計算工学講演会論文集 Vol.4(1999年5月）

計算工学会

   
   磯部大吾郎１）,清水 隆太２）,中村 博３）,山海 嘉之４）
Daigoro ISOBE, Ryuta SHIMIZU, Hiroshi NAKAMURA and Yoshiyuki SANKAI
1)工博 筑波大学講師 機能工学系 (〒305‑8573 茨城県つくば市天王台1‑1‑1,isobe@kz.tsukuba.ac.jp)
2)筑波大学大学院 工学研究科
3)筑波大学大学院 理工学研究科
4)工博 筑波大学講師 機能工学系 (〒305‑8573 茨城県つくば市天王台1‑1‑1,sankai@kz.tsukuba.ac.jp)
In this paper, the Finite Element Method (FEM) is proposed for application to an optimum real timecontrol system of connected piezoelectric actuators, assuming an actuator as finite elements, which aremainly used in the field of computational mechanics. The FEM is capable of expressing the state of anentire system by stiffness equations, and can cope flexibly with lack or disability of constituent elementsof the system by controlling the stiffness matrices. An inverse analysis program using the FEM, combinedwith the empirical formulae considering time-dependent characteristics of the piezoelectric material, isimplemented into an optimum control system. The system is verified by the experiments on quasi-static
displacement control of connected piezoelectric actuators. The results show the possibility of highly
accurate, real-time control of the actuators using the FEM.
Key Words: Piezoelectric Actuators, Finite Element Method (FEM), Inverse Problem, Control System,
Noncompatible Finite Element, Creep Deformation, Residual Strain

1．はじめに報告では、実験的考察から時間依存性のあるクリープ、従来のロボットは、そのほとんどが剛体と剛体とをジ残留変位の経験式を導出し、それをFEMによる逆解析アョイントで接続し、モータを駆動源として動かすため、ルゴリズムと融合させることにより、リアルタイム性を反応が鈍く、動作がぎこちないといった欠点をもつ。そ損なうことなく材料特性を精度良く考慮した。

こで本研究では、高速反応性を示す圧電アクチュエータ
った滑らかな動きをする圧電アクチュエータ集合体ロボ

2. 圧電アクチュエータのＦＥＭ逆解析圧電性を考慮した静的状態の剛性方程式[4]は、荷重ットの開発[1]を目指し、その基盤となる圧電アクチュが与えられない場合、次式で表される。

エータ集合体モジュールのリアルタイム制御法の開発を[K uu ]{d }= −[K uφ ]{φ }を多数連結することにより、従来のロボットでは難しかおこなう。制御法としては、主に構造や流体などの数値(1)

解析をおこなう手法として用いられるFEM（有限要素法）を使用する。FEMを使用することにより、個々のアここで、［Kuu ］:剛性マトリックス、［Ku φ］:圧電剛

クチュエータを有限要素で離散化し、剛性マトリックス性マトリックス、｛u｝:変位ベクトル、｛φ｝:電位ベクに個々の情報を盛り込むことによって全体の挙動を把握トルを表す。上式、およびバイモルフ型圧電アクチュエすることが可能であり、不慮の故障などに対処する冗長ータ内の電位分布の線形性を利用した逆解析理論[2][3]性をもたせることができる。しかしFEMは、一般的にはに基づき、目標変位を得るために必要な制御電圧を計算要素数の細分化により解の精度を高める必要があるため、することができる。

リアルタイム処理には不適当である。そこで、曲げ型の面内変位モードを含むことで、少ない要素数でも精度の良い解が得られる非適合要素を導入し[2][3]、解析時間を短縮しリアルタイム性を実現した。

3.クリープ・残留変位を考慮した経験式の導出
FEMによる逆解析では、式(1)に示す一般的な圧電体の構成方程式を用いているため、クリープや残留変位な前報告[2]では、圧電アクチュエータに印加される電どの時間に依存する効果は考慮されていない。そのため、圧が大きくなるにつれてヒステリシス（履歴）の影響がこれらの非線形量分だけ目標とする変位からずれること生じ、目標変位の追従性に若干誤差が生じた。そこで本になる。このずれを取り除く手段として、時間依存項を考慮した構成方程式を使用し厳密に解く手法が考えられいた電圧を取り除いても、変位は0μmには戻らずに残留るが、計算時間が長くなり、リアルタイム性を確保する

変位が生じる。そこでクリープの場合と同様に、任意の上では必ずしも良策ではない。そこで本研究では、まず時刻tにおける残留変位 u rs に関する経験式を導出した。

10(V)〜60(V)までの電圧を10(V)おきにアクチュエータに印加したときのクリープ挙動と、ある程度の時間が経過してから電圧を取り除いたときの残留変位挙動とから特性経験式を導出した。
 

図1に示すように、圧電アクチュエータに定電圧を印加した場合にはクリープが生じる。その先端変位は、追従性の比較的速い部分( u i ,i:目標変位番号)と遅い部分

400

300

200
1000( δ u )すなわちクリープとの和で表される[5]。そこで、

δu の時間依存性を漸近指数関数で近似し、任意の時刻t0

100200   

300

400, !"#$"%&%'"#(におけるクリープ変形 u cr に関する経験式を導出した。

)*+"%%'&

u rs = f inc (φ P )ui + f dec (φ P )u R b (t −ti −1 )400500d(5)300

ここで、b,dはそれぞれ、残留変位時の収束速度定数お200
100

よび収束勾配定数である。u i にかかる電圧依存関数は、



結晶構造の弾性変形に相当する量を表した関数なので、クリープの場合と同じ関数を使って表した。しかし、00100200

300400u R にかかる電圧依存関数は、電圧を取り除く過程で変500

態しきれなかった結晶が元に戻ろうとする復元量に関わ !"#$"%&%'"#(る関数である。そこで、電圧の落差に依存する反比例関)*+"%%'&

数と正比例関数の和で表現し、次式のような関数を定義{}

u cr = f inc (φ P )(u i + δu ) = f inc (φ P ) u i + (u C − u i )(1 − a t ) (2)c

ここで、a,cはそれぞれ、収束速度定数および収束勾配定数である。 u i にかかる電圧依存関数は、結晶構造の弾性変形に相当する量を表した関数で、印加電圧が高くなるにつれて大きくなる傾向がみられる。 δ u にかかる電圧依存関数についても同様の傾向があり、しかも u iした。

f dec (φ P ) =s dec1n+ s dec 2φ Pq(φ P max − φ P )(6)

ここで、sdec1,sdec2は電圧依存係数、q,nは指数、φPmax は一連の制御操作中での最大電圧を表す。さらに、電圧を取り除いた直後の残留変位 u R は、次式で表した。と同じ定電圧が印加されていることから、次のように同u R = c rs (u max − u i )じ関数を使って表した。

f inc (φ P ) = 1 + sincφ Pm(3)(7)

ここで、umaxは 一連の制御操作中での最大変位、crsは次の目標変位uiを0(μm)としたとき、低電圧時(5[V]〜30[V])ここで、sinc,mはそれぞれ、電圧依存係数および指数ででのuRとumaxの比の平均として求められる定数である。

ある。また、クリープ変形量を含んだ変位 u C を次式の4.クリープ・残留変位を考慮した制御アルゴリズムように表す。

u C = ccr u i(4)

本研究で開発したクリープおよび残留変位を考慮した制御アルゴリズムについて、図3のフローチャートに従ここでccrは、低電圧時(5[V]〜30[V])の u i との比の平均

このdiには電圧依存性が考慮されていない。そこでFEMから求められる。
, -./0って記述する。まず初期の目標変位diを設定する(a)が、

図2 に示すように、圧電アクチュエータに印加されてによる逆解析をおこない、仮の電圧φP’を算出する(b)。
次に電圧依存性を考慮した上で新しく目標変位uiを設け       (c)、再び逆解析を実施し、制御電圧φP を算出する(d)。
制御電圧φP を得た後、時間ループに入る(e)。現在の目

Young’s moduli(PZT)[1010N/m2]

Y1=5.0,Y2=5.5

標変位よりも次の目標変位が大きい場合にはクリープにPoisson’s ratio(PZT)関する経験式を使用し、逆の場合には残留変位を考慮し10Shear modulus(PZT) [10 N/m ]G2=2.02た経験式を使用する(f)。それぞれの経験式に従って各時Piezoelectric strain constants

d15=592,d31=-303,

間毎の変位を算出し(g)、FEMによる逆解析をおこない、[10-12m/V]

d33 =603

ν1=0.36,ν2=0.362

各時間毎の変位に相当する電圧φｔ’を算出する(h)。最後

Young’s moduli(Ni) [10 N/m ]Y3=21.92に、過剰電圧(φｔ’-φP)をφP から取り除くことにより、Poisson’s ratio(Ni)ν3=0.306102

真の制御電圧φｔを得ることができる(i)。これら一連の操作により、初期の目標変位に対して正確に追従する制ために実施した。一つは、経験式を導入することにより、御が可能となる。

ヒステリシスの影響を抑え、アクチュエータが精度よく制御されていることを確認する点、そしてもう一つは、FEMによる制御アルゴリズムが集合体に対して有効に作用し、連続した系の一部として個々のアクチュエータを制御していることを確認する点である。以下に、本研究で開発したリアルタイム制御システムについて記述する。
その概略図を図5に示す。

C on t ro l le r

D C s up p ly

ＰＣS er i al wi r e
A ct ua t or     まず、GUI(Graphic User Interface)アプリケーショ    

5.圧電アクチュエータ集合体のＦＥＭ制御実験
本研究で使用したバイモルフ型圧電アクチュエータの形状・寸法、材料定数をそれぞれ 図4,表1に示す。

Piezoelectricmaterial
Ni

ン上で目標変位を入力すると、瞬時に逆解析がおこなわれて必要電圧が計算され、シリアルケーブルを通じてコントローラへ送られる。その制御信号を受けたコントローラが、１台の電源から供給される電力により４本のアクチュエータへ各々の電圧を与える仕組みになっている。
本システムにより、指定周期ごとの値をリアルタイムに出力することが可能となった。
本制御システムの有効性を調べるために、４本のアクチュエータを両方向へランダムに変化させた場合について、準静的制御実験をおこなった。なお、経験式で使用する各パラメータを、a=0.91, b=0.91,c=0.52, d=0.25,sinc=4.0 × 10‑9,      
制御実験には、このアクチュエータを並列に4本並べ、下部を固定し、上部を弾性体で連結したモデルを使用した（図5参照）。本実験は、次の２点について確認する

sdec1=4.2,

sdec2=7.0 × 10‑4,m=4,q=0.5,n=2,ccr=1.20,crs=0.65, 電気‑機械結合係数αneを、αne=2.94×10‑4 と設定した。なお、FEMで使用する各アクチュエータの要素分割数は、金属板を含む各層を2要素ずつ、計6つとした。
図6に、各アクチュエータの変形挙動のシミュレーシ
ョン結果を示す。図7(a)には経験式を考慮しない場合のとした領域でも、Ch1では34.9(V),Ch2では38.2(V)と違①②Ch1Ch2Ch3Ch4Ch1Ch2Ch3Ch4Ch1Ch2Ch4Ch3⑤⑥④Ch1Ch2Ch3Ch4 

う制御電圧値が計算されている。このことから、ゴムで③Ch1Ch2Ch3Ch4連結された4本のアクチュエータが１つの連続体として取り扱われ、個々のアクチュエータが連続体の一部として制御されていることが確認された。


Ch1Ch2Ch4Ch3   !  "      #$ %&'       





,  !  - 

6.結言 

本研究では、圧電アクチュエータ集合体のFEM最適制    御システムの開発をおこなった。非適合有限要素の導入



によりリアルタイム性を確保し、時間依存項の経験式の導入により一定変位への高い追従性を実現した。




本システムは、フィードバック制御を頼ることなく、材料の特性情報を最大限に利用した最適制御システムであり、そこに用いたアルゴリズムは他の材料制御システ
ムにも適用可能である。また、FEMを制御法として使用 (# ') * "    +          "   *" "     することにより、連続体として取り扱われる系全体を並列的に把握し、突然の故障などにも柔軟に対処できる、冗長性の高い制御が可能となることが考えられる。今後、

さらに複雑な系について検討を重ねたい。

     Fig.7(b) ) *"     "          *" "     [1]藤井 輝夫,磯部大吾郎,黒田 洋司: 超並列有限要素
ロボットの研究‑概念と基礎的検討‑, 日本機械学会
ロボティクス・メカトロニクス講演会'97 講演論文集,
Vol.B,(1997),873‑874.
[2]磯部大吾郎,中川 恒:圧電アクチュエータ集合体のFEM による静的オープンループ制御,計算工学講演会
論文集, 第 3 巻, 第 2 号, (1998), 511‑514.
[3]磯部大吾郎,中川 恒: FEM による圧電アクチュエータ集合体のリアルタイム並列制御, 日本機械学会論文集(A 編), 第 65 巻, 第 629 号, (1999), 120‑126[4]H.allik,T.j.R.Hughes：Finite element method for piezoelectric

各アクチュエータに対する先端変位の時刻歴を示し、図7(b)には経験式を考慮した場合の時刻歴を示す。また、vibration , Int. J.Numer. Methods Eng. , Vol2, (1970), 151-157[5]Besedow R.W.,

Cocks

T.D.

:

Piezoelectric

ceramic

図8にはその目標変位を得るのに必要な制御電圧の推移

displacement characteristics at low frequencies and theirを示した。図7(a)と図7(b)とを比較した結果、図(b)でconsequences in Fabry-Perot interferometry , J. Phys. E:Sci.

はクリープおよび残留変位の影響が抑えられ、各アクチ

Instrum,Vol.13, (1980), 840-844

ュエータが目標とする変位に達していることが確認できる。また、例えば図8のCh1とCh2の同じ100(μm)を目標