『数学嫌いのための社会統計学』プラスあるふぁ１.ランダムサンプリング（本書第１章2-3の補足）

ここでは、ランダムサンプリング（無作為抽出法：本書第１章参照）の方法を学ぼう。
まず、母集団（本書第１章参照）となる調査対象者（団体）全員の名簿を用意する。
そして、この名簿に記載された各メンバーをあらかじめナンバリングしておく。たとえば、名簿に記載されたメンバー数が100人なら、１から100までの番号をふっておく。ここから５人（５団体）をランダムサンプリングしたい場合は、１から100までの番号の中から、くじ引きに似た方法で５個の番号を選べばよい。番号を選ぶやり方は色々あるが、ここでは、資料１のような、乱数表を利用するやり方を紹介しよう。
乱数表には、0，1，2，3，……，9の数字が完全に同じ確率（本書第２章参照）で出現するように配列されている。乱数表から乱数を取り出す作業はくじ引きと同じ原理である。
乱数表の横の並びを行（row）、縦の並びを列（column）という。くれぐれも行列を間違えないようにしたい。
乱数を取り出すには、つぎの手順を踏む。
ステップ１：スタートする乱数、すなわち最初の行列を決める。たとえば、２月10日が誕生日であれば、２行10列から始めてみよう。この場合、「0」がスタート地点になる。
ステップ２：方向を決める。右でも左でも上でも下でも任意の方向へ向かう（斜めでもかまわない）。この場合、右へ向かうことにする。
ステップ３：乱数を何桁ずつ拾うか決める。たとえば、母集団が100名であれば、母集団にふられる通し番号は「01」から「（1）00」だから、乱数を２桁ずつ拾えばよい。この場合、最初に拾う乱数は「07」になる。
ステップ４：データの個数にしたがって、必要な数の乱数を拾っていく。仮に５つのデータを必要とする場合、「07」「21」「21」「75」「14」になる。
ステップ１から４までを示すと、下の図表１になる。

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図表１：乱数表の使い方

また、乱数を拾っていくと、同じ数が何度でも出てくることがある。その際、復元抽
出 法 （ sampling with replacement ） 、 あ る い は 非 復 元 抽 出 法 （ sampling withoutreplacement）のどちらかの方法で処理をする。復元抽出法は同じ数を何度でも採用する
方法、非復元抽出法は同じ数が出てきたら、２回目以降、それを捨てる方法である。この場合、「21」が２度出てきており、復元抽出法であれば「07」「21」「21」「75」「14」の５つがサンプルになり、非復元抽出法であれば２度目の「21」は捨て、「14」のつぎの乱数「84」を採用するため、「07」「21」「75」「14」「84」が５つのサンプルになる。
もっとも、一人の調査対象者に複数回、同様の社会調査（調査票調査であれ、インタヴュー調査であれ）を実施することは稀である。調査対象者にとっては負担になるし、調査の信憑性の点から考えてもあまり好ましいことではないからだ。特別な理由がない限り、復元抽出法を用いることはない。
乱数表から必要な数の乱数を取り出したら、後は、調査対象者（団体）名簿と照らし合わせて、乱数に一致するナンバーの対象者（団体）を順に選んでいく。この一連の作業がランダムサンプリングである。

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資料１：乱数表

鳥居泰彦『はじめての統計学』日本経済新聞社（25頁）より

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２.連続分布における確率と積分（本書第２章2-2の補足）
本書第２章の2－2「確率分布」で説明したように、連続分布の場合、確率密度曲線と横軸の間の面積が確率を意味する。したがって、確率を知りたければこの面積を計算すればよいわけだ。面積の計算は、図表２（Cの面積の求め方に注目）のように、求める部分を細長い長方形に分割し、各長方形の面積を横に積み重ねていくといったアイディアである（積分）。

図表２a≦X≦ｂの区間の確率はP（a≦X≦ｂ）だから、積分の計算式で表現すると確率はとなる。 ∫ はインテグラル（ integral ）と読み、積分を表す記号である。 dx のｄはdifferential「微小な」のｄで、dxは微小なx分ということである。
この式は高さf（x）×底辺dxで細い長方形の面積を出し、それをaからbの間において左から右へその面積を順に加えていく作業だといってよい。離散分布において、各棒の高さ4を順に加えていく作業と同様の発想である。さらに詳しく知りたい場合は各自、数学の参考書にあたってほしい。
図表２のａからｂの網掛け部分が全体に拡がれば、それは全体の面積だから100％、つまり確率は１である。この場合aが-∞、bが∞ということになり、確率はP（-∞≦X≦∞）で、P（-∞≦X≦∞）＝１である。これを積分の式で表せば、極細の長方形を-∞から∞までの幅で積み重ねることとなるから、である。左から右へ順に加えて1になるのは、離散分布で棒を全部加えれば１になるのと同じである。

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３.母平均の推定と信頼度（本書第12章2-1～2-2の補足）
ここでは、標本平均Xを使った母平均の推定の実例を紹介する。同一の母集団から標本を何度も繰り返して抽出し、それぞれから計算した標本平均Xを使って、母平均の区間を推定してみる。そこでは、推定の際、あらかじめ設定する信頼度（90％や95％）が、どのように機能するのか、そこに注視してもらいたい。
母集団として乱数表（資料１）を用いる。乱数表に列挙されている数全体を母集団、乱数の１ケタの数字を１つのデータとして捉える（事例としておもしろくないが、ガマンしよう）。母平均μは4.5、母標準偏差σは2.872である。（0，1，2，…，9の平均、標準偏差を算出すればよい。）
次に標本抽出について説明する。乱数表の１行には50のデータが存在する。それを一組の標本として見立て、標本の平均と標準偏差を算出する。最初の標本（１行にある50の－ 4，･･･，2，8で、平均X は4.60、標準偏差s は2.96となる。この値データ）は1，4，6，6，11から母平均の信頼区間を推定する。以下のように、平均μの推定（大標本の場合）の式（本書第12章2-2参照）に値を入れればよい（母標準偏差σはわかっていないものとする）。
信頼度は90％（α＝0.10）を用いる（Z＝1.64）。

標本１から推定される母平均の信頼区間は、3.91≦ μ1 ≦5.29となる。信頼区間を図にしたものが、図表３である。（本書の図表12-1では区間を横にとっていたが、ここでは便宜的に縦にとっている。）図中の点線は母平均μ（＝4.5）である。図を見ると、標本１から推定される母平均の信頼区間（3.91≦μ1≦5.29）が母平均μ（4.5）のラインと交差している、つまり母平均を含んでいることがわかる。これは、母平均の推定に「成功」していること6を意味する。
次に、この作業を標本２から標本20まで繰り返して、それら20の信頼区間を表したものが図表４である。

図表３

図表４

縦線で表されている推定された信頼区間の多くは、母平均μを含んでいることがわかる。
例外が、標本13と標本17の２つの信頼区間である。これら２つの標本の推定区間は母平均μを含んでおらず、母平均の推定に「失敗」したわけである。
ポイントは、見誤った標本は全体20のうち２つであったという事実である。確率で言えば、推定の90％は成功して、10％は失敗したのである。この確率こそ、母平均の推定の際にあらかじめ設定した信頼度90％なのである1。すなわち、信頼度90％とは、同一の母集団から抽出された標本の「仲間内輪」で母平均を推定した場合、約９割の標本が母平均を言い当てる（１割は言い間違える）ということを意味する。

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常にこのように一致するわけではない。しかし、推定を何回も繰り返し、標本の数を多くすれば、信頼区間に母平均をふくむ確率は、かならず設定した信頼度に近くなる。

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最後に、信頼度を95％に上げて、先と同じ母平均の区間推定の作業を、標本１から標本20まで繰り返してみる。結果を図にしたものが図表５である。

図表５

区間推定の幅は広がり、その結果、母平均を外す信頼区間が２つから１つに減っている（標本13は依然として母平均を外しているが、標本17が母平均を含むことになった）。
このように、信頼度を90％から95％に上げた結果、20の標本のうち19の標本が、母平均の区間推定に成功したことになる。つまり成功率は95％、あらかじめ設定した信頼度に一致したことになる。

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４.仮説検定と反証主義について（本書第13章の補足）

本書第13章でみたように、仮説検定の論法は一見するとややこしい。わたしたちが本来、検証したいと考える仮説と反対の仮説を帰無仮説として立て、それを棄却するか、しないかという形をとるからである（本書第13章2-1参照）。なぜ、このようにややこしいことをするのであろうか。だが、実のところこうした考え方は、科学方法論で有力な立場である反証主義（falsificationism）と同じものである。
反証主義は、イギリスの哲学者カール・ポパー（Karl Popper）によって唱えられた。科学は、基本的に、現象の背後に存在する法則を発見しようという営みである。近代科学の科学方法論として支持されていたのは帰納法にもとづく経験主義（empiricism ）ないし実証主義（positivism）であった。たとえば、あのカラスも黒い、このカラスも黒い。そのようにして、非常に多くのカラスを調べてみたら、とりあえず調べた限りのカラスは、みな黒かった。そこから、「カラスの色は黒い」ということができるかもしれない。これが帰納法である。なにげないことのように思えるかもしれない。けれども、これは部分（個々のデータ）から全体を推測するという作業をしているのであり、こうしたことによって科学は推進されていったのである。
しかし、である。たった1羽の白いカラスが見つかったとしよう。そうしたら、もはや「カラスの色は黒い」という命題は成り立たないのではないか。要するにつまり、世の中に存在するすべてのカラスを調べることができないことは明白であり、つねに調べた範囲で、仮説は正しいと主張しているにすぎない、ということである。これでは、得られた知識はきわめて不安定で、とても真理と呼べるようなものではない。このように、帰納法から仮説の正しさを検証するということは、実のところとても難しいのである。対して、反証するということは比較的容易である。したがって、ポパーは、仮説が正しくないということに焦点を当てたのである。かりに、それまで正しいと信じられていた説に反証例が見出されたとするなら、もはやその仮説は正しくない。逆にいえば、反証がなされない限りは、仮説が正しくないとは言えないという消極的な形で、科学が追及する客観的な真理が主張されるのである。
仮説検定もこうした考え方を採用していると言えるだろう。仮説検定の手続きは、帰無仮説を棄却することによって、調査仮説を採択するというものであった。つまり、「調査9仮説が正しくないとは言えない」という形で調査仮説の正しさを主張しているのであり、この論法は「カラスの色は黒くないとは言えない（今のところ黒以外のカラスは発見されていない）」という形で、「カラスの色は黒い」ことを主張する反証主義の論法と一致する。すなわち、データから発見することのできる事実に対して、きわめて慎重にその正しさを主張しているのである。
ところで、本書第13章2－3において、仮説検定には第１種の誤りと第２種の誤りがあるが、どちらかといえば第１種の誤りを極力少なくすることが優先されると述べた。この点についても、説明を加えよう。なぜこのような方針が取られるかといえば、第１種の誤りを犯すことの問題のほうが大きいと考えられるからである。第２種の誤りを犯したとする
ならば、それは変数間に関係があるのにそれを見失ってしまったということである。つまり、調査仮説が支持されるのに、誤ってそれを捨ててしまったということである。むろん、これも望ましいことでは決してない。だが、第１種の誤りを犯したとすればどうだろう。
本来何の関連もないものに、なんらかの関係があると見誤ってしまうことになる。つまり、間違っている調査仮説を正しいと主張してしまうことになるのである。たいていの場合、調査仮説として設定することは重要なことであるはずなので、これを誤って支持してしまうことのほうが、問題はより大きくなる可能性が高いであろう。したがって、基本的には、第１種の誤りを犯さないことが優先されるのである。

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