数理解析研究所講究録 1438 巻 2005 年 198-209

198

Symmetric coinvariant algebras and local Weyl modules
at a double point
京都大学理学研究科数学教室 桑原 敏郎 (Toshiro Kuwabara)
Department of Mathematics,
Kyoto University1

記号とする. triv を自明な表現 sign を指標表現とする,次対称群をとする. $G$ 加二 と $G$ の部分群 $H$
有限群 $G$ に対してその群環をを $H$ 不変部分空間とする. また $H$ 加群 に対して $G$ への誘
に対して
とする.
導表現を
で 次テンソル積を表すとし, $S^{n}(V)$ で
ベクトル空間 $V$ に対して
$S_{n}$$n$$L$$\mathbb{C}[G]$$L$$L^{H}$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{H}^{G}L=\mathbb{C}[G]\otimes_{\mathbb{C}[H]}L$$V^{\otimes n}$

$n$

$n$

次対称積を表すとする.
$e_{k}(x_{1}, \ldots, x_{i})$を $x_{1)}\ldots$ , 簸を変数とする$k$

次の基本対称式とする. 特を変数とする基本対を変数ででに変数を省略したときには,
称式 $e_{i}=e_{i}(x_{1}, \ldots, x_{n})$ を表すとし, またとする基本対称式 $f_{i}=e_{i}(y_{1}, \ldots, y_{n})$ を表すものとする.
を $S$ で $R$ のイデアルとする.
環 $R$ とその部分集合 $S$ に対して,$e_{1},$$\ldots fe_{n}$$x_{1},$$f_{1},$$\ldots,$$x_{n}$$f_{n}$$\ldots,$$y_{1},$$\ldots,$$y_{n}$$\langle S\rangle_{R}$Symmetric coinvariant algebra

2

まず主要な対象である symmetric coinvariant algebra (対称余不変代数)
について解説する. 定義を与える前によく知られた例を見る事にしよう.

よく知られた例$n$変数の多項式環上の対称群$S_{n}$の表現を考える,$\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]\cap S_{n}$$\mathrm{I}99$

ここで$S_{n}$の作用で対称な多項式で原点で 0 となるもの全体を$=\{P\in \mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]^{S_{n}}|P(0, \ldots, 0)=0\}$$\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]_{+}^{S_{n}}$とし, symmetric coinvariant algebra はそれらで生成されるイデアルによる商代数$\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]_{S_{n}}=\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/\langle \mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]_{+}^{S_{n}}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}$$=\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/\langle e_{1}, \ldots, e_{n}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}$奪群の構造を持つ. この構造は比較的と定義する. この代数は自然によく知られていて, 次のような事実がある.
$S_{n}$

Proposition 1(Chevalley).
$\mathbb{C}[S_{n}]$$S_{n}$

加群として$\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]s_{n}$は正則表現に同型である.

Proof. [1] などを参照すること.

口加群の次のような一般化である, つ
ここで我々が考えたいのは上のをアフィン多様体 $M$ の座標環 でおきかえる.
まり上の定義で$S_{n}$$A$$\mathbb{C}[x]$一般化上のアフィン多様体とし, A をを一つ固定すると, はの添加写像 :の添加写像を誘導する. この添加写像も同様にを (必ずしも既約, 被約ではない)$M$

その座標環とする.
の次テンソル積$n$$A$$\epsilon$$\mathbb{C}$$Aarrow \mathbb{C}$$\epsilon$$A$$A^{\otimes n}$と書くことにしよう.
には 次対称群
次テンソル積$.\in:A^{\otimes n}arrow \mathbb{C}$

$A$

の $n$

$A^{\otimes n}$$n$$S_{n}$

が因子のいれかえで作用する:$A^{\otimes n}\cap S_{n}$

この時$S_{n}$の作用で対称な$A^{\otimes n}$の元で$\epsilon$.

で0となるもの全体を$(A^{\otimes n})_{+}^{S_{n}}=\{P\in(A^{\otimes n})^{S_{n}}|\epsilon(P)=0\}$とし, に対する symmetric coinvariant algebra はそれらで生成されるイデアルによる商代数$A$$A_{S_{n}}^{\otimes n}=A^{\otimes n}/\langle(A^{\otimes n})_{+}^{S_{n}}\rangle_{A\otimes n}$200と定義する.
このとき, $A=\mathbb{C}[x]$ とし,$\epsilon$:$Aarrow \mathbb{C}$を $\epsilon(P)=P(0)(P\in A)$ とすると,最初に挙げた例と一致する.
このような一般化は Feigin, Loktev らによって導入された. ([6])

例
いくつかの例を挙げてみよう.
(1)$(d\geq 1)$$A=\mathbb{C}[x]/\langle x^{d}\rangle_{\mathbb{C}[x]}$$\epsilon$:$Aarrow \mathbb{C}$$(P\in A)$$\epsilon(P)=P(0)$とする. このとき $A$ を座標環とするアフィン多様体 $M$ は閉点が一点 0 である 0 次元多様体である. また $d\geq 2$ のとき, $A$ は被約でない.

このとき, $A$ に対する symmmetric coinvariant algebra$A_{S_{n}}^{\otimes n}$は,$A_{S_{n}}^{\otimes n}=\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/\langle e_{1,\}}\ldots e_{d-1}, x_{1}^{d}, \ldots, x_{n}^{d}\rangle_{A\otimes n}$であるが, これは Deconcini-Procesi-Tanisaki 代数と呼ばれる次の工の特別な場合に一致することが示される.

Definition2. 分割$\mu\in P_{n}$

加

に対して,
$k=1,$$\ovalbox{\tt\small REJECT}=\langle e_{m}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{n-k+1}})$$S_{n}$$\ldots,$$\mu_{1}$,$n-k+1-(\mu_{k}’+\mu_{k+1}’+\cdots+\mu_{\mu_{1}}’)\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}$$<m\leq n-k+1$とし,$I_{\mu}$

による商代数$R_{\mu}=\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/I_{\mu}$

を DeConcini-Procesi-Tanisaki 代数と呼ぶ.

Proposition 3. 分割 $\mu=(d^{q}, r)$ (ここで, $n=qd+r,$ $0\leq r<d$ とする)
を の共役とするととし,$\mu’$$\mu$$\mathbb{C}[x_{1,\}}\ldots x_{n}]/\langle e_{1,)}\ldots e_{d-1}, x_{1’\prime}^{d}\ldots.x_{n}^{d}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}--R_{\mu’}$

である.

2$1

Proof. 証明は後ろの Section A を参照せよ.
DeConcini-Procesi-Tanisaki 代数の$S_{n}$

ロ

加群としての構造については,

以下の事実が知られており, 上の命題と合わせて, symmetric coinvariant加群としての構造がえられる.
algebra の$S_{n}$

Proposition 4.
存在する :$\mu=(\mu_{1_{?}}\ldots, \mu_{l})$に対して,$R_{\mu}-\sim \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{\mu_{1}}^{n}\rangle\zeta\cdots\cross S_{\mu_{l}}}^{S}$$S_{n}$

加斗として以下の同型が

triv.
口

Proof. [7] などを参照せよ.
(2)$A=\mathbb{C}[x, y]$$\epsilon$:$Aarrow \mathbb{C}$$\epsilon(P)=P(0,0)$$(P\in A)$

であり, (よこのとき, $A$ を座標環とするアフィン多様体 $M$ は 2 次元平面
原点 $(0, 0)$ での evaluation である. この $A$ に対する symmetric coinvariant
し力は diagonal coinvariant algebra と呼ばれ, その
algebra
上ての構造は Haiman によって示された. ([8]) Haiman による証明は$\mathbb{C}^{2}$$\epsilon$$S_{n}$$\mathrm{I}$$\text{群と}$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$\mathbb{C}^{2}$

スキームの上の連接層を用いた実現によるものであるが一方で rational Cherednik 代数の表現の退化を用いた実現も知られての $n$ 点の Hilbertいる.

([3], [4], [5])主題
これまでに合わせて 3 つの例を挙げたが, この例がこれまでに知られていた symmetric coinvariant algebra の例の全てであった. 我々の symmtricは非常に広いクラスの代数 につ て\not\in 可能
algebracoinvariant$A$$\}_{\mathit{1}}\mathrm{l}$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$であるので上に挙げた例のような比較的簡単な代数に対してだけでなく,

例えば特異性を持ったものについてもその symmetric coinvariant algebraの構造を調べるのはおもしろい問題となりうるだろう.

ただし, 上で挙げた例の場合もそれぞれの symmetric coinvariant alge-$\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}$の構造は全く自明ではない. そこで一般の特異点の場合で考えるので

202はなく, A が二重点を持つ代数曲線の場合を考えることにする. つまり,
$A=\mathbb{C}[x_{?}y]/\langle xy\rangle_{\mathbb{C}[x,y]}$$\epsilon:Aarrow \mathbb{C}$$(P\in A)$$\epsilon(P)=P(0)$を考える. この時 を座標環ととして, syrrimtric coinvariant algebraするアフィン多様体 $M$ は二重点 0 を持ち , はその二重点での evaluation$A$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$\epsilon$

である.

主定理として次の結果を得た.

Theorem 5.

$S_{n}$加群として次の同型がある :$A^{\otimes n}-\sim \mathbb{C}[s_{n}S_{n}]\oplus(n-1)\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{2}^{n}}^{S}$

3

sign.

Local Weyl module

Feigin, Loktev らが前項で定義した一般化された symmetric coinvariant
algebra を導入したのは local Weyl module (局所 Weyl 加胆) というある
無限次元 Lie 代数の表現を考察するためであった. この項では, local Weyl
module について解説を行う.

定義
Section 2 で symmetric coinvariant algebra を定義したのと同様に $M$
を (必ずしも既約, 被約ではない)

上のアフィン多様体とし, をその座標環とする.
の添加写像 :
を一つ固定する.
この時, $g[_{r+1}\otimes A$ は無限次元 Lie 代数となる.
に対し, local
Weyl module
可積分な加群で次の条件を満, はたす cyclic vectorを持つもののうち極大のものである:
$A$

$A$

$\mathbb{C}$$Aarrow \mathbb{C}$$\epsilon$$\lambda\in \mathfrak{h}^{*}$$W_{M}(\epsilon,$$\lambda 1$$\epsilon \mathrm{t}_{r+1}\otimes A$$\epsilon \mathfrak{l}_{r+1}$$v_{0}$$(\mathrm{n}_{+}\otimes P)v0=0$

ただし上で $P\in A,$$h\in \mathfrak{h}$,$(h\otimes P)v_{0}=\lambda(h)\epsilon(P)v_{0}$.

は任意とする.

local Weyl module はの場合に Chari, Pressley によって, 続いて一 ffR の $M$ の場合に Feigin, Loktev によって導入された. ([2], [6])$M=\mathbb{C}$203
Local Weyl module$\epsilon$

symmetric coinvariant algebraの関係$V_{r+1}$

は $g[_{r+1}$ のベクトル表現,$(n\in \mathbb{Z}\geq 0)$ule$\omega_{1}$はその最高ウェイトとする.

$\lambda=n\omega_{1}$と local Weyl modのとき, symmetric coinvariant algebraとは次のように互いに Schure-Weyi 双対になっている.
$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$W_{M}(\epsilon, n\omega_{1})$Theorem 6([6]). 次の$\epsilon \mathfrak{l}_{r+1}$の表現としての同型が存在する :$W_{M}(\epsilon_{2}n\{4\mathit{1}1)-\sim(V_{r+1}^{\otimes n}\otimes A_{S_{n}}^{\otimes n})^{S_{n}}$.

上の定理と我々の主定理 Theorem 5 より $A=\mathbb{C}[x, y]/\langle xy$ ) の場合にlocal Weyl module の輯 の表現としての構造が次の様に定まる.
$+1$

Corollary 7.

$\epsilon \mathfrak{t}_{r+1}$の表現として$W_{M}(\epsilon, n\omega_{1})$焔$V_{r+1}^{\otimes n}\oplus(n-1)(V_{r+1}^{\otimes n-2}\otimes\wedge^{2}V_{r+1})$

は同型である.

4

証明の概略

主定理 Theorem 5 の証明についてその概略を解説しよう. 完全な証明
は原論文 [10] を参照していただきたい. 基本となるアイディアは 3 つある.

自体の代わりにこのフィルターににフィルターを導入し,
まず,
加群の構造
を少し一般化した
関する次数付加群を考える. 第 2 に,を構成する. [7] で DeConcini-Procesi-Tanisakiの商代数を持つの一部の場合を調代数の構造を調べるのに用いたのと同様の方法がの間の完全列を用いて, 第 2 のステップ
べるのに適用できる. 第 3 に,の構造がわかる.
の構造からで調べた$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$S_{n}$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$A^{\otimes n}$$R_{i,j}^{n}$$R_{i,j}^{n}$$R_{i,\dot{g}}^{n}$$R_{i,j}^{n}$$A_{S_{n}}^{n}$

フィルター
次の

$A^{\otimes n}$のフィルター$\{F_{i}A^{\otimes n}\}_{1\leq i\leq n}$を考える:$\ovalbox{\tt\small REJECT} A^{\otimes n}=\sum_{|J|=i}y_{J}A^{\otimes n}$204
ここで, $J=\{j_{1}, \ldots, j_{i}\}$ に対して $y_{J}=yj_{1}\cdots yj_{i}$ とする. このフィルターが自然に誘導される.
のフィルターから$\{F_{i}A_{S_{n}}^{\otimes n}\}_{1\leq i\leq n}$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$

このフィルターはき加群$\mathrm{g}\mathrm{r}A_{S_{n}}^{\otimes n}$は不変であるので, このフィルターに関する次数付と同型となる. また, 次の事は容易にわかる:$S_{n}$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$\mathrm{g}\mathrm{r}_{0}A_{s_{n}^{n}}^{\Phi}=\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]s_{n}-\sim \mathbb{C}[S_{n}]$$\mathrm{g}\mathrm{r}_{n}A_{S_{n}}^{\otimes n}=0$.

従って $1\leq \mathrm{i}\leq n-1$ に対して次の事を示す:Proposition 8. 各$\mathrm{g}\mathrm{r}_{i}A_{S_{n}}^{\otimes n}$$1\leq \mathrm{i}\leq n-1$の構造を調べればよい. 実際にはに対して,$\mathrm{g}\mathrm{r}_{i}A_{S_{n}}^{\otimes n}\simeq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{2}}^{S_{n}}$という$S_{n}$の一般化$1\leq \mathrm{i},$sign加群の同型が存在する.

次節およびその次の節で,の命題を証明する.

$A_{S_{n}}^{\otimes n}$,$j\leq n$$A_{s_{n}}^{\otimes n}$の一般化とその間の完全列を用いて, こ$R_{i,j}^{n}$に対して$A_{S}^{\bigotimes_{n}n}$の一般化$R_{i,j}^{n}=A^{\otimes n}/J_{i_{)}j}^{n}$$R_{i,j}^{n}$を次で定義する:,$J_{i,j}^{n}=\langle f_{1},.\cdot.,f_{j-1},y_{J}(|J|=j)e_{1},...’

e_{i-1},x_{I}(_{1}^{1}I|=i)\rangle_{A\otimes n}$.

はに一致する.
$i=j=n$ のときの構造を調の構造を調べるのは
もちろん一\Re の的についてべるのと同じくらい難しい. しかし, $i+j\leq n+1$ の場合には DeConciniProcesi-Tanisaki 代数に対して [7] で用いられている方法と同様の方法に
よっての構造を調べる事ができる.
$j\geq 1,$ $i+j\leq n+1$ に対してを相異なる数とし,$R_{n,n}^{n}$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$A_{S_{n}}^{\otimes n}$$R_{i,j}^{n}$$R_{i,j}^{n}$$\mathrm{i},$$b_{1},$$\ldots,$$a_{1},$$bj-1\in \mathbb{C}^{\rangle\zeta}$$a_{i-1}\in \mathbb{C}^{\mathrm{x}}$$\ldots$?

も相異なる数とする, このとき,$z_{0}=((\begin{array}{l}a_{1}0\end{array}),$$(\begin{array}{l}a_{i-1}0\end{array}),$$\ldots,$$M^{n}$の点$z_{0}$を$\in M^{n}$$(\begin{array}{l}0b_{1}\end{array}),$$\ldots,$

205とする. 対称群$S_{n}$$S_{n}$

は $M^{n}$ に座標の置換によって作用する.

$W$を$z_{0}$を含むの作用による軌道とすると, $\# W=\#(S_{n}/S_{n-i-j+2})=n!/(n-\mathrm{i}-j+2)!$である.
を $W$ の座標環とする, つまり:

$R_{W}$$I_{W}$$\{P\in A^{\otimes n}|P(z)=0 (z\in W)\})$$=$$=A^{\otimes n}/I_{W}$$R_{W}$.

加群として同型面群となるが,は自然にtriv が存在する.
には全次数 (total degree) によるフィルターが定義できる. このフィのフィルターを考え, それに関する次数付き加ルターから誘導される
とする.

このとき,

$R_{W}$$S_{n}$$S_{n}$$R_{W}-\sim \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{n-i-j+2}^{n}}^{S}$$A^{\otimes n}$$R_{W}$

群を$e_{k},$とする.
$f_{k}\in \mathrm{g}\mathrm{r}I_{W}(1\leq k\leq n)$ および$\mathrm{g}\mathrm{r}R_{W}(=A^{\otimes n}/\mathrm{g}\mathrm{r}I_{W})$( $\# J=$ のは容易にわかるので,と$R_{i,j}^{n}$$x_{I}\in \mathrm{g}\mathrm{r}I_{W}(\# I=\mathrm{i})_{7}y_{J}\in \mathrm{g}\mathrm{r}I_{W}$$\mathrm{g}\mathrm{r}R_{W}$

の間に

加群の全射

$S_{n}$$R_{i,j}^{n}arrow \mathrm{g}\mathrm{r}R_{W}$の次元が $n!/(n-\mathrm{i}-$が存在する. 一方, についての帰納法によって加群$j+2)!$ 以下であると示すことができる. この事実から上の全射がの同型であることが示される.
$n$$R_{\hat{l},j}^{n}$$S_{n}$

Lemma 9.
する :

$i,$

$j\geq 1,$ $\mathrm{i}+j\leq n+1$

に対して以下の$R_{i,j}^{n}-\sim \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{n-i-j+2}}^{S_{n}}$$S_{n}$加群の同型が存在

triv.

完全列
$1\leq \mathrm{i}\leq n-1$に対して, 次の

$S_{n}$

加群の完全列が存在する:.

$0arrow \mathrm{g}\mathrm{r}_{i}A_{S_{n}}^{\otimes n}arrow R_{n-i,i+1}^{n}arrow R_{n-i,i}^{n}arrow 0$

ここで, $R_{n-i,i+1}^{n},$るので$\ovalbox{\tt\small REJECT}$0$R_{n-i,i}^{n}$に対しては Lemma 9 よりその構造がわかってい上の完全列は$-\mathrm{g}\mathrm{r}_{i}A_{S_{n}}^{\otimes n}arrow R_{n-i,i+1}^{n}arrow$$?|$$\mathbb{C}[S_{n}]$$R_{n-i,i}^{n}$$?|$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{2}}^{S_{n}}$triv$\mathrm{r}0$206sign となり, Proposition 8 を得る.
これまでの結果をまとめると,となる. 従って$\mathrm{g}\mathrm{r}_{is_{n}-}A^{\otimes n}\sim \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{2}}^{S_{n}}$$\mathrm{g}\mathrm{r}A^{\otimes n}-\sim \mathbb{C}[\mathrm{o}s_{n}S_{n}]$$\mathrm{g}\mathrm{r}_{i}A_{s_{n}-}^{\otimes n}\sim \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{2}}^{S_{n}}$$\mathrm{g}\mathrm{r}_{n}A_{S_{n}}^{\otimes n}=0$,
sign$(1 \leq \mathrm{i}\leq n-1)$,.

であり, 従って$A^{\otimes n}-\sim \mathrm{g}s_{n}\mathrm{r}$み$s_{n}^{n}-\otimes\sim$$\mathbb{C}[S_{n}]\oplus(n-1)\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{S_{2}^{n}}^{S}$

signと Theorem 5 を得る.

A

Proposition 3 の証明

この節では Proposition 3 の証明を与える. 命題を改めてのせよう.

Definition 10. 分割$\mu\in P_{n}$に対して,$k=1,$$\ldots,$$\mu_{1}$,$n-k+1-(\mu_{k}’+\mu_{k+1}’+\cdots+\mu_{\mu_{1}}’)\}_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}=\{e_{m}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{n-k+1}})$$<m\leq n-k+1$とし,$I_{\mu}$

による商代数$R_{\mu}=\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/I_{\mu}$

を DeConcini-Procesi-Tanisaki 代数と呼ぶ.

Proposition 11.
$A=\mathbb{C}[x]/\langle x^{d}\rangle_{\mathbb{C}[x]}$$\epsilon$:$(d\geq 1)$$Aarrow \mathbb{C}$$\epsilon(P)=P(0)$$(P\in A)$とする. 分割 $\mu=(d^{q}r)\}$ (ここで $n=qd+r,$ $0\leq r<d$ とする) とし,を の共役とすると, $A$ に対する symmetric coinvariant algebra$\mu$$A_{S_{n}}^{\otimes n}=\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/\langle e_{1}, \ldots , e_{d-1}, x_{1}^{d}, \ldots, x_{n}^{d}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}$は DeConcini-Procesi-Tanisaki 代数$R_{\mu’}$に一致する,$\mu’$

207
示すべき事は$\langle x_{1\dot{\prime}}^{d},x_{n}^{d}e_{1},..\cdot.\cdot.’

e_{n}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}=$$\{e_{l}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{n-k+1}})|k=1,\ldots,q+1(k-1)(d-1)<l\leq n-k+1\}_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}=I_{\mu’}$である.

Lemma 12. $(k-1)(d-1)<t\leq n-k+1$ に対して次が成立する:$e_{l}(x_{i_{1)}}\ldots, x_{i_{n-k+1}})\in\langle x_{1}^{d},,x_{n}^{d}e_{1},..\cdot.\cdot.’

Proof.

で$h_{l}(x_{1}, \ldots, x_{\mathrm{i}})$$e_{l}(x_{1,\ldots r}x_{i})$e_{n}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}$.

を変数とする 次の完全対称式とする.
$l$$x_{1},$$\ldots,$$x_{i}$の母関数は$i$$\prod_{j=i}(1-x_{j}t)=\sum_{l}(-1)^{l}e_{l}(x_{1)\}}\ldots x_{\mathrm{i}})t^{l}$であり,$h_{l}(x_{1}, \ldots, x_{i})$

の母関数は

(1)

$\prod_{j=1}^{i}(1-x_{j}t)^{-1}=\sum_{l}h_{l}(\prime x_{1}, \ldots, x_{i})t^{l}$であるので, 変数の部分集合$\{x_{i_{1)}}\ldots, x_{i_{n-k+1}}\}$と, その補集合$\{x_{j_{1}}, \ldots, x_{j\kappa\wedge-1}\}$に対して$\prod_{p=1}^{n}(1-x_{p}t)\prod_{p=1}^{k-1}(1-x_{j_{\mathrm{p}}}t)^{-1}=\prod_{p=1}^{n-k+1}(1-x_{i_{p}}t)$

の

$t$

についての

$l$

次の項を見ると$h_{l}(x_{j_{1}}, \ldots, x_{j_{k-1}})-h_{l-1}(x_{j_{1}}, \ldots, x_{j_{k-1}})e_{1}+\ldots$$+(-1)^{l-1}h_{1}(x_{j_{1}}, \ldots, x_{j_{k-1}})e_{l-1}+(-1)^{l}e_{l}=$$(-1)^{j}e_{l}(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{n-k+1}})$

が成り立つ. よって$e_{l}$($\langle e_{1_{?}}\ldots, e_{n}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1)}\ldots,x_{n}]}$$x_{i_{1}},$$\ldots$

(2)

を法として

, x 昧 k+l)\equiv (-l)lhl$(x_{j_{1’}}\ldots x_{j_{k_{i}-1}})$

(3)

208
である. $l>(k-1)(d-1)$ のとき,
$h_{l}(x_{J1}-, \ldots, x_{j_{k-1}})\in\langle x_{1}^{d}, \ldots x_{n}^{d}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}7$(4)がである事を示そう. 実際 7 (1) よりの次数は $(k-1)(d-1)$ 以下でなに含まれないとするとければならず, $l>(k-1)(d-1)$ に反する.
口(3), (4) により命題が示された.
$h_{l}(x_{j_{1}}, \ldots, x_{j_{k-1}})$$\langle x_{1}^{d}, \ldots, x_{n}^{d}\rangle_{\mathbb{C}[x_{1},\ldots,x_{n}]}$$h_{l}(x_{j_{1}}, \ldots, x_{j_{k-1}})$

逆に, (2) と同様に $1\leq j\leq n$ に対して
$x_{j}^{d}-x_{j}^{d-1}e_{1}+\cdots+(-1)^{d-1}x_{j}e_{d-1}+(-1)^{d}e_{d}=(-1)^{d}e_{d}(x_{1}, \ldots,\hat{x_{j}}, \ldots, x_{n})$であり,$x_{j}^{d}\in I_{\mu^{J}}$$e_{1}$, . . . , e。および$e_{d}(x_{1}, \ldots,\hat{x_{j}}, \ldots, x_{n})$は$I_{\mu}/$に含まれるので,である.

これによって示すべき命題が証明できた.

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