数理解析研究所講究録 1348 巻 2003 年 44-60

44$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{3})$のフロツプと Fourier-向井変換

京都大学 工学研究科 ・都市環境工学専攻 石井亮 (Akira Ishii)
Department of Urban and Environmental Engineering
Kyoto University-

1

Introduct\’ion

本稿においては, 3 次元商特異点に関する Alastair Craw 氏との共同研究 [CI02] について,

2次元の場合との対比をしながら解説する.
は有限部分群) の研究は Klein により始まった
2 次元の単純特異点対応と言う興味深い現象が発見され, それについ数年前にもと言えるが、 今から 20
McKayていくつかの説明がなされてきた.
の「クレパント解消」 の存在は 1990
による商特異点
一方有限部分群
当時は場合分けに応じて個別に構或されたのであるが, 中村の導入
年代の前半に証明された.
したモデュライ空間-Hilb により, より理論的な扱いが可能となり, 実際 Bridgeland, Kingはと Reid はのクレパント解消であることを証明した. それと同時に彼等は普遍族による Fourier- 向井変換が導来圏の同値としての McKay 対応を導くことを示した.
という特別な
一方でこれは, 一般には複数個存在するクレパント解消の中から,ものを選ぶことができる, ということも意味する. そこで [CI02] においては, 全ての射影的クがアーベルレパント解消が -Hilb と類似のモデュライ空間として構或できないかと考え,群の場合にそのようなことを示すことができた (定理 93). その際, 幾何学的不変式論におけるパラメータの charnber 構造について調べ, それを普遍族による Fourier- 向井変換を使って記述すると言うことを行った (定理 106). また, wa 垣を挟んで隣り合った二つの chamber それぞれに対 k するモデュライ空問および Fourier- 向井変換 (McKay 対応) を考えると, 二つのモデュライ空間の導来圏の間の同値が得られるので, それがどのような同値 (函手) であるかを具体的に調べた (定理 116). 特に, 二つのモデュライ空間が同型な場合の導来圏の自己同値と-変換と言うものの例が得られた. カラビ
しては, Seidel-Thornas のツイストや Horja のャウ多様体の導来圏の非自明な自己同値として現在知られているものが (局所的なものだけであるが) 現れなと言うことになる.
$\mathbb{C}^{2}/G$$(G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})$$\mathbb{C}^{3}/G$$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(3, \mathbb{C})$$G$$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{3})$$\mathbb{C}^{3}/G$$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{3})$

$G$

$G$

$\mathrm{E}\mathrm{Z}$22 次元 McKay 対応について

を有限部分群とする. Klein によって分類されたように, $G$ は巡回群, 二項二面体群, 二項多而体群のいずれかである. $G$ のへの作用に関する商特異点 $X=\mathbb{C}^{2}/G$ は単純特異点, Klein 特異点, Du Val 特異点, 有理二重点等多くの名前を持つ. これは 2 次元の特異点であるから, 極小解消

2 次元 NIcKay 対応の復習からはじめよう。

$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})$$C^{2}$$\tau$: $Yarrow X$

がただ一つ存在する.
の例外集合は有限個の (-2)- 曲線 (自己交点数が -2 である射影直線)型の Dynkin 図形となる.
の和集合であり, その双対グラフは ( $G$ の分類に応じて)(Dynkin 図形が出てきたということで, Lie 環との関係に興味が持たれ, Brieskorn-Slodowyの理論ができた. これについては [S1080], [松澤 02] を参照.) 一方 1970 年代後半になって,からその表現論だけを使って同じ Dynkin 図形が構戒できることを
McKay は見いだした:$\tau$$\mathrm{A},$$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})$$\mathrm{D},$$\mathrm{E}$45
定理 2.1(McKay の発見、$[\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{K}80]$) . $G$ の既約表現の全体を$\mathrm{r}\mathrm{r}(G)$とおく. ただし
表 ,$\rho_{0}$

$:=$

{

が自明表現であるとする.

$\rho_{0},$$\rho_{1},$, \rho n}フ$\ldots$$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})$から定まる 2 次元表現を$\rho_{nat}$で$\llcorner$(2.1)$\rho i\otimes_{\mathbb{C}}\rho_{na}t=\sum_{j}a_{ij}\rho_{j}$と分解する.
列である.

このとき,

$2I-(a_{ij})$ は$X$と同じ型の拡大 Dynkin 図形に対応する Cartan 行

これは群の指標表を元に計算してみたらこうなったという不思議な結果であり, 本稿では
このことから, $G$ の非自明な既約表現と, 極小解消の既約例外曲線の間に一対一の対応がつくとであろうと考えられた. (この段階ではまだグラフの自己同型の不定性があった.)
そのような対応を幾何学的な方法で実現したのが Gonzalez-Sprinbcrg と Verdicr であるを構戒した.
[GSV83]. 彼等は, 各既約表現 \rho 。に対応する, 次のような $Y$ 上のベクトル束
これを 「McKay の発見」 と呼ぶことにする.

.

.

$\mathcal{R}_{i}$は大域切断で生或される.

$\mathcal{R}_{i}$$H^{0}(\mathcal{R}_{i})\cong(\rho_{i}^{*}\otimes O_{\mathbb{C}^{2}})^{G}$

このような$\mathcal{P}\mathrm{t}i$はただ一つであり, 次が成り立つ.

定理 2.2([GSV83]).

: $Yarrow X$ の既約例外曲線に$\tau$$\ell$$\ell_{1},$$\ldots,$nと適当に番号をつけると,,,$c_{1}(\mathcal{R}_{i})\cdot\ell j=\delta$が成り立つ.
が得られる.

さらに,

このような

$\mathcal{R}_{i}$と$\rho_{i}(i\neq 0)$$\rho_{i}$と$\ell_{i}$を対応させることにより, (有限型)$D\prime ynk\prime i7l$図形の . 型$\mathrm{i}^{\overline{\overline{\mathrm{p}}}^{-!}}$

を対応させることにより, 同型$K(Y)\cong R(G)$の表現環である.
を上の G- 同変連接層の群
実際にはこの構或では(C2) を考える.
$R(G)\congK^{G}(\mathbb{C}^{2})$
上の同型は
であり,
に対応させることにより
ができる.

ここで,

$K$

(Y) は $Y$ 上の連接層の Grothendieck 群,$\mathbb{C}^{2}$$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\}_{1}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}$$R$( G) は$G$$K^{G}$$\rho_{i}$$\rho_{i}\otimes_{\mathbb{C}}O_{\mathbb{C}^{\underline{9}}}$$K(Y)\cong K^{G}(\mathbb{C}^{2})$の構或は自然なものであったが, それらの性質をから従う. なお, 彼等の方法においても,であることの場合分け調べるのは, 場合分けに応じた計算に基づいていた.
(Ri).
によらない証明は, Artin-Verdier[AV85] による. またとのテンソルの分解 (2.1) のによる説明は Esnault-Kn\"orrer [EK85] によりなされた.
$\mathcal{R}_{\iota}$$\ell_{j}=\delta_{ij}$$c_{1}$$\mathcal{R}_{i}$$\rho_{\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}}$3G- 同変連接層

この節では G- 同変連接層について考え, それを使って McKay の発見が定式化できることを上の G- 同変連接層とは,上の連接層であって, $G$ の見よう.
への作用を持ち上げはアフィン代数多様体であるから,るような形で $G$ が作用するものを言う.
連接層と言うのは有限生成-加群のことだと思ってよく, すると G- 同変連接層と言うの$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{C}^{2}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{c}$$\mathbb{C}[x, y]$$\mathbb{C}[x, y]$

48
というのは
-加群ということになる. なお,ら, 半直積と同様な方法 (接合積) でできる非可換環である.
二つの G- 同変連接層 $E,$ $F$ に対し,は$G\#\mathbb{C}[x, y]$$G\#\mathbb{C}[\prime x, y]$$G$の$\mathbb{C}[x, y]$への作用か$G- \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathcal{O}_{\mathrm{C}^{2}}}^{\mathrm{i}}(E, F)=(\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathcal{O}_{C_{-}^{2}}}^{i}.(E_{7}F))^{G}$と定義する. 金 $G$ -不変部分を取る, という函手は完全であるから, これは G- 同変連接層の圏である. $G$ の二つの既約表現
に対して

での

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}$$\rho_{i},$G-Ext;$\rho_{j}$$\mathrm{c}^{2}(\rho_{i}\otimes_{\mathbb{C}}O_{0}, \rho j\otimes \mathbb{C}O_{0})$が載っている摩天楼層である.
を計算してみよう, ここで,とは,の原点 0 の上にを計算するのであるから, それには左側の加群の自由分解を取ればよく, 次の Koszul 複$\mathbb{C}^{2}$$O_{0}$$\mathbb{C}$$\mathrm{E}\mathrm{x}’\mathrm{t}$

体を使う.

.

$0arrow\Omega_{\mathbb{C}^{2}}^{2}arrow\Omega_{\mathbb{C}^{2}}^{1}arrow O_{\mathbb{C}^{2}}arrow O_{0}arrow 0$-不変ベクトル場 旦十 旦による内部積から定まる完全列である. 今であるから, G- 同変連接層として
これは,

$G$

$x$

$y$

$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})$$\Omega_{\mathbb{C}^{2}}^{2}\cong O_{\mathbb{C}^{2}}$また,$\Omega_{\mathbb{C}^{2}}^{1}\cong\rho_{1\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}}^{*}\otimes_{\mathbb{C}}O_{\mathbb{C}^{2}}$である.

これを Koszul 複体に代入し,

dirn
dinl
となる.

.

$G- \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathcal{O}_{\mathbb{C}^{9}}}^{1}$.

$G- \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathcal{O}_{C_{-}^{2}}}^{0}$(2.1) を使って G-Ext を計算すると,$(\rho_{i}\otimes_{\mathbb{C}}O0, \rho j\otimes \mathbb{C}O0$

)

$=$

Li

$j$

$(\rho_{i}\otimes_{\mathbb{C}}O_{0}, \rho_{j}\otimes_{\mathbb{C}}O0)=\dim G- \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathcal{O}_{(\sim}\backslash ?}^{2}(\rho_{\mathrm{i}}\otimes \mathbb{C}O0, \rho_{j}\otimes \mathbb{C}O0)=\delta_{ij}$

ごの結果から, G-Ext の次元の交代和をm$G- \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathcal{O}_{\mathrm{t}^{2}}}^{i}.(EF)\}$$\chi^{G}(E, F):=\sum_{i}(-1)^{i}\mathrm{d}\mathrm{i}$とおけば, McKay の発見は,定理 3.1. 行列$(\chi^{Cx} (\rho_{i}\otimes \mathbb{C}O0, \rho j\otimes_{\mathbb{C}}O0))$はアフイン型の Cartan 行列であるの交代というように言い換えることができる. 一方, 極小解消 $Y$ の上で, 通常の$O$$\chi(-,-)$
こうする行列であることがわかり,
和を考えると, (\ell j)) が有限型の Cartanの間に対応を付けたくなるが, 前節の Gonzalez-Sprinberg とと,と既約例外曲線0による対応との関係はどうなっているのであろうか? それには前節とは双対になる
Verdier$Y$上の連接層で, 原点のファイバー$-\tau^{-1}$ (0) にのみ台を持つも群を考えるとよい. すなわち,のからできる I{ 群を上の連接層で原点 {0} にのみ台を持つものからできる(Y),
群を(C2) とする. 重要なことは,$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(-\}-)$$\chi/(O_{\ell},$$,$$\ell_{i}$$\rho_{\mathrm{i}}\otimes \mathbb{C}O$$\mathrm{K}$$\mathbb{C}^{2}$$K_{\tau^{-1}(0)}$$\mathrm{K}$$K_{\{0\}}^{G}$

補題 3.2. $\chi(-, -)$ により $K$ (Y) と(C2) は互いに双対である.

$K_{\tau^{-1}(0)}$(Y) は互いに双対,$\chi^{G}(-, -)$により$K^{G}$(C2) と$K_{\{0\}}^{G}$

注 33. 自然な写像 $K_{\tau^{-1}(0)}(Y)arrow K$ (Y) およびは単射ではない。実際、以下の双対基底に関して,. これらの写像はアフイン形の Cartan 行列で表される。
$K_{\{0\}}^{G}(\mathbb{C}^{2})arrow K^{G}(\mathbb{C}^{9}arrow)$(C2) の基底である, 一方 Gonzalez-Sprinbcrg との双対基底は$K$
により対応するの双対基底は何であろうか
Verdier(Y) の基底? 定理 2.2 を見れば,だいたいと交点数とは, 符号がちょうど逆になる. そこで後になると思われるが,の都合もあり我々としては $K$ (Y) の基底として, ベクトル束としての双対を取ることにする. すると定理 2.2 を用いて計算すれば$K^{\zeta j}$$\{\rho_{i}\otimes O_{\mathbb{C}^{2}}\cdot\}$$\{\rho_{\mathrm{i}}\otimes 0\}$$\{\mathcal{R}_{i}\}$$Op_{i}$$\chi(, )$$\{\mathcal{R}_{i}^{*}\}$

47
補題 3.4.
-1 の直線束,$\{\mathcal{R}_{i}^{*}\}$の双対基底は, $\{-\omega_{7^{-}}-1(0), O_{p_{i}}(- 1)\}$ である. ((-1) は$Y$ の部分スキーム
は
の
(0)
0)
dualisin9 sheaf である. )$p_{i}\cong \mathrm{P}^{1}$$O\ell_{i}$上の次数$\tau^{-1}$$\omega_{\tau^{-1}(}$ということがわかる. そこで,
(C2) と0)(Y) の対応は基底を,0), $O_{l_{1}}(-1)$ , . . . , O,、(-1) に対応させればよい, ということになる.
しかし, この対応はもっと直接的に付けられないだろうか. 特に, 先の計算で, -\l corner の基底との間には交代和をとった $\chi^{G}(-, -)$ と $\chi(-, -)$ だけでなく各が一致している
ことがわかるであろう. 従ってそのような対応は群の間だけでなく, 導来圏の間に実現されるべきものである. そこで, $G$ -軌道の Hilbert スキームというものを登場させる.
$\rho_{0}\otimes O_{0},$$K_{\tau^{-1}(}$$K_{\{0\}}^{G}$$O_{0}$$\rho_{1}\otimes O_{0},$$\ldots,$$\rho_{r\iota}\otimes$$\omega_{\tau^{-1}(}$$G- \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}^{i}$$\mathrm{E}\mathrm{x}’\mathrm{t}^{i}$$\mathrm{K}$4$G$-軌道の Hilbert スキーム

一般に, Hilbert スキームというのは, 代数多様体の (射影的な) 部分スキームのモデュライ空間であり, Grothendieck により構戒されたものである. 従って部分スキー の次元に応じて,(固定された代数多様体内の) 曲線の Hilbert スキーム, 曲面の Hilbert スキーム等を考える
ことができるが, ここでは, 「点の Hilbert スキーム」すなわち,次元部分スキームのモデュ
ライ空間」 を考える. $M$ を代数多様体とし, $Z$ をその 0 次元部分スキームとする, 0 次元なので $Z$ はアフィンかつ射影的であり, そのアフィン座標環(Oz) は有限次元ベクトル空間
である.
(Oz) の次元を ( Z) で表し $Z$ の長さと言う $M$ の 点の Hilbert スキームとは,$l(Z)=n$ であるような 0 次元部分スキーム $Z$ をパラメトライズするモデュライ空間であり,これを(M) と書く$M$ 上の異なる 7? 点からなる集合を被約な部分スキームと思ったものは(M) の点を定め, それらは(M) の Zariski 開集合をなす Hilb’(M) のその他の点は, $M$ の $7\tau-1$
個以下の点からなる集合に, 長さが であるような (被約でない) 部分スキームの構造を入れたものに対応している.
の点 $Z$ に対して $Z$ のスキーム構造は忘れて各点ごとの長さのみを考えると, NI の対称積
(M) の点が定まる. このようにして. Hilbert-Chow 射$l_{\backslash }$$\lceil 0$$H^{0}$$H^{0}$

$l$

$n$

1

$\mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}^{n}$$\mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}^{n}$$\mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}^{n}$$n$$\mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}^{n}(M)$$S^{n}$$\mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}^{n}(M)arrow S^{n}(M)$が定義できる. これは$n$点が互いに異なるような開集合上では同型である.

の異なる 2 点をパ
例 4.1.2 点の Hilbert スキーム Hilb2 (M) を考える. Hflb (M) の中で$U$$(M)\backslashU$とする. Hilb2の各点は, 1 点に長さ 2 であるような部
ラメトライズする開集合を分スキームの構造を入れたものに対応している. これは, 1 点とその点における接空間の -次元部分空間との組みであるとみなすことができる. この一次元部分空間は異なる 2 点が衝突して 1 点になったときに, どの方向から衝突したかというようなことを表している.
実際, Hilbert-Chow 射 Hilb2 $(M)arrow S^{2}(M)$ は( M) の対角線によるブローアップになっ$\Lambda’I$$S^{2}$ている.

が非特異曲面であるとき, 任意のに対して(M) は非特異であり, 特に $S^{71}(ll/I)$が大きいときにはの特異点解消である [FOg68]. 一方 3 次元以上のときはそうではなく,(M) は既約ですらない [Iar72].
このように, 点の Hilbert スキームは, 重複を込めた
点に 「部分スキーム」 という余分な構造を加えると, そのモデュライ空間として得られる空間という様に捉えることができる.
$G$ -軌道のHilbert スキームは, 同様のアイデアにより, 有限群 $G$ による商多様体を考える際に伊藤- 中村により導入されたものである 作用が自由でないような軌道にたいして やはり「同変部分スキーム」 (で正則表現に対応する) という構造を加えればやはり良いモデュライ空間が得られことが期待されるのである.
$M$

$n$

$\mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}^{n}$$n$$\mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}^{n}$

$n$

2

-

定義 4.2. 有限群 $G$ が代数多様体 $M$ に作用するとする. $M$ の $G$ -不変な 0-次元部分スキーム $Z$ について, $G$ の表現(Oz) が正則表現であるとき, $Z$ を $G$ -cluster という, とくに$G$$G$ の位数 $\# G$ に一致する.
の長さは-cluster$H^{0}$

48-軌道が挙げられる. それ以外の被約でないスキームの構造が入ったものである.
$G$-cluster の例としては, 自由

$G$

$G$

定義 4.3. $G$ -cluster のモデュライ空間を $G$-軌道の Hilbert scheme とく(これは,(M) の部分スキームとして構或される.)$\mathrm{A}$-cluster l よ, G-軌道に)$\mathrm{A}^{\mathrm{a}},$$G$-Hilb(M) と書$\mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}^{\# G}$-cluster $Z$ の台 Supp(Z) は一つの正則表現における自明な表現の重複度は 1 なので,$Z$に Supp(Z) を対応させることにより Hilbert-Chow 射
G- 軌道である. 従って$G$

G-Hilb(M)\rightarrow M/Gが得られる. 一般には $G$ -Hilb(M) はやはり非特異とも既約とも限らない.

.
.

定理 4.4 (伊藤- 中村 [IN99]).
$\tau$: $G$ -Hilb

は有限群とする.

$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})$$(\mathbb{C}^{2})arrow X=\mathbb{C}^{2}/G$

このとき,は極小解消である.

の極大イデ
とする.
(0) に対応する $G$ -cluster $Z$, の定義イデアルを
アルを $m$ とおき,をの表現と見ると, この表現 (から自明な直和因子を取り除いなもの) がの属する既約或分を決定し, 既約表現と既約例外曲線の対応としてを参照されたい.)の McKay 対応を与える. (正確には$y\in\tau^{-1}$$0\in \mathbb{C}^{2}$$I_{y}$$I_{y}i\uparrow\tau\iota I_{y}$

$G$

$y$

$fIN\mathit{9}\mathit{9}f$

一つ目の結果は曲面上の点の Hilbert スキームが非特異であることなどから比較的自動的に従う. 二つ目の結果は, 計算によるものではあったが, McKay 対 , について新しい視点を提供するものであった. 次節ではこれが Fourier- 向井変換から従うことを見る.
$\mathrm{r}_{\mathrm{L}^{1}\backslash }^{\mapsto}$

5Fourier-向井変換
Fourier- 向井変換は, もともと Abel 多様体とその双対 ( 直線束のモデュライ, これはまな
Abcl 多様体) の導来圏の間に, Poincare 束 ( 普遍族) を「積分核」 とする積分函手として向井により導入された [Muk81]. これは Abel 多様体に群構造があることなどから, 通常の Forrrier
変換と良く似た性質を持っていた. その後代数多様体とその上の層のモデュライ空間の間の,普遍族を用いな積分函手は非常に有効に使われるようになり, それが導来圏の同値を導くとき
Fourier-向井変換と呼ばれるようになった.
と
この節では-Hilb の普遍族を用いた Fourier-向井変換を導入する.
を
上の G- 同変な連接
おく. $D(Y)$ を $Y$ 上の連接層の (有界複体のなす) 導来圏,
層の導来圏とする.
$=$

$=$

$G$

$Y=G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{\mathit{2}})$$D^{G}(\mathbb{C}^{2})$$Z\subset Y\cross$を普遍部分スキーム,$p,$ $q$

を$\mathcal{Z}$から $Y,$$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{C}^{2}$

C2

への射影,

$\mathcal{T}_{\}}\pi$を下の図式のようであるとする

1$\mathcal{Z}$$p/\swarrow$$\backslash ^{q}$$Y$$\mathbb{C}^{2}$$\nearrow\pi$$\tau\backslash$$X$

函手 (Fourier-向井変換)$\Phi$:$D(Y)arrow D^{G}(\mathbb{C}^{2})$を$\Phi(-)=\mathrm{R}q_{*}p^{*}(-)$

により定義する. ここでは, 積分核にあたるものは, $Z$ の構造層
は, 次のことを示した$O_{\mathcal{Z}}$である. Kapranov-Vasserot

49
定理 5.1(Kapranov-Vasserot$[\mathrm{K}\mathrm{V}00]$).

$\Phi$

は三角圏の同値である.

実際には [KVOO] では少し違う (同じ積分核で逆向きの) 函手を考えているが, 本質的には変わらない.
を Gonzalez-Sprinberg と Verdier の使って計算し, \S 3 の最後の
この節の残りでは対応がにより実現できることを見る. そのために, ここでの構或法を述べよっ.
を $G$ の作用で分解する$\Phi$$\mathcal{R}_{i}$$\Phi$$p_{*}O_{\mathcal{Z}}’$$\mathcal{R}_{i}$$p_{*}(O_{\mathcal{Z}})=\oplus_{i}\mathcal{R}_{i}\otimes_{\mathbb{C}}\rho_{i}$である. (\実際には
このようにの係数として出てくるのがはファイバー積という言い方をしなくても定義できるのである.)の被約部分であるから,$Y\cross x\mathbb{C}$$\mathcal{Z}$$\mathcal{R}_{i}$$\rho_{i}$$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{2})$2. は$\Phi^{i}$

次の式により計算できる(5.1)$\pi_{*}\Phi^{i}(-)=R^{i}\tau_{*}(-\otimes p_{*}Oz)=\oplus H^{i}(-\otimes \mathcal{R}_{i})\otimes/\prime i$

従って, 例えば
実際,$\Phi$$(O\ell_{j} (- 1))$の計算は,$Op_{j}$(-1)のコホモロジーの計算に帰着される.

$\otimes \mathcal{R}_{j}$$j\neq i$$O_{\ell_{\iota}}^{\oplus\dim\rho j}$$\mathcal{R}_{j}|_{\ell_{i}}\cong\{$$\mathcal{O}_{l_{i}}(1)\oplus \mathcal{O}_{\ell}^{\oplus \mathrm{d}i\mathrm{m}}$

円-1

,

$j=i$

であるから上のコホモロジーはほとんど消えて.
$\Phi(.Op, (-1))\cong\rho i\otimes O0,$

(5.2)$\Phi(\omega_{\tau^{-1}(0\rangle})\cong\rho 0\otimes O_{0}[-1]$(5.3)

また同様に計算するとによるの像により実現できた. (なお,. であることは,の随伴函手を具体的に書いてみればわかる.)
この節の最後に, 上の結果から伊藤- 中村型の定理がただちに導かれることを説明する,を$\Phi(O_{\ell_{i}}(-1))=\rho_{i}\otimes O_{0}$をと上には圏同値であることから, $y\in Y$ に対して:置く摩天楼層とすると, $i\neq 0$ のとき

がわかる.
が

これで \S 3 の最後に述べた対応が$\Phi$$\Phi$$\mathcal{R}_{\iota}^{*}$$\Phi$$\rho_{i}.\otimes O_{\mathbb{C}^{\mathit{2}}}$$\Phi$$O_{y}$$\mathbb{C}$$y$.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(O_{l_{\eta}}(-1), O_{y})=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\rho_{i}\otimes O_{0}, \Phi(O_{y}))$ここで, 左辺が 0 であるための必要十分条件はに対応する $G$ -cluster $Z$y の構造層
は, G- 同変連接層として$Oz_{y}$$\rho_{\mathrm{i}}\otimes O_{0}\subset O_{Z_{j}}$定理 5.2.

$y\in\ell_{i}$となる必要十分条件は$y\not\in\ell_{i}$であることである. 一方,$\Phi$(Oy) は$y$である. 従って右辺が 0 でないための必要十分条件となることである.
$\rho_{i}\otimes O_{0}\subset O_{Z_{i}}$であり, これは重複度 1 で含まれている.

上 $O_{f_{i}}(-1)$ という重みをつけて O,、)
これを踏まえて (5.2) の次のような解釈ができる .
としとなる. また, (5.3) は,たちの族を 「積分」すると, 共通の部分層が出てきた, ということである. これらの観察は, 後で安て,(0) 上で共通の商定性の chamber を考える際に重要である.
を用いると, 伊の間の同型を使ったが, 代わりに上では二つの三角圏における
藤- 中村の定理が得られる ([Ish02] 参照).
$p_{i}$$\rho_{i}\otimes O_{0}$$\tau^{-1}$$\Phi^{1}(\omega_{\tau^{-1}(}0))$$\rho_{0}\otimes O_{0}$$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}1$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$50
6と 3 次元 McKay 対応$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{3})$3 次元の McKay 対応について知られていることを述べよう. 2 次元のときは, 代数曲面の唯の極小解消というのがただ一–の極小モデルというのが非特異であり, 従って商特異点
つに定まった. 3 次元代数多様体については, 極小モデルというのは一般には非特異ではなくについて, 商特異点 $X=\mathbb{C}^{3}/G$ (これは標準特かつ唯一でもない. 有限部分群
異点というクラスの特異点である) の上の相対極小モデルが非特異であるとすれば, それは次に定義するクレパント解消になっている.
$\mathbb{C}^{2}/G$$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(3, \mathbb{C})$

定義 6.1. 特異点解消 $Yarrow X$ がクレパントであるとは,に同型であることをいう.
直線束

$Y$

の標準直線束$\mathrm{A}_{Y}^{\nearrow}(=\Omega_{Y}^{3}.)$が自明$O_{Y}$と $Kx$ の引き戻しとの差) がないという意味の Reid によcrepant とは, discrepancy(
る造語である. 一般に 3 次元の標準特異点については, クレパントな端末化が存在することがReid により証明されているが, それは非特異とは限らない.
1985 年頃, 弦理論における考察から Dixon-Harvey-Vafa-Witten は次の予想を立てた [DHVW85],$K_{Y}$[DHVW86].

.

・クレパント解消 $Yarrow X$ が存在する ,$Y$の Euler 数$e$(Y) は,$G$の既約表現の同型類の個数に一致する.

2 つめの予想は, 3 次元においても何らかの形で$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{K}|\mathrm{a}\mathrm{y}$対応が成立するということを示唆している.

クレパント解消の存在は, 1990 年代の半ばまでに, 伊藤, Markushevich, Roan らによっまでの系列が存在する [YY93]) に応じの分類 (A からて示された. それは,て個別に構或されたものであった. 2 つめの予想については, 伊藤-Reid によって $Y$ のコホモ
ロジーの基底と $G$ の共役類に対応をつけるという形で示された.
はクレパント解消である, というこ-\rightarrow 方中村 [NakOO] は $G$ が可換であれば,とを示した. 前述したように 3 次元 (非特異) 代数多様体の点の Hilbert スキームは一般に非特異ではなく. これはあまり予想されていなかった驚くべき結果であった. さらに, 伊藤中島 [INOO] はこれを使って Grothendieck 群の同型 $K(Y)\cong K^{G}(\mathbb{C}^{3})$ を導きこれを 3 次元の$L$$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(3, \mathbb{C})$$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{3})$McKay 対応とした.
が非可換の場合への拡張は難しいように (筆者には) 思えたが, Bridgeland-King-Reid$G$

によりなされた.

.

定理 6.2 (Bridgeland-King-Reid, [BKROI]).
$Y=G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{3})$$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(3, \mathbb{C})$を有限部分群とすると,は $X=\mathbb{C}^{3}/G$ の一つのクレパント解消である.

・普遍族による $Fourie\prime r$-向井変換$\Phi$:$D(Y)arrow D^{G}(\mathbb{C}^{3})$は三角圏の同値である.

この証明の特筆すべき点は, $Y$ が非特異であることを示すのにも導来圏や Fourier- 向井変換
力体質的な役割を果たすことである, (この論文の最初のタイトルは ”Mukai implies McKay”
であった.)のクレパント解消の統一的構或力呵能になったわけであるが,これらの結果によって$\mathbb{C}^{3}/G$という特別なものが存在す
また一方で一般には複数個あるクレパント解消の中にるということも意味する. そこで我々が問題にするのは, 他のクレパント解消についても同様の構或ができないか ? ということである.
$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{3})$7フロツプとムーバブルコーン

ここでは, 複数存在するクレパント解消の間の関係について, 良く知られていることを説明す
や [Mat02] を見られたい.
る. 詳しくは [ 森$\mathrm{K}$$98_{1,\lrcorner}^{\rceil}$

51
3 次元代数多様体の極小モデルは一意には定まらないと述べたが,2 つの極小モデルはフロップという操作の列で移りあう. ここでは, フロツプの-^般的な定義は述べずに, 最も簡単のクレパント解消は, $G$ がアーベル群のときにはトーなものを例として挙げる. 実際,
リック多様体となり, 次のフロップだけを考えればよい.
$\mathbb{C}^{3}/G$

をその中に埋め込まれた
例 7.1 (Atiya のフロップ). $Y$ を 3 次元非特異代数多様体,$Y$ における法束 $N_{l/Y}$ が $O_{l}(-1)\oplus O\ell(-1)$
をのに同型であるとき,
射影直線とする.
$p\cong \mathbb{P}^{1}$$\ell$$\ell$曲線と言う.
$E:=f^{-1}$ (l) は$(-1,$ $-1)$$Y$-$\mathrm{P}^{1}\cross \mathrm{P}^{1}$の$\ell$

によるブローアップを $f$ :に同型, 法束$N_{E/\overline{Y}}$はとすると, その例外因子へである. すると, $E$ の$\overline{Y}arrow Y$$\mathrm{P}^{1}$$O_{\mathrm{P}^{1}\cross \mathrm{P}^{1}}(-1, -1)$

を別の方向につぶすことができて, 非特異多様体 $Y’$ を得る.のもう一つの射影に対応して$E$ の像’ は再び $(-1,$ $-1)$ 曲線である. このようにできる双有理写像 $Y–*Y’$ (定義域は
) はフロップの古典的な例である.
は$Y$ においての像で特異点を持を一点につぶすことができて, 多様体 $W$ を得る.
: $Yarrow W$
ち, それは解析的には 4 変数の非退化 2 次型式で定義される超曲面の特異点である.
も: $Y’arrow W$ もともに $W$ の (スモールな=例外集合の余次元が 2 以上の) 特異点解消であ-豊富な直線束はフロップにより \mbox{\boldmath $\varphi$}’-豊富な直線束の逆直線束にうつる」
るが, 重要なことは,ことである.
$\overline{Y}$$\ell’\subset Y$-$Y\backslash \ell$$\ell$$\mathrm{f}/V$$\ell$$\varphi$$\varphi’$$\lceil_{\varphi}$

我々は $X=\mathbb{C}^{3}i$ G 上射影的なクレパント解消 : $Yarrow X$ のみを考えるが, 実際フロツプと言うときは $Y’$ も $X$ 上射影的であることを要請する. (単純に $(-1,$ $-1)$ 曲線を取り替えると言う操作では射影性は必ずしも保たれない.) そうすると $1’$ の上に豊富な直線束を考えることが重要である. 直線束を使って, 異なる射影的クレパント解消の間の関係を多面錐のことばで記述しよう. この部分について詳細は, 例えば [Mat02, Chapter 12] を参照されたい.
Pic(Y) は $Y$ 上の直線束 ( の同型類) がテンソル積についてなす群, $Z_{1}(Y/X)$ は によって一点にうつるような $Y$ の既約曲線を基底とする自由加群を表す- これらの間には, 直線束$\tau$-$\tau$の次数を計ることで交点数

Pic(Y)$\cross Z_{1}(Y/X)arrow \mathbb{Z}$が定義できる. そこで,$\mathit{1}\mathrm{V}^{1}(Y/X):=(Pic(Y)/\equiv x)\otimes \mathbb{R}$そ$\llcorner$,て$N_{1}(Y/X):=(Z_{1}(Y/X)/\equiv \mathrm{x})\otimes \mathbb{R}$,は上の交点数に関する数値的同値を表す これらは有限次元ベクと定義する. ここで,ル空間となる. $N_{1}(Y/X)$ の中で, 正係数のサイクルで生或される錐を NE(Y/X), その閉包を$\overline{NE}(Y/X)$ と書く
一方 $N^{1}(Y/X)$ の中で豊富な直線束のクラスで生或される錐を Amp
は互いに双対な錐である. (-1, -1)と書く $\overline{NE}(Y/X)$ とその閉包を
曲線 が別の射影的クレパント解消 $Y’$ へのフロップを定めるのは が $\overline{NE}(Y/X)$ の端射線であるときである. このとき, $N^{1}(Y/X)$ と $N^{1}(Y’/X)$ は自然に同-^視でき, その中でととは余次元 1 の面を境界に隣接する. すべての射影的クレパント解消 }’ を考$\rceil\backslash$$\equiv x$$(\mathrm{Y}/\mathrm{X})$$\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{p}}(Y/X)$$\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{I}^{\mathrm{J}}}(Y/X)$$p$$\ell$$\overline{\mathrm{A}\mathrm{r}11\mathrm{I})}(Y/X)$$\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{p}}(Y’/X)$

んで,$\overline{\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{v}}$$:=\cup\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{p}}(Y/X)Y$

とおく (一般にはさらに閉包をとる). この錐 Mov の AnlI)(Y/X) への分解が, 射影的クレパ
ント解消の間の関係を記述している. 我々の場合は $Y$ は $X$ と双有理であるので, 上に出てき$12.3]$ 参照). 特
た錐は全て有限多面錐であり, 射影的クレパント解消も有限である (に $G$ がアーベル群のとき, $X$ や $Y$ は全てトーリツク多様体であり, クレパント解消は三角] により形分割のことばで記述できる. 特に, Mov は Gel’fand-Kapranov-Zelevinski
secondary fan と 0 乎ばれるものの一部である.
$[\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}02,$$\lceil\lfloor \mathrm{G}\mathrm{K}\mathrm{Z}94$

52
8

$G$

-constellation とそのモデュライ

で指摘されているのは, $G$ -Hilb は Kronheimer] や SardO-Infirri [SI96] の考察した McKay 痕の表現のモデュライ空間のうち, 特別なパラメータに対応する場合とみなすこ$\lceil \mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{o}89$$\lfloor\lceil \mathrm{I}\mathrm{N}00]$$\lfloor$とができる, ということである. そこで, 他のパラメータに対応するモデュライ空間が他のク
レパント解消を与えると期待できる, 本稿では, McKay 62 の表現という代わりに, G-cluster
を直接一般化した $G$ -constellation という概念を定義して, そちらの言葉でモデュライ空間を調べることにする.

定義 8.1.
を有限部分群とする. $G$-constellation とは上の (有限個の点に台をもつ) G- 同変連接層 $F$ であって, $G$ の表現( F) が正則表現であるもののことである.
$G\subset \mathrm{G}\mathrm{L}(\prime n, \mathbb{C})$$\mathbb{C}^{n}$$H^{0}$

なお, cluster of stars といえば星団であり, Reid は cluster を日本語では点団と呼ぶことを提唱している. 一方, constellation は星座のことである. $G$ -constellation $F$ は, $G$ の正則
表現に 変数多項式環の同変な作用を与えれば定まり, [INOO] にあるように McKay 簸の表現(の同値類) とみなすことができる. 簸の表現のモデュライは King ([Kin94]) により幾何学的不変式論 (GIT) を使って構戒されており, それはそのまま $G$ -constellation のモデュライとなる.
GIT による構或であるから, モデュライは安定性の条件に依存する. そこで G-constellationの安定性の定義を述べよう, $R(G)$ で $G$ の表現環 (すなわち $G$ の表現の Grothendieck 群) を表し, $R\in R$ (G) を正則表現として,$n$$\mathrm{O}-:=\{ \theta\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}_{\mathbb{Z}}(R(G), \mathbb{Q}) |\theta(R)=0\}$,

とおく ただし, $R$ (G) は環ではなくただの加群とみなしている. $E$ が . 上の G- 同変な有限連接層であるとき,により ((E) は $R$ ( G) の元を定めることに注意して(E)) を表す [Kin94] における安定性の定義は, 我々の場合には次のように表現される.
$\mathbb{C}^{n}$$H^{0}$

定義 8.2.

$\theta(E)$$H^{0}$-安定とは, 任意の非自明同変部分層$\theta(E)>0(=\theta(F))$ であることを言う. 不等号を等号付きのものに変えたと\mbox{\boldmath $\theta$}-半安定という.

$E\subset F$き5と$\theta\in\Theta$\urcorner$G- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{c}11_{\mathrm{c}\mathrm{Y}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}F$

について,

$F$

が

$\theta$について,

Irr(G) での既約表現全体の集合を表し,(G) の自由基底である.
$G$

$R$

$\theta$$\rho 0\in \mathrm{I}\mathrm{r}\mathrm{r}(G)$を自明な表現とする. Irr(G) は例 83. 安定性の例を挙げる.

1.

については $\theta(\rho)>0$ を満たすと仮定する. (すると以外の$\theta(R)=0$ の仮定からとなる. ) このとき, $G$-constellation $F$ が \mbox{\boldmath $\theta$}-安定である
こと, -半安定であること, そして $G$ -cluster $Z$ が存在して $F\cong O_{Z}$ となることは, 互いに同値である.
が$\theta\in\Theta$$\rho\in \mathrm{I}\mathrm{r}\mathrm{r}(G)$$\rho 0$$\theta(\rho_{0})<0$$\theta$2.

について考える. $G$-conste 垣 a.fi0n $F$ が 0-安定であることは, $F$ が非自明な同変部分層をもたない, すなわち自由 $G$-軌道 $Z$ が存在して $F\cong O_{Z}$ となることと同値である. 一方任意の $G$ -constellation は 0-半安定である.

$0\in\ominus$

定理 8.4(本質的に [Kin94]).
-半安定な $G$ -constellation の
えば
を参照.)

$\theta$

および-安定な -constellation の同型類のモデュライ
同値類のモデュライが存在する. ( -同値につぃては, 例$G$$\theta$$\mathrm{S}^{\gamma}-$$\mathcal{M}_{\theta}$$\overline{\mathcal{M}_{\theta}}$$S$$fHL\mathit{9}7f$

モデュライ空間と商特異点 $X=\mathbb{C}^{n}/G$ とは次のように関係付けられる. \mbox{\boldmath $\theta$}-半安定なものがを generic であるという-安定である時,

みな$\theta$$\theta$1

命題 8.5.
に対し,. 軌道を台とするような $G$ -consfellafion の同値類を対応させることにより, closed immersionのが得られる. これにより $X$ は既約戒分になる.
$l$$G\cdot x$$G\cdot x$$Xarrow\overline{\mathcal{M}0}$$\overline{\mathcal{M}0}$532.

-安定 $G$ -constellation をその台に対応させることにより, 射が generic ならば, この射は射影的である.
もし$\theta$$\tau:\mathcal{M}_{\theta}arrow X$

が得られる$\theta$上の命題は次の図式で理解される.
$\mathrm{o}$p$\underline{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{n}\tau \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{l}}$$\overline{\mathcal{M}_{\theta}}$$\mathcal{M}_{\theta}$$\tau\downarrow$$\downarrow$$X$

9projective$\underline{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}\overline{\mathcal{M}_{0}}$普遍族と Fourier-向井変換

モデュライ空間の構或法と(F) が正則表現であるということから, 連接層の descentを使って,Cn の-h には -安定 $G$ -constellation の普遍族が存在することがわかる.
$H^{0}$$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot \mathrm{y}$$\theta$$\mathcal{M}_{\theta}\cross$$\mathcal{U}_{\theta}$の$\mathcal{M}_{\theta}$$\mathcal{U}_{\theta}$

への順像を$\mathcal{R}:=\pi_{\mathrm{A}4_{\mathit{0}}*}\mathcal{U}_{\theta}$

とおくと, これには $G$ の作用があるので,$\mathcal{R}=$$\oplus$$\rho$$\mathcal{R},$$\otimes \mathrm{c}\rho$cIrr(G)と分解する. このたちを, tautological bundle という. 普遍族には上の直線束のテ
ンソルによる不定性があるが, 自明な表現に対応する tautological bundleが自明な直線束であるように正規化しておく. そうすれば,もも一意に定まる.
は普遍族とへの多項式環の (G- 同変な) 作用により定まっているので, しばしばを混同する. (も当然 に依存するのであるが, 添字を二っ書. のは面倒であったので省略した. )$\mathcal{R}_{\rho}$$\mathcal{M}_{\theta}$$\mathcal{R}_{\beta t)}$$\rho_{0}$$\mathit{0}_{\mathcal{M}_{\mathit{0}}}$$\mathcal{U}_{\theta}$$\mathcal{U}_{\theta}$$\mathcal{U}_{\theta}$$\mathcal{R},$

注 9.1.

$\mathcal{R}_{\rho}$$\mathcal{R}$$\prime \mathcal{R}$$\mathcal{R}$,$\theta$$\langle$が例 8.3 の 1 の条件をみたすとき,
は $G$ -Hilb(Cn) と (モデュライ空間として)一致する, すなわち, これらはスキー- ムとして同型でありがっその上の普遍族も同型である.
は, tautological bundle
がすべて大域切断で生或されるということにより特$\theta$$\lambda\triangleleft_{\theta}$$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{n})$$\mathcal{R}_{\rho}$

徴付けられる.

普遍族によってやはり導来圏の間の積分函手を考えることができる.

連接層の有界導来圏を表し,の図式を考える.

$D^{G}(\mathbb{C}^{n})$により$\mathbb{C}^{n}$上の$C_{\tau-}$$D(\mathcal{M}_{\theta})$で$\mathcal{M}_{\theta}\rfloor_{-}^{-}$

同変連接層の有界導来圏を表すの次$\mathrm{A}\mathrm{t}_{\theta}\cross \mathbb{C}^{r\iota}$$\pi_{\mathrm{A}4}f$$\backslash ^{\pi_{\mathbb{C}^{\prime \mathrm{L}}}}$$\mathbb{C}^{n}$$\mathcal{M}_{\theta}$$\nearrow\pi$$\tau\backslash$

$X$

函手

$\Phi_{\theta}$:$D(\mathcal{M}_{\theta})arrow D^{G}(\mathbb{C}^{n})$を次のように定義する.

$\Phi_{\theta}(-)=\mathrm{R}\pi_{\mathbb{C}^{n}*}(\mathcal{U}_{\mathit{0}} \otimes\pi_{\mathrm{A}4\mathit{0}}^{*}(-))$.

-constellation のモデュライについても, -cluster t こ対する Bridgeland, King と Reid の }論をそのまま適用することにより, 次が得られる.

$G$

$G$

$.\overline{\mathrm{x}-}-\equiv\neq$$\lceil J$

定理 9.2.
パント解消であり,$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(3, \mathbb{C})$$\Phi_{\theta}$

を有限部分群とする.
は三角圏の同値である.

$\theta$が generic であれば,$\tau:\mathcal{M}_{\theta}arrow X$

はクレ

54

.

これをふまえて, 我々は次のことを問題にする.
や$\mathcal{M}_{\theta}$$\Phi_{\theta}$

は$\theta$とともにどのように変化するが ?

・特に任意の射影的クレパント解消 $Yarrow X$ に対し,

$Y\cong \mathcal{M}_{\theta}$

在するか ?

となる generic を$\theta$は存

一つ目の問題に対しては, chamber 構造を考えることになるので, 次節以降で解説する.
つ目の問題に対する我々の結果は次のようになる.
定理 9.3.
$Yarrow X$ に対し,

$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(3, \mathbb{C})$二を有限アーベル群とする, このとき 2 任意の射影的クレパント解消となる genetic をが存在する.
$\theta\in\ominus$$Y\cong \mathcal{M}_{\theta}$

これは一つ目の問題に対する結果を使って示すことになる. 一つ目の問題が非アーベル群のときにはよくわかっていないため, 上の定理もアーベル群に限定されている.

Chamber 構造と Fourier-向井変換

10

一般に GIT による商空間がパラメータ (一般には, 線形化された直線束) に応じて変化する
様子は, パラメータ空間の chamber 構造で記述される ([Tha96],). (我々の場合には)
は open dense であり, 有限個の狭義凸 (有限) 開多面
generic なパラメータの全体の錐の disjoint union である. 一つの多面錐は, 同じ安定性を定める generic なパラメータ
同値類である.
$[\mathrm{D}\mathrm{H}98_{\mathrm{J}}^{\rceil}$$\mathrm{O}-\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\subset\Theta$$\theta$

定義 10.

$\mathrm{L}$$\theta\in C$

上の開多面錐 $C$ を chamber という.

であるとき,$\mathcal{M}_{\theta},$$\mathcal{U}$\mbox{\boldmath $\theta$},$\Phi_{\theta}$$\overline{C}$の余次元 1 の面を,等は $C$ のみに依存するので,$\mathcal{M}c.,$$\mathcal{U}c$$C$のwall という$\mathrm{t}$, \Phi 。等と書くことにする.

chamber 構造を調べるために,の定義を思い出そう.
は,: $R(G)arrow \mathbb{Q}$ であって$\theta(R)=0$ となるものの集合であった.
ここで, $R$ ( G) は Grothendieck 群(Cn) と同型であり, 安定性の定義の仕方からむしろ後者だと思った方が良いので. これらを同一視することにする. すると, $\chi^{G}(-, -)$ から $R$ ( G) にも内積が導入される.
すると, 2 次元のときには定理 3.1 により, $R(G)/\mathbb{Z}R$ は有限型ルート格子だと思うことができ,(R $(G)/\mathbb{Z}R,$ ) には Weyl 群の作用による chamber 構造が入る. これは本質には Kronheimer により調べられたものである.
$\Theta$$\Theta$$\theta$$K_{\tau^{-1}(0)}^{G’}$$\Theta=\mathrm{H}or\mathrm{n}$$\mathbb{Q}$$\#^{f_{\backslash }}\mathrm{J}$定理 10.2([Kr089], [CS98] も見よ).

1.

$\theta\in\Theta$

を $gener|ic$ とすると,2.

$\theta\in\Theta$

が $gene^{l}ric$ であるための必要十分条件は$\sqrt \mathrm{t}\mathrm{A}_{\theta}$

このとき,

とする.

$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})$は $X$ の極小\hslash 行肖である.
$\theta$へのWeyl 群の作用が自由であることである.

3. 安定性から決まる chamber は, Weyl chamber である.
例 10.3.

$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{2})$を定める chamber $C$ は$C=${$\theta\in\Theta|\theta$( $\rho i)>$ O$(i\neq 0)$

}

である.

. この例の証明をしてみよう.

$P_{\mathcal{T}OO}.f$$C$が右辺を含むことは例 8.3 で見たので, 逆の包含関係を示せば良い. 定理 5.2 によれば,$\Phi_{C}(O_{\mathit{1}_{\mathrm{i}}}(-1))=\rho i\otimes O_{0}$は,$\ell_{i}$$\theta\in C$

上の点に対応する $G$ -constellation に共通の部分層である. 従って, 安定性の定義からならばでなければならない.
口$\theta(\rho_{i})>0$

55
注 10.4.

3 次元のときは,このように,$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{2})$-Hilb(C3) を定める chamber |よ一般に上のようなものより大きい.
に対応する chamber は,$G$$\sqrt$$\Phi_{C},$$(O_{\ell_{1}}(-1)),$..., c$\Phi$$(O_{l_{\tau\iota}}(-1))$の値が正になるという条件で定まることがわかった. より一般に
を
内の例外曲
$Op$
線,
は
(d) をその上の直線束とすると,( (d))のパラメトライズする G-constellationの部分層に重み $O_{p}(d)$ を付けて 「積分」 しなようなものであって, すると安定性の定義がらが成り立つことがわかる. さらに 上の Serre 双対.|生を{吏うと,.
は のパラメトライズする $G$ -consellation の商に重みをっけて 「積分」 したようなものであり,が成り立つ.
群
において$\ell$$O_{l}$$Y=\mathcal{M}_{\theta}$$\ell$$\Phi_{\theta}^{0}$$\theta([\Phi_{\theta}^{0}(Op(d))])\geq 0$$\ell$$\Phi_{\theta}^{1}($$O_{p}(d).\mathrm{I}$$\ell$$\theta([\Phi_{\theta}^{1}(Op(d))])\leq 0$$\mathrm{G}\mathrm{l}\cdot \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}$$K_{\{0\}}(\mathbb{C}^{n})$$[\Phi_{\theta}(O_{\ell}(d))]=[\Phi_{\theta}^{0}(O_{\ell}(d))]-[\Phi_{\theta}^{1}(O_{\ell}(d))]$であるから, 結局$\theta([\Phi_{\theta}(O_{l}(d))])\geq 0$という式がいつでも成り立たなければならない (しかも等号は成立しない). 実際, 定理 10.2 の

3 は次のように表現することができる.
定理 10.5.
要十分条件は,$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})$と仮定し,$C\subset\Theta$

chamber とする. このとき,は$\theta([\Phi c(O\ell_{i})])>0(i=1, \ldots, n)$$\theta\in C$

となる必

である.

以下 chamber I こついてのこの形の記述を 3 次元の場合に拡張する. 実質的にはこれがこの研究の主要な部分であり, 技術的な理由がらアーベル群の場合に限定されてぃる.
により(0) に台を持つ対象がらなるにの充満部分圏,より原点 {0} に台を持つ対象からなる(C3) の充満部分圏を表すことにする. これらの三角圏の群がそれぞれ,はと(C3) である.
.(Mc),)(C3) の同値を導き, 従って同$\tau^{-1}$$D_{\tau^{-1}(0)}(\mathcal{M}_{\theta})$$D(\mathcal{M}_{\theta})$$D_{\{0\}}^{G}(.\mathbb{C}^{3})$$D^{G}$$\mathrm{G}\mathrm{r}o\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\iota \mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}$$K_{\tau^{-1}(0)}$$\Phi c$$K_{\{0\}}^{G}$$D_{\{0\}}^{G}(\mathbb{C}^{\mathrm{i}}.)$$\#_{\lrcorner}|$$D_{\{0\}}^{G}$$=$$\varphi$c:$K_{\tau^{-1}(0)}(\mathcal{M}_{C})arrow K_{\{0\}}^{G}(\mathbb{C}^{3})\sim$を導く. 大域切断をとることにより,( G) であるから,を代入することができる. すると chamber は次のように記述できる.
$K_{\{0\}}^{G}(\mathbb{C}^{3})\cong R$$\theta\in\Theta$に$I\sigma_{\{0\}}^{G}(\mathbb{C}^{3})$定理 10.6.
を有限アーベル群, $C$ を chamber とする. このとき,るための必要十分条件は,が次の不等式を満たすことである.
$G\subset \mathrm{S}\mathrm{L}(3, \mathbb{C})$.

$\theta\in C$の元であ$\theta$

すべての例外直線垣こついて,$\theta(\varphi c(O_{\ell}))>0$.

・すべてのコンパクト被約 OU 外) 因子 $D$ と全ての既約表現$\theta(\varphi_{C}(\mathcal{R}_{\rho}^{*}\otimes\omega_{D}))<\mathit{0}$

上で,

かつ

$\rho$につぃて 5$\theta(\varphi_{C}(\mathcal{R}_{\rho}^{*}|_{D}))>0$

は tautological bundle (従って $C$ に依存する) であり,.

はその双対である.
であることに注意すれば, $C$ は \Phi 。により決定されると言うことになる.
以下で上の定理の解説をする.
一つ目の不等式 $\theta(\varphi c(O_{\ell}))>0$ はがアーベル群でなくとも成立する, そのーっの解釈についてはすでに述べたが, ここではより大域的な見方をしよう. この不等式は, GIT にょり
構或される
上の自然な直線束 (polarisation) は必ず豊富である, ということを表ず式なのである. じつさい,の polarisation は,の定める$\mathcal{R}_{\rho}$$\mathcal{R}_{\rho}^{*}$$\mathcal{R}_{\rho}^{*}\cong\Phi_{\overline{C}}^{1}(\rho\otimes O_{\mathbb{C}^{3}}\cdot)$$G$$\mathcal{M}_{\theta}$$\theta\in C$$\mathcal{M}c$$L_{C}(\theta):=$$\otimes$$\rho$

cIrr(G)$(\det \mathcal{R}_{\rho})$0(p)(10.1)

56
により与えられ, 一方$\mathbb{R}$

である (

F

F

$(\mathcal{R}, \otimes O_{\mathit{1}})\otimes_{\mathbb{C}}\rho$$(\Phi_{C}(O_{l}))\cong\oplus\rho\in 1\iota\cdot \mathrm{r}(G)\mathbb{R}$は大域切断をとる函手) から,$\Gamma$$\theta$($\varphi$c$(O_{\ell})$)$= \sum_{p}\chi(\mathcal{R}, \otimes O_{l})\theta(\rho)=\deg(L_{C}(\theta)|_{l})$とをる.
の境界の引き戻しにはそこで, 写像を考えると, 定理の主張は,なっていない $C$ の wa 垣が二つ目の形の不等式で書け (逆に二つ目の形の不等式は全て成立す)を選ぶ. $G$ がアーベル群との仮る, ということになる. そのような wall $W$ から一般の元$\theta\mapsto L_{C}(\theta)$$\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{p}}(\mathcal{M}_{\theta})$$\theta_{0}$

.
.

定のもと,
のうち,
$D$ になる.

$\mathcal{M}c$$\theta 0$-安定でない上の $G$ -constellation のさは 2 である.

$D$

$G$

$\theta_{0}$-constellation の locus はコンパク ] かつ連結な被約因子$\backslash$-安定性に関する Jordan-H\"older フイノレトレーションの長・上のフイルトレーションの定める部分層または商層のどちらか一方 (のみ) は $D$ 上すべて共通である.

.

で与えられ,, 商層が共通で与えられる. ( は部分層 , または商層の犬域切断に含まれる既約表現ならどれでもよい. )部分層が共通の場合はそれはの場合はそれは$\Phi c(\mathcal{R}_{\rho}^{*}\otimes O_{D})=\Phi_{C}^{0}(\mathcal{R}_{\rho}^{*}\otimes O_{D})$$\Phi c(\mathcal{R}_{\rho}^{*}\otimes\omega_{D})[2]=\Phi_{G}^{2},$ $(\mathcal{R}_{\rho}^{*}\otimes\omega D)$$\rho$

あるいはということを示すことができる. 従って $W$ の定める j\mbox{\boldmath $\tau$}\等式はの形に表され, 逆にこのような不等式は全て成立することも示すことができる. このように, 定理 10.6 の二つ目の不等式が最もテクニカルな部分であり, 詳しくは [CI02]を見ていただきたい.
なお,を定める chamber については, 余分な不等式を減らし, より簡明な表示を得ることができる [CI02, \S 9].
$\theta(\varphi c(\mathcal{R}_{\rho}^{*}\bigotimes_{arrow}\omega_{D}))<0$$\theta(\varphi c(\mathcal{R}_{\rho}^{*}|_{D}))>0$$G- \mathrm{H}\mathrm{i}1\mathrm{b}(\mathbb{C}^{3})$11Wall-crossing と$(\mathcal{M}_{\theta)}\Phi 0)$の変化

前節の結果を元に, パラメータ が wall を越えたときに,がどう変わるか述べよう.
や
まず.- 2 次元のときを考える. 2 次元のときはすべての。は唯– の極小解消に同型であが $C$ によってどう変わるかということが問題になる. $C,$ $C’$ を wal 垣 M で隔てらるので,れた二つの chambcr とする. このとき $W$ がで定義されるような (-2)- 曲線
は $Op_{\iota}(-1)$
がとれる. これは,と同じであり, I{ 群のレベノレでははに関する鏡映である. 道来圏のレベルでは,, (-1) に関する Seidel-Thomas のツイスト
またはその逆であることがわかる
.
(-1)
-1)
$\theta$$\mathcal{M}_{\theta}$$\Phi_{\mathit{0}}$$\mathcal{M}$$\Phi c$$\theta(\varphi_{C}(O_{\ell_{\iota}}))=0$$\theta(\varphi_{C’}(O_{l_{j}}))=0$$p_{\mathrm{t}}$$\varphi_{\overline{C}}^{1},0\varphi_{C}$$\Phi_{\overline{C}}^{1},\mathrm{c}\Phi_{C}$$T_{\mathcal{O}_{l_{l}}}$$O_{\ell}$$T_{\mathcal{O}_{\ell_{j}}(}’$のツイストの定義をしよう. $Y$ を非特異多様体,
連接層の導来圏,(Y) を台がコンパクトである連接層の導来圏とする.
ツイスト函手 $Tg$ : $D(Y)arrow D$ ( Y) を distinguished triangle
ここで$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}1_{-}’\Gamma \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}$$D_{\mathrm{c}}$$\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}o_{Y}(\mathcal{E}, \alpha\rangle\otimes_{\mathbb{C}}\mathcal{E}arrow\alpha \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}arrow 7\epsilon(\alpha)$により定義する.

$D$(Y) をその上の( Y) に対し,$\mathcal{E}\in D_{c}$57( Y) を spherical vect であるとする. すなわち, $\dim fIom^{i}$ ( E, $E$ )であるとする.
( E, $E$ ) $\cong Hom^{\dim Y}(E, E)\cong \mathbb{C}$ かつは三角圏としての同値である.

定理 1L1 ([STOI]).
$0$($i\neq 0,$ im$\mathrm{d}$

$Y$

),

このとき, 函手$\mathcal{E}\in D_{c}$$o$$\dim Hom^{0}$$T\epsilon$$=$$\mathcal{E}\otimes\omega_{Y}\cong \mathcal{E}$例 11.2. 曲面上の (-2)- 曲線の構造層 (又はその上の直線束) は spherical である. 3 次元多が自明な 3 次元多様体 $Y$ に埋め込様体の $(-1,$ $-1)$ 曲線上の直線束も spherical である.
まれた射影的有理曲面 $S$ 上の直線束も spherical である.
$IC_{Y}$$T_{\mathcal{E}}$は $K$ 群には次のように作用する.
$(T_{\mathcal{E}})_{*}(\alpha)=\alpha-\chi(\mathcal{E}, \alpha)[\mathcal{E}]$(-l)i

E, $F)$ で定義される , 双線形型式である.
が自明であるとしよう. $Y$ が偶数次元であるとき, 双線形形式 $\chi(-, -)$ は対称であり,は鏡映である. 一方, $\dim Y$ が奇数のとき, $\chi(-, -)$ は歪対称であり,群でのツイストは $\chi(-, -)$ に関するを境界とする二つの半空間を入れ替えない.
の直交補空間
このことは定理 9.3 を示す際に重要である.
注 11.3. 2 次元の場合, ツイスト
-1)l よ $K$ 群には鏡映として作用するが, 導来圏のレベはフルイド群
ルではこれは無限位数の自己同値である. 実際, Seidel-Thomas は-1)の導来圏への忠実な作用を導くことを証明している.
いよいよ 3 次元の場合の wall-crossing を考える. まず. 前節の考察に基づき wa 垣を次のを一般の元とずる. 同型類を (\mbox{\boldmath $\theta$}0-安定
ように分類しよう. $W$ を charnber $C$ の wall,
性についての)S- 同値類につぶす双有理射
ただし,は$\chi(-, -)$$\chi(\mathcal{E}, \mathcal{F})=\sum_{i}$$\dim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathcal{O}_{Y}}^{i}($$\mathrm{I}<$$K_{Y}$$(T_{\mathcal{E}})_{*}$$(T\epsilon)_{*}$$[\mathcal{E}]^{[perp]}$$[\mathcal{E}]$$T_{\mathcal{O}_{\ell_{i}}(}$$\{T_{\mathcal{O}_{\ell_{\mathrm{t}}}(}$$\}$$\theta_{0}\in W$:$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{\mathrm{W}}$$\mathcal{M}_{C}arrow \mathcal{M}_{\theta_{\cup}}$

は既約でなかったりするので少し違う定義をすべきである. ) ずるを考える. (厳密にはから定まと $Lc$ (\mbox{\boldmath $\theta$}0) は上の豊富な直線束の。への引き戻しであり, cont い’ はる prirnitive contracfion([Wi192]: 相対 Picard 数が 1) 又は同型射である.
$\overline{\mathcal{M}_{\theta_{0}}}$

.
.
.
.

$Lc(\theta_{0})$$\mathcal{M}$$\overline{\mathcal{M}_{\theta_{0}}}$

定義 11.4. $W$ の型を, Wilson [Wi192] に倣って次のように定義する.

contw が同型 ( $Lc$ ($\theta_{0}^{\backslash },|$が豊富) のとき,

を 0 型という.

$W$

contw が曲線を点につぶすとき, I 型というが曲面を点につぶすとき,$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{\mathrm{W}}$

contw が曲面を曲線につぶすとき,

1

況燭箸い.

祁燭箸い

$\tau$

定理 10.6 の一つ目の不等式を与えるのが , I[, Iff 型, 二つ目の不等式を与えるのが 0 型ということになる. このように定義したが,$\mathrm{I}$命題 11.5. $G$ がアーベル群とすると,

況燭 wafl よ存在しない.
$i$ことを示すことができる.
定理 1L6. $C,$ $C’$ を wall $W$ で隔てられた chamber とずる. このとき,および導来圏の同値
M $c)arrow D(\mathcal{M}c\sim 7)$ は次のようになる.

$\mathcal{M}c$と$\mathcal{M}c^{J}$の関係,$\Phi_{\overline{C}’}^{1}\circ\Phi c:D($

0 型:$\mathcal{M}_{C}$と$\mathrm{A}4_{C}$’ は同型であり,$\Phi_{\overline{C}}^{1},0\Phi_{C}$Seide $l-Tho$ mas のツイストである.
儀:$\mathcal{M}_{C}$は’ のフロッフ であり$\mathrm{f}\mathrm{f}\llcorner_{-}$$\mathcal{R}_{\rho}^{*}\otimes O_{D}$$\Phi_{\overline{C}}^{1},\circ\Phi_{C}$は Bon $dal$ -Orlovのフロップの導く同値である.
祁:または$\mathcal{R}_{\rho}^{*}\otimes\omega_{D}$$fBO\mathit{9}\mathit{5},$\S 3f の考察した,’ に同型であり
c は, 祁燭僚 についての, Ho $rja$ やSzeOlf の考えた EZ-変換である. (これも直線束によるテンソルを除く).
$\mathcal{M}c$は$\mathcal{M}c$$\Phi_{\overline{C}}^{1},\circ\Phi$についての,

線束によるテンソルを除いて).

$\circ$$\mathcal{M}c$は$+;\backslash \mathfrak{h}\sqrt\backslash$$6’ze7bdr\acute{\mathit{0}}\acute{i}$$At\cdot i\prime ya$[HorOl,58
定理 9.3 の証明について

12以上の準備のもと, 定理 9.3 の証明の概略を述べよう. $X$ の任意の射影的クレパント解消はのフロップ-Hilb からフロップの列により得られるので, 次のことを示せばよい -Y$Y’$ に対し,’ となる chamber C’ が存在する. これは, フロ. ノプ $Y–*Y’$ を引き起こす I 型の wall が $C$ にあるときは, 定理垣.6 により成り立つが, 一般にはそうではなく,その 」 に 0 型の wa 垣をいくつか越えなければならない. では, どのように 0 型の wall を越
えて行けばよいか, 説明しよう.
の topological fi 比 ration
群$G$$:=\mathcal{M}c$$Y’\cong \mathcal{M}c$$\mathrm{A}\mathrm{L}$$\Pi|$$K(Y)\mathbb{Q}$$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{e}:\mathrm{k}$$K(Y)\mathbb{Q}=F^{0}\supset F^{1}\supset F^{2}\supset F^{3}=0$を考える. すなわち,
は台の余次元力以上である連接層で生或される $K$ (Y) の部分空間である. 一方(0) に台を持つ連接層の Grothendieck 群にも台の次元によるフィ$F^{i}$$\grave{\grave{\backslash }}$$i$$\tau^{-1}$$K\{0\}(Y)\mathbb{Q}$

ルトレーション
$0=F_{-1}^{\urcorner}\subset F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}=K\{0\}(Y)\mathbb{Q}$

をがある.

により

$\chi(-, -)$$K(Y)\mathbb{Q}$とは互いに双対であり,$K\{0\}(Y)\mathbb{Q}$$F^{i}=F_{i-1}^{[perp]}$が成り立つ.

コンバクトな台を持つ Grothendieck 群の間の Fourier-向井変換:
を思い出そう.
(C3) を $R$ ( G) と同–視すると,の随{半として$\varphi C$$K_{\{0\}}^{G}$$K_{\tau^{-1}(0)}(Y^{\backslash })arrow K_{\{0\}}^{G}\sim(\mathbb{C}^{3})$$\varphi c_{J}$$\varphi_{C}^{*}$が定まる.
であっなから,考えることができる.

:$\mathrm{H}_{0111}(R(G), \mathbb{Q})arrow K(Y)_{\mathbb{Q}}$$\Theta=R^{[perp]}$$\varphi_{G}^{*},$$(\Theta)=F_{0}^{[perp]}=F^{1}$である. そこで次のような可換図弐を,$arrow\varphi_{\mathrm{C}J}^{*}$$F^{1}$$\Theta$$L_{C}\downarrow$$\downarrow$p$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(Y)_{\mathbb{Q}}arrow\det\sim F^{1}/F^{2}$

ここで$\mathrm{r}$$Lc$は定理 10.6 で考えたものである.

の L。にさて, フロツプ $Y–+Y’$ を起こすことを考えよう.
.
よる引き戻しが $C$ の wall $W$ を含むときは, $W$ で $C$ と接する chamber C’ を取ればよい. そうでないときは, 0 型の wall に阻まれているので, 0 型の wall を越える必要がある. 目標は(の引き戻し) に辿り着くことであるので, wall-crossing により $Lc$ がどのように変$\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{p}}(Y/X)\cap\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{p}}(\mathrm{Y}’/X)$$\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{p}}(Y’)$

は $C$ に化するのかということが重要である. 上の図式にあるようにであり依らないから結局がどう変わるか, ということになる. これは定理 11.6 で述べたように
Seidel-Thomas のツイストと直線束のテンソルによって表される. そしてツイストは奇数次元
では 「向きを変えない」 ので,はに近付いて行くことができる. 直線束のテンソルの作用 (これは のファイバー方向に作用する) に関する若干の考察をすれば,有限個の 0 型の wall を越えた後, $Y’$ にフロップする I 型の wall を持つ chamber にたどりつ
くことがわかる.
このように定理 9.3 は証明される.
に(\mbox{\boldmath $\theta$}) を対応させる写像は全体で貼り合って$Lc=p\circ\varphi_{C}^{*}$$p$$\varphi_{C}^{*}$$\varphi_{C}^{*}(C)$$p^{-1}(\overline{\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{p}}(Y’/X))$$p$$\theta\in\overline{C}$$L_{C}$

区分的線形写像$\Thetaarrow\overline{\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{v}}$ができるが, この証明ではこれが全射になると言うこともわかる.

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