Q2-1

TheoryJapanese (Japan)

理論 第２問 ターンテーブルの上のボール [10.0 点]
前文
表記と慣例：ベクトル 𝐴 ⃗ の長さは，単に 𝐴 ≡ |𝐴|⃗ と表記する．その 𝑥, 𝑦, 𝑧 成分は，それぞれ 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 と表̇⃗
す．ある量の時間微分は，その量の上のドットで示す: 𝐴 ⃗ ≡ 𝑑𝐴/𝑑𝑡,
𝐴 ̇ ≡ 𝑑𝐴/𝑑𝑡. ベクトル 𝐴 ⃗ の方向に沿った単̂位ベクトルは 𝐴 と表す．したがって，直交座標に沿った単位ベクトルは，𝑥,̂ 𝑦,̂ 𝑧 ̂ となる．スカラー積とベクトル積の定義は次のとおりである：(𝐴 ⃗ ⋅ 𝐵)⃗ = (𝐵⃗ ⋅ 𝐴)⃗ = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 = 𝐴𝐵 cos 𝜃(𝐴 ⃗ × 𝐵)⃗ = −(𝐵⃗ × 𝐴)⃗= (𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 )𝑥̂ + (𝐴𝑧 𝐵𝑥 − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 )𝑦 ̂ + (𝐴𝑥 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 )𝑧 ̂|𝐴 ⃗ × 𝐵|⃗ = 𝐴𝐵 sin 𝜃,
ここで 𝜃 は 𝐴 ⃗ と 𝐵⃗ の間の角度である．ベクトルとその乗算について，次のような性質が必要になることがある．ベクトル三重積の法則は:(𝐴 ⃗ × 𝐵)⃗ × 𝐶 ⃗ = (𝐴 ⃗ ⋅ 𝐶)⃗ 𝐵⃗ − (𝐵⃗ ⋅ 𝐶)⃗ 𝐴,⃗(𝐴 ⃗ × 𝐵)⃗ ⋅ 𝐶 ⃗ = (𝐵⃗ × 𝐶)⃗ ⋅ 𝐴 ⃗ = (𝐶 ⃗ × 𝐴)⃗ ⋅ 𝐵.⃗
ベクトル積は，例えば，𝑣 ⃗ = 𝜔⃗ × 𝑟,⃗⃗𝐹𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧= 𝑄𝑣 ⃗ × 𝐵,⃗など，物理学の多くの関係を記述するのに非常に便利である．
多くの場合，ベクトル成分に関する 3 つの方程式を 1 つの方程式にまとめ，時間を節約することができる．
問題の提示

図 1. ターンテーブル上を滑ることなく転がるボール
質量 𝑚 で半径 𝑟 の球が，水平なターンテーブルの上を滑ることなく転がっている（図 1 参照）．その質量密度は球面対称，すなわち中心からの距離にのみに依存する．ボールの慣性モーメントは 𝐼 である．ターンテー
ブルが自由に回転できるパート B と C では，ターンテーブルの慣性モーメントを 𝐼𝑑 と表記する．この問題の目的は，実験室系でボールの運動と軌道を解析することである．この問題では，ボールが落ちないようにターンテーブルを十分な大きさにしておく．記号について，以下の表記を使用する:
Ω ‑ ターンテーブルの角速度の大きさ,

Q2-2Theory

Japanese (Japan)𝜔⃗ ‑ ボールの回転軸に対する回転角速度,
𝑅⃗ ‑ ターンテーブルの回転軸に対するボールの中心の水平位置,𝑣⃗ ‑ 実験室系の 𝑅⃗ におけるボールの速度.
⃗
ボールの初期位置 𝑅⃗ 0 ≡ 𝑅(0)と速度 𝑣0⃗ ≡ 𝑣(0)⃗ ，ターンテーブルの角速度 Ω0 ≡ Ω(0) は既知であるとする．初⃗⃗期ベクトル量 𝑅0 ≡ 𝑅(0) と 𝑣0⃗ ≡ 𝑣(0),⃗については，その方向が既知であるとする．また，ベクトル量を表現する必要があるときは，𝑧 ̂ を使って表現することができる．また，既知の量について式を書くように求められたら，𝑚, 𝑟, 𝐼, 𝐼𝑑 のいずれか，またはすべてを使用してもよい．特に断りのない限り，𝐼 は一般的なものとしてよい．次の表記が推奨される：
𝐼𝑑𝐼
𝛼 = 𝐼+𝑚𝑟
2 , 𝛿 = 𝑚𝑟2 ,最終的な答えは，軸方向のクロスプロダクト（ベクトル積），ドットプロダクト（スカラー積），単位ベクトルを含むベクトル式で書くことができる．

パート A：角速度一定のターンテーブル上のボール [1.5 点]
まず，ターンテーブルの角速度が垂直軸 𝑧 ̂ に対して一定で，したがって Ω = Ω0 という最も単純なケースから始める．
A.1

ボールの速度 𝑣 ⃗ を Ω, 𝜔,⃗ 𝑟 と 𝑅⃗ で表せ．

0.1pt

A.2

前問の結果に対して，小球の中心に対するニュートンの式とトルク（力のモーメント）の式をふまえて，ボールの加速度 𝑎⃗ ≡ 𝑣 ⃗̇ を Ω, 𝑣,⃗ 𝑟, 𝑚 と 𝐼 で表せ．

0.2pt

A.3

前問の結果から，速度 𝑣 ⃗ を Ω, 𝑅,⃗ 𝑣0⃗ , 𝑅0⃗ , 𝑟, 𝑚 と 𝐼 で表せ．

0.2pt

A.4

ボールの軌跡を求めよ．与えられた初期条件 𝑣0⃗ と 𝑅⃗ 0 が与えられたときのボールの軌跡の具体的な解を求めよ．

0.5pt

A.5

今回，ボールが一様な質量密度 𝐼 = 2𝑚𝑟2 /5 を持つとする．あなたが見つけた軌道には，その大きさを定義する 1 つのパラメータ 𝑅𝑡 がある．その大きさは，𝑅0 と同じになるように選ぶ．ボールがテーブル上の初期位置 (𝑡 = 0 におけるターンテーブルの位置) に最も近い距離で接近するのにかかる時間はどれくらいか？

0.5pt

パート B：自由に回転するターンテーブルの上のボール [4.0 点]
このパートでは，ターンテーブルは 𝑧‑軸の周りに摩擦なく自由に回転することができる．したがって，その自由な回転は，ボールの摩擦によってのみ妨げられる．
B.1

ボールの速度 𝑣 ⃗ と加速度 𝑣 ⃗̇ を Ω , 𝑅,⃗ Ω0 , 𝑅⃗ 0 , Ω,̇ 𝑟, 𝑚 と 𝐼 で表せ．

0.2pt

B.2

ターンテーブルの角加速度 Ω̇ の大きさを Ω, Ω0 , 𝑅,⃗ 𝑅⃗ 0 , 𝑣0⃗ , 𝑟, 𝑚, 𝐼 と 𝐼𝑑 で表せ．この問題の冒頭で定義した定数 𝛼 と 𝛿 を用いてもよい．

0.6pt

Q2-3

TheoryJapanese (Japan)

B.3

ターンテーブルの角速度 Ω の大きさを 𝑅 のみの関数として表せ．この定数を
Ω0 , 𝑅, 𝑟, 𝑚, 𝐼 , 𝐼𝑑 で表せ．

0.6pt

B.4

B.3 の結果から，与えられた Ω0 , 𝑅0 に対して，最大の Ω を求めよ．

0.1pt

B.5

システム全体の角運動量を垂直成分 𝑧𝑀
̂ 𝑧 を書き下せ．定数項を差し引き，残った部分を 𝑧𝐿
̂ と名付ける．
B.1 では，ボールの速度 𝑣 ⃗ を求めたが，ボールの位置 𝑅⃗ に依存する項と定数ベクトルの和で表される．この定数ベクトルを 𝑐 ⃗ とする．𝑥‑軸の方向をこのベクトルの方向に，𝑦‑軸の方向を 𝑧 ̂ × 𝑐 ⃗ に選べ．この座標系で，Ω を 𝐿, 𝑅,⃗ 𝑐,⃗ 𝑧,̂ 𝑅2 , 𝑟, 𝑚, 𝐼 と 𝐼𝑑 の関数として求めよ. これを B.3 の結果と合わせて，𝑅2 と 𝑦 の変数と 𝐿, 𝑟, 𝑚, 𝐼, 𝑐 と𝐼𝑑 を含む方程式を書き下せ．ここで，𝑐 は 𝑐 ⃗ の大きさである. 𝑅2 = 𝑥2 + 𝑦2 を代入
して，𝑥 と 𝑦 の変数だけを含む表式を求め，曲線を描け．これから，すべての可能な軌跡をリストアップせよ．

2.5pt

パート C：磁場中のターンテーブル上のボール [4.5 点]
このパートでは，密度分布が 𝐼 = 𝑚𝑟2/10 となるような状況を考える．これは，例えば，ボールが半径の半分まで均一な密度で満たされ，残りの部分は無視できる質量である場合に実現できる．さらに，ボールの外表面には一様な電荷密度 𝑄/(4𝜋𝑟2) , ここで 𝑄 は全表面電荷である．セットアップ全体は，均一な磁場 𝐵⃗ ，すなわち，𝑧 方̂ 向にある磁場の中にある．ターンテーブルはパート A と同じように，定数 Ω で回転する．

図 2. 一定磁場 𝐵⃗ の中でターンテーブル上を転がるボール
C.1

ボールの運動のニュートン方程式とトルク 𝜏𝑠⃗ の方程式を書き下せ．ボールが軸を中心に回転することによるトルクの式を 𝑄, 𝑟, 𝜔⃗ と 𝐵⃗ により表せ.

0.5pt

C.2

C.1 の結果を用いて，実験室系に対するボールの直線加速度を 𝑄, 𝑟, 𝜔⃗ と 𝐵⃗ で表せ.

0.5pt

Theory

Q2-4Japanese (Japan)

C.3単位長さの量はすべてメートル，角速度はすべて 1 ヘルツ，時間の量はすべて 1 秒を単位とするとする。
C.2 で求めた直線加速度の式は，𝑅⃗ に関する次の形の 2 階微分方程式である：
𝑑2 𝑅⃗𝑑𝑅⃗⃗𝑑𝑡2 − 𝛾 𝑑𝑡 × 𝑧 ̂ + 𝛽 𝑅 = 0.
𝛾 と 𝛽 の定数を 𝑄, 𝑟, 𝐵, 𝐼, 𝑚, Ω で表せ．これから，𝑅⃗ の成分を極座標に変換する:
𝑥(𝑡) = 𝜌(𝑡) cos(𝜂(𝑡)),𝑦(𝑡) = 𝜌(𝑡) sin(𝜂(𝑡))新しい微分方程式は 1 次の時間微分項を持たない．ここで，極角 𝜂(𝑡) は時間の関数である．この関数を求めよ．
新しい微分方程式の 𝜌(𝑡) の係数 𝛽 ′ を 𝛾 と 𝛽 で表せ. 時間に対する 𝜌(𝑡) の振る舞いが，調和的，指数的など，さまざまなタイプになる条件を書き下せ。

1.0pt

C.4

パート C.3 で求めた解の初期条件を次のように考える．
𝑥(0) = 1 m, 𝑦 = 0 m, 𝑣𝑥(0) = 𝑥| ̇ 𝑡=0 = 1 m/s, 𝑣𝑦(0) = 𝑦̇|𝑡=0 = −1 m/s.
この条件から, 𝛽 と 𝛾 を求めよ. これを用いて，対応する Ω を求めよ．
球の中心の軌跡を描け．球の表面の電荷は負か正か？負なら − また正なら + と解
答用紙に書け．

0.9pt

C.5

パート C.4 で見つけた解を考えてみよう。正しく認識できたのであれば，その解は⃗ を持つはずである．𝑁 ≫ 1 の回転数に対するエネルギーの総変化量回転する 𝑅(𝑡)と 1 回転あたりの変化量の式を求めよ．ここで 𝑁 に比べて小さい項は無視してかまわない．このパートでは，ボールの質量と半径は 𝑚 = 1 kg と 𝑟 = 1 m したがって 𝐼 = 1/11 kg ⋅ m2 である.

1.6pt