数理解析研究所講究録 1348 巻 2003 年 23-32

23

Heisenberg 群上の不変 CR-Laplacian 型作用素に関する固有空間について
伊師英之 (横浜市大総合理)

序
複素ベクトル空間
上に, ユニタリ群
による回転) 正数群にょる拡
自身による平行移動という 3 つの作用を考える. これらの作用を合わせたア
大,ファイン変換群のユニタリ表現が Hilbert 空間
上に自然に定義されるが, 線形変換群にエルゴード(m) の反傾作用は$\mathbb{C}^{m}$$\mathrm{U}(m)$$\mathbb{R}_{+}$$\mathbb{C}^{m}$$C_{70}:=\mathbb{C}^{m}\aleph(\mathbb{R}_{+}\cross \mathrm{U}(m))$$L^{2}(\mathbb{C}^{r\prime b})$$\mathbb{C}^{m}$$\mathbb{R}_{+}\cross \mathrm{U}$的に作用しているので, この表現は既約かっ 2 乗可積分であり それに付随する連続
ウェーブレット変換が定義できる ([1]).
類似の議論を可換なベクトル空間の代わりに非可換な Heisenberg 群に置き換えて考える. 実際 Heiscnberg 群 $N$ 上にも直積群が自己同型として作用しているので (\S 2 参照), $N$ 自身による左移動と合わせた変換群を考えることができる. このはの放物型部分群と局所同型である (\S 2 の Remark 参照). Hilbert, 空間( N) 上に定義されろのユニタリ表現は既約ではないが, 可算個の互いに同値でない既約表現に分解され,それぞれの表現に付随した連続 wavelet 変換が定義できる ([4]、なおの可解部分群に制限した場合の表現の分解については [5] 参照). これらの既約部分空間の幾何学的な特徴付けが、本稿の主題である.
Heisenberg 群 $N$ は階数 1 の Siegel 領域の Shilov 境界 と同一視でき. 上の自然な構造を引き戻して $N$ 上に左不変な, 構造が得られる ([9].
\S 1 の Remark$N$
上の 2 乗可積分な CR 函数の空間はも参照). そして上の Hardy 空間を引き戻したものに他ならず(N) の -既約部分空間の 1 っになってぃる. よって $N$上の構造から定義される CR-Laplacianの固有空間として,(N) の他の既約部分空間を特徴付けるというのは自然な発想であろう. しかし,
の作用は
.構
$N$
造を保存するけれども,上のいかなる計量も保存しないので, この試みはうまくぃ
かない ([6] も参照). そこで我々は $N$ 上の各 次の-cochain の空間に, 通常の内積とは異なった -共変性 (補題 3.1, 32) をもっ内積を Fourier 変換を経由して定め, 2 つの内積を使って’-Laplacian 型作用素’ q を定義する. このとき共変性の差がうまく効いて (命題 3.4 の証明参照), b はの作用と可換になる (定理 35).
このロ はもはや微分作用素ではないが, Fourier 変換を通じて具体的に記述される (補題 4.1). そして この記述から -cochain の空間のロ に関する固有空間分解が得られる (定理圭 3). 各部分空間はの表現空間として既約ではないが.’ 有限個の既約表現の直和に分解される (命題 44). 函数空間 $L^{2}(.N)$ 上では, CR-Laplacian$i$$\mathbb{C}^{n\mathrm{t}}$$N\underline{=}$$\mathbb{R}\cross \mathbb{C}^{n\iota}$$\mathbb{R}_{+}\cross \mathrm{U}(m)$$G$$G:=N\mathrm{x}(\mathbb{R}_{+}\cross \mathrm{U}(m))$$\mathrm{S}\mathrm{U}(m+1,1)$$L^{2}$$G$$G$$N\lambda \mathbb{R}_{+}$$\Sigma$$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\Sigma$$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\Sigma$$L^{2}$$G$$L^{2}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\square _{b}^{q}$$G$$\mathrm{C}\mathrm{R}$

$q$

$G$

$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\coprod_{b}\sim$$\coprod^{q}\sim$

$G$

$qb$

$bq$

$\mathrm{q}$$G$$\mathrm{C}\mathrm{R}$24を考えることができる. このとき我々b) の他に, その複素共役との同時固有空間分解の目標である(N) の -既約分解は 2 つの作用素として得られる (定理 5.2(ii)). 一方, 各々の固有空間には Paley-Wiener 型の記述が型作用素入$\triangle^{\mathrm{t}}\sim$$:=\coprod^{(}\sim$$\triangle^{\mathfrak{j}}\sim$$\triangle\sim$$G$$L^{2}$

与えられる (定理 5.2(i)).

\S 1. Heisenberg 群上のHeise 節$Y_{1},$$\ldots$,

代数 を, 次のように括弧積が与えられた $2m+1$ 個の元, $C$ を基底とする Lie 代数として定義する :$\mathfrak{n}$$X_{1},$$\mathrm{e}1^{\backslash }\mathrm{g}$$Y_{m}$$[X_{k}, X_{l}]=[Y_{k}, Y_{l}]=()$

Lie 代数構造.

$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\mathfrak{n}$

. C,

,

$[C, X_{k}]=[C_{\mathit{1}}, Y_{k}]=0$$[X_{k}, Y_{l}]=\delta_{kl}$$\ldots,$$X_{m}$,$(1\leq k, l\leq m)$ .

の複素化を n。 と書くものとし, $Z_{k}:=(X_{k}-i1_{\acute{k}})/\sqrt{2},\overline{Z}_{k}:=(X_{k}+$$iY_{k}.)/\sqrt{2}\in \mathfrak{n}_{\mathbb{C}}(k=1,2, .

.

.

, m)$

とずると

$[Z_{k}, Z_{l}]=[\overline{Z}_{k},\overline{Z}_{l}]=0$

,

(1.1)

$(1 \leq k, l\leq\cdot m)$$[Z_{k},\overline{Z}_{l}]=i\delta_{kl}C$が成り立ち) 一方$\sqrt{2}\sum_{k=1}^{\pi\iota}(x_{k}X_{k}+y_{k^{\}}},)=\sum_{k=1}^{m}(z_{k}Z_{k}+\mathit{2}_{k}\overline{Z}_{k})$である. よって $z=(z_{k})\in \mathbb{C}^{7Yl}$ と$\exp$( $-cC$.

$+ \sum_{k=1}^{n1}$(zk$+iy_{k})$} こついて, Heisenberg 群 $N:=\exp \mathfrak{n}$ の元( c, ) と書くものとすると, Campbell-Hausdorf$c\in \mathbb{R}$-k)) を$Z_{k}+\overline{z}_{k}Z$$(x_{k}., y_{k}\in \mathbb{R}, z_{k}:=x_{k}$.

$n$

$z$

の公式から
$(c, d\in \mathbb{R}, z, z’\in \mathbb{C}^{m})$$n(c, z)n(c’, z’)=n(c+c+’ \alpha s(\sum_{k=1}^{m}z_{k^{\mathrm{A}}k}^{-}".), z+z’)$が得られる. 以後 Lie 群 $N$ 上の左不変複素ベクトル場と n。の元を同一視する. すへの $Z=X+iY\in \mathfrak{n}_{\mathbb{C}}$ (X,) の作用をなわち $N$ 上の滑らかな関数$Y\in \mathfrak{n}$$\phi$$X\phi$(n)$:=( \frac{d}{dt})_{t=0}\phi$(n $\exp tX$ )$(n\in N)$ ,$Z\phi:=X\phi+iY(b$$(k=1, \ldots, m)$ の $n=n$ ( c, )での複素接ベクトルと定義する. このとき.とのカツプリングを考えはとなり, 複素微分形式 $d\overline{z}_{l}(/=1, \ldots, m)$$z$$\overline{Z}_{k}$$\in f\mathrm{V}^{\tau}$$-( \frac{iz_{k}}{2}).\frac{\partial}{d\mathrm{c}}+\frac{\partial}{\partial\overline{z}_{k}}$

ると

(1.2)

$\langle\overline{Z}_{k}, d\overline{z}_{l}\rangle=\delta_{kl}$:=となる. Lie 群 $N$ 上の複素接ベクトル束 T(N)。の部分ベクトル束 $A$ ( N) を$A$
. , (Z-yyr)y、)c $(n\in N)$ で定義する. このとき ( N) の切断の空間 $\Gamma(A(N))$$A_{r\iota}(N)$$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\langle(\overline{Z}_{1})_{n\cdot*},$は $C$ “ (N) 加群としてベクトル場から生成されており, (1.1) より垣 括(N) は対合的である). 一方 ( N) の複素共役$\overline{Z}_{1},$

弧について閉じている (すなわち $A$$\ldots$,.

$\overline{Z}_{m}$$\mathrm{e}$

$A$

25

$A$

(N) は

$Z_{1},$

は $N$ 上のRemark.
の像を$\mathbb{C}^{m+1}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$;から同様に定義されるから $A(N)\cap A(N)=\{0\}.$ よって $A(N)$構造である.

$\ldots,$$\mathrm{C}\mathrm{R}$写像$Z_{m}$$\iota$$\Sigma\subset \mathbb{C}^{m+1}$: $N\ni n(c,$とすると,$\approx)\mapsto(c+i|_{\sim}’|-,/2, z)\in \mathbb{C}^{m+1}$$\alpha sw\text{。}>\sum_{k=1}^{m}|w_{k}|^{2}/2$

構造を$\iota$}$\Sigma$は Siegel 領域(ただし$|z|^{2}:= \sum_{k^{\wedge}=1}^{m}|z’|^{2}$...,$:=\{w=$
自然に構造が定まる.
$(w_{0}, u\rangle 1)$$D\text{。}+1$の Shilov 境界であり,)

このによって $N$ 上に引き戻したものが, $A$ (N) に他ならない ([7], [9]).

関係式 (1.2) より, $A$ (N) の双対ベクトル束 $A^{*}(N)$ の切断の空間
然に$w_{m}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$

)

$\in$

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\langle d_{1}^{\overline{\gamma}}", \ldots, d\overline{z}_{m}\rangle$c”(N)と同一視できる. より –般に, 集合(. ただし $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{q}\leq m$ ) (こついてのとすると, (’(N)) の元は$\mathrm{I}^{\urcorner}(A^{*}(N))$$\mathit{1}=$は自$\{\mathit{1}1, \prime i_{2}‘, \ldots, \prime i_{q}.\}$$dz_{I}:=d\overline{z}_{i_{1}}\wedge d\overline{z}_{i_{2}}\wedge\ldots d\overline{z}_{l_{q}}$と書くも$\wedge^{q}A$$\Gamma$$\omega=\sum_{\# l=q}$\phi

Id 芝 I(1.3)の形の微分形式とみなせる. 言い換えると 7 包含写像 A(N)\mapsto T(N)。から自然に定まる射影 (制限写像) .
:(\sim N) によって, (1.3) の形$\Gamma(\wedge^{q}T^{*}(N)_{\mathbb{C}})arrow\Gamma$$P_{1\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$の微分形式と, その像$\omega$$\Gamma(\wedge^{q+1}\lrcorner 4^{*}(N))$$\overline{\partial}_{b}\omega$(W1,$W_{2},$.

$P_{1\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$$\wedge^{q}A$$)$(\mbox{\boldmath $\omega$}) を同一視ずる. 微分作用素$b$:$\Gamma(\wedge^{q}\Lambda^{*}(N))arrow$を. . . , $W_{q+1}$ )$:= \sum_{i=1}^{q\}1}(-1)^{i+1}W_{i}\omega(W_{1}, \ldots, \nu\hat{\nu}_{i\cdot)}^{r},.

$+. \sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega$($\omega\in\Gamma(\Lambda^{\mathit{1}}cA$(*(N)),$[\mathfrak{h}f_{\dot{2}},$

51.

$W$

$7\prime 1_{1}^{\gamma}$$\mathrm{I}4^{r_{1}},$$\ldots,$.\mathfrak{s}\nu_{q+1})$

,...

. C.
$\hat{\mathrm{M}}$...,$l\hat{4}_{j,\ldots}^{\tau}\prime 1f_{q+1}’’$$W_{q+1}\in \mathrm{F}(A(N))$))と定義する (W\sim は . を除くことを意味する). 通常の外微分作用素ととの間にはという関係が成り立っから,である. 一方, (1.3) の形のについては$d:\Gamma(\wedge^{q}T(N)_{\mathbb{C}})arrow$$\ddagger\eta r_{i}$$\Gamma(\wedge^{q+1}T(N)_{\mathbb{C}})$$d\circ P_{\mathrm{r}\mathrm{c}^{\mathrm{Y}}\mathrm{s}\mathrm{t}}=P_{\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{t}}\circ$$b$$\overline{\partial}_{b}\circ\overline{\partial}_{b}=0$$\omega$$\overline{\partial}_{b}\omega=.\sum_{k=1}^{m}\sum_{I}\overline{Z}_{k}\phi_{I}d\overline{z}_{k}\Lambda d_{\sim I}^{\overline{\gamma}}$

(1.4)

となる.

\S 2. Heisenberg 群 $N$ 上に作用する変換群.
正数 $a>0$ とユニタリ行列 $u\in \mathrm{U}(m)$ について, Lic 群 $N$ 上の自己同型写像

26$l\iota(a, u)$: $Narrow N$ を ( a, )
$h$

$u$

$\cdot n$( c0,$z_{0}$) $:=n$ ( a2co,$au_{*0}^{\mathrm{v}}$)$(c,\in \mathbb{R}, z_{0}\in \mathbb{C}^{m})$と定義について, $N$ 上の変換 ( n, $a,$ ) : $Narrow N$ をと$g(n, a, u)_{7}$ ”() $(n_{0}\in N)$ と定めると (右辺は $N$ の元としての( (a, u).
(a, )の積), 変換の集合 $G:=$ $g($ n, $a,$ $u))$ $n\in N,$ >0, $u\in \mathrm{U}(m)$ は群をなし, 元 $n\in N$ と $a>0,$$h$$\mathrm{J}:=n$

$h$

$u$

$\prime u\in \mathrm{U}(m)$$n${は $N$ と直積群

$G$

Remark.

$\prime u$$n_{11}$$\cdot n_{0}$

す実際

$g$

$\cdot$$\mathbb{R}_{\vdash}\cross \mathrm{U}(m)$}$a$との半直積と同型である.

Hermite 行列
J。

$:=(\begin{array}{lll} -i,i I_{7n} \end{array})\in \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}(\mathrm{m}+2, \mathbb{C})$$\iota+2$の表す Hermite 形式を保存する線形変換の群を$\{S\in \mathrm{G}\mathrm{L}(7n+2, \mathbb{C});S^{*}J_{m+2}S=I_{m+2}\mathrm{e}\}$り.

$\mathrm{S}\mathrm{U}(J_{\pi\iota+2})$$S=(\begin{array}{ll}t1 b\iota_{C} d\end{array})\in \mathrm{S}\mathrm{U}(J_{n\iota+2})(A\in \mathrm{M}(7r\iota+1, \mathbb{C}\backslash ),$について $S$

及した
$N$

. 群

(c, )
$z$

$w$

$b$

,

と書

$\langle$:$\mathrm{S}\mathrm{U}(J_{m\dashv 2})$:は $\mathrm{S}\mathrm{U}(rn+1,1)$ と同型であ$c\in \mathbb{C}^{m+1},$$d\in \mathbb{C})$と$w\in \mathbb{C}^{\prime n+1}$と定義すると, 51 の Remark で言は推移的に作用している. 次のように定義される, $A(a)(a>0),$\mbox{\boldmath$\thea$}, $v)(0\leq\theta<2\pi, v\in \mathrm{S}\mathrm{U}(rn))$ は$(tcw+d)^{-1}(Aw+b)\mathbb{C}^{m}$+1:$\Sigma\subset \mathbb{C}^{\prime\prime\iota+1}$に$\mathrm{S}\mathrm{U}(J_{m+2})$$(c\in \mathbb{R}, z\in \mathbb{C}^{m})$$\mathrm{S}\mathrm{U}(J,,l \dagger 2)$$\mathrm{S}\mathrm{U}(J_{m+2})$$\Lambda I($の元である:$A(a):=(\begin{array}{llll}a I_{m} a - 1\end{array}).$$N(c, z):=(\begin{array}{lll}1 i^{t}\overline{z} c+i|z|^{2}/2 l_{n\iota} \ \sim 1\end{array}).$$\Lambda l(\theta, v):=(\begin{array}{llll}e^{-i\theta} v e_{-} \iota\theta\end{array})-$は
実際全ての $N$ (c, )からなる集合す さらに:(c, ) $A(a)\Lambda’I(\theta, u)\mapsto g$ ( (c, ),であり, $G$ の $N$ への作用と
の
への作用は
$z$

$\varpi$$A(a)M(\theta, \cdot \mathrm{t}))$$\tilde{G}\ni N$$\mathrm{G}^{\tilde{\gamma}}$$\mathrm{S}\mathrm{U}(J_{m+2})$

$n$

$z$

$\tilde{G}\subset S$$z$$tti,$$\Sigma$$\iota$)の放物型部分群をなは全射で局所同型: $Narrow\Sigma$ に関して同変であ$e^{i\theta}v$$\in C_{J}$る.

群 $N$ 上の測度と定めると,$d\mu$$d\mu$

は$N$

を $d\mu(n)$ :=dc dx $dy$ ( $n=n$ (c, $x\dotplus iy)\in N,$のHaar 測度である. このとき $g=g$ (n,$d\mu(g\cdot n_{0})=a^{2n\iota+2}d\mu(n_{0})$が威り立つ.

$(n_{0}\in N)$$a,$ $u$$c\in \mathbb{R},$ $x$)$\in C_{\tau}$,$\prime y\in \mathbb{R}^{m}$

)

について

(2.1)

27

$\Gamma$

変換群 $G$ の T(N)。への作用は部分ベクトル束 $A$ ( N) を保存する. よって $G$ の(\sim N) への反傾作用が次のように定義できる:$\wedge^{q}A$$)$$g_{*}\omega(W_{1}, .

.

.

, W_{q}):=\omega$( $g*-1$ IV1, . . . ,( $g\in G,$$\omega\in$$g_{*}^{-1}W_{q}$)F $(\Lambda A^{*}(N))q,$$1$$\iota\psi_{1}^{r},$$\ldots,$V

I (A(N))).
$\urcorner$$q\in$

このとき次の補題が成り立つ.
補題 2.1. 任意の $g\in G$ について
さて$\omega$$\circ g_{*}=g_{*}\mathrm{o}.\overline{\partial}_{b}$$b$.

が (1.3) の形で表されるとき(2.2)$g_{*} \omega=\sum_{I}(\phi_{I}\mathrm{o}g^{-1})g_{*}d\overline{z}_{I}$であり, 一方 $g=g$ (n,$a,$ $u$) とすると, 或る

次のユニタリ行夕 」$\mathrm{I}$$(\begin{array}{l}n\tau q\end{array})$$(\tau_{IJ}(u))_{\mathfrak{g}J=\# J=q}$があって$g_{*}d_{\overline{\tilde{4}}/}=a^{-q} \sum_{\# J=q}\tau_{IJ}(u)d\overline{z},$となる. 対応 $u\mapsto$ (現$\tau_{q}$\S 3.

$\tau_{IJ}$(.u)) は,

(2.3)

上に自然に定義される$\wedge^{q}\mathbb{C}^{m}$$\mathrm{U}(\gamma\gamma\iota)$のユニタリ表の行列表示に他ならない.

微分形式の 2 種類の内積と Laplacian 型作用素.

Lie 群 $N$ は多様体としてはと微分同相であるから, その上の急減少函数の空間 (N) を考えることができる. 函数 $\phi\in S$ ( N) について.
$\mathbb{R}\cross \mathbb{C}^{7n}\equiv \mathbb{R}^{2m\}1}$$S$$C^{\infty}(\mathbb{R}\cross \mathbb{C}^{m})$$(\hat{]’}\in$を$\hat{\phi}(\lambda, z):=e^{|\lambda||z|/\mathit{2}}‘\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{r}\int_{-\propto}^{+\infty}\ulcorner)e^{-i\lambda c}.\phi(n(c, z)))dc$

によって定める. すなわち$\hat{\phi}$

は $N$ の中心に関する Fourier 変換にものである (これより $\phi\in L^{2}(N)$ についても

常のように函数$\acute{\varphi},$$\phi’\in S$$(\lambda\in \mathbb{R}, z\in \mathbb{C}^{m})$(N) の内積を$\mathbb{R}\cross \mathbb{C}^{nl}$上の函数$\hat{\phi}$$\mathrm{e}^{|\lambda||\approx|^{2}/2}$

(3.1)
をかけた

が定義できる). 通\mu (n) と定義すると.\acute$( \phi|\phi’):=\int_{N}\phi(n)\overline{\phi’(n)}d$(2.1) より$(\phi\circ g1|\phi’\mathrm{o}g^{-1})=a^{2m+2}‘(\phi|\phi’)$( $g=g$ (n,$a,$$u)\in G$ )(3.2)

であり, 一方 Plancherel の公式から$( \phi|\phi’)=\int_{\mathrm{R}}\int_{\mathbb{C}^{m}}\hat{\phi}(\lambda, z)\overline{\hat{\phi},(\lambda,\approx)}e^{-|\lambda||z|^{2}}.d\prime x.dyd\lambda$となる. ここで$\phi$$\langle$と定義する.

と$\phi$’ の新たな内積$\langle$$\phi,$$\phi$$(\approx=x+iy)$’) を$\phi_{7}\phi’):=\int_{\mathrm{R}}\int_{\mathbb{C}^{m}}\hat{\phi}(\lambda_{\mathrm{t}}z)\overline{\hat{\phi},(\lambda,z)}e^{-|\lambda||_{\wedge}|^{2}}d_{i}\sim\iota\cdot d\prime y|\lambda|d\lambda$

(3.3)

28

補題 3.1. 函数$\phi,$$\phi’\in S$(N) と $g=g$ ( n,$a,$ $u$) $\in G$ について$\langle\phi \mathrm{o}g^{-1}, \phi’\mathrm{o}g^{-1}\rangle=a^{2\cdot m}\langle\phi, \phi’\rangle$

次に$S^{q}$$\sum_{\# I=q}\phi$I(N) $:= \{\sum_{\# I=q}\phi$ I$d_{\sim I}^{\overline{\mathrm{v}}},$($d\overline{z}_{I}\in\Gamma$$\omega’=\sum_{\# I=q}\phi_{I}’d_{\sim I}\overline,\in S^{q}$$\wedge^{q}A$\sim N) ;.

$\phi_{I}\in S$$)$( N)for all $I\}$ とし,$\omega=$(N) について 2 種類の内積を$( \omega|\omega’)_{q}:=\sum_{I}(\phi_{I}|\phi_{I}’)$,$\phi_{I}’$$\langle\omega, \omega’\rangle_{q}:=\sum_{I}\langle\phi_{I},$)について $||W||^{2}$ :=c2と定義ずろ. 前者は $W=cC+ \sum_{k=1}$$N$上の不変計量によって自然に定義される内とおくことから定まる$G$の作用は積である. 群(N) を保存することに注意すると, 関係式 (2.2), (2.3),$+$$(xk-\lambda \mathrm{i}_{k}+y_{k}Y_{k})\in \mathfrak{n}$$\sum_{k=1}^{m}.(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}.)$$S^{q}$(3.2) および補題 3.1 から次の補題が得られる.
補題 3.2. 元 $g=g$ (n, $a,$ ) $\in G$ と$\omega’\in \mathrm{I}^{\urcorner}$$\cdot u$$\omega,$$(g_{*}\omega|g_{*}\omega’)_{q}=a^{2\prime\prime 1.+2-- 2q}(\omega|\omega’)_{q}$2 つの内積に関する

$b$

,

(

$\wedge^{q}A$\sim N)$)$について$\langle g*\omega, g_{*}\omega’\rangle_{q}=a^{2m}2q\langle\omega, \omega’\rangle_{q}$.

の形式的な共役作用素を考えるために次のような $S^{q}(N)$の部分空間を考える:$S_{\mathrm{f}\mathfrak{l}}^{q}(N)$”for all $I\}$$:= \{\sum_{\# I=q}\phi_{I}d_{\sim I}^{\overline{\gamma}}\in S^{q}(N),\cdot \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\hat{\phi}I\subset(\mathbb{R}\backslash \{0\})\cross \mathbb{C}$

微分作用素 , は$S^{q}$(N) および$S_{0}^{q}$( N) をそれぞれ$S^{q+1}$( N) および$S_{0}^{q+1}$( N) の中にうつす

命題 3.3. 線形作用素$\overline{\theta}_{b}$:$S_{0}^{q}(N)arrow S_{0}^{q-1}$( N) を, 任意の$\omega_{0}\in S_{0}^{q}$( N) と $\omega\in S^{q-1}(N)$について$\langle\tilde{\theta}_{b}\omega_{0},\acute{\mathfrak{l}}AJ\rangle_{q-1}=(\omega_{0}|\overline{\partial}_{b}\omega)_{q}$が戒 ) 立つように定義することができる.
$V$

群 $G$ の作用は

$S_{0}^{q}$(N) を保存し, しかも次の命題が成り立つ.

命題 3.4. 任意の $g\in G$ について

$g_{*}\circ\tilde{\theta}_{b}=’\tilde{\theta}_{\mathrm{J}},\circ g_{*}$

元 $g=g$ (n, $a,$ $u$ ) と任意の証明.

$\langle g_{*}\circ\tilde{\theta}_{b}\omega_{0}, \omega\rangle_{q-1}=\langle\tilde{\theta}_{b}\circ g_{*}\omega_{()}, \omega\rangle_{q-1}$$g*\circ\tilde{\theta}$$\langle$b$\omega_{0}$, )$\omega$$\omega_{0}\in S_{()}^{c_{\mathit{1}}}$.

( N) および $\omega\in S^{q}1(N)$ についてを示せばよ$\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$. 補題 3.2 から$q-1=a^{2\gamma\prime\iota- 2(q-1)}\langle\tilde{\theta}b\omega 0, g_{*}^{-1}\omega\rangle_{q-1}=a^{2m-2q+2}(\omega_{0}|\overline{\partial}_{b}\mathrm{o}g_{*}^{-1}\omega)_{q}$右辺は補題 2.1 から$a^{2m-2q\{2}(\omega_{0}|g_{*}^{-1}\circ\overline{\partial}_{b}\omega)_{q}$に等しく, 再び補題 3.2 から$a^{2m}2$ q } $2(\omega_{0}|g_{*}^{-1}\circ\overline{\partial}_{b}\omega)q=(g_{*}\omega_{0}|\overline{\partial}_{b}\omega)_{q}=\langle\tilde{\theta}b\mathrm{o}g_{*}\omega_{0)}\omega\rangle_{q}1$

29

したがって主張は示された.

口( N) の完備化を( N) とする. 空間( N) は $L^{2,q}(N)$の中で稠密であることに注意し, 作用素:( N) の L2.q(\Delta り上の作用素としての閉包を曲 と書き, CR-Laplacian 型作用素とよぶ. 補題 2.1 と命題 3.4 より次の結果を得る :内積$(\cdot|\cdot)_{q}$による空間$L^{2,q}$$S^{q}$$S_{0}^{q}$$\circ\tilde{\theta}_{b}+\tilde{\theta}_{b}\circ\overline{\partial}_{b}$$b$$S_{0}^{q}(N)arrow S_{0}^{q}$$bq$$g_{*}\circ\square$ $bq=\coprod_{b}\sim$\S 4. CR-Laplacian 型作用素ロ
この節では白による$bq$$L^{2,q}$q\tilde定理 3.5. 任意の $g\in G$ について$qb$$\mathrm{o}g_{*}$.

の固有空間.

(N) の固有空間分解および各固有空間の具体的な記述を与える.

正数 $\lambda>0$ について,口$\mathbb{C}^{m}$上の微分作用素口$(\lambda)$$:= \sum(\overline{\sim\gamma}-k\frac{1}{\lambda}\frac{\partial}{\partial z_{k}})\frac{\partial}{\partial\overline{\tilde{\rho}}k}m..$,$(\lambda)$$\square -(\lambda)$

および白$(\lambda)$を.

$- \frac{1}{\lambda}\frac{\partial’}{\partial\overline{\approx}_{k}})\frac{\partial}{\partial z_{k}}m$$:= \sum(z_{\mathrm{A}}$

$k=1$

$k$

=1

と定義する.

補題 4.1[分形式 $\omega=\sum_{\# I=q}\phi$ I$d_{\sim I}^{\overline{\gamma}}\in S_{0}^{q}$(N) について曲 bq\mbox{\boldmath $\omega$}$= \sum_{*j}$=q$\psi_{I}d\overline{z}_{I}$とす

ると$(\coprod^{(\lambda)}+q)\hat{\phi}_{I}(\lambda, )$$(\lambda>0)$$\tilde{\psi}_{I}(\lambda, \cdot)=\{$$(\coprod^{(-\lambda)}-+n\iota-q)\hat{\phi}_{J}(\lambda, )$正数 $\lambda>0$ について:$\mathcal{L}^{(\lambda\rangle}(\mathbb{C}^{m}):---\{\varphi$

と定義し,

:

$\mathbb{C}^{m}$上の函数空間$\mathcal{L}^{(\lambda)}$.

$(\lambda<\mathrm{t}))$(Cm) を$\mathbb{C}^{m}arrow \mathbb{C};||\varphi||_{\lambda}^{2}‘.--\int_{\mathbb{C}^{m}}|\varphi(z)|^{2}e^{-\lambda|z|^{2}}dxd\prime y<+\infty(z=x+\cdot i\cdot.y)\}$$\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})$に属する正則函数全体のなす空間を

指数 $\nu=(\nu_{1\cdot)},$.

$.\nu\sim\in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{r}$について$\mathcal{L}_{\nu}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{\tau n}):=\{C_{\nu}^{(\lambda)}\varphi).\varphi^{\neg}\in \mathcal{L}_{0}^{(\lambda)}$$\mathcal{L}_{\mathrm{U}}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{\prime\prime\iota})$$C_{\nu}^{(\lambda)}:= \prod_{k=1}^{m}(\nu k!)^{-1/2}($

zk

とする.

.

$- \frac{1}{\lambda}\frac{\partial}{\partial’z_{k}})^{\nu_{k}}$多重とし,(Cm)} とする. 次の補題は [2, 命題 4.1] の特別な場

合である.

命題 4.2. (i) 函数空間
$C_{\nu}^{(\lambda)}$:$\mathcal{L}_{0}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})arrow \mathcal{L}_{\nu}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})$(ii) 函数$\acute{\{}\rho\in \mathcal{L}_{\nu}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{\tau n})$は Hilbert 空間$\mathcal{L}_{U}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})$$\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})$の閉部分空間でありは等距離写像である.

について ($\overline{z}_{k}-\frac{1}{\lambda}$(iii) Hilbert 空間としての直和分解

嘉 k)$k\varphi(z)=\nu_{k}\varphi$$\frac{\partial’}{\partial z}$(z) $(k=1, \ldots, m)$ .

$\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})=\sum_{\nu\in}^{\bigoplus_{0}},\mathcal{L}_{U}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})$が成り立っ.

30

命題 4.2 上り,とすると$\mathit{1}=0,1$, $2,$

について作用素口$\ldots$“$\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m_{1}}\cdot l)=\sum_{|\nu|=l}^{\oplus}\mathcal{L}_{l}^{(\lambda)},(\mathbb{C}^{7}$

分解は$\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})=\sum_{l\geq 0}^{\oplus}\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m};l)$$(\mathbb{C}^{m};l)\}$

(ただし

$)$

に関する l- 固有空間を$| \nu|:=\sum_{k=1}^{m}.\nu$で与えられる. さらに,とおくと,である. 以上の考察と補題 4.1 から,と, 次の結果を得る.

$\mathcal{L}^{(\lambda)}$$(\lambda)$

が白$\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m})=\sum_{l\geq 0}^{\oplus}\overline{\mathcal{L}^{(\lambda)}}(\mathbb{C}^{m}; l)$$\coprod^{q}\sim$

b

に関する

定理 4.3. (i) $\phi\in L^{2}(N)$ について (3.1) によって$\alpha-$$\hat{\phi}$k) となり: 固有空間$\overline{\mathcal{L}^{(\lambda)}}(\mathbb{C}$$\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m};l)=\overline{\mathcal{L}^{(\lambda)}.}$$\alpha_{0}:=\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}$“;$l):=\{\overline{\varphi}$;$\varphi$\inに関する固有空間分解
固有空間を(N; ) とする$(\lambda)$$L^{2,q}$$\alpha^{(}$

を定義するものとすると,$L^{2,q}(N; \alpha)=\{\sum_{\#\Gamma=q}\phi_{I}d_{\sim I;}^{\overline{\mathrm{v}}}\hat{\phi}_{\Gamma}(\lambda\hat{\phi}_{I}(\lambda,’.\cdot))\in \mathbb{C}^{\pi\iota},\cdot\alpha-q\in(\mathbb{C}^{n\iota},\alpha-\frac{\mathcal{L}^{(\lambda)}(}{\mathcal{L}^{(-\lambda)}}\cdot m+q)$

ただし, l\not\in Z\geq 。のとき
(ii)
( $m$ -q) とすると$\mathcal{L}^{(\lambda)}(\mathbb{C}^{m}\mathrm{i}l)$$(\mathrm{i}\mathrm{f}\lambda>0)(\mathrm{i}\mathrm{f}\lambda<0)\}$(Cm; ) $=\{0\}$ $(\lambda>0)$ とする.
$\mathit{1}$$q.,$$L^{2,q}(N)=$定理 4.3(ii) から,$\mathrm{t}‘\coprod_{b}^{\mathrm{r}_{\mathit{4}}}\sim$$\sum_{l\geq 0}L^{2_{\backslash }q}(N;\alpha_{0}+\oplus l).$-調和形式 ‘’ $L^{2,q}(N:0)$ が存在するのは $q=0$ または $q=m$のときに限ることがわかる (これは [6], [8] の結果と整合している).
$\mathrm{I}_{\lrcorner}\mathrm{i}\mathrm{e}$群 $G$ の $L^{2,q}(N)$ 上の表現

$l_{q}$

を$(g=g(r\iota_{:},a, u)\in G, \omega\in L^{2,q}(N))$$l_{q}(g)\omega:=a^{-\prime n- 1\dashv q}g_{*}\omega$と定義すると, 補題 3.2 より$l_{q}$

はユニタリ表現である.

実際

の表現

$H:=\{.c/(1_{N}, a, u);a>0, u\in \mathrm{U}(m)\}\simeq \mathbb{R}_{+}\cross \mathrm{U}(m)$$\tilde{\tau}_{q}$$l_{q}$:は$G$$H\ni g$

の部分群

( 1N,

$a,$ $u$)$\mapsto$と同型であ(62 の結びを参照) を $G$ に誘導した表現
る. 定理 3.5 から各固有空間上にの部分表現 $(l_{q}, L^{2,q}(N;\alpha))$ を考えることができる. この表現をの可解部分群 $B:=$ { (n,).
>0} に制限すると,2 種類の $B$ の既約表現の有限個の直和に分解されることが [2] からわかる ([5] も参の表現についても次の結果が得られる.
照). したがって$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{H}^{G}$$\tau_{(\mathit{1}}(\cdot u)=(\tau_{IJ}(\prime u))_{\# I=\#.J=q}$$\overline{\tau}_{q}$$l_{q}$

$G$

$a,$

$g$

$\gamma f\in N,$ $a$$I_{m}$$)$$G$

命題 4.4. $G$ の表現 ($l_{q},,$$L^{2,q}$(N; )) は有限個の既約ユニタリ表現の直和に分解さ$\alpha$

れる.

\S 5.

函数空間

$L^{2}$(N) の分解.

前節の結果に $q=0$ の場合を適用すると, 函数空間 $L^{2}(N)=L^{2,0}(N)$ の分解が得られる. この空間上の作用素由 をと書く 一方 $N$ 上の函数の複素共役をとると入についてで表し (すなわち $N$ 上の函数
いう操作を)$\triangle\sim$

$0b$

とする.

-m の代わりに,$\phi$$\sigma$$\sigma\phi:=\overline{\phi}$$)\triangle\sim\dagger:=\sigma\circ$$0\sigma$

か
その複素共役ら出発した場合に定義される CR-Laplacian 型作用素に他ならない. 補題 4.1 から直ちに次の補題を得る.
この$\triangle\sim\dagger$

はベクトル場$Z$$\overline{Z}_{1},$$\ldots,$$Z_{1},$$\ldots,$$Z_{m}$

補題 5.1. 函数 $\phi\in S_{0}^{0}(N)=\{\phi\in S$ (N);$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\hat{\phi}\subset(\mathbb{R}\backslash \{0\})\cross$$(\triangle\phi)^{\wedge}(\lambda|)=\sim,\{\begin{array}{l}\coprod^{(\lambda)}\hat{\phi}(\lambda,)(-\coprod^{(-\lambda)}+m)\hat{\phi}(\lambda\end{array})$$(^{\sim}\triangle\dagger\phi)^{\wedge}(\lambda, \cdot.

を$L^{2}(N,\cdot\alpha, \beta)$$(\lambda<0)(\lambda>0)$)=\{\begin{array}{l}(\square (\lambda)+m)\phi(\lambda,\cdot)(\lambda>0)\coprod^{(-\lambda)}-\hat{\emptyset}(\lambda))(\lambda<0)\end{array}$-同時固有空間は可換であり,とすると, 次の結果を得る.

これより入とCm}l こついて$\triangle\sim\dagger$$(\alpha_{i}\beta)$

定理 52. (i) $l=0,1$ ,$2,$$\ldots$$\{\phi;\triangle\phi=\alpha\phi\sim$,\tilde$\triangle$$\dagger\phi=\beta\phi\}$, について(cm; )$l$$L^{2}(N;l,l+m)=\{\phi\in L^{2}(N);\hat{\phi}(\lambda\hat{\phi}(\lambda,’)\in \mathcal{L}^{(\lambda})=0)$$((:\mathrm{f}\lambda<0)\mathrm{f}\lambda>0)$$L^{2}(N;l+m,l)= \{\phi\in L^{2}(N);\hat{\phi}(\lambda\hat{\phi}(\lambda_{i}, )\in)=\frac{0}{\mathcal{L}^{(-\lambda)}}$}.

$(\mathrm{i}\mathrm{f}\lambda<0)(\mathrm{i}\mathrm{f}\lambda>0)\}$(Cm; )$l$(ii) 函数空間$L^{2}$( N) は次のように分解される:”$L^{2}(N)= \sum_{l>0}L^{2}(N;l, l+m)\oplus\oplus\sum_{l>0}$

(iii)

$G$

のユニタリ表現 ($l_{0},$$L^{2}$(N;n)) および ($l,$ $l-\tau r$$l_{0},$$L^{2}(N;l+_{7}n, l)$$L^{2}($

N;$l+rn\grave{.}l$)) は互いに同値でない既約表現である.
定理 52(iii) は同定理 (i) と [4] の結果を比較することによって得られる. また,の Shilov 境界
写像 : $Narrow\Sigma$ によって Siegel 領域と $N$ を同一視したとき,$D_{n}$$\iota$$L^{2}$(N;0, $m$ ) は$\Sigma$$\Sigma$

上の Hardy 空間に他ならないことも (i) からわかる ([7] 参照).

References[1 ] S. T. Ali, J.-P. Antoine and J.-P. Gazeau, “Coberent states, wavelets and tleir
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[2] 伊師英之, 「等質 Siegel 領域の Shilov 境界上の調和解析」 : 数理解析研究所講究録$1245\backslash$

59-72.

[3] –, Wavelet transform associatecl to homogeneous Siegel dornains, to appcar
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32, Wavelet transforrns[4]$f\dot{o}r$semidirect product groups, preprint.

[5] H. Liu and L. Peng, Adrnissible wavelets associated with the Heisenberg group,
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$\mathrm{O}\mathrm{g}(\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}$[8] H. Rossi and M. Vergne, Group representations on Hilbert spaces defined inof -cohomology on the Silov boundary of a Siegel domain, Pacific$t\epsilon i7ms$.1$\mathrm{h}’\mathrm{I}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\cdot,$$\cdot$$\overline{\partial}_{b}$$65(1976),$ $193-207$:Real-Variable Methods, Orthogonality, and[9] E. M. Stein, “Harmonlc
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$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{a}1\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{b}^{\urcorner}$