数理解析研究所講究録 1277 巻 2002 年 78-83

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Characterization of the interpolating sequenceson acertain plane domain
大同工業大学

成田淳一郎(Junichiro Narita)

Daido Institute of Technology

1. 序
複素平面

$\mathbb{C}$

デアル空間を$\{z_{j}\}$の開集合 $D$ に対し, $D$ 上の有界正則関数の全体を $H^{\infty}(D)$ , その極大イ$\mathcal{M}(D)$と表す。 また, $D$ 上の有界調和関数の全体をを $D$ 内の点列とする。 任意の有界数列$\{a_{j}\}$$h^{\infty}(D)$に対して(1)$(j=1,2, \cdots)$$f(z_{j})=a_{j}$をみたす関数 $f\in H^{\infty}(D)$ が存在するとき,$\{z_{j}\}$は補間点列 (または H\otimes (D)-補間点列)であると言う。 同様に (1) をみたす関数 $f\in h^{\infty}(D)$ が存在するとき,点列 (または$h^{\infty}(D)$と表す。

$\{z_{j}\}$は調和補間-補間点列) であると言う。

単位円板 $\Delta=\{|z|<1\}$ に対しては, Carleson [2] により$\Delta$

内の点列$\{z_{j}\}$が補間点列であるための必要十分条件が(2)$\inf_{k}$$\prod_{1,jj\overline{\overline{\neq}}k}^{\infty}|\frac{z_{k}-z_{j}}{1-\overline{z}_{k}z_{j}}|>0$であることが示されている。 さらに単位円板に対しては, Garnett [6] により補間点列であることと調和補間点列であることが同値であることが示されている。
$X\subset \mathcal{M}(D)$に対し,$I_{X}=$

hull(X)={{ $f\in H^{\infty}(D):\hat{f}=0$ on$x\in \mathcal{M}(D)$$X$},: $\hat{f}(x)=0$ for all $f\in I_{X}$ }

(3)

(4)

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$\hat{Z}$$D$

が有界開集合のとき, 座標関数 $Z(z)=z$ がは$\mathcal{M}(D)$から$\overline{D}$の上への連続写像になり,同一視することにより,なる$\mathcal{M}(D)$から$D\subset \mathcal{M}(D)$$H^{\infty}(D)$$\hat{Z}^{-1}(D)$に含まれ, その Gelfand 変換上単射である。とみなす。 $D$ が有界でないときも,むへの連続写像が存在し ([4, p.86]), 同様に$\overline{D}\subset$$\hat{Z}^{-1}(D)$す。 以下の定理で $D$ 内の点列の閉包は$\mathcal{M}(D)$を $D$ との代わりに$\hat{Z}$$D\subset \mathcal{M}(D)$とみなで考えている。

一般の Banach algebra に対して成り立つ定理として次が知られている。
定理 1([8, p.205]) $D$ 内の点列 $S=\{z_{j}\}$ が補間点列であるための必要十分条件は次の3 つの条件を満たすことである :(i)クト化と同相である。 (iii) hull(S)$S$$=\overline{S}$は離散集合である。 (ii)$\overline{S}$が $S$ の$\check{\mathrm{C}}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$コンパである。

[8] の証明を読むと定理 1 は次のように表すことも出来ることが分かる。
定理 1’ $D$ 内の点列 $S=\{z_{j}\}$ が補間点列であるための必要十分条件は次の 2 つの条件を満たすことである :(i)$\mathrm{h}\mathrm{u}11(S)=\overline{S}$$S_{1}\subset S,$$S_{2}\subset S,$$S_{1}\cap S_{2}=\emptyset$

なら$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}=\emptyset$である。 (ii)である。

特に単位円板 $\Delta=\{|z|<1\}$ に対しては, (ii) のみから補間点列が従うことが知られている。

定理 2([7, p.422])$\Delta$内の点列 $S=\{z_{j}\}$ が補間点列であるための必要十分条件は次の条件を満たすことである :$S_{1}\subset S,$$S_{2}\subset S,$$S_{1}\cap S_{2}=\emptyset$

なら$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}=\emptyset$である。

2. 一般の平面領域
ここでは, これらの単位円に対する結果を一般の平面領域において考察する。
$\mathbb{C}\backslash D$

像を

$\pi$

が 2 点以上からなるとき, $D$ の普遍被覆面は単位円板: $\Deltaarrow D$ とし,distance$\mathrm{A}=\lambda_{D}$$\Delta$

上の Poincare’distance を$\lambda_{\Delta}$と表す$\Delta$$\text{。}$となる。 その被覆写$D$に対する Poincar\’e&J,$\lambda(a, b)=\inf\{\lambda_{\Delta}(c, d) :\pi(c)=a, \pi(d)=b\}$(5)により定義される。 $\rho=(e^{\lambda}-1)/(e^{\lambda}+1)$ とおく。 これは $D=\Delta$ のときは pseudO-hyperbolic distance $\rho(a, b)=|(a-b)/(1-a\overline{b})|$ と一致している o
平面領域 $D$ と $D$ 内の点列 $S=\{z_{j}\}$ に対し, 以下の性質を考える。 $D$ が単位円板の時には, $D$ 内の点列に対しこれらの条件は同値であった。

80(ip)$S$は補間点列である。

(hi)

$S$

は調和補間点列である。

(s)$S_{1}\subset S,$$S_{2}\subset S,$

なら$S_{1}\cap S_{2}=\emptyset$$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}=\emptyset$である。

$( \delta)\delta=\delta(\{z_{j}\};D)=\inf_{k}\prod_{j-1,j\overline{\neq}k}^{\infty}\rho(z_{j}, z_{k})>0$

補間点列なら調和補間点列であるが, 一般の平面領域では, 両者が一致しない例も知られている。 ([6], [1], [10])。 即ち,より$(\mathrm{i}\mathrm{p})\Rightarrow(\mathrm{s})$であるが, (hi) 弁 (ip) である。 また定理 1’である。 他にわかつていることとして, [9, Theorem 2] でされているが, 同様の証明で$(\delta)\#(\mathrm{h}\mathrm{i})$$(\mathrm{i}\mathrm{p})\Rightarrow(\mathrm{h}\mathrm{i})$に近づけることにより,$\pi^{-1}(z_{j})$$\rho(z_{j}, z_{k})$は単位円周の 1 点に収束する。

$(\mathrm{h}\mathrm{i})\Rightarrow(\mathrm{s})$$\{z_{j}\}$$(\mathrm{h}\mathrm{i})\Rightarrow(\mathrm{i}\mathrm{p})$例にもなっている。 ここでは, ($\zeta\in \mathbb{C}$$h^{\infty}(D)$$(\delta)$に対する除去可能な特異を示す例のいくつかは, そのままを示すを示す例としても) やや一般化した形で述べ$(\mathrm{h}\mathrm{i})\Rightarrow(\mathrm{i}\mathrm{p})$上のファイバーを$(\mathrm{h}\mathrm{i})\Rightarrow(\mathrm{s})$と表す。 $D$ が有界の時は$\mathcal{M}_{\zeta}(D)$である。 また一般に $E\subset \mathcal{M}(D)$ に対し, $E$ 上 $\hat{f}=1,$$\mathcal{M}(D)\cap\hat{Z}^{-1}(\zeta)$$|\hat{f}|<1$を十分早く原点は h\otimes (D)-補間点列になり得ない。

を示す例 :る。 $\mathcal{M}(D)$ の$z_{j}$を原点に$\{z_{j}\}$はいくらでも 1 に近い値をとるように出来るので,をみたすように取ることも出来る。 一方, 1 点 {0} は点であるから,が示であることもわかる。

$(\mathrm{h}\mathrm{i})\Rightarrow(\delta)$を示す例 : $D=\Delta\backslash 0=\{0<|z|<1\}$ とする。 $D$ 内の点列収束するようにとると, 逆像$(\mathrm{i}\mathrm{p})\Rightarrow(\delta)$$\mathcal{M}_{\zeta}(D)=$$\mathcal{M}(D)\backslash E$

上をみたす $f\in H^{\infty}(D)$ が存在するとき, $E$ は peak set であると言われる。

定理 3 $D$ をであるが,$\mathbb{C}$の領域とする。 $D$ の境界点

$M_{\zeta}(D)$$\zeta$で,$\zeta$

は Dirichlet 問題に関する正則境界点が peak set でない点が存在するとする。 このとき, $D$ 内の$\zeta$に収束する点列 $S=\{z_{j}\}$ で, 調和補間点列であるが条件 (s) をみたさないものが存在する。
[証明]$\mathcal{M}_{\zeta}(D)$が peak set でないとき, $D$ 内の$\zeta$の distinguished homomorphism と呼ばれるある元るように取ることが出来る [5, Section$($あることから,$\{z_{j}\}$$5])_{\text{。}}$$\zeta$に収束する点列$\psi$$\{z_{j}\}$を,に $(H^{\infty}(D))^{*}$ のノル$\mathcal{M}_{\zeta}(D)$$\Delta$内で収束すが Dirichlet 問題に関する正則境界点での部分列 $S=\{z_{j_{k}}\}$ を h\infty (D)-補間点列であるように選ぶことが出来る ([10, 定理 31] の証明参照)

合になるように取ると,$\overline{S}_{1},$$\overline{S}_{2}$$\text{。}$$S_{1}\subset S,$

が共に$\psi$$S_{2}\subset S,$$S_{1}\cap S_{2}$を含むので$=\emptyset$を$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}\neq\emptyset$$S_{1},$$S_{2}$

が共に無限集となり,$S$は性質 (s)をみたさない。 [証明終]は成一般の平面領域に関してこれ以外の包含関係はわかっていない。特に,り立つか ? また, この答えが no であるとして,は成り立っか ? を今後考えたい。
$(\mathrm{s})\Rightarrow(\mathrm{i}\mathrm{p})$$(\mathrm{s})\Rightarrow(\mathrm{h}\mathrm{i})$813. ある種の平面領域
ここでは, 次の条件をみたす平面領域を考察する。

(G) $D$ は有界領域で, $D$ の補集合$\inf${$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(E)$: $E$ は$\mathbb{C}\backslash D$$\mathbb{C}\backslash D$の各成分の直径の下限が正, 即ちの成分} $>0$ をみたす。

(G) をみたす平面領域 $D$ 内の点列に対して,で示されている。 一般に点列に対して, (ip), (hi),$(\mathrm{i}\mathrm{p})\Rightarrow(\mathrm{h}\mathrm{i})\Rightarrow(\rho)$$(\rho)$$(\mathrm{i}\mathrm{p})\Leftrightarrow(\rho)$であることは, [9, Theorem 2]であったから, (G) をみたす平面領域 $D$ 内のの 3 条件は同値となる。 さらに次のことも成り立つ。

「 $S_{1}\subset S,$ $S_{2}\subset S$ ,定理 4 平面領域 $D$ が (G) をみたすとき, $D$ 内の点列 $S$ に対して,$S_{1}\cap S_{2}=\emptyset$

なら$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}=\emptyset$」 が成り立てば, $S$ は補間点列である。

証明には次の 2 つの局所化定理を用いる。
定理 5([3]) $D,$ $U$ を有界開集合とする。

$\Phi$列であれば,$\zeta\in \mathbb{C}$$S$$\mathcal{M}(D\cap U)arrow \mathcal{M}(D)$, をは $\mathcal{M}(D\cap U)\cap\hat{Z}^{-1}(U)$ を $\mathcal{M}(D)\cap\hat{Z}^{-1}(U)$ の上に同相に写す。

定理 6([9, Theorem 1]) $D$ を複素平面る。 任意の:$(\varphi\in \mathcal{M}(D\cap U), f\in H^{\infty}(D))$$\Phi(\varphi)(f)=\varphi(f|_{D\cap U})$と定義すると,$\Phi$に対して$\zeta$$\mathbb{C}$の有界開集合, $S=\{z_{j}\}$ を $D$ 内 0 点列とすのある近傍 $U$ が存在して $S\cap U$ が H\otimes (D\cap U)-補間点は H\otimes (D)-補間点列である。

[定理 4 の証明] まず $D$ の各成分が単連結領域の場合を示す。定理の仮定, 結論共に等角写像により不変であるから,$D= \cup\{z :n=1\infty \frac{1}{n+1}<{\rm Re} z<\frac{1}{n} 0<{\rm Im} z<1\}$としてよい。
$U_{1}=\{Z$: $0<{\rm Re} z<1,0$ く$\mathrm{m}$$Z<1/5\}$ ,$V_{1}=\{z :0<{\rm Re} z<1,2/5<{\rm Im} z<1\}$ ,$U_{2}=\{z :0<{\rm Re} z<1,4/5<{\rm Im} z<1\}$ ,$V_{2}=\{z :0<{\rm Re} z<1,0<{\rm Im} z<3/5\}$

とおく。 $S\cap V_{1}$ が $H^{\infty}(D\cup U_{1})-$ 補間点列であることを示す。

交わらない部分列とする。 仮定より$\mathcal{M}(D)$内では$S_{1},$$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}=\emptyset$$S_{2}$

を $S\cap V_{1}$ の互いにであるが, このことと

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定理 5 により$\mathcal{M}$( $D$ 火$U_{1}$) 内でも$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}=\emptyset$

単連結領域であるから, 定理 2 より$H^{\infty}(D\cap V_{1})-$$S\cap V_{1}$であることがわかる。 ここで $D\cup U_{1}$ はは H $\infty(D\cup U_{l}\succ$ 補間点列であり, よってまた補間点列でもある。同様に $S\cap V_{2}$ が H\otimes (D\cap V2)-補間点列であることも示されるので, 定理 6 により$S$

は H $\infty(D)-$ 補間点列である。

次に $D$ が (G) をみたす一般の平面領域の時を示す。

分}$=\epsilon$とし, 任意の連結である。
$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}=\emptyset$

内に点$S_{1},$$\zeta\in \mathbb{C}$: $E$ はである。定理 5 の写像をが存在すれば,り, 矛盾が生じるので,$\mathbb{C}\backslash D$の成に対し, $U=\{|z-\zeta|<\epsilon/2\}$ とおくと, $D\cap U$ の各成分は単を $S\cap U$ の互いに交わらない部分列とする。仮定より$S_{2}$$p\in\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}$$\inf\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(E)$$\mathcal{M}(D\cap U)$$\Phi$$\Phi$:$\mathcal{M}(D\cap U)arrow \mathcal{M}(D)$の連続性より

内でも$\mathcal{M}(D)$$\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}=\emptyset$$\mathcal{M}(D)$内でとおく。 もし, $\mathcal{M}(D\cap U)$

内でも$\Phi(p)\in\overline{S}_{1}\cap\overline{S}_{2}$となである。 よって先の $D$ の各成分が単連結のときの結論より $S\cap U$ は $H^{\infty}(D\cap U)-$ 補間点列であり, 定理 6 にょり $S$ は$H^{\infty}(D)-$補間点列である。 [証明終]

これにより, 条件 (G) をみたす平面領域 $D$ 内の点列に対して, (ip), (hi),$(\rho),$$(\mathrm{s})$の4 条件は全て同値となる。 なお条件 (G) は, 複素平面の球面距離を考えることにょり次の条件に置き換えてもよい。 この場合も 4 条件が全て同値になることがほぼ同様に示される。
$(\mathrm{G}’)D$

はむの領域で,$D$の補集合$\mathbb{C}\backslash D$の各成分の球面距離にょる直径の下限が正である。

が成り立つ領域の例としては, この他にも Behrens [1] において, ある条件を満たす Zalcman 領域の中で,が成り立っための必要十分条件が示されてぃ$(\mathrm{i}\mathrm{p})\Leftrightarrow(\mathrm{h}\mathrm{i})$$(\mathrm{i}\mathrm{p})\Leftrightarrow(\mathrm{h}\mathrm{i})$る。 より一般に (ip), (hi),$(\rho),$$(\mathrm{s})$の 4 条件 (の適当な 2 っ) が同値になるための平面領域の条件を今後考えたい。

参考文献[1] M. Behrens, Interpolahon and Gleason pads in$L$-domains, Trans. Amer. Math.

Soc. 286 (1984), 203-225.
[2] L. Carleson, An interpolation problem for bounded analytic functions, Amer. J.

Math. 80 (1958), 921-930.
[3] T. Gamelin, Localization of the corona problem, Pacific J. Math. 34 (1970), 73-81.

83[4] –, Lectures on $H$ “(D), Univ. Nacional de la Plata, Argentine, 1972.
[5] T. Gamelin and J. Garnett, Distinguished homomorphisms and fiber algebras,

Amer. J. Math. 92 (1970), 455-474.
[6] J. Garnett, Interpolahng sesquences for bounded harmonic functions, Indiana Univ.

Math. J. 21 (1971), 187-192.
[7] –, Bounded analytic functions, Academic Press, New York, 1981.

[8] K. Hoffman, Banach spaces of analytic functions, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,$\mathrm{N}.\mathrm{J}$. 1962.

[9] J. Narita, Interpolating sesquences on plane domains, Kodai Math. J. 13 (1990),

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[10] –, Interpolating sequenced on plane domains with hyperbolically rare bound$ary$, 数理解析研究所講究録 1137 (2000), 71-78.