2 0 2 1年4月入学
大学院自然科学研究科博士前期課程数理物理科学専攻（物理学系）

試験問題

門科目理学

物専

く 一 般入試＞

注意事項
1

解答はじめの合図があるまでは， 注意事項を読むだけで， 問題冊子や解答用紙等に触れてはいけません。

2

問題冊子は1冊， 解答用紙は4枚， 下書き用紙は4枚です。

3すべての解答用紙に受験番号を記入してください。

4

各問題の解答は， それぞれ指定された解答用紙に記入してください。

5

解答用紙のホッチキスは， 外さないでください。

6

試険終了後， 固題冊子と下まき用紙は必ず持ち帰ってください。

-2 0 2 1年4月入学
大学院自然科学研究科博士前期課程

数理物理科学専攻（物理学系）

試験問題，＜一般入試＞［試験科目．：専門科目 （物理学）】
第1問
図1のように， ばねの一 端を壁面に固定し ， 別の端に質量 m の質点をとりつける。このとき質点は1次元直線（水平でなめらかな底面）上で運動するとする。ばねには，自然長からの伸び（又は縮み）を X ' ばね定数をk (k > 0)として復元カ
F = -kxがはたらく。ばねの質最は無視できるものとする。いま，質点をつり合いの位置からXo (x。> 0)だけ伸ばして静かに手を放す。
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"•••••予·)べ，1/i'.;'-�;:··:• ,::—:.'.:: ••図I(1)質点にばねによる復元力のみがはたらくとき，質点のラダランジュ方程式を解いて 一 般解を求めよ。また，初期条件を激たす解を求めよ。

質点に，ばねによる復元力に加えその速度Pに比例して 一yv(y>O)の力もはたらくとする。ただし，y =I= 2"1冦とする。質点をつりあいの位置からx。だけ伸ばして静かに手を放す。
(2)このときの質点の運動方程式を示せ。
(3)質点の運動方程式の 一 般解を求めよ。 ま丸初期条件を満たす解を求めよ。
(4)問(3)で求めた質点の位慨xの時間依存性の概形を図示せよ。

ー2 0 2 .l年4月入学·
・ 大学院目然科学研究科博士前期課程

数理物理科学専攻（物理学系）
一
試験問題 ＜ 般入試＞

［試験科目：専門科目（物理学）］
第2問
以下の文章中のア～サに入る式を導出せよ。 ただ L:, 途中の導出過程も解答用紙 』に記述せよ c
質景m, 電荷qをもつ電子が，時刻t. に印加される電場E(t)により力を受けて加速運動をする。 一方， 電子が速さv(t)で運動ずるとき， 運動方向と反対方向に抵抗力・知(t)を受けるものとする。 このときの電子の運勁方程式は（ ア ）と表される。 印加される電場がE(t) ,-Boe泊t < Eoは実数）であるとき， 電子の速さはV(t) = VO e i<»t と表されるものとする。 ここで，oo (f.O)は角涸波数である。•このとき，q, Eo, k, m, coを用いて, VO= ( イ ）と与えられる。
電子は断面積 s, 長さiを持つ棒状の導体Xに， 肖位体積当たり n個存在するとする。 このとき導体の長さ方向に流れる電流I(t)は， S, q, n, v(t)を用いると，I(t )= ( ウ ）と表される。 一方， 導体Xの長さ方向に電位差_V(t)を与えると， E(t)はV(t)と£を用いて， E(t) = (）と表される。以上のイ， ウ， 工エの式から， V(t) =ZI(t)の関係が得られる。 ここで， Z=R+ iroL (RとLはともに実数）であり，k, m, n, q, S, iを用いると R=( オ ）�L = ( 力 ）と与えられる。
ここで導体Xは·k = oと見なすことができるとする。 導体Xの内部にある霞子の総数は（ キ ）と与えられる。 電子の速さの2乗を]vo] 2 とずると， イの武からlvol2 = ( ク ）となる。従って， 導体 x. 内にある全零子の給運動エネルギ ー .Kは·K=( ケ ）と与えられる。 一方，.I(t) = Io e回 とすると， Jioドは, m, n, q, �.
S, Eoを用いると·, IIo 12.;. ( ユ ）と与えられる。 従って， KはLとlloドを用いると， K= ( サ ）と与えられる。

2 ・202i 年 4 月入学
大学院自然科学研究科博士前期課程数理物理科学専攻（物理学系）
試験問題 （ 一般入試．〉（試験科目：専門科目（物理学）］
第3問
変分法はハミルトニアンHの固有値，・固有閑数を近似的に求める方法の 一 つである。調節可能なパラメータl¥j (j = 1, 2, · · ·)を持つ規格化された試行関数W(x, 01,0 ぁ・・・ ）によるHの期待値E.ooをE(ct研2, ·..) = [ 町H知_00により計節し，E(a:1,°'匹..)がパラメータaJ (j = 1,2, ・・・）の変化に対して最小値を取るようにa; を決める。
(1)一般に，E(aぃa ゎ・・・ ）はHの基底状態のエネルギーE。より低くなることはないことを ，りがHの固有関数系釦(x) (i=0,1,2,·..)により展閲できることを利用して証明せよ。
ー がa}mぃ22m血;2ー丑について考える口 た(2) 以下では 1 次元調和振動子のハミルト ニアンH。·=--+2.

だし，n,m,wは定数である。規格化された試行関数を的(x,a) =(']fr/\2et
一―年とする”如とき，H。の期待値が最小になるのはa,= —ー であることを変分法により示せ。また，その21iときのH。の期待値を答えよ。

.

必要があれは公式

loo=e ..,-co:油＝喜を用いても良い。ただしc> Oとする。

(3)関(2)で求めた波動関数妬がH。の固有関数になっているかどうか調べよc(4)ハミルトニアンがH = Ho+H1 , H1 = {3がであるときを考える。Bは定数である。試行関
1/42e-axを用いて，Hの期待値が最小になるようにaを決めるための数 粋， a)=戸）式を具体的に導け。その式を定数5が小さいという仮定の下で近似的に解き，Hの期待値を0の1次の範囲内で求めよ。
(5)問(2)で求めた波動関数衝� を用いてHiに関する1次摂動エネルギーを計算せよ。その結果は，問 (4) の結果の¢に関する 1 次項と 一致することを示せ。

2a 31を用いてHo OJ期待値を変分計算(6)規格化された試行関数としてW3(x,Q) = {;存�し，aを決めよ。このとき，エネルギーを問(2)で得たHoの期待値と比較せよ。
必要があれば，複素関数J(z)に関するコ ー シーの積分表示：
J(z)必
f(n)(;。）＝見／・2面C (z-和）n+lを用いても良い。ここで釦oは単一閉曲線

C 内にあり，j(�)は C 内で正則であるとする。

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2 0 2 1年4月入学
・大学院自然科学研究科博士前期課程数理物理科学専攻（物理学系）
試験問題 く一般入試＞【試験科目：専門科目（物理学） l第4問
多数の電子からなる系の振る舞いを理解するため，スピン1/2の理想7ェルミ気体のモデルを考える。以下の問いに答えよ。ただし；絶対温度をT, ボルツマン定数を，焙とする。また，電子の質量をm, プランク定数をhとしてh/21rとする。

n=(1) 温度 T�O におけるフェルミ分布関数 f(e) の概形を，エネルギ ー c の関数とじて描け。
ただし 1 フェルミエネルギ ー をepとする。また，同じ図の中にkBT«F:pを満たす有限温度での応）の振る舞いも描け。
(2)この系の1粒子エネルギ— eは，電子の 波数の大きさをKとして!i,2fc2e=2mで与えられ和系の体積をVとするとき，状態密度を9. D(c:)= A(V)甚の形にまとめ， V に依存する係数 A(V) の表式を書き下せ。

{3) T = 0 において，この系の全粒子数 N をey, V などを用いて表せ。
(4)'T = 0 における系の全エネルギー局を
Eo = B(N)Vaの形にまとめ， N に依存する係数 B(N) と指数aを求めよ。この際，問 (3) で求めたFと N,V 磯係によってSFを消去するのを忘れないこと。 ．

ど(5) T=O において成り立つ関係式 P=.-( 糀）N により 圧力 P を計算し, T=O における状態方程式を・。

PV=OEの形にまとめよ。そして，係数 G を求めよ。

(6j 古典理想気体の状態方程式 PV=N畑T に従えぼ，有限の体積 V に閉じ込められたときの圧力は， T=O で P=O となる。しかし，問 (5) の結果はそうなっていない。これはなぜかを論ぜよ。

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