格子上の２次元コンパクトスカラー理論における磁気的演算子の構成
Som Onod (Kyushu U.)
b sed on rXiv:2304.14815 [hep-l t]with Motok zu Abe, Hiroshi Suzuki(Kyushu U.)
Okuto Morik w (Os k U.), Yuy T niz ki(YITP)

aaaaaaaaaaaaa「熱場の量子論とその応用@KEK」

Motivation
QFTは連続無限自由度の量子論
具体的な計算をしようとすると発散を含む。

正則化

格子正則化：ゲージ対称性を保ち、非摂動的で厳密な枠組みを提供。
我々の興味：理論にトポロジカル電荷（θ項）を含む物理。
[Witten, 1979] [Aharony, Seiberg, Tachikawa, 2013] [Gaiotto, et al, 2017]…

格子でやる上での問題点
後述のAdmissibilityのため、素朴にはwell-de nedなトポロジカル
fi

電荷の定式化のもとで磁気モノポールに対応するものを入れられない。

やったこと・２D compact scalar理論において、admissibility conditionとconsistentな[Lüscher, 1982]

magnetic operator (monopole)を格子上で定義した。

・２D Two compact scalar理論においてWitten効果を格子上で定式化した。
・２D Single compact scalar理論における混合’t Hooft anomalyを格子上で定式化した。
・２D back ground gauge eldsのWitten効果に相当する’t Hooft anomalyをfi格子上で定式化した。

ff

Magnetic monopole
andWitten e ect

連続理論
2R
Action:dϕ ∧ ⋆dϕ（ゲージ対称性： ϕ(x) ∼ ϕ(x) + 2π ）4π ∫M2
この理論にはU(1)(e) × U(1)(m) 0-form global symmetryが存在。
(ϕのshift symmetry（とそのdual）)

保存カレントは2R
1(e)(m)
j (x) ≡ − i ⋆ dϕ(x), j (x) ≡dϕ(x),2π2π保存則は、EoMと、Bianchi恒等式に対応。

U(1)(e)に対するcharged objectは、e⟨eiθ ∫S1 j(e)eiϕ(x)⟩=⟨e iϕ(x)iϕ(x)（wilson loopのアナロジー）iθ⟩ = e ⟨eiϕ(x)⟩1dϕ = 1 なる場所pU(1)(m)に対するcharged objectは、
2π ∫Sp111(Sp は場所p周りを一周するS )⟨eiθ ∫S1 jp(m)M(p)⟩ = ⟨piθ

⟩ = e ⟨M(p)⟩1U(1)(m)に対するcharged objectは、
dϕ = 1 なる場所p2π ∫Sp111(Sp は場所p周りを一周するS )⟨eiθ ∫S1 jp(m)M(p)⟩ = ⟨piθ

⟩ = e ⟨M(p)⟩これをlatticeの言葉で定式化したい。

Setting
2M2 = T とし、これをsquare latticeで近似する。

e iϕ(n)iϕ(n)‘’ゲージ不変’’な基本自由度は、e∈ U(1)
1iϕ(n)
ϕ(n) = ln[e], − π < ϕ(n) ≤ π .
i“微分’’に対応するものを以下のように定義

1−iϕ(n) iϕ(n+μ)̂
∂ϕ(n, μ) ≡ ln[ee],iν̂− π < ∂ϕ(n, μ) ≤ π .

∂ϕ(n, μ) = ϕ(n + μ)̂ − ϕ(n) + 2πℓμ(n), ℓμ(n) ∈ ℤ≡ Δμϕ(n)μ̂Admissibility Conditionπsup | ∂ϕ(n, μ) | < ϵ, 0 < ϵ <2n,μ格子上でtopological sectorを定義するために必要[Lüscher, 1982][Fujiwara, Suzuki, Wu, 2000]

配位が「十分に滑らか」であるという条件
この仮定の元で、
1ℓμ(n) =∑2π(n,μ)∈p11∂ϕ(n, μ) ≤∂ϕ(n, μ) <× 4ϵ < 1∑∑2π2π(n,μ)∈p(n,μ)∈p1∂ϕ(n, μ) =εμνΔμ ∂ϕ(n, ν) = 0∑∑2π(n,μ)∈pμ,ν

Bianchi恒等式

Magnetic DefectAdmissibilityのもとで∑∂ϕ(n, μ) =(n,μ)∈∂Sp∈S (n,μ)∈p1dϕ=0
連続理論の言葉で言うと 2π ∫S1Magnetic defect(monopole)は？
12π∑ ∑∂ϕ(n, μ) = 0

世界をくり抜く（格子に穴を開ける）

1∂ϕ(n, μ) <× (∂D)ϵ
2π∑2π4<⪅ (∂D)ならnon-zeroに出来る(n,μ)∈∂Dϵ(D ∈ S) ∑(n,μ)∈∂S∂ϕ(n, μ) =∑(n,μ)∈∂D∂ϕ(n, μ) =∑(n,μ)∈∂Dℓμ(n) = m ≠ 0（大きな∂S上の積分はadmissibilityのために連続変形可能）

やったこと・２D compact scalar理論において、admissibility conditionとconsistentな[Lüscher, 1982]

magnetic operator (monopole)を格子上で定義した。

・２D Two compact scalar理論においてWitten効果を格子上で定式化した。
・２D Single compact scalar理論における混合’t Hooft anomalyを格子上で定式化した。
・２D back ground gauge eldsのWitten効果に相当する’t Hooft anomalyをfi格子上で定式化した。

𝒬連続理論(Witten効果)[Witten, 1979]

２つのcompact scalarが存在する理論を考える。

1≡ 2dϕ1 ∧ dϕ2 ∈ ℤ (Topological charge)
4π ∫M2iθdϕa ∧ ⋆dϕa − 2dϕ1 ∧ dϕ2Action: Sθ[ϕa] =∫M ∑∫M
4π2 a2M(x)=M(x)e⟨ 1 ⟩θ+2π ⟨ 1

Witten効果： Magnetic(0, m)⟩θimϕ2(x)Dyonic(m, m)

θをずらすとmagnetic monopoleがdyonになる

𝒬

格子上でのTopological Charge2Dual latticeRiθS≡
1 − cos[∂ϕa(n, μ)]} + 2εμν∂ϕ2(ñ, μ)∂ϕ1(n + μ,̂ ν){∑∑∑∑
2π ∑4πn∈Γ μ,a an∈Γ μ,ν
Topological term

Admissibility conditionのもとで（変形の途中でBianchi恒等式を使った）

1≡− 2εμν∂ϕ2(ñ, μ)∂ϕ1(n + μ,̂ ν) .
∑∑4π n∈Γ μ,ν=−∑∑n∈Γ μ,νεμνℓ2,μ(ñ)ℓ1,ν(n + μ)̂ ∈ ℤ

格子上でのWitten効果
次に、「穴」を開けた場合（Γ → Γ −）

θ → θ + 2πのもとで
S → S − iϕ2(ñ*)∑(n,μ)∈∂ℓ1,μ(n) + 2πiℤ = S − imϕ2(ñ*) + 2πiℤ

つまり、格子正則化のもとで、M(ñ)=M(ñ)e⟨ 1 * ⟩θ+2π ⟨ 1 *Magnetic𝒟𝒟(0, m)が確かめられた。

imϕ2(ñ*)Dyonic(m, m)⟩θやったこと・２D compact scalar理論において、admissibility conditionとconsistentな[Lüscher, 1982]

magnetic operator (monopole)を格子上で定義した。

・２D Two compact scalar理論においてWitten効果を格子上で定式化した。
・２D Single compact scalar理論における混合’t Hooft anomalyを格子上で定式化した。
・２D back ground gauge eldsのWitten効果に相当する’t Hooft anomalyをfi格子上で定式化した。

ft’t Hoo anomaly

’t Hooft Anomaly（連続理論）(e)Compact scalar理論に１-form background gauge elds A , Aせる。

(m)をcoupleさ22Ri(e)(m)(e)(m)(e)
S[ϕ, A , A ] =dϕ + A+A ∧ [dϕ + A ]4π ∫M22π ∫M2(e)electric gauge変換：ϕ ↦ ϕ − Λ , A(e)↦A

しかし、magnetic gauge変換：A(m)

(e)

(e)

+ dΛ に対しては不変にできる

↦A(m)

(m)

+ dΛ の元では、

i(e)
(e)
(m)
(m)
(m)
(e)
(e)
(m)
Z[A + dΛ , A + dΛ ] = exp −dΛ ∧ AZ[A , A ][ 2π ∫M2]
fi（backgroundのみのphase）(混合 ’t Hooft anomaly)

Gauge Invariant Admissibility
π0<ϵ<2sup Dϕ(n, μ) < ϵ,n,μsupn,μ,ν(e)Fμν (n)< δ,supñ,μ,ν(m)Fμν (ñ)< δ,0 < δ < min(π, 2π − 4ϵ)（それぞれvertex operator, link, plaquetteで作られた積のlogで定義）

これらは、（いわゆるBianchiではなく）gauge 不変な関係式1(e)(e)εμν Δμℓν (n) − Nμν (n) = 0を保証
∑ []2μ,ν

ここがBianchiと違う(e)これは連続理論likeに言えばΔμDϕ(n, ν) − ΔνDϕ(n, μ) = Fμν (n)をrespect

𝒟’t Hooft Anomaly（格子）2Rii(m)(m)S≡
1 − cos[Dϕ(n, μ)]} +εμν Aμ (ñ)Dϕ(n + μ,̂ ν) +εμν Nμν (ñ)ϕ(n + μ ̂ + ν)̂
{∑ ∑∑ ∑∑ ∑2π n∈Γ−2π2μn∈Γ− μ,νn∈Γ− μ,ν’t Hooft anomalyのための連続理論をrespect

local counter term

この時、electric and magnetic gauge変換を施すと−im𝒟

Open ’t Hooft line expでcancelできる。（M(p)とA(m)ñ*∑(ñ,μ)∈P(m)Aμ (ñ)との結合を表す。）

× exp [imΛ (ñ*)](m)の存在による
magnetic gauge symmetry breaking term
𝒟exp𝒟→e−S𝒟e−Si
1 (m)(e)(m)(e)εμν Λ (ñ)Fμν (n) − 2πLμ (ñ)Aν (n + μ)̂
∑ ∑ [2]2π n∈Γ−μ,νやったこと・２D compact scalar理論において、admissibility conditionとconsistentな[Lüscher, 1982]

magnetic operator (monopole)を格子上で定義した。

・２D Two compact scalar理論においてWitten効果を格子上で定式化した。
・２D Single compact scalar理論における混合’t Hooft anomalyを格子上で定式化した。
・２D back ground gauge eldsのWitten効果に相当する’t Hooft anomalyをfi格子上で定式化した。

(Witten effect like) ’t Hooft Anomaly（格子）Two compact scalarに先ほどと同様にback groundを結合させる
2RS≡
1 − cos[Dϕa(n, μ)]}{∑∑2π ∑n∈Γ μ,a ai(m,1)(m,2)+εμν [Aμ (ñ)Dϕ1(n + μ,̂ ν) − Dϕ2(ñ, μ)Aν (n + μ)̂ ]∑∑2π n∈Γ μ,νi(m,1)(m,2)+εμν [Nμν (ñ)ϕ1(n + μ ̂ + ν)̂ + ϕ2(ñ)Nμν (n)]∑2∑n∈Γ μ,νiθ
+ 2εμνDϕ2(ñ, μ)Dϕ1(n + μ,̂ ν)∑∑
4π n∈Γ μ,ν

’t Hooft anomalyのための
local counter termθ → θ + 2π,(m,1)
(m,1)
(e,2)
Aμ (ñ) → Aμ (ñ) − Aμ (ñ),

(m,1)
(m,1)
(e,2)
Nμν (ñ) → Nμν (ñ) − Nμν (ñ),

(m,2)
(m,2)
(e,1)
Aμ (n) → Aμ (n) + Aμ (n)

(m,2)
(m,2)
(e,1)
Nμν (n) → Nμν (n) + Nμν (n)（実は）連続理論では見えなかった整数背景場のshiftを仮定
(m,1)
(m,1)
(e,2)
(m,2)
(m,2)
(e,1)
[respect to Fμν (ñ) → Fμν (ñ) − Fμν (ñ), Fμν (n) → Fμν (n) + Fμν (n) ]これらshiftのもとで格子上で’t Hooft anomalyが導出できた。

i(e,2)(e,1)
S→S−εμν Aμ (ñ)Aν (n + μ)̂ + 2πiℤ
∑2π ∑n∈Γ μ,ν
’t Hooft anomaly (on lattice)Summary
・２D compact scalar理論において、admissibility conditionとconsistentな[Lüscher, 1982]

magnetic operator (monopole)を格子上で定義した。

・２D Two compact scalar理論においてWitten効果を格子上で定式化した。
・２D Single compact scalar理論における混合’t Hooft anomalyを格子上で定式化した。
・２D back ground gauge eldsのWitten効果に相当する’t Hooft anomalyをfi格子上で定式化した。重要なのは・（少なくとも２D compact scalar理論では）格子上に「穴」をあけることでMagnetic defect (monopole)を置くことができる。
・gauge invarianceをrespectしたadmissibility conditionを場の配位に課した時、これから得られるゲージ不変でBianchi恒等式likeな関係式
が’t Hooft anomalyの導出において重要だった。
Future direction: このmonopole構成の４D U(1), SU(N),…への拡張（具体的にはWitten効果で’t Hooft loopにWilson loopが伴うようなことを見たい。）

Back up

Dirac quantizationeiϕ(x)=eiϕ(x′)exp i∑∂ϕ(n, μ)(n,μ)∈Cx x′

一般にmagnetic defectを囲むような経路で一周すると、
eiϕ(x)=eiϕ(x)exp i∑
￼(n,μ)∈Cx x∂ϕ(n, μ) = eiϕ(x) 2πime=eiϕ(x),m∈ℤ

Single valued!

fi￼by de nitionでDirac quantization condition m ∈ ℤが守られている。

’t Hooft anomaly
大域的対称性をゲージ化してみた時に現れることがあるanomaly
RG不変という特別な性質を持つ→低エネルギーEFTへの制限「ゲージ化する」→背景ゲージ場をうまく結合させる’t Hooft anomalyが存在する時
Gauge transZ → (phase) × Z
格子でやりたい背景場のみで書けているSetting（格子）(e)１-form back ground gauge elds A , A(m)に対応するlink変数

fi

11(e)
(m)
̂̂
U (n, μ), U (ñ, μ) ñ ≡ n + 1 + 2（dual lattice）
221(e)(e)(e)Aμ (n) ≡ ln U (n, μ),− π < Aμ (n) ≤ π,i1(m)(m)(m)Aμ (ñ) ≡ ln U (ñ, μ),− π < Aμ (ñ) ≤ π,i1(e)(e)(e)(e)−1 (e)−1Fμν (n) ≡ ln [U (n, μ)U (n + μ,̂ ν)U (n + ν,̂ μ) U (n, ν) ]i(e)(e)(e)（magneticはe → m, n → ñとしたもの）= Δμ Aν − Δν Aμ + 2πNμν
また、共変微分に対応するものは次の通り

1−iϕ(n) (e)iϕ(n+μ)̂
Dϕ(n, μ) ≡ ln [eU (n, μ)e],i(e)(e)= Δμϕ(n) + Aμ (n) + 2πℓμ (n)− π < Dϕ(n, μ) ≤ πgauge変換性は、(e)ϕ↦ϕ−Λ ,(e,m)
(e,m)
(e,m)
(e,m)
Aμ ↦ Aμ + ΔμΛ+ 2πLμ(e,m)
(e,m)
(e,m)
(e,m)
Nμν ↦ Nμν − ΔμLν + ΔνLμ ,(e)(e)(e)ℓμ (n) ↦ ℓμ (n) − Lμ (n)’t Hooft anomaly（連続）先ほどの理論にbackground gauge elds A(e,a)

A(m,a)(a = 1, 2)をcoupleさせる。
Sθ[ϕa, A(e,a),A(m,a)]iθ(e,a)
(e,a)
(e,1)
(e,2)
=
dϕa + A ] ∧ ⋆[dϕa + A ] − 2
dϕ1 + A ] ∧ [dϕ2 + A ][[∫M ∑∫M
4π2 a2fii
(m,a)
(e,a)
+A
∧ [dϕa + A ]2π ∫M2 ∑aθ → θ + 2π,A(m,1)→A(m,1)−A(e,2),A(m,2)→AとするとZθ+2π[A(e,a)

,A

(m,1)

−A(e,2),A(m,2)+A(e,1)]i(e,1)
(e,2)
(e,a)
(m,1)
(m,2)
= exp −A∧AZθ[A , A,A]
[ 2π ∫M2](m,2)+A(e,1)

Anomaly 詳しい計算
B.g. coupled two compact scalar理論において
i(e,1)(e,2)
Sθ+2π − Sθ = −dϕ1 + A ] ∧ [dϕ2 + A ][2π ∫M2i(e,1)
(e,2)
(e,1)
(e,2)
=−
dϕ1 ∧ dϕ2 + A∧ dϕ2 − A
∧ dϕ1 + A
∧ A ].
[2π ∫M2∈ℤ’t Hooft anomalyを出したいので右辺をback groundのみで書きたい

i(m,a)(e,a)(m)
A∧ [dϕa + A ]を睨むとA
Actionの相互作用項∑∫
2π M2 a(e)をA だけずらせば良いと分かる。

「穴」の上でのdual latticeの取り方