数理解析研究所講究録
第 1859 巻 2013 年 76-10076

汎関数積分による Nelson 模型の紫外切断のくりこみ
Fumio Hiroshima (廣島文生)
Faculty of Mathematics, Kyushu University
Fukuoka, 819-0395, Japanhiroshima@math.kyushu-u.ac.jp

1

はじめに

この論文では $N$-粒子ネルソン模型を考える．この模型は $N$ 個のスピンのない荷電粒子とス
カラーボゾンの線形な相互作用を表す模型である．フォック表現ではそのハミルトニアンは(1.1)$H=H_{p} \otimes \mathbb{I}+1\otimes H_{f}+\int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}H_{I}(x)dx$

で与えられる，ヒルベルト空間
は粒子の状態空間，$L^{2}(\mathbb{R}^{3N})$$\mathscr{H}^{-}=L^{2}(\mathbb{R}^{3N})\otimes \mathscr{F}$$\mathscr{F}$

フォック空間とはは$\mathscr{F}=\oplus_{n=0}^{\infty}\mathscr{F}^{(n)}$部分空間を表す．ただしる．真空ベクトルを上の自己共役作用素である．ここで上のフオック空間でボゾンの状態空間を表す．
は n-ボゾンで定義される．ここで上のノルムはで与えられ$\mathscr{F}^{(0)}=\mathbb{C}.$$L^{2}(\mathbb{R}^{3})$$\mathscr{F}^{(n)}=\otimes_{sym}^{n}L^{2}(\mathbb{R}^{3})$$\mathscr{F}$$\Vert F\Vert_{\mathscr{F}}^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\Vert f_{n}\Vert_{\ovalbox{\tt\small REJECT}(n)}^{2}$$1_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}=1\oplus 0\oplus 0\oplus\ldots\in \mathscr{F}$で表し，混乱の危険がないときは簡単に 1 と$N$ -粒子シュレディンガー作用素は書くことにする．

$H_{p}=- \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}\Delta_{j}+V$で与えられる．

$V:\mathbb{R}^{3N}arrow \mathbb{R}$

元ラプラシアンである．

$a^{*}(f)$は3次はポテンシャルでかけ算作用素とみなす．

$\Delta_{j}=\Delta_{x_{j}}$と $a(f),$$f\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$, は生成作用素と消滅作用素を表す．そ$a^{*}(g)]=(\overline{f}, g),$ $[a(f), a(g)]=0=[a^{*}(f), a^{*}(g)]$
れらは正準交換関係を満たす．形式は dispersion relation を表す．この論的に $a \#(f)=\int a\#(k)f(k)dk$ と書くこともある．
文の大部分では $\omega(k)=$ 圃である．場の自由ハミルトニアンをとかき，これは の第 2$\iota a(f),$$\omega(k)$$H_{f}$

量子化作用素で定義される．つまり$\omega$$H_{f} \prod_{j=1}^{n}a^{*}(f_{j})1=\sum_{j=1}^{n}a^{*}(fi)\cdots a^{*}(\omega fj)\cdots a^{*}(f_{n})1,$

Hfl $=0$ となる．形式的には $H_{f}= \int\omega(k)a^{*}(k)a(k)dk$ と表される．相互作用は(1.2)$H_{I}(x)=g \sum_{j=1}^{N}\int\frac{1}{\sqrt{2\omega(k)}}(\hat{\varphi}(k)e^{ik\cdot x_{j}}a(k)+\hat{\varphi}(-k)e^{-ik\cdot x_{j}}a^{*}(k))dk$と定義される．我々は$x\mapsto F(x)\in \mathscr{F}$で$\mathscr{H}\cong L^{2}(\mathbb{R}^{3N};\mathscr{F})$の同一視をする．つまり$F\in \mathscr{H}$は$\mathbb{R}^{3N}\ni$となるもの全体である．この同一視で相互作用は. このとなる．関数 は荷電分布を表す．その結果$\int_{\mathbb{R}^{3N}}\Vert F(x)\Vert_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{2}dx<\infty$$(H_{I}F)(x)=H_{I}(x)F(x)$$\varphi$$\int_{\mathbb{R}^{3}}\varphi(x)dx=1$関数はハミルトニアンが作用素として well defined になるために必要であり紫外切断の役割を担っている．9 は結合定数である．仮定$\hat{\varphi}/\omega^{1/2},\hat{\varphi}/\omega\in L^{2}(\mathbb{R}^{3}) , \overline{\hat{\varphi}(k)}=\hat{\varphi}(-k)$

(1.3)

77
は well defined で対称かつのもとで相互作用に関して無限小になる．よって$H$
は$D(H_{p}\otimes
1)\capD(1\otimes
H_{f})$の定理から
Kato-Rellich
上で自己共役になる．さらに赤外切
断 ( $IR$) が$H_{I}$$1\otimes H_{f}$$\hat{\varphi}/\omega^{3/2}\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$

,

(1.4)

が存在する ([Spo98,
BFS98, GerOO, AraOl, Sas05] . つまり基底状態が存在する．[LMS02, Hir06] で示されたよ
うに条件 (1.4) は基底状態存在の必要条件にもなっている．

によって導入されれば，スペクトルの下限に対する固有状態$\Psi\in \mathscr{H}$$)$

この論文では $H$ の荷電分布の 1 点極限を考える．つまり $\varphi(x)arrow(2\pi)^{3/2}\delta(x)$ また. この極限の存在は $[Nel64a]$ で作用素論的な手法 (Appendix C) で示されては $\hat{\varphi}(k)arrow 1$

いるが，我々はこれを汎関数積分を使って証明する．紫外切断の除去に関する論文として[GHPS12, HHS05] を挙げておく．また Nelson 自身も $[Nel64b]$ で汎関数積分によるくりこみを考えていたようである．
さてこの極限をとるために我々は紫外切断関数としてをとる．この関数によってハミルトニアン
を定義しを $UV$ パラメターとみなす．そして$\hat{\varphi}_{\epsilon}(k)=e^{-\epsilon|k|^{2}/2}$$\epsilon>0$$H_{\epsilon}$の$\epsilon\downarrow 0$

極限を考える．ここで$E_{\epsilon}$$H_{\epsilon}-E_{\epsilon}$

はエネルギーくりこみ項である．これは具体的に後で与える．この論文の主定理は以下である．

(1) 汎関数積分をつかって(2)$H_{ren}= \lim_{\epsilon\downarrow 0}(H_{\epsilon}-E_{\epsilon})$$E_{\epsilon}$

をペア相互作用の対角成分として導きだす．

を熱半群の意味で示す．

(3)$H_{ren}$のペア相互作用を導く．

(4)$H_{ren}$の弱結合極限 (weak coupling limit) を求める．

2

パス測度によるエネルギーくりこみ

2.1

正則化されたハミルトニアンの汎関数積分表示

はじめに $\omega(k)=|k|$ としよう．いまおく．

$\Lambda>0$$1_{\Lambda}(k)=\{\begin{array}{l}1, \omega(k)<\Lambda とし 1_{\Lambda}^{\perp}(k)=1-1_{\Lambda}(k) と 0, \omega(k)\geq\Lambda\end{array}$を仮定する．これは (2.24), 補題 2 ,9 と系 2.21 で必要になる．簡単のために次の仮定をする:仮定 2.1 ポテンシャル $V$ は有界かっ連続関数．特に Kato- クラスである．つまり$\lim_{t\downarrow 0_{x}}\sup_{\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{x}[\int_{0}^{t}|V(B_{s})|ds]=0$

.

(2.1)

$V\equiv 0$ としても構わない．Katx クラス
紫外切断のくりこみでは $V$ は全く本質的ではなく，については Appendix A で性質をまとめてある．Kato- クラスの性質はこの論文のいたるところで使う．カットオフ関数

ルトニアンを$\hat{\varphi}_{\epsilon}(k)=e^{-\epsilon|k|^{2}/2}1_{\Lambda}^{\perp}(k),$$\epsilon\geq 0$, を考えよう．正則化されたハミ$H_{\epsilon}=H_{p} \otimes 1+1\otimes H_{f}+\int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}H_{I}^{\epsilon}(x)dx, \epsilon>0$

,

(2.2)

78
で定義する．ここで(2.3)$H_{I}^{\epsilon}(x)=g \sum_{j=1}^{N}\int\frac{1}{\sqrt{2\omega(k)}}(\hat{\varphi}_{\mathcal{E}}(k)e^{ik\cdot x_{i}}a(k)+\hat{\varphi}_{\epsilon}(-k)e^{-ik\cdot x_{j}}a^{*}-(k))dk$

である．この論文の主目的は$H_{\epsilon}$で$\epsilon\downarrow 0$の極限を考えることである．

(2.4)$E_{\epsilon}=- \frac{g^{2}}{2}N\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{e^{-\epsilon|k|^{2}}}{\omega(k)}\beta(k)1_{\Lambda}^{\perp}(k)dk$としよう．ここで$\beta(k)=\frac{1}{\omega(k)+|k|^{2}/2}$

.

(2.5)

で非自明な自己共役作用素 Hrenに収束することを示す．その極限を $UV$ 正則化ネルソンハミルトニアンとよぶ．

$E_{\epsilon}arrow-\infty(\epsilon\downarrow 0)$に注意せよ．主定理では$H_{\epsilon}-E_{\epsilon}$が$\epsilon\downarrow 0$

定理 2.2 次を満たす自己共役作用素 Hren が存在する:$s-\lim_{\epsilon\downarrow 0}e^{-t\langle H_{e}-E_{\epsilon})}=e^{-tH_{r\circ n}}, t\geq 0$

我々はこの定理を汎$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

.

(2.6)

数積分をつかって証明する．

をブラウン運$N$ , は独立な $N$ 個の全実軸上で定義された-値ブラウ$(B_{t})_{t\in \mathbb{R}}=(B_{t}^{1}, \ldots, B_{t}^{N})_{t\in \mathbb{R}}$$j=1,$
動とする．ここでで時刻ゼロでン運動で，ウィナー測度を備えた連続パス空間上の確率過程である．
から出発するウィナー測度に関する期待値 (積分) を表す．
([LHBII, Theorem$(B_{t}^{j})_{t\in R},$$\mathbb{R}^{3}$$\ldots,$$E^{x}[\cdots]$$x$$(F, e^{-2TH_{\epsilon}}G)$$F=f\otimes 1$ と $G=h\otimes 1$ に対6.3] のファインマンカッツ公式はよく知られている．特に，$)$しては次のようになる．

命題 2.3 $f,$$h\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$としよう．このとき$(f \otimes 11, e^{-2TH_{\epsilon}}h\otimes 1)=\int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[-\int_{-T}^{T}V(B_{S})ds\frac{2}{2}S_{\epsilon}.$

ここで $S_{\epsilon}= \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{-T}^{T}dtW_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}, tarrow s)$$W_{\epsilon}(x, t)= \int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{2\omega(k)}e^{-\epsilon|k|^{2}}e^{-ik\cdot x}e^{-\omega(k)|t|}1_{\Lambda}^{\perp}(k)dk$

2.2はペア相互作用でペアポテンシャルはで与えられる．

くりこまれた作用

次の関数を考えよう．

.

(2.7)

$\varphi_{\epsilon}(x, t)=\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{e^{-\epsilon|k|^{2}}e^{-ik\cdot x-\omega(k)|t|}}{2\omega(k)}\beta(k)1_{\Lambda}^{\perp}(k)dk, \epsilon\geq0$

ここで$\beta(k)^{k}$は (2.5) で与えられるものである．

命題 2.4 関数$S_{0}^{ren}$で次を満たすものが存在する:$hmE^{x}\epsilon\downarrow 0[e^{-}\int_{-T}^{T}e^{L^{2}}2[ee^{g_{2}^{2}}$

.

(2.8)

79

Figure 1:$W_{\epsilon}(x, t)$$S_{\epsilon}$の対角成分と非対角成分は滑らかで，$W_{\epsilon}(x, t)arrow W_{0}(x, t)(\epsilon\downarrow 0)$

が $(x, t)\neq(O, 0)$ で成り立つ．ここで

.

(2.9)

$W_{0}(x, t)= \int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{2\omega(k)}e^{-ik\cdot x}e^{-\omega(k)|t|}1_{\Lambda}^{\perp}(k)dk$

しかし $W_{\epsilon}(0,0)arrow\infty(\epsilon\downarrow 0)$ である．つまり $W_{0}(x, t)$ は $(0,0)$ で特異性をもつ．(2.8) は非自明である．これを証明しよう．
今から $T>0$ を固定する．

$\epsilon\downarrow 0$のとき相互作用の対角成分だけが特異な項である．また$[t]_{T}=-T\vee t\wedge T$ としよう．正則化された相互作用を対角成分と非対を固定し，角成分にわける:. ここで$0<\mathcal{T}\leq T$$S_{\epsilon}=S_{\epsilon}^{D}+S_{\epsilon}^{OD}$(2.10)$S_{\epsilon}^{D}=2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{s}^{[s+\tau]_{T}}dtW_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}, t-s)$

そして$S_{\epsilon}^{OD}=2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{[s+\tau]_{T}}^{T}dtW_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}, t-s)$$S_{\epsilon}^{D}$

は $S$。を対角成分の近傍 $\{(t, t)\in \mathbb{R}^{2}||t|\leq T\}$

部分を表す．

$\tau=T$ のときは $S_{e}^{OD}=0$

補題 2.5 パスごとに補題 2.6$\epsilon$

で積分したもの，そして(2.11)$S_{\epsilon}^{OD}$となる．次の補題はすぐにわかる．
は
である．
. ここで
「

$\lim_{\epsilon\downarrow 0}S_{\epsilon}^{OD}=S_{0}^{OD}$$S_{\mathring{0}}^{D}$$S_{\mathring{\epsilon}}^{D}$$\epsilon=0$

確率積分をつかえば解析が困難な項.

$S_{\epsilon}^{D}$を評価できる．

によらない定数 $c>0$ で次をみたすものがある:$|\nabla\varphi_{\epsilon}(x, t)|\leq c|t|^{-1}, t\neq 0$$|\nabla\varphi_{\epsilon}(x, t)|\leq c|x|^{-1}, |x|\neq 0.$

はそれ以外の

80
さらにに対しても，定数$\varphi 0-\varphi_{\epsilon}$$c_{\epsilon}>0$

で次を満たすものがある:

つまり$\lim_{\epsilon\downarrow 0}c_{\epsilon}=0$$|\nabla\varphi_{\epsilon}(x, t)-\nabla\varphi_{0}(x, t)|\leq c_{\epsilon}|t|^{-1}, t\neq 0,$$|\nabla\varphi$$(x, t)-\nabla\varphi_{0}(x, t)|\leq c_{\epsilon}|x|^{-1},$。

$|x|\neq 0.$

証明．はじめの不等式は$| \nabla\varphi_{\epsilon}(x, t)|\leq\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{2(\omega(k)+|k|^{2}/2)}e^{-\epsilon|k|^{2}}e^{-\omega(k)|t|}1_{\Lambda}^{\perp}(k)dk\leq c\int_{\Lambda}^{\infty}e^{-rt}dr$よりわかる．次に第二の不等式を証明しよう．角度変数で積分すると.

$\varphi_{\epsilon}(x, t)=2\pi\int_{\Lambda}^{\infty}\frac{e^{-\epsilon r^{2}-r|t|}}{r(2+r)}\frac{\sin(r|x|)}{|x|}dr$(2.12)$\nabla\varphi_{\epsilon}(x, t)=\frac{2\pi x}{|x|^{2}}\int_{\Lambda}^{\infty}\frac{e^{-\epsilon r^{2}/|x|^{2}-|t|r/|x|}}{r(2|x|+t)}(r\cos r-\sin r)dr$(2.13)(2.12) の微分はとなり，右辺を評価すると$| \nabla\varphi_{\epsilon}(x_{g}, t)|\leq\int_{0}^{1}\frac{Cr^{3}}{r^{2}}dr+|\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-\epsilon r^{2}/|x|^{2}-|t|r/|x|}}{(2|x|+r)}\cos rdr|+l^{\infty}\frac{1}{r^{2}}$

$dr$

.

ここで全ての $r\in[0,1]$ で $|r\cos r-\sin r|\leq Cr^{3}$ をつかった．真ん中の項の積分は有界なの
口で補題が示せた補題 2.7 もし$\epsilon>0$ならば$S_{\epsilon}^{D}=2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{\epsilon}(B_{s}^{i}-B_{s}^{j}, 0)ds-2\sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{\epsilon}(B_{[s+\tau]\tau}^{i}-B_{s}^{j}, [s+\tau]\tau-s)ds$$+2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-\tau^{ds}}^{T}l^{[s+\tau]\tau_{\nabla\varphi_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j},t-s)\cdot dB_{t}^{i}}}$証明．

$\varphi_{\epsilon}(x, t)$.

は次の方程式の解である:$( \partial_{t}+\frac{1}{2}\Delta)\varphi_{\epsilon}(x, t)=-W_{\epsilon}(x, t) ,x\in \mathbb{R}^{3}, t\geq 0$

$i$

と

$j$

(2.14).

(2.15)

を固定する．このとき伊藤の公式から$\varphi_{\epsilon}(B_{[s+\tau]\tau}^{i}-B_{s}^{j}, [s+\tau]_{T}-s)-\varphi_{\epsilon}(B_{s}^{i}-B_{s}^{j}, 0)$.

$=l^{[s+\tau]\tau_{\nabla\varphi_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j},t-s)\cdot dB_{t}^{i}}}+l^{[s+\tau]_{T}}( \partial_{t}+\frac{1}{2}\triangle)\varphi_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}, t-s)dt$(2.16)

81
よって (2.15) から$\int_{s}^{[s+\tau]\tau}W_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}, t-s)dt$$=\varphi_{\epsilon}(B_{s}^{i_{-B_{S}^{j},0)-\varphi_{\epsilon}(B_{[s+\tau]\tau}^{i}-B_{S}^{j},[s+\tau]_{T}-s)+l^{[s+\tau]\tau_{\nabla\varphi_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j},t-s)\cdot dB_{t}^{i}}}}}$(2.17)

が従う．これをに代入すれば主張が示せる．
の右辺第一項の $i=j$ の部分 $=4NT\varphi,(0,0)$ がまさに発散項になっているので，くりこ$S_{\epsilon}^{D}$$\square$

まれた作用を次のように定義することが示唆される:.

(2.18)$S_{\epsilon}^{ren}=S_{\epsilon}-4NT\varphi_{\epsilon}(0,0) , \epsilon>0$

これは$S_{\epsilon}^{ren}=S_{\epsilon}^{OD}+X_{\epsilon}+Y_{\epsilon}+Z_{\epsilon}$のように表せる．ここで$X_{\epsilon}=2 \sum_{i\neq j}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{\epsilon}(B_{s}^{i}-B_{s}^{j}, 0)ds$,(2.19),$Y_{\epsilon}=2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{s}^{[s+\tau]\tau}\nabla\varphi_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}, t-s)\cdot dB_{t}^{i}$$Z_{\epsilon}=-2 \sum_{i^{\backslash }j=1}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{\epsilon}(B_{[s+\tau]_{T}}^{i}-B_{s}^{j}, [s+\tau]_{T}-s)ds$

補題 2.8 あ る定数に成立する．
$\grave{}$$c_{z}$と$c_{s}$

が存在して$|Z_{\epsilon}|\leq c_{z}T$と$|S_{\mathring{\epsilon}}^{D}|\leq c_{S}T^{2}$(2.20).

(2.21)がパスと$\epsilon\geq 0$

に一様

証明．

$|Z_{\epsilon}| \leq 4\pi N^{2}(\int_{-T}^{T-\tau}ds\int_{\Lambda}^{\infty}\frac{e^{-r\tau}}{1+r/2}dr+\int_{T-\tau}^{T}ds\int_{\Lambda}^{\infty}\frac{e^{-r(T-s)}}{1+r/2}dr)\leq c_{z}T$が適当な $c_{z}>0$ で成り立つ．不等式

補題 2.9$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{x}[|X_{\epsilon}|]<\infty$$|S_{\mathring{\epsilon}}^{D}|\leq c_{s}T^{2}$が全ての$\epsilon\geq 0$も同じょうにして得られる．口で成立する．

証明．
$X_{\epsilon}= \sum_{i\neq j}^{N}\int_{-T}^{T}ds\frac{2\pi}{|B_{S}^{i}-B_{s}^{j}|}\int_{\Lambda}^{\infty}\frac{\sin\sqrt{r|B_{s}^{i}-B_{s}^{j}|}}{r+r^{2}/2}e^{-\epsilon r^{2}}dr, \epsilon\geq 0$(2.22)に注意しよう．その結果
睡$[|X_{\epsilon}|] \leq\sum_{i\neq j}^{N}\int_{-T}^{T}dsE^{x}[\frac{2\pi}{|B_{s}^{i}-B_{s}^{j}|}]\int_{\Lambda}^{\infty}\frac{1}{r+r^{2}/2}$

$dr$

.

$(223)$

82
仮定 $\Lambda>0$ から$\int_{\Lambda}^{\infty}\frac{1}{r+r^{2}/2}dr<\infty$$\sum_{i\neq j}^{N}|x^{i}-x^{j}|^{-1}$は$L^{2}(\mathbb{R}^{3N})$(2.24).

(Appendix A を参照せよ) 上の Katx クラスなので，$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{x}[\sum_{i\neq j}^{N}\int_{-T}^{T}\frac{ds}{|B_{s}^{i}-B_{s}^{j}|}]<\infty.$

よって (2.23)

補題 2.10は有界となり補題が従う．口$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{x}[|Y_{\epsilon}|]<\infty$が全ての$\epsilon\geq 0$

で成立し，$\lim_{\epsilon\downarrow 0_{x}}\sup_{\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{x}[|Y_{\epsilon}-Y0|]=0$となる．

証明．Fubini の定理より確率積分とルベーグ積分が交換できて巽は(2.25)$Y_{\epsilon}=2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}(\int_{[t-\tau]_{T}}^{t}\nabla\varphi_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}, t-s)ds)\cdot dB_{t}^{i}$と表せる．これは$\epsilon\geq 0$ごとに確率変数である．伊藤のアイソメトリーから$E^{x}[|Y_{\epsilon}-Y_{0}|^{2}]$$=4 \sum_{i=1}^{N}\int_{-T}^{T}E^{0}[|\backslash dt$$\leq 4_{C\epsilon}\sqrt{N}\sum_{1,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}E^{0}[(\int_{[t-\tau]\tau}^{t}|B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-\theta}|t-s|^{-(1-\theta)}ds)^{2}]dt.$

ここで補題 2.6 と不等式$|\nabla\varphi_{\epsilon}(x, t)-\nabla\varphi o(x, t)|\leq c_{\epsilon}|x|^{-\theta}|t|^{-(1-\theta)},$

補間をつかった．ここで$c_{\epsilon}arrow 0(\epsilon\downarrow 0)$に注意せよ．適当な$\theta\in[0,1]$$\frac{1}{2}<\theta<1$をえるためにで Schwarz 不等式

からを $-Y_{0}|^{2}]$$E^{x}1Y$$\leq 4c_{\mathcal{E}}\sqrt{N}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}E^{0}[\int_{[t-\tau]_{T}}^{t,}|B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-\dot{\theta}||^{-2\theta}ds](\int^{t}[t-\tau]\tau|t-s|^{-2(1-\theta)}ds)dt$.

$\leq 4c_{\epsilon}\tau^{2\theta-1\sqrt{N}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}}(\int_{[t-\tau]\tau}^{t}E^{0}[|B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}]ds)dt$$x^{i}-x^{j}=X$(2.26)

とおく．このとき$\int_{-T}^{T}dt\int_{R^{3}\cross \mathbb{R}^{3}}|u-v+X|^{-2\theta}p_{t}(u)p_{s}(v)dudv\leq\int_{-\infty}^{\infty}dt\int_{\mathbb{R}^{3}}|u|^{-2\theta}p_{t+s}(u-X)du$$= \int_{R^{3}}\frac{1}{|u-X|}\frac{1}{|u|^{2\theta}}du.$83
またが $p>3/2$ で成立するから，$|x|^{-2\theta}\in L^{p}(\mathbb{R}^{3})+L^{\infty}(\mathbb{R}^{3})$$|x|^{-2\theta}$

は $Kat+$ クラスなので$\sup_{X\in \mathbb{R}^{3}}\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{|u-X|}\frac{1}{|u|^{2\theta}}du<\infty.$

Appendix A
ゆえにを参照せよ．この結果$\sup_{x\in \mathbb{R}}3\int_{-T}^{T}dt\int_{[t-\tau]\tau}^{t}dsE^{x}[|B_{t}^{i}-B_{S}^{j}|^{-2\theta}]<\infty$(2.27)$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{x}[|Y_{\epsilon}-Y_{0}|^{2}]arrow 0 (\epsilon\downarrow 0)$

が (2.26) と$c_{\epsilon}arrow 0(\epsilon\downarrow 0)$

からえられる．さらに$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{x}[|Y_{\epsilon}|]<\infty$

が従う．

が不等式

$\mathbb{E}^{x}[|Y_{\epsilon}|^{2}]\leq 4c\tau^{2\theta-1\sqrt{N}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}dt\int_{[t-\tau]\tau}^{t}\mathbb{E}^{x}[|B_{t}^{i}-B_{S}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}]ds}$から従う．口に対して$x=(x^{1}, \ldots, x^{N})\in \mathbb{R}^{3N}$$N$$S_{\mathring{\epsilon}}^{D,T}(x)=2 \sum_{i\neq j}\int_{0}^{2T}ds\int_{[s+\tau]\tau}^{T}W_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}, t-s)dt,$$N$$X_{e}^{T}(X)=2 \sum_{i,j=1}\int_{0}^{2T_{\backslash }}\varphi_{\epsilon}(B_{s}^{i}-B_{S}^{j}+x^{i}-x^{j}, 0)ds,$$N$$Y_{\epsilon}^{T}(x)=2 \sum_{i,j=1}\int_{0}^{2T}d_{\mathcal{S}}\int_{S}^{[s+\tau]_{T}}\nabla\varphi_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{S}^{j}+x^{i}-x^{j}, t-S)\cdot dB_{t}^{i},$$N$$Z_{\epsilon}^{T}(x)=-2 \sum_{i,j=1}\int_{0}^{2T}\varphi_{\epsilon}(B_{[s+\tau]_{T}}^{i}-B_{S}^{j}+x^{i}-x^{j}, [s+\tau]_{T}-s)ds.$

補題 2.11$\alpha\in \mathbb{R}$としよう．このとき定数$c_{U}(\alpha)>0$($\epsilon\geq 0$に依ってぃない) で(2.28)$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{0}[e^{\alpha U_{\epsilon}^{T}(x)}]<cu(\alpha) , \epsilon\geq 0, U=S^{OD}, X, Y, Z$となるものがある．
$U=X$ としよう．不等式
証明．
が$|X_{\epsilon}^{T}(x)| \leq C\sum_{i\neq j}^{N}\int_{0}^{2T}|B_{S}^{i}-B_{s}^{j}|^{-1}ds$と $\sum_{i\neq j}^{N}|x^{i}-x^{j}|^{-1}$

Kato- クラスであることから$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}|E^{0}[e^{\alpha X_{\epsilon}^{T^{-}}(x)}]|\leq\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{x}[e^{|\alpha|\Sigma_{i\neq j}\int_{0}^{2T}|B_{s}^{i}-B_{s}^{j}|^{-1}ds}]<\infty$.

$\Phi_{t}=\Phi_{t}(x)=(\Phi_{t}^{1}, \ldots, \Phi_{t}^{N})$$U=Y$ としよう．
とし，,$\Phi_{t}^{i}=\Phi_{t}^{i}(x)=2\sum_{j=1}^{N}\int_{[t-\tau]_{T}}^{t}\nabla\varphi_{\epsilon}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}, t-s)ds$(2.29)

84としよう．このとき$Y_{\epsilon}^{T}(x)$は次のように表せる$Y_{\epsilon}^{T}(x)= \int_{0}^{2T}\Phi_{t}\cdot dB_{t}$Girsanov 定理から.

$E^{0}[e^{2\alpha\int_{0}^{2T}\Phi_{t}\cdot dB_{t}-\frac{1}{2}(2\alpha)^{2}\int_{0}^{2T}|\Phi_{t}|^{2}dt}]=1$(2.30)と不等式$(E^{0}[e^{\alpha Y_{\epsilon}^{T}(x)}])^{2}\leq E^{0}[e^{2\alpha}冠^{}\tau_{\Phi_{t}\cdot dB_{t}-\frac{1}{2}(2\alpha)^{2}\int_{0}^{2T}|\Phi_{t}|^{2}dt}]E^{0}[e^{2\alpha^{2}\int_{2}^{2T}|\Phi_{t}|^{2}dt}]$$=E^{0}[e^{2\alpha^{2}\int_{0}^{2T}|\Phi_{t}|^{2}dt}]$

をえる．(2.26) と同様に
これは$\epsilon$$\int_{0}^{2T}|\Phi_{t}|^{2}dt\leq 4c\tau^{2\theta-1}\sqrt{N}Q(x)$

. ここで

$c$

は補題 2.6 の定数である．

によっていない．そして$Q(x)= \sum_{i,j=1}^{N}\int_{0}^{2T}dsl^{[s+\tau]_{T}}|B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-\dot{d}|^{-2\theta}dt.$$\frac{1}{2}<\theta<1$に注意する．よって$(E^{0}[e^{\alpha Y_{\epsilon}^{T}(x)}])^{2}\leq E^{0}[e^{\gamma Q(x)}]$. ここで$\gamma=8c\sqrt{N}\alpha^{2}\tau^{2\theta-1}.$

Jensen 不等式から$E^{0}[e^{\gamma Q(x)}]\leq\int_{0}^{2T_{\frac{ds}{2T}\mathbb{E}^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{s}^{[s+\tau]_{T}}|B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}dt}}}]$(2.31) の右辺を$\int_{0}^{2T}=\int_{0}^{2T-\tau}+\int_{2T-\tau}^{2T}$.

(2.31)とわける．最初の項を考える．$[s+\tau]\tau=s+\tau$ だから，$\int_{0^{\frac{ds}{2T}E^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{s}^{[s+\tau]_{T}}|B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}dt}}}^{2T-\tau}]$$= \int_{0}^{2T-\tau}\frac{ds}{2T}E^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}|B_{s+t^{-B_{\delta}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}dt}}^{i}}]$$\mathscr{F}_{s}=\sigma(B_{r}^{j};0\leq r\leq s, j=_{c}1, \ldots, N)$.

(2.32)

を自然な filtration とする．条件付き期待値をとって，マルコフ性を使うと$E^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}\ulcorner^{2\theta}dt}|B_{s+t}^{i}]=E^{0}[E^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}-B_{\epsilon}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}dt}|B_{s+l}^{i}|\mathscr{F}_{s}]]$$=E^{0}[E^{B_{s}}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}|B_{t}^{i}-B_{0}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}dt}]].$

さらに計算すると$=(2 \pi s)^{-3N/2}\int_{\mathbb{R}^{3N}}e^{-|y|^{2}/2s}E^{y}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}|B_{t}^{i}-B_{0}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}dt}]dy$$=(2 \pi s)^{-3N/2}\int_{\mathbb{R}^{3N}}e^{-|y|^{2}/2s}\prod_{i=1}^{N}E^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}|B_{t}^{i}+(x+y)^{i}-(x+y)^{j}|^{-2\theta}dt}]dy.$$|x|^{-2\theta}$

が Kat$(\succ$

クラスなので$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{0}[e^{\beta\int_{0}^{\tau}|B_{\epsilon}^{i}+x|^{-2\theta}ds}]=\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{x}[e^{\beta\int_{0}^{\tau}|B_{s}^{i}|^{-2\theta}ds}]<\infty$

85
が全ての

$\beta\in \mathbb{R}$(Appendix A を参照せよ) で成り立つ．これから$\sup_{x,y\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}|B_{t}^{i}+(x+y)^{i}-(x+y)^{j}|^{-2\theta}dt}]<\infty$.

(2.33)

特に$\int_{0^{\frac{1}{2T}E^{x}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{\epsilon}^{[s+\tau]_{T}}|B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}dt}}}^{2T-\tau}]ds$$\leq\frac{2T-\tau}{2T}\sup_{x,y\in \mathbb{R}^{3}}\prod_{i=1}^{N}E^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}|B_{t}^{i}+(x+y)^{i}-(x+y)^{j}|^{-2\theta}dt}]<\infty$.

(2.34)$[s+\tau]_{T}=2T$ . 上と同様に
次に第 2 項を考える．

$\int_{2T-\tau}^{2T}\frac{1}{2T}E^{x}[e^{2T\gamma\Sigma_{i,j=1}^{N}\int_{s}^{[s+\tau]_{T}}|B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}|^{-2\theta}dt}]ds$.

(2.35)$\leq\frac{\tau}{2T}\sup_{x,y\in \mathbb{R}^{3}}\prod_{i=1}^{N}\mathbb{E}^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{j=1}^{N}\int_{0}^{\tau}|B_{t}^{i}+(x+y)^{i}-(x+y)^{j}|^{-2\theta}dt}]<\infty$

よって (2.34) と (2.35) から$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{0}[e^{2\alpha Y_{\epsilon}^{T}(x)}]\leq(\sup_{x,y\in \mathbb{R}^{3}}\prod_{i=1}^{N}E^{0}[e^{2T\gamma\Sigma_{i=1}^{N}\int_{0}^{\tau}|B_{t}^{i}+(x+y)^{i}-(x+y)^{j}|^{-2\theta}dt}])^{1/2}<\infty$

最後に $U=Z$ と $U=S^{OD}$ の場合を考える．

$|Z_{\epsilon}^{T}(x)|\leq {}_{Cz}T$$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E[e^{\alpha Z_{\epsilon}^{T}(x)}]<\infty$

補題 2.12$\alpha\in \mathbb{R}$とし $f,$と$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}[e^{\alpha S_{\zeta}^{ODT}(x)}]<\infty$$h\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$と.

(2.36)$|S_{\mathring{\epsilon}}^{D,T}(x)|\leq cT^{2}$からがわかる．口としよう．このとき$\int_{\mathbb{R}^{3}}dx\mathbb{E}^{x}[f(B_{-T})h(B_{T})e^{-\int_{-T}^{T}V(B_{\epsilon})ds}e^{\alpha S_{\epsilon}^{ren}}]<\infty$が全ての$\epsilon\geq 0$

証明．分解で成り立つ．

$S_{\epsilon}^{ren}=S_{\epsilon}^{OD}+X_{\epsilon}+Y_{\epsilon}+Z_{\epsilon}$

を思い出そう．Schwarz 不等式から$\int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[|f(B_{-T})h(B_{T})|e^{\alpha S_{\epsilon}^{ren}}]$$\leq\int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{0}[|f(x)h(B_{2T}+x)|e^{-\int_{0}^{2T}V(B_{s}+x)ds}e^{\alpha(S_{\epsilon}^{OD,T}(x)+X_{\’{e}}^{T}(x)+Y_{\epsilon}^{T}(x)+Z_{\epsilon}^{T}(x))]}$$\leq\Vert f\Vert\Vert h\Vert\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}(E^{0}[e^{-2\int_{0}^{2T}V(B_{s}+x)ds}e^{2\alpha(S_{\epsilon}^{OD,T}(x)+X_{g}^{T}(x)+Y_{\epsilon}^{T}(x)+Z_{\epsilon}^{T}(x))}])^{1/2}$(2.37)

補題 2.11 と $V$ が Kato- クラスより$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{0}[e^{-2\int_{0}^{2T}V(B_{s}+x)ds}e^{2\alpha(S_{\epsilon}^{OD,T}(x)+X_{\epsilon}^{T}(x)+Y_{\epsilon}^{T}(x)+Z_{\epsilon}^{T}(x))}]<\infty,$

そして補題が示せた．

口

86
2.3

くりこまれたハミルトニアン

補題 2.13 もし$\alpha\in \mathbb{R}$ならば$\lim_{\epsilon\downarrow 0}E^{0}[|e^{\alpha X_{\epsilon}^{T}(x)}-e^{\alpha X_{0}^{T}(x)}|]=0, x\in \mathbb{R}^{3N}$証明．

$|X_{\epsilon}^{T}(x)| \leq\int_{0}^{2T}V_{C}(B_{s}^{1}+x^{1}, \ldots., B_{S}^{N}+x^{N})ds$.

(2.38)と$E^{0}[|e^{\alpha X_{e}^{T}(x)}-e^{\alpha X_{0}^{T}(x)}|]\leq 2E^{0}[|e^{\alpha\int_{-T}^{T}V_{C}(B_{s}^{1}+x^{1},\ldots.,B_{s}^{N}+x^{N})ds}]<\infty$がわかる． ごとに
$x$

$X_{\epsilon}^{T}(x)arrow X_{0}^{T}(x)$a.s. なのでルベーグの優収束定理より (2.38) がわか
口る．

補題 2.14 もし$\alpha\in \mathbb{R}$ならば.

(2.39)$\lim_{\epsilon\downarrow 0}\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{0}[|e^{\alpha U_{e}^{T}(x)}-e^{\alpha U_{0}^{T}(x)}|]=0, U=S^{OD}, Y,Z$

証明．$U=Y$ としよう．

$\sup_{x\in R^{3}}E^{0}[|e^{\alpha(Y_{\epsilon}^{T}(x)-Y_{0}^{T}(x))}-1|]arrow 0$

を示せば十分である．

(2.40)$E^{0}[(e^{\alpha(Y_{\epsilon}^{T}(x)-Y_{0}^{T}(x))}-1)^{2}]=E^{0}[e^{2\alpha(Y_{e}^{T}(x)-Y_{0}^{T}(x))}]+1-2E^{0}[e^{\alpha(Y_{\epsilon}^{T}(x)-Y_{0}^{T}(x))}]$

はわかる．以下で$(\delta\Phi_{t}^{1}, \ldots, \delta\Phi_{t}^{N})$$\lim_{\epsilon\downarrow 0}E^{0}[e^{\alpha(Y_{e}^{T}(x)-Y_{0}^{T}(x))}]=1$を示そう．確率変数$\delta\Phi_{t}=\delta\Phi_{t}(x)=$と$\delta\Phi_{t}^{i}=\delta\Phi_{t}^{i}(x)=2\sum_{j=1}^{N}\int_{[t-\tau]\tau}^{t}(\nabla\varphi_{\epsilon}-\nabla\varphi_{0})(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}+x^{i}-x^{j}, t-s)ds$を定義すれば
$Y_{\epsilon}^{T}(x)-Y_{0}^{T}(x)= \int_{0}^{2T}\delta\Phi_{t}(x)dt.$

Girsanov の定理から$1=E^{0}[e^{\alpha\int_{0}^{2T}\delta\Phi_{t}\cdot dB_{t}-\frac{\alpha^{2}}{2}\int_{0}^{2T}|\delta\Phi_{t}|^{2}dt}]$が$\alpha\in \mathbb{R}$ごとに成り立つから$\sup_{x\in R^{3}}(E^{0}[e^{\alpha(Y_{\epsilon}^{T}(x)-Y_{0}^{T}(x))}]-1)^{2}\leq\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{0}[e^{2\alpha\int_{0}^{2T}\delta\Phi_{t}\cdot dB_{t}}]E^{0}[(1-e^{-\frac{\alpha^{2}}{2}\int_{0}^{2T}|\delta\Phi_{t}|^{2}dt})^{2}]$(2.41)
再び$\sup_{x\in R^{3}}E^{0}[e^{2\alpha\int_{0}^{2.T}\delta\Phi_{t}\cdot dB_{t}}]\leq\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}(E^{0}[e^{4\alpha^{2}\int_{0}^{2T}|\delta\Phi_{t}|^{2}dt}])^{1/2}$

さらに(2.42)$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{0}[(1-e^{-\frac{\alpha^{2}}{2}\int_{0}^{2T}|\delta\Phi_{t}|^{2}dt})^{2}]\leq\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{0}[|\frac{\alpha^{2}}{2}\int_{0}^{2T}|\delta\Phi_{t}|^{2}dt|^{2}]arrow 0$$(\epsilon\downarrow 0)$. よって (2.42) が補題 2.10 からわかる．

$\sup_{x\in R^{3}}(E^{0}[e^{4\alpha^{2}\int_{0}^{2T}|\delta\Phi_{t}|^{2}dt}])^{1/2}$

して一様有界である．これは補題 2.12 と同じようにして示せる．よって (2.41) はきゼロに収束し $U=Y$ に対して (2.39) が示せた．

は$\epsilon$$\epsilon\downarrow 0$

に関
のと

87
$U=Z$ としよう．

$\mathbb{E}$$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}$xe ( -ZO)–1 $]arrow$ 0 を示せばいい．
$\alpha$$[|$$Z\epsilon$$|$$Z_{\epsilon}(x)-Z_{0}(x)$$=2 \sum_{i,j=1}^{N}\prime\int_{-T}^{T}ds\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{e^{-ik\cdot(B_{l\prime}^{i}.+x^{i}-B_{[s+\tau]_{T}-s}^{j}-x^{j})}S+fJ_{T}-se^{-([s+\tau]_{T}-s)\omega(k)}}{\omega(k)}\beta(k)1_{\Lambda}^{\perp}(k)(1-e^{-\epsilon|k|^{2}})dk$がわかる．

$\eta_{\epsilon}(x)=\alpha(Z_{\epsilon}(x)-Z_{0}(x))$

ないある定数$c$としよう．直接で成り立つことがわかる．よって$|\eta_{\epsilon}(x)|^{n}\leq c^{n}\alpha^{n}T^{n}\epsilon^{n}$が $x$ に依ってい$\mathbb{E}^{0}[e^{\eta_{\epsilon}(x)}]=1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n!}\mathbb{E}^{0}[\eta_{\epsilon}(x)^{n}]$. そして$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n!}E^{0}[|\eta_{\epsilon}(x)|^{n}]\leq\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n!}c^{n}T^{n}\epsilon^{n}arrow 0$$(\epsilon\downarrow 0)$が$x$$U=S^{OD}$ のときに一様に成り立つ．よって (2.39) が $U=Z$ のとき成り立つ．

も (2.39) と同様にわかる

補題 2.15$\alpha\in \mathbb{R}$とし $f,$

口$h\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$としよう．このとき$hm\epsilon\downarrow 0\int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[f(B_{-T})h(B_{T})e^{-\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds}e^{\alpha S_{\epsilon}^{ren}}]$$= \int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[f(B_{-T})h(B_{T})e^{-\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds}e^{\alpha S_{0}^{ren}}]$証明．

$\grave{A}_{\epsilon}=A_{\epsilon}(x)=\alpha(S_{\mathring{\epsilon}}^{D,T}(x)+Y_{\epsilon}^{T}(x)+Z_{\epsilon}^{T}(x))$のブラウン運動のシフト不変性と telescoping から.

(2.43)とおこう．そうすると$dxdP^{x}$のもとで$| \int_{\mathbb{R}^{3}}dx\mathbb{E}^{x}[f(B_{-T})h(B_{T})e^{-\int_{-T}^{T}V(B_{8})ds}(e^{\alpha S_{\epsilon}^{ren}}-e^{\alpha S_{0)]}^{ren}}|$$\leq e^{2T\Vert V\Vert_{\infty}}\int_{\mathbb{R}^{3}}dx|f(x)|E^{0}[|h(B_{2T}+x)|(e^{A_{\epsilon}(x)+\alpha X_{\epsilon}^{T}(x)}-e^{A_{0}(x)+\alpha X_{0}^{T}(x)})]$$\leq e^{2T\Vert V\Vert_{\infty}}\Vert f\Vert\Vert h\Vert\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}(E^{0}[|e^{A_{\epsilon}(x)}-e^{A_{0}(x)}|^{4}]\mathbb{E}^{0}[e^{4\alpha X_{\epsilon}^{T}(x)}])^{1/4}$$+ e^{2T\Vert V\Vert_{\infty}}\int_{\mathbb{R}^{3}}dx|f(x)|E_{\epsilon}(x)\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}(\mathbb{E}^{0}[|e^{4A_{0}}])^{1/4}$

ここで $E_{\epsilon}(x)=(E^{0}[|h(B_{2T}+x)|^{2}])^{1/2}(E^{0}[(e^{\alpha X_{\epsilon}^{T}(x)}-e^{\alpha X_{0}^{T}(x)})^{4}])^{1/4}$

収束することを示す．
界が補題 2.11 からわかる．補題 2.14 で$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{0}[e^{4\alpha X_{\epsilon}^{T}(x)}]$と$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{0}[e^{4A_{0}}]$

右辺の各項がゼロに. の両方は$\epsilon$

に関して一様有$\lim_{\epsilon\downarrow 0\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}}E^{0}[|e^{A_{\epsilon}(x)}-e^{A_{0}(x)}|^{4}]=0$が示されているので最初の項はゼロは収束する．さらに$E_{\epsilon}(x) \leq(\mathbb{E}^{0}[|h(B_{2T}+x)|^{2}])^{1/2}\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}(\mathbb{E}^{0}[(e^{\alpha X_{\epsilon}^{T}(x)}-e^{\alpha X_{0}^{T}(x)})^{4}])^{1/4}\in L^{1}(\mathbb{R}^{3N})$

補題 2.13 から$E^{0}[(e^{\alpha X_{\epsilon}^{T}(x)}-e^{\alpha X_{0}^{T}(x)})^{4}]arrow 0(\epsilon\downarrow 0)$

が全ての$x\in \mathbb{R}^{3N}$.

でなりたっ．よってルベーグ優収束定理から第 2 項がゼロに収束することがわかる．
$\square$

88
補題 2.16 次が成り立つ:$\lim_{\epsilon\downarrow 0}(f\otimes 1, e^{-2T(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}h\otimes 1)=\int_{\mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{x}[\overline{f(B_{-T})}h(B_{T})^{-\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds\frac{2}{2}s_{0]dx}^{ren}}ee^{g}.$(2.44)
ここで$s_{0}^{ren}=2 \sum_{i\neq j}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{0}(B_{s}^{i}-B_{s}^{j}, 0)ds+2\sum_{i,j=1}^{N}\int_{-\tau^{ds}}^{T}l^{\tau_{\nabla\varphi_{0}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j},t-s)\cdot dB_{t}}}$(2.45),$-2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{0}(B_{T}^{i}-B_{s}^{j}, T-s)ds$

そして$S_{0}^{ren}$の被積分関数は$\varphi o(X, t)=\int_{R^{3}}\frac{e^{-ikX}e^{-|t|\omega(k)}}{2\omega(k)}\beta(k)1_{\Lambda}^{\perp}(k)dk,$$\nabla\varphi_{0}(X, t)=\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{-ike^{-ikX}e^{-|t|\omega(k)}}{2\omega(k)}\acute{\beta}(k)I_{\Lambda}^{\perp}(k)dk.$

証明．
$(f \otimes 1, e^{-2T(H_{e}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}h\otimes n)=\int_{\mathbb{R}^{3}}E^{x}[\overline{f(B_{-T})}h(B_{T})^{-\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds{}_{2}S_{\epsilon}^{ren}}ee^{L^{2}}]^{}dx(2.46)$

である．右辺は$\int_{\mathbb{R}^{3}}E^{x}[\overline{f(B_{-\tau})}h(B_{T})ee2]dx(\epsilon\downarrow 0)$(2.44) がわかる．またに収束する．よって$S_{0}^{ren}=2 \sum_{i\neq j}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{0}(B_{s}^{i}-B_{s}^{j}, 0)ds+2\sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{s}^{[s+\tau|\tau}\nabla\varphi_{0}(B_{t}^{i}-B_{s}^{j}, t-s)\cdot dB_{t}$(2.47)$-2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{O}(B_{[s+\tau]_{T}}^{i}-B_{s}^{j}, [s+\tau]_{T}-s)ds$

なので $\tau=T$ とすれば (2.45) がわかる．口
さて $f\otimes 1$ からもつと一般的なベクトル $f\otimes F(\phi(fi), \ldots, \phi(f_{n}))1\sim\sim$ へ拡張する．ここで$F\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^{3}),$に$e^{-2TH_{\epsilon}}$$\phi(f)$はスカラー場を表す:$\frac{1}{\sqrt{2}}(a^{*}(\hat{f})+a(\hat{f}))$. ここで $f(k)=\hat{f}(-k)$ . そのため．

のファインマンカッツ公式を紹介しておく．
$H_{-k}(\mathbb{R}^{n})=\{f\in \mathscr{S}_{\mathbb{R}}’(\mathbb{R}^{n})|\hat{f}\in L_{1oc}^{1}(\mathbb{R}^{n}), |\cdot|^{-k/2}\hat{f}\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\}$とし，ノルムを$\Vert f\Vert_{H_{-k}(R^{n})}^{2}=\int_{R^{n}}|\hat{f}(x)|^{2}|x|^{-k}dx$で与える．ユークリッド場は確率空間$(Q_{E}, \Sigma_{E,\mu_{E})} 上のガウス型確率変数族 \{\phi_{E}(F), F\in H_{-1}(\mathbb{R}^{4})\}$

は線形で平均ゼロ，分散はAppendixつまり$B$$E_{\mu_{E}}[\phi_{E}(F)\phi_{E}(G)]=\frac{1}{2}(F, G)_{H_{-1}(R^{4})}$にまとめておく．以下，$F\in \mathscr{H}$$\mathscr{H}$とは $\mathbb{R}^{3N}\ni x\mapsto F(x)\in \mathscr{F}$$\mathscr{F}$-値$L^{2}$

関数の集合とみなされ，

である．写像$F\mapsto\phi_{E}(F)$. ユークリッド場の性質は$L^{2}(\mathbb{R}^{3N};\mathscr{F})$を同一視する．

$\int_{\mathbb{R}^{3N}}\Vert F(x)\Vert_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{2}dx<\infty.$

89
命題 2.17 $F,$ $G\in$ 彫としよう．このとき$(F, e^{-2TH_{\epsilon}}G)$$= \int_{\mathbb{R}^{3}}dx\mathbb{E}^{x}[e^{-\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds}\mathbb{E}_{\mu_{E}}[J_{-T}F(B_{-T})\cdot e^{-\phi_{E}(\int_{-T}^{T}\Sigma_{j=1}^{N}\delta_{S}\otimes\tilde{\varphi}(\cdot-B_{s}^{j})ds)_{J_{T}G(B_{T})]]}}.$(2.48)
ここで$\tilde{\varphi}_{\epsilon}(x)=(e^{-\epsilon|\cdot|^{2}/2}1_{\Lambda}^{\perp}/\sqrt{\omega})^{\vee}(x)$. そして $\delta_{s}(x)=\delta(x-s)$ は$s$に重みのあるデルタ関数である．

証明．証明は [LHBII, Theorem 6.3] を参照せよ．口補題 2.18 $\rho j\in H_{-1/2}(\mathbb{R}^{3}),j=1,2,$ $f,$$h\in L^{2}(\mathbb{R}^{3N}),$$\alpha,$$\beta\in \mathbb{C}$としよう．このとき$\lim_{\epsilon\downarrow 0}(f\otimes e^{\alpha\phi(\rho_{1})}1, e^{-2T(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}h\otimes e^{\beta\phi(\rho_{2})}1)$$= \int_{\mathbb{R}^{3}}E^{x}[\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds\frac{2}{2}S_{0}^{ren}+\frac{1}{4}\xi]dx$.

(2.49)

ここで$\xi=\xi(g)=\overline{\alpha}^{2}\Vert\rho_{1}/\sqrt{\omega}\Vert^{2}+\beta^{2}\Vert\rho_{2}/\sqrt{\omega}\Vert^{2}+2\overline{\alpha}\beta(\rho_{1}/\sqrt{\omega}, e^{-2T\omega}\rho_{2}/\sqrt{\omega})$$+2ag \sum_{j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{\mathbb{R}^{3}}dk\frac{\hat{\rho}_{1}(k)}{\sqrt{\omega(k)}}1_{\Lambda}^{\perp}(k)e^{-|s-T|\omega(k)}e^{-ikB_{s}^{j}}$$+2 \beta g\sum_{j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{\mathbb{R}^{3}}dk\frac{\hat{\rho}_{2}(k)}{\sqrt{\omega(k)}}1_{\Lambda}^{\perp}(k)e^{-|s+T|\omega(k)}e^{-ikB_{s}^{j}}.$証明．汎関数積分表示 (2.48) から$(f \otimes e^{\alpha\phi(\rho_{1})}1, e^{-2T(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}h\otimes e^{\beta\phi(\rho_{2})}1)=\int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[\overline{f}(B_{-\tau})h(B_{T})e^{-\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds}$$\cross E_{\mu_{E}}[e^{\overline{\alpha}\phi_{E}(\delta_{-T}\otimes\rho\iota)}e^{\beta\phi_{E}(\delta_{T}\otimes\rho_{2})}e^{g\phi_{E}(-\Sigma_{j=1}^{N}\int_{-T}^{T}\delta_{s}\otimes\tilde{\varphi}_{\epsilon}(\cdot-B_{s}^{j})ds)}]]e^{-2Tg^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0)}.$

すぐに$E_{\mu_{E}}[e^{\overline{\alpha}\phi_{E}(\delta_{-T}\otimes\rho_{1})}e^{\beta\phi_{E}(\delta_{T}\otimes\rho_{2})}e^{g\phi_{E}(-\Sigma_{j=1}^{N}\int_{-T}^{T}\delta_{s}\otimes\tilde{\varphi}_{\epsilon}(\cdot-B_{s}^{j})ds)}]e=e^{g_{2}^{2}}.$

ここで$\xi_{\epsilon}$

は

$\xi$

で

$1_{\Lambda}^{\perp}(k)$を$1_{\Lambda}^{\perp}(k)e^{-\epsilon|k|^{2}/2}$に置換えたもである．よって$(f\otimes e^{\alpha\phi(\rho_{1})}1, e^{-2T(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}h\otimes e^{\beta\phi(\rho_{2})}1)$$= \int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[e^{-\int^{T}ds}e^{g_{2}^{2}}].$

適当な定数 $C$ が存在して$\xi_{\epsilon}\leq C$

同様にしてこの補題も証明できるがパスと$\epsilon\geq 0$に一様に成り立つ．その結果補題 2.16 と口

90
稠密な部分空間$\mathscr{D}\subset \mathscr{H}$を次で定義しよう:$\mathscr{D}=L.H.$ $\{f\otimes 1|f\in L^{2}(\mathbb{R}^{3N})\}\cup$$\{f\otimes F(\phi(f_{1}), \ldots, \phi(f_{n}))1|F\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^{n}), f_{j}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{3}), 1\leq j\leq n,n\in \mathbb{N}, f\in L^{2}(\mathbb{R}^{3N})\}.$

補題 2.18 から次の結果が即座に従う:
補題 2.19 $\Phi=f\otimes F(\phi(u_{1}), \ldots, \phi(u_{n}))1,$ $\Psi=h\otimes G(\phi(v1), \ldots, \phi(v_{m}))1\in \mathscr{D}$ としよう．
このとき$\lim_{\epsilon\downarrow 0}(\Phi, e^{-2T(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}\Psi)=(2\pi)^{-(n+m)/2}\int_{R^{n+m}}dK_{1}dK_{2}\overline{\hat{F}(K_{1})}\hat{G}(K_{2})$$\cross\int_{R^{3}}dxE^{x}[\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds{}_{2}S_{0}^{ren}+\frac{1}{4}\xi(K_{1},K_{2})]$(2.50)
ここで$\xi(K_{1}, K_{2})=-\Vert K_{1}\cdot u/\sqrt{\omega}\Vert^{2}-\Vert K_{2}\cdot v/\sqrt{\omega}\Vert^{2}-2(K_{1}\cdot u/\sqrt{\omega}, e^{-2T\omega}K_{2}\cdot v/\sqrt{\omega})$$-2ig \sum_{j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{R^{3}}dk\frac{K_{1}\cdot\hat{u}(k)}{\sqrt{\omega(k)}}1_{\Lambda}^{\perp}(k)e^{-|s-T|\omega(k)}e^{-ikB_{s}^{j}}$$+2ig \sum_{j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{\mathbb{R}^{3}}dk\frac{K_{2}\cdot\hat{v}(k)}{\sqrt{\omega(k)}}1_{\Lambda}^{\perp}(k)e^{-|s+T|\omega(k)}e^{-ikB_{\delta}^{j}},$$u=(u_{1}, \ldots, u_{n}),$ $v=(v_{1}, \ldots, v_{m})$.

証明．

$F( \phi(fi), \ldots, \phi(f_{n}))I=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}}{}_{n}\hat{F}(K)e^{i\phi(K\cdot f)}1dK$に気をつければ$(\Phi, e^{-2T(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{e}(0,0))}\Psi)$.

$= \frac{-1}{(2\pi)^{(n+m)/2}}\int_{\mathbb{R}^{m+n}}dK_{1}dK_{2}\overline{\hat{F}(K_{1})}\hat{G}(K_{2})(f\otimes e^{-i\phi(K_{1}\cdot f)} If, e^{-2T(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{e}(0,0))}h\otimes e^{-i\phi(K_{2}\cdot h)}1)$

よって主張は補題 2.18 から従う

この論文の最も本質的な部分が

口$H_{\epsilon}-g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0)$の下からの一様有界性を示すことにある．

系 2.20$\epsilon$に依らない定数 $C$ があって$\int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[f(B_{-T})h(B_{T})e^{-\int_{-T}^{T}V(B_{\theta})ds}e^{S_{\epsilon}^{ren}}]\leq C\Vert f\Vert\Vert h\Vert$

が $f,$ $h\in L^{2}(\mathbb{R}^{3}),$$\epsilon\geq 0$(2.51), に対して成り立ち，$C \leq\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}(E^{0}[e^{-2\int_{0}^{2T}V(B_{s}+x)ds}e^{2(S_{\epsilon}^{\circ D,T}(x)+X_{\epsilon}^{T}(x)+Y_{\epsilon}^{T}(x)+Z_{\epsilon}^{T}(x))}])^{1/2}$(2.52)

91
証明．これは (2.37) からしたがう．
系 2.21 定数$C\in \mathbb{R}$

証明．この証明で $aj,$

口があって $H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0)>C$ が$b_{J}$

は正の定数で$\epsilon\geq 0$$\mathbb{E}^{0}[e^{S_{\epsilon}^{OD,T}(x)}]\leq a_{1}e^{b_{1}T}$

と

$T$

and

$\epsilon>0$に一様に成り立つ．

に依らない．すぐに$\mathbb{E}^{0}[e^{Z_{\epsilon}^{T}(x)}]\leq a_{2}e^{b_{2}T}$がわかる．(2.29) と (2.36) から$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{0}[e^{X_{\epsilon}^{T}(x)}]\leq a_{3}e^{b_{3}T}$and$\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}E^{0}[e^{Y_{\epsilon}^{T}(x)}]\leq a_{4}e^{b_{4}\tauT}$がわかる．Appendix A) を参照せよつ．
$E^{0}[e^{2(S_{\epsilon}^{OD,T}(x)+X_{\epsilon}^{T}(x)+Y_{\epsilon}^{T}(x)+Z_{e}^{T}(x))}]$$\leq(E^{0\backslash }[e^{4S_{\epsilon}^{OD,T}(x)}])^{1/2}(\mathbb{E}^{0}[e^{8X_{\epsilon}^{T}(x)}])^{1/4}(E^{0}[e^{16Y_{\epsilon}^{T}(x)}])^{1/8}(E^{0}[e^{32Z_{\epsilon}^{T}(x)}].)^{1/16}$なので定数$a_{5}$と$b_{5}$が存在して(2.53)$(\mathbb{E}^{0}[e^{2(S_{\epsilon}^{OD,T}(x)+X_{\epsilon}^{T}(x)+Y_{\epsilon}^{T}(x)+Z_{\epsilon}^{T}(x))}])^{1/2}\leq a_{5}e^{b_{5}T}$が全ての $T>0$ で成立する．関数$W(x^{1}, \ldots, x^{N})=\sum_{j=1}^{N}|x^{j}|^{2}$

を考えよう．

$H_{\epsilon}$

で $V$ をに置換えたものをと表す．もちろん, はコンパクトレゾルベントをもつので$\delta W$$H_{\epsilon}(\delta)$$\delta\geq 0$. そうすればは一意的なをもつことが [Spo98, GerOO] で示されている．注意 2.22 を参照せよ．ファインマンカッツ公式からは正値改良型作用素である．よって $\Psi_{g}(\delta)>0$ となる．
特に $(f\otimes 1, \Psi_{g}(\delta))\neq 0$ が任意の $0\leq f\in L^{2}(\mathbb{R}^{3N})$ で成り立つ．ここで. その結果$- \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}\triangle j+\delta W,$$\delta>0$$H_{\epsilon}(\delta)(\delta>0)$$3 \ovalbox{\tt\small REJECT}^{\backslash }\Re F\frac{\backslash \xi}{}\Psi_{g}(\delta)$$e^{-TH_{c}(\delta)}$$f\not\equiv 0$$\inf\sigma(H_{e}(\delta)+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))=-\lim_{Tarrow\infty}\frac{1}{T}\log(f\otimes 11, e^{-T(H_{\epsilon}(\delta)+g^{2}N\varphi_{\xi}(0,0))}f\otimes 1)|$

が $0\leq f\in L^{2}(\mathbb{R}^{3N})$ で成り立つ．(2.51) と(2.54)(2.53) から$(f \otimes 1, e^{-2T(H_{\epsilon}(\delta)+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}f\otimes 1)=\int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[f(B_{-T})f(B_{T})e^{-\int_{-T}^{T}\delta W(B_{s})ds}e^{S_{\epsilon}^{ren}}]$$\leq\Vert f\Vert^{2}\sup_{x\in \mathbb{R}^{3}}\mathbb{E}^{0}([e^{2(S_{\epsilon}^{OD,T}(x)+X_{\epsilon}^{T}(x)+Y_{\epsilon}^{T}(x)+Z_{\epsilon}^{T}(x))}])^{1/2}\leq\Vert f\Vert^{2}a_{5}e^{b_{5}T}.$

これは (2.54) から$\inf\sigma(H_{\epsilon}(\delta)+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))+\frac{b_{5}}{2}\geq 0, \delta>0$,(2.55)

92を意味する．大事なことは$b_{5}$が$\delta$に依っていないことである．よって(2.56)$|(F, e^{-2T(H_{\epsilon}(\delta)+g^{2}N\varphi_{6}(0,0))}G)|\leq\Vert F\Vert\Vert G\Vert e^{b_{5}T}$としよう．ファインマンカッツ公式 (2.48) からが従う．

$F,$ $G\in \mathscr{H}$$(F, e^{-2TH_{\epsilon}(\delta)}G)$$= \int_{R^{3}}dxE^{x}[e^{-\int_{-T}^{T}\delta W(B_{s})ds}E_{\mu_{E}}[e^{-\phi_{E}(\int_{-T}^{T}\Sigma_{j=1}^{N}\delta_{\delta}\otimes\overline{\varphi}(\cdot-B_{s}^{j})ds)}.$

ルベーグ優収束定理から$\lim_{\delta\downarrow 0}(F, e^{-2T(H_{\epsilon}(\delta)+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}G)=(F, e^{-2T(H_{\epsilon}(0)+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}G)$(2.56) の両辺の極限$\delta\downarrow 0$

.

をとれば

.

(2.57)$|(F, e^{-2T(H_{\epsilon}(0)+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}G)|\leq\Vert F\Vert\Vert G\Vert e^{b_{5}T}$$H_{\epsilon}=H_{\epsilon}(O)+V$ かつ $V$ は有界なのでこれは (2.55) が $\delta=0$ でも従うことをいっている．

$\inf\sigma(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))+\frac{b_{5}}{2}+\Vert V\Vert_{\infty}\geq 0.$$C=_{2}^{b}-\Delta-\Vert V\Vert_{\infty}$

注意 2.22$\Sigma$とおけば系が従う．口を自己共役作用素$\inf\sigma(-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}\Delta_{J}+V)$$- \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}\triangle_{j}+V$の本質的スペクトルの下限とし $E=$とする．このとき [Spo98] で汎関数積分をつかつて$\Sigma-E>\frac{N^{2}}{4}\int_{\mathbb{R}^{3}}e^{-\epsilon|k|^{2}}\beta(k)1_{\Lambda}^{\perp}(k)dk$は一意的な基底状態をもつことが示された LHBII, Theorem $6.6]^{-} も参照せよ)$ .
と $\delta>0$ でのときは一意的な基底状態を全ての特にもつ．なぜならば $\Sigma-E=\infty$ なので．
のとき

$([$

$H_{\epsilon}$$V(x^{1}, \ldots, x^{N})=\delta\sum_{j=1}^{N}|x^{j}|^{2}$$\epsilon>0$$H_{\epsilon}$

主定理の証明をする．
定理 2.2 の証明: $F,$ $G\in \mathscr{H},C_{\epsilon}(F, G)=(F,$としよう．補題 2.18 によっがて $F,$
に対してで収束することがわかる．系 2.21 で示された一様な$e^{-t(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{e}(0,0))c)}$$G\in \mathscr{D}$$C_{\epsilon}(F, G)$$\epsilon\downarrow 0$

不等式$\Vert e^{-t(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}\Vert<e^{-tC}$と$\mathscr{D}$が$\mathscr{H}$で稠密ということからとする．そうすれば$\{C_{\epsilon}(F, G)\}_{\epsilon}$がコーシー列となる．
. Riesz の定理より有界作用素$C_{0}(F, G)= \lim_{\epsilon\downarrow 0}C_{\epsilon}(F, G)$$|C_{0}(F, G)|\leq e^{-tC}\Vert F\Vert\Vert G\Vert$$T_{t}$

で$C_{0}(F, G)=(F, T_{t}G) , F, G\in \mathscr{H}$となるものが存在する．よって$s-\lim_{\epsilon\downarrow 0}e^{-t(H_{e}+g^{2}N\varphi_{C}(0,0))}=T_{t}$. さらに$s-\lim_{\epsilon\downarrow 0}e^{-t(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}e^{-s(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{e}(0,0))}=s-\lim_{\epsilon\downarrow 0}e^{-(t+s)(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}=T_{t+s}.$

93
左辺は
なので
半群性が従う．
関数積分表示 (2.50) から $(F, T_{t}G)$ は $t=0$ で $F,$
$T_{t}T_{s}$多は$\mathscr{H}$$e^{-t(H_{\epsilon}+g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0))}$$T_{t}$

で稠密，$\Vert T_{t}\Vert$は対称なので， も対称．また汎$T_{t}$$G\in \mathscr{D}$に対して連続になることもわかる．

は $t=0$ の近傍で一様に有界なので， は $t=0$ で強連続になる．半$T_{t}$

群版 Stone 定理 [LHBII, Proposition 3.26] によって下から有界な自己共役作用素 $H_{ren}$ で, となるものが存在することがわかる．

$T_{t}=e^{-tH_{ren}},$ $t\geq 0$と置けば証明$E_{\epsilon}=-g^{2}N\varphi_{\epsilon}(0,0)$

完了

口

上でみたようにくりこまれたハミルトニアンに対するペアポテンシャルも求める．
系 2.23 $H_{ren}$ のペアポテンシャルは$L^{2}{}_{2}S_{0}^{ren}$$H_{ren}$が存在することが示せた．そこで$H_{ren}$

である．

証明．補題 2.16 によって$(f \otimes l, e-2TH_{ren}h\otimes 1)=\int_{\mathbb{R}^{3}}dx\mathbb{E}^{x}[\overline{f(B_{-T})}h(B_{T})ee^{L^{2}}2$.

(2.58)
口3

弱結合極限における実行ポテンシャル

この章ではカットオフ関数を$\omega_{\nu}(k)=\sqrt{|k|^{2}+\nu^{2}}$上に$\varphi_{\epsilon}(k)=(2\pi)^{-3/2}e^{-\epsilon|k|^{2}/2}$とする．ここで$\nu>0$とする．そして dispersion relation はである．・そうするとハミルトニアンは$L^{2}(\mathbb{R}^{3N})\otimes \mathscr{F}$$H_{\epsilon}=H_{p}\otimes 1+1\otimes H_{f}+H_{I}$で与えらる．ここで$H_{P}I= \sum_{=1}^{N}j(-\frac{1}{2}\triangle_{J})+V(x_{1,..N}\prime., x)$$H_{f}= \int_{\mathbb{R}^{3}}\omega_{\nu}(k)a^{*}(k)a(k)dk$

を$\kappa a$と$\kappa a^{*}$

は自由ハミルトニア．

$H_{\epsilon}$とする．このとき$H_{\epsilon}$

は $N$-体シュレディンガー作用素で，をスケ $-$ リングする．生成消滅作用素

は

(3.1)

$H_{\epsilon}(\kappa)=H_{p}\otimes 1+\kappa^{2}1\otimes H_{f}+\kappa H_{I}$となる．このスケーリングは変換$\omega\mapsto\kappa^{2}\omega,\hat{\varphi}\mapsto\kappa^{2}\hat{\varphi}$

項はを導きだす．一方エネルギーくりこみ$E_{\epsilon}( \kappa)=-g^{2}N\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{e^{-\epsilon|k|^{2}}}{2(2\pi)^{3}\omega_{\nu}(k)}\frac{\kappa^{2}}{\kappa^{2}\omega_{\nu}(k)+|k|^{2}/2}dk$のようにスケーリングされる．定理 2.2 から自己共役作用素$H_{ren}(\kappa)$

で$\lim_{\epsilon\downarrow 0}(f\otimes 1, e^{l}-t(H_{\epsilon}(\kappa)-E_{\epsilon}(\kappa))h\otimes 1)=(f\otimes 1, e^{-tH_{ren}(\kappa)}h\otimes 1)$となるものがある．次の命題は [Dav79, Hir99] で示されてぃる．
命題 3.1$s-\lim\lim e^{-t(H_{\epsilon}(\kappa)-E_{\epsilon}(\kappa))}=e^{-th_{eff}}\otimes P_{\Omega}.$$\epsilon\downarrow 0\kappaarrow\infty$

ここで$P_{\Omega}$(3.2)

は $\{z1|z\in \mathbb{C}\}\subset \mathscr{F}$ への射影で，実行ハミルトニアンは$h_{eff}=- \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}\Delta_{j}+V(x^{1}, \ldots, x^{N})-\frac{9^{2}}{4\pi}\sum_{i<j}\frac{e^{-\nu|x_{i}-x_{j}|}}{|x_{i}-x_{j}|}.$

(3.3)

94
さて，くりこまれたハミルトニアン Hren$(\kappa)$

つぎの補題が従う:
補題 3.2 $f,$のスケーリングを考えてみよう．定理 2.2 からのとき$h\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$$\lim_{\kappaarrow\infty}(f\otimes 1, e^{-tH_{ren}(\kappa)}h\otimes 1)=(f, e^{-th_{eff}}h)$

.

(3.4)

証明．補題 2.18 から$(f \otimes 1, e^{-2TH_{r\epsilon n}(\kappa)}h\otimes 1)=\int_{\mathbb{R}^{3}}dxE^{x}[\overline{f(B_{-T})}h(B_{T})^{-\int_{-\tau^{V(B_{s})ds}}^{T}{}_{2}S_{0}^{ren}(\kappa)]}ee^{L^{2}}$

.

(3.5)

ここで

$S_{0}^{ren}( \kappa)=2\sum_{i\neq j}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi_{0}(B_{s}^{i}-B_{s}^{j}, 0, \kappa)ds+2\sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}ds\int_{S}^{T}\nabla\varphi_{0}(B_{t}-B_{8}, t-s, \kappa)\cdot dB_{t}$$-2 \sum_{i,j=1}^{N}\int_{-T}^{T}\varphi o(B_{T}-B_{s}, T-s, \kappa)ds$

(3.6)

,

そして
$\varphi_{0}(x, t, \kappa)=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{e^{-ik\cdot x}e^{-\kappa^{2}\omega(k)|t|}}{2\omega(k)}\frac{\kappa^{2}}{\kappa^{2}\omega(k)+|k|^{2}/2}1_{\Lambda}^{\perp}(k)dk$(3.7)

特に $t=0$ のとき$g^{2} \sum_{i\neq j}^{N}\varphi_{0}(x^{i}-\dot{d}, 0, \kappa)dsarrow\frac{g^{2}}{4\pi}\sum_{i<j}\frac{e^{-\nu|x^{1}-x^{j}|}}{|x^{i}-x^{j}|},$$t\neq 0$のとき，$|\nabla\varphi_{0}(X, t, \kappa)|arrow 0, |\varphi_{0}(X, t, \kappa)|arrow 0$$(\kappaarrow\infty)$

が各点ごとに示せる．補題 2.16 と同様にして$\lim_{\kappaarrow\infty}\int_{R^{3}}dxE^{x}[\overline{f(B_{-T})}h(B_{T})e^{-\int_{-T}^{T}V(B_{s})ds}e^{g_{\frac{2}{2}S_{0}^{ron}(\kappa)]}}$$= \int_{R^{3}}dxE^{x}[\int_{-T}V(B_{\epsilon})ds^{L^{2}}.\cdot$

口系 3. $3F,$$G\in \mathscr{D}$のとき$\lim_{\kappaarrow\infty}(F, e^{-tH_{ren}(\kappa)}G)=(F, e^{-th_{eff}}\otimes P_{\Omega}G)$

証明．これは補題 2.18 と補題 3.2 から従う

.

(3.8)
口

95
A
$\mathscr{K}_{d}$Kato- クラス
は次を満たす $V$ 全体である:$\lim_{t\downarrow 0_{x}}\sup_{\in \mathbb{R}^{d}}\mathbb{E}^{x}[\int_{0}^{t}|V(B_{S})|ds]=0$

.

( .1)
$A$

を Katx クラスという．

$\mathscr{K}_{d}$命題 A.l もし$V\in \mathscr{K}_{d}$ならば $W(x)= \sum_{i\neq j}^{N}V(x^{i}-x^{j})\in \mathscr{K}_{dN}$ . ここで $x=(x^{1}, \ldots, x^{N})\in$である．

$\mathbb{R}^{dN}$

例えば [CFKS08, p.7] を参照せよ．Kato- クラスの同値な定義が知られている．

$V\in_{t}\mathscr{K}_{d}$であるための必要十分条件は$\lim r\downarrow 0_{x\in \mathbb{R}^{d}}\sup\int_{|x-y|<r}|g(x-y)V(y)|dy=0$

with

( .2)
$A$

$g(x)=\{\begin{array}{ll}|x| d=1-\log|x| d=2|x|^{2-d} d\geq 3.\end{array}$

この定義から次が導ける．
命題 A.2 もし$V\in \mathscr{K}_{d}$ならば $\sup_{x\in \mathbb{R}^{d}}\int_{\mathbb{R}^{d}}|g(x-y)V(y)|dy<\infty.$

Kato- クラスポテンシャルの例をあげる．(1) $d=3$ で(2). ここで $p=1(d=1),$ $p>d/2(d\geq 2)$ . また Kato- クラスポテンシャル$|x|^{-(2-\epsilon)}(\epsilon>0),$$L^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$て，$e\int_{0}^{t}V(B_{S})ds$

命題 A.3$V\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})+$

$V$

に対し

がウイナー測度に関して可積分であることもわかる．

$0\leq V\in \mathscr{K}_{d}$としよう．このとき$\beta,$で次を満たすものが存在する:$\gamma>0$

.

( .3)
$A$

$\sup_{x\in \mathbb{R}^{d}}E^{x}[e^{\int_{0}^{t}V(B_{s})ds}]<\gamma e^{t\beta}$

特に，もし $V\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})(p=1(d=1),$ $p>d/2(d\geq 2$ 刀ならば$\beta=C\Vert V\Vert_{p}$となる $C$ が存

在する．

証明．[

$LHB11\prime$B, Lemma 3.38] を参照せよ．口シュレディンガー表現とユークリッド場

が $L^{2}(Q, \mu)$ とユニタリー同値なことはよく知られている．ここでボゾンフォック空間上のガウス型確率変数族 $\{\phi_{0}(f), f\in H_{-1/2}(\mathbb{R}^{3})\}$ では $f$ に関して線形，平$\mathscr{F}$$(Q, \Sigma, \mu)$$\phi_{0}(f)$均ゼロ，分散が$E_{\mu}[\phi_{0}(f)\phi_{0}(g)]=\frac{1}{2}(f, g)_{H_{-1/2}(\mathbb{R}^{3})}$と，スカラー場
はかけ算作用素とみている．ウィック積 :$1_{\mathscr{F}}$は $1_{L^{2}(Q)}\in L^{2}(Q)$$\phi(f)$で与えられるものを考える．このとき真空は $\phi_{0}(f)$とユニタリー同値になる．ここで$\prod_{j=1}^{n}\phi_{0}(f_{j})$$\phi_{0}(f)$: にょって生成される有限線形和全体

は $L^{2}(Q)$ で稠密になる．ここでウィック積は帰納的に$:\phi_{0}(f):=\phi_{0}(f)$,$: \phi_{0}(f)\prod_{j=1}^{n}\phi_{0}(f_{j}):=\phi_{0}(f):\prod_{j=1}^{n}\phi_{0}(f_{j}):-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(f, f_{i})_{H_{-1/2(\mathbb{R}^{3})}};\prod_{j\neq i}^{n}\phi_{0}(f_{j,})$;96のように定義される．これによって 9 とを同一視する．ファインマン・カッツ公式を導で平均ゼくためにユークリッド場が必要である．ガウス型確率変数族$L^{2}(Q)$$\{\phi_{E}(F), F\in H_{-1}(\mathbb{R}^{4})\}$

ロで分散$E_{\mu_{E}}[\phi_{E}(F)\phi_{E}(G)]=\frac{1}{2}(F, G)_{H_{-1}(R^{4})}$に定義する．
が成立する．ここで$f\in H_{-1/2}(\mathbb{R}^{3})$に対して関係$\delta_{t}(x)=\delta(x-t)$作用素族 $J_{t}:L^{2}(Q)arrow L^{2}(Q_{E}),$$t_{1}\in \mathbb{R}$$J_{t}1_{L^{2}(Q)}=1_{L^{2}(Q_{E})}$$\mathscr{F}\cong L^{2}(Q)$は$t$となるものを確率測度空間$\delta_{t}\otimes f\in H_{-1}(\mathbb{R}^{4})$と$\Sigma_{E,\mu_{E})}$

上$\Vert\delta_{t}\otimes f\Vert_{H_{-1}(\mathbb{R}^{4})}=\Vert f\Vert_{H_{-1/2}(\mathbb{R}^{3})}$に重みをもつデルタ関数である．(2.48) の中の等長, は次で定義される:

and$J_{t}:\prod_{j=1}^{m}\phi(f_{j}):=:\prod_{j=1}^{m}\phi_{E}(\delta_{t}\otimes f_{j})$の同一視のもと，$(JlF, J_{s}G)_{L^{2}(Q_{E})}=(F, e^{-|t-s|H_{f}}G)\ovalbox{\tt\small REJECT}$[LHBIl, Chapter 5] をみよ．

C$(Q_{E},$:となる．詳しいことは作用素論的なくりこみ

Nelson $[Nel64a]$ で示されたくりこみ理論を復習しておこう．いま場の作用素を$\phi_{\hat{\varphi}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\int(a^{*}(k)e^{-ikx}\frac{\hat{\varphi}(-k)}{\sqrt{\omega}}+a(k)e^{ikx}\frac{\hat{\varphi}(k)}{\sqrt{\omega}})dk$とし，その運動量作用素を$\pi_{\hat{\varphi}}(x)=\frac{i}{\sqrt{2}}\int(a^{*}(k)e^{-ikx}\sqrt{\omega}\hat{\varphi}(-k)-a(k)e^{ikx}\sqrt{\omega}\hat{\varphi}(k))dk$とする．このとき交換関係が従う:

( .1)

,

$C$

$[ \phi_{\hat{\varphi}}(x), \pi_{\hat{\lambda}}(y)]=i\int e^{ik(y-x)}\hat{\varphi}(-k)\hat{\lambda}(k)dk$$[H_{f}, \phi_{\hat{\varphi}}(x)]=\frac{1}{\sqrt{2}}\int(a^{*}(k)e^{-ikx}\sqrt{\omega}\hat{\varphi}(-k)-a(k)e^{ikx}\sqrt{\omega}\hat{\varphi}(k))dk=-i\pi_{\hat{\varphi}}(x)$,$[H_{f}, \pi_{\hat{\varphi}}(x)]=\frac{i}{\sqrt{2}}\int(a^{*}(k)e^{-ikx}\sqrt{\omega}\omega\hat{\varphi}(-k)+a(k)e^{ikx}\sqrt{\omega}\omega\hat{\varphi}(k))dk=i\phi_{\omega^{2}\hat{\varphi}}(x)$

( .2)
$C$

( .3)
$C$

Nelson 模型のハミルトニアン$H_{N}= \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}P_{j}^{2}+H_{f}+\sum_{j=1}^{N}\phi(xj)$の Gross 変換を考えよう．

$\pi(x)=\sum_{j=1}^{N}\frac{i}{\sqrt{2}}\int(a^{*}(k)e^{-ikx_{j}}\beta(k)\hat{\varphi}(-k)-a(k)e^{ikx_{j}}\beta(k)\hat{\varphi}(k))dk$とする．ここでて$\beta$$\beta(k)=\frac{1}{\omega+|k|^{2}/2}\frac{1}{\sqrt{\omega}}.$$(2.5)$ でをこのように定義する．このとき$\beta$を定義したが，この章では $[Nel64a]$ にならつ$e^{-i\pi}P_{j}e^{i\pi}=P_{j}+A_{j}+A_{j}^{*}.$

97
ここで

$A_{j}^{*}= \frac{1}{\sqrt{2}}\int a^{*}(k)e^{-ikx_{j}}k\beta(k)\hat{\varphi}(-k)dk,$$A_{j}= \frac{1}{\sqrt{2}}\int a(k)e^{ikx_{i}}k\beta(k)\hat{\varphi}(k)dk$

さらに $(P_{j}+A_{j}+A_{j}^{*})^{2}$ を展開すると$(P_{j}+A_{j}+A_{j}^{*})^{2}=P_{j}^{2}+2P_{j}A_{j}+2A_{j}^{*}P_{j}+A_{j}^{2}+2A_{j}^{*}A_{j}+A_{j}^{*2}$$+$[P 弓， ]
$A_{j}^{*}$$+$[$A_{j}$, P 弓]$+$[Aj,$A_{j}^{*}$].

ここに現れた交換子を計算すると$[P_{j}, A_{j}^{*}]=- \frac{1}{\sqrt{2}}\int a^{*}(k)e^{-ikx_{j}}k^{2}\beta(k)\hat{\varphi}(-k)dk,$$[A_{j}, P_{j}]=- \frac{1}{\sqrt{2}}\int a(k)e^{ikx_{j}}k^{2}\beta(k)\hat{\varphi}(-k)dk,$$[A_{j}, A_{j}^{*}]= \frac{1}{2}\int|k|^{2}\beta^{2}(k)\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk$となる．次に$e^{-i\pi}( \sum_{j=1}^{N}\phi(x_{j}))e^{i\pi}=\sum_{j=1}^{N}\phi(x_{j})+\sum_{i,j}^{N}[\phi(x_{i}), \pi(x_{j})]$$= \sum_{j=1}^{N}\phi(x_{j})-\sum_{i,j}^{N}\int^{H}e^{ik(x_{j}-x_{i})}\frac{\beta(k)}{\sqrt{\omega}}\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk.$

さらに$e^{-i\pi}H_{f}e^{i\pi}=H_{f}+[H_{f}, i \pi]+\frac{1}{2}[[H_{f}, i\pi], i\pi]$$=H_{f}- \sum_{j=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{2}}\int(a^{*}(k)e^{-ikx_{j}}\omega\beta(k)\hat{\varphi}(-k)+a(k)e^{ikx_{j}}\omega\beta(k)\hat{\varphi}(k))dk$$+ \frac{1}{2}\sum_{i,j}^{N}\sim\int\omega\beta^{2}(k)e^{ik(x_{j}-x_{i})}\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk’.$

( .4)
$C$

98
全て合わせると$e^{-i\pi}He^{i\pi}$$=P_{j}^{2}+2P_{j}A_{j}+2A_{j}^{*}P_{j}+A_{j}^{2}+2A_{j}^{*}A_{j}+A_{j}^{*2}+ \sum_{j}\phi(x_{j})+H_{f}$$- \sum_{j=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{2}}\int(a^{*}(k)e^{-ikx_{j}}\hat{\varphi}(-k)+a(k)e$( .5)

繭鞠 $\hat{\varphi}(k))\omega\beta(k)dk$

$C$

( .6)
$C$

$- \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{j}\int(a^{*}(k)e^{-ikx_{j}}k^{2}\beta(k)\hat{\varphi}(-k)+a(k)e^{ikx_{j}}k^{2}\beta(k)\hat{\varphi}(-k))dk$$- \sum_{i,j}^{N}\int e^{ik(x_{i}-x_{j})}\frac{\beta}{\sqrt{\omega}}\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk$( .7)$+ \frac{1}{2}\sum_{i,j}^{N}\int e^{ik(x_{i}-x_{j})}\omega\beta^{2}(k)\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk$( .8)$+ \frac{1}{4}N\int|k|^{2}\beta^{2}(k)\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk$

( .9)

$C$

$C$

$C$

となる． の定義より $(C.5)+(C.6)+ \sum_{j}\phi(xj)=0$ がわかる．また $(C.7)-(C.9)$ の対角成$\beta$分を足し合わせると$-N \int\frac{\beta}{\sqrt{\omega}}\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk+\frac{1}{2}N\int\omega\beta^{2}(k)\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk+N\frac{1}{4}\int|k|^{2}\beta^{2}(k)\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk$$=- \frac{1}{2}N\int\frac{\beta}{\sqrt{\omega}}\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk.$

よって$e^{-i\pi}He^{i\pi}=P_{j}^{2}+2P_{j}A_{j}+2A_{j}^{*}P_{j}+A_{j}^{2}+2A_{j}^{*}A_{j}+A_{j}^{*2}+H_{f}$( .10)$C$( .11)$C$$- \sum_{i\neq j}\int e^{ik(x_{i}-x_{j})}(\frac{\beta}{\sqrt{\omega}}+\omega\beta^{2}(k))\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk$( .12)$C$$- \frac{1}{2}N\int\frac{\beta}{\sqrt{\omega}}\hat{\varphi}(-k)\hat{\varphi}(k)dk$

をえる．( $C$ .10) は 2 次形式の項，( $C$ .11) は実行ポテンシャル項，そして ( $C$ .12) はくりこまれる項である．Nelson $[Nel64a]$ では，$\hat{\varphi}(k)=1_{|k|<\Lambda}$

として，$\Lambdaarrow\infty$の極限で，この右辺から( .12) を引き去ったものが 2 次形式の意味で，一様に収束すること，および$C$$e^{i\pi(x)}$が強収束することを示している．

D

実行質量

の実行質量 (effective mass) を求めてみよう．粒子数を 1
Gross 変換したハミルトニアン
とおく . そうすると外場ポテンシャとし，その裸の質量を , 場と粒子の結合定数を$H_{G}$$m$$g\in \mathbb{R}$$\acute{}$99
ノレを $V=0$ とおいた Nelson ハミルトニアンは$H_{N}=- \frac{1}{2m}\triangle+H_{f}+g\phi(x)$となる．これを Gross 変換したものを$V=0$と書くことにする．形式的な計算をする．
を全運動量
となり，
のスペクトルで分解できる．その結果$H_{G}$

なので $H_{G}$ は並行移動不変 $(i.e., [-i\nabla_{j}\otimes 1+1\otimes P_{f},{}_{j,G}H]=0)$$-i\nabla_{j}\otimes 1+1\otimes P_{f,J}$$H_{G}$$H_{G}= \int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}H_{G}(P)dP$となる．ここで $H_{G}(P)$ はフォック空間上の自己共役作用素で，次で与えられる:$H_{G}(P)= \frac{1}{2m}(P-P_{f})^{2}+H_{f}+\frac{g}{m}((P-P_{f})A+A^{*}(P-P_{f}))+\frac{g^{2}}{2}\frac{1}{m}(A^{2}+2A^{*}A*A^{*}A^{*})$.

また $P_{f,j}= \int k_{j}a^{*}(k)a(k)dk$ は場の運動量作用素である．
$H_{G}(P)$ の基底状態エネルギー$E(P)$ を$E(P)=E(0)+ \frac{1}{2m_{eff}}|P|^{2}+O(|P|^{3})$と展開しての係数の逆数を実行質量と定義する．これを形式的に結合定数 で展$H_{G}(P)\Phi(P)=E(P)\Phi(P)$ の両辺を形式的に開しよう．
で 2 回微分して，公式$|P|^{2}$$m_{eff}$$g$$P=0\in \mathbb{R}^{3}$$\frac{m}{m_{eff}}=1-\frac{2}{3m}\frac{((P_{f}-g(A+A^{*}))\Phi(0),(H_{G}(0)-E(0))^{-1}(P_{f}-g(A+A^{*}))\Phi(0))}{(\Phi(0),\Phi(0))}$をえる．摂動理論から$g$が十分小さければ$\frac{m_{eff}}{m}=1+\frac{2}{3m}g^{2}(P_{f}A^{*}\Omega, \frac{1}{H_{0}}P_{f}A^{*}\Omega)+O(|g|^{3})$となる．ここで$H_{0}= \frac{1}{2m}P_{f}^{2}+H_{f}$である．よって$m_{eff}=m+g^{2} \frac{2}{3}\int\frac{|\hat{\varphi}(k)|^{2}}{2\omega}\frac{|k|^{2}}{(|k|^{2}/2m+\omega)^{3}}dk+O(|g|^{3})$となり，紫外切断を外すとき，$m_{eff}$の$g^{2}$の係数が収束することがわかる．

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