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自然の書物に書かれた数学: 結晶学と葉序とブラベー
研究室の窓

富安

亮子
会誌に記事を掲載する予定なので，本稿ではあまり触1. はじめにれない．

私の研究分野の一つである数理結晶学を紹介する．

私は結晶学と，最近は数理植物学でもアルゴリズム

数学や理論研究に興味がある学生読者を応援する話題

開発の仕事をしたが，ともに 2 世紀前のブラベーの仕を入れて欲しいと言われたので，個人的なエピソード

事に関係し，ブラベー以降に発展した数学（格子基底簡も少し織り交ぜる．

約理論，マルコフ理論を含む数の幾何）の応用になっ

学生時代は解析数論（保型形式）の研究室に在籍してた．こちらを中心に紹介したい．

いた．当時の研究室のテーマは多岐に渡り，代数的整節 2 でブラベーと，ブラベー格子の紹介を行う．ま

数論や代数幾何に関わるテーマに取り組む人も多かった節 4 で，ブラベーが若い頃に取り組んだ葉序の研究た．私は，進学のイベントごとに思い悩む程度に応用を紹介する．節 3，節 5 ではそれぞれの現代的な解釈

数学にも関心があったが，整数論でも応用ぐらいできと応用の話をする．前者は格子パッキングと正定値 2るだろうと気楽に考えていた．しかし，それを周囲に次形式の簡約理論，後者は，非周期的パッキングと不期待するのは少し時期尚早だった．

定値 2 次形式の簡約理論という数の幾何の問題に関わ

数理結晶学研究を始めた当時，ポスドクが時間がかかりそうな難しい問題に取り組むのは，という意見も∗1）あり，ab-initio

る．葉序の数理がそのような紹介をされたことは恐らくないはずだ．

結晶構造解析ではなく，ab-initio in-

節 3 の開発1) を行ったのは上述の CONOGRAPH

dexing という結晶格子を決定する問題に取り組んだ．

のためで，標準的な教科書に載っている方法2) が未だ結晶学では，原子がなす離散構造と，そのフーリエ係に格子のパラメータが誤差を含まない場合にしか対応数の情報を与える観測値を扱う数理に需要がある．自していないことは以前から問題になっている．解析ソ

分で少しずつ形にしてきたことであるが，位相回復とフトウェアがこの段階で失敗することは未だに起きていう有名なデータ解析の問題があるこの分野でも，離いる（私の宣伝不足もある）．

散数学の問題に解析を用いる整数論の考え方は役立つ．

数理結晶学は，最近，以下のニュースもあった．

Indexing だと調和解析は使わず，代数の応用だけ

1. 平面をただ 1 種類で非周期的にのみ敷き詰め可能で済む．それでも，粉末回折パターンと呼ばれる実験
データから，データと適合度の良い順にソートされたなタイル（monotile）の発見3) ．

2. G = Zd , Rd (d は十分大きな d) における periodic

格子のリストを出力する，という複合的な解析で，必tiling 予想の反例4) ．

要な数理は多岐にわたった．クリアした問題それぞれ

Periodic tiling 予想とは，可換群 G が，その有限について論文を書き，2013 年に粉末結晶用ソフトウェ（もしくは有界）部分集合 F ⊂ G の平行移動でタイリ

ア CONOGRAPH を公開した．10 年の節目に結晶学

ング∗2）されるなら，F による周期的タイリングも存在*1） 初期値なし，つまり局所最適化によらない解析を指す．数*2） ある A ⊂ G が存在して，任意の g ∈ G は（測度 0 の集

学では ab-initio を考えることが多い．この状況での初期値

合を除き），a + f , a ∈ A, f ∈ F の形に一意に表される，は，正解に近いと想定される結晶構造・格子のパラメータ．

ということ．

数理科学

NO. 709, JULY 20221

する∗3）という予想である．1. の著者の 1 人 D. Smithとにする．Z 加群として L は Zd に同型なので，写像はアマチュア数学者，2. は有名な T. Tao が著者の 1

Zd → L, (mi ) 7→

人である．

L の基底 b1 , . . . , bd が存在する．

∑d

i=1

mi bi が一対一であるような今回は代数的な話題が多いが，データ解析で有用なある基底ベクトル b1 , . . . , bd を列ベクトルに持つ行

数理も一枚岩でない．数理結晶学の裾野の広さを感じ

列 B ∈ GLd (R) を L の基底行列, 対称行列 S := tBBてもらえれば，と思う．

を L の 2 次形式と呼ぶ．格子 L，および 2 次形式 Sの自己同型群は以下で定義される．

2. ブラベーの人と業績

Aut(L) := {τ ∈ O(d) : τ L = L},

オーギュスト・ブラベー（Auguste Bravais, 1811–

Aut(S) := {σ ∈ GLd (Z) : tσSσ = S}.

1863) は数学者ではなく，幅広い分野で活躍した科学

上記の 2 つの群は同型である．このことは，以下の者である．彼の研究は，科学と未分化だった頃の数学

群 G を考えたとき，Aut(L) は G の第 1 成分への射とはこういうものかと思わせる不思議な魅力がある．

影，Aut(S) は第 2 成分への射影の像であり，それぞ

ブラベーはガロアと同い年で，ガロアも参加した数学コンクールで１位を取り，エコール・ポリテクニー

れの射影が単射でもあることから分かる．

クに入学し成績もよかった．卒業後は海軍に入り，各G := {(τ, σ) ∈ O(d) × GLd (Z) : τ Bσ −1 = B}.

地を探検した．1840 年代に初めて相関を定義した人でさらに，B −1 Aut(L)B = Aut(S) となるから，2もある．

つの自己同型群は GLd (R) で共役である．また，基ブラベーの時代は，結晶のマクロな観察により結晶

底行列 B を別の Bg, g ∈ GLd (Z) で置き換えると，格子を導出した．現代は，回折・散乱という自然が行

Aut( tgSg) = g −1 Aut(S)g となり，GLd (Z) で共役でうフーリエ変換の情報を介しての観測が行われるが，ある．

いずれにせよ観測誤差は生じる．
しかしブラベーが格子やその対称性に興味を持った

異なる格子の対称性の分類として，格子系 (latticesystem) も定義しておく．晶系 (crystal system) は結

きっかけは，若いときに植物学者の兄と書いた葉序に関晶構造に対して，同様に定義されるが，3 次元では三する共著論文5) だったと思われる．節 3 にも出てくる

方晶系を除き，各晶系に対応する格子系はただ一つでGauss や Eisenstein とブラベーが同時代の人であっある．

たことは，数学史としても興味深い．

2.1 ブラベー格子の数学的な定義
ブラベー格子∗4）は化学の教科書にも記載されている
面心・体心格子といったものだが，意外と数学的に定義されることは少ない．端的には，対称性と簡約基底が明示された格子に該当する．
数学では，格子の対称性の分類としてブラベー類が定義されているが，こちらはあまり有名でないので定義しておく．

定義 1

格子 L1 , L2 ⊂ Rd に対し，S1 , S2 をそれぞれの 2 次形式とする．

1. Aut(S1 ), Aut(S2 ) が GLd (Z) において共役であるとき，L1 , L2 は同じブラべー類 (Bravais class) に属すという．

2. Aut(L1 ), Aut(L2 ) が GLd (R) において共役であるとき，L1 , L2 は同じ格子系 (lattice system) に属すという．

まず，L ⊂ Rd を格子とし，その階数 (rank) は次

上述の B −1 Aut(L)B = Aut(S) より，ブラベー類

元 d に等しいとする．以下ではこの full rank のケー

は，格子系による分類の細分になることが分かる．セスのみ考えるので，格子 L の階数を次元とも呼ぶこ

ンタリング (centering) は，各格子系からブラベー類*3） ある部分群 H ⊂ G (G = Zd ならば [G : H] < ∞,G = Rd ならば H は Rd の格子を仮定) が存在して，脚注

数学では，対称性によって簡約基底の取り方を変え

2) の A を有限個の剰余類 gH の合併集合として取れるこることはしないが，結晶学では，対称軸が見やすい部と．

分格子を取ってブラベー格子とする．

*4） 結晶学者 Frankenheim が 15 種類とし，ブラベーが重複を指摘して 14 とした．Frankenheim は 32 点群と 7 晶系も与えている．

2

への分類に該当する（図 1）．

次に簡約基底について説明する．2 次元格子の場合，2 次形式 S = (sij ) が簡約とは，以下の不等式が成立

3. 格子基底簡約理論の考え方
単純(primitive)

本節では観測誤差下でのブラベー格子決定に，格子底⼼(base centered)

基底簡約理論の考え方がどのように利用できるかを説
明する，
菱⾯体格⼦
(rhomboheral
centered)

ブラベー格子決定とは，与えられた格子のブラベー類を判定し，格子基底をブラベー格子の簡約基底に取体⼼
⾯⼼(body centered)(face centered)
図 1 5 種類のセンタリング

り直すことである，以下の流れで実施できる．

することである．

2. ブラベー類を判定．

1. 入力 2 次形式の簡約基底の候補を既定のリストか
ら１つ選択し，それぞれ 2, 3 を実行．

0 ≤ −2s12 ≤ s11 ≤ s22 .

3. 1. の簡約基底と 2. のブラベー類に対応する格子パ(1)ラメータを出力．

2 次元格子は、その 2 次形式が上記の不等式満たすよただし誤差がある状況では，単純立方の 2 次形式がうな簡約基底をただ一つ持つ．実際，式 (1) の s11 , s22

入力されても，より低対称性のブラベー類に該当するは逐次最小 (successive minimum) と呼ばれる基ケースが起こり得るので，格子パラメータの摂動によっ

底の取り方によらない格子の不変量で，逐次最小と行て得られる低対称性のケースもすべてソートして出力列式から式 (1) の 2 次形式は一意に定まる．各格子がし，後続処理に判断を委ねる．最も対称性が高い解が簡約基底を持つことは，簡約基底を与えるアルゴリズ

正解であることは多い．
誤差がある状況で，最も自明でないのは 1. である．

ム (Gauss’ algorithm) の存在から分かる．
任意の 3 次元格子に対し簡約基底がただ一つに決簡約基底が固定されれば，2 次形式の各成分が，候補まるのが Eisenstein 簡約 である．結晶学で広く用いとして挙げられている群対称性（群作用から導出されられるが，紹介した結晶学者の名から Niggli 簡約とる線形式）を誤差の範囲で満足するかをチェックする呼ばれている．Minkowski 簡約は一般次元への拡張だけで済む．

6)

だが，一部の格子が簡約基底を複数持ち得る．他にも
7)8)

Voronoiや多項式時間近似アルゴリズムの LLL

10)

3 次元格子では，1 のリストは 100 前後の長さで大きな誤差にも対応できるようになるが，それで対応でといった簡約方法が知られる．本節の定理の証明で用きないケースでは無限個の簡約基底のリストが必要にいる Venkov 簡約 を定義しておく．

なるのでそもそも無理，ということが簡約理論の考え9)方から示せる．その概要を以下に述べる．
定義 2

S0 , S を正定値の n 次対称行列とする．以下

前節で，個々の簡約基底 B ∈ GLd (R) を考えたが，が成立するとき，S は，S0 に関して Venkov 簡約と以下では各点がある格子基底に対応する空間を考える．

いう．

直交群 O(d) の作用（回転・反転）で一致する格子基底

S • S0 ≤ (gS g) • S0 for any g ∈ GLd (Z).
t

ただし，S • T := trace(ST ) とする．
定義 3

S が以下の Ad = (aij ) について Venkov 簡

約なら，Selling 簡約という．


2 if i = j,aij =
1 if i ̸= j.

また，Id について Venkov 簡約なら，広い意味でMinkowski 簡約ということにする．

は同一視するなら，軌道空間 O(d)\GLd (R)，または，2 次形式（d × d の対称行列) がなす R 上 d(d + 1)/2次線形空間の中で半正定値行列 S = tBB 全体がなす凸錐を考えればよい．
式 (1) のようにスケールの違いで差が生じない性質を扱う場合，定数倍で等しい 2 次形式を同一視して，さらに次元を 1 減らせる．2 次元格子では空間は 2 次
元，3 次元格子で 5 次元となる．

2 次元格子基底に対応する空間は，上半平面 H ={z ∈ C : Im(z) > 0} と同一視できることはよく知られている．格子の 2 次形式 S = tBB は正定値なので，ある実数 x と c, y > 0 を用いて S を式 (2) 左のように

数理科学

NO. 709, JULY 20223

タで，(A) が成立しないほど誤差が大きいことはまずyない．
以下の定理は，研究室学生の修論の結果で，IUCr
ジャーナルから間もなく出版予定である．3 次元の場
合1) と方針や証明は変わらない．
定理 1 S は単純長方格子の 2 次形式とし，その観測
値 S obs は広い意味で Minkowski 簡約とする．上記
-1

0

1

x

の (A) が成立すれば，S も広い意味で Minkowski 簡
約となる．よって以下が成立する．

図 2 簡約された 2 次元格子は太い線に囲まれた領域の点に対応．破線は，g · D (g ∈ GL2 (Z)) によるタイリングを表す．各タイルは実軸に近づくほど小さくなるがポアンカレ計量 dxdy/y 2 の下で各 g は合同変換になる．

表せる．以下の写像は，O(d)\GLd (R)/R>0 と H の一対一対応を与える．

(

1

S=c

x

x
x2 + y 27→ x + iy.

0

0

s22

,

s11 , s22 ∈ R.

(

or

s11
−s11 /2−s11 /2s22

s22
s11 /2 − s22

) (
,

s22
−s11 /2

s11 /2 − s22
s22

)

,

−s11 /2s11)

s11 , s22 ∈ R.

要は，観測値の S obs を簡約すれば，S obs と同じ基底で未知の S もほぼ簡約になる，というのが定理の主S 7→ gS g より，GL2 (Z) が H に作用している．具t

体的には各 z = x + iy ∈ H に対し∗5），(dz + c)/(az + b) ad − bc = 1,·z =(dz + c)/(az + b) ad − bc = −1.
d
)

b

c

)

s11

定理 2 S は面心長方格子の 2 次形式とし，その観測
値 S obs は Selling 簡約とする．上記の (A) が成立す
れば，S は以下のいずれかの形になる．

((2)

を図 2 に示す．

a

S=

)

式 (1) を満たす簡約 2 次形式からなる簡約領域 D((

特に，g ∈ SL2 (Z) では一次分数変換と一致する．

張である．

(A) のような S obs の正定値性の仮定が必要な理由
であるが，欲しい情報は，正定値である未知の S に対して，gS tg が簡約となる g ∈ GL2 (Z) である．S obs
が不定値，すなわち正負の固有値を共に持つとすると，

S obs に値が近い半正定値の S からなる領域として，実

2 次形式に誤差が入る場合も，この空間で考えると軸上のある区間とその近傍が含まれる（式 (2) では実

見やすい．3 次元格子の場合，5, 6 次元の空間で考え軸上の点や無限遠点に半正定値対称行列が対応する）．

る必要があるが，基本的には線形代数だけでできる．

図 2 に見るように，実軸の近傍は無限個の g · D (g ∈−1

理解を容易にするため，2 次元格子の例を続けること

GL2 (Z)) が集積しており，各 g について，g −1 S tgにする．

が簡約となる可能性があるため，g の候補として無限正定値の 2 次対称行列 S が，S obs として観測されている状況を考える．以下の観測誤差に関する仮定 (A)

長さのリストが必要になる．簡約理論から，そういった状況が見て取れるのである．

の下，未知の S の簡約基底を得る定理を証明できる．

(A)

ある 0 ̸= v ∈ Z2 と 2 次対称行列 T において

S • T ≥ tvSv が成立しているなら，S obs • T > 0も成立する．

(A) は， tvSv（つまり非零の格子ベクトル長さの 2乗）の上界 S • T の観測値 S

obs• T の値が，必ず正値になるという仮定になる．結晶学で使用されるデー

4. 葉序と無理数
葉序は，植物の茎における葉の付き方，葉の配置を指す．図 3 右のように，円柱（茎）の周囲をらせん状に一定速度で上る線上に葉が出るモデルを考える．
茎を円柱と考えて真上から見ると，円周上の点として葉が配列する．n 番目の葉と n + 1 番目の葉がなす*5） 式 (1), (2) で s11 , s22 の役割を交換すれば，通常の 1 次

分数変換の形になる．z̄ は z の複素共役．

4角度を開度 (divergence angle) といい，この値が

6

5
3

(φ, ε)

図3

4
2

1
0
1
2 次元格子を用いた葉序モデル．格子点の円柱面への像が葉の分布を表す．

図4

Vogel 螺旋 (左) と黄金角 φ = 1/(1 + ω) を有
理数 1/(1 + 13/8) に置き換えた場合 (右)．

定数になる場合を螺旋葉序という．
ブラベーの時代，Schimper-Braun の法則として，開度 φ(radian) と 2π の比は以下の形で書けて，特に，

n = 2 の場合が広く見られることが，実際の植物の観察から知られていた．

5. 葉序の数理とマルコフ理論
節 4 では円柱モデルを考えたが，黄金角の機構は任意の回転体の表面に適用可能であることが知られてい

1
1
2
3
5
8
,
,
,
,
,
,...
n n + 1 2n + 1 3n + 2 5n + 3 8n + 5

る．私の研究室では，これを一般曲面や一般次元多様

分子はフィボナッチ数，分母は前の 2 つの分母の和で九大のプログラムに用いたため留学生も参加した．得あるから，n = 1, 2 を代入するとやはりフィボナッチ

られるパッキング密度の下限は，曲面で 0.7, 3 次元多数になる．

様体で 0.38 ぐらいである．

体上の点パッキング生成法に拡張した11) ．この研究はブラベーはこれに対し以下のようなことを考えた5) ．

パッキング密度は，各点に円の中心を置き，円が重

円柱は R2 /Z の一部とみなせる．上記の円柱上の記述

ならない範囲で直径を最大化したとき，円に入る領域

を無限に延長すれば，R2 /Z 上の点配置が得られる．自の割合（面積の比）として定義される．このとき円の然な全射 R → R /Z による各点の逆像を L ⊂ R と直径は最も近い 2 点の距離に等しい．ただし多様体上する．L の 1 点が原点と一致するよう座標系を平行移の距離と面積の計算にはリーマン計量を用いるとする．

2

2

2

動すれば，L は 2 次元格子になる．

回転体は，xy 平面のグラフ y = f (x) を x 軸

実際，L は z 7→ z + 1 の平行移動で不変なので，任の周りに回転させて得られるので，その表面 S は意の n ∈ Z に対し t(n, 0) ∈ L となる．螺旋葉序の状(x, f (x) cos θ, f (x) sin θ) とパラメトライズされる．

況では，それ以外で t(s, 0) の形に書けるものは L に

S の a ≤ x ≤ b におけ る表面 積は F (b) :=含まれないと考えてよい．この状況で開度 φ を用いる

2πと，ある実数 ϵ ̸= 0 が存在して，葉は (nφ, nϵ), n ∈ Zに対応する座標に配列する．逆像 L は，以下の基底行∫ba|f (x)|dx に等しい．

S 上の x ≥ a の領域に葉序パターンを生成するには，F の逆関数 F −1 を用いて以下のようにすればよい．

列を持つ 2 次元格子となることが分かる（図 3 左）．

(

B=

)

1

φ

0

ϵ

θn := nφ,.

(3)

さらにブラベーは，葉序の近接点をつなげて得られる 2 方向の螺旋（parastichy pair）が φ の連分数表示で記述できることを示し，φ/2π は有理数よりも無理数と考えた方がよく，その場合，最も多くの植物に見られる開度は φ = (3 −黄金数 ω = (1 +

(3 −

√

5)/2 になると提言した．

√
5)/2 を用いると，上記の φ =√5)/2 は 1/(1 + ω) に等しい．この角度は黄金角と呼ばれる．

xn := a + F

(4)
−1

(nϵ).

(5)

ただし，φ は開度，ϵ > 0 は任意定数である．式 (4) より，n + 1 番目の点は n 番目の点から φ だけ回転した
座標に現れる．式 (5) は，S の a < x ≤ F −1 (nϵ) を満たす面積 nϵ の領域に n 個の点が出る，という等面積性の仮定から導出される．
同じ考え方は円盤にも適用できる．Vogel 螺旋12)√の各点を極座標で表すと (rn , θn ) = ( n, nφ), n =1, 2, . . . で，φ = (3 −√5)/2 とすれば，図 4 左のようなパターンが R2 全体に展開される．また，φ が無理数ではなく有理数なら，図 4 右のように十分原点から

数理科学

NO. 709, JULY 20225

(

離れた座標で分岐する．ブラベーの開度が無理数であるという主張は，この意味で正しい．
一般曲面に Vogel 螺旋のようなパターン生成を行う
ためには，回転角という考え方から，格子点の像とい)b0

各整数 n ̸= 0, 1 に対し，bn を以下が成立するように取る．

う考え方に戻る必要がある．
ごく最近，葉序の数理とマルコフ理論の関連が指摘(された13) ．確率過程のマルコフ連鎖で有名なマルコフ
だが，マルコフ理論14) 15) は，以下の最小値 m(S) が，)

bn−1 =bn

1/3 より大きな値となる不定値 2 次対称行列に関する．

{√

m(S) := min

√

}

t

vSv

|det S|: 0 ̸= v ∈ Z2.

|det S| で割るのは，S のスケールによって m(S) のを与えることがマルコフ以前に知られていた16) ．

(

S=

)

1

−1/2

−1/2

−1

列を持つ 2 次元格子 Lφ1 ,φ2 ,ϵ の最短ベクトルを含む簡約基底を求めることを考える．

(

Bφ1 ,φ2 ,ϵ =

)(

ϵ−1/2

0

1

−φ1

0

ϵ1/2

1

−φ2

∆(Lφ1 ,φ2 ) を，Lφ1 ,φ2 のパッキング密度と

π
m(S),
4
π
.
lim inf ∆ (Lφ1 ,φ2 ,ϵ ) =ϵ→+02L(φ1 )
inf ∆ (Lφ1 ,φ2 ,ϵ ) =(7)0̸=ϵ∈R(8)

ただし，S は， txSx = (x1 − φ1 x2 )(x1 − φ2 x2 ) を満
たす対称行列とし，L(α) は α のラグランジュ数，すなわち (*) が成立する実数 M の上限 sup M とする．

|α − p/q| <(*)

1を満たす無限個の有理数 p/qM q2が存在する．

)

実際に定理 4 を用いてパッキング密度の下限を求め.

ただし，ϵ ̸= 0 は任意定数で，暫定的に φ1 > 0 > φ2てみよう．式 (3) の基底行列を，行列式が 1 になるよう ϵ−1/2 倍しておく．

(とする．実際，どのような格子も Bφ1 ,φ2 ,ϵ の定数倍のB=

φ1 , φ2 の連分数表示を以下のようにとったとき次の定理が成立する11) ．

φ1 = [a0 , a1 , a2 , · · · , an , · · · ],−φ−1
2 = [a−1 , a−2 , · · · , a−n , · · · ].
定理 3 Lφ1 ,φ2 ,ϵ の基底 b0 , b1 を以下のように取る．

)

)(

ϵ−1/2

0

1

φ

0

ϵ1/2

0

1

形の格子基底を持つ．

6

u2 := (d − 1)bN −1 + bN −2 ,立する．

られている17) ．ただし， txSx = 0 が整数解を持たなないが，そこで，連分数表示を用いて，以下の基底行

if n ≤ −1.

すると式 (7) が成立する．φ1 が無理数なら式 (8) も成アルゴリズムとほぼ同様の計算で簡約できることが知葉序の 2 次元格子との関係が分かりにくいかもしれ−an1u3 := −u1 − u2 = −(dbN −1 + bN −2 ).

S のような不定値 2 次対称行列の場合も，正定値のかつ s11 + s22 ± 2s12 も異符号であることである．

( if n ≥)1,
) 0
1の Selling 簡約基底になる．

定理 4

い不定値の S = (sij ) が簡約とは，s11 , s22 が異符号bn0

このとき，以下の ui , uj (i ̸= j) は，それぞれ Lφ1 ,φ2 ,ϵu1 := bN −1 ,f (x1 , x2 ) = (x1 − ωx2 ) (x1 − (1 − ω)x2 ) . (6)

(



bn+1







1

)

1

(dbN −1 + bN −2 ) · bN −1 ≥ 0.

.

√
5)/2 が現れる．

bn−2

(
) a
n−1

1 ≤ d ≤ aN −1 を以下が成立する最小の整数とする．

対応する 2 次形式 f (x) = txSx を因数分解すれば，
黄金数 ω = (1 +

(



bn−1







整数 N を bn · bn−1 ≥ 0 が成立する最小の n とし，値を変えないためである．

√
S が不定値の場合，以下の S が最大値 m(S) = 2/ 5

= Bφ1 ,φ2 ,ϵ .

b1

,

φ=

√
3− 5
.
2

以下より，B が生成する格子は Lω,−1,φ−1 ϵ の定数倍
になる．

(

B

0

−1

1

1

)

(
=

)(
φϵ

0

1

−ω

0

ϵ−1

1

1

)
= φ1/2 Bω,−1,φ−1 ϵ .

α が有理数のときは L(α) = 0，無理数 α =[a0 , a1 , a2 , . . .] においては以下が成立する18) ．

3) D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, C. GoodmanStrauss, An aperiodic monotile, https://arxiv.
L(α) = lim sup ([an+1 , an+2 , . . .] + [0, an , an−1 , . . . , a1 ]) .org/abs/2303.10798.
n→∞4) R. Greenfeld, T. Tao, A counterexample to the√periodic tiling conjecture, arxiv: https://arxiv.
よって ω = [1, 1, . . .] より，L(ω) = ω + 1/ω = 5
org/abs/2211.15847となるので，定理 4 の式 (8) より，
5) L. Bravais, A. Bravais, Essai sur la disposition()
des feuilles curvisériées. Annales des Sciences Naπlim inf ∆ Lω,−1,φ−1 ϵ = √ = 0.702 . . . .
turelles, Botanique 7 (1837), pp.42âĂŞ110.
ϵ→+0
2 56) G. Eisenstein, Tabelle der reduzierten positiven
Vogel 螺旋のパッキング密度が 0.7 以上になることはternären quadratischen Formen, nebst den Resultaten neuer Forschungen über diese Formen in
上式によって保証されている．しかし，対応する 2 次
besonderer Rücksicht auf ihre tabellarische Recht
形式 S では xSx = (x1 − ωx2 )(x1 + x2 ) となるので，
nung, J. Reine Angew. Math. 41 (1851), pp. 141()m(S) = 0 より， inf ∆ Lω,−1,φ−1 ϵ = 0 となる．
190.
0̸=ϵ∈R
7)
G. F. Voronoi, Sur quelques proprietes desすなわち，ある ϵ に対してパッキング密度は 0 にい
formes quadratiques positives parfaites, J. Reine
くらでも近い値を取る．Vogel 螺旋で，原点回りの局
Angew. Math. 133 (1908), pp.97–178.
8) G. F. Voronoi, Nouvelles applications des parame所的なパッキング密度が若干良くないのはこのためだ．
tres continus a la theorie des formes quadratiques,
この ϵ は，格子を写す写像のヤコビアン行列から求め
J. Reine Angew. Math. 134 (1908), pp.198–287.
ることができる値で，より顕著な例も容易に作れる．
9) B. A. Venkov, On the reduction of positive quadratic forms, Izv. Akad. Nauk SSSR
しかし上述のように，m(S) が最大の 2 次形式は式
Ser. Mat. 134 (1940), pp.37–52.
(6) である．そこで式 (3) の代わりに，以下の基底行
10) A. K. Lenstra, H. W. Lenstra Jr., L. Lovász,
列 B2 を採用する．
Factoring polynomials with rational coeﬃcients,()√
Mathematische Annalen 261 (1982), pp.515–534.
1
−ω
1+ 5
11) S. E. Graiﬀ Zurita, R. Oishi-Tomiyasu, Packing
.
(9)
B2 =
, ω=
2
1 ω−1
theory derived from phyllotaxis and products oflinear forms, submitted （arxiv: https://arxiv.
B2 が生成する 2 次元格子 Lω,1−ω,ϵ では，ϵ の値に
org/abs/2106.12333)
12) H. Vogel, A better way to construct the sun関わらず，以下が成立する．
flower head, Mathematical Biosciences 44 (1979),π
pp.179–189.
inf ∆ (Lω,1−ω,ϵ ) = √ = 0.702 . . . .
ϵ2 513) F. Bergeron, C. Reutenauer, Golden ratio andphyllotaxis, a clear mathematical link, J. of
この Lω,1−ω,ϵ を採用することで，一般曲面に葉序パ
Math. Biology 78 (2019), pp.1–19.
ターンを生成できる．数学としてはこの辺から面白く
14) A. Markoﬀ, Sur les formes quadratiques binaires
なってくるが，新しい研究になるので詳しくは本論文
indéfinies, Mathematische Annalen 15 (1879),
pp.381–406.
を参照されたい11) ．ブラベーの提案した式 (3) よりも
15) A. Markoﬀ, Sur les formes quadratiques binaires
さらに，式 (9) では無理数の要素が増える．そのためindéfinies, Mathematische Annalen 17 (1880),
曲面が自分自身と交わるところで，それぞれの座標系
pp.379–399.
16) A. Korkine, G. Zolotareﬀ, Sur les formes quadraの螺旋を綺麗につなげるのに一工夫必要となるが，上tiques, Mathematische Annalen 6 (1873), pp.366–
述の Vogel 螺旋の原点周りの点配置も若干改善される．
389.
高次元化には，線形式の積（product of linear forms） 17) J. H. Conway, The Sensual (Quadratic) Form
(Carus Mathematical Monographs 26), The Mathという，やはり数の幾何の知見を用いた．
ematical Association of America (1997).
18) M. Aigner, Markov’s Theorem and 100 Years of
参考文献
the Uniqueness Conjecture, Springer (2013).
1) R. Oishi-Tomiyasu, Rapid Bravais-lattice determination algorithm for lattice parameters containing
large observation errors, Acta Cryst. A68 (2012),
pp. 525–535.
2) Edited by M. I. Aroyo, International tables forcrystallography Vol. A (2016), Wiley.

数理科学

NO. 709, JULY 2022

（マス・フォア・インダストリ研究所，九州大学）

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