日本物理学会誌 49 (1994) 628 の原稿

原子核構造における相対論的効果
千葉大学理学部物理学科

263 千葉市稲毛区弥生町 1–33

倉沢 治樹
原子核は非相対論的な核子の多体系として扱われてきた．しかし，ここ 10 年ほど，この伝統的アプローチとは全く異なる相対論的アプローチが，精力的に行われるようになった．原子核を相対論的に扱うと，基底状態近傍でも，相対論的効果が本質的に重要な働きをするという予想外の結果になる．この解説では，核物質の飽和性と有限核中での核子の一体ポテンシャルを例に取り，相対論的効果が重要になる機構を明らかにする．また，電子散乱のクーロン和則で問題になっている電荷消失についても，相対論的模型により考察する．

1

はじめに

断面積，偏極分解能，スピン回転関数という 3 つの物
理量を測定する．シュレディンガー方程式による解析

基底状態近傍の原子核は，これまで非相対論的な核では，3 つの測定量を同時に再現することは困難であ子の多体系として扱われてきた．これには 2 つの理由

る．しかし，ローレンツ・スカラーとローレンツ・ベクが考えられる:

トルの現象論的ポテンシャルを含むディラック方程式を用いると，これらは見事に再現される．

1. 非相対論的取り扱いで特に問題がなかった.
ここで，“特に” というのは，理論が実験を精度よ

核反応への相対論的アプローチの適用は，深山の解く再現できなくても，それは理論の近似 ( 例えば，

説 5) を参照してもらうことにして，ここでは，原子核一体場近似 ) に起因することであり，非相対論的構造における相対論的効果について述べる．原子核を取り扱いそのものに問題があるのではない．

核子と中間子の多体系とするとき，最も簡単な相対論的模型は σ-ω 模型である．次節では，この模型に対し

2. 運動学的考察て，中間子場を原子核の基底状態での期待値で置き換

核子当たりの結合エネルギー ( 5 ∼ 10 MeV ) が核

える平均場近似を行う．以下，この近似に基づき，相子の質量 M ( 939 MeV ) と比べて小さいこと，及対論的効果を考察する．

び，原子核中での核子の速度 v が光速 c の 1/3 程

第 3 節では，核物質の結合エネルギーの飽和性を考度と考えられるから，相対論的効果は小さい筈でえる．中間子交換の結合エネルギーへの寄与は，強いある. 1)

相互作用であるため，核子あたり 100 MeV のオーダー

以上のような理由は，相対論的効果が小さいことを直になる．これから結合エネルギーが約 10 MeV の系を接の根拠にしているわけではなく，非相対論的近似で作るには，強い引力と斥力がほとんど打ち消し合わな

よいかどうか自明とは言えない．この解説で述べる相ければならない．このため，運動学的には小さい相対対論的模型では，基底状態近傍の原子核でも，相対論論的効果が非常に重要な役割を演じる．
非相対論的殻模型によれば，有限核における核子の的効果が重要な働きをし，非相対論とは全く異なる原子核描像をもたらす．

平均ポテンシャルは，深さ約 −50 MeV の中心力ポテン

1970 年代初め，Miller と Green 2) は N-N 散乱を再現する One-Boson-Exchange Potential ( OBEP ) をシャルと強いスピン・軌道力からなる．第 4 節では，こ相対論的ハートリー・フォック近似で扱い，球形核のベクトルのポテンシャルを含むディラック方程式から基底状態の性質がよく説明できることを示した．また，自然に導けることを示す．

の基本的特徴が，ローレンツ・スカラーとローレンツ・

第 5 節では，電子散乱におけるクーロン和則の問題

Walecka 3) は，ディラック粒子 (核子) と中間子からなる相対論的多体系を考え，高密度核物質への適用を試みた．これらの相対論的アプローチが注目を集めるよを取り上げる．電子から原子核への運動量移行が大きうになったのは，偏極陽子 – 原子核弾性散乱におけるろが，いろいろな中重核の実験値は Z の 60% 程度で相対論的扱い ( ディラック現象論と呼ばれる ) の成功あり，原子核の電荷 Ze が消失したように見える．

いとき，この和則は陽子数 Z になるべきである．とこのためである. 4) 偏極陽子 – 原子核弾性散乱では，微分1γ 行列やメトリック g µν は Bjorken, Drell 6) に従い，h̄ = c = 1 である自然単位系を使う．なお，相対論的である. 7) gω > gσ ならば，V (r) は短距離では ω 中アプローチの総合報告としては文献 7, 8, 9, 10, 11) が遠距離では σ 中間子による引力が支配的になる．したある．

がって，この模型は核力の主要な特徴を備えている．

2

間子交換ため斥力になる．さらに，mω > mσ ならば，

オイラー・ラグランジェの方程式から，各々の場は()
γµ (−i∂ µ + gω ω µ ) + M − gσ σ ψ = 0，
(3)

σ-ω模型

(2 + m2σ )σ = gσ ψψ,

原子核を核子と中間子の多体系とするとき，どのよ
うな中間子を考慮すべきか．表 1 に OBEP で導入さ(2 + m2ω )ωµ = gω ψγµ ψ (4)を満たす．平均場近似では，(4) の右辺のソース項を原れる中間子の一覧表を示す．原子核の基底状態はパリ子核の基底状態 |0⟩ における期待値で置き換える．基底

ティの固有状態である．このため，擬スカラー中間子
である π と η の基底状態期待値は 0 になる．また，簡状態が時間反転に対して不変な場合，⟨0|ψ γ ψ|0⟩ = 0

単のため，陽子数と中性子数が等しいとすると，T = 1

であるから，(4) はアイソベクトル中間子の期待値も 0 である．したがっ(2 + m2σ ) σ = gσ ρs (x) ,て，平均場近似を前提にすれば，σ 中間子と ω 中間子(2 + m2ω ) ωµ = gω ρ(x)δµ0だけを考えればよい．

となり，ω 中間子は時間成分のみが効いてくる．ここ

質量

中間子

MeV

JP

T

g 2 /4πで，ρs はローレンツ・スカラー密度，ρ は核子密度ρs (x) = ⟨0|ψ(x)ψ(x)|0⟩(6)

ρ(x) = ⟨0|ψ(x)γ0 ψ(x)|0⟩

(7)

π

138

0−

1

14.21

σ
η
ρ

≈ 500
549
770

+

0
0−
1−

0
0
1

7.51
2.25
0.42

ω
δ

783
983

1−
0+

0
1

11.13
1.43

である．(3) より ψ はi∂0 ψ(x) = h ψ(x) ，()
h = −iγ0 γ ·∇ + γ0 M + Us (x) + U0 (x)表 1: OBEP( One-Boson-Exchange Potential ) で導入される中間子．J はスピン，P はパリティ，T はアイソスピンを表す．結合

そこで，原子核を記述するラグランジアン密度として)1(
L(x) = ψ(i ̸ ∂ − M )ψ +(∂σ)2 − m2σ σ 22()
1 1 µν−ω ωµν − m2ω ω 22 2

ω

=∂ ω −∂ ω
µ

ν

ν

である．

h の固有関数 ϕ(x) は，核子状態を表すものと反核子状態を表すものに分類できる．A 核子系の基底状態 |0⟩(1)

は，核子状態をエネルギーの低い順に A 個詰めて得られる．核子が占める 1 粒子状態を ϕi (i = 1, 2, · · · , A)µとすると，スカラー密度 (6) と核子密度 (7) はを採用する．これを σ-ω 模型という. 3, 7) 最初の 3 項
は，核子，σ 中間子，ω 中間子の自由ラグランジアン

ρs (x) =密度であり，それぞれ M, mσ , mω の質量を持つ．第A∑

ϕi (x) ϕi (x) ,

i=1
A
∑

4 項，第 5 項が σ 中間子と核子，ω 中間子と核子の相互作用である．この相互作用による湯川ポテンシャル
は，核子間の距離を r とすると()
e−mω re−mσ r1
gω2− gσ2
V (r) =
4π
r
r

(9)

∫
g2
e−mσ |x−y|Us (x) = − gσ σ = − σd3 yρs (y) , (10)4π|x − y|∫gω2e−mω |x−y|U0 (x) = gω ω0 =
d3 y
ρ(y)
(11)
4π
|x − y|間子の質量は mσ = 550 MeV である．

+ gσ ψψσ − gω ψγ µ ψωµ ,(8)を満たす．ただし

定数 g 2 は文献 12) の OBEP で用いられる値である．ただし，σ 中

µν

(5)

ρ(x) =(12)ϕ†i (x) ϕi (x)i=1となる．ただし，簡単のため，反核子からの寄与は無(2)視した．反核子の寄与を扱うには，繰り込みを行う必2

要がある．ラグランジアン (1) は繰り込み可能である

波数 ( あるいは核子密度 ) の関数として M ∗ が自己無から，理想化された原子核である核物質では，具体的撞着に決まり，核物質の性質を考察できる．

に反核子の寄与を求められる. 13)

核物質のエネルギー密度を求める．ハミルトニアン
密度 H は，平均場近似では

σ-ω 模型の平均場近似では，(9)∼(12) で与えられる
h の固有状態 ϕ を自己無撞着に求めることになる．

3

H = iψ † ψ̇ − L= ψ(−iγ ·∇ + M + Us + γ0 U0 )ψ
1
1+ m2σ σ 2 − m2ω ω0222

核物質
核物質とは核子密度が一様で無限に広がった仮想的である．したがって，核物質のエネルギー密度 E =な原子核である．これに平均場近似を適用して，結合⟨0|H|0⟩ は，反核子の寄与を無視するとエネルギーの飽和性について考える．
核物質では，ρs と ρ は一定になるから，(5) より

gσ
σ = 2 ρs ,mσgω
ω0 = 2 ρmω

E = M ρ + EK + Eσ + Eω(13)

EK = ⟨0|ψ(−iγ ·∇ + M )ψ|0⟩ − M ρ∫ kF 3d k ∗g2=4
Ek + σ2 ρ2s − M ρ
3
(2π)
mσ
0

ルトニアンと比較すると，質量が M から

g2
M = M + Us = M − σ2 ρs
mσ

(14)

に変化し，エネルギーは全体に U0 = gω ω0 シフトする．したがって，エネルギー固有値 E は

E = U0 ± Ek∗ ,

Ek∗ =

√
M ∗ 2 + k2

(20)となる．ただしとなる．この場合，(9) を自由なディラック粒子のハミ

∗

(19)

(15)

(21)

1
1 gσ2 2Eσ = Us ⟨0|ψ ψ|0⟩ + m2σ σ 2 = −ρ2
2 m2σ s(22)

1 gω2 21ρEω = U0 ⟨0|ψγ0 ψ|0⟩ − m2ω ω 2 =
2
2 m2ω

(23)

である．(21) は非相対論における運動エネルギーに対である．+ と − は，それぞれ核子と反核子に対応す

応する．

る．質量を M ∗ で置き換えた自由な正エネルギー・ス

エネルギー密度の核子密度に対する依存性を，低密ピノール u 6) を使うと，(12) は度極限 ( 非相対論的極限 ) と高密度極限の場合につい∫ kFて考えてみる．まず，ρ → 0 では (18) より有効質量は
(
)
g2
3 kF2
M ∗ = M − σ2 ρ 1 −(24)
mσ
10 M 2

ρ=2
0

∫ kF
=4
0

∫ kF
ρs = 2
0

∫ kF
=4
0

d3 k M ∗ ∑ †u (k, s)u(k, s)(2π)3 Ek∗ s
d3 k
2k 3
= F2 ,
3
(2π)
3π

(16)

となり，核子密度の増加とともに減少する．また，(21)と (22) は

d3 k M ∗ ∑u(k, s)u(k, s)(2π)3 Ek∗ s
d3 k M ∗(2π)3 Ek∗

(
)
5 kF2
3 kF2
nr
nr
EK = EK
1−,E=
ρ (25)
K
28 M 2
10 M)(
1 gσ2 2
3 kF2
nr
nr
,
E
=
−
Eσ = Eσ 1 −ρ (26)
σ
5 M2
2 m2σ

(17)

になる．ここで，kF は核物質のフェルミ波数であり，因子 4 はスピン・アイソスピンの自由度である．スカnrとなる．EKと Eσnr は，それぞれ非相対論におけるフェラー密度を (14) に代入すると

ルミガスの運動エネルギーと σ 中間子交換による引力

g2
M = M − 4 σ2
mσ
∗

∫ kF
0

d3 k
M∗
√
(2π)3 M ∗ 2 + k2の寄与である．Eσ に対する相対論的補正は，引力を弱める斥力的な働きをする．一方，ρ → ∞ では

(18)M∗ → Mを得る．核物質中での核子の有効質量 M ∗ は，σ 中間
子交換による引力のため自由な場合に比べて小さくなる．(18) より，結合定数 gσ が与えられると，フェルミ

E→3m2ω π 2,gσ2 kF2

3
1 m2σ 2 1 gω2 2
kF ρ − M ρ +
M +
ρ
4
2 gσ2
2 m2ω

(27)

(28)

1.0

となる．ρ → ∞ で核子の有効質量は 0 になる．E の第1 項は，質量 0 の粒子から成るフェルミガスの運動エ
20.8

ネルギーである．第 3 項は σ 中間子の寄与であり，M ∗(ρs /ρ)が kF−2 で漸近的に 0 になるため一定値に収束する．こ0.6の極限では，第 4 項の ω 中間子による斥力のみが生き残り，σ 中間子による引力の効果 Eσ は無視できる．

M ∗ /M

0.4

以上から，結合定数を gσ /mσ > gω /mω となる様に選べば，相対論的には，核子あたりのエネルギー E/ρ

0.2

は有限の核子密度で極小になる．核子密度があまり高くなければ，σ 中間子の引力の方が ω 中間子の斥力よ
り強いため，エネルギーは ρ の増加と共に減少する．

0.0

しかし，核子密度が更に増加すると，σ 中間子による

0.1

ρ0

0.2

0.3

0.4

引力は相対論的補正のため弱められ，ω 中間子の斥力ρ ( fm−3 )が支配的になる．したがって，系のエネルギーは核子

図 1: 核子の有効質量 M ∗ とスカラー密度 ρs の核子密度依存性．

密度と共に増加する．

これらは (18) から自己無撞着に決まる．ρ0 = 0.148 fm−1 は飽和

σ-ω 模型では，経験的に知られている結合エネル
ギーの飽和性「kF = 1.36 ± 0.06 fm−1 で核子当たり密度である．

の結合エネルギーは極小値 ≈ −16 MeV になる」を再である．上に述べたように，Eσnr に対する相対論的補

現するように，結合定数 gσ , gω を決める．ここでは正はE/ρ − M = −15.75 MeV
kF = 1.3 fm−1 ( ρ = ρ0 = 0.148 fm−3 )(Eσ − Eσnr )/ρ ≈ 30 MeV(29)と Eσnr /ρ に比べれば小さい．しかし，非相対論でも考慮される非常に強い引力 Eσnr と斥力 Eω は，互いに打と取ることにする．核子と中間子の質量をM = 939 MeV , mσ = 520 MeV ,ち消し合い(Eσnr + Eω )/ρ ≈ −50 MeV(30)mω = 783 MeVとなるから，Eσnr /ρ の相対論的補正 30 MeV は非常にとすると，(20) のエネルギー密度が条件 (29) を満たす

大きな効果を生じる．この斥力的な働きをする相対論ためには的効果は，原子核の飽和性出現にとって本質的役割を

gσ2 /4π = 8.724 ,gω2 /4π = 15.154(31)

果たす．相対論的に扱えば，σ 中間子だけでも，核子あとなる. 7) これは表 1 に示した OBEP の値と定性的にたりのエネルギーは有限の核子密度で極小になる．こは一致する．

れは非相対論ではありえないことである．非相対論の(31) の結合定数を使って，具体的にエネルギー密度を計算してみる．まず，(18) から自己無撞着に決まる

場合，(25) と (26) より

E = Mρ +M ∗ /M と (ρs /ρ)2 の核子密度依存性を図 1 に示す．有効質量の振舞いは，(24) と (28) から理解できる．飽和
密度 ρ0 = 0.148 fm−1 では
M ∗ /M = 0.541

3 kF2
1
ρ+
10 M
2

(

gω2
gσ2
−
m2ω
m2σ

)
ρ2

(33)

である．したがって，gσ /mσ > gω /mω ならば系はつぶれてしまい，逆の場合には束縛系にならない．この(32)ため，非相対論では，平均場近似で無視された多体相となり，かなり小さい．(ρs /ρ)2 は Eσ と Eσnr の比であ関を考慮する必要がある．例えば，非相対論での代表的な 2 体有効相互作用であるスキルム力では, 多体効り，Eσ がどの程度相対論的補正を受けるかを表す．飽果を現象論的に表現した密度依存の斥力により，つぶ和密度付近では，この補正は約 13%と小さい．

れるのを回避する. 14)

図 2 は，核子あたりの結合エネルギーと (21) ∼ (23)

原子核は強い相互作用系でありながら，核子あたりの寄与を実線で示し，非相対論の場合を破線で示しての結合エネルギーが約 10 MeV という緩やかな結合系ある．飽和密度付近では
E nr
Eω
Eσ
≈ −200 MeV , σ ≈ −230 MeV ,≈ 180 MeVρρρである．このため，非常に強い引力と斥力の間で大幅な打ち消し合いが起こり，運動学的には小さい相対論

4

MeV

考察した相対論的効果が考えられる．

nr
EK
/ρ

E/ρ − M
0

4
EK /ρ
E

nr

有限核
ここでは，シュレディンガー方程式とディラック方程式による球形核の取り扱いについて比較する．

/ρ − M

ハミルトニアン (9) の固有関数 ϕ(x) と固有エネル
ギー E はディラック方程式()
γ0 γ ·p + γ0 (M + Us (r)) + U0 (r) ϕ = Eϕ (34)−100から求まる．ただし，p = −i∇，r = |x| である．4 成
分スピノール ϕ を上 2 成分と下 2 成分に分け，下成分−200を消去すると，上成分 F に対する方程式として()
σ·pD−1 σ·p + M + Us + U0 − E F = 0 (35)− Eω /ρ
Eσnr /ρ

D(r) = E + M + Us (r) − U0 (r)

Eσ /ρ

(36)

を得る．ここで，σ は 2×2 のパウリ行列である．
√
F (x) = D/(E + M ) F̃ (x)
(37)

−300
0.0

0.1

ρ0

0.2

0.3

と変換し，第 1 項を展開すると( 2)
E2 − M 2p
F̃+ Vc + Vso σ·l F̃ =
2M
2M

0.4

ρ ( fm−3 )図 2: 核子あたりのエネルギーの核子密度依存性．EK /ρ，Eσ /ρ，Eω /ρ は (21) ∼ (23) の寄与である．ただし，ω 中間子の斥力の寄与(38)を得る．ただし，l = x×p は軌道角運動量でありEω /ρ は符号を反転してある．破線は非相対論の結果を示す．相対論の結合エネルギー E/ρ − M が ρ = ρ0 で最小値 −15.75 MeV に

Vc (r) = Us +なる様に，結合定数 gσ と gω を決めてある．

Vso (r) = −的効果が，飽和密度領域でも重要になる．このように，

E
U 2 − U02
U0 + s+ VD ,M
2M

1 1 dD
2M D r dr

(39)
(40)

された多体効果などが大きな効果を生じる可能性もあである．また
[
(
)2
(
)]
1
3 1
dD
1 d
2 dD
VD =
(41)
− 2
r
2M 4 D2 dr
2r D drdrり，飽和性を説明できたとは言えない．しかし，σ 中間はダーウィン項と呼ばれる．低励起エネルギー ( E ≈子交換の引力が相対論的効果により弱められ，この結果，原子核が束縛系になるという飽和機構は，非相対M ) の場合，(38) の右辺の係数は E − M になるから，(38) は中心力を Vc ，スピン・軌道力を Vso とするシュ論にはない新しい機構である．

レディンガー方程式と同等な式になる．

σ-ω 模型による原子核の飽和性は，微妙なバランスの上に成り立っている．したがって，平均場近似で無視

なお，ここで述べた様な現象論的扱いではなく，現非相対論的核物理では，(38) のシュレディンガー方

実的核力に基づく核物質の飽和性の再現は，1950 年代

程式から出発して，基底状態付近の諸性質を説明するのブルックナーらの仕事 15) に始まり，現在まで精力的

Vc と Vso が，現象論的によく調べられている．それはウッズ・サクソン型のに行われている.

12)

核子の自由度のみを考慮した非相対論的扱いでは，飽和密度を再現する核力の場合，結Vc (r) = vc f (r) ,合エネルギーは約 −10 MeV であり，一方，結合エネル
ギーを再現する核力の飽和密度は kF ≈ 1.7 fm−1 とな

Vso (r) =り，経験的に知られた飽和性をある程度まで再現する

vc ≈ −53 MeV ,1 df
1
vso r02,2
r dr

vso ≈ 17 MeV ,

(42)
(43)

1
,
1 + e(r−R)/a
R = r0 A1/3 , r0 ≈ 1.1 fm , a ≈ 0.65 fm (44)が，精密には再現できない．これを改善するには，核f (r) =

子以外の自由度，多体力などの効果とともに，ここで5

とした (46) が，vc f (r) を再現するには v0 ≈ vc であである. 1) そこで，これを再現するような Us と U0 の強さを評価してみる.

16)

る．これから，(47) はUs と U0 の r 依存性は核子密度分布とほぼ同じとして

Us (r) ≈ vs f (r) ,Vso ≈U0 (r) ≈ v0 f (r)

(45)

1
1 df
vso r02,2
r dr

vso = 2vc
≈ −1 MeV
4M 2 r02となる．このスピン・軌道力の強さは，(43) に比べてとすると，(39) と (40) は()
v 2 − v02
Vc (r) ≈ vs + v0 + s
f (r) ,
2M

Vso (r) ≈ −vs − v0
1 df
2M (2M + (vs − v0 )/2) r dr

非常に小さく符号も逆である．原子核のスピン・軌道
力を説明するには，Us も必要である．

(46)

中心力ポテンシャル Vc (r) には，エネルギー E に依存する項 (E/M )U0 と U の二乗項がある．これらの効果が特に重要になるのは，核子–原子核弾性散乱で(47)ある．非相対論の現象論的解析から，核子の入射エネになる．ただし，低励起状態を考えるから E = M とルギーが低い場合，光学ポテンシャルの中心力の深さ置いた．また，(46) では原子核中心部が問題であるかは，入射エネルギーの増加とともに浅くなり，高エネ

ら，f 2 ≈ f とし，VD は無視した．一方，スピン・軌

ルギー (> 500 MeV) では斥力になる．また，中間のエ

道力は表面付近で作用するから，(47) の分母は r = R

ネルギー領域 ( ≈ 200 MeV ) では，ポテンシャルの動での値に置き換えた．(46)，(47) と (42)，(43) を比べ

径依存性は密度分布とはかけ離れた “ワイン瓶の底” 型

るとになることが知られている．このような中心力のエネ

vs ≈ −420 MeV,v0 ≈ 330 MeV

ルギー依存性は，相対論的には，(E/M )U0 と U の二を得る．これらは原子核の中心部でのポテンシャルの乗項により説明でき，ディラック現象論が成功を収め強さを表すから，核物質での値と見なせる．したがってた．この点についての詳しいことは文献 5) に譲る．

gσ2
1 m2σ
≈−
vs ≈ 8 ,4π
4π ρ0

これまでは Us と U0 を与えられたものとして扱って

gω2
1 m2ω
≈
v0 ≈ 14 (48)
4π
4π ρ0

きたが，平均場近似では，(9) ∼ (12) を自己無撞着に解かねばならない．また，実験との定量的比較を行うにとなり，前に与えた値 (31) とほぼ同じになる．このこは，クーロン力とアイソ・ベクトルの ρ 中間子を取り入とは，σ-ω 模型が核物質の飽和性を再現すると同時に，れる必要がある. 17) さらに，σ 中間子の非線形項を導入

有限核の基底状態の性質 ( 核子密度分布，単一粒子エすることも提唱されている. 18) 相対論的模型は，非相ネルギー等 ) も再現できることを意味する．

対論において最も成功した密度依存ハートリーフォッ

上の議論で特徴的なことは

ク計算と同程度に，単一粒子エネルギーや密度分布な
どの基底状態の性質を再現する. 17, 18)

1. 中心力 Vc では，Us + U0 であるため，ほぼ同程度の非常に強い引力 Us と斥力 U0 が互いに打ち消し合い，約 −50 MeV の浅い中心力ポテンシャル

5

になる．

クーロン和則原子核の動的性質に対する相対論的模型の適用例

2. スピン・軌道力では，Us − U0 という組み合わせのため，Us と U0 が相加的に作用し，比較的大きとして，電子散乱を考えてみる．電子が原子核と電気的な相互作用で散乱されるとき，原子核の応答関数

なスピン・軌道力をもたらす．

R(ω, q) はことである．ここでも，ローレンツ・ベクトルの時間

R(ω, q) =成分である U0 とローレンツ・スカラーである Us の違∑

2|⟨n|ρ̂e (ω, q)|0⟩| δ(ω − En )

(49)

n

いが重要な働きをする．以上のように，相対論的模型

で与えられる．ここで，ω と q は電子が原子核に与えるは，浅い中心力ポテンシャルと強いスピン・軌道力とエネルギーと運動量移行であり，|n⟩ は励起エネルギー

いう原子核構造の最も基本的な性質を，Us と U0 の 2

En の原子核の励起状態である．また，ρ̂e は原子核の種類のポテンシャルから自然に導く．

荷電密度演算子をフーリエ変換したものである．応答

スピン・軌道力は，クーロン場中の電子を相対論的関数をエネルギー積分した和則∫
1dω R(ω, q)
C(q) =
Zに扱う場合にも生じる．これは，U0 のみを考慮することに対応する．このときの vso を評価すると，vs = 0

6

(50)

をクーロン和という．便宜上，陽子数 Z で規格化してである ( Q2 = ω 2 −q 2 )．図に示したすべての原子核で，ある．

q > 2kF ≈ 0.5 GeV でも，実験値は 1 よりかなり小さい．まるで，原子核の電荷 Ze の 30 ∼ 50 % がどこかに消えてしまったかのようである．このため，“missing

原子核を非相対論的に扱う場合，陽子を点電荷とす
ると

ρ̂e =

Z
∑

eiq·xkcharge problems” と呼ばれる. 19)
この問題の原因として

(51)

k=1

1. q > 2kF でも核子間相関は無視できない．

である．ただし，和は陽子について行う．核子間相関2. 原子核内では核子の構造が自由な場合と異なるたがなければ，フェルミガスでは

2
C(q) =
Z

め，陽子の大きさが自由な場合より大きくなる．

∫ kF ∫
2d3 k d3 p ⟨p|eiq·x |k⟩ θ(p − kF ) (52)などが考えられる．2. について補足すると，形状因子0

GE は陽子の電荷密度をフーリエ変換したものであるとなる．したがって，q > 2kF の場合 p = |q + k| > kF

から，陽子の平均二乗半径 ⟨r2 ⟩ はであるからC(q) =

2
Z

∫ kF
0

⟨r2 ⟩ = 6

3

d k
=1
(2π)3

(53)

(56)
√

となる．すなわち，応答関数のエネルギー積分は全電⟨r2 ⟩ =
0.81 fm となる．原子核内で陽子が大きくなるというこ

荷数 Z に等しい．

とは，Λ が小さくなることである．このため，自由なである．Λ2 = 0.71 GeV2 を代入すると，

場合より，GE は −Q2 の増加とともに早く減少する．

1.0

したがって，Λ を自由な場合より小さくすれば，G2E で割っている図 3 の実験値は 1 に近づくことになる．

0.8

2

GE

dω

以下では，σ-ω 模型によるクーロン和の解析について述べる．図 4 に計算結果と実験値との比較を示す．原0.6

子核は相対論的フェルミガスとし，原子核の表面効果

1
Z

∫

R

∂ GE (Q2 )
12
= 2
2
∂Q
Λ
Q2 =0

0.4
0.2

40

Ca

は無視した．また，異常磁気能率を含む自由な核子の48

Ca

荷電密度演算子を使用している．点線は結合定数 (31)

56

Fe

208

0.2

を用いた平均場近似の結果である．相対論的フェルミ
ガスでも，図 3 と同様に，実験値は q < 0.55 GeV で

Pb
0.3

0.4

0.5

20% ∼ 30%，q = 1.14 GeV では 50% も理論値より小0.6

さい．核子間相関を考慮するため，粒子–空孔励起のリ
ングダイヤグラムを取り入れた乱雑位相近似 ( RPA )q ( GeV )を行うと，理論値は破線になる．平均場近似に比べれ

図 3: クーロン和則の実験値. 20) 陽子の大きさを取り除くため，陽ば，q < 0.55 GeV では実験との一致は良くなる．q ≈2kF でも核子間相関は重要であり，クーロン和を減少子の形状因子 GE で割った応答関数を積分している．横軸は運動量
移行 q である．

させる．
中重核におけるクーロン和の実験値

20)を図 3 に示

この減少は，主に空間成分の ω 中間子交換がもたらす．(51) では陽子の電磁気的大きさを無視しているか

す. 24) 空間成分の ω 中間子交換の強さは，時間成分に

2
ら，実験の応答関数を GE で割って積分している．こ比べて ω 2 /q 2 であるため非相対論では無視される．しこで，GE は相対論的補正をした自由な陽子の形状因

かし，σ 中間子交換による引力相関と時間成分の ω 中子

21)

間子交換による斥力相関が，核物質のエネルギー密度(
GE (Q2 ) = GE (Q2 )1 − Q2 /4M 2
1 − Q2 /2M 2)1/2

における Eσ と Eω と同様に，ほとんど打ち消し合う,

ため，空間成分の ω 中間子交換が重要になる．一方，(54)

q ≈ 1.1 GeV の高運動量移行になると，粒子–空孔相関の効果は 10% 以下で，これだけでは実験値と理論値の1, Λ2 = 0.71 GeV2 , (55)GE (Q ) =(1 − Q2 /Λ2 )22

差を説明することはできない．

7

0.5

で重要になり，これを考慮すると，q ≈ 0.3 ∼ 1.1 GeV

1
Z

∫

R dω

の実験値をよく再現する. 27)40Ca

真空偏極によりクーロン和が大きく減少する原因は，

56

Fe

仮想光子が直接陽子と相互作用する以外に，中間状態

208

として γ → NN → ω を経由して相互作用するため

Pbである．この効果は陽子の形状因子に繰り込むことができ，原子核内での陽子の大きさは自由な場合とは異なってくる．核物質中での陽子の平均二乗半径 ⟨r2 ⟩∗ は

0.1
⟨r2 ⟩∗ =12M
1 g2+ 2 ω2 log ∗
2
Λ
π m0
M

(58)

で与えられる. 27) ただし，m0 は ω 中間子の裸の質量で0.05

m0 = 691.2 MeV である．(58) の右辺第 1 項は自由な陽子の平均二乗半径 (56) であり，第 2 項が真空偏極の寄与である．この寄与は M ∗ < M ならば正になり，陽√子の大きさは増加する．(57) を代入すると， ⟨r2 ⟩∗ =0.93 fm となり，自由な陽子の大きさ 0.81 fm に比べて15% 大きくなる．この結果，原子核中での陽子の形状因子は，運動量移行の増加とともに，自由な場合より早く小さくなり，高運動量移行でクーロン和は減少す

0.01
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

る．
以上のように，相対論的模型は，クーロン和則におq (GeV)

ける電荷消失の問題を，空間成分の ω 中間子交換によ図 4: クーロン和則の実験値 22, 23) と理論値．点線は平均場近似，る粒子–空孔相関と真空偏極という 2 つの相対論的効果

破線は粒子–空孔相関を取り入れた RPA の結果を表す．結合定数はで説明する．

(31) を使った．粒子–空孔相関と同時に NN 励起による真空偏極の効果も考慮すると実線になる．ただし，結合定数は (57) である．

6

これまでの議論では真空偏極，つまり，NN 励起の効

結びに果は無視してきた．しかし，σ-ω 模型は繰り込み可能で原子核の相対論的模型は，少なくとも現象論としてあるから，この効果を取り入れることができる. 25, 26)は非常な成功を収めた．この模型は，永年培われてき平均場近似で反核子を考慮する必要があるのは，スカた非相対論的描像とは全く違う原子核描像をもたらす．

ラー密度 (12) とエネルギー密度 (20) である．反核子

一体どちらが現実的なのか．この問題は，いうまでもの寄与を加えたエネルギー密度が，前と同じ飽和条件

なく，今後明確にしなくてはならない重要課題である．

(29) を満たすように結合定数を求めると

当面は，2 つの異なるアプローチが互いに批判しなが

gω2

ら共存し，どちらがより現実的なアプローチかが明ら

gσ2
4π= 5.261 ,

となる.

25)

4π

= 6.360 , M ∗ /M = 0.7306 (57)

かになるのであろう．

∗

一方，これからは，1 GeV 領域の高励起エネルギーで

ここで，有効質量 M は飽和密度 ρ0 にお

高運動量移行の原子核物理が盛んになってこよう．こける値である．
これらの値を使って，粒子–空孔励起と NN 励起の両のような運動学的にも相対論的記述が必要な現象を扱方を考慮すると，RPA の結果は図 4 の実線になる．結うとき，原子核をハドロンの相対論的多体系と見なす

合定数 (31) と (57) が 2 倍ほど違うにもかかわらず，破模型は有効であろう．

線と実線で示した 2 つの RPA の値は，低運動量移行 (q < 0.2 GeV ) ではほぼ同じになる．両者の違いが顕著

文献になるのは，q > 0.6 GeV の高運動量移行領域である．

q = 1 GeV 近傍では，NN 励起の効果はクーロン和を

1) A. Bohr and B. R. Mottelson: Nuclear StructureVol. 1 ( W. A. Benjamin, 1969 ).

50% も減少させる．この様に真空偏極は高運動量移行
82) L. D. Miller and A. E. S. Green: Phys. Rev. C5(1972) 241.

16) J. V. Noble: Nucl. Phys. A329 (1979) 354.

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Comments Nucl. Part. Phys. 17 (1987) 39.

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9