クロススタッフによる測量（2 時間目）

授業者：御子柴2年

俊一（筑波大学大学院修士課程教育研究科 1 年）

氏名組番2 日目
０．はじめに

前回の授業でも見た、この絵をもう一度見てみよう。
前回の授業の中では、「太陽の高さを測っているのではないか」、「太陽の高度を測っているのではないか」などの意見が出ていた。

前回の授業では、クロススタッフで長さを測った。

今日は角度について調べていこう！

1１．クロススタッフの作り方
クロススタッフについてフランスの天文学者 Levi ben Gerson
が 1328 年に初めて記述した。その原典の英語訳を読んで解釈してみよう。

これからクロススタッフの作る方法を紹介する。表面が平らであり、長さを 6span 分取ったスタッフを使う。その幅は、1digitとする。スタッフの片方の端に 2 本の釘がはみでていて、1 つの釘は、観察している目の目頭に合わせ、もう 1 つの釘は、目に押し付けないように目尻に合わせるので、その釘の間の距離は 1digit より少しだけ長いような方法で、刻まれた小さなプレートを置く。それらの説明に従うと、観察者の頭の中にある視覚の中心から目に近づけているプレートの表面までの距離は、我々の勤勉さと努力を伴った実験結果により、ほとんどの人たちにとって 1/20span である。我々は、スタッフを 1span が 8unitになるような大きな unit で分けていく。そして、端から端までのスタッフ上に、目盛をとっていく。スタッフ上の unit は、スタッフから 1/20span 分越えた視覚の中心から始める。ゆえに、目に近い側の最初の unit は、span の 1/20 分とつなげると他の2unit と等しくなる。このような方法で書いていく。

スタッフの長さは？

スタッフの幅は？

最初の unit が他と比べて 1/20unit 小さいのはなぜ？

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それから、それぞれのunitの片側は 6 つの等しい部分に分けられ、もう片方の側は 12 の等しい部分に分けられる。我々は、unitの始めから、12 個に分けた最初の部分の端へ対角線を引く。それから、6 個の部分に分けた、最初の部分の端に対角線を引く。
そこから、12 個に分けた方の３番目の部分の端に対角線を引き、そこから 6 個に分けた 2 番目の部分へ、そこから、12 個に分けた方の 5 番目へ、などと書いていき、スタッフのそれぞれのunitに同じようにかく。すべての対角線はunitの 12 分の 1 ずつ跳ね返っていき、それは5minuteである。
下線部：5minute
当時は、数値を 60 進法で表していた。1 の 60 分の 1 を minute、その 60 分の 1 を second、さらにその 60 分の 1 を third と読んだ。ここでいう 5minute とは、unit の 60 分の５、すなわち 12分の 1 という意味である。

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長さ全体に対し unit に分けられたスタッフの幅を 5 つの部分に分けると、対角線は、それぞれがスタッフ上の 1unit の 1minuteを境とする 5 つの等しい部分に分けられる。
我々はそれから、真ん中に穴を空けた、たくさんのプレートを作る。スタッフはその穴に、押し付けられて通るようにする。
しかし我々は、あらゆる求められた方向にプレートが動かせるようにすべきである。それから、スタッフ上の unit の 24unit分の大きさのプレートを、スタッフの表面から、視覚の中心と同じ高さだけ上に出るようにおくべきである。同様に、
16unit,8unit,4unit,2unit のプレートがあるべきである。

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３．クロススタッフの使い方

我々は釘を目にできるだけ近づけ、プレートの上の表面から見て、片方の端が１つの星に、2 番目の星が逆側に、2 つの星が観察者によって、このプレートにさわるように、プレートを目から近づけたり遠ざけたりする。

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*great circle:大円…球を、中心を通る平面切ったときの切り口となる円。この場合、球は天球で、中心は観測者の目。

あなたが 2 つの星の、2 つの星を通る大円上での角度における距離を、観測の中で記録されたunitから知りたいときは、プレートまでの距離の平方と、プレートの半分の平方を足し、その和の平方根を取る。それがcorrected radius(訂正された半径)である。プレートのunitに 60 をかけて、corrected radiusで割りなさい。その結果が、我々がcorrected chord(訂正された弦)と呼んでいるものである。弧と弦の表から一致する弧を探せば、それが２つの星の、それらが通る大円上での距離である。

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角度の測り方
測りたいものがプレートの両端にあたるように、プレートを動かす。距離を測るときはプレートを固定して自分の足を動かしたが、角度の場合は観測者は立ち止まったまま、プレートを動かす。
corrected radius、corrected chord を計算して、弦の表で角度を調べる。

corrected radius、corrected chord とは？

8corrected radius の求め方
「プレートまでの距離の平方と、プレートの半分の平方を足し、その和の平方根を取る。それが corrected radius(訂正された半径)である。」
例えば、プレートの幅を 16unit、目からプレートまでの距離を29unit とすると、三平方の定理から corrected radius を求めることができる。corrected radius を R とすると、
R = 8 2 + 29 2 = 30.08 ⋅ ⋅ ⋅となる。
プトレマイオスの弦の表を使うと、半径を 60 p ( p というのはプ
トレマイオスが決めた半径の単位)としたときの、弧の大きさ(角度)に対する弦の大きさを調べることができる。
「プレートの unit に 60 をかけて、corrected radius で割りなさい。それが corrected chord である。
」というのはどういう計算をしているのだろう。
半径 R の円のときの弦の長さが 16unit である。これと同じ比で半径 60 unit のときの弦の長さを求める。それが correctedchord である。corrected chord を a とすると、(10 ページのスペースで四捨五入して小数第 2 位まで求めよう)9a = 31.17

さらに、弦の表は小数点以下を 60 進法で書かれているので、a の小数点以下を 60 進法で表す。
小数点以下 0.17 を 60 進法で表すと、60 × 0.17 = 10.2 。さらに、小数点以下 0.2 を 60 進法で表すと、 60 × 0.2 = 12 より、a = 31p 10' 12"となる。この a に近い数値をプトレマイオスの弦の表で探す。30°のときの弦が 31p 3' 30" 、30°30' のとき、31p 33' 50" なので、約 30°であることがわかる。

1011平方根の計算
corrected radius 求める中で、平方根の計算が必要になる。筆算で平方根を計算する方法を紹介する。
・開平法
例として、1234 の平方根を計算してみよう。

３３６５５７０１
１７０２２２７０２４…

３）１２９３３５． １
２３４．００ ００３４２５９７１
１０００１
９９４０４８００４４５６・・・…

（宿題）
次の数を、四捨五入して少数第 2 位まで計算せよ。
(1) 13(2)1288209

（参考）開平法(a + b + c + d + ⋅ ⋅ ⋅)2 = (a + b + c + d + ⋅ ⋅ ⋅)(a + b + c + d + ⋅ ⋅ ⋅)= a 2 + 2ab + 2ac + 2ad + ⋅ ⋅ ⋅b 2 + 2bc + 2bd + ⋅ ⋅ ⋅c 2 + 2cd + ⋅ ⋅ ⋅d 2 + ⋅⋅⋅= a 2 + b(2a + b )+ c{2(a + b ) + c}+ d {2(a + b + c ) + d }+ ⋅⋅⋅と展開できることを利用して、 X に対して、X = a + b + c + d + ⋅ ⋅ ⋅ を計算していく方法である。

6 ページの例では、
３）１２３３６５５９３３５． １
２３４．００ ００

a2
３４２５b(2a + b )７０１
１

９７０００１

７０２２２１１

９９４０

７０２４…

・・・

c{2(a + b ) + c}

００４４４８５６d {2(a + b + c ) + d }…

−1となり、 a = 3× 10 、 b = 5 、 c = 1 × 10 、 d = 2 × 10 −2 、…と、対応させることができる。

次回は実際に角度をはかってみよう！

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