７－６．規則性の問題 ⑥ ２００９年度【問 1】
カレンダーで，ある日の数を x とする。x の 2 乗と，x の真上にある数の 2 乗の和は，x の右隣にある数の 2 乗と等しくなる。ある日は何日か求めなさい。
（青森県 2009 年度）

解答欄
2月日

【問 2】
図は，あるコンサートホールの座席の配列の一部を表したものです。このホールには，座席が，最前列の A 列から最後列の Z 列まで 26 列あります。最前列の A 列は 40 席で，1 列後ろに行くごとに 1 席ずつ増えていき，最後列のZ 列は 65 席です。また，各座席には，列ごとに左から 1，2，3，4，5，…と番号が付いています。このホールで，ある中学校が音楽鑑賞会を開くことにしました。この中学校は，各学年 6 クラスで， 各クラスの生徒数は 40 人です。生徒は，1 年 1 組から出席番号順に，A 列 1 番，A 列 2 番，A 列 3 番，…の座席にそれぞれ着席していき，A 列の座席が埋まったら B 列以後も同じように着席していきます。このように着席すると，A 列 1 番，B 列 1 番，C 列 1 番の座席には，それぞれ 1 年 1 組 1 番，1 年 2 組 1 番，1 年 3 組 2 番の生徒が着席します。
このとき，次の問１，問２に答えなさい。
（岩手県 2009 年度）
問１．H 列 1 番の座席に着席する生徒は，何年何組何番の生徒ですか。その生徒の学年，組，出席番号を求めなさい。

問２．3 年 1 組 1 番の生徒はどの座席に着席しますか。その座席の列と番号を求めなさい。

解答欄

問１

問２年組列番番

【問 3】
図 1 のような 1 辺の長さが 1 cm の立方体があり，向かい合う面には同じ数が書かれている。図 2 のような縦 a cm，横 b cm (a，b は 2 以上の整数) の長方形の紙があり，立方体をその A 地点に置き，矢印の方向に長方形の辺に沿って，B 地点まで転がして移動させる。ただし，立方体を A 地点に置くときには，図 3 のような向きで置く。立方体を転がすたびに，長方形の紙と接した立方体の面に書かれている数を長方形の紙に記録していく。A 地点にはあらかじ
め 1 が書かれている。例えば，a＝3，b＝4 のとき，図 4 のように数が記録される。
このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（栃木県 2009 年度）
図1

図2

図5
a＝5，b＝7

図3

図4

a＝4，b＝7

問１．a＝2，b＝3 のとき，長方形の紙に記録される数を書きなさい。

問２．a＝99，b＝101 のとき，長方形の紙に 2 は何回記録されるか。

問３．長方形の紙に記録された数の和について考える。ただし，A 地点の 1 も加えるものとする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) a＝2x＋1 (x は自然数)，b＝20 のとき，和は 124 であった。このとき，x の方程式をつくり，x の値を求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。

(2) 図 5 のように，a＝5，b＝7 のときの和と，a＝4，b＝7 のときの和は等しい。このように，1 つの b の値に対して，a の値が異なっても，和が等しくなる場合がある。
b が 7 でない奇数のとき，次の文のa＝5，b＝アアのときの和と，a＝，イにあてはまる数を求めなさい。

イ，b＝アのときの和は等しい。

解答欄

問１

問２回

(1)
問３

答 x＝(2)アイ

【問 4】
問１．同じ長さのマッチ棒を用いて，図Ⅰのように，一定の規則にしたがって，1 番目，2 番目，3 番目，…と，マッチ棒をつなぎ合わせて図形をつくっていく。用いたマッチ棒の数は，1 番目では 4 本，2 番目では 12 本，3 番目では 24 本である。
（群馬県 2009 年度）
図Ⅰ

このとき，
(1) 5 番目の図形をつくるには何本のマッチ棒が必要か，求めなさい。

(2) n 番目の図形をつくるには何本のマッチ棒が必要か，n の式で表しなさい。

問２．同じ長さのマッチ棒を用いて，図Ⅱのように，一定の規則にしたがって，1 番目，2 番目，3 番目，…と，マッチ棒をつなぎ合わせて図形をつくっていく。このとき，n 番目の図形をつくるには何本のマッチ棒が必要か，n の式で表しなさい。
図Ⅱ

解答欄
(1)

本

(2)

本

問１

問２本

【問 5】
たくさんの正方形の黒タイル，白タイルがあり，1 辺の長さはそれぞれ 1 cm，3 cm です。この白タイルを 1 cm 間隔で横一列に並べて，その周りを黒タイルですき間なく重ならないように左から順に囲み，そのとき使う黒タイルの枚数を調べます。白タイル 1 枚を囲むときは，図 1 のように黒タイルは全部で 16 枚使います。白タイル 2 枚を囲むときは，図 2 のように黒タイルは全部で 27 枚使います。白タイル 7 枚を囲むとき，黒タイルは全部で何枚使いますか。その枚数を求めなさい。
（埼玉県 2009 年度）
図1

図2

解答欄

【問 6】
1 辺の長さが 1 cm の正方形の黒いタイルを重ならないようにすき間なくしきつめて，1 辺の長さが n cm の正方形をつくる。
次に，しきつめたタイルのうち，4 つの辺がすべて他のタイルと接しているタイルの中から 1 つだけを，他のタイルが動かないように取り除く。
この状態で，となりあう 2 つのタイルが接している 1 cm の辺の部分を「共通な辺」と呼ぶこととし，その「共通な辺」の中点に小さな白い丸シールを 1 枚はりつける。このように，すべての「共通な辺」に小さな白い丸シールを 1 枚ずつはりつけ，そのシールの枚数を調べることにする。ただし，n は 3 以上の整数とする。
次の表は，n＝3，n＝4 のときの，図の例とはりつけた小さな白い丸シールの枚数を示したものである。
このとき，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2009 年度）
n の値

34820

図の例

はりつけた小さな白い丸シールの枚数 (枚)問１．n＝5 のとき，はりつけた小さな白い丸シールの枚数を求めなさい。

問２．はりつけた小さな白い丸シールの枚数が 308 のとき，n の値を求めなさい。

解答欄

問１
問２

n＝

【問 7】
次のように数が規則的に並んでいる。
5，343637
262728293132
33，，，，6，，，，，7，，，…
5555555555

このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（石川県 2009 年度）
問１．5 と 6 の間には，262728
29，，，が並んでおり，その和は 22 である。同じように考えて，7 と 8 の間に並5555ぶ数の和を求めなさい。

問２．1 番目の数を 5，2 番目の数を2627，3 番目の数を，…としたとき，83 番目の数を求めなさい。
55

問３．5 と 6 の間に並んでいる数は 4 個あり，5 と 7 の間に並んでいる数は 9 個ある。 5 と自然数 n の間に並んでいる数は何個あるか，n を使った式で表しなさい。ただし，n＞5 とする。

解答欄
問１問２
問３個

【問 8】
図のような 3 種類の材料がたくさんあり，これらを使って壁面をつくりたい。最初，図 1のように，3 本のアルミ材と 3 個の金具でつくった枠に，1 枚の正三角形の板が固定されている。その状態から，次の作業 P または作業 Q のうち，どちらかの作業を行って，1 枚ずつ板を追加していく。

【作業 P】

2 本のアルミ材と 1 個の金具を加えて新しく枠をつくり，1 枚の板を固定する。
(例えば，図 1 の状態から図 2 の状態にする作業)【作業 Q】

1 本のアルミ材を加えて新しく枠をつくり，1 枚の板を固定する。
(例えば，図 3 の状態から図 4 の状態にする作業)

壁面のつくり方の例
図1

図2

図3

図4

次の問１～問３に答えなさい。
（岐阜県 2009 年度）
問１．図 1 の状態から図 4 の壁面ができるまでに，6 回の作業を行った。このとき，作業 P と作業 Q をそれぞれ何回行ったかを求めなさい。

問２．図 1 の状態からある壁面をつくったところ，作業 P の回数は x 回，作業 Q の回数は y 回であった。この壁面の板と金具について，板の枚数を x と y を使った式で表し，金具の個数を x を使った式で表しなさい。

問３．図 5 のような平行四辺形 ABCD の壁面をつくりたい。ただし，辺 AB はアルミ材が図510 本，辺 BC はアルミ材が 20 本，それぞれ一直線につながっているものとする。
(1) この壁面の板の枚数と金具の個数を，それぞれ求めなさい。

(2) 図 1 の状態から図 5 の壁面ができるまでに，作業 P と作業 Q をそれぞれ何回行うことになるかを求めなさい。

解答欄

問１

作業 P

回

作業 Q回

問２

板枚

金具個

枚金具個

作業 Q回

(1)

板

(2)

作業 P

問３
回

【問 9】
コンピュータやテレビのカラー画面は，規則正しく並んだたくさんの小さな赤，緑，青の点で，さまざまな色を表示している。図 1 は，あるカラー画面とその一部を拡大したものを模式的に表している。また，赤，緑，青の点をそれぞれ円で表している。下の問１，問２に答えなさい。
（和歌山県 2009 年度）
図1

問１．図 2 は，図 1 のカラー画面のある一行を取り出し，赤の円の一つを 1 番目とし，その右側にある円を 2 番目，さらにその右側を 3 番目，…としたものである。このとき，下の(1)，(2)に答えなさい。
図2(1) 20 番目の円の色を答えなさい。
(2) 1 番目から 100 番目までに，赤の円は何個あるか，求めなさい。
問２．図 3 は，図 1 のカラー画面に直線ℓ ，m をひき，この 2 つの直線で挟まれたの部分の一部を拡大し，一番上の赤の円を 1 行目，その下の行を 2 行目，さらにその下の行を 3 行目，…としたものである。下の表は，図3 について，各行ごとの円の色や個数についてまとめたものである。表中の☆，★は，連続する 2 つの順番を表し，＊は，あてはまる数，式，色を省略したことを示している。なお，a は自然数である。
このとき，下の(1)，(2)に答えなさい。
図3表

(1) 表中の(ア)～(ウ)にあてはまる数を求めなさい。また，(エ)にあてはまる式を a を使って求めなさい。

(2) 251 行目の左端から数えて 21 個目の円の色を求めなさい。ただし答えを求める過程がわかるようにかきなさい。

解答欄

(1)

色

(2)

個

問１(ア)
(イ)
(1)
(ウ)
(エ)
求める過程

問２

(2)

よって，求める円の色は，である。

【問 10】
表 1 は，大小 2 つのさいころの目の数をもとに，次の規則にしたがって計算した値を，各マスに途中まで記入したものである。
規則
大きいさいころの目の数から 1 を引いた値に，小さいさいころの目の数を 2 倍した値を加える。
表1

このようにしてすべてのマスに値を記入した表において，・大きいさいころの目の数が m のときの，横に並ぶ 6 つの数の和を A (m)・小さいさいころの目の数が n のときの，たてに並ぶ 6 つの数の和を B (n)と表すことにする。
例えば，A (1)，B (2)は，それぞれ表 2，表 3 の太線で囲まれた部分にある 6 つの数の和を表し，A (1)＝2＋4＋6＋8＋10＋12＝42
B (2)＝4＋5＋6＋7＋8＋9＝39 である。
このとき，次の各問いに答えなさい。
（鳥取県 2009 年度）
問１．表 1 の，X の値 (大きいさいころの目の数が 4 で，小さいさいころの目の数が 5 であるときの値) を求めなさい。

表2

問２．A (3) の値を求めなさい。

問３．次の文の空欄(ア)，(イ)にあてはまる式を，最も簡単な形で答えなさい。
大きいさいころの目の数が m，小さいさいころの目の数が n であるマスに入る値は，規則にしたがって考えると (ア)である。A (1) の求め方を参考にすると，A (m) は，(ア) の式の n (小さいさいころの目の数) に 1，2，3，4，5，6 を代入し，その結果をそれぞれ加えたものであるから，A (m)＝(m＋1)＋(m 十 3)＋(m＋5)＋(m＋7)＋(m＋9)＋(m＋11)＝6m＋36 と表すことができる。同様に考えて B(n)は，B (n)＝(イ)と表すことができる。
問４．A (m)＋B (n)＝141 となるときの m，n の値の組 (m，n) を，すべて求めなさい。

解答欄

問１

X＝

問２

A (3) ＝問３
問４

(ア)(m，n) ＝(イ)表3

【問 11】図のように，段と列を決めてカードを並べる。まず，1 段目に，1 列目から順に，，，…と奇数のカードを並べる。次に，1 つ下の段のカードの数より 1 大きい数のカードを，2 列目は 2 段目まで，3 列目は 3 段目まで，…と規則的に並べていく。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（徳島県 2009 年度）
問１．7 列目の 3 段目に置かれたカードの数は何か，答えなさい。

問２．のカードは何枚置かれているか，答えなさい。

問３．n 列目の 1 段目から 3 段目に並べられている 3 枚のカードの数の和が 210 であるとき，n 列目のカードの中で一番大きい数は何か，答えなさい。

解答欄

問１
問２
問３枚

【問 12】
長方形の画用紙の 4 隅を画びょうでとめて掲示板に掲示する。1 枚だけを掲示するときは，図 1 のように 4 個の画びょうで 4 隅をとめて掲示するが，2 枚以上を掲示するときは，次の規則にしたがって掲示する。ただし，掲示する画用紙の大きさはすべて同じである。
図1

規則・掲示する画用紙の向きはすべて同じにし，横の方向と縦の方向以外には並べないものとする。
・横に並べるときは図 2 のように左右のとなりあう画用紙を少しの幅だけ重ねて画びょうでとめる。
・縦に並べるときは図 3 のように上下のとなりあう画用紙を少しの幅だけ重ねて画びょうでとめる。
・横にも縦にも並べるときは図 4 のように，縦に m 段，横に n 列で全体が長方形の形になるように並べ，左右や上下のとなりあう画用紙をどちらも少しの幅だけ重ねて画びょうでとめる。
このとき，次の問いに答えなさい。
（愛媛県 2009 年度）
問１．6 枚の画用紙を掲示するとき，(1) 横に 6 枚並べて掲示する場合，使用する画びょうの個数を求めよ。
図2(2) 縦に 2 段，横に 3 列で並べて掲示する場合，使用する画びょうの個数を求めよ。
図3

問３．何枚かの画用紙を上の規則にしたがって掲示したとき，画用紙をとめるのに使用した画びょうの個数が 35 個であった。このとき，掲示した画用紙は何枚であったか。

問４．図 4 のように，画用紙を縦に m 段，横に n 列で並べて掲示するときに使用する画びょうの個数は，このときと同じ枚数の画用紙を重ねずに並べ，すべての画用紙を 1 枚につき 4 個の画びょうでとめて掲示する場合に必要となる画びょうの個数より，何個少なくなるか。その個数を m，n を使って表せ。

図4解答欄
(1)個

(2)

個

問１問２個

問３枚

問４個

【問 13】
表のように自然数が規則的に並んでいる。このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
（佐賀県 後期 2009 年度）(1) 表の中の第 6 行で第 1 列の数はで第 6 列の数は②①であり，第 2 行である。このとき，①，②にあてはまる数を求めなさい。

(2) 84 は第何行で第何列の数か，求めなさい。

解答欄
(1)

①(2)

第②行

第列

表

【問 14】
ある自然数 n の正の倍数を小さい順に考え，その順に各倍数の一の位の数を確かめる。例えば，6 の正の倍数は小さい順に 6，12，18，24，30，36，…なので，各倍数の一の位の数は順に 6，2，8，4，0，6，…となる。
このように，n の正の倍数の一の位の数を順に確かめ，それを正方形状に左上の隅 (図 1～図 3 のの位置)から，縦，横に n 個ずつ反時計回りに順に並べていく。図 1，図 2 は，この並べ方にしたがって，それぞれ n＝3 のときと，n＝6 のときに数を並べたものである。
図1

図2

図3

自然数 n について，この並べ方にしたがって正方形状に数を並べたものを「n の倍数正方形」と呼ぶことにする。図
1 の数の並びは 3 の倍数正方形，図 2 の数の並びは 6 の倍数正方形であり，それぞれ 8 個，20 個の数が並んでいる。n の倍数正方形において，図 3 のように四隅にある数を左上から反時計回りに A，B，C，D とする。また，A の右隣の数を E とする。例えば，図 1 の 3 の倍数正方形において，A は 3，B は 9，C は 5，D は 1，E は 4 である。
このとき，次の問いに答えなさい。ただし，n は 3 以上の自然数とする。
（長崎県 2009 年度）
問１．4 の倍数正方形において，B，C，D をそれぞれ求めよ。

問２．17 の倍数正方形には，全部で何個の数が並んでいるか。

問３．25 の倍数正方形には，0 が全部で何個あるか。

解答欄

問１

B

C

問２個

問３個

D

【問 15】
図の 1 番目，2 番目，3 番目，・・・のように，1 辺の長さが 1 cm である同じ大きさの正方形を規則的に並べて図形をつくる。図の太線は図形の周を表しており，例えば，2 番目の図形の周の長さは 10 cm である。次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（大分県 2009 年度）(1) 4 番目の図形の周の長さを求めなさい。

(2) n 番目の図形の周の長さを n を使って表しなさい。

解答欄
(1)cm

(2)cm

【問 16】
A さんは，3 日練習したら 1 日休みがある卓球部に所属している。1 週目の月曜日から練習を始めると，練習日は下の表のようになる。ただし，○は練習日，／は休みの日を表している。次の問いに答えなさい。
（沖縄県 2009 年度）
月火水木

金土日

1 週目

○

○

○／

○

○

○

2 週目

／

○

○

○／

○

○

3 週目

○／

○

○

○／

○

4 週目
…

○○／

○

○

○

／

問１．練習開始日から数えて 10 回目の休みの日は何曜日になるか答えなさい。

問２．練習開始日から数えて 10 週目の木曜日は何回目の練習日になるか答えなさい。

問３．練習開始日から数えて 200 回目の練習日となるのは何週目の何曜日であるか答えなさい。

解答欄
問1曜日

問２回目

問３

週目の曜日