流体力学（格子法）
宇宙気体力学への応用
松田卓也
神戸大学・理学部・地球惑星科学科
理論天文学懇談会シンポジウム
於 国立天文台
2002年12月24-26日

目次• 宇宙気体力学• 数値計算法の歴史と現状• 近接連星系内のガスの流れ– 降着円盤– 恒星気象学

宇宙気体力学• 宇宙はほとんどガス(気体)– 中性ガス– プラズマ・・・磁場• 時間依存性– 静的• 恒星の内部構造論– 定常• 降着円盤、星風

– 動的
• 爆発

近接連星系内のガス流• 降着円盤– 解析的モデル• アルファ円盤モデル• ADAF– 数値シミュレーション• 星風降着– 解析的モデル• Bondi-Hoyle-Lyttletonの理論– 数値シミュレーション

対象天体• 降着円盤– 激変星
Cataclysmic variables
– 新星
Novae
– 小質量X線星 Low mass X-ray binaries• 星風降着– 共生星
Symbiotic stars– 大質量X線星 High mass X-ray binaries

激変星の想像図

数値計算法の歴史と現状

基礎方程式系• Boltzmann方程式– 気体運動論– Chapman-Enskog展開• Navier-Stokes方程式– 粘性あり• Euler方程式– 粘性なし– 衝撃波、接触不連続面あり

Euler方程式

Euler方程式の性質• 非粘性の圧縮性流体• 双曲型方程式– 楕円型方程式• Poisson方程式– 放物型方程式• 熱伝導方程式• 時間依存• 非線形• 衝撃波、接触不連続面などの不連続保存系か非保存系か• 保存系– Rankine-Hugoniot条件をみたす– 衝撃波の位置が正確• 非保存系– 保存量の保存性を調べる

陽的解法と陰的解法• 陽的解法– 右辺は既知量のみ– アルゴリズムが簡単– Courant条件で時間刻みが限定される• 陰的解法– 右辺にも未知量– 行列の反転– Courant条件なし• しかし時間刻みの制限はある数値計算法の歴史1• Von Neumann & Richtmayer(1950)– 人工粘性• Lax-Friedrichs法(1954)– 非常になめらか• Lax-Wendroff法(1964)– 2次精度– Taylor展開に基づく方法• MacCormack法(1969)• Beam-Warming法(80年代)

数値計算法の歴史2• 風上差分法• Courant-Isaacson-Rees法(1952)– 1次精度• Godunovの定理(1959)– 次の2つしか満足しない
• 線形性
• 単調性
• 1次精度以上• Euler方程式は非線形数値計算法の歴史3• 天文業界はガラパゴス島であった– 進化に取り残されて、独自に発展– 今はグローバルスタンダードの波が• 天文業界3大手法– Total Variation Diminishing(TVD)
– PPM
– SPH

私のアルゴリズム遍歴• 1次元ラグランジュ法+von Neuman人工粘性• Lax-Wendroff法• オイラー+ラグランジュ混合法• Fluid in Cell法(1次精度)• MacCormack法• Beam-Warming法(隠的法)• Osher法(風上差分、1次、2次､隠的、陽的)• Van Leer Flux-Splitting(MHD)• SFS法(嶋、城之内)風上差分法• セル境界でRiemann問題を解く• Riemann問題の解法– 逐次近似で厳密に• Godunov法,PLM(2次近似), PPM(3次近似)– 近似解法• Osher & Solomon(1982)• Harten, Lax, van Leer(1983)• Roe(1986)

線形Riemann問題
少し高圧u-c

特性線t

少し低圧

uu+cx

風上差分法• セル境界でRiemann問題を解く• Riemann問題の解法– 逐次近似で厳密に• Godunov法,PLM(2次近似), PPM(3次近似)– 近似解法• Osher & Solomon(1982)• Harten, Lax, van Leer(1983)• Roe(1986)

Shock tube 問題

Shock tube 問題の解

1次精度と2次精度

Beam-Warming

MacCormack

Van Leer と Roe近接連星系内のガスの流れ

Steeghsによる図数値実験の歴史• Prendergast (1960)• Prendergast & Taam (1974)– ビーム法• Sorensen, Matsuda & Sakurai (1974, 1975)– Fluid in Cell Method (FLIC法)• Lin & Pringle (1976)– 粘着粒子法Sorensen, Matsuda, Sakuraiの結果
Astrophys. & Space Science, (1975)
Fluid in Cell法による２次元計算

降着円盤上の渦状衝撃波• 数値実験で発見さる(Sorensen et al.から11年後)– Sawada, Matsuda & Hachisu, M.N. 219 (1986a)– Sawada, Matsuda & Hachisu, M.N. 221 (1986b)– Sawada, Matsuda, Inoue & Hachisu. M.N. 224 (1987)

我々の最近の２次元数値実験
密度 (対数尺度)

γ=1.01

1.1

1.2

Nested Gridによる計算

法による流れ場の可視化
LIC

観測による渦状衝撃波の発見
1997年

Steeghs,Harlaftis, Matsuda,Horn渦状衝撃波の発見• Steeghs, Harlaftis, & Horne, M.N.290(1997)– Sawada et al.から11年後– ペガサス座IP星(IP Peg.)– 激変星の高光度期– ドプラートモグラフィー法

トモグラフィー• X線トモグラフィー– X線を人体に照射し– その吸収量から– 人体の断面図を決定する(位置空間)• ドプラートモグラフィー– 水素、ヘリウムなどの輝線から– 降着円盤の– 速度空間の分布を決定する

ドプラー・トモグラフィー

ドプラー図=ホドグラフ=速度空間
HαHeI

位置空間(左)と速度空間(右)モデルの構築
スペクトルの時間変化

ドプラー図
速度空間

物理空間

計算と観測の比較
観測から導かれたドプラーマップ

計算から求めたドプラーマップ

降着円盤の数値シミュレーション
結論• 近接連星系の降着円盤の数値実験を行い渦状衝撃波を得た• 渦状衝撃波は、観測で発見された• 理論と観測の比較を行い、比較的良い一致を得た

今後の問題点• 輻射輸送を取り入れる• 2次元計算– 東北大グループ• 3次元計算– FLD近似・・・長江– 長特性線法・・・東北大グループ– まだまだ問題

伴星の表面流と恒星気象学• 回転球面上の流体力学– 気象学– 惑星気象学– 恒星気象学• L1流(質量損失)により誘起された流れ• Lubow & Shu(1975)のAstrostrophic windの予言• 数値シミュレーション

伴星の表面流

L1-eddyLog(ρ)=-2Log(ρ)=-2.5

北極から見た流線

H-eddyL1-eddyLog(ρ)=-2Log(ρ)=-2.5

背面から見た流線

L2-eddyLog(ρ)=-2Log(ρ)=-2.5公転面上の密度コンター

今後の問題• ロッシュ・トモグラフィーによる観測可能性• 天衡風による伴星表面の加熱• 光度曲線による証明• 主星、降着円盤からの照射による影響

降着円盤からの照射による流れ

照射の影響• Tassoul & Tassoul– 摂動近似– 解析的取り扱い• 数値シミュレーション– 大質量X線星における伴星の変形– Hot Jupiterの問題

コンピュータは望遠鏡だ• 光学望遠鏡• 電波望遠鏡• Ｘ線望遠鏡• コンピュータ
• 数値天文台の提案