平成２７年度
大学院理学研究科 博士前期課程 学力検査問題(基盤理学専攻・物理学コース)

専門科目 ( 2 ) (物理学)
試験時間 １２０分

注意事項

1. 監督者から解答を始めるように合図があるまで, この問題冊子を開かないこと。
2. 問題は全部で４ページある。
3. 問題 I, II の両方に解答すること。
4. 問題 I, II でそれぞれ別の解答用紙を使用すること。１枚の解答用紙に複数の問題を解答してはいけない。また，問題 I, II のそれぞれについて１枚以上の解答用紙を提出すること。
5. 全ての解答用紙の所定欄に, 問題番号と受験番号を必ず記入すること（氏名を記入してはいけない）。
6. 別途配布する草稿用紙は回収しない。

I
以下の問いに答えよ。必要であれば Gauss 積分に関する次の結果を使ってよい。
√∫ ∞π−αx2=(α > 0)dx e
α−∞

1. 1 次元調和振動子の Hamiltonian は，長さとエネルギーをスケールすれば1 d21+ x222 dx2Ĥ0 = −と表せる。

(1) Ĥ0 による基底状態の波動関数は φ0 (x) = C e−νx の形を持つ。定常状態の Schrödinger
方程式 Ĥ0 φ0 (x) = ε φ0 (x) より，パラメータ ν 及び基底状態のエネルギー ε を定めよ。
2(2) 規格化定数 C (ただし C > 0 とする) を定めよ。
(3) この結果を用いて，次の HamiltonianĤℓ = −

1 d21+ (x − ℓ)222 dx2による基底状態のエネルギーと，その規格化された波動関数 φℓ (x) を書き下せ。

1 d2+ U (x) において U (x) = U (−x) が成り立つならば，束2 dx2
縛状態のエネルギー固有関数 ψ(x) は ψ(x) = ψ(−x) または ψ(x) = −ψ(−x) のいずれかの性質を持つ。

2. 1 次元 Hamiltonian Ĥ = −任意の関数 f (x) に対し P̂ f (x) = f (−x) のように作用するエルミート演算子 P̂ を用いて，これを示せ。ただし，1 次元問題において束縛されたエネルギー固有状態には縮退がないことを，証明なしに使ってよい。

3. ポテンシャルの最小点が 2ℓ だけ離れた Hamiltonian (ただし ℓ > 0)

Ĥ = −

1 d2+ U (x) ;
2 dx2

 1

 (x + ℓ)2 (x < 0)
2U (x) = 1 (x − ℓ)2 (x ≥ 0)21

6U (x)−ℓO- x+ℓの基底状態について考察しよう。x ≷ 0 の領域それぞれで，Hamiltonian は 1. で定義した Ĥ±ℓ に一致しており，ℓ が十分大きい場合，1. で得た φ±ℓ (x) の重ね合わせにより，基底状態の波動関数がよく近似できるはずである。2. の議論を考慮に入れると，ψ1 (x) =φ+ℓ (x) + φ−ℓ (x), ψ2 (x) = φ+ℓ (x) − φ−ℓ (x) のいずれか一方が近似的な基底状態を与える。ただし，φ±ℓ (±ℓ) > 0 とする。ここでは，ℓ (> 0) の値に関わらず ψ1 (x) または ψ2 (x)により基底状態を近似しよう。なお，簡単のため次のように Dirac の表記法を用いる。
∫ ∞
∫ ∞[]
∗⟨g|f ⟩ =dx g (x) f (x) , ⟨g|Ĥ|f ⟩ =dx g ∗ (x) Ĥf (x)−∞−∞また，ψi (x) (i = 1, 2) は規格化されていないことに注意せよ。

(1) ∆ℓ = ⟨φ+ℓ |φ−ℓ ⟩ とする。∆ℓ を求めよ。
(2) ψi (x) (i = 1, 2) に対するエネルギー期待値は
Ei (ℓ) =⟨ψi |Ĥ|ψi ⟩⟨ψi |ψi ⟩であり，各 ℓ に対して E1 (ℓ) と E2 (ℓ) のうち低い方を近似的な基底状態エネルギーと()見なせる。tℓ = ⟨φ+ℓ |Ĥ|φ+ℓ ⟩ = ⟨φ−ℓ |Ĥ|φ−ℓ ⟩ , vℓ = ⟨φ+ℓ |Ĥ|φ−ℓ ⟩ として，E1 (ℓ),
E2 (ℓ) を ∆ℓ , tℓ , vℓ で表せ。

(3) Ĥ = Ĥ±ℓ + (Ĥ − Ĥ±ℓ ) (複号同順) に注意して，tℓ < ε となることを示せ。ここで，ε は 1. (1) で求めたエネルギーである。
(4) E1 (ℓ) − E2 (ℓ) < 0 を示せ。
(5) ℓ を変数として E1 (ℓ) の概形をグラフにし，実線で表せ。 lim E1 (ℓ) 及び lim E1 (ℓ)ℓ→0ℓ→∞の値を明示すること。さらに，Ĥ による真の (近似値でない) 基底状態エネルギーのℓ に対する変化も，その概形を同じグラフに破線で書き入れよ。

2

II
相互作用しない N (≫ 1) 個の S = 12 のスピンが一様な磁場 H 中に置かれている。このスピン系のエネルギー固有値は，スピン変数 σi = ±1 を用いて，E(σ1 , · · · , σN ) = −HN∑

µσii=1で与えられる。µ は正の定数である。温度 T の熱平衡状態を考える。

1. この系の分配関数∑Z(β, H, N ) ≡e−βE(σ1 ,··· ,σN )(σ1 ,··· ,σN )を求めよ。ここでは β =1（k は Boltzmann 定数）である。
kT

2. 自由エネルギー
G(T, H, N ) = −kT log Z(β, H, N )を求めよ。

3. エントロピー S(T, H, N ) を求めよ。また，準静的断熱過程で磁場を減少させたとき，温度が磁場とともにどのように変化するか，簡単に説明せよ。

4. 全磁化 M (σ1 , · · · , σN ) =N∑

µσi について，i=1

M (T, H, N ) ≡ ⟨M (σ1 , · · · , σN )⟩T = −∂G(T, H, N )∂Hとなることを示せ（⟨. . . ⟩T はカノニカル分布の期待値である）。また，温度を一定にしたとき，全磁化 M (T, H, N ) が磁場にどのように依存するか図示せよ。

5. 全磁化のゆらぎ√⟨⟩
σ{M } ≡{M (σ1 , · · · , σN ) − ⟨M (σ1 , · · · , σN )⟩T }2を求め，σ{M } ≪ N µ であることを示せ。

3T

以下では磁場が十分弱い場合を考える。

6. 自由エネルギーを H の 2 次までで展開すると{}G(T, H, N ) ≃ N g0 (T ) + g1 (T )H 2の形に書ける。g0 (T ) と g1 (T ) を求めよ。

7. 前問 6. で求めた G(T, H, N ) を H について Legendre 変換し，T , M , N を自然な変数とする自由エネルギー
F (T, M, N ) = max {G(T, H, N ) + M H}
Hを求めよ。max は H を変数として変化させたときの最大値である。
H

8. このスピン系では，磁場 H が 0 のときは全磁化 M (T, H, N ) は 0 である。H = 0 のときにも有限の全磁化を持ち得るように，7. で求めた自由エネルギーを以下のように拡張する。
{()() }
T − TC M 2 B M 4
F (T, M, N ) = N k −T log 2 ++2Nµ
4 Nµ
ここで，TC と B は正の定数である。M (T, H = 0, N ) を求め，温度とともにどのように変化するか図示せよ。

4