Q1-1

TheoryJapanese (Japan)

理論 第１問 ISS の軌道の低下 [10 点]
イントロダクション

図 1: 地球を周回する ISS (International Space Station)
ISS は現在，最小高度 370 km，最大高度 460 km で，赤道面から 𝜃 = 51.6∘ 傾いたほぼ円軌道を描いている。
軌道は地表からの距離がゆっくりと変わる螺旋 (らせん) で，1 回転の間の高度の変化はごく小さい。
ISS の質量は 𝑀𝑆 = 4.5 × 105 kg，全体の長さは 𝐿𝑆 = 109 m である。大きな幅 𝑊𝑆 = 73 m をもつソーラーパネル (太陽電池) が ISS の電力を賄っている [NASA Official Report (2023].
全ての太陽電池と他の構造物を含むと，ISS の実効的な断面積は 約 𝑆 ≈ 2.5 × 103 m2 である [European SpaceAgency, SDC6‑23].
ISS の軌道の低下は ISS から軌道運動のエネルギーを奪ういくつかの原因による。主要なものは次である:• 軌道の高度における気体分子と ISS の頻繁な衝突,• 地球の磁場磁場の中を ISS という導体が動くことにより生ずる力 (アンペールの力と呼ばれる),• 酸素原子のイオンとの相互作用による力.
「2008 年 5 月には高度 350 km であったが，高度 4.5 km を失い，プログレス 60 により加速されて 5.5 km を回復したが，再び高度 5.5 km を失い...」[https://mod.jsc.nasa.gov]

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図 2: ISS の高度 (km) の年ごとの変化.

図 3: 2022‑2023 年の ISS の平均の高度 (km) in 2022‑2023.
「. . . ISS は毎日 330𝑓𝑡 ( 100 m) もの高度を失う. . .」[NASA Control Data (2021)]. 2023 年には，ISS は高度410 km を周回し，1 日に 70𝑚 高度が低下し (ひと月では ∼ 2 km), 磁気嵐のときには 1 日の低下は 300 m になる。ISS は自身の推進力や ISS にやってくる飛行体の推進力を利用して低下に対する対策を講じている[International Space Station Transition Report (2022)].

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図 4: いろいろな角度から見た ISS のモデルの断面積 (単位は dm = 10−2 m2 ). CROC によると断面積は 2481 m2 .

物理定数

−1−1

気体定数

𝑅=

8.31 J ⋅ K

アボガドロ定数𝑁𝐴=6.022 × 1023 mol

空気のモル質量𝜇=0.029 kg ⋅ mol

地球の質量

𝑀𝐸=

5.97 × 1024 kg

地球の半径

𝑅𝐸=

6.38 × 106 m

重力定数

𝐺=

6.67 × 10−11 m3 ⋅ s−2 ⋅ kg

地表での空気の密度𝜌0=1.29 kg/m

地表における重力加速度𝑔0=9.81 m ⋅ s−2地磁気の平均の大きさ

𝐵=

5.0 × 10−5 T

電子の電荷の絶対値

𝑒=1.60 × 10−19 C⋅ mol−1−1−13Part A: 気体圧力の式の修正 [2.0 点]
大気は主に 𝑂2 分子と 𝑁2 分子からなり，その圧力は理想気体の状態方程式 (Clapeyron‑Mendeleev の𝑀式)𝑝 𝑉 = 𝑀
𝜇 𝑅 𝑇 で与えられる: 𝑝 𝑉 = 𝜇 𝑅 𝑇 . ここで，𝑝, 𝑉 , 𝑇 , 𝑀 , 𝜇 は，圧力，体積，絶対温度，空気の質量，空気のモル質量であり，𝑅 は気体定数である。
圧力を高さの関数として表す 2 つの式がある。一つは温度が高さとともに変わる対流圏 (ℎ < 100 km) に適用できる ものである。
もう一つは，温度はほとんど高さによらない熱圏 (ℎ > 250 km) に適用できる ものであり，これが ISS に適用できる。
また，圧力は静水圧で，向きによらない。
A.1

ISS のある高さ ℎ における圧力 𝑝ℎ の一般式を積分形で導け。この式は一般的な大気圧の式（general barometric formula）と呼ばれる. ヒント: 温度と重力加速度は高さ ℎ に依存することに注意せよ。

0.5pt

Q1-4Theory

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注意 1. 300 − 600 km の高さの地球の熱圏では温度変化は小さく，太陽側で平均 800 − 900 K である [NASAdata]。したがって，ISS の軌道の高さでは 𝑇ℎ = 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 とおいてよい。特に，周回の半分の時間を急激に温度が下がる地球の影の部分で過ごすので，これらの高度における温度の平均値として 𝑇 = 425K を用いてよい。この温度は ℎ = 400 km における空気の密度 𝜌ℎ ∼ 10−12 kg/m3 [MSISE‑90 Model of Earth’s UpperAtmosphere] と矛盾しない。

図 5: 地球の熱圏.
A.2

温度と重力加速度 𝑔ℎ が高さ ℎ に依存しないときの大気圧の式 (理想気体の状態式， 0.3pt
standard barometric formula) 𝑝ℎ𝑠𝑡𝑎 を書き下せ。𝑇 = 425𝐾 に対してパラメータ𝑅𝑇を計算せよ。
ℎ0 = 𝜇𝑔0A.3

温度は一定だが重力加速度が高さ ℎ により変化するときの修正された大気圧の式(improved barometric formula) 𝑝ℎ𝑖𝑚𝑝 を求めよ。ヒント: 精度が 𝑂(𝑧ℎ2 ) である，補正の最低次でよい。飛行する高度 ℎ は地表からの高さであり，地球の半径に比べて十分小さい:𝑧ℎ = ℎ/𝑅𝐸 ≪ 1.

0.6pt

A.4

標準大気圧の式 𝑝ℎ𝑠𝑡𝑎 と修正された大気圧の式 𝑝ℎ𝑖𝑚𝑝 の比 𝑝ℎ𝑖𝑚𝑝 /𝑝ℎ𝑠𝑡𝑎 を書き下せ。また，ℎ = 4.0 × 105 m のときの比の値を求めよ。
ここからは，修正された大気圧の式を用いよ。

0.4pt

A.5𝑂(𝑧ℎ2 ) の精度で，高さ ℎ における空気の密度 𝜌ℎ と中性空気分子の濃度を求めよ。

0.2pt

Part B: 軌道上の減速と ISS の高度低下 [3.0 点]⃗
一定の摩擦力 𝐹𝑑𝑟𝑎𝑔を受ける質量 𝑀𝑆 の衛星の軌道の低下率を考えよう。高度の低下 𝑑ℎ は高度 ℎ に比べて十分小さいとする: (𝑑ℎ ≪ ℎ).
B.1

高さ ℎ の軌道にある時の衛星の速度の大きさ 𝑣ℎ と周回周期 𝜏ℎ を書き下せ。

0.5pt

Q1-5TheoryJapanese (Japan)

B.2

半径 𝑅𝐸 + ℎ の円軌道にある衛星の全エネルギー 𝐸𝑆 を書け。

0.5pt

B.3⃗
一定の質量の衛星を減速させる力が制動力 𝐹𝑑𝑟𝑎𝑔により与えられる。その結果，ISSは微小な時間 dt𝑑ℎ の間に高度が 𝑑ℎ 下がる。 𝐹𝑑𝑟𝑎𝑔 が与えられたして，ISS のエネル
ギー収支の式を書け。

1.0pt

B.4

衛星の降下の速さ 𝑢ℎ を求めよ。ヒント: 降下の速さは制動力，衛星の高度，衛星の質量に依存する。

0.5pt

B.5

摩擦により高度 ℎ から衛星が 1 回の周回で落ちる高さ 𝐻ℎ と地表に落ちるまでの時
間 𝑇ℎ を求めよ。
ヒント: ℎ0 ≪ ℎ ≪ 𝑅𝐸 を考慮せよ。

0.5pt

Part C: 大気による摩擦 [1.0 点]ℎ ≈ 300 − 400 km の高度にある衛星の速さ 𝑣 は大気の分子の熱運動の平均の速さ (数百 m/s) より十分大きい。
したがって，ISS と衝突する前には，分子は静止しているとみなせる。摩擦力を大まかに評価するために，分子は衝突後は ISS と同じ速度を得ると仮定する。
C.1

𝑎𝑖𝑟
大気による制動力 𝐹𝑎𝑖𝑟 , 降下速度 𝑢𝑎𝑖𝑟ℎ ，および 1 回の周回での降下 𝐻ℎ を求めよ。 0.5pt

C.2

大気による摩擦で高度 ℎ から地表に落ちるまでの時間を求めよ。ヒント: ℎ0 ≪ ℎ ≪𝑅𝐸 であることを考慮せよ。

0.5pt

Part D: 酸素原子のイオンによる摩擦 [1.0 点]
熱圏においては，紫外や X 線の太陽放射や宇宙線の影響で，大気がイオン化する (極光，オーロラ)。𝑂2 と違い, 𝑁2 は太陽の放射により強く解離することはない。したがって，一般に，地球の大気の上層では原子の形の 𝑁 は原子の形の酸素に比べて少ない。250 km 以上の高度では原子の形の 𝑂 が圧倒的である。電子とイオン化した酸素原子からなる層が大気の太陽側に現れる。この場合，原子の形の 𝑂 の濃度は 𝑛𝑖𝑜𝑛 ∼ 1012 m−3に達する。
D.1

これらの粒子の衝突による 24 時間平均の制動力 𝐹𝑖𝑜𝑛 を求めよ。. 夜間にはこれらの粒子の層は無視できることを考慮せよ。イオン化した酸素原子の密度を 𝜌𝑖𝑜𝑛 と表せ。

D.2

イオン化した酸素原子との衝突による減速で衛星の降下する速さ 𝑢𝑖𝑜𝑛ℎ を求めよ。 0.7pt
この効果による 1 周回当たりの降下 𝐻ℎ𝑖𝑜𝑛 を求めよ。ヒント: ℎ0 ≪ ℎ ≪ 𝑅𝐸 を考慮せよ。

0.3pt

Part E: 地球の磁場による減速 [2.0 点]
衛星の運動に対する地球の磁場の影響を考える。地表近くでは磁場の大きさは (3.5 ∼ 6.5) × 10−5 T であり，平均値は 𝐵 = 5 × 10−5 T である。

Q1-6Theory

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衛星が磁場中を高速で動くと，衛星を構成する導体に電磁誘導起電力による電流が流れる。そのため電荷の再配置が起き，衛星の周りに電場が生じ，周囲の荷電粒子の動きに影響を与える。周囲の電子は衛星の中央に対して正の電位をもつところにひきつけられ，周囲の正イオンは負の 電位をもつところにひきつけられる。電子は金属中を電流として流れる。一方，衛星の表面にぶつかる正イオンはその電子と再結合して中性原子になる。このように衛星は運動しながら，周りから電子とイオンを集め，これらと衝突する。
衛星の導体部分を流れる電流の大まかな評価のために，電荷を集めるのは衛星の断面積 𝑆 と仮定し，集まった全ての電子とイオンが電流に寄与するとしよう。
E.1

誘起される電流の大きさ 𝐼𝑖𝑛𝑑 を近似的に求めよ。

0.6pt

E.2

衛星の運動と反対方向に働く制動力 (アンペールの力) を近似的に求めよ。
(地球の) 経線方向に沿う地磁気𝐵⃗ と (衛星の速度) の角を 𝜙 とする。簡単化のために衛星の長さ 𝐿 を 𝑆 の平方根とする。さらに，sin(𝜙) の平均値を計算する代わりに，sin(𝜋/2 − 𝜃) で近似してよい。また，平均値の計算はいくつかの点について行えばよい。

0.6pt

E.3

地磁気の効果による衛星の降下の速さ 𝑢𝑖𝑛𝑑 を求めよ。また，1 回の周回当たりの降下率 𝐻ℎ𝑖𝑛𝑑 を求めよ。
ヒント: ℎ ≪ 𝑅𝐸 であることを考慮せよ。

0.8pt

Part F: 数値的結果と結論 [1.0 点]
F.1

解答用紙の表 1 に数値を記入せよ。

0.4pt

F.2

解答用紙 の表 2 に数値を記入せよ。

0.4pt

F.3

これらの 3 つの減速過程について，380 km 以上の高度の ISS の軌道に与える影響 0.2ptを順位付けせよ。
380 km 以上の高度を周回する ISS の軌道低下に最も大きな影響を与えるのは何か。