数理解析研究所講究録 1348 巻 2003 年 199-205

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旗多様体上の軌道対応に関する領域の同一性について
京都大学大学院理学研究科

敏彦 (Toshihiko Matsuki)

松木Faculty of Science, Kyoto University.

1Introduction

G。を連結複素半単純リー群、 G、をその連結な real form とする。 $K$ をの極大コンパクト部分群とし、 K。をその (連結な) 複素化とする。 任意の G。の旗多様体 $X=G_{\mathbb{C}}/P$ 上の-軌道と-軌道との間には次の自然な 1 対 1 対応がある([M1]).
$G_{\mathbb{R}}$$K_{\mathbb{C}}$$G_{\mathbb{R}}$$K_{\mathbb{C}}\backslash X\ni Srightarrow S’\in G_{\mathbb{R}}\backslash X$$\Leftrightarrow S\bigcap_{\mathrm{I}}S’$[GM1] において.

$S\in K_{\mathbb{C}}\backslash X$$C(S)=${(1.1)

は空でないコンパクト集合

に対し、 次のような G。の部分集合を定義した。

$x\in G_{\mathbb{C}}|xS\cap S$’ は空でないコンパクト集合}

ただし、 $S’$ は (1.1) によって定まる $X$ 上の G や-軌道である。 明らかに $C$ ( S) は左-不変かつ右 KC-不変な集合である。
を蝕の Cartan 分解とする。 を ivn の 1 つの極大可換部分空間と$Y\in \mathrm{t}||\alpha(Y)|<7\Gamma/2$ for allし、)} とおく。 このとき Akhiezer{$D$が次の式で定義される ([AG])。
Gindikin 領域$G_{\mathbb{R}}$$\mathrm{g}_{\mathbb{R}}=\mathrm{f}\oplus \mathfrak{m}$$\mathrm{t}$$\mathrm{t}^{+}=$$cy\in\Sigma(\mathrm{g}_{\mathbb{C}},$$\mathrm{t}$$D=G_{\mathbb{R}}(\exp \mathrm{t}^{+})R_{\mathbb{C}}^{r}$[GM1](予想 1J$C$(S)0 は$\mathrm{C}^{1}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}$$S\neq X$$C$L6)(こおいて次のように予想した。

が nonholomorphic type のとき $C(S)_{0}=D$ であろう。 ただし、( S) の単位元を含む連結成分とする。

上には 2 つの特殊な注意 1.2 G えがエルミート型のとき -. full flagのは
閉-軌道 $S_{1}=Q/B$ と $S_{2}=w_{0}Q$ /B が存在する。 ただしはワイル群の最長元とする。
複素構造を定義するための極大放物型部分群でありの holomorphic
このとき = 任意の放物型部分群 $P\supset B$ に対し、 $S_{1}P$ と $S_{2}P$ は-軌道と呼ばれ、それ以外の-軌道はすべて nonholomorphic type とtype のがエルミー} 型でないとき定義する。 従って 閉でないすべての軌道あるいはのすべての軌道は nonholomorphic type である。
$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}$$G\text{。}/B$$Q=l\mathrm{i}_{\mathbb{C}^{\backslash }}’B$$K_{\mathbb{C}}$$7v_{0}$$G_{\mathbb{C}}/P$$K_{\mathbb{C}}$$K_{\mathbb{C}}$$G_{\mathrm{R}}$$\backslash$$G_{\mathrm{R}}/K$

200$G\text{。}/B$

このとき( $B$ は G。のボレル部分群) 上の開’
は閉 GR-軌道であるので$K_{\mathbb{C}}$-軌道$S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}$(ただ 1 っ) を考えよう。

$S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}$$C(S_{\mathrm{o}\mathrm{p}})=\{x\in G_{\mathbb{C}}|xS_{\mathrm{o}\mathrm{p}}\supset S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’\}$となる。 連結戒分$($は最近しばしば Iwasawa domain と呼ばれている。 [H]$C(S_{\mathrm{o}_{\mathrm{I}})})_{0}$[FH] Proposition 2.0.

$‘ 2)_{\backslash }$[M3] において inclusion$D\subset C(S_{\mathrm{o}\mathrm{p}})_{0}$が示され、 [GM1] Propositionの-軌道 $S$ に対して

$8.1_{\backslash }$Proposition8.3 において任意の $X=G_{\mathbb{C}}/P$ 上$K_{\mathbb{C}}$$C(S_{\mathrm{o}\mathrm{p}})_{0}\subset C(S)_{0}$が示されている。 従って、 予想垣を示すには逆向きの inclusion を示せばよい。の一般化として次のような定理が戒り立つ ([M4])。
[B] の定理$(C(S_{\mathrm{o}\mathrm{p}})_{0}\subset D)$

定理 1.3$S$

G。が単純のとき. 次の 3 つの性質を満たす G。のが存在する。
(i) G えがエルミート型のとき、,ミート型でないときは 1 つの(ii) 任意の $D$ の境界の元(iii)$B$$\overline{S}$は 2 つの$K_{\mathbb{C}^{-}}B$$K_{\mathbb{C}^{-}}B$不変部分集合両側剰余類からなり、,エル両側剰余類である。
に対し、$K_{\mathbb{C}^{-}}B$$x$$x\overline{S}^{cl}\cap S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’\neq\phi$を含む放物型部分群 $P$ について、,$S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}P\neq G_{\mathbb{C}}\Rightarrow\overline{S}\cap S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}P=\phi$

この定理によって、, 次のように $S$ が開軌道の場合の予想 1.1 が解決される。
系 1.4

証明

$S_{\mathrm{o}_{\mathrm{I}})}P\neq G_{\mathbb{C}}\Rightarrow C($$x\in\partial D\cap C$

Sop $P)_{0}=D$(SopP) とすると、$xS_{\mathrm{o}\mathrm{p}}P\supset S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’P$である。 定理 1.3 (ii) I こより$x\overline{S}^{cl}.\cap S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’\neq\phi$だから$\prime x\overline{S}^{cl}\cap xS_{\mathrm{o}\mathrm{p}}P\neq\emptyset$

であるが、 これは (iii) に矛盾する。すなわち$D$ である。
$S$

D\cap C(SopP)=\phi 、従って $C($ Sop$P)_{0}\subset$

口が閉集合 (\Leftrightarrow コンパクト) の場合、 $S’$ は開集合であるので、$C(S)=\{x\in G_{\mathbb{C}}|xS\subset S’\}$となる。 したがっ 、この場合 $C$ (S) の単位元全含む連結戒分 $C$ ( S)0 は [WW] に-軌道 $S’$ に対する) cycle space である。
よって定義された (開$\tau$$G_{\mathbb{R}}$201(複素) 余次元 1 の両側剰余類の集合をする。 閉
両側剰余類 $S$ に対し、
$R_{\mathbb{C}^{-}}^{\nearrow}B$$\{6_{j}^{\gamma}|\dot{J}\in J\}$とし、$T_{j}=S_{j}^{c^{\backslash }l}$と$K_{\mathbb{C}^{-}}P$$J’=J(S)=$ { $j\in J|S(BwB)^{cl}=T_{j}$ for some $w\in W$ }とおき-\phi for all $j\in J’\}_{0}$$\Omega(J’)=\{x\in G_{\mathbb{C}}|xT_{j}\cap S_{0}’=$

とおく
$C$

$([\mathrm{G}\mathrm{M}2])_{\text{。}}$(Sop)0 である。)(注 :G。における$S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}$の補集合は

j$\bigcup_{j\in J}T$

[GM2] C こおいてであるので、 $\zeta l(J)=$$C(S)_{0}=\Omega(J’)$

が示された([HW] との関連については [GM2], [M2] 参照)$(_{\backslash }1.2)$$\circ$[IVI4] においてさらに次を示した。
がエルミート型でないとき,.
定理 1.5余類の閉包に含まれる。

$\overline{S}$$G_{\mathbb{R}}$はすべての余次元 1 の$\mathrm{A}_{\mathbb{C}^{-}}’B$両側剰

この定理によって、 次のように $S$ が閉軌道の場合の予想 1.1 が解決される (G、がエルミート型のときは [WZ1,]$\mathrm{W}\mathrm{Z}2$$)$。

系 1.6 G、がエルミート型でないとき、 任意の $\phi\neq J’\subset J$ に対し、 } $(,]’)=D$ .
従って.. (1.2) により、 任意の閉-軌道 S\neq X=G。/P に対し、 $C’(S)_{0}=D$$\zeta$$K_{\mathbb{C}^{\neg}}$証明のとき、を示せばよい。 $x\in\partial D$ とすると、 定理 1.3 により$\dot{J}\in J’$$D=C(S_{\mathrm{o}\mathrm{p}})_{0}=\Omega(J)\subset\Omega(J’)\subset\Omega(\{\dot{J}\})$だから、$\mathrm{r}2(\{j\})\subset D$$|$$x\overline{S}^{cl}\cap S\mathrm{o}\mathrm{p}’\neq\phi$であるが、 定理 1.5 により任意の $j\in J$ [こ対し$x\overline{S}^{cl}\subset xT_{j}$であるので$xT_{j}\cap S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’\neq\phi$

すなわち$x\not\in\Omega(\{\gamma.\})$である。 よって$\Omega(\{j\})\subset D_{\text{。}}$

口注意 1.7[FH] においては小林双曲性という概念を用いて系 1.6 が証明されている。
[HN] に G えがエルミート型でないときの予想の一般的証明 1 が書いてあるが、 不備がある。

1 これに関する筆者の最新の結果 [M5] については、 研究集会の後で完成したものなので本稿では述べない。

202

2

例

例 2.1

$G_{\mathbb{C}}=SL(3, \mathbb{C})$, $G_{\mathbb{R}}=SU(2,1)$ ,$\ovalbox{\tt\small REJECT}=\{(\begin{array}{ll}* *0* *00 0*\end{array})\in G_{\mathbb{C}}\}$とする。

$\mathbb{C}^{3}$の標準基底$c_{1}$, e2,$e_{3}$によって$\mathcal{V}_{+}^{\prime 0}=\mathbb{C}e_{1}\oplus \mathbb{C}e_{2}$and$\mathrm{V}_{-}^{70}=\mathbb{C}e$3

とおく。

このとき
$gK_{\mathbb{C}}-+(V_{+}, V_{-})=(gV_{+}^{0}, gV_{-}^{0})$によって, GC/Kd は$V_{-}=\{0\}$$\mathbb{C}^{3}$の 2 次元部分空間

X 沖と 1 次元部分空間の組であって$1^{r_{+}}\cap$を満たすものの集合と見なせる。 $SU(2,1)$ を定義するエルミート形式$Q(z, z)=|$ z $1|^{2}+|$ z $2|^{2}-|z_{3}|^{2}$によって、$\mathbb{C}^{3}$を$\mathbb{C}^{3}=C_{0}\mathrm{u}C_{+}$

沖 $C_{-}$$=\{Q(z, z)=0\}\mathrm{u}\{Q(z, z)>0\}$ I $\{Q(z, z)<0\}$と分割する。 このとき

$D/K_{\mathbb{C}}$は次のように書ける。

$D/K_{\mathbb{C}}=\{ (\mathrm{T}\nearrow|/^{r}+’-)\in G_{\mathbb{C}}/K_{\mathbb{C}}|V_{\mathrm{A}}-\{0\}\subset C_{+}, V_{-}-\{0\}\subset C-\}$

D/K。の境界は次の 3 つの GR-軌道からなる。
$D_{1}=${

0$(\mathrm{T}_{+)}^{\prime^{r}}V_{-})\in G_{\mathbb{C}}/K_{\mathbb{C}}|V_{+}f\mathrm{h}C$に接し、$V_{-}-\{0\}\subset C_{/}$-},$D_{2}=\{(\mathrm{t}_{+}^{\gamma}, V_{-})\in G_{\mathbb{C}}/K_{\mathbb{C}}|V_{+}-\{0\}\subset C_{+}, \mathrm{V}_{-}^{7}\subset C_{0}\}$$D_{3}=${ $(1,$$Varrow\in G_{\mathbb{C}}/K_{\mathbb{C}}|V_{+}$

は$C_{0}$に接し、$V_{-}\subset C_{0}$,}(G、の実階数が 1 のときは、 このように D/K。の境界は有限個のされる。 G、の実階数が 2 以上のときは無限個である。 )$G_{\mathbb{R}^{-}}$

軌道に分解に含まれる上半三角行列のなすボレル部分群とする。 このとき full flagのの 1 次元部分空間、はを含む
manifold $X=G_{\mathbb{C}}/B$ は旗 $(l, p)$ ( は$X$つの次元部分空間)は次のように 6の集合である。
2KC-軌道に分解される。
$B$を$G_{\mathbb{C}}$$p$$\mathbb{C}^{3}$$p$$|p=V_{-\}}^{0}$,$S_{2}= \{ (\ell,p)\in X |p=\bigvee_{+}^{r0}\}$,$S_{1}=\{(\ell,p)\in X$$S_{3}=\{(\ell,p)\in X|p\subset V_{+}^{0}, p\supset V_{-}^{0}\}$,$S_{4}=\{(\ell, p)\in X|p\supset \mathrm{I}_{-}^{\gamma 0}\}-(S_{1}\cup S_{3})$,$S_{5}=\{(\ell,p)\in X|l\subset V_{+}^{0}\}-(S_{2}\cup S_{3})$,$S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}=X-(S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup S_{4}\cup S_{5})$.

$\ell$$\mathbb{C}^{3}$203

軌道構造は次の図で表される。 (記号の意味につぃては [IVI2], [MO] 参照)

一方、. これらに対応する GR-軌道は次の通りである。
$S_{1}’=\{(lp\})\in X||\ell-\{0\}\subset C_{-}\}$,$S_{2}’=\{(l, p)\in X|p-\{0\}\subset C_{+}\}$,$S_{3}’=\{(l, p)\in X|p-\{0\}\subset C_{+}, p\cap C_{-}\neq\emptyset\}$$S_{4}’=\{(^{p}, p)\in X|\ell\subset C_{0}\}-S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’$$S_{5}’=$$S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’=$$xK_{\mathbb{C}}=$($\mathrm{V}_{+}^{r}${{$(\ell,$$p)\in X|p$ は$(\ell,$$p)\in X|\ell\subset C_{0},$, 沖) $\in D_{1}\cup D_{3}$ のとき、,に接する}$C_{0}$

は$p$$V_{+}\uparrow\mathrm{h}C$,$C_{0}$$-S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’$,に接する }.に接する。 よって、 旗

0$(V_{+}\cap C_{0}, V_{+})$はに含まれる。 一方、$xS_{2}\cap S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’$$\mathrm{v}_{-)}^{\gamma}\in D_{2}\cup D_{3}$$\prime yK_{\mathbb{C}}=(\tau_{+}^{\gamma},$とずると,$\mathrm{V}_{-}^{\gamma}\subset C_{/0}$であるので、 旗$(V_{-}, p)$($p$は$C_{0}$に接する) は$yS_{1}\cap S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’$に含まれる。 従って、 すべての $D$ の境界の元$x$に対し、$x(S_{1}\cup S_{2})\cap S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’\neq\phi$が成り立つ。

。の放物型部分群で $B$ を含むものは $B,$
$P_{1}=\{g\in G_{\mathbb{C}}|gV_{+}^{0}=V_{+}^{0}\}$の 2 つである。

$S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}P_{1}=S_{5}\cup S_{\mathrm{o}\mathrm{p})}S$

op,$P_{2}$$P_{2}=$られ$_{\mathrm{c}}^{arrow}$

。

{以外に

$g\in G_{\mathbb{C}}|g\mathbb{C}e_{1}=\mathbb{C}$$=S_{4}\cup S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}$$(S_{1}\cup S_{2})\cap S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}P=\phi$である。 よって、 $G_{\mathbb{R}}=SU(2,1)$ のとき$G_{\mathbb{C}}$e1}であるから、

for $P=B,$$\overline{S}=S_{1}\cup S_{2}$$P_{1},$$P_{2}$について定理 1.3 が確かめ

204

注意 2.2

次の statement は誤りである$S$

is not open,([HN] にはこれが成り立つと書いてあるが)。

$x\in\partial(C(S)_{0})\Rightarrow x\cdot S^{cl}|\gamma\partial S’\neq\phi$

実際、 $G_{\mathbb{R}}=SU(2,1)$ のときに次の反例がある。 上の例において $xK_{\mathbb{C}}=(V_{+}, V_{-})\in$
はにつとする。 このときに接し、-軌道である。
いて、は次の条件を満たす旗 $(\ell,p)$ の集合である。

$D_{1}$$V_{+}$$C_{0}$$\mathrm{t}_{-}^{\prime^{r}}-\{0\}\subset C_{-}$$K_{\mathbb{C}}$$S_{4}$$xS_{4}\cap S_{4}’$$\ell\subset C_{0},$$\ell\not\in V_{+},$$p\supset V_{-}$

よって $xS_{4}\cap S_{4}’$ は G。の閉部分集合ではないので、$\prime xS_{4}^{cl}$(は $p\supset V_{-}$

を満たす旗の集合であるので

S4’$x\in\partial$$=S_{\mathrm{o}\mathrm{p}}’$( (S4)0) である。 他方、$C$とは交わらない。

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