計測自動制御学会東北支部 第 203 回研究集会（2002.7.23）
資料番号 203-3

核理研 NKS 装置における磁場解析
Analysis of magnetic fieldin Neutral Kaon Spectrometer at LNS○佐藤武志†，

遠藤周†，

佐々木厚†

○Takeshi Sato，Amane Endo，Atsushi Sasaki
秋田大学†
Akita University
キーワード：磁束密度（magnetic flux density），マクスウェル方程式（Maxwell’s equations），
線積分（a curvilinear integral），差分法（difference method），
NKS 装置（Neutral Kaon Spectrometer）
連絡先：〒010-8502 秋田市手形学園町 1-1 秋田大学工学資源学部電気電子工学科 電気エネルギー
工学講座 佐々木厚，Tel.：(018)889-2569，E-mail: sasaki@ed.phys.akita-u.ac.jp

1. はじめに雑であり誤差をともなう。このため，荷電粒

1-1. 知的営み

子の運動解析には一様な磁場を発生させる装素粒子物理学では，これまでの様々な素粒置が必要である。

子反応を通して素粒子の性質，素粒子の世界

荷電粒子の運動解析装置の一例としての法則および宇宙の性質などを見い出すこと

TAGX 運動量解析装置があり，この装置はに成功してきた。現在もその実験は行われて1987 年以来東京大学原子核研究所においている。この分野における実験では，ある特定数多くの素粒子実験に利用されてきた。現在の粒子の反応や構造を調べる前提として，発は NKS 装置（中性 K 中間子測定装置）とし生した粒子が何であるかを識別する。粒子のて東北大学原子核理学研究所への移設が進め

識別は観測された粒子の質量と電荷を知るこられている。ここで，NKS 装置は運動量解析とであり，それらは磁場の中での荷電粒子の装置全体を意味し，磁場発生装置はその装置

運動解析によりわかる。磁場が一様である場の一部である（以降，磁場発生装置を NKS 装合，荷電粒子は円運動もしくは螺旋運動をす置と呼ぶことにする）。

るのでその運動は解析的に解くことができる。

1-2. NKS 装置について

しかし，磁場が一様でない場合は荷電粒子のNKS 装置は，図 1-1 のように軟鉄（以下ヨ運動は解析的に解くことができず，何らかのークと呼ぶことにする）で囲まれており，磁数値解法で求めなければならない。数値解法

極およびコイルはヨークに支えられている。

で求める場合は，解析的に解く場合よりも複磁極はコイルに囲まれており，磁極の半径は-1-53.5cm，磁極と磁極の間の距離は 60cm であこのメッシュポイントで測定されたデータは，る。磁場は，コイルに 500A の電流を流すこ

1％以内の精度で Legendre 多項式 fitting され，とにより下側の磁極から上側の磁極へ向かっ

さらにその多項式を用いて，円筒座標において発生し，装置の中央に近似的に一様な磁場て以下のメッシュポイントで再現された 3)。

5kG を作り出す。
直交座標（x，y，z）と円筒座標（r，φ，z）

・r： 0 〜120 cmまでの5 cm刻み
(1-2)
・φ： − 180 〜180 °までの5°刻み
・z： − 25 〜 25 cmまでの 2.5 cm刻み
を図 1-1 のように定義する。なお，それぞれ

現在はこの円筒座標で再現された磁場データの原点は装置の中央である。

しか入手できない。そこで，(1-1)と(1-2)の重1-3. 座標の定義なる領域を磁場データの利用可能領域とする。
1-5. 研究のテーマ
本来存在すると思われる磁場の r 成分（Br）とφ成分（Bφ）については測定されていない。
もし，Br および Bφを推計することができれば，機器の設計や荷電粒子の運動解析に応用できることが期待される。磁場の解析方法には解析的方法と数値解法があり，数値解法には差
図 1-1 NKS 装置 概略図

分法と数値積分を用いた方法や有限要素法と左側が NKS 装置正面図，右側が上から見た図になる

いった方法が挙げられる。本研究では数値解

1-4. 現状法における差分法と数値積分を頼りに，
Maxwell 方程式と既知の Bz をもとに各点におNKS 装置内における磁束密度は，円筒座標において z 成分（Bz）しか測定されていない。

ける Br および Bφを求めることを試みた。

これは，磁極の中心付近では Bz が卓越してお2. Maxwell 方程式の導入

り，荷電粒子の運動解析には磁極の中心付近を使うことに基づく。なお参考までに，z=0cm

Br，Bφを求めるにあたり，NKS 装置内は真の水平面における Bz の様子を以下に示す。

空であるとみなす。その場合，Maxwell 方程
式は

Bz[kG]
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
-120 -90 -60 -3030

60

90 120y[cm]

れた(2-1)式と(2-2)式を円筒座標系で展開する。
その結果，以下４つの式を得ることができる。

z=0cm の水平面における磁場 Bz の様子

磁場 Bz はホール素子を用いて，直交座標において以下のメッシュポイントで測定された。
・x： − 120 〜120 cmまでの5 cm刻み
・y： − 80 〜 80 cmまでの5cm刻み
・z： − 30 〜 30 cmまでの 5 cm刻み


(2-2)

Bz はそれぞれ（r，φ，z）の関数なので，得ら

-80

x[cm]

図 1-2

(2-1)

となる。円筒座標における磁束密度 Br，Bφ，

80
0r
div B = 0rrot B = 0

(1-1)

-2-

1 ∂
1 ∂Bφ ∂Bz+
(rBr ) +
=0
r ∂r
r ∂φ
∂z

(2-3)

1 ∂Bz ∂Bφ
−
=0
r ∂φ
∂z

(2-4)

∂Br ∂Bz
−
=0
∂z
∂r

(2-5)

∂ (rBφ )
∂r

−

∂Br
=0
∂φ

を意味する。

(2-6)

・・・(2-7)z・・

磁極

これらの式が Br と Bφ を求めるための条件式
であり，その中でも(2-5)式を用いて Br を，(2-4)

r式を用いて Bφ を求めることができると考えられる。また，仮に Br と Bφ を求めることができ
磁極た場合，4 つの条件式で活用していない式，す図 3-2 積分方向

なわち(2-3)式と(2-6)式を用いて，求めた Br とNKS 装置の正面図であり，点線矢印

Bφ の値の妥当性を確認することができると考の向きが(3-2)式の積分方向を表す。

えられる。

この式を用いて以下の条件

3. 磁場 Br の数値解析

 ⋅ φを固定 ⋅ r = 0 〜120cmまでの5cm刻み
 ⋅ z = 0 〜25cmまでの2.5cm刻み


3-1. (2-5)式の積分(2-5)式をφと r を固定したまま z について 0
から z まで積分すると，(3-3)のもとで，各点における Br を求めた。このとBr (r , φ , z ) − Br (r , φ ,0) =z ∂B∫ ∂ r dzz

きの処理手順と注意点は以下のとおりである。

(3-1)

0

[処理手順]となる。ここで，左辺第 2 項目の積分定数①

Br (r , φ ,0) は，z=0cm の水平面における Br の値②（r，z）平面において，さらに r を固定を表す。図 3-1 のように z=0cm の水平面では，③磁力線の接線の向きは鉛直上方であると考え[注意点]

0kG である。このことから(3-1)式はz ∂B∫ ∂ r dz

積分は，各 r について独立に行うことか
ら，磁場 Br の r についての連続性を確認す

(3-2)

z

φ，r を固定したうえで，z 方向の
ライン上の磁場 Br を求めるることができるので，積分定数 Br (r , φ ,0) はBr (r , φ , z ) =

φを固定

0

る必要がある。この確認については，数値となる。

積分結果のグラフをもとに判断する。
拡大図

なお，(3-2)式における微係数

∂Bz
は，測定デ
∂r

ータ Bz をもとに差分法 2)で計算し，数値積分z ∂Bzdz はシンプソンの公式 2)を用いた。
0 ∂r∫

3-3. 数値積分結果
3-2 の数値積分結果を図 3-3 に示す。Br の連

図 3-1 磁力線の予想図
装置の対称性から z＝0cm の水平面における磁力

続性についてであるが，図 3-3 より，磁場 Br線の接線の向きは鉛直上方であると考えられる。

は(r，z)平面で滑らかであることがわかる。したがって，r 方向についての磁場 Br は，十分

3-2. 線積分に連続であると考えて差し支えない。

φを固定した(3-2)式は，（r，z）平面における任意の点の磁場 Br を求める式であり，図 3-2

次に Br の値について述べる。z を固定したのように r 軸から任意の点までの z 方向の積分

まま，r 方向に磁場の様子を見ていった場合，-3-z＝25cm における磁場の変化が最も激しい。

いて調べたところ‐0.22kG であり，最大の絶そこで，そのときの磁場の様子を図 3-4 に示

対値(r=60cm で 3.6kG)の約 6 %であることかす。図 3-4 より，r が約 10cm までは Br はほぼ

ら，やはり期待した結果が得られている。

0kG である。しかし，15cm 付近から序々に

z 軸付近や半径が大きいところでは Br はほ

Br が現れ，磁極の縁（r=53.5cm）付近である

ぼ 0kG で あ っ た が ， 磁 極 の 縁 付 近 （ r ＝r=60cm において Br の絶対値が 3.6kG と最大53.5cm）では磁力線は多く発生するので，Brとなる。ここから r をさらに大きくして見てはそれなりに大きな値であることが予想されいくと，Br の絶対値は小さくなっていくのがる。図 3-3 および図 3-4 からもそのことを窺わかる。

うことはでき，r＝60cm で z＝25cm におけるBr の絶対値が最も大きい。そのときの値は約Ｂ ｒ［ ｋ Ｇ ］
1 .0
0 .0
- 1 .0- 2 .0- 3 .0- 4 .0020‐3.6kG であるが，この値の妥当性について
は直接磁場 Br を測定し，確かめる必要がある。
また，この値が荷電粒子の運動解析にどう影

40

60

80

響するかも確認する必要がある。

20
1 0 0 1 200 1 0z[ c m］

3-4. Br の全体像3-2 で行った計算をもとに，ここではr [ c m] ⋅ φ： − 180 ° 〜180 ° までの 5 ° 刻み ⋅ r ： 0 〜120 cm までの5 cm刻み ⋅ z ： 0 〜 25 cmまでの 2.5 cm刻み


図 3-3 φ=0°における(3-2)式の数値積分結果
1.0の各点における Br を求めた。このときの処理

Br [kG]

0.0
-1.0

0

15 30 45 60 75 90 105 120

手順と注意点は以下のとおりである。

-2.0[処理手順]-3.0① φを‐180°に固定-4.0② (r，z)平面において，さらに r を固定

r[cm]

図 3-4

(3-4)

③ φ，r を固定したうえで，z 方向のライン

z=25cm のときの r と Br の関係

上の磁場 Br を求める
④ φを 5°刻みで変え，φが 180°になるま

数値積分結果の妥当性について考察する。

で①から③を繰り返す

図 3-1 より，z 軸付近では磁力線の向きは鉛直[注意点]上方であることから，Bz しかないと考えるこ異なったφについて，各 r-z 平面で独立にとができる。すなわち Br はないことが期待される。このことと 3-3 の結果を比較すると，

磁場 Br を求めている。したがって，各 r-z 平

図 3-4 より r が 10cm までは Br はほぼ 0kG で面における Br の整合性について検討する必あることから，期待したとおりの結果が得ら要がある。この確認については，次の 3 点れていると考えられる。また，NKS 装置より

1.

変数φについての，Br の連続性

離れた場所，
すなわち r＝120cm についても，

2.

変数φについての，はともに 0kG であることが期待される。そこ

3.

(2-3)式と(2-6)式を満たすかどうか

で，z=25cm，r＝120cm における Br の値につを見るとよい。

Br はほとんどないと考えられるため，Br と Bz

-4-

∂Br
の連続性
∂φ

の変化が激しく，その絶対値は r=60cm で最も[注意点の確認]1 と 2 については，グラフで Br および大きい。そこで，主に z=25cm，r=60 と 80cm

∂Br
の
∂φ

のときの，(φ，Br)，(φ，様子を見て，滑らかであることを確認する。

∂Br)の様子を見る∂φ

1 と 2 についてはこのセクションで，3 につことにする。その様子が図 3-7 と図 3-8 であいては第 5 章で確認する。なお，今回の場合る。図 3-7 を見る限りでは，磁場 Br の様子は

は面と面との整合性についての確認であり，ほぼ滑らかであることがわかる。したがって，

ラインとラインとの整合性については，3-2

Br は変数φについて連続であるといえる。まと 3-3 で述べた。

た，

このときの結果を図 3-5，3-6 に直交座標

かではあるが，r=80cm，φ=±120°付近では∂Brについても図 3-8 より全体的に滑ら∂φ ⋅ x： − 120 〜120 cm までの5 cm刻み
(3-5)
 ⋅ y： − 80 〜 80 cmまでの5 cm刻み

多少凹凸が激しい。このことから，その付近で示す。なお，各点における Br は 3 次元内挿論として，多少滑らかでないところがあるも法で求めた。図 3-5，3-6 より，z=15cm でかのの，全体的には磁場 Br はφ方向で連続であつ磁極の縁付近（r=53.5cm）における Br の絶ると考えて差し支えない。以上の考察より，対値は約 1.6kG であり，z=25cm でかつ磁極求めた磁場 Br は妥当であると考えられる。

では磁場 Br の信頼性が薄い可能性がある。結の 縁 付 近 で は φ =0 ° で 3.6kG ， φ =90 ° で-180 -135

Br[kG]

4.3kG と最も大きな値であった。
B r[k G]
1 .0
0 .0
- 1 .0- 2 .0- 3 .0- 4 .0- 5 .0- 1 2 0- 9 0 - 6 0 - 3 0 0

-90

135

180

-3.0

30 60 90 120

r=60cmr=80cm-5.0

80

φ[deg]

図 3-7-80z＝25cm のときのφと Br の関係

y [cm ]

dBr/dφ[kG/rad]4.0

B r[k G]

2.0

-180 -135 -90

0.0
-45
0

45

φ[deg]

80
30 60 90 120

図 3-8

-80

90

135

180

-2.0
-4.0

x[c m ]

図 3-6

90

-4.0

z＝15cm の水平面における Br の様子

1 .0
0 .0
- 1 .0- 2 .0- 3 .0- 4 .0- 5 .0- 1 2 0- 9 0 - 6 0 - 3 0 0

45

-2.0

x[c m ]

図 3-5

0.0
-45
0
-1.0

z＝25cm のときのφとy [cm]

r=60cmr=80cm∂Brの関係∂φ3-5. 磁極の中心付近の Br

z＝25cm の水平面における Br の様子

z=25cm の場合が最も Br の変化が激しい。
そこで，この場合について述べる。図 3-9 は
図 3-6 における x 軸上の Br の様子である。

異なった r-z 平面における Br の整合性を確認する。z=25cm の場合（図 3-6）が最も Br-5-z

B r[k G]

0.2
0.0
-20 -15 -10 -0.2
-5 0

5

10

15

20

x

-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
x [cm ]

図 3-10
図 3-9 図 3-6 における x=0cm 付近の拡大図

xz 平面(x 軸上)における磁力線の様子

図 3-10 は，z=‐25cm で r を 10cm 刻みで

図 3-9 より，x 軸上では，±20cm 付近まで変えながら磁力線を出発していった図である。

は Br はほぼ 0kG であることがわかる。念のたこの図を見ると，z 軸付近では磁力線は鉛直上

め，その範囲内における Br の絶対値の最大値方であるが，そこから離れるにしたがって磁を調べた。その結果，x＝‐20cm で Br の絶対力線は弧を描いているのがわかる。このこと値が最大であり，そのときの値が‐0.042kGから，z 軸付近では Bz しかないと考えてよいであった。この付近では，Bz の値は約 5kG でが，それ以外のところでは，もはや Bz しかなあることを考慮すると，0.042kG はその 0.8%

いと考えることはできない。

に過ぎない。このことと，Br はほぼ同心円状

4. 磁場 Bφの数値解析に広がっていることを考慮すると，半径 20cm

第 3 章では磁場 Br についての数値解析を行までは，磁場 Br を無視することができると考えて差し支えない。

ったが，磁場 Bφ の数値解析についても基本的

3-6. 磁力線の様子

な考え方は第 3 章とほぼ同じである。
そこで，
ここでは主に磁場 Bφ の数値解析結果を重点に求めた Br と Bz をもとに磁力線の様子を作図する。Bφを考慮しない場合，磁力線の向きは置くことにする。

drを
dz

4-1. (2-4)式の積分

Br と Bz の対角線方向となるので微係数
dr Br
=
dz Bz

(2-4)式を r とφを固定したまま z について 0
から z まで積分すると，(3-6)

Bφ (r , φ , z ) − Bφ (r , φ ,0) =（ただし，r は z の関数）

1
⋅
r

z ∂B

∫ ∂φ dz
z

(4-1)

0

と定義する。今，任意の点における Br，Bz がとなる。ここで，左辺第 2 項目の積分定数

3 次元内挿法により求めることができるので，

Bφ (r , φ ,0) は，z=0cm の水平面における Bφ の値

drの値も任意の点でdzを表す。しかし，3-1 で考えたように，z=0cmの水平面における磁力線の接線の向きは鉛直求めることができる。常微分方程式を数値的上方であることから，やはり Bz しか存在しなに解く方法として 4 次の Runge-Kutta 法 1,2)

いと考えることができる。したがって，があり，ここでは出発点（r，z）を定め z を微Bφ (r , φ ,0) は 0kG となるので，(4-1)式は(3-6)式における微係数

小にずらしながら，そのときの r を逐次的にBφ (r , φ , z ) =求めていった。その結果を図 3-10 に示す。

-6-1 z ∂Bzdz⋅
r 0 ∂φ∫(4-2)

となる。なお，(4-2)式を用いて磁場 Bφ を求めることがわかる。したがって，φ方向についる場合，r=0cm における磁場 Bφ を求めることての磁場 Bφ は，十分に連続であると考えて差ができない。そこで，z 軸上における磁力線のし支えない。

向きは完全に鉛直上方であることから，

次に Bφ の値について述べる。図 4-1 と 4-2

Bφ (0, φ , z ) = 0

において，z を固定したままφ方向に磁場の様

(4-3)

とする。

子を見ていった場合，r=80cm，z＝25cm にお4-2. 線積分

ける磁場の変化が最も激しい。そこで，そのr を固定した(4-2)式は，（φ，z）平面におけときの磁場の様子を図 4-3 に示す。この図かる任意の点の磁場 Bφ を求める式であり，図らφ=0°，±180°，±90°における Bφ の値

3-2 のようにφ軸から任意の点までの z 方向のはほぼ 0kG であることがわかる。また，Bφ の積分を意味する。この式を用いて絶対値はφ=±60°で最も大きく約 0.8kG で ⋅ r = 5cmと80cm
 ⋅ φ= −180 〜180°までの5°刻み
 ⋅ z = 0 〜25cmまでの2.5cm刻み


ある。
(4-4)
Bφ[kG ]

1.0の各点における Bφ を求めた。なお，(4-2)式における微係数および数値積分については 3-2-180 -135 -90と同様である。
4-3. 数値積分結果

0.5
0.0
-45
0
-0.5

45

90

135

180

-1.0

φ[deg]

4-2 の数値積分結果を以下に示す。

図 4-3 φと Bφ の関係（r＝80，z=25cm）

Ｂφ [k G]

数値積分結果の妥当性について考察する。
0 .0 2

図 4-1 は，r=5cm のときの(φ，z)平面におけ0 .0 1

る磁場 Bφ の様子であることから，z 軸付近の0 .0 025- 0 .0 1- 0 .0 2-180 -120 -60

0

60

120

力線はほぼ鉛直上方であることから，磁場はz[c m ]

φ[deg ]

図 4-1

180

磁場の様子を表している。その付近では，磁0Bz しか存在しないと考えることができる。したがって，Bφ はほぼ 0kG であることが期待さ

r＝5cm における Bφ の数値積分結果れる。図 4-1 を見る と，磁場 Bφ は 最大で0.02kG である。この値は，5kG に比べて非常

Bφ [kG]に小さな値であることからほぼ 0kG であると

1 .0

考えてよく，期待した結果が得られている。

0 .5
0 .0

次に，図 4-2，4-3 について検討する。装置の25- 0 .5- 1 .0-180 -120 -60

0

60

120

180

対称性を考慮すると，φ=0°，180°，±90°0における磁場 Bφ は，r および z の値によらず

z[cm]

φ[deg]

図 4-2にすべて 0kG であることが予想される。図 4-3
は磁場 Bφ の変化が最も激しいところであるが，r＝80cm における Bφ の数値積分結果

そのときのφ=0°，±90°，±180°におけBφ の連続性についてであるが，これらの図

る磁場 Bφ の値はほぼ 0kG であることから期より，磁場 Br は(φ，z)平面でほぼ滑らかであ待した結果が得られている。しかし，図 4-3-7-異なったφ-z 平面間における Bφ の整合性をにおける，φ=±60°付近すなわちヨークの角
付近の Bφ の絶対値が最大であることとその値確認するために，r 方向で Bφ との妥当性については，Br のときと同様に直接

∂Bφ

が連続か

∂r

磁場 Bφ を測定し確かめる必要がある。また，どうかをグラフで確認する。z=25cm の場合

この値が荷電粒子の運動解析にどう影響する（図 4-5）が最も Bφ の変化が激しく，その絶かも確認する必要がある。

対値を考えた場合，第１，第 2，第 3，第 4 象

4-4. Bφ の全体像

限はどれも似た様子になると考えられるので，4-2 で解析した方法をもとに，ここでは⋅ r ： 5〜120 cm までの5 cm刻み⋅ φ： − 180 ° 〜180 ° までの 5 ° 刻み ⋅ z ： 0 〜 25 cmまでの 2.5 cm刻み


以下のメッシュポイント（第 1 象限）⋅ r ： 0〜 80 cm までの5 cm刻み⋅ φ： 0 〜 90 ° までの 30° 刻み
 ⋅ z ： 25 cm


(4-5)

の各点における Bφ を求めた。このときの結果(4-6)

を図 4-4，4-5 に直交座標で示す。なお，各点∂Bφの(r，Bφ )，(r，)の様子を見ることにする。
∂rにおける Bφ は 3 次元内挿法で求めた。

その様子が図 4-6 と図 4-7 である。図 4-6 を見

図 4-4，4-5 を見ると，第 1，第 2，第 3，第る限りでは，磁場 Bφ の様子はほぼ滑らかであ4 象限における Bφ の値は，それぞれ負，正，ることがわかる。したがって，Br は変数φに負，正となっている。これは，磁力線がリタついて連続であるといえる。また，ーンヨークを避けているためと考えられる。

∂Bφ
∂r

につ

また，磁場 Bφ の絶対値については，z=15cm

いても図 4-7 より全体的に滑らかであること

で か つ ヨ ー ク 付 近 で は 約 0.5kG で あ り ，がわかる。以上の検討より，求めた磁場 Bφ は

z=25cm では約 1.0kG と Bφ の中で最も大きな妥当であると考えられる。
0.2

B φ [k G]

0.0

1 .0

-0.2

0

B φ[k G]値であった。

0 .5

20

60

80

-0.4

0 .0

φ=0°
φ=30°
φ=60°
φ=90°

-0.6

80

- 0 .5-0.8- 1 .0- 1 2 0- 9 0- 6 0 - 3 0 030 60 90 120

-80

-1.0

y [cm]

r[cm]

x [cm]

図 4-4

40

図 4-6

z＝15cm の水平面における Bφ の様子

z=25cm のときの r と Bφ の関係

0.01
dBφ/ dr [ kG / c m]

B φ [k G]
1 .0

-0.01

0 .5

0

20

40

60

80

-0.02

0 .0
80

- 0 .5- 1 .0- 1 2 0- 9 0- 6 0 - 3 0 030 60 90 120

-0.03

-80

-0.04

y [cm]

φ=0°
φ=30°
φ=60°
φ=90°

-0.05

x [cm]

図 4-5

0.00

r [ c m]z＝25cm の水平面における Bφ の様子

図 4-7 z=25cm のときの r と
-8-

∂Bφ
∂r

の関係

4-5. 磁極の中心付近における Bφ

軸上における P の値を表すが，z 軸上では磁力図 4-6 より，r=20cm 付近までは，どのφに線は鉛直上方であることから 0 と考えてよい。

ついても磁場 Bφはほぼ 0kG であることがわ

このことを踏まえ(5-2)式の両辺を r で割るとP (r , φ , z ) 1= ⋅rr

かる。念のため，その範囲内における Bφの絶対値の最大値を調べた。その結果，r=5cm，r ∂Br∫ ∂φ dr(5-3)

0

φ=60°における Bφの絶対値が最大であり，となる。上式を用いて求めた P/r（= Bφ ）と 4

0.012kG であった。この値は，磁極の中心付章で求めた Bφ を比較することが，(2-3)式を満近では Bz の値が約 5kG であることから，そのたすかどうかにの検討になると考えられる。

0.2%に過ぎない。したがって，半径 20cm ま

そこで，(5-3)式の数値積分によって得た P/r

では，磁場 Bφを無視することができると考えの値と 4 章で求めた Bφを比較したところ，両て差し支えない。

者の差が最も大きいところは r=65cm ，φ=‑60°，z=25cm の場所であった。そのとき

5. Br と Bφの妥当性についての結果を以下に示す。

Maxwell 方程式より得ることができる 4 つ

表 5-1 差 P/r−Bφおよび相対誤差
P/ r
0.264kGの条件式のうち，(2-5)式と線積分を活用してBr を，(2-4)式と線積分を活用して Bφ を求めた。

Bφ0.241kG

その際，求めた Br と Bφ の妥当性および整合性

P/r−Bφ0.023kGについては，物理的考察によりほぼ妥当であ

相対誤差

9.5%

ると判断した。しかしなお，数値的に求めたBr と Bφ および実測データ Bz は，各点においてこのことから，第 3 章と４章で得られた Br とMaxwell 方程式を満たさなければならない。そBφは，10％以内の精度で(2-6)式を満たしていこで，第 3 章で求めた Br と 4 章で求めた Bφ

ると考えられる。
r5-2. divB の様子

および既知の Bz を用いて，(2-3)式と(2-6)式を満たすどうかの検討を行う。なお，これらの(2-3)式を満たすどうかを確認するにあたり，検討は磁場データの利用可能領域すべてにつz=25cm の平面における x 軸上および y 軸上の
rdivB の変化を調べた。その結果を以下に示す。

いて行うのではなく，その領域よりも若干狭
い領域

0.10
0.05

(5-1)

divB[ kG / c m] ⋅ r ： 0〜80cmまで ⋅ φ ：− 180 〜180 °まで
 ⋅ z ：− 25 〜 25 cm まで


x軸上
-0.10
そのときの
5-1 の計算結果をグラフにした。

で検討する。これは磁場の有効な領域を十分

5-1. (2-6)式の計算

x軸 o r y軸[ c m](2-6)式において， r ⋅Bφ を P とおき，さらにr
図 5-1 x 軸上と y 軸上における divB の様子

φと z を固定したまま r について 0 から r まで

この図から，中心から 40cm 程度までは x 軸
r
上 y 軸上ともに divB の値はほぼゼロであるが，積分すると，r ∂Br∫ ∂φ dry軸上グラフが図 5-1 と -0.15
5-2 であり，それぞれ z=5cm，
r
25cm における div-0.20
B の様子を示す。

に網羅しているので問題はない。

P(r , φ , z ) − P(0, φ , z ) =0.00

r
0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.05
5-2. divB の計算結果-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10(5-2)

それ以外のところでは揺らいでいる。このこ0となる。上式における第 2 項目の積分定数は zとから，磁極の外側では求めた磁場 Br および-9-

Bφの信頼性が薄い可能性がある。
r5-3. divB の値についての検討
rdivB の値を 0 とみなしてよいかどうかの判装置において微小な値であると取り扱ってき断は困難な作業である。そこで，(2-3)式の左た Br の絶対値は，3.6〜4.3kG という比較的大辺第 3 項目を右辺に移項する。

きな値であることがわかった。この値の妥当

∂B
1 ∂
1 ∂Bφ
=− z
(rBr ) +
r ∂r
r ∂φ
∂z

無視してもかまわないことが期待される。しかし，z=25cm でかつ磁極の縁付近では，NKS

性については第 5 章で検討したが，やはり実(5-4)

際に測定し一致するかどうかを確認すること

上式の右辺は実験データから直接計算でき，が望ましい。また，Bφの絶対値は z=25cm で左辺は第 3 章と 4 章の数値積分の値を用いてr計算できる量である。 divB が 0 であるかどう

かつヨークの角付近が最も大きく，約 1.0kGという比較的無視しえない値であった。このかの確認は，(5-4)式の左辺と右辺の値が等しことから，Bφついても Br と同様に実測が必要

いかどうかを見ることと同じであり，その場であると考えられるが，Br と Bφの実測を考え

合右辺の値を，相対誤差を求めるための基準

た場合，Br の実測を優先するべきである。

値として取り扱うことが適当である。相対誤

今回は差分法と数値積分をもとに磁場の解差を求める場合，(5-4)式の左辺の値から右辺析を検討したが，他の解析法として有限要素の値を引き，その値を右辺の値で割ることに法が挙げられる。この方法は現在最も広い分なる。ここで，左辺の値から右辺の値を引いrたものは divB そのものであり，相対誤差の目野に利用されている数値解析法であり，この方法を活用して磁場の解析を再検討する。

安を求める式は，
r∂B
相対誤差 = divB ÷ − z
∂z

謝辞

(5-5)

東北大学理学部の橋本治教授をはじめ，となる。 (5-5)式の右辺を図 5-1 の各点におい中性 K 中間子光発生反応研究所のグループて計算したところ，x 軸上と y 軸上の 40cm おの皆様に磁場データを提供していただいた

よび 50cm の点ではともに 11％および 12％でことを，深く感謝いたします。

あり， r=60cm 以降の x 軸上では 17%，y 軸
上では 70％であった。このことから，磁極内

参考文献

では 12%以内の精度で(2-3)式を満足している

1) 戸川隼人：UNIX ワークステーションによと考えられる。しかし，磁極の外側でかつ電る科学技術計算ハンドブック，サイエンス

磁石のヨークがある方向については，相対誤社（1992-10）

2) William H.Press ， Saul A. Teukolsky ，差の値が大きいことから数値計算の精度が落William T. Vetterling，Brian P. Flannery：

ちている可能性がある。

NUMERICAL RECIPES in C（日本語版），

6. 結論

技術評論社（1993-6）

Maxwell 方程式と既知の Bz および差分法と3) K. Maruyama et. al：The large acceptance

数値積分を頼りに，各点における Br と Bφを求

spectrometer TAGX for photoreaction

めることができた。その結果 r=20cm 以内でstudies at 1.3Gev electron synchrotron,

は，Br，Bφはともにほぼ 0kG であることがわ

Nucl. Instr. Meth. in Phys. R. vol. A376,

かった。このことから，磁極の中心付近におNo3, 335/355

ける荷電粒子の運動解析は，Br と Bφの影響を- 10 -