数理解析研究所講究録
第 1873 巻 2014 年 102-105

102

Certain LCM-stable modules
中部大学・現代教育学部 金光三男
Mitsuo Kanemitsu
College of Contemporary Education
Chubu University
体上のベクトル空間 $(\neq\{0\})$ より広い概念である，整域上の自由加群は，平坦 (flat)加群である．これより広い概念に整域上の LCM-stable 加群がある．

この講究録では，ネーター的整域上の LCM-stableness および LCM-stable moduleof level$n$の基本性質について考察しよう．

いくつかの記号に関する準備をする．
まず $R$ は Noetherian integral domain でその商体を $K$ とする． を $K$ の有限次代数拡大体とし，その でない元をとする．$d=[K(\alpha):K],$ $B=R[\alpha]\cap R[\alpha^{-1}]$$L$$\alpha\in L$$0$

とおく．
$A/R$ で $L$ と $R$ の中間環 $A$を表し，環の拡大 $A/R$ と呼ぶ．

を の monic
に対して， の多項式のイデアルをなし$I_{B,\alpha}=\{b\in B|b\alpha\in B\}$ はである上最小多項式とする．
$I_{a}=(R:_{R}aR)$ ,のにおける分母イデアルと呼ぶ．
とおき，

更に

$\alpha\in L$$\phi_{\alpha}(X)=X^{d}+\eta_{1}X^{d-1}+\cdots+\eta_{d}$$\alpha$$B$$K$$J_{B,\alpha}=I_{B,\alpha}+\alpha I_{B,\alpha}$$B$$\alpha$$\alpha$$I_{[\alpha]}= \bigcap_{i=1}^{d}(R:_{R}\eta_{i})$$Dp_{1}(R)=$ {また，とする．
$p\in$

SPec $(R)|$ depth $R_{p}=1$ } と略記する$M$ が flat-module なら良く知られているように， は LCM先に述べたように，$M$ が LCM-stable-module の定義はstable -module である (例えば，[A]). ここで，
$M$

$R$

$R$

$R$

次の通りである．

定義 1. $M$ を $R$-module とする．

$\forall a,$$b\in R$$(aR\cap bR)M=aM\cap bM$ がに対して，$M$ は LCM-stable-module という．
成立するとき，$R$

F.Richman ([R]) は，次の結果を証明した．

がネーター的整域とし， を の overring とする．このとき， がることは， が 上 LCM-stable であることに同値である．
$A$

$R$

$A$

$R$

$A$

$R$

上 flat であ$R$

LCM-stable -module で flat$R$$R$-module でない例は ([U]) に挙げてある．

103$R=k[s, t, u]$ は体上の三変数の多項式環とする．このとき，$M=R[X]/(sX^{2}+$$tX+u)$ は LCM-stable $R$-module だが，flat $R$-module ではない．
$k$

まず最初に LCM-stable に関する先行研究のまとめをしてみょう．

(1) 環の拡大 $A/R$ が LCM-stable$R$$P\cap R\in Dp_{1}(R)$ ([SY]).
-module のとき，

(2) 上でも述べたが，環の拡大 $A/R$ が flat -module とする．このとき，$A/R$ はLCM-stable -module であるが，逆は必ずしも成立しない ([OY]).
$R$

$R$

(3) 環の拡大 $A/R$ に対して． が LCM-stableforであることに同値である．
$A$$R$-module であることは，$I_{\lambda}A=I_{A,\lambda}$$\forall\lambda\in K$

この場合，$P\cap R\in Dp_{1}(R)$ for$\forall P\in Dp_{1}(A)$が成立する ([KSY]).

(4) 環の拡大 $B/R$ が birational extension とする．
$B/R$ が LCM-stable-module$P\cap R\in Dp_{1}(R)$ for any $P\in Dp_{1}(B)$ . 逆は必ずしも成立しない ([KSY]).
なら，$R$

ここで，anti-integral element of degree$d$over([KSY], [OY]) の定義を復習し$R$

よう．
$R$の商体 $K$ の有限次代数拡大体$\alpha$$\alpha$の $K$ 上の monic 最小多項式は次数が $d$とする． : $R[X]arrow R[\alpha]$ をで $\phi_{\alpha}(X)=X^{d}+\eta_{1}X^{d-1}+\cdots+\eta_{d}$写像で $X$ をの元

$L$

$\pi$

$R$-代数の準同型に移すとする．

$Ker(\pi)=$
このとき， が anti-integral element of degree over とは，のときをいう． が 上 anti-integral element のとき， は の$R$$d$$\alpha$$I_{[\alpha]}\pi_{\alpha}(X)R[X]$$R$$\alpha$$R[\alpha]$$R$

anti-integral extension という．

また下記の (7) に出てくる super-primitive element の定義 ([KSY], [OY]) も復習しておく．
$J_{[\alpha]}=I_{[\alpha]}c(\phi_{[\alpha]}(X))$

係数 1,
元

$\alpha$$\eta_{1},$$\cdots,\eta_{d}$$c(\phi_{[\alpha]}(X))$

は $R$ の商体 $K$ におけるによって生成される分数イデアルとする．
element of degree over $R$ とは，が super-primitive$p\in Dp_{1}(R)$(5)とする．ここで，$\alpha$.

$d$

を anti-integral element of degree$R[\alpha^{-1}]\cong R\oplus I_{[\alpha]}^{d-1}$$d$over$R$$\phi_{[\alpha]}(X)$$J_{[\alpha]}\not\subset P$のfor allとする． -module $B=R[\alpha]\cap$$R$

とおく． が の可逆イデアルでないとすると，$B/R$ は LCM$I_{[\alpha]}$$R$stable ではない $([KSY])$ .
(6)$\alpha$が anti-integral element over $R$ とする．

$I_{B,\alpha}$

LCM-stable -module なら， は flat
$R$

(7)

$\alpha$$A$$R$

が $B$ の可逆イデアルで $A$ が-module ([KSY2]).

が $R$ 上 super-primitive element とする．もし$I_{B,\alpha}$

が $B$ の可逆イデアルで $A$$A$ はが LCM-stable $R$-module なら，flat $R$-module ([KSY2]).

104
について，[K] に掲載される予定 (accept 済
み の研究集会で口頭発表した内容について説明をしよう．
次に LCM-stable $R$-module of level$n$$)$

定義 2. $R$ を Noetherian domain, $A/R$ を環の拡大 (必ずしも overring とは限らないとする．

$)$

このとき， が LCM-stable -module of levelの元に対して，
$R$

$A$

$R$

$a_{1},$$a_{2},$$n$とは，任意の $n+2$ 個の$((a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n},x)R\cap(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, y)R)A=$$\cdots,$ $a_{n},$ $x,$ $y$$(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, x)A\cap(a_{1}, a_{2}.

\cdots, a_{n},y)A$が成立するときをいう．

$n=0$ の場合は，先に述べた $A$ が LCM-stable $R$-module のことである．
$A$ が$A$ がLCM-stable $R$$m\leqq n$ の場合，
LCM-stable $R$-module of level $n$ なら，-module of level $m$ となる．

正則列と深さの定義の復習をしよう (例えば，[M]).

を環とし， を 加群とする． の元の列とは，次の 2 条件が満たされるときである．
$M$

$A$

$A$

$A$

$a_{1},$が $M$ 正則， が $(M/a_{1}M)$ 一正則，(1)(2) $M/ \sum_{1}^{n}a_{i}M\neq 0.$-$a_{1}$$M$$a_{n}$

が $M$ 一正則列 ( $M$ -sequence)

が $(M/ \sum_{1}^{n-1}a_{i}M)-$ 正則，

一正則列の元を並べ替えると $M$ 一正則列でなくなるときもある ([M]).

また環 $A$ のイデアル$M$$\cdots,$$a_{2}$$a_{n}$$\cdots,$$I$と有限 $A$ 加群 $M$ で $M\neq IM$ としたとき， の中の極大$I$

正則列の長さを $M$ の I–depth という．この長さは一定であり，depth $(I, M)$で表す．それを とすれば，depth $(I, M)= \inf\{i|Ext_{A}^{i}(A/I, M)\neq 0\}$ (言い換
えると，$Ext_{A}^{n}(A/I, M)\neq 0,$ $Ext_{A}^{j}(A/I, M)=0$ for $i<n$). 特に局所環 $(A, m)$ のdepth $(m, M)$ を単にの深さといい，$depth_{A}M$ または depth と書く ([M]).
$n$

$M$

$M$

定理． が LCM-stable -module of level で，は -正則列となる．
る．このとき，$R$$A$$a_{1},$ $a_{2},$$n$$a_{1},$$a_{2},$$\cdots,$ $a_{n+2}$

が $R$-正則列とす$A$$\cdots,$ $a_{n+2}$$n=0$ の場合もこの証明の概略を述べよう． に関する数学的帰納法で証明する．
は -正則列だ同様に示すことができる．
$n-1$ まで正しいとする．
は -正則列だから，から，数学的帰納法の仮定より -正則列である．
$n$$a_{1},$$A$$a_{1},$ $a_{2},$$((a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}):_{R}a_{n+2})=(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1})R$$a_{2},$$\cdots,$ $a_{n+1}$$\cdots,$ $a_{n+2}$

$R$

$R$

$A/R$ が LCM-stable module. 一方，$Tor_{1}^{R}(R/(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+2})R, A)=$$a_{n+2}\in R$ に対して，
of level だから，(0). これを使用すると $((a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}):_{A}a_{n+2})A=((a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}):_{R}a_{n+2})A=$$n$$a_{1},$$(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1})A.$$a_{n+2})$

は surjective).

$a_{2},$$\cdots,$$(即ち，((a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1})R:a_{n+2})\otimes_{R}Aarrow((a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}):_{A}$

よって，$a_{1},$$a_{2},$$\cdots,$ $a_{n+2}$

は $A$-正則列である．

この定理の応用を幾つか述べよう．
$P\in Spec(A)$ で depth $A_{P}=n+1$ とす
が LCM-stable $R$-module of level $n$ で，る．このとき $p=P\cap R$ に対して，depth $R_{p}\leqq n+1$ が成立する．更に，$A$ が $R$ 上
$A$

105
integral extension のときは，任意の depth $R_{p}=n+1$ となる の素イデアル に対して，depth $A_{P}=n+1$ で $P\cap R=p$ となるような の素イデアルが存在する．特に，depth $R_{p}=1$ でありことは deapth $A_{P}=1$ と同値である．
$R$$p$$A$

参考文献[A] T.Akiba, LCM-stableness,

67-70.

$Q$-stableness and flatness, Kobe J. Math., 2 (1985),[K] M.Kanemitsu, LCM-stable module of level , to appear in $JP$ Journal of Algebra,
Number Theory and Applications.
$n$[KSY] M.Kanemitsu, J.Sato and K.Yoshida, Integrality and LCM-stableness of simple extensions over Noetherian domains, Communications in Algebra, vol. 24 no.10(1996), 3229-3235[KSY2] M.Kanemitsu, T.Sugatani and K.Yoshida, Flatness and LCM-stability ofsimple extensions over Noetherian domains, Communications in Algebra, 27(5),(1999), 2187-2191.

[M] 松村英之，可換環論，共立出版 $198O$ 年．
[OY] S.Oda and K.Yoshida, Simple extensions with the minimum degree relations ofintegral domains, Lecture note in pure and applied mathematics, vol.253, Chapman
and $Hall/CRC$, 2007 年．
[R] F.Richman, Generalized quotient rings, Proc. Math. Soc. 16 (1965), 794-799.
[SY] J.Sato and K.Yoshida, The LCM-stability on polynomial extensions, Math.
Rep. Toyama Univ., 10 (1987) 75-84.
[U] H.Uda, Incomparability in ring extensions, Hiroshima Math. J., 9 (1979), 451-463.