４．二次関数と図形（面積・長さ）関連の複合問題 【２００３年度出題】【問１】
図のように，関数 y＝ax2 (a は正の定数)のグラフ上に点 A，x 軸上に点 B があります。点 A の x 座標は 2，点 Bの x 座標は正の数とします。点 O は原点とします。次の問いに答えなさい。
（北海道 2003 年度）
1

問１．点 B の x 座標が 4 のとき，点 B を通り，傾きが－ 2 である直線をかきなさい。

問２．点 A の y 座標が 6 のとき，a の値を求めなさい。

問３．a の値を 1 とします。OA＝OB のとき，△AOB の面積を求めなさい。

問１

問２
問３

a＝

【問２】
図で，放物線は y＝1 2x のグラフである。点 A は y 軸上の点で，y 座標は 8 である。また，点 B，C，D は放物線上2にあり，四角形 ABCD は平行四辺形で，点 D の x 座標は正，AD と x 軸は平行である。次の(1)～(4)に答えなさい。
ただし，座標軸の単位の長さを 1 cm とする。
（青森県 2003 年度）(1) AD の長さを求めなさい。

(2) y＝

1 2x について，x が－1 から 5 まで増加するとき2の変化の割合を求めなさい。

(3) 原点を通り，平行四辺形 ABCD の面積を２等分する直線の式を求めなさい。

(4) 放物線 CD 上に点 P をとる。△DAP の面積が 7 cm2 になるときの点 P の座標を求めなさい。

(1)
(2)
(3)
(4)

cm

【問３】
図のように，関数 y＝－1 2x のグラフ上に点 A があり，関数 y＝ax2(a＞0)のグラフ上に２点 B，C があります。A と B
2の x 座標はどちらも 2 で，B と C の y 座標は等しくなっています。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（岩手県 2003 年度）(1) 点 A の y 座標を求めなさい。

y＝ax2(2) AB：BC＝2：1 のとき，関数 y＝ax2 の a の値を求めなさい。

y＝－1 2x2(1)
(2)

a＝

【問４】
1

図のように，関数 y＝ 4 x2 のグラフ上の，x 座標が 2 である点を P，x 座標が正で y 座標が 4 である点を Q とし，y軸上の点(0，4)を R とする。このとき，△PQR の面積を求めなさい。
（山形県 2003 年度）

【問５】
1

図において，曲線アは関数 y＝ 2 x2 のグラフで，２点 A，B は曲線ア上の点であり，x 座標がそれぞれ 2，4 である。
また，点 P は y 軸上の点である。ただし，O は原点，座標の目盛りの単位は cm とする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（茨城県 2003 年度）(1) ２点 A，B を通る直線の式を求めなさい。

(2) 線分 AP と線分 PB の長さの和が最小となるように点 P をとるとき，その長さの和を求めなさい。

(1)
(2)

cm

【問６】
図で曲線は関数 y＝x2 のグラフであり，グラフ上に２点 A（－1，1），B（2，4）をとります。また，x 軸上に x 座標が正である点 P をとり，グラフ上に点 Q をとって，四角形 APBQ をつくります。この四角形 APBQ が平行四辺形になるとき，点 Q の座標を求めなさい。ただし，根号はつけたままで答えなさい。
（埼玉県 2003 年度）

（，）

【問７】
図１で，点 O は原点，点 A の座標は（－3，0），曲線ℓ は関数 y＝1 2x のグラフを表している。点 B は曲線ℓ 上に2あり，座標は（6，18）である。 曲線ℓ 上にある点を P とする。次の各問に答えよ。
（東京都 2003 年度）
問１．点Pのx座標をa，y座標をbとする。aのとる値の範囲が－3≦a≦4のとき，bのとる値の範囲を不等号を使って，≦b≦

図１で表せ。

問２．点 P が点 B と一致するとき，２点 A，P を通る直線の式を求めよ。

図２

問３．図２は，図１において，x座標が6より小さい正の数である点Pを通り，x軸に平行な直線をmとし，直線m と曲線ℓ との交点のうち，x座標が負の数である点をQとした場合を表している。
点Aと点P，点Aと点Q，点Bと点P，点Bと点Qを結んでできる四角形APBQを考える。直線mが四角形APBQの面積を２等分するとき，点Pの座標を求めよ。
ただし，答えに根号がふくまれるときは，根号をつけたままで表せ。

問１≦b≦

問２y＝

問３（，）

【問８】
図のように，関数 y＝1 2x のグラフの上に，x 座標が正で y 座標が 9 である点 P をとる。この点 P から，x 軸に引いた4垂線と x 軸との交点を Q，原点を O として，線分 OQ 上の点 R の座標を(a，0)とする。また，y 軸上の点 A の座標を(0，1)とするとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（新潟県 2003 年度）(1) 点 P の x 座標を求めなさい。

(2) △AOR の面積と△RQP の面積の和が 18 となるとき，a の値を求めなさい。

(3) a＞1 で，△AOR∽△RQP となるとき，a の値を求めなさい。

(1)
(2)

a＝(3)

a＝

【問９】
図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に，２点 A(－1，1)，B(2，4)をとり，点 B と y 軸について対称な点を C とする。
また，点 P は放物線上を A から B まで動き，点 P から線分 BC にひいた垂線と線分 BC との交点を H とする。
このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
（石川県 2003 年度）(1) 点 P の y 座標が 2 のとき，点 H の座標を求めなさい。なお，解答欄のには答だけを書くこと。

(2) 点 P の x 座標が1のとき，四角形 APBH の面積を求めなさい。なお，途2中の計算も書くこと。

(1)
計算

(2)

答

【問 10】図のように，関数 y＝ax2 のグラフと直線 y＝2x＋3 が２点 A，B で交わっている。点 P は，y＝ax2 のグラフ上を Aから B まで動く。また，直線 y＝2x＋3 と x 軸との交点を C，点 B から x 軸に垂線をひき，x 軸との交点を D とする。
点 A，B の x 座標は，それぞれ，－1，3 である。このとき，次の問いに答えよ。
（福井県 2003 年度）(1) a の値を求めよ。また，関数 y＝ax2 について，－1≦x≦3 のときの y の変域を求めよ。

(2) 点 C の座標を求めよ。

(3) 点 P の x 座標を t とする。点 P が y＝ax2 のグラフ上を A から B に向かって動くとき，
ア △BDP の面積はどのように変化していくか。の中で適当なものを１つ選び，の理由を述べよ。

イ △BDP の面積が△CDP の面積の(1)

a＝(2)

y の変域

C（，△BDPの面積は理由ア(3)イ1になるときの t の値を求めよ。
2t＝）増加する一定である減少するで囲め。また，そ【問 11】図において①は関数 y＝ax2，②は関数 y＝bx2 のグラフであり，①は点 A(2，2)を通る。x 座標が－4 である①上の点を B とする。また，③は２点 A，B を通る直線である。このとき，次の１～３に答えなさい。
（山梨県 2003 年度）
１．a の値を求めなさい。

２．③の式を求めなさい。

３．線分 AB を１辺とする正方形 ABCD をかくと，対角線 AC は x 軸と平行になり，頂点 D は②の上にくる。このとき，b の値を求めなさい。

１a＝２３b＝

【問 12】
図で，O は原点，A，E は関数 y＝ax2 (a は定数)のグラフ上の点で，六角形 OABCDE は正六角形である。
点 C の座標が(0，6)のとき，次の①，②の問いに答えよ。
（愛知県Ａ 2003 年度）① 直線 DB の式を求めよ。

② a の値を求めよ。

①y＝②a＝

【問 13】
まりこさんとけんたさんは，身のまわりにあることがらで，ともなって変わる２つの数量の関係が反比例になるものについて話し合いました。下の２人の会話文を読み，あとの各問いに答えなさい。
（三重県 2003 年度）
a(けんた) ともなって変わる２つの数量x，yの関係がy＝ (aは定数)で表されるとき，yはxに反比例するといいまxすね。
(まりこ) １辺の長さがx cmの正方形の面積をy cm2とするとき，xとyの関係を式に表すと，(ア)となるから，このxとyの関係は反比例ではありません。
(けんた) (※)「6 kmの道のりを時速x kmで進むときy 時間かかる」とすると，xとyの関係は，y＝6という式になxります。このxとyの関係は反比例です。
(まりこ) けんたさんが言った，道のりが一定のときの速さと時間の関係以外に，身のまわりには，y＝6という式でx表すことができる反比例の関係はありますか。
(けんた) たとえば，「(イ)」とすると，y＝6という式で表すことができます。
x①(ア)にあてはまる式を書きなさい。

②(イ)にあてはまる，x と y の関係を表すことがらを，数量には単位などもつけ，下線部(※)を参考にして１つ書きなさい。ただし，変域についてふれる必要はない。

①②【問 14】図のように，２つの関数
y＝ax2 (a＞0)…①

3x－22…②y＝のグラフが２点 A，B で交わっており，点 A の x 座標は 2，点 B の x 座標は 4 である。点 A を通り，x 軸に平行な直線ℓ と①のグラフの２つの交点のうち，点 A と異なる点を C とする。また，y 軸上を動く点を P とし，その y 座標を t とする。このとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。
（京都府 2003 年度）(1) a の値と点 C の座標を求めよ。

(2) ２つの線分の長さの和 AP＋PB が最小となるときの t の値を求めよ。

(1)a＝(2)t＝， 点Ｃ(，)

【問 15】
図Ⅰの①は，関数 y＝1 2x のグラフである。点 A，B は，①上の点4

図Ⅰで，点 C は，直線 AB と x 軸との交点である。また，点 A の x 座標は負の数で，点 B の x 座標は 2，AB：BC＝3：1 とする。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，原点 O と点(1，0)，点(0，1)との距離をそれぞれ 1 cm とする。
（鳥取県 2003 年度）
問１．２点 A，B の座標を求めなさい。

問２．図Ⅱのように，図Ⅰで，y 軸について点Aと対称な点をDとし，直線BDとx軸との交点をEとする。このとき，線分CEの長さを求めた
図Ⅱい。
(1) 高志さんは，直線 BD の式を用いて線分 CE の長さを求めた。
アにはあてはまる式を， イにはあてはまる数を書きなさい。
《高志さんの求め方》

ア

直線 BD の式は，y＝y＝0 として，点 E の x 座標を求め，点 C の x 座標との差を計算すると，
CE＝イcm(2) 良子さんは，「直線 BD の式を用いなくても，AB：BC＝3：1 であることを利用すれば，線分 CE の長さを求めることができる」と考えました。良子さんの考えをもとにした線分 CE の長さの求め方を説明しなさい。

A(

問１(1)

ア
説明

問２(2)

，y＝)

B(，イCE＝)cm

【問 16】
１辺の長さ 12 cm の正方形の厚紙がある。図１のように，四すみから同じ大きさの正方形を切り取って，破線にそって折り曲げ，図２のようなふたのない箱をつくる。切り取る正方形の１辺の長さを x cm とする。次の問１，問２に答えなさい。
（島根県 2003 年度）
図１

図２

問１．次の１，２に答えなさい。
１．箱の底面の一辺の長さを y cm とする。次の(1) x の変域は＜x＜である。

(2) y を x の式で表すと，y＝となる。の中にあてはまる数または式を書き入れなさい。

２．箱の形が立方体になるのは，切り取る正方形の１辺の長さが何 cm のときか，求めなさい。

問２．xの値を1，2，3，…と変えていく。箱の底面積をS cm2，箱の容積をV cm3とし，その変化のようすを下のような表にまとめた。 ア表， イにあてはまる数を求めなさい。
x123

底面積S10064

ア

容積V100128

4…
…

イ…

(1)

＜x＜１(2)

問１y＝cm２
問２アイ【問 17】
２点 A(1，1)，B(4，3)の間の距離は，AB＝である。
（岡山県 2003 年度）【問 18】
図のように，x の変域を－3≦x≦4 とする関数 y＝x2 のグラフがあります。このグラフ上に３点 A(－3，9)，B(4，16)，C(a，a2)をとり，x 軸上に点 D(b，0)をとります。ただし，a は－2 から 3 までの整数であり，b＞0 とします。
これについて，次の(1)～(3)に答えなさい。
（広島県 2003 年度）(1) この関数の y の変域を求めなさい。

(2) この関数について，x の値が a から 4 まで増加するときの変化の割合が最も大きくなるとき，a の値を求めなさい。

(3) a＝－2 とします。△ACB と△ACD の面積が等しくなるとき，b の値を求めなさい。

(1)
(2)
(3)

≦y≦

【問 19】図のように，原点を O とし，関数 y＝2x2 のグラフがある。２点 P，Q を x 軸上にとり，その x 座標をそれぞれ t，t＋1とする。また，点 P，Q と x 座標が等しく，関数 y＝2x2 のグラフ上にある点をそれぞれ A，B とする。
このとき，次の(1)～(5)の各問いに答えなさい。
（佐賀県 2003 年度）(1) t＝1 のとき点 B の座標を求めなさい。

(2) t＝1 のとき直線 AB の式を求めなさい。

(3) t＝－3 のとき四角形 APQB の面積を求めなさい。

(4) 四角形 APQB の面積が 25 となるとき t の値を求めなさい。

(5) 線分 AB の長さが 2 となるとき t の値を求めなさい。

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

（，）

【問 20】図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に，点 A，B がある。点 A，B の x 座標がそれぞれ－1，2，また，直線 AB の傾きが 2 であるとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（大分県 2003 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) y 軸上に点 C(0，p)をとり，△ACB の面積が△AOB の面積の1倍にな4るようにする。このとき，p の値をすべて求めなさい。

(3) x 軸上に点 D をとり，△ADB の面積が△AOB の面積の5倍になるよう4にする。このとき，点 D の座標を求めなさい。ただし，点 D の x 座標は正とする。

(1)

a＝(2)(3)（，）

【問 21】図のように，２つの関数
y＝1 2x …①2

y＝ax2…②のグラフと直線ℓ がある。①のグラフは直線ℓ と２点 A，B で交わり，点 C，D は②のグラフ上の点である。また，点 A，C の x 座標は－2，点 B の x 座標は 4，
点 D の座標は(4，－4)である。
このとき，次の(1)～(4)の問いに答えなさい。
（宮崎県 2003 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 点 A の座標を求めなさい。

(3) 直線ℓ の式を求めなさい。

(4) x 軸上に点 P をとり，△BAP＝△BCD となるようにする。このような点 P の x 座標のうち，正の値を求めなさい。

(1)

a＝(2)

（(3)
(4)，）