第4章 強 度
目 的 各種工業材料の強度特性について理解する．

4.1 重要な概念
4.1.1 構造鈍感・構造敏感
4.1.2 応力拡大係数
4.1.3 破壊じん性
4.1.4 欠陥感受性
4.1.5 寸法効果
4.2 金 属4.2.1 強 度
4.2.2 転 位
4.2.3 強化機構 (1) 固溶強化 (2) 析出強化 (3) 加工硬化
(4) 組織微細化による強化
4.2.4 マルテンサイト変態

4.3 セラミックス
4.3.1 強 度
4.3.2 統計学的評価
4.3.3 時間依存性
4.3.4 熱衝撃
4.3.5 機能性の維持
4.4 ポリマー
4.4.1 強度の温度依存性(1) 脆性破壊 (2) クレージング (3) 冷間延伸 (4) 粘性流動
4.4.2 強度線図
4.5 複合材料
4.5.1 長繊維強化複合材料の強度
4.5.2 短繊維強化複合材料の臨界繊維長さ
4.5.3 複合化による破壊じん性の向上
4.6 強度と破壊じん性の比較

4.7 ケーススタディ(1) 安全な圧力容器 (2) 棒高跳び用ポール (3) コンロッド

1

4.1 重要な概念
4.1.1 構造鈍感・構造敏感 (structure-sensitive/insensitive)
熱処理により微視的構造を変化
・異種元素の固溶
・微細粒子の析出
・転位密度の増加
・結晶粒径の減少↓
転位移動(すべり変形)に対する抵抗上昇↓
塑性的性質が変化
強度向上，延性低下

構造鈍感な性質
そこに存在する原子の種別に依存
する材料固有の性質のこと．この性質は，熱処理により制御できない．
表4.1 構造鈍感・敏感な性質

構造敏感な性質
微視的構造に依存する材料の性質のこと．この性質は，熱処理により制御可能．

熱処理材と非熱処理材（同一材）
・ヤング率は変化せずほとんど同じ．
・強度は大きく異なる．

異種金属
・ヤング率は異なる．
・強度は同じになることもある．

図4.1 熱処理材のヤング率と降伏応力

図4.2 異種金属のヤング率と降伏応力24.1.2 応力拡大係数(stress intensity factor)
作用応力(applied stress) sy∞下にある無限体中の楕円孔において，楕円孔先端の曲率半径 r ≪a のとき，楕円孔先端近傍(x≪ a)の x 軸上の応力場は，
𝑎
𝜌
𝜌
1+
+
2𝑥 + 𝜌
2𝑥 + 𝜌
2𝑥 + 𝜌

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦∞(1)

この式より，楕円孔先端Oに生じる最大応力は，(𝜎𝑦 )max = 𝛼𝜎𝑦∞ , 𝛼 = 1 + 2

𝑎
𝜌

(2)

a：応力集中係数(stressconcentration factor)
一方，き裂(r →0)のとき，
𝜎𝑦 = 𝜎𝑦∞𝑎2𝑥(3)
図4.3 楕円孔による応力集中式(3)を書き直せば，

𝜎𝑦 =

𝐾𝐼
2𝜋𝑥

, 𝐾𝐼 = 𝜎𝑦∞ 𝜋𝑎(4)

KI：モードI(開口モード)の応力拡大係数
一般には部材の形状と作用応力の負荷方向によって決まる係数 A を用いて，(5)

𝐾𝐼 = 𝐴𝜎𝑦∞ 𝜋𝑎
き裂長さや作用応力が異なるが KI の値が同じ↓
き裂先端の応力場が同じ↓
き裂先端では同じ破壊現象が生ずる
A=1

A=√(pa/w)

A=1.12

図4.4 応力拡大係数における係数 A の例

3

4.1.3 破壊じん性(fracture toughness)
CT試験片に引張加重を負荷して破断させる↓
破断時の KI 値(KC と表記)を求める

図4.5 CT試験片(compact
specimen)

図4.6 試験片の板厚と破断面の様相の関係

平面ひずみ条件を満足する板厚(ヒンジ型の変形)で測定された KC を破壊じん
性値 KIC と定義する．き裂やき裂状の欠陥からの破壊条件式は，KI(応力場を表す指標) ≧KIC (材料特性値)

図4.7 変形形態の相違：(左) せん
断型(平面応力)， (右)ヒンジ型(平面ひずみ)(6)

図4.8 試験片の板厚と KC の関係

4

4.1.4 欠陥感受性
低強度(高塑性変形能)→高破壊じん性→欠陥感受性低高強度(低塑性変形能)→低破壊じん性→欠陥感受性高材料が破壊する強度レベルを sf で表記すると，
𝜎𝑓 = 𝜎UTS(7)
しかしながら，内在するき裂やき裂状の欠陥(寸法 2a)から破壊が生ずる場
合，式(5)および(6)より，
𝜎𝑓 =

𝐾𝐼𝐶
𝐴 𝜋𝑎

(8)

図4.9 引張強度と破壊じん性の関係

欠陥感受性に関するケーススタディ
背 景
あなたは大型機械製造会社の設計技術者である．現在，AISI(American Iron
& Steel Institute)規格の4340鋼(1.8Ni-0.8Cr-0.25Mo-0.30C合金鋼)の厚板から作製される重要部品(安全係数2)の軽量化に取り組んでいる．製造部門の非破壊検査装置で深部まで確実に検出できるのは寸法8 mmまでの欠陥である．
設計資料としては手元に図4.9がある．またハンドブックを調べた結果，厚板内に直径 2a の円板状き裂がある場合，KI=(2/p)sd √(pa) であった．
問題1

問題2

問題3

この部品の許容応力は sd=
600 MPaである．製造部門において，急速破壊が生じる最小の欠陥まで検出可能か？
軽量化のため，熱処理を加えて設計応力を sd=800 MPaまで向上させたい．この高強度化は安全か？
上記の場合について許容応力を示せ．
図4.10 大型機械(イメージ)

5

解答1

材料の引張強度は2×600=1200 MPaであるから，図4.9よりKIC=150
MPa m1/2である．破壊条件式 KI=KICより，
𝐾𝐼 = (2/𝜋)𝜎𝑑 𝜋𝑎 = 𝐾𝐼𝐶(9)のとき急速破壊が生ずる．この式より，
2𝑎 = 𝜋𝐾𝐼𝐶 2 /(2𝜎𝑑2 ) = 98(mm) > 8(mm)(10)

よって，欠陥は検出可能である．
解答2 sd=800 MPaとするには，材料の引張応力を2×800=1600 MPaまで向上させることになる．このとき，図4.9よりKIC=40 MPa m1/2である．式(10)より，
2𝑎 = 𝜋𝐾𝐼𝐶 2 /(2𝜎𝑑2 ) = 3.9(mm) < 8(mm)(11)

製造部門の検査装置では寸法8 mm以下の欠陥は検出できない．したがって，
この熱処理は危険である．
解答3 検出可能な最小欠陥寸法に基づいて 2a=8 mmとすると，式(10)より，
𝜎𝑑 = 𝐾𝐼𝐶 𝜋/(4𝑎) = 560(MPa)(12)

皮肉なことに，軽量化のための熱処理が許容応力を低下させ，逆に部品重量を増加させる結果となった．高性能の検出装置を用意しない限り，この熱処理による部品の軽量化は不可能である．

4.1.5 寸法効果
式(2)より，相似な楕円孔の応力集中係数 a は同じであるが応力場は異なる．

sC 以上の応力が作用する領域(rC，rC‘)に欠陥から破壊が生ずると仮定↓
破壊が生ずる確率は右図の場合の方が高い(寸法効果)

楕円孔先端から疲労き裂が発生したならば，楕円孔はき裂となる↓
右図の方が応力拡大係数が大であり，疲労き裂の進展は急速
応力集中係数を用いて設計する場合，
交番応力が作用するか否かを考える必要がある．

図4.11 寸法が異なる楕円孔による応力集中6

4.2 金 属
4.2.1 強 度
金属：強度と延性のバランスが良い→強度部材として使用
設計上重要な強度
・降伏強度 (0.2%耐力)→形状変化しない限界
・引張強度→破壊しない限界
図4.12 金属の応力－ひずみ曲線

簡単な強度設計
𝜎𝑑 = 𝜎𝑦 /𝛼𝑠(13)

sd：許容応力，sy：降伏応力，as：安全係数(safety factor)
降伏強度の支配要因
転位移動に対する抵抗値→組織制御を通じ向上可能

4.2.2 すべりと転位 (dislocation)

図4.13 刃状転位の移動

転位 図4.13のような格子欠陥を「転位」（図の場合，刃状転位）と呼ぶ．
すべりと転位 刃状転位が右へ移動し，表面に達するとすべり段が形成される．
全原子が一度に移動するよりも，極めて低いせん断応力下で転位移動は生ずる（図4.14）．

図4.14 カーペットのたわみとの類似性

7

4.2.3 強化機構
(1) 固溶強化 (solid solution strengthening)
置換型固溶体異種元素を混ぜて合金化した場合，溶媒原子（solvent atom）と溶質原子の大きさが同程度の場合に形成される．例えばTi 中の V など．
侵入型固溶
溶媒原子と溶質
原子の大きさが著しく異なる場
合に形成される．
例えば，Fe 中のCなど．

図4.16 溶質原子と刃状転位

図4.15 固溶体の種別

溶質原子周辺のゆがみは転位移動に対する抵抗となる．
↓
塑性変形を生じさせるためにより大きな応力が必要となる．
↓
固溶強化(2) 析出強化 (precipitation strengthening)
微細粒子の析出
溶体化処理により過飽和固溶体を生成後，比較的低温で時効して多数の極
微細な硬質粒子を析出させる（詳細は後述する）．
オロワン機構 (Orowan mechanism)
転位が析出粒子（precipitate）を切断できない場合，下図のように通過する．

微細析出粒子の析出が転位移動
に対する抵抗となる．
↓
塑性変形を生じさせるためにより大きな応力が必要となる．
↓
析出強化
図4.17 オロワン機構の説明図8

(3) 加工硬化 (work hardening)塑性変形を加えるなどして転位を増殖（転位密度を上昇）させる．
↓
転位間の相互作用およびからみ合いのため，さらに塑性変形を進行させる
ためにはより大きな応力が必要となる．
↓
加工硬化

図4.18 転位間の弾性相互作用力

図4.19 加工硬化の説明(4) 組織微細化による強化
隣接結晶粒の結晶方位が異なるため，転位は結晶粒界に堆積（pile-up）する．
↓
隣接結晶粒に応力場が発生し，その粒界近傍で転位が生成・移動する．
↓
隣接結晶粒にすべりが伝播する．

図4.20 粒界への転位の堆積

図4.21 すべりの伝播モデル

9結晶粒径が小であるほど堆積転位数が減少（隣接結晶粒の応力場低減）↓
作用応力が大でないとすべりは伝播しない↓
組織微細化による強化
ホール・ペッチの関係(Hall-Petch relation)
実験結果において，降伏強度 sy と結晶粒径 dの間に以下のホール・ペッチの関係が成立する．
𝑘

(14)
𝑑
図4.22 転位の堆積による
ここで， sf は摩擦応力，k は材料定数である．
応力場
以下では，ホールペッチの関係を転位モデルに基づいて考える．転位の堆積により生ずる応力場はき裂の応力場と同じであることが解析的にわかっている．作用せん断応力 t の下での転位の堆積長さを L とする．このとき，隣接する結晶粒の角度 q 傾斜したすべり面上の応力場を図4.21の極座標系で表すと，
𝜎𝑦 = 𝜎𝑓 +𝐿𝑟3𝜃 sin 𝜃 sin( 𝜃/2)
𝛽 = cos+22𝜏𝜃𝑟 = 𝛽𝜏(15)

r=d に転位源があり，堆積転位長さがL=d/2 であるとする．転位源からの転位
放出が tq r(d)=tc で生ずる（すべりが伝播する）とする．転位に対する摩擦応力
tf の効果を含めれば，下記のt 値で降伏が生じることになる．
𝜏𝑐 2𝛿
(16)
𝜏 = 𝜏𝑓 +𝛽 𝑑
図4.21の結晶粒のすべり面が作用引張
応力 s 方向と45°の角度をなす場合，t =sy/2 である．同様にt f=sf /2 と考えると，ホール・ペッチの関係が導出される．
𝜎𝑦 = 𝜎𝑓 +

𝑘
𝑑

, 𝑘=

2𝜏𝑐 2𝛿
𝛽(17)

図4.23 Fe-1 wt%Ni合金におけるHall-Petchの関係

10

4.2.4 マルテンサイト変態
鉄： 同素変態(transformation)する．
(高温) オーステナイト(fcc)←912℃→フェライト(bcc) (低温)・除冷：原子が拡散してオーステナイトからフェライトへ変態
・急冷：無拡散変態してマルテンサイト(martensite)へ変態
純鉄のTTT線図ではノーズが極端に左に寄っている(極めて高冷却速度である場合にのみマルテンサイト変態)↓
炭素を添加するとノーズが右へ移動
し，容易にマルテンサイトに変態

図4.24 共析鋼のTTT線図

図4.25 共析鋼の (a) 除冷組織(パーライト)，(b)急冷組織(マルテンサイト)

マルテンサイト変態時に生ずる現象
・無拡散変態であるため，炭素が過飽和に固溶→固溶強化
・転位密度の上昇→加工硬化
・旧オーステナイト粒が細かく寸断される→微細化による強化↓
硬さの上昇(降伏応力の上昇，耐摩耗性の向上)
チタンなどの同素変態点を有する金属材料においてもマルテン
サイト変態は生ずるが，炭素鋼ほどの硬さ向上を生じない↓
鉄鋼材料の優位性(簡便に強度調節可能)

図4.26 面心立方格子から体心立方格子への無拡散変態

図4.27 マルテンサイト変態時の転位密度上昇

114.3 セラミックス
4.3.1 強 度
・結合の局在化された方向性のため，転位移動に強い方向性がある(延性低)．
・潜在的には塑性変形に対する抵抗値は大である．
・不可避的に導入される欠陥のた
め圧縮には強いが引張に弱い．
↓
低破壊じん性(金属の約1/50)
破壊じん性値を KIC，最大き裂寸法を 2am とすると，引張強度 sTC
は，
𝐾𝐼𝐶
(18)
𝜎𝑇𝐶 =
𝜋𝑎𝑚
図4.28 転位移動の難易度の説明図

式(18)において，一般的な値としてsTC =200 MPa，KIC =2 MPa m1/2を用いると，最大き裂寸法は 2am≒
60 mmとなる(原料粉末の大きさと同程度)．引張強度を向上するには， 2amを減じるか， KIC を増加させる必要がある．
引張：低応力下で急速にき裂が進展する(強度低)
圧縮：き裂は安定成長(強度高)↓破壊強度の統計学的評価が必要

図4.29 セラミックスの応力－ひずみ曲線

図4.30 欠陥からのき裂進展，(a)引張時，(b)圧縮時

12

4.3.2 統計学的評価
破壊強度のばらつき→確率的に含まれる欠陥寸法と関係
破損率と残存率
チョーク10本の内，3本折れたとする．このチョークの破損率は Pf=3/10=0.3であり，残存率は PS=1-Pf である．
ワイブル分布関数(Weibull distribution function)
引張応力 sT を負荷した場合，同一体積 V0 の試料における残存率 PS(V0) は次式で表される．なお，s0 および m は実験的に求められる定数である．
𝑃𝑆 (𝑉0 ) = exp −

𝜎𝑇
𝜎0

𝑚

(19)

sT=0 の時 PS(V0)=1
sT=s0 の時 PS(V0)=1/e=0.37↓
残存確率は応力に強く依存する

図4.31 (a) ワイブル分布，(b) ワイブル係数 m と 残
存確率 PS(V0) の関係

ワイブル係数：ばらつきが大きいほど値は小・エンジニアリングセラミックス：m≒10→ばらつき大・鉄鋼材料： m≒100→ばらつきはほとんど無し
定数 s0 の求め方
同じ体積 V0 の試料群を応力 s で試験し，図4.31のようにデータをプロットす
れば，s0 は容易に求められる．
ワイブル係数 m の求め方
式(19)の両辺について2回自然対数をとると，ln ln

1
𝜎= 𝑚 ln𝑃𝑆 (𝑉0 )𝜎0(20)

データを図4.32のワイブルプロット
確率紙に記入すれば，データの直線近似後にその傾きとして m が求められる．

図4.32 ワイブルプロット確率紙

13統計的方法の利点と問題点
・利 点：精度良く品質管理ができる・問題点：精度を維持するためには多数の実験データが必要
確率的には小さい試料ほど
小さなき裂しか含まれない↓
残存率の体積依存性
体積 V0 の試料の残存率を PS(V0) とする．
図4.33 残存率の体積依存性の
この時，n 個の試料が残存する確率は
説明図
PS(V0)n となる．n 個の試料を張り合わせて
体積 V=nV0 の試料としたならば，この試料の残存率 PS(V) は PS(V0)n となる．
したがって，𝑃𝑆 (𝑉) = 𝑃𝑆 (𝑉0 ) 𝑛 = 𝑃𝑆 (𝑉0 ) 𝑉/𝑉0(21)
対数をとれば，

よって，

ln𝑃𝑆 ( 𝑉) =𝑉
ln𝑃𝑆 ( 𝑉0 )
𝑉0

(22)

𝑃𝑆 (𝑉) = exp

𝑉
ln𝑃𝑆 ( 𝑉0 )
𝑉0

(23)

上式に式(19)を代入すれば，𝑃𝑆 (𝑉) = exp −

𝑉 𝜎𝑇
𝑉0 𝜎0

𝑚

(24)

s0 および m が既知↓
製品の破損率の許容限界1-PSおよび製品のV/V0 を決める↓
式(24)より設計応力 sTC が求められる

14

4.3.3 時間依存性
環境中の水分とセラミックスの化学反応↓
き裂先端の結合が断ち切られ，き裂はゆっくりと進展↓
sTC=KIC/√(pac) (式(18))を満たすき裂長さ ac まで成長↓
急速破壊

図4.34 酸化物セラミックスでの準静的なき裂の進展

sTC を求める際に要した時間を tT とすると，同じ試験片が時間 t だけ支えることのできる応力 s は，n を材料定数として，次式で与えられる．

𝜎
𝜎𝑇𝐶

𝑛

=

𝑡𝑇
𝑡

(25)

酸化物セラミックスの場合：n= 10～20
n= 10の時，破断時間 t を tT の10倍にする↓
式(25)より，応力を s=0.8sTC まで下げなければならない

炭化物，窒化物セラミックスの場合：n≒100
n= 100の時，破断時間t を tT の10倍にする↓
式(25)より，応力を s=0.98sTC まで安全15

図4.35 圧力容器の平面窓

解 答 ガラス表面の応力が s1 である場合の関係式は，式(24)にV/V0 ≒1，
PS= 1-Pf =1-10-5， m=10を代入すれば求められる．
𝑃𝑆 (𝑉) = exp −

𝑉 𝜎𝑇
𝑉0 𝜎0

𝑚

= exp −

𝜎1
𝜎010

= 1 − 105 (27)

上式より， s1 / s0 =0.32である．以上で求められた s1 が表面に作用する時，その近傍でもほぼ同様の引張応力が作用すると考えると，1000 hまで強度が保証される応力 s2 は，式(25)より，
𝜎
𝜎𝑇𝐶

𝑛

𝜎2
=
𝜎1

10

=

𝑡𝑇
600
=
𝑡
1000 × 3600

(28)

上式より，s2 / s1 =0.42である．以上より，設計応力 sd は，安全係数を考慮して，
𝜎𝑑 =

𝜎2 𝜎1
1
𝜎0
= 4.5MPa𝜎1 𝜎0 𝛼𝑆

(29)

さらに，式(26)でsmax=sd とすれば，T=16 mmとなる．ただし，この値が熱応力や応力集中および接触応力を受けないという仮定の下で求められた概算値であることに注意を要する．すなわち，実際にはパッキンを工夫して押しつけ加重を分散したり，多数のボルト・ナットでガラス窓を締め付けるなどの考慮が必
要となる．

16

4.3.4 熱衝撃(thermal shock)
急激な冷却：表面は急激に収縮するが内部は高温のまま↓
熱応力の発生線膨張係数を a，ヤング率を E とすると，DT の温度差で発生する熱応力sT は，(30)

𝜎𝑇 = 𝐸𝛼Δ𝑇
この熱応力が式(18)で与えられる破壊強度に達する(sT =sTC)と熱衝撃により破壊する．
高ヤング率(大きな熱応力が発生)で低破壊じん性(破壊強度が低)↓セラミックスは熱衝撃に弱い
図4.36 熱応力の発生

4.3.5 機能性の維持
セラミックスの特長
耐摩耗性(高硬さ)，耐食性(化学的安定)，絶縁性，高ヤング率
セラミックスの欠点
低破壊じん性，低引張強度→解決策：延性材料との複合化
サーメット(cermet)
金属母材(Fe,Ni,Co,Crなど)＋
セラミックス粒子(Al2O3,BeO,TiC,TiN,WCなど)↓
母材：高破壊じん性
粒子：高耐摩耗性，高耐熱性(例)WC：KIC=1 MPa m1/2
→WC-Coサーメット KIC=15 MPa m1/2
図4.37 WC-Coサーメット17接合や表面改質によるセラミックス層の形成
耐摩耗性や耐食性：表面特性に依存↓
表面のみ機能性を改善(表面改質)↓
母材が一般的な材料でも高級材料として使用可能
金属表面におけるセラミックス層の形成

利 点
母材金属全表面の機能性が向上
問題点
セラミックスのヤング率は金属より大である(Ece>Esu)ため，セラミッ
クス層に応力集中が生じて割れやすい

図4.38 窒化によりチタン表面に形成されたセラミック層

図4.39 弾性率の相違に起因する応力集中

4.4 ポリマー
4.4.1 強度と温度依存性
ポリマーの強度は温度(ガラス転移点 Tg で基準化)に著しく依存する(1) 脆性破壊(T≪ Tg)
特別な処置を講じない限り，ポリマー表面には使用中にき裂状の傷が形成される．傷の最大の深さを am とすれば，図4.4および式(18)より強度は次式で表される．

図4.40 ポリマーの応力－ひずみ曲線

図4.41 脆性破壊

18

𝜎𝑓 =

𝐾𝐼𝐶
1.12 𝜋𝑎𝑚(31)

代表値： KIC=1 MPa m1/2，am =10 mm→sf=160 MPa
高 Tg であるポリマー：室温でぜい性破壊↓
欠陥や応力集中に関する十分な考慮が必要(2) クレージング(T≒0.8Tg)
クレーズ(craze，線状ポリマー)延伸された分子鎖がき裂状領域を横切ってつなぎ止めた状態
分子鎖がき裂先端で断ち切られこれによりき裂は進展↓
延性的挙動
図4.42 線状ポリマーのクレージング(3) 冷間延伸(T≒Tg，線状ポリマー)
0.1%のひずみで降伏→弱部より優先的に延伸
折畳み結晶：分子鎖は折畳まれた状態から引き延ばされる．
非 晶 質：分子鎖が絡み合った状態から引き延ばされる．
分子鎖がすべて延伸→1次結合の強度が発現→破断
延伸した状態を製造時に実現↓延伸していない場合に比べて高強度，
高ヤング率(ナイロン繊維)(4) 粘性流動(T>Tg，線状ポリマー)
粘性流動を生じ，強度は著しく低下する．

図4.43 線状ポリマーの冷間延伸

19

4.4.2 強度線図
強度線図
一定ひずみ速度で引張試験を行った場合の温度と強度の関
係図
規格化強度(図4.44の左縦軸)
温度0 Kでのヤング率 E0 で強度を一般化した値○線図から，温度上昇にともない強度の支配要因が脆性破壊→クレージング→
冷間延伸→粘性流動と移り変わり，同時に強度が低下していくことがわかる．
○同じ温度で比較すると，ひず
み速度が低いほど強度が低くなる．

図4.44 線状ポリマー(ポリメタクリル酸メチル，
PMMA)の強度線図

4.5 複合材料
4.5.1 長繊維強化複合材料の強度
繊維が切断する直前の強度
その後，母材が破断する時の強度𝑓𝜎𝑇𝑆 = 𝑉𝑓 𝜎𝑓 + (1 − 𝑉𝑓 )𝜎𝑦𝑚

(32)

𝜎𝑇𝑆 = (1 − 𝑉𝑓 )𝜎𝑓𝑚

(33)

sTS：複合材料の強度，Vf：繊維含有率
sff ：繊維強度，sym sfm 母材降伏応力と強度

図4.45 長繊維強化複合材料の(a) 応力－ひずみ曲線，(b)繊維含有率と強度の関係20繊維含有率 Vf と強度 sTSの関係(図4.45(b))より，Vfc 以下では複合材料の強度は母材の強度より低下する．
引張強度の方向性
・繊維方向
繊維が荷重を負担
・繊維と垂直方向
繊維は荷重を負担せず，界面剥離
繊維方向の強度≫垂直方向の強度
図4.46 強化方向

引張・圧縮時の強度・引張繊維が荷重を負担
・圧縮
繊維は荷重を負担せず，座屈する
引張強度≫圧縮強度
図4.47 座 屈

4.5.2 短繊維強化複合材料の臨界繊維長さ
直径 d の繊維の微小長さ d x に伝達される軸方向の力 d F は，母材のせん断降伏応力をssm とすると，
𝛿𝐹 = 𝜋𝑑𝜎𝑠𝑚 𝛿𝑥(34)

繊維の端部からの x だけ離れた位置で繊維に作用する力は，𝑥

𝐹 = න 𝜋𝑑𝜎𝑠𝑚 𝑑𝑥 = 𝜋𝑑𝜎𝑠𝑚 𝑥

(35)

0

図4.48 短繊維による強化と臨界繊維長さ21繊維単体の強度を sff とすると，繊維が破断する際の作用力は，
𝑓𝐹𝑐 =𝜋𝑑 2 𝜎𝑓4(36)

繊維が破断する位置は，上2式で F=Fc なる関係を用いれば，
𝑓

𝑥𝑐 =

𝜎𝑓 𝑑
4𝜎𝑠𝑚

(37)

l=2xc が臨界繊維長さである．l<2xcなら繊維は破断しないが性能は発揮されない． l=2xcの時，繊維の平均応力は sff/2 であるから，引張強度は式(32)より，
𝑓

𝜎𝑇𝑆 =

𝑉𝑓 𝜎𝑓
2

+ (1 − 𝑉𝑓 )𝜎𝑦𝑚

(38)

4.5.3 複合化による破壊じん性の向上
じん性 Gc
き裂進展時に単位面積あたりに吸収されるエネルギー
き裂がじん性 Gcm の母材とGcf の繊維中を真直ぐ進展する場合，𝑓

𝐺𝑐 = 𝑉𝑓 𝐺𝑐 + (1 − 𝑉𝑓 )𝐺𝑐𝑚

(39)

長さ l の繊維が切断されずに架橋する(bridging)場合，なされる仕事は，
𝑙/2
𝑙/2𝜋𝑑𝜎𝑠𝑚 𝑙 2(40)
න 𝐹𝑑𝑥 = න 𝜋𝑑𝜎𝑠𝑚 𝑥𝑑𝑥 =800

図4.49 複合化により破壊じん性の向上

22単位面積あたりの繊維数は，Vf /(pd 2/4)(繊維に垂直な面： Vf =Af)であるから，単位面積あたりの仕事量は，
𝐺𝑐 =𝜋𝑑𝜎𝑠𝑚 𝑙 2 4𝑉𝑓 𝑉𝑓 𝜎𝑠𝑚 𝑙 2
=
8
𝜋𝑑 2
2𝑑

(41)

一方，前節より，l>2xc では繊維は切断されて，上記の引き抜きは生じにくい．
従って，高じん性を目的とする場合には， l<2xcであることが必要となる．この時，式(37)を用いると，𝑓
𝑉𝑓 𝜎𝑠𝑚 𝑙 2 2𝑉𝑓 𝜎𝑠𝑚 𝑥𝑐2 𝑉𝑓 𝑑(𝜎𝑓 )2
(42)
𝐺𝑐 =
=
=
2𝑑
𝑑
8𝜎𝑠𝑚
CFRPやGFRPなどの複合材料が，母材や繊維よりも高じん性となるのは，以上の効果に起因している．

4.6 強度と破壊じん性の比較
セラミックス・高圧縮強度・低破壊じん性(低引張強度)・機能性(耐食性，耐摩耗性)を利用
・圧縮応力下で使用
金 属
・高－中強度，高破壊じん性
・強度部材として適する
ポリマー
・中強度，中破壊じん性・中強度で万能(高温・高応力下での使用は不適)
複合材料
・高強度，高破壊じん性
・圧縮に弱い，異方性・強度部材として適する(引張応力の作用下で使用)

図4.50 強度および破壊じん性の比較

23

表4.2 降伏応力(破壊強度)，引張強度および破断ひずみ
材料名

降伏応力
(MPa)

引張強さ
(MPa)

破断ひずみ

材料名

降伏応力
(MPa)

引張強さ
(MPa)

破断ひずみ

ダイヤモンド炭化けい素(SiC)
窒化けい素(Si3N4)ガラス(SiO2)
炭化タングステン
炭化ニオプ(NbC)
アルミナ(AlO2)
ベリリア(BeO)
ムライト
炭化チタン(TiC)
炭化ジルコニウム
炭化タンタリウム
ジルコニア(ZrO2)
ソーダガラスマグネシア(MgO)
コバルトと合金
低合金鋼(調質)
圧力容器鋼
g系ステンレス
B繊維強化エポキシ
ニッケル合金
ニッケル
タングステン
モリプデンと合金
チタンと合金
炭素鋼(調質)タンタルと合金
鋳鉄
銅合金
銅
Co-WCサ-メット
CFRP
黄銅と青銅
アルミニウム合金

50000
10000
8000
7200
6000
6000
5000
4000
4000
4000
4000
4000
4000
3600
3000
180-2000
500-1980
1500-1900
286-500－
200-1600
70
1000
560-1450
180-1320
260-1300
330-1090
220-1030
60-96060400-900－
70-640100-627

－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
500-2500
680-2400
1500-2000
760-1280
725-1730
400-2000
400
1510
665-1650
300-1400
500-1880
400-1100
400-1200
250-1000
400
900
640-670
230-890300-700

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.01-60.02-0.3
0.3-0.6
0.45-0.65－
0.01-0.6
0.65
0.01-0.6
0.01-0.36
0.06-0.3
0.2-0.3
0.01-0.4
0-0.180.01-0.55
0.55
0.02
－
0.01-0.7
0.05－0.3

アルミニウムa系ステンレス
亜鉛合金
鉄筋コンクリート
アルカリハライド
ジルコニウムと合金
軟鋼
鉄
マグネシウム合金
GFRP
ベリリウムと合金
金
PMMA
エポキシ
ポリイミド
ナイロン
氷
純金属(延性的)ポリステレン
銀ABS
木材(木目に平行)
鉛と合金
アクリル
スズと合金
ポリプロピレン
ポリウレタン
ポリエチレン(高密)コンクリ－ト天然ゴム
ポリエチレン(低密)木材（木目に垂直)
発泡ポリマー
発泡ポリウレタン

40
240-400
160-421－200-350
100-36522050
80-300－34-27640
60-11030-100
52-90
49-87
85
20-80
34-70
55
55
－
11-55
45-48
7-45
19-36
26-31
20-30
20-30
－
6-20
－
0.2-101200
500-800
200-500410－
240-440430
200
125-380
100-300
380-620220
110
30-120－100－200-400
40-70
300
60
35-55
14-70
－
14-60
33-36
58
37
－
30
20
4-10
0.2-101

0.5
0.15-0.25
0.1-1
0.02
0
0.24-0.37
0.18-0.25
0.3
0.06-0.2－
0.02-0.10
0.5
－
－
－
－
0
0.5-1.5－
0.6－－
0.2-0.8－
0.3-0.7
－
－
－
0
5.0
－
－
0.1-1
0.1-1

表4.3 種々の材料の破壊じん性値 KIC
材料名

KIC (MPa m1/2)

材料名

KIC (MPa m1/2)

純金属(Cu,Ag,Alなど)
圧力容器用鋼
軟鋼
GFRP
Al合金
木材(木目に垂直)
中炭素鋼
ポリエチレン(低密度)ABS樹脂
鉄筋コンクリート
ポリステレン
ポリカーボネート
PMMA
花こう岩
窒化けい素(Si3N4)
炭化けい素(SiC)
コンクリートアルミナ(A12O3)
ソーダガラス
氷100-350
170
140
20-60
23-45
11-13
51
1
4
10-15
2
1.0-2.6
0.9-1.4
3
4-5
3
0.2
3-5
0.7-0.8
0.2

耐熱鋼
高張力鋼
チタン合金(Ti-6Al-4V)
ガラス繊維強化エポキシ
CFRP
ポロン繊維強化エポキシ
ポリプロピレン
ポリエチレン(高密度)ナイロン
鋳鉄
木材(木目に平行)サーメット(Co-WC)
エポキシ樹脂ポリエステル樹脂
ベリリウム
マグネシア(MgO)
大理石
頁岩
絶縁ガラス

204-21450-15455-115
42-60
32-45
46
3
2
3
6-20
0.5-1
14-16
0.3-0.5
0.5
4
3
0.9
0.6
1

24

4.8 ケーススタディ(1) 安全な圧力容器
背 景
あなたは大手機械メーカの主任設計者であり，原子力発電所用の薄肉圧力容器(図4.52)を設計している．この場合，材料内部の欠陥を考慮することで，
特に安全性に注意しなければならない．なお，表4.4に示す材料を候補とする．

図4.52 安全な圧力容器

問 題1
まず，圧力容器が内圧 p の下で全面降伏(s =sy)する前に欠陥から急速破壊が生じないように設計する．製造部が所有する非破壊検査装置により検出できる
最小欠陥寸法が 2ac=10 mm であることを考慮して，材料を絞り込め．なお，き裂が急速に進展する限界の応力は s =KIC/√(pac )で与えられるとする．

問 題2
製造時に欠陥を完全に検出できても，繰返し応力の作用や腐食による経年変化が予想される．そのため，長期間安全性を維持するには，き裂が容器の壁を貫通(2ac=t)しても急速破壊が生じないようにする必要がある．このように設計す
れば，内圧低下やガス漏れを検出することで，健全性を容易に評価できる．以上の事柄を踏まえ，内圧を最大にすることができる材料を選定せよ．

表4.4 材料の候補

KIC
高じん性鋼
高じん性銅合金
高じん性Al合金
チタン合金
高強度Al合金
CFRP(MPa m1/2)
180
72
48
140
50
50

降伏応力(MPa)

備 考

300
120
80
700
500
500

標準的な圧力容器用鋼
冷間引抜き銅1000系または3000系
－
－
－

25

(2) 棒高跳び用ポール
背 景
二流スポーツ用品メーカー M 社の開発責任者であるあなたは，棒高跳びの世界記録保持者であるラスコーリニコフ氏より，並はずれた性能の棒高跳び用ポールが開発できないか相談された．あなたはこれをチャンスと考え，棒高跳び用のポールの開発を成功さることで，M社を著名なメーカにしたいと考えている．
問 題
ポールの長さと最大直径は国際規格で決められている．ポールは使用時に弾性曲げを生じてエネルギーを蓄え，最もたわんだ時点でこのエネルギーを解放しはじめるので選手は高い位置にあるバーを越えることができる．そこであなたは，最良のポールとは単位体積当たりに蓄えられる弾性エネルギーが最大となる材料で作られたものと考えた．この条件から性能指標を求め，それを用いて棒高跳び用ポールに適した材料を下記の材料から選択せよ．また，単位重量当たりのエネルギーを最大にすることを設計基準とするならば，選定結果は変わるかであろうか？これについても検討せよ．

表4.5 材料の候補

ヤング率 (GPa) 降伏応力 (MPa) 密 度 (Mg/m3)
CFRP
バネ鋼
チタン合金
アルミニウム合金
GFRP

270
210
110
70
40

600
1000
700
500
200

1.5
7.9
4.5
2.7
1.8

26

(3) コンロッド
背 景
あなたは中堅自動車メーカー I のエンジン設計課長である．I 社では環境にやさしい自動車作りを目指して，極端に低燃費の自動車用エンジン開発を骨子とするプロジェクトが実行された．主要エンジン部品であるコンロッドの重量は燃費に大きな影響を与えることから，その軽量化を目指して材料選択を行うことになった．

図4.63 コンロッド

問 題
コンロッドで生ずる破損は，主として圧縮荷重下における降伏と座屈である．
降伏も座屈も生じないという条件下でコンロッドの重量を最小とする材料を下記の表から選定せよ．コンロッドの長さは l，断面形状は b/w=0.5 であるとする．また，弾性座屈荷重は Pc=p 2EI/l 2 である．

表4.6 材料の候補

ヤング率 (GPa) 降伏応力 (MPa) 密度 (Mg/m3)
耐熱被覆Al合金
軟 鋼
チタン合金
アルミナ焼結材

70
210
110
390

500
600
700
1000(圧縮)

2.7
7.9
4.5
3.9

27