土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.

非平衡粗面抵抗則を用いた一般底面流速解析法の導出と局所三次元流れへの適用
内田 龍彦1・福岡 捷二2
1正会員

中央大学研究開発機構准教授（〒112-8551 東京都文京区春日1-13-27）
E-mail: utida@tamacc.chuo-u.ac.jp
2フェロー

中央大学研究開発機構教授（同上）E-mail: sfuku@tamacc.chuo-u.ac.jp

異なる時空間スケールの現象が相互作用する洪水流を解析するため，著者らは河床近傍の極薄い層(抵抗則領域)より上の流れ(主計算領域)について，平面二次元解析法の枠組みで流速と圧力の鉛直分布を計算できる一般底面流速解析法(BVC法)を開発してきた．本研究では，構造物周辺の三次元流れや河床近傍流速を解析するため，抵抗則領域を渦層と粗度層に分け，運動方程式と連続式に基づく非平衡粗面抵抗則を導出し，抵抗則領域の非平衡性と主計算領域との流れの交換を考慮したBVC-DWL法を開発した．次に，
BVC-DWL法がどのような流れ場で重要となるかやその適用範囲を粗度スケールと浅水パラメータを用い，運動方程式から明らかにするとともに，構造物周辺の局所流や底面近傍流速に対してBVC-DWL法を適用し，有効性を示した．

Key Words : bottom velocity computation (BVC) method, dynamic rough wall law (DWL), vortex layer,roughness layer, multi-scale roughness field, 3D flow structure, gravel-bed river

1. 序論となりつつある 11)．しかし，現在のところ，非静水圧三次元流解析法は計算コストが大きいために，主として水
構造物周りの三次元流れに伴う河床近傍の流速分布は
理実験室における小スケール現象の解析に限定されてお局所洗掘を引き起こし，堰・床止工，橋脚，堤防などのり，河川洪水流やそれによる河床変動等の大スケール現
河川構造物の主要な被災原因となる．特に構造物前面の象の解析への適用は困難である．このため，異なる時空
水衝部では，横断方向の渦の伸張と下降流によって局所間スケールの現象が相互に作用する洪水時の多重スケー
1)~4)
洗掘が生じ，多くの研究がなされてきた
ル構造を総合的に考慮でき，河川における実現象を合理．しかし，的に説明できる解析手法が求められている 12)．
河川の洪水は局所的な現象だけでなく，砂州形状とその挙動，複雑な河道法線形，流量ハイドログラフ等，時空
このような目的のためには，大きなスケールの流れの5)
間的に大きなスケールの現象の影響を受ける ．例えば， 解析に適用できる二次元解析法の枠組みの中で，流れの三次元性が考慮できる準三次元解析法 13)~19)が有効な手段
長田ら 6)は，水衝部に護岸工を設置すると，抵抗の小さい護岸際に流れが集中する結果，護岸沿いに河床が洗掘であり，特に流れの三次元性の影響が現れやすい河床変され，洗掘域が下流方向に延びることを示した．この結動解析に多く用いられてきた 4),7)．従来の準三次元解析
果，護岸下流部にあらたな洗掘個所ができること，下流法の多くは，静水圧分布を仮定した流れの運動方程式を
砂州を浸食し，流路の曲率が大きくなり，河岸もしくは用いて，重み付き残差法等によって流速鉛直分布に関す
堤防近傍の洗掘力が大きくなる等の問題点を明らかにしる方程式を定式化している 13)~17)．これに対し，著者らはた．このように，局所洗掘対策は単に局所的かつ一面的水深スケールの渦の三次元挙動を解析するために，渦度な対策では不十分であり，河道全体の流れと河床変動特方程式を用いた準三次元解析法である，浅水流の仮定を
7)性を踏まえて総合的に行う必要がある ．近年，非静水用いた底面流速解析法(simplified Bottom Velocity Computation method with shallow water assumption: SBVC 法)を開発し
圧三次元流解析法によって水衝部の複雑な流れと局所洗た 18)．しかし，静水圧分布などの浅水流の仮定は局所ス
掘現象の解析が行われるようになり 8)~10)，複雑な形状の河川構造物周りの局所流や局所洗掘の解明に有用な手法
ケールでは成立せず，構造物近傍などの三次元的な流れ

43土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.

底面 zb
河床高(粗度表面)zt

粗度要素(SSR)

浸透層

主計算領域（水深h）

河床の起伏(LSR)ることが困難な水理現象に対して，本解析法の必要性を検討することを重要な目的のひとつとしている．このため，浅水パラメータと粗度スケールを用いて BVC-DWL
法を構成する運動方程式の各項のオーダーを比較し，どのような流れで，流速鉛直分布，圧力の非静水圧成分及び抵抗則領域における流れの非平衡性の影響が重要となるのかについて考察し，種々の解析法の適用範囲を検討する．そして，BVC-DWL 法を緩やかな加速，減速のある弱い非平衡流れに対する解析手法の適用性について検討した上で，構造物周辺の強い非平衡流れにおける局所
三次元流や底面近傍流速に対して適用し，BVC-DWL 法の妥当性と有効性を検証する．

抵抗則領域

水面 zs

Flow

図-1 粗度の多重スケール性を考慮した計算領域の鉛直分割を計算するには十分でない 19)．近年，著者らは河川構造
物周辺の局所スケールの流れを解析するために，浅水流の仮定を用いずに鉛直流速分布と圧力の非静水圧分布を解析できる一般底面流速解析法(general Bottom Velocity
Computation method: BVC 法) 19)を開発した．BVC 法は，橋
2. BVC-DWL法の枠組みとその特徴
19)
脚周辺の馬蹄形渦を伴う三次元流れ ，構造物を越流す
る急変流と下流に発生する跳水 20)，種々の小規模河床波(1) 粗度の多重スケール性と既往の粗度評価法の形成 21)，複断面蛇行流れの河床変動 22)等，従来の水深
非平衡粗面抵抗則を用いた BVC-DWL 法の検討に先立
積分モデルでは困難であった実験水路での三次元構造と
ち，従来の粗度評価法と課題についてレビューする．
それによる河床変動機構の解析を可能にしてきた．また，河川における河床抵抗には，砂，礫，石，巨石などの本解析法は，大規模洪水による河口砂州のフラッシュ現
河床材料由来の粗度や砂漣，砂堆，砂州などの河床形状
象 23)，大きな流量を有する支川が本川に直角合流する区
由来の粗度等，様々なスケールの粗度が関係する．この間の三次元流れと河床変動 24)，大規模な流量分派を伴うような粗度の多重スケール性 30)を考慮に入れ，粗度スケ
本川区間の流れ，河床波・河床変動 25)などの現地洪水にールに応じた適切な河床抵抗評価法を適用した解析を行
対して，有効な解析法であることが示されてきた．しかう必要がある．平面二次元解析法では，底面せん断応力
しなお，橋脚前面の河床の極近傍の流速分布 19)，礫床河として取り扱うことが困難な水深に対して比較的大きい
川の水衝部の二次流強度 26),27)，合流部の複雑な流れ場に粗度については，抵抗項を基礎方程式に付加することで24)おける構造物近傍の洗掘 など局所流の再現性に問題が評価されてきた 4)． 即ち，河床の凹凸の抵抗は評価でき残されている．この問題の解決のキーは底面境界条件のないため，種々の大きさの粗度要素は種々の評価方法で与え方にあると考えている 28),29)．BVC 法では，底面近傍表された抵抗項の足しあわせで近似的に評価している．
に薄い渦層を仮定し，渦層上面を底面 zbとしてそれよりしかし，平面二次元解析法では流れの鉛直構造が評価で上の流れ場(図-1 の主計算領域)が解かれることになる．
きないために，抵抗評価や河床変動計算のための掃流力
従来の BVC 法による主計算領域の底面では，底面 zb をの算定精度は十分でない場合が多い．
通過するフラックスをゼロとし，底面 zbより下の渦層で三次元流解析法においても，粗面の取り扱いは数値流は平衡状態の流れが仮定されていた(本論文では，この体解析のアキレス健 31)と呼ばれるほどの弱点となっておような平衡状態の粗面抵抗則(EWL)を用いた従来の BVCり，以下に示すように様々な評価方法が検討されている．
法を BVC-EWL 法と呼ぶ)．しかし，構造物近傍の局所
最も直接的な方法は，詳細な境界形状を与え，十分細か
流においては，底面流速の場所的変化が渦層や粗度層内
い計算格子を用いて，流れの基礎方程式を介して厳密にの流れの非平衡性を生じさせる．また，図-1 の主計算評価することであるが，実用的な方法と言えず，実際，領域が凹凸を持つような場合は底面近傍の流れが乱され河川におけるすべての形状を考慮し，解析を行うことは，ることになるため，BVC-EWL 法では局所流場の底面近河床形状の計測と数値解析の両面から不可能である．
傍の流れを適切に評価できないと考えられる．
このため，粗度の多重スケール性を考慮し，図-1 に
本論文は，大きなスケールの流れの解析が可能な平面示すように，大きな粗度(Large scale roughness: LSR)と小さ
二次元解析法の枠組みの中で，局所三次元流場を解析すな粗度(Small scale roughness: SSR)を分離することが考えらるために，非平衡粗面抵抗則(Dynamic rough Wall Law:
れている．図-1 に示すように，河床材料スケールを SSR
DWL)を導出し，これを用いた BVC-DWL 法を開発し，と見なし，その凹凸を考慮せずに粗度表面に接する滑ら検討するものである．本論文では従来の二次元解析法やかな面を河床面と定義し，その結果現れる河床波等によ
三次元解析法の必要性を認めたうえで，両者では解析する河床高の大きいスケールの凹凸は LSR とする．LSR

44

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は SSR より大きなスケールの河床の凹凸であり，巨石切な計算方法を検討するものとはなっていない 38)．本研などの大きな河床材料や河床波などを含み，河床形状と究では，主計算領域の流れについて水深スケールの三次して評価される． SSR と LSR の分離スケールとしては
元渦運動を浅水流の仮定を用いずに解析できる BVC 法 19)
様々考えられるが，少なくとも水深に対して無視できなを適用する．従来の粗面壁法則を用いる場合，抵抗則領
い大きさの粗度は，底面せん断応力として取り扱えない
域では平衡状態が想定されるが，本研究では非平衡粗面ため，LSR として扱う必要がある．本研究では SSR と抵抗則を導入して流れの非平衡性を考慮する．抵抗則領
LSR の分離スケールは水深より少し小さい程度のスケー
域の流れの解析では，粗度表面より下では粗度の流体力
ルの河床の凹凸と考える．
が作用するようになるため，粗度表面より上の渦層と表三次元数値解析法では，小さな粗度(SSR)は表面抵抗
面より下の粗度層を分離する必要があり，後述するよう
32)~34)
として粗面抵抗則でモデル化されてきたに粗度層の流れの運動方程式には粗度に作用する流体力．即ち，粗を考慮している．非平衡粗面抵抗則では渦層，粗度層の度の大きさと流速評価点の高さ(通常は最下層メッシュ
運動方程式と連続式を解くことにより，抵抗則領域の流の高さの半分である)等を用いて底面近傍の流速(底面流れの非平衡性と領域間の流れの交換を考慮する．なお，
速)と摩擦速度の比を表し，その上の主計算領域を計算
本研究では浸透層については考慮しない．このような壁するための底面境界条件を与える．一般にはこの薄い渦面近傍の流れの性質に合わせて解析を変える方法は，壁層において対数分布則が仮定され，相当粗度 ksを用いて
32)~34)面近傍で乱れの代表スケールが急変する乱流特性を効率
底面流速と底面せん断応力の関係が記述される．三的に捉えるために開発された DES と呼ばれる LES/RANS
次元数値解析法における最下層メッシュの流速評価点よのハイブリッド解析法に見られる 40)．本研究で用いる非り下の層は平衡状態の粗面抵抗則を適用するため，平衡状態の粗面抵抗則を用いた BVC-EWL 法における渦層厚
平衡粗面抵抗則と類似の方法には，外層の LES モデル
さに対応する．しかし，河床近傍の渦層内の流れは，に接続させるための壁面近傍で乱流境界層方程式を用い
LSR の存在によって乱されるため，等流状態を仮定した
た RANS モデルがある 41)．ただし，これらの解析は滑面
対数分布則に基づく抵抗則は適用できない．この流れの境界を対象に展開されている．粗面では明確な境界高さ
非平衡性は渦層を通過するフラックスを生じさせ，粗度が与えられないため，後述するように河床高さを定義す
層にも影響する．このため，乱れの非平衡性を考慮したる必要がある点や粗度層以下を取り扱う点が滑面の場合
34),35)
壁法則と大きく異なり，ここに本解析法の特徴がある．
では十分でなく，礫群を多孔質モデルで表す
36)
方法 ，透過性として表し抗力係数を用いて評価する方(3) BVC-DWL 法の特徴と各種解析法の比較
法 37)など，礫群を不透過の河床として取り扱う従来の壁法則と異なる方法も検討されてきた．この方向の粗面のBVC-DWL 法では，主計算領域は抵抗則領域の流れの38),39)
評価方法には，Nikora et al.
による気象分野の樹木評
非平衡性を考慮した非静水圧準三次元解析法である
価などに用いられていたダブルアベレージングを導入しBVC 法により解かれる．浅水流の仮定をした底面流速
た解析法がある．しかし，この方法も，基礎方程式の平解析法(SBVC 法)と従来の二次元，準三次元解析法の比均化に伴う種々の未知係数を決定する必要があることと， 較，検討については著者らの既往文献 18)に述べている．
従来の抵抗則との関連が明確でない等の課題を有してい
解析法の詳細は第 3 章に述べるが，ここでは一般底面流る．また，これらの解析に用いられている三次元解析法
速解析法(BVC 法)の特徴と考え方を説明する．BVC 法のは計算負荷が大きいため，洪水流解析への適用が困難で特徴のひとつは，水表面流速と底面流速の差をストーク
ある． 先に述べたように，LSR として評価する必要のスの定理によって，式(1)のように水深積分渦度と鉛直ある粗度は，最も小さいもので水深より少し小さい程度
方向流速の場所的変化で表す点である．
であると考えると，その影響を評価するためには，水深
 Wh
z
z 
 ws s  wb b  (1)ui  u si  ubi   ij 3 j h  
方向に多数の計算グリッドを必要とする三次元解析法よ
xi
xi 
 xi
りも，水深積分モデルに基づいて流速鉛直分布を計算す
る準三次元解析法がこの目的に対して適切と考えられる． ここに，i,j =1,2(x1=x，x2=y，z：鉛直方向)，u i：水面と底面の xi 方向流速の差，usi：水面の xi 方向流速，ubi：底面(2) BVC-DWL 法の枠組みと考え方の xi 方向流速， ijk：Levi-Civita 記号，i：水深平均渦度，
本研究では，図-1 に示すように流れの領域を主計算
h：水深，W：水深平均鉛直方向流速，ws，wb：水面，領域，抵抗則領域，浸透層に分けて考え，それぞれの領
底面の鉛直方向流速，zs：水面高，zb：水面高である．
域に対して解析法を検討する．同様の領域区分は Nikora
式(1)の右辺第一項に関して BVC 法では，水平二方向
et al.39)によっても提案されているが，彼らの領域区分は流の水深積分渦度方程式を水平方向の運動方程式と連立しれの特徴を説明するために用いられており，各領域の適て解くことによって，水深スケールの渦の三次元挙動が45土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.
表-1 BVC 法の枠組みから見た各種解析法の未知量と方程式

z

y

x

y

y

W
x

uby

渦線

渦線

Uy

x
ubx

流線

図-2 BVC 法による水衝部の流れの解析イメージ

未
知
量
h
Ui
k
ubi
i
usi
W

渦層

Ux
流線

SBVC 法h

主計算領域(BVC 法)

渦線

BVC-DWL 法
BVC-EWL法

usx

usy

2D解析法

対象領域と解析法

壁面(水衝部)

dpb
wb

支配方程式
DI 連続式
DI 水平方向運動方程式
DI 乱れエネルギー方程式
DI 水平方向渦度の定義式
DI 水平方向渦度方程式
水面の水平方向運動方程式
二重水深積分連続式
重み水深積分の連続式)
DI 鉛直方向運動方程式
渦層積分連続式
渦層積分
水平方向運動方程式
粗度層積分連続式

式
番
号
(2)
(3)
(4)
(1)
(7)
(8)
(9)
(10)
(20)

粗度層

抵抗則領域
(DWL 法)解析される．式(1)の右辺第二項に関しては，浅水流のuvi(21)
仮定を用いずに鉛直方向流速の場所的変化を連続式を用(20)wt
いて解き，これを用いることによって圧力の非静水圧成
粗度層積分
uri
(22)
分を解析することを可能としている．図-2 に BVC 法に
水平方向運動方程式
よる構造物周辺の流れの解析イメージを示す．構造物前 DI：水深積分，SBVC：浅水流の仮定を用いた簡易底面流速解析
面の渦の伸長と回転による馬蹄形渦を伴う三次元流速場 法，BVC：一般底面流速解析法，DWL：非平衡粗面抵抗則
は，BVC 法では水深スケールの渦運動成分が水深積分表-2 各種解析法の方程式の数
渦度方程式を中心とした基礎方程式で直接解析される．
水平方向
鉛直方向
連続式
水深スケールよりも小さな渦運動は渦度方程式等の分散運動方程式 運動方程式項で評価されて，さらに小さいものは乱流運動として評
2D解析法
2
0
1
SBVC
法
6
0
1
価されている．即ち，BVC 法は開水路流における底面
BVC-EWL 法
61
2
せん断力によって生じる水平方向渦度が水平方向流れに
BVC-DWL 法
814よって変形し生じることが支配的な三次元流れが計算の
3D解析法※
2m
m1m
主対象であり，水深に比べてかなり小さいスケールの三 ※3D 解析法では鉛直方向には m 個の計算格子数とし，スタ次元渦運動を扱う必要がある場合は，三次元解析法を用 ッガード格子系で水面の鉛直方向流速は運動学的境界条件より与えられるとしている．
いる必要がある．
BVC法と他の解析法と比較する前に，表-1にBVC法のこれらに関する方程式を解かずに，流速分布(水平方向
枠組みの各種解析法の対象領域，未知量及び基礎方程式
渦度)，圧力分布，粗面抵抗則において平衡状態が仮定
系をまとめて示す．非平衡粗面抵抗則を用いたBVC法
されたものである．
(BVC-DWL)の方程式は，図-1に示す主計算領域と抵抗則
表-2にBVC法の枠組みの各種解析法と2D，3D解析法
領域のものに分けられる．抵抗則領域は，渦層と粗度層の運動方程式と連続式の数を示す．乱れに関する方程式から構成され，それぞれの層において積分された連続式の数は乱流モデルに依存するため，ここでは考慮していと運動方程式が解かれる．従来のBVC法では，抵抗則領ない．方程式の数は，2D解析法の計算格子一個当たり域の方程式は解かずに，平衡状態の粗面抵抗則(EWL)が19)の数を基準としている．運動方程式の数はそれぞれの方用いられていた ．即ち，底面を通過する流れwbを無向の流速鉛直分布の自由度，連続式の数は圧力鉛直分布
視し，底面流速ubiを用いて底面せん断応力bi (底面におの自由度を表す．BVC法系の解析手法において，渦度方
ける運動量交換)と渦度の生産項Pi (底面における渦度交
程式は厳密には鉛直方向運動方程式も含まれるが，水平換)を評価する．本論文では従来の平衡状態の粗面抵抗
方向流速の鉛直分布を決めることから，ここでは水平方則を用いたBVC法をBVC-EWL法と呼ぶ．さらに，浅水
向運動方程式の一種として数えている．連続式は2D解流の仮定を用いた底面流速解析法(SBVC法)では，図-1の
析法では重力波の伝達が考慮できる時間刻みを用いて陽主計算領域において鉛直方向流速Wと圧力の非静水圧成的に解かれる．3D解析法では，離散化手法にもよるが，分dpを解かずにW=dp=0とし，水面と底面の流速差を式
連続式の一つは水面を決めるために用いられ，残りは圧(1)を簡略化したui=ij3jhから求め，平衡状態の粗面抵力を計算するポアソン方程式の鉛直方向のメッシュ数を抗則(EWL)から底面境界条件を与える18)．2D解析法は，表し，鉛直方向運動方程式の数と等しい． SBVC法は鉛主計算領域における流速と圧力の鉛直分布，及び抵抗則領域における流れの非平衡性を考慮しない解析法であり， 直方向運動方程式は含まれず，流速鉛直分布を決めるた

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めに水平方向運動方程式と従来の静水圧準三次元解析法
において2次モードまで考慮に入れた場合と同様の計算量となる18)．BVC-EWL法の連続式の一つは水面を決めるものであり，もう一つは鉛直方向流速を解くものである．後者は二次元のポアソン型の方程式を解く必要がある19)．BVC-DWL法では渦層，粗度層の連続式と運動方
程式が解かれるが，層内の圧力分布を解かず鉛直方向の運動方程式は追加されていない．表-2から，2D解析法からBVC-DWL法まで計算量が徐々に増加していくが，鉛直方向にm個の計算格子を持つ3D解析法とBVC-DWL法の計算量にはかなりの開きがあることが分かる．後述するように，BVC法では三次元のRANS方程式を水深積分モデルで解くために，主計算領域において，水平方向流速を水面と底面流速を含めた鉛直方向流速分布式 (三次多項式)で仮定し，RANS方程式から基礎方程式を導いている．また，DWLの基礎方程式は，抵抗則領域の流れの非平衡性をできる限り簡易に解くための方程式が導出されている．このため，RANS方程式を直接数値的に解く場合に比べて，基礎方程式の種類が増え，各式には水深積分に伴ういくつかの項などが含まれる．しかし，表-2に示したように，BVC-DWL法で数値的に解く方程式

h U j h wb  0
t
x j
z
U i h U iU j h wbubi   gh s

x j
xi
t


h dp dpb zb  bi h( ij   ui ' u j ')



xi
 xi x j

(3)

ここに，Ui：水深平均流速，h：水深，wb：底面の渦層と垂直な流速，ubi：底面流速，zs：水面高，zb：底面高，dp：圧力の非静水圧成分(dp=pg(zs z)，p：レイノルズ
応力の等方成分と圧力の和)，dpb， dp ：底面，水深平均の圧力偏差，bi：底面せん断応力， ij：レイノルズ応力の非等方成分，  ui ' u j ' ：流速鉛直分布による運動量交換， ui '  ui  U i ，である．本論文では上付きのバーは
水深平均値，下付の s，b でそれぞれ水面と底面の値を表す．レイノルズ応力の非等方成分 ij は渦動粘性係数 vtを用いてij=2vtSij (Sij：水深平均流速の歪速度)と表し，
渦動粘性係数 vt は流速鉛直分布を考慮した一方程式モデルで計算する 18),42)．
kk 1   vh k 
(4)  Pk  
U j

t
x j h xi   k xi の数は，RANS方程式を直接数値的に解く3D解析法に比べてかなり少なく，2D解析法や従来の静水圧準三次元解析法と比べてあまり計算負荷は大きくなっていない．
このため，BVC-DWL法は水深スケールに比べてそれほど小さくない三次元流れの計算に有効と考えられる．また，流れの三次元性が小さくなるにつれ，BVC-DWL法
は，BVC-EWL法，SBVC法，2D解析法の解に帰着する
ため，種々の流れ場でどのような項を評価することが重要であるかなどを検討できる利点がある．本論文では，第3章で具体的な解析法を示し，第4章で流れや粗度ス
ケールに対してどの解析法が有効かについて議論する．
また，第5章では種々の流れにおいて，各解析法を適用し，その妥当性を検討する．

3.

(2)





Pk
 u 
22
 2 Sij  s'ij   i vt
 z 

2(5)

ここに，vt=Ck 2/，Ck ，C= 0.09, Ch =1.7 (C=0.17，h=0.1)42)， Sij , s 'ij ：U i , ui ' の歪速度である．
式(2),(3)を解析するためには，流速と圧力の鉛直分布，及び底面境界条件として渦層との質量，運動量，渦度交換を評価する必要がある．後者については(2)(3)節で説明する．前者の流速分布については三次関数式(6)を仮
定する．







u 'i  ui 12 3  12 2  1  ui  4 3  3 2

BVC-DWL法の基礎方程式と解析方法(1) 一般底面流速解析法(BVC 法)
図-1 の主計算領域を計算するために，渦層，粗度層の流れの非平衡性と領域間の流れの交換を考慮に入れた
BVC 法を検討する．BVC 法は(主計算領域の)水深積分モデルであるが，二次元解析法とは異なり，運動方程式には流速鉛直分布や圧力の非静水圧成分項が含まれている．
また，連続式(2)，運動方程式(3)では，渦層以下の非平衡流れによる底面(渦層上面)のフラックスが考慮されて
いる．

47



(6)

ここに，=(zsz)/h，ui = usi Ui，ui= usi ubi である．圧力については，非静水圧成分を線形分布 dp=dpb で仮定す
る．流速と圧力の鉛直分布を求めるために，BVC 法では以下の方程式系：底面流速方程式(水深積分された渦度の定義式)(1)，渦度方程式(7)，水表面の運動方程式(8)，二重水深積分(重み積分)した連続式(9)，及び水深積分した鉛直方向運動方程式(10) (簡略化と計算の安定性のため，非定常項と水平せん断応力項が省略されている)が解かれる．

hDij i h Ri  P i  wb bi
t
x j

(7)

z
u si
u
 u sj si   g * s  Psi
t
x j
xi

(8)

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 zz  h 2u 'iWh  h m  U i m  
 hwb
xi 
xi
 t

dpb





hWU jx j

 wb wb   bj

zb
x j

において底面流速は壁面上の slip velocity と呼ばれる 43)．
本研究では，等流状態で対数分布則が成立するとして，
底面流速の位置(渦層厚さ)を以下のように定義する．対数分布則において，水面 zs と底面 zb の流速差u は，

(9)

(10)

u 

z 
ln s   zb u*(15)

ここに，i：水深平均渦度，W：水深平均鉛直方向流速，で表される．式(14)と式(15)において，u/u*が等しいとすRi =usis ubib，s，b：usi，ubi の回転，Pi：渦度
ると，渦層の厚さzb は，生産項(付録 1 及び次節参照)，Dij：移流，回転，乱流拡

z
1
散による渦度フラックス，g*：水面の鉛直方向圧力勾配，(16)b  b  3
he 1
Psi：水表面流速生産項(水面のごく薄い層の下面に作用となる．ここに，e：自然対数の底である．なお，式(16)するせん断応力)，Psi=(2vt/h2)(12(usei usi) ui)，usei = Ui
では対数分布則の原点位置のずれz0 を無視している．
+ui /3，zm =(zs + zb)/2 である．水平方向の渦度フラック
本研究では，渦層厚さを式(16)で定義しているため，厳ス Dij は以下のように表される．
vt  i (11)
密に言うと，z0/h が大きい場合，式(14)の右の式のu とDij  U j  i  U i  j   ' j u 'i   'i u ' j   x j
u*の関係，即ち等流の流速分布の係数は 3 より小さくな
ここに，'j：渦度の水深平均値からのずれ，'i =i i， る． ただし，本解析法においては式(14)を直接用いるわけではないため，ここではこれ以上言及しない．
=1 である．渦度の鉛直分布に鉛直方向流速の影響を
渦度方程式(7)における生産項 Pi は渦度方程式の底面取り入れると空間微分項を含む複雑な形となるため，渦の境界条件であり，乱流運動と剥離による底面からの渦度と流速鉛直分布の相関項の計算は，渦度鉛直分布を流度の供給を表す 18)．前者について渦層内で対数分布則を
速鉛直分布の微分値と相似であると簡略化し，式(12)で仮定することにより，生産項 Pi は式(17)で表される．式表す．
(12)(17)の導出については付録 1 を参照いただきたい．
 'i u' j  i u j  0.5u j 
ただし，i≠j である．なお，これまでの研究では式(12)において，i = ij3uj としてきた 19)が，この方法では，
W の空間変化が大きいとき，渦度の分散項が小さく計算される問題があった．

Pi  C p vtb (bei  bi ) h  Psi

ここに，Cp=/，=/6，vtb：底面の渦動粘性係数の水深平均換算値(平衡状態で，任意の底面の渦動粘性係数(vt)b となるような水深平均の渦動粘性係数)， bei：平衡状態における底面渦度， bi：底面渦度，Psi：剥離による底面からの供給渦度である．平衡状態における底面渦度bei は，式(14)，式(15)から，(2) 平衡粗面抵抗則を用いた場合の底面境界条件
次節に示す非平衡粗面抵抗則の検討に先立ち，平衡粗面抵抗則を用いた場合の底面境界条件について述べる．
ここでは，渦層との質量交換を無視(wb=0)し，渦層内で平衡状態を仮定し，乱流運動による運動量と渦度の交換量を評価する．
渦層内で対数分布則を仮定すると，底面流速 ub と摩擦速度の関係は以下の関係にある．

1 z 
ub
 cb  ln b   Ar
  ks 
u*(17)

bej 

2 ij 3ubi / cb

h

z 
ln s  zb 

(18)と与えられる．一方，底面渦度 bi は，底面における式(5)の鉛直方向微分値を用いて，bj =ij3(6ui－12ui)で与える．剥離による底面からの供給渦度 Psi は，既往の研究 18)と同様に式(19)で与える．

(13)

ここに， u*2= b，b2= bibi，zb=zb+z0，zb：渦層の厚さ，
 uby / 2  (uby ) ( (tan  y )  tan c )Psx x  z0：対数分布則の原点位置 z0 と粗度表面高さ ztのずれ，( (tan  y )  tan c ) (19)0
=0.41，Ar=8.5 である．
 ubx / 2  (ubx ) ( (tan  x )  tan c )BVC 法の渦層厚さzb は以下のように定義される．
Psy y  
BVC 法では，等流状態の流速鉛直分布は以下の二次曲( (tan  x )  tan c )0線で表されるとしている 18),43)．
ここに，x,y：xy 方向計算格子間隔，(tanx),(tany)：
3u
u
(14)
u' 
1  3 2 , u  *x,y 方向河床勾配の計算格子辺りの x,y 方向変化量，
322tanc：剥離限界角度(1/5)であり，剥離による供給渦度は
ここに，ui’ ui’= u’ ，uiuiu ，=(zsz)/h である．式(14)





48

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.
主計算領域の非平衡状態の流速分布zb wb
u
bi
zb
uvi
wt
zt uri法が採用されている．このため，本研究で対象とする流れのスケールに対して，主計算領域の抵抗則領域である
渦層と粗度層は十分薄いと仮定し，運動方程式式(21)，(22)では，乱流境界層方程式 41)と同様に，圧力の鉛直分
布と水平応力項が省略されている．即ち，圧力の非静水
圧成分は渦層，粗度層で一定であり，静水圧三次元流れの解析と同様に，鉛直方向流速の運動方程式を解かず，連続式(20)から鉛直方向流速を計算する．
式(21), (22)に含まれるせん断応力や流体力は，平衡状態において従来の抵抗則を満たすように導かれる．即ち，平衡状態を仮定し，渦層との流れの交換(式(20))と式(21)，(22)の移流項と非静水圧成分の項を無視するときは，従来の抵抗則に帰着するように式形を決定する．
底面，粗度表面に作用するせん断応力は渦動粘性係数を用いて表す．
u  uvi  bi  ui (23)
  vt  vtb  Ab bi  z bh

底面流速に対する
等流流速分布

bi
ti

Di
xi

主計算
領域
渦層
zb
粗度層
zr

図-3 非平衡粗面抵抗則の解析領域の変数定義

河床勾配が負の場所のみに与える．

(3) 非平衡粗面抵抗則と境界条件
前節で述べたように，平衡状態の粗面抵抗則では，図-1 に示す底面定義位置 zb を横切るフラックスをゼロとu  uri  ti  ui (24)  vtし，それより下の層(渦層，粗度層)において，底面流速  vtt  At vi  z  thに対する平衡状態の流速分布を仮定することにより，連
ここに，vtt：粗度上面の渦動粘性係数の水深平均換算値
続式，運動方程式及び渦度方程式の底面での境界条件がである．Ab，At は平衡状態において，b=th/(h+zb)=u*2，
与えられている．しかし，河床高の変化や，礫，巨石なvtb=vtt=u*h となるように，どの大きな粗度及び構造物の存在により，底面近傍の流1h  zb (25)1， At 
Ab 
れ場は乱される．例えば，図-3 では底面近傍で流れが (cb  cv ) (cv  cr ) h
大きく加速するような流れ場の流速分布(実線)の模式図と表す．ここに，cb=ube/u*，cv=uve/u*，cr=ure/u* (ube，uve，である．このような底面付近が大きく加速する流れであure：平衡状態における u*に対する ub，uv，ur)である．cbっても，平衡状態の粗面抵抗則で想定する底面より下のは対数分布則を用いて，式(13)で与えられる．cv も同様
流速分布は，底面流速に対する平衡状態の流速分布が仮に，定され(破線)，底面近傍で非平衡性の強い流れの渦層と粗度層の流速分布(実線)と異なる．そこで，本研究では，
1  z / 2  z 0 (26)  Arc v  ln b
渦層と粗度層では非平衡流れとして，連続式(20)と運動 ks
方程式(21)，(22)を解く．
と表す．cr は，式(22)の抗力項を用いて，
zbuvi
zr uri(20)wb  wt , wt  
xi
xi
u 2  h  z r  z b 2(27)
cr  r 

uvi
uvi
 (dpb  gz s )  bi
 ti (21)
D
h


 uvk



t
xk
xi
zb zbと定義できる．ただし，D 2=DiDi である．抗力項は，粗
uri
u ri
 (dpb  gz s )  ti
Di (22)
 urk



度粒子に作用する流体力を抗力係数 CD を用い，粗度要
t
xk
xi
zr zr
素が球体で整列に配置されているとし，
ここに，k =1,2,3(x3=z，z：渦層，粗度層に垂直な方向)，
C D
(28)
wb：底面の渦層と垂直な流速，wt：粗度層上面に垂直Di 
u r u ri

8な流速，zb：渦層の厚さ，zr：粗度層の厚さ，：粗度
層の空隙率，uvi，uri：渦層，粗度層における層平均 xi 方
向流速，ti：粗度層上面に作用するせん断応力，Di：せん断応力に換算された粗度層内の粒子に作用する流体力である．
本解析法では前述したように，図-1 の主計算領域において水深スケールに近い比較的大きな三次元流れを解くために，非静水圧の準三次元解析法である一般 BVCと表現する．
以上のように，渦層流速は式(26)に示すように，等流状態において対数分布則に帰着させることが可能であるが，流体力項を含む粗度層流速を表すためには新たな流速分布則が必要である．即ち，粗度層の流速を解くためには，従来の粗面抵抗則に用いていた相当粗度 ksと原点
位置z0 に加えて，抗力係数 CD と粗度層厚さzr が必要である．本研究では，試験的に CD=0.4，zr =ks を用いてい49

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.

る．著者らの調べではこれらの値の変化が渦層より上の流れの解析に与える影響は小さいようであるが，これらの値は検証されておらず，底面せん断応力に対する粗度層以下の流速分布の妥当性には課題を残す．また，図-1に示したように，本研究では SSR を河床材料スケールの粗度と見なし，式(28)は一様粒径を想定した簡易な抵抗評価法となっている．しかし，前述の定義のように，
SSR は，流れの方程式により直接評価できない小さな粗度すべてであり，実際には異なるスケールをもつ種々の抵抗要素で構成される．特に，砂漣などの小さなスケー
ルの河床波が存在する場合では，SSR は図-1 に示すような透過性の抵抗要素ではなく，複雑形状をもつ不透過の河床形状 39)によって決定付けられると考えられる．本研
究では，SSR が透過性の抵抗要素で近似できる河床を対象としており，SSR に不透過の河床形状を含める場合についてはさらなる検討が必要である．
渦層，粗度層が十分薄い場合，乱れエネルギーの生産に関係するひずみ速度は水平方向流速の鉛直方向勾配項が支配的と考えられる．そこで，底面と粗度上面の渦動
粘性係数は，水平方向流速の鉛直勾配と乱れスケールで表されるとして，それぞれ底面-渦層，渦層-粗度層の間の流速差と水深の積で式(29)，(30)のように表す．

A 

z 
1
ln s  (cb  cr )  zb (33)(4) 数値解析法
本解析法では，表-1 に示す方程式系を時間前進法(一次精度の前進差分)で数値積分し，新しい計算ステップの各変数の値を計算する．全ての方程式は未知量に関する時間微分項を含むか，未知量以外が右辺にまとめられており，現時間ステップの値を用いて新しい計算ステッ
プの値が計算できる．ただし，計算を安定的に解くために，連続式に関わる式(2),(9)は，以下に示すようにフラックスを新しい時間ステップで記述し，それぞれ水深勾配，鉛直方向流速勾配に新しい時間ステップの値を用いた式(3),(1)と連立して解いている． 即ち，式を解いて
水深 h，鉛直方向流速 W の時間変化量を求める．式(34)の導出については文献 19)を参照されたい．

 
 
(Ct ) 2
 P   0

x j 
x j 

(34)

水深計算の場合は，=hn+1－hn，P=hP－hn，C2 =gh であり，hP は式の圧力の静水圧成分の項を hn で評価して計算された流速を用いて，式(2)より計算される予測
2
vtb   bub h, ub  ubi  u vi ubi  u vi  (29)水深である．なお，(・)n，(・)n+1 はそれぞれ n，n+1 ステ
ップの値を示す．鉛直方向流速計算の場合は，=Whn+1
2(30)
vtt   t ut h, ut  uvi  u ri u vi  u ri －Whn，P=WhP－Whn，C2 = k1(h/t)2 であるk．WhP
等流状態において，vtb=vtt=u*h となるとすると， b
は(Wh)n を用いて評価した底面流速(1)を用いて式(9)より=/(cb –cv)， t =/(cv –cr)が得られる．ここで，底面，計算される予測鉛直流速の水深積分値である．
運動方程式系の空間微分項の離散化手法を以下に示す．
粗度層の渦動粘性係数 vtb，vtt はそれぞれ，底面渦度，
流れの三次元運動は主として，水深平均流速場の加速，粗度層流速から，以下のようにも定義できる．
減速によって水平方向の渦度が伸縮・回転し，生じると
b h 2(31)
vtb , vtt   (u r / cr )h考えられる．このため，本解析法では水平方向運動方程2 ln( z s / zb )式(3)の移流項を精度よく解くことが重要であることか
本研究では，それぞれ大きい方の値を用いて，底面と粗ら，高精度の保存型解析法である CIP-CSL 法 44)を用いる．
度層表面の渦動粘性係数を計算することにした．
式(4),(7),(8)の移流項の解析には数値振動を防ぐために一渦度の生産項と底面の平衡状態の渦度については以下
次精度の風上差分を用いる．底面圧力を計算する鉛直方のように与える．式(17)の渦度の生産項の第一項は，付向運動方程式(10)の移流項とその他の項については二次録 1 に示すように，渦層において平衡状態を仮定して導精度の中央差分で離散化する．ただし，渦度方程式の回かれている．このため，厳密には式(17)の式形の非平衡転項については，横断方向流速などによって本来生じな状態への妥当性は不明である．しかし，ここでは簡単のい渦の回転による二次流が発生しないような適切な離散ため，平衡状態の底面渦度を渦層内の渦度とすることで， 化を行う．詳細は，付録 2 を参照されたい．
非平衡状態に適用することにする．渦層内の渦度を底面
流速と渦層流速で表現すると，平衡渦度は式(32)で表される．
4. BVC-DWL法の適用範囲の考察bej  2 ij 3 A

ubi  uvih(32)

非平衡粗面抵抗則の妥当性の検証に先立ち，対象とする現象の流れのスケールや粗度スケールに対して，渦層及び粗度層の流速の決定要因と解析手法を検討する．こここで，A は平衡状態において式(32)が式(18)に帰着す
るように，式(33)で与える．

50

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用いると，水深平均運動方程式(3)の物理量は以下のように表現することができる．

0
Fg

Fdp

2

2

0

-1

0

1

U i  (U i ) * U 0 , h  (h) * h0 ,

 t S ij  ( t S ij ) *  01.2U 0 2 * s

1

-2
0

u i ' u j '  (u i ' u j ') *  02log10(ks / h)

 0i /   ( 0i ) * U 0 2 * 2 , dp  (dp ) * U 0 2 s 2

-2

-1

-1



1

-2

-1

0 .7

-1

2

1

log10(s)01

ここに，=u0/U0 (u0：底面摩擦速度)，b=zb/h，k=ks/h，
v=Uv0/U0=cv，r=Ur0/U0=crであり，上付きの，* は無次元変数を表している．また，本章では各項のオーダー
を見やすくするために，本解析法に含まれる係数，定数については，0=0.1として0の累乗でまとめて表示している．水平応力ij等を表現するために，レイノルズ応力
はゼロ方程式モデル，流速鉛直分布については対数分布則や等流状態の二次曲線を用いて表現している．
浅水パラメータs=h0/L0 と相対粗度ks/hが水深平均流速と流速鉛直分布に与える影響を考察する．式(35)を式(3)に代入し，移流項を基準とし，非定常項，各項の符号，成分を無視して整理すると，式(36)が得られる．

：移流項 Fcに対する重力項・底面せん断応力項 F0のの大きさ：移流項 Fcに対する非静水圧項 Fdpの大きさ

図-4 流れのスケールと水深平均運動方程式の支配要因
0

1

2

-1
0

-1

0

-2

2

2

-1

-2

1

0
-2

log10(ks / h)

-1

-1

2

-1

0

-2

Ｚｚ

1

-2
0

-2

-2

log10(s)

-1

2

 2
 1.2
 2
2 
   s  Fr 2 *  Fdp    0  * s  *0.5  Ft
s 
0 



 
  b v   k  r 1  0*.7  Fub  0
 0 

2

-1

1

0
-2

-1

-2
-3

Fh  *F0

Fr 2  s
2

Fc 
0

-3
-4



u bi  (u bi ) * U 0 (1   * /  0 )
0

-2

0 .4

(35)

u si  (u si ) U 0 (1   * /  0 )-2-3

 * 2U 0 2
0 .4

*

-3
-4

 0 .5wb  ( wb ) * U 0 s  b  v   0  k  r

-1

0

-2

xi  ( xi ) * L001

：平衡状態の流速鉛直分布の項ueに対する渦度の移流・回転項
Fcの大きさ(渦度の非平衡性の影響)：平衡状態の流速鉛直分布の項ueに対する鉛直方向流速の場所(36)

ここに，Fc：移流項，Fh：静水圧分布項，F0：重力項と底面せん断応力項，Fdp：非静水圧分布項，Ft：流速鉛直分布とレイノルズ応力による水平応力項，Fub：移流による底面との運動量交換項である． 図-4に流れのスケー
ルが変化した場合の式(36)における重力項と非静水圧分
布項の移流項に対する大きさを示す．ここでは，どの程度のスケールの現象において，各項が重要か，そうでな
いかを検討するため，各項の大きさが2オーダー違うと小さい方は無視できると考え，移流項に対する各項の大
きさの対数の-2 ～ +2の範囲の等高線を示している．対象とするスケールが大きい(sが小さい)ほど，また相対粗度ks/hが大きいほど，水深平均流速場は重力項と底面せん断応力項によって決定付けられ，流れの非平衡性は無視できることが分かる．また，流れのスケールが水深のスケールに近づいてくると(0.1<s)，もはや静水圧分布を仮定することができず，圧力の非静水圧成分を考慮する必要があることが分かる．
次に，式(35)を用い，式(1)を無次元化すると，式(37)

的変化項 FWの大きさ(鉛直方向流速の影響)：平衡状態の流速鉛直分布の項ueに対する移流による底面との渦度輸送項 Fbの大きさ

図-5 流れのスケールと流速鉛直分布の支配要因

こでは，流れのスケールを表す無次元量として，浅水パ
ラメータs=h0/L0 (h0：代表水深，L0：対象とする流れ場の
水平スケール)，粗度スケールを表す無次元量として，
相対粗度ks/h0を用いる．浅水パラメータsは水面を有する流体運動を特徴づけ，波の分類や解析法2)，乱流運動の二次元性の指標45)としても用いられる．内田・福岡19)は，水深平均流速や底面流速の方程式の各項の大きさを
浅水パラメータsを用いて表し，多重スケールの流れ場
に対して，対象とする流れのスケールに応じた解析法を示した．
各種基礎方程式を無次元化するための代表スケール
として，水平方向流速U0，鉛直方向流速W0=U0s，水平
スケールL0，鉛直スケール(水深)h0を用いる．これらを51

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.
0度交換項，FW：鉛直方向流速の空間分布項である． 図5は，図-4と同様の方法で，流速鉛直分布に与える各項(F，FW，Fb)の影響の大きさを示したものである．Fc
は，底面せん断応力によって生じる横断方向の渦度を水平方向の流速変化によって回転させる項や鉛直方向の渦度の回転項の大きさを示している．この項が大きくなるほど等流の流速分布からのずれが大きく，流速鉛直分布の非平衡性が大きくなる．相対粗度ks/hが大きくなるほ
ど流速鉛直分布はやや変形しにくくなる傾向があるが，むしろ流速鉛直分布の非平衡性は，対象とする流れのス
ケールの水深に対する比sに支配されていることが分かる．なお，底面における移流による渦度交換項Fbは水平方向の渦度輸送項Fcよりも1オーダー程度小さい．これは，本解析では鉛直流速分布と壁法則について平衡状態を仮定して代表スケールを定めたためであり，非平衡性の強い局所流においてはその影響は大きくなると考えられる．
非平衡粗面抵抗則を構成する渦層，粗度層の運動方程式(21)，(22)について，式(35)を用いて無次元化し整理す
ると，それぞれ式(39)，式(40)が得られる．

(Fc/Fg)-2

Fc(FdpＺ/FFdp
g)

-1

1

2

-1

1

0

0

1 1
2

-2
-2

-1

-2

-2

-1 0

log10(ks / h)

-1

0

-1

-3
-4

-3

-2

-1

0

log10(s)1：重力項・底面せん断応力項 Fvgに対する移流項 Fvcの大きさ：重力項・底面せん断応力項 Fvgに対する非静水圧項 Fvdpの大きさ

図-6 流れのスケールと渦層の流れの支配要因
0

1

-2

0

-2

1

-1

-1

log10(ks / h)

0

-1

2

1

2
  b s  v 2   b s 3 
1   b v 
 2  Fvdp (39)
F

F

F

vg
vh
  2  vc
  
Fr 2   * 2 
 * 
 * 

0

-2
-1

-2

2

-2

2
  k s r 2   3 
1     Frc  Frg  2  k s2 r  Frh   k 2s  Frdp (40)
2
 

  
Fr  * 
 * 
 * 

0

-1

Fc
Fdp

-3

-2

-1

0

log10(s)

ここに，Fvc，Fvg，Fvh，FvdpとFrc，Frg，Frh，Frdpはそれぞれ，渦層，粗度層の運動方程式における移流項，重力項・せん断応力項(流体力項)，圧力の静水圧成分の項及
び圧力の非静水圧成分の項である．
図-6, 7は，図-4, 5と同様の方法で，渦層，粗度層の運動方程式において重力項・せん断応力項(流体力項)に対する移流項Fvc，Frcとと非静水圧分布項Fvdp，Frdpの大きさを示している．従来の平衡粗面抵抗則では，これらの項が無視され，重力項とせん断応力項が釣り合うとされている．このため，図-6, 7でこれらの項が小さくない範囲では，従来の平衡粗面抵抗則は適用できないことを示す．図-6より，渦層内の運動方程式の移流項は，相対粗度ks/hの影響を強く受け，流れと粗度のスケールが小さいほど大きくなることが分かる．図-6から相対粗度
ks/h<10-3のような小さな粗度の領域では， s>10-3で移流項が無視できなくなる．このスケールは図-5と比較しても小さくないスケールであり，本解析法では底面粗度が小
さく，流れの三次元性が重要となる箇所においては渦層の非平衡性が無視できないことを示している．具体の例
としては，水深が大きく粗度が小さい局所流現象，砂河床における構造物周りの洗掘が相当し，このような場合
は渦層の非平衡性を考慮することが重要となる．0.1<s

2

1

-2

-3
-4

1

：重力項・底面せん断応力項 Frgに対する移流項 Frcの大きさ：重力項・底面せん断応力項 Frgに対する非静水圧項 Frdpの大きさ

図-7 流れのスケールと粗度層の流れの支配要因が得られる．

ui    ij 3  j h    s 0.9  Wh 2 * 0  x j (37)

一方，式(7)の渦度方程式を無次元化して求めた水深積
分渦度を式(37)に代入すると，水面と底面の流速差ui に関する各項のオーダーは式(38)で表される．







  * 00 u   ue *    s 0.1 1  0*.9  Fc   0 s 2 Ft s 0
*

0.4

(38)

 b v   k  r Fb   s 0.9 FW2

 * 0

ここに，ue：平衡状態の流速鉛直分布(水深平均流速から決まる流速鉛直分布)，Fc：分散項を含めた移流項と回転項，Ft：乱流拡散項，Fb：移流による底面との渦52土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.

モデルにおける流速鉛直分布の数値解析法の構築を目的とした研究 48)がある．本研究では，粗面の斜面上において加速・減速流の流速鉛直分布が計測された Song & Grafの実験 46)に本解析法を適用し，検討する．実験 46)では，長さ 16.8m，幅 0.6m，高さ 0.8m の可変勾配水路が用いられ，河床勾配 S，流量 Q，水深 D を変化させた，種々の加速，減速流場において超音波ドップラー流速計(ADVP)となると，非静水圧項が無視できなくなる．渦層の厚さ
zbを薄くするほど渦層内の非平衡性は小さくなるため， を用いた計測がなされている．ここでは，論文 46)から流速鉛直分布を読み取ることができた表-3 の実験条件を対
局所洗掘現象を三次元解析する場合，粗度が小さいほど象としている．AS93-Q100，DS90-Q70 は実験条件の中で最下層メッシュを小さく(薄く)する必要がある．本解析
最も加速・減速が大きい比較条件であり，AS00-Q145，
法では，式(16)に示したように渦層の厚さzbと水深hのDS25-Q90 は水深が等しい加速，減速流の比較条件であ比が固定されているが，式(20),(21)を導入することによる．解析は実験水路と同じ条件で行い，実験と同様に上り，実質的に渦層の厚さを薄くすると同時に，渦層下面流から 14.1m の断面の流速鉛直分布を種々の解析法を用(粗度表面)を通過するフラックスや非平衡せん断応力をいて計算する．相当粗度 ks と原点位置z0 は，解析手法考慮することにより，底面近傍の流れの解像度を向上さの妥当性の検証のために等流状態の流速分布から定めたせている．図-7から，粗度層内では，渦層内の場合と異値を用いることが望ましい 28)が，等流状態の実験データ
なり，相対粗度ks/hが大きいほど移流項の影響が大きくは示されていないため，ここでは簡単に d50 (1.23 mm)をなる．相対粗度ks/h>0.1のように大きな粗度の領域では，そのまま相当粗度 ks として与え，原点位置z0 は 0.3ks とs>10-2で移流項が無視できなくなる．この範囲は，図-5する．
で示した流速鉛直分布の影響が無視できなくなる範囲と図-8 は，Song & Graf の実験結果 46)と BVC-DWL 法によ
大きく違わない．従来の粗面抵抗則は少なくとも粗度表
る計算結果の流速鉛直分布の比較である．一般に，減速
面より上の領域でしか適用できなかった．しかし，礫床
流れでは大きな流速勾配が水面付近まで及び，全体的に河川において流れの三次元性が重要となるような解析に痩せた流速分布になるのに対して，加速流れでは，底面
おいては，粗度層内の非平衡性を考慮する必要がある．
近傍以外は一様な太い流速分布となり，水面近傍では逆粗度がそれほど大きくなくても，0.1<sとなると粗度層勾配となる場合もある 46),47)．減速流れについて，本解析
内の非静水圧項が無視できなくなる．
結果は実験結果をよく再現していると言える．DS90以上のように，本章では水深に対する流れの代表スケ
Q70 と DS25-Q90 の再現性の差異は用いた粗度係数値のールを用いて，流れの三次元性の考慮や非平衡粗面抵抗
影響が大きいようである．一方，加速流においては，太則を導入することが必要な範囲について考察した．ただい流速分布が解析されているが，減速流に比べて分布形
し，流速の鉛直分布や渦層，粗度層において，平衡状態の再現性はよくない．音田ら 48)も同一の条件を水深積分を仮定した場合の代表スケールから各種非平衡性を検討
モデルで解析し，減速流は精度よく再現できるが，加速したものであり，各非平衡現象の相互作用を考慮してい流の再現性には課題があることを報告している．本解析
ない．このため，実際には図-4～7で示した範囲よりも法の課題は以下のように考えられる．加速流では，強い
広い範囲で流れの三次元性や非平衡粗面抵抗則が重要と流速勾配が底面付近に閉じ込められるため，渦度が鉛直なると考えられる．図-6, 7から，粗度が小さい場合は渦方向に急変するが，本解析法では渦度分布は滑らかな二層，粗度が大きい場合は粗度層の流れの非平衡性はそれ次曲線で表される．この結果，解析結果では主計算領域
ぞれ大きくなることから，局所流場の底面近傍流速や河では流速分布が滑らかとなり，渦層と主計算領域の間で床に作用するせん断応力を評価する場合には非平衡粗面
流速勾配が急変している．図-9 は，図-8 と同様の条件
抵抗則を導入する必要がある．
において，BVC-EWL，SBVC-EWL の解析を行い，BVCDWL 法の計算結果と比較したものである． いずれの条件においても，渦層を含めて三つの解析結果の違いはほ5. BVC-DWL法の適用
とんどないことが分かる．
以上より，本解析法は加速流れにおいて鉛直方向の渦(1) 緩やかな加速・減速流れの解析
度分布，特に底面近傍の渦度の評価方法などに課題を残構造物近傍の局所流速への適用に先立ち，緩やかな加すが，減速流の痩せた流速分布を再現できることを示し
速，減速流における本解析法の流速鉛直分布の再現性にた．また，緩やかな加速，減速流れにおいては浅水流のついて検討する．加速，減速する開水路流れの研究につ46),47)仮定と渦層以下の流れの非平衡性の影響は解析には表れ
いては，実験的，理論的立場の研究の他，水深積分表-3 Song & Graf 46)の粗面の加速，減速流の実験条件
S (%)
D (cm)実験
Q (/s)AS93-Q100
-0.93
100
19.0
DS90-Q70
0.90
70
18.0
AS00-Q145
0
145
20.0
DS25-Q90
0.25
90
20.0

53

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.
1

1

Exp.[Song & Graf, 1994]

Exp.[Song & Graf, 1994]
AS00-Q145

AS93-Q100

DS25-Q90

DS90-Q700.8

0.8Cal. (BVC-DWL)

Cal. (BVC-DWL)
AS00-Q145

AS93-Q100
DS90-Q70

DS25-Q90

z/h

0.6

z/h

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0
0.4

0.6

0.8

1

1.2

u/U

0
0.4

(a) 実験条件の中で加速，減速が最も大きい流れ

0.6

0.8

1

1.2

u/U

(b) 水深が同じ条件の加速・減速の流れ

図-8 緩やかな加速・減速流れにおける実験結果と BVC-DWL による解析結果の比較
1

1

AS93-Q100

AS00-Q145
BVC-DWL

BVC-DWL

BVC-EWL

BVC-EWL

0.8

0.8

SBVC-EWL

SBVC-EWL
DS25-Q90

DS90-Q70

BVC-DWL

BVC-DWL

0.6

0.6

BVC-EWL

BVC-EWL
SBVC-EWLz/hz/h

SBVC-EWL

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0
0.4

0.6

0.8

1

1.2

u/U

0.4

(a) 実験条件の中で加速，減速が最も大きい流れ

0.6

0.8

1

1.2

u/U

(b) 水深が同じ条件の加速・減速の流れ

図-9 緩やかな加速・減速流れにおける各種解析法の解析結果の比較

ず，無視できることが分かった．

降流が評価できず，逆流域を厚く計算することと，背後の剥離渦の構造が再現できないことが課題として示され(2) 橋脚周り三次元流れの解析ている 5),19)．
橋脚前面などの局所三次元流れの解析では浅水流の仮図-10 は，橋脚中心縦断面における流速分布の実験値定が適用できず，SBVC 法の適用に問題があることが明と，平衡，非平衡粗面抵抗則を用いた BVC 法による解らかとなっており，浅水流の仮定を用いない BVC 法が
析結果(BVC-EWL 法，BVC-DWL 法)の比較である．橋脚
19)必要である ．第 4 章では，小さな粗度の場合，河床近前面では，いずれの解析結果も実験結果に比べて水面流傍の渦層において非平衡性が大きくなることを指摘した． 速が低下し，直上流の流速分布が実験結果よりも変形している．本解析法では，構造物極近傍において水面流速
ここでは，BVC-DWL 法を用いた局所流の必要性と妥当の運動方程式の精度に課題があると考えられる．この結性を検証する．
9)
果，構造物極近傍の底面流速の逆流が実験結果に比べて解析対象は，Roulund et al. の粗面固定床実験(表-4)で9)大きく計算されるが，いずれの解析結果も馬蹄形渦の特ある．詳細は文献 を参照されたい．計算格子は，橋脚徴を説明できている．一方，橋脚背後の剥離領域内につ周辺において D/40 で分割し，橋脚から離れるにしたがいては，実験結果では底面で逆流が発達している．解析って，徐々に大きくしている．上流端境界条件に流量，結果を見ると， BVC-EWL 法では発生していない底面近下流端境界条件に水深を与える．底面の相当粗度は彼ら
傍の逆流が BVC-DWL 法では見られるものの，全体的にが実験により求めた ks=10mm (z0=0)を用いる．この実験は両者の特徴に差は無く，実験結果とは逆に水面付近でに対して，著者らは平衡粗面抵抗則を用いて BVC 法と逆流域が発達している．このため，背後の剥離領域の渦
SBVS 法を比較し，SBVC 法では鉛直方向流速の影響が考
構造の流れの解析精度を改善するには，底面境界条件で慮できないために，馬蹄形渦による橋脚前面の逆流の大19)
きさを過大評価する問題と BVC 法の有効性を示した ． はなく主計算領域の解析精度に課題があると考えられる．
具体の課題と解決策については明らかでないが，本解析
しかし，BVC 法においても橋脚極近傍の底面付近の下54土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.
表-4 Roulund et al.9)の粗面固定床実験条件
0.536
橋脚直径 D (m)0.54
平均水深 h0 (m)0.326
平均流速 U0 (m/s)
4.0
水路幅 B (m)0.14
フルード数Fr10.0
相当粗度ks(mm)UxU/U0:/U0 -0.6 -0.4 -0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8

z/h

1

0.5
5

1

1.2

1
UU/U
x/U00

Exp.
(Roulund etal., 2005)

z/h

0
1

Cal.

z/h

z/h

z/h

z/h

0.5
条件においては Roulund et al.9)の三次元乱流モデルでは再(BVC‐EWL)
現されていたために，三次元モデルから本解析法を導出
0
する際の簡略化過程に問題があると考えられる．特に，
1構造物背面の剥離領域の複雑な三次元流れにおいては渦Cal.
0.5(BVC‐DWL)
度方程式の分散項や乱流拡散項の評価が重要と考えられる．本解析法では，分散項については式(12)のように鉛
0
-22
-1.5
-11
-0.5
00
0.5
11
1.5
22
直方向流速の効果を簡略化し，乱流拡散項については式
1
0
0
1
x/D
(11)のように渦動粘性係数の鉛直分布を考慮していない．
図-10 橋脚中心鉛直断面における流れの比較
この点については今後の課題である．
図-11 は，橋脚前面の河床付近の流れについて実験値
1
U/U
UU/U
Ux/U0=1
x/U0 0U: -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0=1と BVC-EWL 法，BVC-DWL 法による計算値を比較した
0.5
ものである．実験は，橋脚前面の河床極近傍において下0.4
Exp.
降流が発生し，逆流域が薄く広がっている．いずれの解
0.3(Roulund et析結果も，水面流速の低下の影響によって構造物極近傍
0.2al., 2005)の下降流と底面付近の逆流がやや大きく計算されている．
0.1
平衡粗面抵抗則を用いた BVC-EWL 法では，底面 zb にお
zb
ける鉛直方向フラックスを無視するため逆流域が厚くな
0zt
り，渦層内で河床表面(z=zt)に近づくほど逆流流速が大0.5きくなる実験結果の特徴が説明できていない．BVC0.4
DWL 法では，逆流域上流部(x/D=1 付近)で実験結果に0.3はない渦層流速と粗度層流速が流下方向に再加速していCal.
0.2(BVC‐EWL)
る領域がある．この理由のひとつには，渦層内の複雑な流れを一層の乱流境界層モデルでは十分に表現できてい0.1
zb
ないことが考えられる．しかし，BVC-DWL 法は，BVC0zt
EWL 法では考慮できない底面の下降流と渦層以下の流0.5速分布の変形を考慮でき，逆流方向の運動量が河床表面0.4付近まで輸送される渦層内の複雑な流速分布の特徴を説Cal.
0.3
明できている．
(BVC‐DWL)
図-12 に，BVC-EWL 法，BVC-DWL 法による橋脚前面
0.2の底面流速分布の比較と，BVC-DWL 法による粗度層の0.1
流速分布を示す．ここでは参考のため，SBVC-EWL 法
zb0ztによる底面流速分布も示している．また，平衡粗面抵抗
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
x/D
則を用いた SBVC-EWL 法，BVC-EWL 法では粗度層流速
図-11 橋脚前面の河床付近の流れの比較
分布のパターンは，底面流速の場合と同じであるため，本論文では EWL 法を用いた解析による粗度層流速は示解析法による BVC-EWL 法と BVC-DWL 法の底面流速をしていない．SBVC-EWL 法による底面流速は鉛直方向比較すると，BVC-EWL 法の方が BVC-DWL 法に比べて流速が考慮されていないため，渦度が集中し伸長する橋
やや逆流が大きく計算されているが，全体的な底面流速
脚頂部で逆流が大きくなり，放射状の底面流速場が計算
分布の傾向には大きな差はない．しかし，BVC-DWL 法
される 19)．鉛直方向流速が底面流速に与える影響を評価の粗度層流速を見ると，流れのパターンは底面流速の場できる一般底面流速解析法では橋脚前面の底面流速分布合と大きく異なり，底面流速と比較して逆流域と流速のの解析結果はかなりの程度改善される 19)．一般底面流速
場所的変化がかなり大きくなり，洗掘力が増加している．

55

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.

以上より，構造物前面の水衝部では下降流によって河床極近傍の流れの非平衡性が大きくなり，底面流速と粗度層流速は大きく異なる．このため，河床の掃流力を評価するためには，非平衡粗面抵抗則が重要である．

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2
0

0.2

SBVC
‐EWL

0

BVC
‐EWL

-0.2
(3) 礫床河川における水衝部の三次元流れの解析－強 -0.2
い非平衡性のある三次元流れ－
-0.4
-0.4
礫床河川では，コンクリート護岸は河岸を直接防護す
-0.6
-0.6
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
る一方で，最大洗堀深の増大や下流部に新たな水衝部を-1-0.8 -0.6 -0.4 -0.20(a) 底面流速(SBVC-EWL)(b) 底面流速(BVC-EWL)
6)形成する等の問題が指摘され ，常願寺川では巨石付き
0.6
0.6
盛土砂州による河岸防護工法が検討されている49)．この
0.4
0.4
ような水衝部対策を適切に行うためには，礫床河川の水0.20.2
衝部の局所流場を再現出来る解析法が必要となる．しかBVC
BVC
し，現地スケールの詳細な流速分布は計測することが困
0
0
‐DWL
‐DWL
難であり，護岸近傍の激しい局所流場の流速計測データ -0.2
-0.2はほとんどない．近年，輿石ら26),50)は解析法の検証デー
-0.4
-0.4
タの取得と堤防際水衝部の三次元流れ構造の実態把握の-0.6
ために，ADCPの個別のビームを用いた構造物周辺の局 -0.6
-1-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.20
所三次元流速分布の計測法を開発し，2011年常願寺川現(c) 底面流速(BVC-DWL)(d) 粗度層流速(BVC-DWL)
地実験において詳細な三次元流速データを計測した．計：ubx/ub0＝2 ((a)-(c)のベクトル)， ：urx/ur0＝2 ((d)のベクトル)ub0：接近流速の底面流速，ur0：接近流速の粗度層流速
測結果とBVC法による解析結果との比較では，礫床河川
横軸，縦軸の単位:(m)の水衝部の二次流強度が実測値の半分以下で計算される
図-12 橋脚前面の底面・粗度層流速分布の解析結果の比較など，局所流解析におけるBVC法の再現性に問題がある
ことが明らかとなった26),27)．第4章で示したように，河は，水衝部の流れを精度よく計測出来，水深が深くなる
床の粗度が大きい場合，局所流において粗度層内の非平ほど，従来の4本のビームを平均する計測法と比較して衡性が無視できなくなる．常願寺川現地実験では，河床流速計測の精度が向上する50)．断面c,eにおいては水面付
表層は大きな混合粒径河床材料によって構成され，複断面蛇行流路の水衝部では，底面近傍で複雑な流れとなり， 近の計測不能領域を補間するため，電磁流速計を用いて平衡粗面抵抗則が適用できないと考えられる．ここでは， 水面から0.15m付近の計測を行った．図-13の底面流速は
ADCPにより計測された水深の70%の深さの流速，水面
常願寺川現地実験にBVC-DWL法を適用し，礫床河川の流速は電磁流速計により計測された流速である．ADCP
水衝部の三次元流れへの適用性を検証する．
による局所流計測に関する詳細は文献26),50)を参照にされ
常願寺川現地実験と流速計測方法の概略を示す．実験たい．
水路は流路全長170m，堤間幅20m，縦断勾配1/200の中に解析の境界条件は，上下流に観測水位を与え，底面粗
幅4.0m，深さ0.7mの低水路を有する複断面蛇行水路であ度は河床表層に存在する礫径の範囲内で，実測の水位縦る．コンクリート製の垂直壁の護岸を上流，下流の水衝
3断分布や流量，流速分布を説明するようにks =0.10mを用部に設け，流量6.9m /s(本解析による推定値)の条件で，いた．巨石設置個所はks = 0.4mを与えた．対数分布則の上流の水衝部(図-13，断面a-g)で局所三次元流の計測が原点位置は，z0=0.3ksとした．解析地形は縦断幅0.5m，行われた．図-13に示すように水衝部の直下では巨石付
横断幅0.25mのデカルト座標メッシュに5.0m毎のTS測量
盛土砂州が設置され，洗掘・侵食が進行しないようにな
51)
結果とADCP河床形状測定結果を用いて作成した26)．本っている．実験の詳細は文献を参照にされたい ．流速研究では，平衡粗面抵抗則を用いた底面流速解析法
計測は，図-13に示す流速計測範囲において，縦断方向(BVC-EWL)による同一条件の解析を行い，非平衡粗面抵に可動式のレールを設置し，RD Instruments社製Workhorse
抗則を用いた解析(BVC-DWL)と比較し，非平衡粗面抵
ADCP Rio Grandeを固定した土台をレールに設置し，それ抗則をBVC法に導入することの有効性を検討する．
を左岸から右岸方向に牽引しながら断面の三次元流速場
26),50)
図-14にBVC-DWL法による水面流速と底面流速分布をを計測した ．この流速計測では，ADCPのビームの示す．図-13の実測結果と同様に，水面近傍の流速は外広がりによる局所流速計測の精度低下を防ぐために， 4
岸方向に向かうが，底面流速は曲りによる二次流と巨石方向のビームの流速データを個別に取得し，計測後にこによる水撥ねにより内岸方向に向かっている流れ場が説
れらを重ね合わせて三次元流速を求めている．この方法

56

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.
(m)-2
明できている．図-15はBVC-EWL法とBVC-DWL法によ2 (m/s)10.2 10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4(m)
護岸る底面流速と粗度層流速の分布である．底面流速分布を0巨石比較すると，図中の〇で示す流線の曲りと巨石の影響が2
強い範囲において，底面付近で内岸側に向かう流れは
4
BVC-DWL法の方がBVC-EWL法の結果より顕著に表れて6いる．しかし，その他の場所では大きな差は無く，全体
8的な底面流速の流れの特徴は同様である．一方，粗度層内流速を見るとBVC-DWL法の方が明らかに二次流の影
10
g
f
e
d c
b
a
響を受けた内岸方向への流れが大きく，BVC-EWL法の
110
105
100
95
90
(m)
計算結果と大きく異なる．図-11, 12で示したように構造
図-13 常願寺川現地実験における計測断面と水衝部
物近傍で下降流が発達する流れでは，粗度表面まで流速の水表面(赤)・底面(黒)流速の実測結果 26)(m)
分布が変形する．さらに，河床粗度が大きい礫床河川の-22.0 (m/s)
場合では粗度層にも運動量が輸送され，図-15のBVC0
DWL法のように底面流速と粗度層流速の差が大きくな
2
り，3章で示したように礫床河川の局所流では粗度層内4の流れの非平衡性が強く，無視できないことを示してい6る．ただし，局所流場における粗度層流速の解析結果の8
妥当性についてはさらに検証する必要がある．
図-16, 17に各計測断面における実験値とBVC-EWL法， 10
BVC-DWL法による計算結果の比較を示す．計算結果は
110
105
100
95
90 (m)
河床面を粗度層の上面ztとし，粗度層上面ztから水面zsま図-14 BVC-DWL による水表面(赤)・底面(黒)流速の解析結果
BVC-EWL:
1.0 (m/s)での流速を渦層を含めて示している．また，底面の位置
BVC-DWL:
1.0 (m/s)
zbは下から三番目のベクトルの位置である．実測結果を 0(m)見ると，水衝部に接近する断面a，bでは低水路右岸側の2底付近に右回りの弱い二次流が形成されている．護岸水
衝部となる断面c～eでは断面全体に右回りの大きな二次 4流が発達している．特に巨石付き盛土砂州直上流面の断6面eでは，水撥ねにより底面付近に強い左岸方向への流れが生じている．その下流の断面f，gでは，主流は巨石 8
110
105
100
95
90
(m)
付き盛土砂州際に寄り，底面近傍では強い左岸方向流速(a) 底面流速(z=zb)
BVC-EWL:
0.5 (m/s)を持つことによって，図-13に示した巨石群前面の局所
BVC-DWL:
0.5 (m/s)(m)
洗掘が形成される．BVC-EWL法の解析結果を見ると，
0
護岸水衝部の断面全体の二次流と巨石付き盛土砂州前面の水撥ねによる流速分布の特徴を説明している．しかし， 2
接近流速の底面付近の二次流が計算できていないことや 4(断面a，bの底面付近)，水衝部の二次流強度(断面c～e)や
水撥ねによる左岸方向への底面流速の大きさ(断面f，g) 6
は実測結果と比べると小さく，主流速分布の外岸への集 8
110
105
100
95
90
中も十分でない(断面c～g)ことなどの違いがある．BVC(b) 粗度層流速(zt zr <z< zt)(m)
DWL法では，BVC-EWL法と同様に接近流速分布(断面a，図-15 平衡粗面抵抗則と非平衡粗面抵抗則を用いた場合のb)を再現できていない．また，水衝部上流の護岸壁近傍
水衝部の底面流速と渦層流速の解析結果の比較(b，cの護岸前面)の流れが実験と異なる．計算結果では，この領域は主流速が小さく，反時計回りの非定常の二次改善されている．特に巨石付き盛土砂州の影響を強く受流が発生したことから，複雑な乱流場が形成されており， けている断面e～fにおいて，断面eでは低水路中央付近
このような領域では橋脚背後の剥離域と同様に，本解析の二次流セル中央の下降流と実測結果と同程度の底面流法では十分でないと考えられる．しかし，全体的に見て速が再現され，断面f，gでは，巨石群前面では底面近傍
二次流強度及び二次流による主流速分布の外岸方向へのに速い主流速と左岸方向への強い底面近傍流速が説明さ
移動については，BVC-DWL法はBVC-EWL法と比較してれているなど，局所流場の解析精度が改善されている．

57

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.
11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

観測
5

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

4

3

2

1

0
11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

BVC‐EWL
5

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

4

3

2

1

4

2

1

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

BVC‐EWL

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

3

4

5

0

BVC‐DWL
5観測
54

BVC‐DWL504(a) 断面 a
11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

電磁流速計

観測
5

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

4

3

2

1

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

4

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
3

2

1

4

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

3

2

1

4

4

(c) 断面 c
流下方向流速(m/s)：

3

2

1

0

3

2

1

0

2

1

0

BVC‐DWL
50

4

BVC‐EWL
50

BVC‐DWL
5観測
50

BVC‐EWL
5(b) 断面 b

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

3

(d) 断面 d

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2

二次流流速：

2 (m/s)

横軸，縦軸の単位(m)図-16 水衝部の流れの三次元構造の計測結果と解析結果(BVC-EWL，BVC-DWL)の比較 (断面 a-d)

構成する方程式がどのような流れ場で，どのような水理量の解析で重要となるのかについて検討した．以下に本研究で得られた主要な結論を示す．
1) 粗度の多重スケール性を考慮するために，流れの解析
領域を，(大きな粗度の影響を解析する)主計算領域，
河床表面の薄い渦層，粗度表面の抵抗を支配する粗度層及びその下の浸透層に分けた．本解析法は，主計算領域の流れを解く一般底面流速解析法(BVC法)と，渦層，粗度層の流れを解く非平衡粗面抵抗則(DWL)の解析法から構成されている．渦層，粗度層の運動方程式
は平衡状態において，従来の粗面抵抗則に帰着するよ
うに導出した． ただし，粗度層流速の大きさや粗度
層厚さについては検証できておらず，浸透層の解析法と合わせて今後の課題である．
2) 渦層，粗度層の流れの非平衡性は，相対粗度ks/hが小さくなるほど渦層で強く，粗度層で弱くなる．相対粗度ks/hが小さい条件(ks/h<10-3)では，s>10-3から渦層の非これは図-15に示したように，水衝部や巨石による水撥ねが生じる箇所では渦層と粗度層内の流れの非平衡性が強く，平衡粗面抵抗則では十分に評価することができな
いためである．既往研究26) の段階では，本実験に対する局所流の不一致は，接近流速(断面a，b)の再現精度の問題が主原因と考えられていたが，以上のように粗面近傍の非平衡流れを力学機構を運動方程式と連続式に基づいて考慮することで，礫床河川の局所流の解析精度が改善されることが明らかとなった．

6. 結論
本研究では，河床近傍の流れの非平衡性を考慮した
一般底面流速解析法(BVC-DWL法)を開発し，構成する方程式の各項のオーダー比較や種々の流れへの適用を通して，本解析法の有効性と妥当性を示すとともに，

58

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.
11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

が必要である．一方，粗度層内の非平衡性は，相対粗度ks/hが大きい条件(ks/h>0.1)では，s>10-2から無視できなくなるため，礫床河川の局所流解析においては渦層の非平衡性に加えて粗度層の非平衡性も考慮する必要がある．
3) 本解析法は，開水路粗面上の加速する流れについて，
底面近傍の大きな流速分布領域などを再現するのに課題を残すが，減速する流れについては実験の流速分布をよく再現できることを示した．また，緩やかな加速，減速流などの非平衡性の弱い流れにおいては，浅水流の仮定と渦層以下の流れの非平衡性の影響は解析に現れないことが確認された．
4) 橋脚周りの局所流解析において，平衡粗面抵抗則を用いた一般底面流速解析法(BVC-EWL法)は，橋脚前面の馬蹄形渦による逆流域を厚く計算し，河床に近づくほど逆流の強さが強くなる底面近傍の流れを計算できな
い．非平衡粗面抵抗則を用いたBVC-DWL法では，薄く発達する逆流域と河床近傍の強い非平衡流れの実験の特徴を再現できる．橋脚前面の粗度層内の流速分布
は主計算領域の底面流速分布と大きく異なることから，橋脚周りの局所洗掘解析における河床砂に作用する流体力の評価には非平衡粗面抵抗則が必要である．
5) 現地礫床河川の水衝部の局所流解析では，BVC-EWL
法で課題であった弱い二次流，主流速分布の小さい変形は，BVC-DWL法を導入することによって改善された．さらに，BVC-DWL法による粗度層内の流速分布の解析結果がBVC-EWL法に比べて大きく異なり，礫床河川の局所流では河床近傍の非平衡性が大きいことを示し，礫床河川における局所流や河床流速の解析には三次元的な流速場の評価と同様に非平衡粗面抵抗則の導入が必要であることを示した．

電磁流速計

観測
5

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

4

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

BVC‐EWL
5

11.6
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4

4

BVC‐DWL54(e) 断面 e
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
10.2
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
10.2
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
10.2

観測
5

4

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

BVC‐EWL
54

BVC‐DWL
54(f) 断面 f
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
10.2

観測
5

4

11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4 BVC‐EWL
10.2
5
11.4
11.2
11
10.8
10.6
10.4
10.2

3

2

1

謝辞：本研究の一部は，科学研究費補助金基盤研究(C)（課題番号：26420505，代表：内田龍彦）の助成を受けた．ここに記して謝意を表する．
4

3

2

1

付録1 渦度の生産項の導出
BVC‐DWL5432

渦度方程式(7)の生産項を壁法則を用いて導出する． xi
方向運動方程式の乱流によるせん断力項をブシネスク近似を用いて以下のように表わす．

1(g) 断面 g
二次流流速：
流下方向流速(m/s)：

2(m/s)

横軸，縦軸の単位(m)0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2

Ti 

図-17 水衝部の流れの三次元構造の計測結果と解析結果(BVC-EWL，BVC-DWL)の比較 (断面 e-g)   ui u j vt
x j   x j xi (A1)

ここに，本研究では乱れの等方成分による応力は圧力として取り扱い，せん断応力としては非等方成分のみ取り扱う．以下，説明を簡単にするために，y方向渦度

平衡性が無視できなくなる．このため，砂河床の局所洗掘解析においては渦層の非平衡性を考慮した解析法

59土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.

について考える．せん断力項の回転をとった渦度方程式の乱流拡散項を式(A2)で表す．

F
F
T T FTy  x  z  xy  yy  zy
z
x
x
y
z

Py  vt bvt b  u* zb   u*hz b  C p zb vtbhPy  C p vtb

(A4)

z



vt  xz vt  zzz v t
x vt

(A5)

である．
式(A2)の第三項を水深積分すると渦度の生産項が得られる．水面を介した渦度フラックスはゼロであり，河床近傍では式(A5)の第三項は他の項に比べて小さく無視できると考えると，渦度の生産項は，

 Fzy     v    dz  vt b  y    t   xz Py   z  z b  z b  vt  bzb h y u x
 x h Px  Rx tyRx  u sx s  ubxb  (A6)h y u x
y

(A7)

(A8)

底面近傍の渦度の鉛直微分は対数分布則を用いて，

  y  u    *2  z b z b (A15)  u x  1 22
hux  
usx  ubx
y  z  2 y

 (A16)となる．以上より，式(7)では横断方向流速勾配のみか
らは縦渦は発生しない(本解析法では直線流路における第二種二次流が計算できないことを示している)．このことは数値解析により渦度方程式を解く際には，数値的に鉛直回転項と水平回転項が一致する離散化方法が必要となる．即ち，渦度方程式を離散化した式が式(A15)，(A16)の変形を満たすようにしなければならない． 具体
的には，以下の三つの条件を満たすように離散化した．
・式(A16)の最後の式変形を満たすため，渦度の鉛直回
転項の水表面流速と河床面流速は回転項の離散化点の平均値にする必要がある．
・式(A16)を満たすため，渦度の空間補間には水深積分
された渦度(流速の次元)を用いる必要がある．
・式(A15)と式(A16)を一致させるため，鉛直方向渦度は
水平回転項の離散化点と同じ点で評価する必要がある．

であるため，式(A6)は以下のように変形できる．

   v Py  vt b  y   t b  ybzb
 z b1 
2
2
u sx  ubx
2 yと表される．一方，鉛直方向流速がない状態においては，式(A14)の水平拡散項は，と表すことができる．ここで，渦層内において平衡状態を仮定し，対数分布則が成立するとすると，

vt b  u* z b

(A14)

ここで，鉛直回転項は，zs  xz   u        yb ,
 vt b  z b

(A13)

h

渦度方程式(7)の回転項の適切な離散化方法を検討するため，離散化式が数学的に満たさなければならない
式を導出する．まず，横断方向(y方向)に粗度や河床高が変化するが，縦断方向(x方向)には変化しない流れ場を考える．また，y方向流速，x方向渦度はゼロとすると，x方向渦度方程式は式(A14)で表される．

と簡略化する．これらは渦度の水平乱流拡散項として評価される．一方， Fzy については，

 y ybe   yb

付録2 渦度方程式の回転項の離散化法

vt  y  yFzy  vt

(A12)

h

となり，式(17)の第一項の乱流拡散による渦度の生産項が得られる．

w  vt  y (A3) u    u vt   vt
 2vt
x    xz 
x  x  z   u    w vt   vt
 vt
 vt
z 
z  yx  x  yFyy 

(A11)zbが得られる．ここで，底面近傍の渦粘性係数(vt)bとなる
等流状態の水深平均渦粘性係数vtbを定義すれば，(A2)

水平拡散項Fxy，Fyyについては，渦動粘性係数の水平分
布は小さいとして，

Fxy 

 ybe   yb

(A9)と表せる．また，摩擦速度に対応する底面近傍の渦度を平衡状態の渦度として定義すると，平衡渦度は，(A10) ye b   u*  z  bと表せる．なお，式(18)は等流の流速分布を式(14)としているために式(A10)と異なる式形となっている．式(A8)～(A10)より，

60

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 71, No. 2, 43-62, 2015.

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(2014. 10. 29 受付)

A NEW CALCULATION METHOD FOR LOCAL THREE DIMENSIONAL FLOWSBY USING THE NON-HYDROSTATIC DEPTH INTEGRATED MODEL(BVC METHOD) WITH DYNAMIC WALL-LAW FOR ROUGH BED
Tatsuhiko UCHIDA and Shoji FUKUOKA
The general Bottom Velocity Computation method (BVC method) has been proposed to calculate vertical velocity and pressure distributions within the frame work of two-dimensional computation method toevaluate multi-scale phenomena of flood flows. This paper derived the dynamic rough wall law (DWL)
composed of continuity and momentum equations for vortex and roughness layers and developed BVCDWL method to take into account non-equilibrium fluid motions and flow exchanges near the bed in the
BVC method. The applicability of the BVC-DWL method was discussed for flows with relative roughness scales and shallowness parameters based on the momentum equations for DWL. The adequacy of the
BVC-DWL method was indicated through the applications to three dimensional flows around structuresin the laboratory and field experiments.

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