数理解析研究所講究録
第 853 巻 1993 年 99-107

99

クラスター変分法とメービウス反転公式

東北大大学院徹

守田

情報科学研究科(Tohru Morita)

1

イジング模型の統計力学的研究に用いられる近似理論のつとしてクラスタ$-$[1]変分法という方法がある

変分関数が多数の分布関数で表され条件の下での変分計算が行なわれる、。そこでは分布関数間の無予盾の[2]。ラグランジ係数を用いた変分計算の結果は簡単なものであるがは見通しのよいと言えるものではなか
ス反転公式を用いる
も のにな$[5, 6]$たっ

イジング模型では子点が上向き点の数をとにより、数$\{si\}$$s$$i$$=+1,$で表 す。

$s$
$i$

$[3, 4]$

導き方、$-$。メビウ

これが極めて見通しのよい、格子例えば正方格子を考え、

22$=-1$状態個の状態を考えるとす る。
$\{si\}$、その各格つの状態をとるものとする。格子番目の格子点の状態を確率変数に応じてた未定。その定式化について説明 す る。

下向きの、とすると$L$$\vee$っュとになる。

で表す。 上向き

$s$
$i$

$L$

$\vee$、$i$

下向き個の格子点の状態 を 確率変の確率は

100$p\{s_{i}\}$(1)$exp[(F-E\{s_{j}\})/k_{B}T]$$=$

で与えら れ ると す る。ここでは状態度である。 $E\{si\}$$\{si\}$$k_{B}$

はボ ルツマン定数のエネルギーでありは温$T$、$F$、は規格化定数で$exp$ $(- F/k_{B}T)$(2)$exp[-E\{s_{i}\}/k_{B}T]$$\sum$$\{s_{i}\}$で定 まる。ここでる。 $E\{si\}$、を与えて和は系の す べての状態についての和で あ$F$を求めることが力学の基本的な課題になっは自由エネルギ

$-$

この

$F$

$F=$

、イジング模型の統計ている。と呼ばれる量で

、変分原理

(3)

$F(p\{s_{i}\})$${\rm Min}$$p\{s_{i}\}$$F(p\{s_{i}\})$$=$$p\{s_{i}\}E\{s_{i}\}$$\sum$(4)$-TS(p\{s_{i}\})$$\{s_{i}\}$をみたす。 ただし
トロピ$-$

$S(p\{s_{i}\})$

は確 率分布 $p\{si\}$に対応するエンで、$S(p\{s_{i}\})$$-k_{B}$$=$$p\{s_{i}\}$$\sum$(5)$lnp\{s_{i}\}$$\{s_{i}\}$である。 (3)

1

$=$

$f$

、変分は束縛条件(6)$P\{s_{i}\}$$\sum$$\{s_{i}\}$の下で行なわれる。
クラスタ

$-$

変分法では、格子点の集合 をクラスタ$-$と呼ぶ。

101
クラスタ

–

変分法での近似はって決まる。例えばは、クラスタ$-$、考えるクラスタ

正方格子上の体系に対 す る四角近似で、、格子上で隣り合う格子点の対の格子点を考える。以上に加えて–を考え$-\vee$、(a)れを 1。

2 つのクラスタ

1$\beta_{3}$と単独、格子全体からなるクラス、と呼ぶ (図 1)–$\alpha$と(b)$106|\beta_{6}$$\perp_{7}\perp I^{\beta_{7}}$$\gamma_{1}$$\beta_{5}$$\beta_{I}$$7rightarrow^{8}$$6rightarrow^{7}$$5^{rightarrow}6$の集合によとして格子を構成する単位の正方形の周りの4 つの格子点の集合

タ$-$$6^{\bullet}$$\gamma_{2}$$7^{\bullet}$$73I^{\beta_{2}}$$62I^{\beta_{1}}$

(c)

図1.

四角近似で考えるクラスタ(b) 正方形$(\alpha_{1}-\alpha_{6})$

、対

$-$

。.

$(\beta_{1}\sim\beta_{7})$(a)が全格子 1と格子点とする。

$(Y1-Y\cdot 2)$ 。

102$\beta$は、$a$が序によりのときの格子点すべてを含むときに$\beta$

上記クラスタ、$\beta<a$あるクラスタからtr$=$$=$と 書\langleと、 1$Q$が$\beta\neq a$を$p_{1}$以外のの要素で(7)tr$1\backslash \alpha$は1に含まれ$\alpha$に含まれない総てとを 意味 す る。のとき$\beta<\alpha$(8)$(\beta<a)$$p_{\alpha}$$\alpha\backslash \beta$が成り立つ。また1$\beta\leqq\alpha$

ピ ン変数についての和 を 取るこの格子点上のス$p_{\beta}$は束をなす。

$1\backslash \alpha p_{1}$で表される。ここで定義 (7)$Q$の順の確率分布関数は$-\alpha$tr$=$の集合$\vee$と書く。

全系の分布関数 $p\{s_{i}\}$$p_{\alpha}$$-$と書く。

$\beta\leqq\alpha$$tr\alpha$、(7)と(6)から(9)$p_{\alpha}$が成り立っ。

分布関数$S_{\alpha}$$=$$p_{\alpha}$が与えられると

tr$-k_{B}$$\alpha p_{\alpha}$$S\{i j\}$は $S\{i\}$と$S\{j\}$

エントロピ$-S_{\alpha}$は(10)$lnp_{\alpha}$で定義される。 $\alpha=\{i, j\}$
強くない系では $p\{i j\}$、を考えるとき、$\{i\}$と$\{j\}$の相関がは $p\{i\}$ と $p\{j\}$ の積で近似されの和で近似さ れ るこ、と になる。この103
とき、と書き$S\{i\}^{=\overline{S}}\{i\}$$S\{i j\}$と書くと$=$$\overline{s}_{\{i}$$=$$+\overline{s}_{\{j}$}$+\overline{s}_{ii}$$j$}は小さな補正であると考えられる。一般に$\overline{S}\{i, j\}$$S_{a}$}(11)$\overline{s}_{\beta}$$\sum_{\beta\leqq\alpha}$としたとき、大きなクラスタに対する$-\beta$$s_{\beta}^{-}$

は小さいという近似が考えられる。

半順序集合
間に関係の各要素$Q$(11)と $-S$ $a$

$S$

$a$

メ

、が対応 しそれらの、ビウス反転公式により$-$(12)$\mu(\beta\alpha)$$s_{\beta}$[7]が成 り 立つに量が成り立つとき$\overline{S}_{a}$$= \sum_{\beta\leqq\alpha}$$\alpha$。ここで$\mu(\beta\alpha)$はメ$\mu(\beta \alpha)$$-$

ビウス関数で(13)$(\gamma\leqq\alpha)$$=6_{\gamma\alpha}$$\sum_{\beta}$$\gamma\leqq\beta\leqq a$により定義される。 (12)
用 す ると$s_{1}$(13)、$- \sum_{\beta<1}$によ$s_{\beta}$

でり $\mu(1,1)=1$$-1$$\overline{s}_{1}=0$、という近似を採であることに注意 して(14)$\mu(\beta, 1)$が得られる。四角近似で $\mu(\alpha, 1)$
り合う格子点の対とし$\alpha=1$$\{i, j\}$のときは$1$、$\alpha$が14 角のとき

つの格子点$-1$ 、$\alpha$が隣$\{i\}$のとき–と呼ばれである。

系の状態の確率を決める関数 $E\{si\}$

はエネルギ

104
る。イジング模型では$E\{s_{i}\}$

$=$

で与 え

ら れ る。右辺第あり

第 2、のとき

1

項の和は す べての格子点についてで項は隣り合う格子点の対についてである。とし$\overline{E}_{\alpha}=-hs_{i}$$i$、$\alpha=\{i j\}$に対するてとする。このとき$\overline{E}_{\alpha}=0$$E_{\alpha}$(15)$-J \sum<i,$ $j>s_{i}s_{j}$$s_{i}$$-h \sum_{i}$

その関数は、$=$を$\overline{E}_{\alpha}$と$j$$\alpha$$=\{i\}$が隣り合う格子点であるとき にとし$\overline{E}_{\alpha}=-Js_{i}$$s_{j}$

それ以外の、である。

$\overline{E}_{1}=0$$E_{\alpha}$$\alpha$

に対しを

(16)

$\overline{E}_{\beta}$$\sum_{\beta\leqq\alpha}$で定義する。このとき、$E\{si\}=E_{1}$である。メ$-$

ビウス反転

公式により

(17)$\mu(\beta\alpha)$$\overline{E}_{\alpha}$$= \sum_{\beta\leqq\alpha}E_{\beta}$となる。 (17)で$\alpha=1$とすると$\overline{E}_{1}=0$、

であり、$\mu(1,1)=1$あるから$E_{1}$$=$$E_{a}$$- \sum_{\alpha<1}$(18)$\mu(a, 1)$となる。

(14)と(18)$F\{p_{\alpha}\}$$=$を(4)$- \sum$$\alpha<1$と な る。ここでの右辺に代入すると$(<E_{a^{>}\alpha} -rs_{a})$$\mu(\alpha, 1)$

、(19)

で

105
tr$=$

$<Q>_{\alpha}$(20)$Qp_{\alpha}$$\alpha$である。自由エネルギ

$F$

$Min$

$=$

ーの変分原理 (3)

$F$

は

(21)

$F\{p_{\alpha}\}$$\{p_{\alpha}\}$となる。この計算で格化条件 (9)、(7)を無視し$\alpha<1$、の間の$p_{\alpha}$(8)と規を付加条件として変分を行なうのがクラスタ$-$

変分法の近似で あ る。
イジング模型ではクラスタのス

ピン変数の関数$s_{\beta v}$$\partial_{v}$は$g\{s_{\alpha}\}$$=$$g\{s_{\alpha}\}$に属する格子点上のスピン$-\alpha$(22)$<s_{\beta v}g\{s_{\alpha}\}>_{\alpha}$$(\beta\leqq\alpha)$と 展開で きる。ここで分集合で$\beta v$$\beta v$

は$\beta\in Q$の要素のすべてが、るものではないとする。は$s_{\beta v}$に属 す る格子点の集合の部より小さい$\beta$$\beta v$$\beta$$\dagger\in Q$に含まれに属する格子点上のスピン変数の積$s_{\beta v}$

で あ$\prod_{i\in\beta v}$る。この(23)$s_{i}$$s_{\beta v}$

を 用いて$=$$<s_{\beta v}>_{\alpha}$$<s_{\beta v}>_{\beta}$と書かれる。 (24)$h_{\beta v}$$\alpha$(19)と書きを、(9)、

条件 (8)は(24)$(\beta<\alpha)$に対応するラグランジに対するものを$F_{\alpha}$

ュの未定係数をと書くと、

変 分 関数106$(<E_{\alpha^{>}\alpha} -TS_{\alpha})$$\sum$

二$\mu(\alpha, 1)$$\alpha<1$$-t_{v}$$(<s_{\beta v}>_{\beta} - <s_{\beta v}>_{a})h_{\beta v}\alpha$$\sum_{\alpha}$$\mu(\alpha, 1)$$\alpha>\beta$$- \sum_{\alpha}${1tr$-$$\alpha^{p}\alpha(s_{\alpha})$} $(F_{a} +k_{B}T)$とすることができる。ここで

$0$

$-$

$=$

$h_{\beta v}\alpha$$\sum_{\alpha}$$\mu(\alpha, 1)$$h_{\beta v}$$\beta$(25)$\mu(\alpha, 1)$を.

(26)$\beta\leqq a<1$で定義して$p_{\alpha}$$=$、(25)の変分をとると(27)$exp$ $\{(F_{\alpha}-E_{\alpha}-\sum_{\beta v} h_{\beta v}\alpha s_{\beta v})/k_{B}T\}$$\beta\leqq\alpha$となる。メ$-$ビウス関数を導入することにより分計算は容易になり、、ここでの変しかも簡単な形に表現されたのである。

これにより非一様場へのリスポンスを計算して分布関数を一般的に論ずることも可能となった

[6]

。

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