数理解析研究所講究録 1438 巻 2005 年 1-18
$1$

$v$

-ANALOGUES OF KLESHCHEV BRANCHING COEFFICIENTS AND
DECOMPOSITION NUMBERS (THE 3-RD JOINT WORK WITHJOSEPH CHUANG AND KAI-MENG TAN)
宮地 兵衛 (HYOHE MIYACHI) 名古屋大学多元数理科学研究科

1. 序

佐里氏によって開かれた本研究集会参加者なら誰もが知る通 ) Young 則は 「既約 QSnS 加$\gamma$へ制限したとき、 その制限された加群の既約因子たちは multiplcity-free でに-1S 加群登場し, 各既約因子は から node を一つ取り外した分割 に対する既約群$S_{\mathbb{Q}}^{\lambda}$

を$\mathbb{Q}\mathfrak{S}_{n-1}$$\lambda$$\mathbb{Q}\mathfrak{S}_{n}$$\mu$$S_{\mathbb{Q}}^{\mu}$

なる」 ことを教えてくれる. さて係数体を早智 p $>0$ の体に変えて「括弧」内を読むとこのままでは、正しくない命題になってしまう. A. Kleshchev は、彼の一連の論文 BRANCHING
で既約
RULES FOR MODULAR REPRESENTATIONS OF SYMMETRIC GROUPS
そこで彼は先の分岐則を扱っている.
をに制限した加筆\sim S ユー加斗の Young 則が $parrow\infty$ と思ったときの特殊ケースとして自然に現れる分岐則として 垣台) は multiplicity-free で good -node $(0\leq i\leq p-1)$ と呼ばれる node を かSoc(Dがでる」」 を確立した. ここでは、 good -node を定ら取り外した に対する既約因子$\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{V}$$D^{\lambda}$$D^{\lambda}\downarrow 6_{n-1}$$\mathrm{F}_{p}\mathfrak{S}_{n-1}$$\lambda$$\mathrm{i}$$\downarrow 6_{n-1}$$D^{\mu}$$\mathrm{i}$$\mu$

義しないので、 逆に台にでるラベルくらいに思ってもらいたい.

この分岐則は見かけよりもたくさんの応用をもつ. 少し振り返ってみよう.
の (inner) tensor は、再び既約になるがそれがどのラベル
と既約加群
符号表現
の組成因
になるかを決定できる. このことは、例えば射影的直既約加群をもつ既約$D^{\lambda}$$\mu$$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}$$P^{\lambda}$$D^{\mu}$の組成因子も分かるのだから重要なのは言うまでも子が分かれば、 射影日直既約加群と -node $aj$ を持つとしたときにとなる good -nodeない垣括弧」」 での はとは異なる block ideal に属する. good -node の拡張概念である normalの計算に応用を持つことが分かる. 係数体は なので-node は、分岐係数$P^{\mu}$$\lambda$$D^{\lambda\backslash \{a_{i}\}}$$i$$\mathrm{i}\neq j$$\mathrm{i}$$[D^{\lambda}\downarrow \mathrm{e}_{n-1} :$\mathrm{i}$$j$$a_{i}$$D^{\lambda\backslash \{a_{j}\}}$

係数を reduction modulo$p$$\mathbb{Q}$D^{\mu}]$

して既約 QS ユー加群 SQ\lambda l から FpSnS 加群–SQ\lambda が得られる. 2 こたちの次元を計算
は分解定数と呼ばれ.
, \mu \mu 成分にもつ行列 (分解行列) が分かするには Hook lengh formula とこの分解定数をのとき、 組成因子の重複度$D^{\mu}$$d_{\lambda,\mu}:=[\overline{\mathit{8}_{\mathbb{Q}}^{\lambda}} :D^{\mu}]$$(\lambda$

ればよい.

$)$

この分解行列を決める問題は、対称群のモジュラー表現論において最重要課題のDate: 2005.
$1s_{\mathrm{Z}}\lambda$

なる$\mathbb{Z}\mathfrak{S}_{n}$-加群が定義できて$s_{\mathrm{Q}}^{\lambda}=\mathbb{Q}\otimes \mathrm{z}S_{\mathrm{Z}}^{\lambda}$$2p<n$ ならこれは既約とは限らないし、完全可約性は崩れることがある.

2

宮地兵衛 (HYOHE MIYACHI) 名古屋大学多元数理科学研究科

そんなしかない」 とか思われていて 3を特定して $N$ よ中 Kleshchev は、 彼の分岐則を用いて勝手に与えた整数 $N$ に対して一つである.

70 年代ころには 「分解定数は 0 力$\backslash 1$、$\lambda,$$\mu$が存在することを示した. これらの記述を現存知られているうちりも大きな分解定数最大に拡張した論文が今回のタイトルに出てくる [Kle97](Theorem 17,20) である.
一方で、 Kleshchev とは独立に柏原氏により創始された Drinfeldv 神保の量子群の表現のtensor 積と仲良しになるいい基底の作り方として結晶基底 (crystal b$e) 理論がある. そこでは辺が色わけされた crystal graph と呼ばれる概念があり柏原作用と呼ばれる頂点から辺$d_{\lambda,\mu}$

をたどる仕組みがあり、柏原作用でどれだけ進めるか等に関してある公理系を満たす. ま
た、 Misra-三輪, 林らにより affine 量子群の Fock 表現が研究され、 当然重要問題であるこの表現に付随する結晶基底も研究されてきていた. 表現にあらわれる tensor 積と仲良しになる基底は、 大域的結晶基底 (global base) と呼ばれ、 crystal graph l こ現れる (局所的) 結
晶基底を溶かすこと等で特徴付けられている. この global base は Lusztig による canonicalbase となることが Lusztig-Grojnowski により知られている. この global base を組合せ論的に上手く見つける方法を Laecoux-Leclerc-Thibon は取り扱っていて (LLT-Algorithm と呼ばれる) 、そこでの key idea として先の Kleshchev の分岐則はグラフの頂点を全てのランクの対称群のモジュラー既約加群として、 2 つの頂点をつなぐ辺を誘導と制限で台に現れる既約加群は、 good -node をつける /取り外すの関係で色付け定義することにより柏原の Fock 空間の基本表現に付随する crystal
結晶基底理論の一部として affine 量子群
graph となることを使っていた. そして global base を standard bases を使って書いた分割のサイズが 10 までの explicit な表を作った. 彼らは、 この表は量子群の parameter に 1を代入すると G. James の有限一般線型群 $GL_{n}(q)$ の を割らない素数に関するモジュラー表現における主系列モジュラーべき単表現の $n\leq 10$ までの分解行列の表と全く同じになることに気づいて、 それは係数体の標数が十分大きいときの mixed case の 型岩堀 AHecke
環のべ\not\simeq 根での分解行列となっていることから予想として複素数体係数の 型岩堀 AHecke環の分解行列を計算する術を柏原大域的結晶基底は与えると予想した. (LLT 予想と呼ばれにより \S 3 TABLE.I にある概念が登場してきた. この LLT 予想は、有木氏によりる)
もっと一般に有木 L 小池代数 (但し係数体が もしくは十分大きな素数 $l>0$ を標置に持つ体) の分解定数を記述する仕組みとして拡張されて証明された. 有木による解決のころから(完全に LLT が言っていたことは正しいと分かり) 2 つの分野をつなぐ Fock 空間産業は大きなマーケットとなり様々な background を持つ数学屋さんが参入し始める. 4 有木氏の仕事以降の大きな結果として Varagnolo-Vasserot の予想の解決がある. この仕事は先に$GL_{n}(q)$の表について触れたが、有限一般線型群
Jam esの尉 となる に関して十分大き$i$$U_{v}(\hat{\mathrm{B}\mathfrak{l}}_{p})$

$v$

$q$

$A$

$A$

$\mathrm{L}\mathrm{L}\mathrm{T}$$\mathbb{C}$$\mathrm{L}\mathrm{T}$

$n$

$q$

3 そんなにひどく変な発想ではないと思う. 実際、 M. Fayers は Ybung 図形$\lambda,\mu$

から 3 つまでの

$p$

-Hook

$\text{し}$か取り外せないに対しては分解定数は 0, 1 のどちらかであることを最近示した. だから大きなランクの対称群を扱わないと 0, 1 以外を見つけるのは無理なわけだ.
$\lambda,\mu$

4 著者もそんな小臥龍の一人だ 9

3

DECOMPOSITION NUMBERS AND BRANCHING COEFFICIENTS

な素数垣こ関するモジュラー表現における (主系列以外も含む全ての) モジュラーべき単表
現の分解行列を direct に計算する Leclerc-Thibon の術に保証を与える.
今回の報告ではこのような状況において \S 3 TABLE. 1 のもとで Kleshchev の分岐係数と分解定数の Fock 空間側の意味のある自然な対応物 v 類似を溝成する. つまり、僕らの結果
Theorem 17,20 の を 1 にすると有木の定理を介して複素数田上での 1 のべ*根での $A$のほうを使えば、 -Schur algebra の方型岩堀-He 株 環での Kleshchev の定理がでる.
がでてくる仕組みだ.
僕らの結果の証明には CMT 1 作目の行と列はずし定理の vv 類似が使われ、 また、 globalにbase が canonical base であることが必要になってくる. 特に \S 4 に記した 0. Schiffm
よる Varagnolo-Vasserot 予想の解決が必要である.
$v$$\mathrm{V}\mathrm{V}$$\zeta$$\mathrm{e}$$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}$2. KLESHCHEV の組合せ論
今回の結果の Journal 出版用の記号と異なるが、 この講究録では Kleshchev の論文 [Kle97]の 3に記号をまるまる似せて書くことにする. この節は日本語訳である. この方が、$\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{T}$

人がいかに Fock 空間版があると信じたか感じが伝わるであろう.
$n$

の分害

$\mathrm{J}t$$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}),$ $\lambda_{m}>0$に対して $1\leq j\leq m,$

5$\lambda_{j}>\lambda_{j+1}$のとき$\lambda(j)=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{j-1}, \lambda_{j}-1, \lambda_{j+1}, \ldots, \lambda_{m})$と定義する. さらに $1\leq \mathrm{i}<j\leq m,$$+\infty,0$ と解釈して)(1)$\lambda_{i}<\lambda_{i-1,j}\lambda>\lambda_{j+1}$

のとき (

と

$\lambda_{0}$$\lambda(i, j):=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{\mathrm{i}-1}, \lambda_{i}+1, \lambda_{\mathrm{i}+1}, \ldots, \lambda_{j-1}, \lambda_{j}-1, \lambda_{j+1}, .

.

.

$\lambda_{m+1}$をそれぞれ, \lambda_{m})$とおく.

Definition 1. [Kle97, Ll]$T=\{t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{u}\}$を $t_{i}=+1$ もしくは $t_{i}=-1$ となる有限列とする. このような列を符号列 sign sequence と呼ぶ. $u=0$ となる場合,$i.\mathrm{e}$. 空な列も符号列とする.

Definition2. [Kle97, 1.2]

$T=\{t_{1},t_{2}, \ldots , t_{u}\}$を符号列とする.

(1) この面 $T$ が latticed であるとは任意の $j=1,2,$ときを言う. 定義から空な列は latticed である.

$\ldots,$$u$に対して \Sigma 沖 l $t_{i}\geq 0$ となる

5Kleshchev の組合せ論を節のタイトルにしているが、 白状すると著者自身は Kleshchev の論文に出てくる

60 頁の組合せ論を理解していない, きちんと証明を追わなかった. だが僕らの定理の証明には Kleshchev の定
義した用語があれば十分なのでそんなにひどく罪は重くないだろうと思って、 さも知っているかのように稿を続けさせて頂く. 共同研究者の 2 人は、全部わかっているのだろうか ?

4宮地兵衛 (HYOHE MIYACHI) 名古屋大学多元数理科学研究科(2)$\iota/(T)$を次で定義する:{ $i|1\leq i\leq u,$$1+|$$\nu(T)=\{$$t_{i}=$

十 1, $\{ti+1,ti+2,$$\ldots,$tu} は latti

$ced$

}

もし $T$ が latticed で空でないとき,

1
0

$T$

$T$

が空のとき,
が latticed でないとき.

Example 3. [Kle97, 12] $T=\{+1, -1, +1\}$ とする. $l/(T)=2$ となる. 実際. 空な列はlatticed であり{$\mathrm{i}|1\leq \mathrm{i}\leq 3,$$t_{i}=+1_{7}\{t\mathrm{i}+1,$ $t_{i+2},$$\ldots,$$t_{u}\}$はlatticed} $=\{3\}$となっている. $T=\{-1, +1, +1, +1, +1\}$ とする. $T$ は latticed でないので $l^{J}(T)=0$ .

の分割とする. 但し $\lambda_{m}>0,0\leq$とする:$i<j\leq m$ と仮定する. $\{k_{1}>k_{2}>\ldots>k_{u}\}$ を次の条件を満たす全ての整数$\mathrm{i}<k<j$ を満たし、 かつ、次のいずれか一方が成り立つ :Definition 4. [Kle97, 1.3]$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m})$

を

$n$

$k$

(i)
(ii)

$\lambda_{k}>\lambda_{k+1}$

かつ$\lambda_{k}<\lambda_{k-1}$

かつ $\lambda_{k}-k+1\equiv\lambda j-j\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p$$l=1,2,$$\ldots,$$u$$\lambda_{k}-k\equiv\lambda_{j}-j\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p$に対して(1) $k=k_{l}$ に対して条件 (i) が成り立つとき $t_{l}=+1$ とし,(2) $k=k_{l}$ に対して条件 (ii) が成り立つとき $t_{l}=-1$ として$T_{i_{j}j}(\lambda)=\{t1_{)}t2, \ldots, t_{u}\}$とおく .

(a) 明らかに $k=k_{l}$ を一つ決めたときには Definition 4 の条件 (i) と (ii)は well-defined である.のうちどちらか一方しか成り立たない.
は空であり得る.
(b) 列

Remark 5,$T_{i_{j}j}(\lambda)$$T_{i_{j}j}(\lambda)$の Specht 加群を次対称群とする.
, 既約加群を D\mu (但し は p-正則 ,と書く.
に対応する射影的直既約内船をSpecht(standard) 加群の中に組成因子としていくつ既約加群が入るかを数えたものを分解定数とよぶ:が一般に成りと書く. Brauer 相互律から立つ. (右辺は Specht ffltration として重複度) この非負整数たちが全て分かればS。を$S^{\lambda}$$n$$\rangle$$\mathrm{F}_{p}\mathfrak{S}_{n}$$D^{\mu}$$\mu$$P^{\mu}$$[S^{\lambda} :D^{\mu}](=:d_{\lambda,\mu})$$d_{\lambda,\mu}=[P^{\mu} :S^{\lambda}]$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{F}_{\mathrm{p}}D^{\mu}$も全て分かる. さて [Kle97] の一つ目の主結果を述べておこう.

Theorem 6(Kleshchev[分岐係数]).
割とする. (但し $\lambda_{m+1}=0$ と解釈する) $1\leq j\leq m,$
して次が成り立つ :$\lambda=(\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq\ldots\geq\lambda_{m}>0)$$[D^{\lambda}\downarrow \mathrm{e}_{n-1} :$\lambda_{j}>\lambda_{j+1}$

D^{\lambda(j)}]=\iota/(T_{0,j}.(\lambda))$

.

を

$n$

の pn 正則な分を仮定すると分岐係数に関5DECOMPOSITION NUMEERS AND BRANCHING COEFFICIENTS

Remark 7 列$T_{0j}(\lambda)$

が latticed であることと removat node $A=(j, \lambda_{j})$ が normal であることは同値. それから Frobenius の相互律を使うと(2)$[D^{\lambda}\downarrow_{6_{n-1}} :D^{\lambda(j)}]=[P^{\lambda(j)}\uparrow^{6_{n}}:P^{\lambda}]$が分かる. 左辺は、組成因子としての重複度で右辺は、直和因子としての重複度. Theorem 6と Theorem 17 の対比を見るのに式 (2) を考えてもらうと vv 類似という感じが分かる, ち
なみに、 一般の分岐係数 [D\lambda \downarrow 銑-l:Definition 8. [Kle97, 17]
うに書ける:(3)$J(\neq\emptyset)$$D^{\mu}$] を計算する術知られていない.

を整数から成る有限集合とする. このとき,$J=[b_{1}, c_{1}]\cup[b_{2}, c_{2}]$$b_{i+1}-c_{\mathrm{i}}>1$

for$\mathrm{i}=1,2,$$\ldots,$

$J$

は次のよ

U.. . $\cup[b_{N}, c_{N}]$$N-1$ .

ここで $[x, y]=\{i\in \mathbb{Z}|x\leq \mathrm{i}\leq y\}$ . 式 (3) を $J$ の連結成分への分解という.

Definition 9. [Kle97, 18] $T=\{t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{u}\}$ を符号列とする.
(i)
(ii)

に対して $T(\mathrm{i}, j):=\{ti, ti+1, \ldots,tj\}$ とおく.
がに対して $[1, u]$ における) latticed subset であを [1, %] の部分集合とする.
るとは次の 2 条件が成り立つときとする:$1\leq \mathrm{i}\leq j\leq u$

$J$

$J$

$\int T$(a)(b) $[1, u]\backslash J=b_{1,1}c]\cup[b_{2}, c_{2}]\cup\ldots\cup[b_{N,N}c]$ が連結成分への分解とすると任意の$J\subset\{\mathrm{i}|t_{i}=-1\}_{j}$$\mathrm{i}=1,2,$$\ldots,$

$N$

に対して列

$T(b_{i}, c_{i})$は latticed である.

Definition 10. 符号獄 $T=\{t1, t2, \ldots, t_{u}\}$ に対して
latticed subset 全体の集合とする.

$\mathcal{L}\mathrm{S}\mathrm{S}(T)$Definition 11. $[\mathrm{K}1\mathrm{e}97,1.9]1\leq i<j\leq m$ とする. 整数 Q も$Q_{i,j}(\lambda)=\{$

式 (1) の分割$\lambda(\mathrm{i}$0:$\#\mathcal{L}\mathrm{S}S(T_{i,j}(\lambda))$;$j(\lambda)$$[1_{\rangle}u]$を次のように定義する.

のとき,
とき.
$\lambda_{j}-j\equiv\lambda_{i}-i+1$ modp$\emptyset$, のの定義を見直してから次の Kleshchev の 2 つ目の結果をみてみよう:$\lambda=(\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq\ldots\geq\lambda_{m}>0)$とする, 分割$(\lambda_{0}=+\infty, \lambda_{m+1}=0)$の分割とし,1 $\leq i<j\leq m,$-regular と仮定する. このとき, 次が成り立つ :

$n$

における

$\lambda_{j}-j\not\equiv\lambda_{i}-i+1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p$

Theorem 12 (Kleshchev[分解定数]). [Kle97, 1.10]$p$を $T$ に対する$\lambda_{j}>\lambda_{j+1},$[$S^{\lambda}$: D”0, 力]=Q も j$\lambda(\mathrm{i},j)$をは$(\lambda)$

Remark 13. ちなみに、普通こんなことを計算する術はなく 型岬 ne Weyl の放物的Kazhdan-Lusztig 多項式を使って下限を言うことが有木の Theorem 15 [Ari96] から出来$A$

6

宮地兵衛 (HYOHE MIYACHI) 名古屋大学多元数理科学研究科

るところまでた. 6 この下限と一致するかどうかは素数$p$とランク $n$ がどんな関係にあればよいかある程度の関係不等式が予想として提出されている. ( 型の Lusztig 予想, Schur
代数のときの James 予想). 実際、 $p,$ に何の制限も付けなければ Kazhdan-Lusztig 多項が一致しない例などいくらでも見つかる.
式に 1 を代入したものと分解定数
$A$

$n$

$[\mathit{8}^{\lambda} :D^{\mu}]$3. FOCK 空間版
Lascoux-Leclerc-Thibon 予想 [LLT96] の有木による解決 [Ari96] から始まり、 有限群のモジュラー表現論と Fock 空間の輸出入産業は 90 年代後半以降大ビジネスとなった.
の Fock 空間
以下 [LecOl] を参照されたし.
を不定元とする. affine 量子群$U_{v}(\hat{5\mathfrak{t}}_{e})$$v$$F_{v}:=\oplus \mathbb{Q}(v)|\lambda\rangle$$\lambda$

を考える.

たちを基底とする無限次元のベクトル空間の作用が組合せ論的に書きで、 Uv(g^’e)e 二群として既約になっている. 林氏により、に Heisenberg 代数の作用を足したものだと思って表されていて、の作用は$\lambda$

は、 すべての分割を走り、 分割$|\lambda\rangle$$U_{v}(\hat{\epsilon \mathfrak{l}}_{e})$$U_{v}(\hat{s\mathfrak{l}}_{e})$$U_{v}(\hat{\mathrm{g}}\mathfrak{t}_{\mathrm{e}})$下さい.

Theorem 14 (Kashiwara, Leclerc-Thibon).
の性質をみたす基底が一意的に存在する:$\overline{G(\lambda)}=G(\lambda),$$\overline{G^{-}(\lambda)}=G^{-}(\lambda),$$F_{v}$の bar involution- が定義できて.

次,$G(\lambda)\equiv|\lambda\rangle \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} vL$$G^{-}(\lambda)\equiv|\{\lambda\}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} v^{-1}L^{-}$,

を基底とする自由 Z[v]v 二群で、 L- は、を基底とする自由を canonical base もしくは glo $bal$ base と呼び、ここでを dual丁群である
7
canonical base もしくは dual global base と呼ぶ.
ここで、 $L$ は、$\{|\lambda\rangle\}$$\mathbb{Z}[v^{-1}]-$$\{|\lambda\rangle\}$$G(\lambda)$

分割$\lambda,$$\mu$に対して多項式$G^{-}(\lambda)$$d_{\lambda,\mu}(v)$, eA,p(のを次のように定義する:$G( \mu)=\sum_{\lambda}d_{\lambda,\mu}(v)|\lambda\rangle,$

この節の始めに述べた有木の定理のこう.

.

型岩堀-Hecke 環の場合の結果をおさらいしてお可逆な元をもつ整域 $R$ と Weyl 群 $W$ に対してを係数環が $R$ の parameter$W$を持つの岩堀-Hecke 環とする. 後の説明のために $A$ 型の -Schur 環も定義し$q^{1/2}$

$q$

$A$

$G^{-}( \lambda)=\sum_{\mu}e_{\lambda,\mu}(-v^{-1})|\mu\rangle$$\mathcal{H}_{R,q}(W)$$q$$\mathrm{S}_{R,q}(n)$6 この場合は $A$ 型の場合の Kazhdan-Lusztig,Kashiwara-Tanisaki,Andersen-Janzten-Soergel から下限が抑えられているといってもよいと思う.
-singular 分割 でラベルされる $G(\mu)$ は global base とは言わないかもしれないが、似た哲学で構成されているのは確かだ.
だ.
は当然 global base の$7_{e}$

$\mu$

$G$

$\mathrm{G}$7

DECOMPOSITION NUMBERS AND BRANCHING COEFFICIENTSておく,$7\{=H_{R,q}’(\mathfrak{S}_{n})$に対して$\mathrm{S}_{R,q}(n):=\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{?t}(P\oplus M^{P})$.

の放物的部分群全体を走り、 $M^{P}$ は の部分代数冗。, $q(P)$ の index 表現を冗へ誘導したもの.
の Specht 加群をを, 既約加群を
における 1 の原始 \sim 乗根とする.
と書く. 有木の分解定数に関すに対応する射影的弓既約加群を(但し は \sim 正則),る定理は次のようになる:
ここで和は$\prime H$$\mathfrak{S}_{n}$$\mathbb{C}$$\mathcal{H}_{\mathrm{C}},’(\mathfrak{S}_{n})$$\zeta$$S_{\zeta}^{\lambda}$$D_{\zeta}^{\mu}$$P^{\mu}$$D_{\zeta}^{\mu}$$\mu$

Theorem 15 (有木 $[A$ 型の場合]).

Varagnolo-Vasserot のの Weyl(standard) 加群を$\mathrm{L}\mathrm{T}$$[S_{\zeta}^{\lambda} :D_{\zeta}^{\mu}]=d_{\lambda,\mu}(1)$

. 但し

$\mu$

は ee 正則.

予想の解決 [VV99] 8 も書いておく. 標準的な記号でとかく.
, その top にでる既約加群を$S_{\mathbb{C},\zeta}(n)$$L\zeta(\lambda)$$\Delta_{\zeta}(\lambda)$

Theorem 16 (Varagnolo-Vasserot).
$[\Delta_{\zeta}(\lambda’) :$d_{\lambda,\mu}(v)$

LLT に従い, e\lambda ,\mu (のはともに$d_{\lambda,\mu}(v)$$A$

L_{\zeta}(\mu’)]=d_{\lambda_{:}\mu}(1)$, \sigma ’ は\sigma の共役型 affine Weyl 群の放物的 Kazhdan-Lusztig 多項式,を vv 分野定数と呼ぶ. 有木の定理,Varagnolo-Vasserot の定理から確かにぴ分解定数という感じがする. きわめて意味のある v-類似になっていて有限群のモジュラー表現論とは無関係に研究分野として確固たる地位を備えている.
, e”\mu (のに興味を持って下さったと思って、 ではこれら
ここまでで多くの読者力と Kleshchev の 2 定理の関係を書いていこう、
bases と有木の定理,Varagnolo-Vasserot の定理から Fock 空間の canonical
Hecke 環 -Schur 環の表現論の間に図式的には次のような対応関係 (思想, 思い方) を見出$\grave{\grave{\mathrm{a}}}$$d_{\lambda,\mu}(v)$$\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{s}/\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{l}$$/\mathrm{q}$すようになった:

Fock spacecanonical base $G(*)$
standard basedual cano オ base $G^{-}(*)$
action ofaction of$|*\rangle$$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}$$fi$$\mapsto$$rightarrow$$rightarrow$$rightarrow$

表現論‘
tilting module$\mathrm{m}\mathrm{o}$standard module
simple modute.
ui-inducti-induction”““i-restriction”-restricti$\mathrm{m}($$\mathrm{m}\mathrm{o}($$ui$$\cdot$$\mathrm{i}$$rightarrow$$e_{\mathrm{i}}$TABLE.1
8Kashiwara–Tanisaki[KT95] の Kazhdan-Lusztig 予想を解決した定理に依存する. S 石 ffmann の結果を加えると、 別の証明をあたえる.

8

宮地兵衛 (HYOHE MIYACHI) 名古屋大学多元数理科学硬究科

特に TABLE. 1 の上段の tilting module は canonical base $G(\mu)$ が e\mu 正則な$\mu$でラベルされるときは射影的加群になっている. 以降, Kleshchev の定理を表の右側と思って左側がどうなるかを念頭において欲しい.
さて, この講究録で報告する主結果 2 つを述べよう. まず大前提として\S 2 にあった$p$を全て形式的に$e$に置き換えた定義をしたとして、 以下を読む.

の negative part からとってくる.
Chevalley 生成元義’ を
まず Kleshchev の分岐係数の vv 類似とは次である,:$U_{v}(5[_{e})\wedge$$\mathrm{s}$Theorem 17 (Chuang-M-Tan[vv 分岐係数]). 分割 の node(l, ) の -residue はる. $./^{l}rG( \lambda(l))=\sum_{\mu}b_{\mu}(v)G(\mu)$ と書いたとする. このとき, 次が成立する:$\lambda$$b_{\lambda}(v)=[\nu(T_{0;l}(\lambda))]_{v}$ここで、$[x]_{v}$$\lambda_{l}$

$e$

$r$

とす

.

は vv 整数 $(v^{x}-v^{-x})/(v-v^{-1}),$ $[0]_{v}=0.9$

Remark 18. Kleshchev の Theorem 6 とこの Theorem 17 を比較して、「おお ! 自然
だ ! 」 と思うには Remark 7 と TABLE. 1 を考慮にいれるとよい. ちなみに dual canonicalbase と の action を使った Frobenius v-相互律も確かに成り立つ.
$e\mathrm{i}$次に Kleshchev の分解定数の vv 類似を述べるために記号を準備する.

Definition 19. $T=\{t1, t2, \ldots, t_{u}\}$ を符号列とする.
式 $Q(T)(v)$ を次で定義する:$T$に対して非負整数係数の$Q(T)(v).– \sum_{J\in L\mathrm{S}\mathrm{S}(T)}v^{c(T,J\rangle}\in \mathrm{N}_{0}[v]$

$v$

の多項

.

ここで
$c(T, J):=1+ \beta(J)+\sum_{k\in([1,u]\backslash J)}t_{k}$.

を の分Theorem 20 (Chuang-M-丁凌 n[v-分解定数]).
10$(\lambda_{0}=+\infty, \lambda_{m+1}=0)$
割とし,1
とする.
このとき, 次が成り$\lambda=(\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq\ldots\geq\lambda_{m}>0)$$\leq \mathrm{i}<j\leq m,$$n$$\lambda_{j}>\lambda_{j+1},$

立つ :11$d_{\lambda,\lambda(\mathrm{i},j)}(v)=Q(T_{i,j}(\lambda))(v)$.

Remark 21. これは $v=1$ と代入すれば、「おお ! 自然だ ! 」 と直ぐに分かる, 後に証明方から針にも書く James と Donkin の行と列はずし定理の v 類似を使えば上の組$(\lambda, \lambda(\mathrm{i}_{?}j))$

量産できる分割の組がでてくる.
9 さらにいくつかの $b_{\mu}(v)=0$ になるという結果も講演で話し、 この結果が証明には必要になるのだが割愛
する.

10 分割

$\lambda(\mathrm{i},j)$$11_{\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{x}}$は $p$ -regular の仮定はない.

のチャージによる Kostka-Foulkes 多項式$e_{e\lambda,\mathrm{e}\mu}(v^{1/2})$の記述に似ている.

a
DECOMPOSITION NUMBERS AND BRANCHING COEFFICIENTS

さて, 2 つの定理の系をまとめると有木の Theorem 15, Varagnolo-Vasserot の Theorem 16 を使い、 Kleshchev の Theorem 6,12 を使い、 CMT の Theorem 17,20 を使い、
$e=p$ としてとれば、 つぎが分かる :の組に対する対称群の -modular 分岐則は C 孫数の 1 の(1)Corollary 22.
原始 p 乗根を parameter に持つ岩堀 Hecke 環の modular 分岐則と同じ.
の組に対する分解定数は、 Lusztig 予想,James 予想にでてくる下限の(2)
条件とは無関係に一致する. 特に彼らの予想は ( , \lambda (i, の) の組に対して正しい.
.
著者は、 非等妙齢の有限 Chevalley 群のモジュラー表現論の出身のため、 兎角次が非常に気になる:$(\lambda, \lambda(\mathrm{i}))$$p$$(\lambda, \lambda(\mathrm{i},j))$$\lambda$

Question 23. ( は可逆) となる所謂 mixed case を考えてに対して Corollary 22 が成り立つか ?
$q$$?\{_{\mathrm{F}_{\ell}(q^{1/2}),q}(\mathfrak{S}_{n}),$$\star_{\mathrm{F}_{l}(q^{1/2}),q}(n)$他の質問として: Bernard Leclerc に公式を見せたところ, 彼はもっと一般的な枠組みで(affine 量子群の他の type や違った表現のとき)、 crystal graph の言葉で vv 分岐係数や vv 分

解定数が書けることを示唆していた. また、 CMT は予想として \lambda \rightarrow \lambda (i のなるスイッチ
がまたがる形で 2 回起こる場合の予想も持っている. 他の 2 入に了承を取っていないので割愛する.
$\rangle$

4. 工具箱に Chevalley 生成元ゐを当ててひたすら subtracking
証明の基本方針は、帰納法でをするだけだ. 但し、 その際に subtracking する過程を組合せ論的に書く必要がある. 肝は$G(\lambda)$

subtract するものも帰納法の仮定が使えるようになっていることである.
がを含んでいる設定を考えるとその係数が計算できることと、他つまり,が帰納法できまっていくとのの係数が寄与する部分の $G(\mu)$ 達の 分岐係数と$f_{r}G(\lambda(l))$$G(\lambda)$$d_{\mu,\lambda}(v)$$v$$|\lambda\rangle$の係数全体がわかっていうことだ. 大雑把には
$=$
か分岐係数
) (知りたい -分解定数)+\Sigma (他の既知の vv 分岐定数) (他の(全体) ($|\lambda\rangle$$v$$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$既知の v-分解定数)

分岐定数を決めていくのも下から交互に 2 つの定理を帰納法で示す.
ただ、 このままだとまずい. どうまずいのかというと例えば 「 という数字がいくつかの数字の和に分解しました. どんな分かれ方ですか ? 」 といったときに(1) $2=1+1+0+\cdots$ と,(2) $2=2+0+\cdots$ です.
に属す必要があるからだ. これは後でもう一度ラフに述べよう.
というには各成分がの行と列はずしまた帰納法を使う際にフル活用するのが CMT の 1 作目
12
勿論 [LecOl, Proposition il] も使う, こ定理の vv 類似だ. [CMT02] \S 5 に載せておく.
$2$$\mathrm{N}_{0}$$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}/\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}$12 ちなみにこの定理自体は Theorem 25 の全ての (のを取り去ってどんな mixed case q-Schur 代数でも成り立つ originml の$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}/\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}$の定理となる.

だから Lusztig 予想や James 予想が正しいところがら出10

宮地兵衛 (HYOH$\mathrm{E}$MIYACHI) 名古屋大学多元数理科学研究科

は Young 図形の最初の行と最後の行だけ見ればいいことになるし、の定理から
subtract するものに必要となる情報にもこの定理が役に立つ.
投稿用の論文の証明は 62 頁の Kleshchev の論文と比べて 10 頁弱と非常に短く簡潔になっ$d_{\lambda,\lambda(i,j)}(v)$

しかし、簡単になったかというと、洗練された道具をいくつか使っているので、 Yesであり、 No でもある. 組合せ論だけでいけるかと頑張ってみたがだめだった. どうやっても係数が から への制限が出ない. 端的に言うと幾何的諸結果に非常に依存する. それを少し説明してみよう.
ている.

$\mathbb{Z}$$\mathrm{N}$使う定理は 3 つ:

(1) generic HalJ 代数の 2 つの canonical bases の積を再び canonical bases で展開した
ときの正値性. (Lusztig[Lus90|,[Lus91], [Lus98],[VV99]).
(2) Varagnolo-Vasserot 予想 [VV99] の 0. Schiffinann [SchOO] による解決.
の negative part を含む generic Hall 代数とする. Schiffmann は次を示
を$\mathrm{i}.\mathrm{e}$$\mathrm{U}_{e}^{-}$$U_{v}(\hat{\epsilon\ddagger}_{\epsilon})$した;$\mathrm{B}|\emptyset\rangle=\mathrm{B}^{+}$

ここで

{
(3)

$\mathrm{B}$$G(\lambda)|\lambda$

は [VV99, 35] で定義された

は分割}.

.

Ue- の canonical bases 全体の集合,[LecOl, Corollary 14] (Kashiwara-Tanisaki
Vasserot [VV99] , Schiffmann [SchOO]$d_{\lambda,\mu}(v)\in \mathrm{N}\mathrm{o}[v]$$[\mathrm{K}\mathrm{T}02]$$\mathrm{B}^{+}=$, Varagnolo-$)$

これら 3 つのうち上 2 つから次が分かる;

Proposition 24. If we write $f_{r}(G( \sigma))=\sum_{\rho}a_{\rho}(v)G(\rho)$ , theneasy to see that $a_{\rho}(v)=a_{\rho}(v^{-1})$ .
この Proposition と$a_{\rho}(v)\in \mathrm{N}_{0}[v, v^{-1}]$and it isd\lambda ,/’(のの正値性からどれだけ subtract すれば canonical base になるかが正確に測れる,

大雑把には全体は No $[v, v^{-1}]$ にあるが bar でとまる部分とれることが使われる. そういった分解は一意的.

$v\mathrm{N}_{0}[v]$に入る部分とに分けら

5. 付録 1
Theorem 25. [CMT02, Theorem 1] Let A
tions.
(1) (Row removall) Suppose that$\lambda^{(0)}=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r})$$=$$(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots )$and$\mu=(\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots )$$\lambda_{1}+\cdots+$A,$\mu^{(0)}=(\mu_{1}, \ldots, \mu_{r})$$\lambda^{(1)}=(\lambda_{r+1}, \lambda_{r+2}, \ldots)$,$\Gamma=\mu_{1}+\cdots+\mu_{r}$be parti-

for some and let$r$,$\mu^{(1)}=(\mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \ldots)$.

発して使えば、 その仲聞達が増えるわけで、 逆に予想にあるようには一致しないところを出発点にすれば、 い

くらでも一致しない仲聞が増えるわけだ. だから僕らみんなの希望通りの仲間がたくさん欲しい. 可算
員が希望通りとなるまで.

$\infty$人全11

DECOMPOSITION NUMBERS AND BRANCHING COEFFICIENTS

Ihen$d_{\lambda\mu}(v)=d_{\lambda}(0)\mu(0)(v)d_{\lambda}(1)\mu(1)(v)$(2) (Column removal) Suppose that$\lambda^{(0)/}=(\lambda_{1}’, \ldots, \lambda_{r}’)$,$\lambda^{(1)’}=(\lambda_{r+1}^{t}, \lambda_{r+2}’, \ldots)$

Then

.

$\lambda_{1}’+\cdots+\lambda_{r}’=\mu_{1}’+\cdots+\mu_{r}’$$\mu^{(0)\prime}=(\mu_{1}’, \ldots, \mu_{r}’)$,$d_{\lambda\mu}(v)=d_{\lambda}(0)_{\mu\mu}(0)(v)d_{\lambda}(1)(1)(v)$

for some and let$r$,$\mu^{(1)/}=(\mu_{r+1}’, \mu_{r+2}’, \ldots)$.

.

6 GAP scripts
この節は主にハッカーな大学院生に向けて書いている. 今回の報告では Kleshchev の定理’の)’があるはずだとまず信じてから、計算機を用いて by&Error を繰り返して「正しいだ
ろうと思われる公式」を探すことから始まった. GAP–Group, Algorithms, and Programming
version 3 release 4 patch level 413 と A. Mathas の package SPECHT version 24を用いて vC 分解定数がある程度計算できる. 以下完成版の scripts を Subsection 6.1 に載せてある. どうやって探していったかを書こうと思う. 関数
以外の定義は、誰でも Kleshchev の論文を見れば書ける内容だと思う. その関数の定義中問題となる箇所は、 a が動く latticed subset の for loop のところだけだ.
$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{t}^{7}$$[\mathrm{S}^{+}95]$$\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\dot{\mathrm{I}}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{K}\mathrm{I}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{S}\mathrm{h}_{\dot{\mathrm{I}}}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{I}\mathrm{a}$最初に背$\mathrm{y}$したのは次だ.

for a in lss do$\mathrm{t}:=\mathrm{t}+\mathrm{v}^{\wedge}(1+\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{a})).\cdot$$\mathrm{o}\mathrm{d}$;何の工夫もない安直な関数 lsKleshchevOneShift で分割のうち ( , \lambda (i, 力) の組になってに代表されるいるものを探す. 14 そして SPECHT の関数で’を計算するものを使って結果を真偽判定とともに両方出力させる. これが結構” 真$\lambda$$\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}o\mathrm{s}\dot{|}\mathrm{t}\dot{\iota}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}j\chi$$\circ$$d_{\lambda,\mu}(v)$を返す. だが, ランクが大きくなると Error が出るようになる.
が $v^{5}+2v^{3}+v$ のように真に多項式になっている場合といままで計算
次に、した出力結果を睨み、 Definition 9 に出てきた関係ありそうな数字をあれこれと考える.
$d_{\lambda,\lambda(i,j)}(v)$

このとき念頭にあったのは Lascoux-Sch\"utzenberger で positive sum でチャージを指数にして足し上げてることだった. で、 格闘の末できたのが次:
for a in lss do
ta: $=0$ ;in [1. . Length(lattice)] doforin a thenif not$\mathrm{b}$$\mathrm{b}$13 現在の GAP の version は 4 だが, こっちは僕が使いたい package CHEVIE や SPECHT が使えない. (少を書いているときまではの話未来は見えない ) GAP4 は非常によくなっていると思う.
なくともこの$\mathfrak{M}\mathrm{f}\mathrm{i}1\mathrm{e}$ともに freeware だ.

14 ハッカーとは言えないような関数だ. だが、綺麗なプログラムを書くより、 いち早く数学の結果が正しいことを確信できることを優先して計算機の処理速度に任せてこんな関数を使った.

12

宮地兵衛 (HYOHE MIYACHI) 名古屋大学多元数理科学研究科

ta:$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{o}\mathrm{d}$.

$=\mathrm{t}\mathrm{a}+\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}[\mathrm{b}]|$;;$\mathrm{t}:=\mathrm{t}+\mathrm{v}^{\wedge}(1+\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{a})+\mathrm{t}\mathrm{a})$;$\mathrm{o}\mathrm{d}_{i}$40 の分割くらいまでで、 行と列はずしで reduce 出来ない場合を全部 true 確認して、 後はやる気満々になった.

61. gaP scripts.
$\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#$$\#\#$

Hyohe MIYACHISPECHT additional functions$\#\#\#\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}2\mathrm{c}.\mathrm{g}$July 2003, Nagoya university.

$\#\mathrm{Y}$

$\#$

$\#$

$\#$

These functions need Mathas’ SPECHT share package. (See,$\#$

RequierPackage ).

if not IsBound(

RequirePackage$\mathrm{f}\mathrm{i}$then$\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{T}\rangle$;$(”\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}^{\prime:}\rangle$;

if not IsBound(v) then
( Cyclotomi;.name:$\mathrm{v}:=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}$$\mathrm{c}\mathrm{s}\rangle$$j$$\prime\prime$$=\mathrm{v}^{\mathfrak{l}\mathfrak{l}}$$\mathrm{v}$$\mathrm{f}\mathrm{i}$;Spe chtPrett$\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{r}$int (true)$j$$\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#$$\#\#$$\#\mathrm{F}$IsKleshchevOneShift$(<\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{a}>,<\mathrm{m}\mathrm{u}>)$$\#$IsKleshchev0neShift:, lambdaO ,local)(lambda ,, sleng, lleng, test ;then$=\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{i}_{*}\mathrm{j}$$\mathrm{m}\mathrm{u}0$

not Sum(lambda)
return alse;else
if Length(lambda)
lambdaO: ;mu ;$\mathrm{i}\mathrm{f}$$\mathrm{m}\mathrm{u}$$=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}(\mathrm{m}\mathrm{u})$$\mathrm{f}$$<$Length(mu) then$\#\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}(\mathrm{m}\mathrm{u}\rangle j$( lambda)$\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{O}:=\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$elselambdaO:$=\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{a}j\#\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$$\mathrm{m}\mathrm{u}0:=\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}(\mathrm{m}\mathrm{u})$$\mathrm{f}\mathrm{i}j$

sleng
lleng

:

(mud) ;( lambdaO );$:=\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}$$:=\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}$if lleng-sleng $>1$ then;( lambda)

$j$

13

DECOMPOSITION NUMBERS AND BRANCHING COEFFICIENTS

return false

$j$

else
if

Add
$\mathrm{f}\mathrm{i}$then$1\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}-\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}+1$$(\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{O},0)$

;

;

;
test
for 1 in [1. .llengl do(lambdaO
test:$:^{=}0$$=\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}+\mathrm{A}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}$$[\mathrm{i}]-\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{O}[\mathrm{i}]$) ;$\mathrm{o}\mathrm{d}j$#They are Kleshchev one shifted pairs if and only ifthere are only two rows, say i-th and -th, such that,,lambdaOlamb.
or anylambdaO [klif test $=2$ then$\#$$\mathrm{i}$$\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{O}[\mathrm{i}]--\mathrm{m}\mathrm{u}0[\mathrm{i}]-1$

$\#$

$\#$

$[\mathrm{j}]\Leftrightarrow \mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{U}0[\mathrm{j}]+1$$=\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{O}[\mathrm{k}]\mathrm{f}$$\mathrm{k}<>\mathrm{i},\mathrm{j}$return true;
else

return false;$\mathrm{f}\mathrm{i}j$$\mathrm{f}\mathrm{i}j$$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{i}$end ;$\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#$$\#\#$$\#\mathrm{F}$KleshchevT(<e>,<i>,<j>.

$<\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{a}>$

)

$\#$

( ,
, lambd a
KleshchevT, sseq;local
then
if notsecond entry must be smaller than the third !11,
Print
else
then
if Length(lambda)
Print(”The third entry must be at most the length o f,lambda ,else$:=\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\rangle$$\mathrm{e}$$\mathrm{i},\mathrm{j}$$\mathrm{t},\mathrm{k}$$\mathrm{i}<\mathrm{j}$$1’\backslash \mathrm{n}^{\prime\prime)}i$$(”\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}$$<\mathrm{j}$$”\backslash \mathrm{n}^{\prime\prime)}i$

sseq:
for

$\mathrm{t}$in$[1 . . \mathrm{j}-\mathrm{i}-1]$do$\mathrm{k}:=\mathrm{j}-\mathrm{t}j$lambdalambda(( lambda
lambdaAdd (sseq, 1);elif$[\mathrm{k}+1]$$[\mathrm{k}]>$$\mathrm{i}\mathrm{f}$$[\mathrm{k}]$lambda-and$[\mathrm{j}]-\mathrm{k}+\mathrm{i}$$[\mathrm{k}]<\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{a}[\mathrm{k}-1]$)

mod$\mathrm{e}$) $=0$ thenand((lambda [kl –lambda $[\mathrm{j}]-\mathrm{k}+\mathrm{i}+1$ ) mod e) $=0$ thenAdd(sseq -1);$,$$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{o}\mathrm{d}$$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{f}\mathrm{i}j$

;

;

;

14

宮地兵衛 (HYOHE MIYACHI) 名古屋大学多元数理科挙研究科

return sseq;
end ;$\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#$$\#\#$$\#\mathrm{F}$$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{d}(<\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{q}> )$$\#$IsLatticed:
local$=\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$sseq )(,leng;
if sseq $=[]$ thenreturn true;$\mathrm{t},\mathrm{i}$

else

;
while
$\mathrm{t}:=0$$\mathrm{i}:=0$; lengdo$:=\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{q})$;$\mathrm{t}>=0$$\mathrm{i}:=\mathrm{i}+1_{j}$thenreturn true;if$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{i}=\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}+1$;$\mathrm{t}:=\mathrm{t}+\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{q}$$\mathrm{o}\mathrm{d}$

[il ;

;

return false;$\mathrm{f}\mathrm{i}$

;

end ;
$\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#$$\#\#$$\#\mathrm{F}$

MakePowerSet$( <\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}> )$$\#$( set )
MakePowerSet
,
;
power
local
leng, tup ,$:=\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{i},\mathrm{j}$power $:=[]j$1
tup$\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}:=\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}\zeta \mathrm{s}$$:=\mathrm{T}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}$for 1 in$\langle$et ;$\rangle$$[0 , 1]$ , leng) ;do$[1. . 2^{-}1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}]$power [il $:=[]$ ;forin [1. . leng] do
[il
if
then
,set
Add (power$\mathrm{i}$$\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{p}$$[\mathrm{j}]=1$$[\mathrm{i}]$$[\mathrm{j}]$)$j$$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{j}$$\mathrm{o}\mathrm{d}$;;Sort (power) ;return power;$\mathrm{o}\mathrm{d}$end ;$\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#$$\#\#$$\#\mathrm{F}$

LatticedSubsets$( <\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{q}> )$$\#$LatticedSubsets:$=\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$(sseq )

15

DECOMPOSITION NUMBERS AND BRANCHING COEFFICIENTS

local , , minuspart ,powerset ,seq,
if sseq $[]$ thenreturn $[[]]$ ;else(sseq) ;$\mathrm{i}$$\mathrm{u}$$\mathrm{J},$$\mathrm{c}\mathrm{J}$,initial , ,test , lengcJ ,$\mathrm{t}$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}$;$=$$\mathrm{u}:=\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}$minuspart:
in 1.
for

$=[\mathit{1}j$$[$$\mathrm{i}$.

do$\mathrm{u}]$if sseq [il $=-1$ thenAdd (minuspart , );$\mathrm{i}$;$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{o}\mathrm{d}$;powers et$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}:=[]$

for$\mathrm{J}$(minuspart );$:=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}$:in powerset doseq:$=\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$$\mathrm{c}\mathrm{J}:=[1$

. .ul

sseq

(

$\rangle$;$j$

SubtractSetthenif$(\mathrm{c}\mathrm{J}, \mathrm{J})$;$\mathrm{c}\mathrm{J}=[]$

Add$(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{2}\mathrm{J})$

:

else

;

$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{J}:=\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{c}\mathrm{J})$initial:$=\mathrm{c}\mathrm{J}[1]$;$\mathrm{t}:=[]j$$\mathrm{i}:=1j$test:$=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}$;while test and[il +1 in
if nottest
if
initial;;;$\langle$$\mathrm{c}\mathrm{J}$do$\mathrm{i}<=\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{J})$then$\mathrm{c}\mathrm{J}$$:=\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{d}$$\mathrm{i}+1<=\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{J}$(Subli st (seq, [initial..

$\mathrm{c}\mathrm{J}[\mathrm{i}]]$

));

then

$:^{=}\mathrm{c}\mathrm{J}[\mathrm{i}+13$;$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{i}:=\mathrm{i}+1$$\mathrm{o}\mathrm{d}$:if$\mathrm{i}>\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{J}$Add$\mathrm{f}\mathrm{i}$and test then$(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}, \mathrm{J})j$;$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{i}$;return$\mathrm{o}\mathrm{d}$$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}j$

;

end ;
$\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#$

16

宮地兵衛 (HYOHE MIYACHI) 名古屋大学多元数理科学研究科$\#\#$$\#\mathrm{F}$KleshchevQ$(<\mathrm{e}>,<\mathrm{i}>,<\mathrm{j}\succ,<\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{a}>)$

$\#$

( ,
, lambda)
return LatticedSubsets (KleshchevT$\mathrm{K}\mathrm{l}8\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{Q}:=\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{e}$$\mathrm{i},\mathrm{j}$$(\mathrm{e},$$\mathrm{i},\mathrm{j},$lambda));end ;$\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#\#$$\#\#$$\#\mathrm{F}$

QuantizedKleshchevShiftFormula(<e>$\#$QuantizedKleshchevshiftFormula(<signedseq>))$,<\mathrm{i}>,<\mathrm{j}>,<\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{a}>$$\#$QuantizedKleshchevshif tFormula:,ta,lattice,lss , ,local$\mathrm{t}$$\mathrm{a},\mathrm{b}$$\mathrm{t}:=0*\mathrm{v}$

ion $(\arg)$, lambda;$=\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}$$\mathrm{e},\mathrm{i},\mathrm{j}$:if Length $(\arg)>1$ then$\mathrm{e}:=\arg[1]i$$\mathrm{i}:=\arg[2\mathit{1}$$\mathrm{j}:=\arg[3]$;;lambda: $=\arg[4]$ ;lattice:$=\mathrm{K}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{T}$($\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{s}:=\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{s}$,lambda) ;(lattice) ;$\mathrm{e},$$\mathrm{i},\mathrm{j}$elselattice: $=\arg[1]$ ;lss$:=\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{s}$$\mathrm{f}\mathrm{i}$(lattice) ;:for a in lss do
ta: $=0$ ;forin [1. . Length(lattice)] do
if notin a then;ta:$\mathrm{b}$$\mathrm{b}$$=\mathrm{t}\mathrm{a}+\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}[\mathrm{b}]$$\mathrm{f}\mathrm{i}i$$\mathrm{o}\mathrm{d}$;$\mathrm{t}:=\mathrm{t}+\mathrm{v}^{\wedge}(1+\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{a})+\mathrm{t}\mathrm{a})$;$\mathrm{o}\mathrm{d}j$end :return$\mathrm{t}$;7. 謝辞, お詫び, 編集後記
7.1.

「表現論における組合せ論的手法とその応用」の世話人の佐垣さんに講演の機会を頂き感謝するとともに講究録の原稿提出の締め切りを大幅に大幅に破ってしまい深くお詫びいたします. ご迷惑お掛けしました.
2001 年ごろだったと思いますが東京理科大で研究生をしているころに新幹線の車両内で数時間にわたって斉藤義久さんに柏原 L 斉藤の研究内容、 canonical bases であることの長所
短所、 global bases であることの長所短所, 中島啓さんと議論した内容について指南頂いたことがありました. 今回の講究録に記した結果に関してそこで教えて頂いたことが、助けに

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DECOMPOSITION NUMBERS AND BRANCHING COEFFICIENTS

なりました. 感謝致します. それから著者にとって timely に 0. Shiffma 皿を京都へ招待した中島啓氏に感謝致します.
この報告での結果の計画は、随分前からもっていた. 2001 年夏ごろに学位論文に興味を持ってくれた J. Chuang と K. Tan の両氏から Singapore 大へ招待を受けた. 初野対面だ.
15 その滞在のときに、 Kleshchev の定理の” Laft” が存在することを信じている旨を両氏から聞いた. そのときに、 これは難しすぎると感じモジュラー表現論の”Lift” を作るなら 「行72.

と列はずし」の方が簡単そうだよということになって「か行と列はずし」が出来た. その当時は 一 v 行と列はずし」が今回の証明に使われるとも思ってなかったし、証明すべき公式も見えていなかった. 初めの計画が完成し、敬愛する人々が述べていた言葉を拝借すると実りのある結果がでて良かったと思っている.

名古屋大学大学院多元数理科学研究科宮地兵衛
miyachi@math.

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15 そのときにチャンギ空港で彼らの持っていた陣 ’ $GL_{n}(q)]$ と大きく書いたプラカードと笑顔が忘れられ
$n$

ない.

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