日本統計学会誌
第22巻 ,第 3号 (増 刊号),1993年
357頁 〜373頁

潜 在 構 造 分 析 論 の 現 状
浅野長 一 郎*,江 島 伸 興 **Recent]Developments of l「 heory of Latent Structure Analysis
Chooichiro Asano*and Nobuoki Eshilna**

近年 にお ける潜在 構造分析 の経緯 とその進展方向 につ い て概観 して い る。す なわち第 1節 は
いわゆる潜在構造分析 と総称 され る方法論 の背景 ,お よびその視点 につ い て,第 2節 で は潜在
特性 モ デル について,ま た第 3節 で は潜在 クラスモ デル につ い て,さ らに第 4節 で は潜在連立構造方程式 モ デル による因果分析 について,各 分野 の研究論文 の現状 を概観 し,ま た展開 の動
向 につい て考察 して い る。
In this survey article,a general view of the methodology of latent structure analysis ispresented and some directions of further development are introduced.

In the nrst section,

the background of the latent structure analyses is described with the ailn of the present
article.

In the subsequent sections,2,3 and 4,latent trait rnodels,latent class rnOdels andlatent structural equation model are discussed.

1。

は じ め に情報化社会 と呼 ばれ る現在 ,諸種 のデータベ ースの利 用・ 作成 が 日常的 に盛 んで,多 くの素
情報 が流通 してい る◆ しか し,こ れ らの情報 の殆 どは断面的顕在観測 デー タであ り,こ れ らは名義尺度・ 順序尺度・ 間隔尺度・ 上ヒ率尺度 による多項 目観測資料 の集合 として蓄積 される.したが つて,現 代 の人々 は,こ の多面的観測資料 を総合的 に分析 し,概 念 やプ ロ フ ィール を構成
し,ま た洞察 して,種 々の事態 や人物・ 行動 0事 物 を判断 してい る ことになる.こ のよ うな立
場 は,20世 紀 の初頭 か ら W.James,J.Dewey等 の社会科学者 による,「 潜在す る概念 とそれに基 づ く顕在行動」 とい う観点 で,顕 在変量 (manifest variable)の 観測値 か ら潜在す る社会
特性 の追求 を意 図す る解析的方法論 として展開 されて きた.こ れ らの過程 にお いて,Lo Jo Cron̲bach,Do N.Lawley,Fo M.Lord,A.Birnbaum,G.Rasch,To C.Koopmans,P.F.Lazarsfeld,

L.Guttman,A.Mo Madansky等 の研究 は有名 で ある
人間の行 動 は内在す る幾 つかの潜在因子 に起因す る.こ れ らの本質的な連携や因果 を解明す.

るには,多 変量顕在変量 を通 して潜在変量 (latent variable)を 把握す るモ デルが不可欠 になる
潜在構造 モ デル (latent structure model)と は,単 に顕在変量 と潜在変量の関係 をモ デル化 した ものか ら,両 者 の関係 が複雑 な入 出カ システム として表現 され るものまで,潜 在特性 モ デル.

(latent trait model)0潜 在 クラスモ デル (latent class model)・ 潜在連立方程式 モ デル (latent

simultaneous equation model)等 の種々のモデルを総称 している(Lazarsfeld〔 81〕 ,Lazarsfeld&Henry〔 83〕)。

ここで,X=(Xl,X2,… ,Xp)を 顕在変量ベクトル,θ =(a,o,… ,a)を 潜在

論文受付 :1993年 2月 改訂受付 :1993年 3月 受理 :1993年 4月
・ 創価大学 工 学部 情報 シス テ ム科学科 ,〒 192八 王子 市丹木町 1‑236

・ *長 崎大学

教養部 ,〒 852長 崎市文教町 1‑14

358

第 22巻

日本 統 計 学 会 誌

第 3号(増 刊号)1993

変量 ベ ク トル ,ま た θ を与 えた ときのXと Xプ の条件付 き密度 関数
Jlθ ),グ =1,2,・/(″ lθ )と バ ″

・,沙
・

'で

また は確 率 関数 を そ れ ぞれ

示すとき,潜 在構造モデルでは
″

θ

勇
■Ｈ
ｐΠ■

″

θ

／

いう
を仮定 し,こ れを局所独立 の仮定 (assumption of local independence)とこのよ うな観測変量 と潜在変量 が連続 な場合 と質的 な場合 に種 々の分析 が考案 され,そ の分測変量 が連類 は主 として観測変量 と潜在変量 が連続 の とき因子分析 および共分散構 造分析 ,観で量 が連続 の とき
続 で潜在変量 が質的 な場合 は潜在 プ ロ フ イール分析 ,観 測変量 が質的 潜在変な ときは潜在が
潜在特性分析 お よびカテ ゴ リカル デー タの因子分析 ,観 測変量 と潜在変 量 質的として潜在特性分ール
クラス分析 が提唱 されてい る.こ こで はカテ ゴ リカ デ タの潜在構造分析.

析 と潜在 クラス分析 を主 にまとめる.

2.潜 在特性分析
2.1 潜在特性 分析
潜在特性分析 はテス ト理論 として Lord〔 88〕 ,Cronbach〔 31〕 ,Guilford〔 59〕 等 によつて育ち
成 され,ま た Lazarsfeld〔 82〕 等 は社会的態度測定理論 として も展開 してきた。すなわ ,能力や知能の概念を連続尺度で表現 し,被 験者 の潜在連続特性 (latent COntinuous trait)を 測定
2
す るために潜在特性分析が提唱 された.通 常, この分析法では対象 とする潜在特性 に関する
値項 目か らなるテス トを用い,被 験者 の各項目への正反応確率を潜在特性 の関数 と見なす.この関数 は項目特性関数 (item characteristic function)と よばれ,こ の関数の表す曲線 を項 目
され
特性 曲線 (item characteristic curve)と い う.こ のように 2値 また は多値 の反応で観測た多種 の顕在変量 による多 くの個別 データ集合から,そ の本質 を潜在す る特性 として探索する
潜在特性分析 は,そ の潜在する特性を概念 または機能 として抽出 し解釈することを意図す る
この起源的研究か ら出発 し,Gulliksen〔 60〕 は「学習 と知的能力」の調査研究 として,テ ス
ト理論の展開を含 み,1936年 から1960年 に至る 25年 間の考察 を与えてい る.ま た,Lewis〔 86〕
は,さ らにその後 の 25年 間のテス ト理論 の展開 を Gulliksenの 展望 に若干 の変化 を加 えながら,新 しい論文 を引用して全容 を提示 している.両 者の意図 は,主 としてその分野 に出現 したい
論文紹介 にあるが,個 人 の能力 とテス トにおける観測評点間の関係 を広範 な立場で解釈 して
い
(1)
とくに
,Gulliksenがる.こ れは今日で もテス ト理論の中心課題 として研究 されて る。
には数理統計学 にお
が
の
題
ス
く
本質的
ト
理論の多
問
近年の高速計算機 の発達 の重要性,(2)テ.

ける多変量解析 の問題であると指摘 していることは印象深 い.ま た,こ れらの解法 は項 目反応理論 (item response theory)の 課題名で同様 に論 じられ,項 目間の条件付 き独立性 と反応 の単調性が論 じられてい る (Rosenbaum〔 113〕 ).
この よ うに 25年 刻 みで Gulliksenと Lewisの 羅列 的 な reviewが あ るが ,本 稿 は各研 究分野
を縦 覧す る立場 か ら,1986年 以 降 の近 年 の研 究 に重 点 をお きつつ ,一 定 の頁数 の も とで 通論 す
る こ とを意 図 して い る.素 材 として は,主 として PSychometrika,British JOurnal of Mathe‐

matical and Statistical Psychology, Journal of NIathematical Psychology, Journa1 0f
Educational Statistics,Educational and Psychological〕 Лeasurement,Psychological Review
等 か ら得 て い る.ま た,本 邦 の雑誌 等 に も少数 の応 用例 が 散 見 され るが ,こ こで は reviewと 理論 関係 の文献 に とどめ,国 外 の研 究 展 開 に主眼 をお く.
2。

2 潜 在特性 と分布

潜在変量の分布の推定については,こ の研究分野の当初から多 くの論文があるが,Lord〔 89〕潜在構造分析論の現状

359

以降の,Andersen&Madsen〔 7〕 とSanathanan&Blumenthal〔 116〕 は1母 数ロジステ
ック (ラ ッシュ)モ デルの推定について周辺最尤推定 (marginal mattimum likelihOod estima‐tion)を 論じている。Mislevy〔 97〕 は完全データ
・不完全データの観点から,潜 在分布 (latent
distribution)が 指数族の場合を対象 とし,最 尤推定について Ramsay〔 107〕 ,Dempster et al.
36〕 ,DempsteF et al.〔 37〕 の計算アルゴリ
ズムを引用しながらEM法 の適用を提示している〔
また,細 川 〔63〕 は広範囲の分布型に適用される一般のフイブル分布について Gauss‐ Hermitё
の積分公式,Gauss― Laguerreの 積分公式等 による積分処理や,ニ ュー トン=ラ フソン法等 の最.

適化手法 を詳細 に調査 し,FORTRAN語 によるソフ トウエ ア システム を与 えた.潜在変量 θの

分布 について は,Andersen〔 5〕 が 2値 項 目か らなるバ ッテ リで観測 されたデータによって解個 の潜在母集団における潜在変量 の種々の分布の比較を論 じている。 とくに,正 規分布 の仮定 については等平均や等分散 の検定,経 時的な母集団の動的変化の検定 に 2つ の型を考察 し同時 に相関係数 の検定 も論 じている
他方,Stout〔 122〕 は項目反応の理論モデルに関す るノンパ ラメ トリックな分布族 における,,.

潜在特性の探索的方法 として,潜 在空間の単一次元性の仮説に対す る漸近的 に妥当な検定手順を提唱 している.す なわち,一 連 のテス ト項 目の単一次元性 に関す る Lord〔 90〕 の提言 に対 しStout〔 122〕 はなお不充分な現状 を詳述の後,次 元性 に関す る新 しい考察 によって,提 言 した検定法の漸近効率が 1で あることを示 し,同 時 に6300回 のモンテカルロ実験 の結果を示 している,.

2.3 潜在特性 モ デ ル
通常 ,能 力 や 学力 等 を潜在 変量 θで 示 し,そ れ らを測定 す るテス ト 2値 項 目 に対 し θを所与とした ときの正 反応確 率 は θの関数 g(θ )と して,0≦ g(θ )≦ 1を 満 た す単調 (増 また は減 )関 数

を前提 とし,(i)正 規累積モデル (normal ogive model,Lawley〔 80〕 ,Tucker〔 129〕 ,Lord88〕 )と ,そ の累積曲線をおきかえた (五 )ロ ジスティックモデル (Birnbaum〔 19〕〔)が ある
この (五 )の モデルにも母数の異なる数種が提唱され, 1母 数モデルでの推定では,そ れまでの EM法 を工夫したアルゴリズム (Bock&Aitkin〔 22〕 )よ りも,条 件付き最尤推定や周辺最尤推定を工夫したアルゴリズムが勝ること (Thissen〔 126〕 ), 2母 数モデル 03母 数モデル
(Swaminathan&Gi ord〔 123〕 ,〔 124〕 )で は母数の最尤推定 よりもベイズ推定手順の勝ることが示されている.こ のロジスティックモデルを少し簡単にしたものに,(iii)ラ ッシュモデル(Rasch〔 109〕 )が あげられる.こ のモデルの逆変換 は簡素で,計 算アルゴリズムが楽なことが魅力で,し かも能力母数の充分統計量が存在する.Andrich〔 10〕 は,従 来の閾値 (threshold).

の定式化 に関連 して,順 序 カテ ゴ リー に関す る反応評価 の機構 を定式化 し,さ らに母数推定 に具体的な解釈 を与 えてカテゴ リー係数 と多分類反応 に関す るラッシュモ デル の評価関数 を同定している.Muller〔 loO〕 はAndrich〔 lo〕 の連続尺度による一次元潜在特性モデルを拡張しKlauer〔 79〕 はこのモデルにおける能力母数の最良信頼区間を与えている.ま た,線 形制約付
きの 2つ の ロジス テ ィック潜在特性 モ デル LLTM(linear logistic test model)と LLRA,

(linear 10gistic model with relaxed assumptions)が論 じられ,条 件付 き最尤推定 (conditional

ma対 mum likelih00d estimation)ャ こお ける解 の一意性 の必要 かつ充分条件 が示 され,さ らに
このモ デル に関す る複合仮説検定 も論 じられている (Fischer〔 50〕 )。
これ らの潜在特性 モ デル の一般形 について も多 くの提示 が ある.ラ ッシュモ デル に類似 した多成分潜在特性 モ デル (multicompOnent latent trait model,Whitely〔 132〕 )を 一般化 した
モ デル (generalized latent trait model,Embretson〔 43〕 )日本 統 計 学 会 誌

第 22巻

第 3号 (増 刊号 )1993

P(″ ″r=11の ,η ″,″ )
=(α

一

θ

ttL

xp(の

た 一

σ 物

たη 解 た 一流

た 一)/{1+exp(の

二

滋

lε

層

たη ″ た 一

晩

)}〕 十

g,

が提 1昌 されて い る.こ こに,項 ロ グ=1,2,… ,I;因 子 %=192,… ,〃 ;個 人 ノ=1,2,… ,ノ ;θ はで標準化常数 ある
ラッシュモ デルが導入 されて以来 ,こ の変法 や拡張 が種 々に展開 されてい る.各 モ デル は何.

れ も基本的 には指数族 として表現 され,充 分統計量 も有す る.そ の典型的 モデルに,次 の もの
が ある (Masters&wright〔 94〕 ).

(i)ポ アソン計数モデル (Poisson cOunts model,Rasch〔 111〕

)

′υ
P(α υ
ε
ゴ
υ
J)ξ gα εrυ ル)=exp(― ξJ!.

(ii)二 項試行モデル (binomial trials model,Andrich〔 9〕

)

P(″ υ
′
J)″ υ
￨し ,α づ,解 )=″ C幼 :exp{(%― α′}/{1+exp(ら 一働)}″.

(iii)評 価尺度モデル (rating scale model,Andrich〔 10〕 )P(X=″ lβ ,δ ,χ )=exp{χ χ+″ (β ―δ)}ル,

ここに,γ =γ (β ,δ ,″ )=鳳 exp{″ た
十ル
δ
(β 一
)),
χ。
=0,χ χ=― Σ 毎, ″=0,1,… ,物.

(iv)三 分類 モ デル (dichotomOus model)
φttl=expOL― δ
温)/{1+ettp(ι ―δ4)}.

(v)部 分クレジットモデル(partial credit model,Masters〔 92〕 ,Masters&Wright〔 94〕)

このモデルは計数分析法 (Rasch〔 109〕 ),反 復試行法 (Andrich〔 9〕 ),評 価尺度
法 (Andrich〔 lo〕 )を 含み,三 分類反応や多分類反応・カテゴリー境界法・反応程度
法 (Samaima〔 117〕 )と 一貫した考え方をもつ。この部分クレジットモデルは,

一=exp{ム ″
名
″
δ
―
δ
″
)}/ム exp{ム ″π″)},″ =0,1,2,¨ ち
(β

(β

J

で示 され る.こ こに,記法 の上で (ん 一δ″)=0と お く.こ れ は被験者 %が 項 ロ グの 物
鳳
ス テ ップで評点 ″をとる確率 で,δ ″は項 ロ グの プステ ップでの難 しさ,ん は被験者 πの潜在変量 にお ける位置 で ある.デ ー タ行列 による尤度 は,ス =Π πΠゴル″で示 され各母数の推定 は対数尤度関数の最大化 によって行われる
また,一 次元多分類 ラ ッシュモ デル について は,Jansen&Roskan〔 65〕 が反応の三分類 とJ,.

多分類 について,ξ ―不変性の関係 が詳細 に論 じてい る.ま たラ ッシュモ デル にお ける母数推定
は,デ ー タ中のノイズの影響が大 きい こ とか ら,Wainer&Wright〔 130〕 はロバ ス ト推定 としてジ ャックナイフ変法 を提唱 してい る

.

361

潜在構造分析論 の現状

ラッシュモデルを多次元化する拡張に関 しては,多 次元多分類 ラッシュモデル(Rasch〔 110〕 )等があり,Whitely〔 132〕 はデータについて比較的複雑な多成分の情報を必要 とするが,Stegel‐mann〔 121〕 はかなリー般的な拡張を一つのカロ
法性の制約の上で示している.こ の母数の推定は最尤法により,ま たモデルの検定 は尤度比検定による.多 次元ラッシュモデル(multidimen‐
sional Rasch model)に はAndersen〔 6〕 等があるが,最 近 Embretson〔 44〕 は学習過程における多次元ラッシュモデルを提唱 し,異 なった時点や場所 による繰 り返し観測データをとり扱っている.こ のモデルは

一bJ)}
―み
P(幼 。
=11の ,あ ,α たたπ″J)/{1+exp(鳳 αたのπの″)=exp(鳳 αソ
で示 され る.こ の母数推定 は最尤法 により,数 値計算 としてはニ ュー トン=ラ フソン法 による逐次収束計算 によらねばな らない.

混合ラッシュモデルに関 して,van den Wollenberg〔 134〕 は「 2つ の均一なラッシュ・ テ
ス トが同じ母数ベクトルをもち,そ の特性が同一分布にしたがい,さ らにその観測素点に基づいてサンプルを分割したとき,項 目母数の推定量が部分サンプルを通して等 しいという意味で
2つ のテス トの連鎖 は均質なラッシュ分布する」という定理を提唱 した.他 方,Forman〔 52〕
は例証によって上の定理が間違いで,さ らに 2つ の潜在特性の相関が小 さいほど不均質性 は増大することを明かにした.し かし,こ れらの結果 は,項 目母数の推定量の差異が小さければサンプル数が大きくても,Andersen〔 2〕 の尤度上
ヒ
検定統計量 は有意性 を示すことがないのでVan den Wollenberg〔 134〕 は理論的に正確でなくても,実 用的には妥当と述べている。
Westers&Kelderman〔 131〕 は,多 肢選択項目におけるDIF(diferential item functioning)を試験するためのテス ト項目反応の解析法を提唱 している.テ ス トを受ける人の間で,同 じ可能性で正反応を示す確率が一部の人達 には有意 に異なった確率 になるような DIFを 示す項目,,,

が あ る.こ の よ うな項 目をテ ス トか ら除去 し改良 す るため に,DIF項 目の 同定 が重 要 にな る.

このためのDIF探 知法は,Rudner et al.〔 115〕 ,Berk〔 18〕 ,Osterlind〔 104〕 等多くの提唱があり,ま た最近は項目反応理論に基づいたLord〔 90〕 ,Muthen&Lehman〔 103〕 がある
Westers&Kelderman〔 131〕 はThissen θ′αλ〔128〕 よりも簡単で,母 数が少ないことと一つの潜在クラスモデルとして定式化される二つの利点を有している.事 実,Thissenグ α
ム〔
128〕
一
はテスト項目に関して「知らない」
が
が
の
る
の
3つ
の
な
知識
ある
」
状態
,「 部 知識 あ 」,「 完全に区別を入れたモデルを提唱しているが,Westers&Kelderman〔 131〕 はこのモデルの単純化 を提唱 してい るその論文 の多肢選択項 目に関す るモ デル は,あ る母集団か らの被験者 が 力個のテス ト項 目をうけ,項 ロ ノに η種 の中の 1つ の反応 ys,s=192,。 ."符 ,を 回答 した とす る
ここに,そ の人 の潜在反応 を 均 とし,知 識 の有無 によって 均 の値 を 2値 (0,1)で ,均 ,勢.

.

の確 率変 数 を 為 ,路 として,潜 在 反応 均 を与 えた ときの 観 測 反応 坊 の 条 件 付 き確 率 を
χJ yJ=P(坊Oχ1均 )と す る.さ らに,θ を潜在能力,あ を項 ロプの難易度母数 (dimculty parame‐ter)と し,簡 単な1母 数ロジスティックモデルP(均 lθ )=exp{場 (θ 一め}/1+exp(θ ―a)}を 仮Jy′

定 して,勢 と均 がそれぞれ 乃 と θだけに依存するとすると,P(坊 lθ )={00ッ ク

yJ十の タ 均exp(θ ―a)}/{1+exp(θ ―a)}1ッ

均が得 られる.も し項ロプが DIFを 示せば母数 のχ
Jy夕 や難易度母数 あ は全ての部分集団 (sub‐groups)に 対 して同 じ値 をとらないことになる.提 唱 している方法 は不完全潜在クラスモデル(incomplete latent class model)を 使 って DIFを 検証す ることで,尤 度比検定 を漸近的性質
によって χ2検 定す る.ま た,異 なった潜在 クラスモデルの適合度 を比較 して,ラ ッシュモデル

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻

第 3号 (増 刊号 )1993の母数におけるDIFが 試験できる等の研究がある(Kelderman〔 77〕 ,Kelderman&Macready78〕 ).こ のように,多 肢選択項目に関するモデルは潜在 クラスの枠の中で展開され,ま た異な〔った DIF探 知法は潜在変量 を一部の群 として定義 し定式化 される.

3。

潜在 クラ ス分析

3.1 潜在 クラ ス分析 の歴 史的経 緯
潜在 クラ ス分析 (latent class analysis)は 多項 目観測 に よる社 会調査 等 にお い て対 象集 団 中に潜在 す る数種 の クラス を抽 出 し,そ の潜在 クラ ス を解釈 す る 目的 の方法論 として研 究 開発 され て きた.こ れ らの初 期 の潜在 クラス分析 の研 究 は,主 として説 明方程 式 か ら代 数 的 と り扱 いでモデル中の母数を推定する試みであり(Lazarsfeld〔 81〕 ),こ の方程式に対する種々の解法が昌された (Green〔 58〕 ,Anderson〔 8〕 ,Gibson〔 53〕 ,〔 55〕 ,Madansky〔 91〕 ). しかし, こ提口
れらの解法 は取 り扱いが複雑で,し かも不適解の発生が多 く,現在あまり適用されていない
近年 はコンピュータの発展とともに,理 論的に優れた最尤法が母数推定に採用されている.ここでも数値解法の上で不適解の発生 と一意な収東性が主要課題 として間われている.が ,Good‐
man〔 56〕 やDempsterグ αム〔36〕 の EM法 やその変法の適用による最尤推定アルゴリズムが導入 され,潜 在 クラス分析の実データ解析への適用が活発 になってきている.こ の方法 は収東の速さが遅いものの,最 尤推定において不適解 を発生しない効果的な方法である.他 方,For‐man〔 51〕 は潜在 クラスモデルの母数を変換 して最尤推定を行 っている.こ の方法は不適解を防ぐ方法 として注目されている.さ らに,最 近の EM法 による母数推定 に関す る研究 として
Mooijaart&Heijden〔 99〕 力｀ある
潜在 クラス分析の適用には,探 索的分析 (exploratory analysis)と 検証的分析 (conirmatOry
analysis)が あるが,近 年 はより具体的なモデルを導入した検証的分析法の展開が多 く見 られる.ガ ットマン尺度 (Guttman〔 62〕 )を 潜在反応に適用 した潜在距離モデル (Lazarsfeld〔 81〕 )は,モ デルの改良 (Goodman〔 57〕 ,Dayton&Macready〔 33〕 )や 母数推定に関して研究 されている (Proctor〔 106〕 ,Eshima&Asano〔 48〕 ).潜 在反応パターンを分析するための尺度
モデル (scaling mOdel)の 研究 は,Dayton&Macready〔 32〕 ,〔 33〕 ,Price at al.〔 105〕
Rindskoph〔 112〕 ,Clogg&Goodman〔 28〕 ,Eshima〔 45〕 ,〔 46〕 などに含 まれ,デ ータの縮約のための有効な分析法を与 えている。潜在 クラスモデルの拡張 としては,分 布が既知の付随変量 (concomitant variable)を もつ潜在クラスモデルが Dayton&Macready〔 34〕 により提唱 されている.ま た,潜 在 クラスモデルを用いた因果分析 (Goodman〔 56〕 ,Dillon&Goldstein38〕 )も 潜在変量の間の因果関係を説明する上で重要である.そ の他,潜 在 クラスモデルの適〔
応テス トにおける応用 (Dayton&Macready〔 35〕 )も 見 られ,潜 在 クラスモデルの検証的分析法 としての研究が急速 に展開されている現状 にある
.

.

,

.

3。

2 潜 在 クラス モ デル

いま,母 集団 0が ス個の潜在 クラス (latent class)と 呼ばれる部分母集団 Oα ,α =1,2,… ,4,に分割 されているとする.こ こに,χ をカテゴリー {0,1,2,… ,CJ),′ =1,2,… ,Iを 持つ観測項
目を表 し,夕 α
鷲で潜在クラスα内の個人が項目χ にカテゴリカの反応を示す確率を示すとき,

潜在 クラス分析 で は潜在 クラス α内 の各個 人 の項 目 χ ,グ =1,2,… ,Iに 対 す る反 応 は互 に独 立
で あ る と仮 定 す る.こ の局所独立 の仮 定 の意味 で各潜在 クラ ス は均 質 で あ る.υαで潜在 クラス
αの構 成 率 を表 す とき,母 集 団 0内 の個人 が χ =″ J,グ =1,2,… ,Iの 反応 を示 す確 率 ρ(″ ら&,¨°,″ J)=夕 (X=幼 ,′ =1,2,¨ 。
,I)は潜在構造分析論 の現状″
め,¨ ちf)=二 υ
夕
α
α
″
(″ ぁ
エタ

(3.1)

:

で示 され る.こ の方程式で確 率 夕(″ が,乃 ,… ,χ r)を 顕在確率 (manifest prObability),母 数 υ
αやた′を潜在確率 (latent pFObabilility)と 呼 ぶ.潜 在 クラスは顕在変量 χ 間 の相互依存関係 を夕α
説明する潜在概念 で あ り,探 索的分析 では潜在 クラスの個数 は未知 で ある
一般 モ デル (3.1)で は顕在確 率 は Π(CJ+1)‑1個 の独立 な母数 を含 み,潜 在確率 は (4‑1).

十バ Σ CJ― r)個 の 独 立 な 母 数 を も つ.こ の た め に 顕 在 母 数 と 潜 在 母 数 が 識 別 可 能(identinable)で ぁるためには

廻
rCJ+1)‑1≧ (4‑1)+4(ュ

Cゴ

ーI)

の条件 が必要 となる。一般 には,独 立 な顕在母数の数 ≧独立 な潜在母数の数,の 条件 がモデルの識別可能 の必要条件 で ある.実 際のデー タ解析 は上 の条件下 で母数推定 が行われ,推 定 された母数に関 して局所識別可能 (local identinable)の 条件 (Goodman〔 56〕 )が 調べ られる.この条件 は潜在母数を φたとするとき,行 列 (め (χ l,&,… ,″ lMわ た)の ランクが独立な潜在母数の個数に等 しくなることである.こ こに,こ の行列 は顕在母数について行に,潜 在母数について列に並べたものとする.

探索的分析 ではモデル (3.1)に 基 づ きデータか ら母数推定 を行 い,そ の結果 の解釈 を行 う.

他方,検 証的分析 で は対象 とす る現象 に関す る実質科学 での知識 を積極的にモ デル に反映 させて分析 を行 う.そ のために,モ デル (3.1)は 種 々の制約 を受 ける こ とになる.

3.3 潜在距離 モデル
い ま,I個 の 2値 項 目が 1個 の特性 に関す る難易度順 に Xl,ん,… ,為 で示 されてい ると
す る.こ こに 2値 項 目のカテ ゴ リー は oま たは 1と し,χ =oを 負反応 ,χ =1を 正 反応 と呼 ぶことにす る.ガ ッ トマ ンの完全尺度 モ デル (Guttman's perfect scale mOdel)で の反応 パ ターン (Xl,ん ,… 9 Xf)=(″ 1,均 ,… ,駒 )は 次の I+1個 で ある
.

(3.2)

このモ デルで は上 の反応 パ ター ンによ り被験者 の特性 に対す る評価 を行 うが,こ の決定論的 モ
デル は現実 にはほ とん ど存在 せ ず,ガ ッ トマ ンの完全尺度 モ デル の確率 モ デル としての改良が潜在距 離 モ デル (latent distance model)で ある
潜在距 離 モ デル で は I+1個 の潜在順序 クラス (latent Ordered class)を 仮定 し,モ デル (3.
1)で ,α Jl=夕 αづとす るとき
.

α

一 ム

α

２ ＋
︐
ら
︐．
ハ
Ｕ
一
一
一 一

︹
ι︹″・
タ ク

タ

(3.3)

0≦ 沙′≦沙ノ≦1(3.4)の制約 をお く.こ の場合反応 パ ター ン (3.2)に 相 当するものが項 目 (Xl,れ ,…
,為 )に 対す る次の正 反応確率 のパ ター ンで ある.

・・,夕 ′),(夕 1″ ,2ι ,¨・,沙 f),… ,(,1″ ,2〃 ,… ,タ ノ

(夕 lZ,夕 2ι ,・)。

上 のパ ター ンは潜在 クラス 0か ら fま での正反応確率のパ ター ンで ある.こ の意味 で
潜在 クラ
スはクラス 0か らクラス fま で順序付 けされ,潜 在 ガ ッ トマ ン尺度 を構成す る。 また,潜 在順

364

第 22巻 第 3号

日本 統 計 学 会 誌(増 刊号)1993

序 クラ スが 存在 す る場合 は潜在連 続特性 θを仮 定 す る こ とが 可能 で あ る.い ま,θ を与 えた ときの項 ロ ヌLに 関 す る正反応確 率 を ■(θ )と す れ ば,一 ∞ =品 <α <&<… <α <α +l=∞ に対
して
ａ α
＜ ＞
θ θ

Ｌ ︐ ″
タ
タ

θ

■

を仮定 で きる.こ こに θJは 閾値 を表す.上 の仮定 か ら潜在距離 モ デル は潜在特性 モ デル に含 め
る こともで きる.式 (3.3)と (3.4)で 特徴 づ けられ る潜在 クラスモデルの母数推定 については従来不等式条件 (3.4)を 無視 して行 われたが,Eshima&Asano〔 48〕 は))},タ ノ=exp(α Jtt bプ )/{1+exp(α Jtt bJ)},bJ=exp(β グ
夕′=exp(α J)/{1+exp(α 」とす る母数変換 を用 い,未 知母数 の最尤推定 に関 して EM法 を適用 してい る.こ のモ デルで は0<夕 ′<タ ノ<1の条件 が 自動的 に満 たされ,構造化 モ デル (structured model)と 呼 んで い る.さ らに Eshima47〕 では潜在ガ ットマン尺度を用いて多次元の潜在連続特性の評価 を論 じている〔
潜在距離モデルは一般に順序 クラスの存在 を仮定 したモデルヘの拡張が可能である.順 序ク
ラスを特徴づける母数 島,α =1,2,… ,4,が α<α <… <み を満たすとき,正 反応確率 夕″は適.

当な関数
ク″=gづ (a)(3.5)

で示 され る.関 数 θJ(θ )の 与 え方 は個 々の 目的 に応 じて与 える ことが可能 で,任意 の実数 θに対して 0≦ θJ(θ )≦ 1を 満 たす単調増加関数 の採用 が適当である.ま た,関 数 g̀(θ )が 幾 つか の項 目
母数 (item parameter)を 含 む ことも許容 され るが,そ の母数 の数 が比較的少数 で,か つ母数の解釈 が容易 で ある関数 の選択 が重要である.例 えば
gJ(θ )=exp(θ(3。 6)―湯)/{1+exp(θ 一湯)}

=1,2,… ,I,が 成立し,か つ母数 あ はとすれば,(3.5)に 対 して θJ(の <θ が(a)<… <θ J(a), ′項目χ の難易度 を示す.

3。

4 尺度 モデル

尺度 モ デル (scaling mOdel)は 複雑 な 2値 デー タの縮約 のための潜在 クラスモデルで,幾 つかのモ デルが提唱 されて い る.こ こで は各項 目 χ は技術 (skill)Sづ ,グ =1,2ぢ …,Iの 獲得状態 の指標 と見 な し,観 測 は項 目 χlに 対 して行 う。 い ま,

S=化

9糎 [勢 H凝編と規約 すれ ば Sが は真 の技術 獲得状 態 を表 す潜在確 率変数 とな る.顕 在 変 量 (X,ん ,… ,Xr)の標 本 空 間 Xは 一 般 に 2r個 の反応 パ タ ー ン (″ 1,&,… ,″ f)を 含 むが ,潜 在 変 量 (Sl,S2,… ,SI)の標 本空 間 Sは Xの 部 分集合 で あ る.Sの 要素 を潜 在 反応 パ タ ー ン とい う.い ま,

・
υ
,SI))
(s)=P{(Sl,S2,… ,Sr)=(sl,s2,° ・と置 く.こ こに s=(sl,s2,… ,Sf)で あ り,説 明方程 式 は (3.1)に 基 づ き次 の よ うに与 え られ る.

潜在構造分析論 の現状′(″ 1,乃 ,¨・,幼 )=平 υ(SPC嬌 =11Sゴ =sD″ ̀{1‑PC降 =11Sゴ =s))ト エF璧

この モ デ ル にお い て P(χ =01SJ=1)=1‑P(χ =11SJ=1)は 省 略過誤 率 (omission error rate)を示 し,P(χ =11S」 =0)は 侵 入過誤 率 (intrusion error rate)を 表 す .Dayton&Macready32〕 で は
〔

一
一

Ｓ

β︐

Ｓ

χ

Ｐ

Ｓ

α

一

(3.7)

を用いている.こ のモデルでは省略過誤率 β と侵入過誤率 αは全ての項目で一定である.ま た
Dayton&Macready〔 33〕 は

,

一
一

Ｓ
Ｓ

ら ρμ
β
一

Ｐ

χ

(3.8)

を提唱 してい る.こ こで は省略過誤率 と侵入過誤率 は項 目毎 に同一の値 βJを とる.こ れ らのモ
デル (3.7)と (3.8)は 制約的で あ り,母 数推定 に関す る便宣上 の制限 と考 えられ る.し か し,Dayton&Macready〔 33〕 は母数の最尤推定においては無意味な推定値 βグ>1や βJ<0な どの
不適解の発生や分析前に仮定 したモデル と推定結果が特定できない場合が起 こることを注意し
ている。
一
一

Ｓ
Ｓ

ｂ

＋

α
１ ︐ ＜
ｐ
＞

＜
ｐ
Ｘ
ｅ

ｐ ＋
ｘ １
ｅ ︲
十 ︺
〃
仁 ぉ
ソ″ ＋
妨 ら

＜
ｐ
Ｘ
ｅ

Ｓ

Ｐ

χ

(3.9)

ｘ
協 ｅ

Eshima〔 45〕 はモデルを提唱 してい る.こ こに,bJ=exp(β ゴ),こ こで は母数 αザが項 目 χ へ の侵入過誤の効果 を示 しみJは 技術 s′ の獲得 による項 目 XJに 対 する正反応 へ の効果 を表す.こ のモ デルでは省略過誤率,と侵入過誤率 が項 目毎 に異 な り,か つ(3.10)

P(X′ =11Sグ =1)>P(XJ=11Sづ =0)が成立する.条 件 (3.10)は 母数推定後に仮定 したモデルを特定するために重要である.構 造化モデル (3.9)の 最尤推定法はEshima〔 45〕 に与えられ,こ の推定アルゴリズムで収束すれ
ば,Dayton&Macready〔 33〕 に述べ られている不適解を導出しない。母数推定後の結果解釈も重要であり,そ の議論はEshima〔 46〕 に与 えられている.ま た標本空間Sが (3.2)の パターンから構成 されるとき潜在尺度モデルは潜在距離モデル となる
その他のモデル として Goodman〔 57〕 は母集団を本質的に測定可能 (intrincical scalable)
な反応者 と本質的に測定不可能な反応者の混合とするモデルを提唱 し,Dayton&Macready33〕
はモデル (3.8)を 用いて Goodman〔 57〕 のモデルを改良 している。Goodman〔 57〕 の〔接近法も有効で,Goodman〔 57〕 のモデルをモデル (3.9)を 用いて改良することも可能である
3.5 その他 の 潜在 クラスモデル.

.

ここで はその他 の潜在 クラス モ デ ル につ い て述 べ る。潜在 クラス モ デ ル の拡 張 として,付 随
変数 を もつ潜在 クラス モ デ ル (concomitant variable latent class model)が Dayton&

Macready〔 34〕 に よって提 唱 され て い る.い ま y=(yl,ち,。
,L)を 付 随変 数 とし,回 帰 モ
デ ル の よ う に y=yb=(ybl,yb2,… ,ybκ ),み =1,2,… ,3が 説 明変 数 として 各 被 験 者 に与 え られて い る とす る. この とき,

i・

第 3号 (増 刊号 )1993

第 22巻

366

日本 統 計 学 会 誌(3.11)

P(χ =幼 ,グ =1,2,¨ ち
fl y=yb)=鳳 υαれ(db)ユ 沙を仮定す る.こ こに,υ (α lb)は y=ybを 与 えたときの潜在 クラスαの構成率である.yが 名義
的変数であれは (3.11)は Clogg&Goodman〔 28〕 に論 じられているような複数の標本群 の同時潜在 クラス分析を与 える.yが 連続変数である場合が重要であり,yの 所与 の値 の潜在 ク
ラス構成率 に対す る効果 の分析が可能である。応用面での発展 は今後 に期待できると考えられる。
連続データの分析 に際 しては,Gibson〔 54〕 によって潜在 プロフィール分析 (latent prO■ leanalysis)が 提唱 されている.こ のモデルの持 つ基本構造 は潜在 クラスモデルの影響を強 く受けて,潜 在 クラスモデルに含 める立場 もある (Bartholomew〔 13〕 ).い ま,顕 在変量 χ ,グ =1,2,
・・・,Iは 連続変量で,母 集団が4個 の潜在 クラスに分割 されているとする.潜 在 クラスαを所与とするとき顕在変量は独立であ り,顕 在変量 χ の分散共分散 は
σ″=yC4)=二 υα{EC務 lα )一 EC■ )}2+鳳 υαyC晩 lα ),σ″=Oυ C■,Xつ =鳳 υα{E(χ lα )― E(χ )}{E(為 lα )一 E(為 )},グ ≠ノ
で与 られ る.こ こに,υ αは潜在 クラス αの構成 率 で ,E(01α )と7(・ lα )は それ ぞれ潜在 クラス

α内 で の平均 と分散 を示 す .い ま,

χ

Ｅ
一

α

χ

Ｅ

χ

α

Ｅ
一

χ

υ

Ｅ

４
﹇
﹁
ん

σ

赫

とすれ ば σ赫 はクラス間分散共分散 を表 し,
一
一 ≠

α

χ

υ

７

︲
４Σ α ０︐７

σと置 けば σヴ″はクラス内分散共分散 を示 す.従 って ΣB=(σ 切),Σ ″=(σ ″7)と 置 くとき,X,・,Iの 分散共分散行列 Σ はグ=1,2,・・
Σ =Σ BttΣ ″12{E(χ
のように分解される.い ま,υ αする」×4行 列をス とすれlα )一 E(χ )}を (グ ,α )成 分 とヤゴ
Σ =44′ +Σ ″と表 現 され ,ま た Σ 7は 正 値対 角行 列 で あ るので ,上 の分解 は因子分析 にお け る分散共分散行
列 の分解 と類似 す る.こ の分析 法 につ い ての研 究 は まだ少 な く,検 証 的分析 法 として の有効 な
モ デ ル と応 用研 究 は今後 の方 向性 で あ る.

4.潜 在構 造 方程 式分析
レ (latent structural silnultaneous equation model)
潜在構 造連立 方程 式 モ デ ク

は, 潜在変367

潜在構造分析論の現状

量を含 む変量間における因果分析 (causal analysis)ま たはパス分析 (pass analysis)と呼ばれ,現 実 に種々の分野で潜在的なシステムにお ける因果関係の解明を目的 とする。 この
分析法
は計量経済学 にお ける回帰論 として内生変数 (endOgeneOus variable)と 外生変数
(exOgeneOus

variable)を 有する連立方程式モデル を,入 力系 と出力系の双方に因子分析的な観点から潜在変量を導入 して現象を解明するもので,Joreskog〔 66〕 ,〔 67〕 ,〔 68〕 ,Sorbon〔 120〕 ,Bentler&
Lee〔 15〕 等 によって提唱されてきたAigner θ′αム 〔1〕 は計量経済学研究者用のハ ン ドブ ックとして,現 象の背景から潜在変量を想定 し,こ れらの変量のもつ種々の方程式モデルの解明 に関す る数理的全容を体系化 し,定式化の上で通論 している.そ こでは,単 純方程式モデル,多 重方程式モデル,同 時方程式モデル,経 済的変動による潜在動的モデル を導入 し,次 いで構造モデル と関数モデルの関係 (Dolby39〕 ),潜 在変量 に関する諸仮定〔,各 場合の構造母数の最尤推定 (Dolby〔 40〕 ),同 定問題,推定効率,超 構造モデル (Dolby〔 41〕 )を 通 して,数 値計算法 と適用例 は含 まないが,一 般的な
潜在連立方程式 に関する優れた解説書をなしている
この解法 は観測変量の集合 に対 し,潜 在的因果関係が潜在変量に存在するとして,共 分散構
造モデル (LISREL model;JOreskog&SorbOm〔 69〕.

.

;Bentler&weeks model;Bentler&
Weeks〔 16〕 )か ら解明するもので,代 表的な Bentler‐ Weeksモ デル は同時 に次の 3式 の存在を前提 とす る.

(i)構 造方程式 モ デル

rt: Bort + y€.
(ii)選 択モデル (selection mOdel) 1/=μ 夕+6η ,X=μ χtt Gχ ξ(iii)完 全モデル (cOmplete mOdel)E(Z)=μ tt Qご び,Z′ =(r,X′.

)。

′′lGッ ′lγ

Σ〃=Gyβ Oγ β
Σソ=cソ β‑lγ OGЪ
Σ″=Gχ OGχ ′,.

ここで,η (2× 1)と ξ(%+1)は それぞれ従属変量・ 独立変量
,あ (%× %)と γ(π ×π)は %個の潜在連立方程式の全ての線形関係 を支配する係数行列,
ス タ×1)と X(σ ×1)は 観測従属変量,Cと の は各行 にただ 1つ の要素が 1で 他 は0の 既知の行列,μχと はそれぞれχ とy乃の平均ベ ク トル,行 列 γ と日 は各要素事 に固定値・制約付 き母数および自由な未知母数を含 むもので,(ii)式 左辺の観測ベ ク トル をもとに (iii)式 の各母数を推定することになる.こ の計算 アルゴ リズムに関 しては,Wiley〔 133〕 ,Joreskog〔 67〕 ,〔 68〕 ,Browne〔 24〕Weeks〔 16〕 ,〔 17〕 が あ り,ま た 市 販 の LIsREL一 ver.7が あ る,Bentler&.最 近 ,こ れ に関 して Ke&Asano72〕 ,〔 73〕 は,Gauss‐ NewtOn法〔,Levenberg― Marquardt法 ,ArmijO法

す る算 法 を研 究 し ソ フ トゥ ェ ァ を公 表 し,真 の パ ス を想,Scaling法 を継 続した
定
例 証 で は上 記 の LISREL‐ ver.7

よ りも良い結果が得 られたと報 じている.何 〔74〕には政府機関による社会調査における本格的応用が数件含 まれている
また,カ テ ゴ リカル な多値変量 に関する構造方程式 モ デル の研究 も近 年盛 んで,Christorerssen〔 26〕 とMuthen〔 101〕 は 2値 データの因子分 モ ル
析 デ (BOck&Lieberman〔 23〕 )を多因子モデルに拡張 し,一 般化最小 自乗法 (GLS,generalized least square methOd)による母数推定法を考察 している.ま た,連 続変 を取 り扱 う共量
分散構造 モデル に対 し,Muthen102〕 は多値変量における構造方程〔式モデル を提唱 し,GLS法 による母数推定を研究 している
い ま,多 値観測変量ベ ク トル を Z=(Zl,Z2,… ,Zp)と し,各 観測変量 Z′ を連続変量 χ の指標
すなわち,力 (グ )=1,2,… ,κ に対 して.

.

,日本 統 計 学 会 誌

Z=力 ),(グ

第 22巻

第 3号 (増 刊号 )1993

砒, →≦χ <αが,ゅ +1を仮定す る.こ こに 後,aの は闘値 である.多 値変量 に対す る構造方程式 モ デル の取 り扱 い は,多変量正規分布 に従 う連続 な変量 ベ ク トル X=(Xl,X2,… ,Xp)に ついて行われ,上 の (i)〜 (iii)′αム 〔85〕 は新 しい試 み として 3に示 す構造 が考察 され る こ とになる.母 数推定 に関 し,Lee θ
段階最小 自乗推定法 を提唱 してい る

.

5.む

す び

情報化社会 の進展・ 自然環境 の保護・ 福祉生活 の改善等 が宣伝 され,種 々の粗情報 が収集 され,国 の内外 でデータ・ ベ ースに よる顕在情報 は日常的 に流通 してい る.こ れらの多面的 な顕在資料 によって,社 会科学や 自然科学 の研究者 が,現 象 の潜在的本質 の解明 と顕在的方策 の研究 のために,潜 在構造分析 の方法論 はます ます必 要性 を増す と思われる
しか し,こ のような将来展望 に反 し,適 用 の現況 は必ず しも期待 に即 した ものでない.比 較.

的小 さな心理学 デー タによる実証研究 が主 で,む しろ有効 な適用例 は少 ない と思われ る.現 在の計算機 の性能 も間われ るが,観 念的 な一般形式の適用 による現象解明 には限界 が あ り,解 の一意性や収東性 0計 算速度 も満 足 で きない ことに も一 因が あ ろう.す なわち,潜 在構造分析 と総称 され る探索的方法 が,モ デル の上で も,数 値解法 の上で も,ま た計算速度 の上で も,現 象に応 じた具体的 モ デル の提唱,そ れ に適合 した解法 やアルゴ リズムの展開が必要 となる.実 証の観点 か ら,こ の分野 の理論 と適用 の必要性 に応 じた急速な研究開発 の進展 が望 まれ る.

謝辞 :本 初稿 に有益 な コメ ン トを下 さった上坂 浩 之博 士お よび複数 の査 読者 に心 か ら感謝す
る.
参

考

文

献

[1]Aigner,D.J.,Hsiao,C.,Kapteyn,A.and Wansbeek,T.(1984).Latent variable models in
econometrics,in正 滋%グ わ
力 ″r Eθ οηθπθοθ′πぉ,Vol.iH,ed.by Griliches,Z.and lntriligator,M.D.,
North‐ Holland.
ηZα ι[2]Andersen,E.B.(1973).Conditional inference and multiple choice questionnaires,Bガ 滅,あ ヵ π夕
Psyaθ ′
ο型 ,26,31‑44.
π々
α,38,123‑140.
[3]Andersen,E.B。 (1973)。 A goodness of nt test for the Rasch model,Psyttο %θ ″[4]Andersen,E.B。 (1977).Sumcient statisucs and latent trait models,Psy″ οttθ れ滋 ,42,69‑81.
[5]Andersen,E.B。 (1980).Comparing latent distributions,Psy″ θπιれ物 ,45,121‑134.

[6]Andersen,E.B.(1985).Estimating latent correlations between repeated testings,Pり ∂りθ%α π物,50, 3‑16.

[7]Andersen,E.and Madsen,M.(1977).Estimating the parameters of the latent population distribu‐
tion,ん じλθ,η θ″力α,42,357‑374.

[8]Anderson,To W.(1954).On estimation of parameters in latent,tructure analysis,Psyttθ πι婉物,

19,1‑10.

[9]Andrich,D.(1978a).A binomial latent trait model for the study of Likert style attitude ques―tionaire,Bガ 麻カル π″α′グ 昴
勿厖ι
ttα ″
6α ′α
ηグ S協 麻″εαιPsyθ λθ′σク ,31,84‑98.
[10] Andrich,D.(1978b).A rating forlnulation for ordered response categories,Ps・ y6・ 力θπι′πcたα,43,561‑573.

[11] Andrich,D.(1982)。 An extension of the Rasch model for ratings prOviding both locatiOn anddispersion parameters,Psyθ λθ
夕
7zι ι
カカ
α,47,105‑113.

[12] Arm巧 o,L。 (1966)。

MinimizatiOn of functions having Lipschitz‐ Continuous irst partial derivatives,

RZε ′θ工 腕 ル.,16,1‑3.

[13] Bartholomew,D.J.(1987).Lα ″π′ レυttα bル Mθ グιた απグ nzθ ゎγ 4π α夕sた ,Charles Grimn&

369

潜 在構 造 分析 論 の現状

Compant LTD,London.
[14]Bentler,P.M.(1976).Multistructure statistical model applied tO factor analysis,″ πttQπ α彪
Bc力αυ. 」
マθ
s., 11, 3‑25.

[15] Bentler,P.M.and Lee,S.Y.(1979).A statistical development Of three‐
3万 麻 λ力 πttα ′グ 』物 励″z″̀αmode factor analysis,′S滋 法 ″ι
α′rもじλθ′Qり 32,87‑104.

[16]Bentler,P.M.and Weeks,D.G.(1980).Linear stnlctural equations with latent variables,
Psyε λθπι蒻 滋 ,45,289‑308.

[17]Bentler,P.M.and Weeks,D.G。

(1982).Multivariate analysis with latent variables,助 %グ bθ θ々 グ

Stαム
なにcs,2,747‑771.

%グ みθθカ グ Mθ ttθ て[18]Berk,A.(1982).』 箋ι
お 力γ″θ″循 τクsι β′ω.The Johns HOpkins University'θPress.

[19] Birnbaum,A。 (1968).Some latent trait models and their use in inferring an examinee's ability,
S滋″stica′
ケ
θ
θガθ
s̀ノ 」
Иθ
%滋 ′rヽ′sc。 %ι s,ed.Lord&Novick,Chap.17‑20,Addison‐ Wesley.
̀Ⅳ[20] Bock,R.D.(1972).Estimating
item parameters and latent ability when responses are scOred in
two or more nominal categOries,Psyttθ πι′π物 ,37,29‑51.

[21]Bock,R.D.(1981).Marginal ma対 mum likelihood estimation ofitem parameters:Application of
an EM algorithm,PttQλ θ%グヵ滋 ,46,443‑459.

[22]Bock,R.D.and Aitkin,M.(1981).Marginal ma対 mum likelihood estimation ofitem parameters:
an application of an EM algorith,き2zι 力屹々α,46,443‑459.
、 c力 ο夕[23]Bock,R.D.and Lieberman,M.(1970).Fitting a response model for n dichOtomous scOred items,
Psyθ λθπιttα ,35,179‑197.
[24]Browne,M.W.(1974).Generalized least square estimators in the analysis of cOvariance struc‐tures,Sθ π励 柳

cα η S滋 ″sムエ,8,1‑24.

[25]Brown,M.W.(1984).Asymptotically distribution‐ free method for the analysis of cOvariancestructures,β 万″sカ メθ
πttα ′6/Ma′ あι
222α ttca′ α
πグ S滋ガs"cα J Pりcλ θ:り,37,1‑21.
[26]ChristoFerson,A。 (1975).Factor analysis of dichotomized variables,Psyθ たοπι協 滋 ,40,5‑32.
[27]Cli ,N。 (1979).Test theory without true scores P,P聡 山 οttθ れ 物 ,44,373‑393.

[28] Clogg,C.C.and Goodman,L.A。
Psyttθ %η ι
し歯(1986).On scaling models applied to data frorn several groups,,51,123‑135.

[29]Colonius,H.(1977).On Keats'generalization of the Rasch model,Psyθ

力οπ″効々
α,42,443‑445.
[30] Cressie,N.and HoHand,P.W.(1983). Characterizing the rnanifest probabilities of latent trait
models,P、 山 θπθれ れ 48,129‑141.
reliability":its meaning and determination,Psyttθ πθ″[31]Cronbach,L.J.(1943).Test
πたα,12,1‑16.
[32]Dayton,C.M.and Macready,G.B.(1976).A probabilistic model for validation of behavioral
hierarchies,メ ヽァ θ7η θ
力屹乃α,43, 189‑204.
̀λ[33]Dayton,C.M.and Macready,G.B.(1980).A scaling model with response errors and intrinsicallyunscalable respondents,Pscλ θπθ′
万滋 ,45,343‑356.

[34]Dayton,C.M.and Macready,G.B.(1988).Connomitant‐ variable latent class model,ユ フ%π α′グ ルθ
4π ιη π S″″s″ θα′4ssο θ″″θπ,83,173‑178.
[35]Dayton,C.M.and Macready,G.B.(1992).The application of latent class models in adaptive
testing,Psyttθ ttι 婉 物 ,57,71‑88.

[36]Dempster,A.P。 ,Laird,No M.and Rubin,D.B。 (1977).Ma対 mum likelihoOd from incomplete data
via the EM algorithm,ヵ π″ α′グ ルιRの αJ S滋 麻 ″ια′助 θ売れ 39,1‑38.
[37]Dempster,A.P。 ,Rubin,Do M.and Tsutakawa,R.K.(1981).Estimation in covariance components
models,ル π″ α′げ 厖ι4π ι万6α %S滋 麻 ″6α ′助 ″ι″,76,341‑353.
[38]Dillon,W.R.and Goldstein,M。 (1984).動 rπ 鵬 αttα ル 4%α 夕Sお rノ Иιttθ ゐ α%ノ 五″ ″εα″θπs,JOhn
Wiley and SOns.

[39]Dolby,G.R。 (1972).Generalized least squares and maximum likelihood estimation of nonlinear
functional relationships,ル %フ %α ′グ 厖ιR9ノ α′S滋 ″s″ 6α ′Sθ ε厖机 鳥 34,393‑400.

[40]Dolby,G.R。 (1976a).A note on the linear structural relation when both residual variances are
known,ュ,%物 αιoF ttι 4解 ιttια%S″ 法 ″ ′4sο ι″ガθ471,352‑353.
[41]Dolby,G.R.(1976b).The ultrastructural relation:A synthesis of the functional and structural
relations,Bう0,2zθ ′″乃α,63,39‑50.

370

日 本 統 計 学 会 誌

第 22巻

第 3号 (増 刊 号 )1993[42]de Gruijter,Do N.M.(1985).A note on the asymptotic variance‐ covariance matrix of item
π力α,50,247‑249.
parameter estimates in the Rasch model,Psyθ λθttι ′あοπθ加 物 ,49,175[43]Embretson,S.E.(1984).A general latent trait model for response processes,Psyε‑186.

[44]Embretson,S.E。

(1991).A multidimensional latent trait model for measuring learning and%力 α,56,495‑515.
change,Psyθ λθη ′ttθ[45] Eshilna,N.(1990).Latent class analysis for explaining a hierarchical learning structure,」 θ%η Zα ′J ′飾 ε彪″,20,1‑12.
び 力θ2ρ αη S滋 法 ″々α,30,1‑22.
協υあ御 θ″′[46]Eshima,N。 (1991).Latent scalogram analysis,Bι ノ[47]Eshima,N。 (1992).A hierarchical assessment of latent traits by using latent Guttman scaling,Bcλ αυJθ rmι しれたα, 19,97‑116.

[48] Eshima,N.and Asano,Ch.(1988).On latent distance analysis and the MLE algorithm,3θ
7γzι

′
ηυあ作

ι
7zたα,24, 25‑32.

[49]Fischer,G.H.(1981).On the existence and uniqueness of maximum likelihood estimates in the
π々α,46,59‑77.
′
Rasch inodel,Psyε λθπι[50]Fischer,G.H.(1983).Logistic latent trait models with linear constraints,Psyttθ

πι加 物 ,48,326.

[51]Forman,A.K.(1978).A note on parameter estimation for Lazarsfeld's latent class analysis,
Psyθ λθπι″ 滋 ,43,123‑126.

[52] Formann,A.K.(1987).On the inhomogeneity of a test compounded of two Rasch homogeneous″ 力α,52,263‑267.
subscales,Psyθ 力θπθ[53]Gibson,W.A.(1955).An extension of Anderson's solution for the latent structure equations,
Psyε ttο πι
′
元れ ,20,69‑73.
[54] Gibson,W.A.(1959). Three multivariate models:factor analysis,latent structure analysis andlatent pro■ le analysis,約 ε力θπθ力巧力α,24,229‑252.

[55] Gibson,W.A.(1962).Extending latent class solutions to other variables,Psy″zθηι
π々α,27,73‑81.
ι′[56] Goodman, L.A.(1974). Exploratory latent structure analysis using both identiflable andunidentiflable models,Bjο ,23ι カウルα,61,215‑231.

[57]Goodman,L.A.(1975).A New model for scaling response patterns:an application of thequisi‐ independence

concept,メ θπttα ′グ 厖θ42θ %zi7″ θ
π,70,755‑768.
η S滋法 ″ ′4ssθ θ̀α[58] Green,B.F.(1951). A general solution for the latent class inodel of latent structure analysis,
Psyttθ πι
協 腸 ,16,71‑76.

[59] Guilford, J. P,(1961). Psychological measuremcnt a hundred and twenty‐■ve years later,

Psyttθ πι
し五ha,26,109‑127.

[60]Gulliksen,H.(1961).Measurement of learning and mental abilities,Psyaθ πθ晟 たα,26,93‑107.
[61]Guttman,L.(1950a).The relation of scalogram analysis to other techniques,In S.A.Stouffer,L.
タbγ′
グ ″♭γ〃
Guutman and othё rs,n黙%ππθπ′αηグ Pγcac′ θπ r s滋 グ′ιs勿 鋤 aα ′Psyttο lo酌 ′π ラ
Vol.4,Princeton University Press.

,[62] Guttman,L.(1950b).The basis for scalogram analysis,In S.A.Stouffer,L.Guutman and others,
Mttπ π%θ η′αη′ Pγo磁θあ%rS励 ググ
ιs′ η ttε ″′Psyttθ :o,勿 ″0/JJ Иttγ 〃 ,Vol.4,Princeton
University Press.

[63]細 川耕 治 (1982).Raschモ デ ル に よる潜 在 特性 分 析 ;九 州 大 学 大 学 院 総 合 理 工 学研 究 科情 報 シス テ ム学
専 攻 修 士論 文 集 .
笏物 ,51,357‑373.
[64]JannarOne,R.J.(1986).Coniunct市 e item response theory kernels,Psyttθ πι″[65] Jansen,P,G.W.and Roskam,E.E。 (1987).Latent trait models and dichotomization of graded
responses,Psya力 θπιし山

,51,69‑91.

[66]Joreskog,K.G.(1969).A general approach to co■rmatory maximum likelihood factor analysis,

Psyttθ πι
ttLα ,34,183‑202.
ι

[67]Joreskog,K.G.(1970).A general method for analysis of covariance structures,Bグ

力物 ,51,239
θπι′

‑251.

[68]Joreskog,K.G.(1977).Structural equation models in the social sciences:Speciflcation,estilla―tion and testing.4ヵ ク腕cα′
あηS̀/s″ 麻 ″as,265‑287,North‐ Holland.

[69]Joreskog,K.G.and SorbOm,D。

(1977).Statistical models and methods for analysis of longitudi‐
nal data,Lα ttπ ′ レ笏万αみ′ι
s′ %Sθ εルεη′θMoα θοπθ夕た,North‐ Holland.

371

潜在構 造 分 析 論 の現状[70]Joreskog,K.G.and Sorbom,D。 (1979).4グ υαηε

物 」
%ε わγ 4%absぉ απグ Sttθ 厖″′Eα πι
″θπ

Zθグι
た,Cambridge,MA:ABT.

[71]Joreskog,K.G.and Sorbom,D.(1989).LISREL 71 1/sιγ、 R´ ππG%′ グθ
,MOoresville,IN:

Scientiflc SOftware,Inc.

[72]Ke,H.and Asano,Ch。 (1988).Software system for the analysis Of linear equation model,Res.Rep.
113,Rω .Iπ sム fttπ ″ Iψ 物 .Sθ .,Kyushu University.
[73]Ke,H.and Asano,Ch。 (1991)。 An algorithm for linear structural equation model,動助ω η α%グ″ ″οηsグ η Cθ ″ π滋″θ%α ′S滋 麻 ″εs,Scientist,INC.

[74]何 恵新 ,黄 京 華 ,沈 浩 (1992).調 査研 究 中的統 計 分 析 法 ,北 京 広 播 学 院 出版 社.

[75]Keats,J.A.(197).ApplicatiOns of prOjective transformations to test theory,Pッ
‑360.

∂♭
θπθ
ι
五たα,39,359[76]Kelderman,H。 (1984).Loglinear Rasch model tests,Psふ ο%ct五た ,49,223‑245.
[77]Kelderman,H.(1989).Item bias detection using loglinear IRT,為じλθπι′″物 ,54,681‑697.
[78]Kelderman,H.and Macready,G.B。

(1990).The use Of 10glinear models for assessing differential
item functioning across manifest and latent examinee groups,メοπttα ′グ E″ π ″θηαJ Zttsπ πttι η′,27, 307‑327.

[79] Klauer,K.C.(1991). Exact and best confldene intervals for the ability parameter of the Raschmodel,Psyttθ ttι t薦 ,56,535‑547.

[80]Lawley,D.N.(1943).The application of the ma対

mum likelihood method for factor analysis,

3万 麻 λル πttα ′グ Psyttο ′qク ,33,172‑175.
[81] Lazarsfeld,P.F。 (1950). The logical and matheFnatiCal foundation of latent structure analysis,in

S.A.StOuffer,L.Guttman and others,M銀%″πθ%′ α%グ f笏ググ
″θπI S励 グJ● 物 Sθ aα ′Psyε あο100蒻θTク brld

T夕 しγrr,V01.4,PrincetOn University Press.

[82]Lazarsfeld,P.F。 (1959).助 ムタ%′ Sttε 浅%惚 4π α林 1%Psyttο 12gソ 「 4S″ の グ α≦と′診πθ
ι,S.Koch,ed。

New York:McGrowiHill BOok COmpany,Vol.3,476‑535.
[83]Lazarsfeld,P.F.and Henry,No W.(1968).Lα ″%ι S"%θ ″π 4%α 夕sお ,HoughtOn Mimin,Boston.
[84] Lee,S.Y.and Poon,W.Y。 (1985). Further developments On constrained estimation in analysis ofcovariance structure.

,

7物 θS協″bttcaα π,34,305‑316.

[85]Lee,S.Y.,P00n,W.Y.and Bentler,P.M。

(1990).A three‐ stage estimation procedure for structual
equation models with polytomOus variables,Psy∂ ♭θπθtれ ,55,45‑51.

[86]Lewis,C.(1986).Test theOry and psychometrika:the past twenty‐ ■ve years,きゞ ふ θπθ滋
‑22.

,51,11[87] Liou,ヽ 〔.and Chang,C.(1992). COnstrucing the exact signiflcance level for a person flt statistic,
時 Cλ ο%ι 蒻 物 ,57,169‑181.

[88]Lord,F.M.(1952).A theory of test scores,Psyttθ

παπtt Zο %%ψ力,No.7,17.

[89]Lord,Fo M.(1969).Estimating trueiscore distributions in psychological testing,Psyttο

ttθ 蒻 力α,34,259‑299.

[90]Lord,F,M.(1980)。 Applications of item response theory to practical testing prOblems,Lα
E〃 滋π24ssθ θ″燃 ,Hillsdale,N.J..

η″πθι[91]Madansky,A.(1960).Determinantal methods in latent class analysis,Psyttο %θ れ 物 ,25,183‑198.

[92]Masters,G.N。 (1982).A Rasch mOdel for partial credit scoring,Psyttθ πι蒻 物 ,47,149‑174.
[93]Masters,G.N.and Wright,B.D。 (1982).Constructing a fear‐ of‐ crime variable:a cOmparison of
two Rasch inOdels,Eれ θα″θ%α ′J?ぉ θαπ力αηグ R夕 7り)ι θ″υ6,1,18‑31.

[94]Masters,G.N.and Wright,B.D。 (1984).The essential process in a family of measurement models,Psyθ λθπι′ガ滋 ,49,529‑544.

[95]McHugh,R.B.(1956).Ettcient estimation and local identiflcation in latent class analysis,
Itッ じλθπιヵげたα,21,331‑347.
[96]Meredith,W.(1987).A nOte On latent trait theory and Bowker's test,Psyttθ

πι′
π腸 ,52,269‑271.

[97]Mislevy,R.J。 (1984).Estimating latent distributiOns,時 Chθ ttι ι
えたα,49,359‑381,1984.
[98]Mislevy,R.J.(1986).Bayes mOdel estimation in item response models,ゎ じλθ″θι
五たα,51,177‑195.

[99]Mooijaart,A.and Hettden P.Go M.(1992).The EM algorithm fOr latent class analysis withequahty constraints,fl,̀λ θπιヵヴ々α,57,261‑269.

[100]Muller,H.(1987).A Rasch model for continuous ratings,釣 chθ πι″れ ,52,165‑181.

372

日本 統 計 学 会 誌

第 22巻

第 3号 (増 刊号 )1993[101] Muthen,B.(1978). Contributions to factor analysis of dichotomous variables,Iもπ力α,43,λθ%θ ′ソθ

551‑560.

[102]Muthen,B.(1984).A general Structural equatiOn model with dichotomous ordered categorical,
and continuous latent variable indicators,Psyε[103]Muthen,B.and Lehman,J。

π物 ,49,115‑132.
′
あθ7η θ

(1985).Multiple group IRT modeling:Applications to item bias

´E磁6α ″θ%α J S滋 魔″εs,10,133‑142.

πηZα ′″
analysis,メ θ[104]Osterlind,S.J.(1983).Tes′

6,Beverly Hillsi Sage.
′″π ら′[105]Price,L.A.,Dayton,C.M.and Macready,G.B.(1980).Discovery algorithln for hierarchical屹々α,45,449‑465.
relations,Psyθ λO夕 22θ 力[106]ProctOr,c.H.(1970).A probabilistic formultion and statistiCal analysis for Guttman scaling,θπグπ物 ,35,73‑78.
Psyε λπ々α,40,′λθπι[107] Ramsay,」 .0.(1975).SolVing implicit equations in psychometric data analysis,Psyι
337‑360.

[108]Ramsay,J.O.and Winsberg,S.(1991).Ma対 mum marginal likelihood estimation for semipar―
加ルα,56,365‑379.
πι
acetric item analysis,Psyθ 力ο

[lo9]Rasch,G.(1960).Probabilistic models for some inteligence and attainment tests,Dα
己乃ι
電 ogtttθ ル s″ 滋姥,Cope血 ageLDemmarhenthpsyChobgLtta4‐[110]Rasch,G.(1961).On the meaning of measun

滋 &滋 θ
秒 助

ππα/tS.物 物・.,Univ.Calf.Press.5,119‑147.
S″ ″s′ .α πグ P/abα ら[111]Rasch,G.(1977).On speciflc obieCtiVity:An attempt at formalizing the request fOr generality and
あS″ り ,14,58‑94.
カ グ ′力′フαttο θvalidity of scientinc statement,Dα πおカ ン[112] Rindskoph,D.(1983).A general framework fOr using latent class analysis to test hierarchical and屹々α,48,85‑97.
72zι 力nonhierarchical learning models,Psyθ λθ[113] Rosenbaum,P.R.(1984).Testing the conditiOnal independence and monotonicity assumptions of′
π物 ,49,425‑435.
πι
item response theory,Psyθ 力ο

α,52,217‑233.
%ι れた
es,PSyθ λο[114]Rosenbaum,P.R.(1987).Comparing item characteristic CuⅣ[115] Rudner,L.ヽ 〔.and Getson,P.R.and Knight,D.L.(1980).BiaSed item detection techniques,rEれ 励 παιS滋 法″ ,5,213‑233.

ユ,%η Zα ′の[116] Sanathanan,L.and Blumenthal,S.(1978). The 10gistic rnodel and estimation of latent structure,″″οπ,73,794‑799.
π π S診 麻″ J Assθ θ
ル π″α′グ 厖θ4π ι[117]Sameiima,F.(1973)。

A comment on Birnbaum's three‐ parameter logistic model in the latent traitι
π物 ,38,221‑233.
πι
theory,Psyθ λθ[118]繁 枡算男 (1990).カ テ ゴ リカル デー タの因子分析 ,行 動計量学 ,18,41‑51.
[119]SijtSma,K.and Molenaar,I.W.(1987).Reliability of test scores in nonparametric item response′
π滋 ,52,7997.
theory,Psyθ λOπ ι[120] SorbOm,D.(1974).A general method for studying differences in factor means and factor structureηグ SMα 洵むticα′Psyε λοlo型,27,229‑239.
ica′ αbetween groups,蒻 力愁λ.メθ%η Zα ι2/』 イαttι παし[121] Stegelmann,W。

(1983).Expanding the Rasch inodel to a general model having lnore than one

加物 ,48,259‑267.
dimension,Psyttθ πι[122] Stout, W.(1987).A nonparametric approach for assessing latent trait unidimensionality,
んたα,52,4,589‑617.
θ,%ι ′
Psyθ λ[123]Swaminathan,H.and Gifford,J.W。

(1985).BayeSian estimation in the two‐ parameter logistic

π物 ,50,349364.
″
model,Psyθ あθπθ[124]Swaminathan,H.and Gifford,J.A.(1986).Bayesian estimation in the three‐π物 ,51,589‑601.
′
model,Psyθ λθπθparameter logistic

π々α,49,95‑110.
′θηιθ[125] Tatsuoka,K.K.(1984).Caution indices based on item response theory,Pttcλparameter logistic[126]Thissen,D。 (1982).Marginal ma対 mum likelihoOd estimation for the one‐
′
π
滋
zι
,ο
model,Psy∂,47,175‑186[127]Thissen,D.,Steinberg,L.and Fitzpatrick,A.R.(1989)。

Multiple choice models I The distractors

あ%α ′Mttπ π%ι %′ ,26,161‑176.
are also part of the item,力 π″αJげ Bれ ′[128] Thissen,D.,Steinberg,L.and Fitzpatrick,A.R.(1989).LIultiple choice models:the distractorsπ′
滋ガθηαム Mttπ %aγηι,26,161‑176.
are also part of the item,ユ ,%η 3α ′のFEれε[129]Tucker,L.R。 (1951).Academic ability test.沢 ω κλ nttο π%̀わ %51‑17,Princeton,N.J.:

373

潜在構 造 分析 論 の現状
Educational′ resting Service.

[130] Wainer, H.and Wright, B.D.(1980).Robust estimation of ability in the Rasch model,
Psyε あο%θ ″ 々
α,45,373‑391.

[131]Westers,P.and Kelderman,H.(1991).Examining direrential item functioning due to item
difnculty and alternative attractiveness,Psyθ 力θηoι 力屹々α,57,107‑118.
[132]Whitely,S.E.(1980).Multicomponent latent trait models for ability tests,Psyttθ

πθ′
万力α,45,479‑494.

[133] Wiley,D.E.(1973).The identiflcation problem for structural equation models with unmeasured

variables,Sれ θttπ ′E9多 ″″θπ Лイθル な れ 物θSθ ε″′π .69‑83,Academic Press.

[134]van den wOllenberg,A.L.(1982).Two new test statistics'ル
for the Rasch model,Psyθ

λθ%ι ″
笏腸 ,47,

123‑140.

[135]Yen,W.N.(1985).Increasing item comple対

ty i a possible cause of scale shrinkage for unidimen‐

カルα,50,399‑410.
sional itern response theory,Psyσ λο,η θ′