令和２年度

筑波大学大学院博士課程
システム情報工学研究科
社会工学専攻（社会工学学位プログラム，サービス工学学位プログラム）

博士前期課程（一般入学試験試験問題８月期）

専門科目

令和元年８月２２日

筑波大学大学院 システム情報工学研究科
博士前期課程 社会工学専攻
令和２年度入学試験 学力検査問題
令和元年８月２２日実施
専門科目(1) この冊子には下表に示す３つの出題分野の問題が含まれています．社会工学学位プログラ
ムの受験者はその中から１つの出題分野を選択して解答しなさい．サービス工学学位プ
ログラムの受験者は数学の問題に解答しなさい．
(2) 各答案用紙の上部に，必ず受験番号を記入しなさい．
(3) 解答の初めに，必ず出題分野と問題番号（例えば，数学 I. ）を示しなさい．問題ごとに別の答案用紙に解答しなさい．

出題分野
数学
ミクロ経済学
都市・地域計画

University of Tsukuba
Graduate School of Systems and Information Engineering
Department of Policy and Planning Sciences
ENTRANCE EXAMINATION
August 22, 2019Major Subjects(1) This package contains problems from 3 subject areas shown in the following table.
Applicants for the Master’s Program in Policy and Planning Sciences should choose one
subject area to answer. Applicants for the Master’s Program in Service Engineering
should answer the problems in Mathematics.
(2) Write your application number on the top of each answer sheet.
(3) Write the subject area and the problem number (e.g., Mathematics I. ) on the top ofyour answer. Use a separate answer sheet for each problem.

Subject Areas
Mathematics
Microeconomics
Urban and Regional Planning1数学問題 I と II の両方に答えよ．問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ．
以下では，実数全体の集合を R とする．

I. n 次元実ベクトル a ∈ Rn , n 次正方実行列 A ∈ Rn×n に対して，ta, tA をそれぞれ a の転置ベクトル，A の転置行列とする．次の 3 つの 3 次元実ベクトル
( )
( )
( )
p1 =

101, p2 =に対して，3 つの 3 次正方実行列()tP1 = p1 p1 =101000101−101(t, P 2 = p2 p2 =10−1, p3 =000−1010−10)(t, P3 = p3 p3 =000010000)を定義し，さらに 3 つの実数 α1 , α2 , α3 ∈ R に対して 3 次正方実行列

A(α1 , α2 , α3 ) = α1 P1 + α2 P2 + α3 P3を定義する．以下の (1)-(5) に答えよ．

(1) 以下の 3 次正方実行列の各要素を計算せよ．
(ttt
p1 p1tp2 p1tp3 p1

p1 p2tp2 p2tp3 p2

p1 p3tp2 p3tp3 p3)(2) 3 つの 3 次元実ベクトル A(α1 , α2 , α3 )p1 , A(α1 , α2 , α3 )p2 , A(α1 , α2 , α3 )p3 それぞれを，α1 , α2 , α3 と具体的な実数で表される x1 , x2 , x3 を用いて，x1 p1 + x2 p2 + x3 p3の形で表せ．
(3) 3 次正方実行列 A(1, 2, 3) の固有値をすべて求めよ．
(4) n 次正方実行列 A について，任意の n 次元実ベクトル d ∈ Rn に対して tdAd ≥ 0 が成り立つとき，A は半正定値行列であるという．3 次正方実行列 A(1, 2, 3) が半正定値行列であるか否か，理由を付して述べよ．
(5) 3 次正方実行列 A(α1 , α2 , α3 ) が半正定値行列であるための，3 つの実数 α1 , α2 , α3 ∈ Rに関する必要十分条件について，理由を付して述べよ．

2II. 以下の (1)-(4) に答えよ．
(1) 実関数 f (x), g(x) を以下のように定める．x ̸= 0 の場合
f (x) =| sin(x)|,xg(x) =x − sin(x),| sin(x)|3x = 0 の場合 f (0) = 1, g(0) = 1/6.
x を任意の実数としたとき，以下をそれぞれ求めよ．
(i) x が 0 に近づくときの f (x) の左側極限値(ii) x が 0 に近づくときの f (x) の右側極限値(iii) x が 0 に近づくときの g(x) の左側極限値(iv) x が 0 に近づくときの g(x) の右側極限値(実関数 h(x) に対して，x が a に近づく時の左側極限値は limx→a−0 h(x), limx→a− h(x)等で表記され，x が a に近づくときの右側極限値は limx→a+0 h(x), limx→a+ h(x) 等と表記される．)(2) 実関数 h(x) について，次の i) と ii) の定義を書け．i) h(x) は実数 a において左連続である．ii) h(x) は実数 a において右連続である．
(3) 次の不等式が成り立たないような x ∈ (0, 1) が存在することを示せ．
sin(x) < 0.99999x.
また，この問題において，0.99999 を任意の a ∈ (0, 1) に置き換えても成り立つか，理由を付して述べよ．

(4) 次の定積分を計算せよ．
∫ π/2∫ π/22(i)x sin(x)dx
0x2 cos(x)dx

(ii)
03

Mathematics
Answer both questions I and II. Use a separate answer sheet for each question.
In what follows, let R be the set of all real numbers.
I. For an n-dimensional real vector a ∈ Rn , and a real square matrix A ∈ Rn×n of ordern，we denote the transpose of a and the transpose of A as ta and tA, respectively. For
given three 3-dimensional real vectors
( )
( )
( )
p1 =

101, p2 =−101, p3 =0−10,

we deﬁne the following three real square matrices of order 3()()
P1 = p1 tp1 =101000101

10−1, P2 = p2 tp2 =000−101(, P3 = p3 tp3 =000010000)

and deﬁne another real square matrix of order 3A(α1 , α2 , α3 ) = α1 P1 + α2 P2 + α3 P3for three real numbers α1 , α2 , α3 ∈ R. Answer the following (1)-(5).
(1) Calculate each element of the following real square matrix of order 3:
(t)
tt
p1 p1
p2 p1tp3 p1tp1 p2
p2 p2tp3 p2tp1 p3
p2 p3tp3 p3t(2) Represent each of the three 3-dimensional real vectors A(α1 , α2 , α3 )p1 , A(α1 , α2 , α3 )p2and A(α1 , α2 , α3 )p3 in the form x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 , where x1 , x2 , x3 are expressedin terms of only α1 , α2 , α3 and concrete real numbers.
(3) Find all of eigenvalues of the real square matrix A(1, 2, 3) of order 3．
(4) For a square real matrix A of order n, if tdAd ≥ 0 holds for any n-dimensional real
vectors d ∈ Rn , then the matrix A is called a positive semideﬁnite matrix. Determine whether the real square matrix A(1, 2, 3) of order 3 is a positive semideﬁnite
matrix or not, and describe the reason.
(5) Discuss the necessary and suﬃcient conditions on the real numbers α1 , α2 , α3 ∈ R
so that the real square matrix A(α1 , α2 , α3 ) of order 3 is a positive semideﬁnite
matrix, and describe the reason.

4II. Answer the following (1)-(4).
(1) Let us deﬁne real functions f (x) and g(x) as follows. For x ̸= 0,f (x) =| sin(x)|,x

g(x) =x − sin(x),| sin(x)|3and for x = 0, f (0) = 1 and g(0) = 1/6.
Answer the following subquestions, when x is a real number.
(i) the left-hand limit of f (x) as x approaches 0,(ii) the right-hand limit of f (x) as x approaches 0,(iii) the left-hand limit of g(x) as x approaches 0,(iv) the right-hand limit of g(x) as x approaches 0.
(For a real function h(x), the left-hand limit of h(x) as x approaches a is denotedby limx→a−0 h(x) or limx→a− h(x), and so on, and the right-hand limit of h(x) asx approaches a is denoted by limx→a+0 h(x) or limx→a+ h(x), and so on. )(2) For a real function h(x), write down the deﬁnitions of the following statements i)
and ii), respectively. i) h(x) is continuous from the left at a real number a. ii) h(x)is continuous from the right at a real number a.
(3) Prove that there exists x ∈ (0, 1) such that the follow inequality is not true.
sin(x) < 0.99999x.
Discuss whether the above statement is still true if 0.99999 is replaced by anarbitrary a ∈ (0, 1), and describe the reason.
(4) Evaluate the following deﬁnite integrals.
∫ π/2∫ π/22(i)x sin(x)dx
0x2 cos(x)dx(ii)05ミクロ経済学
I-III 全ての問題に答えよ．問題ごとに別々の解答用紙を使用すること．
I. 第 1 財を x1 単位，第 2 財を x2 単位消費するある個人の効用関数がu = x1a x2b, a > 0, b > 0によって与えられるとする．第 1 財と第 2 財の価格はそれぞれ p1, p2，個人の所得はm とする．個人は効用を最大化する．以下の問いに答えよ．
(1) 第 1 財と第 2 財の需要関数を求めよ．
(2) 第 1 財は正常財か劣等財か，理由を付して答えよ．
(3) 第 1 財は通常財かギッフェン財か，理由を付して答えよ．
(4) 効用関数 u によって表現される個人の選好はホモセティックか否か，理由を付して答えよ．
(5) a = b = 1 とする．当初，第 1 財と第 2 財の価格は 4，個人の所得は 160 であるとする．いま，第 1 財の価格が 16 に上昇したとする．この価格変化が第 1 財の需要に与える全部効果，ヒックスの代替効果，および所得効果を求めよ．
II.

3 つの企業が存在するシュタッケルベルグ・モデルを考える．最初に, 企業 1 が生産する数量 q1 を決定する．企業 2 は企業 1 の数量を観察し，生産する数量 q2 を決める．企業 3 は企業 1 と 2 の数量を観察し，生産する数量 q3 を決める．逆需要関数は，P = A – Q とする（A<Q の場合は P = 0）
．ただし，P は市場価格，Q は総産出量を示し，A > 0 とする．各企業は利潤を最大化する．各企業の生産費用はゼロとし，企業はお互いの生産費用を知っている．以下の問いに答えよ．
(1) q1 と q2 を所与とした時の企業 3 が選択する数量を求めよ．
(2) q1 を所与とした時の企業 2 が選択する数量を求めよ．
(3) 企業 1 が予想する企業 3 の数量を q1 の関数として表せ．
(4) 企業 1 が選択する数量を求めよ．
(5) 均衡での各企業の利潤を求めよ．

III.

ある年に野菜が例年よりも豊作であったため，多くの農家は野菜を大量に廃棄した．この事例から，野菜に対する需要の価格弾力性はどのような値を取っていると考えられるか．150 字以内で答えよ．

6

Microeconomics
Answer all problems I-III. Use a separate answer sheet for each problem.
I. Suppose that the utility function of an individual who consumes x1 units of good 1 and x2 unitsof good 2 is given byu = x1a x2b, a > 0, b > 0.
Let p1 and p2 be prices of goods 1 and 2, respectively, and let m be income available to theindividual. The individual maximizes his/her utility. Answer the following questions.
(1) Derive the demand functions for goods 1 and 2.
(2) State whether good 1 is a normal good or an inferior good, and then give a reason foryour answer.
(3) State whether good 1 is an ordinary good or a Giffen good, and then give a reason foryour answer.
(4) State whether the individual’s preferences represented by the utility function u arehomothetic or not, and then give a reason for your answer.
(5) Let a = b = 1. Originally the prices of goods 1 and 2 are 4 and the individual’s income is160. Now suppose that the price of good 1 rises to 16. Calculate the total change indemand for good 1 associated with this price change, the Hicks substitution effect, andthe income effect.
II. Suppose a version of the Stackelberg model with three firms. First, firm 1 picks its own
output q1. Firm 2 observes firm 1’s output and picks its own output q2. Firm 3 observes firm
1’s output and firm 2’s output, and it picks its own output q3. The inverse market demand
function is given by P = A – Q (with P = 0 if A < Q), where P denotes the market price, Q
denotes the total output produced, and 𝐴 > 0 . All firms are profit maximizers. Theirproduction costs are zero, and they know their production costs with one another. Answer thefollowing questions.
(1) Given q1 and q2, calculate the output that firm 3 picks.
(2) Given q1, calculate the output that firm 2 picks.
(3) Calculate the firm 3’s output that firm 1 anticipates as a function of q1.
(4) Calculate the output that firm 1 picks.

7(5) Calculate each firm’s profit in an equilibrium.
III.

Since farmers had a much better harvest of vegetables in a given year than in previous years,
most of them disposed of a lot of their vegetables. According to this case, what is the priceelasticity of demand for vegetables? Explain your answer within 75 words.

8都市・地域計画
以下の問題 I から IV より 2 題選択して解答しなさい。問題ごとに別々の解答用紙を使用しなさい。
I.

以下の 6 つの名称・用語から 4 つを選択して、それらの意味や内容について都市・地域計画の視点から説明しなさい。
1) 『明日：真の改革にいたる平和な道』
2) 環境の本源的価値
3) 交通需要マネジメント4) スマートシティ
5) 土地区画整理事業
6) （交通需要予測のための）四段階推定法

II.

交通計画の目標概念の一つである「アクセシビリティ」について以下の問いに答えなさい。
(1) 「アクセシビリティ」とは何かを、「モビリティ（移動能力）」との概念の違いに言及しながら説明せよ。また、「アクセシビリティ」に影響を与える要素を 2 種類以上挙げよ。
(2) 中心市街地の活性化を目標とした交通計画では (i) 地区内の交通安全や良好な歩行空間と (ii) 地区へのアクセシビリティ、を確保することが一般的に重要である。
(i) と (ii) を両立するための交通計画について論じなさい。その際、「通過交通」と「公共交通」について言及すること。

III. 「カーボンプライシング」に関する以下の問いに答えなさい。
(1) 「カーボンプライシング」とは何かを説明しなさい。
(2) 「カーボンプライシング」の導入（ないし強化）の利点と問題点について論じなさい。その際、「価格インセンティブ」と「家計の分配面への影響」について言及すること。

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IV. 下の図は、ある都市の都市計画地図である。この地図に関する以下の問いに答えなさい。




（出典：吉川市都市計画図（平成 29 年））(1) 地図に示されている情報について答えなさい。
a) 「A」に記載された、丸で囲われた 2 つの数字の意味を簡潔に説明しなさい。
b) 「B1」や「B2」の領域には色が塗られているが、「B3」の領域には色が塗られていない。その理由を簡潔に説明しなさい。
c) 「B1」と「B2」の領域に塗られた色は異なっている。この違いは何を示すのかを簡潔に説明しなさい。
(2) 地図上の「12」、「13-1」などの数字が付された場所は、生産緑地地区である。生産緑地地区とは何かを簡潔に説明するとともに、生産緑地地区を巡る都市・地域計画上の現在の課題を述べなさい。

10Urban and Regional Planning
Choose two problems from the following problems I-IV to answer. Use a separate answer sheet foreach problem.
I.

Choose four terms from the following six terms, and then explain their meanings and/or concepts
from the viewpoint of urban and regional planning.
1) “To-morrow: A Peaceful Path to Real Reform”
2) Intrinsic value of environment3) Transportation/Travel demand management
4) Smart city5) Land readjustment project6) Four-step model (for transportation/travel demand forecasting)II.

Answer the following questions regarding the concept “accessibility,” which is one of theobjectives in transportation planning.
(1) Explain what the “accessibility” is, with mentioning the difference with the concept“mobility.” Also, raise at least two types of factors which affect the “accessibility.”(2) For transportation planning for the central business district/downtown revitalization, it isgenerally important to ensure (i) traffic safety and good walking environment for pedestriansin the area as well as (ii) the accessibility to the area. Discuss a transportation planning forachieving both objectives (i) and (ii). Include discussions on “through traffic” and “publictransportation.”

III. Answer the following questions regarding the “pricing of carbon.”(1) Explain what the “pricing of carbon” is.
(2) Discuss the advantages and disadvantages of the “pricing of carbon.” Include discussions on“price incentive” and “distributional impacts on households.”

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IV. The figure shown below is a city planning map of a certain city. Answer the following questions
regarding this map.



(Source: Urban planning map of Yoshikawa City (2017))(1) Answer questions on the information shown on the map.
a) Explain the meaning of the circled two numbers described in “A” briefly.
b) The areas of “B1” and “B2” are colored whereas the area of “B3” is not colored. Explain
the reason of this difference briefly.
c) The colors painted on “B1” and “B2” are different. Explain what this differenceindicates briefly.
(2) The places with numbers such as “12” and “13-1” on the map are the production green land
areas. Explain the definition of the production green land area (Seisan Ryokuchi Chiku)
briefly and discuss current issues on the area from the viewpoint of urban and regional
planning.

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