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University of Tsukuba
Graduate School of Science and Technology
Degree Programs in Systems and Information Engineering
Policy and Planning Sciences / Service Engineering
ENTRANCE EXAMINATION
January 26, 2023
Major Subjects(1) This package contains problems from the 3 subject areas shown in the following table.
Applicants for the Master’s Program in Policy and Planning Sciences should choose one
subject area to answer. Applicants for the Master’s Program in Service Engineering
should answer the problems in Mathematics.
(2) Write your application number on the top of each answer sheet.
(3) Write the subject area and the problem number (e.g., Mathematics I. ) on the top ofyour answer. Use a separate answer sheet for each problem.

Subject Areas
Mathematics
Microeconomics
Urban and Regional Planning਺ֶ໰୊ I ͱ II ͷ྆ํʹ౴͑Αɽ໰୊͝ͱʹผʑͷղ౴༻ࢴΛ࢖༻ͤΑɽҎԼͰ͸ɼ࣮਺શମͷू߹Λ R ͱ͢ΔɽI. ࣮਺ a ∈ R Λ‫ؚ‬Ή࣍ͷ 3 × 3 ͷ࣮ରশߦྻ A Λߟ͑Δɽ
⎛⎞a −1 −1⎜⎟A = ⎝−1 a −1⎠−1 −1 aҎԼͷ໰ (1)–(6) ʹ౴͑Αɽͨͩ͠ɼ୯Ґߦྻ͸ I Ͱදͤɽ(1) ߦྻ A ͷ‫ݻ‬༗஋͸গͳ͘ͱ΋ 1 ͕ͭ 0 Ͱ͋Δɽ͜ͷͱ͖ɼߦྻ A ͷϥϯΫ͕ 2 ҎԼͱͳΔ͜ͱΛઆ໌ͤΑɽ(2) ໰ (1) ͷ৚݅ԼͰɺ࣮਺ a Λ‫ٻ‬ΊΑɽͨͩ͠ɼ৚݅Λຬ଍͢Δ࣮਺ a ͸ 2 ͭ͋Γɼ͏
ͪ 1 ͭ͸ 2 Ͱ͋ΔɽҎ߱Ͱ͸ a = 2 ͱͨ͠ߦྻ A Λߟ͑Δɽ(3) ߦྻ A ͷʢॏෳ΋‫ؚ‬Ίʣ3 ͭͷ‫ݻ‬༗஋ λ1 , λ2 , λ3 Λ‫ٻ‬ΊΑɽͨͩ͠ɼλ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ͱ͢Δɽ(4) ϕΫτϧ v1 , v2 , v3 ΛͦΕͧΕ‫ݻ‬༗஋ λ1 , λ2 , λ3 ʹରԠ͢Δ‫ݻ‬༗ϕΫτϧͱ͢ΔɽϕΫτϧ v1 , v2 , v3 Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(5) ઢ‫ ۭؒܗ‬R3 ʹ͓͚Δઢ‫ܗ‬ม‫ ׵‬f (x) = Ax ͷۭ֩ؒʢྵۭؒʣɼ૾ۭؒΛɼͦΕͧΕ໰ (4) ͷ‫ݻ‬༗ϕΫτϧ v1 , v2 , v3 Λ༻͍ͯදͤɽ
(6) ৽ͨͳ 3 ࣮࣍ରশߦྻΛ P = λ13 A ͱఆٛ͢Δɽߦྻ P ͸ϕΫτϧ x ∈ R3 Λ͋Δ෦෼ۭؒ U ͷ࠷΋͍ۙ఺ʹࣸ͢ʮ௚ަࣹӨߦྻʯͰ͋Γɼ෦෼ۭؒ಺ͷϕΫτϧ x ∈ Uʹରͯ͠͸ɼͦͷఆٛΑΓ P x = x ͕੒Γཱͭɽɹ͜ͷͱ͖ɼ෦෼ۭؒ U Λ໰ (4) Ͱ‫ٻ‬Ίͨ‫ݻ‬༗ϕΫτϧΛ༻͍ͯදͤɽ·ͨɼ෦෼ۭؒ U ͷ௚ަิۭؒ΁ͷ௚ަࣹӨߦྻ B Λ‫ٻ‬ΊΑɽII. ҎԼͷ໰ (1) ‫( ͼٴ‬2) ʹ౴͑Αɽ(1) ؔ਺ f (x) = sin x ͱ͢Δɽf (n) (x) (n = 1, 2, . . . ) ͸ f (x) ͷ n ֊ඍ෼Ͱ͋ΔɽҎԼͷ໰͍ʹ౴͑Αɽ(a) ࣍ͷ஋ΛͦΕͧΕ‫ٻ‬ΊΑɽi) f (2n−1) (0),(b) ࣍ͷ‫ݶۃ‬Λ‫ٻ‬ΊΑɽ
x − f (x)i) lim,x→0x3ii) f (2n) (0),n = 1, 2, . . .

f (x) − x + x3 /6x→0x5ii) limf (x) − x + x3 /6 − x5 /120x→0x7iii) lim(2) ࣮਺ؔ਺ͷྻ fn (x) (n = 1, 2, . . . ) ͸ҎԼͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɽ
'λe−λx x ≥ 0
f1 (x) =0ͦͷଞn = 2, 3, . . . ʹ͍ͭͯfn (x) =' (∞0 fn−1 (x − y)f1 (y)dy0ͨͩ͠ɼλ > 0 ͱ͢ΔɽҎԼͷ໰͍ʹ౴͑Αɽ(a) x ≥ 0 ͷ৔߹ɼf2 (x) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(∞(b) 0 xf2 (x)dx Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(c) x ≥ 0 ͷ৔߹ɼf3 (x) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(d) x ≥ 0 ͷ৔߹ɼfn (x) (n = 1, 2, . . . ) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(∞(e) 0 fn (x)dx (n = 1, 2, . . . ) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ

x≥0
ͦͷଞ

Mathematics
Answer both problems I and II. Use a separate answer sheet for each problem.
In what follows, let R be the set of all real numbers.
I. Consider the following 3 × 3 real symmetric matrix A with a real parameter a ∈ R.
⎛⎞
a −1 −1⎜⎟A = ⎝−1 a −1⎠−1 −1 aAnswer the following questions (1)–(6). Note that express an identity matrix as I.

(1) At least one eigenvalue of the matrix A is 0. This condition implies that the rankof A is less than or equal to 2. Explain the reason for this.
(2) Under the condition of question (1), find the value of a. Note that there are two
possible values for a, one of which is 2.
In the following, consider the case a = 2 in the matrix A.
(3) Find three eigenvalues λ1 , λ2 , and λ3 of the matrix A (some of them can be repeated), where λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 .
(4) Let v1 , v2 , and v3 be eigenvectors corresponding to the eigenvalues λ1 , λ2 , and λ3 ,respectively. Find vectors v1 , v2 , and v3 .
(5) Express the kernel space (zero space) and the image space of the linear transformation f (x) = Ax in the linear space R3 , respectively, using the eigenvectors v1 , v2 ,and v3 of question (4).
(6) Let us define a new 3 × 3 real symmetric matrix as P = λ13 A. The matrix P is an“orthogonal projection matrix” which maps a vector x ∈ R3 to the closest point
in a subspace U ; and, by definition, P x = x holds for a vector x ∈ U in thissubspace.
ɹ Express the subspace U using the eigenvectors found in question (4). Also,find an orthogonal projection matrix B onto the orthogonal complement of thesubspace U .

II. Answer the following questions (1) and (2).
(1) Define f (x) = sin x. Here, f (n) (x) (n = 1, 2, . . . ) denotes the n-th derivative off (x).
Answer the following subquestions.
(a) Find the following values.
i) f (2n−1) (0),ii) f (2n) (0),n = 1, 2, . . .

(b) Find the values of the following limits.
x − f (x),x→0x3i) limf (x) − x + x3 /6x→0x5ii) limf (x) − x + x3 /6 − x5 /120x→0x7iii) lim(2) The sequence of real functions fn (x) (n = 1, 2, . . . ) is defined as follows.
'
λe−λx
x≥0
f1 (x) =0
otherwise
For n = 2, 3, . . . ,fn (x) =' (∞0 fn−1 (x − y)f1 (y)dy0x≥0otherwise

Here, λ > 0.
Answer the following subquestions.
(a) Find the expression of f2 (x) for x ≥ 0.
(∞(b) Find the value of 0 xf2 (x)dx.
(c) Find the expression of f3 (x) for x ≥ 0.

(d) Find the expression of fn (x) for x ≥ 0 and n = 1, 2, . . . .
(∞(e) Find the value of 0 fn (x)dx for n = 1, 2, . . . .

ミクロ経済学問題 I から III 全てに答えよ. 問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ.

I. 純粋交換経済と生産経済に関する以下の問 (1) と (2) に答えよ.

(1) 二つの財，二人の消費者からなる純粋交換経済において，第 1 財 20 単位，第 2 財 10単位を二人の消費者 A と B に配分する問題を考える．xi1 と xi2 はそれぞれ消費者 iの第 1 財と第 2 財の消費量を表すとする．以下の図は，この経済に対するエッジワー
ス・ボックスを示している．図において，I i は消費者 i の無差別曲線を表す．

以下の問いに答えよ．

(a) 点 P , R, S で表される配分のうち，点 Q で表される配分をパレート改善するのはどれか．理由を付して答えよ．

(b) 消費者 i の効用関数が ui = xi1 xi2 によって与えられるとする．このとき，パレー
ト効率的な配分の集合を表す契約曲線を求めよ．

(2) 二つの財，二人の消費者，および一つの企業からなる生産経済を考える．消費者 Aと B の効用関数は! "2 A! B "2uA = 2 xAx2 , uB = 4xB1
1 x2

によって与えられる．ここで，xi1 , xi2 はそれぞれ消費者 i の第 1 財と第 2 財の消費量を表すとする．uA > 0, uB > 0 を仮定する．消費者 A と B の第 1 財と第 2 財の初
期保有量は
A
B
eA = (eAeB = (eB
1 , e2 ) = (12, 0),
1 , e2 ) = (18, 0)であるとする．ここで，ei1 , ei2 はそれぞれ消費者 i の第 1 財と第 2 財の初期保有量を表す．企業は以下の生産関数に従って第 1 財から第 2 財を生産する．

1x2 = x1 .
2

企業の利潤は消費者 A と B に均等に分配されるとする．第 1 財と第 2 財の価格はそ
れぞれ p1 , p2 であるとする．以下の問いに答えよ．

(a) 企業の利潤を π とするとき，消費者 A と B の予算制約式を答えよ．

(b) 競争均衡における企業の利潤を求めよ．

(c) 競争均衡における消費者 A と B の第 1 財と第 2 財の消費量を求めよ．

(d) 競争均衡における企業の第 1 財の需要量と第 2 財の供給量を求めよ．

II. 以下の問 (1) から (4) に答えよ．

(1) 戦略形ゲームとは何か？戦略形ゲームを構成する３つの要素に言及し説明せよ.

(2) 下表はプレイヤー１ (P1) とプレイヤー２ (P2) の両性の闘い (男女の争い) ゲームにおける利得表である (a > b > 0)． このゲームのナッシュ均衡を全て列挙せよ.
P2
P1
ボクシング
バレエ

ボクシング

バレエ

(a, b)(0, 0)(0, 0)(b, a)(3) 下図はいわゆる最後通牒ゲームを表している．最後通牒ゲームでは，まずプレイヤー
１ (P1) が 1 億円の分け方をプレイヤー２ (P2) に提案する (例えば，P1 が x = 0.7
億円を受け取り，残りの (1 − x) = 0.3 億円を P2 が受け取る，という提案をする)．
P2 はその提案を受諾する (A) か拒否する (R) かを選択する．受諾した場合には P1の提案通りの配分が実行され，拒否した場合は両プレイヤーが 0 円を受け取る．
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以下の問いに答えよ．

(a) 本ゲームにおけるプレイヤー１と２の戦略集合をそれぞれ記述せよ．

(b) このゲームでは，任意の利得配分 (x, 1 − x) に対し，それが実現するナッシュ均衡が存在する．これを証明せよ．

(c) 部分ゲーム完全均衡を挙げよ．さらに，それが部分ゲーム完全均衡であることを証明せよ．また，部分ゲーム完全均衡において実現する利得配分を指摘して，提案する立場 (P1) と選択する立場 (P2) のどちらが有利と考えられるか論ぜよ．

(4) 下図は２段階の最後通牒ゲームを表している．第１ラウンドでは問 (3) と同じ最後通牒ゲームが行われるが，P2 が拒否を選んだ場合には第２ラウンドに進み，今度はP2 が (P1 の取り分 y を) 提案して P1 が受諾するか拒否するかを選択する．ただし，第２ラウンドで利得が確定する場合には利得が割り引かれて δ 倍になる (0 < δ < 1
とする)．
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以下の問いに答えよ．

(a) 本ゲームにおけるプレイヤー１と２の戦略集合をそれぞれ記述せよ．

(b) 部分ゲーム完全均衡を挙げよ．さらに，それが部分ゲーム完全均衡であることを証明せよ．

III. 最低価格保証 (「他店より 1 円でも高い場合には同じ価格まで値下げします」と宣言すること) にはどのような狙いがあると考えられるか 200 字以内で説明せよ．

Microeconomics
Answer all problems I-III. Use a separate answer sheet for each problem.

I. Answer the following questions (1) and (2) concerning pure exchange and production
economies.
(1) In a pure exchange economy consisting of two goods and two consumers, consider
the problem of allocating 20 units of good 1 and 10 units of good 2 to two consumers
A and B. Let xi1 and xi2 denote the consumption of goods 1 and 2 by consumer i,
respectively. The following figure shows the Edgeworth box for this economy. In
the figure, I i denotes the indiﬀerence curve of consumer i.

Answer the following questions.
(a) Which of the allocations represented by the points P , R, and S would be
Pareto improvements relative to the allocation represented by the point Q?
Answer with your reasons.
(b) Suppose that the utility function of consumer i is given by ui = xi1 xi2 . In
this case, find the contract curve that represents the set of Pareto eﬃcient
allocations.

(2) Consider a production economy consisting of two goods, two consumers, and one
firm. The utility functions of consumers A and B are given by! "2 AuA = 2 xA
x2 ,1! B "2uB = 4xB,
1 x2

where xi1 and xi2 denote the consumption of goods 1 and 2 by consumer i, respectively. Assume uA > 0 and uB > 0. The initial endowments of goods 1 and 2 for
consumers A and B are
AeA = (eA
1 , e2 ) = (12, 0),

BeB = (eB
1 , e2 ) = (18, 0),

where ei1 and ei2 denote the initial endowment of goods 1 and 2 for consumer i,
respectively. The firm produces good 2 from good 1 using the following production
function:1x2 = x1 .
2
The firm’s profit is assumed to be equally distributed to consumers A and B. The
prices of goods 1 and 2 are p1 and p2 , respectively. Answer the following questions.
(a) When the firm’s profit is π, answer the budget constraints for consumers A
and B.
(b) Find the profit of the firm in competitive equilibrium.
(c) Find the consumption of goods 1 and 2 by consumers A and B in competitive
equilibrium.
(d) Find the firm’s demand for good 1 and supply of good 2 in competitive equilibrium.

II. Answer the following questions (1) to (4).
(1) Provide a definition of a strategic form game. The answer should refer threeelements of a strategic form game.
(2) The following table shows a payoﬀ matrix of a battle of sexes game (a > b > 0)with player 1 (P1) and player 2 (P2). Point out all Nash equilibria of the game.
P2
P1
BoxingBalletBoxingBallet(a, b)(0, 0)(0, 0)(b, a)(3) The following figure shows an ultimatum game over one million dollar. In theultimatum game, player 1 (P1) first makes a take-it-or-leave-it oﬀer to player 2(P2). For example, P1 proposes the allocation in which P1 receives x = 0.7 million
dollar while P2 does (1 − x) = 0.3 million dollar. If P2 accepts (A) the oﬀer, theproposed allocation is implemented. On the other hand, if P2 rejects (R) the oﬀer,
both players receive 0 dollar.
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Answer the following questions.
(a) Describe the strategy sets of P1 and P2.
(b) In the ultimatum game, it is known that for any payoﬀ allocation (x, 1 − x),there exists a Nash equilibrium under which the payoﬀ (x, 1 − x) is realized.
Prove it.
(c) Point out a subgame perfect equilibrium. Then, provide a proof of the subgame perfection of it. Moreover, pointing out the payoﬀ allocation under thesubgame perfect equilibrium, discuss about the advantage (or disadvantage)of proposing role of P1 and the chooser role of P2.

(4) The following figure shows a two-stage ultimatum game. The first round of thegame is same as the ultimatum game described in the question (3). If P2 rejects
the P1’s proposal in the first round, players go to the second round. In the second
round, P2 proposes an allocation in which P1’s assignment is denoted as y. Then,P1 decides to accept or rejects the proposal. The payoﬀ allocation is discountedby δ (0 < δ < 1) in the second round.
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Answer the following questions.
(a) Describe the strategy sets of P1 and P2.
(b) Point out a subgame perfect equilibrium. Then, provide a proof of the subgame
perfection of it.

III. Explain the purpose of the minimum price guarantee policy (i.e., declaring that if theprice is even one yen higher than another store’s price, the price will be reduced to thesame level) in 100 words or less.

都市・地域計画問題 I からⅢより 2 題選択して答えよ。問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ。
Ⅰ．都市政策に関する以下の問(1)-(3)に答えよ。
(1) 現在、日本では都市政策として「コンパクト・プラス・ネットワーク」が重視されている。その背景を解説せよ。また、どのような効果が期待されているかを箇条書き三項目
以上で説明せよ。
(2) COVID-19 の感染拡大によって、日本の大都市圏における日常的な交通量や交通手段選
択にどのような変化が生じたか。また、そのことがコンパクト・プラス・ネットワーク
政策にどのような影響を与えているか論ぜよ。
(3) 今後の社会の変化も見据えた上で、コンパクト・プラス・ネットワーク政策を実現するために必要となる対応を箇条書きで三項目以上述べよ。

Ⅱ．都市の多様性に関する以下の問(1)-(4)に答えよ。
(1) アメリカの文筆家であり活動家であるジェイン・ジェイコブズ（Jane Jacobs）は、1961
年に刊行した著書『アメリカ大都市の死と生（The Death and Life of Great American
Cities）』で、都市における多様性が重要であると主張し、その後の都市計画に大きな影響を与えた。この都市論の中で、ジェイコブズはどのような都市計画を批判したのか。
またなぜ都市における多様性が重要と主張したのか。当時の都市計画を例示しながら、この主張を解説せよ。
(2) ジェイコブズが提示した都市の多様性を生成する 4 つの条件をあげ、その概要を説明せよ。
(3) 多くの先進国で、都市のまちなかにおいて、都市の多様性が重要との認識が高まっている。まちなかが直面している問題を示し、この都市論の考え方に関連付けながら、まち
なかの都市計画が目指すべき方向性を論ぜよ。
(4) 近年、郊外住宅地においても、都市の多様性の重要性が指摘されている。郊外住宅地で発生している問題を示し、この都市論の考え方に関連付けながら、これからの郊外住宅地で必要とされている都市計画上の対策を論ぜよ。

Ⅲ．環境評価に関する以下の問(1)-(4)に答えよ。
(1) 環境評価のための手法として、ヘドニックアプローチと呼ばれるものがある。これはどのような手法か説明せよ。

(2) ヘドニックアプローチ以外の環境評価手法として仮想評価法（CVM）があるが、これはどのような手法か。ヘドニックアプローチと比較した際のメリット、デメリットを簡潔に述べよ。
(3) ２つの図は 1991 年から 2010 年までの 1 都３県（埼玉県、千葉県、東京都、神奈川県）の公示地価と各公示地点における浮遊粒子状物質（SPM）や窒素酸化物（NOx）のそれぞれの濃度予測値の散布図である。2 つの散布図の共通点から人々は大気汚染物質の経済的価値をどのように評価しているかについて、ヘドニックアプローチに従って説明しなさい。
(4) なぜ、散布図のような状況になっているのか、“相関”と“因果”という言葉を用いて、あなたの考えを述べよ。

図１：１都３県の公示地価と SPM 年平均濃度

図２：１都３県の公示地価と NOx 年平均濃度

注: データは 1991 年から 2010 年までの埼玉県、千葉県、東京都、神奈川県の公示地価と国立環境研究所が報告する大気汚染情報を用いた。

Urban and Regional Planning
Choose two problems from the following problems I-III to answer. Use a separate answer sheet foreach problem.
I. Answer the following questions (1)-(3) on issues related to urban policy.
(1) Recently, "Compact Plus Network" has been emphasized as an urban policy in Japan. Explain
the background. Then, list at least three expected effects.
(2) How has the spread of COVID-19 changed daily traffic volume and mode of transportation
choices in Japan's metropolitan areas? Also, discuss how it affects the compact plus network
policy.
(3) Considering future social changes, list at least three items of the necessity of the compact plus
network policy.

II. Answer the following questions (1)-(4) regarding urban diversity.
(1) In a book published in 1961, “The Death and Life of Great American Cities,” American writerand activist Jane Jacobs argued for the importance of diversity in cities, which profoundly
impacted subsequent urban planning. In this urbanism, what kind of urban planning did Jacobs
criticize? In addition, why did she argue for the importance of diversity in cities? Explain thisassertion, using examples from urban planning at that time.
(2) List and outline Jacobs's four conditions for generating urban diversity.
(3) In many developed countries, urban diversity has been increasingly recognized as important in
the inner city. Indicate the problems facing the inner city and discuss the direction that inner cityurban planning should take concerning this concept of urbanism.
(4) Recently, the importance of urban diversity has been recognized in suburban housing estates.
Show the problems in suburban residential areas and discuss the urban planning measures neededin suburban housing estates in the future while relating them to the ideas of this urbanism.
III. Answer the following questions (1)-(4) related to environmental assessment.
(1) There is a method for an environmental assessment called the hedonic approach. Explain thehedonic approach.
(2) Another method for environmental assessment besides the hedonic approach is called theContingent Valuation Method (CVM). Explain the CVM. Briefly describe its advantages anddisadvantages compared to the hedonic approach.
(3) The two figures show scatter plots of the officially assessed land prices provided by the Japanesegovernment (OALP) in Tokyo and three prefectures (Saitama, Chiba, and Kanagawa) from 1991
to 2010 and predicted concentrations of suspended particulate matter (SPM) or nitrogen oxides(NOx) at each public location. Following a hedonic approach, explain how people assess the
economic value of air pollutants based on the similarities between the two scatter plots.
(4) Describe your thoughts on why the situation is as shown in the scatter plots, using the terms

OALP (log scale)

OALP (log scale)"correlation" and "causality".

SPM annual average concentration

ppm

NOx annual average concentration

ppm

Figure 1: OALP and SPM annual average concentration

Figure 2: OALP and NOx annual average concentrationin Tokyo and three prefecturesin Tokyo and three prefectures

Note: Data were obtained from the officially assessed land prices provided by the Japanese government (OALP) in
Tokyo and three prefectures (Saitama, Chiba, and Kanagawa) from 1991 to 2010 and air pollution information reportedby the National Institute for Environmental Studies.