確率数理工学に）咄確率変数）

いたが確率空間"？！！.

鼠憲疢！！！！
凞が？で.

：：：：：：簽
鬱：.......：：：i「確率変数が1 tape
関 数X : s - R が . な E R でr|X(w)ED
宏・ 米父（random V a rが（は、x］）：=1WEと呼ぶ。

（ru.ともく）

ACT に対し、で.
o f wer1 （w）が3のことを｛Xがらやハルに川と書く、A測関数」「町測関数」とも言う

o任意のボレル集合
BEBCR ）に対し.X' （DEF であることと、上記の定義は同値. （証明は後で与える.）oより一般に、「1測空間に、F），（MF）に対し.
n

N が 、 UAEなどが（A)EF をみたす時、Xを みた叮測関数と言う（このとき.X ：（r.F ） （it'）と書いたりする）

熖一〇・が一〇べげには）（t.FIExである確率ば測れて欲しい ，TEACHER 例）である石隺率は測れる」

型.he｛金銀、銅、はずれし たが（全部分集合）の確率変数

賞金X（金）=too.X（銀）=100，X（銅）=10，X（はずれに0P（金）=0.1，P（銀）=0.2 ，P（銅）=0.3 ，P（はずれに0.4
確率数理工学2 (2022)

1 / 12：蕪：：：I - ̲ - 一XIA)E

F--̲-̲me̲。A

E BAR ）-w1-）X(w)Te,iii.

！

|：：超"が（1-a,a ］）=｛W E N X C W E a }E F派"

幽州する確率崩/一人をたて）kw)
ランダムにwの身長が（は、170］）=｛170cm以下の日本人と確率数理工学2 (2022)

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「長がN.や曜⇐

B=（一、a］にかぎらない、「BE BCR ） に対し.が（13）はは自明。なぜなら、「a E R で は、a]EBR ）であるため、を示す（BoはBCR ）の部分集合、これがB . = 1 B E BCR ）|X' （B)ET ｝ とおくBCR ）と一致することを示したい）

確率変本文の定義よりG a a ] E B 。 （IER ） である。

しかも.Bo が6- 加法族であることもわかる。なぜなら超い） が （R ）= R E F （下の定義より）（2） A E B 。

T e n tX' （A)EF

なの定義

（3）

A..An... E B 。

なので.REB 。 ！（チェックせ（MAI）にFAn)EF（h）よ）が（パ）eF

A c e B。

Yが（An)EF で下は6加法族）y ( Y An)EF じ駅（An）=が信州
恕囁問題
I A nEB 。

6- 加法族を含む以上より B . は ｛E・.a］1GER｝を含む最小のそれは RIR ）である （i次ページのLemより）。
つまり. B(R)CB 。 となるので、

確率数理工学2 (2022).

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部分集合族tに対し、tを含む最小の6- 加法族をdid）と書く、

凸A = 11-a,a］1aERIに対し、6（A）=BAR ），ProfE t c BCR ）はすぐわかる。 よって. 6 （AKBCR ）である。

逆のBCR)Cdt ） を示す。 そのために、6（d）が任意の開集合を含むことを示せば良い、

これは、任意の開集合
Bは、可算無限個の開区間（a-Sats ）の和集合として書けることが示されば十分である。
なぜなら、 開区間lab） はlife.be たハト・，a］ と書けることから.

Bが表せるなら6- 加法性よりB Edt）
6は）に入り、6（かの元の可算無限和でとなるからである。

任意の）（EB に対し、 Bは開集合であることからあるE>0が存在して、C）
1 - E . t tE ) C Bとできる。

すると、ある有理数9.5 が存在し、-K G

̲

-（9-8 ，9+8 ）C(KE.at E ) C Bとできる.
（たとえば、0〈S<E を1つとってきて、 （K-S.Kt S）から1）9E

良い.）

このように、各Rごとに.あるかEとおけば、

BC 品In，hEeである。

を取って来ればが存在して、Ix=（9x-Sx,at Sc ）一方な G B で I nC B なので、出なくB. よって、B = 岩BI xである。

さらに、私Sx はともに有理数なので、 anは可算集，Do，ヨ）（GB でEh. にSc であろU l（8-8.9+81/8 ，SE合

B=うと書けるので、 これは区間の高行算和.

よって、「B：開集合 は BE6 （t） である.

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oX:resist'の部分集合
6（B' ）をB' を含む最小の6- 加法族とする族B'に対し、F'=GCB ）なら、「Xが計測が成り立っ.

（B' はF'> U A E B' に対し. が（A)EF 」
TF' ではない.

を"生成する.X の71だけ測性を担保するには.B' における叮測性のみ調べれば十分）.

（演習問題参照）o （R.F）-）に'.F' ）， Xa：（でF'）-）に".F" ）
に対し、

（の測関数

k=Xz 。X、： W E Rいた（かい）Er" も F 1 だ け 測.

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5 / 12トキの下に（R.B （仏）のとき、X I Rが連続ならX は叮測が（（a.か）は開集合なので（Xの連続性より）.

（Proof ）が（（aa））EBCR ）であるよってX' （にでもある。

1 /重〇咀（分布関数）X i ru.

DEADa］）=が（（ac r e s s・要s

っrandom variable の略てFM）=P（｛werI X(w)Ex ｝） （KER ）Xの（累積）分布門學 と言う.とすると、 F を（Cumulative distributionfunction,C型

F（水）=p(XE）し）や.FM=N｛ （w）壬川）とも言こす，

先のくじびきの例：

䰗 jiが一.TL
jYFa

i .iiii.s

たが定義されるためにはハ任っりが汗測である必要がある.

Xがt.ir なら、2の叮測性が担保される.

，

䰗（銅） （銀）型（分布関数の性質）（3）

右連糸売|，た（右連続）感a。下川=Fla）「！"彧
ﬁne形に0， 感がルにIい） っくくり

（2）

（金）

EF は）

（単調非減少）た極限1想派）

fyi。下川=Fk ） と は 限 型
しかいた極限は興 祭金払）-

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(Proof ）（I)

A=1w|X(w)Ex3，B=1w|XH E Y ｝ とおくと.

）（Ey より、 ACB である、確率の単調性よりPCA)E PCB ）である。

（2）） い っ た> - . - > a で ﬀdn=Gである数列を考える.

J1爍！=嶋基に注意すると.

［そのw
怠炎で？！iii.
は敗に任っり）

をつはすぐわかる

石隺率の連続性より.

h i Fが）=ﬁgPan）=PCA ）=F(a）で あ る.に入らない。

何 も同様/ /Remark （次回、より詳しく述べる）

金にしりいろ）をみたす
FMRが存在したら、Qが一意に存在する、対応する CRB 側）上の確率測度
そのQはQ1（-a,a ］）= F k） はER ）.Q（（ab》=F（以下（a）
をみたす.

Q

した<b)

F-（測度）（分布）

Pを調べる代わりに.F を調べた方が楽なことが多い。（弱収束など）
nR

一つ下に爾が新定まる

pQ"" 派一例でもある

確率数理工学2 (2022)|でもがが外脈制Pの4によるpushy
これをツがタグ言う.

、Q=X#P とも書く.

-7 / 12I(rFiD-.！
@i-.f"
㘅I州しPIMA））=Q(A）

2=［0/1］たがい），には上の一様分布
例：
X(o ）=Iなら、｛WENX(w)Ex ｝ニ｛WE I I W E x）

=ftp.WEke？
い いPhotoF"）=|R(o（troExEI）：（x>1）-f豔

Eに1）=にa s いに移り！！鑵"瞬HI=F'（川=エ| （coast）

側が（は、別

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等しい
8 / 12確率分布の種類
連 続-

咀

絶対連続

｛- 特異連続-離 散-（連続分布）と鬱鬱....ii！灣
鼗にしER においてFNが連糸売、つまりPC につく）=0（しaR）に筮が濹=扉."
1）（関係ないことに注意

Fが連糸売である非負関数
fを用い（Borel 、測）（絶対連続分布て一一反例を作ってみよ）

だい=ﬁ f ( u ) d uと書けるとき、その分布は絶対連続であると言う.

fを右隺率密度関寿久（probability densi f function,pdf ）と言う連続である.

地（Radon-Nikodymの定理）！

ME）=0をみたす任意のEEBCR ）について、PCE ）=0である.

⇐

Fは絶対連糸売/こちらを定義としても良い.

&（一様分布）""" に信！！？
［㷀鏜i j区間［a.b ］，で［9.b ]i[a.6 ］上の一様分布（otherwise ）adf.FM=（Ka)（xEca.D).

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@Ex.l 正規分布）- ガウス分布」とも言う。

平均MER、分散63ofaに兗.aptly，，Er覚.........iえる

M f

N(M62 ）で表す
ーーも分布と言う
N10.1） を標準正夫「adf.EC川=1でﬂu)du を誤差関数と言う.
咀（特異連続分布）<一（今は覚えないでも良い
Fは連糸売であり、かつあるEE BCR ）に対してが！！！：：：.......！！
：ie..
：鮗：：
PAGE）=1かつ.ME）=0（ルベーグ測度）

密度関数をもたない！

巫r=［0.1），たBUH）），Pをに川上の一様分布とする。

w=E岳なる2進数展開を用いて

ii

X(w）=E2台 とする。

o .が-̲-I

燕：摩Pack ）=1

一方.

Mk ）=0である。

（Kは非可算濃度だが.
ルベーグ測度=0）（Mk）=が知らx-̲-.=o ）線分のまん中の領域を取り除くという確率数理工学2 (2022)

K）

10 / 12DI（離散分布）

Xの取りうる範囲が高々可算個。

つまり、あらたにいた，-.- ｝CR が存在して、（有限個でも良い）

書PCX=m）=1が成り立つとき、離散分布 と言う.

f(Va ）=P（がた）のことを、確率質量関数と言う.
a bi l iG mass function，の（probで与えられる。

分布関数はF（川=Sex H a t

巫（Bernoulli分布）

Este コイン投げ2回
表 Iに｛0/1｝， O s o E lp .m f.

/ /f（り=0， HO）=1-0

一座に項分布）Ber 心と記す

裛O.

性には）は、，。，.az？こ
表が出た回数たのでは、の嶺が投げでに｛o.1.2.....n ｝

OEO E l .

（nE N )n同B(n.0 ） と記す（Poisson分布に10.1.2....3 ，）

R > omsn.f.HR/=E

稀に起こる現象が一定期間内に起きる回数の分布：--

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工場で1日に生産される不良品の本文

宇宙線を1時間に観測する回数
11 / 12（補足）I（ルベーグの分解定理）（R.呦）上の確率測度
Pは、絶対連続な分布R、特異連続な分布に、離散分布Bに分解できる。すなわち、 OEO..02 ，03=1，0/+02+03=1である 01，02 ，0，を用いて.に0 ，R+02B+0313と分解でき、さらにこの分解は一意である.

確率数理工学2 (2022)

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