数理解析研究所講究録
第 1873 巻 2014 年 48-51

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On the set of primitive idempotents in a ring
鳴門教育大学・大学院学校教育研究科

平野康之 (Yasuyuki Hirano)

Graduate School of Education
Naruto University of Education

1. はじめに
以後，環といえば，単位元を持つ結合的環を意味する。いま， を環とします。 $e\in R$$R$がe2 $=e$ を満たすとき， はべき等元であるという。べき等元$e$

かつ $e_{1}e_{2}=e_{2}e_{1}=0$ をみたす

$0$と異なるべき等元べき等元であるという。 $R$. 加群 $M$ が 2 つの$0$$e_{1},$$e_{2}$$e=e_{1}+e_{2}$に対して，$e$が存在しないとき， は原始$e$と異なる部分加群の直和にならないと$M$ は直既約であるという。
き，

よく知られているように，べき等元 $e\in R$ に対して，

1$)$$e$は原始べき等元である;

2 右$R$-加群 e $R$ は直既約である;

3 左$R$-加群 $Re$ は直既約である;$)$$)$は同値である。

また，べき等元$e$が $R$ のすべての元と交換可能であるとき， は中心的べき等元で$e$あるという。 2 つのべき等元 $e,$ $f$ が $ef=fe=0$ となるとき， と $f$ は直交するとい$e$う。そして，べき等元の集合 $E=\{e_{i}|i\in I\}$ の任意の異なる 2 元が直交するとき，$P(R)$ で環のすべての原始べき等元のは直交べき等元の集合であるという。 以後，の Jacobson 根基を表す。
$J(R)$ で環なす集合を表す。また，

$E$

$R$

$R$

よく知られているように，環 $R$ に対して，3 つの条件 :

1$)$

$R$

はただ 1 つだけ極大右イデアルを持つ ;

2$)$

$R$

はただ 1 つだけ極大左イデアルを持つ ;3 $R/J(R)$ は斜体である ;$)$$R$ は局所環と呼ばれる。
は同値であり，これをみたすとき，

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2. すべての原始べき等元が中心的になるための条件
Dolzan は [1] で次の結果を証明した。
定理 1.

$R$

$R$ は局所環の直和でが有限環で $P(R)\cup\{0\}$ が乗法的に閉じていれば，ある。
$R$ は連結環と呼ばれる。 定理 1 は
環 $R$ が $0,1$ 以外にべき等元を持たないとき，

Grover, Khurana, Singh [3] により以下のように一般化された。
定理 2([2, Theorem2.3]). 環$R$$P(R)\cup\{0\}$ が乗法的に閉じており，1 がに対して，直交原始べき等元の和であることと $R$ が連結環の直和であることは同値である。
環 $R$ の任意の元$x$に対して，$x=xyx$ を満たす $y\in R$ が存在するとき， は von$R$Neumann 正則環であるという。 Grover, Khurana, Singh [3] は，さらに次を示した。
定理 3([2, Theorem 4.2]).

$R$が von Neumann 正則環であり，$P(R)\cup\{0\}$ が乗法的に閉じていれば，すべての原始べき等元は中心的である。
$R$ は右半遺伝環と呼ばれ
環 $R$ の任意の有限生成右イデアルが射影的であるとき，る。 類似的に，左半遺伝環も定義する。 $A$ が von Neumann 正則環であるとき，任意の$A$ は右有限生成右 (左) イデアルは $A$ の直和因子であるので，(左) 半遺伝環である。

注意．[2] で，定理 3 において$R$が von Neumann 正則環である” という仮定を$R$が右かつ左半遺伝環である “ に置き換えると成り立たない例が挙げられている。

3. 一つの原始べき等元が中心的になるための条件
この節では，所謂，定理 2 と定理 3 の局所版を考え，1 つの原始べき等元が中心的であるための条件を考える。 まず，よく使う結果を述べておく。
環 $R$ の 2 つのべき等元 $e,$ $f$ に対して，2 つの条件 :1 右2$eR$ と $fR$ は同型である ;-加群して，$Re$ と $Rf$ は同型である ;-加群して，$)$$R$$)$

左 $R$は同値であり，これをみたすとき，$e,$$f$は同型なべき等元であるという。

50次の結果は Lam[3, Exircise 22. $3A$ , P.333] に述べられているが，読者の便宜を図るために証明を与えておく。

命題．べき等元 $e\in R$ が中心的であるため必要十分条件は$e$が$e$と同型なすべてのべき等元と可換なことである。

証明．(必要性)(十分性)

明らかである。

べき等元 $e\in R$ が$e$と同型なすべてのべき等元と可換であると仮定し$f:=e+ex(1-e)$ とおくと，これは明らかよう。 いま， を環 $R$ の任意の元とし，$x$にべき等元である。 また $f$ は$e$と同型なべき等元である。 実際，容易にわかるように$ef=f,$ $fe=e$ であるので， : $fRarrow eR$ を $\phi(a)=ea,$$\phi$$\psi$: $eRarrow fR$ を $\psi(b)=fb$$eR\cong fR$ である。仮定より，$ef=fe$で定義すると， は互いの逆写像になるので，$ex$ (1–e)
0, すなわち，$ex=exe$ が導かれであるので，$f=e$ を得る。 これから，る。 次に，$g;=e+(1-e)xe$ とおくと，$ge=g,$ $eg=e$ となるので，上と議論によ$\phi,$$\psi$$=$$eR\cong gR$ となる。再び，仮定から，$e=g$ となる。 これから，$eg=ge$ であるので，り，$(1-e)xe=0$ , すなわち，$xe=exe$ が導かれる。 $ex=exe$ と $xe=exe$ から $ex=xe$が導かれる。

いま， を原始べき等元とし，べき等元$e$$eR\cong fR$$f$が$e$と同型であるとする。 このとき，$fR$ も直既約となり， も原始べき等元となる。 従って) 上のであるので，$f$

命題から次を得る。

系．原始べき等元 $e\in R$ が中心的であるため必要十分条件は$e$がすべての原始べき等元と可換なことである。
$R$ におけるすべてのべき等元の集合を $E(R)$ で表す。
環 $R$ に対して，

定理 4.

$e$

は環 $R$ の原始べき等元で $1-e$ が直交原始べき等元の和に書けるとする。

もし $eP(R)\subseteq E(R)$ かつ $P(R)e\subseteq E(R)$ が成り立てば， は中心的べき等元である。
$e$

次の定理はある意味で上の定理の一般化である。
定理 5.
$I(R)$$e$

は環 $R$ のべき等元で $I(e)$ で集合 $\{f\in E(R)|fR\cong eR\}$ を表す。 $1-e$ はに属するの直交等元の和に書けるとする。 もし $eI(R)\subseteq E(R)$ かつ $I(R)e\subseteq E(R)$であれば， は中心的べき等元である。
$e$51
一つのべき等元に着目すると，定理 3 は次のように一般化される。
定理 6. $R$ は von Neumann 正則環であり， は $R$ の原始べき等元であるとする。 も$e$

し $eP(R)\subseteq E(R)$ かつ $P(R)e\subseteq E(R)$ が成り立てば， は中心的べき等元である。
$e$注意．[2, Theorem $4.3|$ で与えられた環

Neumann 正則環である” という仮定を$R$$R$を考えると，定理 6 において$R$が vonが右かっ左半遺伝環である “ に置き換えると成り立たないことがわかる。

REFERENCES[1] Dol\v{z}an, D.: Multiplicative sets of idempotents in a finite ring, J. Algebra 304 (2006), no. 1,271-277.

[2] Grover, H. K., Khurana, D. and Singh, S.: Rings with multiplicative sets of primitive idempotents,
Communications in Algebra 37 (2009), 2583-2590.
[3] Lam, T. Y.: A First Course in Noncommutative Rings, $Grad$ . Texts in Math., Vol. 131. Berlin:
Springer-Verlag,.