４．二次関数と図形（面積・長さ）関連の複合問題 【２００７年度出題】【問１】
図のように，関数 y＝ax2 (a は正の定数) …①のグラフと点 A (1，2) があります。点 O は原点とします。次の問いに答えなさい。
（北海道 2007 年度）
問１．①について，a＝1で，x の変域が－1≦x≦4 のとき，y の変8域を求めなさい。

問２．x 軸上に点 B (2，0) をとるとき，2 点 A，B を通る直線の式を求めなさい。

問３．①のグラフ上に x 座標が 3 となる点 C をとります。①について x の値が 0 から 3 まで増加するときの変化の割合が1であるとき，∠AOC の大きさを求めなさい。
3

問１
問２
問３

【問２】
図で，①は放物線 y＝ax2，②は放物線 y＝bx2，③は直線 y＝2x＋1 のグラフである。①と③の交点のうち x 座標が正である点を A，②と③の交点のうち x 座標が小さいほうの点を B とする。点 C は①上の点，点 D は②上の点で，線分 CA，BD は x 軸に平行である。次の問１～問３に答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さを 1 cm とする。
（青森県 2007 年度）
問１．点 A の x 座標が 1 のとき，点 C の座標を求めなさい。

問２．関数 y＝ax2 について，x の変域が－4≦x≦3 のとき，y の変域は 0≦y≦8 となった。a の値を求めなさい。

問３．台形 ACBD の面積が81cm2，△ACB と△ABD の面積の比が 1：2 のとき，点 A の座標と b の値を求めなさ2い。

問１
問２
問３

点 A の座標

b＝

【問３】
2

図のように，関数 y＝ax のグラフ上に 4 点 A，B，C，D があります。A の座標は(－2，2)，B の x 座標は4 で，B と C の y 座標は等しくなっています。また，Dの x 座標は 4 より大きいものとします。このとき，次の１，２の問いに答えなさい。
（岩手県 2007 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．△BCD の面積が△ABC の面積の 2 倍であると
き，点 D の座標を求めなさい。

問１a＝

問２

(，)

【問４】
図において，㋐は関数 y＝162，㋑は関数 y＝ax のグラフであり，点 A は㋐と㋑の交点で，その x 座標は 4 であxる。点 B は点 A から x 軸にひいた垂線と x 軸との交点であり，点 C は㋐上の点で，その x 座標は正である。
（秋田県 2007 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 点 A を通り，三角形 AOB の面積を二等分する直線の式を求めなさい。

(3) 三角形 ABC の面積が 12 になるとき，点 C の座標を求めなさい。

(1)

a＝(2)
(3)

（，）

【問５】
図において，2 点 A，B の座標は，それぞれ(－1，3)，(5，－1)である。また，x 軸上の点(a，0)を P とする。線分AP と線分 PB の長さの和が最も小さくなるとき，a の値を求めなさい。
（山形県 2007 年度）【問６】図で①は反比例 y＝8のグラフ，②は関数 y＝ax2(a＞0) のグラフである。①のグラフ上の点(2，4)を A，x 軸上xの点(－4，0)を B とする。このとき，次の問いに答えなさい。
（山形県 2007 年度）(1) ①のグラフ上の点で，点 A のように，x 座標と y 座標がともに正の整数となる点の座標を(2，4)のほかに 3 つ求めなさい。

(2) 点 A を通り y 軸に平行な直線と x 軸との交点を C とし，点 B を通りy 軸に平行な直線と①，②のグラフとの交点をそれぞれ D，E とする。四角形 AEDC が平行四辺形となるとき，a の値を求めなさい。

(1)
(2)

【問７】
図のように，関数 y＝1 2x のグラフと直線ℓ があり，2 点 A，B で交わっている。A，B の x 座標がそれぞれ－2，62であるとき，次の１，２の問いに答えなさい。
（福島県 2007 年度）
問１．

直線ℓ の傾きを求めなさい。

問２．関数 y＝

1 2x のグラフ上に，x 座標がそれぞれ t，－t であ2る点 P，Q をとる。ただし，0＜t＜6 とする。P を通り y 軸に平行な直線とℓ との交点を R とし，Q を通り y 軸に平行な直線とℓ との交点を S とする。
(1) t＝4 のとき，PR＋QS の値を求めなさい。

(2) PR＋QS＝9 となる t の値をすべて求めなさい。

問１

問２

(1)

(2)

【問８】
図のように，関数 y＝ax2 (a＞0) のグラフ上の x 座標が 2 である点を A とし，点 A から x 軸にひいた垂線と x 軸との交点を B とする。△OAB の面積が 6 のとき，a の値を求めなさい。
（栃木県 2007 年度）

a＝

【問９】
図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に 2 点 A，B をとり，△AOB が正三角形になるようにします。この正三角形の一辺の長さが 6 3 cm になるとき，a の値を求めなさい。ただし，a＞0 とし，座標軸の単位の長さを 1 cm とします。
（埼玉県 2007 年度）【問 10】
図のように，関数 y＝1 2x のグラフ上に x 座標が－4，2 となる 2 点 A，B をとり，線分 AB と y 軸との交点を P2とします。このとき，次の各問に答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さを 1 cm とします。
（埼玉県 2007 年度）
問１．△OAP と△OBP の面積の比を求めなさい。

問２．点 P を通り，△OAB の面積を 2 等分する直線の式を求めなさい。

問３．線分 AB 上に点 Q をとり，△OAQ と△OBQ の周の長さが等しくなるとき，線分 BQ の長さを求めなさい。ただし，根号はつけたままで答えなさい。

問１△OAP：△OBP ＝問２

y＝

問３：cm【問 11】図において，曲線①は関数 y＝x2 のグラフであり，曲線②は関数 y＝ax2 のグラフである。点 A は曲線①上の点で，その x 座標は－3 である。点 B は x 軸上の点で，線分 AB は y 軸に平行である。点 C は線分 AB と曲線②との交点で，AC：CB＝2：1 である。また，点 D は曲線①上の点で，線分 AD は x 軸に平行であり，点 E は線分 AD と y軸との交点である。原点を O とするとき，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2007 年度）
問１．曲線②の式 y＝ax2 の a の値を求めなさい。

問２．直線 CE の式を求め， y＝mx＋n の形で書きなさい。

問３．点 F は曲線②上の点で，線分 CF は x 軸に平行である。線分 OD と線分 EF との交点を G とするとき，線分OG と線分 GD の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

問１a＝

問２y＝

問３

OG：GD＝：

【問 12】図において，①は関数 y＝1 22x ，②は関数 y＝ax (a＜0)のグラフである。②のグラフ上に点 A(2，－2)があり，点4A を通り x 軸に平行な直線と②のグラフとのもう 1 つの交点を B とする。また，①のグラフ上に x 座標が 4 の点 C をとる。このとき，次の問１，問２に答えなさい。
（石川県 2007 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．①のグラフ上の x＜0 の範囲に点 P をとる。△ABP の面積と△OAC の面積が等しくなるとき，点 P の座標を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

a＝

問１

途中の計算

問２答

【問 13】関数 y＝－

1 2
x のグラフ上に，3 点 A (－4，－4)，B (2，b)，C (c，－9) がある。このとき，次の問いに答えよ。た4

だし，c＞0 とする。
（福井県 2007 年度）
問１．b，c の値を求めよ。

問２．直線 BC の傾きと直線 AC の式を求めよ。

問３．△ABC の面積を求めよ。

問４．x 軸上に点 D を△ABC の面積と△BCD の面積が等しくなるようにとる。このときの点 D の座標をすべて求めよ。

問１b＝，c＝

直線 BC の傾き
問２
直線 AC の式
問３
問４

y＝

【問 14】図において，①は関数 y＝ax2 (a＜0)，②は 1 次関数のグラフである。①と②の交点をそれぞれ A，B とするとき，点 A の座標は(2，－2)，点 B の y 座標は－18 である。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（山梨県 2007 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．△AOB の面積を求めなさい。

問３．線分 OB 上に点 C をとり，△AOB と△AOC の面積の比が 4：1 となるとき，直線 AC の式を求めなさい。

問１a＝

問２
問３
【問 15】
図の平行四辺形 ABCD で，頂点 A，B，C の座標は A(－2，－1)，B(3，1)，C(－1，4)である。
（長野県 2007 年度）(1) 辺 AB の長さを求めなさい。

(2) 頂点 D の座標を求めなさい。

(1)
(2)

D(，)

【問 16】
図 7 において，点 A の座標は(2，9)であり，①は，点 A を通り，x の変域が x＞0 であるときの反比例のグラフである。また，②は，関数 y＝ax2 (a＞0) のグラフである。このとき，次の１～３の問いに答えなさい。
（静岡県 2007 年度）
問１．曲線①をグラフとする関数について，y を x の式で表しなさい。

問２．x の変域が，－3≦x≦4 であるとき，関数 y＝ax2 の y の変域を，a を用いて表しなさい。

問３．曲線①上で座標が(6，3)である点を B とする。点 B を通り y 軸に平行な直線と放物線②との交点を C とし，点 C から y 軸にひいた垂線の延長と放物線②との交点を D とする。点 A から直線 CB に垂線をひき，直線 CB との交点を E とする。また，直線 BA と直線DC との交点を F とする。四角形 DAEF が平行四辺形となるときの，a の値を求めなさい。求める過程も書きなさい。

y＝

問１
問２

≦y≦
求める過程

問３

答

【問 17】
図で，△OAB は AO＝AB の二等辺三角形で，A は x 軸上の点，C は線分 BO の中点である。点 B，D，E の座標がそれぞれ(6，8)，(0，6)，(2，a) のとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。ただし，a は定数で，正の数とする。
（愛知県Ｂ 2007 年度）(1) △OBD の面積と四角形 OCED の面積とが等しいとき，a の値を求めよ。

(2) 点 A の座標を求めよ。

(1)

a＝(2)

(，)

【問 18】
12図のように，関数 y＝ax2…㋐のグラフと関数 y＝ － x 2 …㋑のグラフがある。関数㋐のグラフ上にあり，x 座標がイ のグラフと交わる点を B とする。また，点 A，B からそれぞれ y 軸に垂正である点 A から x 軸に垂線をひき，関数○線をひき，これらが関数㋐，㋑のグラフと再び交わる点をそれぞれ C，D とする。関数㋐のグラフが点(2，12)を通るとき，次の各問いに答えなさい。
（三重県 2007 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 関数㋑について，x の変域が－4≦x≦2 のときの y の変域を求めなさい。

(3) 四角形 ACDB が正方形になるとき，点 A の座標を求めなさい。

(1)

a＝(2)
(3)

≦y≦A（，）

【問 19】2

図のように，関数 y＝ax のグラフと直線 ℓ が 2 点 A，B で交わっている。点 A の座標は(3，1)，点 B の x 座標は－6 である。また，原点 O を中心とし，点 A を通る円の周上にある点 C，D，E のうち，点 C は直線ℓ と円の交点であり，2 点 D，E は x 軸上の点である。ただし，点 D の x 座標は負であり，点 E の x 座標は正である。このとき，次の問
い１～３に答えよ。
（京都府 2007 年度）
問１．a の値を求めよ。また，直線ℓ の式を求めよ。

問２．点 D の座標を求めよ。

問３． ：を最も簡単な整数の比で表せ。ただし，に対する中心角は，ともに 180°以下とする。

，

問１a＝

直線ℓ の式 y＝

問２

D(

問３：＝

【問 20】
図において，n は y＝ax2 のグラフを表す。a は正の定数である。Oは原点である。A，B は n 上の点であり，その x 座標はそれぞれ 1，2である。O と A，A と B，B と O とをそれぞれ結んで△OAB をつくる。このとき，△OAB の面積は何 cm2 ですか。a を用いて表しなさい。求め方も書くこと。ただし，座標軸の 1 目もりの長さは 1 cm であるとする。
必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。
（大阪府 後期 2007 年度）

求め方答cm2)，：

【問 21】
図で，放物線は関数 y＝x2 のグラフであり，四角形 ABCD は正方形である。点 A はこの放物線上にありその座標は(2，4)である。また，2 点 B，C は x 軸上にある。各問いに答えよ。
（奈良県 2007 年度）
問１．関数 y＝x2 について，x の変域が－2≦x≦3 のときの y の変域を求めよ。

問２．この放物線上に点 P をとり，△PAD の面積が正方形 ABCD の面積の1に2なるようにする。このとき，点 P の x 座標をすべて求めよ。

問３．関数 y＝ax2 のグラフが点 D を通るとき，このグラフが線分 AB と交わる点を E とする。a の値と線分 BE の長さをそれぞれ求めよ。

問１
問２
問３

a の値

a＝

線分 BE の長さ

【問 22】
図の①は，関数 y＝ax2，②は，①と 2 点 A，B で交わる直線のグラフである。点 A の座標は (－4，8)，点 B の x座標は x＝2 である。また，②と x 軸との交点を C とする。このとき，次の各問いに答えなさい。
（鳥取県 2007 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．①の関数 y＝ax2 について，x の値が－2 から 6 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

問３．点 B を通り，△OAB の面積を 2 等分する直線の式を求めなさい。

問４．△OAC を，②の直線を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率は π とする。

問１a＝問２
問３
問４y＝

【問 23】図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に点 A (－2，4)，x 軸上に点 B (5，0)，y 軸上に点 C (0，a)があります。線分BC と関数 y＝x2 のグラフとの交点を D とします。ただし，a＞0 とします。これについて，次の問１～問３に答えなさい。
（広島県 2007 年度）
問１．a＝8 のとき，2 点 A，C を通る直線の傾きを求めなさい。

問２．線分 AD が y 軸に垂直となるとき，a の値を求めなさい。

問３．△BDO の面積が△COD の面積の 2 倍となるとき点 D の y 座標を求めなさい。

問１
問２
問３

【問 24】図のように，2 つの関数 y＝1 21x と，y＝ax2  a＞  のグラフがある。それぞれのグラフ上には，x 座標が 2 で44ある 2 点 A，B がある。点 B を通り x 軸に平行な直線と，関数 y＝ax2 のグラフとの交点のうち点 B と異なる点を C，点 A を通り x 軸に平行な直線と，関数 y＝1 2x のグラフとの交点のうち点 A と異なる点を D とする。また，直線 DB4と関数 y＝ax2 のグラフとの交点のうち点 B と異なる点を E とする。次の問１～問４に答えなさい。
（徳島県 2007 年度）
問１．点 A の座標を求めなさい。

問２．四角形 ABCD が正方形になるとき，a の値を求めなさい。

問３．a＝1 のとき，直線 DB の式を求めなさい。

問４．線分 DE と線分 EB の長さの比が 1：5 になるとき，a の値を求めなさい。

問１
問２
問３
問４

(，)

【問 25】
図で，点 O は原点であり，点 A の座標は(－6，0)である。双曲線①は反比例 y＝12のグラフであり，放物線②はx2関数 y＝ax のグラフで，a＞0 である。点 B は，双曲線①と放物線②との交点であり，線分 AB と y 軸との交点を Cとする。これについて，次の(1)，(2)の問いに答えよ。
（香川県 2007 年度）(1) 反比例 y＝12のグラフ上の点で，x 座標と y 座標がともに整数となるx点は，全部で何個あるか。

(2) AC：CB＝2：1 であるとき，a の値を求めよ。

(1)
(2)個
a＝

【問 26】
図において，①は関数 y＝

1 2x のグラフで，②は右下がりの直線である。①と②は 2 点 A，B で交わり，点 A，B4の x 座標はそれぞれ t，2 である。このとき，次の１～３の問いに答えなさい。
（高知県 2007 年度）
問１．関数 y＝

1 2x について，x の変域が－1≦x≦5 のときの y の4変域を求めよ。

問２．t＝－4 のとき，線分 AB の長さを求めよ。

問３．②と x 軸との交点を C とし，点 A から x 軸に引いた垂線と x 軸との交点を D とする。CD＝4AD となるときの t の値を求めよ。

問１≦y≦

問２
問３

t＝

【問 27】
図で，①は関数 y＝x2，②は関数 y＝ax2 のグラフである。また，点 A(－1，1)は①上の点，点 B(2，3)は②上の点，点 C は直線 AB と x 軸との交点である。このとき，次の１～３の各問いに答えなさい。
（佐賀県 後期 2007 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．直線 AB の式を求めなさい。

問３．①上に点 P を，x 軸上に点 Q をとり，四角形 AQBP が平行四辺形となるようにする。ただし，点 P の x 座標は－1 より小さいものとする。このとき，次の(1)～(3)の各問いに答えなさい。
(1) 点 P の y 座標を求めなさい。

(2) △ABQ の面積は△ACQ の面積の何倍か。

(3) ②上に点 R をとり，△CQR の面積が平行四辺形 AQBP の面積と等しくなるようにする。このとき，点 R の座標を求めなさい。ただし，点 R の x 座標は 0 より大きいものとする。

問１
問２
(1)
問３

(2)
(3)

倍R (，)

【問 28】
図 1 のように，関数 y＝x2 のグラフ上に 2 点 A(3，9)，B(－1，1)がある。原点を O として，次の問いに答えなさい。
（長崎県 2007 年度）
問１．関数 y＝x2 について，x＝－2 のときの y の値を求めよ。

問２．関数 y＝x2 について，x の変域が－1≦x≦3 のとき，y の変域を求めよ。

問３．直線 AB の式を求めよ。

問４．三角形 OAB の面積を求めよ。

問５．図 2 のように，関数 y＝x2 のグラフ上と直線 AB 上にそれぞれ x 座標が t である点 P，Q をとる。このとき，PQ＝3 となるような t の値をすべて求めよ。ただし，－1≦t≦3 とする。

問１y＝問２
問３
問４
問５

≦y≦y＝

【問 29】
平面上に原点 O と x 軸，y 軸を定め，x 座標と y 座標がともに 0 以上の整数である点をすべて・で表す。また，座標軸の 1 目盛りを 1 cm とする。なお，図 1～図3 は，点・の x 座標と y 座標がともに 5 以下の場合を示している。このとき，x 軸上にある点・のうち，O を除いたものの中から 1 つを選んで A とし，x 軸上にない点・の中から 1 つを選んで B として，辺 OA を底辺とする三角形 OAB をつくる。ただし，2 点 A，B は∠OAB の大きさが 90°以下となるようにとるものとする。
なお，図 1 は，点(4，0)を A，点(3，4)を B として三角形 OAB をつくった場合を示している。
ここで，「底辺 OA の長さ」と「高さ」をそれぞれ 1 つ決めたときにできるすべての三角形 OAB のうち，合同なものを 1 つとして数えたときの三角形の数を M とする。
例えば，底辺 OA の長さを 4cm，高さを 2cm と決めたとき，三角形 OAB は図2 のように全部で 5 つある。この中で，B が点(0，2)である三角形と点(4，2)である三角形は合同なので 1 つと数える。同様に，B が点(1，2)と点(3，2)である 2 つの三角形も合同なので 1 つと数える。さらに B が点(2，2)である三角形が 1 つあるので，M＝3 となる。
このようにして定める三角形 OAB と M の値について，次の問いに答えなさい。
（長崎県 2007 年度）
問１．底辺 OA の長さが 3 cm，高さが 2 cm であるすべての三角形 OAB を，図2 にならって解答用紙の図 3 にかけ。また，このときの M の値を求めよ。

問２．面積が 12 cm2 高さが 4 cm である三角形 OAB について M の値を求めよ。

問３．面積を 1 つ決めたときの三角形 OAB は，底辺 OA の長さと高さの組が何通りか考えられ，各組においてそれぞれ M の値を求めることができる。このときのすべての M の値の和を T とする。
例えば，面積が 2cm2 である三角形 OAB の底辺 OAの長さ，高さ，M の値の組は，右の表のように全部で 3組あり，T＝1＋2＋3＝6 となる。

底辺 OA の長さ(cm)124

高さ(cm)

421M

123

このとき，次の(1)，(2)に答えよ。
(1) 面積が 5 cm2 である三角形 OAB について，次の①，②に答えよ。
① 底辺 OA について，考えられる長さをすべて求めよ。

② T の値を求めよ。

(2) n を 3 以上の素数とする。面積が n cm2 である三角形 OAB について，T を n の式で表せ。

問１

M＝
問２

M＝
①
(1)
②

問３
(2)

T＝

T＝

【問 30】2

図のように，関数 y＝ax のグラフと 2 直線ℓ ，m があり，その交点のうち，3 つの点を A，B，C とする。2 直線は点D(0，3)で交わり，直線ℓ の傾きは 2 であるとき，次の１～３の問いに答えなさい。ただし，点 A の x 座標は 3，点 B，C の y 座標はそれぞれ 1，4 である。
（大分県 2007 年度）
問１．点 A の y 座標を求めなさい。

問２．直線 m の式を求めなさい。

問３．△ABC の面積を求めなさい。

問１
問２
問３

【問 31】2

図のように，2 つの関数，y＝2x …① ， y＝a…② のグラフと直線ℓがある。①のグラフは，②のグラフと点 Axで交わり，点 A の座標は(1，2)である。また，直線ℓは②のグラフと 2 点 A，B で交わり点 B の x 座標は－4 である。
このとき，次の１～４の問いに答えなさい。
（宮崎県 2007 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．点 B の座標を求めなさい。

問３．直線ℓの式を求めなさい。

問４．点(0，4)を通り，x 軸に平行な直線を m とする。直線 m が①のグラフと交わる 2 点のうち，x 座標が正である点を P とする。また，直線ℓ と m との交点を Q，直線ℓ と y 軸との交点を R とする。このとき，△PQR を，y 軸を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。

問１a＝

問２

（問３問４，）

【問 32】図のように，放物線 y＝x2 上に 2 点 A と B を，放物線 y＝－

1 2x 上に 2 点 C と D をとる。ただし，線分 AB と線2分 CD は x 軸に平行で，線分 AD と線分 BC は y 軸に平行である。
（沖縄県 2007 年度）
問１．点 A の x 座標が 2 のとき，次の各問いに答えなさい。
(1) 点 A の y 座標を求めなさい。

(2) 四角形 ABCD の対角線の交点の座標を求めなさい。

(3) 点(1，3)を通り，四角形 ABCD の面積を二等分する直線の式を求めなさい。

問２．点 A の x 座標を a（ただし，a＞0）とするとき，次の各問いに答えなさい。
(1) 線分 AD の長さを a を用いた式で表しなさい。

(2) 四角形 ABCD が正方形となるような a の値を求めなさい。

(1)
問１

(2(2)

((3)

y＝(1)

AD＝(2)

a＝

問２)，，)