出典：文部科学省スーパーサイエンスハイスクール開発指定研究
2007年度（56期生）テーマ研究論文集、発行：筑波大学附属駒場高等学校数学科、pp.120-123、2008年3月

歯車の仕組み玉井 裕太
１．はじめに今回私が再現しようとした機械は「クレーン」である。まずどのような構造をしているのか想像し，それに沿ってレゴで再現することにした。
２．構造のイメージ
まず，はじめに想像しなければならないことは力の伝わる経路です。図1は私が見た工事現場で使われているクレーンである。

図1
先ず力の伝達の源となるモーターの場所について，私はアーム(荷物を持ち上げるワイヤーに直接つながっている長い鉄骨)の根元部分，図の左の部分にあると考える。そして左上の部分を経由しアームの先端に力が伝わると考えた。
３．クレーンに関する考察
3.1. クレーンの定義
次にクレーンについて調べた。Wikipediaによると，クレーンはクレーンに関する法律であるクレーン等安全規則により，次のように定められている。

これよりクレーンを作るというのならば主に上下の方向に力を伝えるものにすることが必要となった。
3.2. 再現過程のイメージ
次にクレーンの全体を考え，完成したときのおおよその形を捉えることにした。まずクレーンをみて1番はじめに目に入るのはやはりその長いアームであろう。1番上部といわれている三角形を組み合わせ，頑丈に作られたそのアームは，今回使ったレゴによって再現することは難しかった。
そこでクレーンの機械の一部である，減速機と呼ばれるものを再現することにした。これは1秒間に数千回転するモーターの回転数を大小様々な歯車を応用して使うことによって，ゆっくりとした力強い動きになる様にする機械である。また，力を伝えるためや力の向きを変えるのも全て歯車で補うことにした。さらに減速機についても回転数への影響に関する実験を行った。
４．歯車
ここでは，今回使用したレゴのパーツにある歯車の種類とその特徴を説明する。
4.1. 平歯車

図2
図3
構造上力を真っ直ぐに伝えることができ水平方向の力の伝達に一番使われている歯車である。
4.2. フェースギア

1. 荷を人力以外の動力で吊り上げる
2. それを水平に運搬することを目的とした
機械装置
図4

図5

出典：文部科学省スーパーサイエンスハイスクール開発指定研究
2007年度（56期生）テーマ研究論文集、発行：筑波大学附属駒場高等学校数学科、pp.120-123、2008年3月

図4のような形をしている歯車をフェースギアと呼ばれる。この歯車は力の伝達の向きを90° 変えることができる。
4.3. ウォームギア

クレーンはそのアームの部分が梃子の原理となっているため本物と違い鉄骨を組み立てるなどが出来ない今回は，単純な重量比が全てなのでバランスを保つためかなりブロックを使用し重くしている。

図6
図7
下のところに螺子が入っていて歯車とかみ合わせてある。これは大きな減速比，要するに歯車の回転数が大きく減る機構である。

図10

図8
図8のウォームギアとモーターをつなげた装置を作りウォームギアの減速比を求めることにした。
結果
モーターの回転数 100
ウォームギアを通した後の回転数
1回目 6回
2回目 5回と半周り
3回目 6回
平均の減速比は1100 ÷ (6 + 5.5 + 6) ≒17.14
34.4. ラック

図11
そして力が最後に伝わり激しい運動をすると予想されるアームの先端部分は頑強に作る必要がある。

図9
今回使うことはなかったがキットに入っていた。直方体の形をしているが，これは歯車を切り開いて歯の部分を水平にしたものとなる。
５．クレーンの製作
まずはじめに土台となる部分から製作に取りかかった。

図12

出典：文部科学省スーパーサイエンスハイスクール開発指定研究
2007年度（56期生）テーマ研究論文集、発行：筑波大学附属駒場高等学校数学科、pp.120-123、2008年3月

図12が今回私の作ったクレーンの外形である。右下に取り付けたモーターを始点にしてアームの根元，アームの先端と力が伝わるようになっている。
5.1. 力の伝達 モーター部

5.3. 中心部

図15

図13
はじめは上のようにモーターに直接つなげた平歯車(大)→フェースギア→ウォームギアの順に今回入っていた珍しい形の歯車を使った。ここで理論上おおよそ11の×2 =4020

次に，ブロックの内側の構造である。ここでは歯車(大)→歯車(小)→歯車(大)→キャタピ
1ラ，とつながっており × 3 = 1 と減速比は3発生せず回転数は変化しない。キャタピラ
は，斜めにすると直径が同じものしかない歯車とレゴブロックでは噛み合わないので使用している。しかしキャタピラを使ってもどうしても弛んでしまい力がうまく伝わらなかった。
5.4. アーム先端部

減速比が得られることになります。今回のモーターの回転数が1秒間に200回転するので減速比をかけるとウォームギアを通った後の回転数は10回となっていると考えられる。
5.2. 接続部分

図16

図14
次に，歯車の中心部分に付属できるようになっている黒い棒でブロックを通して，歯車同士をつなげている。このとき，歯車の歯がつながっている訳ではなく中心同士がつながり，回転がそのまま伝わるので減速比は発生しない。その為歯数の一番少ない歯車をつなげた。

この後は，歯車を大→大→小の順番につなげていけばよい。実際のクレーンは，アームの根元にモーターをつけて荷物を引き上げたりするために糸を巻いたりほどいたりするのだが，今回は回転しているのを確認するために長い棒を付けた。
６．実験
6.1. 減速比
合計12個の歯車を使った今回の機構の理論上の減速比を求めます。最初から順々に回転数をかけていけば良い。

出典：文部科学省スーパーサイエンスハイスクール開発指定研究
2007年度（56期生）テーマ研究論文集、発行：筑波大学附属駒場高等学校数学科、pp.120-123、2008年3月

今回のウォームギアの減速比は実験で得ら1れた として計算する。
171
1 1
1× × 2≒(式) 2 × ×51 2.5 2621
よって，おおよそ の減速比が得られると62考えられる。そこで，先端である長い棒が1回転するまでにモーターに直接つなげた歯車が何回転しているのか測定してみた。結果は1回目 72回転
2回目 74回転
3回目 71回転平均すると72.333……つまり約72回転となる。先端の棒が1回転する間に72回転するの1で減速比は という数値が得られた。理論
72値との差はおそらくキャタピラの弛みが原因だと考えた。しかし，この数値は端数が1：72の歯車，つまり直径が1の歯車があるとすれば，その72倍の直径を持つ歯車を用意しなければ成し得ないほどの大きな減速比なので，今回減速比を作成し実践するという目的は達成された。
6.2. 歯車の計算
一般的に大小の歯車を組み合わせて得られ(つなげた歯車の歯数) でる減速比は(回転している歯車の歯数 )求められる。そこで複数の歯車を組み合わせる場合を考えてみた。今回のキットに入っていた3種の歯車をA(歯数40)，B(歯数20)，C(歯数8)を使って考えて見ることにする。
歯車をn個 (nは正の整数) 組み合わせるとして，求められる減速比は歯車の基本式より(最初につなげた(2個目の)歯車の歯数)(1個目の歯車の歯数)(3個目の歯車の歯数) × L×(2個目の歯車の歯数)(n個目の歯車の歯数)×(n − 1個目の歯車の歯数)となる。ここで順々に約分していくと最終的(n個目の歯車の歯数) となる。要するにに(1個目の歯車の歯数)歯車を組み合わせた連続する機構の全体の減速比を求めるならば1番はじめの歯車と1番後の歯車の歯数に注目すればいいということになる。しかし，この途中にウォームギアを挿んだり今回したように中心同士をつなげ合わせたりしてしまうとそこで約分が終わってしまうのでその区切りごとに減速比を求めかけ合わせなければならない。
７．まとめ1という減速比が出る
621と予想されたのだが， という減速比が出72る結果となった。この理論値と実験値の差は大きくわけて2つの理由が考えられる。
まず1つ目はキャタピラを使ったこと。前述したとおりキャタピラが回転するときにうまく噛み合っていないのでその為に最終的な回転数が減ったのだと考えられる。
もう1つの理由は摩擦である。歯車同士がつながっている部分で生じる摩擦，歯車の軸が回転することにより生じる摩擦が考えられる。
今回，理論的には参考Webサイト
長岡歯車製作所<http://www.nagaha.co.jp/index.html>[2007 , December 15]