数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 169-176169

ユニタリ群の保型$\mathrm{L}$

関数と

渡部隆夫

$\overline{\tau}-$

タ級数リフト((阪大理)$\mathrm{T}_{\alpha}\mathrm{f}\mathrm{i}\prime \mathrm{O}\mathrm{o}$W赤A x 各)

このノートの主題は $U(n,n)\cross \mathrm{R}E/FGL(n)$ および $U(n, n+1)\cross \mathrm{R}E/FGL(n)$ の保型 L- 関数の積分表示と,テ一 $P$ 級数リフトによってこれらの積分表示がどのように関係付けられるかを説明することである.

1. 記号
最初に記号を幾つか定義する. $F$ を有限次代数体, $E/F$ を 2 次拡大として$G=G_{n}=\{g\in GL_{2}n(E)$: ${}^{t}g\overline{g}=\}$ ,$G^{*}=G_{n}^{*}=\{g\in GL_{2}n+1(E)$とする.

$E^{*}$の元$i$: ${}^{t}g\overline{g}=\}$ .

で $i+\overline{i}=0$ となるものを–つとり, これにより埋めこみ$\iota:Garrow G^{*}:$$-\rangle$を固定する. $P$ を $G$ の Siegel 型極大放物部分群とし $M\cong GL_{n}(E)$ をその Levi 部分群,
をべき単根基とする. またを $M$ の maximal unipotent subgroup とする.
は $GL_{n}(E)$ の対角成分が 1 の上半三角行列の成す群と同–視される. このとき $U=\Delta U_{P}$ は $G$ の maximal unipotent subgroup を与える. 同様にをの maximal unipotent subgoup とし,とおく. いまを自明ではない指標とし,
これから
と
の指標
を
の指標
$U_{P}$$\Delta$$\Delta$$U^{*}$$G^{*}$$\Delta^{*}=\iota(\Delta)$$U(\mathrm{A})$$\psi$$\mu:F\backslash \mathrm{A}arrow \mathrm{C}^{1}$$\psi*$$U^{*}(\mathrm{A})$,$\psi(\prime u)=\mu(\mathrm{t}\mathrm{r}_{E/}F(u12+u_{23}+\cdots+v_{n-1n})-un2n)$$\psi*(u^{*})=\mu(\mathrm{t}\mathrm{r}E/p(u_{12^{+u}2}^{*}3+\cdots+u_{n}^{*}n+1)*)$,$u=(u_{ij})\in U(\mathrm{A})$$u^{*}=(\tau h_{j}*)\in U^{*}(\mathrm{A})$により定義する.

以下次のフ–“一戸を固定する. 指標は, そのは
quadratic character であるようなものとする. またははの既約 generic cuspidal 表現とする. さらにする.

$\mathrm{A}^{\mathrm{x}}$$\nu:E^{\mathrm{x}}\backslash \mathrm{A}_{E}^{\cross}arrow \mathrm{C}^{1}$$G(\mathrm{A})$$(\sigma, V_{\sigma})$$(\pi, V_{\pi})$$G^{*}(\mathrm{A})$

それぞれの cusp form$\varphi\in V_{\sigma},$$\varphi^{*}\in V_{\sigma^{*}},$$\Phi\in V_{\pi}$$W_{\varphi}(g)= \int_{U\backslash U(\mathrm{A})}\psi(u)-1\varphi(ug)du$

,

に対し,

が拡大 $E/F$ に対応するへの制限の既約 generic cuspidal 表現,の既約 cuspidal 表現と$\nu|_{\mathrm{A}^{\cross}}$$(\sigma^{*}, V_{\sigma^{*}})$$M(\mathrm{A})\cong GL_{n}(\mathrm{A}_{E})$詐 ittaker 関数を$W_{\varphi^{*}}(h)= \int_{U^{*}\backslash U(}*\mathrm{A})h\psi*(u*)^{-1}\varphi^{*}(u^{*})du^{*}$$W_{\Phi}(m)= \int_{\triangle\backslash \triangle(\mathrm{A}})m\psi(\delta)\Phi(\delta)d\delta$

で定義し, これから生成される Whittaker model をそれぞれ$W(\sigma,\psi),$$W(\sigma^{*},\psi^{*}),$$W(\pi,\psi^{-1})$とあらわす.

を $F$ の素点全体の集合とし, 有限素点 $v\in V_{F}$ で局所表現がすべて spherical 表現でかつとおく. 同様にが不分岐になるようなもの全体の集合をがともに spherical 表現
でかつが不分岐になるような有限素点全体の集合をとおく.
におけるこれらの補集合を$S=V_{F}\backslash Vp(\sigma,\pi, \mu, \nu),$ $S^{*}=VF\backslash VF(\sigma^{*},\pi, \mu)$とする.
いま$\mu_{v},$$V_{F}$$\sigma_{v},$$V_{F}(\sigma, \pi,\mu, \nu)$$\nu_{v}$$\mu_{v}$$V_{F}(\sigma^{*}, \pi, \mu)$$\pi_{v}$$\sigma_{v}^{*},$$V_{F}$$\pi_{v}$170

2. L- 関数の定義
以下 $v\in V_{F}(\sigma, \pi,\mu, \nu)$ または $v\in V_{F}(\sigma^{*}, \pi,\mu)$ として, local factors $L$する. まず $G\cross M,$$(s, \sigma_{v}\mathrm{x}\pi_{v}),$。

$L$$(s,\sigma_{v}^{*}\mathrm{x}\pi V)$

。

を定義

のし群は

$G^{*}\mathrm{x}M$$L(G\cross M)=(GL_{2n}(\mathrm{C})\cross GL_{n}(\mathrm{C})\cross GL_{n}(\mathrm{C}))\cross\Gamma_{E/F}$$L(G^{*}\cross M)=(GL2n+1(\mathrm{c})\cross GL_{n}(\mathrm{C})\cross GL_{n}(\mathrm{C}))\cross\Gamma_{E/F}$の standard 表現をと書である. ここで $\Gamma_{E/F}=\{id, \epsilon\}$ は $E/F$ の Galois 群とする. 一般に$L(G\cross
M)$
同
と書く
.
$L(G\cross M)\mathit{0}$ の表現で,への誘導表現を
この表現の
は連結成分
くとき,
$E$
で remain
がの $L(G^{*}\cross M)$ への誘導表現を〆 と書く. さて,様に $L(G^{*}\mathrm{x}M)^{o}$ の表現$GL_{m}(\mathrm{C})$$\rho_{m}$$r$$p_{2n}\otimes\rho_{n}\otimes 1$$v$$\rho 2n+1\otimes\rho_{n}\otimes 1$

prime の場合,$\sigma_{v},$$\sigma_{v}^{*},$$\pi_{v}$のSatake parameter を, それぞれ,$(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})\in(\mathrm{C}^{*})^{n},$$(\alpha_{1}^{*}, \cdots, \alpha_{n}^{*})\in(\mathrm{C}^{*})^{n}$,とし, 対応する L 群の元を$(\beta_{1}, \cdots,\beta_{n})\in(\mathrm{C}^{*})^{n}$$\gamma_{v}=($ ,$,$$\gamma_{\text{。}^{}*}=($ ,$1_{n})\cross\epsilon\in^{L}(c_{\mathrm{X}}M)$$,$$1_{n})\mathrm{x}\epsilon\in^{L}(G^{*}\mathrm{x}M)$とする. このとき$L_{v}$($s,$$\sigma$。

$\mathrm{x}\pi_{v}$)$=\det(14n2-r(\gamma_{\text{。}})q_{\text{。}^{}-s})^{-}1$$= \frac{1}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(1-\alpha_{i}\beta jq_{v}^{-}2s)(1-\alpha_{i}-1\beta_{j}q^{-2s}\text{。})}$$L_{v}(_{S}, \sigma_{v}^{*}\cross\pi_{\text{。}})=\det(12n(2n+1)-r(*\gamma^{*}\text{。})qv)-S-1$$= \frac{1}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(1-\alpha_{i}*\beta_{j}q_{v^{2}}^{-})S(1-\alpha_{i^{-}}\beta*1jq_{\text{。}^{}-}2s)\prod_{1\leq}j\leq n(1-\beta_{j}q\text{。})-s}$と定義する. 次に$(\mathrm{C}^{*})^{2n},$$v$

が $E$ で split するとき,$(\alpha_{1}^{*}, \cdots, \alpha_{2n+1})*\in(\mathrm{C}^{*})^{2n+1},$

群の元は$\gamma$。

$\sigma_{v},$$\sigma_{v}^{*},$$\pi_{v}$の Satake parameter

は, それぞれ,の形になる. 対応する L$(\alpha_{1}, \cdots)\alpha_{2n})\in$$((\beta_{1}, \cdots,\beta_{n}), (\beta_{1}’, \cdots,\beta_{n}’))\in(\mathrm{C}^{*})^{n}\cross(\mathrm{C}^{*})^{n}$$=(,$ $,$$\gamma_{v}^{*}=(,$$)\cross id\in^{L}(G\mathrm{X}M)0$171となる. このとき$L$。($s,\sigma$。

$\cross\pi_{v}$)$= \det(1_{4}2-r(n\gamma_{\text{。}})q_{v}^{-})^{-1}s=\frac{1}{\prod_{1\leq\leq 1\leq^{i}j\leq}(,2nn1-\alpha_{i}\beta jq^{-}v)S(1-\alpha_{i}^{-1}\beta_{j}’q_{\text{。}^{}-}S)}$$L_{v}(s, \sigma_{\text{。}}*\cross\pi_{\text{。}})=\det(12n(2n+1)-\gamma(**)\gamma_{v}q^{-S}v)^{-1}=\frac{1}{\prod_{1\leq i\leq 11\leq j\leq n}(,2n+1-\alpha_{t}^{*}\beta_{j}q\text{。}-S)(1-\alpha i*-1\beta j\prime-qv)S}$と定義する. これにより保型 -関数は Euler 積で与えられる. すなわち$\mathrm{L}$$Ls(s, \sigma\cross\pi)=\prod_{v\not\in S}L_{v}(S,\sigma v\cross\pi v)$,$(s,\sigma_{v}^{*}\cross\pi_{v})$。
$L_{S^{*}}(s, \sigma^{*}\cross\pi)=\prod_{\not\in\text{。}S}.L$

これらの Euler 積は $\Re(s)>>0$ で絶対収束する.

3. Eisenstein 級数とまず$\overline{\tau}-\text{タ}$級数

上の Eisenstein 級数を定義する.

$G(\mathrm{A})$$\alpha:M(\mathrm{A})arrow \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$以下 $K$ を$G(\mathrm{A})$の極大コンパクト部分群とする.

指標を $\alpha( (_{0}^{a} t\frac{0}{a}1))=|\det a|E$ により定義する. 各 $g\in G(\mathrm{A})$ に対し, その Iwasawa 分解$g=umk,$ $(u\in U_{P}(\mathrm{A}), m\in M(\mathrm{A}),$ $k\in K)$ を用いることにより,される. さて cuspidal 表現からの誘導表現を$\alpha$は$G(\mathrm{A})$

上に $\alpha(g)=\alpha(m)$ により延長$\pi\otimes\alpha^{s}$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}^{G(}\pi\otimes\alpha^{S}P(\mathrm{A})\mathrm{A})$$=\{F_{s} :とする. いまG(\mathrm{A})arrow V_{\pi} :F_{s}(umg)=\alpha(m)^{S+/}n2\pi(m)(FS(g)), u\in U_{P}(\mathrm{A}), m\in M(\mathrm{A}), g\in G(\mathrm{A})\}$

を隣上の単位元での evaluation functional, すなわち $e^{*}(\Phi)=\Phi(1_{2n})$ , として, 各瓦上の関数を対応させる. そしての中で smooth かつに対し,$e^{*}$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p}^{G(\mathrm{A}}(\mathrm{A}))\pi\otimes\alpha^{s}$$\in$$\overline{F}_{s}(g)=e^{*}(F_{S}(g))$$G(\mathrm{A})$-finite なものの成す集合を$K$$I(\pi\otimes\alpha^{s+n/2})$$\overline{F}_{s}$とおく. さらに, 各$\overline{F}_{s}\in I(\pi\otimes\alpha^{s+n/2})$に対して$W_{\overline{F}_{S}}(g)= \int_{\triangle\backslash \triangle()}\mathrm{A}g\psi(\delta)\overline{F}S(\delta)d\delta$

とおき, このような関数の成す空間を $W(I(\pi\otimes\alpha^{s+n/2}), \psi-1)$ とおく.
いま$\overline{F}\in I(\pi)$に対し, Eisenstein 級数を$E(s, \overline{F},g)=\in\sum_{\gamma P\backslash G}\alpha(\gamma g)s+n/2\overline{F}(\gamma g).\cdot$

により与える. この級数は $\Re(s)>>0$ で絶対収束し, 全 -平面上有理型関数に解析接続される. $E(s,\overline{F},g)$ のが spherical 表現かつ \mu 。が不分岐である
normalizing factor は次のように与えられる. $F$ の有限素点 で
$s$

$v$

様なもの全体の集合をの表現 :$r_{1}$$V_{F}(\pi, \mu)$$LMarrow \mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}(M_{n}(\mathrm{c}))$として,$\pi_{v}$とする. I, 群 $LM=(GL_{n}(\mathrm{c})\cross cL_{n}(\mathrm{c}))\mathrm{X}\Gamma_{E}/F$$S_{1}=V_{F}\backslash V_{F}(\pi, \mu)$を$r_{1}((g_{1}, g_{2})\cross\epsilon)X=g_{1^{t}}X^{t}g_{2}$,$(X\in M_{n}(\mathrm{C}))$で定義する. 各 $v\in V_{F}(\pi, \mu)$ に対して, spherical 表現 \mbox{\boldmath $\pi$}。に対応する $LM$ の元を$\gamma_{v}’=\{$$(,$($1_{n})\mathrm{x}\epsilon$

if

$v$

is non-split on $E$

172

として,
$L_{v}(s,\pi v’ r1)=\det(1_{n}2-\gamma 1(\gamma_{v}’)q_{\text{。}^{}-})s-1$$\prod_{1\leq i<j}\leq n(1-\beta_{i}\beta_{j}qv-2s)^{-1}\prod 1\leq k\leq n(1-\beta kqv)^{-}-s1$

if

$v$

$\prod_{1\leq i,j\leq n}(1-\beta i\beta_{j\text{。}}\prime q-S)^{-1}$

if

$v$

$=\{$

is non-split on $E$
is split on $E$

により local factor を定める. これから
$Ls_{1}(s, \pi,\gamma_{1})=v\not\in\prod_{S_{1}}Lv(_{S,\pi_{v}}, r_{1})$とする. $Ls_{1}(s, \pi,r_{1})$ は Langlands-Shahidi の方法により解析接続される.
から定まるサイズ $4n$ の symplectic 群
指標に自然に埋めこまれるからとする. 対の Weil 表現を
metaplectic 群が構成できる. 合成の:splitting
おいて, 被覆になる. 各はの表現を与え, その表現空間は A 塾上の Schwartz-Bruhat 関数の空間
次に$G(\mathrm{A})$上の\tau - $-P$ 級数を定義する.
$Mp_{4n}(\mathrm{A})$$Sp_{4n}(\mathrm{A})$$\mu$$(\mu, \nu)$$\omega_{\mu}$$Mp_{4n}(\mathrm{A})arrow Sp_{4n}(\mathrm{A})$$Sp_{4n}(\mathrm{A})$$G(\mathrm{A})arrow M_{P4n}(\mathrm{A})$$s_{\mu,\nu}$に対し$\theta_{f}^{n}(g)=\sum_{x\epsilon E^{n}}\omega n(\mathit{9})f(X)$により$\overline{\tau}-$

タ級数を定義する.
$R_{f}(g)=\omega^{n}(\mathit{9})f(\epsilon_{n})$,$\epsilon_{n}=$とおけば$\theta_{f}^{n}(g)=\omega^{n}(g)f(0)+\gamma\sum_{\in Q\backslash M}R_{f(}\gamma g)$と書ける. ここで
$Q=\{m=|{}^{t}\overline{a}\epsilon_{nn}=\epsilon\}$とする.

4. Rankin-Selberg convolutions
まず$\varphi\in V_{\sigma},$$\varphi^{*}\in V_{\sigma}*,\overline{F}\in I(\pi),$$f\in S(\mathrm{A}_{E}^{n})$を decomposable なものとすれば$\ovalbox{\tt\small REJECT}(g)=\prod_{\text{。}\epsilon VF}W_{v}(g_{\text{。}})$$W_{\overline{F}}(g)= \prod_{\in\text{。}VF}W_{v}’(g_{\text{。}})$,,$W_{\varphi^{*}}(h)=v \in\prod_{F}VW_{v}*(h_{v})$$R_{f}(g)=v \in VF\prod Rfv(g_{v})$

,

上の

上に

$\omega^{n}=\omega\circ S\mu\mu,\nu$$S(\mathrm{A}_{E}^{n})$$G(\mathrm{A})$$G(\mathrm{A})$$(R_{f_{v}}(g_{v})=\omega^{n}(vg_{\text{。}})f_{\text{。}}(\epsilon n))$と書ける. いま global integral と local integral を次で定義する.
$J(s, \varphi,\overline{F}, f)=\int_{G\backslash G(\mathrm{A}})\varphi(g)E(S,\overline{F},g)\theta^{n}(_{\mathit{9})d}f\mathit{9}$$J^{*}(s, \varphi^{*},\overline{F})=\int_{G\backslash G(\mathrm{A}})(\varphi*b(g))E(S,\overline{F},g)dg$$J_{v}(_{S,W_{v},W_{v}’}, R_{f_{v}})= \int_{U(F_{v})}\backslash c(p_{v})gW_{v}()W’\text{。}(g)R_{f_{v}}\cdot(g)\alpha(g)^{s}+n/2dg$$J_{v}^{*}(_{S,W_{v}}*, W_{v}’)= \int_{U(p_{v})\backslash }G(F_{v}))W^{*}(\text{。}(\iota g)W_{v}’(g)\alpha(_{\mathit{9})}g+n/2dg$.

$f\in S(\mathrm{A}_{E}^{n})$173$J(s, \varphi,\overline{F}, f)$と$J^{*}(s, \varphi^{*},\overline{F})$は全 s-平面上の有理型関数である.

Basic Identity $([1|)\Re(S)>>0$ で$J(s, \varphi,\overline{F},f)=\int_{U(\mathrm{A})\backslash G}(\mathrm{A}))^{S}W(\varphi g)W_{\overline{F}}(g)Rf(g)\alpha(gd+n/2g$$J^{*}(s, \varphi^{*},\overline{F})=\int_{U(\mathrm{A})\backslash G}(\mathrm{A}))W’(\iota(g))W(g\alpha\varphi\overline{p}(g)^{s+n/}2dg$,.

Local integral については standard な方法で次が証明できる.

$(1)$$J_{v}(s,W_{v’ f}W_{v}’,R)\tau$’と君 $(s, W_{v}*, W_{v}’)$ はともに $\Re(s)>>0$ で絶対収束し, 全 s-平面上有理型関数に解析接続される.

(2)

$v$

が有限素点のとき,$I(\sigma_{v},\pi_{v’\text{。}}\nu)=\mathrm{s}_{\mathrm{p}}\mathrm{a}\mathrm{n}\{Jv(S,W_{v},W’, R_{f_{v}})v|W_{v}\in W(\sigma_{\text{。}},\psi v), W_{v}’\in W(I(\pi_{\text{。}}),\psi_{v}^{-1}), f_{v}\in S((E\otimes F_{v})^{n})\}$$I^{*}(\sigma_{v}^{*}, \pi_{v})=\mathrm{s}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{n}\{J_{V^{*}}(s,W_{v}*, W_{v}’)|W_{v}^{*}\in W(\sigma_{v},\psi_{\text{。}^{}*}*), W_{v}’\in W(I(\pi_{v}),\psi^{-}v)1\}$

は$\mathrm{C}$

[

$q$

$s,$
。

$q_{v}^{S}$] の fractional ideal になり, 多項式$A_{\sigma_{v},\pi_{v},\nu_{v}}(X)\in \mathrm{C}[X],$$I(\sigma_{v},\pi_{v},\nu_{\text{。}})=A_{\sigma,\pi}\nu_{v}(vv,q_{v}^{-})^{-1}s\mathrm{C}[qv’ q_{v}-ss]$$I^{*}(\sigma_{\text{。}},\pi_{v})*A^{*}*(=q_{v}\sigma_{v},\pi_{v}-s)-1\mathrm{C}[qv’ q_{v}^{s}-s]$,,$A^{*}\sigma_{v},\pi_{v}*(X)\in \mathrm{C}[X]$で$A_{\sigma_{v},\pi_{v},\nu_{v}}(0)=1$$A_{\sigma_{v}^{*},\pi_{v}}^{*}(0)=1$となるものがただ–つ存在する.

(3)$v\in V_{F}(\sigma,\pi, \mu, \nu)$のとき,$W_{\text{。}},$$W_{v}’$,R 几がすべて不分岐ならば$J_{v}(_{S,W_{\text{。}’ v}}W’, R_{f})v= \frac{L_{v}(_{S+}\frac{1}{2},\sigma_{\text{。}}\mathrm{X}(\pi v\otimes\nu 1\text{。}))}{L_{v}(2S+1,\pi,r_{1})}$

ただし, $\nu_{1}=\nu\circ\det$ とする. 特に$A_{\sigma_{v},\pi_{v},\nu_{v}}(q^{-s}v)-1L_{v}(=S+ \frac{1}{2}, \sigma v\mathrm{x}(\pi_{v}\otimes\nu_{1}\text{。}))$(4) (B. Tamir による. [2]) $v\in Vp(\sigma^{*},\pi)$ のとき,

$W_{\text{。}^{}*},$$W’v$

がともに不分岐ならば$J_{\text{。}^{}*}(s, W_{v\text{。}^{}*}, W’)= \frac{L_{v}(_{S+}\frac{1}{2},\sigma_{v^{\mathrm{X}\pi}}^{*}v)}{L_{\text{。}}(2_{S}+1,\pi,r1)}$

特に$A_{\sigma_{v}^{*}}^{*},\pi_{v}(q_{v}^{-S})^{-1}=L_{v}$Basic Identity と定理 1 から$(1)\varphi\in V_{\sigma},\overline{F}\in I(\pi),$(。 )$Ls(s,\sigma\cross(\pi\otimes\nu_{1})),$ $Ls*(s,\sigma^{*}\mathrm{x}\pi)$$f\in S(\mathrm{A}_{E}^{n})$$\mathrm{x}\pi_{\text{。}}$の解析接続が従う. すなわちを任意の $v\in V_{F}(\sigma,\pi,\mu, \nu)$ において,$W_{\text{。}},$$W_{v}’$であるようにとれば.

$J(s, \varphi,\overline{F},f)=(_{v\in S}\prod Jv(S, W_{v},W_{\text{。}}\prime, Rfv))\frac{Ls(S+\frac{1}{2}.’\sigma \mathrm{X}(\pi\otimes\nu_{1}))}{Ls(2S+1,\pi,r1)}$, R 几がすべて不分岐

174

(2)

$\varphi^{*}\in V_{\sigma^{*}},\overline{F}\in I(\pi)$を任意の $v\in Vp(\sigma\pi, \mu*,)$ において,$W\text{。},$$W_{v}’$

がともに不分岐であるようにとれば$J^{*}(s, \varphi^{*},\overline{F})=(_{v\in S}\prod J_{\text{。}}*(s,W_{v}^{*}l , W_{v}’)\mathrm{I}\frac{L_{S}*(_{S}+\frac{1}{2},\sigma \mathrm{X}\pi)*}{L_{S}*(2_{S+}1,\pi,\gamma_{1})}$5.

$\overline{\tau}-P$

級数リフトにおける$\mathrm{L}$.

関数の比較.

ユニタリ群 $G_{n()}2n+1(\mathrm{A})$ について Soetion 3 と同じ方法で Weil 表現
タ級数をが定義できる. $f\in S(M_{2n,n}(\mathrm{A}_{E})\oplus M_{n,1}(\mathrm{A}_{E}))$ に対し,$(\omega=\omega_{\mu,\nu}, S(M_{2n,n}(\mathrm{A}_{E})\oplus M_{n,1}(\mathrm{A}E)))$$\overline{\tau}-$$\theta_{f}^{n(21}n+)(g)=x\epsilon M2n,n(E),y\epsilon Mn,1(E\sum_{)}\omega(g)f(_{X},y)$とおく. 群$G(\mathrm{A})\mathrm{x}G^{*}(\mathrm{A})$)$\theta_{f}^{n(21}n+$ことができるので,に対し, その\tau ---$\varphi\in V_{\sigma}$$P$,$(g\in G_{n(2n}+1)(\mathrm{A}))$は central torus $\{(t1_{2n}\overline{t}1_{2n+1})) : t\overline{t}=1\}$ を法として $G_{n()}2n+1(\mathrm{A})$ に埋め込む上の cusp formへの制限が考えられる. これを用いての$G(\mathrm{A})$$G(\mathrm{A})\mathrm{x}G^{*}(\mathrm{A})$

級数リフトを$\varphi_{f}^{*}(h)=\int_{G\backslash G()}\mathrm{A}\theta_{f}^{n}\varphi(g)(2n+1)(\mathit{9}^{h)d}h, (h\in G^{*}(\mathrm{A}))$とおく. これはにより定義し, その集合をであれば既約になることも知られてこれがcuspidalの保型表現で non-zero かつ generic である ([4]). また,の関係は次のように書ける. まずといる. Whittaker 関数$\ominus_{\mu,\nu}(\sigma)=\{\varphi_{f}^{*} :$W_{\varphi}$$G^{*}(\mathrm{A})$\varphi\in V_{\sigma}, f\in S(M_{2n,n}(\mathrm{A}_{E})\oplus M_{n,1}(\mathrm{A}_{E}))\}$$W_{\varphi_{f}^{*}}^{*}$$\Psi(f)(g)=\int_{\triangle(}*\mathrm{A})\omega\psi^{*}(\delta*)^{-}1(g,\delta*)f(_{X}0,yo)d\delta^{*}$,$x_{0}=\in M_{2n,n}(E),$$y_{0}=\epsilon_{n}=\in M_{n,1}(E)$

とおくとき

(5.1)

の既約 cuspidal 表現である.
のとりかたにより

いま,

$\nu$

$W_{\varphi_{f}^{*(h)=}} \int_{U(\mathrm{A})\backslash G}(\mathrm{A})W_{\varphi}(g)\Psi(\omega(h)f)(g)dg$$(\overline{\pi}, V_{\pi})$$GL_{n}(\mathrm{A}_{E})$$\overline{\nu}_{1}=\nu_{1}^{-1}$$\overline{\pi}$をで定義する. 同様に$\overline{\pi}(a)=\pi(\overline{a})$$\overline{\nu}_{1}(a)=\nu(\det\overline{a})$とする.

の Whittaker model は$W(\overline{\pi},\psi^{-1})=\{\overline{W}|W\in W(\pi,\psi^{-}1)\}$,$\overline{W}(a)=W(\overline{a})$で与えられる. 一般に $V_{F}(\Theta_{\mu,\nu}(\sigma), \pi, \mu)=Vp(\sigma, \pi,\mu, \nu)$ となることに注意すると, 次が成り立つ.
$\sigma^{*}=\Theta_{\mu,\nu}(\sigma)$が cuspid 訓であれば$L_{S}(_{S},\sigma^{*}\mathrm{x}\pi)=LS(S,\pi 1)L_{S}(_{S}, (\sigma\otimes\nu^{n}1)\cross(\pi 1\otimes\nu_{1}))$となる. ここで$\pi_{1}=\overline{\pi}\otimes\overline{\nu}2n1$とする.

以下証明の概略を述べる. まず
約表現 の elementary idempotentを次のようにとる. Cusp form
を:をとり, 関数$\overline{F}\in I(\pi)$$\tau$$\xi_{\tau}$と $K$ の適当な有限次元既$G(\mathrm{A})arrow \mathrm{C}$$F_{\Phi}$$F_{\Phi}(umk)= \int_{K\cap M(\mathrm{A}})\Phi(mk’)\xi \mathcal{T}(k-1k’)dk’$$\Phi\in V_{\pi}$,$(u\in U_{P}(\mathrm{A}), m\in M(\mathrm{A}),$$k\in K)$

175で定義する. 明らかに$\overline{F}=F_{\Phi}\in I(\pi)$である. Basic Identity と (5.1) から $\Re(s)>>0$ のとき$J^{*}(s, \varphi_{f}^{*},F_{\Phi})=\int_{U(\mathrm{A})}\backslash G(\mathrm{A})W_{\varphi}(g)\int_{M(\mathrm{A})}\omega(g, \iota(m))f\mathcal{T}(_{X}\mathit{0},yo)W_{\Phi()1}am\det am|_{E}^{S-n/}dmd_{\mathit{9}}2$が得られる. ただし$f^{\tau}(x \mathit{0},y_{0})=\int_{K}\xi_{\mathcal{T}}(k-1)\omega(1, \iota(k))f(x0,yo)dk$,$m=\in M$とする. いま $f^{\tau}(x\mathit{0},y0)=f1(X_{\mathit{0}})f2(y_{0})$ であるとすれば,$\omega(g, \iota(m))f1(x_{\mathit{0}})f_{2}(y_{0})=\nu 1(a_{m})^{2}n\nu 1(g)n|\det a_{m}|_{E}^{n}f1(g-1_{X0\overline{a}_{m}})\omega n(g)f2(y0)$となる. ここで
おく.

$G(\mathrm{A})$は Section 3 で与えられた$\omega^{n}$$G(\mathrm{A})$の Weil 表現とする.

改めて$\Phi_{1}=\overline{\nu}_{1}^{2n}\otimes\overline{\Phi}\in\overline{\nu}_{1}^{2n}\otimes V_{\overline{\pi}}$

と

上の関数を
$V_{(,f)}^{s_{\Phi_{1}}}(1g)= \alpha(g)-s-n/2\int_{M(\mathrm{A})}W_{\Phi_{1}}(a_{m})|\det a_{m}|^{s+}Efn/2i(g^{-}X0a_{m})1dm$

により定義すれば,(5.2)$J^{*}(s, \varphi_{f}^{*}, F_{\Phi})=\int_{U(\mathrm{A})\backslash c(}\mathrm{A}))^{s+}\nu 1(g)n_{W(\varphi}\mathit{9})R_{f_{2}}(g)\alpha(gn/2V_{(\Phi_{1},)}s(_{\mathit{9})g}f_{1}d$を得る. [5] の結果より$V_{(\Phi_{1},f1}^{S}$) (9)を定義する積分は $\Re(s)>>0$ で絶対収束し, 全 s-平面上正則に解析接続される. そして$V_{(\Phi 1f_{1})}^{s},(g)\in W(I(\pi_{1}), \psi^{-1})$である. ゆえに$s$に正則に依存する$\overline{F}(s, \Phi 1, fi)\in I(\pi_{1})$が存在して$V_{(\Phi}^{s_{1}},(f_{\text{、}})g)=W_{\overline{F}}(s,\Phi 1,f\text{、})(g)$と書ける. よって
$J^{*}(_{S}, \varphi^{*}f’)F_{\Phi}=J(s, \varphi,\overline{F}(s,\Phi_{1}, f_{1}), f2)$を得る. さらに$\Phi_{1},$$fi$がともに decomposable で$W_{\Phi_{\text{、}}}(a)= \prod W1(av)v\in V_{F}$ ’$(x_{v})$$f_{1}(x)= \prod_{F\text{。}\in V}f_{1}$ ,。

とする. 局所積分を$V_{(W_{1.v},fv}^{S}(1,)g)= \alpha(g)-s-n/2\int_{M(F_{v})}W_{1,v}(a_{m})|\det a_{m}|^{s}E^{+}f_{i_{v}}n/2,(g-1\mathit{0}xa_{m})dm$とすると$V_{(f_{1})}^{S} \Phi_{1},(g)=\prod_{v\epsilon V_{F}}V_{(1,vf1,v)}^{s_{W}},(g_{\text{。}})$となる. 各 $v\in V_{F}(\sigma, \pi, \mu, \nu)$ において, $W_{1,\text{ } }K_{v}$ -不変 Whittaker 関数, fi,。が standard lattice の特性関数
ならば [ の計算より
。 が

$5|$

$V_{(W_{1_{\text{。}}}.,f1,v}^{s}=L_{v})(_{S+}1/2, \pi_{1,v})W_{1,v}$

176となる. したがって, さらに各 $v\in V_{F}(\sigma,\pi,\mu, \nu)$ において

$W_{v},$$f_{2,v}$が不分岐であるようにとれば, (5.2) の右辺は$\prod_{v\in S}J_{v}(_{S,W_{\text{。}}}, V_{(}^{S}W_{1,,f}1,v)’ R_{f})1v2,v\frac{Ls(_{S+}1/2,\pi 1)L_{S}(S+1/2,(\sigma\copyright\nu_{1})n(\mathrm{X}\pi_{1}@\nu_{1}))}{Ls(2s+1,\pi 1,\gamma 1)}$

となる.

$\nu$

のとりかたから $Ls(s, \pi 1,r1)=L_{S}(S,\pi,r_{1})$ となることに注意すれば定理を得る.

Remark. これは推測であるが, Bn-型または BCn-型’– } 系の Rankin-Selberg convolution (cusp form と-型ルート系の Shimura 型ゼータ積分 (cusp form と Eisenstein 級数とEisenstein 級数の積の積分) と$\sim$$\overline{\tau}-$$C_{n}$

タ級数の積の積分) とのあいだにはある種の”duality” があるようにおもえる. 現象としては B、-型ルート系に相当するもの) があれば, それに\tau ---タ級数を$f)$$J(s,$に相当するもの) ができるというものである.
-型ルート系のゼータ積分 (含ませることによりこの対応はかなり –般的な状況 (例えば村瀬氏の構成法など) で成り立つようにおもえる. この”duality” のつの解釈が [1, Section 6] にある.の Rankin-Selberg convolution (このノートでは $J^{*}(s,$$\varphi^{*},\overline{F})$$\varphi,\overline{F},$$C_{n}$REFERENCES
1. S. Gelbart and I. Piatetski-Shapiro, -functions for $G\mathrm{x}GL(n)$ , in “Explicit Constructions of Automorphic L-functions,”
Springer Lec. Notes in Math. 1254, 1987.
$L$

2. B. Rmir, On $L-funct\cdot ons$ and intertwining opemtors for unitary gmups, Israel J. of Math. 73 (1991), 161

3. D. Soudry, Rnnkin-Selberg convolutions for$SO_{2p+1}\mathrm{x}GL_{n}.\cdot$

Local Theory, Memoirs Amer. Math. Soc..

4. T. Watanabe, Theta liftings for quase-split unitary groups, Manuscripta Math. 82 (1994), 241-260.

5. T. Watanabe, The global theta correspondence of $(GL_{n}, cL_{n})$ , preprint.
6. T. Watanabe, in preparation.

-

188.