計測自動制御学会東北支部 崇162回研究集会（19g6．7．191
豊科番号162−5

Riccati方程式の厳密解義現に基づく弾性振動系の統合化設計問題
On Design Problem ofIntegrated Structure／ControI
Systems Based on the Explicit Solution of

Algebraic Ricca・tiEquation

O平元 和彦1土岐 仁■，大日方 五郎竃
OKazuhiko Hiramo七0，Hito呂hiDoki，Goro Obinata★秋田大学＋Akita University
キーワード＝ アクティブ振動制御（a・Ctive vibration control），統合化設計〔integrated design〕，
代数リカッ千万程式（algebraic Riccatiequation），コロケーション（collocation）

連絡先：010 秋田市手形学炭町1−1秋田大学鉱山学部機械工学科 平元 和彦
Tel：0188−89−2341，FaLX：0188−37−0405，ELmai1：hira＠ipc・akita−u．aC．jp

1．はじめに本報告では，制御対象をモード座標で表現されたコロナーションの成立する不滅蓑系に限定

将来建設が予定されている大型宇宙構造物は，地上からの打ち上げコストを抑えるため，また宇宙空間内では自重を支える必要がないため，その寸法に対して非常に軽量に設計される．このような構造物は，部材の内部減衰はほとんど期待できない．よって実用化に際しては振動をアクティブに抑制する必要があり，現在活発に研究が行われている（1）．最新の制御理論の適用も多く見られる（2】．
はじめからアクティブ制御を想定した構造物の設計閲歴において，センサやアクチュエータ配置を含む構造系と，制御を行うコントローラを同時に設計すれば，両者をそれぞれ独立に設計するより高い制御性能が実現できると期待できる．この間題は構造系と制御系の統合化設計問題（同時最適化問題）と呼ばれ，いくつかの研究報告例がある（3）．
統合化設計問題は，制御性能を表現する評価関数を構造系とコントローラ双方に存在する設計パラメータにより最適化する問題と帰着できる．従来の研究例は，固定した構造系に対してH2やH葬制御則など解析的な制御則によってコントローラを設計し，その後構造系の設計パラメータを削レープ系の安定性を損なわない範囲内で調整することを繰り返して最適化を行っている州．この手法は常に安定な閉ループ系が得られる点や設計パラメータ数を減少させることが可能となる点で有効であるが，パラメータ空間が使用する制御別により制限される．

し，その統合化設計問題を考える．この系に対する代数鮎ccati方程式の正定解が解析的に表現できる佃ことを用いて，LQG制御の下で．構造系と制御系の設計パラメータの両者を同時に調整できる統合化設計問題が定式化可能であることを示す・設計例として，柔軟構造物の振動制御系設計におけるセンサ・アクチュエータ配置問題を考え，最適配置が簡単に求められることを示す．

2．制御対象の記述とRiccati方程式の厳密解表現

アクティブ制御を前提とするm自由度の不減衰釆の構造物の運動方程式を次式で定義する．

叫十叫・ヰ占トFw（1）M，k∈Rnlnはそれぞれ質量，剛性行列であり，q∈Rnは変位ベクトル，uは操作入力ベクトル，Wは外乱ベクトルである・E（p。）吼アクチュエータからの力の加わり方を表す行列で，Fは外乱の入り方を表す行列である．pきは，アクチュエータの取り付け位置や故に関するデータを要素に持つベクトルである．式（1）をモード座標系で表すことを考える・山た，h（た＝1，…，叩）をそれぞれ次式の固有値問題を満足する固有周波数およ−1一且期待値演算子，q≧0，R＞0

び正規化された固有ベクトルとする．
M山≡中上ー叫い 打M中⊥一員鱒

よく知られているように，式（6〕を最小化する制
御は，次式の状態フィードバックで与えられる．

（2）

aはKroneckerのデルタである．qを次式のようu＝−R￣1BTpx＝Gxに級数展開表現する．

（7）

Pは以下の代数Riccati方程式の正定解である．

q一軌

（3）

AIP＋PA−PBR￣1BTP＋q＝0（B）

状態量を推定するオブザーバとして，Kdmanフィルタを用いる．その状態方程式は，次式とな式（1）に式（3）を代入し，左からげをかけると，次式を得る．

ヤ＋∑2v−En（p，）u・Rw

る．

（4）

，∑−di覗（ul叫 …uⅣ‡，Ⅴ −（9）†喜：含量十Bu＋H（y￣葺）

H＝−LピWn▼1d‥￣車∴

HはKdmanフィルタゲインであり，Lは以下E。−の代数Riccati方程式の正定解である．

打E（p，）

AL＋LAT−LCTWnrlcL＋WJ〒0（10）状態ベクトルをⅩ・ト1心1／u．・■・

このとき，文献（5）で，以下の定理が得られていV用心m／恥］rる．と定義し，コロナーションが成立していること［定理1］（5） q＝SrCrCS，S＝di昭（占1，古‖…．
Sn，S〔），R＝I，W，＝WBBTW，W＝dia．g（叫，叫，．．．，軋ひれ），W几＝㌔Ⅰとする．このとき，を考慮すると，系の状態方程式は，次式のように与えられる，Rkcati方程式（8），（10）の解臥それぞれ次式の文一Ax十Buw十Bu

ように与えられる．

兄い・CヱX＋Dzu

P＝S【之yェCx十Wロ

もーdW舘￣1（11）（12）

ただし，凸＝diag（叫2，叫2，…，軋2，叫．2）【証明】
略．

A−blockdiag

定理より，式（5）に対するLQGコントローラ
は，固有振動軌モード形状，設計者の指定する二次形式評価関数の重み，観測ノイズの共分散行列の関数として，厳密に表現できることがわ
かる．

3．問題設定C−［o E：（p証叫…O E：（p加爪］

本章では，前章で述べたセンサ・アクチュエ

ここでEは評価出力ベクトル，yは観測出力ベク
トル，W。はセンサノイズである．
以下では式（5）で与えられる系に対し，LQGコントローラを設計することを考える．w，W。をそータコロケーションの成立している不滅蓑系に対する鮎ccati方程式の厳密解義現に基づき，LQG制御の下での構造系と制御系の統合化設計問題を定式化する．
式（5）の制御対象と式〔6）〜（12）から求められるLQGコントローラから構成される閉ループ

れぞれ平均0で共分散行列がそれぞれW．，Wれの白色雑音と仮定する．以下の2次形式評価関数を定義する．

Jr−ヰT恥・uTRu）

系G之LqC（卯ま，次式のように状態空間表示される．
（6）

−2−

岬

−A仁叩Ⅹェ＋BLqGw ⊂†≡−Cl月Gx。

ム叫（13）Iム

ミ

Ⅹ−即−［；］ミ十こ
At劇＿A（∑） H（W，∑沖且料∑，中層．）﹈

Fig．1Simply−SuPPOrted beam

P

丁山瀬P

︵︑Iり∑

B〔∑，中鳳声（S，E，A（可・B（ち軋P．桓（S，∑沖，p．トHロ

即岩十Pr砦珊（ト小畑一号n）

B亡LqG−（15）

C亡LqG＝【Cヱ 呵呂（訓まDiracのデルタ関数である．系の固有振動数叫（戎＝1，…）と正規化固有関数ヰi札はりの長さをヱとすると，それぞれ次式となる．

ここモ申＝【中‖‥．，h】である．式（13）の各成分はそれぞれが設計パラメータ（行列）の関数であることを明示的にするため上のように表現してある．

式（13）を用いて，以下のような問題設定を行う・（16）

間者 コロケーションの成立した不滅磨眉に対するエ￠G脚線尉の下での庸遭系と新鮮粛の鹿什肺n苧

（17）

合肥設計周題

このとき，式（5）のような状態空間表現が得られ，設計パラメータ（∑，申，S，W，p。†∈Alを調整して，以下の評価関軌を最適化または準最適化

BⅦ，B，C行列は，次式となる．

せよ．
00

んq。＝lJW〜（β）G剋LqG（β川中／叫（14）

中底」／叫

Bu−

人1は良，申，S†W，pきのすぺてが物理的に意味を0持つ空間であり，Wユ（占）は重み関数である・

q（18）中諦。）／u。
軋（ち山）／unC−［0中底）ul‥・Dヰ¶（りu。］

従来，LQG制御則等の解析的な制御則を使用する統合化設計問題では，固定された構造系に対してコントローラを設計し，閉ループ系の安定性が損なわれない範周内で，構造系の設計パ

前章で議論されたLQGコントローラを用いラメータを調整していた．本定式を用いると，て，ち＝もでのたわみの分散値を一定値E3にしな

LQG制御の持つ閉ループ特性を維持しながら構がら，アクチュエータの発生する操作呈出の分散値を最小化するセンサ・アクチュエータ位置も。◆を決定する問題を解く．問題を数学的に再記

造系と制御系双方に存在する設計パラメータを同時に調整することが可能である．

述すると，以下のようになる．

4．設計例

Minimi乞e九＝【01血 G］ⅩIol払 GjTSubject to

前章で述べた結果を用いて，本章では，はり状構造物のセンサ．アクチュエータ最適配置問（19）

Jz＝【Cヱ 01咄】Ⅹ【CJOl劫］T＝Eコ（20〕

題を考える．

C丘≒t両日 D，‥・，軋（も）0〕

Fig．1のような両端単純支持ばりを考える．水平，鉛直座標をそれぞれ已叫とする．竜一已和にセンサとアクチュエータが取り付けられており，アクチュエータは集中力ムを発生する．宅＝Lに外乱として集中力ムが作用している．風上，P，rをそれぞれはりの縦弾性係数，断面二次モーメ
ント 密度，断面積とすると，系の運動方程式

Ⅹは閉ループ系の共分散行列で，以下のLyapunov方程式の正定解である．

A。LqGx＋ⅩA。LQG＋軋LqGw．B LqGT＝0〔21）このとき，以下の定理が成立する．

は次式となる．、−3−

がわかる．血はも4＝0．63で最小となる結果を［定理2］

W＝diag（l中1（L〕／中1（も。）ト…，l軋（L）／屯（も」け（22）得た．

5000としたとき，Jち九はそれぞれ次式となる．

4000

克＝Cヱ（Ⅴ＋L）CヱT．九＝GVGT

3000

ただし，

2000

Ⅴ＝1／2W2（S虫）￣11000（25）［略証］wを式（22）のようにした場合，Ⅹと丈の誤差Ⅹ一丈の共分散行列Ⅹ亡は∴鮎ccati方程式（10）由解Lとなる．また，立の共分散行列Ⅹ。軋

D

0

0．2

0．4以下のLyapun肌方程式の正定解Ⅴと等しい・

0．6

0．8

1㌔α

Fig・2Ju vs 已
（A＋BG）V＋V（A＋BG〕T＋d2HHT＝0（26）Ⅴが式（25）のように表されることは簡単に証明できる．そして分離定理より，Ⅹの閉ループ共分散行列ⅩpはⅤ＋Lとなる・

す−40

■

且．ヨ
【も定理2より，前述した設計問題は以下のような

址＿呂0

手続きによって解かれる．

■ 手順1．Jヱに関する仕様㌔を定める．
圭埋呈モ＝も。に対して式（22）のWが計算でき，
1Jz＝Cヱ（Ⅴ＋L）CzT＝亡210100（山（27）とすることにより，式（2古）を考慮して，Sを求め

Fig．3 Gain plots of 七ransfer nユnCtion
鉦om Ⅷ tO ヱる．（注意：Sの成分g．，…，βnに関しては自由度があるので，応答等から適当に与えることができる）

圭堕旦式（24〕血を計算する．
上記の計算を考えているも。の範囲内で行ない，血が最小となるも。−を求めればよい．この設計法は，例えば文献（6〕のセンサ・アクチュエータの最適配置法と比較すると，以下のような特長がある．

重畳⊥ 削レープ系の制御性能がすべてのもーに対して式（27〕の意味で一定に保たれ最適化の物
理的な意味は明確である．
彗星j二 も丘の変化に伴って，式（27）を満足する

1101001000u

LQGコントローラを再度求めたり，閉ループ系の共分散行列を求めるためのmccati方程式やLyapunov方程式を解く必要はなく，式（24〕のみを計算すればよい．すなわち，このような最適化問題．を解く隙間魅となる計算負荷の問題がな

Fig．4 gain plots of transfbr functions
brm 乱】tO IJ

Fig．3は無制御時，最適なセンサ・アクチュエい，ータ取り付け位置も。＝0．63の場合の閉ループ系，簡単のためS＝占Ⅰとし，付鐘のような諸現でも。＝0．95の場合の閉ループ系のwからヱまでのゲイン特性を示している．二つの閉ループ系は計算を行った．も。に対する血の変化の様子をFig．2に示す．各モードの蔚に当たる部分の付近で不可制御かつ不可観測な漸近安定でないモーほぼ同様の制振性能を示している．

これに対し，Fig．4はも。＝0．63と已。＝0．95の＼ ドの影響から，Juが急激に大きくなっているの−4−

けるセンサおよぴアクチュエータの配置，日本機械学会論文乳 C，55−513（19叫，1206−

場合それぞれのⅧからuまでのゲイン特性である．最適取り付け位置でのゲインが全体的に小さくなっており，より小さなエネルギーで同程度の制振性能が得られていることが分かる．

1214．

（7）Nett，C．N．，Jacobson，C．A．and Balas，M．J．，A Connection Between State−SPaCeandDoubly
Coprime
FraJ：tional
Representa．tion，mEE
升aTLf．
Automat.

5．おわりにC皿什ロJ，29−9（1984），83ト831．

コロナーションの成立している不減衰系に対する構造系と制御系の統合化設計法に関して議論した．本系に対してLQGコントローラを設計する阻解かれる代数軋ccati方程式の正定解が系の固有周波数，固有モードを用いて解析的に求められることを利用し，LQG制御の下での統合化設計問題を定式化した．はりと近似できる
柔軟構造物のセンサ・アクチュエータ配置問題を考え，提案する手法の有効性を示した．
Nett ら刑より，閉ループ系を安定化する状態
フィードバックゲインとオブザーバゲインが一つ求められると，制御対象とそれを安定化するコントローラの重既約分解表現が得られる．式（7），（9）のG，Hは明らかにそれらのフィードバックゲインの一つである．この結果から，制御対象に対する安定化コントローラのすぺてのクラスがパラメトライズでき，閉ループ系の安定性が保証された統合化設計問題をさらに広いクラスで定式化することが可能となる．この話題に関しては，別の機会に報告する．

付録

設計例で用いた物理パラメータ
m＝3，且＝1，J＝1，P＝1，r＝1，も＝0・7，篭z戸

0．2，W5＝100Ⅰ，Wn＝10￣1D，E＝0．5

参考文献（1）池田，木田，大型宇宙構造物におけるこれからの制御技術，計測と制御，32−1（1992），
170−173．

（2）Bala占，G・J・and Doyle，J・C・，Controlof Lightly Da・mPed，Flexible Modes in
the Controller Crossover Region，］，
Guf血柁亡e．亡β搾如上d推d 坤几β血揖，17−2（1994），
370−377．

（3）岩壷，河札安達，機税構造物の構造系と制御系の同時最適設計に関する研究動向と今後の課題，日本機械学会論文集，59−559（1993），
631−637．

（4）平元土粗大日見開ループ系の性能を考慮したパッシブ系とアクティブ系の同時最適化，日本桟槻学会論文集，61」娼4（1995），
1450−1455．

（5）HsiaD，M．，Huang，J．and Taylor Jrリ
L．W．，Optimal Modal−Space Controller fbr

StruCtural Damplng Enhancements，］．
G扇血即ち亡口血J・ロムd謹d 功，冊椚正∫，18−4（1995），
657−663．

（6）近藤，矢富，井上，柔軟構造物の振動制御にお一5−