Journal für die reine undangewandte Mathematik

J. reine angew. Math. 658 (2011), 65—98
DOI 10.1515/CRELLE.2011.061( Walter de Gruyter
Berlin  New York 2011

Nombres réels de complexité sous-linéaire :mesures d’irrationalité et de transcendance
Par Boris Adamczewski à Villeurbanne et Yann Bugeaud à Strasbourg

Abstract. By means of a quantitative version of the Schmidt Subspace Theorem, we
obtain irrationality and trancendence measures for real numbers whose expansion in an integer base has a sublinear complexity. We further give several applications of our general
results to Sturmian, automatic, and morphic numbers, and to lacunary series. In particular,
we extend a theorem on Sturmian numbers established by Bundschuh in 1980. We also provide a ﬁrst step towards a conjecture of Becker by proving that irrational automatic real
numbers are either S- or T-numbers. This improves upon a recent result of Adamczewski
and Cassaigne, who established that irrational automatic real numbers cannot be Liouville
numbers.

1. Introduction
Une façon classique de mesurer la complexité d’une suite a ¼ ðak Þkf1 prenant ses
valeurs dans un ensemble ﬁni A consiste à étudier la fonction n 7! pðn; aÞ déﬁnie parpðn; aÞ ¼ Cardfðaj ; ajþ1 ; . . . ; ajþn1 Þ : j f 1g:
Cette notion de complexité est issue de l’étude des systèmes dynamiques symboliques [33] etfait l’objet de nombreux travaux dans ce domaine et en combinatoire des mots. La fonctionpð; aÞ est appelée fonction de complexité de la suite a. Clairement, il s’agit d’une fonction
croissante qui vériﬁe
1 e pðn; aÞ e ðCard AÞ n

ðn f 1Þ:On considère dans ce contexte qu’une suite est d’autant plus simple que sa fonction decomplexité a un ordre de grandeur petit. Cette idée intuitive est en partie justiﬁée par lerésultat fondamental suivant, démontré par Hedlund et Morse [33] en 1938 : une suite est
ultimement périodique si, et seulement si, sa fonction de complexité est bornée.
Cette notion s’avère également pertinente en théorie des nombres. Elle induit une hiérarchie naturelle des nombres réels en considérant la complexité de leur représentation dansBrought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

une base entière. Étant donné un entier b f 2, tout nombre réel non nul x s’écrit de manièreuniqueP ak;kkfk0 bx ¼Goù k0 f 0, ak0 3 0 si k0 > 0, ak A f0; 1; . . . ; b  1g et ak 3 b  1 pour une inﬁnité d’indices
k. Cette écriture s’appelle le développement de x en base b. On déﬁnit alors la complexité dunombre réel x relativement à la base b par
pðn; x; bÞ ¼ pðn; aÞ;où a :¼ ðak Þkf1 . Étant donnée une fonction réelle f croissante à valeurs entières positives,
on déﬁnit la classe de complexité Cð f Þ parCð f Þ :¼ x A R : il existe une base b f 2 telle que pðn; x; bÞ ¼ O f ðnÞ :Notons que la classiﬁcation des nombres réels ainsi obtenue est très di¤érente des classiﬁcations classiques issues des travaux de Turing, exprimées en termes de calculabilité entemps ou en espace. En e¤et, dans ces dernières, les classes étudiées sont formées de nombres calculables au sens de Turing. Ici, dès que la fonction f croı̂t au moins linéairement,
l’ensemble Cð f Þ est non dénombrable et contient ainsi des nombres non calculables.
On distingue deux principaux champs d’investigation. pUne
première direction
ﬃﬃﬃ
consiste à étudier la complexité de constantes classiques comme 2, p, e ou zð3Þ. Il est généralement attendu que le développement de chacun de ces nombres est de complexité
maximale quelle que soit la base entière choisie, néanmoins un tel résultat semble hors d’atteinte pour le moment. D’autre part, on peut se demander de quelles propriétés jouissent lesnombres réels ayant un ordre de complexité prescrit.
Dans la suite, nous nous intéressons aux propriétés diophantiennes des nombres réels
appartenant à la classe
CL :¼ fx A R : il existe une base b f 2 telle que pðn; x; bÞ ¼ OðnÞg:Nous dirons qu’un élément de la classe CL est un nombre réel de complexité sous-linéaire.
Ces nombres se situent donc au bas de la hiérarchie considérée. Un aspect remarquable desnombres de complexité sous-linéaire est qu’ils peuvent souvent être décrits par des procédés
algorithmiques, dynamiques ou arithmétiques simples, comme l’illustrent les parties 3, 4, 5
et 6 ci-après. Aussi trouve-t-on dans la littérature de nombreux travaux ayant pour objet
l’étude de familles particulières de nombres réels appartenant à la classe CL (voir par
exemple [6], [9], [10], [16], [20], [24], [25], [26], [29], [37], [38], [40] pour une liste non exhaustive). En revanche, il a longtemps semblé di‰cile de traiter tous ces nombres de façon globale. Dans un travail précédent [2], nous avons développé une nouvelle approche permettant d’obtenir le premier résultat de ce type, le Théorème AB ci-dessous. Celle-ci est fondée
sur un résultat combinatoire de transcendance [5], dont la démonstration repose sur uneversion p-adique du théorème du sous-espace de W. M. Schmidt.
Théorème AB. Tout nombre réel de complexité sous-linéaire est ou bien rationnel, oubien transcendant.
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Évidemmment, le théorème de Hedlund et Morse cité précédemment implique que
tous les nombres rationnels sont des nombres de complexité sous-linéaire. Il est donc impossible d’échapper à l’alternative « rationnel ou transcendant » présente dans le Théorème
AB. Cela n’est pas réellement gênant puisque nous disposons d’un critère de ratonalitécombinatoire e‰cace pour les nombres déﬁnis par leur développement dans une baseentière : un nombre est rationnel si, et seulement si, son développement dans toute baseentière est ultimement périodique. Nous pouvons ainsi distinguer aisément, parmi les nombres réels de complexité sous-linéaire, les nombres trancendants des nombres rationnels.
L’objet de cet article est de préciser le Théorème AB en obtenant des mesures d’irrationalité et de transcendance, ainsi que des résultats d’indépendance algébrique, pour leséléments de la classe CL. Dans cette direction, nous démontrons deux résultats principaux,les Théorèmes 1.1 et 2.1. Des applications de ces deux résultats sont ensuite données dansles parties 3, 4, 5 et 6.
Avant d’énoncer le Théorème 1.1, nous rappelons la classiﬁcation des nombres réels
déﬁnie par Mahler [28] en 1932. Soient d f 1 un entier et x un nombre réel. On note wd ðxÞ
le supremum des nombres réels w pour lesquels les inégalités
0 < jPðxÞj e HðPÞ wsont vériﬁées par une inﬁnité de polynômes PðX Þ à coe‰cients entiers, de degré majoré pard. Ici, HðPÞ désigne la hauteur naı̈ve de PðX Þ, c’est-à-direle maximum des valeurs abso
lues de ses coe‰cients. Posant alors wðxÞ ¼ lim sup wd ðxÞ=d , nous disons, suivant Mahd!þy
ler, que x est un
A-nombre;
S-nombre;si wðxÞ ¼ 0;

si 0 < wðxÞ < y;T-nombre;si wðxÞ ¼ y et wd ðxÞ < y pour tout entier d f 1;

U-nombre;si wðxÞ ¼ y et wd ðxÞ ¼ y pour un entier d f 1:

Une propriété essentielle de cette classiﬁcation est que deux nombres transcendants appartenant à des classes di¤érentes sont algébriquement indépendants. Les A-nombres sontexactement les nombres algébriques. Au sens de la mesure de Lebesgue, presque tous lesnombres réels sont des S-nombres. Les nombres de Liouville, qui sont par déﬁnition les
nombres x vériﬁant w1 ðxÞ ¼ þy, sont des exemples de U-nombres, mais la conﬁrmation
de l’existence des T-nombres demeura un problème ouvert durant une quarantaine d’années, jusqu’à sa résolution par Schmidt [43], [44]. Davantage de résultats sur les fonctions
wd se trouvent dans la monographie [13].
Théorème 1.1. Soit x un nombre irrationnel appartenant à la classe CL. Alors, oubien x est un nombre de Liouville, ou bien il existe une constante c, indépendante de d, telleque
wd ðxÞ e ð2dÞ cðlog 3dÞðlog log 3dÞ ;pour tout entier d f 1. Dans ce dernier cas, x est un S-nombre ou un T-nombre.
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

La démonstration du Théorème 1.1 repose sur une version quantitative du théorème
du sous-espace de Schmidt établie par Evertse et Schlickewei [19] et rappelée dans la partie
7. Nous montrons comment combiner l’approche de [2] avec celle récemment développéedans [4] aﬁn de contrôler la qualité de l’approximation de tout nombre réel appartenant à
la classe CL par des nombres algébriques de degré ﬁxé au moins égal à deux.
Il est possible d’expliciter la constante c qui apparaı̂t dans l’énoncé du Théorème 1.1.
Plus précisément, si x est un nombre irrationnel appartenant à la classe CL, il existe unebase b f 2 et un nombre réel k tels que pðn; x; bÞ e kn pour tout n assez grand; la démonstration du Théorème 1.1 montre alors que
wd ðxÞ e maxfw1 ðxÞ; ð2dÞ 10

150 k 18 ðlog 3dÞðlog log 3dÞ

g;pour tout entier d f 1. En particulier, la majoration de wd ðxÞ est indépendante de b. Celarésulte de l’utilisation, comme dans [15], d’une version quantitative du théorème du sousespace appliquée à un système d’inégalités faisant intervenir des formes linéaires, et non à
une inégalité portant sur un produit de formes linéaires.
Tout comme le Théorème AB, le Théorème 1.1 présente une alternative à laquelleon ne peut espérer se soustraire. En e¤et, la classe CL contient aussi bien le nombre deLiouville
P 1
n!
nf1 10que le nombre
P 1
;
2n
nf1 2
lequel, d’après un résultat de Ku. Nishioka [37], est un S-nombre. Néanmoins, nous ignorons s’il existe des T-nombres ayant une complexité sous-linéaire.
Le Théorème 1.1 nous renvoie donc au problème de distinguer, parmi les éléments dela classe CL, les nombres de Liouville de ceux qui n’en sont pas. Pour ce faire, nous utilisons un exposant combinatoire introduit dans [3], l’exposant diophantien, qui s’interprètecomme une mesure de la périodicité du développement de x en base b. Notons que desexposants similaires ont déjà été introduits en combinatoire des mots et en dynamique symbolique, comme l’exposant critique ou l’exposant critique initial (voir par exemple [12]).
Nous montrons alors comment cet exposant permet d’obtenir une mesure d’irrationalitégénérale pour les nombres de complexité sous-linéaire (Théorème 2.1). En particulier,nous établissons qu’un élément de CL est un nombre de Liouville si, et seulement si, son
exposant diophantien est inﬁni (Corollaire 2.2).
Ce critère combinatoire pour déterminer si un élément de CL est, ou non, un nombrede Liouville s’avère e‰cace dans la pratique comme l’illustrent les applications donnéesdans les parties 3, 4, 5 et 6. Nous commençons par présenter dans la partie 3 une application des Théorèmes 1.1 et 2.1 aux nombres sturmiens, qui sont liés aux valeurs des séries deBrought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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Hecke–Mahler. Nous généralisons ainsi un théorème établi en 1980 par Bundschuh [16].
D’autres applications de ces résultats, concernant les nombres automatiques, les nombres
morphiques et les nombres lacunaires, sont respectivement données dans les parties 4, 5
et 6. Nous faisons en particulier un premier pas en direction d’une conjecture de Becker
en démontrant que tout nombre automatique irrationnel est soit un S-nombre, soit un
T-nombre. Ceci améliore le résultat principal de [7] a‰rmant qu’un nombre automatiqueirrationnel ne peut pas être un nombre de Liouville.
Le reste de ce texte est organisé comme suit. La version du théorème du sous-espacequantitatif que nous utilisons, démontrée par Evertse et Schlickewei [19], est rappelée dansla partie 7. Plusieurs résultats auxiliaires font l’objet de la partie 8. Les parties 9 et 10 sontrespectivement consacrées aux démonstrations des Théorèmes 1.1 et 2.1. Nous complétons
la démonstration du Théorème 3.1 dans la partie 11. Enﬁn, nous ajoutons quelques remarques dans la partie 12.
Remerciements. Le premier auteur remercie l’ANR pour son soutien à travers leprojet DyCoNum–JCJC06 134288.

2. Exposant diophantien et mesures d’irrationalité
Dans cette partie, nous nous intéressons à l’approximation des éléments de la classe
CL par des nombres rationnels. Nous cherchons à obtenir des mesures d’irrationalité pources nombres, c’est-à-dire à majorer leur exposant d’irrationalité. Rappelons que l’exposantd’irrationalité d’un nombre réel irrationnel x, noté mðxÞ, désigne le supremum des nombresréels m pour lesquels l’inégalitéx  p < q mq
possède une inﬁnité de solutions rationnelles p=q. Pour tout nombre irrationnel x, on amðxÞ ¼ w1 ðxÞ þ 1 et
ð2:1Þ

2 e mðxÞ e þy:

Les nombres de Liouville sont par déﬁnition les nombres réels dont l’exposant d’irrationalité est inﬁni. Récemment, Bugeaud [14] a démontré que, pour tout nombre réel m f 2, il
existe une inﬁnité de nombres réels x appartenant à CL et tels que mðxÞ ¼ m. Le comportement des nombres réels de complexité sous-linéaire vis-à-vis de l’approximation rationnelle
est donc très variable, ce qui rend a priori di‰cile l’obtention d’une mesure d’irrationalitégénérale pour les éléments de la classe CL.
Pour surmonter cette di‰culté, nous utilisons l’exposant diophantien, introduit dans[3]. Cet exposant s’interprète comme une mesure de la périodicité du développement d’unnombre réel dans une base entière. Nous montrons comment il permet de contrôler defaçon assez satisfaisante l’approximation rationnelle des nombres réels de complexité
sous-linéaire, complétant ainsi le Théorème 1.1. En particulier, cet exposant permet decaractériser, parmi les éléments de la classe CL, ceux qui sont des nombres de Liouville.
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Avant de déﬁnir l’exposant diophantien d’une suite ou d’un mot inﬁni, faisons quelques rappels de combinatoire des mots, qui nous seront également utiles dans les parties 5,9, 10 et 11.
Soit A un ensemble ﬁni. On note jW j la longueur d’un mot ﬁni W sur l’alphabet A,
c’est-à-dire le nombre de lettres composant W . Pour tout entier l f 1, le mot W l désignela concaténation de l copies de W . Plus généralement, pour tout nombre réel x > 0, on
note W x le mot W bxc W 0 , où W 0 est le préﬁxe de W de longueur dðx  bxcÞjW je. Ici etdans toute la suite, dye (resp. byc) désigne le plus petit entier supérieur ou égal à y (resp.
le plus grand entier inférieur ou égal à y). Le mot W y est le mot inﬁni obtenu par concaténations successives du mot W .
Soit a ¼ ðak Þkf1 une suite d’éléments de A, que l’on identiﬁe au mot inﬁni a1 a2 . . . .
Soit r f 1 un nombre réel. On dit que a vériﬁe la Condition ðÞr s’il existe deux suites demots ﬁnis ðUn Þnf1 , ðVn Þnf1 , et une suite de nombres réels ðwn Þnf1 telles que :(i) Pour n f 1, le mot Un Vnwn est un préﬁxe du mot a.
(ii) Pour tout n f 1, jUn Vnwn j=jUn Vn j f r.
(iii) La suite ðjVnwn jÞnf1 est strictement croissante.
L’exposant diophantien de a, noté DioðaÞ est le supremum des nombres réels r pourlesquels a vériﬁe la Condition ðÞr . Il est clair à partir de la déﬁnition que
1 e DioðaÞ e þyet que l’exposant diophantien d’une suite ultimement périodique est inﬁni.
Pour tout entier b f 2, notons Dioðx; bÞ l’exposant diophantien du développement
de x en base b. En tronquant ce développement puis en le complétant par périodicité, on
construit ainsi de bonnes approximations rationnelles de x qui nous permettent aisément
de minorer l’exposant d’irrationalité mðxÞ de x et d’établir, lorsque x est irrationnel, queð2:2ÞmðxÞ f Dioðx; bÞ:En revanche, ce raisonnement très simple n’est a priori d’aucune aide pour majorer
mðxÞ, sauf, cependant, lorsque x est de complexité sous-linéaire, comme l’illustre le résultat
suivant.
Théorème 2.1. Soit b f 2 un entier. Soient k > 1 un nombre entier et a ¼ ðak Þkf1 unesuite à valeurs dans f0; 1; 2; . . . ; b  1g telle que pðn; aÞ e kn pour tout entier n assez grand.
Si l’exposant diophantien de a est ﬁni, alors le nombre réel
x :¼

þ
ya
P
k
k
k¼1 b

vériﬁe
ð2:3Þ


maxf2; Dioðx; bÞg e mðxÞ e ð2k þ 1Þ 3 Dioðx; bÞ þ 1 :Brought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire71

L’inégalité de gauche de (2.3) découle de (2.1) et (2.2).
Nous déduisons du Théorème 2.1 un critère combinatoire pour distinguer les nombresde Liouville dans l’ensemble des nombres de complexité sous-linéaire en base b, c’est-à-diredans l’ensemble des nombres réels x tels que pðn; x; bÞ ¼ OðnÞ.
Corollaire 2.2. Soient b f 2 un entier et x un nombre réel irrationnel de complexité
sous-linéaire en base b. Alors, x est un nombre de Liouville si, et seulement si, Dioðx; bÞ est
inﬁni.
Ainsi, de façon assez surprenante, la lecture «naı̈ve» du développement d’un nombre
réel de complexité sous-linéaire nous permet toujours de déterminer s’il s’agit ou non d’unnombre de Liouville.
Notons enﬁn que l’exposant diophantien d’un nombre réel est parfois égal à son
exposant d’irrationalité [14]. En particulier, si
x :¼

P

1

nf0

bbnac

;

avec a > 1 irrationnel et b f 2 entier, les résultats présentés dans [1] (voir aussi [8]) impliquent quemðxÞ ¼ Dioðx; bÞ ¼ 1 þ lim sup½an ; an1 ; . . . ; a1 ;n!þy

où a0 ; a1 ; . . . désignent les quotients partiels du développement en fraction continue dunombre a.
3. Nombres sturmiens
Les suites sturmiennes sont les suites a de complexité minimale parmi les suites apériodiques, c’est-à-dire celles qui vériﬁent pðn; aÞ ¼ n þ 1 pour tout entier positif n. Depuis
les travaux précurseurs de Morse et Hedlund [33], [34], elles sont l’objet de nombreuses études (voir par exemple [23] pour une introduction à ce sujet). Un nombre sturmien est un
nombre réel dont le développement dans une base entière est une suite sturmienne. Notons
qu’une suite sturmienne a ne prend que deux valeurs distinctes puisque par déﬁnition
pð1; aÞ ¼ 2. Dans la suite de cette partie nous nous limitons à l’étude des nombres sturmiens dont les chi¤res sont 0 et 1, mais nos résultats s’adaptent sans peine à tous les nombres sturmiens. Il découle de l’une des nombreuses caractérisations des suites sturmiennes
qu’un nombre écrit en base b f 2 avec les seuls chi¤res 0 et 1 est sturmien si, et seulement
si, il est de la forme
Sb ða; rÞ :¼

P

1

nf0

bbnaþrcou bienSb0 ða; rÞ :¼

P

1dnaþrebnf0

avec a > 1 irrationnel et r f 0.
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Les nombres sturmiens sont également liés aux valeurs aux points 1=b des séries deHecke–Mahlerf ðz; a; rÞ ¼

P

dna þ rez n ;nf1

dont la transcendance aux points z algébriques a été étudiée depuis les travaux précurseursde Mahler [27] en 1929.
Notons que les propriétés dont il est question ci-après (transcendance, mesure detranscendance, mesure d’irrationalité) sont clairement identiques pour Sb ða; rÞ et Sb0 ða; rÞ.
Mahler [27] établit la transcendance de Sb ða; 0Þ pour a quadratique, un résultat étendu en1977 par Loxton et van der Poorten [24] à tout nombre a irrationnel, également au moyen
de la méthode de Mahler. Plus récemment, Masser [31] a obtenu des résultats d’indépendance algébrique pour les nombres Sb ða; 0Þ avec a quadratique, toujours en utilisant laméthode de Mahler. D’autre part, il est bien connu que le paramètre r est une source dedi‰cultés importantes. Ainsi, il a fallu attendre 1997 pour que Ferenczi et Mauduit [20]démontrent la transcendance de tous les nombres sturmiens en utilisant une approchecomplètement di¤érente fondée sur une étude combinatoire des suites sturmiennes et sur
une version p-adique du théorème de Roth établie par Ridout [41].
Dans la partie 11, nous démontrons que Dio Sb ða; rÞ; b est ﬁni si, et seulement si, a
est un nombre dont le développement en fraction continue est à quotients partiels bornés.
Ce résultat, combiné aux Théorèmes 1.1 et 2.1, nous permet de généraliser un théorèmeétabli en 1980 par Bundschuh [16] correspondant au cas particulier où r ¼ 0 dans le théorème suivant.
Théorème 3.1. Soient b f 2 un entier, a > 1 un nombre irrationnel et r > 0 un
nombre réel. Le nombre réel
Sb ða; rÞ ¼

P1bnaþrcb
nf0

est un nombre de Liouville si, et seulement si, a est nombre à quotients partiels non bornés. De
plus, si a est un nombre à quotients partiels bornés, alors Sb ða; rÞ est soit un S-nombre, soit un
T-nombre.
Comme conséquence du Théorème 3.1 et des propriétés de la classiﬁcation de Mahler, nous construisons des exemples explicites de nombres réels algébriquement indépendants.
Corollaire 3.2. Soient b f 2 et b 0 f 2 deux entiers. Soient a > 1 un nombre réel irrationnel à quotients partiels non bornés, a 0 > 1 un nombre réel irrationnel à quotients partiels
bornés, r et r 0 deux nombres réels. Alors, les nombres réels
P

1

nf0

bbnaþrc

et

P
nf0

1
b 0bna 0 þr 0 c

sont algébriquement indépendants.
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire73

En particulier, les nombres
P

1

nf0

2bneþpc

et

P
nf0

1

pﬃﬃ
3bn 2þzð3Þc

sont algébriquement indépendants.

4. Nombres automatiques
Les nombres réels automatiques sont les nombres réels dont le développement dansune base entière peut être engendré par un automate ﬁni. Pour une déﬁnition plus formelle,
nous renvoyons le lecteur au Chapitre 13 du livre d’Allouche et Shallit [9] qui est entièrement consacré à l’étude de ces nombres.
Un exemple emblématique de nombre automatique est le nombre binaire de Thue–
Morse–Mahler
P an
;
n
nf0 2
où an ¼ 1 si le développement binaire de n contient un nombre impair de chi¤res non nuls
et an ¼ 0 sinon.
Comme conséquence d’un résultat de Cobham [17], les nombres automatiques forment une sous-classe des nombres de complexité sous-linéaire. Le Théorème AB impliqueen particulier qu’un nombre réel automatique est rationnel ou transcendant, conﬁrmant
une conjecture proposée par Cobham en 1968 et popularisée par les travaux de Loxton etvan der Poorten [25], [26]. En 1993, Shallit conjectura qu’un nombre de Liouville ne peutêtre engendré par un automate ﬁni. En fait, une conjecture plus forte fut par la suite formulée par Becker dans sa correspondance avec Shallit.
Conjecture 4.1 (Becker). Les nombres automatiques irrationnels sont des S-nombres.

tique

Dans
la direction de la Conjecture 4.1, Nishioka [37] établit que le nombre automaP 2n2
est un S-nombre. La conjecture de Shallit fut récemment démontrée parnf1

Adamczewski et Cassaigne [7], qui prouvèrent (voir leur Lemma 6.1) que l’exposant diophantien d’un mot inﬁni automatique est nécessairement ﬁni. Comme conséquence de leursrésultats et du Théorème 1.1, nous faisons un premier pas dans la direction de la conjecturede Becker.
Théorème 4.2. Tout nombre réel irrationnel automatique est ou bien un S-nombre, oubien un T-nombre.
Le Théorème 4.2 étend le Theorem 3.3 d’Adamczewski et Cassaigne [7], lesquels, aumoyen d’un théorème de Baker [11], établirent que les nombres automatiques vériﬁant une
certaine hypothèse de nature combinatoire ne sont pas des U-nombres.
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

5. Nombres morphiques
Tout comme les automates ﬁnis, les morphismes de monoı̈des libres permettent deconstruire facilement des mots inﬁnis, et donc des nombres réels, aux propriétés remarquables.
Étant donné un ensemble ﬁni A, on désigne par A  le monoı̈de libre engendré par A
pour la concaténation. Le mot vide e est l’élément neutre de A  . Une application de A
dans A  se prolonge de façon unique en un endomorphisme de A  , que nous appellerons
simplement morphisme.
Un morphisme s est dit prolongeable s’il existe un élément a de A tel que sðaÞ ¼ aW ,koù W est un
Þ 3 e pour tout k f 0. Dans ce cas, la suite de kmotnon vide vériﬁant s ðWNmots ﬁnis s ðaÞ kf1 converge dans A (muni de la topologie produit des topologies
discrètes sur chaque copie de A) vers un mot inﬁni a. Ce mot inﬁni est un point ﬁxe de s
(dont l’action s’étend naturellement sur A N par continuité) et nous dirons que a est engendré par le morphisme s. Lorsque le mot a n’est pas ultimement périodique, nous dirons quea est un point ﬁxe apériodique de s. Le morphisme s est dit primitif s’il existe un entier k telque pour tout couple ða; bÞ A A 2 , la lettre b a au moins une occurrence dans le mot s k ðaÞ.
Les points ﬁxes apériodiques de morphismes primitifs font l’objet de nombreux travaux, notamment en dynamique symbolique et en théorie des pavages comme l’illustre lamonographie [39]. Il est bien connu que ces mots inﬁnis ont tous une complexité souslinéaire (voir [9]). Une autre propriété d’un tel mot a est qu’il existe un entier k tel que ane contient aucune occurrence d’un mot de la forme W k , où W désigne un mot ﬁni nonvide (voir [35]). Il découle de ce résultat que l’exposant diophantien d’un point ﬁxe apériodique de morphisme primitif est toujours ﬁni.
Les Théorèmes 1.1 et 2.1 impliquent alors le résultat suivant.
Théorème 5.1. Soient b f 2 un entier, s un morphisme primitif déﬁni sur un alphabet
A inclus dans f0; 1; . . . ; b  1g, et a ¼ a0 a1 . . . un point ﬁxe apériodique de s. Alors, lenombre réel
x :¼

P an
n
nf0 b

est soit un S-nombre, soit un T-nombre.
Le morphisme de Tribonacci t déﬁni sur f0; 1; 2g  par tð0Þ ¼ 01, tð1Þ ¼ 02 ettð2Þ ¼ 0 est un morphisme primitif qui engendre le mot inﬁni de Tribonacci t ¼ ðtn Þnf1déﬁni part ¼ lim t n ð0Þ ¼ 0102011010202010201 . . . :n!yIl découle du Théorème 5.1 que le nombre réel
x¼

P tn
n
nf1 3

est soit un S-nombre, soit un T-nombre.
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire75

6. Nombres lacunaires
Nous dirons qu’un nombre réel x est un nombre lacunaire si son développement dansune base entière b f 2 s’écrit
x :¼

P 1
;
un
nf1 b

où ðun Þnf1 est une suite strictement croissante d’entiers positifs vériﬁant
lim inf
n!þy

unþ1
> 1:
un

Les nombres
P 1;
n!
nf1 10

P
nf1

1
n
2by c

P 1
;
Fn
nf1 3

;

où y > 1 désigne un nombre réel et Fn est le n-ième nombre de Fibonacci, sont des exemples
classiques de nombres lacunaires. Le fait que les nombres lacunaires sont des nombresde complexité sous-linéaire est une observation assez simple (voir par exemple [21]), et lethéorème de Ridout [41] implique qu’ils sont transcendants, un résultat que les énoncés
ci-dessus permettent de préciser.
Théorème 6.1.
ð6:1ÞSoit b f 2 un nombre entier. Un nombre lacunaire
x :¼

P 1
un
nf1 b

est un nombre de Liouville si, et seulement si, la suite ðunþ1 =un Þnf1 n’est pas bornée. De plus,
si cette suite est bornée, alors x est soit un S-nombre, soit un T-nombre.
Pour démontrer le Théorème 6.1, il su‰t de constater queDioðx; bÞ ¼ lim sup
n!þy

unþ1
;
un

puis d’appliquer le Théorème 1.1 et le Corollaire 2.2.
Notre méthode conduit à un résultat plus précis que le Théorème 6.1. En e¤et,comme tout nombre lacunaire x déﬁni par (6.1) vériﬁepðn; x; bÞ1
lim sup
e1 þ
;
n!þy
n
l1

où



unþ1
;
l :¼ min 2; lim infn!þy unle Théorème 2.1 et l’inégalité (9.20) qui termine la démonstration du Théorème 1.1 assurent
que, pour tout entier d f 1,
ð6:2Þ



18
156
unþ1
wd ðxÞ e max 250ðl  1Þ 1 lim sup; ð2dÞ 10 ðl1Þ ðlog 3dÞðlog log 3dÞ :n!þy
unBrought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Il est intéressant de noter que le membre de droite de (6.2) ne fait pas intervenir la base bdans laquelle x est écrit.

7. Le théorème du sous-espace quantitatif
Nous énonçons un cas très particulier d’une version quantitative du théorème dusous-espace de Schmidt. La hauteur d’un nombre algébrique a, notée HðaÞ, est par déﬁnition la hauteur de son polynôme minimal.
Théorème ES. Soit e un nombre réel strictement positif. Soit S un ensemble ﬁni
de nombres premiers distincts et posons S ¼ S W fyg. Soit a un nombre réel algébrique dedegré d et de hauteur au plus H. Considérons les formes linéaires
L1y ðX ; Y ; ZÞ ¼ X ;L2y ðX ; Y ; ZÞ ¼ Y ;L3y ðX ; Y ; ZÞ ¼ aX  aY  Z;

et, pour tout nombre premier p de S,
L1p ðX ; Y ; ZÞ ¼ X ;L2p ðX ; Y ; ZÞ ¼ Y ;L3p ðX ; Y ; ZÞ ¼ Z:

Soient eip ðp A S; i ¼ 1; 2; 3Þ des nombres réels tels queeiy e 1 ði ¼ 1; 2; 3Þ;3
P P

eip e 0 ðp A S; i ¼ 1; 2; 3Þ;eip ¼ e:p A S i¼1

L’ensemble des solutions x ¼ ðx1 ; x2 ; x3 Þ A Z 3 du système d’inégalitésjLip ðxÞjp e ðmaxfjx1 j; jx2 j; jx3 jgÞ eip

ðp A S; i ¼ 1; 2; 3Þvériﬁant
 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ

maxfjx1 j; jx2 j; jx3 jg > max 2H d þ 1; 3 6=eest contenu dans la réunion d’au plus
ð7:1Þ

8 144 ð1 þ e 1 Þ 7 logð8dÞ log logð8dÞ

sous-espaces propres de Q 3 .
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence du Theorem 5.1 de [15], lequel découledu Theorem 3.1 de Evertse et Schlickewei [19]. r
La qualité des mesures de transcendance que nous obtenons dans nos di¤érents théorèmes dépend étroitement de la qualité de la dépendance en d dans (7.1). De ce point devue, le Théorème ES est très satisfaisant, dans la mesure où le Theorem 4 de Mueller etSchmidt [36] entraı̂ne qu’il est optimal au facteur ðlog log 8dÞ près.
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

77

Il est important de souligner que le cardinal de l’ensemble S n’apparaı̂t pas dans lamajoration (7.1).

8. Résultats auxiliaires
Soient d f 1 un entier et x un nombre réel. Suivant Koksma [22], on note wd ðxÞ lesupremum des nombres réels w  pour lesquels les inégalités

0 < jx  aj e HðaÞ w 1sont vériﬁées par une inﬁnité de nombres algébriques a de degré majoré par d. De la mêmemanière que Mahler déﬁnit les classes A, S, T et U à l’aide des fonctions wd , Koksma introduisit les classes A  , S  , T  et U  . Ces dernières coı̈ncident en fait avec les classes A, S,
T et U, comme l’implique le lemme suivant.
Lemme 8.1. Soit d f 1 un entier. Pour tout nombre réel irrationnel x on awd ðxÞ þ 1
e wd ðxÞ e wd ðxÞ:2
En particulier, wd ðxÞ est ﬁni si, et seulement si, wd ðxÞ est ﬁni.
Démonstration. L’inégalité de gauche est un résultat de Wirsing [46], tandis que cellede droite est banale. r
Nous aurons besoin de la version suivante de l’inégalité de Liouville.
Lemme 8.2. Soient a et b deux nombres algébriques distincts, de degré m et n, respectivement. Soit PðX Þ un polynôme de degré n à coe‰cients entiers tel que PðaÞ 3 0. Il existe
alors une constante cðm; nÞ, ne dépendant que de m et n, telle queja  bj f cðm; nÞ2 mn HðaÞ n HðbÞ m ;etjPðaÞj f cðm; nÞHðaÞ n HðPÞ mþ1 :Le choix cðm; nÞ ¼ ðm þ 1Þ n1 ðn þ 1Þ m1 convient.
Démonstration.
[13]. rIl s’agit d’une conséquence du Corollary A.2 et du Theorem A.1 deRappelons que la hauteur d’un vecteur de Z n est le maximum des valeurs absolues deses coe‰cients et que la hauteur d’un hyperplan de Q n d’équation y1 x1 þ    þ yn xn ¼ 0,
où y1 ; . . . ; yn sont des entiers non tous nuls et sans diviseur premier commun, est égale au
maximum des valeurs absolues de y1 ; . . . ; yn .
Nous utiliserons dans la suite le résultat suivant dont la démonstration est facile.
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78

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Lemme 8.3. Soient r et n deux entiers tels que r < n. Supposons qu’il existe des vecteurs linéairement indépendants p1 ; p2 ; . . . ; pr appartenant à Z n et tels queHðp1 Þ e Hðp2 Þ e    e Hðpr Þ:
Alors, il existe un hyperplan H de Q n contenant ces points entiers et tel queHðHÞ e r!Hðpr Þ r :9. Démonstration du Théorème 1.1
Cette partie est consacrée à la démonstration du Théorème 1.1. Notre stratégie est la
suivante. Dans un premier temps, nous mettons en évidence une propriété combinatoire dessuites de complexité sous-linéaire. Cela nous permet (cf. Proposition 9.1) d’associer à tout
nombre réel de complexité sous-linéaire une suite d’approximations rationnelles ðpn =qn Þnf1possédant les trois propriétés suivantes :(a) Ces rationnels sont d’assez bonnes approximations de x.
(b) Les dénominateurs qn ont une forme très particulière, à savoir qn ¼ b rn ðb sn  1Þ,où rn et sn sont des entiers.
(c) La suite ðqn Þnf1 ne croı̂t pas trop vite.
Les propriétés (a) et (b) sont utilisées dans [2] pour démontrer que tout nombre decomplexité sous-linéaire est soit rationnel, soit transcendant. Aﬁn d’obtenir la mesure detranscendance souhaitée, nous utilisons en plus la propriété (c) qui nous permet d’appliquer
le Théorème ES en suivant la méthode introduite dans [4].
9.1. Combinatoire des suites de complexité sous-linéaire. Nous montrons ici que lessuites de complexité sous-linéaire contiennent des occurrences précoces de motifs répétitifs.
Cette propriété combinatoire assure l’existence de la suite ðpn =qn Þnf1 mentionnée précédemment.
Plus précisément, nous démontrons le résultat suivant.
Proposition 9.1. Soit b f 2 un entier. Soit x un nombre réel irrationnel de complexité
sous-linéaire en base b et vériﬁant 0 < x < 1. Il existe alors un nombre réel c f 3, deux suites
d’entiers positifs ou nuls ðrj Þjf1 , ðpj Þjf1 , et une suite strictement croissante d’entiers positifsðsj Þjf1 tels que, pour tout j f 1:(i) rj e csj .
(ii) Si rj f 1, alors b ne divise pas pj .
(iii) 2ðrj þ sj Þ e rjþ1 þ sjþ1 e cðrj þ sj Þ.




pj
1

<
(iv) x  rj sj:b ðb  1Þ 2b ð1þ1=cÞðrj þsj Þ
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

79

Démonstration de la Proposition 9.1. Soit a une suite de complexité sous-linéaire déﬁnie sur un alphabet ﬁni A. Soient k et n0 deux entiers tels queð9:1Þpðn; aÞ e kn;

ðn f n0 Þ:

Nous modiﬁons légèrement les démonstrations de [2], Theorem 1, et de [3], Theorem 3, qui,si (9.1) est remplacée par l’hypothèse plus faible
ð9:2Þ

pðn; aÞ e kn;

pour une inﬁnité d’entiers n;

assurent l’existence d’un nombre réel c f 3, de deux suites d’entiers positifs ou nuls ðrj Þjf1 ,ðpj Þjf1 , et d’une suite strictement croissante d’entiers positifs ðsj Þjf1 tels que, pour tout
j f 1, les conditions (i) et (iv) du théorème sont vériﬁées. Le point important pour la démonstration du Théorème 1.1 est la majoration rjþ1 þ sjþ1 e cðrj þ sj Þ dans la condition (iii),
que l’on ne peut garantir sous l’hypothèse (9.2). Nous avons besoin d’une suite dense (en un
certain sens) de bonnes approximations rationnelles de x.
Pour l f 1, notons AðlÞ le préﬁxe de a de longueur l. Le principe des tiroirs montre
que si l f n0 , alors il existe (au moins) un mot Wl de longueur l ayant (au moins) deux
occurrences dans A ðk þ 1Þl . En d’autres termes, il existe des mots (éventuellement vides)
Bl , Dl , El et un mot non vide Cl tels queA ðk þ 1Þl ¼ Bl Wl Dl El ¼ Bl Cl Wl El :Nous choisissons ces mots de sorte que, si Bl n’est pas le mot vide e, les dernières lettres deBl et de Cl soient di¤érentes.
Nous devons distinguer deux cas.
Supposons tout d’abord que jCl j f jWl j. Alors, il existe un mot Fl tel queA ðk þ 1Þl ¼ Bl Wl Fl Wl El :Posons Ul ¼ Bl , Vl ¼ Wl Fl et wl ¼ jWl Fl Wl j=jWl Fl j. Alors le mot Ul Vlwl est un préﬁxe
de a et wl f 1 þ 1=k. En outre, si Ul 3 e, les dernières lettres de Ul et de Vl di¤èrent.
Supposons maintenant que jCl j < jWl j, c’est-à-dire que les deux occurrences de Wl
se chevauchent. Il existe alors un nombre rationnel sl > 1 tel que
Wl ¼ Clsl :ds =2ePosons Ul ¼ Bl , Vl ¼ Cl l et wl ¼ ðsl þ 1Þ=dsl =2e. Alors, le mot Ul Vlwl est un préﬁxe
de a et wl f 3=2. En outre, l=2 e jVl j e l et, si Ul 3 e, les dernières lettres de Ul et de Vl
di¤èrent.
Posant w ¼ 1 þ 1=k, nous avons montré que, pour tout entier l f n0 , il existe deux
mots ﬁnis Ul et Vl tels que :Brought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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80

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire(v) Ul Vlw est un préﬁxe de a.
(vi) jUl j e ð2k þ 1ÞjVl j.
(vii) l=2 e jVl j e kl.
(viii) Si Ul n’est pas le mot vide, les dernières lettres de Ul et de Vl di¤èrent.
D’autre part, un rapide calcul montre que cette construction garantit également que
jUl Vlw j1f1 þ:jUl Vl j
2k þ 1

ð9:3Þ

Cette dernière propriété ne sert pas ici, mais elle sera utilisée dans la partie 10.
Nous insistons sur le fait que les mots Ul , l f 1, ainsi construits ne sont pas nécessairement tous di¤érents.
Soit a ¼ ðak Þkf1 la suite de complexité sous-linéaire à valeurs dans f0; 1; . . . ; b  1g
telle que
x¼

þ
ya
P
k
:
k
b
k¼1

Le raisonnement ci-dessus nous permet d’associer à la suite a deux suites de mots ﬁnis
ðUl Þlf1 et ðVl Þlf1 vériﬁant les propriétés (v) à (viii). Notons respectivement rl et sl les
longueurs de Ul et de Vl , pour l f 1. Commele rl þ sl e ðk þ 1Þl;
2
il vient, pour tout entier l,2ðrl þ sl Þ e 2ðk þ 1Þl e r4ðkþ1Þl þ s4ðkþ1Þle 4ðk þ 1Þ 2 l e 8ðk þ 1Þ 2 ðrl þ sl Þ:
En posant c ¼ 8ðk þ 1Þ 2 , rj ¼ r4 j ðkþ1Þ j et sj ¼ s4 j ðkþ1Þ j , pour j f 1, on a donc2ðrj þ sj Þ e rjþ1 þ sjþ1 e cðrj þ sj Þ:Comme rj e csj , les conditions (i) et (iii) du théorème sont vériﬁées. De plus, la suite ðsj Þjf1
est bien strictement croissante.
Pour l f n0 , déﬁnissons l’entier pj par l’égalité
ð9:4Þ

pj
¼ 0:U4 j ðkþ1Þ j V4yj ðkþ1Þ j :rjb ðb sj  1ÞBrought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

81

Notons que le développement du nombre rationnel pj =b rj ðb sj  1Þ donné en (9.4) peutéventuellement correspondre à un développement impropre en base b. Cela se produit précisément lorsque V4yj ðkþ1Þ j ¼ ðb  1Þy , mais n’est source d’aucune di‰culté supplémentaire.
Les entiers pj et b rj ðb sj  1Þ peuvent très bien avoir des diviseurs communs, néanmoins, lacondition (viii) assure que b ne divise pas pj si rj f 1. En e¤et, un calcul facile montre
qu’alors pj est égal à vj  uj plus un multiple de b, où vj et uj sont, respectivement, les derniers chi¤res de V4 j ðkþ1Þ j et de U4 j ðkþ1Þ j . Ceci montre que la condition (ii) est vériﬁée.
Il découle de (v) et de (9.4) que




pj
x 
< 1 :rsjjb ðb  1Þ b rj þwsj

ð9:5ÞObservons que (vi) entraı̂nerj þ wsj f rj þ

w1
wþ1
1
1
 sj þ
 sj f 1 þ
rj þ 1 þsj
2
2
2kð2k þ 1Þ
2k
f 1þ

1
ðrj þ sj Þ;
2kð2k þ 1Þpour j assez grand. Par conséquent, on déduit de (9.5) et de la déﬁnition de c que




pj
1
x 
<
;


r
s
ð1þ1=cÞðr
jjj þsj Þb ðb  1Þ2bqui est exactement la condition (iv). r
9.2. Approximation algébrique des nombres de complexité sous-linéaire. Dans cettepartie, nous achevons la démonstration du Théorème 1.1. Étant donné un nombre réel decomplexité sous-linéaire, nous utilisons la suite de rationnels ðpn =qn Þnf1 qui lui est associéepar la Proposition 9.1 aﬁn d’appliquer le Théorème ES et d’en déduire la mesure de transcendance recherchée.
Démonstration du Théorème 1.1. Soit x un nombre réel irrationnel de complexité
sous-linéaire en base b et vériﬁant 0 < x < 1. La Proposition 9.1 assure l’existence d’unnombre réel c f 3, de deux suites d’entiers positifs ou nuls ðrj Þjf1 , et ðpj Þjf1 , et d’une suite
strictement croissante d’entiers positifs ðsj Þjf1 tels que, pour tout j f 1:(i) rj e csj .
(ii) Si rj f 1, alors b ne divise pas pj .
(iii) 2ðrj þ sj Þ e rjþ1 þ sjþ1 e cðrj þ sj Þ.
(iv) x 



1
<
.
b rj ðb sj  1Þ 2b ð1þ1=cÞðrj þsj Þ
pj

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82

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Nous insistons sur le fait que pj et b rj ðb sj  1Þ ne sont pas supposés être premiers
entre eux. Nous montrons dans cette partie que les conditions (i) à (iv) su‰sent pour borner
la qualité de l’approximation de x par des nombres algébriques de degré d avec d f 2.
En posant tj ¼ rj þ sj pour j f 1, la condition (iii) s’écritð9:6Þ

ð j f 1Þ;2tj e tjþ1 e ctj

et la condition (i) entraı̂ne
ð9:7Þ

sj f

tj
cþ1

ð j f 1Þ:Comme la suite ðsj Þjf1 est strictement croissante, nous pouvons supposer en outre que
t1 f 6.
Soit d un entier, d f 2, et soit a un nombre algébrique réel de degré d et de hauteur
strictement supérieure à 3 12c et à 3 d . Soit j l’entier donné parb tj1 e 3 d HðaÞ < b tj :

ð9:8ÞDéﬁnissons le nombre réel w par

jx  aj ¼ HðaÞ w :Nous allons majorer w en fonction de d.
Soit M le plus grand nombre entier pour lequel 2b wc tj < HðaÞ w , où nous avonsM1posé w ¼ 1 þ 1=c. Par (9.6), pour tout entier h ¼ 0; . . . ; M  1, on a 2b wtjþh e 2b wc tj et
donc

 


 

pjþh
pjþh




ð9:9Þ
a  b rjþh ðb sjþh  1Þ e x  b rjþh ðb sjþh  1Þ þ jx  aj
M1

e

1
1
þ HðaÞ w < wtjþh :2b wtjþh
b

On a alors
jb tjþh a  b rjþh a  pjþh j < b ðw1Þtjþh ¼ b tjþh =c :Nous procédons comme dans la démonstration du Theorem 2.1 de [15]. Considérons lesformes linéaires
L1y ðX ; Y ; ZÞ ¼ X ;L2y ðX ; Y ; ZÞ ¼ Y ;L3y ðX ; Y ; ZÞ ¼ aX  aY  Z;

et, pour tout diviseur premier p de b,
L1p ðX ; Y ; ZÞ ¼ X ;L2p ðX ; Y ; ZÞ ¼ Y ;L3p ðX ; Y ; ZÞ ¼ Z:

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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

83

Posons e ¼ 1=c et, pour h ¼ 0; . . . ; M  1, notons
xh ¼ ðb tjþh ; b rjþh ; pjþh Þ:
Posonsð9:10Þ

k :¼ b2=ec þ 1:

Pour tout h ¼ 0; . . . ; M  1, il existe l A f0; 1; . . . ; k  1g tel querjþh l þ 1
l
<
e
:
tjþh
k
k
Pour l’instant, nous ﬁxons l A f0; 1; . . . ; k  1g et ne traitons que les h A f0; . . . ; M  1gpour lesquelsrjþh l þ 1
l
e
:
<
tjþh
k
k

ð9:11Þ
Posonse1y ¼ 1;

e2y ¼

lþ1
;
k

e3y ¼ e;et, pour tout diviseur premier p de b,
e1p ¼

logjbjp
;
log b

e2p ¼

logjbjp l ;log b ke3p ¼ 0;où la valeur absolue p-adique est normalisée de telle sorte que jbjp ¼ p 1 . Comme jxj < 1,
on a maxfb tjþh ; b rjþh ; pjþh g ¼ b tjþh pour tout h ¼ 0; . . . ; M  1, et le triplet xh est solution dusytème d’inégalitésð9:12Þ

jLip ðxÞjp e ðmaxfjx1 j; jx2 j; jx3 jgÞ eip

ðp A S; i ¼ 1; 2; 3Þ;où S ¼ fyg W fp : p divise bg.
Dans la suite, les constantes c1 ; c2 ; . . . sont des constantes numériques. Le Théorème
ES et (9.8) assurent alors que les triplets xh , 0 e h e M  1, vériﬁant (9.11) sont contenus
dans au plus
c1 c 7 logð8dÞ log logð8dÞ
sous-espaces rationnels propres de Q 3 . Comme l’entier l apparaissant dans (9.11) ne prendque k valeurs, il découle de (9.10) que les triplets xh , 0 e h e M  1, sont contenus dans auplus
ð9:13Þ

T < c2 c 8 logð8dÞ log logð8dÞ

sous-espaces rationnels propres de Q 3 .
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84

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Posons
L ¼ 2 log 16dðc þ 1Þ ;

ð9:14Þ

et supposons qu’un sous-espace rationnel propre de Q 3 contienne L points entiers xh qui
sont solutions de (9.12). Cela signiﬁe qu’il existe un triplet ðx; y; zÞ d’entiers non tous nuls
et des entiers 0 e i1 <    < iL < M vériﬁant
ð9:15Þ

xb rjþik þsjþik þ yb rjþik þ zpjþik ¼ 0 ð1 e k e LÞ:La condition (iii) entraı̂ne que les vecteurs xi1 et xi2 ne sont pas colinéaires. Le Lemme
8.3 assure que l’on peut choisir x, y et z de telle sorte que
maxfjxj; jyj; jzjg e 2b 2tjþi2 :ð9:16Þ

Considérons un entier k tel que 1 e k e L. Réécrivons (9.15) sous la forme
xþ

y

b

sjþik þ za þ z

b

pjþik
rjþik þsjþik  a¼ 0;

et observons que d’après (9.9), (iv) et le fait que jxj < 1, il vient   p
 p
 

pjþi
pjþik


jþi
jþi
þ


a
 rjþi þskjþi  a e  rjþi þskjþi  rjþi sjþik
r
s



jþi
jþi
k
k
b k ðb k  1Þb k ðb k  1Þ
b k
b k
e

2

b

sjþik :

Pour k ¼ L, il découle alors de (9.15) et de (9.16) que
ð9:17Þ

jx þ zaj e

3 maxfjxj; jyj; jzjg
e 6b 2tjþi2 sjþiL :b sjþiL

Comme a est irrationnel, le Lemme 8.2, (9.8) et (9.16) entraı̂nent queð9:18Þ

jx þ zaj f 2 2d z dþ1 HðaÞ 1
f 2 2d z dþ1 b tj f 2 2d ð2b 2tjþi2 Þ dþ1 b tj :Il découle de (9.6), (9.7) et (9.14) que
ð9:19Þ

2tjþi2  sjþiL e 2tjþi2 

tjþiL
2 L2
e 2tjþi2 1 e 4 dtjþi2 :cþ1
cþ1

Par conséquent, (9.17), (9.18) et (9.19) mènent à
4 2d b 3 dtjþi2 e 2 2d ð2b 2tjþi2 Þ dþ1 b tj e jx þ zaj e 6b 2tjþi2 sjþiL ;ce qui contredit tjþi2 f t1 f 6.
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

85

Ainsi, chacun des T sous-espaces introduits précédemment contient au plus L points
de la suite fxh ; 0 e h e M  1g. La majoration de T donnée par l’inégalité (9.13) entraı̂nealors queM < c3 c 8 ðlog cÞðlog 8dÞ 2 ðlog log 8dÞ:En outre, (9.6), (9.8) et la déﬁnition de w donnent wc Mþ1
 2wc Mþ1
MHðaÞ w e 2b wc tj e 2 3 d HðaÞe 2 HðaÞ
;d’où
9w e 3wc Mþ1 e ð8dÞ c4 c ðlog 8dÞðlog log 8dÞ :Ainsi, si x n’est pas un nombre de Liouville, le Lemme 8.1 implique que
9wd ðxÞ e maxfw1 ðxÞ; ð8dÞ c5 c ðlog 8dÞðlog log 8dÞ g;pour tout entier d f 1, ce qui termine cette démonstration.
Il découle de la démonstration de la Proposition 9.1 que la constante c peut-être choisie égale à 8ðk þ 1Þ 2 , où k est un entier tel que pðn; x; bÞ e kn pour tout n su‰samment
grand. En explicitant alors la constante numérique c4 , on obtient la majoration
ð9:20Þ

wd ðxÞ e maxfw1 ðxÞ; ð2dÞ 10

pour tout entier d f 1.

150 18k ðlog 3dÞðlog log 3dÞ

g;r

10. Approximation rationnelle des nombres de complexité sous-linéaire
L’objet de cette partie est de démontrer le Théorème 2.1, qui illustre comment l’exposant diophantien associé à un nombre réel irrationnel de complexité sous-linéaire permetd’en contrôler l’approximation rationnelle.
Avant d’établir le Théorème 2.1, nous avons besoin d’un résultat auxiliaire.
Lemme 10.1. Soient b f 2 un entier, U et V deux mots ﬁnis sur l’alphabet
f0; 1; . . . ; b  1g de longueur r et s, respectivement. Posonsp:¼ 0:a1 a2 . . . ¼ 0:UV y :q
Soit x :¼ 0:b1 b2 . . . un nombre réel tel qu’il existe un entier j f r þ 1 vériﬁant :(i) an ¼ bn , pour 1 e n < j.
(ii) aj 3 bj .
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86

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Alors,x  p > 1 :q  b jþsDémonstration.
donc l f 1 et

Posons aj ¼ l et bj ¼ m. Supposons tout d’abord que l > m. On ap
> 0:a1 a2 . . . aj1 l 00
. . . 0 . . . 0 l;
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
qs1 foistandis que
x e 0:a1 a2 . . . aj1 ðm þ 1Þ e 0:a1 a2 . . . aj1 l:
Ceci donnep1
 x > jþs :qb
Supposons maintenant que m > l. On a alors l e b  2 et
p=q < 0:a1 a2 . . . aj1 l ðb  1Þðb  1Þ . . . ðb  1Þðl þ 1Þ
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
s1 fois

e 0:a1 a2 . . . aj1 l ðb  1Þðb  1Þ . . . ðb  1Þ ;|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
s foistandis que
x f 0:a1 a2 . . . aj1 m f 0:a1 a2 . . . aj1 ðl þ 1Þ:Cela entraı̂ne
x

p
1
>
;
q b jþs

et le lemme est démontré. r
Nous sommes maintenant en mesure d’établir le Théorème 2.1.
Démonstration du Théorème 2.1. On suppose que les paramètres b, c, a et x introduits dans l’énoncé du théorème sont désormais ﬁxés. Soient d un nombre strictement positif et ðp; qÞ une paire d’entiers positifs. Nous allons montrer que, pour q su‰samment
grand, on a toujours
ð10:1Þ

px   f 1 ;
q q Mþdoù M ¼ ð2c þ 1Þ 3 DioðaÞ þ 1 .
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87

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Nous allons tout d’abord introduire une suite de nombres rationnels qui approchentassez bien x (voir l’inégalité (10.8)) et dont les dénominateurs ne croissent pas trop rapidement (voir l’inégalité (10.7)).
Rappelons brièvement les conclusions partielles de l’étude combinatoire menée dansla partie 9.1 en réécrivant les assertions (v) à (vii). Il existe deux suites de mots ﬁnis ðUl Þlf1et ðVl Þlf1 , une suite de nombres réels ðwl Þlf1 et une suite d’entiers ðpl Þlf1 telles que, sil’on pose rl ¼ jUl j, sl ¼ jVl j et ql ¼ b rl ðb sl  1Þ, on ab l=2  1 e ql e b ðcþ1Þl  1

ð10:2Þ
etpl:¼ 0:Ul Vl y :ql
En outre, les jUl Vlwl j premières lettres de x et pl =ql coı̈ncident, et doncx  pl  e

q 
l

1
b

w

jUl Vl l j:

D’autre part, l’inégalité (9.3) stipule que jUl Vlwl j=jUl Vl j f 1 þ 1=ð2c þ 1Þ, d’oùð10:3Þx  pl  e

q 
l

1
1þ1=ð2cþ1Þ
ðb jUl Vl j Þ¼

1
ðb rl þsl Þ 1þ1=ð2cþ1Þ

<1
1þ1=ð2cþ1Þ
ql:

Le pas suivant consiste à déduire du Lemme 10.1 une bonne minoration de la distance de x à pl =ql . Posons d ¼ DioðaÞ et soit e un nombre réel positif. Par déﬁnition deDioðaÞ, si Ul Vls est un préﬁxe du mot a, alors jUl Vls j < jUl Vl jðd þ e=3Þ, dès que l est
assez grand. Par conséquent, pour un tel l, au maximum les jUl Vl jðd þ e=2Þ premiers chiffres de x et pl =ql coı̈ncident. Par
du Lemme 10.1 sont satisfaites pour (10.3), les hypothèsesun entier j vériﬁant ðrl þ sl Þ 1 þ 1=ð2c þ 1Þ < j < ðrl þ sl Þðd þ e=2Þ. Nous obtenons
donc
ð10:4Þ





1
1
1
x  pl  f> dþ1þe ¼ dþ1þe ;rsql  b ðrl þsl Þðdþe=2Þþslql
b l ðb l  1Þpour l assez grand. À présent, nous ﬁxons un nombre e > 0 su‰samment petit pour queð10:5Þ

ð2c þ 1Þe þ ð2c þ 1Þe 2 þ ð2c þ 1Þ de þ ð2c þ 1Þ 3 e < d=2:

Soit n1 f n0 un entier tel que (10.5) est vraie pour tout l f n1 .
Le fait que la suite ðqn Þnf1 n’est pas nécessairement croissante poserait problème dansla suite de la démonstration. Nous commençons donc par en extraire une sous-suite
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88

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

convenable. Posons l1 ¼ n1 et lnþ1 ¼ dð2c þ 1Þln e pour n f 1. Notons alors Pn ¼ pln et
Q n ¼ qln . Il découle alors de (10.2) que
ð10:6Þb ðcþ1=2Þln  1 < b lnþ1 =2  1 e Qnþ1 ¼ qlnþ12

e b ðcþ1=2Þlnþ1  1 < b ð2c þ2cþ1=2Þnl þ2cþ1 ;tandis queb ln =2  1 e Q n ¼ qln e b ðcþ1=2Þln  1:

ð10:7Þ

En résumé, nous avons établi l’existence d’une suite ðPn =Q n Þnf1 de rationnels et d’unentier n2 > n1 tels queð10:8Þ





P
1
n
< x   < 1þ1=ð2cþ1Þ
dþ1þe
Qn
Qn
Qn

ð10:9Þ

Q n < Qnþ1 < Q nð2cþ1Þ þe

1

ðn f n2 Þet2

ðn f n2 Þ:

Les inégalités (10.8) et (10.9) se déduisent immédiatement de (10.3), (10.4), (10.6) et (10.7).
Abordons maintenant la dernière étape de la démonstration. Soit p=q un rationnel
avec q vériﬁant
1=ð2cþ1Þ

2q f Qn2 þ1;

q f 2 1þ2M=d ;3

q f 2 1þð2cþ1Þ þd=2 :Supposons en outre




1
x  p <:q  ð2qÞ 1þð2cþ1Þðð2cþ1Þ 2 þeÞð10:10Þ

Observons tout d’abord que si (10.10) n’est pas vériﬁée, alors (10.1) l’est. En e¤et,dans ce cas (10.5) implique ð2c þ 1Þe < d=2 et l’on obtient
2 þ ð2c þ 1Þ ð2c þ 1Þ 2 þ e < M þ d;3

3

puis, comme q f 2 1þð2cþ1Þ þd=2 > 2 1þð2cþ1Þ þð2cþ1Þe , on a22ð2qÞ 1þð2cþ1Þðð2cþ1Þ þeÞ < q 2þð2cþ1Þðð2cþ1Þ þeÞ < q Mþd ;et (10.1) est satisfaite par le rationnel p=q.
1=ð2cþ1Þ

Comme, par hypothèse, 2q f Qn3 þ1tier n3 > n2 tel queð10:11Þ

, il découle de (10.9) qu’il existe un unique enð2cþ1Þ 2 þe

Qn3 1 e ð2qÞ 2cþ1 < Qn3 < Qn3 1:

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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

89

L’inégalité triangulaire donne

 
 


 
  Pn3 p 
P
p
n
3
x 
 f  x      :Q  q  Qqð10:12Þn3

n3

Si p=q et Pn3 =Qn3 sont distincts, on a la minoration triviale Pn3 p1
Q  q  f qQ :n3n3
En outre,ð2cþ1Þ 2 þe

Qn3 e Qn3 12

e ð2qÞ ð2cþ1Þðð2cþ1Þ þeÞ

et l’on déduit de l’inégalité précédente que Pn3 p


2
p


> 2x  :
2
Q  q  fqn3
ð2qÞ 1þð2cþ1Þðð2cþ1Þ þeÞ
Alors, (10.10) et (10.12) entraı̂nent que si p=q 3 Pn3 =Qn3 ,x  Pn3  > 1 :
Qn3  2qQn3
1=ð2cþ1Þ

Il découle de (10.11) que 2q < Qn3, d’où





P
n
3
x 
>

Q 
n3

1
1þ1=ð2cþ1Þ
Qn3;

en contradiction avec (10.8). Par conséquent, sous l’hypothèse (10.10), on a nécessairement
p=q ¼ Pn3 =Qn3 . Dans ce cas, comme n3 > n2 , on déduit de (10.8) que


 


 
1
x  p ¼ x  Pn3  >




dþ1þe
Q
q
Q
n3

n3

2

et, comme ð2qÞ ð2cþ1Þðð2cþ1Þ þeÞ f Qn3 , on obtientx  p >

q

1
ð2qÞ

ð2cþ1Þðð2cþ1Þ 2 þeÞðdþ1þeÞ

:Il découle alors de (10.5) et de l’hypothèse q f 2 1þ2M=d que2ð2qÞ ð2cþ1Þðð2cþ1Þ þeÞðdþ1þeÞ e ð2qÞ Mþd=2 e q Mþd=2 2 Mþd=2 e q Mþdet ceci impliquex  p f 1 :q  q MþdBrought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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90

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

L’inégalité (10.1) est par conséquent satisfaite pour tout
( 1=ð2cþ1Þ
)
Qn2 þ1
3
q f max; 2 1þ2M=d ; 2 1þð2cþ1Þ þd=2 ;2ce qui termine cette démonstration. r

11. L’exposant diophantien des mots sturmiens
Comme nous l’avons déjà mentionné, les suites sturmiennes sont les suites de complexité minimale parmi les suites apériodiques; elles vériﬁent pðnÞ ¼ n þ 1 pour tout entier n.
Dans cette partie, nous étudions l’exposant diophantien des mots sturmiens. Plus précisément, nous caractérisons les mots sturmiens dont l’exposant diophantien est ﬁni.
Nous utilisons la caractérisation arithmétique des suites sturmiennes rappelée cidessous.
Pour ðx; aÞ A ½0; 1½  ð½0; 1nQÞ, on déﬁnit la suite sa; x ¼ ðsa; x; n Þnf0 par
sa; x; n ¼ a si fx þ nag A ½0; 1  a½

etsa; x; n ¼ b si fx þ nag A ½1  a; 1½;

et la suite sa;0 x ¼ ðsa;0 x; n Þnf0 par
sa;0 x; n ¼ a si fx þ nag A 0; 1  aetsa;0 x; n ¼ b si fx þ nag A 1  a; 1½ W f0g:

Les deux suites sa; x et sa;0 x sont des suites sturmiennes. Réciproquement, pour toute suitesturmienne u, il existe un unique couple ðx; aÞ A ½0; 1½  ð½0; 1nQÞ tel que u ¼ sa; x ou
u ¼ sa;0 x . Le nombre irrationnel a est l’angle de la suite sturmienne u. Il correspond à lafréquence d’apparition de la lettre b dans la suite u.
Le résultat suivant montre que la ﬁnitude de l’exposant diophantien d’une suite sturmienne dépend des propriétés diophantiennes de son angle.
Proposition 11.1. Soit u ¼ ðun Þnf0 une suite sturmienne d’angle a. Alors, DioðuÞ est
ﬁni si, et seulement si, le nombre réel a est à quotients partiels bornés.
Démonstration. Considérons une suite sturmienne u ¼ ðun Þnf0 . Il existe un couple
ðx; aÞ A ½0; 1½  ð½0; 1nQÞ tel que soit u ¼ sa; x , soit u ¼ sa;0 x . On peut supposer sans perte
de généralité que u ¼ sa; x puisque les deux suites sa; x et sa;0 x ont le même exposant diophantien. En e¤et, l’irrationalité de a implique que ces deux suites di¤èrent d’au plus un terme.
Supposons dans un premier temps que a est un nombre réel à quotients partiels
bornés. Nous rappelons que l’indice d’un mot inﬁni a, généralement noté IndðaÞ, est le
supremum des nombres réels s pour lesquels il existe un mot ﬁni non vide V tel que V s ait
une occurrence dans le mot a. Cette déﬁnition implique que pour tout mot inﬁni a, on aDioðaÞ e IndðaÞ. D’autre part, un résultat de Mignosi [32] stipule qu’une suite sturmienne
dont l’angle est un nombre réel à quotients partiels bornés a toujours un indice ﬁni. Il suit
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire91

donc que DioðuÞ est nécessairement ﬁni si l’angle de u est un nombre réel à quotients partiels bornés.
Nous supposons à présent que a est un nombre réel dont la suite des quotients partielsðan Þnf0 n’est pas bornée et nous allons prouver que DioðuÞ ¼ þy. D’après la déﬁnition del’exposant diophantien, il su‰t de montrer que pour tout entier p, il existe deux mots ﬁnis
U, V , et un nombre réel s > 0 tels que :(a) UV s est un préﬁxe de u.
(b)

jUV s jf p.
jUV j

Considérons à présent un entier p strictement positif. Nous allons démontrer qu’il
existe toujours un tel triplet ðU; V ; sÞ.
Puisque la suite ðan Þnf0 n’est pas bornée, il existe un entier k > 0 tel que akþ1 > 4p 2 .
Notons pk =qk le k-ième convergent du nombre a. Nous supposons que k est choisi assez
grand pour garantir que
ð11:1Þ

1< minfa; 1  ag et
4qk

qk > p:Nous supposons également que k est pair, le cas où k est impair se traitant de façon similaire. Nous rappelons que sous cette hypothèse, on a
ð11:2Þ

0 < qk a  pk ¼ fqk ag ¼ kqk ak <

1
qkþ1

<

1
akþ1 qk<1:
4p 2 qk

Alors, pour des entiers j et r tels que 0 e j < qk et 1 e r e p 2 , on obtientðx þ jaÞ  x þ ð j þ rqk Þa  ¼ krqk ak e rkqk ak er
qkþ1

et doncð11:3Þðx þ jaÞ  x þ ð j þ rqk Þa  < 1 :4qk

Nous devons alors distinguer plusieurs cas et, pour cela, nous allons introduire lesnotations suivantes. Étant donné un entier j tel que 0 e j < qk , nous disons que :(i) j est de type A si uj ¼ a et s’il existe un entier r, 1 e r e p 2 , tel que ujþrqk ¼ b.
(ii) j est de type B si uj ¼ b et s’il existe un entier r, 1 e r e p 2 , tel que ujþrqk ¼ a.
(iii) j est de type C s’il n’est ni de type A, ni de type B, c’est-à-dire, si uj ¼ ujþrqk pour
tout entier r, 1 e r e p 2 .
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92

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

Tout entier j, 0 e j < qk , est exactement d’un seul type A, B ou C. Tout d’abord,notons que j est de type A signiﬁe que fx þ jag est très proche de 1  a. Plus précisément,(11.3) donneð11:4Þ

1a

1< fx þ jag < 1  a:
4qk

De même, si j est de type B, alors fx þ jag est très proche de 1 et (11.3) donneð11:5Þ

1

1< fx þ jag < 1:
4qk

Il est important pour la suite de remarquer qu’il existe au plus un entier de chacun des types
A et B. En e¤et, dans le cas contraire, les inégalités (11.4) et (11.5) impliqueraient l’exitencede deux entiers i et j, 0 e i < j < qk , tels que
0 < fð j  iÞag <

1
:
2qk

Cette dernière inégalité fournirait une contradiction puisque 1 e j  i < qk . En e¤et, nous
rappelons que si q est un entier strictement positif tel que
kqak <

1;
2qk

alors q f qk . Pour les mêmes raisons, notons que si un entier j est de type A ou B, l’entier r
qui lui est associé dans (i) ou (ii) est unique.
Nous devons à présent distinguer quatre cas.
(i) Premièrement, supposons que tout entier j, 0 e j < qk , est de type C. Dans ce cas,nous avons
ð11:6Þ

uj ¼ ujþlqk ;pour tout couple ð j; lÞ tel que 0 e j < qk et 1 e l e p  1. Soit V le préﬁxe de longueur qk
de u. Alors, l’égalité (11.6) implique que UV s est un préﬁxe de u, où U désigne le mot vide
et s ¼ p. De plus, d’après (11.1), on ajUV s j
¼ p:
jUV j(ii) Supposons à présent qu’il existe un entier j0 de type A avec 0 e j0 < qk  1.
Alors, les inégalités (11.1), (11.2) et (11.3) impliquent l’existence d’un entier r0 , 1 e r0 e p 2 ,tel que
ð11:7:AÞ

0<1a

1< fx þ j0 ag < fx þ ð j0 þ qk Þag
4qk


 
<    < x þ j0 þ ðr0  1Þqk a < 1  a

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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire93

etð11:7:BÞ

1  a e fx þ ð j0 þ r0 qk Þag <    < fx þ ð j0 þ p 2 qk Þag
<1aþ

1
< 1:
4qk

On obtient immédiatement queð11:8:AÞ

1a<1

1< fx þ ð j0 þ 1Þag
4qk


 
<    < x þ j0 þ 1 þ ðr0  1Þqk a < 1tandis queð11:8:BÞ

0 e fx þ ð j0 þ 1 þ r0 qk Þag <    < fx þ ð j0 þ 1 þ p 2 qk Þag<1< 1  a:4qk

Ainsi, j0 þ 1 est de type B et l’entier qui lui est associé (cf. (i)) est également r0 . Puisqu’il y a
au plus un entier de chacun des types A et B, tout entier j, 0 e j < qk , j B f j0 ; j0 þ 1g, est
de type C.
(ii.a) Si r0 f p, d’après (11.7.A), (11.8.A) et le fait que tout 0 e j < qk ,j B f j0 ; j0 þ 1g, est de type C, il vientð11:9Þ

uj ¼ ujþlqk ;pour tout couple ð j; lÞ tel que 0 e j < qk et 1 e l e p  1. Alors, l’égalité (11.9) impliqueque UV s est un préﬁxe de u, où U est le mot vide, V est le préﬁxe de longueur qk de u et
s ¼ p. On conclut comme dans le cas (i).
(ii.b) Si 1 e r0 < p, d’après (11.7.B), (11.8.B) et le fait que tout 0 e j < qk ,j B f j0 ; j0 þ 1g, est de type C, il vientð11:10Þ

ujþr0 qk ¼ ujþr0 qk þlqk ;pour tout couple ð j; lÞ tel que 0 e j < qk et 1 e l e p 2  r0 . Notons U :¼ u0 u1 . . . ur0 qk 1 lepréﬁxe de u de longueur r0 qk et posons V :¼ ur0 qk ur0 qk þ1 . . . ur0 qk þqk 1 et s ¼ p 2  r0 þ 1.
Alors, l’égalité (11.10) implique que UV s est un préﬁxe de u. Puisque jUj ¼ r0 qk et
jV j ¼ qk , on obtientjUV s j ðp 2 þ 1Þqkp2 þ 1¼> p:
f
ðr0 þ 1ÞqkjUV jpBrought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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94

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire(iii) Supposons que qk  1 soit de type A. Alors, d’après les inégalités (11.1), (11.2) et(11.3), il existe un entier r00 , 1 e r00 e p 2 , tel queð11:11:AÞ

0 < fx þ ðqk  1Þag < fx þ ð2qk  1Þag<    < fx þ ðr00 qk  1Þag < 1  aetð11:11:BÞ

 


 


1  a e x þ ðr00 þ 1Þqk  1 a <    < x þ ðp 2 þ 1Þqk  1 a
<1aþ

1
< 1:
4qk

On obtient immédiatement queð11:12:AÞ

1  a < fx þ qk ag <    < fx þ r00 qk ag < 1tandis queð11:12:BÞ

0 e fx þ ðr00 þ 1Þqk ag <    < fx þ ðp 2 þ 1Þqk ag <1
< 1  a:4qk

Donc, 0 est de type B et l’entier qui lui est associé (cf. (ii)) est r00 þ 1. Ainsi, tout entier j,
0 < j < qk  1, est de type C.
(iii.a) Si r00 f p, on conclut comme dans le cas (ii.a) grâce aux inégalités (11.11.A) et(11.12.A), et au fait que tout entier j, 0 < j < qk  1, est de type C.
(iii.b) Si 1 e r00 < p, les inégalités (11.11.B) et (11.12.B) et le fait que tout entier j,
0 < j < qk  1, est de type C, impliquent queð11:13:AÞujþr00 qk ¼ ujþr00 qk þlqk ;pour tout couple ð j; lÞ tel que 1 e j < qk et 1 e l e p 2  r00 , et
ð11:13:BÞuðr00 þ1Þqk ¼ uðr00 þ1Þqk þlqk ;pour 1 e l e p 2  r00  1. Soient U ¼ u0 u1 . . . ur00 qk le préﬁxe de u de longueur r00 qk þ 1, V
le mot ur00 qk þ1 ur00 qk þ2 . . . uðr00 þ1Þqk , et s ¼ p 2  r00 þ 1  1=qk . Alors, les égalités (11.13.A) et(11.13.B) impliquent que UV s est un préﬁxe de u. Puisque jUj ¼ r00 qk þ 1 et jV j ¼ qk , il
vient
jUV s jðp 2 þ 1Þqkp2 þ 1
p þ 1=p 2
f
> p:
¼ 0
>p
ðr0 þ 1Þqk þ 1
p þ 1=ðpqk ÞjUV jp þ 1=qk
En e¤et, qk > p d’après (11.1).
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Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire95(iv) Puisqu’il existe au plus un entier de chacun des types A et B, il ne reste plus qu’à
considérer le cas où aucun entier n’est de type A et où il existe exactement un entier de type
B. Alors, les inégalités (11.2) et (11.3) assurent l’existence d’un entier j1 , 0 e j1 < qk , etd’un entier r1 , 1 e r1 e p 2 , tels queð11:14:AÞ 
1  a < fx þ j1 ag <    < x þ j1 þ ðr1  1Þqk a < 1tandis queð11:14:BÞ

0 e fx þ ð j1 þ r1 qk Þag <    < fx þ ð j1 þ p 2 qk Þag <1< 1  a:4qk

Si j1 > 0, alors les inégalités (11.14.A) et (11.14.B) impliquent que j1  1 est de type A, ce
qui est contraire à notre hypothèse. Ainsi, j1 ¼ 0. De plus, si r1 f 2, les inégalités (11.14.A)
et (11.14.B) impliquent que qk  1 est de type A, ce qui est également impossible. Il suitdonc que r1 ¼ 1 et j1 ¼ 0, ce qui assure queð11:15:AÞ

uj ¼ ujþlqk ;pour tout couple ð j; lÞ tel que 1 e j < qk et 1 e l e p 2 , et
ð11:15:BÞ

uqk ¼ uqk þlqk ;pour 1 e l e p 2  1. Soit U ¼ u0 le préﬁxe de u de longueur 1, notons V le mot u1 u2 . . . uqk ,et posons s ¼ p 2 þ 1  1=qk . Alors, les égalités (11.15.A) et (11.15.B) impliquent que UV s
est un préﬁxe de u. Puisque jUj ¼ 1 et jV j ¼ qk , il vient d’après (11.1)
jUV s j ðp 2 þ 1Þqkp þ 1=p¼p¼> p:qk þ 1jUV j
1 þ 1=qk
Dans tous les cas, nous avons obtenu l’existence d’un triplet ðU; V ; sÞ vériﬁant lesconditions (a) et (b), ce qui termine cette démonstration. r

12. Remarques ﬁnales
La méthode introduite dans cet article permet également d’établir des mesures detranscendance pour les nombres p-adiques dont le développement de Hensel a une complexité sous-linéaire (voir [2], Section 6). De même, certains de nos énoncés peuvent être généralisés pour inclure l’approximation par des éléments d’un corps de nombres ﬁxé. Ce typede résultat plus général s’applique à l’étude des développements des nombres réels dans unebase b algébrique non entière [3].
Comme nous l’avons déjà mentionné dans la partie 4, la méthode de Mahler introduite dans [27] est une alternative à la méthode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt pour prouBrought to you by | Réseau National des Bibliothèques de Mathématiques - RNBM - GDS 2755 - INSMI-CNRS
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96

Adamczewski et Bugeaud, Nombres réels de complexité sous-linéaire

ver la transcendance de certains nombres réels. Étant donnés une suite bornée d’entiersðan Þnf0 etP
un entier b f 2, elle peut être utilisée pourla transcendance du nomPdémontrer
bre réelan =b n lorsque la série entière f ðzÞ ¼
an z n satisfait à une équation foncnf0

nf0

tionnelle d’un certain type. Lorsque l’on démontre la transcendance d’un nombre réel àl’aide de cette méthode, il est parfois possible de placer ce nombre dans la classiﬁcation deMahler en démontrant qu’il s’agit d’un S-nombre (voir par exemple [38]). C’est en particulier le cas pour le nombre
P 1
;
2n
nf1 2
dont la transcendance découle également du Théorème AB ; cependant, la mesure de transcendance qui résulte alors du Théorème 1.1 permet seulement de dire qu’il s’agit ou biend’un S-nombre, ou bien d’un T-nombre. De façon plus générale, les mesures de transcendance que nous obtenons grâce au Théorème 1.1, bien que su‰samment précises pourimpliquer que les nombres x considérés ne sont pas des U-nombres, ne nous permet malheureusement pas de distinguer les S-nombres des T-nombres. Même une amélioration
spectaculaire des énoncés quantitatifs présentés dans la partie 7 ne nous permettrait pas,en suivant l’approche du présent travail, de montrer que la quantité wd ðxÞ=d reste bornéelorsque d tend vers l’inﬁni. Ainsi, des idées nouvelles sont certainement nécessaires pourrésoudre la Conjecture 4.3. Néanmoins, la méthode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt peutêtre considérée comme plus générale que celle de Mahler puisqu’aucune équation fonctionnelle n’est requise, ce qui la rend bien plus souple. Notons enﬁn que la di‰culté de distinguer les S-nombres des T-nombres n’est pas nouvelle et ne concerne pas uniquement la méthode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt. Ainsi, bien que l’on conjecture généralement que p
est un S-nombre, on sait seulement démontrer à ce jour qu’il s’agit soit d’un S-nombre, soitd’un T-nombre [30].

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CNRS, Université de Lyon, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan, Bât. Braconnier,21, avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne Cedex, France
e-mail: boris.adamczewski@math.univ-lyon1.fr
Université de Strasbourg, Mathématiques, 7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg Cedex, France
e-mail: bugeaud@math.unistra.fr
Eingegangen 14. November 2008, in revidierter Fassung 15. März 2010

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