北海道大学大学院工学研究院
稲垣克彦

電気伝導とトポロジー

2010/6/25

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 擬１次元導体o-TaS3における電気伝導 電荷密度波にともなう抵抗上昇が、低温において異方性をもつ
 ソリトン伝導の寄与[Takoshima, Ido, Tsusumi,Sambongi, Honma, Yamaya,Abe, Solid State
Communications 35, 911(1980)]
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 電気伝導の基礎
 電荷密度波（ＣＤＷ）
 整合ＣＤＷとソリトン伝導 最近の話題

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 Ohmの法則(1826)

電圧降下(V)が電流(I)に比例 V=RI
抵抗(R)は導線の断面積に反比例
 電子の発見 J.J. Thomson(1897)
 Drude 自由電子気体(1900)
金属中に熱運動する電子を仮定してOhmの法則を微視的なモデルから導出した
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4金属の電圧降下Vは流れる電流Iに比例
V=RI
抵抗Rは試料の長さLに比例、断面積Sに反比例
R=ρL/S
S

L→金属の内部に電気伝導の原因がある
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2010/6/255 金属中に自由電子の存在を仮定

ne τ
σ=m2n:電子密度
e:素電荷
τ:平均散乱時間m:電子の質量平均的には電場に比例した速度を持つ

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2010/6/256 比熱の電子の寄与が小さすぎる
 定量的には電気伝導率が不一致。特に、平均自由行程が原子間距離に対して大きすぎる。
 極低温において、古典モデルでは電気伝導が小さくなることが予想されるが、実験結果によれば有限な一定値をとる（残留抵抗率）
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 Blochの定理
 パウリの排他律とFermiエネルギー
 バンド理論

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 自由電子のShrodinger方程式= 2 d 2ϕ−= Eϕ22m dx

E

解は平面波

ϕ = Aexp ikx= k
E=2m22k電気伝導とトポロジー

2010/6/259 周期ポテンシャルV(x+T)=V(T)中の電子の波動関数ϕ(x)ϕ ( x) = u ( x) exp ikx

ここでu(x+T)=u(x)の形をもつ
完全結晶においては電子は結晶ポテンシャ
ルに散乱されない
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10 平面波exp ikxの組を用

いて電子Nヶの波動関数を考える
 パウリの排他律より、ひとつの状態に電子は１つ以上入れない→N
電子を収容するためにはNヶの波動関数を用意しなければならない。
 kとして許される値は2π/Lの整数倍（境界条件より）に限られる

EEFk
系全体の運動量はゼロ

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11 フェルミエネル

E

ギー近傍の電子のみが寄与 電場によって空いている波動関数に移る
 全体として運動量を持つことができる
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EFk
電流が流れる2010/6/2512 結晶格子の周期性と電子の相互作用を考慮する：電子波のBragg反射
金属E

絶縁体

E
伝導帯
EF禁止帯

EgEF
価電子帯

k-π/a
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2010/6/25π/ak13 結晶中の電子はBlochの波動関数で表すことができる
 パウリの排他律により、フェルミエネルギーまでの状態が占拠される
 フェルミエネルギーが伝導帯にあるか、禁止帯にあるかで金属になるか、絶縁体となるかが決まる

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14 電子系に波数qの摂動を加えたとき誘起される電荷密度

ρ (q) = χ (q)φ (q)−eq + 2k F
χ (q) =ln
π=vF q − 2k F
21次元電子系ではq→2kFで応答関数が発散：Peierls不安定性
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 波数2kFのベクトルで結ばれるFermi面の組はPeierls不安定性を引き起こす：ネスティング Fermi面の形状によってネスティングの起こりやすさが決まる

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 結晶構造によって異方的な電気伝導を示す

物質群
MX3(M=Ta, Nb; X=S, Se)

MX2(M=Ta, Nb; X=S, Se)(TMTSF)2X (X=cation)

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 Tp以下で2kFの電荷密度波が自発的に生じる
 フェルミ面にギャップが開く→絶縁体

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 電気伝導率の異常 電子線回折におけるサテライトピーク[Tsutsumi, Takagaki,Yamamoto, Shiozaki, Ido,Sambongi, Yamaya, Abe, Phys.
Rev. Lett. 39, 1675 (1977)]

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2010/6/2519 Frohlich機構

CDWの並進に対してエネルギーは不変：伝導度無限大--超伝導のモデルとして提案[Frohlich(1954)]
 試料中の不純物や電極、試料の端において「ピン止め」される：有限の閾電場電気伝導とトポロジー 2010/6/2520

 CDWの波長 λ=2π/2kFは電子密度によって決まる定数：一般には格子定数とは無関
係λ/c=Mが有理数になると、結晶格子との相互作用が重要：
整合ＣＤＷ

 格子定数cと波長λの比電気伝導とトポロジー

2010/6/2521 整合ＣＤＷの位相φに対する運動方程式22φω
d 2φmd2F−v+sin( Mφ ) = 0F22dtm * dx2M→ sine-Gordon 方程式:ソリトン解を持つ

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2010/6/2522 境界条件によって安定化するソリトン

試料両端において位相が0もしくは2πの整数倍
 保存量の存在：トポロジカルチャージ
2e/M

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 CDWが低温において整合CDWに転移し、発生したソリトンがCDWの波数方向にのみ容易に運動する[Takoshima etal SSC (1980)]

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「このような集団モードの位相変化を伴う励起は光学的に活性であることが期待され、さまざまの光学的手段でその探索がなされたが、まだ成功していない。ソリトンが電気伝導率の周波数依存性や、電場依存性に寄与することが提案されているが、実験的にはそのような寄与があることは見つかっていない」”Density Waves in Solids” by G. Grüner(1994)
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 光伝導による低温相の集団輸送現象の観察[Zaitsev-Zotov, PRL (2006)] ソリトンの量子生成[Inagaki, J.Phys. Chem. Solid(2006)]
 放射光X線回折による２相共存の発見[Inagaki,JPSJ (2008)]
 超高速時間分解分光による２相共存系の観察[Toda, PRB (2009)]
 非局所伝導[Inagaki, PRB (2010)]「Takoshimaらが発見したo-TaS3の低温における電気伝導の異常は準粒子によるOhmic伝導ではなく、CDWに起源をもつ集団運動によるものである」
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 極低温においてはソリトンの量子核生成過程が支配的になる
２次元的な生成系のサイズによって次元性が異なるΓ ∝ exp[−(V0 / V ) d ][Hatakenaka, Shiobara, Matsuda,[Duan et al, Phys. Rev. B (1993)]
Tanda, Phys. Rev. B 57, R2003
電気伝導とトポロジー(1998)] 2010/6/2527 電子ビームリソグラフィーを用いたTaS3微小結晶の電子輸送測定–8I (A)

10d次元におけるソリトン生成確率Γ

Sample A
T = 389 mK–1010–12102462–21/V (V )8Sample B
T = 389 mK–8[Inagaki et al, Appl. Phys. Lett.
(2005)]I (A)10Γ ∝ exp[−(V0 / V ) d ][Inagaki et al, J. Phys.
Chem. Solid (2006)]–10102040–11/V (V )電気伝導とトポロジー

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 CDWの非局所性[Gill, Solid State Communications,44, 1041 (1982)]

電極の外にはCDW strainが染み出す[Adelman, et al, Phys. Rev. B 53,
1833 (1996)]

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 閾電場以下における非局所伝導の発見•I-Vが比例している領域において、Ohmic伝導とは異なるメカニズムの電気伝導が生じている。
•トポロジカル欠陥の運動として理解できる可能性を提示。
•なぜソリトンの証拠が見つからなかったかを説明できる。
[Inagaki, Tsubota, Tanda, Phys.
Rev. B 81, 113101 (2010)]
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Fermi面の不安定性について考察し、そこから引き起こされる物理現象を述べよ2. トポロジカル欠陥の運動について考察し、物理現象との関係を述べよ(どちらかひとつでよい）
1.

提出先：理学部２号館低層棟３階大講堂裏レポートボックス
締め切り：2010/7/30

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