数理解析研究所講究録
第 1544 巻 2007 年 27-33

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バナッハ空間の定数と -直和空間について$\psi$

新潟大自然科学 三谷健一 (Ken-ichi Mitani)
斎藤吉助 (Kichi-Suke Saito)
新潟大理

1

序文と準備
バナッハ空間の幾何学的構造の研究は, Clarkson による$L_{p}$

空間の一様凸性の研究が発端となり, 狭義凸性, smooth 性, non-square 性などのような空間の単位球の形状に関する概念が導入され, 様々な分野で応用されている. また, これらの幾何学的性質について, 度合いを記述する目的から, modulus of convexity,

von Neumrn-Jordan 定数, James 定数などの幾何学的定数が導入され, 現在でも盛んに研究が行われている.
本講演では, -直和の概念を用いたバナッハ空間の定数を導入し, 上で述べた幾何$\psi$

学的性質との関連を述べる.
$||\cdot\Vert$を$\mathbb{C}^{2}$上のノルムとする.

$\Vert\cdot\Vert$

が absolute であるとは$\Vert(|x|, |y|)\Vert=\Vert(x,y)\Vert(\forall(x,y)\in \mathbb{C}^{2})$のときをいう.

$\Vert\cdot\Vert$

が normalized であるとは $\Vert(1,0)\Vert=\Vert(0,1)\Vert=1$ のときをいう.

$AN_{2}=$

とおく.

$\ell_{p}-norm\Vert\cdot\Vert_{p}${$||\cdot||$: absolute normalized norms on$\mathbb{C}^{2}$}.

は absolute normalized norm の基本的な例である:$||(x, y)\Vert_{p}=\{\begin{array}{ll}(|x|^{p}+|y|^{p})^{1/p} (1\leq p<\infty),m\text{へ}(|x|, |y|) (p=\infty).\end{array}$

Proposition 1.1 ([1])$|y|\leq|w|$$\psi\in\Psi_{2}$とする. $(x,y),$ $(z,w)\in \mathbb{C}^{2}$ とする.

ならば$\Vert(x,y)\Vert_{\psi}\leq\Vert(z,w)\Vert_{\psi}$.

もし $|x|\leq|z|$28

任意の $||\cdot||\in AN_{2}$ に対して,$\psi(t)=||(1-t,t)||$

とおくと$\psi$

は $[0,1]$ 上の連続凸関数で次を満たす.
$\psi(0)=\psi(1)=1$ ,上の条件を満たす連続凸関数 全体をTheorem 1.2 (cf. [4]) 任意の.

$\cdot$$\max\{1-t,t\}\leq\psi(t)\leq 1$$\Psi_{2}$$\psi$$\backslash$$(0\leq t\leq 1)$$\psi\in\Psi_{2}$

.とする.

に対して

$||(x,y)||_{\psi}=\{\begin{array}{ll}(|x|+|y|)\psi(\ovalbox{\tt\small REJECT}) ((x,y)\neq(0,0))0 ((x,y)=(0,0))\end{array}$と定める. このとき

$||$

:

$||_{\psi}\in AN_{2}$で次が成り立つ$\psi(t)=||(1-t,t)||_{\psi}(0\leq t\leq 1)$

従って, $AN_{2}$ と$\Psi_{2}$.

は一対一対応.

任意のバナッハ空間 $X,$ $Y$ と$\psi\in\Psi_{2}$に対して, $X\oplus Y$ 上のノルムを次のように定める:$\Vert(x,y)\Vert$

この Banach 空間を $X,Y$ の$\psi$$:=\Vert(\Vert x..|, \Vert y\Vert)\Vert\sim$-直和空間といい,.

$X\oplus_{\psi}Y$

とかく.

Example 1.3 $(i)\psi=.\psi_{p}$ ならば $X\oplus_{\psi_{p}}Y=X\oplus_{p}Y$$(ii)1/2\leq\alpha\leq 1$とする.
$\psi_{\alpha}(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{\alpha-1}{\alpha}t+1 if 0\leq t\leq\alpha.t if \alpha\leq t\leq 1\end{array}$と定める. このとき$\psi_{\alpha}\in\Psi_{2}$であり,$\Vert(x,y)\Vert\psi_{\alpha}=\dot{\max}\{\Vert x\Vert+(2-\frac{1}{\alpha})\Vert y\Vert, \Vert y\Vert\}$

.

29

2

バナッハ空間の幾何学的定数

バナッハ空間の幾何学的性質の度合いを表す定数として, 古くから存在する. 有名な定数としては Clarkson による modulus of convexity や Lindenstrauss による modulusof smoothness などがある.
$X$をバナッハ空間とし, $X$ の単位球面を $Sx=\{x\in X : \Vert x\Vert=1\}$ とする. バナッハ空間 $X$ の modulus of convexity$\delta x$は次のように定義される :$\delta_{X}(\epsilon)=\inf\{1-\frac{\Vert x+y\Vert}{2}$

任意の$\epsilon>0$に対して,$\delta_{X}(\epsilon)>0$: $x,y\in S_{X},.\Vert x-y\Vert\geq\epsilon\}$ .

ならば, $X$ は uniformly convex であるという. あるならば, $X$ は umlformly non-square であるという.
は次のように定義される :バナッハ空間 $X$ の modulus of smoothness$\epsilon>0$に対して,$\delta_{X}(\epsilon)>0$$\rho x$$\rho_{X}(t)=\sup\{\frac{\Vert x+ty||+\Vert x-ty\Vert}{2}-1$$\lim_{tarrow 0}\cdot\frac{\rho x(t)}{t}=0$: $x,y\in s_{X}\cdot\}$ ,, ならば $X$ は uniformly smooth という.

Deflnition 2.1 (Clarkson) バナッハ空間 $X$ に対して,$C_{NJ}(X)= \sup\{$ $\frac{\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}}{2(||x||^{2}+||y\Vert^{2})}\cdot:(x,y)\neq(0,0)\}|$と定める. これを von Neumrn-Jordan 定数という.

Proposition 2.2 (i) 任意のバナッハ空間 $X$ に対して, $1\leq C_{NJ}(X)\leq 2$ . また, $X$ がヒルベルト空間であることと $C_{NJ}(X)=\cdot 1$ は同値1(ii) 任意のバナツハ空間$X$に対して, $C_{NJ}(X)=C_{NJ}(X^{*})$ (by Kato-Takahashi)(iii) $X$ が uniformly non-squarte であることと $C_{NJ}(X)<2$ は同値 (by $Kato- Tabhashi$) .
$’$(iv) $1\leq P\leq\infty$ ならば $C_{NJ}(L_{p})=2^{2/r-1}$ ここで $r= \min\{p, q\},$ $1/p+1/q=1$ (byClarkson).
これに関連して, Yang-Wang[7] は次の定数を導入した.

30

Definition 2.3 ([7]) バナッハ空間 $X$ に対して, $[0,1]$ 上の定数$\gamma_{X}(t)=\sup\{\frac{\Vert x+ty\Vert^{2}+\Vert x-ty\Vert^{2}}{2}$$\gamma x$

を: $x,.y\in s_{X}\}$と定める.

Proposition 2.4 ([7]) (i): $1\leq 1+t^{2}\leq\gamma_{X}(t)\leq(1+t)^{2}\leq 4$ .
(ii):
$C_{NJ}(X)= \sup\{\frac{\gamma_{X}(t)}{1+t^{2}}$: $0\leq t\leq 1\}$ .

Theorem 2.5 ([7]) $X$ をバナッハ空間とする. このとき, $X$ がヒルベルト空間であることと, 任意の $t\in[0,1]$ に対して $\gamma_{X}(t)=1+t^{2}$ であることとは同値.

Theorem 2.6 ([7]) $X$ をバナッハ空間とする. このとき次は同値.
(i) $X$ は uniformly non-square.
(ii) 任意の $t\in(O, 1$ ] に対して $\gamma x(t)<(1+t)^{2}$ .
$t$(iii) ある $t\in(0,1$ ] に対して $\gamma_{X}(t)<(1+t)^{2}$ .

Theorem 2.7 ([7]) $X$ が$\ell_{p^{-}}space$

ならば$\gamma_{\ell_{p}}(t)=\{\begin{array}{l}(\frac{(1+l)^{p}+(.1-t)^{p}}{2})^{2/p}2\leq p<\infty(1+t)^{2}p=\infty\end{array}$.3

バナッハ空間の定数と -直和$\psi$The modulus of smoothness や$\gamma x$を拡張した定数として次を導入する.

Definition 3.1 $X$ をバナッハ空間とし,$B_{X,\varphi,\psi}(t)$$\psi,$$\varphi\in\Psi_{2}$とする. このとき $[0,1]$ 上の関数

を

$B_{X,\varphi,\psi}(t)= \sup\{\frac{||(x+ty,x-ty)\Vert_{\varphi}}{\Vert(1,t)\Vert_{\psi}}$と定める.

: $x,y\in s_{X}\}$ .

31

この定数と$\rho x$や$\gamma x$を次の意味で含む.

Remark 3.2$B_{X,\psi_{1},\psi_{1}}(t)= \frac{2(\rho_{X}(t)+1)}{1+t}$,$B_{X,\psi_{2},\psi_{2}}(t)=( \frac{2\gamma_{X}(t)}{1+t^{2}})^{1/2}$.

この定数について考察する.

Proposition 3.3 (Mitani-Saito) 任意のバナッハ空間 $X$ と$\psi,$ $\varphi\in\Psi_{2}$

に対して,

.

$\frac{2\varphi(\frac{1-t}{2})}{(1+t)\psi(\frac{t}{1+t})}\leq B_{X,\varphi,\psi}(t)\leq\frac{2\varphi(\frac{1}{2})}{\psi(\frac{t}{1+t})}$

次に uniformly non-square 性を考える.
.

Theorem 3.4 (Mitani-Saito) $X$ をバナッハ空間とし,
for all $s\in(0,1)$ と仮定する. このとき次は同値:(i) $X$ は uniformly non-square.

$\varphi\in.\Psi_{2}$とする.

$\varphi(t)>$$\psi,$ $\varphi\in\Psi_{2}$とする.

$\varphi\geq\psi_{2}$$\psi,$$\psi_{\infty}(t)$(ii) 任意の $t\in(O, 1$ ] に対して(iii) ある $t\in(0,1$ ] に対して

$B_{X,\varphi,\psi}(t)< \frac{2\varphi(\frac{1}{2})}{\psi(\frac{t}{1+t})}$$B_{X,\varphi,\psi}(t)< \frac{2\varphi(\frac{1}{2})}{\psi(\frac{t}{1+t})}$.

.

Theorem 3.5 (Mitani-Saito) $X$ をヒルベルト空間どしかつ$\varphi/\psi_{2}$が $s=1/2$ で最大と仮定. このとき任意の $t\in(O, 1)$ . に対して,$B_{X,\varphi,\psi}(t).= \frac{2(1+t^{2})^{\frac{1}{2}}\varphi(\frac{1}{2})}{(1+t)\psi(\frac{t}{1+t})}$.

Theorem 3.6 (Mitani-Saito). $X$ をバナッハ空間とし,かつ$\varphi/\psi_{2}$が $s=1/2$ で最小とする.

ルト空間である.

$\varphi$$\psi,$$\varphi\in\Psi_{2}$とする.

$\varphi\leq h$が $B_{X,\varphi,\psi}(1)=\sqrt{2}$ を満たすならば $X$ はヒルベ

32Theorem 3.7 (Mitani-Saito) $2\leq p<\infty$ かつ$\varphi/\psi_{p}$$\psi,$$\varphi\in\Psi_{2}$とする.

$\varphi\geq\psi_{p}$かつが $t=1/2$ で最大と仮定する. このとき

$B_{L_{p},\varphi,\psi}(t)=2^{1-1/p} \psi(1/2)\frac{((1+t)^{p}+(1-t)^{p})^{1/p}}{(1+t)\psi(\frac{t}{1+t})}$$\psi\in\Psi_{2}$に対して,$\tilde{\psi}\in\Psi_{2}$.

を $\overline{\psi}(s)=\psi(1-s)$ とする. また$A=(\begin{array}{l}11\cdot 1-1\end{array})$とする.

$\ell_{\psi}^{2}(X)=X\oplus_{\psi}X$

とおく. 特に

Proposition(Mitani-Saito) $X$ をバナッハ空間とし$\cdot 3.8$$\ell_{\psi_{p}}^{2}(X)=l_{p}^{2}(X)$$\psi,$ $\varphi\in\Psi_{2}$とする.

(i)$||A:\cdot\ell_{\psi}^{2}(X)arrow\ell_{\varphi}^{2}(X)||=\Vert A$:$p_{\tilde{\psi}^{(X)}}2arrow p_{\tilde{\varphi}}2(X)\Vert$.

(ii)$\Vert A$

特に,$\psi$と$\varphi$:$\ell_{\psi}^{2}(X)arrow\ell_{\varphi}^{2}(X)\Vert=0\leq t\leq 1\mathfrak{W}p\max\{B_{X,\varphi,\psi}(t),B_{X,\tilde{\varphi},\tilde{\psi}}(t)\}$.

が $s=1/2$ で対称ならば,$\Vert A:\ell_{\psi}^{2}(X)arrow P_{\varphi}^{2}(X)\Vert=\sup_{0\leq t\leq 1}B_{X,\varphi,\psi}(t)$.

これから, 次が得られる.
かつとする.
for
Theorem 3.9 (Mitani-Saito [2])all $8\in(0,1)$ と仮定する. このとき, バナッハ空蘭 $X$ が uniformly non-square である$\psi,$ $\varphi\in\Psi_{2}$$\psi\neq\psi_{1}$. ことと$\Vert A$:$\ell_{\psi}^{2}(X)arrow\ell_{\varphi}^{2}(X)\Vert<\frac{2\varphi(\frac{1}{2})}{\psi(t_{0})}$が成り立つことは同値, ここで to は$\psi$の最小点.

$\varphi(t)>\psi_{\infty}(t)$33

バナッハ空間 $X$ において, 次は同値.

Corollary 3.10 (Takahashi-Kato [5])(i) $X$ が uniformly non-square.

(ii) 任意の (resp. ある) $P(1<p<\infty)$ に対して$\Vert A$(iii) 任意の (resp. ある)$r$:$\ell_{p}^{2}(X)arrow\ell_{p}^{2}(X)\Vert<2$.と $s(1<r\leq\infty, 1\leq s<\infty)$ に対して$\Vert A:\ell_{r}^{2}(X)arrow l_{\epsilon}^{2}(X)\Vert<2^{1/r’+1/\epsilon}$,が成り立つ. ここで $1/r+1/r’=1$ .

参考文献[1] M. Kato, K. -S. Saito and T. Tamura, On -direct sums of Banach spaces and$\psi$convexity, J. Austral. Math. Soc., 75(2003), 413-422.
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using -direct sums, to appear in$\psi$$J_{:}$Math. Anal. Appl.

[3] K. -S. Saito and M. Kato, Uniform convexity of -direct sums of Banach spaces,$\psi$

J. Math. Anal. Appl., 277(2003), 1-11.
[4] K. -S. Saito, M. Kato and Y. Takahashi, Absolute norms on$\mathbb{C}^{n^{:}}$, J. Math. Anal.

Appl., 252(2000), 879-905.
[5] Y. Takahashi and M. Kato, Von Neumann-Jordan constant and uniformly non-square Banach spaces. Nihonkai Math. J., 9(1998), 155-169.
[6] Y. Ihkahashi and M. Kato, Functions related to convexity and smoothness ofBanach spaces, 北海道大学数学講究録 70(2002), 52-55.
[7] C. Yang and F. Wang On a new geometric constant related to the von Neumann-Jordan constant, to appear in J. Math. Anal. Appl.