2 0 2 1年1 0 月入学， 2022年4 月入学
大学院自然科学研究科博士前期課程数理物理科学専攻（物理学系）

く 一 般入試＞

試験問題物門科目理学

専

注意事項
1

解答はじめの合図があるまでは，注意事項を読むだけで． 問顆冊子や解答用紙等に触れてはいけません。

2

問題冊子は1冊 ， 解答用紙は4枚， 下蓄き用紙は4枚です。

3すべての解答用紙に受験番号を記入してください。

4

各問題の解答は， それぞれ指定された解答用紙に記入してください。

5
6

ホッチキスは， 外さないでください。
・
試験終了後． 問題冊子と下書き用紙は必ず持ち帰ってください。

2 0 2 1 年 1 0 月入学，2022 年 4 月入学

大学院自然科学研究科博士前期課程
試験問題

数理物理科学専攻（物理学系）
一
く 般入試＞［試験科目：専門科目（物理学）］
第1閤

図1に示すように固定された点0. から伸びた2本の長さかのひもに質ゑmの小球AとBがそれぞれ吊り下げられている。 ひもの質量， 小球AとBの大きさ， 空気抵抗と点0での摩捺は無視できるものとする。 小球A, Bは同じ鉛直面内のみで達動できるものとし， それぞれの位慣をひもと鉛直下方向のなす角(}A, 6Bで表す。 小球A,Bの， ひもに垂宦な方向の速度をひA• 17Bとする。 位置および速度ば反時計回り．の方向を正にとる。 重力加速度はgとする。 また， ひもは曲がらずに運動するものどする。
ここで， 小球A. Bを図2に示すように， 鉛直下方向からそれぞれ位置ー6。, 20。

(Oく恥«1)まで引き上げて ， 時刻t=Oに静かに手を離したところ，小球AとBが何度も衡突を繰り返す様子が観察された。 小球AとB力勺1回目に衝突する際，衝突直前

゜の小球A,Bの速度をそれぞれVA,n• ·va,n, 衝突直後の速度をそれぞれ松，n• V転とし，衝突における反発係数がe (0 ;5'.; e�1)であるとき，n回目の衝突前後の速度の関係式がv知一咋，n = -e (vB,n --VA,n)となることに留意して， 以下の閤いに答えよ。

ー図1

図2まず， 小球AとBが弾性衝突（反発係数e = 1)をする場合を考える。

。

(1)小球Aが解放されてから1回目に衝突すろまでの間に，位置0A (- 0 �fJA s; 0)にあるとき， 小球Aの運動エネルギーTと位置エネルギーUを， ()Aを用いて表し， ラグランジアン L=T-Uを求めて， 小球Aについての運動方程式を導け。
ただし，位置エネルギーは最下点0A = 0を基準とする。
(2)小球AとBが1回目に衡突するまでの運動を考える。 問(1)で導いた運動方程式
よりsinOA =和の近似を用いて初期条件を満たす小球Aの位f.! 0Aを時間tの関数として求めよ。 また，1回目の衝突時刻t1を求めよ·.

(3)小球AとBが1回目に衝突する直前の速度丸1. と17B,1• および衡突直後の速度. v�.1と心を求めよ。
(4)小球AとBが2回目に・衡突する時刻t2 を，t1 を用いて表せ。 また. 2回目の衝突直前の速度11A,2とVa,2を求めよ。
次に， 小球AとBが非弾性衝突(e < 1)をする場合を考える。 ただし， 完全非弾性衝突(e = O)ではないとする。
(5)衝突の前後で小球AとBの運動拡の和が変化しないことを考慮して，n回目の衝。,突直後の速度和がA,n ＋ V知を，n, 0 f'. Bを用いて表せ。なお ， nの値によって． 速度和の向きが変わることに留意せよ。
(6)衝突前後の閤係式を用いて，n回目の衝突直後の速度差v如ーv知を，n, ,e＇。, .e, 9, eを用いて表せ。なお，衝突直前の速度差咋,n - VA.nは常に負の値をとることに留意せよ。

(7) n回目の衝突直後の小球A, Bのそれぞれの速度吹n, 118,n.を求めよ．また. e =o.s の場合について，位置0Aの時問に対する変化をグラフに図示せよ。時刻1文t=0から4t1までとること。

(8) n回目の衝突直後の小球AとBの運動エネルギーの和を求めよ。十分に時間が経過したとき(n→ co)の小球AとBの運勁は， 完全非弾性衝突(e = O)の場合と同じになることを示せ。

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一
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試験問題［試験科目：専門科目（物理学）】
第2問

次の各問いに答えよ。 ただし， 真空の誘酋率をE。とする。
(I)真空中の静霊場におけるマクスウェル方程式から，位僅rにおける電荷密度p(r)によって生ずる電位cj)(r)が満たすポアソン方程式砂(r) = -p (r)/e。を導け。
(2)導体表面における電場（電気力線）は導体表面に垂直であることの理由を説明ぜょ。
図3に示すように， 真空中でz<Oの領域に接地された導体を置き ， z軸上の点P(0, 0, d)に点編荷q (q > 0)を置いた。 このとき， 次の各問いに答えよ。
(3)点Pの導体表面に対する対称な位置(0,0, -d)に点編荷—qを置き， 導体を取り除いた場合の編位が＇ 導体表面上での境界条件を源たすことを示せ。
（心電場E(x, y, z)を求めよ。また， 導体がある塔合のXZ平面内の等電位線と電気力線の様子を図に示せ。
{5)導体表面を含む微小領域にガウスの法則を適用して，導体表面上の点(x, y, 0)に誘導される電荷密度を求めよ。
(6)導体表面上に誘導された電荷の総呈を求めよ。
(7)点Pの点電荷と導体の間に働く力を求めよ。 また， その位置から点電荷をz軸方向の無限遠まで遠ざけるために必要な仕亨を求めよ ，， ．

zq♦ P (0,0, d)

3

図34

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試躾問題

数理物理科学専攻（物理学系）
一く 般入試＞［試験科目：専門科目 （物理学）】
第3問
次のハミルトニアンで記述される質fi.m, 固有角振動数 (JJ (/) 一 次元調和振動子を考える。
mw•2
Fl = + -炉
p22m

ここで，えは位置演箕子 I f)は運動量浪算子である。また，生成 ・ 消涼 ・ 数演算子をそれぞれ次のように定義する。

『

maJ
a.t = 属a=X-;

亨ご戸£+___.!_p[N =fl.ta旅h

ここで. hは. hをプランク定数として，h=ーである。以下の問いに答えよ。
2冗{l)関係式ae1.t - at年1が成り立つことを示せ。
(2) f.l == hw(Fl+ Dを示せ。

(3)演算,.. Nの固有値がn (= 0, 1, 2, ...)である正規直交化された固有状態をIn〉と表すとき，次の関係式を示せ。

at1n〉={;言加+ 1)
珈 +1〉＝年In)(4) In)におけるp, p汽ぇ炉のそれぞれの期待値，(nl'Pln) =�p 〉·n, (nl炉In}=〈p沿(nl珈） = (x:〉n• 〈nlがIn〉=〈x加を求めよ。

(5)問（心の結果を用いて，〈llp/}仏Xn )を計算し，基底状梱n=Oに溶目・しt, その結果の物:2

理的意味を述べよ。ただし. (△Pn2〉=〈nf(jJ - (p〉n) 2 1n), {/J.xn. 2〉= (n!(えー〈X)n) fn〉である．
25次に，以下の式で定義される状謡 l入〉について考察する。 ここで，Aはある複素数である。

応e―n芋こエ!)涼以下の問いに答えよ。

n=O(6)状態!J〉はコヒ ー レント状態であること，即ち，aの固有状態であり，11.l.il〉=Ji.IA)を淡たすこと，更に（入1入〉=1と規格化されていることを示せ。
(7)状態l.il)におけるp, 炉 ， ぇ， 好のそれぞれの期待値，(.illfJI入）＝や〉入， （入1炉f,l〉= (p沿，〈JIえ！入）＝〈x〉,l , (.illが11〉= (x 2 hを求めよ。
(8)'00 (7)の結果を用いて，(A耐〉(/:lx入りを計算し，得られた結果の物理的意味を述べよ。ただ:,.2

し， （△が〉= (,ll(fJ - (加）2IA), (位 〉=〈.ill(え ー （叫）軍）である。

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試験問題

2022 年 4 月入学

1試験科目：専門科目（物理学）】
第4問
立方格子上に記橙されたスピンS = 1/2を考える。スピンが持つ磁気モーメントをµと表すと，外部磁場Hにより，スピンのエネルギーは一世如だけシフトする。ここで，がま格子点iにおけるスピンが持つ磁気モ ー メントの向きを表す変数で，r1t = +1 が磁場に平行，(fi =-1が反平行を表す。この系のハミルトニアン打はか＝一祉I Ia1で表される。

ス ピンの総数をN,ボルツマン定数を作として，以下の問いに答えよ。

(I)温度Tにおけるカノニカル分布の分配閾数zをZ =Z1 Nと表すとき1粒子の分配関数Ziを求めよ。

。

(2)温度Tにおける1スピンあたりの磁気モー メントの平均値m (T,H)を求めよ。ただし，磁場と同じ向きを正とする。

。

(3) m (T,H)をHの関数として図示せよ。ただし，Hの正負全領域にわたって図示し，ff= 0における傾きおよびH→士 OO における値を図中に記すこと。

次に，外部磁場に加えて，スピン問の相互作用を考える。隣り合う2つのスピンの関には強磁性的な相互作用が働いており，相互作用ニネルギーは，2つのスピンが同じ向きの場合には一J,:異なる向きの場合には+J.をとる(] > 0)。イジング模型と呼ばれる
この系のハミルトニアン”は

正 —lL切a;-µH
{i,j)

どi(i)

で表される。ここで，添え字tとjは格子点を表し，(i,j)は隣り合う格子点の組み合わせに関する和を表す。スピンの総数Nは十分大きく，系の端の影響は無視できるものとする。以下の間いに答えよ。

(4)式(i)の第 一項（相互作用）は，そのままでは厳密に扱うことが難しい。そこで，

平均場近似を適用して，0町：：：：：：6直＋匹—jj1 と置き換える。ここで ， 万は<Itの平均値を表し，格子点iに依存しないとした。この近似により, 式(i)のハミルト7ニアン冗が沢I = -µ(H+ Aの〗 tJt +Bず(ii)の形で表されることを示し ， 叶万に依存しない定数AおよびBの表式を求めよ。
解答では，1つの格子点に隣接する格子点の数を記号zで表すこと（立方格子ではz = 6).
(5)式(ii)のハミルトニアンを用いて，温度Tにおける1スピンあたりの磁気モーメントの平均値m=µ万を計算し，mが渦たす方程式を導け。
(6) H = 0 (I)楊合にある温度Tc以下において，問(6)の方程式がm·= 0以外の解を持つことを示し， その温度Tcを求めよ；(7)強磁性体の磁化測定において，囮4の矢1:-Pのように，磁場Hの変化の向きに応じて磁化mが異なる値をとるヒステリ シスル ー プと呼ばれる現象が観測されることがある。 この現象が起こる理由を上記のイジンダ模型と関連付けて議給せよ。

mH

図48