４．二次関数と図形（面積・長さ）関連の複合問題 【２００２年度出題】【問１】
図のように，関数 y＝ax2 (a は正の定数)…① のグラフと長方形 OABC があります。頂点 A は x 軸上に，頂点 Bは①のグラフ上に，頂点 C は y 軸上にあります。点 O は原点とします。
次の問いに答えなさい。
（北海道 2002 年度）
問１．①について，a＝１で，xの変域が－１≦x≦２のときyy の変域を求めなさい。

問２．長方形 OABC の周の長さが 12 で，OA＝2AB のとき，直線 ACの式を求めなさい。

問３．a＝1
で，点Aの座標を(6，0)とします。太郎君が大小２個のさいころを同時に投げるとき，大きいさいころの出る9目の数をx，小さいさいころの出る目の数をyとし，(x，y)を座標とする点をPとします。このとき，図の分に点Pが入る確率を求めなさい。
ただし，の部分には，周上も含まれます。

問１問２
問３の部

【問２】
11) のグラフ上に x 座標が 2 である点 A をとり，関数 y＝ x2 のグラフ上に x 座標
221が 4 である点 B をとったところ，線分 AB は x 軸と平行になりました。また，y＝ 2 x2 のグラフ上に x 座標が 4 より大き図のように，関数 y＝ax2 (a＞い点 P をとります。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（岩手県 2002 年度）(1) 関数 y＝ax2 の a の値を求めなさい。

yy(2) △ABP の面積が 10 cm2 のとき，点 P の座標を求めなさい。ただし，座標の１目もりを 1 cm とします。

(1)

a＝(2)

（，）

【問３】
図Ⅰのように，関数 y＝x2 のグラフ上に２点 A，B があり，それらの x 座標はそれぞれ－1，2 で，直線 AB と y 軸との交点を C とします。次の１～３の問いに答えなさい。ただし，点 O は原点とします。
（宮城県 2002 年度）
１．点 A の y 座標を求めなさい。
図Ⅰ

２．直線 AB の式を求めなさい。

３．関数 y＝x2 のグラフ上に x 座標が a である点 P をとります。ただし，1＜a＜2 とします。次に，線分 OC 上に，点 Q を，△APB と△AQB の面積が等しくなるようにとります。次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1) 点 P が図Ⅱの位置にあるとき，点 Q を解答用紙の図にかき入れなさい。また，点 Q をどのようにしてとったか，簡潔に説明しなさい。

(2) 線分 CQ の長さを a を用いて表しなさい。

(3) △AQB の面積を a を用いて表しなさい。

１２説明

(1)
３(2)
(3)

図Ⅱ【問４】
花子さんは太陽の位置と校庭に伸びる木の影の長さに興味を持ち，ノートに図１のように整理して，光源の高さと影の長さとの関係について考えました。支柱 AC，BD をそれぞれ底面に垂直に立て，AO＝BD＝1.5 m，OC＝6m，AB＝4 m とする。光源 P は，支柱 AC の点 O より上の部分を動き，支柱 BD を照らしてその影 BQ をつくる。
OP＝x m として次の問いに答えなさい。ただし光源 P の大きさは考えないものとする。
（山形県 2002 年度）(1) x＝3 のとき，影 BQ の長さを求めなさい。

図１(2) BQ＝y m とするとき，x と y の関係を式に表しなさい。また，その関係を表すグラフを図２にかきなさい。
ただし，x の変域は，1≦x≦6 とする。

図２(3) (2)で求めた関数で x の値が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

(1)m式グラフ(2)(3)

【問５】1

図のように，関数y＝ 2 x2のグラフ上に，x座標が－2である点Aがある。また四角形OABCが平行四辺形となるように，点Bと放物線上の点Cをとる。ABの中点Mがy軸上にあるとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（福島県 2002 年度）(1) 点 B の x 座標を求めなさい。

yy(2) 平行四辺形 OABC の面積を求めなさい。

(3) M を通る直線ℓ によって，平行四辺形 OABC を２つの部分に分ける。この２つの部分の面積の比が 3：5 となるようなℓ の式をすべて求めなさい。

(1)
(2)
(3)
【問６】
図のように，４点 A(2，5)，B(2，3)，C(4，3)，D(4，5)を頂点とする正方形 ABCD がある。また，直線アは関数y＝x＋b のグラフであり，曲線イは関数 y＝ax2 のグラフである。ただし，a＞0 とする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（茨城県 2002 年度）(1) 直線アが正方形 ABCD の面積を２等分するときの b の値を求めな
さい。

(2) 曲線イが正方形 ABCD を通るための a の値の範囲を求め，その範囲を不等号を使って表しなさい。

(1)
(2)

b＝≦a≦

【問７】
図のように，関数 y＝

1 2
1x ，y＝ x2 のグラフと，原点を通る直線との交点をそれぞれ A，B とします。 点 B から
24x 軸に垂線 BC をひきます。
点 B の座標が (6，9) のとき，△BOC と△BAC の面積の比を求めなさい。
（群馬県 2002 年度）
y△BOC：△BAC＝：【問８】
図のように，関数 y＝x2 のグララ上に，２点 A，B があり，点 A，B の x 座標はそれぞれ－2，3 である。
また，点 B を通り，△AOB の面積を二等分する直線が y 軸と交わる点を P とする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（千葉県 2002 年度）(1) 点 P の y 座標を求めなさい。
yy＝x2(2) △OBP と△AOB の面積比を求めなさい。

(1)
(2)

△OBP：△AOB＝：

【問９】図において，直線①は関数y＝－x＋4のグラフであり，曲線②は関数y＝ax2のグラフである。２点A，Bはともに直線①と曲線②との交点で，点Aのx座標は2，点Bのx座標は－4である。点Cは曲線②上の点で，線分ACはx軸に平行である。また，点Dはx軸上にあり，線分ADはy軸に平行である。原点をOとするとき，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2002 年度）(ア)

曲線②の式 y＝ax2 の a の値を求めなさい。
y① ②B(イ) 直線 CD の式を y＝mx＋n とするとき，m，n の値を求めなさい。

EAC(ウ) 線分 OB と線 AC との交点を E とするとき，三角形 ABE と三角形ACD の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

OxD(ア)

a＝(イ)

m＝(ウ)

△ABE：△ACD＝，n＝：

【問 10】
図Ⅰで，①は関数 y＝mx2 のグラフ，②は直線であり，①と②は 2 点 A，B で交わっている。また，②は x 軸と点 Cで交わっている。点 A の座標は(－4，8)で，点 B，C の x 座標は，それぞれ 2，4 である。このとき，次の問いに答えなさい。
（富山県 2002 年度）(1) m の値を求めなさい。

図Ⅰy(2) 直線②の式を求めなさい。

(3) 図Ⅱは，図Ⅰに直線 x＝－3 を書き加えたものである。

図Ⅱy

直線 x＝－3 と直線②との交点を P，関数①のグラフとの交点を Qとする。このとき，四角形 PQOB の面積を求めなさい。ただし，面積の単位はつけない。

x＝－3(1)

m＝(2)

y＝(3)

四角形 PQOB の面積＝

【問 11】図において，①の放物線は関数y＝1 2x のグフフである。グラフ上のx座標が－2，4である点をそれぞれA，Bと4し，点Bからx軸にひいた垂線とx軸との交点をCとする。このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
（石川県 2002 年度）
1(1) 関数 y＝ x2 について，x の変域が－2≦x≦4 のときの y の変域を求めなさい。
4y(2) グラフ①上に点 P をとり，△BPC の面積が△BAC の面積の２倍になるようにする。
このとき，点 P の座標をすべて求めなさい。

(1)(2)
【問 12】
図は，放物線 y＝x2 と直線 y＝x＋6 が２点 A，B で交わっていることを示している。点 P は放物線上を A から B まで動く。点 P を通り，y 軸に平行な直線と線分 AB との交点を Q とする。また，２点 A，B の x 座標は，それぞれ，－2，3 である。このとき，次の問いに答えよ。
（福井県 2002 年度）(1) ２点 A，B の座標を求めよ。
y(2) 線分 AB の長さを求めよ。
(3) P の x 座標が－1 のときの線分 PQ の長さを求めよ。
(4) P の x 座標を a としたときの△PAB の面積を S とする。S を a の式で表せ。

(5) 原点 O と直線 AB との距離を求めよ。

(1)A の座標（

(2)
(3)
(4)
(5)

S＝，）

B の座標（，）

【問 13】
図で，①は関数 y＝ax＋3，②は関数 y＝－x2 のグラフであり，x の値が－2 から 0 まで増加するときの，①の変化の割合と②の変化の割合は等しい。また，x 軸上に，x 座標が正である点 P（t，0）をとり，点 P を通り y 軸に平行な直線と①，②との交点をそれぞれ A，B とする。このとき，次の(1)～(3)に答えなさい。
（山梨県 2002 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) t＝2 のとき，△OAB の面積を求めなさい。

(3) △OAB が，OA＝OB の二等辺三角形になるような t の値を求めなさい。

(1)a ＝(2)(3)t ＝【問 14】
図のように，y＝ax2 のグラフと直線が２点 A，B で交わっていて，A の x 座標は－1，B の座標は(3，9である。ま2 )た，C は直線 AB と y 軸との交点，点 D の座標は(3，0)，放物線上の点 P の x 座標は t である。
（長野県 2002 年度）y(1) a の値を求めなさい。
(2) 直線 AB の式を求めなさい。
(3) △OPD の面積が△OPC の面積の２倍となるとき，t の値を求めなさい。また，このときの△OPD の面積を求めなさい。ただし，t＞0 とする。

(4) (3)のとき，△OPD を，直線 OP を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし円周率はπとする。

(1)
(2)
(3)
(4)t

面積

【問 15】図において，①は関数y＝ax2 (a＞0)のグラフであり，②は関数y＝－1 2x のグラフである。また，２点A，Bの座標4は，それぞれ(－2，0)，(4，0)である。点Aを通りy 軸に平行な直線と，放物線①，②との交点をそれぞれC，Dとする。また，点Bを通りy 軸に平行な直線と，放物線①，②との交点をそれぞれE，Fとする。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（静岡県 2002 年度）(1) x の変域が－2≦x≦5 であるとき，関数 y＝－1 2x の y の変域を求めなさ
4yい。

(2) 直線 y＝－2x＋b は，４点 A，D，F，B のうち，どの点を通るとき，その b の値が最も大きくなるか。また，そのときの b の値を求めなさい。

(3) ∠CEF＝∠CFE となるときの，a の値を求めなさい。求める過程も書きなさい。

(1)
(2)

通る点点b の値b＝求める過程

(3)

答 a＝

【問 16】
図で，O は原点，A，B，C，D は関数 y＝x2 のグラフ上の点，E，F は x 軸上の点であり，AD，BC は x 軸に平行，AE，BF は y 軸に平行である。点 A，B の x 座標がそれぞれ－2，－1 であるとき，次の①，②の問いに答えよ。
（愛知県Ｂ 2002 年度）① 直線 DC の式を求めよ。

yy② 四角形 ABCD の面積は四角形 AEFB の面積の何倍か。

①②y＝倍

【問 17】２つの関数 y＝x2 と y＝2x＋3 について，次の各問いに答えなさい。
（三重県 2002 年度）①次の表は，関数 y＝x2 について，対応する x，y の値を表したものである。
表の ㋐ ，㋑ にあてはまる数を求めなさい。
x…

－2

㋐0

12…

y…

41

㋑

14…

② ２つの関数 y＝x2 と y＝2x＋3 のグラフを解答欄の図の中にかきなさい。

③ ２つのグラフの交点を A，B とするとき，②でかいたグラフを使って交点 A，B の座標を求めなさい。
ただし，点 A の x 座標は，点 B の x 座標より小さいものとする。

④ 関数 y＝x2 のグラフ上に点 P をとり，③の交点 A，B と結んで三角形 ABP をつくる。
このとき，三角形 ABP が BA＝BP の二等辺三角形となるような点 P は全部で何個あるか，求めなさい。

①㋐㋑y②③④点 A（，）
個点 B（，）

【問 18】関数 y＝ax2 について，x の値が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合が 8 であった。
次の問いに答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さは 1 cm とする。
（兵庫県 2002 年度）(1) a の値を求めなさい。また，この関数のグラフを，右図の放物線ア～ウから１つ選び，記号で答えなさい。

(2) この関数のグラフと x 軸に平行な直線が２点で交わり，この２点を結ぶ線分の長さが 2 3 cm であった。この直線を解答欄の図にかき入れなさい。

(1)a＝y(2)

【問 19】図のように，y＝4 で表される直線 ℓ と，点 A(2，4)，B(－6，0)，C(6，0)がある。また，y 軸と直線ℓ ，直線 AB との交点をそれぞれ D，E とする。

次の問１～問４に答えなさい。
（和歌山県 2002 年度）
問１．y 軸について，点 A と対称な点の座標を求めなさい。

問２．直線 AC の式を求めなさい。

問３．△ADE と△BOE の面積の比を求め，最も簡単な整数の比で表しなさい。

問４．直線 ℓ 上に点 P を∠BPC＝90°となるようにとる。このとき，P の座標をすべて求めなさい。

問１

（，）

問２
問３
問４

△ADE：△BOE＝：

【問 20】
数学の授業で，右のようなプリントが配られ，「ともなって変わる２つの数量を変数 x，y で表し，その説明を★に書き入れて問題文を完成しさらにその問題に答えなさい。」と指示された。次の２枚のプリントは S 君と T さんがそれぞれこの指示に従って記入したプリントの(ア)， (イ)， (イ)

， (ウ)

， (エ)

， (オ)の部分を空欄にしたものである。
S 君のプリントについては，問題文に対する解答が正答となるように(ア)， (イ)， (ウ)に数または式を書き入れなさい。

★

ただし (イ) には (イ) と同じ数が入る。
T さんのプリントについては T さんのかいたグラフが正答となるように (エ) には変数 x，y の説明を書き入れて問題文を完成し，(オ)問題には式を書き入れなさい。

このx，yについて次の問いに答えなさい。
① xとyの関係を表す式を求めなさい。
また，xの変域を求めなさい。
② xとyの関係を表すグラフをかきなさい。

（岡山県 2002 年度）

S 君のプリントアエオ

T さんのプリントイウ

解答【問 21】図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に点 A(3，9)，x 軸上に点 B(a，0)，y 軸上に点 C(0，4)があります。２点 A，Bを結ぶ線分と関数 y＝x2 のグラフとの交点を D とし，点 A から x 軸に引いた垂線と x 軸との交点を E とします。ただし，a＜0 とします。これについて，次の(1)～(3)に答えなさい。
（広島県 2002 年度）(1) a＝－4.5 のとき，線分 OB 上の点で，x 座標が負の整数であるものは何個ありますか。

(2) 点 O が∠BAE の二等分線上にあるとき，点 O と線分 AB との距離を求めなさい。

(3) 直線 CD が x 軸と平行になるとき，a の値を求めなさい。

(1)個

(2)
(3)
【問 22】
1

図で，点 O は原点であり，点 A の座標は(2，0)である。放物線①は関数 y＝ 2 x2 のグラフである。２点 B，C は，放物線①上の点で，線分 AB は y 軸に平行であり，線分 BC は x 軸に平行である。また，直線②は２点 A，C を通る直線である。これについて，次のア～ウの問いに答えよ。
（香川県 2002 年度）
ア ２点 B，C 間の距離を求めよ。
1イ 関数 y＝ 2 x2 について，x の値が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を求めよ。

ウ 点 B を通り，直線②に平行な直線の式を求めよ。

アイウ

【問 23】図のように，原点を O とし，２つの関数
3y＝ 2 x2 …①y＝ax2 (a＜0) …②のグラフがある。２点 A，B は①のグラフ上にあり，点 A の x 座標は 2 で，点 B は点 A と y 軸について対称な点である。このとき，次の(1)～(3)の各問いに答えなさい。
（佐賀県 2002 年度）(1) 点 B の座標を求めなさい。

y(2) 直線 OA の式を求めなさい。

(3) 直線 OA と②のグラフとの交点を C とし，点 C の x 座標を t とするとき，次の(ア)～(ウ)の各問いに答えなさい。
(ア) t＝－1 のとき，a の値を求めなさい。

(イ) (ア)のとき，△OAB と△OBC の面積比を求めなさい。

(ウ) △OAB と△OBC の面積比が 2：3 となるとき，a の値を求めなさ
い。

(1)

（，）

(2)
(ア)
(3)

(イ)
(ウ)

△OAB：△OBC＝：

【問 24】図のように，関数 y＝1 2x のグラフと x 軸に平行な直線ℓ との交点を A，B，x 軸上の点 P の座標を(6，0)とする。
2

次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（大分県 2002 年度）(1) 直線ℓ の式が y＝8 であるとき，△APB の面積を求めなさい。

(2) 線分 OA 上に点 A と異なる点 Q をとる。
△APB の面積と△QPB の面積が等しくなるとき，直線ℓ の式を求めなさい。

(1)(2)
【問 25】
39

図のように，２つの関数 y＝ 4 x2…①，y＝ax＋ 5 (a は定数)…② のグラフがある。関数①のグラフ上に２点A，B があり，線分 AB は x 軸に平行で，点 A の x 座標は－2 である。点 C は関数②のグラフと線分 AB との交点で，
点 C の x 座標は 1 である。また，点 D は関数②のグラフと x 軸との交点である。このとき，次の各問いに答えなさい。
（熊本県 2002 年度）(1) a の値を求めよ。

(2) ３点 A，D，C を頂点とする三角形が x 軸を軸として１回転してできる立体の体積を求めよ。ただし，円周率はπとする。

(1)
(2)

a＝

【問 26】図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に，４点 A，B，C，D があり，その x 座標は，それぞれ，－2，－1，2，3 である。
このとき，次の(1)～(4)の問いに答えなさい。
（宮崎県 2002 年度）(1) 点 A の y 座標を求めなさい。
yy(2) 関数 y＝x2 について，x の変域が－1≦x≦3 のとき y の変域を求めなさい。

(3) 原点 O および A，B，C，D の５つの点から２点を選び，その２点を通る直線をひくとき，傾きが 1 になる２点を１組書きなさい。さらに，その２点を通る直線の式を求めなさい。

(4) ２点 A，C を通る直線と２点 B，D を通る直線の交点を P とする
とき，△ADP と△BCP の面積の比を求めなさい。

(1)
(2)

≦y≦

(3)

２点(4)

△ADP：△BCP＝と：