PROBLÈMES DE PLONGEMENT FINISSUR LES CORPS NON COMMUTATIFS

arXiv:2008.08333v1 [math.NT] 19 Aug 2020

ANGELOT BEHAJAINA, BRUNO DESCHAMPS ET FRANÇOIS LEGRAND

Résumé. Nous étendons la notion de problème de plongement fini sur les corps commutatifs,
une notion centrale de la théorie inverse de Galois, à la situation d’un corps quelconque H dedimension finie sur son centre h. Nous montrons tout d’abord que résoudre un problème deplongement fini sur H équivaut à trouver une solution à un certain problème de plongement
fini sur h vérifiant une contrainte polynomiale. Nous montrons ensuite que tout problème deplongement fini scindé constant sur le corps H(t) des fractions rationnelles à indéterminéecentrale t admet une solution, si h est un corps ample. Il s’agit d’un analogue non commutatif d’un résultat profond de Pop. Plus généralement, nous résolvons de tels problèmes deplongement finis sur les corps tordus H(t, σ) des fractions rationnelles, où σ est un automorphisme de H d’ordre fini. Nos résultats généralisent de précédents travaux sur le problème
inverse de Galois sur les corps quelconques.

1. Introduction
1.1. Le problème inverse de Galois sur les corps quelconques. La théorie inversede Galois sur un corps commutatif k, dont la première question est le problème inverse deGalois1, est un domaine de recherche bien ancré en algèbre et théorie des nombres qui remonteà Hilbert et Noether. Nous renvoyons aux articles de survol [DD97, Dèb01a, Dèb01b] et aux
ouvrages de référence [Ser92, Völ96, FJ08, MM18] pour un vaste panorama. Pourtant, lathéorie inverse de Galois peut être considérée dès que l’on dispose d’une notion d’extension
galoisienne. Alors qu’il s’agit d’un sujet très étudié dans le cas commutatif, il est étonnant
que le cas non commutatif n’ait été, jusqu’à très récemment, que très peu abordé, alors qu’unenotion naturelle d’extension galoisienne existe dans ce contexte. En effet, d’après Artin, si
H ⊆ L sont deux corps2, l’extension L/H est galoisienne si tout élément de L qui est laissé
fixe par tout automorphisme de L fixant H point par point est dans H. Nous renvoyons à[Coh95, §3.3] pour un panorama de la théorie de Galois sur les corps quelconques.
Le but de cet article est de contribuer au développement de la théorie inverse de Galois
sur les corps quelconques, à la suite des premiers travaux [DL20, ALP20, Beh20] sur le sujet.
Dans [DL20], Deschamps et Legrand montrent que, si H est un corps de dimension finie sur
son centre h, le problème inverse de Galois sur H admet une réponse positive (c’est-à-dire,pour tout groupe fini G, il existe une extension galoisienne L/H de groupe G) si et seulementsi h satisfait à une variante du problème inverse de Galois faisant intervenir une contrainte
polynomiale associée à la norme réduite de H/h (voir théorème 2.2). Comme application,
1qui consiste à savoir si, pour tout groupe fini G, il existe un corps commutatif ℓ galoisien sur k et tel queGal(ℓ/k) = G.
2Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible. Un corps dont la multiplication est commutative (resp. non commutative) est un corps commutatif (resp. un corps gauche). Dans
cet article, pour mieux visualiser la distinction entre corps quelconques et corps commutatifs, nous utilisonsdes lettres majuscules pour les corps quelconques et des lettres minuscules pour les corps commutatifs.
1

ils montrent que le problème inverse de Galois admet une réponse positive sur le corps H(t)des fractions rationnelles à coefficients dans H et à indéterminée centrale t (voir §2.2 pourla définition), si h contient un corps ample3. Si H est commutatif, ce dernier résultat n’est
rien d’autre qu’un profond résultat de Pop (voir [Pop96, Main Theorem A]). Une application
du deuxième résultat de Deschamps et Legrand est ensuite donnée dans [ALP20] où Alon,
Legrand et Paran montrent que, si H est un corps de dimension finie sur son centre h et si
h contient un corps ample, alors le problème inverse de Galois admet une réponse positive
sur le corps des fractions H(X) de l’anneau des fonctions polynomiales en la variable X.
Enfin, Behajaina généralise le deuxième résultat de Deschamps et Legrand en montrant quele problème inverse de Galois admet une réponse positive sur le corps tordu H(t, σ) desfractions rationnelles, où σ est n’importe quel automorphisme de H d’ordre fini4 tel que lesous-corps de h laissé fixe par σ contienne un corps ample (voir [Beh20, théorème A])5.
1.2. Problèmes de plongement finis sur les corps commutatifs. Nous allons plus loinque les articles précédents, en introduisant les problèmes de plongement finis, un sujet central
dans le cas commutatif, sur n’importe quel corps de dimension finie sur son centre.
Rappelons brièvement ce que sont les problèmes de plongement finis dans le cas commutatif. Un problème de plongement fini sur un corps commutatif k est un épimorphisme
α : G → Gal(ℓ/k), où G est un groupe fini et ℓ/k une extension galoisienne de corps commutatifs. On dit que α est scindé s’il existe un plongement α′ : Gal(ℓ/k) → G tel queα ◦ α′ = idGal(ℓ/k) . Une solution à α est un isomorphisme β : Gal(f /k) → G, où f est
un corps commutatif contenant ℓ et qui est une extension galoisienne de k, tel que α ◦ βsoit l’application de restriction Gal(f /k) → Gal(ℓ/k). Une solution géométrique à α est un
isomorphisme β : Gal(e/k(t)) → G, où e est un corps contenant ℓ et qui est une extension
galoisienne de k(t), tel que α ◦ β soit l’application de restriction Gal(e/k(t)) → Gal(ℓ/k).
La conjecture principale portant sur les problèmes de plongement finis dans le cas commutatif a été proposée par Dèbes et Deschamps (voir [DD97, §2.2.1]) : tout problème deplongement fini scindé G → Gal(ℓ/k) sur n’importe quel corps commutatif k possède unesolution géométrique Gal(e/k(t)) → G vérifiant e ∩ k = ℓ. L’intérêt de cette conjecture est
qu’elle généralise et unifie plusieurs conjectures en théorie inverse de Galois commutative.
D’une part, elle fournit une réponse positive au problème inverse de Galois sur Q. D’autrepart, elle permet de résoudre la conjecture de Shafarevich, qui affirme que le groupe de Galois absolu de l’extension cyclotomique maximale de Q est prolibre et qui est abondammentétudiée (voir, par exemple, [Pop96, HS05, Par09, Des15]). A ce jour, la conjecture de Dèbes
et Deschamps n’a été démontrée que pour les corps amples (voir [Pop96, Main Theorem A])
et aucun contre-exemple n’est connu.
1.3. Contenu de l’article. D’un point de vue pratique, nous remplissons quatre objectifs.
Premièrement, nous introduisons toute une terminologie des problèmes de plongement finis
sur un corps H de dimension finie sur son centre, qui étend naturellement la terminologie
3Rappelons qu’un corps commutatif k est ample si toute k-courbe lisse admettant au moins un point

k-rationnel en admet en fait une infinité. Les corps amples incluent les corps commutatifs algébriquement
clos, les corps commutatifs valués complets Qp , R, κ((Y )), le corps commutatif Qtr des nombres algébriques
totalement réels, etc. Nous renvoyons à l’ouvrage de référence [Jar11] et aux articles de survol [BSF13, Pop14]
pour un vaste panorama des corps amples.
4Si σ = id , on a H(t, σ) = H(t).
H
5Dans [Beh20], il n’est en fait pas nécessaire que H soit de dimension finie sur son centre h.
2

du cas commutatif. Une première difficulté est que, si F/H et L/H sont deux extensions
galoisiennes à groupes de Galois finis et telles que L ⊆ F , alors il n’est en général pas vrai
que σ(x) ∈ L si σ ∈ Gal(F/H) et x ∈ L, c’est-à-dire il n’y a pas, a priori, d’application de
restriction Gal(F/H) → Gal(L/H) comme dans le cas commutatif. Cependant, une telle
application de restriction existe toujours si H est de dimension finie sur son centre (voir[Coh95, Chapter 3] ou §3.1). Cela nous permet de poser la définition suivante (voir §3.2.1
pour plus de détails) :Définition 1.1. Soit H un corps de dimension finie sur son centre.
1) Un problème de plongement fini sur H est un épimorphisme α : G → Gal(L/H), où G est
un groupe fini et L/H une extension galoisienne de corps quelconques.
2) On dit que α est scindé s’il existe un plongement α′ : Gal(L/H) → G vérifiant α ◦ α′ =idGal(L/H) .
3) Une solution à α est un isomorphisme β : Gal(F/H) → G, où F/H est une extension
galoisienne de corps quelconques vérifiant L ⊆ F , tel que α◦β soit l’application de restriction
Gal(F/H) → Gal(L/H).
Deuxièmement, si α : G → Gal(L/H) désigne un problème de plongement fini sur uncorps H de dimension finie sur son centre h, nous lui associons un problème de plongement
fini α̌ : G → Gal(ℓ/h) sur h, où ℓ est le centre de L (voir (3.3)). Nous démontrons alors lethéorème suivant, dont le cas L = H n’est rien d’autre que le premier résultat de [DL20]
rappelé dans le §1.1 :Théorème 1.2. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et α : G → Gal(L/H)
un problème de plongement fini sur H. Soit NrdH/h : H → h la norme réduite de H/h, soit
e1 , . . . , en une h-base de H et, pour (x1 , . . . , xn ) ∈ hn , posons
FH (x1 , . . . , xn ) = NrdH/h (x1 e1 + · · · + xn en ).

Alors α admet une solution si et seulement si α̌ admet une solution Gal(f /h) → G telle quela forme polynomiale FH ∈ h[x1 , . . . , xn ] ne possède que le zéro trivial sur f .
Nous renvoyons au théorème 3.9 pour un énoncé plus précis, qui fournit notamment une correspondance explicite entre les solutions à α et celles à α̌ vérifiant la contrainte polynomialeci-dessus.
Troisièmement, nous établissons un analogue non commutatif du résultat de Pop résolvant
la conjecture de Dèbes et Deschamps sur les corps amples. Si α : G → Gal(L/H) est un
problème de plongement fini sur un corps H de dimension finie sur son centre, nous montrons
qu’il existe une application de restriction Gal(L(t)/H(t)) → Gal(L/H), qui est en fait unisomorphisme (voir proposition 3.5). Cela fournit ainsi un problème de plongement finiαH(t) : G → Gal(L(t)/H(t)) sur H(t) et nous disons alors qu’une solution géométrique à α
est une solution Gal(E/H(t)) → G à αH(t) (voir §3.2.3). Nous montrons enfin le théorèmesuivant (voir corollaire 4.2) :Théorème 1.3. Soit H un corps de dimension finie sur son centre h. Tout problème deplongement fini scindé sur H admet une solution géométrique, si h est un corps ample.
Plus généralement, étant donnés un problème de plongement fini G → Gal(L/H) sur
H, un automorphisme σ de H et un automorphisme τ de L étendant σ, tous deux d’ordre
fini, nous donnons des conditions suffisantes pour qu’il existe une application de restriction3

Gal(L(t, τ )/H(t, σ)) → Gal(L/H) qui soit un isomorphisme (voir proposition 3.5). Sous ces
conditions, nous généralisons le théorème 1.3 en montrant que tout problème de plongement
fini scindé et constant sur H(t, σ) admet une solution, si le sous-corps de h laissé fixé par σ
est ample. Nous renvoyons au théorème 4.1 pour un énoncé plus précis. En particulier, nousréobtenons [Beh20, théorème A] dans le cas particulier où H est de dimension finie sur son
centre (voir remarque 4.3).
Quatrièmement, rappelons que la réduction faible→scindé (voir [Pop96, §1 B) 2)]) est un
procédé bien connu pour déduire des résultats sur les problèmes de plongement finis sur lescorps commutatifs admettant une solution faible de résultats sur les problèmes de plongement
finis scindés sur les corps commutatifs. Plus précisément, étant donné un problème deplongement fini α sur un corps commutatif k admettant une solution faible, il existe unproblème de plongement fini scindé α′ sur k tel que α possède une solution s’il en est demême du problème de plongement α′ . Des applications usuelles de ce procédé sont que laconjecture de Dèbes et Deschamps est équivalente à la conjecture affirmant que tout problèmede plongement fini G → Gal(ℓ/k) sur n’importe quel corps commutatif k possédant une
solution faible possède en fait une solution géométrique Gal(e/k(t)) → G vérifiant e ∩ k = ℓ,et que cette dernière conjecture est vraie si k est ample.
Nous étendons la notion de solution faible (voir §3.2.1) et la réduction faible→scindéà la situation des problèmes de plongement finis sur les corps de dimension finie sur leurs
centres. Les propositions 5.2 et 5.3 constituent nos résultats précis. Ceux-ci nous permettent
d’étendre le théorème 1.3 et sa version plus générale, le théorème 4.1. En particulier, nous
montrons que, si H est un corps de dimension finie sur son centre h, alors tout problème deplongement fini sur H admettant une solution faible possède une solution géométrique, si h
est un corps ample. Nous renvoyons aux corollaires 5.4 et 5.5 pour nos énoncés précis.
2. Préliminaires
Dans le §2.1, nous nous intéressons tout d’abord aux extensions galoisiennes de corps quelconques tandis que le §2.2 porte sur les corps tordus des fractions rationnelles. Enfin, dansle §2.3, nous évoquons brièvement les applications de restriction dans le contexte standard
des extensions de corps commutatifs.
Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible. Un corps
dont la multiplication est commutative (resp. non commutative) est un corps commutatif(resp. un corps gauche). De plus, si H ⊆ L sont deux corps quelconques, alors L peut être
considéré comme espace vectoriel sur H à gauche et comme espace vectoriel sur H à droite.
Dans cet article, nous considérerons toujours L comme espace vectoriel sur H à gauche.
2.1. Extensions galoisiennes de corps quelconques. Soit H un corps quelconque. Etant
donné y ∈ H \ {0}, la conjugaison dans H par y est notée I(y) (c’est-à-dire I(y)(x) =yxy −1 pour tout x ∈ H); c’est un automorphisme intérieur de H. L’ordre intérieur d’unautomorphisme σ de H est le plus petit n ≥ 1 tel que σ n soit un automorphisme intérieurde H (si un tel n existe), et ∞ sinon.
Soient H ⊆ L deux corps quelconques. Le groupe des automorphismes de L laissant fixe
H point par point est le groupe d’automorphismes de L/H, noté Aut(L/H). Comme définipar Artin, l’extension L/H est galoisienne si tout élément de L laissé fixe par n’importequel élément de Aut(L/H) est dans H. Si L/H est galoisienne, le groupe d’automorphismes
Aut(L/H) est le groupe de Galois de L/H, noté Gal(L/H).
4

On dit qu’une extension L/H est extérieure si le seul automorphisme intérieur de L ape ⊆ L est lepartenant à Gal(L/H) est l’identité idL de L. De manière équivalente, si H
commutant de H dans L, c’est-à-dire l’ensemble des éléments x de L tels que xy = yx poure est égal au centre de L. En
tout y ∈ H, alors L/H est extérieure si et seulement si H
particulier, si L/H est extérieure, alors le centre de H est contenu dans celui de L et l’ordre
intérieur de n’importe quel élément σ de Gal(L/H) vaut l’ordre de σ.
Lemme 2.1. Soient L/H une extension galoisienne et h le centre de H.
1) Si Gal(L/H) est fini et si H est de dimension finie sur h, alors L/H est extérieure.
2) Supposons L/H extérieure et Gal(L/H) fini. Pour tout corps intermédiaire H ⊆ F ⊆ L,
l’extension L/F est galoisienne et extérieure.
3) Supposons L/H extérieure. Alors L est commutatif si et seulement si H l’est.
Preuve. Soit ℓ le centre de L.
1) Supposons que L/H ne soit pas extérieure. Alors, comme Gal(L/H) est fini, le degré[L : H] de L sur H (c’est-à-dire la dimension de L sur H en tant qu’espace vectoriel àgauche) est fini et ℓ est un corps fini (voir [Des18, théorème du §2]). Comme H est dedimension finie sur h, la première des deux conclusions précédentes entraı̂ne que L est dedimension finie sur h. Le lemme 2.1 de [Des01] montre alors que L est de dimension finie
sur ℓ. Comme ℓ est fini, il en est de même de L et l’extension L/H est donc extérieure.
2) Comme Gal(L/H) est fini, [L : H] l’est aussi (voir [Des18, théorème du §2]). Ainsi, par[Coh95, Theorem 3.3.11], L/F est galoisienne. Maintenant, si I(y), y ∈ L, fixe F point par
point, alors I(y) fixe H point par point. Comme L/H est extérieure, cela entraı̂ne I(y) = idL .
3) Supposons que H soit commutatif. Alors, comme L/H est extérieure, H est contenu dansℓ. Ainsi tout automorphisme intérieur de L est dans Gal(L/H). Comme L/H est extérieure,cela entraı̂ne que idL est le seul automorphisme intérieur de L et L est donc commutatif. 
Maintenant, soient H un corps quelconque et k un sous-corps du centre de H. Soit ℓ/kune extension galoisienne de corps commutatifs à groupe de Galois fini. Supposons que
M = H ⊗k ℓ soit un corps. Alors, d’après [Beh20, lemme 2.1.1], l’extension M/H est
galoisienne (on identifie H et H ⊗k k) et, pour tout x ∈ ℓ et tout σ ∈ Gal(M/H), on aσ(1 ⊗ x) = 1 ⊗ x
e pour un certain xe ∈ ℓ. De plus, l’application σ
e : x 7→ x
e est un élément deGal(ℓ/k) et l’application suivante est un isomorphisme :Gal(M/H) −→ Gal(ℓ/k)
M/H
.
(2.1)
res
f ℓ/k :σ7−→
σe

Enfin, soit H un corps de dimension finie n2 sur son centre h. Rappelons que la normeréduite de H/h est définie comme suit. Soit d un corps de décomposition de la h-algèbre
H, c’est-à-dire d est un corps contenant h tel qu’il existe un isomorphisme de h-algèbres
φ : H ⊗h d → Mn (d). Alors la norme réduite NrdH/h de H/h est définie par NrdH/h =det◦φ◦id : H → d, où det : Mn (d) → d et id : H → H ⊗h d sont les applications déterminant
et x 7→ x ⊗ 1. La fonction NrdH/h ne dépend, ni du choix du corps de décomposition d, ni
de l’isomorphisme φ, et on a en fait NrdH/h (x) ∈ h pour tout x ∈ H (voir, par exemple,2[Bou12]). Si e1 , . . . , en2 forment une h-base de H et si (x1 , . . . , xn2 ) ∈ hn , on pose
FH (x1 , . . . , xn2 ) = NrdH/h (x1 e1 + · · · + xn2 en2 ).

A partir de maintenant, on considère FH comme un polynôme dans h[x1 , . . . , xn2 ].
5

(2.2)

Le théorème suivant est une conséquence de [DL20, théorème 7] et de sa preuve :Théorème 2.2. Soit H un corps de dimension finie sur son centre h.
1) Soit L/H une extension galoisienne à groupe de Galois fini. Les quatre conclusions suivantes sont vérifiées :a) le centre ℓ de L est une extension finie galoisienne de h,b) FH (voir (2.2)) ne possède que le zéro trivial sur ℓ,c) on a L = H ⊗h ℓ,L/Hd) l’application res
f ℓ/h (voir (2.1)) est un isomorphisme.
2) Réciproquement, soit ℓ un corps commutatif qui est une extension galoisienne de h àgroupe de Galois fini et sur lequel FH ne possède que le zéro trivial. Les trois conclusions
suivantes sont vérifiées :a) H ⊗h ℓ est un corps de centre ℓ,b) l’extension (H ⊗h ℓ)/H est galoisienne,(H⊗ ℓ)/Hc) l’application res
f ℓ/h hest un isomorphisme.

2.2. Corps tordus des fractions rationnelles. On dit qu’un anneau intègre A 6 est un
anneau de Ore si, pour tous x, y ∈ A \ {0}, il existe a, b ∈ A tels que xa = yb 6= 0. Par[GW04, Theorem 6.8], si A est un anneau de Ore, il existe un corps H contenant A tel que
tout élément de H s’écrive sous la forme ab−1 avec a ∈ A et b ∈ A \ {0}. De plus, par[Coh95, Proposition 1.3.4], H est unique à isomorphisme près et l’on dit que H est le corps
des fractions de A.
Soient H un corps et σ un automorphisme de H. L’anneau tordu des polynômes H[t, σ]
est l’anneau des polynômes a0 + a1 t + · · · + an tn à coefficients dans H, muni de l’additionusuelle et dont la multiplication vérifie ta = σ(a)t pour tout a ∈ H. Notons que H[t, σ] est
commutatif si et seulement si H l’est et σ = idH . Au sens de Ore (voir [Ore33]), l’anneau
H[t, σ] est l’anneau tordu des polynômes H[t, σ, δ] en la variable t, où la dérivation δ vaut 0.
L’anneau H[t, σ] est intègre, puisque le degré d’un produit de deux polynômes vaut la somme
des degrés. De plus, H[t, σ] est un anneau de Ore (voir, par exemple, [GW04, Theorem 2.6 &Corollary 6.7]). Ainsi l’anneau H[t, σ] possède un corps des fractions, noté H(t, σ) et appeléle corps tordu des fractions rationnelles. Si σ = idH , nous écrivons H[t] et H(t) à la place deH[t, σ]Pet H(t, σ). Nous considérons aussi le corps tordu H((t, σ)) des séries de Laurent de laforme n≥n0 an tn avec n0 ∈ Z et an ∈ H pour tout n, muni de l’addition habituelle et dontla multiplication vérifie ta = σ(a)t pour tout a ∈ H. Comme H[t, σ] peut être plongé dansH((t, σ)) et est un anneau de Ore, on peut plonger H(t, σ) dans H((t, σ)). Si σ = idH , nousécrivons H((t)) au lieu de H((t, σ)). Nous renvoyons à [Coh95, §2.3] pour plus de détails.
On s’intéresse maintenant au centre de H(t, σ). Commençons par le lemme suivant :Lemme 2.3. Soient H un corps et σ un automorphisme de H d’ordre fini m. Notons σe larestriction de σ au centre h de H.
1) Le centre H(t, σ) contient hheσi (tm ), où hheσ i est le sous-corps de h laissé fixe par heσ i.
2) Si H est de dimension finie sur h, alors H(t, σ) est de dimension finie sur son centre.

Preuve. Comme 1) est clair, il suffit de montrer 2). Pour cela, il suffit de montrer que H(t, σ)
est de dimension finie sur hheσi (tm ) (d’après 1)). Comme H est de dimension finie sur h et
6c’est-à-dire A 6= {0} et ab 6= 0 pour tous a ∈ A \ {0} et b ∈ A \ {0}.

6σ est d’ordre fini, la dimension de H sur hheσi est finie. Soit e1 , . . . , er une hheσ i -base de Het soit Γ l’espace vectoriel engendré sur hheσi (tm ) par tous les éléments de la forme ei tj avec
1 ≤ i ≤ r et 0 ≤ j ≤ m − 1. On a alors H[t, σ] ⊆ Γ ⊆ H(t, σ). De plus, Γ est un anneau
et est de dimension finie sur hheσi (tm ). Ainsi Γ est un corps. Comme tout élément de H(t, σ)s’écrit sous la forme P (t)Q(t)−1 avec P (t), Q(t) ∈ H[t, σ], on obtient H(t, σ) = Γ.
Nous déterminons maintenant le centre de H(t, σ) sous certaines hypothèses :Proposition 2.4. Soient H un corps et σ un automorphisme de H d’ordre fini m. Notons
σe la restriction de σ au centre h de H et supposons que l’ordre intérieur de σ soit égal à m.
Alors le centre de H(t, σ) vaut hheσi (tm ).
Preuve. Par le 1) du lemme 2.3,
Pil suffit de montrer que le centre de H(t, σ) est contenu danshheσi (tm ). Pour cela, soit x = n≥n0 an tn un élément non nul de H(t, σ) avec an0 6= 0. Parle critère de rationalité (voir [Coh95, Proposition 2.3.3]), on peut trouver deux entiers s ≥ 1
et n1 ≥ 0 et des éléments y1 , . . . , ys de H tels quean = an−1 σ n−1 (y1 ) + an−2 σ n−2 (y2 ) + · · · + an−s σ n−s (ys )(2.3)

pour tout n ≥ n1 . Puisque x est dans le centre de H(t, σ), on a tx = xt, c’est-à-direXX
an tn+1 .
σ(an )tn+1 =
n≥n0

n≥n0

Cela entraı̂ne σ(an ) = an , c’est-à-dire an est dans le sous-corps H hσi de H laissé fixe par hσipour tout n. On a donc x ∈ H hσi ((t)). De plus, pour tout a ∈ H, on a ax = xa, c’est-à-direXXan σ n (a)tn ,aan tn =
n≥n0

n≥n0

n
Pour tout n ≥ n0 tel que an 6= 0, on a donc σ n (a) = a−1
n aan , c’est-à-dire σ est intérieur.
Pour un tel n, l’hypothèse faite sur l’ordre intérieur de σ entraı̂ne alors que m divise n. On
a donc aan = an a pour tout a ∈ H et tout n tel que an 6= 0, c’est-à-dire x ∈ hheσ i ((tm )). Soitu le quotient de la division euclidienne de s par m. Par (2.3), on obtientaml = am(l−1) ym + am(l−2) y2m + · · · + am(l−u) ymu

pour tout l ∈ N tel que ml ≥ n1 . Ainsi, par le critère de rationalité, on obtient que x
est dans H(tm ). Comme x est dans le centre de H(t, σ), on obtient en fait que x est dansle centre de H(tm ), c’est-à-dire dans h(tm ) (voir, par exemple, [Coh95, Proposition 2.1.5]).
Ainsi x est dans hheσi ((tm )) ∩ h(tm ). Comme hheσ i ((tm )) ∩ h = hheσi et h/hheσi est galoisienne
finie, les corps commutatifs hheσi ((tm )) et h sont linéairement disjoints sur hheσi . Ainsi h(tm ) et
hheσi ((tm )) sont linéairement disjoints sur hheσi (tm ) (voir, par exemple, [FJ08, Lemma 2.5.3]),
c’est-à-dire h(tm ) ∩ hheσi ((tm )) = hheσ i (tm ). On en déduit donc x ∈ hheσi (tm ).
Nous concluons cette partie avec le lemme technique suivant, qui sera utilisé à plusieurs
reprises dans la suite :Lemme 2.5. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et σ un automorphismede H d’ordre fini m. Notons σe la restriction de σ à h. Soient L/H une extension galoisienneà groupe de Galois fini et τ un automorphisme de L d’ordre m étendant σ. Soient ℓ le centrede L et τe la restriction de τ à ℓ. Supposons qu’il existe une hheσi -base de ℓheτ i qui soit une
H-base de L. Alors L(t, τ ) ∼= H(t, σ) ⊗hheσi (tm ) ℓheτ i (tm ).
7

Preuve. Tout d’abord, par le lemme 2.1, on a h ⊆ ℓ et donc hheσi ⊆ ℓheτ i , puisque τ étend σ.
Ainsi H(t, σ)⊗hheσi (tm ) ℓheτ i (tm ) est bien défini. Soit f1 , . . . , fr une hheσi -base de ℓheτ i comme dansl’énoncé du lemme. Notons qu’une telle base est nécessairement finie d’après le théorème
2.2 et l’hypothèse que H est de dimension finie sur son centre h. Considérons l’application
hheσi (tm )-linéaire
H(t, σ) ⊗hheσi (tm ) ℓheτ i (tm ) −→ L(t, τ )
ψ:
.
y⊗z
7−→
yz

Puisque ℓheτ i (tm ) est contenu dans le centre de L(t, τ ) (voir le 1) du lemme 2.3), ψ est un
morphisme d’algèbres. De plus, l’image Im(ψ) de ψ contient le corps H(t, σ) et est dedimension finie (à gauche) sur ce corps. Ainsi Im(ψ) est un corps.
Pi
Nous montrons maintenant que ψ est surjective. Pour cela,
soit
x=i ai t ∈ L[t, τ ]Pr((ai )i ⊂ L). Pour tout i, il existe (ai,k )rk=1 ⊂ H tel que ai = k=1 ai,k fk . On a donc
!
!
r
XX
X X
XX


(ai,k ti ) ⊗ fk .
(ai,k ti )fk = ψx=ai,k fk ti =
i

i

k=1

i

k

k

Ainsi L[t, τ ] ⊆ Im(ψ). Comme Im(ψ) est un corps et tout élément de L(t, τ ) s’écrit sous laforme P (t)Q(t)−1 avec P (t), Q(t) ∈ L[t, τ ], on en déduit L(t, τ ) = Im(ψ).
Nous montrons enfin que ψ est injective. Pour cela, notons que, puisque H est de dimension
finie sur h et puisque σ est d’ordrePfini, la dimension de H sur hheσi est finie. Considérons
une hheσ i -base (el )l de H. Soit x = i xi ⊗ yi ∈ H(t, σ) ⊗hheσi (tm ) ℓheτ i (tm ) ((xi )i ⊂ H(t, σ) et(yi )i ⊂ ℓheτ i (tm )) tel que ψ(x) = 0. Comme ψ(x) = 0 et H[t, σ] est un anneau de Ore, paritération de la propriété de Ore, on peut supposer (xi )i ⊂ H[t, σ] et (yi )i ⊂ ℓheτ i [tm ]. On peutalors écrire
X m−1
X
x=
λl,j (el tj ⊗ vl,j ),
(2.4)
l

j=0

P
où (λl,j )l,j ⊂ h et (vl,j )l,j ⊂ ℓ [t ] \ {0}. Pour P
tout (l, j), on pose vl,j = a bl,j,a tma , avec
(bl,j,a )l,j,a ⊂ ℓheτ i et, pour tout (l, j, a), on a bl,j,a = k cl,j,a,k fk avec (cl,j,a,k )l,j,a,k ⊂ hheσ i . Ainsi
! !
X X X
(λl,j cl,j,a,k ) el fk tma+j .
ψ(x) =
he
σi

he
τi

(j,a)

m

k

l

L’égalité précédente montre alors que, pour tout (j, a, k, l), on a
λl,j cl,j,a,k = 0.

(2.5)

Fixons maintenant (l, j). Comme vl,j 6= 0, il existe (a, k) tel que cl,j,a,k 6= 0. Ainsi, en
utilisant (2.5), on obtient λl,j = 0. Par (2.4), on en déduit x = 0.
Remarque 2.6. Si l’on suppose de plus que l’ordre intérieur de σ soit égal à m, alors, par la
proposition 2.4, le centre de H(t, σ) vaut hheσi (tm ). Ainsi l’injectivité de l’application ψ de lapreuve du lemme 2.5 est une conséquence directe de [Bla72, théorème II-3].
2.3. Applications de restriction dans le cas commutatif. Si ℓ/h et f /m sont deux
extensions galoisiennes de corps commutatifs à groupes de Galois finis et telles que h ⊆ m
et ℓ ⊆ f , l’application de restriction usuelle Gal(f /m) → Gal(ℓ/h) sera notée
f /m

res
c ℓ/h .
8

(2.6)

Lemme 2.7. Soient f /h une extension galoisienne de corps commutatifs à groupe de Galois
fini et ℓ, m deux corps intermédiaires tels que les conditions suivantes soient vérifiées :1) Gal(f /h) = hGal(f /ℓ), Gal(f /m)i,2) ℓ/h est galoisienne et [ℓ : h] = [f : m].
f /mAlors l’application de restriction res
c ℓ/h est un isomorphisme, on a Gal(f /h) ∼= Gal(f /ℓ) ⋊Gal(f /m) et l’égalité f = ℓm vaut.

Preuve. Par le 1) et puisque ℓ/h est galoisienne, ℓ et m sont linéairement disjoints sur h.
f /m
On a donc [ℓm : m] = [ℓ : h], qui vaut [f : m] par le 2). Ainsi f = ℓm et res
c ℓ/h est un
isomorphisme. Enfin, Gal(f /ℓ) E Gal(f /h) par le 2), on a Gal(f /h) = Gal(f /ℓ)Gal(f /m)par le 1) et Gal(f /m) ∩ Gal(f /ℓ) est trivial puisque f = ℓm, ce qui conclut la preuve.

3. Problèmes de plongement finis
Dans cette partie, nous étendons la terminologie des problèmes de plongement finis surles corps commutatifs à la situation des corps de dimension finie sur leurs centres. Nousdémontrons aussi une version plus précise du théorème 1.2 (voir théorème 3.9).
3.1. Applications de restriction. Notre premier objectif est de définir une notion d’application de restriction qui unifie celles définies précédemment. Pour cela, nous posons :Définition 3.1. Soient L/H et F/M deux extensions galoisiennes à groupes de Galois finis
F/Met telles que L ⊆ F et H ⊆ M. Une application de restriction est une application resL/H :F/M

Gal(F/M) → Gal(L/H) vérifiant resL/H (σ)(x) = σ(x) pour tous σ ∈ Gal(F/M) et x ∈ L.
F/M

Si une application resL/H existe, elle est nécessairement unique. Nous donnons maintenantdes conditions suffisantes sur L, H, F et M pour l’existence d’une telle application :Proposition 3.2. Soient L/H et F/M deux extensions galoisiennes à groupes de Galois
finis, telles que L ⊆ F et H ⊆ M et vérifiant les conditions suivantes :1) F = M ⊗kM ℓM et L = H ⊗kH ℓH pour des extensions galoisiennes ℓM /kM et ℓH /kH decorps commutatifs à groupes de Galois finis et telles que kM (resp. kH ) soit contenu dans lecentre de M (resp. de H),2) il existe une extension galoisienne ℓ0 /k0 de corps commutatifs de groupe fini telle quea) ℓ0 ⊆ ℓM ∩ ℓH et k0 ⊆ kM ∩ kH ,b) l’extension ℓH /k0 est galoisienne finie et [ℓ0 : k0 ] = [ℓH : kH ],c) Gal(ℓH /k0 ) ∼= Gal(ℓH /ℓ0 ) ⋊ Gal(ℓH /kH ).
F/MAlors il existe une application de restriction resL/H .
Preuve. On a le diagramme d’extensions de corps suivant :9F = M ⊗ k M ℓM

❧❧❧
❧❧❧
❧
❧
❧❧
❧❧❧

L = H ⊗ k H ℓH

H

◆◆◆
◆◆◆
◆◆◆
◆◆

L = H ⊗ k H ℓH

ℓH

ℓM ❆

❆❆
❆❆
❆❆
❆

❦❦ M ◆◆◆◆
❦❦❦
◆◆◆
❦
❦
❦❦
◆◆◆
❦❦❦
❦
◆◆◆
❦
❦❦
❦
❦
❦

ℓ0

kM ❇

⑥⑥
⑥⑥
⑥
⑥
⑥⑥

kH

❇❇
❇❇
❇❇
❇

k0

q
qqq
q
q
qq
qqq

H
qqq
q
q
qq
qqq
q
q
q

⑥⑥
⑥⑥
⑥
⑥
⑥⑥

Puisque ℓ0 /k0 est galoisienne et puisque a) est vérifiée, on peut considérer l’application deℓ /krestriction res
c ℓ0M/k0M (voir (2.6)). De plus, puisque ℓ0 /k0 est galoisienne et puisque b) et c)ℓ /ksont vraies, le lemme 2.7 s’applique : resc ℓ0H/k0H est un isomorphisme et on a ℓH = ℓ0 kH .
F/M

L/H

En outre, puisque 1) est vraie, les applications res
f ℓM /kM et res
f ℓH /kH (voir (2.1)) sont desisomorphismes bien définis. On peut alors considérer l’application composée
L/H

ℓ /k

ℓ

/k

F/M

g = (resf ℓH /kH )−1 ◦ (resc ℓ0H/k0H )−1 ◦ res
c ℓ0M/k0M ◦ res
f ℓM /kM : Gal(F/M) → Gal(L/H).

(3.1)

F/M

Alors g est une application de restriction resL/H . En effet, par ce qui précède, on a L =H ⊗kH ℓH = H ⊗kH ℓ0 kH . Etant donnés σ ∈ Gal(F/M), x ∈ H, y ∈ ℓ0 et z ∈ kH , on a donc
ℓ /k

ℓ

/k

F/M

g(σ)(x ⊗ yz) = x ⊗ ((resc ℓ0H/k0H )−1 ◦ res
c ℓ0M/k0M ◦ res
f ℓM /kM (σ)(yz)).
ℓ /k

ℓ

/k

F/M

Mais, puisque y est dans ℓ0 , on a (resc ℓ0H/k0H )−1 ◦ res
c ℓ0M/k0M ◦ res
f ℓM /kM (σ)(y) = σ(y) et, puisquez ∈ kH et σ laisse fixe H point par point, on a
ℓ /k

ℓ

/k

F/M

(res
c ℓ0H/k0H )−1 ◦ res
c ℓ0M/k0M ◦ res
f ℓM /kM (σ)(z) = z = σ(z),Ainsi g(σ)(x ⊗ yz) = x ⊗ σ(yz) = σ(x ⊗ yz), ce qui conclut la démonstration.



F/M

Remarque 3.3. Avec les notations de la proposition, la définition de resL/H (voir (3.1)) montreℓ/kque cette application est un isomorphisme si et seulement s’il en est de même de res
c ℓ0M/k0M .

Nous appliquons maintenant notre construction à quatre situations présentant chacune un
certain intérêt :I) Soit F/M une extension galoisienne à groupe de Galois fini. Supposons F = M ⊗k ℓpour une certaine extension galoisienne ℓ/k de corps commutatifs à groupe de Galois finiet telle que k soit contenu dans le centre de M. On pose ℓM = ℓ0 = ℓH = L = ℓ et
F/M
kM = k0 = kH = H = k. Alors l’application de restriction resL/H de la proposition 3.2 est
F/M

un isomorphisme, qui n’est rien d’autre que l’application de restriction res
f ℓ/k (voir (2.1)). En
particulier, si M est de dimension finie sur son centre m, alors F = M ⊗m f par le théorème
F/M
2.2, où f est le centre de F . Ainsi l’application de restriction resf /m est un isomorphisme.
10II) Soient F/M et L/H deux extensions galoisiennes de corps commutatifs à groupes deGalois finis et telles que H ⊆ M et L ⊆ F . Dans ce cas, on a F = M ⊗M F et L = H ⊗H L.
Posons ℓM = F , kM = M, ℓH = ℓ0 = L et kH = k0 = H. Alors l’application de restriction
F/M
F/M
resL/H de la proposition 3.2 coı̈ncide avec l’application res
c L/H (voir (2.6)).

III) Soient L/H et F/H deux extensions galoisiennes à groupes de Galois finis. Supposons
L ⊆ F et H de dimension finie sur son centre h. Par le lemme 2.1, F/L est galoisienne etextérieure. Ainsi ℓ ⊆ f , où ℓ (resp. f ) est le centre de L (resp. de F ). De même, on a h ⊆ ℓ.
De plus, par le théorème 2.2, on a F = H ⊗h f (resp. L = H ⊗h ℓ) et l’extension f /h (resp.
ℓ/h) est galoisienne finie. En posant M = H, ℓM = f , kM = h, ℓ0 = ℓH = ℓ et k0 = kH = h,F/Hla proposition 3.2 fournit une application de restriction resL/H .
Remarque 3.4. Plus généralement, si L/H et F/H sont deux extensions galoisiennes à groupes de Galois finis et telles que F/H soit extérieure et L ⊆ F , alors il existe une application
F/H
de restriction resL/H (voir [Coh95, Chapter 3]).
IV) Nous appliquons enfin la proposition 3.2 aux corps tordus des fractions rationnelles.
Proposition 3.5. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et σ un automorphisme de H d’ordre fini m. Soient L/H une extension galoisienne à groupe de Galois
fini et τ un automorphisme de L d’ordre m étendant σ. Notons τe la restriction de τ aucentre ℓ de L et supposons que la condition suivante soit vérifiée (à l’intérieur du grouped’automorphismes de ℓ) :
τ i × Gal(ℓ/h).
(3.2)
heτ , Gal(ℓ/h)i ∼= heAlors L(t, τ )/H(t, σ) est galoisienne à groupe de Galois fini et il existe une application deL(t,τ )/H(t,σ)
restriction resL/H, qui est en fait un isomorphisme.
Preuve. Tout d’abord, notons σe la restriction de σ à h. Puisque h ⊆ ℓ et τ étend σ, on
he
σi
he
τi
a h ⊆ ℓ . De plus, on a hheσi = ℓheτ ,Gal(ℓ/h)i . Par (3.2), on en déduit que ℓheτ i /hheσi est
galoisienne et que l’égalité [ℓheτ i : hheσ i ] = [ℓ : h] vaut. Le lemme 2.7 montre alors queℓ/hl’application de restriction resℓheτ i /hheσi du II) est un isomorphisme et que l’on a ℓ = ℓheτ i h.
De plus, les corps commutatifs ℓheτ i et h sont linéairement disjoints sur hheσ i . Par conséquent,si e1 , . . . , en est une hheσi -base de ℓheτ i , alors e1 , . . . , en est une h-base de ℓ = ℓheτ i h. Puisque
L = H ⊗h ℓ (voir théorème 2.2), 1 ⊗ e1 , . . . , 1 ⊗ en est une H-base de L. Le lemme 2.5 fournit
alors l’égalité L(t, τ ) = H(t, σ) ⊗hheσi (tm ) ℓheτ i (tm ). En particulier, H(t, σ) ⊗hheσi (tm ) ℓheτ i (tm ) est
un corps. Par le §2.1 et le 1) du lemme 2.3, l’extension L(t, τ )/H(t, σ) = (H(t, σ) ⊗hheσi (tm )L(t,τ )/H(t,σ)ℓheτ i (tm ))/H(t, σ) est alors galoisienne et l’application de restriction resℓheτ i (tm )/hheσi (tm ) du I)
est un isomorphisme. Nous sommes donc dans la situation de la proposition 3.2. Plusprécisément, avec les notations de la proposition, on pose F = L(t, τ ), M = H(t, σ), ℓM =ℓheτ i (tm ), kM = hheσi (tm ), ℓ0 = ℓheτ i , k0 = hheσ i , ℓH = ℓ et kH = h. Il existe donc une application
L(t,τ )/H(t,σ)
de restriction resL/H
et, par la remarque 3.3, c’est un isomorphisme.
Remarque 3.6. La proposition 3.5 s’applique déjà dans les deux situations suivantes :1) H est de dimension finie sur son centre, σ = idH , l’extension L/H est galoisienne à groupede Galois fini et τ = idL ,2) H est de dimension finie sur son centre, σ est un automorphisme de H d’ordre fini, L = H
et τ = σ.
11Cependant, la proposition 3.5 s’applique aussi de manière moins immédiate. Nous donnons
ci-dessous deux exemples illustratifs.
Tout d’abord, soit k un corps commutatif algébriquement clos et de caractéristique nulle.
Fixons un système cohérent {ζn }∞n=1 de racines de l’unité, c’est-à-dire ζn ∈ k est une racinenprimitive n-ième de l’unité et ζnm = ζm pour tous entiers strictement positifs n et m. Soientm et n deux tels entiers tels que n ≡ 1 (mod m). Alors L = k((u1/n )) est une extension
galoisienne de H = k((u)) de groupe Z/nZ. Si σ est l’automorphisme de H d’ordre m définipar u 7→ ζm u, on considère l’automorphisme τ de L défini par u1/n 7→ ζm u1/n . Alors τ est
d’ordre m et, puisque n ≡ 1 (mod m), la restriction de τ à H vaut σ. De plus, (3.2) est
vraie. L’intérêt de cet exemple est qu’il s’applique à n’importe quelle extension galoisiennede H à groupe de Galois fini.
Nous donnons maintenant un exemple où L et H sont des corps gauches. Pour cela, soit
K un corps gauche de dimension finie sur son centre k. Soient m ≥ 2 un entier et G ungroupe fini non trivial tels qu’il existe une extension galoisienne L/K de groupe de Galois
Z/mZ × G 7. Par le théorème 2.2, si ℓ est le centre de L, on a :ℓ■②② ■■■■
②
②
■■
②②
■■
②②

G

ℓ{0}×G
❊

❊❊
❊❊
❊❊
❊❊
❊

Z/mZ

ℓZ/mZ×{1}

k

✉
✉✉
✉✉
✉
✉
✉✉
✉✉

De plus, H = K ⊗k ℓ{0}×G est un corps gauche et H/K est galoisienne de groupe Z/mZ.
Soient σe un générateur de Gal(h/k), où h est le centre de H, et σ un générateur de Gal(H/K)
H/K
tel que resh/k (σ) = σ
e. En outre, h et ℓZ/mZ×{1} sont linéairement disjoints sur k et leurℓ/kcompositum vaut ℓ. Ainsi il existe τe ∈ Gal(ℓ/k) d’ordre m et tel que resh/k (eτ) = σe. SoitL/Kτ ∈ Gal(L/K) l’antécédent de τe sous l’isomorphisme resℓ/k . Alors τ étend σ. Enfin, L/H
est galoisienne de groupe G (voir théorème 2.2) et, par construction, on a he
τ , Gal(ℓ/h)i ∼=heτ i × Gal(ℓ/h).
La proposition 3.5 admet la réciproque partielle suivante :Proposition 3.7. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et σ un automorphisme de H d’ordre fini m. Soient L/H une extension galoisienne à groupe de Galois
fini et τ un automorphisme de L d’ordre fini n étendant σ. Notons τe la restriction de τ aucentre ℓ de L. Supposons que L(t, τ )/H(t, σ) soit galoisienne à groupe de Galois fini et que|Gal(L/H)| = |Gal(L(t, τ )/H(t, σ))|. Supposons de plus que les ordres intérieurs de σ et ττ i × Gal(ℓ/h).
soient respectivement égaux à m et n. Alors n = m et heτ , Gal(ℓ/h)i ∼= hePreuve. Soit σe la restriction de σ à h. Par l’hypothèse sur les ordres intérieurs, les centres
respectifs de H(t, σ) et L(t, τ ) sont hheσi (tm ) et ℓheτ i (tn ) (voir proposition 2.4). Le théorème
2.2 et le lemme 2.3 montrent alors que ℓheτ i (tn )/hheσi (tm ) est galoisienne et que l’application
L(t,τ )/H(t,σ)
resℓheτ i (tn )/hheσi (tm ) du I) est un isomorphisme. De plus, comme tm ∈ ℓheτ i (tn ), on a n | m et
7Une telle extension L/K existe (pour m et G arbitraires) si K = H(t), où H est le corps gauche desquaternions de Hamilton (voir §1.1).

12τ i (tn )/hheσ i (tm )ℓhedonc n = m. Ainsi ℓheτ i /hheσi est galoisienne et l’application resℓheτ i /hheσidu II) est unheσiheτ ,Gal(ℓ/h)i
isomorphisme. En outre, h = ℓet, par l’hypothèse sur |Gal(L/H)|, on a[ℓ : h] = |Gal(L/H)| = |Gal(L(t, τ )/H(t, σ))| = [ℓheτ i : hheσ i ].

τi ⋊Comme ℓheτ i /hheσi est galoisienne, le lemme 2.7 fournit l’isomorphisme heτ , Gal(ℓ/h)i ∼
= he
he
σi
Gal(ℓ/h). Pour conclure, il ne reste plus qu’à noter que, comme h/h
est galoisienne,
Gal(ℓ/h) est un sous-groupe normal de heτ , Gal(ℓ/h)i.

3.2. Problèmes de plongement finis.
3.2.1. Terminologie. Soit H un corps de dimension finie sur son centre. Un problème deplongement fini sur H est un épimorphisme α : G → Gal(L/H), où G est un groupe finiet L/H une extension galoisienne. On dit que α est scindé s’il existe un plongement α′ :Gal(L/H) → G tel que α ◦ α′ = idGal(L/H) . Une solution faible à α est un isomorphisme
β : Gal(F/H) → G′ , où G′ est un sous-groupe de G et F/H une extension galoisienne
F/Hvérifiant L ⊆ F , tel que l’application composée α ◦ β soit l’application de restriction resL/H
du III) du §3.1. Si G′ = G, on dit solution plutôt que solution faible.
Remarque 3.8. 1) Plus généralement, on peut définir un problème de plongement fini sur
un corps quelconque H (de dimension quelconque sur son centre), ainsi qu’un problème deplongement fini scindé sur H. Cependant, pour la notion de solution faible, nous avons besoin
F/Hde l’existence d’une application de restriction resL/H . Comme mentionné dans la remarque
3.4, une telle application existe sans aucune hypothèse sur H, à condition de supposer F/H
extérieure. Comme la plupart des résultats de cet article supposent H de dimension finie
sur son centre, nous nous restreignons à cette situation dans la terminologie ci-dessus.
2) Soit α : G → Gal(L/H) un problème de plongement fini sur H. Puisque G est fini et
puisque H est de dimension finie sur son centre, le lemme 2.1 s’applique : L est commutatifsi et seulement si H l’est. De même, si β : Gal(F/H) → G′ est une solution faible à α, alors
F est commutatif si et seulement si H l’est. Par conséquent, notre terminologie étend celledu cas commutatif rappelée dans le §1.2 et aucune confusion n’est possible.
3.2.2. Passage des corps quelconques aux corps commutatifs et vice-versa. Soit H un corps
de dimension finie sur son centre h. Nous renvoyons à (2.2) pour la définition de la forme
polynomiale FH associée à la norme réduite de H/h.
Soit α : G → Gal(L/H) un problème de plongement fini sur H. Puisque l’application de
L/Hrestriction resℓ/h du I) du §3.1 est un isomorphisme, où ℓ est le centre de L,
L/Hα̌ = resℓ/h ◦ α : G → Gal(ℓ/h)(3.3)

est un problème de plongement fini sur h. Par le théorème 2.2, FH n’a que le zéro trivial
sur ℓ. De plus, si β : Gal(F/H) → G′ est une solution faible à α, alors l’application deF/Hrestriction resf /h du I) du §3.1 est un isomorphisme, où f est le centre de F . Ainsi
F/Hβ̌ = β ◦ (resf /h )−1 : Gal(f /h) → G′
L/H

F/H

f /h

F/H

(3.4)

est une solution faible à α̌, puisque resℓ/h ◦resL/H = resℓ/h ◦resf /h . De plus, par le théorème
2.2, FH n’a que le zéro trivial sur f et il est clair que β est une solution à α si et seulementsi β̌ est une solution à α̌.
13Réciproquement, soit α : G → Gal(ℓ/h) un problème de plongement fini sur h tel que FH
ne possède que le zéro trivial sur ℓ. Par le théorème 2.2, (H ⊗h ℓ)/H est galoisienne à groupe(H⊗ ℓ)/Hde Galois fini et le centre de H ⊗h ℓ vaut ℓ. Ainsi l’application de restriction resℓ/h hduI) du §3.1 est un isomorphisme. Par conséquent, l’application composée(H⊗ ℓ)/H −1α̂ = (resℓ/h h)◦ α : G → Gal((H ⊗h ℓ)/H)(3.5)

est un problème de plongement fini sur H. De plus, si β : Gal(f /h) → G′ est une solution
faible à α telle que FH ne possède que le zéro trivial sur f , alors, par le théorème 2.2,
(H ⊗h f )/H est une extension galoisienne à groupe de Galois fini et le centre de H ⊗h f
(H⊗ f )/H
vaut f . Ainsi l’application de restriction resf /h hdu I) du §3.1 est un isomorphisme. Par
conséquent, l’application composée(H⊗ f )/Hβ̂ = β ◦ resf /h h

: Gal((H ⊗h f )/H) → G′

(H⊗ ℓ)/H

est une solution faible à α̂, puisque resℓ/h h(H⊗ f )/H

f /h

(3.6)
(H⊗ f )/H

◦ res(H⊗fh ℓ)/H = resℓ/h ◦ resf /h h

. Il est

également clair que β est une solution à α si et seulement si β̂ est une solution à α̂.
Enfin, soit α : G → Gal(L/H) un problème de plongement fini sur H. Puisque L = H ⊗h ℓ
ˆ = α. De même,(voir théorème 2.2), où h (resp. ℓ) est le centre de H (resp. de L), on a α̌ˆsi β : Gal(F/H) → G′ est une solution faible à α, alors β̌ = β. Réciproquement, soit
α : G → Gal(ℓ/h) un problème de plongement fini sur h tel que FH ne possède que le zéroˇ = α. De même, si β : Gal(f /h) → G′
trivial sur ℓ. Puisque le centre de H ⊗h ℓ vaut ℓ, on a α̂ˇ
est une solution faible à α telle que FH ne possède que le zéro trivial sur f , alors β̂ = β.
Nous avons donc démontré le théorème suivant, qui généralise à la fois [DL20, théorème7] et le théorème 1.2 de l’introduction :Théorème 3.9. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et α : G → Gal(L/H)
un problème de plongement fini sur H. Les applications β 7→ β̌ et γ 7→ γ̂ sont des bijections
réciproques entre l’ensemble des solutions β à α et l’ensemble des solutions γ : Gal(f /h) → Gà α̌ telles que FH ne possède que le zéro trivial sur f .
3.2.3. Solutions géométriques. Soit H un corps de dimension finie sur son centre h, soit σ un
automorphisme de H d’ordre fini m et soit σe la restriction de σ à h. Soient α : G → Gal(L/H)
un problème de plongement fini sur H et τ un automorphisme de L d’ordre m étendant σ.
Notons τe la restriction de τ au centre ℓ de L et supposons heτ , Gal(ℓ/h)i ∼τ i × Gal(ℓ/h).
= heAlors, par la proposition 3.5, l’extension L(t, τ )/H(t, σ) est galoisienne à groupe de GaloisL(t,τ )/H(t,σ)
fini et il existe une application de restriction resL/H, qui est en fait un isomorphisme.
On peut donc considérer le problème de plongement finiL(t,τ )/H(t,σ) −1

ασ,τ = (resL/H)◦ α : G → Gal(L(t, τ )/H(t, σ))(3.7)

sur H(t, σ). Une solution (σ, τ )-géométrique à α est une solution β : Gal(E/H(t, σ)) → Gà ασ,τ . Si σ = idH et τ = idL , on dit solution géométrique plutôt que solution (idH , idL )géométrique et on écrit αH(t) plutôt que αidH ,idL . Comme H(t, σ) est de dimension finie
sur son centre (voir le 2) du lemme 2.3), on a, comme dans la remarque 3.8, que E est
commutatif si et seulement si H(t, σ) l’est. En particulier, il n’y a aucune confusion possible
avec la notion de solution géométrique rappelée dans le §1.2.
14

De plus, comme vu dans le premier paragraphe de la preuve de la proposition 3.5, l’extensionℓ/hℓ /hheσi est galoisienne et l’application resℓheτ i /hheσi du II) du §3.1 est un isomorphisme. Avecheτiα̌ comme dans (3.3), on peut considérer le problème de plongement fini sur hheσi suivant :ℓ/hασ,τ = resℓheτ i /hheσi ◦ α̌ : G → Gal(ℓheτ i /hheσ i ).
L(t,τ )/H(t,σ) −1

Lemme 3.10. On a ασ,τ = (resℓheτ i /hheσi)◦ ασ,τ .
L(t,τ )/H(t,σ)

Preuve. Par la définition de l’application de restriction resL/H
L(t,τ )/H(t,σ) −1

ασ,τ = (resL/H
=
=
=

)

(3.8)

, on a◦ατ i (tm )/hheσ i (tm )L(t,τ )/H(t,σ)ℓheℓ/h(resℓheτ i (tm )/hheσi (tm ) )−1 ◦ (resℓheτ i /hheσi)−1 ◦ resℓheτ i /hheσi ◦ α̌τ i (tm )/hheσ i (tm )L(t,τ )/H(t,σ)ℓhe(resℓheτ i (tm )/hheσi (tm ) )−1 ◦ (resℓheτ i /hheσi)−1 ◦ ασ,τL(t,τ )/H(t,σ) −1(resℓheτ i /hheσi) ◦ ασ,τ ,ce qui conclut la démonstration.



4. Résolution de problèmes de plongement finis scindés
Le théorème suivant est l’objectif de cette partie :Théorème 4.1. Soit H un corps de dimension finie sur son centre h, soit σ un automorphisme de H d’ordre fini m et soit σe la restriction de σ à h. Soient α : G → Gal(L/H)
un problème de plongement fini sur H et τ un automorphisme de L d’ordre fini m étendant
σ. Soit τe la restriction de τ au centre ℓ de L. Supposons que les trois conditions suivantessoient vérifiées :1) α est scindé,2) heτ , Gal(ℓ/h)i ∼τ i × Gal(ℓ/h),= he3) il existe un sous-corps ample k0 de hheσ i et un corps commutatif ℓ0 galoisien sur k0 tels
que ℓ0 et hheσi soient linéairement disjoints sur k0 et tels que ℓ0 · hheσ i = ℓheτ i .
Alors α admet une solution (σ, τ )-géométrique.
Avant de démontrer le théorème 4.1, nous considérons le cas σ = idH et τ = idL . Danscette situation, nous avons le corollaire suivant, qui n’est rien d’autre que le théorème 1.3 :Corollaire 4.2. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et α : G → Gal(L/H)
un problème de plongement fini sur H. Supposons α scindé et h ample. Alors α a une solution géométrique.
Remarque 4.3. 1) Si H = L dans le théorème 4.1, on a l’énoncé suivant, qui est un cas
particulier de [Beh20, théorème A] et dont le cas σ = idH est [DL20, théorème B] :Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et σ un automorphisme de H d’ordre
fini. Supposons que hheσ i contienne un corps ample, où σe est la restriction de σ à h. Alors
tout groupe fini est le groupe de Galois d’une extension galoisienne de H(t, σ).
2) Le corollaire 4.2 et le 1) de cette remarque correspondent aux deux situations de laremarque 3.6 dans lesquelles la proposition 3.5 s’applique immédiatement. Bien entendu,
des corollaires du théorème 4.1 correspondant aux situations “non triviales” de la remarque
3.6 peuvent aussi être donnés. Nous laissons ce travail au lecteur intéressé.
15

Nous démontrons maintenant le théorème 4.1. Le lemme suivant nous sera utile :Lemme 4.4. En conservant les notations du théorème, supposons que 2) soit vérifiée etposons u = tm . Alors le problème de plongement fini α sur H a une solution (σ, τ )géométrique, pourvu que le problème de plongement fini ασ,τ (voir (3.8)) possède une solutiongéométrique Gal(e/hheσi (u)) → G vérifiant e ⊆ ℓheτ i ((u)).
Preuve. Tout d’abord, notons que le problème de plongement fini ασ,τ est bien défini puisque2) est vraie. Soit β : Gal(e/hheσi (u)) → G une solution géométrique à ασ,τ telle que
e ⊆ ℓheτ i ((u)). Puisque la dernière inclusion vaut, [Beh20, proposition 2.1.2] s’applique :L(t, τ ) ⊗ℓheτ i (u) e est un corps. De plus, puisque 2) est vraie, on aL(t, τ ) = H(t, σ) ⊗hheσi (u) ℓheτ i (u)(4.1)(voir lemme 2.5). Ainsi, en vertu de la proposition 37 de [Des12], on aL(t, τ ) ⊗ℓheτ i (u) e = (H(t, σ) ⊗hheσi (u) ℓheτ i (u)) ⊗ℓheτ i (u) e = H(t, σ) ⊗hheσi (u) e.

En particulier, F = H(t, σ) ⊗hheσi (u) e est un corps et, par le §2.1, l’extension F/H(t, σ) est
galoisienne. De plus, puisque e contient ℓheτ i (u) et (4.1) est vraie, on a L(t, τ ) ⊆ F .
F/H(t,σ)Maintenant, le §2.1 montre que rese/hheσi (u) est un isomorphisme. On peut alors considérer
F/H(t,σ)l’isomorphisme composé β ◦ rese/hheσi (u) : Gal(F/H(t, σ)) → G. Le lemme 3.10 fournit alors
F/H(t,σ)L(t,τ )/H(t,σ) −1

ασ,τ ◦ β ◦ rese/hheσi (u) = (resℓheτ i /hheσi)L(t,τ )/H(t,σ) −1= (resℓheτ i /hheσiF/H(t,σ)= resL(t,τ )/H(t,σ) ,)F/H(t,σ)◦ ασ,τ ◦ β ◦ rese/hheσi (u)σi (u)e/hhe

F/H(t,σ)◦ resℓheτ i /hheσi ◦ rese/hheσi (u)ce qui conclut la démonstration du lemme.

τ i /hheσiℓhePreuve du théorème 4.1. Par 3), l’application de restriction resℓ0 /k0
Considérons le problème de plongement fini
τ i /hheσiℓheα′ = resℓ0 /k0

est un isomorphisme.

◦ ασ,τ : G → Gal(ℓ0 /k0 )sur k0 . Puisque k0 est ample (par 3)) et α′ est scindé (par 1)), on peut appliquer le résultat de
Pop résolvant la conjecture de Dèbes et Deschamps sur les corps amples : α′ a une solutiongéométrique β : Gal(e/k0 (u)) → G vérifiant e ⊆ ℓ0 ((u)) (voir aussi [HJ98, Theorem 1]). Or,
σi /hheσ i (u)ehhe
par 3) et puisque e ∩ k0 = ℓ0 , l’application rese/k0 (u)est un isomorphisme. Ainsi
σ i /hheσ i (u)ehheβ ◦ rese/k0 (u): Gal(ehheσ i /hheσi (u)) → G

est une solution géométrique à ασ,τ . De plus, comme e ⊆ ℓ0 ((u)), on a ehheσi ⊆ ℓ0 hheσ i ((u)) =ℓheτ i ((u)). Il ne reste plus qu’à appliquer le lemme 4.4 pour conclure la démonstration.

5. A propos de la réduction faible→scindé
Dans cette dernière partie, nous étendons la réduction faible→scindé à la situation desproblèmes de plongement finis sur les corps de dimension finie sur leurs centres. Nous
donnons aussi une variante du théorème 4.1 pour les problèmes de plongement finis admettant
une solution faible (voir corollaire 5.4).
16

5.1. Extensions de la réduction faible→scindé. Rappelons tout d’abord cette réduction
dans le cas commutatif (voir [Pop96, §1 B) 2)] pour une brève démonstration) :Proposition 5.1. Soient k un corps commutatif et α : G → Gal(ℓ/k) un problème deplongement fini sur k. Pour toute solution faible Gal(ℓ′ /k) → G′ à α, il existe un problèmede plongement fini scindé α′ : G′′ → Gal(ℓ′ /k) sur k vérifiant les propriétés suivantes :1) ker(α) ∼= ker(α′ ),2) toute solution Gal(f ′ /k) → G′′ à α′ fournit une solution Gal(f /k) → G à α telle quef ⊆ f ′,
3) toute solution géométrique Gal(e′ /k(t)) → G′′ à α′ fournit une solution géométriqueGal(e/k(t)) → G à α vérifiant e ⊆ e′ .
Nous démontrons maintenant une première généralisation :Proposition 5.2. Soient H un corps de dimension finie sur son centre, α : G → Gal(L/H)
un problème de plongement fini sur H et γ : Gal(L′ /H) → G′ une solution faible à α. Il
existe un problème de plongement fini scindé α′ : G′′ → Gal(L′ /H) sur H vérifiant :1) ker(α) ∼= ker(α′ ),2) toute solution Gal(F ′ /H) → G′′ à α′ fournit une solution Gal(F/H) → G à α vérifiant
F ⊆ F ′.

Preuve. Considérons le problème de plongement fini α̌ : G → Gal(ℓ/h) sur le centre h de
H (voir (3.3)), où ℓ est le centre de L. Comme γ est une solution faible à α, l’applicationγ̌ : Gal(ℓ′ /h) → G′ (voir (3.4)), où ℓ′ est le centre de L′ , est une solution faible à α̌ et FH(voir (2.2)) n’a que le zéro trivial sur ℓ′ . La proposition 5.1 fournit alors un problème deplongement fini scindé (α̌)′ : G′′ → Gal(ℓ′ /h) sur h qui vérifie les 1) et 2) de cette dernièreproposition. Comme FH n’a que le zéro trivial sur ℓ′ , on peut considérer le problème deplongement fini (dα̌)′ : G′′ → Gal(L′ /H) sur H (voir (3.5)), que l’on note α′ . Notons que α′
est scindé (car il en est de même pour (α̌)′ ). De plus, puisque (α̌)′ vérifie le 1) de la proposition
5.1, on a ker(α′ ) = ker((α̌)′ ) ∼= ker(α̌) = ker(α), ce qui démontre le 1). Maintenant, soit′′′′
β : Gal(F /H) → G une solution à α′ . Alors β̌ ′ : Gal(f ′ /h) → G′′ est une solution àα̌′ = (α̌)′ , où f ′ est le centre de F ′ , et FH n’a que le zéro trivial sur f ′ . Comme (α̌)′ vérifiele 2) de la proposition 5.1, il existe une solution β : Gal(f /h) → G à α̌ telle que f ⊆ f ′ .
Enfin, puisque FH n’a que le zéro trivial sur f , on en déduit que β̂ : Gal((H ⊗h f )/H) → G
ˆ = α vérifiant H ⊗h f ⊆ H ⊗h f ′ = F ′ .
(voir (3.6)) est une solution à α̌Nous concluons cette partie avec la variante géométrique de la proposition 5.2 suivante :Proposition 5.3. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et σ un automorphisme de H d’ordre fini m. Soient α : G → Gal(L/H) un problème de plongement fini sur
H et τ un automorphisme de L d’ordre m, étendant σ et tel queheτ , Gal(ℓ/h)i ∼τ i × Gal(ℓ/h),
(5.1)
= he
où τe est la restriction de τ au centre ℓ de L. Soit γ : Gal(L′ /H) → G′ une solution faible àα et soit τ ′ un automorphisme de L′ d’ordre m, étendant τ et tel que(5.2)
hτe′ , Gal(ℓ′ /h)i ∼= hτe′ i × Gal(ℓ′ /h),où τe′ est la restriction de τ ′ au centre ℓ′ de L′ . Alors il existe un problème de plongement
fini scindé α′ : G′′ → Gal(L′ /H) sur H vérifiant les deux conditions suivantes :171) ker(α) ∼= ker(α′ ),2) toute solution (σ, τ ′ )-géométrique Gal(E ′ /H(t, σ)) → G′′ à α′ fournit une solution (σ, τ )géométrique Gal(E/H(t, σ)) → G à α vérifiant E ⊆ E ′ .
Preuve. Comme (5.1) vaut, on peut considérer le problème de plongement fini
ασ,τ : G → Gal(L(t, τ )/H(t, σ))sur H(t, σ) (voir (3.7)). De plus, comme (5.2) vaut, L′ (t, τ ′ )/H(t, σ) est galoisienne et il
L′ (t,τ ′ )/H(t,σ)
existe une application resL′ /H, qui est en fait un isomorphisme (voir proposition 3.5).
On peut donc considérer l’isomorphisme composéL′ (t,τ ′ )/H(t,σ)γσ,τ = γ ◦ resL′ /H: Gal(L′ (t, τ ′ )/H(t, σ)) → G′et l’on voit que γσ,τ est une solution faible à ασ,τ . Puisque H(t, σ) est de dimension finie sur
son centre (voir le 2) du lemme 2.3), la proposition 5.2 s’applique et fournit un problème deplongement fini scindé α : G′′ → Gal(L′ (t, τ ′ )/H(t, σ)) sur H(t, σ) qui vérifie le 1) et le 2)de cette dernière proposition. On peut alors considérer le problème de plongement finiL′ (t,τ ′ )/H(t,σ)α′ = resL′ /H◦ α : G′′ → Gal(L′ /H)

sur H. Comme α est scindé, il en est de même pour α′ et on a ker(α′ ) = ker(α) ∼= ker(ασ,τ ) =′′′′′ker(α). Maintenant, soit β : Gal(E /H(t, σ)) → G une solution (σ, τ )-géométrique à α′ .
′Alors β ′ est une solution à ασ,τ′ = α. Comme α vérifie le 2) de la proposition 5.2, il existe
une solution β : Gal(E/H(t, σ)) → G à ασ,τ vérifiant E ⊆ E ′ . Cela conclut la démonstration
puisque, par définition, β est une solution (σ, τ )-géométrique à α.
5.2. Extension du théorème 4.1. Notre dernier objectif est la variante du théorème 4.1
suivante, qui concerne les problèmes de plongement finis admettant une solution faible :Corollaire 5.4. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et σ un automorphisme de H d’ordre fini m. Soient α : G → Gal(L/H) un problème de plongement fini sur
H et τ un automorphisme de L d’ordre m étendant σ. Supposons :1) α admet une solution faible Gal(L′ /H) → G′ et il existe un automorphisme τ ′ de L′
d’ordre m, étendant τ et tel que hτe′ , Gal(ℓ′ /h)i ∼= hτe′ i × Gal(ℓ′ /h), où τe′ est la restriction deτ ′ au centre ℓ′ de L′ ,2) he
τ , Gal(ℓ/h)i ∼τ i × Gal(ℓ/h), où τe est la restriction de τ au centre ℓ de L,
= he
he
σi
3) h est un corps ample, où σe est la restriction de σ à h.
Alors α a une solution (σ, τ )-géométrique.

Preuve. Comme 1) et 2) sont vraies, la proposition 5.3 s’applique et fournit un problème deplongement fini scindé α′ : G′′ → Gal(L′ /H) sur H vérifiant le 1) et le 2) de cette dernièreproposition. Maintenant, comme 1) et 3) sont vraies et comme α′ est scindé, α′ a une solution(σ, τ ′ )-géométrique (voir théorème 4.1). Il ne reste alors plus qu’à utiliser que le problèmede plongement fini α′ vérifie le 2) de la proposition 5.3 pour achever la démonstration. 
Donnons à titre d’illustration l’énoncé simple suivant, qui est le cas (σ, τ, τ ′ ) = (idH , idL , idL′ )et qui généralise le corollaire 4.2 :Corollaire 5.5. Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et α : G → Gal(L/H)
un problème de plongement fini sur H. Supposons que α possède une solution faible et que
h soit ample. Alors α a une solution géométrique.
18

5.3. Remarque finale. Pour simplifier, on se restreint au cas d’une indéterminée centrale t.
Soient H un corps de dimension finie sur son centre h et α : G → Gal(L/H) un problème deplongement fini sur H. Par le lemme 4.4, α a une solution géométrique, si α̌ a une solutiongéométrique β : Gal(e/h(t)) → G vérifiant e ⊆ ℓ((t)), où ℓ est le centre de L.
Cependant, la réciproque de cette implication n’est pas vraie en général. En effet, supposons que les trois condition suivantes soient vérifiées :1) h est ample,2) α possède une solution faible,3) α n’est pas scindé.
Comme 1) et 2) sont vraies, α a une solution géométrique (voir corollaire 5.5). Cependant,
supposons que α̌ possède une solution géométrique β : Gal(e/h(t)) → G vérifiant e ⊆ ℓ((t)).
Alors 0 n’est pas un point de branchement8 de e/ℓ(t). Puisque 0 n’est pas non plus un
point de branchement de ℓ(t)/h(t), on en déduit que 0 n’est pas un point de branchement
de e/h(t). De plus, le corps résiduel de e en n’importe quel idéal maximal P contenant t
vaut ℓ. Si DP désigne le groupe de décomposition de l’extension e/h(t) en l’idéal maximal
P, on a un isomorphisme ϕ0 : DP → Gal(ℓ/h) défini comme suit. Soit B la clôture intégralede h[t] dans e et soit P un idéal maximal de B contenant t. La réduction modulo P den’importe quel élément x de B est notée x. On a donc B/P = ℓ et, pour σ ∈ DP et x ∈ B,
on pose ϕ0 (σ)(x) = σ(x). On vérifie alors facilement que l’on a α̌ ◦ β ◦ ϕ−1
0 = idGal(ℓ/h) , ce
qui contredit 3).
Pour conclure, nous donnons un exemple de problème de plongement fini comme ci4
dessus. Considérons le groupe quaternionique Q8 , muni de la présentation hi,√j | i =2
2−1−1
1, i = j , jij = i i, et le problème de plongement→ Gal(Q((t))(2)/Q((t)))√√fini α : Q8 √√sur le corps ample Q((t)), défini par α(i)( 2) = − 2 et α(j)( 2) = 2. Puisque Q8 nepeut s’écrire sous la forme H1 ⋊ H2 , où H1 et H2 sont des sous-groupes propres et non
triviaux de Q8 , le problème de plongement fini α n’est pas scindé. Cependant,
α a une sop√
lution faible. En effet, d’après [Ser92, Theorem 1.2.1], l’extension Q((t))( p2 + 2)/Q((t))√√
est galoisienne de groupe Z/4Z et on p
a clairement Q((t))( 2) ⊆ Q((t))( 2 + 2). Si σ√désigne un pgénérateur de Gal(Q((t))( 2 + 2)/Q((t))), on considère l’isomorphisme β :√Gal(Q((t))( 2 + 2)/Q((t))) → hii défini par σ 7→ i. Alors β est une solution faible à
α. Enfin, si l’on considère la Q((t))-base 1, i, j, ij du corps gauche HQ((t)) des quaternionsà coefficients dans Q((t)), alors la forme FHQ((t)) (voir (2.2)) vérifie FHQ((t)) (x1 , x2 , x3 , x4 ) =p√
x21 + x22 + x23 + x24 . Puisque l’on a Q((t))( 2 + 2) ⊆ R((t)), la forme FHQ((t)) ne possède quep√le zéro trivial sur Q((t))( 2 + 2) (voir [DL20, lemme 8]). Ainsi β̂ est une solution faible
au problème de plongement fini α̂ sur HQ((t)) , ce dernier n’étant pas scindé.
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(French). Manuscript, 2020. arXiv:2008.02587.
8Etant donnée une extension galoisienne e/k(t) de corps commutatifs à groupe de Galois fini, on dit que

t0 ∈ k est un point de branchement de e/k(t) si l’idéal maximal de k[t] engendré par t − t0 est ramifié dansla clôture intégrale de k[t] dans ek.
19[Bla72]

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Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139, Université de Caen Normandie, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France
E-mail address: Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139, Université de Caen Normandie, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France et Département de Mathématiques, Le Mans
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E-mail address: francois.legrand@tu-dresden.deInstitut für Algebra, Fachrichtung Mathematik, TU Dresden, 01062 Dresden, Germany

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