6.4 力制御

f（本節の担当者吉川恒夫の提出原稿）

k6.4.1 力制御の必要性

m

ロボットにさせたい作業には，作業対象物に加える力dの制御を必要とするものが多い．たとえば生産工場においては機械への部品組み付け，取り外し，組立て，研磨，0ばり取りなど，また日常生活においては書字や描画，もx

図 1 質量ばねダンパからなる機械系のの把持と操り，ドアの開閉，ハンドルまわしなどが挙げられる．さらにロボットと他の物体や人間との予期しない衝突時の安全のためには，その衝撃力をなるべく小機械インピーダンスの設計が力の制御を必要とするさくすることが望ましい．本節では，このような力制御作業に有効であることを示す例として，RCC(Remoteのための代表的な方法であるインピーダンス制御法およCenter Compliance) 装置がある [2]．これは円柱形の軸び位置と力のハイブリッド制御法について解説する．

を公差の小さな穴に挿入するための装置である．ばね要
素を用いた巧妙な構造によって，軸の中心線が穴の中心

6.4.2 インピーダンス制御法

線からずれていてもそのまま RCC 装置をロボットハンインピーダンス制御法とは，ロボットの手先の機械イドなどで穴の方向に押し込めば，穴の面取り部付近で発ンピーダンス特性を適切な値にあらかじめ設定してお生する反力によって自然に中心線が修正され，軸が穴にき，手先目標位置の調整を通して，手先が対象物に加え挿入されるのである．ただし RCC 装置は純粋に機械的る力を間接的に制御する方法である [1]．以下では機械な要素を用いているため軸の寸法などが変わると装置自インピーダンスについて概説した後、まず 1 自由度系の体も作り変える必要があるという点で柔軟性に欠ける．

場合のインピーダンス制御について説明し、ついで多自以下ではロボットのモータへの手先位置や力のフィー由度ロボットアームの場合のインピーダンス制御についドバック制御ループを設けることによって，手先の見かて説明する。

け上の機械インピーダンスをソフトウエア的に望ましいものに変える方法について述べる．なお，RCC 装置の(1) 機械インピーダンスように機械的要素を用いる方法は受動インピーダンス

機械インピーダンスは電気回路分野における電気イン法，フィードバック制御ループを通じてモータの駆動力ピーダンスに対応する概念である．電気インピーダンスを用いる方法は能動インピーダンス法と呼ばれる．とは，電気回路の入力端に加えられた電圧に対する電流の流れにくさを表し，直感的には「電気インピーダンス(2) 1 自由度系のインピーダンス制御=電圧/電流」である．これに対応して機械インピーダ

図??のように車輪駆動モータをもつ車両の場合を例

ンスは加えられた力に対する機械系の動きにくさを表にとって，1 自由度系の能動インピーダンス制御法を説し，直感的には「機械インピーダンス=力/速度」であ明しよう．この力学系の運動方程式がる．たとえば図??のように，ばね k とダンパ d によっmẍ + dẋ + kx = f + fuて固定壁に結合された質量 m の車両が直線上をなめら(3)かに動くものとするとき，車両の平衡位置 0 からの変位で与えられるものとする．ここで fu はモータによってx と車両に加わる外力 f との関係はシステムに加えられる駆動力である．

∫f = mẍ + dẋ + kx = mv̇ + dv + k

この系の外力に対する望ましい機械インピーダンス特vdt(1)性がで与えられる．ただし v は速度であり x の時間微分

md ẍ + dd ẋe + kd xe = f, xe = x − xd(4)dx/dt を表す．したがって機械インピーダンスは，質量，ばね，ダンパの特性によって定まり，数学的には vで与えられるものとする．ここで md ，dd ，kd は望ましから f への周波数伝達関数に相当する複素インピーダ

い質量，減衰係数，ばね定数であり，xd は目標位置軌道ンスである．これを実現する駆動力 fu を与える制御則は，kZ(jω) = mjω + d +jω

外力 f が測定できる場合については (??) の ẍ を (??)

(2)に代入することによってで記述される．ここで j は虚数単位，ω は角周波数でfu = (ある．

1mm− 1)f −(dd ẋe + kd xe ) + (dẋ + kx) (5)
mdmd

.

x, x, f

あって，ともに表現上の特異姿勢を取らない（すなわち!"# $fuf|θ| ̸= π/2，|θd | ̸= π/2 を満たす）ものとする．
以上の準備のもとに，ロボットの動特性を r で表現しよう．まず運動学特性が

kmr = f̂ r (q), ṙ = J r q̇d(6)で与えられるものとする．ただし f̂ r (q) は r と 6 次元0の関節変数 q の関係を表す非線形関数であり，J r は対x応するヤコビ行列である．またロボットの動特性は関節

図 2 1 自由度系の例

変数 q と関節駆動力 τ を用いてM q̈ + h + g = τ + J Tr fで与えられる．

(7)で与えられるものとする．ここで M (q) は慣性行列，以上の議論から任意に与えられたパラメータ md ，dd ，h(q, q̇) は遠心力とコリオリ力，g(q) は重力，f は手先に加わる外力を一般化座標 r に対応する一般化力で表kd に対して理想特性 (??) を実現できることがわかった．残る課題はいかにこれらのパラメータを選定するか現したものである．すると J r が正則となる q においてである．以下に代表的な場合について選定例を示そう．

は (??) は手先変数 r を用いた表現

まず系が対象物や障害物と接触せずに自由運動するM r r̈ + hr + g r = J −Tr τ +f

場合には物体の位置をなるべく速やかに目標軌道に追従させることが主な目的となる．たとえば md = m とに 変 換 で き る ．た だ し J −Tr

すると f の情報が不要となり，(??) の固有角周波数√ωC = kd /md をなるべく大きくし，減衰係数 ξ =√dd /(2 md kd ) を 0.7〜1.0 と選定すれば，x が適切な減衰振動のもとに速やかに xd に収束する．また系が対象(8)

T= (J −1r ) ，M r =−1−T−TJ −Tr M J r ， hr = J r h −M r J̇ r q̇ ，g r = J r gである．
さて (??) に対する理想インピーダンス特性が物や障害物と接触して拘束された状態で運動する場合に

M d r̈ + D d ṙ e + K d r e = f ,re = r − rd

(9)は接触力を小さくしたり，目標力に合わせたりすることで与えられるものとする．ここで M d ，D d ，K d は理が主な目的となる．接触力を小さくするには，md ，kd

想特性の慣性行列，粘性係数行列，ばね係数行列である．

をなるべく小さくし，dd を ξ が 0.7〜1.0 となるようにすればよい．また対象物や障害物に一定の目標とする力

この理想特性を実現する制御則は f が測定できる場合

fd を加えたい場合には，目標位置 xd を対象物の表面かには，(??) の r̈ を (??) に代入し，整理することによりら fd /kd だけ内部に入り込ませればよい．

−1
τ = M J −1
r {M d (f − D d ṙ e − K d r e ) − J̇ r q̇}−J Tr f + h + g(3) 多自由度ロボットアームのインピーダンス制御
多自由度系の代表例として，図??に示すような直列駆動型 6 関節ロボットアームのインピーダンス制御を考え(10)で与えられる．
理想特性 (??) のパラメータ M d , D d , K d は作業内よう．基準座標系 ΣR (OR − XR YR ZR ) および手先に固容に応じて定めることができる．たとえば外部拘束の方定した手先座標系 ΣE (OE − XE YE ZE ) を図のように定向が目標手先座標系のいずれかの軸方向とほぼ一致してめ，ΣE の目標位置姿勢を表す座標系を ΣEd とする．以下では ΣE を基準位置とし ΣEd をばねとダンパに対する目標位置とする目標インピーダンス特性を指定し，そX Edれを実現する制御則を導出する．
まずロボットアームの台座に固定された基準座標系

ΣR から見た手先座標系 ΣE の位置姿勢を 6 次元の変数r = [pT ϕT ]T で表現する．ただし p は ΣE の原点位置，
ϕ = [ϕ θ ψ]T は ΣE の姿勢のロール・ピッチ・ヨー角表現である．同様に ΣEd の位置姿勢を r d = [pTdORXR

ϕTd ]TYEOEZRYROEdXEZE

図 3 6 関節ロボットアームとする．さらに ΣE と ΣEd は互いに近い位置姿勢に

2Z Ed

いる場合には M d , D d , K d を対角行列とし，外部拘束YR
YCの状況に応じて r の各変数毎に１自由度系の場合と同XC様に定めればよい．

OC以上の方法の問題点としては，手先姿勢の表現に ϕ をq2用いているため表現上の特異姿勢が生じ得ること，および ΣR と ΣE の 3 軸方向が異なる場合に回転のインピーq1

ダンスの設定が ϕ の値によって定まる斜交座標系での設定になることが挙げられる．これらの問題点への対応

XROR策であるが，与えられた作業実行中を通じて必要な手先

図4

姿勢に対するロール・ピッチ・ヨー角 ϕ がある一定値

ハイブリッド制御法ϕs に近い場合には，原点位置が ΣR に等しく姿勢が ϕsで与えられる直交座標系 ΣRs を ΣR に代わる新たな基ΣC から見た手先位置を C r とし，手先速度 C ṙ と関節準座標系とすればよい．また，手先姿勢から見て一定の速度 q̇ = [q̇1 q̇2 ]T の関係が，ヤコビ行列 J C を用いてインピーダンス特性を持たせたい場合や，与えられた作C

業の実行中に必要な手先姿勢が大きく変化して表現上の付けた位置センサと力センサで ΣC 座標系から見た手特異姿勢が問題になる可能性がある場合に対しては，表先位置 C r(t) と押しつけ力 C f (t) が計測できるものと現上の特異姿勢の問題点を持たないように手先座標系のする．

ṙ = J C q̇ と表せるものとする．またロボットに取りまず，手先位置および押しつけ力の目標軌道を C r d (t)角速度ベクトルを基本的な変数に取り，加速度分解法をおよび C f d (t) とし，それらの方向性を考えた誤差を利用して望みのインピーダンスを実現する方法も提案されている [3]．

r e = S P ( C r d − C r)(11)

f e = SF ( C f d − C f )

(12)

C

6.4.3 位置と力のハイブリッド制御法

C

前項のインピーダンス制御法は，基本的には手先座標系で表現したインピーダンス特性を目標特性に一致させによって求める．ここで S P は位置制御方向選択行列，るために，全方向に関して r に対する位置制御則を用い

S F は力制御方向選択行列と呼ばれ，[][]
1 00 0SP =, SF = I − SP =(13)0 00 1

るものである．これに対し本項で説明するハイブリッド制御法は，手先の位置制御方向と力制御方向を明確に区別し力制御方向には力制御則を用いる方式である．以下ではまず位置方向と力方向の目標値からの誤差をフィーで与えられる．したがって (??) は手先位置誤差の XC

ドバックする誤差フィードバック制御法について説明

軸方向成分のみを取り出し，(??) は力誤差の YC 軸方向成分のみを取り出す操作を意味する．

し，ついでロボットの動特性を考慮してこれを補償する

次に，これらの誤差を減少させるためのフィードバッ

動的ハイブリッド制御法について説明する．

ク制御則を関節変数空間で与える．C r e に対応する関節C
角誤差 q e およびその微分 q̇ e は q e ∼r e および= J −1
C(1) 誤差フィードバックによるハイブリッド制御法
ハイブリッド制御法は Raibert と Craig によって提Cq̇ e = J −1ṙ e で与えられ，C f e に対応する関節駆動力
CC
誤差 τ e は，τ e = J T
C f e で与えられる．これらの関節案された [4]．これはロボット手先の位置と手先が対象

角誤差および力誤差を補償するための関節駆動力 τ P お物に加える力の目標値からの誤差を関節変数レベルでフィードバックして目的を達成しようとする直観的な方よび τ F をそれぞれ適当なフィードバック制御則より求法である．

める．たとえば PD（比例および微分）動作による位置制御則

図 ??に示すような平面内を動く２自由度アームの手

τ P = q̈ d + K P d q̇ e + K P p q e

先を，斜線を施した対象物のなめらかな表面に接触させた状態で，面に沿う方向には指定された目標軌道に沿っ(14)と I（積分）動作による力制御則て移動させると同時に，垂直な方向には指定された目標∫ t

力で押しつけたい場合を考える．このような状況を扱τ F = τ d + KF i

τ e (t′ )dt′(15)0

うためには，XC が位置制御方向を，YC が力制御方向を指すような座標系 ΣC (OC − XC YC ) を定めるのが便を取ればよい．ただし K P p ，K P d ，K F i は正定対称な利である．座標系 ΣC は拘束座標系と呼ばれる．このCフィードバックゲイン行列であり，q̈ d = J −1
C S P r̈ d3

うことができる．このことから vx = vy = ωx = ωy =ZC ZE0, fz = nz = 0 は自然拘束，vz = vz0 , ωz = ωz0 , fx =fx0 , fy = fy0 , nx = nx0 , ny = ny0 は人工拘束と呼ばXEれる．

XC

OCYE

以上の準備のもとに 6 自由度アームのハイブリッド制YC御則を与えよう。まず図??に示すようにハンドで把持した軸が穴に理想的に挿入された状態で ΣC と ΣE の 3

図5

軸方向が合致するように ΣE の 3 軸方向を定める．また軸挿入作業に対する拘束座標系の例

手先速度 C v と関節速度 q̇ との間のヤコビ行列 J C を求める．そして (??) から (??) までと同様な議論を行い、Cおよび τ d = J T
C S F f d は目標軌道を考慮したフィー

それらをまとめるとハイブリッド制御則がドフォワード項である．そしてこれらの和τ = τP + τF−1CCCṙ)τ = J −1
C S P r̈ d + K P d J C S P ( ṙ d −(16)C
C+K P p J −1r) + J TC S F Cf d
C S P ( rd −∫ t+K F i
J TC S F (C f d (t′ ) − Cf (t′ ))dt′を各関節に加えれば目標とする位置と力がほぼ達成されると期待できるというのが誤差フィードバックによるハ(18)0

イブリッド制御法である．
以上は２自由度アームの場合であったが，高自由度ので与えられる．ただし C r としては，ΣC から見た ΣEアームについても同様な制御則が得られることを６関節の原点位置ベクトル C p と ΣE のロール・ピッチ・ヨーアームの場合について以下に示そう．

角表現 C ϕ = [ϕ θ ψ]T （X, Y , Z 軸周りの順）を用いまず実行したい作業に対して拘束座標系を設定する方て、C r = [C pT C ϕT ]T を選ぶ．その理由は以下の通り

法を，図??に示す軸挿入作業を例にとって説明する．円である．上式右辺第 2 項の (C ṙ d − C ṙ) は前述の拘束座

柱の軸は公差の小さな丸穴に挿入され穴の中でなめらか標系の考え方に従えば (C v d − C v) で与えられるべきもに運動でき，ロボットは軸をしっかりと握っているもののであるが，C v 中の角速度成分 [ωx ωy ωz ]T の積分にとする．この場合にはたとえば図に示すように丸穴の中厳密に対応する姿勢の表現法が存在しないため右辺第 3心線上の適当な位置に原点 OC をもち，穴の中心線方向項の姿勢表現項と整合させることができない．この困難に対処するための一方法として上記の C r を取った．こに ZC 軸，それと右手系をなすように XC 軸，YC 軸をうすれば C ϕ の時間微分 C ϕ̇ と角速度ベクトル C ω のもつ直交座標系 ΣC (OC − XC YC ZC ) を拘束座標系とす関係がればよい．すると ZC 軸に沿う並進と ZC 軸まわりの回転のみが位置制御方向となり，それ以外の XC , YC 軸Cに沿う並進と XC , YC 軸まわりの回転の方向が力制御方向となる．したがってこの場合の S P および S F はS P = diag{0, 0, 1, 0, 0, 1}，S F = I − S P10ω =  0 cos θ0 sin θsin θ− sin ϕ cos θ  C ϕ̇cos ϕ cos θ(19)で与えられるので，少なくとも C ϕ ≃ 0 のときには(17)Cṙ ≃ C v が成立するからである．

で与えられる．ただし diag{ } は { } 内の要素を対角要素として持ち他の要素が全て 0 の対角行列を意味する．

(2) 動的ハイブリッド制御

なお、ΣC に関連して以下の点を補足しておく。現

前項のハイブリッド制御法ではアームの動特性を考慮

在時刻における ΣC で表した手先の速度と角速度をしていない。また手先が対象物と 2 箇所で接触する場合

Cv = [vx vy vz ωx ωy ωz ]T ，手先がハンドルに加える力とモーメントを C f = [fx fy fz nx ny nz ]T と置などのように、直交型拘束座標系を定義することが困難

こう．すると上述の軸挿入作業の場合には，位置に関き，アームの動特性を正確に補償する動的ハイブリッド

する拘束条件から必然的に vx = vy = ωx = ωy = 0

制御法について述べる [5, 6]．

な作業も存在する．本項ではより一般的な拘束が記述でとなるとともに，これらの方向にはロボットから任動的ハイブリッド制御法ではまず直交型拘束座標系に意の力 fx = fx0 , fy = fy0 , nx = nx0 , ny = ny0

代わって，手先が対象物から受ける拘束を大局的に反映（fx0 , fy0 , nx0 , ny0 は任意定数）を加えることができした作業座標系（一般的には曲線座標系）を定める．つる．また vz と ωz 方向には位置の拘束がないので任意

いでアームの動特性をこの作業座標系で記述し，さらにの運動 vz = vz0 , ωz = ωz0（vz0 , ωz0 は任意定数）を行位置制御方向と力制御方向に線形非干渉化する．最後に4

これら 2 つの方向に適当なサーボ補償制御則を与える．

間に τ = J T
G f G という関係が成立する．なお ṙ G の ṙ以上の手順によって目標位置軌道と目標力軌道への収束に関するヤコビ行列を J Gr とするとき，ṙ の q̇ に関す性が保証された制御系が構成される．

るヤコビ行列 J r を用いて J G が J G = J Gr J r で与え

以下では図 ??に示すような 6 関節アームの手先を対られることに注意されたい．

象物の滑らかな曲面に押し付けて動かす場合を例にとっ

つぎに位置制御方向と力制御方向に分割した形で線形て説明しよう．まず手先が受ける拘束が基準座標系 ΣR非干渉化するための制御則を与えよう．アームの動特性から見た ΣE の 6 次元位置姿勢ベクトル r を用いて，rは (??) と同様にが m 個の超曲面sF (r) = 0M q̈ + h + g = τ + J TGF f GF(20)(24)に拘束されているという形で記述できるものとする。こで与えられるものとする．このアームに線形非干渉化補

こで sF (r) は m 次元（6 ≥ m ≥ 1）の関数である．そ償器としてτ = τP + τF

して手先が拘束を受けながら運動するときの手先位置姿
勢が (6 − m) 次元の関数

τ P = M q̈ P + h + g ， τ F = J TGF uF

r GP = sP (r)[]uPq̈ P = J −1(− J̇ G q̇)G0(21)

で表現できるものとする．ただし sF (r) および sP (r)の計 6 つの要素はいずれも，目的とする作業で必要な r[

定義された 2 回微分可能な関数であり，互いに一次独立であると仮定する．また部分領域 S は手先姿勢の表現[=J GP M −1 J TGF (uF − f GF )J GF M −1 J TGF (uF − f GF )r̈ GP = uP ， f GF = uF](29)という線形非干渉系になり，r GP の位置制御と f GF の力制御を別個に行えることが分かる．

(22)

最後に位置制御と力制御のためのサーボ補償制御則を与える。たとえば，位置サーボ補償器として PD 制御則と表せ，これを微分すると ṙ G = J G q̇ が得られる．
ただし J G はヤコビ行列である．さらに J G を J G =uP = r̈ GP d + K P d (ṙ GP d − ṙ GP ) + K P p (r GP d − r GP )(30)を用い，力サーボ補償器として I 制御則(23)∫ tuF = f GF d + K F iが成立する．また一般化座標 r G に対応する一般化力を(f GF d (t′ ) − f GF (t′ ))dt′ (31)0f G = [f TGP f TGF ]T とすると，f G と関節駆動力 τ のを用いるとよい．ただし r GP d は目標位置軌道，f GF dは 目 標 力 軌 道 で あ る ．こ の と き 位 置 偏 差 を r GP e =ZR

r GP d − r GP とし力偏差を f GF e = f GF d − f GF とすると，閉ループ系の特性は

rGP = sP ( r )rGF = sF ( r )=0XRr̈ GP e + K P d ṙ GP e + K P p r GP e = 0(32)ḟ GF e + K F i f GF e = 0(33)となる．したがって K P p ，K P d ，
K F i が正定対称であYROR
図6]から，線形化補償器適用後のシステムの動特性がr G は r に代わる手先位置の一般化座標の役割を果たす。また運動学特性 r = f̂ r (q) を用いれば[J TGP J TGF ]T と表現するとき，(??) より[][]
J GPṙ GPṙ G = J G q̇ =q̇ =J GF
0uP − r̈ GP0が成り立つ．そして J GF M −1 J T
GF が正則であること

さて r GF = sF (r) と置き、r GP と合わせて r G =[r TGP r TGF ]T = [sTP (r) sTF (r)]T と表示する。すると

rG =(27)(28)

上の特異姿勢を含まないものとする．

]sP (f̂ r (q))= f̂ G (q)sF (f̂ r (q))，(26)

を用いると (??)，(??) よりを含む（6 次元ユークリッド空間の）ある部分領域 S で[(25)

れば t → ∞ のとき

動的ハイブリッド制御法

r GP → r GP d ， f GF → f GF d5(34)が成立し，(??)，(??)，(??)，(??)，(??) で与えられるれることをお勧めする。また多指ハンドによる物体の操ハイブリッド制御則によって位置軌道と力軌道の目標軌りにおける力制御については [8] が参考になろう．

道への収束が実現されることが示された．

＜吉川恒夫＞

なお，本定式化の基礎となる (??) の sF (r) と (??) のsP (r) の選び方の一例を、図 ?? に示すような平面 2 関
節アームの手先で，中心位置が r 0 = [rox roy ]T で半径が R の円板を倣う場合について与えておこう．この場

参考文献

合にはたとえばnamic Systems, Measurement, and Control, vol. 107,
No. 1, p.1-24 (1985)[2] T.L. De Fazio, D.S. Seltzer, and D.E. Whitney:sF (r) = R −√(rx − r0x )2 + (ry − r0y )2(35)sP (r) = arg{(rx − r0x ) + i(ry − r0y )}(36)[1] N. Hogan, Impedance Control; An Approach toManipulation, Parts I 〜III, ASME Journal of Dy-The Instrumented remote center compliance, The Industrial Robot, vol.11, No. 4, December, p.238-242ととればよい．ただし arg は偏角を表す．これは図に示(1982)[3] F. Caccavale et al: Six-DOF Impedance Control
Based on Angle/Axis Representations, IEEE Trans.

すような曲線座標系を定めたことに対応する．そして]−(rx − r0x )/Rr −(ry − r0y )/Rr(37)−(ry − r0y )/Rr2 (rx − r0x )/Rr2√が得られる。ただし Rr = (rx − r0x )2 + (ry − r0y )2[J Gr =

on Robotics and Automation, vol.15, no.2, pp.289300 (1999)[4] M.H. Raibert and J.J. Craig ：Hybrid Position/Force Control of Manipulators, ASME Journalof Dynamic Systems, Measurement, and Control, 103,である。またロボットアームの関節変数 q と手先変数 rの関係

[r = f̂ r (q) =から[l1 C1 + l2 C12l1 S1 + l2 S12−l1 S1 − l2 S12l1 C1 + l2 C12Jr =]−l2 S12l2 C12(38)2, p.126-133 (1981)[5] T. Yoshikawa: Dynamic Hybrid Position/Force]Control of Robot Manipulators — Description ofHand Constraints and Calculation of Joint Driving
Force, IEEE Journal of Robotics and Automation,(39)が得られる。ただし S1 = sin q1 ，C1 = cos q1 ，S12 =vol. RA-3, no.5, pp.386-392 (1987)[6] T. Yoshikawa, T. Sugie, and M. Tanaka: Dynamicsin(q1 + q2 ) などとしている．さらに J G = J Gr J r に
よって J G が算出でき，これを用いてハイブリッド制御

Hybrid Position/Force Control of Robot Manipulators —Controller Design and Experiment, IEEE Journal of Robotics and Automation, vol. RA-4, no.6,

則が計算できる．

6.4.4 まとめpp.699-705 (1988)[7] L.Villani and J. De Schutter: Force Control, in: B.

本節ではロボットの力制御のための代表的方法であるインピーダンス制御法とハイブリッド制御法の基本的考

Siciliano and O. Khatib Eds., Springer Handbook ofRobotics, Springer-Verlag, Berlin (2008), pp.161-185[8] T. Yoshikawa: Multifingered Robot Hands: Con-

え方とその定式化に焦点を絞って解説した．力制御に関連する多様な考え方や歴史について知りたい読者にはまずは [7] およびその中で引用されている参考文献を見ら

trol for Grasping and Manipulation, Annual Reviewsin Control, vol. 34, pp.199-208 (2010)sP ( r )=const.

YR
RsF ( r )=const.
r0l2

sF ( r )=0q2

l1q1
OR
図7XR2 自由度アームによる曲面倣い6