小地域推計と労働力調査への適用会で行い、検討した手法を実際に適用する際の理論面及び技術面を主に元山が担当し、試算等の実元山 斉務面を統計局（山口、高部他）が担当した。

山口幸三

まず、統計局において検討した種々の統計的手法を簡単に解説した後、実際に適用した事例について紹介する。

１ 時系列回帰モデル
はじめに諸外国で実際に統計調査に適用している手法に

小地域推計は、国における地域の経済状況の把ついてみてみる。最初はアメリカの労働統計局で握や地域振興などの施策の策定において、近年需採用している時系列回帰モデルである。これは回要が高まっている。しかしながら、国勢調査など帰項、トレンド項、季節変動項、不規則変動項、のセンサスは別として、標本調査では小地域別の標本誤差項から構成されるモデルを仮定している。

結果はそれほど多くない。これは、全国又は地域このモデルからカルマン・フィルタを用いて、標別の結果を表章できる標本規模で設計されている

本誤差項を推計し、観測値から標本誤差項を除去

標本調査が多く、これより細かい小地域の結果をし、推計値を求める。実際にわが国の労働力調査推定するには、標本が小さくなるため、結果精度に適用した事例は、この手法を基本に改良したモを確保するのが難しくなるためである。

デルであり、その手法の詳細は「Ⅱ」の「２ 推そのため、標本規模を拡大せずに、結果精度を計方法」を参照されたい。

高める統計的な手法の研究が現在盛んになされてこの手法は、地域ごとにモデルを設定するので、いる。アメリカでは以前から州ごとの労働市場のそれぞれの地域の特性を反映させることができ、不均衡を把握するために、小地域推計に取り組ん時系列データの推計には有効な手法といえる。

でいる。イギリスでは地域レベルで犯罪、失業、教育等の問題を解消するために小地域推計の重要２ ロジスティック回帰モデル性が高まり、研究を進めている。国際会議の場で次に、イギリスの中央統計局の手法は、失業率も小地域推計の議論が行われており、国際的な関などの比率のデータを推計するため、ロジスティ心も高くなっている。

ック変換を用いるロジスティック回帰モデルで、アメリカが地域ごとの時系列情報を用いるのに対Ⅰ 小地域推計についてして、空間（地域）情報から推計している。

統計局においても、小地域推計について注目し、地域別に、観測値を被説明変数とし、説明変数

平成 15 年度から 17 年度に諸外国の適用事例や参が１つの場合のロジスティック回帰モデルは次の考文献を基に小地域推計の手法について調べると式で表される。

ともに、山口と元山を（メンバーに）含む雇用統

logit (π i ) = β 0 + β 1 xi + β 2 D A

計地域推計研究会を設置して検討してきたところである。種々の統計的手法についての検討は研究1

i ：都道府県⎛ π ⎞logit (π i ) = log⎜⎜ i ⎟⎟⎝1− π i ⎠y i ：観測値
xi ： 説明変数（補助情報）

π i ： i 地域における観測値

vi ： 地域ごとの効果
ei ： 標本誤差

xi ： i 地域における説明変数

ここで標本誤差 ei の分散ψ i は既知と仮定する。

D A ：ダミー変数

実際は、推定量ψˆ i を用い、あらかじめ推計してロジスティック回帰モデルの式は分散不均一でおく。地域の効果 vi の分散σ v は、各地域で等し2あるので、i 地域においてウエイト wi を用いた加重回帰を行う。

いと仮定する。

この手法は、細かい地域の補助情報が得られるときに、不完全でもよいからその小地域の推計がσ v2 を既知と仮定したとき、θ i の線形不偏な予必要である場合に用いられ、精度の高い推計は困測量の中で平均二乗誤差が最小となるものは、難である。イギリスではより細かい Unit Level

BLUP と呼ばれ、BLUP は、以下の式で求めることがのデータを用いており、男女、地域別に事後層別できる。

を行い、それを足しあげて推計値を求めている。

θ iBLUP = γ i y i + (1 − γ i )x i β~

反対に説明変数のデータが細かい地域情報が得ら

σ v2γi =ψ i + σ v2

れない場合は、回帰の当てはまりが悪くなり、あまり有効ではない。
なお、イギリスでは後述する EBLUP タイプの推−1⎡ 47 xi2 ⎤ ⎡ 47 xi y i ⎤β = ⎢∑∑2⎥ ⎢2⎥⎣i =1ψ i + σ v ⎦ ⎣i =1ψ i + σ v ⎦~定量についても検討していたようであるが、算式が複雑であること、効果に疑問があることから採用せずに、単純なロジスティック回帰モデルを採用しているようである。

観測値
BLUP の式を見るとウエイトをγ i として、３

EBLUP （Empirical Best Linear Unbiased

y i と回帰モデルによる推計値 xi β とを加重平均Prediction）した形になっており、BLUP は回帰直線と観測値を~イギリスが検討していたという EBLUP 推定量にγ i ：1 − γ i に内分する点になっている。つまり、ついてみると、データの背後にある構造として回真の値は回帰直線と観測値の間にあると考えてい帰直線を考え、観測値が次の Fay-Herriot モデルることになる(図参照)。に従うと仮定している。このモデルでは、 xiβ +vi

観測値と回帰モデルそれぞれの変動の大きさにが回帰直線上に乗るのではなく、地域の効果vi だより観測値(あるいはモデルによる推計値)にかかけ離れていると考えている。

るウエイトが決まってくる。観測値θˆi の誤差ψ iyi = xi β + vi + ei
ei 〜 N (0 ,ψ i ) v i 〜 N (0, σ v2 )が大きくなると、モデルのウエイトが大きくなり、

2➀地域ごとの特色を反映する確率変数 vi 、➁AR

地域の変動σ v が大きくなると観測値のウエイト
2(1)モデルに従い、ランダムな時系列の効果を表が大きくなる。観測値の誤差に応じて適当な割合す確率変数 u it 、の両方が加わったモデルである。

でモデルの情報を取り込むという柔軟な推計値とモデルの具体的な形を以下に示す。

なっている。

y it = θ it + eit

y i 〜 N (θ i , Σ i )θit = xit β + vi + uit

vi 〜 N (0, σ v2 )図 BLUP 推定量の意味

モデルによる推計値

u it = ρu i ,t −1 + ε it ε it 〜 N (0, σ ε2 )γi

回帰直線|ρ|<1
BLUP

y i = ( y i1 , L , y iT )

'

1−γ i

観測値

θ i = (θ i1 ,L ,θ iT )'ei = (ei1 ,L , eiT )'i ：地域、 t ：時点 1≦ t ≦Ty it ：観測値、 xit ：説明変数（補助情報）、eit ：標本誤差、 Σ i ：誤差の分散共分散行列

実際の推計では、σ 2 の値が未知なので推計すv

上記のモデルに、階層的ベイズの考えを適用する必要がある。BLUPにおいてσ 2 の値を推計値vる。分布に以下の仮定を置く。

σ~v2 で置き換えたものは、EBLUPと呼ばれる。σ~v2y i | θ i 〜 N T (θ i , Σ i )(は最尤法により推計する。

θ i = (θ i1 ,L,θ iT )'θi | β, uit ,σv2 〜 N xi β + uit ,σv2

この手法は、ロジスティック回帰モデルと同じ(で回帰のあてはまりが悪いと有効でないものの、)

u it | u i ,t −1 , σ ε2 〜 N ρu i ,t −1 , σ ε2

大規模標本調査について、センサス等の補助情報)で推計する場合などには、最適な手法と思われる。

β ∝1

また、EBLUPは、経験ベイズ推定量としての解釈も

σ v2 〜 IG(a1 ,b1 )N T ： T 変量正規分布

σ ε2 〜 IG(a 2 ,b2 )IG ：逆ガンマ分布

可能である。

４

時系列・クロスセクションモデル（Time

上記のモデルから事後分布をつくり、パラメー

Series and Cross Section Models）
カナダ統計局で研究されている手法で、推計にタの推定はマルコフ連鎖モンテカルロ法の一種では Fay-Herriot モデルを拡張した Rao-Yu モデルある Gibbs Sampler を用いる。その際に、Ｌ個の連と呼ばれるモデルを用いる。
これは回帰モデルに、鎖の平均を取るという手法を用いる。
これにより、

3

平均的な値 α i が、分布 N (β , τ

初期値に依存しない、安定した推定を行うことが2) に従って発生する。

できる。誤差の分散共分散行列 は、誤差の自己Σi

第２段階：第１段階で発生した α i から、地域内相関を元に推定する。θ の推定には、ラオ・ブラ各県の平均値 θ ij が、分布 N (α i , σ i2 ) に従ってックウェル化推定量を用いる。これにより、初期発生する。

it

図 階層的ベイズモデルのイメージ値の影響を少なくして、シミュレーションの誤差βを抑えることができると期待される。
この手法は、シミュレーションを用いて推計値を求めるので、我が国の政府統計で採用するのは、α1難しいと考えられる。

α2

α4５ 階層的ベイズモデル
カナダの手法は階層的ベイズの考え方を適用しα3ているが、階層的ベイズモデルで推計する手法も考えられる。
例えば、全国、地域ブロック、都道府県の各段階において、階層的な構造になっているモデルを

θ 31考える。推計には、以下の階層的ベイズモデルを用いる。やや強い仮定ではあるものの、全ての確)

θ34

y ij | θ ij 〜N θ ij ,ψ ij
θ ij | α i〜N (α i , σ i2 )α i | β 〜 N (β , τ 2 )

yθ 33

θ 32

率変数は独立であるとする。

(観測値33

標本誤差

第３段階：第 2 段階で発生した各県の平均値 θ ij

1 ≤ i ≤ 10：10 地域に標本誤差が付加されて、最終的な観測値は分布(1 ≤ j ≤ 47：都道府県)N θ ij ,ψ ij に従う確率変数 y ij として観測されy ：第 i 地域内の第 j 県の観測値る。

ij

β 、σ i2 、τ 2 、ψ ij を既知の値であると仮定し、

ψ ij ：第 i 地域内の第 j 県の観測値の分散事後分布を導出する。求めた事後分布から、θ ij の

θ ij は都道府県別のパラメータであり、これを事後平均及び事後分散が、以下のように求められ推計する。モデルのイメージについては、以下のる。

図を参照のこと。

[]−1⎛ 11 ⎟⎞ ⎛⎜ yij
β ⎞⎟+E θ ij | yij = ⎜ +⎜ψ
σ i + τ 2 ⎟ ⎜ψ ij σ i + τ 2 ⎟⎝ ij⎠ ⎝⎠上記のモデルでは次のような、3 段階の発生過程を考えていることになる。
第１段階：全国の平均的な値 β から、各地域の422[V θ ij | y ij]⎛ 1⎞ −11⎟=⎜+2⎜ψ
⎟
σ+τi
⎝ ij
⎠ˆ

りも小さくする。ただし、 Y =2[kS = ∑ (Yˆi − Yˆ ) 2 である。

]

θ ij の推定には E θ | y を用いる。これはij
iji =1

ちょうど、観測値と全国の値を分散の逆数で加重

さらに、この Stein タイプの推定量は、S < k-2平均した形になっている。

[1 k ˆ∑ Yi 、k i =1のときに ⎛⎜ 1 − ( k − 2 ) ⎞⎟ が負になるので、負の]⎝E θ ij | y ij = γ y ij + (1 − γ )β⎠S

ときに０で打ち切った positive-part James-Stein
推定量を考え、式を展開すると、⎞ −1σi +τ 2
1 ⎛⎜ 11⎟γ ==+ψ ij ⎜⎝ ψ ij σ i + τ 2 ⎟⎠
ψ ij + σ i + τ 222

θˆi = (1 − ω ) ⋅ Yˆ + ω ⋅ Yˆi2⎛

ω = ⎜1 −⎝(k − 2) ⎞⎟S ⎠++ただし、 a = max(0, a )観測値の誤差ψ ij が大きい場合にはγ がゼロに近ˆくなり、観測値にかかるウエイトが小さくなる。の形に変形することができる。すなわち、Yˆi とY

逆に地域内や地域間のばらつきσ i 、τ が大きいをウエイトω を用いて配分している。式の形から、場合には、全国の値β にかかるウエイトが小さくω が小さければ全体の情報に引っ張られることなる。になる。

22

この手法は、モデルの設定やパラメータの推定ω が小さいとき、個々の推定量は全体の情報ににおいて、かならずしも客観的な基準がないため引っ張られる。これは、全体の MSE を小さくすに、我が国の政府統計として適用するのは難しいるためである。個々の推定量の MSE をある程度面がある。

保存するために、θˆi の移動量を制限した推定量を用いることもある。その推定量は以下のようなも６ スタイン（Stein）タイプの推定量のである。

統計局が以前に小地域推計の手法として検討していた手法にJames-Stein推定量がある。

⎧Yˆi − c~ ⎪
θ i = ⎨ θˆi⎪Yˆ + c⎩ i

θi (i = 1,2,L, k ) k ≥ 3 の推定量Yˆi が、独立に分散１の正規分布 N (θ i ,1) に従うとき、⎛⎝θˆ i = Yˆ + ⎜ 1 −

ここで、 c は適当な正の定数である。
（ただし、(k − 2) ⎞ˆ⎟ ⋅ ( Yˆ i − Y ) は、平S⎠

均平方誤差（MSE）（

これはYˆi が分散 1 の分布に従うとした場合の形で∑ (θ − θˆ ) の期待値）をある。分散が 1 でない場合は c に分散の平方根を2ii乗ずる形になる。
）

i

元の平均平方誤差（

この手法は、地域の特性を反映した推計値であ∑ (θ − Yˆ ) の期待値）よ2iθˆi < Yˆi − cYˆi − c ≤ θˆi ≤ Yˆi + cYˆi + c < θˆiiって有効であるが、全体の MSE を改良する推定量i5であり、個々の地域の MSE を改良するわけではなに依存しており、センサス間で構造があまり変化いので、地域によってはかえって精度を悪くするしなければ不偏な推計となるが、仮定が満たされこともある。また、James-Stein 推定量は、経験ない場合には、精度が低下する。

ベイズ推定量としての解釈も可能である。
Ⅱ 労働力調査への適用
７ SPREE（Structure Preserving Estimation）

１ 背景

ここまで述べてきたような複雑な小地域推計の雇用情勢が悪化していた時期に、各方面から雇手法を検討する前に、単純な手法で小地域推計を用・失業情勢の詳細な把握のため、現在公表して試みており、そのときの手法がSPREEである。

いる労働力調査の地域（北海道、東北、南関東、SPREE は 、 繰 り 返 し 比 例 補 正 （ Iterative

北関東・甲信、北陸、近畿、中国、四国、九州のProportion Fitting）の方法を用いて、複数のク10ブロック）別結果より細かい小地域（都道府県）

ロスがある表のセルの合計が、特定の周辺値に一別結果の公表が要請されるようになった。そうし致するように調整する。周辺値は調査から得られた状況をかんがみ、統計局では、月又は四半期ごた信頼できる推定値である。表の各セルの数値はとの都道府県別結果を公表できるようにするため直近のセンサスの値から得られる。に、前述のような統計的な手法による推計を検討

このようにセンサス時に得ることのできる小地してきたところである。

域の値をセンサス間でも推計できる。
２ 推計方法

３つのクロスがあるセンサスの値について、 hは小地域、i はある変数、g は i に関連する変数を各推計手法を労働力調査に適用し、都道府県別表す。h× i × g の三次元の分割表を作成する。

結果の推計を行い、その推計結果に基づき、労働未知の数値を xh ,i , g で表し、 i ， g についての和、力調査の都道府県別結果に最適な推計手法についh についての和をそれぞれ xh,•,• 、x•,i , g に対応すて検討した。各推計手法について、推計手法としる分割表の周辺分布はm、mとなる。て一般性（認知されているか否か）、再現性、簡明• ,i , j
以下の繰り返し計算によって、 h ,i , g の値を調

h , •, •x性（理解が得られるか否か）、労働力調査に適用す整する。

ることについて、政府統計としての適用性、推計(0 )STEP1 ： xh ,i , g の初期値 xh,i , g に直近のセンサス

結果からみた適用性、実用性（必要な時期に推計の値 N h ,i , g を代入する。
(k )可能か）の６つの観点から、総合的に評価を行っxh(k,i−, 1g)

た。

STEP2： 1 xh ,i , g = (k −1) m•,i , g (列方向の調整)

その結果、推計方法としては、アメリカの労働x•,i , g

統計局で採用している時系列回帰モデルを基本に、(k )STEP3： xh ,i , g =x(k )1 h ,i , g(k )1 h ,•,•x

我が国の労働力調査に適用させるために、回帰項

mh ,•,• (行方向の調整)に空間（地域）情報を取り入れたモデルとした。
時系列回帰モデルとして、次のような回帰項、ト以下 STEP２と STEP３を収束するまで凝り返す。

レンド項、季節変動項、不規則変動項、標本誤差

この手法は、推計値の初期値（センサスの値）項によるモデルと仮定する。

6

y(t) = X(t)β(t) + T(t) + S(t) + I(t) + e(t) 推計した標本誤差項を除去した値が求める推計値
各項は次のようなモデルで表現される。

である。時系列回帰モデルについて、当初、回帰回帰項：β (t ) = β (t − 1) + v β (t )項のための適当な説明変数を見つけられなかった。

( )vβ (t )〜N 0, σ β2

都道府県別に結果が得られる雇用・失業に関するﾄﾚﾝﾄﾞ項： T (t ) = T (t − 1) + vT (t )(vT (t )〜N 0, σ T2

統計データとしては、職業安定業務統計、雇用保)険業務統計及び毎月勤労統計などがある。これらの統計データを説明変数として試算した結果は、推計精度を高める結果とはならなかった。回帰の季節変動項： S (t ) = − ∑ S (t − j ) + vS (t )11

当てはまりが悪い場合には、回帰項を用いない推j =1(v S (t )〜N 0, σ S

2

不規則変動項： I (t ) = vI (t )(v I (t )〜N 0, σ I

2計もありえ、実際にその方がよいと思われる結果)となっていた。
そこで、カナダ統計局の時系列情報と空間情報)の二次元の回帰の考え方をヒントとして、回帰項

標本誤差項：e(t ) = γ (t ) e (t )∗の説明変数に時系列情報を用いるのではなく、近（ var( e(t ) ) = σ e (t ) ）2

隣地域情報を用いて試算したところ、回帰項なしよりも精度が向上したため、この方法を採用する

e (t ) = ∑ φ j e (t − j ) + ve (t )
13

∗

∗

こととした。労働力調査の 10 地域ブロックのそj =1

れぞれのトレンドをあらかじめ推計し、そのトレv e (t )〜N (0,1)

ンドを近隣地域情報とした。

e (t ) は労働力調査のローティション・サ∗ンプリングによる標本誤差項 e(t ) の変動

３ 公表

パターンを表す AR（13）モデルである。

推計した都道府県別四半期結果は、通常の推定γ (t ) は標本誤差項 e(t ) の変動の振れ幅値と区別するために「モデル推計値」として、平を表す。

成 18 年 5 月 30 日に公表された。公表内容は、労働力人口、就業者、完全失業者、非労働力人口、

上記のモデルは、次のように状態空間表現で表完全失業率で、四半期ごとに公表される。なお、すことができる。

y(t ) = H(t )α(t ) + w(t )α(t) = Fα(t −1) + GV(t)利用者の便を配慮し、平成 9 年まで遡及した結果
観測方程式を公表している。

遷移方程式

α (t )：状態変数ベクトル，F ：遷移行列，
H (t ) ：観測行列， w(t ) ：観測ノイズ，（もとやま ひとしG ：駆動行列，V (t ) ：システムノイズ

青山学院大学(総務省統計局 雇用統計地域推計研究会 元委員)

これにカルマン・フィルタを適用して各確率過やまぐち こうぞう

程に分解し、標本誤差項を推計する。観測値から

一橋大学(元総務省統計局))

7

労働力調査都道府県別結果の推計例
就業者千人
13001250
12001150
110010501000
平成9観測値
時系列回帰モデル
101112

13

14

15

16

17年

完全失業者
千人
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20

観測値
時系列回帰モデル

100
平成9

10

11

12

13

148

15

16

17年