不確実性下の最適化問題の計画論への応用神戸大学大学院工学研究科 准教授
瀬木 俊輔
一般財団法人 建設工学研究所 令和5年度学術講演会

1数理最適化問題
 制約条件の範囲内で目的関数を最小化（最大化）する
変数の値を探索する数学の問題
 最適な意思決定の支援に応用可能
 様々な分野で応用されている
 製造業の生産・在庫管理・輸送計画
 統計モデルの推定・人工知能の学習
 料金設定・予約枠の割り当て
 設備投資計画2

最適化問題の例：構造設計問題
 左右対称な三部材トラス
 部材1と3の断面積𝐴𝐴1 と部材2の断面積𝐴𝐴2 を最適化
 安全率の範囲内で部材総体積を最小化する

3

最適化問題の例：構造設計問題
 部材に働く応力が許容応力度の範囲に収まるという制約の範囲内で，部材総体積を最小化する
min𝐴𝐴1 ,𝐴𝐴2 ,𝜎𝜎1 ,𝜎𝜎2 ,𝜎𝜎3

10 2𝐴𝐴1 + 5𝐴𝐴2

s. t. 𝜎𝜎1 ≥ −1, 𝜎𝜎2 ≥ −1, 𝜎𝜎3 ≥ −1
𝜎𝜎1 ≤ 1.4, 𝜎𝜎2 ≤ 1.4, 𝜎𝜎3 ≤ 1.4−𝜎𝜎1 𝐴𝐴1 + 𝜎𝜎3 𝐴𝐴1 + 20 = 0−𝜎𝜎1 𝐴𝐴1 − 2𝜎𝜎2 𝐴𝐴2 − 𝜎𝜎3 𝐴𝐴1 + 20 = 0
𝜎𝜎1 + 𝜎𝜎3 − 𝜎𝜎2 = 0

部材断面積𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 と部材に働く応力𝜎𝜎1 , 𝜎𝜎2 , 𝜎𝜎3 の関係

 最適解：𝐴𝐴1 = 11.27, 𝐴𝐴2 = 5.83, 𝜎𝜎1 = 1.40, 𝜎𝜎2 = 1.02, 𝜎𝜎3 = −0.38

4不確実性下の最適化問題
 意思決定に関わる不確実性を考慮した最適化問題• 未来を確実に予測できないときの最適化問題• 期待値を目的関数とする
 多様な不確実性を考慮できる• 商品の需要の不確実性• 将来環境（原材料調達費用など）の不確実性

5

不確実性下の最適化問題の例
 週末に旅行に行くべきかを決める問題• 週末の降水確率は70%• ホテルの宿泊費は10,000円（キャンセル不可能）• 晴天下の旅行の効用は15,000円• 雨天下の旅行の効用は3,000円• 自宅に滞在する効用は0円
 (旅行の効用 － 出費)の期待値を目的関数とする
6

不確実性下の最適化問題の例
 (旅行の効用 － 出費)の期待値を目的関数とする
 意思決定の選択肢毎に目的関数値を計算する
 選択肢1：旅行に行かない•

効用：0円 出費：0円 目的関数値：0円

 選択肢2：ホテルを予約し旅行に行く•

効用(期待値)：3,000×70% + 15,000×30% = 6,600円
出費：10,000円 目的関数値：－3,400円

 選択肢1が最適となる
7

予約がキャンセル可能のとき
 週末に旅行に行くべきかを決める問題• 週末の降水確率は70%• ホテルの宿泊費は10,000円• ホテルの直前のキャンセル価格は1,000円• 晴天下の旅行の効用は15,000円• 雨天下の旅行の効用は3,000円• 自宅に滞在する効用は0円
 このときの最適な意思決定は？
8

予約がキャンセル可能のとき
 選択肢1：旅行に行かない•

効用：0円 出費：0円 目的関数値：0円

 選択肢2：ホテルを予約しておき，必ず旅行に行く•

効用(期待値)：3,000×70% + 15,000×30% = 6,600円
出費(期待値)：10,000×70% + 10,000×30% = 10,000円
目的関数値：－3,400円

 選択肢3：ホテルを予約しておき，当日の天気が雨天なら予約をキャンセルして自宅に滞在し，晴天なら旅行に行く•

効用(期待値)：0×70% + 15,000×30% = 4,500円
出費(期待値)：1,000×70% + 10,000×30% = 3,700円
目的関数値：+800円

 選択肢3が最適となる

9

不確実性下の最適化問題の解 予約がキャンセル可能なときの最適解：• ホテルを予約しておき，当日の天気が雨天なら予約をキャンセルし，晴天なら旅行に行く 不確実性下の最適化問題の解は一般に「将来の状況がAであればXを実行し，BであればYを実行し，…」という状況依存的なものとなる
 不確実性下では「2030年にXを必ず実行せよ」といった意思決定は最適にならない
10

本日の講演の内容
 不確実性下の最適化問題の土木計画への応用例① 高速道路の料金設定• 料金変更に対する交通量の反応の不確実性② 気候変動下の治水施設整備• 温暖化の進行速度の不確実性

11

高速道路の料金設定 - 問題設定
 Verhoef (2004)を参考とする

 並行する一般道路Lと高速道路Hから成るネットワーク
 高速道路のみ料金が課されている
�
 OD間総交通量は𝑄𝑄で一定

 時間価値の高い通勤者が高速道路を利用

OD間総交通量𝑄𝑄�
𝑄𝑄� = 𝑥𝑥𝐻𝐻 + 𝑥𝑥𝐿𝐿

高速道路H
交通量𝑥𝑥𝐻𝐻 , 旅行時間𝑇𝑇𝐻𝐻 ,料金𝑝𝑝𝐻𝐻
O

D

一般道路L
交通量𝑥𝑥𝐿𝐿 , 旅行時間𝑇𝑇𝐿𝐿 ,料金無し

12通勤者の時間価値の分布 通勤者の時間価値𝛼𝛼は人により異なる
 時間価値：移動時間を1時間短縮するためにいくら支払えるか？

 時間価値は労働者の時給に相当すると考えることが多い
 右表は2017年時点の雇用労働者の時間給分布
出典：https://tmaita77.blogspot.com/2019/07/blog-post_25.html

13通勤者の時間価値の分布
 時間価値𝛼𝛼は対数正規分布に従うと仮定する
 雇用労働者の時間給分布にフィッティングする

0.45

平均：1909.4円
標準偏差：1313.3円

0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0

0

2000

4000

6000

8000

10000

時間価値𝛼𝛼

α ~ Lognormal ( µα , σ α2 )14

均衡モデル 時間価値𝛼𝛼の高い通勤者が高速道路を利用 高速道路・一般道路利用の閾値となる時間価値𝛼𝛼 ∗ を求める
一般道路
利用
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0

高速道路
利用

 時間価値𝛼𝛼の人の移動コスト
 𝛼𝛼×移動時間 + 料金

高速道路の移動コスト = 𝛼𝛼 𝑇𝑇𝐻𝐻 − 𝑣𝑣̅ 𝐻𝐻 + 𝑝𝑝𝐻𝐻

一般道路の移動コスト = 𝛼𝛼𝑇𝑇𝐿𝐿

閾値𝛼𝛼 ∗ では両者が釣り合う
α * (TH − vH ) + pH =
α *TL

0

2000

4000

6000

8000

例：𝛼𝛼 ∗ = 4000のとき

10000

𝑣𝑣̅ 𝐻𝐻 : 高速道路の走行快適性の補正項
15一般道路・高速道路の混雑 一般道路と高速道路の旅行時間𝑇𝑇𝐿𝐿 , 𝑇𝑇𝐻𝐻 は交通量𝑥𝑥𝐿𝐿 , 𝑥𝑥𝐻𝐻 の増加関数
2.82
 xL  =
TL TFL 1 + 0.48   KL  

2.82
 xH  =
TH TFH 1 + 0.48  K H  


𝑇𝑇𝐹𝐹𝐿𝐿 , 𝑇𝑇𝐹𝐹𝐻𝐻 : 自由流旅行時間[hour]
𝐾𝐾𝐿𝐿 , 𝐾𝐾𝐻𝐻 : 交通容量[台/hour] ここでは以下の設定を採用••••

一般道路の自由流旅行時間は18分：𝑇𝑇𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0.3 hour

高速道路の自由流旅行時間は9分：𝑇𝑇𝐹𝐹𝐻𝐻 = 0.15 hour

各道路の交通容量は5,000台/hour：𝐾𝐾𝐿𝐿 = 𝐾𝐾𝐻𝐻 = 5,000台/hour
総交通量は10,000台/hour：𝑄𝑄� = 10,000台/hour

16

現況と最適料金
 現況の高速道路料金と交通量：𝑝𝑝𝐻𝐻 = 450円, 𝑥𝑥𝐻𝐻 = 5,000台•

𝑣𝑣̅𝐻𝐻 は現況交通量を再現するように定まる：𝑣𝑣̅𝐻𝐻 = 0.014 hour(𝑣𝑣̅𝐻𝐻 = 0だと𝑥𝑥𝐻𝐻 = 4,914台になる)

 現況から料金を最適な水準に変更することを試みる•

社会的総費用（通勤者の移動時間の機会費用）を最小化
minW=( pH )
H
p

∫

α*

0

∞

α TL f (α ) dα + ∫ α (TH − vH ) f (α ) dα

一般道路利用者の費やす時間の価値
𝑇𝑇𝐿𝐿 : 一般道路旅行時間α*

高速道路利用者の費やす時間の価値
𝑇𝑇𝐻𝐻 : 高速道路旅行時間

時間価値𝛼𝛼が高い人の移動時間は高く評価する

 最適な高速道路料金と交通量：𝑝𝑝𝐻𝐻 = 370円, 𝑥𝑥𝐻𝐻 = 5,278台

17通勤者の時間価値の分布は不明
 時間価値𝛼𝛼は労働者の時間給と完全一致するわけではない•

地域差があり，時間給の20%から100%の範囲にある(Brownstone and Small, 2005)

 本当の時間価値の分布は不明
 時間価値の分布が異なると：•料金変更に対する交通量の反応が異なる•

最適な料金水準も異なる

 時間価値の分布がわからなければ最適な料金は決められない

18

時間価値と時間給の関係
 時間価値𝛼𝛼は労働者の時間給と完全一致するわけではない 𝛼𝛼 = 時間給 × 𝛽𝛽と表せると仮定する (0 ≤ 𝛽𝛽 ≤ 1は未知の定数) 𝛽𝛽を変えても𝑣𝑣̅𝐻𝐻 を適切に調整すれば現況交通量は再現可能
 現況交通量からは𝛽𝛽の水準は推量できない

0.45
0.4
0.35

平均：1909.4𝛽𝛽円
標準偏差：1313.3𝛽𝛽円

0.3
0.25
0.2

時間給が対数正規分布に従うとき
時間価値も対数正規分布に従う

0.6222, 0.6222 
α ~ Lognormal  ln (1909.4β ) −
2



0.15
0.1
0.05
0

時間価値𝛼𝛼19

時間価値の分布と料金弾性値
 時間価値𝛼𝛼 = 時間給 × 𝛽𝛽

 料金弾性値（高速道路料金を1%値下げすると高速道路交通量が何%増えるか）は𝛽𝛽が小さいほど高い
0.9
0.8

料金弾性値

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0.2

0.4

0.6

𝛽𝛽

0.8

1

20

時間価値の分布と最適料金
 時間価値𝛼𝛼 = 時間給 × 𝛽𝛽

 最適料金𝑝𝑝𝐻𝐻 は𝛽𝛽が大きいほど高い 時間価値𝛼𝛼の高い人のために高速道路の混雑を抑えるため
高速道路
交通量𝑥𝑥𝐻𝐻

390

350

料金𝑝𝑝𝐻𝐻

330
310
290
270
250

0.2

0.4

0.6

0.8

7000
6800
6600
6400
6200
6000
5800
5600
5400
5200
5000

高速道路交通量𝑥𝑥𝐻𝐻

370

料金𝑝𝑝𝐻𝐻1𝛽𝛽

 𝛽𝛽の値がわからないと最適な料金もわからない…

21

需要の学習を考慮した料金設定
 同種の問題に一般的な企業も直面している 利益を最大化する製品価格は未知の需要関数に依存(需要関数：価格と需要の関係を表す関数)

 企業は「様々な価格の下で製品を販売し，需要が価格に対してどのように反応するのか」を学習する（価格実験）
 学習を基にして最終的な最適価格を設定
 不確実性下の最適化問題が適用可能(Harrison et al. 2012, den Boer and Zwart 2014)22価格実験の前提
 パラメータ𝛽𝛽には事前分布が存在する••

0.2以上1以下の一様分布とする学習を通じて分布をベイズ更新する 料金の改定には一定の期間が必要•

四半期ごとに改定可能

 交通量には変動がある••

観測される高速道路の平均交通量𝑥𝑥𝐻𝐻obs は平均𝑥𝑥𝐻𝐻 𝛽𝛽, 𝑝𝑝𝐻𝐻 ,標準偏差0.01𝑥𝑥𝐻𝐻 𝛽𝛽, 𝑝𝑝𝐻𝐻 の対数正規分布に従う
𝑥𝑥𝐻𝐻 𝛽𝛽, 𝑝𝑝𝐻𝐻 は均衡モデルから計算される交通量23価格実験の最適化問題
 社会的総費用の割引現在価値の期待値を最小化 ∞  1 t
min E  ∑ 
 W ( β , p H ,t )  t =0  1 + ρ =p H ,t h ( g t ( ⋅ ) )𝑡𝑡: 時点の番号（1時点 = 1四半期）
𝜌𝜌: 社会的割引率（年間4%）𝑝𝑝𝐻𝐻,𝑡𝑡 : 時点𝑡𝑡の高速道路料金
𝑊𝑊 𝛽𝛽, 𝑝𝑝𝐻𝐻,𝑡𝑡 : 時点𝑡𝑡の社会的総費用

 時点𝑡𝑡の最適料金𝑝𝑝𝐻𝐻,𝑡𝑡 は𝛽𝛽の学習状況に依存する

 時点𝑡𝑡の学習状況がAであれば𝑝𝑝𝐻𝐻,𝑡𝑡 をXに設定し，BであればYに設定し，…

 最適料金𝑝𝑝𝐻𝐻,𝑡𝑡 を時点𝑡𝑡における𝛽𝛽の事前分布𝑔𝑔𝑡𝑡 ⋅ の関数ℎ 𝑔𝑔𝑡𝑡 ⋅ として表し，この関数ℎを最適化
24

最適解の性質 𝑝𝑝𝐻𝐻,𝑡𝑡 は𝛽𝛽の学習状況に依存して変動する

𝛽𝛽

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

𝛽𝛽の真値が0.6のケース

355

𝛽𝛽の学習状況

350
345
340

0

料金𝑝𝑝𝐻𝐻
5

335

10

15

20

330

𝑝𝑝𝐻𝐻
𝛽𝛽 = 0.6のときの最適料金

𝑡𝑡

 学習の進展に伴い𝛽𝛽の真値の下での最適料金に収束
25

最適解の性質
𝛽𝛽

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

 𝑝𝑝𝐻𝐻,𝑡𝑡 は𝛽𝛽の学習状況に依存して変動する
𝛽𝛽の真値が0.4のケース

料金𝑝𝑝𝐻𝐻05𝑝𝑝𝐻𝐻𝛽𝛽の学習状況
10

𝑡𝑡

15

20

334
332
330
328
326
324
322
320
318
316
314
312

𝛽𝛽

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

𝛽𝛽の真値が0.8のケース

料金𝑝𝑝𝐻𝐻
5

𝑝𝑝𝐻𝐻
360
355
350

𝛽𝛽の学習状況

345
340
335

10

𝑡𝑡

15

20

 制約が無い限り，学習状況に応じて大胆に料金を改訂する
26

330

高速道路の料金設定
 料金変更に対する交通量の反応の未知性を前提として料金を設定し，交通量の反応を学習しながら徐々に最適な料金に近付けていく より複雑なケースも最適化問題として表現可能• 料金を一度下げると値上げが難しくなる状況• 高速道路の走行快適性も人により異なる状況• 他の交通機関との代替性がある状況
 より複雑なケースの分析手法を研究中
27

本日の講演の内容
 不確実性下の最適化問題の土木計画への応用例① 高速道路の料金設定• 料金変更に対する交通量の反応の不確実性② 気候変動下の治水施設整備• 温暖化の進行速度の不確実性

28

気候変動下の堤防嵩上げ計画
 地球温暖化の進行に伴い，豪雨の発生頻度が増加

出典：https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/kikohendo_kondankai/part3/part3_3_2.pdf

 将来に確実に4度上昇することがわかっているとしたら今すぐに4度上昇環境に対応した堤防を整備すべきか？
29気候変動下の堤防嵩上げ計画
 将来に確実に4度上昇することがわかっているとしても
今すぐに4度上昇環境に対応した堤防を整備すべきではない 金利（割引率）が存在するため
 類似の例：住宅ローン•

将来，子供が成長したら広い家が必要•

住宅ローンの金利が高い場合には，子供が成長するまで狭い家に住んで貯金しておき，子供が成長してから広い家を購入するという行動を取る人が増える

30気候変動下の堤防嵩上げ計画
 Eijgenraam et al. (2017)はオランダの堤防を対象として，気候変動
下の堤防嵩上げ計画を最適化する問題を分析している•

気候変動の進行速度は確定的であると考えている

 最適解が有する性質を示している
 一定量の嵩上げを周期的に行うことが最適

31

Eijgenraam et al. (2017)のモデル
 海水面が年間𝜂𝜂[cm]増加
 破堤確率𝑃𝑃𝑡𝑡 は年間𝛼𝛼𝛼𝛼%増加

 堤防高さ𝐻𝐻𝑡𝑡 を1cm嵩上げすると破堤確率が𝛼𝛼%低下=
Pt P0 exp [αη t ] exp  −α ( H t − H 0 ) 

 破堤時被害額𝑉𝑉𝑡𝑡 は年間𝛾𝛾%増加（経済成長のため） 堤防高さ𝐻𝐻𝑡𝑡 を1cm嵩上げすると被害額が𝜁𝜁%増加=
Vt V0 exp [γ t ] exp ζ ( H t − H 0 ) 

 時点𝑡𝑡の期待被害額は𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑉𝑉𝑡𝑡

32

Eijgenraam et al. (2017)のモデル
 堤防の嵩上げ費用𝐼𝐼𝑡𝑡 は現状の堤防高さ𝐻𝐻𝑡𝑡 と嵩上げ幅𝑢𝑢𝑡𝑡 に依存
It =( c + but ) exp λ ( H t + ut )
H t=
H t + ut+1

 社会的総費用の割引現在価値を最小化•

社会的総費用＝期待被害額＋堤防の嵩上げ費用•

破堤の許容確率も最適化の対象となるt 1 
min ∑ t t + It ]
 [ PV1ρ+t =0 

∞=
Pt P0 exp [αη t ] exp  −α ( H t − H 0 ) =
Vt V0 exp [γ t ] exp ζ ( H t − H 0 ) 33

Eijgenraam et al. (2017)のモデル
 一定量の嵩上げを周期的に行うことが最適
海水面上昇速度𝜂𝜂が年間0.76cmのケース

基準時点からの海水面上昇量
堤防嵩上げ量[cm]

250
200
150

堤防嵩上げ量100

海水面上昇量

50
0

0

50

100

𝑡𝑡 [year]

150

200

34

Eijgenraam et al. (2017)のモデル
 最適な周期や嵩上げ幅は海水面上昇速度𝜂𝜂[cm]に依存

基準時点からの堤防嵩上げ量[cm]300𝜂𝜂 = 1.14

250

𝜂𝜂 = 0.76200150𝜂𝜂 = 0.38

100
50
0

0

50

100

𝑡𝑡 [year]

150

200

 𝜂𝜂が高いほど周期は短く嵩上げ幅は高くなる
35気候変動の不確実性
 気候変動の進行には，多大な不確実性が存在

出典：The IPCC Fifth Assessment Report (2013)

 海水面上昇速度𝜂𝜂[cm]の予測は困難
36

気候変動のモニタリング
 気候変動の進行速度の不確実性を前提とした堤防嵩上げ計画
 気候変動の進行状況をモニタリングしながら，進行速度について学習し，学習を基にして堤防嵩上げのタイミングと量を調整
 パラメータ𝜂𝜂[cm/year]に事前分布を設定する••

0以上1.52以下の一様分布とする学習を通じて分布をベイズ更新する

 観測される海水面の水位にはノイズが乗る•

ノイズの標準偏差は1.52cm

37

学習による嵩上げ幅の調整
 最適な周期や嵩上げ幅は海水面上昇速度𝜂𝜂[cm]に依存
𝜂𝜂の真値が1.14cmのケース

基準時点からの堤防嵩上げ量[cm]

300
250

1.2
1

𝜂𝜂の学習状況

200
150

0.8
0.6

堤防嵩上げ量

100

0.4

50

0.2

0

0

0

50

100

150

200

𝜂𝜂

𝑡𝑡 [year] 学習の進展に伴い堤防の嵩上げ量が徐々に増加
38日本の河川を対象とした分析
 Eijgenraam et al. (2017)はオランダの堤防を対象としている•

パラメータはオランダを対象•

パラメータの設定方法が不明

 日本の河川を対象とした分析が可能なようにモデルを改良
 流出・氾濫解析によりパラメータを設定
 特定のセクションの堤防の嵩上げ問題を考える

左右両岸を同じ量嵩上げする
39

被害額の期待値の評価方法
Step 1異なるピーク流量を有する複数のハイドログラフを設定し，各ハイドログラフの下で流出・氾濫シミュレーションを実施
 ピーク流量と水位の関係を求める
 ピーク流量と被害額の関係を求める
Step 2
気温上昇量𝑠𝑠とピーク流量の確率分布の関係を求める
Step 3
堤防高さℎ，気温上昇量𝑠𝑠と期待被害額の関係を求める40

流出・氾濫シミュレーションの実施
 商用の水害シミュレータDioVISTAを使用•

精度の高い2次元不定流モデルを採用•

河川の横断面（堤防の高さを含む），ハイドログラフ，
破堤候補地点などを自由に設定可能•

メッシュレベルの最大浸水深を求められる41

河川の横断面の設定
 国土地理院が公開する基盤地図情報・数値標高モデルを使用•

5mメッシュレベルで標高を測定

42

Step 1：ピーク流量と水位の関係
 堤防の高さを無限大だと仮定して流出解析を実施

破堤候補地点の水位𝐻𝐻[m] ピーク流量と破堤候補地点の水位（標高）の関係を得る
12.5
12
11.5
11
10.5
10
9.5
9
8.5
8
1000

1500

2000

2500

3000

基準地点のピーク流量𝑄𝑄[m3/s]

43

Step 1：ピーク流量と被害額の関係

国土交通省の治水経済調査マニュアルに基づいて被害額を算出する

250mメッシュ毎に9種類の被害額を合算①家屋被害②家庭用品被害③事業所償却・在庫資産被害④農漁家償却・在庫資産被害⑤農作物被害⑥公共土木施設等被害⑦営業停止損失⑧家庭における応急対策費用

Diovistaはメッシュレベルの
最大浸水深を計算可能⑨事業所における応急対策費用
国土交通省 治水経済調査マニュアル（2020）
https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/seisaku_hyouka/gaiyou/hyouka/r204/chisui.pdf

44Step 1：ピーク流量と被害額の関係
 堤防を現在時点の高さに設定して流出・氾濫解析を実施•

破堤候補地点で越水が起きると破堤する•

破堤候補地点以外では破堤は起きない ピーク流量と被害額の関係を得る
3500

被害額𝑉𝑉[億円]

3000
2500
2000
1500
1000
500
0
1000

1500

2000

2500

基準地点のピーク流量𝑄𝑄[m3/s]

3000
45

Step 2：気温上昇量𝑠𝑠とピーク流量の確率分布

累積確率 d4PDFの降雨データを利用した流出解析により，現在気候と4℃
上昇後の環境における基準地点のピーク流量の累積分布を評価
1
0.99
0.98
0.97
0.96
0.95
0.94
0.93
0.92
0.91
0.9
1000

現在気候

4℃上昇後

1500

2000

2500

3000

基準地点のピーク流量𝑄𝑄[m3/s]

 0℃, 4℃上昇以外の環境の累積分布は両者の補間により得る

46

Step 3：堤防高さℎと気温上昇量𝑠𝑠の下での期待被害額

 以上の関数から堤防高さℎ（標高）と気温上昇量𝑠𝑠の下での年間期待被害額を求める関数𝐸𝐸𝐸𝐸 ℎ, 𝑠𝑠 を定義可能∞

𝐸𝐸𝐸𝐸 ℎ, 𝑠𝑠 = �
破堤候補地点の水位𝐻𝐻[m]𝐻𝐻 −1 (ℎ)

12.5
12
11.5
11
10.5

𝑉𝑉 𝑄𝑄 𝑝𝑝 𝑄𝑄|𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑉𝑉 𝑄𝑄 : 流量𝑄𝑄の破堤時の被害額
𝑝𝑝 𝑄𝑄|𝑠𝑠 : 𝑠𝑠の下での流量𝑄𝑄の密度関数ℎ = 𝐻𝐻 𝑄𝑄⇔ 𝑄𝑄 = 𝐻𝐻 −1 ℎ109.5

ℎ = 10mなら𝐻𝐻 −1 ℎ = 1766m3/s
これ以下の洪水では破堤しない

9
8.5
8
1000

1500

2000

2500

基準地点のピーク流量𝑄𝑄[m3/s]

3000
47

堤防の嵩上げ費用
堤防嵩上げ費用を算出するモデル
工事費＋土地代＋調査設計費で求める

2012年国土交通省

堤防の緊急点検報告より

工事費 : （護岸面積）×（護岸面積1㎡あたりの工事費用）
土地買収費用 : （買収土地面積）×（地価/㎡）＋（買収床面積）×（資産価値/㎡）
調査設計費 : （堤防の長さ）×（1mあたりの調査設計・道路の作り替え費）

護岸面積
嵩上げの高さ
買収土地面積48

堤防の嵩上げ費用
堤防嵩上げ費用を算出するモデル
1 1
𝐼𝐼 𝛥𝛥𝛥 = 2𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ⋅ 𝛼𝛼 1 + 2 + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾𝛾𝛾𝜃𝜃𝜃𝜃

+ 2𝑙𝑙𝜀𝜀 ⋅ if Δℎ > 0

堤防の嵩上げは両岸同時に行うため、2を掛けている









𝑙𝑙: 堤防の 嵩上げを行う区間の長さ[m]𝛼𝛼: 護岸面積1㎡あたりの工事費用（3万円）
𝜃𝜃: 堤防の勾配（1/3）
𝛽𝛽: 堤防沿いの土地1㎡あたりの地価
𝛾𝛾: 堤防沿いの土地1㎡当たりの延床面積（㎡）𝛿𝛿: 都道府県別家屋1㎡あたりの評価額
𝜀𝜀: 区間1mあたりの堤防の調査設計費や道路の作り替え費（片側）49𝑠𝑠が不変の場合の最適化問題

 気温上昇量𝑠𝑠が不変と仮定すると最適な嵩上げ幅𝛥𝛥𝛥[m]は定数として求まる
1
min 𝐸𝐸𝑉𝑉 ℎ0 + 𝛥𝛥𝛥, 𝑠𝑠 + 𝐼𝐼 𝛥𝛥𝛥
𝛥𝛥𝛥 𝜌𝜌

ℎ0 : 現状の堤防高さ (標高) [m]𝜌𝜌: 社会的割引率 (4%)

 対象のセクションの場合•••

現状の堤防高さℎ0 = 9.82m

𝑠𝑠 = 0のときの最適堤防高さℎ0 + 𝛥𝛥ℎ∗ = 11.05m

𝑠𝑠 = 4のときの最適堤防高さℎ0 + 𝛥𝛥ℎ∗ = 12.30m

 現状でも不十分な高さ

50橋梁の架け替え費
 橋梁の架け替え費は最適な堤防の高さには影響を与えない
 堤防の嵩上げタイミングには影響を与える•

堤防の嵩上げが喫緊でない状況：橋梁が耐用年数を迎えるタイミングで同時に嵩上げを実施•

堤防の嵩上げが喫緊の状況：橋梁が耐用年数を迎える前に嵩上げを実施し，橋梁も架け替える

PC橋の平均値：
撤去費単価120.66千円/㎡
新設費単価485.85千円/㎡
仮設費110.64千円/㎡
出典：国土技術政策総合研究所 橋梁の架替に関する調査結果
https://www.nilim.go.jp/lab/bcg/siryou/tnn/tnn0444pdf/ks044405a.pdf

51

橋梁の架け替え費
 橋梁の架け替え費は最適な堤防の高さには影響を与えない
 堤防の嵩上げタイミングには影響を与える
 対象のセクションの場合
 現状の堤防高さℎ0 = 9.82m
 𝑠𝑠 = 0のとき：• 最適堤防高さℎ0 + 𝛥𝛥ℎ∗ = 11.05m• 橋梁が耐用年数を迎えるタイミングで嵩上げすべき

 𝑠𝑠 = 4のとき：• 最適堤防高さℎ0 + 𝛥𝛥ℎ∗ = 12.30m• 直ちに嵩上げし，橋梁も架け替えるべき
52

𝑠𝑠が変動する環境の最適嵩上げ計画
 𝑠𝑠が変動する環境における最適嵩上げ計画の性質：•

嵩上げを周期的に行う•

最適な嵩上げ幅は温暖化の進行速度の学習状況に依存•

橋梁の耐用年数を迎えるタイミングで嵩上げを行う（基本）•ただし，温暖化が想定（の期待値）よりも急速に進行した場
合には，前倒しで嵩上げと橋梁架け替えを行う

 以上の性質を有する最適計画を求める手法を研究中

53

治水施設整備のリアルオプション分析
 治水施設の整備計画には，将来の気温変化と降雨量の増加の不確実性を考慮した分析枠組みが必要
 気候変動の不確実性を考慮したうえで，治水施設に対する予算配分を動学的に最適化する問題を提案• リアルオプション分析の理論を応用• 遺伝的アルゴリズムを利用した解法の提案
 提案した手法の実河川への適用と有効性の確認

54

シナリオを決め打ちすれば良い？
 適当なシナリオを決めて最適整備時期を出せば？

中間シナリオを想定するとダムは2065年に建設開始するのが最適
それなら2065年にダム建設を開始する計画を作成すれば良い…とは言えない
 もしRCP2.6シナリオが実現したらダム建設は無駄に

 もしRCP8.5シナリオが実現したらこの時期の建設開始は遅過ぎ

55気温変化のシナリオ
 ドリフト付きランダムウォークモデルを採用
ln 𝑠𝑠𝑡𝑡 = ln 𝑠𝑠𝑡𝑡−1 + 𝜇𝜇𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑡𝑡 𝜀𝜀𝑡𝑡

 IPCCの報告書のデータからパラメータ (𝜇𝜇𝑡𝑡 , 𝜎𝜎𝑡𝑡 ) (1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇) を同定
赤線：RCP8.5平均シナリオ
青線：RCP2.6平均シナリオ
 これらのシナリオ間が予測の90%信頼区間と仮定

56気温変化と降雨量の関係のモデル
 気温変化𝑠𝑠𝑡𝑡 の増加は降雨量の期待値𝑚𝑚𝑡𝑡 ・標準偏差𝜂𝜂𝑡𝑡 を増加
𝑚𝑚𝑡𝑡 = 1 + 0.05𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑚𝑚base𝜂𝜂𝑡𝑡 = 1 + 0.05𝑠𝑠𝑡𝑡 𝜂𝜂base

𝑚𝑚base , 𝜂𝜂base ：気温上昇ゼロ時点の期待値・標準偏差 気候変動の進行に伴い豪雨の発生確率が増加

57

予算と整備の進捗の関係
 現在時点では未整備の治水施設が𝑁𝑁𝐼𝐼 件存在� 整備主体は年間予算𝑌𝑌（定数）を治水施設に配分
 整備費に応じて整備が進捗

 完成すると治水効果が発揮される
𝑁𝑁𝐼𝐼

� 𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 ≤ 𝑌𝑌�
𝑖𝑖=1

𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡 ：𝑡𝑡年に施設𝑖𝑖に配分される整備費

 優先して整備すべき治水施設の組み合わせを考える 組み合わせ最適化問題
58

目的関数の設定
 本研究では社会的費用の割引現在価値の総和の期待値を採用
𝑇𝑇+𝑇𝑇�

𝑉𝑉0 = E0 � 𝛽𝛽 𝑡𝑡 𝐶𝐶𝑡𝑡

𝛽𝛽 =

𝑡𝑡=0

1
：割引因子（社会的割引率𝜌𝜌に対応）
1+𝜌𝜌

𝐶𝐶𝑡𝑡 ：𝑡𝑡年の社会的費用（施設整備費＋水害被害額）

𝑇𝑇：気温変化を考える最終時点（𝑇𝑇 = 80で2100年）

�
𝑇𝑇：目的関数の過小評価を避けるための追加期間（𝑇𝑇� = 100）

追加期間中は気温変化は生じない：𝑠𝑠𝑡𝑡 = 𝑠𝑠𝑇𝑇 , 𝑡𝑡 ≥ 𝑇𝑇�シナリオに応じた年別・施設別の整備費𝒚𝒚𝒕𝒕𝒕𝒕 を最適化

59

遺伝的アルゴリズムによる求解
 求解には実数型遺伝的アルゴリズムを利用
 最適化対象の変数：各施設𝑖𝑖の気温上昇閾値𝑠𝑠̃𝑖𝑖• 気温上昇が𝑠𝑠𝑡𝑡 ≥ 𝑠𝑠̃𝑖𝑖 なら施設𝑖𝑖は整備候補になる• 𝑠𝑠̃𝑖𝑖 の低い施設に優先して整備費が配分される

 気候変動・各年の降雨量のシナリオを10万通り作る
 各シナリオ下の目的関数値の平均値を最適化
 どんなシナリオにも対応可能な頑健な計画を求める60

現実の河川への適用
 国内のX川流域の治水施設整備への予算配分
 年間予算50億円
最悪規模の洪水が生じた
ときの破堤地点別被害

未整備の治水施設
治水施設𝑖𝑖
ダム
遊水地A
遊水地B
区間1掘削
区間2-3掘削
区間4掘削
区間5掘削
区間6掘削
区間7掘削
区間8掘削
区間9掘削

𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖
関数形

𝐼𝐼1
𝐼𝐼1
𝐼𝐼1
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2
𝐼𝐼2

𝑐𝑐𝑖𝑖
[億円]

300
100
40
20
60
60
20
50
20
200
90

効果を及ぼす𝑦𝑦�i[億円]
破堤地点𝑗𝑗

25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25

1-9
1-9
1-9
1
2, 3
4
5
6
7
8
9

破堤地点𝑗𝑗
1
2
3
4
5
6
7
8
9

被害額[億円]
4,100
22,00026,00015,0007,300
13,000
5,700
3,000
6,300

61

求解結果
 𝑠𝑠̃𝑖𝑖∗ ：気温上昇が何度になったら施設𝑖𝑖の整備を始めるか
治水施設𝑖𝑖
ダム
遊水地A
遊水地B
区間1掘削
区間2-3掘削
区間4掘削
区間5掘削
区間6掘削
区間7掘削
区間8掘削
区間9掘削

𝑠𝑠̃𝑖𝑖∗
3.53
3.05
0.88
0.30
0.43
0.98
0.41
0.31
0.64
5.51
1.23

11件の事業を今後一切行わない場合：
𝑉𝑉0 = 2246.1[億円]

505.3億円の社会的純便益

学習させた最適政策を採用する場合：
𝑉𝑉0 = 1740.8[億円]62状況依存的な最適整備時期
 治水施設の最適整備時期は状況（気温変化）に依存 シナリオを与えれば最適整備時期が確定する

 具体例として二本のシナリオを考えてみる

63状況依存的な最適整備時期
中間シナリオの場合

Year

2020

2100

RCP8.5シナリオの場合分析の結果得られる情報••

直ちに整備を開始すべき施設
その他の施設については，将来の気温変化のモニタリング状況に応じた最適な整備時期

64

決め打ちで作る計画との比較
 必ず中間シナリオが実現すると仮定すれば，治水施設ごとに「何年に整備を開始すべきか」を確定的に指定できるが…

ダム
遊水地A
遊水地B
区間1掘削
区間2-3掘削
区間4掘削
区間5掘削
区間6掘削
区間7掘削
区間8掘削
区間9掘削

将来のシナリオによらずこの通りに整備？

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決め打ちで作る計画との比較
 必ず中間シナリオが実現すると仮定すれば，治水施設ごとに「何年に整備を開始すべきか」を確定的に指定できるが…
ダム
遊水地A
遊水地B
区間1掘削
区間2-3掘削
区間4掘削
区間5掘削
区間6掘削
区間7掘削
区間8掘削
区間9掘削

将来のシナリオによらずこの通りに整備？

状況依存的な最適政策を採用する場合：
𝑉𝑉0 = 1740.8[億円]
決め打ち最適政策を採用する場合：
𝑉𝑉0 = 1773.4[億円]66

不確実性下の意思決定
 不確実性の強い環境においては，将来に実行する施策を事前にFixすることは望ましくない 望ましい計画は：• 状況のモニタリングと学習に基づいて，施策を適応的に調整する余地を残しておく• どのように調整を行うべきかを考えておく 不確実性下の最適化問題は計画の検討に有用

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参考文献


Verhoef, E. T. and Small, K. A. (2004) Product differentiation on roads: Constrainedcongestion pricing with heterogeneous users, Journal of Transport Economics and Policy,
Vol. 38, No. 1, pp. 127–156.



Brownstone, D. and Small, K. A. (2005) Valuing time and reliability: assessing theevidence from road pricing demonstrations, Transportation Research Part A, Vol. 39, pp.
279–293.

Harrison, J. M., Keskin, N. B., Zeevi, A. (2012) Bayesian dynamic pricing policies:
Learning and earning under a binary prior distribution, Management Science, Vol. 58, No.
3, pp. 570–586.



den Boer, A. V. and Zwart, B. (2014) Simultaneously learning and optimizing using
controlled variance pricing, Management Science, Vol. 60, No. 3, pp. 770–783.



Eijgenraam, C., Brekelmans, R. den Hertog, D. and Roos, K. (2017) Optimal strategies
for flood prevention, Management Science, Vol. 63, No. 5, pp. 1644–1656.

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