Du monoïde des endomorphismes d’une extension
intérieure filtrée
Bruno DESCHAMPSLMNO - Le Mans Université
Résumé.— Dans la perspe ive de con ruire une théorie de Galois infinie pour les extensions
non extérieures, nous montrons dans ce texte que le monoïde des endomorphismes d’une
Z-extension intérieure filtrée s’identifie à la complétion procentrale du groupe de ses automorphismes intérieurs. En particulier, ce monoïde a une ru ure topologique naturelle qui
fait de lui un espace complet et totalement discontinu.
Ab ra .— In order to build an infinite Galois theory for non-outer extensions, we show thatthe monoïd of endomorphisms of a filtered inner Z-extension identifies with the procentralcompletion of the group of its inner automorphisms. In particular, this monoid has a natural
topological ru ure for which it is a complete and totally discontinuous space.

.— Introdu ion.
En théorie des corps, le théorème le plus général dont on dispose sur la ru ure du groupe des automorphismes d’une extension e du à Krull (pour le cas commutatif) et Jacobson (pour le cas général).
Il affirme, entre autre, que si une extension de corps H/K e à la fois
• galoisienne (i.e. le corps des invariants de H, sous l’a ion du groupe Aut(H/K) des K-automorphismesde H, e égal à K),• algébrique (i.e. pour tout α ∈ H, les dimensions droite et gauche de K(α) sur K sont finies),• extérieure (i.e. le groupe Int(H/K) des K-automorphisme intérieur de H e trivial, ce qui équivaut
encore à dire que le centralisateur CK (H) de K dans H e égal au centre Z(H) de H),
alors le groupe Gal(H/K) = Aut(H/K) s’identifie à la limite proje ive lim Gal(L/K) où L/K parcourt←−−
l’ensemble des sous-extensions galoisiennes finies de H/K. En particulier, le groupe Gal(H/K) e donc
profini (et sa topologie afférente permet alors de cara ériser les fameuses correspondances galoisiennes entre extensions intermédiaires et sous-groupes fermés). La condition d’extériorité de l’extension
H/K e absolument nécessaire dans ce théorème, car la présence d’automorphismes intérieurs perturbe
fortement les choses dans une extension de corps.
Dans l’article [Des] on s’e intéressé à l’arithmétique des extensions galoisiennes intérieures finies,
c’e -à-dire aux extensions galoisiennes finies H/K pour lesquelles Gal(H/K) = Int(H/K). Dans cet article, l’auteur a introduit la notion de Z-extensions intérieures filtrées qui sont, par définition, les corps H
obtenus comme réunion croissante d’extensions galoisiennes intérieures finies et centrales Hn /K d’unmême corps K. Ces extensions sont elles aussi algébriques et galoisiennes. Si, pour les extensions Hn /K,
on remplace la condition "intérieure et centrale" par la condition "extérieure", on retombe sur KrullJacobson et l’on peut donc se demander si l’on dispose d’un théorème analogue pour les Z-extensions
intérieures filtrées ?
Le présent article vise à unifier la partie ru urelle du théorème de Krull-Jacobson pour les deux
cas, intérieur et extérieur. Dans le cas extérieur, le groupe de Galois Gal(H/K) e égal au monoïdeEndK (H) des K-endomorphismes de H (voir Exemples  et Proposition ) et c’e la ru ure de cemonoïde que nous allons étudier plus généralement pour unifier les deux situations. Pour effe uer cette Classification AMS  : E, E, K, K.

unification, nous nous plaçons dans un cadre plus général : celui des extensions einiziennes filtrées(voir §). Pour une telle extension H/K, nous montrons aux §& que le monoïde EndK (H) peut êtredécrit à la fois comme une complétion proje ive ab raite et comme la complétion d’un certain groupe
topologique ultramétrique (théorèmes  et ). Il en ressort notamment qu’il exi e sur EndK (H) une
topologie tout à fait naturelle qui fait de cet ensemble un espace complet et totalement discontinu.
Dans le cas extérieur, on retombe exa ement sur la ru ure compa e (et donc profinie) de Gal(K/H)
du théorème de Krull-Jacobson et l’on voit ainsi que la ru ure dans le cas extérieur s’affaiblit au
cas général par un passage compa −→complet. Pour le cas d’application aux Z-extensions intérieures
filtrées, on obtient quelque chose de plus précis que dans le cas général : le résultat principal de ce texte(théorème ) e que, si H/K désigne une Z-extension intérieure filtrée, alors le monoïde EndK (H)e la complétion procentrale (voir §.. pour la définition) du groupe Int(H/K) . Ces résultats seveulent être une première pierre à l’édification d’une théorie de Galois des extensions algébriques nonnécessairement extérieures.
Dans ce texte, les corps considérés ne seront pas nécessairement commutatifs. Lorsque l’on parlera
d’une extension finie de corps H/K ce sera pour indiquer que le K-espace ve oriel à gauche H e dedimension finie. Pour toute notion relative à la théorie de Galois sur les corps gauches que l’on utilise
ici nous renvoyons à [Des], [Coh, Chapter ] et [Jac, Chapters &] pour de plus amples précisions.

.— Complétion procentrale d’un groupe.
Dans ce § on\considère un groupe ab rait G filtré par une suite décroissante (Gn )n de sous-groupes
de G vérifiant
Gn = 1.
n

..— Complétion topologique filtrée. Si la condition(C0 ) ∀σ ∈ G, ∀n ≥ 0, ∃m ≥ n, Gm ⊂ σ Gn σ −1e vérifiée alors on sait (voir [Bou]) qu’il exi e une et une seule topologie sur G qui confère à ce groupe
la ru ure deTgroupe topologique et pour laquelle (Gn )n e une base de filtre de voisinages de l’unité.
La condition n Gn = 1 assure alors que cette topologie e séparée. Elle e en fait (ultra)métrisable,
une di ance compatible étant donnée par l’applicationd(σ , τ) = exp(− max(n ≥ 0/ σ −1 τ ∈ Gn ))
b de
b d)
La ru ure uniforme sous-jacente de G e donnée par d et l’on peut considérer le complété (G,G pour cette topologie, que l’on regardera comme l’ensemble des suites de Cauchy à valeurs dans G
quotienté par la relation d’équivalence(σn )n ∼ (τn )n ⇐⇒ lim d(σn , τn ) = 0nb par la loi de composition interne
La composition dans G se prolonge naturellement à G,(σn )n mod(∼).(τn )n mod(∼) = (σn τn ) mod(∼)
lui conférant ainsi une ru ure de monoïde. La seule difficulté pour établir cette dernière propriétéb e bien définie : si (σn )n et (τn )nréside dans le fait de montrer que la loi de composition interne sur G
désignent deux suites de Cauchy, alors pour n, m, h ≥ 0 donnés, on peut écrire(σn τn )−1 (σm τm ) = (τn−1 τh )(τh−1 [σn−1 σm ]τh )(τh−1 τm )Pour N fixé, il exi e un indice h tel que pour tout n, m ≥ h, τn−1 τm ∈ GN et, en particulier, τn−1 τh , τh−1 τm ∈0
GN . La propriété (C0 ) assure l’exi e d’un indice N ≥ N tel que τh−1 GN 0 τh ⊂ GN . Or, il exi e un


0

0

indice h ≥ h, tel que n, m ≥ h , σn−1 σm ∈ GN 0 et l’on a donc finalement (σn τn )−1 (σm τm ) ∈ GN . La suite0(σn τn )n e bien de Cauchy. On montre avec le même type d’argument que si (σn )n ≡ (σn )n mod(∼) et00 0(τn )n ≡ (τn )n mod(∼) alors (σn τn )n ≡ (σn τn )n mod(∼).
De manière générale, les sous-groupes Gn n’étant pas forcément normaux dans G, si (σn )n e de Cauchyb une ru ure de grouperien n’assure que (σn−1 )n le soit : la composition ne confère pas forcément à G(voir [Bou] pour un contre-exemple). Dans la suite, on notera
π1 :

G
σ

b
G
(σ )n mod(∼)−→
7−→

le plongement canonique de G dans son complété.
..— Complétion proje ive. Les applications sur les ensembles de classes à gauches(G/Gn+1 )g−→
x modg (Gn+1 ) 7−→(G/Gn )gx modg (Gn )sont surje ives et définissent un sy ème proje if d’ensembles dont on peut considérer la limite inverse
Π(G) = lim (G/Gn )g←n−−
Sur l’ensemble Π(G) on cherche à définir unecondition suivante

ru ure de monoïde. Pour cela, on considère la(C1 ) Pour tout σ ∈ G, il exi e une infinité d’indices n ≥ 0 tel que σ ∈ NG (Gn )où NG (Gn ) désigne le normalisateur de Gn dans G. Cette condition e S
par exemple vérifiée lorsque lasuite (croissante) des centralisateurs (CG (Gn ))n des Gn dans G vérifie n CG (Gn ) = G. Il convient deremarquer que la condition (C1 ) e plus forte que (C0 ) : en effet, si l’on fixe Gn et σ ∈ G, par (C1 ) il exi em ≥ n tel que σ ∈ NG (Gm ) et l’on peut donc écrire σ −1 Gm σ = Gm ⊂ Gn , ce qui donne bien (C0 ).
On suppose désormais que (C1 ) e vérifiée et l’on définit une loi de composition interne ∗ sur Π(G)de la manière suivante : pour λ = (λn modg (Gn ))n et µ = (µn modg (Gn ))n deux éléments de Π(G), on poseλ ∗ µ = ρ = (ρn modg (Gn ))noù, pour n ≥ 0 et m0 = m0 (µn ) ≥ n tel que µn ∈ NG (Gm0 ), l’on a posé ρn = λm µn pour un indice arbitrairem ≥ m0 .
/ La loi ∗ edéfinie de manière non équivoque.

• Fixons un indice n ≥ 0 et prenons un indice m0 tel que µn ∈ NG (Gm0 ). Pour tout m ≥ m0 , la classe de0
λm µn modulo gauche Gn ne dépend pas de m. En effet, si m ≥ m ≥ m0 ≥ n, alors λ−10 λm ∈ Gm ⊂ Gm0 et
m−1
donc (λm0 µn )−1 (λm µn ) = µ−1n (λ 0 λm )µn ∈ Gm0 ⊂ Gn et l’on a donc bien λm µn ≡ λm0 µn modg (Gn ).
m

On voit donc que, pour les suites (λn )n et (µn )n fixées, l’élément ρn modg (Gn ) ne dépend pas du choix
de m et donc de fa o du choix de m0 vérifiant µn ∈ NG (Gm0 ).
0

0

0

0

• On se donne deux autres suites (λn )n et (µn )n telles que λ = (λn modg (Gn ))n et µ = (µn modg (Gn ))n0000
et l’on considère la suite (ρn modg (Gn ))n où ρn = λm µn pour m ≥ m0 (µn ). D’après ce qui précède et lacondition (C1 ), pour tout n ≥ 0, il exi e un indice m ≥ n assez grand tel que λm µn ≡ ρn modg (Gn ) et000λm µn ≡ ρn modg (Gn ) et µn ∈ NG (Gm ). On a alors
0

0

0

0

−1
−1
−1
(λm µn )−1 (λm µn ) = (µ−1n [λm λm ]µn )(µn µn ) ∈ (µn Gm µn ).Gn = Gm .Gn = Gn
0

Ainsi, ρn ≡ ρn modg (Gn ) et la définition de λ ∗ µ ne dépend donc pas du choix des suites (λn )n et (µn )n .
/ L’élément ρ ebien élément de Π(G). Posons
ρn = λm1 µn
ρn+1 = λm2 µn+1

en ayant choisi m2 ≥ m1 (ce qui eavec µn ∈ NG (Gm1 )avec µn+1 ∈ NG (Gm2 )possible d’après ce qui précède). On a λ−1m2 λm1 ∈ Gm1 et donc

−1
−1
−1
−1 −1
ρn+1
ρn = µ−1
n+1 (λm2 λm1 )µn = (µn+1 µn )(µn (λm2 λm1 )µn ) ∈ Gn Gm1 = Gn

/ La loi ∗ e associative. Soient λ, µ, ν ∈ Π(G). Ce qui précède montre que, pour tout n ≥ 0, il exi e desindices l et m assez grands et tels que[(λ ∗ µ) ∗ ν]n modg (Gn ) = λl µm νn modg (Gn ) = [λ ∗ (µ ∗ ν)]n modg (Gn )/ La suite (1 modg (Gn ))n ∈ Π(G) evisiblement un neutre bilatère pour ∗.

Le magma (Π(G), ∗) e donc un monoïde que l’on appellera par la suite la complétion proje ive dugroupe G relativement à la filtration (Gn )n .
L’application naturel G −→ Π(G) qui à a ∈ G associe (a modg (Gn ))n e visiblement un morphismede monoïdes,T donc de groupes si on le considère à valeurs dans son image. Le noyau de ce morphismee égal à n Gn = 1. On dispose ainsi d’un plongement canonique du groupe G dans Π(G) :
π2 :

G
x

−→
7−→

Π(G)
(x modg (Gn ))nDu point de vue topologique, si l’on muni chaque ensemble (G/Gn )g de la topologie discrète alorsQΠ(G) e un sous-espace fermé de n (G/Gn )g muni de la topologie produit. Pour cette topologie,
l’ensemble Π(G) e en fait métrisable , par exemple pour la di ance δ définie pour λ = (λn modg (Gn ))net µ = (µn modg (Gn ))n parδ(λ, µ) = exp(− max{n/ λn ≡ µn modg (Gn )})Théorème .— L’application
Ψ :

−→
7−→

Π(G)
(λn modg (Gn ))nbG(λn )n mod(∼)

e un isomorphisme de monoïdes qui e , par ailleurs, une isométrie d’espaces métriques et qui fait commuter
le diagramme
G
π2

}
Π(G)

π1
Ψ


b
/G

Preuve : Considérons un élément λ = (λn modg (Gn ))n ∈ Π(G). Puisque, par définition, pour tout n ≥ 1
et tout m ≥ n, on a λ−1n λm ∈ Gn , on voit qued(λn , λm ) ≤ exp(−n)
 De manière générale, si l’on considère un sy ème proje if (E , ϕ )n n n∈N d’espaces topologiques discrets avec des applications

ϕn surje ives, alors En étant séparé et ϕn continue pour tout n ≥ 0, la limite proje ive E = lim En e alors un sous-espace←−−nQ
fermé non vide de l’espace n En muni de la topologie produit. La topologie induite sur E e alors métrisable, par l’application−nd((aQ n )n , (bn )n ) = exp(− max{n/ an = bn }). En effet, la boule
Q ouverte B((an )n , e ) e égale à l’ouvert fondamental {a0 } × · · · × {an } ×
m>n Em ∩ E et, réciproquement, si U = U0 × · · · × Un × m>n Em ∩ E désigne un ouvert fondamental alors U e la réunion desboules B((an )n , e−n ) où (an )n ∈ E vérifie ai ∈ Ui pour tout i = 0, · · · , n.



0

0

et donc que la suite (λn )n e de Cauchy. Si l’on écrit maintenant λ = (λn modg (Gn ))n , on a alors λ−1n λn ∈
00
Gn pour tout n ≥ 1, si bien que d(λn , λn ) (≤ exp(−n)) tend vers 0 avec n et donc (λn )n ≡ (λn )n mod(∼).
L’application
b
Ψ :
Π(G)
−→
G
(λn modg (Gn ))n 7−→ (λn )n mod(∼)
edonc définie de manière non équivoque. Montrons qu’elle ebije ive :Inje ivité de Ψ : soient (λn modg (Gn ))n , (µn modg (Gn ))n ∈ Π(G) telles que les suites (λn )n et (µn )nsoient équivalentes dans G (i.e. limn d(λn , µn ) = 0). Pour tout n ≥ 1, il exi e un indice mn ≥ n telque d(λmn , µmn ) ≤ exp(−n) et l’on a donc λ−1mn µmn ∈ Gn . Puisque l’on a pris le soin de prendre mn ≥ n,−1
−1
−1
ceci implique que λn µn = (λn λmn )(λmn µmn )(µ−1mn µn ) ∈ Gn pour tout n ≥ 1 et ainsi, (λn modg (Gn ))n =(µn modg (Gn ))n .
b Puisque la suite (λn )n e de Cauchy, on
Surje ivité de Ψ : Considérons un élément (λn )n mod(∼) ∈ G.
peut con ruire une suite d’indices n1 < n2 < · · · < nk < · · · telle que, pour tout k ≥ 1 et tout n, m ≥ nk
on ait d(λn , λm ) ≤ exp(−k). La suite (λnk )k e alors suite extraite de la suite de Cauchy (λn )n . Ellee donc elle aussi Cauchy et vérifie (λn )n mod(∼) = (λnk )k mod(∼). Puisque, pour tout p ≥ k, on ad(λnk , λnp ) ≤ exp(−k), on a λ−1
nk λnp ∈ Gk et donc on a (λnk modg (Gk ))k ∈ Π(G). L’image par Ψ de cettedernière suite étant égale à (λnk )k mod(∼) = (λn )n mod(∼), on en déduit que ψ e surje ive.
Montrons maintenant que Ψ e bien un morphisme de monoïdes. Si a = (an modg (Gn ))n et b =(bn modg (Gn ))n sont deux éléments de Π(G) alors, par définition de la loi de composition interne ∗, il
exi e une suite extraite (amn )n telle que a ∗ b = (amn bn modg (Gn ))n . Comme la suite (an )n e de Cauchy,
la suite extraite (amn )n lui e équivalente et l’on a doncΨ (a ∗ b) = (amn bn )n mod(∼) = (amn )n mod(∼)(bn )n mod(∼) = (an )n mod(∼)(bn )n mod(∼) = Ψ (a)Ψ (b)Le fait que le diagramme du théorème soit commutatif découle immédiatement des définitions de
π1 , π2 et Ψ .
Re e finalement à montrer que Ψ ealors

une isométrie. Si λ = (λn modg (Gn ))n et µ = (µn modg (Gn ))nδ(λ, µ) = exp(− max{n/ λn ≡ µn modg (Gn )}) = exp(− max{n/ µ−1n λn ∈ Gn }) = d(Ψ (λ), Ψ (µ))

b et (Π(G), δ) sont totalement discontinus et complets etb d)Corollaire .— Les espaces métriques isomètres (G,l’on a l’équivalenceb sont compa s ⇐⇒ (G/Gn ) e fini pour tout nΠ(G) et Gg
Q
Preuve : L’ensemble Π(G) e un fermé de l’espace topologique produit n (G/Gn )g . Si chaque (G/Gn )ge fini, en tant qu’espaces discrets ils sont donc tous compa s. Il en e donc de même du produit
cartésien (théorème de Tykhonov) et finalement de Π(G).
Réciproquement, chaque proje ion canonique Π(G) −→ (G/Gn )g étant surje ive (ceci vient du faitque x modg (Gn+1 ) 7−→ x modg (Gn ) e surje ive pour tout n) et continue (conséquence de la propriété
cara éri ique de la topologie produit), si Π(G) e compa alors (G/Gn )g e un espace topologique à
la fois discret et compa , il e donc fini.
Remarque .— Il n’y a aucune raison a priori que la condition (C0 ) entraine la condition (C1 ). Pourautant, ju e sous la condition (C0 ), l’application Ψ continue d’exi er entre les ru ures d’ensembles
b ce qui veut dire que l’on peut, dans tous les cas, conférer à Π(G) une ru ure de monoïde
de Π(G) et G,même si de manière générale la loi de composition interne obtenue e moins évidente à décrire.
..— Complétion procentrale. Lorsque le groupeG e de centre trivial et qu’on le filtre par une suiteS
croissante (Pn )n de sous-groupes vérifiant G = n Pn , on peut alors considérer
la suite (Gn )n définie pourTn ≥ 0Spar Gn = CG (Pn ). Puisque Z(G) e supposé trivial, on a bien n Gn = 1. Par ailleurs, la condition
G = n Pn montre que la condition (C1 ) e vérifiée. On peut donc considérer la complétion proje ive
du groupe G relativement à la filtration (Gn )n . Le monoïde (Π(G), ∗) ainsi obtenu e appelé la complétion
procentrale de G relativement à la filtration croissante de sous-groupes (Pn )n .
T
Remarque .— Dans ce §, la condition initiale n Gn = 1 e imposée pour des raisons topologiques :cette hypothèse permet de conférer aux objets algébriques une ru ure
T d’espace métrique. Pour autant,la définition de complétion proje ive a bien un sens lorsque I = n Gn , 1, ainsi que la ru ure
de monoïde que l’on y définit. Dans cette situation plus générale, le noyau de l’application naturelle
G −→ Π(G) vaut précisément I et l’on voit donc que c’e G/I qui se plonge canoniquement dans Π(G).
On remarque qu’alors I e nécessairement normal dans G, ce qui montre que la condition (C0 ) ne peutpas à elle seule entrainer (C1 ). Dans ce cadre plus général, la notion de complétion procentrale exi ebien et l’on voit que I = Z(G). Ceci explique le choix de cette terminologie.

.— Extensions

einiziennes filtrées.

..— Généralités.
Définition .— On dira d’une extension de corps H/K qu’elle possède la "propriété de relèvement des isomorphismes", ou "propriété de Steiniz", ou encore qu’elle e " einizienne" si pour tout corps intermédiaire
H/L/K et tout K-isomorphisme σ ∈ IsomK (L, H) il exi e un relevé σe ∈ EndK (H) de σ à H.
Exemples .— a) Pour tout corps commutatif k, l’extension k/k ed’autre que le théorème éponyme de Steiniz.

einizienne. Ce résultat n’eb) Si H désigne une k-algèbre à division , alors l’extension H/k e
du théorème de Skolem-Noether.

einizienne. C’erien

une conséquencec) Les extensions extérieures, algébriques et galoisiennes de corps sont einiziennes. C’e un des points
clés de la théorie de Galois et du théorème de Krull-Jacobson.
d) Une extension galoisienne (au sens général d’Artin), même dans le cas commutatif, n’e pas toujours
einizienne. Par exemple, l’extension k(t)/k avec k commutatif infini, bien que galoisienne, ne vérifie
pas la propriété de Steiniz en vertu de la proposition qui suit.
Proposition .— Si une extension H/K eeinizienne alors EndK (H) = Aut(H/K).

Preuve : Soit σ ∈ EndK (H) et L = σ (H). La réciproque σ −1 : L −→ H e un K-isomorphisme et se relève
donc à H tout entier en un élément τ ∈ EndK (H). Puisque σ −1 (L) = H, on en déduit que τ(H) = H = τ(L)et si L , H alors τ ne peut plus être inje if. Ainsi, L = H et σ ∈ Aut(H/K).
e) Une extension einizienne,même finie, n’e√
cas de l’extension Q( 3 2)/Q.

pas nécessairement galoisienne. C’e , par exemple, leDéfinition .— On appellera "extension einizienne filtrée" toute extension H/K telle qu’il exi e une suite En accord avec la terminologie introduite dans [Des], on rappelle qu’une k-algèbre à division e un corps de dimension finie
sur son centre k. Autrement dit, les k-algèbres à division sont les k-algèbres simples centrales qui sont des corps.

croissante (Hn )n d’extensions intermédiaires vérifiant les hypothèses suivantes :S(P0 ) H = n Hn .
(P1 ) Hn /K e de type fini.
(P2 ) Hn /K vérifie la propriété de Steiniz.
(P3 ) Il exi e un sous-groupe Γ du groupe Aut(H/K) relevant les groupes Γn = Aut(Hn /K) de la manière
suivante :a) Pour tout n ≥ 0 et tout σn ∈ Γn il exi e σ ∈ Γ tel que σ|Hn = σn .
b) Pour tout σ ∈ Γ , il exi e une infinité d’indices n ≥ 0 tels σ|Hn ∈ Γn .
On pourra préciser que H/K e l’extension einizienne filtrée par la suite (Hn )n et le sous-groupe Γ .
Remarque .— La propriété (P2 ) permet de con ruire des applications ϕn : Aut(Hn /K) −→ Aut(Hn+1 /K)
telles que resn ◦ ϕn = Id, où resn : Aut(Hn+1 /K) −→ IsomK (Hn , H) désigne la re ri ion des applications
à Hn . Le sy ème indu if (Γn , ϕn )n produit, par passage à la limite dire e, un ensemble Γ = lim Γn−−→n.
Gqui s’inje e dans le groupe Aut(H/K) de la manière suivante : un élément de σ ∈ lim Γn =
Γn ∼
−−→
n
n
e représenté par un certain élément de Γn pour un certain indice n ≥ 0. On note abusivement σ ce
représentant. Pour tout x ∈ H, il exi e m ≥ n tel que x ∈ Hm et l’on pose alors σe(x) = ϕn,m (σ )(x) où
ϕn,m = ϕm−1 ◦ ϕm−2 ◦ · · · ◦ ϕn . On voit que la définition de σe(x) ne dépend que de x (et non de m ou dureprésentant de σ ) et que σe e bien un élément de Aut(H/K). Cette correspondance e bien inje ive,
car si σ ∈ Γn et τ ∈ Γm (avec m ≥ n) sont tels que σe = τe alors, en particulier, pour tout x ∈ Hm , on aτ(x) = ϕn,m (σ )(x), c’e -à-dire ϕn,m (σ ) = τ et donc σ ∼ τ.
L’ensemble Γ vérifie visiblement les conditions (P3 .a, b). Nonob ant, rien n’assure que Γ soit un sousgroupe. Une manière de palier à cela consi e à considérer la propriété
Pour tout n ≥ 0, il exi e un monomorphisme de groupes ϕn : Γn −→ Γn+1 tel que resn ◦ ϕn = Id.
propriété qui implique bien la propriété (P3 ) puisqu’alors lim Γn devient naturellement un sous-groupe−−→nde Aut(H/K). Pour autant, le cara ère morphique des applications ϕn n’e pas forcément nécessaire au
fait que Γ soit un sous-groupe .
Exemples .— a) On considère une extension algébrique galoisienne extérieure H/K de corps telle que
H soit filtrée par une suite croissante d’extensions galoisiennes finies Hn /K. L’extension H/K e alors
une extension einizienne filtrée par la suite (Hn )n et n’importe quel sous-groupe Γ ⊂ Gal(H/K) qui
soit dense pour la topologie de Krull-Jacobson. En effet, dans cette situation, la théorie de Galois e
exa ement la même que lorsque les corps sont supposés commutatifs. On sait donc que Gal(H/K) e
un groupe profini qui s’identifie à la limite inverse lim Gal(Hn /K) et l’hypothèse de densité faite sur Γ←−−nassure alors que la proje ion Γ −→ Gal(Hn /K) e un épimorphisme de groupes pour tout n ≥ 0.
b) (Z-extensions intérieures filtrées) On fixe un corps commutatifk et l’on considère une suite croisS
sante (Hn )n de k-algèbres à division. Si l’on pose H = n Hn alors, l’extension H/k a une ru ure
naturelle d’extension einizienne filtrée en considérant le sous-groupe Γ = Int(H/k) ≤ Aut(H/k). En effet, comme nous l’avons rappelé, l’extension Hn /k e bien einizienne. Par ailleurs, d’après le théorèmede Skolem-Noether, pour tout n ≥ 0 on a Aut(Hn /K) = Gal(Hn /K) = Int(Hn /K) et ce groupe
S se plonge
tout à fait naturellement dans Aut(H/K) et l’on voit alors que le groupe Γ = Int(H/K) = n Int(Hn /K)n Par exemple, on considère pour un nombre premier p ≥ 3 fixé, la Z -extension H/Q que l’on filtre par la suite H = H p Zp .
p
n
n
n
n
On a Γn = Zp /p Zp ' Z/p Z et Gal(H/Q) = lim Z/p Z. Pour n ≥ 0, on considère l’application de relèvement ϕn : Gal(Hn /Q) =←−−n
Z/pn Z −→ Gal(Hn+1 /Q) = Z/pn+1 Z définie, pour a = 0, · · · , (pn − 1)/2, par ϕn (a mod(pn )) = a mod(pn+1 ) et ϕn ((pn − a) mod(pn )) =(pn+1 − a) mod(pn+1 ). On con ate que la limite dire e, Γ = lim Z/pn Z, du sy ème indu if (Γn , ϕn )n , s’inje e dans Gal(H/Q) =−−→nlim Z/pn Z et que l’image de cette inje ion e un sous-groupe (dense) isomorphe à Z. (On pourra consulter [DS] pour plus de←−−ndétails sur les sy èmes indu ifs extraits de sy èmes proje ifs.)

joue le rôle attendu dans la définition d’extension einizienne filtrée. Plus généralement, il a été démontré dans [Des] la généralisation du théorème de Skolem-Noether au cas des extensions galoisiennes,
intérieures, finies et centrales. Ainsi, si K désigne un corps commutatif ou non et (Hn )n une suite croissante d’extensions galoisiennes, intérieures, finies et centrales de K, alors l’extension H/K a une ructure naturelle d’extension einizienne filtrée en considérant le sous-groupe Γ = Int(H/K) ≤ Aut(H/K).
..— Monoïde des endomorphismes. Dans toute la suite de ce texte, on reprend les notations des§ précédents et l’on considère H/K une extension einizienne filtrée par une suite (Hn )n et un sousgroupe Γ ⊂ Aut(H/K). Pour tout indice n ≥ 0, on considère le sous-groupe Γen = Γ ∩ Aut(H/Hn ). On a
alors\
Lemme .— La suite (Γen )n e décroissante et vérifie
Γen = 1 et l’on a, en outre, la propriété suivantene −1∀σ ∈ Γ , ∀n ≥ 0, ∃m ≥ n, Γfm ⊂ σ Γn σ

f ePreuve : La propriété (P3 .b) assure qu’il exi e m ≥ n tel que σ|Hm ∈ Γm . On a alors σ −1 Γfm σ ⊂ Γm ⊂ Γn .
Le choix G = Γ dans le §. assure qu’il exi e une et une seule topologie sur Γ qui confère à ce groupe
la ru ure de groupe topologique et pour laquelle (Γen )n e une base de filtre de voisinages de l’unité.
Cette topologie e (ultra)métrisable, par l’applicationd(σ , τ) = exp(− max(n ≥ 0/ σ −1 τ ∈ Γen ))b de Γ pour d.
pour laquelle on peut donc considérer le complété (bΓ , d)
Lemme .— On considère un élément σ ∈ EndK (H).
a) Pour tout n ≥ 0, il exi e σn ∈ Γ tel que σ|Hn = σn|Hn .
b) Si (σn )n désigne une suite d’éléments de Γ vérifiant σ|Hn = σn|Hn pour tout n, alors cette suite e de Cauchy.
000c) Si (σn )n et (σn )n désignent deux suites vérifiant σ|Hn = σn|Hn = σn|Hn pour tout n, alors (σn )n ∼ (σn )n .
Preuve : a) Par l’hypothèse P1 l’extension Hn /K e de type fini, il en e donc de même de σ (Hn )/K.
Puisque H e la réunion des Hn , il exi e donc m ≥ n tel que Hn ∪ σ (Hn ) ⊂ Hm . La propriété de Steiniz
montre alors qu’il exi e σn ∈ Γm tel que σ|Hn = σn|Hn . La propriété (P3 .a) fournit alors un relevé à Γ deσn .
b) Puisque σn+1|Hn = σn|Hn on a σn−1 σn+1 ∈ Γen et donc d(σn , σn+1 ) ≤ e−n . La suite (d(σn , σn+1 ))n converge
donc vers 0 ce qui assure que (σn )n e de Cauchy (puisque d e ultramétrique).
000c) De même, si l’on a σn|Hn = σn|Hn alors σn−1 σn ∈ Γen et donc d(σn , σn ) ≤ e−n −→ 0 ce qui ju ifie bien que0(σn )n ∼ (σn )n .
Le lemme  permet alors de définir de manière non équivoque une applicationΘ:où (σn )n e

EndK (H) −→
σ
7−→

b
Γ
(σn )n mod(∼)

un représentant de la classe (σn )n mod(∼) qui vérifie que σn|Hn = σ|Hn pour tout n ≥ 0.

Théorème .— L’application Θ e un isomorphisme de monoïdes.

Preuve : Inje ivité. Considérons σ , τ ∈ EndK (H) tels que Θ(σ ) = Θ(τ) et fixons un indice m0 ≥ 0.
−m0 et l’on a alors
Puisque (σn )n mod(∼) = (τn )n mod(∼) il exi e un indice m ≥ m0 tel que d(σS m , τm ) ≤ e
σ|Hm = σm|Hm = τm|Hm = τ|Hm . Puisque m0 e quelconque et que H = m0 Hm0 , on en déduit finale0000ment que σ = τ.
Γ , la propriété de Cauchy permet d’affirmer que, pour tout
Surje ivité. Etant donné (σn )n mod(∼) ∈ b
entier k, il exi e un rang nk tel que, pour tout n ≥ nk , d(σn , σnk ) ≤ e−k , c’e -à-dire que σn|Hk = σnk |H . Onkpeut bien sur choisir une suite d’indice (nk )k qui soit ri ement croissante quand k varie. Etant donné
un élément x ∈ H, il exi e k tel que x ∈ Hk et l’on pose alors
σ (x) = σnk (x)0Cette définition e non équivoque car si x ∈ Hk 0 avec k > k alors, puisque nk 0 > nk , on a σn 0 (x) = σnk (x).
k
Puisque chaque σnk e un K-automorphisme, on voit sans mal que σ e un K-endomorphisme. On
a alors Θ(σ ) = (σnk )k mod(∼) et, comme (σnk )k e une suite extraite de (σn )n et que cette suite e deCauchy, on a (σnk )k ∼ (σn )n , c’e -à-dire que Θ(σ ) = (σn )n mod(∼).
Cara ère morphique : posons Θ(σ ) = (σn )n mod(∼), Θ(τ) = (τn )n mod(∼) et Θ(σ τ) = ((σ τ)n )n mod(∼).
Pour un indice h ≥ 0 quelconque fixé, la propriété (P3 .b) assure qu’il exi e N ≥ h tel que τh|HN ∈ ΓN .
Pour n ≥ N et x ∈ Hh , puisque x ∈ Hh ⊂ HN ⊂ Hn , on a τ(x) ∈ HN et l’on peut donc écrire
σn (τn (x)) = σn (τh (x)) = σn (τ(x)) = σ (τ(x)) = (σ τ)n (x)Ainsi, pour tout h ≥ 0, il exi e un rang N tel que pour tout n ≥ N , d(σn τn , (σ τ)n ) ≤ e−h . On a donc
(σn τn )n ≡ ((σ τ)n )n mod(∼), c’e -à-dire Θ(σ τ) = Θ(σ )Θ(τ).

L’isomorphisme Θ confère donc à EndK (H) une ru ure d’espace (ultra)métrique complet pour ladi ance ∆ obtenue par Θ-isomètrie à la di ance db induite par complétion sur bΓ . La di ance ∆ e en
fait définie, pour σ , τ ∈ EndK (H), par∆(σ , τ) = exp(− max{n ≥ 0/ σ|Hn = τ|Hn })Proposition .— Si les extensions Hn /K sont finies et si le monoïde EndK (H) e compa , alors l’extension
H/K a la propriété de Steiniz. En particulier, dans cette situation, on a EndK (H) = Aut(H/K).
Preuve : On considère un corps intermédiaire H/L/K et, pour tout n ≥ 0, on pose Ln = L ∩ Hn . Puisque
Hn /K e supposée finie, il en e de même de Ln /K et, par suite, si l’on se donne un σ ∈ IsomK (L, H)
alors il exi e m ≥ n tel que σ (Ln ) ⊂ Hm . Puisque Hm /K a la propriété de Steiniz, le K-isomorphisme
σ|Ln ∈ IsomK (Ln , H) se relève dans Aut(Hm /K) et donc finalement dans Γ ⊂ EndK (H). Ainsi, pour toutn ≥ 0, l’ensemble
Fn = {τ ∈ EndK (H)/ τ|Ln = σ|Ln }e non vide. Il s’agit d’un ensemble fermé : si τ0 < Fn alors τ < Fn pour tout τ ∈ EndK (H) tel que
τ|Hn = τ0|Hn . On a donc Fn ∩ B(τ0 , e−n ) = ∅ et le complémentaire de Fn voisine doncTtous ses points. Si l’on
suppose EndK (H) compa alors le théorème des fermés emboités montre que n Fn e un ensemble
non vide. Tout élément de cette interse ion e alors un relevé de σ à H tout entier.

Pour pouvoir utiliser les théorèmes  et  et confondre (EndK (H), ◦, ∆) et (bΓ , ., d) à la complétion
proje ive (Π(Γ ), ∗, δ) relative à la filtration (Γen )n , il faut vérifier que la condition (C1 ) e satisfaite. C’ebien le cas : si, pour n ≥ 0, on considère le sous-groupeΩn = {σ ∈ Γ / σ|Hn ∈ Γn }
 Cet argument ne fon ionne a priori pas si l’on suppose ju e H /K de type fini.
net, d’après (P3.b ), tout élément σ ∈ Γ appartient à une infinité de Ωn ⊂ NΓ (Γen ). En conclusion, nous
venons de montrer que
Théorème .— Le monoïde EndK (H) des K-endomorphismes d’une extension H/K einizienne filtrée parune suite (Hn )n et un sous-groupe Γ s’identifie à la complétion proje ive de Γ relativement à la filtration(Γ ∩ Aut(H/Hn ))n .
..— Le théorème de Krull-Jacobson. On considère une extension algébrique galoisienne extérieure
H/K qui e filtrée par une suite croissante d’extensions galoisiennes finies Hn /K (le fait d’être dénombrablement filtré e équivalent à dire que le groupe profini Gal(H/K) e de rang topologique dénombrable). Si Γ désigne n’importe quel sous-groupe de Gal(H/K) dense pour la topologie Krull-Jacobson
alors la théorie de Galois assure que l’extension H/K eeinizienne filtrée. La topologie induite surΓ par le §. e exa ement la topologie de Krull-Jacobson et ce qui précède montre que EndK (H)s’identifie au complété de Γ . La proposition  assure que l’on a l’égalité EndK (H) = Gal(H/K) puisquel’extension H/K e elle aussi einizienne. On retrouve ainsi la partie ru urelle du théorème de
Krull-Jacobson : le groupe topologique Gal(H/K) s’identifie au complété de Γ qui s’identifie à la limite
proje ive lim Gal(Hn /K). On remarquera que le corollaire  prédisait déjà que le groupe Gal(H/K)←−−nétait profini.
La conclusion de ce § e que la théorie des extensions einiziennes filtrées appliquée aux classiques
extensions algébriques galoisiennes extérieures permet de redonner la ru ure du groupe de Galoisétablie dans le théorème de Krull-Jacobson.
..— Application aux Z-extensions intérieures filtrées. Nous allons maintenant mettre à profit les
travaux présentés dans [Des] à la situation suivante :Définition .— On dira d’une extension de corps H/K que c’e une "Z-extension intérieure filtrée" si He la réunion d’une suite croissante de sous-extensions Hn telles que Hn /K soit une extension galoisienne
intérieure finie et centrale pour tout n ≥ 0.
Comme esquissé dans l’introdu ion, ces extensions jouent un rôle analogue, dans le cas intérieur,
au rôle tenu par les extensions algébriques galoisiennes extérieures du théorème de Krull-Jacobson. Du
point de vue arithmétique, on a en effet
Proposition .— Toute Z-extension intérieure filtrée H/K e algébrique, galoisienne et centrale (i.e. Z(H) =Z(K)). Le sous-groupe Int(H/K) e "dense" dans Gal(H/K) (i.e. H Int(H/K ) = K).
Preuve : Si x ∈ H, alors il exi e un indice n ≥ 0 tel que x ∈ Hn . Puisque [Hn : K] e finie, il en e demême de [K(x) : K] (les dimensions droite et gauche coïncident ici car l’extension Hn /K e supposée
galoisienne). Ceci montre que H/K e algébrique.
Le cara ère galoisien de H/K découle du fait (plus fort) que H Int(H/K ) = K : si x ∈ H e invariant parInt(H/K) il l’e par Int(Hn /K) pour tout n ≥ 0. Comme x ∈ Hn pour un certain indice n et que Hn /K e
galoisienne intérieure, on a donc x ∈ K.
Si x ∈ Z(H) alors, comme x ∈ Hn pour un certain indice n, on a x ∈ Z(Hn ) = Z(K) et donc Z(H) ⊂ Z(K).
Réciproquement,comme tout élément de Z(K) commute avec tout élément de Hn pour tout n ≥ 0 et queS
H = n Hn on en déduit que Z(K) ⊂ Z(H).
Les Z-extension intérieure filtrée peuvent se décomposer grâce à une suite de Z(K)-algèbres à division :Proposition .— (Décomposition en produit d’algèbres à division) Soit H/K une Z-extension intérieure
filtrée par une suite (Hn )n . Il exi e une suite (Kn )n de Z(K)-algèbres à division et, pour tout n ≥ 1, desK-isomorphismes ϕn : Hn −→ K ⊗Z(K) K1 ⊗Z(K) · · · ⊗Z(K) Kn faisant commuter les diagrammes



Hn+1
O

ϕn+1

/ K ⊗Z(K) K1 ⊗Z(K) · · · ⊗Z(K) Kn+1Ox1 ⊗···⊗xn 7→x1 ⊗···⊗xn ⊗1

⊂

Hn

ϕn

/ K ⊗Z(K) K1 ⊗Z(K) · · · ⊗Z(K) Kn

de sorte que, pour tout m ≥ 0, H e K-isomorphe au corps lim
H ⊗K ⊗· · · ⊗Z(K) Kn .
−−→n≥m m Z(K) m Z(K)Preuve : D’après [Des, corollaire .b] on sait que Hn−1 décompose Hn et que l’on dispose d’un Kisomorphismes ϕn : Hn −→ Hn−1 ⊗Z(K) CHn (Hn−1 ) naturel. Les corps Kn = CHn (Hn−1 ), qui sont biendes Z(K)-algèbres à division (cf [Des, proposition  et définition-notation ]), fournissent alors la suite
recherchée.

Théorème .— Si H/K désigne une Z-extension intérieure filtrée par une suite (Hn )n alors l’extension H/Ke une extension einizienne filtrée par la suite (Hn )n et le sous-groupe Int(H/K).
En particulier, le monoïde EndK (H) etivement à la filtration (Int(Hn /K))n :isomorphe à la complétion procentrale du groupe Int(H/K) rela-

EndK (H) ' lim (Int(H/K)/Int(H/Hn ))g←n−−
Preuve : Les propriétés (P0,1 ) sont immédiatement vérifiées. La propriété (P2 ) découle de la généralisation du théorème de Skolem-Noether [Des, théorème ] et enfin, (P3 ) découle du fait que Int(Hn /K)s’inje e canoniquement dans Int(H/K). L’extension H/K e donc bien einizienne filtrée par la suite(Hn )n et le sous-groupe Int(H/K).
Avec les notations des § précédents, on pose
• G = Γ = Int(H/K) = {I(x)/ x ∈ CH (K)∗ },no• Pn = Γn = Int(Hn /K) = I(α)/ α ∈ CHn (K)∗ (on identifie canoniquement Int(Hn /K) dans Int(H/K) en
regardant l’automorphisme intérieur I(α) de Hn comme automorphisme intérieur de H),• Gn = Γen = Int(H/K) ∩ Aut(H/Hn ) = Int(H/Hn ) = {I(x)/ β ∈ CH (Hn )∗ },S
Puisque la suite (Pn )n e croissante, que n Pn = Γ et que Pn ⊂ NΓ (Γen ), on voit que la condition (C1 ) esatisfaite. Le théorème  assure alors que EndK (H) e isomorphe à la complétion proje ive du groupe
Int(H/K) relativement à la filtration (Int(H/Hn ))n . Pour voir que cette complétion e la complétion
procentrale de Int(H/K) relativement à la filtration (Int(Hn /K))n , il faut montrer en plus les deux points
suivants :• Int(H/Hn ) = CInt(H/K) (Int(Hn /K)) : l’inclusion Int(H/Hn ) ⊂ CInt(H/K) (Int(Hn /K)) e claire : si α ∈ CHn (K)∗et β ∈ CH (Hn )∗ alors αβ = βα et donc, pour tout x ∈ H, I(α) ◦ I(β)(x) = αβxβ −1 α −1 = βαxα −1 β −1 =I(β) ◦ I(α)(x).
Réciproquement, considérons un élément α ∈ CH (K)∗ tel que I(α) ∈ CInt(H/K) (Int(Hn /K)). Pour tout a ∈CHn (K)∗ on a donc I(αaα −1 a−1 ) = Id et il exi e ainsi λ(a) ∈ Z(H) tel que αaα −1 = λ(a)a. Pour a , −1, on
peut alors écrireλ(a + 1)aα + λ(a + 1)α = λ(a + 1)(a + 1)α = α(a + 1) = αa + α = λ(a)aα + α
ce qui assure que (λ(a + 1) − λ(a))a = (1 − λ(a + 1)). Si a < Z(H), on a nécessairement (λ(a + 1) − λ(a)) =(1−λ(a+1)) = 0 c’e -à-dire λ(a) = λ(a+1) = 1. Si a ∈ Z(H) alors l’égalité αaα −1 = λ(a)a implique que dansce cas aussi λ(a) = 1. Ceci montre finalement que αa = aα, pour tout a ∈ CHn (K)∗ ∪K. Maintenant, commerappelé dans la preuve de la proposition , K décompose Hn c’e -à-dire que Hn = K ⊗Z(K) CHn (K) etl’on en déduit finalement que αa = aα, pour tout a ∈ Hn : I(α) ∈ Int(H/Hn ).
S• Z(Int(H/K)) = 1 : ce point découle immédiatement du précédent car Int(H/K) = n Int(Hn /K) et donc


\
[
 \

Z(Int(H/K)) = CInt(H/K)  Int(Hn /K) =CInt(H/K) (Int(Hn /K)) =Int(H/Hn ) = Int(H/H) = 1nnnBibliographie[Bou] Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique. Topologie générale. Chapitres  à ., Hermann, Paris,.
[Coh] Paul Moritz Cohn, Skew fields. Theory of general division rings, Encyclopedia of Mathematics andits Applications, . Cambridge University Press, Cambridge, (). xvi +  pp[DS] Bruno Deschamps et Ivan Suarez Atias, Prographes sylve res et groupes profinis presque libres, Math.
Ann. , no. , - ().
[Des] Bruno Deschamps, Arithmétique des extensions intérieures, à paraître dans Journal of Algebra.
[Jac] Nathan Jacobson, Stru ure of rings, American mathematical society colloquium publications ().
Bruno Deschamps
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR Université de Caen - Normandie
BP ,  Caen Cedex - France——————————
Département de Mathématiques
Le Mans Université
Avenue Olivier Messiaen,  Le Mans cedex  - France
E-mail : Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr