〔研究ノート〕

ペイント理論のベーシックに関するノート「a2=bm=1」の法則

神

Ⅰ

頭

広

好

はじめに

一般に、
「使用するペイントの量（使用量）とそれによって描かれたペイン
トの量は重さにおいて一致しなければならない」1ことは分かりきったことのように思われるが、これについて証明された論文は見当たらないように見える。
ここでは、まず視覚的に捉え易い立体を念頭に置き、3 色における各ペイン
ト使用量の和がそれらを混ぜた混合色の量に等しいことを導く。それにもとづ
いて、何色使用しても重量としてのペイント使用量と混合色の量としての重量がペイントの世界において一致することを明らかにする。

Ⅱ

ペイント使用量と混合色

ペイント使用量が混合色の量と一致することを導くために、まず視覚的に理解し易い 3 色のペイント使用のケースを考える。
ここで使用される 3 つのペイントの体積は使用量と比例しており、その体積は重量とみなされる。この体積は、― 259 ―

Ϙ΢ϱφ࢘༽ྖ͗ࠠ߻৯͹ྖͳҲ஗ͤΖ͞ͳΝ಍͚ͪΌͶɼΉͥࢻְదͶཀྵմ͞͞Ͳ࢘༽͠ΗΖ̑ͯ͹Ϙ΢ϱφ͹ର੷ͺ࢘༽ྖͳർྭ͢ͱ͕Εɼͨ͹ର੷ͺ॑৯͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖηΝߡ͓Ζɽ͠ΗΖɽ͞͹ର੷ͺɼ͞͞Ͳ࢘༽͠ΗΖ̑ͯ͹Ϙ΢ϱφ͹ର੷ͺ࢘༽ྖͳർྭ͢ͱ͕Εɼͨ͹ର੷ͺ

a x  a y  a z a ( x  y  z)   ͠ΗΖɽ͞͹ର੷ͺɼ
2

2

2

2

2
a ͺਜ਼๏‫ܙ‬͹Ҳว͹ௗ͠Νɼx ͺ x ৯͹໚੷
Ͳන͠ΗΖɽ
ਦ̏ࢂল（1） a2 x  a2 y  az a2 ( x ͪͫ͢ɼ
y  z) 

༽ྖɼ y ͺ y ৯͹໚੷౲ͪΕ࢘༽ྖɼ z ͺ z ৯͹໚੷౲ͪΕ࢘༽ྖΝͨΗͩΗࣖで表される。
（図ਦ̏ࢂল
1 参照）ただし、aは正方形の一辺の長さを、xは x 色の面a ͺਜ਼๏‫ܙ‬͹Ҳว͹ௗ͠Νɼx ͺ x ৯͹໚੷
Ͳන͠ΗΖɽ ͪͫ͢ɼ
Δ͹࢘༽ྖͺର੷ͳ͢ͱ͹߶͠Νࣖͤɽ 1 d a ɼ 1 d x ɼ 1 d y ɼ 1 d z Ͳ͍Ζɽ Ґz 色の面積当たり使用量
積当たり使用量、yは y 色の面積当たり使用量、z༽ྖɼ৯͹໚੷౲ͪΕ࢘༽ྖΝͨΗͩΗࣖz ͺzはy ͺ y ৯͹໚੷౲ͪΕ࢘༽ྖɼをそれぞれ示す。これらの使用量は体積としての高さを示す。1閏a、1閏x、Ҳ๏ɼ̑ͯ͹Ϙ΢ϱφΝ༽͏ͪࠠ߻৯ͳͨ͹ྖͺ
d y ɼ1 d z Ͳ͍Ζɽ ҐΔ͹࢘༽ྖͺର੷ͳ͢ͱ͹߶͠Νࣖͤɽɼ 1Ͳන͠ΗΖɽͪͫ͢ɼ͞
1 d a ɼ1 db xxyz
3

1閏y、1閏z である。（以下同様）

Ҳ๏ɼ̑ͯ͹Ϙ΢ϱφΝ༽͏ͪࠠ߻৯ͳͨ͹ྖͺ
xyz Ͳන͠ΗΖɽͪͫ͢ɼ͞
で表される。ただし、一方、3 つのペイントを用いた混合色とその量は b33xyz b৯͹௜๏ର
xyz ਦ̐ࢂল ͶͨΗͩΗ͹ഔ਼ b Ν৒ͣͪ΍͹Ͳ͍Ζɽ
3

これは混合色の直方体 xyz（図 2 参照）に倍数 b3を乗じたものである。

͞͞Ͳɼର੷ͳ॑ྖ͗ർྭదͲ͍Εɼ̑৯͹Ϙ΢ϱφ͹֦࢘༽ྖ͹࿪͗ͨΗΔb 3 Ν৒ͣͪ΍͹Ͳ͍Ζɽ৯͹௜๏ରxyz ਦ̐ࢂল ͶͨΗͩΗ͹ഔ਼
ここで、体積と重量が比例的であり、3色のペイントの各使用量の和がそれΖࠠ߻৯͹॑ྖͳ౵͢͏͞ͳ͖Δɼ
ら 3 色からなる混合色の重量と等しいことから、
͞͞Ͳɼର੷ͳ॑ྖ͗ർྭదͲ͍Εɼ̑৯͹Ϙ΢ϱφ͹֦࢘༽ྖ͹࿪͗ͨΗΔ（2） 
a x  a y  a z a ( x  y  z) b xyz 
Ζࠠ߻৯͹॑ྖͳ౵͢͏͞ͳ͖Δɼ
Ͳන͠ΗΖɽ
Ͳන͠ΗΖɽ
で表される。
a2 x  a22y  a32 z a2 ( x 2 y 3 z) b3 xyz   
 1ͳ͢ͱɼ࠹ঘ  ୱҒ͹ਜ਼๏‫ܙ‬Ν఼ͲͳΔ͓ɼ
a b Ήͪͺ
a 3=1b として、最小
͞͞Ͳɼ
a2=b
1 単位の正方形を点でとらえ、
ここで、a22=b33または23a b Ήͪͺ
a b 1ͳ͢ͱɼ࠹ঘ  ୱҒ͹ਜ਼๏‫ܙ‬Ν఼ͲͳΔ͓ɼ͞͞Ͳɼ
x、y、z͞Ηͺɼઁஸ
Ͷ͕͜ΖϘ΢ϱφཀྵ࿨͹‫خ‬ຌͲ͍Ζɽをペイント使用量とすると、（2）から、量と色を同時に扱うペイントΝϘ΢ϱφ࢘༽ྖͳͤΖͳɼ
ʤʥ͖Δɼྖͳ৯Νಋ࣎Ͷѽ͑Ϙ΢ϱφ͹੊ֆͶ͕
の世界において、量から色への変換式は、ΝϘ΢ϱφ࢘༽ྖͳͤΖͳɼ
ʤʥ͖Δɼྖͳ৯Νಋ࣎Ͷѽ͑Ϙ΢ϱφ͹੊ֆͶ͕͖Δ৯΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼ͞Ηͺɼઁஸ  Ͷ͕͜ΖϘ΢ϱφཀྵ࿨͹‫خ‬ຌͲ͍Ζɽ͖Δ৯΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼ x  y  z o xyz    （3）Ͳࣖ͠ΗΖɽҲ๏ɼ৯͖Δྖ΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼ
x  y  z o xyz    
2

2

2

2

3

で示される。一方、色から量への変換式は、

Ͳࣖ͠ΗΖɽҲ๏ɼ৯͖Δྖ΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼ
xyz o x  y  z                   
xyz o x  y ͕Γ;z     ͺྖͳ৯Νಋ࣎Ͷѽ͑Ϙ΢ϱφ͹੊ֆͶ͹Ί੔ཱིͤΖ（4）
Ͳࣖ͠ΗΖɽ

Ͳࣖ͠ΗΖɽ  ͕Γ;  ͺྖͳ৯Νಋ࣎Ͷѽ͑Ϙ΢ϱφ͹੊ֆͶ͹Ί੔ཱིͤΖで示される。
（3）および（4）は量と色を同時に扱うペイントの世界にのみ成立する。
ここで、現実において私たちが使用する 3 色のペイント量の合計がそれらによる混合色のペイント量と一致していることを踏まえ、ペイント使用量としての立体の中に a2=b3=1 は自動的に組み込まれていることを意味している。または、a2=b3になるようなメカニズムが作用しているのかも知れない。すなわ― 260 ―

 x  y  z o xyz    ࣖ͠ΗΖɽҲ๏ɼ৯͖Δྖ΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼͲࣖ͠ΗΖɽҲ๏ɼ৯͖Δྖ΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼ
xyz o xxyz
 yo
 zx  y  z               

ࣖ͠ΗΖɽ
 ͕Γ;
 ͺྖͳ৯Νಋ࣎Ͷѽ͑Ϙ΢ϱφ͹੊ֆͶ͹Ί੔ཱིͤΖɽ
ペイント理論のベーシックに関するノートͲࣖ͠ΗΖɽ ͕Γ;
 ͺྖͳ৯Νಋ࣎Ͷѽ͑Ϙ΢ϱφ͹੊ֆͶ͹Ί੔ཱིͤΖɽ       
図2
混合色の直方体  ਦ̐ࠠ߻৯͹௜๏ରਦ̏̑ͯ͹Ϙ΢ϱφ࢘༽ྖ͹௜๏ର   ਦ̐ࠠ߻৯͹௜๏ର

図 1 3 つのペイント使用量の直方体ਦ̏̑ͯ͹Ϙ΢ϱφ࢘༽ྖ͹௜๏ର
ち、正方形の低面積（使用量の調整）＝混合色の体積の倍数（量の調整）にな͞Ͳɼ‫ࣰݳ‬Ͷ͕͏ͱࢴͪͬ͗࢘༽ͤΖ̑৯͹Ϙ΢ϱφྖ͹߻‫ͨ͗ܯ‬ΗΔͶΓΖࠠ߻৯͹͞͞Ͳɼ‫ࣰݳ‬Ͷ͕͏ͱࢴͪͬ͗࢘༽ͤΖ̑৯͹Ϙ΢ϱφྖ͹߻‫ͨ͗ܯ‬ΗΔͶΓΖࠠ߻るようなメカニズムである。
a 2 b3a 2 1 b΢ϱφྖͳҲ஗͢ͱ͏Ζ͞ͳΝಁΉ͓ɼϘ΢ϱφ࢘༽ྖͳ͢ͱ͹ཱིର͹஦ͶϘ΢ϱφྖͳҲ஗͢ͱ͏Ζ͞ͳΝಁΉ͓ɼϘ΢ϱφ࢘༽ྖͳ͢ͱ͹ཱིର͹஦Ͷ
これについては、図 1 を上から垂直に押しつぶすと、その底面は色が混じり

2a b aͶ͵ΖΓ͑͵ϟΩωࣙಊదͶૌΊࠒΉΗͱ͏Ζ͞ͳΝқັ͢ͱ͏ΖɽΉͪͺɼ
あって混合色 xyz となり、押しつぶされたペイント使用量は正方形から溢れ出
b3 Ͷ͵ΖΓ͑͵ϟͺࣙಊదͶૌΊࠒΉΗͱ͏Ζ͞ͳΝқັ͢ͱ͏ΖɽΉͪͺɼ

23

される。それゆえ、ペイント使用量の面積を正方形の面積 a2で割った値が混Ϟ͗ࡠ༽͢ͱ͏Ζ͹͖΍எΗ͵͏ɽͤ͵Κͬɼਜ਼๏‫ܙ‬͹ఁ໚੷࢘༽ྖ͹௒੖
ʻࠠ߻৯θϞ͗ࡠ༽͢ͱ͏Ζ͹͖΍எΗ͵͏ɽͤ͵Κͬɼਜ਼๏‫ܙ‬͹ఁ໚੷࢘༽ྖ͹௒੖
ʻࠠ
合色の立体の倍数 b3と一致することになる。ただし、ここでの容器はオブラー
ର੷͹ഔ਼
ྖ͹௒੖
Ͷ͵ΖΓ͑͵ϟΩωθϞͲ͍Ζɽ͹ର੷͹ഔ਼
ྖ͹௒੖Ͷ͵ΖΓ͑͵ϟΩωθϞͲ͍Ζɽ
トの様なものでできている。（以下同様）

ΗͶͯ͏ͱͺɼਦ Ν৏͖Δਪ௜Ͷԣͯ͢΁ͤͳɼͨ͹ఊ໚ͺ৯͗ࠠͣΕ͍ͮͱࠠ߻৯
͞ΗͶͯ͏ͱͺɼਦ Ν৏͖Δਪ௜Ͷԣͯ͢΁ͤͳɼͨ͹ఊ໚ͺ৯͗ࠠͣΕ͍ͮͱࠠ
さらに、押しつぶされたペイント使用量は均等に拡散することを想定して、
yz ͳ͵Εɼԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ࢘༽ྖͺਜ਼๏‫͖ܙ‬ΔᷕΗड़͠ΗΖɽͨΗΑ͓ɼϘ΢xyz ͳ͵Εɼԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ࢘༽ྖͺਜ਼๏‫͖ܙ‬ΔᷕΗड़͠ΗΖɽͨΗΑ͓ɼ
それがほぼ円形に拡がるとすると、‫ܙ‬Ͷ֨͗ΖͳͤΖͳɼ2a 2 Ͳׄͮͪ஍͗ࠠ߻৯͹ཱིର͹ഔ਼b 3 ͳҲ஗ͤΖ͞ͳφ࢘༽ྖ͹໚੷Νਜ਼๏‫ܙ‬͹໚੷
ab 3 ͳҲ஗ͤΖͲׄͮͪ஍͗ࠠ߻৯͹ཱིର͹ഔ਼
ϱφ࢘༽ྖ͹໚੷Νਜ਼๏‫ܙ‬͹໚੷
S r2
3
（5）
b    
2a͵Ζɽͪͫ͢ɼ͞͞Ͳ͹༲‫ح‬ͺΨϔϧʖφ͹༹͵΍͹ͲͲ͘ͱ͏ΖɽҐԾಋ༹Ͷ͵Ζɽͪͫ͢ɼ͞͞Ͳ͹༲‫ح‬ͺΨϔϧʖφ͹༹͵΍͹ͲͲ͘ͱ͏Ζɽ
ҐԾಋ༹


2
ΔͶɼԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ࢘༽ྖͺ‫ۋ‬౵Ͷ֨ࢆͤΖ͞ͳΝ૟ఈ͢ͱɼͨΗ͗Ά·ԃ͠ΔͶɼԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ࢘༽ྖͺ‫ۋ‬౵Ͷ֨ࢆͤΖ͞ͳΝ૟ఈ͢ͱɼͨΗ͗Ά
͗੔ཱིͤΖɽͪͫ͢ɼ r ͺ֨ࢆͪ͢Ϙ΢ϱφ͹ԃ‫ܙ‬͹ൔ‫ܚ‬Νࣖͤɽ͠ΔͶ a

― 261 ―



 ͖Δ


2

2 2

  ‫ܙ‬Ͷ֨͗ΖͳͤΖͳɼ‫ܙ‬Ͷ֨͗ΖͳͤΖͳɼ

SS rr 22bb33  
  aa22‫ܙ‬Ͷ֨͗ΖͳͤΖͳɼ
S r ͗੔ཱིͤΖɽͪͫ͢ɼ
‫ܙ‬Ͷ֨͗ΖͳͤΖͳɼaa 2r ͺ֨ࢆͪ͢Ϙ΢ϱφ͹ԃ‫ܙ‬͹ൔ‫ܚ‬Νࣖͤɽ͠ΔͶ
͗੔ཱིͤΖɽͪͫ͢ɼ
b3  r ͺ֨ࢆͪ͢Ϙ΢ϱφ͹ԃ‫ܙ‬͹ൔ‫ܚ‬Νࣖͤɽ͠ΔͶ
2
2

2は拡散したペイントの円形の半径を示す。さらに2
aS r が成立する。ただし、r3
2 b 3   2a
͖Δおよび（5）から
͖Δ
a =b͗੔ཱིͤΖɽͪͫ͢ɼ
r ͺ֨ࢆͪ͢Ϙ΢ϱφ͹ԃ‫ܙ‬͹ൔ‫ܚ‬Νࣖͤɽ͠ΔͶ a 2 b3 ͕Γ;
2
2 2 r ͺ֨ࢆͪ͢Ϙ΢ϱφ͹ԃ‫ܙ‬͹ൔ‫ܚ‬Νࣖͤɽ͠ΔͶ a
͗੔ཱིͤΖɽͪͫ͢ɼ
 S
 ͖Δ
  
S rr 2 ((aa2 ))2 

2b3 ͕Γ;
（6）

 ͖Δ
2

  S r Ͳන͠ΗΖɽ(a2 )2 
で表される。
（図ਦ
3 参照）
 ࢂল
Ͳන͠ΗΖɽ
ਦ
ࢂল（6）は押しつぶされたペイント使用量が正方形の面 ͺԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ࢘༽ྖ͗ਜ਼๏‫ܙ‬͹໚੷ͺԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ࢘༽ྖ͗ਜ਼๏‫ܙ‬͹໚੷

22
積の二乗で拡がっていくことを示唆している。
  
 S r͗ͮͱ͏͚͞ͳΝࣖࠨ͢ͱ͏Ζɽ(a2 )ਦ
Ͳන͠ΗΖɽ ࢂল   ͺԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ࢘༽ྖ͗ਜ਼๏‫ܙ‬͹໚੷͹್৒Ͳ֨͗ͮͱ͏͚͞ͳΝࣖࠨ͢ͱ͏Ζɽ2

3

2

bb3 11ͳ͢ͱ࠹ঘ
ͳ͢ͱ࠹ঘ  ୱҒ͹ਜ਼๏‫ܙ‬Ν‫ݸ‬Ε͵͚ۛ͏఼ͳ͢ͱଌ͓ΖୱҒ͹ਜ਼๏‫ܙ‬Ν‫ݸ‬Ε͵͚ۛ͏఼ͳ͢ͱଌ͓Ζ

ちなみに、a =b =1 として最小 1 単位の正方形を限りなく近い点として捉͗ͮͱ͏͚͞ͳΝࣖࠨ͢ͱ͏ΖɽͲන͠ΗΖɽ ਦ  ࢂল
 3  ͺԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ࢘༽ྖ͗ਜ਼๏‫ܙ‬͹໚੷͹್৒Ͳ֨
2

ͬ͵ΊͶɼ
a
ͬ͵ΊͶɼ aえると、͗ͮͱ͏͚͞ͳΝࣖࠨ͢ͱ͏Ζɽ2
b3 1ͳ͢ͱ࠹ঘ  ୱҒ͹ਜ਼๏‫ܙ‬Ν‫ݸ‬Ε͵͚ۛ͏఼ͳ͢ͱଌ͓Ζͳɼͬ͵ΊͶɼ a
22 3

aa
ͬ͵ΊͶɼ
ab
2

11
ͳ͢ͱ࠹ঘ  ୱҒ͹ਜ਼๏‫ܙ‬Ν‫ݸ‬Ε͵͚ۛ͏఼ͳ͢ͱଌ͓Ζͳɼ

1 | 0.564   
a r 1| 0.564   （7）
 r  r|0.564
SS  
S
Sa 2
S1S
 r ΝಚΖɽ ਦ  x ɼ y ɼ z ͺୱ͵ΖϘ΢ϱφ࢘༽ྖΝࣖ͢ͱ| 0.564ࢂলx ɼ y ɼ z ͺୱ͵ΖϘ΢ϱφ࢘༽ྖΝࣖ͢ͱ͏Ζ͞ͳͶΝಚΖɽ ͞͹৖߻ɼ
x ɼ y ɼ z ͺୱ͵ΖϘ΢ϱφ࢘༽ྖΝࣖ͢ͱΝಚΖɽࢂল   ͞͹৖߻ɼ͞͹৖߻ɼSਦ  ࢂল
S ਦ4 を得る。
（図参照） この場合、x、y、z はそれぞれ単なるペイント使用量を
͵Ζɽ
͵Ζɽ
ΝಚΖɽ
ਦ  ࢂল   ͞͹৖߻ɼ x ɼ y ɼ z ͺୱ͵ΖϘ΢ϱφ࢘༽ྖΝࣖ͢ͱ͏Ζ͞ͳͶ͵Ζɽ2

示していることになる。

 ͵Ζɽ




  

ਦ  ԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ͹‫ܙ‬য়     ਦ̒ ఼ͳ͢ͱ͹Ϙ΢ϱφ͹‫ܙ‬য়   ਦ  ԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ͹‫ܙ‬য়     ਦ̒ ఼ͳ͢ͱ͹Ϙ΢ϱφ͹‫ܙ‬য়
図 3 押しつぶされたペイントの形状
図 4 点としてのペイントの形状

  
bm
ਦ

ԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ͹‫ܙ‬য়




ਦ̒
఼ͳ͢ͱ͹Ϙ΢ϱφਦ  ԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ͹‫ܙ‬য়     ਦ̒ ఼ͳ͢ͱ͹Ϙ΢ϱφ

  

2
͞͞Ͳɼ̑৯͹ίʖηΝ n ৯ΉͲ͹ m ‫ݺ‬͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖηͶ֨୉͢ͱ΍ aa bn ৯ΉͲ͹m ‫ݺ‬͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖηͶ֨୉͢ͱ΍͞͞Ͳɼ̑৯͹ίʖηΝ
n 色までの
m 個のペイント使用のケースに拡大しここで、3 色のケースを
2
m
1 ͗੔ཱིͤΖͳ͢ͱɼϘ΢ϱφ͹੊ֆͶ͕͏ͱɼྖ͖Δ৯΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼΉͪͺ a  b2mΉͪͺ a͞͞Ͳɼ̑৯͹ίʖηΝnn ৯ΉͲ͹x  y ͞͞Ͳɼ̑৯͹ίʖηΝz  b  n1 ͗੔ཱིͤΖͳ͢ͱɼϘ΢ϱφ͹੊ֆͶ͕͏ͱɼྖ͖Δ৯΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼ
o xyz n 
 ― m
―262
m ‫ݺ‬͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖηͶ֨୉͢ͱ৯ΉͲ͹‫ݺ‬͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖηͶ֨୉͢ͱ2m

Ͳࣖ͠ΗΖɽx y zͲࣖ͠ΗΖɽ
Ήͪͺ a

Ήͪͺ a

 n o xyz
22

m
m

bb

n   11͗੔ཱིͤΖͳ͢ͱɼϘ΢ϱφ͹੊ֆͶ͕͏ͱɼྖ͖Δ৯΃͹ร͗੔ཱིͤΖͳ͢ͱɼϘ΢ϱφ͹੊ֆͶ͕͏ͱɼྖ͖Δ৯΃͹รਦ  ԣͯ͢΁͠ΗͪϘ΢ϱφ͹‫ܙ‬য়     ਦ̒ ఼ͳ͢ͱ͹Ϙ΢ϱφ
͞͞Ͳɼ̑৯͹ίʖηΝ n ৯ΉͲ͹ m ‫ݺ‬͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖηͶ֨୉͢ͱ
ペイント理論のベーシックに関するノートても a2=bmまたは a2=bm=1 が成立するとして、ペイントの世界において、量a b 1 ͗੔ཱིͤΖͳ͢ͱɼϘ΢ϱφ͹੊ֆͶ͕͏ͱɼྖ͖Δ৯΃͹รΉͪͺから色への変換式は、
2mn   （8）

一方、色から量への変換式は、
Ҳ๏ɼ৯͖Δྖ΃͹ร‫ࣞ׷‬ͺɼ xyz n o x  y  z   n   （9）x y z

 n o xyz

Ͳࣖ͠ΗΖɽ
で示される。

Ͳࣖ͠ΗΖɽ
で示される。

上記において、すべての量および数が自然数表示とすれば、a =b の場合はa b ͹৖߻ͺ m৏‫ى‬Ͷ͕͏ͱɼͤ΄ͱ͹ྖ͕Γ;਼͗ࣙષ਼නࣖͳͤΗͻɼ
2

m

2

m

m によって a または b が無理数になることもあり、変換式の不変性を考慮す
2m=1 でなければならない。したがって、ペイントの世界において、 a 2
ると、aa Ήͪͺ=bb ͗ໃཀྵ਼Ͷ͵Ζ͞ͳ΍͍Εɼร‫ࣞ׷‬͹෈ร੓ΝߡྂͤΖͳɼ
2

bm

m

「a =b =1」の法則が成り立っていると考えることができる。

総じて、私たちが使用する色の量の中に目には見えない共通する 1 単位の正b 1 ʱ͹๑ଉ͗Ηͻ͵Δ͵͏ɽͪ͗ͮ͢ͱɼϘ΢ϱφ͹੊ֆͶ͕͏ͱɼʰa2m

方形の底面積を有する容器が入り込んでいるのである。ただし、容器の高さは

ͱ͏Ζͳߡ͓Ζ͞ͳ͗Ͳ͘Ζɽ
ペイント使用量によって決まる。ここで、ペイント使用量における容器の底面

૱ͣͱɼࢴͪͬ͗࢘༽ͤΖ৯͹ྖ͹஦Ͷ໪Ͷͺ‫ڠ͏͵͓ݡ‬௪ͤΖ ୱҒ͹ਜ਼๏
積を長方形にしなかったのは、面積の両辺を同時に収束させたときに、正方形Ν༙ͤΖ༲‫͗ح‬೘ΕࠒΞͲ͏Ζ͹Ͳ͍Ζɽͪͫ͢ɼ༲‫ح‬͹߶͠ͺϘ΢ϱφ࢘༽ྖ
の方が点として扱い易いためである。

݀ΉΖɽ͞͞ͲɼϘ΢ϱφ࢘༽ྖͶ͕͜Ζ༲‫ح‬͹ఊ໚੷Νௗ๏‫ܙ‬Ͷ͢͵͖ͮͪ͹͹ྈวΝಋ࣎Ͷफ଍ͦͪ͠ͳ͘Ͷɼਜ਼๏‫ܙ‬͹๏఼͗ͳ͢ͱѽ͏ҝ͏ͪΌͲ͍Ζɽ
Ⅲ おわりに,,,本研究において、普遍的な現象（使う量＝使われた量）を説明するには物理͕ΚΕͶຌ‫ڂݜ‬Ͷ͕͏ͱɼ෕ษద͵‫ݳ‬ে ࢘͑ྖ ࢘ΚΗͪྖ Νઈ໎ͤΖͶͺ෼ཀྵָద

学的、数学的な厳密さに欠けているが、われわれが常識と考えていることに対して、そこでは内在している点としてのパラメーター的な役割を有しているも͵‫͠ືݭ‬Ͷܿ͜ͱ͏Ζ͗ɼΚΗΚΗ͗৙ࣟͳߡ͓ͱ͏Ζ͞ͳͶଲ͢ͱɼͨ͞Ͳͺのが存在していることである。これは自称ペイント理論の基礎をなすものと考͏Ζ఼ͳ͢ͱ͹Ϗϧϟʖνʖద͵ༀׄΝ༙͢ͱ͏Ζ΍͹͗ଚࡑ͢ͱ͏Ζ͞ͳͲ͍
える。

ͺࣙসϘ΢ϱφཀྵ࿨͹‫ેخ‬Ν͵ͤ΍͹ͳߡ͓Ζɽึଏʁ̐ͯ͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖη

― 263 ―

̐ͯ͹Ϙ΢ϱφ࢘༽ྖ͹ର੷ͺɼ

a 2 x  a 2 y a 2 ( x  y) ͵‫͠ືݭ‬Ͷܿ͜ͱ͏Ζ͗ɼΚΗΚΗ͗৙ࣟͳߡ͓ͱ͏Ζ͞ͳͶଲ͢ͱɼͨ͞Ͳͺ͵‫͠ືݭ‬Ͷܿ͜ͱ͏Ζ͗ɼΚΗΚΗ͗৙ࣟͳߡ͓ͱ͏Ζ͞ͳͶଲ͢ͱɼͨ͞Ͳ
͵‫͠ືݭ‬Ͷܿ͜ͱ͏Ζ͗ɼΚΗΚΗ͗৙ࣟͳߡ͓ͱ͏Ζ͞ͳͶଲ͢ͱɼͨ͞Ͳͺ
͏Ζ఼ͳ͢ͱ͹Ϗϧϟʖνʖద͵ༀׄΝ༙͢ͱ͏Ζ΍͹͗ଚࡑ͢ͱ͏Ζ͞ͳͲ
͏Ζ఼ͳ͢ͱ͹Ϗϧϟʖνʖద͵ༀׄΝ༙͢ͱ͏Ζ΍͹͗ଚࡑ͢ͱ͏Ζ͞ͳͲͺࣙসϘ΢ϱφཀྵ࿨͹‫ેخ‬Ν͵ͤ΍͹ͳߡ͓ΖɽͺࣙসϘ΢ϱφཀྵ࿨͹‫ેخ‬Ν͵ͤ΍͹ͳߡ͓Ζɽึଏʁ̐ͯ͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖη
補足：2 つのペイント使用のケースึଏʁ̐ͯ͹Ϙ΢ϱφ࢘༽͹ίʖη̐ͯ͹Ϙ΢ϱφ࢘༽ྖ͹ର੷ͺɼ
2 つのペイント使用量の体積は、̐ͯ͹Ϙ΢ϱφ࢘༽ྖ͹ର੷ͺɼ
a22 x  a22 y a22 ( x  y) a 2 x  a 2 y a 2 ( x  y) a ͺਜ਼๏‫ܙ‬͹Ҳว͹ௗ͠Νɼx ͺ x ৯͹໚੷౲ͪΕ࢘༽ྖ
Ͳන͠ΗΖɽͪͫ͢ɼ
x は x 色の面積当たり使用量、で表される。ただし、a は正方形の一辺の長さを、
a ͺਜ਼๏‫ܙ‬͹Ҳว͹ௗ͠Νɼx ͺ x 1閏a、
Ͳන͠ΗΖɽͪͫ͢ɼ
৯͹໚੷౲ͪΕ࢘༽ྖy は y 色の面積当たり使用量をそれぞれ示す。さらに、
上記同様に
৯͹໚੷౲ͪΕ࢘༽ྖΝͨΗͩΗࣖͤɽ͠ΔͶɼ৏‫ى‬ಋ༹Ͷ
1 d 1閏x、a ɼ1 d x ɼ1 d৯͹໚੷౲ͪΕ࢘༽ྖΝͨΗͩΗࣖͤɽ͠ΔͶɼ৏‫ى‬ಋ༹Ͷ1da ɼ1 d x ɼ1 d
1閏y である。
22ࠠ߻৯ͺ b xyͲ໚੷ͳ͢ͱන͠ΗΖɽϘ΢ϱφ࢘༽ྖͳࠠ߻৯͹॑ྖͳ͹‫ܐؖ‬ͺ
混合色は 2b2xy で面積として表される。ペイント使用量と混合色の重量とのࠠ߻৯ͺ b xy Ͳ໚੷ͳ͢ͱන͠ΗΖɽϘ΢ϱφ࢘༽ྖͳࠠ߻৯͹॑ྖͳ͹‫ܐؖ‬ͺ
関係は、

a22 ( x  y) b22xy 
a2 ( x  y) b2 xy 2 ୱҒͳͤΖͳɼͲන͠ΗΖɽ͞͹ӊว͹໚੷xy ͹߶͠Ν࠹ঘ͹b22 xy ͺཱིର
xy は立体で表される。この右辺の面積 xy の高さを最小の1 単位とすると、b ୱҒͳͤΖͳɼ b2 xy ͺཱིରͲන͠ΗΖɽ͞͹ӊว͹໚੷ xy
2 ͹߶͠Ν࠹ঘ͹
2として解釈される。上記同様に、a2222 =b =1 とすると、
b 1 ͳͤΖͳɼ͠ΗΖɽ৏‫ى‬ಋ༹Ͷɼ a2
ab 2 1 ͳͤΖͳɼ͠ΗΖɽ৏‫ى‬ಋ༹Ͷɼ x  y o xy  x  y o xy 
Ήͪͺɼ
または、
Ήͪͺɼ

 xy o x  y ͗ร‫ࣖ͠ͱ͢ͳࣞ׷‬ΗΖɽ͞ΗͺϘ΢ϱφ͹੊ֆͲ͹Ί੔ཱིͤΖɽ
が変換式として示される。これはペイントの世界でのみ成立する。
ࢂߡช‫ݛ‬ਈಆ߁޹ʲ਼ͳ৯Νͯ͵͛Ϙ΢ϱφཀྵ࿨ʳѬஎ୉ָ‫ܨ‬Ө૱߻Ռָ‫ॶڂݜ‬૕ॽ
注‫ܨ‬Ө૱߻Ռָ‫ॶڂݜ‬ɼ ೧ɼ ݆

これは、拙著（2023）におけるペイント理論の基本である。
色の 3 属性とは、色相（赤・橙・黄・緑・青・紫といった色の様相の相違）、彩度（色の鮮やかさ）、
明度（色の明るさ）を示す。なお詳細については、
色 - Wikipedia
を参照せよ。 ͹ึଏ௧ึʁ૕ॽʲ਼ͳ৯Νͯ͵͛Ϙ΢ϱφཀྵ࿨ʳ
ERRNSGIDLFKLXDFMS12ʰϘ΢ϱφཀྵ࿨Ͷ΍ͳͰ͚ϓΥϩϜʖ͹࠹शఈཀྵʱ SS ͞͹૕ॽ͹஦Ͳ  ͕Γ;  ͹ x2  y 2

z 2 Ͷͯ͏ͱͺɼ֦໎ౕ͹॑͠ͺκ

― 264 ―
͞ͳ͖Δ॑ྖͳ͢ͱ͹࿪ͺ੔ཱིͤΖ͗ɼ໎ౕ͹࿪Ͷ͕͏ͱͺ੔ཱི͢͵͏ɽͨ͞Ͳ

φ༙͗͢ͱ͏Ζ੓࣯ ྖɼ৯͹̑଒੓ ΝಁΉ͓ͱɼ࿪Νߑ੔ͤΖ x ɼ y 2 ɼ z
22

ペイント理論のベーシックに関するノート

参考文献
 y
 xy
 yx  oxyxo͗ร‫ࣖ͠ͱ͢ͳࣞ׷‬ΗΖɽ͞ΗͺϘ΢ϱφ͹੊ֆͲ͹Ί੔ཱིͤΖɽ͗ร‫ࣖ͠ͱ͢ͳࣞ׷‬ΗΖɽ͞ΗͺϘ΢ϱφ͹੊ֆͲ͹Ί੔ཱིͤΖɽ

神頭広好『数と色をつなぐペイント理論』愛知大学経営総合科学研究所叢書 60、愛知大学経 
営総合科学研究所、2023 年、7 月ࢂߡช‫ݛ‬ࢂߡช‫ݛ‬ਈಆ߁޹ʲ਼ͳ৯Νͯ͵͛Ϙ΢ϱφཀྵ࿨ʳѬஎ୉ָ‫ܨ‬Ө૱߻Ռָ‫ॶڂݜ‬૕ॽɼѬஎ୉ָ
ਈಆ߁޹ʲ਼ͳ৯Νͯ͵͛Ϙ΢ϱφཀྵ࿨ʳѬஎ୉ָ‫ܨ‬Ө૱߻Ռָ‫ॶڂݜ‬૕ॽɼѬஎ୉ָ
‫ܨ‬Ө૱߻Ռָ‫ॶڂݜ‬ɼ
೧ɼ
݆ ݆
‫ܨ‬Ө૱߻Ռָ‫ॶڂݜ‬ɼ
೧ɼ

追補：叢書『数と色をつなぐペイント理論』（book60.pdf（aichi-u.ac.jp）
）の補足
 
1．
「ペイント理論にもとづくフェルマーの最終定理」（pp.1-6）௧ึʁ૕ॽʲ਼ͳ৯Νͯ͵͛Ϙ΢ϱφཀྵ࿨ʳ
ERRNSGIDLFKLXDFMS͹ึଏ௧ึʁ૕ॽʲ਼ͳ৯Νͯ͵͛Ϙ΢ϱφཀྵ࿨ʳ
ERRNSGIDLFKLXDFMS͹ึଏʰϘ΢ϱφཀྵ࿨Ͷ΍ͳͰ͚ϓΥϩϜʖ͹࠹शఈཀྵʱ
SS ʰϘ΢ϱφཀྵ࿨Ͷ΍ͳͰ͚ϓΥϩϜʖ͹࠹शఈཀྵʱ
SS
x2+y2=z2については、各明度の重さ
この叢書の中で（14）および（16）の222はゼロであることから重量としての和は成立するが、明度の和においては成立͞͹૕ॽ͹஦Ͳ ͕Γ; ͹͞͹૕ॽ͹஦Ͳ ͕Γ;
x͹xy2  yz2 Ͷͯ͏ͱͺɼ֦໎ౕ͹॑͠ͺκϫͲ͍Ζz 2 Ͷͯ͏ͱͺɼ֦໎ౕ͹॑͠ͺκϫͲ͍Ζ

しない。そこで、ペイントが有している性質（量、色の 3 属性2）を踏まえて、

͞ͳ͖Δ॑ྖͳ͢ͱ͹࿪ͺ੔ཱིͤΖ͗ɼ໎ౕ͹࿪Ͷ͕͏ͱͺ੔ཱི͢͵͏ɽͨ͞ͲɼϘ΢ϱ
͞ͳ͖Δ॑ྖͳ͢ͱ͹࿪ͺ੔ཱིͤΖ͗ɼ໎ౕ͹࿪Ͷ͕͏ͱͺ੔ཱི͢͵͏ɽͨ͞ͲɼϘ΢ϱ

和を構成する x2、y2、z2は各ペイントの明度としてではなく、ペイントの性質
22x 2 ɼx 2yɼ
φ༙͗͢ͱ͏Ζ੓࣯ྖɼ৯͹̑଒੓
ΝಁΉ͓ͱɼ࿪Νߑ੔ͤΖ
ɼy 2zɼͺ֦Ϙ΢ϱz 2 ͺ֦Ϙ΢ϱφ༙͗͢ͱ͏Ζ੓࣯ྖɼ৯͹̑଒੓
ΝಁΉ͓ͱɼ࿪Νߑ੔ͤΖの中で色相を生かすと、x、y、zが付された色相としての単なる色の番号を示

x ɼxyɼɼyzɼ͗෉͠Ηͪφ͹໎ౕͳ͢ͱͲͺ͵͚ɼϘ΢ϱφ͹੓࣯͹஦Ͳ৯૮Νਫ਼͖ͤͳɼ
φ͹໎ౕͳ͢ͱͲͺ͵͚ɼϘ΢ϱφ͹੓࣯͹஦Ͳ৯૮Νਫ਼͖ͤͳɼz ͗෉͠Ηͪしているとすれば、3色の世界でのフェルマーの最終定理が成立することにな৯૮ͳ͢ͱ͹ୱ͵Ζ৯͹൬ߺΝࣖ͢ͱ͏ΖͳͤΗͻɼ৯͹੊ֆͲ͹ϓΥϩϜʖ͹࠹शఈ৯૮ͳ͢ͱ͹ୱ͵Ζ৯͹൬ߺΝࣖ͢ͱ͏ΖͳͤΗͻɼ৯͹੊ֆͲ͹ϓΥϩϜʖ͹࠹शఈる。ただし、明度の和の式は意味をなさないために色の番号は明度と一致させཀྵ͗੔ཱིͤΖ͞ͳͶ͵Ζɽͪͫ͢ɼ໎ౕ͹࿪͹ࣞͺқັΝ͵͠͵͏ͪΌͶ৯͹൬ߺͺ໎ౕཀྵ͗੔ཱིͤΖ͞ͳͶ͵Ζɽͪͫ͢ɼ໎ౕ͹࿪͹ࣞͺқັΝ͵͠͵͏ͪΌͶ৯͹൬ߺͺ໎ౕ

る必要はない。これでフェルマーの最終定理が説明される。

ͳҲ஗ͦ͠Ζචགྷͺ͵͏ɽ͞ΗͲϓΥϩϜʖ͹࠹शఈཀྵ͗ઈ໎͠ΗΖɽͳҲ஗ͦ͠Ζචགྷͺ͵͏ɽ͞ΗͲϓΥϩϜʖ͹࠹शఈཀྵ͗ઈ໎͠ΗΖɽ

2．
「ペイント理論にもとづくリーマン予想」（pp.20-26）ʰϘ΢ϱφཀྵ࿨Ͷ΍ͳͰ͚ϨʖϜϱ༩૟ʱSS ʰϘ΢ϱφཀྵ࿨Ͷ΍ͳͰ͚ϨʖϜϱ༩૟ʱSS

1 1͞͹૕ॽ͹஦Ͳ ͹ ͹r 2΃͹ร‫׷‬ͺɼ໎ౕͳ࢘༽ྖ͗
mi ΃͹ร‫׷‬ͺɼ໎ౕͳ࢘༽ྖ͗
1 r 41mi͞͹૕ॽ͹஦Ͳsˆ2
͹ sˆ2
sˆ͹ sˆ r 2miから（12）のへの変換は、
この叢書の中で（11）の
r 4͖Δmi ͖Δ
2 2ࣙષ਼Ͳන͠ΗɼͨΗΔ͗ർྭదͲ͍Ζ͞ͳ͖Δ಍͖ΗΖɽ͞ΗͶͯ͏ͱͺɼ໎ౕ͖̐Δ
ࣙષ਼Ͳන͠ΗɼͨΗΔ͗ർྭదͲ͍Ζ͞ͳ͖Δ಍͖ΗΖɽ͞ΗͶͯ͏ͱͺɼ໎ౕ͖̐Δ
明度と使用量が自然数で表され、それらが比例的であることから導かれる。こ৒ͣΔΗΖ໎ౕ͗ΓΕ୉͚͘͵Ζ͞ͳͲɼͨ͹஦Ͷ͕͜Ζો਼͹໎ౕΝ༙ͤΖ਼ͺࠠ߻৯৒ͣΔΗΖ໎ౕ͗ΓΕ୉͚͘͵Ζ͞ͳͲɼͨ͹஦Ͷ͕͜Ζો਼͹໎ౕΝ༙ͤΖ਼ͺࠠ߻৯

れについては、明度 2 から乗じられる明度がより大きくなることで、その中にͳ͢ͱଁՅͤΖɽͪͫ͢ɼસର͹໎ౕ͗‫ͤଁٺ‬ΖׄͶͺɼ۰਼͹໎ౕͶͺ໎ౕ̐͗චͥଚ
ͳ͢ͱଁՅͤΖɽͪͫ͢ɼસର͹໎ౕ͗‫ͤଁٺ‬ΖׄͶͺɼ۰਼͹໎ౕͶͺ໎ౕ̐͗චͥଚ

おける素数の明度を有する数は混合色として増加する。ただし、全体の明度がࡑͤΖͪΌͶ໎ౕ̐ͶՁౕ৒ͣͱ΍໎ౕ̐Ͳ͍ΖͪΌͶࠠ߻৯͹໎ౕ
ો਼͹੷
ͺͨΗΆ
ࡑͤΖͪΌͶ໎ౕ̐ͶՁౕ৒ͣͱ΍໎ౕ̐Ͳ͍ΖͪΌͶࠠ߻৯͹໎ౕ
ો਼͹੷
ͺͨΗΆ

急増する割には、偶数の明度には明度2 が必ず存在するために明度 2 に何度乗ʹଁՅͦͥɼͨ͹ׄ߻͗జ‫͚͏ͱ͢ݰ‬ɽ͞͹͞ͳ͖Δ໎ౕͳ࢘༽ྖ͗ർྭదͲ͍Ζ͞ͳͺʹଁՅͦͥɼͨ͹ׄ߻͗జ‫͚͏ͱ͢ݰ‬ɽ͞͹͞ͳ͖Δ໎ౕͳ࢘༽ྖ͗ർྭదͲ͍Ζ͞ͳͺʰΪΤη͹ો਼ఈཀྵʱ͹੓࣯Νઈ໎͢ͱ͏ΖΓ͑Ͷ‫͓ݡ‬Ζɽ
じても明度2 であるために混合色の明度（素数の積）はそれほど増加せず、そʰΪΤη͹ો਼ఈཀྵʱ͹੓࣯Νઈ໎͢ͱ͏ΖΓ͑Ͷ‫͓ݡ‬Ζɽ͞ΗͶͯ͏ͱͺɼ໎ౕͳ‫ڠ‬Ͷ༽͏ΔΗΖϘ΢ϱφྖ͗‫ͤଁٺ‬ΖׄͶͺࠠ߻৯Ͳ༽͏ΔΗΖ
͞ΗͶͯ͏ͱͺɼ໎ౕͳ‫ڠ‬Ͷ༽͏ΔΗΖϘ΢ϱφྖ͗‫ͤଁٺ‬ΖׄͶͺࠠ߻৯Ͳ༽͏ΔΗΖ
の割合が逓減していく。このことから明度と使用量が比例的であることは「ガϘ΢ϱφྖ͗ͨΗΆʹଁ͓͵͏͞ͳ͖Δ΍໎Δ͖Ͳ͍ΖɽϘ΢ϱφྖ͗ͨΗΆʹଁ͓͵͏͞ͳ͖Δ΍໎Δ͖Ͳ͍Ζɽ

ウスの素数定理」の性質を説明しているように見える。

これについては、明度と共に用いられるペイント量が急増する割には混合色

― 265 ―






৯͹
3 ଒੓ͳͺɼ৯૮(੼ʀᒷʀԭʀྚʀ੪ʀࢷͳ͏ͮͪ৯͹༹૮͹૮ҩ)ɼ࠾ౕ(৯͹ળΏ͖͠)ɼ໎ౕ(৯৯͹
3 ଒੓ͳͺɼ৯૮(੼ʀᒷʀԭʀྚʀ੪ʀࢷͳ͏ͮͪ৯͹༹૮͹૮ҩ)ɼ࠾ౕ(৯͹ળΏ͖͠)ɼ໎ౕ(͹໎Ζ͠)Νࣖͤɽ͵͕৆ࡋͶͯ͏ͱͺɼ৯:LNLSHGLDΝࢂলͦΓɽ
͹໎Ζ͠)Νࣖͤɽ͵͕৆ࡋͶͯ͏ͱͺɼ৯:LNLSHGLDΝࢂলͦΓɽ

で用いられるペイント量がそれほど増えないことからも明らかである。

― 266 ―