山形大学人文学部研究年報第10号（2013．２）27－36

システム制御理論を用いたサプライチェーンの解析と一改良法―プッシュ方式の場合*
西

１平直史

はじめに制御理論は横断的学問として知られ，制御工学のみならず他の様々な分野への適用が可能である［１］。筆者は，これまでむだ時間システムに対する安定理論がサプライチェーンの解析や設計に適用可能なことを示してきた［２, ３, ４, ５］。これらの文献の中で，単一のサプライチェーンがむだ時間システムとしてシステム表現できること，むだ時間システムの安定条件を用いてBullwhip効果を抑制できること，また，むだ時間システムに対するサーボ系の設計理論を援用することで高い性能を達成できることを示した。また，二つのサブシステムからなるサプライチェーンにも適用できることを示した。
ところで，“サプライチェーン”システムという場合は複数のサブシステムから構成されたシステムが一般的であり，これまで対象とした単一あるいは二つのみを対象としたものは限定的である。そこで，本稿ではサブシステムの数の限定をしない一般的なサプライチェーンシステムを対象とする。まず二つのサブシステムから成るサプライチェーンシステムを例としてプッシュ方式［６］で制御を考えた場合の解析を制御理論の立場から行い，Bullwhip効果が生じる原因を明らかにする。また，その結果を一般的なシステムへ拡張する。最後に，その結果に基づいてプッシュ方式の一改良法を提案する。
２

二つのサブシステムの例

本節では，二つのサブシステムからなるサプライチェーンシステムを考える。図１に示したように，１つ目のシステムS１は２工程から成り，完成品をS１の在庫置き場に置く。２つ目のシステ
ムS２は１工程のみで，その完成品をS２の在庫置き場に置く。発注に応じてS２の在庫置き場から出庫を行う。また，各工程，発注および入庫は単位時間ごとに行なわれるものとする。時刻kにおけるシステムS１の１工程目の仕掛数をx１（k），S１の１工程目の仕掛数をx２（k），システムS２の１工程目の仕掛数をx３（k），S２の在庫数をx４（k）とし，発注数をw（k）とする。また，システムS１への入庫数をu（k）とする。なお，ここではプッシュ方式を考えているため，S１の在庫はすべてS２＊2012 年 11 月 30 日受理－22 －システム制御理論を用いたサプライチェーンの解析と一改良法―プッシュ方式の場合 ――西平

図１:二つのサブシステムから成るサプライチェーンに送られることになり，これはx３（k）と等しくなる。以上の関係を用いて，システム表現を作成すると，S１については
x１（k+１）＝u（k）
x２（k+１）＝x１（k）

⑴

x３（k+１）＝x２（k）が成り立つ。また，S２については
x４（k+ １）＝x４（k）+x３（k）－w（k）

⑵が成り立つ。以後では，各状態の平衡点は０として取り扱うが，文献［５］に示しているとおり，これは一般性を失うものではないことに注意しておく。
x1（k+1）x2（k+1）x3（k+1）x4（k+1）x4（k）＝0 0 0 0 0
1 0 0 0 00 1 0 0 0
0 0 1 1 00 0 0 1 0

x1（k）
x2（k）
x3（k）
x4（k）
x4（k-1）

1000000
0-1
0＋u（k）+⑶w（k）

式⑴－⑵をまとめると，以下のシステムを得る。
さて，プッシュ方式の場合の入庫数を考えてみよう。プッシュ方式では，最終の在庫置き場から出庫した数（この例ではS２の出庫数w（k））が次期の入庫数になる。したがって，
u（k）＝w（k- １）

⑷が成り立つ。また，⑵式から
w（k）＝x４（k）+x３（k）-x４（k+ １）
が成り立つことより，－22 －⑸山形大学人文学部研究年報第10号（2013．２）27－36

図２:一般化したサプライチェーンシステム

w（k- １）＝x４（k- １）+x３（k- １）-x４（k）＝x４（k－１）+x２（k）－x４（k）

⑹が成り立つ。⑷式と⑹式より
u（k）＝x４（k－１）+x２（k）－x４（k）⑺が得られる。これを（３）式に代入すると
x1(k+ 1）x2(k+ 1）x3(k+ 1）x4(k+ 1）x4(k）＝0 0 1 -1 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 00 0 1 1 0
0 0 0 1 0＋00
0
-1
0

x1(k）
x2(k）
x3(k）
x4(k）
x4(k-1）⑻w（k）が得られる。
さて，⑻式の内部安定性を解析してみよう。出庫数w（k）は外生信号であり，このシステムの内部安定性には影響しないので，
0 0 1 -1 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 00 0 1 1 00 0 0 1 0の固有値がすべて複素平面上の単位円内にあればこのシステムは内部安定である［７］。数値演算ソフトウェアを用いて固有値を計算してみると，固有値は１,０.７２７１３６ １±i０.４３００１４３,－０.７２７１３６ １±i０.９３４０９９３の五つである。これらの固有値のうち最後の二つの大きさは１.１８３７５２で－22 －システム制御理論を用いたサプライチェーンの解析と一改良法―プッシュ方式の場合 ――西平あり，複素平面上の単位円の外にある。内部安定性のこの条件は必要十分条件であるので，式⑻で表わされるシステムは不安定である。以上から，サプライチェーンにおいてプッシュ方式を用いた場合にBullwhip効果が生じる要因を制御理論の観点から考えると，プッシュ方式を適用したシステムが不安定になるため，出庫数（つまり次期の入庫数）が一定量からの増減を繰り返すときに，それがシステムを流れていく過程で，数量の振れが大きくなるためであると言える。
３システムの一般化とプッシュシステムの改良法

前節では，二つのサブシステムからなるサプライチェーンを例に，プッシュ方式でBullwhip効果が生じる要因を制御理論の観点から考察した。本節では，システムを一般化し，制御理論の観点からプッシュシステムの改良法を検討する。図２のようなm個のサブシステムから成るサプライチェーンを考える。m個のシステムが順に処理を行い，サブシステムで処理を終えたモノを次のサブシステムに全量引き渡すシステムである。時刻kにおけるサブシステムsの第t工程の仕掛数（または在庫数）をxst（k）で表わすことにする。また，入庫数をu（k）,出庫数をw（k）で表わす。
加えて，S１,S２,Sm－１,Smの工程数はそれぞれi－１,j－１,h－１,l－１個あるとする。
以上の準備のもとに，このシステム全体のシステム表現を求めてみよう。S１はx１１（k+ １）＝u（k）…

x１２（k+ １）＝x１１（k）⑼

x１i（k+ １）＝x１i－１（k）と表わされる。S ２はx２１（k）＝x１iu（k）…

x２２（k+ １）＝x２１（k）⑽

x２j（k+ １）＝x２j－１（k）となる。同様に考えるとSmは
xm１（k）＝xm－１hu（k）…

xm２（k+ １）＝xm１（k）
xml（k+ １）＝xml（k）+xml－１（k）－w（k）となる。
これらを改めてx１（k）＝x１１（k）…

x２（k）＝x１２（k）－33 －⑾山形大学人文学部研究年報第10号（2013．２）27－36

xi－２（k）＝x１i－１（k）
xi－１（k）＝x２１（k）…

⑿

xn－１（k）＝xml－１（k）
xn（k）＝xml（k）とおくと全体システムはが得られる。
x1（k）
x2（k）
…

……
……
……

＝……

xn-1（k+1）
xn（k+1）xn（k）

0 0  …  0 0 0
1 0  …  0 0 0          0 0  …  1 1 0
0 0  …  0 1 0

……
……

…

x1（k+1）x2（k+1）xn-1（k）
xn（k）
xn（k- 1）

00
0

u（k）+

…

…

＋⒀

00

1
0

0
-1
0w（k）

さて，⒀式を
ξ（k+ １）＝Aξ（k）+B１u（k）+B２w（k）

⒁と表わすことにしよう．ただし

……
……
……

……

……
……

A＝

0 0  …  0 0 0
1 0  …  0 0 0          0 0  …  1 1 0
0 0  …  0 1 0

B1＝…

10000B2＝…

000-10－33 －システム制御理論を用いたサプライチェーンの解析と一改良法―プッシュ方式の場合 ――西平x1（k）
…

x2（k）

ξ （k） ＝xn-1（k）
xn（k）
xn（k- 1）である。
⒁式にu（k）＝Kξ（k）なる状態フィードバックを構成すると，閉ループ系は
ξ（k+ １）＝（A+B１K）ξ（k）+B２w（k）

⒂となる。前節の議論と同様に⒂式が内部安定であるためには，A+B１Kの固有値が複素平面内の単位円内にあればよい。この条件は，不等式⒃（A+B１K） P（A+B１K）－P≧０
T－１が成り立つ正定対称行列Pが存在することと等価である［８］。⒃式は両辺に左右からP を掛けてShure complementを使うと－P－１

P－１（A +K BT１ ）（A+B１K）P－１－P－１TT≦0⒄となる。P－１をXとおき，KP－１＝KXをWとすれば，次の条件が導かれる。
条件１

LMI     －XXA +WTBT１
T－X

AX+B１W≦0⒅を満たす行列Wと正定対称行列Xが存在するとき，（１４）式で表わされるシステムはu（k）＝Kξ（k）
なる状態フィードバックで安定化可能である。また，その時のフィードバックゲインはK＝WX－１で求められる。
条件１で求めたフィードバック則について考察しておこう。フィードバックゲインKを
K＝ K１ K２ …

Kn－１

Knx1（k）とすると＝ K１ K２ …

Kn－１

Kn…

x2（k）

u（k）＝Kξ（k）

xn-1（k）
xn（k）
xn（k- 1）＝ K1x1（k）+ K2x2（k）+… + Kn－1xn－1（k）+ Knxn（k）+ Kn+1xn（k－1）

⒆となる。
一方で，プッシュ方式の場合は
u（k）＝xn（k－１）+xn－２（k）－xn（k）
－33 －⒇山形大学人文学部研究年報第10号（2013．２）27－36となるので，⒆式において，Kn+１＝１,Kn－２＝１,Kn＝－１とした場合がプッシュ方式⒇式になる。
したがって，⒆式は⒇式を含んだより一般的なものになっている。
また，このフィードバック則は，サプライチェーン内の仕掛数（または在庫数）の情報すべてと最終在庫の一期前の情報を必要とするものであり，プッシュ方式と比較してより多くの情報を必要とする代わりにBullwhip効果を抑制することが可能となる。
４数値

例

２節で考えた二つのサブシステムから成るサプライチェーンを考える。すべてのサブシステムの平衡点は０とする。これは，理想在庫からの偏差を考えていることになる。また，出庫数として平均０,標準偏差１０の正規分布を考える。平均を０としたのは，前述したように理想在庫からの偏差を考えているためであり，正規分布とすることによって，出庫数すなわち需要量の変化が正規分布で表されるような製品を考えていることになる。また，正規分布において，約９９: ７%が平均を中心とする標準偏差の６倍の区間に出現するので，標準偏差を１０とすることによって，－３０から３０までのデータが発生することになる。この数値例ではMicrosoft ExcelのNORMINV（RAND（）, ０,１０）により生成し，生成した値の小数点以下を切り捨てて整数にしている。プッシュ方式による結果を図３に示す。
図３において，薄いラインが出庫数w（k）であり，濃いラインが最終在庫x ４（k）である。
出庫数は次の期の入庫数となるので，入庫数の増減に対して，最終在庫の増減の振れが大きくなっている様子が表れており，二つのサブシステムから成る単純なシステムであるがBullwhip効果が表れていることがわかる。

図３:プッシュ方式による在庫数と出庫数－33 －システム制御理論を用いたサプライチェーンの解析と一改良法―プッシュ方式の場合 ――西平

図４:条件１による在庫数と出庫数
一方，条件１に基づいて設計してみよう。Matlabで解を求めると，

X＝

W＝２.０９０４－０.６０７６－０.４２５５－０.３６２４－０.１９３６－０.６０７６

３.２５１９－１.０１７０－０.９８７７－０.３１４８－０.４２５５－１.０１７０

４.６２３１－２.８２６３－０.７９０２－０.３６２４－０.９８７７－２.８２６３

４.６９２８

１.６４０４－０.１９３６－０.３１４８－０.７９０２

１.６４０４

７.５８２３－０.３９５６－０.３９１４－０.２２１０－０.２２４６－０.１０４５と求まる。実際，Xの固有値は４.０４８３, ２.４３６９, ０.５３９４, ５.９１７７, ９.２９８２でありXは正定対称行列である。これよりKを求めるとK＝WX－１  ＝ －０.５６２４－０.５６６７－０.５５９３－０.５５０６

０.００９２が得られる。この制御則を用いた場合の結果を図４に示す。ここで用いているw（k）は図３と同じものである。図４からわかるように，この方式では入庫数の増減に対して，最終在庫の増減の振れが小さくなっており，Bullwhip効果が抑えられていることがわかる。
５

おわりに

本稿では，サプライチェーンシステムを制御理論の観点から解析した。まず，二つのサブシステムから成るサプライチェーンに対してプッシュ方式で制御した場合，制御理論の観点から考えると内部安定性が失われており，これがBullwhip効果の要因であると考えられることを示した。
－33 －山形大学人文学部研究年報第10号（2013．２）27－36

また，一般化したサプライチェーンシステムに対して，プッシュ方式を改良した制御方法の一手法を提案して，数値例によりその有効性を確認した。

参考文献
［１］

木村英紀：横断型科学技術とは何か？；計測と制御，４２-３，１５８/１６４（２００３）［２］

西平直史：むだ時間システム表現を用いたサプライチェーンシステムの一解析――サブシ
ステムが２つの場合――；山形大学人文学部研究年報，第９号，６９/７３（２０１２）［３］

西平直史：サプライチェーンに対して構成したサーボ系の解釈とその応用；山形大学大学
院社会文化システム研究科紀要，第７号，１０５/１０９（２０１０）［４］

西平直史：むだ時間システムとしてとらえたサプライチェーンについての一考察――リー
ドタイムが既知の場合；山形大学人文学部研究年報，第６号，１５７/１６２（２００９）［５］

西平直史：サプライチェーンにおけるBullwhip効果を抑制するための一手法――むだ時間システムとメモリーレスフィードバックを用いた解析――；山形大学人文学部研究年報，
第５号，２０５/２１４（２００８）［６］

森田道也：サプライチェーンの原理と経営；新世社（２００４）［７］

萩原朋道：デジタル制御入門；コロナ社（１９９９）［８］

岩崎徹也：LMIと制御；昭晃堂（１９９７）－33 －システム制御理論を用いたサプライチェーンの解析と一改良法―プッシュ方式の場合 ――西平An Analysis and an Improved Control
Method for the Supply-Chain System
Using Control Theory - a case of
the push system

Naofumi NISHIHIRA
In this paper, we consider the problem of stability of the supply-chain system using control theory.
First, we consider a supply-chain system which consists of two sub-systems. When the push system wasapplied, the supply-chain system became unstable and causing the ’Bullwhip effect’.
Next, an improved control method for a generalized system was proposed. In this case, the control law
uses all of the state variables.
Finally, we shown the effectiveness of the proposed method using a numerical example.

－33 －