統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 141–154
c 2017 統計数理研究所
特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［研究ノート］

切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔——日本株式による実証分析——吉田 靖†（受付 2016 年 7 月 26 日；改訂 11 月 8 日；採択 11 月 29 日）

要旨

株式市場の高頻度データの分析において，ジャンプの存在は多くの研究が指摘しており，ジャンプを考慮したボラティリティの推計が課題となっている．解決策の一つとして，切断実現ボラティリティがあり，本稿では，2014 年 7 月 22 日から 10 月 27 日までの東京証券取引所のTOPIX100 構成銘柄の高頻度データを使用して，切断実現ボラティリティの計測を行った．観
測時間間隔は 5 秒から 1800 秒としている．その結果，大半の株式において，実現ボラティリティに占める切断実現ボラティリティの比率は半分未満であり，株価の変動にはジャンプの影響が大きいことを示す結果となった．しかし，観測時間間隔を短くするに従って切断実現ボラティリティが小さくなる現象も同時に観測され，この要因の一つとしてゼロリターンによる影響を示唆する結果も得られた．さらに，その他の構造的な要因が残されている可能性も大きく，切断実現ボラティリティを正確に計測するための観測時間間隔と閾値の最適な選択には課題があることを指摘した．
キーワード：切断実現ボラティリティ，高頻度データ，ジャンプ拡散過程，観測時間間隔，マイクロ・プライス，TOPIX100．
1.

はじめに分析対象の統計モデルにどのような前提をおくかは極めて基本的かつ重要な問題であり，結論にも大きな影響を与える．古くは Bachelier（1900）により証券価格がランダムウォークするとしてオプション価格が導かれたが，ファイナンス分野では暫く顧みられなかった．その後，Osborne（1959）
は金融・証券・為替市場におけるデータを用いて，価格の対数がランダムウォークに従っていることを実証し，理論的にも Black and Scholes（1973）および Merton（1973）による Black-Scholes-Merton モデルが拡がった．その後，Merton（1976）により，ジャンプを含んだ確率過程を前提とするオプション価格理論が展開され，ボラティリティ・スマイルと呼ばれる現象の説明に寄与した．このボラティリティ・スマイルは，実際の市場で恒常的に観測される現象であり，市場のオプション価格からインプライド・ボラティリティを算出すると，オプションの権利行使価格によりボラティリティが異なるという Black-Scholes-Merton モデルでは説明ができない現象である．この現象を観測するには，高頻度データは必ずしも必要ではなく，オプション価格決定モデルのボラティリティ以外の変数が同時点で観測できればよく，ジャンプの存在を仮定したオプション価格決定モデルの適用により，現実のオプション価格に対する説†

東京経済大学 経営学部：〒 185–8502 東京都国分寺市南町 1–7–34

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明力が向上することをもって，ジャンプの存在を間接的に示すものである．久田（2003）は，これらのサーベイと日経平均オプション市場に関する実証分析を行っている．
一方で近年は，市場の取引時間中の高頻度データを分析することが可能になり，高頻度デーを算出して，それまでは直接的には計測できなタから実現ボラティリティ（realized volatility）
かった 1 日毎のボラティリティを計測することが可能になった．証券価格のボラティリティはオプション価格との関係のみならず，資産配分やリスク管理において重要な指標であるため，高頻度データの利用を含め，より正確な計測方法の提案と実証研究が多数報告されている．ま「最適執た，高頻度データそのものも研究の対象となり，林（2010）が，「市場リスクの計測」，行戦略」，「最適トレーディング戦略」，「市場リスクのモニタリング・ポジション管理」，「市場秩序・機能の維持」，「市場制度，構造，ルールなどの改革の提言」，「市場取引メカニズムの理解・知識発見」などの研究目的を列挙しているように，高頻度データを分析する際の正確なモデリングが重要となってきている．
高頻度データによるボラティリティの推計に関しては，ジャンプの他に，観測値にマーケッ
ト・マイクロストラクチャー・ノイズと呼ばれるノイズを含む場合のボラティリティの推定量の性質も議論されている（Andersen et al., 2003; Zhang et al., 2005; Bandi and Russell, 2006;
Hansen and Lunde, 2006; Bandi and Russell, 2008）．マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの具体的な発生要因としては，売り気配値と買い気配値の間で約定価格が変動するために起きるビット・アスク・バウンスがあるが，これらの先行研究により，実現ボラティリティに関する推定上の問題点が明らかとなり，それらの検証や解決方法が提案されている．その中で，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズに関しては約定価格よりも仲値を使用することや，観測頻度の調節などにより改善することが示されているが，これらの方法によっても市場の価格変動にジャンプが含まれる結果が報告されている．例えば，Barndorﬀ-Nielsen andは，為替レート市場における 5 分間隔のデータから実現バイパワー・バリエー
Shephard（2006）
ション（realized bipower variation, RBPV）を算出し，マクロ経済指標の発表などによるジャンプをノンパラメトリック手法により検出している．Andersen et al.（2007）は同様にジャンプの存在を示し，さらにジャンプの成分を分解することがボラティリティの予測を向上することを示している．また日本市場において，増田・森本（2009）は東証株価指数，日本の株式個別銘柄および円ドルレートなどの 5 分間隔のデータおよび日次の原油価格により RBPV を算出し，Leeによるノンパラメトリック手法を用いて，ジャンプを検出している．以上
and Mykland（2008）
はジャンプの存在あるいは発生時期を検証するものであるが，ジャンプの検出に関しては観測頻度が影響する可能性があり，前述の増田・森本（2009）は先行研究を引用する形で 5 分間隔をは実現ボラティリティ計測に関するモデルおよび実証分析のサーベ採用している．柴田（2008）
イを行う中で，先行研究の観測頻度の選択についても比較し，マイクロストラクチャー・ノイズや日中リターンの自己相関の存在などを指摘しているものの，日経平均株価指数，日経平均先物，東証株価指数の実現ボラティリティの実証分析を行うにあたっては，先行研究を引用する形で 5 分間隔のみを採用している．
は価格変動過程にはブラウン運動とジャンプが含まれるものとして，そ一方，Mancini（2001）の上でブラウン運動成分のボラティリティを正確に推計するために，ジャンプを取り除いたデータに対して実現ボラティリティを計測することを提案している．そこでは，得られたサンプルの 1 件毎に，ブラウン運動によるものとジャンプによるものに分離することはできないため，閾値を設けて，その閾値より絶対値が大きい変動はジャンプによるものとして除外し，絶対値が閾値内の変動であれば，ブラウン運動によるものとしてブラウン運動部分のボラティリティを計測しようとしている．また Shimizu（2003）も同時期に Mancini（2001）とは独立に閾値を用いる方法を提案している．このような推計方法によるボラティリティを Aı̈t-Sahalia and Jacod

切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔143（2012）は切断実現ボラティリティ（truncated realized volatility）とし，ニューヨークダウ構成銘
柄について検証している．さらに Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）では，計測における観測時間間隔と閾値の関係を明示的に取り扱い，次章で述べるボラティリティの計測方法を提案している．
は，方法を示しているのみで実証はしていないため，実
しかし，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）
際にこの方法による切断実現ボラティリティの計測を行うことは，今後の価格変動を研究する上の基礎として大きな意義があると考えられる．したがって，本稿では，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）に沿った切断実現ボラティリティの推計に関して日本株式を対象として実証分析を行い，その問題点を検討する．
本稿の構成として，続く第 2 章では，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）に基づいて計測方法を紹介し，第 3 章ではデータについて述べる．第 4 章は計測結果であり，第 5 章においてまとめを述べる．
2.

切断実現ボラティリティの計測方法

本章では切断実現ボラティリティの計測手順を Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）を簡略化して述べる．一部の記述では Aı̈t-Sahalia and Jacod（2012）による表記方法なども用いることとする．
まず Xt を時刻 t(0≤ t ≤ T ) における証券価格の対数値とし，次の（2.1）式のジャンプ拡散過程に従っているとする．
(2.1)

dXt = bt dt + σt dWt + dJt

ここで，第 1 項は単位時間あたり bt で成長するドリフト項，第 2 項は連続的な確率変動であり，σt は t 時点における瞬間的なボラティリティの平方根で，Wt は標準ブラウン運動である．
第 3 項は不連続なジャンプを表している．
（2.1）式の σt について，σt2 = ct とするとこれは t 時点における瞬間的なボラティリティであり，これを（2.2) 式のように積分したものを積分ボラティリティと呼ぶ．
 t
(2.2)
Ct =cs ds0

次に，証券価格に関して，観測時間間隔 Δn による第 i 番目の対数差分を（2.3）式で定義する．
(2.3)

Δni X = XiΔn − X(i−1)Δnこのとき，全ての Δni X を用いた実現ボラティリティは（2.4）式により定義される．
[t/Δn ]

(2.4)

Ĉ(Δn )t =



2(Δni X)

i=1

ここで [ ] は，この括弧内の実数の整数部分を意味する．
（2.1）式の第 3 項がない場合，すなわち確率的な変動は連続的なブラウン運動のみによる場合，（2.4）式による推定量は（2.2）式の積分ボ
式の第 3 項のように不連続なジャンプ部分があるとラティリティの一致推定量になるが，（2.1）
きは一致推定量にならないことが示されている．
（2.5）式で定義される切断実現ボラ
この解決方法としては，前述の RBPV もあるが，本稿ではティリティを分析の対象とする．
[t/Δn ]

(2.5)

Ĉ(Δn , un )t =


i=1

2
(Δni X) 1{|Δni X|≤un }ここで，un は閾値で正の定数であり，1{} は括弧内の条件が成り立つときは 1，そうでないと

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きは 0 の値を取る関数である．つまり，Δni X のうち，その絶対値が un 以下のもののみを加算の対象とし，それを超えるものは除外して実現ボラティリティを算出するものである．この基本的な考え方は，Δni X のうちジャンプによるものをできるだけ捨ててブラウン運動によるもののみを算出対象にして，正確な積分ボラティリティを算出しようとするものである．そのため，
un の決定方法としては，ブラウン運動による増分部分を多く捨て過ぎないようにするための大きさを考慮しつつ，ジャンプを除外するためにできるだけ小さくすることも必要であり，この二つのバランスが現実的には重要である．本稿は un の決定にあたって Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）が提案している方法に従うこととする．具体的には以下のとおりである．
まず，X が全くジャンプのない確率過程に従っているとし，un を決定して切断実現ボラティリティを算出するとき，実現ボラティリティと切断実現ボラティリティの推計量の差 AT は（2.6）
式のようになる．
 Tun(2.6)
AT =cs g √dsc s Δn0
ここで，g(u) = {|x|>u} x2 φ(x)dx であり，φ(x) は標準正規変数の確率密度関数である．
T
また，実現ボラティリティと切断実現ボラティリティの推計量の分散は共に 2Δn 0 c2s ds であるので，AT の大きさはこれを標準偏差にしたものの一定割合 θ 以内に抑えることとすると，（2.7）式のようになる．
12


 T
 Tun(2.7)
cs g √c2s dsds ≤ θ 2Δnc s Δn00
Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）では θ を 0.1 としており，本稿も同様に 0.1 とする．
次にcmax = sup(cs : s ∈ [0, T ])cmin = inf(cs : s ∈ [0, T ])
1 Tcaver =cs ds
T 0cmaxζ≥cminとすると，g は減少関数であるので（2.7）
式は ζ
(2.8)
g uncaver Δnθ≤ζ2ΔnTとすることができる．ζ の値は，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）ではその中の第 6 章で示している IBM 株式の 2008 年の第 2 四半期の推定結果などから 2 または 3 とされているが本稿では 3とする．
さらに，標準正規分布の両側確率が η となる値を zη とする．Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）では η の例として 0.25 としているので本稿でも 0.25 とする．そして，（2.2）式で算出される増分（2.9）式の ĉaver を用いる．のうち η を捨てることになる閾値を uη とし，caver の推定値として(2.9)

ĉaver =1Ĉ(Δn , uη )TT (1 − g(zη ))以上に加えて，T はサンプルの期間であり，観測時間間隔 Δn は次章で述べるような複数の式の un を除く全てのパラメータの値が定まるので，（2.8）式を満たす最大設定をすると，（2.8）

切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔145の un を求める．このように，各観測時間間隔に対応した un を決定し，最終的に（2.5）式を用いて切断実現ボラティリティを算出する．
3.

本稿で使用するデータ

本稿では，東京証券取引所第 1 部に上場されている株式の中から，時価総額が大きく流動性が高い 100 銘柄で構成される指数である TOPIX100 構成銘柄のすべてを対象とする．分析期
間は TOPIX100 構成銘柄の呼び値の単位がそれ以前よりも小さい値に変更された 2014 年 7 月
22 日を開始日とし，約 3 か月後の同年 10 月 27 日を終了日とする．この期間は市場の取引日ベースで 67 日間である．また，この期間の現物株式の取引時間は 9 時から 11 時 30 分までの前場と，休憩後の 12 時 30 分から 15 時までの後場があり，合計 5 時間である．日中のリター
ンは Aı̈t-Sahalia and Jacod（2012）に従い 5 秒を最短間隔とする．前場と後場および，後場と翌取引日の前場に跨がるリターンは算出しない．すなわち，取引所の立会時間外は分析の対象とせず，立会時間中のみを対象とする．したがって，ToSTNeT システム（Tokyo Stock ExchangeTrading Network System）による，立会外取引は対象としない．データは，日本経済新聞社による NEEDS TICK データから取得している．価格は最良気配値から算出するが，単純な仲値ではなく，（3.1）式で定義される注文量で加重する Gatheral and Oomen（2010）のマイクロ・プラを使用する．
イス（micro-price）
va pb + vb pa
(3.1)
pv =
va + vb
ここで，pv はマイクロ・プライス，va は最良売り気配の数量，vb は最良買い気配の数量，pa は最良売り気配値，pb は最良買い気配値である．Aı̈t-Sahalia and Jacod（2012）は約定データおよび最良気配値による仲値を用いており，本稿でマイクロ・プライスを用いている点とは異なっている．
前述のように本稿の最短の観測時間間隔は 5 秒であり，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2012）も 5 秒間を最小観測時間間隔としてその間の平均価格を算出している．しかし，本稿では 5 秒間の平均価格ではなく，対象の 5 秒間の中で最後に更新されたデータのみを使用する．これは，不連続な変動をより検出しやすくするためである．5 秒間にデータの更新がなかった場合は前値と同じ価格とする．したがって，このときのリターンはゼロとなる．その他の観測時間間隔での価格はこの 5 秒間隔のデータを間引くことにより算出する．本稿では，5 秒，10 秒，15 秒，20秒，30 秒，45 秒，60 秒，90 秒，120 秒，180 秒，240 秒，300 秒，420 秒，600 秒，900 秒，1200秒，1800 秒の 17 パターンとする．
なお，本稿で表示する実現ボラティリティおよび切断実現ボラティリティは 1 日あたりの値とする．
4.

分析結果

まず，比較のために実現ボラティリティの計測結果を表 1 に示す．表 1 は紙幅の節約のため17 パターンの観測時間間隔のうち 5 パターンを抜粋している．以降の表 4 までも同様である．
図 1 は，縦軸が実現ボラティリティであり，横軸は観測時間間隔の対数表示としていて，実現ボラティリティの推移として典型的な特徴のある 6 銘柄について，全ての観測時間間隔における実現ボラティリティの値を折れ線グラフとして表示したものである．これら表 1 および図 1を見ると，ソフトバンクグループのように例外はあるものの，総じて 1 分以下の観測時間間隔
では，間隔が短いほど実現ボラティリティは上昇する傾向にある．その一方で 5 分間隔以上の領域では横這いになっている銘柄が多いが，住友商事のようにほぼ右上がりになっている銘柄

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表 1．実現ボラティリティの主な計測結果．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べている．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．（単位：×10−4 ）や，富士フイルムのように右下がりになっている銘柄もあるなど様々であることがわかる．
次にこれに対して，第 2 章で述べた方法により計測した切断実現ボラティリティを表 2 および図 2 に示す．実現ボラティリティとの大きな違いとして，第 1 に概ね 2 から 3 分以下の観測時間間隔では，全ての銘柄で観測時間間隔が短くなるほど切断実現ボラティリティの値が小さくなっていることがわかる．しかし，それよりも観測時間間隔が長い領域では，住友商事のようにほぼ横這いとなる銘柄，ニコンのようにピークを迎えて下降する株式，日揮のようにほぼそのまま上昇する銘柄，三菱 UFJ フィナンシャル・グループやソフトバンクグループのように切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔

147図 1．実現ボラティリティの計測結果．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．

ピークアウトした後に再び上昇する銘柄等様々である．
第 2 の違いとして，切断実現ボラティリティは，実現ボラティリティよりも小さいことは当然ではあるが，その差は比較的大きく，高頻度データで見る限り，全ての銘柄で価格変動にはジャンプが含まれていると考えられる．
これらの 2 点について，さらに検討を加える．まず，後者に関しては，株式毎に実現ボラティリティに占める切断実現ボラティリティの比率を算出すると，表 3 のようになる．観測時間間隔が 5 秒での比率を見ると，最大のソフトバンクグループが 14.8%であり，それに三井住友フィナンシャルグループの 12.4%，野村ホールディングスの 10.4%などが続いているが，その他は10%未満である．観測時間間隔を拡大するとその比率は急速に上昇し始めるが，5 分間隔以上のところでは横這いとなり，最大でも関西電力の 30 分間隔の 55.4%である．さらに，富士フイルムホールディングスや住友商事のように全ての観測時間間隔で 20%未満となっている株式もある．このように日中のボラティリティの要因としては，ブラウン運動によるものよりも，ジャンプによる部分の方が大半を占めていると考えることができる．
次に，観測時間間隔の短い領域で切断実現ボラティリティが減少する原因を探る．このような現象の原因の一つとして，観測時間間隔を短くすると現実に観測される価格が変動せず，リターンが 0 となる標本が増加し，閾値が小さくなり過ぎて結果的に除外される比率が高まることが考えられる．このため，各株式の各観測時間間隔における標本のゼロリターン比率を算出
すると表 4 のようになった．これをみると，株式によってその水準は大きく異なり，三菱 UFJフィナンシャル・グループのように 5 秒間隔でも 1.8%と僅かな株式がある一方で，同じ 5 秒間隔でも，日揮のように 65.3%と半数以上がゼロリターンになっているものもある．しかし，120秒であれば同じく日揮の 2.4%を最大値として大半が 1%未満となり，120 秒以上の観測時間間隔であれば計測上の問題は小さいことが考えられる．
この要因を検証するために，被説明変数を切断実現ボラティリティとし，説明変数を観測時間間隔とゼロリターン比率とする回帰分析を各株式に対して行った．すなわち，推計式は（4.1）
式のとおりである．

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表 2．切断実現ボラティリティの主な計測結果．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べ（単位：×10−4 ）ている．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．

(4.1)

T RVn = β0 + β1 Δn + β2 Rn + en

ここで，TRV n は観測時間間隔 Δn における切断実現ボラティリティ，Rn は観測時間間隔Δn における標本のうちリターンがゼロである標本数の比率（%），en は誤差項である．
この結果を表 5 に示す．表中の P 値は回帰係数=0 を帰無仮説，回帰係数 = 0 を対立仮説としたときの t 検定に対応する値である．回帰分析の結果，決定係数は最低でも JX ホールディン
グスの 0.631，平均では 0.851 であった．有意水準を 5%として回帰係数の推定値を見ると，観測時間間隔はプラス，ゼロリターン比率はマイナスの値で有意になっている株式が大半となっ切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔

149

図 2．切断実現ボラティリティの計測結果．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．ている．本稿では理論的な考察を行っていないが，このことは，要因としてはゼロリターン比率だけではなく，観測時間間隔が何らかの構造的な影響を与えていることを示している．特に一貫してゼロリターン比率が小さい三菱 UFJ フィナンシャル・グループやソフトバンクグルー
プにおいても，これら二つの回帰係数は有意であることは，ゼロリターン比率以外に観測時間間隔による構造的な影響があることを示唆している．
5.

おわりに

本稿では，2014 年 7 月 22 日から 10 月 27 日までの東京証券取引所の TOPIX100 構成銘柄の高頻度データを使用して，切断実現ボラティリティの計測を行い，日中の株価変動に含まれるブラウン運動のボラティリティを推計した．切断実現ボラティリティの計測の際に必要となる閾値の設定に関しては Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）の方法を用いた．その結果，大半の株式で実現ボラティリティに占める切断実現ボラティリティの比率は半分未満であり，ジャンプの影響が大きいことを示す結果となった．しかし，切断実現ボラティリティが観測時間間隔を短くするに従って小さくなる現象も同時に観測され，ゼロリターンによる影響を示唆する結果も得られたものの，その構造的な原因の解明と最適な観測時間間隔の決定には至っていない．切断
実現ボラティリティの計測をする上で，これらは今後の課題である．
謝辞，科研費（15H03402）および東
本稿は統計数理研究所公募型共同利用（課題番号 28-共研-1004）
京経済大学共同研究助成 D16-01 の助成を受けたものである．また，匿名レフリーからは多くの有益な指摘を頂いた．記して感謝の意を表します．

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表 3．切断実現ボラティリティ比率の主な計測結果．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べている．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．

切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔
表 4．ゼロリターン比率．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べている．計測期間：2014
年 7 月 22 日〜10 月 27 日．（単位：%）

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表 5．切断実現ボラティリティに対する回帰分析の結果．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べている．各回帰係数は 1 万倍して表示している．

参考

文

献

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Estimating Truncated Realized Volatility and Time Interval:
Evidence from Japanese Stock Market
Yasushi Yoshida
Faculty of Business Administration, Tokyo Keizai University

Many studies document jumps that are signiﬁcant in asset returns by analyzing highfrequency data. The estimator of realized volatility is biased by the jumps. Truncatedrealized volatility is proposed to solve this problem. In this paper, the realized volatilities
and the truncated realized volatilities of 100 Japanese stocks are estimated using highfrequency data from July 22nd to October 27th , 2014 at a sampling interval of from 5
to 1800 seconds. The conclusion is that Brownian motion does not dominate each stock
price process. However, the truncated realized volatility become progressively smaller withdecreasing sampling interval. Zero return is only one factor aﬀecting the decreasing truncated realized volatility. Choosing the optimal sampling interval and threshold level toestimate accurate truncated realized volatility is a remaining issue.

Key words: Truncated realized volatility, high-frequency data, jump diﬀusion process, sampling interval, micro-price, TOPIX100.