Nt=8格子QCD計算による重クォーク領域のQCD臨界点近傍での有限体積スケーリング
新潟大自然, 菅原寛人
新潟大理A , 京大基研B, 筑波大宇宙史セC
江尻信司A, 北沢正清B, 金谷和至C
2023/08/28, 熱場の量子論とその応用, KEK

1

QCD有限温度相転移のクォーク質量依存性• QCDにおいてクォーク質量を重くしていった際、相転移がクロスオーバーから一次相転移に変わる質量である臨界質量を決定したい。
• QCDの相転移で、どのような対称性が破れているのか、他の模型と比較して検証したい。
• 以上のことを目的とし、格子QCD計算を用いて行った我々の重クォーク領域における臨界質量の先行研究から、さらに格子間隔を細かくした計算を行い、連続極限をとることを目指す。

ms2ndorder

physical point

1storderNf=32ndordercross over
Nf=1
2ndorder1storder0⇒閉じ込めの秩序変数であるポリヤコフループについて、格子QCDのモンテカルロシミュレーションにより計算し、スケーリング解析を行う。

Nf=2∞

mu,d∞

2

格子QCDによる臨界点の探索• 非閉じ込め相転移の秩序変数：Polyakov loop Ω• 閉じ込め相で ⟨Ω⟩ = 0，非閉じ込め相で⟨Ω⟩ > 0

Polyakov loop Ω
周期境界条件Ω• Polyakov loopの期待値
1−𝑆𝑔 +σ𝑁 ln(det𝑀)𝑓Ω = න 𝒟𝑈 Ω 𝑒𝑍
(𝛽 = 6/𝑔2 )𝑁𝑓(𝑓)𝑓• フェルミオン場の作用: 𝑆𝑞 = σ𝑓=1 σ𝑥,𝑦 𝜓ത𝑥 𝑀𝑥𝑦 𝜓𝑦𝑀𝑥𝑦 :Wilson fermionのカーネル• 格子QCDの計算では、det𝑀の計算にコストがかかる。
• ゲージ場の作用: 𝑆𝑔 = −6𝑁𝑠𝑖𝑡𝑒 𝛽𝑃

1= 𝑁𝑡 𝑎𝑇Plaquette 𝑃𝑃𝑈𝜇• 臨界点の決定には、温度・質量の連続関数としての期待値の計算が重要。
• 再重み付け法: Ω 𝛽 =‫𝑈𝒟 ׬‬Ω𝑒 −𝑆(𝛽)‫ 𝑒𝑈𝒟 ׬‬−𝑆 𝛽=Ω 𝑒 −𝛥𝑆 𝛽0

𝑒 −𝛥𝑆 𝛽0, 𝛥𝑆 = S 𝛽 − 𝑆 𝛽0

• 𝛥𝑆の計算にdet𝑀の値が必要。再重み付け法の利用は実用的ではない。

3

ホッピングパラメータ展開• ホッピングパラメータ 𝜅~1/(ma)∞1 𝜕 𝑛 ln det 𝑀 𝑛𝑛
ln det 𝑀 𝜅 = ෍𝜅
≡𝑁𝐷𝜅
෍
site𝑛
𝜕𝜅 𝑛
𝑛=1 𝑛!
𝑛=1∞

1 −1 𝑛−1
𝐷𝑛 =tr𝑁site𝑛𝜕𝑀𝜕𝜅

𝑛= 𝑊 𝑛 + 𝐿(𝑁𝑡 , 𝑛)Wilson loop type

Polyakov loop type
周期境界条件で閉じたもの• 低次の展開項(Standard Wilson Fermionの場合)
ln det𝑀 𝜅= 288𝑁site 𝜅 4 𝑃 + [768 𝑁site 𝜅 6 (3plaquette+12 × 2𝑁𝑡 𝑁𝑠3 [𝜅 𝑁𝑡 ReΩ + 6𝑁𝑡 𝜅 𝑁𝑡+2++6)]+⋯

6-step Wilson loop+6𝑁𝑡 𝜅 𝑁𝑡 +2+6𝑁𝑡 𝜅 𝑁𝑡 +2+⋯ ]Polyakov loop

Leading term

Next to leading terms• 臨界点での𝜅が小さければ、展開は収束し、臨界点が調べられる。 4

ホッピングパラメータ展開の展開項の相関 PTEP 2022, 033B05 (2022)∞

ln det 𝑀 𝜅 = 𝑁site ෍𝐷𝑛 𝜅 𝑛 ,𝑛=1

1 −1 𝑛−1
𝐷𝑛 =tr𝑁site𝑛𝜕𝑀𝜕𝜅

𝑛= 𝑊 𝑛 + 𝐿(𝑁𝑡 , 𝑛)

• 周期境界条件で閉じたポリャコフループ型の項𝐿 𝑁𝑡 , 𝑛 が臨界点の決定には重要。
• 各ゲージ配位でホッピングパラメータ展開の各項をノイズ法で計算する。
ポリャコフループ型項の相関（𝑁𝑡 = 6）

• ポリャコフループ型の項の間の相関が非常に強い。
• ゲージ場 𝑈𝑥, 𝜇 をすべて1とした時の展開項を𝐿0 (𝑁𝑡 , 𝑛)近似:

𝐿 𝑁𝑡 , 𝑛 = 𝐿0 𝑁𝑡 , 𝑛 𝑐𝑛 Re 𝛺ln det 𝑀 𝜅𝑁site− WL𝑐𝑛 : 傾き𝑛max𝑛max𝑛=෍𝐿(𝑁𝑡 , 𝑛) 𝜅 ≈ Re Ω ෍
𝐿0 (𝑁𝑡 , 𝑛) 𝑐𝑛 𝜅 𝑛𝑛=𝑁𝑡𝑛=𝑁𝑡

一つのパラメータ• 初項だけの臨界点の決定と全く同じ。
෍𝑛max𝑛=𝑁𝑡

𝑁𝑛𝑡
𝐿0 (𝑁𝑡 , 𝑛) 𝑐𝑛 𝜅𝑐,eff= 𝐿0 𝑁𝑡 , 𝑁𝑡 𝜅𝑐,LO• この方程式を解けば、高次項を考慮した臨界点が得られる。

5有効理論によるシミュレーション• Polyakov loop項を加えた有効作用で、Monte Carloシミュレーションを行う。
• 有効作用は２項（𝛽, 𝜆がパラメータ）
𝑆eff = 6𝑁site 𝛽𝑃 + 𝑁𝑠3 𝜆ReΩ
• Full QCDのシミュレーションに比べ非常に高速。クエンチQCDと同じぐらい。
• 再重み付け法が簡単にできる。→ 𝛽, 𝜆の連続関数として物理量が計算できる。
𝑛−3 σ𝑛max 0)• 高次項を取り入れる場合は、𝜆 = 𝑁𝑠𝐿(𝑁,𝑛𝑐𝜅
𝑡𝑛 𝑐,eff の読み替えで可能。
𝑛=𝑁𝑡• 𝑁𝑡 = 8の臨界点の計算では 𝑛max = 20程度で十分。 [PTEP 2022, 033B05 (2022)]6データセット
Nt=8
𝝀0.0006
0.00070.00080.00100.00120.0014𝜷6.05906.0593
6.05806.05906.05706.05806.05656.05506.0560

Ns=48
Ns=64
Ns=80
Ns=96
Ns/Nt=6Ns/Nt=8
Ns/Nt=10 Ns/Nt=12500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
500,000
×500,000
500,000
500,000
×500,000
500,000
500,000×

表の中の数字は配位数、ゲージ場の配位を5回更新するごとにP, Ωを測定した。7

Polyakov loopの分散・歪度・尖度の解析
ビンダーキュムラント

3次キュムラント𝛽の相転移点の決定：
分散のピーク、3次キュムラントのゼロ点、ビンダーキュムラント(𝐵4 )の最小点

𝛽

得られたデータからβ方向へ再重み付け⇒3つの指標が示す転移点上のβがほぼ一致（3次キュムラント：歪度(偏り)、4次キュムラント：尖度）
分散
相転移点上でのΩヒストグラム

𝛽𝛽ReΩ

λについても再重み付けし、 𝛽の相転移点をλについての連続的な関数として決定する。
8有限体積スケーリング解析• Polyakov loop のビンダーキュムラント：𝐵4 =(Ω− Ω )4(Ω− Ω )2 2⇒臨界点で体積依存性が無くなる組み合わせ
臨界点での𝐵4 はユニバーサリティクラスで決まる。(3Dイジング： 𝑏4 = 1.604)
Polyakov loopの分布

B4 相転移温度でのビンダーキュムラント

ガウス型

𝑩𝟒 = 𝟑𝜌 Ωクロスオーバー側
3有限体積Re Ω
11次相転移側𝜌 Ω𝑩𝟒 = 𝟏Re Ω𝜆𝑐𝜆

質量の臨界点で体積依存性が無くなる
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Polyakov loopヒストグラムの様子

空間体積 大・一次相転移側(λ=0.0007)
643 × 8963 × 8803 × 8

空間体積→大で分布の谷が深く
𝐵4 →小ReΩReΩ

ReΩ

・クロスオーバー側(λ=0.0010)
643 × 8ReΩ

803 × 8ReΩ

963 × 8ReΩ

空間体積→大で谷浅くなり平らに
𝐵4 →大10

先行研究(フレーバー数：2)
Nt=4𝐿𝑇 = 𝑁𝑠 /𝑁𝑡lc

Full QCDシミュレーションによる解析

Nt=6

Nt=6lcl[Phys.Rev.D104, 114509(2021)] [北沢氏によるLattice2023のトーク] [Phys.Rev.D103, 014513(2021)
Cuteri, Philipsen, Schön, Sciarra](WHOT-QCD)(WHOT-QCD)(Frankfurt group)

𝜆𝑐,NLO = 0.00503 14

𝜅𝑐,NLO = 0.0602 4 ≈ 𝜅𝑐

𝜆𝑐,NLO = 0.000818(10)𝜅𝑐,NLO = 0.09003(19)𝜅𝑐,22th = 0.08781(17) ≈ 𝜅𝑐𝜅𝑐 = 0.0877(9)WHOT-QCDの研究では誤差が小さく、 𝜅𝑐 を精密に決定することができた。

11

Nt=8の結果
・𝒃𝟒 ≈ 1.58 ~ 1.61
(𝑁𝑠 /𝑁𝑡 = 10,12の交差点上)

交差点(𝑁𝑠 /𝑁𝑡 = 8,10)

・3Dイジングユニバーサリティの
𝑏4 = 1.604と一致
・交差点上のλ, κ (𝑁𝑠 /𝑁𝑡 = 10,12)
𝜆 ≈ 0.0079 ⇒ 𝜅𝑐 ≈ 0.107

交差点(𝑁𝑠 /𝑁𝑡 = 10,12)(Frankfurt𝜅𝑐 = 0.1135(8) group, Nt=8)
ビンダーキュムラント交差点解析のグラフ
12

まとめ

Nf=2∞
ms2ndorder・○の位置を探索した。

physical point

1storderNf=32ndordercross overNf=12ndorder・我々の先行研究からさらに格子間隔を小さくした解析を行った。
1storder・ポリヤコフループのビンダーキュムラント解析を行った。
0
𝑁𝑠 /𝑁𝑡 = 10,12の結果が交差する点で、⇒ 𝒃𝟒 ≈ 1.58 ~ 1.61 (cf) 3Dイジング：𝒃𝟒 = 𝟏. 𝟔𝟎𝟒
𝜆𝑐 ≈ 0.0079, 𝜅𝑐 ≈ 0.107 (2フレーバー)

mu,d・より大きい空間体積(Ns/Nt=15)での計算をしたい。
・ 𝜆𝑐 が決まれば、2+1フレーバーでの臨界線を決定することも容易。

・臨界点において、ハドロン質量をFullQCDで計算し、Nt=4, Nt=6の結果と比較し、連続極限がとれるか議論したい。→ Nt=10も 13∞