特集／経路積分を考える−量子力学の姿を探る−

ゲージ場の理論と経路積分

九 後

汰 一 郎

1. はじめに1970 年代における素粒子の標準理論の成立は，い事が言え，また，その群の下で変換（回転）する物質場とゲージ場がどういう相互作用をするかが一意的に決まってしまうのである．

自然界において認識されていた全ての相互作用−

ところが，この素晴らしいゲージ理論は量子化

すなわち強い相互作用，弱い相互作用，電磁相互しようとすると，まさにこのゲージ不変性のため作用，そして重力相互作用まで−が，局所ゲージに，以下でも説明するように，通常の量子化手続

不変なゲージ理論として記述されるということをきが使えず，ゲージ場のプロパゲータが決まらな明らかにした．
（もっとも，標準理論自身は Higgs

いという困難を持つ．幸いなことに，一番最初の場の相互作用（自己相互作用と Yukawa 相互作用）

ゲージ理論である量子電気力学 (Quantum Elec-というゲージ原理では決まらない新たな相互作用

troDynamics; QED) の場合は，ゲージ不変な作を持ち込んでしまったのだが．
）

用にフェルミ項と呼ばれるゲージ不変性を壊す項

観測者が，現在の京都に居るのか，来年のニューを勝手に手で加えることによって，矛盾のない理

ヨークに居るのか，はたまた 1969 年 7 月 20 日の論が構成できたのである．しかし，そういう僥倖は

アポロ 11 号宇宙飛行士アームストロングのようにアインシュタインの重力理論やヤン-ミルズの（非月面上にいるのか，様々な状況が考えられる．が，可換群に基づく）ゲージ理論の場合には最早や成それぞれの観測者が場を測る座標軸は，観測者のり立たない．実際，Feynman は，重力理論とヤン-いる時空の各点各点で勝手に設定しても良いはず

ミルズ理論に対して，QED の場合と同じやり方をであり，自然界の法則は座標軸の取り方に依らず適用してゲージ場（重力場・ヤン-ミルズ場）のプ

全く同じ形に書かれるべし，という先験的にも自ロパゲータや Feynman ルールを求め，ゲージ場

然な要請ないし原理が，ゲージ原理と呼ばれるもの 1-ループのグラフを計算したところ，出て来るのである．ここで言う「座標軸の回転」は，2 回続

べきでない非物理的偏極モードが零でない寄与をけて行うとまた別角度の回転になるので，一般にしていることを見つけた．同時に彼は，その非物数学で言う群をなし，この物理の関連では対称性

理的モードの寄与は，ある奇妙な仮想的粒子（重の群とかゲージ群と呼ばれる．自然界にどういう力の場合はベクトルの，ヤン-ミルズの場合はスカ

座標軸や回転があるのか，すなわちどういうゲー

ラーの粒子）を加えれば，そのループグラフで相ジ群が存在するのかは自然に聞かねばならないが，殺出来る，ということを発見し，1962 年 7 月ポー

一旦ゲージ群が決まると，ゲージ原理の要請から，

ランドで開かれた「重力の相対論的理論に関する

その力を媒介するゲージ場が存在しないといけな会議」での講演で発表した1) ．この講演の議論セッ

数理科学

NO. 447, SEPTEMBER 2000

1

{

}

ションでは，Feynman は少し場の理論の経路積分転である．この変換は，その元 eiθ | 0 ≤ θ < 2πの表式を書きながらその仮想的粒子のルールにつが，1×1 (1 行 1 列) のユニタリー行列 (eiθ )† eiθ =いて説明しているが，彼の議論は基本的に摂動論

1 なので，U(1) 群と呼ばれる群をなす．

の Feynman グラフの解析に基づくもので，そのため，1-ループまでの議論に留まった．その会議
で Feynman と詳しく議論した DeWitt は，同様な解析に基づき 2-ループ以上に対するその仮想的粒子のルールを示唆したが2) ，必ずしも明確では

1967 年に現れた Faddeev-Popov の論文3) は，衝撃的であった．そのわずか 2 ページにも満たない短い論文は，場の理論に対する Feynman の経
路積分表式を用いて，簡単なゲージ固定処方を与える事によって，任意ループの場合に成り立つ仮想的粒子の Feynman ルールを一挙に与えることに成功したのである．この論文は Physics Letters

B に投稿されるが，そのレフェリーを務めた Veltman を通して’t Hooft はいち早くその論文を知ることになって，その後の彼のヤン-ミルズ理論のくり込み可能性の証明にとって決定的な契機となったのである．
本稿では，第 2 節で局所ゲージ変換やゲージ不変作用など，ゲージ理論の基本をおさらいし，第 3 節
で Faddeev-Popov に依る経路積分法に基づくゲー
ジ理論の量子化法を解説する．一部 ’t Hooft によるやり方に従い，Faddeev-Popov の Landau ゲー
ジを任意の共変 α ゲージに一般化し，Faddeev-

Popov 行列式を，Faddeev-Popov ゴースト場を導入して書き直す．最後の第 4 節では，経路積分法で見出されたゲージ固定された量子系の作用が持つ BRS 不変性について述べ，それが正準演算子定式化の基礎となったことに触れる．

2. 局所ゲージ変換とゲージ理論
複素数 φ の位相を角度 θ だけ回す変換は

φ

→

θ

iθ

φ =e φと書ける．これは複素数の絶対値の 2 乗 φ∗ φ =2(実部) +(虚部) を不変に保つガウス平面上での回
2




φ1
 . 
. 
φ=
 . 
φn



→


φ1
 . 
. 
φU = U  . 
φnと，n × n 行列 U で与えられる．この変換が複素

なかった．

2

複素数が n 成分ベクトルの場合は，変換はベクトルの大きさの 2 乗†

φ φ = φ∗1 φ1 + · · · + φ∗n φn =n∑φ∗i φii=1を不変に保つためには，行列 U はユニタリー行列，
すなわち U † U = 1，を満たさなければならない．

{ }n × n ユニタリー行列の全体 U は，群をなし

U (n) 群と呼ばれる．U (n) 群は，上述の位相変換{}（× 単位行列 1 の形）の行列 eiθ 1 の成す U(1)部分群と，残りの単純群 SU (n) の直積に分解される．SU (n) は，行列式が 1 (special) の n × n{

ユニタリー行列全体 U | U † U = 1, det U = 1}の成す群である．n ≥ 2 の行列のかけ算は非可換，

U V ̸= V U ，なので，SU (n) 群は非可換群，上の位相変換群 U (1) は可換群，と呼ばれる．

SU (n) の元 U は，U = eiX のように行列 X の指数関数という形に書け，U がユニタリーで行列式が 1 という条件は，X がエルミート，X † = X ，でトレースが 0，すなわち tr X = 0，という条件とそれぞれ等価になる．n × n エルミート行列は，線形独立なものが n2 個あり，さらにトレースが 0となるものは一個減って n2 − 1 個ある．それらをTa (a = 1, 2, · · · , n2 − 1) と書けば，任意の X が
それらの線形結合で書けるので，

U = exp (i

2
n∑
−1

θa Ta ) = exp (iθa Ta ) .

a=1
a（最後の表式の θ Ta の添え字 a のように，くり返された添え字については，和記号

∑

を省略した

場合も，その添え字の動ける範囲全体にわたる和をとるという Einstein の規約を採用する．
）U は（リー）群の元，指数部の元 X = θa Ta は対応する

（リー）代数の元，Ta は，リー代数（またはリー

向きが違うことを意味し，場の量の成分 φi (x) は，群の）生成子 (generator) と呼ばれる．生成子のその点の座標軸への射影成分なので，どの点の量交換子は，また生成子の線形結合で書ける．

なのかを言わないと意味がないことになる．特に[Ta , Tb ] = ifabc Tc .

普通の微分 ∂µ ≡

(1)

∂
は，
∂xµ

∂µ φi (x) dxµ = φi (x + dx) − φi (x)規格化された生成子 Ta の場合，係数 fabc は a, b, c
に関して完全反対称であり，群の構造定数と呼ばであるから，二つの異なる時空点 x + dx と x におれ，それぞれの群に固有の定数である．

ける場の i 成分の差 φi (x + dx) − φi (x) をとって生成子の規格直交化は，物理では角運動量（スピン）の SO(3) 代数の場合以来，tr(Ta Tb ) =おり，客観的意味を持たない．我々は，先ず，点 xの座標軸と，無限小離れた点 x + dx の座標軸とがお互いどのくらい回転しているのかを知る必要が

1
δab
2

ある．時空の連続性から，無限小間隔 dx だけ離れととるのが慣例になっている．以後簡単のため，非た点の座標軸間の回転角度 dθ a (x) は，同じく無限可換群の具体例は n = 2 の SU (2) に話を限ろう．

小で dx に比例するはずである．4 次元時空では，SU (2) の生成子は 2 − 1 = 3 個あるが，それは無限小移動の独立な方向は 4 つ dxµ (µ = 0, · · ·, 3)Pauli が電子スピンの表現に使った Pauli 行列のあるので，この無限小回転は方向 µ 毎に違う係数半分にとる．

での足し算になり，したがって，点 x + dx での座

2

1
Ta = σa , (a = 1, 2, 3);
2
(
)
(
)
(
)
0 1
0 −i
1 0
σ1 =
, σ2 =, σ3 =
.
1 0
i 0
0 −1
この SU (2) の場合の構造定数 fabc は，3 階の完標準理論における Higgs 場は，2 成分複素数のφ2 (x)

だけ回転していることになる．この比例係数 Aaµ (x)は，群の添え字 a と，時空添え字 µ を持ち，x にベクトル場」Aaµ (x) であり，ゲージ場と呼ばれる．
すなわち，ゲージ原理を認めると，ゲージ場が存（ローレンツ）スカラー場である．

φ(x) =dθa (x) = Aaµ (x) dxµ

依存しているので，「リー代数に値を持つ（4 元）

全反対称テンソル εabc (ε123 = +1) である．

()
φ1 (x)

標軸は，点 x でのそれから角度在しなければならない事が導かれるのである．このゲージ場 = 隣り合う点の無限小回転角，がわか.

ると，「正しい」微分がわかる．無限小の角度 dθ a

この場を測る座標軸は，ゲージ原理にしたがっての場合の回転 U = 1 + ig dθ a Ta がµ

時空の各点で勝手にとって良いので，各時空点 x

φU i (x) = φi (x) + ig dθa (x) (Ta )ij φj (x)毎に勝手な回転 U (x)aと書けることに注意して，点 x での場 φ(x) =φ(x) → φU (x) = U (x)φ(x), U (x) = eigθ (x)Ta(を許す．成分表示で書けばの座標軸で見た i 成分を求めると，

φU i (x) = U ij (x)φj (x),a)φi (x) を，点 x+dx へ「平行移動」して点 x+dx

U ij (x) = [eigθ (x)Ta ]ij .

φi∥ (x + dx) = φi (x) + ig Aaµ (x)(Ta )ij φj (x)dxµ .

回転角度 θa (x) が時空点 xµ に依存している．ここれは，元から x + dx にあった場 φi (x + dx) とれを局所ゲージ変換と呼ぶ．(後の便宜のため角度同じ座標軸で測った i 成分だから，その差を計算のスケールを結合定数 g 倍だけ変えた．
）

するのは意味があり，

局所ゲージ変換を許すと，時空点毎に座標軸の数理科学

NO. 447, SEPTEMBER 20003

φi (x + dx) − φi∥ (x + dx)()= ∂µ φi (x) − igAaµ (x)(Ta )i j φj (x) dxµ≡ Dµ φ (x) dx .
iµは最早や微分演算子ではなく普通の場の量となる：

Fµν (x) = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − ig[Aµ , Aν ] .
a
成分表示では，Fµν ≡ Fµν
Ta と (1) 式を用いて，

この Dµ が共変微分と呼ばれる，局所ゲージ変換aFµν(x) = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + g fabc Abµ Acν .

の下で共変な微分を与える．標記の簡潔さのため，( )ベクトル φ = φi 記号と，群の添え字を持つゲー

共変微分演算子の変換則 (3) から直ちに，(5) 式

ジ場 Aaµ の行列表示で定義される Fµν (x) のゲージ変換則が従う：

Aµ ≡ Aaµ Ta , すなわち Aµ i j = Aaµ (Ta )i jUFµν(x) = U (x)Fµν (x)U −1 (x) .

(6)

物質場およびゲージ場の Lagrangian（密度）は，を使ってこれを書き直すと，ゲージ不変性（と Lorentz 不変性とくりこみ可能

φ(x + dx) − φ∥ (x + dx)()= ∂µ − igAµ (x) φ(x) dxµ ≡ Dµ φ(x) dxµ .
この量は点 x + dx での共変量であるので，局所ゲージ変換の下では，U (x + dx) で回転を受ける．
この式の両辺を局所ゲージ変換して，dx の 1 次の量までとれば，U (x + dx) は U (x) に置き換えられて，性）だけから決まってしまう．スカラー場 φ のLagrangian は，
Lmatter = (Dµ φ)† Dµ φ − V (φ† φ)(7)で，ゲージ場の Lagrangian は，

1
1 a a µν
Lgauge場 = − trFµν F µν = − Fµν
F
(8)
2
4
で与えられる．これらが局所ゲージ変換で不変な(Dµ φ)U (x) = U (x)Dµ φ(x)(2)

ことは，(2) 式および (6) の変換則から明らかである．ここでは特に，物質場とゲージ場との相互作を得る．これは Dµ φ(x) が元の φ(x) と同じ変換用の形が，物質場の運動項の微分が共変微分に置

φU (x) = U (x)φ(x) をする点 x での共変量であき換えられた形に一意的に決まったことに注意しることを意味している．左辺の (Dµ φ)U の意味が，たい．共変微分を通じての相互作用は極小相互作

U
DµU φU = (∂µ − igAUµ )φ であることに注意して，用と呼ばれている．

右辺に φ(x) = U −1 (x)φU (x) を代入すれば，それが任意の場 φU (x) の上で成り立つことから，共

3. Faddeev-Popov 論文

変微分の変換式

DµU = U (x)Dµ U −1 (x)(3)

一般のゲージ理論の物質場部分 Lagrangian

Lmatter は，(7) 式のような基本表現のスカラーが導かれる．Dµ = ∂µ − igAµ (x) を代入すれば，場の他，種々な表現に属するフェルミオン場とス

ゲージ場の局所ゲージ変換の下での変換則は（式カラー場を含む．しかし，以下の議論では，問題はを短く書くため U (x) の x を省略して),

専らゲージ場に関することなので，自明な物質場

AUµ (x) =iU ∂µ U −1 + U Aµ (x)U −1g(4)と求まる．場の強さと呼ばれる量 Fµν (x) は，Fµν (x) ≡i[Dµ , Dν ]g(5)で定義されるが，見かけにかかわらず，この交換子

4部分は無視し，系の Lagrangian L と言えば (8) 式の Lgauge場 (A) を指し，その作用を S[A] と記す．
ヤン-ミルズ場 Aµ のゲージ変換 (4) は，U (x) =exp (igθ(x)) が無限小変換 |θ| ≪ 1 の場合は，
δAµ (x) ≡ AU
µ (x) − Aµ (x)= ∂µ θ(x) − ig[Aµ (x), θ(x)] ≡ Dµ θ(x)となる．ここでゲージ場 Aµ (x) =も, 角度 θ(x) =

∑

aθ

a

∑

a
a Aµ (x)Ta(x)Ta も行列表示である．

成分表示では，交換関係 (1) を用いて，やヤン-ミルズ場の場合には，このプロパゲータを用いると，非物理的な縦波やスカラーモードの寄与がノンゼロで効いてきて，その寄与を消すため

δAaµ (x) = ∂µ θa +gfabc Abµ θc ≡ Dµ θa (x) (9)で与えられる．この変換で Lagrangian L は不変には「仮想的粒子 (ﬁctitious particle)」を導入する必要があると初めて指摘し，1-ループまでの次数で Feynman ルールを与えたのである．

なため，場の 2 次項の演算子が 0 固有値を持ち，Faddeev と Popov が 5 年後に，場の理論に対

その逆で与えられるプロパゲータ−が求まらなくする Feynman の経路積分表式を用いて，ゲージなる．実際，ゲージ場の 2 次の部分は固定の手続きを再考することによって，仮想粒子

1
L2次 = − (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )(∂ µ Aaν − ∂ ν Aaµ )41= − (∂µ Aaν ∂ µ Aaν − ∂µ Aaµ ∂ν Aaν )21 aµ= A (□ηµν − ∂µ ∂ν )Aaν
(10)2∫
[ここで第 2 行目の最後の項では（作用 d4x L のの起源とその Feynman ルールとを一挙に解明することに成功したのである3) ．ここでは先ず彼らのそのアイデアを，場の変数についての無限重積分である経路積分の代わりに超簡単な次の 2 重積分の例をとって説明しよう．

∫

I=

中で許される）部分積分をして ∂µ と ∂ν を入れ替

dxdy F (x, y) .

(12)

え，第 3 行目へ行く時も，∂µ の部分積分をした]

ここで，被積分関数 F (x, y) は，2 次元 (x, y) 平となるが，この項は無限小ゲージ変換 (9) の非斉

面 P 上の回転(次部分

x→ x =
θδAaµ (x) = ∂µ θa (x)

xθ
yθ

)

(
=

x cos θ − y sin θ)x sin θ + y cos θ(13)で不変なので，演算子 □ηµν − ∂µ ∂ν の固有値 0 ので不変であるとする．この回転をゲージ変換，不固有ベクトル

変性をゲージ不変性と呼ぼう．回転角 θ を 0 から

2π まで変化させると点 (xθ , y θ ) は，2 次元平面 P√
上で原点を中心とする半径 r = x2 + y 2 の円を(□ηµν − ∂µ ∂ν )(∂ ν θ(x)) = 0
を与え，そのため演算子 □ηµν − ∂µ ∂ν は逆を持た描くが，それを点 (x, y) のゲージ軌跡と呼ぶ．平

ず，プロパゲーターが決まらない．そこで，量子

面 P は，色々な半径 r ≥ 0 のゲージ軌跡で埋め尽

電気力学では，Lagrangian に単純に Fermi 項とくされるが，平面積分 dx dy は被積分関数 F (x, y)呼ばれる “ゲージ固定項” −(1/2α)(∂µ A ) を加が各ゲージ軌跡上で一定の値をとる (ゲージ不変)

えて手でゲージ不変性を壊し，プロパゲータが決ので，ゲージ軌跡をパラメトライズする半径 r のまるようにして，（後から見れば）奇跡的にうまく

積分 dr と，ゲージ変換の回転角 θ の積分 dθ に書行ったのである．特に，ゲージパラメータと呼ばれきかえると，関数 F (r) が依存しない「空回り」のる係数 α を 1 にとれば，Lagrangian の 2 次項は，

θ 積分が自明に分離できる．これは良く知ってい(10) 式の最後の項が消されて (1/2)A ηµν □A とる極座標への変数変換で実現できる：

µ 2

µ

ν

なるので，その逆で与えられるプロパゲータは

iηµν

[1]
□ xy

∫

=

d4 p −ip(x−y) ηµνe. (11)
i(2π)4p2 + iε∫∫dx dyF (x, y) =∫dr rF (r) ·dθ . (14)

このようなゲージ変換の「空回り」積分

∫

dθ の因

すなわち，運動量表示で ηµν /p2 という一番簡単

子分離を極座標の知識なしに導くのが Faddeev-

な Feynman ゲージのプロパゲータとなる．

Popov の方法である．

第 1 節でも述べたように，Feynman は，重力数理科学

NO. 447, SEPTEMBER 2000

先ず，各ゲージ軌跡（この場合，円）から一つず

5

つ代表点を選ぶことにし，それを指定する条件をゲージ固定条件と呼ぶ．ゲージ変換 (13) を使えば，ゲージ軌跡上の任意の点は，例えば y = 0（x-軸上）に持ってこれるので，ゲージ固定条件として(15) 式を∫ 2πdθ ∆(x, y) δ(y θ (x, y)) = 10と書いて，これを積分 (12) 式に掛ける：

y = 0 を採る．この固定条件の定める ‘面’ y = 0(今は線で，正の x-軸)∗1）に，各点 (x, y) のゲージ∫
I=

軌跡 (xθ , y θ ) がどのくらいの「重み」で交わるかの尺度は，次式で計算できる：

∫ 2π

θ

dθ δ(y (x, y)) = ∆−1

ここで，F (x, y) と ∆(x, y) のゲージ不変性を使(x, y) .

い，(x, y) から (x′ = xθ , y ′ = y θ ) への変数変換を(15)行い，測度の回転不変性 dxdy = dx′ dy ′ を使えば，

0
∗2）

θ

∫ 2π
dxdy F (x, y)dθ ∆(x, y)δ(y θ (x, y)) .
0(16)

ここで δ(y ) は，Dirac のデルタ関数

である．y

θ

は，(13) の示すように，最初の点 (x, y) の関数なので，この量 ∆−1 (x, y) も (x, y) の関数である．この量（の逆数）∆(x, y) は，Faddeev-Popov (FP)∫ 2π ∫dθ dxdy F (xθ , y θ )∆(xθ , y θ )δ(y θ )I =0∫ 2π ∫=dθ dx′ dy ′ F (x′ , y ′ )∆(x′ , y ′ )δ(y ′ )∫行列式と呼ばれるが，それがゲージ不変性を持つことが重要である．すなわち，最初の点 (x, y) がそのゲージ軌跡上のどこにあっても同じ値をとる：∆(x , y ) = ∆(x, y) for ∀ 角度 ϕ.
ϕϕ

この性質は，(15) の θ 積分が全周 2π 分（U(1) 群

=

0

∫ 2π
dxdy F (x, y)∆(x, y)δ(y)· dθ (17)0となり，θ 積分が自明な形に分離された．最後のδ(y) を用いて dy 積分を行えば，∫∫ 2π
I = dx F (x, 0)∆(x, 0) ·dθ0上全体）にわたっているので，出発点 (x, y) が軌
道上のどこにあろうと，(xθ , y θ ) は同じゲージ軌となり，これは (14) 式を再現している．何故なら，跡上を一周走り，積分 (15) は同じ値を与えるから∆(x, y=0) の値は，定義式 (15) において y = 0である．式で書けば，の時に y θ (x, y) がゼロになるのは θ = 0 の時

y θ (xϕ , y ϕ ) = y θ+ϕ (x, y)であり，dθ = d(θ + ϕ) であるから∆−1 (xϕ , y ϕ ) =∫ 2π+ϕ∫ 2πdθ δ(y θ (xϕ , y ϕ ))だということに注意して，θ ≪ 1 での近似式

y θ (x, 0) = xθ を用い，付録 (A1) の公式を適用
して dθ 積分を評価すれば

∆

−1

∫

(x, 0) =dθ δ(xθ) = 1/x .

0d(θ + ϕ) δ(y θ+ϕ (x, y)) = ∆−1 (x, y).

すなわち ∆(x, 0) = x が得られるからである．こ*1） Faddeev-Popov のやり方では「ゲージ固定面は，各ゲー

さて，一般の場の理論において，t = −∞ で初ジ軌跡と一回だけ交わる」ことが仮定されている．ここでは，単に y = 0（x-軸）の条件だと，各ゲージ軌跡（原点

期状態 Ψi にあった状態が t = +∞ で終状態 Ψf=ϕ中心の円）は皆二回交わることになるので，一回とするために，y = 0 で x > 0 の条件を満たすものとしておく．しかし非可換ゲージ理論の場合は，ゲージ固定面が各ゲージ軌跡と何回交わるかは，一般にゲージ固定条件の取り方に依存して，ゲージ軌跡毎に違う可能性がある．そうすると，単純なFaddeev-Popov のやり方は正しい量子化を与えないことになるが，Gribov4) によって指摘されたこの問題は，Gribov問題と呼ばれ，未だ明確な理解も対処法も知られていない．
*2） 本稿で用いる Dirac デルタ関数の定義や公式は，付録にまとめたので参照のこと．

6のやり方をゲージ理論に適用したい．

になる遷移振幅 Z は，経路積分∫()
DA Ψ∗f Ψi exp iS[A] ,∫∏dAaµ (x), S[A] = d4x L(A) (18)
DA ≡

Z=

x,µ,a

で与えられる．しかし，ゲージ理論の場合，この

deﬁned でない．それは，摂動計算では，場の 2 次(4) で，DU は，全ての時空点上のゲージ群 G 上∏
にわたる積分 x dU (x) である．よって，FP 行

項の係数の逆数で与えられるプロパゲーターが決列式 ∆[A] は，最初の関数 Aµ (x) の汎関数である

まらなかった（ 0 固有値のため発散した）というが，前と同様，ゲージ不変であること形で現れたのだが，Faddeev と Popov は，この∆[AV ] = ∆[A] for ∀ V (x) ∈ G

積分はゲージ不変性に起因する発散を含み well-

経路積分表式で言えば，被積分関数である作用汎関数 S[A] がゲージ不変なため，この経路積分がゲージ変換の元 U (x) = exp (ig

∑

aθ

a

(x)Ta ) の∗3）分だけ「空回り」の積分

∫

DU =

∫ ∏∫

dU (x) =Gx遷移振幅 (18) に掛けて，S[A] と ∆[A] のゲージ不dθa (x) (19)変性を使って，(17) 式と同じ変形をする：(短くすx,aを含んでおり，それが発散の原因であると見抜いたのである（各時空点 x 毎の群 G 上にわたる積分∫

G

D(V U ) = DU から従うことがわかる．次に，また上の (16) 式と同様，1 である ∆[A]×(20) 式を．

∫ ∏が，(AV )U = AV U および DU 積分測度の不変性

dU (x) 自体は，コンパクト群の場合は有限なのだが，時空点が連続濃度分あるので発散するのである．コンピュータ上の格子ゲージ理論の場
合には，時空点の数が有限なので発散せず，ゲーるため初期，終状態の波動汎関数 Ψ∗f Ψi や，ゲー
ジ場 Aaµ の群の添え字 a はしばらく省略して）

Z

∫

∫
∏
(
)
= DA exp iS[A] DU ∆[A]δ(∂ µAUµ (x))x∫∫∏= DU DA ∆[AU ] exp iS[AU ]δ(∂ µAUµ (x)).

ジ固定する必要は必ずしもない．
）x

そこで Faddeev-Popov は，遷移振幅表式 (18)さらに経路積分測度のゲージ不変性 DA = DAU

に対して，上述の簡単な例で説明した方法を適用も使って変数変換 Aµ → A′µ = AU
µ をした後，積して，ゲージ固定条件を課して，ゲージ変換群上分変数 A′ を A と書き直せば，望みの空回り因子の「空回り」積分因子の無限大 (19) をあらわに抜DU をくくり出せる:∫∫∏= DU DA′ ∆[A′ ] exp iS[A′ ]δ(∂ µA′µ (x))

き出し割り算して，残りの有限部分を正しく計算することによって，正しい Feynman ルールを与える経路積分表式を得たのである．
そこで，先ず，ゲージ場の関数空間{

Aaµ (x)}内の各ゲージ軌跡から一つずつ代表元を選ぶためのゲージ固定条件として，ローレンツ変換で不変なと同様に FP 行列式を

DU

a
−1
δ(∂ µAU[A]µ (x)) = ∆x

したがって，正しい遷移振幅の表式は，この無限大の空回り因子で割って，次式で与えられる:

T =(Landau ゲージ) を採ることにする．そして (15)
∏

x
∫
(
)∏
= DA ∆[A] exp iS[A]δ(∂ µAµ (x))· DU.

∫∫∂ µAaµ (x) = 0∫∫

DA Ψ∗f Ψi ∆[A] eiS[A]∏x,aδ(∂ µAaµ (x)) .
(21)

ここで，終，初期状態の波動汎関数 Ψ∗f Ψi を復活

(20)

x,a

しておいたが，実はこの表式までの変形では，それぞれ Aµ (x, x0 = ±∞) の汎関数である Ψ∗f Ψi がで定義する．AUµ (x) は，初めの関数 Aµ (x) から，ゲージ不変であることを暗に仮定していたことにゲージ群 G の元 U (x) ∈ G でゲージ変換した関数

注意しておこう．すなわちゲージ不変な物理的状態に対してだけ正しいのである．

*3） (19) 式の dU (x) は，正確に言えば，Haar 測度と呼ばれる群 G 上の不変測度であり，それが最右辺の簡単な表式に書けるのは単位元の近傍 |θ a | ≪ 1 のみである．

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ここで FP 行列式 ∆[A] のあらわな表式が必要である．ここ (21) 式ではゲージ固定のデルタ関数

7δ(∂ µAaµ (x)) の前に現れているので，∂ µAaµ = 0 を(19) で割って得られた表式だからである．

満たすゲージ場 Aµ に対してのみ，∆[A] の定義

したがって，この表式 (23) を任意の重み関数

式 (20) を評価すれば良い．そのような Aµ に対しexp(iSGF [f ]) を付けて f a (x) について積分してもaて δ(∂ µAU
µ (x)) の U -積分であるから，U の単位（全重みが 1 である限り）同じ T を与える．Dirac デa

元近傍 U (x) = 1 + ig θ (x)Ta のみが効き，そこ

ルタ因子 δ(∂ µ Aaµ (x) − f a (x)) があるので，f a (x)ではについての積分は自明にできて，遷移振幅 T は

∫

a
a
a
AU
µ (x) = Aµ (x) + Dµ θ (x)T =だから，∂ µAaµ = 0 を満たすゲージ場 Aµ に対し()
DA Ψ∗f Ψi ∆[A] exp iS[A] + iSGF [∂ µAµ ]となる．重み関数 exp(iSGF [f ]) としてガウス関数て ∆[A] の定義式 (20) は，単位元近傍の群 G 上( ∫)exp i d4x(−1/2α)f a (x)f a (x) をとれば，このの積分測度が肩の上の作用 SGF [∂ µAµ ] は，QED 以来良く使われ

DU =

∏

てきた Fermi 項の Lagrangian −(1/2α)(∂ µAaµ )2dθa (x)を与え，したがって，特に α = 1 の時は一番簡単

x,aであること，および付録の公式 (A4) を用いて，∆−1 [A] =∫ ∏Feynman ルールをさらに読み取りやすくするたdθa (x) δ(∂ µ Dµ θa (x))

x,a
−1

= Det

な Feynman ゲージを実現する．

(∂ µ Dµ ) .

(22)

めに，FP 行列式 (22) を書きかえよう．付録の公式(A5) により，一般にデルタ汎関数∏

x,a δ(X

a

(x))

a

が，新しい積分変数（関数）θ̄ (x) を導入して指これは汎関数行列式なので，∆[A] が FP 行列式と数関数の積分呼ばれる所以である．

∏

この FP 行列式を持つ遷移行列の経路積分表式(21) は，∂ µAaµ = 0 のゲージ条件を満たすいわゆるLandau ゲージの場合の Feynman ルールを与えるものであるが，実用上便利な Feynman ゲージなどa

δ(X (x)) =∫(Dθ̄ exp i∫)
d4x θ̄a (x)X a (x)x,aに書けることを用いれば，FP 行列式 (22) は∫∫()∆−1 [A] = DθDθ̄ exp i d4x θ̄a (x)∂ µ Dµ θa (x)にも適用できるよう’t Hooft に従いもう少し一般化
しておこう5) ．そのため，先ず勝手な関数 f a (x) をと書ける．指数関数の肩の量は，θa (x) をスカラー持ってきて上のゲージ条件を ∂ µ Aaµ (x)−f a (x) = 0

場，−θ̄a (x) をそれに「共役な」スカラー場と見なに拡張する．その場合に上の手続きをくり返すと，せば，場の理論の通常のボソン場の作用の形をし遷移振幅 T に対する表式（再び前の省略をして)ている．ところが遷移振幅 T に実際に必要なのは，∏

逆数 ∆−1 [A] ではなく，∆[A] なのである．幸い∫

T = DA ∆[A] e

iS[A]

x,a

δ(∂ µAaµ (x) − f a (x))

なことに，それは単にここでの θa (x) と θ̄a (x) を，(23)

普通の実数ではなく，反可換な数 =Grassmann 数が得られる．ここで重要な点は FP 行列式 ∆[A]と考え直すだけで良いこと，場の理論の言葉では，が，∂ µ Aaµ (x) − f a (x) = 0 を満たす Aaµ (x) の近

単にボソン場 θa (x), θ̄a (x) をフェルミオン場と考傍だけで評価して良いので，上の表式 (22) と全

え直すだけで良いこと，が知られていた．
（実際，

く同じ Det(∂ µ Dµ ) が得られ，関数 f a (x) に依ら

Grassmann 数の積分は電子などのフェルミ統計にないことである．しかも，この遷移振幅 T 自体も従う場に対して経路積分表式を得るために考えら

Laudau ゲージの表式 (21) の T と同じ量であり，
f a (x) に全く依らないことである．何故なら，それらは同じ Z の表式 (18) から出発し，同じ因子

8

れていた6) ．
）Grassmann 数に置き換えた θa (x) とθ̄a (x) の場を，区別して ca (x) と c̄a (x) と記せば，

∫()
DcDc̄ exp iSFP [c, c̄, A]∫
SFP [c, c̄, A] ≡ d4x c̄a (x)∂ µ Dµ ca (x)∆[A] =と書ける．ca (x), c̄a (x) を（スカラーの）フェルミ
オン場として扱うことは，Feynman ルールで言えばさらに単純で，この粒子のループグラフの一つずつにボソン場の場合に比べて余分な −1 の符号を付けるだけの違いである．このフェルミオン場

ca (x) と c̄a (x) は，Faddeev-Popov (FP) ゴース

ゴーストを入れなくて良かったのかの理由がわかる．それは，QED の U (1) ゲージ理論の場合は，生成子が 1 成分（群の添え字 a が不要）なので完
全反対称な構造定数 fabc が 0 ゼロであり，フォトンは電荷を持たず自己相互作用しない．FP ゴー
ストも電荷を持たずフォトンと相互作用しないので全くの自由場となり，初期状態に存在しなければ，永久に生成されず，その存在を忘れていても理論のユニタリー性には全く影響しなかった，という訳である．

ト場，FP 反ゴースト場，と呼ばれる．
結局遷移振幅は

∫

T =

(
)
DADcDc̄ Ψ∗f Ψi exp iSfull [A, c, c̄]

Sfull = S[A] + SGF [∂A] + SFP [A, c, c̄]∫( 1
1 µ a 2a=d4x − Fµν(∂ Aµ )
F a µν −42α)+ c̄a (x)∂ µ Dµ ca (x) (24)

4. BRS 対称性
このようにして得られた共変ゲージの (24) 式の作用積分 Sfull [A, c, c̄] と経路積分表式に基づき，非可換ゲージ理論は ’t Hooft を初めとする人々により，くり込み可能性やユニタリー性の証明，さらには，漸近自由性の発見など大きく発展させられた．

で与えられることがわかった．ゲージ固定項も，そところがその発展が一息ついた頃，Becchi(ベッれに対応する FP 行列式も，今や全てが，「普通」のキ), Rouet(ルエ), Stora(ストラ) の 3 人は，(24)Lorentz 共変な Lagrangian 密度の作用積分の形の作用 Sfull [A, c, c̄] がある奇妙な大域的変換の下で書けているので，そこから Feynman ルールをで不変であることに気づいた7) ．この変換は，変読み取ることができる．特に，ゲージ場の 2 次項

換パラメータが反可換な Grassmann 数であり，2は，前に説明したように，ゲージパラメータ α が回続けて行うと 0 になる（べき零性）という特殊

1 の時に (1/2)Aµ ηµν □Aν となって，特に簡単なな性質を持つ（超対称性タイプの）もので，今日

Feynman ゲージのゲージ場のプロパゲータ (11)

BRS 変換と呼ばれている．BRS 対称性は，それとなる．この任意の α の共変ゲージの場合，FPに先行していたゲージ固定処方，くりこみ可能性・

ゴースト場の Lagrangian 密度は，あらわには

ユニタリー性の証明を簡略化したのみならず，従())(
LFP = c̄a (x) □ca (x) + gfabc ∂ µ Abµ (x)cc (x)来，経路積分定式化でしか不可能と思われていた
ゲージ理論の量子化，すなわちローレンツ共変なと書けるので，運動量表示のプロパゲータが 1/p2 ，a演算子定式化8) ，を可能にし，ゲージ理論の構造

ゲージ場との相互作用頂点 c̄ (p1 )Abµ (p2 )cc (p3 ) にµは，因子 −g fabc p1 を付与し，フェルミオン場な全般に関し透徹した理解を与える出発点になったのでループ毎に −1 を付ける，という Feynman

BRS 対称性のべき零性を明白にするため，作用ルールが即座に読み取れる．Feynman が見つけ

Sfull のゲージ固定部分 SGF [∂A] を, 中西-Lautrup

た 1-loop で入れるべき仮想的粒子とは，この FP

場9) と呼ばれる新たな場 B a (x) を導入してものである．

ゴーストだったわけで，今やこの Lagrangian で任意ループが計算出来る．

−

1 µ a 2α(∂ Aµ ) → B a B a + B a ∂ µAaµ
2α2Feynman が既に指摘していることであるが，こと置き換える．この置き換えをしても，B a に関し

こで，なぜ量子電気力学 QED の場合に，この FPて先に経路積分すれば，（あるいは同じ事だが，B a

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9

変分で出る運動方程式 αB a + ∂ µAaµ = 0 を用いて性の要求から中西-Lautrup 場の変換は 0 となる：

a

代数的場 B を消去すれば，）元の表式に戻るので，初めのゲージ固定項との等価性は明らかである．すδB c̄a (x) = −B a (x),δB B a (x) = 0 .

なわち，我々の場の理論の全系の Lagrangian 密

これで全ての場の BRS 変換が定義されたが，この度は，今や次の形となる：

変換の下で上の全系の Lagrangian (25) が不変性

1 a a µν α a a
Lfull = − FµνF+ B B + B a ∂ µ Aaµ
42+ c̄a (x)∂ µ Dµ ca (x) (25)を満たすことは，すぐわかる．先ず，元のゲージ

BRS 変換は，先ず元のゲージ場（や他の物質場）

なゲージ変換に過ぎないことから自明である．さa
不変 Lagrangian 部分 −(1/4)Fµν
F a µν は，BRS

変換が θ a (x) = λca (x) をパラメータとする特殊に対しては，無限小ゲージ変換のパラメータ θ (x)らに，残りのゲージ固定項と FP ゴースト項の部

を Grassmann 数パラメータ λ と FP ゴースト場

分は，その和がある量の BRS 変換の形に書ける

ca (x) の積で置き換え∗4）ということから従う．実際，aλc (x)((α ))δ B −c̄a (x) ∂ µAaµ (x) + B a
2
( µ a
α a)
a
= B ∂ Aµ (x) + B + c̄a (x)∂ µ Dµ ca (x)2δB (λ)Aµ (x) = λ(∂µ ca + g fabc Abµ cc )であり，ちょうど (25) のゲージ固定項と FP ゴー

a

θ (x)

→

a

とすれば得られる:

スト項の和を与えている．(フェルミ的 BRS 変換= λDµ ca (x).

δ B が，FP 反ゴースト c̄a を飛び越して後ろを変Grassmann 数 λ が BRS 変換の x に依らない変換

換する時には負号 −1 が余分に付くことに注意．
）

パラメーターである．元の局所ゲージ変換パラメー

したがって，BRS 変換のべき零性からその BRSaaタ θ (x) の x-依存性は FP ゴースト場 c (x) に引

不変性は明白である．

き継がれた訳だ．パラメータ λ を外したフェルミ的

この事は，逆にゲージ固定条件をもっと一般化

BRS 変換 δ B を，δB (λ) = λ δ B で定義する．そう∑
すると，上式は，行列表示（Aµ ≡ a Aaµ T a , C =∑ a aa c T ）でする方法を教えてくれる．すなわち任意のゲージ

δ B Aµ = ∂µ C − ig[Aµ (x), C(x)] = Dµ C(x)固定関数 F a (A, B, c, c̄) を持ってきて()
LGF + LFP = δ B −c̄a F a (A, B, c, c̄)とすれば，望みのゲージ固定項 B a F a (A, B, c, c̄)と書ける．この変換量 Dµ C をもう一度変換したと，それに対応する FP ゴースト項 c̄a δ B F a とが量 δ B (Dµ C) = Dµ (δ B C) − ig{Dµ C, C} が零一挙に与えられるというわけである．しかも，実になるよう（すなわち BRS 変換 δ B がべき零性

は，この方法の方が元の Faddeev-Popov の経路積

2

(δ B ) = 0 を持つ様）FP ゴースト場の変換 δ B C
2を決めると，δ B C = igC ．成分表示に戻して，

1
δ B ca (x) = − g fabc cb (x)cc (x)2と決まる．FP 反ゴースト場 c̄a の変換は，中西aLautrup 場 B のマイナスと定義すると，べき零分法によるゲージ固定法よりも一般的である．何
故なら，後者では，FP(反) ゴースト場は，FP 行
列式を書きかえるトリックで現れたので，必ず c̄と c の双一次形式だが，前者だと，ゲージ固定関
数 F a (A, B, c, c̄) 自体に FP ゴースト場 c, c̄ を含んでいても良いから FP ゴースト場の高次項が出得るのである．

*4） 変換パラメータ θ a は普通の数なので，λ が Grassmann

奇の量だということは，FP ゴースト場 ca も Grassmann
奇でなければならないこと，したがってフェルミオン場であることと整合する．

10

筆者は 1977 年小嶋泉氏と共に，経路積分法によって発見された FP ゴースト場とゲージ固定項

を持つ (25) 式の Lagrangian から出発してそれまで不可能と思われてきた「正統的」場の理論の正δ n (Ax) =

n (∑
)
∏
δ
Aij xj =i=1

j

準量子化の手続きでローレンツ共変な演算子定式1
δ n (x) .
det A
(A2)

化8, 10) (operator formalism) を与えることに成功

det A は，n × n 行列 A = (Aij ) の行列式である．

した．その定式化で中心的役割を果たすのが，BRS

対角成分が ai の対角行列 Aij = ai δij の場合は，変換の生成子である BRS 電荷 QB であり，全状

det A = a1 a2 · · · an だから 1 成分の場合の公式

態空間から物理的状態 |phys⟩ を選び出す補助条件(A1) の自明な n 重の積に一致する．
またフーリエ変換で基本的な役割を果たす公式

QB |phys⟩ = 0∫ ∏である．演算子定式化の内容にこれ以上立ち入るi

ことは，この特集号の範囲外なので，できないが，その後の超重力理論，弦理論，弦の場の理論など，
あらゆるゲージ理論に経路積分法と共に，広範に適用されることとなった．経路積分法と演算子定式化はもちろん等価であるが，問題によりそれぞれに得手，不得手がある．例えば，演算子定式化
では理論のユニタリー性は，ハミルトニアンがエルミートであり，BRS 電荷 QB がエルミートでべき零であれば，ほとんど自明に成り立つことがわ
かるが，経路積分法でそれを直接示すのはかなり難しい．逆に，経路積分法の方がずっと見通しが良い，という例も多い．今日では両者の方法を理解し，アタックする問題毎にどういう方法が有効

n
( ∑
)
dpi
exp i
pi xi = δ n (x) . (A3)2πi=1は，左辺がデルタ関数 δ n (x) の積分表示を与える，とも読むことができる．これらの公式は皆，離散
添え字 i を連続変数 x に，変数 xi を関数 X(x) に，
多重積分

∑

iを

∫

∏

i dxi を経路積分 DX =∏x dX(x) に,

dx に，それぞれ置き換えれば，経路積分の場合の公式に読み替えられる．上の (A2) 式や(A3) 式の経路積分版は，A を関数 X(x) に作用する（微分等の）演算子として

∏ (
∏ (
)
)
δ AX(x) = Det−1A
δ X(x) , (A4)
x

x

∫
(∫
)
∏ (
)
δ X(x) = DP exp i dxP (x)X(x) .
x(A5)

かを見極めることが重要である．
参考文献

A. 付録：デルタ（汎）関数の公式
Dirac のデルタ関数 δ(x) は，x = 0 以外では
常にゼロで，x = 0 でだけ（無限大の）値を持つ（超）関数で，任意の関数 f (x) との積の積分は，∫∫dx δ(x−a)f (x) =dx δ(x)f (x+a) = f (a)を満たす．これをデルタ関数の定義としても良い．

x から x′ = ax への変数変換を考えれば，
δ(ax) =

1
δ(x)
|a|

(A1)

は容易に示せる．これの n 成分変数 x = (xi ) の場合の n 次元デルタ関数 δ n (x) ≡∏ni=1 δ(xi ) への一般化公式は，

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1) R. P. Feynman, Acta Phys. Polon. 24 (1963) 697.
2) B. S. DeWitt, Phys. Rev. Lett. 12 (1964) 742;
Les Houches Lect. Notes 13 (1964) 585-820.
3) L. D. Faddeev and V. N. Popov, Phys. Lett. B 25
(1967) 29.
4) V. N. Gribov, Nucl. Phys. B 139 (1978) 1.
5) G. ’t Hooft, Nucl. Phys. B 33 (1971) 173, Appendix A.
6) Y. Ohnuki and T. Kashiwa, Prog. Theor. Phys.
60 (1978) 548.
7) C. Becchi, A. Rouet and R. Stora, Commun.
Math. Phys. 42 (1975) 127；Annals Phys. 98(1976) 287.
8) T. Kugo and I. Ojima, Phys. Lett. 73B (1978)
459; Prog. Theor. Phys. Suppl. 66 (1979) 1.
9) N. Nakanishi, Prog. Theor. Phys. 35 (1966) 1111;
Prog.Theor.Phys.Suppl. 51 (1972) 1-95.
10) 九後汰一郎：ゲージ場の量子論 I, 第 5 章（培風館
1989）．
（くご・たいちろう，京都産業大学益川塾）

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