２０１９年度実力テスト（専門物理問題）
２０１９年１月１６日（木）１２：５０～１４：５０

１２０分

解答上の注意・ 問題は全部で７題ある。
最初の３題、電磁気学、量子力学Ⅰ、統計力学Ⅰは必ず解答すること。
残り４題は選択問題である。うち２問を選択し解答すること。
・ すべての解答用紙に学生番号・氏名を記入すること。
・ 答案は解答用紙の授業科目の欄に受験科目の該当項目に○をつけ、選択した問題番号を記入し、一枚の解答用紙に一問の答案を記入すること。ただし、解答欄が不足する場合は裏面を使ってよい。その場合にはその旨を表面に明記すること。
・ 解答用紙はすべて提出すること。解答用紙が綴じてある場合には綴じたままの状態で提出すること。
・ 試験開始後 30 分経過した後は、解答用紙を提出のうえ、退室を認める。

専門物理問題

第1問

電磁気学

1. 半径 a の球内に一様な電荷密度 ρ で電荷が分布している。
(1) 導体内外の電場を求めよ。また、球の中心からの距離 r と電場の関係をグラフに示せ。
(2) 球内外の静電ポテンシャルを求めよ。また、球の中心からの距離 r と静電ポテンシャルの関係をグラフに示せ。無限遠を基準点とする。

2. 半径の無限に長い円柱状の導体内を電流が一様に流れている。円柱内外の磁場の大きさを求めよ。また、円柱の中心軸からの距離 r と磁場の関係をグラフに示せ。

3. 右図のように平行板コンデンサーの極板間に、誘電率、厚さの誘電体１と誘電率電体２を挿入し、起電力の誘の電池をつないだ。それぞれの誘電体内部に生じる電場の大きさを求めよ。

、厚さ,と電束密度,ɹઐ໳෺ཧ໰୊ ୈ 2 ໰ ɹɹɹྔࢠྗֶ I ɹɹɹɹɹɹ
໰̍. ɹശͷதʹ੺·ͨ͸നͷཻࢠ͕ 1 ‫ݸ‬ଘࡏ͢Δɻ੺ཻ͍ࢠͷ೾ಈؔ਺Λ ϕR (x)ɺനͷཻʢശࢠͷ೾ಈؔ਺Λ ϕW (x) ͱ͢Δɻͨͩ͠ɺϕR (x)ɺϕW (x) ͸ͦΕͧΕ‫֨ن‬Խ͞Ε͍ͯΔɻͷதͰཻࢠͷ৭͕มΘΔ͜ͱ͸ͳ͍ʣ1-1) ശͷதͷཻࢠͷ೾ಈؔ਺͕ ϕ0 (x) = c1 ϕR (x) + c2 ϕW (x) Ͱ͋ͬͨɻ͜͜Ͱ c1 ɺc2 ͸ෳૉఆ਺Ͱ͋Δɻ೾ಈؔ਺ ϕ0 (x) ͕‫֨ن‬Խ͞ΕΔͨΊͷɺc1 ͓Αͼ c2 ʹର͢Δ৚݅ࣜΛࣔͤɻ1-2) ശͷதͷཻࢠͷ৭Λ‫؍‬ଌ͢Δʢ‫؍‬ଌ̍ʣɻͲͷΑ͏ͳ݁Ռ͕ಘΒΕΔ͔Λड़΂Αɻ1-3) ‫؍‬ଌ̍ͷ௚‫ࢠཻ౓࠶ʹޙ‬ͷ৭Λ‫؍‬ଌ͢Δʢ‫؍‬ଌ̎ʣɻͲͷΑ͏ͳ݁Ռ͕ಘΒΕΔ͔Λड़΂Αɻ

໰̎. ൒‫ ܘ‬R ͷԁ͕͋Γɺͦͷԁप্Λಈ࣭͘ྔ m ͷ 1 ࣍‫ࣗݩ‬༝ཻࢠΛߟ͑ΔɻԁपʹͦͬͯҐஔ࠲ඪ x ΛऔΔͱɺx = 0 ͱ x = 2πR ͸ಉ͡఺Λද͢ɻҐஔΤωϧΪʔΛ V (x) = 0 ͱ͢ΔɻҎԼͷ໰ʹ౴͑Αɻ2-1) ͜ͷ‫͚͓ʹܥ‬Δఆৗঢ়ଶʹର͢ΔγϡϨσΟϯΨʔํఔࣜΛࣔͤɻ2-2) ೾ಈؔ਺ ϕ(x) ʹ՝͞Ε͍ͯΔप‫ظ‬త‫ڥ‬ք৚݅Λࣔͤɻ2-3) ೾ಈؔ਺ ϕ(x) Λ‫ٻ‬ΊΑɻ2-4) ͜ͷ‫ܥ‬ͷ֯ӡಈྔ Lz ͸ɺԁΛ‫ؚ‬Ήฏ໘ʹਨ௚ͳํ޲ʹ Lz = Rp ͱ͍͏஋ΛऔΔɻp͸ x ࣠ํ޲ͷʢ͢ͳΘͪɺԁपʹԊͬͨ޲͖ͷʣӡಈྔͰ͋Δɻ໰ 2-3) Ͱ‫ٻ‬Ίͨ ϕ(x)Ͱද͞ΕΔঢ়ଶʹ͍ͭͯɺLz ͷ஋Λ‫ٻ‬ΊΑɻ2-5) ্‫ه‬ͷ‫݁ࢉܭ‬ՌΛ;·͑ɺ֯ӡಈྔͷྔࢠԽʹ͍ͭͯઆ໌ͤΑɻ

専門物理 III

統計力学 I

同種粒子からなる量子理想気体を考える。一粒子の場合のエネルギー固有状態を i = 1, 2, 3, · · · とし，状態 i のエネルギー固有値を ϵi とする。この系の状態は占有数の組 {ni } = (n1 , n2 , n3 , · · ·) により一意に指定される。ここで，ni は i 番目の状態をとる粒子数である。

ボルツマン定数を kB とし、逆温度を β = 1/kB T とする。解答では、T と βは混在していてもよいものとする。
問 1. この系の全粒子数 N と全エネルギー E を ni , ϵi を用いて表せ。

系の大分配関数 Ξ は，化学ポテンシャルを µ として次のように書ける。

Ξ=∞!"e−β(ϵi −µ)ni{ni } i=1

問 2. {ni } についての和を実行することにより，フェルミ粒子系の大分配関数を計算せよ。

問 3. {ni } についての和を実行することにより，ボーズ粒子系の大分配関数を計算せよ。

問 4. 系に含まれる平均の粒子数 ⟨N ⟩ が⟨N ⟩ = kB T

∂ln Ξ∂µで与えられることを示せ。

以下，フェルミ粒子系を考える。

問 5. i 番目の準位の平均の占有粒子数 ⟨ni ⟩ を求めよ。これはフェルミ分布関数と呼ばれる。

問 6. (i)T = 0 と (ii) 有限温度のそれぞれの場合について，フェルミ分布関数の概形を描け。

量子力学 II
ハミルトニアン Ĥ が次の式で与えられる質量 m, 角振動数 ω の一次元調和振動子を考える。

Ĥ =1 2 1p + mω 2 x22m2

ここで、 p = −ih̄ ∂∂x は運動量の演算子である。

â、â† を次のように定義する。
(√)
m1
1â = √
ωx + i √ p ,22mh̄ω

1â = √h̄ω(√†)
m1
ωx − i √ p .
22m

すると交換関係[â, â† ] = 1が成り立ち、ハミルトニアン Ĥ は{}1†Ĥ = h̄ω â â +2と表される。

1. â† â の固有状態の波動関数 ϕn (x) は、â† âϕn (x) = nϕn (x) を満たす。このとき、â† ââϕn (x) = (n − 1)âϕn (x)â† ââ† ϕn (x) = (n + 1)â† ϕn (x)となることを示せ。

2. この系の基底状態の波動関数 ϕ0 (x) はâϕ0 (x) = 0ϕ0∗ (x)â† = {âϕ0 (x)}† = 0を満たす。
基底状態での位置 x の 2 乗の期待値と運動量 p の 2 乗の期待値を計算し、ポテンシャルエネルギーの期待値と運動エネルギーの期待値を比較せよ。ϕ0 (x) は規格化されていると考えてよい。また、x と p は â, â† によって以下のように表される。

√h̄(â + â† )2mω√h̄mω
p = −i(â − â† )2x=1専門物理問題

第5問

固体物理

以下の文章の空欄にあてはまる最も適切な語句、数値または数式を解答群から選んで記号で答えると共に、以下の問(a)から問(c)にすべて答えよ。
固体結晶では原子や分子が周期的に配列する。この周期的配列を表す （1） 格子において、基本ベクトルの（2）倍だけ格子をずらす操作を行っても結晶全体の性質は変わらないという対称性を （3） 対称性と呼ぶ。また、 （1） 格子上の任意の格子点を =（4）+⋅ ) = 1を満たす を （4） ベク( は基本格子ベクトル、 は整数)と表すとき、exp(トルと呼ぶ。格子定数が の単純立方格子の+は、格子定数が（5）の単純立方格子となる。一方、有限温度では固体結晶中の原子や分子の熱運動により、 （6） 振動と呼ばれる振動が結晶中を伝播する。同種原子からなる 1 次元単純立方格子において、格子定数を 、原子の質量を 、調和振動子モデルのばね定数を 、その関係は、 ( ) =（7）寄与する振動は、 =（6）的に ( ) =（10）（チ）整数（ヌ）（ハ）2⁄（ホ）反転問(a)（ツ）実数⁄（8）となる(i)。これより、十分に低い温度領域で格子比熱に（9）近傍であり、（イ）デバイ（カ）電子（シ） ⁄（サ）2π振動の波数の大きさを とするとき、（6）振動の速さを とすると、近似と表される(ii)ことが分かる。

解答群：（ア）アインシュタイン（オ）フェルミ（6）sin|cos(（マ）（ウ）ブラッグ（キ）格子（ス）2 ⁄（テ）並進⁄（ネ）

cos（セ）4 ⁄（ト）回転⁄2)| （ヒ）逆格子（ミ）（ク）光子（ノ）2（ケ）（ソ）0（コ）1⁄（タ）有理数（ナ）不確定性⁄（フ）法線（メ） ⁄（ム）（エ）ブラベ|sin(⁄2)|（ニ）分散（ヘ）射影（モ）exp(−)

格子定数が の 2 次元単純立方格子における第一ブリルアンゾーンを図示せよ。

問(b) 下線部(i)で表される（7）関係を第一ブリルアンゾーンの範囲内で図示せよ。

問(c) 量子統計を用いる理論では格子比熱が以下の式で与えられること、および固体中では以下の近似が適用できることを用いて、下線部(ii)の場合に、 格子 ∝ ) となることを示せ。
* 1

格子 ∝ *) +, - exp(ℏ07ℏ ( )1( )⁄ / ) ) − 1

11- 2( ) →5 2( )4,8086専門物理問題

第６問

相対論+原子核物理/場と粒子５つの物理定数• 真空中の光速 c• プランク定数 h• 万有引力定数 G• 電子の静止質量 me• 電荷素量 eについて以下の問に答えよ。

1. 上記の物理定数の値を記せ。
2. 上記の物理定数の中から任意の２つを選び、それらの実験的な測定方法を述べよ。
3. h1/2 G1/2 c−5/2 はどのような次元をもつ量か。
4. 上記５つの物理定数に加えて、真空の誘電率 ε0 を加えた６つの物理定数の中から必要なものを選んで組み合わせ、無次元量を１つ作れ。同様に、長さの次元をもつ量を３つ示せ。６つ全てを用いる必要はない。さらに、これらの物理的意味など、知っていることを自由に記述せよ。

専門物理問題

第7問

電気・電子回路

図 1 は理想的なオペアンプを用いた回路である。オペアンプの－及び＋は反転入力及び非反転入力を表し、ここでは反転入力の入力電圧を v－とする。
図中の R1 ～ R5 は抵抗 1～5 の抵抗値を表す。
また、i1 , i2 , i4 , i5 は抵抗 1, 2, 4, 5 を流れる電流値を表し、矢印の方向に流れる場合を正とする。更に、v2 及び v5 はそれぞれ抵抗 2 及び抵抗 5 の直後の電圧である。端子 A と B からなる端子対は入力側であり、一方、出力側である端子対 C D 間には（図には明示していないが適切な抵抗値を持つ）負荷抵抗が接続されているとする。
さて、図の様に入力側に電圧 vs ( > 0) を印加したところ、出力側の負荷抵抗には電流が流れた。
数値、或いは図と問題文中で用いられている変数のみを用いて、以下の設問の最も適切な解を解答用紙に記述せよ。
(1) 電流値 i1 を、必ず vs を用いて式で表せ（8 点）。
(2) 電流値 i2 を、適切な式で表せ（8 点）。
(3) 抵抗値の比 R2 / R1 を、必ず vs を用いて式で表せ（8 点）。
(4) 電流値 i5 を、適切な式で表せ（8 点）。
(5) 抵抗値の比 R4 / R3 を、必ず v5 を用いて式で表せ（8 点）。
以下の問では、R2 / R1 = R4 / R3 = K（K は適当な定数）が成り立つとして解答せよ。
(6) 電流値 i4 を、必ず v－を用いて適切な式で表せ（12 点）。
(7) 電圧値 v5 を、必ず K を用いて式で表せ（12 点）。
(8) 電流値 i5 を、必ず K と vs を用いて式で表せ（12 点）。
(9) 電流値 i4 を、必ず R1 ～ R5 の中の幾つかと vs を用いて式で表せ（12 点）。
(10) 端子 CD 間に接続した負荷抵抗に流れる電流の電流値を、必ず R1 ～ R5 の中の幾つかと vs を用いて式で表せ。ただし電流値は C から D の方向に流れる場合を正とする（12 点）。

i2

抵抗2入力側A

R2i1v－

R1

理想的なオペアンプ-

i5
R5

抵抗1+vsR3

抵抗3抵抗4出力側v5Cv2 抵抗5R4i4BD
図 1

オペアンプ回路