経路積分を用いたランダムネットワ
ーク上の同期現象の解析
京都大学理学研究科数学教室
グローバルCOE特定研究員（10月より JST さきがけ 兹任）
一宮 尚志
2009/10/21

IBIS 2009, Kyusyu Univ.

1

Outline• 振動現象と同期現象• 位相振動子モデル• 同期現象、蔵本転移• 経路積分の概要• 複雑ネットワーク上のダイナミクス• 経路積分法によるアプローチ• 応用例：同期現象の解析

2009/10/21

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3振動(oscillation)• バネ、振り子？
• ハミルトン力学系• 周期や軌道が安定ではない• 安定な振動（limit cycle)• 心臓の拍動• 神経の発火• 体内時計2009/10/21

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4limit cycle的
物理・生命現象• 化学反応• ベリューソフ・ジャボチン
スキー反応、ブリッグス・ローシャー反応• 心臓の鼓動(北畑氏＠千葉大HPより)• 概日リズム• 歩行運動• 蛍の発光(fromScholarpedia)• etc.
2009/10/21

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7limit cycleのモデル化：
位相振動子模型• 系はcycleの上にある

ｆ（ｔ）• cycle: ω=const.になるように座標を入れる
θ＝0• 外部からの力：• 少し時間が経過→cycle上にｆ（ｔ）• ただし、位相に影響はあるθ = ω + P(θ)f(t)位相振動子模型
2009/10/21

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8同期現象（synchronization)• 振動子間の相互作
用⇒同期
• 2種類
• complete(phase)
synchronization： θの一致
• frequency
synchronization:
ωの一致• 本講演：frequency
synchronizationのみ
2009/10/21

phase sync.

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freq. sync.

10同期現象の例• 概日リズム• 太陽の周期との同期• 蛍の同期発光• 神経の同期発火(Scolarpedia)• 顫動 in パーキンソン病• 心筋細胞• 同期失敗→不整脈• 歩行• millenium bridge 事件
2009/10/21(arup.comより)

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11同期現象のモデル化• 振動子の間相互作用f（θ1）• Winfree type:θ i = 𝜔𝑖 +g（θ2）

𝑓𝑖 𝜃𝑖 𝑔𝑗 (𝜃𝑗 )𝑗• Kuramoto type:θ𝑖 = 𝜔𝑖 +𝑗 𝑓𝑖𝑗 (𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 )f(θ１－θ2)• averaging• 本講演： θ𝑖 = 𝜔𝑖 +𝑗 𝑎𝑖𝑗 sin(𝜃𝑗 − 𝜃𝑖 )2009/10/21

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蔵本転移
θ𝑖 = 𝜔𝑖 +𝑗 𝑎𝑖𝑗 sin(𝜃𝑗 − 𝜃𝑖 )• 全結合系:aij=K/N• ωi：分布関数 g(ω)で分布• 転移点 K=Kc:• K<Kc: 位相θ一様分布• K>Kc: 位相θの分布に
peak• ネットワークではどうか
2009/10/21

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13dynamics on network• 様々な重要な問題• 感染症のダイナミクス…pandemicの防止、コンピュータウイルスの蔓延防止• 神経の同期：パーキンソン病• 食物連鎖ネットワーク：安定性

2009/10/21

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21経路積分とは(0)• 酔歩(random walk)の問題• 最初の位置：x=0• 1step ごとに左右どちらかに一歩動く• 時刻tに場所xにいる確率P(x,t)
は？

•時刻t に場所xに至る全ての道に対し、その道を通る確率を求め、足し合わせる

連続時間、連続空間に⇒経路積分
2009/10/21

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22確率微分方程式の経路積分（１）• 経路積分：R. Feynman (量子力学ver.）• 少し書き換えれば、古典系に適用可能• 考える問題：方程式
dx= f x + ξ(t)dt

P(x,0) =δ(x-x０)
時間経過• ξ t :Gaussian white noise 分散 σ
• x=x0 at t=0• 時刻 t での x の分布P(x,t)を知りたい

P(x,t) =???
2009/10/21

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23確率微分方程式の経路積分（２）• 微小時間Δt 後の分布関数P(x,Δt)を考える• ノイズの『入れ方』

x0
f(x0)Δｔ• 時間『発展後』に入れる• P(x,Δt): Gauss分布P(x,Δt)• 平均 x=x0+f(x0)Δt• 分散 σ2Δtx − x0 − f x0 Δt 2P x, Δt =exp[ −]222σ Δt2πσ Δt1

2009/10/21

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24確率微分方程式の経路積分（３）• P(x,2Δt)は？

x0• 時刻Δtにx=x1、2Δtにx=x2である確率

f(x0)ΔｔP(x,Δt)• x1を全空間積分

P x, 2Δt = ∫ dx1

x1 − x0 − f x0 Δt 2
exp[ −] 時刻Δｔに位置x1であり22σ Δt2πσ2 Δt
1𝑥2 − 𝑥1 − 𝑓 𝑥1 Δ𝑡 2×exp −2 Δ𝑡22𝜎2πσ Δt1

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x１にいた粒子がx2に行く25

確率微分方程式の経路積分(4)• 時刻tでのxの分布は？

• t=nΔt,n→∞(t=const.)の極限
P x, t = limn→∞

12πσ2 Δt n𝛿(𝑥 − 𝑥𝑛 )𝑘

∫ 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 ⋯ 𝑑𝑥𝑛−1𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 − Δ𝑡 𝑓 𝑥𝑘exp[−2𝜎 2 Δ𝑡2]

確率微分方程式の経路積分
2009/10/21

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Hubbard-Stratnovich
変換
1P x, t = limn→∞

2πσ2 Δt n𝛿(𝑥 − 𝑥𝑛 )𝑘

∫ 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 ⋯ 𝑑𝑥𝑛𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 − Δ𝑡 𝑓 𝑥𝑘−1
exp[−2𝜎 2 Δ𝑡2]

• 分母に無限小が来るのは数学的に厭
𝑎𝑥 2• exp − 2 =2 ∞𝑦2𝑑𝑦 exp[−− 𝑖𝑥𝑦]𝜋𝑎 −∞2𝑎を用いて変形

1
P x, t = lim n ∫ 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 ⋯ 𝑑𝑥𝑛−1 𝑑𝑥1 ⋯ 𝑑𝑥𝑛−1n→∞ π𝛿(𝑥 − 𝑥𝑛 )𝑘2009/10/21

𝜎 2 Δ𝑡 𝑥𝑘2
exp[−− 𝑖𝑥𝑘 (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 − 𝑖Δ𝑡 𝑓 𝑥𝑘 )]2
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多変数系の経路積分N変数系に拡張する

dxi= f xi +dt

全く同様に計算して、

g ij xi , xj + ξi (t)j1
P x1 ⋯ xN , t = lim nN ∫ 𝑑𝑥11 𝑑𝑥12 ⋯ 𝑑𝑥𝑁𝑛 −1 𝑑𝑥11 ⋯ 𝑑𝑥𝑁𝑛 −1n→∞ π𝛿 𝑥1 − 𝑥1𝑛 ⋯ 𝛿(𝑥𝑁 − 𝑥𝑁𝑛 )𝑖𝑘2
𝜎 2 Δ𝑡 𝑥𝑖𝑘
exp −− 𝑖𝑥𝑖𝑘 𝑥𝑖𝑘 +1 − 𝑥𝑖𝑘 − Δ𝑡 𝑓 𝑥𝑖𝑘 − Δ𝑡2

2009/10/21

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𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑖𝑘 , 𝑥𝑗𝑘 )𝑗29

経路積分の利点• メリット：• 量子力学で編み出された摂動論、鞍点法など使える• 時間発展が追える• （原理的には）時間相関のあるノイズなども扱える• デメリット：• 解けるならフォッカープランク方程式解いた方が早い• 真面目に（厳密に／数値的に）扱えない問題向け
2009/10/21

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疎グラフ上での経路積分（１）：問題設定
x𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 +𝑎𝑖𝑗 𝑔 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 + 𝜉𝑖 𝑡𝑗• 隣接行列 aij: iとjが繋がっていれば１、いなければ０• （拡張）random network: 各pair (i,j) に対して
• 確率pij=pipjでaij=1• 確率1-pijでaij=0• 3点間の相関は考慮しない• このようなネットワーク上でのダイナミクスは？
2009/10/21

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疎グラフ上の経路積分(2)• 経路積分のformat にそのまま放りこむ1
P x1 ⋯ xN , t = lim nN ∫ 𝑑𝑥11 𝑑𝑥12 ⋯ 𝑑𝑥𝑁𝑛 −1 𝑑𝑥11 ⋯ 𝑑𝑥𝑁𝑛 −1n→∞ π
𝛿 𝑥1 − 𝑥1𝑛 ⋯ 𝛿(𝑥𝑁 − 𝑥𝑁𝑛 )𝑖𝑘2
𝜎 2 Δ𝑡 𝑥𝑖𝑘
exp −− 𝑖𝑥𝑖𝑘 𝑥𝑖𝑘 +1 − 𝑥𝑖𝑘 − Δ𝑡 𝑓 𝑥𝑖𝑘 − Δ𝑡2

𝑎𝑖𝑗 𝑔(𝑥𝑖𝑘 , 𝑥𝑗𝑘 )𝑗

ネットワークによらない部分
ネットワーク構造による部分• ここまではネットワークモデルによらない
2009/10/21

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33アンサンブル平均• ランダムネットワークとは、ネットワークの『集団』（アンサンブル）• どんなネットワークでも存在しうる• ただ出てくる確率が違うのみ• アンサンブル平均を議論
ランダムネットワーク
2009/10/21

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35アンサンブル平均
1〈P x1 ⋯ xN , t 〉 = lim nN 〈 ∫ 𝑑𝑥11 𝑑𝑥12 ⋯ 𝑑𝑥𝑁𝑛 𝑑𝑥11 ⋯ 𝑑𝑥𝑁𝑛n→∞ π
𝛿 𝑥1 − 𝑥1𝑛 ⋯ 𝛿 𝑥𝑁 − 𝑥𝑁𝑛 exp[−S0 − S1 ]〉S0 =ik σ22Δt x𝑖𝑘+ 𝑖 𝑥𝑖𝑘 (𝑥𝑖𝑘+1 − 𝑥𝑖𝑘 − Δ𝑡𝑓(𝑥𝑖𝑘 ))S1 = 𝑖𝑥𝑖𝑘 (Δ𝑡𝑖𝑘𝑎𝑖𝑗 𝑔(𝑥𝑖𝑘 , 𝑥𝑗𝑘 ))𝑗• アンサンブル平均を取る必要があるのはS1のみ⇒exp(-S1)を先に計算

2009/10/21

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36アンサンブル平均を取る• aij :確率pijで１、それ以外で01〈P x1 ⋯ xN , t 〉 = lim nN ∫ 𝑑𝑥11 𝑑𝑥12 ⋯ 𝑑𝑥𝑁𝑛 −1 𝑑𝑥11 ⋯ 𝑑𝑥𝑁𝑛 −1n→∞ π
𝛿 𝑥1 − 𝑥1𝑛 ⋯ 𝛿 𝑥𝑁 − 𝑥𝑁𝑛 exp −S0 〈exp[−S1 ]〉〈exp[−S1 ]〉 =(1 − pij + pij exp[iΔtijxik g xik , xjk ])k• 〈exp[-S1]〉を計算したい
2009/10/21

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〈P(x,t)〉を近似したい• 〈P(x,t)〉：具体的な計算は困難• 何らかの近似が必要• 微小なパラメータを手掛かりにする(T. I, PRE)
• 〈P(x,t)〉の形をある程度「決め打ち」• Gaussianとか• 定常分布を仮定：〈P(x,t)〉=P(x)• etc.

2009/10/21

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38平均場近似• 摂動展開：pijを微小量とする〈exp −S1 〉 ∼ exp[pij (exp iΔtijxik g xik , xjk− 1)]k• 一次の項で近似すると？
〈exp −S1 〉 ∼ exp[iΔt pij xik g(xik , xjk )]ijk1〈P x1 ⋯ xN , t 〉 = lim nN ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑥 𝛿 𝑥 − 𝑥𝑛 exp[−𝑆𝑀𝐹 ]n→∞ π2σ2 Δt x𝑖𝑘+ 𝑖 𝑥𝑖𝑘 (𝑥𝑖𝑘+1 − 𝑥𝑖𝑘 − Δ𝑡𝑓 𝑥𝑖𝑘 − Δt

S0 =ik2009/10/21

pij g(xik , xjk ))jIBIS 2009, Kyusyu Univ.

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平均場解の妥当性dxi
SMF →= f xi +dt

pij g(xi , xj )j• 数値シミュレーションとの比較• 定性的によい一致を示す• 転移点Kc,θの分布の中心など• θのゆらぎ、Kcのより精緻な計算⇒より高度の近似が必要

2009/10/21

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2次の項まで計算してみる• 2次の項までの展開：〈exp −S1 〉 ∼ exp[pij {Δtij1−Δt2ixik g xik , xjk
k2xik g xik , xjk}]k• Hubbard-Stratonovichを逆に使うと、
1
exp −pij2=2009/10/21

2Δt xik g xik , xjk
k

12πpij∫ drij exp[−rij22pij+ irij Δt

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xik g(xik , xjk )]k41

2次の近似の効果
dxi= f xi + pij + rij g(xi , xj )dt

• rij:分散pij、平均０のGauss分布• Kuramoto modelとの比
較…それなりによい？
• coupling がnegativeになることもあるが…
2009/10/21

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まとめ
• 振動現象のモデル• limit cycle oscillator• 経路積分法の紹介• ダイナミクスを追える• その後どう近似するかが大事• ランダムなネットワークモデル上のダイナミクスに適用
可能• 適用例：ランダムネットワーク上の蔵本転移
2009/10/21

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展望：理論編• 経路積分の他のダイナミクスへの適用• 感染症、食物連鎖、化学反応ネットワーク、etc.
• 近似法の改良（鞍点法、摂動展開）• 他のネットワークモデルへの適用• 同期ダイナミクスのより詳細な解析• 定常分布への接近の仕方等

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展望：応用編• ネットワークのデザイン• 同期しやすいネットワーク構造を探す• Monte Calro法などでの探索が現在盛ん（青柳など）• だいたい対称性の高いネットワークが出る• 同期しやすさだけでいいのか？感受性、安定性、robustness…

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展望：応用編２• ネットワークの「構造」の推定• ネットワーク構造がわかっても、「結びつき」の強さはわからない！
• 同期にかかる時間を使ってネットワーク内の『クラスタ』を決定(Arenaset al, PRL)
• まだ研究ははじまったばかり(理論とかなし）
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終ご清聴ありがとうございました

2009/10/21

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