中学１年３組

数学科学習指導案
指導者

大谷

由香

【本時でめざす子どもの姿】
正多面体の面の形や数，辺や頂点の数に着目し，分類・整理しながら，正多面体が５種類しかないことを他者に分かりやすく説明する姿【具体的な手立て】
ジオフィクスを使い，自分の作った模型を多面体のもつ様々な特徴で分類・整理する活動を行う。正三角形と正方形の２種類に限定して作った多面体に出会わせることで，図形のもつ性質に着目できるようにする。また，前時に立方体の展開図の学習を行い，それを根拠に１つの頂点に集まる面の形や数，辺や頂点の数に着目し，説明できるようにする。
「他の形からは正多面体は作れないか」「なぜ５種類しかないのか」など授業の中で生まれた問いや予想を共有し，ジオフィクスを使いながら根拠を明らかにして伝え合う活動を行う。
１

単元名

正多面体の秘密を探ろう

２

単元のねらい－空間図形－

観察，操作や実験などの活動を通して，空間図形を直線や平面図形から構成されているものととらえ，空間図形の性質について論理的に考察する能力を伸ばす。
３

授業の構想

(1) 文字の式の学習後に「碁石の総数」を題材に課題学習に取り組んだ。実際に碁石を使って正三角形の形に並べ，そのときの碁石の総数を求めていく活動を行った。正三角形の１辺となる部分の碁石の数を３個，４個，・・・と変えていくと，

図１

碁石の総数が規則的に変化していくことに着目し，「 １辺に並べた碁石の数と総数にはどんな関係があるのか」という問いが生まれた。そこで「正三角形の１辺にｎ個の碁石を並べたときの碁石の総数を求めよう」という課題を設定した（図１）。授業のねらいに迫るために，「その（ｎ－１）は何を表しているのか」と問いかけ，図と式を関連させながら説明するように促した。多様な考え方が発表された後，「似ている考え方はあるか」と問いかけると，生徒たちは式の形や碁石の図の囲み方などの特徴をもとに分類していった。
「ｎが１つしかないので代入して確かめやすい」「 図に重なりがないのでわかりやすい」など価値付けする活動につながった。その中で，「１＋２（ｎ－２）＋ｎの式は同じだけど囲み方が違うのはなぜか」という生徒の発言から，その図２

式と図に注目した（図２）。式の２（ｎ－２）の部分の表している意味の違いやどちらの囲み方が美しいかなどを議論し，式のもつ意味を考えるきっかけになった。授業のふりかえりでは，「同じ式でも違う考え方があったので面白かったです。正三角形の考え方が正方形や正五角形でも使えるのかやってみたいです」とあり，その後の課題として，正三角形と正方形を組み合わせて並べたとき（家の形）の碁石の総数を求めるレポート作成を行った。このような姿こそ，
本学校園算数・数学科が考える問いをもち，主体的に追求する姿の一つだと考える。本単元でも，正多面体の面の形や数，辺や頂点の数に着目し，分類・整理しながら，正多面体が５種類しかないことを他者に分かりやすく説明する姿を期待したい。
(2) 本単元では，観察，操作や実験などの活動を通して，図形についての直観的な見方や考え方を深めることを中心にしながら，論理的に考察し表現する能力を培っていく。小学校算数科において，身近な立体について観察したり，図形の構成要素に着目して分類したりする活動などを通して，立体図形についての理解を深めてきている。これらの学習の上に立って，小学校算数科で立体図形として扱っていた対象を中学校数学科では，空間における線や面の一部を組み合わせた空間図形として扱うことを意識していく。
第１次では，まず生活の中にある立体を探す活動を行う。箱，水筒，ボール，鉛筆，クラッカーなど実際にその具体物を持ち寄り，特徴により分類・整理していく。
第２次では，模型の構造に着目して授業を展開していく。直線や平面の位置関係を決定するための条件や，回転体や投影図など，生活の中にある具体物を用いて説明する活動を行う。
第３次では，正多面体の秘密を探る活動を行う。実際に自分の手で模型を作るための教具としてジオフィクス（図３）を用いる。

図３

第３次９時では，立方体の展開図について扱う。ジオフィクスの模型を崩し展開図のように開く活動を行うことで，様々な展開図ができる。自分と友達の展開図が違うことから，「立方体の展開図は何種類あるのだろうか」という問いが生まれる。これを学級全体で共有し，課題とする。追求する場面では，「他にはないのか」と問いかけ，たくさん見付けるように促していきたい。また手際よく，重なりや不足のないように展開図を見付けることができるように「展開図にきまりはないのか」と問いかけ，ずらす，回す，裏返すなどの既習事項を使って，展開図が 11 種類しかないことを説明する姿を期待したい。ふりかえりでは「正方形以外のピースで多面体を作り展開図を考えてみたい」「立方体のような多面体は他にもあるのか」などの生徒自ら解決したい願いや問いを取り上げていきたい。
第３次 10 時では，正三角形と正方形のジオフィクスを使って多面体を作る活動を行う。正多面体の定義には触れず，「同じ形のピースだけを使って多面体を作ろう」と投げかけ，まずは自由に作る時間を保障する。正三角形と正方形の２種類に限定して作った多面体に出会わせることで，図形のもつ性質に着目できるようにする。また，作る活動の中で生徒が「この多面体の名前は何か」「この多面体は同じ仲間なのか」など生徒の問いが焦点化できると考える。
第３次 11 時（本時）では，前時にもった生徒それぞれの問いを共有し，正多面体の定義を確認する。前時に作った多面体を定義に基づいて正多面体かどうか分類していく。授業はグループで自分たちの作った多面体を観察したり，ジオフィクスを操作したり，さらに正多面体を作ったりしながら進める。個人で考えたり、それを友達に伝えたり、気づきを共有したり、ジオフィクスを使って複数で確認したりすることでがきるのでグループで行うことは有効であると考える。「他には正多面体はないのか」という生徒の問いから，「正多面体は何種類あるのか考えよう」という課題を設定する。授業のねらいに迫っていくために，まず「正方形からは立方体しかできないのか」と問いかけ，生徒の思考に方向性を与える。立方体の展開図の学習（前時）を根拠に，１つの頂点に集まる面の数や角度などを使って，正多面体が正方形からは立方体しかできないことを説明していく。これをきっかけに正多面体の面の形や数，辺や頂点の数に着目できるようにする。正三角形からできる正多面体を追求する際には，闇雲に探すのではなく，１つの頂点に集まる面の数や角度を変化させながら規則的に追求していく姿を期待した
い。そして，学級全体で正三角形からは正四面体，正八面体，正二十面体，正方形からは立方体ができることを確認する。その後，生徒は「正四面体，正立方体（正六面体），正八面体ができるから，正十面体や正十二面体も存在するのではないか」「違う形からも正多面体ができるのか」「正五角形からも正多面体が１つできるはず」「正五角形からは正何面体ができるのか」「正六角形からはできないと思う」などの新たな問いや予想をもち，主体的に追求していく。正五角形と正六角形のジオフィクスを渡し，実際に模型を作ったり，できないことを説明したりする場を設定する。
「正七角形ではどうだろうか」と問いかけることで，正六角形での説明を使いながら正六角形以上の多角形からは正多面体ができないことを説明していく姿を期待したい。
そして，生徒がジオフィクスや図，式を使って，正多面体がなぜ５種類しかないのかを根拠を明らかにして説明しようとする授業展開を目指していきたい。また，「 ６種類目は作れないのか」「なぜ５種類しかないのか」などと問いかけ，正多面体が５種類しかないことを確認する。
次時では，「正多面体の秘密を探ろう」と題してレポートを作成する。本時の学習である正多面体が５種類しかないことを説明したり，頂点と辺の数，面の数に着目しオイラーの定理について調べたり，立方体の展開図を利用して，正八面体の展開図も 11 種類しかないことを説明したり，立方体と正八面体の関係から，正十二面体と正二十面体にも何か関係はないのかと追求したりする姿を期待したい。
４

展開計画（１節立体と空間図形

次１時

２３

全１３時間

本時１１／１３）

主な学習と具体的な学習・内容◇追求する子どもの姿○いろいろな立体について調べよう
１ ・ 生 活 の 中 に あ る 立 体 を 持 ち よ り ， 仲 間 分 ◇ 生 活 の 中 に あ る 身 近 な 立 体 を 観 察 し ，特 徴 で 仲 間 分 け をけをする。
する。
２ ・面の形，辺や頂点等から立体を分類し， ◇いろいろな視点や方法で分類，整理する。
仲間分けをする。
３ ・立体を観察しながら，角柱や角錐等の特徴を理解する。
４ ・角柱，円柱，角錐，円錐の模型から，展 ◇立体の面の形や面と辺の関係などの特徴を見付ける。
開図や見取図で表す。
○さまざまな見方で立体をとらえよう
５ ・ 平 面 を 決 定 す る 条 件 に は ど ん な も の が あ ◇ 生 活 の 中 に あ る 具 体 物（ 模 型 ，三 脚 な ど ）を 用 い て ，自るのか調べる。
分の言葉で説明する。
６ ・ 直 線 や 平 面 の 位 置 関 係 に は ど ん な 場 合 が ◇ 生 活 の 中 に あ る 具 体 物（ 模 型 ，す だ れ ，高 架 ，ノ ー ト パあるのか調べる。
ソコンなど）を用いて，自分の言葉で説明する。
７ ・立体を面の平行移動や回転移動の結果と ◇生活の中にある具体物（ドーナツ，壺など）を用いて，し て と ら え ，角 柱 や 錐 体 の 特 徴 を 見 直 す 。 自 分 の 言 葉 で 説 明 す る 。
８ ・ 立 体 の 投 影 図 を 理 解 し ， 立 体 に つ い て の ◇ 生 活 の 中 に あ る 投 影 図（ 住 宅 の 設 計 図 ，車 の カ タ ロ グ な見方を深める。
ど）を探す。
○正多面体について探ろう
９ ・ ジ オ フ ィ ク ス を 使 っ て ， 立 方 体 の 展 開 図 ◇ 立 方 体 の 展 開 図 が 11 種 類 あ る こ と を 説 明 す る 。
を考えよう。
10 ・ジ オ フ ィ ク ス を 使 っ て ，多 面 体 を 作 ろ う 。
⑪ ・正多面体は何種類あるのか考えよう。 ◇多面 体と正多面体の 違いを正多 面体の定義に基 づいて分類し，正多面体であることを説明する。
◇ 正 多 面 体 の 面 の 形 や 数 ，辺 や 頂 点 の 数 に 着 目 し ，分 類 ・整 理 し な が ら ，正 多 面 体 が ５ 種 類 し か な い こ と を ，根 拠を明らかにして他者に分かりやすく説明する。
12 ・ 正 多 面 体 に つ い て レ ポ ー ト を か こ う 。 ◇ 頂 点 ， 辺 ， 面 の 数 に 着 目 し オ イ ラ ー の 定 理 を 調 べ る 。
◇ 立 方 体 の 展 開 図 を 利 用 し て ， 正 八 面 体 の 展 開 図 も 11 種類しかないことを説明する。
◇ 正 六 面 体 と 正 八 面 体 の 関 係 か ら ，正 十 二 面 体 と 正 二 十 面体にも何か関係はないかと追求する。
13 ・ レ ポ ー ト 発 表 会 を し よ う 。

５

本時の学習

(1) ねらい正多面体の面の形や数，辺や頂点の数に着目し，分類・整理しながら，正多面体が５種類しかないことを，根拠を明らかにして説明することができる。
(2) 展開学習場面と子どもの取組
１．前時の多面体を作る活動を振り返り，問いを共有する。
・この多面体の名前は何か。
・この多面体は同じ仲間なのか。

教師の支援と願い・評価
・それぞれの生徒から生まれた問いを前時に作成した多面体を使って説明する場を設ける。
・個人の問いを学級全体で共有し，追求の方向性がはっきりするようにする。

２．正多面体の定義を確認する。
・定義から自分の作った模型が本当に正多面体なのか調べたり，確かめたりできるようにする。
定義 多面体のうち，すべての面が合同な正多 角 形 で ，ど の 頂 点 に 集 ま る 面 の 数 も 等 し く ， ・ 生 徒 が 作 っ た 模 型 以 外 に も 様 々 な 多 面 体 を 用 意 し て お き ，
いろいろな多面体で正多面体かどうか確認できるようにす
へこみのないもの。
る。
・頂点に集まる面の数が違うからいえない。
・「 他 に は 正 多 面 体 は な い の か 」と い う 生 徒 の 問 い を 取 り 上 げ・へこんでいるからいえない。
る。
・面の形がもとの図形と違うからいえない。
正多面体は何種類あるのか考えよう
３．正三角形と正方形からできる正多面体を ・「 正 方 形 か ら は 立 方 体 し か で き な い の か 」と 問 い か け ，１ つ追求する。の頂点に集まる面の数や角度に着目できるようにする。
・ １ つ の 頂 点 が 360°以 上 に な る と 組 み 立 て ・ 正 三 角 形 か ら で き る 正 多 面 体 を 追 求 す る 際 に は ， 闇 雲 に 探られない。
すのではなく，１つの頂点に集まる面の数や角度を変化さ
・１つの頂点に集まる正方形の数が，せながら規則的に追求していく姿を期待したい。
３ つ → 90°×３ ＝ 270°○ 立 方 体
・「 正 四 面 体 ，正 立 方 体（ 正 六 面 体 ），正 八 面 体 が で き る か ら ，４ つ → 90°×４ ＝ 360°×正十面体や正十二面体も存在するのではないか」「違う形かだ か ら ，正 方 形 か ら は 立 方 体 し か で き な い 。
らも正多面体ができるのか」「正五角形からも正多面体が１つできるはず」「正五角形からは正何面体ができるのか」「正・１つの頂点に集まる正三角形の数が，３ つ → 60°×３ ＝ 180°○ 正 四 面 体
六角形からはできないと思う」など，生徒の新たな問いや
４ つ → 60°×４ ＝ 240°○ 正 八 面 体
予想や問いを取り上げ，学級全体で共有する。
５ つ → 60°×５ ＝ 300°○ 正 二 十 面 体
６ つ → 60°×６ ＝ 360°×だから，正三角形からは３種類の正多面体 ・すぐに正五角形と正六角形のジオフィクスは渡さず，生徒から「正五角形のジオフィクスがほしい」という意見が出ができる。
るのを待ったり，「 正 五 角 形 で は で き な い の か 」と 投 げ か け
たりして，正五角形や正六角形に注目できるようにする。
４．自分の予想や新たな問いを追求する。
・正五角形と正六角形のジオフィクスを配布し，実際に模型・１つの頂点に集まる正五角形の数が，を 作 っ た り ，で き な い こ と を 説 明 し た り す る 場 を 設 定 す る 。
３ つ → 108°×３ ＝ 324°○ 正 十 二 面 形
・「 正 六 角 形 で は ど う し て で き な い の か 」と 問 い か け ，頂 点 が
４ つ → 108°×４ ＝ 432°×作れない状況に着目できるようにする。
だから，正五角形からは正十二面体でかで・「 正 七 角 形 で は ど う だ ろ う か 」と 問 い か け る こ と で ，正 六 角きない。
形での説明を使いながら正六角形以上の多角形からは正多・正六角形は２枚だと頂点が作れず，３枚だ面体ができないことを説明していく姿を期待したい。と平らになって頂点ができない。
・正六角形ができないから，正七角形や正八 ・生徒がジオフィクスの模型や図，式を使って，正多面体がなぜ５種類しかないのかを他者に分かりやすく説明できる
角 形 ，そ れ 以 上 の 正 多 角 形 か ら も で き な い 。
場を設定する。
だから，正多面体は５種類しかない。
「６種類目は作れないのか」「なぜ５種類しかないのか」「正・正三角形から正十二面体ができるとこだわ ・七角形や正八角形ではどうか」などと問いかけ，正多面体り，試行錯誤する。
が５種類しかないことを確認する。
５．本時を振り返る。
評価の観点（数学的な見方や考え方）
・正多面体はたくさんあると思っていたけど５ 種 類 し か な く て 驚 き ま し た 。 360°に な正多面体の面の形や数，辺や頂点の数に着目し，分類・整ると平面になるので，図形の角度を考えた
理しながら，正多面体が５種類しかないことを，根拠を明ら５種類しかないことも納得できました。
らかにして説明することができる。
・正多面体は，頂点に集まる面の数を考えた【評価方法 発言・ノート・ふりかえり】
ら良いことが分かりました。頂点と面に関・次回「正多面体の秘密を探ろう」と題してレポートを作成係があったので，辺の数も関係しているのすることを伝える。
か調べてみたいです。