数理解析研究所講究録
1183 巻 2001 年 35-51

35

path model とそれに関連した諸結果
佐野大輔 (Daisuke Sagaki)

筑波大学大学院数学研究科

Graduate School of Mathematics,
University of Tsukuba.

\S 1 Introduction–path model の簡単な紹介と記号の準備-

generalizd Cartan matrix $A=(a_{ij})_{i,j\in I}(I=$$\{1, 2, \ldots, n\})$ に付随した Kac-Moody algebra とし,の Cartan subalgebra,
を$P$ を
integral weight 全体の集合とする. $[0,1]:=\{t\in \mathbb{Q}|0\leq t\leq 1\}$ とし, $B$ を区
分的に線形で連続な path :で, $\pi(0)=0$ を充たすもの全体の集合とする. さらに適当な symbol を 1 つ準備する.
[4] において P. Littelmann I は root operator と呼ばれる写像を定義した (定義symmetrizable$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(A)k$$\gamma_{\mathrm{f}}$$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}$$\pi$$[0,1]arrow P_{\mathbb{Q}}:=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}P$$\theta$は \S 2 を参照). これは $B\cup\theta$ から自分自身への写像$e_{i},$$f_{i}(i\in I)$上に作用する operator と同様の性質を持っている. 例えばで, crystal basis$e_{i}\pi\neq\theta$(resp.

$f_{i}\pi\neq\theta$)

であるならば $f_{i}e_{i}\pi=\pi$ (resp. $e_{i}f_{i}\pi=\pi$ ) が成立する.
この root operator を $\pi_{\lambda}(t):=t\lambda$ (ここで,に次々に作用させて得られる path の集合を$\lambda$

は dominant integral weight である)

$B(\lambda)$とする. このとき$B(\lambda)$

の元

$\pi$

は

の元の罷 :“chain condition” と呼ばれる条件を満たすと有理数の列: $0=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{\text{、}}=1$ との組と 1 対 1 に対応する:. ここで $W$ は の Weyl 群であり $W_{\lambda}:=\{w\in W|w(\lambda)=\lambda\}$ であ”る. さらに上の “Bruhat order” である:
は以下のようにして定めたの各 coset には length が最小の元が唯–つ存在することが知られている.
$W/W_{\lambda}$$\underline{\tau}$$\tau_{1}>\mathcal{T}_{2}>\cdots>\mathcal{T}_{s}$$\underline{a}$$\pi=(\underline{\tau}, \underline{a})$$\mathfrak{g}$$”\geq$$W/W_{\lambda}$$W/W_{\lambda}$“length fuction”
上に Bruhat order を定義する (詳細は \S 3 を参を定義する. それを用いての Lakshmibai-Seshadri path (L-S path) と呼ばれ,の元は class
照).
以下で紹介する定理に見られるように非常に重要かつ基本的である (path にその元の length をその coset の “length” と定めて

$W/W_{\lambda}$

上に$W/W_{\lambda}$$B(\lambda)$$\lambda$$\mathrm{L}-\mathrm{S}$

ついては \S 4 参照).

さて L-S path に関する定理を幾つか紹介しよう.

意の $i\in I$ に対して,$\langle\rho, \alpha_{i}^{\vee}\rangle=1$を満たす$\mathfrak{h}^{*}$$\rho$を Weyl 元, すなわち任の元とする.

また$p$

を $W$ 上のと定める. さらに
length function とし,の irreducible highest weight -module とする. このとき次のを highest weight定理が成立する [4, \S 5], [7, Proposition 4.1]:$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(w):=(-1)^{\ell()}w$$L(\lambda)=\oplus_{\eta\in \mathfrak{y}*}L(\lambda)_{\eta}$$\lambda$$\mathfrak{g}$36Theorem 11. (Weyl-Kac formula)
とき, 以下の式が成立する:$\lambda$

を dominant integral weight とする. この$j_{\sim}$.

$.. \cdot’\sum_{w\in W}$(1.1)$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(w)e^{w}\sum_{\pi\in B(\lambda}\rho)e^{\pi(1)}:..=\sum_{w\in W}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}.(w)e^{w}(\lambda+\rho)$.

したがって, 特に$\sum_{\pi\in B()}\lambda e^{\pi(}1$)$=\mathrm{c}\mathrm{h}L(\lambda)$が成立する.

次に $\pi=(\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{s} ; a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{s})\in B(\lambda)$ に対して$B(\lambda)_{\tau}:=\{\pi\in B(\lambda)|\varphi(\pi)\leq\tau\}$$(\tau\in W/W_{\lambda})$口$\varphi(\pi):=\tau_{1}$と定め,とおく. また次のような operatorを定義する (Demazure operator):(12)$D_{i}(e^{\mu}):= \frac{e^{\mu+\rho}-eri(\mu+\rho)}{1-e^{-\alpha}}e^{-\rho}$

さらに$\{0\}$(Demazure module) とする. ここでは positive root に対応する root space で生成される$E_{\tau}(\lambda):=U(\mathfrak{n}_{+})u_{\tau}$

である.

また

$\mathfrak{n}+$subalgebra であり,$U(\mathfrak{n}+)$$u_{\tau}\in L(\lambda)_{\mathcal{T}()}\lambda\backslash$は$\mathfrak{n}+$の universal enveloping algebra である.

$\mathfrak{g}$

の

このとき

次の定理が成立する [4, \S 5]:

Theorem 1,2. (Demazure character formula)
する. また $\tau\in W/W_{\lambda}$ とし,$\tau--ri_{1}ri_{2}\ldots r\text{ら}$dominant integral weight
を reduced expression とする. この$\lambda\xi$$\mathrm{g}$とき, 以下の式が成立する:$. \sum_{\pi\in B(\lambda)\mathcal{T}}e^{\pi(1}=Di_{1}D)\ldots Di_{2}i_{\mathit{8}}(e)\lambda$

したがって, 特に$\lambda,$$\mu$$\sum_{\pi\in B(\lambda})_{\mathcal{T}}e^{\pi}(1)=\mathrm{c}\mathrm{h}E_{\mathcal{T}}(\lambda)$が成立する.

(13)

口が dominant integral weight であるとき, $L(\lambda)\otimes L(\mu)$ は完全可約であることが知られている [8, Corollary 65.1].
$\mu*$ dominant integral weight
Theorem 1.3. (Littlewood-Richardson rule)とする. このとき,の既約分解は次で与えられる :$\lambda,$$L(\lambda)\otimes L(\mu)$(1.4)$L(\lambda)\otimes L(\mu)=$$\bigoplus_{),\pi:\mu- \mathrm{d}\circ\min \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\pi\in B(\lambda}L(\mu+\pi(1))$

ここで, $\pi\in B(\lambda)$ が -dominant であるとは, 任意の $t\in[0,1]$ に対して $\mu+\pi(t)$$\mu$

が dominant Weyl chamber に含まれるときにいう.

またこれに関連して次の定理も成立する:

口

37
に対して,
Theorem 1.4. (PRV conjecture)nant integral になるとき, $L(\nu)$ はし (\mbox{\boldmath $\lambda$})\otimes L(\mu ) の分解に現われる.
$\sigma\in W$$\tau,$$S\subset I$とし,$\mathfrak{g}s$を $S$ に対応する

対して, $V$ を制限によって$\mathfrak{g}s$$\mathfrak{g}$$\nu:=\tau(\lambda)+\sigma(\mu)$が domi口Levi subalgebra とする. g-moduleの-module と見なしたものを$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{S}V$$V$にで表すことにする.

は完全可約である. これの irreducible
このとき, [8, Theorem $6.5.1$ ]$9s$ -module への分解は次で与えられる [4, \S 7]:$.\text{より}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{S}L(\lambda)$

Theorem 1.5. (Branching rule).
き$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{S}L(\lambda)$

を dominant integral weight とする. このと$\lambda$は次のように分解する:(1.5)$L(\pi(1))$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{S}_{S}L(\lambda)=$$\bigoplus_{\pi\in B(\lambda)}$$\pi:g_{S}$-dominant であるとは, 任意の $t\in[0,1]$ に対しての root system に関する dominant Weyl chamber に含まれるときにいう.

ここで, $\pi\in B(\lambda)$ が$\mathfrak{g}s$-dominant$\pi(t)$$\mathfrak{g}s$が
口や Levi subこれらの定理を用いて, 例えば Demazure module の次元
algebra による分解の explicit な公式を求めたいわけだが, そのためにはまずは$\dim E_{\mathcal{T}}(\lambda)$の L-S path の集合を決定しなくてはならない. ところがこれは
class
Bruhat order の複雑さや chain condition のために–般にはかなり困難な作業であを与えに対してる ( の rank が 2 でも –般の dominant integral weight
るのは難しい). しかしこれは以下のような方法で, 場合によっては回避できるこおよび $0<a<1$とがある. 説明に入る前に幾つか記号を準備しよう.
に対して,$B(\lambda)$$\lambda$$B(\lambda)$$\lambda$$\mathfrak{g}$$\pi_{1},$$\pi_{2}\in B$$\pi_{1}(a^{-1}t)$

if $0\leq t\leq$.

$\pi_{1}++\pi_{2}((1-a)-1(t-a))$

if $a\leq t\leq 1$$\pi_{1a2}*\pi(t):=\{$と定義する (path の連結). さらに$\pi_{1},$$\pi_{2},$$\ldots,$$\pi_{n}\in B$

$a$

(1.6)

に対して,

$\pi_{1}*\pi_{2}*\cdots*\pi n:=(\cdots((\pi_{1^{*)*)}}\frac{1}{2}\pi 2\frac{2}{3}\pi 3\ldots)*\frac{n-1}{n}\pi n$

(1.7)

と定める.
さて,

$\lambda_{1},$$\lambda_{n}$$\lambda_{2},$$\ldots,$

を dominant integral weights としたとき,$B_{(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}}):=B(\lambda_{1})*B(\lambda 2)*\cdots*B(\lambda_{n})$$=\{\pi_{1}*\pi_{2}*\cdots*\pi_{n}|\pi_{i}\in B(\lambda_{i}) i=1,2, \ldots, n\}$(cf. Lamma 5.2). -方, $:=$と定め, これに root operator を次々

は root operator の作用で不変であることが分かる$\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}$とし,$\pi_{\underline{\lambda}}:=\pi_{\lambda}1^{*\pi_{\lambda_{2}\lambda}}*\cdots*\pi n$(1.8)$\lambda$

38に作用させて得られる path の集合をである. さらに$B_{(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}}$

)

の元

$\pi$

とする. このとき,$B(\underline{\lambda})$が$B(\underline{\lambda})$$B(\underline{\lambda})\subset B_{(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}})$に含まれる (このとき$\pi$は standard

であるという) ための必要十分条件も知られている [6, Theorem 10.1]:

Theorem 16.

$\pi=\pi 1*\pi 2*\ldots\pi n\in B(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}),$であるための必要十分条件は次のような
このとき,が存在することである:とする.

$B(\lambda_{i})$$\pi_{i}--(\tau_{1}^{i}, \ldots, \tau\text{、_{}i}i ; a_{0}^{i}, \ldots, a_{\text{、、}i})\in$$\pi\in B(\underline{\lambda})$$\{\sigma_{j}^{k}\}jk==1,2,..\cdot.\cdot.’,\text{、}1,2,n^{k}\subset W/W_{\lambda}$

(1)
(2)

$\sigma_{1}^{1}\geq\cdots\geq\sigma_{\text{、_{}1}}^{1}\geq\sigma_{1}^{2}\geq\cdots\geq\sigma_{s_{n-1}}^{n-1}\geq\sigma_{1}^{n}\geq\cdots\geq\sigma_{\text{、_{}n}}^{n}$$p_{k}(\sigma^{k})j=\tau_{j}^{k}$ここで$p_{i}$:$(j=1,2, \ldots, s_{k} ; k=1,2, \ldots, n)$$W/W_{\lambda}arrow W/W_{\lambda_{i}}$この定理をより$B(\underline{\lambda})$は自然な写像である.

に対しても Theorem 1.1が成立することが分かる (Theorem 5.4
ば fundamental weight$\Lambda_{i}$minant integral weight$\mathrm{d}\mathrm{o}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

して$B(\underline{\lambda})$$\lambda$

達に対して
に対しては

口

$-\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$$15$に対応する定理). これによって, 例えを決めることが出来れば, 任意のを fundamental weight の–次結合で表$-\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$$57$$B(\Lambda_{i})$$\lambda$

を考えることによつて, 様々な結果を導くことが出来るかもしれないわけである (–般にはやはり難しいが....).

本義論説の構成は以下の通りである. まず, この \S 1 では pathmodel- を簡単に紹介し, またそれを用いて得られる主要な結果を紹介してきた. またこのセクションは記号の準備も兼ねている. \S 2 では, path model の理論において, 中心的な役割を果たす root operator を定義する. これの定義は論文によって, 微妙に違うのだがこ
こでは [5] での定義を分かりやすく書き換えたものを採用した.

\S 3 では$W/W_{\lambda}$について述べる. これは後の L-S path や standard path についての議論で必要にな\S 4 では path model の基本とも言える Lakshmibai-Seshadri path (L-S path)を定義する. ここでは具体的な例として の rank が 2 で が fundamental weightを決定する (Example 44). 最後の場合に class の L-S path の集合
では standard pat 旧こついて述べる. ここでは特殊な設定の元で上の Theorem 16をより簡単にしたものを与える (Theorem 58). さらにそれを用いて, すでに知ら$S=\{1,2, \ldots, n-1\}$ の場合の branching rule
れている事実ではあるがを与える (Example 59). 後, Appendix として が finite type の場合の Demazureの次元公式を付け加えた.
moduleる.

$\lambda$$\mathfrak{g}$$B(\lambda)$$\lambda$$l_{\sim}^{arrow}\S 5$$\mathfrak{g}=A_{n},$$\mathfrak{g}$$E_{\tau}(\lambda)$

Notation.

Kac-Moody algebra に関する記号は特に断らない限り [3] に従うことにする:
$A=(a_{ij})_{i,j\in I}$: symmetrizable generalized Cartan matrix, $I=\{1,2, \ldots, n\}$39:$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(A)$$\mathfrak{h}$:$\mathfrak{g}s$$\mathfrak{g}$:$S\subset I$に対応する Levi subalgebra: simple root の集合,$\{\alpha_{i}^{\vee}\}i\in I$: simple coroot の集合: positive real root の集合:integral weight 全体の集合,$P$$\rho$に付随した Kac-Moody algebraの Cartan subalgebra$\{\alpha_{i}\}_{i\in I}$$\Delta_{+}^{\mathrm{r}\mathrm{e}}$$A$: Weyl 元, i.e.

$W=\langle r_{i}|i\in I\rangle$$\ell:Warrow \mathbb{Z}_{\geq 0}$:$\langle\rho, \alpha_{i}^{}\rangle=1$: dominant integral weight 全体の集合

for all $i\in I$の Weyl 群,$\mathfrak{g}$$P_{+}$$W_{\lambda}:=\{w\in W|w(\lambda)=\lambda\}$: $W$ 上の length function,$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(w):=(-1)^{\ell()}w$: $W$ 上の Bruhat order$\geq$$L(\lambda)=\oplus_{\eta\in \mathfrak{h}^{*}}L(\lambda)_{\eta}$-module$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}sV:\mathfrak{g}$: highest weight$\lambda \text{の}$irreducible highest weight moduleを制限によって $9s$ -module と見なしたもの$V$\S 2 root operator の定義
このセクションでは root operator$e_{i},$$(i\in I)$$f_{i}$

を定義する.

ここでの定義は [5] の定義を分かりやすいように書き直したものである. まず記号を準備しよう. $[0,1]:=\{t\in \mathbb{Q}|0\leq t\leq 1\}$ とし, $B$ を区分的に線形で連続な path
$\pi$

:

$[0,1]arrow P_{\mathbb{Q}}:=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}P$と $i\in I$ に対して,

symbol$\theta$$h_{i}^{\pi}(t):= \langle\pi(t), \alpha^{\vee}\rangle i’ m_{i}^{\pi}:=\min h_{i}^{\pi}(t)$と定める. さらに適当なを 1 つ準備する.

さて root operator$m_{i}^{\pi}>-1$

で, $\pi(0)=0$ をみたすもの全体の集合とし, $\pi\in B$

のときは

:

$e_{i}$$B\cup\{\theta\}arrow B\cup\{\theta\}$$e_{i}\pi:=\theta$と定める.

を定義しよう. まず$m_{i}^{\pi}\leq-1$$e_{i}\theta:=\theta$

とし,

のとき,

$t_{1}:= \min\{t\in[0,1]|h_{i}^{\pi}(t)=m_{i}\}\pi$$t_{0}:= \max${$t’\in[0,$ $t_{1}]|h_{i}^{\pi}(t)\geq m_{i}^{\pi}+1$

for all $t\in[0,$

$t’]$

}

と定める. このとき $t_{0}=s_{0}<s_{1}<\cdots<s_{r}=t_{1}$ で次の (1) または (2) が成立するものが存在することがわかる:(1)$h_{i}^{\pi}(s_{k-1})=h_{i}^{\pi}(S_{k})$$h_{i}^{\pi}(_{S_{k-1}})$(2)$h_{i}^{\pi}(t)$であり, さらに任意の $t\in[S_{k-1,k}S]$ に対して,$h_{i}^{\pi}(t)\geq$が成立する,

は $[S_{k-1,k}S]$ 上で狭義単調減少していて, 任意の $t\in[t_{0}, s_{k-1}]$ に対して,$h_{i}^{\pi}(t)\geq h_{i}^{\pi}(sk-1)$が成立する.

40

この分割を用いて,を次のように定義する:$e_{i}$$\pi(t)$if$0\leq t\leq t_{0=}s_{0}$$\pi(t)-\langle\pi(s_{k1}-)-\pi(\mathit{8}_{0}), \alpha^{\mathrm{v}}\rangle i\alpha_{i}$if$t\in[s_{k-1,k}s]$of (1)$\pi(t)-\langle\pi(t)-\pi(s_{0}), \alpha^{}\rangle i\alpha_{i}$if$t\in[s_{k-1,k}s]$of (2)$\pi(t)+\alpha_{i}$if$t_{1}=s_{r}\leq t\leq 1$$:=\theta$とし, $h_{i}^{\pi}(1)-m_{i}^{\pi}<1$ のとき$e_{i}\pi(t):=\{$

次に root operator
はみ\mbox{\boldmath $\pi$}$:=\theta$を定義しよう. まず義\theta$f_{i}$と定める.

$h_{i}^{\pi}(1)-m_{i}^{\pi}\geq 1$

(2.1)

.

のとき,

$t_{0}:= \max\{t\in[0,1]|h_{i}^{\pi}(t)=m\}$$t_{1}:= \min${$t’\in[t_{0},1]|h_{i}^{\pi}(t)\geq m_{i}^{\pi}+1$

for any $t\in[t’,$

$1]$

}

と定める. このとき $t_{0}=s_{0}<s_{1}<\cdots<s_{r}=t_{1}$ で次の (1) または (2) が成立するものが存在することがわかる:(1)$h_{i}^{\pi}(s_{k-1})$(2)であり, さらに任意の $t\in[sk-1, Sk]$ に対して,$h_{i}^{\pi}(s_{k-1})=h_{i}^{\pi}(s_{k})$$h_{i}^{\pi}(t)$は$\cdot$が成立する,

上で狭義単調増加していて, 任意の $t\in[s_{k}, t_{1}]$ に対して,が成立する.

$[s_{k-1,k}s]$$h_{i}^{\pi}(t)\geq h_{i}^{\pi}(s_{k})$この分割を用いて,$f_{i}\pi$を次のように定義する:$\pi(t)$if$0\leq t\leq t_{0}=s_{0}$$\pi(t)-\langle\pi(s_{k1}-)-\pi(s_{0}), \alpha_{i}^{\mathrm{v}}\rangle\alpha_{i}$if$t\in[s_{k-1,k}s]$of (1)$\pi(t)-\langle\pi(t)-\pi(S_{0}), \alpha_{i}^{}\rangle\alpha_{i}$if$t\in[s_{k-1,k}s]$of (2)$\pi(t)-\alpha_{i}$if$t_{1}=s_{r}\leq t\leq 1$$f_{i}\pi(t):=\{$

Remark 2.1.

$h_{i}^{\pi}(t)\geq$$e_{i}$

および$f_{i}$(2.2)

は分割の取り方に依らないことが分かる.

とする.
とし,
Example 22.
を次々に作用させていくと次のような path が得られる.
と表すことにする.
とき,$\lambda=\alpha_{1}+\alpha_{2}$$\mathfrak{g}=A_{2}$$\pi_{\lambda}(t):=t\lambda$

ここで $\pi’=f_{i}\pi$ である$\piarrow\alpha_{i}\pi’$$t\lambda$$\nearrow^{\alpha_{1}}$$\backslash ^{\alpha_{2}}$$t\alpha_{2}$$t\alpha_{1}$ン$\backslash ^{\alpha_{1}}$$\pi_{1}$$\pi_{2}$$\nearrow\alpha_{1}$$\backslash _{\alpha_{2}}$$-t\alpha_{2}$$-t\alpha_{1}$$\backslash _{\alpha_{1}}$$\nearrow\alpha_{2}$$-t\lambda$に root operator

41
但し, $\pi_{i}(i=1,2)$ は次のような path である:$-t\alpha_{i}$if$(t-1)\alpha_{i}$if $1/2\leq t\leq 1$$\pi_{i}=\{$\S 3$\lambda,$

について$W/W_{\lambda}$$\mu\in P_{+}$

よりので$W_{\lambda}$$0\leq t\underline{<}1/2$

を $\lambda-\mu\in P_{+}$ を満たすものとする. このとき [3, Proposition 3.12] におよびはそれに含まれる simple reflection によって生成されている$W_{\mu}$となる. さらに$W_{\lambda}\subset W_{\mu}$$W_{\mu}/W_{\lambda}$の各 coset には長さが最小の元がただ–つ存在することが知られている. したがって,$W_{\mu}^{\lambda}$

とおくと$W_{\mu}^{\lambda}$

$:=.$

の元と

{

$w\in W_{\mu}|\ell(ww’)\geq\ell(w)$$W_{\mu}/W_{\lambda}$

for any$w’\in W_{\lambda}$の元は自然に 1 対 1 に対応する (}$W_{\mu}^{\lambda}$

(3.1)
は

完全代表系を与えている). 以下ではこれらを同–視し, それによって$W$ の部分集合として扱うことにする. また dominant integral weight
を考えているときも同様である.
えられていて,$W_{\mu}/W_{\lambda}$の$W_{\mu}/W_{\lambda}$

を$\lambda$

が 1 つ与

$W/W_{\lambda}$

Lemma 3.1.

$\lambda_{1},$$\lambda_{2},$$\ldots,$$\lambda_{n}\in P_{+}$とし,$\mu_{k}:=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{k}$

とおく.

(1) $W/W_{\mu_{n}}=\{ww_{2}w_{3}\cdots wn|w\in W/W_{\mu_{1}}, w_{j}\in W_{\mu_{j-1}}/W_{\mu_{j}}\}$(2) $ww_{2}w_{3}\cdots w_{n}\in W/W_{\lambda_{n}}$ のとき, $\ell(ww_{2}w_{3}\cdots w_{n})=\ell(w)+\ell(w_{2})+P(w_{3})+$. . . $+p(w_{n})$ が成立する.

(3) $k\geq l$ であるなら,$W/W_{\mu_{k}}\supset W/W_{\mu_{l}}$である.

(1) は に関する induction で容易に示せる. (2) は (1) の証明と平行口
して示せる. (3) は (1) より得られる.

PROOF.
次に$W/W_{\lambda}$$n$

上に Bruhat order を定義する (記号の乱用になるが, $W$ 上の Bruhat

order と同じ記号

Definition 3.2.
満たす

(1)

$\tau,$”

で表すことにする). $-$. : $Warrow W/W_{\lambda}$ を自然な写像とする.

$\tau’\in W/W_{\lambda}$の元の列$W/W_{\lambda}$$\tau_{0=}\mathcal{T},$$”\geq$$\tau_{p}=\tau’$(2) $i=1,2,$(3) $i=1,2,$$\ldots,$$P$$\ldots,$$P$$\{\tau_{i}\}_{i=}^{p}0$に対して,$\mathcal{T}’=\tau$が存在するときにであるか, 以下の (1) $-(3)$ を$\tau’\geq\tau$

と定める:

,
に対して, $p(\tau_{i})>p(\tau i-1)$ が成立する,に対して,$\overline{\tau_{i}}=r\beta_{i}\overline{\tau i-1}$を満たす属 \in \Delta 撃が存在する

この $W/W_{\lambda}$ 上の Bruhat order は, $W$ 上の Bruhat order の持つ性質の多くを引き継いでいる. それらのうちで最も使用頻度が高いのは次であろう.

42
Lemma 3.3. (Subword condition)$\tau$$\tau,$$\tau’\in W/W_{\lambda}$であるための必要十分条件は $W$ においてて, 特に上の Bruhat order$W/W_{\lambda}$

に対して,$W/W_{\lambda}$

において$\tau’\geq$

であることである. したがっ$\tau’\geq\tau$に関してもいわゆる subword condition が成$\geq$

立する.

Proof.

であることは定義より明らか. 逆
in $W$ であれば
inは [2, Theorem 2.2] から得られる. 後半の主張は前半より明らか
口$\tau’\geq\tau$$\tau’\geq\tau$$W/W_{\lambda}$\S 4 Lakshmibai-Seshadri path
Lakshmibai-Seshadri path-chain” という概念を導入しよう.

このセクションでは path model の基本とも言えるについて説明する. まず

Definition 4.1.

き, この列を$\beta_{i}$$a$$\tau’\in W/W_{\lambda},$$\tau,$$0<a<1$ とする.

が, 任意の $i=1,2,$ .

$\sigma_{1}>\cdots>\sigma_{\text{、}}=\tau/$

し, さらにある“\Delta 撃が存在して$\in$$(\mathcal{T}, \mathcal{T}’)$

:. ,

$s$

$W/W_{\lambda}$の元の列 $\tau=\sigma_{0}>$に対して $P(\sigma_{i})=P(\sigma_{i1}-)-1$ を満た
かつ$\overline{\sigma_{i}}=r_{\beta_{i}1}\overline{\sigma_{i-}}$$a\langle\sigma_{i}(\lambda), \beta i^{\vee}\rangle\in \mathbb{Z}$となるとに対する a-chain という.

ここで Lakshmibai-Seshadri path の定義を与える:

Definition 4.2.

$W/W_{\lambda}$$a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{\epsilon}=1$

の元の列

との組

:

$\underline{\tau}$: $0=$の Lakshmibai-Seshadri$\tau_{1}>\tau_{2}>\cdots>\tau_{\text{、}}$$\pi=(\underline{\tau}, \underline{a})$が class$\lambda$と有理数の列$-\underline{a}$$s-1$ に対して,
path (以下, L-S path) であるとは, 任意の $i=1,2,$に対する -chain が存在するときにいう. class の L-S path 全体の集合をで表す. さらに に対して次の path を対応させる :$(\tau_{i}, \tau_{i+1})$$\ldots,$$\lambda$$a_{i}$$B(\lambda)$$\pi$$\pi(t)=\sum_{i=1}^{-1}(a_{i}-a_{i}-1)\tau j(i\lambda)+(t-a_{j-}1)\tau_{j}(\lambda)$,if$a_{j-1}\leq t\leq a_{j}$は root operator の作用で不変
Theorem 4.3. [5, Corollary 2, Corollary 3]
はに root operator を次々に作用させて得られるである. さらに口
path の集合と –致している.
$B(\lambda)$$B(\lambda)$$\pi_{\lambda}(t):=t\lambda$

L-S path に関する定理は \S 1 の Theorem 1.1$-\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}1.5$

を参照されたい.

$A=$の場合を考える (ここでの結果は [9,Example 4.4. (rank 2 の場合)
Lemma 1] の–般化になっている). $\Lambda_{i}(i=1,2)$ を fundamental weight, すなわちを充たすものとする. ここでは例として,を求めてみよう.
$B(\Lambda_{i})$$\Lambda_{i}(\alpha_{j})=\delta_{i}j$$\tau_{2n}^{+}:=(r_{2}r_{1})^{n}$,$\tau_{2n+1}^{+}:=r_{1}(r_{2}r_{1})^{n}$,$\tau_{2n}^{-}:=(r_{1}r_{2})^{n}$,$\tau_{2n+1}^{-}:=r_{2}(r_{1}r_{2})^{n}$

,

43
とおくと,

$W=\langle r_{1}\rangle\ltimes\langle r_{2}r_{1}\rangle=\langle r_{2}\rangle\ltimes\langle r_{1}r_{2}\rangle$

であるから,$W/W_{\Lambda_{i}}=\{\tau_{k}^{\epsilon}(i)|0\leq k\leq N-1\}$となっている. ここで$N:=|\langle r_{2}\gamma\cdot 1\rangle|$であり, $\epsilon(1):=+,$ $\epsilon(2):=-$ である. まず$n$に関する induction により, $n\geq 0$ に対して,$\langle\tau_{2n}^{+}(\Lambda_{1}), \alpha^{}1\rangle=[n]+[n-1]$,$\langle \mathcal{T}_{2n}^{+}(\Lambda_{1}), \alpha^{}\rangle 2=-b[n-1]$$\langle_{\mathcal{T}_{21}^{+}}n+(\Lambda 1), \alpha_{1}^{\mathrm{v}}\rangle=-[n]-[n-1]$$\langle\tau_{2n}^{-}(\Lambda_{2}), \alpha^{}1\rangle=-a[n-1]$$\langle\tau_{2}^{-}(n+1\Lambda 2), \alpha^{\mathrm{v}}\rangle 1=a[n]$,$\langle\tau_{2}^{+}(n+1\Lambda 1), \alpha^{}2\rangle=b[n]$,,$\langle \mathcal{T}_{2n}^{-}(\Lambda_{2}), \alpha^{}\rangle 2=[n]+[n-1]$,$\langle_{\mathcal{T}_{2^{-}\mathrm{i}}}n+(\Lambda 2), \alpha^{}2\rangle=-[n]-[n-1]$が成立することがわかる. ここで $[n]:=\xi^{n}+\xi^{n-}2+\cdots+\xi-n+2+\xi^{-n}(n\geq 0),$ $[-1]$ $:=$
$0$

であり,

$\xi$

は $x^{2}-(ab-2)_{X}+1=0$ の解 (の 1 つ) である. $n\geq 0$ に対して,$d_{2n}^{+}:=-b[n-1]$ ,$d_{2n+1}^{+}:=-[n]-[n-1]$$d_{2n}^{-}:=-a[n-1]$ ,$d_{2n+1}^{-}:=-[n]-[n-1]$

とおく. このとき, $k\geq 1$ に対して,際, $n\geq 1$ に対して

$d_{2n}^{+}$と$d_{2n+1}^{+}$$d_{k}^{\pm}$と$d_{k+1}^{\pm}$は互いに素であることがわかる. 実が互いに素であることを示してみよう (残りの場

合も同様に示せる). まず と $[n]+[n-1]$ が互いに素であることを示す. 解と係数の関係より $[n]$ が $ab$ の整数係数の多項式であることに注意すれば次のことを示せば十分である:$b$claim 1.
$m$$m\geq 0$に対して, $[m]+[m-1]|_{b=0}=(-1)^{m}$に関する induction で示す. $m=0$ のとき, $[0]+[-1]=1$ より成立する. ある$m\geq 0$まで成立したとする. $[m+1]=\xi[m]+\xi^{-m-1}$ に注意すると,$[m+1]+[m]=\xi[m]+\xi-m-1+\xi[m-1]+\xi-m-2$$=\xi([m]+[m-1])+(\xi-m-1+\xi-m-2)$

induction の仮定より主張が得られる.
後は $[n]+[n-1]$ と $[n-1]$ が互いに素であることを示せばよい. このことを示すには次のことを示せば十分である:
ここで $b=0$ を代入すると, $\xi|_{b=0}=-1$ とclaim 2.
$m$$m\geq 1$に対して, $[m]$ と $[m-1]$ は互いに素である.

に関する induction で示す. $m=1$ のとき, $[1]=ab-2,$ $[0]=1$ より成立する.

ある $m\geq 1$ まで成立したとして, $[m+1]$ と $[m]$ が互いに素であることを示す.

44$[m+1]=\xi^{m}+1+\xi m-1\xi^{-}m+\cdots++1+\xi-m-1$$=(\xi+\xi^{-1})(\xi^{m}+\xi^{m-}2+\cdots+\xi-m+2+\xi-m)$$-(\xi^{m-1}+\xi^{m-\mathrm{s}}+\cdots+\xi^{-}m+3+\xi^{-}m+1)$$=(ab-2)[m]-[m-1]$
induction の仮定より, $[m]$ と $[m-1]$ は互いに素である. したがって, 上の式から$[m+1]$ とは互いに素である. これによって主張が示された.

$[m]$$\tau\in W/W_{\Lambda_{i}}$が $P(\tau)=\ell(\tau)k\pm\epsilon(i)1$ を満たしているなら,$\tau=\mathcal{T}_{k}^{\mathcal{E}}\pm 1(i)$であることが分

かる. このことと上で示したことから $m\geq 2$ であるなら, 任意の $0<a<1$ に対

して

に対する

$(\mathcal{T}_{k+m}^{\pm}, \tau k^{\pm})$$a$-chain は存在しないことがわかる. したがって,$B(\Lambda_{i})$は次のようになる:$B(\Lambda_{i})=\{(\tau^{\xi}\mathcal{T}^{\xi}k+m’ k+m(i)(i)1-, \ldots, \tau_{k}^{\epsilon(i)} ; 0, a_{k+m’ k1}a+m-, \ldots, a_{k+1},1)\}$

ここで$a_{j}$

は (i) $0<a_{k+m}<a_{k+m-1}<...<a_{k+1}<1$ ,(ii)$a_{j}d_{j}^{\mathcal{E}()}i\in \mathbb{Z}$を満たし

ていなくてはいけない.

\S 5 standard path
このセクションでは path が standard になるための必要十分条件について述べる.

記号は \S 1 で導入したもの用いる. また以下ではとおく. まず次の言葉を準備する.
$\lambda_{1},$$\lambda_{2},$$\ldots,$$\mu_{k}:=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{k},$Definition 5.1.
して,$\pi\in B$$\lambda_{n}\in P_{+}$とし,$\lambda:=\mu_{n}$が integrality property を持つとは, 任意の $i\in I$ に対$m_{i}^{\pi}= \min\langle\pi(t), \alpha^{}\rangle i\in \mathbb{Z}$であるときにいう.

$\pi_{2}\in B$ に対して,
Lemma 52. [5, \S 2.6] integrality property を持つである. ここで,or である.
oror$x_{i}(\pi_{1}*$$\pi_{1},$$\pi_{2})=\theta$$\pi_{1}*(x_{i}\pi_{2})$$(x_{i}\pi_{1})*\pi_{2}$Remark 5.3.

$x_{i}=e_{i}$口$f_{i}$

上の Lemma で $x_{i}(\pi_{1^{*}2}\pi)$ がどのような場合に, 右辺のどれと–致するかを明確に記述することも出来るが, 以下の議論では必要としないので省略
した (cf.

[5, Lemma 2.7]).

].
L-S path は integrality property を持つことが知られている [5, Lemma 45
したがって,) は root operator の作用で不変であることが分かる. さら$(\mathrm{d})$$B_{(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}}$に$\pi_{\underline{\lambda}}\in B_{(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}}$$B(\underline{\lambda})$)であるから,に含まれるとき$\pi$$B(\underline{\lambda})\subset B_{(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}})$は standard であるという.

となる.

$\pi\in B_{(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}}$

)

が

45
さて

$\pi$

が standard になるための必要十分条件は Theorem 16 で述べた通りである. この Theorem の主張に現れる$W/W_{\lambda}$の元の列$\{\sigma_{j}^{k}\}$

のことを

$\pi$

に対する

を defining chain の “先頭” と呼ぶこと
defining chain と呼ぶ. またこのときにする. Theorem 16 より,に対しても Theorem l.i $-1.5$ に対応する定理が成立することがわかる (証明は L-S path の場合と同様).
$\sigma_{1}^{1}$$B(\underline{\lambda})$Theorem 54.
(5.1)$\sum_{w\in W}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(w)e^{w\rho}\sum_{\pi\in B(\underline{\lambda})}e^{\pi}(1)=w\in W\sum \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(w)e^{w}(\lambda+\rho)$が成立する. したがって, 特に)$\sum_{\pi\in B(\underline{\lambda}}$Theorem 5.5. [6, Corollary 1]pression とする. このとき,)$e^{\pi}(1=\mathrm{c}\mathrm{h}L(\lambda)$$\tau\in W/W_{\lambda}k\text{し},$が成立する$\tau=r_{i_{1}i}r\cdots r_{i_{\mathit{8}}}2$

口を reduced ex-(5.2)$\cdot\cdot DiS(e\lambda)=\mathrm{C}\mathrm{h}E_{\mathcal{T}}(\lambda)$$\sum_{\pi\in B(\underline{\lambda})\tau}e\pi(1)=D_{i_{1}}D_{i}.2^{\cdot}$.

が成立する. ここで$B(\underline{\lambda})$. は “先頭” が$B(\underline{\lambda})_{\tau}$$\tau$

以下になる defining chain を持つものの元全体の集合とする.

Theorem 56.

$\mu\in P+$

口とする. このとき,(5.3)$L(\mu+\pi(1))$$L(\lambda)\otimes L(\mu)=$$\bigoplus_{\pi\in B(\underline{\lambda})}$$\pi:\mu$-dominant-dominant であるとは, 任意の $t\in[0,1]$ に対して $\mu+\pi(t)$が dominant Weyl chamber に含まれるときにいう.
口
ここで,$\pi\in B(\underline{\lambda})$Theorem 57 .

が

$\mu$

$S\subset\{1,2, \ldots, n\}$とする. このとき,$\oplus$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}s^{L}(\lambda)=$(5.4)$L(\pi(1))$$\pi\in B(\underline{\lambda})$$\pi:\mathfrak{g}_{S}$

ここで,
$9s$

$\pi\in B(\underline{\lambda})$が$\mathfrak{g}_{S^{-}}\mathrm{d}_{0}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$-dominantであるとは, 任意の $t\in[0,1]$ に対して$\pi(t)$の root system に関する dominant Weyl chamber に含まれるときにいう.

が口さて特殊な状況の下で Theorem 16 を書き換えてみよう.
$n-1$
Theorem 5.8. 記号は Theorem 16 と同じとする. 任意の $k=1,2,$が standardであるとしよう. このときに対して,$n-1$ に対して煽であるための必要十分条件は, 各 $k=1,2,$が成立するものが存在することである.
inで,$\ldots,$$W_{\lambda_{k}}/W_{\lambda_{k}+\lambda_{k+1}}=W_{\mu_{k}}/W_{\mu_{k+1}}$$\pi$$\ldots,$$\mathcal{T}_{\text{、_{}k}}^{k}\kappa k\geq\tau_{1}^{k+1}$$W/W_{\lambda_{k}+\lambda_{k+1}}$$\in W_{\lambda_{k}}/W_{\lambda_{k}+\lambda_{k+1}}$

46
に対する
PROOF. まず が standard であったとしよう. Theorem 16 よりを自然なが存在する. このとき,defining chain:である. 実際 Lemma 3.1 (1) を写像とすると,
in
は
と表すと,
使って,
は subword での subword であるから,となっている (であるから subword condition よあることを表す).
り主張が得られる. さらに Lemma 3.1 と defining chain の定義 (2) から, あるである.
およびが存在して,
$\pi$

$\pi$

$\{\sigma_{j}^{k}\}$$W/W_{\lambda}arrow W/W_{\lambda_{k}+\lambda_{k+1}}$$q_{k}$$q_{k}(\sigma_{S_{k}}^{k})\geq q_{k}(\sigma_{1}^{k+1})$$W/W_{\lambda_{k}+\lambda_{k+}}1$$\sigma_{1}^{k+1}$$\sigma_{\text{、_{}k}}^{k}=w_{1}w_{2}(w_{1}\in W/W_{\lambda_{k}+\lambda_{k+1}}, w_{2}\in W_{\lambda_{k}+\lambda_{k}}/+1W_{\lambda})$$q_{k}(\sigma_{1^{+1}}^{k})=w_{1}’$$q_{k}(\sigma_{s_{k}})k=w_{1},$$\kappa_{k}\in W_{\lambda_{k}}/W_{\lambda+\lambda}kk+1$

逆に各 $k=1,2,$$\kappa_{k}\in W_{\lambda_{k}}/W_{\lambda_{k}+\lambda_{k}}+1$$W/W_{\mu_{k+1}}$$q_{k}(\sigma_{1^{+1}}^{k})\geq\tau_{1}^{k+1}$$q_{k}(\sigma_{\text{、}^{}k})k=\tau_{S_{k}}^{k}\kappa_{k}$

したがって, これらをあわせるとで$\text{ここで}\prime$$\sigma_{k+1}^{1}=w_{1}’’w_{2}$$\sigma_{s_{k}}^{k}$$\tau_{\text{、_{}k}}^{k}\kappa_{k}\geq\tau_{1}^{k+1}$が得られる.

$n-1$ に対して,inが存在したとする. ここで Lemma 3.1 (3) より$\tau_{s_{k}}^{k}\kappa k\geq\tau_{1}^{k+1}$$\ldots,$

であり, さらに$\tau_{1}^{k+1}$$\sigma_{j}^{k}:=\tau_{j}^{k}\kappa k\kappa k+1\ldots\kappa n-1$

が$W/W_{\lambda_{k}\lambda_{k+1}}+$を満たす$\tau_{s_{k}}^{k}\kappa k,$$\mathcal{T}_{1^{+}}^{k1}.\in$の subword であることに注意する.

$\tau_{\text{、_{}k}}^{k}\kappa_{k}$と定める. このとき, 仮定から$\kappa_{k}\in W_{\mu_{k}}/W_{\mu_{k+1}}$

ここ

である

である. さらに Lemma 3.1
ことに注意すれば, Lemma 3.1 (1) より(2) と subword condition から, この列が defining chain を与えていることがわか$\sigma_{j}^{k}\in W/W_{\lambda}$

る.

したがって,$\pi$

Example 59. (は standard となる .

$A_{n}$の場合)$x_{1}\Lambda_{1}+\cdots+x_{n}\Lambda_{n}(x_{i}\geq 1)$

ここでは$\square$$\mathfrak{g}=A_{n},$$S=\{1,2, \ldots, n-1\}$とし,$\lambda=$とする. Theorem 5.8 を使って次の式を示そう:(5.5)$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{S}L(\lambda)=\oplus.,’ L(\lambda i=1,2,..n0\leq yi\leq xi-\sum_{i}n=1(y_{1}+\cdots+yi)\alpha_{i})$まず$A_{n}$の root は $\alpha_{l}+\alpha_{l+1}+\cdots+\alpha_{m}$という形をしているので,$\sigma\in W/W_{\Lambda_{k}}$の L-S path はに対して,or である. したがって, class$(\sigma;0,1)$ という形をしている. 以下では記号の簡略化のため $(\sigma;0,1)$ を単にと$\langle\sigma(\Lambda_{k}), \alpha_{j}\rangle=\pm 1$$0$$\Lambda_{k}$$\sigma$表すことにする. また $s\leq t$ に対して

$w_{t,\text{、}}:=r_{t}r_{t}-1\ldots$r、とする.

claim
(5.6)

$\sigma_{1}^{1_{*\cdots*\sigma_{x1}^{1}}}1^{**\cdots*\sigma_{x_{2}}^{2}}\sigma 2*\cdots\cdots*\sigma_{1}^{n}*\cdots*\sigma_{xn}^{1}$(5.7)$\sigma_{j}^{k}\in W/W_{\Lambda_{k}}(i=1,2, \ldots, x_{k} ; j=1,2, \ldots, n)$が standard かつ$\mathfrak{g}s$-dominant となるためのための必要十分条件は$(\sigma_{1}^{k}, \sigma_{2}^{k}, ..., \sigma_{x_{k}}^{k})=(w_{n,k}$となることである.

, . . .,

$w_{n,k},$$1$, . . ., 1 ,$)$$k=1,2$ ,. . .,$n$

47
まず Theorem 58 が使える状況であることに注意して十分性を示そう. それにはが存在して,$\kappa_{k}\in W_{\Lambda_{k}}/W_{\Lambda_{k}\Lambda_{k+1}}+$$\sigma_{x_{k}}^{k}\kappa_{k}\geq\sigma_{1}^{k+1}$

in$W/W_{\Lambda+\Lambda}kk+1$が成立することを示せば十分であろう (残りは明らかである). しかしこれは$W/W_{\Lambda_{k}\Lambda_{k+1}}+=\langle r_{k+1}, r_{k}+2, \ldots, r_{n}\rangle/\langle r_{k+2}, \ldots, r\rangle n\ni w_{n,k+1}$であるので, subword condition から容易に得られる. さらにことはより得られる.

$\mathfrak{g}s$-dominant である$w_{n,k}^{-1}(\alpha\downarrow)\in\Delta_{+}^{\mathrm{r}\mathrm{e}}(l=1,2, \ldots, n-1)$

次に必要性を示そう. まず$\{\sigma_{j}^{1}\}_{j=}1,2,$$\ldots,x_{1}$として取り得る class$\Lambda_{1}$のL-S pathを調べよう. $W/W_{\Lambda_{1}}=\{w_{l,1}|l=1,2, \ldots, n\}\cup\{1\}$ である. また$\langle w_{n,1}\Lambda_{1}, \alpha_{\iota}^{\vee}\rangle=0$,であることに注意すると,$(l=1,2, \ldots, n-1)$$\langle w_{l,1}\Lambda_{1}, \alpha_{\iota}^{\vee}\rangle=-1$$\mathfrak{g}_{S}$-dominant であるためには$(\sigma_{1}^{1}, \sigma_{2}^{1}, \ldots, \sigma_{x_{1}}^{1})=(w_{n},1, \ldots, w_{n,1},1, .

.

:’

1)$

となっていなくてはいけないことがわかる.
$1\leq k\leq m(m\leq n-1)$に対して,$(\sigma_{1}^{k}, \sigma_{2}^{k}, .

となったとする. このとき.., \sigma_{x_{1}}^{k})=(w_{n},k, \ldots, w_{n,k}, 1, \ldots, 1)$$\{\sigma_{j}^{m+1}\}j=1,2,\ldots,X_{m+1}$

path を考えてみよう. ここではも同様に示せる). まず帰納法の仮定から$\sigma_{x_{m}}^{m}=w_{n,m}$$\langle\pi(t), \alpha_{l}\rangle\vee=0$であるので,$\sigma_{1}^{m+1}$,$\Lambda_{m+1}$の L-S$\sigma_{x_{m}}^{m}=1$のときとして取りうる classの場合のみ考えよう ($0\leq t\leq m/n,$$m\leq l\leq n-1$

は$m\leq l\leq n-1$$\langle\sigma_{1}^{m+1}(\Lambda_{m}+1), \alpha_{l}\rangle\geq 0$(5.8.)

を満たしていなくてはいけないことに注意する.
が Bruhat order に関する最大の元であることに注$w_{n,m+1}\in W_{\Lambda_{m}}/W_{\Lambda_{m}+\Lambda_{m+1}}$

意すると, Theorem 58 と subword condition により,$\sigma_{1}^{m+1}$

として許されるのはである. したがってとなる
inおよび $w_{n,m+1}$ の subword
subword condition と Lemma 3.1 (2) よりはのある coset の長さ最となっている. さらにが存在して,
小の元であるのだから, $\tau_{2}=1$ または $\tau_{2}=w_{\iota,m+1}(m+1\leq l\leq n)$ であることに注意する.
$w_{n,m}w_{n,m+1}\geq\sigma$$W/W_{\Lambda_{m}+\Lambda_{m+1}}$$\sigma\in W/W_{\Lambda_{m+1}}$$w_{n,m}$$\sigma=\tau_{12}\tau$$\sigma$$\tau_{1},$$W/W_{\Lambda_{m+1}}$$\tau_{2}$48
まず $\tau_{2}=1$ のときを考えよう. このとき$\sigma$の長さの最小性から $\tau_{1}=1$ である

か, $\tau_{1}=w_{\mathrm{t},m+1}(m+1\leq l\leq n)$ となることがわかる. 前者の場合は $\sigma=1$ となり, この場合は条件 (5.8) を満たす. -方, 後者の場合でさらに $l<n$ のときはであるからので条件 (5.8) を満たさない. $l=n$ の場合は$\langle\sigma(\Lambda_{m+1}), \alpha_{l}\rangle \mathrm{v}=-1$$\langle\sigma(\Lambda_{m+1}), \alpha_{i}^{\mathrm{v}}\rangle\geq 0(m\leq i\leq n-1)$となるので条件 (5.8) を満たす.

次に $\tau_{2}=w\iota,m+1(m+1\leq l\leq n)$ の場合を考えよう.

であるなら, 上と同様の議論によって, $l–n$ でなければ条件を満たさないことがわかる.
$\tau_{1}=1$$\tau_{1}\neq 1$のときを考える.

$\sigma$

まず $k\geq l$ のときは$k<l$ の場合もの長さの最小性から $\tau_{1}=w_{k,m}(m\leq k\leq n)$ となっている.

であるので, 条件 (5.8) を満たさない.
であるからやはり条件を満たさない (ここで$\langle\sigma(\Lambda_{m+1}), \alpha_{\iota_{-}}^{}\rangle 1=-1$$\langle\sigma(\Lambda_{m+1}), \alpha_{k}^{\mathrm{v}}\rangle=-1$であることに注意する)
よって, 条件 (5.8) をみたすためには $\sigma_{1}^{m+1}=w_{n,m+1}$ or 1 でなくてはいけない$k\leq n-1$

ことがわかる. 逆に $w_{n,m+1}$ と 1 はとして取りうることも上の計算などからわかる. $\sigma_{j}^{m+1}(i=2,3\ldots, x_{m}+1)$ が主張のようにならなくてはいけないことはのときに示したのと同様に示せる. これで帰納法により claim の必要性が示$\sigma_{1}^{m+1}$$\{\sigma_{j}^{1}\}$

された.

path (5.6) に$w_{n,k}$が現れる個数を$\lambda-\sum_{i=1}^{n}yi(\alpha_{i}+\alpha_{i1}++ \cdot.$である. 後は$y_{k}$

を

$0$

から

$x_{k}$.

$y_{k}$

で表すと, path (5.6) の終端は$+ \alpha_{n})=\lambda-\sum^{n}(y_{1}+y2+\cdots+y_{i})\alpha i=1i$の間を動かせば (5.5) が得られる.

Appendix
ここでは $A$ が$A_{2}=$ , $B_{2}=$ , $G_{2}=$ の場合に, 一般

dominant integral weight $\lambda=s\Lambda 1+t\Lambda 2(s\geq 0, t\geq 0)$ と $\tau\in W$ に関するの次元に関する公式を与える. 計算方法
Demazure module)については [9] のものを参考にした. ちなみに [9] では $A=A_{1}^{(1)},$の場合にが hyperbolic の場合の公Demazure module の次元に関する公式を与えている.
式はまだ得られていない. 各記号については Example 44 で使ったものを用いる.
の$E_{\tau}(\lambda)=U(\mathfrak{n}+)u_{\mathcal{T}}(\lambda)$$A_{2}^{(}2$$A$$A_{2}$の場合

まず Example 4.4 での結果を使うと,$B(\Lambda_{i})$は次のようになる.

$(0^{+})(\mathcal{T}_{2^{-}}, \mathrm{o}, 1),$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\tau,\mathrm{o},1}(_{\mathcal{T}_{2}^{+},0},1),$$(_{\mathcal{T}^{+},0}1’)1,$$(_{\mathcal{T}_{1}^{-}}, \mathrm{o}, 1),$$(\mathcal{T}^{-}, \mathrm{o}, 10)$

49
これを用いて Demzure module の次元を計算すると次のようになる.

$B_{2}$$E_{\tau_{0}}+(\lambda)=1$$E_{\tau_{1}^{+}}(\lambda)=S+1$$E_{\tau_{2}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{2}(s+1)(s+2t+2)$$E_{\tau_{3}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{2}(s+1)(t+1)(s+t+2)$$E_{\tau_{0}}-(\lambda)=1$$E_{\tau_{1}^{-}}(\lambda)=t+1$$E_{\tau_{2}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{2}(t+1)(2s+t+2)$$E_{\tau_{3}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{2}(s+1)(t+1)(s+t+2)$

まず Example 44 での結果を使うと,の場合$(\tau_{3}^{+} ; 0,1)$,$(\tau_{2}^{+} ; 0,1)$$( \tau_{2}^{+}, \tau ;1^{+} 0, \frac{1}{2},1)$$(\tau_{1}^{+} ; 0,1)$,$B(\Lambda_{i})$は次のようになる.

$(\tau_{3}^{-} ; 0,1)$,$(\tau_{2}^{-} ; 0,1)$$(\tau_{1}^{-} ; 0,1)$,$(\tau_{0}^{-} ; 0,1)$$(\tau_{0}^{+} ; 0,1)$

これを用いて Demzure module の次元を計算すると次のようになる.
$E_{\tau_{0}^{+}}(\lambda)=1$,,$E_{\tau_{1}^{+}}(\lambda)=s+1$$E_{\tau_{2}^{+}}(\lambda)=(s+1)(s+t+1)$$E_{\tau_{3}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{6}(s+1)\{3t^{2}+3(2s+3)t+(s+2)(2s+3)\}$$E_{\tau_{4}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{6}(s+1)(t+1)(2s+t+3)(s+t+2)$$E_{\tau_{0}^{-}}(\lambda)=1$,$E_{\tau_{1}^{-}}(\lambda)=t+1$,$E_{\tau_{2}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{2}(t+1)(2s+t+2)$$E_{\tau_{3}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{6}(t+1)\{6s^{2}+6(t+2)s+(t+2)(t+3)\}$$E_{\Gamma_{4^{-}}}.( \lambda)=\frac{1}{6}(s+1)(t+1)(2s+t+3)(s+t+2)$$G_{2}$

まず Example 4.4 での結果を使うと,の場合$(\tau_{5}^{+} ; 0,1)$,$(\tau_{4}^{+} ; 0,1)$$( \tau_{4}^{+}, \tau ;3^{+} 0, \frac{2}{3},1)$,,$( \tau_{4}^{+}, \tau ;3^{+} 0, \frac{1}{3},1)$$(_{\mathcal{T}_{4}^{+}}, \mathcal{T}_{3}^{+}, \tau ;2^{+} 0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},1)$$(_{\mathcal{T}^{+},\tau}43^{+}’ 2^{+}’ 1^{+} \mathrm{o}\mathcal{T}\mathcal{T} ;,.\frac{1}{\mathrm{q}}, \frac{1}{9}.’.\frac{2}{\mathrm{q}}, 1)$$(\tau_{\mathrm{s}^{+}} ; 0,1)$,$( \mathcal{T}_{3}^{+}, \mathcal{T}_{2^{+}} ; 0, \frac{1}{2},1)$$(_{\mathcal{T}_{3}^{+}}, \mathcal{T}_{2}^{+}, \tau ;1^{+} 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3},1)$,$(\tau_{2}^{+} ; 0,1)$$( \tau_{2}^{+}, \tau ;1^{+} 0, \frac{1}{3},1)$,$( \mathcal{T}_{2}^{+}, \mathcal{T}_{1^{+}} ; 0, \frac{2}{3},1)$$(\tau_{1}^{+} ; 0,1)$,$(\tau_{\mathrm{n}}^{+} ; 0,1)$,$B(\Lambda_{i})$$(\tau_{5}^{-} ; 0,1)$,は次のようになる.

$(\tau_{4}^{-} ; 0,1)$$( \tau_{3’ 2}^{-}\tau^{-} ; 0, \frac{1}{2},1)$$(\tau_{1}^{-} ; 0,1)$

,

,

,

$(\tau_{3}^{-} ; 0,1)$$(\tau_{2}^{-} ; 0,1)$$(\tau_{0}^{-} ; 0,1)$50
これを用いて Demzure module の次元を計算すると次のようになる.
$E_{\tau_{0}}+(\lambda)=1$,$E_{\tau_{1}^{+}}(\lambda)=s+1$$E_{\tau_{2}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{2}(s+1)(3s+2t+2)$,$E_{\tau_{3}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{2}(S+1)(S+t+1)(2S+t+2)$$E_{\tau_{4}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{12}(S+1)\{4t^{3}+18(s+1)t^{2}+2(12s^{2}+24s+13)t+$$3(3s^{3}+9s+120S+4)\}$$E_{\tau_{5}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{120}(S+1)\{10t^{4}+20(3s+4)t^{3}+10(12_{S^{2}}+33s+23)t^{2}+$$10(9s^{3}+39s^{2}+57s+28)t+(s+2)(2s+3)(3s+4)(3s+5)\}$$E_{\tau_{6}^{+}}( \lambda)=\frac{1}{120}(S+1)(t+1)(s+t+2)(2s+t+3)(3s+t+4)(3s+2t+5)$$E_{\tau_{0}}-(\lambda)=1$,$E_{\tau_{1^{-()}}}\lambda=t+1$$E_{\tau_{2}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{2}(t+1)(2s+t+2)$,$E_{\tau_{3}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{6}(t+1)(3s+t+2)(3s+2t+2)$$E_{\tau_{4}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{12}(t+1)\{12s^{3}+18(t+2)s^{2}+2(4t+9)(t+2)s+(t+2)^{2}(t+3)\}$$E_{\tau_{5}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{120}(t+1)\{90s^{4}+180(t+2)s^{3}+40(3t^{2}+17t+19)s^{2}+$$+30(t^{3}+7t^{2}+17t+14)s+(t+2)(t+3)(t+4)(2t+5)\}$$E_{\tau_{6}^{-}}( \lambda)=\frac{1}{120}(s+1)(t+1)(s+t+2)(2s+t+3)(3s+t+4)(3s+2t+5)$

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