確 率 数 珅の確率過程
で時間の範囲 （R の区間や自然数の全体）（より一般化して.Rd 等の位相空間を考えることも多い時空間データ）
をインデックス集合と言う.

たが確率空間に、各IET に確率変数Xt が定まっているとき.

（がい）が，を 確 率 過 程H a h a s たprocess ）と言う

確率過程の定義自体には、各weR におけるtいいん）の連続性等の条件はjかに）x入っていないことに注意する.

加 法 過 程 （a 独立増分過程）

任 意 の にもくt.ch<r- ーくのに対し、

X n - X - Xn-X 、.X の一Xn.-.- 、独-X のが 独 立.

も し. X。=0 で、 Zi=Xn-X の..とおくと.を）：では独立でメ、= Z 、 十 Z z t . i t Z n

it 独立な増分の和家.
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区（Brown運動. Wiener 過程）（I) X。=0に）

X n s - X i NMS）

（平均の分散5 の正規分布）

加法過分主13） （Xx)a は（4） ほとんど全てのwでt冖X が）は連糸売（X に）は t.sn 取り方によらず矛盾なく仮定できる、つまりS = S , t S ， の とき、

Xtts 、一Xa ~NO.S ），XT. な一Xns. へNGS ）であるが

X n s - X + = Xtasmee,i i .

tyMeSis)区（宝常ポアソン分布）
（1）
（2）

（3）

X。=0

X a s -X r~P。（入S ）（T.to ）（Xx)a は加法過分主（2）はt.sn 取り方によらずwell-deﬁned. つーPoison 分布の再生金

これも例えばイベントの発生間隔が玉川に独立に（12（N）+脈も）=RING か》

従うとき、 時刻t までに発生するイベントの数は定常ポアソン過程に従う.

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2/8補足（け）：なの連続関数全体の集合

DG）：なの右連続かつ左極限の存在する関数の集合.
（Continued droite,としI で11 #w)ECG ）t m X tlw)ED G）と言う.

Ic .過程limited gauche:cadlag）（t の関数として） な ら C 過 程なら1）温連

www.i e.i:m̲iam
D. 過 程にもない嫵！

限 回 振- ̲ -ブラウン運動はと過程、ポアソン過系主はD- 過程となるように構成できる定理にまで.

f y i P(Nats にE）=0（00 ）：確率連続（確率収束の意味で連続）

L e t s というで、かつD- 過程である加法過が主のことを.

（I) Xt がLevy 過不足でさらにC ・過程ならXt

正規分布に従う s e e

Ys （が）はGauss 過系主（2） Ya がLevy 過分主でさらに G.S. でメが）が中の関数として飛躍I で増加する階段関数なら
Xr Xs はPoisson 分布

n e t t lに 従 う.

Poisson 過程（の特別な例）-より一般には、Xa はGauss 過程t Poisson 過程 に分解できる。
（Levy-T.to の分解）
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.... ｝）o マ ル コ フ 過 程 （離散時間、下でいP(Xm.EA|X にK.....Xn=Yn ）=|P(Kin GAI X i I n )（AEB(R ））reP(Xm E A I Xn=Rn-i,Xn=Ru)tf

1次マルコフ2 次マルコフ

次の時刻の分布は直前の値のみで決まる.

そ れ 以 前 「 熱らマルコフ過程なiti

ももくt.ch<...<tm<nに対し、P(Xn E A l Xn=K.....X が）（m）=P(XnE A Htm=Km）"と加法過程はマルコフ過系主である.

y

注：条件付き確率は厳密には定義していないが.

部分に加法族を用いて厳密に定義可能である。

（正則条件付き確率）.されたu.
詳しくは Parrett や.伊藤清の本を参照

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o

マルコフ連鎖D I （マルコフ連金賞）

exaのとりうる値の範囲

離散時間、離散状態のマルコフ過程を-。1次マル2 つとする

マルコフ̲連金真一(Markov chain) と言う

マルコフ連鎖の遷移確率ーー行列C transition prob. matrix) ：P(Xm,=j l Xn i ) = Ring)= Rj=p =(Pain) a .j= ( R j )i j

Pはm

Xnの取りうる範囲を状態.ーー空間 という.
I t

Pizzo, f R j = 1

区（コイン投げ）状 態 空 間= 1表裏}

前に表が出たかどうかで投げるコインを変える.

表
表

表i p
裏： 1-p

裏- 表：
裏p

=

裏： 1-qt.gs

裏。時刻@養に は]

癕、

9

表

@

@ 方向に注意！！

器T e e n 園
1-q

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（ランダムな-7 ）区fete
簽
壁が 吸 収 壁4... 反 射 壁iit0.4 ：

Iが！！！.
rrr（はね返される）

確率！！ qにi
1-P-q=rp！

：iに 4 ：

は'（到達すると抜け出せない）

g'，̲q'o で！ ！に o:（吸収される）に！！！！；ツアー% を To な

が時刻はおな状態

が I ， が、こう ：P いる）
Xmz こう：PC" （こう）=P(Xn+2=j|Xn=i）

都興=EN うた）はま）

同様にして.

⑧
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Mi.た）がなのt P(Xntm こまl Xn=i）=Em,P は、）Hh，た）-P(km 、ま）

Pam）（h.う）=E P（川（いた）p Cm）はま）：Chapman-Kolmogorov の方程式

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ー

初期分布

p(x。こう）= G Mi

P a n こう）= E

fa (n)EM n =は1がた）PCX 。=k )ばが）は、ま）E=a=（"p Cn)an)=(a、川が、... ）：横ベクトル
苾=1）4P匤（ に い. . . . i とすると.

N a=2）でとても(Bernoulli試行）
Xn=n 回のコイン投げで表が出現した日本人状 態 空 間= 10.1.2....}

p . 表の出る確率
Point,= pR.iPig

=

1-p

=0

（まくうま>ン+1）

が ※ なかに
鰱！|
0

1

2

3

4|が=ド川：：："？！
た！！瞼、1
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演 習 問 題ーー(1）Zo, Z , Z z . . . . を 独 立 にN let) に従う確率変数であるとする。

XtaEt z 。t=Eに 、S i n (naの-Zn( t GO.lyで定められる確率過程を考える.
た (t.SI = E [ X a X s ](ii)

X t の 周辺分布を求めよ
.

（iii)
(ii)
（2）

を計算せよ.

（I )(Xt...... Xn) の特性関数を求めた

y a が Brown運動であることを確かめよ. （連続性は示さないで良い）

以下の生成モデルを考える：

Z ~ P. C N

一様分布が~では、り） を独立同一にZ 個生成
このとき、

A E B （には）に対(ZH)=1に I Y i EA Iの分布を求めよ.
（ろ）（ だAなるi Ell... での個数）

各日の天気が次の遷移確率を持つマルコフ連鎖に従っているとする
P=合雨
懿：：別貴 晴0.4 。60、木曜日が雨になる確率を求めよ.

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