⾼次対称性と固有状態熱化仮説
福島 理
京都⼤学 素粒⼦論研究室
Aug. 28, 2023
熱場の量⼦論とその応⽤,
⾼エネルギー加速器研究機構
Based on arXiv: 2305.04984[O.F., Ryusuke Hamazaki]Introduction• 熱化 (熱平衡への遷移):
⾮典型的な状態から! " ! ≠ tr( " )!"#$%&' )1/20

典型的な状態への遷移! "|!⟩ = tr( " )!"#$%&' )(量⼦/古典)多体系の普遍的な性質
以下の⾮⾃明な点:• どのような系のどのような初期状態が平衡状態へと緩和するか,• 熱化するとして、どのような統計アンサンブルが実現されるか.

熱化の過程は⼀般にこれらの詳細のデータに⾮常に依存する。

Introduction

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このトークでのmotivation
場の量⼦論(QFT)の⾮⾃明な熱化過程•

⾼次対称性が熱化にどのような影響を与えるか?
実時間発展への帰結•⾮局所保存量(*)がある時、どのような観測量が⾮⾃明な熱平衡状態を区別するか?
局所保存量がある時、⾮⾃明な熱平衡アンサンブルが実現する
ことが知られている。

Introduction

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孤⽴量⼦系における熱化:
散逸のない量⼦系はユニタリ時間発展をする.
⟹ ⾮熱的な状態は時間発展しても⾮熱的なまま?
?

§ ⼀つの理解の仕⽅: 演算⼦の期待値のレベルで考える

lim !(/) "|!(/)⟩ = tr( " )!"#$%&' )

(→*

時間平均

熱平衡における統計平均

⼗分条件:(強い) 固有状態熱化仮説 (ETH)[Deutsch, Phys. Rev. A 43(1991); Srednicki, Phys. Rev. E 50(1994)…]

全てのエネルギー固有状態は熱的である

Introduction
Our work§ (" + 1)次元的なQFTがp次対称性を持ち、いくつかの仮定を満たす時、以下を⽰した(*) :(d-p)-次元的な観測量がETHを破る。
系が必ずしも、標準的なカノニカルアンサンブルに緩和するとは限らない。
§ 上記の主張を(2+1)次元の ℤ! 格⼦ゲージ理論を例に取り、数値的に⽴証した。
特に、結果的な熱平衡は、 ℤ! 1-次対称性を考慮した⼀般化Gibbsアンサンブルによって記述される。

Note: (2+1)次元 ℤ! ゲージ理論は電気的 ℤ! 1-次対称性を持ち、条件 (*)を満たしている。

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Contents• Introduction (4)• Eigenstate thermalization hypothesis (2)• Higher-form symmetry (2)• ETH breaking by higher-form symmetry (3)• ETH breaking in ℤ! lattice gauge theory (4)• Generalized Gibbs ensemble forhigher-form symmetry (3)• Summary and outlook (1)5/20

Eigenstate thermalization hypothesis

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⼀般に以下は系の詳細や初期状態に依存する:①全ての初期状態はある定常状態に緩和するか?
"#! ≔ # ! −#!

→ 0 as ( → ∞②緩和するとして、その⻑時間平均は熱的アンサンブルで記述されるか?
# ≃ # "#

① ⇐ ⾮対⾓的 ETH② ⇐ 対⾓的 ETH⟨#(()⟩* 以下このトークでは、対⾓的ETHを単にETHと呼ぶ。
t

⼀旦ETHを仮定すると、初期条件に依存せずに熱化が起こる

Eigenstate thermalization hypothesis

7/20= ∑" +" |-" ⟩ (/ -" = -" |-" ⟩: energy eigenstates),(簡単のため、ハミルトニアンの縮退は無いと仮定する。)
Let ' 0" = ∑+ 2+ , 3+ " 3+(Diagonal) ETH

3+ " 3+ 3 ≃ tr " )%-.$/ .&0/0-.&' (3)[Deutsch, 1805.01616]

e.g.) Hard core boson:blue: integrable

ETH

red: non-integrable

ETH

Higher-form symmetry

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トポロジカル演算⼦§ p-次対称性はcodimension-(0 + 1)の対称性演算⼦で特徴づけられる" + 1 次元のQFTでは、⟨2" 3 4 35 … ⟩ = 7 #"$ ⟨4 35 … ⟩対称性演算⼦:(/ − 0)-dimensional

8

Charged operator:
0-dimensional

8989567 ×!
=

相関関数はCの連続変形の下で不変。
§ ⾼次対称性はG group structureを持つ。(G: abelian group)2" 3 2% 3 = 2"&% (3)Higher-form symmetry

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Hilbert空間への作⽤§ 演算⼦2" 3 や 4 35 ヒルベルト空間への作⽤を考える。
(space-like symmetry [Goranta-Lam-Seiberg-Shao, 2201.10589]):

time

21$

2

= : 12+;+3 (84 )<(85 );+ (84 ) = : 12+ <(85 )Topological nature of 2")<latexit sha1_base64="TrxNbRIW+NmyjDxJQKQuTwt1EW8=">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</latexit>

84 , 85 ⊂ ℳ : space manifold/, 2" = 0

ETH breaking by higher-form symmetry
Setup
時空多様体ℳ×ℝ 上で定義された(" + 1)-次元QFTを考える。
ハミルトニアンHは⾮縮退。
系が p-次対称性 with the symmetry operator 2" 3 を持つ。

Main claim
適切な仮定(*)を満たされていれば、演算⼦2" (:) か 2" (:)̅ (あるいは両⽅)がETHを破る。
:, ::̅ (" − 0)-d manifold with boundary, s.t. : ∪ :̅ = 35 ⊂ ℳe.g.) ℳ = 5 !

0=1

0=0

演算⼦2 : /2(:)は必ずしも通常のカノニカルアンサンブルに̅緩和しない。

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ETH breaking by higher-form symmetry
Main claim適切な仮定(*)を満たされていれば、演算⼦2" (:) か 2" (:)̅(7 ∪ 7̅ = ;: ⊂ ℳ)
(あるいは両⽅)がETHを破る。
Assumptions:
5 が分解できる: 2" (3)5 = 2" (:)2" (:).
i) 演算⼦2" (3)̅ii) エネルギー固有状態 -' , -( , with -' , -( ∈ [-, - + D-],s.t. -' 2" 35 -' ≠ -( 2" 35 -( が存在する。
iii) マイクロカノニカルアンサンブルでの期待値 2" 35⋮
Energy level⋮)*

≠ 0.

⋮
⋯

D-Symmetry sector
G=+,012⋯

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ETH breaking by higher-form symmetry

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Comments•

この結果は 0 ≥ 1の時、特に⾮⾃明である。なぜならETHの破れは“bath”の⼩ささゆえでないから。

0=1

•0=0

⼀般化:
I J 2" (:) か I J -2" (:)̅ がETHを破る。
I(J): operator defined on a region J(⊂ ℳ ) with J ∩ :̅ = L

ある固定したBに対して、多くのETHを破る演算⼦が存在する。

ETH breaking in ℤ! lattice gauge theory
Model(2+1)次元 ℤ! 格⼦ゲージ理論ℤ! 電気的1-次対称性を持つ空間多様体 ℳ は 2-torus 5 !

Hamiltonian[Fradkin-Susskind, Phys. Rev. D, 17(1978)]M

N/ O/ − M N8 P8</∈ 123456776

8∈29:;/ℤ! = −>% ≔?

@&-&∈()*#+",," %Physical Hilbert spaceGauss law constraint:

C64 = 1
物理的なHilbert spaceに対する拘束

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ETH breaking in ℤ! lattice gauge theory• Wilson line

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Charged object under the ℤ, 1-form symmetry
2 ; ≔ ? @&-⇒2 ; !=1&∈/• Symmetry operator (‘t Hooft operator)
1 ; ∗ ≔ ? @&1∗

⇒ 1 ;∗ ! = 1& ∗ ∈/ ∗

1
1.

= −1

ETH breaking in ℤ! lattice gauge theory

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対称性演算⼦は端点をもつ
2 :Q< ≔ S P8<∗8∗ ∈=#xmonopoles

7B1 : open curve
71 ∪ 7B1 = ;1 : x-cycle

5×3 格⼦の場合の数値計算

1 7 (local operator)

1 7̅ (non-local operator)

1次元的な演算⼦に対するETHが破れている。

x

ETH breaking in ℤ! lattice gauge theory
他の演算⼦

1 7 (local operator)

1 7̅ (non-local operator)

Plaquette operator >%Double Wilson lines 2(;12 )2(;1! )16/20

Generalized Gibbs ensemble forhigher-form symmetry• ⼀般化Gibbsアンサンブル(GGE)とは?
オリジナルのGGEは可積分スピン鎖に対して導⼊された。
[Pozsgay, 1304.5374; Ilievski et al., 1507.02993;…]" 778 = tr " )(G, H1 )) G, H1 ≔ : 9: ; 9∑3 =3 >3 /K(G, H1 ),K G, H1 ≔ tr : 9: ; 9∑3 =3 >3
T# : (quasi-)local conserved quantity
N# : “chemical potential”

可積分系において、GGEが熱平衡として実現される。

17/20

Generalized Gibbs ensemble forhigher-form symmetry

18/20• ℤF ゲージ理論に対するGGE" 778 = tr " ) G, H1ℤ4) G, H1 ℤ4 ≔ : 9: ;ℤ4 9=6 @7 9=4 @7 ;ℤ4 /K G, H1
K G, H1 ℤ4 ≔ tr : 9: ;ℤ4 9=6 @7 9=4 @7 ;ℤ4
G1 =289(/" )!

ℤ4 ,: projection to the sector 1 ;1 = 1ある初期状態に対する U< /ℤ! U< , ⟨(1 − U< )/ℤ! (1 − U< )⟩, U< を指定するためには、3つの化学ポテンシャルが必要となる。

Generalized Gibbs ensemble forhigher-form symmetry• 時間発展に対する数値解析ℤ! ゲージ理論に対する熱的アンサンブルはGGEで与えられる。

初期状態: eigenstate of 1 71 / 1 7B1 = 1 ,with H ∈ [−5.0, −3.0].

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Summary and outlook

20/20• ⾼次対称性は熱化に影響を与える.
• 離散対称性を持つ系は、対応するGGEへと緩和する。
ℤ! 格⼦ゲージ理論の場合、

1-dimensional• dipoleを励起する演算⼦2(:)に対するETHが破れる。
̅• 熱平衡状態は、 ℤ! 1-次対称性を考慮したGGE(≠カノニカルアンサンブル)で与えられる。

Outlook• Effect on entanglement spectrum• Implication to finite-temperature phase transition• Demonstration for other QFTsℤ< gauge theory, U(1) gauge theory, SU(N) gauge theory…
superconducter, super fluid…
Etc…