Une preuve combinatoire du théorème de Wilson.
par Bruno Deschamps
Professeur à l’Université du MaineRésumé.— Nous donnons dans ce texte une preuve inattendue du théorème de Wilson
utilisant le théorème de Sylow.

Un très célèbre théorème de John Wilson daté de 1759 affirme que si p est un
nombre premier alors il y a la congruence suivante1 :(p − 1)! ≡ −1 mod(p)Les preuves classiques de ce théorème sont simples et restent abordables avec
un matériel élémentaire de mathématique. En préparant un examen de théorie
des groupes pour mes étudiants de licence je suis tombé presque malgré moi surune preuve de ce résultat utilisant la théorie de Sylow. Ne l’ayant jamais vuécrite et la trouvant assez inattendue, je me propose de vous la présenter ici.
Commençons par faire quelques rappels de théorie de Sylow afin de rendre
plus compréhensible l’approche au lecteur non aguerri à la théorie des groupes: étant donné un groupe G et un nombre premier p on appelle p-sous-groupe deG tout sous-groupe d’ordre une puissance de p. Un p-sous-groupe de Sylow deG est alors un p-sous-groupe maximal. La théorie de Sylow de base consiste enles deux théorèmes suivants :Théorème 1.— (dit premier théorème de Sylow) Soit G un groupe d’ordre pn s
avec p premier, n ≥ 1 et (s, p) = 1. Pour tout entier r ∈ {1, · · · , n} il existe unp-sous-groupe de G d’ordre pr .
Théorème 2.— (dit deuxième théorème de Sylow) Soit G un groupe d’ordredivisible par le nombre premier p.
a) Tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow.
b) Les p-sous-groupe de Sylow de G sont conjugués.
c) Le nombre des p-sous-groupe sde Sylow de G est congru à 1 modulo p et divise
l’ordre de G.
On remarquera que ces deux théorèmes impliquent, avec les notations dupremier, que les p-sous-groupes de Sylow sont exactement les p-sous-groupes
de G d’ordre pn (certains auteurs prennent d’ailleurs cette propriété commedéfinition). Sur ce sujet, nous renvoyons le lecteur à l’excellent ouvrage deJosette Calais ”Eléments de théorie des groupes” publié aux PUF où sont
1 Ce résultat était en fait déjà connu de Leibniz qui ne l’avait pas publié

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présentées les bases de la théorie élémentaire des groupes et en particulier les
théorèmes de Sylow.
On considère donc un nombre premier p et Sp le p-ième groupe symétrique.
La preuve dont il est question s’obtient en dénombrant les p-sous-groupes deSylow de Sp . On y arrive en remarquant les deux propriétés suivantes :Lemme 1.— Dans Sp les éléments d’ordre p sont exactement les p-cycles. Enparticulier, il y a exactement (p − 1)! éléments d’ordre p dans Sp .
Preuve : Les p-cycles sont bien sur des éléments d’ordre p dans Sp (cettepropriété étant indépendante du fait que p soit premier). Soit maintenant une
permutation σ ∈ Sp d’ordre p etσ = γ1 ◦ · · · ◦ γnsa décomposition canonique en produit de cycles disjoints. On sait que l’ordreo(σ) de σ est égal au ppcm(o(γ1 ), · · · , o(γn )). Comme p est premier on en déduit
que pour tout i = 1, · · · , n on a o(γi ) = p (le cas o(γi ) = 1 est impossible car
alors γi serait l’identité ce qui est exclu). Par ailleurs, puisque les cycles γi sontde supports disjoints de longueur p, on a obligatoirement n = 1 et donc σ = γ1est bien un p-cycle.
On peut écrire tout p-cycle de Sp sous la forme (p s(1) · · · s(p − 1)) (avecs ∈ Sp−1 ) et cette description étant visiblement biunivoque, on en déduit qu’ily en a donc exactement (p − 1)!.
——–
Lemme 2.— Dans Sp les p-sous-groupes de Sylow sont exactement les sousgroupes d’ordre p (ils sont donc tous cycliques). En particulier le nombre dep-sous-groupes de Sylow dans Sp vaut np = (p − 2)!.
Preuve : Comme p est premier, la valuation p-adique de p! vaut 1 (i.e. p! = pmavec m ∈ N premier à p). On en déduit que les p-sous-groupes de Sylow de Sp
sont les sous-groupes d’ordre p (ils sont donc tous cycliques isomorphes à Z/pZ).
Maintenant tout élément d’ordre p de Sp vit dans un p-sous-groupe de Sylow.
Réciproquement, comme p est premier et qu’un p-sous-groupe de Sylow de Sp
est isomorphe à Z/pZ, il existe exactement p − 1 éléments d’ordre p dans chaquep-sous-groupe de Sylow de Sp (puisque dans Z/pZ tous les éléments non nuls
(p − 1)!
= (p − 2)! p-sous-groupes de Sylow
sont générateurs). Ainsi, il y a np =p−1dans Sp .
——–Preuve du théorème de Wilson : le théorème de Sylow affirme en particulier
que np ≡ 1 mod(p), on a donc (p − 2)! ≡ 1 mod(p) ce qui donne, en multipliantpar (p − 1), que (p − 1)! ≡ −1 mod(p).

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