数理解析研究所講究録 1273 巻 2002 年 124-137

124

不偏推定量の分散に関する Chapman-Robbins 型不等式の拡張について筑波大学・数学系

小池健一 (Ken-ichi Koike)

Institute of Mathematics
University of Tsukuba
1. はじめに$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}\geq(g^{(1)}(\theta),$$\ldots,$$=:B_{k}(\theta)$,$g^{(k)}(\theta))W^{-1}(\theta)(g^{(1)}(\theta),$say,となることを示している. 但し,$\ldots,$$g^{(k)}(\theta))’$(1.1)$W(d\theta)f\underline{f}:=\{w_{ij}(\theta)\}_{i,j=1,\ldots,k}$$g^{(i)}(\theta)=\dot{4}_{\dot{\wp}}^{\theta}\underline{)},$$w_{ij}( \theta):=E_{\theta}\{f^{-2}(X, \theta)\frac{\partial^{i}f(X,\theta)}{\partial\theta^{i}}\frac{\partial^{j}f(X,\theta)}{\partial\theta^{j}}\}$$(i,j=1, \ldots, k)$

とおく. 良く知られているように $B,(\theta)$ は Cram\’er-Rao 型の下界に一致し,について, この下界はその次数を大きくす棺 . 単調に増大, すな$\theta\in\Theta$$\mathrm{h}$わち $B_{k+1}$ $(\theta)\geq B_{k}(\theta)(k\geq 1)$ が成り立っ.

しかも, 局所最小分散不偏推

定量によって与えられる分散に収束することが知られてぃる (Blight and$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{o}[\mathrm{B}\mathrm{R}74])$.

一方, 「フィッシャー情報量が発散する」, 「密度関数が未知母数に関して微分可能でない」等, Cram\’er-Rao 型や Bhattacharyya 型の不等式が成立しな

125$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}\geq\sup_{\phi}\mathrm{w}\Sigma^{-1}\mathrm{w}’=:K_{k}(\theta)$

(1.4)

say

,

で与えられる. 但し, $\mathrm{w}=\mathrm{w}(\theta, \phi_{1}, \ldots, \phi_{k}):=(g(\phi_{1})-g(\theta),$ $\ldots,$ $g(\phi_{k})-$$g(\theta)),$$1,$$\ldots,$$\Sigma=\Sigma(\theta, \phi_{1}, \ldots, \phi_{k})=\{\sigma_{ij}\}_{i,j=1,\ldots,k}(\sigma_{ij}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}_{\theta}(\psi_{i}, \psi_{j})(i,$

$k))$

とし,

$S(\phi_{k})\subset S(\phi_{k-1})\subset\cdots\subset S(\phi_{1})\subset S(\theta)$$(i=1, \ldots, k)$ で $\sup$ をとるものとする.

しかし,

なる

$j=$

$\phi_{i}\in \mathrm{O}-$

この右辺において,をとる際には多変数関数の上界を求めることになり, 実際には煩雑なことが多い. また, この論文では不等式が示されただけで, 他の不等式との$\sup$

関連などについては全く言及されていない.
と同様の方法で拡張
ここでは, Chapman-Robbins 型の不等式を,した別の不等式を示す. 同様の結果は, Akahira et al. [APT86], Akahira
and Takeuchi [AT87] にもあるが, 正則条件が違っているため, 異なる結果となっている. また, 得られた不等式を用いて, 通常の Bhattacharyya$[\mathrm{K}\mathrm{s}00]$

型や Kshirsagar の下界との比較を行い, 得られた不等式の達成に関して

いくつかの命題を示す.

2. 不偏推定量の分散に対する別の不等式
$X$

を, ある

$\sigma$-有限測度に関する密度関数$f(x, \theta)(\theta\in\Theta)$をもつ確率変126
数とする. 但し,はの開集合とする.
上で定義された, 定数関数
でない, ある実数値関数の不偏推定問題を考える.
を $f(x, \theta)$の台とし, $S(\theta)\supset S(\theta+i\delta)(i=1, \ldots, k)$ となるように $\theta+i\delta\in\Theta$$(i=1, \ldots, k)$ がとれるものとする. ここで$\mathbb{R}^{1}$$\Theta$$\Theta$$g(\theta)$$S(\theta)$$\Psi_{i}=\Psi_{i}(x, \theta, \delta):=(\frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{i}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}\frac{f(x,\theta+l\delta)}{f(x,\theta)}$$(i=1, \ldots, k)$ ,(2.1)$G_{i}=G_{i}( \theta, \delta):=(\frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{i}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}g(\theta+l\delta)$$(i=1, \ldots, k)$ ,$V=V(\theta, \delta)=\{v_{ij}(\theta, \delta)\}$$v_{ij}(\theta, \delta):=E_{\theta}(\Psi_{i}\Psi_{j})$

,

(2.2)

$(i,j=1, \ldots, k)$とすると, 次の定理を得る.
定理 1.

$\hat{g}(X)$を$g(\theta)$の不偏推定量とすると,$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}\geq\sup_{--}\mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’=:D_{k}(\theta)$が成り立つ. 但し,$S(\theta+i\delta)$$0$$\mathrm{g}=\mathrm{g}(\theta, \delta):=(G_{1}, \ldots, G_{k})$$(i=1, \ldots, k),$ $|V(\theta, \delta)|\neq 0\}$

とし,

,

say

がっ $\Delta=\{\delta$ :$\Delta=\emptyset$(2.3)$S(\theta)\supset$のとき, 右辺 $=$

とする.

証明.

一般性を失わずに$\Delta\neq\emptyset$$S(\theta)\supset S(\theta+i\delta)(i=1, \ldots, k)$としてよい.

$\delta\in\Delta$を固定する.

より$E_{\theta} \{\Psi_{i}(X, \theta, \delta)\}=(\frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{\dot{l}}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}E_{\theta}\{\frac{f(X,\theta+l\delta)}{f(X,\theta)}\}$$f(x, \theta+l\delta)d\mu$$=( \frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{i}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}$S(の$=( \frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{\dot{l}}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}$$=( \frac{-1}{\delta})^{i}(1-1)^{i}=0$

127
となり,

$\hat{g}(X)$は$g(\theta)$の不偏推定量なので$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}_{\theta}(\hat{g}(X), \Psi_{i}(X, \theta, \Delta))$$=E_{\theta}\{\hat{g}(X)\Psi_{i}(X, \theta, \Delta)\}$$=( \frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{i}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}\int_{S(\theta)}\hat{g}(x)f(x, \theta+l\theta)d\mu$$=( \frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{i}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}g(\theta+l\delta)$$=G_{i}$となる. 従って ( $\hat{g}(X),$ $\Psi_{1}(X,$

考えると,

$U$

$\theta,$$\delta),$$\ldots$, 重 $(X,$$\theta,$$k$$\delta)$) の共分散行列

$U$

を

は対称で

$U=(\begin{array}{lllll}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\} G_{1} \cdots G_{k} G_{1} V_{11}(\theta,\delta) \cdots V_{1k}(\theta,\delta) \vdots \vdots \vdots G_{k} V_{k1}(\theta,\delta) \cdots V_{kk}(\theta \delta)\end{array})$となる.

は非負値で $|V|>0$ だから$U$$|U|=|V||\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}-\mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’|$

となり,

(2.4)

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}\geq \mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’$

を得る.
注.

$\delta$に関して $\sup$ をとり, 題意を得た.

$D_{1}(\theta)=K_{1}(\theta)=H(\theta)$

口が成り立つ.

(1.4) と (2.3) の関係は次のようになる.
について, $S(\theta+i\delta)\subset S(\theta)(i=1, \ldots, k)$ となる
定理 2. ある$\delta\neq 0$とき,$\mathrm{w}(\theta, \theta+\delta, \ldots, \theta+k\delta)\{\Sigma(\theta, \theta+\delta, \ldots, \theta+k\delta)\}^{-1}$.

$\mathrm{w}(\theta, \theta+\delta, \ldots, \theta+k\delta)’$$=\mathrm{g}(\theta, \delta)\{V(\theta, \delta)\}^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}(\theta, \delta)’$が成り立つ.
証明.

式 (1.3) において $\phi_{i}=\theta+i\delta(i=1, \ldots, k, \delta\neq 0)$ とおき,
, k につを示す.
の定義から, $i=1,$$\mathrm{g}(\theta, \delta)V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}(\theta, \delta)’=\mathrm{w}\Sigma^{-1}\mathrm{w}’$$G_{i}$$\ldots$128$G_{i}=( \frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{i}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}g(\theta+l\delta)$$=( \frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=1}^{i}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}\{g(\theta+l\delta)-g(\theta)\}$となる. よって$\mathrm{g}=(G_{1}, \ldots, G_{k})$$=(( \frac{-1}{\delta})^{1}\sum_{l=1}^{1}(\begin{array}{l}1l\end{array})(-1)^{l}\{g(\theta+l\delta)-g(\theta)\},$$\ldots$,$( \frac{-1}{\delta})\sum_{l=1}^{kk}(\begin{array}{l}kl\end{array})(-1)^{l}\{g(\theta+l\delta)-g(\theta)\})$$=(g(\theta+\delta)-g(\theta),\ldots$.

$=\mathrm{w}$

( 乎)1
( 乎)1

,g(\mbox{\boldmath $\theta$}+k\mbox{\boldmath $\delta$})-g(の)$()^{k}(\begin{array}{l}k1\end{array})(-1)^{1}$))$(\begin{array}{l}11\end{array})(-1)^{1}00(\frac{\frac{-1}{-1\delta}}{\delta})^{2}(\begin{array}{l}22\end{array})(-1)^{2}()^{2}(\begin{array}{l}21\end{array})(-1)^{1}0.\cdot...\cdot...\cdot.\cdot(\frac{-1}{\delta})^{k}(\begin{array}{l}kk\end{array})(-1)^{k}(\frac{\frac{-1}{-1\delta}}{\delta})^{k}(\begin{array}{l}k2\end{array})(-1)^{2}$$()^{k}(\begin{array}{l}k\mathrm{l}\end{array})(-1)^{1}$$(\begin{array}{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\end{array})(-1)^{1}00(\frac{\frac{-\dot{1}}{-1\delta}}{\delta})^{2}(\begin{array}{l}22\end{array})(-1)^{2}()^{2}(\begin{array}{l}2\mathrm{l}\end{array})(-1)^{1}0.\cdot...\cdot...\cdot.\cdot(\frac{-1}{\delta})^{k}(\begin{array}{l}kk\end{array})(-1)^{k}(\frac{\frac{-1}{-1\delta}}{\delta})^{k}(\begin{array}{l}k2\end{array})(-1)^{2}$と表せるので$\mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’=\mathrm{w}FV^{-1}F’\mathrm{w}’=\mathrm{w}((F’)^{-1}VF^{-1})^{-1}\mathrm{w}’$となる. 但し. $F=$ {fijh,j=l?...}k は$f_{ij}=\{\begin{array}{l}(\frac{-1}{\delta})^{j}()(-1)^{i}(i\leq j)0(i>j)\end{array}$

なる正則行列とする. 従って, 題意を示すには,$(F’)^{-1}VF^{-1}=\Sigma$

, すな

129
わち V=F’\Sigma F を示せばよい.

$F$の定義から,$F’\Sigma F$の $(i, j)$ 成分は(2.5)$( \frac{-1}{\delta})^{i+j}\sum_{m=1}^{i}\sum_{n=1}^{j}(-1)^{m+n}(\begin{array}{l}im\end{array})(\begin{array}{l}jn\end{array})\sigma_{mn}$となる.

$\sigma_{mn}=E_{\theta}\{f(X, \theta+m\delta)f(X, \theta+n\delta)/f^{2}(X, \theta)\}-1$

なので,任意の $m$ と $n$ について, $\sigma_{m0}=\sigma_{0n}=0$ となる. よって (2.5) は,$\sum_{n=0}^{j}(-1)^{n}(\begin{array}{l}jn\end{array})=(1-1)^{j}=0$を用いて$( \frac{-1}{\delta})^{i+j}\sum_{m=0}^{i}\sum_{n=0}^{j}(-1)^{m+n}(\begin{array}{l}im\end{array})(\begin{array}{l}jn\end{array})$.

$[E_{\theta}\{$ $\frac{f(X,\theta+m\delta)f(X,\theta+n\delta)}{f^{2}(X,\theta)}\}-1]$$=( \frac{-1}{\delta})^{i+j}\sum_{m=0}^{i}\sum_{n=0}^{j}(-1)^{m+n}(\begin{array}{l}im\end{array})(\begin{array}{l}jn\end{array})$.

$E_{\theta} \{\frac{f(X,\theta+m\delta)f(X,\theta+n\delta)}{f^{2}(X,\theta)}\}$$=E_{\theta}(\Psi_{i}\Psi_{j})$となる.

これは $V$ の $(i, j)$ 成分に等しく, 題意を得た.

口を特別な取り方
Kshirsagar の不等式 (1.4) において,をすれば, 定理 1 の不等式が出てくることが分かる.
を仮定
Bhattachar 禍 型の不等式 (1.1) が成立するための正則条件上の定理から,$\varphi_{i}$$R_{k}$$\mathrm{a}$する, すなわち, 台 $S(\theta)$ が$\theta$と無関係で, 下式において,導関数が, 左辺において積分記号下で$\int_{S(\theta)}f(x, \theta)d\mu=1$

このとき次を得る.
系 3. 正則条件$R_{k}$

,

$k$

に関する

$k$

次

回偏微分することにより得られる :$\int_{S(\theta)}\hat{g}(x)f(x, \theta)d\mu=g(\theta)$.

の下で次が成り立つ.

$B_{k}(\theta)\leq D_{k}(\theta)\leq K_{k}(\theta)$

証明.

$\theta$$(k\geq 1)$

最初に左の不等式を示す. 補題 1 から, $i=1,$.
$k$$\ldots,$, について,130$\deltaarrow 0\text{のとき}$$G_{i}arrow g^{(i)}(\theta)$,$\Psi_{i}=(.\frac{-1}{\delta})^{i}\sum_{l=0}^{i}(\begin{array}{l}il\end{array})(-1)^{l}\frac{f(x,\theta+l\delta)}{f(x,\theta)}arrow\frac{\partial^{i}f(x,\theta)/\partial\theta^{i}}{f(x,\theta)}$が成り立つので$\lim_{\deltaarrow 0}v_{ij}(\theta, \delta)=\lim_{\deltaarrow 0}E_{\theta}(\Psi_{i}\Psi_{j})=E_{\theta}(\lim_{\deltaarrow 0}\Psi_{i}\Psi_{j})$$=E_{\theta}\{$ $\frac{\partial^{i}f(X,\theta)/\partial\theta^{i}}{f(X,\theta)}\frac{\partial^{j}f(X,\theta)/\partial\theta^{j}}{f(X,\theta)}\}$となる. よって (2.4) の右辺 の極限をとれば$\lim_{\deltaarrow 0}\mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’=\lim_{\deltaarrow 0}(G_{1}, \ldots, G_{k})V^{-1}(G_{1}, \ldots, G_{k})’$$=(g^{(1)}(\theta), \ldots, g^{(k)}(\theta))W^{-1}(\theta)(g^{(1)}(\theta), \ldots, g^{(k)}(\theta))’$を得る. 但し,$W=W(\theta)=\{w_{ij}(\theta)\}$$w_{ij}( \theta):=E_{\theta}[..\frac{\frac{\partial}{\partial\theta}f(X,\theta)}{f(X,\theta)}$.

で$\frac{\frac{\partial^{j}}{\partial\theta J}f(X,\theta)}{f(X,\theta)}]$$(i, j=1, \ldots, k)$とする. 従って$\lim_{\deltaarrow 0}\mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’=(g^{(1)}(\theta), \ldots, g^{(k)}(\theta))W^{-1}(\theta)(g^{(1)}(\theta), \ldots, g^{(k)}(\theta))’$$\leq\sup_{\delta\in\Delta}\mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’$

となり,
る.

(2.3) の下界は, 少なくとも Bhattacharyya の下界と同等であ右の不等式については定理 2 を用いればよい.

口

3. 例
ここでは定理 1 と 2 に関するいくっがの例を示す.

例 1.

$X_{1},$ $X_{2}$を, 互いに独立にいずれも平均 0, 分散 $\theta^{2}(\theta>0)$ をもっ正

規分布に従う確率変数とする. $s^{2}=(X_{1}^{2}+X_{2}^{2})/2$ は に対する完備十分統計量なので, $\hat{g}(X_{1}, X_{2})=2s/\sqrt{\pi}$ は, 分散 $\{(4/\pi)-1\}\theta^{2}\approx 0.2732\theta^{2}$をもつ,の UMVUE である. 単純な計算にょり, $B_{1}(\theta)=0.25\theta^{2}$,$\theta$$\theta$を得る. 一方,にょり, $\phi_{i}=\theta+i\delta$$(i=1, \ldots, k)$ とおいてが計算されてぃる. この場合, 定理 2 より,が (1.2) における(2.3) においてに等しの Table$B_{2}(\theta)=17\theta^{2}/64\approx 0.2656\theta^{2}$$[\mathrm{K}\mathrm{s}00]$$K_{k}(\theta)$$\mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’$$\mathrm{w}\Sigma^{-1}\mathrm{w}’$$\text{く},$$[\mathrm{K}\mathrm{s}00]$

131
1 の値と一致する. 例えば, $H(\theta)=K_{1}(\theta)=D_{1}(\theta)\approx 0.2698\theta^{2}>B_{2}(\theta)$
となる.

例 2.
とき,

$X$

を $(0, \theta)$ 上の一様分布に従う確率変数とする.

$X$はに対する完備十分統計量なので,$\theta$$\theta^{2}/3\approx 0.333\theta^{2}$を持つ$g(\theta)$(i)$g(\theta)=\theta$$\hat{g}(X)=2X$ は,の分散の UMVUE である. また,$H(\theta)=K_{1}(\theta)=0.25\theta^{2}<K_{2}(\theta)=D_{2}(\theta)\approx 0.296\theta^{3}$

となる.

(ii)

$g(\theta)=\theta^{2}$のとき,

UMVUE である.

$\hat{g}(X)=3X^{2}$は, 分散$0.8\theta^{4}$を持つ,$g(\theta)$のまた.

$H(\theta)=K_{1}(\theta)\approx 0.620\theta^{4}<D_{2}(\theta)\approx 0.721\theta^{4}<K_{2}(\theta)\approx 0.723\theta^{4}$を得る.

4. 下界の比較に関して
まず第 2 節で示した下界の達成について, Sen and Ghosh [SG76] に従って, いくつかの命題を示す. まず, 定理 1 より次を得る.
定理 5.

$\hat{g}(X)$を$g(\theta)$の不偏推定量とすると, 任意の$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}\geq \mathrm{g}V^{-\mathrm{l}}\mathrm{g}’=:D_{k}(\theta, \delta)$$\delta\in\Delta$

say

,

について

(4.1)

かつ
$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}\geq \mathrm{w}\sum^{-1_{\mathrm{W}’}}=:K_{k}(\theta,$ $\phi_{1},$が成り立つ. (4.1) において, 等号は,$\hat{g}(X)-g(\theta)=(G_{1}(\theta, \delta),$.

$\delta\in\Delta$$\phi_{k})$$\ldots,$,say$(4.2)$

について$G_{k}(\theta, \delta))V^{-1}(\theta, \delta)$$\ldots,$$(\Psi_{1}, \ldots, \Psi_{k})’$(4.3)

が成り立つこと, (4.2) において, 等号は, $S(\phi_{k})\subset S(\phi_{k-1})\subset\cdots\subset$$S(\phi_{1})\subset S(\theta)$
なる $\phi_{i}\in \mathrm{O}-(i=1, \ldots, k)$ について$\hat{g}(X)-g(\theta)=(g(\phi_{1})-g(\theta), \ldots, g(\phi_{k})-g(\theta))\Sigma^{-1}(\theta, \phi_{1}, \ldots, \phi_{k})$

.

(4.4)

$(\psi_{1}, \ldots, \psi_{k})’$が成り立つことと同値である.
証明は式 (2.4) から明らか.
定理 5 から, 次の 2 つの命題がただちに分かる.
系 6.
$D_{k}(\theta)$

で成り立つならば,
式 (4.3) がある) で達成し, 式 (4.4) があとなり, (2.3) における $\sup$ は$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=$$\delta=\delta^{*}(\theta)\in\Delta$$\delta=\delta\sim\theta$

132
る (

$\phi_{\mathrm{b}}\ldots,$$\phi\ovalbox{\tt\small REJECT}=(\phi\ovalbox{\tt\small REJECT}(\ovalbox{\tt\small REJECT}_{>}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

Kk(のとなり,$(1\ovalbox{\tt\small REJECT})$. , \phi ;(の) で成り立つならば,における $\sup$ は$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{j(X)\}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(\phi_{\mathrm{b}}\ldots, \phi_{k})\ovalbox{\tt\small REJECT}(\phi\ovalbox{\tt\small REJECT}(\ovalbox{\tt\small REJECT},$$\ldots$

で達成する.
系1, \phi {?}(の)正則条件が成り立つとき,であれば,$\delta=0$で成立して, (2.3) で等号が成り立っ. 逆に, (4.3) が $\delta=0$(4.3) がで成立すれば,となる.
$R_{k}$$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=D_{k}(\theta, 0)$$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=D_{k}(\theta, 0)=D_{k}(\theta)$

これらの系を用いると, 次が分かる.
定理 8.
$\theta_{1}+k\delta\in\Theta(\delta\neq 0)$
と
自然数
について,
$S(\theta_{1}+l\delta),$$|\Sigma(\theta_{1}, \delta, \ldots, l\delta)|\neq 0(1\leq l\leq k)$とする. このとき$k$$\theta_{1},$$S(\theta_{1})\supset$$\hat{g}(X)=f(X, \theta_{1}+l\delta)/f(X, \theta_{1})$の$\theta_{1}$は $g(\theta)=E_{\theta}\{f(X, \theta_{1}+l\delta)/f(X, \theta_{1})\}$

における局所最小分散不偏推定量となる $(1\leq l\leq k)$ .

証明.

2 から,

$\hat{g}(X)=f(X, \theta_{1}+l\delta)/f(X, \theta_{1}),$$g(\theta)=E_{\theta}\{\hat{g}(X)\}$$K_{l}(\theta_{1}, \theta_{1}+\delta, \ldots, \theta_{1}+l\delta)=D_{l}(\theta_{1}, \delta)$$K_{l}(\theta_{1}, \theta_{1}+\delta, \ldots, \theta_{1}+l\delta)$

おく. 定理となるから,

ここではを用いて示す.

$g( \theta_{1}+i\delta)=E_{\theta_{1}+i\delta}\{\frac{f(X,\theta_{1}+l\delta)}{f(X,\theta_{1})}\}$$=E_{\theta_{1}} \{\frac{f(X,\theta_{1}+i\delta)}{f(X,\theta_{1})}\frac{f(X,\theta_{1}+l\delta)}{f(X,\theta_{1})}\}$$=\sigma:\iota+1$$(1 \leq i\leq k)$,$g( \theta_{1})=E_{\theta_{1}}\{\frac{f(X,\theta_{1}+l\delta)}{f(X,\theta_{1})}\}=1$となるから,$(g(\theta_{1}+\delta)-g(\theta_{1}), \ldots,g(\theta_{1}+l\delta)-g(\theta_{1}))$.

$\Sigma^{-1}(\theta_{1}, \theta_{1}+\delta, \ldots, \theta_{1}+l\delta)$. $(\{f(X, \theta_{1}+\delta)/f(X, \theta_{1})\}-1, \ldots, \{f(X, \theta_{1}+l\delta)/f(X, \theta_{1})\}-1))’$$=(\sigma_{1l}, \ldots, \sigma_{ll})\Sigma^{-1}(\theta_{1}, \theta_{1}+\delta, \ldots, \theta_{1}+l\delta)$. $(\{f(X, \theta_{1}+\delta)/f(X, \theta_{1})\}-1, \ldots, \{f(X, \theta_{1}+l\delta)/f(X, \theta_{1})\}-1))’$$=(0, \ldots, 0,1)$.

$(\{f(X, \theta_{1}+\delta)/f(X, \theta_{1})\}-1, \ldots, \{f(X, \theta_{1}+l\delta)/f(X, \theta_{1})\}-1))’$$=\{f(X, \theta_{1}+l\delta)/f(X, \theta_{1})\}-1$$=\hat{g}(X)-g(\theta_{1})$となるので, 式 (4.4) が成立する. よって系 6 から題意が成立.

口

133
定理 9.

密度関数 $f(x, \theta)$ が(4.5)$f(x, \theta)=\alpha(\theta)a(x)\exp\{\gamma(\theta)b(x)\}$で与えられるとする. ただし, $\alpha(\theta)>0$ であり,とを の値域とする. 自然数
分可能な関数,について,
について, 任意のあるとき$\gamma(\theta)$$k$$\Gamma$$\theta_{1},$は$\theta$の単調な連続微$\theta_{1}+k\delta\in \mathrm{O}-(\delta\neq 0)$$\gamma$$2\gamma(\theta_{1}+k\delta)-2\gamma(\theta_{1})+\gamma(\theta)\in\Gamma$$\theta\in \mathrm{O}-$

で

(4.6)

$\hat{g}(X)=\exp[\{\gamma(\theta_{1}+l\delta)-\gamma(\theta_{1})\}b(X)]$は $g(\theta)=\alpha(\theta)/\alpha[\gamma^{-1}\{\gamma(\theta_{1}+l\delta)-2\gamma(\theta_{1})-\gamma(\theta)\}]$ の UMVUE であり,

任意の

について

$\theta$$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=D_{k}(\theta)$を満たす $(1\leq l\leq k)$ .

は区間となり, 任意の$2\gamma(\theta_{1}+k\delta)-2\gamma(\theta_{1})+\gamma(\theta)\in\Gamma$ であるとき,を定義すれば,となる. 式 (4.6) のよ証明.

$\gamma$の単調性から$\Gamma$$\theta\in\Theta$について,$\gamma(\theta_{1}+k\delta)-\gamma(\theta_{1})+\gamma(\theta)\in\Gamma$$\check{\vee J}l^{}(-\hat{g}$$E_{\theta} \{\hat{g}(X)\}=\alpha(\theta)\int a(x)$.
$=g(\theta)$$\exp[\{\gamma(\theta_{1}+l\delta)-\gamma(\theta_{1})+\gamma(\theta)\}b(x)]\mu(dx)$,$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=[\alpha(\theta)/\alpha(\gamma\{2\gamma(\theta_{1}+l\delta)-\gamma(\theta_{1})+\gamma(\theta)\})]-g^{2}(\theta)$となる. 任意の$\theta\in\Theta$について,$\phi^{*}(\theta):=\gamma^{-1}\{\gamma(\theta_{1}+l\delta)-\gamma(\theta_{1})-\gamma(\theta)\}$とおけば, 定理 8 と同様に (4.4) を満たすことが示される. よって, 系 6から$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=D_{k}(\theta)$

が任意の$\theta\in\Theta$

で成立し題意を得る.

口を比較すると, 定について $D_{k}(\theta)\geq B_{k}(\theta)$ が成り立つ. また,理 2 より, 任意のより, 確率変数 $X$ の密度関数が (4.5) に従い $\hat{g}(X)=b^{l}(x)$ のと
以下では, 正則条件

$R_{k}$

を仮定する.

$D_{k}(\theta)$と$B_{k}(\theta)$$\theta\in\Theta$[F59]

き, 任意の場合に,$\theta\in \mathrm{O}-$について $D_{k}(\theta)=B_{k}(\theta)$ が成り立つ.

$D_{k}(\theta)>B_{k}(\theta)$

ではどのようなとなるか否かに関して, $k=1$ の場合,

Sen andが成り立つための十分条件が示されているが, ここではそれを $k=2$ の場合に拡張する.

Ghosh [SG76] によって$H(\theta)>B_{1}(\theta)$$a(ijkl)$$:=E_{\theta}[ \{\frac{\partial f(X,\theta)}{\partial\theta}\}^{i}\{\frac{\partial^{2}f(X,\theta)}{\partial\theta^{2}}\}^{j}\{\frac{\partial^{3}f(X,\theta)}{\partial\theta^{3}}\}^{k}\{\frac{\partial^{4}f(X,\theta)}{\partial\theta^{4}}\}^{l}]$とおく $(i, j, k, l=0,1,2)$ と, 次が成り立つ.

134
定理 10.

正則条件$R_{5}$の条件下で,$2\{a(1100)g’(\theta)-a(2000)g’’(\theta)\}$. $[a(0110)\{-a(1100)g’(\theta)+a(2000)g’’(\theta)\}$$+a(1100)\{-a(1010)g’’(\theta)+a(\mathrm{I}100)g’’’(\theta)\}$+a(0200){a(1010)g’(\mbox{\boldmath $\theta$})-a(2000)g’’’(\mbox{\boldmath $\theta$}) 月 $>0$
ならば,

$D_{2}(\theta)>B_{2}(\theta)$となる. 特に,$f(x, \theta)=f\mathrm{o}(x-\theta)$

で,$f_{0}$が 0

について対称であるとき, $-g”(\theta)\{a(1010)g’(\theta)-a(2000)g^{m}(\theta)\}>0$ であれば, $D_{2}(\theta)>B_{2}(\theta)$ となる.
証明. ここでは簡単のため, $g’=g’(\theta),$ $g”=g”(\theta)$ 等と記す.
(前半) 正則条件の下で, 十分小なる $|h|>0$ につぃて
$R_{5}$$G_{1}^{2}= \{\frac{g(\theta+h)-g(\theta)}{h}\}^{2}$$=g^{\prime 2}+ \frac{h}{2}g’g’’+h^{2}(g^{\prime\prime 2}/4+g’g’’’/3)+o(h^{2})$,$G_{2}^{2}= \{\frac{g(\theta+2h)+g(\theta)-2g(\theta+h)}{h^{2}}\}^{2}$$=g^{\prime\prime 2}+2hg’’g’’’+h^{2}\{g^{\prime u2}+g’’g^{4}(7/6)\}+o(h^{2})$,$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{G_{1}\}=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\frac{f(X,\theta+h)-f(X,\theta)}{f(X,\theta)}\}$$=a(2000)+a(1100)h+\{(1/4)a(0200)+(1/3)a(1010)\}h^{2}+o(h^{2})$ ,$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{G_{2}\}=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\frac{f(X,\theta+2h)+f(X,\theta)-2f(X,\theta+h)}{f(X,\theta)}\}$$=a(0200)+2a(0110)h+\{a(0020)+(7/6)a(0101)\}h^{2}+o(h^{2})$ ,$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}_{\theta}\{G_{1}, G_{2}\}$$=a(1100)+\{a(1010)+(1/2)a(0200)\}h$$+\{(7/12)a(1001)+(2/3)a(0110)\}h^{2}+o(h^{2})$ ,となるから,

135$D_{2}(\theta, h)$$= \frac{a(0200)g’(\theta)^{2}-2a(1100)g’(\theta)g’’(\theta)+a(2000)g’’(\theta)^{2}}{-a(1100)^{2}+a(0200)a(2000)}$$+2\{a(1100)g’(\theta)-a(2000)g’’(\theta)\}$. $[a(0110)\{-a(1100)g’(\theta)+a(2000)g’’(\theta)\}$$+a(1100)\{-a(1010)g’’(\theta)+a(1100)g’’’(\theta)\}$$+a(0200)\{a(1010)g’(\theta)-a(2000)g’’’(\theta)\}]$. $\frac{h}{\{a(1100)^{2}-a(0200)a(2000)\}^{2}}+o(h)$$=B_{2}( \theta)+(*)\frac{h}{\{a(1100)^{2}-a(0200)a(2000)\}^{2}}$より, $(*)>0$ ならば $D_{2}(\theta)>B_{2}(\theta)$(後半) $f(x, \theta)=f_{0}$ () で$x$$\theta$一(say)$(harrow 0)$.

$f_{0}$

が0 について対称とすると,となるため,$f_{0}(x)=f_{0}(-x),$ $f_{0}’(x)=-f_{0}’(-x),$ $f_{0}’’’(x)=f’’’(-x)$$a(1100)= \int f’f’’/fd\mu=0$ . 同様に, $a(0110)=0$ なので, 題意を得る.
口

定理 11.

式 (4.5), (4.6) の設定下で, 任意の $k\geq 1$ ととなる.

$\theta\in\Theta$

について$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=D_{1}(\theta)>B_{k}(\theta)$式 (4.5), (4.6) のようにおくと, 任意の $\theta\in\Theta$ についてを満たす. 特に, $k=1$ で$E_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=g(\theta)$ かつ
証明.

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=D_{k}(\theta)$も成立するので,$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}=D_{1}(\theta)$

多項式でないので,得る.

Fend [F59] よりとなる. 一方,$\hat{g}(X)$$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}\{\hat{g}(X)\}>B_{k}(\theta)$

は $b(X)$ の. よって題意を口

参考文献[A95] Akahira, M.: The Bhattacharyya type bound for the asymptotic variance and the sequential discretized likelihood estimation
procedure. Sequential Analysis, 14, (1995), 193-204.
[APT86] Akahira, M., Puri, M. and Takeuchi, K.:Bhattacharyya
bound of variances of unbiased estimators in non-regular cases, Ann.
Inst. Statist. Math., 38, (1986), 35-44.

136[AT87] Akahira, M. and Takeuchi, K.: The lower bound for thevariance of unbiased estimators for one-directional family of distributions, Ann. Inst. Statist. Math., 39, (1987), 593-610.
[B46] Bhattacharyya, A.: On some analogues of the amount of information and their uses in statistical estimation.
, (1946),
1-14, 201-218, 315-328.
[BR74] Blight, J. N. and Rao, P. V.:The convergence of Bhattacharyya bounds. Biometrika, 61, (1974), 137-142.
[BS80] Borovkov, A. A. and Sakhanienko, A. U.:On estimates ofthe expected quadratic risk (in Russian). Probab. Math. Statist., 1,(1980), 185-195.
[BG90] Brown, L. D. and Gajek, L.: Information inequalities for theBayes risk. Ann. Statist., 18, (1990), 1578-1594.
[CR51] Chapman, D. G. and Robbins, H. E.:Minimum varianceestimation without regularity assumptions. Ann. Math. Statist., 22,(1951), 581-586.
[C45] Cram\’er, H.:Mathematical Methods of Statistics. Princeton
Univ. Press, 1945.
[F59] Fend, A. V. On the attainment of Cram\’er-Rao and Bhattacharyya bounds for the variance of an estimate, Ann. Math.
Statist., 30, (1959), 381-388.
[H50] Hammersley, J. M.: On estimating restricted parameters. .
$12$ , (1950), 192-240.
$Roy$ . Statist. Soc. Ser.
[Ki52] Kiefer, J.: On minimum variance estimation. Ann. Math.
Statist., 23, (1952), 627-629.
[K097] Koike, K.: On the Bhattacharyya type inequality in the sequential estimation. J. Japan Statist. Soc., 27, (1997), 65-75.
[K099] Koike, K.: Alower bound for the Bayes risk in the sequential
case. Commun. Statist.-Theory Meth. 28, (1999), 857-871.
[K002] Koike, K.: On the inequality of Kshirsagar. To appear in
Commun. Statist.-Theory Meth. 31, (2002).
[KsOO] Kshirsagar, A. M.:An extension of the Chapman-Robbins
inequality, J. Indian Statist. Assoc., 38, (2000), 355-362.
[LC98] Lehmann, E. L. and Casella, G.: Theory of Point Estimation(2nd ed.). Springer, New York, 1998.
$Sankhy\overline{a},$$\mathit{8}$

$J$

$B,$

137
[P92] Prakasa Rao, B. L. S.: Cramer-Rao type integral inequalities
Ser. $A,$ $54$ ,for estimators of multidimensional parameter.
(1992), 53-73.
[R45] Rao, C. R.: Information and accuracy attainable in estimationof statistical parameters. Bull. Calcutta Math. Soc., 37, (1945), 81$Sankhy\overline{a}$91.

[SA96] Sato, M. and Akahira, M.: An information inequality for theBayes risk. Ann. Statist., 24, (1996), 2288-2295.
[SG76] Sen, P. K. and Ghosh, B. K.: Comparison of some bounds inestimation theory. Ann. Statist., 4, (1976), 755-765.
[S49] Seth, G. R.: On the variance of estimates. Ann. Math. Statist.,
20, (1949), 1-27.
[V92] Vincze, I.: On nonparametric Cram\’er-Rao inequalities. Order).
Statistics and Nonparametrics (P. K. Sen and I. A. Salaman,
Elsevier, North Holland, 1992, 439-454.
[W47] Wolfowitz, J.: The efficiency of sequential estimates andWald’s equation for sequential process. Ann. Math. Statist., 18,(1947), 215-230.
$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}.$