数理解析研究所講究録 1257 巻 2002 年 244-259244
四元法 (Quaternion) と明治前期の日本
日本の「高等数学」教育史の 断面-–

立教大学名誉教授

公田–藏(Osamu Kota)

Professor Emeritus, Rlckyo University
1. はじめに東京大学の前身校の一つである東京開成学校の明治 7 年 (1874) の工学科の学科目の中に 「高等数学」 があり, そこでは微分積分とともに四元法 (Quaternion) の初歩が教授されていた. ここでは明治前期の日本における四元法に関連した数学の教育につ て考察する.
$\mathrm{A}\mathrm{a}$2. 東京開成学校と 『四術算』「東京開成学校」 は東京大学の前身校の一つで, 明治 6 年に 「第一大学区第一番中学」の校名を改めたものであり, 専門の学を教授することを目的としたものであった 1. しかし, 明治 6 年にはまだ専門学の授業はほとんど行われなかった. 専門学の授業が行われるようになるのは, 実質的には明治 7 年 (1874) からである 2.
「東京開或学校第二年報 明治七年」 には, この年法学化学工学本科およひ予科の課程を定めたとある. 予科課程三年, 本科課程三年であり, 各学年ごとに学科目と簡単な内容が記されている. 予科の数学の内容は, 算術の復習, 代数, 幾何, 三角法, 代数幾何
(アナリチカル, ヂヲメトリー) である. 本科課程の工学科の 「第一年 T 級」 の中に[四術算及微分積分 (クアトルニ
高等数学 (ハヰヱル, マセマチツクス)
ャンス, ヱンド, デフヱレンシャル, ヱンド, ヱンテグラル, カルキュラス)とあり(原文は縦書きで, 括弧内は原文では振り仮名) , その内容については別項に

四数法
第一 法 $J$ 因 起 所 $J$ 理 7 論 及其 $J$ 用 7 弁ス
第二 通常幾何 } 此法 $J$ 同異 7 論ス
第三 加法乗法 $J$ 凡例 7 説ク$\backslash \nearrow\backslash$$\mathrm{K}\mathrm{s}$$\overline{7^{-}}$$\backslash$

問題凡三十五微分積分
第一 微分 \near ow 原因及 其式
第二 積分一般 $J$ 式 7 終ル$\mathrm{k}$$J$

凡例 7 説ク

明治 5 年 8 月の『学制』公布のとき以来で, それ以前は『南という名称になったことは, 「学制」 による 「大学」 としての実校」, 『大学南校」 であった J 第一番中学」
1 「第一大学区第一番中学」 という名称は,力が備わっていないと考えられたためではないかと思われる. 東京開成学校が東京医学校と合併して東京大学が創設されるのは明治 10 年 4 月である.
2

r 東京開成学校第二年報」 には,「明治七年大—学校 $J$ 体裁ヲー変 x」 と記されている.

245と記されている. 明治初期には Quaternion の訳語は一定せず, 「東京開成学校年報」 では課目の名称としては「四術算」 が用いられてぃるが, 内容につぃて説明したこの箇所だけ
は「四数法」 となっている. 東京数学会社の訳語会が数学の分科としての Quaternion の訳語を 「四元法」 と決定するのは, 明治 16 年のことであるである. なお, 「東京開成学校
第二年報」 には授業の担当者は記されてぃないが, この年度の高等数学はスミス (Robert
Henry Smith) が担当したと考える.
翌年の 「東京開成学校第三年報 明治八年」 には各学科の課目と, 課目にょっては教科書が記されているが, 工学本科の科目 「四術算」 には, ふりがなのような形で 「ケルランド及ティト両氏」 と, 「微分」 には 「チャルチ氏」 と注記されてぃる。 前者はPhilip Kelland and Peter Guthrie Tait, Introduction to Quaternions, 1873である. この本の内容につぃては後に述べるが, 明治 8 年は 1875 年であるから, 当時の最新の書物を教科書として講義が行われてぃたのである 3. 後者はAlbert Ensign Church, Elements of the Differential and Integral Calculusである. Rosenstein [13] によれば, Church は Westpoint の米国陸軍士官学校 (UnitedStates Military Academy) 4 出身で同校の教授であった人で, この本は初版 1842 年で,1872 年まで版を重ねたものであるという 5.
「東京開成学校第三年報」 の「諸教授申報抄訳」 には次のような記述がある.
昨年ヨリ本年— 超跨スル前学歳 $J$ 第二学期中工学
本科中級生 (七月以前下級生)
学業進歩スル実— 驚クベキ者アリ先キニ該
生徒初 工学専門 — 入ルヤ其予科 — 在 ) 本科— 緊要ナル学科豫修 $J$ 充分ナラ
ザルト其学術 7 実践スルニ慣習セザルトニ因 ) 頗 困難スト錐トモ之 7 教導
スルニ従 漸次機械 $J$ 要理 7 熟知 高等数学 7 教ユルモ亦意外 学才 7 顕シ
以 異常 $J$ 進歩 7 表
下級生 (七月以前予科第一第二級) \nearrow ‘九月本科
入 巳来該生徒—
重学及図画推算学等教則— 載スル者 精密 之 7 授ケ

機械工学教授スミス氏日$\text{ク}$$J$$\overline{7^{-}}$$|$$\mathrm{I}$$J\mathrm{s}$$\mathrm{E}$$J$$\backslash /\backslash$$\overline{7^{-}}$$J\mathrm{s}$$\text{ス}\cdots$$\ldots$$-\vee$$\mathrm{I}\backslash$

リ然レトモ其進歩 J‘未夕迅速ナル能ハス. ..
土木工学教授ワスソン氏日ク. . . 又同 [註 : 工学本科を指す] 下級生— 測量
及高等数学即\neq 代数幾卵及微分積分 7 教授 而シテ余 \near ow 微分積分 7 教ユルヤ
合衆国ウェストポイント陸軍兵学校数学教授 教法— 倣ヘリ$\text{ス}$$J$$\ldots$

これから, この年度の微分積分はワスソン (ワッソン, James R. Wasson) が担当した
ことがわかる. Wasson はアメリヵの Westpoint 米国陸軍士官学校の出身で, 明治 5 年(1872) 来日, 開拓使仮学校教師, 開拓使測量長をっとめ, 明治 8 年 (1875)
月東京開

10

sKeUand-Tait の本の序文 CKeUmd ょる) には, 1873 年 10 月と記されてぃる. Smith が着任したのは明治 7 年 (1884) 9 月である.
4 フランスのEcole polytechnique に範をとって 1802 年に設立された学校で, アメリヵにおける最初の$\mathfrak{l}_{}^{}$

工学の専門教育機関である.
5 この本は明治

16 年 (1883) に岡本則録にょり邦訳され, 文部省から出版された. 当時としては程度が多少高く, 微分方程式, 漸伸線, 曲率論などを含んでぃるという ([11], p. 125). 小倉金之助は, この本は Lagrange の解析函数論\sigma ) 影響を受けたものであると述べてぃる ([12], p. 335). なお,[11], [12] (pp.
205-206) とも原書の刊行年を 1874 年としてぃる. 明治 8 年に東京開成学校において, この本を教科書として,どれだけの内容が講義されたかにつぃてはゎからないが, 初等的な部分だけではないかと考える.
6 代数幾何とは解析幾何のことである.

246
成学校の土木工学教師となり, 明治 10 年 1 月まで在任した ([17], pp. 71–73). 申報
抄訳には記されていないが, この年度の 「四術算」 は, その内容から, 重学に関連してSmith が担当したと考える.
「東京開成学校第四年報 明治九年」 によれば, 明治 9 年 7 月に, 明治 7 年制定の諸学科課程が改正されたが, 「年報」所載の改正された学科課程では, 工学本科下級の 「高等数学』 は課目名が記されているだけで内容は記されていない. この年度の 「諸教授申報
抄訳」 中の Wasson の申報には, 工学本科下級生に対して 「代数幾何, 微分, 積分及陸地
測量学 7 卒$J\mathrm{s}$」 とある.

Smith の申報には担当した個別の課目と内容に関する記載はな

したがって, 明治 9 年に 「四術算」 が教えられたかどうかについては 「年報」 からはわからない. Smith はこれ以降の年度についても 「重学」 を教えており, 「重学」 の中い.

でベクトルなど「四術算」 関連の内容が教授されたと考えるが, 「年報」 には 「重学」 の内容や「四術算」 についての記述はない. しかし, 上に述べたように, 明治 7 年およひ 8
年には 「四術算」 が教えられていたのである.
小松醇郎は [8] で「工学科のみが数学を高等数学・四元法・微分積分まで教えることになっており, しかもそれは本科一年間のみであって, これは机上案のみであろう。或いは
この一覧の執筆者の誤りであると思われる」 と述べているが ([8], p. 273) , これは「東京開成学校年報」 ではなく, 明治 8 年およひ 9 年の 「東京開成学校一覧」 によったためであると思われる 7.

3.

ton と Tait$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{m}.4$–

四元数の創始者と四元法の唱道者

Hamilton (Sir Wiffiam Rowan Hamilton, 1805 –1865) が複素数の幾何学的表示にヒントを得て, その拡張として 3 次元の空間に対して同様なこ とはできないかと考えはじめたのは 1830 年で, 四元数のアイディアを得たのは 1843 年である. Hamilton は 1843 年以
来四元数に関する論文を次々と発表し, 1853 年には著書 “Lectures on Quaternions” を出版するが, この本は大冊である上に難解であった. 64 ページにわたる序文 (Preface) には,
Hamilton が四元数のアイディアを得るに至るまでの歴史と, その背後にある彼の思想と哲学が述べられているが, これは一般の読者にとっては難しくて退屈であったと思われる 8.
Hamilton は, 四元数のアイディアを得る以前から, 代数学を 「純粋時間 (pure time) 」$\circ$の科学として位置づけて 9 研究しており, 二つの実数の順序対としての複素数の定義や四元数の背後には, このような Hamilton の思想がある. ついで Hamilton は, 哲学的な部

分を除き, 幾何学などへの応用を重視した形で, 四元数に関する第二の著書 “Elementsof Quaternions” を執筆するが, 大体完成した段階で Hamilton は 1865 年に亡くなり, これが出版されたのは逝去の翌年の 1 部 6 年であった 10.
Hamilton は 1 部 5 年に亡くなったが, Crowe [4] によれば, Hamilton の生前には Quaternion はまだ数学の一分野として確立されたものにはならなかった. Peter Gathrie Tait
7 [8] が執筆された頃は, 「東京開成学校年報」 を資料として利用することは困難であった.
8 この Preface は [5] に収録されている.
9 これは Kant の思想の影響である.
$10$

当初の計両では物理学への応用についても記される予定であったというが, これは著者の逝去によっての uElements’ は第 2 版が 2 巻本として $1899-1W1$ に出版された.

果たされなかった. なお,$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{n}4\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}$247(1831-1901) のような積極的な「四元法主義者」 もあったが, 他方, William Thomson(Lord Kelvin, 1824–1907) のような四元数の価値を認めず, 四元数の嫌いな学者も多かったのである.

しかし,1865 年には 「四元法」 を数学の一分野として位置づけるための基礎固めは大体できていたのである.

Peter Gathrie Tait は 1831 年スコットランドの Edinburgh の近くで生まれた. 1847 年
Edinburgh 大学に入学するが, 1 年で Cambridge に移り, 1852 年 Cambridge 大学を卒業.
1853 年, 出版されたばかりの Hamilton の Lectures on Quaternions を読む. 1854 年北アイルランドの Belfast の Queen’s College の数学教授となる. 1858 年から Hamilton と文通し, 熱烈な「四元法主義者」 となる. 1860 年 Edinburgh 大学の自然哲学の教授となる.
Edinburgh では, Tait は「自然哲学」の教授であったということもあり, また, 数学教授の Philip Kelland (1810–1879) がその講義の中で四元数を扱ったこともあって, 四元法を講義しなかったという (Crowe [4], pp. 120–121. Tait [15] の序文にもこれを意味するような文言がある).

Tait が Edinburgh に戻って間もない頃, William Thomson と共著の数理物理学の本が企画されるが, 実現したのは力学の部分だけであった. これがWilliam Thomson and P. G. Tait, Treatise of Natural Philosophy, 1867
である 11. これは当時と称され, よく読まれた本であったが, 難しい本であったという 12. 執筆に当たり, Thomson と Tait は, 数学的取り扱いに四元数を用いるかどうかで意見が対立した. Thomson が四元数の導入に強く反対したため,には四元数は用いられていない. Kelvin は 1901 年, Tait の没後 George Chrystal へ宛てた書簡の中で, 「われわれ (Kelvin と Tait) は 38 年間, 四元数について戦争をしてきた」 と記しているという ([4], p. 119).
$\mathrm{T}+\mathrm{T}’$$\mathrm{T}+\mathrm{T}’$Tait はゴルフが好きで, ゴルフボールの運動に関する研究がある. また, 1898 年にはJosephus problem (継子立て) を一般化し, 人数が 人で $m$ 人ごとに取り除く場合の法則を与えたという ([1], p. 459).
-$n$Hamilton の “Lectures on Quaternions” は分量も多く難解であったので, Tait はもっと平易で例の多い四元数の本を書くことを企て, 1859 年に執筆に着手するが, 当時 Hamilton
も四元数に関する著作を執筆中であり, Hamilton からの強い要請で, Tait は自分の著作の出版を Hamilton の著書の出版 (Elements of Quaternions, 1866) 後まで延期したのである. これが Tait の “An Elementary Treatise of Quaternions” (1867) である.
Tait の beatise は, 四元数そのものの解説とともに, 幾何学およひ物理学への応用, 特に物理学への応用に重点をおいて書かれており, 総ページ数の約 1/3 は物理への応用が記されている. Hamilton の著書よりはページ数も少なく読みやすいため好評で, 1873 年には加筆した第 2 版が出版され, さらに, 大幅に増補した第 3 版が 1890 年に出版された
11 後に,

第 2 版が 2 巻本として 1878–1883 に出版される.

12 この本に対する評価はさまざまである.

はきわめて示唆に富む本であっ
Klein は [ において,
Klein 自身, たいへんな苦労もあったが, 大いに楽しんで各章を熟読したと述べている. 物理学者 Segre, Fermi にすすめられて読んでみたが, 難しいばかりで得るところはあまり多くなかったと述べている([14]). Fe 一も Segre もノーベル物理学賞受賞者である.

て,$|\mathrm{h}$$\eta$$\mathrm{T}+\mathrm{T}’$248のである 13.

lt の Treatise の第 2 版は次のような 11 章から成り, 本文 2% ページである.
CHAPTER IVectors and Their Composition
Products and Quotients of Vectors
CHAPTER IIInterpretations and Transformations of Quaternion Expressions
CHAPTER III
Differentiation of Quaternions
CHAPTER IV
The Solution of Equations of the First Degree
CHAPTER
Geometry of the Straight Line and Plane
CHAPTER VI
CHAPTER VII The Sphere and Cyclic Cone$\mathrm{V}$Surfaces of the Second Order
Geometry of Curves and Surfaces
Kinematics

CHAPTER VII
CHAPTER IXCHAPTERCHAPTER XI$\mathrm{X}$Physical Applications

第 3 版は内容が大幅に増え, 章も一章増えて, 本文 421 ページになっている 14. Hamiltonの Elements や Tait の Treatise によって, 四元法は幾何学およひ物理学, 特に物理学に応用される数学として認識されるようになり, 物理学者がベクトルや四元法に関心をもつようになったのである. こうして四元法は応用数学の一分野として物理学者の間に次第に知られるようになったのであるが, 他方, Hamilton の四元数の背後にある, Hamiltonの時間と空間に対する哲学・思想は見えなくなっていったのである 15.
Tait の beatise の第 1 章では, ベクトルの和, 差, 実数倍と, 幾何学への応用が述べられている. また, 一変数ベクトル値函数の微分も扱われている. 四元数はベクトルの「比」 と関連させて第 2 章で幾何学的に導入される. それは次の通りである.
空間の二つの (零ベクトルでない) ベクトルをが同じ向きまたは反対向きの時には, $\beta=a\alpha$$\alpha,$$\alpha,$トル$\beta$$\beta,$$\alpha$の比$\underline{\beta}=a$であり,$\alpha$を$\beta$に変えるにはとする.

$\beta$($\alpha$$a$は実数) と表されるから, ベクを$a$倍すればよい.

に変えるには, まず を, そと同じ向きにと同じ大きさにし, ついでこれを回転によっての大きさを何倍かしてを表す線分のすればよい. ベクトルの大きさを揃えるのには一つの数 (すなわち,
長さの比) が関係し, 空間における回転には三つの数が関係する. したがって, ベクトル$\alpha,$$\beta$が同じ$\cap \mathrm{p}\alpha \text{き}$でも反対向きでもないときには,$\alpha$を$\beta$$\alpha$$\beta$$\beta$$\beta,$$\beta,$$\alpha$の比係する.

$\underline{\beta}=q$$\text{そ_{}arrow}^{\alpha_{}}$, すなわちでこの$q$$\beta=q\alpha$をみたす multiplier (作用素)を Quatemion (四元数) という.

$\alpha$を$\beta$$q$$\alpha$は, 四つの数が関に変える四元数$q$につ第 2 版と第 3 版が東京大学総合図書館に所蔵されているが, これは明治年間から東京大学に所蔵されていた図書ではなく, 関東大震災で東京帝国大学図書館本館焼失の後, 震災復興のため米国から寄贈された図書である.
14 第 3 版では第 6 章として Sketch of the Amlyticalof Quatenions が加わり, 以下章の番号が一つずつずれる. 最後の物理学への応用の章は, 内容が大幅に増補されている.
15 しかし, 数学としての Quaternion を普及させるためには, 「哲学」や「思想」 を正面切って強く出さなの Ausdehnungslehre の 1&A 年版と 1862 年版といほうがよかったといえるであろう. これはについてと同様である.
$13\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}$の Treatise は,$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{y}$$\mathrm{G}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

249
stretching factor (引き伸ばし作用素) を の tensor といい $Tq$ で表し, turning
factor (回転作用素) を の versor といって $Uq$ で表す.
いて,

$q$

$q$

$q=TqUq=UqTq$が成り立つ.
次に, 互いに直交する三つの単位ベクトル $I,$ $J,$ $K$ (直交系 $I,J,K$ は正の向きであるとする) について, $J$ を $K$ に変える四元数 (回転作用素, versor) を $i,$ $K$ を月こ変えるものを $j,$
を $J$ (こ変えるものを, すなわち$I$$k$$iJ=K$ ,$jK=I$ ,$kI=J$$ij=k$ ,$jk=i$ ,として, これらの間に成り立っ関係$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$ ,$ki=j$と $I,$
等を導き,と $J,$と $K$ は同一視してよいことが述べられる. そして, 単位
ベクトルは, これを作用素 (原文では factor) と見るときは, そのベクトルに垂直な平面上での正の向きの直角の回転作用素 (versor) であることが述べられる.
$i$

$k$

$j$

ついで四元数は数とベクトルの和として表されることが, 次のようにして示される.
Tait の本では, 始点 $O$ , 終点 の有向線分 $OA$ で表されるベクトルを上線を引いてと表しているが, 式が煩雑になるので, ここでは上線を省略する.
$A$$q= \frac{OB}{OA}$$\overline{OA}$

を四元数とする. 点 $B$ から直線 $OA$ に垂線を引き,$oA$との交点を $C$ とす

れば, ベクトル $OB=OC+CB$ である. そして, $OC=xOA$ ( は数) と表される.
また, $CB$ は, $OA$ に垂直であるから, $CB=\gamma OA$ ,は $OA$ と $CB$ とに垂直なベク
トル, と表される. よって,$x$$\gamma$$\frac{OB}{OA}=\frac{xOA+\gamma OA}{OA}=x+\gamma$

ゆえに, 四元数は数とベクトルの和として表される. Hamilton は, この数とベクトルをそれぞれこの四元数の scalar, vector と呼ひ, この四元数の名称の前にそれぞれ記号 $S,$ $V$をつけて表したのである. すなわち,$q=Sq+Vq$である.

任意のベクトルは, 互いに直交する単位ベクトル $i,j,$ により,表されるから, 四元数 は $q=w+xi+yj+zk$ と表される.
$k$$xi+yj+zk$ の形に$q$

このように,

四元数はベクトルにベクトルを対応させる作用素として幾何学的に定義されている. 複素数の一般化として四元数を理解するのには適した方法であるといえるが, 作用素や同一視という概念がはいってくるので 16, Hamilton の本よりは読みやすい
16 英国の Cmbridge 学派では, 「記号代数」 に関連して作用素という考えは普及してぃたという.

250とはいっても,「数学者向け」であって, やさしい本ではなかった. これよりもつと平易な入門書ということで著されたのが Kelland-Tait の “Introduction to Quaternions” (1873)

であって, これが東京開或学校で教科書として用いられた本である. この本は次のような 10 章から成り, 本文 227 ページである 17.

CHAPTER IIntroduction
Vector Addition and Subtraction
CHAPTER II
Vedor Multiplication and Division
CHAPTER III
The Straight Line and Plane
CIfAPTER IV
The Circle and Sphere
CHAPTERThe EUipse
CHAPTER VI
CHAPTER VII The Parabola and Hyperbola
CHAPTER VIII Central Surfaces of the Second Order
Formulae and Their Application
CHAPTER
Vector Equation of the First Degree
CHAPTER$\mathrm{V}$Appendix
第 10 章では力学的な内容 (応力変形) を扱っているが, それ以外の章では幾何学的な内容が主題である. Appendix は各章末におかれた問題の略解である. 第 10 章は Tait によるものであるが, それ以外の章は Kelland が執筆した. 第 2 章ではベクトルの和, 差,実数倍と, 応用として幾何の問題が扱われている. 四元数は第 3 章でベクトルの積, 商と関連して幾何学的に導入されているが, 導入の方法は Tait の Reatise とは異なっている.

KeUand-Tait では, 四元数を次のように導入する.

$j,$はとし, 直交系空間において, 互いに直交する三つの単位ベクトルを $i,$ $j,$
正の向きであるとする. まず $i,$ $j,$ の積を考える. 積 $ij$ というとき, 左に記したベク}ま, ベクトル $j$ を,
トルは, 右に記したベクトルに対する作用素と考える. そして,
$k$

$i,$

$k$

$k$

$\dot{\iota}j$

こ垂直な平面上で正の向きに直角だけ回転して得られるベクトルを表すとする. すなを軸とする正の向きの直角の回転を行うことをを左から掛けるということは,わち,意味すると定めるのである. したがって, $ij=k$ である. このように積を定義すれば,$ik=-j,$ $ji=-k$ 等の関係が成り立つ. ベクトルの積について結合法則, 分配法則が成を実数とするとき, (ai)(bj) $=abij$ が成り立つとする. そうす
り立つとし, また,れば $ij=k$ から $i(ij)=ik=-j$ , 他方 $i(ij)=(ii)j=i^{2}j$ であるから $i^{2}j=-j$ , よって $i^{2}=-1$ である. 同様にして $j^{2}=k^{2}=-1$ , また $ijk=-1$ である.
$i$

$i$

$a,$

単位ベクトル$i$$b$としては, 空間の任意の単位ベクトルをとることができるから, 空問-Tait の本の初版は, 現在東京大学工学部と教養学部図書館に所蔵されている. この稿をまとめるに当たり閲覧したのは教養学部図書館所蔵のものであるが, それには明治期の 「東京大学」 の蔵書印
(東京帝国大学となる以前のもの) があり, また, 「第一高等学校」 のラベルが貼られている. この本には,第 6 章までの若干のページに鉛筆で下線力弓 1 かれていたり, 公式や計算などの書き込みがある. その内容から見て, おそらく学生によるものであろうと思われる. Jan. 12th. など, 月日を記した書き込みがもあることと, 書き込みのあるページが数ページ飛んでいるところがあることから, この本を教科書として使用していた際の書き込みであると考える. ただし, 年を記した書き込みがないので, 書き込みがいつ頃のものかはわからないが, 明治期のものであろう.
$17\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{U}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$251の任意の単位ベクトル
次に

まず
トルを

り,

$\alpha,$$\alpha,$$\alpha$に対して,を二つのベクトルとする (零ベクトルではないとする).

$\beta$が単位ベクトルの場合を考える.
を含む平面上で に垂直な単位ベクとし, 空間で単位ベクトル を,が正の向きの直交系をなすようにと
とする.
とすれば,
のなす角を
$\beta$$\alpha,$$\delta$$\gamma$が成り立つ.

$\alpha^{2}=-1$$\epsilon=-\delta$$\alpha,$$\beta$$\beta$$\delta$$\beta,$$\gamma,$$\theta$$\beta$$\alpha=\beta\cos\theta+\gamma\sin\theta$と表されるから,$\alpha\beta=(\beta\cos\theta+\gamma\sin\theta)\beta=\beta^{2}\cos\theta+\gamma\beta\sin\theta=-\cos\theta+\epsilon\sin\theta$

次に, 一般の場合は,$\alpha,$$\beta$を単位ベクトルの実数倍として表すことにより,$\alpha\beta=T\alpha T\beta(-\cos\theta+\epsilon\sin\theta)$

となる.
だ.

ここ (こ

$T\alpha$はベクトノレ$\alpha$の長さを表す. Hamilton は$T\alpha$を$\alpha$の tensorと呼ん

この式を書き直せば$\alpha\beta=-T\alpha T\beta\cos\theta+\epsilon T\alpha T\beta\sin\theta$となる. 右辺の第 1 項, 第 2 項をそれぞれ$\alpha\beta$の scalar pad,

vector pad といい,

$S\alpha\beta,$$T\alpha\beta$で表す. すなわち,$S\alpha\beta=-T\alpha T\beta\cos\theta$,$V\alpha\beta=\epsilon T\alpha T\beta\sin\theta$

を隣り合う二辺とする平行四辺形の面積である 18.
次に, ベクトルの商を考えよう.
を二つの (零ベクトルではない) ベクトルとす$T\alpha T\beta\sin\theta$は,$\alpha,$$\beta$$\alpha,$る. 商$\frac{\beta}{\alpha}$とは,$\alpha$$\beta$に左から作用させれば$\beta$が得られる作用素であるとする. すなわち.

$\frac{\beta}{\alpha}\alpha=\beta \text{とするまず}\alpha,\beta\mathrm{B}_{>\text{単}^{}\theta}$と角$\theta$

位ベクトルの場合を考える. 上で積を扱ったときのようにベクトルとをとれば,$\gamma,$$\epsilon$$(\cos\theta+\epsilon\sin\theta)\alpha=(\cos\theta+\epsilon\sin\theta)(\beta\cos\theta+\gamma\sin\theta)$

右辺を展開し,$\epsilon\beta=-\gamma,$$\epsilon\gamma=\beta$に注意して計算すれば$(\cos\theta+\epsilon\sin\theta)\alpha=\beta$が得られる. この商$\frac{\beta}{\alpha}$, すなわち,よって$\cos\theta+\epsilon\sin\theta$は,$\frac{\beta}{\alpha}=\cos\theta+\epsilon\sin\theta$$\epsilon$

を回転軸とする角$\theta$のversor(回はの外転作用素) である.
18 現代の用語を用いるならば,$\infty$—A$S\alpha\beta$はベクトル$\alpha,$$\beta$の内積の符号を変えたもので,$T\alpha\beta$$\alpha,$$\beta$252
一般の場合は,$\alpha,$$\beta$を単位ベクトルの実数倍として表すことにより,$\frac{\beta}{\alpha}=\frac{T\beta}{T\alpha}(\cos\theta+\epsilon\sin\theta)$が得られる.
よって, 二つのベクトルの積, 商は, tensor と versor の積として表される. tensor とversor の積を, Hamilton は Quaternion (四元数) と呼んだのである. 四元数は, スカ
ラーとベクトルの和として表される.
など, 四元数を用いた解析は, Tait の Theatise では
ベクトル値函数の微分法や作用素
扱われているが, KeUand-Tait では取り上げられていない. KeUand-Tait の本は, Tait のTreatise への入門の意味もある上に, 当時は「初等代数」の講義の一部として四元数が扱われていたという事情もあるようである. また,「代数』として扱うといっても 9 KeUmd-Tait
では四元数の $w+xi+yj+zk$ の形の表示による計算はあまり表面に出さず, 四元数のスカラー部分 $Sq$ , ベクトル部分 $Vq$ を用いた式で表している. なお, Kelland-Tait の本は, 第 2 版が 1882 年に出版され, 第 3 版が 1904 年に CargiU G 退 ton Knott の校訂に$\nabla$$q$

よって出版された.

4. 明治 1$\mathrm{O}$

年代の東京大学における四元法関連の軟育さきに述べたように, 東京開成学校では KeUand-Tait の本によって Quaternion が教えられていたが,「東京開成学校第二年報」 に記されている 「四数法」の内容から見ると, この本の最初のいくつかの章の内容だけが教授されたと考える. 工学科の高等数学の科目としての Quaternion ということからは, 力学と密接に関係する, ベクトル解析の前段階のような内容を連想してしまいがちであるが, 実際には, ベクトルを用いた幾何 (四元法の表記を用いての) が教えられていたのである. 力学のための準備としてはそれで間に合ったであろう. なお,「東京開成学校第三年報」の Wasson の申報に「高等数学即\neq 代

数幾何及微分積分 7 教授 」 とあるから, 明治 8 年度の工学本科の T 級生は, 「普通」 の解析幾何学とともに「四数法」でベクトルを用いた幾何学を学ぶことになり, 内容を理解しやすかったであろうとも思われるが, この生徒について, Smith は申報で 「教則—載ス
ル者 精密— 之 7 授ケリ然レトモ其進歩 未夕迅速ナル能ハス」 と述べているのである.
ところで, 明治初期の東京開成学校, 東京大学理学部工学科における機械工学の外国人教師は
明治 7 年– 11 年 (1874–1878) スミス (Robert Henry Smith)
1883) ユーウヰング (James Alfred Ewing)
明治 11 年– 16 年 (1878であり, Ewing の後任として理学部物理学教授として着任したのは
明治 16 年– 23 年 (1883–1890) ノット (Cargill Gilston Knott)$\text{ス}$$J\backslash$$J\backslash$–であるが, いずれも Edinburgh 大学出身で,Tait に学んでいる.

Robert Henry Smith は 1872 年 Edinburgh 大学卒業で, 明治 7 年 (1874) 東京開成学校教師, 明治 10 年 4 月東京大学理学部工学科教師, 明治 11 年 (1878) 英国へ帰国, 1916
年 (大正 5 年) 2 月逝去.

253
James Alfred Ewing は 1855 年スコットランドに生まれる. 1876 年 Edinburgh 大学卒
業, William Thomson のもとで大西洋海底電線敷設の仕事に従事する. 明治垣年 (1878)
Fleeming Jenkin の推薦にょり東京大学理学部工学科教師として来町明治 16 年 (1883.) 英国
国. その後 Cambridge 大学の 学及び応用数学教授, 英国海軍教育部長,
Edinburgh
大学学長及び副総長などを歴任. 1887 年 Royal Society 会員に選ばれる. 1935 年 (昭和10 年) 1 月逝去. 主な業績は磁気ヒステリシスの研究と, 日本および英国における工学教育の確立である.
$\text{へ^{}r}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$f\mathrm{J}$Cargill Gilston Knott は 1856 年スコットランドに生まれる. Edinburgh 大学を卒業後
Tait の助手をっとめる. 明治 16 年 (1883) 東京大学理学部物理学教師として来 , 電磁気学, 力学などを講義し, 物理学実験を指導する. 明治 20年に田中舘愛橘らと共同で日本全\pm の地磁気測定を行い, 翌年「日本全国地磁 ] 実測報告」 をまとめる. 明治 23 年 (1890)
帰国. 帰国後は Edinburgh 大学で応用数学を教授する. 1922 年 (大正11 年) 逝去.
東京開成学校・東京大学における Smith と Quaternion の教育につぃてはさきに述べた.
Ewing や Knott が四元法の教育を行ったかどぅかは 「東京大学年報」 だけからはゎからないが, 力学などに関連してベクトルは教えられたと考える. 数学につぃては, 菊池大麓 (1855–1917) が明治 10 年 (1877) に英国留学から帰国した後は, 外国人教師にょらない教育になるのである.
小倉金之助は 「日本における近代的数学の戒立過程」 において, 明治 13 年の東京大学
数学科の四年生の教科書・参考書の中に Kelland-Tait の本が示されてぃることを記してぃる ([12], p. 51). これは数学科の第四年の課目 「応用数学」の教科書・参考書として示されたものと思うが,「東京大学第一年報 起明治十三年九月止同十四年十二月」 (1880$\text{日}$$f$–1881) によれば,

この年度は理学部物理学数学星学科の第四年の学生はなく, 第四年の「応用数学」 は開講されてぃない. 第三年生に対しては菊池大麓が 「純正及応用数学』 として力学 (静力学, 分子動力学) を講義してぃる. 翌年度には菊池は物理学第四年生に対して「応用数学」 として力学の続き (分子動 f] 学, 固質体動 $f]$ 学, 流質体 f] 学) と音学を講義している. 力学に関連してベクトルや四元法の初歩が教授されたと考えるが, 申報には科目の内容の詳細につぃては記されてぃない. その次の年度の 「東京大学第三年
報起明治十五年九月止明治十六年二月」$-1883$ ) 所載の菊池大麓の申報には次$\mathrm{C}1882$のような記述がある.

物理学及星学第四年生ニハカ学 (分子動 $f]$ 学, 固体動 $f]$ 半, 水

$f\mathrm{J}$学) 及音学ヲ講授シタリ数学及物理学第三年生ニハカ学 (静$fJ$ 学分子動 $f]$ 半) 及高等積分学 7 講授シタリ又数学第三年生ニハ別— 高等解析幾何学及インヴヱリアン
ト等 数理 7 授 f 数学第二年生ニモ此科 \near ow 講義 \nearrow --部分 7 聴カシメタリ$J$

数学物理学及工学第二年生ニハ微分積分及立体解析幾何学 7 講授シタリ授業
ハ総講義 7 以テシ午後 —於

数学演習 $J$ 場 7 設 f 右各年級 $J$ 学生ヲシテ各其聴講シタル学科 $J$ 問題解式— 従事セシメタリ
此他尚 各年級学生及研究生 7 集メテ正科外 $J$ 課目 — 就 臨時講義 7 偽 又トムソン及ティト著物理学 $J$ 会読 7 為サシメタリ$7^{-}-$$\overline{\nu^{-}}$$\overline{\prime}\mathrm{r}_{\mathrm{a}}$$\text{キ}$$\backslash \grave{\nearrow}$

254
ここに記されている 「トムソン及テイト著物理学」 は, 当時英国でよく読まれた本であっ, すなわち “Theatise of Natural Philosophy” のことであると思われる力 , 同じた
著者による, よりやさしい “Elements of Natural Philosophy” (1879) と 1 う本力 あるの$*1$$\mathrm{T}+\mathrm{T}’$$\mathrm{i}$で,学生に会読をさせたとあることから, あるいはそちらかもしれな$\mathrm{A}\mathrm{a}$.

「東京大学第四年報 起明治十六年九月止明治十七年十二月」 $(1883-1884)$ の, 「物理学受持ノット申報」 の中には次のような記述がある.

第二年級力学 授業 毎週四時ナリ其方法 首— 講義 7 用 且マツクスウヰ
ル氏著物質及 運動編, クリフヲルド氏著力学, トムソン氏及テイト氏合著
博物編等 各部 7 選抜シテ之 7 自蹟セシメタリ其細課目 質点力学及剛体力
学初歩, 歪, 弾性, 液体等ニシテ且毎週四時間 内二時間 7 以 種々 $J$ 問題
ヲ設 p 実地—応用スヘキ各般 単位– 就*充分— 学生ヲシテ練習セシメタリ
第三年級物理学 授業 毎週一時間光学及電気学— 於 初歩 \near ow 実験 7 璋習セシメ工学及化学生ニハ別— 毎週二時間物理学実験 7 授ケタリ総 該級 \near ow 学業$\epsilon$$J$$\mathrm{I}\backslash$$\nearrow\backslash$$\mathrm{b}$$J\backslash$

$J$

$J$

$J$

$J$

$\overline{7^{-}}$$\vee$$\mathrm{K}\mathrm{s}$$\mathrm{I}\backslash$$\overline{7^{-}}$

ハ甚夕不満足ナリキ是 然シナカラ左\nearrow 理由 — 関セリ
第一, 各級学生 $J$ 学力不同ナルヨリ最良 $J$ 学生—対 棺々低度 $J$ 物理学 7 授ケサルヲ得\lambda 以 大— 全級 $J$ 進歩 7 妨クル是ナリ
第二, 授業時間 \near ow 不充分ナル僅— 毎週一時間— 過キサレ 完備 \near ow 修学— 必要
トスル教員学生交互 $J$ 達意理会— 不便 7 覚ユル 少ナカラサル是ナリ$\backslash \nearrow\backslash$$\overline{7^{-}}$$\mathrm{I}\backslash$$\urcorner$

第四年級物理学 $J$ 授業科目 \acute ‘電気学及磁気学ニシテ毎週四時間概*講義 7 以
トムソン氏著趙歴静力学
テ之 7 授 F 且マックスウヰル氏著電気磁気学若ク
ノ解 難*所 7 講明シタリ其他尚 \pi ‘-物理学生 j‘常--- 実験— 従事 学年 \near ow 終リニ至 ) 歪タルニッケル線— 関スル熱越歴論 7 卒業論文トシテ作レリ 7–此級$\nearrow\backslash$$\grave{\backslash }\nearrow$$\backslash \nearrow\backslash$

${ }$

$|$

ノ進歩

$\mathrm{I}\backslash$

満足ス^キモノトス

ここに記されている書物はJames Clerk Maxwell, Matter and Motion, 1876,
Wiffiam Kingdon Clifford, Elements of Dynamic: Part 1. Kinematic, 1878,
William Thomson and Peter Guthrie Tait, Treatise of Natural Philosophy,
版 1 部 7, 第 2 版 (2 巻本) 1878 一羽,James Clerk MaxweU, beatise on Electricity and Magnetism, 2vols., 1873,(第 2 版., 1 羽,
William Thomson, Electrostatics and Magnetism$\text{初}$$\mathfrak{o}$Maxwell の電磁気学の本は四元法の知識がなくても一応読めるようには書かれている 19 けれども, 四元法を知っているほうが内容を理解しやすい 20. また, 線積分, 面である.

”M 一の電磁気学の本では, ベクトルは第 1 巻の最初から用いているが, 成分による表示も併記している. 第 2 巻では, M 一の方程式を成分による表示で示した後に, 四元法による表示を記している.
なお, Maxwel が Tait のすすめによって四元法に関心を持ち, 四元法を学んだのは 1 郭 7 年以降であるとレ$\mathrm{a}$う ([4],$2\mathrm{O}\mathrm{J}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{h}$p. 132).
Willand Gibbs $(1839-1\infty 3)$ や Oliver Heaviside (1850–1925) は M 一の電磁気学の

255
積分,

Stokes の定理など数学そのものを述べた部分もある. Knott がこの本をどのように取り扱ったのかわかればと思っている. なお, この年度は, 数学科第四年級の 「高等数学」 において, 寺尾寿により, 日本で初めて複素函数論が講義された年でもあった.
その翌年度の 「理科大学申報 起明治十八年九月止明治十九年十二月」 $(1885-1886)$

所載のノットの申報は次の通りである.
明治十八年九月ヨリ同十九年七月 — 至ルー学年中— 余 fl 教授シタル学科井学
生 左 $J$ 如シ
第一年級 (諸学科) ニカ学物質及熱学 $J$ 大意及其原則ナリ授業 $J$ 方法 講義
トロ頭井筆記試験— 因ル
第二年級 (数学物理学星学土木学) ニカ学但高等微分積分学 7 用ヒサルモノ
ナリ其授業 $J$ 方法 前— 同シ
第四年級 (数学物理学) –電気学及磁石学ニシテ其実験上井— 数理上ヨ ) 講
授セリ授業 \near ow 方法 前— 同 維トモ之 7 補フニ移多 $J$ 有益ナル英書 7 自蹟研究為サシムルヲ以テセリ$\nearrow\backslash$$\nearrow\backslash$$\nearrow\backslash$$1$$J\backslash$$\text{ト}$

第四年級の項には 「移多 $J$ 有益ナル英書 7 自蹟研究為サシム」 とある. ここには書名は記されていないが, 前年度の申報に記されているような書物はその中に含まれていたと考えてよいであろう.

5. 菊池大$\blacksquare$と四元法一 「数理釈義」に関連して「明治二十一年分理科大学年報」 の中の菊池大麓の申報には, 「四元法」 に関する記述がある.

明治廿年九月ヨリ廿一年七月 — 至 授業 $J$ 申報 7 呈ス
本学年間下官受持 $J$ 学科 数学物理学第一年生 $J$ 純正数学数学星学第二年生
ノカ学数学第二年生 $J$ 純正数学星学物理学第三年生ノカ学 (以上講義) 及第二年第三年数学星学物理学々生\nearrow 数学演習ナリ
第一年生 $J$ 純正数学 第一期間毎週三時間主トシテ立体解析幾何学 7 講スル
筈ナリシガデテルミナント及四元法 \near ow 偽— 意外— 時 7 要シタルニ依 ) 終— 第一期 — 於テハ立体解析幾何学 $J$ 端緒 7 講スルニ止マリタレハ已ムヲ得\lambda 本年第二及第三学期— 於テモ毎週一時間
講義ヲナシ辛クシテ其大意ヲ終レリ本学年 $J$ 経験— 依レハ此講義 \near ow 時間 7 増加セサルヘカラス
力学 数学星学及物理学 $J$ 学生— 第二年第三年 $J$ 二学年続ケテ運動学乃 21 静力学ヨリ分子動力学固体動力学流体力学 7 教授スルノ定ナリ本年 J‘是迄通リニテ別— 変リタル ナシ然ルニ第一年— モノット教師ノカ学 $J$ 講義アルヲ以テ来学年ヨリハ少シク之レヲ略 稍*時間 7 減スルヲ得ヘシ謹$\check{7^{-}}$$J\mathrm{s}$$\nearrow\backslash$$\nearrow\backslash$$|$$–\beta \mathrm{f}\mathrm{l})\mathrm{I}$$\backslash \backslash y\backslash \nearrow$$\nearrow\backslash$$\urcorner$$\backslash \nearrow\backslash$

本を読んで四元法に対して関心を持つようになり, ついで, 力学や電磁気学などの物理学に対して有用なのは四元数ではなくてベクトルであることに気づき, 難しい四元法を用いないベクトル解析を考案したのである. Gibbs がベクトル解析のアイディアを得たのは遅くとも 1880 年である. Heaviside は 1890 年頃からの電磁気学に関する一連の論文でベクトル解析の有用性を唱道し, 四元法を排斥したのである.
21 これは「理科大学年報」 の筆写原本のままで, 「及」 と書くべきところの書き誤りである.

256
純正数学 第三学期ノー期ノミナルヲ以 充分ナル講義ヲナ
ス能ハサリキ故— 是又来学年ヨリ時間 7 増加セサル^カラス
右等 理由有ルヲ以 来学年— 於テハ学科課程— 少シク改正 7 加フルノ必要

数学第二年生$J$$J$$\overline{\mathcal{T}}$$\nearrow\backslash$$\overline{7}^{-}$

アリ 22

ナシ
学生 $J$ 学業進歩等— 付テハ特— 記スヘキ程
理科大学教授菊池大麓
明治廿一年七月$J\urcorner$

ここで菊池が「デテルミナント及四元法 偽— 意外— 時 7 要シタルニ依 ) 」 と記しているのは, 菊池がこれらについて詳細に講義したためではないかと考える. そしてそれは,菊池がその前年の明治 19 年 (1886) に, William Kingdon Clifford (1845–1879) の遺稿を最初は Rowe, ついで Karl Pearson が整理・編集 23 して出版した “Common Sense of
the Exact Sciences” (1885) を翻訳し, 「菊池大麓訳 数理釈義」 として出版したことと関係があると考える. 菊池は 「数理釈義」 の緒言において, この原書を明治 18 年に入手
し, 一読して, すべて数学に志す者はこれを読んで利益を得るところが実に大きいであろうと思い, 同年 9 月から東京教育博物館において東京及ひ近県の教員を対象としてこの本の大意を講義したが, 講義のみでは少数の人々に達するだけであるから, これを翻訳出版したのであると述べているのである.
「数理釈義」 は五編から成り, 各編の表題は次の通りである.
$1$

$J$

第一編 数
第二編 「スペース』 24
第三編 量 (目次には 「クオンチチー」 と振り仮名がついている)第四編 位置
第五編 運動
この本は一般の読者を対象とした数学の啓蒙書であるが, 取り扱われている内容は初等数学とは限らない 25. 例えば, 第五編では速度に関連して微分法の考え方も説明されている.
22 学科課程は明治 21 年 7 月に改正され, 例えば第一年には毎週 3 時間, 1 年間の 「解析幾何」 が置かれた. そして, 数学科の学科課程は従前のものより整備されたのである. 学科課程の改正には, この菊池の申報に記されているような実施上の不具合を直したこともあるが, 留学から帰国した藤沢利喜大郎の意見もふまえて, 数学科を整備充実することが主たるねらいであったと考える.
は Cambridge 大学出身で, 大学では菊池と同期であったという. 後に London の Universityの遺稿の整理・編集を完成しないままに逝去した. Crowe
College の数学教授となるが, 18 洞年,によれば, この本の後半の部分は Pearson の手になるという.
24 本文の第二編の最初に, 菊池は次のように注記している.「「スペース」 トハ宇宙間総テノ場所 $J$ 意義ニシテ其所— 実物 $J$ 有ルト無シトニ関ラス之 7 云フナリ故— 或 場所 } 訳スモ適当ナラサルニ非スト雌意味— 其文 $J$ 前後
未夕全 p 尽クサ ルカ如 故—今仮— 「スペース」 \near ow 語 7 存 置’ 英語 7 知ラサル読者– 由リテ宇宙或 場所等 $J$ 意 7 付シテ看レハ大体文意明瞭ナル可キナリ」. 当時は space という概念も目新しく, 「空間」 という訳語も確立していない時代であった.
25 「数理釈義」 について, [11] には, 「証明というより説明調であるが, 当時の日本に欠落していた全体的な数学像を伝える上で意味のある本であったといえよう」 と記されている $1[11]$ , p. 126). 小倉金之助
は印本における近代的数学の成立過程」 において, r なかなか面白い本です」 と述べている ([12], p. 63).
岡潔は「春宵十話」 (毎日新聞社, 1%3) において, 中学三年生のとき, わからないところがおもしろくて読みふけったことと, その中で一つだけ印象的であったのが 「クリフオードの定理」 で, これがいかにも神秘的に思えたことなどを記している (pp. 22–23, p. 226). この 「クリフオードの定理」 は「数理釈$23\mathrm{R})\mathrm{w}\mathrm{e}$$\mathrm{C}\mathbb{H}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}$$J\backslash$$\backslash$$\backslash ’\backslash$$\backslash \vee$$\nearrow\backslash$義」 第二編の後半の部分にある.

$\backslash$$\nearrow\backslash \mathrm{Z}$257ベクトル (「数理釈義」 では 「ヴエクトル」) , 複素数 (「数理釈義」 では 「複数」 と記され,「コムプレツクス, ナムバー」 と振り仮名が付けられてぃる 26), 四元法, 行列式 (「数理釈義」 では 「ルミナント」) は第四編の中で扱われてぃるが, そこには Hamilton$\overline{7}\underline{\backslash }\backslash$$\backslash$の四元法だけではな, Grassmann(Hermann G\"unther Grassmann,

1809 –1877) のAusdehnungslehre 27 の一端も記されてぃる. しかも, Hamilton よりは Grassmann に関連する事項のほうが詳しく述べられてぃるのである 28.
$\text{く}$「数理釈義」 では, 嫁ま平面上での反時計回りの直角の回転として導入され, 演算嫁こ
ついて $i^{2}=-1$ を導き, 複素数は幾何学的に導入される. つぃで, 原点をとし, ベクトル $AP,$ $AQ$ を考えると, $AQ$ と $AP$ の長さの比を, 角 $PAQ$ を
とすれば
$A$

$\emptyset$$\rho$$\rho(\cos\phi+\sqrt{-1}\sin\phi)AP=AQ$という関係があることを示す. そして, これはベクトル $AQ$ と $AP$ の比は何か, すなゎ
ち, ベクトル $AP$ を変じて $AQ$ とする演算は何かということを述べてぃるといい, 引き
伸ばしは 「スケーラー」 , 廻転は 「ヴエクトル」 で表されるから,
二「ヴエクトル」
ヨリ成$J\triangleright$$J$比ハーツノ 「スケーラー」 トーツノ 「ヴエクトル」 ノ ffi

演算ナリ是レソルウヰルリャム,

ワテルニオン)$\nearrow\backslash$ミルトン$29\nearrow \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$(ク

名ケタルモノニシテ氏 $J$ 有名ナル四元法 $J$ 基ナリ
故— 「クワテルニオン」 $J$ 本性ハー 「ヴエクトル」 歩 307 変シテ他 $J$ 「ヴエク$\text{ト}$トル」 歩トナス演算ナリ而シテ廻転$\text{ト}$

引延シニ由リテ之 7 偽$\text{ス}$\urcorner \nearrow ‘右---述タル所— 由リテ詳ナランという. ただしここの説明は, 3 次元の空間につぃてではなく 2 次元の空間 (複素数平面)についてなされているので, 「四元法」 の「四」 につぃては説明されてぃない.
ついで, ベクトルの積を考える. 「数理釈義」 では積を二通り定義する. 外積と内積であるが, 内積, 外積という用語は記されてぃない. なお, 「数理釈義」 では, 「定義」 といわず, 「契約」 あるいは 「見解を下す』 というような表現を用いてぃる.
1. まず, 二つのベクトル $AP,$ $AQ$ の積 AP.AQ を, $AP,$ $AQ$ を二辺とする平行四辺形の符号つき面積と定める. そうすれば,$AQ.AP=-AP.AQ$ ,$26\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$number を「複数」 と訳$\text{し}$AP.AP $=(AP)^{2}=0$

たのは, 東京数学会社の訳語会では, 素数 (prime number) に対して composite number を「複素数」 と訳してぃたことにょると考える. なお,

number は「複数」 である.

今日の中国でも, complex

は Ausdehnungslehre に関する書物を 2 回,

1U4 年と 1862 年に出版してぃる.
, Grassmaxm や Riemann の業績など, ヨーロッパ大陸の数学(特に幾何学) にも通じていた. Crowe は, Clifford は Hamilton よりは Grassmann のほうに関心があったと述ぺている.
29 「ソル」 はSir である. なお, 「数理釈義」 は縦書きで, 「ソル」 には左傍線, 「ウヰルリャム, ハミルト
$27\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{m}$$28\mathrm{C}\mathrm{h}.\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}$は英国流の数学だけではな$\text{く}$ン」 には右傍線がっけられてぃる.
$30$「歩」 は step の訳語である. Clifford は step を vector と同様の意味に用いてぃる.

これは Haniltonに基’3 くものであって, Hamilton は初期に (直線上の) ベクトルのことを step と呼んだのである.
Vectorという用語は Hamilton によるものであるが, これが初めて用いられたのは 1847 年である.

258が成り立つ. 相互にこのような関係をもつ量はドイツの数学者グラツスマンが初めて用いたところであって, 氏はこれらの量に一 temate unit (オルテルネート ユーニツ \mapstoという名称を与えたといい,「オルテルネート, ユーニット』 は尋常の代数学とは異なる
自己特有の代数学をもつといい, ついで何如ナル量ニテモ必^適応 決シテ変 可カラサ
疑ハサリシ算術 \near ow 規則 唯一小部分タル「スケー–適応 可キモノナル 7 発見スルナラン此等 \near ow 規則 自然ノラー」 量$-y$理— 非ラス唯我輩 $J$ 契約— 過キス漸々我輩 $J$ 用ヰル記号 $J$ 意義 7 拡ムルニ於
是— 於 読者 是マテ総ル自然 $J$ 理ナリトシテ$\overline{7^{-}}$$J\backslash$$\text{モ}$$\backslash \backslash \backslash$$\text{ス}$$\backslash \grave{/}$$\overline{7}^{-}$$J\backslash$$J\backslash$$\urcorner$$\text{ス}$テハ或 J‘之 7 擲棄テサル可カラスと述べる. そして, $A,$ $B$ を二つのオノレテノレネート, ユーニット, $a,$ をスケーラーとするとき, $aA+bB$ で表される量を 「オノレテノレネート, ナムバー」 といい, 二つのオノレテ
ノレミナント) という.
ノレネート, ナムバー $aA+bB,$ $a’A+b’B$ の積を determinant ($b$$7^{\vec{-}\backslash }$一般に, 若干個のオルテルネート, ユーニットがあるとき, これと同数個のオルテルネー
ルミナントというのであると述べる.
ト, ナムバーを作り, これらを相乗じたものを$\vec{\tau}$$\backslash$

そして, 幾何学的説明を交えながら,$(aA+bB)(a’A+b’B)=(ab’-a’b)A.B$
ルミナントについて同様の性質を導く. 三つのオルテルネート, ユーニットから成るを得ることは読者に委ねている. そして, 二つのベクトルの積は面積であり, また, この二つのベクトルを含む平面に直角であるベクトルであると述べる.
ついで, 次の節で, ベクトルの積を, これとは別に, 次のように定義するのである.
2. 二つのベクトル $AP,$ $AQ$ の積 AP.AQ を, 前とは別に, 次のように定める.
ベクトル $AP$ は, $AP$ に垂直な, ある図形の面積を表すとする. 点 $A$ がこの図形上を動くとき, ベクトル $AQ$ が動いて作られる, 最初の図形を底面とする斜墳の体積をベク$AQ$ の積 AP.AQ とする.
ト
, 角
いま, この斜墳の高さを $AH$ とし, ベクトル $AP,AQ$ の大きさをそれぞれとすれば,$PAQ$ の大きさを$7^{\vec{-}\backslash }$$J\triangleright AP,$$r,\rho$$\theta$AP.AQ $=r\rho\cos\theta$となる. よって, 二つのベクトルの積はスカラー量になる.

このようにして, 四元数を用いることなく , ベクトルの外積と内積が幾何学的に定義され, 行列式が導入されている.

「数理釈義』 は翻訳書ではあるが, 日本語の数学書で Hamilton や Grassmann のアイ
ディアの一端を記したものとして最初のものである 3 札 しかし, この本を読んだだけで
Hamilton や Grassmann のアイディアを正確に理解することは非常に困難である.
31 単行本以外のものまで含めれば,

本有尚の論文のほうが早い.

東京数学物理学会記事第 2 巻 (明治 18 年 (1 羽 v) に掲載された隈259
もし, 菊池が明治 20 年に 「数理釈義」 にしたがって (というより, それを敷術して)講義を行ったとすれば, Hamilton の四元法とともに Grassmann の Ausdehnungslehre の一端がわが国で 「純正数学」 として講義されたことになる. このときの講義内容がどのようなものであったかを知りたいと思っている.

参考文献[1] Cajori, Florian, A History of Mathematics, 3rd ed., Chelsea, 1980.
[2] Mathematical Papers by William Kingdon Clifford, edited by Robert Tucker, 1862. Repint:
Chelsea, 1968.
[3] 菊池大麓訳 「数理釈義」, 博聞社, 1886. (Clifford, Wiffiun Kingdon, Common Sense 4theExact Sciences, 1885 の邦訳)

[4] Crowe, Michael J., A History of Vector Analysis, Dover Publ., 1985.

[5] The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton, Vol. $III$, Algebrvn, Cambridge,

1967.

[6] Kelland, Philip and Tait, Peter Guthrie, Introduction to Quaternions, Cambridge, 1873,(2nd ed. 1882, 3rd ed. 1904).

. Jahrhundert, Teil
[7] Klein, Felix, Vorlesungen iber die Entwicklung der Mathematik, Springer, 1926. (邦訳 : 彌永昌吉監訳 クライン:19 世紀の数学」, 共立出版, 1995)$i\sqrt \mathit{1}\mathit{9}$$\lceil$$\mathrm{I}$[8] 小松醇郎 「幕末・明治初期数学者群像」 , 下巻, 吉岡書店,

1弱L[9] 近藤基吉・井関清志 「近代数学 [上] 一現代数学の黍明期」, 日本評論社, 1982.

[10] Maxwell, James Clerk, Treatise on Electricity and Magnetism, 2vols., 1873,
1881, 3rd ed. 1891) Reprint of 3rd ed.: Dover, 1954.
[11]$\mathrm{r}\text{日}$本の数学 100 年史」, 上, 岩波書店,(2nd ed.

1983.

[12] 小倉金之助著作集第 2 巻「近代日本の数学」, 勤草書房, 1973.
[13] Rosenstein, George M., Jr., “The Best Method. American Calculus Textbooks of the Nine
teenth Century”, in A Century of Mathematics in $Ame\tau ica$ , Part $III$, Amer. Math. Soc.,

1989.

[14] エミリオ・セグレ著, 久保亮五・矢崎裕二訳 「古典物理学を創った人々 ガリレオからマク
スウエノレまで」, みすず書房, 1992. (Segre, Em 迅 Gino, Penonaggi scopede nella J 可 ica
classica–Dalla caduta $dei$ gravi alle onde electromagnetiche, 1983 (7) 邦訳)
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[15] Tait, Peter Guthrie, An Elementary Ikeatise of Quaternions, Cambridge, 1867 (2nd ed.
1873, 3rd ed. 1890).
[16] 「東京大学年報」 , 全 6 巻, 東京大学出版会, 1993–1994.
[17] 渡辺正雄 「増訂 お雇い米国人科学教師」, 北泉社, 1996.