講座
誰にでもわかるトーラスプラズマの輸送現象

２．新古典輸送ー粒子軌道からの理解ー
横

山

雅

之

（核融合科学研究所）

Neoclassical Transport −Based on the Characteristics of Particle Orbits −YOKOYAMA Masayuki
National Institute for Fusion Science, Toki 509-5292, Japan（Received 19 July 2000）
Abstract
Neoclassical transport properties (particularly particle diffusion and bootstrap current) in toroidal magnetic
configurations are intuitively explained based on particle orbit properties. The particles trapped in magnetic
mirrors which exist inherently in toroidal geometry can enhance particle diffusion across the magnetic fieldas compared with classical diffusion in a uniform magnetic field. The variation of trapped particle orbits andthe role of the radial electric field in a non-axisymmetric torus are also remarked. The bootstrap current, which
has been identified to be in good agreement with the neoclassical prediction, is simply explained in an axisymmetric geometry based on the particle picture.
Keywords:
effective collision frequency, step size, random walk process, classical diffusion, particle orbit, toroidal drift,banana particle, helically trapped particle, super-banana particle, radial electric field,
poloidal angular frequency, bootstrap current

１．はじめにたと言えます．また，Galeev と Sagdeev によって１
９６８年

プラズマの輸送とは，粒子そのもの，また，エネルギーに，トカマクの低衝突周波数領域においてさらに粒子拡や運動量の移動現象のことを指します．具体的には，粒散係数が大きくなることが示されています［２］．その後子拡散，エネルギー拡散，プラズマの流れ，電流生成なも数多くの研究者によって新古典輸送理論は体系化されどがあげられます．粒子軌道とクーロン２体衝突だけでてきています．

決まる輸送現象を古典輸送，あるいは新古典輸送と言い

トーラス磁場配位によるプラズマ閉じ込め実験では，ます．古典輸送は粒子のラーモア運動に起因するもの

新古典輸送理論においては考慮されていない電磁場揺動で，新古典輸送は案内中心軌道と磁場ミラーの存在（こが存在し，これによって様々な集団運動，強い非線形現れらについては後で説明します）によって起こるもので象が観測されています．そして，磁場を横切る方向の粒

す．

子や熱の輸送は電子に対してもイオンに対しても新古典

新古典輸送理論の構築は，
１９６２年に Pfirsch と Schlüter

輸送理論の予測よりはるかに大きいものとなっていま

が，トーラス配位において MHD 平衡を実現するためにす．このような，粒子軌道とクーロン２体衝突だけでは必要な平衡電流が存在することによって拡散係数が古典記述されない輸送全般を異常輸送と呼んでいます．異常拡散よりも大きくなることを示した［１］ことから始まっ輸送については本講座の３章(Vol.76-12)で述べら れ ま

author’s e -mail: yokoyama@nifs.ac.jp
１１７６

講

座

２．新古典輸送−粒子軌道からの理解−横山

す．一方，新古典粒子拡散に起因する電流としてブート合を考えます．無衝突の場合には，磁場の不均一性によ

ストラップ（BS）電流の存在も新古典輸送理論に基づいるドリフト（次章で詳しく説明します）を受けるためにて予測され［３‐５］，こちらはトカマクやヘリカル系にお距離いてその予測によく一致する実験結果が得られています`だけ磁気面からずれる周期的な軌道を描くと考えてその周波数を Xとします．また，このような周期軌道［６‐８］．BS 電流は自発的に流れるので自発電流と呼ばれを描く粒子は速度成分比で分類できるので，その速度空リカル系のような非軸対称トーラスにおいては，BS 電流) としましょう．粒子の特徴的周期運動
は，ピッチ角（Q, #Q O;K];）を用いて定義されるので，上記の粒子の割合 ) はピッチ角分布の割合と考えることができます．したがって，粒子のピッチ角が ) 程度

は磁場構造や径電場，衝突周波数に依存し，その大きさ変化すると特徴的周期運動が変化することになります．

や向きの制御が様々に変化します［１０］．この自由度を活

衝突によるピッチ角の変化を速度空間内のランダムウ

用して，プラズマ閉じ込めに対する BS 電流の影響に関す

ォークと考えると，実効的に粒子の周期運動を変化させる実験的研究が進められています［８，
１１，
１２］．

る実効衝突周波数 は，衝突周波数 （ピッチ角を９０度ることもあります．外部電流駆動の必要性を減らすことができるという観点から，トカマクの定常化に向けて BS
電流を活用する方向で研究が進められています［９］．ヘ

間内での割合をSSS OS])となりま程度変化させる周波数）を用いて 総じて，磁力線に平行方向の電流や電気伝導度は新古)となるのは，衝突による速度空間内での粒典輸送理論の予測とよい一致を示していますが，磁場をす．ここで横切る方向の輸送は異常輸送によって支配されていると子分布の変化が，四方八方へ変化する拡散型であるためがら，磁場を横切る方向の輸送に関する実験結果からは)Bなので，SCSとなります．Sが Xより小さい（SEX），つまり，実効的衝突を受けるまでの間に少し隔たっていますが，新古典輸送の大きさを把握して周期軌道を完結できる場合には，周期運動を繰り返したおくことは，異常輸送の大きさを把握する上でも重要で

後に，速度空間内のピッチ角散乱によって新しい相関のあると考えられます．実際にトーラスプラズマの輸送解ない軌道へと実空間内の散乱を受けます．したがって，析を見ると，例えば電子の熱拡散係数などの，新古典輸

これらの粒子は衝突周波数 とステップサイズ

送の大きさと実験値との比較がなされていることに気づ徴づけられるランダムウォークを実空間上で行うことに言えるようです．このように，新古典輸送理論は残念なかれるでしょう．

です．

S

`で特

' は '〜（関連する粒子の割合）×（実効衝突周波数）×（ステップサイズ）＝)S`と評価なり，その拡散係数

このような観点から，新古典輸送を理解しておくこと

２

は，トーラスプラズマの輸送現象を理解する上で基本的されます．「粒子の拡散」とは，磁気面からの粒子軌道のかつ重要であると考えられます．新古典輸送理論に関し逸脱の度合いを表す指標であると言えます．ステップサては，数々の優れたレビュー，あるいは教科書的文献がイズの２乗を考えているので，粒子軌道が磁気面からプ存在しています（例えば，［１３‐１９］など）が，この章では，ラズマの中心部の方向へ逸脱したとしても，拡散係数にそれらを読み始めるにあたって最低限必要であろうと思寄与します．拡散係数が大きいからといって，粒子がプわれる，粒子軌道の性質とそれに基づく拡散現象についラズマから逃げていく方向ばかりに移動していることをての記述に力点を置きます．特に，磁場ミラーが存在す表しているのではないことに注意する必要があります．

るトーラス磁場配位中での粒子軌道の特性，磁場配位のまた，衝突の相手としては同種粒子（例えばイオンに対対称性が存在しないことによる粒子軌道の振る舞いの多してイオン），異種粒子（例えばイオンに対して電子）が様化，粒子軌道に対する径方向電場の効果について説明あり，衝突周波数もそれぞれで異なりますが，本章ではします．そして，これらの粒子軌道に関する基本的理解

これらの詳細については考えず，典型的な衝突周波数のに基づいて，新古典粒子拡散についての直感的理解がで大きさを見積もる場合には水素イオンの粒子群を考える

きるように説明を試みます．さらに，BS 電流についてことにします．

も，軸対称トーラスを例にとって粒子軌道の観点から説２．
２ 一様磁場中での粒子拡散（古典粒子拡散）

明します．

まず，磁場に垂直方向の古典拡散について考えます．
古典拡散とは，一様磁場中において，粒子のラーモア回

２．粒子軌道と粒子拡散

転とクーロン２体衝突のみで決まる拡散を指します．荷２．
１ 粒子拡散の基本的考え方

電粒子は磁力線に巻き付いて運動する性質を持っていま拡散を考える場合には，様々な速度を持った粒子の集すが，この旋回運動をラーモア回転，旋回半径をラーモ

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２０００年１１月

ア半径と言います．また，旋回運動の中心を案内中心と呼びます．Fig. 1 のように一様磁場< が印加されたプラズマを考えましょう．荷電粒子は他の粒子との衝突を受けない限り，ラーモア運動をしながら磁場< に沿って自由に動くことができます．しかし，衝突を受けると粒子は磁場に垂直方向に移動します．粒子はラーモア運動を続けますが，衝突によって運動の方向が変化し，その案
内中心の位置が変化するのです．ピッチ角の変化による磁場に垂直方向の速度成分の変化によってラーモア半径も変化しますが，これはこの過程にとって本質的ではな
いので，ここでは考慮しないでおきます．このような衝Fig. 1

突が続いて起こる場合，Fig. 1 に示されているように，案
内中心は実空間上で磁場に垂直方向に移動していきまSDiffusion of a charged particle (open circle) in a homogeneous magnetic field due to collisions with other particles(full circles).

す．衝突周波数（ ）は粒子のラーモア回転の周波数（サイクロトロン周波数）よりもずっと小さく，ラーモア軌道を描ける状況を考えています．この移動のステップサイ
ズはラーモア半径

Uです．この場合，速度空間中でのある領域の粒子のみがこの過程にかかわるのではなく，全粒子がかかわります．したがって)Oとなりますが，

このことは，クーロン衝突が，まれにしか起こらない９０度散乱を通してではなく，微小角散乱を通してこの過程
に対して影響を及ぼしていることを意味しています．以上の考慮により，磁場に垂直方向の拡散係数（古典拡散'OSUが得られます．

係数）２．
３ トーラス磁場中での粒子拡散（新古典粒子拡散）
磁場ミラーが存在する場合には，磁場ミラーで反射を受ける粒子（捕捉粒子）が存在するようになります．この「捕捉」は，「磁場配位に閉じ込まる」という意味ではなく，「磁場ミラーに捕えられる」という意味です．
捕捉粒子は，磁力線に沿った運動が制限され，古典輸送とは大きく異なった性質の輸送を引き起こします．これが新古典輸送です．新古典輸送理論とは，磁場ミラーがFig. 2存在するプラズマ中での捕捉粒子軌道とそれが引き起こ

Schematic view of an axisymmetric torus.

す輸送現象との関連を明らかにする理論であると言えま
す．Fig. １のようなプラズマをトーラス（ドーナツ状）にいては［１８］をはじめさまざまな文献があるので，それらすると，トーラス内側で磁場強度を参考にしてください．

& が大きくなり，トー& が小さくなります．ヘリカル系配位では，& の変化が生じます．これらの & の変化が磁場ミラーを形成するのです．
ラス外側で

２．
３．
１ 軸対称トーラス
Fig. 2 のように，軸対称なトーラスプラズマを考えま

ヘリカルコイルとの遠近によってもしょう．「軸対称」とは，このトーラスをどの断面で縦以下では，軸対称配位，ヘリカル系配位における捕捉粒に切っても同じ性質を有している，という性質です．理子軌道の特徴について述べ，その捕捉粒子軌道が引き起

想的なトカマクがこれに該当します．「理想的な」と断っこす拡散について，軌道との関連に基づいて直感的に理解できるように説明を試みます．もちろん，詳細な議論のためには系統的な記述を行う必要があり，それらにつた理由は後述します．さて，Fig. 2 で，/ を大半径方向，8を小半径方向（あるいは単に径方向），W（対称軸である1軸を取り巻く方向）をトロイダル方向，Q（プラズマ柱

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座

２．新古典輸送−粒子軌道からの理解−- を取り巻く方向）をポロイダル方向と呼びます．1軸から - までの距離を主半径 /，2をプラズマ小2をアスペクト比と言います．本章では，アス
半径，/]
2F），つまり，ほっそ
ペクト比が十分大きい場合（/]

こで，符号

の中心

横山

@ は磁場の向きとの関係を表していて，＋は

磁場方向，−は磁場と反対方向に運動することを表して;Oになりうる），ついます．これは，反射を受ける（ K

まり，磁場ミラーに捕捉される「捕捉粒子」と，捕捉さりとしたトーラスを考えます（低アスペクト比の場合にれない「非捕捉粒子」の２種類に分類されることを示しは，磁場強度のポロイダル方向変化が簡単には表せなくています．また， K の式から反射点のカマクの研究が活発に行われるようになってきたことも;& は &O(]Rで与えられますが，Rと ( が保存量なので，ある捕捉粒子を考えた場合に反射点の & は一定になります．Fig. 3 (a)あって，この方面への新古典輸送理論の拡張も盛んに行に，非捕捉粒子と捕捉粒子の軌跡が示されています．非

われています．例えば［２０］）．Fig. 2 で， W は

捕捉粒子は磁力線に沿ってポロイダル方向に周回します

なり，解析が複雑になります．近年，低アスペクト比ト& W方向を向& Q方向を向いている

いているのでトロイダル磁場， Qはの で ポ ロ イ ダ ル 磁 場 と い い ま す．ト カ マ ク で は，

&WF&Qなので & は &Wにほぼ等しくなっています．磁気圧に対するプラズマ圧力の大きさ（この比をベータ値と&呼びます）が十分小さく， W はトロイダルコイル（ポロQ]TOZを通過しています）が，捕捉粒子は×で示されたポロイダル角において ;KOとなり反射され，トーラス内側（QDT）には到達できないことがわかります．
速度成分の関係から考えると， ;K];^Y$の場合には非（捕捉粒子，逆の場合には捕捉粒子となります．これらのイダル方向に巻かれていますが，トロイダル磁場を作る

粒子の軌道をポロイダル断面（トロイダル角一定の断という意味でこう呼ばれます）が作るトロイダル磁場に&D&WG]/ となります．& が大面）に射影したものが Fig. 3 (b)です．プラズマの断面がほぼ等しいとすると，単純な円であることはまれですが，この図では，プラズ

半径に反比例するというこの性質は，プラズマをトーラ

マの断面を平均化して単純な円に焼き直して表示してあスにしたことによって生じるので，磁場のトーラス性と呼 ば れ ま す． で の 磁 場 の 値 を &と す る と，
&O&/]/O&/]/N8#QD&>8]/#Q
となり，これは，& がトーラスの外側（QO）で最小となり，内側（QOT）で最大となることを意味しています．
/を Y$と表すことが多いの
磁場のトーラス性を表す 8]

ります．この図はいろいろな文献で目にしますが，Fig. 3で，ここでもその通例に従うことにします．

す．また粒子の軌道（非捕捉粒子，捕捉粒子の２種類）(a)と併せて考えると，磁場ミラーの存在によって軸対称トーラスではトーラス外側に捕捉粒子が存在することがよくわかると思います．Fig. 3 (b)で一番外側の点線の円は，磁場配位の最も外側の磁気面を，そして，内側の点線の円は粒子の出発位置が存在する磁気面を表していま

まず，無衝突の場合の荷電粒子の軌道を考えてみまが実線で示されています．両粒子とも出発点は同じ（○

しょう．トーラスプラズマでは，木の年輪が交わること印）でピッチ角が異なっています．非捕捉粒子の方がピなく内側から外側へと幾重にも存在しているように，磁ッチ角が０度に近い値になっています．両粒子とも軌道

気面が入れ子状になって磁場配位が形成されていることを描く間に出発磁気面からずれていることがわかりまが 前 提 と な っ て い ま す．あ る 磁 気 面 を ト ー ラス内側]TOZ）で切って平面に展開し，その上に上記のよ（Q

す．粒子拡散を評価する上でこのずれが非常に重要でうな磁場分布を等高線として描くと Fig. 3 (a)（水平の実

れを見積もってみましょう．

す．Fig. 3 (b)に示されている事柄を順に説明しながらず& の変化によって生じる M&‐曲; O5;KN];I
J<?M&J]3& O5;KN];I]3/&D0]3/&，トーW
Tです．Fig. 3 (a)はトロイダル方向２周分示してありま]TD）で & が小さくなり，内側
す．トーラス外側（Qへいくにつれて & が大きくなっている様子を表してい

ラス性によるドリフトなのでトロイダルドリフトと呼びます．ここで，捕捉粒子と非捕捉粒子について考えましょます）です．ここで， は電荷（イオンはこのずれの原因は，

線）のようになります． はトロイダル方向に１周してう．運動エネルギー( を持った質量 5 の粒子を考えると，ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー を 考 え な い 場 合，(O]5 ;KN;IO5;K]NR& です．ここで，;Kは磁力線に平行な速度成分，;
I は磁力線に垂直な速度成分です．Rは磁気モーメントを表しています．これを ;K の式eとして書き直すと，;
KO@ (>R&]5 となります．こ率 ド リ フ ト（ド リ フ ト 速 度 "33^，電子は3\）を表しています．トーラスの内側へ行くにしたがって磁場が大きくなるので M& ベクトルは常にトーラ
ス内側を向いています．したがって，トロイダルドリフ
トはイオンに対しては，Fig. 2 のような< の向きの場

合，常に上を向いています．このドリフトは，出発点で;K^のイオンに対してはトーラス上半面では元々の磁

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２０００年１１月

QOの出発点から QOTまでの磁力線の長さは，安全係/O/] ＝（& の最大最小の領域
数 7を用いておよそ 7(a)をつなぐ距離という意味で連結距離と呼ばれ，ミラー磁場の特性長です），その距離を移動するのに要する典型的V 7/];Kとなります．ここで回転変換 は，な時間 %は，磁力線が磁気面上をトロイダル方向に１周したときのポロイダル方向の平均変移量（

Tの単位）で，磁力線の巻きの度合いを表しています．ヘリカル系でよく用いられる用語です．トカマクで用いられる安全係数(b)変換の逆数です．連結距離は，例えば7は，回転Oなら磁力線が
T/]，もトーラス１周でポロイダル方向１周なのでOな ら ば ポ ロ イ ダ ル 方 向 に２周 し て い る か らT/]ということで，およそ /]（Tは無視して）とな

しることがわかるでしょう．この時間の間に，トロイダル
ドリフト（正確にはその#Q成分ですが，概算としてこの角度依存性は無視します）を受け続けるので，小半径方向のずれ`%は，`%D;"V%DU7と概算できます（付録（１）式参照）．
次に捕捉粒子の磁気面からのずれ`を見積もりましょう．反射点間の典型的な距離は，このような捕捉粒子の存在の原因となっているミラー磁場の特性長である

7/でLす．こ の 距 離 を 移 動 す る に はVD7/];KD7/] Y$;程度の時間が必要です．速度空間
で ;K];\Y$がこのような粒子の存在範囲だったので，;Kとして ;KDLY$;としています．この間に，ドリフト速度;"を受け続けるので，この粒子の典型的な小半径方向
Lのずれ `は `D;
"VDU7] Y$と見積もられ（付録（２）式 参 照），こ の 値 は 非 捕 捉 粒 子 の `%と 比 較 し て，
LY$>倍大きくなっています（Y$OZとすると，約２
連結距離Fig. 3WQ(a) Guiding center trajectories are shown on ( , ) plane
for an untrapped and a trapped (banana) particles. The
bounce points for a banana particle are also shown with×. The horizontal lines are contours of , whose minimum is located at = 0. (b) Projection of an untrapped
and a trapped particle trajectory shown in (a) on a poloidal cross section with the indication of u and b. Thoseparticles have initially K . The center of a torus (Z axis
in Fig. 1) is in the left hand side of this figure. The outermost circle by dotted curve is the outermost magnetic surface and inner one is a surface from which above mentioned particles are launched. The direction of B, B andB × B are also illustrated.

&

Q

; \

`

`

M

M

LY$の存在），トロイダルドリ倍）．捕捉粒子は磁力線に沿った運動が非捕捉粒子に比べ;てゆっくりで（ K の評価のフトを長く感じることによってずれが大きくなるのです．Fig. 3 (b)でわかるように軌道形状がバナナに似てい)は，速度空間での考慮から )DLY$です．

るのでバナナ軌道と呼ばれています．この粒子の存在割
合気面から外側へ逸脱させる方向，下半面では元々の磁気軸対称トーラスにおける粒子軌道に関する基本的な理#Qの依存性（_&]_QG#Q;\

解を得たところで，衝突の効果を考えて，粒子の拡散により）で働きます．図に示しているのは出発点で K

ついて考えてみましょう．プラズマの衝突周波数は，密のイオンなので，これとは逆にまず下半面で内側へ逸脱度に比例し，温度の３／２乗に反比例します．密度が小さくし，上半面で元の磁気面へ戻る方向になっているのがわ

なる，また，プラズマの温度が高くなると，衝突周波数かります．

面に戻そうとする方向に，

T\Q\Tは小さくなり，それに伴って粒子は上述した無衝突の場

では元々の磁気面に戻そうとする効果を受けるので，を感じるようになります．また，衝突によって粒子の速元々の磁気面からのずれは，度成分が変化します（エネルギーも変化しえますが，こさて，非捕捉粒子について考えましょう．

QOTで最大となります．
１１８０

合の軌道のように，磁場構造の詳細（ミラー磁場の存在）

講座

２．新古典輸送−粒子軌道からの理解−横山

こでは簡単のため，衝突によってエネルギーは変化しな

子が常にトロイダルドリフトを受けることがその原因でい（輸送されない）としましょう）．無衝突の場合に，非す．したがって，典型的なステップ長として，トロイダ

V%O7/];K，捕 捉 粒 子 の 場 合 に は VO7/L]LY$;で した．おおまかに見積もって，V
は V%より Y$>倍長い
捕捉粒子が閉じた軌道を描くのに要する典型的な時間は`%をとると，拡散
係数 'OU7Sを得ます．7 とすると，'は古典拡
ルドリフトが存在することを考慮して散係数'よりおよそ一桁大きくなります．この領域におことになります．つまり，バナナ軌道のほうがゆっくりける拡散係数の古典拡散係数からの増大は，Pfirsch ととその周回軌道を描きます．したがって，衝突周波数のSchlüter によって平衡電流の存在の観点からも説明がな

大小によって，粒子拡散を引き起こす原因となる粒子がされています［１］．

S

異なってきます． が大きい，つまり，ピッチ角を大き３）さて，上記２つの衝突周波数領域に挟まれた領域

く変えるほどの効果に至るまでの衝突が起こる典型的なを考えてみましょう．この領域では，ドリフト近似によ時間が短い場合には，捕捉粒子は衝突によってバナナ軌

るブラゾフ方程式から出発して拡散係数を求める方法が道を描くことができなくなります．また，Sが V%>より

文献［１５］に紹介されています．その結果，拡散係数はも大きくなるような場合には，非捕捉粒子でさえその周' OU7Sとなり，衝突周波数への依存性がないことが回軌道を完結することができなくなります．反対に，示されています．粒子的描像からの説明も文献［１８，２１］でSが小さい場合には，非捕捉粒子はもちろん，バナナ粒

なされていますが，実際には遷移領域で，１）と２）の領子もその軌道を完結できるようになります．したがっ

域をなめらかに接続しています．プラトー領域の範囲て，衝突周波数領域を以下のように分類して粒子拡散をは，下記の参考例のように比較的狭い範囲となっていま考えていくことにします．

す．

S \V> …バナナ粒子も非捕捉粒子も周回軌道

１） 

を完結できるS ^V%> …バナナ粒子も非捕捉粒子も周回軌道

これらの拡散係数の衝突周波数依存性を，Fig. 4に示します．以上の３つの衝突周波数領域は，衝突周波数の小
さいほうから順に，バナナ領域（Galeev-Sagdeev 領域），２） 

プラトー領域，Pfirsch-Schlüter 領域と呼ばれています．

を完結できない/7&
3 m， =1 T， =3，Y
$OZ の軸対称トーラスプラズマに
おいて 1 keV の水素イオンを考えると，`OZ ?>
［m］，`%O Z，S ?>［m］， SDZ?［1/s］
D

'
［1/s］
となります．
また，
＝3.22
［m
/s］
となり
Z?
上で出てきた諸量のおおよその値を示すために， =３）１），２）の中間領域
１）この領域では，バナナ粒子も非捕捉粒子も周回軌`，`%で拡散` ^`%なので，バナナ粒子による拡散
が 支 配 的 に な り ま す．し た が っ て，SOS])で
L




)O Y$なので，S\;Y$]]7/DY$];]7/ASを満たす
衝突周波数領域であると考えられます．これまで ;とし道を完結できます．それぞれ，ステップ幅に寄与しますが， 2ます．

て特に値を指定していませんでしたが，後に典型的数値を評価する際に温度との関連づけをしやすいように，こ;L;`OU7] Y$な の で，拡 散 係 数 'は，'D)`S]  
OY>
$ U7Sとなります．トカマクでは 7が１より大きく，また，Y$Eなので，バナナ領域の拡散係数は古典拡散の値 'OS
Uよりずっと大きくなることがわかります
こ で， は 熱 速 度  程 度 で あ る と し て あ り ま す．

［２］．

)O）がその周回軌道を描くこと

２）すべての粒子（ができないほどに衝突周波数が十分大きい場合です．

SOSなので，S^;]7/ASの衝突周波数領域です．

このような場合，ラーモア半径をステップ長，衝突時間を相関時間とする古典拡散に従うと考えてしまいがちですが，この領域でもトーラス性の影響は存在します．粒
１１８１

Fig. 4The dependence of the diffusion coefficient on thecollision frequency in an axisymmetric torus.

プラズマ・核融合学会誌

第７６巻第１１号

２０００年１１月

２．
３．
２ 非軸対称トーラス
さて，非軸対称トーラスでこの新古典拡散はどのようになるのでしょうか？まず，非軸対称トーラスの代表例であるヘリカル系における磁場構造と捕捉粒子軌道との関連について調べましょう．ヘリカル系の磁場配位には様々な種類がありますが，ここでは，連続ヘリカルコイ
ル２本によって形成される+=2 ヘリオトロン配位を例に取ります．LHD［２２］や CHS
［２３］，ヘリオトロン E［２４］がこのカテゴリに属します．ある磁気面を取り出して，& の分布を表すと Fig. 5 のようになります．
, の配位を考えているの, で１周期です．ヘリカルコイルとの遠で，W方向は T]
近によって生じる & の変化をヘリカル性と呼び，その振幅の大きさを Y と表すことにしましょう．Fig. 5 には，,OZ）プラズマの縦長断面（WO），横長断面（W]T]+と =2 ヘリカルコイルとの位置関係も示してありま

その上でのFig. 5

ここでは，トロイダル周期数がThe typical topography of B on a magnetic surface for an
L = 2 heliotron. The vertically and horizontally elongatedcross sections and location of L = 2 helical coils are also
illustrated for reference.

図に示されているように，ヘリカル性の磁場ミラーによる反射を受けています．トロイダルドリフトを受け，出す．縦長断面の内側（A 点）では，トーラス性，ヘリカ

発磁気面からずれながら進み，ある磁気面に達します．

ル性ともに

この磁気面でも基本的には Fig. 5 と同様のは，トーラス性によってなっています．Fig. 6 (a)の粒子は，C 点から図の左下，右& を大きくする寄与をしています．B 点で& は小さくなりますが，ヘリカ
ル性によって & が大きくなっています．横長断面の内側（C 点）
では，トーラス性によって & は大きいのですが，
ヘリカル性によって & が小さくなっています．D 点では，トーラス性によって & が小さい上に，ヘリカル性によってさらに & が小さくなっています．このように，& は縦長断面の内側 W]T],[Q]T＝(0, 0.5)で最大と,[Q]T＝(0.5, 0)で最小となり，横長断面の外側 W]T]
なります．また，ヘリカル性によって新たな & の極小領域（軸対称トーラスでは，この領域は & が最大でした）,[Q]T＝(0.5, 0.5)が横長断面のトーラス内側 W]T]

上への& の分布に& の増大を乗り越えて運動を続け，ポロイダル方向に周回できます．ところが，Fig. 6 (b)の粒子は，この& の増大を乗り越えられず（つまり，この方向の速度成分がある点で０となり）に反射を受け，ポロイダル方向& の増大を引き起こしているのは，トーラス性です．
（今考えている +Oヘリオトに周回できないのです．このロン配位では，プラズマの中心部へ向かうにつれてトー
ラス性／ヘリカル性，つまり，比JY$]YJが大きくなる傾向にあります）つまり，ポロイダル方向に周回できる（できない）粒子は，ヘリカル性による磁場ミラーで反射をに現れています．このことは非軸対称トーラス特有の捕受けながら進み，トーラス性による磁場ミラーには反射

捉粒子の存在を示唆しており，以下ではまず無衝突の場されない（される）ということになります．特に後者は，合のそれらの性質について述べていきます．

ヘリカル性の磁場ミラーに捕捉されてバナナ軌道を描くと同時に，そのバナナ軌道の案内中心がトーラス性のミ

これらの捕捉粒子は，ポロイダル方向（実際には Fig.
5 の手前から右上を結ぶ& の谷に沿う方向ですが，ここ

ラー磁場に捕捉されてバナナを描くので，スーパーバナ
ナ粒子と呼ばれています．

ではそのポロイダル射影を考えます）に周回できるかでヘリカル性による

きないかという分類が可能です．Fig. 6 (a)に，ポロイダル

M&−曲率ドリフト（ヘリカルドリ

方向に周回できる軌道，Fig. 6 (b)に周回できない軌道のフトと呼ぶことにします）について考えましょう．磁気ポロイダル断面への射影を示しています．これらの粒子

面上での

は，

径方向を向いていますが，その符号はヘリカル性のミ

W]T],[Q]T＝(0.5, 0.5)（図中○印，非軸対称トー& の変化によるドリフトは，<?M& によって
W]T],[Q]T=

ラス特有の捕捉粒子に注目するため）から同じエネル

ラー磁場による磁場極小の位置

ギーで違ったピッチ角で出発させたものです．ポロイダ（0.5, 0.5）を中心として対称的に変化していて，ヘリカル

ル方向に周回できる粒子の方がピッチ角が小さく（ K;

性のミラー磁場を一往復する間に，正味打ち消されまの割合が大きく）なっています．Fig. 6 (a)は一見すると，す．この様子は，Fig. 6 (a)の拡大図に示してある一往復軸対称の場合の非捕捉粒子の軌道に似ていますが，拡大（太線部）からもはっきりとわかりま す．

１１８２

M& は，&

講座

２．新古典輸送−粒子軌道からの理解−

(a)

横山

のヘリカル成分の径方向変化によって径方向の成分も有しています．これによってポロイダル方向のドリフトが生じます．その角周波数をXとしましょう．ポロイダル

方向角周波数の観点から考えると，トロイダルドリフトのポロイダル方向成分による角周波数

X$A;"]8#Q（トロイダルドリフトは上下を向いていますので，ポロイダル方向にはその#Q成分）と Xとの和が０になるかどうかがポロイダル方向に周回できるかどうかを決めます．この和が０にならない場合，ヘリカル捕捉粒子の案内中心はポロイダル方向に（同時にトロイダル方向にも）周回することができます．このような軌道を描く粒)は，ヘリカル性の磁場ミラーに捕捉されていL です．この案内中心自身がヘリカることから，)D Y
子の割合

ル性の磁場ミラーを往復する（１反射）のに要する時間

7/], を用い
X>は，この磁場ミラーの連結距離としてL/],];KD7/],] Y; と な り ま す．し た
る と， 7がって，ヘリカル捕捉粒子の案内中心は，角周波数 X

(b)でヘリカル性の磁場ミラーを往復運動するとともに，周波数

XNX$DX（YFY$として）程度でポロイダル方向の周回を完結することになります．このようなヘリカル
捕捉粒子は，トロイダルドリフト（より正確にはその小半径方向成分）を受けながら運動するので，磁気面から

; ]X
X X
;"]Xとなります．磁気面からのずれとしてはこのよう>， >の間にはそれぞれおよそ " ，のずれは， 
に幅がありますが（前者は Fig. 6 (a)を見てもわかるように非常に小さい），ヘリカル捕捉粒子のバナナ中心がポロイダル方向に周回する前に実効的衝突を受ける

S ^X，例えば Fig. 6 (a)の×点で衝突を受ける）と考えると，磁気面からのずれ ` は，`D;"]Sであると考（ えることができます．
さて，スーパーバナナ粒子に対してはどうでしょう

X NX$がある点で０となり，バナナ中心

か？この場合， が反射を受けてスーパーバナナ軌道を描きます．この反Fig. 6(a) Projection of guiding center trajectory of a helicallytrapped particle (which can transit poloidally) on a poloidal cross section. The characteristic time h−1 is required
to complete its poloidal transit. The h is also indicated.
The expanded picture of a trajectory is also shown to explain its bounce motion (with the poloidal angular frequency of 1 ) in a magnetic field mirror induced by L =2 helical coils. One bounce motion is displayed with bold
curves to indicate that the net radial excursion is cancelled
for this bounce motion. (b) Projection of guiding center trajectory of a super-banana particle on a poloidal cross section. The sb is also indicated. The launching point is indicated with ○ both in (a) and (b).

`

射の原因となっているのはトーラス性による磁場ミラー

XO;"]8^Xの場合に XNX$Oになりうるので，X（ $トーラス性の磁場ミラーが原因であると考えてもよい）ですから，速度空間におけるこのような粒子の存在領域

X;K];\Y$であると考えられます．スーパーバナナ粒
子がその周回軌道を描くのに要する時間 0#と，その軌道の幅 `#を見積もってみましょう．ポロイダル方向と小半`

径方向の軌道方程式を反射点近傍で展開して見積もる方は法が文献［１５］に紹介されていますが，ここではもう少し簡単に考えてみましょう．スーパーバナナ粒子の反射点

8Q

0

8

の位置を( [ )とすると， #は， に対して
１１８３`#だけずれプラズマ・核融合学会誌

第７６巻第１１号

２０００年１１月

LYでしたので，拡散係数]`S OY] ; ]S S OY]YX 0]3& ]S
は 'OY    "    $ となります（付録（３）式参照）．この拡散係数は Sに反比S領域と呼ばれて例しているのが特徴で，この領域は ]る典型的な時間と考えられます．トーラス性と比較してリカル捕捉粒子の存在割合は

Y FY$，この近似は +Oヘリオトロ8]2

ヘリカル性が強い（ 

ンでは磁気軸付近では破れますが，規格化小半径

で 0.2−0.3 より外側では有効です）場合には，ポロイダル
方向の角周波数はヘリカル性によるものが支配的とないます．２節でも触れたように，衝突周波数は温度の３／２

り，おおよそ乗に反比例するので，温度が高くなると衝突周波数が小Xに比例すると考えられます．また，トロイダルドリフト（の小半径方向成分）を受け続けます．

9の間に 8方向に P8，Q方向に PQだけ移動したがって，P
8D;"P9D8X$P9，PQDXP9するとすると，それぞれ Pと表せます．0#の時間にこの粒子が移動する距離は，反射点の磁気面の小半径 8程 度 で あ る と 考 え る と，
8DP8PQの関係から（P9D0#として），0#D]LYY$X
を得ます．ここで，XA;"]8]Y$です．また，この 0#を 用 い て `#を 見 積 も る と，`#D8
X$0#よ り，L`#D Y$]Y8となります．つまり，スーパーバナナ粒子
L $]Y8，その周回軌道のの軌道の性質として，幅 `#D Y
L`#は & には依存Y
Xとなります．
周期 0#は 0#D] Y$ 
せず，& を大きくしても小さくならないことが特徴で
す．

さくなり，それに従って'は増大することになります．

一般に異常輸送による拡散が支配的ですが，このように新古典拡散が増大してくると，異常輸送のレベルに匹敵することも考えられます．したがって，この領域での新古典拡散の減少もヘリカル系磁場配位を考える上で重要な課題の一つとなっています．ヘリオトロン系配位における磁気軸の内側シフト［２６，２７］もこのための方策のひとつです．

Y]Y]X\S\YXの領域が残っていますが，ここでの拡散係数 ' は衝突周波数に依存しない性質を持っており，'と '#を滑らかにつないでいます．
６）$

これらの拡散係数の衝突周波数依存性を，Fig. 7に示します．以上の３つの衝突周波数領域は，衝突周波数の小S

さて，これらの捕捉粒子はどのような拡散を引き起こ

さいほうから順に， （スーパーバナナ）領域，ヘリカル

すのでしょうか？それぞれの捕捉粒子の特徴的周波数とSとの比較の観点から衝突周波数領域を以下のように分類して粒子拡散を考えていくことにします．

S \]0#…スーパーバナナ粒子
５）X\S
\X…ヘリカル捕捉粒子４） 

S領域と呼ばれています．参考のため，
プラトー領域，]/=3 m，2=0.3 m，&=1 T，YOZ，Y$OZ（一 般 に+Oヘリオトロンはアスペクト比が軸対称トーラスよ
り大きいので Y$は小さくなります）の非軸対称トーラス
プラズマにおいて，0=1 keV の水素イオンを考えると，
XDZ×10［1/s］，S#〜1.92×10［1/s］，S]S〜1×10［1/s］と な り ま す．8
=2m と と る と `#＝1.73×10 mとなり，SOS]S]Y として ` の最大値を見積もると，`＜〜1.0×10 m となります．また，' は ' ＝18.2［m
4

2

3

−1

６）４），５）の中間領域

S\Y$]Y]XAS#の衝突周波数領域です．この領

４）

域では，スーパーバナナ粒子はその周期軌道を完結でき−1/s］と見積もられます．

ます．速度空間においてスーパーバナナ粒子が存在する
領域は;K];\Y$でしたから，SOS]Y$となり，上記のSの範囲を得ます．スーパーバナナ粒子による拡散係数]`S OY] Y]Y8S]YOY]]Y8Sとなり，は'#OY$ $ $ #  $ $ & を大きくしても小さくなりません．この拡散係数は衝突周波数に比例する特徴を持っています．

S OS]Yでしたか
S AYX\S\Y];]7/],の衝突周波数領域で５）ヘリカル捕捉粒子に対しては， ら， ]S

す．文献［１５，２５］などで，ヘリカル性が拡散係数に影響を

S OY]Sが記されています];]7/ ],
が，これは，この衝突周波数領域の上限 Y  （, の因子の相違はあるものの）を表しています．この及ぼし始める衝突周波数 !

領域では，スーパーバナナ粒子はその周回軌道を描くことができず，ヘリカル捕捉粒子が拡散に寄与します．ヘ
１１８４

Fig. 7The dependence of the diffusion coefficient on thecollision frequency in a non-axisymmetric torus.

2

講

座

２．新古典輸送−粒子軌道からの理解−

横山

(a)

実際にはトカマクにおいても，有限個のトロイダルコ
イルによってトロイダル磁場を作っているために，コイ& がトロイダル方向に変化します．この意味で，Fig. 3 (a)はこのような & の変化がない
ルからの遠近によって「理想的な」トカマクに対応したものです．Fig. 8 (a)に，この場合の& の等高線を示します．１０本のトロイダルコ

イルがあることを想定しているので，等高線の細かな変動がトロイダル方向に１０回現れています．ここで，捕捉粒子の軌道を調べてみます（Fig. 3 よりも長時間追跡）．
Fig. 3 の捕捉粒子と同様に反射を受けながらトロイダル
方向に移動していきますが，ここではすべてトーラス１周の領域に焼き直して示してあります．粒子エネルギーの考慮から，無衝突の場合には粒子の反射点の& は一定でした．トロイダルドリフトを受けながらポロイダル方向に進んでいって，ポロイダル角

Qで反射を受けるとし(b)ましょう．そして戻ってくるのですが，その過程で同じ& を探すと，& のトロイダル方向変化によって，それはもはや >Q
ではなく，違うポロイダル角になります．そこから再びトロイダルドリフトを受けながらポロイダル
方向に進んでいく，ということを繰り返すのですが，これによってバナナ軌道の中心自身が Fig. 8 (b)に示されているように小半径方向にずれていきます．このような粒子の存在が，衝突周波数が小さい領域でヘリカル系トーラスにおける]S領域と同様の拡散係数の増大を引き起こします［２８］．さらにこの粒子は，Fig. 8 (a)の○内に示されているように，トロイダルコイルによる磁場ミラーに捕捉されるとトロイダルドリフトによって瞬く間にプラズマから逃げてしまいます．プラズマ加熱によって発生する高エネルギー粒子や，核融合反応によって発生する
アルファ粒子に対してはこの拡散係数の増大は懸念すべき課題です．この課題を解決するために，強磁性体を利用してトロイダルコイルによる磁場変動を低減する方策

Fig. 8が検討されています［２９］．
２．
３．
３ 径電場の効果−非軸対称トーラスを例にとって−これまでは，トーラス配位における粒子軌道の性質に基づいて新古典拡散を考えてきました．ここでは，粒子軌道，特にそのポロイダル方向の運動に影響を与える径
電場（小半径方向の電場）が存在する場合に，新古典拡(a) Projection of guiding center trajectory of a banana particle on ( , ) plane with contour of B at the initial surface
in the presence of a local magnetic mirror induced by toroidal coils in a tokamak. The trapping in a local magnetic
mirror can be seen in ○ to result in a spontaneous lossof a particle. (b) Projection of trajectory shown in (a) on
a poloidal cross section to illustrate radially fluctuating
bounce points and the spontaneous loss after being
trapped in a local magnetic mirror.

WQ称，非軸対称トーラスともに径電場の存在によって拡散X( O(8]&8を得ます．=?< ドリフトは軌道に沿って常に同じ方向を向いています．以下では，X FX の場合係数は変化しますが，それが顕著に現れる非軸対称トーを考えます．この場合，ヘリカル捕捉粒子はスーパーバ

ラ ス を 考 え ま し ょ う．径 方 向 電 場 をナナにならずに（ 

散係数がどのように変化を受けるか考えてみます．軸対数(8と 表 す と，=?< ドリフトによって粒子はポロイダル方向の角周波

X NXNX$HO）ポロイダル方向に周回することができるようになります．この意味で，２．
３．
２節
１１８５

プラズマ・核融合学会誌

第７６巻第１１号

２０００年１１月の５）のような考え方が可能ですが，今考えている状況でX>よりも短いは， X

X>によるずれを考える必要があります．以下では，  と実効衝突周波数との大小関係にしたがって，拡散係数を見積もっていきます．
ヘリカル捕捉粒子の捕捉−非捕捉の遷移に関する実効S DS]Yでした．この Sよりも Xが小さ

衝突周波数は S^YX）場合をまず考えましょう．ヘリカル捕捉粒
子が，角周波数 X の軌道を描く前に衝突を受けて非捕捉粒子となる場合には，` を見積もったときと同様の考慮
い（に よ っ て，元 々 の 磁 気 面（点 の 円）か ら の ず れ は`(D;"]Sとなります．したがって，この衝突周波数領Fig. ９域では拡散係数の表式は，５）の場合とまったく同様にな
ります．ただし，この表式が有効である衝突周波数領域

The dependence of the diffusion coefficient on the collision frequency in a non-axisymmetric torus in the presence of E sub size 6 down 10 r . The case without Er is
also shown by dotted line.

YX OYXより大きくなっSています（X ^X の場合）．径電場の存在によって ]ける新古典拡散の増大を防ぐための検討が必要です．こ領域の下限衝突周波数が大きくなり，径電場が存在しな

X]X倍に抑えられていのような検討において注意すべき点は，無衝突の粒子軌い場合に比べて最大拡散係数が道がプラズマから逃げないということと，新古典拡散が

S\YX の場合はどうなるでしょうか？この場合にはヘリカル捕捉粒子は角周波数 X の軌道を描けます．X ^X の状況を考えているので，この軌道に対する減少するということは，必ずしも１対１の対応ではない

実効衝突周波数として，この軌道がぎりぎりその周回軌

逃げないけれども，衝突性の新古典拡散は大きいという道を描ける状況（Fig. 6 (a)の場合もあります．

が，５）の領域の下限である 

ることになります．

ということです．無衝突の粒子軌道の閉じ込まり方（例

逆にえば，磁気面から大きくずれるような軌道を描いて閉じ
込まっている）によっては，無衝突軌道はプラズマからQDで衝突を受けるようなSDX状況），つまり，   を考えましょう．このような軌
道の磁気面からのずれは `D;"]X，この拡散に寄与すLる 粒 子 の 割 合 ) は，SDX DS])よ り，)D S]Xと見積もられるので，この領域での拡散係数 ' は，
 DY S]X] 0]3(880]3&（付録（４）式'D)S`$参照）と求まります．この拡散係数は衝突周波数の１／２乗
Lに比例しているので，この領域は S領域と呼ばれていま

３．ブートストラップ電流
プラズマの拡散によって磁力線方向に BS 電流が流れることが新古典理論に基づいて予測され，１節で述べた
ように，その予測によく一致する実験結果が得られています．ここでは，軌道の考慮に基づいて，軸対称トーラ
スにおける BS 電流生成の機構について説明します．
衝突

す．

周波数が

S より小さい領域では，電子はバナナ軌道を描

この２つの領域の拡散係数の衝突周波数依存性についきます．Fig. 10 のように，バナナ電子同士がある点で衝て，径電場が存在しない場合（点線）との比較を Fig. 9

突するとしましょう．バナナ電子軌道は，トロイダルドに示します．

リフトを受けながら運動しています．したがって，常にこのように，径電場の存在によるポロイダル角周波数

その軌道の内側と外側では運動の向きが逆（１節参照）の促進（磁気面からずれずに磁気面上を動こうとする傾なので，密度勾配があると，この衝突点において磁力線

向の促進）による磁気面からのずれの減少によって，ヘ方向の正味の運動量が生じます．この衝突点近傍での密リカル捕捉粒子が引き起こすヘリカル系特有の新古典拡度勾配によるバナナ軌道を描く粒子数の差は，バナナ軌散が抑制されうることが示されました．しかし，最大拡散係数抑制の割合

X]XG0]&(8を見ると，より高温の粒子群に対しては，より大きな径電場が必要となり，
例えば，加熱の結果生じる高エネルギー粒子に対しては
このような減少が起こりにくいと予測されます．したがって，磁場構造の観点からこの低衝突周波数領域にお`を用いて 6$]8`と書けます．ここで 6$はバ;];KD;Y$ な の で，こ の 衝 突 点 に お い て
4O3;K>6$]8`O>Y$] ]&Q.]8（付 録（５）式道の幅

ナ ナ 電 子 の 密 度 で す．熱 速 度  の バ ナ ナ 粒 子 で は参照）で与えられる電流密度が発生します．ここで，6$OY$]6，. はプラズマ圧力を表しています．この衝突

１１８６

講

座

２．新古典輸送−粒子軌道からの理解−横山４．終わりに本章では，粒子軌道の性質とそれに基づく新古典拡散現象，また電流生成の例としてブートストラップ電流についての直感的説明に力点を置いた説明を試みました．
新古典輸送理論は，クーロン衝突項を伴ったドリフト運
動論的方程式に基づく解析法や，ボルツマン方程式のモーメント方程式から導かれるフラックス‐摩擦関係式（Flux-Friction Relations）に基づく解析法などによって体系化されています．この章ではこれらについては一切触れませんでした．したがって，例えば，新古典輸送理論の前提となっている仮定（粒子のラーモア半径≪ミラー磁場の特性長（連結距離），衝突周波数≪サイクロト
ロン周波数）が明示されていませんが，粒子軌道に基づいて拡散を考える背景にはこの仮定が成立していることを注意しておきます．運動量の拡散，エネルギーの拡散（いわゆる熱拡散）についても触れませんでしたが，衝

Fig.１
０ Conceptual picture for the bootstrap current. The poloidal projection of guiding center trajectories of colliding banana electrons are shown. The directions of B , B and− B × B (for electrons) are also illustrated.

M突の際の運動量，エネルギーのやりとりによるこれらのM

物理量の空間的広がり（拡散）を考慮することによって評価することができます．また，プラズマ粘性や摩擦の評価，それらとプラズマ流速との関連などの非常に重要点において，周回（非捕捉）電子がバナナ電子と衝突しな事柄についても触れることができませんでした．これて，この運動量を磁力線方向に運びます（輸送します）．

らについては，１節であげたように優れたレビューがあ

このときの周回電子とバナナ電子との衝突時間は実効衝るのでそれらを参考にしてください．このように，新古

突周波数（  $）で決まります．周回電子は，電子・電典輸送理論の系統的な記述は本章ではできませんでした

子の粘性によって運動量を得ますが，トーラスを周回す

が，読者の皆さんが新古典輸送理論を少しでも身近に感るうちにイオンと衝突して電子・イオンの摩擦によってじていただければ，本章の目的は果たせたと考えていま

その一部を失います．バナナ電子の衝突によって発生す

す．

S ]Y

る余剰の運動量の時間変化

S]Y$54]>36（電子・謝

電子間の粘性力に対応）と，イオンとの摩擦による運動

S5 :（電子・イオン間の摩擦力に対応，ここ
量損失率   K

辞

本章をまとめるにあたり，核融合科学研究所理論・:Kは周回電子の磁力線に平行方向の速度）とのつりあ
6:KG>Y$] ]&Q.]8（付録いを考えると， *D>3
8が駆（６）式参照）で表される圧力駆動（圧力勾配 .]
でデータ解析研究系の先生方との議論が大変参考になりました．京都大学エネルギー科学研究科の若谷誠宏先生からも貴重なコメントをいただきました．また，参考文献

動する）電流が得られます．これが BS 電流です．周回電に挙げた中で特に［１８，１９］が大変参考になりました．本章

子が，バナナ電子の余剰の運動量を得ることと，イオンは，第１章にもありましたように，「講座」本来の趣旨との衝突によってその一部を損失すること，この２つのを踏まえて，これまでの「新古典輸送理論」に関する講

現象のつりあいの結果として現れるのです．粘性力，摩座（［１８］）の著者の先生方よりも初学者に近い人に執筆依

擦力は磁場構造や粒子軌道に強く依存するので，非軸対頼するという方針のもと，この大役を私が仰せつかりま

称トーラスではその評価が複雑になります．文献［１８］にした．執筆に当たっては，森田

流体的描写として，非軸対称トーラス（軸対称トーラス（核融合研）はじめ，企画立案時のプラズマ・核融合学

も含めて）における粘性力と摩擦力の評価に関する系統会編集委員会の先生方からも数多くのコメントと継続的的な説明がなされていますので，参考にしてください．

な激励をいただきました．このように本章は実に多くの

繁先生・相良明男先生

先生方のご協力をいただきながら準備されました．この場をお借りして感謝申し上げます．
１１８７

プラズマ・核融合学会誌

５．付録
ここでは，いくつかの式の導出過程について記しておきます．

];I7/
`%D;"V%D 5;K3N
/& c ;K d ];
5;
I
O 35& ;KN
;K 7D 3&7OU7Z`D;"VO L`Y%$O LU7Y$Z
a b ]
'OY] S;" SO YS;"OY] S]Y3/0& 8Y$X
OY]YS 3/0& 8Y$XOY]30& /8O Y$SXOY]Y$30& XS with /8 OY$Z
f a b f a b
'O XSX ;X" O XS X 3&0/ ff
O XS (8]&83&0/ 3&0/O XS 3(88/ 3&0/
a b a bf
O XS 3(8 /8 30& /8 8a Sb  0
OY$ X 3(88 3&Z
a b
a L b
4 O3;K>68$ `O3;LY9> Y8$6 UQLY$O>Y$]3UQ68;O>Y$]353&;Q;68a b
O>Y$]&Q 5; 68O>Y$]&Q680
O>Y$]&Q.8Za4 b*D>36:KO>36 5S SY$5>3
6
ab
O SSY$ >Y$]&Q.8 G>Y$]&Q .8Z
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