卒業論文要旨
体平衡検査における足関節応答の非対称性評価
Asymmetry evaluation of ankle responses in standing balance test

システム工学群
動的デザイン研究室
1. 緒言
脳卒中後の半身麻痺患者や，脚部に故障のあるアスリート
では立位や歩行における非対称性がみられる．その評価として歩行速度による評価 (1) や理学療法学における一般的な評
価法(2)がなれているが，再現性が乏しく検査者の主観に依存する．これに対し，フォースプレートを用いて足関節トルクの非対称性を評価すれば精度が向上することが報告されているが，応答の非対称性が左右の垂直荷重の非対称性と相関する(3)．代償を考慮するためには，非対称性だけでなく左右の応答の過大・過小を独立に評価できることが望ましい．
本研究では，支持面水平揺動を前後に与えた場合の足関節トルクの応答の非対称性の評価を目的とする．本手法では，左右独立のフォースセンサから足裏の床反力を計測する．左右の荷重差の影響を除くために，荷重差をリアルタイムでモニタにプロットし，被験者が是正できる環境で計測を実施した．本評価では，定常応答解析による重心制御モデルの同定法(4)を活用し，その比例ゲインから非対称性と基準値に対する応答の過大・過小を評価する．比例ゲインは，最小二乗法とカルマンフィルタの 2 つの方法で導出した．
2. 非対称性の計測実験とバランスモデルの同定
2.1
実験概要
本手法では，非対称性の評価と重心制御モデルの同定を同時に実施するために，被験者の支持面を水平に揺動し，足裏の床反力を計測する．実験装置として 4 輪台車を使用し，200W ブラシレス DC モータ（EC-i52, Maxon motor）とサーボドライバ（EPOS2 70/10, Maxon motor）で揺動を制御し，加速度センサ（ADXL355, Analog devices）で支持面の加速度を計測するとともに，6 軸フォースセンサ（SFS100F102M500G6,レプトリノ）を左右の足下に 1 個ずつ搭載している．支持面の加速度は，次式で定義する加速度振幅一定の 30 個の調和振動（0.05～1.50 Hz）を重ね合わせた波形を与えた．
30X s = A cos (  k t + k )

(1)

k =1

揺動時間は 65 秒に設定し，5 回実験を行った．初めの 5 秒間は予備時間であり，残りの 60 秒間を解析区間とした．
被験者は，健康な 20 代の 16 名（年齢：20±2 歳，利き足右：12 名，左：4 名）に協力を依頼した．被験者には台車の上に素足で立ち，両腕を自然に下ろし直立状態を保つよう指示した．また，揺動時の垂直方向の床反力差を MATLAB の機能を用いて被験者前方のモニタ上にプロットし，青点を中央に保つように被験者に指示した（図 1）．
左足の足関節トルク NaL と右足の足関節トルク NaR は，床反力と支持面加速度の計測値より次式で求められる．

Fig. 11240066

小山 泰輝

Schematic diagram of the frequency response test..

1N aL = N y , L − L f Rx , L − m f ( L f − l f ) X s 

2(2)
1
N aR = N y , R − L f Rx , R − m f ( L f − l f ) X s 2
ここに，Rx,L, Rx,R は床反力の x 軸水平力，Ny,L, Ny,R は y 軸まわりのモーメントであり，添え字 L と R は左と右を表す．
2.2 バランスモデルの同定
同定するバランスモデルの機構は 1 リンクとみなし，足関節トルクにより以下のバランス制御がなされていると仮定した(4)N a = − K P  xb ( t − TD ) − xb ( t − TD ) − K D xb ( t − TD )(3)

TR xb + xb = −GR X s(4)

式(3)は重心を制御するインナーループであり，KP は重心位置に対する比例ゲイン，KD は微分ゲイン，TD は遅延時間である．式(4)は揺動速度によって目標重心位置を変えるアウターループで，GR は一次遅れ系ゲイン，TR は時定数である．
機構モデルと式(3)，(4)に対して，入力を支持面加速度，出力を質量中心変位とすると，その伝達関数は次のようになる．
− mblbTR s 2 − mblb s − GR K P e −TD sG (s) = Js (TR s + 1)  b + mblb  s 2 + K D e −TD s s + K P e −TD s − mb g l b(5)実験で得られた計測値から重心変位を推定し，支持面加速度と重心変位の周波数応答関数を求める．これが式(5)の伝達関数が一致するように，未知パラメータ KP, KD, TD, GR, TR を最小二乗法で同定した．

PGRL =

2 K PL2 K PR, PGRR =KP
KP(6)

ここに，K PL は左足，K PR は右足の比例ゲインであり，PGRが 1 を超えれば応答が過大であることを示す．
3.2 線形カルマンフィルタによる比例ゲインの推定
3.1 節で紹介した方法と異なる比例ゲインの導出法として，式(3)に対して線形カルマンフィルタから比例ゲインと微分ゲイン推定する．カルマンフィルタにおける状態方程式と観測方程式を次のようにおく．
 Kˆ P ( k )  1 0   Kˆ P ( k − 1)   w1 ( k ) =+
 Kˆ D (k )   0 1   Kˆ D ( k − 1)   w2 ( k )  Kˆ P ( k ) xb ( k − kd )  
 + v( k ) Kˆ D ( k ) (6)ここに，k はサンプリングのデータ番号であり，𝑘𝑑 は遅延時間を考慮したデータ番号，w1, w2 は状態ノイズ，v は観測ノイズである． Kˆ P (k ), Kˆ D (k ) は推定される比例ゲインと微分ゲインであり，サンプリング時間毎に得られる．
本導出法では，実験の計測値および同定モデルから得られた xb , xb , xb を与えてカルマンフィルタアルゴリズムを適用する．また，足関節トルク Na(k)を左右でそれぞれ与えることで，右足と左足でそれぞれゲインが計測できる．得られた左右の比例ゲインの二乗平均平方根（RMS）を式(6)と同法でPGR によって評価する．導出された PGR を 3.1 の方法で得られた K P との間のクラス内相関係数（検者間比較）によって，導出した左右の比例ゲインの信頼性を評価する．

4. 結果
線形カルマンフィルタを用いて推定された代表的な被験者 1 名（被験者 1）の実験 1 回目の左右の比例ゲインの時系列波形を図 3 に示す．
比例ゲインは時間に応じて変化するが，それらしい値が概ね推定された．また，代表的な 4 名の被験者（被験者 1，2 は右利き，3，4 は左利き）について，最小二乗法で推定した比例ゲインから求めた PGR を表 1 に，線形カルマンフィルタで求めた比例ゲインの PGR を表 2 に示す．両推定法共に 5 回平均を示しており，利き足のゲインが必ずしも大きくなるとは限らないことが分かった．信頼性を評価するために，表 3 に最小二乗法と線形カルマンフィルタによる比例ゲインの推定による 16 名の検者間級内相関係数(ICC2.1)を示す．左右のゲイン共に高い相関が得られ，導出方法の異なる 2 つの推定であることから比例ゲインでの評価指標は信頼性があると考えた．

KPR

2000204060

Time [s]Fig. 2Time series waveform estimated by Kalman filter

Table 1

Evaluation index based on left and right proportional
gains
Proportional gain ratio
Dominant
Subject
footRight
Left
1
Right
1.151 ± 0.145
0.880 ± 0.029
2
Right
0.891 ± 0.196
0.845 ± 0.090
3
Left
1.222 ± 0.053
0.838 ±0.123
4
Left
0.729 ±0.154
0.702 ± 0.061

Table 2

RMS of time series waveforms of proportional gains
estimated by Kalman filter

Subject
1234(5)N a (k ) = −  xb ( k − kd ) − xb ( k − kd )KPL

400KP[−]

3. 足関節トルクの非対称性の評価
3.1 最小二乗法による比例ゲインの評価
式(2)で得られる足関節トルクから，式(3)に基づいて左右の比例ゲイン K P と微分ゲイン K D をそれぞれ求めた．このとき，式(3)の xb は個人のバランスモデルの GR, TR と支持面速度から式(4)で計算し，遅延時間 TD も同定された値を用いた．
具体的な計算法として，式(3)をサンプリング回数分の連立方程式として，ムーア・ペンローズの一般逆行列を用いた．
ただし， K D がほぼ 0 になるため， K P のみで評価した．評価
指標は KP と同定された基準値 KP との比とし，これをProportional Gain Ratio（PGR）として次式で定義した．

Table3

Dominant
foot
Right
Right
Left
Left

Proportional gains
RightLeft
0.979 ± 0.143
0.717 ± 0.048
0.602 ± 0.143
0.594 ± 0.110
0.664 ± 0.126
0.474 ± 0.037
0.538 ± 0.103
0.502 ± 0.059

Intra-class correlation coefficient for bothproportional gain estimation methods
proportional gain
KPR
KPL

ICC(2.1)
0.86
0.87

5. 結言
本研究では外部摂動の足関節トルクの応答から，左右の比例ゲインによって非対称性を評価した．簡易的かつ再現性のある検査方法が実施でき，評価指標を数値化することができた． しかし，本研究で対象としている患者に揺動を与えると，身体負荷や直立姿勢を維持できない可能性がある．そのため，外部摂動による揺動を加えず，安静立位の状態で揺動が行われた時と同様の非対称性評価を導出ができる方法を検討する必要がある．
6. 参考文献
Donlin, M.et al.,User-driven treadmill walking promotes
healthy step width after stroke, Gait and Posture 86, pp.
256-259 (2021)(2)
Corien D.M. et al., Ankle-foot orthoses in storoke : Effects
on functional balance, weight-bearing asymmetry and thecontribution of each lower limb to balance cotrol , Clinical
Biomechanics, Vol. 24, pp. 769-775 (2009).
(3)
Roelofs, J. et al., Relationships Between Affected-Leg
Motor Impairment, Postural Asymmetry, and Impaired
Body Sway Control After Unilateral Supratentorial Stroke,
Neurorehabilitation and Neural Repair, Vol. 32. No. 11(2018)(4)
園部元康，”支持面水平刺激に対する矢状面の立位バランスモデルの信頼性”，日本機械学会スポーツ工学・ヒューマンダイナミクス講演論文集 (2021)(1)