DEIM Forum 2016 E5-2

部品を強調した投影画像による
3 次元モデルの検索手法とその実験的評価
千田 伸男†

佐藤 拓実†

片山薫†† 首都大学東京大学院 システムデザイン研究科 情報通信システム学域
E-mail: †{chida-nobuo,sato-takumi}@ed.tmu.ac.jp, ††kaoru@tmu.ac.jp
あらまし 近年，工業で用いられる 3 次元 CAD ソフトの普及により，3 次元 CAD モデルの数は増加する一方である．
また，これらを再利用するために 3 次元モデルの検索に対する需要は高まることが期待される．これまで，3 次元モ
デルの検索手法は数多く提案されているが，それらの多くは，3 次元モデルの形状についての検索手法である．一般に使われている工業製品は複数の複雑な部品を組み合わせてできていることが多く，従来の 3 次元モデルの検索手法
では十分とはいえない．本稿では，3 次元 CAD アセンブリモデルの形状や部品の数だけでなく，部品の配置まで考慮
した検索手法を提案する．我々は，まず，3 次元 CAD アセンブリモデルを 3 次元配列に変換する．その際，アセンブリモデルを構成する部品を識別するために，使用されている部品の種類ごとに数値を付与する．アセンブリモデルの特徴量は，複数の視点から撮られた，部品に付与された数値が反映されている投影画像を用いて計算する．しかし，部品の種類ごとに付与される数値が，ユーザやモデルにより統一されていない場合が想定される．そのような場合でも，モデル間の類似度が一意に決まるように，部品の 3 次元配列の要素数に基づく値を部品に対して再付与する．また，データベースモデルには 4 種類の 3 次元 CAD アセンブリモデルについて，部品の配置が異なる 3 次元 CAD アセ
ンブリモデルをそれぞれ 6 タイプ，計 24 個用意し，提案手法を実験的に評価した．
キーワード

3 次元モデル，投影画像，アセンブリ構造，データ構造

1. は じ め にしかし，従来手法では，複数の部品の配置が異なるアセンブ
リモデルについての識別が難しいことや，部品の種類ごとに付

近年，様々な工業製品が 3 次元 CAD ソフトを用いて作られ与されるラベルについては，事前にモデルやユーザによって統ている．これに伴って 3 次元 CAD モデルは増加している．3

一されている場合が想定されており，使用されている部品の情次元モデルの検索技術を用いて，その結果を参照することで 3

報はラベルにより依存するため，ラベル付けが統一されてい次元 CAD モデルの作成に対しての手間を省き，時間を短縮でない場合にアセンブリモデルの識別が難しいという問題点がきることから，3 次元モデルの検索に対しての需要は高まるこあった．

とが期待できる．これまで，3 次元モデルの検索手法は多く提そこで本稿では，アセンブリモデルの注目した構成部品に対案されている [2], [3], [5]．しかし，これらは 3 次元モデルの形

して，3 次元配列の要素数の逆数を再付与する．次に，注目した状を対象とした検索手法であり，一般に使われている工業製品

構成部品以外の部品集合の要素にも，同様に 3 次元配列の要素

は複数の複雑な部品を組み合わせることが多いため，従来の 3数の逆数を再付与する．そして，それ以外の要素には 0 を付与

次元モデルの検索手法では十分とはいえない．

する．こうしてラベルが再付与された，アセンブリモデルに対我々は，3 次元モデルの形状だけでなく，モデルを構成する

して投影をとる．投影点は多面体を元に構成された “Geodesic

部品の配置も考慮した検索手法を提案した [1]．まず，3 次元

Dome” の頂点を用いる．投影画像に対して，ラドン変換の後，CAD アセンブリモデルが 3 次元配列とは異なる形式で表され離散フーリエ変換による振幅スペクトルを特徴量とし，この特ている場合には 3 次元配列に変換する．そして，部品の種類ご徴量から，最近傍法によりデータベースから 3 次元 CAD アセとに 3 次元配列に対して数値を付与する．ここで付与された数

ンブリモデルの検索を行う．

値をラベルと呼ぶ．ラベルを付与することで部品の配置や種類

この提案手法により，注目した部品の 3 次元配列の要素数がの情報を含む 3 次元配列となる．次に，緯度と経度を投影点とそれ以外の部品集合の 3 次元配列の要素数より小さい場合には，し，アセンブリモデルの投影をとる．この投影画像にはアセン注目した部品が強調され，注目した部品の 3 次元配列の要素数

ブリモデルの内部構造や部品の配置の情報を含んでいる．投影がそれ以外の部品集合の 3 次元配列の要素数より大きい場合に画像に対して 2 次元ラドン変換の後に，離散フーリエ変換を行

は，注目した部品以外の部品集合が強調される．こうして，アい，この振幅スペクトルを特徴量とした．アセンブリモデル間

センブリ構造をより識別しやすくなり，複数の部品の配置が異の類似度は特徴量同士を位相限定相関法を用いて計算した．まなる場合や，部品に付与するラベルがユーザやモデル間で統一

た，最近傍法を用いて，データベースから 3 次元 CAD アセン

されいない場合に対して，3 次元 CAD アセンブリモデルの識ブリモデルの検索を行っていた．

別を可能にした．また，データベースモデルには 4 種類のモデ

や回転に対して頑健な特徴量が必要である．そのような特徴量を得るために，図 1 のような様々な角度からアセンブリモデル
に対して投影画像を得る．クエリモデルとデータベースモデルとの比較にはこの投影画像の特徴量を用いる．投影に用いられる投影点は Katayama ら [1] は，球面の経度と緯度をもとに計算していたが，この場合に，極部分に投影点が集中し，得られるアセンブリモデルの特徴量に偏りがあるという問題があった．
図 1: 偏角 θ,ϕ から撮られる投影画像

そこで，本稿では投影点を正多面体から構成される “Geodesic

Dome” の頂点座標を用いている．これにより，極部分に投影
ルに対して，部品の配置が異なるモデルをそれぞれ 6 タイプ，
計 24 個用意し，提案手法を実験的に評価した．

2. 関 連 研 究
これまでの 3 次元モデルの見かけの特徴による検索については多く提案されてきた．例えば，Chen ら [2] は “Light Field

Descripor” と呼ばれる，3 次元モデルを複数の正十二面体の頂点 20 個からレンダリングし，得られた画像を 3 次元モデルの特徴量とし検索を行っている．古屋ら [3] は 3 次元モデルの様々な角度からレンダリングし，得られた深さ画像に対して，密かつランダムに特徴点を配置し，“SIFT” [4] を用いて 3 次元モデ
ルの特徴量を得た．Papadakis ら [5] は 6 つの軸からの深さ画像に対してフーリエ変換を行った 2 次元特徴量と球面調和関数を用いた 3 次元特徴量とを組み合わせて，これをモデル全体の特徴量とした．
このように 3 次元モデルの形状に注目した検索は多く提案されてきたが，3 次元モデルの内部構造や部品の配置まで考慮した検索手法はあまり見られない．Deshmukh ら [6] は 3 次元モデルの構成部品をグラフ化し，グラフの検索アルゴリズムにより内部構造を考慮した検索手法を提案した．Hu ら [7] は 3 次
元アセンブリモデルを部品ごとに分解した上で，上記の “Light

Field Descriptor” を特徴量として使用した．これらは，3 次元モデルの内部構造を考慮した検索手法ではあるが，構成する部品の配置や使用されている種類までは考慮されていないため，
我々が提案した手法とは異なる．

3. 提 案 手 法
3 次元 CAD アセンブリモデルアセンブリモデルの形状だけでなく，使用されている部品の配置まで考慮した検索手法を提案する．3 次元 CAD アセンブリモデルがポリゴンメッシュな
ど 3 次元配列とは異なる形式で表されている場合には 3 次元配列へと変換する．また，3 次元配列の大きさは元の 3 次元モデ
ルの大きさに比例した大きさとする．そして，部品に使用されている種類ごとにラベルを付与することで部品の種類についての情報を含む 3 次元配列となる．

3. 1 3 次元 CAD アセンブリモデルの特徴量
一般に，3 次元モデルの位置や向きはそれぞれ異なり，また，
それを正規化する手法にはいくつかの問題点がある．例えば，

3 次元モデルが対称の形状を持つ場合には，向きが一意には決
まらないなどの問題点があるために，3 次元モデルの平行移動

点が集中することなく，均等なアセンブリモデルの特徴量を得ることができる．ここで得られる，投影画像とは，アセンブリ
モデルの 3 次元配列の投影面に対して垂直な値の和であり，モデルの形状や構成部品の配置も反映されている．次に，投影画
像に 2 次元ラドン変換を行う．2 次元ラドン変換を行うことで，投影画像内の平行移動については動径方向の平行移動として，回転は角度方向の平行移動として表現される．その後，動径方向に対して，1 次元離散フーリエ変換で振幅スペクトルを得る．
これはフーリエ変換の平行移動不変性により 2 次元空間において平行移動に対して頑健な特徴量であり，さらに，これに角度方向へ再度，1 次元離散フーリエ変換で振幅スペクトルを得る．
これは 2 次元空間の回転に対して頑健な特徴量である．しかし，これらの変換は，3 次元空間の平行移動と回転における完全に頑健な特徴量とはならない．また，この際にクエリモデルとデータベースモデルとの類似度計算における計算量の削減のために，特徴量の低周波成分のみを残す処理や 2 次元ラドン変換の間隔を変更している．我々は，アセンブリモデルの構造をより識別しやすくするとともに，構成部品の種類ごとのラベルの付与について．ユーザやモデル間で統一されていない場合を想定し，以下のような手法を提案する．
アセンブリモデル m の 3 次元配列の要素数を V (m) とする．
同様に m の構成部品である c の要素数を V (c) とし，V (m\c)
を構成部品 c を除くアセンブリモデル m の要素数とする．このとき，構成部品 c についてラベルが再付与されたアセンブリ
モデル m[c] の各要素の値は以下の通りに与えられる．
（ 1 ） m の構成部品である c に対して，3 次元配列の要素数
である 1/V (c) をラベルとして再付与する．
（ 2 ） c を除いた全ての部品集合に対して，3 次元配列の要素数である 1/V (m\c) をラベルとして再付与する（ 3 ） これら以外の要素には 0 を付与する．
ラベルが再付与されたアセンブリモデル m[c] 特徴量は，V (c)より V (m\c) が小さい場合には，c が強調され，また，V (c) より V (m\c) が大きい場合には，c を除いた部品集合が強調される．Algorithm 1 ではラベルが再付与されたアセンブリモデル
からの特徴量を得る流れについて示している．

3. 2 アセンブリモデル間の類似度
アセンブリモデルの特徴量は Algorithm 1 で 2 次元配列として表されている．2 次元配列をユークリッド空間のベクトルとし，2 つのベクトルのユークリッド距離を計算し，これを類似度とした．そして，アセンブリモデルはユークリッド空間におけるベクトルの集合として表される．我々は，2 つのアセンブ

Algorithm 1 ComputeFeature(m, V, A)

Algorithm 3 ComputeSimilarity(m1 , m2 , V, A)

Input: 3 次元 CAD アセンブリモデル m, 球面座標系における投影画

Input: 3 次元 CAD アセンブリモデル m1 ，m2 ，投影画像を得るた

像を得るための球面座標 V, 極座標系における 2 次元ラドン変換の角度 A

めの球面座標 V ，2 次元ラドン変換の角度 A

Output: m1 と m2 の類似度

Output: m の特徴量 F (m, V )1: if | C(m1 ) |=| C(m2 ) | then

1: for all vj ∈ V where j = 1...|V | do2:

F (m1 , V ) ← ComputeFeature(m1 , V, A)

3:

F (m1 , V ) ← ComputeFeature(m2 , V, A)
for all c1i ∈ C(m1 ) and c2j ∈ C(m2 ) do2:

for all ci ∈ C(m)where i = 1...|C(m)| do3:

vj から m[ci ] の投影画像を得る

4:4:2 次元配列 p(m[ci ], vj ) に格納する

5:

5:

A のそれぞれの角度から p(m[ci ], vj ) に対して 2 次元ラドン

cs(i, j) ← ComputeComponentSimilarity(F (m1 [c1i ], V ),(F (m2 [c2j ], V ))

変換を行う

6:

end for6:

2 次元配列 r(p(m[ci ], vj )) に格納する

7:

sim ← 07:r(p(m[ci ], vj )) に対して動径方向に離散フーリエ変換を行い

8:I ← {1, .... | C(m1 ) |}振幅スペクトルをとる

9:J ← {1, .... | C(m2 ) |}さらに角度方向に対しても同様に，離散フーリエ変換を行い

10:

while I =| ∅ do

振幅スペクトルをとる

11:cs(i, j) 内の最小値である cs(i′ , j ′ )9:2 次元配列 f (r(p(m[ci ], vj ))) に格納する

12:

sim ← sim + cs(i′ , j ′ )10:F (m, V ) の要素である F (m[ci ], vj ) に f (r(p(d, V ))) を追加

13:

I から i′ を除く

する

14:

J から j ′ を除く

end for8:

15:

end while

12: end for

16:

return sim

13: return F (m, V )17: else

11:18:

Algorithm 2 ComputeComponentSimilarity(F (m1 [c1i ], V ),return ∞19: end if

F (m2 [c2j ], V ), V )Input: 3 次元アセンブリモデル m1 ，m2 の特徴量 F (m1 , V ) と算して調べる．我々は，m1 [c1 ] の特徴量集合のすべての特徴量

F (m2 , V ) の要素である，F (m1 [c1i ], V ), F (m2 [c2i ], V )，投影画像から，上記のように最も類似した m2 [c2 ] の特徴量をユークリッを得るための球面座標 V

ド距離を計算して調べ，これらを合計する．これを構成部品間

Output: m1 [c1i ] と m2 [c2j ] の類似度
1: sim ← 0
2: for k = 1 to |V| do3:ps ←||F (m1 [c1i ], vk ) − F (m1 [c2j ], v1 ) || for v1 , vk ∈ V

4:for l = 2 to |V| doの類似度とする．Algorithm 2 はこの流れについて示している．

m1 と m2 のそれぞれの構成部品の類似度を同様の方法で計算し，最も類似度の高い構成部品を調べる．そして，2 つの一致する構成部品を除いて，再び最も類似度の高い構成部品を調

5:s ←||F (m1 [c1i ], vk ) − F (m1 [c2j ], vl ) || for vk , vl ∈ V

べる．この処理を繰り返し，一致しているすべて構成部品を決

6:

if s < ps then

定する．m1 と m2 の類似度は上記のように探した，一致する

ps ← s

構成部品間の類似度を合計したものとする．Algorithm 3 では，

7:
8:

end if

9:end for10:

sim ← sim + ps

11: end for
12: return sim

アセンブリモデル m1 と m2 の類似度を計算の全体の流れについて示している．

Algorithm 2 では m1 [c1 ] と m2 [c2 ] から計算された特徴量を用いて，ラベルが再付与されたアセンブリモデル間の類似度の計算について示している．ここではアセンブリモデル m のリモデル間の類似度を以下のように計算する．
ユーザやモデルによってラベルが統一されていない場合には，ラベルによって共通の構成部品を検索することは難しいため，2
つのアセンブリモデルの類似度を計算する際に，付与されたラベルをそのまま使用することはできない．したがって，2 つのアセンブリモデル m1 ，m2 の類似度は，一致する可能性のある，それぞれの構成部品についてすべて計算する必要がある．アセ
ンブリモデル m1 の構成部品 c1 と m2 の構成部品 c2 が一致す
るとき，m1 [c1 ]，m2 [c2 ] の投影画像から特徴量集合を計算する．

m1 [c1 ] の特徴量集合のそれぞれの特徴量について，最も類似している m2 [c2 ] の特徴量集合の特徴量をユークリッド距離を計

構成部品 ｃ の 3 次元配列は C(m) であり，|C(m)| は C(m)の要素数を表している．また m1 [c1i ] と m2 [c2j ] の特徴量である，F (m1 [c1i ], V ), F (m2 [c2i ], V ) は F (m1 , V ) と F (m2 , V ) の部分集合である．そして，||F (m1 [c1i ], vi ) − F (m1 [c2j ], vj )|| はF (m1 [c1i ], V ), F (m2 [c2i ], V ) に対応する 2 つのベクトル間のユー
クリッド距離であり，この距離が小さいときにラベルが再付与された，m1 [c1 ] と m2 [c2 ] の類似度は高いということである．

Algortihm 3 ではアセンブリモデル m1 と m2 の類似度計算について全体の流れを示している．m1 と m2 のそれぞれ構成
部品数である，|C(m1 )| と |C(m2 )| が異なる場合は m1 と m2は異なるアセンブリモデルであるから，類似度計算はせず，ア
ルゴリズムでは ∞ を返す．

表 1: 部品の配置が異なる 6 タイプのデータベースモデル
タイプ 1 タイプ 2 タイプ 3(a) Clutch(b) Die(c) Gear(d) Mold

タイプ 4 タイプ 5 タイプ 6

A層

⃝

×

⃝

⃝

⃝

×

B層

⃝

⃝

×

⃝

⃝

×

C層

⃝

⃝

⃝

×

⃝

×

組み合わせた場合

⃝

×

×

×

×

×

図 2: 使用した 3 次元 CAD モデル
表 2: Algorithm 1 の配列の大きさ

3 次元配列 m, m[ci ]74 ×74 ×74

2 次元配列 p(m[ci ], vj )111 ×111

2 次元配列 r(p(m[ci ], vj ))159 ×(180/n)

2 次元配列 f (r(p(m[ci ], vj ))) 159 ×(180/n)

C 層では緑色と黄色でそれぞれ構成されている．また，これら以外の部品集合については D 層として，つまり，4 つ目の層とみなしている．
クエリとして与えられたアセンブリモデルをクエリモデルと呼び，クエリモデルと比較するアセンブリモデルをデータベー
スモデルと呼ぶ．データベースモデルは，Clutch，Die，Gear，(a) Die 1(b) Die 2(c) Die 3

Mold の 4 種類に異なる部品の配置を 6 タイプ，計 24 個のアセ
ンブリモデルを用意した．データベースモデルには，ランダムな平行移動と回転を加えた．クエリモデルである，Clutch 1，

Die 1，Gear 1，Mold 1 にはそれぞれ，同様にランダムな平行移動と回転を加えたアセンブリモデルを 40 種類ずつ用意した．
ここでは，データベースモデル d とクエリモデル q の類似度をsim(d, q) とする．
表 1 はタイプ 1 からタイプ 6 までそれぞれのアセンブリモデ
ルについての説明である．表 1 の” ○” は A 層，B 層，C 層，
またはそれらを組み合わせた場合にデータベースモデルとクエ
リモデルが一致している場合を表し，表 1 の” × ” は部品の配(d) Die 4(e) Die 5(f) Die 6

図 3: 部品の配置が異なる 6 タイプの 3 次元 CAD アセンブリモデル

置がデータベースモデルとクエリモデルが異なる場合を表す．
タイプ 1 はすべて” ○” なのでデータベースモデルとクエリモ
デルは同じアセンブリモデルである．タイプ 2 からタイプ 4 についてはタイプ 1 と A 層，B 層，C 層について 1 つずつ異な4. 評 価 実 験
我々は，提案手法について，部品の配置が異なる 3 次元 CAD
アセンブリモデルを用いて実験的評価した．また [8] から選んだ，様々な部品を持つ図 2 に示したような Clutch, Die, Gear,

Mold の 4 種類の 3 次元 CAD アセンブリモデルを選び，簡素化のためにいくつかの部品を除外した．それぞれのモデルについて部品の配置が異なるタイプ 1 からタイプ 6 まで用意した．
図 3 では Die モデルを例に示している．図 3 の A 層,B 層,C 層
ではそれぞれ，形状，使用されている部品や部品の数はすべて同じである．また，使用されている部品の種類が異なる場合には図 3 のように，異なる色で表現している．例えば，図 3 のDie1，Die2，Die3，Die4，Die5，Die6 は同じ形状であり，水色，紫色，赤色，青色，緑色，黄色で表現された 2 つずつの部品で構成されている．
それぞれのアセンブリモデルは 3 つの層により表現されており，図 3 の A 層では水色と紫色で，B 層では，赤色と青色で，る部品の配置のアセンブリモデルである．タイプ 5 はそれぞれの層ではクエリモデルと同じ部品の配置であるが，3 つの層を組み合わせた場合にクエリモデルとは異なるアセンブリモデルである．タイプ 6 はすべての層について，クエリモデルと異なる部品の配置であるアセンブリモデルであるため，組み合わせてもクエリモデルとは異なる．
アセンブリモデルの投影の角度である，Algorithm 1 における V は正二十面体から構成された “Geodesic Dome” の頂点座標を用いた．また，Algorithm 1 における 3 次元配列 m, m[ci ]は表 2 のように 74 × 74 × 74 とした．本稿では，MATLAB

2015b を Windows 10 Enterprise 64 bit 上で使用し，3.4GHz
Intel Core i7-6700 プロセッサ，32GB RAM のコンピュータ
で実験を行った．

4. 1 部品の配置が異なる 3 次元 CAD アセンブリモデルの
識別
我々は，部品の配置が異なるモデルを用いて提案手法を実験的に評価した．またここでは，表 2 における n は n = 1 のた

図 4: クエリモデルとデータベースとの類似度(a) それぞれのクエリモデルにおける正解率(b) クエリモデルである Clutch 1 とデータベー (c) クエリモデルとデータベースモデル内のスモデルである，Clutch のそれぞれのタイ

１つのモデルとの平均した類似度の計算時

プとの平均した類似度との比率

間

図 5: 投影点の数による影響

め，Algorithm 1 における |A| を 180 とし，|V | を 162 とした．

の種類により異なるが，投影点の数は増加するほど，正解率は

図 4 は，クエリモデルである，Clutch 1，Die 1，Gear 1，

上昇する傾向にあり，投影点が 362 個の場合に，すべてのクエ

Mold 1 の 4 種類とデータベースモデルの 24 個との非類似度をリモデルで正解率が 0.9 を超えた．また，本実験においての正示している．アセンブリモデル間の類似度はそれぞれクエリモ

解率とは，クエリモデルの集合を Q とし，Q に含まれる，クデルの集合を 40 個用意し，それらの実験結果の平均である．4

エリモデルを q とする．また，データベースモデルの集合を D

種類クエリモデルが全て，データベースモデル内の同じタイプとしたとき，正解率は以下の式で表される．

1 のモデルと類似度が最も高いという結果を得ることができた．
q∈Q:

また，クエリモデルと同じ種類のモデルより異なる種類のモデルの類似度が高い場合もない．

正解率 =q と最も類似度の高い D 内のモデルがq と同じ種類，タイプであるモデル
|Q|

(1)

この結果から，我々の提案手法は実験で使用したアセンブリ

ここでは，Q の要素数を |Q| としたときに，|Q|=40 である．

モデルについては，形状だけでなく，複数の部品の配置が異な

図 5(b) は，投影点の数によるクエリモデルが Clutch 1 のるアセンブリモデルを投影点が 162 個の場合に，全てのクエリ

場合にデータベースモデル内の Clutch モデルとの平均した類

モデルについて識別ができているとわかる．

似度との比率を示している．投影点の数による，平均した類似

4. 2 投影点の数による識別の影響度との比率はクエリモデル Clutch 1 の集合とデータベースモ

アセンブリモデルに対しての投影点の数を増やすことでアセデルとの類似度により計算され，d をデータベースモデル内のンブリモデルの平行移動や回転に対しての影響は少なくなる．

Clutch について，それぞれのタイプのモデルとし，q はクエリ

しかし，投影点の数だけ計算量は増加する．そこで，表 2 におモデルである，Clutch 1 の集合を表す．このとき，平均した類

ける n は n = 1 のため Algorithm 1 における |A| を 180 とし，|V | を 12,42,92,162,252,362,492 まで増加させて，投影点の数がモデルの識別に影響するか実験を行った．
図 5(a) は，投影点数によるクエリモデルである Clutch 1，

Die 1，Gear 1，Mold 1 の正解率を示している．クエリモデル

似度との比率は次の式で表される．
∑q∈Q sim(d, q)∑q∈Q sim(Clutch 1, q)(2)

データベースモデル内の 2 つのタイプのアセンブリモデルの平均した類似度との比率が大きく離れている場合には，これらの(b) クエリモデルである Clutch 1 とデータベー (c) クエリモデルとデータベースモデル内の(a) それぞれのクエリモデルにおける正解率

スモデルである，Clutch のそれぞれのタイ

１つのモデルとの平均した類似度の計算時

プとの平均した類似度との比率

間

図 6: 部品に付与する数値を変更した場合の影響識別は容易となる．Clutch 1 から Clutch 6 は類似したアセン

図 6(c) は部品に付与するラベルを 1/V (c) × 1/1000 から

ブリ構造を持つが，Clutch １と最もアセンブリ構造が類似し1/V (c) × 1000 まで変更し，Clutch 1 をクエリモデルとした場ている，Clutch 5 が Clutch 1 と最も近い値となっている．平

合の平均した類似度とのの比率を示している．ここで示されて均した類似度との比率における，エラーバーはデータベースモ

いる，平均した類似度は 4. 2 の式 2 である．エラーバーの最小

デルの Clutch 1 とクエリモデル Clutch 1 の集合との類似度の値と最大値はそれぞれ，式 3，4 で示されている通りである．部

範囲を示している．最大値と最小値はそれぞれ以下の式で表さ品に付与するラベルを変更しても，エラーバーの範囲はあまりれる．

変化しない．

∑
maxq∈Q ∑q∈Q sim(d, q)q∈Q sim(Clutch 1, q)/ | Q |(3)

1/V (c) × 1000 まで変更した場合のクエリモデルとデータベー∑

minq∈Q ∑q∈Q sim(d, q)q∈Q sim(Clutch 1, q)/ | Q |図 6(c) は部品に付与するラベルを 1/V (c) × 1/1000 から(4)

投影点が増加すると，エラーバーの幅は狭くなる．
図 5(c) は，投影点の数による，Algorithm 3 のアセンブリモ

ス内の 1 つのモデルとの平均した類似度の計算時間について示している．部品に付与する値は，計算時間にはあまり影響しない．

4. 4 計算量の削減による識別の影響

デル間の類似度計算の平均時間を表している．投影点の数は増

4. 2 で述べたように，モデル間の類似度計算において，最も加するほど計算量も増加するために，処理時間は増加する．投処理時間がかかっているのが，ユークリッド距離計算である．

影画像の計算，特徴量の計算，ユークリッド距離の計算のうち，これを短縮するために行った実験が Algorithm 1 における 2 次

最も処理時間がかかっているのは，ユークリッド距離の計算で

元配列 F (m[ci ], vj ) や f (r(p(m[ci ], aj ))) で表される，特徴量ある．

において高周波成分を除く場合と，2 次元配列 p(m[ci ], vj ) で

4. 3 部品に付与する数値の変更に対する識別の影響表される，投影画像に対しての 2 次元ラドン変換の間隔を変更

アセンブリモデル m の特徴量を Algorithm 1 で計算する際する場合である．

に，我々は，モデル m の構成部品である c の 3 次元配列 m[c] に4. 4. 1 高周波成分を除いた場合

対して 3.1 で示したようにラベルを再付与していた．特徴量はフーリエ変換によって得られる振幅スペクトルは低周波成分

部品に付与されたラベルによって異なるため，アセンブリ構造

が高周波成分と比べて非常に大きいため，本稿のように 2 つのの違いを識別できるか評価した．本実験では，1/V (c) × 1/1000

アセンブリモデルの特徴量をユークリッド空間におけるベクト

から 1/V (c) × 1000 まで変更した．しかし，モデル m の構成

ルとしユークリッド距離で計算する場合に，類似度における低部品 c を除く部品集合のモデルに付与する値は変更していない

周波の影響も大きい．そこで，低周波成分のみを用いて，投影

ため，1/V (c) に乗ずる値が小さいほど，c を除く部品集合のモ

画像間の類似度を計算しても影響が少ないことが考えられる．

デルが強調され，1/V (c) に乗ずる値が大きいほど c が強調さ

しかし，高周波成分にも，モデルの形状についての重要な情報れる．また，表 2 における n は n = 1 のため Algorithm 1 にも含まれているために，高周波成分を大幅に減少させると，ク

おける |A| を 180 とし，|V | を 162 とした．

エリモデルの正解率に影響を与える場合も考えられる．

図 6(a) は部品に付与するラベルを 1/V (c) × 1/1000 から

高周波成分を特徴量の大きさを従来と同じ，159×180 から，

1/V (c) × 1000 まで変更した場合のそれぞれのクエリモデル，

79×91，39×45，19×23，9×11，5×5 まで変更して実験を行っ

Clutch 1，Die 1，Gear 1，Mold 1 の正解率について示していた．また，Algorithm 1 における |A| を 180 とし，|V | は 162

る．すべてのクエリモデルについて，1/V (c) の場合に最も正とした．

解率が高くなることから，提案手法の有効性を示している．

図 7(a) は，特徴量の大きさにおける，それぞれのクエリモ

(a) それぞれのクエリモデルにおける正解率(b) クエリモデルである Clutch 1 とデータベー (c) クエリモデルとデータベースモデル内のスモデルである，Clutch のそれぞれのタイ

１つのモデルとの平均した類似度の計算時

プとの平均した類似度との比率

間

図 7: 高周波成分を除くことによる影響(a) それぞれのクエリモデルにおける正解率(b) クエリモデルである Clutch 1 とデータベー (c) クエリモデルとデータベースモデル内のスモデルである，Clutch のそれぞれのタイ

１つのモデルとの平均した類似度の計算時

プとの平均した類似度との比率

間

図 8: 2 次元ラドン変換の間隔による影響

デル，Clutch 1，Die 1，Gear 1，Mold 1 の正解率を示していAlgorithm 1 における |A| はそれぞれ 180，36，18，9，6 となる．ここで示されている，正解率は 4. 2 の式 1 である．特徴量

る．このとき，特徴量の大きさはそれぞれ，159×180，159×90，の大きさを従来の 159×180 から 39×45 まで高周波成分を除い159×60，159×45，159×36 となる．また，|V | は 162 とした．

ても，それぞれのクエリモデルの正解率は 0.85 以上である．

図 8(a) は特徴量の大きさによるそれぞれのクエリモデルの図 7(b) は Clutch 1 とデータベースモデルとの平均類似度の正解率を示している．n を 1 から 5 まで変更しても，それぞれ比率を示している．ここで示されている，平均類似度は 4. 2 ののクエリモデルの正解率は 0.85 以上だった．

式 2 である．エラーバーの最小値と最大値はそれぞれ，式 3，4

図 8(b) は特徴量の大きさによる平均類似度の比率を示してで示されている通りである．特徴量の大きさにかかわらず，図いる．ここで示されている，平均類似度は 4. 2 の式 2 である．

7(a) の正解率が高い場合に，図 7(b) のエラーバーの範囲は狭

エラーバーの最小値と最大値はそれぞれ，式 3，4 で示されてくなる．

いる通りである．特徴量の大きさにかかわらず，エラーバーの図 7(c) は，特徴量の大きさによる，クエリモデルとデータ

範囲はあまり変化しない．

ベースモデル内の１つのモデルとの平均した類似度計算につい

また，図 8(c) は特徴量の大きさによるクエリモデルとデーての計算時間を示している．特徴量の大きさが減少するごとにタベースモデルの内の 1 つのモデルとの類似度計算についてのユークリッド距離計算の処理時間は短縮している．

計算時間を示している．n = 5 のとき，n = 1 の場合と比べて，4. 4. 2 2 次元ラドン変換の間隔を変更した場合

ユークリッド距離計算や，投影画像の計算時間，特徴量の計算

2 次元ラドン変換の間隔を変更することにより，2 次元ラド

時間までも短縮できている．

ン変換やフーリエ変換の特徴量計算や投影画像間の類似度計算
である，ユークリッド距離においても計算量を減少させ，処理

5. 結論と今後の課題

時間を短縮することが期待できる．投影画像の離散 2 次元ラ

本稿では，投影画像を用いて，3 次元 CAD アセンブリモデ

ドン変換には，表 2 の n を 1，2，3，4，5 と変更させたため，

ルの形状や部品の数だけでなく，部品の配置まで考慮した検索手法を提案した．また，部品に対してのラベル付けが予めユー
ザやモデルで統一されていない場合を想定した．そのような場合でも，モデル間の類似度が一意に決まるように，構成部品の種類ごとに 3 次元配列の要素数を基にラベルを再付与した．
我々は，提案手法の評価に 4 種類のモデルに対して，部品の配置が異なる 6 タイプのモデルをデータベースモデルとして用意し，実験結果から，提案手法の有効性を示した．また，特徴量における高周波成分の削減や，投影画像に対しての 2 次元ラドン変換の間隔を変更することで，計算量を削減しても識別精度には影響しないことを示した．今後は，3 次元 CAD アセンブ
リモデルの検索の処理時間を短縮した場合でも，より良い識別精度をもつ検索手法の提案が必要である．

文

献[1] K. Katayama and T. Sato, “Matching 3D CAD Assembly
Models with Diﬀerent Layouts of Components using Projections,” IEICE Transactions on Information and Systems,
Vol.E98-D(6), pp.1247-1250, 2015[2] D.Y Chen,X.P Tian,Y.T Shen,and M. Ouhyoung, “On
Visual Similarity Based 3D Model Retrieval,” Computer
Graphics Forum,vol.22,no.3,pp.223-232,2003[3] T. Furuya, R. Ohbuchi, “Dense Sampling and Fast Encoding for 3D Model Retrieval Using Bag-of-Visual Features,”Proc. ACM International Conference on Image and Video
Retrieval 2009[4] D.G.Lowe,”Distinctive Image Features from Scale-Invariant
Keypoints,”Int’l Journal of Computer Vision,60(2),2004[5] P. Papadakis, I. Pratikakis, T. Theoharis, G. Passalis, S.
Perantonis. “3D Object Retrieval using an Eﬃcient andCompact Hybrid Shape Descriptor,” Eurographics Workshop on 3D Object Retrieval, 2008
[6] A.S Deshmukh,A.G Banerjee,S.K.G Ram, D Sriam,“Content-based assembly search:A step towards assembly reuse,” Computer-aided Design ,Volume 40 ,pp.244261,2008[7] K.M. Hu ,B. Wang,J.H. Yong,J.C. Paul, “Relaxed
lightweight assembly retrieval using vector space model,”Computer-aided Design ,Volume 45, Issue 3 ,pp.244261,2008[8] GrabCAD. http://grabcad.com/library.