４．二次関数と図形（面積・長さ）関連の複合問題 【２０１０年度出題】【問１】
図のように，2 つの関数 y＝ax2(a は正の定数) …①，y＝－x2 …② のグラフがあります。②のグラフ上に点 A があり，点 A の x 座標を負の数とします。点 O は原点とします。次の問いに答えなさい。
（北海道 2010 年度）
問１ 点 A の x 座標が－1 のとき，点 A を通り，傾きが 2 である直線の式を求めなさい。

問２ ①について，x の変域が－2≦x≦0 のとき，y の変域は0≦y≦8 となります。このとき，a の値を求めなさい。

問３ 点 A の x 座標を－2 とし，点 A を通り x 軸に平行な直線と②のグラフとの交点のうち，点 A と異なる点を B とします。
点 B と x 座標が等しい①のグラフ上の点を C とします。①のグラフ上に点 D を，x 座標が－3 となるようにとります。四角形 ABCD の面積が 25 のとき，a の値を求めなさい。

問１
問２

a＝〔計 算〕

問３

答 a＝

【問２】
図で，①，②はそれぞれ関数 y＝ax2，y＝bx2(0＜b＜a) のグラフである。点 A，B は①上にあり，点 A の x 座標は4，点 B の座標は (－2，2) である。また，直線 AB と②の交点を C とする。次の問１～問４に答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さを 1 cm とする。
（青森県 前期 2010 年度）
問１ a の値を求めなさい。

問２ 直線 AB の式を求めなさい。

問３ △OAB の面積を求めなさい。

問４ CB：BA＝1：4 であるとき，b の値を求めなさい。

問１a＝問２cm2

問３
問４b＝

【問３】
図のように，関数 y＝2x2 のグラフ上に 2 点 A，B があり，関数 y＝ax2(0＜a＜2) のグラフ上に 2 点 C，D があります。A と C の x 座標はどちらも 2 で，D の x 座標は B の x 座標より小さくなっています。また，y 軸上に点 E があり，A，B，D，E の y 座標は等しくなっています。このとき，次の問１，問２に答えなさい。
（岩手県 2010 年度）
問１ A の y 座標を求めなさい。

問２ △OAC と△OBE の面積の比が2：3 であるとき，D の x 座標を求めなさい。

問１
問２

【問４】
1 2x のグラフ上に x 座標が 8 となる点 A をとります。また，点 (6，0) を通り y 軸に平行な41
直線を  ，直線  と関数 y＝ x2 のグラフとの交点を B とします。次の問１～問３に答えなさい。
4

図１のように，関数 y＝（宮城県 2010 年度）
問１ 点 A の y 座標を求めなさい。

問２ 関数 y＝

図１1 2x について，x が 0 から 6 まで増加す4るときの変化の割合を求めなさい。

図２
問３ 図２は，図１において，y 軸上の正の部分に点 C をとり，直線 AC と直線  との交点を D としたものです。OC＝BD となるとき，直線 AC の式を求めなさい。

問１
問２
問３

【問５】
図のように，2 つの関数 y＝2x2 …㋐ y＝1 2x …㋑ のグラフがある。点 A は関数㋐のグラフ上の点であり，2x 座標は正である。点 B，C は関数㋑のグラフ上の点である。線分 AC は y 軸に，線分 BC は x 軸にそれぞれ平行である。
（秋田県 2010 年度）(1) 関数㋐について，x の変域が－l≦x≦3 のとき，y の変域を求めなさい。

(2) 点 A の y 座標は，点 C の y 座標の何倍か，求めなさい。

(3) 線分 AC と線分 BC の長さの比が 2：1 のとき，点 B の x 座標を求めなさい。

(1)
(2)
(3)

倍

【問６】
図において，①は関数 y＝1 2x のグラフ，②は関数 y＝ax2(a＜0) のグラフである。次の問いに答えなさい。
4（山形県 2010 年度）
問い ①のグラフ上に x 座標が－2 である点 A をとり，A を通り y 軸に平行な直線と②のグラフとの交点を B，A を通り x 軸に平行な直線と①のグラフとのもう 1 つの交点を D とし，長方形 ABCD をつくる。この長方形が正方形になるときの a の値を求めなさい。

【問７】aのグラフであり，曲線イは関数 y＝－x2 のグラフである。曲線ア上の点で x 座標xが 1 である点を A，x 座標が 3 である点を B とする。さらに，曲線イ上の点で x 座標が 1 である点を C，x 座標が 3 で図において，曲線アは関数 y＝ある点を D，原点を通る直線 OC と線分 BD の交点を E とする。このとき，次の問１，問２に答えなさい。ただし，a＞0で，O は原点とする。
（茨城県 2010 年度）
問１ a＝3 のとき，2 点 A，B を通る直線の式を求めなさい。

問２ 四角形 ACEB の面積が△CDE の面積の 2 倍であるとき，a の値を求めなさい。

問１
問２

a＝【問８】図のように，関数 y＝ax2(a＞0) のグラフ上で x 座標が 3 である点を A とする。また，点 A を通り，y 軸に平行な直線が，関数 y＝2x－7 のグラフと交わる点を B とする。AB＝4 となるときの a の値を求めなさい。
（栃木県 2010 年度）

a＝【問９】
12図で，曲線は，関数 y＝x2，y＝ x 2 のグラフです。y 軸上に y 座標が正である点 P をとり，この点 P を通り傾きが正12の直線と y＝x2，y＝ x 2 との交点のうち x 座標が負のものをそれぞれ Q，R とします。線分 QR を対角線とし，各辺がx 軸，y 軸と平行な四角形をつくったとき，面積が 1 cm2 の正方形となりました。3 点 P，Q，R を通るこの直線の式を求めなさい。ただし，座標軸の単位の長さを 1 cm とします。
（埼玉県 前期 2010 年度）

y＝【問 10】図で，放物線は関数 y＝1 2x のグラフです。この放物線上に x 座標が正である点 P をとり，点 P を中心として原点2O を通る円をかきます。この円と x 軸との交点を A とし，点 A を通り y 軸に平行な直線とこの円との交点を Q とします。
点 P の x 座標を a とするとき，次の各問に答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さを 1 cm とします。
（埼玉県 後期 2010 年度）
問１ 点 Q の座標を a を用いて表しなさい。

問２ ∠APQ＝90°となるとき，a の値と△PAQ の面積を求めます。
途中の説明を書いて答えを求めなさい。

(問１，)

〔説明〕

問２

答 a＝

面積cm2

【問 11】図において，直線①は関数 y＝x＋3 のグラフであり，曲線②は関数 y＝ax2 のグラフである。点 A は直線①と曲線②との交点で，その x 座標は 6 であり，点 B は直線①と x 軸との交点である。また，点 C は曲線②上の点で，線分AC は x 軸に平行であり，点 D は線分 AC と y 軸との交点である。原点を O とするとき，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2010 年度）
問１ 曲線②の式 y＝ax2 の a の値を求めなさい。

問２ 直線 BD の式を求め，y＝mx＋n の形で書きなさい。

問３ 点 E は x 軸上の点で，線分 AE は y 軸に平行である。直線①と線分 DE との交点を F とするとき，三角形 AEFと三角形 BCD の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

問１

a＝

問２

y＝

問３

△AEF：△BCD＝：

【問 12】
1 2x のグラフ上に x 座標が正である点 P をとり，その x 座標を t とする。点 P を通り y 軸に21平行な直する。また，点 P を通り x 軸に平行な直線と，y＝ x2 線と x 軸との交点を A とのグラフとのもう 1 つの交点2

図のように，関数 y＝を Q とし，点 Q を通り y 軸に平行な直線と x 軸との交点を B とする。このとき，次の問１～問３に答えなさい。ただし，円周率はπとする。
（石川県 2010 年度）
問１ 関数 y＝1 2x について，x の変域が－1≦x≦4 のとき，y2の値が最小となるような x の値を求めなさい。

問２ △QBA が二等辺三角形となるような t の値を求めなさい。
なお，途中の計算も書くこと。

問３ t＝2 のとき，△OAP を辺 OP を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

問１x＝〔計算〕

問２答
〔計算〕

問３答

【問 13】図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に 4 点 A，B，C，D がある。点 A，B，C，D の x 座標はそれぞれ－3，－1，2，3 である。直線 AC と直線 BD の交点を P とする。直線 BD の傾きが 4 のとき，次の問いに答えよ。
（福井県 2010 年度）
問１ 2 点 B，D の y 座標を a を用いて表せ。

問２ a の値を求めよ

問３ 直線 AC の式を求めよ。

問４ 直線 AC と直線 BD の交点 P の座標を求めよ。

問５ 2 点 B，C を通る直線を  とする。このとき，点 P と直線  との距離を求めよ。

問１

 点 B の y 座標
 点 D の y 座標

問２a＝問３y＝問４問５P(，)

【問 14】図において，①は関数 y＝ax2，②は関数 y＝－1x＋2 のグラフであり，点 A，B は①と②の交点で，x 座標はそれ2ぞれ－4，2 である。また，点 C は②と y 軸との交点である。

このとき，次の問１～問４に答えなさい。
（山梨県 2010 年度）
問１ a の値を求めなさい。

問２ ①の関数において，x の変域が－4≦x≦2 のとき，y の変域を求めなさい。

問３ ①の関数と②の関数は，x が b から b＋2 まで増加したときの変化の割合が等しくなる。このときの b の値を求めなさい。

問４ 点 C を通る直線が△OAB の面積を 2 等分するとき，この直線の式を求めなさい。

問１a＝

問２
問３
問４b＝

【問 15】
図１のような透明な容器があり，面 AGNH が水平となるようにテーブルの上に固定されている。面 ABCDEFG と面HIJKLMN は同じ形であり，そのほかの面はどれも長方形である。この容器を面 ABCDEFG を正面とする方向から見ると，図２のように，直線  を対称軸とする線対称な図形である。この容器に液体を入れたときの，点 D から測った液体の深さを x cm，液体の量を y cm3 とする。ただし，容器の厚さは考えないものとする。
図１

図２

次の問１～問４に答えなさい。
（岐阜県 2010 年度）
問１ 表中のア，イにあてはまる数を求めなさい。
x (cm)0…

345…

89y (cm3)0…

90ア200…

イ360

問２ x の変域を次の(1)，(2)とするとき，x と y との関係を式で表しなさい。
(1) 0≦x≦4 のとき(2) 4≦x≦9 のとき

問３ x と y との関係を表すグラフをかきなさい。(0≦x≦9)
問４ 図１の容器に，液体にした茶，白，黒の 3 色のチョコレートを 120 cm3 ずつ順に入れ，容器を満たす。チョコレートが固まった後，面 AGNH が底面となるように置き，この容器を取り除いて，図３のような 3 層のチョコレート菓子をつくる。3 色のチョコレートは互いに混ざることはなく，その境となる面 PQRS と面 TUVW は，底面に平行である。このとき，図３に示した白色のチョコレートの層の厚さを求めなさい。ただし，各チョコレートは固まる前後で体積の変化はないものとする。
図３ア問１イ(1)

y＝(2)

y＝問２

問３

問４cm

【問 16】図において，①は関数 y＝ax2(a＞0) のグラフであり，②は関数 y＝－x2 のグラフである。2 点 A，B の座標はそれぞれ (2，1)，(－3，0) である。点 A を通り y 軸に平行な直線と，放物線②との交点を C とする。また，点 B を通り y軸に平行な直線と，放物線①，放物線②との交点をそれぞれ D，E とし，直線 AO と直線 DE との交点を F とする。
このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（静岡県 2010 年度）
問１ x の変域が－1≦x≦4 であるとき，関数 y＝－x2 の y の変域を求め図なさい。

問２ 直線 y＝x＋b は，4 点 A，B，F，C のうち，どの点を通るとき，その bの値が最も小さくなるか。また，そのときの b の値を求めなさい。

問３ △OEA の面積と△ODE の面積の比が 1：3 となるときの，a の値を求めなさい。求める過程も書きなさい。

問１
問２

通る点点b の値

b＝〔求める過程〕問３

答 a＝

【問 17】
図で，O は原点，A，B は関数 y＝ax2 (a は定数) のグラフ上の点，C は直線 BA と x 軸との交点である。点 A の座標が (－2，2)，△BAO の面積が△ACO の面積の 3 倍であるとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。ただし，点 Bの x 座標は正とする。
（愛知県 A 2010 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 直線 BA の式を求めなさい。

(1)

a＝(2)

y＝

【問 18】図のように，関数 y＝ax2…㋐のグラフ上に 2 点 A，B があり，点 A の座標が (4，4)，点 B の座標が (－6，b) である。このとき，次の各問いに答えなさい。
（三重県 2010 年度）(1) a，b の値を求めなさい。

(2) 2 点 A，B を通る直線の式を求めなさい。

(3) 原点を O とするとき，△OAB の面積を求めなさい。ただし，座標の1 目もりを 1 cm とする。

a＝
(1)
b＝
(2)
(3)

y＝
cm2

【問 19】図のように，関数 y＝

1 2ax …㋐のグラフ上に 2 点 A，B があり，関数 y＝2x…㋑のグラフ上に 2 点 C，D がある。

このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，a＞0 とする。
（三重県 2010 年度）(1) 関数㋐について，x の変域が－6≦x≦2 のときの y の変域を求めなさい。

(2) 点 A，C の x 座標がともに 2 であり，点 B，Dの x 座標がともに 6 であるとき，四角形 ADBCが平行四辺形となるように，a の値を求めなさい。

(1)
(2)

≦y≦
a＝

【問 20】図のように，関数 y＝y＝

1 2x のグラフ上に x 座標が 3 である点Ａがある。点Ａを通り，x 軸に平行な直線と関数
31 2x のグラフとの交点のうち，点Ａと異なる点をＢとする。また，x 軸上に x 座標が－6 である点Ｃをとる。このとき，
3

次の問１～問３に答えよ。
（京都府 2010 年度）
問１ 点Ｂの座標を求めよ。

問２ 2 点Ａ，Ｃを通る直線の式を求めよ。

問３ 2 点Ａ，Ｃを通る直線上に点Ｐをとる。△ＡＰＢの面積が 10 となるとき，点Ｐの座標を求めよ。ただし，点Ｐの x 座標は点Ａの x 座標より小さいものとする。

問１
問２
問３

Ｂ(，)

Ｐ(，)

y＝

【問 21】
図において，m は y＝x2 のグラフを表す。A は m 上の点であり，その x 座標は正である。B は y 軸上の点であり，その y 座標は 3 である。O と A，A と B とをそれぞれ結んでできる△OAＢの面積が 4 であるとき，A の y 座標を求めな
さい。
（大阪府 後期 2010 年度）

【問 22】図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に，点 A(4，8) がある。また，点 B，点 C は y 軸上の点で，△ABC は AB＝AC＝5 の二等辺三角形である。次の問いに答えなさい。
（兵庫県 2010 年度）
問１ a の値を求めなさい。

問２ 点 A から y 軸に垂線 AD をひく。この関数のグラフ上で，点 A と原点 O の間に点 P をとり，△ABC の面積と△ADP の面積が等しくなるようにする。このとき，点 P の x座標を求めなさい。

問３ 点 C を通り AB に平行な直線と，この関数のグラフとの交点のうち，x 座標が負である点を E とし，EC の延長と点 A から x 軸にひいた垂線との交点を F とする。このとき，問２における点 P において，△OEF の面積は△OPCの面積の何倍か，求めなさい。

問１a＝

問２x＝

問３倍

【問 23】14

図１のように，関数 y＝ x 2 のグラフ上に 2 点 A，B がある。A，B の x 座標は，それぞれ－4，6 である。次の問１～
問４に答えなさい。
（和歌山県 2010 年度）
問１ x の値が－4 から 6 まで増加するときの変化の割合を図１求めなさい。

問２ 線分 AB の長さを求めなさい。

問３ x 軸上に点 P をとり，△OAP＝△OAB となるようにする。このとき，P の座標を求めなさい。ただし，P の x 座標は正の数とする。
図２

問４ 図２のように，OB 上に点 Q をとり，OB＝3QB となるようにする。このとき，直線 AQ の式を求めなさい。

問１
問２

AB＝

問３

P(問４，)

【問 24】
図１，図２のように，関数 y＝x2 のグラフ上に 2 点 B (－3，b)，C (2，4) がある。次の(1)～(4)に答えなさい。
（島根県 2010 年度）(1) 点 B の y 座標 b の値を求めなさい。

図１(2) 直線 BC の式を求めなさい。

図２(3) △OBC の面積を求めなさい。

(4) さらに，図３のように，x 軸上に点 Q をとる。BQ＋CQ の長さが最短となるときの点 Q の x 座標を求めなさい。

(1)
(2)
(3)
(4)

b＝

【問 25】
一郎さんは，数学の宿題のプリントをノートにはり付けて， 問題１ についてはその解答をプリントに直接書き入れ， 問題２ についてはその解答をノートに書いた。次の問１，問２では指示に従って答え，問３ではに適当な数を書き入れなさい。
（岡山県 2010 年度）

問１

問題１
い。

に対する一郎さんの解答は正答であった。 (ア)， (イ)に適当な数または式を書き入れなさ

問２ 一郎さんは 問題２ を，のように解こうとしたが，これでは 4＝4 となり，解くことができなかった。そこ
で，の(Ⅰ)，(Ⅱ)の行を，それぞれ次ののように考え，解き直したところ，その方程式を解くことができた。に適当な式を書き入れなさい。ただし，2 つとも同じ式が入る。

問３

問題２の点 A の x 座標はである。

(ア)
問１(イ)
問２
問３

【問 26】図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に 2 点 A，B，y 軸上に 2 点 C，D があり，四角形 ADBC は正方形です。正方形 ADBC の対角線の長さが 8，点 D の y 座標が－2 のとき，a の値を求めなさい。ただし，a＞0 とします。
（広島県 2010 年度）

【問 27】図のように，点 A (4，4) を通る関数 y＝ax2 のグラフ上に，x 座標がそれぞれ－6，－2 である点 B と点 C があり，2 点 A，B を通る直線  と 2 点 A，C を通る直線 m をひく。また，直線  と y 軸との交点を D，直線 m と y 軸との交点を E とする。次の問１～問４に答えなさい。
（徳島県 2010 年度）
問１ a の値を求めなさい。

問２ 直線  の式を求めなさい。

問３ △ABC の面積を求めなさい。

問４ 関数＝ax2 のグラフ上に x 座標が正である点 P をとり，点 P から x 軸にひいた垂線と x 軸との交点を Q とする。△AEQの面積が△AEO の面積の 3 倍になるとき，点 P の座標を求めなさい。

問１問２
問３問４

(，)

【問 28】
図で，点 O は原点であり，放物線①は関数 y＝ax2 のグラフで，a＞0 である。放物線②は関数 y＝2x2 のグラフである。長方形 ABCD の頂点 A は放物線①上の点で，その x 座標は－2 である。また，頂点 B は放物線①上の点，頂点 C，D は放物線②上の点であり，辺 AB，辺 DC はそれぞれ x 軸に平行である。これについて，次の(1)，(2)の問いに答えよ。
（香川県 2010 年度）(1) 関数 y＝2x2 で，x の変域が－1≦x≦1のとき，y の変域を求めよ。
2(2) 点 O と点 A，点 O と点 B をそれぞれ結ぶ。長方形 ABCD の面積が，△OAB の面積の 5 倍であるとき，a の値を求めよ。

(1)
(2)

a＝

【問 29】
図において，①は関数 y＝

1 2x ，②は関数 y＝－x2 のグラフである。2 点 A，C は，①のグラフ上にあり，2 点 B，3D は，②のグラフ上にある。点 A，B の x 座標はともに－3 であり，点 C，D の x 座標はともに 1 である。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（高知県 後期 2010 年度）
問１ 点 A の y 座標を求めよ。
問２ 2 点 B，D を通る直線の式を求めよ。

問３ 線分 AB 上に点 P をとり，台形 ABDC の面積が三角形APD の面積の 2 倍となるようにしたい。このときの点 P の座標を求めよ。

問１
問２
問３(，)

【問 30】図のように，関数 y＝ax2(a＞0)…①のグラフと直線  が 2 点 A，B で交わっている。直線  の式は y＝3x－4 であり，2 点 A，B の x 座標はそれぞれ 2，4 である。また，直線  と y 軸の交点を C とし，y 軸上に点 P をとる。ただし，点 Pの y 座標は正とする。このとき，次の問１～問４に答えなさい。
（佐賀県 後期 2010 年度）
問１ a の値を求めなさい。

問２ △APC の面積が 7 になるとき，点 P の y 座標を求めなさい。

問３ AP の長さが 2 5 となるときの点 P の y 座標を求めなさい。

問４ 点 A を通り x 軸に平行な直線と①の交点のうち点 Aと異なる点を D，点 B を通り x 軸に平行な直線と①の交点のうち点 B と異なる点を E とする。
このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) 直線 AE の方程式を求めなさい。

(2) △OAE の面積は△ODE の面積の何倍か，求めなさい。

問１
問２
問３
(1)
問４(2)倍【問 31】
図１，図２のように，関数 y＝1 2x のグラフ上に x 座標が 4 である点 A があり，x 軸上に点 B (－4，0) がある。原
4

点を O として，次の問いに答えなさい。
（長崎県 2010 年度）
図１

図２

問１ 点 A の y 座標を求めよ。

問２ 関数 y＝

1 2x について，x の変域が－2≦x≦3 のとき，y の変域を求めよ。
4問３ 直線 AB の式を求めよ。

問４ 三角形 ABO の面積を求めよ。

問５ 図２のように，関数 y＝1 2x のグラフ上に点 P  k ,4

1 2k  をとる。三角形 PBO の面積が三角形 ABO の面積の4 2 倍になるとき，k の値を求めよ。ただし，k＞0 とする。

問１問２
問３≦y≦y＝問４
問５k＝

【問 32】図のように，関数 y＝1 2x のグラフ上に 2 点 A，B があり，それぞれの x 座標は－4，2 である。直線 AB と y 軸と2の交点を C とするとき，次の問１～問３に答えなさい。
（大分県 2010 年度）
問１ 直線 AB の式を求めなさい。

問２ △AOB の面積を求めなさい。

問３ 点 C を通り，△AOB の面積を 2 等分する直線の式を求めなさい。

問１
問２
問３

【問 33】図のように，関数 y＝ax2 (a は定数) のグラフ上に 4 点 A，B，C，D があり，直線 AD と線分 BC は平行である。Aの x 座標は－2，D の x 座標は 4 であり，C の x 座標は B の x 座標より大きい。また，関数 y＝ax2 について，x の変域が－2≦x≦4 のとき，y の変域は 0≦y≦12 である。このとき，次の各問いに答えなさい。
（熊本県 2010 年度）
問１ a の値を求めなさい。

問２ 直線 AD の式を求めなさい。

問３ △ABC の面積が△ABD の面積の7であるとき，点 C の12x 座標を求めなさい。

問１a＝

問２y＝

問３

【問 34】図のように，関数 y＝－y＝

1 2x のグラフ上に 2 点 A，B をとり，それぞれの x 座標を－2，4 とする。また関数4a(x＞0) のグラフは点 C (12，1) を通るものとする。このとき，次の各問いに答えなさい。
x（沖縄県 2010 年度）
問１ a の値を求めなさい。

問２ 2 点 A，B を通る直線の傾きを求めなさい。

問３ 関数 y＝ax(x＞0) のグラフ上に，x 座標と y 座標はともに自然数である点 P をとる。△ABP の面積が△ABC の面積と等しくなるとき，
点 C 以外の点 P の座標を求めなさい。

問１

a＝

問２
問３

(，)