数理解析研究所講究録 1293 巻 2002 年 27-30

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Hausdorff measures and packing pre-measures
島根大学・教育学部

薫 (Kaoru Hatano)

秦野

Faculty of Education,Shimane University

1. -次元ユークリッド空間$\mathrm{R}^{d}$$\mathrm{d}$においてによって構成される対称な一般化さを満たし、 各 段階において、 1となっている。
で、 その一辺の長さが$[\{k_{q}\}, \{\lambda_{q}\}]$と表す。 ここに、れたカントール集合をつの閉 cube から残される閉 cubes の個数がのハウスドルフ測度とプレ・パツキング測度の値を上からと下からの評価をこの集合与えることが目的である。
$\mathrm{K}^{d}$$k_{q}\lambda_{q}<\lambda_{q-1}$$\mathrm{k}_{q}^{d}$$\mathrm{q}$$\lambda_{q}$$\mathrm{K}^{d}$

2. ハウスドルフ測度とプレ・パッキング測度の定義
は $[0, t_{0})$ で定義された連続で単調増加関数で、 $\phi(0)=$を測度関数とする。 つまり、
$0,\phi(t)/t^{d}$ は単調減少とする。 測度関数と表す。 [2] を参照。の全体を$\phi(t)=t^{\alpha}(-\log t)^{\beta}$$0\leq t<t_{0}$ .
例 1.
$\phi(t)$$\phi$$\mathcal{M}$$\phi$(1) $\alpha=0,$ $\beta<0$
これらの場合にとする$\phi\in/\vee 1$(2) $0<\alpha<d$$\phi\in \mathcal{M}$-(3) $\alpha=d,$$\beta\geq 0$.

である。

$\text{。}$の \psi ハウスドルフ測度 \Lambda ゆ (E)とプレ・パツキング測度
る。 但し、 プレ・パッキング測度の場合は $E$ を有界と仮定する。
で内の (中心を , 辺の長さをI または必要ならば$E\subset R^{d}$$\mathrm{I}(\mathrm{x}, \mathrm{r})$$R^{d}$$\phi-\mathrm{P}(E)$$\mathrm{r}>0$$\mathrm{x}$を次で定義すとする)

open cubeを表す。
$\Lambda_{\phi}(E)=1\dot{\mathrm{m}}$[$\inf\{\sum_{}\phi(r.\cdot),\cdot Irarrow 0\dot{.}$$\phi-\mathrm{P}(E)=\lim_{farrow 0}$

open cube with side

$1\mathrm{e}\mathrm{n}_{\mathrm{o}}\sigma \mathrm{t}\mathrm{h}r\leq r,$$E\subset\cup:I,$$\{I_{}\}$countable}][$\sup\{\sum_{i}\phi(r_{i});\{I_{i}(x_{i},r)\}$ finite disjoint, $x;\in E,$ $r:\leq r\}$ ].と書く。ハウスドをと書き、
特・に、 $\phi(t)=t^{\alpha},$ $0<\alpha\leq d$ の場合、 \Lambda ゆをルフ次元, 市 と表す、 とプレ・パツキング次元、 と表す、 を次で定義する。
$\phi-\mathrm{P}$$\Lambda_{\alpha}$$\alpha-\mathrm{P}$$\Delta$$\mathrm{m}$.

$\dim(E)=\inf\{\alpha i\Lambda_{\alpha}(E)=0\}=\sup\{\alpha;\Lambda_{\alpha}(E)=\infty\}$$\triangle(E)=\inf\{\alpha;\alpha-\mathrm{P}(E)=0\}=\sup\{\alpha j\alpha-\mathrm{P}(E)=\infty\}$

ここに、$\mathrm{E}$

注意 1.

,は有界集合。
が非有界の場合は、 上の定義をそのまま使えば、 一般には、 $\phi-\mathrm{P}(E)=\infty$ .

$\mathrm{E}$

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注意 2.

$\phi_{2}\in/\vee t,$$\acute{\varphi}_{1},$$\mathrm{h}.\mathrm{m}_{tarrow 0}\frac{\phi}{\phi}1^{f}\mathrm{u}=01(t)$(1)とする。 良く知られた次の (1) (2) が成り立つ。

$\Lambda_{\phi_{1}}(E)<\infty$ならば,(2) 有界集合 $E$ に対して\phi 1-P(E)$\Lambda_{\phi_{2}}(E)=0$$<\infty$,

ならば, $\phi_{2}-P(E)=0$ .

注意 3. プレ・パッキング測度に対しては、 一般には可算劣加法性が成立しない。 外測度
もは次のように定義される。
であるパッキング測度,から同様に定義する。とする。
$\alpha-\mathrm{P}$$\mathrm{P}_{\alpha}$$\mathrm{P}_{\phi_{?}}$$E\subset R^{d}$$\mathrm{P}_{\phi}(E)=\inf${$\sum_{i}\phi-\mathrm{P}(E_{i});E\subset\cup E.\cdot,$$E_{j},$

bounded},$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}(E)=\inf\{\alpha i^{P_{\alpha}(E)=0\}=\sup\{\alpha;P_{\alpha}(E)}=\infty\}$

注意 4. 有界集合$\mathrm{E}$に対して$\dim(E)\leq \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}(E)\leq\Delta(E)$.

.

3. カントール集合のハウスドルフ測度の評価とハウスドルフ次 . について$\overline{\pi}$定理 1 次の評価得られる。

$\mathrm{n}\dot{.[searrow]}$$2^{-3d}1 \min_{qarrow\infty}^{\cdot}\mathrm{f}(k_{1}k_{2}\ldots k_{q})^{d}\phi(\lambda_{q})\leq\Lambda\phi(K^{d})\leq \mathrm{h}.\min_{qarrow\infty}\mathrm{f}(k_{1}k_{2}\ldots k_{q})^{d}\phi(\lambda_{q})$[1] において、$\Lambda_{\alpha}$.

に関して同様の結果が得られている。

系.

$\dim(K^{d})=\mathrm{h}.\min_{qarrow\infty}\mathrm{f}\frac{\log(k_{1}k_{2}\ldots k_{q})^{d}}{-1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda_{q}}$4.

カントール集合のプレ・パッキング測度の評価とプレ・パッキング次元について次の条件を満たす自然数が存在すると仮定する。 条件 : $k_{q}>L$ となるを満たす定数 $C$ がある. このとき、 次の評価が得られる。
対して、
定理 2.

$L$

$\delta_{q}\leq C\lambda_{q}$$\lim_{qarrow}\sup_{\infty}(k_{1}k_{2}.\ldots k_{q})^{d}\phi(\lambda_{q})\leq\phi-\mathrm{P}(K^{d})\leq \mathrm{M}\lim_{qarrow}\sup_{\infty}(k_{1}k_{2}\ldots k_{q})^{d}\phi(\lambda_{q})$ここに、 定数 $M(\geq 1)$ は $d,$ $L$ によって定まる。

注意 5.

$\{k_{q}\}$が有界ならば、 この条件だけで上の評価は得られる。

.

$q$に

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系定理 2 と同じ条件のもとに、

ュ(Kd)$= \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{K}^{d})=\lim_{qarrow}\sup_{\infty}\frac{\log(k_{1}k_{2}\ldots k_{q})^{d}}{-1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda_{q}}$[3] において、 コンパクト集合
されると、$\triangle(\mathrm{K})=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{K})$$\mathrm{K}$上で$\triangle$.

が uniform であることが定義され、それが満たが成立する。 定理 2 によって$K^{d}$

上で$\triangle$が uniform であるので、 系が証明できる。

Tricot[3] に $\dim(K)=0,$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}(K)=1$を満たすコンパクト集合$K\subset R^{1}$が構成されている。 これに関して、 次の例がある。

例 2.

$\phi_{1},$$\phi_{2}\in \mathcal{M}$で次の条件を満たすとする。

,$\lim_{tarrow 0}\frac{\phi_{2}(t)}{\phi_{1}(t)}=0,\lim_{tarrow 0}\frac{\phi_{2}(t)}{t^{d}}=\mathrm{o}\mathrm{o}$この時、$0<\Lambda_{\phi_{1}}(\mathrm{K}^{d})<\infty,$$\frac{\phi_{1}(t)}{t^{d}}$$0<\phi_{2}-\mathrm{P}(\mathrm{K}^{d})<\infty$strictly decreasing.

を満たすカントール集合$\mathrm{K}^{d}$を構成できる。

定理 2 において与えられた条件のもとに評価を得たが、 次の例よりわかるように、 この条件は上の評価を得るためには必要である。
例 3. $0<\alpha<d$ とする。 このとき、によって数列が成り立つので、うまくとれば、を$\{k_{q}\}$$\lambda_{0}=1,$ $(k_{1}k_{2}\ldots k_{q})^{d}\lambda_{q}^{\alpha}=1$$\delta_{q}<\mathit{5}_{q-1}$$\{\lambda_{q}\}$$\mathrm{I}\mathrm{i}\mathrm{m}k_{q}=\infty$を決める。 Jim

を満たす自然数の列とする。
$\overline{\lambda}_{q}\delta_{\mathrm{A}=\infty}$$\mathrm{h}.\mathrm{m}(k_{1}k_{2}\ldots k_{q})^{d}\delta_{q}^{\alpha}=\mathrm{o}\mathrm{o}$が成り立ち、より、$\{k_{q}\}$を$\alpha-\mathrm{P}(\mathrm{K}^{d})=\infty$がわかる。

5. 定理の証明について
上記の 2 つの定理の証明に次の 2 つの補題を用いる。

をコンパクト集合とする。 を有限個の開 cubes の和集合,補題 1.
定義された非負の集合関数とし、 つぎの条件 (1), (2), (3) を満たすとする。
$K\subset R^{d}$$\Phi$$\mu$,(1)を満たす正数 が存在する、に対して(2)を満たす正数である開 cubeI に対して(3) 辺の長さがと表す、 で$\Phi(\omega_{1}\cup\omega_{2})\leq\Phi(\omega_{1})+\Phi(\omega_{2})$$\Phi(\omega)\geq b$$\omega\supset K$$b$$\Phi(\mathrm{I})\leq a\phi(r)$$r\leq r_{0}$$a,$ $r_{0}$が存在する。

このとき、 $\Lambda_{\phi}(K)\geq b/a$ .

補題 2. $K\subset R^{d}$ をコンパクト集合とする。 を有限個の開 cubes の和集合, と表す、 で定義された非負の集合関数とし、 つぎの条件 (1), (2), (3) を満たすとする。
,ならば、
(1)
(2) すべての に対して $\Psi(\omega)\leq B$ を満たす正数 $B$ がある、
(3) すべての $x\in K$ , すべての $r\leq r_{0}$ [こ対して $\phi(r)\leq a\Psi(\mathrm{I}(x, r))$ を満たす正数 $a,$$\Psi$$\omega_{1}\cap\omega_{2}=\emptyset$$\omega$$\Psi(\omega_{1}\cup\omega_{2})\geq\Psi(\omega_{1})+\Psi(\omega_{2})$$\omega$$r_{0}$がある。
このとき、 $\phi-\mathrm{P}(K)\leq aB$ .

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補題を満たす集合関数$\Phi,$$\Psi$をうまく定義すると、 定理が証明出来る。

参考文献[1] HATANO, K. Notes on Hausdorff Dimensions of Cartesian Product Sets, HiroshimaMath. J.l(1971), 17-25.
. and. Packing measure, and its evaluation for aBrownian[2] TAYLOR,
path. Trans. Amer. math. Soc. 288(1985), 679-699.
[3] Tricot, C.JR. Two definitons offfactional dimension, Math. Camb. Phil.Soc. 91 (1982),
57-74.
$\mathrm{S}.\mathrm{J}$$\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t},\mathrm{C}$