有限温度随伴Higgs系の相構造と1形式中心対称性
京都大学基礎物理学研究所 博士2年

川平将志

本発表は京大基研所属の林優依氏・渡辺展正氏との現在進行中の共同研究に基づくKEK研究会「熱場の量子論とその応用」
2023年8月23日 高エネルギー加速器研究機構
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Motivation
Set up and Overview
Higher form symmetry

Emergent symmetry
Summary and Discussion
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Motivation
Set up and Overview
Higher form symmetry

Emergent symmetry
Summary and Discussion
3 /41

議論したいこと:13
有限温度4次元理論（𝑆 × ℝ ）𝑆𝑈(𝑁)ゲージ場:𝑎𝜇 = 𝑎𝜇𝑎 𝑇 𝑎
随伴Higgs場:𝜙 = 𝜙 𝑎 𝑇 𝑎の相図を現代的視点から見直す
温度

Higgs mass 𝑚24 /41

議論したいこと:13
有限温度4次元理論（𝑆 × ℝ ）𝑆𝑈(𝑁)ゲージ場:𝑎𝜇 = 𝑎𝜇𝑎 𝑇 𝑎
随伴Higgs場:𝜙 = 𝜙 𝑎 𝑇 𝑎の相図を現代的視点から見直す
温度

閉じ込め相転移Higgs mass 𝑚25 /41

議論したいこと:13有限温度4次元理論（𝑆 × ℝ ）𝑆𝑈(𝑁)ゲージ場:𝑎𝜇 = 𝑎𝜇𝑎 𝑇 𝑎
随伴Higgs場:𝜙 = 𝜙 𝑎 𝑇 𝑎の相図を現代的視点から見直す
Higgs相転移

温度

閉じ込め相転移Higgs mass 𝑚26 /41

議論したいこと:13有限温度4次元理論（𝑆 × ℝ ）𝑆𝑈(𝑁)ゲージ場:𝑎𝜇 = 𝑎𝜇𝑎 𝑇 𝑎
随伴Higgs場:𝜙 = 𝜙 𝑎 𝑇 𝑎の相図を現代的視点から見直す

動機:

・𝑆𝑈(5)大統一理論
・ラージ𝑁解析・’t Hooft-Polyakovモノポール[Aharony-Marsano-Miwalla-Papadodimas-Raamsdonk (2003)]

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Motivation
Set up and Overview
Higher form symmetry

Emergent symmetry
Summary and Discussion
8 /41

4次元 𝑆𝑈(𝑁)ゲージ場 + 随伴Higgs場
𝑎𝜇 = 𝑎𝜇𝑎 𝑇 𝑎

𝜙 = 𝜙𝑎 𝑇 𝑎𝛽1
𝑆 = ර 𝑑𝑡 න𝑑 3 𝒙 − 2 tr 𝑓𝜇𝜈 𝑓 𝜇𝜈 + tr 𝐷𝜙 2 + 𝑉(𝜙)2𝑔0𝑉 𝜙 = 𝑚2 tr 𝜙 2 + 𝜆 tr 𝜙 4

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ゲージ対称性の”破れ方”
𝑉 𝜙 = 𝑚2 tr 𝜙 2 + 𝜆 tr 𝜙 42𝑚 = −∞のとき
𝑆𝑈 𝑘 + 1 × 𝑆𝑈 𝑘 × 𝑈(1)𝑆𝑈 2𝑘 + 1 →ℤ𝑘(𝑘+1)𝑆𝑈 𝑘 × 𝑆𝑈 𝑘 × 𝑈(1)𝑆𝑈 2𝑘 →ℤ𝑘
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𝑇=∞

ナイーブな相図(𝑁 = 2𝑘 + 1)
Higgs相転移
𝑠𝑢 𝑘 + 1 ⊕ 𝑠𝑢(𝑘) 非閉じ込め𝑠𝑢(2𝑘 + 1) 非閉じ込め𝑢(1) 非閉じ込め閉じ込め相転移𝑠𝑢 𝑘 + 1 ⊕ 𝑠𝑢(𝑘) 閉じ込め𝑢(1) 非閉じ込め

𝑇=0𝑚2 = −∞𝑠𝑢(2𝑘 + 1) 閉じ込め

𝑚2 = ∞

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秩序変数は何？
𝑇=∞

Higgs相転移

閉じ込め相転移

𝑇=0𝑚2 = −∞2𝑚 =∞12 /41

秩序変数は何？
𝑇=∞

Higgs相転移𝑃≠0𝑃≠0閉じ込め相転移

𝑃=0𝑇=0𝑚2 = −∞

𝑃=02𝑚 =∞
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秩序変数は何？
𝑇=∞

Higgs相転移𝑃≠0Higgs場 𝜙 の真空期待値は常にゼロ(Elitzurの定理)

𝑃≠0
閉じ込め相転移

𝑃=0𝑇=0𝑚2 = −∞𝑃=02𝑚 =∞
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秩序変数は何？
𝑇=∞

Higgs相転移𝑃≠0

今回の発表：
この相転移線を決める秩序変数は何？

𝑃≠0
閉じ込め相転移𝑃=0

𝑇=0
𝑚2 = −∞

𝑃=02𝑚 =∞
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Higgs相転移の特徴づけ

着目する対称性： 1-form中心対称性
秩序変数： Wilsonループ（の𝑛乗）特に次の2点が重要
・1-form emergent対称性の自発的破れ
・1-form 対称性のロバストネス
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Motivation
Set up and Overview
Higher form symmetry

Emergent symmetry
Summary and Discussion
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大域的対称性＝トポロジカル演算子 𝑈(Σ𝑑−1 )0-form𝑑 − 1 次元 Σ𝑑−1

時間𝑈() = 𝑈()

トポロジカル=保存空間(𝑑 − 1次元)

18 /41

大域的対称性＝トポロジカル演算子 𝑈(Σ𝑑−1 )0-form𝑑 − 1 次元 Σ𝑑−1

時間

𝑈() = 𝑈()

トポロジカル=保存空間(𝑑 − 1次元)

例： 𝑈𝜃 (𝑀) = 𝑒𝑖𝜃 ‫׬‬Σ𝑑−1∗𝑗𝑑∗𝑗 =019 /41

大域的対称性＝トポロジカル演算子𝑈(Σ𝑑−𝑝−1 )0-form𝑝-form𝑑 − 1 次元 Σ𝑑−1
𝑑 − 𝑝 − 1 次元 Σ𝑑−𝑝−1[Kapustin-Seiberg (2014)][Gaiotto-Kapustin-Seiberg-Willett (2014)]

例：𝑑次元Maxwell理論[1]𝑈 1 ele

演算子 𝑈𝜃

𝑈𝜃 (Σ𝑑−2 ) = 𝑒𝑖𝜃 ‫׬‬Σ𝑑−2

∗𝑓𝑑∗𝑓 =0

Wilsonループ 𝑊𝑞= 𝑒𝑖#𝑞𝜃
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大域的対称性＝トポロジカル演算子𝑈(Σ𝑑−𝑝−1 )0-form𝑝-form𝑑 − 1 次元 𝑀
𝑑 − 𝑝 − 1 次元 Σ𝑑−𝑝−1

例：𝑑次元Maxwell理論[𝑑−3]
𝑈 1 mag演算子 𝑉𝜃𝑉𝜃 (Σ2 ) = 𝑒𝑖𝜃 ‫׬‬Σ 𝑓2

𝑑𝑓 = 0‘t Hooftループ 𝑇𝑚=𝑒𝑖#𝑚𝜃
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大域的対称性＝トポロジカル演算子𝑈(Σ𝑑−𝑝−1 )0-form𝑝-form𝑑 − 1 次元 𝑀
𝑑 − 𝑝 − 1 次元 Σ𝑑−𝑝−1

例：𝑑次元𝑆𝑈(𝑁)Yang-Mills理論[1]ℤ𝑁

𝑊𝑛 Σ𝑑−2(𝑛 = 0, ⋯ , 𝑁 − 1)

Gukov-Witten演算子 [Gukov-Witten (2006,2008)]（物質場が随伴表現に従うとき定義できる）

Gukov-Witten演算子

Wilsonループ 𝑊□=2𝜋𝑖𝑛𝑒 𝑁22 /41

0-from 対称性の自発的破れ

lim|𝑥−𝑦|→∞𝒪(𝑥)𝒪(𝑦)∼0∼0

特に連続的な0-form対称性が破れると，massless scalarが生じる
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1-from 対称性の自発的破れ

lim| |→∞=𝑒−# (周の長さ )∼0…非閉じ込め−# (囲む面積 )∼0…閉じ込め𝑒

特に連続的な1-form対称性が破れると，
massless vectorが生じる
24 /41

Motivation
Set up and Overview
Higher form symmetry

Emergent symmetry
Summary and Discussion
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Higgs相転移の秩序変数は何？
𝑇=∞
Higgs相転移
閉じ込め相転移

𝑇=02𝑚 = −∞2𝑚 =∞26 /41

Higgs相転移の秩序変数は何？
𝑇=∞
Higgs相転移
閉じ込め相転移

𝑇=02𝑚 = −∞2𝑚 =∞emergent対称性が重要
27 /41emergent対称性
𝑇=∞

𝑇=02𝑚 = −∞𝑚 =∞[1]1𝑈 1 ele , 𝑈 1 mag[1]ℤ𝑁

emergent対称性

2Gukov-Witten演算子
28 /41emergent対称性
𝑉 𝜙 = 𝑚2 tr 𝜙 2 + 𝜆 tr 𝜙 4𝑚2 = −∞で次がトポロジカルになる𝑈𝜃 (Σ2 ) = 𝑒𝑉𝜃 (Σ2 ) = 𝑒𝑖𝜃 ‫׬‬Σ tr 𝜙∗𝑓2[1]𝑈 1 ele𝑈(1)ゲージ対称性の中心対称性𝑖𝜃 ‫׬‬Σ tr 𝜙𝑓2[1]𝑈 1 mag
モノポールが無限に重くなることに対応
29 /41emergent対称性
𝑇=∞

𝑇=02𝑚 = −∞

𝑚 =∞

[1]
1𝑈 1 ele , 𝑈 1 mag[1]ℤ𝑁

emergent対称性

2Gukov-Witten演算子
30 /41emergent対称性の自発的破れ
𝑇=∞

[1]
1
𝑈 1 ele × 𝑈 1 mag ゲージ化

𝐵𝐶’t Hooftアノマリー

𝑇=02𝑚 = −∞[1]
1
𝑈 1 ele , 𝑈 1 mag
emergent対称性

𝑆5d = # න 𝐵 ∧ 𝑑𝐶

自発的破れによってアノマリー・マッチングする1
𝑈 1 ele →[1][1]ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘 𝑆𝑈(2𝑘 + 1)
[1]
𝑆𝑈(2𝑘)ℤ𝑘
31 /41emergent対称性の自発的破れ𝑇=∞1
𝑈 1 ele →[1][1]ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘 𝑆𝑈(2𝑘 + 1)
[1]
𝑆𝑈(2𝑘)ℤ𝑘

自発的破れに伴いmassless vector (光子)が生じる

𝑇=02𝑚 = −∞[1]
1
𝑈 1 ele , 𝑈 1 mag
emergent対称性※有限温度でも厳密にgapless(cf:有限温度NG定理)

真空が特徴づけられる※破れていないemergent対称性は相の特徴づけに使えない
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localな摂動に対するロバストネス𝑇=∞emergent対称性

[1]ℤ𝑁

1
𝑈 1 ele[1][1]→ ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘

𝑇=022𝑚 = −∞𝑚 =∞Higgs相転移線まで拡大すると期待される

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この秩序変数は 𝑊□ (𝛾)𝑘(𝑘+1)

で与えられる𝑇=∞1
𝑈 1 ele[1][1]→ ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘[1]ℤ𝑁𝑊□ (𝛾) 𝑘(𝑘+1) ∼ 0𝑊□ (𝛾) 𝑘(𝑘+1) ∼ 0Perimeter law

Area law

𝑇=022𝑚 = −∞𝑚 =∞これを見るには 𝑊□ (𝛾) 𝑘(𝑘+1) のchargeを考えればよい
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𝑘(𝑘+1)𝑊□ (𝛾)
は[1]・ℤ𝑁 chargeをもつ(Area law)[1][1]・ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘 chargeをもたない(Perimeter law)𝑊□ 𝛾 ⋯ 𝑊□ 𝛾 ↦ 𝑒 𝑖#𝜙 𝑊□ 𝛾 ⋯ 𝑒 𝑖#𝜙 𝑊□ 𝛾
𝑘 𝑘+1 コ∼𝑘 𝑘+1𝑖#𝜙𝑒𝑊□ 𝛾= 𝑊□ 𝛾 ⋯ 𝑊□ 𝛾

⋯ 𝑊□ 𝛾35 /41

Motivation
Set up and Overview
Higher form symmetry

Emergent symmetry
Summary and Discussion
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Summary
Higgs相転移の特徴づけ

着目する対称性： 1-form中心対称性
秩序変数： Wilsonループ（の𝑛乗）特に次の2点が重要
・1-form emergent対称性の自発的破れ
・1-form 対称性のロバストネス
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Discussion
𝑇=∞

Higgs相転移

ここの相転移については微妙な点がある

𝑃≠0𝑊□ (𝛾) 𝑘(𝑘+1) ≠ 0

𝑃≠0𝑊□ (𝛾) 𝑘(𝑘+1) = 0𝑃=0𝑊□ (𝛾) 𝑘(𝑘+1) ≠ 0𝑃=0𝑊□ (𝛾) 𝑘(𝑘+1) = 0

𝑇=0𝑚2 = −∞

閉じ込め相転移2𝑚 =∞38 /41

Discussion
𝑇=∞
[1]

[1]
[1]
1𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘

ℤ𝑁

[0]
[0]
0
𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘 → 1[0]ℤ𝑁 → 1[1][1]
1𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘[0][0]0𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘[1]
ℤ𝑁[0]
ℤ𝑁

𝑇=0
𝑚2 = −∞

𝑚2 = ∞

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Discussion𝑇=∞
中心対称性 ℤ𝑁 は破れている[1][1][1]
1𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘ℤ𝑁[0][0]0𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘 → 1[0]ℤ𝑁 → 1[1][1]1
𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘[0][0]0𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘[1]
ℤ𝑁[0]
ℤ𝑁

𝑇=0
𝑚2 = −∞

そもそも0-form中心対称性はロバストか？

𝑚2 = ∞

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Future work

・ラージ𝑁極限のもとでのふるまい“ラージ𝑁 ℤ𝑁 “vs𝑈(1)・𝜃項の導入・ダブルトレース項 tr 𝜙22の導入

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Back Up Slides

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Higgs機構のよくある説明
着目する対称性： ゲージ対称性
秩序変数： Higgs場の真空期待値

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Higgs機構のよくある説明
着目する対称性： ゲージ対称性
秩序変数： Higgs場の真空期待値
しかし，ゲージ対称性は自発的に破れない
Higgs場 𝜙 の真空期待値は常にゼロなので本当は微妙な問題がある

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ゲージ対称性は自発的に破れない(証明)
対称性𝐺 の自発的破れ⇔真空の縮退： Ω , 𝑈𝑔 Ω(𝑔 ∈ 𝐺)

𝐺 がゲージ対称性のとき
Ω = 𝑈𝑔 |Ω⟩（cf : ℋphys = ℋ/𝐺）

よってこれは縮退ではない
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Higgs場 𝜙 の真空期待値はゼロ(証明)
𝜙 ≠ 𝑔 ⋅ 𝜙 なのでElitzurの定理より，真空期待値はゼロ(Elitzurの定理)
𝒪
真空期待値−𝑆[𝑎]= න𝒟𝑎 𝒪 𝑎 𝑒が非ゼロの値をもてるのは，ゲージ不変性

𝒪 𝑎 =𝒪 𝑎𝑔があるとき
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[1][1]1𝑈 1 ele → ℤ𝑘+1 × ℤ𝑘 の𝑊□ (𝛾)への作用
1𝐼𝑘+1𝑚2 = −∞で𝑉(𝜙)の底にいる：𝜙 ∼ 𝑣 𝑘 + 1𝑊□ 𝛾 ↦2𝜋𝑖
𝑒 𝑘+1𝑚 𝐼𝑘+12𝜋𝑖𝑒 𝑘 𝑛 𝐼𝑘

1− 𝐼𝑘𝑘𝑊□ 𝛾∼ 𝑒 𝑖#𝜙𝑊□ 𝛾 ⋯ 𝑊□ 𝛾 ↦ 𝑒 𝑖#𝜙 𝑊□ 𝛾 ⋯ 𝑒 𝑖#𝜙 𝑊□ 𝛾𝑘 𝑘+1 コ∼ 𝑒𝑖#𝜙 𝑘 𝑘+1

𝑊□ 𝛾 ⋯ 𝑊□ 𝛾= 𝑊□ 𝛾 ⋯ 𝑊□ 𝛾

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有限温度での𝑆𝑈(𝑁)ゲージ理論
Polyakovループ

Wilsonループ

𝑡0-form 中心対称性
[0]
ℤ𝑁

閉じ込め相

[0]
ℤ𝑁 → 1
非閉じ込め相𝒙1-form 中心対称性[1]ℤ𝑁

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