数理解析研究所講究録 1295 巻 2002 年 9-16

9非同次常微分方程式の可解条件について
新潟大学工学部田島慎一 (Shinichi Tajima) ’

Dept. of Information Engineering, Faculty of Engineering)
Niigata University
本稿では, 複素領域上での非同次線形常微分方程式 $Pu=f$ を扱い, この方程式の形式
巾級数の空間における可解条件を考察する.
論文 [3] で述べたように, 非同次微分方程式の可解条件は留数を用いて exPlicit に表現することができる. 本稿では, これらの結果を用いることで, 可解条件がアルゴリズミックに計算可能となることを示す. また, 数式処理に実装可能なアルゴリズムを得たので, その概略を述べる.

1

代数的局所コホモロジーと留数

この節では, アルゴリズム導出の基礎をなす 2 つの結果を述べる. 局所可解性の問題をで定扱っているので, この節と次の節では, 常微分作用素 $P$ は, 原点 {0} の近傍
義されており, 正則函数を係数に持つとする.
原点 {0} における形式巾級数全体のなす空間を {0} で表す. また, 原点 {0} に台を持で表す. 微分作用素 $P$ の形式随伴をつ代数的局所コホモロジー群のなす層をで表すことにする.
$X\subset \mathbb{C}$$\mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X})$$P^{*}$

定理 A([3])形式巾級数 $f\in\hat{O}\{0\}$ が与えられたとする. 非同次常微分方程式 $Pu=f$ が形式巾級数解を持つ必要十分条件は次で与えられる.
${\rm Res}_{z=0}(f(z)\sigma(z)dz)=0,$

但し,$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{*}, ?t_{[0]}^{1}(O_{X}))=\{\sigma\in \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X})|P^{*}\sigma=0\}$

同次解の空間$\{0,1, \ldots\}$ であり$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{*}, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))$.

$\forall\sigma\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{*}, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))$である.

は有限次元ベクトル空間となるので, 非負の整数$z^{\kappa}\sigma=0,$$\forall\sigma\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{*}, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))$$*\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}@\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}^{\mathrm{g}}.\mathrm{e}\cdot \mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}- \mathrm{u}\cdot \mathrm{a}\mathrm{c}\cdot \mathrm{j}\mathrm{p}$垣-1$\kappa\in$10となるものが取れる. (
ならば,
このような
を用いて, 常微分作用素環$\kappa^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}0$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{8},$$\kappa$$\mathcal{H}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{]}(O_{X}))\ovalbox{\tt\small REJECT}\{0\}$$D_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$における左イデアル$I=D_{X}P^{*}+D_{X}z^{\kappa}$

非負の整数 が上記の条件を満たす限り, イデアルまることが容易に分かる. 次が成り立つ.
$\kappa$定理
上に定めた左イデアル

となる)

$I$

$I$

を次で定める.

.
は$\kappa$の選び方に依らず一意的に決$\mathrm{B}([3])$

(1)

$I$

は, 次の性質を持つ.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{D^{\chi}}(D_{X}/I, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{*}, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))$(2) 左$D_{X}$-加群 Dx/垣ま原点 {0} に台を持つ確定特異点型常微分方程式である.

の定める微分方程式系の代数的局所コホモロジーの主張 (1) l 礼イデアル
定理
は, 形式随伴方程式の代数的局所コホモロジー解全体
解の集合
$I$

$\mathrm{B}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{D_{X}}$$(D_{X}/I, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))$と等しくなることを意味する.
の同次解を求めるのに, イデアル をわざわざ導入
この結果を見ると, 随伴作用素
することは無駄なことをしているように思えるかもしれないが, ここで, 主張 (2) の方に注目して欲しい. 主張 (2) では, 微分作用素 $P$ が, 確定特異点型とは限らない一般の場合であっても, イデアル の定める微分方程式系は常に確定特異点型となることを述べていのスタンダードる. 本稿で述べるアルゴリズムは, この事実に立脚している. イデアル基底を求めることで, 微分方程式系としての構造を記述できる.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{*}, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))$$I$$P^{*}$

$I$

$I$

例 1

微分作用素
$P=(28+10z+10z^{3})z^{2} \frac{d^{2}}{dz^{2}}+(14+35z+95z^{3})z\frac{d}{dz}+84+60z+240z^{3}$に対し, $I=D_{X}P^{*}+D_{X}z^{3}$ と置く. イデアル$I$のスタンダード基底は,$\{4z\frac{d}{dx}+12-2z+z^{2},$ $z^{3}\}$で与えられる.
例 2

微分作用素$P=(z+2z^{2})z^{2_{\frac{d^{2}}{dz^{2}}-}}(1+6z+2z^{2})z \frac{d}{dz}+2+6z$

に対し , $I=D_{X}P^{*}+D_{X}z^{3}$ と置く. イデアル$I$$\{z\frac{d}{dx}+3,$

11-2のスタンダード基底は,$z^{3}\}$

11

常微分作用素環でのスタンダード基底に関しては, Brianqon et Maisonobe ([1]) により詳しい研究がなされている. 本稿でも次節で) 彼らの結果を用いることになる.

2

スタンダード基底の利用

前の節で導入したイデアル $I=D_{X}P^{*}+D_{X}x^{\kappa}$ は原点のみに台を持つような確定特異点型常微分方程式系を定める (定理 ). 従って, イデアル の代数的構造を計算することで, その代数的局所コホモロジー解を決定することが出来る. この節では, 常微分作用素
環でのスタンダード基底を用いる. イデアル のスタンダード基底の形から, その代数的局所コホモロジー解の次元や極の位数等が読み取れ, 代数的局所コホモロジー解の計算が容易となることを示す.
議論をはじめる前に具体例を 2 つ与えておく. 以下, 有理型関数 $m(z)$ の剰余類 $m(z)$が定める代数的局所コホモロジー類を $[m(z)]$ と表すことにする.
$I$$\mathrm{B}$$I$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} Ox$

例 3

原点 {0} に台を持つ代数的局所コホモロジー類として,$[ \frac{1}{z^{2}}]=\frac{1}{z^{2}}$の 2 つをとる.

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} O_{X},$$[ \frac{1}{z^{3}}-\frac{5}{z^{6}}]=\frac{1}{z^{3}}-\frac{5}{z^{6}}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} O_{X}\in H_{[0]}^{1}(O_{X})$

これら 2 つの代数的局所コホモロジー類を共に同次解として持つような微分方程式系$I= \{R\in Dx|R[\frac{1}{z^{2}}]=R[\frac{1}{z^{3}}-\frac{5}{z^{6}}]=0\}$を考える. この左イデアル$I$のスタンダード基底は {鳥,$R_{0}=z^{6}$$R_{1},$ $R_{2}$} で与えられる. 但し,,$R_{1}=z^{2}(5 \frac{d}{dz}+30+3z^{3})R_{2}=5z^{2}\frac{d^{2}z}{dz^{2}}+45z\frac{d}{dz}+60’-3z^{3}$の決定方程式 $5(\lambda^{2}+8\lambda+12)=0$ を解くことで, 代数的局所コホモロジー解の極の位数 -2, -6 を直ちに得ることが出来ることに注意しよう.

である.

例 4

$R_{2}$

代数的局所コホモロジー類

分作用素 $R$ 全体のなすイデアルをを得る. 但し ,$[ \frac{1}{z}],$

$I$

と置く.

$R_{0}=z^{7}$$[ \frac{1}{z^{3}}],$$[ \frac{1}{z^{2}}],$$I$$[ \frac{1}{z^{5}}-\frac{5}{z^{7}}]$のスタンダード基底を求めると,,$R_{1}=z^{3}(5z \frac{d}{dz}+2z^{2}+35)$II-3を解として持つような微
$\{$

&,

$R_{1}\}$

12, の決定方程式は (であり, 代数的局所コホモ
ロジー解の極の位数 $-1,$ $-2,$ $-3,$ -7 を直ちに得ることが出来る.

である.

$R$

一般に,

$n$

階の微分作用素$\lambda+\mathfrak{y}(\lambda+2)(\lambda+3)(\lambda+7)\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$

に対し , その最高次の係数 $a_{m}(z)$ の $z=0$$R= \sum_{k=0}^{n}a_{k}(z)\frac{d^{k}}{dz^{k}}$の零点の位数を $z=0$ における微分作用素 $R$ の位数と呼び, $v\{0\}(R)$ で表すことにする.
次の結果は Brianqon et Maisonobe による.
定理 (Brianqon-Maisonobe[1])における左イデアルをなし, 原点のみに台を持つ確定特は常微分作用素環
異点型常微分方程式系を定めるとする. 左イデアル のスタンダード基底は $m+1$ 個の, R。と置く. 但し, これらは微分作用
微分作用素から成るとし, それらをゐ,となるように並素としての階数の小さい方からべてあるとする. このとき, 次が成り立つ.
$D_{X}$$I\subset D_{X}$$I$$R_{1},$ $R_{2},$$\ldots$$0=\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(R_{0})<\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(R_{1})<\cdots<\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(R_{m})$(i)$v\{0\}$$(R\text{ }>v\{0\}(R_{1})>\cdots>v\{0\}(R_{m})$.

(ii) $I=D_{X}R_{0}+D_{X}R_{m}$ .

(iii) $\dim \mathbb{C}Homv_{X}(D_{X}/I, \mathcal{H}^{1}([0]O_{X}))=v\{0\}(R_{m})$.
の階数ではなく原点での位代数的局所コホモロジー解のなす空間の次元が作用素
数 $v\{0\}(R_{m})$ で与えられることに注意されたい. 今, $d=v\{0\}(R_{m})$ と置き直すと, 次が成り立つことが直ちに分かる.
$R_{m}$

定理

前の定理と同じ仮定の下で次が成り立つ.

(i) HomDぇ$(D_{X}/I, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))$に属する代数的局所コホモロジー類$\sigma$の極の位数の最大値は $v\{0\}(R_{0})$ に等しい.

(ii)

とおく. このとき Homっの決定方程式の解をので, それらの極の位数個の一次独立な代数的局所コホモロジー類
が一となるものが存在する.
$-s_{2},$$R_{m}$$s_{1},$$s_{2},$$\ldots,$$s_{d}$$d$$\sigma_{1},$$s_{1},$

3$X$$\ldots,$$\sigma_{2},$$\ldots,$$(D_{X}/I, \mathcal{H}_{[0]}^{1}(O_{X}))$$\sigma_{d}$$-s_{\mathrm{d}}$アルゴリズムの概要

この節では, 多項式係数の常微分作用素が定める非同次方程式に対し, その形式巾級数の空間での可解条件を求めるアルゴリズムを与える. アルゴリズムの入力として・有理数係数多項式$a_{k}(z)\in \mathbb{Q}[z]$を係数に持つ線形常微分作用素

11-4$P(z, \frac{d}{dz})=\sum_{k=0}^{n}a_{k}(z)\frac{d^{k}}{dz^{k}}$13 13$\bullet$の最高次の微分の係数 $a_{n}(z)=b_{1}(z)^{n1}\cdots b_{q}(z)^{n}q$ の因子の一つは既約多項式)$P$$b_{i}(z)$(但し,$b_{i}(z)$アルゴリズムの出力は, 各点 $\beta\in B_{i}=\{z\in \mathbb{C}|b_{i}(z)=0\}$ における形式巾級数の空間での非同次方程式 $Pu=f$ の可解条件である.
の各点での可解条件を計算
このアルゴリズムは, 原点 {0} での可解条件ではなく,するので, 微分方程式系の構造を計算する際に, スタンダード基底ではなく, 微分作用素環
における Gr\"obner 基底を用いる. また, 形式随伴作用素の代数的局所コホモロジー解を求める際に , ネター作用素表示の概念を利用している. 代数的局所コホモロジー類のネター作用素表示をあらかじめ求めておくことで, 可解条件を求める際に留数計算を行なう
必要がなくなるように工夫してある. 以下にアルゴリズムの概略を与える.
の 2 つを与える.

$\hat{o}_{\beta}$$B_{i}$$P^{*}$

入力 :$P= \Sigma_{k=0}^{n}a_{k}(z)\frac{d^{k}}{dz^{k}}$$b_{i}(z)\in \mathbb{Q}[Z]$(i) $P$ の$B_{i}$:.
の既約因子の一つ.

$a_{n}(z)$上での決定方程式を解く.

case(a) 非負の整数解を持たない場合, 非同次常微分方程式 $Pu=f$ はcase(b) 非負の整数解の最大値$\lambda_{i}$に対し ,$\kappa_{i}=\lambda_{i}+1$$B_{i}$

上常に可解.

と置く.

を計算 ;(ii) $I=DxP^{*}+D_{X}b_{i}(z)^{\kappa:}$ のグレブナ基底(但し,<ord(7i4,n鯔 たすように並べてある)$\mathrm{G}\mathrm{r}I$$\mathrm{G}\mathrm{r}I=\{R_{i0},, R_{i,1}, \ldots, R_{i,n}.\cdot\}$.

$0=\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(R_{i,0})<\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(R_{i,1})<\cdots$(iii)$R_{i,n:}$(iv)$R_{i,n:}$の最高次の微分の係数多項式の点$d_{i}=v\beta(R_{in:},)$ と置く.

$\beta\in B_{i}$での零点の位数$v\beta(R_{i,n:})$を求め,に台を持つ代数的局所コホモロジー解の極の位数の取の決定方程式を解き ,$t\dot{\cdot},j(j=1,2,$
り得る値,d魴萃蠅垢. (但し, $t_{i1},<t_{i2},<\cdots<t_{id},.\cdot$ の順に並べておく)$B_{i}$$\ldots$(v) 代数的局所コホモロジー類,$\tau_{i^{j}}$を$\tau_{i^{j}},=\sum_{k=0}^{t_{i^{j}},-1}(-\frac{d}{dz})^{k}[c_{i,j,k}(z)\frac{b_{\acute{i}}(z)}{b_{i}(z)}]$と置く. ここで, 果,$j,k(z)\in \mathbb{Q}[z]$ は, $\deg c_{i,j,k}(z)<\deg b_{i}(z)$ なる多項式で, 次の条件をみたすとする.
$c_{i,j,t-l}(:,jz)\equiv 1$$\{$$c_{i,j,k}(z)=0$(vi)$R_{:,n:}\tau\dot{\cdot},j=0,$$j=1,2,$$d_{i}$$\ldots,$,

for $k=t_{i,j},$ $-1,$ $j’<j$ .

を解き , 果,$j,k$ を全て決定する.
II-5

14
出力 : 代数的局所コホモロジー解$\tau_{i^{j}},\in H_{[B_{i}]}^{1}(O_{X}),$$j=1,2,$,, (\beta \in Bのネター作用素表示.

$\sum_{k=0}^{t_{i^{j}},-1}(-\frac{d}{dz})^{k}[c_{i^{j}k},,(z)\frac{b_{\acute{i}}(z)}{b_{i}(z)}]$

このとき, 非同次方程式 $Pu=f$ の$d_{i}$$\ldots,$

任硫腸鮠魴錣,$t \cdot.,-1\sum_{k=0}^{j}C_{i,j,k(\beta)\frac{d^{k}f}{dz^{k}}(\beta)=0,j=12\cdot\cdot},,.$,

で与えられる. 実際 \S 1 での議論により, 求める可解条件は${\rm Res}_{\beta}(f(z)_{\mathcal{T}_{i^{j}}},(z)dz)=0,$$j=1,2,$$\ldots,d_{i}$となるが,$\tau_{i^{j}},=.\sum_{k=0}^{j}(-\frac{d}{dz})^{k}[c_{i,j,k}(z)\frac{b_{\acute{i}}(z)}{b\dot{\cdot}(z)}]t\cdot,-1$であるから,${\rm Res}_{\beta}(f(z)_{\mathcal{T}\dot{\cdot},j}(z)dz)$$={\rm Res}_{\beta}( \dot{.},\sum_{k=0}^{t_{j}-1}\frac{d^{k}f}{dz^{k}}(z)_{\mathrm{C}_{i,j,k}}(z)[\frac{b_{\acute{i}}(z)}{b_{i}(z)}])\backslash$$=t \dot{\cdot},-1\sum_{k=0}^{j}c_{i^{j},k},(\beta)\frac{d^{k}f}{dz^{k}}(\beta)$となり, 上記の可解条件を得る.

例 4
$P=$

微分作用素
$(4z^{16}+30z^{15}+20z^{14}+330z^{13}+36z^{12}+992z^{11}-244z^{10}+1980z^{9}$$-1032z^{8}+5014z^{7}+1380z^{6}+6758z^{5}+2880z^{4}+3294z^{3}+1148z^{2}+50z) \frac{d^{2}}{dz^{2}}$$+(126z^{15}+855z^{14}+630z^{13}+8385z^{12}+1392z^{11}+23568z^{10}-294z^{9}+28800z^{8}$$-16380z^{7}+51273z^{6}+18720z^{5}+47313z^{4}+24990z^{3}+9735z^{2}+4416z+75) \frac{d}{dz}$$+(930z^{14}+5655z^{13}+4590z^{12}+49125z^{11}+10833z^{10}+127680z^{9}+21546z^{8}$$+84915z^{7}-57060z^{6}+88842z^{5}+53625z^{4}+45648z^{3}+42105z^{2}-4485z+2319)$を考える. この作用素の 2 階の係数は $b(z)=z^{3}+3z+1$ を因子に持つ. 以下, $B=\{z\in$と$X|b(z)=0\}$ における非同次方程式の可解条件を求める. $P$ の形式的随伴作用素$(z^{3}+3z+1)^{3}$ の生成するイデアルのグレブナ基底はで与えられる. 但し,$P^{*}$$I$$R_{0}=b^{3}(z)$$\{R_{0}, R_{1}\}$,$R_{1}=75(z^{3}+3z+1) \frac{d}{dz}$$-59z^{8}+72z^{7}-477z^{6}+359z^{5}-1035z^{4}+273z^{3}+256z^{2}-306z+642$

11-6

15
である. $B$ に台を持つ代数的局所コホモロジー解の基底として$\tau=[(-\frac{d}{dz})^{2}\frac{b’(z)}{b(z)}+(2z+5)\frac{b’(z)}{b(z)}]$$[(- \frac{d}{dz})^{2}z\frac{b’(z)}{b(z)}+(2z^{2}+5z)\frac{b’(z)}{b(z)}],$,$[(- \frac{d}{dz})^{2}z^{2}\frac{b’(z)}{b(z)}+(5z^{2}-6z-2)\frac{b’(z)}{b(z)}]$を得る. よって, 点 $\beta\in B$ における $Pu=f$ の可解条件は, これらのうちの一つを用いて ,$\frac{d^{2}f}{dz^{2}}(\beta)+(2\beta+5)f(\beta)=0$で与えられる. ここで, 例えば$\tau$

は$\tau=[\frac{15z^{8}-12z^{7}+105z^{6}-42z^{5}+147z^{4}-42z^{3}+78z^{2}+24z+69}{(z^{3}+3z+1)^{3}}]$と表すこともできるが, この表現を用いて可解条件を求めようとすると, 改めて留数を計算しなくてはならず, 計算が複雑になることが見て取れる. さて, ベクトル空間のの 6 次元部分空間を張る. よって, 非同次方程式 $Pu=f$
による像は,
がで割った余りが, このの全ての点で形式巾級数の範囲で解を持つ条件は, をにおいて,
6 次元部分空間に属することである.
は一次独立であるので, これらを整理し , 基底ベクトル$\mathbb{Q}[z]/\langle b^{3}(z)\rangle$$R_{1}^{*}$$\mathbb{Q}[z]/\langle b^{3}(z)\rangle$$B$$b^{3}(z)$$f$$\mathbb{Q}[z]/\langle b^{3}(z)\rangle$$R_{1}^{*}1,$$R_{1}^{*}z,$$R_{1}^{*}z^{2},$$R_{1}^{*}z^{3},$$R_{1}^{*}z^{4}$$R_{1}^{*}z^{5}$$z^{8}- \frac{4862}{185}z^{2}-\frac{3489}{37}z-\frac{78}{5}$$z^{5}- \frac{343}{185}z^{2}-\frac{69}{37}z+\frac{3}{5}$,,$z^{7}+ \frac{3264}{185}z^{2}-\frac{448}{37}z-\frac{69}{5}$$z^{4}+ \frac{231}{185}z^{2}-\frac{23}{37}z-\frac{6}{5}$,,$z^{6}+ \frac{357}{185}z^{2}+\frac{432}{37}z+\frac{13}{5}$,$z^{3}+ \frac{12}{37}z^{2}+\frac{81}{37}z+1$

を得る.

参考文献
[1]

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[3] 田島慎一, 非同次常微分方程式の可解条件について, 京都大学数理解析研究所講究録
1168 「完全最急降下法」 (2000), 66-79.
[4] 田島慎一, Holonomic な定数係数線形偏微分方程式系と Grothendieck duality, 京都
大学数理解析研究所講究録 「積分核の代数解析的研究」 掲載予定.
II-7

16
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