５－２．空間図形の求積（長さ・面積・体積・角度ほか） 【２００２年度出題】【問１】
図のように，１辺が 1 cm の立方体があります。頂点 A から出発して，すべての頂点を１回ずつ通って頂点 A にもどるとき，その最短の距離を求めなさい。
（北海道 2002 年度）

解答欄
cm

【問２】
図は円すいの展開図で，底面の半径は 1 cm，側面の半径は 4 cm である。これを組み立ててできる円すいの体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。
（青森県 2002 年度）

解答欄

cm3

【問３】
図１のような，四角すい O－ABCD の容器がある。上の面の四角形 ABCD は１辺の長さが 6 cm の正方形であり，４つの側面はすべて O から対辺に引いた垂線の長さが 9 cm の二等辺三角形である。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（福島県 2002 年度）
図１

図２(1) この容器に水が満たされているとき，頂点 O から水面までの高さを求めなさい。(図１)(2) AB を水平にしたままこの容器をゆっくりと傾け，側面 OCD が水面に対して垂直になるまで水を流し出した。(図２)
このとき，頂点 O から水面までの高さを求めなさい。

(3) (2)において，水面が作る図形の面積を求めなさい。

解答欄(1)cm(2)cm(3)cm2【問４】図のように，１辺の長さが 4 cm の立方体 ABCDEFGH があり，その内部に，点 E を中心とする半径 4 cm の球の1の部分が入っている。辺 CG の中点を M とし，点 A と点 M とを結ぶ。線分 AM と球の表面との交点で，A 以外8の点を P とする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（茨城県 2002 年度）(1) 四角形 AEGC の面積を求めなさい。

(2) 線分 AP の長さを求めなさい。

解答欄(1)cm2(2)

cm

【問５】
図は，辺 AD と辺 BC が平行で，AD＝10cm，BC＝4cm，AB＝CD＝5cm の台形 ABCD を底面とし，AE＝BF＝CG＝DH＝7cm を高さとする四角柱である。このとき，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2002 年度）(ア) この四角柱の側面上に，頂点 E から辺 BF と辺 CG に交わるように，頂点 D まで線を引く。このような線のうち，最も短い線の長さを求めなさい。

(イ) 平行な２つの線分 AD，FG をふくむ平面でこの四角柱を切り，２つの立体に分けるとき，頂点 B をふくむほうの立体の体積を求めなさい。

解答欄

(ア)

cm

(イ)

cm3

【問６】
図のように，AB＝3 cm，AD＝6 cm，AE＝3 cm の直方体 ABCD－EFGH がある。辺 BC，AD をそれぞれ 2：1 に分ける点を M，N とし，辺 FG，EH の中点を，それぞれ P，Q とする。対角線 AC と線分 MN の交点を R，対角線 EG と線分 PQ の交点を S とするとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（新潟県 2002 年度）(1) 線分 MR の長さを求めなさい。

(2) 立体 MCR－PGS の体積を求めなさい。

解答欄
(1)cm

(2)

cm3

【問７】
1

図は，底辺 6 cm，高さ 8 cm の直角三角形を高さの 2 のところで切り取ってできた台形である。この台形を，直線ℓを軸として１回転したときにできる立体の体積を求めなさい。(ただし，円周率はπとする。)（富山県 2002 年度）

解答欄
cm3

【問８】
図の P，Q，R は，次のような立体である。
P 底面の正方形の１辺がr cm，高さがh cmの正四角すい
Q 底面の半径がr cm，高さがh cmの円すいR 底面の半径が r cm，高さが h cm の円柱このとき，次の問いに答えよ。
（福井県 2002 年度）(1) P と Q の体積はどちらが大きいか。また，その理由も述べよ。

(2) 底面の半径 r を 10 cm としたとき，Q と R の体積の和が半径 10 cm の球の体積と等しくなるような高さ h を求めよ。

解答欄の方が体積は大きい。
（理由）

(1)

(2)cm

【問９】
図のように，底面の半径が 3 cm の円すいを，項点 O を固定して，すべらないように水平な机の上を同じ方向に転がしたところ，円すいはちょうど３回転して元の位置にもどった。このとき，次の(1)～(3)に答えなさい。
（山梨県 2002 年度）(1) この円すいの母線の長さを求めなさい。

(2) この円すいの表面積を求めなさい。

(3) このように，円すいを元の位置にもどるまで転がしたとき，円すいが通ったあとにできる立体を考える。この立体を容器にして，上から水をいっぱいに注ぐとき，容器に入る水の体積を求めなさい。

解答欄(1)cm(2)cm2(3)cm3

【問 10】
図は，A，B，C，D を頂点とする正四面体である。E，F は辺 AB 上の点で，AE＝2EF＝2FB であり，G は辺 BDの中点である。E，F，C，D，G を頂点とする立体の体積は，正四面体 ABCD の体積の何倍か。
（愛知県 Ａ 2002 年度）

解答欄

倍【問 11】
図は，すべての辺の長さが 6 cm の三角柱 ABCDEF である。この三角柱を３点 A，E，F を通る平面で切って２つの立体に分けるとき，その２つの立体の表面積の差はどれだけか，求めなさい。
（三重県 2002 年度）

解答欄cm2

【問 12】図のように，底面が正方形，側面が正三角形で，AB＝4 cm の正四角すい O－ABCD がある。また，辺 OA，ODの中点をそれぞれ P，Q とする。このとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。
（京都府 2002 年度）(1) 底面の対角線 AC の長さを求めよ。

(2) 四角形 PBCQ の面積を求めよ。

解答欄

(1)
(2)

AC＝cmcm2

【問 13】
図Ⅰのようなコップがある。このコップは，円すいを底面に平行な平面で切ってできる二つの立体のうち，頂点をふくまない方の立体の形をしている。図Ⅰにおいて，O はコップの口がつくる円の中心であり，C はコップの底がつくる円の中心である。2 点 O，C を通る直線 OC は円 O をふくむ平面に垂直である。線分 AB，DE はそれぞれ円 O，円C の直径であり，AB∥DE である。OA＝4cm，CD＝2cm であり，２点 O，C 間の距離は 8cm である。コップの厚みは考えないものとする。円周率をπとして，次の問いに答えなさい。答えが無理数になる場合は，無理数のままでよい。
（大阪府 一般 2002 年度）(1) 円 O の面積は円 C の面積の何倍ですか。

図Ⅰ(2) 図Ⅱは，図Ⅰのコップを水平な平面 P に底が接するように置き，その中にコップの高さの1倍の高さまで水を入れ，さらに，細いかき混ぜ棒をそ2の一端が D の位置にくるようにして入れたときの状態を示している。
水面は水平な平面であるとし，かき混ぜ棒の太さは考えないものとする。
図Ⅱにおいて，M，N はそれぞれ線分 AD，BE の中点であり，線分 MNは水面がつくる円の直径である。線分 DF はかき混ぜ棒を表している。線
分 DF は B を通っており，DF＝13cm である。G は線分 MN と線分 DFとの交点である。
① 線分 BF の長さと線分 DG の長さとをそれぞれ求めなさい。

② コップ内の水の体積を求めなさい。求め方も書くこと。

(3) 図Ⅲは，図Ⅰのコップを水平な平面 P に線分 BE が接す
図Ⅲるように横にして置いたときの状態を示している。図Ⅲにおいて，平面 ADEB は平面 P に垂直であり，H は A から線分 BE にひいた垂線と線分 BE との交点である。点 A と平面 P との距離を表す線分 AH の長さを求めなさい。

図Ⅱ

解答欄

(1)

倍
①

線分 BF の長さcm

線分 DG の長さcm

求め方

(2)
②cm3(3)cm

【問 14】ある三角錐を展開すると，図のように１辺の長さが 4 cm の正方形になった。この三角錐の体積は，cm3である。
（岡山県 2002 年度）

解答欄【問 15】
図のように，底面の半径が 4 cm，高さが 9 cm の円錐がある。この円錐を，頂点 A から底面の中心 O にひいた線分の中点 M を通り，底面に平行な平面で切って２つの立体に分けるとする。このとき，２つの立体のうち大きい方の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。
（徳島県 2002 年度）

解答欄

cm3

【問 16】図のような，AD∥BC の台形 ABCD があり∠ADC＝90°，∠BCD＝90°，AD＝4 cm，BC＝10 cm，CD＝8cm で，点 E は辺 CD の中点である。点 F は，辺 AB 上の点で，点 F と点 E を結ぶ線分 FE が，台形 ABCD の面積を２等分している。このとき，線分 FA の長さは線分 FB の長さの何倍か。
（香川県 2002 年度）

解答欄
倍【問 17】
図のような，AB＝AC＝7 cm，BC＝6 cm の△ABC がある。辺 BC を軸として，△ABC を１回転させてできる立体の体積を求めよ。(円周率はπを用いること。)（愛媛県 2002 年度）

解答欄
cm3

【問 18】
図は，すべての辺の長さが 8 cm の正四角すい A－BCDE であり，辺 AB，AC，AD，AE の中点をそれぞれ P，Q，R，S とする。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（高知県 2002 年度）(1) 線分 PR の長さを求めよ。

(2) 正四角すい A－BCDE の体積は，正四角すい A－PQRS の体積の何倍か。

(3) 正四角すい A－BCDE を４点 P，Q，D，E を通る平面で切るとき，その切り口の面積を求めよ。

解答欄

(1)cm

(2)倍

(3)cm2

【問 19】〔図Ⅰ〕のように，面 ABED，CBEF，ACFD が正方形で，各辺の長さがすべて 8 cm の容器がある。この容器に水を満たし，〔図Ⅱ〕のように面 CBEF が水面 AGHD と垂直になるまで傾ける。次の①，②の問いに答えなさい。
（大分県 2002 年度）① 〔図Ⅱ〕の状態のとき，水面 AGHD の面積を求めなさい。
〔図Ⅰ〕

〔図Ⅱ〕

② 残った水の体積を求めなさい。

解答欄

①cm2

②cm3【問 20】
図は，１辺の長さが 2 cm の立方体 ABCD－EFGH で，点 P は辺 FG の中点，点 Q は線分 PH の中点である。
また，点 R は EQ の延長と辺 GH との交点である。このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。
（熊本県 2002 年度）(1) EQ：QR を求めよ。答えは最も簡単な整数比で表せ。

(2) 線分 ER の長さを求めよ。

(3) △DER の面積を求めよ。

解答欄

(1)

EQ：QR ＝：(2)cm(3)cm2

【問 21】
図Ⅰのような紙コップがあり，点 A，B はそれぞれ口の部分，底の部分の円周上の点である。この紙コップの側面は，図Ⅰのように点 O を頂点とする円すいの側面の一部になっており，点 B は母線 OA 上にある。この紙コップの口の部分，底の部分の直径はそれぞれ 10 cm，6 cm であり，また，AB＝12 cm である。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。ただし円周率はπとし紙の厚さや紙コップの変形は考えないものとする。
（宮崎県 2002 年度）
図Ⅰ

図Ⅱ

図Ⅲ

(1) 図Ⅰの紙コップを水平な床において，深さ２分の１のところまで水を入れたとき，水面の円の直径を求めなさい。

(2) 図Ⅰの母線 OA の長さを求めなさい。

(3) 図Ⅱのように，図Ⅰの紙コップの側面を展開した ABB′A′に，すように作図する。次に，この部分 EBCD を，下に示す【条件】をみた部分を切り取り，線分 EB と DC を重ねて，新しい紙コップの側面をつくる。

図Ⅲは，新しくできあがった紙コップである。
【条件】① ⌒ED は，おうぎ形 OED の弧である。
② EB＝DC＝9 cm とする。
③

部分の線分 EB と DC を重ねたものが側面となる紙コップは，口の部分の円の半径が，底の部分の円の半径より 1 cm 長い。

このとき，次のア，イの問いに答えなさい。
ア．

部分 EBCD の面積を求めなさい。

イ．図Ⅲの紙コップの容積を求めなさい。

解答欄(1)cm(2)

OA＝cm

アcm2

イcm3(3)