた犬の点群モーショ

11 月 23 日（月・祝）
講演会場：12 号館 1 階 124 教室
形の科学一般大学生の描線 度
野村和泉（中部大学）、野村詩織（京都大学）
Q. 三谷尚私の経験として、福岡教育大と九州大での授業、いわゆる学力の差が多少ある場合、中級の物理の授業で、数式を含む時、板書を写す時間に遅い いの差が出るのは、数式の理解度によると考えてきた。
A.
そういう観点は認めるが、数式の割合に関係なく、テンプレ
ートを視写するような簡単な場合においても、なお非常に遅いという現象が出ている為、それを解釈する為に調査を行った。
Q.松岡篤
本研究の問題設定として、大学生が板書を写すのに時間がかかるという現象の解明だったように思う。この問題設定と実験による描線に対し、描線の正確さを評価することの関連を説明してほしい。
A.
本学の工学系初年次教育基本方針は、実験ノートをはじめとして記録は第三者が読むものである、という原則のもと、「実
習を通して、ルール(JIS 等)に従って記録をとり、レポート等の報告書として作成する仕方を学ばせる」ことである。従ってノートも、「自分が読めればよい」メモではなく、実習、思考の記録、証拠であり、報告の基礎として位置づけられる。
また、文字、数字の美しさは、正確な単位、物理量等の表記の基礎であるため、ノート、レポートの文字、記号の美しさ、正確さは重要であり、それらを測る尺度として、パターン描
線の正確さという観点を重要視した
C. 松浦執
質問の時間に関して思うことがいくつかあります。
小学校では、45 分で黒板 1 枚分書かれることが多いですが、子どもの書く分は目当て、いくつかのこと、結論、位が多いと思います。コミュニケーションの高い状態のクラスでは、
盛んに言葉が行きかう、そうでない状態では、一定の子は活– 89 –

発だが、他の子は見ているとなく見ている。最後に学習感想を少しだけゆっくり書く。考えていることと書くことのカップリングが気になります。
モンゴルでは小学校あるいは先生方では、美しい字で沢山書く様子が印象的でした。しかし、自分自身の思考ということについては課題があると感じていました。モンゴルでは美しい文字を書く訓練をされており誇りも持っていると思います。
群れの形状について
毛利紗和子（東洋大学）、窪田佳寛（東洋大学）、望月修（東洋大学）
Q. 手嶋吉法
オオカミが 1 匹の場合のムービーで、オオカミが過ぎた後に、羊がオオカミを追いかけているシーンがあった。どのようなルールでシミュレーションをやっているのか。
A.
今回は狼とヒツジに例えた群れのシミュレーションを形に着目して行った。
ヒツジには狼を認識できる範囲(閾値)がある。ヒツジは狼を認識すると 度ベクトルを反転し逃げるようにしたが、範囲
によっては狼と並走するように見える逃げ方をする場合がある。またオオカミが通り過ぎて、しきい値より大きな距離では(ヒツジは狼を認識していないものとして)羊はランダムな動きに戻るので、オオカミに近づくことも起こりうる。
C1. 手嶋吉法(回答を受けてのコメント)実際の逃避行動に近いシミュレー
ションから面白いパターンを探すのか、リアリティを考慮しないシミュレーションから面白いパターンを探すのかで、今後の展開が変わるように思う。
C2. 手嶋吉法
イントロで、鳥が隊列を組んで飛んでいる写真があった。その様な平常時の群れの形と、今回の様な非常事態の群れの形はだいぶ異なる様に思う。普段仲の良い羊であっても、実際の逃避行時には、他をかまっていられないだろうと感じた。
フォーラム
鹿威しによる水滴落下系の計測と大偏差統計解析
山田健太（京都市立堀川高等学校）、宮崎修次（京都大学）
Q. 本多久夫「鹿威し」というのは和風庭園にあって水流を使って音を出すものだと思うのですが、大ざっぱには周期的な音が出るよ
うに思います。
A.
確かに、大ざっぱには周期的であるが、流量率にゆらぎがあ
れば、音の間隔についても、長時間平均からのゆらぎが生じる。
Q. 手嶋吉法
水滴落下の間隔がカオス的な現象であると知られているとのことで、これをコイン投げでモデル化することは適切か。(質問者の予備知識では、コイン投げはランダムな現象であり、ランダムとカオスは異なるので、対応しないのではという疑問を持った)
A.
コイン投げは、無限回試行では裏と表が出る確率は 1/2 ずつだが、有限回では、スライドの Z の式で確率が表される。
A. 宮崎修次（共著者）
コイン投げとベルヌイシフトは、後者に粗視化した観測を導入することで、共通の統計的な性質を持ち、レート関数（大偏差統計関数）の解析的導出が可能な理想的な数値モデルの例である。
水滴落下のダイナミクスが仮にベルヌイシフトに従って生じるとしたら、初通過時間分布やレート関数がこのような解析的な表式となるという意味で、講演の中で言及した。
形の科学一般面積ランダム充填(Ⅱ) －2 次元モデルからの拡張－
種村正美（統計数理研究所・名誉教授）

Q. 海野啓明
使用する乱数の性質を、例えば準乱数を使うと結果が違ってくるのかどうか。
A.
乱数発生法としてメルセンヌ・ツイスターを使っている。これは質の良い準乱数として知られているので、結果に違いはないと考える。
Q1. 本多久夫
逐次充填の場合に、わずかな重なりで充填できない場合、少しズラせて充填するという方法がある(調節のある充填)。これを円の半径ではなく円の周囲長で行うことと今回の発表と
は同じか。
A1.
そうではない。
Q2. 本多久夫
現実の現象に、このモデルと近いものがあるのか。
A2.
植物個体群が日光を受けて光合成するという競争がある場合、1 個体の生存に必要な最低限の面積を確保してできる配置のモデルになっている。
Q1. 手嶋吉法
1 次元、2 次元、3 次元のすべての次元で、ランダム逐次充填よりも面積ランダム充填の方が充填率が高いという結果だった。これは 2 次元や 3 次元のランダム逐次充填で生じる隙間
が、ボロノイ分割で有効に割り当てられるから、という理解でよろしいか。
A1.
それは違う。両者は別の充填方法。
Q2. 手嶋吉法
2 次元や 3 次元の隙間には形があるが、1 次元の隙間は線分長であり形を持たないので、面積ランダムの結果がランダム逐次充填と同じ結果になる様に思ったが、そうではなかった。
1 次元の面積ランダム充填の方が、充填率が高くなる主原因は何か。
A2.
ランダム逐次充填の場合は、2 点間の距離は一定以上である
が、面積ランダム充填では 2 点間の距離は 0 に近い場合もある。
四つ編み, 組ひも, 位相的カオス
山口喜博（帝京平成大学）
Q. 本多久夫
糸をつかうとすると、糸は紡いだ時のねじれがある。それの組ひもへの効果があると思うが。
A.
一本のひもを単位として組みひもを考えています。構成単位のひもの微細構 は組みひもには影響しません。よって、 ひものねじれは考えていません。
財布を軽くする支払いとフラクタル構
山本健（中央大学）
Q. 根岸利一郎
アメリカドルが円よりもフラクタル構 的であって、計算時間が多くなると円も微細構 が見えるのですか。
A.
フラクタル構 は硬貨の額面により定まるので、計算時間を増やしても構 が変化することはありません。
Q. 佐々木康成
最小支払いをしていると短期的なおつりをかんがみて支払えなくなるから、小銭がふえていくような感じもあるがどうしたらいいですか。
A.
長期間にわたる平均を考えると、最小支払いの方が財布が軽くなります。
スポーツ・パフォーミングアーツに現れる形・第４部
Dr.ナダレンジャーの自然災害実験教室における科学大道芸– 90 –

納口恭明（防災科学技術研究所）、罇優子（防災科学技術研究所）
Q. 佐々木康成
90°以外の積み方でも同様に縦方向ドミノは可能か。
A.
可能です。一番 いいのは 90°… 180°だ とひっかかることがあったりし ます。
Q. 手嶋吉法
縦ドミノの実験の発泡スチロールブロックの崩壊は、どの災害を模擬したか。
A.
9.11 の世界貿易センタービルの崩壊をイメージしている。
羽根形状をもつ視覚楽器
松浦昭洋（東京電機大学）、秋元俊輔（コムコ）
Q. 野村和泉「円筒中のボールの運動」の VTR に関して、どこからボー
ルを出し入れして、円筒の壁面はどうなっているか。
A.
ボールは、円筒の壁面に開けた円形の穴から出し入れしている。円筒は透明なアクリル製で、ボールはその内壁上で、穴を避け８の字運動する。
Q. 佐々木康成
覚楽器とういうところの楽器の意味、定義は。
A.
実演者による巧みな操作が可能な装置・道具、という意味で用いており、本来の聴覚（音楽）表現のための楽器を聴覚楽
器、視覚表現のための楽器を視覚楽器と呼んでいる。
Q1. 手嶋吉法
今回の羽根形状には円弧を用いたとのことで、半径はどう決めているのか。
A1.
回転操作時の装置の扱いやすさを考慮し、半径 30cm 弱、中心角 50°程度の円弧を用いた。なお、より曲率の小さな円弧を用いても、円弧同士は一点で接するため、装置の製作・操作は可能である。
Q2. 手嶋吉法
球面内ジャグリングや円筒面内のジャグリングではボールと面の摩擦は大事か。
A2.
大事である。摩擦はボールが滑らない程度まで大きくないとうまくいかない。また、ボールも質の良いゴムボールを使う必要がある。
形と知デザイン系学生による科学活動の推進高木隆司（東京農工大学・名誉教授）、大内克哉（神戸芸術工科大学）、水野慎士（愛知工業大学）
Q. 野村詩織
学生は発表の場があること知ったうえで、作品制作を行っているのか。
A.
知っている。授業の最終日を発表会にあてている。また、学外での講演や私の原稿で、良い作品を紹介することがあることを伝えている。
Q. 手嶋吉法
六角柱の束が 2 つ合わさった境界の形として、1 つの六角柱の先端にひし形３枚が現れ、その内角の 1 つはマラルディ角となる。質問者は、このことを、面心立方格子(あるいは六方最密格子)内の３次元ボロノイ領域の境界面として現れるひし形と理解していた。単にそれだけではなく、境界の面積が最小にもなっていることで良いか。
A.
そうである。ただし、正６角柱の束２つを押しつけた場合について、境界面積の最小がマラルディの角を与えることを確認したのであり、ボロノイ分割と境界面積最小の関係がどの程度一般的に成り立つかは知らない。

書評:マオール・ヨスト共著、高木監訳『美しい幾何学』
海野啓明（仙台高等専門学校）
Q. 佐々木康成
教養科目の数学の教科書として使うのはどうか。
A.
アメリカのテキストなどでもよいもの(厚くて分かりやすいもの)も出ているが、これも幾何の魅力を知るには相当に使える(全体を網羅している)ので良本である。
Q. 手嶋吉法
この本は、中高生の予備知識で読み通せるものなのか。
A.
読み通せる。とはいえ、高度なことも書かれており、我々研究者にも有益。Coxeter の『幾何学入門』を読むための入門書としても役立つ。
生痕化石からわかる深海生物の進化
松岡篤（新潟大学）
Q. 野村和泉生痕(動きや生物そのものの痕)が、なんであるかとどう判断するのか。現存の生物とその動きのデータベースから判断するのか。
A.
新しい時代の生物、浅いところの生物は、生物と動きが比較的分かっていることもあるので、それとの比較から推定する。
しかし、深海については生物そのものもいまだ不明。
Q1. 佐々木康成
一枚の生痕の写真は時間的にどのくらいでのものを切り取った写真といえるか。
A1.
結論から言うと、わからない。パターンに別のパターンが重なったりもあるので。東北地方太平洋沖地震の際、海底に新たに形成された地層に対し、どれぐらいの時間にどのような生痕が形成されるのかの研究がなされている。
Q2. 佐々木康成
その写真の生痕を見て、研究者がどのようなところを手掛かりにして生痕であると判断しているのか？ 例えば、テクス
チャのようなものとしても手掛かりになるのではないかと思うが…。
A2.
通常の堆積作用ではできない形状があると、生物の作用を考えてみるのが普通である。
宇宙実験による氷の結晶成長 ―国際宇宙ステーションでの実験成果の概要―
古川義純（北海道大学）、長嶋剣（北海道大学）、中坪俊一（北海道大学）、横山悦郎（学習院大学）、吉崎泉（JAXA）、
田丸晴香（JAXA）、島岡太郎（JSF）、曽根武彦（JAMSS）
Q. 高木隆司
無重力での雪の結晶成長でも、厚さの分布ができるか。
A.
地上と全く同じで、もちろん厚さの分布は生じる。無重力では、結晶の周辺の熱対流が起こらないので、枝の対称性が良くなるが、形態の３次元構 は基本的に変化しない。
Q1. 手嶋吉法
雪の結晶が 60°ずつ 6 方向になるのは、ミクロな視点でどう説明されるか。
Ａ1.
氷の結晶格子が六方格子だから。ただし、ミクロな結晶構からマクロな形を説明するのはそれほど簡単ではない面もある。
Q２. 手嶋吉法
その６つの部分は、完全に同じ形になるか。実際の結晶では違う形のものも多くできるのか。
A2.
良い条件下では、雪の結晶はほぼ完全な六方対称性を持つが、枝の１本１本を詳細に見ると、必ず違いが発見される。６本の枝は、それぞれ独立に成長して形作られるにもかかわらず、– 91 –

なぜ六方対称性が実現するのかを説明するのは、簡単ではない。例えば、１本の枝が先端で枝別れすれば、他の５本も同時に枝分かれが起こらないといけない。これは、６本の枝の先端の成長条件が極めて均一になっていることを示唆している。すなわち、雪の結晶の枝別れは、確率過程ではなく決定論的に決まる。

– 92 –

シンポジウム・討議記録

形の科学会誌 第 31 巻 第 2 号

第 81 回 形の科学シンポジウム 「量子科学とかたち」
討論記録（記録のあるもののみ掲載）【主催】形の科学会【共催】大学共同利用機関法人 情報・システム研究機構 統計数理研究所【会期】2016 年 6 月 3 日（金）、4 日（土）、5 日（日）【会場】統計数理研究所 〒275－0016 東京都立川市緑町 10－3
講演会場：3 階 セミナー室１
展示会場：3 階 セミナー室２【代表世話人】 西垣功一（埼玉大学大学院理工学研究科 名誉教授）〒338－8571 埼玉県さいたま市桜区下大久保 255 E-mail: koichi@fms.saitama-u.ac.jp【共同世話人】中村振一郎（理化学研究所 中村特別研究室）〒351－0198 埼玉県和光市広沢 2－1 E-mail: snakamura@riken.jp【参加費】 会員・非会員ともに一般 5,000 円、学生 1,000 円【懇親会】 6 月 4 日（土）17：30 より、統計数理研究所 3 階セミナー室２にて【懇親会費】一般 4,000 円、学生 2,000 円【第 81 回 形の科学シンポジウム WEB サイト】http://katachi-jp.com/sympo81【第 81 回 形の科学シンポジウム予稿集 電子版】http://katachi-jp.com/paper/Symposium81v2.pdf
討論記録は質問者の討論記録シートの記載にもとづいており、講演者の校正がないものもあります。
Q: 質問、A: 回答、C: コメント
討論記録

6 月 3 日（金）形と知ジグソー学習を取り入れた「理科読」による日本列島の形の探究に関する実践研究
原口るみ（東京学芸大学大学院）、松浦執（東京学芸大学）
Q1. 佐々木康成
かたちにこだわる子たちはいたか？
A1. いる。少なからずいる。
Q2.
ジグゾー法の適用に関して、シリアルな知識（パラレルではなく）についても可能となるような事例やアイデアがあるといいが。
A2.
ジグソー学習が万能とは思っていないので、適宜使用することが重要である。今回は、パラレルな知識での事例だが、シリアルなものでも可能となるような事例も探していきたい。
C. 本多久夫
地形をテーマにした例であるのが良かった。個々の興味深い事実がプレートの動きを考えることで全体的な理解が得られた例であることが良かった。理科では、この他にも周期率な
ど色々良い例があるだろう。
Q. 髙木隆司「理科読」という言葉の意味は何か。対応する英語はあるか？
A.
「理科読」の意味は、教科書以外の本を読むことで、①子どもの科学への興味関心を高める、②知識をつけ、理解を深め
る、③実験や観察の見通しをつける、④子どもたちが自分なりの表現をする、といったことを目指しています。私は特に絵本に注目したいと考えています。
「理科読」は２０１０年に生み出された 語であり、１対１で対応する英語はないと思う。
Q. 西垣功一
ジグゾー学習のジグゾーの意味はどういう内容ですか？ エ
キスパートグループで学習することで、ホームグループに戻った時にうまくすりあわされてピッタリとジグゾーのピースがはまるというような意味ですか？
A.
教室全体の課題に関する資料を断片化してホームグループのメンバーが１ピースずつ資料を担当する。同一ピースをもつ人々（エキスパートグループ）の間で議論を深めて、元のホームグループに戻って、各々が深めた知識を持ち寄り（ジグ
ソーパズルのように）全体像を描くという意味。
陰影のデザイン坂口茉紀（同志社大学）、田中秀一（同志社大学）、佐々木康成（金沢星稜大学）、坂東敏博（同志社大学）
Q. 西垣功一パターンの視覚情報と聴覚や触覚に由来するオノマトペとを対応づけることになりそうですが、脳の異なる領域間の相互作用を知ることになりそうですね。
A.
今回の実験では、脳の領域間の相互作用がどのような関係性にあるかを明らかにすることを目的にした実験ではありませんが、今後この実験を進めていくことで「ぶつぶつ」や「ざらざら」と言ったオノマトペがどのような視覚刺激によって想起されるのかといった関係は明らかにできるのではないかと考えています。その先に、脳の異なる領域間つまり、視覚
刺激を処理する部位と聴覚刺激を処理する部位がどのように相互作用しているかを推定することは出来るかもしれません。
C. 本多久夫
オノマトペの子音分布による解析が役立つように思えたが、よく理解できなかった。聴衆の多くが先行研究を理解しているわけではないから、この方法を使った理由が納得できるよう典型例のパターンなど出しながら説明すべきである。
A.
今後同様の発表を行う場合、コメントに頂いたように先行研究についての説明を改善しようと思います。ご指摘いただきましてありがとうございます。
形の科学一般顕微鏡（形状情報）に依らずにウイルスの宿主を推定するゲノム解析技術－“オリゴスティッキネス”
西 垣 功 一 （ 埼 玉 大 学 名 誉 教 授 ） 、 Shamim Ahmed(Shahjalal Univ. Science and Technology）、齋藤あゆむ（東京大学医科学研究所）
Q. 福井義浩
マウスの肝炎ウイルスはヒトに感染しない。インフルエンザ
感染に関しても、種によって感染性に差が認められる。西垣先生の提示した仮説で、それらの現象は説明できるのか？
A.
ホストとウイルスの共存時間がオリゴスティッキネス（OS）の類似性に関係するというのが本研究の中心仮説です。その意味から、感染期間に長短があれば、OS に影響がある可能性はあり、興味深いご指摘です– 93 –

学習の基礎となる標準的な文字（伝統からという意味ではなく）を教えておくという意味は、むしろこの時代にはより必要なのではないか。
A.
その通りで、現在、標準書体という書体が存在していないことは問題だと考えている。文字言語の応用性から文字の成り立ちの意義を確認する意味でも伝統を重視することは大切である。しかし、グローバルな意味での学習効率や ICT 化を考えた場合、最も標準的な文字を示すことが重要である。文部科学省は「伝統的な言語文化」という分野に書写を入れたが、文字も時代に合わせて変化していくため、問題提起を続ける必要がある。

通信 ，暗号 ，そして多面体
佐藤郁郎（宮城県立がんセンター） 、秋山仁（東京理科大学）
Q. 山口陸幸
準正多胞体の表現の（準）と（半）の使用分けを厳格に区別されているのでしょうか？
A.
ここで使用している（準 semi）は宮崎先生の（半）の意味で使用している。しかし、文献上は semi-と quasi-を逆に用いている文献もあるし、Semi-regular という term 自体、用いる人によって定義が異なっていて Confusion の原因になっている。統一がなされるという期待も薄い用語である。
Q. 西垣功一
βウイルスの疑似 20 面体構 において、各頂点を形成する
キャプソミアは複数個(5 とか 6)のタンパク質から形成されるようですが、先生の使われている表記法で表すことはできますか？
A.
関係するかもしれませんが、この場では即答しかねます。レベルの異なる問題という気はします。

6 月 4 日（土）量子科学とかたちSU(2) 代数から対称性と形へ ～方位角の波動関数の形を
代数構 から探る～
小川直久（北海道科学大学）
C. 手嶋吉法
私も大学時代に量子力学を学んだが、その後あまり使わずに現代にいたる。今回展示した数学局面の中に球面調和関数の模型も含まれており、確かに対称な形をしている。模型を作るばかりで、数理的な吟味をおろそかにしていることを、ご講演を拝聴して反省した。
C. 高木隆司
量子力学と物の形との関連を理解するためのよい考え方とその体系化のアイデアを拝聴した。
Q. 中村振一郎
パリティを x, y, z と別々に扱うのなら鏡面対称操作と同じと考えるが、そう考えてもすべてのプロセスは同じか。
A.
概念は同じである。ただし通常、鏡面対称操作は結晶構 に関するもので、量子力学的な演算子としては定義されていな
いと思う。その辺が新しい。また、この演算子を量子力学的な対象物に作用させたときの固有値が—1 になるかどうか否かで波動関数の位相反転、つまり節面の存在をチェックしている。結晶構 には位相という概念がないので、このような使い方は見当たらない。

リソスフェアの変形の微分幾何学
菊地和平（東北大学大学院）、長濱裕幸（東北大学大学院）
クモの網を模擬した構 の変形特性と冗長性に関する基礎的検討
森山卓郎（阿南工業高等専門学校）
C. 本多久夫
たて糸と横糸がクロスするところは可動なのでしようか。実際の写真をみると固定されているかもいれませんね。
A.
実際には、網にかかった獲物が動いても網全体が壊れないよ
うに、縦糸との接合部で横糸のみが切れるような接合になっているようです。しかし、今回の解析モデルにおいては、縦
糸と横糸の接合部は固定としています。縦糸と横糸の接合方法については、モデル化においての今後の課題になるかと思います。
C. 山口陸幸
クモの糸は縦糸と横糸と中間の３種類あると思います。縦糸と横糸には粘り気がなく、中間の糸には粘り気があります（と思います）。実用化の検討であれば３種類の検討をされた方が良いのではないかと思います。
A.
クモの網では、一般に横糸が粘り気のある性質のようです。
今回の解析では糸の粘性は考慮せず、縦糸と横糸で弾性定数のみを変えていますので、今後は粘性なども考慮したモデルにおいて解析を行うことも検討してみたいと思います。
弾性円管の内外圧力差による座屈高木隆司（東京農工大学名誉教授）
C. 本田久夫
圧力がかかることで血管断面は楕円に似た断面になる。その平たくなる方向は血管の全体が直線ではなくわずかにでも曲がっていればそれにより決まるということだと思います。
Q. 菊池和平
データはどのようなものを使用されたのか。
A.
医者から頂いたデータ（標準値）を使用した。
文字教育における ICT の活用
沓名健一郎（福井大学大学院）、本田容子（盛岡大学）、
高田宗樹（福井大学大学院）
C. 本多久夫
漢字の筆順を考えるときに、二通り「どちらでもよい。しかし起源からすればこちら。」という教育が良いのではないか。
伝統を伝えながら子供に負担を与えないために。
Q. 佐々木康成

量子科学とかたち（公開講演）【招待講演】
分子が認識する分子のかたち ～量子化学情報で深層学習するために～
後藤仁志（豊橋技術科学大学）
Q. 中村振一郎
アスピリンの相転移において、分子内振動と全体のバルクモードのカップルはいかに表現されていますか。
A.
現時点で，我々の CONFLEX 計算では，結晶の非対称単位が振動計算の対象となっています。相転移計算では、この非対称単位を意図的に拡張し、単位格子１～16 個を立方形に積み上げて振動計算をしています。したがって、バルク（目に見えるほどの大きさ）のカップリンリングまでは考慮していませんが、有限ナノサイズの超微結晶における振動モードに相当すると考えています。また、実際の相転移と結晶内振動との関係は、欠陥の存在とその位置が重要になりますので、それを表現するためには、欠陥の出現率を再現するまで非対称単位相当を大きくする必要があるため、大規模並列計算を行う必要があります。まだ、そこまではできていません。
Q. 松岡篤化合物記述子と三次元構 の関係についてもう少し説明してください。
A.
分子記述子（Molecular Descriptor）は，分子の構 特徴量や物性（反応性）特徴量のことです。具体的には，分子内の– 94 –

原子タイプや結合タイプ，ドナー／アクセプタ性，あるいはLogP のような物性値などを含めることもあります。この記
述子の組み合わせて様々な分子をユニークに表現することができるとすると、その記述子の集合は分子を特定することができる指紋（Finger Print）であり、分子を情報化（デジタル表現）したことになります。様々な分子に対してある物性を測定したデータを、分子記述子の Finger Print と物性を結び付けて機械学習させれば、新しい分子記述子を与えて物性を予測することができます。
一般に、分子記述子は分子の二次元情報や内部座標情報に基づいて表現することが多いですが、分子が分子を認識する（つまり、相互作用する）場合、本質的には 3 次元構 が対象になります。したがって、三次元記述子がこれからの課題であり、それは分子内原子の配置だけでなく、電子状態（構 ）を含めてどのように表現するかという問題です。一つの例として、ファーマコフォア法を紹介しましたが、予測したい物
性に対するより適切な表現方法を創 する必要があると考えています。
Q1. 細矢治夫
ケンブリッジの結晶構 予測のコンテスト 5 問にはいろいろな種類の分子やイオンがあると思うが、それをお聞きしたい。
A1.
原子数が数十の分子や、複数のイオン等を含む分子複合体、少し大きなフレキシブルな有機化合物等がありますが、タン
パク質のように大きいものはありません。
Q2. 細矢治夫
結晶構 を予測する際に 80Åの大きさが一つのメドになるといわれるが、それは分子やイオンの種類によって大きく異なるのではないか。
A2.
まず、80Åというのは、アスピリン結晶における有効結晶半径をそこまで広げると、結晶エネルギーの揺らぎが極めて小
さくなる境界のことです。我々の CONFLEX 計算では、通常、有効結晶半径内の非結合相互作用を分子単位で取り込む
ため、その意味では結晶エネルギーは分子の大きさに依存します。
一方で、原子単位で相互作用を取り込むことも可能であり、その場合は、分子のサイズにはそれほど大きく依存しないと言えます。この時に大きな影響を与えるのは、電荷分布であり、特に有効結晶半径の境界領域における電荷の正負分布に差があると、全エネルギーが揺らぎます。つまり、分子の大きさやイオンの種類というより、有効結晶半径の境界領域における電荷分布の不均一性が結晶エネルギーの安定性に大きく影響するのです。
Q. 高木隆司
巨大分子を結晶成長させるという過程がイメージしにくい。
最初何コくらいの分子から出発するのか。
A.
実験では、難しい問題で、タンパク質の結晶化を専門とする会社もあり、秘密の手法があるようです。我々の計算で、（比較的小さな分子ですが）80 オングストロームくらいまで成長させるとエネルギーの揺らぎが減少するということと、実際の結晶化プロセスとは何らかの関係があると考えています。
余談ですが、我々の CONFLEX 計算でタンパク質の結晶構 も計算したことがありますが、その場合、結晶水以外の水分子の存在が結晶構 を再現する上で重要な役割を果たしていることが分かっています。
オービタルのかたち―節面と規則性
時田澄男（埼玉大学名誉教授）
Q. 小川直久
節面の数の n 依存性について、数学的証明はなされているか？
A.
節面の数式は、波動関数の式を因数分解するだけで得られるので、その数や量子数依存性を求めている。
Q1. 細矢治夫

ミスプリの指摘
A1.
問い合わせ先を studionebula@gmail.com に訂正する。
Q2. 細矢治夫
原子軌道の形について、化学では実関数で s, p, d, f の形が見えるが、物理では複素数で表すから p, d, f の形が見えない。
A2.
s, p, d, f．
．．のうち，磁気量子数が 0 でない軌道の角部分（球面調和関数）は、複素関数である。講演では、複素数の波動関数の平方を可視化することにより、複素関数と実関数の形の相互関係がわかることを述べた。講演内容を下記にまとめたので、ご参照いただければ幸いである。
時田澄男「オービタルのかたち―節面と規則性」，形の科学会
誌 31, 11-20 (2016).
http://katachi-jp.com/paper/31_1.pdf
電子励起状態ポテンシャルの形と光化学反応 ～フォトク
ロミック分子（ジアリールエテン）の光異性化反応を例に～
小林高雄（（株）MCHC R&D シナジーセンター）
Q. 岩田修一
真空中でなく溶液中のシミュレーションの現状についてご教示ください。特に体液中の薬のふるまいを考えた場合は、十分なレベルでしょうか。
A.
B－O 近似を基軸にして、注目する生体系の内、反応に関与する部分とそれ以外の部分に分割し、前者を量子化学的に(QM により)取り扱い、後者を古典的に(MM により)取り扱う
QM/MM MD シミュレーションを活用すれば、ある精度内でシミュレーション可能である。
プロトンのダイナミックな挙動についても、それを量子的に取り扱えば一定の精度でシミュレーション可能である。
化学素反応における分子軌道の“形”の最小変化：量子科学の新しい観点と福井－Woodward－Hoffmann 理論の統一
野平博之（埼玉大学名誉教授）
Q1. 細矢治夫
非交差則の正誤性は感覚的に判断すべき問題ではない。基本
的なやさしい理論を次第に複雑で高度なものに積み上げていくことをせずに、基本的なところを初めから否定する教育をしたら、とんでもない科学者が育ってしまう。
A1.
私の判断は、講演で詳しく説明したように、決して感覚的なものではなく、実証的な検討を重ねて到達した結論です。とりわけ重要なものは、非交差則の原点とされる、
Neumann-Wigner の論文；Z. Physik, 30, 467 (1929) の記
述です。この論文の後半の数行に、“変化の 度が大きい場合、波動関数のエネルギーは非交差とはならずに変化する”、とあります。これまで十分に認識されて来ませんでしたが、化学
素反応の さは、10-13～10-14 sec. であり、（cf. 山内薫著、「超短 パ ル スレ ーザ ー によ る 化学反 応 の 実時 間観 測 、 A. H.
Zewail 教授の業績」、現代化学、2000 年 1 月号）、これから考察すれば、“化学素反応における波動関数の変化に非交差則を適用する必要はない” という結論が導かれるはずです。最も基本的な Neumann-Wigner の原論文を検討していただけ
れば幸いです。
Q2. 細矢治夫
福井のフロンティア軌道理論の HOMO－LUMO の対称性重視の考え方は非交差則を否定するものではない。
A2.
確かに、福井氏は“意識的に”非交差則を否定して、
HOMO-LUMO の理論を提唱されているものではありません。
しかし、この理論を適用した Diels-Alder 反応の説明、あるいはナフタレンへの求電子核置換反応などの説明は、結果的に非交差則を否定していることになります。(cf. H. Nohira, T.
Nohira, J. Theor. Comput. Chem. 11, 379(2012).
なお、福井氏には、私が 1985 年頃までに討論会、雑誌などで公表した講演要旨、別刷などが届けてあります。その代表的なものは、野平著、「軌道相の最小変化、福井理論および– 95 –

Woodward-Hoffmann 則の論理構 とその統一理論原理」現代化学、1983 年 8 月号です。また、直接意見交換する機会もいただいております。しかし、福井氏からの反論は聞いておりません。そのような記録がどこかにありましたらご教示下さい。
Q. 小川直久
井戸型ポテンシャル中の粒子の波動関数のエネルギー固有値を考えるとき、基底状態のエネルギーは、壁の広さに依存するので壁には量子力学的な力が作用していると考えている。
したがって、壁を瞬時に動かすということは外部とのエネル
ギーの受け渡しが行なわれたと考えるべきではないか。そうだとすると、同じエネルギーレベルの準位に移るというのは、矛盾するのではないか。
A.
その点は問題であると考えている。しかし、原著者が提起した問題とその回答（D. J. Tannor, Introduction to Quantum
Mechanics A Time Dependent Perspective, pp. 7-10,
University Science Books, 2007, 同、山下ほか訳、入門量子ダイナミクス、時間依存の量子力学を中心に（上）pp. 8-12,
化学同人、2011.）においても、“外部とのエネルギーの受け渡し”は考慮されていない。また、状態は波束として変化しているが、エネルギーの総和は保存されている。“外部とのエネルギーの受け渡し”は無いものとしたモデル的な問題提起と考えればよいのではないでしょうか。
なお、私の解釈とは切りはなして、原著者が提起している問題とその回答に限ったとき、その当否は如何でしょうか。
Q. 小林高雄WH 則を考える際、オリジナルな非交差則に基づく軌道相関図ではなく、軌道の形の最小変化に基づいて書かれた相関図から考えた場合、いつでも WH 則を満たす保障が無くなってしまうのではないか？
A.
そのようなことはなく、いつでも WH 則を満たす。

公開講演（一般テーマ）【招待講演】
ビッグデータ、人工知能、そしてセレンディピティ
樋口知之（統計数理研究所）
Q. 細矢治夫
高校の数学では「統計」はまま子扱い。この分野の研究者として何か動きはないのか。
A.
統計コミュニティとともに改善できるよう努力している。
Q. 川上保衛
政府の経済政策を打ち出す時に、それが当たるかどうかは現代の統計能力から可能ではないか。ただし一つの結果を社会に提示したときに、そのことによって別の行動を人間がすることになるのでこの“自己反省性”をどう数理的に処理するのかが問題となろう。
A.
モデル化も含めて、実効的な観点で誰も成功していない難し
い課題である。
Q. 高木隆司
コンピュータは、物理学の入試問題が不得意だという話があり、その理由は、物理現象の常識が無いとのことであった。
では、常識がないというものを集めて体系化してコンピュー
タに教えるということは可能か、あるいはその試みがあるだ
ろうか。
A.
「常識」を定義することは非常に難しい。それよりも背景や
文脈依存性を課題に応じてとことん集積する作業を実現する
ほうが近道である。また、そのような試みは、私は知らない。
Q. 岩田修一
日本の逆問題に関する能力を高めるためには、どうしたらよ
いか？
A.
データサイエンスの教育が有効であり、文科省もそれに重点を置き始めている。

6 月 5 日（日）
形の科学一般
力学系平衡点の可視化とデザインへの応用
山岡久俊、竹内琢磨
Q. 手嶋吉法
2 次元 (3D)の平衡点近傍の解軌道のパターンとして示された図は、網羅的か。あるいは幾つかの例か。例えば鞍点に関しては、矢印 2 本が内で 2 本が外（隣同士の矢角度 90°）の場合だけが示されたが、矢印 3 本が内で 3 本が外(隣の矢との角度 60°)、4 本が内で 4 本が外（隣との角度 45°）など、
バリエーションが無数にあるように思うが、解軌道としては実現しないのか。2D でのバリエーションが増えれば、3D、4D も様々なパターンが得られると思う。
A.
今回は固有値分布のパターンで分類しています。力学系の解軌跡の性質は固有値分布で特徴づけられますので、おおまかな形態としては網羅できていることになります。
C. 山口喜博
色付けをするともっとわかりやすくなるのではないか。
14 面体立体パズル「レインボーキューブ」の解法表示ソルバーの開発
竹内琢磨、山岡久俊
C. 手嶋吉法レインボーキューブは、結晶学者・渡辺泰成博士と機械設計技師・池上裕司（両者の当時の所属は理化学研究所）が共同開発したものである。
Q. 山口喜博
バラバラの状態がレインボーキューブで許されるのかどうかの判定を行っているのでしょうか。
A.
（回答なし）
ギーリス曲線の特徴とプロダクトデザインへの応用
松浦真也（愛媛大学）、齋藤邦彦（滋賀大学）
C. 本多久夫
矩形の角をけずっていく流れでころがっていくもの、楕円が流れでけずれるような 形でできるものとの対応がつくと面白いと思った。
Q1. 高田宗樹
p<3 (p<<3)の領域で、最大曲率は解析的に解けないか？
A1.
現段階では挑戦中である。
Q2. 高田宗樹
最大曲率の出るポイントは極座標で表した時定角になるのか？
A2.
定角ではないことは分かっているが、詳細は現段階では挑戦中である。
Q. 山岡久俊
デザイナーが決めた p=2.5 という値は結果として何かを最適化しているか？
A.
結果的に最大曲率をほぼ最小化している。
背景揺れを伴う立体映像視認時における体平衡系の数理モ
デル化
天野直（福井大学大学院）、木下史也（名古屋大学大学院）、
平田隆幸（福井大学大学院）、高田宗樹（福井大学大学院）
Q. 山岡久俊
数理モデルの意味は？
A.
「 z = −gradU + μw(t) 」
gradU ： 体 を 戻 そ う と す る 力 ,μw(t)：ノイズ– 96 –

Q. 高木隆司
表題にある「背景ゆれ」の意味が分からなかった。(1)実際の映像で揺れているのか、技術的問題でゆれが生じているのか。
(2)技術的問題でゆれが生じているのか。(3)錯覚でゆれたように見えるのか？なお、「背景ゆれ」という言葉は、(2)(3)を想像させる。一方、「ゆれる背景」だと(1)になる。
A.
本研究では(1)です。

形態形質には個体変異の幅が大きいものと、小さいものとがあります。飼育実験の条件を変えて、個体変異を明らかにするというのは、とても興味深い研究です。その方面の研究に挑戦していますが、まだ飼育できる種が限られているのが実情です。
どの種が飼育実験がしやすのかが、その理由も含めてようや
くわかってきた段階です。

科学折り紙の結晶－折り紙モデルで結晶物性を考える－
石原正三（埼玉県立大学）
C. 手嶋吉法
折り紙構 を作る過程で、物性の仮説を立てたり、構 の強度を体感したりする事は大切な事と私も思う。
Q. 手嶋吉法
ダイヤモンド構 の「固さ」をスケルトンの折り紙構 で体感できるとのお話があったが、スケルトン折り紙は正四面体とテトラポッドを合体させたような形。これに対して本来のダイヤモンド構 はテトラポットだけを結合させた形。正四面体は三角形だけでできており、固くなるのは必然といえる
ので、テトラポッドだけからなる構 が「固い」ことを体感出来る折り紙構 の教材はできないか。
A.
四面体構 自体が硬いとしても、四面体のつくる構 が鎖状
構 か網目構 化によってもモデルの硬さが変化するので、四面体を接合してできる立体構 が必ずしも硬いとは限らない。テトラポッドだけからなる構 のモデルとして、分子ふるいとして知られるゼオライト構 の折り紙モデルを制作しているが、硬さというよりも多孔質という質感を体感できる教材になっている。
Q. 野村和泉
水引きを使った折り紙ユニットのつなぎ方について説明してください。
A.
折り紙に竹串で穴を開け、短い水引きにセメダインをつけて差し込む。反対側も同様。

形と知お笑いフレームと対話の形
細川拓朗（東京学芸大学）、松浦執（東京学芸大学）
C. 高木隆司
対話のおかしさという点で、落語家の志ん生が抜群だった。
後の話のおかしさは、間の取り方にあったと思う。
A.
その通りである。落語家の枝雀による数多くの落語のサゲの分析によれば、人は緊張が緩和したときに笑うという傾向がある。落語のサゲには、心理的な不安定から安定、安定から不安定という急激な動きがあり、いずれも緊張が緩和する形になっており、笑いが起きるポイントになる。間の取り方も、話芸による心理的な緊張の取り方などに直結するものと思われる。
Q. 蛯原三華
自閉症の子供のためのロボットはどういう目的で作られたのか？
A.
自閉症の子供の教育を目的にしたものと、自閉症の診断を目的にしたものがある。顔認識や音声認識により、単に人の識別や言葉を認識するだけでなく、感情を評価し、それに対応するプログラムが可能である。子どもの言葉や動作を真似して再現してみせたり、ロボットから根気よく単純な提案を繰り返すことができる。また子どもの側からも、ロボットのために明快に表現する練習が自然にできるといった態度が生まれてくるという。近年では、言語処理によって、人に共感したり懐いたりすることが可能な AI も提案されつつある。ロボットが人間のパートナーの一つになることで、心を癒したり、
心理的負担を軽減するコミュニケーションを安定的に提供できるようになるかもしれない。

放散虫の収斂現象
松岡篤（新潟大学）
Q. 西垣功一
図中のバイオイベントの意味はなんですか？生物界における何かのイベントと対応しているのでしょうか？
A.
あくまでも放散虫の微化石から推定された「種分化」や「出現」が生じたと推定される点を示しており、現実の自然界のイベントを直接表しているわけではありません。
Q. 小川直久
時代ごとに形が違うのは、時代の要請によって、必要な機能性がそなわるように形が進化したものと考えられるか？
A.
殻形態の変化が、機能に対応した何かを直接的に示しているのではないと思います。
何度も同じパターンの進化傾向があるのを見ると、ファッシ
ョンの推移をみているような感じを受けます。何度も起こる
共通の原因は何かを突き止めることは、とても重要です。
まだ、よく分かっていません．
Q. 本田久夫
変化したものと変化しないものとが共存するのか。
A.
放散虫の分類群によって、 やかに形態変化を示すものと、変化しにくいものがあるように見えます。
Q. 手嶋吉法
放散虫の骨格形成における「きちんと形が決まる部分」と「ランダムネスに委ねられている部分」は分けられているか。(例
えば、人間の血管網のパターン形成のある部分はランダムに決まると聞く)それを調べるためには、生きている放散虫を飼い、親と子と子孫の骨格を比較すると良いと思うが、可能か。
A.

近世日本の立体図法 ―三浦梅園「玄語図」と松森胤保「動物系表」より―出原立子（金沢工業大学）
Q. 西垣功一
松森胤保の動物系表は進化的な意味や生存価値観のような概念は含まれているのでしょうか？
A.
そのような概念は入っていません。地面から空の方向に存在する位置と対応しているようです。
C1. 本多久夫
三次元配置が頭の中にある時に（図 3 にあるように立方体の頂点、1,3,7,5,2,4,8,6 とすると）、1,5,7,3 は同等な ？であるが、立体図法 A や B では同党ではなくなる。
（1-5, 1-3 は等距離だが図法 A では異？...など）。これは承知の上仕方なくつくった図法なのか、それとも差異があることを意識しての図法なのか。対象となる具体的なものを考えて検討すれば面白いのではないか。
C2. 本多久夫
左右について価値観などの区別はないのか。その価値観が反映された上でのマッピングなのか（例えば左の物は右の物より重要など）わかると面白いと思う。
Q. 松浦執3 次元的な配置の（関連性）を表現するとき 2 次元にマッピングするのですが、円環上へのマッピングが優先されているように見えます。円上への配置ということに何か意味はありそうでしょうか。
A.

– 97 –

C2. 本多久夫
摩擦のない系でつくれば安定な形ではいられないのですね。
Q1. 山口陸幸
正四面体ベースで組み上げられた正方形 or 正五角形は一本のゴムから成り立っているのですか？
A1.
ゴムは複数使用します。
Q2. 山口陸幸
正六面体ではなく立方八面体、正十二面体ではなく、二十面十二面体がベースではないか。
A.
連続的な変形が可能な為、中間状態をアルキメデス立体に関連づけることは可能であるが、本研究では、正多面体を基本とした呼び方にした。
Q. 西垣功一
念のためお伺いしますが、テンセグリティを構成する張力ベクトルの総和は 0 になりますよね。
A.
未確認ですが、そのように予想しています。

直ちには解答できないが、梅園は円・球で宇宙を表している。
胤保は円が複雑にからみ、解釈が難しい。

形の科学一般
半正多胞体の 4 接超球半径を求める（パ―ト 1）

山口陸幸
n 次元超球まわりのストークス流れ吉野隆(東洋大学)
Q. 手嶋吉法
講演の序盤で言及された「2 次元におけるパラドクス」とは何か。
A.
２次元における球（円柱）のまわりの流れはストークス近似で扱えないというものです。
C. 高木隆司
シュレーゼィンガー方程式の式は流体力学的な表現が可能(Takabayashi,?年)なので、今回の研究から量子力学の解がわ
かるかもしれない。
ケプラーの円錐曲線論
ウェルフェア ジャスティン 飛鳥（神奈川大学大学院）、
山口幸（神奈川大学大学院）、杉本剛（神奈川大学大学院）
Q. 松浦執双曲線を引くとき、2 本の糸が同じ量でるように引くとのことでしたが、何らかの仕組みの工夫があったのでしょうか。
A.
特別な仕組みはなくかけたようだ。
合同円柱の重なりからなる立体形状とその実体化
宮本圭佑（千葉工業大学大学院）、荒川久遠（千葉工業大学）、手嶋吉法（千葉工業大学）
Q. 種村正美
素朴な疑問ですが、相貫体の各面は湾曲しているのですか。
表 1 の表面積及び体制の式には(π)が含まれていないが、それで良いのか？（球をベースとする湾曲した面の表面積、体積には直観的にπが含まれるものと感じられたので。
）
A.
湾曲しているが、表面積および体積の計算をした結果、πは含まれない。これは、先行研究である Moore らの論文でも指摘されていることだが、意外な結果と言える。
Q. 根岸利一郎
軸数増加に伴って表面積、体積ともに小さくなりますか。
A.
この表（スライド）に示すように小さくなります。
Q. 出原立子
模型制作に関する質問です。ご発表内容では高精度な 3D プ
リンターを使用されていましたが 3DCG ソフト（shade など）の集合演算を用い、安価な 3D プリンターを使用しても同様に模型を制作することはできますか？
A.
可能です。発表で紹介した模型は、ナイロン粉末を材料としてレーザ焼結法による 3D プリンタで 形しましたが、低価格帯の 3D プリンタ（FDM 法による）でも 形を行ないました。 形時、前者はサポート不要で、後者はサポートが付きますので、サポート除去が綺麗に出来れば、低価格帯の 3Dプリンタでも問題ありません。
球状テンセグリティ構 の幾何学特性
浅尾祐樹（千葉工業大学）、手嶋吉法（千葉工業大学）
Q. 高田宗樹
安定性を計算する尺度はあるか。
A.
現在のところ、定性的に行っている。
C1. 本多久夫
正 6 面体から正 8 面体への変換の場合、右回転、左回転 2 通りがあるが、これらは鏡像関係ですね。

– 98 –

会告形の科学会誌 第 31 巻 第 2 号○新入会の皆様（敬称略）
山岸

義和

西澤

勝

住田

雅樹

龍谷大学

東京大学

生産技術研究所○新入会の皆様のご紹介（敬称略）
このコーナーでは，交流の促進を目的として，新入会の皆様の「主要研究分野」（ A と略記）と「形の興味」（B と略記），もしくは，お寄せいただいたご自身によるプロフィール記事 (C と略記)を掲載します．

山岸義和
A: 応用幾何学

西澤

勝

住田

雅樹

B: 折り紙、ビーズ編み

A: 材料組織制御

B: 結晶形態、数学モデルなど○平成 27 年度をもって御退会の会員 （追加）（故）長谷田泰一郎

大阪大学名誉教授○ご逝去
形の科学会より、謹んでお悔やみ申し上げます。
長谷田

泰一郎 先生低温と磁性の物理学を中心とした ご研究に従事されていました 。平成１７年度より形の科学会名誉会員として本会をご支援いただいてきました 。2016 年 8 月 15 日 に ご逝去さ れまし た。

○2016,17 年度運営委員 （2016 年 6 月 4 日承認）石原正三

埼玉県立大学保健医療福祉学部

出原立子

金沢工業大学岩田修一

事業構想大学院大学

植田毅

東京慈恵会医科大学

小川直久

北海道科学大学

高等教育支援センター

海野啓明

仙台高等専門学校

広瀬キャンパス

岸本

直子

摂南大学

沓名

健一郎

プリンス オブ ソンクラー大学

小森

雄太

明治大学

塩澤

友規

青山学院大学杉浦明弘

岐阜医療科学大学

高木隆司

武蔵野美術大学

高田

宗樹

福井大学

情報フロンティア学部メディア情報学科
医学部物理学研究室

理工学部機械工学科
人文社会学部東洋言語学科

研究・知財戦略機構
経営学部経営学科

大学院工学研究科知能システム工学専攻知能基礎講座非線形科学

研究室– 99 –

種村正美

統計数理研究所

名誉教授

手嶋

吉法

千葉工業大学 工学部機械サイエンス学科

西垣功一

埼玉大学 名誉教授

沼原利彦

医療法人社団

ぬまはら皮ふ科

根岸利一郎

埼玉工業大学

先端科学研究所

原田新一郎

埼玉県立浦和東高等学校

平田隆幸

福井大学 工学部知能システム工学科

福井義浩

徳島大学大学院

松浦昭洋

東京電機大学

情報システムデザイン学系

松浦執

東京学芸大学

基礎自然科学講座理科教育学分野

松浦康之

名古屋市立大学大学院

松岡篤

新潟大学 理学部地質科学教室

宮坂寿郎

京都大学大学院 農学研究科地域環境科学専攻

宮本潔

獨協医科大学 医学総合研究所

山岡久俊

株式会社富士通研究所

山口喜博

帝京平成大学 情報学研究科

医歯薬学研究部

医科学部門

機能解剖学分野

芸術工学研究科○ 2016 年度第 1 回形の科学会運営委員会議事録

日時：2016 年 6 月 4 日（土）12:20-13:20
場所：〒190-8562 東京都立川市緑町 10-3 統計数理研究所・会議室 3
出席者（敬称略）：石原正三、小川直久、海野啓明、沓名健一郎、杉浦明弘、高木隆司、高田宗樹、種村正美、手嶋吉法、西垣功一、根岸利一郎、松浦昭洋、松浦執、松岡篤、宮本潔、山岡久俊、山口喜博
議題：(1) 会員関係報告：2016 年 5 月 28 日現在 391 名 （2015 年 6 月 20 日 401 名）(2) 2016,17 年度運営委員信任投票結果が次のように報告された。
会員の信任投票で 86 票の有効投票があり、29 名の運営委員候補者全員が信任された。
(3) 2016,17 年度形の科学会会長候補者が次のように報告された。
会長候補者 獨協医科大学 宮本 潔 氏
上の候補者について委員会に先立ち行われた 2016,17 年度運営委員による信任投票で、有効投票 29 票中 29 票の満票にて信任されたことが報告された。
(4) 2015 年度活動報告が行われた。
・形の科学シンポジウムを次のように開催した。
第 79 回：「生物に見られる「ねじれ」構造」千葉工業大学津田沼キャンパス 2015
年 6 月 12-14 日（世話人：本多久夫、手嶋吉法）。
第 80 回：「スポーツ・パフォーミングアーツに現れる形」東京電機大学 2015 年 11
月 21-23 日（世話人：松浦昭洋）。
・会誌第 30 巻 1～3 号を刊行した。
・FORMA Vol.30 を刊行した。
・2015 年度「かたちシューレ」：2015 年 12 月 21 日〜22 日福井県あわら市および福井大学文京キャンパス（一般公演は 21 日のみ。22 日は数学協働プログラムワークショップとの共催。参加無料）を行った。
・日本地球惑星科学連合「遠洋域の進化」セッション (2015/5/26)を開設し、佐々木猛智氏に招待講演を依頼。
・新潟大学旭町学術資料展示館サテライトミュージアム企画展示「殻がつくる世界」– 100 –

（2015/7/11～8/28）を後援した。
・第 16 回日本感性工学会大会(2015/9/4〜9/6)を協賛した。
・46 th ISAGA conference/Japan Association of Simulation & Gaming（2015/7/17〜7/21）
を後援した。
・新潟大学「形の科学研究センター」において下記の活動が行われた。
-2015 年 9 月 2 日（水）【シンポジウム】2015 年度公開シンポジウム-2015 年 12 月 16 日（水）【講演会】放散虫のかたち 2015－2017 年国際放散虫研究集会（InterRad）の新潟開催に向けて-2016 年 2 月 27 日（土）【シンポジウム】日本海のかたちと生き物(5) 2015 年度決算報告および監査報告が行われた。
(6) 2016 年度の活動計画が報告された。
・シンポジウムを次のように開催する。
第 81 回：「量子化学とかたち」2016 年 6 月 3 日（金）-5 日（日）統計数理研究所（東京都立川市）（世話人：西垣功一、中村振一郎）
第 82 回： 「産業技術とかたち」2016 年 10 月 7 日（金）-９日（日）産業技術総合研究所（茨城県つくば市東 1-1-1 中央第 7）（世話人：中島善人）
・会誌第 31 巻 1～3 号を刊行する。
・FORMA Vol.31 を刊行する。
・2016 年度「かたちシューレ」は検討中。
・日本地球惑星科学連合「遠洋域の進化」セッション(2016/5/23)を開設し，岸本直子氏と佐藤峰南氏に招待講演を依頼。
・第 18 回日本感性工学会大会協賛。
(7) 2016 年度予算案が報告された。
(8) 2016 年度学会賞の選考結果が報告された。
(9) その他（検討中の事項）
・学会への寄付を受け付ける。他学会での運用を参考に検討する。
・シニア会員の検討（長年にわたり学会を支援していただいた方に謝意を表し、御退職後も形の科学研究に関心を寄せていただけるよう、年会費 2000 円程度のシニア会員制度を設けることを検討。学会の加入実績が５年程度あり、所属先を退職された方）。
・企業展示（非会員の企業などが対象。形の研究と直接関係しない内容でもよい。シンポジウム開催の支援のため賛助金 10000 円をお支払いいただく。懇親会費は別）の受付を検討する。
・学会 HP へのバナー広告の掲載受付（12000 円/年）を検討する。
（以上）○2016 年度形の科学会総会議事録
日時：2016 年 6 月 4 日（土）16:30-17:20
場所：〒190-8562 東京都立川市緑町 10-3 統計数理研究所
議題：（定足数 391 名×1/15=26 名。委任状 43 通、21 名出席。よって定足数は満たされた）(1) 会員関係報告：2016 年 5 月 28 日現在 391 名 （2015 年 6 月 20 日 401 名）(2) 2016,17 年度運営委員信任投票結果報告
会員の信任投票で 86 票の有効投票があり、29 名の運営委員候補者全員が信任された。
(3) 2016,17 年度形の科学会会長の選出
会長候補者 獨協医科大学・前教授 宮本 潔 氏
新運営委員による会長候補のメール信任投票がおこなわれ、運営委員 29 名全票信任が– 101 –

得られたので、宮本氏を会長候補として総会に提案することが報告された。拍手により承認され、2016,17 年度会長は宮本潔氏に決定された。
(4) 2015 年度活動が報告された。
・形の科学シンポジウムを次のように開催した。
第 79 回：「生物に見られる「ねじれ」構造」千葉工業大学津田沼キャンパス 2015
年 6 月 12-14 日（世話人：本多久夫、手嶋吉法）。
第 80 回：「スポーツ・パフォーミングアーツに現れる形」 東京電機大学 2015 年 11
月 21-23 日（世話人：松浦昭洋）。
・会誌第 30 巻 1～3 号を刊行した。
・FORMA Vol.30 を刊行した。
・2015 年度「かたちシューレ」：2015 年 12 月 21 日〜22 日福井県あわら市および福井大学文京キャンパス（一般公演は 21 日のみ。22 日は数学協働プログラムワークショップとの共催。参加無料）を行った。
・日本地球惑星科学連合「遠洋域の進化」セッション (2015/5/26)を開設し、佐々木猛
智氏に招待講演を依頼。
・新潟大学旭町学術資料展示館サテライトミュージアム企画展示「殻がつくる世界」（2015/7/11～8/28）を後援した。
・第 16 回日本感性工学会大会(2015/9/4〜9/6)を協賛した。
・ 46 th ISAGA conference/Japan Association of Simulation & Gaming （ 2015/7/17〜
7/21）を後援した。
・新潟大学「形の科学研究センター」において下記の活動が行われた。
-2015 年 9 月 2 日（水）【シンポジウム】2015 年度公開シンポジウム-2015 年 12 月 16 日（水）【講演会】放散虫のかたち 2015－2017 年国際放散虫研究集会（InterRad）の新潟開催に向けて-2016 年 2 月 27 日（土）【シンポジウム】日本海のかたちと生き物(5) 2015 年度決算および監査が報告され、承認された。
(6) 2016 年度活動計画が報告された。
・シンポジウムを次のように開催する。
第 81 回：「量子化学とかたち」2016 年 6 月 3 日（金）-5 日（日）統計数理研究所（東京都立川市）（世話人：西垣功一、中村振一郎）
第 82 回： 「産業技術とかたち」2016 年 10 月 7 日（金）-９日（日）産業技術総合研究所（茨城県つくば市東 1-1-1 中央第 7）（世話人：中島善人）
・会誌第 31 巻 1～3 号を刊行する。
・FORMA Vol.31 を刊行する。
・2016 年度「かたちシューレ」は検討中。
・日本地球惑星科学連合「遠洋域の進化」セッション (2016/5/23)を開設し，岸本直子
氏と佐藤峰南氏に招待講演を依頼。
・第 18 回日本感性工学会大会を協賛する。
(7) 2016 年度予算が報告され承認された。
(8) 2016 年度学会賞の選考結果が報告された。
(9) その他、下記の事項につき検討が行われていることが報告された。
・寄付の受付
・シニア会員の設定
・企業展示受付
・学会 HP へのバナー広告掲載（以上）– 102 –

○ 2016 年度第 2 回形の科学会運営委員会議事録

日時：2016 年 10 月 8 日（土）11:45-12:45
場所：〒305-8560 茨城県つくば市梅園 1-1-1 国立研究開発法人 産業技術総合研究所つくば本部中央第１つくば本部・情報技術共同研究棟 共用講堂１F 小会議室
出席者（敬称略）：石原正三、高木隆司、高田宗樹、種村正美、手島吉法、西垣功一、原田新一郎、松浦昭洋、松浦執、松岡篤、宮本潔、山岡久俊、山口喜博
議題：(1) 会員関係報告：2016 年 10 月 3 日現在 399 名 （2015 年 11 月 20 日 397 名）(2) 2016,17 年度役員が確認された[幹事]
庶務幹事：種村 正美
財務幹事：宮坂 寿郎
渉外・広報幹事：石原 正三、塩澤 友規、手嶋 吉法
出版幹事：高田 宗樹、平田 隆幸
FORMA 編集委員長：高田 宗樹
会誌編集委員長：平田 隆幸
学会賞幹事：松岡 篤
監査役：小森 雄太[そのほかの諸担当]
FORMA 編集幹事：高田 宗樹、日高 芳樹
会誌副編集委員長&会誌編集事務局長：吉野 隆
形シューレ等企画：高田 宗樹
学会 web サイト管理：沓名 健一郎、海野 啓明
シンポジウム開催支援：手嶋 吉法、石原 正三(3) 2016 年度活動および予定について報告された。
・形の科学シンポジウムを次のように開催した。
第 81 回：「量子化学とかたち」2016 年 6 月 3 日（金）-5 日（日）統計数理研究所（東京都立川市）（世話人：西垣功一、中村振一郎）
第 82 回： 「産業技術とかたち」2016 年 10 月 7 日（金）-９日（日）産業技術総合研究所（茨城県つくば市東 1-1-1 中央第 7）（世話人：中島善人）
・会誌第 31 巻 1～3 号を刊行。
・FORMA Vol.31 を刊行。
・2016 年度「かたちシューレ」は検討中。
・日本地球惑星科学連合「遠洋域の進化」セッション(2016/5/23)を開設し，岸本直子
氏と佐藤峰南氏に招待講演を依頼。
・第 18 回日本感性工学会大会を協賛した。
・新潟大学旭町学術資料展示館サテライトミュージアム企画展示「 ジオパークの石ころ展」（2016/7/13～8/27）を後援した。
・第 18 回日本感性工学会大会(2016/9/9〜9/11)を協賛した。
・IEEE The 11th International Conference on Computer Science & Education(ICCSE
2016)の形の科学サテライトセッション”Forms and Fundamental Fields”を福井大学で開催した。
・新潟大学「形の科学研究センター」において下記の活動が行われた。
-2016 年 9 月 3 日（土）【シンポジウム】放散虫・魚・樹木のかたち-2016 年 6 月 21 日（火）【講演会】カイエビのかたち-2016 年 12 月 21 日（水）【講演会】放散虫のかたち(4) 2017 年度活動計画について報告された。
・シンポジウム予定について報告された。
第 83 回： 2017 年 6 月ごろ。金沢工業大学（石川県野々市市）（世話人：出原立子）
第 84 回： 2017 年 11 月ごろ。長崎大学（長崎県長崎市）（世話人：小川進）（第 85 回： 2018 年 6 月ごろ。東北大学（世話人：村田智）– 103 –

・会誌第 32 巻 1～3 号を刊行する。
・FORMA Vol.32 を刊行する。
・2017 年度「かたちシューレ」。
・国際放散虫研究集会（InterRad）を協賛する。2017 年 10 月 22-27 日。
http://interrad2017.random-walk.org(5) その他（検討中の事項）
・学会への寄付を受け付ける。他学会での運用を参考に検討する。寄付者には承諾が得られれば会誌に寄付者名を紹介する。
・シニア会員（長年にわたり学会を支援していただいた方に謝意を表し、御退職後も形の科学研究に関心を寄せていただけるよう、年会費 2000 円程度のシニア会員制度を設けることを検討。学会の加入実績が５年程度あり、所属先を退職された方。自己申告制）の設定を提案する。
・企業展示（非会員の企業などが対象。形の研究と直接関係しない内容でもよい。シンポジウム開催の支援のため賛助金 10000 円をお支払いいただく。懇親会費は別）の受付を検討する。
・学会 HP へのバナー広告の掲載受付（12000 円/年）を検討する。
（以上）– 104 –

形の科学会

平成 27 年度決算 平成 28 年度予算
（平成 28 年 6 月 4 日総会）
収入の部
平成 27 年度決算

平成 28 年度予算案

前年度より繰越
賛助金
会費
出版助成金
雑収入（合本等販売）（銀行振込）
受取利息
シンポジウム参加費
シンポジウム展示等
懇親会費

569,357
02,037,000
0709,80802,000,000
0280,49323
728,000
0
262,000

60,00020
700,0000
260,000

合計

3,876,873

3,729,828

支出の部
平成 27 年度決算

平成 28 年度予算案

出版・校正費（和文
誌）
人件費
通信費
交通費・宿泊費
振込手数料
諸雑費（事務用品等）
会場費
講演準備費
会合費（懇親会）
英文誌出版費853,366
61,95045,451
256,986
21,092
188,531
211,462
160,000
248,227
1,080,000

530,000
220,000
85,000260,000
30,000180,000
200,000
160,000
250,000
1,080,000

内訳：

学会分担金
(1,080,000)

学会分担金(1,080,000)

出版助成金

学会賞賞金
合計

(0)

(0)

40,00020,0003,167,065

3,015,000

平成 27 年度決算
収支差引残高出版助成金

709,808– 105 –

平成 28 年度予算案
714,828

○2016 年度会計監査○2016 年度形の科学会賞選定報告
形の科学会賞選定委員長
宮本

潔

形の科学会賞規則に従い 平成２８（２０１６）年 度の学会賞選定委員会（ 学会長、幹事１名、名誉会員１名、委員２名）が、種村正美（学会長）、三浦公亮（名誉会員）、平田隆幸（ 委員）、
海野啓明（委員）、宮本潔（幹事）をメンバーとして平成２８年４月１１日に発足した。

今年度、学会賞の応募は 、功労賞１件と奨励賞１件であった。当応募を受けて、学会賞選定委
員会は４月２６日から４月２８日にかけて審議した。その結果、当委員会は功労賞対象者が学会賞規則に沿うものと評価したが、奨励賞対象者は同規則に沿わず見送った。
本年度、選定委員会は形の科学会 学会賞候補者に下記の者を推薦することとした。

記

功労賞

松岡篤 氏（新潟大学理学部地質学科

教授）

推薦理由
氏は本学会に入会以来、学会の活動に積極的に関与した。形の科学シン ポジウムの代表世話人を務め（第 39 回 1997 年 6 月新潟、第 58 回 2004 年 11 月沖縄、第 75 回 2013 年 6 月糸魚川）、
形の科学を海洋生物学・地学分野等へ広げることに大きな功績があった。また氏は本学会の会長（2008 年～2012 年）や幹事（2012 年～）の要職を務めて学会の運営にあたった。その傍ら、学術研究団体「日本地球惑星科学連合」の一員として本学会の参加を図り、その年次大会において毎年、本学会のアウトリーチ活動を行っている。また氏は小中学生を含む若い人々を形の科学に導く研究教育活動を新潟大学に設置された「 形の科学研究センター」を拠点に行っており、そのシンポジウムを本学会との協賛として開催するとともに、本学会において「ジュニア会員」制度を設けることに関与して、本学会活動の活性化に積極的に貢献している。
以上のことから、同氏は本学会の活動・発展に多大な貢献があると認められ、十分功労賞に値すると判断でき、功労賞候補者として推薦する。

– 106 –

形の科学会誌の原稿募集
本誌は、”かたち”に関連した研究を促進するため、high quality な論文の発表、及び、できるかぎり自由に意見を発表できかつ討論できる場を提供することを目的として、原稿を募集しています。
原著論文(original paper )、解説論文（review paper）、速報（rapid communications）、討論(commentary)、講座（単発および連載）、エッセイ、交流、ニュースなどを掲載し、形の科学会の会員は本誌に投稿することができます。本誌に投稿された論文(original paper, review paper)
は、査読過程を経てから掲載することを原則とします。また、速報、討論、講座、エッセイ、交流、ニュースなどに関しては、より自由な発表場所を提供することを旨とし査読過程を経ずに掲載しますが、編集委員会で掲載が不適当であると判断された場合は、改訂を求めること、あるいは掲載をお断りすることがあります。
本誌の論文を論文中で引用される時は、日本語論文の場合は、形の科学会誌、11、(1997)、1-2.
欧文論文の場合は、Bulletin of Society for Science on Form, 11, (1997), 1-2. というように引用してください。

『形の科学会誌』論文投稿の案内
１

２

Editorial Board
編集委員長（Chief Editor）

平田隆幸

副編集委員長 (Sub-chief Editor)

吉野 隆（最適化工学・地球科学）

編集委員 （Editor）

高木隆司（物理・美術）種村正美（数学・幾何学）

本多久夫

（生物）

鳥脇純一郎

（工学）

宮本 潔

（医学）

石原昭三

（結晶学）

原稿投稿先

形の科学会誌への投稿論文（original paper, review paper, 講義ノートなど）の宛て先は、原則的に Web からの投稿とする。Web からの投稿が不可能な場合には下記の副編集委員長宛てに送るものとする。
吉野隆 350-8585 川越市鯨井 2100, 東洋大学 理工学部 機械工学科
Phone: 049-239-1396, Fax: 049-233-9779, Email: tyoshino@toyo.jp– 107 –

３

投稿論文の処理過程

１）編集事務局は、投稿論文を受け取った時点で、論文の種類・受付日を付加してオリジナル原稿１部を副編集委員長に送る。
２）編集委員会は、original paper, review paper に関しては、査読者１名を決めて依頼し、修正等の過程を経て受理決定をおこなう。受理原稿は、受理日をつけて副編集委員長に送る。
３）査読を必要としないもの（エッセイ、交流等）に関しては、別に査読者を決めず、編集委員
もしくは編集事務局の判断で著者に修正を依頼したり、受理の決定をする。受理原稿は、副編集委員長に送る。
４）副編集委員長は、各号の内容の編集をおこなう。
５）当面、受理原稿の掲載号は次のように決める。原稿が、次回の形の科学シンポジウム開催日の１ヶ月前までに副編集委員長に届けば、会誌の次号に掲載する。なお、著者の特別な申し出がないかぎり、原稿の著作権は形の科学会に帰属するものとする。

原稿作成要領写真製版可能な原稿のみを受け付けます。論文のテンプレートは
http://katachi-jp.com/gakkaishi からダウンロードできます。テンプレートは予告なく改訂される可能性があります。投稿された原稿はそのまま印刷されますので、以下の点に注意してください。
１）上下左右それぞれ約 2.5 cm のマージンを残す。
２）１頁４０ー４５行程度、１行４０字程度。原著論文、解説論文等は刷り上がり１０頁、速報
は刷り上がり４頁以内を原則とします（現在、第 4 種郵便物として出版していくために、この条件は少し緩くなっています）。
３）図や表は、本文中に張り込み、図の下に必ずキャプションを付けてください。
４）最初の頁には、タイトル、氏名・所属（できれば電子メールアドレスも）・英文 Keywords (５個以内)をお書きください。英文のタイトルおよび所属を併記してください。独立した英文のabstract をつけることを歓迎します。
５）タイトル、氏名・所属と本文の間（英文 abstract がある場合は英文 abstract の前）には、受付日と受理日を印刷するため、上下 2.0 cm のスペースを開けてください。
６）引用文献は、本文の最後に「文献」という見出しとともに出現順に記してください。
７）ページ番号は印刷せず、原稿の右上に鉛筆で１から通し番号をつけてください。
８）以上の作成要領と大きく異なる場合は、改訂をお願いすることがあります。

– 108 –

形の科学会は、本誌掲載著作物の複写に関する権利を一般社団法人学術著作権協会に委託しております。本誌に掲載された著作物の複写をご希望の方は、（社）学術著作権協会により許諾を受けてください。但し、企業等法人による社内利用目的の複写については、当該企業等法人が社団法人日本複写権センタ―（（社）学術著作権協会が社内利用目的複写に関する権利を再委託している団体）と包括複写許諾契約を締結している場合にあっては、その必要はございません（社外頒布目的の複写については、許諾が必要です）。
権利委託先

一般社団法人学術著作権協会〒107-0052 東京都港区赤坂 9-6-41
FAX : 03-3475-5619

乃木坂ビル 3F

E-mail : info@jaacc.jp

複写以外の許諾（著作物の引用、転載、翻訳等）に関しては、（社）学術著作権協会に委託致しておりません。直接、形の科学会へお問い合わせください。

学会誌に関する情報は http://katachi-jp.com/gakkaishi で発信しています。
形の科学会誌

Vol. 31 No. 2(2016，11 月)

発行： 形の科学会
会長： 宮本 潔〒321-0205

栃木県下都賀郡壬生町若草町 4-12

E-mail：tomoyami@cc9.ne.jp
編集委員長：平田 隆幸〒910－8507 福井市文京 3-9-1
福井大学大学院工学研究科 知能システム工学専攻
phone：0776－27－8778 fax：0776－27－8420
E-mail：hirata@u-fukui.ac.jp
副編集委員長&編集事務局：吉野 隆〒350-8585

川越市鯨井 2100

東洋大学理工学部 機械工学科
phone：049－239－1396 fax：049－233－9779
E-mail：tyoshino@toyo.jp