Moser–Trudinger 不等式のべき乗近似
橋詰雅斗(広島大・先進理工)∗

空間次元を N ≥ 2, B ⊂ RN を単位球, 1 < p < N とし, W01,p (B) を Sobolev 空間とす
る. Sobolev 不等式∥u∥

pNL N −p (B)≤ Sp ∥∇u∥Lp (B) ,u ∈ W01,p (B)(1)

により, 連続埋め込み W01,p (B) ,→ LpN/(N −p) (B) が成立する. 一方, p = N の場合,W01,N (B) ̸⊂ L∞ (B) となるが, N. S. Trudinger[5], J. Moser[4] により次の不等式が得られている:{∫N≤ C|B|,α ≤ αN ,N −1
supeα|u|dx(2)
B= +∞,α > αN .
u∈W01,N (B)∥∇u∥LN (B) ≤11/(N −1)

ここで αN = N ωN −1であり, ωN −1 は単位球表面積を表す．Sobolev 不等式 (1) および Moser–Trudinger 不等式 (2) はそれぞれ Orlicz 空間への埋め込みの意味で最良である
ため，Moser–Trudinger 不等式 (2) はしばしば臨界 Sobolev 不等式と呼ばれる．しかしながら，(1) に直接的な極限操作 p → N を施しても臨界 Sobolev 不等式 (2) は得られない. この不連続性に着目し, 本講演では p → N とした際に (2) の汎関数に収束し, さらに集中レベルも連続的に繋がる W01,p 関数不等式を構築する．
まず, Moser–Trudinger 不等式の集中レベルについて紹介する. Bε ⊂ RN を原点中心
半径 ε の球,{}
1,N
BN := u ∈ W0,rad(B) ∥∇u∥LN (B) ≤ 1 ,{}XN := {un } ⊂ BN lim ∥∇un ∥LN (Bε ) = 1 (∀ε > 0)n→∞とする. このとき, 次が成立する.
()∫N∑N −1 1
αN |un | N −1
supdx = |B|(1 + e k=1 k ).
lim sup e{un }∈XNn→∞(3)

B

この左辺の値を Moser–Trudinger 不等式の集中レベルと呼ぶ. 右辺の具体的な値は, 以下の通り Moser–Trudinger 不等式 (2) の変分問題を考える際に重要な役割を担う:
前提として, Moser–Trudinger 汎関数は α = αN において非コンパクト性（W01,p (B)の弱位相に関する不連続性）を持つ. つまり, ある関数列 {un } ⊂ W01,N (B) で∥∇un ∥LN (B) ≤ 1,を満たし,∫limn→∞

Ne

weakly in W01,N (B)un ⇀ u0

αN |un | N −1

∫dx ̸=BeαN |u0 |N
N −1dxBとなるものが存在する（Fatou の補題より, “>” となることも分かる）. この性質により, (2) の達成可能性は非自明なものとなっている. 実際, (2) の最大化問題に関して, 最本講演は猪奥倫左氏（東北大学）との共同研究に基づく.
∗e-mail: mhashizume@hiroshima-u.ac.jp

大化列の部分列が上記の性質を満たすか否かで最大化関数の存在・非存在が変わる. しかし, このような非コンパクト性がありながらも, Carleson–Chang[1] は, 以下の二つを示すことにより (2) を達成する最大化関数の存在を示した（球対称再配列の議論により,
1,NW0,rad(B) の中で考察すれば十分ということに注意する）.

(I) (2) の最大化関数が存在しないならば, 全ての最大化列は XN の元. さらに,∫N
∑N −1 1N −1supeαN |u|dx ≤ |B|(1 + e k=1 k ).
1,Nu∈W0,rad(B)∥∇u∥LN (B) ≤1

B

1,N(B) が存在して,(II) ある関数 w ∈ W0,rad∫N∑N −1 1N −1
eαN |w|
dx > |B|(1 + e k=1 k ).
B

その後, de Figueiredo–do Ó–Ruf[2] によって, 右辺の値は (3) の集中レベルそのものであることが明らかにされた.
次に, 本講演で考察する関数を定義する.
定義 1 関数 Fp : R → R+ を次で定義する.

[pN −pαp |s| p−1
Fp (s) := 1 +N (p − 1)

] NN(p−1)−pp( N −1) p−111αp := αNN |B| p − N.

,

ただし, |B| は単位球 B ⊂ RN の Lebesgue 測度を表す.
関数 Fp に関して, Sobolev 不等式 (1) と直接計算により次が成り立つ.
命題 1(I) ある定数 Cp > 0 が存在して，任意の u ∈ C0∞ (B) に対して∫()
Fp u/∥∇u∥Lp (B) dx ≤ Cp .
B(II) 任意の u ∈ C0∞ (B) に対して
∫∫
N()
N −1
Fp u/∥∇u∥Lp (B) dx =eαN (|u|/∥∇u∥LN (B) )limdx.
p→NBB

命題 1 により, 関数 Fp は Sobolev 型不等式の性質を満たし, Moser–Trudinger 型汎関数に関する一つの近似となっている.
定義 2 集合 Bp ⊂ W01,p (B) および集中列の集合 Xp を{}
1,p(B) ∥∇u∥Lp (B) ≤ 1 ,Bp := u ∈ W0,rad{}Xp := {un } ⊂ Bp lim ∥∇un ∥Lp (Bε ) = 1 (∀ε > 0) .
n→∞で定義する.
主結果は次の集中レベルの連続性である.

定理 2 次が成立する.
)(∫∑N −1 1suplim sup Fp (un )dx → |B|(1 + e k=1 k ) (p → N ).
{un }∈Xpn→∞

B1,N
最後に, 関数 Fp が現れる不等式を紹介する. u ∈ W0,rad(B) に対して，Alvino 不等式
または radial lemma と呼ばれる次の不等式− N −1|u(x)| ≤ αN N() NN−11N log∥∇u∥LN (B)|x|が知られている．これはNαN (|u(x)|/∥∇u∥LN (B) ) N −1e≤

1|x|Nと同値である．ここで左辺に Moser–Trudinger 不等式の関数が現れる. 同様に, u ∈1,p(B) に対して radial lemma を考えると
W0,rad()Fp u(x)/∥∇u∥Lp (B) ≤1|x|Nとなり, 左辺に Fp が現れる.
∫
講演では定理 2 の証明の概略と， B Fp (u)dx が持つ幾つかの性質についても述べる.

参考文献[1] L. Carleson, S.-Y. A. Chang, On the existence of an extremal function for an inequalityof J. Moser, Bull. Sci. Math. (2) 110 (1986), no. 2, 113–127.
[2] D. G. de Figueiredo, J. M. do Ó, B. Ruf, On an inequality by N. Trudinger and J. Moser
and related elliptic equations, Comm. Pure Appl. Math. 55 (2002), no. 2, 135–152.
[3] M. Hashizume, N. Ioku, W 1,p approximation of the Moser–Trudinger inequality ,arXiv:2212.02086.
[4] J. Moser, A sharp form of an inequality by N. Trudinger, Indiana Univ. Math. J. 20(1970/71), 1077–1092.
[5] N. S. Trudinger, On imbeddings into Orlicz spaces and some applications, J. Math. Mech.
17 1967 473–483.