数理解析研究所講究録 1253 巻 2002 年 67-72

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Regularities of fuzzy measure
Aoi Honda Yoshiaki Okazaki岡崎悦明)(本田あおいDept. of Control Engineering and Science,
Fac. of Computer Science and Systems Engineering,
Kyushu Institute of Technology

1

はじめにを位相空間とし 3 を $X$ のボレル -algebra とする. 3 上のファジイ測度は次のように定義される.
$X$$\sigma$定義 1.

$g:\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow[0,1]$

1.

$g(\emptyset)=0,$2.

$A\subset B,$が次の条件を満たすとき$g$$g:\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow[0,1]$をファジイ測度という.

$g(X)=1$$\forall A,$$B\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$のとき $g(A)\leq g(B)$

次に可能性測度の定義を示す.
定義 2. 集合関数:$\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow[0,1]$が次の性質を持つとき,

兇魏椎柔測度という.

$\sup\{\pi(x)|x\in X\}=1$を満たす関数$\pi$: $Xarrow[0,1]$ が存在して(A)$= \sup\{\pi(x)|x\in A\}\forall A\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$.

可能性測度はファジイ測度である. $\pi(x)$ を可能性分布関数という. 以後をその可能性分布関数とする. 可能性測度は次の性質を持つ.

兇魏椎柔 測度,$\pi$$( \cup-\in I A:)=\sup_{i\in I}\Pi(A_{i})$本論文では, ファジイ測度について 4 種類の support の概念を導入し, ファジイ測度, 可能性測度の support について考察する.
4 節では可能性測度の連続性についての考察を行う.

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2

ファジイ測度の support
以下, support の定義を導入する.

定義 3.
$N_{p}(g)$$:=$$\{x\in X : g(\{x\})=0\}$$S_{p}(g)$$:=$$\{x\in X : g(\{x\})>0\}$

pointwise support &1‘$S_{p}\text{を}g\mathcal{O})$$\dot{\mathcal{D}}$.

次の support が通常の (Radon 測度における) support に相当する.

定義 4. $J(g)=$ { $O:O$ は開集合かつ $g(O)=0$ } とする.
$N(g)$$:=$$\cup\swarrow \mathrm{r}(g)$$S(g)$$:=$$N(g)^{\mathrm{c}}$$S(g)$ を $g$ の support という.

$N(g)$ は開集合,$S(g)$ は閉集合である.

次の fine support は Radon 測度では support と一致するが, ファジイ測度の場合は一致せず, さらに一般には support との関係もゎからない.
定義 5.の fine support を次のように定義する.

$g${$FS(g):=\cap$ $C:C$ は閉集合かつ $g(C)=1$}

命題 1. 次の二つの条件を考える :$a)g(A)<1$$b)g(A)=0$
このとき

定理 1.

$a$

$g$

$\Rightarrow$$g(A^{\mathrm{c}})=1$$\Rightarrow$$g(A^{\mathrm{c}})=1$) は ) より強い条件である.
$b$が条件 ) を満たすとする. このとき
$a$$FS(g)\subset S(g)$.

Proof. もし$x\not\in S(g)=N(g)^{\mathrm{c}}$ なら, ある開集合 $U$ が存在し $x\not\in U$ かっ$g(U)=0$ . もしなら $x\not\in C,$ $C$ は閉集合かっ $g(C^{\mathrm{c}})=0$ . 以上より $S(g)\supset\cap$ $C:C$ は閉集合かっ $g(C^{\mathrm{c}})=0$ が{}いえた. 仮定よりは条件 ) を満たすので $g(C^{\mathrm{c}})=0\Rightarrow g(C)=1$ であり, これは$C=U^{\mathrm{c}}$$g$

fine support$a$となる.

$\square$

次の total support についても fine support と同様に support との関係は一般にゎからない.

定義 6.

{$TS(g):=\cap$ $C:C$ は閉集合かつ $g(C^{\mathrm{c}})<1$$TS(g)\subset S(g)$となる.

}

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定理 2.

$g$が条件 ) を満たすとする. このとき
$a$$FS(g)\subset TS(g)$が成り立つ.

Proof. 仮定より, もし $g(B^{c})<1$ ならば $g(B)=1$ .

$x$を $FS(g)$ の任意の元とする. $g(B)=1$ なる任意の $B$ に対して $x\in B$ . 特に任意の $g(B^{c})<1$ なる $B$ に対して $x\in B$ . これは $x\in TS(g)$口を意味する. 以上より $FS(g)\subset TS(g)$ .

3

可能性測度の support可能性測度は L. A. Zadeh によって提案された (1978) 代表的なファジイ測度である. 一般にファジイ測度は扱いにくい測度であるが, 可能性測度は可能性分布関数から眺めることができファジイ測度の中では比較的扱いやすい測度である. 次に示すように可能性測度は命題 1 の条件 a) を満たす.
命題 2可能性測度

兇肋魴 ) を満たす.
$a$

Proof. 可能性測度の性質より $g(A)<1$ とすると
$1=g(X)=g(A \cup A^{c})=\sup\{g(A), g(A^{c})\}=g(A^{c})$口

この命題より以下の定理が成り立つ.
定理 3. 可能性測度

兇紡个靴,$FS(\Pi)$ $\subset TS(\Pi)\subset S(\Pi)$が成り立つ.

Proof. 定理 2 よりいえる.

口

命題 3. $N(\Pi)$ は零集合. また(S(n)) $=1$ .

Proof. 可能性測度の性質より$\Pi(N(\Pi))=\Pi(\cup J(\Pi))=\sup\{\Pi(B) : \Pi(B)=0\}=0$(S(\Pi )) $=1$ は命題 2 よりいえる.

.
口定理 4. $FS(\Pi)\neq\emptyset$ ならば $FS(\Pi)$ は一点集合.

Proof.

$x,$

ると, $\Pi(B)=\Pi(W)=1$ .とする.の閉近傍で $V\cap Q=\emptyset$ となるものとす
ゆえに $FS(\Pi)\subset B\cap W=\emptyset$ である. もし $x\in FS(\Pi)$ ならば$y(x\neq y)\in FS(\Pi)$$V,$ $W$

を $x,$$y$$x\in U$ なる全ての開集合 $U$ にたいして $\Pi(U)=1$ である.
$FS(\Pi)\subset V\cap W=\emptyset$を得る.

よって $\Pi(V)=\Pi(W)=1$ . 従って口70
一般に $TS(\Pi)\neq\{x:\pi(x)=1\}$ である. しかし定理 5.

$\pi$$\pi$が上半連続なら次の定理が成り立っ.

が上半連続とする. このとき$TS( \prod)=\{x :\pi(x)=1\}$が成り立つ

Proof. $\{x : \pi(x)=1\}\subset TS(\Pi)$ は明らかであるので, $\{x : \pi(x)=1\}\supset TS(\Pi)$ を示す.とする. もし $\pi(x)<1$ なら $\pi(x)<k<1$ なるをとることができる.
は上半連続であるので $\{y:\pi(y)\geqq k\}$ は閉集合. よって $TS(\Pi)\subset\{y:\pi(y)\geqq k\}$ となり $x\in TS(\Pi)$ か$x\in TS(\Pi)$

つ $\pi(x)<k$ に矛盾$k$$\pi$.

口例 1. $X=[0,1]$$\pi(x)=\{$とし,$x$$0\leq x<1$

0$x=1$

兇 $\pi(x)$ を可能性分布関数に持っ可能性測度とする. このときFS( ) $=TS(\Pi)=\{1\}$$S(\Pi)=[0,1]$4

可能性測度の連続性二つの外正則性を導入する. 通常, 外正則というのは次の 0 外正則に相当する.

定義 7. 全ての$A\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$

に対して

{

$g(A)= \inf$ $g(O)|A\subset O,$ $O$ は開集合のとき$g$}は O-外正則,{$g(A)= \inf$ $g(C)|A\subset C,$ $C$ は閉集合}のとき $g$ は C-外正則という.

定理 6.

可能性測度 兇 0-外正則であることの必要十分条件は連続であることである.

兇硫椎柔 分布関数 が上半$\pi$

Pmof. 十分性より示す.
(A) $= \sup_{x\in A}\pi(x)=\alpha$とおく. ある点列$\alpha+\epsilon\}$$x\text{、}\in A$

は開集合かつが存在して,$O_{\epsilon}\supset A$. しかも$\pi(x,*)\uparrow\alpha$とする. 今, 任意の(O\epsilon ) $\leq\alpha+\epsilon=\Pi(A)+\epsilon$$\epsilon$に対して $O_{\epsilon}=\{x|\pi(x)<$71
すなわち兇 O-外正則性である.

次に必要性を示す. 任意の $x\in X$ と全ての $\epsilon>0$ に対して開集合$O_{\epsilon}(x),$$O_{\epsilon}(x)\ni x$が存在

して$\Pi(\{x\})+\epsilon>\Pi(O_{\epsilon}(x))$

任意の$y\in O_{\epsilon}(x)$

.

に対して,

(O,(x)) $<\Pi(\{X\})+\in$ .

$\Pi(\{y\})\leq$すなわち $\pi(y)<\pi(x)+\epsilon$ となり$\pi$

は上半連続となる.

口

例 2.
$F$

を閉集合とし,$\pi(x)=1_{F}(x)$ただし$1_{F}(x)=\{$$\pi(x)$は上半連続となり

1 $(x\in F)$

0 $(x\not\in F)$ ,兇 O-外正則.

例 3.
$U$を閉集合とし,$\pi(x)=1_{U(x)}$$\pi(x)$は上半連続ではない.

定理 7.

可能性測度

兇 O-外正則にはならない.

兇 $C$-外正則であることの必要十分条件は連続であることである.

Proof. 十分性より示す.
(A) $= \sup_{x\in A}\pi(x)=\alpha$
とおくと, 点列 $x_{n}\in A$ が存在して$\pi(x_{n})\uparrow\alpha$.

全ての $\epsilon>0$ に対して$C_{\epsilon}=\{x|\pi(x))\leq\alpha+\epsilon\}$

とおくと$C_{\epsilon}$は閉集合かつ$C_{\epsilon}\supset A$. さらに$\Pi(C_{\epsilon})\leq\alpha+\epsilon=\pi(A)+\epsilon$

兇硫椎柔

分布関数 が下半$\pi$

72となり, 兇 C-外正則である.
次に必要性を示す. $\pi(x)>0,$$\epsilon<\pi\ovalbox{\tt\small REJECT})$となる任意の$x\mathrm{C}X$と $\epsilon>0$ を固定する.

$A=\{y|\pi(y)\leq\pi(x)-\epsilon\}$とすると, 閉集合$C_{\epsilon}$が存在して,(A)+-2\epsilon$\geq\Pi(C_{\epsilon}),$ $C_{\epsilon}\supset A$.

これより$C_{e}^{\mathrm{c}}\subset A^{\mathrm{c}}=\{y|\pi(y)>\pi(x)-\epsilon\},$$C_{\epsilon}^{c}$は開集合である. すなわち, 全ての$\epsilon$に対して,$\mathrm{x}$$x\in C_{\epsilon}^{c}$の近傍$y\in V_{\epsilon}\Rightarrow\pi(y)>\pi(x)-\epsilon$$V_{\epsilon}$を$V_{\epsilon}=C_{\epsilon}^{\mathrm{c}}$

とおくと,

.
口

参考文献

[1] AHonda and Y.Okazaki, uCharacterization of 0-1possibih.ty measure on topologicalspace” ,. Kyushu Inst. Tech. Pure Appl. Math. No .47(2000),1-3.
[2] 菅野道夫, 室伏俊明, ファジイ測度, 日刊工業新聞社, 東京,1993[3] Z.Wang and J.Klir, Fuzzy Measure Theory, Plenum Press, New York and London, 1992$\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{U}$