数理解析研究所講究録
第 1989 巻 2016 年 150-160150
磁性流体界面解析における界面磁場解析再考

北海道大学大学院工学研究院

水田洋

Yo Mizuta

Faculty of Engineering, Hokkaido University

1

はじめに磁性流体の界面は，密度透磁率が異なる媒質同士が接する場所であり，磁場に感応する流体と磁場が互いに強く結合して，ほかの流体にはないような特異な現象が現れる．たとえば，磁性流体の水平界面に磁場を印加してその強度を増していくと，ある臨界強度を越えた時，平らな界面が不連続的に規則格子状あるいはスパイク集合状へと変化する．界面形状が遷移する途中の段階では様々な非線形相互作用が生じると考えられ，遷移過程の一部始終を実時間で追ってみるのは興味深い問題である．
遷移過程は，流体と磁場が強く結合して起こる時間変化の激しい現象である．このため，界面形状や印加する磁場分布に制限なく適用可能な解析方法を選ばなくてはならない．時間発展は磁場流体がそれぞれ互いの情報を取り込みつつ行うため，効率性も大事になる．また，求められた磁場や流体が物理法則を充分に満たしていることを確認しながら進める必要がある．

本研究では，これまで次のような手順を構築してきた．汎用磁場解析で導いた 3 次元界面磁場方程式を解いて，調和性と界面条件を厳密に満たす界面磁場を求める [1, 2, 3, 4, 5].

このとき，流体・真空それぞれで内部領域の磁場は求めない．界面磁場から求めた磁気応力差は，他の応力と合わせて界面応力和とする．界面応力和を Bemoulli 方程式と力学的条件より導いた界面力学方程式に用い，これを時間積分して界面変位の運動を決める [5, 6, 7].
界面力学方程式の時間積分に当たって確かめることを，(i) 与えられた界面応力和に対して数値積分が正しく行われている力$\searrow$(ii) 界面応力和自身が物理的に正しい力 1, に分けて考える．(i) に関しては，界面力学方程式から導かれたエネルギー保存則を用いる [7, 8, 9]. 界面力学方程式が正しく時間積分151
されていることを，既知の界面応力和による仕事と運動エネルギーのつり合いを調べて確かめる．(ii) に関しては，界面応力と界面エネルギー密度 (FlatSpace における界面の単位面積あたりのエネルギー) の関係を用いる [8, 9].

界面応力のうち磁気応力差と磁気界面エネルギー密度の関係は，Ampe$\backslash re$の法則 Gauss の法則を前提に導かれている．したがってさらに，(iii) 汎用磁場解析で求めた界面磁場は磁場法則を満たしている力$\searrow$も確かめておかなければならない．本論文では，磁性流体界面現象の数値解析を行ったとき，結果の妥当性を評価するための観点 (i),(ii),(iii) を提示する．

2 時間積分は正しいか？
界面に沿う一般化座標 $R=(X, Y)$ の関数である界面変位$\zeta(R)$. 界面応力和 $S(R)$ を，波数成分 $k$ の周期関数の重ね合わせで次のように表す．
$\zeta(R\rangle=\sum_{k}\zeta_{k}(R)$,$S(R)= \sum_{k}S_{k}(R)$.

(1)

磁性流体を非圧縮性渦なしとするとき，界面上で流体の運動方程式の界面方向成分に運動学的条件力学的条件を用いれば，与えられた鼻 (R) から$\zeta_{k}(R)$を求めるための，次のような界面力学方程式が導かれる [5, 6, 7].

$0= \sum_{k}\{\frac{\partial}{\partial t}(\frac{p}{tantakd}\frac{\partial\zeta_{k}}{\partial t})-\frac{1}{k}\nabla_{2}^{2}S_{k}\}$

ここで，$\rho,$$d,$$\nabla_{2}=(\partial/\partial X,\partial/\partial Y)$.

(2)は流体密度流体領域の厚さ界面方向偏微分，また $k=|k|$ である．
界面力学方程式 (2) の両辺に平均を$\langle\cdots\rangle\equiv(1/F)\iint_{F}$および直交性dXdY$\partial\zeta/\partial t$$\cdots$をかけて，界面 $F$ 全体で平均する．界面と表し，周期関数に対して，$\langle\zeta_{k_{1}}(R)\zeta_{k_{2}}(R)\rangle\neq 0(k_{1}\neq k_{2})$$\nabla_{2}^{2}S_{k}+k^{2}S_{k}=0$を考慮すれば，(3)$0= \frac{\partial}{Ot}\sum_{k}\frac{\rho}{2k\tanh kd}\{(\frac{\partial\zeta_{k}}{\partial t})^{2}\}+\{\frac{\partial\zeta}{\partial t}S\}$が導かれる [7, 8, 9], ここで，右辺第 1 項は運動エネルギーの時間変化，第 2項は界面応力和による仕事 (いずれも単位時間単位面積あたり) であり，(3)はエネルギー保存即を表す．界面の運動は，(2) を積分して$\zeta$の時間変化を求めれば解析できる．このとき (3) は，界齎応力和を既知とするならば，数152値的な時間積分が適切に行われたかどうかの評価基準となる．

3 界面応力は正しいか？
界面力学方程式 (2) の積分にあたり，界面応力和$S$の正しさが問題になるが，本節では，界面エネルギー密度との関係によりその検証を行うための方法について述べる．

3.1 応力と界面エネルギー密度の関係 [8, 9]
界面応力和

は，動圧大気圧勾配の効果が小さいとして省略すると，重$S$

カポテンシャル $G$$S=G+C+T,$. 表面張力 . 磁気応力差$C$$\gamma,$の和で(4)$C=-\gamma(K_{1}+K_{2})$$G=\rho g\zeta,$と表される．ここで， $g,$$T$$\kappa_{1,2}$は重力加速度表面張力係数・界面形状の主曲率である．特に磁気応力差は，接線磁場・法線磁束密度・流体/真空の透磁率 $(j=+$

界面を横切る値の跳び (真空-流体) を$H_{X,Y},$ $B_{Z},$ $\mu_{j},$ $[\cdots]$とすれば，次のように表される．
$T=-[1/ \mu_{j}]\{\mu_{+}\mu_{-}(H_{X}^{2}+H_{Y}^{2})+B_{Z}^{2}\}\int 2$.

(5)界面応力和の正しさを評価するには，界面応力和とは別に，任意の界面変位$\zeta$で界面エネルギー密度$U(\zeta)$(Flat Space における界面の単位面積当りのエネルギー) を求められるようにしておき，$\delta\zeta$

を変位の微小変化として，次の関係を確かめる．
$U(\zeta+\delta\zeta)-U(\zeta)=S(\zeta)\delta\zeta$.

(6)

このとき，(4) の各応力に対応する界面エネルギー密度は以下のようになる．
$U(\zeta)=U_{G}(\zeta)+U_{C}(\zeta)+U_{T}(\zeta)$,$U_{c=\gamma}\sqrt{1+(\nabla\zeta)^{2}}$$U_{G}= \frac{1}{2}\rho g\zeta^{2},$(6) と同様に，磁気界面エネルギー密度$U_{T}(\zeta)$と磁気応力差$\prime I’(\zeta)$.

(7)の問にも，(8)$\delta U_{T}\equiv U_{T}(\zeta+\delta\zeta)-U_{T}(\zeta)\simeq T(\zeta)\delta\zeta$のような関係が成立していなくてはならない．磁場は流体・真空両領域に分布するので，$U_{T}$

は両領域の磁気界面エネルギー密度の領域で界面移動なる．ところで$\delta\zeta_{\pm}$$\delta\zeta_{\pm}$があれば，それに伴う$U_{T\pm}$$U_{T\pm}$を合わせる．それぞれの変化の割合が応力は大きさが同じで互いに逆向きなので，$T_{\pm}$と$\delta\zeta_{+}=-\delta\zeta_{-}=\delta\zeta$

153という関係がある．以上をまとめると，$U_{T}(\zeta)=U_{T+}(\zeta)+U_{T-}(\zeta)$$\delta U_{T+}=T_{+}\delta\zeta_{\prec}.,$(9),$\delta U_{T-}=Y_{-}\delta\zeta_{-}$

(10)

,

$\delta U_{T}=\delta U_{T+}+\delta U\prime r-=T_{+}\delta\zeta_{+}+T_{-}^{\backslash }\delta\zeta_{-}=(T_{+}-T_{-})\delta\zeta=T\delta\zeta.$$(11\rangle$

したがって，磁気応力差は $T=$ 丁 –T- と求められる．
$+$

磁束密度ベクトルを $B=(B_{X}, BY, Bz)$ (BX,Y:接線成分，Bz:法線成分) とす

れば，磁気界面エネルギー密度は，単位体積当たりの磁気エネルギー$B^{2}/2\mu_{+}$を法線方向に積分して，次のようになる．
$U_{T+}$$f_{\infty}dZ\frac{B^{2}}{2\mu_{+}},$$U_{T-\equiv} \int_{\zeta}^{\infty}dZ\frac{B^{2}}{2\mu_{-}}$

.

(12)

次節で示すように，(10) を満たす簸は次の Maxwell 応力である．
$\prime r_{+}=\frac{1}{2}\{\frac{B_{Z}^{2}}{\mu_{\star}}-\mu_{+}(H_{X}^{2}+H_{Y}^{2})\},$$T_{-}= \frac{1}{2}\{\frac{B_{Z}^{2}}{\mu_{-}}-\mu_{-}(H_{X}^{2}+H_{Y}^{2})\}.$$(13\rangle$(5) の磁気応力差は，これらの差を取れば導かれる．

3.2 Maxwell 応力と磁気界衝エネルギー密度の関係 [8, 9](10) および (13) は，よく知られた，Maxwe11 応力と界面の微小移動に伴う磁場エネルギーの変化の間の関係である．本節ではこの関係を，離散化された実空間で数値解析の検証に使うことを意識しながら，波数空間の代わりに実空間において導く．ただし，煩雑さを避けるため，以下では界面が平らなFlat Space を用いる．
界面に対して垂直方向に流体領域へ伸びた無限長さの角柱を考える (Fig. 1左 .
$)$ここで，角柱の断面積を$S_{Z}$, 界面の高さを$\zeta$, 磁束密度の接線成分をFig. 1: Maxwell 応力と磁気界颪エネルギー密度の閣係を導くための，角柱領域．

154$B_{X,Y}$, 法線成分を$B_{Z}$とする．このとき，この角柱領域における磁気界面工(14)

1 行目は，(12) のままでなく，断面内平均から始まっている．2 行目では，Amp\‘ere の法則$(\nabla\cdot B)\phi$$\nabla\cross B=0$

より $B=\mu_{+}\nabla\phi^{+}$ と置き，公式 $\nabla\cdot(B\phi)=B\cdot(\nabla\phi)+$に Gauss の法則 $\nabla\cdot B=0$ を適用した．

次に，Fig. 1 右のように，界面の高さがエネルギー密度の変化$\delta U_{T+}$$\delta\zeta$だけ変化するとき，磁気界面を求めよう．この変化は，以下の 2 行目に示す

ように，角柱の体積変化 (第 1 項) ばかりでなく，磁束密度の変化 (第 2 項) によっても生じる．以後このような変化を記号$\delta$で表す．なお，下付き添え字

155
3.3 界面移動による磁場の変化
この節では，Amp\‘ere の法則と Gauss の法則から (16) を導く．Gauss の法則から導かれる以下の関係について，界面移動前後での差を取れば，(17)

ここで，1 行目では，断面形状は界面移動の影響を受けないとして， を断面積分の中に入れた．また，2 行目から 3 行目へは，以下の関係を用いた．
$\delta$(18)

4 界面磁場は正しいか？
3.1 節に示した磁気界面エネルギー密度と磁気応力差の間の関係 (8) は，3.2
節で述べたように，Amp\‘ere の法則．Gauss の法則の成立を前提としている．

したがって，数値的に求めた界面磁場もこれらの磁場法則を正確に満たしている必要がある．本節ではまず，本研究で用いてきた磁場解析の概要を示す．
その上で，求められた界面磁場が満たすべき条件を導出する．

4.1 汎用解析による界薗磁場界面形状や印加磁場分布が任意でも，調和性と界面条件を満たす界面磁場を厳密に求めるのが本解析の特徴である．ここで，流体域において，磁場$h$と磁束密度が成り立ち，Amp\‘ere の法則$b$には透磁率 $\mu j(j=+$$\nabla\cross h=0$$(+$ $)$真空 (- 各領を通じて $b=\mu_{j}$ んと Gauss の法則 $\nabla\cdot b=0$ を満たすとす

156
る．また界面では，接線磁場を$h_{X,Y}$

法線磁束密度を,$b_{Z}$,界面を横切る値の跳び (真空-流体) を $[\cdots]$ と表すとき，界面条件 $[h_{X,Y}]=0,$$[b_{Z}]=0$ が成り立つ (このことを考慮して，両領域の界面磁場を始めから区別しない).

汎用解析では，上記の条件を満たす磁場を，界面に限って次のように求める．界面磁場場$h_{X,Y}^{0}=t_{X,Y}\cdot h^{0},$す誘導場$b_{Z}$$h_{X,Y},$$h_{X.Y}^{1},$は，既知の外部印加磁場$b_{Z}^{0}=t_{Z}\cdot h^{0}/P$$b_{Z}^{1}$$h^{0}$

より直接定義できる基本と，基本場と合わせて調和性と界面条件を満たに分ける．ここで，$t_{X,Y},$$t_{Z}$

は接線および法線単位ベクト

ノレ，また， $P\equiv(1/\mu-+1/\mu_{+})/2,$ $M\equiv(1/\mu_{-}-1/\mu_{+})/2$ である．

誘導場は，3 次元界面磁場方程式 ((19) 左), または，これを書き換えた直接的な表式 (同右) から求める [1, 2, 3, 4, 5].
$(P+M\hat{G}_{Z})b_{Z}^{1}=-MG_{Z}b_{Z}^{0},$$b_{Z}^{1}=\hat{H}_{Z}(1-/\hat{H}_{Z})^{-1}b^{0}$$\{$(19)$\{$$h_{X,Y}^{1}+M\hat{G}_{X,Y}b_{Z}^{1}=-MG_{X,Y}b_{Z}^{0},$$h_{X,Y}^{1}=\hat{H}_{X,Y}(1-\hat{H}_{Z})^{-1}b_{Z}5.$

ここでは， $r$ , r’ を観測点と界面 $F$ 上のソース点の位置ベクトル，，を r’ に関する微分または $r’$ だけの関数， $\psi(|r’-r|)=-1/4\pi|r’$ -利を 3 次元 Poisson
方程式 $\Delta’\psi=\delta(r’-r)$ の基本解， $\iint_{F}dS’$ を $F$ 上の $r’$ にわたる面積分として，次のように 3 次元 Hilbert 変換演算子$\hat{G}_{I}g(r)\equiv t_{I}\cdot Cg(r’)$,$\hat{G}_{I}$または$a_{g(r)}\equiv 2J_{F}^{\backslash }dS’(\nabla’\psi)g(r’)$$\hat{H}_{X,Y}g(r)\equiv-M\hat{G}_{X,Y}g(r)$,を定義した．

$\hat{H}_{1}$

(20)

,

$\hat{H}_{Z}g(r)\equiv-(M/P)\hat{G}_{Z}g(r)$,$(I=X, Y,Z)$.

3 次元界面磁場方程式 (19) を導くためには，流体 ( ) 真空$+$磁気ポテンシャル考える (Fig. 2).

満たすとして，から$\phi^{0\pm}$$\phi^{\pm}$$\phi^{\pm},$$\phi^{\pm}$.

(21)

各領域で，と，両領域の界面が存在する前に与える基本場$\phi^{0\pm}$が共に 3 次元 Laplace 方程式

または$\phi^{0\pm}$と (20) の$\psi$を$\phi^{0\pm}$を$\Delta’\phi^{\pm/}=0,$ $\Delta’\phi^{0\pm/}=0$

による Green の定理を構成し，$\phi^{\pm}$の寄与を差し引いておくと，流体・真空それぞれの磁気ポテンシャ

:

.

::

.

Fig. 2: 流体 ( ) 真空$+$各領域の磁気ポテンシャル$\phi^{0-}$:$\mu_{0}$’.

$\phi^{\mathfrak{o}+} \mu_{0}$:(左) とそれらの基本場 0 (右).
$\pm$$\phi\pm$$\phi$

157(22)
ここで， $F,$ $T,$ $B$ はそれぞれ，界面上方境界下方境界を示す．

$\nabla\phi^{\pm}=h^{\pm}$

により磁場に対する方程式に書き換え，界面条件を適用すれば，(19) が導かれる．なおこのようにして，(19) には示されていない上方境界下方境界の影響を取り込むこともできる [5].

4.2 界面磁場の検証
汎用磁場解析では，実空間の界面上の点で接線磁場法線磁束密度を求める．これらの界面磁場の正当性は，この磁場解析を組み立てる基礎となった Amp\‘ere の法則と Gauss の法則に当てはめて確かめることになる．ただし，ポテンシャルによって磁場を記述しておけば，Amp\‘ere の法則は自動的に満たされる．したがって後は，求められた界面磁場が Gauss の法則は満たすことを確認すればよい．

汎用磁場解析では，Green の定理から導いた 3 次元界面磁場方程式を解いて界面磁場を求めるが，界面から離れた場所では求めない．このため，以下の議論で界面から離れた場所の磁場を必要とするときは，調翻場を前提として，$h_{X,Y},$$oce^{i(k_{X}X+k_{Y}Y\rangle}e^{kZ}(k^{2}=k_{X}^{2}+k_{Y}^{2})$のように法線方向変化もある磁場の波数成分を用いることにする．

2 次元 Flat Space において， $\phi_{XX}+\phi_{ZZ}=0$ を満たす磁気ポテンシャル(23)$\phi(X,Z\rangle=\frac{1}{\sin kl_{X}}\{\phi_{1}\sin k(t_{X}-X)+\phi_{2}$に基づいて，Gauss の法則を，Fig. 3 のような実空間界面直下の平行六面体領域で検討する．汎用磁場解析から求められるのは，Fig. 3 右の断面に示した，界面上の端点 $X=0,$$\phi_{1,2}$$l_{X}$における$b_{X1},$ $b_{X2},$$b_{Z1},$$b_{Z2}$である．したがって，はこれらに対応する磁気ポテンシャルの値であり，(23) は，端点ではとなるように，端点の間では波数$k$の波で内挿したことになる．

$\phi_{i,2}$

158

Fig. 3: 実空間で Gauss の法則を確認するための，:平行六面体領域．

が得られる．これより，Fig. 3 右各面の磁束は次のようになる．

$\{\begin{array}{l}\Phi_{X}(0\rangle =\frac{1}{\sin kl_{X}}(-\phi_{1}\cos kl_{X}+\phi_{2})(1-e^{-klz})\backslash ,\Phi_{X}(l_{X})=\frac{1}{\sin kl_{X}}(-\phi_{1}+\phi_{2}\cos kl_{X})(1-e^{-kl_{Z}}) ,\Phi_{Z}(0) =\frac{1}{\sin kl_{X}}(\phi_{1}+\phi_{2})(1-\cos kl_{X}) ,\Phi_{Z}(-l_{Z})=\frac{1}{\sin kl_{X}}(\phi_{1}+\phi_{2}).(1-c\circ skl_{X})e^{-kl_{z}}.\end{array}$(26)

したがって， $\Phi^{dS\cdot b=\Phi_{X}(l_{X})}-\Phi_{X}(O)+\Phi_{Z}(O)-\Phi_{Z}(-l_{Z})=0$ となり，確かに Gauss の法則が満たされている．

ところで，(24) から，界面上の端点における磁束密度の接線成分・法線成分の値$b_{X1},$ $b_{X2},$ $b_{Z1},$ $b_{Z2}$は，次のように$\phi_{1,2}$$\{\begin{array}{l}b_{X1}=b_{X}(0,0)=\frac{k}{\sin kl_{X}}(-\phi_{1}\cos kl_{X}+\phi_{2}) ,b_{X2}=b_{X}(l_{X},0)=\frac{k}{\sin kl_{X}}(-\phi_{1}\cdot+\phi_{2}\cos kl_{X}) ,b_{Z1}=b_{Z}(0,0)=k\phi_{1},b_{Z2}=b_{Z}(l_{X},0)=k\phi_{2}.\end{array}$で表されることがわかる．

(27)

159
これらを$\phi_{1,2}$

について解けば，(28)$\{\begin{array}{l}\phi_{1}=\frac{b_{Z1}}{k}=\frac{1}{ksir\downarrow kl_{X}}(b_{X1}\cos kl_{X}-b_{X2}) ,\phi_{2}=\frac{b_{Z2}}{k}=\frac{1}{ksit1kl_{X}}(b_{X1}-b_{X2}\cos kl_{X}) .\end{array}$

もし，汎用磁場解析から求めた界面磁場が (28) 第 2 辺と第 3 辺の関係を満たせば，これは，Gauss の法則と共に Amp\‘ere の法則を確かめたことになる．なお，(28) の$\phi_{1,2}$を (24) に代入して整理すれば，$\{\begin{array}{l}b_{X}(X,Z)=\frac{1}{\sin kt_{X}}\{b_{X1}\sin k(l_{X}-X)+b_{X2}\sin kX\}e^{kZ},b_{Z}(X,Z)=\frac{1}{\sin kl_{X}}\{b_{Z1}\sin k(l_{X}-X)+b_{Z2}\sin kX\}e^{kZ}\backslash \end{array}$となるが，これは，磁束密度もまた，(23) と同じく，端点でとなり，端点の間では波数$k$$(29\rangle$$b_{X1},$ $b_{X2},$ $b_{Z1},$ $b_{Z2}$の波で内挿されることを示している．

5 まとめと今後の課題
磁性流体の界面形状が，臨界強度近傍で遷移するような現象には，途中に激しく時間変化する過程がある．このような遷移過程の数値解析を成功させるためには，界面形状や印加磁場分布に制約のない方法を用意すると共に，充分な物理的考察に基づいて数値的問題に備える必要がある．

本研究では，汎用磁場解析で界面磁場および磁気応力差を求め，界面応力和を含む界颪力学方程式の時間積分で界面変位の運動を決める．このとき，数値解析の正当性は，与えられた界薩応力和に対する数値積分が正しく行われるか，界面応力和自身が物理的に正しいか，に分けて確めることになる．

前者に関しては，界面力学方程式から導いたエネルギー保存則を，後者に関しては，界面応力と界面エネルギー密度の関係を用いる．この関係が磁気応力差に対して成り立つためには，さらに，界面磁場が Amp\‘ere の法則．Gaussの法則を満たしている必要があるが，本論文ではこのための条件を示した．

今後本研究は，磁性流体界面の形状遷移のように時間変化の大きな現象の解析へ適用していくが，その際に，上述の評価基準に基づいて，数値解析の正当性を確認していく．

160
参考文献
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[9] 水田