大学院共通授業：オークションの理論と市場分析担当者： 高木 真吾
大学院経済学研究科
質問等は，stakagi@econ.hokudai.ac.jp までお願いします．
June 23, 2010

Auction: Theory and Practice – 1 / 90

はじめに
入札／オークション
順序統計量
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

はじめに

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 2 / 90

入札／オークション

はじめに
入札／オークション
順序統計量■ 入札／オークション：◆ 少数の売り手と少数の買い手

典型オークション◆ それぞれの行動・戦略が価格を直接変化させる■ 近年の規制緩和・競争促進の流れの中で競争入札の重視◆ 携帯電話などの周波数に関する利用権

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ 国債の販売◆ 公共事業（どの程度の費用で工事を実施するのか）◆ 施設の払い下げ（公売・競売など，かんぽの宿，廃校後の学校施設など）◆ 規制市場への新規参入：電力調達（一定規模以上の電気を使うところは入札を実施可能）

Auction: Theory and Practice – 3 / 90

オークション

■ オークション：物・サービスを売る（調達する）仕組みについての考察◆ 収益性：どう売れば利益が大きくなるのか◆ 効率性：一番高い評価をする人に売れるか■ 市場化・自由化・効率化の流れの中で重要な位置◆ 入札者（買い手）に競争する場を提供し，「効率化」
を目指す目的

はじめに
入札／オークション
順序統計量
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 4 / 90

この講義では

はじめに
入札／オークション
順序統計量■ オークションの売り手，買い手の戦略◆ 合理的な入札方法は典型オークション◆ 高い収入を生む売り方は

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV■ 競争の促進は「利益」を生むのか◆ 競争の促進＝参加者の増加として，競争促進の効果

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ 入札額は？ 売り手の利益は？
■ オークション・入札データからわかること◆ オークションの帰結は，仕組み・入札者の選好（タイプ）に依存◆ データから入札者の選好（タイプ）に関する情報を引き出す

Auction: Theory and Practice – 5 / 90

まとめ (ハンドアウトでは省略)■ 入札者間の財に関する評価が独立的であるとき，◆ 最適入札）第一位価格：(4) 式，第二位価格：(5) 式◆ 売り手の期待収入：
第二位価格オークション = 第一位価格オークション■ 入札者間の財に関する評価が相互依存的であるとき，◆ 最適入札）第一位価格：(14) 式，第二位価格：(13) 式

はじめに
入札／オークション
順序統計量
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ 売り手の期待収入：
第二位価格オークション ≥ 第一位価格オークション

Auction: Theory and Practice – 6 / 90

まとめ (ハンドアウトでは省略)■ 入札者間の財に関する評価が独立的であるとき，競争にメリットあり（収入増など）■ 入札者間の財に関する評価が相互依存的であるとき，◆ 競争の激化：同じ条件下で入札額が下がってしまう
こともある
競争の激化で財の評価を高くする → 実際勝った後で過大評価をしてしまったのでは？
（winner’s curse：勝者にかけられる呪い）．
■ 「勝者にかけられる呪い」を避けるため，財の評価を引き上げず消極的な入札■

はじめに入札／オークション
順序統計量
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ 競争激化も，売り手の収入は必ずしも増加しないということが起きてしまう可能性■ 競争の効果が発揮される上で，入札者間における財評価の相互依存性の有無は重要な要因
Auction: Theory and Practice – 7 / 90

予備知識：順序統計量の分布■ 独立で同一の分布 F (x) に従うｎ個確率変数：
はじめに入札／オークション
順序統計量{X1 , X2 , . . . , Xn }■ これを大きい順に並べた替えたもの：

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

X(1) ≥ X(2) ≥ . . . ≥ X(n)■ 一位の確率変数 X(1) の分布関数（すべてがある点 x 以

下となる確率）F(1,n) (x)==Pr[X(1) ≤ x] = Pr[X1 ≤ x, . . . , Xn ≤ x]nY
Pr[Xi ≤ x] {Xi }ni=1 の独立性

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

i=1= {F (x)}n■ 一位の確率変数 X(1) の密度関数

f(1,n) (x) = (d/dx){F (x)}n = n · {F (x)}n−1 · f (x)Auction: Theory and Practice – 8 / 90

予備知識：順序統計量の分布

はじめに入札／オークション
順序統計量■ これを大きい順に並べた替えたもの：

X(1) ≥ X(2) ≥ . . . ≥ X(n)典型オークション■ 二位の確率変数 X(2) の分布関数 X(2) ≤ x◆ 「全部 x 以下」＋「一個以外全部 x 以下」
nn−1

F(2,n) (x) = {F (x)} + n C1 · {F (x)}× {1 − F (x)}

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 二位の確率変数 X(2) の密度関数

f(2,n) (x)= n(n − 1){F (x)}n−2 {1 − F (x)} · f (x)= n{1 − F (x)} · f(1,n−1) (x)Auction: Theory and Practice – 9 / 90

予備知識：順序統計量の分布

はじめに入札／オークション
順序統計量■ これを大きい順に並べた替えたもの：

X(1) ≥ X(2) ≥ . . . ≥ X(n)典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV■ k 位の場合も求められる．

n!
{F (x)}n−k {1−F (x)}k−1 ·f (x)f(k,n) (x) =(k − 1)!(n − k)!

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 区間 (0,1) の一様分布に従う確率変数について，

f (x) = 1，F (x) = x なので
xk−1 (1 − x)n−k
n!
n−k
k−1
x
(1−x)
=
x ∈ (0, 1)f(k,n) (x) =(k − 1)!(n − k)!
B(n − k + 1, k)
すなわちベータ分布に従うことが分かり，
E[X(k) ] = (n − k + 1)/(n + 1) となることが知られている．
Auction: Theory and Practice – 10 / 90

はじめに
典型オークション
オークションの分類
参加者の価値評価
戦略的同等性
上記オークションの帰結

典型オークション

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 11 / 90

オークションの分類■ High Price Auction（高価格オークション）◆ 一つの商品について，複数の入札者のうち，最も高い値をつけた者が競り落とす◆ 例）美術品，稀少品など■ Low Price Auction（低価格オークション）

はじめに典型オークション
オークションの分類
参加者の価値評価
戦略的同等性
上記オークションの帰結
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV◆ 一つの商品について，複数の入札者のうち，最も低い値をつけた者が競り落とす

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV◆ 例）公共調達

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 12 / 90

オークションの分類

はじめに■ Oral Format（公開入札）◆ 値段を引き下げながら，最初に手を挙げた者が勝者：オランダ式◆ 値段を引き上げながら，最後まで脱落しなかった者
が勝者：イギリス式■ Sealed-Bid Format（封印入札）◆ 最も高い値をつけた者が，自分の付けた価格で購入：第一位価格・封印入札方式◆ 最も高い値をつけた者が，自分の次に高値を付けた者の価格で購入：第二位価格・封印入札方式

典型オークション
オークションの分類
参加者の価値評価
戦略的同等性
上記オークションの帰結
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 13 / 90

参加者の価値評価■ 評価全員がバラバラの嗜好を持ち，商品の価値評価

も人によってバラバラ：Independent Private Value◆ 例）ハイシーズン以外の航空旅券割引券（株主優待券）■ 商品の価値は全く同一ではないが，互いに正の相関

はじめに典型オークション
オークションの分類
参加者の価値評価
戦略的同等性
上記オークションの帰結
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPVがある：Affiliated Private Value

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV◆ 例）著名な画家の美術品

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 商品は全員にとって同じ価値（事前にはわからない）：Common Value◆ 例）油田の採掘権（採掘技術は同じ）

Auction: Theory and Practice – 14 / 90

戦略的同等性■ 商品の価値評価が個人間でバラバラ（価値評価が独立的）■ 同じ商品を異なる形式のオークションで実施する◆ オランダ式と第一位価格・封印入札方式は類似性の高い入札結果◆ イギリス式と第二位価格・封印入札方式は類似性の高い入札結果◆ 入札価格そのものについては前者の方が低い

はじめに典型オークション
オークションの分類
参加者の価値評価
戦略的同等性
上記オークションの帰結
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ なぜか？

Auction: Theory and Practice – 15 / 90

上記オークションの帰結■ どのオークションで商品を売ったとしても，売り手にとっては期待収入は同一◆ この結果は，買い手間に若干の非対称性があっても成立する場合もある◆ 買い手が危険回避的なら不成立（第二位価格・

封印入札方式よりも第一位価格・封印入札方式の方が大きい）◆ 価値評価が買い手間で関連しているときにも

不成立

はじめに
典型オークション
オークションの分類
参加者の価値評価
戦略的同等性
上記オークションの帰結
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 16 / 90

はじめに
典型オークション

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 17 / 90

この節の目的■ 第一位価格オークションの最適入札関数◆ 参加者が増えるとともに積極的（同一条件では高い）入札■ 第二位価格オークションの最適入札関数◆ 「正直が最善の策」：自分の評価額を入札■ 両オークションの収入同値性◆ 参加者の増加は売り手の期待収入の増加をもたらす

はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 18 / 90

第二位価格オークションのルール■ 最高値をつけた人が財の購入権を獲得■ 支払額は，第二位の入札額■ 評価の大きさは，入札者間で独立，◆ V の分布：Pr[V < v] = FV (v)◆ V の値の範囲：V ∈ [0, v̄]

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 19 / 90

評価額分布：一様分布

Uniform Density

はじめに

1.2

典型オークション

0.6
0.4
0.2

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

0.0

density0.8

1.0

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Valuation: x

Figure 1: 評価額分布：一様分布

Auction: Theory and Practice – 20 / 90

評価額分布：指数分布

はじめに入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

1.0

λ=1
λ=2
λ = 0.5

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

0.5

Density1.5

2.0

典型オークション

0.0

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

0

2

4

6

8

10

Valuation

Figure 2: 価値評価の分布：指数分布（λAuction:= 1, 2,Theory
0.5）and Practice – 21 / 90

設定

■ 入札者は n 人，突出した行動をとる者はいない（入札者の対称性）■ 一般性を失うことなく，第一番目の入札者（1 さん）について考える■ 1 さんの評価額を v1 ，入札額を b1■ 1 さんの利益：

Π1 =



v1 − max2≤j≤n bj
0

if b1 > max2≤j≤n bj
if b1 < max2≤j≤n bj

はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 22 / 90

IPV: 第二位価格オークションでの最適入札関数■ すべての入札者が対称であるなら，次の入札関数がほかの入札方法に比べて利益が高い．

βII (v) = v(1)

つまり，自分の評価額をそのまま表明することである．
■ その理由は◆ 自分の評価額より高くて勝っても，第二位の額が自分の評価額より上なら損する可能性◆ 自分の評価額より低くしたとき，その額と自分の評価額の間に入札されるとあったはずの収入が０．

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ これらより，評価額以上でも以下でも評価額そのものを入札した場合よりも収入が上になることがない
Auction: Theory and Practice – 23 / 90

IPV: 第二位価格オークションでの最適入札関数

はじめに■ βi ≡ maxj6=i bj として，

典型オークション

1. vi > βi のとき，vi で入札すれば i の勝ち：利益はvi − βi◆ vi > zi > βi なる zi で入札：i は勝つが，利益
は vi − βi◆ vi > βi > zi なる zi で入札：i は負け，利益は０
2. βi > vi のとき，vi で入札すれば i の負け，利益０◆ βi > vi > zi なる zi で入札：i の負け，利益０
以上，どのケースでも βII (v) = v から引き下げることで利益を上昇させられない．

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 同様に βII (v) = v から引き上げることでも利益を上昇させられない

Auction: Theory and Practice – 24 / 90

IPV: 勝利確率

■ 1 さんが勝つ確率（1 の評価額が v であり，他はこれ以下となる確率）Gn−1 (v)==Pr[V2 ≤ v, V3 ≤ v, . . . , Vn ≤ v]nY
Pr[Vj ≤ v] = {FV (v)}n−1

j=2■ n 人のうち，1 さん以外で一番大きな評価額

Y1 ≡ max Vj
2≤j≤n

はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ つまり，Y1 の分布関数は，Gn−1 (v) となる

Auction: Theory and Practice – 25 / 90

IPV: 第二位価格オークションでの買い手の期待支払額，売り手の期待収入
はじめに■ 期待支払額：勝つ確率 × 支払額

EPII (v)

典型オークション= v 以下の条件付き第二位評価額の期待値
×v で勝てる確率= E[ Y1 | Y1 < v ] × Gn−1 (v)Z v
1y gn−1 (y)dy × Gn−1 (v)=Gn−1 (v) 0Z v=y gn−1 (y)dy0

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 26 / 90

IPV: 第二位価格オークションでの買い手の期待支払額，売り手の期待収入■ 売り手の期待収入＝全員分の期待支払額の総計

Vi ∼ FV (•), Vi ∈ [0, v̄]n · E[EPII (V )]= n·Z v̄ Z v

y gn−1 (y)dy fV (v)dv
0
0
Z v̄

Z v̄
= n·
y ·
fV (v)dv gn−1 (y)dy
0

=

Z v̄

y

y · {n · {1 − FV (y)} gn−1 (y)}dy0= E[V(2,n) ]下線部は，n 個の独立な {Vi }ni=1 のうち，上から二番目の順序統計量 V(2,n) の密度関数．

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 売り手の期待収入＝

n 人中，二番目の評価額 V(2,n) の期待値

Auction: Theory and Practice – 27 / 90

IPV: 第二位価格オークションでの買い手の期待支払額，売り手の期待収入■ 売り手の期待収入＝全員分の期待支払額の総計

Vi ∼ FV (•), Vi ∈ [0, v̄]n · E[EPII (V )]= E[V(2,n) ]Z v̄
=y · {n · {1 − FV (y)} gn−1 (y)}dy0

下線部は，n 個の独立な {Vi }ni=1 のうち，上から二番目の順序統計量 V(2,n) の密度関数．
■ 売り手の期待収入＝

n 人中，二番目の評価額 V(2,n) の期待値
■ 売り手の期待収入は n に関して増加的

はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ n 人中２番目に大きい値の平均値なので，n について増加的であることはほぼ自明

Auction: Theory and Practice – 28 / 90

第一位価格オークションのルール■ 最高値を受けた人が財の購入権を獲得■ 支払額は，自分の入札額■ 評価の大きさは，入札者間で独立，◆ V の分布：Pr[V < v] = FV (v)◆ V の値の範囲：V ∈ [0, v̄]

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 29 / 90

設定

はじめに

■ i さんの評価額を vi ，入札額を bi

典型オークション■ 1 さんの利益：

Π1 =



v1 − b1
0

if b1 > max2≤j≤n bj
if b1 < max2≤j≤n bj■ 評価額 v の下での入札戦略を β(v) とし，◆ 対称（すべての入札者間で同じ）入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：APV◆ β(v) は微分可能

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ β(v) は増加的であるという性質をもつとき，

max β(Vj ) = β( max Vj ) = β(Y1 )

2≤j≤n

2≤j≤n

となる
Auction: Theory and Practice – 30 / 90

IPV: 第一位価格オークションでの最適入札関数■ v という評価を持つ入札者 1 が b という金額を入札した

ときの期待利益は以下の通り

E[Π1 (v)]= (v − b) × Pr[β(Y1 ) < b]
= (v − b) × Pr[Y1 < β −1 (b)]= (v − b) × Gn−1 ( β −1 (b) )ただし，β −1 (b) は b = β(v) の逆関数．
■ 一次条件（gn−1 (v) = G′n−1 (v)）

gn−1 ( β −1 (b) )
−1
(v
−
b)
−
G
(
β
(b) ) = 0n−1′−1
β ( β (b) )はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 31 / 90

IPV: 第一位価格オークションでの最適入札関数■ 対称性から b = β(v) を代入し，整理すると，dβ(v)Gn−1 (v) ·+ gn−1 (v) · β(v) = v · gn−1 (v)dvd{Gn−1 (v) · β(v)} = v · gn−1 (v)⇔dv■ 評価額が０のときは，入札額も０になると考えて，β(0) = 0■ このとき上の微分方程式は次のような解を持つ．

β(v) =

1
Gn−1 (v)Z v

y·gn−1 (y)dy = E[Y1 | Y1 < v]. (2)はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0Auction: Theory and Practice – 32 / 90

IPV: 第一位価格オークションにおける買い手の期待支払
額，売り手の期待収入■ i さんの期待支払額（「v が一番高い評価額である」＝「i番目の入札者が v の入札で勝つ確率」）

mI (v)= v が一番高い評価額であるときの入札額
×v が一番高い評価額である確率= E[ Y1 | Y1 < v ] × Gn−1 (v), (Y1 ≡ max Vj )2≤j≤n

明らかに同じ mI (v) = mII (v) となって，どちらも同じ
期待払い額．
■ 売り手にとっての期待収入（第二位評価額の期待値）

n · E[mI (V )] = E[V(2,n) ]

(3)

はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 33 / 90

最適入札関数の性質

はじめに■ 両オークションの最適入札関数．

βI (v)βII (v)==v−

1
Gn−1 (v)Z v

典型オークション

Gn−1 (y)dy

(4)

0

v

(5)

■ 評価額が v であるとき，入札額 βI (v) はZ v
0

Gn−1 (y)Gn−1 (v)

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

dyの分だけ評価額 v から減額（shading という）．

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ 第一価格で評価額そのままの入札：利益０◆ 評価額から大きく減額しての入札：勝つ確率が低下

Auction: Theory and Practice – 34 / 90

最適入札関数の性質

はじめに■ βI (v) は n に関して増加的

Gn−1 (y)=Gn−1 (v)FV (y)FV (v)

典型オークション

n−1

n→∞

−→ 0, y < v■ 二つのオークションの関係：参加者が十分多いときには

同入札額
n→∞

βI (v) −→ βII (v)

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV◆ 第一位価格：入札者数 n の増加と共に，同評価を持つ人の入札額が増加

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析◆ 第二位価格：入札者数 n の増加と共に，同評価を持つ人の入札額は変化なし■ 効率性：どちらも最高の評価を与えた人に販売■ 売り手の期待収入：n に関して増加的

Auction: Theory and Practice – 35 / 90

例１：評価額が指数分布に従う時の最適入札■ 評価額が指数分布（λ）に従う状況を考えてみる．つまりfV (v) = λe−λv , FV (v) = 1−e−λv , Gn (v) = {1−e−λv }n−1 ,v≥0◆ λ が大きくなると低い評価額を持つ人が増えるイメージ（図 3）■ 第一位価格オークションにおける均衡入札関数は

βI (v) = v−1
Gn−1 (v)Z v0

Gn−1 (y)dy = v−

1
{1 − e−λv }n−1Z v{1−e−λy }n−1 dy0◆ λ が大（図 5），高評価の人が少：高い評価なら割引いて大丈夫◆ λ が小（図 7），高評価の人が多：高い評価でも油断できない◆ どのケースでも参加者が増えるとよりアグレッシブな入札

Auction: Theory and Practice – 36 / 90

例１：評価額が指数分布に従う時の最適入札■ 第二位価格オークションにおける均衡入札関数は

βII (v) = v(6)■ 売り手の期待収入（入札参加者数 n に関して増加的）
n−1

1X
ln n + γ − 1
1n·E[mI (V )] = n·E[mII (V )] = E[V(2,n) ] =≈λ i=1 n − i + 1
λ◆ 参加人数の増加によって，売り手の期待収入は増加していく

Auction: Theory and Practice – 37 / 90

評価額分布：指数分布

はじめに入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

1.0

λ=1
λ=2
λ = 0.5

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

0.5

Density1.5

2.0

典型オークション

0.0

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

0

2

4

6

8

10

Valuation

Figure 3: 価値評価の分布：指数分布（λAuction:= 1, 2,Theory
0.5）and Practice – 38 / 90

入札関数（λ = 1）と入札者数

はじめに
10

典型オークション

4

6

8

Second Price Auctionn=5
n = 10n = 50n = 100
n = 1000

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

2

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0Bidding Function

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

0

2

4

6

8

10

Valuation

Auction: Theory and Practice – 39 / 90
Figure 4: 入札関数（λ = 1）と入札者数

入札関数（λ = 2）と入札者数

はじめに
10

典型オークション

4

6

8

Second Price Auctionn=5
n = 10n = 50n = 100
n = 1000

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

2

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0Bidding Function

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

0

2

4

6

8

10

Valuation

Auction: Theory and Practice – 40 / 90
Figure 5: 入札関数（λ = 2）と入札者数

入札関数（λ = 0.5）と入札者数

はじめに
10

典型オークション

4

6

8

Second Price Auctionn=5
n = 10n = 50n = 100
n = 1000

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

2

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0Bidding Function

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

0

2

4

6

8

10

Valuation

Auction: Theory and Practice – 41 / 90
Figure 6: 入札関数（λ = 0.5）と入札者数

売り手の期待収入と入札者数

はじめに

4

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

12
6

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数2

典型オークション

8

Expected Revenue

10

λ=1
λ=2
λ = 0.5

0

200

400

600

800

1000

number of bidders

Auction: Theory and Practice – 42 / 90
Figure 7: 売り手の期待収入と入札者数

練習問題：評価額が一様分布に従う時の最適入札（空欄を計算してください）■ 評価額が区間 (0, 1) の一様分布に従う状況を考えてみる．つまりfV (v) = 0
1 0<v<1v, FV (v) =0 otherwise
1v≤00 < v < 1 , Gn−1 (v) = {FV (v)}n−1
v≥1■ 第一位価格オークションにおける均衡入札関数は

βI (v) = v −1
Gn−1 (v)Z v

Gn−1 (y)dy =(7)0■ 第二位価格オークションにおける均衡入札関数は

βII (v) = v(8)

Auction: Theory and Practice – 43 / 90

練習問題：評価額が一様分布に従う時の最適入札（空欄を計算してください）■ 評価額が区間 (0, 1) の一様分布に従う状況を考えてみる．つまりfV (v) = 0
1 0<v<1v, FV (v) =0 otherwise
1v≤00 < v < 1 , Gn−1 (v) = {FV (v)}n−1
v≥1■ 売り手の期待収入（n に関して増加的）1n · E[mI (V )] = n · E[mII (V )] = E[V(2,n) ] =1

予備知識の頁より V(2,n) はパラメータ (n − 2 + 1, 2) のベータ分布に従う．その期待値を計算すればよい．

Auction: Theory and Practice – 44 / 90

評価額分布：一様分布

Uniform Density

はじめに

1.2

典型オークション

0.6
0.4
0.2

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

0.0

density0.8

1.0

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Valuation: x

Figure 8: 評価額分布：一様分布

Auction: Theory and Practice – 45 / 90

入札関数

Bidding Functions (Valuation Distribution=Uniform)
1.0

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

0.2

0.4

0.6

0.8

Second PriceFirst Price (n=3)
First Price (n=5)
First Price (n=10)

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

0.0

Bidding

はじめに

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Valuation: x

Figure 9: 入札関数

Auction: Theory and Practice – 46 / 90

練習問題解答：評価額が一様分布に従う時の最適入札■ 評価額が区間 (0, 1) の一様分布に従う状況を考えてみ

る．つまり



 0
1 0<v<1v
fV (v) =, FV (v) =0 otherwise
1

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルールn−1
V
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数v≤00 < v < 1 , Gn−1 (v) = {F (v)}v≥1

■ 第一位価格オークションにおける均衡入札関数は

1

はじめに

Z v

n−1
βI (v) = v −Gn−1 (y)dy =· v (9)Gn−1 (v) 0n

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 第二位価格オークションにおける均衡入札関数は

βII (v) = v(10)

Auction: Theory and Practice – 47 / 90

練習問題解答：評価額が一様分布に従う時の最適入札■ 評価額が区間 (0, 1) の一様分布に従う状況を考えてみ

る．つまり



 0
1 0<v<1v
fV (v) =, FV (v) =0 otherwise

1

はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルールn−1
V
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数v≤00 < v < 1 , Gn−1 (v) = {F (v)}v≥1

■ 売り手の期待収入（n に関して増加的）

n−2+1
n−1
n·E[mI (V )] = n·E[mII (V )] = E[V(2,n) ] =
=
n+1
n+1

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 48 / 90

例２：公共事業などサービス提供に関する入札■ サービスの買い手が，サービス提供を入札によって呼び掛ける（最安値を提示した人に権利賦与）■ サービスの売り手は，期待利益を最大にするようにサービス提供料金を考え入札を行う．
■ サービスの売り手間で費用分布 FC (c) が独立で同一と想定．
■ 自分の費用水準が c の人の最適入札額は以下の通り

1

Z ∞Gn−1 (y)dyGn−1 (c) c
Z ∞
1
n−1
= c+
{1
−
F
(y)}
dy
C
n−1
{1 − FC (c)}cβ(c) = c +はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 49 / 90

例２：公共事業などサービス提供に関する入札■ 費用分布 FC (c) 対数正規分布に従う状況を考えてみる（図 10）◆ 非常に低い費用で実行できる人は少なく（図 10），中位程度が多い◆ 上記の入札関数に対数正規分布の分布関数を代入し図示したのが図 11◆ 参加者の増加によって，より儲けの少ない（費用ぎりぎり）攻撃的入札を行う傾向■ 買い手にとっての平均支出額も参加者の増加によって減はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

少していく

◆ つまり，公共事業等などを考えると調達費用がより少なくて済むAuction: Theory and Practice – 50 / 90

図：費用分布：対数正規分布

はじめに
0.12

典型オークション

0.02

0.06
0.04

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

0.00

Density

0.08

0.10

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

0

2

4

6

8

10

Cost

Auction: Theory and Practice – 51 / 90
Figure 10: 費用分布：対数正規分布

入札関数と入札者数はじめに典型オークション10

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数6
4

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

2

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0Bidding Function

8

45‑degree linen=5
n = 10n = 50n = 100
n = 1000

0

2

4

6

8

10

Cost

Auction: Theory and Practice – 52 / 90
Figure 11: 入札関数と入札者数

平均調達費用と入札者数

はじめに
10

典型オークション

6
4

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

2

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0Expected Revenue

8

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
SPA ルール
SPA 最適入札
SPA 期待収入
FPA ルール
FPA 最適入札
FPA 期待収入
最適入札関数

0

200

400

600

800

1000

number of bidders

Auction: Theory and Practice – 53 / 90
Figure 12: 平均調達費用と入札者数

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 54 / 90

この節の目的■ 第一位価格オークションの最適入札関数

はじめに典型オークション■ 第二位価格オークションの最適入札関数

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV■ 第二位価格オークションからの方が収入が平均的に入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札
収入

高い
■ まとめ

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 55 / 90

相互依存性（Affiliation）■ 入札者 i は自分自身の財評価に関わる情報 Xi を持つ■ n 人の入札者それぞれが持つ，財に関する情報:{X1 , X2 , . . . , Xn }■ 相互依存性 (Affiliation) ＝ある人が高評価する情報を持

つとき，他の人も高評価（multivariate total positivity ）◆ 各人の情報は独立ではないので同時分布を考える必要がある．

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 相互依存性を持つ n この確率変数 {X1 , X2 , . . . , Xn } について，◆ 性質：増加関数 κ(•) について，x > x′ であるとき，E[ κ(Y1 ) | X1 = x′ ] ≥ E[ κ(Y1 ) | X1 = x], Y1 = max Xj
2≤j≤n

Auction: Theory and Practice – 56 / 90

相互依存性（Affiliation）

はじめに■ 記号の準備

典型オークション◆ Y1 = max2≤j≤n Xj （自分以外の最高評価値）◆ Gn−1 (y|x) = Pr[Y1 ≤ y | X1 = x]（自分が x と評価するとき，自分以外の最高評価値の分布関数）■ 入札者１の財に関する評価額（入札者１の選好）：V1 ≡ v1 (X) = v(X1 , X(−1) )ただし自分以外の情報 X(−1) は見えない

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 57 / 90

相互依存性（Affiliation）

はじめに■ 入札者１の財に関する評価額（入札者１の選好）：典型オークション

入札者の評価が互い
V1 ≡ v1 (X) = v(X1 , X(−1) ) ただし自分以外の情報 X(−1) は見えないに独立的である場合：

IPV■ 自分が x，自分以外の最高評価が y であるときの財の期待評価額：v(x, y; n) = E[ V1 | X1 = x, Y1 = y ](11)

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 各人の評価が独立であるとき（IPV），上の設定は

V1 ≡ v1 (X) = v(X1 )またv(x, y; n) = E[V1 |X1 = x, Y1 = y] ≡ v(x)(12)

となって，入札者数 n の影響を受けない
Auction: Theory and Practice – 58 / 90

APV: 第二位価格オークション■ 入札者の利益：自分は x という情報を持ち，b を入札したときの利益◆ ビッド額が b となるような情報の大きさは β −1 (b)◆ Y1 が β −1 (b) 以下になることが勝ちの条件◆ 支払額は第二位価格なので β(Y1 )Z β −1 (b)Π ={v(x, y; n) − β(y)} · gn−1 (y|x)dy0=

Z β −1 (b){v(x, y; n) − v(y, y; n)} · gn−1 (y|x)dy

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0Auction: Theory and Practice – 59 / 90

APV: 第二位価格オークション

はじめに■ 最適解は？

∂Π∂b=

典型オークション



1 
−1
−1
−1
v x, β (b); n − v β (b), β (b); nβ ′ (b)×gn−1 (β −1 (b)|x) = 0

相互依存性の性質より y < x ならv(x, y; n) − v(y, y; n) > 0，y > x ならv(x, y; n) − v(y, y; n) < 0，つまり y = x あるいはβII (x) = v(x, x; n)(13)

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析となる必要がある．

Auction: Theory and Practice – 60 / 90

APV: 第一位価格オークション■ 入札者の利益：情報 x を持ち，b というを入札したの期

待利益◆ 勝った時の支払額：入札額 β(z) そのものであるこ
とに注意

Π =
=

Z0 z

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV◆ z を b = β(z) 満たすものとする

Z z

はじめに

{v(x, y; n) − β(z)} · gn−1 (y|x)dyv(x, y; n) · gn−1 (y|x)dy − β(z) · Gn−1 (z|x)

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0Auction: Theory and Practice – 61 / 90

APV: 第一位価格オークション

はじめに■ 最適解は（期待利益を最大にする水準 z は）？

典型オークション

Πz = {v(x, z; n)−β(z)}·gn−1 (z|x)−β ′ (z)·Gn−1 (z|x) = 0

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

相互依存性の性質から z > x (z < x) のとき，Πz > 0(Πz < 0) なので z = x を考えると，入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

gn−1 (x|x)β (x) = {v(x, x; n) − β(x)} ·Gn−1 (x|x)′

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

この微分方程式を整理して（β(0) = 0 も用いて），

βI (x) =

Z x
0

 Z x

gn−1 (t|t)
v(y, y; n)dLn−1 (y|x), Ln−1 (y|x) = exp −dt
y Gn−1 (t|t)(14)

Auction: Theory and Practice – 62 / 90

APV: 売り手の期待収入■ IPV の場合：「第二位価格オークションからの期待収入」と「第一位価格オークションからの期待収入」が等しい■ APV の場合：「第二位価格オークションからの期待収入」が「第一位価格オークションからの期待収入」より大きい

はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 63 / 90

APV: 売り手の期待収入

はじめに■ 第二位価格の期待支払額（情報 x）：

EPII (x)典型オークション= E[βII (Y1 ) | X1 = x, Y1 < x]
= E[v(Y1 , Y1 ; n) | X1 = x, Y1 < x]Z x
dGn−1 (y|x)=
v(y, y; n)Gn−1 (x|x)
0■ 第一位価格の期待支払額（情報 x）：EPI (x) = βI (x)EPI (x) =Z xv(y, y; n)dLn−1 (y|x)

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

0■ 詳細は省略するが，相互依存性の性質を用いてEPII (x) ≥ EPI (x) を示すことができる2 ．
2

例えば，Krishna (2002) ”Auction Theory”, Academic Press. などを参照
Auction: Theory and Practice – 64 / 90

まとめ

■ 入札者間の評価に相互依存性があるとき，◆ 最適入札関数：

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

第一位価格オークションでは (14) 式，
入札者の評価が互い

 Z x
Z x
に独立ではない場合：
gn−1 (t|t)
APVdtβI (x) =v(y, y; n)dLn−1 (y|x), Ln−1 (y|x) = exp −
相互依存性
G
(t|t)
n−1 SPA 入札
0
y
■

■

第二位価格オークションでは (13) 式

βII (x) = v(x, x; n)

FSA 入札収入
IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Auction: Theory and Practice – 65 / 90

まとめ

■ 入札者間の評価に相互依存性があるとき，はじめに典型オークション◆ 売り手の期待収入：第二位価格オークション ≥ 第一位価格オークション

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV◆ 証明は省略するが3 ，一定の条件を課さないと入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札
収入

競争が激しくなったとしても，同じ情報のもとで入札額が下がってしまう（消極的な入札）■ 競争が激しくなったとしても，売り手の収入が必ずしも増加しない■ということが起きてしまう（次の例を参照）

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 競争の効果が発揮される上で，入札者間における財評価の相互依存性の有無は重要な要因
3

例えば，Pinkse and Tan (2005) ”The Affiliation Effect in FirstPrice Auctions”, Econometrica 73, pp. 263-277.

Auction: Theory and Practice – 66 / 90

例２：共通価値モデル■ 一例として，v(X) = V ，すなわち，すべての人について評価額が一定（ただし直接観測はできない）という設定■ 評価額 V は以下のような形で入札者の情報と相互依存している

Fx|v (x|v) = x βv

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入, 0≤x≤v■ また評価額 V は観測できないが，以下のような分布に従っているという予測を皆が共有している

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

Fv (v) = 1 − v −α , v ≥ 1, α > 2■ ベイズの定理から f (v|x) = f (x|v)f (v)/

もわかる

R

f (x|v)f (v)dv

Auction: Theory and Practice – 67 / 90

例２：共通価値 v に関する分布状態について共有知識

はじめに

Common Value Prior Density
2.5

典型オークション

1.5

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

1.0

density

2.0

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

0.0

0.5

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Value: v

Figure 13: 共通価値 v の（事前）密度関数
Auction: Theory and Practice – 68 / 90

例２：共通価値が v のとき，私的情報 x の分布状態

はじめに

Conditional Private Signal Density

典型オークション
1.2

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

1.0

v=1.5
v=2.5

0.6
0.4

density

0.8

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札
収入

0.0

0.2

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Valuation: x

Figure 14: 価値 v の下での私的情報 x の密度関数
Auction: Theory and Practice – 69 / 90

例２：私的情報 x の下での共通価値 v の分布状態

Density of V Given X: Uniform Density (a+b=3)
0.4

典型オークション

0.3

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

0.2

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

0.1

density

はじめに0.0

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Value: v

Figure 15: 情報 x の下での価値 v の密度関数
Auction: Theory and Practice – 70 / 90

例２：共通価値モデル■ 第一位価格オークションの入札関数（計算過程は省略）

はじめに(n − 1) · β + (max{1, x})−(n−1)·β−1×v(x, x; n)βI (x; n) =1 + (n − 1) · β

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPVv(x, x; n) =α+β·n
× max{1, x}α+β·n−1■ n = 2, 4, 6 について図示する（α = 2.5, β = 0.5）
■ x が小さい場合に，参加者が増えても入札額が減少

典型オークション

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析■ 売り手にとっての期待収入を見てみると入札者の変化に対して単調ではないαn·βSn = 1 −(α + n · β − β)(α + n · β − 1) α − 1
競争を促進しても必ずしも売り手の収入が高まるわけ
ではない．
Auction: Theory and Practice – 71 / 90

例２：共通価値モデル（Winner’s Curse)

はじめに■ v(x, x; n) について，

典型オークション

α+β·n× max{1, x}v(x, x; n) =α+β·n−11× max{1, x}=
1+α+β·n−1■ 明らかに n の減少関数：評価額が参加者が増えると減少■ 合理的な入札者は「勝者にかけられる呪い」を避けるため，大きく評価を下げている■ この効果が大きいため，このモデルでは前述のような現入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札収入

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

象が見られた．

Auction: Theory and Practice – 72 / 90

例２：共通価値モデルでの入札関数

Bidding Prices v.s. Number of Bidders

はじめに

2.2

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

2.0

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札
収入

1.8
1.4

1.6

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

1.2

Bidding Function

n=2
n=4
n=6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Signal x

Auction: Theory and Practice – 73 / 90

Figure 16: 入札関数：共通価値

例２：共通価値モデルでの期待収入

Revenue of Seller v.s. Number of Bidders

はじめに

1.54

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV
相互依存性
SPA 入札FSA 入札
収入

1.48
1.46

IPV と APV のデータを用いた区別：統
計分析

1.44

Revenue

1.50

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

1.52

典型オークション

5

10

15

20

Number of Bidders

Auction: Theory and Practice – 74 / 90

Figure 17: 売り手の収入（入札者の変化）

はじめに典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

Auction: Theory and Practice – 75 / 90

IPV と APV の区別についてのアイデア

はじめに■ 第一位価格オークション：財の評価

典型オークション◆ IPV：入札者数が変わっても変化なし：(12) 式◆ APV：入札者数が変わると変化：(11) 式◆ 実施方法：以下の関係式（スライドボックス 22 参照）から財の評価を推定
β ′ (v) · Gn−1 (v)gn−1 (v)⇔ v = β(v)+β (v) = {v−β(v)}·Gn−1 (v)gn−1 (v)′bi = β(xi ) → xi = β −1 (bi ) を用いて入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

G̃( bi )Gn−1 ( β −1 (bi ) )=b+
vi = bi +ign−1 ( β −1 (bi ) )g̃( bi )オークションを入札者数ごと分割し，それぞれの場
合の財評価推定値の分布をノンパラメトリックに推定し，それぞれが異なっているなら APV と判断できる．

Auction: Theory and Practice – 76 / 90

Discriminating between IPV paradigm and APV
paradigm■ 森林区画の販売（材木を伐採する権利）◆ 国民共有の資源なのでなるべく多くの収益を得たい◆ オークションの実施◆ 多くの入札では少数の入札者のみ応札してきた．
◆ 入札者数２，入札者数３の場合で評価価値額を推定．
G̃( bi )vi = bi +g̃( bi )はじめに
典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果◆ {vi }ni=1 の分布をそれぞれのケースで推定し，比較◆ それぞれのケースで分布が異なっているなら，
APV，同じなら IPV の可能性■

Kolmogorov-Smirnov 検定には，分布が同一であることを棄却．
Auction: Theory and Practice – 77 / 90

分析器結果：評価額分布

はじめに

Figure 18: 木材伐採権オークション：入札者数２（赤破線）/入札者数３（青実線）

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

0.005

Density

0.004
0.003
0.002
0.001
0.000
500

1000

valuation

Auction: Theory and Practice – 78 / 90

IPV と APV の区別についてのアイデア

はじめに■ 第二位価格オークション：入札価格

典型オークション◆ IPV：入札者数が変わっても変化なし（例えば (5)式を参照）

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV◆ APV：入札者数が変わると変化（例えば (13) 式を参照）

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV■ 実施方法：入札価格の分布を入札者数ごとに推定し，それぞれが異なっているなら APV．

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

Auction: Theory and Practice – 79 / 90

実証分析：航空旅券割引券（株主優待券）オークション

はじめに■ 航空旅券割引券（株主優待券）

典型オークション◆ 基本的には料金を半額にする機能を持つ◆ 購入に際しては正規料金と同じ扱いなので変更等の自由度が高い
各種割引券は払い戻し・変更等の面で不都合が生じる場合もある■ マイレージも正規料金分■◆ 割引が設定されない期間も株主優待券は利用可能なことが多い◆ Yahoo オークションで JAL，ANA の株主優待券が販売

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果◆ 入札者ごとに目的地，利用法などで異なっているた
め，IPV の可能性■

GW 期には APV の傾向がある（利用期限が迫っている）．
Auction: Theory and Practice – 80 / 90

Yahoo! オークション

はじめに

■ 出品者

典型オークション◆ 開始価格・出品期間・即決価格（再交渉の余地あり）■ 入札者◆ 最低入札単位：5000 円まで 100 円刻み，以後 250 円◆ 各自が希望入札額を入れる◆ 他者の希望額は見えない◆ 同じ価格が入札：早い方が有効■ 入札者にとっては第二価格オークションに近いが，入札

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果するタイミングに自由度がある

Auction: Theory and Practice – 81 / 90

分析結果

■ 入札額のうち最高値は，評価額そのものではなく，打ち切られた値であることに注意．

◆ 参加者が多くなると，非常に低い値の入札者が一定層いる■ 平均や分位点についてみる．オークション ℓ における i

さんの入札額 pi,ℓ ，その時の参加人数 nℓ◆ 方法：以下の係数 β1 の有意性検定= β0 + β1 nℓ= β0 + β1 nℓ

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV■ 分布全体をみる．

E[pi,ℓ |nℓ ]ρτ (pi,ℓ |nℓ )

はじめに

回帰分析

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

分位点回帰

ただし ρτ (p|n) は n が与えられたときの p の 100τ
％分位点を意味する．
Auction: Theory and Practice – 82 / 90

分析結果

はじめに

■ 方法：以下の係数 β1 の有意性検定

E[pi,ℓ |nℓ ]ρτ (pi,ℓ |nℓ )= β0 + β1 nℓ= β0 + β1 nℓ

典型オークション

回帰分析
分位点回帰

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV
入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

ただし ρτ (p|n) は n が与えられたときの p の 100τ ％分
位点を意味する．
■ 分布全体あるいは平均的な傾向をみると参加者数によって入札価格分布に変化あり■ ただし，比較的高位の分位点に注目するとその影響は小IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

さい：IPV の可能性あり◆ 多くが参加する入札には，非常に低価格入札が見られる（あわよくば，という入札か？）

Auction: Theory and Practice – 83 / 90

入札者数ごとの入札価格

Bidding Prices and Number of Bidders

はじめに

8000

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

ANA
JAL

2000

4000

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

0

Bidding Prices

6000

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

2

4

6

8

10

12

Number of Bidders in an Auction

Auction: Theory and Practice – 84 / 90
Figure 19: 入札者数ごとの入札価格

参加人数別入札分布関数：JAL

はじめに

Bidding Price Empirical CDF: JAL
1.0

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

0.8

n: 2 to 4
n: 5 to 7
n: 8 to 12

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

0.0

0.2

0.4

Fn(x)

0.6

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

0

2000

4000

6000

8000

Bidding Prices

Auction: Theory and Practice – 85 / 90

Figure 20: 参加人数別入札分布関数：JAL

参加人数別入札分布関数：ANA

はじめに

Bidding Price Empirical CDF: ANA
1.0

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

0.8

n: 2 to 4
n: 5 to 7
n: 8 to 10

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

0.0

0.2

0.4

Fn(x)

0.6

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

0

2000

4000

6000

8000

Bidding Prices

Auction: Theory and Practice – 86 / 90

Figure 21: 参加人数別入札分布関数：ANA

入札者数ごとのパーセント点／平均の推移：JAL

Effect of

はじめに

nbidders

8000

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

mean line
50% line
25% line
75% line

4000

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

0

2000

Effect6000

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

2

4

6

8

10

12

nbidders

Auction: Theory and Practice – 87 / 90

Figure 22: 入札者数ごとのパーセント点／平均の推移：

分位点回帰における入札者数の係数：JAL

Slopes of Percentile Curves: JAL
100

はじめに
典型オークション0

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

‑100

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

‑500

‑400

‑300

‑200

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

0.2

0.4

0.6

0.8

Auction: Theory and Practice – 88 / 90

Figure 23: 分位点回帰における入札者数の係数：JAL

入札者数ごとのパーセント点／平均の推移：ANA

Effect of

はじめに

nbidders

典型オークション8000

入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

4000
2000

Effect6000

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

0mean line
50% line
25% line
75% line

2

4

6

8

10

nbidders

Auction: Theory and Practice – 89 / 90

Figure 24: 入札者数ごとのパーセント点／平均の推移：

分位点回帰における入札者数の係数：ANA

Slopes of Percentile Curves: ANA

はじめに

0

典型オークション
入札者の評価が互いに独立的である場合：
IPV

‑200

入札者の評価が互いに独立ではない場合：
APV

‑600

‑400

IPV と APV のデータを用いた区別：統計分析
IPV と APV の区別についてのアイデア
検定のアイデア
実証分析
Yahoo! オークション
分析結果

0.2

0.4

0.6

0.8

Auction: Theory and Practice – 90 / 90

Figure 25: 分位点回帰における入札者数の係数：ANA