地球環境研究，Vol.22（2020）

立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較
中

川

清

隆＊

キーワード：コリオリ力，異なる教授法，幾何学的方法，微分学的方法，座標変換，絶対角運動量保存則

Ⅰ．はじめに定まることになる．例え極めて小さくとも，ほかに作用する力が存在しなければ，その小さな力が大気の運動の前報（中川 2015a）で記載した如く，角速度Ω［rad/s］

基本的な特徴を決定することになるため，気象学の授業

１秒後には当初の目的地より方向が右にΩ sin φ［rad］，

筆者は昭和59（1984）年度から，教員養成系学部理科で反時計回りに自転している地球の北緯φ［rad］におけるにおいては，気圧傾度力とコリオリ力は重力に次いで認距離が右にv Ω sin φ［m］偏った地点に到達し，しかも分野において21年間，環境系学部環境気象分野において

偏 る こ と が 知 ら れ て お り， こ の 偏 りdeflectionは 発 見

担当してきた．その講義の際に学生の理解が定着し難い

地平面において相対速度 v［m/s］
で水平移動する物体は，識させねばならない重要な力となっている．

その進行方向は当初の進行方向より右に2Ω sin φ［rad］

15年間，計36年間，気象学の概論科目の講義を継続して者の名前にちなんでコリオリ効果Coriolis effectと呼ばことを痛感してきた概念の一つに，地球の自転に伴う慣れ，コリオリ効果の原因となる力はコリオリ力Coriolis

性力の一つであるコリオリ力がある．日本気象学会におforceと 呼 ば れ る（American Meteorological Society

いても，気象教育におけるコリオリ力の重要性が認識さ2012）．しかしながら，コリオリ効果とコリオリ力をれており，例えば，日本気象学会機関誌「天気」誌上同等に扱うことも一般的に行われている（Americanにおいても種々の議論が重ねられてきた（寺田 1968；

Meteorological Society 2000）．本稿では，American

高 橋 1968； 木 村 1973； 吉 﨑 2013； 中 村 2013； 山 岸

Meteorological Society（2012）および中川（2015a, b）

2013；中島 2018ほか）．

と同様の観点から，コリオリ効果とコリオリ力を区別して使用する．

大気や海洋といった地球回転流体中に生じる諸現象の理解や予測において，地球自転の影響により発生するコ

現代の気象学では，地球の空気塊に作用する有効な力

リオリ効果やその原因となるコリオリ力は，避けて通れ

は，気圧傾度力，重力，摩擦力，コリオリ力の４力であない重要なファクターである．このため，コリオリ効果

ることが特定されている．このうち重力は，我々の空間やその原因となるコリオリ力は，高校地学の教科内容で認識における根本的基準となっており（例えば，吉田も必須の学習項目となっているが，高校物理では扱わなほか 2005），我々は重力に沿って鉛直方向，即ち z 軸をい難度の力学的内容を含むためコリオリ効果やコリオリ

決め，重力に垂直な平面として水平面O－xy面を決定し，力の定量的教育は不可能と判断され，平面回転盤を用いている．地平面は大気層の下端を限る代表的な水平面のさせる指導が行われている（吉田ほか 1992，横尾ほか

一つである．この事実により，重力は鉛直 z 軸方向にし1995，小林 2019）．

このO－xy面上真東方向に x 軸，真北方向に y 軸を設けた実験によりコリオリ効果やコリオリ力の存在を理解

か作用しない，という極めて重要な自然法則が存在する

コリオリ力は必須の学習課題とされながら，高校や共こととなり，重力に対して垂直な水平面上の空気塊の運通教育レベルの大学生が学習する科学概念の中では最も動に作用する有効な力は，気圧傾度力，摩擦力，コリオ

難しい概念の一つと認識され，学生が数式による授業に

リ力の３力に限定される．通常，摩擦力は地表近傍以外

拒絶反応を示す主因として，微分学や積分学等の基礎的の空気塊には作用し難いので，地表面から充分離れた，な数学が分からない場合と，数学的な技法は一応理解でいわゆる自由大気における水平方向の空気塊の運動状態

きていても自然事象にそれを適用することの意味が分の変化は，気圧傾度力とコリオリ力の２力のみによってからない場合があることが指摘されている（池田 2005）．

＊

立正大学地球環境科学部・環境システム学科
81

立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）筆者も同様の認識を有しており，40年近くに渡り，自らが担当する気象学の概論科目において，コリオリ力に関する教授法に種々の検討と工夫を重ねてきた．
筆者は，15年前の立正大学地球環境科学部環境システることは難しいことを指摘している．
聴講学生は，反時計回りの回転を行っている回転盤の中心を北極点とみなし，中緯度地方で生じる現象は回転盤の中心と外縁部の中ほどで発生するとみなす素朴概念

ム学科環境気象学分野着任以降，毎年，を有している．実際には回転盤の中心が地平面上の任意①「気象と水の科学」標準履修年次１年Ⅰ期の地点であることに注意が必要であるが，初心者である②「基礎物理学」標準履修年次１年Ⅰ期

聴講学生にその理屈を理解させることは，コリオリ力を③「気候・気象学」標準履修年次２年Ⅰ期

理解させることと同様に，結構困難なのが実態である．

の３科目において，異なる方法によるコリオリ力の講義

上記の困難は，地平面上における物体の運動においてを実践している．ただし，①「気象と水の科学」は平成

は極点の周りの回転に伴う遠心力を考慮する必要は無い

25（2013）年度新設科目であるため，「気象と水の科学」

が，回転盤上における物体の運動においてはコリオリ力

だけは今年度で７年目である．本稿は，筆者が立正大学も当然作用するが遠心力も作用することに起因する．平においてこれまで実践してきた①～③の３通りのコリオ

面回転盤では遠心力を除去することは不可能であるため，

リ力の教授法を概観したうえでその教育上のメリット・

回転盤の中心付近以外では，コリオリ力の効果のみを正デメリットをまとめることにより，それなりに気象教育

確に再現することは不可能である．回転盤上で遠心力のに腐心してきた助手時代を含めると43年に及ぼうとする効果を除去してコリオリ力のみの効果を検討するために自らの教育者としてのアカデミックキャリアの総括を図

は，平面ではなく回転放物面の回転盤を用いる必要があ

るとともに，若い同僚の教育方法の糧となることを目的

る．

とする．

「気象と水の科学」は平成25（2013）年度の開設以降７年間にわたり，同一の内容で実施されてきた．先Ⅱ．「気象と水の科学」におけるコリオリ力の指導実践

ず回転運動の特徴について考察させる．図１のように，
点Ａにおいて，点Ｏを中心として反時計回りに角速度「気象と水の科学」は，平成25（2013）年度の履修コー

ω［rad/s］で回転している平面回転盤上に静止している

ス編成変えとともに環境システム学科気象・水文コース

物体を考え，点Ａは点Ｏから R［m］離れているとする．

に新たに開設された１年Ⅰ期コース必修科目である．高つまり物体は点Ｏを中心とし半径 R［m］の鉛直軸回りの等学校における数学および物理学の履修状態に大きな差回転運動をしている．平面回転盤を北極点を中心とする異がある入学したての新入生に対して，自然科学から環

北半球地表面のモデルとみなす素朴誤謬が多いことを考

境科学への橋渡しを図ることを目的として，気象や水文に関連した身近な地球環境問題を題材として，環境気象学分野の教員３名と環境水文学分野の教員３名が２回ず
つ，および環境情報学分野の教員１名が３回担当する典型的なオムニバス形式の講義である．
筆者は環境気象学分野の先陣を切って第１回目と２回目を担当し，第２回目授業において，微分・積分学も物理学も殆ど素養がない大学入学直後の新入生を対象にした遠心力およびコリオリ力の指導を実践している．2019
年度は４月16日（火）１限に実施した．
平面回転盤を用いるコリオリ力の指導は比較的盛んに行われているが，その多くは回転の中心から外縁部に向かって放出される物体の軌跡を観察させており，物体の軌跡が曲線（回転の中心の極近傍では円）を描くこと，
イクオール，コリオリ効果そのもの，という論調になっている．高橋（1968）は，読者はこの論理を理解しても，回転中心点以外の任意の点から放出された場合を理解す
82

図１

原点Ｏから R［m］離れて回転運動している物体の点Ａにおける接線速度と移動経路の関係を示す模式図（中川 2015a に加筆）

地球環境研究，Vol.22（2020）

慮して，平面回転盤の角速度を地球の自転速度Ω［rad/s］

達した観測者には本来の目的地である点Ｂに行かせよう

クトル

観測者には

とは異なる記号ω［rad/s］
で表す．

この物体の点Ａにおける接線速度をとし，速度ベの始点を点Ａにおくと，終点Ｂは点Ａにおけとする力が作用する．CBの距離は R ω［m］であるから，2の方向に単位質量あたりR ω［N］の大き2る慣性運動によるこの物体の１秒後の目的地を意味する．

さの力が働くように感じる．この力は常に回転の中心Ｏ

回転している平面上の点Ａにおける点Ａの進行方向に xから外向きに作用するので遠心力centrifugal forceと呼軸をとり，回転の中心点Ｏの方向に y 軸をとってO－xy

ばれる．この力は観測者が点Ａで行っていた運動をその図１における点Ａは点Ｏを中心とする円運動を行ってinertial forceとも呼ばれる．遠心力は慣性力の一種であいるので，１秒後には点Ｏと点Ｂを結ぶ線分OBが点Ｏ

る．点Ａに存在する物体は慣性力を打ち消す大きさの求R［m］なので，接線速度に相当する線分ABの長さはR ω

は点Ｃにおける接線CDの方向を向き， y 軸は点Ｃから座標系を設定する．

まま継続しようとする慣性を生じさせる力なので慣性力を中心とする半径 R［m］の円弧と交わる点Ｃに移動する．

心力が作用すると円運動を行える，ということになる．

［m］である．点Ａの反対側の直径の端を点Ａ’とすると点Ｏの方向を向いている．接線CDが線分ABとなす角は∠AOC=ω［rad/s］が物体の角速度であり，回転半径が∠ AA’C は∠AOC の円周角なので，∠AA’C=

である．

∠ ACA’= ∠ R で線分 AB は点Ａにおける接線なので，∠BAC= であり，即ち，

eq.（１）となる．つまり，点Ａにおいて距離R ω［m］離れた点Ｂ

図２に示すように，点Ａが点Ｃに移動したとき， x 軸

接線の勾配に等しいのでω
［rad］である．

聴講学生にはこの点Ｏを中心とする回転盤を地平面の模型と見立てる素朴概念が存在する．図３は，緯度φ における鉛直回転および水平回転と地球および地軸との関係を示す概念図である．点Ｏを中心とする回転盤を地平面の模型と見立てる場合，点Ｏは地軸（赤矢印）と地平面の交点である極点を意味し，点Ａは１秒後に点Ｃに移動することを地平面上にいる物体（および人物）は一切を目指していた点Ｏを中心とする等速円運動を行ってい不思議に感じず，回転の中心Ｏ（北）の方向に引っ張らる物体は，実際には，１秒後，点Ｂから点Ｏの方向にれたり回転の中心Ｏとは反対（南）の方向に放り出され

距離 R ω［m］だけ移動した点Ｃに到達することになる．
2

一定の加速度が１秒間生じた時の移動距離は加速度のとなることが等加速度運動の基本法則なので，１秒間るように感じることも一切なく，かつ，ベクトルに，ベクトルははに，それぞれ，反時計回りに

ω［rad］だけ方向がズレているにもかかわらず，地平面にいる物体（および人物）は位置や方向が全く変化してに移動した距離が R ω［m］であるのでこの間に当該物
2

体にはBCの方向に単位質量あたりR ω［N］の大きさの2力が働いたことになる．この力は常に回転の中心Ｏに向かって作用するので，求心力または向心力と呼ばれ，英語ではともにcentripetal forceと記される．円運動している物体には必ず求心力が作用しており，求心力が作用しなくては円運動は起こらない，という基本原理が存在する．
以上は，回転盤の外から観察している場合に言えることである．もし，観察者が回転盤上の点Ａに居たら，どんな観察結果になるだろうか？
点Ａは角速度ω［rad/s］で等速円運動しているので観測者は１秒後には点Ｃに到達する．点Ａに居る時点での慣性運動の到達目標は点Ｂだったので，点Ｃの場所に到

図２

回転運動により点Ａが点Ｃに移動した時の，点Ａ
および点Ｃにおける回転座標系の相互関係を示す
概念図（中川 2015a に加筆）
83

立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）

いないと思っていることが重要である．
地 平 面 は 重 力gravity g に 垂 直 に 形 成 さ れ る 平 面 で遠心力を受けていることになる．万有引力と遠心力の地平面に平行な方向の合力はゼロであるため，

あ り， 地 球 と 物 体 の 間 に 作 用 す る 万 有 引 力universal
gravitation gaは地球の中心に向かって作用するから，万有引力の地平面に沿った成分が存在する．物体に作用す
る万有引力gaの方向と重力 g の方向のずれを δ［rad］と表すと，万有引力の地平面に沿った成分の大きさは，おおよそ

sin δ と表される．これは，重力は万有引力と遠心力の合力であり，地平面は重力に垂直になるように形成されており，地球が真球ではなく回転楕円体となることに起因している（図４参照）．
重力 g は万有引力と遠心力の鉛直方向の成分の合力である，と表現することが可能である．緯度φ［rad］の
地平面は極方向に［m］の地点を中心として角速度

Ω sin φ［rad/s］で回転しているため，図４の如く常に地平面に沿って赤道方向におおよそRΩ sin φ cos φ［N］の2

eq.（２）
が成り立つので，重力 g と万有引力gaの方向のズレ δ はeq.（３）と表せる．即ち，重力 g と万有引力gaの方向のズレ δ は

中緯度（φ = ）で最大となり，赤道（φ = 0 ）や極点

（φ =± ）では δ = 0 となり，重力 g の方向と万有引力

gaの方向は一致する．

その結果，地平面上の物体は地軸の周りを回転する運動を行っているにも係らず，地軸の方向，即ち北方向に求心力を受け，地軸とは反対方向，即ち南方向に遠心力を受けているとは感じない．従って，回転盤表面を地軸との交点を中心に回転している地平面のモデルとみなして教育にあたると，回転盤表面の運動には実際の地平面では関知し得ない遠心力の効果が現れてしまい，実験参加者に混乱を与える可能性があることに注意が必要である．
本授業では本当に回転盤上で実験を行う訳ではなく概念的に回転盤を用いるだけなので，回転盤の表面の物体が受ける回転盤表面に平行な求心力や遠心力は最初から考慮する必要がない．実際の地平面での現象を扱う際，重力を用いる場合には地表面に静止している物体が受ける地平面に平行な求心力や遠心力の効果は既に重力として考慮済であるので，考慮する必要がない．
回転の中心を地軸との交点と見立てた概念上の回転盤
地平面モデルにおいて，西風に対するコリオリ力につい

図３

緯度φ における地平面の鉛直回転および水平回転と地球および地軸との関係を示す概念図て考察する．図５の接線速度R ω［m/s］で点Ｏの周りを等速円運動している地表面上の点Ａの上に，地表面の接線速度R ω［m/s］より u［m/s］だけ大きな速度R ω+u［m/s］で地表面と同じ方向に進んでいる西風の空気塊を考える．地表面の１秒後の目的地が点Ｂなので，空気塊の１秒後の目的地はその u［m］前方の点Ｅである．１秒

後，点Ａは点Ｃに何の不思議もなく移動し，の方向に接線速度R ω［m/s］で進んでいる．観測者は点Ａでは自分と同じ場所にいて東（）の方向に u［m/s］で進んでいた西風の空気塊は，１秒後には点Ｃの東（の方向） u［m］先に進んでいると想定する．ところが，点図４ （左）地球の子午面断面形と地表面および（右）重力，引力，遠心力と地表面の関係を示す模式図
84

Ａに存在する単位質量の地表面と空気塊は全く同じ求心力を受けるので，点Ｂに向かっていた地表面がだけ地球環境研究，Vol.22（2020）

図５

接線方向の運動（西風 u［m/s］吹走時）の場合（中川 2015a に加筆）移動させられた求心力により点Ｅに向かっていた西風
空気塊は

に平行な

だけ移動させられて点Ｃから

u［m］離れた点Ｆに到達するので，観測者は驚く．点Ｆは

図６

動径方向の運動（南風 v［m/s］吹走時）の場合（中川 2015a に加筆）

［N］の力を受けた結果と考えるこ
向右90°の方向に2vω

とができる．即ち，これが南風 v に対するコリオリ力である．

の方向から右へ角度でω［rad］，距離でuω［m］ズレている．これは，観測者が想定している

方向の風

速 u［m/s］の風が進行方向右90°の方向に2uω
［N］の力

Ⅲ．「基礎物理学」におけるコリオリ力の指導実践を受けた結果と考えることができる．即ち，これが西風「基礎物理学」は，環境システム学科１年Ⅰ期の必修

u に対するコリオリ力である．

科目である．高等学校「物理」の履修状態に差異のある同様に，今度は，概念上の回転盤地表面モデルにおい

新入生に対して，質点の力学に絞って，ニュートンの運て，南風に対するコリオリ力について考察する．図６の動の第２法則を理解してもらい，１年Ⅱ期以降の環境諸

接線速度R ω［m/s］
で点Ｏの周りを等速円運動している地

科学の学習に際して最低限必要な概念や技能を修得して表面上で，点Ａから回転の中心Ｏに向かう風速 v［m/s］

もらうことを目的としている．全15回の同授業の第13回の南風の空気塊を考える．点Ａの１秒後の目的地が点Ｂ

目に円運動を扱っている．４月に前節に記載された「気なので，空気塊の目的地は点Ｂからに平行な方向に象と水の科学」におけるコリオリ力の幾何学的指導を受

v［m］離れた点Ｅである．１秒後，点Ａは点Ｃに何の不けた１年生が主たる聴講者である．2019年度は７月11日

思議もなく移動し，（木）４限に実施した．

の方向に接線速度R ω［m/s］で進んでいる．観測者は点Ａでは自分と同じ場所にいて回本時の前半において，極座標における動径方向と偏角

転の中心Ｏ（北）の方向に v［m/s］で進んでいた南風の方向の運動方程式を誘導し，動径一定として円運動の運空気塊は，１秒後には点Ｃの北（の方向） v［m］先動方程式，さらに，偏角方向の加速度０として等速円運に進んでいると想定する．ところが，点Ａに存在する単動の運動方程式を導き，後半において，静止座標系と回位質量の地表面と空気塊は全く同じ求心力を受けるので，

転座標系の間の座標変換により，２つの慣性力「遠心点Ｂに向かっていた地表面が点Ｂから力」と「コリオリ力」を導く構成としている．

に平行な方向にBCだけ移動させられた求心力により点Ｅに向かっていた西風空気塊は点Ｅから移動させられて点Ｃからに平行な方向にに平行な方向（だけの方向から角度ω［rad］の方向）にvω
［m］離れた点Ｆに到達するので，観測者は驚く．点Ｆはニュートンの運動の第２法則は，加速度が力に比例することを主張している．その加速度はO－xy座標系の座標成分の２階微分の組み合せとして定義され，の方向から右へ角度

方向と大きさを持つベクトルとして認識される．このとでω［rad］，距離でvω［m］ズレている．これは，観測者

きのO－xy座標系が静止座標系乃至は慣性座標系を前提が想定している方向の風速 v［m/s］の南風が進行方にしていることを理解・認識させることが肝要である．
85

立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）古代エジプトで測量学が始まった当初から，O－xy座

標系は観測点を原点Ｏとして地平面上に展開されるのがeq.（６）

必然であったが，この観測点を原点とするO－xy座標系，

いわゆる局所直交座標系は静止座標系であることが暗黙の了解，即ち素朴な概念であった．だからこそ，この座標系の上で物体の座標成分が時間変化することとその物

eq.（７）体の位置が時間変化することが同等という認識が生まれた．地平面上に展開される局所直交座標系が静止している，ということは，地平面が静止していることと同値でと表される．さらに eq.（６）および eq.（７）の１階あった．

時間微分，すなわち eq.（４）および eq.（５）の２階

ところが今日では，自転する地球の地平面は静止しておらず，地平面と地軸の交点を中心として回転していることが広く認識され，その地平面上に固定された局所直交座標系が回転座標系であることも自明となった．この微分をとれば，慣性直交座標
の時間変化

の時間変化

は局所直交座標を用いてため，局所直交回転座標系で取得された座標情報を慣性
直交座標系上での座標情報に変換することが必須の作業となった．

eq.（８）

今，図７のように，真の慣性直交座標系をO－xy座

標系，角速度ω［rad/s］の局所直交座標系をO－x′y′座標系としたとき，回転開始後の経過時間を t［s］とすると，両座標系のなす角はωt［rad］なので，局所直交座標
を慣性直交座標に変換するための関係式として

eq.（９）
eq.（４）
eq.（５）

が得られる．eq.（４）および eq.（５）の１階時間微分をとれば，慣性直交座標
所直交座標

の時間変化

は局

を用いて

と表される．
ニュートンの運動の第２法則は慣性直交座標
階微分の２を加速度と定義し，この加速度と力の間に運動方程式が成り立つと主張する．ところが，局所直交座標系O－x′y′を静止座標系O－xyと思い込んでいる立場では，局所直交座標の２階微分を加速度として認識するので，認識される力と加速度との間には正常な運動方程式が成り立たないことになってしまう．
運動方程式を正常に成り立たせる真の加速度
は慣性直交座標系上のベクトルであるので，これを局所
直交座標系上に変換すれば，局所直交座標系における真図７

86［rad/s］の回転座標
慣性座標系O－xyと角速度ω
系O－x′y′との関係を示す概念図（為近 2014
より）の加速度ベクトルを求めることができる．即ち，
eq.（10）地球環境研究，Vol.22（2020）

eq.（11）を実行すれば良い．

はいずれも６項からなるの座標系であることを意識する必要はなくなり，慣性直交座標系と局所直交座標系の区別を明記する必要もなくなるので，x′および y′を x および y と表記し直し，運動方程式をで，αx′，αy′はいずれも12項からなる複雑な式となるが，

eq.（18）

相殺する逆符号値や補数関係を利用して整理すると，
αx′，αy′はともに３項からなる次式

eq.（19）eq.（12）eq.（13）と記載することが行われている．真の力としては，地球との間の万有引力，気圧傾度力および摩擦力の３力のみが有効であることが確定しているが，万有引力と遠心力が得られる．従って，x′軸方向および y′軸方向の運動の合力を重力と認識し，真の力を重力，気圧傾度力およ方程式は，それぞれ，

び摩擦力の合力とみなすと，運動方程式は
eq.（14）eq.（20）eq.（15）eq.（21）となる．両式右辺からなるベクトル（ F x′, F y′）は局所となり，地平面が回転していることにより生じる見かけ

直交座標系上における真の力ベクトルである．左辺の第の力はコリオリ力だけとなる．

１項からなるベクトルは素朴に誤謬し２ つ の 慣 性 力「 遠 心 力 」 と「 コ リ オ リ 力 」 の 誘 導は，当該科目「基礎物理学」の教科書に指定している為てしまう力ベクトルであり，第２項からなる力ベクトル

近（2014）にも４ページに渡って詳細に説明されてい（－mx′
ω ，－my′ω ）は原点からの変位に比例する原る．小倉（1978）第１章1.3節「回転座標系とみかけの点方向への復元力ベクトルであり，第３項からなるベク

力」にも詳述されている．

2

2

トル

は原点の周りの接線速度に

Ⅳ．「気候・気象学」におけるコリオリ力の指導実践

比例する進行方向左90°
への力ベクトルである．
左辺の第１項からなる力ベクトル

が「気候・気象学」は環境システム学科気象・水文コー
ス環境気象学分野２年Ⅰ期の必修科目であり，その後学

真の力ベクトル（ F x′, F y′）ではないことは既に明らか

習する「大気大循環論」「総観気象学」「微気象学」「気であるが，気象学や海洋学等の地球流体力学においては，

候変動論」等において必須の基礎概念の修得を目指した

真の力ベクトルを求める努力をせず，左辺の第２項およ気候学・気象学の概論を講じ，用語・概念の正確な理解

び第３項を右辺に移項してと，その用語・概念を自在に用いて気候・気象現象を特eq.（16）eq.（17）

徴付ける基本的なパラメータの値を求め当該現象について考察できる能力の育成を目指す科目である．大気の状態を示すために用いる変数とそれらの相互の関係について講義し，それから導かれる地球大気の基本的特徴につを 運 動 方 程 式 と し， 右 辺 第 ２ 項 か ら な る ベ ク ト ル

いて説明する．先ず，静止乾燥空気を取り扱った後，乾（mx ′ω ，my ′ω ）および第３項からなるベクトル

燥空気の運動を取り扱っている．全15回の授業の第８回

2

2

を実際には存在しないが存在しおよび第９回において，回転する地球－大気系中のベク
トル運動方程式を誘導し，その過程で，コリオリの定理ているとみなせる見かけの力と呼ぶ習慣が確立され，そおよび遠心力やコリオリ力についても考究する．2019年

れぞれ，遠心力およびコリオリ力と呼ばれる．

度は７月11日（木）２限に実施した．

この段階までくると，もはや，局所直交座標系が回転

本時の大命題は，運動量保存則が地球大気中でも成り87

立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）立っていることである．運動量とは，質量mに速度 v を形も2000年程度の月日が立てばかなり変化することが知掛けた物理量mvである．質量mはスカラー量であるがられている．しかし，人が生まれてから死ぬまでぐらい

速度 v はベクトル量なので，運動量mvはベクトル量での短期間には恒星間の相対位置関係が顕著に変化するこある．運動量mvには，外力 F が働かなければ運動量mvとはないので，一般的な地球物理学的な問題を扱う際には保存され，運動量mvの変化は受けた外力 F に比例すは恒星座標系を慣性座標系として扱っても差し支えない．

る，という法則があり，運動量保存の法則と呼ばれる．

恒星座標系上で決定された速度を絶対速度と呼び，va

運動量保存の法則は，いわゆるニュートンの運動の第２法則のことである．

の微分演算子を，運動量保存の法則を，数式で表現すると，
eq.（22）であるが，気象学では，通常，単位質量m =１kgの空気塊について議論するので，上式は，

eq.（23）となる．つまり，外力と加速度は全く同等であり，単位質量の空気塊に外力 F が作用すると，風ベクトル v の方
向あるいは大きさ，すなわち風向風速が変化する．
上式右辺の加速度やその基となっている速度を決定するためには座標系を用いた物体の正確な位置 x の決定，即ち測量が必要である．ニュートンの運動の第２法則が要求している速度や加速度と添字ａを付して表現する．同様に，恒星座標系の上でと添字ａを付して表現する．従って，この論法では，運動方程式は，
eq.（24）と表現される．
図８のように，，，を慣性系直交座標軸上の単位ベクトル， *， *， *を回転系直交座標軸上の単位ベクトルとすると，任意のベクトル A は

eq.（25）と表現でき，座標系が慣性系であろうと回転系であろうと，類似の表現となる．
しかしながら，上式 eq.（25）の時間微分を取ると，は，静止座標系

や慣性座標系における物体の位置 x の決定に基づくもの

eq.（26）でなくてはならない．
静止座標系とは，絶対に動いていない座標系という意
味である．ところが，絶対に動いていないということを示すためには，絶対に動いていない座標系に基づいて位となり，座標系が慣性系であるか回転系であるかによっ

置決定を行い，その座標が変化していないことを示す必て，異なる表現となる．

要があるが，我々は絶対に動いていないことを証明する手段を持たない．そのため，静止座標系を実現することは不可能である．

ここで，回転座標系の回転ベクトルを Ω とすると，静止座標系を実際に使用することが不可能なので，次善の策として，慣性座標系が用いられる．慣性座標系は，原点や座標軸が移動することは容認するが，その運動に加速度が存在しない座標系である．自然科学は，恒星座標系を典型的な慣性座標系として扱う．
恒星座標系とは，原点Ｏに太陽を取り，太陽から互いに直角な３方向に存在する恒星の方向を，各々， x
軸， y 軸， z 軸と定めるO－xyz直交座標系のことである．
恒星も互いに異なる方向に異なる速度で移動しているので，恒星座標系も厳密には慣性座標系ではない．恒星の固有運動が1718年にハレーにより発見され，北斗７星の88

図８

任意のベクトルの慣性座標と回転座標の関係

地球環境研究，Vol.22（2020）

クトルである．

eq.（27）eq.（33）は任意のベクトル A について成り立つので，

位置ベクトル A = r の場合でも成り立つ：

eq.（34）

ここで， r は地球の中心からの位置ベクトルである．位であるから，上式は，

eq.（28）置ベクトル r の時間変化率

は速度 v そのものであるから，上式は，

eq.（35）と表現できる．これは，と表記できる．ここで，va：絶対速度， v ：（相対）速eq.（29）と変形でき，かつ，A =A x* *+A y* *+A z* *なので，この式は，度， Ω × r ：接線速度である．

eq.（33）は，速度ベクトル A =vaの場合でも成り立

つ：

eq.（36）eq.（36）の右辺に eq.（35）を代入すれば，

eq.（30）と同等である．

eq.（37）が得られ，括弧をはずすと，

ここで，eq.（31）eq.（38）eq.（32）となる．

と表記すると，任意のベクトル A について

eq.（33）= v なので，右辺第３項と４項は同類項となり，eq.（38）は，

eq.（39）が必ず成り立つ．ここで，クトル A の時間微分，：慣性座標系に対するベ：回転座標系におけるベクト

ル A の時間微分， Ω × A ：座標系の回転によるベクトル

A の時間微分である．

ここで，地平面に固定した回転座標系の上でデータ処理をしている場合を考える．この場合，回転座標系の回転ベクトル Ω は地球の回転ベクトルである．地球の回転ベクトルは，地軸に平行に置いた右ネジを地球の自転方向に回転させたときに右ネジが進む方向をその方向とし，と整理できる．この式は1835年にCoriolis（1835）により誘導され，コリオリ定理と呼ばれる．コリオリ定理は，慣性座標系上での加速度，つまり真の加速度である絶対加速度

は，右辺第１項の回転座標系を慣性座標系とみなした場合の相対加速度と，第２項横加速度× r ，第３項コリオリ加速度2 Ω × v ，および第４項

求心加速度 Ω ×（ Ω × r ）の和に等しいことを意味して

地球の回転角速度を大きさとするベクトルである．つまいる．ニュートンの運動の第２法則は慣性座標系の上でり，地球の回転ベクトル Ω は，地軸に平行で北極星の方成り立つので，絶対加速度

向を向き，大きさは－5＝7.292×10 rad/sのベに等しいから，は単位質量への外力 F
89立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）eq.（40）と表現でき，左辺で表される力が作用する結果，右辺で表される加速度が生じることを意味している．
変化しない，即ち地球は等速度回転していると看做せる

× r はゼロとなり，

eq.（41）

が成り立つ．ところが，我々は，自分達が使用している座標系自体が時間変化していることは意識できないので，座標成分の時間変化のみから検出される上式右辺第１項の力ga，気圧傾度力

および摩擦力F rの３力が知られている．月や太陽等の他の天体からの引力も作用して地球の回転ベクトル Ω は気象学的事象においては時間ので，右辺第２項の横加速度

eq.（42）左辺第１項の真の力 F としては，地球の引のみを加速度と認識してしまう．このため，認識された力 F と認識された加速度がつり合わない（方この矛盾は，真の加速度

を正しく認識できていいるが，これらは地球上の総ての物体に等しく作用する
ため，空気塊に運動状態の変化をもたらす有効な力にはならない．従って，地球大気の運動方程式として
eq.（43）が成り立つことになる．
地球上の物体に作用する地球からの引力gaと遠心力－ Ω ×（ Ω × r ）は，物体が存在する緯度によって方向と大きさが異なるが，常に，両者同時に作用しており，
我々はこの両者を分離して感知することはできない．そこで，地球からの引力gaと遠心力－ Ω ×（ Ω × r ）の合力を重力 g と定義する．即ち，単位質量にかかる重力を gとすると，向，大きさが一致しない）という矛盾を生じてしまう．

ないことに原因があるのだが，気象学を含む地球物理
学では，上式右辺第１項のみで正しく加速度を評価していると認識しても矛盾が生じないように，eq.（41）
右辺の第２項コリオリ加速度および第３項求心加速度を左辺に移項して，見かけの力とする扱い方を用いてきた．
つまり，eq.（44）である．重力 g の大部分は地球からの引力gaである．重

力 g の方向は，厳密には，地球の引力gaの方向とは違うが，気象学では，両者の方向は同じとして扱う．重力 g の大きさは，遠心力 － Ω ×（ Ω × r ）と地球からの引力gaが逆向きになる赤道で最小であり，遠心力－ Ω ×（ Ω × r ）が存在しない極点で最大であるが，気象学では，
重力 g の大きさは緯度や高度によらず一定として扱う．
重力 g により単位質量が受ける加速度を重力加速度といeq.（42）である．eq.（42）左辺第１項 F は実際に存在する真の力であるが，第２項および第３項の －2 Ω × v と －Ω ×

（ Ω × r ）は実際には存在しない見かけの力であり，それぞれ，コリオリ力および遠心力と呼ばれる．見かけの力は，慣性力とも呼ばれる．

Ω × r は接線速度であり，地表面および赤道面に平行に真東の方向を向いたベクトルである．地球の回転ベクトル Ω と接線速度 Ω × r の外積 Ω ×（ Ω × r ）は，地球の南北鉛直断面上にあって赤道面に平行に地軸方向を向いたベクトルである．従って， － Ω ×（ Ω × r ）は，地い，g で表す．通常は標準重力加速度の値 g =9.80665m/s2を用いる．
重力 g は場を形成しており地球環境は重力場の中に存在しているので，重力の影響を強く受けている．我々は，局所直交座標系を設定する際に， z 軸を天頂方向にとるが，この天頂方向とは重力線の反対方向のことである．
我 々 は， 電 車 や 車 に 乗 っ て い て， 電 車 や 車 が カ ー
ブすると，カーブの方向とは逆の方向に遠心力 － Ω ×（ Ω × r ）を受けていることを感じることができるが，地球表面に立っていて，南の方向の宇宙空間に放り出そうとする遠心力－ Ω ×（ Ω × r ）を感じることはない．

我々は，重力 g の方向に沿って立つことを何ら不思議に

球の南北鉛直断面上にあって赤道面に平行に地軸とは反思わないが，重力 g の方向に沿って鉛直軸を決定する際

対の方向を向いたベクトルとなる．この性質から，このに，我々は見かけの力である遠心力 － Ω ×（ Ω × r ）のベクトル－ Ω ×（ Ω × r ）は遠心力と呼ばれる．遠心力は，地球上に位置して地球と同じ角速度で地軸の周りを回転する物体に作用する見かけの力である．
90

効果は既に考慮済みである．

我々は，地平面と一緒に宇宙空間で円運動をしている

ことを，全く意識しない（できない）が，それで何にも地球環境研究，Vol.22（2020）

不思議に感じない．それと同時に，自分の周辺に位置す

成分表示は，それぞれ，る自然界の構成要素が，同じく地平面と一緒に宇宙空間

eq.（47）で円運動をしていることを，全く意識しない（できない）が，自分の周辺に位置する自然界の構成要素が何時

eq.（48）までも自分の側にいることを当然と認識している．見かけの力は，そのような力が存在すると考えなければ，観と表現できるので，上記の公式を使って，コリオリ力

測者の周辺で起こっている事象の力学的な解釈が困難に－2 Ω × v の成分表示は，なるので導入されたと説明してきたが，以上のように，見かけの力である遠心力は，その存在を認識することが極めて困難な力であるというか，存在を仮定しなくてもeq.（49）

自然認識において不便は感じない．
以上のように，重力を用いることにより，気象学をはじめとする地球物理学では，見かけの力である遠心力－ Ω ×（ Ω × r ）の効果はいちいち考慮する必要がなく，空気塊に掛かる重力 g ，気圧傾度力，摩擦力F rおよびコリオリ力－2 Ω × v の４力の合力がゼロであれ
ば地球の空気塊に加速度を生ぜず，この合力がゼロでなければ，合力に相当する加速度が生じると認識される．
従って，地球大気の中で成り立つ運動方程式は

このことは，北半球では（φ ＞０の場合），地球上を西から東へ水平移動する（ u ＞０）物体には，南方向へ

2uΩ sinφ ，上方向へ2uΩ cosφ の見かけの力が働き，南から北へ水平移動する（ v ＞０）物体には，東方向へ

2vΩ sinφ の見かけの力が働き，下から上へ鉛直移動する（ w ＞０）物体には東方向へ2wΩ cosφ の見かけの力が働くことを意味している．つまり，コリオリ力は鉛直方向

eq.（45）と表される．即ち，空気塊に掛かる気圧傾度力

となる．

，

にも成分を持つ．しかしながら，気象学では，空気の大規模な運動に対して大気は静力学的平衡（静水圧平衡）状態にあると仮定し，地球の回転の影響は，地平面が鉛直軸の周りを回転している影響のみが現れるとし，地球重力 g ，摩擦力F r，遠心力およびコリオリ力 －2 Ω × vの回転ベクトル Ω の y 成分Ω cosφ を無視し，度が生じると認識される．

とする．従って，気象学で用いるコリオリ力－2 Ω × vの４力の合力がゼロであれば地球の空気塊には加速度が生ぜず，この合力がゼロでなければ合力に相当する加速
コリオリ力 －2 Ω × v は，遠心力 － Ω ×（ Ω × r ）同様

地球回転の影響による慣性力であるが，遠心力が空気塊の位置ベクトル r により定まるのに対して，コリオリ力－2 Ω × v は空気塊の速度ベクトル v により定まる．即ち，コリオリ力 －2 Ω × v は，地平面に対して静止している物体には作用しない．

ベクトルの外積の成分表示に関して，極めて有益なベクトル解析の公式がある：ベクトル A =（A x，A y，A z）とベクトル B =（B x，B y，B z）の外積 A × B の成分表示は，

eq.（46）eq.（50）の成分表示は，

eq.（51）
である．ここで， f =2Ω sinφ と置き，これをコリオリのパラメータと呼ぶ．従って，コリオリ力－2 Ω × v は，コリオリのパラメータ f を用いて，一般に，

eq.（52）と表記される．
コリオリのパラメータ f は，鉛直軸の回りの地平面の角速度の２倍の大きさを表しており，宇宙空間に対してにより求めることができる．従って， A =－2 Ω ， B = v

持っている地平面の鉛直渦度という解釈が可能である．

地球の回転ベクトル Ω と風ベクトル v の局所直交座標系

気象学が扱うコリオリ力は，北半球では，進行方向右と置いて，両者の外積の成分表示を求めれば，コリオリ

気象学が扱うコリオリ力は，鉛直方向の風速に対しては力の成分を求めることができる．緯度φ の地点における作用せず，水平風のみに作用する．

91

立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）90°の方向に作用し，大きさは速度に比例する．
コリオリ力 －2 Ω × v は，水平方向にのみ作用し，鉛直方向には作用しないので，空気塊の鉛直方向の運動には，気圧傾度力の鉛直成分，摩擦力F rおよび重力 g の３力のみが作用し，しかもその合力はゼロとなり加速度は生じない．
正野（1960）の第７章7.1節「回転する地球上における質点の運動方程式」や小倉（1978）の第１章1.4節「回転地球上の運動方程式」において詳述されている．

庭（1959，121～123頁）には4.18図以外の図は存在しな
いので２番目の図10は完全に高橋（1968）の創作である．
先ず，西風に対するコリオリ力は地軸の周りの回転による遠心力の変化によって説明される．図９に示されるように，緯度 φ における地軸の周りの回転半径はR cos φ なので，地表面に静止している単位質量には

ω R cos φ の遠心力が生ずるが，これは真の重力と呼ん
2でいる地球の引力の水平成分に相殺される．西風成分 uの空気塊が受ける遠心力は絶対速度がωR cos φ + u とⅤ．その他の興味深いコリオリ力教授法
５．
１

絶対角運動量保存則による説明

高橋（1968）は，“大部分の教科書では，廻転する円板の中心からほうり出されたボールの運動のモデルを用いていますが，読者はこれを理解しても，この円板上の任意点からほうり出された場合を理解することは難しいものと思われます．
”としたうえで，“桜庭信一・小笠原和夫氏共著の気象学通論（1959年，いずみ書房，268p
121～123頁）のように，地軸を中心とした廻転によって生ずる遠心力の水平成分より
eq.（53）が得られ，絶対角運動量の保存則より
eq.（54）が得られるという解説の方が完全で，結局はこの方が賢

図９

緯度φ における真の重力と遠心力，および実際の重力の関係（高橋 1968 より）

図10

緯度φ における単位質量の絶対角運動量（高橋1968 より）明な解説方法ではないかと思います．
”と記載，さらに“上記の解説を大いに普及させたいと考えているが，同書は1968年時点で絶版となっていて入手困難なので読者の便を考え同書による解説を記載する．
”と記載している．
高橋（1968）が記載している桜庭・小笠原（1959）は，発行年，書籍名，出版社名，ページ数，引用ページtoページが総て等しいことから，小笠原・桜庭（1959）の間違いであることは明白である．第４章4.9節「角運動量」，4.10節「絶対角運動量」，4.11節「重力」を論じた
後，4.12節において「コリオリの力」を論じている．
高橋（1968）はフリーハンドの２つの図を示しているが，フリーハンド図を一切掲載していない小笠原・桜庭（1959）にこれらを見出すことはできない．最初の図９は小笠原・桜庭（1968）の4.17図の要素も含ませながら
4.18図を改修した物とも言えなくもないが，小笠原・桜92

地球環境研究，Vol.22（2020）

なるから
eq.（60）eq.（55）となる．第２項は地球の曲率によるものだが極付近を除となり， u があるため上式 eq.（55）右辺の第２，第３
項分だけ真の重力の水平成分より増加してくる． u によって新たに生じた右辺の第２，第３項の鉛直成分は重けば一桁以上小さいので省略できる．
以上の如く，eq.（57）と eq.（60）より慣性力のみが存在する場合の厳密解は力の鉛直成分に加算されるので問題はないが，問題になるのが右辺の第２，第３項の水平成分で，南方に向うこ

eq.（61）の分力によって空気塊は南方に加速される．これを式で示すと
eq.（56）となるが，地球曲率による項metric termは極付近を除けば一般には省略できるので

あるいは
eq.（62）eq.（57）となり，速度 v に対し北半球では直角に右へ f v の加速となる．ここで， f =2ωsin φ でコリオリ係数，第２項は曲率項metric termと呼ばれるが．極付近を除けば一桁以上小さいので省略できる．

度が働くことになる．
高橋（1968）は，類似の記載を行っている文献はない
として，小笠原・桜庭（1959）を高く評価している．し次に，南風に対するコリオリ力は地軸の周りの回転にかしながら，小笠原・桜庭（1959）は文中に引用表記をおける絶対角運動量保存則によって説明される．図10に一切行っていないため，この説明方法が小笠原・桜庭

示されるように，回転半径がR cos φ となる緯度φ の西（1959）のオリジナルか否かは不詳である．

風成分 u の空気塊の絶対速度はωR cos φ + u であるから西風成分 u の空気塊の絶対角運動量は

eq.（58）

気象力学勃興期の荒川（1941）はほぼ何の説明もなく転向力が加わってくるとしただけだが，我が国初の近代気象力学の教科書である正野（1954）においては，第７章7.2節「角速度 Ω で回轉するカーテシアン座標系に於ける質點の運動方程式」において遠心力およびコリオリと表され，この値は絶対角運動量保存の法則によって一力を論じた後，7.3節「回轉する地球上に於ける運動方定である．したがって粒子が北或は南側に移行し緯度φ

程式」において動径加速度，緯線加速度，経線加速度をや西風成分 u が変わっても絶対角運動量は一定であるか

論じ，7.4節「絶對角運動量保存の法則」に言及している．

ら，回転半径の変化に応じ絶対速度が変わり， u の値も

絶対角運動量保存則を扱ったのちに重力，コリオリ力を変わってくる．これらの変化すなわち増減関係は上式を論じる展開にした点には新規性を認めることができるに時間で微分すれば求まる．上式を時間で微分するとしても，小笠原・桜庭（1959）が正野（1954）に目を通さずに起草されたとは考え難く，絶対角運動量保存則に

eq.（59）基づくコリオリ力の誘導を小笠原・桜庭（1959）のオリ
ジナルと考えることは不自然である．
Leaver（1942）が初めて絶対角運動量保存則から南が得られる． v = R
理すると，を考慮しながら，eq.（59）を整風に対するコリオリ力を導いた．Haukwitz（1943）は鉛直成分にも発展させた．正に太平洋戦争の最中である．
正野（1954）は正にこの直後の時代の我が国における気象力学の教科書である．
“我が国は戦争のために諸外国
93立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）の進歩の状況に対して全く盲目状態であった．終戦後数究・教育上大きなニーズを有することを示唆するものと年経過して漸く諸外国から文献が入るようになってみる

して強く注目したい．

と，理論気象学の専門家以外には直ちに追随できない程

本稿が慣性系で等速度運動している物体を議論していの變り方であった．従って専門的研究者以外は十年近くるのに対して，Persson（2015）は回転盤上を一定方向の空白時代を未だに取返す事ができない儘に諸外国の進に等速運動する物体を想定して，当該物体に発生する加歩を傍観している様な状態である．
”と記している．そ速度を見積もるところに大きな差異がある．

の正野（1954）がアメリカ気象学会のBulletinに目を通

図11（ａ）は回転盤上に静止している物体の慣性系でしていない訳がないと思われるが，Leaver（1942）やの運動を示す．回転盤上に静止する物体が慣性系上で太Haukwitz（1943）からの引用の記載はない．

矢印

海外における気象力学の入門教科書について精通で示される円運動を行う際，物体は点Ａでは点Ｂを目指している，とする図の構成は本稿の図１と同じしている訳ではないが，筆者の手元にあるGordon etである．図11（ａ）中の太矢印

al.（1998）は第７章7.4節「derivation of the components

Ｃに移動する軌跡である．ω= Ω ・∆t と表すと，OA=R ，of the Coriolis force from the law of the conservation ofangular momentum」において，遠心力と絶対角運動量保存則に基づくコリオリ力の誘導を記載している．現在の我が国の気象学初心者に良く読まれている小倉（1984,

は物体が点Ａから点AB=R ω，求心加速度による移動距離BCを∆S とすると，⊿OABは∠A=∠Rの直角三角形なので，ピタゴラスの定理より，eq.（63）1999）第６章6.2節「みかけの力（コリオリの力）」にもほぼ同様の記載がなされているが，同書は，我が国の大がなりたつ．eq.（63）両辺の括弧を展開すると，学の教養課程の教科書として適切になるよう1982年～

eq.（64）

1983年に新たに書き下されたものであるものの，イリノ
イ大学の大気科学教室の教官が教養課程の学生の選択科
目として毎年講義してきたものが基礎となっている．小倉（1978）には，絶対角運動量保存則に基づくコリオリ力の誘導に関する記載が出てこないこと等を考慮すると，
絶対角運動量保存則に基づくコリオリ力の誘導が日本でオリジナルに始まったと考えることは不自然と思料する．

＜R なので，eq.（63）はかつ，∆S ＜eq.（65）となり，両辺を R で除すと

eq.（66）22が得られる，としている．求心加速度による移動距離５．
２

ピタゴラスの定理による説明

Persson（2015）はコリオリ力の幾何学的な誘導法として注目される．Persson（2015）の付録に記載されて∆S の２倍2∆S がその加速度を発生させる力となるのは，

本稿と同じ論理である．静止した物体は地表面と全く同いるピタゴラスの定理を用いて求心加速度やコリオリ加速度の大きさを求める方法は，微分・積分を用いない教授法として魅力的である．筆者が前報（中川 2015a）を脱稿する寸前（2014年）にEarly Online Release版を入手できたので「おわりに」で言及したが，図５～７と極めてよく似た条件下で，ピタゴラスの定理を用いた求心力および東西方向・南北方向への相対運動に対するコリ
オリ力による偏りや加速度の大きさの定量的表現の幾何学的誘導法が提唱されていることが注目された．特に，東西方向への相対運動においては曲率項も導ける点が注目された．距離の偏りや加速度の大きさの定量的表現だ
けでなく，運動方向の偏りも綺麗に説明できる本稿の方法の方が優れていると思われるが，それ以前の問題として，このような観点からの考究が現時点においても研94

図11 （ａ）求心加速度および（ｂ）接線方向の運動に対するコリオリ加速度の誘導（Persson 2015より）

地球環境研究，Vol.22（2020）

じ求心加速度を受けるので，地表面と全く同じ運動を行

および接線方向に移動する物体が受けるコリオリ力と曲

い，いつまでも地表面上の同じ位置に存在できる．つま率項の大きさの求め方はあざやかと言って良い．実際のり無風のままである．

教育において使用してみたい，との興味を抱かせる．

図11（ｂ）は，回転盤上点Ａにおいて点Ａに静止してこれに対して，Persson（2015）による動径方向に移いる物体より u［m/s］速い接線速度で点Ａを通る円軌道

動する物体が受けるコリオリ力の大きさの求め方は些か

上を回転する物体が，点Ａが円軌道上の点Ｃに至る時間

手際が悪いように思料される．図12（ａ）は角速度 Ωに同じ円軌道上 u［m］前方の点Ｅに至ると仮定している． ［rad/s］で反時計回りに回転する回転盤上を回転軸方向
この物体の接線速度はR ω+ u［m/s］であるので，地平面が受ける求心加速度による変位∆S 1は，⊿OADに関す

るピタゴラスの定理より，

eq.（67）に速度 v［m/s］で等速直線運動して点Ｇに到達する物体の慣性系上の経路が太矢印で示されている．点Ｂお

よびＣは図11（ａ）と同じく，点Ａで回転系上に静止している物体の慣性系上の目的地点および到達点であり，BC=∆S が求心加速度が生じた結果の転向を表す．点Ｇ

は点Ｃより回転中心に距離 v［m］近寄った場所なので，の関係を満足する．両辺の括弧を展開すると，
eq.（68）

OG=OF= R － v である．

求心加速度以外の加速度の方向と大きさを見積もるた

めには，トルクが作用しない場合の移動物体の慣性系上となる．これを整理すると，の目的地点を明確にすることが不可欠である．しかしな
eq.（69）を得る．これは，点Ａが点Ｃに至る時間にこの物体が点Ｅに至るためには，R ω +2uω+ ［m/s ］の求心加
22

変位することが必要であることを意
速度により∆S［m］
1
味する．このときの方向のR ω 以外の２項，2uωと2が，それぞれ，コリオリ加速度と曲率項である．

もし点Ａに存在する接線速度 u［m/s］の物体にトルク

がら，図12（ａ）には，トルクが作用しない場合の移動
物体の慣性系上の目的地点や慣性系上の移動経路が記されていない．トルクが作用しない場合の移動物体の慣性系上の目的地点は，図12（ｂ）に示されるように，点Ａの静止物体の慣性系上の目的地点Ｂからと平行な方向へ v［m］進んだ地点である．トルクが作用しない場合の移動物体にも静止物体と同じ求心加速度が生じるため，移動物体の慣性系上の目的地は，静止物体の到達点ＣからAFと平行な方向へ v［m］進んだ地点となる．

図12（ａ）（ｂ）におけるトルクが作用しない場合のが働かない場合には，この物体に作用する求心力は引力

移動物体の慣性系上の目的地を点Ｈと表記すると，点Ｈの水平成分だけなので，この物体に生じる求心加速度はは点Ｃからと平行な方向へ v［m］進んだ地点となり，静止している物体と同じR ω だけとなり，点Ｅに到達
2

することはできず，点Ａに存在する速度 u［m/s］の物体に生じる求心力による変位は点Ａに存在する静止物体に生じる変位∆S と同等とならなければならない．つまり，

点Ａから円運動して点Ｅに到達する物体には静止物体に比べてコリオリ加速度と曲率項の分だけ過剰な求心加速度が生じなければならない．このため，点Ａで速度u［m/s］の円運動する物体にはトルクを受けることなく点Ａを速度 u［m/s］で通過した物体に比べて∆S 1－∆S［m］だけ大きな変位不足が生じる．コリオリ加速度とは逆方向に －2uω［m/s ］の見かけの加速度を発生させる
2

見かけの力を受けているように見える．この見かけの加速度 －2uω［m/s ］を生じさせる力が見かけの力として
2のコリオリ力である．
Persson（2015）による静止物体が受ける求心加速度，

図12 （ａ）トルクを受けて回転系上を動径方向に直進する物体の軌跡と（ｂ）トルクを受けない場合の動径方向の運動に対するコリオリ加速の誘導（Persson 2015 より）．（ｂ）中の点Ｈは筆者
加筆
95立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）点Ｈは点Ｇの左に位置し，∠GCH=ωとなる．CG= v でれる．

HGの転向を起こすコリオリ加速度を同時に受ける必要

運動に v［m］の動径方向の運動が重なっている場合につあるから，GH=vωとなる．つまり，物体が太矢印

を移動するためには，BCの転向を起こす求心加速度とがある．転向HGは回転盤上の点ＡおよびＦの移動距離

ACとFGの差に等しく，

eq.（70）以上の議論では，動径方向の運動においては曲率項が出現しないように見える．そこで， u［m］の接線方向のいて，もう少し吟味する．
図13点Ｄを図11（ｂ）点Ｅに置き換えると，eq.（70）はが成り立つとしているが，鮮やかな説明とは言い難い．

eq.（71）

Persson（2017）は，同じ問題を説明する際に若干異なる図を用いている（図13参照）．トルクを受けていない場合（図13（左））には赤点線で囲まれた⊿OHCの面となる．一見，動径方向の運動においても，この方法

積は緑色の⊿OEDの面積と等しくて角運動量は保存されで幾何学的に曲率項が求まるように見えるが，eq.（61）

積より小さくなり角運動量は保存されずに減少しているが明白である．これは，HC＜EDであることを示唆してるのに対して，トルクを受けている場合（図13（右））には赤点線で囲まれた⊿OEGの面積は緑色の⊿OHCの面と比較すると，この曲率項はだけ過大であることとし，トルクがかかることにより，DG=∆S 2の転向，即いるが，現時点では明快な説明を行うことができない．

は明らかなので，角運動量保存則が⊿OHC=⊿OEDと同力的であるが，地表面が受ける求心加速度，接線方向の

ちコリオリ加速度が生じるとしている．

Persson（2015, 2017）の方法は，コリオリ力だけでしかしながら，図13（左）を見る限り，⊿OHC＞⊿OED

なく曲率項までも幾何学的に導出できそうなので大変魅値とするPersson（2017）の主張には矛盾がある．この相対運動に対する議論に比べると，南風のときに空気塊

図は物体の航跡図なので，角運動量保存が成り立っていが受けるコリオリ力の大きさの求め方はあざやかとは言る場合には面積速度が保存されるため，扇形OACの面積

い難い．

と扇形OADの面積が等しくなくてはならない．扇形OACと扇形OADは，それぞれ，⊿OACと⊿OADで近似される

ので，結局，⊿OACの面積と⊿OADの面積が等しくなく

Ⅵ．異なる教授法に関する若干の考察てはならない．ところが，両三角形は底辺OAが共通な

６．１に eq.（70）が成り立つことが主張できるように思料さ（１）定性的な見方

ので，面積が等しくなるためには高さが等しくなくてはならないため，HC=EDでなくてはならない．よって常回転中心からか否か

吉﨑（2013）は，初学者向けのコリオリ力説明方法として，（２）微分的な見方（３）差分的な見方（４）角運動量保存則などを用いた物理的な見方の４通りを提唱した．
回転系の回転の中心を通って慣性系上で等速円運動をしている物体の軌跡を回転系上の回転中心からみると，
右に曲がりながら進行しているように見える，として説明する方法を，吉﨑（2013）は定性的な見方としている
が，これは高校地学の平面回転盤を用いた実験による指導（横尾ほか，1995）と同等の方法である．回転盤の実
験は直観的には分かり易いと捉えられ，立正大学環境シ

図13 （左）トルクを受けない場合と（右）受けた場合の回転系上を動径方向に直進する物体の慣性系上の軌跡の比較（Persson 2017 より）
96

ステム学科においても，回転盤を用いた水槽実験による学生実験が行われている（写真１参照）．ただし，曲がるように見えれば即コリオリ効果というような定性的な地球環境研究，Vol.22（2020）

説明だけではたして良いのだろうか？
高橋（1968）は，“大部分の教科書では，廻転する円板の中心からほうり出されたボールの運動のモデルを用いていますが，読者はこれを理解しても，この円板上の任意点からほうり出された場合を理解することは難しいものと思われます．
”と指摘している．
このタイプのモデルは，北極熊・ペンギンモデルと呼ばれることが多い（例えば，Gordon et al. 1998）．北極点では夏至の日は太陽は地平線上を時計回りに一周する．
正午に北極点から常に太陽に向かって氷上を一定速度で歩き始めた白熊は，スタートした瞬間は真南に向かっているが，進行方向が徐々に時計回りに変化し，３時間後には西向き，６時間後には北向き，９時間後には東向き，12時間後には南向きとなりかつスタート地点に戻ってく

写真１

表面にアルミ粉を浮かべ中心部を冷却，周辺部を加熱して水平温度差を与えた水槽を回転させる実験の様子．カメラは回転盤上に設置されている（立正大学学園新聞第111号 2010より，
渡来 靖講師（現教授）撮影）．

る．白熊は等速円運動をすることとなり，この円は慣性
円inertial circleと呼ばれる．同様の話が，冬至の日に南eq.（75）極点から太陽に向かってスタートしたペンギンを対象にしたものがペンギンモデルである．北極点から大砲の弾を発射するモデルが良く見られるが，流石に滞空時間がとなり，拡張螺旋expanding spiralとなる．
図14に，原点から慣性座標の y 軸方向に速度v0の慣性

12時間の砲弾は想定しにくいので，大砲の弾のブーメラ運動をする物体の軌跡である拡張螺旋を示す．図14には，ン効果を説くような解説は見かけない．

コリオリ力による慣性円も示す．拡張螺旋と慣性円の差が遠心力を意味する．

６．
２

拡張螺旋と慣性円

eq.（16）（17）において，コリオリ力以外の力が一切

この問題を厳密に考察するためには，慣性座標系の原存在しない場合には，運動方程式は

点Ｏを通って慣性座標系の y 軸方向に速度v0の慣性運動

eq.（76）をする物体を，原点Ｏを共有する回転系から観察する必要がある．慣性直交座標を局所直交座標に

eq.（77）変換する関係式はと記載される．eq.（77）を積分して得られる次式
eq.（72）と表される．慣性座標系の原点Ｏを通って慣性座標系のeq.（78）をeq.（76）に代入すると，

y 軸方向に速度v0の慣性運動をする物体を，回転系から

eq.（79）観察すると，

が得られる．eq.（79）は明確な単振動の方程式である．
eq.（73）なので，局所直交座標

を慣性直交座標

従って，解はeq.（80）に変換する関係式はと表される円軌道となり，慣性円と呼ばれる．
eq.（74）となる．辺々自乗して加えると慣性系で完全静止している物体
eq.（81）97

立正大学環境システム学科において最近15年間に実践されたコリオリ力の異なる教授法の比較（中川）分的な見方，そして，小笠原・桜庭（1959）は角運動量保存則などを用いた物理的な見方に立っている．
地球断面を想定する小笠原・桜庭（1959）以外は，平面回転盤を想定している．平面回転盤を提示すると，多くの学生はこれを回転盤の中心を地軸と地表面の交点とする北半球地表面のモデルと想定する素朴な誤謬を行いがちである．しかし，平面回転盤と実際の地表面とでは決定的な相違が存在する．地軸との交点を中心とする
地表面に作用する南方向の遠心力は地球の引力の地表面方向成分と釣合うため，地表面南方向の慣性力は発生しないが，平面回転盤上では回転盤中心の周りを回転することによる慣性力をキャンセルする力は存在しないため，
平面回転盤縁方向の慣性力が発生する．このため，平面回転盤上で地表面に生起する現象を実験的に正確に再現できるのは，遠心力の効果を無視できる，回転盤の回転
図14

回転中心からの拡張螺旋○と慣性円●および両者の差として求めた遠心力○の比較

中心近傍のみに限定される．
「基礎物理学」と「気候・気象学」は，具体的な物体の運動を扱うことなく，数式の変形により回転座標系上の運動方程式を求めている．これに対して，「気象と水を回転系から見ると，の科学」と小笠原・桜庭（1959）は慣性運動する物体を
eq.（82）

扱い，Persson（2015）は回転系上で等速直線運動する物体を扱っている．
「基礎物理学」と「気候・気象学」は，自然科学教育となる．辺々自乗して加えると
eq.（83）としては，定番の教授法である．いずれも吉﨑（2013）のいう微分的な見方をとっているため，微分・積分学にとなり，回転中心から一定の距離を回転系の回転方向と関する基礎的な知識・計算技術が必須である．そもそも，は逆方向に角速度ωで回転する円軌道を描き定常状態を前提となっている２階常微分方程式となる運動方程式そ保つ．木村（1973）は，これを，回転系上の観察者はのものを未修得の学生がいることが大きな問題である．

「この物体には半径方向外向きに場の遠心力および物体

このため，「基礎物理学」においても「気候・気象学」

が回転運動をしていることによって生じる遠心力が働くにおいても，授業は運動方程式の学習から始めざるを得ととともに，回転の中心方向に働く転向（コリオリ）力ないのが実情である．「基礎物理学」は，さらに，慣性が働き，両者が釣り合っている」と認識すると指摘して座標系と回転座標系の間の座標変換に関する知識・技術

いる．場の遠心力は木村（1973）による造語である．

が必要となる一方，「気候・気象学」は回転ベクトルを含むベクトル解析の知識・技術が必要となる．座標変換

６．
３

微分学的説明と幾何学的説明

筆者（中川 2015a, b）は，教員養成系大学や理学環境

は高等学校数学で既修の学生もいるが，回転ベクトルを含むベクトル解析が既修の学生はほぼ存在しない．

系学科所属の初年次学生のような真の初学者にも「ユリ初学者向けの教育という観点からは，いくつかの問題

イカ」との声を上げさせる，コリオリ力の定性的な説明点がある．聴講学生は慣性系における運動方程式の誘導ではなく定量的説明法の試みとして，「気象と水の科学」の段階までは大きな戸惑いは生じないようであるが，数による教授法を位置付けた．

式変形の連続となるその後の展開においては，個々の物本稿がとりあげた「気象と水の科学」を含む５種類の体の具体的な運動のイメージと対応させることが困難な

コリオリ力の教授法は，いずれも，定量的な扱いをしてため，最終的結論に対する物理的イメージを得ることがおり，「気象と水の科学」とPersson（2015）は１秒間の困難となっているように思料される．

差分的な見方，「基礎物理学」と「気候・気象学」は微98

本稿が取り上げた５種類のコリオリ力の教授法はいず地球環境研究，Vol.22（2020）

れも現実空間における実験的操作ではなく観念上の思考討を行った．

によるものなので，作用する力は適宜仮定したり無視しその結果，今回検討した５種類のコリオリ力教授法にたりできる．つまり，コリオリ力は残すが遠心力は意図

はそれぞれ一長一短があるが，定量的な表現の導出にお的に無視して議論することが可能である．

いては，大学入学初年度生の数学や物理学に関する基礎的知識・技術の修得状況を考慮すると，幾何学的手

６．
４

トルクの有無法を用いる「気象と水の科学」の方法やPersson（2015,「気象と水の科学」とPersson（2015）は，ともに地球

2017）の方法が適しているように思料された．特に，場の引力の水平成分が場の遠心力と等しい回転平面とみなの遠心力や接線方向の運動に対するコリオリ力の場合

せる地表面上で単独の物体の軌跡を追いながら幾何学的には，ピタゴラスの定理を用いるPersson（2015, 2017）

手法によりコリオリ力の定量的な表現に到達させるものの方法が最も学生に理解され易いように思料された．ベであるので最終的結論に対する物理的イメージは修得しクトルの合成によって説明する「気象と水の科学」の易いと思料されるものの，両者の論理展開には大きな相方法も学生に理解され易いが，曲率項も導出できる面

違点がある．「気象と水の科学」は回転平面上で相対慣において，Persson（2015, 2017）の方法の方が優れて性運動する物体が目的地点から変位した地点に到達する

いるように思料された．動径方向への運動に対しては，ように見える問題を議論しているのに対して，Persson

Persson（2015, 2017）の方法を以ってしても，正確な（2015）はトルクを受けながら回転平面上で相対直進運

曲率項の導出はできなかった．数学や物理に関する充分動する物体が予定通り目的地点に到着するために必要なな知識・技術が修得された後であれば，コリオリ力の定加速度を議論している．Persson（2015）が議論してい量的表現の導出としては「気候・気象学」の方法が最適

る加速度はコリオリ加速度と呼ばれ，コリオリ加速度がと思料されるが，同方法では曲率項を導出することは困発生している物体からみると，コリオリ加速度と逆向き

難と思料される．

の加速度を発生させる慣性力であるコリオリ力が作用している，と説明する．
「気象と水の科学」は，相対慣性

謝辞

運動する物体が進行方向右90°の方向にコリオリ力を受

立正大学地球環境科学部環境システム学科助教の平田けたため実際の到着地点が目的地点から変位した，と説英隆博士には，気象学におけるコリオリ力の取扱いにつ明する．

いて種々ご議論頂いた．匿名の査読者によるコメントは「気象と水の科学」の教授法乃至はPersson（2015）の原稿改良に大変役立った．記して深謝の意を表します．

方法，いずれの教授法でもコリオリ力の定量的表示を幾
何学的に求めることができ，物理学的には妥当である

文献

が，気象学をはじめとする地球回転流体力学では「気象American Meteorological Society （2000）：Coriolisと水の科学」における説明が一般的である．ただし，東Effect. American Meteorological Society Glossary of

西方向の相対運動の幾何学的説明に限定すると，コリオ
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るPersson（2015）の方法の方が優れているように思料

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される．しかしながら，南北方向の相対運動に関しては，

Coriolis, G. G. （1835）：Mémoire sur les équations duPersson（2015）においても曲率項の定量的表現は導出

mouvement relatif des systèmes de corps. Journal de

できていない．

L’
École Royale Polytechnique . 15, 144-154.
Gordon, A., W. Grace, P. Schwerdtfeger, and R. Byron-Scott（1998）：Dynamic Meteorology A Basic Course. Arnold,

Ⅶ．おわりに筆者が立正大学地球環境科学部環境システム学科において教鞭をとった最近15年間に実践してきた３種類のコ
リオリ力教授法と機会があれば実践してみたいと考えていた２種類のコリオリ力教授法を整理し，若干の比較検325pp．
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地球環境研究，Vol.22（2020）

Comparing Different Explanations of the Coriolis Force
Practiced in Department of Environment Systems, Rissho University,in the Last Decade and a Half
NAKAGAWA Kiyotaka＊＊Department of Environment Systems, Faculty of Geo-Environmental Science, Rissho University

Abstract：
The present study compared three kinds of teaching methods on Coriolis effect and/or force that were practiced
in three classes such as“Sciences of Atmospheric State and Water”,“Fundamental Physics”,and“Climatology andMeteorology”, at Department of Environment Systems, Faculty of Geo-Environmental Science, Rissho University,by the author in the last 15 years, and two other kinds of methods proposed by Persson（2015, 2017）andOgasawara and Sakuraba（1959）, that the author had wanted to teach if there was an opportunity.
As a result, each of the five methods examined in the present study had advantages and disadvantages.
Considering the acquisition of basic knowledge and skills in mathematics and physics in first-year university
students, it was concluded that the methods of“Sciences of Atmospheric State and Water”and Persson（2015,2017）using the geometric technique were suitable.
Particularly, in the case of deriving an expression of the centrifugal force and/or Coriolis force for a body
moving with a tangential velocity relative to the rotational velocity, a method of Persson（2015, 2017）using the
Pythagorean theorem was the easiest to be understood by students. The author’s teaching method used in theclass“Sciences of Atmospheric State and Water”was also easy to be understood by students, but it could notderive the metric terms so that a method of Persson（2015, 2017）was superior to the author’s method. However,in the case of deriving an expression of the Coriolis force for a radially moving body, a method of Persson（2015,2017）was also not able to derive metric terms exactly.
Key words: Coriolis force, different explanations, geometrical method, differential method,
coordinate transformation, absolute angular momentum conservation

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