５－２．空間図形の求積（長さ・面積・体積・角度ほか） 【２００９年度実施】【問１】
図のように，底面が 1 辺 a cm の正方形で，高さが h cm の直方体があります。この直方体の表面積を，a，h を使った式で表しなさい。
（北海道 2009 年度）

解答欄
cm2

【問２】
図は，三角錐 DABC の展開図で，四角形 ABCD は図 1 の台形です。線分 AC と BD との交点を H とし，∠CHD＝90°とします。この展開図を三角錐 DABC に組み立てると，∠BHD＝90°となります。このとき，三角錐 DABCの体積を求めなさい。
（北海道 2009 年度）

解答欄
cm3

【問３】
太郎君，花子さん，次郎君は数学の授業で三角定規を組み合わせて問題づくりをした。次の問１～問３に答えなさい。
（青森県 2009 年度）
問１．太郎君は，図 1 のように 1 組の三角定規を重ねた。斜線部の面積

図1を求めなさい。

問２．花子さんは，図２のように 60°の角をもつ同じ大きさの三角定規 2

図２枚を重ねた。△CDF と△EBF が合同になることを証明しなさい。

問３．次郎君は，図３のように 45°の角をもつ同じ大きさの三角定規 3枚で，三角すいを机の上に組み立てた。この三角すいの体積を求めなさい。ただし，三角定規の厚さは考えないものとする。

解答欄
cm2

問１
証明

問２

問３

cm3

図３

【問４】
図は，OA＝OB＝OC＝5cm，AB＝6cm，AC＝BC＝ 3 2 cm の四面体 OABC です。また，点 M は，辺 AB の中点です。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（岩手県 2009 年度）
問１．線分 OM の長さを求めなさい。

問２．∠OMC の大きさを求めなさい。

問３．辺 OC 上を動く点 P があります。△PAB の面積が最も小さくなる
とき，その面積を求めなさい。

解答欄
問１

cm

問２

度

問３

cm2

【問５】
図のように，底面が直角三角形で側面がすべて長方形の三角柱 ABC－DEF があり，∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝6cm，AD＝3cm である。また，辺 AC，辺 BC の中点をそれぞれ G，H とする。このとき，三角柱 ABC－DEF から三角錐 CFGH を切り取った残りの立体の体積を求めなさい。
（秋田県 2009 年度）

解答欄
cm3

【問６】
図のように，1 辺の長さが 6cm の立方体の展開図がある。線分 AB，線分 CD の中点をそれぞれ P，Q とする。この展開図を組み立てて立方体をつくったとき，2 点 P，Q の間の距離を求めなさい。
（秋田県 2009 年度）

解答欄
cm

【問７】
健さんは，図 1 のような 1 辺の長さが 6cm の立方体の形をした容器 ABCD－EFGH を使って，水の体積を調べてみることにした。次の間いに答えなさい。ただし，容器の厚さは考えないものとする。
（山形県 2009 年度）(1) 健さんが，図 1 の容器に水を入れて密閉し，傾けたところ，図 2 のように水面

図1は△AFH になった。このときの水の体積を求めなさい。

図2(2) 次に，健さんは，水の入った図 2 の容器を，面 EFGH が底になるように水平な台に置いた。このとき，面 EFGH から水面までの高さを求めなさい。

解答欄
(1)

cm3

(2)

cm

【問８】
図 1 は，トイレットペーパーのように，円柱の形をした芯に一定の厚さのうすい紙をすき間なく巻いたロール紙であり，色のついた部分を底面とする。1 つの底面の面積を底面積とすると，巻いてある紙の長さはロール紙の底面積に比例する。図 2 は，このロール紙の底面を示したものであり，内側の円の半径が 3cm，外側の円の半径が 8cm である。
（福島県 2009 年度）(1) このロール紙の底面積を求めなさい。
図1

図2(2) このロール紙を，底面の外側の円の半径が 6cm になるまで使った。図 3 は，使った後のロール紙の底面を示したものである。このとき，使った紙の長さと，残っている紙の長さを比べると，どのようなことが言えるか。次のア～ウの中から正しいものを 1 つ選び，記号で答えなさい。また，選んだ理由を説明しなさい。
図3
ア 使った紙のほうが長い。
イ 残っている紙のほうが長い。
ウ 使った紙と残っている紙の長さは等しい。

解答欄
cm2

(1)
記号〔
理由

(2)

〕

【問９】
図 1 のような，辺 AD と辺 BC が平行で，AB＝6cm，BC＝12cm，CD＝6cm，DA＝6cm の四角形 ABCD を底面とし，高さが 4cm の四角柱がある。このとき，次の問１，問２に答えなさい。
（福島県 2009 年度）
問１．点 A から辺 BC にひいた垂線と BC との交点を I と

図1

するとき，線分 AI の長さを求めなさい。

問２．図 2 のように，この四角柱の辺 BC，FG 上にそれぞれ点 J，K を，BJ：JC＝2：1，FK：KG＝2：1 となるようにとる。D を頂点とし四角形 JKGC を底面とする四図2

角すいの体積を Vcm3 とする。
(1) V を求めなさい。

(2) 線分 DK 上に点 P をとる。P を頂点とし，四角形
EFGH を底面とする四角すいの体積が，V の倍となるとき，線分 PK の長さを求めなさい。

解答欄
cm

問１
(1)

cm3

(2)

cm

問２

3
4

【問 10】図のように，1 辺が 4 cm の正三角形を底面とし，側面がすべて正方形である三角柱 ABCDEF がある。辺 AC の中点を G とし，線分 EG の中点を H とする。このとき，次の問１，問２に答えなさい。
（茨城県 2009 年度）
問１．三角柱 ABCDEF の体積を求めなさい。

問２．線分 DH の長さを求めなさい。

解答欄
問１

cm3

問２

cm

【問 11】
図の長方形を，直線ℓ を軸として 1 回転させてできる立体の側面積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。
（栃木県 2009 年度）

解答欄
cm2

【問 12】図のような，底面の半径が 3cm，高さが 6cm の円柱がある。AB は母線，BC は底面の直径である。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（栃木県 2009 年度）(1) AC の長さを求めなさい。

(2) △ABC の面積が，△ABD の面積の 2 倍になるように，点 D を底面の円周上にとる。このとき，三角錐 ABCD の体積を求めなさい。

解答欄
(1)

cm

(2)

cm3

【問 13】
図Ⅰは，各辺の長さがすべて等しい正四角すい ABCDE である。次の問１，問２に答えなさい。
（群馬県 2009 年度）
問１．図Ⅱは，正四角すい ABCDE の展開図の 1 つである。正四角すい

図Ⅰ

ABCDE の展開図は，回転したり，裏返したりして重なり合うものを 1つと数えると，全部で 8 つかくことができる。解答用紙の例にならって，
正四角すい ABCDE の展開図を，図Ⅱや例で示したもの以外に 3 つ
かきなさい。ただし，コンパスや定規を用いる必要はない。

問２．正四角すい ABCDE の 1 辺の長さを 2 cm とし，辺 BC，DE の中点

図Ⅱをそれぞれ M，N とする。辺 AC 上に点 P，辺 AD 上に点 Q を，3 つの線分 MP，PQ，QN の長さの和が最小となるようにとるとき，(1) 3 つの線分 MP，PQ，QN の長さの和を求めなさい。

(2) 点 C，D，N，M，P，Q の 6 点を頂点とする立体の体積を求めなさい。

解答欄

問１

(1)

cm

(2)

cm3

問２

【問 14】
図 1 に示した立体 A－BCD は，AD＝BD＝CD＝6cm，∠ADB＝∠ADC＝∠BDC＝90°の三角すいである。
点 E は辺 AD の中点である。点 P，点 Q は，それぞれ辺 AB，辺 AC 上にある点で，AP＝AQ である。点 E と点 P，
点 E と点 Q，点 P と点 Q をそれぞれ結ぶ。次の各問に答えよ。
（東京都 2009 年度）
問１．PE∥BD となるとき，線分 PQ の長さは何 cm か。ただし，答えに根図1号が含まれるときは，根号を付けたままで表せ。

問２．図 2 は，図 1 において，AP：PB＝2：1 となるとき，点 P と頂点 C，
点 P と頂点 D をそれぞれ結んだ場合を表している。立体 P－CQEDの体積は何 cm3 か。

解答欄
問１

cm

問２

cm3

図2

【問 15】
図は，AB＝6cm，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°の直角三角形 ABC を底面とする三角柱の展開図であり，四角形
ADEF は正方形である。また，点 G は線分 DE の中点である。このとき，この展開図を点線で折り曲げてできる三角柱について，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2009 年度）
問１．この三角柱の体積を求めなさい。

問２．この三角柱において，2 点 C，G 間の距離を求めなさい。

解答欄
問１

cm3

問２

cm

【問 16】図のように，底面の半径が 2cm，高さが 4cm の円柱があり，2 つの底面の中心を，それぞれ O， O とする。底面
O の円周上に，∠A O B＝120°となる点 A，B をとる。また，点 P は，底面 O の円周上を，矢印の向きに一周する点である。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（新潟県 2009 年度）
問１．この円柱の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。

問２．線分 AB の長さを求めなさい。

問３．3 点 P，A，B を結んでできる△PAB の面積が最も大きくなるとき，その面積を求めなさい。

解答欄
問１

cm3

問２

cm

問３

cm2

【問 17】
図 1 は，すべての辺の長さが 8cm の正四角錐であり，図 2 はその展開図である。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（石川県 2009 年度）
問１．図 2 の展開図を組み立てたとき，点 B と重なる点をア～エの記号で

図1

答えなさい。

問２．図 1 の正四角錐の体積を求めなさい。

図2

問３．図 3 のように，辺 OA，OD の中点をそれぞれ E，F とする。このとき，四角形 EBCF の面積を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

解答欄
問１
cm3

問２
計算

問３

図3

【問 18】図のような円錐の側面の展開図が半円であるとき，底面の半径の長さを求めよ。
（福井県 2009 年度）

解答欄cm

【問 19】図は，直方体 ABCD－EFGH に 4 本の対角線をひいたもので，この 4 本の対角線は 1 点 P で交わっている。
AB＝12cm，AD＝6cm，AE＝4cm とするとき，次の問１～問３に答えなさい。
（山梨県 2009 年度）
問１．対角線 AG の長さを求めなさい。

問２．△AEG において，AG を底辺としたときの高さを求めなさい。

問３．この直方体は，各面を底面とし，点 P を頂点とする四角すいが 6 個集まったものとみることができる。これらの四角すいのうち，長方形 EFGH を底面とし，点 P を頂点とする四角すいについて，次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) この四角すいの表面積を求めなさい。

(2) この四角すいの体積と直方体 ABCD－EFGH の体積の比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。

解答欄

問１

cm

問２

cm
(1)

cm2

問３
(2)

四角すいの体積：直方体の体積：

【問 20】
図は，4 つの面が直角三角形である三角錐の展開図である。AC＝DF＝5cm，CF＝6cm である。
（長野県 2009 年度）(1) この展開図を点対称な図形とみたとき，対称の中心から頂点
D までの距離を求めなさい。

(2) この展開図をもとに，三角錐をつくる。この三角錐の体積を求めなさい。

解答欄

(1)

cm

(2)

cm3

【問 21】
図は，三角柱の展開図である。この展開図を組み立ててつくられる三角柱の体積を求めなさい。
（岐阜県 2009 年度）

解答欄
cm3

【問 22】図 3 の容器は，△ABC を 1 つの底面とする三角柱の形をしている。図 3 において，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD＝8cm であり，側面はすべて長方形である。このとき，次の問１，問２に答えなさい。ただし，容器の厚さは考えないものとする。
（静岡県 2009 年度）
問１．辺 AB とねじれの位置にある辺はどれか。すべて答えなさい。

図3

問２．図 3 の容器を水平な台の上に置き，図 4 のように，水の深さが 4 cm になるまで静かに水を入れて密封した。水の入ったこの容器を，図 5 のように，面 BEFC が下になるように水平な台の上に静かに置き直した。図 5の面 ABC において，線分 AG は頂点 A から辺 BC にひいた垂線であり，

図4

点 H は線分 AG と水面の位置を表す線分との交点である。
(1) 線分 AG の長さを求めなさい。

図5(2) 線分 AH の長さを求めなさい。

解答欄
問１
(1)

cm

(2)

cm

問２

【問 23】
図Ⅰは，長方形 ABCD に円すいの展開図をかいたものである。円すいの側面は A を中心とする半径 AD，中心角
90°のおうぎ形で，底面である円 O は，辺 DC，BC とおうぎ形の弧に接している。図Ⅱは，図Ⅰの展開図の部分を組み立ててできる円すいで，線分 EF は円 O の直径，P，Q はそれぞれ線分 AE，AF 上の点である。AB＝15cm，AP＝7cm，AQ＝ 3 2 cm のとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。
（愛知県Ａ 2009 年度）(1) 図Ⅱの円すいの体積は何 cm3 か。

図Ⅰ(2) 図Ⅱの円すいの側面に，点 P から点 Q まで糸をかける。糸の長さが最も短くなるよ

図Ⅱ

うにするとき，その糸の長さは何 cm か。

解答欄

(1)

cm3

(2)

cm

【問 24】立体 ABCDE は側面がすべて正三角形である正四角すいの容器である。図Ⅰのように，この容器の底面 ABCDが水平になるようにして，頂点 E から水面までの高さが 3 cm になるまで水を入れて，容器を密封した。
次にこの容器を，図Ⅱのように底面 ABCD を下にして水平な台に置いたところ，水面の面積は図Ⅰの水面の面積の4倍になった。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。ただし，容器の厚さは考えないものとする。
9（愛知県Ｂ 2009 年度）(1) 図Ⅰの水面の面積は何 cm2 か。

(2) 正四角すい ABCDE の体積は何 cm3 か。

解答欄
(1)

cm2

(2)

cm3

図Ⅰ

図Ⅱ

【問 25】図は，背もたれの面を長方形 ABEF，座る面を正方形 BCDE とした回転式のいす椅子の見取図である。正方形
BCDE 上の点 O を中心に，座る面を常に水平にして回転させるとき，点 A の描く円の半径は何 cm か。求めなさい。
ただし，各線分の長さは図 4 のとおりであり，点 M は線分 BE の中点で，OM⊥BE，∠ABC＝120°とする。
（滋賀県 2009 年度）

解答欄cm

【問 26】
図Ⅰのように，正四角錐の形をした透明な容器 P がある。この容器 P は，OA＝OB＝OC＝OD＝15cm で，正方形 ABCD の部分の対角線 AC と BD の交点を H とするとき，OH＝12cm の容器である。このとき，次の問１・問２に答えよ。ただし，容器の厚さは考えないものとする。
（京都府 2009 年度）
図Ⅰ

図Ⅱ

図Ⅲ

問１．線分 AH の長さを求めよ。また，図Ⅱのように，容器 P の正方形 ABCD の部分を水平にして，この容器に水を入れ，満水にしたときの水の体積を求めよ。

問２．図Ⅱのように，容器 P を満水にしたときの水を，図Ⅲのように，1 辺が 12 cm の立方体の形をした透明な容器 Qに残らず注いだ。このとき，容器 Q に入っている水の深さを求めよ。ただし，容器 Q は水平な台の上に置いてあるものとする。

解答欄
問1
問２

AH＝

cm， 水の体積cm

cm3

【問 27】
図Ⅰにおいて，立体 ABCD－EFGH は，1 辺の長さが 2cm の立方体である。図Ⅱ，図Ⅲにおいて，立体 I－
JKLM は正四角すいである。次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は，その形のままでよい。
（大阪府 前期 2009 年度）
問１．図Ⅰにおいて，

図Ⅰ(1) 次のア～カのうち，辺 AE と垂直な面はどれですか。すべて選び，記号を書きなさい。

ア 面 ABCD

イ 面 AEFB

ウ 面 AEHDエ 面 BFGC

オ 面 DHGC

カ 面 EFGH

図Ⅱ(2) 立方体 ABCD－EFGH の対角線 AG の長さを求めなさい。

図Ⅲ
問２．図Ⅱ，図Ⅲにおいて，N は底面 JKLM の対角線の交点であり，直線 IN は底面 JKLM と垂直である。底面 JKLM は 1 辺の長さが a cm の正方形であり，IN＝4 cm である。
(1) 図Ⅱの正四角すい I－JKLM の体積が図Ⅰの立方体 ABCD－EFGH の体積と等しいときの a の値を求めなさい。求め方も書くこと。

(2) 図Ⅲにおいて，P は辺 IJ 上の点であり，IP：PJ＝3：2 である。Q は，P を通り辺 JK に平行な直線と辺 IK との交点である。R は，P を通り直線 IN に平行な直線と線分 JL との交点である。PQ＝PR となるときの a の値を求めなさい。

解答欄

(1)
問１
(2)

cm
求め方

(1)
問２

答 a の値(2)

【問 28】
図Ⅰ～図Ⅲにおいて，立体 ABCD－EFGH は四角柱である。四角形 ABCD と四角形 EFGH は合同な台形であり，AB ∥ DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，CD＝3cm である。四角形 ADHE，DCGH，
ABFE，BCGF は長方形であり，AE＝2cm である。次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は，その形のままでよい。
（大阪府 後期 2009 年度）
問１．図Ⅰにおいて，(1) 次のア～オのうち，辺 BC と平行な辺，辺 BC とねじれの位置にある辺はそれぞれどれですか。一つずつ選び，記号を書きなさい。

ア 辺 AD図Ⅰ

イ 辺 BFウ 辺 DCエ 辺 EHオ 辺 FG(2) A と G とを結んでできる線分 AG の長さを求めなさい。
図Ⅱ

問２．図Ⅱにおいて，I は，E を通り辺 FG に平行な直線と直線 HG との交点である。このとき，4 点 E，B，C，I は同じ平面上にあり，E と B，I と C とをそれぞれ結んでできる四角形 EBCI は長方形である。J は，辺 IC と辺 DHとの交点である。E と J とを結んでできる△EJI の面積を求めなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。
図Ⅲ

問３．図Ⅲにおいて，四角柱 ABCD－EFGH は平面 EFCD によって二つの立体に分けられる。その二つの立体のうち，点 A をふくむ方の立体の体積を求めなさい。

解答欄

平行な辺
(1)
問１

ねじれの位置にある辺
(2)

cm

求め方

問２

答
問３

cm2
cm3

【問 29】図は，底面の 1 辺の長さが 5cm で，高さが a cm の正四角柱である。この正四角柱の表面積を a を用いて表せ。
（奈良県 2009 年度）

解答欄
cm2

【問 30】
ある円錐の側面の展開図は，半径 18cm のおうぎ形である。このおうぎ形の弧の長さが 12πcm のとき，次の(1)，(2)に答えなさい。ただし，πは円周率を表している。
（和歌山県 2009 年度）(1) このおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

(2) この円錐の体積を求めなさい。

解答欄
(1)

度

(2)

cm3

【問 31】
図Ⅰのように 1 辺の長さが 6cm の立方体の 3 つの頂点 D，E，G を結んでできる△DEG がある。立方体の 2 つの頂点 B と H とを結ぶ対角線をひいたところ，対角線 BH は，△DEG と垂直に交わった。対角線 BH と△DEG との交点を P とするとき，次の各問いに答えなさい。
（鳥取県 2009 年度）
問１．線分 EG の長さを求めなさい。

問２．△DEG の面積を求めなさい。

問３．線分 PH の長さを求めなさい。
問４．この立方体を図Ⅱのように頂点 B，H を通る直線ℓ を軸として回転させる。このときにできる立体を，ℓ を含む平面で切るとき，切り口はどのような図形になっていますか。次の(ア)～(エ)から正しいものを 1 つ選び記号で答えなさい。
図Ⅱ

解答欄
問１

EG＝

cm2

問２
問３
問４

cm

PH＝

cm

図Ⅰ

【問 32】図のような，AB＝3cm，∠A＝60°，∠B＝90°の直角三角形 ABC がある。この三角形を辺 BC を軸として 1 回転させてできる立体の体積はcm3 である。
（岡山県 2009 年度）

解答欄
cm3

【問 33】
図のように，正方形 ABCD があります。下の①～④はそれぞれ，正方形 ABCD から，1 辺の長さが正方形 ABCDの 1 辺の長さの1である正方形を切り取った図です。①～④の中で，直線 AB を軸として 1 回転させてできる立体
4の体積が最も大きくなるものはどれですか。その番号を書きなさい。
（広島県 2009 年度）

解答欄

【問 34】
山口さんの学校の生徒会は，紙パックを集める活動に取り組んでいる。山口さんは，牛乳が入った紙パックの大きさを測ってみたところ，図 1 のように，点 A，B，C，D，E，F，G，H を頂点とする直方体の形をした部分は，FG＝GH＝7cm，DH＝20cm であった。次の問１～問３に答えなさい。
（山口県 2009 年度）
図1

図2

図3

問１．図１の紙パックに入っている牛乳をコップに注ぎ，図 2 のように，液面が長方形 BCHE となった時点で注ぐのをやめた。このとき，紙パックの変形は考えないものとして，紙パックの中に残っている牛乳の体積を求めなさい。

問２．図 3 は，空になった図 1 の紙パックを切り開いたものである。図 3 のア～エの示す点は，図 1 の 4 つの頂点 A，
B，C，D のいずれかである。点 A をア～エの中から 1 つ選び，記号で答えなさい。

解答欄
問１
問２

cm3

【問 35】展開図が図のようになる三角柱の 体積 を求めなさい。ただし，∠BAC＝90°とする。
（徳島県 2009 年度）

解答欄

cm3

【問 36】
図は，底面が台形である四角柱の展開図である。これを組み立ててできる四角柱の 2 つの頂点 A，B を結ぶ線分
AB の長さを求めよ。
（愛媛県 2009 年度）

解答欄cm

【問 37】
図は A，B，C，D，E，F，G，H を頂点にもつ直方体で AB＝4cm，AD＝3cm，DH＝2cm である。この直方体に，頂点 A から辺 BC を通って，頂点 G まで糸をかけた。かけた糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さを求めよ。
ただし，糸の伸び縮みおよび太さについては考えないものとする。
（高知県 2009 年度）

解答欄cm

【問 38】図のように，O，A，B，C，D を頂点とし，正方形 ABCD を底面とする正四角すいがあり，そのすべての辺の長さは4 cm である。点 P は B を出発して，底面の辺上を C，D の順に A まで毎秒 lcm の速さで動く。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（高知県 2009 年度）
問１．辺 OA とねじれの位置にある辺はどれか。すべて書け。

問２．点 P が B を出発してから 5 秒後のとき，3 点 A，B，P を頂点とする三角形の面積を求めよ。

問３．点 P が B を出発してから x 秒後のとき，4 点 O，A，B，P を頂点とする三角すいの体積が 4 2 cm3 となる。このとき，x の値をすべて求めよ。

解答欄
問１
cm2

問２
問３

x＝

【問 39】図は，底面 ABC が AB＝AC＝6cm の直角二等辺三角形で，側面がすべて長方形の三角柱 ABC ，DEF を表しており，AD＝12cm である。次の問１～問３の使う場合はの中にあてはまる最も簡単な数を記入せよ。ただし，根号をの中を最も小さい整数にすること。
（福岡県 2009 年度）

問１．図に示す立体で辺 AD とねじれの位置にある辺は全部で問２．図に示す立体において△FAB の面積は

cm2

本

ある。

である。

問３．図に示す立体において，辺 AD の中点を M とする。△FCB を底面とし，点 M を頂点とする三角すい MFCB
の体積は

解答欄
問１
問２
問３

cm3

である。

【問 40】1 辺の長さが 1cm の立方体のブロックを使って，いろいろな立体をつくるとき，次の問１，問２に答えなさい。
（佐賀県 前期 2009 年度）
図1

問１．図 1 のように，1 回目，2 回目，3 回目，… と操作を続け，1 段ずつ増やしていき立体をつくる。
A さんは図 1 を見て，次のことに気づいた。
3 回目の操作でできた立体は 1 段目には 1 個，2 段目には 5 個，3 段目にはクがある。このことから，1 段増えるごとに前の段よりも

②

①

個のブロッ

個のブロックが多く必要である。

このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) 上の①，②にあてはまる数を求めなさい。

(2) 4 回目の操作をしたとき，4 段目には
立体は，全部でか行ったとき， ⑥④③

個のブロックがある。したがって，4 回目の操作でできあがった個のブロックからできており，表面積は⑤cm2 である。さらに，この操作を何回段目には 33 個のブロックがある。③，④，⑤，⑥にあてはまる数を求めなさい。

問２．20 個のブロックをすべて使って 1 つの直方体をつくるとき，何種類かの直方体ができる。このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) 図 2 のような直方体ができたとき，次の①，②に答えなさい。
① 図 2 の直方体の高さは何 cm か求めなさい。

② 図 2 の直方体の表面積は何 cm2 か求めなさい。

(2) このときできる直方体は図 2 以外にもある。それぞれの直方体の表面積で，最も大きい表面積は何 cm2 か，また，最も小さい表面積は何 cm2 か，
求めなさい。

図2

解答欄

①
(1)
②
③
問１
④
(2)
⑤
⑥
①

cm

②

cm2

(1)
問２
最も大きい表面積cm2

最も小さい表面積cm2(2)

【問 41】
図 1 のように，AB＝10cm，AC＝8cm，∠C＝90°の直角三角形 ABC がある。この直角三角形 ABC を，図 2のように，直線 AB を軸として 30°だけ回転させたとき頂点 C が移動した点を D とし，三角すい ABCD をつくる。また，辺 AB 上に，CH⊥AB となるように点 H をとる。このとき，次の問１～問５に答えなさい。
（佐賀県 後期 2009 年度）
図1

問１．BC の長さを求めなさい。

問２．CH の長さを求めなさい。

問３．△CDH の面積を求めなさい。

図2

問４．三角すい ABCD の体積を求めなさい。

問５．直角三角形 ABC を，直線 AB を軸として 60°だけ回転させたとき，頂点 C が移動した点を E とし，三角すい
ABCE をつくる。このとき，三角すい ABCE の体積は，三角すい ABCD の体積の何倍か。

解答欄
問１

cm

問２

cm

問３

cm2

問４

cm3

問５

倍

【問 42】図のように，AD＝2cm，CD＝3cm，AG＝7cm の直方体がある。このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
（佐賀県 後期 2009 年度）(1) AC の長さを求めなさい。

(2) △AEG の面積を求めなさい。

解答欄
(1)

cm

(2)

cm2

【問 43】図のように，長さ 2cm の線分 AB を直径とする円 O の周上に，弧 AB を 3 等分する点をとり，A に近い方から C，
D とする。また，点 B を接点とする円 O の接線と直線 AC，直線 AD との交点をそれぞれ E，F とする。このとき，次の問１～問５に答えなさい。
（佐賀県 後期 2009 年度）
問１．∠BOD の大きさを求めなさい。

問２．BF の長さを求めなさい。

問３．△ABF∽△EBA であることを証明しなさい。

問４．△AFE の面積は△ABE の面積の何倍か。

問５．△BCF の面積を求めなさい。

解答欄
問１

度

問２

cm
証明

問３

問４

倍

問５

cm2

【問 44】
図 1～図 3 のように，8 つの点 A，B，C，D，E，F，G，H を頂点とする直方体 ABCDEFGH があり，AB＝AD＝9cm，AE＝8cm である。また，点 P は辺 AB 上にあり，AP＝6cm である。このとき，次の問いに答えなさい。
（長崎県 2009 年度）
問１．図 1 の直方体 ABCDEFGH において，辺 AB とねじれの位置にあ

図1る辺は，全部で何本あるか。

問２．図 2 において，4 つの点 P，E，F，G を頂点とする三角すい PEFGの体積は何 cm3 か。

問３．図 2 において，線分 EP の長さは何 cm か。

図2

問４．図 3 のように，線分 EP の延長と辺 FB の延長との交点を Q とすると
き，線分 BQ の長さは何 cm か。

図3
問５．図 3 において，台形 PEFB を，辺 BF を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 cm3 か。

解答欄
問１

本

問２

cm3

問３

cm

問４

cm

問５

cm3

【問 45】
図 1～図 3 のように，8 つの点 A，B，C，D，E，F，G，H を頂点とする直方体 ABCDEFGH があり，AB＝AD＝9cm，AE＝8cm である。また，点 P は辺 AB 上にあり，AP＝6cm である。このとき，次の問いに答えなさい。
（長崎県 2009 年度）
問１．図 1 の直方体 ABCDEFGH において，辺 AB とねじれの位置にある辺

図1

は，全部で何本あるか。

問２．図 2 において，4 つの点 P，E，F，G を頂点とする三角すい PEFG の体
積は何 cm3 か。

問３．図 2 において，線分 EP の長さは何 cm か。

図2

問４．図 3 のように，線分 EP の延長と辺 FB の延長との交点を Q とするとき，
線分 PQ の長さは何 cm か。

図3

問５．図 3 において，台形 PEFB を，辺 BF を軸として 1 回転させてできる立体の表面積は何 cm2 か。

解答欄
問１

本

問２

cm3

問３

cm

問４

cm

問５

cm2

【問 46】図のように，8 点 A，B，C，D，E，F，G，H を頂点とする立方体がある。立方体の 1 辺の長さは 4cm で，辺 AB の
中点を P，辺 BC の中点を Q とする。次の問１～問３に答えなさい。
（大分県 2009 年度）
問１．線分 AG の長さを求めなさい。

問２．三角すい PBFQ の体積を求めなさい。

問３．6 点 A，P，Q，C，E，G を頂点とする立体の体積を求めなさい。

解答欄

問１

cm

問２

cm3

問３

cm3

【問 47】
図 1 のような，正四角柱がある。この正四角柱の側面の展開図は，図 2 のような縦 8cm，横 16cm の長方形であった。このとき，次の各問いに答えなさい。
（熊本県 2009 年度）
問１．図 1 の正四角柱の体積を求めなさい。

図1

問２．次に，図 2 の長方形を図 3 のように 2 つの長方形 A，B に分け，長方形 A の横を x cm (0＜x＜8) とする。図 4 は，A が側面の展開図となる正四角柱であり，高さは x cm である。また，図 5 は，B が側面の展開図となる正四角柱であり，高さは 8 cm である。図 4 の正四角柱

図2の体積を V cm3，図 5 の正四角柱の体積を V  cm3 とする。
(1) V ： V  ＝2：9 となるときの，x の値の求め方について，
次の

ア

，

イ

には式を， ウ， エには数を入れて，文を完成しなさい。

図3

まず，V を x の式で表すと V＝れ V  を x の式で表すと V  ＝アイという一次式で表さという二次式で表される。

次に，V： V  ＝2：9 という条件を利用して，x についての方程式をつくると，x2－

ウ

x＋

エ

＝0 という二次方程式が得られ，この二次方程式を解くことによって x の値が求められる。

(2) V： V  ＝2：9 となるとき図 4 と図 5 の 2 つの正四角柱の体積の和を求めなさい。

解答欄
cm3

問１
ア
イ
(1)
問２

ウ
エ
(2)

cm3

図4

図5

【問 48】
図 1 は，頂点を A とし，底面の直径 BC が 4cm，母線 AB が 8cm の円すいであり，母線 AB，AC の中点をそれぞれ M，N とする。また，線分 MN を直径とする円 O は底面に平行であり，円 O の円周は円すいの側面上にある。
この円すいに点 B から側面を一回りして，点 M まで糸を巻きつける。このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。また，糸の伸び縮みおよび太さは考えないものとする。
（熊本県 2009 年度）
問１．円すいの高さを求めなさい。

図1

問２．図 2 は，点 B から点 M までの糸の長さが，最も短くなるように巻きつけたもので

図2ある。このとき，糸は円 O の周上の点 P を通った。点 P から点 M までの糸の長さを求めなさい。

解答欄

問１

cm

問２

cm

【問 49】図Ⅰのような，6 点 A，B，C，D，E，F を頂点とする三角柱の形をした屋根がある。この屋根の 4 点 B，C，E，F に，それぞれ同じ長さの支柱を取り付け，その支柱を平らな地面に垂直に立て，テントをつくる。AB＝AC，BC＝2m，CF＝3m，∠ABC＝30°のとき，次の問１～問４に答えなさい。ただし，円周率はπとし，屋根の面の厚さや支柱の太さは考えないものとする。
（宮崎県 2009 年度）
問１．図Ⅰにおいて，辺 AB の長さを求めなさい。

図Ⅰ

問２．図Ⅱは，図Ⅰにおいて，辺 BE を地面に固定したまま，辺 CFを持ち上げ，2 点 C，F にそれぞれ支柱 C G と F H を取り付

図Ⅱけ，その支柱を地面に垂直に立てたものである。このとき，∠ C BG の大きさは 45°であった。点 C が点 C まで動いたとき，点 C が動いてできる線の長さを求めなさい。

問３．図Ⅲは，図Ⅱにおいて，支柱 C G と F H を地面に垂直に固図Ⅲ定したまま，辺 BE を持ち上げ，2 点 B，E にそれぞれ支柱
B I と E J を取り付け，その支柱を地面に垂直に立てたものである。点 B が点 B まで動いたとき，線分 AD が動いてできる面の面積を求めなさい。
図Ⅳ
問４．図Ⅳは，図Ⅱと図Ⅲの動きのようすを合わせて示したものである。図Ⅱのように，点 C が点 C まで動き，次に，図Ⅲのように，点 B が点 B まで動いたとき，長方形の面 ABED が動いてできる立体の体積を求めなさい。

解答欄

問１

m

問２

m

問３

m2

問４

m3

【問 50】
図 1 は，1 辺の長さが 6cm の立方体の容器 ABCD－EFGH に水をいっぱいに入れたものであり，点 P は辺 AEの中点，点 Q は辺 DH の中点である。図 2 のように，図 1 の容器を静かに傾けて，水面が四角形 PBCQ になるまで水をこぼした。また，図 3 は図 1 の容器の展開図であり，図中の ・ は各辺の中点である。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。ただし，容器の厚さは考えないものとする。
（鹿児島県 2009 年度）(1) 容器に残った水の体積は何 cm3 か。

図1

図2(2) 四角形 PBCQ の 4 辺のうち，辺 BC 以外の 3 辺を図 3 に実線で示せ。ただし，各点の記号 P，B，C，Q は書かなくてもよい。
図3

解答欄
(1)

(2)

cm3

【問 51】
図 1 は，底面が 1 辺 2cm の正方形で，高さが 4cm の正四角柱である。このとき，次の問いに答えなさい。
（沖縄県 2009 年度）
問１．図 1 の正四角柱の体積を求めなさい。

図1

問２．図 2 は正四角柱で，図 1 の正四角柱と比較すると体積は等しく，高さは半分である。この正四角柱の底面の 1 辺の長さを求めなさい。

図2

問３．図 3 は，図 1 において対角線 AC と対角線 BD の交点を I，対角線 EG と対角
線 FH の交点を J，底面 EFGH の辺上の点を P とし，I，A，P，J の順に糸をかけたものである。このとき，糸は正四角柱の表面に沿って長さがもっとも短くなるよ
図3

うにかけるものとする。
(1) 点 P が頂点 E の位置にあるとき，糸の長さを求めなさい。

(2) 点 P が頂点 G の位置にあるとき，糸の長さを求めなさい。

解答欄
問１

cm3

問２

cm
(1)

cm

(2)

cm

問３