数理解析研究所講究録 1348 巻 2003 年 163-172

183

On the quantized Noumi-Yamada systems
東北大学大学院理学研究科名古屋創 (Nagoya Hajime)1

はしめに舒海・山田による構造を持つ.
ある.

$A_{l}^{(1)}$型高階 Painlev\’e 方程式 (舒海・山田系) [5] はアフィン Weyl 群作用で不変な$\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}^{\urcorner}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}$この事実に注目すれば, Poisson 括弧を交換子に置き換えるという意味での量子化があるべきで

また長谷川は量子群の理論を用いて梶原・野海・山田にょる拡大アフィン Weyl 群の表現 [3] の量子化を構或した [2].

これを量子 Painlev\’e 対称性ということにしょう.

そもそも野海・山田系は$A_{l}^{(1)}$型拡大ア群の表現から構或される離散系の連続極限の結果として得られたものである. 同様に Allr 量子
Painlev\’e 対称性から構或される離散系の連続極限が計算できれば,型対称性を持っ非可換微分方程式が得られることになる. 実際この計算を $l=2n+1$ $(n=1,2, . . . )$ の場合に実行することができ,の場合の野海・山田系の量子化と呼ばれるべきものを得た. $\text{創}=2n+1$ の場合も Poisson 括弧を交換子に置き換えてやるとうまくいくことがわかった. 本稿では量子舒海・山田系及びその Hamiltonian 構造と形式につぃて説フィン$\backslash \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{l}$$A_{l}^{(1)}$$\text{創}=2n$$\mathrm{L}\ \backslash ’$

明する.

2

量子野海・山田系$l=2,3$ , . . . に対して,$\mathbb{C}$上の斜体$\mathcal{K}_{l}$を生或元$f_{i}$,$(0\leq i\leq l)$$\alpha_{i}$,(2. 1)と定義関係式$[f_{i}, f_{i+1}]=h$$[f_{i}, f_{j}]=0$で定義する. ただし, 添字は$(h\in \mathbb{C}, 0\leq i\leq l)$$(j\neq i -\pm 1)$

,

,

(2.2)

$[f_{i}, \alpha_{j}]=0$

,

[a ,
$i$

] $=0$$\alpha_{j}$(2.3)の元と理解する. 上記の生或元と定義関係式で定義される非可換代数$\mathbb{Z}/(l+1)\mathbb{Z}$は Ore domain であることを示すことができ, Ore domain である非可換代数からはその商体を構或できることが知られている.

定理 2.1$\mathcal{K}_{l}$の$\mathbb{C}- \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}.\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$鮗，把蠅瓩襪海箸 できる(1) $l=2n$ のとき
i $( \sum f_{i+2,.-1})-( \sum f.i+2f.)f_{i}+\alpha_{i}$ ,(2.4)$\partial f_{\dot{\mathrm{a}}}=f$$1<r<n$$\partial^{1}\alpha_{i}=0$$(0\leq i\leq l)$$1<r<n$.

(2.5)(2) $l=2n+1$ のとき$\partial f_{i}=f_{i}(\sum_{1\leq r\leq s\leq n}f_{i+2\mathrm{r}-1}f_{i+^{r}s}..))-$$+$(.i4z $Tf_{i+2s+1}$ )$f_{i}$$\sum_{1\leq r\leq s\leq n}f$$( \frac{k}{2}-\sum_{1<\mathrm{r}<n}\alpha i+\underline{\circ}r)f_{i}+\alpha_{i}(\sum_{1<\uparrow\cdot<n}f_{i+2r})$

,

(2.6)

164
\mbox{\boldmath $\alpha$}i $=0$

(2.7)$(0\leq i\leq l)$

ただし’ $k=\alpha_{0}+\cdots+\alpha_{l}$ とする.

定義関係式を不変に保つことを直接計算することによって定理
2.1 を証明することができる. また, 次の[ $H,$ i] をみたすような Hamiltonianが存在すれば
well-defined である.

ことに注意する.

$\partial f_{i}=$$f$$H\in \mathcal{K}_{l}$

なぜたらば$(f_{i}f_{j}.)$$-\partial(f_{j}.f_{i}.)=\partial(f_{i})f_{j}+f_{i}.\partial(f_{j})-\partial(f_{j})f_{i}-f_{j}\partial(f_{i}.)$$=[H,$$f_{i}$

1$f_{j}+f_{i}[H, f_{g}]-$[ H,$=[H, f_{i}f_{j}]-$$f_{j}f_{i}$[ H,$f_{j}$] $f_{i}-f_{j}[H, f_{i}]$] $=[H, [f_{i}, f_{j}]]=0$が成り立つからである. 実際このような Hamitonian it:存在することを後で見る. また積の順序が定理のようになる理由も後に見る Hamiltonian から理解することができる.

2.1

アフィン Weyl 群対称性

次に量子舒海・山田系が命題 2.2([2])$\mathcal{K}_{l}$上の代数射

si $(\alpha i)=-\alpha$ i,$\mathrm{b}.i(f_{i})=f_{i}$型アフィン Weyl 群対称性を持っことを説明する.

$A_{l}^{(1)}$$s_{0},$$\ldots$)を次で定めることができる:$Sl_{1}\pi$i$(j=i\pm 1)$ ,si $(\alpha j)=\alpha$j$(j\neq i, \cdot i\pm 1)$$s_{i}(fj)=fj\pm 7$$(j=.i\pm 1)$ ,$s_{i}(fj)=fj$$(j\neq i, i\pm 1)$$s_{i}(\alpha j)=\alpha j+\alpha$,.

$\pi(fj)=f_{j+1}$$\pi(\alpha j)=\alpha j+1,$

定理 2.3 ([2]) 代数射 so, . , .

$\pi$$s_{l},$

は拡大

,

,
(2.8)

$A_{l}^{(1j}$アフィン Weyl$\overline{W}=\langle s0, .

.

.

の表現を定める. すなゎ

s\iota, \pi\rangle$

ち, 次の関係式を満たす:$s^{\frac{\circ}{i}}=1$

定理 2.4$\overline{\mathfrak{l}\prime 7^{\gamma}.}$の作用は斜体,$\mathcal{K}_{l}$$(j=i\pm 1)$ ,$(s_{i}s_{j})^{3}=1$のderivation$\pi^{l+1}=1$,$7\Gamma si=s_{i+1}\pi$

.

(2.9)

伐調垢任△.

定理 2.4 は直接計算することによって確かめることができる. 実際, 計算を以下のように実行することができる.

(計算手順は古典の場合と同様である.)

まず. Delnazule 作用素$\Delta_{i}$$\Delta$

定義より$\Delta_{i}$i $( \varphi)=\frac{1}{\alpha_{i}}(s_{i}(\varphi)-\varphi)$($\varphi\in \mathcal{K}$l).

(2.10),(2.11)

は次の性質を持つことが容易にわかる.
i $(\varphi\psi’)=\Delta$ i $(\varphi)\psi+s_{i}(\varphi)\Delta_{i}(\psi)$$\Delta$$\Delta$$\Delta$i $(\alpha_{i})=-2,$
i $(f_{i})=0$ ,定理 2.4 の証明 . $j=0,$ればを次で定義する.

$(i=0, \ldots, l)$$s_{i}(f_{j})=s_{i}(\partial f_{j}.)$$l$$\ldots,$$\Delta$i $(\alpha_{i\pm 1})=1$ ,$\Delta_{i}(fi\pm 1)$に対して,$F_{j}$$= \pm\frac{1}{f_{i}}$$(\varphi, \psi\in \mathcal{K}\sim)$$\Delta$,i $(\alpha’j)=0$$(j\neq i, i\pm 1)$

i $(fj)=0$$(j\neq i, i\pm 1)$$\Delta$,(2.12).

(2.13)を式 (2.4), (2.6) の右側部分とする. このとき非可換性に注意すと.
$\Delta$i.

$(F_{j})=- \frac{u_{i_{J}}}{f_{i}}$ $F_{i} \frac{1}{f_{i}}$(2.14)

185
が同値であることが容易にわかる.

$\pi$

による回転対称性より (2.14) を $j=0$ に対して示せばよい:$\Delta_{1}(F_{0})=\frac{1}{f_{1}}F_{1}\frac{1}{f_{1}}$一例として,$\Delta_{1}(F_{0})=-\frac{1}{f_{1}}F_{1}\frac{1}{f_{1}}$,$\Delta$(2.15)

i $(F_{0})=0(\cdot i\neq 1,\mathit{1})$ .

を示す. $l=2n$ のとき$\Delta_{1}(F_{0})=\frac{1}{f_{1}}F_{1}\frac{1}{f_{1}}$$\Delta_{1}(F_{0})=\Delta$,

1 $(f0) \sum_{1\leq l\leq n}.f_{9\gamma-1}\vee-\sum_{1\leq\gamma\cdot\leq n}f_{2r}\Delta_{1}(f_{0}.)-\frac{\alpha_{1}}{f_{1}}\Delta_{1}(f_{0})-\Delta_{1}(h)f_{0}+\Delta_{1}(\alpha_{\mathrm{U}})$$=- \frac{1}{f_{1}}\sum_{1\leq’\leq n}.f_{\underline{9}_{\Gamma-1}}+\sum_{1\leq r\leq n}f_{2r}\frac{1}{f_{1}}+\frac{\alpha_{1}}{f_{1}}\frac{1}{f_{1}}-\frac{1}{f_{1}}f_{0}+1$$= \frac{1}{f_{1}}(f_{1}\sum_{1\leq\dagger\cdot\leq n}f_{\underline{\mathrm{o}}_{r}}-(,.\sum_{\leq l\leq n}.f_{2r-1}-f_{0})f_{1}+\alpha_{1})\frac{1}{f_{1}}$$= \frac{1}{f_{1}}.F_{1}\frac{1}{f_{1}}$$l=2\uparrow?+1$

.

のとき

.0

$\Delta_{1}(F_{0})=\Delta_{1}(f_{0})\sum_{1\leq\uparrow’\leq s\leq n}f_{2r-}1f2s+s_{1}(f_{0})f_{1}\Delta_{1}(f2)-\Delta_{1}(\sum_{1\leq \mathrm{r}\leq s\leq \mathrm{l}},h_{\dagger}\cdot f\sim\circ_{s+1})$$-s_{1}( \sum_{1\leq \mathrm{r}\leq s\leq’\tau}f_{9}.rf_{2s+1})\Delta_{1}(f\mathrm{o})-\Delta_{1}(\alpha_{\underline{9}})f_{0}+s_{1}( \ovalbox{\tt\small REJECT}- \sum_{1\leq’\leq\tau\iota}.\alpha_{7}\underline{\Gamma’}\cdot)\Delta_{1}(f_{0})$$+ \Delta_{1}(\alpha_{0})\sum_{1\leq 1\leq n}.f_{2r}+s_{1}(\alpha_{0})\Delta_{1}(\sum_{1\leq 7\leq rl}.f_{\sim}\mathrm{r}_{\mathrm{J}_{T}})$$=- \frac{1}{f_{1}}\sum_{1\leq’\cdot\leq s\leq 7l}f_{2r-1}f_{2s}+(f_{0}-\frac{\alpha_{1}}{f_{1}})-\frac{1}{f_{1}}\sum_{1\leq \mathrm{r}\leq n}f_{\mathrm{o}\mathrm{o}_{r+1}}f_{0}$$+ \sum_{1\leq r\leq s\leq n}f_{\underline{9}_{\uparrow}}.f_{-s+1},\frac{1}{f_{1}}.+\frac{\alpha_{1}}{f_{1}}\sum_{1\leq’\cdot\leq n}f_{9,.+1}.\sim\frac{1}{f_{1}}-f_{0}-(\frac{k^{\eta}}{2}-\sum_{1\leq r\leq n}\alpha_{\mu}9,.

$+ \sum_{1\leq\prime\cdot\leq n}f_{-\lambda_{f}}\mathrm{r}$.

-\alpha_{1})\frac{1}{f_{1}}$$+( \alpha_{0}+\alpha_{1})\frac{1}{f_{1}}$.

$= \frac{1}{f_{1}}\{-(\sum_{1\leq r\leq s\leq n}f_{\underline{r}}\mathrm{r}r-1h_{s})f_{1}+f_{1}(\sum_{1\leq’\cdot\leq s\leq 1},f_{2r}f_{9_{\mathrm{S}+1}}\sim)+\alpha_{1}\sum_{1\leq r\cdot\leq n}f_{99_{1+1}}$$-( \sum_{1\leq 7\leq n}.f_{2\uparrow\cdot+1}f_{0})f_{1}+(\frac{k}{2}-\sum_{1\leq’\cdot\leq n}\alpha \mathit{2}\uparrow.+1)f_{1}+f_{1}(\sum_{1\leq r\cdot\leq n}f_{0_{r}}\sim)f_{1}.\}\frac{1}{f_{1}}$$= \frac{1}{f_{1}}\{f_{1}(\sum_{1\leq r\leq s\leq’ 1}f_{2r}rf_{9_{S+1}}.)-(\sum_{2\leq r\leq s\leq\cap}f_{2,.-1}f_{2s})f_{1}-(\sum_{1\leq r\leq Jl}f_{\underline{9}}.,.+1f0)f_{1}$$+( \frac{l\mathrm{J}}{2}.-\sum_{1\leq r\leq n}\alpha 2f+1)f_{1}+\alpha$$= \frac{1}{f_{1}}F_{1}\frac{1}{f_{1}}$1$\sum_{1\leq r\leq n}f_{2r+1}\}\frac{1}{f_{1}}$.

(2.15) の他の場合も同様に示すことができる. 口

2.2

Hamiltonian

この節では, 量子舒海・山田系が多項式 Hamiltonian を持っことを示す, 非可換定数$h$が 0 であるとき, 量子の場合の Hamiltonian は古典の場合の IIanuiltonian になってぃる. Hamiltonian を定義するための記号は[5] に従い, まずその記号を列挙する.

66$i=1,$ $\ldots,$

$l$

に対して,

$\varpi i$を$A_{l}$

型の$J\triangleright$

ート系の

$i$

番目の fundanlental weight とする. すなわち$\varpi_{i}=\frac{1}{l+1}\{(l+1-i)\sum_{r\cdot=1}^{i}r\alpha,$. $+i \sum_{r=i+1}^{l}(l+1-r)\alpha_{?}.\}$(2.16)$= \sum_{r=1}^{l}(\min\{\mathrm{i}, 7’\}-\frac{ir}{l+1}.)\alpha_{r}$とする. また $\varpi_{0}=0$ とおく$1^{\urcorner}$

を型の Dynkin 図形とし, その頂点には$A_{l}^{(1)}$する. $j,$ $j\dashv-1,$$\ldots,$$\chi$

そして,$\Gamma$の真部分図形$C^{\mathrm{t}}$(q,’ )$n$に対して,$=\varpi$$\lambda’(C’)$の元によって順に番号が付けられてぃるものと$\mathbb{Z}/(l+1)\mathbb{Z}$$j+m-1(m\leq l)$ の頂点からなる
j $-\varpi j+1$の部分連結図形に対して, $\chi(Cj,m)$ を次で定義する.

$\Gamma$$+\cdot$. . $+(-1)m-1\varpi j+$ ’1-1.

(2.17)

を次で定義する.
$\chi(C’)=\sum_{j}\chi$(q, ,),(2.18)$m$

ここで右辺の和は $C$ の全ての連結或分に対して取る,$d\in$$\{1, .

.

.

, l, l+1\}$

に対して

{

$S_{d}=$$c_{j,m}.,(m\leq l)$$.\mathrm{q}_{d}$を次で定める.

$I\acute{\mathrm{i}}\subset\{0,1,$$\ldots,$$l\}||$

K $|=d,$$\Gamma\backslash K=\sum_{j,rn_{\mathrm{J}}even}C_{\mathrm{j},m_{\mathit{3}}}’$}.

(2.19)

に対して,$f_{C_{j,m}^{r}}=f_{j}f_{j+}1^{\cdot}$

とおく. このとき,$I\acute{\mathrm{i}}\in S_{d}$に対して$(d=1, \ldots, \mathit{1})$$f.f_{\acute{\mathrm{L}}}$$\cdot$.

$f_{j+m-1}.$$I\acute{\backslash }$(2.20)

を次で定めることができる.

$f_{K}= \prod_{j}f_{C_{g,m_{\mathrm{J}}}}$

ここで右辺の積は.

,(2.21)の全ての連結或分に対して取る.

定義 2.5 Hauliltonian $H$0 を次で定める.

(1)$\mathit{1}=2$

のとき

(K )
$c$

$H_{0}=f_{0}.f_{1}f_{2}.+hf_{1}+ \sum_{K\in \mathrm{S}_{1}^{\mathrm{r}}}\lambda’$$f_{K}$.

(2.22)$l=2n,$ $??\geq 2$ のとき

(K )
$c$

$H_{0}= \sum_{K\in S_{3}}f.K+\sum_{K\in S_{1}}\chi$$f_{K}$.

(2.23)(2) $l=3$ のとき(K ) $f.K+( \sum_{i=1}^{3}(-1)^{-1}\varpi_{i})2$$c$$H_{0}=f_{0}f_{1}.f_{3}.f_{\underline{7}}.+ \frac{h}{2}(f_{0}.+f\underline,)(f_{1}-f_{3})+\sum_{K\in S_{2}}\chi$$l=2’\iota+1,$$\uparrow 7\geq 2$(2.24)のとき(K ) $f_{K}+( \sum_{i=1}^{l}(-1)^{-1}\varpi_{i})2$$c$$fI_{0}= \sum_{K\in S_{4}}f_{IC}+\sum_{I\mathrm{f}\in S_{2}}\chi$(2.25)

187$l=2??,$$n$\geq 2 のときと $l=2n+1,$\geq 2 のときは見かけ上古典の場合と同様であり, $l=2,3$ の場合は補正$n$項が加わっている. これは $l=2,3$ のときは順に\in s4 に対して $fic$ が定義できないからである.

$K\in\llcorner \mathrm{q}_{3)}.K$

命題 2.6 $l=2n$ のとき, 量子野海・山田系 (2.4), (2.5) は次のようく表すことができる.

fj$= \frac{1}{h}[H_{0}, f_{j}]+\delta_{j,0}k$$(0\leq j\leq l)$.

(2.26)$l=2n+1$ のとき, 量子野海・山田系 (2.6), (2.7) は次のように表すことができる.

fj$= \frac{1}{h}[H_{0}, f_{j}]-(-1)^{j}\frac{k}{2}f_{j}+\delta_{j,0}kg_{0}$

ここて $go=f.0+f.\underline{\eta}+\cdots+f_{l-1}$

証明. $\cdot i=0,$$l$$\ldots,$

に対して,

とする.

を次で定義する.

i$\mathbb{C}- \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\partial$$\partial$

このとき,$\varphi\in \mathcal{K}_{l}$(2.27)$(0\leq j\leq l)$i $f_{j}=\delta$ ij .

(2.28)に対して次が成立する.
$[\varphi, f_{j}]=h(|\partial_{j-1}-\partial_{j+1})\varphi$

これらを用いて $[H0, f.j]$ を計算する.

,$A_{\sim}^{(1)}$と$A_{3}^{(1)}$.

(2.29)の場合は $[H_{0}, fj]$ を容易に直接計算でき, (2.26) と (2.27)

を得る.

の場合を考える. (2.23) から,$A_{\underline{9}}^{(1)}n(n\geq 2)$$\frac{1}{h}$を次のように計算できる.

$[H_{0}, fj]$$\frac{1}{h}[H_{\lceil\rfloor}, f_{j}]=(\partial_{j-1}-\partial_{j+1})H_{0}$$= \sum_{\sim}f_{K}K\in S\circ(\Gamma\backslash \{j-1\})-\sum_{\ulcorner}fi_{\acute{1}}+\chi(\Gamma\backslash \{j-1\})K\in S_{\mathrm{J}}(\Gamma\backslash \{j+1\})-\chi$D$=f_{j}$ $( \sum_{r=1}^{n}f_{j+}2r-1)-(\sum_{\mathrm{r}=1}^{n}f_{j+}2r)$$=F_{j}-\delta$(F$\backslash \{j$$+1\}$

j-1 $+2\varpi$j $-\varpi_{j+}1$$-\varpi$j,0k.

したがって, (2.26) が正しいことが示された. $A_{2n+1}^{(1)}(n\geq 2)$ の場合も同様に示すことができる.

2.3

)

口

Heisenberg 方程式

この節では, 量子舒海・山田系が Heisenberg 方程式として表せることを示す.

Case$A_{9}^{(1)}.$

$n$

:

i

$f$

に対する新しい座標$(q;pjX)=(q_{1}, \ldots, q_{n} ; p_{1}, .

.

.

(2.30), p_{n1}.x)$を次で定める.

$q_{j}=f_{\sim}\mathrm{o}_{j}$,$p_{j}= \sum_{f=1}^{j}f_{2r-1}$$(j=1, . . . , n)$ ,(2.31)$x=f_{0}+f_{1}+\cdots+fl.$

この座標変換の逆変換は次で与えられる.
$f_{0}=x-.

.

\sum_{\uparrow=1}^{n}q_{1}$$-p_{n}$,$f_{1}=p_{1}$,$f_{9}\sim=q_{1}$,169$f2j=qj$

pj-1,$f_{j-1}\underline{9}=p_{j}-$$(j=2, \ldots, n)$.

(2.32)

新しい座標に対する交換関係は次のようになる.

[ $.pi,$ $qj1=h\delta$ ij,
ただし

$.i,$

$j=1,$$\ldots,$$n$(2.33)$[q_{i}, qj]=[pi, pj1=" j, X]=[q_{i}, x]=0$ ,とする. 前節で得た Hamiltonian $H0$ を $(q;pjX)$ を用いて書いたものを $H$ とする.

このとき次が成り立つ.
$\partial qj=\frac{1}{h}$ただし $j=1,$ . .
$\mathrm{C}’\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e},$

$A$

,

$7l$

[H,

$q_{j}$],$\mathrm{c}^{r}\mathrm{I}pj=\frac{1}{h}$[ $H$ , j],$\partial x=k$$p$,(2.34)とする.

。。1 まず最初に (2.27) から$g_{0}= \frac{k}{2}.g_{0}$,$g_{1}=.

(2.35)\frac{k}{2}.\mathrm{g}_{1}$が成り立つことに注意する. ただし $go=f_{0}+f_{2}+\cdots+f2n’$ $g_{1}=f_{1}+f_{3}.+\cdots+f_{\circ_{n+1}}.\sim$ である. ゆえに,

f-.27$=g_{0}f_{-r}\tau,$,

2 }$f\tilde{.}$

$r$

$1$

,

(2.36)$(r=0,1, \ldots, n)$ ,$=g_{0}^{-1}f_{-r+1}’$

とおくことによって[H0,$\partial\overline{f}_{j}=\frac{1}{h}$$\tilde{f_{j}}$]$(j=0,1, \ldots \mathrm{I}2t1+1)$$+\delta_{\gamma,0g_{\mathrm{U}}^{\sim}}^{\tau_{J}}$.

(2.37)

を得る. 新しい座標$(q;pjX)=(q_{1}, \ldots, q_{n} ; p_{1}, .

.

.

(2.38), p_{n} ; x_{0}, \cdot x_{1}’)$を次で定める.

$p_{j}=g_{0}^{-1},.

$q_{j}=g_{0}f_{j)}\underline{9}$$(j=1_{\}}\ldots, n)$\sum_{=1}^{j}f\underline{\circ}_{r-1}$. . $+f2n$$.\iota_{0}.=g_{0}=f_{0}+f\underline,+\cdot$

)

,

.2

$x_{1}’=g_{1}=f_{1}+f_{3}+\cdots+f$ $n+1.$(2.39)

この座標変換の逆変換は次で与えられる.
$f_{0}=x_{0}-x_{0}^{-1} \sum_{\tau\cdot=1}^{\mathrm{n}}q_{f}$$f_{\underline{?}j-1}=x_{0}$,( $p_{j}-$ pj-1)$f_{1}=x_{0}p_{1,}$$f_{2}=x_{0}^{-1}q_{1,}$$f_{2j}.=x_{0}^{-1}$$)$$(j=2, \ldots, n)$qj.

(2.40)

新しい座標に対する交換関係は次のようになる.
$\mathrm{k}i,$$q_{j}]=h\delta_{ij}$,$[q_{i)}q_{j}]=\mathrm{p}_{i},$$p_{j}]=0$,$[p_{i}, x_{0}.]=[q_{i}, x_{0}]=\mathrm{b}_{i},$ $\cdot x_{1}]=[q_{i}, x_{1}]=[x0, x_{1}]=0$

ただし

$i,$

$j=1,$$\ldots,$$n$とする. 前節で得た Hamiltonian$H_{0}$,(2.41)

を $(q;p;x)$ を用いて書いたものを $H$ とする,

このとき, 次が成り立つ.
$\partial qj=\frac{1}{h}$ただし $j=1_{\rangle}\ldots$ ,

$n$

とする.

上記の結果をまとめる.

[H,$q_{j}$],$\partial pj=\frac{1}{h}$[H,$p_{j}$],$\partial$x$0= \frac{k}{2}.x_{0}$,$\partial$x$1= \frac{k}{2}.x_{1}$,(2.42)

169
定理 2.7(1) $l=2n$ のとき, 量子腎海・山田系は上記で定めた $(q;p\}.

を用いて Heisenberg 方程式としx))H$て表すことができる:$\partial qj=\frac{1}{h}[H, q_{j}]$ただし $j=1,$ $\ldots,$$n$,$\partial pj=\frac{1}{h}[H, p_{j}]$,$\partial x=k$,(2.43)とする.

(2) $l=2n+1$ のとき, 量子野海・山田系は上記で定めた $(q;p;x),$ $H$ を用いて Heisenberg 方程式として表すことができる:$\partial qj=\frac{1}{h}[H, q_{j}]$ただし $j=1,$ $\ldots,$

2.4

$n$

,

$\partial pj=\frac{1}{h}$[ $H,$ j],$\partial$$p$x$0= \frac{k}{2}.x_{0}$,$\partial$x$1= \frac{k}{2}..x$(2.44)

1,とする.

niltonian の性質$\mathrm{H}_{\mathrm{d}1}^{l}$

Hamiltonian$H_{1},$$\ldots,$$H_{l}$

を次で定める.
$H_{j}:=\pi$(Hj-1).

(2.45)

古典の場合, これらの Hamiltonian は $W$ の作用に関してぃくっかの性質を持ってぃた. 量子の場合にても同様なことが成り立っ. 以下でそのことを示そう.

$\neq \mathit{3}$い命題 2.8 アフィン Weyl 群の作用に関して, Hamiltonian は次の性質を持っ.

(1) $l=2n$ のとき$s_{i}(H_{j})=H_{j}+\delta$ij$k \frac{\alpha_{j}}{f_{j}}$$(i, j=0, . . . , l)$ .

(2.46)$(.i, j=0, . . . , l)$(2.d7)(2) $l=2?\mathrm{z}+1$ のとき$s_{i}(H_{j})=H_{j}+\delta$

ただし $gj$ の添え字は証明, 回転対称性を表す$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ij$k \frac{a_{j}}{f_{j}}.g_{j}$の元と理解する.

を用いることによって, $j=0$ の場合のみ示せばよい.
との場合,を計算し, (2.46) と (2.47) を順に得る.
の場合,( H0) はっぎのように計算される.
$A_{A}^{(1)}$
’

$\pi$

$A_{2\mathrm{n}}^{(\mathrm{l})}(n\geq 2)$$\Delta$$=$i$\Delta_{i}$$A_{3}^{(\mathfrak{y}}$$\Delta_{i}$(K ) $f_{K})$$c$$( \sum_{K\in 6_{3}}.f_{\mathrm{A}’}+,\sum_{\mathrm{A}\in S_{1}}\chi$.

$(f_{i-} 1f_{i}f_{i+1}.)+ \Delta_{i}(f_{i}f_{i+1}\sum_{\mathrm{r}=1}^{n-1}f_{i+}2,,)+\Delta_{i}(f_{i+1}.\sum_{1\leq t\leq s\leq n-1}f_{i+2r}.f_{i+2s+1)}$$+ \Delta_{i}(\sum_{r=1}^{n-1}f_{i+2r+1}f_{i-1}f_{i})+\Delta_{i}(\sum_{1\leq r\leq s\leq n-1}f_{i+2r}f_{i+2s+1}f_{i-1})$$+ \sum_{K\in S_{1}}\Delta$

$=$

i

.

$( \lambda’(I_{1}^{\nearrow c}))f_{K}.+s_{j}(\chi(\Gamma\backslash \{i+1\}))\frac{1}{f_{i}}-s_{i}(\lambda’(\Gamma\backslash \{i-1\}))\frac{1}{f_{i}}$$(-f_{i+1}+f_{i-} 1- \frac{\alpha_{i}}{f_{i}}.)+.\sum_{\uparrow=1}^{n-1}f_{i}$12$r+ \frac{1}{f_{i}}$$\sum$$1\leq r\leq s\leq \mathfrak{n}-$$\sum_{1\leq r\leq s\leq \mathrm{n}-1}f_{i+2}$,.

,$f_{i+2r}f_{i+2s+1}- \sum_{f=1}^{n-1}f_{i+r+1}9\sim$$f_{i+2s+1} \frac{1}{f_{i}}+(\lambda’(\Gamma\backslash \{.i+1\})+\alpha_{i})\frac{1}{f_{i}}.-$( (F$\chi$$\backslash \{i$$-1\})-\alpha_{i}$)$\frac{1}{f_{i}}$$\Delta_{i}(f\mathrm{f}_{0})$170$+. \sum_{1=[perp]}^{2n}(-1)^{r-1}f_{i+}\gamma$$=$.

$\frac{a_{i}}{f_{i}}+(\varpi_{i-1}-2\varpi_{i}+\varpi_{i+1})\frac{1}{f_{i}}.=\frac{\alpha_{i}}{f_{i}}+(\alpha_{i}+\delta_{i,0}$

従って (2.46) を得る.

$A_{\underline{\eta}}^{(1)}n+1(n\geq 2)$

り$\frac{1}{f_{i}}.=\delta_{i_{\mathrm{J}}0}k\frac{1}{f_{i}}$の場合も同様に示すことができる.

.

口

命題 2.8 は, 量子舒海・山田系がアフィン Weyl 群対称性を持っ事を, Hamiltonian に対する観点から見たものである.

命題 2.9 (1)$\mathrm{A}_{9,\sim}^{(1)}n(\mathit{1}=2n)$(1) 場合, $j=0,$$2\uparrow \mathrm{z}$$\ldots,$$l(_{J+1}-H_{j}$に対して, 次が成立.

(2.48)$=k,. \sum_{=1}^{\mathrm{f}1}f_{j+2\mathrm{r}}.-\frac{nk}{2n+1}.x$

ただし $x=f\mathrm{o}+f_{1}+\cdot$ . . $+f_{2n}$ とする.

(2)

$A_{\sim}^{(1)}\tau_{J}n’ 1$$(l=2n+1)$ の場合, $j=0,$$\ldots,$$2n+1$ に対して, 次が成立.

.
$H_{j- 1} \dashv-H_{J}\cdot=k.\sum_{1\leq 1\leq s\leq n}^{n}f_{j+}$ $2y.f_{j+2s+1}- \frac{\uparrow\tau k}{2n+1}.\sum_{K\in 5_{2}’}f_{K}+(-1)^{j}\frac{k^{n}}{4}\sum_{i=0}^{l}(-1)^{i}\alpha_{i}$.

(2.49)

証明. $l=2,3$ のとき, 直接計算することによって容易に示される. $l=2n$ $(l=2n, n\geq 2)$ のとき, 次が成立す
る.

$H_{0}= \sum_{K\in 5_{3}}.f_{K}+\sum_{i=0}^{\eta_{Jl}}.\lambda’$({i} ) ,(2.50)$H_{1}= \sum_{K\in S_{3}}.f_{K}+\sum_{i=0}^{\underline{0}_{n}}\pi$( $\chi(\{.i-1\}^{c})f_{i}$ .

(2.51)$c$$f_{i}$ゆえに(2.52)$H_{1}-H_{0}= \sum_{i=1\mathrm{J}}^{2\iota}’(\pi(:\dot{\{}(\{i-1\}^{c})-\chi(\{i\}^{\mathrm{c}}))f_{i}$が成り立つ. $\pi(\chi(\{i-1\}^{c})-\chi(\{.i\}^{c})$ を定義から計算することによって,$\pi(\lambda’(\{i-1\}^{c})-\chi(\{i\}^{\mathrm{c}})=\{$.

( $i=0$ or $i=$ 0dd)$, \frac{-nk}{\frac{(n+1)k\wedge n+1}{2n+1}}$( $i\neq 0,$$i=\mathrm{e}\mathrm{v}$en)(2.53)

を得る. それゆえ,$H_{1}-H_{0}=.

\sum_{i=0}^{2n}\frac{-nk^{n}}{2n+1}f_{i}+\sum_{r=1}^{n}kf_{2r}=k\sum_{r=1}^{n}f_{j+2\mathrm{r}}-\frac{?\iota k}{2n+1}.x$が成立する. $l=2n+1(n\geq 2)$ の場合も同様に示すことができる.

3(2.54)

口

Lax 形式野海・山田系は線型方程式系の両立条件として得られ, Lax 形式としての表示を持っ [4]. この節では量子の場合においても同様に Lax 形式としての表示を持っことを示す.
$A’(l\geq 2)$

を$\mathbb{C}$上の斜体で生或元が$f_{i},$$q_{i},$$\epsilon$

i,

$t$

$(0\leq i\leq l)$

,

(3.1)

171
で定義関係式が$[f:, f_{i+1}]=[f_{\dot{\mathrm{r}}\prime}.q_{i+1}]=[q_{i}, f_{i}]=h$[z] を係数が$A\iota$

(3.3)
(3.4)

$f_{i}-f_{i+1}=q_{i}-q_{i+2}$(3.5)$f_{0}+f_{1}+\cdots+ft$ $=t$(3.6)

であるようなものとする. ここで添え字は$A\mathfrak{s}$

(3.2)

,

$[f_{i}, \epsilon_{j}]=[q_{i,}\epsilon_{j}]=0$

定義 3.1,,$(j\neq i\pm 1)$$[f_{i:} f_{j}]=0$$(h\in \mathbb{C})$$\mathbb{Z}/(l+1)\mathbb{Z}$の元とみる.

である多項式環とする. このとき,$L$, B\in M。,n(Al$[_{\sim}7]$) を次で定める$f_{1}\epsilon_{2}$$.f_{\underline{9}}1.$.

$.\cdot 1...\cdot$(3.7)$L=-\lfloor zf_{0}\epsilon_{1}z$$.\cdot\epsilon_{l}...\cdot$$\epsilon_{0}f_{l}1$,$q_{\sim}1$

. .
$1.$

$B=\lfloor q_{1}z$

.

(3.8)

$\cdot q_{l}.$$q_{0}1$$z$を$A_{l}[_{\sim}^{-/}]$

命題 3.2$A\iota$のの$\mathbb{C}$$\mathbb{C}$-derivation-derivation$\partial$$\partial$

z $(z)=1$ であるものとする

t が次の関係式$5z\partial$を満たすとする. このとき,$\partial_{t}$

は

.

-L ,

$\partial_{t}-B$] $=0$ ,(3.9). に対して量子野海・山田系を定める. すなゎち,$f_{i}$$\partial_{t}f_{i}=\partial f_{i}$$\mathit{1}=2n$のとき,(3.10)

であって, $l=2n+1$ のとき.

(3.11)$tf_{i}=--\partial f_{i)}t$である. ただし$\alpha_{0}=1-\epsilon_{1}+\epsilon_{0},$$\alpha_{i}=\epsilon_{i}-\epsilon_{i+1}(1\leq i\leq l)$であって $k=1$ とずる.

証明. 式 (3.9) は次の関係式と同値である.
$\epsilon iqi=q_{i}\epsilon_{i}$,(3.12)$f_{i}-fi+1=qi-qi+2$ ,$\partial_{t}f_{i}=-f_{i}q_{i}+q_{i+1}f$i(3.13)$+\alpha_{i}$.

(3.14)

式 (3.12) と (3.13) は $(3,4)$ と (3.5) から順に従う. また式 (3.14) から (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.6) を用いて,$q$

変数を消去することができる. 結果として式 (3.14) の右側部分は $l=2n$ のとき (2.4) のと等しく: また $l=2n+1$ のときは (2.6) の.

$f_{i}$の右側部分に$\frac{2}{t}$をかけたものに等しい.

口. の右側部分$f_{i}$

172
参考文献[1] J. E. Bj\"ork, Rings of Differential Operators, North-Holland Publishing Company, 1979
[2] K. Hasegawa, Deforming Noumi-Yarnada-Kajiwara’s realization of Weyl groups as rational transformattons, preprint[3] K. Kajiwara and M. Noumi and Y. Yamada, A study on the fourth -Painleve’ equation, J. Phys.
Math. Gen., Vol. 34, 2001, 8563-8581$q$$\Lambda:$[4] M. Noullli and Y. Yamada, Affine Weyl group symmetries in Painlev\’e type equations, Toward the

Exact WKB Analysis of Differentisl Equations, Linear or Non-Linear, Kyoto University Press[5] M. Noumi alld Y. Yamada, Higher order Painlev\’e equation of type$A^{(1)}i$, Funktial. Ekvac.,$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.41$,

1998. 483-503[6] M. Noumi and Y. Yamada, Affine Weyl groups, discrete dynamical systems and Painlev\’e equations,Comm. Math. Phys., Vol. 199, 1998, 281-295