No. 1

電磁波の概要マクスウェルの方程式（数式）の観点で説明する資料

平野 拓一
August 2, 2019

No. 2

基礎～ マクスウェルの方程式 ～微分形

BEt  H  i  Dt

積分形


E
dl


B

dS

 Ct S H  dl  i  dS   D  dSSCt S

電磁気学の知識からマクスウェルの方程式を導く
ファラデーの法則
V ddt

No. 3

ファラデー：近接作用、界の概念を提唱 E  dl  C
B  dSt SS

ストークスの定理を使って (  E)  dS  SE  B  dS
t SdSVストークスの定理

CdldS

BtS

この式には不備がある(次のスライド)
アンペアの法則
IH  dl   i  dS
H2rH  ICS2r
ストークスの定理を使ってCdl   A  dS   A  dl
SIrCH (  H)  dS   i  dSSSH  i

電磁界は空間全体に分布する

T. HiranoNo. 4

マクスウェルの方程式
dS

アンペアの法則は無限長電流から導いた不完全なものであった。これが有限長の電流でも成り立つように、電荷保存則（電流連続の式）を組み込んで完成させた。具体的には変位電流をアンペアの法則
James Clerk Maxwellに組んで修正する。電流連続の式は修正されたアンペアの法則のdivを取ると導かれる。

電束密度 誘電率S

微分形ファラデーの法則

アンペアの法則

I

磁束密度磁界
 B  dS  0

Q    i    t t Q積分形


B
Edl

B  dS
C  E   tt SD  H  i  H  dl  i  dS   D  dSStt SC
変位電流  D   変位電流 D  dS dV SV  B  0dSS

構成（媒質）方程式 

透磁率

電流連続の式:I D  E
B  HCdl

電界S

解いてみるとこの方程式でマクロな電磁気、電磁波現象の全てが記述可能（媒質条件、励振条件、境界条件は与える）① 波になるi  H  E  H  E 「電磁波」と名付けた②速度は光速と一致
1c
 2.998 108 [m / sec]
光は電磁波の一部と考えられる

James Clerk Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field,”
Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol.155, pp.459-512, 1865.
T. HiranoNo. 5マクスウェルの論文

𝜕𝑫𝜕𝑡Part III (p.480)において“The variations of the electricaldisplacement must be added to thecurrents p, q, r to get the total motion ofelectricity…”とあっさりと記述され、導入されている。

James Clerk Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field,”
Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol.155, pp.459-512, 1865.

T. Hiranoヘルツの実験

No. 6

マクスウェルが予言した電磁波を実験的に発生させて確認したのはドイツ人のハインリッヒ・ヘルツ(HeinrichRudolph Hertz, ドイツ, 1857-1894)であり、1888年に確認された。ヘルツは実験家であるだけでなく、理論家でもあり、1889年に現在「微小ダイポール(infinitesimaldipole)」として知られる波源から放射される電磁界をマクスウェルの方程式から導出し、平面波以外の波源があるときのマクスウェルの方程式の界を計算して、図のような電気力線を描いている。それ故、微小ダイポールはヘルツダイポール(Hertzian dipole)と呼ばれることもある。

T. Hiranoヘルツの本No. 7

H. Hertz: Electric waves, pp.144-145, Dover pub inc., 1893.

ヘルツは計算機がない時代に上のような電気力線を描いている！
T. Hirano微小ダイポール（ヘルツ・ダイポール）

No. 8放射される電気力線

http://www.takuichi.net/hobby/edu/em/smalldipole/smalldipole-j.html

T. HiranoNo. 9線路とアンテナの違い（参考）

任意の電流分布は微小電流素（微小ダイポール）の和と考えると理解しやすい。

EJ

アンテナ

線路

放射は打消し合わない

放射は打消しあう
T. Hiranoダイポールアンテナの動作原理

No. 10
逆方向の電流で、放射は相殺される
開放(a) 先端開放のケーブル



ケーブルの電流は遠くから見ると逆向きで打ち消す

放射しない

この電流の、放射は相殺されない/2(b) 先端を折り曲げたケーブル

電流はどちらも上向き放射する

時間変化する電流があれば、放射する。（物理現象）
電線から電波が放射しにくいのは打ち消すから。
電流が波長に比して短いと放射効率は悪い。
T. Hiranoダイポールアンテナからの放射電気力線

http://www.takuichi.net/hobby/edu/em/halfdip/halfdip-j.html
電気力線の描き方

No. 11「アンテナ・無線ハンドブック,p.37, オーム社, 2006年」の図面もこの手法で描かれたものである。

http://www.takuichi.net/hobby/edu/em/smalldipole/field_lines.pdf
平野拓一 他, “半波長ダイポールアンテナのモーメント法解析結果を用いた電気力線の描き方,”
電子情報通信学会ソサイエティ大会講演論文集, CS-1-1, 2013年9月19日.

T. Hirano計算例（ダイポールアンテナ）

No. 12

入力インピーダンス（MoMと起電力法の比較）
MoM
EMF

900800R [Ohm]700800半波長ダイポール600

MoM

Z in  93  j 43400

EMF

Zin  73  j 432006005000X

400-200300

X [Ohm]

1000-400200

R

100-6000-800
00.5

11.5

Dipole length [Wavelength]2

Xと終端開放線路の関係

Zin   jZ0 cot(l )T. HiranoNo. 13

電磁波発見の歴史 (1/4)

年代

電気

紀元前7世紀紀元前6世紀紀元前3世紀分野
磁気ターレス（ギリシア）が琥珀をこすると物を引き付ける（静電気）ことを発見
中国で指南車（羅針盤）の発明
ユークリッド（ギリシア）が光の直進性、反射の法則を発300B.C.
13世紀
1269A.D.
1600
1620
1660
1666
1675
1678

光天然磁石の発見

ヨーロッパに磁気羅針盤（コンパス）が伝わる
ペレグリヌス（フランス）による磁石の極の記述
ギルバート（イギリス）が磁石の性質を研究。地球が磁石であることを発見

反射

スネル（オランダ）がスネルの法則（光の屈折の法則）を発フェルマー（フランス）がフェルマーの原理（光の反射・屈折の法則）を発見
ニュートン（イギリス）による光の分散（プリズム）の発見
レーマー（デンマーク）が木星の衛星の観測による光速測定をする
ホイヘンス（オランダ）が光の波動説を提唱

透過（屈折）

http://www.takuichi.net/hobby/edu/em/history/index.html
T. Hirano電磁波発見の歴史 (2/4)
年代
1745
1746
1752
1780
1785
1799

電気
クライスト（ドイツ）がライデン瓶を発明
ミュセンブルク（オランダ）ライデン瓶を発明
フランクリン（アメリカ）が雷の正体は電気であることを発見
ガルバーニ（イタリア）が動物電気（死んだカエルの足に電気を流すと動く）を発見
クーロン（フランス）がクーロンの F1  F2 Q1
法則を発見
ボルタ（イタリア）がボルタ電池を発明

分野
磁気

光

F2 

Q1Q24r 2Q2F2  F1rr

マリュス（フランス）が反射による偏光（偏光角＝ブリュースター角と関連）現象を発見
ブリュースター（イギリス）が偏光角の法則を発見
フレネル（フランス）が光の回折、偏光の波動論を研究

1808
1815
1816-1819
1820
1820
1820
1823

No. 14

エルステッド（デンマーク）が電流の磁気作用を発見
アンペール（フランス）がアンペールの法則を発見
ビオ（フランス）とサバール（フランス）がビオ・サバールの法則（微小電流素が作る磁界）を発見
フレネル（フランス）がフレネ
ルの公式（反射・透過係数の振幅を与える公式）を発見

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T. Hirano電磁波発見の歴史 (3/4)
年代
1826
1831

電気分野
磁気

光

オーム（ドイツ）がオームの法則を発見
ファラデー（イギリス）がファラデーの法則（電磁誘導の法則）を発見、コンデンサの研究を行う

1832

ヘンリー（アメリカ）が自己誘導を発見（インダクタンスの導入）

1834

レンツ（ロシア）がレンツの法則を発見
ダニエル（イギリス）がダニエル電池を発明
ファラデー（イギリス）が電気の近接作用論を提唱
ファラデー（イギリス）がファラデー効果（磁気旋光効果）、反磁性を発見
フィゾー（フランス）が回転歯車による光速の測定
フーコー（フランス）が渦電流を発見
プランテ（フランス）が蓄電池を発明
キルヒホッフ（ドイツ）がキルヒ
ホッフの法則を発見
マクスウェル（イギリス）がマクスウェルの方程式を発見（提唱）、電磁波の存在を予言、光の電磁波説を提唱
ヘルムホルツ（ドイツ）が電磁波の境界条件を導出
レイリー（イギリス）が分子振動子の観点から太陽光の散乱を研究（レイリー散乱）

1836
1837
1845
1849
1855
1859
1860
1864
1870
1871

No. 15

電波の予言（理論）

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T. HiranoNo. 16

電磁波発見の歴史 (4/4)
年代
1875

電気カー（イギリス)がカー効果（電気光学効果）を発見

分野
磁気1887

1887
1888
1895
1895
1897
1897
1901
1905
1905

（カー効果は光にも関係）エジソンが白熱電球の特許を申請18791882

光エジソン（アメリカ）がニューヨークに直流発電所を作る
マイケルソン（アメリカ）とモーリー（アメリカ）がマイケルソン・モーリーの実験を行う（光波の媒質となるエーテルは存在しないことを実験で確認）→光は波動ではない！？この時点では説明不能
ヘルツ（ドイツ）が光電効果を発見→この時点では説明不能
ヘルツ（ドイツ）がマクスウェルが予言した電磁波の存在を実験で確認
ローレンツ（オランダ）が運動物体の電磁工学理論（ローレンツ力）を研究
レントゲン（ドイツ）がX線を発見
トムソン（イギリス）が電子の存在を実験で確認
マルコーニ（イタリア）が無線電信（イギリス-フランス間）に成功
マルコーニ（イタリア）が無線電信（イギリス-アメリカ間）に成功
アインシュタイン（ドイツ）が特殊相対性理論を発見（提唱）

電波の確認（実験）

無線通信の実用化

アインシュタイン（ドイツ）が光量子仮説を発見（提唱）→電磁波の波動と粒子の二重性。マイケルソン・モーリーの実験、光電効果が説明可能

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T. Hirano