AR単位根とMA単位根田

河正樹

1 はじめにDickey‑Fuller流の検定をはじめとする単位根検定の問題点として，定常である系列を誤って単位根を含む系列であると判断してしまうということがある。Sims［5］はこの問題について，ベイジアンアプローチによる解決を提唱し，その後ベイジアン単位根検定についての数多くの研究がなされた。

伝統的アプローチでは，帰無仮説を棄却する強い証拠がない限り，帰無仮説が棄却されないのに対し，ベイジアンアプローチでは骨無仮説と対立仮説を同等に扱うということがある。この点に注目したのがKwiatkowski et al．

［2］であり，彼らは帰無仮説と対立仮説を入れ替えた検定の必要性を提唱した。このKwiatkowski et a1．の検定（以降これをK：PSS検定とあらわす）はMA単位根の検定と同値となることが知られている。
Koop and van Dijk［3］は，このKPSS検定に用いられたモデルについてのベイジアンアプローチを提唱した。河田［1］では，KPSS検定とKoopand van Dijkの検定の比較をシミュレーション実験でおこなった。本稿ではこのモデルについて，より詳細な検討をおこなう。また，K：oop and vanDijk［3］は， KPss検定のモデルにAR項も加えたモデルも提唱している。

本稿ではこのモデルについてもKPSS検定とKoop and van Dijkの検定の比較検討をおこなっていく。

次節以降では，最初にAR単位根とMA単位根の特徴について，時系列プロットや標本自己相関のコレログラムなどを用いて視覚的に整理する。その上で，AR単位根とMA単位根を同時に含むモデル， KPSS検定のモデ
一71一

徳山大学論叢第59号

ル，Koop and van Dijkの提唱したモデルについての考察をおこなう。

2 AR単位根
単位根という言葉は，多くの場合このAR単位根を指している。 AR単位根を含む系列は，差分をとった系列が定常系列となる。
yt＝pgt‑i十ut， ut '一 （O， a．2）， i．i．d． （1）という定数項なしのAR（1）モデルを考えると，1ρ1＜1のとき，系列は定常な系列となる。図1，図2はρ＝0．5のときの時系列プロットと標本自己相関（AC）のコレログラムである。定常な系列は平均（ここでは0）を何度も横切り，標本AC関数は減衰していく。

kE
甲02040608010005101E吋
図1：ρ＝0．5の系列

図2：左の系列の標本AC関数iρ1＝1のとき，この系列は単位根を含む系列といわれる。ρ＝1のとき
このモデルは，

yt＝yt＿1十Ut（2）となる。これはオ

yt＝yo一トΣZti
i＝1‑72一（3）2003年6月 河田正樹'：AR単位根とMA単位根という初期値と過去の誤差項の和に変形することができる。これはランダムウォークモデルといわれるものである。
このモデルの差分系列△ytを考えると，

Ayt＝ut （4）という定常な誤差項になる。

図3，図4はρ＝1のときの時系列プロットとコレログラムである。定常な場合と異なり，系列が平均を横切る回数は非常に少なく，レベルの変動がみられる。またコレログラムの減衰のしかたはゆるやかである。

嚢9opa範。 s回 le 16 rcco

図4：左の系列の標本AC関数

図3：ρ＝1の系列

図5，図6は図3，図4の系列の1次差分をとったものである。これらからは定常な系列の特徴を見ることができる。

om

肥ooeo

93昌
糞苫8呂製YrO 6 頃10 10

図5：ρ＝1の系列の1次差分

図6：左の系列の標本AC関数

一73一

徳山大学論叢第59号

図7，図8は図3，図4の系列の2次差分をとったものである。図7は図5よりも平均を横切る回数が多い。図8からは，1期ラグのところに強い負の自己相関があることが示唆される。これらは差分過剰の状態を示すものである。

冒1，匹lmoI

嚢1ow

I和eocooE冒。

図8：左の系列の標本AC関数：

図7：ρ＝1の系列の2次差分

3 MA単位根
yt ＝ ut‑gbut‑i， ut 一一 （O， o．2）， i．i．d．

（5）という定数項なしのMA（1）モデルを考えたとき，1ψ1＝1のとき， MA単位根となる。

ろという系列があり，yt＝△9tであるとすると，ψ＝1のとき，
﹁＠俳

＝'Σ＝

⊥‑90

銑

＝汁

碗（6）となる。Zo＝Uoを仮定すると，9tは定常な誤差項となるので， ytはこれをさらに差分をとったものとなる。それゆえ，MA単位根は差分過剰の状態と見ることができる。

図9はMA単位根を含む系列で，図10はその9tから求めた乙である。図9は図7と，図10は図5と似ていることがみてとれる。

一74一

2003年6月 河田正樹：AR単位根とMA単位根甲︒

20 一〇 eo or）図9：系列yt（ψ＝1）

o20

司080

en

図10：系列Zt（ψ＝1）

このモデルにおいてHo：ψ＝1vs． Hi：ψ≠1という検定をおこなうことは，系列9tについてHo：1（0）vs． H，：1（1）という検定を行うことに等しいことである。

4 AR単位根とMA単位根をともに含むモデル
ARMA（1，1）モデルにおいて， AR， MA両方の部分に単位根を含むモデルを考えてみる。
yt＝yt‑i十ut‑ut‑i， ut e一 （O， a．2），i．i．d． （7）このモデルを変形すると

yt＝ut＋（yomuo） （8）となる。ここでYo＝Uoを仮定すると， ytは定常な誤差項となる。

このモデルはAR単位根とMA単位根が相互に打ち消しあっている状態であるといえよう。このことから，ARMAモデルにおいてMA項の係数が1に近い場合には，AR単位根が存在してもそれを検出することが困難になることが想像できる。

一75一徳山大学論叢第59号

5 KPSSのモデル
Kwiatkowski et al．［2］は次のようなモデルを考えた。

9t‑T、＋et， et〜（o，σ3），i．i．d．

（9）

τt一τt．1＋Ut， Ut〜（0，σ差），i．i．d．

（10）

このモデルのπ、の分散σ書について，H。：σ彦＝Ovs． Hi：σ2≠0という検定をおこなうのがKPSS検定である。
このモデルを変形すると
まτt＝τO十ΣUi
i＝1（11）となるので，

オ
窃＝τ・＋Σ％汁θ， （12）i＝1となり，帰無仮説のもとではτ彦は定数となり，〃，は定常な誤差項に定数を加えたものとなる。一方対立仮説のもとでは，〃，はランダムウォークに定常な誤差項を加えたものとなり，この検定はllo：1（0）vs． Hi：1（1）という検定であるといえる。

このHo：1（0）vs． Hi：1（1）という検定は， MA単位根の検定と同様であるが，KPSS検定において， Ut＝（1一ψ）Vt， et＝ψオ
Xt＝τo十（1一ψ）ΣVi一トψVt
i＝1となり，△端を考えると

一76一，， yt＝Xtとすると，（13）

2003年6月 河田正樹：AR単位根とMA単位根△rt＝（1一ψ）Vt十gb△Vt＝Vt一￠p vt‑1（14）というMA（1）モデルに変形できる。
K・・P・and・van・Dijk［3］ではθ一σ・筆σ・という変形により・
24e

Ho：σ3＝Ovs． H［：σ3≠0という検定のかわりにHo：θ＝Ovs． Hi：θ≠0という検定を提唱した。

このθは分散σ3と㌶の大きさの比に関係がある。たとえばθが0．01ならば，σ3：σ3＝1：99となる。θの値が大きくなるほどσ3のσ3に対する比率が大きくなり，鋳はランダムウォークの影響を受けることになる。
またytは系列に含まれる観測値の数にも影響を受ける。θ＝0．01のとき，t＝100であればランダムウォークと定常な誤差項の影響はほぼ等しいのに対し，t＝200になると，ランダムウォークの影響のほうが大きくなる。観
測値の数が大きくなるにつれ，同じθでもランダムウォークの影響が大きくなる。

河田［1］ではこのモデルについて，KPSS検定とKoop and van Dijkの提唱したベイズファクターによる検定の比較をシミュレーション実験によっておこなった。

KPSS検定はti7‑丁欝という検定統計量を用いる。ここで，
アご

ア

t＝1

s＝1

彦＝s十1s2 i1）＝T iΣel十2T‑1Σw（s，のΣetet一、， w（s，の＝1‑s／（1十1）である1）。

注1）Kwiatkowski et al．［2］pp．164‑165．

一77一（15）

徳山大学論叢第59号

ベイズファクターは（ノ〃〃）一T／2（16）B＝ 1 V1 一i／2 （y'V'iy）一T／2である。ここで，C＝＝00：・‑01：・1e1‑eiV ＝ IT十CC'，である2）。

θの値をいくつか変化させて系列を発生し，これらの検定を適用した。
θ＝0．01の時の結果は表1のようになった。
表1：検定どうしの関係（θ＝0．01）

B1（0） 1（1） 計
カ1（0）221941P（1）X5059v

R169100

このうちいくつかの系列について視覚的に検討していく。

KPSS検定とベイズファクターでともに1（1）と判断された系列には，次のようなものがある。図11からは平均が小さくなっているものの，平均線を横切るが多いことがみてとれる。図12から非定常であることを判断することは非常に困難である。

2） Koop and van Dijk ［3］ p． 267．

一78一

2003年6月 河田正樹：AR単位根とMA単位四丁甲甲okge E 吋10 1ti ee

20 40 oo eo

図12：左の系列の標本AC関数：

図11：K：PSS：1（1），B：1（1）の系列

図13，図14はKPSS検定で1（1），ベイズファクターで1（0）と判断された系列であり，図15，図16はKPSS検定で1（0），ベイズファクターで1（1）と判断された系列である。これらのいずれも，非定常であることを見てとることは困難である。また，KPSS検定とベイズファクターの相違を読み取ることも難しい。

躰甲予︒

e e 財lo 1ti mo

20 40 co

図13：KPSS：1（1），B：1（0）の系列

図14：左の系列の標本AC関数

kgo20

4噂60

O S 回10 IS 20

8口

図16：左の系列の標本AC関数

図15：KPSS：1（0）， B：1（1）の系列

一79一

徳山大学論叢第59号

6 Koop and van Dijkのモデル

Koop and van Dijk［3］は， KPSS検定のモデル（9），（10）にAR項を加えた次のようなモデルを考えた。
9t＝ρyt＿1十τt十et（17）τt＝τ、一1＋Ut（18）

このモデルを変形すると
オ

yt＝ρ9t＿i十ΣZti十eti＝1（19）となる。

このモデルはρとθの値によって次のように分類される。
1．（ρ＝1∩θ＝＝0）のとき1（2）2．（ρ＝1∩θ≠0）または（ρ≠1∩θ＝0）のとき1（1）3．（ρ≠1∩θ≠0）のとき1（0）このモデルについてρとθの値をいくつか変え，KPSS検定とベイズファクターによる検定をおこなってみた。ここでのベイズファクターはHo：θ＝Ovs． Hi：θ≠0を検定するもので，

B‑（gLly＿i）｝1／2（y'My）一（T‑1）／2

Se ．o 1 V［ 一i／2 （yLiV一'y一，）（20）'／2（s2）h（T一'）／2doである。ここで，M ＝ 1‑yLi（gli y‑i）一iy‑is2 ＝ （ymppy一，）'V一'（g‑pA y一，）＝ （gLiV一'y‑i）iyLiVMiyである3）。検定の結果をまとめたものが表2である。
3） Koop and van Dijk ［3］ p． 283．

一80一

河田正樹 AR単位根とMA単位根
2003年6月

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m@︵三＋㎝徳山大学論叢第59号

KPSS検定ではρの値，θの値が増加するにつれ，1（1）と判断される系列が増えていくのがわかる。一方，ベイズファクターはθ＝0．01のとき，ρが0から増加するにつれて，いったん1（0）と判断される系列が増加し，ρ＝0．5をさかいに1（1）と判断される系列が増加する。この傾向はθ＝0．05あときにもみられ，非常に特徴的な変動をしているといえよう。

ここで，θ＝0．Ol，ρ＝0．5のいくつかの系列について視覚的に検討してみる。

KPSS検定とベイズファクターでともに1（1）と判断された系列には，次のようなものがある。これは図18の減衰が遅いことから非定常の可能性が示唆される。

嚢9eE‑o

図18：左の系列の標本AC関数

図17：KPSS：1（1），B：1（1）の系列

KPSS検定とベイズファクターのどちらか一方のみで1（1）と判断された
系列は，時系列プロットやコレログラムから非定常の可能性が示唆されるものはあまりない。しかし，中には次のようなものもある。この図19，図20は

図17，図18と似ており，図20の減衰が遅い。これは非定常の可能性を否定できない。しかし，ベイズファクターではこれを1（0）と判断しているのである。

シミュレーションの設定ではこれは定常なモデルである。しかし，ρとθの相互作用によって非定常な系列を生み出すことがあるのではなかろうか。

このようなモデルを1（0）と判断することは，ベイズファクターによる検定

一82一

2003年6月 河田正樹：AR単位根とMA単位根の1つの特徴であるといえよう。

e‑lT L，IVVVV WWIA IVI，，A 1 ki
甲To ac to oo en 1coe s le lb x
贈

図19：KPSS：1（1）， B：1（0）の系列

図20：左の系列の標本AC関数

ところで，図21，図22のような系列があった。これはここで考察した図17，図18や，図19，図20と似ている。この図21，図22の系列は

yt＝gt‑i十ut‑O．8ut‑i （21）というモデルである。このモデルのAR単位根は， MA部分の係数の大きな値に影響を受けているため，はっきりと1（1）の特徴を見ることはできな
い。Koop and van Dijkのモデルもρとθの相互作用によって1（0）か1（1）かの判断が困難な系列となっているのではなかろうか。

甲ア？

嚢：

O rc O 60 eo 1coO S 10 10 Mk
図21：ARMA（1，1）ρ＝1，ψ＝0．8の系列

一83一

図22：左の系列の標本AC関数

徳山大学論叢第59号

7 おわりに

本稿ではKPSS検定で用いられたモデルについての再検討をおこない，
Koop and van Dijk［3］で提唱された， AR項を入れたモデルについての検定結果をまとめ，さらに視覚的な検討を加えた。

シミュレーションの結果をみると，AR項を入れないモデルではベイズフ

ァクターによる検定のほうが，KPSS検定よりもHoを採択することが多いのであるが，AR項を入れた場合には反対にKPSS検定のほうがHoを採択することが多くなっている。そもそもベイジアンアプローチは帰無仮説と対立仮説を同等に扱うため，伝統的アプローチよりHoを採択することが多いはずである。これはAR項の係数が，検定結果に対して何らかの影響を与えていると考えられよう。

また，ベイジアンアプローチが帰無仮説と対立仮説を同等に扱えるのであれば，Sims［5］以降提唱されたベイジアンアプローチによる検定結果と対称な結論を導かなくてはならない。ただし，これは帰無仮説，対立仮説それぞれのもとでのモデルが対称をなしているという前提が必要となるものである。

これらの点についての考察は今後の課題としていきたい。

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一84一

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唱一85一