まえがき
本書は，筆者が京都大学工学部電気電子工学科で行っている講義をもとにした，量子力学の教科書である．執筆時点では 3 年次前期に講義を行っているが，本書の内容は 2 年次，あるいは 1 年次であっても理解は十分可能である．
現在，量子力学の本質的な性質を駆使する「量子技術」の研究が急速に進展している．従来のコンピュータとは異なる原理で動作し，ある種の問題を圧倒的な速度で解く「量子コンピュータ」，量子論の原理で盗聴を不可能にする「量子暗号」，また従来技術の限界を超える感度や分解能を実現する「量子センシング」などが研究されており，その応用範囲も，物理学のみならず，情報科学から生命科学まで極めて幅広い．そこで重要な，量子力学における本質的な性質が，「重ね合わせ」，「不確定性関係」，「量子もつれ」である．本書では，これらをはじめとする，量子の不思議な「振舞い」について，読者ができるだけ具体的に実感できるよう工夫した．
実際，量子力学の誕生から 100 年，これまでにも，量子力学に関する多くの素晴らしい教科書が出版されてきた．それらの教科書は，より伝統的な「微分方程式であるシュレーディンガー方程式を，様々な状態における解法を中心に記述する」ものと，「ディラックの導入したブラ・ケット形式を用いて，線形代数として記述する」ものの 2 つに大別される．最近は，数学的な見通しがよい後者をとるものが増えてきており，また前述した量子技術の研究でももっぱらブラ・ケット形式を用いた記述がなされている．しかし，数学的な抽象度が高く，また高校で習った「前期量子論」とのつながりも極めて見えにくい．現状
では，最初の量子論の講義は前者の形式で，発展型の講義は後者の形式で学ぶこともあると思われるが，その 2 つの形式の間の関係に学習者は戸惑うことになる．
そこで，本書では，前半で前期量子論からシュレーディンガー方程式が導出される過程を示すとともに，シュレーディンガー方程式を用いて井戸型ポテンシャルや調和振動子ポテンシャルなどの問題を解く過程で，その特定の状況に

iv

まえがき

おいて「重ね合わせ」や「不確定性関係」について具体的に検討する．そのようにして，具体的なイメージを持った上で，本書の後半ではヒルベルト空間とブラ・ケット形式を導入し，それまで特定の問題で見てきた関係が，数学的な，構造的な帰結として要請されていることを確認する．例えるなら，「動物」を理解する際に，まずは「動物園」を訪れて様々な動物を具体的に見て，それぞれの性質を学んだ後，座学においてそれらの動物に共通した性質について統一的な理解を深める，という方法である．実際の講義においても，学生にはこの方式は概ね好評である．また，読者が様々な場所で「量子力学」を使う場合にも，様々な形式に自然と適応できるだろう．
また，冒頭にも述べたように，現在の量子技術の発展を踏まえ，量子力学の本質的な性質を中心に説明するよう工夫した．例えば，「ある量子のもつ任意の量子状態は，複製することができない」という，いわゆるノークローニング定理は，量子の非常に重要な特徴であり，量子暗号の基本ともなっているが，通常この初級レベルの量子力学の教科書では説明がされていない．また，量子論の中心的な概念である，「量子もつれ」や「ベルの不等式」についても，1 つの章を割いて，思考実験的な記述により丁寧に解説した．さらに不確定性関係に関しても，単に関係式を示すだけでなく，それが実際の実験においてどのように立ち現れてくるのか（この点，非常に誤解が多い）も詳述した．また，量子力学は，前述の量子技術はもちろん，すでに読者の日常生活にも関係する様々な分野で現実に活用されており，それらについても触れるようにした．
その分，量子力学の基本的な性質とは直接関係しない話題について，通常の教科書でよく取り上げられるもので省いたものがある．その 1 つが，クーロン場におけるシュレーディンガー方程式の解である．そのような話題については，参考書を示したので，そちらを参照してほしい．また，量子力学の教科書において，数学的な「テクニック」が，その本質的な理解を妨げる場合がある．本書では，なにが「本質」でなにが「テクニック」かも区別するよう心がけた．
本書により，「量子技術」の各分野での研究者を目指す人はもちろん，情報科学から生命科学まで，幅広い分野で将来活躍される読者にも，不可欠なリテラシーとしての「量子力学」を学んでほしい．
本ライブラリにおいて本書の執筆の機会をいただき，また量子物理学の泰斗として，草稿に対しまして多くの重要で丁寧なご指摘およびご助言をいただきまえがきvました，京都大学名誉教授の佐藤文隆先生，北野正雄先生には，心より御礼申し上げます．また，本当に遅々として進まない原稿執筆に対しまして，極めて忍耐強くまた暖かくご鞭撻いただき，また丁寧な校正を賜りました，サイエンス社の田島伸彦様，仁平貴大様に心より感謝申し上げます．そして多忙な中，草稿に対して貴重なご指摘，ご示唆をいただきました，京都大学の岡本亮先生，
衞藤雄二郎先生，向井佑先生ならびに千歳科学技術大学の髙島秀聡先生に感謝申し上げます．また学生の立場から，記述の詳細な確認や貴重なコメントをいただきました，後藤啓文さん，坂本健伍さん，橋本朔さん，竹内七海さんに感謝申し上げます．他にも，研究者の皆様との議論，授業中の学生諸君の質問や指摘も大変参考になりました．ただし，本書の内容に誤りがあった場合は，もちろん筆者の責任です．最後に，常に筆者を支え励ましてくれている家族に，この場をお借りして心からの感謝を捧げます．
2023 年 10 月

竹内繁樹

目
第1章

次

量子革命と前期量子論

1

1.1 現代社会と量子力学

1

1.2 原子の発光と原子モデルの謎

2

1.3 エネルギー量子仮説と光量子仮説

4

1.4 ボ ー ア の 理 論

5

1.5 ド・ブロイの物質波と量子条件

8

第1章

第2章

演習問題

シュレーディンガー方程式

9102.1 分散関係と波動方程式

10

2.2 シュレーディンガーの波動方程式

112.3 時間に依存しないシュレーディンガー方程式

132.4 波動関数の次元

162.5 シュレーディンガー方程式の意味

17

2.6 波動関数に対する要請

18

第2章

第3章

演習問題

無限井戸型ポテンシャル

20

21

3.1 人工的につくられた原子としての量子ドット

213.2 無限に高い障壁をもつ井戸型ポテンシャル

22

3.3 波動関数の直交性

26

3.4 3 次元の立方体に閉じ込められた粒子

26

3.5 波動関数の縮退

29

3.6 重ね合わせ状態と縮退

30

第3章

演習問題

31

目第4章

次有限井戸型ポテンシャル

vii

32

4.1 波動関数とパリティ

32

4.2 有限な深さの 1 次元井戸型ポテンシャル

34

4.3 波動関数の浸みだし

41

第4章

第5章

演習問題

調和振動子ポテンシャル

42

43

5.1 調和振動子とその重要性

43

5.2 1 次元調和振動子ポテンシャルのシュレーディンガー方程式

455.3 1 次元調和振動子の固有値と固有関数

50

5.4 エルミート多項式51

5.5 古典的な調和振動子との比較

54

第5章

第6章

演習問題

波動関数の時間発展と波束

5657

6.1 波動関数の時間発展

57

6.2 波 と 波 束

58

6.3 波動関数が波束で表される粒子と不確定性関係

60

6.4 エーレンフェストの定理

64

6.5 自由空間における波束の運動

67

第6章

第7章

演習問題

量子トンネル効果

71

72

7.1 量子トンネル効果とは

72

7.2 有限高さの障壁におけるトンネル効果

75

7.3 粒子のエネルギーが障壁高さの半分の場合のトンネル確率78

7.4 波束で表される波動関数で記述される粒子のトンネル効果

79

7.5 確率密度と連続の式

82

第7章

演習問題

86

viii

目

第8章

次

量子力学の一般化

87

8.1 量子力学を一般化する

87

8.2 ヒルベルト空間

90

8.3 ヒルベルト空間における演算子

96

8.4 連続的な基底とディラックのデルタ関数

100

8.5 量子力学をヒルベルト空間を用いて記述する

104

8.6 状態ケットや演算子の行列表示

106

8.7 演算子の期待値と標準偏差

110

第8章

第9章

演習問題

112

位置・運動量演算子とシュレーディンガー方程式

114

9.1 位 置 の 演 算 子

114

9.2 並進変換の演算子と運動量演算子

115

9.3 時間発展演算子とハミルトニアン

120

9.4 時間発展演算子の微分方程式

122

9.5 シュレーディンガーの波動方程式

123

第9章

第 10 章演習問題

不確定性関係125126

10.1 ロバートソン–ケナードの不確定性関係

12610.2 不確定性関係の例

12710.3 不確定性関係の物理的な意味

128

10.4 ロバートソン–ケナードの不確定性関係の導出

13110.5 ハイゼンベルクの不確定性原理と小澤の不等式

134

第 10 章 演習問題

135

目

第 11 章次ix

複数の量子の振舞いとノークローニング定理

136

11.1 量子のもつ本質的な性質

136

11.2 複数の粒子の量子状態の表し方

137

11.3 ノークローニング定理

137

第 11 章 演習問題

140

第 12 章量子もつれとベルの不等式

141

12.1 光 子 の 偏 光

14112.2 量 子 も つ れ

142

12.3 実在性と局所性

14312.4 アインシュタイン–ポドルスキー–ローゼンのパラドックス

145

12.5 ベ ル の 不 等 式

14712.6 ベルの不等式の破れ

154

第 12 章 演習問題

158

第 13 章量子論のさらなる理解とその発展

160

13.1 これまで学んだ量子論を振り返って160

13.2 より発展的な量子論の世界

160

13.3 量子力学の学習をさらに深める

162

演習問題解答165

索175

引