数理解析研究所講究録
第 1707 巻 2010 年 94-110

94

Slant Geometry on psude spheres in Lorents-Minkowski space

北海道大学大学院理学院数学専攻

修士 2 年

未来理 (Mikuri Asayama)淺山玉沖

愛子 (Aiko Tamaoki)

Department of Mathmatics,

Hokkaido University

1

Introduction[2] では Hyperbolic 空間における幾何学として、hyperbolic geometry と horospher-

ical geometry が考えられていた。 ここではそれぞれ vertical geometry, horizontal
geometry と呼ぶ。 また [5] では de Sitter 空間内において平坦な空間的超曲面として flat
elliptic hyperquadric を持つ幾何学、 de Sitter hyperhorosphere を持っ幾何学、 が存在することが知られている。 それぞれの幾何学をここでは vertical geometry と horizontal
geometry と呼ぶ。 ここでは、 それぞれの空間内において vertical geometry と horizontal
geometry をつなげる幾何学を考える。 それは 1 径数$\theta\in[0, \frac{\pi}{2}]$に依存する幾何で、 slant

geometry と呼ぶ。
第 3 章では Hyperbolic 空間内における slant geometry を考える。 この考えを 2 次元

hyperbolic 空間のモデルである Poincar\’e disk を用いて簡単に説明する。下図のように、Poincar\’e disk の理想境界である単位円との角度が$90^{o}$である円 (測地線) を” 直線” とみなすような幾何学が hyperbolic geometry であり、 角度が円$)$$0^{o}$

である単位円に接する円 (ホロを” 直線” とみなすような幾何学が horospherical geometry である。第 3 章では単位円との角度がその間の$\theta$

である円 (等距離曲線) を” 直線” とみなすような幾何学を考える。

第 4 章では de Sitter 空間内における slant geometry を考える。 $\theta=0$ の時が horizontal

geometry、$\theta=\frac{\pi}{2}$の時が vertical geometry に対応している。

95
Po ncar \’e di sk$i$$1\langle x,$$y)|x^{2}+y^{2}$

El

$\}$

,

$dd \Leftrightarrow\frac{\ell(dx’*dy^{g})}{l-(r^{p}*yl)}$:metr ic

Minkowski space2

ここではまず Minkowski 空間および hyperbolic 空間における用語の定義を行い、基本的な性質について述べる。
いま、 $\mathbb{R}^{n+1}=\{(x_{0}, x_{1}, \ldots,x_{n})|x_{i}\in \mathbb{R}(i=0,1, \ldots, n)\}$ を $(n+1)$ 次元ベクトル空間とする。 任意のペクトル $x=(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}),$ $y=(y_{0},y_{1}, \ldots, y_{n})\in \mathbb{R}^{n+1}$ に対し、 擬内積$\langle,$$\rangle$を$\langle x,y\rangle=-x_{0}y_{0}+\sum_{i=1}^{n}$と定める。

$(\mathbb{R}^{n+1}, \langle, \rangle)$xiyi

を $(n+1)$ 次元 Minkowski 空間といい、$\mathbb{R}_{1}^{n+1}$と表す。 また、と定める。 ベクトル $v\in$Minkowski 空間内のベクトル の擬ノルムを$v\rangle>0,$が spacelike, timelike, lightlike であるとはそれぞれ、$x$$\Vert x\Vert=\sqrt{|\langle x,x\rangle|}$$\langle v,$$\mathbb{R}_{1}^{n+1}\backslash \{0\}$$0,$$\langle v,$$v\rangle=0$であるときをいう。 また、 ベクトルの第$0$$\langle v,v\rangle<$

成分が正値 (負値) であるときにそれぞれ未来 (過去) 方向であるという。 Milikowski 空間内の hyperplane を、 ベクトル$v\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}\backslash \{0\}$

と実数

$c$

を使って、
$HP(v, c)=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|\langle x,v)=c\}$と定める。 Hyperplane $HP(v, c)$ が spacelike, timelike, lightlike であるとは、対応
する $v$ が timelike, spacelike, lightlike であるときをいう。未来方向 (過去方向) の $n$ 次元

hyperbolic 空間を$H_{+(-)}^{n}(-1)=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|(x,$ $x\rangle=-1,$ $x_{0}>0(x_{0}<0)\}$96と定め、 $H^{n}(-1)=H_{+}^{n}(-1)\cup H_{-}^{n}(-1)$ とする。 また、$n$

次元 de Sitter 空間を$S_{1}^{n}=\{x\in \mathbb{N}_{1}^{n+1}|\langle x,x)=1\}$と定める。 さらに未来方向 (過去方向) の$n$

次元 lightcone もそれぞれ、$LC_{+(-)}^{*}=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|\langle x,x\rangle=0, x_{0}>0(x_{0}<0)\}$と定め、 $LC^{*}=LC_{+}^{*}\cup LC_{-}^{*}$ とする。

Minkowski 空間内の hyperplane と未来方向の$n$

次元 hyperbolic 空間の共通部分$HP(v, c)\cap H_{+}^{n}(-1)=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|\langle x, v\rangle=c, \langle x, x\rangle=-1\}$$(v\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}\backslash \{0\}, c\in \mathbb{R})$を $HQ_{h}(v, c)$ と表し、 hyperquadric という。 さらに $v$ が timelike, spacelike, lightlike のときをそれぞれ、 elliptic hyperquadric (hypersphere), hyperbolic hyperquadric(equidistant hypersurface), parabolic hyperquadric (hyperhorosphere) といい、 $HE_{h}(v, c),$ $HH_{h}(v,c),$ $HS_{h}(v, c)$と表す。特に $c=0$ なる hyperbolic hyperquadricを、 flat hyperbolic hyperquadric (hyperplane) という。
また Minkowski 空間内の hyperplane と $n$ 次元 de Sitter 空間の共通部分$HP(v, c)\cap S_{1}^{n}=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|\langle x, v\rangle=c, \langle x,x\rangle=1\}(v\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}\backslash \{0\}, c\in \mathbb{R})$を $HQ_{d}(v, c)$ と表し、 hyperquadric という。 さらに $v$ が timehke, spacelike, lightlike のときをそれぞれ、 elliptic hyperquadric, hyperbolic hyperquadric, parabolic hy-

perquadric (de Sitter hyperhorosphere) といい、 $HE_{d}(v, c),$ $HH_{d}(v, c),$ $HS_{d}(v, c)$と表す。特に $c=0$ なる elliptic hyperquadric を、 flat (small) elliptic hyperquadricという。つぎに$0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$なる$\theta$について、同様に集合を定義する。

$n$次元 -hyperbolic$\theta$

空間を$H^{n}(-\sin^{2}\theta)=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|\langle x,x\rangle=-\sin^{2}\theta\}$と定め、 $n$ 次元 -de Sitter 空間を$\theta$$S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|\langle x,x\rangle=\sin^{2}\theta\}$と定める。 すると、 $\theta=0$ のときのとき $H^{n}(-\sin^{2}\theta)=H^{n}(-1),$$H^{n}$(-sxn5 ) $=S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)=LC^{*}\cup\{0\}$ であり、$\theta$$S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)=S_{1}^{n}$となる。

3 Slant geometry on Hyperbolic space
ここでは、 hyperbolic 空間における slant geometry を考える。

$\theta=\frac{\pi}{2}$97
3.1 Differential geometry of hypersurfaces in hyperbolic space$H_{+}^{n}(-1)$

内の hypersurface を考える。

$(u_{1}, \ldots,u_{n-1})$$\Lambda f_{h}$と表す。写像$U\subset \mathbb{R}^{n-1}$を開集合とし、 その座標を $u=$

: $Uarrow H_{+}^{n}(-1)$ を embedding とし、 その像 $x^{h}(U)$ を$x^{h}$と書く。 その単位法ベクトルを$x^{d}$とすると、常に $x^{d}(u)\in S_{1}^{n}$ を満たしている。 このことから、 $\cos\theta x^{h}(u)\pm x^{d}(u)\in S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)$ がわかるので、$N_{\theta}^{d\pm}:Uarrow S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)$$u\mapsto\cos\theta x^{h}(u)\pm x^{d}(u)$-de Sitter Gauss indicatrix という。すると、 $\theta=0$ のとき、のとき、となり、 それぞれ [2] で導入されてた horizontal geometry の hyperbolic Gauss indicatrix, vertical geometry の de Sitter
Gauss indicatrix になっている。
なる写像を定義し、$x^{h}$の$\theta$$N_{\theta}^{d\pm}=\pm x^{d}$$N_{\theta}^{d\pm}=x^{h}\pm x^{d\text{、}}\theta=\frac{\pi}{2}$$V)$

ここで、 $v\in S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)$ について、$HP(v, -\cos\theta)\cap H_{+}^{n}(-1)=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|\langle x,v\rangle=-\cos\theta, \langle x,x\rangle=-1\}$

を $HQ_{h}(v, -\cos\theta)$ と表し、 $\theta-flat$

hyperbolic hyperquadric という。 すると$\theta-flat$

hyperbolic hyperquadric は、 $\theta=0$ のとき parabolic hyperquadric (hyperhorosphere)$HS_{h}(v, -1)$ であり、となる。

$\theta-flat$$\theta=\frac{\pi}{2}$のとき flat hyperbolic hyperquadric (hyperplane) $HH_{h}(v,0)$

hyperbolic hyperquadric について次が成り立っ。

Proposition 3.1.

$N_{\theta}^{d\pm}$が定値写像のとき、 hypersurface$MM_{h}$は $\theta-flat$ hyperbolic $hyperarrow$quadric に含まれる。

Euclidian differential geometry で、 曲面の Gauss 写像が定値写像ならばその曲面はhyperplane の一部になっていた。 したがってこの命題から、
hyperbolic hyperquadricは slant geometry こおいて Euclidian differential geometry の hyperplane こあたる重要$\theta-flat$$|$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$な集合であることがわかる。
さて、微分写像 $dx^{d}(u),$embedding$x^{h}$$dN_{\theta}^{d\pm}(u)$は $T_{u}U$ から$T_{p}\Lambda f_{h}$への線型写像であるが、 $U$ とによって同一視できるので、線型変換 $dx^{d}(u),$$dN_{\theta}^{d\pm}(u)$:$\Lambda f_{h}$は$T_{p}\Lambda f_{h}arrow T_{p}M_{h}$とみなされる。 このとき、 $dN_{\theta}^{d\pm}(u)=\cos\theta id_{T_{p}A}i_{h}\pm dx^{d}(u)$ となっている。

線型変換$S_{\theta}^{d\pm}(p):=-d\mathbb{N}_{\theta}^{d\pm}(u)$いい、線型変換 $A_{p}:=-dx^{d}(u)$ をそれぞれの固有値を$\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}(p),$$\kappa_{p}$を $M_{h}$ の$\Lambda f_{h}$

$P$

における

$\theta$-de Sitter shape operator との $P$ における de Sitter shape operator

とおく。 すると、 $S_{\theta}^{d\pm}(p)=-\cos\theta id_{T_{p}j1f},$.

$\pm A_{p}$

という。

であること

98
から、 ベクトル $v$ が同値になり、$M_{h}$

$U$

の $p$

の固有ベクトルであることと$\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}(p)=-\cos\theta\pm\kappa_{p}$$A_{p}$

が成り立っ。 また、関数の固有ベクトルであることは$K_{\theta}^{d\pm}(u):=\det S_{\theta}^{d\pm}(p)$を$M_{h}$-de Sitter Gauss-Kronecker curvature といい、関数 $K_{d}(u):=\det A_{p}$における de Sitter Gauss-Kronecker curvature という。

の $p$ におけるを

$S_{\theta}^{d\pm}(p)$$\theta$の点 $u$$($

または $p=x^{h}(u))$ が$\Lambda$

布の$\theta$-umbilic point であるとは、$S_{\theta}^{d\pm}(p)=$$\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}(p)id_{T_{p}M_{h}}$となるときをいう。すると、 この定義は同値になり、によらないことがわかる。 したがって単に umbilic point と呼ぶ。 また、

hypersurface$\theta$$Af_{h}$が totally umbilic であるとは、$\Lambda f_{h}$$A_{p}=\kappa_{p}id_{T_{p}\Lambda f_{h}}$が成り立っことと上のすべての点が umbilic point となるときをいう。

Totally unibilic な曲面の分類として、 以下の命題が成り立っ。
Proposition 3.2. Hypersurface
定となる。 これを(1)$\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}\neq 0$$\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm},$$\kappa$$Af_{h}$が totally umbilic であるとき、$\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}(p),$$\kappa_{p}’$の値は一と表すと、 以下の分類を得る。

の場合$(a)0<|\kappa|=|\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}+\cos\theta|<1$

ならば、$\Lambda f_{h}$は hyperbolic hyperquadric に含まれる。

$(b)1<|\kappa|=|\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}+\cos\theta|$

ならば、$\Lambda f_{h}$は elliptic hyperquadric に含まれる。

$(c)|\kappa|=|\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}+\cos\theta|=1$

ならば、$\Lambda f_{h}$は pambolic hyperquadric に含まれる。

$(d)\kappa=\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}+\cos\theta=0$(2)$\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}=0$の場合、

Umbilic point
任意の

$i$

$p$

$\Lambda f_{h}$ならば、$x_{u_{i}}^{h}$はflat hyperbolic hyperquad 短 に含まれる。
$c$は $\theta-flat$ hyperbolic hyperquadric に含まれる。

について、

について、

$\Lambda f_{h}$$\overline{\kappa}_{\theta}^{d\pm}(p)=0$となるものを$\theta^{\pm}-flat$

point と定義する。

は spacelike であるので、 $g_{ij}(u):=\langle x_{u_{1}}^{h}(u),x_{u_{j}}^{h}(u)\rangle$ は正定値かつ対称になる。 このことから五$f_{h}$

上の Riemann 計量 ($x^{h}$の hyperbolic 第一基本形式)

は、$g_{ij}(u):=\langle x_{u_{i}}^{h}(u),x_{u_{j}}^{h}(u)\rangle,$

で与えられる。 さらに、$x^{h}$の$\theta$$ds^{2}= \sum_{i.j=1}^{n-1}g_{\dot{t.}j}du_{i}du_{j}$-第二基本形式を$\overline{h}_{ij}^{\theta\pm}(u):=\langle-N_{\theta u_{1}}^{d\pm}(u),x_{u_{j}}^{h}(u)\rangle$と定義し、$x^{h}$の deSitter 第二基本形式を$h_{ij}(u):=\langle-x_{u_{i}}^{d}(u),x_{u_{j}}^{h}(u))$と定義する。 すると、$\overline{h}_{ij}^{\theta\pm}(u)=-\cos\theta g_{\mathfrak{i}j}(u)\pm h_{ij}(u)$が成り立っている。

99
Proposition 3.3 ( -Weingarten 公式). $(g^{kj})=(g_{kj})^{-1},$$\theta$$((\overline{h}^{\theta\pm})_{j}^{i})=(\overline{h}_{ik}^{\theta\pm})(g^{kj})$

とおく

とき、次の公式が成り立っ。
$N_{\theta u_{l}}^{d\pm}=-\sum_{j=1}^{n-1}(\overline{h}^{\theta\pm})_{j}^{i}x_{u_{j}}^{h}$このとき、 -第二基本形式の定義から $((\overline{h}^{\theta\pm})_{j}^{i}(u))=-\cos\theta I\pm(h_{ik}(u))(g^{kj}(u))$ となっ$\theta$ている。 また、$((\overline{h}^{\theta\pm})_{j}^{i}(u))$$\theta$-Weingarten 公式より$\theta-$de Sitter shape operator$S_{\theta}^{d\pm}(p)$の表現行列は、である。 このことから、 以下の公式を得る。

Corollary 3.4.
$K_{\theta}^{d\pm}= \frac{\det(\overline{h}_{ij}^{\theta\pm})}{\det(g_{kl})}$$\Lambda f_{h}$3.2の点 $p=x^{h}(u)$ について、 $K_{\theta}^{d\pm}(u)=0$ となるものを$\theta$$\theta^{\pm}$-parabolic point という。

-height function

Hypersurface$x^{h}$: $Uarrow H_{+}^{n}(-1)$ と$0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$なる$\theta$について、$x^{h}$の$\theta$-heightfunction を次のように定義する。
$H_{\theta}^{d}:U\cross S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)arrow \mathbb{R}$$(u,v)\mapsto\langle x^{h}(u),v\rangle+\cos\theta$

すると、 $\theta=0$ のとき horizontal geometry における lightcone height function であり、$\theta=\frac{\pi}{2}$のときは vertical geometry の de Sitter height function になっている [2]。

$\theta$-heightfunction について次の命題が成り立っ。
Proposition 3.5. (1) $H_{\theta}^{d}(u, v)=0$ となる必要十分条件は、 ある$\mu,$$\xi_{1},$$\ldots,$

あって、$v=\cos\theta x^{h}(u)+\mu x^{d}(u)+\sum_{i=1}^{n-1}\xi_{i}x_{u_{i}}^{h}(u)$が成り立っことである。

(2)$H_{\theta}^{d}$(u, v)$= \frac{\partial H_{\theta}^{d}}{\partial u_{1}}$$( u, v)=\cdots=\frac{\partial H_{\theta}^{d}}{\partial u_{n-1}}$(u,v) $=0$ となる必要 $+$ 分条件は、$v=\cos\theta x^{h}(u)\pm x^{d}(u)=N_{\theta}^{d\pm}(u)$が成り立っことである。

$\xi_{n-1}\in \mathbb{R}$が100$v_{0}\in S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)$を固定した -height function$\theta$:$h_{\theta v_{0}}^{d}$と定める。 また、

$h_{\theta v_{\text{。}}}^{d}$$Uarrow \mathbb{R}$,$h_{\theta v_{0}}^{d}$を、$h_{\theta v_{0}}^{d}(u):=H_{\theta}^{d}(u,v_{0})$の $u$ におけるヘッセ行列を $Hess(h_{\theta v_{\text{。}}}^{d})(u)$と表す。すると、次の命題が成り立っ。
$p=x^{h}(u_{0})$ をとるとき、次が成り立っ。
Proposition 3.6.
が成り立っ
(1) が -parabolic point となる必要 $+$ 分条件は、 det Hess$v_{0}^{\theta\pm}=N_{\theta}^{d\pm}(u_{0}),$$\theta^{\pm}$$P$$(h_{\theta v_{0}^{\theta\pm}}^{d})(u_{0})=0$

ことである。

(2)

$P$

が

$\theta^{\pm}$-flat point となる必要$+$分条件は、 rank

$Hess(h_{\theta v_{O}^{\theta\pm}}^{d})$(uo) $=0$ が成り立っこと

である。

3.3

$\theta$-de Sitter Gauss indicatrix as wave front

関数芽 $F$ :($\mathbb{R}^{n}$, (uo,vo)$\mathbb{R}^{k}\cross \mathbb{R}^{n}$, (uo, vo))$)arrow(\mathbb{R}^{k+1},0)$を$arrow(\mathbb{R}, 0)$

が Morse 超曲面族であるとは、$\Delta^{*}F:=(F, \frac{\partial F}{\partial u_{1}}, \ldots, \frac{\partial F}{\partial u_{k}})$とおいたとき、$\Delta^{*}F$$\Delta^{*}F$:$(\mathbb{R}^{k}\cross$が非特異であるときをいう。 このとき $n-1$ 次元部分多様体芽$\Sigma_{*}(F):=\{(u, v)\in(\mathbb{R}^{k}\cross \mathbb{R}^{n}, (u_{0}, v_{0}))|F(u,v)=\frac{\partial F}{\partial u_{1}}(u, v)=\cdots=\frac{\partial F}{\partial u_{k}}(u, v)=0\}$を得る。 また、 写像芽$\mathcal{L}_{F}$$\mathcal{L}_{F}$:($\Sigma_{*}(F)$( , ):$u$$v$, (uo, vo )$)$$=( v, [\frac{\partial F}{\partial v_{1}} (u, v):

は Legendrian immersion germ である。

Proposition 3.7.

$\theta$$arrow PT^{*}\mathbb{R}^{n}$-height function$\theta$$H_{\theta}^{d}$

.

.

.

,

:\frac{\partial F}{\partial v_{n}}(u, v)])$-height function$H_{\theta}^{d}$について、次が成り立っ。

は $(u, v)\in\Sigma_{*}(H_{\theta}^{d})$ のまわりで Morse 超曲面族

である。
$\theta$-height function$H_{\theta}^{d}$の特異点集合は$\Sigma_{*}(H_{\theta}^{d})=(\Delta^{*}H_{\theta}^{d})^{-1}(0)=\{(u, v)\in U\cross S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)|H_{\theta}^{d}(u,v)=H_{\theta u}^{d}:(u,v)=0\}$と表されるが、 Proposition 3.5 より $\Sigma_{*}(H_{\theta}^{d})=\{(u, N\theta d\pm(u))|u\in U\}$ である。 以上からルジャンドル特異点論により Legendrian immersion germ
$N_{\theta}^{d\pm}(u)$であることから、$\mathcal{L}_{\theta}^{d\pm}$の$\mathcal{L}_{\theta}^{d\pm}$を得る。 ここで$v^{\theta\pm}=$wave front は -de Sitter Gauss indicatrix の像となる。
$\theta$

101
3.4 Contact with -flat hyperbolic hyperquadric$\theta$

この節では hypersurface$\Lambda f_{h}$と$\theta-fl$at hyperbolic hyperquadric の間の接触について研究する。 そのために部分多様体の間の接触に関する Montaldi の理論 [6] を復習する。 まず

以下の定義を行う。
$X_{i}$

, 聾欧

のとき、

$(\mathbb{R}^{n}, y_{i})$,$X_{1}$$Y_{1}$

分同相写像芽$\Phi$の:を $\dim X_{1}=\dim X_{2},\dim Y_{1}=\dim$ Y2 を満たす部分多様体とする。 こ$y_{1}$

における接触型と$(\mathbb{R}^{n}, y_{1})arrow(\mathbb{R}^{n}, y_{2})$$X_{2}$,$Y_{2}$の$y_{2}$

における接触型が同じであるとは、微があって、 集合芽として $\Phi(X_{1})=X_{2},$ $\Phi(Y_{1})=Y_{2}$が成り立っことである。 この関係を $K(X_{1}, Y_{1}:y_{1})=K(X_{2}, Y_{2}:y_{2})$ と表す。

Montaldi は多様体の間の接触型についての関係を写像の間の -同値関係を用いて次のよ$\mathcal{K}$うに表した。

Theorem 3.8 (Montaldi).
$f_{i}$:$(\mathbb{R}^{n}, y_{i})arrow(\mathbb{R}, 0)$$g_{i}(U_{i})=X_{i}$$X_{i}$, 若欧 $\mathbb{R}^{n}(i=1,2)$ を部分多様体、 $\dim Y_{i}=n-1$ とし、を $f_{i}^{-}(0)=Y_{i}$ を満たす submersion$g_{i}$:$(U_{i},x_{i})arrow(\mathbb{R}^{n}, y_{i})$をなる immersion とおく。 このとき $K(X_{1}, Y_{1} :y_{1})=K(X_{2}, Y_{2} :y_{2})$ であるための必要十分条件は fiogl と$f_{2}\circ g_{2}$が$\mathcal{K}$-同値となることである。

Montaldi[6] は、 の余次元が一般の場合にも同様の定理を示した。
: $Uarrow H_{+}^{n}(-1)$ を hypersurfaoe とし、とする。
$Y_{i}$$x^{h}$

関数$S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)\ni$$0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$$\text{り_{}\theta v_{\text{。}}}^{d}$:$H_{+}^{n}(-1)arrow \mathbb{R}$を$|]_{\theta v_{\text{。}}}^{d}(x);=\langle x,$$v$vo について、

0 $\rangle+\cos\theta$ と定義する。 すると$\text{り_{}\theta vo^{-1}}^{d}(0)=\{x\in H_{+}^{n}(-1)|\langle x,v_{0}\rangle=-\cos\theta\}=HQ_{h}(v_{0}, -\cos\theta)$

より、は $\theta-flat$ hyperbolic hyperquadric となる。 さらに、$\text{り_{}\theta v_{\text{。^{}-1}}}^{d}(0)$$S_{1}^{n}(\sin^{2}\theta)$のとき、$\text{り_{}\theta v_{0}^{\theta\pm^{-1}}}^{d}(0)$dvO
hyperquadricる。 このようなり$\theta\pm$$\theta$$N_{\theta}^{d\pm}$(uo)$=v_{0}^{\theta\pm}\in$は hypersurface A $f_{h}=x^{h}(U)$ に $p=x^{h}(u_{0})$ で接してい(U) を $THQ_{h}^{\pm}(x^{h}$ , uo;$\theta)$と表して tangent$\theta-flat$

hyperbolicという。

$i=1,2$ について

$x_{i}^{h}$: $(U, u_{i})arrow(H_{+}^{n}(-1), x_{i}^{h}(u_{i}))$ を hypersurface とし、$x_{i}^{h}$の$\theta-$についde Sitter Gauss indicatrix germ をとし、各-height function をて、を固定した -height function をとする。 また、 Legendrian
とおく。 このとき、 ルジャンドル特異点論の応用として以下が成immersion germ を$N_{\theta i}^{d\pm},$$v_{i}^{\theta\pm}=N_{\theta i}^{d\pm}(u_{i})$$\theta$$H_{\theta i}^{d}$$u_{i}$$\theta$$h_{i,v_{j}^{\theta\pm}}^{\theta}$$\mathcal{L}_{\theta i}^{d\pm}$立する。
に対応する Legendrian immersion gem
Theorem 3.9. 2 つの hypersurface
Legendrian 安定ならば、 次の条件は同値である。
$x_{i}^{h}$$\mathcal{L}_{\theta i}^{d\pm}$

が

102
1.
2.

3.

4.
5.

$N_{\theta 1}^{d\pm}$と$N_{\theta 2}^{d\pm}$$\mathcal{L}_{\theta 1}^{d\pm}$と$\mathcal{L}_{\theta 2}^{d\pm}$$H_{\theta 1}^{d}$と$H_{\theta 2}^{d}$$\mathcal{A}$-同値

は Legendrian 同値

は$\mathcal{P}-\mathcal{K}$

-同値
-剛直

と

$h_{1,v_{1}^{\theta\pm}}^{\theta}$

は$h_{2,v_{2}^{\theta\pm}}^{\theta}\ovalbox{\tt\small REJECT} f\mathcal{K}$$K(x_{1}^{h}(U), THQ_{h}^{\pm}(x_{1}^{h}, u_{1};\theta):x_{1}^{h}(u_{1}))=K(x_{2}^{h}(U),THQ_{h}^{\pm}(x_{2}^{h}, u_{2};\theta):x_{2}^{h}(u_{2}))$Hypersurface$x^{h}$と$u0$

tive(negative) tangent
う。 この集合芽は$N_{\theta}^{d\pm}$について、 $(x^{h^{-1}}(THQ_{h}^{\pm}(x^{h}, u0;\theta)), uo)$ を$\in U$$\theta-flat$についての$x^{h}$の posi-hyperbolic hyperquadrical indicatrix germ とい-不変量になることがわかる。

$\mathcal{A}$

3.5 Hyperbolic Monge forms[2] では、 $H_{+}^{n}(-1)$ 内の hypersurface の局所表示として hyperbolic Monge form (H-Monge form) が導入された。 ここでは $n=3$ ときを考える。
$U$を$\mathbb{R}^{2}$における $0$ の開近傍とし、 $f:Uarrow \mathbb{R}$ を $f(O)=0,$ $f_{u_{i}}(0)=0(i=1,2)$ を満たす関数とする。 ここで H-Monge fornl$x_{f}^{h}(u):=$$x_{f}^{h}$: $Uarrow H_{+}^{3}(-1)$ を$f^{2}(u)+u_{1}^{2}$$($

十 $u_{2}^{2}+1,$ $f(u),$ $u_{1},$ $u_{2})$と定める。 ここで、$H_{+}^{3}(-1)$ 内のどんな surface も、局所的には H-Monge form によって与えられることが知られている [2]。計算により $x_{f}^{h}(0)=(1,0,0,0),$
り、$v_{0}^{\theta\pm}$

なる$0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$とおく。

$x_{HQ_{h}^{\pm}}^{\theta}$$v_{0}^{\theta\pm}$$\theta$について、 $N_{\theta}^{d\pm}(0)=(\cos\theta, \mp 1,0,0)$ である。 $x_{f}^{h}(0)=p,$ $N_{\theta}^{d\pm}(0)=$における$\theta-flat$: $Uarrow H_{+}^{3}(-1)$ は、

hyperbolic quadric$0< \theta\leq\frac{\pi}{2}$なる$\theta$$HQ_{h}(v_{0}^{\theta\pm}, -\cos\theta)$,$\pm\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}(1-\sqrt{1+\sin^{2}\theta(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})}),$

一致し、$\theta$をする。 さらに$0$$\theta=\frac{\pi}{2}$$u_{1},$ $u_{2})$ならば flat hyperbolic quadric (plane) の H-Monge form にに近づけると parabolic quadric (horosphere) の H-Monge form に収束$x_{HQ_{h}^{\pm}}^{\theta}(U)$は $p$ で $x_{f}^{h}(U)$ に接していることがわかるので、

hyperbolic quadricの $p=x_{f}^{h}(0)$における tangent

tangent

hyperbolic quadrical indicatrix は、$\theta-flat$の H-Monge form

について、

$x_{HQ_{h}^{\pm}}^{\theta}(u)=(1-\frac{1}{\sin^{2}\theta}(1-\sqrt{1+\sin^{2}\theta(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})})$となる。 このとき、とな$x_{f}^{d}(0)=(0, -1,0,0)$$\theta-flat$$x_{HQ_{h}^{\pm}}^{\theta}(U)$$THQ_{h}^{\pm}(x_{f}^{h}, 0;\theta)$である。

は$x_{f}^{h}$$x_{f}^{h^{-1}}(THQ_{h}^{\pm}(x_{f}^{h}, 0;\theta))=\{u\in U|\pm f(u)=\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}(1-\sqrt{1+\sin^{2}\theta(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})})\}$と表される。

$x_{f}^{h}$

の

103

4 slant geometry on de Sitter space
ここでは、 de Sitter 空間における slant geometry を考える。

4.1

Differential geometry of spacelike hypersurface in de Sitter space. 内の spacelike hypersurface を考える。

$S_{1}^{n}$$(u_{1}, \ldots,u_{n-1})$

書く。 いま$x^{d}$$U\subset \mathbb{R}^{n-1}$を開集合とし、 その座標を $u=$を embedding とし、 その像 $x^{d}(U)$ を:とが spacelike hypersurface であるとは、によって張られる空間がと表す。写像$x^{d}$$Uarrow S_{1}^{n}$$\Lambda f_{d}$$x_{u_{i}}^{d}$spacelike であるときをいう。 その単位法ベクトルを$x^{h}$とすると、常に $x^{h}(u)\in H^{n}(-1)$

を満たしている。 このことから、 $\cos\theta x^{d}(u)\pm x^{h}(u)\in H^{n}(-\sin^{2}\theta)$ がわかるので、$\mathbb{N}_{\theta}^{h\pm}:Uarrow H^{n}(-\sin^{2}\theta)$$u\mapsto\cos\theta x^{d}(u)\pm x^{h}(u)$なる写像を定義し、 -hyperbolic Gauss image of$\theta$$N_{\theta}^{h\pm}=x^{d}\pm x^{h\text{、}}\theta=\frac{\pi}{2}$Gauss image$(\theta=0)$のとき$N_{\theta}^{h\pm}=\pm x^{h}$、$n$という。 すると、 $\theta=0$ のとき、となり、 これらは [5] で定義された、 lightcone, hyperbolic Gauss image

ここで spacelike hyperplane と$x^{d}$に一致する。

$( \theta=\frac{\pi}{2})$次元 de Sitter 空間の共通部分$HP(v, \cos\theta)\cap S_{1}^{n}=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{n+1}|\langle x, v\rangle=\cos\theta, \langle x,x\rangle=1\}(v\in H^{n}(-\sin^{2}\theta))$

を $HQ_{d}(v, \cos\theta)$ と表し、 $\theta-fiat$

elliptic hyperquadric という。 すると、 $\theta=0$ のとき、 parabolic hyperquadric $HQ_{d}(v, \cos\theta)=HS_{d}(v, 1)$

hyperquadric $HQ_{d}(v, \cos\theta)=HE_{d}(v, 0)$ となる。

、$\theta-fiat$$\theta=\frac{\pi}{2}$のとき、 flat elliptic

elliptic hyperquadric こつい$|$て次が成り立っ。

Proposition 4.1.

$\mathbb{N}_{\theta}^{h\pm}$が定値写像のとき、 spacelike hypersurface$M_{d}$

は $\theta-flat$ elliptic

hyperquadric に含まれる。
$U$と五娩は embedding$dx^{h}(u),$$dx^{h}(u)$$dN_{\theta}^{h\pm}(u)$:$x^{d}$

によって同一視できるので、 $dx^{h}(u),$$T_{p}\Lambda f_{d}arrow T_{p}\Lambda f_{d}$とみなせる。 このとき、$dN_{\theta}^{h\pm}(u)$を線型変換$d\mathbb{N}_{\theta}^{h\pm}(u)=\cos\theta id\tau_{p}A4_{d}\pm$となっている。

線型変換$S_{\theta}^{h\pm}(p)$$:=-d\mathbb{N}_{\theta}^{h\pm}(u)$を$\Lambda I_{d}$いい、線型変換 $A_{p}:=-dx^{h}(u)$ を . 勾の$\Lambda$

それぞれの固有値を$\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}(p),$$\kappa_{p}$の $p$ における
$p$$\theta$-hyperbolic shape operator とにおける hyperbolic shape operator という。

とおく。 すると、$S_{\theta}^{h\pm}(p)=-\cos\theta id_{T_{p}\Lambda I_{d}}\pm A_{p}$

であること

104
から、ベクトル $v$ が

値になり、
$p$

を

$U$

勾の

の固有ベクトルであることと$\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}(p)=-\cos\theta\pm\kappa_{p}$における$\Lambda$$S_{\theta}^{h\pm}(p)$$p$$\theta$$A_{p}$

が成り立つ。 また、関数の固有ベクトルであることは同$K_{\theta}^{h\pm}(u):=\det S_{\theta}^{h\pm}(p)$を$\Lambda f_{d}\dot{\text{の}}$-hyperbolic Gauss Kronecker curvature といい、関数 $K(u):=\det A_{p}$における hyperbolic Gauss Kronecker curvature という。

の点 $u$$($

または $p=x^{d}(u))$ が$\Delta$

ねの$\theta$-umbilic point であるとは、が成り立つときをいう。 すると、 この定義は Ap$\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}(p)id_{T_{p}AI_{d}}$とと同値になり、$\theta$$=\kappa$$S_{\theta}^{h\pm}(p)=$pidTpM 勾が成立するこに依らないことがわかる。 したがって単に umbilic point と呼ぶ。 また、 spacelike hypersurface$M_{d}$が totally umbilic であるとは、 A 勾上のすべての点 $p$ がumbilic point であることをいう。
Proposition 4.2. Spacelike hypersurface
の値は

(1)

$p$

に依存せずに一定となる。 これを$\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}\neq 0$$M_{d}$が totally umbilic であるとき、$\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm},$$\kappa$$\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}(p),$$\kappa_{p}$と表すと、 以下の分類を得る。

の場合
ならば、

$(a)0<|\kappa|=|\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}+coe\theta|<1$$MM_{d}$は elliptic hyperquadr$c$に含まれる。

$(b)1<|\kappa|=|\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}+\cos\theta|$

ならば、 MU は hyperbolic hyperquadric に含まれる。

$(c)|\kappa|=|\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}+\cos\theta|=1$

ならば、$(d)\kappa=\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}+\cos\theta=0$(2)$\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}=0$の場合、$\Lambda f_{d}$$\Lambda f_{d}$はは pambolic hyperquadric に含まれる。

flat elliptic hyperquadric に含まれる。

は $\theta-flat$ elliptic hyperquad 短

このとき、 umbilic pointる。 Proposition 4.2. からならば、$\Lambda f_{d}$

$p$

について、

$\theta-flat$$\overline{\kappa}_{\theta}^{h\pm}(p)=0$$c$に含まれる。

となるものを$\theta^{\pm}-flat$

point と定義す

elliptic hyperquadric は totally unibilic で$\theta-flat$な曲面であることがわかる。

任意の $i=1,$$n-1$ について、$x_{u}^{d_{:}}$$\ldots,$

は spacelike であるので、$g_{ij}(u):=\langle x_{u_{i}}^{d}(u),x_{u_{j}}^{d}(u)\rangle$

は正定値な対称行列になる。 このことから A$f_{d}$

上の Riemann 計量$(x^{d}$基本形式) が、
$g_{ij}(u):=(x_{u_{i}}^{d}(u),x_{u_{j}}^{d}(u)\rangle,$

で与えられる。 さらに、

$x^{d}$の$\theta$$ds^{2}= \sum_{i_{:}j=1}^{n-1}g_{ij}du_{i}du_{j}$-第二基本形式を$\overline{h}_{ij}^{\theta\pm}(u)=\langle-N_{\theta u_{l}}^{h\pm}(u),$ $x_{u_{j}}^{d}(u)\rangle$と定義し、$x^{d}$の hyperbolic 第二基本形式を$h_{ij}(u)=\langle-x_{u_{i}}^{h}(u),x_{u_{j}}^{d}(u))$と定義する。 すると、 $\overline{h}_{ij}^{\theta\pm}(u)=-\cos\theta g_{ij}(u)\pm h_{ij}(u)$ が成り立っ。

の deSitter 第一

105
Proposition 4.3 ( -Weingarten 公式). $(g^{kj})=(g_{kj})^{-1},$$\theta$

とおく$((\overline{h}^{\theta\pm})_{j}^{i})=(\overline{h}_{ik}^{\theta\pm})(g^{kj})$

とき、次の公式が成り立っ。
$N_{\theta u_{i}}^{h\pm}=-\sum_{j=1}^{n-1}(\overline{h}^{\theta\pm})_{j}^{i}x_{u_{j}}^{d}$このとき、 -第二基本形式の定義から $((\overline{h}^{\theta\pm})_{j}^{i}(u))=-\cos\theta I_{n-1}\pm(h_{ik}(u))(g^{kj}(u))$ と$\theta$の表現行列は、-hyperbolic shape operatorにつである。 このことから、 -hyperbolic Gauss Kronecker curvature

なる。 また、 -Weingarten 公式より$\theta$$((\overline{h}^{\theta\pm})_{j}^{i}(u))$$\theta$$\theta$$S_{\theta}^{h\pm}(p)$$K_{\theta}^{h\pm}$

いて以下の公式を得る。

Corollary 4.4.
$K_{\theta}^{h\pm}= \frac{\det(\overline{h}_{ij}^{\theta\pm})}{\det(g_{kl})}$$M_{d}$

また$\theta$

4.2の点 $p=x^{d}(u)$ について、 $K_{\theta}^{h\pm}(u)=0$ となるものを-hyperbolic Gauss image$\theta$$N_{\theta}^{h\pm}$の特異点は、$\theta^{\pm}$$\theta^{\pm}$-parabolic point という。

-parabolic point となる。

-height function

Spacelike hypersurface$x^{d}$:$Uarrow S_{1}^{n}$と$0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$なる$\theta$について$x^{d}$、の$\theta-$heightfunction を関数族として次のように定義する。
$H_{\theta}^{h}:U\cross H^{n}(-\sin^{2}\theta)arrow \mathbb{R}$$(u, v)\mapsto\langle x^{d}(u),$すると $\theta=0$ のとき、

$H_{\theta}^{h}$(u, v)$=\langle x^{d}(u),$ $v\rangle-1,$$\theta=\frac{\pi}{2}$$v\rangle-\cos\theta$のとき$H_{\theta}^{h}$(u, v)$=\langle x^{d}(u),$ $v\rangle$

り、 [5] で定義された lightcone height function $(\theta=0)$ , hyperbolic height functionに一致する。

Proposition 4.5.

1.

$H_{\theta}^{h}$$\theta$-height function$H_{\theta}^{h}$について次が成り立っ。

(u, v) $=0$ となる必要十分条件は、 ある$\mu,$$\xi_{1},$$\ldots,$$\xi_{n-1}\in \mathbb{R}$があって、$v=\cos\theta x^{d}(u)+\mu x^{h}(u)+\sum_{i=1}^{n-1}\xi_{i}x_{u_{*}}^{d}.(u)$が成り立っことである。

2.

$H_{\theta}^{h}$(u, v)$= \frac{\partial H_{\theta}^{h}}{\partial u_{1}}$(u, v)$= \cdots=\frac{\partial H_{\theta}^{h}}{\partial u_{n-1}}$(u, v) $=0$ となる必要 $+$ 分条件は、$v=\cos\theta x^{d}(u)\pm x^{h}(u)=N_{\theta}^{h\pm}(u)$とな$( \theta=\frac{\pi}{2})$106が成り立っことである。
$v_{0}\in H^{n}(-\sin^{2}\theta)$を固定した -height function$\theta$$h_{\theta v_{0}}^{h}:Uarrow \mathbb{R}$と定める。 また、

$h_{\theta v_{\text{。}}}^{h}(u)$Proposition 4.6.
1.

$p$

が

$\theta^{\pm}$,$h_{\theta v_{0}}^{h}$を、$h_{\theta v_{0}}^{h}(u)=H_{\theta}^{h}(u,v_{0})$の Hesse 行列を $Hess(h_{\theta v_{0}}^{h})(u)$$v_{0}^{\theta\pm}=N_{\theta}^{h\pm}(u_{0}),$$p=x^{d}(u_{0})$と表す。

とするとき、以下が成り立っ。

-pambolic point となる必要 $+$ 分条件は、 det Hess$(h_{\theta v_{0}^{\theta\pm}}^{h})(u_{0})=0$が成り立つことである。

2.

$p$

が

$\theta^{\pm}$-flat point となる必要$+$分条件は、 rank

$Hess(h_{\theta v_{0}^{\theta\pm}}^{h})$(uo) $=0$ が成り立っこ

とである。

4.3

$\theta$-hyperbolic Gauss image as wave front

Spacelike hypersurfacexとおくと、特異点集合 は$d$の$\theta$-height function$H^{\theta}$

に対し H h の特異点集合を$\theta$$\sum_{*}(H_{\theta}^{h})=\{(u, v)|H_{\theta}^{h}(u, v)=\frac{\partial H_{\theta}^{\dot{h}}}{\partial u}(u, v)=0\}$$F$$\sum_{*}(H_{\theta}^{h})$$\backslash$と 表 される。

Proposition4.5. より $\sum_{*}(H_{\theta}^{h})=\{(u,N\theta h\pm(u))|u\in U\}$ となる。 -height function$\theta$$H_{\theta}^{h}$について次が成り立っ。

Proposition 4.7.

は $( u, v)\in\sum_{*}(H^{\theta})$ のまわりで Morse 超曲面族である。

$H^{\theta}$

Legendrian 特異点論から、$\mathcal{L}_{\theta}^{h\pm}$が構成される。 また$\mathcal{L}_{\theta}^{h\pm}$$\sum_{*}(H_{\theta}^{h})$のは部分多様体となり、 Legendrian immersion germwave front は -hyperbolic Gauss image の像と一致する。
$\theta$

4.4 contact with -flat elliptic hyperquadric$\theta$

この節では spacelike hypersurface
関して見ていく。
$H^{n}(-\sin^{2}\theta)\ni$$x^{d}$:$Uarrow S_{1}^{n}$elliptic hyperquadric の間の接触にを spacelike hypersurface とし、とする。
$\Lambda f_{d}$と$\theta-flat$$0 \leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$vo について、 関数$\text{り_{}\theta v_{O}}^{h}:S_{1}^{n}arrow \mathbb{R}$を$\text{り_{}\theta v_{\text{。}}}^{h}(x)=\langle x$, vo$\rangle-\cos\theta$と定義する。 すると、$\text{り_{}\theta v_{0}^{-1}}^{h}(0)=\{x\in S_{1}^{n}|\langle x,v_{0}\rangle=\cos\theta\}=S_{1}^{n}(-1)\cap HP(v_{0}, \cos\theta)=HQ_{d}(v_{0}, \cos\theta)$

は$\theta-$frat elliptic hyperquadric となる。 さらに、の時は spacelike hypersurface $M_{d}=x^{d}(U)$ に $p=x^{d}$ (uo) で接している。 ここで、
$v0=N_{\theta}^{h\pm}(uo)=:v_{0}^{\theta\pm}\in H^{n}(-\sin^{2}\theta)$$\text{り_{}\theta v_{O}^{\theta\pm^{-1}}}^{h}(0)$Theorem 3.8. における

$f_{i}$と$g\iota$は$\text{り_{}v_{O}^{\theta\pm}}^{\theta}$と$x^{d}$に対応する。

$\text{り_{}\theta v_{0}^{\theta\pm^{-}}}^{h}(0)=HQ_{d}(v_{0}^{\theta\pm}, \cos\theta)$

107を$M_{d}$の $P$ における tangent $\theta-fiat$ elliptic hyperquadric といい、$THQ_{d}^{\pm}(x^{d},u0;\theta)$ と表す。 $i=1,2$ についてるを$\theta$:$x_{i}^{d}$$(U, u_{i})arrow(S_{1}^{n},x_{i}^{d}(u_{i}))$-hyperbolic Gauss image を
, 各
について、

$H_{\theta i}^{h}$$N_{\theta i}^{h\pm}$, Legendrian immersion を$v_{i}^{\theta\pm}=N_{\theta i}^{h\pm}(u_{i})$$u_{i}$

を spacelike hypersurface とし、対応すを固定した$\theta$$\mathcal{L}_{\pm\theta i}^{h},$$\theta$-height function-height function を$h_{\theta i,v_{i}^{\theta\pm}}^{h}(u)$とする。 このとき Legendrian 特異点論の応用として以下が成立する。

に対応する Legendrian immersion gem
Theorem 4.8. 2 つの spacelike hypersurface
が Legendrian 安定ならば、次の命題は同値である。
$x_{i}^{d}$$\mathcal{L}_{\theta i}^{\pm}$

1.
2.
3.

4.
5.

$N_{\theta 1}^{h\pm}$と$N_{\theta 2}^{h\pm}$$\mathcal{L}_{\theta 1}^{h\pm}$と$\mathcal{L}_{\theta 2}^{h\pm}$$H_{\theta 1}^{h}$と$H_{\theta 2}^{h}$$h_{\theta 1,v_{1}^{\theta\pm}}^{h}$とは$\mathcal{A}$-同値

は Legend 幅 $an$ 同値
は同値$\mathcal{P}-\mathcal{K}$$h_{\theta 2,v_{2}^{\theta\pm}}^{h}$は$\mathcal{K}$-同値$K(x_{1}^{d}(U), THQ_{d}^{\pm}(x_{1}^{d}, u_{1};\theta):x_{1}^{d}(u_{1}))=K(x_{2}^{d}(U), THQ_{d}^{\pm}(x_{2}^{d}, u_{2};\theta):x_{2}^{d}(u_{2}))$

Spacelike hypersurface$x^{d}$とpositive(negative) tangent
う 。この集合芽は$\mathbb{N}_{\theta}^{h\pm}$uo$\in U$$\theta-flat$

についての$\mathcal{A}$について、 $(x^{d-1}(THQ_{d}^{\pm}(x^{d}, u0;\theta)), uo)$ を$x^{h}$のelliptic hyperquadrical indicatrix germ とい-不変量になることがわかる。

4.5 Spacelike de Sitter Monge forms[5] では、$S_{1}^{n}$

内の spacelike hypersurface の局所表示として spacelike de Sitter Monge

form を導入した。 ここでは、 $n=3$ のときを考える。
$c\infty$

$U$

を

における

$\mathbb{R}^{2}$$0$の開近傍とし、関数 $f:Uarrow \mathbb{R}$ を $f(O)=0,$ $f_{u_{i}}(0)=0(i=1,2)$ を満たす関数とする。 ここで、

spacelike de Sitter Monge$formx_{f}^{d}$:$Uarrow S_{1}^{3}$を$x_{f}^{d}(u):=(-f(u), -\sqrt{1+f^{2}(U)-u_{1}^{2}-u_{2}^{2}}, u_{1}, u_{2})$と定める。 ここで

$S_{1}^{n}$内のどんな spacelike surface も、局所的には spacelike de Sit-

ter Monge form によって与えられることが知られている [5]。計算により $x_{f}^{d}(0)=$$(0, -1,0,0).x_{f}^{h}(0)=(1,0,0,0)$ より、 $\mathbb{N}_{\theta}^{h\pm}(0)=(\pm 1, -\cos\theta, 0,0)$ である。
$p,$

$N_{\theta}^{h\pm}(0)=v_{0}^{\theta\pm}$

とおく。

like de Sitter Monge form

$v_{0}^{\theta\pm}$における$x_{HQ_{d}^{\pm}}^{\theta}$:$\theta-flat$$Uarrow S_{1}^{3}$

elliptic quadricは、$0< \theta\leq\frac{\pi}{2}$$HQ_{d}(v_{0}^{\theta\pm}, \cos\theta)$

なる$\theta$$x_{f}^{d}(0)=$の space-について$x_{HQ_{d}^{\pm}}^{\theta}(u)=(\mp\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}(1-\sqrt{1-\sin^{2}\theta(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})}), -1+\frac{1}{\sin^{2}\theta}(1-\sqrt{1-\sin^{2}\theta(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})}), u_{1}, u_{2}))$

108となる。 このとき、 もしform に一致し、 を$\theta$

収束する。

$0$

$x_{HQ_{d}^{\pm}}^{\theta}(U)$ならば flat elliptic quadric の spacelike de Sitter Monge$\theta=\frac{\pi}{2}$に近づけると parabolic quadric の spacelike de Sitter Monge form には $x_{f}^{d}(0)=p$ において $x_{f}^{d}(U)$ に接している。 したがって、$x_{HQ_{d}^{\pm}}^{\theta}(U)$は $x_{f}^{d}(U)$ の $p=x_{f}^{d}(0)$ における tangent $\theta-flat$ elliptic quadric $THQ_{d}^{\pm}(x_{f}^{d},0;\theta)$ である。

さらに

$x_{f}^{d}$の tangent $\theta-flat$ elliptic quadrical indicatrix は、$x_{f}^{d^{-1}}(THQ_{d}^{\pm}(x_{d}^{h},0;\theta))=\{u\in U|\pm f(u)=\frac{cos\theta}{sin^{2}\theta}(1-\sqrt{1-sin^{2}\theta(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})})\}$と表される。

5 Exampies
最後に、 hyperbolic 空間について、 $n=3$ の場合のいくつかの例とその図を紹介する。
図を描くために Poincar\’e ball model を考える。 $D=\{(x_{1}, x_{2}, x_{3})|x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}<1\}$ を

hyperbolic 空間の Poincare ball model とする。 hyperbolic metric は$\acute$$ds^{2}= \frac{4(dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2})}{1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}$である。 ここで、 canonical isometric diffeomorphism$\Phi$: $H_{+}^{3}(-1)arrow D$ の存在が知られており、$\Phi(x_{0},x_{1}.x_{2}, x_{3})=(\frac{x_{1}}{x_{0}+1}, \frac{x_{2}}{x_{0}+1}, \frac{x_{3}}{x_{0}+1})$で与えられる。 したがって、 $f(0)=f_{u_{i}}(0)=0$ なる任意の関数 $f(u_{1}, u_{2})$ について、 $D$ 内にその H-Monge form によって与えられる曲面の絵を描くことができる。

Example 5.1.
$-\cos\theta,$$x_{f}^{h}$2$\kappa_{2}=-\cos\theta-2$$K_{\theta}^{d+}(0)=0,$

り、$\theta\theta(1-\sqrt{1+\sin^{2}\theta(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})})+\frac{2}{3}u_{1}^{3}-u_{2}^{2}$$f(u_{1}, u_{2})= \frac{\cos}{\sin}$

より正負の

とすると、

$\kappa_{1}=$-de Sitter Gauss-Kmnecker curvature はそれぞれ$K_{\theta}^{d-}(0)=4\cos\theta(\cos\theta+1)$となる。 したがって$0$は $\theta^{+}arrow pambolic$ point であの正の tangent $\theta-flat$ hyperbolic quadirical indicatrix は $x_{f}^{h-1}(THQ_{h}^{+}(x_{f}^{h}, 0;\theta))=$$\{u\in U|\frac{2}{3}u_{1}^{3}-u_{2}^{2}=0\}$となり ordinary cusp である。下図はhyperbolic quadric
曲面の接点に cusp が現れる。
と正の$\theta$$\theta-flat$$\Phi\circ x_{HQ_{h}^{+}}^{\theta}(U)$$\theta=\frac{\pi}{4}$のときの曲面$\Phi$ox$hf^{(U)}$と、 それらを合わせたものである。二つの109

surface
また負については、

cusp

flat
のとき

$\theta\neq\frac{\pi}{2}$-parabolic point である。

$0$は$\theta^{-}$-parabolic point でないが、

のとき

$0$

は

hyperbolic quadri $cal$
indicatHx は $x_{f}^{h-1}(THQ_{h}^{-}(x_{f}^{h}, 0;\theta))=\{u\in U|\frac{2}{3}u_{1}^{3}-u_{2}^{2}=0\}$ となり ordinary cusp に$\theta^{-}$$\theta=\frac{\pi}{2}$のとき、$x_{f}^{h}$の負の tangent$\theta=\frac{\pi}{2}$$\theta-flat$

なっている。

Example 5.2.
$-\cos\theta,$$\theta\theta(1-\sqrt{1+\sin^{2}\theta(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})})+u_{1}^{4}-u_{2}^{2}$$f(u_{1}, u_{2})= \frac{\cos}{\sin}$2$\kappa_{2}=-\cos\theta-2$$K_{\theta}^{d+}(0)=0,$

より正負の -de Sitter$\theta$$K_{\theta}^{d-}(0)=4\cos\theta(\cos\theta+1)$$Gat\underline{1}_{\iota}SS$とすると、$\kappa_{1}=$-Kronecker curvature はそれぞれとなる。 したがって$0$は$\theta^{+}$-pambolic point であhyperbolic quadrical indicatrix は$\{u\in U|u_{1}^{4}-u_{2}^{2}=0\}$ となり tachnodal である。下図はとのときの曲面正のと、 それらを合わせたものである。二つの曲
hyperbolic quad 短り、$x_{f}^{h}$の正の tangent$x_{f}^{h-1}(THQ_{h}^{+}(x_{f}^{h}, 0;\theta))=$$\theta-flat$$\Phi ox_{f}^{h}(U)$$\theta=\frac{\pi}{4}$$\theta-flat$$c\Phi\circ x_{HQ_{h}^{+}}^{\theta}(U)$面の接点に tachnodal が現れる。

surface
また負については、$\theta^{-}$$\theta\neq\frac{\pi}{2}$-parabolic point である。

flatのとき $0$ は$\theta=\frac{\pi}{2}$$\theta^{-}$のとき、

tachnodal-parabolic point でないが、$x_{f}^{h}$の負の tangent$\theta-flat$$\theta=\frac{\pi}{2}$

のとき

$0$

は

hyperbolic quadricalindicatrix は $x_{f}^{h-1}(THQ_{h}^{-}(x_{f}^{h}, 0;\theta))=\{u\in U|u_{1}^{4}-u_{2}^{2}=0\}$ となり tachnodal になって
いる。

110
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