数理解析研究所講究録 1291 巻 2002 年 11-44

11量子分解法による隣接作用素のスペクトル解析
1. 個数作用素が現れない場合$\cdot$洞彰人 (Akihito Hora )1)

尾畑伸明 (Nobuaki Obata)2)

はじめに代数的確率論の枠組みにおいては, 古典的な確率変数が量子分解される. 古典的な確率変数

列に対する中心極限定理も量子的因子に対する量子中心極限定理として議論される.

このアイ

デアをグラフの隣接作用素 ( 組合せ的ラプラス作用素) に適用して, そのスペクトルの性質を調べることができる. 量子分解のアイデアを最初に明示的に取り扱ったものは, Hashimoto$\approx$[14] であり, 群のケニリーグラフに関連した量子中心極限定理を示した. HashimotO-ObataTabei [16], Tabei [34] では, 距離正則グラフの一例となる Hamming グラフに対して同様のアイデアを適用した. さらに, Coxeter 群や Johnson グラフに関する具体的な計算結果はHashimotO-Hora-Obata [15] で報告した. 白己完結的なサーベイは Hora-Obata [22] にある.
なお, これらの一連の研究の端緒は Hora [18] による代数的確率論の枠組みを用いた距離正則グラフ上の隣接行列のスペクトル解析である. そこでは, 量子分解によらず, 古典的な結果を援用しながら極限分布が導出されている.
本論文の目的は, これまでの結果をサーベイするとともに, 隣接作用素に対する量子中心極
限定理をより弱い仮定の下で証明することにある. 定理 33 が新しい結果である. 加えて, い
くつかの例を示した. さらに, 主定理の仮定を洗練した結果, 極限が 1 モード相互 ( 用フオツ
ク空間で記述できるための簡単な必要条件が導かれる (命題 52). それは, Fendler [12] や
Mlotkowski [29] が別の文脈で導入している確率的補間法を我々の枠組みに取り込む上での困難を示唆するものである. この困難を乗り越えるためには, 多モードの相互作用フオツク空間の議論が必要となるかも知れない. もしそうなら多変数の直交多項式とも関連し, 関連する議論はますます面白くなるであろう. これとは別の方向性をもった話題として, Hora $[20,]$
によるヤング図形の成長列に付随する “ フオツク空間” の議論があるが, 紙数の都合上, それは本論文の続編 [23] で取り上げる予定である. 量子分解法の今後の発展を期待したい.
なお, 本論文には, 明らかに発展途上であるような議論や備忘録的な記述も含まれている.
$.\not\in$

これらは冗長さの原因ではあるが, 理解の手助けになる可能性もあるので読者の寛容を願う.

謝辞やや畑違いながら, 本論文を発表する機会を与えて下さっ 佐野隆志氏 (山形大学) に謝したい. 本論文で取り扱った問題のいくつかは, JSPS-PAN Joint Research Project “Infinite
Dimensional Harmonic Analysis” の下で研究された. W. Mlotkowski 氏と R. Lenczewski 氏との議論は有益であった. ここに感謝したい.
$\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$\dot{}_{arrow}^{}$’

1) 岡山大学. 環境理工学部. -mail:horaQems. okayama-u.
$\mathrm{E}$2) 東北大学・大学院情報科学研究科.

$\mathrm{E}$$\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}$-mail:obataQmath. is.tohoku.

$\mathrm{a}\mathrm{c}.$

jP

12
1

代数的確率論の諸概念

1.1

代数的確率空間

単位元付きの -代数 $A$ とそれ上の状態の組 $(A, \phi)$ を代数的確率空間という. 状態とは $A$ 上で定義された -値線形関数であって, $\phi(a^{*}a)\geq 0$ と $\phi(1)=1$ をみたすものをいう. 各 $a\in A$ を代数的確率変数または単に確率変数という. 特に $a=a^{*}$ をみたすときには
実確率変数という.
さて, 異なった代数的確率空間 $(A, \phi),$ $(B, \psi)$ の確率変数 $a,$ が確率同値であるとは,$*$$\phi$$\phi$$\mathrm{C}$$b$$\phi(a^{\epsilon_{1}}a^{\epsilon_{2}}\ldots a^{\epsilon_{m}})=\psi(b^{\epsilon_{1}}b^{\epsilon_{2}}\ldots b^{\epsilon_{m}})$とすべての組合せ
がすべての $m=1,2,$に対して成り立つときにいう. 実確率変数に対してはモーメント列, が確率変数を特徴づけるこ$m=0,1,2,$とになる.
を考えよう. それぞれの確率変数
は代数的確率空間
次に, 確率変数の列(人, ) において定義されているものとする. このとき, さらに別の代数的確率空間 $(B, \psi)$とそこで定義されている確率変数 $b\in B$ があって,$\epsilon_{1},$$\ldots$$\ldots,$$\epsilon_{m}\in\{1, *\}$$\phi(a^{m}),$$a_{1},$ $a_{2},$$\ldots$$a_{n}$$\ldots$$\phi_{n}$$\lim_{narrow\infty}\phi_{n}(a_{n}^{\epsilon_{1}}a_{n}^{\epsilon_{2}}\ldots a_{n}^{\epsilon_{m}})=\psi(b^{\epsilon_{1}}b^{\epsilon_{2}}\ldots b^{\epsilon_{m}})$がすべての組合せ$\epsilon_{1},$$\ldots,$$\epsilon_{m}\in\{1, *\},$$m=1,2,$$\ldots$, に対して成り立っているとき,$b$を$\{a_{n}\}$は に確率収束するという.
の確率極限という. また,
詳しくは, アカルディー尾畑 [4] を参照されたい.
$b$$\{a_{n}\}$12

相互作用フォック空間$\cdots\geq 0$ であり, もし $\lambda_{m}=0$
数列 {\lambda 訂を与えるごとに定義される. ただし,となる $m\geq 1$ が存在するときはその先のすべての $n\geq m$ でとなっているものとす
る. 言い替えると, ここで考える数列はから始まり正数のみをとる無限列力\searrow または
有限列ということである. その無限か有限かによって無限次元または有限次元ヒルベルト空$\lambda_{0}=1,$$\lambda_{1},$$\lambda_{2},$$\lambda_{n}=0$$\lambda_{0}=1$間を定義する:$\Gamma=\sum_{n=0}^{\infty}\oplus \mathrm{C}\Phi_{n}$ここで$m_{0}$,$\Gamma=\sum_{n=0}^{m_{0}-1}\oplus \mathrm{C}\Phi_{n}$は $\lambda_{m_{0}}=0$ となる最初の番号である. また,$\{\Phi_{n}\}$,は正規直交基底を一組固定して考えることを明示するものである.
を次に線形作用素$B^{\pm}$$B^{+}\Phi_{n}=\sqrt{\frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_{n}}}\Phi_{n+1}$$B^{-}\Phi_{0}=0$,,$n\geq 0$,$B^{-}\Phi_{n}=\sqrt{\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n-1}}}\Phi_{n-1}$,$n\geq 1$,

13によって定義する. ただし, が有限次元の時は, $B^{+}\Phi_{m0-1}=0$ とおく. 自然な定義域を考えが閉作用素に拡張され (場合によっては有界作用素にもなる), それらは互いにてやれば,共役であることが容易にわかる. 以下では, 定義域に関わる微妙な議論は必要としない. こうに付随した相互作用フオツク空間をして得られた四つ組$\Gamma$$B^{\pm}$$\Gamma(\{\lambda_{n}\})=(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$と呼ぶ. いつも通り,$B^{-}$

を消滅作用素,$B^{+}$$\{\lambda_{n}\}$を生成作用素と呼ぶ.

簡単な計算によって,$B^{+}B^{-}\Phi_{0}=0$,$B^{+}B^{-} \Phi_{n}=\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n-1}}\Phi_{n}$$B^{-}B^{+} \Phi_{n}=\frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_{n}}\Phi_{n}$$B^{+n}\Phi_{0}=\sqrt{\lambda_{n}}\Phi_{n}$,,$n\geq 0$$n\geq 0$,$n\geq 1$

,

(1.1)

,

.

さらに個数作用素 $N$ を$N\Phi_{n}=n\Phi_{n}$,$n\geq 0$,のように定義する.
最も基本的な相互作用フオック空間 3 つを列挙しよう.
は (1
命題 Ll 数列 $\lambda_{n}=n!$ に付随する相互作用フオツク空間モード) ボゾンフオック空間と呼ばれ, ボゾン交換関係: $B^{-}B^{+}-B^{+}B^{-}=1$ が成り立つ. さ$\Gamma_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}=(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$

らに,,$m=0,1,2,$$\langle\Phi_{0}, (B^{+}+B^{-})^{m}\Phi_{0}\rangle_{\Gamma}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}x^{m}e^{-x^{2}/2}dx$$\ldots$.

ここで, 右辺に現れている確率分布は標準 Gauss 分布 (つまり, 平均 0, 分散 1) である.

命題 L2 数列 $\lambda_{0}=\lambda_{1}=1,$ $\lambda_{n}=0,$ $n\geq 2$ , に付随する相互作用フオツク空間
は (1 モード) フエルミオンフオツク空間と呼ばれ, フエルミオン交換関係$B^{-}B^{+}+B^{+}B^{-}=1$ が成り立つ. さらに,$\Gamma_{\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}=$$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$$\langle\Phi_{0}, (B^{+}+B^{-})^{m}\Phi_{0}\rangle_{\Gamma}=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}x^{m}(\delta_{-1}+\delta_{+1})(dx)$,$m=0,1,2,$$\ldots$.

右辺の確率分布は Bernouffi 分布である.
$n\geq 0$ , に付随する相互作用フオツク空間
命題 L3 数列
(1 モード) 自由フオック空間と呼ばれ, 自由交換関係 $B^{-}B^{+}=1$ が成り立つ. さらに,$\Gamma_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}=(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$$\lambda_{n}=1,$$\langle\Phi_{0}, (B^{+}+B^{-})^{m}\Phi_{0}\rangle_{\Gamma}=\frac{1}{2\pi}\int_{-2}^{+2}x^{m}\sqrt{4-x^{2}}dx$

右辺の確率分布は, Wigner 半円則と呼ばれる.

,$m=0,1,2,$$\ldots$

.

は

14
注意

上記の 3 つの交換関係は, いわゆる

$1\ovalbox{\tt\small REJECT}$

交換関係$B^{-}B^{+}-qB^{+}B^{-}\ovalbox{\tt\small REJECT} 1,$$-1\ovalbox{\tt\small REJECT} q\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$,の特別なものである. これは,$\lambda_{n}=[n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots[1]_{q}$に付随する相互作用フオック空間,$[n]_{q}=1+q+q^{2}+\cdots+q^{n-1}$ ,$\Gamma_{q}=(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$

によって実現される. さらに,

$m=0,1,2,$$\langle\Phi_{0}, (B^{+}+B^{-})^{m}\Phi_{0}\rangle_{\Gamma_{q}}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{m}\mu_{q}(dx)$$\ldots$,はコンパクトは -変形 Gauss 分布と呼ばれる. $-1<q<1$ のとき,をみたす確率分布
台 [ $-2/\sqrt{1-q},$ $2/\sqrt{1-q}$ をもち, Lebesgue 測度に関して絶対連続である. 密度関数は,$\mu_{q}$$q$$\mu_{q}$$\frac{\sqrt{1-q}}{2\pi}\prod_{k=1}^{\infty}(1-q^{2k})\prod_{k=1}^{\infty}(1+q^{k})\sqrt{4-(1-q)x^{2}}\prod_{k=1}^{\infty}\{1-\frac{(1-q)q^{k}x^{2}}{(1+q^{k})^{2}}\}$$= \frac{\sqrt{1-q}}{\pi}\sin\theta\prod_{k=1}^{\infty}(1-q^{k})|1-q^{k}e^{2i\theta}|^{2}$,$|x| \leq\frac{2}{\sqrt{1-q}}$で与えられる. ただし, $\theta\in[0, \pi]$ は $x\sqrt{1-q}=2\cos\theta$ によって定める. 関連する事項は, 例

えば,

13

ejk0-K\"ummerer-Speicher [8] とそこに引用されている文献を参照されたい.

$\mathrm{B}\mathrm{o}\dot{\mathrm{z}}$直交多項式

相互作用フォック空間と直交多項式との基本的な関連を初めて明らかにしたのは Accardiejko[1] である.
上の確率測度 ですべての次数のモーメントが有限実数直線$\mathrm{B}\mathrm{o}\dot{\mathrm{z}}$$\mathrm{R}$$\mu$$\int_{\mathrm{R}}|x|^{m}\mu(dx)<\infty$,$m=0,1,2,$$\cdots$,から直となるものだけを考える. Gram-Schmidt 直交化法によって単項式の列 1, $x,$が得られる. ただし, $P_{n}(x)=x^{n}+\ldots$ のように基準化するものとする. この
交多項式
とき, 直交性によって隣接 3 項間漸化式が成り立つ$x^{2},$$\ldots$$\{P_{n}\}$$P_{0}(x)=1$ ,(1.2)$P_{1}(x)=$ エー。1,$xP_{n}(x)=P_{n+1}(x)+\alpha_{n+1}P_{n}(x)+\omega_{n}P_{n-1}(x)$,$n\geq 1$.

$\cdots\geq 0$ は直交多項式を特徴づける.
これとここに現れる 2 組の数列
らを Szeg\"o-Jacobi 定数と呼ぶ.
は $n=m_{0}-1$
個の点に乗っている離散測度のときは, 直交多項式
測度 が T 度になる. 最後のとで終わり, Szeg\"o-Jacobi 定数は 2 組の有限数列
定数は, (1.2) において $P_{n+1}=0$ として決定される. 測度 が対称であることと $\alpha_{n}=0$ が$\alpha_{1},$$\mu$$\alpha_{2},$$\cdots\in \mathrm{R}$$\omega_{1},$$\omega_{2},$$\{P_{n}\}$$m_{0}$$\alpha_{1},$$\ldots,$$\alpha_{m0}$$\mu$

すべての $n\geq 1$ で成り立つことは同値である.

$\omega_{1}\ldots,$ $\omega_{m0-1}$15に付随する直交多項式を
確率測度-Jacobi 定数を {\mbox{\boldmath $\alpha$}訂と {\mbox{\boldmath $\omega$}訂とする. 数列 {\lambda 訂を

定理 15$\mathrm{S}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{g}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{i}-\mathrm{B}\mathrm{o}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{k}\mathrm{o}[1])$$\lambda_{0}=1$

,

$\mu$

$\lambda_{1}=\omega_{1}$,$\frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_{n}}=\omega_{n+1}$とし, その$\{P_{n}\}$,とする. このとき,で定義し, 付随する相互作用フオック空間をへの等距離写像 $U$ で次の性質をもったものが一意的に存在する :$\Gamma(\mathrm{C}, \{\lambda_{n}\})$$\Gamma(\mathrm{C}, \{\lambda_{n}\})$

から$L^{2}(\mathrm{R}, \mu)$$U\Phi_{0}=P_{0}$,$UB^{+}U^{*}P_{n}=P_{n+1}$

ここで $Q$ は $x$ によるかけ算作用素であり,

実際,$U:\sqrt{\omega_{1}\ldots\omega_{n}}\Phi_{n}\mapsto P_{n}$,$Q=U(B^{+}+B^{-}+\alpha_{N+1})U^{*}$$L^{2}(\mathrm{R}, \mu)$,に稠密な定義域をもつ.

が求めるものとなる.

注意 L6 次は同値な条件である:

(i)

$U$

がユニタリ.

(ii)

$U$

は

$L^{2}(\mathrm{R}, \mu)$(iii) 多項式全体がの上への写像.
$L^{2}(\mathrm{R}, \mu)$の稠密な部分空間となっている.

さらに, この条件はいわゆる determinate moment problem と関連する. 例え
なお》上記の条件が一般には成り立たないことは, Stieltjes の例から知られる:$x^{-\log x}dx$$\mu(dx)=\{$,$|\mathrm{h}.$, Deift [11].

$x\in[0, \infty)$

その他.

0,

実際, は有限測度であり, すべての次数のモーメントをもつが, $\sin(2\pi\log x)$ がすべての多項式と直交することは容易にわかる.
$\mu$

ついでに,

$\mu$

の Cauchy変換と直交多項式を直接結びつける公式を思い出しておこう (例えば, [10] . まず,$)$$G_{\mu}(z)= \int_{\mathrm{R}}\frac{\mu(dx)}{z-x}$

を

$\mu$

の Cauchy 変換という.

,$z\in \mathrm{C}$,${\rm Im} z>0,$.

すべての次数のモーメントが有限であることから,$G_{\mu}(z)$は次の形に連分数展開される:$G_{\mu}(z)=\underline{1}$$\underline{\omega_{1}}$$\underline{\omega_{2}}$$\underline{\omega_{3}}$.

$z-\alpha_{1}-z-\alpha_{2}-z-\alpha_{3}-z-\alpha_{4}-\cdots$

項で切れば, の有理関数になる. その有理関数は, 分子 $Q_{n}(z)$ が 次多項式, 分
母 $P_{n+1}$ が $n+1$ 次多項式で, ともに最高次の項の係数を 1 と基準化して表すこと力 できる.
これを第

$n$

$n$

$z$

$\grave{\grave{1}}$$\frac{Q_{n}(z)}{P_{n+1}(z)}=\frac{1}{z-\alpha_{1}}\frac{\omega_{1}}{z-\alpha_{2}}\frac{\omega_{2}}{z-\alpha_{3}}\frac{\omega_{3}}{z-\alpha_{4}}\frac{\omega_{n}}{z-\alpha_{n+1}}---.-\cdots$.

16に付随する直交多項式に一致し, {\mbox{\boldmath $\alpha$}訂, {\mbox{\boldmath $\omega$}訂は (12) でこのとき, まさに分母の多項式が定まる-Jacobi 定数に他ならない. なお, {Q 訂は の随伴直交多項式と呼ばれ,
$\mu$

$\mu$

$\mathrm{S}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{g}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$Q_{0}(x)=1$ ,$\{$$Q_{1}(x)=x-\alpha_{2}$

(1.3)

,

$xQ_{n}(x)=Q_{n+1}(x)+\alpha_{n+2}Q_{n}(x)+\omega_{n+1}Q_{n-1}(x)$,$n\geq 1$.

によって一意的に定まる.

14

位置変数の量子分解

量子力学では,$x$によるかけ算作用素 $Q$ は位置を表す. $Q$ によって生成される -代数 $A$$*$と$\phi(a)=\langle P_{0}, aP_{0}\rangle_{L^{2}(\mathrm{R},\mu)}$,$a\in A$.

を組にして代数的確率空間 $(A, \phi)$ を考える. 一方, 相互作用として定義される状態
から自然に代数的確率空間が構成される. すなわち, $B$ を
フォック空間を真空状態から生成される -代数とし,$\phi$$(\Gamma, \{\lambda_{m}\}, B^{+}, B^{-})$$B^{+},$ $B^{-},$$*$$\alpha_{N+1}$$\psi$$\psi(b)=\langle\Phi_{0}, b\Phi_{0}\rangle_{\Gamma}$,$b\in B$,ととるのである. 定理 15 から$\phi(Q^{m})=\psi((B^{+}+B^{-}+\alpha_{N+1})^{m})$,$m=0,1,2,$$\ldots$,

言い替えれば,$\int_{\mathrm{R}}x^{m}\mu(dx)=\langle\Phi_{0}, (B^{+}+B^{-}+\alpha_{N+1})^{m}\Phi_{0}\rangle_{\Gamma}$,$m=0,1,2,$$\ldots$.

(L4)

つまり, 2 つの確率変数 $Q$ と $B^{+}+B^{-}+\alpha_{N+1}$ は確率同値なのである. この意味で,$Q=B^{+}+B^{-}+\alpha_{N+1}$,と分解される. これが量子分解 (の原型) である.

15

古典確率変数の量子分解

古典 (測度論的) 確率空間で定義された実確率変数 $X$ ですべての次数のモーメントが存在上作用する によるかするものと仮定する: $\mathrm{E}(|X|^{m})<\infty$ . その分布を で表し,
け算作用素を $Q$ とする. 前節の結果とあわせると,$L^{2}(\mathrm{R}, \mu)$$\mu$$\mathrm{E}(X^{m})=\phi(Q^{m})=\psi((B^{+}+B^{-}+\alpha_{N+1})^{m})$,$m=0,1,2,$$x$$\ldots$,

であり, 古典確率変数 $X$ と代数的確率変数 $Q$ が確率的に同一視される. この場合, $X=$
$B^{+}+B^{-}+\alpha_{N+1}$ と表し, $X$ の量子分解と呼ぶ.

17は $X$ のモーメント列から完全に
注意 L7 モーメント問題からわかるように, $X$ の分布再現できるとは限らないので, 代数的確率論における確率同値は, 分布の一致による古典確率論の確率同値よりも弱い概念である. しかしながら, Carleman の判定条件 (例えば, [32,Theorem 1.10]) としてよく知られているように, モーメント列 {m 訂が$\sum_{n=1}^{\infty}m_{2n}^{-1/2n}=\infty$

をみたしているときは, そのモーメント列に対応する確率測度は一意的である (逆は不成立).
特に, 確率測度がコンパクト台をもつときは, そのモーメント列を再現する確率測度は他にはない.

例 L8 (Bernouffi 型確率変数) $P(X=+1)=P(X=-1)=1/2$ で定義される Bernoulli
型確率変数 $X$ の量子分解は命題 12 で定義したフエルミオンフオツク空間の生成・消滅作用
素を用いて $X=B^{+}+B^{-}$ と表される. さらに, 具体的な行列表示に移れば,$X=(\begin{array}{ll}0 10 0\end{array})+(\begin{array}{ll}0 01 0\end{array})$.

これは, しばしば量子コイン投げとも呼ばれる. より一般の Bernoulli 型確率変数 $X:P(X=$$+1)=p,$ $P(X=-1)=1-p$ を考えよう. 分布は $\mu=p\delta_{+1}+(1-p)\delta_{-1}$ . 直交多項式の計算
から$P_{0}(x)=1$$P_{1}(x)=x-(2p-1)$$xP_{1}(x)=(1-2p)P_{1}(x)+4p(1-p)P_{0}(x)$ .

よって, $\alpha_{1}=2p-1,$ $\alpha_{2}=1-2p,$ $\omega_{1}=4p(1-p)$ . したがって, 数列に付随する相互作用フオツク空間$\lambda_{2}=\lambda_{3}=\cdots=0$$\lambda_{0}=1,$$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$$\lambda_{1}=4p(1-p)$,によって量子分解される:$X=B^{+}+B^{-}+\alpha_{N+1}$

$=($

$00$

$2\sqrt{p(1-p)}0$)$+(2\sqrt{p(1-p)}0$$00)+(\begin{array}{ll}1-2p 00 2p-1\end{array})$.

例 L9 標準 Gauss 分布に従う確率変数 $X$ は, 命題 1.1 で定義したボゾンフオツク空間の生成・消滅作用素によって, $X=B^{+}+B^{-}$ と量子分解される.

例 L1O $X$ をパラメータ $\lambda>0$ の Poisson 分布に従う確率変数とする, すなわち, $P(X=$. このとき, $X$ [まボゾンフオツク空間 $(\Gamma, \{n!\}, B^{+}, B^{-})$ [こよっ$k=0,1,2,$$k)=e^{-\lambda}\lambda^{k}/k!,$$\ldots$て量子分解される:$X=(B^{+}+\sqrt{\lambda})(B-+\sqrt{\lambda})=\sqrt{\lambda}(B^{+}+B^{-})+N+\lambda$$N=B^{+}B^{-}$

は個数作用素である.

.

18
確率過程の量子分解には興味がある. 例えば, ブラウン運動は生成過程と消滅過程の和に分解される: $B_{t}=A_{t}+A_{t}^{*}$ . ただし, これらの作用素は上のボヅンフォック空間上の作用素であり, 我々が専ら扱っている 1 モードの場合とは異なり, 無限モードの空間上で定義される. 実際, この分解は Hudson-Parthasarathy [25] による伊藤解析の量子的拡張の出発点になるものである. さらに, ホワイトノイズ超関数論を用いれば, ブラウン運動の時間微分であるホワイトノイズが定式化され, それは, 量子ホワイトノイズに量子分解されるのである:$W_{t}=a_{t}+a_{t}^{*}$ .
この分解は, 伊藤理論を越えて, 特異なノイズを含む確率微分方程式 (ホワイトノイズ方程式) の基礎を与えるものとなる. 例えば, Chung-Ji-Obata[9].
$L^{2}(\mathrm{R})$2

隣接行列の量子分解

21

グラフ理論の用語

空でない集合 $V$ にその 2 点からなる集合 $E\subset\{\{x, y\};x, y\in V, x\neq y\}$ を考えあわせたものをグラフといい, $\mathcal{G}=(V, E)$ で表す. $V,$ $E$ ともに有限集合であるとき有限グラフと呼ばれる. 我々の扱うグラフは有限とは限らない.
図形的な表現を念頭において, $V$ の元を頂点, $E$ の元を辺という. $\{x, y\}\in E$ のとき, とは隣接するといい, $x\sim y$ のように表す. 頂点 $x\in V$ に対して定義される量
$x$

$y$

$\kappa(x)=|\{y\in V;y\sim x\}|$の次数または分岐数という. 各頂点の次数 $\kappa(x)=\kappa\geq 1$ が一定であるグラフを正則グラ
フ (または, より詳しく-正則グラフ) と呼ぶ. 以上の定義によれば, -正則グラフ $\mathcal{G}=(V, E)$
では $|V|\geq 2$ が成り立つ.
$x_{n}\in V$ で, 各 $i=0,1,$となっているも
有限列$n-1$ [こ対しての道とう. ここでの中 [こ [ま同じものがあっとのを (を結ぶ) 長さてもかまわない 3). 任意の 2 点が道で結ばれるようなグラフは連結であるという. グラフの 2 点 $x,$ $y\in V$ に対して, その 2 点を結ぶ道のうちで最短なものの長さを, その 2 点の距離といい $(x, y)$ で表す. 明らかに, $x\sim y$ と $\partial(x, y)=1$ は同値である. グラフの直径がを$x$$\kappa$$\kappa$$x_{0},$ $x_{1},$$x_{0}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$n$$x_{n}$$\sup\{\partial(x, y);x, y\in V\}$$x_{\dot{*}}\sim x:+1$$\ldots,$$\ldots,$$x_{0},$ $x_{1},$$\ldots,$$x_{n}$

で定義される.

グラフ $\mathcal{G}=(V, E)$ に対して第$i$隣接行列 $A_{i}=(A:)_{xy},$ $x,$ $y\in V$ , が$(A_{i})_{xy}=\{$

1,$\partial(x, y)=i$

0,

その他,

,

(2.1)

で定義される. 第 1 隣接行列を $A=A_{1}$ で表す. 単に隣接行列というときは $A$ を指す.
集合 $V$ に対して, $E$ を与えてグラフ構造を導入することと, 対角成分は 0 で他の成分は
0, 1 のみをとる対称行列 $(A_{xy})_{x,y\in V}$ を与えることは同値である.

3) グラフ理論のより標準的な用語では,$x_{0}$,$x_{1},$ $\ldots$, x、がすべて異なるときに $x_{0}\sim x_{1}\sim\cdots\sim x_{n-1}\sim x_{n}$ をに重複を許すときには歩道 (walk) という. 本論文では, 標準の意味の道 (path) といい,での道を用いないので, 簡単のためにこのような定義をした

長さ

$n$

$x_{0},$ $x_{1},$$\ldots,$$x_{n}$

19
22

代数的確率変数としての隣接行列の ( , y)-成分が定義されることに注意しよう. 実際,に対してまず, 隣接行列の道の個数である. すでに注意したように, 道というときは同じ辺
と
を結ぶ長さ
は,
を往復するようなものも含まれている. 明らかに, $0\leq(A^{n})_{xy}\leq\kappa^{n}$ . したがって, の生成する -代数が定義されるが, これを $A$ で表す.に自然な仕方で作用する:
隣接行列 $A$ はヒルベルト空間
$A$

$x$

$A^{n}$$A^{n}$

$x$

$n$

$y$

$A$

$*$

$\ell^{2}(V)$A $f(x)= \sum_{y\in V}A_{xy}f(y)=\sum_{y\sim x}f(y)$ ,$||A||=\kappa$

かつ $A$ は単射的に$\mathrm{B}(\ell^{2}(V))$$f\in\ell^{2}(V)$.

に埋め込まれる. 一般に, $A$ 上の状態て選ばれる. この論文では, ある特定の点 $x_{0}\in V$ の指示関数$\delta_{x\mathrm{o}}\in\ell^{2}(V)$$\phi$

は問題によっによるベクトル状態$\phi(a)=\langle\delta_{x_{0}}, a\delta_{x_{0}}\rangle$,$a\in A$,を考えることが多い. フオック空間との類似から真空状態 (vacuum state) と呼ぶこともある.
を代数的確率空間 $(A, \phi)$ の代数的確率変数として扱うというのが
こうして, 隣接行列
我々のアプローチである.
$A$

23

グラフの階層化と隣接行列の量子分解

今後, 断りが無くとも考えるグラフ $\mathcal{G}=(V, E)$ は連結正則グラフとし, 原点 $x_{0}\in V$ が定で表す. このとき, グラフには自然な階層 造が導入まっているものとする. 次数は$\kappa\geq 1$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}_{1}$される:$V=\cup V_{n}n=0\infty$,$V_{n}=\{x\in V;\partial(x_{0}, x)=n\}$\S 2.1 に与えた定義によって, (2.2) は, 少なくとも 2 階層以上をもつとなれば, その先 $n\geq m$ すべてである番号 $m\geq 2$ で場合も含んでいる. 一般に,
$V_{m}=\emptyset$$|V_{0}|=1$,$|V_{1}.|=\kappa$,$(V_{0}\neq\emptyset, V_{1}\neq\emptyset)$$V_{n}=\emptyset$$|V_{n}|\leq\kappa(\kappa-1)^{n-1}$

,

(2.2)

.

.

$\text{し}$かし,となる. (2.2) ?ま, その$n\geq 2$,となっていることは見やすい.

補題 2.1 $x,$ $y\in V$ を隣接する 2 点とする. このとき, $x\in V_{n},$ $n\geq 0$ , ならば, $y\in V_{n-1}\cup V_{n}\cup$とする.
. ただし,$V_{n+1}$

証明$V_{-1}=\emptyset$

三角不等式からの帰結である. 図 2.1 からも明らか.

1

階層構造をもとに, グラフ $\mathcal{G}=(V, E)$ の向きづけ, すなわち, 各辺 x\sim \sim こ向きを与える.
$y\in V_{n-1}$$x\in V_{n}$ なら, 補題 2.1 [こより $y\in V_{n-1}\cup V_{n}\cup V_{n+1}$ . そこで, $y\in V_{n+1}$ なら $x\prec y,$20$V_{n+1}$$V_{n}$$V_{n- 1}$.. .. .
.
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$V_{1}$$v_{0}$$\text{図}\backslash \backslash 2.1:\text{グ}\overline{7}^{\text{フ}}\mathcal{G}=(V, E)\text{の}\beta\xi \text{層}(\mathrm{b}$.

$\kappa=4$

なら $x\succ y$ とする. $y\in V_{n}$ のときは, 2 通りの向き付けの一方を選ぶことにする. このような向き付けを 1 つ定めるごとに,

のとき,

のとき

$A_{yx}=1$$y\prec x$

その他,

0

その他.

同じことであるが, ヒルベルト空間への作用で表せば,$A_{yx}=1$$y\succ x$$(A^{+})_{yx}=\{$

0$\ell^{2}(V)$$A^{+} \delta_{x}=\sum_{y\succ x}\delta_{y}$,$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(A^{-})_{yx}=\{$$A^{-} \delta_{x}=\sum_{y\prec x}\delta_{y}$

,

(2.3)

のように定義する (図 22). 明らかに, $(A^{+})^{*}=A^{-}$ かつ$A=A^{+}+A^{-}$

.

(2.4)

これを量子分解 (quantum decomposition) という. 量子分解はグラフの向き付けに依存して定まる.
$V_{n*1}$$(A^{+})_{yx}=1$$V_{n}$$(A^{-})_{yx}=1$$V_{n- 1}$

図 2.2: 量子分解: $A=A^{+}+A^{-}$

一般論を組み立てるには, もう少し細かく見るのがよいかも知れない. グラフを階層化しとの隣接行列をたが, 各階層間をつないでいる辺を全部取り除いてできる部分グラフ$\mathcal{G}^{\mathrm{o}}$121しよう. つまり,$A_{xy}$$x,$ $y$が同じ階層にあるとき,$x,$ $y$が異なる階層にあるとき.

$A_{xy}^{\mathrm{O}}=\{$

0とする. あらかじめフ$[mathring]_{\mathcal{G}}$$\mathcal{G}$には $A$ を量子分解するための向きづけが与えられている. 部分グラには, それから誘導される向きづけを与えることで,$[mathring]_{A}=[mathring]_{A}^{+}+A^{\mathrm{o}_{-}}$$[mathring]_{A}$も量子分解される:

.

(2.5)

定義から $x\in V_{n}$ のとき,$\ovalbox{\tt\small REJECT}\delta_{x}=\sum_{y\in V_{n},y\succ x}\delta_{y}$,$A^{\mathrm{o}_{-}} \delta_{x}=\sum_{y\in V_{n’}y\prec x}\delta_{y}$

.

(2.6)

注意 22(2.4) と (2.5) から(2.7)$A=(A^{+}-[mathring]_{A}^{+})+(A^{-}-[mathring]_{A}^{-})+[mathring]_{A}$のように 3 成分に分解することも可能である. つまり, $A$ を分解するにあたり, 同じ階層に属する辺に対しては向き付けせず, 第 3 番目の成分として独立に扱うことを意味する. グラフの階層化から定まるヒルベルト空間 (\S 2.4) とフォック空間との類似性を考えると, (2.7) の右辺は, 順に生成・消滅・個数作用素の類似と考えられ, 量子分解と呼ぶにより相応しいようにも見える. これについては機会をあたらめて議論する.

24

グラフの階層化に付随するヒルベルト空間への作用

各 $x\in V$ に対して, 1 点集合 $\{x\}$ の指示関数を

ヒルベルト空間$\ell^{2}(V)$$\delta_{x}$で表す. それらの全体 $\{\delta_{x} ; x\in V\}$ はの正規直交基底となる. (2.2) に対応するように, ヒルベルト空間を定義しよう. まず, $n\geq 0$ [こ対して$\Phi_{n}=|V_{n}|^{-1/2}\sum_{x\in V_{n}}\delta_{x}$は定義されないものとする 4).

明らかに,の正規直交系となる.
の階層化が有限で終わる (ある番号 $n\geq 2$ があって,は有限または無限となる. いずれにせよ,
が, 無限階層をもつかによって,によって張られるの閉部分空間とおく.

ただし,$V_{n}=\emptyset$$\ell^{2}(V)$のときは$\Phi_{n}$は$V_{n-1}\neq\emptyset$$\mathcal{G}$$V_{n}=\emptyset)$$\{\Phi_{n}\}$$\{\Phi_{n}\}$,$\{\Phi_{n}\}$$\ell^{2}(V)$$\Gamma(\mathcal{G})=\sum_{n}\oplus \mathrm{C}\Phi_{n}$をグラフ4) $\Phi_{n}=0$$\mathcal{G}$の階層化 (2.2) に付随するヒルベルト空間と呼ぶことにする.

として記号の統一を図ることもできるが, あとから必要になる関係式の係数において $0/0=1$ と規約する必要が出たりと, 便宜上のことは避けられない.

22
化に付随して定まるいくつかの統計量が必要になる.
補題$2\ovalbox{\tt\small REJECT}$を念頭において, 各$x\in \mathrm{L},$$n\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$, に対して$\omega_{+}(x)=|\{y\in V_{n+1} ; y\succ x\}|$,$\omega_{-}(x)=|\{y\in V_{n-1} ; y\prec x\}|$,$\rho_{+}(x)=|\{y\in V_{n} ; y\succ x\}|$,$\rho_{-}(x)=|\{y\in V_{n} ; y\prec x\}|$,とおく. 無論, $x\in V_{0}$ , つまり, $x=x_{0}$ のとき [まである. 明らかに,$\omega_{+}(x_{0})=\kappa,$$\omega_{+}(x)+\omega_{-}(x)+\rho_{+}(x)+\rho_{-}(x)=\kappa$

次に, 1 つの階層

$V_{n}$に注目して,$\omega_{\pm}(x),$$\omega_{\pm,n}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}\omega_{\pm}(x)$$\rho_{\pm}(x)$$\omega_{-}(x_{0})=\rho_{+}(x_{0})=\rho_{-}(x_{0})=0$

,

.

(2.8)

$x\in V$の平均値と分散,$\sigma_{\pm,n}^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}(\omega_{\pm}(x)-\omega_{\pm,n})^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}\omega_{\pm}(x)^{2}-\omega_{\pm,n}^{2}$$\rho_{\pm,n}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}\rho\pm(x)$,$\tau_{\pm,n}^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}(\rho\pm(x)-\rho_{\pm,n})^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}\rho\pm(x)^{2}-\rho_{\pm,n}^{2}$

が重要な役割を演ずる.

$V_{n}=\emptyset$,,のときは, これらはすべて 0 であるとする. また,$\omega_{-,0}=0$,$\omega_{-\prime 1}=1$

,

(2.9)

$\sigma_{-,0}=\sigma_{-\prime 1}=0$に注意しよう.

は次のようにして求まる. $[mathring]_{n}_{E}=\{\{x, y\}\in E;x, y\in V_{n}\}$ とおけば, 定義かところで,の和と考えられる. 明らかに,は互いに不連結な部分グラフ
ら$\rho_{\pm,n}$$(V_{n}, E_{n}^{\mathrm{o}})$$\mathcal{G}^{\mathrm{o}}$.

$\sum_{x\in V_{n}}\rho_{+}(x)=|\{(x, y)\in V_{n}\cross V_{n} ; x\prec y\}|=|[mathring]_{n}_{E}|=\sum_{y\in V_{n}}\rho_{-}(y)$よって,$\rho_{+,n}=\rho_{-,n}=\frac{|E_{n}^{\mathrm{o}}|}{|V_{n}|}$

さて,$A^{+}$の$\Phi_{n}$への作用から調べよう.

.

23
補題 23 $n\geq 0$ に対して,$[mathring]_{A}^{+} \Phi_{n}=\rho_{-n}’\Phi_{n}+\frac{1}{|V_{n}|^{1/2}}\sum_{y\in V_{n}}(\rho_{-}(y)-\rho_{-,n})\delta_{y}$

ただし,
証明

$V_{n}\neq\emptyset,$$V_{n+1}=\emptyset$のとき [ま,(2.10),$A^{+} \Phi_{n}=\omega_{-\prime n+1}\frac{|V_{n+1}|^{1/2}}{|V_{n}|^{1/2}}\Phi_{n+1}+\frac{1}{|V_{n}|^{1/2}}\sum_{y\in V_{n+1}}(\omega_{-}(y)-\omega_{-,n+1})\delta_{y}+[mathring]_{A}^{+}\Phi_{n}$(2.11).

$A^{+}\Phi_{n}=A^{\mathrm{o}_{+}}\Phi_{n}$とする.

定義によって,$|V_{n}|^{1/2}A^{+} \Phi_{n}=\sum_{x\in V_{n}}A^{+}\delta_{x}=\sum_{x\in V_{n}}\sum_{y\succ x}\delta_{y}$.

(2.12)$= \sum_{x\in V_{n}}\sum_{y\in V_{n+1},y\succ x}\delta_{y}+\sum_{x\in V_{n}}\sum_{y\in V_{n},y\succ x}\delta_{y}$第 1 項は,$\sum_{x\in V_{n}}\sum_{y\in V_{n+1\prime}y\succ x}\delta_{y}=\sum_{y\in V_{n+1}}\omega_{-}(y)\delta_{y}$$= \sum_{y\in V_{n+1}}\omega_{-\prime n+1}\delta_{y}+\sum_{y\in V_{n+1}}(\omega_{-}(y)-\omega_{-,n+1})\delta_{y}$.

$= \omega_{-\prime n+1}|V_{n+1}|^{1/2}\Phi_{n+1}+\sum_{y\in V_{n+1}}(\omega_{-}(y)-\omega_{-,n+1})\delta_{y}$また, 第 2 項は,$\sum_{x\in V_{n}}\sum_{y\in V_{n},y\succ x}\delta_{y}=|V_{n}|^{1/2}[mathring]_{A}^{+}\Phi_{n}=\sum_{y\in V_{n}}\rho-(y)\delta_{y}$$= \sum_{y\in V_{n}}\rho_{-n}’\delta_{y}+\sum_{y\in V_{n}}(\rho_{-}(y)-\rho_{-,n})\delta_{y}$$= \rho_{-,n}|V_{n}|^{1/2}\Phi_{n}+\sum_{y\in V_{n}}(\rho-(y)-\rho_{-n}’)\delta_{y}$.

I

よって示された.

補題 2.4 $n\geq 1$ に対して,$A^{-} \Phi_{n}=\omega_{+,n-1}\frac{|V_{n-1}|^{1/2}}{|V_{n}|^{1/2}}\Phi_{n-1}+\frac{1}{|V_{n}|^{1/2}}\sum_{z\in V_{n-1}}(\omega_{+}(z)-\omega_{+,n-1})\delta_{z}+[mathring]_{A}^{-}\Phi_{n}$$[mathring]_{A}^{-} \Phi_{n}=\rho_{+,n}\Phi_{n}+\frac{1}{|V_{n}|^{1/2}}\sum_{y\in V_{n}}(\rho_{+}(y)-\rho_{+,n})\delta_{y}$.

,(2.13)(2.14)$n=0$ のとき {ま, $A^{-}\Phi_{0}=A^{-}\Phi_{0}=0\circ$ とする.

証明 補題 23 の証明とパラレルにできるので省略する.

$\mathrm{I}$24
25

基本的な課題

我々の興味は, グラフ $\mathcal{G}=(V, E)$ が大きな場合の隣接行列の性質である. これをグラフの成長列を考えて, 隣接行列の漸近挙動から調べる. ここで は有向無限がのときの部分グラフであること (グラフの帰納的系である
集合を走るが,をこと) を必ずしも要請しない. グラフの 「成長列」 といったのはそのためである. この成長パラメータと呼ぶことにする.
とする ((2.4) を見よ). 基本的な問題の隣接行列を, その量子分解を
を正規化定数として, 極限は,$\{\mathcal{G}_{\nu}=(V^{(\nu)}, E^{(\nu)})\}$$\nu_{1}\leq\nu_{2}$$\nu$$\mathcal{G}_{\nu_{1}}$$\mathcal{G}_{\nu_{2}}$$\nu$$A_{\nu}=A_{\nu}^{+}+A_{\nu}^{-}$$A_{\nu}$$\mathcal{G}_{\nu}$$Z_{\nu}$$C^{\pm}= \lim\underline{A_{\nu}^{\pm}}$$\nu$(2.15)$Z_{\nu}$を記述する相互作用フォック 空間を構成することである. 補題 23, 24の個数ベクトル
に示されているように,への作用において, 個数ベクトルでまと$\nuarrow\infty$の極限で消えることを期待する. このとき, 残った係数から相められない残余項が$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$$A_{\nu}^{\pm}/Z_{\nu}$$\Phi_{n}$が互作用フォック空間
や個数作用素 $N$ の単純な組が決まり,合せで表されることになる. 極限の意味は, 数学的には, 量子中心極限定理として定式化される. さらに, 隣接作用素のスペクトル分布の近似を与えることになる $C^{+}+C^{-}$ の分布は,定理 1.5 に基づいて容易に求められることも期待される.
$B^{\pm}$$C^{\pm}$$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$$A_{\nu}$3

量子中心極限定理 (個数作用素が現れない場合)

3.1

グラフの成長の仕方に対する仮定

ここで扱うグラフ $\mathcal{G}=(V, E)$ に対して, まず, 次の条件を仮定する. (2.8) と比較せよ.

(A1) すべての辺の端点は異なる階層に属している. すなわち,$\omega_{+}(x)+\omega_{-}(x)=\kappa$

言い換えれば,$\mathcal{G}$の隣接行列 $A$ に対して.

,$A^{\mathrm{o}}=0$(3.1)$x\in V$が成り立つ.

この条件の T では,は補助的には用いることはあるにせよ, 計算結果を表示するのにに関する量を用いる必要はない. そこで, 簡単のため,$\omega_{+}$$\omega_{n}=\omega_{-,n}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}\omega_{-}(x)$,$\sigma_{n}^{2}=\sigma_{-,n}^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}(\omega_{-}(x)-\omega_{n})^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{x\in V_{n}}\omega_{-}(x)^{2}-\omega_{n}^{2}$

とおくことにする. グラフの階層化が無限に続く場合は,$\omega_{0}=0$,$\omega_{1}=1$,$\omega_{n}\geq 1$,$n\geq 2$.

,$\omega_{+}$

25
グラフの階層化が $V=V_{0}\cup V_{1}\cup\cdots\cup V_{n}$ のように有限で終わる場合は,$\omega_{0}=0$,$\omega_{1}=1$,$\omega_{2}\geq 1$

...,

,

$\omega_{n}=\kappa\geq 1$,$\omega_{n+1}=\cdots$

(3.2)

=0 ラ

の少なくとも 1 点と, のときは, すべての $x\in V_{n}$ (ま必ずである.
辺で結ばれているから,. よって, 平均値もの成長の仕方に関わる条件を示す. グラフにかかわる量や構造
次に,には添字 をつけて表す. それぞれのグラフは, いつも通り階層化される:となる. 一般 (ニ,$V_{n}\neq\emptyset,$$V_{n-1}$$n\geq 1$$\omega_{-}(x)\geq 1$$\omega_{n}\geq 1$$\{\mathcal{G}_{\nu}=(V^{(\nu)}, E^{(\nu)})\}$$\nu$$V^{(\nu)}=\cup V_{n}^{(\nu)}n=0\infty$.

付随するヒルベルト空間を$\Gamma(\mathcal{G}_{\nu})=\sum_{n}\oplus \mathrm{C}\Phi_{n}^{(\nu)}$

とする.

(A2)

$\mathcal{G}_{\nu}$の次数を$\lim_{\nu}\kappa(\nu)=\infty$$\kappa(\nu)$,$\Phi_{n}^{(\nu)}=|V_{n}^{(\nu)}|^{-1/2}\sum_{x\in V_{n}^{(\nu)}}\delta_{x}$

,

で表す.

;

(A3) 各 $n\geq 0$ に対して極限$\omega_{n}\equiv\lim_{\nu}\omega_{n}^{(\nu)}<\infty$が存在する. ( $n=0,1$ に対しては, 仮定するまでもなく $\omega_{0}=0,$である)$\omega_{1}=1$(A4) 各 $n\geq 0$ [こ対して$\lim_{\nu}\sigma_{n}^{(\nu)}=0$.

( $n=0,1$ に対しては, 仮定するまでもなく成り立っている)(A5) 各 $n\geq 1$ [こ対して$W_{n} \equiv\sup_{\nu}W_{n}^{(\nu)}<\infty$,$W_{n}^{(\nu)}= \max\{\omega_{-}(x);x\in V_{n}^{(\nu)}\}$.

後で, (A3), (A4) と同値な条件を命題 38 で示す. 上記の条件から, 粗くいって, グラフは上方に向かって成長してゆくことになる. より詳しくは,が (A1), (A2), (A3) をみたすとする. このとき, 各
命題 3.1 連結正則グラフの成長列とに対してなるすべての$n\geq 1$ に対して, ある $\nu_{0}=\nu_{0}(n)$ が存在して,である.
なる. 特 [ニ, すべての $n\geq 1$ [こ対して$\{\mathcal{G}_{\nu}\}$$\nu\geq\nu_{0}$$\omega_{n}\geq 1$$V_{n}^{(\nu)}\neq\emptyset$

$\nu$

26
をみたす $n\geq 1$ と成長パラ
背理法による. 結論を否定すると,に対してメータの部分列 $\nu_{1}<\nu_{2}<\cdotsarrow\infty$ がとれる. 条件 (A1) より, 任意の上で平均を取って. これは (A2), (A3) と両立\mbox{\boldmath $\omega$}-(x)=\phi 任△襪 ら,できない. これが示したいことであった. 最後の主張のために, 各 $n\geq 1$ に対して, 命題にあに対して $\omega_{-}(x)\geq 1$ なので, 平均なる限り, 任意の
るような
を選べば,
証明

$V_{n}^{(\nu)}:\neq\emptyset,$$V_{n+1}^{(\nu_{i})}=\emptyset$$x\in V_{n}^{(\nu_{i})}$$\omega_{n}^{(\nu\dot{.})}=\kappa(\nu_{i})$$V_{n}^{(\nu:)}$値も$x\in V_{n}^{(\nu)}$$\nu\geq\nu_{0}$$\nu_{0}$$\omega_{n}^{(\nu)}\geq 1$. よろて, その極限も$\omega_{n}\geq 1$

1

である.

条件 (A5) は, グラフが成長してゆくときの上方へののび方にある種の一様性を保証する.
命題 32 連結正則グラフの成長列
対して, ある $\nu_{0}=\nu_{0}(n)$ が存在して,なる限りを有する. 特に,$\{\mathcal{G}_{\nu}\}$が (A1), (A2), (A5) をみたすとき, 任意の $n\geq 1$ に$\nu\geq\nu_{0}$$V_{n}^{(\nu)}\neq\emptyset$$\nu\geq\nu_{0}$なる限り, すべての

$x\in V_{n-1}^{(\nu)}$は上方にのびる辺である.

に関する帰納法で証明する. $n=1$ のときは明らかである. $n>1$ として $n-1$ ま
証明で成立を仮定する. (A1) G こよって$n$$\omega_{+}^{(\nu)}(x)=\kappa(\nu)-\omega_{-}^{(\nu)}(x)$,$x\in V_{n-1}^{(\nu)}$,$\nu\geq\nu_{0}$.

(A5) によって,$\omega_{+}^{(\nu)}(x)\geq\kappa(\nu)-W_{n-1}^{(\nu)}\geq\kappa(\nu)-W_{n-1}$$W_{n-1}$

は

$\nu$

に無関係な定数なので, (A2) によって,$\lim_{\nu}\min\{\omega_{+}^{(\nu)}(x);x\in V_{n-1}^{(\nu)}\}=\infty$

特に, ある$\nu_{1}\geq\nu_{0}$のとき, すべての$\nu\geq\nu_{1}$

.

が存在して
$\min\{\omega_{+}^{(\nu)}(x);x\in V_{n-1}^{(\nu)}\}\geq 1$

よって,

.

$x\in V_{n-1}^{(\nu)}$,$\nu\geq\nu_{1}$.

は上方 [このびる辺をもつ. 特{ニ,$V_{n}^{(\nu)}\neq\emptyset$

I

る.

32

であ

主定理

次の結果が我々の量子中心極限定理である.
定理 33
し,

$\{\mathcal{G}_{\nu}=(V^{(\nu)}, E^{(\nu)})\}$$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$$\lim_{\nu}\langle\Phi_{j}^{(\nu)},$がすべての$\epsilon_{1},$をを条件をみたす連結正則グラフの成長列であるとに付随する相互作用フオツク空間とする. このとき,$(\mathrm{A}1)-(\mathrm{A}5)$$\lambda_{n}=\omega_{1}\ldots\omega_{n}$$\frac{A_{\nu^{m}}^{\epsilon}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\ldots\frac{A_{\nu^{1}}^{\epsilon}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{k}^{(\nu)}\rangle_{\ell^{2}(V^{(\nu)}})=\langle\Phi_{j}, B^{\epsilon_{m}}\ldots B^{\epsilon_{1}}\Phi_{k}\rangle_{\Gamma}$$\ldots,$$\epsilon_{m}\in\{\pm\},$$m\geq 1$, に対して成り立つ.

,$j,$ $k\geq 0$

,

(3.3)

27
命題 32 によって, 極限の相互作用フオック空間は必ず無限次元 (より的確には無限階層) とととれば 真空状態に関する主張となる. 言い替えなる. 定理 33 において, 特に$j\ovalbox{\tt\small REJECT} k\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$

れば,
定理 34

をみたす連結正則グラフの成長列であるとす
を条件
は,の正規化された量子的要素
る. このとき,の隣接作用素に確率収束する.
の生成・消滅作用素に付随する相互作用フオック空間$\{\mathcal{G}_{\nu}=(V^{(\nu)}, E^{(\nu)})\}$$(\mathrm{A}1)-(\mathrm{A}5)$$A_{\nu}^{\pm}/\sqrt{\kappa(\nu)}$$A_{\nu}$$\mathcal{G}_{\nu}$$\lambda_{n}=\omega_{1}\ldots\omega_{n}$$B^{\pm}$$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$

さらに, 古典論に還元して,
系 35

$\mu$

を相互作用フオツク空間$\lim_{\nu}\langle\Phi_{0}^{(\nu)},$$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$$( \frac{A_{\nu}}{\sqrt{\kappa(\nu)}})^{m}\Phi_{0}^{(\nu)}\rangle_{\ell^{2}(V^{(\nu)}})=$に付随する確率測度とするとき,$x^{m}\mu(dx)$,$m=0,1,2,$$\ldots$,。

が成り立つ.

この章の残りは, 定理 33 の証明に充てられる.

3.3

各階層の大きさをその階層化とする. さらに条件を連結な -正則グラフとし,(A1) がみたされているものとする. このとき, 各階層の大きさの評価を与えておく.
$\mathcal{G}=(V, E)$$V= \bigcup_{n=0}^{\infty}V_{n}$$\kappa$

補題 36 $n\geq 0$ で

$V_{n}\neq\emptyset$

ならば,$\omega_{n+1}|V_{n+1}|=\kappa|V_{n}|(1-.\frac{\omega_{n}}{\kappa})$

.

(3.4)

内にもつ辺の総数はの場合を考えよう. 端点を証明 まず,
れを上にのびている辺と下にのびている辺の 2 つに分けて数えると,$V_{n+1}\neq\emptyset$$V_{n}$$\kappa|V_{n}|$である. こ$\kappa|V_{n}|=\sum_{x\in V_{n}}\omega_{+}(x)+\sum_{x\in V_{n}}\omega_{-}(x)$$= \sum_{y\in V_{n+1}}\omega_{-}(y)+\sum_{x\in V_{n}}\omega_{-}(x)=\omega_{n+1}|V_{n+1}|+\omega_{n}|V_{n}|$

.

(3.5)

これが求めるべき式である. $n=0$ でも $\omega_{0}=0$ と定めてあるので, (3.4) はそのまま成り立
0場
で終わってしまつ. グラフの階層化が $V=V_{0}\cup V_{1}\cup\cdots\cup V_{n}$ のようにIが定義されないが, $\omega_{n+1}|V_{n+1}|=0$ として (3.5) はやはり成り立つ.
合は,$V_{n}$$\mathrm{A}\mathrm{a},$$V_{n+1}=\emptyset$$\omega_{n+1}$

補題 37 グラフの階層化 $V=V_{0}\cup V_{1}$ U. . . において, ある階層
であって,$\omega_{1}\geq 1,$$\ldots,$$\omega_{n}\geq 1$$|V_{n}|= \frac{\kappa^{n}}{\omega_{1}\ldots\omega_{n}}+O(\kappa^{n-1})$が成り立つ. 実際, $O(\kappa^{n-1})$ は$\kappa$の$(n-1)$ 次多項式である.

$V_{n}$

が$V_{n}\neq\emptyset$

であれば,

28
証明

$\omega_{1}\geq 1,$$\ldots,$$\omega_{n}\geq 1$については既に述べた. (3.4) を繰り返して用いて,$\omega_{1}\ldots\omega_{n}|V_{1}.|\ldots|V_{n}|=\kappa^{n}|V_{0}|(1-\frac{\omega_{0}}{\kappa})\ldots|V_{n-1}|(1-\frac{\omega_{n-1}}{\kappa})$

ここで,$|V_{0}$} $=1,$$\omega_{0}=0$.

に注意して,$|V_{n}|= \frac{\kappa^{n}}{\omega_{1}\ldots\omega_{n}}\prod_{k=1}^{n-1}(1-\frac{\omega_{k}}{\kappa})$

Iを得て主張は示された.

さて, グラフの成長列て, 次のものを考えよう.

(A3’) 各

$n$

に対して,

$\nu$

$\{\mathcal{G}_{\nu}=(V^{(\nu)}, E^{(\nu)})\}$に依存しない定数に戻ろう. 条件 (A3), (A4) に代わる条件とし$\omega_{n}$が存在して,.

$\lim_{\nu}\frac{|\{x\in V_{n}^{(\nu)}\cdot\omega_{-}(x)=\omega_{n}\}|}{|V_{n}^{(\nu)}|},=1$

実際, 次の主張が成り立つ.
命題 38(A1), (A2), (A5) の下で,証明$(\Rightarrow)$

まず, 集合$V_{n}^{(\nu)}$$(\mathrm{A}3’)\Leftrightarrow(\mathrm{A}3)$を 2 つに分割する:$U_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}^{(\nu)}=\{x\in V_{n}^{(\nu)} ; \omega_{-}(x)=\omega_{n}\}$

添字

$n$

は省略してある.

$\omega_{-}(x)$, (A4).

.

$U_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}^{(\nu)}=\{x\in V_{n}^{(\nu)} ; \omega_{-}(x)\neq\omega_{n}\}$の平均値であるが$\omega_{n}^{(\nu)}=\frac{1}{|V_{n}^{(\nu)}|}\sum_{x\in V_{n}^{(\nu)}}\omega_{-}(x)$$= \frac{1}{|V_{n}^{(\nu)}|}\sum_{x\in U_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}^{(\nu)}}\omega_{-}(x)+\frac{1}{|V_{n}^{(\nu)}|}\sum_{x\in U_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}^{(\nu)}}.\omega_{-}(x)$$= \frac{|U_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}^{(\nu)}|}{|V_{n}^{(\nu)}|}\omega_{n}+\frac{1}{|V_{n}^{(\nu)}|}\sum_{x\in U_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}^{(\nu)}}.\omega_{-}(x)$条件 (A5) によって,$x\in V_{n}^{(\nu)}$.

であれば $\omega_{-}(x)\leq W_{n}$ であることに注意して,.

$| \omega_{n}^{(\nu)}-\omega_{n}|\leq(1-\frac{|U_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}^{(\nu)}|}{|V_{n}^{(\nu)}|})\omega_{n}+\frac{|U_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}^{(\nu)}|}{|V_{n}^{(\nu)}|}W_{n}\leq\frac{|U_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}^{(\nu)}|}{|V_{n}^{(\nu)}|}(\omega_{n}+W_{n})$補題 37 と仮定 (A3’) によって,$\lim_{\nu}\frac{|U_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}^{(\nu)}|}{|V_{n}^{(\nu)}|}=0$.

29
Jim 4)$\ovalbox{\tt\small REJECT}\omega_{n}$$\nu$となり, (A3) が示された. 次に, 分散について見てゆこう. ミンコフスキーの不等式によって,$\sigma_{n}^{(\nu)}=\{\frac{1}{|V_{n}^{(\nu)}|}\sum_{x\in V_{n}^{(\nu)}}(\omega_{-}(x)-\omega_{n}^{(\nu)})^{2}\}^{1/2}$.

$\leq\{\frac{1}{|V_{n}^{(\nu)}|}\sum(\omega_{-}(x)-\omega_{n})^{2}\}^{1/2}+\{\frac{1}{|V_{n}^{(\nu)}|}\sum_{x\in V_{n}^{(\nu)}}(\omega_{n}-\omega_{n}^{(\nu)})^{2}\}^{1/2}$
$($

x。Vn

$)$

第 1 項は,$\mathrm{t}\omega_{-}(x)-\omega_{n}|\leq\omega_{-}(x)+\omega_{n}\leq W_{n}+\omega_{n}$に注意し, 第 2 項は$x$に依存しない定数の和であることから,$\sigma_{n}^{(\nu)}\leq(\frac{|U_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}^{(\nu)}|}{|V_{n}^{(\nu)}|})^{1/2}(W_{n}+\omega_{n})+|\omega_{n}-\omega_{n}^{(\nu)}|$.

よって, 前半の結果を合わせて,$\lim_{\nu}\sigma_{n}^{(\nu)}=0$を得る. これが (A4) である.
$(\Leftarrow)n\geq 1$

は固定しておく. 条件 (A3) から, 任意の$|\omega_{n}^{(\nu)}-\omega_{n}|<\epsilon$が成り立つ.

$x\in V_{n}^{(\nu)}$,$\epsilon>0$$\nu\geq\nu_{0}$に対して, あるが存在して,$\nu_{0}$,が $|\omega_{-}(x)-\omega_{n}|\geq 2\epsilon$ をみたしているならば,$|\omega_{-}(x)-\omega_{n}^{(\nu)}|\geq|\omega_{-}(x)-\omega_{n}|-|\omega_{n}-\omega_{n}^{(\nu)}|\geq\epsilon$である. よって,$\frac{|\{x\in V_{n}^{(\nu)},|\omega_{-}(x)-\omega_{n}|\geq 2\epsilon\}|}{|V_{n}^{(\nu)}|}.\leq\frac{|\{x\in V_{n}^{(\nu)},|\omega_{-}(x)-\omega_{n}^{(\nu)}|\geq\epsilon\}|}{|V_{n}^{(\nu)}|}.$.

ここで, 右辺にチェビシェフの不等式を適用すれば,|\mbox{\boldmath $\omega$}|V-n( \mbox{\boldmath $\nu$}x) |-\mbox{\boldmath $\omega$}n|\geq 2\epsilon }|\leq (- \sigma n\epsilon (\mbox{\boldmath $\nu$}) 2\rightar ow 0フ$\underline{|\{x\in V_{n}^{(\nu)},\cdot}$

一方,
とで,

$\omega_{-}(x)$は整数の値しか取らないので,$\omega_{n}$$\nuarrow\infty$が整数でないとすると,$V_{n}^{(\nu)}=\{x\in V_{n}^{(\nu)} ; |\omega_{-}(x)-\omega_{n}|\geq 2\epsilon\}$$\epsilon>0$

.

(3.6)

を小さく取るこ

30を得る. しかし, これは (3.6) に矛盾する. したがって,を小さく取って,において, 再び$\omega_{n}$は整数である. そうすると, (3.6)$\epsilon>0$,$\nuarrow\infty$$\frac{|\{x\in V_{n}^{(\nu)}\cdot\omega_{-}(x)\neq\omega_{n}\}|}{|V_{n}^{(\nu)}|},=\frac{|\{x\in V_{n}^{(\nu)}\cdot|\omega_{-}(x)-\omega_{n}|\geq 2\epsilon\}|}{|V_{n}^{(\nu)}|},arrow 0$.

よって,$\lim_{\lambda}\frac{|\{x\in V_{n}^{(\nu)},\omega_{-}(x)=\omega_{n}\}|}{|V_{n}^{(\nu)}|}.=1$.

I

これが示したかったことである.

注意 39 隣接作用素の量子的成分に対する中心極限定理を最初に論じたのは Hashimoto [14]である. その論文では, 定理 33 の主張が, 群のケーリーグラフに対して条件 (A1), (A2),(A5) と(A3”) 各

$n$

に対して,

$\nu$

に依存しない定数$\omega_{n}$と$C_{n}$が存在して,$|\{x\in V_{n}^{(\nu)} ; \omega_{-}(x)\neq\omega_{n}\}|\leq C_{n}\kappa(\nu)^{n-1}$

がすべての $n\geq 0$ と

$\nu$

,

について成り立つ;を仮定して証明されている. (実際は, (A5) よりやや強い仮定をおいて, 個数ベクトルだけではなく, その無限和で表されるベクトルに関する行列成分の収束も示されている) 条件 (A3”)
本の下から “低次元” 部分集合を除いた “大多数” の頂点力汀度
は, 大雑把には, 階層$V_{n}^{(\nu)}$$\omega_{n}$. そのにのびる辺を有するということを意味する. 補題 37 より明らかに,後, Hora-Obata [22] は, Hashimoto の定理を群構造を用いないで定式化し, 連結正則グラフに対する定理 33 の主張を条件 (A1), (A2), (A3”), (A5) の下で証明した. 本論文のポイント
は, 条件 (A3”) を弱めたことにある.
$(\mathrm{A}3’’.

34

誤差項の評価$A^{\pm}\Phi_{n}$より)\Rightarrow(\mathrm{A}3’)$における誤差項の評価を行う. 具体的な表示式は補題 23, 2.4 にあるが, 条件 (A1)
であることに注意して再録する. まず, 補題 23 から, $n\geq 0$ に対して$[mathring]_{A}=0$.

$\frac{A^{+}}{\sqrt{\kappa}}\Phi_{n}=\omega_{n+1}(\frac{|V_{n+1}|}{\kappa|V_{n}|})^{1/2}\Phi_{n+1}+\frac{1}{(\kappa|V_{n}|)^{1/2}}\sum_{y\in V_{n+1}}(\omega_{-}(y)-\omega_{n+1})\delta_{y}$同様に, 補題 2.4 と$\omega_{+,n-1}=\kappa-\omega_{-,n-1}=\kappa-\omega_{n-1}$,$\omega_{+}(z)-\omega_{+,n-1}=(\kappa-\omega_{-}(z))-(\kappa-\omega_{n-1})=\omega_{n-1}-\omega_{-}(z)$

(3.7)

31

$V$

$A^{-}$

ー$n-$$\Phi_{n}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(1-\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow\ovalbox{\tt\small REJECT}^{1})\ovalbox{\tt\small REJECT}^{1}$$\psi$$1\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\Phi_{n-,+}}$$1|)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(\omega_{n-1}-\omega_{-}(z))\delta_{z}$$|\mathrm{K}|$$(\kappa|\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{D}^{1/2}z\mathrm{E}V\ovalbox{\tt\small REJECT}-$

,

.

(3.8)

これ (ま $n\geq 1$ で意味を持つが, $n=0$ なら$\frac{A^{-}}{\sqrt{\kappa}}\Phi_{0}=0$

.

(3.9)

これらの作用を統一的に表すために$\gamma_{n}^{+}=\omega_{n}(\frac{|V_{n}|}{\kappa|V_{n-1}|})^{1/2}$,$\gamma_{n}^{-}=(1-\frac{\omega_{n}}{\kappa})(\frac{\kappa|V_{n}|}{|V_{n+1}|})^{1/2}$(3.10)$n\geq 1$,,$n\geq 0$(3.11),,$n\geq 1$,(3.12),$n\geq 0$,(3.13)$S_{n}^{+}= \frac{1}{(\kappa|V_{n-1}|)^{1/2}}\sum_{y\in V_{n}}(\omega_{-}(y)-\omega_{n})\delta_{y}$$S_{n}^{-}= \frac{1}{(\kappa|V_{n+1}|)^{1/2}}\sum_{z\in V_{n}}(\omega_{n}-\omega_{-}(z))\delta_{z}$とおく. 明らかに,$\frac{A^{\epsilon}}{\sqrt{\kappa}}\Phi_{n}=\gamma_{n+\epsilon}^{\epsilon}\Phi_{n+\epsilon}+S_{n+\epsilon}^{\epsilon}$,$\epsilon=\pm$,$n\geq 0$(3.14),となる. (3.9) を含めるために, $\gamma_{-1}^{-}\Phi_{-1}=S_{-1}^{-}=0$ とおく.

さて, $m\geq 1$ としてれば,$\epsilon_{1},$$\ldots,$が与えられているとしよう. (3.14) を繰り返し用い$\epsilon_{m}\in\{\pm\}$$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}\Phi_{n}=\gamma_{n+\epsilon_{1}}^{\epsilon_{1}}\gamma_{n+\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}^{\epsilon_{2}}\ldots\gamma_{n+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{m}}^{\epsilon_{m}}\Phi_{n+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{m}}$$+ \sum_{k=1}^{m}\gamma_{n+\epsilon_{1}}^{\epsilon_{1}}\ldots\gamma_{n+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{k-1}}^{\epsilon_{k-1}}\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{k+1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{k}}^{\epsilon_{k}}$.

(3.15)

ただし,$n+\epsilon_{1}$はすべて$\geq 0$,$n+\epsilon_{1}+\epsilon_{2}$

...,

,

$n+\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+\cdots+\epsilon_{m}$,(3.16)であるとした. これらの中に負の数が含まれるときは,$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}\Phi_{n}=0$..

が順に作用することで, 対応する階層が上下するが, $n+\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+\cdots+\epsilon_{k}<0$ となった段階で 0 になるからである.
となる. なぜならば$\delta_{y}\in\ell^{2}(V_{n})$は$A^{\epsilon}$$A^{\epsilon_{m}}$

$,$

32
(3.15) の一般項を評価するために定数を準備しておく. まず, $k\geq 1$ に対して
(3.17)$W_{k}= \max\{\omega_{-}(x);x\in V_{k}\}$とおく.

(ま明らかである. 次 [ニ, $n\geq 1$ と$W_{k}\leq\kappa$$q\geq 0$[こ対して $M_{n,q}$ を$\max\{W_{k_{1}}W_{k_{2}}\ldots W_{k_{q}} ; 1\leq k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{q}\leq n\}$$M_{n,q}=\{$,$q\geq 1$,(3.18)$q=0$ ,

1,と定義する.

補題 3.10
し, 一の個数を$\epsilon_{1},$$\ldots,$$q$$|\langle\Phi_{n+p-q},$, が任意に与えられたとして, そのうちの個数を ととする. このとき, 任意の $n\geq 1$ で $n+p-q\geq 0$ をみたすもの [こ対して,$\epsilon_{m}\in\{\pm\},$$m\geq 1$$+$$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n}^{+}\rangle|\leq\sigma_{n}M_{n+p,q}(\frac{\kappa^{2p-m}|V_{n}|}{|V_{n+p-q}|})^{1/2}(\frac{|V_{n}|}{\kappa|V_{n-1}|})^{1/2}$$p$.

(3.19)

証明 既に述べたように, (3.16) の中に負の数があるときは, 左辺は 0 となる. したがって,と仮定して証明すればよい. 定義から
(3.16) はすべて$\geq 0$$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n}^{+}=\frac{1}{(\kappa|V_{n-1}|)^{1/2}}\sum_{y\in V_{n}}(\omega_{-}(y)-\omega_{n})\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}\delta_{y}$.

(3.20)$= \frac{\kappa^{-m/2}}{(\kappa|V_{n-1}|)^{1/2}}\sum_{y\in V_{n}}(\omega_{-}(y)-\omega_{n})A^{\epsilon_{m}}\ldots A^{\epsilon_{1}}\delta_{y}$ここで, 新しい記号として,$\epsilon=$

士に応じて,$y\prec z$$\epsilon=+$$y\succ z$$\epsilon=-$$\ovalbox{\tt\small REJECT} z=\{$を用いる. $y,$ $z\in V$ に対して,$w(y;\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{m};z)=|\{(z_{1}, \ldots, z_{m-1})\in V^{m-1} ; y- 4\epsilon z_{1}- 3\epsilon z_{2}\cdotsarrow\epsilon_{m-1}z_{m-1}- 3z\}\epsilon|$

とおく. これは,を始点として, 辺の向きを順にる. そうすれば, (3.20) は,$y$$\epsilon_{1},$$\ldots,$$\epsilon_{m}$と 1 とって$z$に至る道の個数であ.

$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n}^{+}=\frac{\kappa^{-m/2}}{(\kappa|V_{n-1}|)^{1/2}}\sum_{y\in V_{n}}\sum_{z\in V_{n+p-q}}(\omega_{-}(y)-\omega_{n})w(y;\epsilon_{1}, \ldots,\epsilon_{m};z)\delta_{z}$

したがって,$\langle\Phi_{n+p-q},$$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n}^{+}\rangle$$= \frac{1}{|V_{n+p-q}|^{1/2}}\frac{\kappa^{-m/2}}{(\kappa|V_{n-1}|)^{1/2}}\sum_{y\in V_{n}}\sum_{z\in V_{n+p-q}}(\omega_{-}(y)-\omega_{n})w(y;\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{m};z)$. (3.21)

33
ここで, $y\in V_{n}$ を固定した(3.22)$\sum_{z\in V_{n+p-q}}w(y;\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{m};z)$に従って辿るときの道の総数に一致する. その道の途中の $z\in V_{k}$ からの向き出ている辺の個数はであり, 一様に 以下である. 同じ$z\in V_{k}$ からーの向き出ている辺の個数は以下でであり, これは (3.17) で定義したある. (3.22) はそれらの積で求められる.
の向きが 回現れることと, 一の向きが 回現れ,$y\in V_{n}$ を出発し, \epsilon 。の方向をたどってできる道が通過する階層はに含まれることから, (3.18) を用いて,は$y$を始点として, 辺を向き$\epsilon_{1},$$\ldots,$$\epsilon_{m}$$\kappa-\omega_{-}(z)$$+$$\kappa$$W_{k}$$\omega_{-}(z)$$+$$\epsilon_{1},$

$p$

$q$

$V_{0}\cup V_{1}\cup\cdots\cup V_{n+p}$$\ldots$$\kappa^{p}M_{n+p,q}$.

$\sum_{z\in V_{n+p-q}}w(y;\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{m};z)\leq$のように評価される. 右辺は $y\in V_{n}$ の取り方によらない. これを用いると, (3.21) の評価が得られる. 実際,$|\langle\Phi_{n+p-q},$$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n}^{+}\rangle|\leq\frac{\kappa^{p}M_{n+p,q}}{|V_{n+p-q}|^{1/2}}\frac{\kappa^{-m/2}}{(\kappa|V_{n-1}|)^{1/2}}\sum_{y\in V_{n}}|\omega_{-}(y)-\omega_{n}|$$\leq\frac{\kappa^{p}M_{n+p,q}}{|V_{n+p-q}|^{1/2}}\frac{\kappa^{-m/2}}{(\kappa|V_{n-1}|)^{1/2}}(\sum_{y\in V_{n}}|\omega_{-}(y)-\omega_{n}|^{2})^{1/2}|V_{n}|^{1/2}$$= \sigma_{n}M_{n+p,q}(\frac{\kappa^{2p-m}|V_{n}|}{|V_{n+p-q}|})^{1/2}(\frac{|V_{n}|}{\kappa|V_{n-1}|})^{1/2}$.

I

これが証明すべき (3.19) である.

補題 3.11を , 一のものの個数を対して,$\epsilon_{1},$$\ldots,$$p$$|\langle\Phi_{n+p-q},$$\epsilon_{m}\in\{\pm\},$$q$$m\geq 1$, が任意に与えられたとして, そのうち$+$のものの個数とする. このとき, 任意の $n\geq 0$ で $n+p-q\geq 0$ をみたすもの [こ$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n}^{-}\rangle|\leq\sigma_{n}M_{n+p,q}(\frac{\kappa^{2p-m}|V_{n}|}{|V_{n+p-q}|})^{1/2}(\frac{|V_{n}|}{\kappa|V_{n+1}|})^{1/2}$.

(3.23)

証明 定義 (3.13) により $S_{0}^{-}=0$ である. よって, $n=0$ のときは, (3.23) の左辺は 0 であとの関係式
り明らかに成立. $n\geq 1$ のときは, (3.12), (3.13) から得られる$S_{n}^{+}$$S_{n}^{-}=-( \frac{|V_{n-1}|}{|V_{n+1}|})^{1/2}S_{n}^{+}$

を用いれば, (3.23) は (3.19) から直ちに出る.

,$n\geq 1$$S_{n}^{-}$

,

I

34
35

定理 33 の証明を考えるので, それに付随するさまざまな定数は成長パラ
定理では, グラフの成長列
メータに依存することになる. 証明すべき式 (3.3) において (3.15) を用いれば,$\mathcal{G}_{\nu}$$\nu$$\langle\Phi_{j}^{(\nu)},$$\frac{A_{\nu^{m}}^{\epsilon}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\ldots\frac{A_{\nu^{1}}^{\epsilon}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{n}^{(\nu)}\rangle$$=\gamma_{n+\epsilon_{1}}^{\epsilon_{1}}\gamma_{n+\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}^{\epsilon_{2}}\ldots$\gam a n\epsilon m+\epsilon l+ .. へ$\langle\Phi_{j}^{(\nu)},$$\Phi_{n+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{m}}^{(\nu)}\rangle$$\cdot$$+ \sum_{k=1}^{m}\gamma_{n+\epsilon_{1}}^{\epsilon_{1}}\ldots\gamma_{n+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{k-1}}^{\epsilon_{k-1}}\langle\Phi_{j}^{(\nu)},$ $\frac{A_{\nu^{m}}^{\epsilon}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\ldots\frac{A_{\nu}^{\epsilon_{k+1}}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}S_{n^{k}+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{k\rangle}}^{\epsilon}$はここで係数
当て (まめれば,$\gamma_{n}^{\epsilon}$$\nu$に依存する.

$\gamma_{n}^{\epsilon}$の具体的な表示 (3.10), (3.11)&こ補題 36 と条件 (A3) を,$\lim_{\nu}\gamma_{n}^{+}=\sqrt{\omega_{n}}$したがって, (3.24) の第 2 項が$\nuarrow\infty$$\lim_{\nu}\langle\Phi_{j}^{(\nu)},$. (3.24)$\lim_{\nu}\gamma_{n}^{-}=\sqrt{\omega_{n+1}}$.

(3.25)

で消えることを示すには,(3.26)$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{k+1}}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}S_{n^{k}+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{k\rangle}}^{\epsilon}=0$を証明すれば充分である. このような内積の一般的な評価は補題 3.10, 3.11 で準備した. その一般的な結果を再録すれば,$|\langle\Phi_{j},$$|\langle\Phi_{j},$$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n}^{+}\rangle|\leq\sigma_{n}M_{n+p,q}(\frac{\kappa^{2p-m}|V_{n}|}{|V_{n+p-q}|})^{1/2}(\frac{|V_{n}|}{\kappa|V_{n-1}|})^{1/2}$,(3.27)$\frac{A^{\epsilon_{m}}}{\sqrt{\kappa}}\ldots\frac{A^{\epsilon_{1}}}{\sqrt{\kappa}}S_{n}^{-}\rangle|\leq\sigma_{n}M_{n+p,q}(\frac{\kappa^{2p-m}|V_{n}|}{|V_{n+p-q}|})^{1/2}(\frac{|V_{n}|}{\kappa|V_{n+1}|})^{1/2}$.

(3.28)($j=n+p-q$ でなければ, 左辺は 0 である) 右辺の定数は, すべて成長パラメータ存する. 順に見てゆこう. まず, 条件 (A5) によって$\sup_{\nu}M_{n+p,q}^{(\nu)}<\infty$

$\nu$

.

補題 37 から$\frac{\kappa^{2p-m}|V_{n}|}{|V_{n+p-q}|}=O(\kappa^{2p-m+n-(n+p-q)})=O(\kappa^{p+q-m})=O(1)$ここで, (A3) からランダウ記号の部分は成長パラメータ$\nu$$\sup_{\nu}\frac{\kappa(\nu)^{2p-m}|V_{n}^{(\nu)}|}{|V_{n+p-q}^{(\nu)}|}<\infty$.

.

に関して一様にとれるので,

に依

35

.

$|\mathrm{t}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}}$$|\mathrm{t}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}}$$<\mathrm{o}\mathrm{o}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$$\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{m}$7’$\kappa(\nu)\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}|$\kap a (\mbox{\boldmath $\nu$})|

したがって, (3.27), (3.28) の右辺は, 条件 (A4) によってになる. 結局, (3.24) の第 1 項のみが極限で生き残り,$\lim_{\nu}\langle\Phi_{j}^{(\nu)},$怜

.

の極限において消えること$\nuarrow\infty$.

$\frac{A_{\nu^{1}}^{\epsilon}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\ldots\frac{A_{\nu^{m}}^{\epsilon}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{n}^{(\nu)}\rangle=\lim_{\nu}\gamma_{n+\epsilon_{1}}^{\epsilon_{1}}\gamma_{n+\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}^{\epsilon_{2}}\ldots\gamma_{n+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{m}}^{\epsilon_{m}}\delta_{j,n+\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{m}}$これは, (3.25) と相互作用フオック空間$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$の定義から,$\langle\Phi_{j}, B^{\epsilon_{m}}\ldots B^{\epsilon_{1}}\Phi_{n}\rangle$に等しいことが直ちにわかる. これで主定理の証明が完成した.

4

ケーリーグラフからの例

41

ケーリーグラフ

離散群 $G$ を考えよう. 単位元はみたすものとする:

(i)
(ii)

$\sigma\in\Sigma\Rightarrow\sigma^{-1}\in\Sigma$$e\not\in\Sigma$, すなわち,$e$で表す. 部分集合$\Sigma^{-1}=\Sigma$$\Sigma\subset G$

は $G$ の生或系で次の条件を

;

.

$G$
このとき, 2 点 $x,$ $y\in G$ は $yx^{-1}\in\Sigma$ をみたすときに辺をなすと定義すること {こよって,にはグラフの構造が導入される. これをケーリーグラフ (Cayley graph) と呼び, $(G, \Sigma)$ と表
力\leq G を生成するとの仮定力\supsetをもつ正則グラフであり,す. ケーリーグラフは次数ら連結である. 通常, をグラフの原点として固定し, いつも通り階層化しておく.
$\Sigma$$\kappa=|\Sigma|$

$e$

42

正方格子

$\mathrm{Z}^{N}$$g_{\pm N}=(0, \ldots, 0\cdot, \pm 1)$ を考えの生成元として標準基底 $g\pm 1=(\pm 1,0, \ldots, 0),$
合わせたケーリーグラフは $N$-次元正方格子である. 条件 (A1), (A2), (A3”), (A5) が容易に確かめられる. 実際, $N\geq n$ のとき,

加法群$\mathrm{Z}^{N}$$\ldots,$,$|\{x\in V_{n}^{(N)} ; \omega_{-}(x)=k\}|=(\begin{array}{l}Nk\end{array})(\begin{array}{ll}n -1k -1\end{array})2^{k}$かつ$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{N)}|=\sum_{k=1}^{n}(\begin{array}{l}Nk\end{array})(\begin{array}{ll}n -1k -1\end{array})2^{k}$$k=1,2,$$\ldots,$

$n$

.

36
が成り立つ. よって,$\kappa(N)=2N$ ,$\omega_{n}=n$,$W_{n}=n$となる. これより, 量子中心極限定理が成り立ち, 極限は, $\lambda_{n}=n!$ に付随する相互作用フォッ
ク空間, すなわちボゾンフォック空間によって記述される. 命題 1.1 を参照して, 古典論に還元した結果を記せば,$\lim_{Narrow\infty}\langle\Phi_{0}^{(N)},$$( \frac{A_{N}}{\sqrt{2N}})^{m}\Phi_{0}^{(N)}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}$.

ここで, $A_{N}/\sqrt{2N}$ は正規化された$\mathrm{Z}^{N}$,$x^{m}e^{-x^{2}/2}dx$$m=0,1,2-,$.

$\ldots$の隣接行列である. これは古典的な中心極限定理を再現している.

4.3

等質樹木$F_{N}$

から生成される自由群としよう. 記号の簡便さから $g_{-:}=g_{i}^{-1}$ とおく. $\Sigma_{N}=\{g_{\pm 1}, \ldots, g_{\pm N}\}$ として定義されるケーリーグラフ
は等質樹木となる. 条件 (A1), (A2), (A3”), (A5) が容易に確がめられる. 実際, すべての$x\neq e$ に対して $\omega_{-}(x)=1$ である. さもないと, ケーリーグラフにループが現れ,の生成
元がある種の関係式をみたすこととなって自由群であることに反してしまう. こうして,$N\geq 1$

として$F_{N}$

を $N$ 個の文字

$g_{1},$$\ldots,$$g_{N}$$(F_{N}, \Sigma_{N})$$F_{N}$$\kappa(N)=2N$,$\omega_{n}=1$,$W_{n}=1$がわかる. したがって, 極限を記述する相互作用フオック空間のパラメータは $\lambda_{n}=1,$ $n\geq 0$ ,で与えられるが, それは自由フォック空間に他ならない. 命題 13 を思い出せば, 正規化された隣接作用素 $A_{N}/\sqrt{2N}$ に対して,$N1”-\langle\Phi_{0}^{\langle}$

ゞゝ,

.(–
A2NN)m\Phi 0(ゞ)$\rangle$$= \frac{1}{2\pi}\int_{-2}^{+2}x^{m}\sqrt{4-x^{2}}dx$$\sqrt$,$m=0,1,2,$$\ldots$.

これは, 自由中心極限定理と呼ばれるものの原型である. 詳しくは, Hiai-Petz [17], VoiculescuDykema-Nica[35] などを参照されたい.

4.4

Coxeter If

わゆる Coxeter 行列 m(的)\in $\{1, 2, \cdots, \infty\}$ , 的 $\in\{1,2, \ldots\}$ , を考える. 定義によって, 対角成分は $m(i, i)=1$ , 非対角成分は $m(\text{的})=m(j, i)\geq 2$ をみたす. 各 $N\geq 1$ に対して,$\Sigma^{(N)}=\{g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{N}\}$を生威系とし, 関係式$(g:g_{j})^{m(:i)}=e$,$i,j\in\{1,2, \ldots, N\}$によって定義される群を $G^{(N)}$ と書く. $m(\text{的})=\infty$ のときは,このように定義された群 $G^{(N)}$ を Coxeter 群と総称する.

.

$g:g_{j}$を位数無限大の元とする.

37
は位数 2 をもつこと (単位元 に還元されないこと) が知られているので,生成元
ケーリーグラフ $(G^{(N)}, \Sigma^{(N)})$ を考えることができる. 明らかに $\kappa(N)=N$ . すべての Coxeter,
群 $G^{(N)}$ は, 条件 (A1) をみたす. さらに, Coxeter 行列のすべての非対角成分力\leq m(的)その場合は, すべて$i\neq j$ , となっているような Coxeter 群は, 条件 (A2), (A3”) をみたす.
$g_{i}\in\Sigma$$e$$\geq 3$

したがって, Coxeter 行列の非対角成となっているような Coxeter 群の成長列 $(G^{(N)}, \Sigma^{(N)})$ にたいして量子中心に対して $\omega_{n}=1$ かつ $W_{n}=2$ となる 5).

の $n\geq 1$

分がつねに$\geq 3$

極限定理が成り立ち, その極限は, 自由フオツク空間で記述される. つまり, 状況は前節 43の等質樹木と同様である. 特に, 正規化された隣接作用素 $A_{N}/\sqrt{N}$ の真空状態におけるス
ペクトル分布は Wigner 半円則に漸近する. この結果は, Fendler [12] によって, モーメントを組合せ論的に求めるという全く異なる方法によって示されている. この例の詳しい計算はHashimotO-Hora-Obata[15] にある.
対称群 (Coxeter 系)

45$6_{N}$の生或系として, いわゆる Coxeter 系:$g_{1}=(12)$,$g_{2}=(2 3)$,$g_{N-1}=(N-1N)$ ,...,を考えよう. Coxeter 行列は$m(i,j)=\{\begin{array}{l}\mathrm{l}i=j3|i-j|=12|i-j|\geq 2\end{array}$

行列のすべての非対角成分が \geq 3」 に合これは, \S 4.4 で述べた Coxeter 群の条件 「わない. しかし, 条件 (A1), (A2), (A3”), (A5) は容易に確かめられて,$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\kappa(N)=N$ ,がわかる.
$A_{N}/\sqrt{N}$$\omega_{n}=n$,$W_{n}=n$よって, 極限はボゾンフオツク空間によって記述され, 正規化された隣接作用素の真空状態におけるスペクトル分布は標準 Gauss 分布に漸近する.

対称群 (互換すべてを生成系とする場合)

46の生成系として, 互換全部 $\Sigma_{N}=\{(ij);1\leq i<j\leq N\}$ を取ってみよう. 一例としとを図 46 に示した. ただし, 辺の一部を省略しているが, 特徴を見るために,て,(1234) を結ぶ最短経路, 及び (12), (123), (12)(34) のまわりの辺はすべて表示してある.
対称群に関する初等的知識から, (A1), (A2), (A3”), (A5) が確かめられる. 実際,$6_{N}$$e$$(\mathfrak{S}_{4}, \Sigma_{4})$$\kappa(N)=\frac{N(N-1)}{2}$,$\omega_{n}=n$,$W_{n}= \frac{n(n+1)}{2}$,がわかる. したがって, \S 4.5 と同様に, 極限はボゾンフオツク空間で記述され, 正規化された[こ漸$A_{N}/\sqrt{N(N-1)/2}$ の真空状態におけるスペクトル分布は標準 Gauss 分布

隣接作用素
近する.
5)

Coxeter 群のケーリーグラフの幾何学的構造について Szwarc [33] が有用である.

38

$e$

geodesics$\mathrm{e}\cdot\cdot(1234)$

図 4.1:

5$(\mathfrak{S}_{4}, \Sigma_{4})$極限の多様性

連結正則グラフの成長列からどのような極限分布が得られるか? については, あまり明らかではない. この章では, まず, 極限が 1-モード相互作用フォック空間で記述できるための条件を示し, それでは記述できない一例を示す. 次に, ボゾンやフェルミオ
ンフォック空間に帰着されない例を示し, 得られる極限分布の多様性を示唆する.
$\{\mathcal{G}_{\nu}=(V^{(\nu)}, E^{(\nu)})\}$

5.1

1-モード相互作用フオック空間で記述できるための必要条件

条件 (A1) をみたす一般の正則連結グラフ $\mathcal{G}=(V, E)$ に戻ろう. その階層化をとし, 隣接作用素 $A$ の量子分解を $A=A^{+}+A^{-}$ とおく. 階層化に付随して定義される個数へのベクトルの具体的な作用は, 補題 23, 2.4 から判る. その具体形を用いることに$V= \bigcup_{n=0}^{\infty}V_{n}$$\Phi_{n}$$A^{\pm}$

よって

補題 51 $n\geq 0$ に対して,$\langle\Phi_{n}, A^{-}A^{+}\Phi_{n}\rangle=||A^{+}\Phi_{n}||^{2}=\frac{|V_{n+1}|}{|V_{n}|}(\omega_{n+1}^{2}+\sigma_{n+1}^{2})$

,

(5.1)

$\langle\Phi_{n}, A^{+}A^{-}\Phi_{n}\rangle=||A^{-}\Phi_{n}||^{2}=\frac{|V_{n-1}|}{|V_{n}|}((\kappa-\omega_{n-1})^{2}+\sigma_{n-1}^{2})$証明 補題 23 の証明から,$||A^{+} \Phi_{n}||^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{y\in V_{n+1}}\omega_{-}(y)^{2}=\frac{|V_{n+1}|}{|V_{n}|}(\sigma_{n+1}^{2}+\omega_{n+1}^{2})$

.

.

(5.2)

39
よって, (5.1) が示された. 同様にして, 補題 2.4 から,$||A^{-} \Phi_{n}||^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{z\in V_{n-1}}\omega_{+}(z)^{2}=\frac{1}{|V_{n}|}\sum_{z\in V_{n-1}}(\kappa-\omega_{-}(z))^{2}$$= \frac{1}{|V_{n}|}\sum_{z\in V_{n-1}}\{(\kappa-\omega_{n-1})+(\omega_{n-1}-\omega_{-}(z))\}^{2}$$= \frac{1}{|V_{n}|}\{|V_{n-1}|(\kappa-\omega_{n-1})^{2}+\sum_{z\in V_{n-1}}(\omega_{n-1}-\omega_{-}(z))^{2}\}$$= \frac{|V_{n-1}|}{|V_{n}|}((\kappa-\omega_{n-1})^{2}+\sigma_{n-1}^{2})$.

I

よって (5.2) が得られた.

命題 52$\{\mathcal{G}_{\nu}=(V^{(\nu)}, E^{(\nu)})\}$$(\Gamma, \{\lambda_{n}\}, B^{+}, B^{-})$

を条件$(\mathrm{A}1)-(\mathrm{A}3)$

をみたす連結正貝 [』グラフの成長タリとし,を (1 モード) 相互作用フオツク空間とする. このとき,$\lim_{\nu}\langle\Phi_{n}^{(\nu)},$$\frac{A_{\nu}^{-}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\frac{A_{\nu}^{+}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{n}^{(\nu)}\rangle=\langle\Phi_{n}, B^{-}B^{+}\Phi_{n}\rangle$(5.3)$\lim_{\nu}\langle\Phi_{n}^{(\nu)},$$\frac{A_{\nu}^{+}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\frac{A_{\nu}^{-}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{n}^{(\nu)}\rangle=\langle\Phi_{n}, B^{+}B^{-}\Phi_{n}\rangle$(5.4)の定義されて る範囲) で成り立つ
が, すべての $n\geq 0$ (ただし, が有限階層のときは,は無限階層であって),であり (つまり, 必然的にならば, すべての $n\geq 0$ に対してに対して (A4) が成り立つ.
グラフの成長列$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\Phi_{n}$$\Gamma$$\Gamma$$\lambda_{n}>0$$\{\mathcal{G}_{\nu}\}$証明
仮定は相互作用フオツク空間における生成・消滅作用素の一般的な作用 (1.1) 力 1 ら, 我々の$\lim_{\nu}\langle\Phi_{n}^{(\nu)},$$\frac{A_{\nu}^{-}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\frac{A_{\nu}^{+}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{n}^{(\nu)}\rangle=\frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_{n}}$(5.5)$\lim_{\nu}\langle\Phi_{n}^{(\nu)},$$\frac{A_{\nu}^{+}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\frac{A_{\nu}^{-}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{n}^{(\nu)}\rangle=\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n-1}}$(5.6.)ということになる. 一方, 補題 5.1 によって, これらの左辺は成長\nearrow くラメータ
ラフの統計量で書ける. まず, (5.5) を考えよう.

$\frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_{n}}=\lim_{\nu}\langle\Phi_{n}^{(\nu)},$$\nu$[こ依存するグ$\frac{A_{\nu}^{-}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\frac{A_{\nu}^{+}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{n}^{(\nu)}\rangle=\lim_{\nu}\frac{|V_{n+1}^{(\nu)}|}{\kappa(\nu)|V_{n}^{(\nu)}|}(\omega_{n+1}^{(\nu)2}+\sigma_{n+1}^{(\nu)2})$(5.7)

であるが, 補題 36 と仮定 (A2), (A3) によって,$\lim_{\nu}\frac{|V_{n+1}^{(\nu)}|}{\kappa(\nu)|V_{n}^{(\nu)}|}=\lim_{\nu}\frac{1}{\omega_{n+1}^{(\nu)}}(1-\frac{\omega_{n}^{(\nu)}}{\kappa(\nu)})=\frac{1}{\omega_{n+1}}$

(5.8)

40
であることに注意する. なお, 命題 3.1 によって, すべての $n\geq 1$ に対してことを思い出そう. したがって, (5.7) は,$\frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_{n}}=\omega_{n+1}+\frac{1}{\omega_{n+1}}\lim_{\nu}\sigma_{n+1}^{(\nu)2}$となり,$\Phi_{n}$が定義されているような,に対しては, 極限$n$$\omega_{n}\geq 1$

であった

n\geq 0 フ

(5.9)$\lim_{\nu}\sigma_{n+1}^{(\nu)}$が存在することも同時にわかる.
$\lambda_{n+1}=0$
さて, 与えられた相互作用フォック空間が有限階層であったと仮定しよう.
となると合わせると矛盾を生ずる.
に対しても, (5.9) が成り立つはずであるが,である.
よって, すべての $n\geq 0$ [こ対して次に, (5.6) を考えよう. 上の議論と同様に, 補題 36 と仮定によって,$\lambda_{n}>0,$$\omega_{n+1}\geq 1$$n$$\lambda_{n}>0$$\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n-1}}=\lim_{\nu}\langle\Phi_{n}^{(\nu)},$$\frac{A_{\nu}^{+}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\frac{A_{\nu}^{-}}{\sqrt{\kappa(\nu)}}\Phi_{n}^{(\nu)}\rangle$$= \lim_{\nu}\frac{|V_{n-1}^{(\nu)}|}{\kappa(\nu)|V_{n}^{(\nu)}|}((\kappa(\nu)-\omega_{n-1}^{(\nu)})^{2}+\sigma_{n-1}^{(\nu)2})$.

$= \lim_{\nu}\frac{\kappa(\nu)|V_{n-1}^{(\nu)}|}{|V_{n}^{(\nu)}|}\{(1-\frac{\omega_{n-1}^{(\nu)}}{\kappa(\nu)})^{2}+(\frac{\sigma_{n-1}^{(\nu)}}{\kappa(\nu)})^{2}\}$$\lim_{\nu}\omega_{n-1}^{(\nu)},$$\lim_{\nu}\sigma_{n-1}^{(\nu)}$.

ともに収束するので, (5.8) から,$\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n-1}}=\omega_{n}$,$n\geq 1$.

(5.10)(5.9) と (5.10) から$\lim_{\nu}\sigma_{n}^{(\nu)}=0$,$n\geq 1$,Iが得られ, 証明が終わる.

5.2

極限分布の多様性\S 4 において列挙した群のケーリーグラフの例では, 標準 Gauss 分布と Wigner 半円則が極限として得られた. 他の確率分布を群のケーリーグラフから自然な形で導出することは興味深いのだが, よい例は見つかつていない. しかし, 連結正則グラフの範噴なら, 様々な例が構成されそうである.
与えられたに対して \kappa -正則グラフであって,$\kappa\geq 3$$\omega_{-}(x)=\{$

をみたすものを 1 つ構成しよう.

1$x\in V_{n}$,$n:\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\Re$2$x\in V_{n}$,$n\geq 2$

: 偶数

41
$1^{\mathrm{O}}1$

点$2^{\mathrm{o}}\kappa$

で$x_{0}$をとり, 第 0 階層

個の点届. . . ,$x_{0}$から$\kappa$とする.

$V_{0}$

からなる第 1 階層をつくり,本の辺がのびることになる.
$V_{1}$$y_{\kappa}$

から異なる 2 点

$V_{1}$

を選び, それに対応する点
全体 {z り ; $1\leq i<j\leq\kappa$ } $=V_{2}$ を第 2 階層とし, 各$3^{\mathrm{O}}V_{1}$$\{y_{i}, y_{j}\}$$4^{\mathrm{O}}$$\kappa$$x_{0}$

を辺で結ぶ. これを用意する. そのような点のとを辺で結ぶ. この段と$z_{ij}$$z_{ij}$

階で, 各 $y\in V_{1}$ はの各点と$y_{i},$$y_{j}$

本の辺をもつ. $|V_{2}|=\kappa(\kappa-1)/2$ である.

に対しての 2 点と辺で結ばれている. そこで, 各の各点 はすでに
第 2 階層とと結ぶ. ここで用意された点の全体を第 3 階層
個の新しい点を用意してする. 各 はこの段階で 本の辺をもつ.
$V_{2}$$\kappa-\cdot 2$$V_{3}$

れの$\kappa$$V_{3\dot{\iota}}$$\kappa$の点と 1 本の辺で結ばれている. $|V_{3}|=\kappa(\kappa-1)(\kappa-2)/2$ であるから,$1\leq i\leq(\kappa-1)(\kappa-2)/2$ , に分割できる. それぞ個の点からなる部分集合の各点はを$V_{3}$$z$$z$$5^{\mathrm{O}}V_{3}$$z$$V_{1}$$z$$V_{2}$$V_{3i},$を$V_{1}$とみなしてこのように構成された$\kappa$$3^{\mathrm{o}}$の操作から繰り返す.

-正則グラフを$|V_{0}|=1$,$\mathcal{G}_{\kappa}$

で表そう (図 5.1 を参照). 各階層の大きさは,$|V_{1}|=\kappa$$|V_{2n-1}|=|V_{1}| \{\frac{(\kappa-1)(\kappa-2)}{2}\}^{n-1}$,,$|V_{2}|= \frac{\kappa(\kappa-1)}{2}$,$|V_{2n}|=|V_{2}| \{\frac{(\kappa-1)(\kappa-2)}{2}\}^{n-1}$.

図 5.1: $\mathcal{G}_{4}(\omega_{2n-1}=1, \omega_{2n}=2;n\geq 1)$

そのものを成長パラメータとして, 条件
この正則グラフの族は,たす. 実際, (A3), (A4) については極限を取るまでもなく成り立ち,$\{\mathcal{G}_{\kappa}\}$$\kappa$$\omega_{n}=W_{n}=\{$

1
2

$n$

: 奇数,

$n\geq 2$: 偶数.

$(\mathrm{A}1)-(\mathrm{A}5)$をみ(5.11)

42
他の条件は自明である. よって, 極限を記述する相互作用フォック空間は, \S 1.2 にあげた典型例とは異なるものである.
付随する直交多項式について調べておこう. まず, $U_{n}(x)$ を第 2 種 Chebyshev 多項式とする:
$U_{n}(x)= \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$,$x=\cos\theta$,$n=0,1,2,$$\ldots$.

漸化式$U_{0}(x)=1$$\{$,$U_{1}(x)=2x$(5.12),$U_{n}(x)=2xU_{n-1}(x)-U_{n-2}(x)$ ,$n\geq 2$,と直交関係$\int_{-1}^{+1}U_{m}(x)U_{n}(x)\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{\pi}{2}\delta_{mn}$が成り立つ 6). 第 2 種 Chebyshev 多項式を用いて,$P_{0}(x)--1$,$P_{1}(x)=x$ ,(5.13)$\{$$P_{2n}(x)=2^{n/2}(U_{n}(z)+\sqrt{2}U_{n-1}(z))$$P_{2n+1}(x)=2^{n/2}xU_{n}(z)$,$n\geq 1$,$n\geq 1$,,として, $\{P_{n}(x)\}\text{を定義する}$ . ただし$z= \frac{x^{2}-3}{2\sqrt{2}}$である. (5.12) を用いた簡単な計算によって,$xP_{n}(x)=P_{n+1}(x)+\omega_{n}P_{n-1}(x)$が示される. ここの$\{P_{n}(x)\}$$\{\omega_{n}\}$の直交化測度$\mu$,$n\geq 1$,

は (5.11) で与えられたものである.
の Cauchy 変換 $G(z)$を連分数展開によって計算すると,$\mathrm{C}^{\mathrm{A}}$ロC右で$G(z)= \frac{1+z^{2}-\sqrt{z^{4}-6z^{2}+1}}{4z}$$({\rm Re} z>0, {\rm Im} z>0)$の上半平面から実軸への境界値をとれば,$\{0\}\cup[\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1]$ に台をもつ確率測度の表示を得る.

$G(z)$$\mu$

は $[-\sqrt{2}-1, -\sqrt{2}+1]\cup$$\frac{1}{4\pi}\sqrt{6-x^{2}-\frac{1}{x^{2}}}\chi_{[-\sqrt{2}-1,-\sqrt{2}+1]\cup[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]}(x)dx+\frac{1}{2}\delta_{0}$6) $\tilde{U}_{n}(x)=U_{n}(x/2)$

は Wigner 半円則に関する直交多項式 ( $\tilde{U}_{n}(x)=x^{n}+\ldots$ と基準化
とおくと,
である.
されている) になる. 対応する Szeg\"o-Jacobi 定数は$\{\tilde{U}_{n}(x)\}$$\alpha_{n}\equiv 0,$$\omega_{n}\equiv 1$

43であることがわかる.

上記の議論を多少変更すれば, 任意の正整数の組 $a,$$\omega_{1}=1$,$\omega_{2n}=a$,$b,$ $k$$\omega_{2n+1}=b$,に対して$n\geq 1$,

をみたす次数 $\kappa=abk$ の正則グラフを構成することもできる. 詳しくは, Hora-Obata [24]で議論する予定である.

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