A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSEM ARC D ELÉGLISE
Encadrement de la fonction sommatoire des inverses
des termes d’une progression arithmétique
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6e série, tome 5, no 3
(1996), p. 471-492<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1996_6_5_3_471_0>© Université Paul Sabatier, 1996, tous droits réservés.
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Annales de la Faculté des Sciences de ToulouseVol. V, n° 3, 1996

Encadrement de la fonction sommatoire
des inverses des termesd’une progression

arithmétique(*)

MARC DELÉGLISE(1)RÉSUMÉ. - Soient a, b, x > 0. Nous écrivons

Nous prouvons

avec

et les inégalités, vérifiées pour tout a, b, x > 0,

ABSTRACT. - Let a, b, x > 0.

write(*)} Reçu le 1 er juin 1994
(1) Département de Mathématiques, Université Lyon I, 43 boulevard du 11 Novembre
1918, F-69622 Villeurbanne Cedex (France)- 471 -

We provewithand the inequalities, true for all a, b, x > 0,

0. Introduction

On sait que A(n) =dont les premiers termes sont

où ’Y

=

0, 577,...

admet un développement asymptotique

est la constante d’Euler. Ce développement peut êtreobtenu de diverses façons, en particulier par la formule sommatoire d’Euler
MacLaurin. Il en résulte queDans la pratique on est parfois amené à considérer la sommex étant un nombre réel positif quelconque dont on ne connaît pas la partie
entière. Il est alors utile d’obtenir un encadrement de A(x). On se propose
de prouver ici qu’en remplaçant le terme -1 /2n qui figure dans (1) par letermequi se réduit à -1/2x quand x est entier, on obtientencore un encadrement de A(x) de précision O(1/~2), plus précisément :~~x~ - 1/2)/x,

pour tout x positif. Il est assez naturel d’élargir un peu le problème et de
se demander ce qui se passe si on remplace la suite des entiers naturels parla progression arithmétique+a, b > 0.

(a

Pour tous a, b, .c réels > 0 on pose donc

L’objet de ce travail est la démonstration de la proposition 1 et duthéorème 2 ci-dessous. Dans le cas a = b = 1, ces deux énoncés contiennent(2). Nous nous attendions à trouver une démonstration assez simple duthéorème 1; nous n’y sommes pas parvenus ; la démonstration obtenue est
assez calculatoire, et nous avons effectué les calculs en utilisant l’outil decalcul formel Maple.
Les constantes 1 a,b introduites dans la proposition 1 sont étroitement
liées à la fonction
dérivée logarithmique de la fonction F. On a en=effet
On pourra trouver dans [2] des propriétés desconstantes d’Euler
pour a, b entiers. En particulier on y donne unedémonstration élémentaire de la formule de Gauss qui donne les valeurs en
les points rationnels de la fonction ~PROPOSITION 1.2014 On notela partie entière de x et par {x} sa=
On apartie fractionnaire, c’est-à-dire {x} x
-

.

en

posantTHÉORÈME 1. - Pour tous a, b, ~ > 0 on a l’encadrement

et les coefficients deb / x2 dans cet encadrement sont optimaux.

1. Rappels sur les polynômes et les fonctions de Bernoulli

Soit P~ la suite des polynômes de Bernoulli :~ ~t ~ )I ~2k(~) (et t ~ Pk (t ) la suite des fonctions de Bernoulli définies par Pk (t ) = P k.

nombre de Bernoulli, c’est-à-dire Bk
On notera aussi Bk le
On a B1 = 1/6 et B2 = 1/30. On rappelle sous forme de lemme les propriétésdes fonctions de Bernoulli qu’on utilisera dans la suite. On pourra consulter=

par exemple ~1] .

LEMME 1

1) Sur chaque intervalle ouvert ] n n + 1 [ Pk est dérivable, de dérivée,,

sur R.

kPk-1 pour k > 2, Pk est de classe~~ Pour tout l~ > 1, P2k+1 (O) P2k+1 ( 1) ~~~ Pour tout ~ > 1, P2k(0) P2k(1) ~-1)~’ Bk.
,~~ Pour tout k > 1,
I est majoré par Bk
=

=

=

=

.

LEMME 2.
Soit f une fonction de classe C2 et intégrable sur [m, ~ [On suppose en outre que la dérivée f’~ a une limite nulle à l’infini. Alors,
et tout entier k > 1 on apour tout entier m-.

De plus, si f « est de signe constant, dans le second membre de(9) le premierterme de la somme est plus grand que le second en valeur absolue. La somme
est donc du signe du premier terme.

On en déduit le corollaire suivant.

COROLLAIRE 1.
sur~ m , oo ~[-Si f est une fonction convexe de classe C2 intégrable

et de dérivée nulle à l’infini alors

est du signe de P2k(0).

Démonstration
Le corollaire résulte du lemme 2 en remarquant quede~-1~’~ f’ est du signequi, par le lemme 1.3, est encore le signe de P2k(0).

Démonstration du lemme ~- Une première intégration par parties
donne

en

remarquant quepar parties donne alors :s’annule en m car k ~ 1. Une deuxième intégration

Si f" est de signe constant, la dernière intégrale est majorée en valeur
du soit par
absolue par la valeur absolue de l’intégrale
La quantité entre accolades est donc du même signe que!~+l/~)!’.

~_ 1~ ~.. Bk+1.~ ym).

.

2. Quelques identités vérifiées par Ja,b

On montre ici que l’étude de J~,b(~), défini par (7), se ramène à celle deEn effet, on a le résultat suivant.
LEMME 3.2014 On a les identités:Démonstration. La première identité résulte de ce que (ua) /b etidentitédeuxième
La
fractionnaire.
(u a bn)/b ont la même partie
s’obtient par le changement de variable t = u/b dans l’intégrale (7), quiet la troisième par le changement de variable t = u/a.
donne
-

-

-

Pour démontrer le théorème 1 on peut supposer sans
COROLLAIRE 2.
nuire à la généralité que b = 1 et que 0
a 1.
2014

Par (10) on peut, sans nuire à la généralité, supposer a b et supposantle théorème 1 vrai dans le cas où b = 1, on a alors en utilisant ( 11 ) :et de même pour la minoration.

3. Démonstration de la proposition 1

Si x ~ a, en utilisant l’intégrale de Stieltjes, (3) devient :Remplaçant

par t

-

~~~, on obtient

En remplaçant dans l’intégrale

ci-dessus ~ (u - a)/b } parcela s’écrit encore

et la proposition 1 est démontrée pour x > a.

Dans le cas x

a on aet on termine comme dans le cas a~ .0

4. Formule d’Euler-MacLaurin deJa,b(X)

La fonction J a b est continue sur M~. En un point .r qui n’est pas de laforme a + bn, Ja,b a pour dérivée
Chaque point ~de la forme a + bn est un point anguleux, avec une dérivée à gauche égale
Il en résulte que laet une dérivée à droite égale ààenminimumavec
unfonction J a,b est oscillantechaque point de la forme(1 /2 - {(x - a) /b ~ ~ /x2-1/(2x2),

1/(2x2).

a + bn et avec un maximum en chaque point de la forme a+bn+b/2. Ja~b (X )s’écrit :Une intégration par parties donne alors, avec le lemme 1.1 :En répétant l’intégration par parties on obtient plus généralement :Si dans cette formule on fait r = 3 on obtient (en posant u = { (~ - a)/b ~ ):Si x = a + bn, u = 0 et lorsque n tend vers l’infini :Si x tend vers l’infini avec u = 1/2 on a

Il résulte de (16) et (17) que les constantes -b/ 12 et b/24 qui figurent dansle théorème 1 sont optimales.

5. Minoration deDorénavant on supposera que b = 1 et 0 a 1, ce qui ne nuit pas àla généralité d’après le corollaire 2 du lemme 3. On posera J(x) =dans toute la suite.
LEMME 4.

-

En tout point an = a + n, n > 0, on a

Démonstration.

-

On part de la formule (13) avec b = 1 :Lorsque x = an, x - a = n est un entier et P2(x-a) = 1/û. Par le corollairedu lemme 2 l’intégrale dans (18) est positive.
PROPOSITION 2. - On a pour tout a, x > 0:

Démonstration.
Il faut montrer que (19) reste vrai pour les x qui nesont pas de la forme a + n. Posons pour cela g(x) = J(x) + 1/(12 x2).
Il faut montrer que la fonction g( x) reste positive sur chaque intervale+ n , a + (n + 1) et aussi sur l’intervalle 0 , a ~. Or g[an,
est dérivable sur ces intervalles, de dérivée
-

~a

~

(Si l’intervalle considéré est l’intervalle ]0 , a]on prend an = a - 1.) Cette
dérivée est du signe de
i

,

~

,

qui prend la valeur an/2 - 1/6 en an et la valeur négative -an+1 /2 - 1/6
en

a n+1 . On a alors :n > 1 et la dérivée de g est positive puis
négative ; le minimum de g est donc atteint en l’un des deux points an1) si n > 1 alors an=a +et an+l;2) si n = 0 :si a > 1/3, g commence par croître, puis décroît sur [a,a + 1] ; leminimum de g est donc atteint en ao ou en ai ;. si a1 /3, g décroît sur tout l’intervalle [a,a + 1] ; son minimum
est atteint en a + 1 ;.

3) si l’intervalle considéré est l’intervalle [0,a], g’(x) est du signe de.c(a2014l/22014.r)2014l/6; ce trinôme atteint son maximum en .c (a/220141/4)=

et ce maximum est

car 0

1 ; g est donc décroissante sur0 , a] et le minimum de gaatteint en a.
Le minimum absolu de g est donc atteint en l’un des an avec n > 0 et lelemme 4 achève la démonstration de la proposition 2. D

6. Une minoration de=

1/(24 x2) - J(~)

LEMME 5.2014 Pour tout n > 0, soit xn l’unique solution dans l’intervalle
1 , a + n ~ de l’équation, an ] = ~ a + n-

et soit un

=

~~n

-

a~; un vérifie 1/2=, an ] la fonction
àdecroissante~nan.
~~, puis1/(24 x2) -un2/3. Sur l’intervalleJ(x) est décroissante de an-1 à.

Démonstration.. - La dérivée de t~ est, pour x non entier,elle est du signe deSur l’intervalle, an ~ cette quantité croît de -1/2 - 1/(12 an_1)
jusqu’à -1/2 - 1/(12 an). Cette dernière quantité est positive car an est
au moins égal à a + 1. La fonction h commence donc
par décroître surl’intervallean]puis croît à partir de la valeur Xn solution de (20).
Il résulte de (20) que un = {xn - a} = (xn vérifie un > 1/2. Ceci
entraîne
__LEMME ~.
Reprenant les notations du lemme précédent : soit n > 1
et xn l’abscisse du minimum de h sur l’intervalle, an~ et soit
-

un =

{xn

-

a}

=

(xn

-

Alors, lorsque a décrit l’intervalle ] 0 , 1],

est une fonction croissante de a ;sont des fonctions décroissantes de a ;3) 1/x1 et (a + l)/.ci sont majorés par2, (a +

4/3 ;5) pour tout n > 1, (a + n)/xn
Démonstration.

-;

1, 583.

xn est la racine positive de l’équation

On en déduit l’expression de xn

En faisant n = 1 on obtient alors successivement :étant des fonctions
etCela donne les deux premiers points.
décroissantes de a, leur maximum est atteint en a = 0. Cela donne le 6.3.
Par le lemme précédent, ~n est supérieur à a + n - 1/2 et, si n > 2 on a :et cela termine la démonstration du quatrième point. Le cinquième résultede 3 et 4.

Soit z4 = 0, 759... l’unique racine de P4(x) comprise entre, an ~ (cf.
0, 5 et 1, et xn l’abscisse du minimum de h sur l’intervallelemme 5). h(xn} vérifie la minoration :LEMME 7.

-

Démonstration.. - Posons, comme dans le lemme 5, un =xn(n - 1 . La formule (14) avec k = 4 donne pour J(xn) la valeur-=

Si, dans (22), on substitue à un sa va.leur un(20), on obtient, à l’aide de Maple :=1/2 + 1/(12 ~n) tirée deEffectuons dans l’intégrale le changement de variable
donne

cela

Par le corollaire 1 du lemme 2, la dernière intégrale est négative et
est minoré par

Entre z4 et 1, P4(u) est négatif, et+

n~5,

on a donc :1/ ~a +n -1 +u~ 5 est minoré par

en utilisant le lemme 6.

Cela donne pourla minoration :On en déduit (21) en minorant (a -I- n - 1 + u) par a -I- n - 1-+ un = ~n sur
l’intervalle, z~ ~.

7. Minoration de h(x) =1/(24x2) - J(x) sur [a ,+00[

Dans cette section on prouve la proposition suivante.
PROPOSITION 3.2014 Soit 0a1. Alors on apour tout x E [ a-I-oo ~ .

Démonstration.. - On part de la minoration (21). Par le lemme 5,

Sur cet intervalle, P4 prend des valeurs positives ; on a donc

Si on substitue ce majorant à l’intégrale dans la minoration (21) on obtient :est plus petit que 0, 774. Il
Il en résulte que h(xn) est positif dès que
suffit pour cela que ~n soit au moins égal à 1,3. Si n > 2 cela est vérifié
quel que soit a car Xn est au moins égal à a + n - 1/2 > 1, 5.

Pour terminer la démonstration on peut donc supposer n = 1. Le lemme
est majoré par 0,774 si a est minoré par
6.1 montre que le rapport
0, 73. On peut donc supposer a 0, 73. Mais le 6.2 montre que sous cettecondition ui > 0, 564. Cela permet d’améliorer la majoration de l’intégrale
figurant dans (21) :et, par (21), avec cette nouvelle majoration de l’intégrale :est positif pourvu que le rapport l/.ci ne dépasse pas 1,14 Il suffit
pour cela, par le lemme 6.1, que a soit supérieur à 0, 29. On recommence en

supposant a0, 29 ; d’où, par le lemme 6.2, ui > 0, 594 et

Cette nouvelle majoration et la formule (21) donnent une nouvelle minoration de:et ceci reste positif pourvu quene dépasse pas 1, 39. Il suffit pour
le
lemme
a
cela, par6.1, que0, 11. On recommence une dernière fois en
supposant a 0, 11 d’où ui > 0, 614 et

et le second membre est positif pourvu que 1/x1 ne dépasse pas 1, 59, ce

qui est toujours vérifié par le lemme 6.5.

8. Minoration de h sur 0 , a ~[LEMME 8. Soit h. la fonction x E--~

1/(24 x2) - J(x).

1~ Si 0 a 1/f~, h est décroissante sur ~ 0 , a ~.
2) Si 1/6 a, il existe un point xo(a) dans l’intervalle ] 0 , a ] en lequelh atteint son minimum sur ~ 0 , a ~. On note uQ la partie fractionnairede xo. Alors:~a~ la valeur~b~ uo est une fonction décroissante de a ;(c) xo est une fonction croissante de a ?
est une fonction décroissante de a ;(d) (a +(e~ (a + 1~4 > 100 xô pour tout a > 1/6 ;z2 les deux racines dans ~ 0 , 1] de P2(u) ; pour(f) soient z1
a1/2, uo(a) z2.
;==.Démonstration.. - Pour x E ~ 0 , a ~, ~~de h( x) sur l’intervalle 0 , a ~

-

a~

=

1 + ~x-a) et la dérivéeest :Le crochet croît de -oo à 1/2-1/(12 a) sur l’intervalle] 0 , a]. Si a 1/6 leest donc minimum
crochet est négatif pour tout x de] 0 , a ] ; la fonction
en x = a.

Supposons maintenant 1/6 a 1. Dans ce cas la fonction h passe par
un minimum en le point xo de] 0 , asolution de

La solution est

La dérivée de xo est

Elle est positive et majorée par 1. La partie fractionnaire de zo - a est

uo est donc décroissant.

Enfin la dérivée de (a +est

Le numérateur de la fraction est supérieur à 9 ~ - 13 ~ . La fonction(a + 1)/xo est donc décroissante et atteint son minimum en a = l.

a ~.

LEMME 9.
Soit a > 1/6. Soit xQ défini dans’le lemme précédent
comme l’abscisse du minimum desur l’intervalle ~ 0, a ~. On a la-majoration:.Démonstration.. - Par le lemme 2 l’intégrale est positive majorée paren utilisantle (e) du lemme 8.

LEMME 10.
Si a > 1/6 et si ~o est l’abscisse du minimun de h surl’intervalle ] 0 , a] on a :-,Pour démontrer (27) pour tous les a de l’intervalle
Démonstration.
~ 1/~ , 1 ~] on va exhiber un ensemble d’intervallesa1 , a2] qui recouvrent[1/6, 1] et sur chacun desquels (27) est vérifiée.
-

Sur l’intervalle[ al, a2 ] , par le lemme 8 (c), on a en posant x~ _ ~o(a2) ::La majoration dupremier membre de ~27) est plus fastidieuse, car lequotientr,,B

est fonction croissante, ou décroissante de a selon le signe de P2(u). Ceci

oblige à découper l’intervalle d’intégration en intervalles sur lesquels
P2 garde un signe constant. P2(u) est positif sur[0 , z1] etz2 , 1] et négatif

nous

,

surz1 , z2 ~ .
Majorationde 2 P2(u) (a-1+u)3)

du poura2 ] ~ [1/6 , 0, 5]

Si a Ea2] où a a 0, 5 et, par le lemme 8 (f), u0 ~ z2; on écrit
alors (après avoir fait le changement de variables v = u - 1 dans les trois
dernières intégrales) :En partant de l’encadrement
a a2, nous obtenons donc, en tenant
compte des signes des fractions, la majoration

La borne inférieure de la première intégrale, uo dépend de a. Si on pose

u~ = uo(a2) uo, on obtient enfin la majoration uniforme pour tous lesade [01,~2]::

Majoration de/ -20142014g~o(a 2014 1 + t)Si
est un intervalle contenu danson poseet on obtient de la même façon la majoration uniforme en a :[a1, a2][1/2, l],u’0=

Le tableau suivant donne les majorants Mal ,a2 du rapport

calculés par les formules ci-dessus, sur des intervallesa2] qui recouvrent
Tous
ces
sont
1
et
cela
termine la preuve
majorants
plus
petitsque[0, 1].
du lemme 10.
Démonstration du théorème 1.. - On sait déjà, par la proposition 3 que=
1/(24x2) - J(x) est positive sur ~ a , -~-oo ~ . Il reste à montrer que
h est positive sur] 0 , a]. Si a
1/6, par le lemme 8.1, h est décroissantesur JO, a ]. Son minimum sur cet intervalle est atteint en a ;; il est positif

h(x)

.

puisque h est positive sur[a, +00].

On peut donc supposer a > 1/6, et, puisque le minimum de h sur0 , a]]La formule (13)est atteint en xo, il faut montrer que J(xo)
1/(24

~Q).

donne :Par le changement de variablepar (26), cela donne :Par les lemmes 9 et 10 on a alorsqui termine la preuve du théorème 1. D

9. Calcul numérique deet de la constante ~ ~Bien que ceci ne soit pas utile à la démonstration du théorème 1,
donnons dans cette section quelques indications sur le calcul numériquede la constante 03B3a,b et de
Si dans la formule (14) on prend pour x un
nombre de la forme a + bm et pour r un entier pair r = 2p on obtient :et, par le lemme 2, la dernière intégrale est du signe deet majorée en valeur absolue par cette fraction. Autrement dit pour tout

entier positif p il existe un réel À compris entre 0 et 1 tel que :Pour calculer
on choisit donc un entier m tel que a+bm soit supérieur
à x et pas trop petit, et on écrit

On calcule l’intégrale directement et+par (28).

Pour calculer la,b la proposition 1 et l’égalité (28) donnent :l’erreur commise étant du signe du premier terme négligé et majorée
en valeur absolue par celui-ci. On donne ici les premiers termes de ce

développement :Fig.lGraphes de .T~x~, -1~(12 x2) et 1~(24x2~ pour a=b = 1 et 0, 4

x

2, 5.

Bibliographie
Divergent Series, Clarendon Press, Oxford, 1962.
[1] HARDY (G. H.) .
Euler constants for arithmetical progressions, Acta Arithme[2] LEHMER (D. H.) .
tica XXVII (1975), pp. 125-142.
2014

2014

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