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集合値写像のベクトル化における各ベクトルのグラフについて
芝浦工業大学 木村 健志
Kenji Kimura
Shibaura Insutitute of Technology,Abstract

集合値写像をベクトル値関数化する際に、各ベクトルはコンパクト集合 ‐」‐.の連続関数などで表現される.本稿では、それらの関数がどのようなグラフになるのかを考察する.

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Introduction

集合同士の比較による集合最適化において、集合値をベクトル値として扱い、ベクトル値関数に対する微分などを取り入れて、集合値の最適化を考える手法が [1] により発表された.この内容の一部をわかりやすい形で表現しなおし,さらに類似のベクトル化関数をいくつか追加したものが [2] である.これらのベクトル化において,もとの集合値写像とベクトル化された関数との関係性を考察する際に図を用いて考えることがあるが,その際各ベクトル値のグラフがどのようになるか,ある程度わかっていると便利である.本稿では,各ベクトル値のグラフについて考察する.

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Preliminary

本稿では \mathbb{R}^{n} における集合のベクトル化を考える.まず,順序錘を C =\mathbb{R}+ (非負象限) とする,また, C のbase を B=co\{e_{1}, e_{n}\} としておく.ただし, e_{i} は第 i 成分のみ1で残りの成分が 0 の基本ベクトルとする.また集合 A に対して co A は A の凸包を表す.空でない C ‐boundedな集合 A\in \mathbb{R}^{n} に対応するベク

トル V(A) を次のように定義する.簡単のため A+C は C ‐convexかつ C‐compactであると仮定する.
k\in B に対して,\varphi(k;A)=\min\{\langle k, a\rangle|a\in A\}.

\varphi(k;A) は各 A に対応して得られる B 上の連続関数であり,コンパクト集合上の連続関数の空間と考えることで \varphi(k;A) を1つのベクト) \ovalbox{\t smalREJCT} とみなすことができる.
またこの設定において, A_{1}, A2\in \mathbb{R}^{n} に対して, (A_{1}+C)\supset A_{2}\Leftrightarrow\varphi(k;A_{1})\leq\varphi(k;A2) , \forall k\in B となることが知られている.つまり集合としての順序とベクトル化したものの順序が一致しているのである.また,| \varphi (k:A)||= \max|\varphi(k;A)|k\in B のノルムを導入することでベクトル値関数に対する微分を考えることができ,順序の対応から集合値写像への微分を考えることができる.

3\varphi (k : A)のグラフ

Figure 1は \mathbb{R}^{2} において A=\{(3,1)\} とした場合のグラフである.定義域 B=co\{e_{1}, e_{2}\} を te_{1}+(1-t)e_{2}, t\in[0,1] と表現し,横軸値が 0 のところが t=0 , つまり e_{2} , 右端が t=1 , つまり e_{1} である.このとき,グラフは \varphi(e_{2}, A)=1, \varphi(e_{2}, A)=3 を結ぶ線分となっている.これは (3, 1) に対応して (e_{1},3) , (e2,1) になっていると考えられる.実際,A が1点の場合, x=(x_{1}, . . , , x_{n})\in \mathbb{R}^{n}, A=\{x\},\varphi(k;A)=\langle k,x \rangle=\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}k=\sum_{i={\imath}^{\ovalbox{\t\smal REJ CT}t_{i}e_{i}, (\sum_{i=1}^{\ovalbox{\t\smal REJECT}t_{i}=1) に対して

Figure 2は \mathbb{R}^{2} において A= co \{(3,1), (2,3)\} とした場合のグラフである.途中で折れているが左側の線分は Figure 1のグラフと一致している.右端は (e_{1},2) となっている,これは (2, 3) の第1成分の値に対応していると考えられる.つまり co \{(e_{2},1), (e_{1},3)\} と co \{(e_{2},3), (e_{1},2)\} の2つの線分の値が小さい方

175のグラフになっていると考えられる.実際 A が2点を結ぶ線分の場合 (この \varphi の場合2点のみでも同様)
A=co\{x, y\} に対して, \varphi(k;A)=\min\{\{k, x\rangle, \{k, y\rangle\} であり, \{k, x\rangle=\langle k, y\rangle となる k のところで折れ曲がる.

Figure 1: A=\{(3,1)\}Figure 2:

A= {co \{(3,1),(2,3)\} }次に B_{1}=\{k\in \mathbb{R}^{n}|||k||=1\} とした場合のグラフを考察してみることにする.

Figure 4: A=\{(-4, -1)\}
Figure 3: B_{1}=\{||k||=1\}, A= co \{(3,1), (2,2)\}Figure 3はbase を B_{1}=\{k\in \mathbb{R}^{n}|||k||=1\} とし A=co\{(3,1), (2,2)\} とした場合のグラフである.端点については,先ほどまでの場合と同様に,(e2, 1), (e_{1},1) となっている.またグラフが折れる点についても,co \{(3,1), (2,2)\} と k が垂直となる点であることがわかる.実際 base の形を変えても,ベクトル化関数の式はほぼ同じで, A が2点を結ぶ線分の場合 (この \varphi の場合2点のみでも同様) A= co \{x, y\} に対して,\varphi(k;A)=\min\{\{k, x\rangle, \{k, y\}\}=\min\{\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}, \sum_{i=1}^{n}t_{i}y_{i}\} と表される.但し,k=(tı, t_{n} ),\sum_{i=1}^{\ovalbox{\t\smal REJECT} (t_{i})^{2}=1 . また,Figure 3のグラフでは2つの線分ではなく2つの凹な曲線分となっている.これは A が正象限の点で構成されているからで,第3象限にあるときは凸関数,第2, 4象限にあるときはどちらでもない形になる考えられる.実際 A=(-4, -1) のときはFigure 4のように凸関数になる.
今度は \varphi のスカラー化部分を線形のスカラー化ではなく非線形のスカラー化にした場合につぃて考察してみたい.

k\in B に対して,\varphi_{1}(k;A)=\min\{t\in \mathbb{R}|(t\cdot k-C)\cap A\neq\emptyset\}.

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このベクトル化関数の場合は, A+C が C‐convexではなくても順序が保たれるという利点がある.では, \varphi_{1}のグラフがどのようになるのか見ていくことにする.

Figure 6: Nonlinear, A=\{(-1, -2)\}

Figure 5: Nonlinear, A=\{(2,1)\}Figure 5は A=\{(2,1)\} としたときの \varphi_{1}(k;A) のグラフである.

義域の端で\inftyとなる.またk と(2, 1) が平行となるところで,つまりともわかる.

A\subset int C のときには \varphi_{1}(k;A) は定

k=( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}) でグラフが折れているこ

Figure 6は A=\{(-1, -2)\} としたときの \varphi(k;A) のグラフである. (e_{2}, -2), (e_{1}, -1) となるところは\varphiと同様である.また k とわかる.

12(-1, -2) が平行な点,つまり k=(_{3},3 ) のところでグラフが折れていることもFigure 7: Nonlinear, A=\{(-3, -1), (-1, -2)\}

Figure 8: Nonlinear, A=co\{(-3, -1), (-1, -2)\}

Figure 7は A=\{(-3, -1), (-1, -2)\} に対する \varphi_{1}(k;A) のグラフである.端点は (e_{2}, -2), (e_{1}, -3) となっている.また k と (-3,1), (-1, -1), (-1, -2) が平行となる点でグラフが折れてぃる.
Figure 8は A=co\{(-3, -1), (-1, -2)\} に対する \varphi_{1}(k;A) のグラフである.端点は (e_{2}, -2), (e_{1}, -3)となっている.また k と (-3,1), (-1, -2) が平行となる点でグラフが折れている.

A=\{(-3, -1), (-1, -2)\} のときよりもグラフが下になっていて, \varphi では区別が付かなかった \{(-3, -1) ,(-1, -2)\} と co \{(-3, -1), (-1, -2)\} の順序にも対応できていることが確認できる.

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まとめ

線形のスカラー化関数を利用したベクトル化では,ベクトル化された関数のグラフは複数の直線 (超平面)の中での最小値として表現でき,比較的簡単に計算できるように思える.その代わり,集合最適化に用いる際には, A+C が C‐convexでなければ順序が保たれない.

非線形のスカラー化関数を用いたベクトル化では,各集合の形状についての制約がなく広い範囲に適用できる.ただし,手作業でグラフを描くのは困難な計算量となる.集合全体を平行移動し,各集合が (-C) と177
共通部分を持つようにできれば,微分なども利用しやすくなる.

References[1] D. Kuroiwa and T. Nuriya, A generalized embedding vector space optimization, Proceedings of theFourth International Conference on Nonlinear Analysis and Convex Analysis, pp.297‐303, 2007,

Yokohama Publishers.

[2] Johannes Jahn, Vectorization in Set optimization, J. Optim. Theory Appl. 167, pp.783‐795 (2015).
Shibaura Institute of Technology
Saitama 337−8570

Japan

E‐mail:kimura.kenji.d7@sic.shibaura‐it.ac.jp
芝浦工業大学

木村健志