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Partitions sans petites parts
par ELIE MOSAKI, JEAN-LOUIS NICOLAS et ANDRÁS SÁRKÖZYRÉSUMÉ. On désigne par r(n, m) le nombre de partitions de l’entier n en parts supérieures ou égales à m. En partant de l’estimation asymptotique de r(n, m) exprimée à l’aide d’un paramètre
03C3 défini

implicitement en fonction de n et m, nous éliminons ce
paramètre en utilisant la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin,
pour obtenir un développement asymptotique de r(n, m) valable
m ~ 0393~n, 0393 étant un réel quelconque.
pour n ~ +~, et 1

ABSTRACT. Let r(n, m) denote the number of partitions of n into
parts, each of which is at least m. Starting from the asymptotic
estimate of r(n, m) which use a parameter 03C3 implicitely defined interms of m and n, we eliminate this parameter by using the EulerMaclaurin formula, and obtain an asymptotics for r(n, m) in termsof m and n only, which holds for n ~ +~, and 1 ~ m
0393~m,where 0393 is a given real.

1. Introduction

On désignera par N l’ensemble des entiers positifs ou nuls, et N* l’ensemble des entiers strictement positifs.
Soit p(n) le nombre de partitions de l’entier naturel n, c’est-à-dire,

Hardy et Ramanujan (voir [4]) ont étudié le comportement asymptotiquede p(n) quand n tend vers l’infini, et on a par exemple

Dans tout cet article, la constante c aura la valeur donnée ci-dessus.
On définit respectivement r(n, m) le nombre de partitions de l’entier natureln en parts supérieures ou égales à m, et q(n, m) le nombre de partitions deManuscrit reçu le 23 juin 2003.
Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Girard Desargues, UMR 5028, et the
Hungarian National Fondation for Scientific Research, grant No. T043623.

608

l’entier naturel n en parts distinctes supérieures ou égales à m, m étant unréel supérieur ou égal à 1, c’est-à-dire,r(n, m)q(n, m)=1 1(il, .... i,) E
1 {(il, - - .,=zi+’"+Zr~ ~ il irre N*} 1,

ir, r E N*l 1
Le but du présent article est de donner un développement asymptotique
=

...

=

.

de r (n, m) uniformément en m , 1 m ~ ]Pn 1/21 F étant un réel fixé.
Le résultat de base est le théorème Nicolas-Sàxkbzy (voir [9]) dont nous
donnons une version un peu modifiée qui améliore sensiblement l’estimation
du reste (pour les détails voir [8]), ce reste E (voir ci-après) demeurant
maintenant le même au voisinage de met étant valable pour desvaleurs de m encore plus proches de n :=Théorème 1.1. Il existe des réels
si LxA(h, l)î)d(x, z)j4(A,i)A(x, z)i) où AL(,
Exi d(a;,i=&#x26; k 3 ,+oo ,où a et B sont donnés paravec

et pour tout r réel assez grand,

on a(x, y) ~ N2 @ y E [1, z], tel que,@=pour tout
E n jh=(_i) alors ., Pour

609

ceci uniformément pour rra tel que 1m ~(Io;n)3 e(n) ,désignen’importe quell e suite tend ant vers 0 quand n tend vers +00.

L’analogue pour la fonction q(n, m) est le théorème de Freiman et Pitman(voir [3]) :quand n -~ +oo , on aet B sont donnés paretetuniformément pour m tel que

Ici Ko et les constantes implicites dans l’estimation de E sont des constantes
positives indépendantes de m et n.
Les résultats que nous obtiendrons amélioreront ceux obtenus par
Dixmier-Nicolas en 1987 (voir [2]) : uniformément pour 1 m@

Ils généraliseront également les résultats obtenus par Dixmier-Nicolas en
1990 (voir [1]) :610où g est une fonction particulière dont nous rappellerons les principales
propriétés un peu plus loin dans l’article.

si

A partir du théorème de Nicolas-Sàrkôzy, nous allons exprimer r (n, m)
n et m en éliminant le paramètre ~.
Nous étudierons simplement le cas mle casm ~ n,
avec r réel positif assez grand, sera examiné dans un article ultérieur.
La méthode que nous employons ici pourrait s’appliquer également à lafonction q (n, m) étudiée par Freiman et Pitman, et tous leurs résultats
peuvent être retrouvés et approfondis.
Enonçons le théorème principal :en fonction de=O(nl/2) ;Théorème 1.2. Soit2, réel aussi grand que l’on veut. Pour tout
~ E N, on a uniformément pour m

où A

=

m , et g, 90,

%fn-’

... ,

9t sont anal ytiques sur R+.

De façon plus précise pour 9 et go, on a pour tout x positif ou nul,’

où les fonctions g et H seront définies au paragraphe 2.
En particulier, si x tend vers 0, on obtient des développements limités à
tout ordre de 9 et go, qu’on écrira plus loin dans l’article.

611

Nous démontrerons au paragraphe 3 le théorème 1.2 en appliquant lesoit k &#x3E; 1 -~ 2 (.~ + 1)
théorème 1.1
2f+3; k 2.~ + 4
conviendra.
L’outil principal pour la démonstration du théorème 1.2 est la formule
sommatoire d’Euler-Maclaurin qui va nous permettre d’évaluer , donné

pour &#x3E; ~ 21 ,,.

par (1.2), à partir de=nl’intégrale n
,.

,

m

t

,

=

...

dt, et l’utilisation de la formule
eot - 1de Taylor.
L’utilisation de Maple a été une source de vérification efhcace pour tous
nos calculs.

Quelques fonctions utiles
Avant de démontrer le théorème 1.2, nous allons introduire certaines
fonctions utiles, déjà étudiées par G. Szekeres (voir [10] et [11]).
2.

2.1.

Soit, pour x réel,

On a, pour x &#x3E; 0,

et en particulier,D’autre part, par (2.1) et (2.3),ttfonction pt ’2013 201320132013 2013 - est une£..
1 fait£. queue t
En utilisant lepaire,’ on obtient2
et - 1-pour x réel,

La fonction F est analytique sur ? et strictement décroissante de +00 à 0.

On connaît le développement en série entière de t

2013 -r2013-

défini à l’aide

et - 1
des nombres de Bernoulli Bn qui seront introduits en 3.1 et on obtient alorscelui de F en utilisant la formule (2.4) :612

On a par exemple :Lorsque z -2.2.

on obtient avec

(2.2),On pose alors pour x réel,

La fonction G est analytique sur R, et

soit, à l’aide d’une intégration par parties dans la définition (2.1) de F,

Or à l’aide de la définition (2.8) de G et de (2.5), on aet de plus

donc G réalise une bijection croissante due ? dans ] - v’2, +oo[.
Un développement limité de F en 0 fournit un développement limité de G
en 0 et l’on a par exemple le développement limité de G à l’ordre 4 en 0 :Tous les coefficients de ce développement limité sont des fractions rationnelles en c.

G-1 - H est strictement croissante deOn peut alors définir H
lI8
sur
et
analytique sur ] - V2, +oc[ . On obtient par un]d’inversion
procédé classique(cf Knuth [7], §4.7), par exemple re-injections
2.3.

=

-

.

613

dans (2.9), un développement limité en 0 de H :A nouveau, tous les coefficients de ce développement limité sont des fractions rationnelles en c.
De plus si x &#x3E; -y’2 , H(x) vérifie(en appliquant
2.4.

1

Pour À &#x3E; 0 , posons

On donne une autre expression de g qui nous sera utile par la suite ; pourcela, effectuons une intégration par parties dans (2.11) pour obtenir

et finalement, en reprenant (2.12),

Rappelons que H est analytique en 0, et s’annule en 0 (en considérant

(2.10) par exemple). En mettant (2.12) sous la forme

614

que ,B 1---+ g(À) - À log À est analytique en 0, donc de la forme
an An . Et on a, en utilisant (2.10),

on obtientles ai étant des fractions rationnelles en c=v6 (i &#x3E; 2).

Proposition 2.1. La fonction g définie par (2.12) coïncide avec la fonction
g de la formule (1.7) : si m.~~ , ~ &#x3E; 0 ,=Démonstration. D’après la preuve du théorème 2.15 de [1], il suffit de montrer que g vérifie les conditions suivantes :
/....
1

""-

~

1

-

Les trois conditions (i), (ii), (iii) s’obtiennent facilement puisque quand- 0 , log. -- 0 et g’()log a + 1 +Il nous reste à démontrer (iv) : pour À &#x3E; 0 , on a :=Or, par (2.11), on obtient, si x &#x3E; 0 :

donc,

donc,

615

Ainsi

et finalement

,/

or

donc

Ainsi (iv) est démontré.

D

Remarque. La ressemblance des coefficients ai de g en (2.14) avec ceuxde H en (2.10) provient de la formule :qui résulte de la relation (2.15) et de (2.12).
3. Démonstration du théorème 1.2

La formule (1.1) du théorème 1.1 donne

Lorsque nous aurons évalué Q de façon précise en fonction de n et m à l’aide
de la formule (1.2) et de la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin (quenous rappelons dans la proposition 3.1 ci-dessous), nous pourrons évaluer defaçon précise également, toujours à l’aide de la formule sommatoire d’EulerMaclaurin, - log B, défini par (1.3),e-oj) et log Q, défini
par (1.4). Nous pourrons alors écrire le développement asymptotique der(n, m) en fonction de n et m uniquement.

616

3.1. Formule sommatoire d’Euler-Maclaurin.
Rappelons deux définitions équivalentes des polynômes de Bernoulli(B,,(x» (voir [5] chapitre XIII) :On note alors Bi

les nombres de Bernoulli. On a=

Proposition 3.1. (Formule sorrtmatoire d’Euler-Maclaurin, voir [5] chapitre XIII).
n3.2. Première estimation de Q.

Lemme 3.1. Pour tout m et n, Q défini par (1.2) vérifie

Ce lemme fournit un ordre de grandeur

qui sera amélioré par lasuite.

Dérraonstration. Notons d’abord que u est strictement positif et déterminéde façon unique puisque la fonction t ~est décroissante sur]1, +oo[ et a comme limites +oo et 0 en 1 et +oo respectivement ; donc n
a un unique antécédent par cette fonction sur ]1, +00 [, qui se met de façon
unique sous la forme el avec u strictement positif .

~

617

La fonction t

e a - 1étant positive et décroissante sur lI8+, on a d’après(1.2), (2.1) et (2.3) :Fd’où,
Pour la deuxième partie de la preuve, prenons r[m, n] , alors=

FJfi si bien que [r, 2r] Cd’où

3.3. La formule sommatoire d’Euler-Maclaurin pourRappelons que A(h,f), introduit dans le théorème 1.1, est défini pourh,lLemme 3.2. Soit mpour tout 1~ &#x3E; 1, on aalors pour tout (h, Ê) E hV21 ~ £,h, etDémonstration. Appliquons la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin (prooù cp(t) ot, sur l’intervalle
position 3.1) à l’ordre k à la fonction Uq
=

=

618

[m, n] ; c’est légitime puisque U est analytique sur R ( elle l’est en 0 car
h&#x3E;.~):dl~&#x3E;1 ,Simplifions cette expression, sachant queoù

Il reste à démontrer que

D’après le lemme 3.1, un tend vers
comportement

quand n tend vers +oo, et lel’argument principal

de U et de ses dérivées en +oo va êtrepour conclure. On a

Pour cela, il suffit de montrer que pour tout t &#x3E; 0,

619

ce

qui se prouve en dérivant par la formule de Leibnitz, après avoir écrit U

sous la forme

Ainsi, en se souvenant que U est analytique en 0, pour tout k &#x3E; 1, Jococonverge. Alors, d’après la proposition 3.1,
AI

1

¡an

et par suite, grâce au lemme 3.1 qui entraîne

on a,

Par ailleurs, on déduit de (3.4) que

quand n - +oo, car par le lemme 3.1

Par suite, grâce à (3.7) et (3.5),

et, en utilisant (3.5) à nouveau, on a

Enfin, comme h &#x3E; .~ &#x3E; 1, à l’aide d’une intégration par parties on obtient
lorsque t +oo-620d’où, en utilisant (3.4) pour j=0, lorsque t - +oo,

et comme ci-dessus, à l’aide de (3.7) et (3.5),

Ainsi (3.3) est démontré en reprenant (3.2), (3.9), (3.8) et (3.6).
D
3.4. Estimation précise de a.

Alors, pour tout f E

Lemme 3.3. Soit m
pl, ~2, ... , p~avec a =analytiques

suril existe des fonctions

R+ telles que

m . D’autre part, si x est réel,*,/n-où H est définie en 2.3. En particulier,=

1 on obtient :Par ailleurs, si x est réel,où la seconde égalité découle de (2.16).

Démonstration. Le lemme est déja démontré pour Ê
3.1 :
,

=

0 à l’aide du lemme

,

Bv"v

On démontre maintenant (3.10) pour Ê
1, puis on verra comment on
obtient (3.10) par itération.
Appliquons le lemme 3.2 pour Ê = h 1 : ~/ k &#x3E; 1 ,==où l’on a défini, pour tout t réel,

621(voir (1.2)). En utilisant (2.1), on obtient alors

oùR = 1 - 1 F(Qm) vérifienupour tout 1 &#x3E; 1 soit,

puisque1 = O n grâceu

au lemme

3.1, pour tout

k&#x3E;1

La formule (3.16) appliquée pour k=mais la fonction u est décroissanteu(0) 1 et par le lemme 3.1,

1 donnepositive, donc lu(um)l = u(am)=qui entraîne ~R~

1 pour n assez grand.
La relation (3.15) peut alors s’écrirece

et donc, par la formule (2.8)

et puisque H =G-1,,

Nous pouvons alors démontrer (3.12) : la formule (3.18) entraîne

622

Or H’ est analytique en 0, donc H’ est bornée au voisinage de 0, et en
appliquant la formule des accroissements finis à Het § ,

onobtient, par (3.20) :qui prouve (3.12), à l’aide de la formule (3.19). La formule (3.12) donne
la valeur de pi annoncée en (3.11) et démontre (3.10) pour Ê 1.
Montrons maintenant comment on obtient P2On reprend la formule (3.19). A l’aide
Utilisons la notation À
ce

=

_~.

de la première approximation (3.12) de ~, on va obtenir une meilleureapproximation de R à l’aide de (3.16) ; alors on utilise un développement
cet intervalle étant inclus dans ~0, 2r~de Taylor à l’ordre 2 sur(~, ~ 11 R),

r et, d’après (3.20),
1 quand npour n assez grand puisque .~tend vers +oo ; ceci est légitime car H est analytique sur R+, et on a alorsH" bornée sur [0, 2r] :c’est-à-dire, toujours avec (3.20),

et ainsi, en reprenant (3.19),

qui procure une meilleure approximation de Q .
De façon plus précise, d’après (3.17), (3.11) et (3.12) maintenant démonce

trées,

Or par (3.19), (3.20), et le théorème des accroissements finis appliqué à
la fonction u o H sachant que u o H est de classe Cl sur [0, 2r~ et que

623(u o H)’ - H’ x u’ o H est bornée sur [0, 2r], on obtientD’après la relation (2.11), H() et A étant de même signe, on a HA-

Comme F est décroissante et H croissante, FoH est décroissan«
2r, on ate, et pour 0

De même, comme u est décroissante, u(H(~)) &#x3E; u(H(2r)) &#x3E; 0. On obtientalors de (3.22) et (3.23)

et donc,

Ainsi

Alors, en utilisant (3.18),

D’où, en reprenant (3.21),

On retrouve ainsi la formule (3.13) attendue donnant p2, avec p2 analytique
surpuisque u o H, H et pi le sont et pi (0) c.
De la même façon, on reprend R à l’aide de (3.16) qu’on approche mieuxon pousse le développement degrâce à la nouvelle approximation
àl’ordrecelui
desuivant,également, et on obtient, avec la
Taylor=O(n).

formule d’itération (3.19), or à l’ordre
Comme H est analytique sur R+, on peut pousser le développement deaussi loin que l’on veut, et obtenir ainsi (3.10) pour
Taylor de H(~
tout Ê E l~* .
D

624

3.5. Estimation précise de - log B.

Lemme 3.4. On a pour tout . &#x3E; 0, uniformément pour m1

rn 2 ,

où rl, - - - rl désignent des fonctions analytiques sur R+ . En particulier àl’ordre(~ = 0), nous avons :nRemarque. La formule (3.26) du lemme 3.4 entraîne, quand n --~ +oo,

donc pour tout À fixé, À f, par la formule (3.12) procurant l’équivalentet par le théorème des accroissements finis, on obtient,

Ainsi, lorsque a -~ 0, on obtient, puisque H(a) N cÀ,

Notons que la formule (3.25) associée au lemme 3.3 donnant l’estimation
précise de a, nous procure un développement asymptotique de - log B en
fonction de m et n.
Démonstration du Lemme 3.4. Partons de la formule (1.3),

On applique alors le lemme 3.2 pour A(2, 1) et A(2, 2) : pour tout k &#x3E; 1,

625

où, pour tout t réel,Alorsavec, si x est réel,et en utilisant le fait que, U2 étant positive etc’B

cr d’après lelemme 3.1, on a

-

-

w

-

Notons que, U2 étant analytique sur R+, les fonctions qi, q2, ... , qk le sont,
puisque U2 est positive sur R. Notons aussi que X 0(r) =quand n Rappelons alors que, d’un point de vue séries formelles,=

Il s’en suit le développement asymptotique

avec rl
sur

=

r2 =

4 qi -f- 2 q2,0(n-1/2)de -2 log(1 - X) :...

des fonctions analytiquesR+.

On obtient alors le développement asymptotique de - log B attendu ensachant quechoisissant 1~ &#x3E;~ ,En effet, on vérifie que U2
2(u - Id.u’) où u est la fonction définie dansla preuve du lemme 3.3, et I d : z - z ; donc, grâce à une intégration par=626

partie, et avec la formule (2.1), si x est réel,

et alors il suffit d’utiliser la formule (2.3),

7T

F(0) = 66 , et de prendre xdans (3.29).
3.6. Estimation précise de

L:/j=m -log (1 - e-oj).

Lemme 3.5. Soit

Définissons R(n, m) par1

On a, uniformément pour rrL Ç rn 2 , et pour tout l &#x3E; 0,où s: x t--+ - log

1 -e-’x

En particulier, pour .~ = 0,

Démonstration. On a

est une f onction analytique sur 1I~.

=

0

627

.

,

d’Euler-MacLaurin, on obtient, poursoit, par le lemme 3.1,

car à nouveau, par le lemme

3.1,

w

Par la formule sommatoire

/

1

628

et on obtient par récurrence

Ainsi, en regroupant tous ces résultats, on obtient exactement l’énoncé
du lemme, à ceci près que

Or on connait la formule de Stirling qui peut se déduire de la formule
sommatoire d’Euler-Maclaurin appliquée à la fonction log sur ~l,n~ à l’ordrek (voir [5], chapitre XIII) :

-

1

-

On obtient alors bien le reste R(n, m) voulu en choisissant k
par suite le lemme.

=[] + 1, et
0

3.7. Estimation de log Q.

Lemme 3.6.

On a, unif ormément pour mOÙ tl, t2, ... ,i t,~pour .~
0,=et pour0,sont des fonctions analytiques sur R+ . En particulier,629

Dérrzonstration. Soit £ 2:: 0. Choisissons k 2Ê + 4 dans le théorème 1.1 etreprenons la formule (1.4) définissant Q. On a alors
=

_

-___

avec, pour tout i &#x3E; 2, Q2i combinaisons linéaires de termes de la forme

L"2i Lhl Lh2

avec

...

Lht avec

Uh : t ~ ~~‘ 1 d ( h, i ) U ( h, i, t )formule (3.5) et en utilisantanalyt ique sur jR+. Ainsi, avec lacF provenant du lemme 3 .1, on

obtient, enavec

chaque fonction fh,j analytique sur ~8+.

Posonset pour x analytique sur R+, le sous-ensemble suivant de Ee,

J
Donnons quelques propriétés évidentes de ces ensembles :C Et, c’est-à-dire Vu E Ei, aiu E Ei ,(i) pour tout i &#x3E; 0,(ii) El est stable par produit et combinaison linéaire,(iii) 7 est analytique sur R+, alors Vu E

si -1(iv) si u Exalors log u E Ei,o.

630

Rappelons enfin que L2 = B2 (voir (1.3)), et que par (3.32) et (3.29) on aanalytique sur’R+. Donc, par (iii)
El par (3.32). Ainsi u(~3L2)-1 E Ei ; par ailleurs
E El=

L2i LhlE

grâce

à (ii). En utilisant alors (3.31), on obtient
Lht = ai-tu, avec
t est entier, on a
2i &#x3E; 3t et donc i&#x3E; 0. Finalement, puisque i
av
avec
v
Ui-t-1uet
i - t - 1 &#x3E; 0
E Et par (i).
Lht
Par conséquent, Q2i étant combinaison linéaire de termes de la forme
et donc par (1.4) et (3.30), Q E
CE
Lht, on aet par (iv) log Q E E~,o , ce qui achève la démonstration du lemme.
D- t &#x3E; 3

-

=

=

L"2iLhl...

...

3.8. Démonstration du théorème 1.2.
Soit ~ &#x3E; 0. A l’aide des lemmes 3.4, 3.5 et 3.6 appliqués à ce même Ê, laformule (3.1) devient; ainsi chaquesur

R+. En utilisant la valeur c

des calculs, et en se souvenant

=v6

on

peut écrire, après simplification

que A -Fn’,,,,fonction zj est analytique

1

631

où, pour tout réel t,la seconde égalité de (3.35) s’obtenant à la suite d’une intégration par partie
et en reprenant la formule (2.1) définissant F.

0. On a alors, d’après la formule (3.10) du lemmeDérnonstration.
3.3 le développement asymptotique suivant de Q :On obtient alors, compte tenu que ,,.

On en déduit les formules (3.37) et (3.39) en appliquant la formule de Taylor respectivement aux fonctions f et f , à l’ordre f + 1, respectivement

632

sur

((777t,(A))
rr
....

et

um/

B A

A

et en se souvenant que les fonctions

Pl+l sont analytiques sur R+, que pl vérifie (3.24), et queA
La formule (3.38) se déduit, elle, de (3.37) et du développement asymptotique (3.10) de u.
DTerminons maintenant la démonstration du théorème 1.2.
(i) D’abord, par la formule (3.38) du lemme 3.7, on obtientZ1) - - - , Ê analytiques sur R+.
laformuleappliquant(3.37) du lemme 3.7 aux fonctions

avec toutes les fonctions g2~3,(ii) Ensuite,
i

_

en

1

=

v

i

_

1

L7

_

_

v

,

(3.39) du lemme 3.7 à la fonction t

avec toutes les fonctions

gi,2, i=~log L ,et la formule

on obtientc

1, ..., /!, analytiques sur R+. On obtient

donc, par (1.10),(iii) Enfin, si l’on reprend la fonction g définie dans la formule (2.12) duparagraphe 2.4, on aavec toutes les fonctions
Yi,1, i 1,..., ~ analytiques sur R+.
Pour démontrer cela appliquons la formule de Taylor à la fonction v sur=633

l’intervalle

C lt8+* : il existe d élément de

tel que

Notons également que si l’on dérive la seconde égalité de (3.35) on obtient,pour tout t réel,et par conséquent, par récurrence sur i &#x3E; 2, l’existence de Xi analytique
surR+, telle que pour t &#x3E; 0,

Or, d’une part, l’expression (2.13) de g donne immédiatement, à l’aide dela première égalité de (3.35),
D’autre part, d’après (3.45) et (2.11),

Or, à l’aide de (3.46) et (3.40), pour 2avec

Xi,i, ....

i

~ + 1,

analytiques sur
1

car d est compris entre um etquand n tend versenetamH(À) : effet, par (3.40), (3.11) et (3.24)
H(.~)

De plus d N H(A)Donc, en reprenant à nouveau (3.46) et (3.40),

On obtient bien alors (3.43) à l’aide de (3.47), (3.48), (3.49) et (3.50).

Finalement, en posant j = g-vo et gi
on obtient le théorème en=

gi,l+gi,2+9i,3 pour i=reprenant (3.33), (3.34), (3.43), (3.42)

1, ... , Ê,et (3.41).

634

Pour terminer la démonstration, prouvons la deuxième égalité de (1.10).
Par (3.27), (3.28) et (3.29), on ad’où, compte-tenu de la relation (2.11), de la définition (3.14) de u, et3.

puisque

1

=

7r2

1-)

,

2c2

et en reprenant la première égalité de (1.10) démontrée ci-avant,ce

qui démontre bien la deuxième égalité de (1.10).

4.

Applications

D’abord, nous allons voir que l’on retrouve le développement asymptotique de p(n) r(n, 1), le nombre de partitions de l’entier n en appliquant
le théorème 1.2 pour m
1. Ensuite nous appliquerons ce même théorèmemnl/3 et n3~8, et finalement
aupourrespectivement
voisinage dece qui améliorera les résultats (1.5), (1.8), (1.6) et (1.7).
pour mEcrivons les développements en série entière de j et go :
=

=

@

=

a2, a3, ... , a7 étant donnés par (2.14) en 2.4, et le développement en série
entière de H donné en (2.10) associé à la définition de go donné dans lethéorème 1.2 nous procure les coefficients bn.

635

On a par exemple :Bien entendu, plus m est petit, moins on aura besoin de coefficients. Dansles développements qui suivent, on n’utilise que les coefficients des fonc-

tions j et go pour obtenir une

précisionB/n1 On.

a vu comment on pour-rait trouver les fonctions gl, ... , gi-l, mais au prix de calculs très couteux ; cependant, puisque l’on a prouvé l’existence de ces fonctions, onpeut extraire leurs coefficients de Taylor de proche en proche en réinjectant
les développements asymptotiques dans la formule récursiver(n, m) r(n, m + 1) + r(n - m, m) . Ceci nous permet d’obtenir alors la précision-2013F=(ynpour tout .l. Ceci sera précisé dans [81.

4.1. p(n).

le théorème 1.2 avec m
Reprenons
p

=

1, à
,

B/?T’

,

on obtlent
obtient

formule bien connue depuis Hardy et Ramanujan (voir [4]).
4.2.

r(n, m) pour m

On a alors À

=

n

n4.

n ~4. On obtient,en ne conservant

que les termesd’ordre de grandeur supérieur ou égal à n-1/2,

formule plus précise que (1.5) (la valeur des coefficients ai et bi est donnéeen(2.14) et (4.1)).

636
1

4.3. r (n, m) pour m n 3 .
De même que ci-dessus, on obtient la formule suivante pour r(n, m), plus

précise que (1.8),

3

ns.

4.4. r(n,m) pour mLe développement suivant améliore (1.6),

4.5.

r(n, m) pour m=

Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs des fonctions g(À),go(À) et H(~). Rappelonsg(À) - log À + 2c + (log c que toutes ces fonctions s’obtiennent à l’aide de la fonction H, dont on peut
calculer les valeurs puisque c’est la fonction réciproque de G définie en 2.2(on peut utiliser par exemple la méthode de Newton, voir [1]).
=

(À

1)a~,

637

Bibliographie[1] J. DIXMIER, J.L. NICOLAS, Partitions sans petits sommants. A tribute to Paul Erdös, 121152. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

[2]

J. DIXMIER, J.L. NICOLAS, Partitions without small parts. Number theory, Vol. I (Budapest,
1987), 9-33, North-Holland, Amsterdam, 1990.

638[3] G. FREIMAN, J. PITMAN, Partitions into distinct large parts. J. Austral. Math. Soc. Ser. A
57(3) (1994), 386-416.
[4] G. H. HARDY, S. RAMANUJAN, Asymptotic formulae in combinatory analysis. J. London
Math. Society 17 (1918), 75-115.
[5] G. H. HARDY, Divergent series. Oxford, at the Clarendon Press, 1949.
[6] J. HERZOG, Gleichmässige asymptotische Formeln für parameterabhängige Partitionfunktionen. Thèse de l’Université J. F. Goethe, Frankfurt am Main, mars 1987.

[7] D. E. KNUTH, The Art of Computer Programming vol. 2. Addison Wesley, 2nd edition,
1981.

[8] E. MOSAKI, Thèse de l’Université Lyon 1 (en préparation).
[9] J.-L. NICOLAS, A. SÁRKÖZY, On partitions without small parts. J. de Théorie des Nombresde Bordeaux 12 (2000), 227-254.
[10] G. SZEKERES, An asymptotic formula in the theory of partitions. Quart. J. Math., Oxford
2 (1951), 85-108.
[11] G. SZEKERES, Some asymptotic formulae in the theory of partitions. II. Quart. J. Math.,
Oxford 4 (1953), 96-111.
Elie MOSAKI et Jean-Louis NICOLAS
Université Claude Bernard (Lyon 1)
21 avenue Claude Bernard
F-69622 Villeurbanne Cedex, France
E-mail : mosakiQeu1er univ-lyoni . ir, jlnicola0in2p3. fr

Andras SÀRKôzY
Eôtvôs Lorànd University
Department of Algebra and Number Theory
H-1117 Budapest, Pàzmàny Péter sétâ,ny 1/C, Hungary
E-mail : sarkozyCcs.elte.hu