数理解析研究所講究録
第 1787 巻 2012 年 254-264

254
村瀬義益・ニュートン型の拡張漸化式 (土倉・堀口法)の数値計算と収束比較条件式
俊二 (Shunji Horiguchi)
新潟産業大学 堀口
Niigata Sangyo University

1. 序
1673 年の村瀬義益『算法勿揮改』にはニュートン法の拡張と見られる漸化式がある．これより実変数の方程式 $f(x)=0$ の解 (根)$\alpha$の $q$ 乗$\alpha^{q}$$x$を近似する漸化式が得られる [1].

$x_{n+1}^{q}=x_{n}^{q}-qx_{n}^{q-1}f(x_{n})/f’(x_{n})$( は 以外の整数定数) (1.1)
$q$

$0$

これを村瀬義益ニュートン型の第一拡張漸化式あるいは土倉堀 (Tf 法 (2010) という．特に $q=1$ のときニュートン法{1669,1690) となる．このように和算は現代数学に繋がり，生きている．本稿では $TH$ 法の$\theta$$\square$収束比較条件式を与える (\S 3).

次にある 3 次，5 次方程式に対して を変化させて $TH$ 法の数値計算を行$q$

い，これらの収束が収束比較条件式と対応することを確認する (\S 4). 次の \S 2 から始める．

2. 土倉堀口 $(TID$ 法の導出とグラフ
$TH$

法と接線

$y=f(x)$ を $x^{q}=t(_{q}$ は 0,1 でない整 E\v{c} より変換した関数を $y=g(t)$ とする．
$F$

(2.1)

$g(t)=f(t^{1/q})$(2.2)$t_{n+1}=t_{n}- \frac{g(t_{n})}{g’(t_{n})}$$g(t)=0$ の $g(t)$$y=f(x)$ を 軸方向に $x^{q}=t$ だけ伸縮したグラフとなる．
この関数は $g(x^{q})=f(x)$ となるから，
$x$

にニュ

ー

トン法を適用すると，$t_{n+1}=t_{n}- \frac{f(t_{n}^{1/q})}{f’(t_{n}^{1/q})\rangle_{q}^{/}t_{n}^{1/q-1}}$(23)

により変数 にもどすと $TH$ 法 (l.1) 力 得られる．これは $y=g(t)$ のグラフの点$TH$ 法 (11) はが でない実数の場合でもよい)を意味する．(注．
ける接線の 軸との交点となり，$x^{q}=t$$\grave\grave\grave$$t$

命題 1 (1)$q\leqq-1$$0$$y=g(t)$ 1 は $y=f(x)$ をのとき，1 $x|>(<)1$ で，$x^{q}=t$だけ拡大 (縮小) したグラフとなる．

$|\alpha^{q}|>(<)1$ に移る．
が $|\alpha|>(<)1$ のとき，を $x^{q}=t$ だけ縮小 (拡大) したグラフとなる．
は$y=f(x)$$y=g(t)$のとき，1 $x|>(<)1$ で，したがって $y=f(x)$ の根

(2)

$q$

$t_{n+1}$$q\geqq 2$

したがって $y=f(x)$ の根$\alpha$$\alpha$$|\alpha|>(<)1$ のとき $|\alpha^{q}|<(>)1$ に移る．
が，(3) $y=g(x)$ と $y=f(x)$ は，が奇数のとき $x=\pm 1,$
$q$

$q$

が偶数のとき $x=1$ で交わる．

$y=g(t)$ は $t=a^{q}$ で極U 里 2 (1) $y=f(x)$ が $x=a$ で極大 (/J ) 値をとれば，$\sim$$\grave$

(2)

$q$

にお

$(t_{n},g(t_{n}))$$x$$D=(xf^{*}(x)+(1-q)f’(x))x^{-q}>0(<0)$
が奇数のとき，/」$\grave)\iota$

直 g(aq) $=f(a)$ をとる．

(2.4)

$g^{n}(t)>0(<0)$ すなわち下に凸 (上に凸) となる．
なら，$q$が偶数のとき，$g(t)=f(\pm t^{1/q})$$\pm(xf^{n}(x)+(1-q)f’(x))x^{-q}>0(<0)$ (2.5) (複号同 1 殴
に対して，
$|$

$g^{n}(t)>0(<0)$ となる．
なら，

命題 3 接線の傾き $f’(x)$ 1 は定理 4$y=f(x)$ の曲率$g’(t)=g’(x^{q})=f’(x)(qx^{q-1})^{-1}$$\mu=\frac{f^{n}(x)}{(1+(f’(x))^{2})^{3/2}}$

は $y=g(t)$ の曲率$\mu_{q}$

(2.6)

に移る．

に移る．
(2.7)

$\mu_{q}=\frac{g^{\hslash}(t)}{(1+(g’(t))^{2})^{3/2}}=\frac{f^{n}(x)-(q-1)f’(x)x^{-1}}{(qx^{q-1})^{2}(1+(f’(x)/qx^{q-1})^{2})^{3/2}}$

255
ここで $\mu_{1}=\mu$ となる．

定義 5
傾きが
$x$

$y=f(x)$ のグラフの$+$のとき，この$\theta$

$x$

軸との交点

を $y=f(x)$ と

$x$

$a$

における接線が 軸との成す角を$x$$\alpha 0<\theta<\pi$) とする．接線の軸との成す角とする．接線の傾きがーのとき，$\pi-\theta$

を $y=f(x)$ と軸との成す角とする．

命題 6 $f(x)=0$ の根$<\alpha$$\alpha$に於ける $f(x)$ の $x$が，適当な整数$q$により$x^{q}$に拡大されるとき， に於ける $g(x)$ の$\alpha^{q}$$y=f(x)$ の軸と成す角となる．

$\alpha$の近傍より $y=g(x)$ の$\alpha^{q}$軸と成す角の近傍の方が直線に$x$近い形となる．

命題 7$p$次方程式 $f(x)=x^{p}-c=0(\rho\geq 2)$ のとき， 乗の $TH$ 法は$p$$x_{n+1}^{p}=x_{n}^{p}-px_{n}^{p-1} \frac{x_{n}^{p}-c}{px_{n}^{p-1}}=c$(2.8)となり，任意の初期値に対し 1 回で に収束する．したがってこの漸化式が他の漸化式より反復回数が少
$c$

ない．

3. $TH$ 法の計算過程と収束比較条件式
TH 法の計算過程 初期値
める．反復回数は$n$$x_{0},$$x_{0}^{q}$を与える．次に下図のように$x_{i}^{q}arrow x_{i}$のように$x_{i}^{q}$と$x_{i}$

を交互に求でカウントする．
$x_{0}arrow x_{0}^{q}arrow x_{1}^{q}arrow x_{1}arrow x_{2}^{q}arrow x_{2}arrow x_{3}^{q}arrow x_{3}arrow\cdots$$X_{0}arrow$$X_{1}$$-\geq$$x_{2}$$arrow X_{3}$$\cdots$$arrow x_{4}arrow$$\Downarrow$$\sim^{\gamma}\uparrow_{\fbox{}}\searrow^{\infty}\uparrow\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\infty}\uparrow\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\infty}\uparrow\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\omega}$$x_{0}^{q}arrow x_{1}^{q}-\approx x_{2}^{q}arrow x_{3}^{q}arrow x_{4}^{q}arrow\cdots$

定理 8$f(\alpha)=0$ ,$q(\neq 0)$を整数定数とする．

$x_{n}arrow\alpha$のとき， 法は，が単根のとき 2 次収束$TH$$\alpha$(3.1)$|x_{n+1}^{q}- \alpha^{q}|\fallingdotseq|(\frac{f^{\hslash}(\alpha)}{2f’(\alpha)}+\frac{]-q}{2\alpha})q\alpha^{q-1}|(x_{n}-\alpha)^{2}$

する．
$\alpha$が $m$ 重根のとき$M=(1-1/m)|q\alpha^{q-1}|<1$

なら 1 次収束する．

$|x_{n+1}^{q}-\alpha^{q}|\leq M|x_{n}-\alpha|$(3.2)

式 (31) からニュートン法と $TH$ 法の収束の速さを比較する十分条件を与える．

定理 9$\alpha$が単根のとき$-1 \leq(1+\frac{f’(\alpha)1-q}{f^{n}(\alpha)\alpha})q\leq 1$(3.3)$TH$ 法がニュートン法より収束が速いか等しい．
なら，方程式 $f(x)=0$ を式変形したものを $g(x)=0$ とする．これに対する $TH$ 法は$x_{n+1}^{r}=x_{n}^{r}-rx_{n}^{r-1} \frac{g(x_{n})}{g’(x_{n})}$であり， が単根のとき$\alpha$

(3.4)

256
$|x_{n+1}^{r}- \alpha^{r}|\fallingdotseq|(’\frac{g^{n}(\alpha)}{2g(\alpha)}+\frac{1-r}{2\alpha})r\alpha^{r-1}|(x_{n}-\alpha)^{2}$となり 2 次収束する．したがって (31) と (3.5) の$(x_{n}-\alpha)^{2}$(3.5)の係数を比較して次を得る．

$\not\in \mathfrak{B}10$$-| \frac{\alpha^{r-1}}{\alpha^{q-1}}|\leq\frac{(\frac{f(\alpha)}{f’(\alpha)}+\frac{]-q}{\alpha})|q|}{(\frac{g^{n}(\alpha)}{g’(\alpha)}+\frac{1-r}{\alpha})|r|}\leq|\frac{\alpha^{r-1}}{\alpha^{q-1}}|$(3.6)

なら，f ) の 乗の $TH$ 法が鹸) の 乗の $TH$ 法より収束が速いか等しい．
$\alpha$$r$$q$

4. ニュートン法$\sim$

法) と $TH$ 法の数値計算例 (3 次 5 次方 IW

初期値の選び方 (1) 閉区間 $[a,b]$ の中点の近傍に $f(x)=0$ の根 があるように $a,b$ を選ぶ．次に $[a,b]$
を 分割し，点を $a=a_{\text{。}}<a_{1}<\cdots<a_{m}|<a_{n}=b$ となるように選び，これらの点を $N$ 法 (q $=$ 1) の初期値等分に近くなることが望ましい．
$x_{0}=a$ , とする． 分割 は
$N$ 法の初期値 (1) こ対応して，$TH$ 法 (1.1) の初期値の選び方は次の 2 通りを考える．
を初期値とする．(注．相対初期値のとき収束比較条件式 (3.3), (3.6) が有効で
(2) 相対初期値$\alpha$$n$$a_{i}$

$|$

$n$

$n$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$x_{0}^{q}=a_{l}^{q}$ある．)(3) 絶対初期値$d-c\fallingdotseq b-a$ ,[c4] の中点の近傍か内部のどこかに閉区間 [c,d] の $cd$ を，$\alpha^{q}$

うに選ぶ．次に [c,d] を 分割し，分点 c、を $c=c_{\text{。}}<c_{1}<\cdots<c_{n-1}<c_{n}=d$ となるように選び，初期値
$n$

があるよ
$x_{0}^{q}=c_{i}$257$q=1$ の撫 $=0$ の根 2,$)$$q=2$ の離$)=0$ の根$2^{2}$,$q=3$ の離$)=0$ の根$2^{3}$, $q=10$ の雄$)=0$ の根$2^{10}$に$q=10$ では 軸と成す角は，他のおける接線の傾きと曲率は次表である．
より小さくなり，画線に近づ
$x$

$q$

く．

$q^{=}1,2,3,10$ の $TH$ 法$q=l$

数値計算は Excel を使い標準の 10 桁出力で行う．

$x_{n+1}=x_{n}- \frac{x_{n}^{3}-14x_{n}^{2}+48}{3x_{n}^{2}-28x_{n}}$$q=2$$x_{n+1^{=}}^{2}x_{n}^{2}-2x_{n} \frac{x_{n}^{3}-14x_{n}^{2}+48_{-}48-0.\cdot 5x_{n}^{3}}{3x_{n}^{2}-28x_{n}14-15x_{n}}$村瀬義益は『算法勿揮改 Jl (1673) で，炉縁の方程式から次の 2 つの漸化式を考えた :第1法$x_{n+1}^{2}4^{-}48+x_{n}^{3})/14$

村瀬は $x_{0}=0$

を初期値とし，$x_{1^{=}}1.85,$$\chi_{2^{=1.97}},$$x_{3^{=}}1.9936$

まで計算し，解を 2 としている．
第2法$x_{n+1^{=}}^{2}48/(14-x_{n})$ここでは $x_{0^{=}}0,$$x_{1^{=}}1.85,$$x_{2}=1.976,$$x_{3}=1.9989,$$x_{4^{=}}1.9999907$

まで計算し，解を 2 としている．第 1 法より第 2 法の漸化式の方が精度が良くなっている．これらの漸化式の延長として，2 次収束する $q=2$ の $TH$ 法が得られるのである．
第 3 法は長年未解読であったが，2009 年 5 月に藤井康生 (四日市大関孝和数学研) が解読に成功する．
第3法
漸化式
$q=3$

$48-x^{3}=(14-2x)x^{2}$

村瀬はこの方程式で解 (根)2 の確かめをしている．これより$x_{n+1^{=}}^{2}(48-x_{n}^{3})/(14-2_{X_{n}})$が得られる．

$x_{n+1^{=}}^{3}x_{n}^{3}-3x_{n}^{2} \frac{x_{n}^{3}-14x_{n}^{2}+48}{3x_{n}^{2}-28x_{n}}$$q=10$$x_{n+1^{=}}^{10}x_{n}^{10}-10x_{n}^{9} \frac{x_{n}^{3}-14x_{n}^{2}+48}{3x_{n}^{2}-28x_{n}}$258
絶対初期値のとき，初期値を表のようにとる．この場合，$q=3,10$ のとき，根に収束するときの反復回数の平均は，3 回，2 回となり，ニュートン法より速く収束する．
$q=1,-1.-3,-10$
グラフ 1 は $q=-1,-3,-10$ のとき，flX) を変換した $g(x)=x^{-3}-14x^{-2}+48,$(2)$g(x)=x^{-1}-14x^{-2/3}+48$ ,$g(x)=\pm x^{-3/10}-14x^{-1/5}+48$ のグラフである．

$f(x)=0$ の根 $\alpha=2$ は 1 より大きいので，$g(x)=0$ の根は $2^{-1},2^{-3},2^{-10}$ となり 1 より小さくなる．
$F$$N\not\in$$x_{n+1}=x_{n}- \frac{x_{n}^{3}-14x_{n}^{2}+48}{3x_{n}^{2}-28x_{n}}$いずれも $N$ 法より 1, 2 回多い．

$q=-1$$x_{n+1^{=}}^{-1}x_{n}^{-1}+x_{n}^{-2} \frac{x_{n}^{3}-14x_{n}^{2}+48}{3x_{n}^{2}-28x_{n}}$

259

$N$

法と $TH$ 法の収束比較式$-1 \leq(1-\frac{f’(0..5437)1-q}{f^{n}(05437)0.5437})q\leq 1$$q=2$ を得る．このとき $q=2$ の $TH$ 法がより，法より反復回数が少ないか，等しい．
(1) $q=-3,-10$ のとき $g(x)=x^{-1}+x^{-2/3}+x^{-1/3}-1,$ $g(x)=x^{-3/10}+x^{-1/5}+x^{-]/10}-1$ となる．
$N$

$q=1$ の $f(x)=0$の根$\alpha,$-3, $q=-10$ の威 x) $=0$ の根 -1 における曲率はそれとなり，直線に近づく． 軸と成す角は，flx), $_{X}Xq=-3),$ $g(xX\tau^{--}10)$ の順$q=-3$ の $x)=0$ の根

ぞれ約 $0.174$,0.023, 9. $85E\cdot 07$$\alpha$$\alpha$$x$に小さくなる．

$q=1,-1,-3,-10$ の $TH$ 法$\tau-1$$x_{n+1}=x_{n}- \frac{x_{n}^{3}+x_{n}^{2}+x_{n}-1}{3x_{n}^{2}+2x_{n}+1}$$q=-3$$x_{n+1}^{-3}=x_{\overline{n}}^{3}+3x_{\overline{n}}^{4} \frac{x_{n}^{3}+x_{n}^{2}+x_{n}-l}{3x_{n}^{2}+2x_{n}+1}$$q=-1$$q=-10$$x_{n+1}^{-1}=x_{n}^{-1}+x_{n}^{-2} \frac{x_{n}^{3}+x_{n}^{2}+x_{n}-1}{3x_{n}^{2}+2x_{n}+1}$$x_{n+1}^{-10}=x_{\overline{n}}^{10}+10x_{\overline{n}}^{11} \frac{x_{n}^{3}+x_{n}^{2}+x_{n}-1}{3x_{n}^{2}+2x_{n}+1}$

260$N$ 法と 3 つの漸化式を相対初期値で選んだときの計算結果は右表$N$ 法より $TH$ 法である．この場合，が初期値の範囲が広くなり，$|x_{0}^{-1}|,|x_{0}^{-3}|,|x_{0}^{-10}|$$\#DIV/O!$

が大きいとき，あるいは #NUM! となる．

収束するときは $N$ 法より反復回数が少しずつ多くなる．

$q=-1,-3,-10$ の漸化式を絶対初期値で選んだときの計算結果は次表である．

$q=-3,-10$ の場合は $N$ 法より反復回数は少なくなる．これは$q=-3,-10$ のグラフが ) のグラフより 軸となす角が小さい，の近傍では，直線に近い形となっていることが原因と$f^{(X}$$\alpha^{-3},$$x$$\alpha^{-10}$

推測される．
(2)$q=2,3,10$ のとき，それぞれ$g(x)=\pm x^{3/2}+x\pm x^{1/2}-1$ (複号同$g(x)=\pm x^{0.3}+x^{0.2}\pm x^{0.1}-1$$||$

15, $g(x)=x+x^{2/3}+x^{1/3}-1$ ,(複号同{ 圓 となる．
$|$

2, $q=3$ の $g(x)=0$ の根 3, $q=10$ の $x)=0$ の根 10 における曲率はそれぞれ$q=2$ の $x$) $=0$ の根 2, $q=3$ の $x)=0$ の根 3, $q=10$ の $x)=0$
約–0.091, $-0.135,$ $-0.027$ となる．
$q=2$ の $g(x)=0$ の根$\alpha$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$\alpha$261の根$\alpha^{10}$における接線の傾きは，2735, 3354, 7165 となるので， 軸との成す角は $q=2,3,10$ の順に大
$x$

きくなる．
$q=2,3,10$ の $TH$ 法
$q=3$

$N$

$q=2$

$x_{n+1}^{2}=x_{n}^{2}-2x_{n} \frac{x_{n}^{3}+x_{n}^{2}+x_{n}-1}{3x_{n}^{2}+2x_{n}+1}$$q=10$$x_{n+1}^{3}=x_{n}^{3}-3x_{n}^{2} \frac{x_{n}^{3}+x_{n}^{2}+x_{n}-]}{3x_{n}^{2}+2x_{n}+1}$$x_{n+1}^{10}=x_{n}^{10}-10x_{n}^{9} \frac{x_{n}^{3}+x_{n}^{2}+x_{n}-1}{3x_{n}^{2}+2x_{n}+1}$

法と上の 3 つの漸化式を相対初期値，絶対初期値で選んだときの計算結果は次表である．

直線に近づく．また 軸と成す角も大きくなり，反復回数が多くなったり，ffiUM! となる．
$x$

絶対初期値
$q=2$

の計算は省略する．この場合もが大きくなると，反復回数が多くなったり，#NUM! となり，ニュート$q$ン法より収束が劣る．

例 2.3$f(x)=-x^{5}+2x^{4}+1=0$

これは $x,x^{2},x^{3}$ の項がない方程式であり，根$\alpha\fallingdotseq 2.056$

である．

グラフは $x=0$ で極小，この近傍で 軸と並行，$x=8/5$ で極大$x$となり，ここから単調減少して根$N$$\alpha$と交わり，変化が激しい．

法と $TH$ 法の収束比較式$-1 \leq(1+\frac{f’(2..056)1-q}{f^{n}(2056)2.056})q\leq 1$を満たす は，$q=8,9$ である．このとき $TH$ 法が $N$ 法より反復回数が少ないか等しい．
$q$

以下の数値計算でこのことを確かめる．
(1)$q=1,-1,-3,-10$

グラフは $q=-1,-3,-10$ のとき，A) を変換した $g(x)=-x^{-5}+2x^{\triangleleft}+1,g(x)=-x^{-5/3}+2x^{-4/3}+1$ ,$g(x)=-x^{-y_{2}}+2x^{-2/5}+1$ のグラフである．

$f(x)=0$ の根$\alpha,$$q=-1$ の $A)=0$ の根$\alpha$-1, $q=-3$ の$g(\kappa)=0$の根$\alpha$-3, $q=-10$ の$d\alpha)=0$の根 -1における曲率はそれぞれ約–0.0093, $-0.0028,$ $-0.0024,$ $-8.3E\cdot 05$ となり直線に近づく．
$f(x)=0$ の根の根 -1, $q=-3$ のの根 -3, $q=-10$ の $\Phi)=0$ の根$q=-1$ の$\alpha,$$g(_{\kappa})=0$$\alpha$$g^{(_{\mathcal{K}})}=0$$\alpha$$\alpha$$\alpha$における接線の傾きはそれぞれ $-19.8,83.8,118$,54987 となり， 軸と成す角は，順に大きくなる．
$x$

-1

262

例 23(1) 絶対初期値$f(x)=-x^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}5+2x^{-}4+1=0$$q=-1,-3,-10$ の何れにおいても絶対初期値の範囲が相対初期値の範囲より広くなり，#DIVIO! やの近くに選ばないと収束しない．
#NUM! とエラーが多くなる．すなわち初期値を
相対初期値と絶対初期値でこのような結果になるのは，グラフの 軸との交わる角度は y ’) のそれより$\alpha^{-1},\alpha^{-3},\alpha^{-10}$

$x$

$=$

263
$q=-1,-3,-10$ のグラフの方が大きいこと，をんだために接線の傾きが 0 に近くなったことが原因と推測される．
$x_{\overline{0}^{1}},x_{\overline{0}^{3}},x_{0}^{-l0}$(3)$q=2,3,8,9$ の $TH$ 法

$q=3$

$q=2$

$\alpha^{-1},\alpha^{-3},\alpha^{-I0}$

から遠ざかったところに選$x_{n+1}^{2}=x_{n}^{2}-2x_{n} \frac{-x_{n}^{5}+2x_{n}^{4}+1_{-}}{-5x_{n}^{4}+8x_{n}^{3}}x_{n}^{2}-2\frac{-x_{n}^{5}+2x_{n}^{4}+1}{-5x_{n}^{3}+8x_{n}^{2}}$$x_{n+1}^{3}=x_{n}^{3}-3x_{n}^{2} \frac{-x_{n}^{5}+2x_{n}^{4}+1_{-}}{-5x_{n}^{4}+8x_{n}^{3}}x_{n}^{3}-3\frac{-x_{n}^{5}+2x_{n}^{4}+I}{-5x_{n}^{2}+8x_{n}}$$q=8x_{n+1}^{8}=x_{n}^{8}-8x_{n}^{7} \frac{-x_{n}^{5}+2x_{n}^{4}+1_{-}}{-5x_{n}^{4}+8x_{n}^{3}}x_{n}^{8}-8x_{n}^{4}\frac{-x_{n}^{5}+2x_{n}^{4}+1}{-5x_{n}+8}$$q=9x_{n+1}^{9}=x_{n}^{9}-9x_{n}^{8} \frac{-x_{n}^{5}+2x_{n}^{4}+1_{-}}{-5x_{n}^{4}+8x_{n}^{3}}x_{n}^{9}-9x_{n}^{5}\frac{-x_{n}^{5}+2x_{n}^{4}+]}{-5x_{n}+8}$$q=8,9$のとき，収束する場合，$N$ 法より $TH$ 法が反復回数は少なく理論と一致する．特に $q=9$ の場合に収束の様子を調べる．
$x^{9}=t$すなわち$(t_{n}, g(t_{n}))$$x=t^{1/9}$に於ける接線はにより欺) を変換すると $y=g(t)=f(t^{]/9})=-t^{5l9}+2t^{4l9}+1$ となり，
$y=(- \frac{5}{9t_{n}^{4/9}}+\frac{8}{9t_{n}^{5/9}})t-(-\frac{5}{9t_{n}^{4/9}}+\frac{8}{9t_{n}^{5/9}})t_{n}+g(t_{n})$となる．初期値が 159 のとき，6563659005 に収束するまでの 9 乗の $TH$ 法と接線の変化は次の表とグラ

フである．

264

$(c)$

$f(x)=x^{2}-2=0$ と $g(x)=1-2/x^{2}=0$ の $TH$ 法の収束比較条件$\not\supset\sim$

36) は
$|$

$-| \frac{2^{\frac{r-1}{2}}}{2^{\frac{q-1}{2}}}|\leq_{\frac{(\frac{f^{n}(\sqrt{2})}{f’(\sqrt{2})}+\frac{1-q}{\sqrt{2}})|q|}{(\frac{g^{n}(\sqrt{2})}{g’(\sqrt{2})}+\frac{]-r}{\sqrt{2}})|r|}}\leq|\frac{2}{2^{\frac{q-1}{2}}}\frac{r-1}{2}|$となり，このとき 7b) の 乗の $TH$ 法が凶) の 乗の $TH$ 法より収束が速い力 1, 等しい．
$r$

$q$

例えば $q=1$ に固定すると$-|2^{\underline{r-1}}-| \leq\frac{1}{(-2-r)|r|}\leq|2^{\frac{r-1}{2}}|$$-13\leq r\leq-4$ orとなる．この条件を満たす範囲を数値計算から求めると，$1\leq r$となる．

数値計算 6a),(b) の表ば理論と一致する．
これまでの考察より絶対初期値に関して以下の性質 1,2 が判る．

性質 1となる．ここで久 $>1$ ) が適当に大きい整数のとき，のの近傍は $y=f(x)$ の$y=g(x)$ の$y=g(x)$ の軸と成す角 $<y=f(x)$ の 軸と成す角となり，
近傍より直線に近くなる．この場合，絶対初期値を選んだ場合， 法が に収束する反復回数より 乗の$q(>1)$のとき$1\leq|\alpha|$

$x$

なら

$1\leq|\alpha^{q}|$$x=\alpha^{q}$

$x$

$N$

$TH$

法が

$\alpha^{q}$$q$に収束する反復回数の方が少なくなる．

性質 2 $q(<-1)$ のとき$x$$x=\alpha$$\alpha$となる．ここで$y=g(x)$ の軸と成す角となり，$|\alpha|\leq 1$軸と成す角 $<y=f(x)$ の

$x$

なら

$q$

$y=g(x)$ のが適当に小さい整数のとき，$x=\alpha^{q}$の近傍は $y=f(x)$ の $x=\alpha$ の近傍より直$1\leq|\alpha^{q}|$$N$ 法がに収束する反復回数より線に近くなる．この場合，絶対初期値を選んだ場合，$\alpha$$q$

乗の $TH$ 法が$\alpha^{q}$に収束する反復回数の方が少なくなる．
参考文献[1] 村瀬義益著・西田知己校注 :『算法勿悼改』，研成社，1993[2] 鈴木武雄 :算の成立』，恒星社厚生閣， )$7.7$[4] 永坂秀子 :『計算機と数 ( $EJ|$ , 朝倉書店，1980.3[3] 長田直樹 : お話 : 数値解析第 10 回 非線型方程式 (前[5] 戸川隼人 :『数値計算法』，コロナ社 19811[6] 堀口俊二 : 土倉堀口法について，日本数学会 2011 年会，応用数学分科会講演アブストラクト
堀口俊二 : ニュートン法と土倉・堀口法の数値計算，日本数学会 2011 年会，応用数学分科会講演アブストラクト$\mapsto$$hm:/l\iota v\tau w\backslash \cdot.cis.t\backslash vcu.ac^{\backslash }.io/\ovalbox{\tt\small REJECT} osadvrilcc^{\backslash }ilrikc^{Y}i2\alpha)9\cdot 03.odf^{\backslash }$$[\eta$$\mathbb{R}0$$2\alpha$