数理解析研究所講究録
1181 巻 2001 年 38-51

38

EXPONENTIALLY GROWING SOLUTIONS,THE INVERSE CONDUCTIVITY PROBLEM
AND THE CAUCHY PROBLEM

池畠

優 (MASARU IKEHATA)

群馬大学工学部

1. Carleman タイプの公式
大雑把に言って, ある領域での楕円型方程式の解の領域内での値を, その境界の–部における Cauchy データを使って表示する公式を Carleman タイプの公式と呼ぶ。
この公式の起原は Carleman 自身による本 [3] に遡るようである。 彼は複素平面内の,与えられた点 を頂点とする開き角が\mbox{\boldmath $\pi$}\alpha $(0<\alpha<1)$ である角領域を考えた。 その境をとる。 とを除いた部分は二つの半直線からなるがそれぞれから点界からを結ぶ滑らかな曲線 $C$ で中間点はすべてその角領域に横たわっているものを考える。
および曲線 $C$ で囲まれた単連結領域 $D$ が定まる。 角領域を 2
このとき線分等分する直線を と書こう。 Carleman は次の公式を述べている。
$z_{0}$$z_{1},$$z_{0}$$z_{0}z_{1},$$z_{2}$$z_{1}$$z_{2}$$z_{0^{Z}2}$$l$

定理 11.

$f(\cdot)$

は万で連続かつ $D$ で解析的な関数であるとする。 与えられた $z\in l\cap D$

に対し公式

(1.1)

$f(z)= \lim_{\tauarrow\infty}\frac{e^{-\tau}}{2\pi i}\int_{C}f(\zeta)\frac{e^{\tau(\frac{\zeta-z_{0}}{z-z_{0}})^{1/\alpha}}}{\zeta-z}d\zeta$が成り立つ。

この公式は $z\in l\cap D$ における $f(\cdot)$ の値が $C$ 上におけるそれのみで計算できることをの方程述べていて, Cauchy の積分公式とはその点が異なる。 $f(\cdot)$ は式系の解であり, その $C$ 上の Cauchy データはまさに $f(\zeta),$ $\zeta\in C$ であるから, これは最初に述べた Carleman タイプの公式の起原と呼ぶべきであろう。
実はこの公式とともに, 後に Carleman の補題と呼ばれる次の評価も証明されている。
$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{y}- \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{L}\urcorner \mathrm{t}$Typeset by$A_{\vee^{\vee \mathrm{f}}}\mathrm{s}_{-}i\mathbb{E}\mathrm{C}$39
定理 12.

$z$

を家 $D$ 上の点とする。 不等式(1.2)$|f(z)| \leq M^{1-(\frac{r}{R}})1/\alpha m\frac{r}{R}1/()\alpha$が成り立つ。 ここで $M,$ $m,$ $R$ および$r$は$M= \sup_{\in\zeta z_{1}z\mathrm{O}z_{2}}|f(\zeta)|$$m= \sup_{C\zeta\in}|f(\zeta)|$,,$R=dist(z0, C)$ ,$r=|z_{0}-\mathcal{Z}|$で与えられる量である。

なお (1.2) の証明は (1.1) を使うのではなく, 最大値の原理により間接的になされている。 (1.2) は, $M$ が押さえられている限り, 対応 $f|c\vdasharrow f(z)$ は連続性があるということを述べていて, これは, 条件付き安定性の評価と呼ばれるものの原型である。 面白いことに, その後は定理 1.1 か定理 12 のどちらに注目するかで, 研究の方向が別れていったように見える。

この論文ではひたすら定理 1.1 の方向に注目する。 さて現在では, 定理 1.1&亀よりの特別な場合
一般的な Goluzin-Krylov の Carleman タイプの公式とみなされている。 その方法は, 領域の Green 関数から, その境界の–部のその領域に関する調和測度を構成し, それから Carleman タイプの公式の積分核を構成するものでの方程式系の解にたいする Carleman タイプの公ある。 この方法は,データを与える境界の–部の Lebesgue 測度が正で式を, 領域が単連結および Cauchy
あるときにもたらした。 したがって 2 次元の調和関数にたいする Carleman タイプの公$([1, \mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\rceil 1.1])$$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}-\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}-\backslash \backslash$

式は完成しているといってよいであろう。他の方法も含めて–変数および多変数の関数論における Carleman タイプの公式については Aizenberg [1] の本に詳しく述べられている。

では–歩すすんで定常 Schr\"odinger 方程式(1.1)$-\triangle u+Vu=0$ in$\Omega$の場合はどうであろうか ? ここで\Omega は 2 次元または 3 次元の有界領域で $V=V(x)$ は本
質的に有界な複素数値関数とする。 この方程式に対する Cauchy 問題は応用上極めて重の–部 F 上における の Cauchy データ
要であり逆問題などで至るところ現れる。
$\partial\Omega$$(u_{|\Gamma}, \frac{\partial u}{\partial\nu}|_{\Gamma})$

$u$

40
から直接\Omega 内の各点における $u$ の値を計算する公式があるかというのが問いである。

Tarkhanov の本 [24] をみるとこの問いに対する満足な答えはないように見える。

ここでは, 領域が特別な形をしているときに, そのような公式がはっきり閉じた形で与えられるということ ([11]) およびその簡単な応用として, 定常 Schr\"odinger 方程式にたいする–意接続定理の証明が得られるということを述べよう。

1.1 Schr\"odinger 方程式に対する Carleman タイプの公式.
$B$ で 3 次元の原点を中心とする半径 1 の開球をあらわす。
ここでは固 $<1$ を満たす
$t$に対し$\Omega=B\cap\{X_{3}>t\}$に対して Carleman タイプの公式を述べよう。
[11] では, $B$ が単に凸のときの対応する公式が述べられているが証明は全く変わらない。
の正則性は $u\in H^{2}(\Omega)$ を仮定する。 このとき\Omega は凸であるから, その境界はがトレースとして定まる (Grisvard [4] をみよ)
Lipschitz であり,$\partial B\cap\{x_{3}>t\}$ とおく。
で与えられる領域\Omega において (1.1) の解

$u$

$u$

$\Gamma=$$u|_{\partial\Omega},$$\frac{\partial u}{\partial\nu}.|\partial\Omega$

Problem$u$$\circ$の r 上における Cauchy データから,$u$の\Omega における値を計算する公式を探すこと。

これに対し以下のような解答を得た。
\Omega 内の点 を勝手に与える。 を–つの頂点とし他の点は半空間に横たわるの上下で\tau \rightarrow \infty のとき指数的に増四面体 $D$ を考える。 $\tau>0$ とする。 平面$x_{3}<y\mathrm{s}$

$y$

$y$

$x_{3}=y\mathrm{s}$大, 減少する調和関数$e^{\mathcal{T}(x_{3y}}-3)ei\tau x_{1}$を考える。
V で $V$ の(1.2)$\Omega$

の外への

$0$

拡張を表わす。 $D$ の特性関数を\mbox{\boldmath $\chi$}D と書こう。 このとき次の方程式$-\triangle v+\tilde{V}v=\chi_{D}e^{\mathcal{T}(x_{3}-y\mathrm{s}}e)i\tau x_{1}$in$\mathbb{R}^{3}$で$v(x)\sim e^{\tau})(x_{3^{-y\mathrm{s}}}\tau x_{1}e^{i}$as$\tauarrow\infty$を満たすものを構成できる。 \sim の意味はここでははっきり述べることはやめておく。 要と同じ振る舞いをする, というはなんらかの意味で, $\tauarrow\infty$ のとき はことである。 このような は exponentially growing solution と呼ばれる。
$v$

$v$

$e^{\mathcal{T}()}3e^{i}x_{3}-y\tau x_{1}$

41
$v$

は
$v=e^{\mathcal{T}}(x\mathrm{s}-y\mathrm{s})e^{i\tau}x_{1}w$という形で構成され, $w$ はつぎの積分方程式の解である。

(1.3)

.

$w(x)+ \int_{\mathbb{R}^{3}}g_{\tau}(x-y)\tilde{V}(y)w(y)dy=\int_{\mathbb{R}^{3}}g_{\mathcal{T}}(X-y)xD(y)dy$

ここで $g’$「 $(x)$ は$g_{\tau}(X)=.( \frac{1}{2\pi})^{3}\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^{2}-2i_{T}(\xi 3+i\xi 1)}d\xi$で定まる distribution で$\{\triangle+2\tau(\partial_{3}+i\partial_{1})\}g_{\mathcal{T}}(X)+\delta(x)=0$

in$\mathbb{R}^{3}$を満たす。
このとき distribution$G_{\mathcal{T}}(x)=e-y3)eg\tau(\mathcal{T}(x3i\tau x_{1}X)$

は Laplace 方程式の基本解であり Faddeev の Green 関数と呼ばれる。 Faddeev の Green関数は次節で論じるの提出した境界値逆問題 (Uhlmann [26] も参照) や逆散乱問題で中心的な役割を果した。
$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}[2]$(1.3) の解の構成の概略は次のとおり。 $-1<\delta<0$ とする。 対応
(1.4)
が重み付き

$f- arrow\int_{\mathbb{R}^{3}}g_{\tau}(.

$L^{2}$-y)f(y)dy$

空間 $L_{\delta+1}^{2}(\mathbb{R}^{3})\equiv\{f|(1+|x|^{2})^{(\delta+)/2}1f\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})\}$ から$L_{\delta}^{2}(\mathbb{R}^{3})\equiv$の中への有界作用素でその作用素ノルムが $O(\tau^{-1})$ で評価できることを示す。 この証明は, スケーリングを使って\tau $=1$ のときの (1.4) の有界性に帰着させ, 次に $g_{1}(x)$ の\xi 空間での表示を使って\tau $=1$ のときの (1.4) を分解し, 結$\{f|(1+|x|^{2})\delta/2f\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})\}$

局対応$( \partial_{3}+i\partial_{1})^{-}1f(X_{1}, x\mathrm{s})=(\frac{1}{2\pi})2\int_{\mathbb{R}^{2}}e^{ix}.\xi_{\frac{f^{(}\xi_{1},\xi_{3})}{i\xi_{3}-\xi_{1}}d\xi}$の$L_{\delta+1}^{2}(\mathbb{R}^{2})$から$L_{\delta}^{2}(\mathbb{R}^{2})$の中への有界性に帰着させることによる。 この最後の主張

は Cauchy-Schwartz の不等式をうまく使って証明されている (Sylvester-Uhlmann [23,でつかまることがわかる。
Lemma 3.1])。これより $\tau>>1$ のとき (1.3) の解が$L_{\delta}^{2}(\mathbb{R}^{3})$

あとはその 2 階までの微分を評価してやれば (例えば$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}[19]$) 次の補題を得る。

42
補題 1.1.

$||w||H^{2}(\Omega)$

は\tau \rightarrow \infty のとき\tau に関して高々代数的に増大する。

実際は $||w||_{H(\Omega)}2=O(\tau)$ であるがそこまではいらない。

が構成されると,部分積分により等式
ひとたび

$v$

$\Omega$

における (1.2) の両辺に (1.1) の解$u$をかけ\Omega で積分して$\int_{D}e^{\mathcal{T}(\mathrm{s}}eudx\mathrm{a}^{-}y)i\mathcal{T}x_{1}X$(1.5)$= \int_{\partial B\cap\{x_{3}}>\iota\}(\frac{}\partial u}{\partial\iota \text{ノ}v-\frac{}\partial v}{\partial\iota \text{ノ}u)d\sigma(X)+\int_{B\cap\{=}x_{3}t\}(\frac{\partial u}{\partial\nu}v-\frac{\partial v}{\partial\nu}u)d\sigma(x)$を得る。

D は, を頂点とする三つの三角形と 含まない三角形から成る。
にたいする外向き単位法線ヴェクトル場はこれら各三角形上一定のヴェクトルをとる。
とそのうち を頂点とする三つの三角形上の外向き単位法線ヴェクトル場を$(0 0 1)^{T}$ とおく。 このとき, 必要ならと を入れ替えると, 次の不等書く。
さて $D$ の境界$\partial D$

$y$

$y$

$\nu_{1},$$y$$\nu_{3}$$\nu_{2}$$\mathrm{e}_{3}=$式系$\nu_{1}\cross\nu_{2}$. e3 $>0$ ,$\nu_{2}\cross\nu_{3}\cdot \mathrm{e}_{3}>0$,$\nu_{3}\cross\nu_{1}\cdot \mathrm{e}_{3}>0$が成り立っていることがわかる。 さて$\mathrm{e}_{1}=$$(1 0 0)^{T}$ および$\theta=\mathrm{e}_{3}+i\mathrm{e}_{1}$とおく。 定数 $C_{D}$ を$C_{D}=$.

.

$\frac{|(\nu_{1}\mathrm{X}\nu_{3})\cross(\nu 2\cross \mathcal{U}1)|\nu_{1}\cdot \mathrm{e}_{3}}{\{(\nu_{1}\cross\nu 3)\cdot\theta\}\{(\nu 2\cross\nu 1)\cdot\theta\}}$.
$+ \frac{|(\nu 2\cross\nu 1)\cross(\nu 3\mathrm{x}\mathcal{U}2)|\nu 2\mathrm{e}_{3}}{\{(\nu_{2}\mathrm{X}\mathcal{U}_{1})\cdot\theta\}\{(\mathcal{U}3\cross\nu 2)\cdot\theta\}}.+\frac{|(\nu_{3}\cross\nu 2)\cross(\mathcal{U}_{1}\cross\nu_{3})|_{U}3\mathrm{e}_{3}}{\{(\nu_{3}\mathrm{x}U_{2})\cdot\theta\}\{(U_{1\mathrm{s}}\cross U)\cdot\theta\}}$により定める。 筆者は [11] で次の補題を証明した。

$\nu_{2},$$\nu_{3}$43
補題 12. $C_{D}\neq 0$ かつ H\"older 指数が \theta である D 上の任意の H\"older 連続関数 \rho に対し, 公式$\int_{D}e^{\mathcal{T}(x_{3^{-}y}}e^{i}\rho(\mathrm{s})\tau x_{1}x)dx=C_{D}\frac{e^{i\tau y_{1}}}{\tau^{3}}\{\rho(y)+O(\frac{1}{\tau^{\theta}})\}$

as$\tauarrow\infty$が成り立つ。

.
$C_{D}$が消えないということは自明ではない。その証明は,$C_{D}$がヴェクトルに関する等式$\theta C_{D}=\frac{|(\nu_{13}\cross\nu)\cross(\nu_{2}\mathrm{x}\nu 1)|}{\{(\nu_{1}\cross\nu 3)\cdot\theta\}\{(\nu 2\mathrm{x}\nu_{1})\cdot\theta\}}\nu_{1}$$+ \frac{|(\nu_{2}\mathrm{X}\mathcal{U}1)\cross(\nu 3\mathrm{X}\nu 2)|}{\{(U_{2}\mathrm{X}\mathcal{U}_{1})\cdot\theta\}\{(\mathcal{U}\mathrm{s}.\cross \mathcal{U}2)\cdot\theta\}}\nu_{2}+\frac{|(\nu_{3}\cross\nu 2)\mathrm{x}(\nu 1\cross\nu 3)|}{\{(\nu_{\mathrm{s}2}\mathrm{X}\nu)\cdot\theta\}\{(\nu_{13}\mathrm{x}\nu)\cdot\theta\}}\nu_{3}$を満たすこと (これ自体自明ではない) および\nu 1,

我々の, (1.1) の解$u$$\nu_{2},$$\nu_{3}$の–次独立性から従う。

に対する, Carleman タイプの公式を述べよう。

定理 13. 公式(1.6)$u(y)= \frac{1}{C_{D}}\lim_{\tauarrow\infty}\tau^{3}e^{-iy1}\tau\int_{\partial B\cap\{\mathrm{s}}x>t\}((\frac{\partial u}{\partial\nu}v-\frac{\partial v}{\partial\nu}u)d\sigma x)$が成り立つ。

証明. トレース定理を凸領域 $B\cap\{t<x_{3}<t+\epsilon\},$ $0<\epsilon<y_{3^{-t}}$ で に適用する。するは\tau \rightarrow \infty のとき指数的に減衰すること
および
と
$v$

$||v||_{L^{2}}(B\mathrm{n}\mathrm{t}x_{3}=t\})$$||\nabla v||_{L^{2}(B}\cap\{x_{3}=t\})$が $x_{3}=t$ 上成り立つことからわかる。 $u\in H^{2}(\Omega)$が, 補題 1.1 とを仮定したから Sobolev の埋め込みより は H\"older 連続であり, 補題 12 を\rho =u に.
適用して, (1.5) より (1.6) を得る。 口$|e^{\mathcal{T}()}\mathrm{s}y3ex\cdot-i\mathcal{T}x1|\leq e^{-\epsilon\tau}$$u$Nakamura-Uhlmann [21] (Tolmasky [25]) は主部が Laplacian である方程式(1.7)$-\triangle u+A(x)\cdot\nabla u+V(x)u=0$

in$\Omega$44に対して exponentially growing solutions を構成している。 その方法を使うと (1.7) のCauchy 問題にたいしても, (1.6) タイプの公式を得るのに必要な$v$を構成することができしたがって Carleman タイプの公式を得る。構成にはあるクラスの擬微分作用素が使われていて複雑である。 その詳細は省略する。

注意 1.1. 逆問題への応用という観点からは, 方程式$-\nabla\cdot M(x)\nabla u+A(x)\cdot\nabla u+V(x)u=0$

in$\Omega$に対する Cauchy 問題の解にたいする Carleman タイプの公式も重要である。 ここで$M(x)$ は実対称正値行列値関数である。 2 次元では適当な変換で (1.7) に帰着できるか

らなんとかなるが, 3 次元では未解決である。

注意 12. 変数係数の, Maxwell 方程式系および弾性体の方程式系にたいしても Carleman タイプの公式を探すことは, 逆問題への応用という観点から重要である。

注意 1.3. r が平坦, すなわち, 平面の–部であるときに (1.1) の解に対する Carleman
タイプの公式を見つけることも大変興味深い問題である。

の仕事について触れておく。 彼はここで扱った
最後に領域をふくみ, さらには錐の母線を含む表面と曲面とで囲まれた領域において Laplace
方程式, Helmholtz 方程式の Cauchy 問題に対し Carleman タイプの公式を与えている。
それは定理 1.1 のよりょくなった高次元版と考えてよいだろう。 彼の方法は, パラメタ
をふくむ特別な基本解を構成し, それを使って解を境界全体の Cauchy データを使って表示する。 次に表示公式において, 基本解に含まれているパラメタに関する極限をとり, 必要でない Cauchy データからの寄与を消すことでなされる。 このような基本解はCarleman 関数と呼ばれている。ただ原論文は記号と仮定に–貫しないところがあり, 証明も省略か粗くしか述べられていないので, 解読するには困難がある。彼はまた Cauchy
問題の可解性の条件も述べている。
$\mathrm{Y}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{v}[27]\sim[30]$

12 –意接続定理との関係.
ここでは exponentially growing solution と–意接続定理との関係を述べる。 最初に定理 13 の証明には–意接続定理は全く使われていないということを強調しておく。 必
要なのは, Lipschitz 境界をもつ領域でのトレース定理, Fourier 変換のいくつかの基本についてのある評的事実そして Cauchy-Schwartz の不等式より導かれる
定理
13
から
–
般の領域
\Omegaにおける方程式に対する–意接続定Schr\"odinger
価である。
$(\partial_{3}+i\partial_{1})^{-1}$

理が導かれる。 もちろんその–意接続定理自体は良く知られておりなんら新しくない。

またこの導出の過程も明らかだろうが念のため述べておく。

45
以下では\Omega は$\mathbb{R}^{3}$

における–般の連結開集合であるとする。 は方程式 (1.1) の$u$$H_{10}^{2}$$(\Omega)$。

解であるとする。 この正則性は楕円型方程式の内部正則性の結果を使えば弱められるがそれは議論の本質部分ではないので敢えて弱めない。

定理 14.
$u=0$$U$

は\Omega の空でない開集合であるとする。 もし $U$ で $u=0$ ならば実は\Omega 全体で。

注意 14. -意接続定理の定式化はいろいろあるが, 逆問題への応用という観点からは,後述する Cauchy 問題の解の–意性とともにこれで十分であった (将来はわからない)。

注意 1.5. 定理 14 の証明は,[18] を参照している。

$\mathrm{N}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}[22]$の議論に添うが, 始めの部分は Kumano-go

証明. 集合$A=${$x\in\Omega|u$

は $x$ のある近傍で$0$}を考える。 $U\subset A$ より $A$ は空でなく, 明らかに開集合である。 は連結だから, あとはが閉集合であることを示せばよい。 そのためには Aを示すことが必要十分であるのでこれがなりたたない, すなわち, ある点 $x0\in\partial A$ でを満たす点が存在したとして矛盾を導こう。
$\Omega$$A$$\subset A$$x_{0}\in\Omega\backslash A$

とおく。 このとき
より $x’\in B_{d/2}(x\mathrm{o})$.
かつ $x’\in A$ である点 x’ が存在する。 このとき x’ を中心とし $A$ に含まれる最大の開球 $B’$
が存在する。そして B’ 上の点で $A$ に含まれない点が存在する。 これは B’ の compact
性からしたがう。 それを $x$ ” と書こう。
このとき実は $x”\in A$ である。 これを示すのに Kumano-go では適当な変換で基準形$d=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x_{0}, \partial\Omega)(>0)$$B_{d}(x_{0)}\subset\Omega$$x_{0}\in\partial A$の楕円型方程式の初期値問題の局所解の–意性定理が適用できる状況に帰着させて終わりとしている。 その証明はより–般の楕円型方程式に対しても適用できる利点がある。
ここでは Kelvin 変換の特殊な性質を使って定理 13 が適用できる状況へもっていく。

ところで B’ の中心は原点であり, その半径は 1 および $x”=(0,0,1)$ としても–般性失わない。 この B’ に関する関数の Kelvin 変換とは, 一般の関数 $u=u(x)$ に対し, 3 次元
では

(2.1)

$v(y)= \frac{1}{|y|}u(\frac{y}{|y|^{2}})$で定まる変換である。 このとき次の等式が成り立つ $([18, \mathrm{p}.2601)$ :

(2.2)

.

$( \triangle_{y}v)(y)=\frac{1}{|y|^{5}}(\triangle_{x}u)(\frac{y}{|y|^{2}})$

46
では従1 階微分の項が全くででこないところが良い点である。 ちなみに
それにかんしては(2.2)
属変数の変換をともなわない Kelvin 変換もどきを使っていて,は成り立たず右辺に 1 階微分の項が現れてしまう。
$\mathrm{N}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}[22]$

さて写像$\Omega\backslash B’\ni y\mapsto\frac{y}{|y|^{2}}\in B’$

かつ十分小さい\epsilon $>0$ にたいして\Omega ’’の像\Omega ’ を考える。 \Omega ’ は開集合であり$B’\cap\{x_{3}>1-\epsilon\}\subset\Omega’$ とできる。 このとき (1.1) の解に対し (2.1) で定まる は,(2.2) を満たし, したがって$\partial B’\subset\partial\Omega’$$\equiv$$u$$- \triangle v+\frac{1}{|y|^{4}}V(\frac{y}{|y|^{2}})v=0$

in$\Omega$$v$”$\cap\{x_{3}>1-\epsilon\}$ 上の Cauchy データはであを満たすことが分かる。 このとき のる。 定理 13 をこの に適用し $B’\cap\{x_{3}>1-\epsilon\}$ で $v=0$ が成り立つことが結論できしたがってげの近傍で $u(x)=0$ がしたがう。 これは $x”\in$. $A$ を意味し矛盾である。 以
上が定理の証明である。 口$v$$\partial B’$

$0$

$v$

細かいことに目をつぶると, 結局定理 1.4 は, exponentially growing solution を使って証明されたということになる。 さらには–般の\Omega および \Omega の空でない開集合\Gamma における (1.1) の Cauchy 問題の解の–意性が定理 1.4 から従う。 この議論は良く知られたものであり省略する。 とにか exponentially growing solutions と–意接続定理あるい$\text{く}$は Cauchy 問題の解の–意性が結びついたというのは新鮮な驚きであった。

2. 境界値逆問題 (電気インピーダンストモグラフィにおける再構成アルゴリズムの提唱へつながる公式)
あたえられた物体の表面から電流を流し込み, その結果生じた表面上の電位分布を観測する。 これを何回か実行し (無限回も含める), 表面から流し込んだ電流と対応する表面上の電位分布の対のデータを得る。 このデータから, 物体内の導電率の分布を再構成する問題を数学的に定式化したのが, Calder\’on が記念碑的論文 [2] で提出した問題である。 この問題は, 粗く言うと, ある 2 階楕円型方程式の, 有限または無限個の解の, 境界における Cauchy データからその方程式の係数に関する情報を引き出す問題であり, 電気インピーダンストモグラフィを数学的に定式化した典型的な逆問題である。

2.1 三つの方法.
] および 2 次元で導電率が連続であるよりももっと滑らかな場合は, Nachman
は [20] による無限個のデータを用いた導電率自身の再構成公式があるが, その不連続面を再構成する問題も応用上重要であると考えられている。 筆者はこの問題に取り組み,
不連続面を再構成するための 3 つの数学的方法, すなわち, 探針法 (the probe method),$(_{\lfloor}^{\lceil}19$

$)$

47
囲いこみ法 (the enclosure method) および切断法 (the slice method) を提唱するに至った。 これら三つの方法を粗く述べると以下のとおりである。

(1) 探針法は, 不連続面を, 物体内に仮想的に侵入する針が最初に当たる点と把らえ直し,

勝手に与えた針の侵入経路に沿って針の先端が移動していくときそれが不連続面に当たるかどうか当たるとすればいっかを観測データから予言するもので, 不連続面によって囲まれた物体 (これを介在物という) そのものの再構成公式をもたらした ([5])。さらに [6] では介在物内部の導電率の再構成公式を Nachman の結果へ帰着させて求めた。

(2) 囲い込み法は, ある方向からそれに直交する平面を遠くから下降させたときそれがいっ不連続面に当たるかを観測データから予言するものであり, 介在物の凸包の再構成
公式をもたらした ([7])。

(3) 切断法は, 勝手に与えた平面上の半平面状の形をした刃を遠くから下ろしてきたときそれが不連続面に当たるかどうかまた当たるとすればいっかを観測データから予言
し, これは介在物の平面による切断面の凸包の再構成公式をもたらした ([15])。

これら三つの方法の詳細な日本語による解説は, 東京都立大学での筆者自身による講義
録 [13] および講究録 [14] を参照していただきたい。 英文では [8] がある。

ここで特に強調しておきたいのは, (2) の囲い込み法については, 最近筆者は Siltanen,
S.(Finland) の協力を得て, 対応する 2 次元問題において, その数値実験をなすに至ったこと ([17])。さらにこの囲い込み法は, 1 個の観測データから多角形状の介在物の凸包を再構成するための単純な公式をもたらしたこと ([9], [10])。そして最近大江貴司 (岡山理科大学) の協力を得て, [9] で得られた公式の数値実験をなすに至った ([16])。ただし (1), (3) については数値実験が容易ではなく, この公式をより単純にすることは大きな課題である。
注意 2,1. 今後の課題は, 奪却でなくそのものの形および介在物のさらにそのなかの未知の介在物の形をもたらす, できるだけ単純な公式を発見することである。

22 囲い込み法の応用.

ここでは観測データは無限個であるが, 電位分布の測定点が表面上の固定された 2 点であるという, この点でより実際的な状況での, 多角形状の介在物の凸包の再構成公式を紹介する ([12])。

48
最初に問題の数学的な定式化を述べよう。 \Omega は 2 次元の有界領域でその境界は滑らかであるとする。
に含まれる未知の介在物を $D$ で表わす。 ここでは, $D$ は開集合でをみたし簡単のため $D$ は連結であると仮定する。 さらにこのとき $D$ を含む\Omega の導電率\mbox{\boldmath $\gamma$}は$\Omega$$\overline{D}\subset\Omega$$\gamma(x)=\{$

1,
,

$k$

if
if $x\in D$$x\in\Omega\backslash D$,

で与えられると仮定する。 ここで は $k\neq 1$ をみたす未知の正の定数である。 $g\in$で境界上に与える電流密度分布を表わそう。 内に電流の発生源がないとす$k$$\Omega$$L^{\infty}(\partial\Omega)$

れば, このとき$\int_{\partial\Omega}gd\sigma=0$がなりたっていなければならない。 逆にこの条件をみたす$\nabla\cdot\gamma\nabla u=0$$\frac{\partial u}{\partial\nu}=g$onin$\Omega$

$g$

にたいし

,

$\partial\Omega$の夢解 $u\in H^{1}(\Omega)$ が定数をのぞいてただ–つ存在する。 この は電流密度分布 によって発生した\Omega 内の電位分布である。 が-\Omega 上 H\"older 連続であることは良く知られて
$u$

$g$

$u$

いる。

境界上の固定された 2 点 $P,$ $Q$ を与える。 このとき対応$\Lambda_{\gamma}(P, Q)$: $g-u(P)-u(Q)$がうまく定義される。 $u(P)-u(Q)$ は, 2 点 $P,$ $Q$ 間の電位差をあらわす。
2 点 $P,$ $Q$ において制限された Neumann-to-Dirichlet 写像と呼ぶことにしよう。

$\Lambda_{\gamma}(P, Q)$

を,Inverse Problem 2 点 $P,$ を固定する。 $P,$ において制限された Neumann-toの存在する場所に関する情報を引き出すこと。
Dirichlet 写像から
$Q$

$Q$

$D$

この定式化はきわめて自然であるにもかかわらず, なぜか誰も論じていないのは驚きである。 筆者はこの問題を [12] で提出し, $D$ が後述する条件を満たす多角形であるとき,$D$の凸包に関する情報が引き出せることを示した。 より詳しくは $D$ の支持関数$\omega\in S^{1}$$h_{D}( \omega)=\sup_{x\in D}X\cdot\omega,$

を A,\mbox{\boldmath $\gam a$}(P,$Q$) から直接計算する公式を発見した。

49
そのアイデアを述べよう。その公式では Laplace 方程式に対する exponentially grow-ing solution$v=e^{\mathcal{T}x\cdot(\omega)}\omega+i\perp,$

が中心的な役割を果している。 ここで\mbox{\boldmath $\omega$}1 は\mbox{\boldmath $\omega$}に対し関数$\tau>0$$\omega^{\perp}=0$を満たす$S^{1}$の要素である。 各$t\in \mathbb{R}$$e^{-}v=e^{\tau}e\mathcal{T}t(x\cdot\omega-t)i\mathcal{T}x\cdot\omega^{\perp}$の\tau \rightarrow \infty のときの挙動をみると,増大し,$x\cdot\omega<t$

を満たす

$x$

$|e^{-\tau t}v|$

は $x\cdot\omega>t$ を満たす $x$ に対しては指数的にに対しては指数的に減少することがわかる。 この意味で直は” 波”e-\tau tv の” 波面” と考えられる。 そこでこの波を $t=\infty$ から $t=-\infty$
線まで\mbox{\boldmath $\omega$}方向から下降させその \Omega 上の法線微分$x\cdot\omega=t$$g= \frac{\partial(e^{-\mathcal{T}t}v)}{\partial\nu}|_{\partial\Omega}$

を \Omega 上の電流密度分布として与えることにより, 波面 $x\cdot\omega=t$ が $D$ に最初にぶつかるような すなわちが, 各 に対する” 指示関数
$h_{D}(\omega)$

$t$

$t$

$I_{\mathrm{t}v}(\tau, t)=\{\Lambda_{\gamma}(P, Q)-\Lambda 1(P, Q)\}g$の\tau \rightarrow \infty における挙動から決定できるであろう。 右辺は $g$ を入力したときの $D$ による” 反射波” すなわち$\nabla\cdot\gamma\nabla w=-\nabla\cdot(k-1)x_{D}\nabla(e-\mathcal{T}tv)$$\frac{\partial w}{\partial\nu}=0$in

in$\Omega$,$\partial\Omega$の解 $w$ から計算される $w(P)-w(Q)$ をみていることにほかならない。 [12] で得られた二つの公式は次のとおり。
定理 2.1.

$D$は条件

diamD $<dis(D, \partial\Omega)$を満たす多角形であるとする。 有限個の方向\mbox{\boldmath $\omega$}\in Sl を除いて二つの公式

(3.1)

(3.2)
がなりたつ。

$\{t\in \mathbb{R}|\lim_{\tauarrow\infty}I_{\omega}(\tau, t)=0\}=[h_{D}(\omega),$$\lim_{\tauarrow\infty}\frac{\log|I_{\omega}(\tau,t)|}{\tau}=h_{D(\omega)-t}$$\infty[$50
除かれた有限個の方向\mbox{\boldmath $\omega$} とは, 直線 $x\cdot\omega=h_{D}(\omega)$ がD 上の点と 2 個以上の共有点をもつような方向である。 このような方向は有限個でありそれを選ぶことはまずあり得ない。

(3.2) から近似式$h_{D}(\omega)\mathcal{T}\approx\log|I_{\omega}(\tau, 0)|,$を得る。 これの数値実験を実行し $P,$ $Q$ の配置がるかをしらべるのは面白そうである。

$\tau>>1$$h_{D}(\omega)$の近似計算にどのように影響す注意 2.2. 興味ある未解決問題, としては, \Omega が 3 次元の領域であるときにどうかということである。 対応する問題として二つのタイプが考えられるであろう。 ひとつは $P,$ $Q$を固定すること, もうひとつは $Q$ を固定し $P$ が境界上の閉じた曲線を動いてもいいとしたとき。 後者のほうが, 前者よりも, より多くの情報を含んでいるはずである。

$(P_{m}, Q_{m}),$ $m<\infty$ のように測定点の個数をもっ注意 2.3. また $(P, Q)=(P_{1}, Q_{1}),$と増やしたらどうなるか (ただし有限個)。 これも興味ある問題である。 $P$ が境界全部を動いても良いというのであれば既に筆者が [10] で (3.1), (3.2) に対応する公式を得て$\cdots,$

いる。

:

Acknowledgement
This research was partially supported by Grant-in-Aid for Scientific Research(C) (No. 11640151) of Japan Society for the Promotion of Science.

REFERENCES
1. Aizenberg, L., Carleman’s formulas in complex analysis, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht
Boston London, 1993.
2. Caldero’n, A. P., On an inverse boundary value problem, in Seminar on Numerical Analysis and), Brazilian Math.
its Applications to Continuum Physics (W. H. Meyer and M. A. Raupp,
Society, Rio de Janeiro (1980), 65-73.
3. Carleman, T., Les fonctions quasi analytiques, Gauthier-Villars, Paris, 1926, pp. 3-6.
4. Grisvard, P., Elliptic problems in nonsmooth domains (1985), Pitman, Boston.
5. Ikehata, M., Reconstruction of the shape of the inclusion by boundary measurements, Commun.
Partial Diff. Eqns 23 (1998), 1459-1474.
6. –, Reconstruction of inclusion from boundary measurements, to appear, J. Inv. and IllPosed Problems.
7. –, Reconstruction of the support function for inclusion from boundary measurements, toappear, J. Inv. and ILL-Posed Problems.
8. –, How to draw a picture of an unknown inclusion. Two mathematical inversion algorithms, J. Inv. and ILL-Posed Problems 7 (1999), 255-271.
9. –, Enclosing a polygonal cavity in a two-dimensional bounded domain from Cauchy data,
Inverse Problems 15 (1999), 1231-1241.
$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}.$51
10. –, On reconstruction in the inverse conductivity problem with one measurement, Inverse
Problems 16 (2000), 785-793.
11. –, Emponentially growing solutions and the Cauchy problem, preprint (1999).
12. –, On reconstruction from a partial knowledge of the $Neumann-to- Di\dot{n}ch\iota_{et}$ operator,
preprint (2000).

, 不連続面の観測データによる再構成の数理 境界値逆問題逆ソース問題および逆散乱問題における再構成公式 -, 都立大学数学教室セミナー報告, 2000.
囲い込み法 -, 解析接続の応用,, 境界値逆問題における介在物の再構成問題
14.
数数理理解解析析研研究究所所講講究究録録 vol. 11115555,, 22000000,, . 6600–7722.

13.

-

-

$\mathrm{p}\mathrm{p}$15. Ikehata, M. and Nakamura, G., Slicing of a three-dimensional oobject from boundary measurements, Inverse Problems 15 (1999), 1243-1253.
16. Ikehata, M. and Ohe, T., the enclosure method and its numerical implementation, in preparation.
17. Ikehata, M. and Siltanen, S., Numerical method for finding the convex hull of an inclusion in
connduc。t 伽 ivity fvom boundary measurements, IInnvveerrssee PPrroobblleemmss 1166 $((22000000)),$, 11004433–11005522.
ations (in Japanese), Kyouritsu syuppan, Tokyo, 1978.
18. Kumano-go, H., Partial differential, A., Reconstructions from boundary measurements, Ann. Math. 128 (1988), 531-577.
19.
20. –, Global uniqueness for a two-dimensional inverse boundary value problem, Ann. Math.
143 (1996), 71-96.
21. Nakamura, G. and ’Uhlmann, G., Global uniqueness for an inverse boundary problem arising inelasticity, Invent. Math. 118 (1994), 457-474.
22. Nirenberg, L.., Uniqueness in Cauchy problems for differential equations with constant leading
coefficients, Comm. Pure Appl. Math 10 (1957), 89-105.
23. Sylvester, J. and Uhlmann, G., A gobal uniqueness theorem for an inverse boundary value
problem, Ann. of Math. 125 (1987), 153-169.
topics,24. Tarkhanov, N. N., The Cauchy problem for solutions of elliptic equations,,
vol. 17, Akademi。Verlag, Berlin, 1995.
25. Tolmasky, C. F., Exponentially growing solutions for nonsmooth first-order perturbations of the
Laplacian, SIAM J. Math. Anal. 29 (1998), 116-133.
G., Developments in inverse problems since Calder\’on’s foundational paper, in HarUhlmann,
26.
)
monic analysis and partial differential equations (Christ, M., Kenig, C. E. and Sadosky, C.,(1999), The University of Chicago Press, Chicago and London, 295-345.
27. Yarmukhamedov, Sh., Integral representations of harmonic functions in multi-dimensions (inRussian), Dold. Akad. Nauk SSSR 204 (1972), 799-802.
28. –, On the Cauchy problem for the Laplace equation (in $Russia\dot{n}$), Dokl. Akad. Nauk SSSR
235 (1977), 281-283.
29. –, Harmonic extension of continuous fun ctions defined on a piece of the boundary (inRussion), Dokl. Akad. Nauk SSSR 327 (1992), 37-41.
30. –, Continuing solutions to the Helmholtz equation, Doklady Math. 56 (1997), 887-890.
$eq\mathrm{u}$$\mathrm{N}\mathrm{a}\text{。}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}$$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\text{。}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}.$