６－６．確率 図形に関する問題【問１】
図のような正方形のタイルと長方形のタイルを使って，１辺が 2 cm の正方形 ABCD をしきつめる。下の３つの例はいずれも異なる正方形のしきつめ方として考える。このとき，例を含めて全部で何通りのしきつめ方があるか。
（福井県 2002 年度）
(例)

解答欄

【問２】
図３のように，一辺 1 cm の正四面体の頂点 A に点 P がある。点 P は頂点 A から動き始め，正四面体の辺上を頂点から頂点へ移動する。3 cm 動いたとき，点 P が頂点 B にある経路は何通りあるか，求めなさい。ただし，点 P は同じ辺上を繰り返し通ることができるものとする。
（滋賀県 2005 年度）

解答欄

通り

【問３】
１から６までの目が出る１つのさいころを２回投げ，１回目に出た目の数を m，２回目に出た目の数を n とするとき，次の①，②の問いに答えなさい。ただし，さいころのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
（大分県 2005 年度）① m＋n＝4 になる確率を求めなさい。

② 右の図のような平面上に，点 P（m，n）をとる。点 Q の座標を（6，6）とする
とき，△POQ が二等辺三角形になる確率を求めなさい。

解答欄

①②

【問４】
1 から 6 までの目がある大小 2 個のさいころを投げて，大きいさいころの出た目の数を a，小さいさいころの出た目の数を b とし，O を原点とする平面上に，2 点 A (a，0)，B (a，b) をとる。
（福島県 2010 年度）(1) 線分 OA と線分 AB の長さの和が 9 となる確率を求めなさい。

(2) △OAB の面積が 6 の倍数となる確率を求めなさい。

解答欄
(1)
(2)

【問５】
大小 2 つのさいころがあり，それぞれ 1 から 6 までの目がある。これら 2 つのさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目の数を a，小さいさいころの出た目の数を b とする。次に，右の図のように，ＢＣ＝ＣＡ＝8 cm，∠ＢＣＡ＝90°の△ＡＢＣがあり，辺ＢＣ上に点Ｄを点Ｂから a cm のところにとり，辺ＣＡ上に点Ｅを点Ｃから b cm のところにとる。
このとき，次の問１，問２に答えよ。ただし，それぞれのさいころの 1 から 6 までの目の出方は同様に確からしいものとする。
（京都府 2010 年度）
問１ ＣＤ＝ＣＥとなる確率を求めよ。

問２ △ＤＣＥの面積が 6 cm2 となる確率を求めよ。

解答欄
問１
問２

【問６】
底面の半径が 3 cm，高さが 13 cm の円柱があります。正しくつくられた大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ，大きい方のさいころの出た目の数を x，小さい方のさいころの出た目の数を y とします。下の図の円柱 A，B，C は，この円柱を，円柱 A の高さが x cm，円柱 C の高さが y cm となるように，3 つの円柱に切り分けたものです。
ABC

これについて，次の問１・問２に答えなさい。
（広島県 2010 年度）
問１ 円柱 B の高さが 4 cm となるとき，円柱 A と円柱 C の側面積の和は何 cm2 ですか。ただし，円周率はπとします。

問２ 円柱 B の体積が，円柱 A，C の体積のどちらよりも大きくなる確率を求めなさい。

解答欄
問１
問２cm2

【問７】
図のように，正三角形 ABC があり，辺 AB，BC，CA の中点をそれぞれ点 D，E，F とする。また，箱の中には B，C，D，E，F の文字が 1 つずつ書かれた 5 個のボールが入っている。箱の中から 2 個のボールを取り出し，それらのボールと同じ文字の点と頂点 A の 3 点を結んでできる図形について，次の問いに答えなさい。
（富山県 2011 年度）
問１ できる図形が，直角三角形になる確率を求めなさい。

問２ できる図形が，三角形にならない確率を求めなさい。

解答欄問１問２

【問８】図で，周の長さが 8 cm である円 O の円周を 8 等分する点があり，点 A はそのうちの 1 つである。点 P，Q は，Aの位置にあり，次のきまりで円周上を動き，8 等分された点の位置で止まる。
〔きまり〕
表に 1，2，3，4 の数字を 1 つずつ記入した 4 枚のカード，，，を，裏返しにしてよくきってから，1 枚ずつ 2回続けて取り出す。ただし，1 回目に取り出したカードは，もとにもどさない。1 回目に取り出したカードに記入された数を x，2回目に取り出したカードに記入された数を y とする。P は，A から，時計の針と反対の回り方で x cm 動いて止まる。Q は，A から，時計回りに y cm 動いて止まる。

3 点 A，P，Q を直線で結び，△APQ をつくる。
（長野県 2011 年度）(1) x＝4，y＝2 となるとき，△APQ の∠A の大きさを求めなさい。

(2) △APQ が，∠A＝90°の直角三角形となる確率を求めなさい。

(3) △APQ が直角三角形となる確率を求めなさい。

解答欄
(1)
(2)
(3)

∠A＝°

【問９】
図１のような形の板に，図２の長方形のタイル 5 枚を，表向きに，重ならないようにしきつめる。しきつめ方は何通りあるかを求めなさい。
（岐阜県 2011 年度）
図１

図２

解答欄通り

【問 10】2 つの袋Ⅰ，Ⅱには，ともに 3 枚のカードが入っており，それぞれのカードには，図 1 のように，B，C，D，E，F，Gの文字が 1 つ書いてある。また，図２の多角形 ABCDEFG は正七角形である。この正七角形において，次のの中に示したように三角形をつくる。
図１

図２

袋Ⅰに入っているカード
袋Ⅱに入っているカード

2 つの袋Ⅰ，Ⅱから，それぞれ 1 枚のカードを取り出し，取り出した 2 枚のカードに書いてある文字が表す 2 つの頂点と，頂点 A の，3 点を結んだ三角形をつくる。

このとき，この三角形が二等辺三角形となる確率を，樹形図等をかき，起こりうるすべての場合を調べて，求めなさい。ただし，袋Ⅰからカードを取り出すとき，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。また，袋Ⅱについても同様に考えるものとする。
（静岡県 2011 年度）

解答欄〔樹形図等〕

答【問 11】
幅が一定の細長い紙テープを図１のように結び，正五角形 ABCDE を作った。対角線 AC と BD の交点を F とする。次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（滋賀県 2011 年度）(1) 2 種類の三角形を，正五角形 ABCDE の上に敷きつめたい。次の図１にあてはまる自然数を答えなさい。

(2) 図２のように，袋の中に同じ大きさの玉が 5 個入っており，それぞれの玉には，図１の正五角形の頂点を表す A から E の文字が書いてある。この袋から玉を同時に 2 個取り出すとき，取り出した玉に書いてある 2 点と点 F を結んでできる図形が三角形となる確率を求めなさい。ただし，どの玉が出ることも同様に確からしいとする。

解答欄
ア(1)
イ(2)

図２

【問 12】「大きいさいころ」と「小さいさいころ」がある。この 2 つのさいころを同時に投げるとき，「大きいさいころ」の出る目の数を a，「小さいさいころ」の出る目の数を b とする。このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，この 2 つのさいころはともに，1 から 6 までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
（鳥取県 2011 年度）
問１ a＋b＝5 となる確率を求めなさい。

問２ a を x 座標，b を y 座標とする点 P (a，b) を平面上にとる。また，図のように点 O (0，0)，点 A (2，4) を平面上にとり，△OAP の面積について考える。このとき，次の(1)，(2)，(3)について答えなさい。ただし，3 点 O，A，P を結んだ図形が三角形にならな
いとき，面積は 0 とする。
(1) a＝6，b＝6 のとき，△OAP の面積を求めなさい。

(2) a＝3，b＝2 のとき，△OAP の面積は 4 である。△
OAP の面積が 4 となるような目の出方はこのときを含め，全部で何通りあるか答えなさい。

(3) △OAP の面積が 4 より大きくなる確率を求めなさい。

解答欄
問１
(1)
問２

(2)
(3)

通り

図

【問 13】図のように，縦の長さが 4 cm，横の長さが 3 cm の長方形 ABCD があり，各辺上には頂点 A から 1 cm ずつ等間隔にとった点がある。いま，頂点 A にコインを 1 個置き，1 から 6 までの目が出る 1 個のさいころを 2 回投げ，出た目の数だけ，そのコインを左回りに点の上を 1 つずつ順に移動させる。1 回目に出た目の数だけ，頂点 A からコインを移動させた点を点 P とし，2 回目に出た目の数だけ，点 P からコインを移動させた点を点 Q とする。このとき，次の問１～問３に答えなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
（高知県 後期 2011 年度）
問１ さいころの目が，1 回目に出た目の数が 3，2 回目に出た目の数が 5 のとき，△APQ の面積を求めよ。

問２ 3 点 A，P，Q が一直線上に並ぶ確率を求めよ。

問３ 3 点 A，P，Q を頂点とする△APQ ができるとき，その面積が 4 cm2 となる場合は何通りあるか。

解答欄

問１cm2

問２
問３通り