1

Non-attacking chess piecesth6 edition

Václav Kotěšovec

Neohrožující se kameny

2Non-attacking chess pieces (chess and mathematics)
This book is devoted to the question of the number of arrangementsof non-attacking chess pieces of the same kind on chessboards ofvarious sizes and types.
The best-known example is the n-Queens problem, but thispublication has a much wider range and includes other chesspieces (kings, rooks, bishops, knights) and many fairy pieces.
Even though the book is about chess and each problem can beplaced among chess-mathematical problems, it will be more
readily understandable by mathematicians than by chess players orcomposers. A partial knowledge of linear algebra, difference
equations, generating functions and power series is necessary.

New in the sixth edition:
 For pieces Rookhopper and Bishophopper (include numberof stalemate positions!) see new chapters 9.9
 For maximal number of non-attacking riders [r,s], see
updated chapter 14.1
 New formulas for semi-knights and generally for semileapers, see new chapter 5.1.2
 Enhanced table of entropy constants, see page 69
 New recurrence for bishops on an toroidal chessboard n x n
if n is even, see page 280
 Both constants in the asymptotic formula for composite
pieces semi-Rook + semi-Bishop are now in closed form!,see page 717
 Formula for 10 non-attacking kings on an n x n chessboard,
see updated chapter 2.1

3

Neohrožující se kameny (šach a matematika)
Kniha je věnována problematice počtu rozmístění neohrožujících
se kamenů stejných hodnot na různých velikostech a typechšachovnic. Nejznámější z těchto problémů je tzv. problém n dam(n-Queens problem), který řeší počet rozmístění n neohrožujících
se dam na šachovnici n x n. O tomto problému byla napsána již
spousta článků a základní informace a přehled linků je možno
nalézt na mojí internetové stránce. Tato publikace má všakmnohem širší záběr a věnuje se různým typům kamenů i šachovnic.
I když se tato kniha zabývá šachovou problematikou a každý
problém lze zařadit mezi šachově-matematické úlohy, publikacibudou asi více rozumět matematici než šachisté. Pochopeníněkterých částí vyžaduje aspoň částečné znalosti z lineární algebry,
teorie diferenčních rovnic, vytvořujících funkcí a mocninných řad.
Většina v knize uvedených sekvencí (včetně vzorců) byla postupně
publikována i v On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (dálejen OEIS, kterou spravuje Neil J. A. Sloane, resp. jeho nadace).
Doplnil jsem proto vždy i čísla těchto sekvencí v OEIS včetně
příslušných odkazů.
Vzhledem k tomu, že v knize jsou desítky velmi dlouhých vzorců,z nichž některé by se neměly lámat přes jeden řádek, zvolil jsemméně obvyklý formát stránek otočených naležato (který jevhodnější pro čtení na monitoru).

Praha, 2.2.2013

Václav Kotěšovec

V šestém vydání jsou
 nové kameny věžový a střelcový cvrček (včetně počtu
možných patových pozic!), viz kapitoly 9.9
 maximální počty nenapadajících se liniových kamenů [r,s],
viz aktualizovaná kapitola 14.1
 nové vzorce pro semi-jezdce a obecně semi-skokany (semileapers), viz nová kapitola 5.1.2
 rozšířena tabulka entropy konstant, viz str. 69
 nová rekurence pro střelce na prstencové šachovnici sudých
rozměrů, viz str. 280
 obě konstanty v asymptotickém vzorci pro kombinované
kameny semi-věž + semi-střelec jsou nyní i v symbolickém
tvaru, viz str. 717
 vzorec pro 10 nenapadajících se králů na normálníšachovnici n x n, viz aktualizovaná kapitola 2.1

4

Previous editions
Part of book "Between chessboard and computer" (p. 204-6), Václav
Kotěšovec, 1996
My website: Article “Number of ways of placing non-attacking kings andqueens on boards of various sizes.” (updated 2001-2010)“Non-attacking chess pieces”, first edition (22.4.2010)
 new results and formulas since 1996
 total 110 explicit formulas, 29 tables and over 100 generating
functions and recurrences
 added non-attacking bishops, knights and some fairy pieces“Non-attacking chess pieces”, second edition (23.6.2010)
 General conjecture about k queens on an n x n chessboard
 Leapers and Riders
 Total 190 explicit formulas, 40 tables and over 200 generating
functions and recurrences.
“Non-attacking chess pieces”, third edition (19.1.2011)
 8n non-attacking kings on a 16 x 2n chessboard, formula for smallest
root (include limit)
 formula for 5 non-attacking amazons on a n x n board
 kings, amazons and zebras on a toroidal chessboard
 65 new explicit formulas added to section Riders, total more than 300
explicit formulas in third edition
 new results and tables for 2 riders on a toroidal chessboard
 Method for transformation of formulas with Floor function toexpressions with trigonometric functions
 Index of citations

Historie předchozích vydání
Základ tvořila kapitola z mojí knihy "Mezi šachovnicí a počítačem", 1996, str.
204-206. Další verze se pak postupně rodila v letech 2001-2010 na méinternetové stránce. Formát HTML se však ukázal jako ne příliš vhodný pro
matematické vzorce a proto jsem využil možnost sazby matematických vzorců
ve Wordu 2007 a další vydání pak publikoval v přehlednějším PDF formátu.
Vzniklo tak první vydání této knihy z 22.4.2010, které mělo 116 stran a druhé
vydání z 23.6.2010 pak bylo rozšířeno na 237 stran, třetí vydání z 19.1.2011mělo už 348 stran a čtvrté vydání z 15.6.2011 mělo 467 stran, páté vydáníz 9.1.2012 pak už 703 stran.
První vydání z 22.4.2010 obsahovalo celkem 110 explicitních vzorců,29 tabulek a přes 100 vytvořujících funkcí a rekurencí. Druhé vydáníz 23.6.2010 obsahovalo celkem 190 explicitních vzorců, 40 tabulek a přes200 vytvořujících funkcí a rekurencí.
Ve druhém vydání jsem doplnil kapitoly věnované skokanům (Leapers)a liniovým kamenům (Riders) a to jak na normální, tak na prstencovéšachovnici. Podařilo se mi najít několik obecných vzorců a vytvořujících
funkcí v závislosti na souřadnicích [r,s] těchto kamenů. Největším objevem
byla však obecná rekurence pro k neohrožujících se dam na šachovnici n x nvčetně elegantního asymptotického vzorce.
Ve třetím vydání z 19.1.2011 jsem doplnil vzorce pro rozmístění 8nneohrožujících se králů na šachovnici 16 x 2n, což bylo pokračování započaté
série, které sáhlo až na hranici možností výpočetní techniky a počítačových
programů. Do této kapitoly jsem dále doplnil elegantní algebraické vyjádření
hodnot nejmenších kořenů, včetně limit. V části Riders přibylo asi 65 nových
a 50 alternativních vzorců a v kapitole 11.3 přibyla řada výsledků. Vymyslel
jsem také obecnou metodu, umožňující převod výrazů, obsahujících celé části,na trigonometrické funkce. Doplněn byl alternativní vzorec pro rozmístění
6 neohrožujících se dam (odvozený touto metodou), vyjádřený pomocí
trigonometrických funkcí a vzorec pro počet neohrožujících se 5 amazonek našachovnici n x n. Doplněny byly též nové kapitoly týkající se králů, amazonek
a zeber na prstencové šachovnici a jmenný rejstřík citací. Třetí vydání
obsahovalo už celkem přes 300 explicitních vzorců.

5“Non-attacking chess pieces”, fourth edition (15.6.2011)







For general formulas for the number of ways of placing k nonattacking bishops on an n x n chessboard (including the mostinteresting case k=n), see the updated chapters 4.1, 4.3 and newchapters 4.1.1, 4.1.2., 4.4.
For miscellaneous problems with rooks, see chapter 3.1.1
An extensive new chapter 12 is devoted to the asymptotic behaviour ofsequences of numbers of ways of placing non-attacking composite
pieces rook + leaper, queen + leaper, rook + rider, queen + rider.
There are many new formulas, conjectures, graphs and tables ofvalues.
For maximal number of non-attacking pieces, see chapter 14

Ve čtvrtém vydání z 15.6.2011 byl






“Non-attacking chess pieces”, fifth edition (9.1.2012)










For general asymptotic formulas see new chapter 13.1.
For new results for m x n non-attacking kings on a 2m x 2n chessboard
see chapters 2.3 and 2.3.9.
For non-attacking kings on the cylindrical chessboard, see the newchapters 2.6, 2.6.9, 2.7 and 2.5.
For new formula for the number of ways of placing n2 non-attacking
kings on an 2n x 2n toroidal chessboard, see the new chapter 2.9.
For explicit formula for the number of ways of placing 6 non-attacking
queens on an n x n toroidal chessboard, see the updated chapter 1.3.
For non-attacking nightriders on the cylindrical chessboard, see the
new chapters 6.5 and 6.6.
Roots of a polynomials as points in the complex plane.
Added pieces semi-wazir, semi-fers and semi-knight (interesting frommathematical view point), see new chapters 9.1.1, 9.3.1, 9.4.1 and5.1.1.
Reduced PDF size

kompletně vyřešen problém rozmístění k neohrožujících se střelců našachovnici n x n (včetně nejzajímavějšího případu, kdy k=n), viz
aktualizované kapitoly 4.1, 4.3 a nové kapitoly 4.1.1, 4.1.2., 4.4.
doplněna kapitola 3.1.1, věnovaná různým úlohám s věžemi
doplněna rozsáhlá kapitola 12, věnovaná asymptotickému chováníposloupností počtu neohrožujících se kombinovaných kamenů, jejichž
pohyblivost vznikne složením pohyblivosti věže (nebo dámy) aobecných skokanů (Leapers) nebo liniových kamenů (Riders). Tabulkyvypočtených hodnot byly doplněny teoretickými úvahami a řadou
grafů.
doplněna kapitola 14, shrnující pro každý typ kamene maximální počty
neohrožujících se kamenů

V pátém vydání z 9.1.2012 byly doplněny










nové obecné asymptotické vzorce (kap. 13.1)
nové výsledky pro počty rozmístění neohrožujících se m x n králů našachovnici 2m x 2n, viz aktualizované kapitoly 2.3 a 2.3.9
nové kapitoly 2.6, 2.6.9, 2.7 a 2.5 o počtech pozic neohrožujících sekrálů na válcových šachovnicích.
nový vzorec pro počet pozic neohrožujících se n2 králů na prstencovéšachovnici 2n x 2n, viz nová kapitola 2.9.
explicitní vzorec pro počet rozmístění 6 neohrožujících se dam na
prstencové šachovnici n x n, viz aktualizovaná kapitola 1.3.
nové kapitoly 6.5 a 6.6, tátoši na válcových šachovnicích
doplněna řada grafů kořenů polynomů v komplexní rovině
doplněny kameny semi-vezír (kap. 9.1.1 a 9.3.1), semi-fers (kap.
9.4.1) a semi-jezdec (kap. 5.1.1), zajímavé hlavně z matematického
pohleduvýrazně zmenšena velikost PDF souboru

6Content - Obsah
1.1
1.1.1
1.2
1.3
1.3.1
2.1

k Queens on an n x n chessboardn Queens on an n x n chessboard
k Queens on an k x n chessboard
k Queens on an n x n toroidal chessboardn Queens on an n x n toroidal chessboard
k Kings on an n x n chessboard
Entropy constants
2.1.1 k Kings on a 1 x n and 2 x n chessboard
2.1.2 n Kings on an n x n chessboard
2.2
k Kings on an k x n chessboard
2.3
m x n Kings on a 2m x 2n chessboard
2.3.1
n Kings on a 2 x 2n chessboard
2.3.2
2n Kings on a 4 x 2n chessboard
2.3.3
3n Kings on a 6 x 2n chessboard
2.3.4
4n Kings on a 8 x 2n chessboard
2.3.5
5n Kings on a 10 x 2n chessboard
2.3.6
6n Kings on a 12 x 2n chessboard
2.3.7
7n Kings on a 14 x 2n chessboard
2.3.8
8n Kings on a 16 x 2n chessboard
2.3.9
more kings on a 2m x 2n chessboard
2.3.10Largest and smallest root2
2.4
n Kings on a 2n x 2n chessboard
2.5
k Kings on an n x n cylindrical chessboard
2.5.1
k Kings on a 1xn and 2xn horizontal cylinder
2.6
m x n Kings on a 2m x 2n cylindrical chessboard
2.6.1
n Kings on a 2 x 2n horizontal cylinder
2.6.2
2n Kings on a 4 x 2n horizontal cylinder
2.6.3
3n Kings on a 6 x 2n horizontal cylinder
2.6.4
4n Kings on a 8 x 2n horizontal cylinder

k dam na šachovnici n x n
n dam na šachovnici n x nk dam na šachovnici k x n
k dam na prstencové šachovnici n x n
n dam na prstencové šachovnici n x n
k králů na šachovnici n x nkonstanty entropie
2.1.1 k králů na šachovnici 1 x n a 2 x n
2.1.2 n králů na šachovnici n x n2.2
k králů na šachovnici k x n
2.3
m x n králů na šachovnici 2m x 2n
2.3.1
n králů na šachovnici 2 x 2n
2.3.2
2n králů na šachovnici 4 x 2n
2.3.3
3n králů na šachovnici 6 x 2n
2.3.4
4n králů na šachovnici 8 x 2n
2.3.55n králů na šachovnici 10 x 2n
2.3.66n králů na šachovnici 12 x 2n
2.3.7
7n králů na šachovnici 14 x 2n
2.3.88n králů na šachovnici 16 x 2n
2.3.9
více králů na šachovnici 2m x 2n
2.3.10Největší a nejmenší kořen
2
2.4
n králů na šachovnici 2n x 2n
2.5
k králů na válcové šachovnici n x n
2.5.1
k králů na horizontálním válci 1 x n a 2 x n
2.6m x n králů na válcové šachovnici 2m x 2n
2.6.1
n králů na horizontálním válci 2 x 2n
2.6.2
2n králů na horizontálním válci 4 x 2n
2.6.3
3n králů na horizontálním válci 6 x 2n
2.6.4
4n králů na horizontálním válci 8 x 2n
1.1
1.1.1
1.2
1.3
1.3.1
2.1

11
35
39
47
62
64
69
74
77
78
81
90
90
91
92
96
100
104
112
128
139
160
163
166
169
169
169
170
170

7

2.6.5
2.6.6
2.6.7
2.6.8
2.6.9
2.7
2.8
2.9
3.1
3.1.1
3.2
4.1
4.1.1
4.1.2
4.2
4.3
4.4
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.2
5.2.1
5.2.2
5.3
5.4
6.1
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.2
6.3

5n Kings on a 10 x 2n horizontal cylinder
6n Kings on a 12 x 2n horizontal cylinder
7n Kings on a 14 x 2n horizontal cylinder
more Kings on a 2m x 2n horizontal cylinderm x n Kings on a 2m x 2n vertical cylinder
n2 Kings on a 2n x 2n cylindrical chessboard
k Kings on an n x n toroidal chessboard
n2 Kings on a 2n x 2n toroidal chessboard
k Rooks on an n x n chessboard
Miscellaneous problems with rooks
k Rooks on an k x n chessboard
k Bishops on an n x n chessboardn Bishops on an n x n chessboard
n semi-bishops on an n x n chessboard
k Bishops on an k x n chessboard
k Bishops on an n x n toroidal chessboardn Bishops on an n x n toroidal chessboard
k Knights on an n x n chessboard
k semi-knights on an n x n chessboard
semi-leapers [r,s] on an n x n chessboard
n Knights on an n x n chessboard
k Knights on an k x n chessboard
k Knights on a 2 x n chessboard
k Knights on a 2 x n horizontal cylinderk Knights on an n x n cylindrical chessboard
k Knights on an n x n toroidal chessboard
k Nightriders on an n x n chessboard
k semi-nightriders on an n x n chessboard
k semi-riders [r,s] on an n x n chessboard
n Nightriders on an n x n chessboard
k Nightriders on an k x n chessboard
k Nightriders on an n x n toroidal chessboard

2.6.5
2.6.6
2.6.7
2.6.8
2.6.9
2.7
2.8
2.9
3.1
3.1.1
3.2
4.1
4.1.1
4.1.2
4.2
4.3
4.4
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.2
5.2.1
5.2.2
5.3
5.4
6.1
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.2
6.3

5n králů na horizontálním válci 10 x 2n
6n králů na horizontálním válci 12 x 2n
7n králů na horizontálním válci 14 x 2nvíce králů na horizontálním válci 2m x 2n
m x n králů na vertikálním válci 2m x 2nn2 králů na válcové šachovnici 2n x 2nk králů na prstencové šachovnici n x n
n2 králů na prstencové šachovnici 2n x 2n
k věží na šachovnici n x nRůzné další úlohy s věžemi
k věží na šachovnici k x n
k střelců na šachovnici n x nn střelců na šachovnici n x n
n semi-střelců na šachovnici n x nk střelců na šachovnici k x n
k střelců na prstencové šachovnici n x nn střelců na prstencové šachovnici n x n
k jezdců na šachovnici n x n
k semi-jezdců na šachovnici n x nsemi-skokani na šachovnici n x n
n jezdců na šachovnici n x n
k jezdců na šachovnici k x n
k jezdců na šachovnici 2 x n
k jezdců na horizontálním válci 2 x n
k jezdců na válcové šachovnici n x n
k jezdců na prstencové šachovnici n x n
k tátošů na šachovnici n x n
k semi-tátošů na šachovnici n x n
k semi-riders [r,s] na šachovnici n x n
n tátošů na šachovnici n x n
k tátošů na šachovnici k x n
k tátošů na prstencové šachovnici n x n

171
172
174
178
197
209
211
215
216
220
230
234
242
260
270
273
281
283
286
290
293
294
297
302
305
308
312
319
325
330
331
333

8

6.4
6.5
6.6
7.1
7.1.1
7.1.2
7.2
7.3
7.3.1
8.1
8.1.1
8.2
8.3
9.1
9.1.1
9.1.2
9.2
9.2.1
9.2.2
9.3
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.4
9.4.1
9.4.2
9.5
9.5.1
9.5.2
9.6
9.6.1
9.7

n Nightriders on an n x n toroidal chessboard
k Nightriders on an n x n cylindrical chessboard
n Nightriders on an n x n cylindrical chessboard
k Amazons (superqueens) on an n x n chessboard
n Amazons (superqueens) on an n x n chessboard
n pieces Queen + Nightrider on an n x n chessboard
k Amazons (superqueens) on an k x n chessboard
k Amazons on an n x n toroidal chessboard
n Amazons on an n x n toroidal chessboard
k Zebras on an n x n chessboard
n Zebras on an n x n chessboard
k Zebras on an k x n chessboard
k Zebras on an n x n toroidal chessboard
k Wazirs on an n x n chessboard
k semi-wazirs on an n x n chessboard
n Wazirs on an n x n chessboard
k Wazirs on an k x n chessboard
k Wazirs on a 2 x n chessboard
k Wazirs on a 2 x n horizontal cylinderk Wazirs on an n x n toroidal chessboard
k semi-wazirs on an n x n toroidal chessboard
n Wazirs on an n x n toroidal chessboard
k Wazirs on an n x n cylindrical chessboard
k Ferses on an n x n chessboard
k semi-ferses on an n x n chessboard
n Ferses on an n x n chessboard
k Ferses on an k x n chessboard
k Ferses on a 2 x n chessboard
k Ferses on a 2 x n horizontal cylinder
k Ferses on an n x n toroidal chessboard
k Ferses on an n x n cylindrical chessboard
k Grasshoppers on an n x n chessboard

6.4
6.5
6.6
7.1
7.1.1
7.1.2
7.2
7.3
7.3.1
8.1
8.1.1
8.2
8.3
9.1
9.1.1
9.1.2
9.2
9.2.1
9.2.2
9.3
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.4
9.4.1
9.4.2
9.5
9.5.1
9.5.2
9.6
9.6.1
9.7

n tátošů na prstencové šachovnici n x n
k tátošů na válcové šachovnici n x n
n tátošů na válcové šachovnici n x n
k amazonek na šachovnici n x n
n amazonek na šachovnici n x n
n kamenů dáma + tátoš na šachovnici n x n
k amazonek na šachovnici k x n
k amazonek na prstencové šachovnici n x n
n amazonek na prstencové šachovnici n x nk zeber na šachovnici n x n
n zeber na šachovnici n x nk zeber na šachovnici k x n
k zeber na prstencové šachovnici n x n
k vezírů na šachovnici n x n
k semi-vezírů na šachovnici n x n
n vezírů na šachovnici n x n
k vezírů na šachovnici k x n
k vezírů na šachovnici 2 x n
k vezírů na horizontálním válci 2 x n
k vezírů na prstencové šachovnici n x n
k semi-vezírů na prstencové šachovnici n x n
n vezírů na prstencové šachovnici n x n
k vezírů na válcové šachovnici n x n
k fersů na šachovnici n x n
k semi-fersů na šachovnici n x n
n fersů na šachovnici n x n
k fersů na šachovnici k x n
k fersů na šachovnici 2 x n
k fersů na horizontálním válci 2 x n
k fersů na prstencové šachovnici n x n
k fersů na válcové šachovnici n x n
k cvrčků na šachovnici n x n

338
339
342
343
348
350
353
356
360
361
363
364
366
369
373
382
383
386
394
402
407
411
412
415
418
423
425
428
435
425
441
444

9

9.7.1
9.8
9.9.1
9.9.2
9.9.3
9.9.4
9.9.5
9.9.6
10.
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
11.
11.1
11.2
11.3
12.
12.1
12.2
12.3
12.4
13.
13.1
13.2
13.3
13.4

k Grasshoppers in stalemate
k Grasshoppers on an n x n toroidal chessboard
k Rookhoppers on an n x n chessboard
k Rookhoppers in stalematek Rookhoppers on an n x n toroidal chessboard
k Bishophoppers on an n x n chessboard
k Bishophoppers in stalemate
k Bishophoppers on an n x n toroidal chessboard
Leapers
2 leapers on an n x n chessboard
3 leapers on an n x n chessboard
4 leapers on an n x n chessboard
2 leapers on an n x n toroidal chessboard
3 leapers on an n x n toroidal chessboard
4 leapers on an n x n toroidal chessboard
5 leapers on an n x n toroidal chessboard
6 leapers on an n x n toroidal chessboard
more leapers on an n x n toroidal chessboard
Riders2 riders on an n x n chessboard
3 riders on an n x n chessboard
2 riders on an n x n toroidal chessboard
Composite pieces Rook/Queen + Leaper/Ridern pieces rook + leaper[r,s] on an n x n chessboard
n pieces queen + leaper[r,s] on an n x n chessboard
n pieces rook + rider[r,s] on an n x n chessboard
n pieces queen + rider[r,s] on an n x n chessboard

Comparison of general formulas
General asymptotic formulas (Leapers)
Composite pieces Leaper + Leaper
General asymptotic formulas (Riders)Composite pieces Rider + Rider

9.7.1
9.8
9.9.1
9.9.2
9.9.3
9.9.4
9.9.5
9.9.6
10.
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
11.
11.1
11.2
11.3
12.
12.1
12.2
12.3
12.4
13.
13.1
13.2
13.3
13.4

k cvrčků v patu
k cvrčků na prstencové šachovnici n x nk věžových cvrčků na šachovnici n x nk věžových cvrčků v patuk věžových cvrčků na prstencové šachovnici n x nk střelcových cvrčků na šachovnici n x nk střelcových cvrčků v patuk střelcových cvrčků na prstencové šachovnici n x n
Skokani
2 skokani na šachovnici n x n
3 skokani na šachovnici n x n
4 skokani na šachovnici n x n
2 skokani na prstencové šachovnici n x n
3 skokani na prstencové šachovnici n x n
4 skokani na prstencové šachovnici n x n
5 skokanů na prstencové šachovnici n x n
6 skokanů na prstencové šachovnici n x nvíce skokanů na prstencové šachovnici n x n
Liniové kameny
2 liniové kameny na šachovnici n x n
3 liniové kameny na šachovnici n x n
2 liniové kameny na prstencové šachovnici n x n
Kombinované kameny
n kamenů věž + skokan[r,s] na šachovnici n x n
n kamenů dáma + skokan[r,s] na šachovnici n x n
n kamenů věž + liniový kámen[r,s] na šachovnici n x n
n kamenů dáma + liniový kámen[r,s] na šachovnici n x n

Porovnání obecných vzorců
Obecné asymptotické vzorce (skokani)
Kombinované kameny skokan + skokan
Obecné asymptotické vzorce (liniové kameny)
Kombinované liniové kameny

447
451
455
458
466
469
472
477
480
480
483
486
491
495
498
503
505
512
513
513
540
564
621
622
649
655
676
682
685
687
710
712

10

13.5
14.
14.1
14.2
14.3
15.
Index

Composite pieces Rider + Leaper
Maximal number of non-attacking pieces
normal chessboard
toroidal chessboard
cylindrical chessboard
Methods

13.5
Kombinované kameny liniový kámen + skokan
14.
Maximální počty neohrožujících se kamenů
14.1
normální šachovnice
14.2
prstencová šachovnice
14.3
válcová šachovnice
15.
Metody hledání vzorců
Rejstřík

740
751
752
777
788
790
792

11

1.1) k Queens on an n x n chessboard - k dam na šachovnici n x n
Vzorec pro počet rozmístění n dam na šachovnici n x n nedá matematikům spát již přes 150 let. Zatím ho nikdo neobjevil. Proto se matematici snažili už v 19. stoletívyřešit alespoň jednodušší případy, což se podařilo pro rozmístění 2 a 3 dam na n x n. Na další výsledky bylo ale třeba čekat více než 100 let, kdy k objevení dalších
vzorců pomohly až počítače. Obecně ale platí, že vzorce pro rozmístění většího počtu dam nebudou příliš elegantní, naopak půjde o složité výrazy, tak jak už to bývápravidlem při řešení diferenčních rovnic. Navíc se tyto vzorce mírně liší podle typu rozměrů šachovnic (sudá/lichá apod.), což při snaze o zobecnění vede k (pronematematiky) překvapujícím členům SIN a COS v těchto vzorcích, které však dávají celočíselné výsledky.

A036464 - 2 Queens, board n x n (E.Lucas, 1891):

A047659 - 3 Queens, board n x n (E.Landau, 1896):
pro n sudé (even)pro n liché (odd)nebo jedním vzorcem:

Poznámka: Panos Louridas publikoval v idee & form 93/2007 (str. 2936-2938) obecnější vzorec pro rozmístění 3 dam na šachovnici m x n. Vzorec je však dost
neelegantní (zabírá skoro půl stránky), proto zájemce odkazuji na tento článek.

12
A061994 - 4 Queens, board n x n (V.Kotěšovec, 1992), n>=2

a dále podle typu n:a) n=6ab) n=6a+1c) n=6a+2d) n=6a+3e) n=6a+4f) n=6a+5

Na základě řešení diferenční rovnice jsem pak odvodil jednotný vzorec pro tuto funkci (dávající pro celočíselné hodnoty n stejné výsledky):

V roce 2005 pak S.Perepechko ještě našel jiný zápis (pomocí celých částí) rovněž formálně sjednocující všech 6 případů. Sergey Perepechko (2005) convert
6 formulas by Václav Kotěšovec (1992) into 1 unified expression, kde [x] = Floor(x) je celá část (largest integer not greater than x)

13
A108792 - 5 Queens, board n x n (V.Kotěšovec, 4.4.2010):

Dedicated to memory of Gauss, Lucas and Landau.
Pět dam dlouho odolávalo. V roce 2005 Sergey Perepechko vypočítal hodnoty pro n ≤ 25, ale obecný vzorec neobjevil (na základě tak málo hodnot to ani nešlo). Ažv roce 2010 Václav Kotěšovec vypočítal svým speciálně optimalizovaným programem hodnoty pro n ≤ 55 a na jejich základě objevil obecný vzorec. Nejmenší
perioda je 60, jinými slovy pro šachovnice n x n, kde, kde p a q jsou nezáporné konstanty (celá čísla), dostaneme vždy polynom desátého stupně (prokaždé q jiný), který již neobsahuje trigonometrické funkce (tzv. kvazipolynomy).
In 2005 S.Perepechko computed values for n ≤ 25, but he had not found general formula. In 2010 Václav Kotěšovec created special efficient computer program andcomputed all values for n ≤ 55, then he discovered explicit formula!
Alternative formula (V.Kotěšovec, 2010)

14
A176186 - 6 Queens, board n x n (Artem M. Karavaev, 10.5.2010)):[x] = Floor(x) je celá část (largest integer not greater than x)
Celé části umožňují analogickým způsobem vyjádřit kvazipolynomy podobně jako trigonometrické funkce, pro větší k mohou být dokonce vhodnější.
Odkazy:6 Queens problem - popis algoritmu se složitostí O(n7), jehož autorem je Artem M. Karavaev, v ruštině (in Russian). Výpočet až do n=80 si vyžádal počítače
s 56 jádry, zde nalezneme výsledky. Fantastic formula by Artem M. Karavaev (computed with help of 56 cores!)15
Alternative formula for 6 queens (Václav Kotěšovec, 6.12.2010)

16
Pro k dam na šachovnici n x n jsou počáteční členy:Speciálně pro k=7 bude mít tato funkce tvar:

Při konstantním k je asymptoticky

Proof that generating function is rational. Důkaz, že pro libovolné k je příslušná vytvořující funkce
racionální (tedy, že jde o podíl dvou polynomů s celočíselnými koeficienty), uvádí v knize Enumerative
Combinatorics, Richard P. Stanley (vol. I, 1986, chapter 4, exercise 15, solution page 280-1, see also
vol. 1, 2ed, 2012, p.558 and 538, exercise 41). Tím je dán tvar řešení pro všechny tyto funkce, který
obsahuje vždy polynom s konstantními koeficienty plus součet dalších tzv. kvazipolynomů (Quasipolynomials, nazývaných též "pseudo-polynomial" nebo "polynomial on residue classes"), což jsoupolynomy, jejichž koeficienty jsou periodické funkce s celočíselnou (integer) periodou. Nejpřirozeněji
jsou tyto periodické funkce vyjádřeny pomocí trigonometrických funkcí SIN a COS (jak vyplývá
i z obecného tvaru řešení diferenčních rovnic, vyjádřeného pomocí komplexních čísel). Alternativně seale dá použít i funkce FLOOR (celá část), což je někdy výpočetně výhodnější (viz též str. 537). V tompřípadě se využívá periodicity zbytku po dělení periodou.
K nalezení příslušného vzorce pro danou sekvenci tak potřebujeme vždy znát jen dostatečný počet známých hodnot (např. jen
pro n=1 až 50, počet nezbytných hodnot závisí na celkovém počtu neznámých konstant). Potom jde o nalezení nejmenší
periody a určení koeficientů příslušných polynomů. Háček je jedině v tom, že časově možný je výpočet členů posloupnosti
jen do určité hodnoty n a ta nemusí být postačující pro nalezení všech koeficientů. Všechny zde uvedené vzorce jsou na
současné mezi možností výpočetní techniky a vzorce pro vyšší hodnoty k budou postupně přibývat až se zrychlováním
počítačů.

Odkazy na literaturu (díky skenování knih na Googlu bylo možné se dostat i k těmto velmi starým pramenům! Thanks Google for access to very old books!):
Edouard Lucas: Théorie des nombres (1891), (12 MB) - vzorec pro počet rozmístění 2 neohrožujících se dam najdeme na str.98, dále je uveden též v knize
Edouard Lucas: Récréations mathématiques (1894), str.132
Naturwissenschaftliche wochenschrift (1896), (81 MB) - v čísle z 2.8.1896, str.367-371 (str.380 v PDF) je článek "Ueber das Achtdamenproblem und seine Verallgemeinerung", jehož autorem je
Edmund Landau. V článku jsou odvozeny vzorce pro rozmístění 3 dam na šachovnici n x n (pro sudé a liché n). Je zajímavé, že tento slavný německý matematik objevil vzorec už ve svých 19 letech!
Landau was only 19 years old!
Této problematice byly věnovány také 2 články ve francouzském časopise "Rex Multiplex". Ve druhém byly publikovány moje nové výsledky.
Rex Multiplex 18/1986, (page 615, Louis Azemard, Echecs et Mathématiques) "Placements et Configurations pour 2, 3 et 4 Dames"
Rex Multiplex 38/1992, (Louis Azemard, Echecs et Mathématiques), Une communication de Václav Kotěšovec

17

Generating function, recurrence and explicit formula - Vytvořující funkce, rekurence a explicitní vzorec
Na tomto místě bude dobré se krátce zmínit o třech základních způsobech, jak lze vyjádřit nějakou posloupnost a o vzájemném vztahu mezi těmito „způsoby
zakódování“ jejích hodnot. V předchozím textu byly vzorce vyjádřeny přímo, tzv. explicitním vzorcem, kdy pro zvolené n můžeme z takového vzorce přímo
vypočítat příslušný člen posloupnosti pomocí běžných matematických operací. Najít explicitní vzorec však není vždy možné a navíc (jak se přesvědčíme ještě
mnohokrát v této knize) může být explicitní vzorec někdy zbytečně složitý a komplikovaný ve srovnání s jinými formami definování dané posloupnosti. Druhoumožností je proto tzv. rekurence, což je rovnice, která určuje jak z několika známých počátečních členů posloupnosti vypočítat další člen (a tím pádem při
vícenásobném užití i všechny další členy). Rekurence tedy určuje diferenční rovnici pro danou posloupnost. Nalezení rekurence pro neznámou posloupnost je vždyúspěchem, ale rekurenci je pak třeba obvykle ještě dále řešit, např. proto, abychom nalezli asymptotické chování dané posloupnosti (tj. zjištění jak se posloupnost
chová, pokud jde n k nekonečnu). Pokud je hloubka rekurence (tzv. recurrence order) příliš velká, může být obtížné (ne-li v reálném čase nemožné) vypočítat
potřebný počet počátečních hodnot. Matematici proto mají nejradši, tzv. vytvořující funkce (generating function), což je formální vzorec, na jehož základě je možné
pomocí diferenciálního počtu vypočítat jednotlivé členy posloupnosti. Vytvořující funkcí je posloupnost zcela definována. S vytvořujícími funkcemi se poměrně
dobře pracuje, jen pro nematematiky mohou být špatně srozumitelné. Ještě bych chtěl poznamenat, že občas užívám v českém textu i termín generační funkce, který
vyjadřuje totéž, ale líbí se mi více.
Vytvořující funkce není přímo explicitním vzorcem pro danou posloupnost, ale příslušná
posloupnost z ní jde vytvořit tak, že vygenerujeme Taylorův rozvoj pro danou vytvořující
funkci a jednotlivé členy této posloupnosti jsou koeficienty tohoto rozvoje. Přesněji: člen a nposloupnosti je n-tá derivace vytvořující funkce v nule dělena n faktoriál (n!). Obvykle nenítento postup pro výpočet členů posloupnosti ten nejefektivnější, ale v případech, kdy jeobtížné určit explicitní vzorec, může být takový postup rychlejší. Ohledně vytvořujících funkcí
je třeba ještě poznamenat, že z jejího jmenovatele lze snadno odvodit rekurentní vzorec, který
vznikne roznásobením všech členů jmenovatele a nahrazením všech členů xk výrazy an-k.
Jmenovatel (denominátor) pak dále určuje tvar partikulárních řešení příslušné diferenční
rovnice. Tady ho naopak potřebujeme ve faktorizovaném tvaru a pokud je kořen takto vzniklé
rovnice t, je jedním z partikulárních řešení funkce 1/tn. Pokud tedy např. obsahuje jmenovatel
vytvořující funkce člen (5x-1), odpovídá tomu kořen 1/5 a partikulární řešení diferenční
rovnice 5n. Poněkud nepříjemnou práci s převrácenými hodnotami lze obejít substitucí x=1/t apo úpravách dostaneme z denominátoru tzv. charakteristickou rovnici, jejíž kořeny již přímo
určují mocniny pro partikulární řešení.

Každé takovéto partikulární řešení je třeba násobit polynomem (s neznámými koeficienty)jehož stupeň je roven násobnosti příslušného kořene - 1. Pokud byl v denominátoru např. člen(5x-1)2 , měl stupeň 2 a tvar příslušného partikulárního řešení bude (c0+c1*n)* 5n, kde
konstanty c0 a c1 budou určeny podle počátečních hodnot posloupnosti.
V případě, že má charakteristická rovnice komplexní kořeny, je situace složitější. Pokud márovnice kořen a+bi (jak je známo, musí mít pak současně i komplexně sdružený kořen a-bi),
pak mají partikulární řešení diferenční rovnice tvar

Pokud je ve jmenovateli např. člen x2+1, dostáváme komplexní kořeny +i a -i, kterým
odpovídají partikulární řešenía. O násobnostech kořenů platí totéž
jako v případě kořenů reálných.

18kk Queens on an n x n chessboard - Generating function

1

2

3

4

5

- x^5*(14206x^31 + 150238x^30 + 916976x^29 + 3972232x^28 + 13522008x^27 + 37968860x^26 + 90996604x^25 + 190236360x^24 + 352607230x^23 +
586165718x^22 + 881664746x^21 + 1207443842x^20 + 1512654886x^19 + 1738866194x^18 + 1837742548x^17 + 1786911600x^16 + 1598078300x^15 +
1312598856x^14 + 987611934x^13 + 677994354x^12 + 422347390x^11 + 236939238x^10 + 118533110x^9 + 52176470x^8 + 19855936x^7 + 6376140x^6 +1672768x^5 + 341612x^4 + 50540x^3 + 4836x^2 + 258x + 10) / ((x-1)^11 (x+1)^6 (x^2+1)^2 (x^2+x+1)^4 (x^4+x^3+x^2+x+1)^2)

6- 4x^6*(125388x^74 +1769106x^73 +14475708x^72 +86868206x^71 +421322394x^70 +1733735219x^69 +6243623123x^68 +20096128176x^67+58720300345x^66 +157632673869x^65 +392473060699x^64 +913299307705x^63 +1998986925515x^62 +4137125169063x^61 +8132464535507x^60+15241746945993x^59 +27324795064304x^58 +46991003436040x^57 +77709213130439x^56 +123839006896190x^55 +190537440843487x^54+283498964529980x^53 +408502373125992x^52 +570765121032393x^51 +774143005387556x^50 +1020253102328739x^49 +1307636222431031x^48+1631097942913736x^47 +1981371771386641x^46 +2345222492958126x^45 +2706059061856895x^44 +3045052266009747x^43 +3342672506335632x^42+3580483108767024x^41 +3742970026288202x^40 +3819162259356822x^39 +3803816547345336x^38 +3697993190167173x^37 +3508939440356435x^36+3249296395578274x^35 +2935747117591644x^34 +2587299110418159x^33 +2223440299348897x^32 +1862408041738532x^31 +1519776851512400x^30+1207502931973542x^29 +933484654834212x^28 +701616116303232x^27 +512246494510867x^26 +362914602952313x^25 +249214616002036x^24+165658741321711x^23 +106432971812268x^22 +65980784446603x^21 +39390545501971x^20 +22595990341656x^19 +12422932793397x^18+6526629468148x^17 +3265443398940x^16 +1549727363371x^15 +694388440836x^14 +292139023877x^13 +114647411058x^12 +41638044492x^11+13860639977x^10 +4178943637x^9 +1124196463x^8 +264701695x^7 +53192307x^6 +8814849x^5 +1148407x^4 +109349x^3 +6730x^2 +213x +1) /((x-1)^13 (x+1)^8 (x^2+1)^4 (x^2-x+1)^2 (x^2+x+1)^6 (x^4+1)^2 (x^4+x^3+x^2+x+1)^4 (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^2)

Generating function for k=6 found Artem M. Karavaev 10.5.2010, see A176186

19
degreehighest cyclotomic
polynomial

1

3

1

2

5

1

3

9

2

4

17

3

5

37

5

6

81

8

7*

197

13

8*

477

21

k

dk

Fibonacci number F(k)kk Queens on an n x n chessboard - Denominators only

* I když pro k=7 není zatím znám dostatečný počet hodnot nezbytných k určení explicitního vzorce, existenci cyklotomických polynomů C13(x), C12(x), C11(x),C10(x) a C9(x) ve jmenovateli vytvořující funkce jsem potvrdil výpočtem pro pomocnou posloupnost, o které jsem dokázal, že má (až na exponenty) shodné členy ve
jmenovateli vytvořující funkce. Více viz str. 27 a 28. Počet různých členů ve jmenovateli pro k se vždy rovná součtu různých členů pro k-1 a k-2.
Explicit formula for k=7 is not yet known, but I already found denominator of generating function for k=7 with cyclotomic polynomials C13(x), C12(x), C11(x), C10(x)and C9(x). See pages 27 and 28 for more. Conjecture: Maximal order of cyclotomic polynomial for k is a sum of maximal orders of cyclotomic polynomial for k-1
and k-2.

20
Tvar jmenovatele vytvořující funkce obsahuje vždy součiny pouze tzv. cyklotomických polynomů, dělitelů
komplexní čísla), tzv. roots of unity.

, jejichž kořeny jsou odmocniny z jedné (obecně

Cyklotomické polynomy - Cyclotomic polynomials
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

cyclotomic polynomial
1
1
2
2
4
2
6
4
6
4
10
4
12
6
8
8

Ve druhém sloupci jsou uvedeny exponenty příslušných cyklotomických
polynomů pro dané k. Tato funkce se nazývá Euler’s totient function (Degree ofthe k-th cyclotomic polynomial) a její hodnoty je možno nalézt např. v OEIS,
A000010. Pro prvočísla je polynom vzniklý po dělení

v reálném oboru nerozložitelný a proto jetato hodnota menší, např. pro k=12 je. Pro složená čísla je

ale z toho je jen polynom
vlastní pro k=12, tedy
(ostatní polynomy z rozkladu najdeme již pro k=2, 3, 4, 6, tedy pro dělitele čísla
12). Více o vlastnostech této funkce (more about this function) viz např.
Elementary theory of numbers, Wacław Sierpiński 1964.

Jako kuriozitu je možno doplnit, že koeficienty těchto polynomů nejsou vždy jen +-1 (nebo 0), jak by se z několika prvních mohlo zdát. Tento fakt objevil A. Migotti v roce 1883, když našel
v rozkladu pro k=105 koeficienty rovné 2. Další rozklady byly systematicky prozkoumány až pomocí počítačů. Pro k = 105, 165, 195, 210, 255, 273, ... dostáváme cyklotomické polynomy, jejichž
některé koeficienty jsou rovny +-2, k = 385, 595, 665, 770, 935, ... mají některé koeficienty +-3, atd., viz např. A013590 nebo A013594. Platí však, že koeficienty cyklotomických polynomů jsousymetrické z obou stran, čehož lze s výhodou využít při hledání rekurencí v posloupnostech, kdy k určení závislosti tak stačí méně členů (viz Metoda 3).

Pokud jmenovatel vytvořující funkce obsahuje člen, znamená to, že příslušná partikulární řešení diferenční rovnice (rekurence) budou násobená polynomem
stupně q-1, jehož koeficienty se určí podle počátečních členů sekvence. Exponenty tedy určují stupně příslušných násobících polynomů. Viz též popis na str. 17.
Nyní dokážeme, že jmenovatel vytvořující funkce vždy obsahuje člen, což je sice také cyklotomický polynom, je však trochu specifický, protože
souvisí spíše s celkovým počtem možných pozic k kamenů na šachovnici n x n. Označíme-li
počet pozic k vzájemně se neohrožujících dam na šachovnici n x n (number of ways of placing k non-attacking queens on an n x n chessboard)
počet pozic k dam, kde se alespoň 2 dámy vzájemně ohrožující (number of ways of placing k queen with at least two attacking queens)21
Potom platí

Počet všech kombinacímají ale nižší stupeň (degree of polynomials in n),
2k-1 pro liniové kameny (tedy i dámy) - for riders (include queens)
2k-2 pro bodové kameny (včetně králů) (viz též tabulka na str. 683) - for leapers (include kings)

PolynomyVýraz

je polynom (v n) stupně 2k (viz např. rozklad analogických výrazů v kapitole 3.2), jehož vytvořující funkce má jmenovatel

proto musí být součástí

. Proved existence of partin denominator of generating function for.

Poznámka: Z hlediska efektivity algoritmu je výhodnější nepočítat počet pozic vzájemně se neohrožujících kamenů, ale lepší je vypočítat počet pozic s ohrožujícími se kameny
a ten pakodečíst od celkového počtu možných pozic. Tuto metodu jsem použil již v roce 1992 při hledání vzorce pro počet pozic 4 neohrožujících se dam na šachovnici n x n. Při narůstajícím počtu dam sevšak výhody této metody snižují a je tak vhodná pro k dam na n x n, ale pro n dam na n x n už vhodná není.

Stupně členů ve jmenovateli vytvořující funkce - Degrees of polynomials in denominator of generating function
Nyní určíme maximální možné hodnoty těchto exponentů (a potvrdíme intuitivní zkušenost, že u členů s větší periodou bývají tyto exponenty velmi malé). Pokud
vezmeme nějakou konfiguraci (cluster) vzájemně se ohrožujících dam, můžeme ji kombinovat se zbývajícími dámami do celkového počtu pomocí kombinačních
čísel.
napadajících se dam
cluster of attacking
queens5možností rozestavenízbývajících dam
number of free
positions remaining
queens0

stupeň polynomu v ndegree of polynomialin nNapříklad při k=5, pokud máme 2 napadající se dámy, je možno je rozmístit na zbytkušachovnice n x n celkemzpůsoby (což je polynom 6.stupně v n).
Generally for q queens

0

4

2

3

4

2

6

(n2- q is number of free squares, k-q is number of remaining queens) is polynomial in n ofdegree.
Jinými slovy, s každou úrovní (jejichž meze jsou dány Fibonacciho čísly) směrem od
nejvyššího k nejmenšímu, je třeba přičíst k exponentu každého cyklotomického polynomučíslo 2 (rozdíl stupňů polynomů), viz tabulka na str. 23. For each level is necessary add 2 toall exponents, see table on page 23 for more.

22

Hypotéza (Václav Kotěšovec, 31.5.2010)

Conjecture (Václav Kotěšovec, 31.5.2010)

Jmenovatel
vytvořující
funkcepro
počet
rozmístění
k neohrožujících se dam na šachovnici n x n obsahuje součin
cyklotomických polynomů stupňů 1 až F(k), kde F(k) je
Fibonacciho číslo. Pro k > 2

Denominator of generating function for number of ways of placing
k non-attacking queens on an n x n chessboard contains product of
cyclotomic polynomials order from 1 to F(k), where F(k) is
Fibonacci number. For k > 2

Pro exponenty ej platí toto. Pokud pro zvolené j vezmeme takové msplňující nerovnost

For each j set such m which satisfy the following inequality

potom

then exponents

Pro stupeň dk polynomu Dk(x) ve jmenovateli vytvořující
funkce (hloubku rekurence) platí vzorec

Formula for degree dk of polynomial Dk(x) in denominatorof generating function (recurrence order)

Kde F jsou Fibonacciho čísla awhere F are Fibonacci numbers andje Euler totient function

is Euler totient function

23

F(7)
13
12

12
4

11
10

10
4

2
24

2
8

2
20

2
8

k queens on an n x n chessboard - polynomials in denominator of generating function
F(6)
F(5)
F(4) F(3)Fibonacci number
cyclotomic polynomial in denominator of generating function
9
8
7
6
5
4
3
2
1
6
4
6
2
4
2
2
1
1
Euler’s totient function
exponents2
2
4 queens42
9degree of a polynomial
15
exponents
22
4
6
5 queens
848611
degree of a polynomial
37
exponents
2
2
2
4
4
6
8
6 queens
8
12
4
16
8
12
8
13
degree of a polynomial
81
conjectured exponents
2
4
4
4
6
6
8
10
7 queens
12
16
24
8
24
12
16
10
15
degree of a polynomial
197
recurrence
2k+1
order

V tabulce každý sloupec odpovídá jednomu cyklotomickému polynomu. Euler’s totient function určuje stupeň daného cyklotomického polynomu. Exponentyv řádcích potom určují na kolikátou je tento cyklotomický polynom (ve jmenovateli vytvořující funkce) umocněn. Součinem tohoto exponentu se stupněm
příslušného cyklotomického polynomu dostaneme dílčí exponenty těchto členů (řádky pod exponenty - „degree of a polynomials“). Celkový stupeň polynomu (total
degree of a polynomial in denominator of generating function) ve jmenovateli vytvořující funkce dostaneme pak jako součet všech těchto dílčích exponentů plus
2k+1. Tento stupeň současně určuje i hloubku rekurence (recurrence order) pro dané k. Minimálně tolik členů je třeba vypočítat, abychom mohli nalézt explicitnívzorec pro všechny členy.
Matematicky lze předchozí postup (pro k > 1) zapsat tímto vzorcem

kde F jsou Fibonacciho čísla a

je Euler totient function

24
Určení asymptotického chování funkce - proof of formula for limit.
Nyní budeme hledat limitu, když k jde do nekonečna. K tomu je třeba si nejprve zopakovat několik základních vzorců.
Pro Fibonacciho čísla platí rekurence (definice)

Lze je vyjádřit i explicitně

Z toho vztahu vyplývá

Pro druhou mocninu využijeme rovnost

Platí tato limita (viz např. Euler's totient function nebo OEIS A000010)

25
Zkoumejme nyní výraz

Nekonečná řada je typu

Po dosazení

je suma rovna 1 a dostáváme tak26
Jiné možné vyjádření s užitím Fibonacciho čísel je

Finální tvar limity pak dostaneme ve tvaru

Vzorec jde slovně interpretovat tak, že hloubka rekurence roste se čtvercem Fibonacciho čísel.
Dále z toho vyplývá, že

Pro velká k bude tak s každým k narůstat hloubka rekurence (tedy i minimální počet hodnot, které je třeba vypočítat k určení explicitního vzorce!) přibližně
2.61 krát. Pro k=7 tak bude třeba vypočítat minimálně 197 členů a pro k=8 minimálně 477 členů. Potřebné výpočty jsou daleko za hranicemi možností současné
výpočetní techniky (a to i za použití stovek paralelních procesorů). Přesto, nalezením denominátorů a rekurencí pro všechna k je možno považovat problém k dam našachovnici n x n v podstatě za vyřešený, zbytek je „jen“ vždy otázka výpočtu konečného počtu konstant.
For 7 queens (k=7) is minimal 197 values of sequence necessary, for k=8 minimal 477 values necessary. This is out of power of current computer systems. But after
finding of denominators and recurrences is k-Queens problem on an n x n chessboard in principle resolved. The rest is “only” problem of computing of finite
number of constants.

27
Jak jsem vypočítal jmenovatel vytvořující funkce pro k=7 / How I computed denominator of generating function for k=7
Kombinatoricky řečeno, vytvořující funkce určuje celkový počet případů s různým chováním, přičemž pro každý z těchto případů platí odlišné vzorce. Abychom
dostali celkový počet hledaných možností, sečteme pak všechny dílčí počty možností z jednotlivých případů. Samotný problém k dam na šachovnici n x n je velmisložitý, právě proto, protože obsahuje značné množství různých případů. Jelikož se současnou úrovní výpočetní techniky bylo možné vyřešit tento problém jen do
k=6 (k čemuž už i tak byl třeba obrovský výpočetní výkon) a numerické řešení pro k=7 nebo vyšší je v nedohlednu, snažil jsem se nejprve vymyslet metodu, jak určit
alespoň denominátor vytvořující funkce pro k=7, který už by mohl hodně napovědět o chování těchto funkcí i pro vyšší k.
Pro určení denominátoru pro k=7 jsem si nejprve vytvořil pomocnou posloupnost. Vtip jev tom, že k jejímu vygenerování je potřeba mnohem menší čas a bylo tak možné (v časepouhých několika hodin) vygenerovat dostatečný počet členů, které stačily k určení rekurence a
tím i hledaného denominátoru vytvořující funkce.
1) vzhledem k symetrii stačí uvažovat pouze trojúhelníkovou šachovnici (vynecháním poloviny
polí nepřijdeme o žádnou reprezentující možnost)2) první dáma může být pevně na a13) každá nově postavená dáma napadá pouze předtím postavenou dámu a to vždy po střelcové
linii kolmé na předchozí linii
Tato pomocná posloupnost pokrývá všechna možná křížení linií a má proto shodné členy ve
jmenovateli vytvořující funkce jako úplná posloupnost, ty se liší pouze v exponentech (což je
dáno zejména zafixováním dámy a1, které ubralo 1 stupeň volnosti). Toto platí pro libovolné k.
Following help sequence covers all possible intersections of lines and has therefore same partsin denominator as full sequence (only exponents may be different), but much less time (several
hours only) was necessary for computing of sufficient number of values.
Conditions for this help sequence:
1) only triangle chessboard is sufficient (without loss of configurations)2) first queen was fixed on A1
3) Each new queen is under attack only by a previous queen. Each next line is orthogonal withprevious line (on bishop lines).
Že je tato posloupnost jakousi „obálkou“ všech možností typů konfigurací, je možno snadno dokázat sporem. Pokud by existovala linie, po které by se napadalo
3 nebo více dam, rázem nebude možné dosáhnout konfigurace na diagramu (s maximálním množstvím různých linií), protože minimálně jedna linie bude scházet.

28Podařilo se mi vypočítat celkem 114 členů této pomocné posloupnosti pro k=7 a našel jsem rekurenci hloubky 98, ze které jsem určil denominátor příslušné
vytvořující funkce:

Tento výraz lze v řeči cyklotomických polynomů zapsat také jako (in language of cyclotomic polynomials)
C1(x)7 C2(x)5 C3(x)4 C4(x)3 C5(x)3 C6(x)2 C7(x)2 C8(x)2 C9(x) C10(x) C11(x) C12(x) C13(x)Pro k=7 se tedy potvrdilo, že jmenovatel vytvořující funkce obsahuje (navíc proti k=6) cyklotomické polynomy C13(x), C12(x), C11(x), C10(x), C9(x). Protoi jmenovatel vytvořující funkce pro 7 neohrožujících se dam obsahuje tyto polynomy (s exponenty, které jsou větší nebo rovny exponentům pro tuto pomocnou
sekvenci - to je dáno zafixováním první dámy i omezením počtu probíraných možností). Současně jsem ověřil vlastnosti těchto pomocných posloupností i pro
všechna k<=7.
I computed total 114 values of this help sequence and found recurrence of order 98. Denominator contains new parts C13(x), C12(x), C11(x), C10(x), C9(x), therefore
also denominator for 7 non attacking queens contains same parts (only exponents are greater or equal than exponents for this help sequence).
Stejným postupem se mi podařilo určit i (do té doby neznámý) tvar denominátoru pro 7 dam na prstencové šachovnici.
With same method I found also denominator for 7 queens on a toroidal board.

29

Degree of denominator of GF for number of ways to place k non-attacking queens on an n x n board

k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

dk, A178717
3
5
9
17
37
81
197
477
1197
3077
7989
20649
53885
1406013669179596852511477
657168117202449

computed

conjectured

2045027677
21
117871345
22
308581637
23
807852685
24
2114904397
25
5536838045
26
14495554593
27
37949503089
28
99352690141
conjectured
29260108204933
30
680970807213
31
1782803565797
32
4667437084745
33
12219503347729
34
31991072445577
3583753706559725
36 219270031563205
37 574056385796461
38 1502899094403693
39 3934640801736837
40 10301023227534077

Poznámka: V programu Mathematica dostaneme tyto hodnoty po zadáníTable[2*k+1+Sum[Sum[2*j*EulerPhi[i],{i,Fibonacci[k-j]+1,Fibonacci[k-j+1]}],{j,1,k-1}],{k,1,40}]
Denominátory jde pak s pomocí programu Mathematica vygenerovat touto mojí procedurou:
inversef[j_]:=(m=2;While[j>Fibonacci[m],m=m+1];m);Table[(x-1)^(2k+1)*Product[Cyclotomic[j,x]^(2*(k-inversef[j]+1)),{j,2,Fibonacci[k]}],{k,1,8}]

30
Na základě tvaru jmenovatele vytvořující funkce lze formálně určit i tvar explicitního vzorce. To lze učinit buď s pomocí trigonometrických funkcí nebo s pomocí
funkce celá část. Postup odpovídá běžnému řešení diferenčních rovnic, kdy denominátor vytvořující funkce určuje charakteristickou rovnici a podle jejích kořenů se
určuje tvar partikulárních řešení.
Oba následující vzorce budou dávat shodné hodnoty pro nezáporná celá čísla. Neznámé konstanty je třeba vždy dopočítat podle několika prvních členů příslušné
posloupnosti.
Obecný vzorec pro rozmístění k dam na šachovnici n x n s využitím periodických trigonometrických funkcí:

Konstantyajsou závislé pouze na k.
se funkce shoduje s Fibonacci Inverse)

je Euler’s totient function, F(k) jsou Fibonacciho čísla. Hodnota m se určí podle nerovnosti (pro p > 1

Alternativní vzorec s využitím funkce celá část(Alternative formula with Floor function)

Konstantyajsou závislé pouze na k.

Celkový počet nenulových konstant v obou těchto vzorcích může být v konkrétních případech o něco menší (než tento horní odhad daný mezemi sum), protože
některé lineární rovnice, které dostaneme použitím potřebného počtu počátečních hodnot posloupnosti, mohou být lineárně závislé nebo mohou náhodně vyjítněkteré z konstant rovny 0.

31
Nejmenší perioda / Least period
Z výrazů obsažených ve jmenovateli vytvořující funkce lze odvodit i periodu pro dané k. Perioda p je takové nejmenší kladné celé číslo, pro které lze vzorce pro n ve
tvaru n=a*p+b (kde a,b jsou nezáporná celá čísla) vyjádřit jedním polynomem bez dodatečných kvazipolynomů. Jednoduše řečeno, vzorce pro takovou lineárníposloupnost neobsahují trigonometrické funkce (ani příp. funkci celá část apod.). Pokud je p perioda pro tuto posloupnost, pak ale existuje p různých polynomů,každý podle zbytku při dělení n periodou p. Samozřejmě periodou je pak i každý celočíselný násobek p.
Pro vzorce vyjadřující počet rozmístění neohrožujících se k dam na šachovnici n x n v závislosti na n platí, že nejmenší perioda p je dána výrazem
Least period for formulas for number of ways of placing k non-attacking queens on an n x n chessboard is LCM of natural numbers from 1 to F(k).

kde LCM je nejmenší společný násobek (Least common multiple) a F(k) je Fibonacciho číslo.
k F(k)
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7 13

period, A180402
LCM(1)=1
LCM(1,2)=2
LCM(1,2,3)=6
LCM(1,2,3,4,5)=60
LCM(1,2,3,4,5,6,7,8)=840
LCM(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13)=360360

Např. 6 vzorců pro k=4 je rozepsáno na str. 12. Pro k=7 tak bude existovat celkem 360360 různých vzorců (polynomů) podle toho, jestli n je typu 360360a,
360360a+1, 360360a+2, ..., 360360a+360359. Použití metody 2 (viz str. 790) se tak pro větší k ukazuje jako nevhodné.
Poznámka: V programu Mathematica dostaneme tyto periody např. takto: Table[Apply[LCM, Range[Fibonacci[k]]], {k, 1, 7}]

Asymptoticky platí (viz např. A003418)
a tedy pro velká k dostaneme přibližný odhad(je však třeba upozornit, že LCM má velký rozptyl, takže tento odhad je třeba brát spíše teoreticky a není vhodný k numerickým výpočtům, zejména pro menší k)

32
k
2

Recurrence
an = 5an-1 - 10an-2 + 10an-3 - 5an-4 + an-5

3

an = 5an-1 - 8an-2 + 14an-4 - 14an-5 + 8an-7 - 5an-8 + an-9

4

an = 3an-1 + an-2 - 9an-3 + 12an-5 + 7an-6 - 15an-7 - 16an-8 + 16an-9 + 15an-10 - 7an-11 - 12an-12 + 9an-14 - an-15 - 3an-16 + an-17

5

an= - an-1 + 3an-2 + 7an-3 + 3an-4 - 11an-5 - 21an-6 - 13an-7 + 13an-8 + 41an-9 + 44an-10 + 8an-11 - 49an-12 - 81an-13 - 57an-14 + 15an-15 + 88an-16+106an-17 + 48an-18 - 48an-19 -106an-20 - 88an-21 - 15an-22 + 57an-23 + 81an-24 + 49an-25 - 8an-26 - 44an-27 - 41an-28 - 13an-29 + 13an-30 + 21an-31 +11an-32 - 3an-33 - 7an-34 - 3an-35 + an-36 + an-37

6

an = -5an-1 -13an-2 -21an-3 -19an-4 +5an-5 +57an-6 +127an-7 +184an-8 +180an-9 +70an-10 -162an-11 -476an-12 -768an-13 -889an-14 -695an-15 -114an-16+794an-17 +1806an-18 +2570an-19 +2701an-20 +1929an-21 +234an-22 -2072an-23 -4374an-24 -5898an-25 - 5950an-26 -4180an-27 -771an-28 +3521an-29+7530an-30 +9994an-31 +9959an-32 +7119an-33 +1994an-34 -4156an-35 -9657an-36 -12909an-37 -12881an-38 -9447an-39 -3464an-40 +3464an-41+9447an-42 +12881an-43 +12909an-44 +9657an-45 +4156an-46 -1994an-47 -7119an-48 -9959an-49 -9994an-50 -7530an-51 -3521an-52 +771an-53+4180an-54 +5950an-55 +5898an-56 +4374an-57 +2072an-58 -234an-59 -1929an-60 -2701an-61 -2570an-62 -1806an-63 -794an-64 +114an-65 +695an-66+889an-67 +768an-68 +476an-69 +162an-70 -70an-71 -180an-72 -184an-73 -127an-74 -57an-75 -5an-76 +19an-77 +21an-78 +13an-79 +5an-80 +an-81

7*a(n) = a(n-197) + 11a(n-196) + 66a(n-195) + 284a(n-194) + 979a(n-193) + 2867a(n-192) + 7391a(n-191) + 17167a(n-190) + 36502a(n-189) + 71854a(n-188) + 132001a(n-187) + 227579a(n-186) +369573a(n-185) + 566345a(n-184) + 818910a(n-183) + 1114468a(n-182) + 1418684a(n-181) + 1667858a(n-180) + 1762862a(n-179) + 1567406a(n-178) + 913631a(n-177) - 382005a(n-176) - 2490306a(n-175)- 5527702a(n-174) - 9503162a(n-173) - 14258598a(n-172) - 19411273a(n-171) - 24310113a(n-170) - 28020291a(n-169) - 29351159a(n-168) - 26940769a(n-167) - 19405263a(n-166) - 5553140a(n-165) +15346812a(n-164) + 43268288a(n-163) + 77138720a(n-162) + 114608227a(n-161) + 151932369a(n-160) + 184024666a(n-159) + 204725598a(n-158) + 207315406a(n-157) + 185268748a(n-156) +133212155a(n-155) + 48004017a(n-154) - 70183102a(n-153) - 216930246a(n-152) - 382960078a(n-151) - 554012366a(n-150) - 711346353a(n-149) - 832955143a(n-148) - 895498622a(n-147) 876864666a(n-146) - 759163548a(n-145) - 531860790a(n-144) - 194674273a(n-143) + 240182841a(n-142) + 746828188a(n-141) + 1285960424a(n-140) + 1806771216a(n-139) + 2250587298a(n-138) +2556103772a(n-137) + 2665846492a(n-136) + 2533288725a(n-135) + 2129874995a(n-134) + 1451101463a(n-133) + 520790749a(n-132) - 607206046a(n-131) - 1850443990a(n-130) - 3102719461a(n-129) 4242198625a(n-128) - 5142328327a(n-127) - 5684628585a(n-126) - 5772140029a(n-125) - 5342085203a(n-124) - 4376237801a(n-123) - 2907601789a(n-122) - 1022286568a(n-121) + 1144093134a(n-120) +3415602536a(n-119) + 5590244180a(n-118) + 7458159648a(n-117) + 8822115392a(n-116) + 9518231826a(n-115) + 9434741790a(n-114) + 8526633540a(n-113) + 6824351658a(n-112) +4435274433a(n-111) + 1537407289a(n-110) - 1634445881a(n-109) - 4808938651a(n-108) - 7703022656a(n-107) - 10048957558a(n-106) - 11620750186a(n-105) - 12257251526a(n-104) 11879415820a(n-103) - 10499785534a(n-102) - 8223052813a(n-101) - 5237477687a(n-100) - 1797913038a(n-99) + 1797913038a(n-98) + 5237477687a(n-97) + 8223052813a(n-96) + 10499785534a(n-95) +11879415820a(n-94) + 12257251526a(n-93) + 11620750186a(n-92) + 10048957558a(n-91) + 7703022656a(n-90) + 4808938651a(n-89) + 1634445881a(n-88) - 1537407289a(n-87) - 4435274433a(n-86) 6824351658a(n-85) - 8526633540a(n-84) - 9434741790a(n-83) - 9518231826a(n-82) - 8822115392a(n-81) - 7458159648a(n-80) - 5590244180a(n-79) - 3415602536a(n-78) - 1144093134a(n-77) +1022286568a(n-76) + 2907601789a(n-75) + 4376237801a(n-74) + 5342085203a(n-73) + 5772140029a(n-72) + 5684628585a(n-71) + 5142328327a(n-70) + 4242198625a(n-69) + 3102719461a(n-68) +1850443990a(n-67) + 607206046a(n-66) - 520790749a(n-65) - 1451101463a(n-64) - 2129874995a(n-63) - 2533288725a(n-62) - 2665846492a(n-61) - 2556103772a(n-60) - 2250587298a(n-59) 1806771216a(n-58) - 1285960424a(n-57) - 746828188a(n-56) - 240182841a(n-55) + 194674273a(n-54) + 531860790a(n-53) + 759163548a(n-52) + 876864666a(n-51) + 895498622a(n-50) + 832955143a(n-49)+ 711346353a(n-48) + 554012366a(n-47) + 382960078a(n-46) + 216930246a(n-45) + 70183102a(n-44) - 48004017a(n-43) - 133212155a(n-42) - 185268748a(n-41) - 207315406a(n-40) - 204725598a(n-39) 184024666a(n-38) - 151932369a(n-37) - 114608227a(n-36) - 77138720a(n-35) - 43268288a(n-34) - 15346812a(n-33) + 5553140a(n-32) + 19405263a(n-31) + 26940769a(n-30) + 29351159a(n-29) +28020291a(n-28) + 24310113a(n-27) + 19411273a(n-26) + 14258598a(n-25) + 9503162a(n-24) + 5527702a(n-23) + 2490306a(n-22) + 382005a(n-21) - 913631a(n-20) - 1567406a(n-19) - 1762862a(n-18) 1667858a(n-17) - 1418684a(n-16) - 1114468a(n-15) - 818910a(n-14) - 566345a(n-13) - 369573a(n-12) - 227579a(n-11) - 132001a(n-10) - 71854a(n-9) - 36502a(n-8) - 17167a(n-7) - 7391a(n-6) - 2867a(n-5) 979a(n-4) - 284a(n-3) - 66a(n-2) - 11a(n-1)*Tento rekurentní vzorec byl odvozen z denominátoru vytvořující funkce, viz str. 19. Rekurence pro k=8 má už ale hloubku 477 a příslušný vzorec by zabíral
2 strany (myslím, že ho nemá smysl zde publikovat). V programu Mathematica je jej možno (případně i pro vyšší k) získat takto (může trvat několik minut)
inversef[j_]:=(m=2;While[j>Fibonacci[m],m=m+1];m);denom[k_]:=(x-1)^(2k+1)*Product[Cyclotomic[j,x]^(2*(k-inversef[j]+1)),{j,2,Fibonacci[k]}];Table[Sum[Coefficient[Expand[denom[k]],x,i]*Subscript[a,n-i],{i,0,Exponent[denom[k],x]}],{k,1,8}]//TraditionalForm

33
Tabulka udává počty rozmístění neohrožujících se k dam na šachovnici n x n, diagonála odpovídá klasickému problému n dam.

k queens, n x n
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

A036464

A047659

A061994

A108792

A176186

A178721

A252593*

0
8
44
140
340
700
1288
2184
3480
5280
7700
10868
14924
20020
26320
34000
43248
54264
67260
82460
100100120428143704170200

0
0
24
204
1024
3628
10320
25096
54400
1078801994003480205792649263241431584
2148048314112044902566291000
8656860
11721600
15641340
20597104
26797144

0
0
2
82
982
7002
34568
1312484125961123832
2739386
610621412654614
24675650
45704724
80999104
138170148
227938788
365106738
569681574
868289594
1295775946
1897176508
2729909796

0
0
10
248
4618
46736
3104961535440
6110256
20609544
60963094
162323448
396155466
899046952
1917743448
3879011584
7491080844
13892164232
24854703014
43071383040
72532831794
119038462248
190849299076

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
832
0
40
22708
3192
92
31295611918013848
2716096211917663652417117832
23636352
14803480
84871680
186506000
207667564
349093856
1131544008
2008758532
1239869972
5613017128
14752426528
3905117168
23670094984
87154016752
11139611892
87463182432 432539436508
29224290600 289367715488 1858901487620
71402912960 872345119896?
164029487484 2427609997716?
357164398040 6305272324272?
741835920276?
?
1477798367368?
?
2836053660668?
?
5263672510684?
?
9478352925488?
?

n queens, n x n

1
0
0
2
10
4
40
92
352
724
2680
14200
73712
365596227918414772512
95815104
666090624
4968057848
39029188884
314666222712
2691008701644
24233937684440
227514171973736
2207893435808352

34
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

2002002340002719083142443613404135404712005346886043846806807639808547009532681060124117572034479744
3866439956
299547508728
16606678238496
43915768
5397191260
461105824676
28378012168908
55411720
7434046062
697264240408
47398421913600
69312516 10114126790 1037206552414
77522788818316
86004800 13604287706 1519678218528 124365738451680
105919940 18105920006 2195518394830 195977208395580
129537600 23860611236 3130809484640 303748457927000
157388960 31156143476 4410583469036 463582807382736
190060544 40333505448 6143370199976 697434075907504
228197664 51794268148 8466479411308 1035256352634420
272508504 66009149958 11552406363136 1517521355687872
323767788 83526964218 15616183774498 2198354851112760
382821120 104984952954 20924209082128 3149525540545556
450588876 131119515534 27804270360662 4465340754179496
528070800 162778537232 36657476189408 6268789672000200

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

? 22317699616364044
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

* Hodnoty pro k=8 doplnil do OEIS (až do n=15) Antal Pinter 18.12.2014, Václav Kotěšovec pak 20.12.2014 dopočítal hodnoty pro n=16 a n=17 (výpočet trval 36 hodin).

Related links:
A q-Queens Problem, I. General theory - Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa, Thomas Zaslavsky, Electronic Journal of Combinatorics, 21 (2014), no. 3, Paper P3.33, 28 pp.
A q-Queens Problem. II. The square board - Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa, Thomas Zaslavsky, Journal of Algebraic Combinatorics, 41 (2015), no. 3, 619-642
A q-Queens Problem. III. Partial queens - Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa, Thomas Zaslavsky, 21.2.2014
A q-Queens Problem. V. The Bishops' Period - Seth Chaiken, Christopher R. H. Hanusa, Thomas Zaslavsky, 14.5.2014
A q-Queens Problem - Christopher R. H. Hanusa (with Thomas Zaslavsky and Seth Chaiken), MOVES Conference, in New York City, August 2-4, 2015
The q-Queens Problem: One-Move Riders on the Rectangular Board - Jaimal Ichharam, 27.1.2015

35

1.1.1) n Queens on an n x n chessboard - n dam na šachovnici n x n - A000170
Klasický n-Queens problem. O tomto problému bylo sepsáno již mnoho článků i knih. Jeden z nejúplnějších seznamů odkazů nalezneme např. na stránce n-Queens 324 references, ve Wikipedii je nejvíce informací v německé verzi. Výpočetní střediska a týmy nadšenců se již řadu let předhánějí v tom, kdo vypočte hodnotu pro
další n, ale s rostoucími n to jde (i se stále rychlejšími počítači) dopředu jen pomalu. V roce 2004 bylo pokořeno n=24, ale n=26 si muselo počkat až do roku 2009.
Vše s neobvyklým výpočetním výkonem, za použití stovek paralelních procesorů.
Označíme-li počet různých pozic neohrožujících se n dam na šachovnici n x n jako Q(n), potom pro tuto funkci je (v roce 2011) známo pouhých 26 hodnot. Z takmalého počtu je nemožné určit obecný vzorec. Osobně se domnívám, že pokud existuje, nebude příliš elegantní a bude mít nekonečně mnoho členů. Z mých vzorců
pro délku denominátoru pro k dam na šachovnici n x n totiž vyplývá, že vytvořující funkce pro klasický n-Queens problem nemůže mít jmenovatel konečné délky.
Délka rekurence se zvyšujícím se k exponenciálně narůstá a počet počátečních hodnot nezbytných pro rekurenci narůstá do nekonečna. Každá hodnota Q(n) je
proto zřejmě unikátní! Je však stále určitá šance, že by přesto šlo takový hypotetický vzorec s nekonečně členy nějak zjednodušit a vyjádřit v uzavřeném tvaru.
Rekurence pro k dam na n x n (cj jsou konstanty, n>dk) je:

Pokud přijmeme mojí hypotézu z předchozí kapitoly, je délka rekurence pro počet neohrožujících se k dam na šachovnici n x n asymptoticky rovnaKaždá z rekurencí je dána počátečním počtem unikátních hodnot, ze kterých je pak pomocí rekurentního vzorce možno vypočítat všechny hodnoty až do nekonečna.
Problém je v tom, že pokud jde k do nekonečna, jde pro tyto posloupnosti i počet těchto unikátních hodnot do nekonečna a je asymptoticky roven dk. Podle toho sedomnívám, že pokud se hodnota k bude přibližovat hodnotě n, půjde i mez počtu unikátních hodnot potřebných pro rekurenci do nekonečna. Všechny hodnoty Q(n)proto budou unikátní (počáteční z hlediska případné rekurence) a vzorec pro Q(n) tak vůbec neexistuje, resp. nemůže mít konečně mnoho členů.

initial values

For each recurrence several initial values of sequence must be determined by the problem and all the next values of sequence are possible to compute using
recurrence relation. Number of initial values is the order of sequence. For number of ways to place k non-attacking queens on an n x n board is conjectured
recurrence order dk. If k going to infinity then also number of initial values (asymptotically = dk) going to infinity. Therefore each value of Q(n) is probably "initialvalue"! In other words all values of Q(n) must be computed by counting and can not be computed from some recurrence. I think that no finite formula for n-Queens
problem exists.

36

Conjectures on asymptotic behaviour of Q(n) - Hypotézy o funkci Q(n) proNěco jiného je odhad průběhu funkce Q(n) pro velká n, v tomto směru existuje několik hypotéz. Následuje přehled hypotéz a tabulka hodnot s příslušnými
koeficienty. O asymptotickém chování těchto funkcí obecněji viz kap. 12.
1) Igor Rivin, Ilan Vardi, Paul Zimmermann, The n-Queens Problem, The American Mathematical Monthly, 101 (7/1994), str.629-639. Na straně 631 vyslovili
hypotézu, že

kde konstanta a > 0 (do tabulky na str. 38 jsem doplnil aktuální výsledky, tehdy byly známy hodnoty jen do n=20)
Tento vztah je sice správný, ale jelikož je pravděpodobně a = 1, moc toho neříká.
2) Birger Nielsen na své internetové stránce Dronninger på et skakbræt odhadl 27.9.2000 na základě pravděpodobnosti pro umístění další dámy, Q(n) jako
(2)
kde p=0.3885...
Tato hypotéza se zdá v současnosti jako nejlepší (= best conjecture).
Nyní použijeme Stirlingův vzorec

Pokud přijmeme vztah (2), potom by ale muselo být

Dosazením do (1) dostanemePřinemá vztah (1) žádnou hodnotu (i jen zřejmé

je silnější ...).

373) Benoit Cloitre 10.11.2002 vyslovil podobnou hypotézu, podle nějJe zajímavé, že mezi touto konstantou C a konstantou p z hypotézy B.Nielsena platí jednoduchý vztahTakže pokud p=0.3885..., muselo by být C=0.9454...

4) Další pozoruhodný výsledek publikovali 28.8.2008 Cheng Zhang and Jianpeng Ma. V článku Counting Solutions for the N-queens and Latin Square Problems by
Efficient Monte Carlo Simulations (PDF) došli pomocí simulací metodou Monte Carlo k (zatím asi nejpřesnějšímu) vztahu:s maximální chybou 0.02 (pro n > 100). Zatímco předchozí hypotézy vznikaly na základě pokusů o extrapolaci ze známých (přesných) výsledků, tedy pouze z něcopřes 20 čísel, tento výsledek má jiný charakter. Autoři simulovali problém až do šachovnic n x n, kde n=10000. Takové výsledky, podložené teorií pravděpodobnosti,
mají proto větší váhu. Jejich metoda nám sice nepřinese přesné hodnoty Q(n) pro jednotlivá n, ale u odhadů lze stanovit rozsah pravděpodobné chyby. Je to proto
první rovnice, která není jen hypotézou, ale opravdovým výsledkem řešení tohoto problému.
Tento výsledek je téměř shodný s hypotézou Birger Nielsena, neboť přepočtem vycházípo úpravách z toho dostanemecož se dá napsat také jako
a nyní už je na místě otázka, zda konstanta 0.993 nemá být spíš 1 ?
Pokud bychom obráceně vyšli z (elegantnější) hypotézy Birger Nielsena, lze ji převést do tvaru

5) Další výsledky viz kapitola 12.

38
V následující tabulce a grafech můžeme porovnat odhady pro známé hodnoty Q(n)n4

2 0.12500

0.436790

0.6212266624

0.855476662

5

10 0.28613

0.537285

0.4969813299

0.684381330

6

4 0.12895

0.353953

0.8654928084

1.021659475

7

40 0.27081

0.446620

0.6908974152

0.824754558

8

92 0.27181

0.419382

0.7603517907

0.877476791

9352 0.29651

0.420095

0.7709107004

0.875021812

10724 0.28597

0.388049

0.8519621180

0.945662118

112680 0.29926

0.382559

0.8735214338

0.958703252

1214200 0.32063

0.387578

0.8688514376

0.946934771

13

73712 0.33612

0.388542

0.8726340743

0.944710997

14

365596 0.34669

0.385792

0.8844240718

0.951352643

152279184 0.36039

0.387849

0.8839962227

0.946462889

1614772512 0.37213

0.388976

0.8852238369

0.943786337

1795815104 0.38156

0.388506

0.8898319151

0.944949562

18666090624 0.39050

0.388371

0.8932504953

0.945306051

194968057848 0.39908

0.388602

0.8954520716

0.944767861

2039029188884 0.40703

0.388822

0.8974020412

0.944252041

21

314666222712 0.41408

0.388575

0.9002552664

0.944874314

222691008701644 0.42087

0.388583

0.9022838241

0.944874733

2324233937684440 0.42734

0.388717

0.9038217572

0.944560888

24

227514171973736 0.43341

0.388823

0.9052706563

0.944312323

25

2207893435808352 0.43904

0.388796

0.9069115985

0.944391599

26 22317699616364044 0.44438

0.388795

0.9083671268

0.944405588

?

?

?

?

1?

0.3887... ?

0.9454... ?

0.9440... ?

27

?

39

1.2) k Queens on an k x n chessboard - k dam na šachovnici k x nPřípad rozmístění k dam na šachovnici k x n je o něco jednodušší než pro šachovnici n x n. I tyto vzorce byly předmětem
intenzívního zájmu matematiků už v 19. století. Ale opět až získání více hodnot pomocí počítačů o 100 let později pomohlo
objevit vzorce pro větší hodnoty k.
Vzorce pro šachovnici k x n jsou vždy polynomy bez tzv. kvazipolynomů (spec. vzorce pro šachovnice sudých a lichých rozměrů
jsou vždy shodné). Trigonometrické funkce najdeme u vzorců na šachovnici n x n a to pouze v případě liniových kamenů (nikoliv
pro bodové kameny).
2 Queens, board 2 x n:

A061989 - 3 Queens, board 3 x n: (E.Pauls, 1874) , n>=3

A061990 - 4 Queens, board 4 x n: (M.Tarry, 1890) , n>=7
A061991 - 5 Queens, board 5 x n: (V.Kotěšovec, 1992), n>=11

A061992 - 6 Queens, board 6 x n: (V.Kotěšovec, 1992) , n>=17

A061993 - 7 Queens, board 7 x n: (V.Kotěšovec, 1992) , n>=23

A172449 - 8 Queens, board 8 x n: (V.Kotěšovec, 3.2.2010) , n>=31

40
Koeficient u nk-1

jsem určil již v roce 1992, Rex Multiplex 38/1992, článek v rubrice "Echecs et Mathématiques".

Koeficient u nk-2

odvodil Ľudovít Lačný v roce 2001,

viz články "150 rokov problému ôsmich dám", Ľ. Lačný, Pat a Mat 32/2001, str. 17-20 a
Co nového v problému N - dam (What's new in N-queens problem), V. Kotěšovec, Pat a Mat 32/2001, str.20-21.
Nyní jsem tento vzorec potvrdil jinou metodou (v jiném tvaru, ale se shodnými hodnotami) a současně ověřil pro k=8 (což v roce 2001 byla jen hypotéza).
Obecně mají tyto vzorce tvar:(sekvence u třetího členu by tedy měla pokračovat takto: 0, 2, 30, 139, 407, 943, 1879, 3378, 5626, 8840, ...)
O autorech vzorců pro k=3 a k=4 se zmiňuje Wilhelm Ahrens ve své knize
Mathematische Unterhaltungen und Spiele (vydání z roku 1921) na str.277.
Vzorec pro k=3 publikoval E.Pauls, "Das Maximalproblem der Damen auf
dem Schachbrette", Deutsche Schachzeitung, 1874, str.261-263
Vzorec pro k=4 publikoval M. Harold Tarry na kongresu francouzských
matematiků v roce 1890 v Limoges. Ve své přednášce uvedl i vzorce pro k=2
a k=3 a je proto v literatuře občas uváděn i jako autor těchto vzorců (vzorec
pro k=3 však vymyslel již v roce 1874 E.Pauls).
V Intermédiaire des Mathématiciens 1903, str.297-8 (str.682 v PDF) potom
Tarry vyzval matematiky k nalezení obdobného vzorce pro šachovnici 5 x n,nikdo však takový vzorec nenalezl. Tento problém pak vyřešil až Václav
Kotěšovec v roce 1992.
Poznámka: Ke stejným výsledkům (pro k=2,3,4,5,6) došli v článku Nonattacking queens in a rectangular strip (PDF) (na str.16) Thomas Zaslavsky, Seth Chaiken a
Christopher R.H. Hanusa (2009). Bohužel jejich další výsledky (uvedené v tomto článku) pro střelce, jezdce a tátoše jsou ze šachového pohledu chybné, protože
uvažovali jen taková rozmístění, kde na každém sloupci stojí právě 1 kámen. To platí pro dámy a věže, ale v případě jiných kamenů může stát na jednom sloupci
2 i více neohrožujících se kamenů stejných hodnot. Pro tyto případy tedy řešili jiný problém (více matematický než šachový).
Formulas for queens and rooks in this article are same, but for bishops, knights and nightriders with additional condition “there is to be one piece in each row”.

41
Co se týče faktu, že všechny vzorce v této skupině neplatí už od, ale až od určitého n (závislého na k), existuje vztah mezi rozsahem platnosti vzorců apříslušnými vytvořujícími funkcemi. Jak jsem již uvedl v kapitole 1.1, vytvořující funkce pro všechny tyto posloupnosti jsou racionální, jde tedy o podíl dvou
polynomů s celočíselnými koeficienty.

Pokud není stupeň polynomu v čitateli vetší než stupeň polynomu ve jmenovateli () , platí explicitní vzorec už od
polynomu v čitateli je větší než stupeň polynomu ve jmenovateli, potom explicitní vzorec platí až od. V případě, že p > q , tedy stupeň

Rekurentní vzorec platí v tomto případě až od
Samotná vytvořující funkce dává platné hodnoty (na rozdíl od explicitních a rekurentních vzorců) vždy už od. Pokud budeme uvažovat (pro k dam na k x n)např.
, je čitatel (numerator) vytvořující funkce polynom 39.stupně () a jmenovatel polynom 9.stupně (). Explicitní vzorec proto může platit ažoda rekurentní až od.
Vytvořující funkce mají některé zajímavé vlastnosti. Pokud vynásobíme tuto funkci x, výsledná posloupnost se nemění, jen dojde k jejímu posunu o 1 doprava (tedypředchozí hodnota a1 je nyní a2 atd.). Vynásobení členem x8 tedy znamená jen to, že posloupnost vlastně začíná až od n=8. Zbývající polynom v čitateli mástupeň 31, k jeho určení je proto potřeba určit celkem 32 koeficientů. Na první pohled se to zdá příliš, protože explicitní vzorec je polynom jen 8.stupně, k jehož
určení stačí znát jen 9 koeficientů. Ve zbytku čitatele vytvořující funkce je tak navíc zakódována informace o (atypických) počátečních členech posloupnosti.
Jmenovatel (denominator) vytvořující funkce přímo určuje tvar rekurentní posloupnosti, kterou získáme (po roznásobení) nahrazením všech členů
výrazy,přičemž využijeme fakt, že x0=1. V této skupině vzorců má jmenovatel vždy tvar (x-1)k+1, z čehož vyplývá obecný tvar rekurentního vztahu (daný binomickými
koeficienty se střídáním znaménka - viz tabulka na straně 44). Speciálně tedy, pokud mají dvě různé posloupnosti explicitní vzorce dané polynomy stejných stupňů anavíc oba vzorce platí pro všechny jejich členy (tedy už od n=1), pak mají obě takové posloupnosti shodný rekurentní vzorec. Ten ale samotný není (na rozdíl od
vytvořující funkce) postačující k určení všech hodnot posloupnosti, k tomu je třeba ještě znát příslušný počet prvních členů této posloupnosti.
Pro právě analyzovanou skupinu vzorců (k dam na k x n) platíTakže explicitní vzorce platí až pro

42
a rekurentní vzorce až pro

Tedy např. pro k=9 vychází p=48, q=10, explicitní vzorec bude platit až pro n >= 39 a rekurentní pro n >= 49. Jelikož explicitní vzorec bude polynom 9.stupně, byloby třeba pro určení jeho 10 koeficientů vypočítat hodnoty posloupnosti pro n=39 až n=48. Pro tři z těchto koeficientů však už máme obecné vzorce, proto by stačilvýpočet hodnot až do n=45 plus jedna hodnota pro kontrolu, tedy do n=46. K tomu by ale bylo nezbytné prozkoumat~ 9*1017 pozic, což už je nad síly

současných PC.
Obráceně, pokud už známe explicitní vzorec a potřebujeme určit vytvořující funkci, tak pro všechny vzorce na šachovnici k x n je stupeň polynomu ve jmenovateli
a pokud označíme n1 první takové n, pro které explicitní vzorec už platí, pak je stupeň polynomu v čitateli vytvořující funkce roven

Pro případ k kamenů na šachovnici k x n, kdy jmenovatel vytvořující funkce je vždy (x-1)k+1 a explicitní vzorec je proto vždy pouze polynom (bez tzv.
kvazipolynomů), lze odvodit vztah mezi koeficienty vytvořující funkce a explicitním vzorcem. Ukažme si to nejprve na příkladu. Pro počet rozmístění
4 neohrožujících se dam na šachovnici 4 x n je vytvořující funkce

Stupeň polynomu v čitateli je p=11, stupeň polynomu ve jmenovateli je q=5. Vytvořující funkci lze zapsat také ve tvaru

Jelikož je p > q, jedná se o dvě části, obecně

kde ct a gs jsou konstanty.
Při výpočtu koeficientů Taylorova rozvoje se stupeň polynomu vlevo každou derivací sníží o 1, až povytvořující funkci „zakódováno“, že několik prvních členů posloupnosti se chová odlišně než její zbytek).

derivacích bude už stále 0 (tímto způsobem je ve43Snadno lze odvodit (a indukcí dokázat) pro n>=1 následující vztah pro n-tou derivaci v nule výrazu

Nyní můžeme určit členy posloupnosti

jako koeficienty Taylorova rozvoje vytvořující funkce pro

Zápis explicitního vzorce zjednodušíme substitucí

V našem konkrétním příkladu mámea po dosazení dostáváme

procož souhlasí se vzorcem odvozeným jinou metodou.

a použitím kombinačních čísel

takto:

44Když známe explicitní vzorce, jsou obvykle už vytvořující funkce pro danou posloupnost méně zajímavé, přesto je zde pro porovnání přehledně uvádím. Jen bychještě poznamenal, že některé velmi dlouhé výrazy (přesahující 1 řádku) nemělo smysl upravovat do matematické sazby a nechal jsem je proto v řádkovém tvaru.

k Queens on an k x n chessboardkGenerating function

Explicit formula
2

2

n≥

3

n≥

n4 - 18n3 + 139n2 - 534n + 840

4

n≥

5

n≥

6

-2x^6 (4x^17-12x^16+12x^15+10x^14-10x^13+40x^12-278x^11+677x^10-582x^962x^8+654x^7-501x^6+293x^5-46x^4+138x^3-12x^2+33x+2) / (x-1)^7

7

2x^7 (24x^23 -140x^22 +320x^21-220x^20 -284x^19 +510x^18 -142x^17 -308x^16+1998x^15 -5672x^14 +8326x^13-7831x^12 + 7462x^11-7616x^10+6472x^9-2857x^8+264x^7 +2019x^6 -1356x^5+1292x^4-88x^3+331x^2-4x+20) / (x-1)^88

kn - 3n + 2
1
3
2
n - 9n + 30n - 36
3

-2x^8 (36x^31 -180x^30 +180x^29 +660x^28 -2104x^27 + 4532x^26 -14179x^25+32645x^24 -40080x^23 +20775x^22 + 9741x^21-31157x^20+21956x^19+40810x^18114212x^17 + 130860x^16-124057x^15 +168145x^14 -230282x^13 +226719x^12144237x^11 +67626x^10 -40135x^9 +42738x^8 -24838x^7 + 11807x^6 +2384x^5+897x^4 +2172x^3 +773x^2 +119x +46) / (x-1)^9

numerator = polynomial degree

n≥

n≥

n≥

nk - 3k(k-1)/2*nk-1 +(9k4/8-29k3/12 - k2/8 + 23k/12 -1/4 +(-1)k/4)*nk-2 - ...

(2k2 + 4k - 5 + (-1)k) / 4

denominator = polynomial degree k+1 = (x-1)

k+1

7n5 - 30n4 + 407n3 - 3098n2 + 13104n 24332
11654
n - 45n + 943n - 11755n3 + 91480n2- 418390n + 870920
177
6
n - 63n + 1879n5 - 34411n4 +417178n3 - 3336014n2 + 16209916n 36693996
238
7
n - 84n + 3378n6 - 85078n5 +
1467563n4 - 17723656n3 +145910074n2 - 745654756n +1802501048
31

n≥

2

k

(2k - 5 + (-1) ) / 4

Recurrence
an = 3an-1 - 3an-2 + an-3
4
an = 4an-1 - 6an-2 + 4an-3 - an-4
7
an = 5an-1 - 10an-2 + 10an-3 - 5an-4 +an-5
12
an = 6an-1 - 15an-2 + 20an-3 -15an-4 +6an-5 - an-6
17
an = 7an-1 - 21an-2 + 35an-3 - 35an-4 +21an-5 - 7an-6 + an-7
24
an = 8an-1 - 28an-2 + 56an-3 - 70an-4 +56an-5 - 28an-6 + 8an-7 - an-8
31
an = 9an-1 - 36an-2 + 84an-3 - 126an-4+ 126an-5 - 84an-6 + 36an-7 - 9an-8 +
an-9
40
k+1

an =

∑ a (-1)

i-1

n-i

i=1

(2k2 + 4k - 1 + (-1)k) / 4

45
Jelikož vzorce pro rozmístění k dam na šachovnici k x n platí vždy až od jistého n, jsou v následující tabulce počty pro malá n, kde vzorce ještě neplatí, označenyčervenými čísly. Sloupec vpravo představuje počty rozmístění vzájemně se neohrožujících n dam na šachovnici n x n (porovnejte s diagonálou v tabulce).

nk queens k x nn queens, n x n

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

1

0

0

0

0

0

0

0

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2

0

0

0

0

0

0

0

4

6

4

0

0

0

0

2

5

12

14

2
12

10

0

0

0

10

6

20

36

46

40

0

0

4

7

30

76

140

164

4
94

40

0

40

8

42

140

344

568

550

312

92

9

56

234

732

1614

2292

2038

92
1066

352

10

72

364

1400

3916

7552

9632

7828

724

11

90

536

2468

8492

21362

37248

44148

2680

12 110

756

4080

16852

52856

120104

19527014200

13 132 1030

6404

31100

11769433501070769873712

14 156 1364

9632

54068

241484835056221186836559615 182 1764

13980

89428

463038189770261201362279184

16 210 2236

19688

141812

838816399845615324708

1477251217 240 2786

27020

21693214480027907094

35312064

95815104

18 272 3420

36264

321700239829214818300

75937606

666090624

19 306 4144

47732

4643483832374

26512942

153942964

4968057848

20 342 4964

61760

654548593512045562852

296590536

39029188884

21 380 5886

78708

903532894151475580634

546621416

314666222712

22 420 6916

98960 1224212

13145292

121520020

968910732

2691008701644

23 462 8060 122924 1631300

18908302

190031678

1659114170

24233937684440

24 506 9324 151032 2141428

26670584

289879092

2754780934

227514171973736

46
25 552 10714 183740 2773268

36961170

432420154

4449361442 2207893435808352

26 600 12236 221528 3547652

50409604

632159540

7009572728 22317699616364044

27 650 13896 264900 4487692

67758182

907376502 10796663102?

28 702 15700 314384 5618900

89874912 1280833348 16292133888?

29 756 17654 370532 6969308 117767194 1780569602 24128511810?

30 812 19764 433920 8569588 152596220 2440786884 35125842896?

31 870 22036 505148 10453172 195692094 3302829550 50334575910?

32 930 24476 584840 12656372 248569672 4416266132 71085565752?

33 992 27090 673644 15218500 312945122 5840076618 99047961338?

34 1056 29884 772232 18181988 390753204 7643950612 136295785608?

35 1122 32864 881300 21592508 484165270 9909701414 185384054238?

36 1190 36036 1001568 25499092 595607984 12732801060 249435319880?

37 1260 39406 1133780 29954252 727782762 16224041362 332237569362?

38 1332 42980 1278704 35014100 883685932 20511325988 438354441528?

39 1406 46764 1437132 40738468 1066629614 25741598622 573248773718?

40 1482 50764 1609880 47191028 1280263320 32082912244 743420525208?

471.3) k Queens on an n x n toroidal chessboard - k dam na prstencové šachovnici n x nPrstencová šachovnice je kombinace vertikální a horizontální válcové šachovnice. Toroidal chessboard (anchor-ring) - board on which the a- and h-files are joined
and the bottom and top ranks are also joined. The anchor-ring is a combination of the vertical and horizontal cylinders.
Z hlediska programátorského umožňuje tato šachovnice (ve stejném čase) výpočet hodnot pro větší n, protože vzhledem k symetrii je možno jeden kámen zafixovat.

A172517 - 2 Queens, toroidal board n x n:
pro n sudé (even)pro n liché (odd)nebo jedním vzorcem:

A172518 - 3 Queens, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010)
pro n sudé (even)pro n liché (odd)nebo jedním vzorcem:

48
A172519 - 4 Queens, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 5.2.2010)

Počet rozmístění 4 neohrožujících se dam na prstencové šachovnici se dá vyjádřit buď jedním vzorcem nebo 12 vzorci odpovídajícími velikosti šachovnice (podle
zbytku po dělení 12). Někoho možná překvapí funkce cosinus ve vzorci, taková řešení však jsou obvyklá, pokud charakteristická rovnice pro příslušnou diferenční
rovnici má imaginární kořeny. Výsledné hodnoty jsou vždy celočíselné a nejmenší perioda je 12.

Alternative formula:

4 Queens toroidal n x n, n=12a+b

n8

n7

n6

n5

n4

n3

n2

n1

n0

12a

1/24

-1

31/3

-59

787/4

-361

284

0

0

12a+1

1/24

-1

121/12-54

1269/8

-232

473/4

0

0

12a+2

1/24

-1

31/3

-59

787/4

-361

271

0

0

12a+3

1/24

-1

121/12-54

1269/8

-232

489/4

0

0

12a+4

1/24

-1

31/3

-59

787/4

-361

280

0

0

12a+5

1/24

-1

121/12-54

1269/8

-232

473/4

0

0

12a+6

1/24

-1

31/3

-59

787/4

-361

275

0

0

12a+7

1/24

-1

121/12-54

1269/8

-232

473/4

0

0

12a+8

1/24

-1

31/3

-59

787/4

-361

280

0

0

12a+9

1/24

-1

121/12-54

1269/8

-232

489/4

0

0

12a+10

1/24

-1

31/3

-59

787/4

-361

271

0

0

12a+111/24-1

121/12-54

1269/8

-232

473/4

0

0

49
A173775 - 5 Queens, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 24.2.2010)

Alternative formula:period = LCM[1,2,3,4,5,6] = 60

Note about number of necessary values of sequences on an n x n toroidal board
If qkt(n) is the sequence for k queens on an n x n toroidal board and qktfixedA1(n) is a sequence with fixed first queen on A1, then qkt(n) = qktfixedA1(n) * n2 / k
Therefore is necessary know (much simple) recurrence only for qktfixedA1(n).
For example, for 5 queens on an n x n toroidal board is denominator for q5tfixedA1(n)and denominator for q5t(n) thenadded 2 to all exponents!
Degree of denominator for q5t(n) is 58, but only 34 values (= degree of q5tfixedA1) need computed!
Pro nalezení rekurence není třeba generovat hodnoty pro výslednou posloupnost, ale stačí vypočítat počet pozic s první dámou na poli a1. Taková rekurence má podstatně kratší hloubku a je tedy
nezbytné vygenerovat daleko méně hodnot. Výslednou posloupnost pak získáme vynásobením výrazem n2/k a taková posloupnost bude mít shodný jmenovatel vytvořující funkce až na to, že ke všem
exponentům jeho členů je nutné přičíst 2 (=efekt násobení n2). Z tohoto denominátoru pak už snadno určíme hledanou rekurenci pro plnou posloupnost.

50

A178722 - 6 Queens, toroidal board n x n: (Artem M. Karavaev, after values computed by Andrey Khalyavin, 19.6.2011)

period = LCM[1,2,3,4,5,6,7,8,10] = 840

In Mathematica:
q6texplicit = n^2/6*(n^10/120-5*n^9/8+125*n^8/6-3275*n^7/8+316073*n^6/60-371219*n^5/8+282695*n^4-4676911*n^3/4+15512322*n^2/5-4626944*n+2452536+(n^8/4-14*n^7+1411*n^6/4-5227*n^5+199399*n^4/4-313302*n^3+2530255*n^2/2-2984844*n+3117968)*Floor[n/2]+(24*n^4-864*n^3+12852*n^2-95112*n+309128)*Floor[n/3]+(12*n^4-432*n^3+6180*n^2-42384*n+117584)*Floor[(n+1)/3]+(27*n^4-1044*n^3+16044*n^2-118296*n+350388)*Floor[n/4]+(27*n^4-1044*n^3+16044*n^2-118296*n+360348)*Floor[(n+1)/4]+(96*n^2-1920*n+22248)*Floor[n/5]+(48*n^2-960*n+10224)*Floor[(n+1)/5]+(48*n^2-960*n+12024)*Floor[(n+2)/5]+(48*n^2-960*n+10224)*Floor[(n+3)/5]+(492*n^2-10344*n+73960)*Floor[(n+1)/6]+1968*Floor[n/7]+984*Floor[(n+1)/7]+984*Floor[(n+2)/7]+984*Floor[(n+3)/7]+984*Floor[(n+4)/7]+984*Floor[(n+5)/7]+9960*Floor[n/8]+9960*Floor[(n+3)/8]+1800*Floor[(n+1)/10]-1800*Floor[(n+2)/10]+1800*Floor[(n+3)/10]);
Table[q6texplicit,{n,1,100}]

51
Alternative formula (Václav Kotěšovec, after values computed by Andrey Khalyavin, 20.6.2011)

V programu Mathematica:
q6t = n^2*(n^10/720-n^9/12+661*n^8/288-153*n^7/4+615887*n^6/1440-80581*n^5/24+1801697*n^4/96-295355*n^3/4+9389033*n^2/48-626899*n/2+142789469/630+(n^8/96-7*n^7/12+1411*n^6/96-5227*n^5/24+199399*n^4/96-52217*n^3/4+843309*n^2/16-745349*n/6+2315441/18)*(-1)^n+(9*n^4/4-87*n^3+1337*n^2-9858*n+29614)*Cos[Pi*n/2]+2*(123*n^2-2586*n+18490)*Cos[Pi*n/3]/9+2*(6*n^4-216*n^3+3213*n^2-23778*n+77282)*Cos[2*Pi*n/3]/9+415*(Cos[Pi*n/4]+Cos[3*Pi*n/4])+8/5*Cos[Pi*n/5]*(75*Cos[2*Pi*n/5]+(927-80*n+4*n^2)*Cos[3*Pi*n/5])+328/7*(Cos[2*Pi*n/7]+Cos[4*Pi*n/7]+Cos[6*Pi*n/7]));

Poznámka: matematické programy budou mít problém se zjednodušením tohoto vzorce (na symbolické úrovni) pro konkrétní hodnoty n, lze jej však ověřit numericky při zvolené velké přesnosti.

První členy všech těchto vzorců mají tvar:

pro n sudé (if n is even)pro n liché (if n is odd)

52kk Queens on an n x n toroidal chessboard - Generating functions

2
3
4

5

6

-2x^5*(287x^22 +5191x^21 +25616x^20 +105043x^19 +280800x^18 +651461x^17 +1186795x^16 +1925172x^15 +2611064x^14 +3190574x^13 +
3337574x^12 +3161250x^11 +2574658x^10 +1891298x^9 +1175308x^8 +649556x^7 +291897x^6 +115771x^5 +34682x^4 +8835x^3 +1294x^2 + 169x +25)
/ ((x-1)^9*(x+1)^7*(x^2+1)^3*(x^2+x+1)^3)-2x^5*(7103x^52 +176189x^51 +1178152x^50 +6690562x^49 +26779027x^48 +94415426x^47 +279563853x^46 +750808346x^45 +1801043139x^44 +
3994320002x^43 +8146382872x^42 +15561018583x^41 +27783475573x^40 +46872093944x^39 +74656910348x^38 + 113052262020x^37 +
162685265517x^36 +223533937605x^35 +293148265394x^34 +368172254438x^33 +442597305769x^32 +510546376934x^31 + 564703474411x^30 +
600013441108x^29 +611836837266x^28 +599558786583x^27 +563884252818x^26 +509487511385x^25 + 441494279496x^24 +367157992414x^23 +
292378847127x^22 +223037242516x^21 +162500486193x^20 +113097905238x^19 +74889473200x^18 + 47180890077x^17 +28120856423x^16 +
15856794848x^15 +8389485232x^14 +4166280690x^13 +1917289195x^12 +818954571x^11 +317828058x^10 +112664956x^9 +35083611x^8 +9747362x^7 +2226581x^6 +444424x^5 +64931x^4 +8004x^3 +466x^2 +15x +5) /((x-1)^11*(x+1)^9*(x^2+1)^5*(x^2-x+1)^3*(x^2+x+1)^5*(x^4+x^3+x^2+x+1)^3)-4x^7*(125388x^116 + 3953720x^115 + 32836492x^114 + 232257084x^113 + 1189300908x^112 + 5392674028x^111 + 20846000221x^110 + 73584828493x^109 + 234773299887x^108 +
697892421045x^107 + 1928756218842x^106 + 5034929093780x^105 + 12419958520224x^104 + 29220027460255x^103 + 65643910358820x^102 + 141653053871826x^101 +
294008868876184x^100 + 589309910567443x^99 + 1142173374508559x^98 + 2146724185630335x^97 + 3917183427258205x^96 + 6954371953570134x^95 + 12024366260400898x^94 +
20281716045530704x^93 + 33401023176582406x^92 + 53776660313618780x^91 + 84708770724905308x^90 + 130683016491561602x^89 + 197579481989106288x^88 +
293000822336132352x^87 + 426418908110254301x^86 + 609470454375361633x^85 + 855893886211675373x^84 + 1181667499545313629x^83 + 1604545613743645244x^82 +2143908203394451540x^81 + 2819717969912338804x^80 + 3652016016595572947x^79 + 4659219062572778369x^78 + 5857346941541708973x^77 + 7257760044743990155x^76 +
8866414302182605096x^75 + 10681354928853616387x^74 + 12692489575991068455x^73 + 14879316764634358595x^72 + 17211787975632629663x^71 + 19648761092687303261x^70+ 22140404884027142259x^69 + 24627674624780394291x^68 + 27046383034593143900x^67 + 29327626582763831239x^66 + 31403186447524716251x^65 +
33206411183491029589x^64 + 34678179554584637183x^63 + 35767440865213274746x^62 + 36436745298563731140x^61 + 36661605548973097554x^60 +
36434691511700560715x^59 + 35763454904412292323x^58 + 34672481252386214193x^57 + 33199329107220848255x^56 + 31395092536118501672x^55 +
29318961099336976695x^54 + 27037559935494136933x^53 + 24619126307525670419x^52 + 22132474476599392275x^51 + 19641770175303338334x^50 +
17205930391569245588x^49 + 14874747512713078942x^48 + 12689229558612355343x^47 + 10679393690667993989x^46 + 8865628999647837839x^45 + 7258021102590980819x^44 +
5858449933005197060x^43 + 4660982105652215919x^42 + 3654221389861114571x^41 + 2822193002740108377x^40 + 2146474016598733851x^39 + 1607077909343135851x^38 +
1184051517992693543x^37 + 858065991049661571x^36 + 611379865287360472x^35 + 428053922979666507x^34 + 294358333304358497x^33 + 198680642842581989x^32 +
131550990321777283x^31 + 85378059759031844x^30 + 54278497892435308x^29 + 33769260081604088x^28 + 20544373037398829x^27 + 12207666141642445x^26 +
7078574544387041x^25 + 3999464663894141x^24 + 2199546280614028x^23 + 1175289310938736x^22 + 609371301021822x^21 + 305858622263000x^20 + 148389435894588x^19 +
69370185388754x^18 + 31192873469484x^17 + 13433620474106x^16 + 5529578364218x^15 + 2162203661885x^14 + 801369228023x^13 + 278928646755x^12 + 90988226059x^11 +
27404577064x^10 + 7615967206x^9 + 1902002648x^8 + 428842003x^7 + 82791504x^6 + 14008144x^5 + 1830990x^4 + 208149x^3 + 15463x^2 + 1013x + 49) /((x-1)^13*(x+1)^11*(x^2+1)^7*(x^2-x+1)^5*(x^2+x+1)^7*(x^4+1)^3*(x^4-x^3+x^2-x+1)^3*(x^4+x^3+x^2+x+1)^5*(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)53

highestcyclotomic
polynomial

degree ofdenominator(shortest
recurrence
order)

upper
bound forrecurrenceorder

cyclotomic
polynomials
not present indenominator

number ofvaluesnecessary forformula **

1

1

3

3

-

1

2

2

8

8

-

4

3

2

12

12

-

8

4

4

28

28

-

16

5

6

58

58

-

34

6

10

124

142

C9(x)

(72) 78

7*

16

326

350

C15(x)(182) 190k

2 F(k-1)

kk Queens on an n x n toroidal chessboard - Denominators onlytkvk

F(k) jsou Fibonacciho čísla
Výpočet pro k=6 (na základě výsledků soutěže, kterou na své stránce pořádal 9.6.-21.6.2011 Artem M. Karavaev, viz Zealint Blog) odhalil zajímavou skutečnost, že denominátor
vytvořující funkce nemusí obsahovat všechny cyklotomické polynomy (jak jsem původně předpokládal). Pro k=6 se sice potvrdilo, že nejvyšší cyklotomický polynom ve
jmenovateli je C10(x), ale C9(x)=byl nadbytečný (vykrátil se proti čitateli). Jinými slovy, rekurence kterou jsem předpokládal, je skutečně pro tuto posloupnost platná,
ale existuje ještě i kratší rekurence.
* I když pro k=7 není zatím znám dostatečný počet hodnot nezbytných k určení explicitního vzorce, existenci cyklotomického polynomu C16(x) ve jmenovateli vytvořující funkce
pro k=7 jsem potvrdil výpočtem pro pomocnou posloupnost, o které jsem dokázal, že má (až na exponenty) shodné členy. Více viz str. 27. Zjistil jsem, že v tomto denominátoru
jsou kromě C16(x) ještě přítomny všechny cyklotomické polynomy C1(x) až C14(x), chybí pouze C15(x)=Explicit formula for k=7 is not yet known, but I already found denominator of generating functions with maximal cyclotomic polynomial C16(x). See pages 27 and 28 for more. Thisdenominator is product of cyclotomic polynomials from C1(x) to C14(x) and C16(x), but C15(x) is not present. This is same situation as for k=6 (in this case C9(x) is missing).
** Pro výpočet hodnot stačí (vzhledem k symetrii) počítat pouze pozice, kde je jeden kámen zafixován (např. na poli A1). Výslednou posloupnost pak dostaneme z vypočtených
hodnot vynásobením výrazem n2/k. Taková posloupnost má denominátor, ve kterém jsou všechny exponenty snížené o 2. Počet nezbytných hodnot je uveden ve sloupci vpravo.
For efficient computing are positions with fixed first piece (queen) on a toroidal board sufficient, then we obtain a final sequence after multiplication n2/k. In right column are
number of values which are necessary for finding of explicit formula (see also note on p. 49).

54

Hypotéza (Václav Kotěšovec, 5.6.2010, upraveno 20.6.2011)

Conjecture (Václav Kotěšovec, 5.6.2010, modified 20.6.2011)Úplný jmenovatel vytvořující funkce pro počet rozmístění k neohrožujících se
dam na prstencové šachovnici n x n obsahuje součin cyklotomických
polynomů stupňů 1 až 2F(k-1), kde F(k) je Fibonacciho číslo. Pro k > 2

Universal denominator of generating function for number of ways of placing
k non-attacking queens on an n x n toroidal chessboard contains product of
cyclotomic polynomials order from 1 to 2F(k-1), where F(k) is Fibonacci
number. For k > 2

Pro exponenty ej platí toto. Pokud pro zvolené j vezmeme takové m splňující
nerovnost

For each j set such m which satisfy the following inequality

potom

then exponents

Tím je určena horní mez tk pro hloubku rekurence (stupeň polynomu Tk(x)).
Pro k > 2

upper bound tk for recurrence order (degree of polynomial Tk(x)) is (for k>2):

Kde F jsou Fibonacciho čísla awhere F are Fibonacci numbers andje Euler totient function

Mohou existovat i kratší rekurence.

is Euler totient function

Recurrences of shorter order can be exists.

55
k queens on an n x n toroidal chessboard - polynomials in denominator of generating function
2F(5)
2F(4)
2F(3)
2F(2)
F=Fibonacci number

2F(6)

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

8

8

6

12

4

10

4

6

4

6

2

4

2
3
6
5
10
7
14
9
18

2
3
6
5
10
7
14
9
18

1

1

7

9

9

11

11

13

13

15

2k-1

2k+1

3
24

0
(24)

3
18

3
36

3
12

3
30

3
12
5
20

0
(18)

5
30

3
12
5
20

3
18
5
30

3
6
5
10
7
14

3
12
5
20
7
28

cyclotomic polynomial in denominator of generating
function

Euler’s totient function
exponents
degree of a polynomial
28
exponents
degree of a polynomial
58
exponents
degree of a polynomial
124
conjectured exponents
degree of a polynomial
326
recurrenceorder

4 queens
5 queens
6 queens
7 queens

Z tabulky vidíme, že pro k=6 a k=7 je vždy předposlední exponent, u 2F(k-1)-1 roven 0, z čehož pak vychází existence i kratších rekurencí, když vždy jeden
cyklotomický polynom ve jmenovateli vytvořující funkce je nadbytečný. Hodnota t k je tak v případě prstencové šachovnice pouze horním omezením pro skutečnou
hloubku rekurence. Přes toto zjištění se ale domnívám, že případy „chybějících“ polynomů budou jen raritní a proto asymptoticky budou hodnoty nejkratších délek
rekurencí shodné s tímto horním odhadem. Pokud by chyběl vždy jen předposlední cyklotomický polynom, pak pokud označíme rk nejkratší rekurenci, dostaneme(rk is order of shortest recurrence)(člen snižující rekurenci jde v limitě podílu k 0)

56
Identickým postupem jako pro normální šachovnici (viz str. 23) odvodíme následující vzorce pro limity
Jiná možná vyjádření s užitím Fibonacciho čísel jsou

Dále i pro tk platí (stejně jako pro dk)

nebo

Maximální hloubka rekurence je tedy při stejném rozměru šachovnice pro velká k v případě prstencové šachovnice 2x větší než v případě normální šachovnice. Co setýče výpočetní složitosti je to však obráceně. Vzhledem k symetrii na prstencové šachovnici je (při vhodném programu) čas potřebný na vygenerování hodnoty pro ntý člen posloupnosti na prstencové šachovnici n x n n2/k krát menší než na normální šachovnici. Pro pomocnou posloupnost vk, která určuje nezbytný počet hodnotnutných k určení explicitního vzorce (a získá se tak, že první kámen je zafixován a členy takto vypočtené posloupnosti je pak třeba vynásobit n2/k, abychom získali
hledanou posloupnost, viz též poznámka na str. 49) platí vztah(exponenty všech cyklotomických polynomů jsou sníženy o 2)

Pro nalezení explicitního vzorce na prstencové šachovnici tedy potřebujeme při stejném k nepatrně více hodnot než pro normální šachovnici. Výpočetní náročnost jevšak při stejném k výrazně vyšší pro normální šachovnici, protože na prstencové šachovnici můžeme jeden kámen nechat pevný a měnit pozice jen zbývajících k-1
kamenů. Pokud budeme předpokládat, že existuje algoritmus se složitostí O(nk+1), dostaneme potřebné časy na vygenerování všech potřebných členů posloupnosti

Např. pro k=6 odtud vychází, že (při užití metody hrubé síly) je čas potřebný pro prstencovou šachovnici asi 38x menší než pro normální šachovnici.
Ještě je možno doplnit, že v soutěži, kterou na své internetové stránce pořádal 9.6.-21.6.2011 Artem M. Karavaev (viz Zealint Blog), vítěz soutěže Andrey Khalyavin vymyslel pro
k=6 algoritmus se složitostí O(n5). Je tedy pravděpodobné, že výpočty pro prstencovou šachovnici mohou být ještě rychlejší.

57

Obecný vzorec pro rozmístění k dam na prstencové šachovnici n x n má z principu podobný tvar jako v případě normální šachovnice n x n, jen se nahradí výraz F(k)výrazem 2 F(k-1).

Konstantya(z nichž značná část může být nulových) jsou závislé pouze na k.
Hodnota m se určí podle nerovnosti

Alternativní vzorec s využitím funkce celá část(Alternative formula with Floor function)

Konstantyajsou závislé pouze na k.

je Euler’s totient function, F(k) jsou Fibonacciho čísla.

58

k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

shortest
recurrence
order

upper bound forrecurrence ordertk, A178720

3
8
12
28
58
124
326

3
8
12
28
58
142
350
906
2320
6056
15778
41024
1071322801847329981918354501981013141378
34398686
90045424

number of values necessary forfinding of formula
period
vk
1
1
4
2
8
2
computed
16
12
34
60
78
840
190
720720*
482
1236
3204
8346
conjectured
21716
56624
147980387054
101280226503226937170
18159078
47534396* for k=7 is conjectured period = LCM[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16] = 720720(tuto hodnotu je však možno považovat už za dokázanou, protože absence C15(x) nebude mít na výsledek vliv)

Poznámka: V programu Mathematica dostaneme hodnoty tk (pro k > 2) po zadáníTable[4*k+Sum[Sum[(2*j+1)*EulerPhi[i],{i,2*Fibonacci[k-j-1]+1,2*Fibonacci[k-j]}],{j,1,k-2}],{k,2,20}]
O pomocné posloupnosti vk, která určuje nezbytný počet hodnot nutných k určení explicitního vzorce pro prstencovou šachovnici, viz str. 56.

59kk Queens on an n x n toroidal chessboard - Recurrence23

an = 2an-1 + 2an-2 - 6an-3 + 6an-5 - 2an-6 - 2an-7 + an-8
an = 2an-1 + 4an-2 - 10an-3 - 5an-4 + 20an-5 - 20an-7 + 5an-8 + 10an-9 - 4an-10 - 2an-11 + an-12
an = - an-1 + 3an-2 + 6an-3 + 3an-4 - 9an-5 - 20an-6 - 11an-7 + 15an-8 + 40an-9 + 31an-10 - 15an-11 - 53an-12 - 50an-13 + 50an-15 + 53an-16 + 15an-17 - 31an-18 - 40an-19 - 15an-20+ 11an-21 + 20an-22 + 9an-23 - 3an-24 - 6an-25 - 3an-26 + an-27 + an-28
an = - 3an-1 - 5an-2 - 5an-3 + 2an-4 + 17an-5 + 37an-6 + 49an-7 + 35an-8 - 16an-9 - 101an-10 - 185an-11 - 215an-12 - 139an-13 + 56an-14 + 321an-15 + 544an-16 + 588an-17 +368an-18 - 99an-19 - 656an-20 - 1069an-21 - 1111an-22 - 689an-23 + 84an-24 + 929an-25 + 1488an-26 + 1506an-27 + 939an-28 - 939an-30 - 1506an-31 - 1488an-32 - 929an-33 84an-34 + 689an-35 + 1111an-36 + 1069an-37 + 656an-38 + 99an-39 - 368an-40 - 588an-41 - 544an-42 - 321an-43 - 56an-44 + 139an-45 + 215an-46 + 185an-47 + 101an-48 +16an-49 - 35an-50 - 49an-51 - 37an-52 - 17an-53 - 2an-54 + 5an-55 + 5an-56 + 3an-57 + an-58

4

5

6

a(n) = a(n-124) + 5a(n-123) + 19a(n-122) + 53a(n-121) + 126a(n-120) + 256a(n-119) + 460a(n-118) + 731a(n-117) + 1024a(n-116) + 1234a(n-115) + 1180a(n-114) + 631a(n-113) - 677a(n-112)- 2917a(n-111) - 6108a(n-110) - 9923a(n-109) - 13657a(n-108) - 16137a(n-107) - 15876a(n-106) - 11304a(n-105) - 1172a(n-104) + 14879a(n-103) + 35916a(n-102) + 59190a(n-101) +80301a(n-100) + 93334a(n-99) + 92030a(n-98) + 70850a(n-97) + 26815a(n-96) - 39130a(n-95) - 120942a(n-94) - 207185a(n-93) - 282105a(n-92) - 327419a(n-91) - 326009a(n-90) - 265142a(n89) - 140929a(n-88) + 39571a(n-87) + 256518a(n-86) + 479114a(n-85) + 668872a(n-84) + 785798a(n-83) + 795775a(n-82) + 677688a(n-81) + 430187a(n-80) + 74064a(n-79) - 347112a(n-78) 773130a(n-77) - 1134433a(n-76) - 1364780a(n-75) - 1412189a(n-74) - 1250448a(n-73) - 885628a(n-72) - 357906a(n-71) + 262286a(n-70) + 885029a(n-69) + 1413752a(n-68) + 1762777a(n-67)+ 1870496a(n-66) + 1712484a(n-65) + 1305033a(n-64) + 705009a(n-63) - 705009a(n-61) - 1305033a(n-60) - 1712484a(n-59) - 1870496a(n-58) - 1762777a(n-57) - 1413752a(n-56) 885029a(n-55) - 262286a(n-54) + 357906a(n-53) + 885628a(n-52) + 1250448a(n-51) + 1412189a(n-50) + 1364780a(n-49) + 1134433a(n-48) + 773130a(n-47) + 347112a(n-46) - 74064a(n-45) 430187a(n-44) - 677688a(n-43) - 795775a(n-42) - 785798a(n-41) - 668872a(n-40) - 479114a(n-39) - 256518a(n-38) - 39571a(n-37) + 140929a(n-36) + 265142a(n-35) + 326009a(n-34) +327419a(n-33) + 282105a(n-32) + 207185a(n-31) + 120942a(n-30) + 39130a(n-29) - 26815a(n-28) - 70850a(n-27) - 92030a(n-26) - 93334a(n-25) - 80301a(n-24) - 59190a(n-23) - 35916a(n-22)- 14879a(n-21) + 1172a(n-20) + 11304a(n-19) + 15876a(n-18) + 16137a(n-17) + 13657a(n-16) + 9923a(n-15) + 6108a(n-14) + 2917a(n-13) + 677a(n-12) - 631a(n-11) - 1180a(n-10) - 1234a(n9) - 1024a(n-8) - 731a(n-7) - 460a(n-6) - 256a(n-5) - 126a(n-4) - 53a(n-3) - 19a(n-2) - 5a(n-1)

60
Podle hypotézy je pro prstencovou šachovnici určitě funkční rekurence (pro k=7 délky 350), kterou (včetně úplného denominátoru) jde v programu Mathematica
vygenerovat touto procedurou:
inversef[j_]:=(m=2;While[j>2*Fibonacci[m-1],m=m+1];m);denomt[k_,par_]:=(x-1)^(2k+1)*Product[Cyclotomic[j,x]^(2*(k-inversef[j]+1)+par),{j,2,2*Fibonacci[k-1]}];
Table[denomt[k,1],{k,1,8}]//TraditionalForm
Table[Exponent[denomt[k,1],x],{k,1,8}]
Table[Sum[Coefficient[Expand[denomt[k,1]],x,i]*Subscript[a,n-i],{i,0,Exponent[denomt[k,1],x]}],{k,1,7}]//TraditionalForm

Předpokládáná nejkratší rekurence pro k=7 bude mít ale délku 326:
Conjectured shortest recurrence for k=7 (order 326)
a(n) = a(n-326) + 10a(n-325) + 63a(n-324) + 303a(n-323) + 1220a(n-322) + 4299a(n-321) + 13644a(n-320) + 39738a(n-319) + 107663a(n-318) + 274083a(n-317) + 660755a(n-316) + 1517797a(n-315) + 3338641a(n-314) + 7061373a(n-313) +14409856a(n-312) + 28453519a(n-311) + 54498976a(n-310) + 101469579a(n-309) + 183981321a(n-308) + 325381808a(n-307) + 562079941a(n-306) + 949547346a(n-305) + 1570407132a(n-304) + 2545020459a(n-303) + 4044914041a(n-302) +6309229024a(n-301) + 9664080451a(n-300) + 14544256463a(n-299) + 21516023453a(n-298) + 31298907181a(n-297) + 44783179168a(n-296) + 63038404546a(n-295) + 87306851855a(n-294) + 118973926383a(n-293) + 159506222162a(n-292)+ 210346522809a(n-291) + 272754408751a(n-290) + 347581418391a(n-289) + 434971368874a(n-288) + 533979921585a(n-287) + 642113189435a(n-286) + 754793500522a(n-285) + 864771550921a(n-284) + 961518116340a(n-283) +1030644910679a(n-282) + 1053422404388a(n-281) + 1006481251359a(n-280) + 861801775325a(n-279) + 587110509408a(n-278) + 146811428685a(n-277) - 496420796876a(n-276) - 1379270655836a(n-275) - 2534547623547a(n-274) 3987046535413a(n-273) - 5748526597053a(n-272) - 7811919014445a(n-271) - 10144978271852a(n-270) - 12683712900284a(n-269) - 15326062192416a(n-268) - 17926417100177a(n-267) - 20291705030544a(n-266) - 22179855649819a(n-265)- 23301522286772a(n-264) - 23325934516854a(n-263) - 21891685506456a(n-262) - 18623098341530a(n-261) - 13152557880639a(n-260) - 5148833628239a(n-259) + 5649043128968a(n-258) + 19393336375388a(n-257) + 36086204253142a(n256) + 55537600551449a(n-255) + 77325382337706a(n-254) + 100761105112949a(n-253) + 124865437877527a(n-252) + 148357388300792a(n-251) + 169661527066049a(n-250) + 186937080543682a(n-249) + 198132074671914a(n-248) +201064631618132a(n-247) + 193532040789346a(n-246) + 173446374397358a(n-245) + 138993256843852a(n-244) + 88808025886472a(n-243) + 22161076765345a(n-242) - 60858173430863a(n-241) - 159171331761432a(n-240) 270569288769197a(n-239) - 391613760816739a(n-238) - 517597148918991a(n-237) - 642574644686972a(n-236) - 759480229537529a(n-235) - 860334701578525a(n-234) - 936549161410964a(n-233) - 979321624657979a(n-232) 980117834896861a(n-231) - 931220254877943a(n-230) - 826322033976987a(n-229) - 661135976194369a(n-228) - 433982702461371a(n-227) - 146317864796973a(n-226) + 196844045020578a(n-225) + 586651582862810a(n-224) +1010323226510850a(n-223) + 1451272494396478a(n-222) + 1889475483806646a(n-221) + 2302093068208764a(n-220) + 2664345625295364a(n-219) + 2950622012830194a(n-218) + 3135787418451545a(n-217) + 3196637706586931a(n-216)+ 3113432111696406a(n-215) + 2871422779994088a(n-214) + 2462289911708893a(n-213) + 1885386166921438a(n-212) + 1148694435121453a(n-211) + 269409622563228a(n-210) - 725931978072601a(n-209) - 1801833063105910a(n-208) 2914758052313079a(n-207) - 4014601501536274a(n-206) - 5046673067479373a(n-205) - 5954136080141262a(n-204) - 6680803621057649a(n-203) - 7174165687530739a(n-202) - 7388495729249644a(n-201) - 7287866621659555a(n-200) 6848896746621790a(n-199) - 6063047614308806a(n-198) - 4938306152506436a(n-197) - 3500107537880136a(n-196) - 1791387665290216a(n-195) + 128303250690114a(n-194) + 2184644858904563a(n-193) + 4291313355613393a(n-192) +6353579627320653a(n-191) + 8272593840722908a(n-190) + 9950162735532187a(n-189) + 11293785699734101a(n-188) + 12221687062915257a(n-187) + 12667567340336174a(n-186) + 12584797061022626a(n-185) +11949794078785504a(n-184) + 10764358667608437a(n-183) + 9056788986868951a(n-182) + 6881660421264611a(n-181) + 4318222718512142a(n-180) + 1467444901367709a(n-179) - 1552184748825218a(n-178) - 4609922368386239a(n-177)- 7568848527145552a(n-176) - 10292463371662735a(n-175) - 12651457567396732a(n-174) - 14530300126133946a(n-173) - 15833284831310144a(n-172) - 16489698296636838a(n-171) - 16457813926583657a(n-170) 15727475170057551a(n-169) - 14321105302633792a(n-168) - 12293065415915582a(n-167) - 9727372488910372a(n-166) - 6733880104525117a(n-165) - 3443110191337129a(n-164) + 3443110191337129a(n-162) + 6733880104525117a(n-161)+ 9727372488910372a(n-160) + 12293065415915582a(n-159) + 14321105302633792a(n-158) + 15727475170057551a(n-157) + 16457813926583657a(n-156) + 16489698296636838a(n-155) + 15833284831310144a(n-154) +14530300126133946a(n-153) + 12651457567396732a(n-152) + 10292463371662735a(n-151) + 7568848527145552a(n-150) + 4609922368386239a(n-149) + 1552184748825218a(n-148) - 1467444901367709a(n-147) - 4318222718512142a(n146) - 6881660421264611a(n-145) - 9056788986868951a(n-144) - 10764358667608437a(n-143) - 11949794078785504a(n-142) - 12584797061022626a(n-141) - 12667567340336174a(n-140) - 12221687062915257a(n-139) 11293785699734101a(n-138) - 9950162735532187a(n-137) - 8272593840722908a(n-136) - 6353579627320653a(n-135) - 4291313355613393a(n-134) - 2184644858904563a(n-133) - 128303250690114a(n-132) + 1791387665290216a(n-131) +3500107537880136a(n-130) + 4938306152506436a(n-129) + 6063047614308806a(n-128) + 6848896746621790a(n-127) + 7287866621659555a(n-126) + 7388495729249644a(n-125) + 7174165687530739a(n-124) + 6680803621057649a(n-123)+ 5954136080141262a(n-122) + 5046673067479373a(n-121) + 4014601501536274a(n-120) + 2914758052313079a(n-119) + 1801833063105910a(n-118) + 725931978072601a(n-117) - 269409622563228a(n-116) - 1148694435121453a(n-115) 1885386166921438a(n-114) - 2462289911708893a(n-113) - 2871422779994088a(n-112) - 3113432111696406a(n-111) - 3196637706586931a(n-110) - 3135787418451545a(n-109) - 2950622012830194a(n-108) - 2664345625295364a(n-107) 2302093068208764a(n-106) - 1889475483806646a(n-105) - 1451272494396478a(n-104) - 1010323226510850a(n-103) - 586651582862810a(n-102) - 196844045020578a(n-101) + 146317864796973a(n-100) + 433982702461371a(n-99) +661135976194369a(n-98) + 826322033976987a(n-97) + 931220254877943a(n-96) + 980117834896861a(n-95) + 979321624657979a(n-94) + 936549161410964a(n-93) + 860334701578525a(n-92) + 759480229537529a(n-91) +642574644686972a(n-90) + 517597148918991a(n-89) + 391613760816739a(n-88) + 270569288769197a(n-87) + 159171331761432a(n-86) + 60858173430863a(n-85) - 22161076765345a(n-84) - 88808025886472a(n-83) - 138993256843852a(n82) - 173446374397358a(n-81) - 193532040789346a(n-80) - 201064631618132a(n-79) - 198132074671914a(n-78) - 186937080543682a(n-77) - 169661527066049a(n-76) - 148357388300792a(n-75) - 124865437877527a(n-74) 100761105112949a(n-73) - 77325382337706a(n-72) - 55537600551449a(n-71) - 36086204253142a(n-70) - 19393336375388a(n-69) - 5649043128968a(n-68) + 5148833628239a(n-67) + 13152557880639a(n-66) + 18623098341530a(n-65) +21891685506456a(n-64) + 23325934516854a(n-63) + 23301522286772a(n-62) + 22179855649819a(n-61) + 20291705030544a(n-60) + 17926417100177a(n-59) + 15326062192416a(n-58) + 12683712900284a(n-57) + 10144978271852a(n-56) +7811919014445a(n-55) + 5748526597053a(n-54) + 3987046535413a(n-53) + 2534547623547a(n-52) + 1379270655836a(n-51) + 496420796876a(n-50) - 146811428685a(n-49) - 587110509408a(n-48) - 861801775325a(n-47) 1006481251359a(n-46) - 1053422404388a(n-45) - 1030644910679a(n-44) - 961518116340a(n-43) - 864771550921a(n-42) - 754793500522a(n-41) - 642113189435a(n-40) - 533979921585a(n-39) - 434971368874a(n-38) - 347581418391a(n-37) 272754408751a(n-36) - 210346522809a(n-35) - 159506222162a(n-34) - 118973926383a(n-33) - 87306851855a(n-32) - 63038404546a(n-31) - 44783179168a(n-30) - 31298907181a(n-29) - 21516023453a(n-28) - 14544256463a(n-27) 9664080451a(n-26) - 6309229024a(n-25) - 4044914041a(n-24) - 2545020459a(n-23) - 1570407132a(n-22) - 949547346a(n-21) - 562079941a(n-20) - 325381808a(n-19) - 183981321a(n-18) - 101469579a(n-17) - 54498976a(n-16) - 28453519a(n15) - 14409856a(n-14) - 7061373a(n-13) - 3338641a(n-12) - 1517797a(n-11) - 660755a(n-10) - 274083a(n-9) - 107663a(n-8) - 39738a(n-7) - 13644a(n-6) - 4299a(n-5) - 1220a(n-4) - 303a(n-3) - 63a(n-2) - 10a(n-1)

61

k Queens on an n x n toroidal chessboard
k=3

k=4

k=5

k=6

24 139392

18754560

1565385984

85687824384

3172863442176

25 165000

24365000

2247132500

136944081500

5692888800000

26 194688

31647616

3244194304

222030242304

10481865438304

27 227448

40258296

4519015596

340788006540

17850315939984

n
1

k=2

2

0

0

0

3

0

0

0

0

0

28 264992

51204608

6326171264

529663525888

31090665289152

4

32

0

0

0

0

29 306124

63979916

8590557654

785790131238

50683412713024

5

100

100

50

10

0

30 352800

79934400 11716668000

1178695280160

84276635943600

6

288

576

288

0

0

31 403620

98348740 15567229390

1698736557198

132395024982128

7

588

2156

2450

882

196

32 460800 120995840 20763631616

2472214872064

211664845709312

8

1152

7168

16384

13312

3072

33 522720 146884320 27070819380

3475005224724

322114921688736

9

1944

17496

62208

85536

42768

34 591872 178301440 35416066816

4927131387904

497905815659648

10

3200

41600

23360056144055000035 666400 213914400 45416742700

6776457658740

737104418684900

11

4840

82280

63888022767363573856

36 749088 256628736 58421984832

9392614619904 1106567765992512

12

7200

16128017550729471744

25009344

37 837828 304690116 73833633570 12672854468658 1599037256095344

13

10140

2805403901534

27991470

102800672

38 935712 361739328 93571390608 17218696084992 2339918645810448

14

14112

486080877217685725696

454967744

39 1040364 425508876 116731332198 22840988228838 3309836284628640

15

18900

77490017051850

209107890

1441238400

40 1155200 500505600 145991424000 30491340899840 4735336861548800

16

25088

123289633507328

525062144

4811118592

41 1277560 583844920 180024039020 39839128802924 6572025179131344

17

32368

184497659175640

1116665944

12616778208

42 1411200 681045120 222499677456 52352705728512 9215856321962976

18

41472

2757888105557904

2437807104

34692705648

43 1553160 788487560 271515768944 67478117820624 12574431761849888

19

51984

3933456

173570244

4691672964

79514466480

44 1707552 912862720 332023922560 87430668092416 17319514793330816

20

64800

5606400

287904000

9234168960

189770459200

45 1871100 1049687100 401355457650 111314431376010 23271519881109600

21

79380

7699860447885774

16462896030

392908083876

46 2048288 1207000256 486095146064 142404689281536 31540135998722736

22

96800

10570560

702042000

29919532544

842040318416

47 2235508 1379308436 582569828310 179295582644310 41794354001606032

23 116380

14081980

1044894554

50215537658

1610365515264

48 2437632 1576194048 699422837760 226741660434432 55823671917333504(Hodnoty pro k=6, 35 < n <= 81 vypočítal Andrey Khalyavin v soutěži, kterou na své stránce pořádal 9.6.-21.6.2011 Artem M. Karavaev, viz Zealint Blog)

621.3.1) n Queens on an n x n toroidal chessboard - n dam na prstencové šachovnici n x n - A051906
Na prstencové šachovnici 8x8 sice není možné postavení 8 neohrožujících se dam, pro některé rozměry šachovnic však takové rozestavení existuje. Jako první se
touto problematikou zabýval George Pólya, který dokázal v článku: „Über die Doppelt-Periodischen Lösungen des n-Damen-Problems“ (publikovaném v knize
W. Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele, 1918, p. 364-374), že v případě válcové nebo prstencové šachovnice má problém n-dam řešení jen pro takován, která nejsou dělitelná 2 ani 3 (a(n)=n if n is not divisible by 2 and not divisible by 3). Viz též Bernd Eickenscheidt: Das n-Damen-Problem auf dem Zylinderbrett(feenschach 50/1980, str.382-5).
Pro některé typy šachovnic však dlouhé roky zůstával otevřený problém, zda je možné na prstencovéšachovnici n x n rozestavit alespoň n-2 neohrožujících se dam. Tento problém (s kladným výsledkem)
vyřešil až Paul Monsky v roce 1989 a to současně i pro amazonky (superqueens), viz Problem
E3162, American Mathematical Monthly, vol. 96 (1989), p.258-259. Ve svém článku Monsky nejprve
cituje výše uvedené výsledky, které odvodil už Pólya a pak si klade dvě otázky (cituji v původním
značení):a) Is it possible, for each value of N, to place N-2 superqueens on an N by N board with no two
attacking one another? Odpověď: „Such placements are always possible“ a dále rozebírá
jednotlivé případy.
b) For what values of N can N-1 superqueens be so positioned on an N by N board ?
Odpověď: „Placing N-1 superqueens is possible if and only if N is not divisible by 3 or 4.“
Konrad Schlude a Ernst Specker (zřejmě bez znalosti práce Monskyho) pak dokázali v článku "Zum
Problem der Damen auf dem Torus" (2003): If n is even but not divisible by 3 and not divisible by 4,
then a(n)=n-1. If n is divisible by 3, then a(n)<n-1. If n is divisible by 4 but not by 8, then a(n)<n-1.

Maximum number of non-attacking queens
on an n x n toroidal board, A085801
12k
n-2
12k+1
n
12k+2
n-1
12k+3
n-2
12k+4
n-2
12k+5
n
12k+6
n-2
12k+7
n
12k+8
n-2
12k+9
n-2
12k+10n-1
12k+11nn

Zkombinujeme-li tyto výsledky a uvědomíme-li si, že pokud je možné rozestavení neohrožujících se amazonek, je určitě možné i rozestavení neohrožujících se dam,
vyjde nám tabulka (modulo 12) vpravo. Pro absolutní přesnost je třeba ještě poznamenat, že případ, kdy je n dělitelné 8, je zahrnut v Monskyho části b). Jeho důkaz,že podmínka je nutná, i když je prováděn pro amazonky, nijak pohyblivost jezdce nepoužívá, takže je jej možno aplikovat i na dámy.
Podařilo se mi najít vzorec, zahrnující všechny případy:
Explicit formula for maximum number of non-attacking queens on an n x n toroidal chessboard (V. Kotěšovec, 13.12.2010):

63
Pokud označíme počet pozic neohrožujících se n dam na prstencové šachovnici n x n jako T(n), můžeme sestavit následující tabulku a grafy. Pro nějaký serióznější
odhad průběhu této funkce však máme stále jen velmi málo hodnot. Dá se však očekávat, že průběh funkce T(n) bude podobný jako Q(n). Více o T(n) najdemev článku The n-Queens Problem, Igor Rivin, Ilan Vardi, Paul Zimmermann, American Mathematical Monthly, 101 (7/1994), str. 629-639. Hodnoty pro n=25, 29 a
31 vypočetl Matthias Engelhardt, poslední z nich v roce 2005 (výpočet trval asi 200 dní na 5 PC!), viz též A007705.

18
n

19

1

1

-

-

2

0

-

-

3

0

-

-

4

0

-

-

5

10 0.28613

0.5372849659

6

0

-

-

7

28 0.24463

0.4208441059

8

0

-

-

9

0

-

-

10

0

-

-

11

88 0.16974

0.2718521020

12

0

13

-

-

4524 0.25243

0.3079192616

14

0

-

-

15

0

-

-

16

0

-

-

140692 0.24612

0.2584193653

17

0

-

-

820496 0.24341

0.2395454247

20

0

-

-

21

0

-

-

22

0

-

-

23

128850048 0.25894

0.2238156556

24

0

-

-

25

1957725000 0.26586

0.2175434860

26

0

-

-

27

0

-

-

28

0

-

-

605917055356 0.27782

0.2068078126

29
30

0

-

-

31 13404947681712 0.28394

0.2028031883

32

0

-

-

33

0

-

-

34

0

-

-

35

?

?

?

1?

?

.

Linky na doplnění: A006717 Toroidal semi-queens on a (2n+1) x (2n+1) board
A137279 Number of ways of placing (m+1)/2 non-attacking queens on an n x n Mobius chessboard.

642.1) k Kings on an n x n chessboard - k králů na šachovnici n x nMaximální možný počet neohrožujících se králů na šachovnici n x n je n2 /4 (pro n sudé) a (n+1) 2 /4 (pro nliché), více viz Kings Problem
A061995 - 2 Kings, board n x n: (E. Lucas, 1891)

A061996 - 3 Kings, board n x n: (E. Landau, before 1901)

A061997 - 4 Kings, board n x n: (K.Fabel + K.Soltsien, found 1956, published 1966) , n>=3

A061998 - 5 Kings, board n x n: (V.Kotěšovec, 1992) , n>=4

A172158 - 6 Kings, board n x n: (V. Kotěšovec, 27.1.2010) , n>=5

A194788 - 7 Kings, board n x n: (Andrew Woods, 2.9.2011) , n>=6

65
A201369 - 8 Kings, board n x n: (V. Kotěšovec, 30.11.2011, after values computed by Andrew Woods) , n>=7(n^16 - 252*n^14 + 336*n^13 + 27762*n^12 - 70896*n^11 - 1699656*n^10 + 6330240*n^9 + 60677169*n^8 - 304864560*n^7 - 1181816748*n^6 +8314366704*n^5 + 8495481308*n^4 - 121101870624*n^3 + 74007948336*n^2 + 730891869120*n - 1180990460160) / 40320
A201771 - 9 Kings, board n x n: (V. Kotěšovec, 4.12.2011, after values computed by Andrew Woods) , n>=8n^18/362880 - n^16/1120 + n^15/840 + 1559*n^14/12096 - 119*n^13/360 - 7681*n^12/720 + 479*n^11/12 + 9383677*n^10/17280 - 195031*n^9/72 24176483*n^8/1440 + 4447749*n^7/40 + 5032857271*n^6/18144 - 495178813*n^5/180 - 2551293629*n^4/2520 + 1588223225*n^3/42 - 11469403819*n^2/315 664490248*n/3 + 405670140
A220467 - 10 Kings, board n x n: (V. Kotěšovec, 15.12.2012) , n>=9n^20/3628800 - n^18/8960 + n^17/6720 + 353*n^16/17280 - 53*n^15/1008 - 29467*n^14/13440 + 11867*n^13/1440 + 25901053*n^12/172800 - 107495*n^11/144- 8467959*n^10/1280 + 122792641*n^9/2880 + 32499630031*n^8/181440 - 112903333*n^7/72 - 16042907329*n^6/6720 + 36445613711*n^5/1008 1784819159*n^4/300 - 9997453897*n^3/21 + 85979117831*n^2/140 + 13635070421*n/5 - 5609601346

První členy polynomů mají tvar

66

67

k

k Kings on an n x n chessboard - Generating function

2

3

4

5

6
7
8

-x^5*(14882*x^18 - 180784*x^17 + 1061244*x^16 - 4500406*x^15 + 15038864*x^14 - 34328850*x^13 + 40903004*x^12 - 8667835*x^11 + 23857551*x^10 - 260744627*x^9 + 545801251*x^8 276255996*x^7 - 467674682*x^6 + 484515328*x^5 + 391528458*x^4 + 65572237*x^3 + 2957401*x^2 + 21333*x + 27) / (x-1)^17

9x^5*(54764*x^21 - 805588*x^20 + 6061268*x^19 - 31485512*x^18 + 117971558*x^17 - 312791986*x^16 + 620038858*x^15 - 1193322246*x^14 + 2685590901*x^13 - 4918483903*x^12 + 3824558880*x^11+ 5110355848*x^10 - 13987162841*x^9 + 5213745395*x^8 + 15789867458*x^7 - 14255103822*x^6 - 13342741937*x^5 - 2791816301*x^4 - 174938304*x^3 - 2814508*x^2 - 3581*x - 1) / (x-1)^19

10-2*x^7*(97581*x^22 - 1758956*x^21 + 16320562*x^20 - 100734462*x^19 + 443795293*x^18 - 1471049082*x^17 + 3971393292*x^16 - 9304893422*x^15 + 17917931016*x^14 - 22612415810*x^13 +6949925614*x^12 + 21430418050*x^11 + 9738010368*x^10 - 153051533038*x^9 + 256884162558*x^8 - 71451647970*x^7 - 265785285277*x^6 + 220345759446*x^5 + 251887022384*x^4 +63841610284*x^3 + 5432696107*x^2 + 140661216*x + 800646) / (x-1)^21Opět se ukazuje, že i zde platí vztah, který jsem uvedl na str. 41, že pokud je stupeň čitatele vytvořující funkce p a stupeň jejího jmenovatele q, pak explicitní vzorec platí až od
pro k=6 je p=17, q=13 a explicitní vzorec platí až od(viz strana 64).
Další odkazy:
Edouard Lucas: Théorie des nombres (1891), vzorec pro počet rozmístění 2 neohrožujících se králů najdeme na str.98 (ve vzorci vypadlo "/2")
Edouard Lucas: Récréations mathématiques (1894) str.132 (i zde vypadlo "/2", v následujících dvou knihách Ahrense a Fabela je tento vzorec uveden správně).
Vzorec pro k=3 uvádí v knize Mathematische unterhaltungen und spiele (1901) Wilhelm Ahrens na str.155 s tím, že mu jej v dopise zaslal Edmund Landau.
Vzorec pro k=4 uvádí v knize Schach und Zahl (1966) na str.54 Karl Fabel.
A166540 (Number of ways to place 2 non-attacking kings on an n x n x n Raumschach board) a A194605.

, např.

68
n 1 k 2 k 3 kings 4 kings

5 kings

6 kings

7 kings

8 kings

9 kings

10 kings

summed over all k >= 0, A063443(n+1)

1

1

2

2

4

0

0

0

3

9

16

8

1

0

0

0

0

0

4

16

78

140

79

0

0

0

0

0

0

5

25

228

964

1987

1974

978

242

27

1

0

6427

6

36

520

3920

16834

42368

62266

51504

21792

3600

0

202841

7

49

1020

11860

85275

3970141220298248438233241932882737

1601292

12727570

8

64

1806

29708

317471232632012033330

44601420

119138166

229095676

314949564

1355115601

9

81

2968

65240

96208910087628

77784658

450193818

1979541332

6655170642

17143061738

269718819131

10 1004608

129984251526235464464

377818258

3112919712

20142680752

103395053720

423677826986

94707789944544

11 121

6840

2402405882109106783320

1492665418

16471667554

145977165234

1051588999820

6210264633994

60711713670028729

12 144

5
35
314

9790

41822012605095

285336128

5042436754

71393226972

824771174978

7878155295948

62831788827614

69645620389200894313

13 169 13596

69330825175191

693331146

15062292834

265069706646

3850985758339

46838274976147

481992723228798

144633664064386054815370

14 196 18408

110344047443474

1558986816

40736208186

869583076752

15461577137802

232322652402464

2982908737810114

540156683236043677756331721

15 225 24388

1696604

85152487

3286192514

101489568538

2577681275622

54912339921707

995789500001315

15548436178142582

3641548665525780178990584908643

16 256 31710

2532460 146608359

6558317232

235984235970

7020477731884

176153338628674

3784235129731708

70420082692285198

44222017282082621251230960522832336

17 289 40560

3684080 243516365 12488282352

517314078210

17794428237522

518569625849418

12999197522073908

283631426534134042

968503939616343947563582929715005880647

18 324 51136

5239808 392004286 22829958032 1077720399538

42397762374912 1418340918023792

40969826999523768

1034163399690010346

38227887218717761202510261178854062185464315

19 361 63648

7305240 613859609 40269324564 2147500025914

95726217156906 3639736652346172 119876498636101786

3461457325296584554

2720444488584821384410936779813343554469758172682

20 400 78318 10005324 938008287 68817690624 4114538426818 206149749502012 8833161922947702 328726265508168780 10754832937513676198 348970226122589397373342369495005120745703462667115175
21

80700603403721730646640814391653008712705595500769624448529

2233641616174796469294898513022199100689671634779118656571910751320

2325281578706433684460290055263926749952595755044481112956327672312862611

Sloupec vpravo, odpovídající sekvenci A063443(n+1) nebo A141483(2n-1), určuje počty všech pozic neohrožujících se k králů na šachovnici n x n (pro všechna k >= 0). Jde tedy o součtypříslušných řádků tabulky + 1. Hodnoty pro n=16 až 20 vypočetl 27.8.2011 Andrew Woods, pro n=21 až 23 Václav Kotěšovec 1.5.2012 a pro n=24 až 39 Johan Nilsson 31.3.2016. Asymptoticky pro
naši součtovou sekvenci platí:

Jak se zmiňuje Steven R.Finch v článku Several Constants Arising in Statistical Mechanics (1999), str. 8, konstantu
1.342643951124 objevil v roce 1996 B.D.McKay. Graf vpravo zobrazuje zrychlené limitní přibližování pomocí

O podobné konstantě pro vezíry viz str. 372.

69

Entropy constants - porovnáni pro různé kameny.
Number of arrangements of k non-attacking pieces
on an n x n board, summed over all k >= 0

OEIS

constant

rooks, semi-riders

1

A063443kings (composite pieces wazir + fers)

1.342643951124...

A247413

A066864

composite pieces wazir+semi-fers

1.3954859724793027352295006635668880689541037281446...

A085851

Hard Hexagon Entropy

A141243knights~ 1.412...

composite pieces wazir+semi-knight~ 1.44895...

composite pieces fers+semi-knight~ 1.44...

A067963

composite pieces fers+semi-wazir~ 1.4489...

A006506

wazirs

1.5030480824753322643220663294755536893857810...

A085850

Hard Square Entropy

A067965

ferses

1.5030480824753322643220663294755536893857810...

A085850

Hard Square Entropy

A067964

composite pieces semi-wazir+semi-fers

1.5030480824753322643220663294755536893857810...

A085850

Hard Square Entropy

A067966

semi-wazirs

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576... A001622 Golden ratio =A067962

semi-ferses

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576... A001622 Golden ratio =A182562

semi-knights (generally semi-leapers)

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576... A001622 Golden ratio =all arrangements (include attacking pieces)2(probably three same constants)

70
Hodnoty (pro obecné kameny) se mohou pohybovat pouze v intervalu <1,2>, protože pro rozmístění k libovolných kamenů na šachovnici n x n (bez ohledu jestli seohrožují či nikoliv) dostáváme součet přes všechna k >= 0 roven

Hard Hexagon Entropy Constant jde vyjádřit dokonce algebraicky, je kořenem rovniceViz též sekvence A066863 (Number of configurations of non-attacking kings on an n x n chessboard with regular hexagonal cells) se stejnou limitou.

Hard Square Entropy Constant vypočetl na 43 desetinných míst v roce 1998 R. J. Baxter, viz Planar Lattice Gases with Nearest-Neighbour Exclusion. Annals of
Combinatorics, 3/1999, str. 191-203.

71
k non-attacking pieces on an n x n normal chessboard, summed over all k >= 0
composite pieces wazir+semi-fers

composite pieces fers+semi-wazir

composite pieces semi-wazir+semi-fers

A066864

A067963

A067964

n

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

2
2
2
6
7
8
42
77
90
524
1152
1876
13322
56549
103484647252383776111462588
61758332
806190208
3118943536
11435477118
251170142257
1808994829500
4129523869606
223733272186825
2465526600093372
2902264461628298
319544298135448960
7394315828592829424
3973109800760143708
1210302996752248488817
50975951518289853305508
10590895512774862686570
7876274672755293629849313
784977037926751747674903856
54979738656662942307796576
127662922218147601317696761088
27509351187362150581313065415008
555797909644630436677137498230
3758866349549535184419575245899295
2167705218542258344490649896364635660
10941698340065066230952215658836402
262494735113863141064139463349338932401
387057670485382113845659790427906287869964
419471520990343359533179780148504998680
34743635578879779735115976640337043283539968
155834562667781961459395304614489091804925069312
31316381809372647202456756386758267295913986
10515433254970556796676940890090213283995582491061
141913947289741925555770935391179630944263523887622180
4552935219125281961749891635205266853083431076606
6223473542044970945227663535137423211023325768031869705 291742352479852828931266865471488039830113462056487260611668
1289028069162063367134701648612243347602968689156939134
8202141246122863321617905882873129193881877372016868870233600?
710696545932110303636788771910109055085229584261997887193434 21616759663705129375548031370293020589188849179772199905497292061241?
?
for n=21 to n=28 see A066864
for n=21 to n=30 see A067963

1.3954859724793027352295006635668880689541037281446...

~ 1.4489...

1.5030480824753322643220663294755536893857810...

72
k non-attacking pieces on an n x n normal chessboard, summed over all k >= 0
composite pieces wazir+semi-knight

composite pieces fers+semi-knight

knightsn
A141243
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

2
2
7
15
57
91
941
1736
33449
79972
2459425
6299901
382855589
1285603956
124540929641
447557358957
85318153466211
385575946455953
122472735313450472
589150856687876949
369585935087532984401
2165299584885258183249
2339591161808503990364333
14426211637344274025661589
31111921460224438988574247597
225777618892265062128023623844
868279850311064548655355081178519
6557218632343634247393874444195975
50888619797362714784537744759321918472
437030332314419985181001890123172706068
6260580196602084853841493490169487731798180
55203404314390624514333790253552745415080045
1617245527998733579378068339783918778697326381217
15689094563691029974045956290320872906543031475179
877021659816227597310288780299988677506442137659205441 8602674788968200102126733024028459039435090264791842236
998581981601625128895961431850085952953602924263377326753997?
2386982321437520120512161190147308701414947834041381571424140151305?

~ 1.44895...

~ 1.44...

2
16
94
1365
55213
3368146394631712
101693175442
50929053498909
48988729226134301
96325314726538906164
375615195988659173454092
2933480442104347575000834468
45480806737377995771543610802659
1422902021111889804120495149240353936
?
?
?
?
?

~ 1.412...

Zdá se, že další kameny (speciálně jezdec) mají svoje specifické entropy konstanty, které nejsou závislé jen na počtu polí, která jsou kamenům dostupná.

73
Pro porovnání uvádím ještě hodnoty pro stejné kameny na prstencové šachovnici. Hodnoty konstant vycházejí shodné jako pro normální šachovnici.
k non-attacking pieces on an n x n toroidal chessboard, summed over all k >= 0
composite pieces wazir+semi-fers

composite pieces fers+semi-wazir

composite pieces semi-wazir+semi-fers

A066866, n>1

A067959, n>1

A027683(n-1), n>1(same as wazirs on an toroidal board)

n

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

2
5
22
201
4216
16231412329633
1831137521
528106112383
296848246952000
324932515409958655
692572885398506075946
2874785146216927021053015?
?
?
?

1.3954859724793027352295006635668880689541037281446...

2
7
22
547
9021
81283070046159
24082448515
10363980496342
14228018243052057
29400555005986658803
166705587265151114516638
1606507128309318588452521527?
?
?
?

~ 1.44...

2
7
34
743
25531
2406862464483559
213256442503
215560806324388
498819827260367617
2590618817013278596997
30496896080418683388380966
809724336154415150287031740151
48609694845429192825410114233405807
6589876632329358971395398453738256596574
2018670118781080042934952855192359574137313799?

1.5030480824753322643220663294755536893857810...

74

2.1.1) k Kings on a 1 x n and 2 x n chessboard - k králů na šachovnici 1 x n a 2 x n
Na normální šachovnici 1 x n se vejde nejvýše n/2 nenapadajících se králů (resp. vezírů) pokud je n sudé a nejvýše (n+1)/2 králů (resp. vezírů) pokud je n liché.
Maximal number of non-attacking kings (or wazirs) on a 1 x n chessboard is

Pro počet pozic k neohrožujících se králů snadno odvodíme obecný vzorec
2 Kings, board 1 x n: (n >= 3)
3 Kings, board 1 x n: (n >= 5)

4 Kings, board 1 x n: (n >= 7)

Generally, number of ways of placing k non-attacking kings (or wazirs) on a 1 x n chessboard is (for n >= 2k - 1)

Nejzajímavější je ovšem součet přes všechna k (včetně k=0)

což je známá identita, která vede na Fibonacciho čísla.
Výsledek se shoduje s údaji v článku Counting Kings (2006), (N.J. Calkin, K.James, S.Purvis, ...), kde byl tento vzorec odvozen jiným postupem (přes rekurenci).

75
Ze vzorce pro šachovnici 1 x n snadno odvodíme i vzorec pro šachovnici 2 x n.
Number of ways of placing k non-attacking kings on a 2 x n chessboard is (for n >= 2k - 1)

Vzorec je dán počtem volných polí pro umístění dalšího krále s tím, že král může být vždy libovolně v levém nebo pravém sloupci.
Několik prvních polynomů:2 Kings, board 2 x n:
3 Kings, board 2 x n: (n >=2)
4 Kings, board 2 x n: (n >=3)

5 Kings, board 2 x n: (n >=4)

6 Kings, board 2 x n: (n >=5)

Pokud dosadíme za

a pak zacož se shoduje se vzorcem v kapitole 2.3.1
Ještě je zajímavá suma přes všechna k, dostaneme pro počet pozic n nenapadajících se králů na šachovnici 2 x 2n

76

k non-attacking kings on a 2 x n board
n 1 king 2 kings 3 kings 4 kings 5 kings 6 kings 7 kings 8 kings 9 kings 10 kings summed over all k >= 0
1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5

3

6

4

0

0

0

0

0

0

0

0

11

4

8

12

0

0

0

0

0

0

0

0

21

5

10

24

8

0

0

0

0

0

0

0

43

6

12

40

32

0

0

0

0

0

0

0

85

7

14

60

80

16

0

0

0

0

0

0

171

8

16

84

160

80

0

0

0

0

0

0

341

9

18

112

280

240

32

0

0

0

0

0

683

10

20

144

448

560

192

0

0

0

0

0

1365

11

22

180

672

1120

672

64

0

0

0

0

2731

12

24

220

960

2016

1792

448

0

0

0

0

5461

13

26

264

1320

3360

4032

1792

128

0

0

0

10923

14

28

312

1760

5280

8064

5376

1024

0

0

0

21845

15

30

364

2288

7920 14784 13440

4608

256

0

0

43691

16

32

420

2912 11440 25344 29568 15360

2304

0

0

87381

17

34

480

3640 16016 41184 59136 42240 11520

512

0174763

18

36

544

4480 21840 64064 109824 101376 42240

5120

0

349525

19

38

612

5440 29120 96096 192192 219648 126720 28160

1024

699051

20

40

684

6528 38080 139776 320320 439296 329472 112640

11264

1398101n 1 king 2 kings 3 kings 4 kings 5 kings 6 kings 7 kings 8 kings 9 kings 10 kings

77

2.1.2) n Kings on an n x n chessboard - n králů na šachovnici n x n
Pokud upravíme rozvoj ze str. 65 do tvaru

vidíme, že pro k=n jdou členy u lichých mocnin n asymptoticky k 0 (polynom v čitateli má stupeň o 1 menší než jmenovatel) a dostaneme tak

Tento rozvoj tak potvrzuje obecnější větu z kapitoly 13.1, kdy při počtu dostupných polí m=8 dostáváme

Number of ways to place n non-attacking kings on an n x n chessboard is asymptotic (for proof see chapter 13.1)(V. Kotěšovec, 29.11.2011)

Ze všech možných rozmístění n králů na šachovnici n x n tak vyhovují (pro velká n) necelá 2%. Nebo jinak, pravděpodobnostže se žádný z n náhodně rozmístěných králů na šachovnici n x n nebude ohrožovat s jiným je asymptoticky 0.0183156...

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

n kings n x n, A201513
1
0
8
79
1974
62266
2484382
119138166
6655170642
423677826986
30242576462856
2390359529372724
207127434998494421
19516867860507198208
1986288643031862123264
217094567491104327256049
25357029929230564723578520
3151672341378566296926684684
415294220890662636616927907958
57824201125787566041674560880632?

values for n>15 computed by Andrew Woods, A193580

782.2) k Kings on an k x n chessboard - k králů na šachovnici k x n
2 kings, board 2 x n:
A172202 - 3 kings, board 3 x n: (V. Kotěšovec, 27.1.2010), n>=2

A172203 - 4 kings, board 4 x n: (V. Kotěšovec, 27.1.2010), n>=3

A172204 - 5 kings, board 5 x n: (V. Kotěšovec, 27.1.2010), n>=4

A172205 - 6 kings, board 6 x n: (V. Kotěšovec, 27.1.2010), n>=5

A172206 - 7 kings, board 7 x n: (V. Kotěšovec, 28.1.2010), n>=6

A172261 - 8 kings, board 8 x n: (V. Kotěšovec, 30.1.2010), n>=7

79
První členy těchto vzorců mají obecně tvar

což se dá zapsat i jako

k
2

3

4

5

6

7
8

k Kings on an k x n chessboard - Generating function

80

n 2 kings 3 kings 4 kings

5 kings

6 kings

7 kings

8 kings

1

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

3

4

8

9

15

16

24

25

4

12

34

79

194

408

926

1847

5

24

105

454

1974

8544

37282

162531

6

40

248

1566

9856

62266

3942022501726

7

60

490

4103

34475

291908248438221243084

8

84

858

9009

95466

102125410999618

119138166

9

112

1379

17484

2245892916232

38168864

502726650

10

144

2080

30984

4688547179314110899878

1724809105

11

180

2988

51221

89364615790572

281638602

5059647669

12

220

4130

80163

1585850

31795390

643766432

13132889249

13

264

5533 120034

265697659638832

1352358921

30905051345

14

312

7224 173314

4246284 105546666

2651129458

67124176002

15

364

9230 242739

6523909 177953044

4906381466

136380034610

16420 11578 331301

9693986 287974838

8648792662

261909043488

17

480 14295 442248 13997775 449932632 14623854922

479315827404

18

544 17408 579084 19716786 681918370 23851793294

841394145399

19612 20944 745569 27175904 1006409660 37697787702 1424246670499

20

684 24930 945719 36746514 1450930734 57953320884 2334919892115

21

760 29393 1183806 48849626 2048760064 86929476107 3720787187147

22

840 34360 1464358 63959000 2839684634 127563008202 5780929883024

23

924 39858 1792159 82604271 3870800868 183536011462 8779782913128

24

1012 45914 2172249 105374074 5197362214 259410007946 13063328442266

25

1104 52555 2609924 132919169 6883673384 360775279732 19078137617070

812.3) Number of ways to place m x n non-attacking kings on a 2m x 2n chessboard
Rozmístění m x n neohrožujících se králů na šachovnici 2m x 2nDále se budeme zabývat případem šachovnic sudých rozměrů, kdy králů je na šachovnici možné maximum, tedy právě tolik, že každý musí být ve svém pevnémčtverci velikosti 2x2. Celkový počet králů je v těchto případech roven vždy čtvrtině počtu polí příslušné šachovnice.
Tento problém má zajímavou historii, která je popsána v tabulce na další straně. See next page for interesting problem history.
Pro m=3 až m=8 bylo řešení nalezeno pomocí transformační matice a vytvořujících funkcí. Z těchto funkcí bylo pak metodami známými z řešení diferenčních rovnic
možno objevit i explicitní vzorce (i když pro větší m bylo možné jejich koeficienty určit pouze numericky). Řešení tohoto problému sáhlo až na hranici možností
tehdejších počítačů a programů. Pro ještě větší m se však tato metoda ukázala jako pro počítače časově a hlavně paměťově příliš náročná a řešení pro m=9 až m=12
bylo pak nalezeno jiným postupem, pomocí vygenerování dostatečného počtu hodnot posloupnosti a hledání nejkratší lineární rekurence.
Problém počtu pozic neohrožujících se králů má několik variant podle typu šachovnice, ze kterých jako nejšťastnější volbu považuji horizontální válcovoušachovnici. Úloha je to sice stále obtížná, má ale elegantní řešení vedoucí na shodné faktory ve jmenovateli vytvořující funkce jako v případě normální šachovnice,koeficienty v čitateli této funkce jsou však (na rozdíl od normální šachovnice) při vhodném rozkladu jen malá čísla, což umožňuje dostat se v řešení o dost dále než
na normální šachovnici. Navíc, pro větší m pomohly výsledky pro horizontální válcovou šachovnici s řešením pro normální šachovnici.









normální šachovnice, viz tato kapitola 2.3 (těžké, nalezeny denominátory až do m=12 a úplné generační funkce až do m=10)
horizontální válcová šachovnice, viz kapitola 2.6 (podobné normální šachovnici, exponenty všech faktorů v denominátorech jsou rovny 1, nalezenydenominátory až do m=20 a úplné generační funkce až do m=12)
vertikální válcová šachovnice, viz kapitola 2.6.9 (zcela odlišný problém, nalezen obecný tvar denominátoru a úplné generační funkce až do m=24)
prstencová šachovnice, viz kapitola 2.9 (kompletně vyřešeno, nalezen obecný vzorec)

for normal chessboard see chapter 2.3 (hard, denominators found up to m=12 and full generating functions up to m=10)
for horizontal cylinder see chapter 2.6 (similar as for normal chessboard, exponents of all factors are equal 1, denominators found up to m=20 and fullgenerating functions up to m=12)
for vertical cylinder see chapter 2.6.9 (different problem, found general form of the denominator, full generating functions found up to m=24)
for toroidal board see chapter 2.9 (explicit formula found)82
Number of ways to place m x n non-attacking kings on a 2m x 2n chessboard

normal chessboard
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
m

determinant oftransfer matrix(degree)recurrence
order

2
4
7
17
31
75
124
307
548
1318
2321
5672

not used

6
14
34
78
178
398
882
1934

found byhorizontal cylinder
number of
maximal recurrence
different roots exponent**
order

1
3
4
12
21
49
85
208
400
916
1829
4248

Fabel 1964
Bandelow 1966
Wilf 1994
Wilf 1994
Kotěšovec 2010Kotěšovec 2010Kotěšovec 2010Kotěšovec 2010Kotěšovec + Breger 2011Kotěšovec + Breger 2011Kotěšovec + Breger 2011Kotěšovec + Breger 2011

solved withdifferent methods

O

O

2
2
2
2
2
3
4
4
4
5
5
6

1
3
5
12
22
49
85
208
400
916
1829
4248
8730*
19737*
41996*
90925*
193070*417125*881504*
1871305*
O

found byKotěšovec 2011Kotěšovec 2011Kotěšovec 2011Kotěšovec 2011Kotěšovec 2011Kotěšovec 2011Kotěšovec 2011Kotěšovec + Breger 2011Kotěšovec + Breger 2011Kotěšovec + Breger 2011Kotěšovec + Breger 2011Kotěšovec + Breger 2011
Alekseyev 2011
Alekseyev 2011
Alekseyev 2011
Alekseyev 2011
Alekseyev 2011
Alekseyev 2011
Alekseyev 2011
Alekseyev 2011

maximalexponent

numberof factors

maximaldegree ofirreducible
factor

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
2
4
7
12
21
36
72
124
250
469
968
1856
3854
7702
15619
31339
63805
128084258503

1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11

1

*Rekurence tohoto řádu je určitě platná, nebylo však testováno, jestli se některý z faktorů ve jmenovateli nevykrátí proti čitateli vytvořující funkce (not checked if any of the factors cancels out in thegenerating function). Osobně se však domnívám, že je to málo pravděpodobné. Takže je dokázáno, že toto je maximální možná hodnota nejkratší rekurence.
**Exponenty faktorů ve jmenovateli vytvořující funkce určují násobnost kořenů. Exponents of irreducible factors in denominator of generating function determined multiplicity of the roots.

83
Conjecture 1 (V. Kotěšovec, 29.8.2011):
V případě horizontální válcové šachovnice mají všechny faktory ve jmenovateli vytvořující funkce exponent 1.
For horizontal cylinder have all factors in denominator of generating function exponent 1.
Conjecture 2 (V. Kotěšovec, 15.9.2011):
Maximální stupeň faktoru ve jmenovateli vytvořující funkce (pro normální i pro horizontální válcovou šachovnici) je dán následujícím výrazem:
Maximal degree of irreducible factor in denominator of generating function is (same for normal board and for horizontal cylinder)

Hypotézy 1 a 2 potvrdil pro horizontální válcovou šachovnici Max A.Alekseyev, 15.9.2011: holds for all m<=20. Platnost hypotézy 2 pro normální šachovnici jsem
potvrdil výpočty pro všechna m<=12. V případě normální šachovnice je zajímavé rozložení maximálních exponentů faktorů podle stupňů těchto faktorů (v případě
horizontální válcové šachovnice jsou podle hypotézy č.1 všechna tato maxima rovna 1)

mrecurrence
order

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

2
4
7
17
31
75
124
307
548
1318
2321
5672

normal chessboard
number value of largest exponent by factor degree
2
3
4
5
6
7
of factors 1
1
2
3
7
11
21
36
72
124
250
469
968

2
2
2
2
2
2
4
3
4
5
5
6

1
2
2
2
3
2
4
4
3
3
4

1
2
2
2
2
2
3
2
2

1
2
2
2
3
2
3

1
2
2
2
2

1
2
2

1

For example, for m=12 factor (2x-1)6 has degree 1 and exponent is 6 (maximal for this degree). For m=8 is maximal exponent of quadratic factors 4, factor (6x2-6x+1)4.

Conjecture 3 (V. Kotěšovec, 15.9.2011): For normal chessboard are exponents of all irreducible factors
Conjecture 4 (V. Kotěšovec, 20.9.2011): For normal board and m even are all exponents of factors degree

equal 1.

84
Faktory ve jmenovateli vytvořující funkce pro normální a pro horizontální válcovou šachovnici jsou shodné. Tím pádem je stejný i počet různých kořenů.
Conjecture 5 (V. Kotěšovec, 29.8.2011):
Factors in the1) determinant of transfer matrix (see article by H. Wilf for more)
2) denominator of generating function for normal chessboard
3) denominator of generating function for horizontal cylinder
are same. Therefore also number of roots is same.
Ověřeno výpočty v programu Mathematica až do m=12. Jen v případě m=3 a m=5 chybí ve jmenovateli vytvořující funkce pro normální šachovnici vždy faktor(. Předpokládám, že úplný tvar denominátoru z principu obsahuje i tento faktor (což bylo potvrzeno i jeho přítomností v transformační matici), jen v případě
normální šachovnice se vykrátil v generační funkci proti čitateli (což považuji spíše za náhodu, příslušná rekurence by zůstala samozřejmě v platnosti i povynásobení tímto faktorem, jen by už nebyla tou nejkratší).
Holds for m<=12. Only in case of m=3 and m=5 factor

exponentm=2
factor
D N H
3x-1
2 2 1
x^2-3x+1 2 1 1

exponentm=3
factor
D N H
x-1
2
1
3x-1
2 1 1
4x-1
2 2 1
2x^2-4x+1 4 2 1

cancels out in the generating function for the normal chessboard.

exponent
m=4
factor
D N H
x-1
4 1 1
4x-1
2 1 1
5x-1
2 2 1
x^2-4x+1
2 1 1
3x^2-5x+1
4 2 1
5x^2-5x+1
4 2 1
x^3-6x^2+5x-1 2 1 1

In the tables means
D...determinant of transfer matrix
N...denominator of the generating function for
normal board
H...denominator of the generating function forhorizontal cylinder

exponent
m=5factor
D N H
x-1
2
1
2x-1
8 1 1
4x-1
2 1 1
6x-1
2 2 1
x^2-4x+1
4 1 1
2x^2-5x+1
2 1 1
2x^2-4x+1
2 1 1
4x^2-6x+1
4 2 1
6x^2-6x+1
4 2 1
7x^2-6x+1
4 2 1
2x^3-8x^2+6x-1 4 1 1
3x^3-9x^2+6x-1 4 2 1

85
exponent
m=6factor
D N H
x-1
6 1 1
2x-1
8 1 1
4x-1
4 1 1
7x-1
2 2 1
x^2-3x+1
2 1 1
2x^2-5x+1
2 1 1
3x^2-6x+1
2 1 1
3x^2-5x+1
4 1 1
5x^2-7x+1
4 2 1
8x^2-7x+1
4 2 1
9x^2-7x+1
6 3 1
11x^2-7x+1
4 2 1
x^3-9x^2+6x-1
2 1 1
3x^3-12x^2+7x-1
4 2 1
3x^3-11x^2+7x-1
4 2 1
4x^3-11x^2+7x-1
4 1 1
5x^3-13x^2+7x-1
4 2 1
5x^3-12x^2+7x-1
4 2 1
7x^3-14x^2+7x-1
4 2 1
x^4-8x^3+14x^2-7x+1 4 1 1
x^4-7x^3+13x^2-7x+1 2 1 1

m=7
factorexponent
D N H

x-1
20
2x-1
24
3x-1
8
4x-1
6
5x-1
6
6x-1
4
8x-1
2
x^2-3x+18
2x^2-6x+1
4
2x^2-5x+1
4
3x^2-6x+1
4
3x^2-5x+12
4x^2-7x+12
4x^2-6x+12
5x^2-5x+12
6x^2-8x+1
4
6x^2-6x+12
10x^2-8x+1
4
11x^2-8x+1
4
14x^2-8x+1
4
x^3-5x^2+6x-1
4
2x^3-12x^2+7x-1
4
3x^3-12x^2+7x-1
4
4x^3-15x^2+8x-1
4
6x^3-16x^2+8x-1
4
6x^3-14x^2+8x-1
4
7x^3-17x^2+8x-1
4
7x^3-15x^2+8x-1
4
8x^3-17x^2+8x-1
4
9x^3-17x^2+8x-1
4
10x^3-18x^2+8x-1
813x^3-19x^2+8x-1
4
2x^4-16x^3+20x^2-8x+1 4
2x^4-13x^3+19x^2-8x+1 4
2x^4-12x^3+18x^2-8x+1 8
3x^4-17x^3+20x^2-8x+1 4

1
4
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

86
m=8
factor
x-1
2x-1
3x-1
4x-1
5x-1
6x-1
9x-1
x^2-5x+1
x^2-3x+1
2x^2-5x+1
3x^2-6x+1
4x^2-6x+1
5x^2-8x+1
6x^2-6x+1
7x^2-9x+1
7x^2-7x+1
7x^2-6x+1
8x^2-7x+1
12x^2-9x+1
13x^2-9x+1
15x^2-9x+1
16x^2-9x+1
17x^2-9x+1
19x^2-9x+1

exponent
D N H
30 2 18 1 1
32 3 1
2 1 1
4 1 1
2 1 1
2 2 1
2 1 1
16 2 1
4 1 1
6 2 1
4 2 1
2 1 1
8 4 1
4 2 1
4 1 1
2 1 1
2 1 1
4 2 1
4 2 1
4 2 1
2 1 1
4 2 1
4 2 1

x^3-8x^2+6x-1
x^3-7x^2+6x-1
x^3-6x^2+5x-1
2x^3-8x^2+6x-1
3x^3-9x^2+6x-1
4x^3-16x^2+8x-1
4x^3-15x^2+8x-1
5x^3-18x^2+9x-1
5x^3-17x^2+9x-1
6x^3-16x^2+8x-1
7x^3-17x^2+8x-1
8x^3-21x^2+9x-1
8x^3-20x^2+9x-1
8x^3-19x^2+9x-1
8x^3-17x^2+9x-1
9x^3-22x^2+9x-1
9x^3-19x^2+9x-1
9x^3-18x^2+9x-1
11x^3-22x^2+9x-1
11x^3-21x^2+9x-1
12x^3-21x^2+9x-1
13x^3-22x^2+9x-1
14x^3-23x^2+9x-1
15x^3-22x^2+9x-1
16x^3-23x^2+9x-1
17x^3-24x^2+9x-1

2
8
2
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
8
4
4
4
4
4

1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

19x^3-24x^2+9x-1
x^4-9x^3+18x^2-8x+1
3x^4-20x^3+24x^2-9x+1
3x^4-18x^3+24x^2-9x+1
3x^4-17x^3+23x^2-9x+1
3x^4-16x^3+22x^2-9x+1
3x^4-15x^3+21x^2-9x+1
4x^4-22x^3+25x^2-9x+1
4x^4-21x^3+24x^2-9x+1
4x^4-19x^3+24x^2-9x+1
4x^4-17x^3+22x^2-9x+1
5x^4-26x^3+26x^2-9x+1
5x^4-24x^3+25x^2-9x+1
5x^4-23x^3+25x^2-9x+1
5x^4-22x^3+24x^2-9x+1
5x^4-20x^3+24x^2-9x+1
7x^4-26x^3+26x^2-9x+1
8x^4-27x^3+26x^2-9x+1
9x^4-28x^3+26x^2-9x+1
11x^4-31x^3+27x^2-9x+1
x^5-15x^4+35x^3-28x^2+9x-1
x^5-12x^4+31x^3-27x^2+9x-1

4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
8
2
4
2
4

2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Exponenty faktorů v determinantu transformační matice jsou vždy větší než exponenty stejných faktorů ve jmenovateli vytvořující funkce pro normální šachovnici,
rovnost nastává pro každé m vždy pouze u jediného faktoru, pro m=2,3,4,5,6,7,8,9 jsou to po řadě faktory 2x-1, 3x-1, 4x-1, 5x-1, 6x-1, 7x-1, 8x-1, 9x-1, 10x-1. Tyto
faktory odpovídají vždy největšímu kořenu charakteristické rovnice. Zajímavá vlastnost, i když těžko vysvětlitelná.

87
m=9factor
x-1
2x-1
3x-1
4x-1
5x-1
6x-1
10x-1
x^2-5x+1
x^2-4x+1
x^2-3x+1
2x^2-5x+1
2x^2-4x+1
3x^2-6x+1
3x^2-5x+1
4x^2-6x+1
5x^2-5x+1
6x^2-9x+1
6x^2-6x+1
7x^2-6x+1
8x^2-10x+1
8x^2-8x+1
8x^2-7x+1
9x^2-8x+1
10x^2-8x+1
14x^2-10x+1
15x^2-10x+1
18x^2-10x+1
20x^2-10x+1
23x^2-10x+1
x^3-8x^2+6x-1
x^3-7x^2+6x-1
x^3-6x^2+5x-1
2x^3-10x^2+7x-1
2x^3-9x^2+7x-1
2x^3-8x^2+6x-1
3x^3-10x^2+7x-1
4x^3-16x^2+8x-1
4x^3-11x^2+7x-1
5x^3-17x^2+8x-1
5x^3-12x^2+7x-1
6x^3-21x^2+10x-1

exponent
D N H
36 2 140 4 140 2 1
10 1 1
6 2 1
8 3 1
2 2 1
6 1 1
6 1 1
8 1 1
8 1 1
36 3 1
4 1 1
8 2 1
2 1 1
4 1 1
2 1 1
12 3 1
6 1 1
4 2 1
2 1 1
4 1 1
4 1 1
2 1 1
4 2 1
4 2 1
4 2 1
8 4 1
4 2 1
8 1 1
4 1 1
8 1 1
4 1 1
2 1 1
2 1 1
4 1 1
4 1 1
8 2 1
4 2 1
4 1 1
4 2 1

6x^3-20x^2+10x-1
8x^3-20x^2+9x-1
9x^3-20x^2+9x-1
10x^3-25x^2+10x-1
10x^3-24x^2+10x-1
10x^3-23x^2+10x-1
10x^3-21x^2+9x-1
10x^3-20x^2+10x-1
11x^3-25x^2+10x-1
11x^3-21x^2+10x-1
12x^3-24x^2+10x-1
12x^3-23x^2+10x-1
14x^3-27x^2+10x-1
14x^3-25x^2+10x-1
15x^3-27x^2+10x-1
15x^3-25x^2+10x-1
16x^3-26x^2+10x-1
18x^3-28x^2+10x-1
18x^3-26x^2+10x-1
20x^3-28x^2+10x-1
20x^3-27x^2+10x-1
21x^3-29x^2+10x-1
21x^3-27x^2+10x-1
22x^3-29x^2+10x-1
22x^3-28x^2+10x-1
23x^3-29x^2+10x-1
25x^3-29x^2+10x-1
26x^3-30x^2+10x-1
29x^3-31x^2+10x-1
x^4-12x^3+19x^2-8x+1
x^4-9x^3+18x^2-8x+1
x^4-7x^3+13x^2-7x+1
2x^4-13x^3+19x^2-8x+1
2x^4-13x^3+22x^2-9x+1
4x^4-28x^3+30x^2-10x+1
4x^4-26x^3+29x^2-10x+1
4x^4-23x^3+29x^2-10x+1
4x^4-22x^3+28x^2-10x+1
4x^4-20x^3+26x^2-10x+1
4x^4-19x^3+25x^2-10x+1
6x^4-34x^3+32x^2-10x+1
6x^4-31x^3+31x^2-10x+1
6x^4-30x^3+30x^2-10x+1
6x^4-28x^3+29x^2-10x+1

4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
8
4
4
4
4
4
4
8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4

2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

6x^4-28x^3+30x^2-10x+1
6x^4-27x^3+29x^2-10x+1
6x^4-26x^3+28x^2-10x+1
6x^4-26x^3+30x^2-10x+1
6x^4-25x^3+29x^2-10x+1
6x^4-24x^3+28x^2-10x+1
6x^4-23x^3+27x^2-10x+1
7x^4-35x^3+32x^2-10x+1
7x^4-31x^3+30x^2-10x+1
7x^4-31x^3+31x^2-10x+1
7x^4-29x^3+29x^2-10x+1
7x^4-26x^3+29x^2-10x+1
8x^4-33x^3+31x^2-10x+1
8x^4-32x^3+31x^2-10x+1
8x^4-30x^3+30x^2-10x+1
9x^4-35x^3+32x^2-10x+1
9x^4-32x^3+31x^2-10x+1
10x^4-36x^3+32x^2-10x+1
10x^4-34x^3+31x^2-10x+1
10x^4-33x^3+31x^2-10x+1
10x^4-32x^3+30x^2-10x+1
12x^4-35x^3+31x^2-10x+1
13x^4-40x^3+33x^2-10x+1
13x^4-37x^3+32x^2-10x+1
14x^4-38x^3+32x^2-10x+1
15x^4-39x^3+32x^2-10x+1
16x^4-41x^3+33x^2-10x+1
17x^4-42x^3+33x^2-10x+1
19x^4-45x^3+34x^2-10x+1
2x^5-22x^4+46x^3-34x^2+10x-1
2x^5-19x^4+42x^3-33x^2+10x-1
2x^5-18x^4+42x^3-33x^2+10x-1
2x^5-17x^4+39x^3-32x^2+10x-1
2x^5-16x^4+38x^3-32x^2+10x-1
3x^5-24x^4+47x^3-34x^2+10x-1
3x^5-21x^4+43x^3-33x^2+10x-1
3x^5-20x^4+42x^3-33x^2+10x-1
4x^5-25x^4+47x^3-34x^2+10x-1
5x^5-29x^4+51x^3-35x^2+10x-1

4
4
4
4
8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
8
4
8
4
4
8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4

1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

88

Pro počet faktorů je očekávaná asymptotická hodnota řádu 2m, přesněji 2m-2
Conjecture 6 (V. Kotěšovec, 15.9.2011):
Asymptotic behavior of number of irreducible factors (for horizontal cylinder and also fornormal board) is

89
Zajímavou shodu jsem objevil v hodnotách stupně polynomu determinantu transformační matice. Hodnoty se (až na posun o 1) shodují se sekvencí A059570, viztabulka na str. 82 (4.2.2012 ověřeno i pro m=9), rekurence pro tuto sekvenci je. Pro stupeň jmenovatele vytvořující funkce a počet jehorůzných kořenů je tak stupeň polynomu determinantu transformační matice alespoň horním odhadem. Z toho usuzuji, že asymptoticky mají i hloubky rekurencí
podobný průběh. Conjecture: Asymptotic behavior of recurrence order is similar as degree of a polynomial in determinant of transform matrix.

Conjecture 7 (V. Kotěšovec, 15.9.2011):
Asymptotic behavior of recurrence order (for normal board and also for horizontal
cylinder) is O(m.2m)

Hloubky rekurencí pro normální šachovnici a pro horizontální válcovou šachovnici ses narůstajícím m k sobě přibližují.
Conjecture 8 (V. Kotěšovec, 15.9.2011):

90

2.3.1) m=1 / Number of ways to place n non-attacking kings on a 2 x 2n chessboard
V knize Schach und Zahl (1966), jejíž autoři jsou E.Bonsdorff, K.Fabel, O.Riihimaa, najdeme na str.53 (pro tento jednoduchý případ) vzorec:

2.3.2) m=2 / Number of ways to place 2n non-attacking kings on a 4 x 2n chessboard - A061593
Tento případ vyřešil Christoph Bandelow před rokem 1966. Na str.53 knihy Schach und Zahl (1966) nalezneme jeho excelentní vzorec

Stejný vzorec najdeme v článku Non-attacking kings on a chessboard, D. E. Knuth, 1994. (kdo by čekal ve vzorci Fibonacciho čísla?)f2(n) = (17n-109)*3n + 2*Fibonacci(2n+10)Ještě je možno poznamenat, že tato (poněkud divoká) funkce je řešením diferenční rovnicean = 9an-1 - 28an-2 + 33an-3 - 9an-4
Vytvořující funkce (generating function):91

2.3.3) m=3 / Number of ways to place 3n non-attacking kings on a 6 x 2n chessboard - A061594

Případ m=3 částečně vyřešil Herbert S. Wilf v článku The Problem of the Kings, Electronic
Journal of Combinatorics 2/1995, kde správně uvedl vytvořující funkci (generating function):
Místo explicitního vzorce však zůstal jen u odhadu. Tento Wilfův odhad zbytku je ale chybný, správně
(right) mělo být + O(n*3.4142n) a v tom případě pouze členy se 4n.
(this formula by Wilf is wrong)Podařilo se mi najít přesný vzorec (exact formula by Václav Kotěšovec, 5.2.2010):Příslušná rekurence jean = 19an-1 - 148an-2 + 604an-3 - 1364an-4 + 1644an-5 - 928an-6 + 192an-7

Další odkazy na literaturu:Článek Non-attacking placements on chessboards (.ps), jehož autorem je Sergey Kitaev, má shodné výsledky a kromě králů řeší i rozmístění neohrožujících se pěšců
na polích stejné barvy (number of non-attacking pawns, all of the same colour).

92

2.3.4) m=4 / Number of ways to place 4n non-attacking kings on a 8 x 2n chessboard - A173782
O případu m=4 se krátce zmínil Herbert S. Wilf v článku The Problem of the Kings, Electronic Journal of Combinatorics 2/1995, kde uvádí (správný) odhad
Vytvořující funkci ani explicitní vzorec však ve článku neuvádí.

f4(n) ~ (7963567/2610)*n*5n + ...

Odvodil jsem tuto vytvořující funkci (Generating function), (V. Kotěšovec, 24.2.2010):
x*(22500x16 - 382125x15 + 2723005x14 - 10917322x13 + 27938661x12 - 48873227x11 + 60780149x10 - 54895129x9 + 36368733x8 - 17776175x7 + 6499001x6 1854479x5 + 446565x4 - 94300x3 + 15732x2 - 1673x + 80) / ((1-x)(x2-4x+1)(x3-6x2+5x-1)(4x-1)(5x-1)2(3x2-5x+1)2(5x2-5x+1)2)

a rekurentní vzorec (Recurrence):
an = 44an-1 - 887an-2 + 10855an-3 - 90083an-4 + 536398an-5 - 2365292an-6 + 7860674an-7 - 19852652an-8 + 38152568an-9 - 55523880an-10 + 60518766an-11 - 48502595an-12+ 27783210an-13 - 10888525an-14 + 2721025an-15 - 382125an-16 + 22500an-17, n>17

93
Tvar explicitního vzorce vyplývá ze jmenovatele vytvořující funkce:

Konstanty a, b, c jsou převrácené hodnoty kořenů kubické rovnice x3-6x2+5x-1, numerické řešení dává tyto výsledky:
a = 1.554958132087371191419255...,b = 3.246979603717467061021860...,c = 0.198062264195161747527865...

a+b+c=5
f0 = -41306.0010866693090236490...
f1 = 3051.175095785440613026819...
p3 = 1290.666666666666666666666...
p4 = -0.04166666666666666666666...
p1 = -0.00264173363558122860165...
p2 = -26046.7751360441421965491...
c0 = 0.205693095526376627060778...
c1 = 0.011423393098813887747739...
d0 = 13320.19430690447362337293...
d1 = -25.2114233930988138877477...
a0 = 0.016247286549426572256187...
a1 = 0.004738824796414161533626...
b0 = 50967.32103081995944916738...
b1 = 2377.824321004263414898295...
x1 = -0.26377035674015103140762...
x2 = 1775.680242270463563416958...
x3 = 0.000114426854513301676567...
Pro konstanty x1,x2,x3 platí x1+x2+x3 = 252338184/142129

94
Explicitní vzorec v algebraickém tvaru (V. Kotěšovec, 25.2.2010):

Poznámka: Proti prvnímu vydání je tento vzorec zjednodušen užitím vztahu

95
Na tomto místě bych se rád zmínil o jedné málo známé specialitě při řešení kubických rovnic. Jak je známo, případ, kdy má kubická rovnice 3 reálné kořeny, vede
(obecně) při řešení buď na výrazy, které mají sice reálnou hodnotu, ale obsahují komplexní čísla a nejdou již dále rozložit (tzv. casus irreducibilis) nebo k výrazům
obsahujícím trigonometrické funkce (které se pak poměrně špatně upravují a zjednodušují).
Řešení případu m=4 zde vedlo ke kubické rovnici
ve jmenovateli vytvořující funkce. Jelikož potřebujeme ale převrácené hodnoty těchto
kořenů, provedeme substituci
a po úpravě dostaneme(1)
Pokud se budeme snažit vyřešit tuto kubickou rovnici na symbolické úrovni matematickými programy (např. programem Derive nebo Mathematica), dostaneme(dost neelegantní) vyjádření kořenů ve tvaru, které už pomocí těchto programů nejde dále zjednodušit (Simplify not possible)(2)

V případě určitých typů kubických rovnic však jde využít následujícího vztahu, který vychází z tzv. de Moivre’s formula (1707), více viz např. Trigonometry Angles(3)
Rovnici (1) lze převést na (3) substitucíPo úpravách z toho pak dostaneme elegantní vyjádření
(4)
Samozřejmě numericky jsou výrazy (2) a (4) shodné.

Podobně při řešení rovnice (v části 2.3.5 dále), po substituci,(5)jsem využil k řešení vztah(6)
Rovnici (5) lze převést na (6) opět substitucí, další výsledky viz kapitola 2.3.5

Obecně z rovnic (3) a (6) můžeme lineárními substitucemi dostat nekonečně mnoho kubických rovnic s celočíselnými koeficienty, jejichž kořeny lze taktotransformovat na jednodušší výrazy, samozřejmě to však nepokrývá všechny kubické rovnice.
Např. druhá kubická rovnice v části 2.3.5
po substituci,na některý z podobných tvarů bohužel s největší pravděpodobností upravit nejde a proto hodnoty kořenů zůstávají v oku nelahodícím tvaru.

96

2.3.5) m=5 / Number of ways to place 5n non-attacking kings on a 10 x 2n chessboard - A173783
Pro získání této funkce jsem
1) napsal poměrně jednoduchý program, který vygeneroval transformační matici (program je obecný pro libovolné m a vygenerování trvá jen pár vteřin)2) k výpočtu vytvořující funkce bylo nutno provést inverzi této matice (pro m=5 velikosti 192 x 192).
Poznámka (24.2.2010): Zajímavé je zde srovnání současných matematických programů, které zvládají výpočty na úrovni symbolických výrazů. Inverzi matice 192x192 zvládne "Derive 6" za 69
minut, "Matlab 7" za 7 minut a "Mathematica 7" za 10 minut, musí se ale nastavit Method -> "OneStepRowReduction" (což není předdefinovaná hodnota). Při použití stejné metody a funkce"LinearSolve" (místo inverze matice) se dostane "Mathematica 7" dokonce těsně pod 1 minutu, tato metoda však selhává pro větší matice (např. 448x448), protože je nesmírně paměťově náročná,
nestačí ani 4 GB RAM. Proto se jako nejvhodnější pro symbolické výpočty s velkými poli zdá program "Matlab 7" (inverze matice je v jeho případě nezbytná, protože analogická funkce "linsolve"lze použít jen pro numerické výpočty). Pro výpočet determinantu matice na symbolické úrovni je naopak nejrychlejší "Mathematica 7" (např. determinant 448x448 zvládne za pouhých 12 vteřin).
Poznámka (26.11.2010): Mathematica 8 zvládá tyto operace (pomoci "LinearSolve") s pamětí pod 2 GB RAM v těchto excelentních časech: m=5 - 17 vteřin, m=6 - 4 minuty, m=7 - 51 minut, m=8 63 hodin.

Vytvořující funkce (Generating function) (V. Kotěšovec, 24.2.2010):
2x * (292626432x30 - 7695378432x29 + 94084706304x28 - 712519981056x27 + 3757888797696x26 - 14715718076160x25 + 44556058968960x24 -107273952716256x23+ 209645023363168x22 - 337824014576768x21 + 454329405135504x20 - 514643686425920x19 + 494203416082160x18 - 403847150294172x17 +281135354205764x16 - 166453721883480x15 + 83456844800670x14 - 35182845104124x13 + 12345883162136x12 - 3557728594620x11 + 827346101101x10 152042822189x9 + 21726065190x8 - 2499103126x7 + 289877178x6 - 45817212x5 + 7810422x4 - 1012942x3 + 86355x2 - 4311x + 96) /((1-2x)(x2-4x+1)(4x-1)(6x-1)2(2x2-4x+1)(2x2-5x+1)(4x2-6x+1)2(6x2-6x+1)2(7x2-6x+1)2(2x3-8x2+6x-1)(3x3-9x2+6x-1)2)
Rekurentní vzorec:
an = 85an-1 - 3441an-2 + 88303an-3 - 1613002an-4 + 22327010an-5 - 243429637an-6 + 2145452227an-7 - 15565947848an-8 + 94202823084an-9 - 480152808502an-10+2075863416838an-11 - 7651361422835an-12 + 24128330540449an-13 - 65240466585284an-14 + 151411770874148an-15 - 301613628545814an-16 +515173613407544an-17 - 753006145475828an-18 + 939001403456656an-19 - 994821988961592an-20 + 890558910282768an-21 - 668920434927504an-22 +417832289937792an-23 - 214574645977920an-24 + 89258591798784an-25 - 29486236792320an-26 + 7526493775872an-27 - 1426182018048an-28 + 188221833216an-29 15390756864an-30 + 585252864an-31, n>31

97
Tvar explicitního vzorce vyplývá ze jmenovatele vytvořující funkce. Nejzajímavější je koeficient "a1" u členu s nejvyšší váhou, který určuje chování funkce pro
n jdoucí do nekonečna.

Konstanty [a,b,c], [p,q,r] jsou převrácené hodnoty kořenů kubických rovnic
Numerické řešení dává tyto výsledky (viz též str. 98):"a0" = -678713.914029838744250543...
"a1" = 40881.99638391654123778175...
"b0" = -34068.0000000000000000000...
"c0" = -1.16666666666666666666666...
"d0" = -51446.4849177672922717349...
"d1" = -0.00015892757463292217669...
"e0" = -10107.4970977440220279807...
"e1" = -0.00144453003045015334953...
"f0" = -684492.238277441947051457...
"f1" = -0.01172255805294854295976...
"g0" = 926641.4858544337556115334...
"g1" = 38562.08938946586577992332...
"g2" = 0.050993455065133123680865...
"g3" = 0.004591899029712395988044...
"h0" = -62326.0581297792402651458...
"h1" = 723.9986187818953543472362...

,"h2" = 0.058129779240265145814576...
"h3" = 0.001381218104645652763714...
"i0" = 451705.3288256058621516918...
"i1" = -464.669820354223846560962...
"i2" = -105.212207530060402420677...
"i3" = -1.61589393149043915332353...
"j1" = 0.681071493211076255730644...
"j2" = -5142.77599692595609626251...
"j3" = 0.015530347678857435892035...
"k1" = -0.01214865752499437628069...
"k2" = 0.001607392808026484702220...
"k3" = 147951.3666730136147131534...
"k4" = 1491.573767571326753514216...
"k5" = 105.3857202386842498663759...
"k6" = -2.43062880321861841180229...

Pro konstanty platí j1 + j2 + j3 = -2720160/529, k1 + k3 + k5 = 4989255563912/33698267, k2 + k4 + k6 = 1398248840/938961

98Výrazy pro kořeny p, q, r byly získány postupem uvedeným v kapitole 2.3.4, výrazy pro kořeny a, b, c však tímto postupem zjednodušit nejde.

99
Explicitní vzorec v algebraickém tvaru (konstanty j1, j2, j3, k1, k2, k3, k4, k5, k6 viz str. 97) (V. Kotěšovec, 28.2.2010):

100

2.3.6) m=6 / Number of ways to place 6n non-attacking kings on a 12 x 2n chessboard - A174154
Tento případ vyžadoval provést (na symbolické úrovni!) inverzi matice velikosti 448 x 448, což je na hranici možností současných matematických programů
(Derive6 ani Mathematica7 si s tím neporadí, na tyto velké matice je ale vhodný program Matlab7, který inverzi zvládl v čase 68 minut).
Vytvořující funkce (Generating function) (V. Kotěšovec, 8.3.2010):-x*(9881265328704000000x^74 - 745460194573987200000x^73 + 27058441331237911560000x^72- 630574519733958189096000x^71 + 10620992412418133969628300x^70 - 137991665381256761637404520x^69+ 1441187713449842720703280065x^68 - 12449684907187405839719194626x^67 + 90833482252388172827285029638x^66- 568749753878989316529701677248x^65 + 3094959104534048177533681352799x^64 - 14786591491557537432688402148814x^63+ 62546683770100863224056803287942x^62 - 235893075161001219428756666935555x^61 + 797978924681191303527565813197295x^60- 2433648791133257840409309484158509x^59 + 6721172925589000338821415074614101x^58 - 16874983210908760792785651385114152x^57+ 38649671515505567165916997301106375x^56 - 80999469039951794157868014640691605x^55 + 155756628296635763280353356415757902x^54- 275499172743267856241417580914101161x^53 + 449253470876074605154885582765085506x^52 - 676816476591070935766817355948817667x^51+ 943857986354193371364615928444017845x^50 - 1220661704439047432548206117121008699x^49 + 1466533837456537613456821872852081734x^48- 1639525223616587182652341410467569787x^47 + 1708305101435402614973823579541075741x^46 - 1661495320924220763537985553529107570x^45+ 1510621894675464930498400295672730343x^44 - 1285696520181304471064162857556756892x^43 + 1025670064685839353596509770775335305x^42- 767836201105618743331897589888819260x^41 + 539952432414375273203309417443882230x^40 - 356956219188072917117313500791428647x^39+ 221967416303673380170960689222016760x^38 - 129868144295605689997008303392471184x^37 + 71491160008257450681327802590567504x^36- 37017322185220125774414395796648083x^35 + 18017697561193232235536013176700652x^34 - 8236705210457078339411642367777062x^33+ 3532451891465875904778828049906178x^32 - 1419311438083676683034744726952652x^31 + 533432327695298858210381553149285x^30- 187205875643334525147970829585222x^29 + 61228416399158699804621484828993x^28 - 18622737469829899757436340257385x^27+ 5254673072129348277153109543997x^26 - 1371752804262578223890375168964x^25 + 330267098353842775956388942842x^24- 73061510988747055309122504069x^23 + 14782596349429679171765334301x^22 - 2719571348796162565504741678x^21+ 451339375837487448675798746x^20 - 66805240600688222182861662x^19 + 8661523087250332029653805x^18- 952009254666126966673796x^17 + 82335998894700394651901x^16 - 4266725433179907174031x^15- 184755253316270694616x^14 + 83877913428258704659x^13 - 13092670253017397215x^12+ 1433917521601031600x^11 - 120787644461247815x^10 + 7805125834561750x^9- 355282797168619x^8 + 7110673719021x^7 + 486018670449x^6- 61151293377x^5 + 3632842475x^4 - 141485072x^3+ 3689608x^2 - 59281x + 448)/(x-1)/(2x-1)/(4x-1)/(7x-1)^2/(x^2-3x+1)/(2x^2-5x+1)/(3x^2-5x+1)/(3x^2-6x+1)/(5x^2-7x+1)^2/(8x^2-7x+1)^2/(9x^2-7x+1)^3/(11x^2-7x+1)^2/(x^3-9x^2+6x-1)/(3x^3-11x^2+7x-1)^2/(3x^312x^2+7x-1)^2/(4x^3-11x^2+7x-1)/(5x^3-12x^2+7x-1)^2/(5x^3-13x^2+7x-1)^2/(7x^3-14x^2+7x-1)^2/(x^4-7x^3+13x^2-7x+1)/(x^4-8x^3+14x^2-7x+1)

101
Rekurentní vzorec:
an = 200an-1 - 19591an-2 + 1252845an-3- 58827505an-4 + 2162753808an-5 - 64829889078an-6+ 1629240689182an-7 - 35031124501133an-8 + 654454967945240an-9- 10752566037209576an-10 + 156879699829988516an-11 - 2048776097631017397an-12+ 24108171056426689513an-13 - 257034531080309116618an-14 + 2494772567482865677279an-15- 22133280277582878693605an-16 + 180118887001001382183984an-17 - 1348636789867805112026274an-18+ 9315545713899467284553179an-19 - 59499168382845285726017972an-20 + 352120178477097682063693543an-21- 1934323013107671509059832463an-22 + 9878966314646961189006272617an-23 - 46972249732573258020377866081an-24+ 208183877121467820793024020729an-25 - 860974589150724576064816096663an-26 + 3325616222441474827288188284748an-27- 12007102646405027060206035093213an-28 + 40549313398041902425202637254740an-29 - 128160961960827405525713512244418an-30+ 379279006512370536257299017344107an-31 - 1051368905565268405109177617606550an-32 + 2730662700682795572522784530198834an-33- 6646355208785503282827723317955069an-34 + 15161829507999599355831555503563964an-35 - 32418089419841604310504626066285593an-36+ 64963905091650869917279263108816530an-37 - 121998193028385383238635351043687855an-38 + 214657313735486368434302654748877496an-39- 353777524153903526644871915284150291an-40 + 545952447651523245976395515654219577a n-41 - 788557229845726031285071277862716138an-42+ 1065477899782050092815249173889044974an-43 - 1345958367592910697332763314344919726a n-44 + 1588548886423131006699445390007535964a n-45
- 1750322460004952351721691789849070497a n-46 + 1798910520031476972425563369104737493a n-47 - 1722886523923952992401312780338774274a n-48
+ 1536009690078173688532095945663171041an-49 - 1273224933191855545781650218877302946a n-50 + 979983174726292730062221357725344727an-51- 699362171154778642087707164485332698an-52 + 462015283859449079185102433429700638a n-53 - 282037700090254407809166846000612848an-54+ 158780300135911015654982957271875917an-55 - 82256781284683621993873503316293537a n-56 + 39117488543991922262702977386610326an-57- 17029736085111484438301715527001011an-58 + 6766292666982799092814924628874630an-59 - 2445102358065760086073498440897006an-60+ 800463457818116640733412431607635an-61 - 236339003295391504639451351871623an-62 + 62608507068414191797382321464409an-63- 14791881602747947642116948625728an-64 + 3094801634963547035936901282789an-65 - 568588000125534978580839232812an-66+ 90798410660368398860732240817an-67 - 12444769805881872152497521690an-68 + 1440691704088085224964754909an-69- 137955444475738809516914520an-70 + 10619160418237292545913100an-71 - 630516845227291857576000an-72+ 27057588402917527560000an-73 - 745460194573987200000an-74 + 9881265328704000000an-75,

n>75

102
Explicitní vzorec (koeficienty pouze numericky, viz též str. 103) (V. Kotěšovec, 9.3.2010):

103
V 5.vydání byl vzorec trochu zjednodušen. I poslední čtveřici je možno vyjádřit pomocí trigonometrických funkcí (viz též tabulka na str. 145)

Mocninné členy jsou kořeny rovnice

Konstanty c1 až c75 byly počítány s přesností na 1000 desetinných míst, zde jsou zobrazeny úvodní cifry. Nejzajímavější je konstanta c1 u členu s nejvyšší váhou,viz též tabulka dále. Computed with precision 1000 decimal digits.
c1 = 563050.92363081393300379199765230403159768863702947623463448...
c2 = -11041671.41369220611578938753335712545455512656948954824184...
c3 = -2357744.324111866969009826152683295540438397581254724111866...
c4 = 21.043199999999999999999999999999999999999999999999999999999...
c5 = 0.4722222222222222222222222222222222222222222222222222222222...
c6 = 3190.3093489289550735213633882325675910834434758553653835312...
c7 = 337248.16112053204772777686753899003534375968578844963180356...
c8 = 22171312.563933296610849266899248305097494239919852726041270...
c9 = -0.155502775108919675209542078721437237289629701519229685124...
c10 = 163.76534090004156599400547658735608440194160808987647535767...
c11 = 20526.933910569222347887878076756375554546028928917164157447...
c12 = 575846.85478971440158149340989457527674566569838747661347085...
c13 = 16247605.284383505635661890897790721482016266183878849131444...
c14 = 0.0011658345942594746778039988340117364745679841620848575638...
c15 = -0.414418320023937724723884769056678528508189816208487516809...
c16 = 230047.84933344721196144792666703039195606148236049832643267...
c17 = -14463969.67051905429883863835923668195954632864752168219234...
c18 = 0.3389082968540860236935600077917384689613959516219677421881...
c19 = 8.0058903357048764436050339639198438507589802652773239918003...
c20 = -4380.779921172737745731114476436604902285363986862597180603...
c21 = 15521460.861727876999488106542443833841877498708271763054528...
c22 = 74.674260897798473926638910205552777816311618123708065539315...
c23 = -42120.37137969800650206049760523120918665416499073159350475...
c24 = -1466.895990840800952382002160828790154609216662612809709324...
c25 = 0.0000319177407516580256258371399294782058951910950245905942...
c26 = -1363418.292712275958427659206064051032957072625599750710240...
c27 = 0.0539803048045815053599102048791109187794459045563939020808...
c28 = 70759.769960995616485517802428387642650115540190728012312687...
c29 = -0.021225302244113944738813801536714528635745692079387481611...
c30 = -14679723.96536387896646782442560071583932535099414548977578...
c31 = 0.0988375631769941402150744000498516667836191739863142944694...
c32 = 0.0114688152682925079657116516759253953437669057932893520188...
c33 = -34.87126946672551416158209094109658284195530683996332881776...
c34 = -2931.178338254321673522101257460088024540657326868242776207...
c35 = 2359570.4573736716750366870345440989908322336348290466443907...
c36 = -0.010232200986444736153142665986838191809487623536284840906...
c37 = -0.009760712734893563638281903154747000984466339463284462491...
c38 = 79.637022262597016507277698989244757130176859217629187051421...

c39 = 7623.5222837118691704972925367736074076164336295290199507051...
c40 = -25040.51356933272504031836868051979751695627126657067958484...
c41 = -4371055.807928319700032117044192176188659805196657875942614...
c42 = -0.000176458717799396523487167691652292730162178842756084959...
c43 = -0.018731376417644686808808064957513563777761334303658878784...
c44 = 182.84306867731595922919527002152074803077677320748463267709...
c45 = -20509.19076455159419630296316311445834448303562084214989277...
c46 = 43690.152910893550511614555161220924963785284802343078193067...
c47 = -8987171.555128407908763605552599814380150439406121315339016...
c48 = 0.0304344816245589096314488245023624965799780689424403586451...
c49 = 0.0910219099183178510909778766101508410245525059584509705051...
c50 = 81.040592637029327972530451582375567338233877076410932900825...
c51 = 12496.896940894381096241483130889783239505132373869568899256...
c52 = 6218.2283924751388460408279379712731258886480361053681491053...
c53 = 415273.95817991711103511459424274764453631394923526682138041...
c54 = -0.009112447045269675909807815014119379927153467523590407408...
c55 = 0.0706678371905442794273707817096087393896452311550154010930...
c56 = -277.1042479273382457185757679197165730578887836729810076035...
c57 = 28164.458136879162566186226378210224918719996171895315870918...
c58 = -2410.100414060450402471065852672568824244088749085817971396...
c59 = 190684.73637893497011827731719074603413297835886723630697815...
c60 = -0.000060482643142648259159684786839890995048487815012514927...
c61 = -0.039860680564203581447532035970652173615878437204299994238...
c62 = -1145.441679521340694852846318647782570805760655493285875401...
c63 = 57464.216298058807718946764525142628923738894469880493341236...
c64 = -0.000012757854104611226663640158366305278835290933191638522...
c65 = 2.7169230481033208837662696218759234706806363532453701472848...
c66 = -1248442.047763080258596898121671677768695024890016484171295...
c67 = -0.024765861919373924434150169576136219070695644927670073921...
c68 = -9.691216753802898835560015921728057003911002358632788457405...
c69 = 0.0022340552381034417696657432583538965091809456518294637256...
c70 = 32278.484247880188506576401656321633252402437340119991129744...
c71 = -0.012790902540653707994943506339903285297300305028668532579...
c72 = 1446790.5217319340222570999235284778655549609426113114751811...
c73 = -0.171819581089588127280923149891916061749202911609416498254...
c74 = -3559.968359624739588505260492405720499969976412525708015631...
c75 = 0.0007677222027362068613816050749653603347051141974088992482...

104

2.3.7) m=7 / Number of ways to place 7n non-attacking kings on a 14 x 2n chessboard - A174155
Tento případ vyžadoval pro získání vytvořující funkce provést (na symbolické úrovni!) inverzi matice velikosti 1024 x 1024, což (ke dni výpočtu) z matematických
programů na PC zvládl pouze Matlab7 v čase přes 8 hodin. Vytvořující funkce (Generating function) (V. Kotěšovec, 9.3.2010):-2x*(54222672911274911289059573760000000x^123 - 6279364401720347209864467972096000000x^122+ 355916700860805743977756391154647040000x^121 - 13165656678159747994229085738759094272000x^120+ 357580968786334728976290764494328561664000x^119 - 7606685500377828944402424153754395444510720x^118+ 132025070498240400453821981247031745011777536x^117 - 1923148717983096485894432339969762419764363264x^116+ 24001598451495916558037784079325597030940672000x^115 - 260733912714136996693533608123205367579054964736x^114+ 2496313284158021796255065102282597952375849222144x^113 - 21277865832851787547991827395328601974018991456256x^112+ 162819416994113682338598213096466301319887512928256x^111 - 1126358581030907656491986254406033294612551232913408x^110+ 7086514400960731390328723893313619097901288581496832x^109 - 40757758341169693402147178689047453376348442921533440x^108+ 215257037478349801305513176871426454908220485492801536x^107 - 1048058512243529559822666262068066405115673243213627392x^106+ 4720742792928429097850271439387849238995832815146369024x^105 - 19732519791798674006897568748598939801049082241955069952x^104+ 76756113443806605398650302720172795659712890994488901632x^103 - 278543117088434677065138311184638719760885595939909009408x^102+ 945165490091678324412551307244000361076544393234133614592x^101 - 3005076664126071245872244757805376845758973901952126877696x^100+ 8969167160819063116493944158832282378058214481923144220672x^99 - 25173494362748757456491747023570336965099474666885947408384x^98+ 66544578438810679866701792371902931683947858391489794482176x^97 - 165915150472108230394017571109190057361624463233617396158464x^96+ 390695976354665890074513984612903966800905181381260806209536x^95 - 869962058942296909688656575338098822622973290164727090757632x^94+ 1833820369440762614157730722855821504244851903462283741575168x^93 - 3663162558208576997437411808620528134488856302642268009722880x^92+ 6940816834168452591527174228257133363210122586267517300846592x^91 - 12485300731198250918868702608084089861324343287261785436221440x^90+ 21338793564228109772500185812748834074577991696545058663716864x^89 - 34677121465423066397628237863087661065799673463314127032121856x^88+ 53618151940174275326509797819558207050312413538008687145720320x^87 - 78930471903810521140079827741654338728936679603061202109775616x^86+ 110684484068511808086435721720485932701236358427760746915584128x^85 - 147931694677541828719396650661604635971538787804520097489430720x^84+ 188525824622441412447766259940603893941456175662333549010704640x^83 - 229191721343564863372095426973769973171257827414431011627276224x^82+ 265895245461053857121393536010031648750961599245321451639861696x^81 - 294478601111715286464524887097776472383327199903667055093108064x^80+ 311429881070928442091929664868298832042011215780888541843889024x^79 - 314591478165462374119104556767298517772413598384303253181601680x^78+ 303610313847801927302628453791220291803390622403746890286002928x^77 - 280000546810486798955803689372202305079421577088215075049437392x^76+ 246804103133939308093322655758451920966947006188480655154502768x^75 - 207953075119753681934511769916178379442671053267567217312801856x^74+ 167516671923783503099492383592992508412397913200612862784395728x^73 - 129028318635429191186157503073887054868563348499260954458336584x^72+ 95038266464215381821909442668919890469926733009931919704337376x^71 - 66950284625201671155069063428880073031737512053977063096825228x^70+ 45113692375805864259297990894062359371832009035289711397936572x^69 - 29083271562407026217147121592147394606754705984695471985211124x^68+ 17941543124532772358042257555368380493701702794985559340294296x^67 - 10594988086421513826949788846676673068705561304545158471667176x^66+ 5991920401275728684972283544592363416138938055314116591319068x^65 - 3247426373656460046505919451533942542620882729601342871800392x^64+ 1688165453584027719109749622892479797351061811465406015315584x^63 - 842820130777935012431294163831220960459990279182114470001058x^62+ 404786291367071435200584329565320034572896308441820233742492x^61 - 187427652608776303903657214006392302066849785191588678445115x^60+ 83896074599720207110842887078480982574996945714857399371613x^59 - 36421099514154882084087090198951010669125624752881141912710x^58+ 15389237595338812516875007712544226815442894222052921181201x^57 - 6351568145491846549236967852474091662341017080740623603308x^56+ 2568470735966551607363059267449023563857322215129129292009x^55 - 1019698617782603122804098776612193889543052048554602751427x^54+ 397651156321907497202559006733450549773666880896232550657x^53 - 152155733575897092189571737592541028133454734267411181214x^52+ 56981485495617844103050419523305702033850394150958337929x^51 - 20812575067663039288298005399000342062645182032314841804x^50+ 7385399296884771556614272143326975515992615453424039706x^49 - 2536378970991959824151513109283300166684452996715135613x^48+ 840120945435246927097038897868232751926844215337475933x^47 - 267592212832787322394881575729138879628424476161213860x^46

105+ 81762553246257166816899290032251339568459510030642883x^45 - 23918585500218748129692083027726169290403007263721516x^44+ 6688609148248353532236759219142184861585117521757998x^43 - 1785680002635931884417620662660932079655295846414621x^42+ 454652885121393630298466575461039200141902454472294x^41 - 110298017418873798104313766968125280060424724687194x^40+ 25474543483790572391832217810646566581743665805776x^39 - 5596951496464420802889764068394845225964455321014x^38+ 1168846911565928114777696452748844131217296980641x^37 - 231826928991979522819676069949495409863663665362x^36+ 43629602459789761964817967344186988839256111996x^35 - 7783590869696391606863804898013090431960663692x^34+ 1314850860746222381862072936753225528249707603x^33 - 210047845174210030771347734473617776144382113x^32+ 31685847252072174706283091894572485340220424x^31 - 4505742353308488104812488551253836156494412x^30+ 602733132978025015539972306763269356694723x^29 - 75657550530238560567564832465918129450573x^28+ 8883682779620708497014362847653861413872x^27 - 971875320372166677407922243420697610663x^26+ 98534825191761089609265874805355318687x^25 - 9189253210485381832768469226798168077x^24+ 779442384966136549958627866012748423x^23 - 59012906619949767531288773139867455x^22+ 3845953582977736963079436642919696x^21 - 197099229113974036917550559274814x^20+ 5292802547783405050936604984656x^19 + 373035447202117049725952469283x^18- 77596506283090099467584030538x^17 + 8167182777939867059910623158x^16- 661371544219142909103681829x^15 + 44836253686866816392727278x^14- 2615582192513759386391326x^13 + 132326561350181298705400x^12- 5789711318908782442591x^11 + 216507299180594552002x^10- 6754590417985251086x^9 + 167279960378322251x^8- 2883766637590816x^7 + 15171573646232x^6+ 1034726376990x^5 - 43935972146x^4+ 988301639x^3 - 14215547x^2+ 124457x - 512)/(x-1)/(2x-1)^4/(3x-1)/(4x-1)^2/(5x-1)^2/(6x-1)^2/(8x-1)^2/(x^2-3x+1)/(2x^2-5x+1)/(2x^2-6x+1)^2/(3x^2-5x+1)/(3x^2-6x+1)/(4x^2-6x+1)/(5x^2-5x+1)/(4x^2-7x+1)/(6x^2-6x+1)/(6x^28x+1)^2/(x^3-5x^2+6x-1)^2/(10x^2-8x+1)^2/(11x^2-8x+1)^2/(14x^2-8x+1)^2/(2x^3-12x^2+7x-1)/(3x^3-12x^2+7x-1)/(4x^3-15x^2+8x-1)^2/(6x^3-14x^2+8x-1)/(7x^3-15x^2+8x1)^2/(6x^3-16x^2+8x-1)/(7x^3-17x^2+8x-1)/(8x^3-17x^2+8x-1)^2/(9x^3-17x^2+8x-1)/(10x^3-18x^2+8x-1)^2/(13x^3-19x^2+8x-1)^2/(2x^4-12x^3+18x^2-8x+1)/(2x^4-13x^3+19x^28x+1)/(2x^4-16x^3+20x^2-8x+1)/(3x^4-17x^3+20x^2-8x+1)^2

Rekurentní vzorec:
an = 355*an-1 - 62230*an-2+ 7181407*an-3 - 613713773*an-4+ 41424053008*an-5 - 2300132364916*an-6+ 108057442428713*an-7 - 4383953038266400*an-8+ 156019190373932213*an-9 - 4931027930452931529*an-10+ 139784688779506280122*an-11 - 3583425170015054558692*an-12+ 83642898320877743078649*an-13 - 1788040425415361381095757*an-14+ 35181295448283382870926529*an-15 - 639901931020563711201074856*an-16+ 10800089806681857038851260471*an-17 - 169708489277667670527670553256*an-18+ 2490164949669281400008934703650*an-19 - 34209628251326791851770501894019*an-20+ 441055288914550947143816216610085*an-21 - 5347966902979544937526517923821060*an-22+ 61104504039422023705912415093725325*an-23 - 659032554611721554539403323301392328*an-24+ 6720192949816044716232213169179554002*an-25 - 64882805116093293907803507888980509652*an-26+ 593920909802707572074736203520468111015*an-27 - 5160703522797399132569345666788973860423*an-28+ 42614522062811899586385927814456985353588*an-29 - 334751895136451803946683064352275034359880*an-30+ 2503907651659320142301076243661317011090301*an-31 - 17849439080689433456741551238042933830148067*an-32+ 121365103409983215634920731453706282402989836*an-33 - 787682779457226999619540178398463725925966321*an-34

106+ 4883125137114593719681433214140387829336583657*an-35 - 28934196085932348822191609052145794097781155747*an-36+ 163964259705601110511077019136782444452849185661*an-37 - 889096467412574593575239829002444819262058789807*an-38+ 4615620894756910152737471910113313680781105674422*an-39 - 22950686917289066656110074511663942441885518753279*an-40+ 109353457449972177331586073421680895966478823429493*an-41 - 499473845738617512362949924094821709360026608128519*an-42+ 2187734208783093331582990536307413775611383675314889*an-43 - 9192273270269162035986926653043968654354343390001452*an-44+ 37062129853043426095583096259451935804785975760076180*an-45 - 143429198013863760183212109243115977359657995206014227*an-46+ 532910058542910360324809278690568941113219846288868695*an-47 - 1901420003705947087451752388740956303649285577893915347*an-48+ 6516259041007093187423911613159101666641521933740754935*an-49 - 21453256766715010406989098549201236384005949789118270289*an-50+ 67862786677741974361372613468176344308979904185438584928*an-51 - 206287780166253696570479597934268784316357437236102282981*an-52+ 602656132334901791636594053942094239035756172510172525310*an-53 - 1692241022898939503382665894593801620298884560230139707283*an-54+ 4567571300316866260600043539420748909209366452509778579458*an-55 - 11851263906173524614222522185343043279355263254029721988325*an-56+ 29560920816547403978712649385739724088334537984011638988104*an-57 - 70885121592790538286371080849899812856102357608828148982550*an-58+ 163409845886211665485225388293159123346245205917080382491840*an-59 - 362144494413274527626611628277027555974388120349867198704581*an-60+ 771530456662294571647577757578775733382830746682477159631731*an-61 - 1580051625970196573554375464352132643295757350774681162296206*an-62+ 3110344753414776505140966019872337750496742905447614669866357*an-63 - 5884768996639161507183480452281609414662222317037902572633129*an-64+ 10700179904680098088349075595592950436046826427104304058777483*an-65 - 18695761252218017203250136160781026224722427604030963411998550*an-66+ 31385405428525582416952099102249644055680352511497855444441476*an-67 - 50615010790428312789203366621293543617322532762055840704862044*an-68+ 78401558190254541965541051943975685100181865096298253483692092*an-69 - 116622609345361161550023273188650530719539499699634509198995280*an-70+ 166557601271060887009843251325454304196590177972454959487144760*an-71 - 228335053227695446593478422394263084067454263715584326278101612*an-72+ 300401134446235301923820488428752926620010702980973240412254612*an-73 - 379172847928243557624031458518329813721595270573144703516684576*an-74+ 459046365839494135368978124958612394249433642265385081445950840*an-75 - 532877482801746654124759269331287007133286813299814163092009072*an-76+ 592936288102825622570743054492822496446897568699254213904468288*an-77 - 632189153956996372446346209656511806473856827439391888927649744*an-78+ 645628423168981359720232716143742154313424331606125466445192864*an-79 - 631309538761675057717669169185910680560650899421336897795392864*an-80+ 590802676516296103915411991460869361161536968482988725264860832*an-81 - 528916884144943614094532055306563532933002357635647591545000256*an-82+ 452761330701536545738119403023868339767065670518026635649577216*an-83 - 370396653643622694057710469713707973757641810265926750337440128*an-84+ 289431372618931391691737286015520606075875385437288774637611200*an-85 - 215901264737140413666379352994934014775706019543589604786418560*an-86+ 153649184549497317041659318233838481245117719730140911980842240*an-87 - 104252974521213676768278500477636643016220002666862316826451968*an-88+ 67395262889890487766296108102457389362138367464841581743008512*an-89 - 41479473052975102408788350419058391326160347231275485649925632*an-90+ 24286188570788191214124029153817764477465967752785084937249792*an-91 - 13515885727784925849780266435732478478996532916115183858167808*an-92+ 7143333320685061147938100094247033962091553666292792325552128*an-93 - 3581905682072239982948980939843555015656793558885050106626048*an-94+ 1702317826959975854072534402257549818094193265958637078077440*an-95 - 765957974206249466198973766920615027158143875426684125339648*an-96+ 325909060539351950294732186971109628679383105292872432025600*an-97 - 130968165237993448475954170153250150473368153400646612811776*an-98+ 49638708587887646409930310401068700758344054841911497785344*an-99 - 17718229431449535703068175428258919870114054679778329591808*an-100+ 5946636096612490129643987484131994525326081419538641305600*an-101 - 1873351971906088407360195136745415764386870573863249346560*an-102+ 552894140752297793897292472024667959143300503946233315328*an-103 - 152559503760719436568492942301761635184890139055040757760*an-104+ 39266537394375534967337770724827049041421713702333644800*an-105 - 9403752773974119645286336014440818139548381446587940864*an-106+ 2089612061057417202959800881701216993734109316216258560*an-107 - 429504625481757418108462149946734473479836376897683456*an-108+ 81375891864330772617336465883953945682230569494118400*an-109 - 14156048922012863746909064485322036645034360708268032*an-110+ 2250938891663231625620683440919224267817994365698048*an-111 - 325484106592219042324298551387653940779270480592896*an-112+ 42545385782902596634984070466084992703612208545792*an-113 - 4992222373149232005879478421404380031384037621760*an-114+ 521480049046471863976707137480219684646980419584*an-115 - 48007121237350102099540488235719546567483457536*an-116+ 3846701159492393552477177944898029698982871040*an-117 - 264077394388027999670576258659387821659258880*an-118+ 15214673796528838502205187025491559920435200*an-119 - 715205037525577948424201523247561310208000*an-120+ 26332207845103672186115068739494871040000*an-121 - 711842230613175571260114828735283200000*an-122+ 12558728803440694419728935944192000000*an-123 - 108445345822549822578119147520000000*an-124,
n>124

107
Explicitní vzorec (koeficienty pouze numericky) (V. Kotěšovec, 10.3.2010):

108

109

Poslední čtveřici je možno vyjádřit i pomocí trigonometrických funkcí takto:

Jde o kořeny rovnice:Mocniny u c113 až c116 (na předchozí straně) byly kořenem

110
Koeficienty byly počítány s přesností na 1000 desetinných míst, tady jsou jejich hodnoty (computed with precision 1000 decimal digits)
c1 = 8008508.28858702798189989183284246796759899198219184506071363668569563...
c2 = -181089995.74871618017117502487231885669218368079642132559318236984345...
c3 = 4086940.50000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...
c4 = 271327991.566104702750665483584738243123336291038154392191659272404614...
c5 = 811926.231905107722101186153473735173081578310336480271120793996610990...
c6 = -131369302.33180689433270037414126922673941092795430579438202682856712...
c7 = 18170.8799999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999...
c8 = -4179991.0123867243867243867243867243867243867243867243867243867243867...
c9 = -6228.8310857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142...
c10 = 0.04373897707231040564373897707231040564373897707231040564373897707231...
c11 = 1.42155706727135298563869992441421012849584278155706727135298563869992...
c12 = -30.943255899890820525741160661795582430503065423700344335264970185605...
c13 = -220.04352097645642619187592732566277539822513367486912460457434002407...
c14 = -5.8671849692257855523161645610625202461937155814706835114998380304502...
c15 = -418788.52360709471252934255450500822949039656738898520695517174162921...
c16 = 501370763.080177310419247768837848667017427553082342262670026259603628...
c17 = -0.0249292522917223161207369917962037572345586678401814771870240942171...
c18 = 1.07536402945371276065753648504995281252739331816753042323401672943543...
c19 = 8540270.38825827235260711224883787325610962369768371300441604888003208...
c20 = 281435037.782171290485339167841328123551412618896784913850972424421100...
c21 = 1.04133316379873837799605278927616697485683843300384066912873059170122...
c22 = -345.61439700943794701992143026520799038618321919165791578188267027000...
c23 = 13246478.9319089693301701507196734767343718917691551243236137558538216...
c24 = -973346177.36995080883332888826056601257363895496134001710083831351112...
c25 = 1.62823138154702283173646687414282109068698522655357922660231873397997...
c26 = 66.9850063123004502276912131143365509711457565784860214470943955956994...
c27 = 24616889.1475162208278368367498593751471221263365703894064360019040041...
c28 = 842656915.459993866903650037055391215910105737317008849650430265354645...
c29 = -3433.9638004721565802899276323780824762012501986468463639179802828536...
c30 = -879817.39834083195649480913416859442621618211503444683007380011633733...
c31 = -10827795.913996852273964420773092183165000841155844243614910181481667...
c32 = -1113706589.1081989764926729904981985026071736939064252277590252248610...
c33 = -172912.83585475319564718948117825570006768751090585072884792135695714...
c34 = 17242539.0296459560687732504659062793734394612244222121160946360740432...
c35 = 72107.9222136263937891089224890950154409604784834295917280949392739760...
c36 = 0.41990229240700341422144825042533858337823310572520741668554596092095...
c37 = -8113954.4723599588938520227868842503646695076238984966675092682392465...
c38 = 0.01841986198111751463492081456172304424449995726846849669123639797342...
c39 = -10154196.736131949917981651871427628784063648677066526461750002369295...
c40 = 0.66876520114877265066271579366188008173742204582499619694685892659384...
c41 = 2308626082.41344088155643927407205847904477152971586566758283341805300...
c42 = 1.74455486406105668708863541223673453165787959275098859061025568514142...
c43 = 8206033.29216034921925153675733394786581068478789307188490584332495207...
c44 = 0.10994491393864320008477131529208405205421219127298889351715318635071...
c45 = -385037.80430304927202719501371769808649494480496379691310502219175988...
c46 = 0.61642870762846912786966057176607964826478811370757890758050773386020...
c47 = -297399811.19690205578745196978678952494415172493645035827987570123689...
c48 = -3.7684976505351282917568721427983927703914328804317906958710580746528...
c49 = -74721638.056825056939553630295515279631386191910685298428023870155207...

c50 = 0.51142830493123137403937472597017137367107367038664376265939790949755...
c51 = 150738.820385816901982838514641557257430926788214338715097265351891606...
c52 = -51882464.200465014621355915039272889338103095540303868398424750082316...
c53 = -0.0445187004227162993878681522552206868089380938708700248595405808523...
c54 = -0.9717768510617479675771816269275522879236620213406137556983706984840...
c55 = 8.09902478924681024332177943297135482437301147280639655293712971473607...
c56 = 693.245721479566148354446065397906684636846002020011246046009415436074...
c57 = -4849.7902195511171565363902428549329276959830468768840030977511784239...
c58 = -1472685.4457316406177207520635982139949182164839554978099766553008149...
c59 = -1968734.6417155084151224332428934810586380880850238802465401548793705...
c60 = -476180445.23681717375903630171304483226853338134128931327801762578334...
c61 = 0.00004418474855565777098732987670824651954247416787020404738307998525...
c62 = -0.2091642549307129213424441406991547368094574438547760184474237556987...
c63 = 816616.407874585884385418131269557790042315769351562456670194890328650...
c64 = -980660449.23996554200709590020992932703220711493115410780584010877674...
c65 = 0.54071917375839606132490284886889392805592756662815017667957023740547...
c66 = -0.5912537531682319672473751449148326121405644623235994950440919491615...
c67 = -3592.4202089292111417299297379901978225865950214738428081348497401956...
c68 = 879957.368663378480655552926078589831435854201694196140409647636900416...
c69 = -4952.5386466560719745304839452777103273306344571907284352729253594863...
c70 = 674174.711137047552726961735860847270283705494853393828386448239954485...
c71 = 171415.170511574166314556236457338941449503095519587372471541411238358...
c72 = 115987907.521688700425912879208916765096039819872466143918372751325870...
c73 = 6.22889457557654605019685502737647276424779836284963461759007049501478...
c74 = -698.16082992869435468333141233949719230519561358735472193014099137968...
c75 = -27852.403752607650386105168684791694519502255943129985358475318652864...
c76 = 1750866.02004651934470418366953301373697360851432267868990019089480211...
c77 = -107316.54875123833429028509549145433910966621458586376739603475213443...
c78 = 17000360.6881490012675908452310563279814854602390230517360387020284977...
c79 = 2.14055670563565466331240691004099157251546798525003164059786860020565...
c80 = 354.144635904972550926927263860001978883862658936588395965391743033385...
c81 = -87502.097529337931102953440241399336269535962808797149420015616903470...
c82 = -19909766.959930809955989724130424317753149202722213846803195137809606...
c83 = 132811.713862921676526772526732212239954309716771017574781558501104830...
c84 = 8578295.33418531927112824728964052525177774621891244044933293999967038...
c85 = 1.39288343447352154567405237850849634645060394475961231552974765344663...
c86 = 53.5886144617694727462222063235483468151437252808084133552278378038655...
c87 = 16099.3790628267138308520739963661818178601265066820584788716841024535...
c88 = 2152950.74738369379580480887912108399000020989074851741808319127538521...
c89 = -0.0086384248494451002551981869145000420040312677523642682699797297675...
c90 = 7775.41398167149952508127730010747152893774986879857752011268621837083...
c91 = 1451226.99311944000083513704348281346850856708932028771365186758432495...
c92 = -0.2671411735851368537789362160569584509969160293804517537896726049162...
c93 = -175372066.72632736831306140381040099422100155770827159476490652647666...
c94 = 1.90164499361579434416154402262295923541823845471462779723871889791284...
c95 = -48.108097313908703320236767739568595674203230616995249577364721893260...
c96 = 585105.841328828153155045705134614931409475174420644168644066620131236...
c97 = 58063361.9936265882468676275979397625567979163920257316690031393079263...
c98 = -0.6730210726310656465308838779050058878113313049142222595234885776673...

111
c99 = 65729.1734408568020190180487666311983873434723300301889668659244004767...
c100= -351421283.56736268041528455131745049642192121685937827804956964019843...
c101= -0.2209597721054416909805158293677972331929171219613182133347560931811...
c102= 63806.8433157732580565966692328351246417296969139414022293145001307833...
c103= 106067496.062181708363723699178029548504389941086564015383676809828018...
c104= -7.7557249983637804106226527903867684602166429258507276189217096365605...
c105= -10990.502094260906099854937164714816308556471355493338888609852938734...
c106= 796664.578084611576513374746315344811039229353152218107789040707168445...
c107= 3.42553524422976866739235648617832403177108327934679516098473504619718...
c108= -55.082763815114658159727906819116256973588195264392146950292860119993...
c109= 116339.605963276828102984736207359920973697638957698185595871419967177...
c110= 11741826.4210651375339710989687041878838736402065284173422045578354351...
c111= 0.00011506747247743186432789794029066319068897147611311957447669929224...

c112= 0.01717462619438062564275195406012015971059205369375980228238879814331...
c113= 297164617.988797253492622126578428628146403470949975951831690874970220...
c114= 11.0101288905225167747959473718233523663757490717563929558432009986284...
c115= 143189.909542810211580693958942886818350604240893021356076158687861907...
c116= 0.23017092280242630470989711521090523202326048349566922383434325398539...
c117= -2.5658607531902114380352029487855661183294331639987441801555104931165...
c118= -395912.48142170558091848222933219431726569377120728378700530416542161...
c119= 14633.1801096354679289574548165093899207056903769406041445301142492612...
c120= 0.00298900237495411267491132072096123182954379344971397512783318030682...
c121= -43179.243392868284276806655289433218343995546632636348079336697112389...
c122= 0.10798060687432243641608482053961524603557548449471501166425096728679...
c123= -1452319.0364650781831740895246618216571411100861070867846965269145675...
c124= 0.00002663846703637260446437833402273039281772473940273688099062330979...

112

2.3.8) m=8 / Number of ways to place 8n non-attacking kings on a 16 x 2n chessboard - A174558
Matice velikosti 2304 x 2304 byla zatěžkávací zkouškou současných matematických programů. Programy Matlab 7 (který zvládl případ m=7) a Mathematica 7 užneměly šanci. S případem m=8 si poradila až Mathematica 8, která (pomocí funkce LinearSolve) dokázala najít vytvořující funkci za 63 hodin 8 minut! Z toho
51 hodin 25 minut trvalo řešení soustavy 2304 lineárních rovnic (na symbolické úrovni!) a zbylých necelých 12 hodin trvalo provedení funkce Factor na výsledném
součtu. Program potřeboval paměť 1873 MB RAM. Výsledkem je racionální lomená funkce, v jejímž čitateli je polynom 306. stupně a ve jmenovateli polynom
307. stupně! Na základě této funkce jsem pak doplnil nové hodnoty do tabulky na straně 158 a současně ověřil, že prvních 9 hodnot (vypočtených jinou metodou jiždříve) se shodovalo. Je třeba si ale uvědomit, že např. výpočet hodnoty pro n=20 představuje provést dvacátou derivaci v nule vytvořující funkce a to je bez počítače
absolutně nemožné - přesto, výpočty hodnot pak již nejsou časově příliš náročné.
Vytvořující funkce (Generating function) (V. Kotěšovec, 28.11.2010):-(x*(9515212473803078780915902746982851940330564113739897744929432010752000000000000000x^306-2915029940224255770542069323609982842063225604856742938909546785223475200000000000000x^305+442134271966302555278632235392305787685660180787940043825108129511553105920000000000000x^304-44271493029965042122758071267896304946404270068883515536891400839377115414528000000000000x^303+3292582859296327555418158751049363649174972364683240663331670627176068208708812800000000000x^302-194021427745838837000410328045516093168153200675510798884420956870115656584459714560000000000x^301+9436678872579287413482592894415945846909263947016311117169840906900602075520413204480000000000x^300-389677378022998230718971479457984612537269644183377596762139660154063190856358248736358400000000x^299+13947186605683638338888476438195331705623037276306752877055197713904967901604208354137210880000000x^298-439567356015948541334902025671471041833400382466186731660389686628429548910213188196438638592000000x^297+12352018798920472593823035043128365163166733397836379610254063248136038240577041958550234359398400000x^296-312614402284063721350400812930498812421192249113546828318285065009211971540979574764570956770836480000x^295+7185575730664866620836723761790485122118163472128935543662177740112924775757322458188531910544719872000x^294-151056707472433874627910950903353807885064182381771029077545181353365305526358811228186636646623477760000x^293+2921720119407571356562334157215974036106228455912251759087950666740363893231724877424634833858177993277440x^292-52263054856512236521986227317812342285077444181224828311967027287104108741160580088094683305808619414487040x^291+868476718217890288048646259490913840460441480318028794640479183677715932436659854314951778555290803131908096x^290-13459933147484033094196388671499784462210693862703746519255152435144364560435871142168720166500314105579044864x^289+195239603722574413901214616604624044555634428500667764664883378427258647810174028399920827496879845140206714880x^288-2658818118808161767717909126363764067832141813456311597320194833191908891094791350119306735001532749378054258688x^287+34089608598410805423669117978631701560398801035458233579003219713348617447344403493467012888148758455178175184896x^286-412540737923639190412839623565828673934257253746763602577686773896391727996488854678262034564261454576292043161600x^285+4723023746125849923348217019617628174786024513080455210759425152424990891575898381721011766298826580751911298793472x^284-51261426587560545395253334472036236167193384581127106378359733393577207776084883082374084071717986664820352858718208x^283+528457845407065929716776342196679387175418001652177180296945103604283447001272123703562383608110263492328793960873984x^282-5183741872741082891685515838485962563161871675586218960547466561807938050853896343753989340873596206265490115653533696x^281+48461220342424581410282330927160266419012256264791681466376262202493952689563889821534421011262920655305851174207488000x^280-432429163001301130087410044514159927993632465674953099944521187698672273258155723793476747095787760891848959407641919488x^279+3688160245368714876431066753825995159715480638087764727120372028317351828058450443745574231304381803960370891171157704704x^278-30105170078278990141888955446339159287817777089901984672138995884169063380893212941054121939787620228119636299263449874432x^277+235468745021708929079288670619991550158635390422839219189990498907543471844945823896295983752197900426107345227487922724864x^276-1766755729731225213356418253996076826421977641218383857657945497423518824514058377980126182210572616906818259920566382133248x^275+12730047204943514377035911711883322533433282488282864598280921410560686686367014505651286166583640659682934239712615907739648x^274-88170820976392549241672712923661055470711271098592984893445302636657001699325393806188456996878155257825196142614427734797312x^273+587579475310790549517559722510997499385630697940110700239411466826968926579076699220818398586981544230384565055472607184954368x^272-3770833252212345464657485950078224925434044530464661888733933931219274920366627098334659755136360238031849489791511807278174976x^271

113+23323715000975974513663591079109810125265951915836643835578462793989707582764126243535018242593492612493039383540115213228326912x^270-139151812379080283401539630661545857612077810168062253842889392151672347984400449560588182690745147060708972831493467514587745024x^269+801371192999709809472957989542513662056511159937428662436030655496008169862736151641113980115756129353055521096181923037127553088x^268-4457985038231148262565774707483165555270498432230198539088808680385608116669257677020845135772761669153559845010620015835212492992x^267+23971455347281000476443822508520522456702215543215844456397694550711968834479574021404649746074093178655812909186793092814093163264x^266-124674530569448200850880487926047346662462041767623785611404123025087424879233093479050039848557936867430154516657745012900792114880x^265+627555332854076642282478324705098281648698081749434484037313214273660396102708348766587593885323434611237045009376307609812597211936x^264-3058921637886566542604953659855784656186903907577968444968195466666320170908273388729224366274847228578878067425377735880168582960464x^263+14446624311812223551188263601675960588747226056877689586656653395337607896580679113953383990601154332026049854693623992267341850707376x^262-66141660271447913357694173173271291567099060213115330384631717461903482282391868584205168869049436848492835679483311918657872832151360x^261+293706469896000110119884615811778489990901164733720942675549731166720267704591657128679031079927406433289423418706006503262734799275604x^260-1265585085315285818425584694720397236901466717334937345053327307035349648430105360066406743806889801817941913297399394567953438941438876x^259+5294312570221834832030932184007556160560119836227646179891051391294437155858472475580226652927803952680816257457461682769348502977988912x^258-21511020064410116664979825796992550160362881116021394148413664955531098947020466212810233071589109733746322595078934466669580170613940768x^257+84924061002887652401399872130818596068439526448714481971884418515096230192828712523836134967057316293402613233368420554682366521317396740x^256-325909281155631673823787518705861735332728901543254429153872656229475650639137262054019700342346626456512892884309432661400019958979845122x^255+1216270135011181837962621378681547918185377794418671935557049237484828609129130714326598247565343356274156972521115197734678072532140421137x^254-4415657822257081166814659727189634866780369363220852363187544645981449813497651379747127690912700546645387438614918511877432012578810354671x^253+15600966837564130006456737325230573146151913400993168179050934518437705711480306644813683072655592998983093913415175230310749977192391292207x^252-53660081717749427471752000263355934568182409814462898475113066105356670062372941004802987589367085224033349503845060984840474073177246236624x^251+179739055426639455664814684730083211664024742711311807675784150560154407810095611506721246963710761039609271445364906293468841584613055896282x^250-586499153368753878272740160426115766861270165641674486771058529848527836488388649431125233559468305314708544003624130422299088215814443837926x^249+1864935463077193921638686499792478823583888796293462170011127812142081483269303454551754151014609820164717870356974366603899613208321090536756x^248-5780492050170069620309615575266917226583073466174995697209215334893510997448580338465160132285938504929617823805938450987290178896193334382503x^247+17470251216441968748790443122814820965543894538606055772286804305820156545841738125452926385921828770776900580877023386161474584061513403465433x^246-51498130923352796225378107160253642104882539185875665141394482573947078205904519505847248373057225088978111724863898376747573680881204035756405x^245+148102528074619297045715532356014073149393589482808374803041364797480677262232116750378252362911130547442512948797555281435343891866322976047424x^244-415651301369962582171964508120207345184105123679821883134000579458569820248112671764900855856261539813775847040063923794662344466627286990972902x^243+1138688430314880054191707608148139533190759844913111123299742414718786210872145751343597569497142140639383406166149436796254774546929861814542135x^242-3045788845591153175575628838353581448885974508040205857965945219528371275340363934988161932684313471817881159870836202039965963564989993361177779x^241+7956472848886996035952398233421608512003292009684278555154846483465287168386311518212456818171079354236917034573816137075288445861957099144946163x^240-20303503191170354058234500334498193940899527636308048296805083944987410789662001956911171705633229179273921166192193870450457533805256268524209207x^239+50623444800390534255563594951159043924033396309803473810719117764789796692973190656983264113492532554593381651898124820709484532099623430376469954x^238-123356095435421012742961276237080173738815721289243897186004489743583391442721575137701467585533517222572404361953102824219334944279297051336295200x^237+293827802839394048171752451063876616115877800045797455171515938642845439276487669886651245322635701500000572143255455427848274982021639359068976685x^236-684291334624932325622413948310603403377888549822907873557760140991325780107024776899860378338851906274397481307133471390038003419621975638916723985x^235+1558457891794706969642612344247282770310278214992470806672247564659757143487547338136701589916308978506224361314507324466145931307886982515795606880x^234-3471702862955818370217238530193597855649917549072298769213228690679600399770484425662010687639891774979429000882961688694891164508257714938485166302x^233+7566040763764574978678237478184650876438206338080331601701029022283518814642560662737503049016109294657925687922059537922190665200920070504298637306x^232-16134532841457885111191193877683977021524158269337036368928517688700901242967138593689102081203907253886824406779230205271400635593759955239340737595x^231+33673358393467838545934563133073434513402588816604855223130016823391477205563698695269829263347167860168247114787582613765960481222433680844471331511x^230-68791911404974930259587255887495233245898662728957583562439545551213549179056066563061662256413051308914999715334015654117852625759146710159439190946x^229+137589639365458576744077203178427832702392397639805853342294321262410115826416698226411076197609151615487909205762446368870459611058676779553137960334x^228-269467240641873081973657637831805166926645968009318380755099859019227788760850281506555555703763677796479572052276874751359760221969094730741697648091x^227+516857234057276102589294092603732172894073380197913950663282779342073971151828163797597816711720729782370350989866016353478251220535388236055405406954x^226-971069156585601066377796926233393388240886684437078670352298691468793004167128459843521443222927039217749796248235697377264569362097315125980353146368x^225+1787365270921889758036422714325865388994027605099268396197921817497684215945732210738799502000915038940450576722802422323922117852097540869099486939275x^224-3223493934929458156653372297195093247184768812678895044044440859254307865669288298014491988794075484562571380295436503731715244810900654192254571581656x^223+5697124984458952069434311723340440386445802864666636036875420811857040951414760155969425719461665834134025168719790856651837367694192467867002132799203x^222-9868772558191642787791878612218336859524265677334323809245096831276553122328419938910805428275496502842027243515488745131715610193868899103568825736893x^221+16757545665384959088847034532328024929257683653911933484515329970628740176762463180970441382169718224964581796301639616173740291508179007526587233419628x^220-27896979227183653878322234662443222230411912570491056643821643285761366002869568210123709094376511398774270791144926471777489808909348827752530534050335x^219+45536675576989113793871657073031312006653866522359344197491566054926886414033068694136949352610265850451948261442283747145592944986946141005640519739339x^218-72891854141217957635547746518031909454526708972014910722327634149337564276169474322673361328375292888968347417115844435655881479068120595722830023456706x^217+114436524634126442435953963019844521408374629075613134121908650600568075962189755131441718143299465401098074688495359865646765016992177847156512200174078x^216-176226441880974551903637070483402319666714508642614064856410355281398900291106301908363306686857270111289616963559697352685152487046499656882256296153837x^215+266225297930651287691901287284007954536843581251318475889338254094182222274878980735254068054171653772323533681877535763188028498301660419969588373306652x^214-394592503481935620037262072372370131919882264204534340914852053478838942392726969494931988343570001606525089920510488033036856207273694099957868752965622x^213

114+573875084753175813483761826369075253647158249213692455758300133582562806030346748044760442156557787053607322721338914330359485291319937157619497878357833x^212-819032384505457077568368361488417986180180791747075645753443319128296903878375756979494143169334202016040516994967593749728413615028871596489621357561487x^211+1147214031646069729004244630215187834167052217448829605973107649590166639061905810189284772032865555413327065500148720259246345773971982406644707234051100x^210-1577213164781179468703753450146811037264598406948265319674434680536441412143443970220686794020333476498796144989204140421480985329557634788924792622331008x^209+2128532080875388515224296097806860624114363275293739806124534894227138585529929512112964225777218431756480729784619746495721034165568595943322764680157294x^208-2820029059145349692583684309390286149428234298599687189774769041803347879709454775486040862004708533694596793364481313441807752929853698981940757322538886x^207+3668163533192054599289098199633384640570467680644226441858383778924635715453649961895380762984440163874989513155007746000615013390320740393912997041369384x^206-4684919272759439888042712843986513763137807669595298571573192133582948980618365312017739842091228333786600060291467348444567347907136530011569576417720007x^205+5875555261900568497756824435859225460305177095609465647207795463197369663285575773625070584080671140584003936584226754889098205431462867840512807671805787x^204-7236401434950716770752218306072903531632743109256982371502141105999585733528434273823393030225919157214532917161420908977181205422408726363002914601237218x^203+8752968790681207298575526279498447107310467309053925345854206432078393360136532279289261586563460792554525231905749731858433814451131219219195199946629818x^202-10398667574290012768334600710561322246401917607292481316360287505131386286956140791960128231246823905496539520565069296397099213440549485881960027328260997x^201+12134412223266593833040280511028568248179077227493094324067179705861029177669925222892409541918313870003664809367417694456777212407672505657082134800736789x^200-13909331519578108210543579682748566485665955568908101074529195826747114831189833393173595499082920340508735599436555165971222106931060613564162555744804267x^199+15662697961931275693378485838454940257023114029965344167648389661297639274343662546644807859602857021262178487785527424278820985332174902443017570614317841x^198-17327051218242365393131199067513122909495187273181502010295746936671444642245803157021712950905462025191051013770510281360834746529114937441040244762126698x^197+18832334020353929564467350672996285625295503419414688954761190007631175106518156799796155075448372607003027720298690624043580350723467652841080724877916610x^196-20110708102820496354813247177108695814688775105927320625121752830709727536507662226825107928810348831160474713288734647394618951153292283922500457585591234x^195+21101597774512158308483444300957076432300037014300073624510015923567349001922477720595677399852689605454693856936487047350708386038322843941227303770593478x^194-21756441725946990566911263909228337237553049102672780518005342104481722249656066408866892073356464914756070223812759741931643294139615834039918772834428124x^193+22042634693415133602619842948737657315599301186596072187000174411666719606961986704611356222956226622757617837634605560309874992061183511877876698401774256x^192-21946213846612677235239624566858141320998153541881677214238735043632923061248878057576054718565394099539637138253903272707746754948300974999071614770326703x^191+21472982243905921861451208353761420331696742836747962819872507903661691574519172876498313156189932995603250693129319415280702196630105648672585747171375017x^190-20647944154512810722495960141606550090431857656315682102935863398599827912550473742154274525725389482495340613830045980591044067193429705530062747246182359x^189+19513127246320448062554453160022593410377033700854769614416189523363318914502574177168157969064545939065653584174696164392228755599585954795282234247390319x^188-18124054308598894533451969721803194740669134043621030884213591471999649987463158017547441295438472100494732218367643048633766956860770779364494107545581279x^187+16545274555995898808115608036091558965340509595600277160061157884971577210414793930128798242058401921766495052631826436099662130287967691918492479488928431x^186-14845451353116935464539148565389857162732240396296437353806608064458182503483065674938269694325668931812525893629507228418278253548171848568471508502126984x^185+13092519934856028816227576910483099924495984855990372670023916174666496734397060746431949065794814869565582636895786462463575370290056270294271197768228443x^184-11349377808442955887172438981338241767822437341973920216343177553871914165800005062450427380312532932372524318324997588528814385873794407373520320689252830x^183+9670465076406250482162301443077105113071457258907597380776824868189102887380493746604519526612150489438635728447615401532701565810527827400400149398854991x^182-8099452423719345100010902747545034373972888490188215095268369565290952599086925622713510105448364164025962929184057664505200082456585988615164272369576788x^181+6668104617496613917543843506762825141787450166789797203480803855116363290293375300532252853543764151684724085025567408516877564938248875888154374119083624x^180-5396249446215301030161039576821054109882075658491247186082086224974408658949904016724567381962932361038447084195577482483407184290835964579423954600178847x^179+4292673534791587139199011369000161300503543181403624119516399807575225060971384673764977914699013144080128719905715897045720540969612204251442070977935778x^178-3356697721041034246113599785462757855054616811286291533440139968842906365390399484916846624289046638652224878332456456688465803922103498451067759735131245x^177+2580158238476487256321179745419645980247558841877320130031496604754889319558531697145809248001382455102853804531529404502780040294300190029983864128545234x^176-1949531558182859153297305838455110498840253330893623539885077949641531504300306221990679103166163660177774207907450327672749301957558048234308434097440675x^175+1447981273767593248544863278160597569079289674191582106559827057226682612044672174784198281106388456460569107801394887403929489173313560052934745898237471x^174-1057163335012233213951938228528449000614341198694989036226837669915297229463510904306308796081955628700178082608109864345232898688936213409498065408670346x^173+758689681131961754782818150902749619533924585865710674076632856815877905174030710565070188034099380817606763555843936890743019165594279131800079464679370x^172-535210154544164832566230206951214916771891072128223415941049134600351464960311428248289527818995032245556066640632512218489386456676762726128490065841832x^171+371121693309866647376431827058726014670479134371073032473261550532457790693927492550746583981274126193882538744169703788230442597512406334923032111560849x^170-252948685046338436359456087405493171582978401538024324440091784230130658410973721234494480419502600733375783766293376547841504864421792052237630390694269x^169+169458465372876023909217277574428573103940307585439388036708007640698243570753862520352089636621963499457358296925867075509115476183976688487592941666744x^168-111582947376900486898960291436637041899387284664215866102174843026076485886522768399434005480485561369142467260407651860412882954486839791340982208062518x^167+72214301258012577684609881678959481761654677635289265983952235530393337990833725284263895399915043779561557852026995519744670263418533452480375576305999x^166-45932969055023550669395761833527834658457462110744770839861489387932630324717901770225297958515605295559519401216340569997689999722580356911720517939944x^165+28713401203762837923266009063959292416105108833578485106830280135475381835385510027901061783429675099805013559205716858480434583572940698922947313899811x^164-17639409803920893509609022872649661681637396880421049535272264358629151147984931141561489915364176828290568067592708879715617611741617444398491368539354x^163+10648797047050780299051997500074917739369031602639670292170938937528973460647952092858278237400237976329068654562484340663085995993952932140161660269878x^162-6316972175329148543603922285787686167446586143301523174154069405429864363837747015311819398525709862040878835676674032840298654562414079693429032338344x^161+3681974626355014386447856075533503287592127803340246340724060059039667042761115179319060360445153914199589540019538128940200366871282416754200853183744x^160-2108549461311096709558319673907016069215844285338204382632360690257928272987636319812236260544914181313158282646480403503770971549246022312642979689533x^159+1186264410679640642235645377077083146748756830539565077096088932270328550602151529618176528961362517836340732945573086594749953755714786870558670378335x^158-655590478394600230246336304661507571792876502904632561459897941987139019084034702565359773059574395212345500235902940765248117516652083572698002894247x^157+355869208803766872694911822909599491350275888137544771391758208262785234044447588755215360872856459328120081318426537887530749809401821474233291021470x^156-189715007573148960340093673853094439636474967613901495857147337412109929676382475203529815606903753962577321013566207128728309860242003192843127978129x^155

115+99312965042284388666630735148251588806775676895182184148006940283479334646417472975022133112578085347822378757659028472983834974969113038954017343411x^154-51042749163812562371732433282772737722161033364391127002780094244000255448265788085130097879017131119028966209071337122964625903999837394190884186635x^153+25751747810225402555358479025893684751596647188072480027226092550347822050098568118929731536361257711519637778376543144542209733533337294077486258166x^152-12750655529826523736756709702459167997817276205549156599049820022719011359615444960270678187746983311902838699556831153467729317458232508513391411909x^151+6194490067806804318142556833226685535098594339416262805950400135593426042721396119993751096690499159037544253659474408722575764822451010381017998261x^150-2951904898533601517539524381845674383586566206737395233647520196232673608064019535167917728646780367193510178160077581585610839388027262813540072857x^149+1379360756921941786673607672243257857758331196381765306703781129210169901022750568857209097115318905042044992982273620091379601983746486010342154419x^148-631771867907327407900544253466300019710983565547207995885463016729904464113655725192703023684892446174895085692975056346628641277296870942308020448x^147+283494216383666290470309148208097559126910734919269160769574240680021527861186472399656764149161896061515587424941547823360876915938416754119487944x^146-124560777673386922652339228338340975063966134329138168731530330814517876423474864384673382780300472146481341741084142267242621068393259290390344477x^145+53551003012213730970912419439252998347688306670634904353501758031609205847577633265147653123246155961073158486070792115748238306037924578598408561x^144-22507405626493911033974657403346520485690047266533616432415074476418845752760903360658666010101904440340501039092180543299419328189036577023215481x^143+9237990565793348523242205355912676647723456500894329466519495468090081583634063913794981071275988407742626077805673661326734334811702155952551589x^142-3697501358722103985382625576304983178111431099340274366594793387093629254768317719583187483760280205828909874707074581803622954071215804672938366x^141+1440471860835104408648752589244761453777627183808380460222466113605923097298708525879734547609217028733465446875339857881832754519992658861223462x^140-544829505230198420717215674632505418540011624803684282868359811948701200072776095772158915930883146121267889489379936550594147243121150216279822x^139+199349604576053965636006187146066971583061132152895443059380040647800379490997870292786349760527600734702846366072581281918020431701072809566467x^138-70188180510247854581492926929162048944205531615254619648975081380680839256203460644066061111060300176518706241593190172503388130319437918954869x^137+23582464691214066654162144233597204281949027839096296901566673841262800156222368552509792196050125991066884233598093194420128328257435615474599x^136-7454562580306054705608135122070228741553415921533938704302392351393146914743452890330827308992152103591685702037120742533464303305218694125404x^135+2157105045131260404942785371638947925081659484148349104660571628401406403406166585787300423155050166748047001831968128592656042852518700110134x^134-535657191593145644008989156538847300737591380716407537628249607028877981275340412311719138497224566449094946302875012689067436535787844576778x^133+90520542708917859586017912468236143154442813431897752487997340551565490597192004019056439802324848613536125212264171469710581196072975917875x^132+8348103947602513206902482024303553925409042162065943964890248733319988673731814426033207525597292357944872163524923330683672039341213472845x^131-18540800419996164815912621354014557718952708936422711833938029923175875952185240004251613210724780305365913355621962956771201974834890610638x^130+12281104704287966659793752893296177498535793273657359897550812806055581577169802188766407815528173539308448494162420254398798425696480712173x^129-6343028075371014186131683750428521465928924526578301845665596571983739080301533515522682785571072307804869267330704207027414666672256579157x^128+2906140338702800084698766515572796796708433426828906672085725230227951198424143004897610539750737735930341396844669799817094260965660627659x^127-1234791813746680472278942395534791628240173671058910920686227336994919764095051595627247355501587694456985152601811623748137499584045724130x^126+496705597207524273032958168616302439654469764584412268799627009538710494184357392272448323213753798320325990751716106124340763535315879868x^125-191308553238362750336797890130288092017121422840352958388424608104402966289468522393917062320990601306581783763906639734793418913490004067x^124+71034235603595847320804590999671857023484569856484220790087863044782920524682736778900647078377951981123605089752198237851314329182548495x^123-25540444651865485592129806975539314965109734198539590707532010668154913624905955481884315210596994056005711683408441162458324150325112244x^122+8919441845119331653095498828447674460276733663003196179420387652738299580333138151632991583839905063319989647107309075954348390703117012x^121-3032047180037887584292779867800356951731950698314339781652477973768364880808975400413997104395428959273243082974105183345535438659418565x^120+1004877944464526058835067506248307734269650529421198717156392100551986893404596749680395831310738194105680914291374114198761083503321554x^119-325078143080835817925238881437797747486582298475612472522826206902367726716361960405268317272010852914487720383946245449062591990983089x^118+102743658624895976749182742288392426759373952686503460696270032921225624361037628640268935420521038775648388887347035900136526730267539x^117-31748350150585917513516611373050475299668256652722287425876321112967529873588649954849098782589158691096817501440560240404899108596637x^116+9596763850170412478405174344231454328786370963333503821917240143487765755479114335106143009435923102363301919176864079569071858378877x^115-2838916392310561773583900176892378333165769971810666095340058153359283315266965272639242202167805969962638448871958717475093025245358x^114+822148321262336452048171852754888572737270555885652182713255124111389632093825872678877313052616879943363793753749698308695537434118x^113-233147144358073927885629439611183176369096059694644632578911117050461226505047596027662448675314761916965752577454335204227844982954x^112+64755659346198444975934953718076246430103231711117646383397583067171905331754160832017692726654715740821090182543062187190546381087x^111-17617954273346723120541028880772755175411645411202168437479225603067812393978306016268740067263808867960661511496284684309169813931x^110+4695761127786264530703315198406091669790488568495771002895822758920307552966066511178202183073816724195410561458864878527030984912x^109-1226180694648966982057718827482779074242603206217422233454860720339580247756115641084339970513965636650014947217573370452444606666x^108+313696936097786814300201196269706744661182582442452875088928216464759048149902439861080392191452155655381716643244385281518749682x^107-78626333732290574632838899728055217784241045448473725902298110410000254672749585722842480488561118166136579721119954341569672497x^106+19306706958503629276244834708081028769856560689801370770620511869899050144390391473435406052967233255384905158961354031600650657x^105-4644054879707189703327886554936017155709671999474176541282148104033511506469187486179774077682104001386274727669770676856737293x^104+1094177485539507554080675918382314099877339976739205157487697335793538428573241205004876186594025988626674952096369071220037085x^103-252474178979022258718253536705883734055597969144332453389297286053563798301737472112697534092032522787485320395733274647685485x^102+57043529820189408584328390418089439824578646146780177597183137571016226463182170288412554703606294544370525536716631390191743x^101-12617107574417269229051648145524191093227974144530267004852727652346821402155108252976327946743754831726696100067451749935524x^100+2731246494094590254065163903972234846200975047695082861684908041600979696591411812482842235976824394659531677858520611232558x^99-578455604531882182545195008536437029794362579819103857148230845586577868933285475563384009722198909829678046491296910158666x^98+119817400010175669255990991528310011220595272760768619042824717535334161609852981705999409516803317523874444514525687720572x^97

116-24261046921953506042523428584748305458309632075371193724719106856753558373311465666925214386550769635439241483216046169819x^96+4799504104401790936522432632304130182260652565525015558350631153286305770985927452503087482778045258978898219501722098130x^95-927011192755778248624515037866476235619014358758512123878262227120415189516105015644614290456271292584747364311830306170x^94+174667276070073626230748440708786247803061627393771593062345725352138838940529355537510528494978240563876885772476254661x^93-32071658428923919995822529881527765862435386461731691347113199187980581560412086659272968206139569625816439328095898913x^92+5731074635441284733552327727011182307229042417725156808232198959315177888293334387294076258644714720673308151698476940x^91-994953668297969181715658513965086807158103426865126683218043214867710769751695154643909042023525882065626746594054515x^90+167423209977983319406220204519362523991763873586333104414751713463827783853194793308097208471412059353120618729073588x^89-27219700184574284780751809092448404201340923643948597866239033590655189958950168025861398389882175249068859325015215x^88+4255972758118690269787380534201162972881833638665867178115573148522240426761398986445905563353392344337636520036280x^87-635481141943796157218016677881798857116204871903490561737125151786770194866989657331784965915962195856886285001301x^86+89571949150537375012523605436931068971342892390631919395249348099126583008791015619626348887802545925389966620835x^85-11669203013992026004198663352764096392801572304069206504265888354322337627454204782086370339514546542054640283428x^84+1342699821943652411921852886854814937605887950238772672578977610356901541277001243545313392363534327095714926187x^83-119479775554429363408819058904361954549608490568404251460324160030403043898840766063900967387431619484718693687x^82+2893489760277306836372043885852714652905162206171020315062499295681152774720261984347204169294393674237665622x^81+2133156414392379992463992695219894140404348898499808476855267955406804449447127796164351968074236761263010637x^80-731931667139981255666041810935790776867379342818631987089428435118679160026933112459425135567216432047536782x^79+172051702838936743591914722913610640591327374934601603897701947757057616012034811704621849030003518819127856x^78-34649286753766532827748564148914548382891052337108659799307222635813824484527070506110933538661527712852657x^77+6367239849696927677237988713622938932122788647935117312520743561764974486004316687977320634007631001730126x^76-1096618615320615520523264829354116899871686306457954418507690104367464593514960859971532569680607725550561x^75+179480731374196760566350483849529810491364438912872393262469911700782680099969733841821575626833067611298x^74-28140613555002913243359628403465304645313992112887186921389393371400772854692086633223524987163583781984x^73+4248159372382715399648758611448129359166218673737343795002136565340017769201845194331197941629363002365x^72-619553117830820787155223159779316662534195636585814796214858597185184265540338175072523726226815077387x^71+87492950333422896616172827351705011291091542560457754040679827039727936279390283731209126663175309344x^70-11983866892064786132943478012830591569715381544156447994611456202862829814377064520524872756737521254x^69+1593908817471446157957908493753974677585199071145057453096378578484132285683139514478152122697633329x^68-206036846542338796286511326097440832985984608914659610399573301234059069786084135785075307389553817x^67+25900653987280000276886015108732783184180048775599305601515976094573432956835621376541989906886146x^66-3167765803602170193579535885599526296452640165705603521803453708884846682667938324622118670746546x^65+377054476237110245917583213110371267630149049170042466059059458791840537631364478942972647366752x^64-43686622394761505634414357953676798979686347845032610791742190737240500606666551765030176092707x^63+4927561546336323079990378299921089764778083980869619814579184102808743612299383710359938816384x^62-541088603882342686591629808848813161248264390127079743051349108480782584816790647534627450581x^61+57841993364607934730639373158430003805204490502798938241157317698031834070274638190604313537x^60-6018913193793036862763942924478347889648592288755748799234378064597367919756847710056912629x^59+609582286152551524429520933217305080954288854291023125947115702940317540630812995926801930x^58-60076575997915424148205070637067901891084900307084054929260085828696982600629948794402266x^57+5760185109984422051336670111655937678704334690726958484309692808182923317607288075439933x^56-537164397206943902736854046088914886517247443959936708785205743145653663081193442288225x^55+48705706997585952193424383849164715964435063428167886476041125989286063657708336936547x^54-4292373667172689597954091515841172133913588027351654899798703611722826326761872353337x^53+367522044413138654999749135889337949186886699817444702115210475915583564615080714917x^52-30559006727296924537847464249689437643532384244269461290679519920992681387950217433x^51+2466286159277330612269239318066681632136941028032249617620745382117096580732530702x^50-193084994804965871467653999331028261406966532948583260541913378879502567337980921x^49+14654713958205541333638074221507926565917847429646868502606268525994622259780371x^48-1077503553318161203663617312031754493947349108798094094696397830593040767441743x^47+76686881234638968281611911266608472578267218926600195814786537764577219847534x^46-5278181249202772225359529651262379435198726388045630092465199715633460479744x^45+350952550768166388166598465477944710907379111581768902481537725308988803231x^44-22515313999567483234330824305768099520285568665687753803118542215937725490x^43+1391682901848385330170399611974140128382754486098768947292972392020379641x^42-82731882249586024283135191812175948055279551999738086359005483859108105x^41+4719931967962689642306036537579469551929030248185708797403998847104643x^40-257712535339119357281889267834207182524300806267580860982098865187843x^39

117+13418454659754233863892377335734380892009943932075382327338197465481x^38-662942970899563925922658737366626185756497217344121488815634682151x^37+30853628776624051195562394125265675187377878726657802137174635555x^36-1337315330766419482260706268495341358916553567021582486851434838x^35+52914764884343999735009093058561230343676335376522117415835565x^34-1834369488419024386672186952336332234122646051427615615275754x^33+49805110423133033890502011715673709024662092858966511648191x^32-548145751876151967729470527359736287545149061220443325606x^31-52763849555598510351690261898277166890562002715822118964x^30+5502942852726020605003137783465486153573376069293071320x^29-356462200655912413056922064545987689470075421123389625x^28+19037906413645730657544964761120542698780554139818005x^27-900271733710659245921771709894873914961770366127390x^26+38772561162214927910340614309146571886019839868503x^25-1541278565507699113334428870384382228467071524314x^24+56936354647327154973584953237352514239857418312x^23-1961044872539296353452600623844632896984304910x^22+63052399837916358639552897934467763256899297x^21-1892059057841782357500946137489666813989396x^20+52917885061183356498072638699041909996037x^19-1376215045149575872565911157210351344622x^18+33168492263964177463334521015122138468x^17-737486160007228189240123394721467128x^16+15036873972391791682775890886549001x^15-278877277057533255895438933491933x^14+4651342435478162499840816451046x^13-68585000846898863638196152007x^12+868754183793799461425563550x^11-8919057398008822360907476x^10+62652181184864639024515x^9-26475518425561849091x^8-7830201665053956801x^7+150723801419171023x^6-1829331413132458x^5+16282474809250x^4-107822046729x^3+510316107x^2-1554595x+2304))/((x-1)^2(2x-1)(3x-1)^3(4x-1)(5x-1)(6x-1)(9x-1)^2(x^2-5x+1)(x^2-3x+1)^2(2x^2-5x+1)(3x^2-6x+1)^2(4x^2-6x+1)^2(5x^2-8x+1)(6x^2-6x+1)^4(7x^2-9x+1)^2(7x^2-7x+1)(7x^2-6x+1)(8x^27x+1)(12x^2-9x+1)^2(13x^2-9x+1)^2(15x^2-9x+1)^2(16x^2-9x+1)(17x^2-9x+1)^2(19x^2-9x+1)^2(x^3-8x^2+6x-1)(x^3-7x^2+6x-1)^2(x^3-6x^2+5x-1)(2x^3-8x^2+6x-1)(3x^3-9x^2+6x1)^2(4x^3-16x^2+8x-1)(4x^3-15x^2+8x-1)(5x^3-18x^2+9x-1)^2(5x^3-17x^2+9x-1)^2(6x^3-16x^2+8x-1)(7x^3-17x^2+8x-1)^2(8x^3-21x^2+9x-1)^2(8x^3-20x^2+9x-1)^2(8x^3-19x^2+9x1)^2(8x^3-17x^2+9x-1)(9x^3-22x^2+9x-1)(9x^3-19x^2+9x-1)(9x^3-18x^2+9x-1)^2(11x^3-22x^2+9x-1)^2(11x^3-21x^2+9x-1)^2(12x^3-21x^2+9x-1)^2(13x^3-22x^2+9x-1)^2(14x^3-23x^2+9x1)^2(15x^3-22x^2+9x-1)(16x^3-23x^2+9x-1)^2(17x^3-24x^2+9x-1)^2(19x^3-24x^2+9x-1)^2(x^4-9x^3+18x^2-8x+1)(3x^4-20x^3+24x^2-9x+1)(3x^4-18x^3+24x^2-9x+1)^2(3x^4-17x^3+23x^29x+1)(3x^4-16x^3+22x^2-9x+1)(3x^4-15x^3+21x^2-9x+1)^2(4x^4-22x^3+25x^2-9x+1)(4x^4-21x^3+24x^2-9x+1)(4x^4-19x^3+24x^2-9x+1)(4x^4-17x^3+22x^2-9x+1)(5x^4-26x^3+26x^29x+1)(5x^4-24x^3+25x^2-9x+1)^2(5x^4-23x^3+25x^2-9x+1)(5x^4-22x^3+24x^2-9x+1)(5x^4-20x^3+24x^2-9x+1)(7x^4-26x^3+26x^2-9x+1)^2(8x^4-27x^3+26x^2-9x+1)^2(9x^4-28x^3+26x^29x+1)(11x^4-31x^3+27x^2-9x+1)(x^5-15x^4+35x^3-28x^2+9x-1)(x^5-12x^4+31x^3-27x^2+9x-1))

118
Rekurentní vzorec (pro n > 307):a[n] = 9515212473803078780915902746982851940330564113739897744929432010752000000000000000*a[n-307]-2915029940224255770542069323609982842063225604856742938909546785223475200000000000000*a[n-306]+442133559151033874865842190258217592820771278594073004985536416353007697920000000000000*a[n-305]-44271294268136804907778644941565728931544819600035848111350023519209068167168000000000000*a[n-304]+3292555768322171097185477465628986304650212659198180011754808178916681998716108800000000000*a[n-303]-194019028353089373770303207362097287170159165077714789493233640474002583791924674560000000000*a[n-302]+9436524195559357462992568283951718221656385138260405107456707173214662853087408947200000000000*a[n-301]-389669688226575869985139460103692802938441425607029832161135213647703258001505241163366400000000*a[n-300]+13946882874706202275951916634335634403033677979068253326174317358793938103740893491605012480000000*a[n-299]-439557748667000849124419760530130975701088882154797117489358990006374094928034726508455002112000000*a[n-298]+12351780879862632387280833074772321115536399590421852914628812532427177694652377468690934163046400000*a[n-297]-312610262707939668319340120282638712706819356918687499488417973867670131015149159129773054497914880000*a[n-296]+7185554113433706945571154161772298930312033996458635179235244243617106525457708606961932870396936192000*a[n-295]-151058559597717689204352943128050062696586175334601752289320115674384416421325329224179060568854888448000*a[n-294]+2921817760719166371831246493988320685775228625629871507857493293289142399270649400235853954992397814333440*a[n-293]-52266260836980883940148509223444040217856651219012654393937010284272774926130720797659662459390826465198080*a[n-292]+868560900930284765948755343748537272089991030269130684229328781671152770880360580657877442578732031978504192*a[n-291]-13461832316757255716667789355125469763307476285375073687094304218858197830281264107932632584485646647068459008*a[n-290]+195277629985841216776566978704441795163462606750562188829469310779063507501915295261967015971647023605872590848*a[n-289]-2659506403230084150462031944688332967841590531641314886872486812243970972713487934138926540601121637621531934720*a[n-288]+34101005815090511909737888216095692081834274828079521400405198079733697666702179805249172484721673415798955180032*a[n-287]-412714861963717078337768670367508687898941858932641983534946032666226908557926252844832942891798764884008003174400*a[n-286]+4725493965531322164411520273115151519293631850474091589228884694495010676586695481217999563790430667431708983296000*a[n-285]-51294133406274994845798350414631747591016754466391951082648715794485922122297180851167996448071880998912456002633728*a[n-284]+528863706895868137748625095153003176068143975915287366925272290454204669935096368211568873402068831329842425962692608*a[n-283]-5188478584536913534711494113010729924872124205992338975350015017365293354809895419572024059893837928592742945631764480*a[n-282]+48513368855995532976395650058378201035375821150985686871718709981085621496258780102703861791426234322572253587186515968*a[n-281]-432972176915547208173426740118588424823959020901353321146136367288822868967108190512547422264123895968847356915242827776*a[n-280]+3693520535472907147045221588451175594227456588273508440133154581527415847329890647128701881050937026203960474013823467520*a[n-279]-30155435478291874883047843272275731173536035170656548159012312957752235500702270312905404209727017798426542482540053184512*a[n-278]+235917343984586160639417617400233811310835172942097066150417790877878458467321727282595848916933836726105221858790754918400*a[n-277]-1770572396721624392585444273147216584035684373763252396788376843889748464342078879319233292954157394401614768194416553148416*a[n-276]+12761050709226225515574380787707748856797993548445493396161749574426163583027889704000852738325597453384431257270858891388928*a[n-275]-88411614814302096386340420630804319235615985040017779936810733837806524024887425778937641108920054250486217206014977262226432*a[n-274]+589369861450436012362989443880740726213913766791351196531765447111648745317153747706920510316176444364868727351949377575926784*a[n-273]-3783592659870430343304998439488057472113510401723184854225717781768592598626153876533580813160409270907504661344911894936651520*a[n-272]+23410966806539126633434415047176986649395700702029657089460832697517686229273312527274625925979252362256542938617630579592062976*a[n-271]-139724901401719271865541886110512374750603315453822500154698094276391442841720775982816560222478479671273935381356874466805431808*a[n-270]+804990176841783931279565919940954350118588978434238406664450938061576470062089761220311090492996990601996683432306353214910586944*a[n-269]-4479976476564220234047276402251904644229196286533799141699381433647299995457968887250151469001990824885015344275234225165183202368*a[n-268]+24100156829286028522714187699933591870728934073986091424803935247868728120529005932603541449662747251448941763618073554702590279360*a[n-267]-125400492704563678155177715221747296734393971547114638677954868103890194691140398509910743715088126865607431341199543979672889697024*a[n-266]+631505008708769340749430397639212543433248624137803410636924137701608486336890032010350058383892180744118643922106686282746871883552*a[n-265]-3079662325289308944478315570228234541712535006150647314205415265965379107957467934354180629794680937179599502555337424313567065257520*a[n-264]+14551815210654110270218647291210986321617888003990542648812296125365338838637723106520295829047182973470187391623616656176970426512880*a[n-263]-66657231686990796331402460865634303507942428490316517189197227011472999326989007205294702411720365595540795171955533595327636162686032*a[n-262]+296149909948884346407568459720651276810251186924444180155913840267640837740493891111759220679325711790747616315413410857961294532424708*a[n-261]-1276788448307182248749361835173432279471971800534097297974460505992463155478054724405955105915332371283109704322708636406478594147513212*a[n-260]+5344034334277736884283290816106277736717163550473828696912121486868373393020998990275830938016595661572181346650870284038991245916731884*a[n-259]-21724717880812412685812451727474455062558361188796102674689032354103123597283260289939043944800529797861223150186810626522303430954993172*a[n-258]+85813876772179248492473929975267350165373838801589960429186697053173385087700647795531171662934317247618256335288883923690417036287908596*a[n-257]-329500360116152697711071226081742448941538707706726416222454934344827662366923262434860858447381741475862192989015433025939904573266187394*a[n-256]+1230322216285265816811789950175345672952874936708915758069348194534118889613011010526623315539557917362023891474002639190861354465958963133*a[n-255]-4468991425718351194264703886831973729247059348320903946841291965105745726081502231220928917471944587625289673344048897290413308454788589181*a[n-254]+15797369436099190884324255156994905254526462750690557508406127040344429043686583358523749963604577898799410386383685311279379085084656387066*a[n-253]

119-54362035559627996628265106968865441674596240095090029946445268303423760795982181656334576857655349982397989511713782113793816496649352725227*a[n-252]+182174628138904720028010336665811559512801471684100472448478204157470436084690218946501998243920878008166663370202371588518255937552355108749*a[n-251]-594705081356382881465638981211420801868434431139199342446699974785591419875299971980154021066343461408985977851103324757304933166148477741114*a[n-250]+1891787488090675375263741681556518690744586795269471707014208738420435473322209926705884958558093922313894511029355902511239218579936783257660*a[n-249]-5865845788146709289589532856345665155352075491010282721139669557010776900356637191705271956872304616481055384874007270557676773187476306824455*a[n-248]+17733836331019480187896804544978185847249435527822213364002133962338448478063534202068761569628866231127282612187015049175845757140024178917867*a[n-247]-52289009841187394000164583080602882955554811818130343325017039219445078700997212641715122266667991566422960702184403282577692017022898178996636*a[n-246]+150408247803377633943092947322787984500026118946628529881671218643217119118560894043957802377849357308644406217454023098137697163629916305752451*a[n-245]-422182640849898029546305891752105582679496680099215240162803890812578829423058569218087013282047954059598046586463991699381079249353240294171759*a[n-244]+1156663048139976330295405565771002010258747857551614538884033416445397108155811590042802537457945825283026722399052609974398944131361942223754429*a[n-243]-3093840198314731202677314046840832427675166610369823183892867053692911667493225558679646657424531363090684880243765375518736521341004450826054053*a[n-242]+8081217819599077461022471393536933388512704040622700998295136612901780801387441134753341540202430086974416274938106118552871605186071216027284344*a[n-241]-20617871917819500835275202677918748046064950197843874926216998087749928343370972343293170654357129798612574989842250504098770361751259472810071502*a[n-240]+51392061881762252066914366257163671973728082604158046369356020828256265818047148052577238913260857852302276728747080589307625346708260889904209741*a[n-239]-125177872974167662871184492537439317822352139841843771077115326397123863072250399517305727515513215753582577530358839841911047180040867466090179745*a[n-238]+298009238306818155279871251529630351627589381879371081497780657798315383919334570722476711231427985901460579809700803322276968267752086848153748309*a[n-237]-693571316277955851432671227161458899744258793796152742685371065740030862942241186573612491607743903352375527304951567937598062912588433835771483847*a[n-236]+1578329807451206043690101550501898323177164541880498401454907895745687876675627152877122855882497691882037195957787642251577184263505617820197309343*a[n-235]-3512635890739888911517885557540740560962004384433530047786117813175579129488191130801808774784152044938598974609369925442776228185696002847521628857*a[n-234]+7646775771418729680309197356475368997138730674283170876150764428850689725152386612070524042789438010363930407944637514249527475310566436714865273098*a[n-233]-16285917004621907528543747452151386860515522605921582608210319505738825592612965096966310605249555537180641230379190282213529404296826825979039916345*a[n-232]+33939957626319070564397126318272336171171061947858873630341865773504796480470015950834018251055674361493950604567641341600985883126493164819651809513*a[n-231]-69222938308223768602354154595942324187267533870529520359995498271329233635816573617279498565644246172720765739220554126534296850791684594268255056249*a[n-230]+138197695103726208456385745773737796502293778949501973016181296254208547961332730659343998901607528640667292805682101449957594795575156051805103229401*a[n-229]-270105857259611879767707155487666555549456205924287305569892582441419422963701342332630267212030895207171833359629082489016209259716963001506479727953*a[n-228]+516913791369466091689192031125349996846858472301452957509165978765200511949620940797307700610251835551804686987537632874273203028963064185636435932664*a[n-227]-968768008943585415672002411302309633860277427185411256829942625570945692430243785320687323698907753554258642740298874769434506304224070522066384234943*a[n-226]+1778295236231875704050391638998052198317219047768943682727868146036693963840120130566674322776998025439498423474840076168229356963986068274790650683841*a[n-225]-3197668808345773680083740341399159315736732021543099616487153715798369490007880757657597881207406533871687748042519607479285551614732765815642156225280*a[n-224]+5633393705453440575069274383795613576818033849220845950296482935405518212980426440344504410385613805573056140209964438068502875099874207657291558264722*a[n-223]-9724641391268987370481740360879328399281863856509238741750083347115232234540150814973283132481233558336660879447347369094981443992383479626758178499407*a[n-222]+16451377038525449871675779012138477161107262361249851099215873425308891411568700752534033279313914534076730262951430063875501875459112658742386711730683*a[n-221]-27278022372058519644863032969462342830206409481605940139105328499528619256206930671349819485529194063973797916941142334787024987912366325141543480257110*a[n-220]+44336438787286662635795123285608891859533665016426054854785502501912080541606514041633763981923499972838840726164382429660350830213149561164335882309283*a[n-219]-70648013087298857209400897681591031046002568512801536555053518572010243783780930439245327198802583446178820791873508037362400825664543542966256703486433*a[n-218]+110378088023397818311833330916164880088953333661498467467251668291358430888750374345620576544283355813734917933273106417443573553421604741674887832609537*a[n-217]-169106682189863087580504771026875660794044032981145750836971233757494516827969785255461623519857969833733578196529453762591129501243601247570628485505429*a[n-216]+254087666749073294742975701943295174169349595804340310313390267871543919949564311959448950142743107607731202564053399146401883871118332883408002839134760*a[n-215]-374455305949806036441551212196891164076941459144909915355587541133300235376063114128361991066519288479170957901289025067481916477204797706078786242463073*a[n-214]+541324190250499463100572018273395511505562317390230222431861260453677601040675787141516497771641733887927474018462922266103599578336362037181326383782623*a[n-213]-767718833449531362966687949493583251583090980156341331654607341629143405754801748916990178373395714426180427501789820968143946701328328431239591658745901*a[n-212]+1068265955993662102508394442390032588941375431729612875987245363062467729984845265008623045347035623157580055077301783422663943274064027836801588876699419*a[n-211]-1458589274987292076391689284576375783366879567203798266963072736872256410321143678071407009179441104882792780484003303732530288856270350037237729717910611*a[n-210]+1954366400108246106433443232062080181304238071803820572422999560801932638449386370541618224389254085499566260247763344217919334211861393155013772072674362*a[n-209]-2570041593801535765221722632284155585507298641516844535690396523119160679733753095781393866129006312066149130106347739887700231844600257047525953831386942*a[n-208]+3317235649815455024556451774398143938665820606829281011200947387922099707393642708390787904653786381084497716704483144165318749186100302966813251725423354*a[n-207]-4202950839364920051060673488407453939806420465028869664263782722324021797009036194300815271056206016081936007513804483328140515372296357514152585327445539*a[n-206]+5227727416286074209631937287267593968492705899926984834835523387251944432503900746441265951508703338856919075117736139698997681728439949355134543251544551*a[n-205]-6383958602338599022497863695674050393386248139441364139791916652082569448055839690146029641290030519176970376342876374065561928156526427039917397864979931*a[n-204]+7654602134134687546247775666175797974280496587634408081235433063261075569362004793706580896770720644640311786041857588152630140553806067491083001613855639*a[n-203]-9012528064685404518006996362296760306890695108339862173417880115196145415084563792693041888681605289035383828230183446535792229873541543051374850933442297*a[n-202]+10420707569230097851710776406100475993333543370144141593108885659723579887610092906120532473816344042583527510825211754231485440735378958332931168157687791*a[n-201]-11833374470274523997745645650068563610105058132519394973635236152170684047960032282070498378698692296635600558757071799873571705631496935669636295659552174*a[n-200]+13198185417848329313848771515105113189590287330318786467142351366842046558768471434314291611962065065849808614058860008909480385421866239049442765440359776*a[n-199]-14459278505754017632210750022170158912577973437821799832413607901662270413048657002324910979821497801853192650911767101014116035127831912187449954365599029*a[n-198]+15561001565532812672033396161390899796623089181522857333603783127182704451018979286932183642270981566775164523406652500710096957554021183103864444322105687*a[n-197]-16451971241682980769964449518735211772652901111088199227296934327654882965860658173917812046729687142984664435980848858064395962710549743020016566731810372*a[n-196]+17089051995705668475366466141024164776965752055108613751735792548980900702288768997095915173982122306175577000063890603027215096898264500898675455547281168*a[n-195]

120-17440825205052020250023887098265271991531289517562590272760262429063300572740715168383493027798897802955515739948612291251708678629174608740654923493941738*a[n-194]+17490159041651045254493391204900618130091811786745132614502911317464748655364260666311056823853389133855570604771396377970621221071306544571247619361526066*a[n-193]-17235586323603490319322099957026273434758699940191126133520392189266152101781136427154581376311977548608296978532587959421090510169572854523549479077379905*a[n-192]+16691336713361551963955947892756975366380202781594947687362164782359518304510167852362786857939328639078704104736089780159148382398768544769704323460201819*a[n-191]-15886030607417139004422147985281687485524841903049892059530150751044995342131095276852749194058493378979677346764064883609075434994716617661199471781658984*a[n-190]+14860200212050881135662715645133294257132180704758662035254451537441326690330073331030891325438972055490581095866981827550321578559653559692053104977017130*a[n-189]-13662934849036480358599262702238645817114153912559223018620759772313551942888400380203895483718790232838014818010036832193738401898111696885255432453847978*a[n-188]+12348033864485468055944693855824904561247460701388939729933354770552273316104354068121698151993511380547974755323576376108104342281303605216316394746820186*a[n-187]-10970081316286934189758389268642495694214290536821694285661429476265184656570015302550009061844190624577314548576821489113861805052319958943157754542193495*a[n-186]+9580831267413664613032398873763374007930322713227300178176745454173797258955316292871195916713364792355440205029156915499366125215571667282728994807418216*a[n-185]-8226219479904971469565142822949746673739793984092349743235290445428810882609293799133719071821799171955538132045855407831999179134393541385025641238302848*a[n-184]+6944211856644495468047409161943325713354386239063586202427381373781895702275910200347514840796325305382304558100111236836211698194290694268096886851849294*a[n-183]-5763580831521393734219694369657074483156909990228512036385520786950392818123425518099048501731236436350465702901385614974759697706104881285257005710105660*a[n-182]+4703586599094660291093659605124791597171073528294725934558757999742616843644308136286931364210508455960117204748144375131303037191245253258721324225672055*a[n-181]-3774445822350469548504877666602681567436367427733104848178921406039090766649266211634547506807885966772015137805992881705479334467879605807862541731246891*a[n-180]+2978406082340678644688780865180635277652697657785744973870604574014586046277829176030948234695874816785838843670897860529006496369766547088571338686755416*a[n-179]-2311213483101725790389163468409263097421706045540826518406956528768310933096367785554205015747052330856891820199886141594671122084610030162918727654016916*a[n-178]+1763761444014071089949146611019769204788845116876826429451557054011585633222020715014111104927985394116338580034215369586358417887981804087817676166460544*a[n-177]-1323734450241863710827594243236584705585173202212578797949680566081596670944745094703850905041126892092884451780881322243606086465782125838174021175764094*a[n-176]+977102641612655619099338874893626553124794286061129807889156822089071781391292366245287884071394505286451546392793318893956302049035854000409046418074929*a[n-175]-709372376111159957739602253680020009547376264241195632470953081118434838953259847806629223431046800997541807952750372528318656455858370884174586611452987*a[n-174]+506546184844520641763076966901841503091040248843392294588888367244720418475743376688457751026567530898949570913723978155108576867218546813870102919764027*a[n-173]-355786844445053680007280569904381129474269741055981217402931586714752244818892859874341679811998002461001721252183823804342963376134082564821426429947278*a[n-172]+245811165056309024697960899916196246331467087108582625190963111617979614733280260586911232288774209549142727600339602131980796332884143292364687000760495*a[n-171]-167058465299233495960802006116251700918931264687411563912294477910056696732136040266391192819651264835450105239140266199818716990944752761128943239380877*a[n-170]+111687424016876496184177283206016249679706507811674962814312163526329216885968389428755890306947783378817522541754833158858051383158652720820591868453985*a[n-169]-73455137364942546349764312309408425940242432900560051853709253021164408888677194858424024193404881503339600647204612964772162144775853981295993973995737*a[n-168]+47526394635405654813092990733234983178869965222541444879769543735432340307832565624307624200952635816006717113041013079895326997603920169258150188571497*a[n-167]-30252029342267539268342111957716253015155261825735502105710999410661409843969635119193883240510768600883093055439896653737555933924824229314177903538936*a[n-166]+18944918335981856468243375637157817753615188425199947044142416710757945001729225716334042685642588429260517993623417398759969100034947442441737778902744*a[n-165]-11672413338277798656678475142122840506427709072013638935645547819042731385808073704854291662960109991546697376209821074665890187147950285883417652649608*a[n-164]+7075691250811121278872341521323103733010026598064229167443468875508334901574511881145565507713624692520555853208217341823329442167075294005609981576231*a[n-163]-4220145959515800988841948896928922715812542141782576035001017965756810738424659689408652733394919359607224045634533169620725292005836027457949338271134*a[n-162]+2476543883449146703437991775391283197621007365461779541313746399066966697121364912413347767486170879052711237191423704020393198568663546660374195123570*a[n-161]-1429992009663694770165497654975641818205606504477237260548892488838457096982330811053726743881149839691796668568805012435797024366765206174042363639699*a[n-160]+812454003489587032911604096009188652178916113045838946121019340547567910605491737753060395042705904101982384506984037026373084968958343534565759611373*a[n-159]-454202586780500765370751253305685679785474556023422132741014236448712143701377025915527451423450776146867206670511539126958135601426394570539376207008*a[n-158]+249858211664719655580577094209485917669468032989098453195892069717707882367749008480807169427554818433185322880802107676946785145650595409526561287407*a[n-157]-135250197906086141714904822368813646411026373010839881396176430313940348530698922905448066803310570616683044450063909083757120432265296304778427396714*a[n-156]+72042537846938835598591024322562919905176889389695378398797544460510639085942626881915308545369390308044211098833672056054917567004806844895374067163*a[n-155]-37761823997337196263037126933805043384507892362305558155783862752471076615333212296509071341845073692047334133163538633417590643503211615850942471538*a[n-154]+19477595640864667695368234023886645639952992012851786588864010982186330171929743202744230270785042008517924298775537699645453856427340151051403585967*a[n-153]-9886468911786680241295846964335544609022433160937540443850587396029057111478145468989421875424265611508937256011058888483956469339405087257145498782*a[n-152]+4938273051242188292632052296749286240054374270647939432540590620526469037482063108406618000483934694872335762480720090111735632593714029644438249545*a[n-151]-2427398547203473917497719962820733215224497253056475415609578002974542278075820868582589272174432516110367838916524694674340596321840244633768389742*a[n-150]+1174201762736115164771816086218892929648464450777148264425219491142914780244417314211460699263755859389490192622745583275032939165870727608191746464*a[n-149]-558963023387686467498127423469063132264767793230373071789217787880968309069138937145440707433413893735702816298325004255483796130308179876077824583*a[n-148]+261857308183803826963403363781296578951238540173603219980367248037577425333347455789373197673022277087191643550036207414535394345898457123181999007*a[n-147]-120722895347229462874707879518287940890314423791803583858007425686844537715158125530568478256307253095183406450541827062938163395113823632605425501*a[n-146]+54772108740762059604691512465059505930817951769821747196968746196172993350842586639418924849854394787464988518307628287949900378733944473436813887*a[n-145]-24455424297368452586815694659039060680822279332819531549943341583507075772262502040717446961338985413723907640345582286806238246251800246985082376*a[n-144]+10745766590406310920727612433811902399546312105389479160676479839385492771457965324703151506418426779517443801147182994728192373939574513548512754*a[n-143]-4646715611990657805365751456330387427185140104027382513609746987444347778132498469179968409599766084501832155291724086010580856023020072015455133*a[n-142]+1977428510893472055953703931863540193651559106825334880177515818756222377060927440792550787360760056277198320020707709285821769878259114934967311*a[n-141]-828133779565715813232213786967678095798180362413829460285961423400037047526481926334863213693262158821508738097821650585858358291104931525031738*a[n-140]+341305827799426775627660566947846002922970990811215628647919842265278548463132451043556266177764266542088839093085328474928233826101689175441945*a[n-139]-138429410201576392127798497564465062797292842550293118800587652210918991782012491620609938122457191724429455039171204065721419844112379841329943*a[n-138]+55252500130486371168880271742130913707206172840206894806320218767883003001436399271908486276755949943725412152458252886240642148018542932914284*a[n-137]

121-21702577403480934827489614432421299952852537386013247085270107450296230116104638454993759279988325799751683172766964115516100776324476493084449*a[n-136]+8388858866650775569298321450844255865034598921282936263838759583906551455019957843005497741985710312441478400701693920454985052471933486539375*a[n-135]-3190968382487966470168416534438096918578758057993800686616416450934180999205399774520495699755624425931423325709137058940420256883748308480208*a[n-134]+1194443074658510280457776707879206101031740521882362633800878985571347597013127328723198162305877166701281756114239118592536208441831407137277*a[n-133]-439973493578790009293638776109058722145981831896066209392614105992542816938299473464745337637466614836762074293621622138450937464890780668429*a[n-132]+159477668063168214421323062309270314861832537310872769110389217320722768866723361692427460888469117039991314684012133325264019702800305700243*a[n-131]-56882568460884749174293231756537705344678140920808887728444424323807606183165637351001365794631136968226343383921102250412846451953981290440*a[n-130]+19964459907537675264115747004575373373862472755063264987885267000479011723531372084037562609413940002002570745917215388329697653459603966417*a[n-129]-6894892500932800547050561185889267854447780790569258143256051014471161891423545096920150504450168608489873083205519415799090339693341661892*a[n-128]+2343046694966150541131540103072422855590205152373191460415579539101300051586382484449119254230292184328263107094228410852997659246160730591*a[n-127]-783446351091087048931516554667639561561622308297024349254702347468659003009447773749282481391945472014425023199952400672198723885352666947*a[n-126]+257752703256843753495027077067121320631864678047665044309740107754814452195149478815720194594809221588101000954794521258728262151190288691*a[n-125]-83435912781270178813858024516192018678383723477001024054805529796538259278273009360390643098570686086127185706561756486530753093701119511*a[n-124]+26573466622350154101887174637454280741693543861489048549838410663818860368081434791943043220108787364522196205813382991362470168804984211*a[n-123]-8326792958445648750976665071628165707340280635872990755568872607381880549485951820804530878218733772337048190314640564643602938454548621*a[n-122]+2567024529902203179084403830855436510502217189847259915375098687736997940628171309670875512076539269386723532124627853579611140038074329*a[n-121]-778561062593303950977573589082995788935836466364913703714689331277798001220877193399323237071893441775657203942042017228242725198083724*a[n-120]+232301930591074028141349203264099414446364283438313746719900101686525334891710931013513204483792740765005429599092385218391549774140754*a[n-119]-68186257639826211980079195033913266290778404209342657717794635546249204435101926700376107422959552911577270442581428676800925679644389*a[n-118]+19688405554544338319898800410626818311838613151150206910422728721389605408087375772048398367192821661322571724140673104283243546311340*a[n-117]-5592152176041204330906873661392690669067835427439910015285802102210658088661150424464875017043586844210942368107281972006447683575712*a[n-116]+1562379612158591765764568893368666410513233188356810879357230845358362930520882678560473567141389932381695011341180609794994086493823*a[n-115]-429355472560553898340739559875553982296595672101980886150178913051579791862927864796306561715954688808743625189415999648241342547077*a[n-114]+116052180078746248593841584453729629929877364162371246664725221588585450914695715021504862742200640193413481008382819219573738436364*a[n-113]-30851603953282244668788301949117775154712970251681697272399442942955376251824275958180157639985350447819077463125466986721427077651*a[n-112]+8066253853949245869946384596970660493915679786006693909260420998229642431222671107625004688021504931358862231830163527111995730701*a[n-111]-2074037093175329010180379351754612713974648838982417478555029469275438824250283706351836613620066684967029565008978325960066685975*a[n-110]+524435024356188493589800324466398631082648494989782928962811107690245546837634841860293943205332057368903541298820477618541451699*a[n-109]-130399718756984014745976986058998783327789942693203147275978105648301392004245478459574863510213695234557876650094366590826388626*a[n-108]+31882317818041313530888999241102152388898964373544816174821922690979590327548238893719966496675773547400988406257665918663662245*a[n-107]-7664592008733462660745213081506240316988590532573119663878528390276507957831363794411488210044005057653596800481537314329469499*a[n-106]+1811636034119893223568268740812599737496197488372460557554208593241840973061355178026533740629864929670531818634408175553295420*a[n-105]-420989821044847305593083784150172724676236253747620335135026698732615621991022449596845966306207982631296881571945551559329454*a[n-104]+96175863708297622957627378821369728808698497546043125178464756531622940380867102067780186189930955046443235197863760030540300*a[n-103]-21598753262436893336702748424013057673543480441075829587451465197221664121092763208322659889026135831187449148245634188714588*a[n-102]+4767960918833141160292782166537173033674013198581446453078616509683587496498998991474430552310383749836472621983432037611859*a[n-101]-1034547669171182469806754056229069508425587729715179674551885505641596888995035285746669025260276343878866170269026451451497*a[n-100]+220624425662950360082585994235838062106475296347918392143512701862306346423983107884366916168261308115982511405729707444538*a[n-99]-46239424523480075490588785758236831542121000207623938352854522475655890088210655884904331920228560659367632521351261791822*a[n-98]+9523497449716875516996396709918070843666985255143144238864715304092648934029182169456552732554727206876522400368075996395*a[n-97]-1927410387315888719972652913082897927153131195598929320658006110581346377293810555409518229674900081739691196337851007692*a[n-96]+383277213533841483385127692847899452237319131893756072453043121317039169190654470237125917548533427997045756249544935271*a[n-95]-74882306182535976049066827640588777959224313830748156048143849014983147293910799113415611394956762537781156090782548669*a[n-94]+14372689526716599215045443451873881970524207459565076416242345768970731641386621567428294925444528669298865950913924665*a[n-93]-2709901955835732362006947995198450688246769761317884481827924056571240452623953165999912829650532645774887264347115063*a[n-92]+501867094214523370286318577365098779417193973704496481546765912610864531189947622174088990544798783264280802739881270*a[n-91]-91286209977766783505237831013341634113585475708364139643272482540816492795028422577906281525101272313308056988011348*a[n-90]+16306599599626231148984023931720814195964548864787968201711953128887920037174381924026252719684234926834777360617140*a[n-89]-2860372553060757423517774729996264594804099837047633499779574880738217684572578649472383905915945723367667434830854*a[n-88]+492652434394539720668499955440675118363352497751415421032515932150435149461126576335696594851583017201559150076892*a[n-87]-83305565803951633048961580049463336571893113545944505634582113350881763642233695933139443673436052517344352187171*a[n-86]+13828589289592774779644278554577169517029442882602539689440037119882983473459069202813787400402276421622576797307*a[n-85]-2253231900535855714106530787866393829864358648112852819503966701898575221184377463710745011720107050589051724486*a[n-84]+360338152670023126288134815019477404152975738948964603486956412198582310171791131925220198604830597670010478285*a[n-83]-56551170854122550032029503928225641804382595481735229891848268317738441222644030275054297723571359673777291171*a[n-82]+8708613499738705041986835778658012471659725504049533324580405001985199482961512130949036907819613863233508394*a[n-81]-1315769806842063408644389805665506506885771259609289381019886174148172573138166581133374396566116839672880036*a[n-80]+195020392026463618947576647730955904384124263289265062817199033251794408186787421918830597871113909041602745*a[n-79]

122-28352627262765653852479115764293713415471703380767609628775718514094306794051917829820453307094554553599121*a[n-78]+4042610609145061967956778254544979748158903735399845576773810791927298122999874686936351398746120851078558*a[n-77]-565231155352093926249081081717302673637173718450211990743850439623021022954954787010361993800362966062428*a[n-76]+77486162359871902419755029985017774570864474093840366343775896731727595470057234540492361136471389394970*a[n-75]-10413395532785240623383539462723336637122481435215633269412334198682351855338172803393942043918793708029*a[n-74]+1371718181003800977727141308958901335870849644887788540043417645846463637704797506817638133222904065925*a[n-73]-177081715717309777416035289994849577428512681680970352844050515885663250434217201908075647565490755045*a[n-72]+22400027272920169590369244278825854364848527742030247674414657660170062780270353252975140680177720619*a[n-71]-2775982421436567303133211627016272662207389993644549535703822290955911536829718880939019190238267721*a[n-70]+336979198258678084594560929295953638762330156973995506168799211218041976088777798616103294477555467*a[n-69]-40061758183369629826800203916833350035708402510169597103284065323734220470477060310192681731755519*a[n-68]+4663554900552019565166460061361056121616858256284204712711678722445373650384305166560379700608331*a[n-67]-531473014699035474747785298287655797658971320091399680988792177820173922008832328062034659445197*a[n-66]+59283840890313090015471194963436130246665806011701733877766792196157490514891800183431223310944*a[n-65]-6471327181216574603247196459736934719717521429240865865893232580817056733274508620436288116503*a[n-64]+691130471644246114698430120993902286608748386652390320661556075642957863767999935428730748160*a[n-63]-72200601614840805262584228395018206514758675644595224816851594506834717816582746694143253858*a[n-62]+7376267277371984457788289226271040804735179804185490752681871300030275117746914845112117133*a[n-61]-736791917514180395498183801839831866674646875390681083158734061242852032493208930687279934*a[n-60]+71938098774704772267959297883783376236966791119904494714387901926259667278552072563445685*a[n-59]-6863860827641355969788925177719796143654510880988822606948228989852157492442621877858297*a[n-58]+639821323073021921397387054229383897179944678118349597378033274796538354683355835718565*a[n-57]-58251964976811919836759936158458953656679587050366519052611562568985889126010942827315*a[n-56]+5178456573586465084454031288282213898037791520645668810146837683933286102894230601836*a[n-55]-449365115775429796646285622316307119823974859255027326938270834401672626055169871768*a[n-54]+38051680668714930359461544680530393479107878197772153364742846596897423017833023294*a[n-53]-3143290927564430729040950516387089410682129454811539717158463619548031569633124174*a[n-52]+253213345953482074421715424537600209726526718084896894513303113258823918303111069*a[n-51]-19885148455218304835044232494387763151132524430434513304540706168857532142450500*a[n-50]+1521786894894098808162295551499841640661217452638224816014548190679295590630251*a[n-49]-113448120762481114352395456486644353729043072208061066802374916658882299874504*a[n-48]+8235457151488900531685063297162488355099080498150515579004699154525917234139*a[n-47]-581896635787850483025880035051453978756656595108016861585710005678823272937*a[n-46]+40002241117479555343980056822874570446884018860251836958192988375860974417*a[n-45]-2674281045771477459621859489775430019093281729066131197293083148731694662*a[n-44]+173783534673027606063832210853148932128865424447096063189419671008457000*a[n-43]-10971695504907307250245464198749567844711303789248081584612196442687533*a[n-42]+672630357876606747147165862766461160388394189164945631300072318475474*a[n-41]-40020218221038774789652888495610582815181836103180038967527721826808*a[n-40]+2309580775117335011640124431039704868923563840928996634133804413706*a[n-39]-129203676435172854556266822674571853778958775002799955036182643912*a[n-38]+7002090631428580445234412140484376802842878440110149641084352992*a[n-37]-367366504706399098113909927161212324438839942354120170746944833*a[n-36]+18645826541096100671451635694913602519787301823460284756153696*a[n-35]-914844579585963448409703463689171306167370370489844568956454*a[n-34]+43356122908127073345068012890818007143174315062031928843984*a[n-33]-1983004066764975796344993261737959261790424491544545636214*a[n-32]+87453305934674557149618727981913586617807600079673863989*a[n-31]-3715286730246457622383756042840392472570989584759686646*a[n-30]+151889603676177919074971617554791291398522475670381657*a[n-29]-5969098952381375523653730803176147354667721891325201*a[n-28]+225229870147244294861612253692285132381785932753265*a[n-27]-8149547358659012936813300576578677275087171953732*a[n-26]+282386021136843439104718325764959392568867395336*a[n-25]-9356645771644197417087251014476307955430871589*a[n-24]+295989969184751012621946914130107076564072070*a[n-23]-8924150167576441058919447173492654739224733*a[n-22]+255962245476594968616963398047736527409174*a[n-21]

123-6969693498743079664845750786736001043048*a[n-20]+179763701127271433603692602727266220184*a[n-19]-4380881105705551363955356880703839201*a[n-18]+100599312236886362137574200913724336*a[n-17]-2170039963820427453799061389050155*a[n-16]+43820951835573367061801101945955*a[n-15]-825172857250801454435796840439*a[n-14]+14425472524808367088582302920*a[n-13]-232928737020983103397025936*a[n-12]+3453455924439048743786551*a[n-11]-46687800683346103210627*a[n-10]+570787798148163081625*a[n-9]-6247555091599729168*a[n-8]+60467465774386020*a[n-7]-509421615754393*a[n-6]+3659561949493*a[n-5]-21794630695*a[n-4]+103303917*a[n-3]-365350*a[n-2]+857*a[n-1]

Numerické řešení dává tento výsledek: f8(n)=9.0000000000000000000000000000...^n * (-3.0198821339627005377862437072...*10^9 +1.1783308745133041275204711131...*10^8*n) +8.1400549446402591355486512457...^n * (4.89424070127305182327958748181...*10^9 +1.2893540000214252873195485626...*10^8*n) +7.3722813232690143299253057341...^n * (-4.2445874985300792874459036137...*10^10 +4.6345256345156003023087005855...*10^8*n) +7.3166247903553998491149327366...^n * (-5.9431908251740115876285490183...*10^9) +7.1925824035672520156253552457...^n * (4.24897283242339690011028023422...*10^10 +6.4634505497671663585910609268...*10^8*n) +6.7912878474779200032940235968...^n * (-7.9425801359796795343696594813...*10^9 +2.5440724579989218627640736282...*10^8*n) +6.6118587098040436870078150572...^n * (-9.2086831252315606356778032331...*10^9) +6.5615528128088302749107049279...^n * (+7.9032171721391331835404623633...*10^10) +6.5046643535880477051501085259...^n * (-3.7521834658637454016875134422...*10^10 -3.5322583136903803624470116288...*10^8*n) +6.4114741278097728385130038557...^n * (-3.8062411553571407673266189161...*10^10 +1.3991858726151529890814925814...*10^7*n) +6.3027756377319946465596106337...^n * (8.97459708800623879565354137635...*10^10 -2.1732637126756996361162479238...*10^8*n) +6.2465513645585649390603852615...^n * (-5.0317085645462651404154177125...*10^10 -4.9992904411469321376314339328...*10^8*n) +6.1474302336977534231706649934...^n * (-3.7840848075491459740783852316...*10^10) +6.1004319858103793059913228723...^n * (1.66605317983587527223802668577...*10^10 -8.2548336119667516200111552075...*10^6*n) +6.0000000000000000000000000000...^n * (-3.8125459450522049933019753885...*10^8) +5.8188044082259428741444390166...^n * (-8.8614154605461624499754580760...*10^7 +1.7242847600574600553531442527...*10^7*n) +5.7912878474779200032940235968...^n * (+1.7856679754059240255485805639...*10^10) +5.7784571182583887318756139886...^n * (1.13838393078504797523083841453...*10^9 -6.9061188618890801077541104228...*10^7*n) +5.6690790882822883959576523491...^n * (-1.4333600812447766358119467438...*10^10 -3.3842541924848139013447502223...*10^8*n) +5.6180339887498948482045868343...^n * (-6.8509798218394992070414259826...*10^10 -1.3450240849565987791997892099...*10^8*n) +5.6016791318831542524643703601...^n * (5.02646787072634782435351333909...*10^10 +8.7207154506496333638723945301...*10^7*n) +5.5806494859049152097146696975...^n * (+1.8249138492430698155146805710...*10^10) +5.5615528128088302749107049279...^n * (+3.0817652118436619139734977333...*10^10) +5.5238273960027878205959781982...^n * (-7.1354220721031737855900163202...*10^9) +5.4908636153610320832578586942...^n * (-4.5768737967070681532962411943...*10^10) +5.4494897427831780981972840747...^n * (1.67018532189378129339264242111...*10^10 -4.5156542619439519078006400905...*10^7*n) +5.3614687661858265774520738393...^n * (8.22287380460943769671228321843...*10^10 -1.6195308246153055217469632550...*10^8*n) +5.3300587395679820293055799707...^n * (-8.1610960308899431662798434132...*10^10 -2.9542728889034826370393670185...*10^8*n) +5.3234042760864776257716827907...^n * (-6.5464508497071936787128134724...*10^8) +5.2360679774997896964091736687...^n * (7.00263335742492855650215800707...*10^8 -1.6190209850516444760298810070...*10^6*n) +5.1580660243232453481209760063...^n * (-2.5059002790571145027630597959...*10^9) +5.1284190638445773678511798864...^n * (-7.2478674072681738572445976028...*10^9 +11388.726815685335400200346404...*n) +5.1149075414767557985156140607...^n * (6.58222545636619677102701597829...*10^9 +990202.73940516059970491074706...*n) +5.1058173471165319175781819404...^n * (+1.2269524019378689762779959400...*10^10) +124
5.0861301976514940912496216372...^n * (-8.4701140204904223635564739974...*10^9) +5.0222843396592362227312957727...^n * (+4.1184072429404288694146764020...*10^8) +5.0000000000000000000000000000...^n * (-7.7377582172346712353580485448...*10^8) +4.9290583563976320859565022554...^n * (-5.7006952165633158990032129862...*10^8) +4.9032119259115532874852162240...^n * (+4.1330521620005717098862403770...*10^9) +4.8793852415718167681082185546...^n * (-3.3265967493176753080400653782...*10^10 +505156.62088548750885653346546...*n) +4.8760299323938095983107496202...^n * (+2.6846422118136797783718091920...*10^10) +4.8608058531117033863858361808...^n * (-6.4157500003764727329761988753...*10^9 +1.1338277238952327690442997253...*10^7*n) +4.8342431843139217171156261258...^n * (+8.8405634150557992410127276360...*10^9) +4.7912878474779200032940235968...^n * (-2.3545576108136755851180871538...*10^8) +4.7625127088298676859976516208...^n * (-7.8844461950486205595565694800...*10^8 +1.1328837923879318689951646217...*10^7*n) +4.7580162627198715615392182742...^n * (+1.4584087228076115713206855474...*10^8) +4.7320508075688772935274463415...^n * (1.49137929861771853513729357618...*10^9 +1.7353740760630450469509739046...*10^7*n +69051.917105356611537694583339...*n^2 -454.990405346642660804630626...*n^3) +4.6996281482753179562297282916...^n * (-4.6856055519398977725545152004...*10^8 -293218.11532714190843619385227...*n) +4.6112840535311249194961375074...^n * (4.52538815590151667884646175126...*10^8 -1.2720420031539024524676920768...*10^6*n) +4.6031221671731877786857266348...^n * (-1.2887460033317820591923772474...*10^7) +4.5615528128088302749107049279...^n * (-2.7674460740799589490740180667...*10^8) +4.5320888862379560704047853011...^n * (5.12544164018616926429952741224...*10^9 -1.0484990061954021932744805169...*10^7*n) +4.5230955906316699275696530503...^n * (+3.5105238777507287556850076133...*10^7) +4.4908636153610320832578586942...^n * (-5.2059516864557916264789053265...*10^9 -2.8420723286375782402295415158...*10^7*n) +4.4382832394028967194767782502...^n * (+3.6760319939094376267852738305...*10^8) +4.4142135623730950488016887242...^n * (-8.1137070829830516766208514158...*10^8) +4.3623398328574395034328547856...^n * (3.89872977086134340886374870163...*10^8 +463992.18118278008689986417823...*n) +4.2839978701420712519329481380...^n * (+9.2347667932062076206365291230...*10^6) +4.2497775113741007919578257248...^n * (+2.4713315828636913866721913617...*10^6) +4.2143197433775351874154977008...^n * (-1.0567811341371536882824185849...*10^7) +4.1267570596172168172849817847...^n * (1.67423453923452878669939320677...*10^7 -49453.147607566952274225921179...*n) +4.1149075414767557985156140607...^n * (-3.4799749437538905510911404298...*10^8) +4.0952939852239144927468167188...^n * (+2.4776502850016305882439290548...*10^8) +4.0264179491869598590352025089...^n * (+3.9169837563731004223516771573...*10^7) +4.0000000000000000000000000000...^n * (+92865.513250725412734831887108...) +3.8793852415718167681082185546...^n * (4.13414794749849893453823395570...*10^6 -79342.255876251892673793907262...*n) +3.6825070656623623377236232978...^n * (+1.4857898414256080806514296953...*10^6) +3.6566204310471103661422325684...^n * (-746686.95813348707995136553659...) +3.3819660112501051517954131656...^n * (5.12836242404600182490407309424...*10^9 -2.0798858917498086108551916326...*10^7*n) +3.3472963553338606977034332535...^n * (-3.6143899345131818620680604132...*10^9 -4.4320746620317318434862472817...*10^7*n) +3.3120564934104645800244983164...^n * (-1.5341851096144046312523696181...*10^9 -3.8074157061031836404847829704...*10^6*n) +3.2541016883650524121297778798...^n * (1.82100443675828682985152447390...*10^7 +397317.83029734648754803262264...*n) +3.2469796037174670610500097680...^n * (-1.5438123785687013414949655667...*10^7) +3.2016396757234046614544000842...^n * (1.19105915705424559215194905725...*10^7 +113467.84978320258126467600409...*n) +3.1971262975999526367965303523...^n * (-5.2310226537503745707733476297...*10^6 +13399.580759515450929036318257...*n) +3.1674491911085351562744105995...^n * (6.05845785850026776892164350944...*10^7 +198772.15442801327476600713840...*n) +3.1385642651101725641475378444...^n * (-6.6534153496711988243814876319...*10^7) +3.1117486563092476836756397799...^n * (-24947.629411385073255251062539...) +3.0974382786556486998819863851...^n * (+1.8864091187418746739302621737...*10^7) +3.0000000000000000000000000000...^n * (683524.591497488461951271868627...
-60138.271006427915518824609733...*n+809.47252525252525252525252525...*n^2) +2.9137317013176489085811576052...^n * (-3.4391400973722420407852445193...*10^7) +2.9064901072343485796620748984...^n * (+3.4337899185673795334205164566...*10^7) +2.8699856351212955813438829965...^n * (-604429.05527905433140439301847...) +2.8308300260037728510585482984...^n * (-3.2730455065466151001247644746...*10^6) +2.8257845518853550615002189835...^n * (5.60618039640045950141407024753...*10^7 +3133.2098062450780344671784476...*n) +2.8060634335253695517439154430...^n * (-7.2581591763507605688777636559...*10^7) +2.7983603242765953385455999157...^n * (-3.9736351319844378971842229384...*10^8 +253874.43261530877029933096954...*n) +2.7852614484935653584928516638...^n * (+4.0436922472291089766406018171...*10^8) +2.7678411015499336469518000585...^n * (-5.1659272857771092400530081161...*10^6) +2.7608767217434455357499164966...^n * (-3.6795016285242324856589816599...*10^7 +168299.12310527726146797335790...*n) +2.7458983116349475878702221201...^n * (-1.2648697821436436472064913101...*10^9 +1.4668510104813544169929156832...*10^7*n) +2.7376403052281873783738137605...^n * (-2.4006655061022093792310360396...*10^7) +125
2.7108314535516900309173225418...^n * (-1.0323851049731981868361673332...*10^10 +9.8427807594777798910321512146...*10^6*n) +2.6972243622680053534403893662...^n * (1.11986199131923592084059841946...*10^10 +6.5982907581125668149650199590...*10^7*n) +2.6949361557462852614550954808...^n * (-5.9327696306387684304080200824...*10^8) +2.6601231133768174476677900182...^n * (1.14335111744426568760927558434...*10^9 +1.8399970420224194599947904211...*10^6*n) +2.6527036446661393022965667464...^n * (-4.0014104196614840918554165795...*10^7 -1.7793071795001864134343580756...*10^6*n) +2.6180339887498948482045868343...^n * (-3.7582827904944114613882712266...*10^7 +225866.99807256156322179408202...*n) +2.4913168228415144688308057835...^n * (+5.1969528177521051210036411900...*10^6) +2.4850839473754210681192505552...^n * (-1.4303137170361207407548567315...*10^8) +2.4760236029181340344691576771...^n * (1.58549024842355012403621273036...*10^8 +350932.03898257253623033459901...*n) +2.4384471871911697250892950720...^n * (-1.4815267633495728760858731711...*10^8) +2.4366029352507051149562878858...^n * (-1.3924794774596491877203714601...*10^9 +3.7266112061674587984350052411...*10^6*n) +2.4280067316837969814441532297...^n * (+7.7060637260315071750576251518...*10^6) +2.4231124760836598146707486184...^n * (1.50570012041499496566844530681...*10^9 +4.3272540094640065891673598900...*10^6*n) +2.4076355297127800897869665660...^n * (+3.7592392836966574809352661856...*10^6) +2.3579263675184997497039795971...^n * (-44499.520231229873772808241519...) +2.3433795689528896338577674315...^n * (-676813.17701319443154942731251...) +2.3388796858734955324106239764...^n * (-1.2218388322870389786081386187...*10^6 -1483.2971537644047231811640194...*n) +2.2755155282815584627716386131...^n * (-146522.33803171156606729478777...) +2.2715272481702374673176230982...^n * (+132762.92857761362063858057566...) +2.2087121525220799967059764031...^n * (68695.0761273874974359227859314...
+945.59187846776834306747131934...*n) +2.1814419482733261635013430142...^n * (-161401.75437038443223415340646...) +2.1353591133045969741688715773...^n * (-4.1533049469983405652488770510...*10^6 +6881.8926967716101122192254971...*n) +2.1231304441342996267215678629...^n * (4.23860961260365236860145251653...*10^6 +17466.485534580038048436544136...*n) +2.0000000000000000000000000000...^n * (+1059.7211162015826738858808829...) +1.8152074690959046272986479524...^n * (-2.2524038481116259031044627479...*10^8 +489455.76778605877299037900889...*n) +1.8074175964327479843746447542...^n * (2.25250661912897658430976980954...*10^8 +477581.32878828024327870545341...*n) +1.7458983116349475878702221201...^n * (+34386.749687092764135332358950...) +1.7153703234534297191124146627...^n * (+18009.543264732669124815533923...) +1.6815411034252792591542406649...^n * (-30598.695855466612365852759752...) +1.6586753107111225309566016437...^n * (+384027.30115537861523553356197...) +1.6527036446661393022965667464...^n * (-490879.90125894042171202803690...
-771.01595526958887638494193290...*n) +1.6277186767309856700746942658...^n * (32623.9066647457588455189699671...
+58.224052964312197436918511511...*n) +1.5857864376269049511983112757...^n * (+18540.713827455371273236454200...) +1.5549581320873711914221948710...^n * (+23616.412120377046715129879211...) +1.5227400035259803554577701154...^n * (+8975.6549977843712908460471955...) +1.5168213642014210669117332420...^n * (-114319.42574373312832292912154...
+1834.4931234091919009273011264...*n) +1.4679111137620439295952146988...^n * (64336.5071503559406696491353756...
+3210.4115747309685722213342613...*n) +1.4608111271891108834741240973...^n * (-15480.863724262493319952971941...) +1.4384471871911697250892950720...^n * (+8123.2152955754615148157730996...) +1.4331113724053703662871758127...^n * (+47601.134573520851858525250432...) +1.4153360045489644112389487184...^n * (+65.436716774013622867647063126...) +1.3433795689528896338577674315...^n * (230.456124385823103225551622637...
-0.0477651091474665053360092575...*n) +1.3203568144378775117558303971...^n * (1207.17171542147521576632550017...
-85.082178880957913877373761912...*n) +1.2879239137775200704033337805...^n * (-2.7946313370610564916372370008...) +1.2679491924311227064725536584...^n * (-241.85564467904223293560635432...
-5.2443082483147844876567554723...*n+1.3634314261190363140059601950...*n^2 -0.00531287198881292307246651...*n^3) +1.2525315460920516961272006624...^n * (112.380693082266849339228250338...
-0.0023115077783141260879153951...*n) +1.2255425268069968698658757139...^n * (-2032.7999191963384483712714861...) +1.2155240105943282986977604449...^n * (-242.61491065686035977454428028...) +1.2087121525220799967059764031...^n * (+32.508793614434761799383283496...) +1.1855001230030870313324499189...^n * (+430.05446132733505359698403269...) +1.1797507493469981287278085841...^n * (+23.604227172231147183674702358...) +1.1657568156860782828843738741...^n * (+38.452905149560358753503590320...) +1.1391941468882966136141638191...^n * (88.7539588137064097950994272176...
+2.1199412594209648064783263642...*n) +1.1206147584281832318917814453...^n * (-3.2192983101089075122484324101...
-0.0400403258502415983291207492...*n) +1.0000000000000000000000000000...^n * (79.6974251443001443001443001443...
+0.1249999999999999999999999999...*n) +0.8850924585232442014843859392...^n * (29.7968069898533452497176707330...
-0.1970097160233300381762111007...*n) +0.8715809361554226321488201135...^n * (14.5669537646252742172906945494...
-0.0003390733321599244160003230...*n) +0.8599450553597408644513487542...^n * (7566.26962074663661315117115346...
-30.772174412484724698257920498...*n) +126
0.8548973087995775695731899737...^n * (-7588.0119521058748497923601827...
-21.747239880306784731330271713...*n) +0.8438975366607019398266490221...^n * (-109.63079493409495929902069015...
-0.0171895456335311232373795220...*n) +0.8168434833023157391322773392...^n * (-168.10282592329598549983472574...) +0.8090903808745735709698841633...^n * (+15.416285691486337707507070434...) +0.7789482417292068259636324354...^n * (+93.415813216035598990674511626...) +0.7733184030943225341883481918...^n * (3220.95056818404977595331098921...
+7.5432204382350856839689979843...*n) +0.7639320225002103035908263312...^n * (-2711.2853452772943007723727512...
-1.3921362085456813022258064166...*n) +0.7420040563560852498938372141...^n * (-5.6142754428374108314633136686...) +0.7381977547400282998678396215...^n * (-14684.153164009502671826259161...
+41.100408657728338018768902887...*n) +0.7294659794848337820355832989...^n * (-6.2178034637546584092527096407...) +0.7214922419005644839038034017...^n * (13861.5112093744511435440188212...
+265.75991353654137856325370904...*n) +0.6902785321094298718861498550...^n * (-22.809382834075455270986418322...) +0.6833752096446001508850672633...^n * (-180.62154131032392616605417898...) +0.6819201261324966656569250244...^n * (+333.76097436124414312991870228...) +0.6711278180289204133279919922...^n * (+202.86895564250192387487675923...) +0.6699412604320179706944200292...^n * (90.1691939798610161271714050221...
+0.8385478284946607489040250807...*n) +0.6443257060219177734215994050...^n * (+0.4175334220209178000819331829...) +0.5606883283161251615980531512...^n * (-11.274831317061859487282111069...
-0.3391291143087604568895536028...*n) +0.5587090895875386380239205816...^n * (-102.89932743219615249487632536...) +0.5505102572168219018027159252...^n * (122.260845317033734680271998184...
+1.7926320553361996267263992944...*n) +0.5394951299812365080203552116...^n * (23.5557132720641901478964539425...
-0.0638780540124900413001289221...*n) +0.5311239900964880096628896635...^n * (+5.2144545162697518725278978729...) +0.5107114281899212372070634695...^n * (-18.019556554580297430475195199...
-4.6380976511513087355912942710...*n) +0.5091363846389679167421413057...^n * (+0.1596908882260347694101470179...) +0.4915188008193279233110958335...^n * (94.6642966803336382881117283446...
-2.3647037153967578157359529920...*n) +0.4858630706647089273062251330...^n * (+9.7179177841067468013039362726...) +0.4813896011499569143691104004...^n * (-85.896343258171609623929960176...) +0.4754759040157565721333382671...^n * (-24.804309002480840114922641954...) +0.4710820427056382662735155611...^n * (-0.4035604333903652598659892861...
-0.0007753441162002104747314386...*n) +0.4679111137620439295952146988...^n * (0.08017336323373423904057758271...
+7.1969042658522727188045136848...*10^-6*n) +0.4619148596810296618567666649...^n * (-8.4739534063445427230392331885...) +0.4384471871911697250892950720...^n * (-13.065056821282283462163567334...) +0.4235850966907788497912872003...^n * (-0.3055758959110890295894134291...
+0.0115290481799386949692409250...*n) +0.3819660112501051517954131656...^n * (9.80278574973298274664117983241...
-0.3320000314438162542610064760...*n) +0.3599765331073553206810198967...^n * (-68.238633157604728742379746932...
+2.1878429293243877429844149335...*n) +0.3365729057391930152301897186...^n * (57.0809479058829639974658112298...
+1.6452117334566551102673711594...*n) +0.3354550777499061676089111771...^n * (+0.1564250200009630240061062337...) +0.3347314909357105447008611807...^n * (+15.438809454725718952652796581...) +0.3303361593577752462688661200...^n * (-18.076847284071109660091127018...
+0.0089702821953669409538940252...*n) +0.3248691294333539291103782018...^n * (-0.0176552462927386521009079258...) +0.3186693563950226245243376121...^n * (+6.9204353517056780796463254189...) +0.3113681871111883412726299236...^n * (-0.8055736575386578699900855563...) +0.2907246405630771607708683328...^n * (-0.4172845052969883262800379108...) +0.2895888325552252636534228002...^n * (+0.4950758420178534665077169731...) +0.2840629917180061321343272512...^n * (0.76834699096389148032562029775...
+0.0058270502039801532381437752...*n) +0.2608563106922524385720227297...^n * (-0.3181716691856231776350661084...) +0.2572493908245052657949465957...^n * (+0.3573828233568896049616239603...) +0.2491995779390841304199595331...^n * (-0.2331052776883762301623325235...) +0.2434017461399325876478753212...^n * (+0.0055593873105061610677307581...) +0.2327619163977085606527151539...^n * (-0.0392062906933478961169501154...
+0.0102031622344337920947564895...*n) +0.2087121525220799967059764031...^n * (-0.1988512364627977145557285424...) +0.1980622641951617475277953609...^n * (-6.8694704146869698306418054877...*10^-6) +0.1905053648529956212559523447...^n * (+0.0178609654885626468380039419...) +0.1657568156860782828843738741...^n * (-0.0114793799610485975456470977...
+0.0000249031566301173484690459...*n) +0.1570842311666946099974240948...^n * (+0.0097510703116482329763784442...) +0.1391941468882966136141638191...^n * (+0.0037332251243631333538466192...) +0.1133903548499388114818015038...^n * (-0.0006396209474147878572584850...) +0.0810140527710052202192638858...^n * (+6.9487429026714522421054153596...*10^-6)127Předchozí výpočet vyžadoval řešení soustavy 307 lineárních rovnic o 307 neznámých, přičemž vzhledem k vysokým mocninám byla nutná přesnost alespoň 400 desetinných míst.
Program Mathematica 8 řešil tuto soustavu (při této přesnosti) 3 hodiny 48 minut a potřeboval 2772 MB RAM (což bylo už na hranici možností 4 GB systému).

Pokud chceme provést numerický výpočet koeficientů pouze u členů s nejvyšší váhou (které určují asymptotické chování této funkce) lze použít i metodu nejmenšíchčtverců, výsledek pak dostaneme téměř okamžitě. V programu Mathematica použijeme funkci Fit, např. takto (g8 je výše uvedená vytvořující funkce):
m=8; Fit[N[Table[{k,SeriesCoefficient[g8,{x,0,k}]},{k,990,1000}],100],{(m+1)^n,n*(m+1)^n,((m+1+Sqrt[m^2-2m+5])/2)^n,n*((m+1+Sqrt[m^2-2m+5])/2)^n},n]Výsledkem je tento asymptotický vzorec pro m=8 (pro numerický výpočet dalších koeficientů však tuto metodu nelze použít).

128

2.3.9) more kings on a 2m x 2n chessboard - více králů na šachovnici 2m x 2nKdyž jsem v ruském fóru Zealint blog 5.9.2011 předložil k řešení podobnou úlohu pro válcové šachovnice, nabídl se Alex V. Breger, že vypočte hodnoty potřebné
k nalezení rekurencí i pro normální šachovnici. Získal jsem tak hodnoty až do m = 12 (v tomto případě 12900 hodnot!). Rekurence pro m = 9 (hloubky 548) a pro
m = 10 (rekurence úrovně 1318) jsem potom našel pomocí programu Maple a jeho funkce rgf_findrecur, pro m = 11 však pro hloubku rekurence 2321 už nestačila
paměť na mém tehdejším 4 GB systému (potřeba bylo 8769 MB RAM, což jsem ověřil až později na 16 GB systému). Použil jsem proto svůj jiný program,recurrence order finder, který najde v posloupnosti hloubku nejkratší lineární rekurence (samozřejmě pokud taková existuje a pokud je k dispozici dostatečný počet
počátečních hodnot posloupnosti). Metoda je založena na výpočtu determinantu příslušné matice, který je nulový v případě, že zde existuje lineární závislost.
Hledaná hloubka rekurence (hodnost této matice) se najde postupným půlením intervalu a přibližování se k místu, kde pro hledané k je hodnota determinantu
nenulová, ale pro k+1 už nulová. K urychlení výpočtu s obrovskými čísly se používají zbytky po dělení větším prvočíslem.
Příklad pro normální šachovnici a m = 12(* Recurrence order finder (Vaclav Kotesovec, 2011) *)seqrank[seq_, minorder_, maxorder_] := (p = 2^31 - 1; rank = 0; zero = 0; low = minorder; high = maxorder;
seqmod = Mod[seq, p];
While[high - low > 1, k = Floor[(low + high)/2];
workmatrix = ConstantArray[0, {k, k}];Do[Do[workmatrix[[j, i]] = seqmod[[j + k - i]];, {j, 1, k}];, {i, 1, k}];Print[k, " ", Timing[d = Det[workmatrix, Modulus -> p]]];If[d == 0, high = k; zero = 1, low = k; rank = k];];If[rank == 0, Print["Rank not found, decrease min.order"];];
If[rank != 0,
If[rank == high || zero == 0,
Print["Rank not found, increase max.order"];,Print["Rank (possible recurrence order) = ", rank]]];);seqrank[kingsm12, 2400, 6500];
4450 {679.556,555509231}
5475 {1262.55,1093485533}
5987 {1649.32,0}5731 {1447.55,0}5603 {1353.32,1232670624}
5667 {1399.95,1324885468}
5699 {1423.45,0}5683 {1411.79,0}5675 {1405.62,0}5671 {1402.89,1941735353}
5673 {1407.22,0}5672 {1407.82,580521332}
Rank (possible recurrence order) = 5672

129
Tímto programem jsem našel hloubky rekurencí až do m = 12. Je třeba poznamenat, že program sice najde hloubku rekurence (recurrence order), ale v tu chvíliještě není známa rekurence samotná (ze které by pak šlo už snadno odvodit hledaný denominátor vytvořující funkce). Z principu jde sice už o „jednoduchou“ úlohu
vedoucí na řešení soustavy lineárních rovnic v celočíselném oboru, ale toto řešení je hlavně z paměťových důvodů extrémně náročné a je až za hranicí kapacity
současných matematických programů.
Ovšem s využitím znalosti denominátorů pro m = 11 až m = 12, které vypočetl Max A.Alekseyev pro horizontální válcovou šachovnici, jsem pak speciálním
programem vypočítal 18.9.2011 i denominátory pro normální šachovnici a m = 11 a m = 12. Vycházel jsem z toho, že faktory budou stejné, jen exponenty pro
normální šachovnici už nebudou u všech členů 1 (jako v případě horizontální válcové šachovnice). Moje metoda spočívala v tom, že jsem nejprve odhadl maximální
hodnoty exponentů v závislosti na stupni polynomu faktoru a potom jsem tyto stupně postupně snižoval vždy až do hodnoty, kdy příslušná rekurence přestala platit.
Tím jsem dostal pro každý faktor minimální exponent. Součin faktorů s nalezenými minimálními exponenty byl pak hledaným denominátorem (přičemž dobrá
kontrola byla, že se jeho stupeň shodoval s předtím vypočtenou hloubkou rekurence).
Pro m = 9 a m = 10 se mi pak podařilo vypočítat nejen denominátory, ale i kompletní generační funkce! Pro řešení soustav lineárních rovnic jsem ve svém programupoužil (v programu Mathematica) velmi efektivní funkci LinearSolve. Pro m = 9 bez dalších parametrů, pro m = 10 však byla už velmi paměťově náročná a nejprve
nebylo možné vytvořující funkci vypočítat na mém tehdejším 4 GB systému. Objevil jsem však parametr Method->"Krylov", při kterém je sice řešení asi
4x pomalejší, ale spotřeba paměti je jen asi třetinová, takže bylo možné soustavu 1318 lineárních rovnic pro koeficienty numerátoru pro m = 10 vyřešit (paměť asi
900 MB, cca 4 hodiny). Je třeba si však uvědomit o jak náročný výpočet jde, když výsledné koeficienty jsou celá čísla obsahující až 664 dekadických cifer! A připřípravě matice soustavy rovnic musí program vypočítat u 250 faktorů (racionálních lomených funkcí) derivace v nule řádu až 1318.

A195648 - 9n Kings on a 18 x 2n normal chessboard, m= 9, recurrence order is 548
Denominator of the generating function (V.Kotěšovec after values computed by Alex V. Breger, 10.9.2011).
For full generating function (by V. Kotěšovec, 26.9.2011) see OEIS.
(x-1)^2 * (2x-1)^4 * (3x-1)^2 * (4x-1) * (5x-1)^2 * (6x-1)^3 * (10x-1)^2 * (x^2-5x+1) * (x^2-4x+1) * (x^2-3x+1) * (2x^2-5x+1) * (2x^2-4x+1)^3 * (3x^2-6x+1) * (3x^2-5x+1)^2 * (4x^2-6x+1) * (5x^2-5x+1) * (6x^2-9x+1) * (6x^2-6x+1)^3 *(7x^2-6x+1) * (8x^2-10x+1)^2 * (8x^2-8x+1) * (8x^2-7x+1) * (9x^2-8x+1) * (10x^2-8x+1) * (14x^2-10x+1)^2 * (15x^2-10x+1)^2 * (18x^2-10x+1)^2 * (20x^2-10x+1)^4 * (23x^2-10x+1)^2 * (x^3-8x^2+6x-1) * (x^3-7x^2+6x-1) * (x^36x^2+5x-1) * (2x^3-10x^2+7x-1) * (2x^3-9x^2+7x-1) * (2x^3-8x^2+6x-1) * (3x^3-10x^2+7x-1) * (4x^3-16x^2+8x-1) * (4x^3-11x^2+7x-1)^2 * (5x^3-17x^2+8x-1)^2 * (5x^3-12x^2+7x-1) * (6x^3-21x^2+10x-1)^2 * (6x^3-20x^2+10x-1)^2 *(8x^3-20x^2+9x-1) * (9x^3-20x^2+9x-1) * (10x^3-25x^2+10x-1)^2 * (10x^3-24x^2+10x-1)^2 * (10x^3-23x^2+10x-1)^2 * (10x^3-21x^2+9x-1)^2 * (10x^3-20x^2+10x-1) * (11x^3-25x^2+10x-1)^2 * (11x^3-21x^2+10x-1)^2 * (12x^324x^2+10x-1) * (12x^3-23x^2+10x-1) * (14x^3-27x^2+10x-1) * (14x^3-25x^2+10x-1)^2 * (15x^3-27x^2+10x-1)^2 * (15x^3-25x^2+10x-1)^2 * (16x^3-26x^2+10x-1)^2 * (18x^3-28x^2+10x-1) * (18x^3-26x^2+10x-1) * (20x^3-28x^2+10x-1) *(20x^3-27x^2+10x-1) * (21x^3-29x^2+10x-1)^2 * (21x^3-27x^2+10x-1) * (22x^3-29x^2+10x-1)^2 * (22x^3-28x^2+10x-1)^2 * (23x^3-29x^2+10x-1) * (25x^3-29x^2+10x-1)^2 * (26x^3-30x^2+10x-1)^2 * (29x^3-31x^2+10x-1)^2 * (x^412x^3+19x^2-8x+1) * (x^4-9x^3+18x^2-8x+1) * (x^4-7x^3+13x^2-7x+1) * (2x^4-13x^3+19x^2-8x+1)^2 * (2x^4-13x^3+22x^2-9x+1) * (4x^4-28x^3+30x^2-10x+1) * (4x^4-26x^3+29x^2-10x+1) * (4x^4-23x^3+29x^2-10x+1) * (4x^422x^3+28x^2-10x+1) * (4x^4-20x^3+26x^2-10x+1) * (4x^4-19x^3+25x^2-10x+1)^2 * (6x^4-34x^3+32x^2-10x+1) * (6x^4-31x^3+31x^2-10x+1) * (6x^4-30x^3+30x^2-10x+1) * (6x^4-28x^3+29x^2-10x+1) * (6x^4-28x^3+30x^2-10x+1) *(6x^4-27x^3+29x^2-10x+1) * (6x^4-26x^3+28x^2-10x+1) * (6x^4-26x^3+30x^2-10x+1) * (6x^4-25x^3+29x^2-10x+1) * (6x^4-24x^3+28x^2-10x+1)^2 * (6x^4-23x^3+27x^2-10x+1)^2 * (7x^4-35x^3+32x^2-10x+1)^2 * (7x^4-31x^3+30x^210x+1)^2 * (7x^4-31x^3+31x^2-10x+1)^2 * (7x^4-29x^3+29x^2-10x+1) * (7x^4-26x^3+29x^2-10x+1) * (8x^4-33x^3+31x^2-10x+1) * (8x^4-32x^3+31x^2-10x+1) * (8x^4-30x^3+30x^2-10x+1)^2 * (9x^4-35x^3+32x^2-10x+1) * (9x^432x^3+31x^2-10x+1) * (10x^4-36x^3+32x^2-10x+1)^2 * (10x^4-34x^3+31x^2-10x+1)^2 * (10x^4-33x^3+31x^2-10x+1) * (10x^4-32x^3+30x^2-10x+1) * (12x^4-35x^3+31x^2-10x+1) * (13x^4-40x^3+33x^2-10x+1)^2 * (13x^4-37x^3+32x^210x+1) * (14x^4-38x^3+32x^2-10x+1) * (15x^4-39x^3+32x^2-10x+1)^2 * (16x^4-41x^3+33x^2-10x+1) * (17x^4-42x^3+33x^2-10x+1) * (19x^4-45x^3+34x^2-10x+1) * (2x^5-22x^4+46x^3-34x^2+10x-1) * (2x^5-19x^4+42x^3-33x^2+10x-1) *(2x^5-18x^4+42x^3-33x^2+10x-1) * (2x^5-17x^4+39x^3-32x^2+10x-1) * (2x^5-16x^4+38x^3-32x^2+10x-1) * (3x^5-24x^4+47x^3-34x^2+10x-1) * (3x^5-21x^4+43x^3-33x^2+10x-1) * (3x^5-20x^4+42x^3-33x^2+10x-1)^2 * (4x^525x^4+47x^3-34x^2+10x-1) * (5x^5-29x^4+51x^3-35x^2+10x-1)

130A195649 - 10n Kings on a 20 x 2n normal chessboard, m=10, recurrence order is 1318
Denominator of the generating function (V.Kotěšovec after values computed by Alex V. Breger, 10.9.2011).
For full generating function (by V. Kotěšovec, 28.9.2011) see OEIS.
(x-1)^3 * (2x-1)^5 * (3x-1)^4 * (4x-1)^3 * (5x-1)^2 * (6x-1)^2 * (8x-1)^2 * (11x-1)^2 * (x^2-5x+1) * (x^2-3x+1) * (2x^2-6x+1) * (2x^2-5x+1) * (2x^2-4x+1)^3 * (4x^2-8x+1)^2 * (4x^2-7x+1)^2 * (4x^2-6x+1) * (5x^2-8x+1)^2 * (5x^2-5x+1)^2* (7x^2-10x+1) * (7x^2-7x+1)^2 * (8x^2-8x+1) * (9x^2-11x+1)^2 * (9x^2-8x+1) * (10x^2-9x+1) * (11x^2-9x+1) * (11x^2-8x+1) * (12x^2-9x+1) * (13x^2-8x+1) * (16x^2-11x+1)^2 * (17x^2-11x+1)^2 * (21x^2-11x+1)^2 * (23x^2-11x+1)^2 *(25x^2-11x+1) * (27x^2-11x+1)^2 * (29x^2-11x+1)^2 * (x^3-9x^2+6x-1) * (x^3-6x^2+5x-1) * (x^3-5x^2+6x-1)^3 * (2x^3-12x^2+7x-1) * (2x^3-10x^2+7x-1) * (2x^3-9x^2+7x-1)^2 * (3x^3-14x^2+8x-1) * (3x^3-13x^2+8x-1) * (3x^3-12x^2+7x1) * (3x^3-12x^2+8x-1) * (3x^3-11x^2+7x-1)^2 * (3x^3-10x^2+7x-1) * (3x^3-9x^2+6x-1)^2 * (4x^3-12x^2+8x-1)^2 * (5x^3-17x^2+8x-1) * (5x^3-13x^2+7x-1) * (5x^3-12x^2+7x-1)^2 * (6x^3-14x^2+8x-1) * (7x^3-24x^2+11x-1)^2 * (7x^323x^2+11x-1)^2 * (7x^3-15x^2+8x-1) * (8x^3-21x^2+9x-1) * (9x^3-22x^2+9x-1) * (9x^3-17x^2+8x-1)^2 * (12x^3-29x^2+11x-1)^2 * (12x^3-27x^2+11x-1)^2 * (12x^3-24x^2+10x-1) * (12x^3-23x^2+11x-1) * (13x^3-29x^2+11x-1)^2 * (13x^325x^2+10x-1)^2 * (13x^3-24x^2+11x-1)^2 * (13x^3-23x^2+9x-1)^2 * (14x^3-27x^2+10x-1) * (15x^3-32x^2+11x-1)^2 * (15x^3-31x^2+11x-1)^2 * (15x^3-27x^2+11x-1) * (16x^3-33x^2+11x-1) * (16x^3-29x^2+11x-1) * (17x^3-32x^2+11x-1)^2* (17x^3-29x^2+11x-1)^2 * (17x^3-24x^2+9x-1)^2 * (18x^3-29x^2+11x-1)^2 * (19x^3-33x^2+11x-1)^2 * (19x^3-32x^2+11x-1)^2 * (19x^3-30x^2+11x-1)^2 * (20x^3-31x^2+11x-1)^2 * (22x^3-33x^2+11x-1)^2 * (24x^3-33x^2+11x-1) *(24x^3-31x^2+11x-1) * (25x^3-33x^2+11x-1)^2 * (25x^3-32x^2+11x-1)^2 * (25x^3-29x^2+10x-1) * (26x^3-30x^2+10x-1) * (27x^3-35x^2+11x-1)^2 * (27x^3-34x^2+11x-1)^2 * (27x^3-32x^2+11x-1) * (28x^3-34x^2+11x-1)^2 * (28x^333x^2+11x-1)^2 * (29x^3-31x^2+10x-1)^2 * (31x^3-36x^2+11x-1)^2 * (31x^3-34x^2+11x-1)^2 * (32x^3-35x^2+11x-1) * (33x^3-36x^2+11x-1)^2 * (34x^3-36x^2+11x-1)^2 * (37x^3-37x^2+11x-1)^2 * (41x^3-38x^2+11x-1)^2 * (2x^417x^3+24x^2-9x+1) * (2x^4-13x^3+22x^2-9x+1) * (3x^4-21x^3+25x^2-9x+1) * (3x^4-19x^3+28x^2-10x+1)^2 * (3x^4-18x^3+24x^2-9x+1) * (3x^4-18x^3+27x^2-10x+1) * (3x^4-17x^3+23x^2-9x+1) * (4x^4-31x^3+31x^2-10x+1) * (4x^422x^3+25x^2-9x+1)^2 * (4x^4-19x^3+24x^2-9x+1) * (5x^4-34x^3+35x^2-11x+1)^2 * (5x^4-32x^3+31x^2-10x+1) * (5x^4-32x^3+34x^2-11x+1)^2 * (5x^4-28x^3+34x^2-11x+1)^2 * (5x^4-27x^3+33x^2-11x+1)^2 * (5x^4-24x^3+30x^2-11x+1)* (5x^4-23x^3+29x^2-11x+1)^2 * (6x^4-34x^3+32x^2-10x+1)^2 * (7x^4-38x^3+33x^2-10x+1) * (7x^4-26x^3+26x^2-9x+1) * (8x^4-43x^3+38x^2-11x+1)^2 * (8x^4-40x^3+37x^2-11x+1) * (8x^4-39x^3+36x^2-11x+1) * (8x^4-36x^3+36x^211x+1) * (8x^4-35x^3+32x^2-10x+1) * (8x^4-35x^3+34x^2-11x+1) * (8x^4-35x^3+35x^2-11x+1) * (8x^4-33x^3+33x^2-11x+1) * (8x^4-33x^3+36x^2-11x+1)^2 * (8x^4-32x^3+35x^2-11x+1) * (8x^4-31x^3+34x^2-11x+1) * (8x^430x^3+33x^2-11x+1)^2 * (8x^4-29x^3+32x^2-11x+1)^2 * (9x^4-46x^3+39x^2-11x+1) * (9x^4-44x^3+38x^2-11x+1)^2 * (9x^4-42x^3+38x^2-11x+1) * (9x^4-40x^3+36x^2-11x+1) * (9x^4-39x^3+37x^2-11x+1)^3 * (9x^4-38x^3+35x^211x+1)^2 * (9x^4-37x^3+35x^2-11x+1) * (9x^4-36x^3+34x^2-11x+1) * (9x^4-34x^3+36x^2-11x+1) * (9x^4-33x^3+35x^2-11x+1)^2 * (9x^4-32x^3+34x^2-11x+1) * (9x^4-31x^3+33x^2-11x+1) * (11x^4-48x^3+39x^2-11x+1)^2 * (11x^446x^3+38x^2-11x+1) * (11x^4-44x^3+38x^2-11x+1)^2 * (11x^4-43x^3+37x^2-11x+1) * (11x^4-39x^3+33x^2-10x+1)^2 * (11x^4-36x^3+36x^2-11x+1) * (12x^4-45x^3+38x^2-11x+1) * (12x^4-44x^3+38x^2-11x+1)^2 * (12x^4-42x^3+37x^211x+1)^2 * (12x^4-41x^3+37x^2-11x+1)^2 * (12x^4-39x^3+36x^2-11x+1) * (12x^4-38x^3+35x^2-11x+1) * (13x^4-44x^3+38x^2-11x+1)^2 * (14x^4-52x^3+40x^2-11x+1) * (14x^4-48x^3+39x^2-11x+1) * (14x^4-46x^3+38x^2-11x+1) *(14x^4-44x^3+37x^2-11x+1)^2 * (14x^4-44x^3+38x^2-11x+1) * (14x^4-43x^3+37x^2-11x+1) * (14x^4-42x^3+36x^2-11x+1) * (15x^4-52x^3+40x^2-11x+1) * (15x^4-49x^3+39x^2-11x+1)^2 * (15x^4-46x^3+38x^2-11x+1)^2 * (15x^444x^3+38x^2-11x+1) * (15x^4-43x^3+37x^2-11x+1) * (15x^4-42x^3+36x^2-11x+1) * (16x^4-53x^3+40x^2-11x+1)^2 * (16x^4-47x^3+38x^2-11x+1)^2 * (16x^4-45x^3+38x^2-11x+1) * (16x^4-44x^3+37x^2-11x+1) * (17x^4-50x^3+39x^211x+1)^2 * (17x^4-48x^3+39x^2-11x+1)^2 * (17x^4-46x^3+38x^2-11x+1)^2 * (18x^4-49x^3+39x^2-11x+1) * (18x^4-47x^3+38x^2-11x+1)^2 * (18x^4-46x^3+37x^2-11x+1) * (19x^4-54x^3+40x^2-11x+1)^2 * (19x^4-50x^3+39x^2-11x+1)^2 *(20x^4-51x^3+39x^2-11x+1) * (20x^4-49x^3+38x^2-11x+1)^2 * (21x^4-54x^3+40x^2-11x+1)^2 * (21x^4-50x^3+38x^2-11x+1)^2 * (23x^4-58x^3+41x^2-11x+1)^2 * (23x^4-53x^3+39x^2-11x+1) * (24x^4-55x^3+40x^2-11x+1)^2 * (25x^459x^3+41x^2-11x+1) * (25x^4-56x^3+40x^2-11x+1) * (27x^4-59x^3+41x^2-11x+1)^2 * (31x^4-64x^3+42x^2-11x+1) * (31x^4-61x^3+41x^2-11x+1) * (x^5-16x^4+44x^3-34x^2+10x-1) * (x^5-13x^4+40x^3-33x^2+10x-1) * (x^5-12x^4+40x^333x^2+10x-1) * (3x^5-35x^4+65x^3-42x^2+11x-1)^2 * (3x^5-32x^4+61x^3-41x^2+11x-1) * (3x^5-28x^4+59x^3-41x^2+11x-1)^2 * (3x^5-27x^4+59x^3-41x^2+11x-1) * (3x^5-26x^4+53x^3-39x^2+11x-1) * (3x^5-26x^4+55x^3-40x^2+11x-1) *(3x^5-26x^4+56x^3-40x^2+11x-1)^2 * (3x^5-24x^4+50x^3-38x^2+11x-1)^2 * (3x^5-23x^4+51x^3-39x^2+11x-1)^2 * (4x^5-32x^4+60x^3-41x^2+11x-1) * (4x^5-31x^4+58x^3-40x^2+11x-1) * (4x^5-31x^4+60x^3-41x^2+11x-1) * (4x^529x^4+56x^3-40x^2+11x-1) * (4x^5-29x^4+60x^3-41x^2+11x-1) * (4x^5-28x^4+55x^3-40x^2+11x-1)^2 * (4x^5-27x^4+53x^3-39x^2+11x-1) * (4x^5-27x^4+54x^3-39x^2+11x-1) * (4x^5-27x^4+56x^3-40x^2+11x-1) * (4x^5-26x^4+53x^339x^2+11x-1) * (4x^5-25x^4+50x^3-38x^2+11x-1) * (5x^5-44x^4+71x^3-43x^2+11x-1) * (5x^5-41x^4+67x^3-42x^2+11x-1)^2 * (5x^5-38x^4+66x^3-42x^2+11x-1)^2 * (5x^5-36x^4+65x^3-42x^2+11x-1) * (5x^5-34x^4+61x^3-41x^2+11x-1) *(5x^5-33x^4+61x^3-41x^2+11x-1)^2 * (5x^5-32x^4+58x^3-40x^2+11x-1)^2 * (5x^5-32x^4+61x^3-41x^2+11x-1) * (5x^5-30x^4+57x^3-40x^2+11x-1)^2 * (6x^5-36x^4+62x^3-41x^2+11x-1) * (6x^5-35x^4+61x^3-41x^2+11x-1) * (6x^534x^4+59x^3-40x^2+11x-1) * (6x^5-33x^4+58x^3-40x^2+11x-1) * (7x^5-41x^4+67x^3-42x^2+11x-1)^2 * (7x^5-40x^4+66x^3-42x^2+11x-1) * (7x^5-38x^4+63x^3-41x^2+11x-1) * (7x^5-36x^4+61x^3-41x^2+11x-1) * (8x^5-45x^4+71x^343x^2+11x-1) * (8x^5-41x^4+66x^3-42x^2+11x-1) * (8x^5-39x^4+63x^3-41x^2+11x-1) * (9x^5-49x^4+72x^3-43x^2+11x-1) * (9x^5-46x^4+71x^3-43x^2+11x-1)^2 * (9x^5-43x^4+67x^3-42x^2+11x-1)^2 * (11x^5-55x^4+77x^3-44x^2+11x1)^2 * (11x^5-49x^4+72x^3-43x^2+11x-1) * (x^6-21x^5+70x^4-84x^3+45x^2-11x+1) * (x^6-15x^5+59x^4-78x^3+44x^2-11x+1) * (x^6-14x^5+51x^4-72x^3+43x^2-11x+1) * (x^6-13x^5+50x^4-72x^3+43x^2-11x+1) * (x^6-12x^5+45x^467x^3+42x^2-11x+1) * (x^6-12x^5+46x^4-68x^3+42x^2-11x+1)

A195650 - 11n Kings on a 22 x 2n normal chessboard, m=11, recurrence order is 2321
Denominator of the generating function (V.Kotěšovec after values computed by Alex V. Breger, 18.9.2011)(x-1)^3 * (2x-1)^5 * (3x-1)^3 * (4x-1)^4 * (5x-1)^2 * (6x-1)^4 * (7x-1)^2 * (12x-1)^2 * (x^2-6x+1) * (x^2-5x+1)^2 * (x^2-4x+1) * (x^2-3x+1)^2 * (2x^2-7x+1)^2 * (2x^2-6x+1) * (2x^2-5x+1) * (2x^2-4x+1)^3 * (3x^2-7x+1) * (3x^2-6x+1) *(3x^2-5x+1)^3 * (4x^2-7x+1) * (4x^2-6x+1) * (5x^2-8x+1)^2 * (5x^2-7x+1) * (5x^2-5x+1)^3 * (6x^2-6x+1)^2 * (7x^2-7x+1) * (7x^2-6x+1)^2 * (8x^2-11x+1) * (8x^2-8x+1) * (8x^2-7x+1)^3 * (9x^2-7x+1)^3 * (10x^2-12x+1)^2 * (10x^29x+1)^2 * (10x^2-8x+1)^2 * (11x^2-8x+1) * (11x^2-7x+1)^2 * (12x^2-10x+1) * (12x^2-9x+1) * (13x^2-10x+1) * (13x^2-8x+1)^2 * (14x^2-10x+1) * (14x^2-8x+1) * (16x^2-9x+1) * (18x^2-12x+1)^2 * (19x^2-12x+1)^2 * (22x^2-10x+1) *(24x^2-12x+1)^2 * (26x^2-12x+1)^2 * (28x^2-12x+1)^2 * (30x^2-12x+1)^2 * (31x^2-12x+1)^2 * (34x^2-12x+1)^2 * (x^3-11x^2+7x-1) * (x^3-9x^2+6x-1) * (x^3-6x^2+5x-1) * (2x^3-12x^2+7x-1) * (2x^3-12x^2+8x-1) * (2x^3-12x^2+9x-1)^2 *(2x^3-10x^2+7x-1)^2 * (2x^3-8x^2+6x-1) * (3x^3-14x^2+8x-1)^2 * (3x^3-12x^2+7x-1) * (3x^3-11x^2+7x-1) * (3x^3-9x^2+6x-1)^2 * (4x^3-17x^2+9x-1) * (4x^3-16x^2+8x-1) * (4x^3-15x^2+8x-1) * (4x^3-15x^2+9x-1) * (4x^3-13x^2+8x-1) *(4x^3-12x^2+8x-1) * (4x^3-11x^2+7x-1) * (5x^3-15x^2+8x-1) * (5x^3-14x^2+8x-1) * (5x^3-13x^2+7x-1)^2 * (6x^3-26x^2+10x-1) * (6x^3-22x^2+10x-1) * (6x^3-21x^2+9x-1) * (6x^3-16x^2+8x-1) * (6x^3-16x^2+9x-1)^2 * (6x^3-14x^2+8x1)^2 * (7x^3-23x^2+10x-1) * (7x^3-16x^2+8x-1) * (7x^3-16x^2+9x-1) * (7x^3-15x^2+8x-1) * (7x^3-14x^2+7x-1)^2 * (8x^3-27x^2+12x-1)^2 * (8x^3-26x^2+12x-1)^2 * (8x^3-25x^2+10x-1) * (8x^3-21x^2+9x-1) * (8x^3-17x^2+8x-1) * (9x^325x^2+10x-1) * (9x^3-22x^2+9x-1) * (9x^3-18x^2+9x-1) * (9x^3-17x^2+8x-1)^2 * (10x^3-26x^2+10x-1) * (11x^3-25x^2+10x-1) * (11x^3-20x^2+9x-1) * (12x^3-21x^2+9x-1)^2 * (13x^3-19x^2+8x-1)^2 * (14x^3-33x^2+12x-1)^2 * (14x^332x^2+12x-1)^2 * (14x^3-31x^2+12x-1)^2 * (14x^3-27x^2+10x-1) * (14x^3-26x^2+10x-1) * (14x^3-26x^2+12x-1) * (14x^3-23x^2+9x-1) * (15x^3-33x^2+12x-1)^2 * (15x^3-28x^2+11x-1) * (15x^3-27x^2+10x-1) * (15x^3-27x^2+12x-1)^2 *(16x^3-30x^2+11x-1)^2 * (16x^3-29x^2+11x-1)^2 * (16x^3-27x^2+10x-1) * (18x^3-37x^2+12x-1)^2 * (18x^3-36x^2+12x-1)^2 * (18x^3-34x^2+12x-1)^2 * (18x^3-32x^2+11x-1) * (18x^3-31x^2+12x-1) * (18x^3-28x^2+10x-1) * (20x^3-

131
38x^2+12x-1) * (20x^3-35x^2+12x-1) * (20x^3-34x^2+12x-1) * (20x^3-33x^2+12x-1)^2 * (20x^3-28x^2+10x-1) * (21x^3-33x^2+12x-1)^2 * (21x^3-29x^2+10x-1) * (22x^3-34x^2+12x-1)^2 * (23x^3-39x^2+12x-1) * (23x^3-37x^2+12x-1)^2 *(24x^3-39x^2+12x-1)^2 * (24x^3-36x^2+12x-1)^2 * (26x^3-38x^2+12x-1)^2 * (30x^3-39x^2+12x-1) * (30x^3-38x^2+12x-1)^2 * (30x^3-36x^2+12x-1) * (32x^3-39x^2+12x-1)^2 * (32x^3-38x^2+12x-1) * (33x^3-41x^2+12x-1) * (33x^339x^2+12x-1)^2 * (33x^3-37x^2+12x-1) * (34x^3-41x^2+12x-1) * (34x^3-38x^2+12x-1)^2 * (34x^3-36x^2+11x-1)^2 * (35x^3-41x^2+12x-1) * (35x^3-39x^2+12x-1) * (35x^3-36x^2+11x-1) * (36x^3-40x^2+12x-1) * (37x^3-39x^2+12x-1)^2 *(38x^3-42x^2+12x-1)^2 * (38x^3-41x^2+12x-1)^2 * (40x^3-41x^2+12x-1) * (42x^3-42x^2+12x-1)^2 * (43x^3-43x^2+12x-1)^2 * (45x^3-43x^2+12x-1)^2 * (51x^3-45x^2+12x-1)^2 * (53x^3-45x^2+12x-1)^2 * (x^4-16x^3+20x^2-8x+1) * (x^414x^3+19x^2-8x+1) * (x^4-11x^3+22x^2-9x+1) * (x^4-9x^3+21x^2-9x+1) * (2x^4-21x^3+25x^2-9x+1) * (2x^4-20x^3+28x^2-10x+1) * (2x^4-17x^3+24x^2-9x+1) * (2x^4-17x^3+28x^2-10x+1) * (2x^4-12x^3+19x^2-9x+1) * (2x^412x^3+20x^2-9x+1) * (2x^4-11x^3+18x^2-9x+1) * (3x^4-24x^3+29x^2-10x+1) * (3x^4-21x^3+28x^2-10x+1) * (3x^4-17x^3+20x^2-8x+1) * (3x^4-17x^3+26x^2-10x+1) * (3x^4-17x^3+27x^2-10x+1) * (4x^4-26x^3+30x^2-10x+1) * (4x^424x^3+33x^2-11x+1)^2 * (4x^4-23x^3+29x^2-10x+1) * (4x^4-23x^3+32x^2-11x+1) * (4x^4-22x^3+28x^2-10x+1) * (5x^4-27x^3+30x^2-10x+1) * (5x^4-26x^3+29x^2-10x+1) * (5x^4-25x^3+30x^2-10x+1) * (5x^4-24x^3+29x^2-10x+1) *(5x^4-23x^3+28x^2-10x+1) * (5x^4-23x^3+29x^2-10x+1) * (6x^4-46x^3+39x^2-11x+1) * (6x^4-40x^3+40x^2-12x+1)^2 * (6x^4-33x^3+39x^2-12x+1)^2 * (6x^4-32x^3+38x^2-12x+1)^2 * (6x^4-31x^3+31x^2-10x+1) * (6x^4-28x^3+34x^212x+1) * (6x^4-27x^3+33x^2-12x+1)^2 * (6x^4-27x^3+34x^2-11x+1) * (6x^4-26x^3+30x^2-10x+1)^2 * (6x^4-25x^3+29x^2-10x+1) * (7x^4-27x^3+30x^2-10x+1) * (7x^4-26x^3+29x^2-10x+1) * (8x^4-31x^3+31x^2-10x+1)^2 * (9x^447x^3+39x^2-11x+1) * (9x^4-32x^3+31x^2-10x+1) * (10x^4-52x^3+44x^2-12x+1) * (10x^4-51x^3+40x^2-11x+1) * (10x^4-49x^3+43x^2-12x+1) * (10x^4-48x^3+39x^2-11x+1) * (10x^4-48x^3+42x^2-12x+1) * (10x^4-46x^3+43x^2-12x+1) *(10x^4-44x^3+38x^2-11x+1) * (10x^4-44x^3+42x^2-12x+1) * (10x^4-43x^3+38x^2-11x+1) * (10x^4-43x^3+41x^2-12x+1) * (10x^4-42x^3+37x^2-11x+1) * (10x^4-42x^3+39x^2-12x+1) * (10x^4-40x^3+38x^2-12x+1) * (10x^4-40x^3+42x^212x+1) * (10x^4-39x^3+41x^2-12x+1) * (10x^4-37x^3+39x^2-12x+1) * (10x^4-36x^3+38x^2-12x+1)^2 * (10x^4-35x^3+37x^2-12x+1)^2 * (10x^4-33x^3+31x^2-10x+1) * (11x^4-53x^3+44x^2-12x+1) * (11x^4-47x^3+43x^2-12x+1) * (11x^445x^3+40x^2-12x+1)^2 * (11x^4-43x^3+39x^2-12x+1) * (11x^4-38x^3+39x^2-12x+1) * (11x^4-36x^3+32x^2-10x+1) * (11x^4-35x^3+32x^2-10x+1) * (12x^4-54x^3+45x^2-12x+1) * (12x^4-53x^3+45x^2-12x+1) * (12x^4-48x^3+42x^212x+1) * (12x^4-47x^3+41x^2-12x+1) * (12x^4-45x^3+38x^2-11x+1) * (12x^4-43x^3+43x^2-12x+1) * (12x^4-42x^3+42x^2-12x+1) * (12x^4-41x^3+41x^2-12x+1)^2 * (12x^4-39x^3+39x^2-12x+1)^2 * (14x^4-60x^3+46x^2-12x+1)^2 *(14x^4-56x^3+44x^2-12x+1) * (14x^4-55x^3+45x^2-12x+1)^2 * (14x^4-52x^3+40x^2-11x+1) * (14x^4-48x^3+39x^2-11x+1) * (14x^4-44x^3+42x^2-12x+1) * (15x^4-61x^3+46x^2-12x+1)^2 * (15x^4-57x^3+45x^2-12x+1)^2 * (15x^453x^3+44x^2-12x+1) * (15x^4-51x^3+43x^2-12x+1) * (15x^4-49x^3+39x^2-11x+1) * (16x^4-54x^3+44x^2-12x+1) * (16x^4-53x^3+44x^2-12x+1) * (16x^4-52x^3+43x^2-12x+1) * (16x^4-50x^3+42x^2-12x+1)^2 * (16x^4-50x^3+43x^212x+1) * (16x^4-49x^3+39x^2-11x+1) * (16x^4-48x^3+41x^2-12x+1) * (18x^4-65x^3+47x^2-12x+1)^2 * (18x^4-60x^3+46x^2-12x+1)^2 * (18x^4-56x^3+44x^2-12x+1) * (18x^4-56x^3+45x^2-12x+1) * (18x^4-55x^3+45x^2-12x+1)^2 *(18x^4-54x^3+44x^2-12x+1)^2 * (18x^4-53x^3+43x^2-12x+1) * (18x^4-52x^3+42x^2-12x+1) * (18x^4-51x^3+43x^2-12x+1) * (18x^4-50x^3+42x^2-12x+1) * (19x^4-57x^3+41x^2-11x+1)^2 * (19x^4-53x^3+40x^2-11x+1) * (20x^460x^3+46x^2-12x+1) * (20x^4-59x^3+45x^2-12x+1) * (20x^4-58x^3+45x^2-12x+1) * (20x^4-57x^3+44x^2-12x+1)^2 * (20x^4-56x^3+45x^2-12x+1) * (20x^4-53x^3+43x^2-12x+1) * (20x^4-52x^3+42x^2-12x+1) * (21x^4-69x^3+48x^212x+1)^2 * (21x^4-65x^3+47x^2-12x+1) * (21x^4-61x^3+46x^2-12x+1) * (21x^4-60x^3+45x^2-12x+1) * (21x^4-59x^3+45x^2-12x+1)^2 * (21x^4-57x^3+45x^2-12x+1) * (22x^4-70x^3+48x^2-12x+1) * (22x^4-67x^3+47x^2-12x+1)^2 *(22x^4-66x^3+47x^2-12x+1) * (22x^4-64x^3+46x^2-12x+1) * (22x^4-62x^3+46x^2-12x+1) * (22x^4-60x^3+46x^2-12x+1) * (22x^4-58x^3+45x^2-12x+1) * (22x^4-57x^3+45x^2-12x+1) * (22x^4-56x^3+44x^2-12x+1)^2 * (23x^466x^3+47x^2-12x+1)^2 * (23x^4-57x^3+44x^2-12x+1)^2 * (24x^4-67x^3+47x^2-12x+1)^2 * (24x^4-61x^3+45x^2-12x+1) * (24x^4-60x^3+45x^2-12x+1) * (24x^4-58x^3+44x^2-12x+1)^2 * (24x^4-57x^3+43x^2-12x+1) * (25x^468x^3+47x^2-12x+1)^2 * (25x^4-63x^3+46x^2-12x+1)^2 * (26x^4-71x^3+48x^2-12x+1) * (26x^4-66x^3+47x^2-12x+1) * (26x^4-63x^3+46x^2-12x+1) * (26x^4-60x^3+44x^2-12x+1) * (27x^4-67x^3+47x^2-12x+1)^2 * (27x^4-61x^3+44x^212x+1)^2 * (28x^4-64x^3+46x^2-12x+1) * (28x^4-63x^3+45x^2-12x+1)^2 * (29x^4-71x^3+48x^2-12x+1)^2 * (29x^4-68x^3+47x^2-12x+1) * (29x^4-64x^3+45x^2-12x+1) * (30x^4-72x^3+48x^2-12x+1)^2 * (30x^4-68x^3+47x^2-12x+1) *(30x^4-67x^3+47x^2-12x+1) * (30x^4-66x^3+46x^2-12x+1) * (32x^4-73x^3+48x^2-12x+1)^2 * (32x^4-69x^3+47x^2-12x+1) * (33x^4-73x^3+48x^2-12x+1) * (34x^4-72x^3+48x^2-12x+1) * (35x^4-73x^3+48x^2-12x+1) * (35x^469x^3+46x^2-12x+1)^2 * (36x^4-71x^3+47x^2-12x+1) * (37x^4-78x^3+49x^2-12x+1) * (38x^4-78x^3+49x^2-12x+1)^2 * (38x^4-74x^3+48x^2-12x+1) * (39x^4-78x^3+49x^2-12x+1) * (39x^4-75x^3+48x^2-12x+1)^2 * (40x^4-79x^3+49x^212x+1)^2 * (41x^4-78x^3+49x^2-12x+1) * (41x^4-76x^3+48x^2-12x+1) * (43x^4-83x^3+50x^2-12x+1)^2 * (46x^4-84x^3+50x^2-12x+1) * (47x^4-84x^3+50x^2-12x+1)^2 * (49x^4-85x^3+50x^2-12x+1)^2 * (x^5-11x^4+31x^3-31x^2+10x-1) *(x^5-11x^4+33x^3-31x^2+10x-1) * (x^5-10x^4+29x^3-30x^2+10x-1) * (2x^5-24x^4+58x^3-41x^2+11x-1) * (2x^5-20x^4+53x^3-40x^2+11x-1) * (2x^5-20x^4+54x^3-40x^2+11x-1) * (3x^5-27x^4+59x^3-41x^2+11x-1) * (3x^5-26x^4+59x^341x^2+11x-1) * (3x^5-24x^4+55x^3-40x^2+11x-1) * (4x^5-45x^4+80x^3-49x^2+12x-1) * (4x^5-35x^4+73x^3-48x^2+12x-1) * (4x^5-34x^4+69x^3-47x^2+12x-1) * (4x^5-33x^4+64x^3-45x^2+12x-1) * (4x^5-31x^4+61x^3-44x^2+12x-1)^2 *(4x^5-31x^4+67x^3-47x^2+12x-1) * (4x^5-30x^4+64x^3-46x^2+12x-1) * (4x^5-29x^4+60x^3-41x^2+11x-1) * (6x^5-57x^4+90x^3-51x^2+12x-1) * (6x^5-50x^4+84x^3-50x^2+12x-1) * (6x^5-48x^4+78x^3-48x^2+12x-1) * (6x^5-46x^4+79x^349x^2+12x-1) * (6x^5-45x^4+83x^3-50x^2+12x-1) * (6x^5-43x^4+79x^3-49x^2+12x-1) * (6x^5-42x^4+75x^3-48x^2+12x-1) * (6x^5-42x^4+78x^3-49x^2+12x-1) * (6x^5-41x^4+78x^3-49x^2+12x-1) * (6x^5-40x^4+71x^3-47x^2+12x-1) *(6x^5-40x^4+74x^3-48x^2+12x-1) * (6x^5-39x^4+71x^3-47x^2+12x-1) * (6x^5-39x^4+73x^3-48x^2+12x-1) * (6x^5-39x^4+75x^3-48x^2+12x-1) * (6x^5-38x^4+68x^3-46x^2+12x-1) * (6x^5-38x^4+69x^3-47x^2+12x-1) * (6x^5-38x^4+73x^348x^2+12x-1) * (6x^5-37x^4+69x^3-47x^2+12x-1) * (6x^5-37x^4+70x^3-47x^2+12x-1)^2 * (6x^5-36x^4+66x^3-46x^2+12x-1) * (6x^5-36x^4+68x^3-46x^2+12x-1) * (6x^5-35x^4+64x^3-45x^2+12x-1) * (7x^5-60x^4+91x^3-51x^2+12x-1)^2 *(7x^5-54x^4+83x^3-49x^2+12x-1)^2 * (7x^5-52x^4+85x^3-50x^2+12x-1) * (7x^5-50x^4+79x^3-48x^2+12x-1) * (7x^5-45x^4+76x^3-48x^2+12x-1) * (7x^5-45x^4+79x^3-49x^2+12x-1) * (7x^5-44x^4+76x^3-48x^2+12x-1) * (7x^543x^4+73x^3-47x^2+12x-1)^2 * (7x^5-42x^4+76x^3-48x^2+12x-1) * (7x^5-40x^4+70x^3-47x^2+12x-1) * (7x^5-40x^4+72x^3-47x^2+12x-1)^2 * (8x^5-63x^4+92x^3-51x^2+12x-1) * (8x^5-57x^4+87x^3-50x^2+12x-1)^2 * (8x^552x^4+85x^3-50x^2+12x-1) * (8x^5-49x^4+81x^3-49x^2+12x-1)^2 * (8x^5-47x^4+80x^3-49x^2+12x-1) * (8x^5-46x^4+76x^3-48x^2+12x-1) * (8x^5-44x^4+73x^3-47x^2+12x-1) * (8x^5-44x^4+75x^3-48x^2+12x-1)^2 * (8x^5-42x^4+71x^347x^2+12x-1) * (9x^5-62x^4+91x^3-51x^2+12x-1) * (9x^5-57x^4+86x^3-50x^2+12x-1) * (9x^5-54x^4+85x^3-50x^2+12x-1) * (9x^5-51x^4+81x^3-49x^2+12x-1) * (9x^5-50x^4+79x^3-48x^2+12x-1) * (9x^5-50x^4+80x^3-49x^2+12x-1) *(9x^5-50x^4+84x^3-50x^2+12x-1) * (9x^5-48x^4+80x^3-49x^2+12x-1) * (9x^5-47x^4+75x^3-47x^2+12x-1) * (9x^5-47x^4+76x^3-48x^2+12x-1) * (9x^5-45x^4+73x^3-47x^2+12x-1) * (9x^5-44x^4+72x^3-47x^2+12x-1) * (10x^562x^4+91x^3-51x^2+12x-1) * (10x^5-58x^4+86x^3-50x^2+12x-1) * (10x^5-56x^4+86x^3-50x^2+12x-1) * (10x^5-54x^4+83x^3-49x^2+12x-1)^2 * (10x^5-54x^4+85x^3-50x^2+12x-1) * (10x^5-53x^4+85x^3-50x^2+12x-1) * (10x^552x^4+81x^3-49x^2+12x-1) * (10x^5-51x^4+80x^3-49x^2+12x-1) * (10x^5-50x^4+80x^3-49x^2+12x-1)^2 * (10x^5-49x^4+77x^3-48x^2+12x-1) * (10x^5-48x^4+76x^3-48x^2+12x-1) * (10x^5-47x^4+75x^3-48x^2+12x-1)^2 * (12x^565x^4+92x^3-51x^2+12x-1) * (12x^5-62x^4+91x^3-51x^2+12x-1) * (12x^5-61x^4+87x^3-50x^2+12x-1) * (12x^5-59x^4+87x^3-50x^2+12x-1) * (12x^5-55x^4+82x^3-49x^2+12x-1) * (12x^5-53x^4+79x^3-48x^2+12x-1) * (13x^574x^4+98x^3-52x^2+12x-1) * (13x^5-68x^4+93x^3-51x^2+12x-1)^2 * (13x^5-66x^4+92x^3-51x^2+12x-1) * (13x^5-63x^4+88x^3-50x^2+12x-1) * (13x^5-63x^4+91x^3-51x^2+12x-1) * (13x^5-58x^4+86x^3-50x^2+12x-1) * (13x^557x^4+83x^3-49x^2+12x-1) * (14x^5-71x^4+97x^3-52x^2+12x-1)^2 * (14x^5-62x^4+88x^3-50x^2+12x-1) * (14x^5-60x^4+86x^3-50x^2+12x-1) * (15x^5-69x^4+93x^3-51x^2+12x-1) * (15x^5-66x^4+89x^3-50x^2+12x-1) * (15x^566x^4+92x^3-51x^2+12x-1) * (15x^5-63x^4+88x^3-50x^2+12x-1) * (15x^5-62x^4+87x^3-50x^2+12x-1) * (16x^5-75x^4+98x^3-52x^2+12x-1) * (16x^5-67x^4+92x^3-51x^2+12x-1) * (17x^5-71x^4+93x^3-51x^2+12x-1) * (17x^569x^4+93x^3-51x^2+12x-1) * (18x^5-76x^4+98x^3-52x^2+12x-1)^2 * (20x^5-79x^4+99x^3-52x^2+12x-1) * (21x^5-80x^4+99x^3-52x^2+12x-1)^2 * (23x^5-89x^4+105x^3-53x^2+12x-1) * (29x^5-94x^4+106x^3-53x^2+12x-1) * (2x^629x^5+91x^4-105x^3+53x^2-12x+1) * (2x^6-26x^5+84x^4-100x^3+52x^2-12x+1) * (2x^6-24x^5+81x^4-99x^3+52x^2-12x+1) * (2x^6-24x^5+83x^4-100x^3+52x^2-12x+1) * (2x^6-23x^5+80x^4-99x^3+52x^2-12x+1) * (2x^6-22x^5+72x^493x^3+51x^2-12x+1) * (2x^6-22x^5+76x^4-95x^3+51x^2-12x+1)^2 * (2x^6-21x^5+67x^4-88x^3+50x^2-12x+1) * (2x^6-21x^5+71x^4-93x^3+51x^2-12x+1) * (2x^6-20x^5+65x^4-87x^3+50x^2-12x+1) * (2x^6-20x^5+66x^4-88x^3+50x^212x+1) * (2x^6-20x^5+67x^4-89x^3+50x^2-12x+1) * (2x^6-19x^5+61x^4-83x^3+49x^2-12x+1) * (2x^6-19x^5+62x^4-84x^3+49x^2-12x+1)^2 * (3x^6-42x^5+110x^4-113x^3+54x^2-12x+1) * (3x^6-36x^5+99x^4-107x^3+53x^2-12x+1) *(3x^6-34x^5+96x^4-106x^3+53x^2-12x+1) * (3x^6-33x^5+95x^4-106x^3+53x^2-12x+1) * (3x^6-32x^5+95x^4-106x^3+53x^2-12x+1) * (3x^6-30x^5+88x^4-101x^3+52x^2-12x+1) * (3x^6-29x^5+86x^4-100x^3+52x^2-12x+1) * (3x^628x^5+82x^4-99x^3+52x^2-12x+1)^2 * (3x^6-28x^5+85x^4-100x^3+52x^2-12x+1) * (3x^6-26x^5+76x^4-94x^3+51x^2-12x+1) * (4x^6-43x^5+110x^4-113x^3+54x^2-12x+1)^2 * (4x^6-37x^5+99x^4-107x^3+53x^2-12x+1) * (4x^635x^5+96x^4-106x^3+53x^2-12x+1) * (5x^6-39x^5+100x^4-107x^3+53x^2-12x+1)

132
A195651 - 12n Kings on a 24 x 2n normal chessboard, m=12, recurrence order is 5672
Denominator of the generating function (V.Kotěšovec after values computed by Alex V. Breger, 20.9.2011)(x-1)^4 * (2x-1)^6 * (3x-1)^4 * (4x-1)^3 * (5x-1)^2 * (6x-1)^2 * (8x-1) * (9x-1) * (13x-1)^2 * (x^2-5x+1) * (x^2-4x+1)^2 * (x^2-3x+1)^2 * (2x^2-6x+1) * (2x^2-5x+1)^2 * (2x^2-4x+1)^3 * (3x^2-7x+1)^2 * (3x^2-6x+1) * (3x^2-5x+1)^3 * (4x^26x+1) * (5x^2-8x+1) * (5x^2-7x+1) * (5x^2-5x+1)^3 * (6x^2-8x+1) * (6x^2-6x+1)^3 * (7x^2-6x+1)^2 * (9x^2-12x+1) * (9x^2-9x+1)^2 * (9x^2-8x+1) * (11x^2-13x+1)^2 * (11x^2-7x+1) * (12x^2-9x+1) * (13x^2-8x+1)^2 * (14x^2-11x+1) *(14x^2-8x+1) * (15x^2-11x+1) * (15x^2-10x+1) * (15x^2-9x+1) * (16x^2-11x+1) * (17x^2-10x+1) * (19x^2-10x+1) * (20x^2-13x+1)^2 * (21x^2-13x+1)^2 * (27x^2-13x+1)^2 * (29x^2-13x+1)^2 * (32x^2-13x+1)^2 * (35x^2-13x+1)^4 * (39x^213x+1)^2 * (41x^2-13x+1)^2 * (x^3-12x^2+7x-1) * (x^3-9x^2+6x-1) * (x^3-6x^2+5x-1) * (x^3-6x^2+7x-1) * (x^3-5x^2+6x-1) * (2x^3-8x^2+6x-1)^2 * (2x^3-8x^2+8x-1) * (3x^3-15x^2+8x-1) * (3x^3-14x^2+8x-1)^2 * (3x^3-13x^2+8x-1) *(3x^3-12x^2+8x-1) * (3x^3-10x^2+7x-1)^2 * (3x^3-9x^2+6x-1)^2 * (4x^3-15x^2+8x-1)^2 * (4x^3-13x^2+8x-1) * (4x^3-11x^2+7x-1) * (5x^3-20x^2+10x-1) * (5x^3-19x^2+10x-1) * (5x^3-18x^2+10x-1) * (5x^3-15x^2+8x-1)^2 * (5x^314x^2+8x-1) * (5x^3-14x^2+9x-1) * (5x^3-13x^2+7x-1) * (5x^3-13x^2+8x-1) * (6x^3-18x^2+9x-1) * (6x^3-16x^2+8x-1) * (6x^3-16x^2+9x-1) * (7x^3-20x^2+9x-1)^2 * (7x^3-19x^2+9x-1) * (7x^3-18x^2+9x-1)^2 * (7x^3-17x^2+8x-1) * (7x^316x^2+8x-1) * (7x^3-16x^2+9x-1) * (7x^3-14x^2+7x-1)^2 * (8x^3-20x^2+9x-1) * (8x^3-19x^2+9x-1)^2 * (8x^3-17x^2+8x-1) * (8x^3-17x^2+9x-1) * (9x^3-30x^2+13x-1)^2 * (9x^3-29x^2+13x-1)^2 * (9x^3-22x^2+9x-1) * (9x^3-19x^2+9x-1) *(9x^3-18x^2+9x-1) * (10x^3-26x^2+10x-1) * (10x^3-20x^2+9x-1) * (10x^3-18x^2+8x-1) * (11x^3-27x^2+10x-1)^2 * (11x^3-21x^2+9x-1) * (11x^3-20x^2+9x-1) * (12x^3-30x^2+11x-1) * (12x^3-29x^2+11x-1) * (13x^3-23x^2+10x-1) * (13x^322x^2+9x-1)^2 * (13x^3-20x^2+9x-1) * (13x^3-19x^2+8x-1)^2 * (14x^3-24x^2+10x-1) * (15x^3-25x^2+10x-1)^2 * (15x^3-23x^2+10x-1)^2 * (15x^3-22x^2+9x-1)^2 * (16x^3-37x^2+13x-1)^2 * (16x^3-36x^2+13x-1)^2 * (16x^3-35x^2+13x1)^2 * (16x^3-29x^2+13x-1) * (17x^3-37x^2+13x-1)^2 * (17x^3-30x^2+13x-1)^2 * (18x^3-32x^2+12x-1) * (18x^3-31x^2+11x-1) * (19x^3-33x^2+12x-1)^2 * (19x^3-24x^2+9x-1)^2 * (20x^3-35x^2+12x-1)^2 * (21x^3-42x^2+13x-1)^2 *(21x^3-41x^2+13x-1)^2 * (21x^3-39x^2+13x-1)^2 * (21x^3-35x^2+13x-1) * (21x^3-33x^2+11x-1) * (21x^3-29x^2+10x-1)^2 * (22x^3-37x^2+12x-1) * (23x^3-42x^2+13x-1)^2 * (23x^3-37x^2+13x-1)^2 * (24x^3-45x^2+13x-1)^2 * (24x^344x^2+13x-1)^2 * (24x^3-41x^2+13x-1)^2 * (24x^3-39x^2+13x-1) * (24x^3-37x^2+13x-1)^2 * (24x^3-33x^2+11x-1) * (25x^3-46x^2+13x-1) * (25x^3-41x^2+13x-1) * (25x^3-38x^2+13x-1)^2 * (26x^3-34x^2+11x-1) * (27x^3-45x^2+13x-1)^2* (27x^3-42x^2+13x-1)^2 * (27x^3-34x^2+11x-1) * (28x^3-41x^2+13x-1)^2 * (28x^3-34x^2+11x-1) * (29x^3-46x^2+13x-1)^2 * (29x^3-45x^2+13x-1)^2 * (29x^3-35x^2+11x-1)^2 * (30x^3-43x^2+13x-1)^2 * (33x^3-36x^2+11x-1)^2 * (35x^343x^2+13x-1)^2 * (35x^3-42x^2+13x-1)^2 * (36x^3-44x^2+13x-1)^2 * (36x^3-41x^2+13x-1) * (36x^3-40x^2+12x-1) * (37x^3-44x^2+13x-1)^2 * (38x^3-44x^2+13x-1)^2 * (39x^3-47x^2+13x-1)^2 * (39x^3-42x^2+13x-1) * (40x^3-47x^2+13x1)^2 * (40x^3-44x^2+13x-1) * (40x^3-43x^2+13x-1)^2 * (40x^3-41x^2+12x-1) * (42x^3-47x^2+13x-1)^2 * (42x^3-45x^2+13x-1)^2 * (42x^3-42x^2+12x-1)^2 * (43x^3-44x^2+13x-1)^2 * (44x^3-49x^2+13x-1)^2 * (44x^3-45x^2+13x-1) *(45x^3-48x^2+13x-1)^2 * (45x^3-47x^2+13x-1) * (45x^3-46x^2+13x-1) * (46x^3-49x^2+13x-1)^2 * (46x^3-47x^2+13x-1)^2 * (47x^3-48x^2+13x-1)^2 * (48x^3-49x^2+13x-1)^2 * (48x^3-47x^2+13x-1)^2 * (49x^3-50x^2+13x-1)^2 * (50x^348x^2+13x-1)^2 * (51x^3-50x^2+13x-1)^2 * (51x^3-45x^2+12x-1)^2 * (52x^3-50x^2+13x-1)^2 * (53x^3-50x^2+13x-1)^2 * (53x^3-49x^2+13x-1)^2 * (55x^3-50x^2+13x-1) * (55x^3-49x^2+13x-1) * (56x^3-51x^2+13x-1)^2 * (56x^349x^2+13x-1) * (57x^3-51x^2+13x-1)^2 * (57x^3-50x^2+13x-1)^2 * (62x^3-52x^2+13x-1)^2 * (63x^3-52x^2+13x-1)^2 * (65x^3-52x^2+13x-1)^2 * (67x^3-53x^2+13x-1)^2 * (71x^3-54x^2+13x-1)^2 * (x^4-24x^3+26x^2-9x+1) * (x^411x^3+18x^2-8x+1) * (x^4-10x^3+18x^2-8x+1) * (x^4-9x^3+17x^2-8x+1) * (x^4-8x^3+14x^2-7x+1) * (x^4-8x^3+16x^2-8x+1) * (x^4-7x^3+13x^2-7x+1) * (2x^4-16x^3+20x^2-8x+1) * (2x^4-16x^3+28x^2-10x+1) * (2x^4-14x^3+22x^2-9x+1)* (3x^4-20x^3+25x^2-10x+1) * (3x^4-19x^3+23x^2-9x+1)^2 * (3x^4-17x^3+20x^2-8x+1)^2 * (3x^4-14x^3+20x^2-9x+1) * (4x^4-28x^3+35x^2-11x+1) * (4x^4-27x^3+30x^2-10x+1) * (4x^4-26x^3+30x^2-10x+1) * (4x^4-24x^3+34x^211x+1)^2 * (4x^4-23x^3+25x^2-9x+1)^2 * (4x^4-23x^3+29x^2-10x+1) * (4x^4-21x^3+24x^2-9x+1) * (4x^4-21x^3+31x^2-11x+1) * (4x^4-17x^3+22x^2-9x+1)^2 * (5x^4-29x^3+38x^2-12x+1)^2 * (5x^4-28x^3+37x^2-12x+1) * (5x^426x^3+26x^2-9x+1) * (5x^4-24x^3+25x^2-9x+1) * (5x^4-24x^3+27x^2-10x+1) * (5x^4-23x^3+25x^2-9x+1) * (5x^4-22x^3+24x^2-9x+1) * (6x^4-35x^3+36x^2-11x+1) * (6x^4-34x^3+32x^2-10x+1) * (6x^4-34x^3+36x^2-11x+1) * (6x^433x^3+36x^2-11x+1) * (6x^4-32x^3+35x^2-11x+1)^2 * (6x^4-31x^3+34x^2-11x+1) * (6x^4-30x^3+35x^2-11x+1)^2 * (6x^4-27x^3+32x^2-11x+1) * (7x^4-46x^3+45x^2-13x+1)^2 * (7x^4-44x^3+44x^2-13x+1)^2 * (7x^4-39x^3+37x^2-11x+1)* (7x^4-38x^3+44x^2-13x+1)^2 * (7x^4-37x^3+43x^2-13x+1)^2 * (7x^4-36x^3+36x^2-11x+1)^2 * (7x^4-35x^3+35x^2-11x+1) * (7x^4-32x^3+38x^2-13x+1) * (7x^4-31x^3+35x^2-11x+1) * (7x^4-31x^3+37x^2-13x+1)^2 * (7x^430x^3+31x^2-10x+1) * (7x^4-25x^3+25x^2-9x+1) * (8x^4-40x^3+37x^2-11x+1)^2 * (8x^4-35x^3+41x^2-12x+1)^2 * (8x^4-32x^3+35x^2-11x+1) * (8x^4-31x^3+31x^2-10x+1)^2 * (8x^4-27x^3+26x^2-9x+1) * (9x^4-57x^3+46x^2-12x+1) *(9x^4-39x^3+37x^2-11x+1) * (9x^4-37x^3+36x^2-11x+1) * (9x^4-37x^3+42x^2-12x+1) * (9x^4-36x^3+36x^2-11x+1) * (9x^4-32x^3+34x^2-11x+1) * (9x^4-28x^3+26x^2-9x+1)^2 * (10x^4-38x^3+37x^2-11x+1)^2 * (10x^4-37x^3+36x^211x+1) * (10x^4-35x^3+36x^2-11x+1) * (11x^4-35x^3+32x^2-10x+1) * (11x^4-31x^3+27x^2-9x+1)^2 * (12x^4-61x^3+50x^2-13x+1)^2 * (12x^4-60x^3+46x^2-12x+1) * (12x^4-58x^3+49x^2-13x+1)^2 * (12x^4-57x^3+45x^2-12x+1)^2 *(12x^4-57x^3+48x^2-13x+1)^2 * (12x^4-54x^3+49x^2-13x+1)^2 * (12x^4-52x^3+44x^2-12x+1) * (12x^4-52x^3+48x^2-13x+1)^2 * (12x^4-51x^3+47x^2-13x+1)^2 * (12x^4-50x^3+43x^2-12x+1) * (12x^4-49x^3+44x^2-13x+1) * (12x^447x^3+43x^2-13x+1) * (12x^4-47x^3+48x^2-13x+1)^2 * (12x^4-46x^3+47x^2-13x+1)^2 * (12x^4-43x^3+44x^2-13x+1) * (12x^4-42x^3+43x^2-13x+1)^2 * (12x^4-41x^3+42x^2-13x+1)^2 * (12x^4-39x^3+36x^2-11x+1) * (13x^462x^3+50x^2-13x+1)^2 * (13x^4-55x^3+49x^2-13x+1)^2 * (13x^4-52x^3+45x^2-13x+1)^2 * (13x^4-50x^3+44x^2-13x+1) * (13x^4-44x^3+44x^2-13x+1) * (13x^4-42x^3+37x^2-11x+1) * (13x^4-41x^3+37x^2-11x+1) * (14x^4-43x^3+37x^211x+1)^2 * (14x^4-43x^3+38x^2-11x+1) * (15x^4-70x^3+53x^2-13x+1)^2 * (15x^4-66x^3+52x^2-13x+1) * (15x^4-64x^3+47x^2-12x+1) * (15x^4-64x^3+50x^2-13x+1) * (15x^4-64x^3+52x^2-13x+1)^2 * (15x^4-61x^3+51x^2-13x+1) *(15x^4-60x^3+48x^2-13x+1) * (15x^4-59x^3+46x^2-12x+1) * (15x^4-59x^3+49x^2-13x+1) * (15x^4-58x^3+45x^2-12x+1) * (15x^4-57x^3+47x^2-13x+1) * (15x^4-52x^3+50x^2-13x+1)^2 * (15x^4-51x^3+49x^2-13x+1) * (15x^450x^3+48x^2-13x+1) * (15x^4-49x^3+47x^2-13x+1)^2 * (15x^4-47x^3+45x^2-13x+1)^2 * (15x^4-46x^3+38x^2-11x+1) * (15x^4-44x^3+38x^2-11x+1) * (15x^4-43x^3+37x^2-11x+1) * (16x^4-73x^3+54x^2-13x+1) * (16x^4-68x^3+53x^213x+1) * (16x^4-65x^3+50x^2-13x+1) * (16x^4-64x^3+52x^2-13x+1) * (16x^4-61x^3+49x^2-13x+1) * (16x^4-53x^3+50x^2-13x+1) * (16x^4-52x^3+49x^2-13x+1)^2 * (16x^4-49x^3+46x^2-13x+1) * (16x^4-45x^3+38x^2-11x+1) * (16x^441x^3+33x^2-10x+1) * (17x^4-72x^3+53x^2-13x+1)^2 * (17x^4-66x^3+50x^2-13x+1) * (17x^4-66x^3+52x^2-13x+1)^2 * (17x^4-63x^3+49x^2-13x+1) * (17x^4-52x^3+48x^2-13x+1) * (17x^4-48x^3+39x^2-11x+1) * (18x^4-64x^3+47x^212x+1) * (18x^4-62x^3+50x^2-13x+1)^2 * (18x^4-60x^3+49x^2-13x+1)^2 * (18x^4-59x^3+49x^2-13x+1)^2 * (18x^4-58x^3+45x^2-12x+1) * (18x^4-49x^3+39x^2-11x+1)^2 * (19x^4-76x^3+54x^2-13x+1)^2 * (19x^4-74x^3+53x^2-13x+1)^2 *(19x^4-71x^3+53x^2-13x+1)^2 * (19x^4-70x^3+52x^2-13x+1)^2 * (19x^4-62x^3+50x^2-13x+1)^2 * (19x^4-56x^3+50x^2-13x+1) * (19x^4-49x^3+39x^2-11x+1) * (19x^4-45x^3+34x^2-10x+1) * (20x^4-71x^3+52x^2-13x+1) * (20x^466x^3+47x^2-12x+1) * (20x^4-66x^3+51x^2-13x+1) * (20x^4-65x^3+52x^2-13x+1)^2 * (20x^4-63x^3+51x^2-13x+1) * (20x^4-62x^3+49x^2-13x+1) * (20x^4-60x^3+46x^2-12x+1) * (20x^4-60x^3+48x^2-13x+1)^2 * (20x^4-59x^3+45x^212x+1) * (20x^4-58x^3+47x^2-13x+1) * (22x^4-78x^3+54x^2-13x+1)^2 * (22x^4-72x^3+53x^2-13x+1)^2 * (22x^4-66x^3+50x^2-13x+1) * (22x^4-66x^3+52x^2-13x+1)^2 * (22x^4-64x^3+49x^2-13x+1)^2 * (22x^4-63x^3+49x^2-13x+1) *(22x^4-62x^3+48x^2-13x+1) * (23x^4-54x^3+40x^2-11x+1) * (24x^4-77x^3+54x^2-13x+1) * (24x^4-76x^3+53x^2-13x+1) * (24x^4-75x^3+54x^2-13x+1) * (24x^4-73x^3+52x^2-13x+1) * (24x^4-73x^3+53x^2-13x+1) * (24x^4-72x^3+53x^213x+1)^2 * (24x^4-69x^3+52x^2-13x+1) * (24x^4-68x^3+51x^2-13x+1) * (24x^4-68x^3+52x^2-13x+1)^2 * (24x^4-67x^3+47x^2-12x+1) * (24x^4-67x^3+50x^2-13x+1)^2 * (24x^4-67x^3+51x^2-13x+1)^2 * (24x^4-65x^3+47x^2-12x+1) *(24x^4-65x^3+51x^2-13x+1) * (24x^4-63x^3+46x^2-12x+1) * (24x^4-63x^3+49x^2-13x+1) * (24x^4-63x^3+50x^2-13x+1)^2 * (24x^4-62x^3+49x^2-13x+1)^2 * (25x^4-78x^3+54x^2-13x+1)^2 * (25x^4-75x^3+53x^2-13x+1) * (25x^472x^3+52x^2-13x+1) * (25x^4-72x^3+53x^2-13x+1)^2 * (25x^4-71x^3+48x^2-12x+1) * (25x^4-70x^3+51x^2-13x+1)^2 * (25x^4-70x^3+52x^2-13x+1) * (25x^4-68x^3+52x^2-13x+1) * (25x^4-66x^3+47x^2-12x+1) * (25x^4-63x^3+49x^213x+1) * (25x^4-62x^3+48x^2-13x+1) * (27x^4-86x^3+56x^2-13x+1) * (27x^4-81x^3+55x^2-13x+1) * (27x^4-78x^3+54x^2-13x+1) * (27x^4-75x^3+53x^2-13x+1)^2 * (27x^4-74x^3+52x^2-13x+1) * (27x^4-74x^3+53x^2-13x+1) * (27x^472x^3+52x^2-13x+1)^2 * (27x^4-72x^3+53x^2-13x+1)^2 * (27x^4-71x^3+53x^2-13x+1) * (27x^4-69x^3+51x^2-13x+1) * (27x^4-68x^3+50x^2-13x+1) * (27x^4-68x^3+52x^2-13x+1) * (27x^4-67x^3+47x^2-12x+1)^2 * (27x^4-66x^3+50x^213x+1)^2 * (28x^4-82x^3+55x^2-13x+1)^2 * (28x^4-81x^3+54x^2-13x+1)^2 * (28x^4-78x^3+53x^2-13x+1) * (28x^4-77x^3+53x^2-13x+1) * (28x^4-77x^3+54x^2-13x+1)^2 * (28x^4-76x^3+54x^2-13x+1) * (28x^4-75x^3+52x^2-13x+1) *(28x^4-74x^3+53x^2-13x+1)^2 * (28x^4-71x^3+53x^2-13x+1) * (28x^4-70x^3+52x^2-13x+1) * (28x^4-69x^3+47x^2-12x+1) * (28x^4-69x^3+52x^2-13x+1) * (28x^4-68x^3+50x^2-13x+1) * (28x^4-67x^3+50x^2-13x+1)^2 * (30x^484x^3+55x^2-13x+1) * (30x^4-80x^3+54x^2-13x+1) * (30x^4-75x^3+53x^2-13x+1) * (30x^4-74x^3+52x^2-13x+1) * (30x^4-73x^3+53x^2-13x+1) * (30x^4-72x^3+48x^2-12x+1) * (30x^4-68x^3+49x^2-13x+1) * (31x^4-82x^3+54x^213x+1)^2 * (31x^4-76x^3+49x^2-12x+1) * (31x^4-76x^3+53x^2-13x+1)^2 * (31x^4-76x^3+54x^2-13x+1)^2 * (31x^4-74x^3+53x^2-13x+1)^2 * (32x^4-87x^3+56x^2-13x+1) * (32x^4-79x^3+54x^2-13x+1)^2 * (32x^4-75x^3+52x^2-13x+1) *(32x^4-72x^3+51x^2-13x+1)^2 * (32x^4-71x^3+50x^2-13x+1) * (33x^4-88x^3+56x^2-13x+1)^2 * (33x^4-85x^3+55x^2-13x+1)^2 * (33x^4-80x^3+54x^2-13x+1)^2 * (33x^4-79x^3+53x^2-13x+1) * (33x^4-78x^3+54x^2-13x+1) * (33x^476x^3+53x^2-13x+1)^2 * (33x^4-72x^3+50x^2-13x+1)^2 * (34x^4-89x^3+56x^2-13x+1) * (34x^4-79x^3+54x^2-13x+1)^2 * (34x^4-77x^3+49x^2-12x+1) * (35x^4-82x^3+54x^2-13x+1) * (35x^4-80x^3+53x^2-13x+1) * (35x^4-75x^3+51x^213x+1) * (36x^4-83x^3+55x^2-13x+1) * (36x^4-79x^3+53x^2-13x+1) * (36x^4-78x^3+53x^2-13x+1)^2 * (36x^4-77x^3+52x^2-13x+1)^2 * (37x^4-88x^3+56x^2-13x+1) * (37x^4-86x^3+55x^2-13x+1)^2 * (37x^4-82x^3+54x^2-13x+1)^2 *133(39x^4-90x^3+56x^2-13x+1)^2 * (39x^4-88x^3+56x^2-13x+1)^2 * (39x^4-87x^3+55x^2-13x+1)^2 * (40x^4-89x^3+56x^2-13x+1)^2 * (40x^4-87x^3+55x^2-13x+1) * (40x^4-85x^3+54x^2-13x+1) * (40x^4-84x^3+55x^2-13x+1) * (40x^483x^3+54x^2-13x+1)^2 * (40x^4-79x^3+52x^2-13x+1) * (41x^4-94x^3+57x^2-13x+1)^2 * (41x^4-90x^3+56x^2-13x+1)^2 * (42x^4-90x^3+56x^2-13x+1)^2 * (42x^4-86x^3+55x^2-13x+1) * (42x^4-82x^3+53x^2-13x+1)^2 * (43x^494x^3+57x^2-13x+1)^2 * (43x^4-87x^3+55x^2-13x+1)^2 * (44x^4-89x^3+55x^2-13x+1) * (44x^4-89x^3+56x^2-13x+1)^2 * (44x^4-86x^3+55x^2-13x+1) * (44x^4-85x^3+54x^2-13x+1)^2 * (45x^4-95x^3+57x^2-13x+1) * (45x^492x^3+56x^2-13x+1) * (45x^4-90x^3+56x^2-13x+1) * (45x^4-89x^3+55x^2-13x+1) * (45x^4-86x^3+54x^2-13x+1) * (46x^4-95x^3+57x^2-13x+1) * (46x^4-86x^3+54x^2-13x+1) * (47x^4-96x^3+57x^2-13x+1)^2 * (48x^4-93x^3+56x^213x+1)^2 * (48x^4-91x^3+56x^2-13x+1)^2 * (49x^4-100x^3+58x^2-13x+1) * (49x^4-97x^3+57x^2-13x+1) * (49x^4-92x^3+56x^2-13x+1) * (49x^4-90x^3+55x^2-13x+1)^2 * (49x^4-88x^3+54x^2-13x+1) * (50x^4-97x^3+57x^2-13x+1)^2 *(50x^4-92x^3+56x^2-13x+1) * (51x^4-94x^3+56x^2-13x+1) * (51x^4-91x^3+55x^2-13x+1) * (53x^4-96x^3+57x^2-13x+1)^2 * (54x^4-101x^3+58x^2-13x+1)^2 * (55x^4-102x^3+58x^2-13x+1) * (55x^4-99x^3+57x^2-13x+1)^2 * (55x^498x^3+57x^2-13x+1) * (55x^4-97x^3+57x^2-13x+1)^2 * (55x^4-96x^3+56x^2-13x+1) * (57x^4-102x^3+58x^2-13x+1)^2 * (57x^4-98x^3+57x^2-13x+1) * (58x^4-102x^3+58x^2-13x+1)^2 * (59x^4-99x^3+57x^2-13x+1) * (61x^4107x^3+59x^2-13x+1) * (61x^4-104x^3+58x^2-13x+1) * (63x^4-104x^3+58x^2-13x+1) * (64x^4-105x^3+58x^2-13x+1)^3 * (67x^4-109x^3+59x^2-13x+1)^2 * (69x^4-109x^3+59x^2-13x+1)^2 * (71x^4-110x^3+59x^2-13x+1)^2 * (79x^4116x^3+60x^2-13x+1) * (x^5-20x^4+45x^3-34x^2+10x-1) * (x^5-16x^4+40x^3-33x^2+10x-1) * (x^5-15x^4+35x^3-28x^2+9x-1) * (x^5-13x^4+32x^3-27x^2+9x-1) * (x^5-11x^4+29x^3-26x^2+9x-1) * (x^5-10x^4+30x^3-29x^2+10x-1)^2 *(2x^5-17x^4+44x^3-38x^2+11x-1) * (2x^5-16x^4+40x^3-37x^2+11x-1)^2 * (3x^5-36x^4+74x^3-48x^2+12x-1) * (3x^5-33x^4+70x^3-47x^2+12x-1) * (3x^5-23x^4+50x^3-39x^2+11x-1) * (3x^5-21x^4+47x^3-38x^2+11x-1) * (4x^538x^4+77x^3-49x^2+12x-1)^2 * (4x^5-35x^4+73x^3-48x^2+12x-1) * (4x^5-33x^4+70x^3-47x^2+12x-1) * (4x^5-32x^4+72x^3-48x^2+12x-1) * (4x^5-31x^4+68x^3-47x^2+12x-1) * (4x^5-29x^4+65x^3-46x^2+12x-1) * (5x^5-55x^4+95x^356x^2+13x-1)^2 * (5x^5-52x^4+91x^3-55x^2+13x-1) * (5x^5-44x^4+87x^3-55x^2+13x-1)^2 * (5x^5-43x^4+87x^3-55x^2+13x-1)^2 * (5x^5-42x^4+83x^3-54x^2+13x-1) * (5x^5-42x^4+84x^3-54x^2+13x-1) * (5x^5-40x^4+75x^3-51x^2+13x1) * (5x^5-40x^4+78x^3-49x^2+12x-1) * (5x^5-38x^4+72x^3-50x^2+13x-1)^2 * (5x^5-38x^4+80x^3-54x^2+13x-1)^2 * (5x^5-37x^4+77x^3-53x^2+13x-1) * (6x^5-45x^4+83x^3-50x^2+12x-1) * (6x^5-43x^4+79x^3-49x^2+12x-1) * (6x^542x^4+78x^3-49x^2+12x-1) * (6x^5-41x^4+78x^3-49x^2+12x-1) * (6x^5-38x^4+73x^3-48x^2+12x-1) * (6x^5-38x^4+74x^3-48x^2+12x-1) * (7x^5-48x^4+84x^3-50x^2+12x-1) * (7x^5-45x^4+80x^3-49x^2+12x-1) * (7x^5-43x^4+78x^349x^2+12x-1)^2 * (8x^5-73x^4+110x^3-59x^2+13x-1)^2 * (8x^5-69x^4+97x^3-52x^2+12x-1) * (8x^5-68x^4+105x^3-58x^2+13x-1) * (8x^5-67x^4+102x^3-57x^2+13x-1) * (8x^5-64x^4+103x^3-58x^2+13x-1)^2 * (8x^5-61x^4+94x^355x^2+13x-1) * (8x^5-59x^4+96x^3-56x^2+13x-1) * (8x^5-57x^4+90x^3-54x^2+13x-1) * (8x^5-56x^4+98x^3-57x^2+13x-1)^2 * (8x^5-55x^4+94x^3-56x^2+13x-1) * (8x^5-55x^4+96x^3-57x^2+13x-1)^2 * (8x^5-54x^4+96x^3-57x^2+13x-1) *(8x^5-53x^4+90x^3-55x^2+13x-1) * (8x^5-53x^4+96x^3-57x^2+13x-1) * (8x^5-52x^4+91x^3-56x^2+13x-1) * (8x^5-52x^4+93x^3-56x^2+13x-1)^2 * (8x^5-51x^4+86x^3-54x^2+13x-1) * (8x^5-51x^4+89x^3-55x^2+13x-1) * (8x^550x^4+86x^3-54x^2+13x-1)^2 * (8x^5-50x^4+90x^3-56x^2+13x-1) * (8x^5-49x^4+83x^3-53x^2+13x-1) * (8x^5-49x^4+84x^3-53x^2+13x-1)^2 * (8x^5-49x^4+90x^3-56x^2+13x-1) * (8x^5-49x^4+90x^3-55x^2+13x-1) * (8x^5-48x^4+83x^354x^2+13x-1)^2 * (8x^5-48x^4+86x^3-55x^2+13x-1)^2 * (8x^5-48x^4+87x^3-55x^2+13x-1)^2 * (8x^5-48x^4+87x^3-54x^2+13x-1) * (8x^5-47x^4+84x^3-53x^2+13x-1) * (8x^5-47x^4+86x^3-54x^2+13x-1) * (8x^5-46x^4+80x^3-53x^2+13x1) * (8x^5-45x^4+78x^3-52x^2+13x-1) * (8x^5-45x^4+79x^3-49x^2+12x-1) * (8x^5-45x^4+80x^3-52x^2+13x-1) * (9x^5-79x^4+115x^3-60x^2+13x-1) * (9x^5-76x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (9x^5-72x^4+109x^3-59x^2+13x-1) * (9x^570x^4+97x^3-52x^2+12x-1) * (9x^5-70x^4+103x^3-57x^2+13x-1) * (9x^5-67x^4+99x^3-56x^2+13x-1)^2 * (9x^5-66x^4+104x^3-58x^2+13x-1) * (9x^5-64x^4+98x^3-56x^2+13x-1) * (9x^5-62x^4+103x^3-58x^2+13x-1) * (9x^5-58x^4+95x^356x^2+13x-1) * (9x^5-58x^4+97x^3-57x^2+13x-1) * (9x^5-56x^4+91x^3-55x^2+13x-1) * (9x^5-55x^4+91x^3-55x^2+13x-1) * (9x^5-55x^4+97x^3-57x^2+13x-1) * (9x^5-54x^4+88x^3-54x^2+13x-1)^2 * (9x^5-54x^4+91x^3-56x^2+13x-1)^2 *(9x^5-54x^4+94x^3-56x^2+13x-1)^2 * (9x^5-52x^4+88x^3-54x^2+13x-1) * (9x^5-52x^4+91x^3-55x^2+13x-1) * (9x^5-52x^4+92x^3-56x^2+13x-1) * (9x^5-51x^4+89x^3-55x^2+13x-1)^2 * (9x^5-50x^4+84x^3-54x^2+13x-1)^2 * (9x^550x^4+84x^3-50x^2+12x-1) * (9x^5-50x^4+87x^3-54x^2+13x-1)^2 * (9x^5-49x^4+83x^3-53x^2+13x-1) * (11x^5-85x^4+117x^3-60x^2+13x-1)^2 * (11x^5-82x^4+113x^3-59x^2+13x-1) * (11x^5-77x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (11x^576x^4+108x^3-58x^2+13x-1)^2 * (11x^5-70x^4+109x^3-59x^2+13x-1)^2 * (11x^5-68x^4+105x^3-58x^2+13x-1) * (11x^5-66x^4+104x^3-58x^2+13x-1) * (11x^5-65x^4+101x^3-57x^2+13x-1)^2 * (11x^5-62x^4+99x^3-57x^2+13x-1) * (11x^561x^4+99x^3-57x^2+13x-1) * (11x^5-58x^4+93x^3-56x^2+13x-1)^2 * (11x^5-58x^4+94x^3-56x^2+13x-1)^2 * (12x^5-81x^4+112x^3-59x^2+13x-1) * (12x^5-77x^4+110x^3-59x^2+13x-1) * (12x^5-73x^4+106x^3-58x^2+13x-1) * (12x^571x^4+104x^3-58x^2+13x-1)^2 * (12x^5-69x^4+104x^3-58x^2+13x-1) * (12x^5-68x^4+100x^3-57x^2+13x-1)^2 * (12x^5-65x^4+98x^3-56x^2+13x-1) * (12x^5-65x^4+99x^3-57x^2+13x-1) * (12x^5-65x^4+104x^3-58x^2+13x-1) * (12x^564x^4+103x^3-58x^2+13x-1) * (12x^5-63x^4+95x^3-55x^2+13x-1) * (12x^5-63x^4+96x^3-56x^2+13x-1)^2 * (12x^5-63x^4+98x^3-57x^2+13x-1) * (12x^5-62x^4+99x^3-57x^2+13x-1)^2 * (12x^5-61x^4+93x^3-55x^2+13x-1) * (12x^561x^4+96x^3-56x^2+13x-1) * (12x^5-61x^4+98x^3-57x^2+13x-1) * (12x^5-60x^4+93x^3-56x^2+13x-1) * (12x^5-60x^4+94x^3-56x^2+13x-1) * (12x^5-59x^4+91x^3-55x^2+13x-1) * (12x^5-59x^4+92x^3-56x^2+13x-1)^2 * (12x^558x^4+90x^3-55x^2+13x-1) * (12x^5-58x^4+91x^3-55x^2+13x-1) * (12x^5-57x^4+88x^3-54x^2+13x-1)^2 * (12x^5-57x^4+89x^3-55x^2+13x-1) * (12x^5-56x^4+87x^3-54x^2+13x-1)^2 * (12x^5-55x^4+86x^3-54x^2+13x-1) * (13x^579x^4+111x^3-59x^2+13x-1)^2 * (13x^5-70x^4+104x^3-58x^2+13x-1)^2 * (13x^5-67x^4+99x^3-56x^2+13x-1)^2 * (13x^5-64x^4+95x^3-55x^2+13x-1) * (13x^5-60x^4+91x^3-55x^2+13x-1) * (14x^5-95x^4+123x^3-61x^2+13x-1) * (14x^584x^4+116x^3-60x^2+13x-1) * (14x^5-83x^4+116x^3-60x^2+13x-1)^2 * (14x^5-79x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (14x^5-76x^4+106x^3-58x^2+13x-1)^2 * (14x^5-76x^4+110x^3-59x^2+13x-1)^2 * (14x^5-73x^4+106x^3-58x^2+13x-1) *(14x^5-73x^4+109x^3-59x^2+13x-1) * (14x^5-72x^4+102x^3-57x^2+13x-1) * (14x^5-72x^4+105x^3-58x^2+13x-1) * (14x^5-71x^4+101x^3-57x^2+13x-1) * (14x^5-70x^4+99x^3-56x^2+13x-1)^2 * (14x^5-69x^4+104x^3-58x^2+13x-1)^2 *(14x^5-67x^4+99x^3-57x^2+13x-1) * (14x^5-66x^4+99x^3-57x^2+13x-1)^2 * (14x^5-65x^4+96x^3-56x^2+13x-1)^2 * (14x^5-62x^4+93x^3-56x^2+13x-1)^2 * (15x^5-96x^4+123x^3-61x^2+13x-1) * (15x^5-89x^4+117x^3-60x^2+13x-1) *(15x^5-84x^4+116x^3-60x^2+13x-1) * (15x^5-82x^4+111x^3-59x^2+13x-1)^2 * (15x^5-81x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (15x^5-80x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (15x^5-78x^4+108x^3-58x^2+13x-1) * (15x^5-76x^4+106x^3-58x^2+13x-1) *(15x^5-72x^4+100x^3-56x^2+13x-1) * (15x^5-72x^4+105x^3-58x^2+13x-1) * (15x^5-72x^4+109x^3-59x^2+13x-1) * (15x^5-70x^4+105x^3-58x^2+13x-1) * (15x^5-69x^4+101x^3-57x^2+13x-1) * (15x^5-68x^4+99x^3-57x^2+13x-1) *(15x^5-66x^4+97x^3-56x^2+13x-1) * (16x^5-99x^4+124x^3-61x^2+13x-1)^2 * (16x^5-90x^4+118x^3-60x^2+13x-1) * (16x^5-87x^4+114x^3-59x^2+13x-1)^2 * (16x^5-83x^4+112x^3-59x^2+13x-1) * (16x^5-82x^4+112x^3-59x^2+13x-1)^2 *(16x^5-79x^4+107x^3-58x^2+13x-1) * (16x^5-79x^4+108x^3-58x^2+13x-1)^2 * (16x^5-79x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (16x^5-77x^4+106x^3-58x^2+13x-1) * (16x^5-77x^4+110x^3-59x^2+13x-1) * (16x^5-76x^4+105x^3-58x^2+13x-1) *(16x^5-76x^4+107x^3-58x^2+13x-1)^2 * (16x^5-75x^4+106x^3-58x^2+13x-1) * (16x^5-75x^4+110x^3-59x^2+13x-1) * (16x^5-74x^4+106x^3-58x^2+13x-1)^2 * (16x^5-69x^4+100x^3-57x^2+13x-1)^2 * (16x^5-68x^4+97x^3-56x^2+13x-1) *(16x^5-67x^4+95x^3-55x^2+13x-1) * (17x^5-89x^4+117x^3-60x^2+13x-1)^2 * (17x^5-85x^4+113x^3-59x^2+13x-1) * (17x^5-84x^4+104x^3-53x^2+12x-1) * (17x^5-82x^4+111x^3-59x^2+13x-1)^2 * (17x^5-80x^4+108x^3-58x^2+13x-1) *(17x^5-80x^4+111x^3-59x^2+13x-1)^2 * (17x^5-71x^4+99x^3-56x^2+13x-1)^2 * (17x^5-70x^4+99x^3-57x^2+13x-1) * (18x^5-100x^4+124x^3-61x^2+13x-1)^2 * (18x^5-89x^4+117x^3-60x^2+13x-1)^2 * (18x^5-88x^4+114x^3-59x^2+13x1)^2 * (18x^5-88x^4+117x^3-60x^2+13x-1) * (18x^5-85x^4+116x^3-60x^2+13x-1) * (18x^5-82x^4+108x^3-58x^2+13x-1) * (18x^5-81x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (18x^5-79x^4+108x^3-58x^2+13x-1) * (18x^5-78x^4+104x^3-57x^2+13x-1)* (18x^5-78x^4+107x^3-58x^2+13x-1) * (18x^5-76x^4+104x^3-57x^2+13x-1) * (18x^5-76x^4+105x^3-58x^2+13x-1) * (18x^5-76x^4+106x^3-58x^2+13x-1) * (18x^5-73x^4+101x^3-57x^2+13x-1) * (19x^5-103x^4+125x^3-61x^2+13x-1) *(19x^5-95x^4+119x^3-60x^2+13x-1)^2 * (19x^5-92x^4+118x^3-60x^2+13x-1) * (19x^5-88x^4+113x^3-59x^2+13x-1) * (19x^5-80x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (20x^5-92x^4+118x^3-60x^2+13x-1) * (20x^5-91x^4+118x^3-60x^2+13x-1) *(20x^5-90x^4+117x^3-60x^2+13x-1) * (20x^5-89x^4+114x^3-59x^2+13x-1) * (20x^5-88x^4+117x^3-60x^2+13x-1) * (20x^5-87x^4+112x^3-59x^2+13x-1)^2 * (20x^5-87x^4+113x^3-59x^2+13x-1) * (20x^5-85x^4+113x^3-59x^2+13x-1) *(20x^5-84x^4+112x^3-59x^2+13x-1)^2 * (20x^5-83x^4+108x^3-58x^2+13x-1) * (20x^5-83x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (20x^5-82x^4+109x^3-58x^2+13x-1) * (20x^5-81x^4+108x^3-58x^2+13x-1) * (20x^5-79x^4+105x^3-57x^2+13x-1) *(20x^5-79x^4+106x^3-58x^2+13x-1) * (21x^5-104x^4+125x^3-61x^2+13x-1) * (21x^5-101x^4+124x^3-61x^2+13x-1) * (21x^5-96x^4+119x^3-60x^2+13x-1) * (21x^5-95x^4+119x^3-60x^2+13x-1)^2 * (21x^5-93x^4+118x^3-60x^2+13x-1)^2* (21x^5-91x^4+114x^3-59x^2+13x-1)^2 * (21x^5-89x^4+117x^3-60x^2+13x-1)^2 * (21x^5-88x^4+113x^3-59x^2+13x-1) * (21x^5-87x^4+110x^3-58x^2+13x-1) * (21x^5-86x^4+113x^3-59x^2+13x-1) * (21x^5-85x^4+109x^3-58x^2+13x-1) *(21x^5-84x^4+111x^3-59x^2+13x-1) * (21x^5-83x^4+109x^3-58x^2+13x-1) * (21x^5-82x^4+108x^3-58x^2+13x-1) * (21x^5-81x^4+107x^3-58x^2+13x-1) * (21x^5-80x^4+105x^3-57x^2+13x-1) * (23x^5-92x^4+114x^3-59x^2+13x-1)^2 *(23x^5-91x^4+117x^3-60x^2+13x-1)^2 * (23x^5-89x^4+114x^3-59x^2+13x-1) * (23x^5-88x^4+113x^3-59x^2+13x-1)^2 * (24x^5-105x^4+125x^3-61x^2+13x-1) * (24x^5-99x^4+120x^3-60x^2+13x-1)^2 * (24x^5-97x^4+119x^3-60x^2+13x-1)* (24x^5-96x^4+119x^3-60x^2+13x-1) * (24x^5-95x^4+118x^3-60x^2+13x-1) * (24x^5-93x^4+115x^3-59x^2+13x-1) * (24x^5-93x^4+118x^3-60x^2+13x-1) * (24x^5-91x^4+113x^3-59x^2+13x-1) * (24x^5-89x^4+113x^3-59x^2+13x-1) *(25x^5-114x^4+131x^3-62x^2+13x-1) * (25x^5-106x^4+125x^3-61x^2+13x-1) * (25x^5-102x^4+124x^3-61x^2+13x-1) * (25x^5-99x^4+119x^3-60x^2+13x-1) * (25x^5-94x^4+115x^3-59x^2+13x-1) * (25x^5-94x^4+118x^3-60x^2+13x-1) *(25x^5-91x^4+114x^3-59x^2+13x-1)^2 * (26x^5-114x^4+131x^3-62x^2+13x-1)^2 * (26x^5-106x^4+125x^3-61x^2+13x-1) * (26x^5-105x^4+125x^3-61x^2+13x-1) * (26x^5-100x^4+120x^3-60x^2+13x-1)^2 * (26x^5-98x^4+119x^360x^2+13x-1) * (26x^5-95x^4+118x^3-60x^2+13x-1) * (27x^5-106x^4+125x^3-61x^2+13x-1)^2 * (27x^5-103x^4+121x^3-60x^2+13x-1) * (27x^5-103x^4+124x^3-61x^2+13x-1) * (27x^5-99x^4+119x^3-60x^2+13x-1) * (27x^5-97x^4+119x^360x^2+13x-1)^2 * (28x^5-106x^4+125x^3-61x^2+13x-1)^2 * (28x^5-101x^4+120x^3-60x^2+13x-1) * (29x^5-115x^4+131x^3-62x^2+13x-1)^2 * (29x^5-106x^4+125x^3-61x^2+13x-1)^2 * (29x^5-101x^4+119x^3-60x^2+13x-1)^2 * (30x^5107x^4+125x^3-61x^2+13x-1) * (31x^5-111x^4+126x^3-61x^2+13x-1)^2 * (31x^5-110x^4+126x^3-61x^2+13x-1)^2 * (31x^5-108x^4+125x^3-61x^2+13x-1)^2 * (32x^5-119x^4+132x^3-62x^2+13x-1) * (32x^5-113x^4+127x^3-61x^2+13x-1) *(32x^5-111x^4+126x^3-61x^2+13x-1)^2 * (33x^5-112x^4+126x^3-61x^2+13x-1) * (33x^5-111x^4+126x^3-61x^2+13x-1) * (34x^5-120x^4+132x^3-62x^2+13x-1)^2 * (34x^5-112x^4+126x^3-61x^2+13x-1) * (35x^5-123x^4+133x^362x^2+13x-1)^2 * (35x^5-114x^4+127x^3-61x^2+13x-1) * (35x^5-111x^4+123x^3-60x^2+13x-1) * (36x^5-115x^4+127x^3-61x^2+13x-1) * (37x^5-121x^4+132x^3-62x^2+13x-1) * (38x^5-121x^4+132x^3-62x^2+13x-1) * (39x^5-

134
125x^4+133x^3-62x^2+13x-1)^2 * (39x^5-119x^4+128x^3-61x^2+13x-1)^2 * (41x^5-134x^4+139x^3-63x^2+13x-1) * (41x^5-125x^4+133x^3-62x^2+13x-1)^2 * (43x^5-129x^4+134x^3-62x^2+13x-1) * (44x^5-129x^4+134x^3-62x^2+13x-1) *(47x^5-139x^4+140x^3-63x^2+13x-1)^2 * (3x^6-51x^5+140x^4-140x^3+63x^2-13x+1)^2 * (3x^6-47x^5+130x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (3x^6-41x^5+122x^4-132x^3+62x^2-13x+1)^2 * (3x^6-39x^5+121x^4-132x^3+62x^2-13x+1) * (3x^638x^5+113x^4-126x^3+61x^2-13x+1) * (3x^6-38x^5+115x^4-127x^3+61x^2-13x+1) * (3x^6-37x^5+121x^4-132x^3+62x^2-13x+1) * (3x^6-35x^5+112x^4-126x^3+61x^2-13x+1)^2 * (3x^6-34x^5+109x^4-125x^3+61x^2-13x+1) * (3x^633x^5+104x^4-124x^3+61x^2-13x+1) * (3x^6-33x^5+107x^4-122x^3+60x^2-13x+1) * (3x^6-33x^5+108x^4-125x^3+61x^2-13x+1) * (3x^6-32x^5+95x^4-114x^3+59x^2-13x+1)^2 * (3x^6-32x^5+99x^4-119x^3+60x^2-13x+1) * (3x^632x^5+101x^4-119x^3+60x^2-13x+1)^2 * (3x^6-32x^5+101x^4-117x^3+59x^2-13x+1) * (3x^6-32x^5+102x^4-120x^3+60x^2-13x+1) * (3x^6-31x^5+94x^4-114x^3+59x^2-13x+1)^2 * (3x^6-30x^5+89x^4-109x^3+58x^2-13x+1) * (3x^630x^5+90x^4-110x^3+58x^2-13x+1) * (3x^6-30x^5+94x^4-112x^3+58x^2-13x+1) * (3x^6-30x^5+96x^4-118x^3+60x^2-13x+1) * (3x^6-29x^5+91x^4-113x^3+59x^2-13x+1) * (3x^6-29x^5+92x^4-114x^3+59x^2-13x+1) * (3x^6-28x^5+85x^4107x^3+58x^2-13x+1) * (3x^6-28x^5+87x^4-109x^3+58x^2-13x+1) * (3x^6-28x^5+88x^4-110x^3+58x^2-13x+1) * (3x^6-27x^5+83x^4-105x^3+57x^2-13x+1)^2 * (4x^6-54x^5+141x^4-140x^3+63x^2-13x+1) * (4x^6-53x^5+135x^4135x^3+62x^2-13x+1) * (4x^6-48x^5+128x^4-133x^3+62x^2-13x+1) * (4x^6-47x^5+124x^4-129x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-47x^5+127x^4-133x^3+62x^2-13x+1) * (4x^6-46x^5+135x^4-139x^3+63x^2-13x+1) * (4x^6-44x^5+126x^4133x^3+62x^2-13x+1) * (4x^6-43x^5+118x^4-127x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-43x^5+125x^4-133x^3+62x^2-13x+1) * (4x^6-42x^5+117x^4-127x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-42x^5+119x^4-128x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-41x^5+113x^4123x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-41x^5+117x^4-127x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-41x^5+125x^4-133x^3+62x^2-13x+1) * (4x^6-40x^5+114x^4-126x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-40x^5+121x^4-132x^3+62x^2-13x+1) * (4x^6-39x^5+110x^4122x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-39x^5+116x^4-127x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-38x^5+109x^4-125x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-38x^5+109x^4-122x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-38x^5+113x^4-126x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-38x^5+115x^4127x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-37x^5+103x^4-119x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-37x^5+106x^4-120x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-37x^5+108x^4-125x^3+61x^2-13x+1) * (4x^6-37x^5+111x^4-123x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-36x^5+102x^4119x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-36x^5+103x^4-120x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-36x^5+106x^4-121x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-35x^5+98x^4-115x^3+59x^2-13x+1) * (4x^6-35x^5+101x^4-119x^3+60x^2-13x+1) * (4x^6-35x^5+102x^4117x^3+59x^2-13x+1) * (4x^6-34x^5+97x^4-115x^3+59x^2-13x+1) * (4x^6-33x^5+92x^4-110x^3+58x^2-13x+1) * (4x^6-33x^5+94x^4-113x^3+59x^2-13x+1) * (4x^6-32x^5+89x^4-108x^3+58x^2-13x+1) * (4x^6-32x^5+90x^4109x^3+58x^2-13x+1)^2 * (5x^6-67x^5+160x^4-148x^3+64x^2-13x+1) * (5x^6-63x^5+150x^4-142x^3+63x^2-13x+1)^2 * (5x^6-58x^5+145x^4-141x^3+63x^2-13x+1) * (5x^6-57x^5+139x^4-136x^3+62x^2-13x+1) * (5x^6-54x^5+141x^4140x^3+63x^2-13x+1) * (5x^6-51x^5+131x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (5x^6-51x^5+132x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (5x^6-51x^5+140x^4-140x^3+63x^2-13x+1)^2 * (5x^6-49x^5+130x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (5x^6-49x^5+131x^4134x^3+62x^2-13x+1) * (5x^6-48x^5+127x^4-133x^3+62x^2-13x+1) * (5x^6-48x^5+130x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (5x^6-47x^5+122x^4-128x^3+61x^2-13x+1) * (5x^6-47x^5+124x^4-129x^3+61x^2-13x+1) * (5x^6-46x^5+127x^4133x^3+62x^2-13x+1)^2 * (5x^6-45x^5+120x^4-128x^3+61x^2-13x+1) * (5x^6-45x^5+129x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (5x^6-44x^5+119x^4-127x^3+61x^2-13x+1)^2 * (5x^6-43x^5+114x^4-126x^3+61x^2-13x+1) * (5x^6-43x^5+117x^4127x^3+61x^2-13x+1) * (5x^6-43x^5+120x^4-128x^3+61x^2-13x+1) * (5x^6-42x^5+112x^4-122x^3+60x^2-13x+1) * (5x^6-42x^5+113x^4-126x^3+61x^2-13x+1)^2 * (5x^6-40x^5+106x^4-120x^3+60x^2-13x+1) * (5x^6-40x^5+107x^4121x^3+60x^2-13x+1) * (5x^6-40x^5+109x^4-121x^3+60x^2-13x+1) * (6x^6-70x^5+161x^4-148x^3+64x^2-13x+1) * (6x^6-62x^5+147x^4-141x^3+63x^2-13x+1)^2 * (6x^6-61x^5+146x^4-141x^3+63x^2-13x+1) * (6x^6-60x^5+146x^4141x^3+63x^2-13x+1) * (6x^6-58x^5+139x^4-136x^3+62x^2-13x+1) * (6x^6-55x^5+141x^4-140x^3+63x^2-13x+1) * (6x^6-53x^5+132x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (6x^6-52x^5+128x^4-130x^3+61x^2-13x+1) * (6x^6-52x^5+132x^4134x^3+62x^2-13x+1) * (6x^6-51x^5+131x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (6x^6-50x^5+128x^4-133x^3+62x^2-13x+1) * (6x^6-50x^5+131x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (6x^6-49x^5+127x^4-133x^3+62x^2-13x+1)^2 * (6x^6-48x^5+122x^4128x^3+61x^2-13x+1)^2 * (6x^6-48x^5+124x^4-129x^3+61x^2-13x+1)^2 * (6x^6-47x^5+121x^4-128x^3+61x^2-13x+1) * (6x^6-46x^5+119x^4-127x^3+61x^2-13x+1) * (6x^6-45x^5+115x^4-126x^3+61x^2-13x+1) * (6x^6-43x^5+109x^4121x^3+60x^2-13x+1) * (7x^6-71x^5+161x^4-148x^3+64x^2-13x+1) * (7x^6-65x^5+150x^4-142x^3+63x^2-13x+1)^2 * (7x^6-61x^5+146x^4-141x^3+63x^2-13x+1) * (7x^6-59x^5+139x^4-136x^3+62x^2-13x+1) * (7x^6-59x^5+142x^4140x^3+63x^2-13x+1) * (7x^6-55x^5+133x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (7x^6-54x^5+132x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (7x^6-50x^5+123x^4-128x^3+61x^2-13x+1)^2 * (8x^6-71x^5+161x^4-148x^3+64x^2-13x+1) * (8x^6-67x^5+151x^4142x^3+63x^2-13x+1) * (8x^6-64x^5+147x^4-141x^3+63x^2-13x+1) * (8x^6-63x^5+147x^4-141x^3+63x^2-13x+1) * (8x^6-61x^5+146x^4-141x^3+63x^2-13x+1) * (8x^6-59x^5+137x^4-135x^3+62x^2-13x+1) * (8x^6-59x^5+139x^4136x^3+62x^2-13x+1) * (8x^6-57x^5+134x^4-134x^3+62x^2-13x+1) * (8x^6-56x^5+133x^4-134x^3+62x^2-13x+1)^2 * (8x^6-55x^5+129x^4-130x^3+61x^2-13x+1) * (9x^6-71x^5+161x^4-148x^3+64x^2-13x+1) * (9x^6-69x^5+152x^4142x^3+63x^2-13x+1) * (9x^6-67x^5+151x^4-142x^3+63x^2-13x+1) * (9x^6-65x^5+150x^4-142x^3+63x^2-13x+1)^2 * (9x^6-63x^5+141x^4-136x^3+62x^2-13x+1) * (9x^6-61x^5+138x^4-135x^3+62x^2-13x+1) * (9x^6-61x^5+140x^4136x^3+62x^2-13x+1) * (9x^6-60x^5+137x^4-135x^3+62x^2-13x+1)^2 * (10x^6-67x^5+148x^4-141x^3+63x^2-13x+1) * (11x^6-80x^5+167x^4-149x^3+64x^2-13x+1)^2 * (11x^6-78x^5+166x^4-149x^3+64x^2-13x+1)^2 * (11x^672x^5+153x^4-142x^3+63x^2-13x+1) * (11x^6-71x^5+152x^4-142x^3+63x^2-13x+1)^2 * (12x^6-81x^5+167x^4-149x^3+64x^2-13x+1) * (12x^6-75x^5+156x^4-143x^3+63x^2-13x+1) * (12x^6-73x^5+153x^4-142x^3+63x^2-13x+1) * (13x^691x^5+182x^4-156x^3+65x^2-13x+1)^2 * (15x^6-88x^5+172x^4-150x^3+64x^2-13x+1) * (x^7-20x^6+102x^5-188x^4+157x^3-65x^2+13x-1) * (x^7-19x^6+92x^5-173x^4+150x^3-64x^2+13x-1) * (x^7-17x^6+86x^5-168x^4+149x^364x^2+13x-1) * (x^7-16x^6+77x^5-154x^4+142x^3-63x^2+13x-1) * (x^7-16x^6+79x^5-157x^4+143x^3-63x^2+13x-1) * (x^7-15x^6+75x^5-153x^4+142x^3-63x^2+13x-1) * (x^7-14x^6+67x^5-140x^4+135x^3-62x^2+13x-1) * (x^714x^6+68x^5-142x^4+136x^3-62x^2+13x-1)

Rekurence pro vyšší m se zatím nepodařilo vypočítat, podařilo se ale částečně celý problém vyřešit numericky až do m=19, viz následující strany.

135

Asymptotic behavior - Asymptotické odhady
Dokázány byly tyto horní a dolní odhady (Lower and upper bound)
Pro libovolná m a n platí Knuth 1994, Larsen 1995 :Na tomto místě je třeba upozornit na jedno úskalí asymptotických rozvojů.
Pokud budeme uvažovat výraz

Pokud však uvažujeme oblast, kdy m a n jsou shodné (if m ~ n), toto už
neplatí! Potom totiž

pak v případě, že m je konstantní (if m<<n), lze v asymptotickém rozvoji dalšíčleny zanedbat, tj.

a druhý člen už není asymptoticky zanedbatelný, naopak má (v tomto smyslu)
stejnou váhu jako člen první! A totéž platí i o případných dalších členech.

nebo jinak zapsáno

Další kapitola pojednává o rozložení kořenů. Jelikož kořeny další v pořadí
podle velikosti jsou (při n jdoucím do nekonečna) limitně vzdáleny odnejvětšího kořene jen o konstanty (1, 2, ...), nelze jejich váhu v případném
asymptotickém rozvoji zanedbat.
If m ~ n then in the asymptotic expansion is not possible vanish latter term(s).

136

m

km

km/km-11

1.000000000000000000000000000

Fabel 19642

17.000000000000000000000000000

Bandelow 1966

17.0000

3

231.000000000000000000000000000

Wilf 1994

13.588243051.175095785440613026819923371

Wilf 1994

13.2085540881.996383916541237781754448779

Kotěšovec 201013.39876563050.923630813933003791997652304

Kotěšovec 2010

13.772578008508.288587027981899891832842467

Kotěšovec 201014.22348117833087.451330412752047111313516657

Kotěšovec 201014.7134

91794306724.774727261007917982008613128

Kotěšovec 201115.2275

1028276454469.764598028813176916044885234

Kotěšovec 201115.759011461049875818.053058870880851667520307966

Kotěšovec 201116.3051127775513990776.970461079724357060160146644

Kotěšovec + Breger 201116.864813

135589372611110.173675086175352488557576470

Kotěšovec + Breger 201117.4379142443990803097108.587642148908786180301946421

Kotěšovec + Breger 201118.02491545522076785406201.225729623166112570698897006

Kotěšovec + Breger 201118.626116875939597341977670.667775345419164879842179086

Kotěšovec + Breger 201119.24201717407856624734801679.116137268952603624020753906

Kotěšovec + Breger 201119.873318357216046100723515478.428092923668602268901622503

Kotěšovec + Breger 2011

20.520319 7567101689641721175327.802726757483751953011052809

Kotěšovec + Breger 201121.1835

Zajímá nás jak se funkce fm(n) chová pokud
jde n do nekonečna. Jak odvodil již Wilf
(1994), platí při pevném m (if m << n)asymptoticky

kde konstanty

jsou závislé pouze na m

137
km/km-1mPři odhadu asymptotického chování podílu km/km-1 musí být člověk dost opatrný. Graf svádí k odhadu, že se tento podíl blíží k vyznačené asymptotě se směrnicí e/4.
Ovšem není vyloučeno, že průběh nebude lineární a že se zvyšujícím se m se bude od této přímky vzdalovat. Napovědělo by více hodnot, což je ale výpočetně
značně náročné. Mám proto zatím jen následující hypotézu:
Conjecture (V. Kotěšovec, 27.8.2011):

Věřím, že v některém z dalších vydání této knihy budu moct uvést silnější odhad.

138
Následuje přehledná tabulka vypočtených koeficientů počátečních členů explicitních vzorců u dvou nejvyšších mocnin r1 (pro m=1 až 19) a r2 (pro m=2 až 12).
Koeficienty pro m<=12 jsem vypočetl z přesných hodnot, koeficienty pro m=13 až m=19 jsem vypočetl metodou nejmenších čtverců z numerických hodnot
posloupností, pro které upravil svůj program 11.9.2011 Alex V. Breger.
m

m+1

1

(1.0000000000*n+1.0000000000)*2(17.0000000000*n-109.0000000000)*+ (0.0000000000*n+110.0072722464)*3(231.0000000000*n-2377.0000000000)*+ (98.9974746830*n+2761.9795436573)*

4(3051.1750957854*n-41306.0010866693)*+ (2377.8243210042*n+50967.3210308199)*

5(40881.9963839165*n-678713.9140298387)*+ (38562.0893894658*n+926641.4858544337)*

6(563050.9236308139*n-11041671.4136922061)*+ (575846.8547897144*n+16247605.2843835056)*

7(8008508.2885870279*n-181089995.7487161801)*+ (8540270.3882582723*n+281435037.7821712904)*

8(117833087.4513304127*n-3019882133.9627005377)*+ (128935400.0021425287*n+4894240701.2730518232)*

9(1794306724.7747272610*n-51442071798.3316034957)*+ (2000114518.5350047007*n+86239744683.8040636980)*

10(28276454469.7645980288*n-897521639829.2414666071)*+ (32001188869.9463871955*n+1547997651367.1224311621)*

11(461049875818.0530588708*n-16065469868976.3008005223)*+ (528914297003.0755507536*n+28398336684926.1155493584)*

12(7775513990776.9704610797*n-295349806263796.9790817787)*+ (9035904749827.6767717864*n+533561052056563.3819727121)*

13(135589372611110.1736750861*n-5580792434029624.0096243514)*

14(2443990803097108.5876421489*n-108441646314145718.1324256892)*

15(45522076785406201.2257296231*n-2167697569482565016.0327500435)*

16(875939597341977670.6677753454*n-44588230624885179382.0902354880)*

17(17407856624734801679.1161372689*n-943939241875188063530.6483033435)*

18(357216046100723515478.4280929236*n-20569640644159493984858.5954752799)*

19(7567101689641721175327.8027267574*n-461425657305852060386818.5400184084)*139

2.3.10) Largest, second-largest and smallest root - Největší, druhý největší a nejmenší kořen

Hlavní výsledky obsažené v této kapitole, lze shrnout takto:
Main results: If we compute roots of characteristic equation (=reciprocal values of roots of denominator), then largest root is smallest root is(proved by H. Wilf, 1994)(conjecture by V. Kotěšovec, 2010), asymptotically is smallest value ~Zde je třeba si ujasnit terminologii. Jmenovatel vytvořující funkce (=denominátor) obsahuje polynom, jehož stupeň odpovídá hloubce rekurence (=recurrence order). Explicitní vzorec dostaneme jako součet partikulárních řešení této diferenční
rovnice. Každé partikulární řešení odpovídá jednomu (v reálném oboru dále nerozložitelnému) faktoru ve jmenovateli vytvořující funkce (=irreducible factor). Převrácené hodnoty kořenů každého faktoru odpovídají kořenům charakteristické
rovnice a každý takový člen je pak ještě vynásoben polynomem jehož stupeň odpovídá exponentu příslušného faktoru -1.
Pokud tedy bude ve jmenovateli vytvořující funkce např. člen, dostaneme po substitucí, charakteristickou rovnici. Tato charakteristická rovnice má dva kořeny
Obecné řešení diferenční rovnice (=explicitní vzorec) dostaneme pak jako součet partikulárních řešení takto:
kde a,b,c,d,e,f,g,h jsou konstanty určitelné z počátečních členů posloupnosti. Je třeba si ještě uvědomit, že počet těchto neznámých je roven stupni polynomu v denominátoru (v tomto případě byl faktor polynom stupně 2 a exponent faktoru 4, cožodpovídá celkem 2*4=8 neznámým v explicitním vzorci).

Pokud tedy budu v dalším textu používat slovo kořen (=root) mám tím vždy na mysli kořeny charakteristické rovnice (nikoliv přímo kořeny denominátoru).
Important: In following text means „root“, root of characteristic equation (not root of denominator). Roots of denominator are reciprocal values of roots of characteristic equation.

140Převrácené hodnoty kořenů určují tvar partikulárních řešení. Pokud tyto hodnoty srovnáme podle velikosti, dostaneme tabulku na str.145 a grafy na str. 155. Jak jižteoreticky dokázal v článku The Problem of the Kings H. Wilf, člen s nejvyšší váhou má vždy hodnotu m+1, což bylo potvrzeno výpočty pro všechny m <= 20.
(H. Wilf, 1994)
Výpočet čísla druhého v pořadí, uvedený na konci citovaného článku, je však chybný! Formula for second-largest root in article by Wilf (1994) is wrong.
Right formula is (V. Kotěšovec, 27.2.2010):(for m>1)
Dalším (poněkud překvapujícím) výsledkem je, že pro m jdoucí do nekonečna se první dvě největší čísla nevzdálí více jak o 1, přesněji

Číslo druhé v pořadí je kořenem kvadratické rovnice
Polynomy v denominátoru vytvořující funkce odpovídají převráceným hodnotám těchto kořenů, příslušný polynom v denominátoru je proto

3.kořen má pak tvar(for m>3)Příslušná kvadratická rovnice jepolynom v denominátoru
4.kořen má tvar(for m>3)Příslušná kvadratická rovnice jepolynom v denominátoru

141
5.kořen má tvar(for m>3)Příslušná kvadratická rovnice jepolynom v denominátoru

Správnost těchto vzorců byla rovněž potvrzena výpočty až do m=20. Tabulka zobrazuje pro každé m 5 největších kořenů.
1.root
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

2.root3.root4.root5.root

2.6180339887498948482
3.4142135623730950488
4.3027756377319946466
5.2360679774997896964
6.1925824035672520156
7.1622776601683793320
8.1400549446402591355
9.1231056256176605498
10.109772228646443655
11.099019513592784830
12.090169943749474241
13.082762530298219689
14.076473218982952720
15.071067811865475244
16.066372975210777964
17.062257748298549652
18.058621384311844882
19.055385138137416627
20.052486587271400090

4.0000000000000000000
4.7320508075688772935
5.5615528128088302749
6.4494897427831780982
7.3722813232690143299
8.3166247903553998491
9.2749172176353748486
10.242640687119285146
11.216990566028301906
12.196152422706631881
13.178908345800273611
14.164414002968976450
15.152067347825035363
16.141428428542849998
17.132168761236874013
18.124038404635960360
19.116843969807042990

3.7320508075688772935
4.5615528128088302749
5.4494897427831780982
6.3722813232690143299
7.3166247903553998491
8.2749172176353748486
9.2426406871192851464
10.216990566028301906
11.196152422706631881
12.178908345800273611
13.164414002968976450
14.152067347825035363
15.141428428542849998
16.132168761236874013
17.124038404635960360
18.116843969807042990
19.110433579144298882

3.6180339887498948482
4.4142135623730950488
5.3027756377319946466
6.2360679774997896964
7.1925824035672520156
8.1622776601683793320
9.1400549446402591355
10.123105625617660550
11.109772228646443655
12.099019513592784830
13.090169943749474241
14.082762530298219689
15.076473218982952720
16.071067811865475244
17.066372975210777964
18.062257748298549652
19.058621384311844882

m+1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

142
Ještě zajímavější je algebraické vyjádření nejmenších kořenů

smallest rootsm
1

2.000000000000000

20.381966011250105

30.585786437626904

40.198062264195161

50.267949192431122

60.120614758428183

70.152240934977426

80.081014052771005

90.097886967409692

10

0.058116365147895

11

0.068148347421863

120.043704798532388

130.050144175636352

140.034053800632196

15

0.038429439193539

160.027277393194555

root of a polynomial
2

143
17

0.030384493975583

180.022338347549742

190.024623318809724

20

0.018628107927338

For example, last characteristic equation for m=20, correspond to factor in denominator:
Polynomy odpovídající kosinovým členům můžeme dostat v programu Mathematica takto:
Table[{m,MinimalPolynomial[2-2*Cos[Pi/(m+2+(-1)^m)],x]},{m,1,20}]//MatrixForm//TraditionalForm
Příslušné polynomy v denominátoru pak takto:
Table[{m,polyy=MinimalPolynomial[2-2*Cos[Pi/(m+2+(-1)^m)],y];ey=Exponent[polyy,y];polyx=Simplify[(polyy/.y->(1/x))*x^ey];
If[Coefficient[polyx,x,Exponent[polyx,x]]<0,Simplify[-polyx],polyx]},{m,1,20}]//MatrixForm//TraditionalForm

144

Conjecture (Václav Kotěšovec, 11.12.2010)
Smallest root is

Speciálně pro m sudé (for m even)
Speciálně pro m liché (for m odd)

Z předchozích vzorců vyplývají následující vlastnosti nejmenšího kořene:Pro všechna m je
Tedy všechny kořeny leží v intervalu
Limitně se ale nejmenší kořen blíží 0

Dále platí

Asymptoticky je tedy

14.9.2011 Roots for normal chessboard and horizontal cylinder are same (with exception of m=3 and m=5 where is in denominator for horizontal cylinder only one
factor x-1 more). Therefore is also my conjecture about value of minimal root same also for horizontal cylinder. This conjecture holds for all m<=20 !

145root number m=1
1

2

m=2

m=3

m=4

m=5

m=6

m=7

m=8

generally

3

4

5

6

7

8

9

m+1

m+1

2

2.618033988 3.414213562 4.302775637 5.236067977 6.192582403 7.16227766 8.14005494(m+1 + √(m2-2m+5))/2 m>1(3+√5)/22+√2(5+√13)/23+√5(7+√29)/24+√10(9+√53)/2m

30.381966011(3-√5)/2

m-1

4
5
6
7
8
9

3
3

4
4

4.732050807 5.561552812 6.449489742 7.37228132(m+1 + √(m2-6m+17))/2 m>3
3+√3(7+√17)/24+√6(9+√33)/2

0.585786437 3.732050807 4.561552812 5.449489742 6.372281323 7.31662479
2-√2
2+√3
(5+√17)/23+√6(7+√33)/2
4+√11(m + √(m2-4m+12))/2 m>3m-1

3.618033988 4.414213562 5.302775637 6.236067977 7.19258240(m+1 + √(m2-6m+13))/2 m>3(5+√5)/23+√2(7+√13)/24+√5(9+√29)/2

m-1

3.246979603 4.214319743 4.935432331
66.79128785
6(9+√21)/2
4cos2(pi/7) see page 98
1.554958132
44.866198262 5.744826077 6.61185871
4
4cos2(2pi/7)
1.381966011 3.879385241 4.651093408 5.645751311 6.56155281(5-√5)/23+√7(9+√17)/2
4sin2(4pi/9)
113.732050807 4.618033988 5.507018644 6.50466435
2+√3(7+√5)/2

10

0.697224362 3.414213562 4.561552812 5.449489742 6.41147413(5-√13)/22+√2(5+√17)/2
3+√6

110.267949192
2-√3

12
13

2
2

4.460504870 5.414213562 6.30277564
4+√2(9+√13)/2

0.198062264 1.652703644 4.390256884 5.323404276 6.24655136
4cos2(3pi/7) 4sin2(2pi/9) see page 102
1.585786437 4.302775637 5.236067977 6.14743023
3-√2(5+√13)/23+√5

141.460811128 4.170086486 5.086130197 6.10043199
see page 98

15

1.267949192
3-√3

16

0.763932022 3.956295201
3-√54sin2(7pi/15)

445.048917339

6
6

5
5

5.81880441

146
17

0.585786437
2-√23.801937735
4sin2(3pi/7)

4.912229178

5.79128785(7+√21)/2

18

0.467911113
4sin2(pi/9)

3.532088886
4cos2(pi/9)

4.813606502

5.77845712

190.438447187(5-√17)/2

2.618033988(3+√5)/2

4.732050807
3+√35.66907909

200.324869128
see page 98

2.445041868
4sin2(2pi/7)

4.699628148

5.61803399(9+√5)/2

21

0.267949192
2-√3

2.381966011(7-√5)/2

4.685543932
see page 107

5.60167913

2.347296355
4cos2(2pi/9)

4.561552812(5+√17)/2

5.58064949

2.311107817

4.481194304

5.56155281(7+√17)/2

2.239123278

4.460504870

5.52382740
see page 15425

2.209056926
4sin2(4pi/15)

4.342923082

5.49086362

26

2
2

4.302775637(5+√13)/2

5.44948974
3+√6

27

1.837852791

4.246979603

5.36146877

28

1.789244119

4.143864425

5.33005874

1.726109445

4.061498850

5.32340428

1.697224362(7-√13)/2

4
4

5.23606798
3+√5

1.537401577

3.847759065
4cos2(pi/16)

5.15806602

32

1.438447187(7-√17)/2

3.618033988(5+√5)/2

5.12841906

33

1
1

3
3

5.11490754

34

0.807417596(7-√29)/2

2.858441954

5.10581735

35

0.753020395
4sin2(pi/7)

2.765366864
4cos2(3pi/16)

5.08613020

360.697224362(5-√13)/2

2.760876721

5.02228434

22
23
24

29
30
31

147
0.661738787
4sin2(2pi/15)

2.688892182

5
50.622797146

2.618033988(3+√5)/2

4.92905836

0.550510257
3-√62.585786437
4-√2

4.90321193

0.544113219

2.554958132

4.87938524
1+4sin2(4pi/9)

0.527166091

2.529316580

4.87602993
see page 154

420.518805695

2.470683419

4.86080585

430.438447187(5-√17)/2

2.428006731

4.83424318

440.381966011(3-√5)/2

2.396338530

4.79128785(5+√21)/2

45

0.344557618

2.357926367

4.76251271

0.300371851

2.334903985
see page 107

4.75801626

0.227777104

2.286462065

4.73205081
3+√3

48

0.172909084
4sin2(pi/15)

2.239123278

4.69962815

49

0.120614758
4cos2(4pi/9)224.61128405

1.778123837

4.60312217

1.763932022
4-√54.56155281(5+√17)/2

1.604068139

4.53208889
1+4cos2(pi/9)531.550510257
4-√6

4.52309559

54

1.381966011(5-√5)/2

4.49086362

1.306177543

4.43828324
see page 154

1.267949192
3-√34.41421356
3+√2

37
38
39
40
41

46
47

50
51
52

55
56

148
57

1.234633135
4sin2(3pi/16)

4.36233983

58

1.198062264

4.28399787

59

1
1

4.24977751

60

0.837722339
4-√104.21431974

61

0.829913513

4.12675706

620.801308756

4.11490754

0.781690346

4.09529399
see page 154

64

0.763932022
3-√54.02641795

65

0.728669629
see page 107

440.714857518

3.87938524
4sin2(4pi/9)670.697224362(5-√13)/2

3.68250707
4cos2(pi/11)

68

0.657076917

3.65662043

0.651105782

3.38196601(9-√5)/2

0.643104132

3.34729636
1+4cos2(2pi/9)710.627718676(7-√33)/2

3.31205649

72

0.550510257
3-√6

3.25410169

73

0.539495129

3.24697960
4sin2(pi/7)740.485863070

3.20163968

75

0.438447187(5-√17)/2

3.19712630

76

0.381966011(3-√5)/2

3.16744919

77

0.354248688
3-√7

3.13856427
see page 154

63

66

69
70

149
78

0.318669356

3.11174866

790.307978528

3.09743828

0.300371851

3
30.250882452
see page 107

2.91373170

0.235985074

2.90649011
see page 154

0.216003272

2.86998564

0.186393497

2.83083003
4cos2(2pi/11)

0.152240934
4sin2(pi/16)

2.82578455

80
81
82
83
84
85
86

2.80606343

87

2.79836032

88

2.78526145

89

2.76784110

90

2.76087672

912.74589831

92

2.73764031
see page 154

932.71083145

94

2.69722436(9-√13)/2

95

2.69493616

962.66012311

97

2.65270364
1+4sin2(2pi/9)982.61803399(3+√5)/299

2.49131682

100

2.48508395

101

2.47602360

102

2.43844719(9-√17)/2103

2.43660294

150
104

2.42800673

105

2.42311248

106

2.40763553
see page 154

107

2.35792637

108

2.34337957

109

2.33887969

110

2.27551553

111

2.27152725

112

2.20871215(9-√21)/2

113

2.18144195

114

2.13535911

115

2.12313044

116

2

117

1.81520747

118

1.80741760(9-√29)/2

119

1.74589831

120

1.71537032
4cos2(3pi/11)

121

1.68154110

122

1.65867531

123

1.65270364
4sin2(2pi/9)

1241.62771868(9-√33)/2

125

1.58578644
3-√2

126

1.55495813
4sin2(2pi/7)

1271.52274000
see page 154

128

1.51682136

129

1.46791111
1+4sin2(pi/9)

151
130

1.46081113

131

1.43844719(7-√17)/2

132

1.43311137

133

1.41533600

1341.34337957

135

1.32035681

136

1.28792391

137

1.26794919
3-√3

138

1.25253155

139

1.22554253

140

1.21552401

141

1.20871215(7-√21)/2

142

1.18550012

143

1.17975075
see page 154

144

1.16575682

145

1.13919415

146

1.12061476
1+4cos2(4pi/9)

147

1

148

0.885092459

149

0.871580936

150

0.859945055(9-√53)/2

151

0.854897309

152

0.843897537

153

0.816843483

154

0.809090381

155

0.778948242
see page 154

156

0.773318403

152
157

0.763932023
3-√5

158

0.742004056
see page 154

159

0.738197755

160

0.729465979

161

0.721492242

162

0.690278532
4cos2(4pi/11)

163

0.683375210
4-√11

164

0.681920126

165

0.671127818

166

0.669941260

167

0.644325706
see page 154

168

0.560688328

169

0.558709090

170

0.550510257
3-√6

171

0.539495130

172

0.531123990

173

0.510711428

174

0.509136385

175

0.491518801

176

0.485863071

177

0.481389601

178

0.475475904
see page 154

179

0.471082043

180

0.467911114
4sin2(pi/9)181

0.461914860

182

0.438447187(5-√17)/2

153
183

0.423585097

184

0.381966011(3-√5)/2

185

0.359976533

186

0.336572906

187

0.335455078

188

0.334731491

189

0.330336159

190

0.324869129

191

0.318669356

192

0.311368187

193

0.290724641

194

0.289588833
see page 154

195

0.284062992

196

0.260856311

197

0.257249391

198

0.249199578

199

0.243401746
see page 1542000.232761916

201

0.208712153(5-√21)/2

202

0.198062264
4cos2(3pi/7)

2030.190505365

204

0.165756816

205

0.157084231

206

0.139194147

207

0.113390355

208

0.081014052
4cos2(5pi/11)

154Některé z kořenů pro m=8 jde ještě také vyjádřit pomocí radikálů

Zajímavé vlastnosti dalších skupin kořenů (pro m=8) vyjadřují následující rovnice

Zejména poslední příklad je (v kombinaci s dalšími identitami) další pěknou ukázkou aplikace de Moivreova vztahu, jak jsem již popisoval na str. 95 pro případy
kubických rovnic. Zde podobným postupem získáme elegantnější vyjádření kořenů rovnice 5. stupně. Obecněji platí, že každý takovýto součin je polynom v x(a trigonometrické výrazy jsou pak kořeny příslušné rovnice).

Samozřejmě, ne každý polynom se dá takto rozložit, naopak tento případ je spíše raritní. Jsou tu ještě zajímavé analogie s podobnými typy polynomů, viz např.
Fibonacci Polynomial (tyto polynomy mají shodné koeficienty, ale nestřídají znaménka, navíc se liší v mocninách x).

155

Sorted values of roots for m=1 to 8
Osa x představuje pořadová čísla kořenů (pro každé m setříděných podle velikosti), na ose y jsou hodnoty těchto kořenů
values of roots
8

8
8 7

88
7 8
6
8
88
77 88
88
6 7
88
6 5 7
8
888
7
888
7
888
6
88
6 777
888
7
6
5
7
88
8888
77
88
4 6
77
88888
6
8888
7
5 6
777
88
6
88888
5
6
77
888
66
7
5
88
777
4 5
6
88
6
77
888
88
4 34 5
66
7
5
8
7
6
4 5
88
4
7
6
3
5
888
4
88888
888
23
7
888
888888777
8888888
7
888
2
6
7777
88888888
777
66
777
88888
66
66
7
8888
2 1
5
6
7
8
66
888
77
66
8888
55
888
77
4
6
8888885
6888
477888888
5
777
88888
4
6
7
8
888888877777
66
8888888888
5777777
4
666
888
7
3
5
88888888888888
6666
777
55
666
777
8888
2
8888888888888
5
77
6
7
44
5
7777
8888888
66
7
888
6
50
100
150
200

sorted roots

156

Sorted values of roots for m=1 to 16(roots are same for normal chess and for horizontal cylinder)
Graf s novými hodnotami až do m=16 (90925 kořenů)Sorted values of roots for m=1 to 20(roots are same for normal chess and for horizontal cylinder)
Graf s novými hodnotami až do m=20 (1871305 kořenů)(kořeny jsou shodné pro normální i horizontální válcovou šachovnici)

157
Tables - number of ways to place m x n non-attacking kings on a 2m x 2n chessboard (for m=1 to 8, n=1 to 20)
A001787(n+1)
n kings board

1n/2x2n kings board

A061593

A061594

A1737822n/4x2n kings board

3n/6x2n kings board

4n/8x2n

1

1

2x2

4

2

4x2

12

3

6x2

32

4

8x2

80

2

2

2x4

12

408

8

8x4

1847

2x6

32

79
408

6x4

3

4x4
4x6

6

3

4
6

9

6x6

3600

12

8x6

26040

4

4

2x8

80

8

4x8

1847

12

6x8

26040

16

8x8

28157155 2x10192

10 4x107698

15 6x10

16636820 8x1025807546

6 2x12448

12 4x1230319

18 6x12

97664024 8x1221137959

7

7 2x141024

14 4x1411460621 6x145392704

28 8x14

159636030

88 2x162304

16 4x16

41993324 6x1628432288

32 8x161134127305

99 2x185120

18 4x18

1501674

27 6x18

144605184

36 8x187683664202

1010 2x2011264

20 4x20

5266069

30 6x20714611200

40 8x2050123713793

11

11 2x2224576

22 4x2218174084

33 6x223449705600

44 8x22317076250136

1212 2x2453248

24 4x2461892669

36 6x24

16333065216

48 8x24

1955475353217

13

13 2x26

11468826 4x26

208424880

39 6x26

76081271168

52 8x26

11806000507544

14

14 2x2824576028 4x28

695179339

42 6x28

349524164224

56 8x28

70004699407151

15

15 2x30

52428830 4x302299608732

45 6x30

1586790140800

60 8x30

408747986045656

16

16 2x32 1114112

32 4x327552444115

48 6x32

7130144209024

64 8x322355077855615435

17

17 2x34 2359296

34 4x34 24648046806

51 6x34

31752978219904

68 8x34

13413115039118042

18

18 2x36 4980736

36 4x36 79994460139

54 6x36 140298397039232

72 8x3675623103424916527

19

19 2x38 10485760

38 4x38 258339007890

57 6x38 615604372260736

76 8x38 422575531184296006

20

20 2x40 22020096

40 4x40 830619734681

60 6x40 2684534626000512

80 8x40 2342732055500907753

Tabulku hodnot pro šachovnice typu 8 x 2n (pro n=1 až 10) nalezneme už v knize Schach und Zahl (1966), str.53. Je až neuvěřitelné, co dokázal při tehdejší úrovni
počítačů Christoph Bandelow vypočítat. Hodnoty v další tabulce (pro m > 4) jsem v tomto případě vygeneroval pomocí vytvořujících funkcí (přičemž několik
prvních hodnot jsem současně ověřil klasickým kombinatorickým postupem).

158

n kings board

A173783

A174154

A174155

A174558

5n/10x2n kings board

6n/12x2n kings board

7n/14x2n kings board

8n/16x2n

1

5

10x2

192

6

12x2

448

7

14x2

1024

8

16x2

2304

2

10

10x4

7698

12

12x4

30319

14

14x4

11460616

16x4

419933

3

15

10x6

16636818

12x6

97664021

14x6

539270424

16x6

28432288

4

20

10x8

258075424

12x82113795928

14x8

159636030

32

16x8

1134127305

5

25 10x1032572756

30 12x10357365350

35 14x103544192112

40 16x1032580145116

6

30 10x12

357365350

36 12x12

5109144543

42 14x12

64737165162

48 16x12

749160010737

7

35 10x14

3544192112

42 12x14

64737165162

49 14x14

1027533353168

56 16x14

14677177838054

8

40 10x16

32580145116

48 12x16

749160010737

56 14x16

14677177838054

64 16x16

254977173389319

9

45 10x18

282359109140

54 12x18

8080813574550

63 14x18

193194265398240

72 16x18

4035559337688370

10

50 10x20

2335042206624

60 12x20

82425144219429

70 14x20

2383116363555182

80 16x20

59315924213143597

11

55 10x22

18589546217696

66 12x22

803491953235264

77 14x22

27889602664055396

88 16x22

821112680030028632

12

60 10x24

143422674213726

72 12x24

7545414941610145

84 14x24

312546900470579954

96 16x24

10819171744710664383

13

65 10x26

1077891352444220

78 12x26

68680800264413920

91 14x26

3378090945290324892

104 16x26

136800806311499633208

14

70 10x28

7923134615854816

84 12x28

608889093898882615

98 14x28

35412239480510055916

112 16x28

1670597119210336446533

15

75 10x30

57146364209686016

90 12x30

5278006575696293456

105 14x30

361670315347336810428

120 16x30

19804685547188544317522

16

80 10x32

405497952834408698

96 12x32

44873569636443901967

112 14x32

3611858972942315054336

128 16x32

228865023358344707514899

17

85 10x34

2836821801400729056

102 12x34

375159494582050088590

119 14x34

35375586671457852212944

136 16x34

2586924156960003793687130

18

90 10x36 19601724610147889574

108 12x363090799708762482416287

126 14x36

340648108214969253040772

144 16x36

28681715460054576813151389

19

95 10x38 133975308779739341536

114 12x38 25137927547256761590690

133 14x38 3231742210202924671114360

152 16x38 312656761422008821513384848

20

100 10x40 906926114664479185714

120 12x40 202136632706910980639569

140 14x40 30258973227371613303664168

160 16x40 3357651442822195404605813501

159

A195648n kings board

A195649

9n / 18x2n kings board

A195650

10n / 20x2n kings board

A195651

11n / 22x2n kings board

12n / 24x2n

1

9

18x2

5120

10

20x2

11264

11

22x2

24576

12

24x2

53248

2

18

18x4

150167420

20x4

526606922

22x4

18174084

24

24x4

61892669

3

27

18x6

144605184

30

20x6

714611200

33

22x6

3449705600

36

24x6

16333065216

4

36

18x8

7683664202

40

20x8

50123713793

44

22x8

317076250136

48

24x8

1955475353217

5

45 18x10

282359109140

50 20x10

2335042206624

55 22x1018589546217696

60 24x10

143422674213726

6

54 18x12

8080813574550

60 20x12

82425144219429

66 22x12

803491953235264

72 24x12

7545414941610145

7

63 18x14

193194265398240

70 20x14

2383116363555182

77 22x14

27889602664055396

84 24x14

312546900470579954

8

72 18x16

4035559337688370

80 20x16

59315924213143597

88 22x16

821112680030028632

96 24x16

10819171744710664383

981 18x18

75925129079783308

90 20x18

1314578079936797520

99 22x18

21279238303065874504

108 24x18

325878859655043000344

10

90 18x20

1314578079936797520

100 20x20

26568150968269086211

110 22x20

498306336520679626558

120 24x208788579757709800395287

11

99 18x22

21279238303065874504

110 20x22

498306336520679626558

121 22x22

10749154284380665611224

132 24x22

216711725342137199240416

12

108 18x24325878859655043000344

120 20x248788579757709800395287

132 22x24

216711725342137199240416

144 24x24

4963704194366362387891227

13

117 18x26

4765036384361599508980

130 20x26

147246060712874767006100

143 22x26

4129262403388762742636600

156 24x26

106899958975789427315593702

14

126 18x28

67005992305769489072298

140 20x28

2362334876238883501403023

154 22x28

75016634741234060492763558

168 24x28

2185515270923751571682231623

15

135 18x30

911373843678367079288192

150 20x30

36524460392984517732438244

165 22x30

1308529555017588577342694260

180 24x30

42742033252061610112345948662

16

144 18x32

12045876354416055791256678

160 20x32

547035897487475746003788845

176 22x32

22040301683559753896133018280

192 24x32

804583723052029764342598840093

17

153 18x34

155309520603782232217425848

170 20x34

7970364383210794543297422104

187 22x34

360149145786269982966787471688

204 24x34

14652355348247814882309058368622

18

162 18x36

1959522112912794750304926260

180 20x36113369451090032844210066601511

198 22x36

5731315291381804113135524528938

216 24x36

259233668941994216352098007900049

19

171 18x38

24257406881812972044430612380

190 20x38

1578865463792113935683828261064

209 22x38

89111829547824780652750579335144

228 24x38

4471487363265755557212629880839120

20

180 18x40 295291113132133982556242322098

200 20x40 21582482575952717566056822842611

220 22x40 1357401217343394388315209379366858

values for m>8 computed by Alex V. Breger (2011), for more values see b-files in OEIS

240 24x40 75418687359133840252078313969539515

1602.4) Number of ways to place n2 non-attacking kings on 2n x 2n chessboard - A018807
Jinou možností konfigurace králů je případ na obecné čtvercové šachovnici sudých rozměrů 2n x 2n, kam se vejde n2 neohrožujících
se králů (tedy opět je zaplněna vždy právě čtvrtina šachovnice). V tomto případě je výsledků zatím málo, alespoň odhad průběhu této
funkce v článku The Problem of Kings (.ps file) - Michael Larsen (The Electronic Journal of Combinatorics 2, 1995).
Let f(n) the number of configurations of n2 mutually non-attacking kings on a 2n x 2n chessboard

Z Larsenova vztahu vyplývá

Osobně se domnívám, že exponentvýraz ještě správný s odhadem chybypůjde ještě zlepšit, tedy že existuje konstanta a, pro kterou je výše uvedený
. Probably better asymptotic formula exists.

a=0
Grafy znázorňují průběhy funkcí
a = 1/8

a = 1/4
Mezní exponent je někde v intervalu 0 <= a <= 1/2, dokonce není vyloučeno, že a=0.
a = 1/2

I když je nyní k dispozici více hodnot, nejde to ale ještě spolehlivě určit. Je všaka = 4/5a=1vidět, že grafy nad červeným (Larsenovým) grafem jsou stále ještě klesající.

161

Jak můžeme vidět na grafu (v logaritmickém měřítku), vypočtené hodnoty jsou skutečně
v teoreticky dokázaném pásmu

Pro experimentování doporučuji následující kód v programu Mathematica:
Manipulate[Show[ListPlot[Log[kings]],
Plot[Log[(n/2)^(2n)]+n^(alfa)*Log[n],{n,1,26}],
Plot[Log[(n+1)^(2n)],{n,1,26}],AxesOrigin->{0,0}],{alfa,0,1}]
Pole kings obsahuje vypočtené hodnoty a pomocí proměnné alfa je možno plynule posouvat dolnímezí. Zjistíme, že nejpravděpodobnější „správná“ hodnota alfa není 0.8, ale asi 0.5 (viz graf vlevo).
Samozřejmě toto je ale pouze domněnka, kterou by bylo třeba dokázat i analyticky.

162nn2 board
kings 2n x 2n

A018807

1

1

2x2

4

2

4

4x4

79

3

9

6x6

3600

4

16

8x8

2815715

25 10x1032572756

6

36 12x12

5109144543

7

49 14x14

1027533353168

8

64 16x16

254977173389319

9

81 18x18

75925129079783308

10 100 20x20

26568150968269086211

11 121 22x22

10749154284380665611224

12 144 24x24

4963704194366362387891227

13 169 26x26

2588716234142991968960920692

14 196 28x28

1511548995678989691821551648635

15 225 30x30

980916600918165029390915601861216

16 256 32x32

703066055325632897509116263399480311

17 289 34x34

553566164164538758951848363955159341236

18 324 36x36476550132149153136812897667419399098606255

19 361 38x38

446700013633250141224116671772082056532427712

20 400 40x40

454253561073725156534218620121412788113502357703

21 441 42x42

499497358232990868471441676816136418783201589544420

22 484 44x44

592164459269741145142867933577242446750593983042233185

23 529 46x46

754867224182211583012273355207753302384758857649416296064

24 576 48x48

1032210451608310484545146750800038813036897244006452398722183

25 625 50x50

1510695366603970074479374959524695944196756884581589510634080548

26 676 52x52 2361658429416343345310712093583459956750032068219556304032803845397
Hodnoty pro 9 <= n <= 11 vypočítal David W. Wilson.
Hodnoty pro 12 <= n <= 26 byly vypočteny v soutěži, kterou pořádal na svéinternetové stránce 1.3. - 14.3.2011 Artem M. Karavaev, viz Zealint Blog.
Speciálně hodnotu pro n = 26 vypočetl Shamil Saifutdinov (value for n=26 computed
Shamil Saifutdinov 10 hours with help of 8 cores, added 18.6.2011).

Poznámka: Asymptotický odhad je současně i dolním odhadem pro obdélníkovou šachovnici 2m x 2n, protože snadno lze dokázat, že ze všech obdélníkových šachovnic stejné
plochy je právě ta čtvercová tou, kde počet možností m*n neohrožujících se králů dosáhne minima. Např. 16 neohrožujících se králů můžeme na šachovnici 2x32 rozestavit
1114112 možnými způsoby, na šachovnici 4x16 (stejné plochy) už jen 419933 způsoby a na šachovnici 8x8 dosáhneme minima 281571 možných rozestavení.

163

2.5) k Kings on an n x n cylindrical chessboard - k králů na válcové šachovnici n x n
A194650 - 2 kings, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 30.8.2011), n>=3

A194651 - 3 kings, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 30.8.2011), n>=4

A194652 - 4 kings, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 30.8.2011), n>=5

A194653 - 5 kings, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 30.8.2011), n>=6

A194654 - 6 kings, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 30.8.2011), n>=7

Obecně tyto vzorce platí proa první členy těchto vzorců mají tvar

164

k
2

3

4

5
6

k Kings on an n x n cylindrical chessboard - Generating function

165
k Kings on an n x n cylindrical chessboard
n 2 kings 3 kings

4 kings

5 kings

6 kings

A212269, summed over all k >= 0

1

2

2

0

0

0

3

9

0

0

0

0

19

4

68

88

32

0

0

205

5

215

785

1205

655

125

3011

6

504

3528

13260

26952

28930

92875

7

1001

11151

74494

3098698093684763459

8

1784

28560

291708

19987529414152459630701

9

2943

63513

908973912484866305781

78223965193

10

4580

127520241641033065040

338374560

24270274906085

11

6809

2368635711530

101473009

1378426060

13497818986883771

12

9756

413736

12327414

274593648

4751038284

13571363009654254429

13

13559

68750524743693

673080928

14388638901

24562890586806439035377

14

18368 1096088

46797968

1522931256

39296604844

80199120146273882569630015

1524345 1687455

84216990

3224953725

98605016040

471874707649862024071657639861

16

31664 2521248 145288600

6458355776

230507248912

5005895207027974222377733802848093

1740511 3670521 241697109 12330557912

507379370525

95724096351235961517780378463501217883

1851084 5223600 389546478 22588294464 1060395103800

3299898416592847899779771107978510262881723

1963593 7286063 610597338 39908439249 2118303772332

205065652820217795990961278100725876734896504351

20

78260 9982840 933745570 68290845520 4066797540820

22972650388613699523234197544114590607787319141768893

21

95319 13460433 1396771845 113579839128 7537144196589

4639263971840807451718333317636457822140807347062959552393

22 115016 17889256 2048393204 184145882536 13535598398916

1688922270253494512376187345188827715026638498679195388459885491

23 137609 23466095 2950649438 291764365485 23628635128024

1108387368646648434527989000161664853570430760720956272959259777984263

5

24 163368 30416688 4181658708 452734505952 40203393674520 1311279770155306020620537777254530515351977295343197124976227670003819862721
25 192575 38998425 5838778525 689287992800 66828011575525

For n=25 to 26 see A212269 (added 25.8.2016)= A247413

166

2.5.1) k Kings on a 1 x n and 2 x n horizontal cylinder - k králů na horizontálním válci 1 x n a 2 x n
Na horizontální válcovou šachovnici 1 x n (for definition see chapter 2.6) se vejde nejvýše n/2 nenapadajících se králů (resp. vezírů) pokud je n sudé a (n-1)/2 králů
(resp. vezírů) pokud je n liché. Maximal number of non-attacking kings (or wazirs) on a 1 x n horizontal cylinder is

Pro počet pozic k neohrožujících se králů zde platí
2 Kings, cylinder 1 x n: (n>=4)3 Kings, cylinder 1 x n: (n>=6)

4 Kings, cylinder 1 x n: (n>=8)

Tyto vzorce nejsou sice na první pohled tak elegantní jako pro normální šachovnici 1 x n (viz kapitola 2.1.1), jednoduchou úvahou však zjistíme, že jde o rozdíl
počtu všech možných pozic neohrožujících se k králů na normální šachovnici 1 x n a počtu pozic, kde jsou 2 kameny na polích se souřadnicemi [1,1] a [1,n] azbývajících k - 2 kamenů je rozmístěno na n - 4 možných polích šachovnice. Je proto třeba odečíst (při použití téhož vzorce jako na normální šachovnici)Výsledný počet pozic je potom
Number of ways of placing k non-attacking kings (or wazirs) on a 1 x n horizontal cylinder is (for n>=2k)

Součet přes všechna k (pro n > 1)

potom vede na Lucas numbers, jak nám ukáže i Mathematica

167
Ze vzorce pro horizontální válcovou šachovnici 1 x n snadno odvodíme i vzorec pro horizontální válcovou šachovnici 2 x n.
Number of ways of placing k non-attacking kings on a 2 x n horizontal cylinder is (for n>=2k)

Vzorec je dán počtem volných polí pro umístění dalšího krále s tím, že král může být vždy libovolně v levém nebo pravém sloupci.
Několik prvních polynomů:2 Kings, cylinder 2 x n: (n >= 3)
3 Kings, cylinder 2 x n: (n >= 4)
4 Kings, cylinder 2 x n: (n >= 5)
5 Kings, cylinder 2 x n: (n >= 6)

6 Kings, cylinder 2 x n: (n >= 7)

Pokud v tomto vzorci dosadíme za
což se shoduje se vzorcem v kapitole 2.6.1
Ještě je zajímavá suma přes všechna k >= 0
Pro n > 1a za

, dostaneme pro počet pozic n nenapadajících se králů na horizontální válcové šachovnici 2 x 2n

168

k non-attacking kings on a 2 x n horizontal cylinder
n 1 king 2 kings 3 kings 4 kings 5 kings 6 kings 7 kings 8 kings 9 kings 10 kings summed over all k >= 0
1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5

3

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

4

8

8

0

0

0

0

0

0

0

0

17

5

10

20

0

0

0

0

0

0

0

0

31

6

12

36

16

0

0

0

0

0

0

0

65

7

14

56

56

0

0

0

0

0

0

0

127

8

16

80

128

32

0

0

0

0

0

0

257

9

18

108

240

144

0

0

0

0

0

0

511

10

20

140

400

400

64

0

0

0

0

0

1025

11

22

176

616

880

352

0

0

0

0

0

2047

12

24

216

896

1680

1152

128

0

0

0

0

4097

13

26

260

1248

2912

2912

832

0

0

0

0

8191

14

28

308

1680

4704

6272

3136

256

0

0

0

16385

15

30

360

2200

7200 12096

8960

1920

0

0

0

32767

16

32

416

2816 10560 21504 21504

8192

512

0

0

65537

17

34

476

3536 14960 35904 45696 26112

4352

0

0

131071

18

36

540

4368 20592 57024 88704 69120 20736

1024

0

262145

19

38

608

5320 27664 86944 160512 160512 72960

9728

0

524287

20

40

680

6400 36400 128128 274560 337920 211200 51200

2048

1048577n 1 king 2 kings 3 kings 4 kings 5 kings 6 kings 7 kings 8 kings 9 kings 10 kings

1692.6) m x n Kings on a 2m x 2n cylindrical chessboard - m x n králů na válcové šachovnici 2m x 2n
V následujících kapitolách je uvažována horizontální válcová šachovnice. První a poslední řada šachovnice jsou spojené do válce.
Horizontal cylinder: a chessboard where it is supposed that the rows 1 and 2n are in contact (for 8x8 board rows "1" and "8" are in contact).
Move from [x,y] to square [x + p, y + q] is transformed as [x + p, (y + q) Mod 2n]2m = x-size of chessboard = number of columns
2n = y-size of chessboard = number of rows
For each sequence m is fixed and n go to infinity.
(Example is for m=2)

2.6.1) m=1 / n Kings on a 2 x 2n horizontal cylinder - n králů na horizontálním válci 2 x 2n
Explicit formula:2.6.2) m=2 / 2n Kings on a 4 x 2n horizontal cylinder - 2n králů na horizontálním válci 4 x 2n
A194644
Explicit formula (V. Kotěšovec, 29.8.2011):

Nebo s pomocí Lucas numbers (což jsou Fibonacciho čísla s jinými počátečními podmínkami, ale snad s ještě zajímavějšími vlastnostmi), viz též kap.2.3.2

Recurrence:
Generating function:

170

2.6.3) m=3 / 3n Kings on a 6 x 2n horizontal cylinder - 3n králů na horizontálním válci 6 x 2n
A194645
Explicit formula (V. Kotěšovec, 29.8.2011):
Recurrence:

Generating function:

Proti normální šachovnici je zda navíc člen x-1.

2.6.4) m=4 / 4n Kings on a 8 x 2n horizontal cylinder - 4n králů na horizontálním válci 8 x 2n
A194646
Explicit formula (V. Kotěšovec, 29.8.2011):

Recurrence:

G.f.:

nebo

171

2.6.5) m=5 / 5n Kings on a 10 x 2n horizontal cylinder - 5n králů na horizontálním válci 10 x 2n
A194647
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.9.2011):

Recurrence:a(n) = -193536*a(n-22) + 4020480*a(n-21) - 37748736*a(n-20) + 213097152*a(n-19) - 811893408*a(n-18) + 2222092032*a(n-17) - 4541105512*a(n-16) + 7111450512*a(n-15) 8690399936*a(n-14) + 8395031504*a(n-13) - 6469161690*a(n-12) + 4000492482*a(n-11) - 1991743054*a(n-10) + 798883747*a(n-9) - 257594833*a(n-8) + 66416673*a(n-7) - 13565686*a(n-6) +2162701*a(n-5) - 263028*a(n-4) + 23541*a(n-3) - 1460*a(n-2) + 56*a(n-1)

Generating function:-2*(7089408*x^21 - 132938496*x^20 + 1125112128*x^19 - 5717239392*x^18 + 19578445344*x^17 - 48082847384*x^16 + 88003026752*x^15 - 123138008952*x^14 + 134072006560*x^13 114991853490*x^12 + 78336556962*x^11 - 42596878318*x^10 + 18524447581*x^9 - 6435525481*x^8 + 1778018953*x^7 - 387290192*x^6 + 65568715*x^5 - 8436954*x^4 + 796245*x^3 51918*x^2 + 2088*x - 39)/((x-1)*(2*x-1)*(4*x-1)*(6*x-1)*(x^2-4*x+1)*(2*x^2-5*x+1)*(2*x^2-4*x+1)*(4*x^2-6*x+1)*(6*x^2-6*x+1)*(7*x^2-6*x+1)*(2*x^3-8*x^2+6*x-1)*(3*x^39*x^2+6*x-1))

Proti normální šachovnici je zda navíc člen x-1.
Jiné možné vyjádření vytvořující funkce je

Je možno ještě poznamenat, že generační funkce pro normální šachovnici tuto pěknou vlastnost (ani přímou vazbu na koeficienty v explicitním vzorci) nemají.
O použití podobné metody rozkladů generačních funkcí viz též kapitola 1.2.

172

2.6.6) m=6 / 6n Kings on a 12 x 2n horizontal cylinder - 6n králů na horizontálním válci 12 x 2n
A194648 - Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.9.2011):

173
Recurrence:a(n) = 25147584000*a(n-49) - 1412422401600*a(n-48) + 37366066553760*a(n-47) - 621736878459564*a(n-46) + 7328352058508736*a(n-45) - 65327706620774553*a(n-44) +459103033290045078*a(n-43) - 2617610437109862140*a(n-42) + 12365157710942649267*a(n-41) - 49174878927647152193*a(n-40) + 166723091105251092029*a(n-39) 486797186990900726158*a(n-38) + 1234232572662337908295*a(n-37) - 2736099335631729732358*a(n-36) + 5334155219056391326621*a(n-35) - 9190302655918861018594*a(n-34) +14052187658858602811086*a(n-33) - 19136737348463193623732*a(n-32) + 23283124318667970185580*a(n-31) - 25375425632156076733736*a(n-30) + 24829391878777653306741*a(n-29) 21854027730161965985121*a(n-28) + 17330242433059284917247*a(n-27) - 12398045659209581154381*a(n-26) + 8009846446628877143184*a(n-25) - 4676788353519183205994*a(n-24) +2469102261987638350625*a(n-23) - 1178957762144560119277*a(n-22) + 509105053427808565774*a(n-21) - 198758740577568913437*a(n-20) + 70110767534529096739*a(n-19) 22324060511037585983*a(n-18) + 6408095608117333736*a(n-17) - 1655461203049171846*a(n-16) + 384075945698236159*a(n-15) - 79813193163925620*a(n-14) + 14807521518627422*a(n13) - 2442977988253415*a(n-12) + 356686744049422*a(n-11) - 45815780494341*a(n-10) + 5139688443504*a(n-9) - 499005760654*a(n-8) + 41450235787*a(n-7) - 2902322885*a(n-6) +167948132*a(n-5) - 7815096*a(n-4) + 280953*a(n-3) - 7321*a(n-2) + 123*a(n-1)

Generating function:-2*(89 - 10723*x + 624883*x^2 - 23467472*x^3 + 638482759*x^4 - 13413438823*x^5 + 226473764701*x^6 - 3158289686979*x^7 + 37103633559220*x^8 - 372694837903881*x^9 +3237745813930155*x^10 - 24547968675532954*x^11 + 163614642504317985*x^12 - 964304038772421241*x^13 + 5049759125224371420*x^14 - 23588023055204532526*x^15 +
98596816518900996536*x^16 - 369749982256505051694*x^17 + 1246596985141596105568*x^18 - 3784597631073220306538*x^19 + 10359024333739520735339*x^20 25585681777980494528368*x^21 + 57053755996516362455383*x^22 - 114888547350422714345765*x^23 + 208902287314052794121104*x^24 - 342869470671586467674888*x^25 +
507641177125927409932643*x^26 - 677372760244012841358262*x^27 + 813609297504705570196666*x^28 - 878342471490783010304860*x^29 + 850694012325076563431472*x^30 737552286681553434746588*x^31 + 570953207080580401887926*x^32 - 393443472758624547076877*x^33 + 240492887995406185027902*x^34 - 129856401671770146735901*x^35 +61639142225796645736766*x^36 - 25573570614423905917540*x^37 + 9210893172737036351470*x^38 - 2856378339325215858728*x^39 + 755038783301137591711*x^40 168008916680174264403*x^41 + 30973413839355772619*x^42 - 4632967261563067407*x^43 + 546417184904397579*x^44 - 48752942786878302*x^45 + 3082610022161544*x^46 122652589076640*x^47+2300138467200*x^48)/((-1+x)*(-1+2*x)*(-1+4*x)*(-1+7*x)*(1-3*x+x^2)*(1-5*x+2*x^2)*(1-6*x+3*x^2)*(1-5*x+3*x^2)*(1-7*x+5*x^2)*(1-7*x+8*x^2)*(17*x+9*x^2)*(1-7*x+11*x^2)*(-1+6*x-9*x^2+x^3)*(-1+7*x-12*x^2+3*x^3)*(-1+7*x-11*x^2+3*x^3)*(-1+7*x-11*x^2+4*x^3)*(-1+7*x-13*x^2+5*x^3)*(-1+7*x-12*x^2+5*x^3)*(-1+7*x14*x^2+7*x^3)*(1-7*x+14*x^2-8*x^3+x^4)*(1-7*x+13*x^2-7*x^3+x^4))
Jiné možné vyjádření generační funkce

174

2.6.7) m=7 / 7n Kings on a 14 x 2n horizontal cylinder - 7n králů na horizontálním válci 14 x 2n
A195004
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.9.2011):

175

176

177
Recurrence:a(n) = 8746516217730170880000*a(n-85) - 745091435273014738944000*a(n-84) + 30762599549292146117836800*a(n-83) - 820834685159380646929367040*a(n-82) + 15925650465805208711732920320*a(n-81) 239667516215588644643093741568*a(n-80) + 2914402636658640861712637558784*a(n-79) - 29456297112310112325526951329792*a(n-78) + 252622266308749887603294277730304*a(n-77) 1867616610183259872317123737116672*a(n-76) + 12051369611781880146558356044689408*a(n-75) - 68563667046969861210140030991157248*a(n-74) + 346795140719354500498066916678473728*a(n-73) 1570379926552348612740435108569370624*a(n-72) + 6404251284485474979502046840644695040*a(n-71) - 23641977426444551429474710014044615168*a(n-70) + 79356174222862273290100936536508525568*a(n-69) 243136873223743567485233920640254062592*a(n-68) + 682319955535117483948474380530632894464*a(n-67) - 1759220243521242971272733964440808344960*a(n-66) + 4178629157017923157800455107231658228096*a(n-65) 9166308055333364648206086359099895891840*a(n-64) + 18610707623818189757146652551568358579392*a(n-63) - 35043595589343382666629911544555460702048*a(n-62) + 61308554282442277738368818159312699696768*a(n-61) 99820208079286562792944814404190179497760*a(n-60) + 151480235225815576544104717761138879307344*a(n-59) - 214551731812442749852409765446269884375456*a(n-58) + 283984050472933807032016387053214808490768*a(n57) - 351675933152655222446863110197897961028664*a(n-56) + 407883969421282557544660851181757217890384*a(n-55) - 443501901490900685964486690632625788788496*a(n-54) +452483527667626510122157361959823577545116*a(n-53) - 433519474585554675321027469844536795515096*a(n-52) + 390329890315638397879899046383015257779768*a(n-51) - 330492584893065300696048626280270629928420*a(n50) + 263305424445938364650937820234766261392812*a(n-49) - 197497210344518691909307839617377332496726*a(n-48) + 139532260661304247096543190046679153931782*a(n-47) 92893574441178572445869535970403724406464*a(n-46) + 58298198399790056471455253509791714097825*a(n-45) - 34500132785018636006710664752520219397318*a(n-44) + 19257391087913181405263225040629151186272*a(n-43) 10140921814167342121211938118088849001792*a(n-42) + 5038838587531054046651836530047833987628*a(n-41) - 2362673225064751662372547547704555633600*a(n-40) + 1045493932598927036221255467761014916672*a(n-39) 436601690854837262203616552560815387262*a(n-38) + 172057350932125535425088191059644660790*a(n-37) - 63979187901854273527092491251827548655*a(n-36) + 22444540561400607122897712881328419731*a(n-35) 7426636629919740985496045649451822465*a(n-34) + 2317175918409451996565304916085049225*a(n-33) - 681488797315874299501618146366584502*a(n-32) + 188846441297378176522518597171831038*a(n-31) 49282739018956175502285900368718340*a(n-30) + 12105097441367664211274616723997585*a(n-29) - 2796687736808231684915622029956501*a(n-28) + 607291338747966869409975798808119*a(n-27) 123839650151492238580849239743842*a(n-26) + 23692825139854478095829187332583*a(n-25) - 4248167585872182220244662296078*a(n-24) + 713000590137978010047099019123*a(n-23) - 111864817301276143786034674593*a(n-22)+ 16381469343464643012631705641*a(n-21) - 2235256807858321803493302712*a(n-20) + 283651397179433118312259120*a(n-19) - 33403183417194915064568472*a(n-18) + 3641474337928260994018833*a(n-17) 366481987107253117428678*a(n-16) + 33942752076287377374732*a(n-15) - 2882674835842994926649*a(n-14) + 223560731166583964170*a(n-13) - 15756273391572396056*a(n-12) + 1003499987301575705*a(n-11) 57369727964797769*a(n-10) + 2920551204572253*a(n-9) - 131103713766739*a(n-8) + 5126864261813*a(n-7) - 171967643248*a(n-6) + 4847894553*a(n-5) - 111697218*a(n-4) + 2019709*a(n-3) - 26876*a(n-2) + 234*a(n-1)

Generating function (V. Kotěšovec, 7.9.2011):-2*(199 - 46054*x + 5230566*x^2 - 388631455*x^3 + 21246504112*x^4 - 911430234161*x^5 + 31949901383540*x^6 - 941136539784937*x^7 + 23774830446532731*x^8 - 523106905065455281*x^9 + 10147313947087731559*x^10 175245012665019563221*x^11 + 2716169322299464351232*x^12 - 38035276713124405669908*x^13 + 483932377086074933839969*x^14 - 5621364120330415311131998*x^15 + 59862928273454536426781852*x^16 586537078839958247575596517*x^17 + 5304180676436654282394727358*x^18 - 44393963790876768258819962286*x^19 + 344721302964841222045163622718*x^20 - 2488771954367728491795279410965*x^21 +
16738006324058945375015935994923*x^22 - 105041485584654393312788334438135*x^23 + 616044924008751696595185629107048*x^24 -3380978696003129576055563940251027*x^25 + 17384854682727514721510761598098650*x^26- 83841834608787756156563099651924883*x^27 + 379596336353310079560214627717409025*x^28 - 1614796838578587132477676368421998119*x^29 + 6459043112394001949373990369422155460*x^30 24308198469285352443498020737208004146*x^31 + 86122098222237935071344181488270368500*x^32 - 287383746378388516648151380388627188863*x^33 + 903590948365132936997236724766755753601*x^34 2677870284765278979176310623361360292545*x^35 + 7482252001292044420613706654683933539545*x^36 - 19714689693925629549281319229486581896976*x^37 + 48992064935241942530446679254415235937728*x^38 114835903744900082339905517303253657676846*x^39 + 253897893094713300470923730566158264217052*x^40 - 529491729366651936468910004332752824035678*x^41 + 1041462160360478782044306471682853736656714*x^42 1931764490019335646463659680556851783738442*x^43 + 3378392191188986202797993071583036557260292*x^44 - 5569377327587883292808483640809674353263067*x^45 + 8651987141608384415511097675220513903555912*x^46 12661518791280727816974401714159528604391322*x^47 + 17447778489680079118187519419210226802329926*x^48 - 22629631499560010532776834434755899218931652*x^49 +
27610260909747040959711731587611009814826884*x^50 - 31671228054223596455893780800542769096128200*x^51 + 34133282246360739919581212183614872110445248*x^52 34538026914232842677426433387363143696593268*x^53 + 32785306350204400723195667034470099532297216*x^54 - 29170600629654458164189904839398485048234288*x^55 +
24304224824262000105183749713425612851924984*x^56 - 18942405276257887027441279854817381078355952*x^57 + 13794611281658337072454458271934675951540768*x^58 9374804425424583884223650827920192737839824*x^59 + 5937443066168663020790107050489816662501920*x^60 - 3499213375661592940123545718653229822372608*x^61 + 1915847675755215900401984380922258194964960*x^62 972715540582897049472599842984661703168704*x^63 + 457066573915470163679674547181735527943552*x^64 - 198328341179905356077134928372142980128000*x^65 + 79275679005747081061637534743095550904704*x^66 29111329650705396359696082426187988140288*x^67 + 9790992852605380168149135581772833645568*x^68 - 3005685167819199136894901196071048498176*x^69 + 838926532415001974437942852988173732352*x^70 211953992793079041586480698527762531328*x^71 + 48225832788404647976426775885561876480*x^72 - 9823409467139025680526863401642868736*x^73 + 1778937364310926156633233215690950656*x^74 284030798297376390396252943221891072*x^75 + 39582475431700291546490402569003008*x^76 - 4755168290899700997995708462333952*x^77 + 484729032929031761098306648965120*x^78 - 41070325128926311258162802196480*
x^79 + 2811872906466591506262850142208*x^80 - 149329644603504129660003287040*x^81 + 5766597367335020967713832960*x^82 - 143922601914690613071052800*x^83 + 1740989223089442127872000*x^84)/((-1+x)*(-1+2*x)*(1+3*x)*(-1+4*x)*(-1+5*x)*(-1+6*x)*(-1+8*x)*(1-3*x+x^2)*(1-6*x+2*x^2)*(1-5*x+2*x^2)*(1-6*x+3*x^2)*(1-5*x+3*x^2)*(1-7*x+4*x^2)*(1-6*x+4*x^2)*(1-5*x+5*x^2)*(1-8*x+6*x^2)*(1-6*x+6*x^2)*(1-8*x+10*x^2)*(18*x+11*x^2)*(1-8*x+14*x^2)*(-1+6*x-5*x^2+x^3)*(-1+7*x-12*x^2+2*x^3)*(-1+7*x-12*x^2+3*x^3)*(-1+8*x-15*x^2+4*x^3)*(-1+8*x-16*x^2+6*x^3)*(-1+8*x-14*x^2+6*x^3)*(-1+8*x-17*x^2+7*x^3)*(-1+8*x-15*x^2+7*x^3)*(1+8*x-17*x^2+8*x^3)*(-1+8*x-17*x^2+9*x^3)*(-1+8*x-18*x^2+10*x^3)*(-1+8*x-19*x^2+13*x^3)*(1-8*x+20*x^2-16*x^3+2*x^4)*(1-8*x+19*x^2-13*x^3+2*x^4)*(1-8*x+18*x^2-12*x^3+2*x^4)*(1-8*x+20*x^2-17*x^3+3*x^4))
nebo

178

2.6.8) more kings on a 2m x 2n horizontal cylinder - více králů na horizontálním válci 2m x 2n

V ruském fóru Zealint blog, kde jsem 5.9.2011 úlohu předložil k řešení, měla velký ohlas. K mým původním vzorcům pro m <= 7 rychle přibývaly další výsledky.
Alex V. Breger vypočítal dostatečný počet hodnot až do m = 12. Najít rekurence a dokonce i vytvořující funkce bylo poměrně snadné pro m = 8 (hloubka rekurence208) i pro m = 9 (rekurence úrovně 400). Tyto výpočty jsem prováděl mým starým programem REKUR (jehož varianta pro symetrické rekurence je publikována i na
konci této knihy). Výpočty pro vyšší m však už byly časově i paměťově příliš náročné, hlavně proto, že jsem předem neznal hloubku rekurence. Podobně jako pro
normální šachovnici jsem proto použil program recurrence order finder, kterým jsem našel hloubky rekurencí až do m = 12. Plnou rekurenci pro m = 10 (hloubky916) jsem pak vypočítal pomocí programu Maple a jeho funkce rgf_findrecur, pro m = 11 však pro hloubku rekurence 1829 už nestačila paměť na mém tehdejším
4 GB systému (potřeba bylo 4499 MB RAM, což jsem ověřil až později na 16 GB systému).
Potom však přišel Max A.Alekseyev pro horizontální válcovou šachovnici s úplně jinou metodou (kdy přímo generoval jednotlivé faktory) a 14.9.2011 vypočítal
nejprve denominátory pro m = 11 až m = 16 (pro m = 12 viz OEIS A195656) a pak dokonce 16.9.2011 ještě i pro m = 17 až m = 20. Dobrá zpráva byla, že všechny
moje hypotézy byly (pro m <= 20) potvrzeny. Max A.Alekseyev k tomu doplnil: “I can analytically prove that the degree of irreducible factors of the characteristic
polynomial does not exceed m+1. In other words, the sequence for each fixed m is the sum of a large number of linear recurrent sequences of small order.”For more see table on page 82.
Nakonec se mi podařilo objevit, jaké tvary mají obecně čitatelé vytvořujících funkcí a vypočítal jsem i kompletní generační funkce až do m = 12.
Následující hypotézu jsem uvedl již na str. 83, ale jelikož je specifická pouze pro horizontální válcovou šachovnici, uvádím ji zde pro přehlednost znovu:
Conjecture (V. Kotěšovec, 29.8.2011):
V případě horizontální válcové šachovnice mají všechny faktory ve jmenovateli vytvořující funkce exponent 1.
For horizontal cylinder have all factors in denominator of generating function exponent 1.
Další výsledek je snad ještě silnější. Objevil jsem, že pro každý faktor mají všechny jeho kořeny stejnou váhu! Jinými slovy, explicitní vzorec je součtem
partikulárních řešení a každé partikulární řešení má tvar

kde r1, r2, ... jsou kořeny charakteristické rovnice (převrácené hodnoty kořenů denominátoru).
In the explicit formula, all roots (come from the same factor) have identical coefficient.
Konstanty kF jsou specifické pro každý faktor a jsou tedy shodné pro všechny kořeny (resp. jejich převrácené hodnoty) pocházející z téhož faktoru denominátoru.
Tato skutečnost umožňuje výrazně zjednodušit vzorce a k nalezení neznámých konstant stačí vypočítat řádově méně členů posloupnosti.

179
V důsledku této vlastnosti se čitatel generační funkce dá elegantně vyjádřit pomocí koeficientů polynomu ve jmenovateli, pokud generační funkci rozložíme jako
součet více zlomků (odpovídající součtu kratších rekurencí), kde každý dílčí zlomek má ve jmenovateli vždy právě jeden faktor. Pokud je stupeň faktoru (degree of afactor) roven dF , pak každý takový člen v generační funkci má tvar daný následující větou.
About generating function for number of ways to place m*n non-attacking kings on a 2m x 2n horizontal cylinder.
For each factor with degree dF is part of the generating function:

where kF is a constant
kde kF je konstanta specifická pro každý faktor.
Např. ve členu

vidíme, že čitatel dostaneme ze jmenovatele tak, že vynecháme nejvyšší mocninu, člen x4 ponecháme (vynásobíme 1), člen x3 vynásobíme 2, člen x2 vynásobíme 3
atd. Celý čitatel je potom vynásoben vždy nějakou specifickou konstantou (v příkladu rovnou 4).
K nalezení kompletní vytvořující funkce (nejen jejího denominátoru) a dokonce i explicitního vzorce, pak potřebujeme nalézt už jen konstanty kF , jejichž počet jeroven počtu faktorů (number of constants kF is equal number of irreducible factors). Viz též tabulka na str. 82. See also table on page 82. Nalezení těchto konstantvede na soustavu lineárních rovnic, počet neznámých je však podstatně menší než při klasickém postupu, kdy se předpokládá, že čitatel vytvořující funkce má stupeň
o 1 menší než jmenovatel, tedy kdy počet neznámých je roven hloubce rekurence.
Např. pro m=10 je hloubka rekurence rovna 916, denominátor generační funkce je proto polynom 916. stupně a čitatel je polynom 915. stupně. Jeho hledání běžným postupem byznamenalo vyřešit soustavu 916 lineárních rovnic o 916 neznámých, což může být (na symbolické úrovni) už za hranicí kapacity stávajících matematických programů. Pokudpoužijeme výše popsanou metodu rozkladu na dílčí zlomky zjistíme, že počet faktorů je v tomto případě roven 250, takže pro nalezení generační funkce (a explicitního vzorce) stačívyřešit soustavu jen 250 lineárních rovnic o 250 neznámých pro konstanty kF . Vytvořující funkci v klasickém tvaru můžeme pak dostat snadno úpravou z vypočteného tvaru(v tomto případě to však nedoporučuji, protože v čitateli se objeví obrovská čísla).

Důkaz věty o tvaru čitatele GF (Proof):
Vytvořující funkce pro posloupnost 2n je,

obecně pro rn je generační funkce
Zkusme nyní složit součet více takových mocnin.

180
Rozložíme součet např. 5 mocnin, první výpočet představuje rozklad čitatele (numerátoru), v řádcích dostáváme součiny všech možných dvojic, trojic atd.

Druhý výpočet představuje rozklad denominátoru. Pokud označíme jeho koeficienty a0, a1, a2, ..., tak pro koeficienty numerátoru b0, b1, ... dostáváme vztahy
b0=5a0, b1=4a1, b2=3a2, b3=2a3, b4=1a4, b5=0. Toto lze zobecnit do libovolné hloubky a pro koeficienty numerátoru tak máme

QED
V programu Mathematica můžeme tuto skutečnost ověřit třeba takto (jde jen na numerické úrovni, symbolicky si s tím Mathematica neporadí):polydenominator = x^5-12x^4+31x^3-27x^2+9x-1; df = Exponent[polydenominator,x];
polynumerator = Sum[(df-j)*Coefficient[polydenominator,x,j]*x^j,{j,0,df-1}]
Table[SeriesCoefficient[polynumerator/polydenominator,{x,0,n}],{n,1,9}]
partikular = Sum[(1/N[Root[polydenominator,j]])^n,{j,1,df}]
N[Table[partikular,{n,1,9}]]-5 + 36 x - 81 x^2 + 62 x^3 - 12 x^4{9, 27, 93, 339, 1274, 4881, 18951, 74291, 293304}
0.11339^n + 0.531124^n + 1.41534^n + 2.91373^n + 4.02642^n{9., 27., 93., 339., 1274., 4881., 18951., 74291., 293304.}

181
A195652 - 8n Kings on a 16 x 2n horizontal cylinder, m=8
Recurrence order is 208, generating function (V.Kotěšovec after values computed by Alex V. Breger, 10.9.2011)

Vytvořující funkce v obvyklém tvaru viz OEIS. For generating function in common format, see OEIS.
Tento program najde generační funkci podle zadaného denominátoru a tabulky hodnot. Potřebný počet hodnot je dán počtem faktorů pro dané m. Např. pro m=8 jepočet faktorů 72 a proto je potřeba pouze 72 hodnot (plus nějaké na kontrolu). Při klasickém hledání generační funkce bychom potřebovali 208 hodnot (= hloubce
rekurence = stupni denominátoru).
(* find generating function in apart form, V. Kotesovec 2011 *)apartgf[denominator_,seq_]:=(flist=Rest[FactorList[denominator]];Print["Number of factors=",Length[flist]];gfformula=Sum[polydenominator=flist[[f,1]];df=Exponent[polydenominator,x];
polynumerator=Sum[(df-j)*Coefficient[polydenominator,x,j]*x^j,{j,0,df1}];polynumerator/polydenominator*Subscript[s,f],{f,1,Length[flist]}];gfvyp=gfformula/.Solve[Table[seq[[n]]==SeriesCoefficient[gfformula,{x,0,n}],{n,1,Length[flist]}]][[1]];Print[gfvyp];Print[Table[seq[[n]]-SeriesCoefficient[gfvyp,{x,0,n}],{n,1,Min[Length[flist]+50,Length[seq]]}]];);

182
Numerické řešení pro m=8 dává následující výsledek. Je zajímavé, že koeficienty jsou vesměs malá celá sudá čísla (v rozsahu 2 až 32).
c8(n) = 2*9.0000000000000000000000000000...^n+4*8.1400549446402591355486512457...^n+4*7.3722813232690143299253057341...^n+2*7.3166247903553998491149327366...^n+4*7.1925824035672520156253552457...^n+4*6.7912878474779200032940235968...^n+4*6.6118587098040436870078150572...^n+2*6.5615528128088302749107049279...^n+4*6.5046643535880477051501085259...^n+4*6.4114741278097728385130038557...^n+4*6.3027756377319946465596106337...^n+4*6.2465513645585649390603852615...^n+4*6.1474302336977534231706649934...^n+4*6.1004319858103793059913228723...^n+2*6.0000000000000000000000000000...^n+4*5.8188044082259428741444390166...^n+4*5.7912878474779200032940235968...^n+4*5.7784571182583887318756139886...^n+8*5.6690790882822883959576523491...^n+4*5.6180339887498948482045868343...^n+4*5.6016791318831542524643703601...^n+2*5.5806494859049152097146696975...^n+2*5.5615528128088302749107049279...^n+4*5.5238273960027878205959781982...^n+4*5.4908636153610320832578586942...^n+6*5.4494897427831780981972840747...^n+4*5.3614687661858265774520738393...^n+4*5.3300587395679820293055799707...^n+4*5.3234042760864776257716827907...^n+4*5.2360679774997896964091736687...^n+4*5.1580660243232453481209760063...^n+4*5.1284190638445773678511798864...^n+4*5.1149075414767557985156140607...^n+4*5.1058173471165319175781819404...^n+4*5.0861301976514940912496216372...^n+4*5.0222843396592362227312957727...^n+4*5.0000000000000000000000000000...^n+4*4.9290583563976320859565022554...^n+2*4.9032119259115532874852162240...^n+4*4.8793852415718167681082185546...^n+4*4.8760299323938095983107496202...^n+4*4.8608058531117033863858361808...^n+2*4.8342431843139217171156261258...^n+2*4.7912878474779200032940235968...^n+4*4.7625127088298676859976516208...^n+4*4.7580162627198715615392182742...^n+8*4.7320508075688772935274463415...^n+4*4.6996281482753179562297282916...^n+4*4.6112840535311249194961375074...^n+4*4.6031221671731877786857266348...^n+4*4.5615528128088302749107049279...^n+4*4.5320888862379560704047853011...^n+2*4.5230955906316699275696530503...^n+8*4.4908636153610320832578586942...^n+4*4.4382832394028967194767782502...^n+2*4.4142135623730950488016887242...^n+8*4.3623398328574395034328547856...^n+4*4.2839978701420712519329481380...^n+2*4.2497775113741007919578257248...^n+4*4.2143197433775351874154977008...^n+4*4.1267570596172168172849817847...^n+2*4.1149075414767557985156140607...^n+4*4.0952939852239144927468167188...^n+4*4.0264179491869598590352025089...^n+2*4.0000000000000000000000000000...^n+4*3.8793852415718167681082185546...^n+2*3.6825070656623623377236232978...^n+2*3.6566204310471103661422325684...^n+4*3.3819660112501051517954131656...^n+4*3.3472963553338606977034332535...^n+4*3.3120564934104645800244983164...^n+4*3.2541016883650524121297778798...^n+2*3.2469796037174670610500097680...^n+4*3.2016396757234046614544000842...^n+4*3.1971262975999526367965303523...^n+4*3.1674491911085351562744105995...^n+4*3.1385642651101725641475378444...^n+2*3.1117486563092476836756397799...^n+4*3.0974382786556486998819863851...^n+32*3.0000000000000000000000000000...^n+4*2.9137317013176489085811576052...^n+4*2.9064901072343485796620748984...^n+4*2.8699856351212955813438829965...^n+2*2.8308300260037728510585482984...^n+8*2.8257845518853550615002189835...^n+2*2.8060634335253695517439154430...^n+4*2.7983603242765953385455999157...^n+4*2.7852614484935653584928516638...^n+4*2.7678411015499336469518000585...^n+4*2.7608767217434455357499164966...^n+4*2.7458983116349475878702221201...^n+4*2.7376403052281873783738137605...^n+4*2.7108314535516900309173225418...^n+4*2.6972243622680053534403893662...^n+4*2.6949361557462852614550954808...^n+4*2.6601231133768174476677900182...^n+4*2.6527036446661393022965667464...^n+16*2.6180339887498948482045868343...^n+4*2.4913168228415144688308057835...^n+2*2.4850839473754210681192505552...^n+8*2.4760236029181340344691576771...^n+2*2.4384471871911697250892950720...^n+4*2.4366029352507051149562878858...^n+4*2.4280067316837969814441532297...^n+4*2.4231124760836598146707486184...^n+4*2.4076355297127800897869665660...^n+4*2.3579263675184997497039795971...^n+4*2.3433795689528896338577674315...^n+4*2.3388796858734955324106239764...^n+2*2.2755155282815584627716386131...^n+4*2.2715272481702374673176230982...^n+4*2.2087121525220799967059764031...^n+4*2.1814419482733261635013430142...^n+4*2.1353591133045969741688715773...^n+4*2.1231304441342996267215678629...^n+8*2.0000000000000000000000000000...^n+4*1.8152074690959046272986479524...^n+4*1.8074175964327479843746447542...^n+2*1.7458983116349475878702221201...^n+2*1.7153703234534297191124146627...^n+4*1.6815411034252792591542406649...^n+4*1.6586753107111225309566016437...^n+4*1.6527036446661393022965667464...^n+4*1.6277186767309856700746942658...^n+2*1.5857864376269049511983112757...^n+2*1.5549581320873711914221948710...^n+4*1.5227400035259803554577701154...^n+4*1.5168213642014210669117332420...^n+4*1.4679111137620439295952146988...^n+4*1.4608111271891108834741240973...^n+2*1.4384471871911697250892950720...^n+2*1.4331113724053703662871758127...^n+4*1.4153360045489644112389487184...^n+8*1.3433795689528896338577674315...^n+8*1.3203568144378775117558303971...^n+4*1.2879239137775200704033337805...^n+8*1.2679491924311227064725536584...^n+4*1.2525315460920516961272006624...^n+4*1.2255425268069968698658757139...^n+4*1.2155240105943282986977604449...^n+4*1.2087121525220799967059764031...^n+4*1.1855001230030870313324499189...^n+4*1.1797507493469981287278085841...^n+4*1.1657568156860782828843738741...^n+4*1.1391941468882966136141638191...^n+4*1.1206147584281832318917814453...^n+30*1.0000000000000000000000000000...^n+4*0.8850924585232442014843859392...^n+4*0.8715809361554226321488201135...^n+4*0.8599450553597408644513487542...^n+8*0.8548973087995775695731899737...^n+4*0.8438975366607019398266490221...^n+4*0.8168434833023157391322773392...^n+4*0.8090903808745735709698841633...^n+4*0.7789482417292068259636324354...^n+4*0.7733184030943225341883481918...^n+4*0.7639320225002103035908263312...^n+4*0.7420040563560852498938372141...^n+4*0.7381977547400282998678396215...^n+4*0.7294659794848337820355832989...^n+4*0.7214922419005644839038034017...^n+2*0.6902785321094298718861498550...^n+2*0.6833752096446001508850672633...^n+2*0.6819201261324966656569250244...^n+4*0.6711278180289204133279919922...^n+4*0.6699412604320179706944200292...^n+4*0.6443257060219177734215994050...^n+4*0.5606883283161251615980531512...^n+2*0.5587090895875386380239205816...^n+6*0.5505102572168219018027159252...^n+4*0.5394951299812365080203552116...^n+4*0.5311239900964880096628896635...^n+4*0.5107114281899212372070634695...^n+2*0.5091363846389679167421413057...^n+8*0.4915188008193279233110958335...^n+4*0.4858630706647089273062251330...^n+2*0.4813896011499569143691104004...^n+4*0.4754759040157565721333382671...^n+4*0.4710820427056382662735155611...^n+4*0.4679111137620439295952146988...^n+2*0.4619148596810296618567666649...^n+4*0.4384471871911697250892950720...^n+4*0.4235850966907788497912872003...^n+16*0.3819660112501051517954131656...^n+4*0.3599765331073553206810198967...^n+4*0.3365729057391930152301897186...^n+4*0.3354550777499061676089111771...^n+4*0.3347314909357105447008611807...^n+4*0.3303361593577752462688661200...^n+4*0.3248691294333539291103782018...^n+4*0.3186693563950226245243376121...^n+4*0.3113681871111883412726299236...^n+2*0.2907246405630771607708683328...^n+4*0.2895888325552252636534228002...^n+4*0.2840629917180061321343272512...^n+4*0.2608563106922524385720227297...^n+4*0.2572493908245052657949465957...^n+4*0.2491995779390841304199595331...^n+4*0.2434017461399325876478753212...^n+4*0.2327619163977085606527151539...^n+2*0.2087121525220799967059764031...^n+2*0.1980622641951617475277953609...^n+4*0.1905053648529956212559523447...^n+8*0.1657568156860782828843738741...^n+2*0.1570842311666946099974240948...^n+2*0.1391941468882966136141638191...^n+4*0.1133903548499388114818015038...^n+2*0.0810140527710052202192638858...^n183
A195653 - 9n Kings on a 18 x 2n horizontal cylinder, m=9, recurrence order is 400, generating function(V.Kotěšovec after values computed by Alex V. Breger, 10.9.2011). Gen. funkce v textovém tvaru viz OEIS. For generating function in text format, see OEIS.

184
Numerické řešení pro m=9, i zde jsou koeficienty malá celá sudá čísla (v rozsahu 2 až 40).
c9(n) = 2*10.000000000000000000000000000000^n+ 4*9.12310562561766054982140985597407^n+ 4*8.31662479035539984911493273667068^n+ 2*8.27491721763537484861834240347305^n+ 4*8.16227766016837933199889354443271^n+ 4*7.64575131106459059050161575363926^n+ 4*7.51604587081400958576999856187401^n+ 4*7.41032793742014043937850738322316^n+ 4*7.34471236545183496316569141884698^n+ 8*7.23606797749978969640917366873127^n+ 4*7.19852320739823656699113051276423^n+ 4*6.93163001987795745657117614408667^n+ 4*6.85952338861521884722566459628327^n+ 2*6.82842712474619009760337744841939^n+ 4*6.67282370100094818002956878178090^n+ 4*6.66189966706646144100500278839631^n+ 4*6.64575131106459059050161575363926^n+ 4*6.58687451201842732127844782704668^n+ 4*6.51711323183839454338565713833414^n+ 4*6.47089551629101713491407444753463^n+ 2*6.44948974278317809819728407470589^n+ 4*6.42055106563804193755794270500977^n+ 4*6.41421356237309504880168872420969^n+ 4*6.35385578543082823855833734902173^n+ 4*6.31935032009213198988480854606647^n+ 4*6.26354284740997869099094814609178^n+ 8*6.24914053812954933926198254000295^n+ 4*6.23808074512477151383132541748606^n+ 4*6.18194333605239289123023575201474^n+ 4*6.12488541976457415791953973673237^n+ 4*6.06124185239381039959717623079375^n+ 8*6.00000000000000000000000000000000^n+ 4*5.93469747537187970882408971391067^n+ 4*5.86619826250902250547399423098659^n+ 4*5.86214640838401313233495670634565^n+ 4*5.83846925239714157286787410940043^n+ 4*5.81535736739019776416513020970236^n+ 4*5.80388635905124941429059972732224^n+ 4*5.77845711825838873187561398862341^n+ 4*5.77338741165064241200944846585317^n+ 4*5.72837554712443554886635139583188^n+ 4*5.70927535943692283922913166712389^n+ 4*5.68133064360497737547566238788878^n+ 4*5.67579030822085733904620573359816^n+ 4*5.65109340893717530625324033778761^n+ 4*5.63018753583746145939280297834414^n+ 4*5.61669649956551583735065888920762^n+ 4*5.57726849017893432610373093752032^n+ 4*5.56155281280883027491070492798703^n+ 8*5.55391097014498887607138920015997^n+ 4*5.52891795729436173372648443886553^n+ 4*5.51413692933529107269377486696221^n+ 4*5.50322441626902428697456806706130^n+ 4*5.46793236486607901408910267985702^n+ 4*5.46050487001876349197964478835366^n+ 4*5.44948974278317809819728407470589^n+ 2*5.40267882952118891140432886438410^n+ 4*5.37499434590769759176963750269705^n+ 4*5.35017295928471041378822123383731^n+ 8*5.34292308277717020805485901098114^n+ 4*5.33224650116500501335959853058510^n+ 4*5.29588142293078246714648945538173^n+ 4*5.28632341382283241284084329178469^n+ 4*5.28139423959214834275625437022505^n+ 2*5.23606797749978969640917366873127^n+ 4*5.20680916435549870402756760181553^n+ 4*5.19869124351599711307199969256977^n+ 4*5.18194333605239289123023575201474^n+ 4*5.17008648662603372270325576442537^n+ 8*5.15586709254063264729765642828757^n+ 4*5.14012266812388363561142008604363^n+ 4*5.12488541976457415791953973673237^n+ 4*5.09899476863261610585222061342712^n+ 4*5.06643644028053065474578216996117^n+ 4*5.03439029983100465022164309538072^n+ 4*5.03032184718464563342695517809928^n+ 6*5.00000000000000000000000000000000^n+ 4*4.98093658810182185058595757164432^n+ 4*4.96415996432212242434264258068941^n+ 4*4.95594247744754818236551166701565^n+ 8*4.93543233197002978760544026773185^n+ 4*4.92519623072463564447230379556244^n+ 4*4.90321192591155328748521622405709^n+ 4*4.89962432701016825861394073527919^n+ 4*4.83021346749399962228679434933817^n+ 8*4.82595501488847626833327464246261^n+ 4*4.80193773580483825247220463901489^n+ 6*4.79128784747792000329402359686400^n+ 4*4.77462289950448926319824963791947^n+ 4*4.75046539523881323057662775035740^n+ 4*4.74528124017413907650689211185350^n+12*4.73205080756887729352744634150587^n+ 4*4.70558672730784397787666692546606^n+ 4*4.66671230076673421798401567743892^n+ 4*4.65109340893717530625324033778761^n+ 4*4.63372342109561956379501810154121^n+ 4*4.59615467600863328938880735189358^n+ 8*4.56155281280883027491070492798703^n+ 4*4.54970323865577450860496908039555^n+ 4*4.51657981745152070085837897872246^n+ 4*4.50468827258511101927806397684471^n+ 8*4.49550765660492450377286667905448^n+ 4*4.49086361536103208325785869425999^n+ 6*4.41421356237309504880168872420969^n+ 4*4.39025688451551360466360009793798^n+ 4*4.37720285397295771172175049316012^n+ 4*4.37213013363396142962160430230644^n+ 8*4.30277563773199464655961063373524^n+ 4*4.24977751137410079195782572481651^n+ 2*4.21431974337753518741549770084858^n+ 4*4.19352708533105393856012350818985^n+ 4*4.14386442575285839584329395915552^n+ 8*4.11490754147675579851561406070854^n+ 4*4.04314091561746883561082875610289^n+10*4.00000000000000000000000000000000^n+ 4*3.90211303259030714423287866675876^n+ 4*3.81659416015280855382127419096123^n+ 6*3.73205080756887729352744634150587^n+ 4*3.71353793496839950194178723956875^n+ 4*3.64207363248150025029602040281402^n+ 4*3.61803398874989484820458683436563^n+ 4*3.58578643762690495119831127579030^n+ 4*3.57199326831620301855584677027638^n+ 4*3.55240945720047954297542949461300^n+ 4*3.50390388359063018922916913695224^n+ 4*3.48003062793720963625593298767001^n+ 4*3.47325452080532631525401952010669^n+ 8*3.47068341987116060738636855137953^n+ 4*3.45612030447104977755798955547844^n+ 4*3.44504186791262880857780512899358^n+36*3.41421356237309504880168872420969^n+ 4*3.35398416625588006616214311169139^n+ 4*3.32038465585210693432930348968750^n+ 4*3.31110781746598189993028147679148^n+ 4*3.29496289929159911191678337907169^n+ 4*3.27389055496421759453148984462749^n+ 4*3.26269631684655058264303619206770^n+ 8*3.24697960371746706105000976800847^n+ 4*3.24435992396657857808570078986279^n+ 4*3.23912327825655446425008350331348^n+ 4*3.22219137483739854287393291807979^n+ 8*3.21968687109820386556899525493875^n+ 8*3.20883359582173847294091473225857^n+ 4*3.19393656647463044825608455693320^n+ 4*3.18264432359594806824776240052803^n+ 4*3.17728291911289184431154378088186^n+ 4*3.17557050458494625833741190927814^n+ 4*3.16349116932734219913057776442043^n+ 8*3.15244466680974396051239334219871^n+ 4*3.13341035061593398846461718277614^n+ 4*3.13012711604508808121035879641881^n+ 4*3.12333312107462173301229491487384^n+ 4*3.11174865630924768367563977992561^n+ 8*3.10523163832866368838518077186118^n+ 4*3.09478758774307421129998466145120^n+ 4*3.08464056193991842842829736218401^n+ 4*3.06909056109259914017493252951544^n+ 4*3.06068731141403115574703397088130^n+ 4*3.05608239252382920733684300161558^n+ 4*3.04195475195271424265967622913690^n+40*3.00000000000000000000000000000000^n+ 4*2.93617946576003348564863560179882^n+ 4*2.92390807041290634877970750665504^n+ 4*2.91275496644217388538777484591227^n+ 4*2.88731914659194959045379126362331^n+ 4*2.88061514425285579361438065440180^n+ 4*2.87577375119515297957015146328023^n+ 4*2.86536812064051090292533704707814^n+ 4*2.85844195475684784989906373225399^n+ 8*2.85363451096709144526192248052629^n+ 4*2.84456866012726129854427645041182^n+ 4*2.83625191158221215314700632291714^n+ 4*2.83255080889146484372558940047156^n+ 4*2.81800322283177795108106052127656^n+ 4*2.81411465357354037981632369224187^n+ 4*2.80606343352536955174391544306679^n+ 4*2.78924411904080827761978543255168^n+ 4*2.78709369609803733580463056009852^n+ 4*2.77503507913225568441902368705069^n+ 4*2.77187627123753762678711728798408^n+ 8*2.76393202250021030359082633126872^n+ 4*2.75204614951280462458872965364447^n+ 4*2.73928861359235459927527037444770^n+ 4*2.72610944503578240546851015537250^n+ 4*2.71083145355169003091732254183143^n+ 4*2.70176673486512259740790256167106^n+ 4*2.67353338306345180032043119640763^n+ 4*2.64806079844653819672973712453078^n+ 4*2.63667176206731642962583139068011^n+ 8*2.61803398874989484820458683436563^n+ 4*2.59642437903897133847847252560814^n+ 4*2.57414124116806853408430052845886^n+ 4*2.57116732861126009341454017782501^n+ 4*2.55919228849511708184864929927274^n+ 4*2.54269066105947856284895124471453^n+ 4*2.52354796026920931287528907545568^n+ 4*2.50774870536364832543093994339183^n+ 4*2.50478916701986552878874843896129^n+ 4*2.46742366575615753783347215793275^n+ 4*2.46307721297046780625711682052669^n+ 4*2.45243228056937494762132269477262^n+ 4*2.40642065463271126519104883449378^n+ 4*2.37953079481179163482052090056678^n+ 4*2.35424868893540940949838424636073^n+ 4*2.32319009146076356584407927932389^n+ 4*2.30425258540060624094963776999359^n+ 4*2.22592119496650107987262507083360^n+ 4*2.21238484381929022795763640922450^n+40*2.00000000000000000000000000000000^n+ 4*1.84238844215457423851767867987577^n+ 4*1.83785279135297171198172291323121^n+ 4*1.83772233983162066800110645556728^n+ 4*1.82271708088710815568845621911813^n+ 4*1.80006655397189023035167464242179^n+ 8*1.78031312890179613443100474506124^n+ 4*1.77142725632805035513268281823923^n+ 4*1.75302039628253293894999023199152^n+ 8*1.74589831163494758787022212015692^n+ 4*1.72610944503578240546851015537250^n+ 4*1.71266417787920046851769578792884^n

185+ 4*1.70503710070840088808321662092830^n+ 4*1.70243358255620655582607272618531^n+ 4*1.69593864708885906107862347259102^n+ 4*1.68337520964460015088506726332931^n+ 4*1.66742905253985464576509549752339^n+ 4*1.64634004406309579363344696292592^n+ 4*1.63959066286860578560343908629022^n+ 4*1.63667176206731642962583139068011^n+ 4*1.62279714602704228827824950683987^n+ 4*1.62248091700405537046234239976755^n+ 8*1.61446268635323352171112136073604^n+ 6*1.58578643762690495119831127579030^n+ 4*1.57362965905110515984517723712836^n+ 4*1.56217122044085044739741510796288^n+ 8*1.55495813208737119142219487100641^n+ 2*1.55051025721682190180271592529410^n+ 8*1.53740157702522576061415339016266^n+ 4*1.53151907363409196926994833314834^n+ 4*1.52674547919467368474598047989330^n+ 4*1.51880569590798437736646275878314^n+ 4*1.48751402784367815713668317910294^n+ 4*1.48452102605362399224712533875696^n+ 4*1.48427841070866063149450963350822^n+ 4*1.48117821384110546368173356236241^n+ 2*1.46081112718911088347412409730147^n+ 4*1.44002992359629977810626299426668^n+ 4*1.43844718719116972508929507201296^n+ 4*1.42981946902424633895176072941820^n+ 4*1.42057549000145100810615048949477^n+ 4*1.41163600931489584357871541349147^n+ 4*1.40642065463271126519104883449378^n+ 4*1.39980430640387228016784781092076^n+ 4*1.39227529027298375188013076113781^n+ 4*1.38196601125010515179541316563436^n+ 4*1.37531469449977771429200476440440^n+ 4*1.36570161958690265729873519459160^n+ 4*1.35895691818874825663246738712077^n+ 4*1.35424868893540940949838424636073^n+ 4*1.34777712209256439405590655424852^n+ 4*1.34455761845016921690622033646172^n+ 4*1.34337956895288963385776743154236^n+ 4*1.33057395977592218645050033238230^n+ 2*1.31603086087072581799569248903508^n+ 4*1.30339702365302240795224344718671^n+ 4*1.30310607409935267199488533234878^n+ 4*1.30037185172468204377027170833285^n+ 4*1.29379948920481007684605633715760^n+ 4*1.28716169080461006520377223192199^n+12*1.26794919243112270647255365849412^n+ 4*1.23844281816810941245462887258751^n+ 8*1.23186075065422470618092358334547^n+ 4*1.21755513052143471009333442250781^n+ 4*1.20111986982759954204908863546510^n+ 4*1.19448435688488511968652507296214^n+ 8*1.18639349735166918455877243763931^n+ 4*1.17549722893546546089815726346064^n+ 2*1.17157287525380990239662255158060^n+ 4*1.14793873361617093153090679946966^n+ 4*1.12259625429996244856637357552258^n+ 4*1.09678807408844671251478377594290^n+ 4*1.08777082151560338498621306786146^n+36*1.00000000000000000000000000000000^n+ 4*0.91386980234850590875037836276140^n+ 8*0.89722495090335921547609497947075^n+ 4*0.88646238912263411813587033605771^n+ 4*0.87965805072020436953376112455467^n+ 4*0.87689437438233945017859014402592^n+ 4*0.86378396376893714460529024908900^n+ 4*0.85756566560500798296495188468655^n+ 8*0.83317303333285129313936060856910^n+ 4*0.82442949541505374166258809072185^n+ 4*0.81551691186174775885123096372150^n+ 4*0.81289919239359079831662990127723^n+ 4*0.80647291466894606143987649181014^n+ 4*0.79735333219699758470335662759519^n+ 4*0.78981587011662826581065517801765^n+ 4*0.78402602653563358940888574586555^n+ 4*0.78169034695252429371818508819560^n+ 4*0.78152054662978385840392871194067^n+ 4*0.77596387722650479598595267846219^n+ 4*0.77167178405336457138198758354842^n+ 2*0.76393202250021030359082633126872^n+ 4*0.75855415472562165069822215056119^n+ 4*0.74658196041214795173461854647681^n+ 4*0.74535771913346683671858316958779^n+ 4*0.74517988866127897758474457658942^n+ 4*0.73692258968675801086892061407014^n+ 4*0.73390216271276908743993288739088^n+ 4*0.72653878282400582357662462816846^n+ 2*0.72508278236462515138165759652694^n+ 4*0.72316030141642729292142500957809^n+ 8*0.69722436226800535344038936626475^n+ 4*0.68373454217339245554155728532778^n+ 4*0.67911550055251362324069409368831^n+ 4*0.67659572391352237422831720929719^n+ 4*0.66923515330094689512178338193675^n+ 4*0.64963558004399295414977165212863^n+ 4*0.63853123381417342254792616066290^n+ 4*0.63639136259797556647094174956235^n+ 4*0.62279714602704228827824950683987^n+ 4*0.61733673946308952925888018263426^n+ 4*0.60998289469592333888404936358405^n+ 4*0.60233845910774134528347659132682^n+36*0.58578643762690495119831127579030^n+ 4*0.56633537021671261869003487525786^n+ 4*0.55731655883324627710289653905967^n+ 4*0.55383557534738813086994129802810^n+ 4*0.55051025721682190180271592529410^n+ 4*0.54411321989713343981369025240314^n+ 4*0.53721581572198319184814641889112^n+ 8*0.52716609100474445178040634210547^n+ 4*0.52580634138962308826776090932999^n+ 4*0.52322792514259386993999325616176^n+ 4*0.52112796729344381434206800601803^n+ 4*0.51669587653430581102337874627486^n+ 4*0.51539360047908668557984121703567^n+ 4*0.51071142818992123720706346954515^n+ 4*0.50784081360523938783934164812140^n+ 8*0.50704051847647895813623921650576^n+ 8*0.50449234339507549622713332094551^n+ 4*0.49209722862344273092335106404542^n+ 4*0.48138960114995691436911040043999^n+ 4*0.46291703360784846750253718873391^n+ 4*0.45921546132663587331994516268791^n+ 4*0.45074068743200329576252834196962^n+ 4*0.44994596959934475539149313721756^n+ 8*0.43844718719116972508929507201296^n+ 4*0.41819279886414755847403383876559^n+ 4*0.41163600931489584357871541349147^n+ 8*0.40713763194854624944321065460262^n+ 8*0.40408240070042135784833545901234^n+ 8*0.38196601125010515179541316563436^n+ 4*0.36989769679463528084826225733654^n+ 4*0.36627657890438043620498189845878^n+ 4*0.36375086761335848074886754594322^n+ 4*0.36359506278950640832437835771050^n+ 4*0.34975161188774353505140812391697^n+ 4*0.34907998016175663446828018490379^n+ 4*0.34890659106282469374675966221238^n+ 4*0.34167222227296325548896844613165^n+ 4*0.33894603234054034251287450665429^n+ 4*0.33839957963129562675175266670906^n+ 2*0.32486912943335392911037820184993^n+ 4*0.32109214480784330581646765365677^n+ 4*0.31557739070496190597482131661032^n+ 4*0.31149974193083535596950363649609^n+ 4*0.30896780000181234242934994162099^n+ 4*0.30350511294912555990571279547840^n+ 4*0.30304153571444607298521371667794^n+ 4*0.29608964531211850839832956814810^n+ 4*0.29072464056307716077086833287610^n+ 4*0.28870130983993424000683014651335^n+ 2*0.28129030960808527059997864658080^n+ 4*0.27968758669698036635810273479593^n+ 6*0.26794919243112270647255365849412^n+ 4*0.26348977523176114634758103811928^n+ 4*0.26017135742683393548254557032731^n+ 4*0.25471875982586092349310788814649^n+ 4*0.25203640039775117054345357820099^n+ 4*0.24681114401574023286280693680141^n+ 4*0.24237351238675942200041640179821^n+ 4*0.24144371978146784946743223579602^n+ 4*0.23844281816810941245462887258751^n+ 4*0.22777710423438124354098673642765^n+ 4*0.22039213713280536240577267332724^n+ 4*0.21834654746879928764849573873567^n+ 4*0.21600327253776946053945722039487^n+ 6*0.20871215252207999670597640313599^n+ 8*0.19806226419516174752779536098510^n+ 4*0.19247934084727129720574558406800^n+ 4*0.18476126542218071318120276404183^n+ 4*0.18146563636990367495503527813293^n+ 4*0.17316160468804849517256899704292^n+ 4*0.16998139287193534093525566564993^n+ 4*0.16575681568607828288437387419764^n+ 4*0.15708423116669460999742409481788^n+ 4*0.14866537652803408253045542652303^n+ 8*0.13919414688829661361416381913452^n+ 4*0.11724609716064384548678068742495^n+ 4*0.09788696740969285576712133324123^n

186
A195654 - 10n Kings on a 20 x 2n horizontal cylinder, m=10
Recurrence order is 916, generating function (V.Kotěšovec after values computed by Alex V. Breger, 10.9.2011)

187

188

Vytvořující funkce v textovém tvaru viz OEIS. For generating function in text format, see OEIS.

189
A195655 - 11n Kings on a 22 x 2n horizontal cylinder, m=11
Recurrence order is 1829 (V. Kotěšovec 13.9.2011), denominator of the generating function found Max A.Alekseyev 14.9.2011.
Full generating function (Václav Kotěšovec, 24.9.2011), see also OEIS.

-198/(-1+x)-264/(-1+2*x)-76/(-1+3*x)-66/(-1+4*x)-24/(-1+5*x)-16/(-1+6*x)-6/(-1+7*x)-2/(-1+12*x)+(4*(2-6*x))/(1-6*x+x^2)+(12*(2-5*x))/(1-5*x+x^2)+(8*(2-4*x))/(1-4*x+x^2)+(26*(2-3*x))/(1-3*x+x^2)+(8*(2-7*x))/(1-7*x+2*x^2)+(10*(2-6*x))/(1-6*x+2*x^2)+(10*(2-5*x))/(1-5*x+2*x^2)+(76*(2-4*x))/(1-4*x+2*x^2)+(4*(2-7*x))/(1-7*x+3*x^2)+(2*(2-6*x))/(1-6*x+3*x^2)+(34*(2-5*x))/(1-5*x+3*x^2)+(4*(2-7*x))/(1-7*x+4*x^2)+(8*(2-6*x))/(1-6*x+4*x^2)+(4*(2-8*x))/(1-8*x+5*x^2)+(6*(2-7*x))/(1-7*x+5*x^2)+(36*(2-5*x))/(1-5*x+5*x^2)+(8*(2-6*x))/(1-6*x+6*x^2)+(4*(2-7*x))/(1-7*x+7*x^2)+(4*(2-6*x))/(1-6*x+7*x^2)+(2*(2-11*x))/(1-11*x+8*x^2)+(2*(2-8*x))/(1-8*x+8*x^2)+(12*(2-7*x))/(1-7*x+8*x^2)+(8*(2-7*x))/(1-7*x+9*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+10*x^2)+(4*(2-9*x))/(1-9*x+10*x^2)+(8*(2-8*x))/(1-8*x+10*x^2)+(4*(2-8*x))/(1-8*x+11*x^2)+(12*(2-7*x))/(1-7*x+11*x^2)+(2*(2-10*x))/(1-10*x+12*x^2)+(6*(2-9*x))/(1-9*x+12*x^2)+(4*(2-10*x))/(1-10*x+13*x^2)+(4*(2-8*x))/(1-8*x+13*x^2)+(2*(2-10*x))/(1-10*x+14*x^2)+(2*(2-8*x))/(1-8*x+14*x^2)+(2*(2-9*x))/(1-9*x+16*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+18*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+19*x^2)+(4*(2-10*x))/(1-10*x+22*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+24*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+26*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+28*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+30*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+31*x^2)+(4*(2-12*x))/(1-12*x+34*x^2)+(4*(-3+14*x-11*x^2))/(-1+7*x-11*x^2+x^3)+(4*(-3+12*x-9*x^2))/(-1+6*x-9*x^2+x^3)+(8*(-3+10*x-6*x^2))/(-1+5*x-6*x^2+x^3)+(8*(-3+14*x-12*x^2))/(-1+7*x-12*x^2+2*x^3)+(4*(-3+16*x-12*x^2))/(-1+8*x-12*x^2+2*x^3)+(4*(-3+18*x-12*x^2))/(-1+9*x-12*x^2+2*x^3)+(8*(-3+14*x-10*x^2))/(-1+7*x-10*x^2+2*x^3)+(12*(-3+12*x-8*x^2))/(-1+6*x-8*x^2+2*x^3)+(4*(-3+16*x-14*x^2))/(-1+8*x-14*x^2+3*x^3)+(6*(-3+14*x-12*x^2))/(-1+7*x-12*x^2+3*x^3)+(6*(-3+14*x-11*x^2))/(-1+7*x-11*x^2+3*x^3)+(8*(-3+12*x-9*x^2))/(-1+6*x-9*x^2+3*x^3)+(2*(-3+18*x-17*x^2))/(-1+9*x-17*x^2+4*x^3)+(2*(-3+16*x-16*x^2))/(-1+8*x-16*x^2+4*x^3)+(4*(-3+16*x-15*x^2))/(-1+8*x-15*x^2+4*x^3)+(2*(-3+18*x-15*x^2))/(-1+9*x-15*x^2+4*x^3)+(4*(-3+16*x-13*x^2))/(-1+8*x-13*x^2+4*x^3)+(6*(-3+16*x-12*x^2))/(-1+8*x-12*x^2+4*x^3)+(2*(-3+14*x-11*x^2))/(-1+7*x-11*x^2+4*x^3)+(8*(-3+16*x-15*x^2))/(-1+8*x-15*x^2+5*x^3)+(4*(-3+16*x-14*x^2))/(-1+8*x-14*x^2+5*x^3)+(10*(-3+14*x-13*x^2))/(-1+7*x-13*x^2+5*x^3)+(4*(-3+20*x-26*x^2))/(-1+10*x-26*x^2+6*x^3)+(4*(-3+20*x-22*x^2))/(-1+10*x-22*x^2+6*x^3)+(4*(-3+18*x-21*x^2))/(-1+9*x-21*x^2+6*x^3)+(6*(-3+16*x-16*x^2))/(-1+8*x-16*x^2+6*x^3)+(4*(-3+18*x-16*x^2))/(-1+9*x-16*x^2+6*x^3)+(8*(-3+16*x-14*x^2))/(-1+8*x-14*x^2+6*x^3)+(4*(-3+20*x-23*x^2))/(-1+10*x-23*x^2+7*x^3)+(4*(-3+16*x-16*x^2))/(-1+8*x-16*x^2+7*x^3)+(4*(-3+18*x-16*x^2))/(-1+9*x-16*x^2+7*x^3)+(4*(-3+16*x-15*x^2))/(-1+8*x-15*x^2+7*x^3)+(10*(-3+14*x-14*x^2))/(-1+7*x-14*x^2+7*x^3)+(4*(-3+24*x-27*x^2))/(-1+12*x-27*x^2+8*x^3)+(4*(-3+24*x-26*x^2))/(-1+12*x-26*x^2+8*x^3)+(4*(-3+20*x-25*x^2))/(-1+10*x-25*x^2+8*x^3)+(4*(-3+18*x-21*x^2))/(-1+9*x-21*x^2+8*x^3)+(2*(-3+16*x-17*x^2))/(-1+8*x-17*x^2+8*x^3)+(4*(-3+20*x-25*x^2))/(-1+10*x-25*x^2+9*x^3)+(4*(-3+18*x-22*x^2))/(-1+9*x-22*x^2+9*x^3)+(4*(-3+18*x-18*x^2))/(-1+9*x-18*x^2+9*x^3)+(8*(-3+16*x-17*x^2))/(-1+8*x-17*x^2+9*x^3)+(4*(-3+20*x-26*x^2))/(-1+10*x-26*x^2+10*x^3)+(4*(-3+20*x-25*x^2))/(-1+10*x-25*x^2+11*x^3)+(4*(-3+18*x-20*x^2))/(-1+9*x-20*x^2+11*x^3)+(4*(-3+18*x-21*x^2))/(-1+9*x-21*x^2+12*x^3)+(4*(-3+16*x-19*x^2))/(-1+8*x-19*x^2+13*x^3)+(4*(-3+24*x-33*x^2))/(-1+12*x-33*x^2+14*x^3)+(4*(-3+24*x-32*x^2))/(-1+12*x-32*x^2+14*x^3)+(4*(-3+24*x-31*x^2))/(-1+12*x-31*x^2+14*x^3)+(4*(-3+20*x-27*x^2))/(-1+10*x-27*x^2+14*x^3)+(4*(-3+20*x-26*x^2))/(-1+10*x-26*x^2+14*x^3)+(4*(-3+24*x-26*x^2))/(-1+12*x-26*x^2+14*x^3)+(4*(-3+18*x-23*x^2))/(-1+9*x-23*x^2+14*x^3)+(4*(-3+24*x-33*x^2))/(-1+12*x-33*x^2+15*x^3)+(4*(-3+22*x-28*x^2))/(-1+11*x-28*x^2+15*x^3)+(4*(-3+20*x-27*x^2))/(-1+10*x-27*x^2+15*x^3)+(4*(-3+24*x-27*x^2))/(-1+12*x-27*x^2+15*x^3)+(4*(-3+22*x-30*x^2))/(-1+11*x-30*x^2+16*x^3)+(4*(-3+22*x-29*x^2))/(-1+11*x-29*x^2+16*x^3)+(4*(-3+20*x-27*x^2))/(-1+10*x-27*x^2+16*x^3)+(4*(-3+24*x-37*x^2))/(-1+12*x-37*x^2+18*x^3)+(4*(-3+24*x-36*x^2))/(-1+12*x-36*x^2+18*x^3)+(4*(-3+24*x-34*x^2))/(-1+12*x-34*x^2+18*x^3)+(4*(-3+22*x-32*x^2))/(-1+11*x-32*x^2+18*x^3)+(4*(-3+24*x-31*x^2))/(-1+12*x-31*x^2+18*x^3)+(4*(-3+20*x-28*x^2))/(-1+10*x-28*x^2+18*x^3)+(4*(-3+24*x-38*x^2))/(-1+12*x-38*x^2+20*x^3)+(4*(-3+24*x-35*x^2))/(-1+12*x-35*x^2+20*x^3)+(4*(-3+24*x-34*x^2))/(-1+12*x-34*x^2+20*x^3)+(4*(-3+24*x-33*x^2))/(-1+12*x-33*x^2+20*x^3)+(4*(-3+20*x-28*x^2))/(-1+10*x-28*x^2+20*x^3)+(4*(-3+24*x-33*x^2))/(-1+12*x-33*x^2+21*x^3)+(4*(-3+20*x-29*x^2))/(-1+10*x-29*x^2+21*x^3)+(4*(-3+24*x-34*x^2))/(-1+12*x-34*x^2+22*x^3)+(4*(-3+24*x-39*x^2))/(-1+12*x-39*x^2+23*x^3)+(4*(-3+24*x-37*x^2))/(-1+12*x-37*x^2+23*x^3)+(4*(-3+24*x-39*x^2))/(-1+12*x-39*x^2+24*x^3)+(4*(-3+24*x-36*x^2))/(-1+12*x-36*x^2+24*x^3)+(4*(-3+24*x-38*x^2))/(-1+12*x-38*x^2+26*x^3)+(4*(-3+24*x-39*x^2))/(-1+12*x-39*x^2+30*x^3)+(8*(-3+24*x-38*x^2))/(-1+12*x-38*x^2+30*x^3)+(4*(-3+24*x-36*x^2))/(-1+12*x-36*x^2+30*x^3)+(4*(-3+24*x-39*x^2))/(-1+12*x-39*x^2+32*x^3)+(4*(-3+24*x-38*x^2))/(-1+12*x-38*x^2+32*x^3)+(4*(-3+24*x-41*x^2))/(-1+12*x-41*x^2+33*x^3)+(4*(-3+24*x-39*x^2))/(-1+12*x-39*x^2+33*x^3)+(4*(-3+24*x-37*x^2))/(-1+12*x-37*x^2+33*x^3)+(4*(-3+24*x-41*x^2))/(-1+12*x-41*x^2+34*x^3)+(4*(-3+24*x-38*x^2))/(-1+12*x-38*x^2+34*x^3)+(4*(-3+22*x-36*x^2))/(-1+11*x-36*x^2+34*x^3)+(4*(-3+24*x-41*x^2))/(-1+12*x-41*x^2+35*x^3)+(4*(-3+24*x-39*x^2))/(-1+12*x-39*x^2+35*x^3)+(4*(-3+22*x-36*x^2))/(-1+11*x-36*x^2+35*x^3)+(4*(-3+24*x-40*x^2))/(-1+12*x-40*x^2+36*x^3)+(4*(-3+24*x-39*x^2))/(-1+12*x-39*x^2+37*x^3)+(8*(-3+24*x-42*x^2))/(-1+12*x-42*x^2+38*x^3)+(4*(-3+24*x-41*x^2))/(-1+12*x-41*x^2+38*x^3)+(4*(-3+24*x-41*x^2))/(-1+12*x-41*x^2+40*x^3)+(4*(-3+24*x-42*x^2))/(-1+12*x-42*x^2+42*x^3)+(4*(-3+24*x-43*x^2))/(-1+12*x-43*x^2+43*x^3)+(8*(-3+24*x-43*x^2))/(-1+12*x-43*x^2+45*x^3)+(4*(-3+24*x-45*x^2))/(-1+12*x-45*x^2+51*x^3)+(4*(-3+24*x-45*x^2))/(-1+12*x-45*x^2+53*x^3)

190+(4*(4-24*x+40*x^2-16*x^3))/(1-8*x+20*x^2-16*x^3+x^4)+(4*(4-24*x+38*x^2-14*x^3))/(1-8*x+19*x^2-14*x^3+x^4)+(4*(4-27*x+44*x^2-11*x^3))/(1-9*x+22*x^2-11*x^3+x^4)+(4*(4-27*x+42*x^2-9*x^3))/(1-9*x+21*x^2-9*x^3+x^4)+(4*(4-27*x+50*x^2-21*x^3))/(1-9*x+25*x^2-21*x^3+2*x^4)+(4*(4-30*x+56*x^2-20*x^3))/(1-10*x+28*x^2-20*x^3+2*x^4)+(4*(4-27*x+48*x^2-17*x^3))/(1-9*x+24*x^2-17*x^3+2*x^4)+(4*(4-30*x+56*x^2-17*x^3))/(1-10*x+28*x^2-17*x^3+2*x^4)+(4*(4-27*x+38*x^2-12*x^3))/(1-9*x+19*x^2-12*x^3+2*x^4)+(4*(4-27*x+40*x^2-12*x^3))/(1-9*x+20*x^2-12*x^3+2*x^4)+(4*(4-27*x+36*x^2-11*x^3))/(1-9*x+18*x^2-11*x^3+2*x^4)+(4*(4-30*x+58*x^2-24*x^3))/(1-10*x+29*x^2-24*x^3+3*x^4)+(4*(4-30*x+56*x^2-21*x^3))/(1-10*x+28*x^2-21*x^3+3*x^4)+(4*(4-24*x+40*x^2-17*x^3))/(1-8*x+20*x^2-17*x^3+3*x^4)+(4*(4-30*x+52*x^2-17*x^3))/(1-10*x+26*x^2-17*x^3+3*x^4)+(4*(4-30*x+54*x^2-17*x^3))/(1-10*x+27*x^2-17*x^3+3*x^4)+(4*(4-30*x+60*x^2-26*x^3))/(1-10*x+30*x^2-26*x^3+4*x^4)+(4*(4-33*x+66*x^2-24*x^3))/(1-11*x+33*x^2-24*x^3+4*x^4)+(4*(4-30*x+58*x^2-23*x^3))/(1-10*x+29*x^2-23*x^3+4*x^4)+(4*(4-33*x+64*x^2-23*x^3))/(1-11*x+32*x^2-23*x^3+4*x^4)+(4*(4-30*x+56*x^2-22*x^3))/(1-10*x+28*x^2-22*x^3+4*x^4)+(8*(4-30*x+60*x^2-27*x^3))/(1-10*x+30*x^2-27*x^3+5*x^4)+(4*(4-30*x+58*x^2-26*x^3))/(1-10*x+29*x^2-26*x^3+5*x^4)+(4*(4-30*x+60*x^2-25*x^3))/(1-10*x+30*x^2-25*x^3+5*x^4)+(4*(4-30*x+58*x^2-24*x^3))/(1-10*x+29*x^2-24*x^3+5*x^4)+(4*(4-30*x+56*x^2-23*x^3))/(1-10*x+28*x^2-23*x^3+5*x^4)+(4*(4-30*x+58*x^2-23*x^3))/(1-10*x+29*x^2-23*x^3+5*x^4)+(4*(4-33*x+78*x^2-46*x^3))/(1-11*x+39*x^2-46*x^3+6*x^4)+(4*(4-36*x+80*x^2-40*x^3))/(1-12*x+40*x^2-40*x^3+6*x^4)+(4*(4-36*x+78*x^2-33*x^3))/(1-12*x+39*x^2-33*x^3+6*x^4)+(4*(4-36*x+76*x^2-32*x^3))/(1-12*x+38*x^2-32*x^3+6*x^4)+(4*(4-30*x+62*x^2-31*x^3))/(1-10*x+31*x^2-31*x^3+6*x^4)+(4*(4-36*x+68*x^2-28*x^3))/(1-12*x+34*x^2-28*x^3+6*x^4)+(4*(4-36*x+66*x^2-27*x^3))/(1-12*x+33*x^2-27*x^3+6*x^4)+(4*(4-33*x+68*x^2-27*x^3))/(1-11*x+34*x^2-27*x^3+6*x^4)+(8*(4-30*x+60*x^2-26*x^3))/(1-10*x+30*x^2-26*x^3+6*x^4)+(4*(4-30*x+58*x^2-25*x^3))/(1-10*x+29*x^2-25*x^3+6*x^4)+(4*(4-30*x+60*x^2-27*x^3))/(1-10*x+30*x^2-27*x^3+7*x^4)+(4*(4-30*x+58*x^2-26*x^3))/(1-10*x+29*x^2-26*x^3+7*x^4)+(4*(4-30*x+62*x^2-31*x^3))/(1-10*x+31*x^2-31*x^3+8*x^4)+(4*(4-33*x+78*x^2-47*x^3))/(1-11*x+39*x^2-47*x^3+9*x^4)+(4*(4-30*x+62*x^2-32*x^3))/(1-10*x+31*x^2-32*x^3+9*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-52*x^3))/(1-12*x+44*x^2-52*x^3+10*x^4)+(4*(4-33*x+80*x^2-51*x^3))/(1-11*x+40*x^2-51*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-49*x^3))/(1-12*x+43*x^2-49*x^3+10*x^4)+(4*(4-33*x+78*x^2-48*x^3))/(1-11*x+39*x^2-48*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-48*x^3))/(1-12*x+42*x^2-48*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-46*x^3))/(1-12*x+43*x^2-46*x^3+10*x^4)+(4*(4-33*x+76*x^2-44*x^3))/(1-11*x+38*x^2-44*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-44*x^3))/(1-12*x+42*x^2-44*x^3+10*x^4)+(4*(4-33*x+76*x^2-43*x^3))/(1-11*x+38*x^2-43*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+82*x^2-43*x^3))/(1-12*x+41*x^2-43*x^3+10*x^4)+(4*(4-33*x+74*x^2-42*x^3))/(1-11*x+37*x^2-42*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+78*x^2-42*x^3))/(1-12*x+39*x^2-42*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+76*x^2-40*x^3))/(1-12*x+38*x^2-40*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-40*x^3))/(1-12*x+42*x^2-40*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+82*x^2-39*x^3))/(1-12*x+41*x^2-39*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+78*x^2-37*x^3))/(1-12*x+39*x^2-37*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+76*x^2-36*x^3))/(1-12*x+38*x^2-36*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+74*x^2-35*x^3))/(1-12*x+37*x^2-35*x^3+10*x^4)+(4*(4-30*x+62*x^2-33*x^3))/(1-10*x+31*x^2-33*x^3+10*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-53*x^3))/(1-12*x+44*x^2-53*x^3+11*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-47*x^3))/(1-12*x+43*x^2-47*x^3+11*x^4)+(4*(4-36*x+80*x^2-45*x^3))/(1-12*x+40*x^2-45*x^3+11*x^4)+(4*(4-36*x+78*x^2-43*x^3))/(1-12*x+39*x^2-43*x^3+11*x^4)+(4*(4-36*x+78*x^2-38*x^3))/(1-12*x+39*x^2-38*x^3+11*x^4)+(4*(4-30*x+64*x^2-36*x^3))/(1-10*x+32*x^2-36*x^3+11*x^4)+(4*(4-30*x+64*x^2-35*x^3))/(1-10*x+32*x^2-35*x^3+11*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-54*x^3))/(1-12*x+45*x^2-54*x^3+12*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-53*x^3))/(1-12*x+45*x^2-53*x^3+12*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-48*x^3))/(1-12*x+42*x^2-48*x^3+12*x^4)+(4*(4-36*x+82*x^2-47*x^3))/(1-12*x+41*x^2-47*x^3+12*x^4)+(4*(4-33*x+76*x^2-45*x^3))/(1-11*x+38*x^2-45*x^3+12*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-43*x^3))/(1-12*x+43*x^2-43*x^3+12*x^4)+(8*(4-36*x+84*x^2-42*x^3))/(1-12*x+42*x^2-42*x^3+12*x^4)+(4*(4-36*x+82*x^2-41*x^3))/(1-12*x+41*x^2-41*x^3+12*x^4)+(4*(4-36*x+78*x^2-39*x^3))/(1-12*x+39*x^2-39*x^3+12*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-60*x^3))/(1-12*x+46*x^2-60*x^3+14*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-56*x^3))/(1-12*x+44*x^2-56*x^3+14*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-55*x^3))/(1-12*x+45*x^2-55*x^3+14*x^4)+(4*(4-33*x+80*x^2-52*x^3))/(1-11*x+40*x^2-52*x^3+14*x^4)+(4*(4-33*x+78*x^2-48*x^3))/(1-11*x+39*x^2-48*x^3+14*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-44*x^3))/(1-12*x+42*x^2-44*x^3+14*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-61*x^3))/(1-12*x+46*x^2-61*x^3+15*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-57*x^3))/(1-12*x+45*x^2-57*x^3+15*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-53*x^3))/(1-12*x+44*x^2-53*x^3+15*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-51*x^3))/(1-12*x+43*x^2-51*x^3+15*x^4)+(4*(4-33*x+78*x^2-49*x^3))/(1-11*x+39*x^2-49*x^3+15*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-54*x^3))/(1-12*x+44*x^2-54*x^3+16*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-53*x^3))/(1-12*x+44*x^2-53*x^3+16*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-52*x^3))/(1-12*x+43*x^2-52*x^3+16*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-50*x^3))/(1-12*x+42*x^2-50*x^3+16*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-50*x^3))/(1-12*x+43*x^2-50*x^3+16*x^4)+(4*(4-33*x+78*x^2-49*x^3))/(1-11*x+39*x^2-49*x^3+16*x^4)+(4*(4-36*x+82*x^2-48*x^3))/(1-12*x+41*x^2-48*x^3+16*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-65*x^3))/(1-12*x+47*x^2-65*x^3+18*x^4)+(8*(4-36*x+92*x^2-60*x^3))/(1-12*x+46*x^2-60*x^3+18*x^4)+(8*(4-36*x+88*x^2-56*x^3))/(1-12*x+44*x^2-56*x^3+18*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-56*x^3))/(1-12*x+45*x^2-56*x^3+18*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-55*x^3))/(1-12*x+45*x^2-55*x^3+18*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-54*x^3))/(1-12*x+44*x^2-54*x^3+18*x^4)+(8*(4-36*x+86*x^2-53*x^3))/(1-12*x+43*x^2-53*x^3+18*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-52*x^3))/(1-12*x+42*x^2-52*x^3+18*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-51*x^3))/(1-12*x+43*x^2-51*x^3+18*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-50*x^3))/(1-12*x+42*x^2-50*x^3+18*x^4)+(4*(4-33*x+82*x^2-57*x^3))/(1-11*x+41*x^2-57*x^3+19*x^4)+(4*(4-33*x+80*x^2-53*x^3))/(1-11*x+40*x^2-53*x^3+19*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-60*x^3))/(1-12*x+46*x^2-60*x^3+20*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-59*x^3))/(1-12*x+45*x^2-59*x^3+20*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-58*x^3))/(1-12*x+45*x^2-58*x^3+20*x^4)+(8*(4-36*x+88*x^2-57*x^3))/(1-12*x+44*x^2-57*x^3+20*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-56*x^3))/(1-12*x+45*x^2-56*x^3+20*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-53*x^3))/(1-12*x+43*x^2-53*x^3+20*x^4)+(4*(4-36*x+84*x^2-52*x^3))/(1-12*x+42*x^2-52*x^3+20*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-69*x^3))/(1-12*x+48*x^2-69*x^3+21*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-65*x^3))/(1-12*x+47*x^2-65*x^3+21*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-61*x^3))/(1-12*x+46*x^2-61*x^3+21*x^4)+(8*(4-36*x+90*x^2-60*x^3))/(1-12*x+45*x^2-60*x^3+21*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-59*x^3))/(1-12*x+45*x^2-59*x^3+21*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-57*x^3))/(1-12*x+45*x^2-57*x^3+21*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-70*x^3))/(1-12*x+48*x^2-70*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-67*x^3))/(1-12*x+47*x^2-67*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-66*x^3))/(1-12*x+47*x^2-66*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-64*x^3))/(1-12*x+46*x^2-64*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-62*x^3))/(1-12*x+46*x^2-62*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-60*x^3))/(1-12*x+46*x^2-60*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-58*x^3))/(1-12*x+45*x^2-58*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-57*x^3))/(1-12*x+45*x^2-57*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-56*x^3))/(1-12*x+44*x^2-56*x^3+22*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-66*x^3))/(1-12*x+47*x^2-66*x^3+23*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-57*x^3))/(1-12*x+44*x^2-57*x^3+23*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-67*x^3))/(1-12*x+47*x^2-67*x^3+24*x^4)+(8*(4-36*x+90*x^2-61*x^3))/(1-12*x+45*x^2-61*x^3+24*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-60*x^3))/(1-12*x+45*x^2-60*x^3+24*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-58*x^3))/(1-12*x+44*x^2-58*x^3+24*x^4)+(4*(4-36*x+86*x^2-57*x^3))/(1-12*x+43*x^2-57*x^3+24*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-68*x^3))/(1-12*x+47*x^2-68*x^3+25*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-63*x^3))/(1-12*x+46*x^2-63*x^3+25*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-71*x^3))/(1-12*x+48*x^2-71*x^3+26*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-66*x^3))/(1-12*x+47*x^2-66*x^3+26*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-63*x^3))/(1-12*x+46*x^2-63*x^3+26*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-60*x^3))/(1-12*x+44*x^2-60*x^3+26*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-67*x^3))/(1-12*x+47*x^2-67*x^3+27*x^4)+(4*(4-36*x+88*x^2-61*x^3))/(1-12*x+44*x^2-61*x^3+27*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-64*x^3))/(1-12*x+46*x^2-64*x^3+28*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-63*x^3))/(1-12*x+45*x^2-63*x^3+28*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-71*x^3))/(1-12*x+48*x^2-71*x^3+29*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-68*x^3))/(1-12*x+47*x^2-68*x^3+29*x^4)+(4*(4-36*x+90*x^2-64*x^3))/(1-12*x+45*x^2-64*x^3+29*x^4)+(8*(4-36*x+96*x^2-72*x^3))/(1-12*x+48*x^2-72*x^3+30*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-68*x^3))/(1-12*x+47*x^2-68*x^3+30*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-67*x^3))/(1-12*x+47*x^2-67*x^3+30*x^4)+(8*(4-36*x+92*x^2-66*x^3))/(1-12*x+46*x^2-66*x^3+30*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-73*x^3))/(1-12*x+48*x^2-73*x^3+32*x^4)+(8*(4-36*x+94*x^2-69*x^3))/(1-12*x+47*x^2-69*x^3+32*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-73*x^3))/(1-12*x+48*x^2-73*x^3+33*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-72*x^3))/(1-12*x+48*x^2-72*x^3+34*x^4)+(8*(4-36*x+96*x^2-73*x^3))/(1-12*x+48*x^2-73*x^3+35*x^4)+(4*(4-36*x+92*x^2-69*x^3))/(1-12*x+46*x^2-69*x^3+35*x^4)+(4*(4-36*x+94*x^2-71*x^3))/(1-12*x+47*x^2-71*x^3+36*x^4)+(4*(4-36*x+98*x^2-78*x^3))/(1-12*x+49*x^2-78*x^3+37*x^4)+(4*(4-36*x+98*x^2-78*x^3))/(1-12*x+49*x^2-78*x^3+38*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-74*x^3))/(1-12*x+48*x^2-74*x^3+38*x^4)+(4*(4-36*x+98*x^2-78*x^3))/(1-12*x+49*x^2-78*x^3+39*x^4)+(8*(4-36*x+96*x^2-75*x^3))/(1-12*x+48*x^2-75*x^3+39*x^4)+(4*(4-36*x+98*x^2-79*x^3))/(1-12*x+49*x^2-79*x^3+40*x^4)+(4*(4-36*x+98*x^2-78*x^3))/(1-12*x+49*x^2-78*x^3+41*x^4)+(4*(4-36*x+96*x^2-76*x^3))/(1-12*x+48*x^2-76*x^3+41*x^4)+(4*(4-36*x+100*x^2-83*x^3))/(1-12*x+50*x^2-83*x^3+43*x^4)+(4*(4-36*x+100*x^2-84*x^3))/(1-12*x+50*x^2-84*x^3+46*x^4)+(4*(4-36*x+100*x^2-84*x^3))/(1-12*x+50*x^2-84*x^3+47*x^4)+(4*(4-36*x+100*x^2-85*x^3))/(1-12*x+50*x^2-85*x^3+49*x^4)

191+(4*(-5+40*x-93*x^2+62*x^3-11*x^4))/(-1+10*x-31*x^2+31*x^3-11*x^4+x^5)+(4*(-5+40*x-93*x^2+66*x^3-11*x^4))/(-1+10*x-31*x^2+33*x^3-11*x^4+x^5)+(4*(-5+40*x-90*x^2+58*x^3-10*x^4))/(-1+10*x-30*x^2+29*x^3-10*x^4+x^5)+(4*(-5+44*x-123*x^2+116*x^3-24*x^4))/(-1+11*x-41*x^2+58*x^3-24*x^4+2*x^5)+(4*(-5+44*x-120*x^2+106*x^3-20*x^4))/(-1+11*x-40*x^2+53*x^3-20*x^4+2*x^5)+(4*(-5+44*x-120*x^2+108*x^3-20*x^4))/(-1+11*x-40*x^2+54*x^3-20*x^4+2*x^5)+(4*(-5+44*x-123*x^2+118*x^3-27*x^4))/(-1+11*x-41*x^2+59*x^3-27*x^4+3*x^5)+(4*(-5+44*x-123*x^2+118*x^3-26*x^4))/(-1+11*x-41*x^2+59*x^3-26*x^4+3*x^5)+(4*(-5+44*x-120*x^2+110*x^3-24*x^4))/(-1+11*x-40*x^2+55*x^3-24*x^4+3*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+160*x^3-45*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+80*x^3-45*x^4+4*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+146*x^3-35*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+73*x^3-35*x^4+4*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+138*x^3-34*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+69*x^3-34*x^4+4*x^5)+(4*(-5+48*x-135*x^2+128*x^3-33*x^4))/(-1+12*x-45*x^2+64*x^3-33*x^4+4*x^5)+(4*(-5+48*x-132*x^2+122*x^3-31*x^4))/(-1+12*x-44*x^2+61*x^3-31*x^4+4*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+134*x^3-31*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+67*x^3-31*x^4+4*x^5)+(4*(-5+48*x-138*x^2+128*x^3-30*x^4))/(-1+12*x-46*x^2+64*x^3-30*x^4+4*x^5)+(4*(-5+44*x-123*x^2+120*x^3-29*x^4))/(-1+11*x-41*x^2+60*x^3-29*x^4+4*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+180*x^3-57*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+90*x^3-57*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+168*x^3-50*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+84*x^3-50*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+156*x^3-48*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+78*x^3-48*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+158*x^3-46*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+79*x^3-46*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+166*x^3-45*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+83*x^3-45*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+158*x^3-43*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+79*x^3-43*x^4+6*x^5)+(8*(-5+48*x-144*x^2+150*x^3-42*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+75*x^3-42*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+156*x^3-42*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+78*x^3-42*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+156*x^3-41*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+78*x^3-41*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+142*x^3-40*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+71*x^3-40*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+148*x^3-40*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+74*x^3-40*x^4+6*x^5)+(8*(-5+48*x-141*x^2+142*x^3-39*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+71*x^3-39*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+146*x^3-39*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+73*x^3-39*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+150*x^3-39*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+75*x^3-39*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-138*x^2+136*x^3-38*x^4))/(-1+12*x-46*x^2+68*x^3-38*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+138*x^3-38*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+69*x^3-38*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+146*x^3-38*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+73*x^3-38*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+138*x^3-37*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+69*x^3-37*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+140*x^3-37*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+70*x^3-37*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-138*x^2+132*x^3-36*x^4))/(-1+12*x-46*x^2+66*x^3-36*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-138*x^2+136*x^3-36*x^4))/(-1+12*x-46*x^2+68*x^3-36*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-135*x^2+128*x^3-35*x^4))/(-1+12*x-45*x^2+64*x^3-35*x^4+6*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+182*x^3-60*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+91*x^3-60*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+166*x^3-54*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+83*x^3-54*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+170*x^3-52*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+85*x^3-52*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+158*x^3-50*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+79*x^3-50*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+152*x^3-45*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+76*x^3-45*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+158*x^3-45*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+79*x^3-45*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+152*x^3-44*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+76*x^3-44*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+146*x^3-43*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+73*x^3-43*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+152*x^3-42*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+76*x^3-42*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+140*x^3-40*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+70*x^3-40*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+144*x^3-40*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+72*x^3-40*x^4+7*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+184*x^3-63*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+92*x^3-63*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+174*x^3-57*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+87*x^3-57*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+170*x^3-52*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+85*x^3-52*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+162*x^3-49*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+81*x^3-49*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+160*x^3-47*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+80*x^3-47*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+152*x^3-46*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+76*x^3-46*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+146*x^3-44*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+73*x^3-44*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+150*x^3-44*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+75*x^3-44*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+142*x^3-42*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+71*x^3-42*x^4+8*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+182*x^3-62*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+91*x^3-62*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+172*x^3-57*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+86*x^3-57*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+170*x^3-54*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+85*x^3-54*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+162*x^3-51*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+81*x^3-51*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+158*x^3-50*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+79*x^3-50*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+160*x^3-50*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+80*x^3-50*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+168*x^3-50*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+84*x^3-50*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+160*x^3-48*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+80*x^3-48*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+150*x^3-47*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+75*x^3-47*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+152*x^3-47*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+76*x^3-47*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+146*x^3-45*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+73*x^3-45*x^4+9*x^5)+(4*(-5+48*x-141*x^2+144*x^3-44*x^4))/(-1+12*x-47*x^2+72*x^3-44*x^4+9*x^5)+(8*(-5+48*x-153*x^2+182*x^3-62*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+91*x^3-62*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+172*x^3-58*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+86*x^3-58*x^4+10*x^5)+(8*(-5+48*x-150*x^2+172*x^3-56*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+86*x^3-56*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+166*x^3-54*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+83*x^3-54*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+170*x^3-54*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+85*x^3-54*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+170*x^3-53*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+85*x^3-53*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+162*x^3-52*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+81*x^3-52*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+160*x^3-51*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+80*x^3-51*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+160*x^3-50*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+80*x^3-50*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+154*x^3-49*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+77*x^3-49*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+152*x^3-48*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+76*x^3-48*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-144*x^2+150*x^3-47*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+75*x^3-47*x^4+10*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+184*x^3-65*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+92*x^3-65*x^4+12*x^5)+(8*(-5+48*x-153*x^2+182*x^3-62*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+91*x^3-62*x^4+12*x^5)+(8*(-5+48*x-150*x^2+174*x^3-61*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+87*x^3-61*x^4+12*x^5)+(8*(-5+48*x-150*x^2+174*x^3-59*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+87*x^3-59*x^4+12*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+164*x^3-55*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+82*x^3-55*x^4+12*x^5)+(8*(-5+48*x-144*x^2+158*x^3-53*x^4))/(-1+12*x-48*x^2+79*x^3-53*x^4+12*x^5)+(4*(-5+48*x-156*x^2+196*x^3-74*x^4))/(-1+12*x-52*x^2+98*x^3-74*x^4+13*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+186*x^3-68*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+93*x^3-68*x^4+13*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+184*x^3-66*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+92*x^3-66*x^4+13*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+176*x^3-63*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+88*x^3-63*x^4+13*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+182*x^3-63*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+91*x^3-63*x^4+13*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+172*x^3-58*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+86*x^3-58*x^4+13*x^5)+(4*(-5+48*x-147*x^2+166*x^3-57*x^4))/(-1+12*x-49*x^2+83*x^3-57*x^4+13*x^5)+(4*(-5+48*x-156*x^2+194*x^3-71*x^4))/(-1+12*x-52*x^2+97*x^3-71*x^4+14*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+176*x^3-62*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+88*x^3-62*x^4+14*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+172*x^3-60*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+86*x^3-60*x^4+14*x^5)+(8*(-5+48*x-153*x^2+186*x^3-69*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+93*x^3-69*x^4+15*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+178*x^3-66*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+89*x^3-66*x^4+15*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+184*x^3-66*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+92*x^3-66*x^4+15*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+176*x^3-63*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+88*x^3-63*x^4+15*x^5)+(4*(-5+48*x-150*x^2+174*x^3-62*x^4))/(-1+12*x-50*x^2+87*x^3-62*x^4+15*x^5)+(8*(-5+48*x-156*x^2+196*x^3-75*x^4))/(-1+12*x-52*x^2+98*x^3-75*x^4+16*x^5)+(8*(-5+48*x-153*x^2+184*x^3-67*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+92*x^3-67*x^4+16*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+186*x^3-71*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+93*x^3-71*x^4+17*x^5)+(4*(-5+48*x-153*x^2+186*x^3-69*x^4))/(-1+12*x-51*x^2+93*x^3-69*x^4+17*x^5)+(8*(-5+48*x-156*x^2+196*x^3-76*x^4))/(-1+12*x-52*x^2+98*x^3-76*x^4+18*x^5)+(4*(-5+48*x-156*x^2+198*x^3-79*x^4))/(-1+12*x-52*x^2+99*x^3-79*x^4+20*x^5)+(8*(-5+48*x-156*x^2+198*x^3-80*x^4))/(-1+12*x-52*x^2+99*x^3-80*x^4+21*x^5)+(4*(-5+48*x-159*x^2+210*x^3-89*x^4))/(-1+12*x-53*x^2+105*x^3-89*x^4+23*x^5)+(4*(-5+48*x-159*x^2+212*x^3-94*x^4))/(-1+12*x-53*x^2+106*x^3-94*x^4+29*x^5)+(4*(6-60*x+212*x^2-315*x^3+182*x^4-29*x^5))/(1-12*x+53*x^2-105*x^3+91*x^4-29*x^5+2*x^6)

192+(4*(6-60*x+208*x^2-300*x^3+168*x^4-26*x^5))/(1-12*x+52*x^2-100*x^3+84*x^4-26*x^5+2*x^6)+(8*(6-60*x+208*x^2-297*x^3+162*x^4-24*x^5))/(1-12*x+52*x^2-99*x^3+81*x^4-24*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+208*x^2-300*x^3+166*x^4-24*x^5))/(1-12*x+52*x^2-100*x^3+83*x^4-24*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+208*x^2-297*x^3+160*x^4-23*x^5))/(1-12*x+52*x^2-99*x^3+80*x^4-23*x^5+2*x^6)+(8*(6-60*x+204*x^2-279*x^3+144*x^4-22*x^5))/(1-12*x+51*x^2-93*x^3+72*x^4-22*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+204*x^2-285*x^3+152*x^4-22*x^5))/(1-12*x+51*x^2-95*x^3+76*x^4-22*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+200*x^2-264*x^3+134*x^4-21*x^5))/(1-12*x+50*x^2-88*x^3+67*x^4-21*x^5+2*x^6)+(8*(6-60*x+204*x^2-279*x^3+142*x^4-21*x^5))/(1-12*x+51*x^2-93*x^3+71*x^4-21*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+200*x^2-261*x^3+130*x^4-20*x^5))/(1-12*x+50*x^2-87*x^3+65*x^4-20*x^5+2*x^6)+(8*(6-60*x+200*x^2-264*x^3+132*x^4-20*x^5))/(1-12*x+50*x^2-88*x^3+66*x^4-20*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+200*x^2-267*x^3+134*x^4-20*x^5))/(1-12*x+50*x^2-89*x^3+67*x^4-20*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+196*x^2-249*x^3+122*x^4-19*x^5))/(1-12*x+49*x^2-83*x^3+61*x^4-19*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+196*x^2-252*x^3+124*x^4-19*x^5))/(1-12*x+49*x^2-84*x^3+62*x^4-19*x^5+2*x^6)+(4*(6-60*x+216*x^2-339*x^3+220*x^4-42*x^5))/(1-12*x+54*x^2-113*x^3+110*x^4-42*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+212*x^2-321*x^3+198*x^4-36*x^5))/(1-12*x+53*x^2-107*x^3+99*x^4-36*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+212*x^2-318*x^3+192*x^4-34*x^5))/(1-12*x+53*x^2-106*x^3+96*x^4-34*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+212*x^2-318*x^3+190*x^4-33*x^5))/(1-12*x+53*x^2-106*x^3+95*x^4-33*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+212*x^2-318*x^3+190*x^4-32*x^5))/(1-12*x+53*x^2-106*x^3+95*x^4-32*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+208*x^2-303*x^3+176*x^4-30*x^5))/(1-12*x+52*x^2-101*x^3+88*x^4-30*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+208*x^2-300*x^3+172*x^4-29*x^5))/(1-12*x+52*x^2-100*x^3+86*x^4-29*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+208*x^2-297*x^3+164*x^4-28*x^5))/(1-12*x+52*x^2-99*x^3+82*x^4-28*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+208*x^2-300*x^3+170*x^4-28*x^5))/(1-12*x+52*x^2-100*x^3+85*x^4-28*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+204*x^2-282*x^3+152*x^4-26*x^5))/(1-12*x+51*x^2-94*x^3+76*x^4-26*x^5+3*x^6)+(4*(6-60*x+216*x^2-339*x^3+220*x^4-43*x^5))/(1-12*x+54*x^2-113*x^3+110*x^4-43*x^5+4*x^6)+(4*(6-60*x+212*x^2-321*x^3+198*x^4-37*x^5))/(1-12*x+53*x^2-107*x^3+99*x^4-37*x^5+4*x^6)+(4*(6-60*x+212*x^2-318*x^3+192*x^4-35*x^5))/(1-12*x+53*x^2-106*x^3+96*x^4-35*x^5+4*x^6)+(4*(6-60*x+212*x^2-321*x^3+200*x^4-39*x^5))/(1-12*x+53*x^2-107*x^3+100*x^4-39*x^5+5*x^6)

A195656 - 12n Kings on a 24 x 2n horizontal cylinder, m=12
Recurrence order is 4248 (V. Kotěšovec 13.9.2011), denominator of the generating function found Max A.Alekseyev 14.9.2011.
For full generating function (Václav Kotěšovec, 26.9.2011), see OEIS.

Vypočtené koeficienty pro m=8 až 12 určují současně pro tyto sekvence i tvar explicitních vzorců. Pro m=8 a 9 se mi podařilo vyřešit soustavy rovnic pro koeficienty
mocninných členů i numericky a tím jsem hodnoty těchto koeficientů (jinou metodou) potvrdil. Tabulka na další straně zobrazuje několik prvních koeficientů u členů
s nejvyšší váhou. Obecně je pro konstantní m asymptotický průběh

193

První členy explicitních vzorců pro horizontální válec (5 největších kořenů seřazeno podle velikosti)
horizontal cylinder - five largest roots and his coefficients (see chapter 2.3.10 for more info about roots)
1.rootm

2.root3.root4.root5.rootmaximalcoefficient

m+1

1

2*

2

2*

+2*

2

3

2*

+4*

4

4

2*

+4*

+2*

+2*

+4*

4

5

2*

+4*

+4*

+2*

+4*

8

6

2*

+4*

+4*

+2*

+6*

8

7

2*

+4*

+4*

+2*

+4*

24

8

2*

+4*

+4*

+2*

+4*

32

9

2*

+4*

+4*

+2*

+4*

40

10

2*

+4*

+4*

+2*

+4*

88

11

2*

+4*

+4*

+2*

+4*

264

12

2*

+4*

+4*

+2*

+4*

308

2

194

Tables - number of ways to place m x n non-attacking kings on a 2m x 2n horizontal cylinder

n kings board 1n/2x2n kings board

A194644

A194645

A1946462n/4x2n kings board

3n/6x2n kings board

4n/8x2n

1

1

2x2

4

2

4x2

12

3

6x2

32

4

8x2

80

2

2

2x4

8

100

8

8x4

276

2x6

16

32
90

6x4

3

4x4
4x6

6

3

4
6

9

6x6

344

12

8x6

1082

4

4

2x8

32

8

4x8

256

12

6x8

1220

5

5 2x1064

10 4x10732

15 6x104392

16 8x820 8x10

4460
18890

6

6 2x12128

12 4x122102

18 6x1215988

24 8x1281606

7

7 2x14256

14 4x146060

21 6x1458776

28 8x143585648

8 2x16512

16 4x1617536

24 6x1621805232 8x16

159982099 2x181024

18 4x1850922

27 6x1881581636 8x18723886410

10 2x202048

20 4x2014835230 6x203076180

40 8x203317548611

11 2x224096

22 4x2243350033 6x2211682296

44 8x22153802520

1212 2x248192

24 4x24 1270246

36 6x2444653028

48 8x24720390254

13

13 2x2616384

26 4x26 3731532

39 6x26 171670440

52 8x26 3404944506

14

14 2x2832768

28 4x28 10987232

42 6x28 663421684

56 8x28 16221905696

15

15 2x3065536

30 4x30 32418810

45 6x30 2575592664

60 8x30 77820675992

195

n kings board

A194647

A194648

A195004

A195652

5n/10x2n kings board

6n/12x2n kings board

7n/14x2n kings board

8n/16x2n1

5 10x2192

6 12x2448

7 14x21024

8 16x22304

210 10x4708

12 12x4

1732

14 14x4

4100

16 16x49476

3

15 10x63036

18 12x6

7918

21 14x6

19648

24 16x647058

4

20 10x813932

24 12x8

39316

28 14x8

10350832 16x8

2593725

25 10x10

66532

30 12x1020562835 14x10

58066440 16x10

15368146

30 10x12

3271923419648

48 16x12

9643562

35 10x14

16494201118398
6286658

42 14x127

36 12x12
42 12x14

49 14x14

20984924

56 16x14

635585668

40 10x16

8500668

48 12x16

36383284

56 14x16

133538996

9

45 10x18

44693472

54 12x18

216134044

63 14x18

877751236

64 16x16
72 16x18

437500380
3130270224

10

50 10x20

239238888

60 12x20

1314160492

70 14x20

5937279840

80 16x20

23174548666

11

55 10x22

1301236304

66 12x22

8155899320

77 14x22

41180193352

88 16x22

176740657340

12

60 10x24

7177627944

72 12x24

51526819510

84 14x24

291859775552

96 16x24

1382652697282

13

65 10x26

40078823652

78 12x26

330559583178

91 14x26

2106967145904

104 16x26 11052082053262

14

70 10x28 226167613792

84 12x28 2148524237842

98 14x28 15448890481568

112 16x28 89954475408222

15

75 10x30 1287874058656

90 12x30 14120142260138

105 14x30 114765555945488

120 16x30 743275585245898

196

A195653n kings board
1

9

18x2

2

18

3

27

4

A195654

9n / 18x2n kings board
5120

10

20x2

18x4

21508

20

18x6

109796

30

36

18x8

626780

5

45

18x10

6

54

18x12

7

63

18x14

8

72

18x16

A195655

10n / 20x2n kings board

A195656

11n / 22x2n kings board

12n / 24x2n

11264

11

22x2

24576

12

24x2

53248

20x4

48132

22

22x4

1065002424x423347620x625112633

22x656551236

24x6125775440

20x8147376444

22x8339296448

24x8

7682812387730050

20x10

943478455

22x10

22327496

60

24x10

51698178

25603228

60

20x12

64923594

66

22x12

158877948

72

24x12

378088270

178909300

70

20x14

476033636

77

22x14

1212120160

84

24x14

2980927200

1314748124

80

20x16

3694894500

88

22x16

9849731140

96

24x16

25173962492

20x18

30179587994

99

22x18

84719304384

108

24x18

226268016376

9

81

18x18

10105541204

90

10

90

18x20

80812754568

100

20x20

257860425672

110

22x20

766319864440

120

24x20

2149806985106

11

99

18x22

668845118276

110

20x22

2290966142762

121

22x22

7241521734020

132

24x22

21437333168798

12

108

18x24

5700499630916

120

20x24

21042965606234

132

22x24

71028444904044

144

24x24

222770819826574

13

117

18x26

49800720887968

130

20x26

198765197377402

143

22x26

718816489322444

156

24x26

2396574908171782

14

126

18x28

444140848321356

140

20x28

1921681775292272

154

22x28

7466044767879028

168

24x28

26535227773186536

15

135

18x30

4029482453905756

150

20x30

18940490557328616

165

22x30

79230397598482712

180

24x30

300870737118178194

16

144

18x32

37080781799409148

160

20x32

189679152583318596

176

22x32

855840660674700612

192

24x32

3479000496509382748

17

153

18x34

345278411878468044

170

20x34

1924757095250611458

187

22x34

9381236750764316676

204

24x34

40885324678195409820

18

162

18x36

3246772078088155432

180

20x36

19746535064318923758

198

22x36

104090420921618696952

216

24x36

486989665584996802228

19

171

18x38

30781946900321278256

190

20x38

204445858068589675074

209

22x38

1166726840397440860664

228

24x38

5866007127336366609118

20

180

18x40

293854532019205248960

200

20x40

2133047572317122955744

220

22x40

13189452933510039097184

240

24x40

71326830696492771709282

21

189

18x42

2821602850067948935276

210

20x42

22399543148593419171392

231

22x42

150178777684384549385092

252

24x42

874210303368687541970862

22

198

18x44

27227392470984635126112

220

20x44

236521669369146141934114

242

22x44

1720465020510968081991936

264

24x44

10787341509858294538416194

23

207

18x46

263845660207385480809288

230

20x46

2509276475874569266946236

253

22x46

19813191535511397723131440

276

24x46

133882791569237164996191264

24

216

18x48 2566072039202333185212740

240

20x48 26729150024690350394992506

264

22x48 229201501762174283661578044

288

24x48 1669927378127986864133800910

25

225

18x50 25034996299223827083906900

250

20x50 285721313823478458163854284

275

22x50 2661778156729767466624752296

300

24x50 20919099646239649408088816328

values for m>7 computed by Alex V. Breger (2011), for more values see b-files in OEIS

197

2.6.9) m x n Kings on a 2m x 2n vertical cylinder - m x n králů na vertikálním válci 2m x 2n
Vertikální válcová šachovnice (běžnější ve skladebním šachu). První a poslední sloupec šachovnice jsou spojené do válce.
Vertical cylinder: a chessboard where it is supposed that the columns 1 and 2m are in contact (for 8x8 board columns "a" and "h" are in contact).
Move from [x,y] to square [x + p, y + q] is transformed as [(x + p) Mod 2m, y + q]
2m = x-size of chessboard = number of columns
2n = y-size of chessboard = number of rows
For each sequence m is fixed and n go to infinity.
Případ vertikální válcové šachovnice je trochu jednodušší než případy horizontální válcové nebo normální šachovnice. Samozřejmě pro m=n
oba případy splývají a z hlediska počtu pozic je pak jedno jakým směrem je šachovnice do válce stočená. V této kapitole volíme m pevné a n jde
do nekonečna.
Pro počet rozmístění neohrožujících se m x n králů na vertikální válcové šachovnici jsem dokonce objevil obecný vzorec pro jmenovatel vytvořující funkce.
For number of ways to place m x n non-attacking kings on a 2m x 2n vertical cylinder I found denominator of generating function (for fixed m)(Václav Kotěšovec, 30.8.2011)

Odtud vyplývá i obecný tvar rekurence:(recurrence order is m+1)

V programu Mathematica dostaneme tabulku těchto rekurencí např. takto (v příkladu od m=1 do m=10)
Table[Sum[Binomial[m,j-1]*(-1)^(j-1)*(m^2+j^2+2j*m+m-j)/(j*m)*Subscript[a,n-j],{j,1,m+1}],{m,1,10}]//MatrixForm//TraditionalForm

n kings on a vertical cylinder 2 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula:

198

A195590 - 2n kings on a vertical cylinder 4 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula:A195591 - 3n kings on a vertical cylinder 6 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

A195592 - 4n kings on a vertical cylinder 8 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

A195593 - 5n kings on a vertical cylinder 10 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

199

A195594 - 6n kings on a vertical cylinder 12 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

A195595 - 7n kings on a vertical cylinder 14 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

A195657- 8n kings on a vertical cylinder 16 x 2n
Recurrence:

Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

200

A195658 - 9n kings on a vertical cylinder 18 x 2n
Recurrence:

Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

A195659 - 10n kings on a vertical cylinder 20 x 2n
Recurrence:

Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

A195660 - 11n kings on a vertical cylinder 22 x 2n
Recurrence:

Generating function:

201
Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

A195661 - 12n kings on a vertical cylinder 24 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 8.9.2011):

13n kings on a vertical cylinder 26 x 2n
Recurrence:
Generating function:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 9.9.2011):

202
Další vzorce jsem odvodil na základě hodnot, které pro vertikální válcové šachovnice vypočítal až do m=24 Alex V. Breger.
(Václav Kotěšovec, after values computed by Alex V. Breger, 10.9.2011)
14n kings on a vertical cylinder 28 x 2n
Explicit formula: 26452911424623*2^n*n - 466443058539097*2^n + (7664578639*n^12)/17107200 + (61631959727*n^11)/2851200 + (934171234969*n^10)/1555200 + (72119457827*n^9)/5760 + (110395622962609*n^8)/518400 +(262643604242317*n^7)/86400 + (56885422319521627*n^6)/1555200 + (19051565489980837*n^5)/51840 + (1173423395834671331*n^4)/388800 + (421952019058890641*n^3)/21600 + (5566743805196000563*n^2)/59400 +(19592811446572607*n)/66 + 466443058539098
Generating function: -(1 + 32751*x + 10430310*x^2 + 481029002*x^3 + 6394729127*x^4 + 32223155853*x^5 + 69865986950*x^6 + 68673637738*x^7 + 30619283445*x^8 + 5894552403*x^9 + 435661668*x^10 + 9665940*x^11 +36687*x^12 + 17*x^13)/((x-1)^13*(2x-1)^2)
15n kings on a vertical cylinder 30 x 2n
Explicit formula: 559230930856111*2^n*n - 10668839875628985*2^n + (35015613709*n^13)/69189120 + (140647659749*n^12)/5322240 + (284108394917*n^11)/354816 + (8881154718431*n^10)/483840 + (167816925966499*n^9)/483840+ (898265774188499*n^8)/161280 + (7411236706066439*n^7)/96768 + (434354871400056533*n^6)/483840 + (237796726128792311*n^5)/26880 + (8657671478339220361*n^4)/120960 + (60916011224576521765*n^3)/133056 +(40199706506164412717*n^2)/18480 + (1955051769751553049*n)/286 + 10668839875628986
Generating function: (1 + 65518*x + 31239313*x^2 + 2001949236*x^3 + 36303870947*x^4 + 250784905618*x^5 + 761031078939*x^6 + 1085389886844*x^7 + 742083546933*x^8 + 238292107706*x^9 + 33634692131*x^10 +
1822914308*x^11 + 28906443*x^12 + 69826*x^13 + 47*x^14)/((x-1)^14*(2x-1)^2)
16n kings on a vertical cylinder 32 x 2n
Explicit formula: 12664338547810989*2^n*n - 259905805360778811*2^n + (1548880173119*n^14)/2724321600 + (12432766408189*n^13)/389188800 + (31379115536609*n^12)/29937600 + (112078657939331*n^11)/4276800 +(8470287202483*n^10)/15552 + (8815190803234843*n^9)/907200 + (2863631888545758599*n^8)/19051200 + (5479992896457508741*n^7)/2721600 + (7875153820611630691*n^6)/340200 + (10922348138357372983*n^5)/48600 +(240153649358010151661*n^4)/133650 + (2366635939198543486603*n^3)/207900 + (253787646492492230526803*n^2)/4729725 + (502968378860471879408*n)/3003 + 259905805360778812
Generating function: -(1 + 131053*x + 93344937*x^2 + 8240985821*x^3 + 200884032021*x^4 + 1862236880977*x^5 + 7679279966813*x^6 + 15260355329361*x^7 + 15121192899363*x^8 + 7464871340103*x^9 + 1772378526555*x^10 +
186998780503*x^11 + 7546673639*x^12 + 86512891*x^13 + 135711*x^14 + 59*x^15)/((x-1)^15*(2x-1)^2)
17n kings on a vertical cylinder 34 x 2n
Explicit formula: 305746711583463979*2^n*n - 6716461340647400421*2^n + (415386691553671*n^15)/653837184000 + (55535638856237*n^14)/1452971520 + (71650411725041*n^13)/53071200 + (4378212756961207*n^12)/119750400 +(2977617183212303351*n^11)/3592512000 + (12647601777418709*n^10)/777600 + (63908721198242735921*n^9)/228614400 + (35669413225506751783*n^8)/8467200 + (36152826033307345649023*n^7)/653184000 +(13649433818897935559321*n^6)/21772800 + (2160795893600230845318001*n^5)/359251200 + (407404491963270253939433*n^4)/8553600 + (61780748506022593879315193*n^3)/206388000 +(106062726707222116473567269*n^2)/75675600 + (156747574064022414774307*n)/36036 + 6716461340647400422
Generating function: (1 + 262124*x + 278541720*x^2 + 33647490568*x^3 + 1089430112302*x^4 + 13323050031852*x^5 + 72951678971558*x^6 + 195851643753544*x^7 + 269755773870982*x^8 + 193166374493716*x^9 +70845501937522*x^10 + 12705938657356*x^11 + 1018795152796*x^12 + 31010374816*x^13 + 259186914*x^14 + 269536*x^15 + 35*x^16)/((x-1)^16*(2x-1)^2)
18n kings on a vertical cylinder 36 x 2n
Explicit formula: 7836248271732615701*2^n*n - 183460728056240211867*2^n + (12439505852623*n^16)/17611776000 + (3291320963246347*n^15)/72648576000 + (3320663162637577*n^14)/1937295360 +(2357838125920231*n^13)/47174400 + (1306493922907667933*n^12)/1064448000 + (10487819358977868287*n^11)/399168000 + (1246169194950778251*n^10)/2508800 + (211260210852954639497*n^9)/25401600 +(166537054090980695719003*n^8)/1354752000 + (115484293042330338036091*n^7)/72576000 + (86176364075799198180829*n^6)/4838400 + (211120430353939750195721*n^5)/1247400 +(16098984897634183278753668557*n^4)/12108096000 + (380687235695332418078759867*n^3)/45864000 + (649808828354687750134205371*n^2)/16816800 + (2388967343240981356337751*n)/20020 + 183460728056240211868
Generating function: -(1 + 524267*x + 830601702*x^2 + 136545164986*x^3 + 5814916666052*x^4 + 92513363999436*x^5 + 660288490798096*x^6 + 2337481736561240*x^7 + 4334516918514594*x^8 + 4312294228625210*x^9 +2299914479712322*x^10 + 641161111350726*x^11 + 88419319687832*x^12 + 5463503828860*x^13 + 126729088704*x^14 + 777253400*x^15 + 538669*x^16 + 27*x^17)/((x-1)^17*(2x-1)^2)
19n kings on a vertical cylinder 38 x 2n
Explicit formula: 212437887242350640551*2^n*n - 5280322896715227042001*2^n + (138987532302854533*n^17)/177843714048000 + (50633594184844597*n^16)/951035904000 + (1872712462990282561*n^15)/871782912000 +(35100491010889623751*n^14)/523069747200 + (147334158856735361873*n^13)/83026944000 + (2365336707908273003407*n^12)/57480192000 + (170733464921407993289387*n^11)/201180672000 +(57172257417637078798579*n^10)/3657830400 + (6259493898111529441245433*n^9)/24385536000 + (273455392092312661275766457*n^8)/73156608000 + (38173573480565185087905439*n^7)/798336000 +(138501357458036303914023419*n^6)/261273600 + (3267416774329378835168234819081*n^5)/653837184000 + (8498935714402748570995225079021*n^4)/217945728000 + (2198040824304718464888851785819*n^3)/9081072000 +(339396833253871102225810331963*n^2)/302702400 + (21120429941910324609547385339*n)/6126120 + 5280322896715227042002
Generating function: (1 + 1048554*x + 2476262097*x^2 + 551608080276*x^3 + 30647049432358*x^4 + 627040395907848*x^5 + 5745754317201260*x^6 + 26304470322253164*x^7 + 64040968961849812*x^8 + 85643384362824296*x^9 +63522797003153224*x^10 + 25848165367690276*x^11 + 5581149789979088*x^12 + 600679495942004*x^13 + 28935414937066*x^14 + 515706320880*x^15 + 2331751593*x^16 + 1075230*x^17 + 39*x^18)/((x-1)^18*(2x-1)^2)
20n kings on a vertical cylinder 40 x 2n
Explicit formula: 6072098725855384007611*2^n*n - 159693493392508735093069*2^n + (19683976425575977*n^18)/22865620377600 + (1103994600708274393*n^17)/17784371404800 + (4175307722148688087*n^16)/1569209241600 +(7728537285079824491*n^15)/87178291200 + (563045902740131527397*n^14)/224172748800 + (142026651122946359069*n^13)/2264371200 + (18123134088964151353333*n^12)/12933043200 +(566408774684871338259467*n^11)/20118067200 + (11162236385405129692239779*n^10)/21946982400 + (20067264956678728610018333*n^9)/2438553600 + (2042155452219241220005624891*n^8)/17244057600 +(718715446596963268556927759*n^7)/479001600 + (693625553017037412136730177947*n^6)/42032390400 + (10103485677507113703363237988121*n^5)/65383718400 + (39195126835235503565957686463311*n^4)/32691859200 +(6367900463112590090616816139*n^3)/859950 + (3766139696523317194070945168929*n^2)/110270160 + (16022713090242194453009749069*n)/153153 + 159693493392508735093070

203
Generating function: -(1 + 2097129*x + 7382986811*x^2 + 2220904370595*x^3 + 159894953749454*x^4 + 4166738467431962*x^5 + 48407841083475078*x^6 + 282062182617213082*x^7 + 883541309250552620*x^8 +
1547541281775530108*x^9 + 1542671950277000888*x^10 + 874781266297141272*x^11 + 276973228266969018*x^12 + 47050189989147190*x^13 + 4001474844243722*x^14 + 151714636336974*x^15 + 2091416351651*x^16 +
6994534779*x^17 + 2141165*x^18 + 61*x^19)/((x-1)^19*(2x-1)^2)
21n kings on a vertical cylinder 42 x 2n
Explicit formula: 182472502512631874815247*2^n*n - 5062334318552371780225497*2^n + (911666067069450493*n^19)/965437304832000 + (2738559605736280253*n^18)/38109367296000 + (1578052592327462021*n^17)/483928473600+ (43127470166284417061*n^16)/373621248000 + (193078900890622017781*n^15)/55351296000 + (34870076308061455411393*n^14)/373621248000 + (671167634159323718215937*n^13)/298896998400 +(1053482137323160925271323*n^12)/21555072000 + (1171686839390127109829731*n^11)/1216512000 + (89575631314732307520649273*n^10)/5225472000 + (1400485443981433402727083249*n^9)/5109350400 +(112285161712537671453646487231*n^8)/28740096000 + (3669500941868641055310658959647*n^7)/74724249600 + (37582381517211131118959630784383*n^6)/70053984000 + (1777315853849862296471907469381*n^5)/355829760 +(300159616022664411911406713110073*n^4)/7783776000 + (1743339047032462850813521620184483*n^3)/7351344000 + (25031937165196377821589862717339*n^2)/22972950 + (4609390041632145722482624879571*n)/1385670 +
5062334318552371780225498
Generating function: (1 + 4194280*x + 22018192540*x^2 + 8919961635004*x^3 + 827459284414157*x^4 + 27241125631563168*x^5 + 397037166439590684*x^6 + 2905706265799447612*x^7 + 11518239299445504236*x^8 +25875595560815277912*x^9 + 33747668111090811682*x^10 + 25741621211215756232*x^11 + 11390391689024377394*x^12 + 2852328965702083756*x^13 + 386232063546402228*x^14 + 26229122929064964*x^15 +
788989133635193*x^16 + 8457728260576*x^17 + 20976293180*x^18 + 4257256*x^19 + 63*x^20)/((x-1)^20*(2x-1)^2)
22n kings on a vertical cylinder 44 x 2n
Explicit formula: 5750587586991362584602039*2^n*n - 167837979160954509117160321*2^n + (671219347789463891*n^20)/650508558336000 + (152313254405911631309*n^19)/1843107581952000 +(2303703830283613598039*n^18)/582033973248000 + (319777699639161412739*n^17)/2155681382400 + (5435552680263482236319*n^16)/1141243084800 + (129270134763135024011113*n^15)/951035904000 +(59981466889869434273082247*n^14)/17118646272000 + (9372925358763505324191083*n^13)/114124308480 + (4617744524174065208144131417*n^12)/2633637888000 + (4980959656097111216842556437*n^11)/146313216000 +(525658635736671362987264376349*n^10)/877879296000 + (277498009669261601858254496849*n^9)/29262643200 + (573876416040742347980905271263249*n^8)/4279661568000 +(1194164318103613513071926630894681*n^7)/713276928000 + (38913667473074387118487941008927683*n^6)/2139830784000 + (4005712146933140008838687211198757*n^5)/23775897600 +(19245193973468711068061672372884507*n^4)/14859936000 + (37117455162384171978507487750618681*n^3)/4678128000 + (48441741537855506396284412910300569*n^2)/1333266480 +(585080897807213339859835127497291*n)/5290740 + 167837979160954509117160322
Generating function: -(1 + 8388583*x + 65689199530*x^2 + 35762167466214*x^3 + 4254116532694529*x^4 + 175710022310941271*x^5 + 3184207213767263500*x^6 + 28944449837443120768*x^7 + 143203678753136183138*x^8 +405591027451430188174*x^9 + 677278191836959855722*x^10 + 675862994149798790026*x^11 + 402928755338388333016*x^12 + 141501449778579196748*x^13 + 28411055924562992492*x^14 + 3100803271589824168*x^15 +
169637437065181713*x^16 + 4075586019241943*x^17 + 34124240381356*x^18 + 62897245928*x^19 + 8463495*x^20 + 25*x^21)/((x-1)^21*(2x-1)^2)
23n kings on a vertical cylinder 46 x 2n
Explicit formula: 189627437378964643471393287*2^n*n - 5808156306559090927843260801*2^n + (6165150276983683343*n^21)/5487748890624000 + (114906693720148664426173*n^20)/1216451004088320000 +(695127627278488703356583*n^19)/145974120490598400 + (804063283491368296733387*n^18)/4268249137152000 + (164005670160666196669525*n^17)/25609494822912 + (121887247173641633181300581*n^16)/627683696640000 +(861795758027465550654844799*n^15)/161404379136000 + (50499976516944737122359572393*n^14)/376610217984000 + (6966297920414586438185692211297*n^13)/2259661307904000 +(6261846618025682438819243654749*n^12)/96566722560000 + (72090919325416962148912509956603*n^11)/57940033536000 + (418628055070358777717817684477211*n^10)/19313344512000 +(54967432313155650129229944037181171*n^9)/161404379136000 + (2251858165518903659510140630020331477*n^8)/470762772480000 + (4193150539293656750931878495565098359*n^7)/70614415872000 +(3357167693743835900531273740548926533*n^6)/5230697472000 + (789689821821203904742463596895085554729*n^5)/133382785536000 + (23330921299954074255080675297025325207*n^4)/514594080000 +(5232911435757882632896820041789171031*n^3)/18903456000 + (4118954104109977465552269221935066397*n^2)/3259095840 + (74421448283387257925422236755987159*n)/19399380 + 5808156306559090927843260802
Generating function: (1 + 16777190*x + 196062386847*x^2 + 143196953162568*x^3 + 21755499073606827*x^4 + 1120705784265435694*x^5 + 25059186297758143665*x^6 + 280250254942396082504*x^7 +1710518442056717186662*x^8 + 6021084870821076303744*x^9 + 12646491726400056981366*x^10 + 16145727885352496535916*x^11 + 12601662145975777171622*x^12 + 5975630130174265045796*x^13 +
1689314649635388523610*x^14 + 275129150959361906948*x^15 + 24432068303689779771*x^16 + 1084889661362846002*x^17 + 20935848930766319*x^18 + 137423830725380*x^19 + 188595698817*x^20 + 16856034*x^21 +47*x^22)/((x-1)^22*(2x-1)^2)
24n kings on a vertical cylinder 48 x 2n
Explicit formula: 6529470183093136842157132927*2^n*n - 209414829549745122259462547153*2^n + (1903141175986623033361*n^22)/1561112121913344000 + (25396870727640624821837*n^21)/236532139683840000 +(192037966127452948623833*n^20)/33790305669120000 + (177702067716563841609569*n^19)/750895681536000 + (4530702601898279438065411*n^18)/533531142144000 + (80811419018370384426974569*n^17)/296406190080000 +(8749083356424486048730542823*n^16)/1098446469120000 + (15624579802033108132516606669*n^15)/73229764608000 + (109966865763603093906425168897*n^14)/20922789888000 +(4151552217251639227868606284999*n^13)/34871316480000 + (657189362020987321394502436713811*n^12)/265558487040000 + (8410483864767303226827566008363*n^11)/178827264000 +(2790150225871356044761856190232919*n^10)/3432645216000 + (2322373745924307807278354046709877221*n^9)/183074411520000 + (1158335475648781776987438920107098481*n^8)/6538371840000 +(953896024857532841197600758202560451*n^7)/435891456000 + (196332540099788111950379044816089155809*n^6)/8336424096000 + (2004661694021906695728333350558012676607*n^5)/9262693440000 +(254359278330971459372277281380970727010061*n^4)/153992278440000 + (3440814297165578634063691989304523602033*n^3)/342205063200 + (1538676793650816907740576938636484541583*n^2)/33609425850 +(672313781157342500209273650573901904*n)/4849845 + 209414829549745122259462547154
Generating function: -(1 + 33554405*x + 585453017891*x^2 + 572873709137575*x^3 + 110780454462934855*x^4 + 7081236437241953799*x^5 + 194082099062365989061*x^6 + 2648692545229030721549*x^7 +19746351513110116155330*x^8 + 85348410080649973227170*x^9 + 222168227700719413585102*x^10 + 356295787335526098756854*x^11 + 355770890071564556382854*x^12 + 221145494319139110521358*x^13 +
84643218211121506326234*x^14 + 19495691961085777496906*x^15 + 2601156112508313332701*x^16 + 189471525234871194057*x^17 + 6873041848543848303*x^18 + 107050043573440995*x^19 + 552608846793827*x^20 +
565551988155*x^21 + 33660833*x^22 + 105*x^23)/((x-1)^23*(2x-1)^2)204
For fixed m is general explicit formulawhere constants are dependent only on m.
Na posloupnostech vm a wm je zajímavé, že jde vždy o celá čísla, viz tabulka vpravo.
Pro pevné m je asymptotický průběh dán členem
For fixed m is asymptotic formulaPři pevném m nemá samozřejmě polynom asymptoticky takovou váhu jako mocninný člen, ale vše
by se změnilo, kdyby m bylo závislé na n. Pak by naopak převážil člen nm-2 což by odpovídalo limitě
z kapitoly 2.7 pro m=n.
Pro koeficient polynomu u členu s nejvyšší váhou mám tuto hypotézu

Conjecture (VK, 8.9.2011):

n

vm

wm

1

1

1

2

5

-3

3

31

-65

4

221

-779

5

1771

-8709

6

15839

-997297157823-1211433

81751437-15876635

921623809-226349399

10296191755-3519976573

114480441703-59644067185

1274405871551-1097352668753

131347719218691-21818603939573

1426452911424623-466443058539097

15559230930856111-10668839875628985

1612664338547810989-259905805360778811

17305746711583463979-6716461340647400421

187836248271732615701-183460728056240211867

19212437887242350640551-5280322896715227042001

206072098725855384007611-159693493392508735093069

21

182472502512631874815247-5062334318552371780225497

225750587586991362584602039-167837979160954509117160321

23 189627437378964643471393287-5808156306559090927843260801

24 6529470183093136842157132927 -209414829549745122259462547153

205kings on a vertical cylinder
A195590 A195591 A195592
n n / 2 x 2n 2n / 4 x 2n 3n / 6 x 2n

A195593

A195594

A195595

A195657

A195658

4n / 8 x 2n5n / 10 x 2n6n / 12 x 2n

7n / 14 x 2n

8n / 16 x 2n

9n / 18 x 2n

1

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2

12

32

90

256

732

2102

6060

17536

50922

3

32

100

344

1220

4392

15988

58776

218052815816

4

80

276

1082

4460

18890

81606

358564

15998207238864

5

192

708

3036

13932

66532

3271921649420850066844693472

6

448

1732

7918

39316

2056281118398

628665836383284

216134044

7

1024

4100

19648

103508580664341964820984924

133538996

877751236

8

2304

9476

47058

259372

1536814964356263558566

437500380

3130270224

9

5120

21508

1097966267803877300

25603228

178909300

1314748124

10105541204

10

11264

48132

2511261473764

943478464923594

476033636

3694894500

30179587994

11

24576

106500565512339296422327496

158877948

1212120160

9849731140

84719304384

12

53248

2334761257754768281251698178378088270

2980927200

25173962492

226268016376

131146885079082769196

17166476

117645348

879980720

7129922604

62193359676

580363147336

142457601097732

604601437942900

263992580

2011806182

16675350430

149475988116

1440139184616

155242882359300 13107536

83115188

585640568

4532900488

38293956836

351246183572

3477556916828

5046276 28246370 180699980 1286898262 10091643138

86629645122

810197361564

8210011147304

16 1114112

17 2359296 10747908 60555636 390351420 2805399156 22244251284 193553210580 1840289301660 19021962952188
18 4980736 22806532 129237382 838619524 6074441896 48622120786 427974677968 4126688132548 43385173057846
19 10485760 48234500 274727320 1793087780 13076687560 105526014500 938053730248 9154339355684 97653259485592
20 22020096 101711876 581960106 3817890076 28009586346 227633451206 2040792091884 20122502355004 217359166880016
n n / 2 x 2n 2n / 4 x 2n 3n / 6 x 2n4n / 8 x 2n5n / 10 x 2n6n / 12 x 2n

7n / 14 x 2n

8n / 16 x 2n

9n / 18 x 2n

206kings on a vertical cylinder
A195659

A195660

A195661n

10n / 20 x 2n

11n / 22 x 2n

12n / 24 x 2n

13n / 26 x 2n

14n / 28 x 2n

15n / 30 x 2n

1

2048

4096

8192

16384

32768

65536

2

1483524335001270246

3731532

10987232

32418810

3307618011682296

44653028

171670440

663421684

2575592664

433175486

153802520

720390254

3404944506

16221905696

77820675992

5239238888

1301236304

7177627944

40078823652

226167613792

1287874058656

61314160492

8155899320

51526819510

330559583178

2148524237842

14120142260138

75937279840

41180193352

291859775552

2106967145904

15448890481568

114765555945488

823174548666

176740657340

1382652697282

11052082053262

89954475408222

743275585245898

980812754568

668845118276

5700499630916

49800720887968

444140848321356

4029482453905756

10257860425672

2290966142762

21042965606234

198765197377402

1921681775292272

18940490557328616

11766319864440

7241521734020

71028444904044

718816489322444

7466044767879028

79230397598482712

122149806985106

21437333168798

222770819826574

2396574908171782

26535227773186536

300870737118178194

135753007728148

60123048359816

657397551407816

7466859257161488

87536396416928860

1053408792545464776

1414807729805472

161217291701134

1843639061043694

21975843261828724

271156951835070930

3442850572991304914

1536902750545260

416373921218580

4953451546255928

61632873337172148

796162215698816924

10609740515840572076

1689523360235366

1041997475699102

12835026767559890

165905163216916278

2233010494687225138

31084768231930146850

17212335537312668

2539265644237492

32249277650536068

431202887243628972

6021248406894793012

87184854616542091716

18494171055510052

6050425313244116

78933388025154370

1087557702016220468

15694329684146355844

235455327744395211082

191131839140825580

14144230277410496

188922213540928724

2673055529162493760

39724238570410220868

615312727486201311400

202557442122622726

32532941685749548

443597279246200510

6425504513765274594

98023129519760219264

1562576426626565555436

215712402568426288

73799119964859168

1024620340463557640

15152281245607002412

236604328758838483416

3870154670608731363216

2212634322277714052

165435457674707532

2333501728549182566

35144282176648533846

560267213605429844018

9378376813480669175810

2327708324882413160

367097756997348624

5250178065774344304

80354012054043091272

1304759817520845915576

22296125365478803038184

2460325007758993666

807458491872594456

11689098616223542018

181454346546181153678

2994783110074817118710

52127750232372851457362

25130506899306640288 1762610325363614756

25789321097234053988

405364132651686723528

6787485742677708636844

120101524914063542391116

26280782503226093232 3822267332260790502

56450625580386607978

897119302875961916950 15214599136624218350440

273183337074140837137948

27601176672366324240 8240957474870980044 122717680431300653372

1969259755268002011428 33777230300544608908068

614428099185993649999048

28 1281675956126565546 17677989556615587858 265172364662836949198

4291898542807009910590 74356798465989674759640 1368345020379369587565318

29 2722128527362804348 37752553395741883032 569966531889788579880

9295458818068251808952 162480009926068072677556 3020972589795006709929656

30 5761982536923318872 80304255328311915954 1219383943050710552158 20021354469691405396496 352735527969163480285778 6618743653631071135051146
n

10n / 20 x 2n

11n / 22 x 2n

12n / 24 x 2n

13n / 26 x 2n

14n / 28 x 2n

15n / 30 x 2n

207kings on a vertical cylindern

16n / 32 x 2n

17n / 34 x 2n

18n / 36 x 2n

19n / 38 x 2n

20n / 40 x 2n

11310722621445242881048576

2097152295835136

283784412

841611542

2499330540

7431221056

310039703172

39273896840

154109956756

606353229752

2391296071460

4375564803020

1821845982082

8876847931644

43416046650306

213033152875350

57390391650172

42688584938548

247956702607932

1447080255512308

8479116559291112

693669254201140

626289974615094

4215364545901036

28531464984810918

194028126730583796

7861942483797204

6533144250310688

49899718750389380

383593821097441412

2964842429047018248

86219118726337532

52583297643941856

448492643088144992

3853319870967662784

33310589482215806362

937080781799409148

345278411878468044

3246772078088155432

30781946900321278256

293854532019205248960

10189679152583318596

1924757095250611458

19746535064318923758

204445858068589675074

2133047572317122955744

11855840660674700612

9381236750764316676

104090420921618696952

1166726840397440860664

13189452933510039097184

123479000496509382748

40885324678195409820

486989665584996802228

5866007127336366609118

71326830696492771709282

1312953204832176027580

162145131468298265224

2059958985376265360708

26495730891462083917536

344345811250347865033356

1444758769186643232884

593373607086774768478

7995185855561901885212

109197874599680258218752

1508490112615031481365880

15145075519644555073332

2026525335852346721192

28814825799826940896828

415832918364921503771872

6076218055106534703006988

16444982726973034212924

6519554974415255925058

97383905766373231052064

1478358825331764353540620

22749998503658769164819310

171301097449501622304476

19911203110764903275188

311170706019181269907200

4949234155354667348840036

79893525522429422989830980

183649054980075480769924

58107889170913674058604

946564783226311159219150

15716180935291441576171142

265174090289652830613885284

199868304303662376011108

162950076343522530809056

2757391620207935189284568

47631429404674467307773380

837251287805989819147456940

20

25849977224840232799868

441203805343365528896030

7731098941507645768534904

138512170470712683735324224

2528751817754976349706118326

21

65846196857753543848508

1158225312898434675534364

20954813767410885959950888

388268970118110878767396972

7341422662035602958282220712

22163654917774372463659764

2958608978612653070638670

55117368112694031554303640

1053359329703375892041650308

20573588253839367077949708076

23398054231887326719047060

7377324324979078617746624

141160741525959930166124112

2775593939610475823909421232

55860685625608455318796290160

24

949941094689693944150780

18006801384363772154323180

353058138013933921290557836

7125705998762754387188591134

147432389377728712284110684810

252229360233921963781276860

43128765846161483037394700

864616233182729491969911044

17872955720960729165367240000

379345780775912677601043686512
954030436888870118115502885256

265155376183337922876506948 101585606781105765769727590 2078046468085599005509167146

43906942859680162214221800236

27

11767897341343188340936324 235757198391449411266312540 4911788407886312898446438212

105875417908918290265270990044 2350630806916849010479158248328

2826556129542004523155371420 540010507491641036375762808 11438673477674193002668964424 251094885670954803631752990448 5686026362287716652539280152482

29

59326004341131315104262460 1222631441892588740836894352 26289044159256440176249080696 586715405560706481134417118664 13528546435665543602457726266300

30 131357345449838226985324020 2739812609457520759135954646 59713209014487082669789438768 1352851777299425337175690550346 31713588723480654891280141863024
n

16n / 32 x 2n

17n / 34 x 2n

18n / 36 x 2n

19n / 38 x 2n

20n / 40 x 2n

208kings on a vertical cylindern

21n / 42 x 2n

22n / 44 x 2n

23n / 46 x 2n

24n / 48 x 2n

14194304

8388608

16777216

33554432

222118855562

65898914432

196498594140

586358987206

39449664931176

37407140524084

148300497571992

588693691298244

41048198981050148

5169676077206180

25547885780012232

126470641310427598

549852445684576540

293953030638453916

1737550976667174160

10292174867667528360

61324775005898634662

9075985277296973128

62359179106767410268

429515124218610734806

723020986380414887220

179447486636390546560

1403434902965142112796

11007300661225779897920

8289456536732140797394

2526376863976347148904

22133294202061141008568

194533561852976568978114

92821602850067948935276

27227392470984635126112

263845660207385480809288

2566072039202333185212740

1022399543148593419171392

236521669369146141934114

2509276475874569266946236

26729150024690350394992506

11150178777684384549385092

1720465020510968081991936

19813191535511397723131440

229201501762174283661578044

12874210303368687541970862

10787341509858294538416194

133882791569237164996191264

1669927378127986864133800910

134514577572702159411715360

59631277156111243931303708

792683431700017730900461428

10595217877604937978718510728

1421040134683226033553492288

295875349546713313858214930

4189981262412529003168643588

59694829149526573839754613454

1589727285281411841433847744

1336936827641297887999158888

20073963612060559455735042464

303409744153294247242053599480

16354147172542838676097536130

5567299365580647829560330414

88257883727925236509011440390

1409308890399503686189422504402

171305978149033527462717652016

21577677736740575358277955108

359794082971387126484123847852

6046920442502938188939299427924

184535669637415615159703204488

78488410476186445848329216408

1371839394507249619418570766886

24184513617833571943276908114898

19

14936371649825953734185140516

269849031352198972740083297308

4928382715341326744908712460944

90854944376059243107377070101972

20

46911234670290537506185612596

882246176675565411834177554580

16788271058488883506314273376994

322720208741281767246694232741806

21141230550945276570635100088392

2757386816033295952291039496120

54523863710474286632672238604904

1090039871810263879574620744460712

22409368398165208867487970639788

8276355199785795726294608142184

169637243705359533757858104557556

3518457899900622529619611537774774

23

1146875621124045833132800781624

23953391052370242641236237087324

507729501918803287606319351173352

10900545795526527443672327166416592

24

3116181946759603363969766676098

67085973834350305273012569336380

1467343328619108230363441712947216

32538850685220441627440374250456290

258236772561619649840180632472064

182394734520738713152367161519560

4108208368679818017556652494725040

93907626319996194785020193849148788

482771278119542620138763310424774 11175730664601579245411641891101618

262828856905685855498068687788383130

27 53544612672743232207728271560200 1247170592145738806538367167349440 29617820755461296750759096206788352

715339855213640271779957986135840940

28 132298353029651829773664140527598 3151831239920176074422575633285602 76651750015672350373190673337700362

1897998894188272937819692987761928158

29 320979821878643500767945889372084 7808259186938671807854107643845800 194143312979958342028981596821272764

4920385069156276579342940236055793448

26 21237398274380349990875183495774

30 766060699556203555929463673252346 18998377940529256617385662815283794 482177699241663562880835068040983568 12488443245322566217903307174920115534
n

21n / 42 x 2n

22n / 44 x 2n

values for m>13 computed by Alex V. Breger (2011)23n / 46 x 2n

24n / 48 x 2n2092.7) n2 Kings on a 2n x 2n cylindrical chessboard - n2 králů na válcové šachovnici 2n x 2n
Pro počet rozmístění neohrožujících se n2 králů na válcové šachovnici 2n x 2n (v případě čtvercové
válcové šachovnice je lhostejné, zda je vertikálně či horizontálně válcová) platí tato nerovnostDůkaz / Proof: Stejně jako v případě prstencové šachovnice (viz kap. 2.9) rozlišíme 2 případy. Dolnímez je dána případem B (viz obrázek), kdy jsou králové v dolní dvojřadě v jedné linii. Tak je lze
rozmístit (v první nebo druhé řadě) celkem 2(n+1) způsoby. Krále v každé z vyšších dvojřad lze rozmístit
vždy n+1 způsoby, celkem tedy vždy existuje rozmístění 2(n+1)n neohrožujících se n2 králů na válcovéšachovnici 2n x 2n.
Případ A, kdy králové v první dvojřadě nejsou v jedné linii je složitější. Počet možných rozmístění
neohrožujících se králů v první dvojřadě je (n+1).2n, musíme ale odečíst možnosti zahrnuté v případu B.
Vzhledem k nutnému spřažení králů ve svislém směru (resp. v tom, jak je stočena šachovnice do válce)je počet možností jak rozestavit krále v každé z horních dvojřad omezen hodnotou n+1, té však (vpřípadě A) nedosáhne, protože možnost diagonálních kolizí některé z možností vylučuje.
Celkově tak dostaneme pro n>2 nerovnost
nebo (pro všechna n)

A

< n+1

n+1

< n+1

n+1

< n+1

n+1

(n+1).(2n-2)2(n+1)
Bn

A137432 c(n)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

4
32
344
4460
66532
1118398
20984924
437500380
10105541204
257860425672
7241521734020
222770819826574
7466859257161488
271156951835070930
10609740515840572076
444982726973034212924
19911203110764903275188
946564783226311159219150
47631429404674467307773380
2528751817754976349706118326
141230550945276570635100088392
8276355199785795726294608142184
507729501918803287606319351173352
32538850685220441627440374250456290
2174335830863749936724371980412536172
151236326399950056297298993112649900850
10932105410468612099036188735215153271496
820044457045734108109109406561277222219168
63748873475180955339832071132429388775557556
5129407130436863270233731521113990193730440354
426694523629297006422022284190667711775649380560
values 1-12 by V. Kotěšovec (31.8.2011)
values 13-20 computed by Alex Chernov (8.9.2011)
values 21-31 computed by Alex V. Breger (12.9.2011)see also Zealint blog

210

Správnost předchozí nerovnosti si můžeme ověřit i v grafu (v logaritmickém měřítku)Z této nerovnosti vyplývá

Domnívám se však, že vliv dalších členů bude už malý a stejně tak jako na obdélníkové válcovéšachovnici byl dominantní člen (m+1)n, tak zde bude dominantní pouze člen (n+1)n a bude platit

Conjecture (VK, 28.8.2011):

Graf vlevo získaný ze zatím vypočtených hodnot ukazuje, že tato hypotéza je téměř s jistotou
správná.

Na druhé straně zatím není jasné, jaká bude hodnota (trochu silnější) limity

Z nerovnosti na str. 209 samozřejmě vyplývá, že limita musí být >= 1, ale nemusí být konečná.
I když graf vpravo určitou šanci dává...

2112.8) k Kings on an n x n toroidal chessboard - k králů na prstencové šachovnici n x n
A179403 - 2 kings, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=3

A179404 - 3 kings, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=4

A179424 - 4 kings, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=5

A179425 - 5 kings, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=6

A179426 - 6 kings, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=7

A179427 - 7 kings, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=8A179428 - 8 kings, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=9

212
A180067 - 9 kings, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 15.1.2011), n>=10Kořeny polynomů pro prstencovou šachovnici vycházejí symetricky, zajímavé je i srovnání kořenů polynomů pro 9 králů na normální a prstencové šachovnici.

Obecně předchozí vzorce platí proa první členy těchto vzorců mají tvar

213

k

k Kings on an n x n toroidal chessboard - Generating function

2

3

4

5
6
7

-4x^6*(1379x^16 - 18219x^15 + 124755x^14 - 553765x^13 + 1657983x^12 - 3369984x^11 + 4870575x^10 - 6400905x^9 + 10992208x^8 - 19069951x^7 +21246441x^6 - 8631071x^5 - 7797385x^4 + 8273322x^3 + 2866693x^2 + 131389x + 855) / (x-1)^15

8x^6*(17728x^19 - 301964x^18 + 2573500x^17 - 13833040x^16 + 51521058x^15 - 143708688x^14 + 325486412x^13 - 629393865x^12 + 996601251x^11 1090603627x^10 + 426710617x^9 + 807953488x^8 - 1328885640x^7 + 262625618x^6 + 1106513030x^5 - 875387697x^4 - 386005021x^3 - 30462955x^2 338119x - 486) / (x-1)^17

9-x^6*(56520x^22 - 1215064x^21 + 12642984x^20 - 82438064x^19 + 378510176x^18 - 1315100032x^17 + 3593010018x^16 - 7742517098x^15 +
12798616135x^14 - 15614945085x^13 + 14742135008x^12 - 17197088896x^11 + 33440162097x^10 - 55183782403x^9 + 50601858342x^8 - 7249042450x^7 32800069391x^6 + 23010354469x^5 + 14572795412x^4 + 1637985772x^3 + 41216559x^2 + 80563x + 28) / (x-1)^19

214
k kings / toroidal board
n 1 king 2 kings

3 kings

4 kings

5 kings

6 kings

7 kings

8 kings

9 kings

summed over all k >= 0, A067958

1

1

2

4

0

0

0

3

9

0

0

0

0

0

0

0

0

10

4

16

56

48

12

0

0

0

0

0

133

5

25

200

600

575

10

0

0

0

0

1411

6

36

486

3108

9837

14940

10596

3420

486

28

42938

7

49

980

10388

63553

229908486668576856346381

81095

1796859

8

64

1760

27328

2650081678336706352019760512

36285336

42752576

157763829

9

81

2916

61668

8534978155404

55345356

270487188

956078397

2436444603

22909432780

10

100

4550

124900231292530614620

299491100

2209065700

12428297150

53633024900

6291183426165

11

121

6776

2332885532967

96011322

1263811604

12914201256

104000525596

666519047964

3032485231813445

12

144

9720

40900812037068

263506752

4455716184

59659859232

643409498286

5655962632720

2674030233698391466

13

169 13520

68140824293243

652150382

13701863604

231216019632

3191250652226

36502953719310

4216437656471537450175

14

196 18326

108838846125317

1485650012

37823872044

781647658596

13361641961066

191587564345044

12038380931111061789962901

15

225 24300

1677900

83243925

3161648520

95648273100

2367858314700

48905750870775

854990702601025?

16

256 31616

2509568

143918272

6355083264

224887404416

6553746728448

160414160371552

3346890268570368?

17

289 40460

3656428

239811333

12167739256

497181121100

16815788711212

480243686391743

11756179090049177?

18

324 51030

5206788

387002853

22339050588

1042609380588

40446802230372

1330654487994234

37692541754516628?

19

361 63536

7266208

607226187

39536586430

2088337713332

92003239814224

3449609146025210

111774885566128630?

20

400 78200

9959600

929346700

67748508480

4017815773400

199311860224800

8439769551278350

309788198526691600?

21

441 95256

13433448 1391111127 112804636266

7459198321428

413589922308360

19624142987739108

809220285933001012?

22

484 114950

17858148 2041198973 183057635420

13414493857116

825997764087012

43616849672119790

2006023021125772484?

23

529 137540

23430468 2941608713 290261282204

23444476061772

1594007700404532

93112709811981557

4746238014804745771?

24

576 163296

30376128 4170413232 450688785408

39928736913120

2982430581363072

191696927842663704

10769301899421989056?

25

625 192500

38952500 5824920625 686540794500

66425550447500

5425904270482500

381920049400830625

23529629366634899375?

26

676 225446

49451428 8025278157 1027700020828 108162598959740

9622254525739492

738532765420347014

49675703368582666596?

27

729 262440

62202168 10918558863 1513897376994 172697249542932 16669554533555832 1389708580432837752 101643657889081059216?

28

784 303800

77574448 14683371948 2197363228480 270794133842456 28264133502586912 2550402748009811870 202097214571492043664?

29

841 349856

95981648 19535039827 3146046781446 417578468928308 46982453295836640 4573836436177381798 391363057844088660122?

30

900 400950 117884100 25731386325 4447496831580 634036069773900 76676963241363300 8029626473495462850 739633311774898026100?

2
5

Sloupec vpravo (sekvence A067958) určuje pro n > 1 počty všech možných pozic neohrožujících se k králů na prstencové šachovnici n x n (součet pro všechna k, včetně k=0). Jdetedy o součty příslušných řádků tabulky + 1. Hodnoty této posloupnosti až do n=13 vypočítal v roce 2002 R. H. Hardin, 22.8.2016 jsem doplnil.hodnotu pro n=14.

2152.9) n2 Kings on a 2n x 2n toroidal chessboard - n2 králů na prstencové šachovnici 2n x 2nn

Pro tento případ se mi podařilo analyticky odvodit přesný vzorec.
Explicit formula (V. Kotěšovec, 28.8.2011):

Důkaz / Proof: Každý král musí stát ve svém čtverci velikosti 2x2. Na prstencové šachovnici musí být rozmístění v každém svislém i vodorovném
pásu velikosti 2 vždy v tomto směru spřažené, jinak by se králové ohrožovali. Základní konfigurace je dána vždy rozmístěním králů na prvních
2 řadách. Rozlišme nyní 2 případy.

t(n)

1
4
2
12
3
28
4
60
5 124
6 252
7 508
8 10209 204410 4092A) králové v první dvojřadě nejsou na jedné linii (kings on a first double-row not are in one line)
Počet možností rozmístění neohrožujících se králů na prvních 2 řadách určíme jako součin počtu možností v každém čtverci velikosti 2x2. Prvního
krále je vždy možno umístit 4 způsoby (na pole a1, a2, b1 nebo b2), další pak vždy 2 způsoby. Musíme však odečíst možnosti zahrnuté v případu B. Pozice všechkrálů na vyšších řadách je pak už jediná možná (králové musí být spřaženi ve svislém i vodorovném směru). Celkový počet rozmístění je proto 4.2n-1 - 4.
B) králové v první dvojřadě jsou na jedné linii (kings on a first double-row are in one line)
Prvního krále je opět možno umístit 4 způsoby, ale pozice dalších králů na první dvojřadě je pak už pevně dána. Volnost je ale v tomto případě v každé vyššídvojřadě, kde sice králové musí být spřaženi, ale jsou vždy 2 možnosti jak toho v každé řadě dosáhnout. Počet možných pozic je proto 4.2n-1.
Celkový počet pozic je dán součtem případů A a B, tedyA
Sekvence je (pro n>0) identická s A173033 v OEIS.

1

2

1

2

1

2

4.2n-1 - 4

4
B

216

3.1) k Rooks on an n x n chessboard - k věží na šachovnici n x nPočet postavení k neohrožujících se věží na šachovnici n x n. Tento problém byl zcela vyřešen pro libovolné k, obecný vzorec je
k rooks, board n x n:
Objevit tento vzorec je poměrně snadné, uvádí jej třeba už Edouard Lucas ve své knize Théorie des nombres (1891) na str. 98.

2 rooks, board n x n:

A179058 - 3 rooks, board n x n:

A179059 - 4 rooks, board n x n:

A179060 - 5 rooks, board n x n:

Speciálně pokud k = n, vychází počet možných pozic n neohrožujících se věžína šachovnici n x n roven n! (n faktoriál)n rooks, board n x n:

217
Pro srovnání s ostatními vzorci, počet těchto rozmístění je také polynom, po roznásobení dostaneme jeho koeficienty ve tvaru:

Koeficienty těchto polynomů se dají vyjádřit též pomocí Stirlingových čísel prvního druhu, viz též str. 231, S1= Stirling Numbers of the First Kind.

1/k!*Sum[n^j*Sum[StirlingS1[k,i]*StirlingS1[k,j-i],{i,0,j}],{j,0,2k}]

Při konstantním k asymptoticky platí218
Nebo přesněji s užitím Stirlingova vzorce, opět ale pouze pro konstantní k (vzorec přestává platit, pokud se k přibližuje k n)Čitatel vytvořujících funkcí sice začíná vždy výrazem k! x2k, ale (na rozdíl od kapitoly 3.2) nejdou koeficienty jeho polynomu vyjádřit obecně.
Jmenovatel je vždy roven (x-1)2k+1 Na ukázku několik prvních:kk Rooks on an n x n chessboard - Generating function

1
2
3
4
5
6
7

Problém byl vyřešen i na obdélníkových šachovnicích, počet pozic k neohrožujících se věží na šachovnici m x n je obecně (number of ways to place k nonattacking rooks on an m x n board):
Viz též Rook Polynomial nebo Rook Polynomial

219
n 1 rook 2 rooks 3 rooks

4 rooks

5 rooks

6 rooks

7 rooks

8 rooks

9 rooks

10 rooks summed over all k >= 0, A002720

1

1

2

4

2

0

0

3

9

18

6

0

0

0

0

0

0

4

16

72

96

24

0

0

0

0

0

0

209

5

25

200

600

600

120

0

0

0

0

0

1546

6

36

450

2400

5400

4320

720

0

0

0

0

13327

7

49

882

7350

29400

52920

35280

5040

0

0

0

130922

8

64

1568

18816

117600376320564480322560

40320

0

0

1441729

9

81

2592

42336

381024

1905120508032065318403265920362880017572114

10

100

4050

86400

1058400

7620480

31752000

72576000

81648000

36288000

3628800

234662231

11

1216050 163350

2613600

25613280

153679680

548856000

1097712000

1097712000

439084800

3405357682

12

144

8712 290400

5880600

75271680

614718720

3161410560

9879408000

17563392000

15807052800

53334454417

13

169 12168 490776 12269400

198764280

2120152320

14841066240

66784798080

185513328000

296821324800

896324308634

14

196 16562 794976 24048024

480960480

6492966480

59364264960

363606122880

1454424491520

3636061228800

16083557845279

15

225 22050 1242150 44717400 1082161080

18036018000

208702494000

1669619952000

9090153072000

32724551059200

306827170866106

16

256 28800 1881600 79497600 2289530880

46172206080

659602944000

6678479808000

47491411968000

232707918643200

6199668952527617

17289 36992 2774400 135945600 4594961280 110279070720 1906252508160 23828156352000

214453407168000

1372501805875200

132240988644215842

18

324 46818 3995136 224726400 8809274880 248127909120 5104345559040 77203226580480

857813628672000

6948290392243200

2968971263911288999

19361 58482 5633766 360561024 16225246080 530024705280 12796310741760 230333593351680 3096707199505920 30967071995059200

69974827707903049154

20

400 72200 7797600 563376600 28844881920 1081683072000 30287126016000 639815537088000 10237048593408000 123868287980236800

1727194482044146637521

2
7
34

Poslední sloupec (sekvence A002720) určuje počet pozic neohrožujících se k věží na šachovnici n x n pro všechna k >=0. Jde tedy o součty příslušných řádků + 1.
Pro tento počet známe vzorec

Nejzajímavější je ovšem asymptotický vzorec

Exponenciální generační funkce:

Rekurence je
See also bishops on toroidal chessboard, p. 280
Hodnoty této sekvence jdou vyjádřit i jako speciální případ tzv. Laguerreových polynomů, v programu Mathematica: Table[n!*LaguerreL[n,-1],{n,1,20}]
Ohledně toho však doporučuji článek: Too many errors around coefficient C1 in asymptotic of sequence A002720, V. Kotěšovec, 28.9.2012.

220

3.1.1) Miscellaneous problems with rooks - Různé další úlohy s věžemi
Problém rozmístění neohrožujících se věží je z principu ze všech probíraných úloh v této knize tím nejjednodušším. Matematici proto hledali (a našli) i pro věže něcovíce složitějšího. Všechny tyto úlohy považuji ale spíše za okrajové (a z šachového hlediska ne až tak příliš zajímavé) a nebudu se jimi proto zde podrobně zabývat,čtenáře pouze odkážu na literaturu. Přesto některé z těchto úloh stojí aspoň za zmínku. Prvních 7 úloh patří mezi tzv. "permutations with restricted position".

1) A000166 Number of permutations p of [1, ..., n] such that p(j) <> j for all j.
Počet rozestavení n neohrožujících se věží na normální šachovnici n x n takových, že žádná věž nestojí na hlavní diagonále (no rook lieson the squares of the main diagonal). Pro každou permutaci platí p(j) <> j pro všechna j od 1 do n. Hodnota se limitně blíží k 36.7% všechmožností.

Možné rekurence:

Tento problém vyřešil již Euler a obšírně se mu věnoval Edouard Lucas ve své knize Théorie des nombres (1891) na str.211-215 (Problème des recontres)
Exponenciální generační funkce:

Table[n!*SeriesCoefficient[E^(-x)/(1-x),{x,0,n}],{n,1,20}]V úlohách 1 až 7 jsou "zakázaná" pole určena staticky. Vidíme, že pro n kamenů azakázaných polí vychází asymptotický faktor. Zajímavé je porovnání s kapitolou
12.1, kde (při zkoumání n neohrožujících se kamenů se složenou pohyblivostí věže a bodového skokana) docházíme také k definování určitých zakázaných polí, ta však jsou určenaaž běhově (dynamicky) podle aktuálního rozmístění těchto kamenů. Asymptotické výsledky jsou však podobné.
In all problems 1-7 are restricted positions defined statically. Interesting is comparison with chapter 12.1, permutations with dynamically restricted positions.

2212) A000179 Ménage problem Number of permutations p of [0, ..., n-1] such that p(j) <> j and p(i) <> j+1 (mod n) for all j.
Tento původně nešachový problém (Married Couples Problem) lze interpretovat i jako šachovou úlohu: Počet rozestavení n neohrožujících
se věží na prstencové šachovnici n x n takových, že žádná věž nestojí na hlavní diagonále ani na diagonále vedle hlavní diagonály (p(j) <> j,p(j) <> j+1, p(n) <> 1)
Rekurentní vzorec objevil už Lucas, Théorie des nombres, 1891 (ze 2 posloupností uvedených na str. 495 jde o posloupnost lambdan).
Pro n > 5 platínebo (tzv. Laisant's Recurrence Formula)nebo pro n > 4

Explicitní vzorec objevil J. Touchard. Sur un problème des permutations. Comptes Rendus de L‘Acad. des Sciences, T.198, str. 631-633, 1934. Odvození najdeme
také v knize N. Vilenkin, Populyarnaja kombinatorika, 1972, str. 170.

Generating function (Vladeta Jovovic, 26.6.2007):

Asymptotické chování zjistil S. M. Kerawala, "Asymptotic solution of the Problème des menages", Bull. Calcutta Math. Soc., 39 (1947), 82-84. Věnují se mu také
P. Flajolet a R. Sedgewick v knize Analytic combinatorics na str. 372. Vypočetl jsem další členy asymptotického rozvoje

Tabulka hodnot v programu Mathematica
Table[If[n==1,0,Sum[(-1)^k*(2*n)*Binomial[2*n-k,k]*(n-k)!/(2*n-k),{k,0,n}]],{n,1,25}]
Table[SeriesCoefficient[x+(1-x)/(1+x)*Sum[k!*(x/(1+x)^2)^k,{k,0,n}],{x,0,n}],{n,1,25}]

Velmi zajímavý historický vývoj kolem této úlohy najdeme v knize Mathematical conversations (2001), str.277, On the Probleme des Ménages (Jacques Dutka)

2223) A000271 Počet rozestavení n neohrožujících se věží na normální šachovnici n x n takových, že žádná věž nestojí na hlavní diagonále ani
na diagonále vedle hlavní diagonály (p(j) <> j, p(j) <> j+1). Od úlohy 2 se liší pouze v tom, že druhá diagonála není cyklická, tzv. Ménages
non-circulaires. Explicitní vzorec je dokonce jednodušší, asymptotické chování podobné.
Explicitní vzorec uvádějí I. Kaplansky and J. Riordan, Le problème des ménages, Scripta Math., 12 (1946), p.113-124.

Asymptotický vzorec:

Rekurentní vzorec:

Tabulka hodnot v programu Mathematica
Table[If[n==1,0,Sum[(-1)^k*Binomial[2*n-k,k]*(n-k)!,{k,0,n}]],{n,1,25}]

2234) A078480 Number of permutations p of {1,2,...,n} such that |p(i)-i| <> 1 for all i. Počet rozestavení n neohrožujících se věží na normálníšachovnici n x n takových, že žádná věž nestojí na žádné z diagonál kolem hlavní diagonály (p(j) <> j-1, p(j) <> j+1).
Asymptotický vzorec odvodil N. S. Mendelsohn, The asymptotic series for a certain class of permutation problems, Canadian Journal of
Mathematics, vol. VIII, No.2, 1956, p.234-244 (Example 5).
Rekurentní vzorec:

Explicit formula (Václav Kotěšovec, 28.3.2011)

Asymptotický vzorec:

Generating function (Vladeta Jovovic, 26.6.2007):

Tabulka hodnot v programu Mathematica
Table[Sum[Sum[(-1)^k*(i-k)!*Binomial[2i-k,k],{k,0,i}],{i,0,n}],{n,1,25}]
Table[SeriesCoefficient[1/(1-x^2)*Sum[k!*(x/(1+x)^2)^k,{k,0,n}],{x,0,n}],{n,1,25}]

2245) A001887 Superménage numbers. Počet rozestavení n neohrožujících se věží na normální šachovnici n x n s vyloučením 3 diagonál (propermutace máme podmínky p(j) <> j, p(j) <> j+1, p(j) <> j+2).
Rekurentní vzorec viz P. Flajolet, Constrained permutations and the principle of inclusion-exclusion, (1997)

nebo proÚlohu (včetně asymptotického vzorce) popisují P. Flajolet a R. Sedgewick v knize Analytic combinatorics na str. 373.
Doplnil jsem další členy asymptotického rozvoje:

Generating function (Vladeta Jovovic, 30.6.2007):

Tabulka hodnot v programu Mathematica
Table[SeriesCoefficient[1/(x^2-1)*(x-Sum[k!*(x*(x-1)/(x^3-2*x-1))^k,{k,0,n}]),{x,0,n}],{n,1,25}]

2256) Number of ways to place k non-attacking rooks on an triangle n x n board
Pokud ze šachovnice vyřízneme všechna pole nad hlavní diagonálou, jde samozřejmě rozmístit na takovou trojúhelníkovou šachovnici
n věží pouze jediným způsobem (všechny na hlavní diagonálu). Zajímavý je však vzorec na rozmístění (menšího počtu) k neohrožujících sevěží:
kde S2 jsou Stirlingova čísla druhého druhu, S2= Stirling numbers of the second kindViz např. John Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, 1958, p.213-216 (chap.6, Triangular Permutations), p.234 (problem 29).

Similar problem for queens - number of ways to arrange k non-attacking queens on the lower triangle of an n x n board
Podobný problém pro dámy (k=3 až 7) viz OEIS A194493 až A194497, hodnoty vypočítal 26.8.2011 R. H. Hardin. Pro k=3 a k=4 nalezl i rekurence.
k=3, (R. H. Hardin, 26.8.2011)
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.4.2012)or
Generating function

k=4, (R. H. Hardin, 26.8.2011)

Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.4.2012)or

Generating function

Number of ways to arrange 2-7 nonattacking knights on the lower triangle of an n x n board. Podobný problém pro jezdce (k=2 až 7) viz OEIS A194486 až A194491 (vzorce, které
určil R. H. Hardin, jsou v tomto případě vždy pouze polynomy).

2267) Rozmístění n neohrožujících se věží na šachovnici n x n v diagonálním pásu pevné šířky, viz diagram vpravo (kde m1=2,
m2=3). V řeči permutací jde o takové permutace, splňující pro všechna i=1..n podmínku, kde m1
a m2 jsou konstanty (nezávislé na n). Pro počet takových pozic platí triviální odhad.
Obecně lze pro dané dvojice odvodit explicitní vzorce i lepší asymptotické odhady. Touto problematikou se zabývali zejména
Torleiv Kløve v článku Permutations with limited displacement, 2008, Vladimir Baltić, On the number of certain types ofstrongly restricted permutations, 2010 a také D. H. Lehmer, "Permutations with strongly restricted displacements",
Combinatorial Theory and its Applications II, 1970, str. 755-770. Obecně platí
kde
Pokud jeajsou konstanty.
, platí nerovnost

Tabulka numerických hodnot:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.618033989

1.839286755

1.927561975

1.965948237

1.983582843

1.991964197

1.996031180

1.998029470

1.999018633

1.999510402

1.839286755

2.333554225

2.607713821

2.762837650

2.853350961

2.907681095

2.941067827

2.961974492

2.975261995

2.983805456

1.927561975

2.607713821

3.061773428

3.360085301

3.557549648

3.690132983

3.780521982

3.843032537

3.886816818

3.917825448

1.965948237

2.762837650

3.360085301

3.793515545

4.105969055

4.332045682

4.496898974

4.618204494

4.708285833

4.775762174

1.983582843

2.853350961

3.557549648

4.105969055

4.526773212

4.848556026

5.095135697

5.284978608

5.431992809

5.546544037

1.991964197

2.907681095

3.690132983

4.332045682

4.848556026

5.260823449

5.589234180

5.851187855

6.060774426

6.229126733

1.996031180

2.941067827

3.780521982

4.496898974

5.095135697

5.589234180

5.995340631

6.328706912

6.602600994

6.82811

1.998029470

2.961974492

3.843032537

4.618204494

5.284978608

5.851187855

6.328706912

6.730156193

7.06737

7.35

1.999018633

2.975261995

3.886816818

4.708285833

5.431992809

6.060774426

6.602600994

7.067377.464

1.999510402

2.983805456

3.917825448

4.775762174

5.546544037

6.229126733

6.82811

7.35

Odkazy na jednotlivé sekvence v OEIS, kde je možno nalézt vzorce nebo generační funkce.
m1, m2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
A000045
A000073
A000078A001591
A001592
A122189

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A002524
A072827
A072850
A072852
A072853
A179344
A179349
A179355
A179362

A002526
A072854
A072855
A179341
A179345
A179350
A179356
A179363

A072856
A179340
A179342
A179346
A179351
A179357
A179364

A154654
A179343
A179347
A179352
A179358
A179365

A154655
A179348
A179353
A179359
A179366

A154656
A179354
A179360
A179367

A154657
A179361
A179368

A154658
A179369

A154659

Konstanty
jsou obecně kořeny algebraických rovnic.
Pro m1=1 jekořenem rovnice,aspeciálně pokud je i m2=1, vede sekvence na Fibonacciho čísla.
Pro
je stupeň této rovnice (hloubka rekurence)
roven

227
8) A000085 Počet pozic n neohrožujících se věží symetrických kolem hlavní diagonály (tedy takových, že pro každou permutaci platí p(p(j)) = j pro všechna j od
1 do n). Rekurenci objevil (při řešení jiného problému, tzv. involution numbers) už v roce 1800 Heinrich August Rothe.

V souvislosti se šachem tuto rekurenci poprvé zmiňuje Edouard Lucas, viz Théorie des nombres (1891), str.215-217 (Des permutations figurées, symétriques par
rapport à une diagonale de l'échiquier), kde najdeme i podrobné odvození explicitního vzorce

Exponenciální vytvořující funkce pro tuto sekvenci je

Elegantní asymptotický vzorec objevil Sarvadaman Chowla, The asymptotic behavior of solutions of difference equations (p.377), 1950. Netriviální odvození(s užitím integrálů funkcí komplexní proměnné) najdeme v knize "A Course in Combinatorics", J. H. van Lint, R. M. Wilson, 1992, str.127-128, v second edition,
2001, pak na str.147-148 (Example 14.15). Viz též P. Flajolet a R. Sedgewick, Analytic combinatorics, str. 560.

Odvodit členy obsahující výrazy s n lze i s užitím elementární matematiky, obtížné je ale odvození tvaru násobící konstanty, kde se využije toho, žeTabulka hodnot v programu Mathematica (výpočet přes binomické koeficienty a dvojitý faktoriál je v tomto programu výrazně rychlejší)
Table[Sum[Binomial[n,2k]*(2k-1)!!,{k,0,Floor[n/2]}],{n,1,25}]
nebo přes vytvořující funkci
Table[SeriesCoefficient[E^(x^2/2+x)*n!,{x,0,n}],{n,1,25}]Předchozí klasický příklad poměrně jednoduché sekvence s neelementárním asymptotickým rozvojem dává příležitost se zde na chvíli zastavit a porovnat současné možnosti počítačových programů
při hledání asymptotických vzorců sekvencí daných rekurencemi nebo vytvořujícími funkcemi. Obecně lze říci, že hledání asymptotického průběhu sekvence, zejména když známe jenom několik
jejích prvních členů, je asi tím nejsložitějším, ale současně i tím nejzajímavějším v tomto oboru. Numerické extrapolace mohou být dobrým odhadem, ale hypotézy z nich pocházející nemusí býtvždy správné. Trochu lepší situace nastává, když se nám podaří najít rekurenci nebo vytvořující funkci. Pokud je rekurence lineární s konstantními koeficienty, jde snadno řešit analyticky (vytvořující
funkce je racionální lomená, jejíž jmenovatel je dán rekurencí). Nás ale hlavně zajímá složitější případ, když koeficienty jsou polynomy v n. Existují minimálně 3 velmi dobré programy, které nám
mohou pomoci. Vždy je však ještě dobré výsledky ověřit i numericky alespoň pro n=1000, ale raději větší - pokud to čas výpočtu dovolí.

228


AsyRecMaple package AsyRec by Doron Zeilberger z let 2008-2009 je asi nejpropracovanější
program tohoto typu. Umožňuje najít z lineární rekurence s polynomiálními koeficienty
asymptotický průběh. Obsahuje řadu funkcí. Rekurence musí být ve tvaru s kladnými indexy ačleny rekurence typu
se zadávají jako . Předchozí sekvenci zadáme pomocí funkce

Velkou výhodou je, že lze určit i násobící konstantu, sice jen numericky (s tím, že programautomaticky určuje počet platných cifer), ale občas pomůže funkce programu Maple identify,která umí rozpoznat některé konstanty a převést na symbolické výrazy:

Pro maximální přesnost je samozřejmě dobré vygenerovat co nejvíce členů posloupnosti, alevětší vliv na počet platných cifer má počet členů asymptotického rozvoje.
Bohužel tento program (používající tzv. metodu Birkhoff -Trjitzinsky z roku 1932) umí najít
asymptotický průběh jen v některých případech a dost často selže s chybou "Dominant roots
are complex" nebo "Dominant real roots are negatives of each other", např. u sekvence
A002720, viz str. 219, AsyC(N^2-2*(n+2)*N+(n+1)*(n+1), n, N, 5, [2, 7], 1000)



Algolib, funkce equivalent

Autorem několika užitečných procedur pro práci s generačními funkcemi je Bruno Salvy.
Modul gfun byl zabudován přímo do programu Maple. Dalším je modul Algolib, obsahujícískvělou funkci equivalent. Funkce rectodiffeq umožňuje převod rekurence na příslušnou
diferenciální rovnici pro generační funkci. Tu pak lze řešit pomocí dsolve. Pro předchozípříklad (kdy budeme hledat exponenciální gen.funkci) vynásobíme členy rekurence (n+i)!.

Funkce equivalent hledá asymptotický průběh podle generační funkce (metody viz P. Flajolet
a R. Sedgewick, Analytic combinatorics, kap. VIII, "Saddle Point Asymptotics", str. 507-565).

Jelikož se jednalo o exponenciální generační funkci, je třeba (abychom se dostali k původnísekvenci) výsledek ještě vynásobit n!. Pro porovnání vygenerujeme ještě další člen (v tomtopřípadě vychází správně, ale jinak je u funkce equivalent spolehlivý jen první člen).

Asymptotics.m

V případě sekvence A002720 je úspěšnější program Asymptotics.m (viz str. 280 a str. 433),
jehož autorem je Manuel Kauers (poslední verze je z roku 2011). Modul pracuje pod
programem Mathematica (testoval jsem jej pod verzí 7, pod verzí 8 byly občas problémys kompatibilitou). Program však neumí určit násobící konstantu. Výstupem jsou partikulárníčleny, z nichž vybereme vždy ten dominantní. Předchozí sekvenci A000085 zadáme takto:Vidíme, že program vypočetl i násobící konstantu na symbolické úrovni! Je ovšem třeba
dodat, že i tento program má svoje meze a řada funkcí nebo složitějších výrazů je nad jeho
síly. Stejně tak se jen málokdy podaří vyřešit diferenciální rovnici určenou ze sekvence.
Nepovinný parametr Order určuje hloubku asymptotického rozvoje.

Viz též článek Too many errors around coefficient C1 in asymptotic of sequence A002720,
V. Kotěšovec, 28.9.2012

2299) A000903 Number of inequivalent ways of placing n non-attacking rooks on n x n board.
Počtem neidentických konfigurací neohrožujících se n věží na šachovnici n x n se jako první zabýval Edouard Lucas ve své knize Théorie des nombres(1891) na str.215-223.
Dále viz R. W. Robinson, Counting arrangements of bishops, pp. 198-214 of Combinatorial Mathematics IV (Adelaide 1975), Lecture Notes in Mathematics,
560 (1976). Na str.199 je kapitola "The problem of the rooks".
V ruštině úlohy č. 1, 2 a 7 popisuje N. Vilenkin v knize Populyarnaja kombinatorika, 1972, str. 165-175.

Dále viz sekvence A000900, A000898, A037223 v OEIS.
Na doplnění ještě několik vzorců, které sice s tématem této knihy přímo nesouvisejí, ale mohou být zajímavé.
10) Počet možných cest věže z levého dolního do pravého horního rohušachovnice. Vytvořující funkce našli M. Erickson, S. Fernando, K. Tran v článku"Enumerating Rook and Queen Paths", Bulletin of the Institute for Combinatorics andits Applications, Volume 60 (2010), p.37-48. Zaujmou zejména asymptotické vzorce.

Pro počet nekřížících se cest viz A160392.

A051708 Number of ways to move a chess rook from the lower left corner [1,1] tosquare [n,n], with the rook moving only up or right.
A132595 Number of ways to move a chess queen from the lower left corner [1,1] tosquare [n,n], with the queen moving only up, right, or diagonally up-right.
A pro cesty dámy:
Jsou známy i některé výsledky pro vícerozměrnou věž. Případ 3D viz sekvence
A144045. Rekurenci a asymptotický vzorec našel Frédéric Chyzak (2010):
V porovnání s věží (kdy má mocninný člen hodnotu 9), je možných cest dámysamozřejmě více - mocninný člen má hodnotu 10.4721
Další známé výsledky lze nalézt v článku The Computational Challenge of
Enumerating High-Dimensional Rook Walks, Manuel Kauers and Doron Zeilberger
2010. Jen je třeba dát pozor na to, že autoři začínají na poli [0,0,0] a končí na [n,n,n],
proto v tomto článku vlastně uvažují šachovnice n+1 x n+1. Sekvence v OEIS naopak
začínají (v obvyklém) bodě [1,1,1] a jsou proto o 1 posunuté. Pro d dimenzí existuje
asymptotický vzorec, který odvodili Robin Pemantle a Mark C. Wilson (2004),
upraveno pro [1,1,1]:

Poslední doplňující příklad zůstává na šachovnici 8x8 a určuje počet možných cestkrále délky n z rohu do protilehlého rohu šachovnice.
A025597 Number of n-move king paths on 8x8 board from given corner to opposite
corner. Elegantní vzorec odvodil Andrew Buchanan, 24.6.2012. Zobecnění prošachovnice jiných rozměrů se ovšem samo nabízí...

2303.2) k Rooks on an k x n chessboard - k věží na šachovnici k x n
Z předchozího vzorce pro obecnou obdélníkovou šachovnici vyplývá (při m = k) pro
k rooks, board k x n, explicitní vzorec

vytvořující funkce (generating function)

Pro srovnání s ostatními vzorci, počet těchto rozmístění je také polynom, po roznásobení dostaneme jeho koeficienty ve tvaru:

231
Při použití kombinačních čísel, např. "k nad 12"jelze zápis tohoto výrazu trochu zjednodušit:

Koeficienty těchto polynomů se nazývají Stirlingova čísla prvního druhu, Stirling Numbers of the First Kind. Viz též Stirling's polynomials nebo OEIS - A112002.

232
Na tomto místě se chci zmínit o tom, jak nejlépe odhadnout asymptotické chování podobných funkcí (tedy situaci, kdy jde n do nekonečna). Případ věží jejednoduchý a lze jej vyřešit snadno i analyticky, ale na dalších místech této knihy budou analyzovány mnohem složitější rozvoje (ze kterých někde půjde tímto
postupem dokonce odvodit i přesné vzorce, viz např. semi-wazirs) a je proto třeba mít připravenou vhodnou metodiku.
Můžeme začít tím, že určíme jednoduchý asymptotický rozvoj
V programu Mathematica např. takto
Series[n!/(n-k)!/n^k,{n,Infinity,4}]

Trivial asymptotics (green points in graph)

Pro praktické výpočty je však tento odhad značně nepřesný (viz graf níže pro 4 první členy, odhad odpovídá zeleným bodům).
Podle nejvyšších členů můžeme však rozvoje z předchozí strany přepsat do tvaru (expansions from previous page in different format):Když sečteme tuto řadu, dostaneme lepší odhad (v grafu odpovídá červeným bodům a pro menší k téměř splývá se skutečnými hodnotami, počet členů je shodný).
Better asymptotics (red points in graph)

V grafu jsou přesné hodnoty označeny modrými body (exact values = blue points), graf je
v logaritmickém měřítku. Vidíme, že druhý odhad je mnohem přesnější.
Předchozí transformace snížila u členů
čímž se zrychlila konvergence.

nejvyšší exponenty u k z původníchna

Poznámka: Samozřejmě, v tomto konkrétním případě lze pomocí Stirlingova vzorce odvodit ještě lepšíasymptotický rozvoj tohoto výrazu

Šlo však o příklad a vysvětlení metody transformace, která bude použita u složitějších výrazů.

,

233

n 2 rooks 3 rooks 4 rooks 5 rooks

6 rooks

7 rooks

8 rooks

9 rooks

10 rooks

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

3

6

6

0

0

0

0

0

0

0

4

12

24

24

0

0

0

0

0

0

5

20

60

120

120

0

0

0

0

0

6

30

120

360

720

720

0

0

0

0

7

42

210

840

2520

5040

5040

0

0

0

8

56

336

1680

6720

20160

40320

40320

0

0

9

72

504

3024

15120

60480

181440362880362880

0

10

90

720

5040

30240

1512006048001814400

3628800

3628800

11

110

990

7920

55440

3326401663200

6652800

19958400

39916800

121321320 11880

95040

6652803991680

19958400

79833600

239500800

13

156

1716 17160 154440 1235520

864864051891840

259459200

1037836800

14

182

2184 24024 240240 2162160 17297280 121080960

726485760

3632428800

15

210

2730 32760 360360 3603600 32432400 259459200 1816214400 10897286400

16

240

3360 43680 524160 5765760 57657600 518918400 4151347200 29059430400

17

272

4080 57120 742560 8910720 98017920 980179200 8821612800 70572902400

18

306

4896 73440 1028160 13366080 160392960 1764322560 17643225600 158789030400

19

342

5814 93024 1395360 19535040 253955520 3047466240 33522128640 335221286400

20

380

6840 116280 1860480 27907200 390700800 5079110400 60949324800 670442572800

2344.1) k Bishops on an n x n chessboard - k střelců na šachovnici n x nTento problém byl zcela vyřešen pro libovolné k. Základ k tomu položil ruský matematik S. E. Arshon, jehož (do dnešní doby téměř neznámé!) vzorce z roku 1936
pro rozmístění n neohrožujících se střelců na šachovnici n x n jdou snadno zobecnit i pro k střelců na n x n, viz str. 254. Přesto z těchto složitých sum automaticky
nevyplývají vzorce vyjádřené polynomy v n pro jednotlivá malá (konstantní) k, proto má smysl publikovat současně i tyto mnohem jednodušší vzorce.
Polynomiální vzorce najdeme např. v knize Schach und Zahl, 1966 (str.58-62), jejímž autorem byl Karl Fabel, který sám objevil vzorce pro k=3 a k=4. Vzorec pro
k=2 uvádí již Henry Dudeney ve své knize "Amusements in Mathematics" (1917), str. 96.
A172123 - 2 bishops, board n x n: (H. Dudeney, 1917)

A172124 - 3 bishops, board n x n: (K. Fabel, 1966)
pro n sudé (even)pro n liché (odd)nebo jedním vzorcem:

A172127 - 4 bishops, board n x n: (K. Fabel, 1966)
pro n sudé (even)pro n liché (odd)nebo jedním vzorcem:

235
A172129 - 5 bishops, board n x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010)
pro n sudé (even)pro n liché (odd)nebo jedním vzorcem:

A176886 - 6 bishops, board n x n: (V. Kotěšovec, 27.4.2010)
pro n sudé (even)pro n liché (odd)nebo jedním vzorcem:

A187239 - 7 bishops, board n x n: (V. Kotěšovec, 7.3.2011)

236
A187240 - 8 bishops, board n x n: (V. Kotěšovec, 7.3.2011)

A187241 - 9 bishops, board n x n: (V. Kotěšovec, 7.3.2011)

A187242 - 10 bishops, board n x n: (V. Kotěšovec, 7.3.2011)

Vzorce pro vyšší hodnoty k jdou vygenerovat programem na str. 257.

237
Polynomy mají obecně tento tvar:Člen s (-1)n se vyskytuje v polynomu až od n2k-6. Pro d >= 6 mají další členy tvar

kde P(k) a R(k) jsou polynomy v k. Jejich stupně jsou

nebo po částečné faktorizaci

kde (pro d>=6) jsou stupně polynomů P(k) a R(k) tentokrát

238
Pro sudé i liché n (for n even or odd), dostaneme následující obecný rozvoj

Asymptoticky (při konstantním k)

Je třeba ještě poznamenat, že v tomto vzorci není možné volit k=n (jako třeba v případě semi-vezírů) a platí tedy pouze pro konstantní k (nezávislé na n).
(in case of this formula k must be constant, independent on n)

239

Pro k > 2 je jmenovatel vytvořující funkce (denominator of generating function) rovenV případě střelců (na rozdíl od dam) neobsahuje jmenovatel vytvořující funkce žádné další cyklotomické polynomy a to pro libovolné k. Důkaz, že kvazipolynomy
pro střelce mají periodu maximálně 2, provedli Thomas Zaslavsky, Seth Chaiken a Chris Hanusa v roce 2010. Toto samozřejmě vyplývá i z explicitních vzorců pro
k neohrožujících se střelců na n x n, viz str. 254, které se liší pouze pro šachovnice sudých a lichých rozměrů.
Thomas Zaslavsky, Seth Chaiken and Chris Hanusa proved theorem The bishop quasipolynomial has period at most 2. See Nonattacking Chess Pieces: The Danceof the Bishops (29.7.2010), Theorem 4.3 (the proof uses the geometric theory of signed graphs).
Alternative proof - general explicit formulas for number of ways to place k non-attacking bishops on an n x n board exists (based on formulas by S. E. Arshon,1936), see page 254.

240

k

k Bishops on an n x n chessboard - Generating function

2

3

4

5
6
7

-8x^5*(630x^18 + 10620x^17 + 153525x^16 + 1211058x^15 + 6621390x^14 + 24647178x^13 + 66958554x^12 + 133891418x^11 + 202680754x^10 + 232634698x^9 + 204008900x^8 + 135332502x^7 +67245306x^6 + 24326718x^5 + 6174582x^4 + 1024222x^3 + 99344x^2 + 4466x + 55)/((x-1)^15*(x+1)^9)

8-16x^5*(2520x^22 + 47160x^21 + 808884x^20 + 7825113x^19 + 54648810x^18 + 265795497x^17 + 965510650x^16 + 2638742416x^15 + 5598377728x^14 + 9280070520x^13 + 12189441400x^12 +
12689244954x^11 + 10499675700x^10 + 6853251794x^9 + 3501200340x^8 + 1373620536x^7 + 404231224x^6 + 85610168x^5 + 12313860x^4 + 1085765x^3 + 49362x^2 + 797x + 2)/((x-1)^17*(x+1)^11)9-64x^6*(5670x^25 + 116100x^24 + 2282283x^23 + 25883910x^22 + 220244661x^21 + 1330673229x^20 + 6121839129x^19 + 21511823232x^18 + 59645434477x^17 + 131494649245x^16 +
234424379246x^15 + 339339084372x^14 + 401937236082x^13 + 389328811002x^12 + 308645316626x^11 + 199052247464x^10 + 103780570480x^9 + 43151321222x^8 + 14078209111x^7 +3508317590x^6 + 644755881x^5 + 82579449x^4 + 6782181x^3 + 308200x^2 + 5933x + 25)/((x-1)^19*(x+1)^13)

10-32x^6*(113400x^29 + 2518560x^28 + 55426428x^27 + 713122128x^26 + 7133734665x^25 + 51575533686x^24 + 289157705424x^23 + 1253334719652x^22 + 4339842816598x^21 + 12089938835312x^20+ 27595185140132x^19 + 51899069651452x^18 + 81237872407883x^17 + 106097483667238x^16 + 116126611566624x^15 + 106417824457960x^14 + 81632991696988x^13 + 52161861060464x^12 +
27621327391332x^11 + 11998025297736x^10 + 4224689442543x^9 + 1183463783138x^8 + 257650398544x^7 + 42074808244x^6 + 4911799606x^5 + 379785344x^4 + 17289788x^3 + 373804x^2 + 2525x+ 2)/((x-1)^21*(x+1)^15)

241

k Bishops on an n x n chessboard
n 1b

2 b 3 bishops 4 bishops

5 bishops

6 bishops

7 bishops

8 bishops

9 bishops

10 bishops summed over all k>=0, A201862

1

1

2

4

4

0

0

3

9

26

26

8

0

0

0

0

0

4

16

92

232

260

112

16

0

0

0

0

729

5

25

240

1124

2728

3368

1960

440

32

0

0

9918

6

36

520

3896

16428

39680

53744

38368

12944

1600

64

167281

7

49

994

10894

70792

282248692320102232086732838931281184

34233628

64 173626192

2428561444928559988814082528

22522960

22057472

12448832

82609921

981 2832

56296

7060485865552

33001664

126490352

328097824

565532992

627961728

2319730026

10 100 4380

1109601809464

20014112

154215760

837543200

3209594096

8611750848

15915225216

74500064809

11 121 6490

204130419906459673360

603563504

4412818240

23460698496

90564534336

251806066272

2711723081550

12 144 9284

3550008992684

159698416

2052729728

19447224864

137045115696

720227187456

2814607288320

110568316431609

13 169 12896

589196 18024072

391202680

6229649352

74255991784

670158151296

4603893554496

24088436720256

5016846683306758

14 196 17472

940072 34170724

890095584

17202203680

251997948736

2835083100640

24675964279680

166645918174848

251180326892449969

15 225 23170

1450134 61784632 1902427800

43870041520

774861621936

10634260782464

114402835995392

969258913391552

13806795579059621930

16 256 30160

2172576 107243472 3853570560

104531112928 2191005028672

36033282628832

469601097840640

4878776675787392

827911558468860287041

17 289 38624

3172944 179645376 7450556064

234870173248 5764306674400 111923478184128

1737913582100864

21731689658569984

53940895144894708523922

18 324 48756

4530912 291667440 13829016768

501360888160 14243327787456 322412415716896

5882030372643968

87161301448676352

3799498445458163685753481

19 361 60762

6342186 460615272 24759442464 1022992697248 33309659739904 869530617762304 18417596366384512

319192073724720448

288400498147873552894868886

20 400 74860

8720520 709686228 42930138864 2005391254960 74194554880960 2212626780591008 53854324059153920 1079363369445639936

23495297656661206429711527769

2
970

Sloupec vpravo určuje počet pozic neohrožujících se k střelců na šachovnici n x n, součet přes všechna k >= 0. V programu Mathematica jej dostaneme takto:knbishops[k_,n_]:=(If[n==1,If[k==1,1,0],(-1)^k/(2n-k)!
*Sum[Binomial[2n-k,n-k+i]*Sum[(-1)^m*Binomial[n-i,m]*m^Floor[n/2]*(m+1)^Floor[(n+1)/2],{m,1,n-i}]*Sum[(-1)^m*Binomial[n-k+i,m]*m^Floor[(n+1)/2]*(m+1)^Floor[n/2],{m,1,n+i-k}],{i,Max[0,k-n],Min[k,n]}]]);
Table[1+Sum[knbishops[k,n],{k,1,2n-1}],{n,1,25}]

242

4.1.1) n Bishops on an n x n chessboard - n střelců na šachovnici n x n - A002465
Tato úloha má poměrně bohatou historii. Je pro ni však typické, že publikované články upadly v zapomnění a autoři, kteří se touto
problematikou po letech zabývali, předchozí práce neznali, necitovali je a objevovali pak již jednou objevené.
This problem has interesting history. Few (non-English) old papers were unknown for other authors.

Nejstarší článek napsal M. Joseph Perott, Sur le probleme des fous, Bulletin de lasociété mathématique de France, Tome XI, 1883, str. 173-186. Cílem článku bylo hlavně
vypočítat hodnotu pro n=8 a priorita v nalezení čísla 22522960 tak patří jednoznačně
Perottovi. V článku Perott rozdělil problém na počítání zvlášť střelců na bílých polích azvlášť na černých polích šachovnice. Celkový počet pak složil jako součet všech
takovýchto možných součinů. Problém vyřešil pro všechny šachovnice sudých rozměrů
až do n=8. Jeho metoda však byla systematická a i když ji v článku nezobecnil, šla bypoužít pro libovolné šachovnice sudých rozměrů. Princip je naprosto shodný jako
v pozdějším článku Arshona.

Neznámý ruský matematik Solomon Efimovich Arshon (1892-1939) pak publikoval
v roce 1936 v neznámém ruském časopise Matematicheskoe prosveshchenie (číslo 8,
str. 24-29) článek, ve kterém odvodil obecný vzorec pro rozmístění n neohrožujících
se střelců na šachovnici n x n ! Arshon použil modifikované vytvořující funkce a(stejně jako Perott) rozdělil problém na počítání střelců na bílých a černých polích.
Při tom musel ještě rozlišit šachovnice sudých a lichých rozměrů. Už ale i jenom tyto
dílčí vzorce jsou velmi komplikované a jen těžko objevitelné.
Originální pramen: Соломон Ефимович Аршон: "Решение одной комбинаторной задачи", Математическое просвещение. Сборник. Выпуск 8, 1936.
V tomto článku se navíc zmiňoval o tom, že chystá k publikaci dokonce celou knihu "Новая комбинаторная алгебра", ve které prý svoje metody zobecnil. Bohužel,jak píše N. Vilenkin v knize Populyarnaja kombinatorika, 1972, na straně 166, po smrti autora k vydání této knihy už nedošlo a rukopis se ztratil během války.

243
Malé porovnání částí z obou článků
Perott 1883

Arshon 1936Překvapující je, že o Perottovu ani Arshonovu článku se nezmiňuje ani John Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, 1958, p.219-220 (chapter 8, The
problem of the bishops), kde se tomuto problému věnuje v sekci "Permutations with Restricted Position II" a označuje jej jako "special case of Simon Newcomb's
problem".

A předchozí práce zjevně neznal ani Robert W. Robinson, viz jeho článek"Counting arrangements of bishops", str. 198-214, Combinatorial
Mathematics IV (Adelaide 1975), Lecture Notes in Mathematics, 560 (1976).
Robinson se ve svém 17-ti stránkovém článku zabýval neidentickými
konstelacemi n věží a n střelců na šachovnici n x n, tedy jen takovými, které
nejde převést na jiné různými otáčeními nebo symetriemi. Pro tyto případy
odvodil řadu vzorců, ale obecný problém k neohrožujících se střelců našachovnici n x n považoval za dosud nevyřešený (jak se sám zmiňuje v závěru
článku na str.213).

244

Number of ways to place i non-attacking bishops on an white squares of n x n board, if n is even (for black squares is result same)
Počet vzájemně se neohrožujících "i" střelců rozmístěných pouze na bílých polích šachovnice n x n sudých rozměrů, identický vzorec platítéž pro černá pole (J. Perott, 1883, S. E. Arshon, 1936):

Number of ways to place i non-attacking bishops on an black squares of n x n board, if n is odd (S. E. Arshon, 1936)
Počet vzájemně se neohrožujících "i" střelců rozmístěných pouze na černých polích šachovnice n x n lichých rozměrů:Number of ways to place i non-attacking bishops on an white squares of n x n board, if n is odd (S. E. Arshon, 1936)
Počet vzájemně se neohrožujících "i" střelců rozmístěných pouze na bílých polích šachovnice n x n lichých rozměrů:Tabulku prvních např. 50 hodnot dostaneme v programu Mathematica s užitím Arshonových vzorců takto:
peven[i_]:=(Sum[(-1)^j*Binomial[n-i-1,j]/(n-i-1)!*(n-i+1-j)^(n/2)*(n-i-j)^(n/2-1),{j,0,n-i-1}]);
poddblack[i_]:=(Sum[(-1)^j*Binomial[n-i-1,j]/(n-i-1)!*(n-i+1-j)^((n+1)/2)*(n-i-j)^((n-3)/2),{j,0,n-i-1}]);
poddwhite[i_]:=(Sum[(-1)^j*Binomial[n-i-1,j]/(n-i-1)!*(n-i+1-j)^((n-1)/2)*(n-i-j)^((n-1)/2),{j,0,n-i-1}]);
Table[If[n==1,1,Sum[If[EvenQ[n],peven[i]*peven[n-i],poddblack[i]*poddwhite[n-i]],{i,1,n-1}]],{n,1,50}]

245

Z těchto dílčích vzorců pak dostaneme finální počty neohrožujících se n střelců na šachovnici n x n. Vzorce jsem ještě trochu zjednodušil.
Number of ways to place n non-attacking bishops on an n x n board
Pro n sudé (if n is even):

Pro n > 1 liché (if n>1 is odd):

246

Number of ways to place n non-attacking bishops on an n x n board, one formula for all n > 1 (with Floor function)Možný je i zápis jedním vzorcem s užitím funkce celá část (pro libovolné n > 1):

Nebo s užitím kombinačních čísel (same formula with binomial coefficients), n > 1

V programu Mathematica lze užít následující funkci:(* n non-attacking bishops on an n x n chessboard, one formula with Floor function *)nbishops[n_]:= (If[n==1,1,(-1)^n/n!
*Sum[Binomial[n,i]*Sum[(-1)^m*Binomial[n-i,m]*m^Floor[n/2]*(m+1)^Floor[(n+1)/2],{m,1,n-i}]*Sum[(-1)^m*Binomial[i,m]*m^Floor[(n+1)/2]*(m+1)^Floor[n/2],{m,1,i}],{i,1,n-1}]]);
Table[nbishops[n],{n,1,50}]

247Zabýval jsem se těmito vzorci podrobněji a podařilo se mi odvodit překvapující vazbu na tzv. Stirlingova čísla druhého druhu. Vyjděme nejprve např. ze vzorce pro
funkci peven a zjednodušme jej přeindexováním. Dostaneme

Pro úpravu výrazu použijeme binomickou větuPokud položíme

dostaneme

Nyní nastává pointa v přehození sum

Celkem tedy máme

Kde S2 jsou Stirlingova čísla druhého druhu, S2 = Stirling numbers of the second kind. Podobným způsobem už snadno odvodíme další vzorce

248

n

n bishops, board n x n, A002465

1

1

2

4

3

26

4

260

5

3368

6

53744

7

1022320822522960

9565532992

1015915225216

11496911749920

1217029582652416

13636101065346560

1425705530908501760

151118038500044633088

V programu Mathematica jde tento vzorec zapsat takto (pro velká n však doporučuji k výpočtu použít radějiz časových důvodů předchozí program s binomickými koeficienty):

1652054862490790200576

172584158975023147147264

stnbishops[n_]:=(If[n==1,1,
Sum[Sum[Binomial[Floor[(n+1)/2],j]*StirlingS2[j+Floor[n/2],n-i],{j,0,Floor[(n+1)/2]}]*
Sum[Binomial[Floor[n/2],j]*StirlingS2[j+Floor[(n+1)/2],i],{j,0,Floor[n/2]}],{i,1,n-1}]]);

18

136217877366318305776640

19

7600582106551216874307072

20447448480722422443996255232

21

27721863901601408594088435712

22

1802780984038362764883770392576

23122799306430020050715821997608960

248742590208816822264891219578863616

Odtud dostaneme vzorec pro počet pozic n neohrožujících se střelců na šachovnici n x n ve zcela jiném tvaru

Number of ways to place n non-attacking bishops on an n x n board
Alternative formula (V. Kotěšovec, 23.3.2011), for n > 1

kde S2 jsou Stirlingova čísla druhého druhu, S2= Stirling numbers of the second kind.

Table[stnbishops[n],{n,1,25}]

25 649400215683862430515217740518522880

249
Nesmírně zajímavé je asymptotické chování této funkce (tedy průběh pro n se blíží k nekonečnu).

Theorem (V. Kotěšovec, 24.5.2011): Asymptotic behavior for number of ways to place n non-attacking bishops on an n x n chessboard isconstants (A238258, A238260)

whereis the root of the equation(viz též str. 262 s analogickými vzorci pro semi-střelce)Důkaz (proof):
Konstanty q a b jsem analyzoval analyticky i numericky. Pro numerické výpočty je lepší použít vzorce s binomickými koeficienty, ale pro analytické zkoumání seukázal jako mimořádně vhodný vzorec se Stirlingovými čísly druhého druhu. Pro asymptotické chování těchto čísel totiž existuje řada poměrně dobrých odhadů,které nám umožní přesné vyjádření konstanty q. Základ těmto teoriím položil I. J. Good v článku An asymptotic formula for the differences of the powers at zero,
The Annals of Mathematical Statistics (1961), str. 249-256. Asymptotický vzorec pro chování Stirlingových čísel druhého druhu, když druhý parametr je řádově
stejný jako první, pak vylepšil A. N. Timashev: On asymptotic expansions of Stirling numbers of the first and second kind, Discrete Mathematics and Applications,
1998, str. 533–544. Jejich výrazy jsou trochu obecnější, já jsem použil pouze případ n/2 (druhý výraz je pak s upravenými faktoriály podle Stirlingova vzorce)

kde z je kořen rovnice

250
Při asymptotickém zkoumání se stačí omezit jen na šachovnice sudých rozměrů. Grafznázorňuje počet vyhovujících pozic v závislosti na počtu střelců i na šachovnici
n x n, přičemž počet pozic neohrožujících se střelců je kvůli přehlednějšímu zobrazenízlogaritmován. Je zcela evidentní, že tato funkce je symetrická kolem středu (hodnoty
i=n/2). Dále je zřejmé, že celkový počet pozic je určitě větší než samotná jedna
hodnota maxima. Co se týče horního odhadu, platí, žePro účel důkazu vystačíme ale i s daleko slabším odhadem, kdy celkový počet pozic
je určitě menší než plocha obdélníku (v původní metrice) s výškou rovnou maximu ašířkou rovnou n, vyjádřeno nerovností (for purpose of proof is weaker estimate
sufficient)

Pro funkci peven (počet pozic neohrožujících se n/2 střelců postavených jen na bílých
polích šachovnice n x n sudých rozměrů) už známe vzorec (se Stirlingovými čísly druhého druhu), do kterého dosadíme i = n/2 a dostaneme takČleny v sumě nabývají maxima pro j=n/2 a na grafu vlevo (pro n=1000 a n=5000) vidíme relativní váhu několika posledníchčlenů. Dokážeme, že tyto poměry jsou nezávislé na n. Pokud je m konstantní, platí pro velká nNapř. pro m=1 vidíme i na grafu, že předposlední bod má vždy váhu cca 80% (nezávisle na n). Po přeindexování dále
dostaneme

251

Dosazením do nerovnosti pro B(n) dostaneme

Nyní už můžeme použít předchozí asymptotický vztah pro Stirlingova čísla druhého druhu a dostaneme



QED

Jiná možná asymptotická vyjádření B(n) jsouJeště je možno doplnit přímou rovnici (ne tak elegantní) pro konstantu q

Konstantu q jde vyjádřit i pomocí tzv. Lambert W funkce

252
Numerické výsledky jsou v souladu s analytickými. Graf ukazuje přibližování ke konstantě q pro n < 500.
Pro zpřesnění jsem vypočítal ještě další hodnoty. Výpočet pro n=10000
programem Mathematica trval 43 hodin.
n
1000
2000
3000
4000
5000
10000
...

q
3.0882815944796830888
3.0882783792987619797
3.0882777826378637335
3.0882775736470486878
3.0882774768752302134
3.0882773477921684453

b0.6295129979396942
0.6303882462593924
0.6306807467379995
0.6308271382298150
0.6309150183812846
0.6310908806085001

3.0882773047417401791 0.6312668788741154
A238258
A238260

253
Vedlejším efektem předchozího důkazu bylo odvození asymptotického vzorce pro počet rozmístění neohrožujících se n střelců jen na černých polích šachovnice2n x 2n. A191236 - Number of ways to place n non-attacking bishops on an black squares of 2n x 2n board (explicit and asymptotic formulas):

Nebo v jiném tvaru

Paul D. Hanna doplnil 13.11.2012 generační funkci
a0=1 a pro n>0

V programu Mathematica
Flatten[{1,Table[SeriesCoefficient[Sum[k^k*(k+1)^k*E^(-k*(k+1)*x)*x^k/k!,{k,1,n}],{x,0,n}],{n,1,20}]}]nebo
Flatten[{1,Table[1/n!*D[Sum[k^k*(k+1)^k*E^(-k*(k+1)*x)*x^k/k!,{k,1,n}],{x,n}]/.x->0,{n,1,20}]}]254

General formulas for number of ways to place k non-attacking bishops on an n x n board
S. E. Arshon řešil ve svém článku z roku 1936 pouze případ n střelců na šachovnici n x n, ale jeho vzorce lze snadno zobecnit i pro k neohrožujících se střelců našachovnici n x n. Pro zjednodušení položíme
if k>=n then peven(k,n) = 0, poddblack(k,n) = 0, poddwhite(k,n) = 0
to je v souladu s programem Mathematica (pokud je horní index sumy menší než dolní)
Dále (v souladu se vzorci)peven(0,n) = 1, poddblack(0,n) = 1, poddwhite(0,n) = 1

Pak pro n sudé (if n is even):

Pro n > 1 liché (if n is odd):

255

Number of ways to place k non-attacking bishops on an n x n board, one formula for all n>1 (with Floor function)Možný je i zápis jedním vzorcem s užitím funkce celá část (pro libovolné n > 1):

Nebo s užitím kombinačních čísel (same formula with binomial coefficients)

V programu Mathematica můžeme vše zapsat jedinou funkcí (kterou lze použít i třeba pro případy k=n nebo k=2n-2). Výpočet je rychlejší při užití druhého tvaru
vzorce s binomickými koeficienty.
(* k non-attacking bishops on an n x n chessboard - universal formula *)knbishops[k_,n_]:=(If[n==1,If[k==1,1,0],(-1)^k/(2n-k)!
*Sum[Binomial[2n-k,n-k+i]*Sum[(-1)^m*Binomial[n-i,m]*m^Floor[n/2]*(m+1)^Floor[(n+1)/2],{m,1,n-i}]*Sum[(-1)^m*Binomial[n-k+i,m]*m^Floor[(n+1)/2]*(m+1)^Floor[n/2],{m,1,n+i-k}],{i,Max[0,k-n],Min[k,n]}]]);
Table[knbishops[2,n],{n,1,50}]
Table[knbishops[n,n],{n,1,50}]
Table[knbishops[2n-2,n],{n,1,50}]
Ještě je možné doplnit, že při k=1 dostáváme zajímavou kombinatorickou identitu

256
Maximální počet neohrožujících se střelců na šachovnici n x n je 2n - 2 (kdy složíme n-1 střelců na bílých polích a n-1 střelců na černých polích) a počet takových
pozic je 2n, což uvádí již Henry Dudeney, "Amusements in Mathematics" (1917), str. 96. Viz též Bishops Problem.
V souladu s tím jsou tyto výsledky:

Maximal number of non-attacking bishops on an n x n board is 2n-2, and there are 2n ways to place them.

Podobně jako v případě k = n jsem odvodil obecný vzorec pro libovolné k rovněž s užitím Stirlingových čísel druhého druhu.
Number of ways to place k non-attacking bishops on an n x n board (n > 1) - Alternative formula (V. Kotěšovec, 23.3.2011)

S2= Stirling numbers of the second kind
V programu Mathematica jde tento vzorec zapsat takto (pro velká n však doporučuji z časových důvodů použít raději předchozí program s binomickými koeficienty):
stknbishops[k_,n_]:=(If[n==1,If[k==1,1,0],
Sum[Sum[Binomial[Floor[(n+1)/2],j]*StirlingS2[j+Floor[n/2],n-i],{j,0,Floor[(n+1)/2]}]*
Sum[Binomial[Floor[n/2],j]*StirlingS2[j+Floor[(n+1)/2],n-k+i],{j,0,Floor[n/2]}],{i,Max[0,k-n],Min[k,n]}]]);
Table[stknbishops[2,n],{n,1,50}]
Table[stknbishops[n,n],{n,1,50}]
Table[stknbishops[2n-2,n],{n,1,50}]

257
Je zajímavé, že pro k konstantní, vycházejí z těchto vzorců polynomy v n. Pro libovolné k je dostaneme (včetně vytvořujících funkcí) tímto programem:(* V. Kotěšovec, 3/2011, funkce knbishops viz výše *)bpolynom[k_]:=(
Print["===================================== "];Print[k," bishops n x n"];rada=Table[knbishops[k,n],{n,1,4k+20}];
Print[rada];(* explicit formula *)formula=Sum[Subscript[y,j]*n^j,{j,0,2k}]+(-1)^n*Sum[Subscript[z,j]*n^j,{j,0,2k}];
neznam=4k+2;
sol=Solve[Table[rada[[n]]==formula,{n,Length[rada]-neznam,Length[rada]-1}]];fvyp=Expand[formula/.sol][[1]];Print[TraditionalForm[fvyp]];
Print[TraditionalForm[Factor[fvyp]]];difr=Table[rada[[n]]-fvyp,{n,1,Length[rada]}];Print[difr];(* ještě určím vytvořující funkci - generating function *)denom=If[k==2,(x-1)^5,(x-1)^(2k+1)*(x+1)^(2k-5)];d=Exponent[denom,x];gf=(Sum[Subscript[b,i]*x^i,{i,0,d-1}]/denom);
gfvyp=Factor[gf/.Solve[Table[rada[[i]]==Simplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,i}]],{i,1,d}]]][[1]];Print[TraditionalForm[gfvyp]];
Print[Table[rada[[i]]-SeriesCoefficient[gfvyp,{x,0,i}],{i,1,Length[rada]}]];);
Do[bpolynom[k];,{k,2,20}];

Kompletní polynomiální vzorce (až do k=10) je možno nalézt v kapitole 4.1.

258

V případě střelců byl již před mnoha lety kompletně vyřešen problém tzv. dominace, tj. nalezení minimálního počtu
střelců, kteří pokrývají všechna (prázdná) pole šachovnice. Na šachovnici n x n je takový počet roven n. Tento počet jeshodný pro střelce v obecné pozici i pro střelce, kteří se neohrožují. Byly odvozeny i vzorce pro počty takových pozic.
The minimum number of bishops (domination number) needed to attack or occupy every square on an n x nchessboard is n (same for non-attacking bishops or for bishops in a general position).

b

pb

w=n-b

pw

board n x nminimal numberof bishops neededon a black squares

number of
positions on
a black squares

minimal numberof bishops neededon a white squares

number of
positions on
a white squares

1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10 x 1011 x 1112 x 1213 x 13
14 x 1415 x 1516 x 16

1
1
1
2
3
3
3
4
5
5
5
6
7
7
7
8

1
2
1
4
22
16
6
72
1056
432
120
2880
80400
23040
5040
201600

1
2
2
2
3
4
4
4
5
6
6
6
7
8
8

1
2
2
4
2
16
128
72
24
432
8304
2880
720
23040
794880201600dominating
non-attacking

A122749
pb * pw
total number ofarrangements ofdominating andnon-attacking
bishops
1
4
2
16
44
256
768
5184
25344
186624
9964808294400
57888000
530841600
4006195200
40642560000

dominating
attackingA005635

non-dominating
non-attacking

A182333(dominating andtotal number of
non-attacking)arrangements ofnumber of
dominatingbishopsinequivalent(general positions)solutions
1
1
1
4
1
6
3
25
8
104
36
484
110
2136
666
11664
3250
71136
23436
4515841251983006720103752021902400
7241272
176774400
66360960
1456185600
500827928
12758860800
5080370400
117456998400

Důkaz tvrzení, že k pokrytí šachovnice stačí n střelců (a některé nerovnosti pro dámy), můžeme najít např. v článku Chessboard Domination Problems, E. J. Cockayne, 1986, str.10.
Jiný článek zabývající se dominací dam: Some New Results for the Queens Domination Problem, P. B. Gibbons, J. A. Webb, Australasian Journal of Combinatorics 15/1997, str. 145-160.
Známé výsledky shrnul ve své diplomové práci Paired and Total Domination on the Queen’s graph, Paul Asa Burchett, 2005, zejména zde zaujmou reprodukce pozic, jejichž autorem je L. Welsch.
V knize John Watkins: Across the Board: The Mathematics of Chessboard Problems (2004), je rozsáhlá kapitola Domination od str. 95.
O dominaci dalších figur viz též OEIS: A075458 (Queens), A075324 (non-attacking Queens), A075561 (Kings), A189889 (Kings - toroidal board), A006075 (Knights).
A002564 total number of arrangements of dominating Queens (general positions), A002568 total number of arrangements of dominating and non-attacking Queens.

259
A182333 Number of arrangements of n bishops (in general position) such that every square of the board is controlled by at least one bishop
V obecné pozici tento problém vyřešili A. M. Yaglom and I. M. Yaglom, v knize Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, vol.1, 1987,
problem 38d, p.11, p.83-88. Tato kniha vyšla v ruském originále v roce 1954, Неэлементарные задачи в элементарном изложении, Акива Моисеевич Яглом,Иссак Моисеевич Яглом. Je však zajímavé, že v tomto originále (kde má problém číslo 36), jsou vzorce chybné (formulas in original Russian text from 1954 arewrong, but in translation from 1987 are all formulas right, I verified it by computer).
Jejich 4 vzorce (podle toho, jaký zbytek dává n po dělení 4), publikované v anglickém překladu z roku 1987, jsem sloučil do jednoho vzorce a trochu zjednodušil.
Současně jsem ověřil počítačem jejich platnost. Pro počet pozic n střelců (v obecné pozici), kteří dominují celé šachovnici n x n platí vzorec
for n > 1

V programu Mathematica dostaneme tabulku hodnot takto:
Table[If[n==1,1,((2*Floor[n/4])!)^2/128*(n^5+3*n^4+n^3+35*n^2+38*n+2-(n^5-n^4-7*n^3-n^2-10*n-30)*(-1)^n-4*(n^3+2*n^2+n4)*n*Cos[Pi*n/2]-2*(n^5+n^4-11*n^3-7*n^2-2*n+2)*Sin[Pi*n/2])],{n,1,25}]

A122749 Number of arrangements of n non-attacking bishops such that every square of the board is controlled by at least one bishop
Pokud přidáme podmínku, že se střelci navzájem neohrožují a stále dominují celé šachovnici, počet pozic se zmenší, ale stále bude stačit k pokrytí šachovnice n x npouze n střelců. Vzorec pro tento případ odvodil R. W. Robinson, Counting arrangements of bishops, pp. 198-214 of Combinatorial Mathematics IV (Adelaide1975), Lecture Notes in Mathematics, 560 (1976). Tento článek jsem již citoval v úvodu kapitoly 4.1.1.
Opět jsem raději původní 4 vzorce sloučil do jednoho (a přitom ověřil jeho platnost programem):

V programu Mathematica dostaneme tabulku hodnot takto:
Table[If[n==1,1,1/768*(2*(3*n^3+23*n^2+17*n+21)*(((n-1)/2)!)^2*(1-(-1)^n+2*Sin[(Pi*n)/2])-2*(3*n^3+17*n^2-47*n+3)*((n3)/2)!*((n+1)/2)!*((-1)^n+2*Sin[(Pi*n)/2]-1)+3*(n+2)^4*((n/2-1)!)^2*((-1)^n-2*Cos[(Pi*n)/2]+1)+12*(n+4)^2*((n/2)!)^2*((1)^n+2*Cos[(Pi*n)/2]+1))],{n,1,25}]

260

4.1.2) n semi-bishops on an n x n chessboard - n semi-střelců na šachovnici n x n - A187235

Two semi-bishops do not attack each other if they are in the same northwest-southeast diagonal.
Z matematického hlediska (z šachového nikoliv) jsou ještě zajímaví poloviční střelci, tzv. semi-bishops, kteří mohou tahat jen po
jedné z obou diagonál, tedy jen ve směru zleva doprava (a zpět). Po druhé diagonále se neohrožují. Pro určení počtu nenapadajících
se semi-střelců na šachovnici n x n jsem odvodil jednoduchou vytvořující funkci (simple generating function)(V. Kotěšovec, February 2011):

Koeficient u x2n-k-1 určuje tento počet pro k semi-střelců, speciálně koeficient u xn-1 určuje počet neohrožujících se n semi-střelců na šachovnici n x n.
Tato metoda je i nejefektivnější pro výpočet hodnot (v přikladu se vygeneruje tabulka prvních 50 hodnot) (in Mathematica, efficient method)
Table[If[n==1,1,Coefficient[Expand[Product[x+i,{i,1,n}]*Product[x+i,{i,1,n-1}],x],x,n-1]],{n,1,50}]

Na základě vytvořující funkce jsem odvodil i explicitní vzorec:
Number of ways to place n non-attacking semi-bishops on an n x n board, explicit formula (V. Kotěšovec, 24.3.2011):

kde S1 jsou Stirlingova čísla prvního druhu, S1 = Stirling numbers of the first kind.
V programu Mathematica dostaneme tabulku hodnot takto:
Table[(-1)^n*Sum[StirlingS1[n+1,j]*StirlingS1[n,n-j+1],{j,1,n}],{n,1,50}]

261
Nejzajímavější na této funkci je však její asymptotické chování.

Theorem (V. Kotěšovec, 24.5.2011): Asymptotic behavior for number of ways to place n non-attacking semi-bishops on an n x n board isconstants (A238261, A238262)

whereis the root of the equationDůkaz (proof): Nejprve provedeme odhad mezí, v další části potom zpřesnění jednotlivých konstant.
Samotná úloha je vlastně více matematická než šachová - rozmístění semi-střelců je ekvivalentní výběru n prvků, vždy jeden z 2n-1 přihrádek očíslovaných
1

2

3

...

n-2

n-1

n

n-1

n-2

...

3

2

1

Pokud vybereme nějakou n-tici, příslušná čísla přihrádek vynásobíme. Takto sečteme všechny možné součiny. Počet výběrů možných n-tic z 2n-1 přihrádek je dán
kombinačním číslem
a každý takový součin bude vždy větší než krajní n-tice (z obou stran), tedy (n/2)!2. Na druhé straně bychom mohli udělat podobný
odhad podle n-tice nejblíže středu, ten vede ale jen k výrazu q < 8. Trochu silnější výsledek dostaneme jednoduchým výpočtem všech možných rozestavení n střelců
na šachovnici n x n (bez ohledu na to, zda se ohrožují či nikoliv). Tento počet je. Odtud dostáváme s užitím Stirlingova vzorce pro velká n asymptotickou
nerovnostze které už vyplývá tvar asymptotické funkce (tedy, že je řádu qn, kde q je konstanta) a současně i triviální odhad

Dále jsem analyzoval konstanty q a b jednak analyticky, jednak numericky. Pro numerické výpočty je lepší použít vytvořující funkci, ale pro analytické zkoumání seukázal jako vhodný vzorec se Stirlingovými čísly prvního druhu. Pro asymptotické chování těchto čísel totiž existuje řada poměrně dobrých odhadů. Přes jeden
z nich vede cesta k přesnému vyjádření konstanty q. Z existujících odhadů nás budou nejvíce zajímat takové, kdy druhý parametr Stirlingových čísel prvního druhu
je řádově stejný jako první (řada prací analyzuje případ, kdy je druhý parametr konstantní, nezávislý na n, to může být sice zajímavé, ale pro tento účel nepoužitelné).

262
První takový odhad odvodil I. J. Good: An asymptotic formula for the differences of the powers
at zero, The Annals of Mathematical Statistics (1961), str. 252. Dále jej pak ještě zlepšil A. N.
Timashev: On asymptotic expansions of Stirling numbers of the first and second kind, Discrete
Mathematics and Applications, 1998, str. 533–544. Jejich výrazy jsou trochu obecnější, já jsempoužil pouze případ n/2 (druhý výraz je pak s upravenými faktoriály podle Stirlingova vzorce)kde... je kořen rovniceKdyž si zobrazíme průběh zkoumané funkce (v logaritmickém měřítku), vidíme, že maximum nastává kolem n/2,přesněji v bodech j=n/2 a j=n/2+1. K úpravám výrazů budeme ještě potřebovat známou rekurenci

Z předchozích vztahů jde odvodit limity

Nyní už celkem snadno určíme (identické) hodnoty v maximu

Pro součet přes všechna j od 1 do n potom platí, že je určitě menší než plocha obdélníku s výškou rovnou maximu a větší než samotná hodnota maxima, tedy

263

Což (podle předchozího asymptotického vztahu) v limitě splývá v jedinou hodnotu



QED

Jiná možná asymptotická vyjádření SemiB(n) jsouPřímá rovnice pro konstantu q

Konstantu q jde vyjádřit i pomocí tzv. Lambert W funkce

NSolve[E^(1/2-q/4-1/4*Sqrt[q*(q-4)])==1/2-Sqrt[1/4-1/q],q,Reals,50][[1]]N[-(2*LambertW[-1,-1/(2*Sqrt[E])])^2/(1+2*LambertW[-1,-1/(2*Sqrt[E])]),50]

264
Numerické výsledky jsou v souladu s analytickými. Graf ukazuje přibližování ke konstantě q
pro všechna n < 500.
nqb1000 4.9108173475144062283 0.2422864165370192
10000 4.9108149884659158420 0.2424983076514364
12000 4.9108149811647321942 0.2425022409863188...
4.9108149645682558987 0.2425219128152359
A238261
A238262

Poznámka: Určitě je zajímavé srovnání s podobnými výsledky pro střelce na str. 251, vyjadřující i analogii mezi Stirlingovými čísly prvního a druhého druhu, dostáváme např.
asymptotický vztah

Conjecture by Peter Luschny (9.2.2015): A187235 is a number of parity preserving permutations of the set {1, 2, ..., 2n+1} with exactly n+1 cycles (see A246117).

265

Explicitní vzorec jde snadno zobecnit i pro k neohrožujících se semi-střelců na šachovnici n x n.
Number of ways to place k non-attacking semi-bishops on an n x n board, explicit formula (V. Kotěšovec, 24.3.2011):

kde S1 jsou Stirlingova čísla prvního druhu, S1 = Stirling numbers of the first kind.
V programu Mathematica dostaneme tabulku hodnot takto:
semikn[k_,n_]:=((-1)^k*Sum[StirlingS1[n+1,j]*StirlingS1[n,2n-k-j+1],{j,1,2n-k}]);Table[semikn[2,n],{n,1,20}]
Table[semikn[n,n],{n,1,20}]
Table[semikn[2n-1,n],{n,1,20}]
Vytvořující funkce (v programu Mathematica, efektivnější pro výpočty) (V. Kotěšovec, 24.3.2011):
semigf[k_,n_]:=(Coefficient[Expand[Product[x+i,{i,1,n}]*Product[x+i,{i,1,n-1}],x],x,2n-k-1]);
Table[semigf[2,n],{n,1,20}]
Table[semigf[n,n],{n,1,20}]
Table[semigf[2n-1,n],{n,1,20}]Pozornému čtenáři jistě neunikl jeden drobný rozdíl, kdy pro n > 1 se na šachovnici n x n vejde maximálně 2n-1 neohrožujících se semi-střelců, kdežto střelců jen
2n-2, tedy o jednoho méně.

266
Pro konstantní k dostáváme polynomy v n(V. Kotěšovec, February 2011)

267
Polynomy mají obecně tvar

Obecný rozvoj je

Asymptoticky (při konstantním k)268
Number of ways to place k non-attacking semi-bishops on an n x n board
n 1 semibishop 2 semibishops 3 semibishops 4 semibishops 5 semibishops
1

1

2

4

6 semibishops

7 semibishops

8 semibishops

9 semibishops

10 semibishops

summed over all k>=0, A010790
2

5

2

0

12

3

9

31

51

40

12

0

0

0

0

4

16

106

376

769

904

564

144

0

0

0

2880

5

25

270

1650

6273

15345

24080

23300

12576

2880

0

86400

6

36

575

5370

32523

1338483810657485309912768402164089603628800

7

49

1085

14357

126483782187348705511323991

26726896

45165064

52965360

203212800

8

64

1876

33376

402598348342422302908

107432288

391861841

1080212000

2227147496

14631321600

9

81

3036

69876

110506212730662

110508172

737388252

3824020113

15476988033

48804804048

1316818944000

10

100

4665

1348502705946

40015680

451846330

3982803100

27780132381

154498312860

687029386845

144850083840000

11

121

6875

2438156050946111674046

1589829670

17873300830

161122093781

1175989433861

6987308518815

19120211066880000

12

144

9790

417912

12566191

283029384

4957057600

69180357312

782065529311

7241073300384

55303181876710

2982752926433280000

13

169

13546

68512624541231

662378431

13993117996

237259381216

3284875447711

37584847273831

358332236958826

542861032610856960000

14

196

18291

108162645505005

1449684600

36343839675

735626441550

12237626215815

169457691743340

1970970444835665

114000816848279961600000

15

225

24185

1653225

80713269

2996471205

87940744125

2094031558125

41202999352515

678830404727475

9455145010713675

27360196043587190784000000

16

256

31400

2456960

137767644

5895356544

200202536040

5539347715200

127223756244390

2458690958605440

40387607401869000

7441973323855715893248000000

17

289

40120

3562792

227388124 11109981916

432222101160

13749568384488

364477320648870

8163777493204710

156129270734322600

2277243837099849063333888000000

18

324

50541

5055426364362564 20158780608

890652234164

32276996391384

977972177060910

25127851641568488

553391543115041670

778817392288148379660189696000000

19

361

62871

7036251

568698348 35369151168 1761139113548

72351554958675486 1817588538407906946

295950609069496384270872084480000000

20

400

77330

9625400

867003117 60222162120 3356641381340 154250134895600 5958948819686578 196355359324984960 5580492342694209180 124299255809188481393766275481600000000

n 1 semibishop 2 semibishops 3 semibishops 4 semibishops 5 semibishops

6 semibishops

72125432023388 2476824107626206

7 semibishops

8 semibishops

9 semibishops

144

10 semibishops

Na doplnění je možno ještě uvést, že pro rozmístění k semi-střelců na prstencové šachovnici n x n platí
Number of ways to place k non-attacking semi-bishops on an n x n toroidal boardNěkolik dalších linků na jiné úlohy související s rozmístěním střelců:A122749 Number of ways of placing n non-attacking bishops on an n x n board so that every square is attacked (or occupied), A005635 number of inequivalent solutions.
A146304 Number of distinct ways to place bishops (up to 2n-2) on a n*n chessboard so that no bishop is attacking another and that it is not possible to add another bishop.
A035288 Number of ways to place a non-attacking white and black bishop on n x n chessboard.
Sekvence související s neidentickými konfiguracemi: A005631, A123071, A123072

269

Number of ways to place n non-attacking semi-bishops on an n x n boardnn semi-bishops, board n x n - A187235

1

1

2

5

3

51

4

769

5

15345

6

381065711323991

8391861841

915476988033

10687029386845

1133861652925595

12

1834814222811361

13108411291759763681

14

6936921762461326545

15477881176664541171375

1635264213540563039871265

172775185864375851234241985

18232010235620834821000259765

1920534530616200868936398461635

20

1918188035217208542134822669569

21

188594380862084813207529023586129

22

19467773143753076708336252392936025

23

2105100094330486293572825708026838919

24

237960054534582474981118348821920186609

25

28066738129557897443034823558507625602625

26

3448138749620244917592226161651190829264525

27

440544265864682444278624861869165280146244395

28

58447464684382006149080838559189915437343822305

298041162957345894845542763061077222176906521540545

30 1145767426582196241381828466507144202188744457957025

2704.2) k Bishops on an k x n chessboard - k střelců na šachovnici k x n
2 bishops, board 2 x n:
A172207 - 3 bishops, board 3 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=4

A172208 - 4 bishops, board 4 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=9A172210 - 5 bishops, board 5 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=16

A172211 - 6 bishops, board 6 x n: (V. Kotěšovec, 28.1.2010), n>=25

První členy těchto vzorců mají obecně tvarJiný možný zápis je

271

k

k Bishops on an k x n chessboard - Generating function

2

3

4

5

x(2x^20-4x^19+8x^18-12x^17-48x^16+140x^15-158x^14+208x^13+134x^12-932x^11+1048x^10-182x^9+436x^8+396x^732x^6+1288x^5+668x^4+72x^3+86x^2+6x+1)/(x-1)^6

6-x(2x^30-6x^29+14x^28-26x^27+44x^26-220x^25+596x^24-1060x^23+1654x^22-2266x^21+5622x^20-13570x^19+19848x^1822392x^17+24048x^16-30525x^15+57673x^14-80154x^13+61962x^12-30874x^11+25832x^10-9360x^9+16960x^84710x^7+18006x^6+6928x^5+1968x^4+430x^3+222x^2+9x+1)/(x-1)^7

272

n 2 bishops 3 bishops 4 bishops

5 bishops

6 bishops

17

529

16453

479903 12878847

315906248

1

1

1

1

1

1

18

596

19854

624118 18153806

485124352

2

4

6

9

12

16

19

667

23696

798865 25049515

725031335

3

11

26

61

143

313

20

742

28006 1008208 33917724 1057839684

4

22

86

260

770

2320

21

821

32811 1256467 45158308 1510706686

5

37

211

927

3368

12160

22

904

38138 1548218 59222392 2116429956

6

56

426

2578

12632

53744

23

991

44014 1888293 76615476 2914190277

7

79

758

5965

38566

209428241082

50466 2281780 97900560 3950340692

8

106

1234

12066

98968

68352425

1177

57521 2734023 123701269 5279242444

9

137

1881

22135

222351190562526

1276

65206 3250622 154704978 6964147544

10

172

2726

37678

450682466438427

1379

73548 3837433 191665937 9078128011

11

211

3796

60457

84316910297579

28

1486

82574 4500568 235408396 11705051758

12

254

5118

92488

1479116

20907590

29

1597

92311 5246395 286829730 14940605138

13

301

6719

1360432460912

3966425030

1712

102786 6081538 346903564 18893362144

14

352

8626

1936503917228

71114916

31

1831

114026 7012877 416682898 23685900265

15

407

10866

2680936006056

121559433

32

1954

126058 8047548 497303232 29455962998

16

466

13466

3624128917888199459466

2734.3) k Bishops on an n x n toroidal chessboard - k střelců na prstencové šachovnici n x n
Pro rozmístění k neohrožujících se střelců na prstencové šachovnici n x n jsem odvodil explicitní vzorce. Proti normální šachovnici je zde jeden zásadní rozdíl: na
prstencové šachovnici n x n je možno rozmístit maximálně jen n neohrožujících se střelců. Řešení tohoto problému se navíc výrazně liší podle toho, jestli ješachovnice n x n sudých nebo lichých rozměrů.
V případě šachovnice sudých rozměrů je situace podobná jako na normální šachovnici a počet řešení dostaneme jako součet možných
kombinací střelců na sudých a lichých polích. Nejprve odvodíme vzorec pro rozmístění neohrožujících se střelců jen na černých
polích prstencové šachovnice (pro bílá pole je vzorec identický). Prvního střelce je možno umístit na n2/2 polí. Pro dalšího střelce
mám zakázaných celkem 2n-2 polí (14 v příkladu pro n=8), mohu jej tedy umístit na
polí, další průběh ukazuje
tabulkapořadové číslo kamene nově zakázaných polí v předchozím kroku volných polí pro tento kámen
1
2
2n-2
3
2n-6
4
2n-10
Počet pozic dostaneme jako součin možností rozmístění ve všech krocích (dělený i-faktoriál, protože bychom jinak počítali možnosti vícenásobně), tedy pro
i kamenů na černých polích (number of ways to place i non-attacking bishops on an black squares of n x n toroidal board, if n is even)

Celkový počet pozic je pak součet všech možných kombinací i střelců na černých polích a k-i střelců na bílých polích. Po úpravách tak dostaneme
pro šachovnici sudých rozměrů následující vzorec. Number of ways to place k non-attacking bishops on an n x n toroidal board (if n is even)(V. Kotěšovec, 26.4.2011)

Speciální případy k=n a k=n/2 viz kapitola 4.4

274
V případě šachovnice lichých rozměrů však střelci mohou měnit barvu pole a proto nelze předchozí metodu použít. Problém je v tomtopřípadě ale poměrně jednoduchý. Podobným postupem jako v případě sudých šachovnic dostaneme pro liché šachovnicepořadové číslo kamene nově zakázaných polí v předchozím kroku volných polí pro tento kámen
1
2
2n-1
3
2n-3
4
2n-5
Počet pozic dostaneme jako součin možností rozmístění ve všech krocích (dělený k-faktoriál), tedy pro k kamenů na všech polích

Pro šachovnici lichých rozměrů tak dostaneme

Number of ways to place k non-attacking bishops on an n x n toroidal board (if n is odd)
(V. Kotěšovec, 26.4.2011)(je zajímavé, že tento vzorec je shodný jako pro rozmístění k neohrožujících se věží na normální šachovnici n x n)
(identical formula as for rooks on an n x n normal chessboard)

V programu Mathematica jde tyto vzorce zapsat takto (všude v těchto vzorcích se využívá toho, že pokud je x < y je):

tbishops[k_,n_]:=((1+(-1)^n)/2 *(2^k*k!*Sum[Binomial[n/2,i]^2*Binomial[n/2,k-i]^2/Binomial[k,i],{i,0,k}])+(1-(-1)^n)/2 *(k!*Binomial[n,k]^2));
Table[Factor[tbishops[k,n]],{k,1,6}]
nebo (alternative function)
tbishops[k_,n_]:=If[EvenQ[n],2^k*k!*Sum[Binomial[n/2,i]^2*Binomial[n/2,k-i]^2/Binomial[k,i],{i,0,k}],k!*Binomial[n,k]^2];275Několik prvních (již dříve odvozených) polynomů zahrnuje oba případy (šachovnice sudých i lichých rozměrů):A177755 - 2 bishops, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2010)

A177756 - 3 bishops, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2010)

A177757 - 4 bishops, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2010)

A177758 - 5 bishops, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2010)

A177759 - 6 bishops, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 13.5.2010)

A178140 - 7 bishops, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

A189789 - 8 bishops, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 26.4.2011)

276
První členy těchto vzorců mají tvar:

Speciálně, pro sudé (even) n

Obecný tvar rozvoje pro n sudé je

Pro konstantní k je asymptoticky

277
Pro liché (odd) n (shodný jako pro věže na normální šachovnici, asymptotický rozvoj viz str. 217, same formulas as for rooks)

Polynomy pro další k vypočteme tímto programem:(* V. Kotěšovec, 4/2011, funkce tbishops viz výše *)btpolynom[k_]:=(Print["====================================="];
Print[k," bishops on an toroidal chessboard nxn"];
rada=Table[tbishops[k,n],{n,1,4k+20}]; Print[rada];(* explicit formula *)formula=Sum[Subscript[y,j]*n^j,{j,0,2k}]+(-1)^n*Sum[Subscript[z,j]*n^j,{j,0,2k}]; neznam=4k+2;
sol=Solve[Table[rada[[n]]==formula,{n,Length[rada]-neznam,Length[rada]-1}]];fvyp=Expand[formula/.sol][[1]];Print[TraditionalForm[fvyp]]; Print[TraditionalForm[Factor[fvyp]]];difr=Table[rada[[n]]-fvyp,{n,1,Length[rada]}]; Print[difr];(* generating function *)denom=(x-1)^(2k+1)*(x+1)^(2k-1); d=Exponent[denom,x];gf=(Sum[Subscript[b,i]*x^i,{i,0,d-1}]/denom);
gfvyp=Factor[gf/.Solve[Table[rada[[i]]==Simplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,i}]],{i,1,d}]]][[1]];Print[TraditionalForm[gfvyp]];
Print[Table[rada[[i]]-SeriesCoefficient[gfvyp,{x,0,i}],{i,1,Length[rada]}]];);
Do[btpolynom[k];,{k,2,20}];

278

k

k Bishops on an n x n toroidal chessboard - Generating function

2

3

4

5
6

7
8

-1152x^8 * (35x^23 + 21178x^22 + 27889x^21 + 2133348x^20 + 3081175x^19 + 51948910x^18 + 72476645x^17 + 469213640x^16 + 538879520x^15 + 1803221880x^14 + 1580004720x^13 + 3146148264x^12 +
2014875632x^11 + 2544618104x^10 + 1144092320x^9 + 933224520x^8 + 278242005x^7 + 143723790x^6 + 25756935x^5 + 7854820x^4 + 693025x^3 + 104538x^2 + 2579x + 128) / ((x-1)^17*(x+1)^15)

Jmenovatel vytvořující funkce (denominator of generating function)

Ve srovnání s normální šachovnicí je exponent u členu x+1 o 4 vyšší.

279
n 1 bishop 2 bishops 3 bishops 4 bishops

5 bishops

6 bishops

7 bishops

8 bishops A215943, summed over all k >= 0

1

1

2

2

4

4

0

0

3

9

18

6

0

0

0

0

0

34

4

16

80

128

64

0

0

0

0

289

5

25

200

600

600

120

0

0

0

1546

6

36

468

2688

6912

6912

2304

0

0

19321

7

49

882

7350

29400

52920

35280

5040

0

130922

8

64

1600

19968

1328644669448110085898241474562169729

9

81

2592

42336

381024

190512050803206531840326592017572114

10

100

4100

89600

1139200

864768038784000

98304000

129024000

364466281

11

121

6050

1633502613600

25613280

153679680

548856000

1097712000

3405357682

12

144

8784

2976006177600

81838080

699678720

3822059520

12939264000

85143154849

13

169

12168

49077612269400

198764280

2120152320

14841066240

66784798080

896324308634

14

196

16660

80908824912384

510478080

7113012480

67711795200

436483031040

26309790300249

15

225

22050

124215044717400 1082161080

18036018000

208702494000

1669619952000

306827170866106

16

256

28928

190668881636352 2393997312

49416536064

726855843840

7629571031040

10366719612433921

17

289

36992

2774400 135945600 4594961280 110279070720 1906252508160 23828156352000

132240988644215842

18

324

46980

4036608 229423104 9120190464 261526745088 5500708061184 85476013572096

5064730099043043529

19

361

58482

5633766 360561024 16225246080 530024705280 12796310741760 230333593351680

69974827707903049154

20

400

72400

7862400 572788800 29656350720 1128038400000 32142458880000 693478195200000

3000912883089564050721

9

Poslední sloupec určuje počet pozic neohrožujících se k střelců na prstencové šachovnici n x n pro všechna k >=0. Jde tedy o součty příslušných řádků + 1.
V programu Mathematica dostaneme tabulku těchto hodnot buď přímo pomocí explicitních vzorců (podle toho zda je n sudé nebo liché) takto:
Table[Sum[If[EvenQ[n],2^k*k!*Sum[Binomial[n/2,i]^2*Binomial[n/2,k-i]^2/Binomial[k,i],{i,0,k}],Binomial[n,k]^2*k!],{k,0,n}],{n,1,50}]

nebo je možné získat hodnoty pomocí rekurence (viz dále, tato metoda je efektivnější pro velká n, pří větším rozsahu však vyžaduje hodně paměti):bishopt[r_]:=RecurrenceTable[{a[n]==((12*n^5-158*n^4-(6*(-1)^n-706)*n^3-(1193-41*(-1)^n)*n^2-8*(7*(-1)^n-72)*n-22*(-1)^n-28)*a[n-2]+(-12*n^6+206*n^5+2*(7*(-1)^n-691)*n^4+(4545-137*(-1)^n)*n^3+(442*(-1)^n-7442)*n^2+(5194-544*(-1)^n)*n+198*(-1)^n-698)*(n-2)*a[n-4]+2*(2*n-1)*(n^2-7*n+10)^2*(n-4)^4*a[n-6])/(2*(n-5)^2*(2*n-5)),a[1]==2,a[2]==9,a[3]==34,a[4]==289,a[5]==1546,a[6]==19321},a,{n,r,r}][[1]]Celkový počet je pro n liché shodný jako pro věže

280
Rekurence pro liché členy je

Asymptotický průběh pro n liché (for n odd - same formula as for rooks, see A002720). Následující vzorec (resp. jeho první člen) byl dokázán již dříve při řešeníjiných problémů (viz Perron asymptotics for the Laguerre polynomials). Výraz vpravo je rovněž správný, ale trochu přesnější.

Viz též článek: Too many errors around coefficient C1 in asymptotic of sequence A002720, V. Kotěšovec, 28.9.2012

Pro sudé členy se mi podařilo nalézt rekurenci (Václav Kotěšovec, 27.8.2012)

Asymptotický průběh pro n sudé (for n even):Obě rekurence jde sloučit do jedné univerzální (Václav Kotěšovec, 28.8.2012)

nebo do trochu složitější, ale bez členu

2814.4) n Bishops on an n x n toroidal chessboard - n střelců na prstencové šachovnici n x n - A189790
Pokud ve vzorcích z kapitoly 4.3 dosadíme k=n, dostaneme pro rozmístění n neohrožujících se střelců na prstencové šachovnici n x n následující vzorce (počet n jesoučasně i maximálním rozmístitelným počtem neohrožujících se střelců na prstencové šachovnici)
Rekurence (V. Kotěšovec, 26.9.2012):
Exponenciální generační funkce (V. Kotěšovec, 26.9.2012):

Table[n!*SeriesCoefficient[1/(1-x)+x*ArcSin[x]/(1-x^2)^(3/2),{x,0,n}],{n,1,25}]

Pro šachovnici sudých rozměrů

Number of ways to place n non-attacking bishops on an n x n toroidal board (if n is even)(V. Kotěšovec, 26.4.2011)(v případě šachovnice sudých rozměrů je z předchozí sumy nenulový pouze člen při volbě i=n/2, což odpovídá polovině střelců na sudých a polovině na bílých polích šachovnice).

Pro šachovnici lichých rozměrů

Number of ways to place n non-attacking bishops on an n x n toroidal board (if n is odd)Ještě je zajímavé, že asymptoticky se oba případy odlišují (což je dost neobvyklé).

282Ještě zajímavější je případ, když ve vzorcích z kapitoly 4.3 dosadíme,. Potom dostaneme
A189791 - Number of ways to place n non-attacking bishops on an 2n x 2n toroidal board(V. Kotěšovec, 27.4.2011)

Sekvence součtů třetích mocnin binomických koeficientů je známá, viz OEIS A000172 a tato čísla se nazývají Franel numbers (J. Franel, Intermediaire desMathematiciens, 1894, p.45-47). Švýcarský matematik Jérôme Franel (1859-1939) ve svém článku odvodil rekurenci a zjistil, že sekvence roste s mocninou 8.
Přesnější asymptotický vzorec (Joe Keane, 2002)

Asymptotický vzorec pro naši sekvenci:nebo

Pro naši sekvenci platí rekurence
Table[2^n*n!*Sum[Binomial[n,i]^3,{i,0,n}],{n,1,20}]Franel objevil v roce 1895 ještě rekurenci pro p=4. Rekurence pro p=5 a p=6 našel až v roce 1987 M. A. Perlstadt. Rekurence pro p=7 až 10 vypočítal V. Kotěšovec v roce 2012.
Viz OEIS, p=1 A000079, p=2 A000984, p=3 A000172, p=4 A005260, p=5 A005261, p=6 A069865, p=7 A182421, p=8 A182422, p=9 A182446, p=10 A182447

Asymptotický průběh viz Graham, Knuth, Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed., 1994, exercise 9.18 (prostr. 490 a 593. Pro další zobecnění viz článek Asymptotic of a sums of powers of binomial coefficients * x^k, Václav Kotěšovec, 20.9.2012.
Na doplnění ještě uvádím elegantní obecný asymptotický vzorec (p>0):

Pro relativní váhu centrálního členu odtud dostaneme

),

283

5.1) k Knights on an n x n chessboard - k jezdců na šachovnici n x n
A172132 - 2 knights, board n x n: (E. Lucas, 1891)

A172134 - 3 knights, board n x n: (K. Fabel, 1966), n>=4

A172135 - 4 knights, board n x n: (K. Fabel, 1966), n>=6

A172136 - 5 knights, board n x n: (V. Kotěšovec, 25.1.2010), n>=8

A178499 - 6 knights, board n x n: (V. Kotěšovec, 28.5.2010), n>=10

284
První členy polynomu mají vždy tvar

Také v případě jezdců může být jejich počet větší než n (pro šachovnici 8x8 dokonce 32), obecně je tento maximální počet n2/2 (pro n>2 sudé) a (n2+1)/2 (pro n>1
liché), o čemž se stručně zmiňuje už Henry Dudeney, "Amusements in Mathematics" (1917), str.96. Nejrozsáhlejší pojednání o tomto problému jsem našel v článku„Some packing problems“, Francis Scheid, American Mathematical Monthly, 1960 (p.231-5). Viz též AMM 1964 (problem E1585, p.211) nebo Knights Problem
Odkazy na literaturu:
Edouard Lucas: Théorie des nombres (1891), vzorec pro počet rozmístění 2 neohrožujících se jezdců je na str.98 (zde jsou správně znaménka, ale vypadl znak "p"),Edouard Lucas: Récréations mathématiques (1894), vzorec najdeme na str.132 (ve vzorci je však tisková chyba, před členem p2 má být +, ne -. Správně má být tedy(p-1)(p3+p2-8p+16)/2)
Karl Fabel: Schach und Zahl, 1966 (str.60-62)

k
2

3

4

5
6

k Knights on an n x n chessboard - Generating function

285
n 1 knight 2 knights 3 knights

4 knights

5 knights

6 knights

A141243, summed over all k >= 0
2

1

1

2

4

6

4

1

3

9

28

36

18

2

0

94

4

16

96

276

412

340

170

1365

5

25

252

1360

4436

9386

13384

55213

6

36

550

4752

26133

97580

2573183368146

7

49

1056

13340

1110666494762774728394631712

8

64

1848

32084

3765603184708

20202298

101693175442

9

81

3016

68796

108094212472084

110018552

50929053498909

10

100

4662

1350402732909

41199404

481719518

48988729226134301

11

121

6900

2471526253408

119171110

1781124856

96325314726538906164

12

144

9856

427380 13204356

309957412

5756568738

375615195988659173454092

13

169

13668

705144 26100160

739123094

16676946372

2933480442104347575000834468

14

196

18486 1118416 48819677 1639655452

44127887910

45480806737377995771543610802659

15

225

24472 1715220 87137934 3422020324 108192675468 1422902021111889804120495149240353936

16

256

31800 2555252 149398608 6778432292 248568720338

?

17

289

40656 3711620 247349946 12833460256 539925974784

?

18

324

51238 5272704 397168485 23356032940 1116836380926

?

19

361

63756 7344136 620696612 41051290730 2212958151968

?

20

400

78432 10050900 946921684 69954580804 4220919779218?

16

Sloupec vpravo určuje součty přes všechna k (zahrnuje i případ k = 0, kdy je hodnota rovna 1). Hodnoty do n=13 jako první vypočetli v roce 2008 Max Alekseyev aR. H. Hardin. Hodnoty pro n=14 a n=15 vypočetl Hiroaki Yamanouchi 28-29.8.2014.

286

5.1.1) k semi-knights on an n x n chessboard - k semi-jezdců na šachovnici n x n
Semi-jezdec se pohybuje jako jezdec, ale jen po jedné ze čtyřech možných šikmých linií. Definujme jej tak, že jsou mu dostupná pouzepole se změnou souřadnic [2,1] a [-2,-1]. Moves of a semi-knight are allowed only in [2,1] and [-2,-1].
Počet šikmých linií na šachovnici n x n je 3n-2, viz obrázek v kapitole 6.1.1. Odtud systémem shodným jako pro šachovnici 1 x n (vizkapitola 2.1.1) odvodíme maximální počty nenapadajících se semi-jezdců na šachovnici n x n (viz následující strana).
Pro počty pozic neohrožujících se semi-jezdců platí tyto vzorce:
2 semi-knights, board n x n: (V. Kotěšovec, 27.10.2011)
3 semi-knights, board n x n: (V. Kotěšovec, 27.10.2011), n>=4
4 semi-knights, board n x n: (V. Kotěšovec, 27.10.2011), n>=6

5 semi-knights, board n x n: (V. Kotěšovec, 27.10.2011), n>=8

6 semi-knights, board n x n: (V. Kotěšovec, 28.10.2011), n>=10

Obecně mají tyto vzorce tvar

287

Maximal number of non-attacking semi-knights on an n x n chessboard is
if n is even
if n is odd
Nebo jedním vzorcem

Vytvořující funkce pro tato maxima

Poznámka: Na prstencové šachovnici n x n jsou explicitní vzorce pro počet pozic neohrožujících se k semi-jezdců identické jako pro k semi-vezírů, viz kap. 9.3.1. Je třeba siuvědomit, že počet nezávislých linií zde není 3n-2 (jako na normální šachovnici), ale je roven n. Pro všechny kameny těchto typů je proto úloha převedena na kombinaci n linií,každá délky n a počty takových pozic jsou proto shodné. Maximální počet neohrožujících se semi-jezdců na prstencové šachovnici n x n je.
Number of arrangements of k non-attacking semi-knights on an n x n toroidal chessboard is identical as number of arrangements of k non-attacking semi-wazirs, see chapter 9.3.1

288

k semi-knights on an n x n normal board
n 1 s-k. 2 s-k.
1

1

2

4

3 s-k. 4 semi-knights 5 semi-knights 6 semi-knights 7 semi-knights

8 semi-knights

9 semi-knights

10 semi-knights

A182562, summed over all k>=0
2

6

4

1

16

3

9

34

70

85

61

24

4

0

0

4

16

114

476

1289

2364

2972

2528

1392

448

64

11664

5

25

288

2027

9743

33864

87903

1735232627523055532713411458000

6

36

610

6468

48131

2672161148760

3917808

10774381

24159156

44491946

506250000

7

49

1146

17029

18055214542679250843

47700972

203072249

723322705

2176841904

414720000000

8

64

1974

39084

558245612867253807094

388094724

2344465830

12033488932

53055724786

869730877440000

9

81

3184

80931

149542121410927

247248926

2366766329

19155730384

133055587660

802352976614

5045702916833280000

10

100

4878

154692358614564794884

949988108

11619031016

120953360160

1088078615448

8559364525414

77297454895962562560000

11

121

7170

2773337874856

175034864

3171212534

48153095146

625339844030

7053029820048

69924324887044

3017525202366485003182080000

12

144 10186

47180416094807

431220368

9449801052

174172477192

2755567133309

38004924985056

462531778135212

307389127582207654481154908160000

13

169 14064

76829930990385

984350123

25641720994

563342712264

10653633425285

176147610644894

2577613558612579

83016370640108703579427655610531840000

14

196 18954

120563656740951

2107229180

64317674108 1659302235256

36930885385919

720275827337916 12461866532831728

58770343311359208383258439665073059266560000

15

225 25018

1832757

99505520

4270342304

150880800438 4513864593013 116711439710433 2649229378623982 53445681120139675

108309152714059856705924632902580076544000000000000

16

256 32430

2710348

168109281

8253534176

334089234316

?

?

?

?

17

289 41376

3912579274894637

8253534176

703460182578

?

?

?

? 6611097420248779567916888114481345783181816359840000000000000000

18

324 52054

5528964436761125

15305882207 1417097228988

?

?

?

?

19

361 64674

7666341676420256

27369111284 2744886008486

?

?

?

?

20

400 79458 10450972

1023892995

47383301768 5133820134668

?

?

?

?

3 s-k. 4 semi-knights 5 semi-knights 6 semi-knights 7 semi-knights

8 semi-knights

9 semi-knights

10 semi-knights

n 1 s-k. 2 s-k.

288522323582187350109896247821990489302500000000000000000000

for general formula see page 291

Poslední sloupec určuje celkový počet pozic k neohrožujících se semi-jezdců na šachovnici n x n pro všechna k >= 0. Pro tuto sekvenci i obecněji pro všechny semiskokany jsem odvodil vzorce, viz dále. Více hodnot dostaneme v programu Mathematica takto:
Table[If[EvenQ[n],Fibonacci[n/2+2]^(n+2)*Product[Fibonacci[j+2]^4,{j,1,n/2-1}],
Fibonacci[(n+1)/2+2]^((n+1)/2)*Fibonacci[(n-1)/2+2]^((n-1)/2)*Product[Fibonacci[j+2]^4,{j,1,(n-1)/2}]],{n,1,20}]

289
Number of ways to place n non-attacking semi-knights on an n x n chessboard is asymptotic (see chapter 13.1 for more)n n semi-knights, board n x n, A182563
1
1
2
6
3
70
4
1289
5
33864
6
1148760747700972
82344465830
9133055587660
108559364525414
11615266768106190
1248861588247978827
134247584874013608724
14401107335066453376830
1540880928693752664368224
16?
Hodnotu pro n=15 jsem vypočetl 6.1.2012 na počítači se 16 GB paměti RAM (výpočet trval přes 32 hodin a využilo se přes 10 GB RAM).
Bohužel pro tento případ nejde odvodit podobný vzorec jako pro součet přes všechna k a proto je zatím známo méně hodnot.

290

5.1.2) k non-attacking semi-leapers [r,s] on an n x n normal board, summed over all k>=0
V souladu s kapitolou 6.1.2 a diagramem na str. 756 můžeme pro tento účel šachovnici rozdělit našikmých linií. Podle kapitoly 2.1.1 víme, že nakaždou takovou linii skokana [r,s] můžeme umístit maximálně tolik neohrožujících se skokanů [r,s] jako na šachovnici 1 x d, kde d je počet polí na této linii. Početrůzných pozic neohrožujících se k skokanů (přes všechna k >= 0) na jedné linii s d poli je roven Fd+2, kde Fd jsou Fibonacciho čísla. Celkový počet konfigurací
neohrožujících se kamenů je pak roven součinu těchto dílčích počtů přes všechny linie.
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
6
6
6
6
6

1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
6
6
6
6
6

1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1
5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1Úloha však není úplně triviální hlavně proto, že jednotlivé linie jsou různě dlouhé. Na schématu jsou označena počáteční polejednotlivých linií pro případ r=2, s=3 (zebra) s příslušnými počty polí na těchto liniích. Pole jedné z linií jsou zvýrazněna.
On diagram are selected squares of one line with elementary steps [2,3] of the semi-leaper. If number of squares is d, thentotal number of positions of k semi-leapers (summed for all k>=0) on this line is Fd+2.
S využitím funkce celá část jsem odvodil analyticky pro celkový počet pozic vzoreckterý lze trochu zjednodušit a dostáváme tak (pro obecný případ) následující větu:Theorem (V. Kotěšovec, 3.5.2012)
Number of arrangements of k non-attacking semi-leapers [r,s] on normal chessboard n x n, summed over all k >= 0 is(for 0 < r < s, n > s2)

where Fn is Fibonacci number
Cílem je ale odvodit hlavně asymptotický vzorec a pro tento účel můžeme předpokládat, že r i s dělí n. Pak se vzorec velmi zjednoduší.
For 0 < r < s, n > s2 and rs|n291
Odtud po úpravách dostaneme hledaný asymptotický vzorec (= main result)
Asymptotic (V. Kotěšovec, 4.5.2012)

kde Fn jsou Fibonacciho čísla a C=1.226742010720353244... je Fibonacci Factorial Constant.
Tento vzorec platí dokonce i pro r = s, jak můžeme porovnat s výsledkem pro semi-fersy (r = 1, s = 1) a i pro r = 0, viz semi-wazirs (r = 0, s = 1) .
Speciálně je tím dokázáno, že pro všechny semi-leapery je(čímž dostáváme novou položku do rodiny tzv. entropy constants, viz str. 69)

Případ r = 1, s = 2 odpovídá semi-jezdcům. Přesné vzorce jsou následující
Theorem (V. Kotěšovec, 3.5.2012)
A182562 - Number of configurations of k non-attacking semi-knights on normal chessboard n x n, summed over all k >= 0 is
If n is even (pro n sudé)

If n is odd (pro n liché)

Asymptotic:

C=1.226742010720353244... je Fibonacci Factorial Constant292Ještě může být zajímavý maximální možný počet neohrožujících se semi-skokanů, který je možno umístit na šachovnici n x n. Vzorec vychází z maximálního počtu
kamenů na šachovnici 1 x d, odvozeném v kapitole 2.1.1., který je roven

Maximal number of non-attacking semi-leapers [r,s] on a n x n chessboard is

Asymptoticky je tento počet (bez ohledu na r, s) roven polovině šachovnice293

5.1.3) n Knights on an n x n chessboard - n jezdců na šachovnici n x n
Number of ways to place n non-attacking knights on an n x n chessboard is asymptotic (see chapter 13.1 for more)

Pravděpodobnost, že se při náhodném rozmístění n jezdců na šachovnici n x n nebudou ohrožovat, je asymptoticky 1/e4 = 0.0183156...

n n knights, board n x n, A201540
1
1
2
6
3
36
4
412
5
9386
6
257318788918548379978716
9
19206532478
101120204619108
1174113608972922
125483225594409823
13448414229054798028
1440154319792412218900
15?
Hodnotu pro n=11 vypočetl Alois P. Heinz 19.6.2014, hodnoty pro n=12 a n=13 Václav Kotěšovec 21.6.2014 a pro n=14 Václav Kotěšovec 26.8.2016 (na počítači se
128 GB RAM).

2945.2) k Knights on an k x n chessboard - k jezdců na šachovnici k x n
2 knights, board 2 x n: n>=2
A172212 - 3 knights, board 3 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=4

A172213 - 4 knights, board 4 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=6

A172214 - 5 knights, board 5 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=8

A172215 - 6 knights, board 6 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=10

A172217 - 7 knights, board 7 x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=12

A174698 - 8 knights, board 8 x n: (V. Kotěšovec, 27.3.2010), n>=14295
První členy těchto vzorců mají obecně tvarJiný možný zápis jekk Knights on an k x n chessboard - Generating function

2

3

4

5

6
7

x(252x^18-272x^17-5134x^16+14468x^15+19721x^14-132666x^13+174233x^12+119440x^11-540473x^10+654954x^9-89133x^893778x^7+497782x^6+56796x^5+119468x^4+26652x^3+1162x^2+70x+1)/(x-1)^8

8-x*(592x^21-584x^20-18100x^19+49628x^18+134264x^17-735838x^16+584418x^15+2607764x^14-7093608x^13+5656936x^12+5136811x^1113973779x^10+14583702x^9-1612610x^8+2009820x^7+6682287x^6+1572406x^5+1050447x^4+138871x^3+3716x^2+72x+1)/(x-1)^9296

n 2 knights 3 knights 4 knights

5 knights

6 knights

7 knights

8 knights

1

1

1

1

1

1

1

1

2

6

12

16

28

58

78

81

3

13

36

84

259

729

1758

4409

4

24

100

412

1968

8830

38588

175720

5

39

233

1416

9386

60285

3832462479881

6

58

456

3640

30842

257318213534417925691

7

81

796

7928

82738

858262889185492952858

8

108

1280

15384

192336240444830108310

379978716

9

139

1935

27352

4002775879329

86669806

1286959255

10

174

2788

45432

76398412927182

219845764

3765248749

11

213

3866

71480

136079726115008

504261973

9805497200

12

256

5196

107608229105649238436

1065642840

23226916560

13

303

6805

156184368122687675623

2104251027

50866495373

14

354

8720

2198325687022 148787822

3924818982

104288896551

15

409

10968

3014328496534 242366502

6973786593

202154535834

16

468

13576

404120 12333352 381127124 11884673662

373400685738

17

531

16571

531288 17459691 581249573 19532410762

661407061211

18

598

19980

686584 24179516 862965246 31097451768 1129334088897

19

669

23830

873912 32841667 1251190796 48140491605 1866838857216

20

744

28148 1097432 43842984 1776208532 72688612756 2998390521676

21

823

32961 1361560 57631432 2474393475 107333684073 4693423716457

22

906

38296 1670968 74709226 3388987070 155343835434 7178585300523

23

993

44180 2030584 95635956 4570917554 220788831789 10752346543734

24

1084

50640 2445592 121031712 6079666980 308680170138 15802269635646

25

1179

57703 2921432 151580209 7984184897 425126722984 22825234176903

297

5.2.1) k Knights on a 2 x n chessboard - k jezdců na šachovnici 2 x n
4
3
2
1
4
3
2
1

2
1
4
3
2
1
4
3

Analogicky jako v případě střelců (fersů) lze na šachovnici 2 x n umístit jezdce na celkem 4 nezávislé linie, označené v tabulce vlevo čísly 1 až 4.
Linie typu 1 a 3 mají (v tomto smyslu) délku, linie typu 2 a 4 mají délku .
V souladu s výsledky z kapitoly 2.1.1 je tak maximální počet neohrožujících se jezdců, kteří se vejdou na šachovnici 2xn (viz tabulka vpravo)
A201629 - Maximal number of non-attacking knights is

Jiné možné vyjádření tohoto maxima je

Počet pozic neohrožujících se k jezdců na šachovnici 2 x n složíme ze všech možných partition takto:

kdeNěkolik prvních polynomů:2 knights, board 2 x n: n>=2
3 knights, board 2 x n: n>=4

4 knights, board 2 x n: n>=6
5 knights, board 2 x n: n>=8

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

max
2
4
4
4
6
8
8
8
10
12
12
12
14
16
16
16
18
20
20
20
22
24
24
24
26
28
28
28
30
32

298
6 knights, board 2 x n: n>=10

7 knights, board 2 x n: n>=12

8 knights, board 2 x n: n>=14

9 knights, board 2 x n: n>=16

Obecně, vzorce platí pro n>=2k-2, pro lichá k mají polynomy reálný kořen
k-1, všechny ostatní kořeny jsou komplexní.
Vypočítal jsem kořeny všech polynomů až do k<=70, v grafu jsou
zobrazeny jako body v komplexní rovině.
Pro kořeny z platí

299
První členy vzorců mají tvar:

Pokud budeme analyzovat u každého členu koeficient u nejvyšší mocniny, zjistíme, že předchozí vzorec se dá zapsat i jako nekonečná suma

Sečtením této řady dostaneme (pro konstantní k) asymptotický rozvoj

300
Sums over all k >= 0. Zajímavé jsou součty přes všechna k>=0 (poslední sloupec v tabulce na další straně), A189145(n+2) = Number of n x 2 array permutations
with each element making zero or one knight moves
Recurrence: (R. H. Hardin, 17.4.2011)
Generating function: (R. J. Mathar, 15.10.2011)(modified for shifted sequence)

Explicit formula (V. Kotěšovec, 6.11.2011)

kde Fn jsou Fibonacci a Ln Lucas numbersnebo

V programu Mathematica
FullSimplify[Table[
LucasL[2n+8]/25-(3*Fibonacci[n+3]+Fibonacci[n+2])*(2*Cos[(Pi*n)/2]+Sin[(Pi*n)/2])*2/25+7*(-1)^n/50+1/10,{n,1,20}]]

301

k non-attacking knights normal board 2 x n
n 1 knight 2 knights 3 knights 4 knights 5 knights 6 knights 7 knights 8 knights 9 knights 10 knights 11 knights 12 knights 13 knights 14 knights 15 knights 16 knights summed over all k >= 0
1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

2

4

6

4

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

16

3

6

13

12

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

36

4

8

24

32

16

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

81

5

10

39

74

69

28

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

225

6

12

58

144

195

144

58

12

1

0

0

0

0

0

0

0

0

625

7

14

81

250

444

458

265

78

9

0

0

0

0

0

0

0

0

1600

8

16

108

400

886

1200

972

432

81

0

0

0

0

0

0

0

0

4096

9

18

139

602

1605

2722

2930

1934

724

132

9

0

0

0

0

0

0

10816

10

20

174

864

2701

5532

7490

6612

3678

1228

236

24

1

0

0

0

0

28561

11

22

213

1194

4290

10332

16949

18868

13952

6576

1844

272

16

0

0

0

0

74529

12

24

256

1600

6504

18048

34912

47232

44176

27776

11136

2560

256

0

0

0

0

194481

13

26

303

2090

9491

29862

66718

106724121693

97284

52848

18512

3828

400

16

0

0

509796

14

28

354

2672

13415

47244

119938222112300231293464203374

96780

30194

5828

660

40

1

1336336

15

30

409

3354

18456

71984

204935432126677737787200668581406086170446

46970

7860

700

25

3496900

16

32

468

4144

24810

106224335488794752 1422051 1920560

1942720

1449600

778650290000

70500

10000

625

9150625

17

34

531

5050

32689

152490529480 1393744 2806620 4332536

510610545478723009481144196648159610587013985

23961025

18

36

598

6080

42321

213724809650 2346480 5258620 9151024 12349128 12839556 10162747

6012264258901478198415755162742241

19

38

669

7242

53950

293316 1204409 3813290 9422100 18274520 27844556 33205274 30735718 21789612 11602913

4515158

1235459164249856

20

40

744

8544

67836

395136 1748720 6008384 16239030 34772240 59134976 79743360 84797100 70421184 45018000 21704896

7670161

429981696

n 1 knight 2 knights 3 knights 4 knights 5 knights 6 knights 7 knights 8 knights 9 knights 10 knights 11 knights 12 knights 13 knights 14 knights 15 knights 16 knights

A189145(n+2)

302

5.2.2) k Knights on a 2 x n horizontal cylinder - k jezdců na horizontálním válci 2 x n

4
3
2
1
4
3
2
1

2
1
4
3
2
1
4
3

1
4
3
2
1
4
3
2
1

3
2
1
4
3
2
1
4
3

2
1
4
3
2
1
4
3
2
1

4
3
2
1
4
3
2
1
4
3

3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1

1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3

Možné nezávislé linie označíme podobně jako na normální šachovnici 2xn čísly 1 až 4. Nahorizontální válcové šachovnici je však rozdíl v tom, že linie vytvářejí cykly a to v závislosti na
tom jaký zbytek dává číslo n po dělení 4, viz tabulka vpravo. Pokud je n dělitelné 4, dostáváme
4 různé cykly délky n/2. Pokud dává zbytek 1 nebo 3, dostáváme 1 cyklus délky 2n přes všechna
pole. Pokud je zbytek 2, dostáváme 2 cykly délky n přes polovinu polí šachovnice.
Jelikož se (podle výsledků z kapitoly 2.5.1) na jednu cyklickou linii délky d vejde maximálně
neohrožujících se kamenů, dostáváme ale pro všechny případy shodný výsledek:

start of line
end of line (cycle)
1
1
4
3
2
2
2
1
4
3
3
3
2
1
4
4
4
3
2
1
mod(n,4)012
3
cycles4x1 1x4 2x2 1x4

Maximální počet neohrožujících se jezdců na horizontální válcové šachovnici 2 x n je n.
Maximal number of non-attacking knights on a 2 x n horizontal cylinder is n.

Pro počet pozic neohrožujících se jezdců na horizontální válcové šachovnici 2 x n platí vzorec (kromě několika počátečních členů je shodný jako pro ferse)
Number of ways to place k non-attacking knights on a 2 x n horizontal cylinder, forNěkolik prvních polynomů:2 knights, cylinder 2 x n: n>=5
3 knights, cylinder 2 x n: n>=5
4 knights, cylinder 2 x n: n>=95 knights, cylinder 2 x n: n>=9

6 knights, cylinder 2 x n: n>=13

303
7 knights, cylinder 2 x n: n>=13

8 knights, cylinder 2 x n: n>=17

9 knights, cylinder 2 x n: n>=17

Asymptotický rozvoj těchto polynomů (při konstantním k) je

První členy jsou shodné jako pro normální šachovnici 2 x n, liší se až kvadratický člen.
Součty (v posledním sloupci tabulky na další straně) se liší podle toho jestli je n dělitelné 4.
Pokud n není dělitelné 4 jsou výsledky shodné jako pro ferse na válci 2 x n.
A201222 - summed over all k >= 0
(V. Kotěšovec, 5.11.2011)
If mod(n,4) <> 0

If mod(n,4) = 0

kde Ln jsou Lucas numbers.
V programu Mathematica:
Table[If[Mod[n,4]==0,LucasL[n/2]^4,LucasL[2n]+1+(-1)^n],{n,1,50}]

304

k non-attacking knights horizontal cylinder 2 x n
n 1 knight 2 knights 3 knights 4 knights 5 knights 6 knights 7 knights 8 knights 9 knights 10 knights A201222, summed over all k >= 0
1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2

4

4

0

0

0

0

0

0

0

0

9

3

6

9

2

0

0

0

0

0

0

0

18

4

8

24

32

16

0

0

0

0

0

0

81

5

10

35

50

25

2

0

0

0

0

0

123

6

12

54

112

105

36

4

0

0

0

0

324

7

14

77

210

294

196

49

2

0

0

0

843

8

16

104

352

664

704

416

128

16

0

0

2401

9

18

135

546

1287

1782

1386

540

81

2

0

5778

10

20

170

800

2275

4004

4290

2640

825

100

4

15129

11

22

209

1122

3740

8008

11011

9438

4719

1210

121

39603

12

24

252

1520

5814

14688

24756

27504

19521

8456

2136

104976

13

26

299

2002

8645

25194

50388

68952

63206

37180

13013

271443

14

28

350

2576

12397

40964

94962

15504017635813613668068

710649

15

30

405

3250

17250

63756

168245319770436050419900277134

1860498

16

32

464

4032

23400

95680

283360615296980632 1137024

9409924879681

17

34

527

4930

31059

139230457470 1118260 2042975 2778446

2778446

12752043

18

36

594

5952

40455

197316712530 1937520 3996135 6249100

735471033385284

19

38

665

7106

51832

273296 1076103 3223350 7413705 13123110 17809935

87403803

20

40

740

8400

65450

371008 1582240 5178240 13147875 26013000 40060024

228886641

n 1 knight 2 knights 3 knights 4 knights 5 knights 6 knights 7 knights 8 knights 9 knights 10 knights

see previous page3055.3) k Knights on an n x n cylindrical chessboard - k jezdců na válcové šachovnici n x n
Válcová šachovnice (vertical cylinder, Vertikalzylinder) je šachovnice stočená do válce tak, aby okrajové sloupce byly vedle sebe. Vertical cylinder - board with aand h- files alongside one another.
A172964 - 2 knights, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=5

A172965 - 3 knights, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=6

A172966 - 4 knights, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=9A172967 - 5 knights, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=10

První členy polynomu mají vždy tvar

Počet pozic na válcové šachovnici n x n je vždy dělitelný n (to odpovídá tomu, že každou pozici je možno libovolně posunout doleva nebo doprava aniž by se nějak
změnilo vzájemné napadání kamenů.)

306

k

k Knights on an n x n cylindrical chessboard - Generating function

2

3

4
5

-x^4*(468x^16-7964x^15+57164x^14-238936x^13+664383x^12-1323653x^11+1986964x^10-2334676x^9+2209082x^8-1718662x^7+1118210x^6595746x^5+216519x^4-38229x^3+34186x^2+922x+208)/(x-1)^11

307

k knights / cylindrical board
n 1 knight 2 knights 3 knights

4 knights

5 knights A182407, summed over all k >= 0

1

1

2

4

4

0

0

3

9

18

6

0

0

34

4

16

92

240

306

208

982

5

25

230

1010

2365

3210

11284

6

36

522

4056

19047

58056

1048768

7

49

1022

12068

90503

45815748027971

8

64

1808

30000

3283242524176

23807996588

9

81

2970

65628

98169310587591

3430123782371

10

100

4610

1304802547955

36576380

8141109957322587

11

121

6842

2408565933257

109008735

4098570575535958632

12

144

9792

418968 12681288

289450344

46676507893324203092812

13

169

13598

694200 25284363

700477401

77374614378004006943995980

14

196

18410 1104488 47595023 1570789892

?

15

225

24390 1697820 85357395 3304892985

?

16

256

31712 2533856 146879312 6586928032

?

17

289

40562 3685668 243867873 12530769343

?

18

324

51138 5241600 392452803 22891446252?

2
9Poznámka: Z matematického pohledu je zajímavější prstencová šachovnice než válcová (z šachového pohledu je to asi obráceně). V případě dam, věží nebo střelců
jsou výsledky pro prstencovou šachovnici shodné jako pro válcovou šachovnici. V případě bodových kamenů (např. jezdců) to ale neplatí.
For queens, rooks and bishops are results for toroidal and cylindrical chessboard same, but for leapers (for example knights) are results different.

3085.4) k Knights on an n x n toroidal chessboard - k jezdců na prstencové šachovnici n x nPrstencová šachovnice je kombinace vertikální a horizontální válcové šachovnice. Toroidal chessboard (anchor-ring) = board on which the a- and h-files are joined
and the bottom and top ranks are also joined. The anchor-ring is a combination of the vertical and horizontal cylinders.
A172529 - 2 knights, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=5

A172530 - 3 knights, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=6

A172531 - 4 knights, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=9A172532 - 5 knights, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=10

A172533 - 6 knights, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 31.1.2010), n>=13

A173436 - 7 knights, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 18.2.2010), n>=14

309
První členy polynomu mají vždy tvar

Počet pozic na prstencové šachovnici n x n je vždy dělitelný n2 (to odpovídá tomu, že každou pozici je možno libovolně posunout ve směru obou os x nebo y aniž byse nějak změnilo vzájemné napadání kamenů). V případě bodových kamenů se se zvětšujícím se n zmenšuje rozdíl mezi normální a prstencovou šachovnicí, naopakv případě liniových kamenů tento rozdíl zůstává.

kk Knights on an n x n toroidal chessboard - Generating function

2

3

4
5

-2x^4*(648x^16-10328x^15+71820x^14-295572x^13+818512x^12-1640088x^11+2492742x^10-2967118x^9+2825821x^8-2185007x^7+1376780x^6677852x^5+219349x^4-32023x^3+18016x^2-644x+64)/(x-1)^11

6

4x^4*(240x^21-3120x^20+20470x^19-105106x^18+512024x^17-2216597x^16+7650408x^15-20251702x^14+41149629x^13-64905350x^12+80399423x^1178967736x^10+61875645x^9-38631940x^8+19002633x^7-7392461x^6+2560624x^5-840251x^4-8486x^3-14835x^2+182x-14)/(x-1)^13

7-4x^4*(2535x^24-61497x^23+627330x^22-3849410x^21+16791330x^20-58053150x^19+170691269x^18-438580125x^17+976505385x^161844050487x^15+2900976825x^14-3760563305x^13+3991133690x^12-3450574470x^11+2418714751x^10-1370750375x^9+628081926x^8228075638x^7+56855445x^6-6423333x^5+4868490x^4+36682x^3+20508x^2-60x+4)/(x-1)^15

310
k knights / toroidal board
n 1 knight 2 knights 3 knights

4 knights

5 knights

6 knights

7 knights A182408, summed over all k >= 0

1

1

2

4

2

0

0

3

9

18

6

0

0

0

0

34

4

16

88

208

228

128

56

16

743

5

25

200

600

600

120

0

0

1546

6

36

486

3252

12357

30312

54972

80352

598078

7

49

980

10584

68796

28390676459613592886027057

8

64

1760

27584

2758881872064

897289631404480

10163241031

9

81

2916

61992

872532864318662560728

339256836

242407820869

10

100

4550

1253002344025

31702920

322246800

2527519400

?

11

121

6776

233772558076298179400

1323868260

14053530964

?

12

144

9720

409584 12107196

267487920

4595943336

63100177488

?

13

169

13520

682084 24392446

659015500

14000143196

240356217660

?

14

196

18326 1089172 46261537 1496908840

38413461800

803630856504

?

15

225

24300 1678800 83426400 3179369070

96746410800

2416671974700

?

16

256

31616 2510592 144157632 6382030592 226834407552

6655251717376

?

17

289

40460 3657584 240119696 12207535134 500492572112 17015566051020

?

18

324

51030 5208084 387393921 22396355496 1048044384360 40822003107000

?

19

361

63536 7267652 607715342 39617305308 2096986629308 92679987456312

?

20

400

78200 9961200 929951100 67860021680 4031211268200 200490192134800

?

2
7

311
Zajímavé je porovnání pro normální, válcovou a prstencovou šachovnici.
Komplexní kořeny polynomů.
Pro všechny 3 případy jsou známy vzorce pro 5 jezdců.

Při shodném barevném značení představuje další graf hodnoty příslušných
entropy konstant, tedy výrazy

Domnívám se, že limitní hodnota bude pro všechny typy šachovnic stejná.

312

6.1) k Nightriders on an n x n chessboard - k tátošů na šachovnici n x nTátoš je liniový kámen s jednotkovým tahem jezdce. Na diagramu se označuje symbolem jezdce otočeným o 180°. Tátoše vynalezl T. R. Dawson 29.11.1924 a prvníúlohy publikoval v British Chess Magazine 1925 a v Die Schwalbe 5/1925 (viz článek "Der Nachtreiter und seine dreifachen Abenteuer", str.45).
Nightrider is a rider [1,2]. Wikipedia:"One of the most popular fairy chess riders is the nightrider, which can make an unlimited number of knight moves (that is,[1,2] cells) in any direction (though, like other riders, it cannot change direction half-way through its move)."

A172141 - 2 nightriders, board n x n: (C. Poisson, Rex Multiplex 29/1990, p.829)
pro n sudé (even)pro n liché (odd)nebo jedním vzorcem:

A173429 - 3 nightriders, board n x n: (V. Kotěšovec, 18.2.2010)
Najít obecný vzorec bylo vzhledem k velké periodě 60 poměrně obtížné.

313
Výše uvedený vzorec pro 3 tátoše lze zapsat také ve formě tabulky takto:

Konstanty Cn a Dn se opakují s periodou 60, tedy podle zbytku n při dělení 60, kde n je rozměr šachovnice n x n. Existuje tak 60 různých vzorců podle toho, zda je
n tvaru 60a, 60a+1, ... , 60a+59 (kde a je celé nezáporné číslo). Konstanta Cn má kratší periodu 10.
n MOD 60

Cn

Dn

20

44/3

-4/9

41

1379/75 75091/7200

0

44/3

0

21

1379/75

8699/800421196/75

617/5011379/75 75091/7200

221196/75

5353/450431451/75 84307/7200

21196/75

5353/45023

1451/75 84307/7200

441244/75

1412/2253

1451/75

9723/80024

1244/75

168/25

45

59/3

51/32

4

1244/75

1412/22525

59/3

331/28846

1244/75 -1559/450

5

59/3

331/28826

1244/75 -1559/450

471451/75 -44717/7200

61244/75-151/5027

1451/75 -4613/800

48

1196/7571451/75 -44717/7200

28

1196/75 -2044/225

49

1379/75 -35501/7200

81196/75 -2044/225

29

1379/75 -35501/7200

50

44/3

1/18

9

1379/75 -3589/800

30

51

1379/75

8699/800
2564/225

10

44/3

1/18

44/3

1/2

31

1379/75 75091/7200

52

1196/75-216/2511

1379/75 75091/7200

32

1196/75

2564/22553

1451/75 84307/7200

121196/7533

1451/75

9723/80054

1244/75

361/50131451/75 84307/7200

341244/75

3049/45055

59/3

331/288141244/75

3049/45035

59/3

331/28856

1244/75-892/225

15

59/3

51/32

36

1244/75-88/25571451/75 -4613/800

161244/75-892/22537

1451/75 -44717/7200

58

1196/75 -3863/450

171451/75 -44717/7200

38

1196/75 -3863/450

591379/75 -35501/7200

181196/7539

1379/75 -3589/800

191379/75 -35501/7200

296/25-407/50

40

44/3

-4/9

314
Graf znázorňuje periody pro Cn (fialový graf nahoře) a Dn (zelený graf)
Zatímco v případě Cn je 6 částí shodných (perioda 10), části grafu pro Dn jsou
sice podobné, ale ne zcela identické a nejmenší perioda je až 60.

Cn, Dn periods

Z výše uvedeného obecného vzorce vyplývají vzorce pro:

315
Na doplnění uvádím ještě jinou variantu vzorce pro počet rozmístění 3 neohrožujících se tátošů na šachovnici n x n, která neobsahuje součiny trigonometrických
funkcí, má ale více členů než vzorec na str. 312 (same formula for 3 Nightriders on a n x n chessboard in different format).

Alternative formula (with Floor function) (V. Kotěšovec, 7.12.2010):

k Nightriders on an n x n chessboardkGenerating functionan = 3an-1- an-2 - 5an-3 + 5an-4 + an-5 - 3an-6 + an-7

2

3

Recurrence- (36x^30 + 124x^29 + 496x^28 + 1128x^27 + 2632x^26 + 4280x^25 + 7160x^24 + 9296x^23 + 12936x^22+ 14828x^21 + 18828x^20 + 20164x^19 + 23820x^18 + 23684x^17 + 25460x^16 + 22972x^15 +
22412x^14 + 18532x^13 + 16820x^12 + 12996x^11 + 10912x^10 + 7552x^9 + 5428x^8 + 3012x^7 +1652x^6 + 604x^5 + 204x^4 + 28x^3 + 4x^2) /((x+1)^4*(x-1)^7*(x^2+1)*(x^2+x+1)* (x^4-x^3+x^2-x+1)^2*(x^4+x^3+x^2+x+1)^2)
Denominátor pro k=3 v řeči cyklotomických polynomů: C1(x)7 C2(x)4 C3(x) C4(x) C5(x)2 C10(x)2an = 2an-1 - an-3 - 2an-5 + 2an-6 + an-8 -3an-11 +2an-13 + 4an-15 - 4an-16 - 2an-18 + 3an-20 - an-23 2an-25 + 2an-26 + an-28-2an-30 + an-31

316
n 2 nightriders

3 nightriders

4 nightriders

1

29334544

83876732

14901856642

30

383830103365728

19763006661

2

6

4

1

31

438340126463668

25947796192

3

28

36

18

32

498496153745412

33779182556

4

96

276

412

33

564608185732188

43590211584

5

240

1152

3046

34

637126223122948

55829979313

6

518

3920

17365

35

716380266547472

70956669486

7

980

10568

68540

36

802848316845560

89582262248

8

1712

25348

23216437896880374769664

112325177234

9

2784

53848

655852

38

998982441318188

140004466369

10

4310

1062921680033

39

1109524517381252

173440817244

11

6380

194732385594640

1229040

604134684

213712999188

12

9136

3394168279704411357920702622052

261893660420

13

12688

56265216532026

421496726

814216544

319383471333

14

17206

89979631456369

43

1645868

940132020

387565706626

15

22820

138800856832396

44

18059361081959860

468235451500

16

29728

2083908

99009508

45

1977360

1241101728

563154624642

17

38080

3044992165941072

46

2160758

1419389236

674597104817

18

48102

4356344270328605

472356580

1618430292

804782203204

19

59964

6102144427383994

48

2565472

1840319784

956559747776

20

73920

8404204

660479212

492787904

2086891176

1132696905700

21

90160

11380564

996624154

503024550

2360526732

1336730709817

2210896615199100

1476091049

51

3275900

2663305556

1572079231182

23130548

20019856

2144134416

52

35426562997922516

1843093512724

24

15521626067112

3066551576

533825328

3366723560

2153960135830

25

18320033551812

4315580852

5441246463772742240

2509987286045

26

21483842766092

5994143473

55

44411404218613152

2916262205396

27

25038053981600

8213049038

564775568

4707735876

3379211983828

2829019267570804

11127498228

57

51284805243056424

3904973325484

317
58

55006625828368716

4501273430281

80

20062880 41071675484 61765141163540

59

5892684

6466953812

5175464989786

8121090240 44283082684 68321269626052

60

6305360

7163029360

5936777767736

82

22156646 47701627220 75480195460457

6167392807920235852

6793965666698

83

23262908 51336767992 83285300290326

6271952868743245188

7757986492521

84

24410176 55200483576 91789690203232

63

76739889636082848

8839202110224

85

25599280 59302953672 101042424542718

648176256 10603906308 10050547464348

86

26831398 63657058652 111103473874721

65

8702720 11651152152 11404220038404

87

28107380 68273734740 122028154836492

66

9254278 12783496072 12915407974749

88

29428432 73166808260 133883994646588

679831580 14005812832 14598395786766

8930795424 78348008556 146733190163536

6810435552 15324329940 16470928446364

90

32209590 83832153128 160651568617213

69

11066864 16744388300 18549653991518

9133671820 89631801732 175708874084430

7011726470 18272801892 20855207572681

9235183376 95762809460 191990031722652

7112415060 19915406448 23406903212928

9336745168 102238605096 209573050965542

7213133616 21679638248 26228631686072

9438358486 109076128388 228552805830937

73

13882848 23571857756 29342705362144

9540024260 116289716172 249016335428616

74

14663766 25600160124 32776668245393

9641743808 123897441384 271069375291800

75

15477100 27771460968 36556191741402

97

43518080 131914588952 294808811705460

76

16323888 30094552244 40712907563420

98

45348422 140360414436 320352214454665

7717204880 32576936124 45276239113838

99

47235804 149251191772 347807188908174

78

18121142 35228140248 50282377368653

100

49181600 158607409644 377304175866020

79

19073444 38056285612 55764924209252

Obecně pro k neohrožujících se tátošů na normální šachovnici n x n je z hlediska asymptotického chování odhadnutelný průběh

For maximal number of non-attacking nightriders on an n x n chessboard, see chapter 14

318

O 4 tátoších na normální šachovnici n x n / About 4 nightriders on an n x n chessboard
Vzorec pro 4 tátoše bude mnohem komplikovanější než pro 3 tátoše. Optimalizovaným programem se mi sice podařilo vypočítat celkem 120 hodnot, ale pro nalezenívzorce je to stále málo (odhadem by bylo třeba znát přes 300 hodnot!).
Asymptotický průběh je

Pokusil jsem se alespoň určit tvar denominátoru. Použil jsem k tomu podobnou metodu jako při hledání denominátoru pro
7 dam (similar method as for seven queens), viz str. 27. Program hledal jen takové kombinace čtyř ohrožujících se tátošů, kdena žádné linii nestojí více než 2 tátoši. Každý nově postavený tátoš napadá jen předchozího tátoše a žádného jiného. Bohužel
touto metodou (dávající až na exponenty shodný tvar denominátoru jako kompletní vzorec) bylo možné (v čase desítek hodin)vypočítat jen 180 hodnot, což stále nestačilo. Přidal jsem proto podmínku, že první tátoš je zafixován na poli A1. Při této
podmínce sice už možné konfigurace nepokrývají na normální šachovnici úplně všechny existující konfigurace (pro přesnostje třeba poznamenat, že na prstencové šachovnici by ještě pokrývaly), ale jsou podmnožinou těchto konfigurací. Jinými slovy,
pokud najdeme denominátor pro tuto pomocnou posloupnost, všechny jeho členy budou i součástí denominátoru vytvořující
funkce pro rozmístění 4 neohrožujících se tátošů na normální šachovnici n x n.
Podařilo se mi vypočítat celkem 370 členů této pomocné posloupnosti a při hledání lineární rekurence jsem byl tentokrát užúspěšný a našel v této posloupnosti rekurenci hloubky 231 a z ní už snadno odvodil vytvořující funkci. Její denominátor mátvar:(x - 1)^4 * (x + 1)^3 * (x^2 + x + 1)^2 * (x^2 + 1)^2 * (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 * (x^2 - x + 1) * (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) * (x^4 + 1)^2 * (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)^2 * (x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 +x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) * (x^4 - x^2 + 1) * (x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) * (x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) * (x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) * (x^8 +1) * (x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) * (x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1) * (x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) * (x^22 +x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) * (x^20 + x^15 + x^10 + x^5 + 1) * (x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) * (x^12 - x^10 + x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1) * (x^16 - x^12 + x^8 - x^4 + 1) * (x^20 - x^15 + x^10 - x^5 + 1)

V řeči cyklotomických polynomů lze zapsat jako:Některé členy v tomto denominátoru se daly očekávat, ale poměrně překvapující jsou zde cyklotomické polynomy řádu 7, 11, 13, 17 a zejména 23. Nalezeníkompletního denominátoru pro původní problém umožní až rychlejší počítače, nyní je pouze zřejmé, že jeho stupeň d buded > 231
a bude dělitelný výše uvedeným polynomem.
period >= LCM(1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,16,17,20,22,23,25,26,28,40,50) = 469669200

319

6.1.1) k semi-nightriders on an n x n chessboard - k semi-tátošů na šachovnici n x n
Podobně jako v případě střelců (viz semi-bishops), jsou z matematického hlediska zajímavé kameny, které se mohou pohybovat jen
po jedné z tátošových linií (všechny ve směru [1,2]). Moves of semi-nightrider are allowed only in one [1,2] line. Pro počet pozic
k neohrožujících se semi-tátošů na šachovnici n x n jsem odvodil vytvořující funkci, ve které koeficient polynomu u členu x3n-2-k
určuje příslušný počet pozic. Systém je zřejmý z diagramu. Funkce se liší pro šachovnice sudých a lichých rozměrů.
Pro sudá n je tato funkce (generating function if n is even)

Pro lichá n pak (generating function if n is odd)

Z těchto funkcí jsem odvodil (s užitím binomické věty) i explicitní vzorce vyjádřené pomocí Stirlingových čísel prvního druhu.
Number of ways to place k non-attacking semi-nightriders on an n x n chessboard, explicit formula (V. Kotěšovec, 2.6.2011), S1 = Stirling numbers of the first kindfor n evenfor n odd, n>1

V programu Mathematica (pro n>1):
semin[k_,n_]:=(If[EvenQ[n],Sum[(-1)^v*Binomial[n-2,k-2n+v]*(n/2)^(k-2n+v)*Sum[(Sum[StirlingS1[n/2+1,i+1]*StirlingS1[n/2+1,j-i+1],{i,0,j}])*(Sum[StirlingS1[n/2+1,i+1]*StirlingS1[n/2+1,v-j-i+1],{i,0,v-j}]),{j,0,v}],{v,0,3n-2-k}],
Sum[(-1)^v*Sum[Binomial[(n-1)/2,i]*((n-1)/2)^((n-1)/2-i)*Binomial[(n+1)/2,3n-2-k-v-i]*((n+1)/2)^(k+v+i-5*(n-1)/2),{i,0,3n-2-k-v}]*Sum[(Sum[StirlingS1[(n+1)/2,i+1]*StirlingS1[(n+1)/2,j-i+1],{i,0,j}])*(Sum[StirlingS1[(n+1)/2,i+1]*StirlingS1[(n+1)/2,v-j-i+1],{i,0,v-j}]),{j,0,v}],{v,0,3n-2-k}]]);.

320
Na normální šachovnici n x n se vejde maximálně 3n-2 semi-tátošů (viz též str. 756). Nejzajímavější případy jsou k=n, k=2n a k=3n-2. Pro všechny jsem analyzoval
asymptotické chování. Pro poslední případ jde navíc explicitní vzorec vyjádřit v mnohem jednodušším tvaru.
Number of ways to placen non-attacking semi-nightriders on an n x n chessboardnqbq = 5.825866180391528311654...
b = 0.203477644935953923624...

1000
2000
3000
4000
5000

5.825868659
5.825866801
5.825866456
5.825866335
5.825866279

0.203304
0.203390
0.203419
0.203434
0.203442

Number of ways to place
2n non-attacking semi-nightriders on an n x n chessboard
n
q
b
1000

1.09181099

0.298561

2000

1.09180914

0.299237

Number of ways to place 3n-2 non-attacking semi-nightriders on an n x nchessboard (V. Kotěšovec, 16.5.2011)
If n is even:

If n is odd:

Asymptotic:

q = 1.0918085210481484762019... 3000 1.09180879 0.299464
b = 0.2999180080249988219872... 4000 1.09180867 0.299577

Následující program generuje tabulky hodnot (výpočet přes vytvořující funkci je efektivnější, i když může být paměťově náročnější).
(* Number of ways to place k non-attacking semi-nightriders on an n x n chessboard *)semitatos[k_,n_]:=(Coefficient[Expand[If[EvenQ[n],(x+n/2)^(n-2)*Product[x+i,{i,1,n/2}]^4,(x+(n-1)/2)^((n-1)/2)*(x+(n+1)/2)^((n+1)/2)*Product[x+i,{i,1,(n-1)/2}]^4],x],x,3n-2-k]);
Table[semitatos[n,n],{n,1,20}]
Table[semitatos[2n,n],{n,1,20}]
Table[semitatos[3n-2,n],{n,1,20}]Ještě je možno poznamenat, že na prstencové i válcové šachovnici n x n je maximální počet neohrožujících se semi-tátošů roven n a počet takových pozic je roven nn

321
Pro konstantní k (na normální šachovnici) dostáváme polynomy v n(V. Kotěšovec, 2.6.2011)

První polynom má vždy stupeň 2k, polynom u (-1)n má (pro k >1) stupeň 2k-3.

322
Polynomy mají obecně tvar
Pro n sudé (for n even)

Pro n liché (for n odd)

Obecný rozvoj je (první členy jsou shodné pro n sudé i liché)

Asymptoticky (při konstantním k)

323

324
Number of ways to place k non-attacking semi-nightriders on an n x n chessboard
n 1 semiN 2 semiN

3 semiN

4 semiN

5 semiN6 semiN

7 semiN

8 semi-nightriders

summed over all k>=0

1

1

2

2

4

6

4

1

3

9

34

70

85

4

16

114

476

1289

2364

2972

2528

1392

11664

5

25

285

1961

9083

29895

71903

127907168216746496

6

36

602

6204

44079

2288168971882708856

6360703

84934656

7

49

1127

16167

162106

12066746912142

31166222

112194901

13271040000

8

64

1940

37040

4996865064528

40031996

252839600

1296911761

3240000000000

16
61

24

4

0

288

9

81

3126

76486

133190717565771

182292516

1526799036

10502756967

1007769600000000

10

100

4790

146300319982153357640

705194080

7581326800

67519065506

451377585192960000

11

121

7040

2622607027636144272612

2359873936

31579876400

352287645886

245852414446141440000

12

144

10006

44684414411047

357577836

7101297304

115936694136

1586070588415

182264691956215357440000

13

169

13819

72829527804036

819330408

19391685100

378711643516

6222410064286

159198985116768408698880000

14

196

18634

114483651092475

1765198344

49133628820

1132197363640

22025651581801

181619274981329807458959360000

15

225

24605

174246189834199

3593853095

116119096243

3114185356083

70706103699050

238589912669176770955491409920000

16

256

31912

2581184 152304860

6988455488

259567836776

8021283808832

210371301204902

396686356416148108710840851496960000

17

289

40732

3730972 249729082 13021339210

550616605692

19409391569868

581853146142327

746435364257082364196290560000000000000

18

324

51270

5280660 398069337 23414324400 1118805806048

44644902429600 1517879370793428

1734012131277275136000000000000000000000000

19

361

63726

7331346 618117063 40720126431 2182341789476

97821265154696 3741744607810929

4497580891222363766473202073600000000000000000

20

400

78330 10008700 938404117 68836094460 4113406762340 205868630790800 8805195256864578 14115335495610391593065059106995459168665600000000

Poslední sloupec určuje součet počtu pozic přes všechna k>=0. Pro tuto posloupnost jsem odvodil vzorce, závislé na tom, jestli je n sudé nebo liché.
Number of arrangements k non-attacking semi-nightriders on an n x n board, summed over all k>=0
If n is even

If n is odd

V programu Mathemtica dostaneme tuto sekvenci programem
Table[If[EvenQ[n],(n/2+1)^(n+2)*(n/2)!^4,((n+3)/2)^((n+1)/2)*((n+1)/2)^((n-1)/2)*(((n+1)/2)!)^4],{n,1,20}]

325

6.1.2) k semi-riders [r,s] on an n x n chessboard - k semi-riders [r,s] na šachovnici n x n

Obecně můžeme ještě analyzovat liniové kameny s jednotkovým tahem [r,s], které mohou táhnout ale jen po jedné ze
4 možných linií. V souladu s předchozím značením je budeme nazývat semi-riders [r,s].
Na diagramu jsou zobrazeny možné tahy semi-ridera [2,3].
První členy vzorců pro počet pozic nenapadajících se semi-riderů [r,s] na šachovnici n x n mají obecně tvar
Number of ways to place k non-attacking semi-riders [r,s] on an n x n chessboard,, first terms:

Postupem podobným jako pro semi-tátoše jsem odvodil následující obecný rozvoj pro semi-riders [r,s],
General expansion

Asymptoticky (při konstantním k) pak platí (viz též úvahy o počtu dostupných polí na str. 656)
Theorem (V. Kotěšovec, 23.11.2011):
Number of ways to place k non-attacking semi-riders [r,s] on an n x n chessboard,, is asymptotic (for constant k):

326

327
Maximální možný počet semi-riderů [r,s], které se nenapadají, je pro šachovnici n x n roven
Maximal number m of non-attacking semi-riders [r,s] (0 < r <= s) on an n x n chessboard is

Tento počet je roven počtu možných různých linií. Důkaz je identický jako na str. 756, s tím rozdílem, že pro semi-riders platí místo nerovnosti rovnost, protože
máme jistotu, že taková pozice vždy existuje.
Zajímavý je počet možných pozic semi-riderů [r,s] pro maximální konfiguraci a jeho asymptotické chování. Problém je podobný výběru z m přihrádek (jak byl
popsán na straně 261 pro semi-bishops). Bez nějakého většího omezení můžeme pro tento účel předpokládat, že n je násobkem rs (jistě by šlo odvodit i trochu
komplikovanější vzorce pro obecné n, které by obsahovaly celé části, ale asymptoticky by se chovaly shodně). Pro počet pozic neohrožujících se semi-riderů [r,s] našachovnici n x n (rs|n) dostaneme vzorec, který vyjadřuje součin počtů polí na každé linii.

Asymptotic formula for number of ways to place(V. Kotěšovec, 18.5.2011)non-attacking semi-riders [r,s] (0 < r <= s) on an n x n chessboard

Tento vzorec je v souladu se vzorci pro semi-bishops (r=1, s=1) i pro semi-nightriders (r=1, s=2) a platí dokonce i pro r=0 nebo r=s.

328
Problém počtu pozic n neohrožujících se semi-riderů [r,s] na šachovnici n x n jesložitější. Opět se omezíme jen na šachovnice n x n, kde n je dělitelné rs (rs|n).
Potom je vytvořující funkcí polynom
Generating function:

Koeficient uurčuje počet možných rozmístění k nenapadajících sesemi-riderů [r,s] na šachovnici n x n. Pro tento případ zvolíme k=n.
Asymptotické chování všech těchto posloupností je shodné, liší se jen konstantami q a b,
specifickými pro každou dvojici [r,s]. Tabulka zobrazuje numerické hodnoty těchto
konstant. Hodnoty pro menší r, s až do [4,4] jsou vypočítány s větší přesností (při použití
2000 členů posloupnosti), další hodnoty jsou vypočítány z 1000 členů posloupnosti.

Asymptotic formulas for number of ways to place n non-attacking semi-riders [r,s](0 < r <= s) on an n x n chessboard:Výběrem krajní n-tice (postupem jako na str. 261) dostaneme pro konstanty q omezení

odkud celkově

Poznámka: K výpočtu konstanty q je nejlepší počítat podíly

r s
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7

1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7

L<q<H
L

H

4.9108149645682558987
5.8258661803915283116
6.15611260 6.15611528
6.27688709 6.27688896
6.42670737 6.42671018
6.56765603 6.56765964
6.53032107 6.53032294
6.61405523 6.61405803
6.69489607 6.69489977
6.77313945 6.77314403
6.6907854
6.6907929
6.7438718
6.7438829
6.7957775
6.7957924
6.8465832
6.8466009
6.8963592
6.8963800
6.8010967
6.8011041
6.8376486
6.8376601
6.8736381
6.8736536
6.9090918
6.9091113
6.9440349
6.9440578
6.9784888
6.9785164
6.8814627
6.8814701
6.9081254
6.9081370
6.9344886
6.9345042
6.9605625
6.9605823
6.9863595
6.9863811
7.0118820
7.0119102
7.0371504
7.0371778brs

0.242522
0.203478
0.191231
0.188371
0.183256
0.1791090.180738
0.178084
0.175739
0.173648
0.176210.174620.173150.171790.170520.17323
0.172190.171200.17026
0.16938
0.16853
0.171130.170400.16969
0.169010.16834
0.176210.17462

1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10

L<q<H
L
H
6.942572
6.962866
6.982984
7.002935
7.022722
7.042350
7.061816
7.081134
6.990587
7.006541
7.022389
7.038131
7.053774
7.069314
7.084750
7.100094
7.115353
7.029298
7.0421687.054967
7.067699
7.080366
7.092964
7.105499
7.117969
7.130369
7.142724

6.942581
6.962878
6.983001
7.002955
7.022745
7.042376
7.061850
7.0811726.990595
7.006554
7.022405
7.038152
7.053796
7.069340
7.084785
7.100134
7.115387
7.029306
7.042180
7.054984
7.067719
7.080387
7.092990
7.105527
7.118000
7.130410
7.142757b0.16958
0.169030.168500.16799
0.16750
0.16698
0.16656
0.166110.168370.167960.16755
0.167150.16674
0.16635
0.16603
0.16567
0.165230.167420.16708
0.166770.16645
0.166110.16579
0.16549
0.16518
0.16498
0.16459

Zde bych se rád zmínil o jednom málo známém triku, pomocí kterého jde zrychlit
konvergence sekvencí a který jsem použil k zpřesnění mezí konstant u řad v této
kapitole. L. F. Richardson odvodil, že obecně má následující odvozená posloupnost
stejnou limitu a konverguje mnohem rychleji

Potom platí
For these sequences I used Richardson’s method, sequence
converging more quickly to same limit.

329
k non-attacking semi-riders [r,s] on an n x n normal board, summed over all k>=0
Metodou podobnou jako pro semi-leapers jsem odvodil následující vzorec pro součet počtu pozic nenapadajících se k semi-riderů [r,s] na šachovnici n x n přesvšechna k >= 0. Vychází z toho, že na každou linii délky d je možno (na rozdíl od semi-leaperů) umístit maximálně jeden kámen. Počet pozic pro jednu linii je takd + 1 (musí být uvažována i možnost, kdy není na linii žádný kámen).
Theorem (V. Kotěšovec, 5.5.2012)
Number of arrangements of k non-attacking semi-riders [r,s] on normal chessboard n x n, summed over all k >= 0 is(for 0 < r < s, n > s2)

Vzorec se velmi zjednoduší, když budeme uvažovat jen šachovnice takových rozměrů, kdy r i s dělí n. Pak dostaneme i asymptotický průběh.
For 0 < r < s, n > s2 and rs|nPřesný vzorec souhlasí i pro (již dříve odvozený) případ semi-bishops (pro r = 1, s = 1) a dokonce i pro semi-rooks (pro r = 0, s = 1).

Je možno doplnit, že pro všechny semi-ridery je entropy constant rovna 1

330

6.1.3) n Nightriders on an n x n chessboard - n tátošů na šachovnici n x n

n n Nightriders on an n x n board, A185085
1
1
2
6
3
36
4
412
5
4650
6
85358
7
14146788320423129710371744
10
20080400872
11546562561108
12?

K serióznějšímu odhadu průběhu funkce máme zatím příliš málo hodnot,
první graf zobrazuje

Další graf zobrazuje

3316.2) k Nightriders on an k x n chessboard - k tátošů na šachovnici k x n
2 nightriders, board 2 x n: n>=2
A172218 - 3 nightriders, board 3 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=8

A172219 - 4 nightriders, board 4 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=18

A172220 - 5 nightriders, board 5 x n: (V. Kotěšovec, 28.1.2010), n>=32kk Nightriders on an k x n chessboard - Generating function

2

3

4

-x*(2x^21-6x^20+10x^19-14x^18+22x^17-30x^16-26x^15+162x^14-272x^13+364x^12-466x^11+526x^10-303x^9-207x^8+603x^7517x^6+489x^5-249x^4+142x^3+14x^2+11x+1)/(x-1)^5

5

x*(2x^36-8x^35+16x^34-24x^33+38x^32-64x^31+104x^30-156x^29+54x^28+380x^27-944x^26+1452x^25-2172x^24+3376x^235094x^22+7180x^21-6614x^20-28x^19+8814x^18-15212x^17+21026x^16-27284x^15+34160x^14-40598x^13+39882x^1224490x^11+3876x^10+8558x^9-11326x^8+11266x^7-6006x^6+3256x^5-1028x^4+706x^3+4x^2+22x+1)/(x-1)^6332

n 2 nightriders 3 nightriders 4 nightriders 5 nightriders 6 nightriders

21

823

31139

112505935929480 1084629369

1

1

1

1

1

1

22

906

36260

139088047418482 1530923606

2

6

12

16

28

58

23

993

41918

170179361723238 2123729778

3

13

36

84

157

315

24

1084

48140

2062694

79341720 2900209972

4

24

100

412

1248

3862

25

1179

54953

2478735 100828175 3904141919

5

39

213

1126

4650

19419

26

1278

62384

2955324 126796852

?

6

58

408

2760

15162

85358

27

1381

70460

3498125 157924785

?

7

81

712

5739

37988

256549

28

1488

79208

4113058 194954956

?

8

108

1148

10982

86958

706060

29

1599

88655

4806299 238699512

?

9

139

1745

19695

1814231689706

30

1714

98828

5584280 290042826

?

10

174

2528

33068

3517083745158

31

1833

1097546453689 349944662

?

11

213

3524

52801

6484417737606

32

1956

1214607421470 419443276

?

12

256

4760

80638

1127392

15042498

33

2083

1339738494823 499658555

?

13

303

6263

118731

187419428033286

34

2214

1473209681204 591795132

?

14

354

8060

169368298846649685456

35

2349

16152810988325 697145517

?

15

409

10178

23513546020968468810336

2488

17662412424154 817093220

?

16

468

12644

3188906870240 138994668

37

2631

19263513996915 953115876

?

17

531

15485

4237339983347 220999518

38

2778

20958815715088 1106788370

?

18

598

18728

55302814163972 341148264

39

2929

22751017587409 1279785962

?

19

669

22400

71038919672403 513146177

40

3084

24642819622870 1473887412

?

20

744

26528

89969026812260 753927570

Na objevení vzorce pro 6 tátošů na 6 x n chybí velké množství hodnot. Hlavní problém je v tom, že vzorec bude platit až od poměrně velkého n.

3336.3) k Nightriders on an n x n toroidal chessboard - k tátošů na prstencové šachovnici n x nA196812 - 2 nightriders, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 18.4.2010), period=60

Alternative formula:

A196813 - 3 nightriders, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 7.12.2010), period=3600

334

k

k Nightriders on an n x n toroidal chessboard - Recurrence (V. Kotěšovec, 19.4.2010)2

an = -4*an-1 -10*an-2 -17*an-3 -20*an-4 -11*an-5 +15*an-6 +54*an-7 +90*an-8 +99*an-9 +63*an-10 -18*an-11 -116*an-12 -188*an-13 -194*an-14 -123*an-15 +123*an-17 +194*an-18 +188*an-19 +116*an-20 +18*an-21 -63*an-22 -99*an-23 -90*an-24 -54*an-25 -15*an-26 +11*an-27 +20*an-28 +17*an-29 +10*an-30 +4*an-31 +an-32

3

an = an-244 -an-243 +4*an-241 +6*an-238 +6*an-237 +10*an-236 +7*an-235 +17*an-234 +30*an-233 +24*an-232 +44*an-231 +60*an-230 +63*an-229 +101*an-228 +118*an-227+147*an-226 +185*an-225 +218*an-224 +294*an-223 +326*an-222 +374*an-221 +486*an-220 +535*an-219 +619*an-218 +715*an-217 +789*an-216 +914*an-215 +979*an-214 +1075*an-213 +1181*an-212 +1203*an-211 +1315*an-210 +1351*an-209 +1312*an-208 +1350*an-207 +1274*an-206 +1196*an-205 +1056*an-204 +815*an-203 +641*an-202 +285*an-201 -107*an-200 -481*an-199 -1077*an-198 -1599*an-197 -2219*an-196 -2963*an-195 -3651*an-194 -4493*an-193 -5246*an-192 6047*an-191 -6966*an-190 -7638*an-189 -8434*an-188 -9139*an-187 -9640*an-186 -10197*an-185 -10460*an-184 -10644*an-183 -10641*an-182 -10291*an-181 9968*an-180 -9172*an-179 -8148*an-178 -7037*an-177 -5400*an-176 -3706*an-175 -1693*an-174 +634*an-173 +2988*an-172 +5784*an-171 +8465*an-170 +11305*an-169+14453*an-168 +17199*an-167 +20137*an-166 +22935*an-165 +25382*an-164 +27858*an-163 +29703*an-162 +31373*an-161 +32632*an-160 +33105*an-159+33531*an-158 +33015*an-157 +31855*an-156 +30470*an-155 +28071*an-154 +25314*an-153 +21836*an-152 +17698*an-151 +13482*an-150 +8277*an-149 +2991*an-148 -2483*an-147 -8611*an-146 -14305*an-145 -20291*an-144 -26239*an-143 -31677*an-142 -37176*an-141 - 41775*an-140 -46128*an-139 -50015*an-138 52622*an-137 -54987*an-136 -56274*an-135 -56530*an-134 -56270*an-133 -54619*an-132 -52392*an-131 -49163*an-130 - 44910*an-129 -40375*an-128 -34567*an-127-28391*an-126 -21955*an-125 -14638*an-124 -7514*an-123 +7514*an-121 +14638*an-120 +21955*an-119 +28391*an-118 +34567*an-117 +40375*an-116 +
44910*an-115 +49163*an-114 +52392*an-113 +54619*an-112 +56270*an-111 +56530*an-110 +56274*an-109 +54987*an-108 +52622*an-107 +50015*an-106+46128*an-105 +41775*an-104 +37176*an-103 +31677*an-102 +26239*an-101 +20291*an-100 +14305*an-99 +8611*an-98 +2483*an-97 -2991*an-96 -8277*an-95 13482*an-94 -17698*an-93 -21836*an-92 -25314*an-91 -28071*an-90 -30470*an-89 -31855*an-88 -33015*an-87 -33531*an-86 -33105*an-85 -32632*an-84 31373*an-83 -29703*an-82 -27858*an-81 -25382*an-80 -22935*an-79 -20137*an-78 -17199*an-77 -14453*an-76 -11305*an-75 -8465*an-74 -5784*an-73 -2988*an-72 634*an-71 +1693*an-70 +3706*an-69 +5400*an-68 +7037*an-67 +8148*an-66 +9172*an-65 +9968*an-64 +10291*an-63 +10641*an-62 +10644*an-61 +10460*an-60+10197*an-59 +9640*an-58 +9139*an-57 +8434*an-56 +7638*an-55 +6966*an-54 +6047*an-53 +5246*an-52 +4493*an-51 +3651*an-50 +2963*an-49 +2219*an-48+1599*an-47 +1077*an-46 +481*an-45 +107*an-44 -285*an-43 -641*an-42 -815*an-41 -1056*an-40 -1196*an-39 -1274*an-38 -1350*an-37 -1312*an-36 -1351*an-35 1315*an-34 -1203*an-33 -1181*an-32 -1075*an-31 -979*an-30 -914*an-29 -789*an-28 -715*an-27 -619*an-26 -535*an-25 -486*an-24 -374*an-23 -326*an-22 -294*an-21 218*an-20 -185*an-19 -147*an-18 -118*an-17 -101*an-16 -63*an-15 -60*an-14 -44*an-13 -24*an-12 -30*an-11 -17*an-10 -7*an-9 -10*an-8 -6*an-7 -6*an-6 -4*an-3 +an-1

335

k

k Nightriders on an n x n toroidal chessboard - Generating function2- 2x^2*(2x^29 +25x^28 +151x^27 +620x^26 +1965x^25 +5094x^24 +11169x^23 +21370x^22 +36349x^21 +56009x^20 +78898x^19 +102778x^18+124128x^17 +139254x^16 +144792x^15 +139276x^14 +123618x^13 +101232x^12 +76538x^11 +53680x^10 +35008x^9 +21359x^8 +12037x^7+6226x^6 +2853x^5 +1122x^4 +351x^3 +82x^2 +13x +1) / ((x-1)^5*(x+1)^3*(x^2+1)^3*(x^2+x+1)^3*(x^4+x^3+x^2+x+1)^3)

3- 2x^3*(18x^240 + 238x^239 + 1097x^238 + 3375x^237 + 8918x^236 + 17750x^235 + 34024x^234 + 102992x^233 + 170689x^232 + 334029x^231 + 581514x^230 + 1211137x^229 +1946821x^228 + 3261848x^227 + 6059493x^226 + 9207559x^225 + 14701366x^224 + 25230138x^223 + 37434596x^222 + 58377396x^221 + 88774700x^220 + 132758252x^219 +200673570x^218 + 290090616x^217 + 418515022x^216 + 607341496x^215 + 861557458x^214 + 1215557597x^213 + 1685714477x^212 + 2341191169x^211 + 3219651899x^210 +
4371083830x^209 + 5915584825x^208 + 7924831726x^207 + 10557643302x^206 + 13985977772x^205 + 18337941860x^204 + 23988066249x^203 + 31106584573x^202 + 40105490710x^201 +
51480894072x^200 + 65613921210x^199 + 83247672844x^198 + 104997928822x^197 + 131723277236x^196 + 164610197445x^195 + 204434636025x^194 + 252850305579x^193 +
311174992353x^192 + 381220960985x^191 + 465166514579x^190 + 564726823578x^189 + 682915434782x^188 + 822445725326x^187 + 986137978689x^186 + 1178200387820x^185 +
1401486629757x^184 + 1661071235024x^183 + 1961320551382x^182 + 2306824950007x^181 + 2703969741037x^180 + 3157486064883x^179 + 3674231748485x^178 + 4261111512082x^177 +
4924054143893x^176 + 5672233094130x^175 +
6511299186233x^174 + 7450502529517x^173 +8498360385775x^172 + 9661882454985x^171 +
10951645005463x^170 +
12374268174000x^169 + 13939091979844x^168 + 15656151228655x^167 + 17530520390873x^166 + 19573677123871x^165 + 21790395339520x^164 + 24188662241863x^163 +26776395207115x^162 + 29555853822062x^161 + 32535166656010x^160 + 35715815965886x^159 + 39099788860722x^158 + 42691989336943x^157 + 46486765430930x^156 +50487649366627x^155 + 54688035964502x^154 + 59082851562091x^153 + 63669565025811x^152 + 68433813486836x^151 + 73369540833087x^150 + 78463323097249x^149 +
83698270419327x^148 + 89065310025089x^147 + 94538213517501x^146 + 100103347862326x^145 + 105737849546511x^144 + 111416175681404x^143 + 117120491777082x^142 +
122817864879142x^141 + 128485934576486x^140 + 134098082976549x^139 + 139619779202362x^138 + 145032206182235x^137 + 150296476874559x^136 + 155388865165104x^135 +
160281319456761x^134 + 164939649511741x^133 + 169345476518963x^132 + 173464462172483x^131 + 177273308402194x^130 + 180753343490024x^129 + 183873445638405x^128 +186625006299741x^127 + 188981000016072x^126 + 190929209478127x^125 + 192461238454377x^124 + 193558644425462x^123 + 194223284956116x^122 + 194444691793788x^121 +
194220736776023x^120 + 193560800673460x^119 + 192457592242803x^118 + 190929495372496x^117 + 188979800936468x^116 + 186620542458472x^115 + 183873998655239x^114 +
180748608220643x^113 + 177271744869152x^112 + 173462305326397x^111 + 169339751623003x^110 + 164939132384048x^109 + 160276072337970x^108 + 155386114335263x^107 +
150294096245511x^106 + 145025984474973x^105 + 139618824299291x^104 + 134093237147972x^103 + 128482666378371x^102 + 122815923325663x^101 + 117114757459052x^100 +111415256505433x^99 +
105734102224078x^98 + 100100364987576x^97 +
94537041341240x^96 + 89060757409500x^95 +
83697887240255x^94 + 78460904044556x^93 +
73367348881239x^92 + 68433672330201x^91 + 63666370369121x^90 + 59083195994669x^89 + 54687048473501x^88 + 50486285659708x^87 + 46487591434807x^86 + 42690200201055x^85 +
39100661716548x^84 + 35716040182057x^83 + 32534609006022x^82 + 29557259716215x^81 + 26775780018454x^80 + 24189881457148x^79 + 21791344797744x^78 + 19573735635972x^77 +
17532187845465x^76 + 15656255388995x^75 + 13940436854696x^74 + 12375559083781x^73 + 10951976364511x^72 + 9663541904623x^71 + 8498852387612x^70 + 7451679982184x^69 +
6512639167095x^68 + 5672649742901x^67 + 4925423055673x^66 + 4261749961085x^65 + 3675146509639x^64 + 3158601465844x^63 + 2704368593087x^62 + 2307835236328x^61 +1961880407635x^60 + 1661723921067x^59 + 1402306954353x^58 + 1178479455327x^57 + 986825574762x^56 + 822863586458x^55 + 683305469385x^54 + 565283745208x^53 +465331410889x^52 + 381621201886x^51 + 311467610658x^50 + 253049978760x^49 + 204757386107x^48 + 164709882669x^47 + 131924969647x^46 + 105167883061x^45 + 83347286281x^44+ 65776312233x^43 + 51525156758x^42 + 40203906660x^41 + 31192304240x^40 + 24024064042x^39 + 18417340626x^38 + 14000598256x^37 + 10594706731x^36 + 7969640791x^35 +
5922592754x^34 + 4401872010x^33 + 3227969072x^32 + 2350124066x^31 + 1704520537x^30 + 1218001196x^29 + 869271617x^28 + 610790461x^27 + 421754937x^26 + 295059317x^25 +201100676x^24 + 135553746x^23 + 88709846x^22 + 59263584x^21 + 39553870x^20 + 24303032x^19 + 15442916x^18 + 9657900x^17 + 5699976x^16 + 3875632x^15 + 1879068x^14 +
1086685x^13 + 772269x^12 + 320340x^11 + 173933x^10 + 115325x^9 + 33306x^8 + 24613x^7 + 8695x^6 + 5434x^5 + 574x^4 + 408x^3 + 252x^2 + 45x + 3) / ((x - 1)^7*(x + 1)^5*(x^2 +1)^5* (x^2 - x + 1)^3*(x^2 + x + 1)^5*(x^4 + 1)^3* (x^4 - x^2 + 1)^3*(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)^3* (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^5*(x^6 + x^3 + 1)^3* (x^8 + 1)^3*(x^8 - x^6+ x^4 - x^2 + 1)^3* (x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)^3* (x^20 + x^15 + x^10 + x^5 + 1)^3)

Denominátor pro k=2 v řeči cyklotomických polynomů: C1(x)5 C2(x)3 C3(x)3 C4(x)3 C5(x)3Denominátor pro k=3 v řeči cyklotom. polynomů: C1(x)7 C2(x)5 C3(x)5 C4(x)5 C5(x)5 C6(x)3 C8(x)3 C9(x)3 C10(x)3 C12(x)3 C15(x)3 C16(x)3 C20(x)3 C25(x)3

336
Obecně pro k neohrožujících se tátošů na prstencové šachovnici n x n je z hlediska asymptotického chování odhadnutelný průběh

Člen u n2k-2 sice nejde vzhledem k malému počtu známých vzorců zatím dobře odhadnout, je ale zřejmé, že tento koeficient už není konstanta, ale že je závislý na
tvaru n (jde už o kvazipolynom).
Pro 3 tátoše na prstencové šachovnici jsem odvodil vzorec a můžeme si tedy
zobrazit graf této funkce v libovolném rozsahu. Graf vpravo znázorňuje

Vidíme, že pro n jdoucí do nekonečna limita neexistuje, ale existuje celkem
9 různých limit podle tvaru n (viz vzorec na str. 333, jsou to kombinace členů,kde je v závorkách ve vzorci n2 a kde tedy vzorec dosáhne váhy n4).
Pro 4 tátoše na prstencové šachovnici není dostatek hodnot k určení vzorce.
Podařilo se mi ale vypočítat celkem 170 hodnot a na základě této posloupnosti
jsem metodou nejmenších čtverců odhadl alespoň asymptotické chování(asymptotic formula for 4 nightriders on a toroidal chessboard - computedfrom 170 values with help of least squares method only)

Koeficient u členu n6 je však (při této metodě) už zatížen značnou chybou,
protože jeho limita pro n jdoucí do nekonečna neexistuje a je rozdělena na
pravděpodobně 9 různých limit podle tvaru n. Znázorňuje to graf funkce

337

n 2 nightriders 3 nightriders

4 nightriders

1

17

32368

184497659175640

34592450178819328

35620503104

18

42282

2924640118899900

35

671300218642900

47438166650

2

2

0

0

19

51984

3933456173563746

36754920262684512

61220593800

3

18

6

0

20

67400

6319200

367095000

37837828304690116

73833584286

4

72

96

24

21

80262

7954170477489222

38

936434362571072

93999478848

5

200

600

600

22

97042

10648000

712157600

39

1043406

429233298 118775318922

6

378

1392

1836

23

11638014081980

1044882916

401165600

514185600 154108719200

7

588

2156

2450

24

141984

19826304

1750680864

411277560583844920 180024039020

8

1312

10624

36192

25

16750025502500

2464608750

421415610687435504 226687979700

9

2106

22410

10254626

19502631809856

3277072240

431553160788487560 271515691286

10

3650

62400

5388002722890641037354

4695908904

441712392920618336 337672399064

11

4840

82280

63767028

26695252338272

6607175288

45

1883250 1070294850 417296743650

12

7848

21033630281042930612463979916

8590534106

462049346 1208862336 487589837680

13

10140

280540389950630

35865084001200

12947543100

472235508 1379308436 582569726696

14

14210

49548890979283140362098348740

15567200560

48

2448000 1596443136 717561447552

15

20250

95595026141400

32463360123033600

21472892416

492650704 1790992336 831682346782

16

25728

13327363933120033

524898148714566

27745683570

50

2891250 2059060000 1014166220000

Hodnoty pro k=3 jsem vypočítal svým speciálním programem až do n=1000 a potom ověřil platnost rekurentního vzorce pro všechny hodnoty.
V této souvislosti mohu ještě poznamenat, že v programu Mathematica je lepší než počítat n-té derivace vytvořující funkce v nule pomocí,použít funkci SeriesCoefficient, která je rychlejší a nespotřebovává tolik paměti jako D. Při paměti 4 GB RAM bylo možné pomocí D vypočítat maximálně 85-tou
derivaci (na vyšší už nestačila paměť), kdežto funkce SeriesCoefficient vypočetla všechny derivace vytvořující funkce v nule až do řádu 1000 za 20 minut.

3386.4) n Nightriders on an n x n toroidal chessboard - n tátošů na prstencové šachovnici n x n
Na prstencovou šachovnici n x n se vejde maximálně n neohrožujících se tátošů (tedy mnohem méně než na normální šachovnici stejných
rozměrů) a takové rozestavení vždy existuje. Důkaz tohoto tvrzení viz kapitola 14.2, kde je i řada příkladů pozic (for proof and more
examples, see page 784).
Z tabulky vidíme, že počty jsou velmi závislé na typu šachovnice. Speciálně pokud je n prvočíslo, jsou počty možných pozic menší anaopak, pokud je n složené, výrazně narůstá počet vyhovujících pozic. Jde o to, že samotný tátoš na prstencové šachovnici n x n mádostupných celkem 4n-3 polí (když zahrneme i výchozí pole), ale to jen v případě, že n je prvočíslo. Pokud je n složené, docházík průsečíkům linií a některá pole jsou dostupná i po více různých liniích (např. na šachovnici 8x8 může tátoš z a1 na c5 současně po linii
a1-b3-c5, ale i po linii a1-b7-c5). Polí zakázaných pro další kameny je tak méně a proto je pak větší celkový počet pozic neohrožujících se
kamenů. Vzhledem k symetrii na prstencové šachovnici n x n je vždy počet pozic dělitelný n (obecně je dělitelný n2/k, zde máme n=k).
nn Nightriders on an n x n toroidal board - A190393

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

1
2
6
24
120
144
28
1408
2025
86400
1782
10920964186
31360
241920000
23953408
140692114108912
1092690?

sq = accesible squares
4n-3-sqfor one Nightrider

15
25
23
29
27
41
35
49
51
45
55
65
63
73
63

6
0
6
4
10
0
10
0
2
12
6
0
6
0
14

PrimeQ

True

True
True

True
True

339

6.5) k Nightriders on an n x n cylindrical chessboard - k tátošů na válcové šachovnici n x nA196810 - 2 nightriders, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 2.10.2011), period=60

Alternative formula:

A196811 - 3 nightriders, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 2.10.2011), period=3600

V případě liniových kamenů jako je dáma, věž nebo střelec není (z hlediska počtu pozic neohrožujících se kamenů stejných hodnot) žádný rozdíl mezi válcovoušachovnicí n x n a prstencovou šachovnicí n x n. V případě tátošů je sice na válcové šachovnici n x n a prstencové šachovnici n x n shodný maximální počet
neohrožujících se kamenů (roven n) a pro oba případy jsou i shodné rekurence (tj. i denominátory vytvořujících funkcí), ale počty takových pozic se už liší(např. v pozici diagramu se dva tátoši sice vzájemně ohrožují na prstencové šachovnici 6x6, ale na válcové šachovnici 6x6 se neohrožují). Explicitní vzorce avytvořující funkce (jejich čitatelé) jsou proto odlišné. Je třeba ještě poznamenat, že v počtu pozic není rozdíl mezi vertikální válcovou šachovnicí n x n ahorizontální válcovou šachovnicí n x n (v pozici na diagramu sice rozdíl samozřejmě je, ale vzhledem k symetrii jsou celkové počty pozic shodné).
For queen, rook and bishop are no differences in number of arrangements of non-attacking pieces on a torodial and on a cylindrical board. For nightriders arerecurrences (and denominators of generating function) same, but explicit formulas and generating functions (numerators) are different.

340

k

k Nightriders on an n x n cylindrical chessboard - Generating function2- (2*x^2*(2 + 17*x + 96*x^2 + 384*x^3 + 1203*x^4 + 3100*x^5 + 6917*x^6 + 13670*x^7 + 24466*x^8 + 39974*x^9 + 60206*x^10 + 83709*x^11 +107667*x^12 + 128088*x^13 + 141070*x^14 + 143882*x^15 + 136037*x^16 + 119239*x^17 + 96892*x^18 + 72808*x^19 + 50428*x^20 +
31926*x^21 + 18321*x^22 + 9388*x^23 + 4223*x^24 + 1622*x^25 + 514*x^26 + 127*x^27 + 22*x^28 + 2*x^29))/ ((-1+x)^5*(1+x)^3*(1+x^2)^3*(1+x+x^2)^3*(1+x+x^2+x^3+x^4)^3)3- (2*x^3*(3 + 69*x + 228*x^2 + 708*x^3 + 1588*x^4 + 6712*x^5 + 12088*x^6 + 31160*x^7 + 57179*x^8 + 136580*x^9 + 239808*x^10 + 449853*x^11 + 900591*x^12 + 1477077*x^13 +2525842*x^14 + 4589753*x^15 + 7306716*x^16 + 12021164*x^17 + 19128497*x^18 + 30183091*x^19 + 47577505*x^20 + 72032939*x^21 + 108239562*x^22 + 162774012*x^23 + 240095346*x^24+ 350381354*x^25 + 502772319*x^26 + 720950831*x^27 + 1021062070*x^28 + 1428752645*x^29 + 1987390506*x^30 + 2736513976*x^31 + 3742294655*x^32 + 5079354788*x^33 +
6827953028*x^34 + 9139225932*x^35 + 12124100004*x^36 + 15980799998*x^37 + 20943476282*x^38 + 27256916379*x^39 + 35276596816*x^40 + 45364091725*x^41 + 58004387513*x^42 +
73807879418*x^43 + 93337164899*x^44 + 117464218271*x^45 + 147035351554*x^46 + 183159374264*x^47 + 227100738421*x^48 + 280137583769*x^49 + 344040499089*x^50 +
420621968824*x^51 + 511906209274*x^52 + 620460452977*x^53 + 748658676342*x^54 + 899759787160*x^55 + 1076949738312*x^56 + 1283816648160*x^57 + 1524655568727*x^58 +
1803563002512*x^59 + 2125557616785*x^60 + 2495897019374*x^61 + 2919924912435*x^62 + 3404238806042*x^63 + 3954584267130*x^64 + 4578261153565*x^65 + 5282468562470*x^66 +
6074400376418*x^67 + 6962508279455*x^68 + 7954251974953*x^69 + 9058297858369*x^70 + 10283589412684*x^71 + 11637731241377*x^72 + 13130527274835*x^73 + 14769509898174*x^74 +
16563587291623*x^75 + 18521241864801*x^76 + 20649262703124*x^77 + 22956117999624*x^78 + 25447691032447*x^79 + 28129922977627*x^80 + 31009117817705*x^81 +
34087609044623*x^82 + 37370399159074*x^83 + 40857940620617*x^84 + 44551010102080*x^85 + 48449956292072*x^86 + 52550389899304*x^87 + 56849777261924*x^88 +
61341700555203*x^89 + 66017808823137*x^90 + 70871046711347*x^91 + 75887010046628*x^92 + 81054923924903*x^93 + 86358764556381*x^94 + 91781015199942*x^95 +
97305084410813*x^96 + 102907868757848*x^97 + 108569081502386*x^98 + 114265234250301*x^99 + 119969285286284*x^100 + 125658800473469*x^101 + 131302751877000*x^102 +
136875550513111*x^103 + 142348353514997*x^104 + 147690384392376*x^105 + 152875876072676*x^106 + 157872755891423*x^107 + 162653418372415*x^108 + 167191493570328*x^109 +
171456585792095*x^110 + 175427309381084*x^111 + 179075173512294*x^112 + 182379141002578*x^113 + 185319508181282*x^114 + 187874540498149*x^115 + 190031327730683*x^116 +191773244203031*x^117 + 193089008150102*x^118 + 193972835388484*x^119 + 194414311933838*x^120 + 194415275417367*x^121 + 193972516221455*x^122 + 193089264361839*x^123 +191773682348600*x^124 + 190030887405334*x^125 + 187875493915730*x^126 + 185319922415008*x^127 + 182379245480089*x^128 + 179076141808356*x^129 + 175426895658259*x^130 +
171458018534627*x^131 + 167191921565244*x^132 + 162653771625720*x^133 + 157873659929203*x^134 + 152875989128015*x^135 + 147691528445188*x^136 + 142349123452045*x^137 +
136875621869234*x^138 + 131303979975577*x^139 + 125658744748306*x^140 + 119970438846282*x^141 + 114265801512099*x^142 + 108569301741370*x^143 + 102908719685593*x^144 +
97305185414449*x^145 + 91781712644958*x^146 + 86359484383155*x^147 + 81054732931959*x^148 + 75887782559851*x^149 + 70870923563246*x^150 + 66018429387408*x^151 +
61342037062652*x^152 + 56849543417100*x^153 + 52550770364715*x^154 + 48449960021024*x^155 + 44551152201271*x^156 + 40858209226345*x^157 + 37369925440783*x^158 +
34087936929725*x^159 + 31008894930266*x^160 + 28129938284322*x^161 + 25447712833731*x^162 + 22955740567927*x^163 + 20649274227522*x^164 + 18521074726145*x^165 +16563386084043*x^166 + 14769555840432*x^167 + 13130040542269*x^168 + 11637703931745*x^169 + 10283373333079*x^170 + 9058137769738*x^171 + 7954144015720*x^172 +6962138929017*x^173 + 6074283215900*x^174 + 5282366733024*x^175 + 4578015486901*x^176 + 3954507927336*x^177 + 3403927379971*x^178 + 2919863863344*x^179 +
2495769821339*x^180 + 2125381395372*x^181 + 1803477619996*x^182 + 1524480510386*x^183 + 1283717495366*x^184 + 1076889649733*x^185 + 899620044342*x^186 + 748626354612*x^187+ 620319293065*x^188 + 511850443963*x^189 + 420587012253*x^190 + 343970311528*x^191 + 280091185064*x^192 + 227029978097*x^193 + 183124065551*x^194 + 147035529782*x^195 +117404616923*x^196 + 93315033279*x^197 + 73774509100*x^198 + 57995460047*x^199 + 45354977688*x^200 + 35247480512*x^201 + 27246880278*x^202 + 20936575982*x^203 +
15968290330*x^204 + 12122437446*x^205 + 9127084641*x^206 + 6827173044*x^207 + 5072783726*x^208 + 3737508411*x^209 + 2737664548*x^210 + 1984554719*x^211 + 1425208511*x^212 +
1019646126*x^213 + 720059752*x^214 + 504370758*x^215 + 347711506*x^216 + 239004051*x^217 + 163154489*x^218 + 108398903*x^219 + 71713365*x^220 + 46919424*x^221 +
30089640*x^222 + 19497331*x^223 + 11740812*x^224 + 7263255*x^225 + 4525667*x^226 + 2550669*x^227 + 1479668*x^228 + 867636*x^229 + 447851*x^230 + 244532*x^231 + 120550*x^232 +
67502*x^233 + 26630*x^234 + 12038*x^235 + 5442*x^236 + 2179*x^237 + 645*x^238 + 150*x^239 + 18*x^240)) / ((-1+x)^7*(1+x)^5*(1+x^2)^5*(1-x+x^2)^3*(1+x+x^2)^5*(1+x^4)^3*(1x^2+x^4)^3*(1-x+x^2-x^3+x^4)^3*(1+x+x^2+x^3+x^4)^5*(1+x^3+x^6)^3*(1+x^8)^3*(1-x^2+x^4-x^6+x^8)^3*(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8)^3*(1+x^5+x^10+x^15+x^20)^3)

341
n 2 nightriders 3 nightriders 4 nightriders

26

20347636216544

4270024772

1

27

23776246089162

5950524330
8278638452

2

4

0

0

28

27675258449104

3

18

6

0

29

31830472061346 10941152161

4

80

144

84

30

36834091140000 15291670440

5

200

600

600

31

418500109813780 19475442976

6

420

1992

3972

32

478208135448576 26106705408

7

756

4592

11424

33

541398163436856 33617620245

8

1472

15616

82320

34

611524

196930176 43327196608

9

2358

31788

21374135689780237534080 56150204880

10

3860

74840

79666036774576284081904 71776707732

11

5500

122210145049337863136333528582 88683257711

12

8304

251184439371638

963148394935216 111786753916

13

11232

384826

749661939

1071018464721504 139535928363

14

15484

64769615873900

40

1191360

549553280 176378561840

15

21090

1085190

34030320411312000

632939140

?

16

27392

16163845849817642

1449420738555384

?

17

34816

230887293805252

43

1592892

851283986

?

18

44604

3449880

167116392

44

1752080

986958544

?

19

55404

4783326259155497

45

1921230 1137226500

?

20

69840

7052400

460196420

46

2096956 1296060304

?

21

84294

9253734

651960456

472287396 1478648012?

2210212412454640

981647832

48

2496768 1694883840?

2312245216453096

1435626374

49

2709504 1914090136?

2414726422180992

2203508112

50

2946500 2180681800?

25173800285524503103641675
Pro k=3 jsem speciálním programem vypočítal hodnoty až do n=300.

3426.6) n Nightriders on an n x n cylindrical chessboard - n tátošů na válcové šachovnici n x n
Na válcovou šachovnici n x n se vejde maximálně n neohrožujících se tátošů (stejně jako na prstencovou šachovnici). Podobně jako v případě prstencové šachovnici
jsou počty možných pozic podstatně menší, pokud je n prvočíslo. Maximal number of non-attacking nightriders on an n x n cylindrical chessboard is n.

n n Nightriders on an n x n cylindrical board - A196814 PrimeQ
1
1
2
4
True
3
6
True
4
84
5
120
True
6
784
7
280
True
8
40816
9
13806
10
1361706
11110990True
12142633176
134263454True
14197730660
159246172320
16
?
17
?
True
18
?
19
?
True
20
?

Diagramy ukazují, že stejně jako na prstencové šachovnici, tak i na válcovéšachovnici n x n (sudých i lichých rozměrů) existuje právě n neprotínajících setátošových linií.

343

7.1) k Amazons (superqueens) on an n x n chessboard - k amazonek na šachovnici n x n
Amazonka je kombinovaný kámen s pohyblivostí dámy a jezdce. An amazon (superqueen) moves like a queen and a knight.
A172200 - 2 amazons, board n x n: (Christian Poisson, 1990)

A172201 - 3 amazons, board n x n: (Panos Louridas, 2007)
pro sudá n (even), n>=4
pro lichá n (odd), n>=5nebo jedním vzorcem, n>=4A173214 - 4 amazons, board n x n: (Václav Kotěšovec, 12.2.2010), n>=6

Explicitní vzorec pro 4 amazonky je velmi podobný vzorci pro 4 dámy, periodické členy se SIN a COS jsou shodné a polynom u (-1)n se liší jen v posledním členu.
Rekurentní vzorec je dokonce zcela identický jako pro 4 dámy (sekvence vychází jen z jiných počátečních hodnot).
Alternative formula:

344
A178967 - 5 amazons, board n x n: (Václav Kotěšovec, 31.12.2010), n>=10

Alternative formula (Václav Kotěšovec, 31.12.2010), n>=10:Průběh této funkce pro k amazonek na šachovnici n x n je podobný jako pro dámy:Speciálně pro 6 amazonek budou první členy:

345
Poznámka o vztahu vzorců pro amazonky a pro dámy
Jak jsem již zmínil v různých částech této knihy, pouze liniové kameny produkují kvazipolynomy, bodové kameny nikoliv. V případě bodových kamenů (jezdec,
vezír, zebra, ...) jsou vzorce vždy pouze polynomy a jmenovatel vytvořující funkce tak obsahuje pouze mocninu členu (x-1), vzorce jsou stejného tvaru pro všechnymožné rozměry šachovnic (neliší se např. pro šachovnice sudých a lichých rozměrů). V případě liniových kamenů (dáma, střelec, tátoš, amazonka, ...) docházík tomu, že vzorce na šachovnicích n x n se liší podle toho, jaké zbytky dává číslo n po dělení některými (malými) čísly, jejichž výčet je závislý na počtu
rozmísťovaných kamenů k. Speciálním liniovým kamenem je věž, která jako jediná kvazipolynomy neprodukuje. Zajímavý je rovněž střelec, jehož vzorce vystačívždy s periodou 2, jmenovatel vytvořující funkce tak obsahuje pouze mocniny členů (x-1) a (x+1). U ostatních liniových kamenů [r,s], kde 0 < r < s expanduje
denominátor s narůstajícím počtem kamenů do nekonečna.
Pohyblivost amazonky jde složit jako pohyblivost dámy a jezdce. Jezdec však (jako bodový kámen) žádné kvazipolynomy neprodukuje. Nepřekvapí proto, žerekurence, resp. jmenovatele vytvořujících funkcí pro dámy i amazonky jsou shodné. Pouze dámská složka z amazonky produkuje kvazipolynomy.
Only riders generated quasi-polynomials, leapers not. Therefore is not surprising, that the recurrence formulas (denominators of generating functions) for queens
and for amazons (superqueens) are same.

Hypotéza o posunu denominátorů. Ještě jsem narazil na jednu zajímavost. Vytvoříme-li diference posloupností pro počty neohrožujících se k dam a k amazonek,
dostaneme posloupnost, jejíž jmenovatel vytvořující funkce dělí jmenovatel vytvořující funkce pro k-1 dam. Pro k=3 a k=5 jsou tyto členy dokonce identické, pro
k=4 se liší v exponentu.
k2

denominator for sequence (k queens - k amazons)denominator for k queens

3
4
5

Vzhledem k doposud velmi malému množství známých vzorců ale nedokážu s jistotou určit, zda to platí obecně, takže jde pouze o hypotézu (nicméně v případě pětiamazonek mi tato skutečnost výrazně pomohla k nalezení vzorce, protože při znalosti vzorce pro pět dam nebylo nutno pro pět amazonek počítat už tolik hodnot).
Na doplnění ještě uvádím elegantní asymptotický rozvoj funkce rozdílu počtu neohrožujících se dam a amazonek (tedy počtu takových pozic, kde se žádné dvěamazonky neohrožují jako dámy, ale alespoň jedna dvojice jako jezdci)

346

k

k Amazons on an n x n chessboard - Generating function

2

3

4

5

2x^7 * (-124 - 3784x - 44667x^2 - 310723x^3 - 1509124x^4 - 5621180x^5 - 16954312x^6 - 42976662x^7 - 93896850x^8 - 180088868x^9 - 307206501x^10 - 470650261x^11 - 652017897x^12 820670989x^13 - 941074901x^14 - 984212615x^15 - 938015444x^16 - 812413066x^17 - 635893628x^18 - 445615046x^19 - 275100707x^20 - 145295581x^21 - 61597137x^22 17181649x^23 + 704005x^24 + 4589289x^25 + 3324134x^26 + 1424132x^27 + 316332x^28 - 58210x^29 - 91844x^30 - 47684x^31 - 15863x^32 - 3119x^33 + 490x^34 + 982x^35 + 632x^36 +
260x^37 + 126x^38 + 54x^39) / ((-1+x)^11 * (1+x)^6 * (1+x^2)^2 * (1+x+x^2)^4 * (1+x+x^2+x^3+x^4)^2)

Zde je třeba poznamenat, že vytvořující funkce generují správné hodnoty i pro počáteční malá n, kde ještě explicitní vzorce neplatí. V důsledku toho má čitatel
vytvořující funkce větší stupeň než jmenovatel (což není u racionálních lomených funkcí tohoto typu obvyklé), více o tom viz též str. 41.

k

Recurrence2

an = 5an-1-10an-2+10an-3-5an-4+an-5

n >= 63

an = 5an-1-8an-2+14an-4-14an-5+8an-7-5an-8+an-9n >= 134

an = 3an-1+an-2-9an-3+12an-5+7an-6-15an-7-16an-8+16an-9+15an-10-7an-11-12an-12+9an-14-an-15-3an-16+an-17

n >= 235n >= 47

347

n 2 amazons 3 amazons

4 amazons

5 amazons

1

21

80940

8182400

508359070

20516606128

22

98420

11136168

782972820

36191817440

2311858014926536

1179105738

61893239340

2

0

0

0

3

0

0

0

0

24

14168019732600

1740089734

102950022616

4

20

0

0

0

25

16799225760588

2521359260

167010533830

5

92

48

2

0

26

19780033246664

3593085246

264869097472

6

260

424

112

0

27

23140042459476

5043058972

411497661102

7

580

1976

1754

248

28

26910053703216

6980158088

627378473416

8

1120

6616

13074

7320

29

31122067320392

9538095102

940130628920

9

1960

17852

63400

82758

30

35809283695144

12879874324

1386570370640

10

3192

41544

23401456238431410060 103256240

17202560582

2015178519904

11

4920

86660

712248275612232467480 126480648

22742900942

2889176379864

12

7260

1662881882132

10771928

33

530720 153896756

29783283628

4090150245318

13

10340

298616445724635504296

34

600160 186088200

38658709554

5722507236712

14

14300

5082009679760

102677536

35676192 223697308

49764125812

7918655437366

15

19292

827168

19584514

267284836

36759220 267429184

63562947328 10845295301648

16

25480

129674437367934

638673432

37

849660 318055376

80595959410 14710646654420

17

33040

196867667849336

1420555842

38

947940 376418216 101491605140 19773136732920

18

42160

2907016118085614

2974232240

39

1054500 443434712 126976666126 26351274869008

19

53040

4189772

198107620

5911536526

401169792 520101144 157888541850 34835414789584

20

65892

5910944321870956

11232560320

Odkazy na literaturu:
Christian Poisson, Rex Multiplex 29/1990, str. 829 (v té době vycházející francouzský časopis)
Panos Louridas, idee & form 93/2007, str. 2936-2938 (švýcarský časopis věnovaný skladebnímu šachu)

348

7.1.1) n Amazons (superqueens) on an n x n chessboard - n Amazonek na šachovnici n x n
Problémem n neohrožujících se amazonek na šachovnici n x n se jako první zabýval Bill Butler, na jeho stránce Durango Bill's - The N-Queens Problem najdeme
doposud známé výsledky. Na šachovnici 8x8 takové rozestavení pro Amazonky (označované zde jako Superqueen) není možné, ale od šachovnice 10x10 řešení
existují! Zkusil jsem vypočítat konstanty pro velká n pro amazonky podle prvních dvou hypotéz pro dámy (viz kapitola 1.1.1).
Hodnoty do n=20 vypočetl Durango Bill, hodnoty pro n=21 až 23 jsou převzaty ze stránky "The Oprisch Family Web Site" N x N SuperQueens Solutions Table,
hodnoty pro n=24,25,26 vypočetl Wolfram Schubert (2009-2011).
OEIS - A051223
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

Birger Nielsen

Rivin+Vardi+Zimmermann

n Amazons n x n
1
0
0
0
0
0
0
0
0
4
44
156
1876
5180
32516
2029001330622892497664492432
495864256
3977841852
34092182276
306819842212
2883202816808
28144109776812
286022102245804?

10.2177875229
0.2536469800
0.2571896108
0.2861405294
0.2780659430
0.2863046443
0.2922654623
0.2973799174
0.3013522738
0.3052738993
0.3090010139
0.3122951071
0.3156003918
0.3186994535
0.3215646055
0.3241760378
0.3266113124?
?

0.0602059991
0.1434663320
0.1693509629
0.2260322668
0.2314830981
0.2557679703
0.2754751459
0.2927699845
0.3076183338
0.3214276591
0.3341722647
0.3457263661
0.3566365819
0.3667617725
0.3761463830
0.3848344687
0.3929511251?
?

181.0000
60.9091
91.0256
39.292170.5784
70.094272.8069
72.0078
74.632277.0332
78.709479.104878.9333
78.9843
78.910278.449678.0279?
?

349
Velmi zajímavým problémem je otázka limity podílu počtu neohrožujících se dam a počtu neohrožujících se amazonek (obecně zůstává otevřený problém limity
podílu počtu neohrožujících se dam a počtu neohrožujících se kombinovaných kamenů dáma + skokan [r,s], více viz kap.12.2). Pro amazonky viz sloupec nejvíce
vpravo v tabulce na předchozí straně a graf vpravo). V grafu je na ose x hodnota n a na ose y hodnota tohoto podílu.
Zde bych navázal na hypotézy o asymptotickém průběhu funkce Q(n) z kapitoly 1.1.1
a budu považovat za všeobecně přijatou hypotézu Birgera Nielsena

kde p je konstanta (zpřesněná proti původnímu odhadu na p = 0.389068...)Označme nyní limitua předpokládejme, že jde o konstantu.
Evidentně je(každá pozice neohrožujících se amazonek je současně i pozicí neohrožujících se dam)
Budeme-li dále předpokládat, že asymptotický průběh funkce A(n) je
dostaneme

Pro n jdoucí k nekonečnu může mocninný člen nabývat pouze tří hodnot: 0, 1 nebo nekonečno v závislosti na podílu p/b. Případy 0 a nekonečno jsou však vyloučenypředchozími podmínkamiNutně proto musí být,
Dostáváme tak tuto hypotézu (podstatné je to, že konstanta p musí být identická jako pro dámy)
Conjecture (Václav Kotěšovec, 3.1.2011)

350

7.1.2) n pieces Queen+Nightrider on an n x n chessboard - n kamenů dáma+tátoš na šachovnici n x nNa doplnění je možno uvést, že je možné i rozestavení n neohrožujících se kamenů s ještě trochu větší pohyblivostí. Vezmeme-li kámen, který je kombinací dámy atátoše (Queen + Nightrider, něm. Nachtreiterin, franc. Eléphant), jsou taková rozestavení možná od šachovnice 10x10, více viz A102388, kde najdeme hodnoty až
do n=19. Zabývali se tím v roce 2005 v té době studenti Stefan Wernli a Peter Syski (jejich práci na Harvardu vedl Noam Elkies). Citovaná internetová stránkabohužel už neexistuje, ale dá se najít alespoň nějaká verze na archive.org (najdeme tam i výstupy z programu s výčty vyhovujících pozic).
Svým rychlejším programem v assembleru jsem dopočítal hodnoty pro n = 20 až n = 28, určitě zaujme extrémně malý počet vyhovujících pozic. Viz také kap.12.4
Hodnoty pro n = 29 až n = 33 vypočetl (s využitím víceprocesorových systémů) Wolfram Schubert, 24.7.2011 (27.5.2012 pro n = 33).

nn Elephants on an n x n chessboard(Queen + Nightrider)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

1
0
0
0
0
0
0
0
0
4
44
6
78
8
16
18
234
124
468

OEIS - A102388

S. Wernli + P. Syski (2005)

20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

516
882
2092
7068
22794
85456
275732974048369824214120996
59531852
252272512
1163430462
5229335374?

V. Kotěšovec (17.6.2010)

V. Kotěšovec (2.2.2011)

W. Schubert (24.7.2011)
W. Schubert (27.5.2012)

351
Co se týče možných rozestavení k těchto kombinovaných kamenů dáma + tátoš na šachovnici n x n je situace ještě složitější než v případě tátošů. Poměrně snadno
jde odvodit vzorce pro k=2 a k=3 (kde hloubka rekurence vzroste z 31 na 39), ale pro k=4 bude tato hloubka už tak velká, že není možné vypočítat nezbytný početčlenů posloupnosti.
2 elephants, board n x n: (Christian Poisson, Rex Multiplex 30/1990, p. 915, formula 30)
pokud je n sudé (if n is even)pokud je n liché (if n is odd)
nebo jedním vzorcem

Generating function:

Recurrence:

3 elephants, board n x n: (Václav Kotěšovec, 10.12.2012)

Generating function:-(8*x^5*(29*x^33 + 69*x^32 + 236*x^31 + 425*x^30 + 995*x^29 + 1413*x^28 + 2781*x^27 + 3313*x^26 + 5818*x^25 + 6146*x^24 + 9799*x^23 + 9517*x^22 + 13958*x^21 + 12613*x^20 +
17162*x^19 + 14550*x^18 + 18293*x^17 + 14682*x^16 + 16930*x^15 + 12910*x^14 + 13679*x^13 + 9784*x^12 + 9572*x^11 + 6351*x^10 + 5651*x^9 + 3447*x^8 + 2684*x^7 + 1471*x^6 +962*x^5 + 434*x^4 + 227*x^3 + 72*x^2 + 24*x + 3)) / ((x-1)^7*(x+1)^4*(x^2+1)^2*(x^2-x+1)^2*(x^2+x+1)^2*(x^4-x^3+x^2-x+1)^2*(x^4+x^3+x^2+x+1)^2)
Recurrence:

352
n 2 elephants 3 elephants

4 elephants

27

21902435987944

3619335608

1

0

0

0

28

25516445764880

5064486804

2

0

0

0

29

29556857642688

6986996304

3

0

0

0

30

34062072006128

9526083808

4

20

0

0

31

39060089211928 12831899298

5

80

24

0

32

445920 109741032 17109741850

6

228

264

44

33

506880 134035576 22577678226

7

504

1248

694

34

573920 162686680 29529598956

8

984

4408

5710

35

647360 196234696 38274199550

9

1728

12136

29214

36

727668 235397080 49222617778

10

2840

29072

11365637815184 280824384 62800778644

11

4400

61720

35967038

910404 333378296 79572698334

12

6540

12122499680639

1013688 393835392 100116501420

13

9360

2209122429260401125560 463217624

?

14

13020

382696

546620241

1246400 542441728

?

15

17640

63121611368236

421376760 632710832

?

16

23408

100385622328526

43

1517040 735098024

?

17

30464

15410404146432044

1667820 851006632

?

18

39024

230267273920094

45

1829520 981683264

?

19

49248

3350368

126415710

46

2002748 1128751968

?

20

61380

4773632209541980

47

2187944 1293651448

?

21

75600

6661928

336414898

48

2385744 1478249528

?

22

92180

9142640526918346

49

2596608 1684193056?

2311132012341024

804869706

50

2821200 1913617560?

2413332016431832

1205123916

25

15840021583160

1767856304

2618688828028064

2550884132

3537.2) k Amazons (superqueens) on an k x n chessboard - k Amazonek na šachovnici k x n
Na stránce The Oprisch Family Web Site nalezneme hodnoty pro šachovnice k x n, včetně vzorců pro k = 2,3,4,5,6,7 a tabulek hodnot. Vzorec pro k=8 je nový.

2 amazons, board 2 x n: n>=2

3 amazons, board 3 x n: n>=4A174642 - 4 amazons, board 4 x n: n>=7

A174644 - 5 amazons, board 5 x n: n>=12

A174645 - 6 amazons, board 6 x n: n>=17

A174646 - 7 amazons, board 7 x n: n>=24

A178372 - 8 amazons, board 8 x n: (Václav Kotěšovec, 26.5.2010) n>=31

Obecně má polynom tvar:

354

k

k Amazons on an k x n chessboard - Generating function

2

3

4

5

6
7

2x^9*(8x^22-4x^21-9x^20+102x^18-138x^17+29x^16+592x^15-1610x^14+2772x^13-3091x^12+3178x^11-2049x^10+1312x^9-625x^8+1438x^7449x^6+388x^5+403x^4+148x^3+82x^2+42x+1)/(x-1)^8

8-2x^10*(72x^29-244x^28+40x^27+1379x^26-3400x^25+4619x^24-6525x^23+10407x^22-8879x^21-901x^20+4213x^19+10475x^1833273x^17+60823x^16-90147x^15+109862x^14-106589x^13+92686x^12-68408x^11+45714x^10-16426x^9+999x^8+9801x^71850x^6+2355x^5+1922x^4+826x^3+461x^2+132x+16)/(x-1)^9355

n 2 am. 3 am.
1

0

0

20

306

3360

30420

2387361646446

973190849208658

8 amazons

21

342

4080

40572

351384

268621217735888

101004522

0

0

22

380

4896

53100

5038884238086

30999920

197024206

4 am. 5 amazons 6 amazons 7 amazons
0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

23

420

5814

68352

706232649258052234274

367556982

3

0

0

0

0

0

0

0

24

462

6840

86700

9699849690846

85210284

659230078

4

2

0

0

0

0

0

0

25

506

7980 108540

130841614133316

135059570

1141734758

5

6

0

0

0

0

0

0

26

552

9240 134292

173662420189062

208627984

1916570390

6

12

0

0

0

0

0

0

27

600 10626 164400

227164828305876

314889330

3128196492

28

650 12144 199332

2932592

39021070

465423908

4978021504
7741704218

7

20

6

0

0

0

0

0

8

30

24

12

4

0

0

0

29

702 13800 239580

374074452972996

674966914

962031720 11790289180

9

42

60

60

40

16

2

0

30

756 15600 285660

471969670913286

10

56

120

180

204

170

100

32

31

812 17550 338112

589546493719812 1349613074 17615725002

11

72

210

432

708

920

908

552

32

870 19656 397500

7296608

122410366 1865975260 25861362960

33

930 21924 464412

8954352158157060 2545530258 37358068642

12

90

336

900

1968

3512

4872

4738

13

110

504

1692

4712

10896

19818

27110

34

992 24360 539460

10902704

202301446 3429810944 53166624036

35 1056 26970 623280

13178576

256370356 4568544370 74627135274

14

132

720

2940

10064

29020

66864

119602

15

156

990

4800

19656

68550

19392643764036 1122 29760 716532

15821904

322092462 6020830164 103416201832

16

182

1320

7452

35744

1472404989241376504

37 1190 32736 819900

18875768

401415556 7856429090 141612643650

17

210

1716

11100

61328

29299611655443835578

38 1260 35904 934092

22386512

496524550 10157166808 191772622812

18

240

2184

15972

10027254759025170369697416

39 1332 39270 1059840

26403864

609860196 13018457874 257015036746

508943022605024

40 1406 42840 1197900

30981056

744138526 16550955020 341118100224

19

272

2730

22320

1574249709963567.3) k Amazons on an n x n toroidal chessboard - k amazonek na prstencové šachovnici n x n
A178972 - 2 amazons, toroidal board n x n: (Václav Kotěšovec, 1.1.2011), n>=5

Alternative formula:

A178973 - 3 amazons, toroidal board n x n: (Václav Kotěšovec, 1.1.2011), n>=7

Alternative formula:

A178974 - 4 amazons, toroidal board n x n: (Václav Kotěšovec, 1.1.2011), n>=10

Alternative formula:

357
A178975 - 5 amazons, toroidal board n x n: (Václav Kotěšovec, 2.1.2011), n>=15

Alternative formula:První členy těchto vzorců mají tvar:

pro sudé (even) n

pro liché (odd) n

358
Podobně jako na normální šachovnici (viz str. 345) jsem se zabýval ještě i diferencí počtu dam a amazonek na prstencové šachovnici. Zdá se, že hypotéza o posunu
denominátorů bude platit i zde (tedy že denominátor pro rozdílovou funkci k dam - k amazozek dělí denominátor pro k-1 dam). Asymptotický rozvoj funkce rozdílu
počtu neohrožujících se dam a amazonek na prstencové šachovnici má shodný první člen jako na normální šachovnici, viz vzorec.

kdenominator for sequence(k queens - k amazons) on a toroidal board

denominator for k queens on a toroidal board

2
3
4
5

k

k Amazons on an n x n toroidal chessboard - Generating function

232x^7*(162x^30 - 350x^29 - 1488x^28 - 718x^27 + 2389x^26 + 6635x^25 + 6157x^24 - 3372x^23 - 15873x^22 - 22215x^21 - 8561x^20 + 23622x^19 + 55919x^18 + 38469x^17 - 91949x^16 -4 461696x^15 - 1076702x^14 - 1978832x^13 - 2858196x^12 - 3576618x^11 - 3727323x^10 - 3419559x^9 - 2634463x^8 - 1782420x^7 - 988307x^6 - 472291x^5 - 171451x^4 - 53262x^3 10265x^2 - 1713x - 49) / ((x-1)^9*(x+1)^7*(x^2+1)^3*(x^2+x+1)^3)

5-2x^8*(1176x^64 + 5556x^63 + 15132x^62 + 28428x^61 + 39340x^60 + 30066x^59 - 16046x^58 - 97562x^57 - 191158x^56 - 227584x^55 - 150082x^54 + 56017x^53 + 289119x^52 +
339896x^51 + 45336x^50 - 611255x^49 - 1380704x^48 - 2278261x^47 - 3764650x^46 - 7542849x^45 - 7704482x^44 + 18495516x^43 + 165924351x^42 + 637466559x^41 + 1903273538x^40+ 4724140916x^39 + 10422040024x^38 + 20690172375x^37 + 37875420877x^36 + 64238796480x^35 + 102190978070x^34 + 152823563437x^33 + 216401077492x^32 + 290462738417x^31+ 371272897408x^30 + 452086367452x^29 + 526060962825x^28 + 584865148004x^27 + 622627590675x^26 + 634259897550x^25 + 619201117902x^24 + 578669435625x^23 +
518210895306x^22 + 443951015905x^21 + 364069798686x^20 + 285127462600x^19 + 213313173667x^18 + 151952471981x^17 + 103062047860x^16 + 66251579160x^15 +
40354587182x^14 + 23135311545x^13 + 12479773177x^12 + 6269223018x^11 + 2933204824x^10 + 1256492269x^9 + 493760966x^8 + 172473531x^7 + 54013568x^6 + 14176791x^5 +3222186x^4 + 525572x^3 + 74355x^2 + 4605x + 320) / ((x-1)^11*(x+1)^9*(x^2+1)^5*(x^2-x+1)^3*(x^2+x+1)^5*(x^4+x^3+x^2+x+1)^3)

Polynomy v čitateli vytvořujících funkcí mají větší stupeň než polynomy ve jmenovateli protože vytvořující funkce zahrnuje i několik prvních členů posloupnosti,
pro které explicitní vzorce ještě neplatí. Rekurence jsou identické jako pro dámy na prstencové šachovnici, viz tabulka na str. 59.

359
n 2 amazons

3 amazons

4 amazons

5 amazons

1

26

19198430341584

2980849040

192694385416

27

22453238718648

4177648224

298703838186

2826185649401408

5886858432

469581881888

2

0

0

0

3

0

0

0

0

29

30276061880780

8032809818

702148696580

4

0

0

0

0

30

34920077504400

11012886000

1062719841960

5

0

0

0

0

31

39977695550308

14689386642

1541332566284

6

144

0

0

0

32

456704117788672

19674427392

2259300468736

7

392

588

98

0

33

518364143225280

25732782504

3192255589842

8

896

3328

3328

640

34

587248174144464

33779841296

4552716843720

9

1620

9720

17496

7290

35

661500209210400

43433208000

6288527141890

10

2800

27600

99600

12364036743904251325504

56027023488

8758324830240

11

4356

59048

31605264057437832352298732228

70963952198

11859789616944

12

6624

1249921041408

386928038929936355068048

90145026976

16178716174856

13

9464

2264602501538

1295013239

1034280418062060 112667956362

21527161542900

14

13328

40846461575364702236040

1148800

492217600 141187744000

28834708173440

15

18000

66690012531150

123467040

41

1270836574646488 174379462912

37773191445530

16

24064

108646425938944

340840960

421404144670863312 215885672352

49780670731848

17

31212

165076847168268

759697190

431545764777245640 263807872228

64307550066622

18

40176

250516886938272

1758672648

441699808

900480064 323063998400

83528153266976

19

50540

3610000

145818008

3494388306

451863000 1036079100 390991159350 106553668230360

20

63200

5198400

247240000

7150739360

462039824 1192078224 474133897440 136604763586888

21

77616

7191828

390084786

13041285516

47

2226672 1362979508 568826958938 172286566874516

22

94864

9945232

620964256

24354594440

48

2428416 1558361088 683665993728 218281816392192

23

11426413320220

933865918

41566378136

49

2641100 1771553840 813689747388 272457414844118

2413708817835264

1414946304

72345297024

50

2870000 2013890000 970053690000 341507953841000

2516250023265000

2047225000

117101090250

360

7.3.1) n Amazons on an n x n toroidal chessboard - n amazonek na prstencové šachovnici n x nTímto problémem se pravděpodobně ještě nikdo nezabýval (i když zbývající trojice kombinací dámy/amazonky-normální/prstencová šachovnice byla studována
velmi intenzivně). O tom, na jakých rozměrech šachovnic jsou taková rozestavení vůbec možná, viz str. 62 (pro n > 10 jsou v tomto výsledky pro amazonky shodné
jako pro dámy na prstencové šachovnici). Vygeneroval jsem sérii prvních hodnot a uvádím opět i hodnoty koeficientů pro asymptotické porovnání, více o tom viz
str. 348. Pro podobný odhad limity podílu počtu neohrožujících se dam a počtu neohrožujících se amazonek jako v kap. 7.1.1 není zatím dostatek hodnot.
OEIS A178986
nn Amazons
toroidal n x n

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
44
0
1092
0
0
0
16932
0
24776
0
0
0
1881492
0?

Birger Nielsen

Rivin+Vardi+Zimmermann

10.253647

0.143466

2.00000

0.273524

0.209804

4.142860.226388

0.202160

8.30924

0.197215

0.180852

33.1166

0.184695

0.200337

68.4829

?
?

?
?

?
?

361

8.1) k Zebras on an n x n chessboard - k zeber na šachovnici n x n
Zebra je skokan [2,3]. Zebra is a leaper [2,3].
A172137 - 2 zebras, board n x n: (C. Poisson, Rex Multiplex 29/1990, p.829), n>=2

A172138 - 3 zebras, board n x n: (V. Kotěšovec, 24.1.2010), n>=6

A172139 - 4 zebras, board n x n: (V. Kotěšovec, 24.1.2010), n>=9A172140 - 5 zebras, board n x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=12První členy polynomu mají vždy tvar:

For maximal number of non-attacking zebras on an n x n chessboard, see chapter 14

362

k

k Zebras on an n x n chessboard - Generating function

2

3

4

x^2*(64x^15-376x^14+760x^13-650x^12+1478x^11-6838x^10+15166x^9-17006x^8+8858x^7-462x^62109x^5+1333x^4+1274x^3+70x^2+117x+1)/(1-x)^9

5

2x^3*(100x^19-648x^18+1450x^17-2126x^16+10452x^15-43872x^14+92798x^13-100834x^12+56460x^11-61636x^10+182288x^9303224x^8+275038x^7-128982x^6+21681x^5+1933x^4-13072x^3-2540x^2-323x-63)/(x-1)^11

n 2 zebras

3 zebras

4 zebras

5 zebras

1

12

9936

43796813873100

336828368

13

13756

71898027144408

789558314

1418582 1136092

50389581

1729320120

2

6

4

1

3

36

84

126

126

15

24576 1737376

89424014

3574328936

4

112

452

1168

2032

16

31912 2582576 152638280

7027309888

5

276

1772

7334

20502

17

40776 3744848 251834530 13226773092

6

582

5596

35749

160696

18

51366 5312620 403250693 23959787480

7

1096

14888

1379709298801963892 7391572 628798516 41954706558

8

1896

34640

43898441175202078576 10106736 957543164 71276149776

9

3072

72712

120824615037036

21

95652 13604716 1427453780 117848892710

10

4726

140716296938947368960

22 115366 18056028 2087456085 190142197976

11

6972

2550366662480132577826

363

8.1.1) n Zebras on an n x n chessboard - n zeber na šachovnici n x n

Number of ways to place n non-attacking zebras on an n x n chessboard is asymptotic (see chapter 13.1 for more)

Vzhledem k tomu, že celkový počet možných rozmístění n zeber na šachovnici n x n (bez ohledu na to, zda se ohrožují či nikoliv) je
4, je pro velká npravděpodobnost, že se při náhodném rozmístění n zeber na šachovnici n x n nebudou žádné 2 napadat, rovna asymptoticky 1/e = 0.0183156...
(Poznámka: pro numerické ověření tohoto vzorce by bylo ovšem potřeba vypočítat mnohem více hodnot než zatím jen 10 vypočtených)n n zebras, board n x n, A244284
1
1
2
6
3
84
4
1168
5
20502
6
525796
7189397088802444170
938934305898
102170312156170
11
?

364

8.2) k Zebras on an k x n chessboard - k zeber na šachovnici k x n
2 zebras, board 2 x n: =all combinations
A172221 - 3 zebras, board 3 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=6

A172222 - 4 zebras, board 4 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010) , n>=9A172223 - 5 zebras, board 5 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=12

A172224 - 6 zebras, board 6 x n: (V. Kotěšovec, 26.1.2010), n>=15

První členy těchto vzorců mají obecně tvar

365kk Zebras on an k x n chessboard - Generating function

2

3

4
5
-x(32x^20-48x^19-84x^18-1004x^17+3350x^16-802x^15+3364x^14-32132x^13+42540x^12+3538x^11+10674x^10-126767x^9+151663x^8-20769x^734421x^6+9539x^5+40807x^4-6284x^3+2542x^2+917x+1)/(x-1)^7

6

n 2 zebras 3 zebras 4 zebras

5 zebras

6 zebras

13325

8413 202072

4857000 119351315
7344010 197524064

1

1

1

1

1

1

14

378

10616 278828

2

6

20

70

252

924

15

435

13176 375856 10771530 314935542

3

15

84

406

1925

8989

16

496

16120 496484 15387310 486171662

4

28

200

1168

6534

37270

17

561

19475 644296 21479725 729604121

5

45

403

2948

20502

14523318630

23268 823132 29380900 1068003424

6

66

720

6576

57710

52579619703

27526 1037088 39469835 1529198580

7

91

1180

13122

142312160549020

780

32276 1290516 52175530 2146783422

8

120

1808

23808

308254413695221

861

37545 1588024 67980110 2960869583

9

153

2631

40168

606051943541322946

43360 1934476 87421950 4018886128

10

190

3676

63996

1105332

19632414

23

1035

49748 2334992 111098800 5376425842

11

231

4970

97344

189789937957424

24

1128

56736 2794948 139670910 7098138174

12

276

6540 142516

3100250

69050898

25

1225

64351 3319976 173864155 9258668837

3668.3) k Zebras on an n x n toroidal chessboard - k zeber na prstencové šachovnici n x n
2 zebras, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=7

3 zebras, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=7

4 zebras, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=13

5 zebras, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=14

Vzorce pro 2, 3, 4 a 5 zeber jsou identické jako pro jezdce na prstencové šachovnici (posloupnosti se liší pouze v úvodních členech), od k=6 se však obě skupiny
vzorců začínají odlišovat. Více viz kap.10.8. Formulas for 2, 3, 4 and 5 zebras are identical as for knights on a toroidal chessboard, but since k=6 are different.
6 zebras, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 6.1.2011), n>=19

První členy těchto vzorců mají obecně tvar

367

k

k Zebras on an n x n toroidal chessboard - Generating function

2

3

4

x^4*(432x^17 - 3888x^16 + 17052x^15 - 49788x^14 + 108624x^13 - 182160x^12 + 247608x^11 - 356352x^10 + 682544x^9 - 1270926x^8 +1739265x^7 - 1610243x^6 + 964332x^5 - 342152x^4 + 56781x^3 - 783x^2 - 1798x - 228) / (x-1)^9-x^4*(1352x^20 - 63832x^19 + 612920x^18 - 3022280x^17 + 9696256x^16 - 22654080x^15 + 40943784x^14 - 58838844x^13 + 67937299x^12 64367961x^11 + 53994081x^10 - 46043623x^9 + 41715592x^8 - 34828904x^7 + 22905810x^6 - 10722754x^5 + 3196673x^4 - 469891x^3 +533177x^2 + 5337x + 128) / (x-1)^11

6

4x^4*(540x^27 - 7020x^26 + 45960x^25 - 203985x^24 + 683685x^23 - 1846130x^22 + 5014670x^21 - 18305760x^20 + 72929585x^19 238101716x^18 + 596116889x^17 - 1161184972x^16 + 1804775813x^15 - 2280577967x^14 + 2363014284x^13 - 2006868880x^12 +
1393003713x^11 - 797483716x^10 + 394944745x^9 - 187107010x^8 + 90606893x^7 - 41314636x^6 + 15435629x^5 - 4190091x^4 + 495979x^3- 41215x^2 - 1593x - 14) / (x-1)^13

368
k zebras / toroidal board
n 2 zebras 3 zebras

4 zebras

5 zebras

6 zebras

7 zebras

1
2

2

0

0

3

18

6

0

0

0

0

4

88

208

228

128

56

16

5

250

1300

3850

6745

7100

4450

6

558

4908

27225

100332252792442980

7

980

10584

68796

2839067645961359288

8

1760

27584

2758881872064

897289631404480

9

2916

61992

872532864318662560728

339256836

10

4550

125300234552531809320

325631900

2591812000

11

6776

233772558076298179400

1323868260

14053530964

12

9720

40958412107628

267536880

4598530296

63185049648

13

13520

68208424392446

659014148

13999957296

240344165256

14

18326

108917246261537

1496908840

38413461800

803630856504

15

24300

1678800

83426400

3179369070

96746398800 2416669791300

16

31616

2510592

144157632

6382030592

226834407552 6655251717376

17

40460

3657584

240119696

12207535134

500492554772 17015561803876

18

51030

5208084387393921

22396355496

1048044367080

?

19

63536

7267652607715342

39617305308

2096986607648

?

20

78200

9961200

929951100

67860021680

4031211244200?

2195256 13435212 1391849802 112956057144

7479454031784?

22

114950 17860084 2042092921 183260096008 13444475606408?

23137540 23432584 2942680996 290528248402 23488010713484?

24

163296 30378432 4171689072 451036403136 39990864999456?

25

192500 38955000 5826427500 686988268250 66512828917500?

26

225446 49454132 8027045897 1028270026056 108283461142376?

27

262440 62205084 10920619746 1514616507792 172862430028344?

28303800 77577584 14685760796 2198262481968 271017166643048?

29349856 95985012 19537794102 3147162080324 417876267966864?

30400950 117887700 25734546225 4448869586280 634429601458200

?

369

9.1) k Wazirs on an n x n chessboard - k vezírů na šachovnici n x nVezír je [0,1] skokan. Pochází z čínského šachu. V novodobé historii publikoval první úlohu s ním T. R. Dawson 24.4.1913
v Cheltenham Examiner. Wazir is a leaper [0,1].
A172225 - 2 wazirs, board n x n: (C. Poisson, 1990)

A172226 - 3 wazirs, board n x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=2

A172227 - 4 wazirs, board n x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=3

A172228 - 5 wazirs, board n x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=4

A178409 - 6 wazirs, board n x n: (V. Kotěšovec, 27.5.2010), n>=5

370
A201507 - 7 wazirs, board n x n: (V. Kotěšovec, 2.12.2011), n>=6

A201508 - 8 wazirs, board n x n: (V. Kotěšovec, 2.12.2011), n>=7

A201510 - 9 wazirs, board n x n: (V. Kotěšovec, 2.12.2011), n>=8První členy polynomu mají tvar

Maximal number of non-attacking wazirs on an n x n chessboard is, see chapter 14 for more.
For number of ways to place k non-attacking wazirs on a 1 x n chessboard, see chapter 2.1.1

371

k

k Wazirs on an n x n chessboard - Generating function

2

3

4

5

6
7

2*x^4*(5*x^16 - 31*x^15 + 193*x^14 - 1683*x^13 + 5093*x^12 + 12431*x^11 - 111239*x^10 + 214181*x^9 + 187845*x^8 - 1518841*x^7 + 2546483*x^6 - 775465*x^5 6212549*x^4 - 2702167*x^3 - 286637*x^2 - 6249*x - 10) / (x-1)^15

8-x^4*(12*x^19 - 122*x^18 + 1130*x^17 - 6776*x^16 + 11180*x^15 + 33894*x^14 + 82772*x^13 - 1938093*x^12 + 7575029*x^11 - 10487057*x^10 - 11993287*x^9 +70715064*x^8 - 109013258*x^7 + 41757444*x^6 + 331980470*x^5 + 173609451*x^4 + 25561181*x^3 + 1022241*x^2 + 7123*x + 2) / (x-1)^17

9x^5*(14*x^21 - 226*x^20 + 2514*x^19 - 15414*x^18 + 54363*x^17 - 241813*x^16 + 1440666*x^15 - 4412622*x^14 - 2699713*x^13 + 64333547*x^12 - 202456488*x^11 +
209746960*x^10 + 407620979*x^9 - 1743413585*x^8 + 2469587594*x^7 - 1465834094*x^6 - 9995512037*x^5 - 6126508561*x^4 - 1179686478*x^3 - 74030494*x^2 1198134*x - 2578) / (x-1)^19

372

n 1wazir 2 wazirs 3 wazirs

4 wazirs

5 wazirs

6 wazirs

7 wazirs

8 wazirs

9 wazirs

10 wazirs

summed over all k >= 0, A006506

1

1

2

4

2

2

3

9

24

22

6

1

0

0

0

0

4

16

96

276

405

304

114

20

2

0

0

1234

5

25

260

1474

5024

10741

14650

12798

7157

2578

618

55447

6

36

570

5248

31320

1279603688687631441143638

1247116

9917505598861

7

49

1092

14690

1335448705894216498

15516804

44031035

97284860

168434824

1280128950

8

64

1904

35012

446421419745630222074

170842828

771464278

2817340064

8395593732

660647962955

9

81

3096

74326

1258590

16005187

158918030

1264750240

8219304992

44218721793

198973974774

770548397261707

10

100

4770

144544312672451439096

669582340

7084450248

62114308624

457851259868

2868879752822

2030049051145980050

11

121

7040

2623987042930

145085447

2387463550

32251861624

364798895986

3506596268191

28976973404126

12083401651433651945979

12

144

10032

45058014669709

369074128

7470004954

125030824732

1765597908290

21355746900992

223875748457940

162481813349792588536582997

13

169

13884

73900228658436

863338777

21036576578

426265242412

7329246973785

108582220087480

1402736998276334

4935961285224791538367780371090

14

196

18746 1166176

53069000

1883786680

54315955588

1308045124808

26849172347850

477032549147428

7425470237502314

338752110195939290445247645371206783

15

225

24780 1780714

93909924

3875953561

130382565930

3675893768908

88645482921449

1857084405493128

34211618699877534

52521741712869136440040654451875316861275

16

256

32160 2642948 159819965

7583888944

294116445082

9586626461484

268042562131202

6529640029479296

140292065573112244

18396766424410124752958806046933947217821482942

17

289

41072 3826670 262913874 14206566327

751635857876290 21044674478336823

520941837886274222

14557601701834111295974187104248827765798599152358303

18

324

51714 5420992 419816676 25617069208 1282821452132 54219244028296 1974215715426992 62903854631232636 1775596290786666966 26024585612650837861658126921792857026992497268285945167621

0

0

7

628800849110 23445303141400

63(wrong values in this table for 4 wazirs on 3x3 and 5 wazirs on 4x4 in 3rd edition were corrected in 4th edition)

Values for 19 <= n <= 35 see OEIS

Poslední sloupec určuje počet rozmístění libovolného počtu neohrožujících se vezírů na normální šachovnici n x n, viz sekvence A006506 - Number of nonattacking princes on an n x n board, where a "prince" attacks the four adjacent (non-diagonal) squares. Názvem "Prince" je zde označován vezír (Prince = Wazir).
Pokud v tabulce výše sečteme vždy všechna čísla v celé řádce (až do hodnoty 0), platí, že tento součet je roven A006506(n) - 1. Rozdíl o 1 je způsoben tím, žev sekvenci z OEIS se započítává ještě i případ k=0. Tedy např. pro n=4 dostáváme pro k = 1 až 8 součet 1233, A006506(4) = 1234. Hodnoty této sekvence jsou
známy až do n<=35, viz OEIS. Na výpočtu této sekvence se podíleli R. H. Hardin, Paul Zimmermann (1996), Robert Gerbicz (16.6.2011), P. Butera a M. Pernici(2014). Asymptotické chování je následující (Brendan McKay, 2003):
1.50304808247533226... je tzv. Hard square entropy constant, což nás dostává od šachu, např. do teorie kódování, komprese dat a samo-opravných kódů. Na
43 desetinných míst ji vypočetl v roce 1998 R. J. Baxter, viz Planar Lattice Gases with Nearest-Neighbour Exclusion. Annals of Combinatorics, 3/1999, str. 191-203
nebo OEIS A085850. Viz též S. R. Finch, Several Constants Arising in Statistical Mechanics (1999), str.7. O podobné konstantě pro krále viz str. 69.
Metodou druhých diferencí dostaneme z vypočtených hodnot naší sekvence pro tuto konstantu velmi dobrý odhad:

373

9.1.1) k semi-wazirs on an n x n chessboard - k semi-vezírů na šachovnici n x n
Two semi-wazirs do not attack each other if they are in the same column.
Tato úloha je spíše matematická než šachová. Semi-vezír je poloviční vezír, který se může pohybovat s krokem [1,0] nebo [-1,0], zůstává
tedy pouze ve svém řádku. Z matematického pohledu jde o počet čtvercových binárních matic n x n (matic obsahujících pouze nuly ajedničky) takových, že v žádném řádku nejsou vedle sebe dvě jedničky.
The numbers of n x n binary matrices with no adjacent 1s in rows.
Pro jeden řádek byla úloha již vyřešena v kapitole 2.1.1. Odtud vyplývá, že maximální počet nenapadajících se semi-vezírů na šachovnici
n x n je, více viz tabulka na str. 776. Jednoduchá kombinatorická úvaha pak vede ke vzorci pro počet pozic

kde suma součinů je přes všechna taková kj (partitions), že

V programu Mathematica se dá efektivně počítat takto (program je funkční pro libovolná k, n).
(* k non-attacking semi-wazirs, normal booard n x n *)(* V. Kotesovec, 2011 *)permopak[part_,k_]:=(hist=ConstantArray[0,k];Do[hist[[part[[t]]]]++,{t,1,Length[part]}];(Length[part])!/Product[(hist[[t]])!,{t,1,k}]);waz1n[k_,n_]:=(If[n-k+1<k,0,Binomial[n-k+1,k]]);semiwaz[k_,n_]:=(psum=0;Do[p=IntegerPartitions[k,{size}];
psum=psum+Sum[permopak[p[[i]],k]*Binomial[n,Length[p[[i]]]]*Product[waz1n[p[[i,j]],n],{j,1,Length[p[[i]]]}],{i,1,Length[p]}],{size,1,n}];psum);(* example, table for k=5 *)Table[semiwaz[5,n],{n,1,20}]

374
Pro pevná k odtud dostáváme následující polynomy
2 semi-wazirs, board n x n:
3 semi-wazirs, board n x n: (n > 1)

4 semi-wazirs, board n x n: (n > 2)

5 semi-wazirs, board n x n: (n > 3)

6 semi-wazirs, board n x n: (n > 4)

7 semi-wazirs, board n x n: (n > 5)

8 semi-wazirs, board n x n: (n > 6)

9 semi-wazirs, board n x n: (n > 7)a snadno jdou vypočítat další...

375
V případě většiny ostatních kamenů bylo vždy možné určit jenom několik prvních polynomů, z čehož
se špatně odhadují nějaké obecné vlastnosti. V případě semi-vezírů jsem vygeneroval všechny
polynomy až do k=50, což umožnilo lépe analyzovat rozložení jejich kořenů. Pokud si kořeny
zobrazíme jako body v komplexní rovině, dostaneme pro k=50 tento zajímavý graf (vpravo).
Následující graf představuje složení všech takovýchto grafů pro všechna k<=50. Nejvíce zajímavé jeto, že kořeny (resp. jejich reálná i imaginární část) jsou vesměs malá čísla (complex roots are small
numbers), i když koeficienty polynomů jsou (relativně) obrovská čísla. Např. pro k=50 je koeficientu n1 roven 266466977784275253706769552716/25 = 1.06587...*1028

376
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51

Re(z)
min
max
0
0
-2.00000000000000 1.00000000000000-2.68909532363766 2.00000000000000-3.16323449054253 2.37982765073838-3.53664870927712 2.82842712474619-3.85437816324293 3.12785481094194-4.14011708231415 3.46410161513775-4.40508519118707 3.72010560672373-4.65332371908249 4.00000000000000-4.88748057855974 4.22749233761235-5.10977163741683 4.47213595499958-5.32182596643449 4.67900202859270-5.52493752571235 4.89897948556636-5.72015334884045 5.09000998422126-5.90832689777928 5.29150262212918-6.09016993683826 5.46987229880604-6.26628130590865 5.65685424949238-6.43717103811008 5.82479754870214-6.60327781041473 6.00000000000000-6.76498204217281 6.15916101010286-6.92261628949468 6.32455532033676-7.07647321906509 6.47618589236320-7.22681202341951 6.63324958071080-7.37386354252100 6.77832923884533-7.51783442375873 6.92820323027551-7.65891053166208 7.06751564105203-7.79725975965438 7.21110255092798-7.93303437366096 7.34528638687437-8.06637297521172 7.48331477354788-8.19740215916884 7.61289874078194-8.32623792125050 7.74596669241483-8.45298686029262 7.87139436641556-8.57774721070222 8.00000000000000-8.70060973342814 8.12164787819716-8.82165848854670 8.24621125123532-8.94097150806705 8.36440215957575-9.05862138431183 8.48528137423857-9.17467578644875 8.60029461147364-9.28919791562346 8.71779788708135-9.40224690738244 8.82987702806518-9.51387818865997 8.94427190999916-9.62414379544733 9.05363089658219-9.73309265630969 9.16515138991168-9.84077084613470 9.27197934768760-9.94722181384559 9.38083151964686-10.0524865872714 9.48529661206174-10.1566039579140 9.59166304662544-10.2596106479716 9.69391559172898-10.3615414616580 9.79795897113271-10.4624294225856 9.89813398645379-10.5623058987491 10.0000000000000

Im(z)
min
max
0
0
0
0
-0.65071133746650 0.65071133746650-0.97187694510989 0.97187694510989-1.22550232918994 1.22550232918994-1.43970691555702 1.43970691555702-1.62708064466060 1.62708064466060-1.79470850189809 1.79470850189809-1.94706417266342 1.94706417266342-2.08718599435407 2.08718599435407-2.21724634542124 2.21724634542124-2.33885968884427 2.33885968884427-2.45326280788390 2.45326280788390-2.56142667862511 2.56142667862511-2.66412921529055 2.66412921529055-2.76200439369814 2.76200439369814-2.85557648102356 2.85557648102356-2.94528452942590 2.94528452942590-3.03150030707142 3.03150030707142-3.11454168755524 3.11454168755524-3.19468282342032 3.19468282342032-3.27216199611462 3.27216199611462-3.34718775683287 3.34718775683287-3.41994378996025 3.41994378996025-3.49059280797289 3.49059280797289-3.55927970237189 3.55927970237189-3.62613411636801 3.62613411636801-3.69127256324878 3.69127256324878-3.75480018425220 3.75480018425220-3.81681221778050 3.81681221778050-3.87739523552285 3.87739523552285-3.93662818888746 3.93662818888746-3.99458329994195 3.99458329994195-4.05132682403297 4.05132682403297-4.10691970583977 4.10691970583977-4.16141814640490 4.16141814640490-4.21487409538521 4.21487409538521-4.26733568015999 4.26733568015999-4.31884758136058 4.31884758136058-4.36945136272691 4.36945136272691-4.41918576185926 4.41918576185926-4.46808694735059 4.46808694735059-4.51618874690192 4.51618874690192-4.56352285029963 4.56352285029963-4.61011899053823 4.61011899053823-4.65600510587906 4.65600510587906-4.70120748522557 4.70120748522557-4.74575089885419 4.74575089885419-4.78965871625248 4.78965871625248-4.83295301257550 4.83295301257550-4.87565466502693 4.87565466502693

min
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Abs(z)
max
0
2.00000000000000
2.68909532363766
3.16323449054253
3.53664870927712
3.85437816324293
4.14011708231415
4.40508519118707
4.65332371908249
4.88748057855974
5.10977163741683
5.32182596643449
5.52493752571235
5.72015334884045
5.90832689777928
6.09016993683826
6.26628130590865
6.43717103811008
6.60327781041473
6.76498204217281
6.92261628949468
7.07647321906509
7.22681202341951
7.37386354252100
7.51783442375873
7.65891053166208
7.79725975965438
7.93303437366096
8.06637297521172
8.19740215916884
8.32623792125050
8.45298686029262
8.57774721070222
8.70060973342814
8.82165848854670
8.94097150806705
9.05862138431183
9.17467578644875
9.28919791562346
9.40224690738244
9.51387818865997
9.62414379544733
9.73309265630969
9.84077084613470
9.94722181384559
10.0524865872714
10.1566039579140
10.2596106479716
10.3615414616580
10.4624294225856
10.5623058987491

Tabulka minimálních a maximálních hodnot komplexních kořenů polynomů.
Table of minimal and maximal values of complex roots of the polynomials.
Z tabulky jde vypozorovat jednu pěknou závislost. Vidíme, že maximální hodnota
reálné části komplexních kořenů polynomu pro k=9 je přesně 4, podobně pro k=19přesně 6, pro k=33 přesně 8. Kvůli tomu jsem vygeneroval ještě polynom pro k=51,
kde se potvrdila očekávaná maximální hodnota reálné části rovna 10. Obecně pro tato
k dostáváme
Další analýzou zjistíme, že pro lichá k platí tato rovnost přesně, pro sudá k představuje
horní omezení (this equality is true if k is odd). Obecně mám tyto hypotézy:

Conjecture:

Maximum absolutní hodnoty zde nastává pro kořeny s nulovou imaginární částí
(a současně zápornou reálnou částí) - nejvíce vlevo v grafu na předchozí straně.

377
Všechny polynomy mají kořeny 0 a -2 a ještě jsem našel další typ kořenů, pro k=7 má polynom faktor n+4, pro k=11 faktor n+5, pro k=16 faktor n+6, pro k=22
faktor n+7, obecně proje v rozkladu vždy faktor (n+j) a tedy kořen -j.
Odtud dostáváme pro kořeny polynomu stupně k >1 ještě jiné nerovnosti

Roots in the complex plane378
Obecně mají polynomy tvar:Analýzou tohoto rozvoje zjistíme, že jde o dva součty členů u sudých a lichých mocnin n, které mají obecně tvar

379
Tyto řady jdou sečíst a dostaneme následující asymptotický rozvoj, který platí pro
Theorem (V. Kotěšovec, 15.10.2011)For
is asymptotics:.

Tento výraz vysvětluje (dlouho hledanou) vlastnost těchto vzorců, kdy pro konstantní k jsou to polynomy stupně 2k, ale chovají se zcela jinak pokud se k blíží k n.
Zajímavý je případ k = n (A197989), kdy využijeme příjemnou vlastnost předchozího rozvoje, který platí nejen pro konstantní k. Pokud půjde n do nekonečna,
dostaneme (při použití více členů)Nebo pomocí limity

Tento výsledek je i v očekávaném souladu s přesným vzorcem pro prstencovou šachovnici (viz kapitola 9.3.1) a potvrzují ho
i numerické výpočty, viz graf. Programem se mi podařilo vypočítat celkem 108 hodnot této posloupnosti. Numericky vychází pro
n=108 podíl (n^(2n)/n!/(e^(3/2)))/semiw(n,n) roven 0.987646812 (viz též graf vpravo), použijeme-li však Richardsonovu
extrapolaci (viz str. 328) z hodnot pro n=108 a n=54, dostaneme pro tuto limitu daleko "přesvědčivější" hodnotu 1.000007136.
Z předchozího (vícečlenného) asymptotického rozvoje dostaneme pro n=108 hodnotu podílu 0.9999999999180696424.
Vezmeme-li jen první člen z asymptotického rozvoje, platí

Ovšem další členy v asymptotickém rozvoji

se už liší, viz vzorce pro prstencovou šachovnici, str. 408.

Pravděpodobnost, že se n náhodně rozmístěných semi-vezírů na šachovnici n x n nenapadá, je asymptoticky 1/e = 0.36787944...

Speciálně, pokud bude k násobkem n,Např.

(v předchozím případě bylo p = 1), dostaneme asymptotický vzorec (analogický jako pro prstencovou šachovnici !)380
k semi-wazirs on an n x n normal board
n 1 semi-wazir 2 semi-wazirs 3 semi-wazirs 4 semi-wazirs 5 semi-wazirs
1

1

2

4

6 semi-wazirs

7 semi-wazirs

8 semi-wazirs

9 semi-wazirs

summed over all k >= 0, A067966
2

4

0

0

9

3

9

30

45

30

9

1

0

0

0

125

4

16

108

400

886

1200

972

432

81

0

4096

5

25

280

1855

8085

24395

52220

79955

87210

66780

371293

6

36

600

6144

43260

22209686033625670405970864

10888640

85766121

7

49

1134

16485

168882

1296666

774706836914493

142645986

452153709

52523350144

8

64

1960

38240

5338605679072

47864208

328111680

1863645610

8890099680

83733937890625

9

81

3168

79695

144926120300643

227916084

2107058382

16354667835

108131503623

350356403707485209

10

100

4860

152960350507062334600

895569840

10683763200

107951007285

937777163620

3833759992447475122176

11

121

7150

2749897740590

170024998

3034276388

45229655185

574582127548

6316160227520

109879109551310452512114617

12

144

10164

46872015882762

421688400

9134730304

166006498944

2582751119091

34934211312000

8243206936713178643875538610721

13

169

14040

76433530668365

967198323

24968004412

542530272310

10127030956575

164924925392435

1619152874321527556575810000000000000

14

196

18928

120064056267736

2077774496

62962498592

1610150067456

35467174384460

683471602342256

832607152514397063149538100851561865157289

15

225

24990

182656598829330

4221728490 148292556860

4405026252525

112946429869290

2539040231542430 1120917738905293103870369860777283473635634507093

16

256

32400

2702784167166120

8175994560 329361231840 11239138423680

331612553298996

8593278071800000

17

289

41344

3903455

273606517 15185829819 695151161940 26992778876550

907532979726751 26836546090431883

18

324

52020

5518080435034170 27188031384 1402982140416 61482683433600

2335641063247755 78130848473168700

19

361

64638

7653485674142686 47116420134 2721616944900 133637329976145

5693857545807180 213835437035567424

20

400

79420

10435920

1020932990 79312211440 5096473255280 278613624731200 13227388137276445 553994702130080640

n 1 semi-wazir 2 semi-wazirs 3 semi-wazirs 4 semi-wazirs 5 semi-wazirs

6 semi-wazirs

7 semi-wazirs

8 semi-wazirs

9 semi-wazirs

Součet přes všechna k (včetně 0) vede na sekvenci A067966 - Number of binary arrangements without adjacent 1's on n x n array connected North-South.
(R. H. Hardin, 2.2.2002)

kde Fn jsou Fibonacciho čísla. Důkaz tohoto tvrzení vyplývá ihned ze vzorce uvedeného v kapitole 2.1.1, kde byla úloha vyřešena pro jeden řádek. Je třeba si aleuvědomit, že nejde jednoduše sečíst polynomy ze strany 374 přes všechna k, protože tyto vzorce platí až pro n > k - 2 (jak je vyznačeno červenými čísly v tabulce na
této straně, kde vzorce ještě neplatí).

381

n

n semi-wazirs on an n x n board - A197989

1

1

2

4

3

45

4

886

5

24395

6

860336736914493

81863645610

9108131503623

107085585223652

11517329551346608

1241634263983867842

133661077644199252550

14349191617521920855488

1535902782820742394839453

163958207187579046500083794

17465777357329812920074875295

18

58266620372069873644711725620

197721111579747182071051919076265

201080403256362375339106535915829396

21

159187562602673111229234434047939620

2224634446232096688543775466106209926160

233994705831104764614732731905850633023550

24677366123256703389209019119914799451090546

25

119874228917166659201337589533529212509187240

26

22101805578830373780471452552593311610811547196

27

4238632724845543193197405964897784214451594341188

28

844248176062235259538802199518764901456642057665180

29174404920472800845185427802067853166371216767605843148

30 37319188464242336140878543420027369652393070904318324480

31-108382

9.1.2) n Wazirs on an n x n chessboard - n vezírů na šachovnici n x n
Rozklad ze str. 370 můžeme zapsat ve tvaru

Při k=n mají členy u lichých mocnin n v čitateli o 1 menší exponent a jdou asymptoticky k nule. Ze sudých členů dostáváme nekonečnou řaduTento rozvoj tak potvrzuje obecnější větu z kapitoly 13.1, kdy při počtu dostupných polí m=4 pro jednoho vezíra dostáváme

Number of ways to place n non-attacking wazirs on an n x n chessboard is asymptotic (for proof see chapter 13.1)(V. Kotěšovec, 29.11.2011)

V souladu s výsledky z kapitoly 13.1 je pravděpodobnost, že se n náhodně rozmístěných vezírů na šachovnici n x n
nebude ohrožovat, asymptoticky rovna 1/e2 = 0.13533528...

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

n wazirs, board n x n, A201511
1
2
22
405
10741
36886815516804
771464278
44218721793
2868879752822
207739939478618
16602826428818482
1451305771147909684
137715836041691050398
14096224186664736126206
1547966111897855935957132
181519663430661533452513680
22636566614411901986006002896
2991260293412670340723657327292
417505401489091140564902916137753?

Values forcomputed by Peter Tittmann

Je zajímavé, že hodnoty až do n=18 vypočítal Peter Tittmann při řešení trochu jiného problému, Polynomials of nxn Grid Graphs, jde o polynomy ve sloupci I(G,x) atuto stránku jsem objevil náhodně, když jsem na internetu hledal číslo 2868879752822. V matematice se občas stane, že se ukáže, že dva jinak formulované
problémy jsou vlastně shodné. Hodnoty pro n=19 a n=20 jsem vypočítal 30.8.2016 na počítači se 128 GB RAM, výpočet trval přes 90 hodin.

3839.2) k Wazirs on an k x n chessboard - k vezírů na šachovnici k x n
2 wazirs, board 2 x n:
A172229 - 3 wazirs, board 3 x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=2

A172230 - 4 wazirs, board 4 x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=3

A172231 - 5 wazirs, board 5 x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=4

A172232 - 6 wazirs, board 6 x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=5

A172234 - 7 wazirs, board 7 x n: (V. Kotěšovec, 29.1.2010), n>=6

A178410 - 8 wazirs, board 8 x n: (V. Kotěšovec, 27.5.2010), n>=7

384
První členy těchto vzorců mají obecně tvar

k
2

3

4

5

6

7
8

k Wazirs on an k x n chessboard - Generating function

385

n 2 wazirs 3 wazirs 4 wazirs

5 wazirs

6 wazirs

7 wazirs

8 wazirs

1

0

0

0

0

0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

3

8

22

61

174

504

1478

4374

4

18

84

405

1998

10010

50726

259289

5

32

215

1502

10741

78052

5737974255370

6

50

442

4072

38438

368868358192435093344

7

72

792

9091

107004

1280832

15516804

189681689

8

98

1292

17791

251354361234452550366

771464278

9

128

1969

31660

5225288774380

149162199

2559099153

10

162

2850

52442

99081619049692

370817854

7285273805

11

200

3962

82137 1748883

37898664

831571604

18416621598

12

242

5332 123001 2914894

70311824

1717417198

42342480425

13

288

6987 177546 4635639 123209012

3316210152

90097012004

14

338

8954 248540 7089658 205885204

6054985120 179755977430

15

392

11260 339007 10490366 330502992 10545491888 339666241815

16

450

13932 452227 15089178 512631720 17638773534 612682858064

17

512

16997 591736 21178634 771833276 28489610297 1061605357051

18

578

20482 761326 29095524 1132294540 44631652698 1776021648675

19

648

24414 965045 39224013 1623506488 68064067456 2880784715492

20

722

28820 1207197 51998766 2280989952 101350519742 4546364057835

386

9.2.1) k Wazirs on a 2 x n chessboard - k vezírů na šachovnici 2 x n
For board 1 x n see chapter 2.1.1
2 wazirs, board 2 x n:
3 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>=2
4 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>=3

5 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>=4

6 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>=5

7 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 19.10.2011), n>=6

8 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 19.10.2011), n>=7

9 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 19.10.2011), n>=8

387
10 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>=911 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>=10

12 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>=11

13 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>=12(2/6081075)*(n-12)*(4*n^12 - 576*n^11 + 38588*n^10 - 1589280*n^9 + 44788722*n^8 - 909298368*n^7 + 13627722944*n^6 - 151818923520*n^5 + 1247009052124*n^4 - 7360525736256*n^3+ 29618491468518*n^2 - 72913276083600*n + 82999796054175)
14 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>=13(2/42567525)*(n-13)^2*(4*n^12 - 624*n^11 + 45344*n^10 - 2028000*n^9 + 62129262*n^8 - 1372558512*n^7 + 22406173712*n^6 - 272149001280*n^5 + 2439511601644*n^4 15729508355184*n^3 + 69210466925184*n^2 - 186492025792800*n + 232613098935525)
15 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>=14(2/638512875)*(n-14)*(8*n^14 - 1568*n^13 + 144508*n^12 - 8296288*n^11 + 331314984*n^10 - 9731545824*n^9 + 216703409494*n^8 - 3714765037984*n^7 + 49237671450968*n^6 501946235799008*n^5 + 3872440873358148*n^4 - 21914710055548128*n^3 + 85962797228782440*n^2 - 209128894313724000*n + 237969610310557125)
16 wazirs, board 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>=15(2/638512875)*(n-15)^2*(n^14 - 210*n^13 + 20755*n^12 - 1278900*n^11 + 54860197*n^10 - 1732154550*n^9 + 41492783015*n^8 - 765678391800*n^7 + 10932594150653*n^6 120142118488770*n^5 + 999858846269255*n^4 - 6108194394000300*n^3 + 25883570646539649*n^2 - 68074610880004470*n + 83807007880070475)

388
Obecně mají polynomy tvar:Analýza koeficientů u nejvyšší mocniny k u každého členu vede k rozvoji

Sečtením této řady dostáváme (pro konstantní k) asymptotický vzorec

389

I pro vezíry na šachovnici 2 x n jsem zkoumal rozložení komplexních kořenů polynomů aobjevil jsem důležité vlastnosti. Body v grafu odpovídají kořenům všech polynomů pro
1<=k<=16, přičemž případ k=16 (označený červenými body) je vybrán k demonstraci
tvrzení, že pro všechny kořeny z platí
For all roots z of the polynomial for k non-attacking wazirs on a normal chessboard 2 x n(V. Kotěšovec, 22.10.2011)
Všechny polynomy stupně k mají (podle základní věty algebry) celkem k komplexníchkořenů (pokud počítáme násobnosti případných vícenásobných kořenů), z nichž je v tomtopřípadě jedním z nich i reálný kořen k-1 (s nulovou imaginární částí), pro sudá k je tentokořen dvojnásobný (což je názorně vidět v rozkladech polynomů na předchozí straně av grafu jsou tyto kořeny označeny větším puntíkem). If k is even then (real) root k-1 is twice.
I když jde o trochu jinou problematiku, samozřejmě musí každého matematika teď napadnout analogie se slavnou (a dosud nedokázanou)
Riemannovou hypotézou, že všechny netriviální kořeny zeta funkce leží na přímce, kde Re(z)=1/2. Nedalo mi to vložit sem jako poznámku.

Co se týče odhadu rozsahu imaginární části komplexních kořenů, mám hypotézu, žeConjecture:
Jak je vidět z grafu, půjde ale tento odhad asi ještě i zlepšit.

390

Tabulka minimálních a maximálních hodnot komplexních kořenů polynomů
Table of minimal and maximal values of complex roots of the polynomials
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Re(z)

Im(z)

Abs(z)

min

max

min

max

min

max

0
1.00000000000000
2.00000000000000
3.00000000000000
4.00000000000000
5.00000000000000
6.00000000000000
7.00000000000000
8.00000000000000
9.00000000000000
10.00000000000000
11.00000000000000
12.0000000000000
13.0000000000000
14.00000000000000
15.0000000000000

01.00000000000000
2.00000000000000
3.00000000000000
4.00000000000000
5.00000000000000
6.00000000000000
7.00000000000000
8.00000000000000
9.00000000000000
10.0000000000000
11.00000000000000
12.00000000000000
13.0000000000000
14.0000000000000
15.0000000000000

00-0.70710678118655-1.41421356237310-2.16320352065411-2.94520536027197-3.75174302522447-4.57710327292997-5.41738185528683-6.26980600820430-7.13233541312294-8.00342302168886-8.8818660019927-9.7667091920256-10.6571803660572-11.5526455012968

000.70710678118655
1.41421356237310
2.16320352065411
2.94520536027197
3.75174302522447
4.57710327292997
5.41738185528683
6.26980600820430
7.13233541312294
8.00342302168886
8.8818660019927
9.7667091920256
10.6571803660572
11.5526455012968

01.00000000000000
2.00000000000000
3.00000000000000
4.00000000000000
5.00000000000000
6.00000000000000
7.00000000000000
8.00000000000000
9.00000000000000
10.0000000000000
11.0000000000000
12.0000000000000
13.0000000000000
14.0000000000000
15.0000000000000

01.00000000000000
2.12132034355964
3.31662479035540
4.54746626944833
5.80295050936804
7.07640980493078
8.36360414959162
9.66167822720209
10.9686128284535
12.2829234486456
13.6034841148913
14.9294187320657
16.2600310098597
17.5947575531655
18.9331354529204

Jelikož polynom v komplexním oboru má současně ke každému kořenu i kořen komplexně sdružený, vyplývá z předchozího, že polynomy na str. 386 jde vyjádřit
i následovně. Pro sudé k>2

kde bj jsou reálná (nikoliv však už celá) čísla.
Pro hodnotu koeficientu a0 u členu n0 polynomu tak dostanemea odtud zajímavou nerovnost

391
Pro liché k > 1 dostaneme analogickyTakže pro oba případy

Numerické výsledky z prvních 16 polynomů jsou v grafu (v logaritmickém měřítku)392
k non-attacking Wazirs on a 2 x n chessboard
n 1 w. 2 w.

3 w. 4 wazirs 5 wazirs

6 wazirs

7 wazirs

8 wazirs

9 wazirs

10 wazirs

11 wazirs

12 wazirs

13 wazirs

14 wazirs

15 wazirs

16 wazirs A001333, summed over all k >= 0

1

2

0

3

2

4

2

0

0

3

6

8

2

0

0

0

4

8

18

12

2

0

0

0

0

5

10

32

38

16

2

0

0

0

0

0

6

12

50

88

66

20

2

0

0

0

0

0

0

7

14

72

170

192

102

24

2

0

0

0

0

0

0

0

8

16

98

292

450

360

146

28

2

0

0

0

0

0

0

0

0

1393

7
17
41
99
239
577

9

18

128

462

912

1002

608

198

32

2

0

0

0

0

0

0

0

3363

10

20

162

688

1666

2364

1970

952

258

36

2

0

0

0

0

0

0

8119

11

22

200

978

2816

4942

5336

3530

1408

326

40

2

0

0

0

0

0

19601

12

24

242

1340

4482

9424

12642

10836

5890

1992

402

44

2

0

0

0

0

47321

13

26

288

1782

6800

16722

27008

28814

20256

9290

2720

486

48

2

0

0

0

114243

14

28

338

2312

9922

28004

53154

68464

59906

35436

14002

3608

578

52

2

0

0

275807

15

30

392

2938

14016

44726

97880

148626157184115598

58728

20330

4672

678

56

2

0

665857

16

32

450

3668

19266

68664

170610299660374274332688209762

93060

28610

5928

786

60

2

1607521

17

34

512

4510

25872

101946284000568150822560864146658048361550142000

39210

7392

902

64

3880899

18

36

578

5472

34050

1470844546101022760

16903702060980

18548821229360

596610209820

52530

9080

1026

9369319

19

38

648

6562

44032

2070067036401761370328128045739104780008

37422902187520948430301560

69002

11008

22619537

20

40

722

7788

56066

2850881057730291962060654109545560

11414898

10377180

71591703732560

145981042309289090

54608393

21

42

800

9158

70416

3851861549824468099010746400

18892250

25534368

26572086

21278640

13079250

6140800

2184462

581184131836323

22

44

882 10680

87362

5116682220098

7288544

18347010

35704060

53972178

63521352

58227906

41517060

22952610

97850723188738

31828103923

46

968 12362 107200

669446311695211058466

30316544

64797470

108568488

143027898

148321344

121023606

77548920

38878482

15158272

768398401

24

48 1058 14212 130242

8640084298066

16395516

48663554

113461024

209070018

305568564

354870594

327572856

240089586

139380012

63821826

1855077841

25

50 1152 16238 156816 1101450

583152023810534

76117536

192441122

387328512

623207070

803467056

830764794

688686048

457018518

242080320

4478554083

26

52 1250 18448 187266 1388508

779697833940120

116323586

317222212

693230658

1219605600

1732242690

1989102444

1847023698

1385794152

838478850

10812186007

27

54 1352 20850 221952 1732590 10286936

47568618

174074240

509663334

1202893992

2300164770

3575055360

4524812190

4666890936

3921503898

2681291520

26102926097

28

56 1458 23452 261250 2141808 13408034

65652532

255582978

800061160

2029779538

4196289420

7094825730

9832110240

11180805570

10435418532

7988589570

63018038201

29

58 1568 26262 305552 2625010 17282432

89347502

368804128 1229718378

3339504032

7428962950 13591279920

20501991330

25537728000

26283115038

22345512000

152139002499

30

60 1682 29288 355266 3191812 22049250 120037968

523804162 1854105484

5369283570 12798246520 25216532290

41188096980

55871829570

63001648608

59064045570

367296043199

31

62 1800 32538 410816 3852630 27866072 159369650

733189632 2746713774

8453107432 21507034122 45443741760

79995909190 117561917880 144411206178 148348809216

886731088897

32

64 1922 36020 472642 4618712 34910514 209284972 1012597250 4003707568 13053926690 35329425124 79749022402 150656183240 238745924050 317844953628 355761664002

2140758220993

n 1 w. 2 w.

3 w. 4 wazirs 5 wazirs

6 wazirs

7 wazirs

8 wazirs

9 wazirs

10 wazirs

11 wazirs

12 wazirs

13 wazirs

14 wazirs

15 wazirs

16 wazirs
corrected in the 6th edition

Na normální šachovnici 2 x n se vejde maximálně n vezírů.

393
A001333 - Součet přes všechna k>=0 (poslední sloupec v předchozí tabulce) vede na trochu překvapivý vzorec (žádná Fibonacciho nebo Lucasova čísla)(V. Kotěšovec, 8.5.2012)

Generating function:

Recurrence (n >= 3):(These formulas were corrected in the 6th edition, values for k=1 were missing in the 5th edition)

394

9.2.2) k Wazirs on a 2 x n horizontal cylinder - k vezírů na horizontálním válci 2 x n
2 wazirs, cylinder 2 x n:, n>2
3 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>3
4 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>4
5 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>5

6 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>6

7 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>7

8 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>8

9 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 18.10.2011), n>9395
10 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>10

11 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>11

12 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>12

13 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>13
(2/6081075)*n*(4*n^12 - 624*n^11 + 45188*n^10 - 2007720*n^9 + 60925722*n^8 - 1329646032*n^7 + 21388768544*n^6 - 255398938080*n^5 + 2245688712124*n^4 - 14173777476144*n^3 +60925136401818*n^2 - 160067471487300*n + 194305500756675)
14 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>14
(2/42567525)*(n-14)*n*(4*n^12 - 672*n^11 + 52472*n^10 - 2516640*n^9 + 82526682*n^8 - 1948250976*n^7 + 33933868856*n^6 - 439156257120*n^5 + 4189003068124*n^4 28708862932512*n^3 + 134124282650232*n^2 - 383364836820000*n + 506780603547075)
15 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>15
(2/638512875)*n*(8*n^14 - 1680*n^13 + 165620*n^12 - 10155600*n^11 + 432568136*n^10 - 13533920400*n^9 + 320638957210*n^8 - 5841340705200*n^7 + 82199717303704*n^6 888831336753360*n^5 + 7267221700467820*n^4 - 43551700112029200*n^3 + 180784043537374152*n^2 - 465121367611684560*n + 559403578228970475)
16 wazirs, cylinder 2 x n: (V. Kotěšovec, 20.10.2011), n>16
(2/638512875)*(n-16)*n*(n^14-224*n^13+23576*n^12-1544704*n^11+70358988*n^10-2355814272*n^9+59772448328*n^8-1167000282112*n^7+17611772834026*n^6204373209274304*n^5+1794491794073496*n^4-11556977486390784*n^3+51590022945454260*n^2-142837784740828800*n+185005126319013000)

396
Obecně mají polynomy tvar:Analýza koeficientů u nejvyšší mocniny k u každého členu vede k asymptotickému vzorci

Sečtením této řady dostáváme (pro konstantní k) asymptotický rozvoj

397

Rozložení kořenů pro horizontální válcovou šachovnici je podobné jako pro normálníšachovnici, kořenem je však navíc vždy i 0. Body v grafu odpovídají kořenům všech
polynomů pro 1<=k<=16, případ k=16 je označen červenými body.
Roots of the polynomial for k wazirs on a horizontal cylinder 2 x n.
(V. Kotěšovec, 22.10.2011)
One root is zero and for all other roots z

Nenulové reálné kořeny (=k) mají jen polynomy pro sudá k.
Co se týče odhadu rozsahu imaginární části komplexních kořenů, mám hypotézu(shodnou jako pro normální šachovnici), že
Conjecture:
Graf zobrazuje maxima (z tabulky na další straně je vidět, že minima mají vždy jen
opačné znaménko) a i v tomto případě se zdá, že odhad půjde ještě zlepšit.

398
Tabulka minimálních a maximálních hodnot komplexních kořenů polynomů
Table of minimal and maximal values of complex roots of the polynomials
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

min
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Re(z)
max
0
2.00000000000000
3.00000000000000
4.00000000000000
5.00000000000000
6.00000000000000
7.00000000000000
8.00000000000000
9.00000000000000
10.00000000000000
11.00000000000000
12.00000000000000
13.0000000000000
14.0000000000000
15.0000000000000
16.0000000000000

Im(z)
min

max

min

0
0
-0.70710678118655-1.41421356237310-2.16320352065411-2.94520536027197-3.75174302522447-4.57710327292997-5.41738185528683-6.26980600820430-7.13233541312294-8.0034230216889-8.8818660019927-9.7667091920256-10.6571803660572-11.5526455012968

000.70710678118655
1.41421356237310
2.16320352065411
2.94520536027197
3.75174302522447
4.57710327292997
5.41738185528683
6.26980600820430
7.13233541312294
8.0034230216889
8.8818660019927
9.7667091920256
10.6571803660572
11.5526455012968

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Polynomy jde (analogicky jako v případě normální šachovnice) vyjádřit
pro sudé k>2

kde bj jsou reálná čísla.
Koeficient a0 u členu n0 polynomu je tak roven 0, pro hodnotu koeficientu a1 u členu n1 polynomu dostanemea odtud nerovnost

Abs(z)
max
0
2.00000000000000
3.08220700148449
4.24264068711929
5.44788486219839
6.68387871031295
7.94201332958592
9.21682561249079
10.5046668755364
11.8029855282685
13.1099278581267
14.4241041338483
15.7444448513548
17.0701086241886
18.4004210102561
19.7348326083256

399
Pro liché k > 1 dostaneme analogicky

Pro oba případy

Numerické výsledky z prvních 16 polynomů jsou v grafu (v logaritmickém měřítku)400
k non-attacking Wazirs on a 2 x n horizontal cylinder
n 1 w. 2 w.

3 w. 4 wazirs 5 wazirs

6 wazirs

7 wazirs

8 wazirs

9 wazirs

10 wazirs

11 wazirs

12 wazirs

13 wazirs

14 wazirs

15 wazirs

16 wazirs A051927, summed over all k >= 0

1

2

0

3

2

4

2

0

0

3

6

6

0

0

0

0

4

8

16

8

2

0

0

0

0

5

10

30

30

10

0

0

0

0

0

0

6

12

48

76

48

12

2

0

0

0

0

0

0

7

14

70

154

154

70

14

0

0

0

0

0

0

0

0

8

16

96

272

384

272

96

16

2

0

0

0

0

0

0

0

0

1155

7
13
35
81
199
477

9

18

126

438

810

810

438

126

18

0

0

0

0

0

0

0

0

2785

10

20

160

660

1520

2004

1520

660

160

20

2

0

0

0

0

0

0

6727

11

22

198

946

2618

4334

4334

2618

946

198

22

0

0

0

0

0

0

16237

12

24

240

1304

4224

8472

10672

8472

4224

1304

240

24

2

0

0

0

0

39203

13

26

286

1742

6474

15314

23478

23478

15314

6474

1742

286

26

0

0

0

0

94641

14

28

336

2268

9520

26012

47264

57628

47264

26012

9520

2268

336

28

2

0

0

228487

15

30

390

2890

13530

42006

88590

128370128370

88590

42006

13530

2890

390

30

0

0

551613

16

32

448

3616

18688

65056

156608264224314368264224156608

65056

18688

3616

448

32

2

1331715

17

34

510

4454

25194

97274

263670509422706962706962509422263670

97274

25194

4454

510

34

3215041

18

36

576

5412

33264

1411564260009297001480608

17282921480608929700426000141156

33264

5412

576

7761799

19

38

646

6498

43130

19961466443016193702919730

391586239158622919730

1619370664430199614

43130

6498

18738637

20

40

720

7720

55040

2760081005200

2709800

5468800

8316200

95600168316200

5468800

2709800

1005200

27600855040

45239075

21

42

798

9086

69258

37417814808224379430

9797970

16704730

21792078

21792078

16704730

97979704379430

1480822374178109216785

22

44

880 10604

86064

4984762131008

6865452

16887200

31971500

46813008

5314417246813008

31971500

16887200

6865452

2131008

263672647

23

46

966 12282 105754

653798300366210477282

28132082

58656670

95489238

121749258

121749258

95489238

58656670

28132082

10477282

63656207724

48 1056 14128 128640

8456164155936

15611952

45474816

103675952

186117408

264051504

296642688

264051504

186117408

103675952

45474816

1536796803

25

50 1150 16150 155050 1080010

5655350

2277155071564050

177282850

348450030

545658150

682443450

682443450

545658150

348450030

177282850

3710155681

26

52 1248 18356 185328 1363700

758097632582836 109947552

294321716

629408832

1080225588

1492153104

1661529588

1492153104

1080225588

629408832

8957108167

27

54 1350 20754 219834 1704078 10024686

45819162 165301938

475833318

1101013398

2058084450

3118036842

3836126142

3836126142

3118036842

2058084450

21624372013

28

56 1456 23352 258944 2109240 13092464

63424824 243703936

751082808

1871168432

3788506680

6256346880

8446316088

9333781872

8446316088

6256346880

52205852195

29

58 1566 26158 303050 2588018 16905782

86541974 352947922 1160088682

3098084558

6760688510 12102938010

17820699810

21616224102

21616224102

17820699810

126036076401

30

60 1680 29180 352560 3150012 21603040 116540220 502914720 1756740540

5009256048 11729941500 22652133200

36179984700

47883240000

52566230076

47883240000

304278004999

31

62 1798 32426 407898 3805622 27341070 155049042 705996914 2612603182

7926085270 19837282106 41142763210

70935055910 101883924510 122065694178 122065694178

734592086397

32

64 1920 35904 469504 4566080 34296704 203993152 977586176 3821514816 12295428992 32772623424 72709986816 134729952320 208998965120 271832858688 296697618432

1773462177795

n 1 w. 2 w.

3 w. 4 wazirs 5 wazirs

6 wazirs

7 wazirs

8 wazirs

9 wazirs

10 wazirs

11 wazirs

12 wazirs

13 wazirs

14 wazirs

15 wazirs

16 wazirs
corrected in the 6th edition

Na horizontální válcovou šachovnici 2 x n se vejde maximálně

vezírů.

401
A051927 (for n>1) - Součet přes všechna k>=0 (poslední sloupec v předchozí tabulce)(V. Kotěšovec, 8.5.2012)
For n > 1

Recurrence (n >= 5):Generating function:(These formulas were corrected in the 6th edition, values for k=1 were missing in the 5th edition)

4029.3) k Wazirs on an n x n toroidal chessboard - k vezírů na prstencové šachovnici n x nA201236 - 2 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2010) , n>=3

A201237 - 3 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2010) , n>=4A201238 - 4 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2010) , n>=5

A201239 - 5 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2010) , n>=6

A201240 - 6 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 13.5.2010) , n>=7

A201241 - 7 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 20.5.2010) , n>=8

A201242 - 8 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 28.4.2011) , n>=9

403
A201547 - 9 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 2.12.2011) , n>=10

A201548 - 10 wazirs, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 2.12.2011) , n>=11

První členy těchto vzorců mají tvar

(od normální šachovnice se liší až v členu n2k-3, který je v případě prstencové šachovnice nulový, koeficienty u členu n2k-4 jsou pak již zcela odlišné)

Maximální počet neohrožujících se vezírů na prstencové šachovnici n x n je n2/2 pokud je n sudé (even) a n(n-1)/2 pokud je n liché (odd), tento počet je stejný jako
pro semi-vezíry na prstencové šachovnici n x n. For more, see chapter 14

404

k

k Wazirs on an n x n toroidal chessboard - Generating function

2

3

4

5
6
7

-2 x^4 * (7 x^18-177 x^17+1965 x^16-12491 x^15+53736 x^14-175854 x^13+461641 x^12-942615 x^11+1320318 x^10-788656 x^9-1206129 x^8+3443471 x^7-3128600 x^6552570 x^5+7435235 x^4+2548291 x^3+188955 x^2+2105 x+8) / ((x-1)^15)

8x^4 * (16x^21 - 566x^20 + 8182x^19 - 67700x^18 + 377824x^17 - 1531112x^16 + 4601788x^15 - 10205035x^14 + 16637339x^13 - 21628151x^12 + 32135719x^11 - 68863352x^10+ 138461546x^9 - 189569712x^8 + 133644570x^7 + 20663373x^6 - 378949513x^5 - 174710713x^4 - 19400947x^3 - 520438x^2 - 1516x - 2) / ((x-1)^17)9-x^5*(18*x^23 - 854*x^22 + 15942*x^21 - 168082*x^20 + 1174353*x^19 - 5878707*x^18 + 22139332*x^17 - 65539648*x^16 + 159915785*x^15 - 334575275*x^14 +
598795512*x^13 - 842713520*x^12 + 703597341*x^11 + 289921121*x^10 - 2021527454*x^9 + 3166171570*x^8 - 1944444195*x^7 - 501647511*x^6 + 11035282966*x^5 +6335694166*x^4 + 1000714522*x^3 + 45821802*x^2 + 476166*x + 250) / (x-1)^1910

2*x^5*(10*x^26 - 615*x^25 + 14637*x^24 - 193410*x^23 + 1669110*x^22 - 10270682*x^21 + 47718030*x^20 - 174153546*x^19 + 511148331*x^18 - 1213451007*x^17 +
2302816572*x^16 - 3418379599*x^15 + 4006461091*x^14 - 4626995415*x^13 + 8410419611*x^12 - 19068629603*x^11 + 33871890471*x^10 - 39181017568*x^9 +18018811352*x^8 - 5120263515*x^7 - 178499919965*x^6 - 123414145507*x^5 - 25801931589*x^4 - 1825246983*x^3 - 37482424*x^2 - 154182*x - 5) / (x-1)^21

405
k wazirs / toroidal board
n 1w

2 w 3 wazirs

1

1

2

4

2

3

4 wazirs

5 wazirs

6 wazirs

7 wazirs

8 wazirs

9 wazirs

10 wazirs

11 wazirs

summed over all k >= 0, A027683(n-1)
2

0

0

7

9

18

6

0

0

0

0

0

0

4 16

88

208

228

128

56

16

2

0

0

0

743

5 25

250

1300

3850

6745

7100

4450

1550

250

10

0

25531

6 36

558

4908

27225

100332252792442980546516480916308574150948240686234

7 49 1078

14112

122892754453337894211281312

28482279

54916456

8144280293420068

464483559

8 64 1888

34112

423152383001626249184

139580160

585632520

1962132800

5296005568

11591943552

213256442503

9 81 3078

73008

1213380

15038541

144455454

1103589198

6829066665

34690541994

146127335256

514375761402

215560806324388

10 100 4750

142700304602549207020

625745100

6433276500

54504255500

385983794500

2309813476870

11780172181000

498819827260367617

11 121 7018

2599086907890140410699

2271361422

30047250222

331490619174

3095143575007

24738873315596

170797663069044

2590618817013278596997

12 144 10008

44731214454972

360001152

7192874328

118507673088

1642426038486

19437996015280

198759048859008

1772403670595520

30496896080418683388380966

13 169 13858

73481228330822

846775007

20427662398

408912072478

6930083422496

100963195651565

1279605298916568

14243518434880410

809724336154415150287031740151

53065637212

1265701033492

25686190415144

450398154002132

6906427308782106

93512606860864296

48609694845429192825410114233405807

15 225 24750 1774200 93218400 3828109545 127956238350

3579712962750

85541928717375

1773257833600750

32277449304595350

520957398375944550

6589876632329358971395398453738256596574

16 256 32128 2635008 158854080 7507096576 289628321664

9380986518528

260349711114720

6288010190509312

133788325435448576 2532458780931507712

2018670118781080042934952855192359574137313799

17 289 41038 3817112 261593552 14087087961 620834113614 23027843919870

733731834393719

20398342362118678

14 196 18718 1160908 52586065 1855033964

500896430870051174?

?

18 324 51678 5409612 418045617 25436160108 1269178026012 53409035159316 1934755847570808 61282868654684052 1718268150463137018?

?

19 361 64258 7518908 650576150 44395753647 2488676915070 117860600410206 4813391235753128 172190699515632837 5462521782760829320?

?

20 400 79000 10270800 988799100 75184958080 4702895069400 248890790976000 11375736647373750 456120623076014000 16243031089247644800?

?

Poslední sloupec určuje počet rozmístění libovolného počtu neohrožujících se vezírů na prstencové šachovnici n x n, viz
A027683 - Number of independent subsets of n x n toroidal grid. Pokud v tabulce výše sečteme vždy všechna čísla v celé řádce (až do hodnoty 0), platí pro n > 1,
že tento součet je roven A027683(n-1) - 1. Rozdíl o 1 je způsoben tím, že v sekvenci z OEIS se započítává ještě i prázdná podmnožina (případ k=0). Tedy např. pro
n=5 dostáváme pro k = 1 až 10 součet 25530, A027683(4) = 25531. Hodnoty této posloupnosti vypočetl R.H.Hardin (tyto součty jsou i dobrou kontrolou správnosti
ostatních hodnot).

406

407

9.3.1) k semi-wazirs on an n x n toroidal chessboard - k semi-vezírů na prstencové šachovnici n x n
Pro semi-vezíry na prstencové šachovnici jsem napsal podobný program jako v kapitole 9.1.1, který využívá vzorec pro 1 řádku, odvozený v kapitole 2.5.1(* k non-attacking semi-wazirs, toroidal booard n x n *)(* V. Kotesovec, 2011 *)permopak[part_,k_]:=(hist=ConstantArray[0,k];Do[hist[[part[[t]]]]++,{t,1,Length[part]}];(Length[part])!/Product[(hist[[t]])!,{t,1,k}]);waz1t[k_,n_]:=(If[n<2k,0,n/(n-k)*Binomial[n-k,k]]);semiwazt[k_,n_]:=(psum=0;Do[p=IntegerPartitions[k,{size}];
psum=psum+Sum[permopak[p[[i]],k]*Binomial[n,Length[p[[i]]]]*Product[waz1t[p[[i,j]],n],{j,1,Length[p[[i]]]}],{i,1,Length[p]}],{size,1,n}];psum);
Table[semiwazt[5,n],{n,1,20}]Na základě vypočtených hodnot jsem pak odvodil nejprve sérii dílčích vzorců a pak i zcela obecný vzorec
2 semi-wazirs, toroidal board n x n: (n > 2)
3 semi-wazirs, toroidal board n x n: (n > 3)
4 semi-wazirs, toroidal board n x n: (n > 4)
5 semi-wazirs, toroidal board n x n: (n > 5)

k semi-wazirs, toroidal board n x n: (n > k)
(V. Kotěšovec, 14.10.2011)

408
A197990 - n semi-wazirs, toroidal board n x n: (k = n)k semi-wazirs, toroidal board n x n: (n < k < 2n)

2n semi-wazirs, toroidal board n x n: (k = 2n)

k semi-wazirs, toroidal board n x n: (2n < k < 3n)

Generally: k semi-wazirs, toroidal board n x n: (2k < n2)(V. Kotěšovec, 16.10.2011)

Speciálně pokud je k násobkem n (p je konstantní)dostáváme asymptotický vzorec

Tento vzorec má zajímavou geometrickou interpretaci. Znamená, že pro velká n je počet pozic neohrožujících se pn semi-vezírů na prstencové šachovnici n x nzhruba stejný jako počet všech možných rozmístění stejného počtu těchto kamenů (bez ohledu na to jestli se napadají či nikoliv) na šachovnici o rozměrech n x (n-p).
Nejzajímavější je však to, že tento výsledek (odvozený zcela jinou metodou) je naprosto shodný jako pro semi-vezíry na normální šachovnici !

409
k semi-wazirs on an n x n toroidal board
n 1 semi-wazir 2 semi-wazirs 3 semi-wazirs 4 semi-wazirs 5 semi-wazirs

6 semi-wazirs

7 semi-wazirs

8 semi-wazirs

9 semi-wazirs

summed over all k >= 0, A067961

1

1

2

4

4

0

0

3

9

27

27

0

0

0

0

0

0

64

4

16

104

352

664

704

416

128

16

0

2401

5

25

275

1750

7125

19375

35625

43750

34375

15625

161051

6

36

594

5952

40455

197316712536

19376643997647625822034012224

7

49

1127

16170

1622391209418694712231474709

114191560

334958708

17249876309

8

64

1952

37760

5201445430656

44662464

296854272

1623421808

7398868224

23811286661761

2
9

9

81

3159

79002

1423575

19690290

217468314

1969809516

14915235753

95752130751

84590643846578176

10

100

4850

1520003460375

60990020

866188050

10186690800

101174877375

861283571500

792594609605189126649

11

121

7139

2737027667165167302828

2960532652

43673421528

547946843994

5936090809935

19381341794579313317802199

12

144

10152

46704015767604

416536992

8965606608

161661386304

2491784419410

33338639935744

1242425797286480951825250390016

13

169

14027

76219030494529

957974472

24607601928

531472122064

9849564870860

159070472664389

208396491430277954192889648311785961

14

196

18914

1197952

56013615

2062004868

62239989042

1584085344688

34696103340899

664235561285660

91534759488004239323168528670973468727049

15

225

24975

1823250

98467875

4195805670 146917061550

4347435669300

110964789462375

2481410147895250 105248412711097594438987992544216456222918836224

16

256

32384

2698752

166664000

8134796800 326856135424 11118734355456

326848198124448

8433653911119360

17

289

41327

3898610272923219 15122252726 690760992894 26752816326612

896719177139775 26423325086385370

18

324

52002

5512320434121039 27092418948 1395543563442 61024057254576

2312300017569555 77122342314393948

19

361

64619

7646702672941905 46975881656 2709383596920 132792597503280

5645660354617140 211498412527134525

20

400

79400

10428000

1019376500 79109810080 5076882101200 277108072987200 13131706226603250 548822477453536000

n 1 semi-wazir 2 semi-wazirs 3 semi-wazirs 4 semi-wazirs 5 semi-wazirs

6 semi-wazirs

7 semi-wazirs

8 semi-wazirs

9 semi-wazirs

Součet přes všechna k (včetně 0) vede (pro n>1) na sekvenci A067961 - Number of binary arrangements without adjacent 1's on n x n torus connected North-South.
(R. H. Hardin, 2.2.2002)

kde Ln jsou Lucas numbers. Důkaz tohoto tvrzení vyplývá ihned ze vzorce uvedeného v kapitole 2.5.1, kde byla úloha vyřešena pro jeden řádek.

410
Z obou výsledků vyplývá zajímavá identita, jejíž platnost jsem ověřil v programu Mathematica pro všechna n<=100 (v příkladu je pro n<=10)(* k non-attacking semi-wazirs, over all k>=0, toroidal booard n x n, V. Kotesovec, 2011 *)semiwt[k_,n_]:=(If[2k>n^2,0,
Sum[(-1)^(c*n)*If[(n^2-c*n-k)==0,1,(n^2-2c*n)/(n^2-c*n-k)]*Binomial[n,c]*Binomial[n^2-c*n-k,n^2-2k],{c,0,Floor[k/n]}]]);
Table[Sum[semiwt[k,n],{k,0,Floor[n^2/2]}],{n,1,10}]
Table[LucasL[n]^n,{n,1,10}]{1, 9, 64, 2401, 161051, 34012224, 17249876309, 23811286661761, 84590643846578176, 792594609605189126649}{1, 9, 64, 2401, 161051, 34012224, 17249876309, 23811286661761, 84590643846578176, 792594609605189126649}

Z vzorce pro 1 řádku z kapitoly 2.5.1 vyplývá, že maximální počet nenapadajících se semi-vezírů na prstencové šachovnici n x n je
. Vzhledem k tomu, že vezíři
mají větší pohyblivost než semi-vezíři a lze zkonstruovat pozice totožného počtu nenapadajících se vezírů, je tím dokázáno že i maximální počet nenapadajících se
vezírů na prstencové šachovnici n x n je.
Dále je ještě třeba poznamenat, že výsledky pro semi-vezíry na válcové šachovnici jsou identické jako na prstencové šachovnici.

411

9.3.2) n Wazirs on an n x n toroidal chessboard - n vezírů na prstencové šachovnici n x n
Rozklad ze str. 403 lze upravit do tvaru (liché členy, které byly v případě normální šachovnice, zde dokonce zcela chybí!)odkud pro k = n dostáváme podobný asymptotický rozvoj jako pro normální šachovnici

Number of ways to place n non-attacking wazirs on an n x n toroidal chessboard is asymptotic to(V. Kotěšovec, 3.12.2011)n n wazirs, toroidal n x n, A201626
1
1
2
2
3
6
4
228
5
6745
6
252792
7112813128585632520
934690541994
102309813476870
11170797663069044
1213888215374348892
13
1231730727253607451
14118329596584708240732
1512241103359460777972760
161356712722052907806912016
17
?

412

9.3.3) k Wazirs on an n x n cylindrical chessboard - k vezírů na válcové šachovnici n x n
2 wazirs, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=3

3 wazirs, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=4

4 wazirs, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=5

5 wazirs, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=6

6 wazirs, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=7

První členy polynomů mají tvar

413

k
2

3

4

5
6

k Wazirs on an n x n cylindrical chessboard - Generating function

414
k Wazirs on an n x n cylindrical chessboard
n 1 wazir 2 wazirs 3 wazirs

4 wazirs

5 wazirs

6 wazirs

A212270, summed over all k >= 0

1

1

2

4

2

2

3

9

21

12

0

0

0

43

4

16

92

240

302

192

72

933

5

25

255

1385

4400

8500

10125

36211

6

36

564

5076

29208

1133163051383557711

7

49

1085

14399

1281218105303774477746156517

8

64

1896

34560

4346524009776

28166856

363549830913

9

81

3087

73665

1235808

15514857

151519368

394677987525997

10

100

4760

143620308615050311620

647306720

974602314570939359

11

121

7029

2611516975133

142730478

2328720449

5418730454986467701985

12

144

10020

448944

14562006

364511784

7330192348

68176187476467835406646029

13

169

13871

73690528494232

855020257

20729997080

1936241516342334422813929891295

14

196

18732

116354052827068

1869359940

53687349716

124281423643836238320564876791634465

15

225

24765

177745593563625

3851963970

129164017805

18018270577720149773239661332878801006033

16

256

32144

2638976

159336408

7545404000

291864243216

5902115915714610014755543106193465980780841033

17

289

41055

3821889262253016

14146712673

624805515744

4367445695491818983620300590884843394029894331908597

18

324

51696

5415300

418930362

25526469348

1275982573704

7301349466942300309265509734850016891336158968754433349967

19

361

64277

7525615651743453

44529294558

2499973023089

27575256558739249813748119728886227070709000328671450126761816713

20

400

79020 10278640

990316450

75378262680

4721129909540

235279535896373546522624431990064652591614376648757197357867666753191747

21

441

96159 13821801 1473285408 124210105257

8627299501408

4535167300013582716129902876541419476049179552735020613247572070617591319850563

22

484

115940 18326484 2150363776 199772969572 15305887479740

197491676376317086238034375771268015468096595369127422974789270389553078656614541356181

23

529

138621 23990495 3084743417 314323948674 26437681356653

19428968552692023580201970717283106418916518354973431803997465624353317274155556735054148524395

24

576

164472 31040640 4355865588 484769640336 44568241239512 4318138621349162118709161460980939042021659403488318380256344975104820419199796654408025997753556333609

25

625

193775 39735425 6062598000 734099653625 73482027979800

0n 1 wazir 2 wazirs 3 wazirs

0

4 wazirs

7

5 wazirs

6 wazirs

For n=25 to 31 see A212270 (added 24.8.2016)

4159.4) k Ferses on an n x n chessboard - k fersů na šachovnici n x nFers je skokan [1,1]. Pochází z čaturangy ze 7. století, úlohy s fersem najdeme např. v "Manuscript Bonus Socius" z roku 1266.
Fers is a leaper [1,1].
A201243 - 2 ferses, board n x n: (C. Poisson, 1990)

A201244 - 3 ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 2010), n>=2

A201245 - 4 ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 2010), n>=3

A201246 - 5 ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 15.1.2011), n>=4A201247 - 6 ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 15.1.2011), n>=5

A201248 - 7 ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 16.10.2011), n>=6

416
První členy mají vždy tvar:

Maximal number of non-attacking ferses on an n x n chessboard isk, see chapter 14 for more.

k Ferses on an n x n chessboard - Generating function

2

3

4

5

6
7

2*x^4*(125*x^16-1785*x^15+11715*x^14-50121*x^13+158605*x^12-367485*x^11+570175*x^10-533381*x^9+460395*x^8-1262515*x^7+2731225*x^6-1795227*x^55484089*x^4-2685639*x^3-383115*x^2-17415*x-108) / (x-1)^15

417
n 1 fers 2 ferses 3 ferses 4 ferses
1

1

2

4

5 ferses

6 ferses

7 ferses

8 ferses

9 ferses

10 ferses

summed over all k >= 0, A067965
2

4

0

0

9

3

9

28

38

29

12

2

0

0

0

4

16

102

340

661

780

552

216

36

0

0

2704

5

25

268

1630

6285

16286

29412

38070

36281

26133

14432

177073

6

36

580

5552

35378

1594525276541314600

25102413721088431811821836929

7

49

1104

15210

143787992412519692821191208

68548146

178374762

377507802

6985036032

8

64

1918

35828

468529456783634528698

207830308

1015335608

4084296552

13679413234

4576976735769

9

81

3112

75530

130135116959488

173951172

1442794332

9868265160

56484795166

273680844504

7263963336910751

10

100

4788

146240320297053617596

714042302

7775083960

70611785607

542945541684

3576188894116

24830487842030082304

11

121

7060

2647027170593149618794

2503447216

34530764200

400594694689

3968602560777

33975328832732

198126078679714777857441

12

144

10054

45362014872997

377841356

7744201834

131660992164 1894648355686

23434409724072

252146349100808

3494153303407491549112098721

13

169

13908

74291828969129879314442

21635290132

443702617356 7740220138881

116641380191321

1536921937560160

141264727800378056245286463971328

14

196

18772

117112053527866 1911495356

55540293510

1350258600008 28031868758455

504719881446644

7978193752327604

12779122891585386852029424628087941481

15

225

24808

1786850

94568255 3922051616

132752090192

3771242866680 91773614996072 1943125937637934 36236722615570540

2628141044813862018744988536642011269669959

16

256

32190

2650452 160741233 7657895196

298491879178

9789675562020?

?

? 1216101433910602069688778938088400688231434960896

17

289

41104

3835730 264175507 14321764860

636559136340 23856321869260

?

?

?

for n=17 to n=18 see A067965

18

324

51748

5431808 421511954 25791609308 1296099575166 55015308882264

?

?

?

?

19

361

64332

7545110 655152581 44921419134 2533344878048 120855465245464

?

?

?

?

20

400

79078 10301460 994751765 75946019596 4774975629082 254284702668580

?

?

?

?

Poslední sloupec (sekvence A067965) určuje celkový počet pozic k neohrožujících se fersů na šachovnici n x n přes všechnak>=0. Hodnoty této sekvence pro n<=13 vypočetl v roce 2002 R.H.Hardin. Novým programem jsem 6.12.2011 ověřil, žehodnoty jsou správné a vypočítal jsem navíc nejprve hodnotu pro n=14 a potom 3.1.2012 na 16 GB systému i pro n=15.
1.5.2012 jsem doplnil hodnotu pro n=16 a 11.8.2016 na systému se 128 GB RAM pro n=17 a pro n=18.
Z hlediska asymptotického chování předpokládám, že bude (stejně jako pro vezíry) platit

Graf vpravo zobrazuje limitní průběh pomocí

Viz též obecná tabulka známých konstant tohoto typu na str. 69.

119

418

9.4.1) k semi-ferses on an n x n chessboard - k semi-fersů na šachovnici n x n
Two semi-ferses do not attack each other if they are in the same northwest-southeast diagonal. Possible moves of semi-fers are only [1,1]and [-1,-1].
Tato úloha je o něco těžší než pro semi-vezíry. Pro jednu z celkem 2n-1 diagonál je sice vzorec identický s kapitolou 2.1.1, komplikace je
ale v tom, že tyto diagonály nejsou stejně dlouhé. V programu Mathematica lze počet pozic k nenapadajících semi-fersů vypočítat takto:(* k non-attacking semi-ferses, normal board n x n, V. Kotesovec 2011 *)<< Combinatorica`
fers1n[k_,n_]:=(If[n-k+1<k,0,Binomial[n-k+1,k]]);semifers[k_,n_]:=(sized=ConstantArray[0,2n-1];Do[sized[[j]]=j;sized[[2n-j]]=j,{j,1,n}];sumfers=0;curcomp=Table[If[j==2n-1,k,0],{j,1,2n-1}];
Do[sumfers=sumfers+Product[fers1n[curcomp[[j]],sized[[j]]],{j,1,2n-1}];
curcomp=NextComposition[curcomp];,{i,1,NumberOfCompositions[k,2n-1]}];sumfers);

2 semi-ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 24.10.2011)

3 semi- ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 24.10.2011), n > 1

4 semi- ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 24.10.2011), n > 2

5 semi- ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 24.10.2011), n > 3

419
6 semi- ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 24.10.2011), n > 4

7 semi- ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 25.10.2011), n > 5

8 semi- ferses, board n x n: (V. Kotěšovec, 6.12.2011), n > 6

Obecně mají vzorce tvar:

Maximální počet nenapadajících se semi-fersů na normální šachovnici n x n je roven součtu maximálních počtů na každé z levo-pravých diagonál
Maximal number of non-attacking semi-ferses on an n x n board

Tento počet je (na rozdíl od fersů) nezávislý na tom, jestli je n sudé nebo liché. Vzhledem k tomu, že pro n liché je na šachovnici n x n známa pozice totožného počtu
fersů (kteří mají větší pohyblivost než semi-fersové), viz kap. 14.1, je tím současně dokázáno, že pro liché n je tato hodnota i maximem počtu nenapadajících se fersů
na normální šachovnici n x n. Viz též tabulka na str. 776.

Poznámka: Na prstencové šachovnici n x n jsou explicitní vzorce pro počet pozic neohrožujících se k semi-fersů identické jako pro k semi-vezírů, viz kap. 9.3.1.
Number of arrangements of k non-attacking semi-ferses on an n x n toroidal chessboard is identical as number of arrangements of k non-attacking semi-wazirs, see chapter 9.3.1

420

421
k semi-ferses on an n x n normal board
n 1 s-f 2 s-f
1

1

2

4

3 s-f 4 semi-ferses 5 semi-ferses

6 semi-ferses

7 semi-ferses

8 semi-ferses

summed over all k >= 0, A067962
2

5

2

0

12

3

9

32

57

53

24

4

0

0

180

4

16

111

438

1084

1750

1857

1272

535

7200

5

25

284

1941

8907

29003

69053

122064160998748800

6

36

605

6306

45683

244294

9997173203004

8152545204422400

7

49 1140

16757

1746991374715848416542125233

171275219

145957593600

864 1967

38662

546028590248650798160

357457622

2096106904

272940700032000

981 317680313

147230920853433

237499049

2235007983

17723789832

1336044726656640000

10

100 4869

153826354556763560998

922610753

11146501940

114348459022

17122749216831498240000

11

121 7160

2761617807673172524261

3102430409

46680051499

599662096906

574502481723130428948480000

12

144 10175

470262

15988724

426446134

9291714136

170065392198

2668385430772

50464872497041500009263431680000

13

169 14052

76631730829303

975762607

25303941269

552888584869

10388495942481

11605406728144633757130311383449600000

14

196 18941 1203138

56504259

2092485926

63638609717

1634636124796

36194973846216

6987267228814039646155446574633500672000000

15

225 25004 1829661

99167327

4246014103

149584394253

4459284115005

114820501274897

11013603109478613037816414953353734465732608000000

16

256 32415 2706566

167637588

8214736438

331721804376 11352887612614

336127566062948

45449263244523699535279033134427281625546535337984000000

17

289 41360 3908017

274250449 15245820013

699300659457 27220069198643

917802055770010

491020387111913670764092231390544560207043606017119092736000000

18

324 52037 5523522

435897503 27278525638 1410032522753 61918150548756 2357851179857838

13888248953553373303748489975537758944116517627864994379323146240000000

19

361 64656 7659913

675281309 47249803729 2733241450385 134441232417959 5739808655323480

1028420529653451691596851520656678633106555454222938195640621388896665600000000

20

400 79439 10443446

1022412812 79504791318 5115132910928 280049440740310 13318779980563432 199374340783577728731457130892607864475820929150080949460219983153624851257753600000000

Poslední sloupec (sekvence A067962, Number of binary arrangements without adjacent 1's on n x n array connected nw-se, pozor jen na její offset 0) určuje celkový
počet pozic k neohrožujících se semi-fersů na šachovnici n x n pro všechna k >= 0. Pro tuto sekvenci je znám obecný vzorec (jeho autorem je asi R. H. Hardin, 2002)

kde Fn jsou Fibonacciho čísla a C=1.226742010720353244... je Fibonacci Factorial Constant. Důkaz vyplývá ze vzorce uvedeného v kapitole 2.1.1 (pro šachovnice1 x n), složíme-li všechny diagonální linie a uvědomíme-li si, že nejsou stejně dlouhé. Zobecnění pro skokany [r,s], viz str. 291.
V programu Mathematica dostaneme tabulku hodnot pro tuto sekvenci takto:
Table[Fibonacci[n+2]*Product[Fibonacci[i],{i,1,n+1}]^2,{n,1,20}]//ColumnForm

Viz též článek The problem of the pawns (2003), Sergey Kitaev a Toufik Mansour, Annals of Combinatorics 8 (2004), p.81-91.

422Když položíme v rozvoji

k = n, vidíme, že členy s lichým exponentem u n ve jmenovateli jdou asymptoticky k 0 a dostaneme tak

Number of ways to place n non-attacking semi-ferses on an n x n chessboard is asymptotic (see chapter 13.1 for proof)n n semi-ferses, board n x n, A244288
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

1
5
57
1084
29003
99971742125233
2096106904
120194547233
7799803041491
564856080384900
45146219773912540
3946445378386791157
374482268128153003615
38330653031858936914329
4209191997519328986666624?

Hodnotu pro n=15 jsem vypočetl 4.1.2012 na počítači se 16 GB paměti RAM (výpočet trval přes 24 hodin a využilo se přes 10 GB RAM), hodnotu pro n=16 jsem
vypočetl 4.9.2016 na počítači se 128 GB paměti RAM (výpočet trval 124 hodin 15 minut a využilo se 39 GB RAM).

423

9.4.2) n Ferses on an n x n chessboard - n fersů na šachovnici n x n
Asymptoticky je rozvoj pro n fersů téměř shodný jako pro n vezírů, hlavní člen je identický.
Number of ways to place n non-attacking ferses on an n x n chessboard is asymptotic (see chapter 13.1 for more)n n ferses, board n x n, A201861
1
1
2
4
3
38
4
661
5
16286
6
52765472119120881015335608
956484795166
103576188894116
11253756155257774
12
19937566770720487
131717714713900798962
14
160977153444563000938
1516300053518916522372836
16 1773133639291617644092637
17?
Hodnotu pro n=15 jsem vypočetl 3.1.2012 na počítači se 16 GB paměti RAM (výpočet trval přes 9 hodin a využilo se přes 10 GB RAM), Hodnotu pro n=16 jsem
vypočetl 31.8.2016 na počítači se 128 GB paměti RAM (výpočet trval přes 16 hodin a využilo se přes 38 GB RAM).

424

n non-attacking pieces on an n x n normal chessboard
composite pieces wazir+semi-fers

composite pieces fers+semi-wazir

composite pieces semi-wazir+semi-fers

n

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

1
1
11
176
4431
1475026082000
298311510
16934642559
1090944080545
78573797586417
6253614894192699
544850551575476634
51564565259117506018
5266602956115495200164
577314082061579410243550

1
2
23
348
8058
2486769621318447902044
24359133099
1514496293576
105888530708764
8218750195015852
700890343343792559
65119001340681579158
6545128344693713930820
707445894688022635967310

1
3
30
530
13421
44529818245667
888818308
50129208311
3210254226144
229986851764749
18217727578257756
1580524194834950745
149015336422938803300
15168254619279707961837
1657637846418822466823992

4259.5) k Ferses on an k x n chessboard - k fersů na šachovnici k x n
2 ferses, board 2 x n:
3 ferses, board 3 x n: (V. Kotěšovec, 16.1.2011), n>=24 ferses, board 4 x n: (V. Kotěšovec, 16.1.2011), n>=35 ferses, board 5 x n: (V. Kotěšovec, 16.1.2011), n>=4

6 ferses, board 6 x n: (V. Kotěšovec, 16.1.2011), n>=5

7 ferses, board 7 x n: (V. Kotěšovec, 16.1.2011), n>=68 ferses, board 8 x n: (V. Kotěšovec, 17.1.2011), n>=7

První členy vzorců mají obecně tvar:

426

k
2

3

4

5

6

7
8

k Ferses on an k x n chessboard - Generating function

427
n 2 ferses 3 ferses 4 ferses

5 ferses

6 ferses

7 ferses

8 ferses

1

1

1

1

1

1

1

1

2

4

6

9

12

16

20

25

3

11

38

143

545

2129

8419

33673

4

22

118

661

3740

21420

123652718468

5

37

273

2091

16286

12856810249828234362

6

56

530

5201

52026

527654540567655808623

7

79

916

11015

1352201683955

21191208

268804683

8

106

1458

20813

303628449572467287066

1015335608

9

137

2183

36131

61163510513318

182716115

3202109106

10

172

3118

58761

1133376

22204878

439955214

8791325685

11

211

4290

90751

196586143268665

963297378

21631486285

12

254

5726

1344053232100

78992052

1953062776

48711676566

13

301

7453

1922835084228

136657172

3716482108

101965681852

14

352

9498

267201

7706630

225993222

6706075904

200769063355

15

407

11888

362231 11319066

359675423

11566353288

375289103519

16

466

14650

480701 16179796

553870636

19189653750

670864305540

17

529

17811

626195 22588705

828829634

30781955469

1153606909334

18

596

21398

802553 30890428 1209526030

47939473730

1917438663441

19

667

25438 1013871 41477475 1726341861

72736872978

3092786869569

20

742

29958 1264501 54793356 2415799828 107827916052

4857184493698

21

821

34985 1559051 71335706 3321342192 156559374142

7448034914880

22

904

40546 1902385 91659410 4494156326 223099021012 11177818660087

23

991

46668 2299623 116379728 5994046923 312578535032 16452036250675

24

1082

53378 2756141 146175420 7890354860 431252132562 23790198063248

25

1177

60703 3277571 181791871 10262922718 586671756231 33850188884922

26

1276

68670 3869801 224044216 13203106958 787879641654 47456351620205

27

1379

77306 4538975 273820465 16814836753 1045619086130 65631651383925

28

1486

86638 5291493 332084628 21215719476 1372564242864 89634297991854

29

1597

96693 6134011 399879840 26538192844 1783569764256 120999221637892

30

1712

107498 7073441 478331486 32930723718 2295941117800 161584813323891

428

9.5.1) k Ferses (Bishops) on a 2 x n chessboard - k fersů (střelců) na šachovnici 2 x n
Fersové na šachovnici 2 x n jsou vlastně střelci, přesto tématicky patří tato kapitola spíše k fersům. V případě normální šachovnice 2 x n lze problémpřevést na umístění kamenů na dvou nezávislých lomených liniích, každé délky n, přičemž na každou z těchto linií se vejde maximálně
fersů. Na
normální šachovnici 2 x n se tak vejde maximálně

neohrožujících se fersů.

Pro každou z dílčích linií platí stejné vzorce jako pro rozmístění neohrožujících se vezírů (resp. králů) na šachovnici 1 x n, tak jak byly odvozenyv kapitole 2.1.1. Složením počtu kamenů k jako součtu k1+k2=k, kde k >= k1, k2 >= 0 dostaneme následující vzorec
Number of ways to place k non-attacking ferses (or bishops) on a 2 x n board (for n >= 2k - 1)

Při pevném k jde o polynomy v n stupně k a vzorce platí vždy až odNěkolik prvních polynomů:Pro lichá k polynom vždy obsahuje člen, ostatní kořeny jsou komplexní.

429
První členy vzorců mají tvar:

Pokud budeme analyzovat u každého členu koeficient u nejvyšší mocniny, zjistíme, že předchozí vzorec se dá zapsat jako nekonečná suma

Sečtením této řady dostaneme (pro konstantní k) asymptotický rozvoj

Tento vzorec je téměř shodný jako pro jezdce na šachovnici 2 x n, liší se až počínaje kvadratickým členem.

430

Pro všechny komplexní kořeny z platíPři pevně zvoleném k nastávají maxima imaginární části v červeně označených bodech (na grafu vpravo nahoře pro k = 100).
Hodnota maxima imaginární části je zhruba lineární vzhledem ke k, na grafu jezobrazena červeně přímka k/4 (vypočítal jsem polynomy až do k=400).
Odpovídá to tomu, že obrazce v grafech nahoře si zachovávají stejný tvar.

Minimum reálně části (modrá křivka) je v grafu zobrazeno spolu s funkcí(červená křivka)

431
Zajímavá je suma přes všechna k >= 0
summed over all k>=0

kde Fn jsou Fibonacci numbers a Ln jsou Lucas numbers (viz též A007598, Squared Fibonacci numbers)
K tomuto výsledku došli také Sergey Kitaev a Toufik Mansour v již citovaném článku The problem of the pawns (v PDF verzi z roku 2008 je o tom zmínka na
str. 12). V tomto článku najdeme i některé další výsledky pro šachovnici 3xn a vytvořující funkce pro šachovnice 4xn až 6xn.

432Vraťme se však k původnímu vzorci ze str. 428 a probereme ještě speciální případ, když za n dosadíme 2n a za k dosadíme n.
A199033 - Number of ways to place n non-attacking ferses (or bishops) on a 2 x 2n board

Recurrence (V. Kotěšovec, 30.10.2011)

Asymptotický vzorec jenebo také

Table[Sum[Binomial[2n-j+1,j]*Binomial[n+j+1,n-j],{j,0,n}],{n,1,25}]

433
Ze známé rekurence lze hlavní člen asymptotického rozvoje potvrdit i programem Asymptotics.m, jehož autorem je Manuel Kauers (druhý člen v rozvoji (-1/4)n jde k 0 a je proto nezajímavý).
(Main part of this result was confirmed with program Asymptotics.m by Manuel Kauers)

Paul D. Hanna doplnil 14.11.2012 generační funkci (viz A199033), která jde zjednodušit na

V programu Mathematica
CoefficientList[Series[1/((1-x*(2/Sqrt[3*x]*Sin[1/3*ArcSin[Sqrt[27*x/4]]])^2)^2*(1-2*x*(2/Sqrt[3*x]*Sin[1/3*ArcSin[Sqrt[27*x/4]]])^23*x^2*(2/Sqrt[3*x]*Sin[1/3*ArcSin[Sqrt[27*x/4]]])^4)),{x,0,20}],x]

nebo
CoefficientList[Series[-(27/((1+2*Cos[1/3*ArcCos[1-(27*x)/2]])^2*(7-12*Cos[1/3*ArcCos[1-(27*x)/2]]+2*Cos[2/3*ArcCos[1-(27*x)/2]]))),{x,0,20}],x]434

k ferses normal board 2 x n
n 1 fers 2 ferses 3 ferses 4 ferses 5 ferses 6 ferses 7 ferses

8 ferses

9 ferses summed over all k >= 0

1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

4

2

4

4

0

0

0

0

0

0

0

9

3

6

11

6

1

0

0

0

0

0

25

4

8

22

24

9

0

0

0

0

0

64

5

10

37

62

46

12

1

0

0

0

169

6

12

56

128

148

80

16

0

0

0

441

7

14

79

230

367

314

130

20

1

0

1156

8

16

106

376

771

920

610

200

25

0

3025

9

18

137

574

1444

2232

2083

1106

295

30

7921

10

20

172

832

2486

4744

5776

4352

1897

420

20736

11

22

211

1158

4013

9142

13820

13672

8518

3108

54289

12

24

254

1560

6157 16336

29618

36568

30086

15792

142129

13

26

301

2046

9066 27492

58277

86662

89402

62292

372100

14

28

352

2624 12904 44064 107104 186880

233108204528974169

15

30

407

3302 17851 67826 186166 373596

5485915840822550409

16

32

466

4088 24103 100904 308914 701864 1188679 1494384

6677056

17

34

529

4990 31872 145808 492871 1251866 2406241 3498146

17480761

18

36

596

6016 41386 205464 760384 2136704 4601059 7608764

45765225

19

38

667

7174 52889 283246 1139440 3511664 8381596 15559016

119814916

20

40

742

8472 66641 383008 1664546 5585080 14644540 30185504

313679521

n 1 fers 2 ferses 3 ferses 4 ferses 5 ferses 6 ferses 7 ferses

8 ferses

9 ferses

435

9.5.2) k Ferses (Bishops) on a 2 x n horizontal cylinder - k fersů (střelců) na horizontálním válci 2 x n
Na horizontální válcové šachovnici 2 x n musíme rozlišit dva případy. Pokud je n sudé, lze problém převést na umístění kamenů na dvou nezávislých
cyklických lomených liniích, každé délky n, přičemž na každou tuto linii se vejde maximálně n/2 fersů. Celkově se tak vejde na šachovnici 2 x n
maximálně n neohrožujících se fersů. Pro každou z dílčích linií platí stejné vzorce jako pro rozmístění neohrožujících se vezírů (resp. králů) na
horizontální válcové šachovnici 1 x n, tak jak byly odvozeny v kapitole 2.5.1.
Number of ways to place k non-attacking ferses (or bishops) on a 2 x n horizontal cylinder, if n is even, for

Pokud je n liché, dostáváme na horizontální válcové šachovnici pouze jednu cyklickou lomenou linii délky 2n. Na tuto linii se vejde maximálně
n nenapadajících se fersů. Výsledky jsou ale identické jako pro n sudé
Number of ways to place k non-attacking ferses (or bishops) on a 2 x n horizontal cylinder, if n is odd, forPři pevném k jde o polynomy v n stupně k a vzorce platí vždy pro k sudé (if k is even) až odNěkolik prvních polynomů:, ale pro k liché (if k is odd) už od

436
Pro libovolná n>=k+1 lze vzorce z předchozí strany sloučit do jednoho vzorce (ale s tím, že případ k = n je pro sudá n atypický a je ho třeba řešit zvlášť)For any n>=k+1 are results same

But case k=n is specificJeště je zajímavá suma přes všechna k >= 0
summed over all k>=0

kde L2n jsou Lucas numbers
Další zajímavý vzorec dostaneme, když ve vzorci na předchozí straně za n dosadíme 2n a za k dosadíme n.
Number of ways to place n non-attacking ferses (or bishops) on a 2 x 2n horizontal cylinder(V. Kotěšovec, 30.10.2011)

Generating function:

V porovnání s normální šachovnicí je tak pro velká n jen zhruba 79% pozic (64/81), kde se n fersů neohrožuje ani na horizontálním válci stejných rozměrů 2 x n.
Více o tomto binomickém koeficientu, viz A005809.

Obecně, s užitím Stirlingova vzorce, je asymptotický rozvoj pro

Analogický vzorec s binom. koeficienty viz str. 282

437

k ferses horizontal cylinder 2 x n
n 1 fers 2 ferses 3 ferses 4 ferses 5 ferses 6 ferses 7 ferses

8 ferses

9 ferses summed over all k >= 0

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2

4

4

0

0

0

0

0

0

0

9

3

6

9

2

0

0

0

0

0

0

18

4

8

20

16

4

0

0

0

0

0

49

5

10

35

50

25

2

0

0

0

0

123

6

12

54

112

105

36

4

0

0

0

324

7

14

77

210

294

196

49

2

0

0

843

8

16

104

352

660

672

336

64

4

0

2209

9

18

135

546

1287

1782

1386

540

81

2

5778

10

20

170

800

2275

4004

4290

2640

825

100

15129

11

22

209

1122

3740

8008

11011

9438

4719

1210

39603

12

24

252

1520

5814 14688

24752

27456

19305

8008

103684

13

26

299

2002

8645 25194

50388

68952

63206

37180

271443

14

28

350

2576 12397 40964

94962 155040

176358136136710649

15

30

405

3250 17250 63756 168245 319770

4360504199001860498

16

32

464

4032 23400 95680 283360 615296

980628 1136960

4870849

17

34

527

4930 31059 139230 457470 1118260 2042975 2778446

12752043

18

36

594

5952 40455 197316 712530 1937520 3996135 6249100

33385284

19

38

665

7106 51832 273296 1076103 3223350 7413705 13123110

87403803

20

40

740

8400 65450 371008 1582240 5178240 13147875 26013000

228826129

n 1 fers 2 ferses 3 ferses 4 ferses 5 ferses 6 ferses 7 ferses

8 ferses

9 ferses4389.6) k Ferses on an n x n toroidal chessboard - k fersů na prstencové šachovnici n x n
Vzorce pro 2-10 fersů na prstencové šachovnici jsou (pro n > k) identické jako pro 2-10 vezírů na prstencové šachovnici. Posloupnosti se liší jen v několika
počátečních členech (a mají proto odlišné vytvořující funkce).
Explicit formulas for ferses on a toroidal chessboard are (for n > k) same as for wazirs, only several first values are different and therefore also generating functions
are different.

439

k

k Ferses on an n x n toroidal chessboard - Generating function

2

3

4

5
6
7

-2x^4 * (7x^18 - 1833x^17 + 26805x^16 - 186379x^15 + 807336x^14 - 2437134x^13 + 5438249x^12 - 9241815x^11 + 12000702x^10 - 11485056x^9 + 7133631x^8 - 1580977x^7 828120x^6 - 1330074x^5 + 7620035x^4 + 2519811x^3 + 191451x^2 + 1985x + 16) / (x-1)^15

8x^4 * (1136x^21 - 19606x^20 + 178646x^19 - 1137748x^18 + 5511010x^17 - 20799626x^16 + 61645900x^15 - 144263227x^14 + 268419443x^13 - 401732239x^12 + 495022871x^11 523844008x^10 + 498305238x^9 - 416834076x^8 + 246720138x^7 - 22696419x^6 - 366580177x^5 - 177184177x^4 - 19091139x^3 - 538854x^2 - 1482x - 4) / (x-1)^17

9-x^5*(18*x^23 - 39254*x^22 + 745542*x^21 - 6785722*x^20 + 39357513*x^19 - 163479147*x^18 + 518306092*x^17 - 1306014688*x^16 + 2690633705*x^15 - 4627167755*x^14 +
6727991832*x^13 - 8262850400*x^12 + 8339394861*x^11 - 6378426799*x^10 + 2893163026*x^9 + 137775250*x^8 - 405362115*x^7 - 1134675831*x^6 + 11240455606*x^5 +6285313006*x^4 + 1009514962*x^3 + 44848242*x^2 + 527406*x + 250) / (x-1)^1910

2*x^5*(2530*x^26 - 53535*x^25 + 836765*x^24 - 9696498*x^23 + 78307311*x^22 - 452007943*x^21 + 1946272800*x^20 - 6482661948*x^19 + 17165497308*x^18 - 36852593676*x^17 +
65030969556*x^16 - 95189100839*x^15 + 116435269429*x^14 - 120546878193*x^13 + 109307806887*x^12 - 93317328239*x^11 + 80071533321*x^10 - 63459257050*x^9 + 28764504704*x^8 9105356739*x^7 - 177273501576*x^6 - 123721772092*x^5 - 25741089171*x^4 - 1834175321*x^3 - 36618883*x^2 - 195303*x - 5) / (x-1)^21

440
k ferses / toroidal board
n 1 f.

2 f. 3 ferses 4 ferses

5 ferses

6 ferses

7 ferses

8 ferses

9 ferses

10 ferses

summed over all k >= 0, A067960

1

1

2

2

4

4

0

0

3

9

18

6

0

4

16

88

208

276

224

112

32

4

0

0

961

5

25

250

1300

3850

6745

7100

4450

1550

250

10

25531

6

36

558

4908

27225

100332253032446292

5646605321563908162722500

7

49

1078

14112

122892754453337894211281312

28482279

54916456

81442802464483559

8

64

1888

34112

423152383001626249184

139580160

585633640

1962171200

5296591424

224546142769

9

9
0

0

0

0

0

34

81

3078

73008

1213380

15038541

144455454

1103589198

6829066665

34690541994

146127335256

215560806324388

10 1004750

142700304602549207020

625745100

6433276500

54504255500

385983794500

2309813481910

509113406167679889

11 121

7018

2599086907890140410699

2271361422

30047250222

331490619174

3095143575007

24738873315596

2590618817013278596997

12 144 10008

44731214454972

360001152

7192874328

118507673088

1642426038486

19437996015280

198759048859008

30737628149641669227004804

13 169 13858

73481228330822

846775007

20427662398

408912072478

6930083422496

100963195651565

1279605298916568

809724336154415150287031740151

14 196 18718

1160908

52586065

1855033964

53065637212

1265701033492

25686190415144

450398154002132

6906427308782106

48754690373355654118816600200711441

15 225 24750

1774200

93218400

3828109545

127956238350

3579712962750

85541928717375

1773257833600750

32277449304595350

6589876632329358971395398453738256596574

16 256 32128

2635008 158854080

7507096576

289628321664

9380986518528

260349711114720

6288010190509312

133788325435448576

2020925419076626921354779829715561268121485361

17 289 41038

3817112 261593552 14087087961

620834113614

23027843919870

733731834393719

20398342362118678

500896430870051174?

18 324 51678

5409612 418045617 25436160108 1269178026012

53409035159316

1934755847570808

61282868654684052

1718268150463137018 2184710661251680812138610069332410066909052859790416601664

19 361 64258

7518908 650576150 44395753647 2488676915070 117860600410206

4813391235753128 172190699515632837

5462521782760829320?

20 400 79000 10270800 988799100 75184958080 4702895069400 248890790976000 11375736647373750 456120623076014000 16243031089247644800?

Poslední sloupec určuje celkový počet pozic k neohrožujících se fersů na prstencové šachovnici n x n pro všechna k>=0. Pro n > 1
odpovídá sekvenci A067960 (jejíž hodnoty až do n=11 vypočetl v roce 2002 R.H.Hardin).
Pro lichá n lze prstencovou šachovnici pro fersy namapovat stejně jako pro vezíry, viz diagramy 7x7, nahoře vezír, dole fers. Ze
sekvence A027683(n-1) pro vezíry jde proto použít ještě známé hodnoty pro n=13 a n=15.
Pro sudá n bohužel nelze takové mapování použít. Podobným mapováním dostaneme diagram vpravo pro ferse na černých polích prstencovéšachovnice n x n. Celkový počet pozic je pak druhou mocninou počtů rozmístění na černých polích (vypočetl jsem hodnoty až do n=18). Pozor ale na
to, že toto mapování neodpovídá rozmístění vezírů na všech polích prstencové šachovnice n/2 x n (např. linie e5-d6-c7-b8 se nevrací zpět na pole e5,
ale pokračuje na a1). Např. pro n=6 je na prstencové šachovnici 6x6 počet pozic nenapadajících se fersů na černých polích roven 1650 (celkový početna všech polích je pak 16502=2722500), ale počet nenapadajících se vezírů na všech polích prstencové šachovnice 3x6 je jen 1300.

Ještě je možno poznamenat, že pro semi-ferse (i pro semi-jezdce atd.) je na prstencové šachovnici možné mapování identické jako
pro semi-vezíry na prstencové šachovnici (a to jak pro sudé, tak i liché n), takže těmto podskupinám kamenů jsem (na rozdíl od
normální šachovnice) už nevěnoval speciální kapitoly.

441

9.6.1) k Ferses on an n x n cylindrical chessboard - k fersů na válcové šachovnici n x n

2 ferses, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=33 ferses, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=24 ferses, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=55 ferses, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=5

6 ferses, cylindrical board n x n: (V. Kotěšovec, 12.5.2012) , n>=7

První členy polynomů mají tvar

442

k
2

3

4

5
6

k Ferses on an n x n cylindrical chessboard - Generating function

443
k Ferses on an n x n cylindrical chessboard
n 1 fers 2 ferses

3 ferses

4 ferses

5 ferses

6 ferses

A212271, summed over all k >= 0

1

1

2

4

4

0

0

3

9

24

24

15

6

1

80

4

16

96

280

454

432

240

1600

5

25

260

1480

5125

11400

16895

79033

6

36

570

5256

31539

1305243859468156736

7

49

1092

14700

13394587780042936812055960192

8

64

1904

35024

447080421414430481176

1108756350625

9

81

3096

74340

1259595

16039062

159631611

1411080429618656

10

100

4770

1445603128175

51501660

671290490

3943472747846953216

11

121

7040

2624167044939145193026

2391145757

25425527581172360096017

12

144

10032

45060014672400

369249024

7477321772

365481944233773616212640000

13

169

13884

73902428661945

863610540

21050197415

11980566143208960475692367828480

14

196

18746 1166200

53073475

1884193500

54339990614

882106482533191605447029340350009049

15

225

24780 1780740

93915525

3876543780

130423121785

147314997388032765439791110273770608260928

16

256

32160 2642976 159826864

7584722688

294182325744

55444614979611027283278524537230343506467225600

17

289

41072 3826700 262922255 14207717258

628904424963

47221148609346127470666974263945966805708000925771369

18

324

51714 5421024 419826735 25618626396 1282979721954

?

19

361

64296 7532360 652924455 44665269198 2511553211717

?

20

400

79040 10286520 991849800 75574725760 4739774999780

?

21

441

96180 13830936 1475250189 124488683760 8656590492431?

22

484 115962 18337000 2152851635 200161356252 15350896135454?

23

529 138644 24002524 3087859825 314857187712 26505471390593?

24

576 164496 31054320 4359731160 485491606656 44668502237320?

25

625 193800 39750900 6067349875 735064744350 73627868726475?

2

n 1 fers 2 ferses

3 ferses

4 ferses9

5 ferses

6 fersesPoznámka: Co se týče semi-fersů na válcové šachovnici, je možné mapování identické jako pro semi-vezíry na normální šachovnici.

4449.7) k Grasshoppers on an n x n chessboard - k cvrčků na šachovnici n x n
The Grasshopper moves on the same lines as a queen, but must jump over a hurdle to land on the square immediately beyond. Grasshoppers are shown as inverted queens.
Nejznámější exokámen je cvrček. Je to přeskakující figura, pohybuje se po frontálách nebo diagonálách na první pole bezprostředně za prvním kamenem, který mu stojí v cestě. Na
diagramu (v příkladu s vyznačením všech možných tahů cvrčka d3) se označuje symbolem dámy otočeným o 180°. Vymyslel jej T. R. Dawson v roce 1912 a od té doby s ním bylysloženy tisíce šachových úloh (např. v databázi WinChloe je aktuálně 10242 úloh s tímto kamenem!). Více informací (z šachového pohledu) lze nalézt např. v mojí knize 234 bestchess problems (2008), str. 8. Z matematického hlediska ale cvrček až tak zajímavý není, zejména proto, že se liší od bodových nebo liniových kamenů tím, že jeho pohyblivost je
podmíněna existencí jiných kamenů na šachovnici a je tedy dynamická, což je pro analýzu vlastností z matematického pohledu nedobrá vlastnost. Proto, i když je to můj
nejoblíbenější exokámen, jsem mu zatím nevěnoval co se týče matematických vzorců příliš pozornosti (a ani jiní autoři).
K doplnění této kapitoly mě motivovalo až to, že jsem chtěl ověřit, zda diagram, který vymyslel Karl Fabel v roce 1966 (Schach und Zahl, str.62) a na kterém je celkem
22 neohrožujících se cvrčků na šachovnici 8x8, je absolutním rekordem. Skutečně tomu tak je, více o tom viz kapitola 14.1. A když už jsem měl napsaný program, který toto
analyzoval, šlo jej snadno modifikovat i pro vygenerování počtu pozic neohrožujících se k cvrčků na šachovnicích n x n, potřebných pro získání následujících vzorců.

2 grasshoppers, board n x n: (all combinations)

A190395 - 3 grasshoppers, board n x n: (C. Poisson, Rex Multiplex 29/1990, p.829)

A190396 - 4 grasshoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 7.5.2011), n>2

A190397 - 5 grasshoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 9.5.2011), n>3

A190579 - 6 grasshoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 10.5.2011), n>5445
První členy těchto vzorců mají tvarkk non-attacking Grasshoppers on an n x n chessboard - Generating function

2

3

4

5

6

2x^3*(8x^18 - 59x^17 + 110x^16 + 71x^15 + 473x^14 - 3017x^13 - 5401x^12 + 23838x^11 - 2727x^10 - 119474x^9 - 45545x^8 - 20157x^7 571677x^6 - 1006961x^5 - 689547x^4 - 199704x^3 - 20861x^2 - 489x - 1) / ((x-1)^13*(x+1)^3)

Sice máme spočítáno jen málo vzorců na nějaký serióznější odhad, vzhledem k analogii s prstencovou šachovnicí (viz kap. 9.8) ale předpokládám, že pro k > 4 bude
jmenovatel vytvořující funkce (denominator of generating function, conjecture) roven(stupeň u x+1 je o 4 menší než pro prstencovou šachovnici)Důvod je zřejmě v tom, že napadání kamenů přes jiné kameny je v podstatě vlastnost bodová a ne liniová (po dané linii je danému kameni dostupné vždy pouze
jedno pole v daném směru, ne všechna pole na celé linii jako třeba v případě dámy)446

k non-attacking Grasshoppers on an n x n chessboard
n 2 grasshoppers 3 grasshoppers 4 grasshoppers 5 grasshoppers

6 grasshoppers

1
2

6

4

1

3

36

76

78

28

2

4

120

516

1278

1668

998

5

300

2172

10002

29092

51618

6

630

6860

50191

252584873852

7

1176

17904

1892081441634

8039322

8

2016

40796

584958622299650272978

9

3240

83976

1563488

22004086

240764814

10

4950

159732373798766972760

947860554

11

7260

2852208181786

181332416

3210392210

12

10296

483604

16669638

446905476

9649651136

13

14196

78531632003238

1019470032

26316155354

14

19110

122943658438623

2179712872

66191981440

15

25200

1865192102234772

4410518630

155482089002

16

32640

2753580

172344406

8510498516

344411086374

17

41616

3969104

281269668 15756224370

725043524246

18

52326

5601636446107043 28128603736 1459722296638

19

64980

7758396689807558 48622240660 2825136685698

20

79800

10566052

1042679982 81660504068 5278863810724

21

97020

14172940

1544166426 133643402268 9557560367842

22

116886

18751404

2244921423 213660267432 16818911594660

23

13965624500256

3209227248 334404719242 28843079695034

2416560031647356

4517779918 513335431316 48313854401754

25

19500040452312

6270881992 774132898958 79205127636702

n 2 grasshoppers 3 grasshoppers 4 grasshoppers 5 grasshoppers

6 grasshoppers

447

9.7.1 k Grasshoppers in stalemate - k cvrčků v patu
Budeme analyzovat dva případy, počet pozic nenapadajících se cvrčků v patu (Non-attacking Grasshoppers in stalemate = GN) a obecný počet
pozic cvrčků v patu (Grasshoppers in stalemate (general positions) = GS). Obtížnost této úlohy je shodná s n-Queens problem (a ještě o trochutěžší). Obecně je samozřejmě možno zaplnit celou šachovnici
cvrčky, kteří budou v patu (ale budou se napadat). In general case is maximal
number of Grasshoppers in stalemate on an n x n chessboard .
Maximální počet nenapadajících se cvrčků v patu proje. Toto lze dokázat ohraničením z obou stran. Jelikož maximální počet nenapadajících sevěžových cvrčků v patu je n+2, nemůže existovat pozice s více nenapadajícími se cvrčky v patu, protože ta by musela být současně i takovou pozicí věžových
cvrčků. Stačí tedy dokázat, že taková pozice n+2 nenapadajících se cvrčků v patu skutečně existuje. Jednou z možností je zkonstruovat na šachovnici n-2 x n-2
pozice n-2 nenapadajících se dam, ve kterých nebude stát žádná na ani jedné z hlavních diagonál. Toto je pravda pro n>9 (na šachovnicích 5x5 a 7x7 takové pozice
neexistují). Každou takovou pozici lze transformovat přidáním 4 kamenů do všech rohů šachovnice, kdy dostaneme pozici s celkem n-2 + 4 = n+2 nenapadajícími se
cvrčky v patu. Příklady takových pozic viz diagramy.

Maximal number
n of non-attacking grasshoppers in stalemate
on an n x n normal board
1
1
2
4
3
4
4
4
5
5
6
8
7
8
8
10
9
10
10
12
11
13
12
14

exampleboard 8x8

exampleboard 10x10 (8x8 inside)

exampleboard 19x19 (17x17 inside)

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

Number of arrangements of n nonattacking Queens on an n x n board,
with no Queens on both main
diagonals, A225740
0
0
0
2
0
4
0
12
10
20
88
810
2502
13426
91120
521240345465222085852
182785512

448

2 non-attacking grasshoppers in stalemate, board n x n

2 grasshoppers in stalemate, board n x n

3 non-attacking grasshoppers in stalemate, board n x n, n>=2

3 grasshoppers in stalemate, board n x n, n>=4

Na diagramu vidíme jediný možný typ pozice 3 cvrčků, kteří jsou v patu, ale napadají se. Celkem 4 pozice (rozdíl GS-GN) dostaneme symetriemi.
Pro větší k jsou však možnosti takových uskupení a jejich vzájemných kombinací mnohem složitější.

4 non-attacking grasshoppers in stalemate, board n x n, n>=2

4 grasshoppers in stalemate, board n x n, n>=6
(V. Kotěšovec, 16.3.2012)

První členy těchto vzorců mají tvar (jako pro dámy)

449

k

k non-attacking Grasshoppers in stalemate on an n x n chessboard - Generating function

2

3
4

k
2

3
4

k Grasshoppers in stalemate on an n x n chessboard - Generating function

450

k non-attacking grasshoppers in stalemate on an n x n chessboard

k grasshoppers in stalemate on an n x n chessboard

n 2 grasshoppers 3 grasshoppers 4 grasshoppers 5 grasshoppers 2 grasshoppers 3 grasshoppers 4 grasshoppers 5 grasshoppers
1
2

6

4

1

6

4

1

3

20

16

2

0

20

24

14

10

4

62

76

17

0

62

80

35

24

5

164

372

266

44

164

376

286

76

6

370

1396

1979

960

370

1400

2015

1024

7

736

4364

10736

10326

736

4368

10788

10486

8

1330

11572

45075

77264

1330

11576

45151

77616

9

2232

27104

156740434406

2232

27108

156848435206

10

3534

57380

465925

1929536

3534

57384

466073

193113611

5340

1121521227186

72032965340

1121561227382720632012

7766

205244292247323235904

7766

205248292272523241152

13

10940

3558366415934

66793592

10940

355840641625066802232

14

15002

58939613148355

174111680

15002

58940013148743

174125152

15

20104

93925225438760?

20104

93925625439228

?

16

26410

144771646835759?

26410

144772046836315

?

17

34096

216794482638764?

34096

216794882639416

?

18

43350

3165252

140474261

?

43350

3165256140475017

?

19

54372

4519264

231123358

?

54372

4519268

231124226

?

20

67374

6325420369403753

?

67374

6325424369404741

?

21

82580

8697412575405294

?

82580

8697416575406410?

22

10022611768884

875769719?

10022611768888

875770971?

2312056015696156

1305451112?

12056015696160

1305452508?

2414384220660116

1909498295?

14384220660120

1909499843?

25

170344

26869232

2745470384?

170344

26869236

2745472092?

n 2 grasshoppers 3 grasshoppers 4 grasshoppers 5 grasshoppers 2 grasshoppers 3 grasshoppers 4 grasshoppers 5 grasshoppers

4519.8) k Grasshoppers on an n x n toroidal chessboard - k cvrčků na prstencové šachovnici n x n
2 grasshoppers, toroidal board n x n: (all combinations)

A190398 - 3 grasshoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 7.5.2011) , n>3

A190399 - 4 grasshoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 7.5.2011) , n>4

A190400 - 5 grasshoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 7.5.2011), n>6

A190401 - 6 grasshoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 9.5.2011), n>8

S největší pravděpodobností se pro větší k již žádné další kvazipolynomy neobjeví a ve vzorcích tak zůstanou jen členy s (-1)n a perioda zůstane 2.

452
První členy těchto vzorců mají tvarkk non-attacking Grasshoppers on an n x n toroidal chessboard - Generating function

2

3

4
5
6

-4x^4 * (128x^24 - 768x^23 - 8x^22 + 9258x^21 - 17442x^20 - 25593x^19 + 103542x^18 - 19695x^17 - 252858x^16 + 225766x^15 + 297416x^14 - 465166x^13 - 63474x^12 +488076x^11 + 515008x^10 + 582376x^9 + 2358586x^8 + 2976026x^7 + 6280504x^6 + 4731396x^5 + 2785972x^4 + 664045x^3 + 111570x^2 + 4199x + 96) / ((x-1)^13*(x+1)^7)

Pro k > 3 je jmenovatel vytvořující funkce (denominator of generating function, conjecture) roven453

k non-attacking Grasshoppers on an n x n toroidal chessboard
n 2 grasshoppers 3 grasshoppers 4 grasshoppers 5 grasshoppers

6 grasshoppers

7 grasshoppers

1
2

6

4

1

3

36

72

54

0

0

0

4

120

496

1068

976

384

64

5

300

2100

8550

18510

19100

8300

6

630

6708

45873

201528557808935928

7

1176

17640

17796812324485841780

18629828

8

2016

40384

562032563782441338400

221834560

9

3240

83376

1519560

20502396

209264796

1631234052

10

4950

158900366262563720920

859752800

9132780200

11

7260

2841088057390

174647286

2982181004

40852673400

12

10296

48216016477020

434439792

9131392296

156178174608

13

14196

78348431712850

997037470

25196132260

523212578304

14

19110

122715658018793

2141831160

63968987264 1582014765800

15

25200

1862400

101639700

4348204020

151223202900 4379658682500

16

32640

2750208

171525568

8412482304

336724832384 11275312424192

17

41616

3965080

280160068 15605151496

711538908572

?

18

52326

5596884444636297 27903377016 1437022315440

?

19

64980

7752836687881890 48291880442 2787781494732

?

20

79800

10559600

1040201500 81188237680 5219454908200

?

21

97020

14165508

1541008350 132977239290 9464698212228?

22

116886

18742900

2240952065 212739639640 16677643778928?

23

13965624490584

3204279960 333146599112 28631251034868?

2416560031636416

4511682288 511644540096 48003158172960?

25

19500040440000

6263420000 771881944500 78754960177500?

n 2 grasshoppers 3 grasshoppers 4 grasshoppers 5 grasshoppers

6 grasshoppers

7 grasshoppers

454

455

9.9.1 k Rookhoppers on an n x n chessboard - k věžových cvrčků na šachovnici n x n
The Rookhopper moves on the same lines as a rook, but must jump over a hurdle to land on the square immediately beyond (moves like a Grasshopper but only on Rook-lines).

2 rookhoppers, board n x n: (all combinations)

3 rookhoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2012), n>=2

4 rookhoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2012), n>=3

5 rookhoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2012), n>=4

6 rookhoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2012), n>=5První členy těchto vzorců mají tvar

Note: For maximal number of non-attacking rookhoppers see chapter 14.1.

456

K
2

3

4

5

6

k non-attacking Rookhoppers on an n x n chessboard - Generating function

457
k non-attacking rookhoppers on an n x n chessboard
n 2 rookhoppers 3 rookhoppers 4 rookhoppers 5 rookhoppers

6 rookhoppers 7 rookhoppers

1
2

6

4

1

3

36

78

90

45

6

0

4

120

528

1428

2304

2040

816

5

300

2210

10800

35749

79488

114706

6

630

6948

52965

2903041161144

3387072

7

1176

18074

1967001590873980268446564336

8

2016

41088

6020806690000

58088096

401128192

9

3240

84438

1598238

23242707

268440156

2513919204

10

4950

160420380252569878064

1031037628 12495099016

11

7260

2861988293670

187529651

3430915436 52021502892

12

10296

484944

16853220459161472

10179163200 188243002896

13

14196

78709832291220

1042257321

27489427880

?

14

19110

123174858873773

2219960320

68624313264

?

15

25200

1868130

102871800

4478585589

160249718268

?

16

32640

2757248173252000

8621413008

353319118528

?

17

41616

3973614282532690 15931229031

741012373316

?

18

52326

5607108

447828885 28397056752 1487331250164

?

19

64980

7764958

692112658 49023922143 2871371901772

?

20

79800

10573840

1045716500 82248381824 5354128049408

?

21

97020

14182098

1548109080 134486914125 9677012981520?

2211688618762084

2249974485 214849180800 17004220000232?

23

13965624512618

3215627700 336053631793 29124677618748?

24

16560031661568

4525800768 515588980176 48733817914080?

25

19500040468550

6280835750 777171749019 79820797229548?

n 2 rookhoppers 3 rookhoppers 4 rookhoppers 5 rookhoppers

6 rookhoppers 7 rookhoppers

458

9.9.2 k Rookhoppers in stalemate - k věžových cvrčků v patu
Než se dostaneme k obecným patovým pozicím (Rookhoppers in stalemate = RHS), zkoumejme nejprve pozice věžových cvrčků, kteří se ani neohrožují ani nemajímožnost skoku, nazývejme je nenapadající se kameny v patu (Non-attacking Rookhoppers in stalemate = RHN). Pokud je takový kámen uprostřed šachovnice,nemohou být na příslušné řadě ani sloupci už žádné další kameny. Mohou však být proti sobě na jedné řadě nebo sloupci 2 takové kameny, pokud oba stojí na okrajišachovnice.
Pokud šachovnici rozdělíme na 2 oblasti, okraj a vnitřní šachovnici n-2 x n-2, můžeme rozdělit celý problém na několik případů podle toho kolik kamenů se nacházína okraji šachovnice (maximálně 4). Počet těchto pozic je pak třeba vynásobit počtem možných rozestavení kamenů ve vnitřní šachovnici, který je roven počtu
nenapadajících se věží ve stejné oblasti (na což známe vzorec, viz kap. 3.1). Dostaneme tak následující vyjádření a po jeho úpravě i obecný vzorec. Důkaz tohoto
vzorce je zřejmý z následujících schémat, seřazených podle toho, kolik kamenů je na okraji šachovnice (resp. v rozích).
(* non-attacking rookhoppers in stalemate - general formula, V. Kotěšovec 12.3.2012 *)r[kk_,mm_,nn_]:=(If[kk==0,1,If[kk<0||mm<1||nn<1||mm<kk||nn<kk,0,mm!*nn!/(mm-kk)!/(nn-kk)!/kk!]]);
RHN[k_,n_]:=(If[n==1,If[k==1,1,0],r[k,n-2,n-2]+4*r[k-1,n-2,n-2]+4*(n-2)*r[k-1,n-2,n-3]+6*r[k-2,n-2,n-2]+4*2*(n-2)*r[k-2,n-2,n-3]+2*(n-2)*(r[k-2,n-2,n-3]+(n-3)*r[k-2,n-2,n-4])+4*(n-2)*(n-2)*r[k-2,n-3,n-3]+4*r[k-3,n-2,n-2]+4*(n-2)*r[k-3,n-2,n-3]+4*(n-2)*(n-2)*r[k-3,n-3,n-3]+4*(n-2)*(n-2)*(r[k-3,n-3,n-3]+(n-3)*r[k-3,n-3,n-4])+r[k-4,n-2,n-2]+(n-2)*(n-2)*(r[k-4,n-3,n-3]+(n-3)*(n-3)*r[k-4,n-4,n-4]+2*(n-3)*r[k-4,n-3,n-4])]);

459
2 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n, n>1

3 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n, n>1

4 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n, n>1

Limitní hodnoty těchto kořenů jsou

5 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n, n>1

6 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n, n>1

7 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n, n>1

8 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n, n>1

9 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n, n>1Poměrně překvapující je, že v každém dílčím vzorci zůstane (pro k>3) vždy polynom 8. stupně! Z koeficientů těchto polynomů lze určit jejich obecný tvar.

a

460
Na šachovnici n x n se vejde maximálně n+2 věžových cvrčků tak, aby žádný nemohl táhnout a aby se žádné 2 se nenapadaly.
Maximal number of non-attacking rookhoppers in stalemate on an n x n normal board is(for).
Number of arrangements of k non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n: (V. Kotěšovec, 12.3.2012),

RHN[k_,n_]:=(If[n==1,If[k==1,1,0],If[k>n+2,0,(n^8-4*(k-1)*n^7+2*(3*k^2-5*k+1)*n^6-4*(k-2)*(k1)*(k+1)*n^5+(k^4-4*k^3-3*k^2+14*k-7)*n^4+4*(k-1)*(k^3-2*k^2+k-1)*n^3-2*(k-2)*(k-1)*(k^3-k^2-k-1)*n^2-4*(k2)^2*(k-1)*k*n+(k-2)*(k-1)^2*k*(k^2-2*k-1))*((n-2)!)^2/(k!*((n-k+2)!)^2)]]);
Některé speciální hodnoty:
n+2 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n
n+1 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x nnnon-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n

n-1 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n

n-2 non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n

461
Rookhoppers in stalemate (general positions, not only non-attacking)Co se týče obecné pozice věžových cvrčků v patu, tak pro
jsou tyto počty shodné jako podle předchozího vzorce RHN. Promůže ale nastat atypická
pozice, kdy na jednom sloupci nebo řadě stojí na všech polích celkem n kamenů, které se sice napadají, ale nemohou táhnout. Maximální počet věžových cvrčků
v patu na šachovnici n x n je tak, ale taková pozice existuje pouze 1 a i ostatní jsou celkem raritní.

Na obrázcích vidíme všechny možné typy konfigurací věžových cvrčků,kteří i když se napadají, jsou v patové pozici (žádný z nich nemůže táhnout).
All possible types of configurations of rookhoppers, attacking, but instalemate position.

462

number of rookhoppers on an n x n board

number of stalemate positions with k rookhoppers

0
6
0
0
1
0
1
počet kamenů na šachovnici n x npočet patových pozic s k věžovými cvrčky na šachovnici n x n

Poznámka: Pro některá malá n se mohou hodnoty sčítat, např. pro n = 3 je

, proto se musí započítat obě možnosti.

463
V programu Mathematica dostaneme tabulky hodnot tímto programem
RHN[k_, n_] := (If[n == 1, If[k == 1, 1, 0],
If[k>n+2,0,(n^8-4*(k-1)*n^7+2*(3*k^2-5*k+1)*n^6-4*(k-2)*(k-1)*(k+1)*n^5+(k^4-4*k^3-3*k^2+14*k-7)*n^4+4*(k-1)*(k^3-2*k^2+k-1)*n^3-2*(k-2)*(k-1)*(k^3-k^2-k-1)*n^24*(k-2)^2*(k-1)*k*n+(k-2)*(k-1)^2*k*(k^2-2*k-1))*((n-2)!)^2/(k!*((n-k+2)!)^2)]]);
RHS[k_, n_] := (If[n > 2,
rhst = 0;
If[k < n, rhst = RHN[k, n]];If[k == n, rhst = (17 n^2 - 21 n - 2)/4*(n - 2)! + 2 n];If[k == n + 1, rhst = 2 n*(n - 2)! + 4 n];
If[k == n + 2, rhst = (n - 2)! + 4];
If[k == 2 n - 1, rhst = rhst + n^2];
If[k == 2 n, rhst = rhst + 6];
If[k == 3 n - 2, rhst = rhst + 2 n];If[k == 4 n - 4, rhst = rhst + 1];
If[k == n^2, rhst = rhst + 1];, rhst = RHN[k, n];
];
rhst
);
Do[Print["===== k=", k, " ========"]; Print[Table[RHN[k, n], {n, 1, 20}]]; Print[Table[RHS[k, n], {n, 1, 20}]];, {k, 1, 10}]

n

k=1

k=2

k=3

k=4

RHN RHS RHN RHS RHN RHS

RHN

k=5

RHS

RHN

k=6
RHS

RHN

k=7
RHS

RHN

k=8
RHS

RHN

k=9
RHS

RHN

RHS

1

1

1

2

4

4

6

6

4

4

1

1

3

9

9

24

24

22

28

6

18

4

16

16

80

80

148

148

93

101

16

32

5

25

25

210

210

724

724

1006

1006

477

487

6

36

36

462

462

2644

2644

6921

6921

7648

7648

2904

2916

288

312

24

28

7

49

49

896

896

7774

7774

33726

33726

70945

70945

64880

64880

20520

20534

1680

1708

8

64

64

1584

1584

19492

19492

127861

12786144625644625678333078333061008061008016524016525611520

402438

1

14

0

k=10
RHN

RHS

6

0

6

0

1

0

1

2

6

0

16

0

6

0

0

0

8

60

80

6

10

0

0

0

25

0

6

0

0

0

0

120

124

0

0

11552

720

724

9

81

81

2610

2610

43348

43348

40243821221412122141

6191052

61910529314550

9314550

6311760

6311760

1494360

1494378

90720

90756

10

100

100

4070

4070

87844

87844 1099041 1099041

8194432

8194432

36118880

36118880

90470016

90470016

119021280

119021280

71339520

71339520

14999040

14999060

11

121

121

6072

6072 165334 165334 2685286 2685286 26959473 26959473 167949504 167949504

635771808

635771808

1394656704

1394656704

1629421920

1629421920

875266560

875266560

12

144

144

8736

8736 293044 293044 5999901 5999901 78147280 78147280 655244370 655244370 3505265280 3505265280 11625556320 11625556320 22678548480 22678548480 23822164800 23822164800

RHN = Number of arrangements of k non-attacking rookhoppers in stalemate, board n x n
RHS = Number of arrangements of k rookhoppers in stalemate (general position), board n x n
Hodnoty byly ověřeny ještě i přímou kombinatorickou metodou.

464
Pro další zkoumání je zajímavý pouze případ
. Počet patových pozic věžových cvrčků
má svoje
maximum, které leží v oblasti, kdy se k přibližuje k n, ale od konce je trochu vzdáleno (viz graf, v logaritmickémměřítku). Pro velká n určíme bod maxima a příslušnou hodnotu (počet patových pozic).
Označmebod, kde nastává maximum. S použitím Stirlingova vzorce upravíme obecný vzorec avypočteme jeho derivaci. Maximum nastává tam, kde je derivace rovna 0.
Po úpravě a vyloučení nepotřebných nenulových násobících členů dostaneme výraz níže vlevo:

Graf ukazuje průběh pro n=1000. Maximum zde nastává pro x něco přes 30.
Z funkce vlevo vybereme nejprve 2 části a vydělíme je výrazem
Pokud n i x jdou k nekonečnu, jde první výraz k nulea druhý k hodnotě 2.

465
Odtud vyplývá, že derivace může být rovna 0 pouze tehdy když bude platit

a tedyZe dvou kořenů je vyhovující pouze
Maximum tedy nastává pro
Theorem (V. Kotěšovec, 12.3.2012):
Number of stalemate positions of k rookhoppers on an n x n board is (asymptotically) maximal forcož je (pro velká n) počet věžových cvrčků, při kterém je na šachovnici n x n největší možný počet patových pozic. Tuto hodnotu lze aproximovat i jako
Pokud tuto hodnotu k dosadíme do obecného vzorce, můžeme odtud určit počet těchto pozic (hodnotu v maximu). Asymptoticky dostaneme
Number of stalemate positions in maximum is

Vidíme tedy, že hodnota v maximu je podstatně větší než hodnota pro k=n, přesněji

Ještě může být zajímavý asymptotický odhad celkového počtu patových pozic věžových cvrčků na šachovnici n x n bez ohledu na počet kamenů (total number ofstalemate positions of k rookhoppers on an n x n board, over all k). V souladu s výsledky na str. 219 dostáváme

466

9.9.3 k Rookhoppers on an n x n toroidal chessboard - k věžových cvrčků na prstencové šachovnici n x n

2 rookhoppers, toroidal board n x n: (all combinations)

3 rookhoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2011) , n>=4

4 rookhoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2011) , n>=5

5 rookhoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2011) , n>=6

6 rookhoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2011) , n>=7

7 rookhoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 12.3.2011) , n>=8

467
První členy těchto vzorců mají tvar

k
2

3

4

5
6

7

k non-attacking Rookhoppers on an n x n toroidal chessboard - Generating function

468
k non-attacking rookhoppers on an n x n toroidal chessboard
n 2 rookhoppers 3 rookhoppers 4 rookhoppers 5 rookhoppers

6 rookhoppers

7 rookhoppers

1
2

6

4

1

3

36

78

90

45

6

0

4

120

528

1428

2304

2040

816

5

300

2200

10600

34020

71400

93000

6

630

6924

52245

28047610823762982492

7

1176

18032

19492215555549372328

43011360

8

2016

41024

5984486591488

56407904

381102720

9

3240

84348

159165023009508

263168568

2429049384

10

4950

1603003791525

69386620

1016871700

12200639500

11

7260

2860448276400

186580548

3397022486

51141168122

12

10296

48475216827372

457449408

10105099224

185898175200

13

14196

78686432253988

1039334114

27338961338

602059172728

14

19110

1231468

58821805

2215190236

68336440956

1772008713692

15

25200

1867800

102801150

4471092270

159726014700

4811284160550

16

32640

2756864

173158080

8610017280

352406401408

12191969937920

17

41616

3973172282410222 15914376872

739479495620

29101046301816

18

52326

5606604

447671853 28372736700 1484838643572

65917184574636

19

64980

7764388691914260 48989571424 2867432297194 142559409952210

20

79800

10573200

1045469100 82200780480 5348056587800 295872360466400

21

97020

14181384

1547804160 134422066422 9667864702230 591803405669448

22

116886

18761292

2249602597 214762183196 16990712454716 1144957545090172

23

13965624511744

3215178418 335938526746 29105096104656 2149263229412894

24

16560031660608

4525262640 515438595072 48705900558432 3925040841295488

25

19500040467500

6280196250 776977519500 79781596870000 6989851830965000

n 2 rookhoppers 3 rookhoppers 4 rookhoppers 5 rookhoppers

6 rookhoppers

7 rookhoppers

469

9.9.4 k Bishophoppers on an n x n chessboard - k střelcových cvrčků na šachovnici n x n
The Bishophopper moves on the same lines as a bishop, but must jump over a hurdle to land on the square immediately beyond (moves like a Grasshopper but only on Bishop-lines).

2 bishophoppers, board n x n: (all combinations)
3 bishophoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2012), n>=2

4 bishophoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2012), n>=3

5 bishophoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2012), n>=4

6 bishophoppers, board n x n: (V. Kotěšovec, 12.3.2012), n>=5První členy těchto vzorců mají tvar

Note: For maximal number of non-attacking bishophoppers see chapter 14.1.

470

k
2

3

4

5

6

k non-attacking Bishophoppers on an n x n chessboard - Generating function

471
k non-attacking bishophoppers on an n x n chessboard
n 2 bishophoppers 3 bishophoppers 4 bishophoppers 5 bishophoppers 6 bishophoppers 7 bishophoppers
1
2

6

4

1

3

36

82

114

97

48

12

4

120

548

1670

3516

5134

5100

5

300

2262

11852

45229

128442273088

6

630

7052

56131

3349841543100

5574116

7

1176

18254

204384174652111771350

63855062

8

2016

41372

6182547133404

65818154

496748908

9

3240

84858

162899024336819

293488158

2926494026

10

4950

161012

385668772301432

1101368982

13977586776

11

7260

2870028383526

192463291

3607623946

56649097406

12

10296

48600416995294

468547868

10585376080 201159101940

13

14196

78846232507144

1059148065

28357625410

?

14

19110

123346859191235

2248970440

70370399928

?

15

25200

1870262103325572

4526474437

163584750302

?

16

32640

2759852173885046

8697813116

359412601822

?

17

41616

3976754283397354

16049546167

751724607974

?

18

52326

5610852448988159

28575565944 1505536268514

?

19

64980

7769378693641530

49287086263 2901397265682

?

20

79800

10579012

1047703382

82628420860 5402343064852

?

21

97020

14188102

1550657316 135025655093 9752602926538?

2211688618769004

2253203939 215600219784 17120190636244?

23

13965624520542

3219676424 337084841425 29299141774950?

2416560031670588

4530826750 516985397404 48991624150322?

25

19500040478762

6287018742 779038879835 80195569746862?

n 2 bishophoppers 3 bishophoppers 4 bishophoppers 5 bishophoppers 6 bishophoppers 7 bishophoppers

472

9.9.5 k Bishophoppers in stalemate - k střelcových cvrčků v patuOpět budeme analyzovat dva případy, počet pozic nenapadajících se střelcových cvrčků v patu (non-attacking Bishophoppers in stalemate = BHN) a obecný počet
pozic střelcových cvrčků v patu (Bishophoppers in stalemate (general positions) = BHS). Maximální počet nenapadajících se střelcových cvrčků v patu proje, jde o pozici, kdy jsou všechny kameny na okraji šachovnice, viz diagram. Obecně je samozřejmě možno zaplnit celou šachovnici
střelcovými cvrčky,kteří budou v patu (ale budou se napadat). In general case is maximal number of Bishophoppers in stalemate on an n x n chessboard .

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

maximal numberof non-attacking bishophoppers in stalemate
on an n x n normal board
1
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60

Počítačem ověřeno pro všechna n <= 100

473
2 non-attacking bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=22 bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=2

3 non-attacking bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=2

3 bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=4

4 non-attacking bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=2
(V. Kotěšovec, 15.3.2012)

4 bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=5
(V. Kotěšovec, 15.3.2012)

Rozdíl pozic, tedy takové patové pozice střelcových cvrčků, kde se kameny napadají, lze snadno analyzovat i analyticky a potvrdit tak
vzorce odvozené na základě číselných posloupností vygenerovaných počítačem. Mohou nastat 2 případy. Prvním je čtveřice kamenů
umístěná na jedné diagonální linii tak, aby oba konce byly na okraji šachovnice. Taková možná konfigurace je jen jedna a je jí možno jen
symetricky otočit, takže dostáváme celkem 4 pozice. Druhý případ je trojice kamenů na jedné diagonální linii a čtvrtý kámen umístěný
kdekoliv na šachovnici tak, aby pozice zůstala patová. Z celkového počtu n2 polí je tak třeba vyloučit n polí na hlavní diagonále a dvakrát
polí na sousedních diagonálách (viz diagramy vpravo). Celkem dostaneme pro počet takových pozic

474
5 non-attacking bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=3
(V. Kotěšovec, 16.3.2012)

5 bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=6
(V. Kotěšovec, 16.3.2012)

6 non-attacking bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=3
(V. Kotěšovec, 21.3.2012)

6 bishophoppers in stalemate, board n x n, n>=7
(V. Kotěšovec, 22.3.2012)

První členy těchto vzorců mají tvar (jako pro střelce)

Rozdíl obou vzorců začíná vždy členem

475

k

k non-attacking Bishophoppers in stalemate on an n x n chessboard - Generating function

2
3
4
5
6

-4x^3*(23x^18 - 35x^17 - 405x^16 - 1489x^15 + 11774x^14 + 154475x^13 + 737236x^12 + 2031547x^11 + 3776176x^10 + 4878297x^9 + 4539486x^8 + 3038989x^7 + 1470282x^6+ 506153x^5 + 122588x^4 + 20937x^3 + 2673x^2 + 246x + 7) / ((x-1)^13*(x+1)^7)

K

k Bishophoppers in stalemate on an n x n chessboard - Generating function

2
3
4
5
6

2x^3*(3x^23 - 12x^22 - 79x^21 + 484x^20 - 417x^19 - 2200x^18 + 4527x^17 + 3052x^16 - 10304x^15 - 18132x^14 - 289276x^13 - 1492928x^12 - 4078824x^11 - 7528228x^10 9751264x^9 - 9096296x^8 - 6076187x^7 - 2933664x^6 - 1014941x^5 - 246420x^4 - 40863x^3 - 5316x^2 - 615x - 20) / ((x-1)^13*(x+1)^7)

476

n

k non-attacking bishophoppers in stalemate on an n x n chessboard

k bishophoppers in stalemate on an n x n chessboard

2 bishophoppers 3 bishophoppers 4 bishophoppers 5 bishophoppers 6 bishophoppers 2 bishophoppers 3 bishophoppers 4 bishophoppers 5 bishophoppers 6 bishophoppers

1
2

6

4

1

6

4

1

3

32

62

74

57

28

32

64

82

70

40

4

102

348

743

1088

1152

102

352

785

1248

1470

5

254

1392

4688

10619

17380

254

1396

4756

11085

19132

6

538

4412

22329

75080

178196

538

4416

22429

76092

183878

7

1016

11778

85406

4130291397076

1016

11782

85546

4150611413472

8

1762

27588

27443918416888678404

1762

27592

27462718454128719896

9

2862

58372

767724690408744039708

2862

58376

767968691047144134920

104414

113908

192088122440976

188189736

4414

113912

1921189

22451284

188388868

11

6528

208166438825864855441

696166236

6528

2081704388638

64871329

696554280

12

9326

3603649298215169984496

2281509224

9326

3603689298675

170008012

2282218700

13

12942

596152

18497368

410422387

6750763972

12942

59615618497916

410456067

6751997008

14

17522

94890834878697

924232280

18311178364

17522

94891234879341

924279148

18313226376

15

23224

146116262812502

1960495421

46097458804

23224

1461166

62813250

1960559085

46100735744

16

30218

2186132

108697863

3948740040

108788266220

30218

2186136108698723

3948824692

108793336736

17

38686

3189388

181657620

7601565455

242663107740

38686

3189392

181658600

7601675967

242670733896

18

48822

4550628294397153

14061920288

515097381968

48822

4550632294398261

14062062212

515108561420

19

60832

6365582464254138

25109736169 1046410884060

60832

6365586464255382

25109915833 1046426912552

20

74934

8748028714462055

43445328288 2044147399120

74934

8748032714463443

43445552796 2044169920212

21

91358

11831936

1075658912

73071430251 3855472126820

91358

11831940

1075660452

73071707579 3855503212464

22

11034615773724

1587666329

119798984552 7045305191908

11034615773728

1587668029

119799323548 7045347405264

2313215220754642

2301574862

191907766037 12510452938196

13215220754646

2301576730

191908176517 12510509434592

24

15704226983268

3282162951

300996645752 21643019530836

15704226983272

3282164995

300997138500 21643094135208

25

18529434698132

4610689916

463066093063 36560507712988

18529434698136

4610692144

463066679927 36560605043528

n 2 bishophoppers 3 bishophoppers 4 bishophoppers 5 bishophoppers 6 bishophoppers 2 bishophoppers 3 bishophoppers 4 bishophoppers 5 bishophoppers 6 bishophoppers

477

9.9.6 k Bishophoppers on an n x n toroidal chessboard - k střelcových cvrčků na prstencové šachovnici n x n

2 bishophoppers, toroidal board n x n: (all combinations)

3 bishophoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2011) , n>=4

4 bishophoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2011) , n>=55 bishophoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2011) , n>=7

6 bishophoppers, toroidal board n x n: (V. Kotěšovec, 11.3.2011) , n>=9První členy těchto vzorců mají tvar

Na prstencové šachovnici jsou pro věžového a střelcového cvrčka hodnoty pro lichá n shodné.

478

k
2

3

4

5

6

k non-attacking Bishophoppers on an n x n toroidal chessboard - Generating function

479
k non-attacking bishophoppers on an n x n toroidal chessboard
n 2 bishophoppers 3 bishophoppers 4 bishophoppers 5 bishophoppers 6 bishophoppers 7 bishophoppers
1
2

6

4

1

3

36

78

90

45

6

0

4

120

528

1460

2528

2608

1440

5

300

2200

10600

34020

71400

93000

6

630

6924

52533

28681211450163342204

7

1176

18032

19492215555549372328

43011360

8

2016

41024

598960661401656875616

387120512

9

3240

84348

159165023009508

263168568

2429049384

10

4950

160300379232569446620

1019051500

12251379900

11

7260

2860448276400

186580548

3397022486

51141168122

12

10296

484752

16828524

457580736

10112439192 186165023904

13

14196

78686432253988

1039334114

27338961338 602059172728

14

19110

123146858823373

2215442684

68356496852 1773053635948

15

25200

1867800

102801150

4471092270

159726014700 4811284160550

16

32640

2756864

173160128

8610459648

352453731712

?

17

41616

3973172282410222

15914376872

739479495620

?

18

52326

5606604

447674445

28373459868 1484938826316

?

19

64980

7764388691914260

48989571424 2867432297194

?

20

79800

10573200

1045472300

82201900480 5348251543000

?

21

97020

14181384

1547804160 134422066422 9667864702230?

22116886

18761292

2249606469 214763844284 16991067256724?

23

13965624511744

3215178418 335938526746 29105096104656?

2416560031660608

4525267248 515440972800 48706511922528?

25

19500040467500

6280196250 776977519500 79781596870000?

n 2 bishophoppers 3 bishophoppers 4 bishophoppers 5 bishophoppers 6 bishophoppers 7 bishophoppers

48010) Leapers - Skokani
10.1)

2 leapers on an n x n chessboard - 2 skokani na šachovnici n x n

Vzorce pro rozmístění neohrožujících se exokamenů různých typů publikoval Christian Poisson v roce 1990 ve francouzském časopise Rex Multiplex. Celkem
44 vzorců (převážně vždy pro rozmístění 2-3 kamenů) vyšlo ve dvou pokračováních Rex Multiplex 29/1990, str. 829-830 a Rex Multiplex 30/1990, str. 914-915.
Nejzajímavější byl tento obecný vzorec pro rozmístění dvou neohrožujících se skokanů [r,s] na šachovnici n x n.
Two leapers [r,s] on an n x n chessboard,
for

for

,

,

Speciálně pro r=2 a s=3 dostaneme shodný vzorec pro 2 zebry, pro r=0 a s=1 pro 2 vezíry a pro r=1 a s=2 pro 2 jezdce.

Obecnější vzorec objevil už Edouard Lucas v roce 1891, když ve své knize
Théorie des nombres uvádí na str.97 výraz pro počet ohrožujících se skokanů
[r,s] na šachovnici p x qKdyž v tomto vzorci položíme p = q = n a uvědomíme-li si, že celkový počet
kombinací 2 kamenů na šachovnici n x n je n2 nad 2, dostáváme odtud pro
počet neohrožujících se skokanů [r,s] výraz

což odpovídá výše uvedenému vzorci

Leaper - moves in one leap from its departure square to its arrival square, like a Knight, which is a [1,2] Leaper ([1,2] indicates the relative positions of the departure and arrival squares).

481

2 Leapers on an n x n chessboard
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

2

2

6

6

6

6

6

6

4

6

6

6

6

6

6

6

6

6

3

24

30

36

36

36

36

36

28

28

36

36

36

36

36

34

36

36

4

96

104

112

120

120

120

120

102

96

108

120

120

120

120

112

112

120

5

260

270

280

290

300

300

300

268

252

268

284

300

300

300

282

276

288

6

570

582

594

606

618

630

630

580

550

570

590

610

630

630

598

582

598

7

1092

1106

1120

1134

1148

1162

1176

1104

1056

1080

1104

1128

1152

1176

1126

1096

1116

8

1904

1920

1936

1952

1968

1984

2000

1918

1848

1876

1904

1932

1960

1988

1944

1896

1920

9

3096

3114

3132

3150

3168

3186

3204

3112

3016

3048

3080

3112

3144

3176

3142

3072

3100

10

4770

4790

4810

4830

4850

4870

4890

4788

4662

4698

4734

4770

4806

4842

4822

4726

4758

11

7040

7062

7084

7106

7128

7150

7172

7060

6900

6940

6980

7020

7060

7100

7098

6972

7008

12 10032 10056 10080 10104 10128 10152 10176 10054

9856

9900

9944

9988 10032 10076 10096

9936

9976

1

13 13884 13910 13936 13962 13988 14014 14040 13908 13668 13716 13764 13812 13860 13908 13954 13756 13800
14 18746 18774 18802 18830 18858 18886 18914 18772 18486 18538 18590 18642 18694 18746 18822 18582 18630
15 24780 24810 24840 24870 24900 24930 24960 24808 24472 24528 24584 24640 24696 24752 24862 24576 24628
16 32160 32192 32224 32256 32288 32320 32352 32190 31800 31860 31920 31980 32040 32100 32248 31912 31968
17 41072 41106 41140 41174 41208 41242 41276 41104 40656 40720 40784 40848 40912 40976 41166 40776 40836
18 51714 51750 51786 51822 51858 51894 51930 51748 51238 51306 51374 51442 51510 51578 51814 51366 51430
19 64296 64334 64372 64410 64448 64486 64524 64332 63756 63828 63900 63972 64044 64116 64402 63892 63960
20 79040 79080 79120 79160 79200 79240 79280 79078 78432 78508 78584 78660 78736 78812 79152 78576 78648
21 96180 96222 96264 96306 96348 96390 96432 96220 95500 95580 95660 95740 95820 95900 96298 95652 95728
22 115962 116006 116050 116094 116138 116182 116226 116004 115206 115290 115374 115458 115542 115626 116086 115366 115446
23 138644 138690 138736 138782 138828 138874 138920 138688 137808 137896 137984 138072 138160 138248 138774 137976 138060
24 164496 164544 164592 164640 164688 164736 164784 164542 163576 163668 163760 163852 163944 164036 164632 163752 163840
25 193800 193850 193900 193950 194000 194050 194100 193848 192792 192888 192984 193080 193176 193272 193942 192976 193068
26 226850 226902 226954 227006 227058 227110 227162 226900 225750 225850 225950 226050 226150 226250 226998 225942 226038
27 263952 264006 264060 264114 264168 264222 264276 264004 262756 262860 262964 263068 263172 263276 264106 262956 263056
28 305424 305480 305536 305592 305648 305704 305760 305478 304128 304236 304344 304452 304560 304668 305584 304336 304440
29 351596 351654 351712 351770 351828 351886 351944 351652 350196 350308 350420 350532 350644 350756 351762 350412 350520
30 402810 402870 402930 402990 403050 403110 403170 402868 401302 401418 401534 401650 401766 401882 402982 401526 401638
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

482

2 Leapers on an n x n chessboard
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

3

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

4

120

120

120

118

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

5

300

300

300

292

292

300

300

300

298

300

300

300

300

300

300

300

300

300

6

614

630

630

612

606

618

630

630

622

622

630

630

628

630

630

630

630

630

7

1136

1156

1176

1144

1128

1144

1160

1176

1158

1152

1164

1176

1168

1168

1176

1174

1176

1176

8

1944

1968

1992

1966

1936

1956

1976

1996

1984

1968

1984

2000

1998

1992

2004

2008

2008

2014

9

3128

3156

3184

3168

3120

3144

3168

3192

3190

3160

3180

3200

3208

3192

3208

3222

3216

3232

10

4790

4822

4854

4852

4782

4810

4838

4866

4878

4830

4854

4878

4900

4870

4890

4918

4902

4932

11

7044

7080

7116

7132

7036

7068

7100

7132

7162

7092

7120

7148

7188

7140

7164

7210

7180

7228

1

12 10016 10056 10096 10134 10008 10044 10080 10116 10168 10072 10104 10136 10198 10128 10156 10224 10176 10246
13 13844 13888 13932 13996 13836 13876 13916 13956 14034 13908 13944 13980 14068 13972 14004 14098 14028 14124
14 18678 18726 18774 18868 18670 18714 18758 18802 18910 18750 18790 18830 18948 18822 18858 18982 18886 19012
15 24680 24732 24784 24912 24672 24720 24768 24816 24958 24760 24804 24848 25000 24840 24880 25038 24912 25072
16 32024 32080 32136 32302 32016 32068 32120 32172 32352 32112 32160 32208 32398 32200 32244 32440 32280 32478
17 40896 40956 41016 41224 40888 40944 41000 41056 41278 40992 41044 41096 41328 41088 41136 41374 41176 41416
18 51494 51558 51622 51876 51486 51546 51606 51666 51934 51598 51654 51710 51988 51702 51754 52038 51798 52084
19 64028 64096 64164 64468 64020 64084 64148 64212 64530 64140 64200 64260 64588 64252 64308 64642 64356 64692
20 78720 78792 78864 79222 78712 78780 78848 78916 79288 78840 78904 78968 79350 78960 79020 79408 79072 79462
21 95804 95880 95956 96372 95796 95868 95940 96012 96442 95932 96000 96068 96508 96060 96124 96570 96180 96628
22 115526 115606 115686 116164 115518 115594 115670 115746 116238 115662 115734 115806 116308 115798 115866 116374 115926 116436
23 138144 138228 138312 138856 138136 138216 138296 138376 138934 138288 138364 138440 139008 138432 138504 139078 138568 139144
24 163928 164016 164104 164718 163920 164004 164088 164172 164800 164080 164160 164240 164878 164232 164308 164952 164376 165022
25 193160 193252 193344 194032 193152 193240 193328 193416 194118 193320 193404 193488 194200 193480 193560 194278 193632 194352
26 226134 226230 226326 227092 226126 226218 226310 226402 227182 226302 226390 226478 227268 226470 226554 227350 226630 227428
27 263156 263256 263356 264204 263148 263244 263340 263436 264298 263332 263424 263516 264388 263508 263596 264474 263676 264556
28 304544 304648 304752 305686 304536 304636 304736 304836 305784 304728 304824 304920 305878 304912 305004 305968 305088 306054
29 350628 350736 350844 351868 350620 350724 350828 350932 351970 350820 350920 351020 352068 351012 351108 352162 351196 352252
30 401750 401862 401974 403092 401742 401850 401958 402066 403198 401950 402054 402158 403300 402150 402250 403398 402342 403492
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

483

10.2)

3 leapers on an n x n chessboard - 3 skokani na šachovnici n x n[0,1] leapers - see Wazirs, [1,2] leapers - see Knights, [2,3] leapers - see Zebras

Obecný vzorec pro rozmístění 3 neohrožujících se skokanů [r,s] na šachovnici n x n.
Three leapers [r,s] on an n x n chessboard
case 1:(V. Kotěšovec, 2010) 1, forcase 2:case 3:Případy 2 a 3 se dají vyjádřit také jedním vzorcem takto:r1

Tyto vzorce včetně tabulek hodnot byly publikovány jako originál soutěže "Hans Gruber 50 JT", feenschach 183 / 24.8.2010, úloha č.58, str.380, Václav Kotěšovec, Urdruck: "Wie viele
Möglichkeiten gibt es, drei sich nicht beobachtende h:g-Springer auf einem n×n-Schachbrett anzuordnen?"484
V následujících tabulkách jsou červeně označeny hodnoty pro n < 2s, kde obecné vzorce ještě nemusí platit.

3 Leapers on an n x n chessboard
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

1
2

0

4

4

4

4

4

4

0

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

22

46

84

84

84

84

84

38

36

84

84

84

84

84

70

84

84

4

276

352

452

560

560

560

560

340

276

404

560

560

560

560

448

452

560

5

1474

1656

1856

2074

2300

2300

2300

1630

1360

1624

1948

2300

2300

2300

1900

1772

2032

6

5248

5596

5952

6340

6736

7140

7140

5552

4752

5248

5848

6480

7140

7140

6092

5596

6084

7

14690

15276

15870

16486

17124

17770

18424

15210

13340

14232

15200

16244

17320

18424

16152

14888

15704

8

35012

35920

36836

37760

38724

39696

40676

35828

32084

33532

35012

36628

38276

39956

37328

34640

35920

9

74326

75652

76986

78328

79696

81090

82492

75530

68796

70984

73204

75516

77920

80356

77768

72712

74664

10

144544146396148256150124152000153924

155856146240135040138176141344144544147912151312149420140716143540112623982648962674022699162724382749902775722647022471522514682558162601962646842692802690522550362589561245058045385645714046043246373246704047040445362042738043313243891644473245058045662845939243796844323213739002743200747406751620755842760072764336742918705144712612720112727644735208742896750388718980725860141166176

117145211767361182028

1187328

1192636

1197952

117112011184161127904

1137424

11469761156560

1166176

11805881136092

1144884

15

17807141787236

1793766

1800304

1806850

1813404

1819966

1786850

171522017270561738924

1750824

1762756

17747201798640

1737376

1748400

16

264294826508962658852

266681626747882682768

2690756

26504522555252

256978825843562598956

26135882628252266491225825762596176

17

382667038362363845810385539238649823874580

38841863835730

37116203729232

374687637645523782260

3800000

3853232

37448483761392185420992543238054437765455180

54665925478012548944054318085272704

529379253149125336064

535724853784645452748

53126205332500

197532326754575275591867572628

75860787599536

761300275451107344136736912473941447419196744428074693967569908

73915727415204

20 10286484 10302176 10317876 10333584 10349300

10365024 10380756 10301460 10050900 10080236 10109604 10139004

10168436 10197900 10330560 10106736 10134560

21 13830898 13849096 13867302 13885516 13903738

13921968 13940206 13848302 13539552 13573708 13607896 13642116

13676368 13710652 13882172 13604716 13637196

22 18336960 18357916 18378880 18399852 18420832

18441820 18462816 18357040 17980560 18020032 18059536 18099072

18138640 18178240 18396172 18056028 18093652

23 24002482 24026460 24050446 24074440 24098442

24122452 24146470 24025498 23570764 23616072 23661412 23706784

23752188 23797624 24070408 23657560 23700840

24 31054276 31081552 31108836 31136128 31163428

31190736 31218052 31080500 30535956 30587644 30639364 30691116

30742900 30794716 31131728 30635152 30684624

25 39750854 39781716 39812586 39843464 39874350

39905244 39936146 39780570 39133580 39192216 39250884 39309584

39368316 39427080 39838680 39246296 39302520

26 50385248 50419996 50454752 50489516 50524288

50559068 50593856 50418752 49655552 49721728 49787936 49854176

49920448 49986752 50484332 49782956 49846516

27 63287950 63326896 63365850 63404812 63443782

63482760 63521746 63325550 62431200 62505532 62579896 62654292

62728720 62803180 63399212 62574508 62646012

28 78829972 78873440 78916916 78960400 79003892

79047392 79090900 78871988 77830324 77913452 77996612 78079804

78163028 78246284 78954368 77990800 78070880

29 97426026 97474352 97522686 97571028 97619378

97667736 97716102 97472790 96266376 96358964 96451584 96544236

96636920 96729636 97564548 96445332 96534644

30 119537824 119591356 119644896 119698444 119752000 119805564 119859136 119589680 118199760 118302496 118405264 118508064 118610896 118713760 119691500 118398556 118497780
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

485

3 Leapers on an n x n chessboard
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

1
2
3

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

4

560

560

560

532

560

560

560

560

560

560

560

560

560

560

560

560

560

560

5

2300

2300

2300

2116

2120

2300

2300

2300

2254

2300

2300

2300

2300

2300

2300

2300

2300

2300

6

6608

7140

7140

6528

6340

6736

7140

7140

6868

6872

7140

7140

7072

7140

7140

7140

7140

7140

7

16584

17500

18424

16938

16216

16944

17680

18424

17578

17312

17864

18424

18048

18052

18424

18330

18424

18424

8

37312

38736

40196

38612

36836

38004

39216

40436

39680

38724

39696

40676

40548

40192

40924

41168

41172

41540

9

76696

78808

80952

79722

76132

77884

79704

81568

81392

79080

80628

82184

82792

81564

82808

83898

83440

84688

10

146396149396152428152240145744148256150888153552154700150124152388154704156800153924

155856

158564157032

159936112629082669562711002729582621042656282692362729282764202683562715242747642794382738202766362820302785242841721244852845385645936046462844755645233245714046210046932845614446043246484847349246373246760447712047040448024413732772739716746772757222731616737908744232750656763420743052748756754548768982753288758448773908762356778220141153708

1162564

11714521189312115235211604481168576

11767361197292

116719611745961182028

1204528

1180624

1187328

12110201192636

1216768

15

1759456

1770544

1781664

1809570

1757884

1768096

1778340

1788616

1819640

1776744

1786144

1795576

1828850

1793956

1802544

1837200

18095201844690162609808

262347226371682678388

2608004

26206682633364

26460922690880

263153626432642655024

2702388265317226639642712912267291227224521737779683794576

3811216

38696183775916

3791392

3806900

382244038848883804824

3819232

3833672

38990423831572384491239120803856160

39240021853524125372356

539233254724325350096536876853874725406208

5490860

5385132

5402596542009255080325417728543398455239485447884

55386081974388687462564

74862927593302743627274585487480856

75031967615292

7478236

7499156

7520108

76358787517464753702876550607553956767283820

10162416

10190304

10218224

10358100

10159524

10185836

10212180

10238556

10384080

10209264

10234064

10258896

10408500

10255956

10279244

10431360

10299600

10452660

21

13669708

13702252

13734828

13914318

13666504

13697308

13728144

13759012

13944740

13724916

13754044

13783204

13973438

13779952

13807404

14000412

13831612

14025662

22

18131308

18168996

18206716

18433408

18127776

18163552

18199360

18235200

18468748

18195804

18229732

18263692

18502192

18260112

18292192

18533740

18320700

18563392

2323744152

23787496

23830872

24113242

23740276

23781528

23822812

23864128

24154000

23818912

23858136

23897392

24192682

23893468

23930664

24229288

23963944

24263818243073412830783664

30833232

31180692

30729892

30777148

30824436

30871756

31227392

30820176

30865216

30910288

31271828

30906004

30948828

31314000

30987376

31353908

25

39358776

39415064

39471384

39894330

39354164

39407976

39461820

39515696

39947520

39457184

39508584

39560016

39998250

39555356

39604344

40046520

39648680

4009233026

4991010849973732

50037388

50547248

49905104

49966048

50027024

50088032

50607500

50021996

50080324

50138684

50665088

50133632

50189344

50720012

50240012

50772272

2762717548

62789116

62860716

63469998

62712136

62780812

62849520

62918260

63537908

62844084

62909932

62975812

63602942

62970352

63033372

63665100

63090940

63724382

28

78150992

78231136

78311312

79033652

78145156

78222188

78299252

78376348

79109840

78293392

78367376

78441392

79182932

78435508

78506444

79252928

78571504

793198282996623988

96713364

96802772

97652982

96617712

96703748

96789816

96875916

97738092

96783516

96866276

96949068

97819878

96942744

97022228

97898340

97095396

97973478

30 118597036 118696324 118795644 119789760 118590304 118686016 118781760 118877536 119884460 118775004 118867204 118959436 119975600 118952656 119041344 120063180 119123260 120147200
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

486

10.3)

4 leapers on an n x n chessboard - 4 skokani na šachovnici n x nTato konfigurace skokanů je zajímavá tím, že přináší nový případ, závisející na vztahu r a s. První z těchto vzorců platí až pro taková s, která jsou alespoň dvakrátvětší než r (a pak už pro všechna s až do nekonečna). Druhý případ nastává, když je s v intervalu (r,2r). Oba tyto případy se liší ale pouze ve členech u n1 a n0, pro
ostatní členy jsou oba vzorce shodné.

Four leapers [r,s] on an n x n chessboard, forcase 1:case 2:, add to previous formula

po roznásobení je tvar posledních 2 členů

case 3:case 4:Případy 3 a 4 se dají vyjádřit také jedním vzorcem takto:

for(V. Kotěšovec, 16.5.2010)

487
Řešení tohoto problému se ukázalo jako velmi zábavné a připomínalo některé testy IQ, kdy je třeba podle dané číselné posloupnosti určit další číslo (v tomto případě
objevit vzorec). Problém však bylo třeba řešit ve 2 proměnných (r,s).
Nejprve jsem napsal počítačový program, který vygeneroval počty neohrožujících se 4 skokanů pro všech 35 možných kombinací skokanů [r,s], kde 0<r<=s<=7,u každého skokana pro všechny šachovnice n x n, kde 0 < n <=30. Celý výpočet trval asi 10 hodin a výsledkem bylo 35 tabulek po 30 hodnotách. Potom jsem pro
všech 35 posloupností odvodil explicitní vzorce. Tento krok byl poměrně snadný, protože jsem věděl, že každý vzorec bude vždy polynom 8.stupně a šlo jen o to,určit všech jeho 9 koeficientů pro každou ze 35 posloupností. S tím samozřejmě opět pomohl počítač s pomocí mých starých osvědčených metod. Dostal jsem tak
35 polynomů s konstantními koeficienty, několik dalších (zejména pro s=8 a s=9 jsem pak musel ještě dopočítat). Příklady těchto vzorců:
[2,3]
[2,4]

[3,4]

[2,5]

[3,5]

[2,6]

[3,6]

[2,7]

[3,7]

[2,8]

[3,8]

[2,9]

[3,9]

Nyní nastala nejzajímavější část, odvodit vzorce pro jednotlivé sloupečky a zobecnit je jako funkci r a s. K tomu jsem si nejprve zvolil vždy pevné r a snažil se zjistit
závislost jen pro s. Vidíme, že koeficienty u n8 a n6 jsou dokonce konstantní (a u n7 je nula) a na určení koeficientu u n5 stačí jistě i nízké IQ :-)„Každý“ hned vidí, že jde o dvojnásobek součtu r+s. Koeficienty u n4, n3 a n2 odvodíme sice s trochu větším úsilím, ale podstatné je to, že odhadnuté vzorce
nevykazují žádné anomálie. Hodně jsem se však „natrápil“ s určením koeficientů u n1 a n0. Dlouho jsem nemohl najít závislost, která by platila pro všechny členy, až
po hlubším zkoumání jsem zjistil, že existuje kvadratická závislost, když vynecháme několik prvních členů v těchto sloupcích. Například pro skokany [2,s] se dá
vyjádřit koeficient u n1 jako
, který však platí až od s>=4. Podobně pro [3,s] je koeficient u n1
, ale až od s>=6.
s
r=2
3
4
5
6
3 +32n 14+64n 25+32n 1 +96n 3
6+64n 2 +128n 4
7+32n 1 +96n 3 +160n 5
Podobným způsobem jsem pak určil i rozdílový člen pro n0.

S tím jsem se však ještě nespokojil a pokusil jsem se najít obecný vzorec. Především jsem zjistil, žepočet počátečních členů, pro které předchozí výrazy ještě neplatí, se lineárně zvyšuje s narůstajícím r.
Když jsem si vytvořil tabulku toho, co u počátečních členů (kde vzorce ještě neplatí) přebývá protitěmto vzorcům, zjistil jsem, že i zde lze odvodit jednoduchou závislost. Všechny rozdíly jsou násobky
32. Pokud je tímto číslem vydělíme (sloupce vpravo), je závislost už zřejmá. Pro tuto oblast (2r > s) jetřeba připočítat člen488
V následujících tabulkách jsou červeně označeny hodnoty pro n < 3s, kde obecné vzorce ještě nemusí platit.

4 Leapers on an n x n chessboard
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

2

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

3

6

32

126

126

126

126

126

29

18

126

126

126

1

4

405

664

1165

1820

1820

1820

1820

661

412

926

1820

1820

5

5024

6386

8104

10246

12650

12650

12650

6285

4436

6194

9042

12650

6

31320

35745

40464

46217

52364

58905

58905

35378

26133

31331

39297

48495

7

133544

144682156278168928182694

197010211876143787111066125834143400164404844642147035649494152016054786957630860547746852937656041065044643648992691258590130467013516201399386

144934415015421554674

1301351

1080942115016212218701300364103126724320852132914163375369

3460400

3550241364124432029702732909

286076329920653126743117042930

71793207317060

7456128

759650277407207888830

71705936253408

6473432

669799269269441214669709

14886072

15104061

15323676

15544845

15767640

15998621

14872997

13204356

13562374

13926144

14295186

13

28658436

28987976

29319442

29652834

29988100

30325266

30668552

28969129

26100160

26656876

2722051227790716

1453069000

53554185

54041620

54531305

55023212

55517313

56013664

53527866

48819677

49653507

50495521

51345527

1593909924

94604046

95300766

96000084

96702000

97406424

98113446

94568255

87137934

88348078

89567766

90796998

16

159819965

160788820

161760645

162735440

163713205

164693876

165677485

160741233

149398608

151108362

152829116

154560870

17262913874

264237562

265564616

266895036

268228822

269565940

270906356

264175507

247349946

249710254

252083114

254468526

18419816676

421591521

423370152

425152569

426938772

428728761

430522428

421511954

397168485

400361731

403569177

406790823

19652912510

655253100

657597920

659946970

662300250

664657760

667019424

655152581

620696612

624940652

629200636

633476564

20991835749

994877096

997923141

1000973884 1004029325 1007089464

1010154261

994751765

946921684

952474118

958044336

963632338

211475233800 1479133620 1483038630

1486948830 1490864220 1494784800

1498710570 1478979173 1413726108

1420888792 1428071196 1435273320

222152832664 2157773777 2162720596

2167673121 2172631352 2177595289

2182564932 2157585442 2069939461

2079063259 2088208809 2097376111

233087838016 3094030866 3100229962

3106435304 3112646892 3118864726

3125088806 3093803379 2977725410

2989215186 3000728842 3012266378

244359706245 4367391540 4375083645

4382782560 4390488285 4398200820

4405920165 4367119121 4215337872

4229657722 4244003676 4258375734

25

6067321574 6076773046 6086231916

6095698184 6105171850 6114652914

6124141376 6076449375 5880282534

5897961258 5915668406 5933403978

26

8332617060 8344144345 8355679640

8367222945 8378774260 8390333585

8401900920 8343762538 8092921533

8114558347 8136226001 8157924495

27 11304678954 11318630592 11332590876 11346559806 11360537382 11374523604 11388518472 11318183177 11000560776 11026831264 11053135104 11079472296
28 15164375581 15181142136 15197917997 15214703164 15231497637 15248301416 15265114501 15180621029 14782061060 14813723366 14845421632 14877155858
29 20129553580 20149570880 20169598170 20189635450 20209682720 20229739980 20249807230 20148967361 19653015832 19690917092 19728857016 19766835604
30 26460846024 26484598521 26508361716 26532135609 26555920200 26579715489 26603521476 26483903210 25871540109 25916623123 25961747601 26006913543
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

489

4 Leapers on an n x n chessboard
n

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1
2
3

126

126

85

126

126

126

126

126

126

126

126

126

4

1820

1820

1120

1168

1820

1820

1820

1820

1639

1820

1820

1820

5

12650

12650

8536

7334

9840

12650

12650

12650

10654

10738

12650

12650

6

58905

58905

42701

35749

42441

50425

58905

58905

48960

46221

52367

58905

7

187264211876162452137970153090171176191154211876178583163228178844

1950528535920584458509228438984470384508312548568591452544903494940527226562404913862681475508

13807881208246

127188813416521417770

1497000

14513311322882

1383668

144993610327732534320593345709296938930873933208557334354534823413473834

318392132914393410565117168606

7423666

74111466662480

6866126707389272930967524154762909370360527222360

74187701214669732

15072414

15258152

13873100

14205612

14543364

14886116

15253868

15609933

14487360

14793182

15104124

13

28367664

28965646

29560518

27144408

2766319428188484

28719926

29270538

30104437

28108692

28588572

290742201452203333

53069027

54404773

50389581

51169273

51956861

52751913

53554237

55216186

51846425

52571035

53302637

1592035150

93282846

95830664

89424014

90559380

91704162

92857528

94019702

97004979

91555026

92614734

93682818

16156303176

158056258

162513116

152638280

154247488

155867568

157497800

159138376

164169033

155670572

157178290

158695888

17

256866250

259276046

266608352

251834530

254062652

256303198

258555592

260819626

268891343

256047630

258142558

260248998

18410026669

413275947

424788533

403250693

406273449

409310277

412360777

415424277

427874562

408983937

411835131

414699597

19637768436

642075708

659490958

628798516

632826258

636869816

640928758

645002604

663590441

636458920

640269228

644094488

20969238124

974861406 1000409544

957543164

962825100

968124692

973441476

978775196 1005771549

967613776

972624014

977650980

21

1442495164 1449736728 1486257986

1427453780 1434282438 1441130688

1447998034 1454884476 1493174673

1440502512 1446995880 1453507848

222106565165 2115775971 2166835677

2087456085 2096172017 2104909573

2113668225 2122447973 2175646978

2104145025 2112451763 2120779069

233023827794 3035413090 3105429148

2999819778 3010816504 3021836982

3032880652 3043947514 3116527687

3020914982 3031417266 3041942182

244272773896 4287198162 4381583468

4242915176 4256644368 4270399536

4284180088 4297986024 4395419721

4269296940 4282434018 4295595888

255951167974 5968960394 6094279724

5914375214 5931352120 5948357322

5965390196 5982450742 6111367419

5947048826 5963322394 5979623010

268179653829 8201414003 8365556381

8134700605 8155509713 8176349533

8197219409 8218119341 8386478138

8174807577 8194787395 8214796613

27 11105842840 11132246736 11344614002 11051347640 11076648582 11101982748 11127349450 11152748688 11370027213 11100177420 11124507168 11148868764
28 14908926044 14940732190 15212444488 14843339788 14873873484 14904443012 14935047652 14965687404 15243087437 14902341952 14931745326 14961183092
29 19804852856 19842908772 20187027678 19726445936 19763040978 19799674556 19836345918 19873055064 20223725901 19797242860 19832529908 19867853988
30 26052120949 26097369819 26529139829 25958969789 26002549065 26046169677 26089830841 26133532557 26572812714 26043369801 26085443499 26127556965
n

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

490

4 Leapers on an n x n chessboard
n

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1
2
3

126

126

126

126

126

126

126

126

126

126

126

4

1820

1820

1820

1820

1820

1820

1820

1820

1820

1820

1820

5

12650

12145

12650

12650

12650

12650

12650

12650

12650

12650

12650

6

58905

54445

54573

58905

58905

57784

58905

58905

58905

58905

58905

7

211876

192571

186920199150211876203256203436211876209715211876211876859845857536054787257632060548060149159122061299062027662051663159591520028

15126021426500

1484310154311215656441519728

1566876

1608435

1591296

1639120103533439

35869133375361

347861735872773684800

35502413641259376962536976413835824

117625634

7823976

73720767545740772826679954897673950

783525081455857944330

8271234

12

15436630

15927884

15044768

15323692

15620848

16211483

15544828

15806526

16460640

15998616

16679551

1329577254

30600382

28990732

29430590

29885674

31047793

29788792

30195958

31446444

30508058

31799690

1454041695

55961553

53188001

53856073

54531361

56640304

54411605

55023219

57252021

55517285

57796480

1594759278

98090600

93528666

94511020

95501678

99086975

95341990

96246590

99993438

96994118

100809851

16

160223342

165708336

158492988

159897760

161311676

167130425

161102784

162403174

168434612

163497632

169620591

17262366934

271023784

259986558

261946852

263917802

273005027

263648706

265472606

274834390

267030714

276511343

18417576951

430769297

414365337

417043577

419734145

433472042

419392205

421895507

435982149

424061021

438298808

19647934508

667450238

643674752

647266138

650871628

671069605

650443132

653813916

674447846

656760852

677584145

20982694706 1010836940

977130256

981867212

986620176 1015604925

986089532

990551558 1020074760

994488596 1024245651

21

1460038704 1499728346 1452868848

1459025246 1465199684 1505918165

1464549524 1470367368 1511743338

1475541468 1517203121

222129127263 2184018409 2120002633

2127898401 2135814145 2191949082

2135025453 2142508571 2199438157

2149210221 2206484842

233052490082 3127098012 3041007182

3051013152 3061041130 3137139187

3060092730 3069600610 3146650324

3078168170 3155630583

244308782934 4408626848 4294479132

4307022128 4319589260 4421203865

4318457912 4330404954 4433149836

4341229632 4444463873

25

5995951090 6127711380 5978299146

5993867312 6009461838 6143310575

6008122142 6022982938 6158164020

6036513974 6172270779

26

8234835679 8406526681 8213238033

8232386401 8251563449 8425700930

8249987749 8268302603 8443999853

8285052693 8461422466

27 11173262688 11394421634 11147045508 11170401806 11193789200 11417796137 11191947488 11214328176 11440149642 11234879136 11461481117
28 14990655762 15272548652 14959062752 14987333452 15015637760 15300826957 15013497580 15040633350 15327921224 15065642020 15353830373
29 19903215644 20259060758 19865401612 19899378218 19933391040 20293031025 19930917392 19963581204 20325635526 19993785592 20356873133
30 26169710775 26614920545 26124734961 26165300537 26205905033 26655462050 26203060277 26242115283 26694436005 26278340949 26731841234
n

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

491

2 leapers on an n x n toroidal chessboard - 2 skokani na prstencové šachovnici n x n

10.4)

Došel jsem k překvapujícímu výsledku, že pro všechny typy skokanů [r,s] existují 2 společné vzorce nezávislé na souřadnicích skokana! Přesněji, pro několik
prvních členů posloupnosti se mohou počty neohrožujících se skokanů odlišovat (v důsledku toho, že šachovnice je ještě „příliš malá“ a skokan může působit
i z druhé strany), ale od určitého n jsou pak hodnoty posloupnosti shodné v každé skupině bez ohledu na souřadnice [r,s] skokanů.
Skokany jde zařadit do 2 skupin:
Two leapers [r,s] on a toroidal chessboard n x n, s
for

for

,

,

Independent on r, s!

492
V tabulce jsou červeně označeny hodnoty pro n <= 2s, které mohou být odlišné podle typu skokana. Pro větší n najdeme ale už jen vždy 2 možné hodnoty.

2 Leapers on an n x n toroidal chessboard
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

2

2

6

2

6

2

6

2

4

2

4

2

4

2

4

6

2

6

3

18

18

36

18

18

36

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

4

88

104

88

120

88

104

88

88

88

88

88

88

88

88

112

88

104

5

250

250

250

250

300

250

250

250

200

200

250

250

250

200

250

250

200

6

558

558

594

558

558

630

558

558

486

558

486

558

558

558

558

558

558

7

1078

1078

1078

1078

1078

1078

1176

1078

980

980

980

980

1078

1078

1078

980

980

8

1888

1888

1888

1952

1888

1888

1888

1888

1760

1760

1888

1760

1760

1888

1888

1760

1888

9

3078

3078

3078

3078

3078

3078

3078

3078

2916

2916

2916

2916

2916

2916

3078

2916

2916

10

4750

4750

4750

4750

4850

4750

4750

4750

4550

4550

4550

4750

4550

4550

4750

4550

4550

11

7018

7018

7018

7018

7018

7018

7018

7018

6776

6776

6776

6776

6776

6776

7018

6776

6776

12

10008

10008

10008

10008

10008

10152

10008

10008

9720

9720

9720

9720

10008

9720

10008

9720

9720

13

13858

13858

13858

13858

13858

13858

13858

13858

13520

13520

13520

13520

13520

13520

13858

13520

13520

14

18718

18718

18718

18718

18718

18718

18914

18718

18326

18326

18326

18326

18326

18718

18718

18326

18326

15

24750

24750

24750

24750

24750

24750

24750

24750

24300

24300

24300

24300

24300

24300

24750

24300

24300

16

32128

32128

32128

32128

32128

32128

32128

32128

31616

31616

31616

31616

31616

31616

32128

31616

31616

17

41038

41038

41038

41038

41038

41038

41038

41038

40460

40460

40460

40460

40460

40460

41038

40460

40460

18

51678

51678

51678

51678

51678

51678

51678

51678

51030

51030

51030

51030

51030

51030

51678

51030

51030

19

64258

64258

64258

64258

64258

64258

64258

64258

63536

63536

63536

63536

63536

63536

64258

63536

63536

20

79000

79000

79000

79000

79000

79000

79000

79000

78200

78200

78200

78200

78200

78200

79000

78200

78200

21

96138

96138

96138

96138

96138

96138

96138

96138

95256

95256

95256

95256

95256

95256

96138

95256

95256

1

22 115918 115918 115918 115918 115918 115918 115918 115918 114950 114950 114950 114950 114950 114950 115918 114950 114950
23 138598 138598 138598 138598 138598 138598 138598 138598 137540 137540 137540 137540 137540 137540 138598 137540 137540
24 164448 164448 164448 164448 164448 164448 164448 164448 163296 163296 163296 163296 163296 163296 164448 163296 163296
25 193750 193750 193750 193750 193750 193750 193750 193750 192500 192500 192500 192500 192500 192500 193750 192500 192500
26 226798 226798 226798 226798 226798 226798 226798 226798 225446 225446 225446 225446 225446 225446 226798 225446 225446
27 263898 263898 263898 263898 263898 263898 263898 263898 262440 262440 262440 262440 262440 262440 263898 262440 262440
28 305368 305368 305368 305368 305368 305368 305368 305368 303800 303800 303800 303800 303800 303800 305368 303800 303800
29 351538 351538 351538 351538 351538 351538 351538 351538 349856 349856 349856 349856 349856 349856 351538 349856 349856

493
30 402750 402750 402750 402750 402750 402750 402750 402750 400950 400950 400950 400950 400950 400950 402750 400950 400950
31 459358 459358 459358 459358 459358 459358 459358 459358 457436 457436 457436 457436 457436 457436 459358 457436 457436
32 521728 521728 521728 521728 521728 521728 521728 521728 519680 519680 519680 519680 519680 519680 521728 519680 519680
33 590238 590238 590238 590238 590238 590238 590238 590238 588060 588060 588060 588060 588060 588060 590238 588060 588060
34 665278 665278 665278 665278 665278 665278 665278 665278 662966 662966 662966 662966 662966 662966 665278 662966 662966
35 747250 747250 747250 747250 747250 747250 747250 747250 744800 744800 744800 744800 744800 744800 747250 744800 744800
36 836568 836568 836568 836568 836568 836568 836568 836568 833976 833976 833976 833976 833976 833976 836568 833976 833976
37 933658 933658 933658 933658 933658 933658 933658 933658 930920 930920 930920 930920 930920 930920 933658 930920 930920
38 1038958 1038958 1038958 1038958 1038958 1038958 1038958 1038958 1036070 1036070 1036070 1036070 1036070 1036070 1038958 1036070 1036070
39 1152918 1152918 1152918 1152918 1152918 1152918 1152918 1152918 1149876 1149876 1149876 1149876 1149876 1149876 1152918 1149876 1149876
40 1276000 1276000 1276000 1276000 1276000 1276000 1276000 1276000 1272800 1272800 1272800 1272800 1272800 1272800 1276000 1272800 1272800
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

2 Leapers on an n x n toroidal chessboard
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

2

2

6

2

4

2

4

2

4

6

2

6

2

4

2

4

6

2

4

3

18

18

18

36

18

18

36

18

18

18

18

18

18

18

18

36

18

18

4

88

112

88

88

88

88

88

88

120

88

104

88

88

88

88

112

88

88

5

250

200

250

250

200

250

200

250

250

250

250

200

300

250

250

250

200

250

6

486

558

486

612

558

558

594

558

558

486

558

486

558

558

558

630

558

558

7

1078

980

1078

1078

1078

980

980

1078

1078

980

980

1078

1078

980

1078

1078

1078

1176

8

1760

1888

1760

1888

1888

1888

1760

1760

1984

1888

1888

1888

1888

1760

1760

1888

1760

1888

9

2916

2916

3078

3078

2916

2916

3078

2916

3078

3078

2916

2916

3078

2916

2916

3078

2916

3078

10

4750

4550

4550

4750

4550

4750

4550

4750

4750

4750

4750

4550

4900

4750

4750

4750

4550

4750

11

6776

6776

6776

7018

6776

6776

6776

6776

7018

6776

6776

7018

7018

7018

6776

7018

6776

7018

12

9720

10008

9720

10008

9720

9720

10008

9720

10008

9720

10008

9720

10008

10008

10008

10224

10008

10008

13

13520

13520

13520

13858

13520

13520

13520

13520

13858

13520

13520

13520

13858

13520

13520

13858

13858

13858

14

18326

18326

18718

18718

18326

18326

18326

18718

18718

18326

18326

18718

18718

18326

18718

18718

18718

19012

15

24300

24300

24300

24750

24300

24300

24300

24300

24750

24300

24300

24300

24750

24300

24300

24750

24300

24750

16

31616

31616

31616

32128

31616

31616

31616

31616

32128

31616

31616

31616

32128

31616

31616

32128

31616

32128

1

494
17

40460

40460

40460

41038

40460

40460

40460

40460

41038

40460

40460

40460

41038

40460

40460

41038

40460

41038

18

51030

51030

51030

51678

51030

51030

51030

51030

51678

51030

51030

51030

51678

51030

51030

51678

51030

51678

19

63536

63536

63536

64258

63536

63536

63536

63536

64258

63536

63536

63536

64258

63536

63536

64258

63536

64258

20

78200

78200

78200

79000

78200

78200

78200

78200

79000

78200

78200

78200

79000

78200

78200

79000

78200

79000

21

95256

95256

95256

96138

95256

95256

95256

95256

96138

95256

95256

95256

96138

95256

95256

96138

95256

96138

22 114950 114950 114950 115918 114950 114950 114950 114950 115918 114950 114950 114950 115918 114950 114950 115918 114950 115918
23 137540 137540 137540 138598 137540 137540 137540 137540 138598 137540 137540 137540 138598 137540 137540 138598 137540 138598
24 163296 163296 163296 164448 163296 163296 163296 163296 164448 163296 163296 163296 164448 163296 163296 164448 163296 164448
25 192500 192500 192500 193750 192500 192500 192500 192500 193750 192500 192500 192500 193750 192500 192500 193750 192500 193750
26 225446 225446 225446 226798 225446 225446 225446 225446 226798 225446 225446 225446 226798 225446 225446 226798 225446 226798
27 262440 262440 262440 263898 262440 262440 262440 262440 263898 262440 262440 262440 263898 262440 262440 263898 262440 263898
28 303800 303800 303800 305368 303800 303800 303800 303800 305368 303800 303800 303800 305368 303800 303800 305368 303800 305368
29 349856 349856 349856 351538 349856 349856 349856 349856 351538 349856 349856 349856 351538 349856 349856 351538 349856 351538
30 400950 400950 400950 402750 400950 400950 400950 400950 402750 400950 400950 400950 402750 400950 400950 402750 400950 402750
31 457436 457436 457436 459358 457436 457436 457436 457436 459358 457436 457436 457436 459358 457436 457436 459358 457436 459358
32 519680 519680 519680 521728 519680 519680 519680 519680 521728 519680 519680 519680 521728 519680 519680 521728 519680 521728
33 588060 588060 588060 590238 588060 588060 588060 588060 590238 588060 588060 588060 590238 588060 588060 590238 588060 590238
34 662966 662966 662966 665278 662966 662966 662966 662966 665278 662966 662966 662966 665278 662966 662966 665278 662966 665278
35 744800 744800 744800 747250 744800 744800 744800 744800 747250 744800 744800 744800 747250 744800 744800 747250 744800 747250
36 833976 833976 833976 836568 833976 833976 833976 833976 836568 833976 833976 833976 836568 833976 833976 836568 833976 836568
37 930920 930920 930920 933658 930920 930920 930920 930920 933658 930920 930920 930920 933658 930920 930920 933658 930920 933658
38 1036070 1036070 1036070 1038958 1036070 1036070 1036070 1036070 1038958 1036070 1036070 1036070 1038958 1036070 1036070 1038958 1036070 1038958
39 1149876 1149876 1149876 1152918 1149876 1149876 1149876 1149876 1152918 1149876 1149876 1149876 1152918 1149876 1149876 1152918 1149876 1152918
40 1272800 1272800 1272800 1276000 1272800 1272800 1272800 1272800 1276000 1272800 1272800 1272800 1276000 1272800 1272800 1276000 1272800 1276000
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

495

3 leapers on an n x n toroidal chessboard - 3 skokani na prstencové šachovnici n x n

10.5)

I zde jsou shodné vzorce pro každou skupinu skokanů, jen hraniční hodnota n, od které je tomu tak, je vyšší než v případě 2 skokanů.
Three leapers [r,s] on an n x n toroidal chessboard, s
for

,

for

,

Independent on r, s!
V tabulce jsou červeně označeny hodnoty pro n <= 3s, které mohou být ještě odlišné podle typu skokana. Pro větší n najdeme ale už jen vždy 2 možné hodnoty.

3 Leapers on an n x n toroidal chessboard
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

2

0

3

6

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

4

0

4

6

84

6

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

4

6

84

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

1

4

208

352

208

560

208

352

208

208

208

208

208

208

208

208

448

208

352

5

1300

1300

1300

1300

2300

1300

1300

1300

600

600

1300

1300

1300

600

1300

1300

600

6

4908

4884

5952

4884

4908

7140

4908

4908

3252

4908

3252

4908

4908

4908

4884

4908

4884

7

14112

14112

14112

14112

14112

14112

18424

14112

10584

10584

10584

10584

14112

14112

14112

10584

10584

8

34112

34112

34112

37760

34112

34112

34112

34112

27584

27584

34112

27584

27584

34112

34112

27584

34112

9

73008

73008

72954

73008

73008

72954

73008

73008

61992

61992

61992

61992

61992

61992

73008

61992

61992

10

142700142700142700142700152000142700142700142700125300125300125300142700125300125300142700125300124900112599082599082599082599082599082599082599082599082337722337722337722337722337722337722599082337722337721244731244731244731244721644731246704044731244731240958440958440958440958444731240958444731240958440958413734812734812734812734812734812734812734812734812682084682084682084682084682084682084734812682084682084141160908

1160908

1160908

1160908

1160908

1160908

11979521160908

108917210891721089172108917210891721160908

1160908

10891721089172

15

1774200

1774200

1774200

1774200

1774050

1774200

1774200

1774200

1678800

1678800

1678800

1678800

1678800

1678800

1774200

1678800

1678800

162635008

2635008

2635008

2635008

2635008

2635008

2635008

2635008

2510592

2510592

2510592

2510592

2510592

2510592

2635008

2510592

25105921738171123817112381711238171123817112381711238171123817112365758436575843657584365758436575843657584

381711236575843657584496
18540961254096125409612540961254096125409396540961254096125208084

5208084

5208084

5208084

5208084

520808454096125208084

5208084197518908

7518908

7518908

7518908

7518908

7518908

7518908

7518908

7267652726765272676527267652726765272676527518908

7267652726765220

10270800

10270800

10270800

10270800

10270800

10270800

10270800

10270800

9961200

9961200

9961200

9961200

9961200

9961200

10270800

9961200

9961200

2113812708

13812708

13812708

13812708

13812708

13812708

13812414

13812708

13435212

13435212

13435212

13435212

13435212

13435212

13812708

13435212

1343521222

18316012

18316012

18316012

18316012

18316012

18316012

18316012

18316012

17860084

17860084

17860084

17860084

17860084

17860084

18316012

17860084

17860084

2323978512

23978512

23978512

23978512

23978512

23978512

23978512

23978512

23432584

23432584

23432584

23432584

23432584

23432584

23978512

23432584

23432584

24

31027008

31027008

31027008

31027008

31027008

31027008

31027008

31027008

30378432

30378432

30378432

30378432

30378432

30378432

31027008

30378432

30378432

25

39720000

39720000

39720000

39720000

39720000

39720000

39720000

39720000

38955000

38955000

38955000

38955000

38955000

38955000

39720000

38955000

38955000

26

50350508

50350508

50350508

50350508

50350508

50350508

50350508

50350508

494541324945413249454132494541324945413249454132

50350508

494541324945413227

63249012

63249012

63249012

63249012

63249012

63249012

63249012

63249012

62205084

62205084

62205084

62205084

62205084

62205084

63249012

62205084

6220508428

78786512

78786512

78786512

78786512

78786512

78786512

78786512

78786512

77577584

77577584

77577584

77577584

77577584

77577584

78786512

77577584

77577584

2997377708

97377708

97377708

97377708

97377708

97377708

97377708

97377708

95985012

95985012

95985012

95985012

95985012

95985012

97377708

95985012

95985012

30 119484300 119484300 119484300 119484300 119484300 119484300 119484300 119484300 117887700 117887700 117887700 117887700 117887700 117887700 119484300 117887700 117887700
31 145618408 145618408 145618408 145618408 145618408 145618408 145618408 145618408 143796352 143796352 143796352 143796352 143796352 143796352 145618408 143796352 143796352
32 176346112 176346112 176346112 176346112 176346112 176346112 176346112 176346112 174275584 174275584 174275584 174275584 174275584 174275584 176346112 174275584 174275584
33 212291112 212291112 212291112 212291112 212291112 212291112 212291112 212291112 209947584 209947584 209947584 209947584 209947584 209947584 212291112 209947584 209947584
34 254138508 254138508 254138508 254138508 254138508 254138508 254138508 254138508 251495892 251495892 251495892 251495892 251495892 251495892 254138508 251495892 251495892
35 302638700 302638700 302638700 302638700 302638700 302638700 302638700 302638700 299669300 299669300 299669300 299669300 299669300 299669300 302638700 299669300 299669300
36 358611408 358611408 358611408 358611408 358611408 358611408 358611408 358611408 355285872 355285872 355285872 355285872 355285872 355285872 358611408 355285872 355285872
37 422949812 422949812 422949812 422949812 422949812 422949812 422949812 422949812 419237084 419237084 419237084 419237084 419237084 419237084 422949812 419237084 419237084
38 496624812 496624812 496624812 496624812 496624812 496624812 496624812 496624812 492492084 492492084 492492084 492492084 492492084 492492084 496624812 492492084 492492084
39 580689408 580689408 580689408 580689408 580689408 580689408 580689408 580689408 576102072 576102072 576102072 576102072 576102072 576102072 580689408 576102072 576102072
40 676283200 676283200 676283200 676283200 676283200 676283200 676283200 676283200 671204800 671204800 671204800 671204800 671204800 671204800 676283200 671204800 671204800
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

3 Leapers on an n x n toroidal chessboard
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

4

0

0

0

0

4

0

0

1
2
3

6

6

6

84

6

6

84

6

6

6

6

6

6

6

6

84

6

6

4

208

448

208

208

208

208

208

208

560

208

352

208

208

208

208

448

208

208

5

1300

600

1300

1300

600

1300

600

1300

1300

1300

1300

600

2300

1300

1300

1300

600

1300

6

3252

4884

3252

6528

4908

4908

5952

4908

4884

3252

4884

3252

4908

4908

4908

7140

4908

4908

7

14112

10584

14112

14112

14112

10584

10584

14112

14112

10584

10584

14112

14112

10584

14112

14112

14112

18424

8

27584

34112

27584

34112

34112

34112

27584

27584

39680

34112

34112

34112

34112

27584

27584

34112

27584

34112

9

61992

61992

73008

72954

61992

61992

72954

61992

73008

73008

61992

61992

73008

61992

61992

72954

61992

73008

497
10

14270012490012530014270012530014270012530014270014270014270014270012530015680014270014270014270012530014270011233772233772233772259908233772233772233772233772259908233772233772259908259908259908233772259908233772259908124095844473124095844473124095844095844473124095844472164095844473124095844473124473124473124771204473124473121368208468208468208473481268208468208468208468208473481268208468208468208473481268208468208473481273481273481214108917210891721160908

1160908

1089172108917210891721160908

1160908

108917210891721160908

1160908

10891721160908

1160908

1160908

121676815

1678800

1678800

1678800

1774200

1678800

1678800

1677900

1678800

1774200

1678800

1678800

1678800

1774050

1678800

1678800

1774200

1678800

1774200

162510592

2510592

2510592

2635008

2510592

2510592

2510592

2510592

2635008

2510592

2510592

2510592

2635008

2510592

2510592

2635008

2510592

263500817

365758436575843657584

38171123657584365758436575843657584

3817112365758436575843657584

381711236575843657584

38171123657584

3817112185208084

5208084

520808454096125208084

5208084

5208084

520808454096125208084

5208084

520808454096125208084

5208084540939652080845409612197267652726765272676527518908

72676527267652726765272676527518908

7267652726765272676527518908

726765272676527518908

7267652751890820

9961200

9961200

9961200

10270800

9961200

9961200

9961200

9961200

10270800

9961200

9961200

9961200

10270800

9961200

9961200

10270800

9961200

10270800

21

13435212

13435212

13435212

13812708

13435212

13435212

13435212

13435212

13812708

13435212

13435212

13435212

13812708

13435212

13435212

13812708

13435212

13812414

22

17860084

17860084

17860084

18316012

17860084

17860084

17860084

17860084

18316012

17860084

17860084

17860084

18316012

17860084

17860084

18316012

17860084

18316012

23

23432584

23432584

23432584

23978512

23432584

23432584

23432584

23432584

23978512

23432584

23432584

23432584

23978512

23432584

23432584

23978512

23432584

239785122430378432

30378432

30378432

31027008

30378432

30378432

30378432

30378432

31027008

30378432

30378432

30378432

31027008

30378432

30378432

31027008

30378432

31027008

25

38955000

38955000

38955000

39720000

38955000

38955000

38955000

38955000

39720000

38955000

38955000

38955000

39720000

38955000

38955000

39720000

38955000

39720000

26494541324945413249454132

50350508

49454132494541324945413249454132

50350508

494541324945413249454132

50350508

4945413249454132

50350508

49454132

50350508

27

62205084

62205084

62205084

63249012

62205084

62205084

62205084

62205084

63249012

62205084

62205084

62205084

63249012

62205084

62205084

63249012

62205084

63249012

28

77577584

77577584

77577584

78786512

77577584

77577584

77577584

77577584

78786512

77577584

77577584

77577584

78786512

77577584

77577584

78786512

77577584

7878651229

95985012

95985012

95985012

97377708

95985012

95985012

95985012

95985012

97377708

95985012

95985012

95985012

97377708

95985012

95985012

97377708

95985012

97377708

30 117887700 117887700 117887700 119484300 117887700 117887700 117887700 117887700 119484300 117887700 117887700 117887700 119484300 117887700 117887700 119484300 117887700 119484300
31 143796352 143796352 143796352 145618408 143796352 143796352 143796352 143796352 145618408 143796352 143796352 143796352 145618408 143796352 143796352 145618408 143796352 145618408
32 174275584 174275584 174275584 176346112 174275584 174275584 174275584 174275584 176346112 174275584 174275584 174275584 176346112 174275584 174275584 176346112 174275584 176346112
33 209947584 209947584 209947584 212291112 209947584 209947584 209947584 209947584 212291112 209947584 209947584 209947584 212291112 209947584 209947584 212291112 209947584 212291112
34 251495892 251495892 251495892 254138508 251495892 251495892 251495892 251495892 254138508 251495892 251495892 251495892 254138508 251495892 251495892 254138508 251495892 254138508
35 299669300 299669300 299669300 302638700 299669300 299669300 299669300 299669300 302638700 299669300 299669300 299669300 302638700 299669300 299669300 302638700 299669300 302638700
36 355285872 355285872 355285872 358611408 355285872 355285872 355285872 355285872 358611408 355285872 355285872 355285872 358611408 355285872 355285872 358611408 355285872 358611408
37 419237084 419237084 419237084 422949812 419237084 419237084 419237084 419237084 422949812 419237084 419237084 419237084 422949812 419237084 419237084 422949812 419237084 422949812
38 492492084 492492084 492492084 496624812 492492084 492492084 492492084 492492084 496624812 492492084 492492084 492492084 496624812 492492084 492492084 496624812 492492084 496624812
39 576102072 576102072 576102072 580689408 576102072 576102072 576102072 576102072 580689408 576102072 576102072 576102072 580689408 576102072 576102072 580689408 576102072 580689408
40 671204800 671204800 671204800 676283200 671204800 671204800 671204800 671204800 676283200 671204800 671204800 671204800 676283200 671204800 671204800 676283200 671204800 676283200
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

498

4 leapers on an n x n toroidal chessboard - 4 skokani na prstencové šachovnici n x n

10.6)

I zde jsou shodné vzorce pro každou skupinu skokanů .
Four leapers [r,s] on an n x n toroidal chessboard, s
for

,

for

,

V tabulkách jsou červeně označeny hodnoty pro n <= 4s, které mohou být ještě odlišné podle typu skokana. Pro větší n najdeme ale už jen vždy 2 možné hodnoty.

4 Leapers on an n x n toroidal chessboard
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

2

0

3

0

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

1

0

1

0

126

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

126

0

0

0

0

0

0

1

4

228

664

228

1820

228

664

228

276

228

276

228

276

5

3850

3850

3850

3850

12650

3850

3850

3850

600

600

3850

3850

6

27225

26649

40464

26649

27225

58905

27225

27225

12357

27225

12357

27225

7

122892122892122892122892122892122892211876122892

68796

68796

68796

68796
276912842315242318442315252016042315242318442315242315227588827691242315291213380

12133801209654

1213380

12133801209654

1213380

1213380872532872532872532872532103046025304602530460253046025

34604003046025304602530460252344025234442523455253046025116907890690789069078906907890690789069078906907890690789055807625580762558076255807621214454972

14454972

14455044

14442300

14454972

15767640

14454972

14454972

12107196

12107628

12107196

12109356

1328330822

28330822

28330822

28330822

28330822

28330822

28330822

28330822

24392446

24392446

24392446

24392446

1452586065

52586065

52586065

52586065

52586065

52586065

56013664

52586065

46261537

46261537

46261537

46261537

1593218400

93218400

93218400

93218400

93186450

93218400

93218400

93218400

83426400

83426400

83426400

83426400

499
16

158854080

158854080

158854080

158854208

158854080

158854080

158854080

158854080

144157632

144157632

144158400

144157632

17261593552

261593552

261593552

261593552

261593552

261593552

261593552

261593552

240119696

240119696

240119696

240119696

18418045617

418045617

418045617

418045617

418045617

417978225

418045617

418045617

387393921

387393921

387393921

387393921

19

650576150

650576150

650576150

650576150

650576150

650576150

650576150

650576150

607715342

607715342

607715342

607715342

20988799100

988799100

988799100

988799100

988799300

988799100

988799100

988799100

929951100

929951100

929951100

929952300

21

1471339170

1471339170

1471339170

1471339170

1471339170

1471339170

1471213044

1471339170

1391849802

1391849802

1391849802

1391849802

222147897257

2147897257

2147897257

2147897257

2147897257

2147897257

2147897257

2147897257

2042092921

2042092921

2042092921

2042092921

23

3081651412

3081651412

3081651412

3081651412

3081651412

3081651412

3081651412

3081651412

2942680996

2942680996

2942680996

2942680996

244352027760

4352027760

4352027760

4352027760

4352027760

4352028048

4352027760

4352027760

4171689072

4171689072

4171689072

4171689072

25

6057877500

6057877500

6057877500

6057877500

6057877500

6057877500

6057877500

6057877500

5826427500

5826427500

5826427500

5826427500

26

8321097785

8321097785

8321097785

8321097785

8321097785

8321097785

8321097785

8321097785

8027045897

8027045897

8027045897

8027045897

2711290735962

11290735962

11290735962

11290735962

11290735962

11290735962

11290735962

11290735962

10920619746

10920619746

10920619746

10920619746

28

15147618332

15147618332

15147618332

15147618332

15147618332

15147618332

15147618724

15147618332

14685760796

14685760796

14685760796

14685760796

29

20109546270

20109546270

20109546270

20109546270

20109546270

20109546270

20109546270

20109546270

19537794102

19537794102

19537794102

19537794102

30

26437104225

26437104225

26437104225

26437104225

26437104225

26437104225

26437104225

26437104225

25734546225

25734546225

25734546225

25734546225

31

34440125800

34440125800

34440125800

34440125800

34440125800

34440125800

34440125800

34440125800

33582790792

33582790792

33582790792

33582790792

32

44484865792

44484865792

44484865792

44484865792

44484865792

44484865792

44484865792

44484865792

43445399296

43445399296

43445399296

43445399296

33

57001927752

57001927752

57001927752

57001927752

57001927752

57001927752

57001927752

57001927752

55749246696

55749246696

55749246696

55749246696

34

72494998305

72494998305

72494998305

72494998305

72494998305

72494998305

72494998305

72494998305

70993923057

70993923057

70993923057

70993923057

3591550441150

91550441150

91550441150

91550441150

91550441150

91550441150

91550441150

91550441150

89761304150

89761304150

89761304150

89761304150

36 114847805340 114847805340 114847805340 114847805340 114847805340 114847805340 114847805340 114847805340 112726035612 112726035612 112726035612 112726035612
37 143171304122 143171304122 143171304122 143171304122 143171304122 143171304122 143171304122 143171304122 140666986946 140666986946 140666986946 140666986946
38 177422322297 177422322297 177422322297 177422322297 177422322297 177422322297 177422322297 177422322297 174479733321 174479733321 174479733321 174479733321
39 218633011740 218633011740 218633011740 218633011740 218633011740 218633011740 218633011740 218633011740 215190124812 215190124812 215190124812 215190124812
40 267981036400 267981036400 267981036400 267981036400 267981036400 267981036400 267981036400 267981036400 263969004400 263969004400 263969004400 263969004400
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

500

4 Leapers on an n x n toroidal chessboard
n

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1
2
3

0

0

0

0

0

0

0

0

126

0

0

126

4

228

276

1120

228

664

228

1120

228

276

228

276

228

5

3850

600

3850

3850

600

3850

600

3850

3850

600

3850

600

6

27225

27225

26649

27225

26649

12357

26649

12357

48960

27225

27225

40464

7

122892122892122892

68796

68796

12289268796

122892122892122892

68796

68796

8

2758884231524233762758884231842758884233762758884231524231524231522758889872532872532

1213380872532872532872532872532

12133801209654872532872532120965410234552523444253046025234552523130253046025231302523455253046025234402530460252344025115580762558076269078905580762558076255807625580762558076269078905580762558076255807621214454972

12109356

14454972

12107628

12109356

12107196

14454972

12107196

14455476

12107628

12107628

14455044

13

24392446

24392446

28330822

24392446

24392446

24392446

24392446

24392446

28330822

24392446

24392446

24392446

1446264477

52586065

52586065

46261537

46261537

46264477

46261537

52586065

52586065

46264477

46261537

46261537

1583426400

83426400

93218400

83426400

83426400

83426400

83426400

83426400

93218400

83426400

83426400

83244150

16

144157632

144161472

158854080

144157632

144158400

144157632

144162496

144157632

158854080

144158400

144161472

144157632

17240119696

240119696

261593552

240119696

240119696

240119696

240119696

240119696

261593552

240119696

240119696

240119696

18387393921

387393921

418045617

387393921

387393921

387393921

387393921

387398781

418045617

387393921

387393921

387398781

19607715342

607715342

650576150

607715342

607715342

607715342

607715342

607715342

650576150

607715342

607715342

607715342

20929951100

929951100

988799100

929951100

929951100

929952300

929952700

929951100

988799100

929951100

929952300

929951100

21

1391849802

1391849802

1471339170

1391849802

1391849802

1391849802

1391849802

1391849802

1471339170

1391849802

1391849802

1391849802

222042092921

2042092921

2147897257

2042092921

2042092921

2042092921

2042092921

2042092921

2147897257

2042092921

2042092921

2042092921

23

2942680996

2942680996

3081651412

2942680996

2942680996

2942680996

2942680996

2942680996

3081651412

2942680996

2942680996

2942680996

244171690800

4171689072

4352027760

4171689072

4171689072

4171689072

4171690800

4171689072

4352027760

4171689072

4171689072

4171690800

255826427500

5826427500

6057877500

5826427500

5826427500

5826427500

5826427500

5826427500

6057877500

5826427500

5826427500

5826427500

268027045897

8027045897

8321097785

8027045897

8027045897

8027045897

8027045897

8027045897

8321097785

8027045897

8027045897

8027045897

27

10920619746

10920619746

11290735962

10920619746

10920619746

10920619746

10920619746

10920619746

11290735962

10920619746

10920619746

10920619746

28

14685760796

14685763148

15147618332

14685760796

14685760796

14685760796

14685760796

14685763148

15147618332

14685760796

14685760796

14685760796

29

19537794102

19537794102

20109546270

19537794102

19537794102

19537794102

19537794102

19537794102

20109546270

19537794102

19537794102

19537794102

30

25734546225

25734546225

26437104225

25734546225

25734546225

25734546225

25734546225

25734546225

26437104225

25734546225

25734546225

25734546225

31

33582790792

33582790792

34440125800

33582790792

33582790792

33582790792

33582790792

33582790792

34440125800

33582790792

33582790792

33582790792

3243445399296

43445399296

44484865792

43445399296

43445399296

43445399296

43445399296

43445399296

44484865792

43445399296

43445399296

43445399296

33

55749246696

55749246696

57001927752

55749246696

55749246696

55749246696

55749246696

55749246696

57001927752

55749246696

55749246696

55749246696

3470993923057

70993923057

72494998305

70993923057

70993923057

70993923057

70993923057

70993923057

72494998305

70993923057

70993923057

70993923057

501
35

89761304150

89761304150

91550441150

89761304150

89761304150

89761304150

89761304150

89761304150

91550441150

89761304150

89761304150

89761304150

36 112726035612 112726035612 114847805340 112726035612 112726035612 112726035612 112726035612 112726035612 114847805340 112726035612 112726035612 112726035612
37 140666986946 140666986946 143171304122 140666986946 140666986946 140666986946 140666986946 140666986946 143171304122 140666986946 140666986946 140666986946
38 174479733321 174479733321 177422322297 174479733321 174479733321 174479733321 174479733321 174479733321 177422322297 174479733321 174479733321 174479733321
39 215190124812 215190124812 218633011740 215190124812 215190124812 215190124812 215190124812 215190124812 218633011740 215190124812 215190124812 215190124812
40 263969004400 263969004400 267981036400 263969004400 263969004400 263969004400 263969004400 263969004400 267981036400 263969004400 263969004400 263969004400
n

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

4 Leapers on an n x n toroidal chessboard
n

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

2

0

1

0

1

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

126

0

0

4

276

1820

228

664

228

276

5

3850

3850

3850

3850

600

12650

228

276

1120

228

276

3850

3850

3850

600

3850

1

6

27225

26649

12357

26649

12357

27225

27225

27225

58905

27225

27225

7

122892122892

68796

68796

12289212289268796

12289212289212289221187682769125753604231524231844231524231522758882769124233762758884231529872532

1213380

1213380872532872532

12133808725328725321209654872532

1213380103046025304602530460253046025234402536848003046025304602530460252344025304602511558076269078905580762558076269078906907890690789055807626907890558076269078901212107628

14442300

12107196

14454972

12107196

14454972

14454972

14454972

16460640

14454972

14454972

13

24392446

28330822

24392446

24392446

24392446

28330822

24392446

24392446

28330822

28330822

28330822

1452586065

52586065

46261537

46261537

52586065

52586065

46261537

52586065

52586065

52586065

57796480

1583426400

93218400

83426400

83426400

83426400

93186450

83426400

83426400

93218400

83426400

93218400

16

144157632

158854976

144158400

144158400

144158400

158854080

144157632

144157632

158854080

144157632

158854080

17240119696

261593552

240119696

240119696

240119696

261593552

240119696

240119696

261593552

240119696

261593552

18387393921

418045617

387398781

387393921

387393921

418045617

387393921

387393921

417978225

387393921

418045617

19607715342

650576150

607715342

607715342

607715342

650576150

607715342

607715342

650576150

607715342

650576150

20929957100

988799100

929952300

929957100

929951100

988800500

929952300

929952300

988799100

929951100

988799100

21

1391849802

1471339170

1391849802

1391849802

1391849802

1471339170

1391849802

1391849802

1471339170

1391849802

1471213044

222042092921

2147897257

2042092921

2042092921

2042100181

2147897257

2042100181

2042092921

2147897257

2042092921

2147897257

232942680996

3081651412

2942680996

2942680996

2942680996

3081651412

2942680996

2942680996

3081651412

2942680996

3081651412

244171689072

4352027760

4171689072

4171690800

4171689072

4352027760

4171690800

4171697712

4352029776

4171690800

4352027760

255826427500

6057877500

5826427500

5826427500

5826427500

6057877500

5826427500

5826427500

6057877500

5826427500

6057877500

268027045897

8321097785

8027045897

8027045897

8027045897

8321097785

8027045897

8027045897

8321097785

8027056037

8321097785

502
27

10920619746

11290735962

10920619746

10920619746

10920619746

11290735962

10920619746

10920619746

11290735962

10920619746

11290735962

28

14685763148

15147618332

14685760796

14685760796

14685763148

15147618332

14685760796

14685763148

15147618332

14685763148

15147621076

29

19537794102

20109546270

19537794102

19537794102

19537794102

20109546270

19537794102

19537794102

20109546270

19537794102

20109546270

3025734546225

26437104225

25734546225

25734546225

25734546225

26437104225

25734546225

25734546225

26437104225

25734546225

26437104225

31

33582790792

34440125800

33582790792

33582790792

33582790792

34440125800

33582790792

33582790792

34440125800

33582790792

34440125800

3243445399296

44484865792

43445399296

43445399296

43445399296

44484865792

43445399296

43445399296

44484865792

43445399296

44484865792

33

55749246696

57001927752

55749246696

55749246696

55749246696

57001927752

55749246696

55749246696

57001927752

55749246696

57001927752

3470993923057

72494998305

70993923057

70993923057

70993923057

72494998305

70993923057

70993923057

72494998305

70993923057

72494998305

3589761304150

91550441150

89761304150

89761304150

89761304150

91550441150

89761304150

89761304150

91550441150

89761304150

91550441150

36 112726035612 114847805340 112726035612 112726035612 112726035612 114847805340 112726035612 112726035612 114847805340 112726035612 114847805340
37 140666986946 143171304122 140666986946 140666986946 140666986946 143171304122 140666986946 140666986946 143171304122 140666986946 143171304122
38 174479733321 177422322297 174479733321 174479733321 174479733321 177422322297 174479733321 174479733321 177422322297 174479733321 177422322297
39 215190124812 218633011740 215190124812 215190124812 215190124812 218633011740 215190124812 215190124812 218633011740 215190124812 218633011740
40 263969004400 267981036400 263969004400 263969004400 263969004400 267981036400 263969004400 263969004400 267981036400 263969004400 267981036400
n

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

503

10.7) 5 leapers on an n x n toroidal chessboard - 5 skokanů na prstencové šachovnici n x n
Pro k=5 nebylo již časově únosné (ani moc zajímavé) prozkoumat všechny kombinace skokanů, ale domnívám se, že vzorce v obou skupinách budou ještě shodné.
Stačí proto najít vzorce pouze pro dva reprezentující skokany, každý v jedné ze skupin. Vzorce platící pro vezíra budou platit (od) také pro všechny skokanytypu [0,s] a [s,s], bez ohledu na s (s > 0). Analogicky vzorce pro jezdce (možný reprezentující kámen v první skupině) budou platit (na všech šachovnicích n x n,
kde
) i pro všechny typy skokanů [r,s], kde r není nula a r je různé od s (a současně menší než s).
V první skupině bylo počítačem ověřeno pro 5 jezdců, 5 zeber a 5 velbloudů, ve druhé skupině pro 5 vezírů, 5 fersů, 5 dabab, 5 skokanů [0,3] a 5 skokanů [3,3].
Formulas for 5 leapers on a toroidal chessboard are probably same in two groups of leapers. In first group verified for 5 knights, 5 zebras and 5 camels, in second
group verified for 5 wazirs, 5 ferses, 5 dabbabas, 5 [0,3] leapers and 5 [0,3] leapers.

Group 1 (0 < r < s)
5 non-attacking knights on an n x n toroidal chessboard, n>=10
5 non-attacking zebras (zebra is leaper [2,3]) on an n x n toroidal chessboard, n>=14
5 non-attacking camels (camel is leaper [1,3]) on an n x n toroidal chessboard, n>=13Group 2 (r = 0 or r = s)
5 non-attacking wazirs (wazir is leaper [0,1]) on an n x n toroidal chessboard, n>=6
5 non-attacking ferses (fers is leaper [1,1]) on an n x n toroidal chessboard, n>=6
5 non-attacking dabbabas (dabbaba is leaper [0,2]) on an n x n toroidal chessboard, n>=11
5 non-attacking leapers [0,3] on an n x n toroidal chessboard, n>=16
5 non-attacking leapers [3,3] on an n x n toroidal chessboard, n>=16

504

5 Leapers on an n x n toroidal chessboardn

5 knights

5 camels

5 zebras

5 wazirs

5 ferses

5 dabbabas 5 leapers [0,3] 5 leapers [3,3]

3

0

0

0

0

0

0

126

126

4

128

224

128

128

224

704

128

224

5

120

120

6745

6745

6745

6745

6745

6745

6

30312

10033210033210033210033294608

197568274176728390628390628390675445375445375445375445375445381872064

1907904

1872064

383001638300163831552

3830016383001698643186

8643186

864318615038541

15038541

15038541

14918742

14918742

10

31702920

31730520

31809320

49207020

49207020

49206980

49207020

49207020

1198179400

98179400

98179400

140410699

140410699

140410699

140410699

140410699

12267487920

267536880

267536880

360001152

360001152

360001152

360010368

360066528

13659015500

659015500

659014148

846775007

846775007

846775007

846775007

846775007

141496908840

1496908840

1496908840

1855033964

1855033964

1855033964

1855033964

1855033964

153179369070

3179369070

3179369070

3828109545

3828109545

3828109545

3828109455

3828109455

166382030592

6382030592

6382030592

7507096576

7507096576

7507096576

7507096576

7507096576

1712207535134

12207535134

12207535134

14087087961

14087087961

14087087961

14087087961

14087087961

1822396355496

22396355496

22396355496

25436160108

25436160108

25436160108

25436160108

25436160108

1939617305308

39617305308

39617305308

44395753647

44395753647

44395753647

44395753647

44395753647

2067860021680

67860021680

67860021680

75184958080

75184958080

75184958080

75184958080

75184958080

21 112956057144 112956057144 112956057144 123935571963 123935571963 123935571963

123935571963

123935571963

22 183260096008 183260096008 183260096008 199389702380 199389702380 199389702380

199389702380

199389702380

23 290528248402 290528248402 290528248402 313797119069 313797119069 313797119069

313797119069

313797119069

24 451036403136 451036403136 451036403136 484055619840 484055619840 484055619840

484055619840

484055619840

25 686988268250 686988268250 686988268250 733144325125 733144325125 733144325125

733144325125

733144325125

1
2

26 1028270026056 1028270026056 1028270026056 1091907130860 1091907130860 1091907130860 1091907130860 1091907130860
27 1514616507792 1514616507792 1514616507792 1601251540659 1601251540659 1601251540659 1601251540659 1601251540659
28 2198262481968 2198262481968 2198262481968 2314836800640 2314836800640 2314836800640 2314836800640 2314836800640
29 3147162080324 3147162080324 3147162080324 3302334703543 3302334703543 3302334703543 3302334703543 3302334703543
30 4448869586280 4448869586280 4448869586280 4653356643180 4653356643180 4653356643180 4653356643180 4653356643180

50510.8) 6 leapers on an n x n toroidal chessboard - 6 skokanů na prstencové šachovnici n x n
Situace se (poněkud překvapivě) začíná měnit od k=6, kdy se vzorce začínají odlišovat! Vzhledem k výpočetní náročnosti bylo možné ověřit pouze takové skokany,
kde s<=3 (pro s=4 vzorce platí až od n>=25, bylo by tedy třeba znát kolem 30 hodnot a už výpočet pro n=22 trvá asi 5 hodin...). Přesto je velmi pravděpodobné, ževe skupině 2 (kdy r=0 nebo r=s) jsou vzorce pro všechny skokany stále shodné, jen skupina 1 (kdy 0 < r < s) se rozdělí na dvě podskupiny 1A a 1B, kde v každé opětplatí shodné vzorce. Do podskupiny 1A patří s velkou pravděpodobností pouze skokani typu [1,2] a [1,3], tedy jezdec a velbloud a jejich násobky, tedy skokani[2,4],[3,6],[4,8],.. a [2,6],[3,9],[4,12],... Do podskupiny 1B pak všichni ostatní (výpočetně ověřeno pouze pro zebry).
For k=6 are formulas in Group2 (r=0 or r=s) probably same, but in Group1 (0 < r < s) exists two subgroups 1A and 1B. In subgroup 1A are knight and camel andall leapers with a form t*[1,2] and t*[1,3], in subgroup 1B all other leapers. Verified for leapers [r,s], s<=3 only.
Group 1A ()
6 non-attacking knights on an n x n toroidal chessboard, n>=13
6 non-attacking camels on an n x n toroidal chessboard, n>=19Group 1B ()
6 non-attacking zebras on an n x n toroidal chessboard, n>=19Group 2 ()
6 non-attacking wazirs on an n x n toroidal chessboard, n>=7
6 non-attacking ferses on an n x n toroidal chessboard, n>=7
6 non-attacking dabbabas on an n x n toroidal chessboard, n>=13
6 non-attacking leapers [0,3] on an n x n toroidal chessboard, n>=19
6 non-attacking leapers [3,3] on an n x n toroidal chessboard, n>=19

506
Problém odlišných vzorců pro zebry a jezdce (resp. velbloudy) na prstencové šachovnici mě velmi zaujal. Zobecněné výsledky sice zatím nebylo možné potvrdit
např. pro 6 žiraf (skokanů [1,4]) nebo 6 antilop (skokanů [3,4]), ale vytvořil jsem speciální počítačový program na zjišťování možných konfigurací 6 skokanů, který
činí tyto hypotézy velmi pravděpodobnými. Nejprve je třeba si uvědomit, že pokud hledáme počet neohrožujících se skokanů NAk, je to vlastně totéž jako od
celkového počtu možných rozmístění odečíst počet ohrožujících se skokanů Ak. Tedy

Jelikož celkový počet možných rozmístění je vždy pevný (daný počtem kamenů a rozměrem šachovnice), tak pokud jsou shodné počty dvou typů ohrožujících se
kamenů, jsou shodné i počty neohrožujících se kamenů a naopak, pokud se tyto počty liší, je tomu tak vždy současně v obou případech. Stačí se proto zabývat přianalýze možných konfigurací pouze případem ohrožujících se skokanů, což je názornější.
Dále je pro k skokanů [r,s] (0 < r < s) rozsah platnosti vzorců až od
Pokud budeme uvažovat jen dostatečně velké šachovnice (minimální rozměr je dán konstantami k a s), můžeme (vzhledem k tomu, že na prstencové šachovnici lzekaždou pozici libovolně posunout v kterémkoliv směru, aniž by se změnila struktura vzájemného napadání kamenů) uvažovat pro zjednodušení představivosti místo
prstencové šachovnice šachovnici nekonečnou, která má v tomto směru shodné vlastnosti (řešení nekomplikují okraje šachovnice).
V dalším dokážu (s pomocí počítačových výsledků) toto:
Pro dva typy skokanů [r1,s1] a [r2,s2], 0 < r1 < s1 a 0 < r2 < s2 existuje pro k <= 5 vždy stejný počet konfigurací napadajících se skupin k těchto skokanů, ale
pro k = 6 existují takové dvojice typů skokanů, kde se počty konfigurací liší.

Tato šachovnice je nekonečná ve všech směrech. Vzhledem k symetrii jemožné první kámen zafixovat na nějakém poli a i druhý lze zafixovat na
jednom z možných polí, odkud napadá první kámen. Pozice dalších kamenů je
pak libovolná, ale každý následující kámen vždy napadá předchozí kámen.

507

piece number

kámen číslo
1
2
3
4
5
6
kamenů
kódy

1
*
512
256
64
8

Matrix of attacks
2
3
4
5

*
128
32
4

*
16
2

*
1

Při zjišťování počtu ohrožujících se kamenů je důležité, jakým způsobem se kameny v dané konfiguraci vzájemně
napadají (při použití metody inkluze a exkluze ke hledání počtu ohrožujících se kamenů je pak v příslušné úrovni taková
kombinace podle počtu napadení a tvaru grafu započtena vícenásobně a musí se v následující úrovni korigovat atd.).

6

Pro každé rozmístění zvolených skokanů jsem si nejprve definoval matici napadení. V ní se (z definice cesty) napadajídvojice označené * a ostatním možným napadením jsem přiřadil binární kód 1,2,4,8,16,32,128,256,512. Tím vzniká pro
kameny s pořadovým číslem 3, 4, 5, 6 teoreticky 210=1024 různých možností dalších vzájemných napadení s ostatními
kameny (možnost s kódem 0, kdy nedojde k dalším napadením, je nezajímavá, takže zbývá 1023). Výstup z počítačového
programu však ukázal, že ve skutečnosti může pro 6 kamenů nastat (z těchto 1023) pouhých 8 následujících možností!

*

počty konfigurací pro k=6
pro k=5
2 =512 2 =256 2 =128 2 =64
2 =32
2 =16
2 =8
2 =4
2 =2
2 =1
skokani násobky [1,2], [1,3]ostatní skokani všichni skokani
2
1
192
192
0
8
1
0
114
24
10
1
1
30
30
0
32
1
186
186
36
40
1
1
30
30
0
256
1
192
192
36
258
1
1
30
30
0
264
1
1
30
30
0
leapers [1,2], [1,3] and multiples other leapers
all leapers
type
possiblepossiblepossiblepossibleof attacknumber of configurations for k=6
for k=5
3

9

4

8

4

7

5

6

5

5

5

4

6

6

6

6

3

2

1

0

Schéma znázorňuje jednotlivé možné typy napadení série 6 skokanů, pozice
prvního z nich je označena zvýrazněným bodem (vygenerováno pro 6 jezdců).
Grafy ve spodním řádku jde však snadno přečíslováním uzlů (kamenů) převést na
jiné. Typy 40, 258 a 264 převedeme takto na typ 10 a typ 256 převedeme na
typ 2.
Podstatné je nyní toto. Počty možných konfigurací v každé skupině jsou pro
všechny skokany shodné s vyjímkou skupiny "8" (čisté cykly), kde existují
dvě podskupiny typů skokanů, přičemž v každé podskupině jsou shodné
počty takových konfigurací.
Toto jsem ověřil počítačem pro všechny skokany [r,s], kde 0 < r < s < 1000
Speciálně pro 3, 4 a 5 kamenů vycházejí počty konfigurací vždy shodné pro
všechny typy skokanů.

508
V předchozí tabulce tak celkem 6 vzájemných napadení vůbec nemůže nastat (v nové tabulce označené X) !
kámen číslo
1
2
3
4
5
6

1
*
X

2

3

*
X

*
X

X
X

4

5

*
X

*

6

Kontakt posledního kamene s prvním kamenem (bez žádných dalších napadení) představuje čistý cyklus (pro k=3 je to kód 512, pro k=4 kód 256, pro k=5 kód 64 a
pro k=6 kód 8). Je zcela evidentní, že cykly jsou možné pro všechna sudá k (even k). Už je ale těžší dokázat, že cykly pro lichá k (odd k) neexistují!
Theorem: if number of pieces k is odd, then such cycle graph not existsor (in geometrical view)
Theorem: Polygon with odd number of edges and with all edges of the same length and with all vertices in integer points not exists
Na internetu se mi podařilo najít, že toto tvrzení dokázal (při trochu jiné formulaci) už Arthur Engel ve své knize "Problem-Solving Strategies" (1999), p.335,
problem 22: "The vertices of an equilateral closed sequence of segments are lattice points. Prove that it has an even number of sides." Proof p.344
Tady je ještě pro zajímavost můj triviální (ale zcela jiný) důkaz pro k=3. Aby existovala taková
konfigurace, musel by být následující trojúhelník rovnostranný a mít vrcholy v celých číslech.
Potom by muselo platitsr
To ale pro 0 < r < s nemůže splňovat žádné racionální číslo.

509
Obraťme nyní ještě pozornost k tomu, jak se liší možné grafy v kritické skupině "8" - čisté cykly (v teorii grafů jsou označovány jako kružnice = cycle graph).
Pro 6 zeber (skokanů [2,3]) existuje (při zafixovaných prvních 2 kamenech) celkem těchto 24 typů čistých cyklů (v důsledku symetrie mohou být některé shodné
nebo jen různě otočené):

Stejný počet 24 typů čistých cyklů existuje pro 6 žiraf (skokanů [1,4]). Vidíme, že pro žirafy jsou počty možných konfigurací ve všech skupinách shodné jako pro
zebry, je proto velmi pravděpodobné, že i pro rozmístění 6 neohrožujících se žiraf na prstencové šachovnici bude (při n > 6s) platit stejný vzorec jako pro rozmístění
6 neohrožujících se zeber.

Pro 6 jezdců (skokanů [1,2]) ale existuje celkem těchto 114 typů čistých cyklů. Jsou zde tedy cykly, které pro zebry nebo žirafy nejsou možné a vzorce pro
počty neohrožujících se kamenů se z tohoto důvodu liší!

510
Pro 6 velbloudů (skokanů [1,3]) existuje stejný počet 114 typů čistých cyklů jako pro jezdce (vzorce pro oba typy skokanů jsou shodné):Pro porovnání: tady jsou možné konfigurace 5 jezdců (ve skupině "32" existuje 36 možností)a možné konfigurace 5 zeber (ve skupině "32" je stejný počet 36 možných konfigurací, vzorce pro k=5 pro jezdce i zebry jsou shodné)

511

6 Leapers on an n x n toroidal chessboardn

6 knights

6 camels

6 zebras

6 wazirs

6 ferses

6 dabbabas 6 leapers [0,3] 6 leapers [3,3]

3

0

0

0

0

0

0

84

84

4

56

112

56

56

112

416

56

112

5

0

0

7100

7100

7100

7100

7100

7100

6

54972

2530322527922527922530322218327156801188096776459676459676459633789423378942337894233789423378942889728969498976897289626249184

26249184

26282848

26249184

26249184962560728

62560728

62560728

144455454

144455454

144455454

142068816

142068816

10322246800

323124600

325631900

625745100

625745100

625741900

625745100

625745100

111323868260

1323868260

1323868260

2271361422

2271361422

2271361422

2271361422

2271361422

124595943336

4598544120

4598530296

7192874328

7192874328

7192874376

7193442552

7196954352

1314000143196

14000143196

13999957296

20427662398

20427662398

20427662398

20427662398

20427662398

1438413461800

38413477480

38413461800

53065637212

53065637212

53065637212

53065637212

53065637212

1596746410800

96746410800

96746398800

127956238350

127956238350

127956238350

127956219900

127956219900

16226834407552

226834412672

226834407552

289628321664

289628321664

289628321664

289628321664

289628321664

17500492572112

500492572112

500492554772

620834113614

620834113614

620834113614

620834113614

620834113614

181048044384360

1048044386520

1048044367080

1269178026012

1269178026012

1269178026012

1269178026120

1269178028280

192096986629308

2096986629308

2096986607648

2488676915070

2488676915070

2488676915070

2488676915070

2488676915070

20

4031211268200

4031211268200

4031211244200

4702895069400

4702895069400

4702895069400

4702895069400

4702895069400

21

7479454058244

7479454058244

7479454031784

8598589878606

8598589878606

8598589878606

8598589878606

8598589878606

1
2

22 13444475635448 13444475635448 13444475606408 15261688799500 15261688799500 15261688799500 15261688799500 15261688799500
23 23488010745224 23488010745224 23488010713484 26371002575326 26371002575326 26371002575326 26371002575326 26371002575326
24 39990865034016 39990865034016 39990864999456 44469483656928 44469483656928 44469483656928 44469483656928 44469483656928
25 66512828955000 66512828955000 66512828917500 73338195378750 73338195378750 73338195378750 73338195378750 73338195378750
26 108283461182936 108283461182936 108283461142376 118504613250348 118504613250348 118504613250348 118504613250348 118504613250348
27 172862430072084 172862430072084 172862430028344 187924595632686 187924595632686 187924595632686 187924595632686 187924595632686
28 271017166690088 271017166690088 271017166643048 292886512943640 292886512943640 292886512943640 292886512943640 292886512943640
29 417876268017324 417876268017324 417876267966864 449196803878686 449196803878686 449196803878686 449196803878686 449196803878686
30 634429601512200 634429601512200 634429601458200 678718841739900 678718841739900 678718841739900 678718841739900 678718841739900

51210.9) more leapers on an n x n toroidal chessboard - more skokanů na prstencové šachovnici n x nNa základě všech výsledků, uvedených v kapitole 10.8, se domnívám, že vzorce pro k=7 budou opět (v obou skupinách) shodné, ale pro k=8 může dojít k dalšímuštěpení na více podskupin se shodnými vzorci (podobně jako pro k=6). Tyto hypotézy by ale chtělo ověřit (zatím časově nerealizovatelnými) výpočty.
Pro k=7 by proto měly opět existovat pouze 2 skupiny skokanů, každá se stejnými vzorci. Ve skupině 2 byla tato hypotéza potvrzena shodnými vzorci pro vezíry afersy.
Group 1 (0 < r < s)
7 knights, toroidal board n x n, n>=14Group 2 (r = 0 or r = s)
7 wazirs, toroidal board n x n , n>=87 ferses, toroidal board n x n , n>=8

Pro k=8 je zatím znám pouze jeden vzorec (potvrzující shodné vzorce pro vezíry a fersy):
Group 2 (r = 0 or r = s)
8 wazirs, toroidal board n x n , n>=98 ferses, toroidal board n x n , n>=9

51311) Riders - Liniové kameny
11.1)

2 riders on an n x n chessboard - 2 liniové kameny na šachovnici n x nPoněkud komplikovanější než rozmístění neohrožujících se skokanů, je rozmístění neohrožujících se liniových kamenů (angl. riders). V předchozích kapitolách jsme
již probírali věže (rook = rider [0,1]), střelce (bishop = rider [1,1]) a z exokamenů tátoše (nightrider = rider [1,2]). V této kapitole se zabývám zobecněnými liniovými
kameny, které mění své souřadnice s jednotkovým krokem [r,s], což je zejména z matematického hlediska nesmírně zajímavé.
Rider - a piece that moves and captures along a line of squares, e.g. Rook, Bishop, Nightrider etc., without hopping or leaping.
Vytvořující funkce pro počet neohrožujících se dvojic liniových kamenů s jednotkovým tahem [r,s] (kde r <= s) na šachovnici n x n je
Generating function for number of two non-attacking riders [r,s] (r<=s) on a n x n chessboard is

Polynom P(x) má stupeň
, stupeň polynomu ve jmenovateli je, což současně určuje i hloubku rekurence. Perioda je s.
Jak se můžeme přesvědčit, tento vzorec zahrnuje i věže, střelce (s=1) a tátoše (s=2). Jmenovatel vytvořující funkce nezávisí na r (denominator is independent on r
and dependent only on s), pouze na větším z čísel r, s. Je například shodný pro všechny liniové kameny s jednotkovými tahy [1,5], [2,5], [3,5] nebo [4,5].
s
1
2
3
4
5
6
7
11

denominators

general format

Ze jmenovatele vytvořující funkce vyplývá, že pro počet rozmístění 2 liniových kamenů s jednotkovým tahem [r,s] platí obecná rekurence
General recurrence:

514

Two [0,1] riders (rooks) on an n x n chessboard
Explicit formula (only for completness)
Generating function:

Two [0,2] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)
Alternative formula:[x] = Floor(x) je celá část (largest integer not greater than x)Generating function:

Two [0,3] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

515

Two [0,4] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (C. Poisson, 1990)(lze vyjádřit jedním vzorcem)

Alternative formula:

Generating function:

Two [0,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

516

Two [0,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Alternative formula 2:(oba vzorce s celými částmi jsou identické)

Generating function:

Two [0,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

517

Two [1,1] riders (bishops) on an n x n chessboard
Explicit formula (only for completness)

Generating function:

Two [1,2] riders (nightriders) on an n x n chessboard
Explicit formula (C. Poisson, 1990)

Alternative formula:

Generating function:

518

Two [1,3] riders (Camelriders = Mehari) on an n x n chessboard
Explicit formula (Christian Poisson, 1990)
for n = 3k(vzorec pro tento případ byl v původním článku Rex Multiplex 30/1990, str. 915, uveden chybně)for n = 3k+1
for n = 3k+2
Odvodil jsem tento jeden obecný vzorec:

Alternative formula:

Generating function:

Two [1,4] riders (Girafferiders) on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 3.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

519

Two [1,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 3.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

Two [1,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 3.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

520

Two [1,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

Two [2,2] riders (Alfilriders) on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Generating function:

521

Two [2,3] riders (Zebrariders) on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 3.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

Two [2,4] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

522

Two [2,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 3.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

Two [2,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

523

Two [2,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

524

Two [3,3] riders on an n x n chessboard
Explicit formulas (C. Poisson, 1990)(tento případ byl v původním článku v Rex Multiplexu 1990 uveden chybně)Jedním vzorcem:

Alternative formula:

Generating function:

Two [3,4] riders (Anteloperiders) on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 3.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

525

Two [3,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 3.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

Two [3,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

526

Two [3,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

Two [4,4] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

527

Two [4,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 3.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

Two [4,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

528

Two [4,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

Two [5,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

529

Two [5,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

Two [5,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

530

Two [6,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 11.5.2010)

Alternative formula:

Generating function:

Two [6,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

531

Two [7,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

532

Two [7,11] riders on an n x n chessboard(náhodně vybraný kámen s delším jednotkovým krokem - one randomly selected rider)
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010)

Alternative formula (V. Kotěšovec, 21.5.2010)

Generating function:

533

2 Riders on an n x n chessboard
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

2

2

6

6

6

6

6

6

4

6

6

6

6

6

6

6

6

6

3

18

30

36

36

36

36

36

26

28

36

36

36

36

36

34

36

36

4

72

104

112

120

120

120

120

92

96

108

120

120

120

120

112

112

120

5

200

260

280

290

300

300

300

240

240

268

284

300

300

300

280

276

288

6

450

558

594

606

618

630

630

520

518

570

590

610

630

630

590

582

598

7

882

1050

1106

1134

1148

1162

1176

994

980

1060

1104

1128

1152

1176

1106

1084

1116

8

1568

1824

1904

1952

1968

1984

2000

1736

1712

1828

1904

1932

1960

1988

1904

1864

1920

9

2592

2952

3078

3132

3168

3186

3204

2832

2784

2964

3052

3112

3144

3176

3072

3012

3080

10

4050

4550

4710

4790

4850

4870

4890

4380

4310

4542

4670

4770

4806

4842

4710

4614

4710

11

6050

6710

6930

7040

7106

7150

7172

6490

6380

6696

6872

6984

7060

7100

6930

6792

6924

12

8712

9576

9864

10008

10080

10152

10176

9284

9136

9552

9784

9908

10032

10076

9856

9672

9848

13

12168

13260

13624

13806

13910

13988

14040

12896

12688

13212

13504

13680

13816

13908

13624

13372

13592

14

16562

17934

18382

18606

18746

18830

18914

17472

17206

17854

18214

18450

18598

18746

18382

18054

18326

15

22050

23730

24300

24570

24750

24840

24930

23170

22820

23640

24076

24380

24540

24700

24290

23880

24212

16

28800

30848

31520

31872

32064

32192

32288

30160

29728

30700

31264

31592

31816

31988

31520

31000

31424

17

36992

39440

40256

40664

40902

41072

41174

38624

38080

39256

39912

40316

40612

40796

40256

39616

40112

18

46818

49734

50706

51174

51462

51678

51786

48756

48102

49506

50262

50750

51126

51322

50694

49926

50502

19

58482

61902

63042

63612

63954

64182

64334

60762

59964

61608

62524

63104

63504

63776

63042

62112

62804

20

72200

76200

77520

78200

78600

78840

79040

74860

73920

75828

76920

77600

78024

78380

77520

76416

77240

21

88200

92820

94374

95130

95592

95886

96138

91280

90160

92400

93620

94404

94920

95368

94360

93072

94000

1

22 106722 112046 113806 114686 115214 115566 115830 110264 108966 111510 112926 113822 114438 114910 113806 112294 113366
23 128018 134090 136114 137126 137724 138138 138414 132066 130548 133468 135096 136112 136836 137332 136114 134364 135596
24 152352 159264 161568 162720 163392 163872 164160 156952 155216 158544 160400 161544 162384 162904 161552 159552 160960
25 180000 187800 190400 191700 192500 193000 193350 185200 183200 186952 189044 190400 191280 191908 190400 188104 189688
26 211250 220038 222950 224406 225290 225862 226278 217100 214838 219046 221390 222890 223894 224638 222950 220342 222118
27 246402 256230 259524 261144 262116 262764 263250 252954 250380 255132 257744 259396 260532 261400 259506 256572 258556
28 285768 296744 300384 302232 303296 304024 304584 293076 290192 295452 298424 300236 301512 302512 300384 297072 299320
29 329672 341852 345912 347942 349160 349972 350552 337792 334544 340404 343672 345740 347164 348204 345912 342204 344680
30 378450 391950 396450 398670 400050 400950 401550 387440 383830 390330 393910 396250 397830 398910 396430 392310 395030

534
31 432450 447330 452290 454770 456258 457250 457932 442370 438340 445500 449492 452020 453760 454984 452290 447700 450724
32 492032 508416 513856 516608 518208 519296 520064 502944 498496 506356 510784 513508 515416 516792 513856 508776 512128
33 557568 575520 581526 584496 586278 587466 588324 569536 564608 573276 578064 581092 583176 584712 581504 575916 579552
34 629442 649094 655622 658886 660858 662150 663102 642532 637126 646558 651814 655162 657430 659134 655622 649462 653446
35 708050 729470 736610 740180 742350 743750 744800 722330 716380 726688 732436 736120 738580 740460 736610 729856 734212
36 793800 817128 824904 828792 831096 832680 833760 809340 802848 814080 820344 824264 827040 828980 824880 817512 822264
37 887112 912420 920856 925074 927590 929292 930476 903984 896880 909060 915852 920128 923112 925236 920856 912804 917952
38 988418 1015854 1024974 1029534 1032270 1034094 1035386 1006696 998982 1012158 1019502 1024150 1027350 1029666 1024974 1016214 1021782
39 1098162 1127802 1137708 1142622 1145586 1147536 1148940 1117922 1109524 1123824 1131744 1136780 1140204 1142720 1137682 1128192 1134204
40 1216800 1248800 1259440 1264800 1268000 1270080 1271600 1238120 1229040 1244412 1253040 1258480 1262136 1264860 1259440 1249144 1255680
41 1344800 1379240 1390720 1396460 1399904 1402200 1403840 1367760 1357920 1374496 1383740 1389592 1393620 1396560 1390720 1379592 1386600
42 1482642 1519686 1532034 1538166 1541862 1544382 1546146 1507324 1496726 1514562 1524446 1530726 1535142 1538306 1532006 1520022 1527526
43 1630818 1670550 1683794 1690416 1694372 1697038 1698930 1657306 1645868 1664992 1675656 1682380 1687056 1690448 1683794 1670872 1678956
44 1789832 1832424 1846592 1853720 1857944 1860760 1862784 1818212 1805936 1826404 1837880 1845064 1850008 1853636 1846592 1832704 1841400
45 1960200 2005740 2020950 2028510 2033100 2036070 2038230 1990560 1977360 1999320 2011504 2019300 2024520 2028392 2020920 2006040 2015288
46 2142450 2191118 2207310 2215406 2220282 2223502 2225802 2174880 2160758 2184150 2197190 2205474 2211126 2215250 2207310 2191350 2201238
47 2337122 2389010 2406306 2414954 2420124 2423602 2426046 2371714 2356580 2381556 2395484 2404272 2410372 2414756 2406306 2389236 2399796
48 2544768 2600064 2618496 2627712 2633184 2636928 2639520 2581616 2565472 2592096 2606944 2616252 2622816 2627468 2618464 2600256 2611520
49 2765952 2824752 2844352 2854152 2860032 2863952 2866794 2805152 2787904 2816208 2831992 2841984 2848864 2853956 2844352 2824912 2836880
50 3001250 3063750 3084550 3094950 3101250 3105350 3108350 3042900 3024550 3054598 3071350 3082050 3089254 3094630 3084550 3063846 3076550
51 3251250 3317550 3339684 3350700 3357330 3361716 3364878 3295450 3275900 3307860 3325612 3336880 3344580 3350248 3339650 3317652 3331124
52 3516552 3586856 3610256 3622008 3628976 3633656 3636984 3563404 3542656 3576460 3595384 3607236 3615448 3621416 3610256 3586864 3601208
53 3797768 3872180 3896984 3909386 3916806 3921788 3925286 3847376 3825328 3861148 3881124 3893736 3902476 3908752 3896984 3872164 3887312
54 4095522 4174254 4200498 4213566 4221450 4226742 4230414 4147992 4124646 4162554 4183614 4197010 4206294 4212886 4200462 4174182 4190166
55 4410450 4493610 4521330 4535190 4543550 4549050 4553010 4465890 4441140 4481172 4503496 4517700 4527360 4534460 4521330 4493484 4510412
56 4743200 4831008 4860240 4874912 4883648 4889472 4893728 4801720 4775568 4817796 4841424 4856280 4866504 4874128 4860240 4830792 4848704
57 5094432 5187000 5217894 5233284 5242518 5248674 5253120 5156144 5128480 5173092 5197892 5213588 5224392 5232360 5217856 5186772 5205592
58 5464818 5562374 5594854 5611094 5620838 5627334 5631974 5529836 5500662 5547582 5573742 5590302 5601702 5610022 5594854 5562022 5581862
59 5855042 5957702 5991922 6009032 6019298 6026142 6030980 5923482 5892684 5942104 5969664 5987112 5999124 6007804 5991922 5957304 5978204
60 6265800 6373800 6409800 6427800 6438600 6445800 6450840 6337780 6305360 6357360 6386360 6404720 6417360 6426408 6409760 6373320 6395320
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

535

2 Riders on an n x n chessboard
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

3

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

4

120

120

120

118

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

5

300

300

300

292

292

300

300

300

298

300

300

300

300

300

300

300

300

300

6

614

630

630

612

606

618

630

630

622

622

630

630

628

630

630

630

630

630

7

1136

1156

1176

1142

1128

1144

1160

1176

1158

1152

1164

1176

1168

1168

1176

1174

1176

1176

8

1944

1968

1992

1958

1936

1956

1976

1996

1984

1968

1984

2000

1998

1992

2004

2008

2008

2014

9

3128

3156

3184

3150

3108

3144

3168

3192

3188

3160

3180

3200

3208

3192

3208

3222

3216

3232

10

4790

4822

4854

4818

4750

4810

4838

4866

4870

4830

4854

4878

4900

4870

4890

4918

4902

4932

11

7016

7080

7116

7074

6976

7048

7100

7132

7144

7080

7120

7148

7186

7140

7164

7210

7180

7228

12

9952

10056

10096

10044

9912

9996

10080

10116

10136

10040

10104

10136

10190

10128

10156

10224

10176

10246

13

13736

13852

13932

13864

13680

13792

13888

13956

13982

13848

13924

13980

14050

13960

14004

14096

14028

14124

14

18518

18646

18774

18682

18438

18586

18694

18802

18830

18654

18742

18830

18916

18790

18858

18974

18886

19012

15

24460

24600

24740

24660

24348

24540

24660

24780

24842

24620

24720

24820

24950

24780

24860

25020

24900

25070

16

31696

31888

32040

31970

31584

31800

31960

32092

32192

31904

32032

32144

32324

32104

32196

32408

32248

32470

17

40444

40696

40860

40796

40312

40572

40780

40924

41064

40700

40864

40988

41222

40948

41052

41324

41116

41398

18

50902

51222

51398

51336

50742

51054

51318

51474

51654

51206

51414

51550

51842

51510

51626

51966

51702

52052

19

63280

63624

63864

63798

63084

63456

63744

63952

64172

63632

63864

64040

64394

63984

64128

64542

64216

64642

20

77800

78168

78480

78402

77560

78000

78312

78580

78840

78200

78456

78680

79100

78600

78780

79272

78880

79390

21

94644

95088

95480

95382

94380

94884

95256

95592

95890

95124

95424

95704

96192

95592

95816

96390

95928

96530

1

22 114102 114630 115046 114982 113806 114382 114822 115182 115566 114662 115014 115318 115914 115206 115454 116142 115590 116306
23 136432 137052 137492 137458 136096 136752 137268 137652 138126 137072 137484 137812 138524 137700 137972 138786 138132 138974
24 161904 162624 163088 163080 161520 162264 162864 163272 163840 162624 163104 163456 164292 163344 163640 164592 163824 164804
25 190800 191560 192116 192128 190332 191200 191840 192324 192988 191600 192120 192532 193500 192400 192740 193840 192948 194078
26 223350 224214 224870 224894 222846 223810 224534 225102 225862 224270 224854 225334 226440 225174 225566 226822 225798 227090
27 259916 260892 261656 261684 259368 260436 261252 261912 262768 260956 261612 262168 263416 261972 262424 263844 262680 264146
28 300816 301912 302792 302814 300216 301396 302312 303072 304024 301976 302712 303352 304746 303112 303632 305224 303912 305564
29 346380 347604 348524 348612 345688 347020 348044 348844 349958 347660 348484 349164 350760 348924 349484 351292 349804 351672
30 396950 398310 399270 399420 396150 397650 398790 399630 400910 398350 399270 399990 401800 399750 400350 402390 400710 402810
31 452804 454300 455384 455590 451956 453588 454840 455784 457234 454372 455380 456184 458218 455920 456584 458870 456984 459332

536
32 514376 516016 517232 517486 513472 515244 516616 517672 519296 516112 517216 518112 520378 517816 518552 521096 518992 521604
33 582044 583836 585192 585486 581040 582996 584496 585672 587472 583948 585156 586152 588658 585816 586632 589446 587112 590004
34 656198 658150 659654 659978 655078 657234 658870 660174 662150 658270 659590 660694 663448 660310 661214 664310 661734 664922
35 737240 739360 741020 741362 735988 738360 740140 741580 743732 739480 740920 742140 745150 741700 742700 746090 743260 746760
36 825496 827880 829600 830052 824184 826728 828720 830220 832632 827960 829560 830840 834176 830400 831460 835200 832080 835930
37 921472 924036 925916 926472 920052 922816 924960 926596 929274 924160 925884 927276 930950 926808 927956 932064 928636 932856
38 1025606 1028358 1030406 1031058 1024062 1027062 1029366 1031146 1034094 1028518 1030374 1031886 1035910 1031382 1032626 1037118 1033366 1037976
39 1138348 1141296 1143520 1144260 1136664 1139916 1142388 1144320 1147542 1141484 1143480 1145120 1149506 1144572 1145920 1150812 1146720 1151740
40 1260160 1263312 1265720 1266538 1258320 1261840 1264488 1266580 1270080 1263520 1265664 1267440 1272200 1266840 1268300 1273608 1269160 1274610
41 1391416 1394880 1397480 1398364 1389460 1393240 1396140 1398400 1402180 1395064 1397400 1399320 1404464 1398660 1400240 1405980 1401160 1407060
42 1532694 1536486 1539286 1540224 1530606 1534662 1537830 1540266 1544326 1536630 1539174 1541246 1546782 1540518 1542226 1548414 1543206 1549576
43 1684492 1688512 1691512 1692614 1682256 1686604 1689968 1692576 1697016 1688716 1691424 1693640 1699652 1692880 1694704 1701406 1695768 1702654
44 1847320 1851576 1854784 1856042 1844920 1849576 1853144 1855932 1860760 1851832 1854712 1857080 1863584 1856280 1858228 1865464 1859376 1866802
45 2021700 2026200 2029624 2031030 2019072 2024100 2027880 2030856 2036078 2026500 2029560 2032088 2039100 2031240 2033320 2041110 2034552 2042542
46 2208054 2212918 2216566 2218110 2205286 2210634 2214710 2217882 2223502 2213214 2216502 2219198 2226732 2218294 2220514 2228878 2221830 2230408
47 2407032 2412276 2416156 2417826 2404108 2409792 2414180 2417556 2423578 2412552 2416084 2418956 2427024 2417988 2420356 2429314 2421756 2430946
48 2619192 2624832 2628952 2630736 2616096 2622132 2626848 2630436 2636864 2625072 2628864 2631920 2640534 2630880 2633404 2642976 2634888 2644714
49 2845104 2851024 2855524 2857408 2841768 2848224 2853184 2857092 2863928 2851344 2855344 2858660 2867832 2857504 2860228 2870432 2861796 2872282
50 3085350 3091558 3096310 3098422 3081750 3088650 3093862 3097990 3105350 3091950 3096166 3099670 3109500 3098470 3101350 3112262 3103030 3114230
51 3340400 3347028 3352040 3354372 3336636 3343920 3349476 3353832 3361724 3347440 3351924 3355624 3366130 3354372 3357416 3369060 3359208 3371150
52 3610976 3618040 3623320 3625862 3607032 3614716 3620632 3625224 3633656 3618456 3623224 3627128 3638326 3625816 3629032 3641432 3630936 3643648
53 3897696 3905212 3910768 3913508 3893500 3901656 3907948 3912784 3921762 3905616 3910684 3914800 3926706 3913420 3916816 3929996 3918832 3932342
54 4201190 4209174 4215014 4217940 4196718 4205370 4212054 4217142 4226670 4209550 4214934 4219270 4231900 4217814 4221398 4235382 4223526 4237862
55 4522100 4530420 4536700 4539798 4517328 4526500 4533480 4538940 4549022 4530900 4536540 4541180 4554550 4539600 4543420 4558230 4545660 4560850
56 4860944 4869744 4876480 4879734 4855984 4865608 4872984 4878832 4889472 4870272 4876224 4881184 4895308 4879464 4883536 4899192 4885888 4901960
57 5218516 5227812 5234856 5238414 5213292 5223444 5231232 5237352 5248684 5228372 5234652 5239848 5254838 5238072 5242344 5258934 5244840 5261856
58 5595494 5605302 5612662 5616514 5589982 5600686 5608902 5615302 5627334 5605878 5612502 5617942 5633818 5616102 5620582 5638134 5623222 5641214
59 5992568 6002904 6010588 6014722 5986744 5998024 6006684 6013372 6026112 6003480 6010464 6016156 6032938 6014244 6018940 6037482 6021724 6040724
60 6410440 6421320 6429336 6433740 6404280 6416160 6425280 6432264 6445720 6421880 6429240 6435192 6452900 6433200 6438120 6457680 6441048 6461088
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

537
Vzorce vzniklé řešením diferenčních rovnic je v principu možné vyjádřit pomocí různých periodických funkcí. Nejčastějším způsobem je použití trigonometrických
funkcí SIN a COS (tento postup je přirozeným důsledkem rozkladu členu ein, když má charakteristická rovnice komplexní kořeny). Jinou možností je použít celéčásti (Floor), které jsou výhodnější tam, kde je jinak možné jen numerické vyjádření (ne algebraické). Výrazy s celými částmi se však ještě hůře upravují než
trigonometrické funkce a nějaké zjednodušení těchto výrazů je téměř nemožné. Oba vzorce (s trigonometrickými funkcemi i s celými částmi) dávají pro celočíselné
kladné hodnoty n shodné výsledky.
Vymyslel jsem postup, jak převést výrazy, obsahující celé části, na trigonometrické funkce. To může být zajímavé v případě, že není možné vyřešit (na symbolickéúrovni) soustavu rovnic pro koeficienty s trigonometrickými funkcemi, ale stejnou soustavu, kde tvar vzorce obsahuje Floor funkce, už ano. Potom lze substitucemi
vyjádřit stejný vzorec symbolicky i pomocí trigonometrických funkcí! Tato transformace vzorců je výhodná zejména při periodách 7, 9, 11, 13, ..., kde výrazys příslušnými trigonometrickými funkcemi nejdou vyjádřit pomocí tzv. radikálů (vnořených odmocnin) v reálném oboru (je to možné jen pomocí komplexních čísel).
Následující vzorec jsem odvodil řešením soustav rovnic, ale nepřisvojuji si jeho autorství, předpokládám, že jej objevil určitě již i někdo jiný. Nová je však metoda,
jak pomocí něj transformovat výsledky řešení diferenčních rovnic (nejprve vyřešené pomocí celých částí) na klasické výrazy obsahující trigonometrické funkce. Tím
je možno vyřešit libovolnou lineární diferenční rovnici s konstantními koeficienty (libovolného stupně!) na symbolické úrovni!

Speciálně pro p sudé (for even p)

Speciálně pro p liché (for odd p)

538
Rozvoje pro několik prvních členů (tyto vztahy samozřejmě platí jen pro přirozená čísla n, nikoliv pro reálná čísla, viz graf porovnání obou funkcí při periodě 7)
4

3

2

1

5

10

15

20

25

30

539
Možné jsou i obrácené vztahy, vyjádření trigonometrických funkcí pomocí funkce celá část. Vzhledem k tomu, že nenabývají jen celočíselných hodnot, nejsou všakobecně příliš elegantní. Několik prvních na ukázku: (graf porovnává obě funkce při periodě 7, shoda nastává v celých číslech)
1.0

0.5

5

0.5

1.0

10

15

20

540

11.2)

3 riders on an n x n chessboard - 3 liniové kameny na šachovnici n x n

Obecné vzorce pro rozmístění 3 liniových kamenů s jednotkovým tahem [r,s] na šachovnici n x n jsou už velmi komplikované. Objevil jsem však společné vlastnosti
vytvořujících funkcí. Pokud je číslo
prvočíslo (větší než 2), vytvořující funkce pro počet neohrožujících se trojic liniových kamenů s jednotkovým tahem [r,s] (kde r <= s) na šachovnici n x n je
If
is prime number >2, then generating function for number of three non-attacking riders [r,s] (0<r<=s) on a n x n chessboard isP(x) a R(x) jsou polynomy, P(x) and R(x) are polynomial

3 riders on an n x n chessboard - Table of denominators (case if r2+s2 is prime)
[r,s]

r2+s2

degree ofdenominators(r2+s2)

s2

rs

r+s

2s(r2+s2)+s2+rs+r+s

degree R(x)

[1,2]

5

31

10

4

2

3

29

0

60

[2,3]

13

104

39

9

6

5

98

4

2340

[1,4]

17

163

68

16

4

5

161

0

1360

[2,5]

29

334

145

25

10

7

332

0

10150

[4,5]

41

476

205

25

20

9

464

10

73800

[1,6]

37

495

222

36

6

7

493

0

9324

[5,6]

61

819

366

36

30

11

809

8

120780

[2,7]

53

816

371

49

14

9

814

0

46746

periodPoznámka: Kompletní prozkoumání 3 riders umožní až rychlejší počítače. Např. jen vygenerování všech hodnot až do šachovnice 840 x 840 pro [5,6] trvalo několik hodin!
Remark: Generally, this problem is open, I found only partial results

541[0,1] riders - see rooks, [1,1] riders - see bishops, [1,2] riders - see nightriders
Selected riders:Three [1,3] riders on an n x n chessboard (3 Camelriders = Mehari)
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010), period = 180

Recurrence

Generating function- 4x^2*(1 + 17x + 25x^2 + 158x^3 + 259x^4 + 440x^5 +1158x^6 + 1225x^7 + 2278x^8 + 3808x^9 + 3796x^10 +6687x^11 + 8620x^12 + 8798x^13 + 13958x^14 +15464x^15 +16180x^16 +
23283x^17 + 23266x^18 + 24830x^19 +32588x^20 +30170x^21 + 32570x^22 + 39253x^23 + 33961x^24 +37124x^25 +40809x^26 + 33419x^27 + 36812x^28 + 36631x^29 +28834x^30+31635x^31 + 28430x^32 + 21635x^33 + 23533x^34 +18763x^35 +14023x^36 + 14841x^37 + 10273x^38 + 7615x^39 +7680x^40 +4320x^41 + 3357x^42 + 2954x^43 + 1251x^44 +1097x^45+696x^46 + 198x^47 + 205x^48 + 50x^49 + 13x^50 +9x^51) / ((-1 + x)^7*(1 + x)*(1 + x^2)*(1 - x + x^2)*(1 + x + x^2)^4* (1 - x + x^2 - x^3 + x^4)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^2* (1 + x^3 +x^6)*(1 - x + x^3 - x^4 + x^5 - x^7 + x^8)^2)542

Three [2,3] riders on an n x n chessboard (3 Zebrariders)
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 2340

Recurrence

Generating function- 4x^2*(1 + 21x + 112x^2 + 422x^3 + 1285x^4 + 3128x^5 +6671x^6 + 12946x^7 + 22650x^8 + 36900x^9 +56947x^10 +82641x^11 + 114742x^12 + 154035x^13 + 198508x^14 +248420x^15 +
304285x^16 + 362171x^17 + 422664x^18 +487045x^19 + 550048x^20 + 613569x^21 + 680383x^22 +743947x^23 + 807498x^24 + 875070x^25 + 938344x^26 +1001576x^27 + 1069798x^28 +
1132744x^29 +1195650x^30 +1264518x^31 + 1327136x^32 + 1389722x^33 +1459240x^34 +1521536x^35 + 1583802x^36 + 1653966x^37 +1715932x^38 +1777860x^39 + 1848622x^40 +
1910084x^41 +1971078x^42 +2040820x^43 + 2098480x^44 + 2152700x^45 +2212274x^46 +2253886x^47 + 2286358x^48 + 2319020x^49 +2328306x^50 +2324738x^51 + 2319540x^52 +
2290926x^53 +2251406x^54 +2213712x^55 + 2157958x^56 + 2096970x^57 +2042916x^58 +1976628x^59 + 1909266x^60 + 1850992x^61 +1783250x^62 +1715490x^63 + 1656342x^64 +
1588856x^65 +1521412x^66 +1461614x^67 + 1394456x^68 + 1327338x^69 +1266894x^70 +1200064x^71 + 1133266x^72 + 1072172x^73 +1005664x^74 +939186x^75 + 877446x^76 +
811262x^77 + 745115x^78 +682757x^79 + 616992x^80 + 551482x^81 + 489313x^82 +425610x^83 + 363641x^84 + 306216x^85 + 250688x^86 +199748x^87 + 155451x^88 + 116253x^89 +
83502x^90 +57819x^91 + 37742x^92 + 23138x^93 + 13391x^94 +7053x^95 +3348x^96 + 1457x^97 + 536x^98 + 165x^99 + 49x^100 +9x^101) / ((-1 + x)^7*(1 + x)^3*(1 + x^2)*(1 - x + x^2)*(1 + x + x^2)^4*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)*(1 + x^3 + x^6)* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 +x^10 +x^11 + x^12)^2*(1 - x + x^3 - x^4 + x^6 - x^7 + x^9 -x^10+x^12 - x^14 + x^15 - x^17 + x^18 - x^20 + x^21 -x^23 + x^24)^2)543

Three [1,4] riders on an n x n chessboard (3 Girafferiders)
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 1360
(989633*n)/1109760-(6509*n^2)/138720-(48749*n^3)/36992 + (16639*n^4)/21760-(11*n^5)/24 + n^6/6 + (576/17 + (288*n)/289)*[n/17] + (13/2)*[n/8] + (32/5)*[n/5] + (14669/272 +(2429*n)/272-(65*n^2)/32 + (3*n^3)/2)*[n/4] + (-(242023/2176) + (2107*n)/272-(113*n^2)/64 + (3*n^3)/4)*[n/2] + (13904/289 + (576*n)/289)*[(1 + n)/17] + (1/2)*[(1 + n)/8] + (28/5)*[(1 + n)/5]+ (-(19123/272) + (3619*n)/272-(97*n^2)/32 + (3*n^3)/2)*[(1 + n)/4] + (27568/289 + (864*n)/289)*[(2 + n)/17] + (1/2)*[(2 + n)/8] + (16/5)*[(2 + n)/5] + ( -(3616/289) + (1152*n)/289)*[(3 +n)/17]-(3/2)*[(3 + n)/8] + (4/5)*[(3 + n)/5] + (6304/289 + (216*n)/289)*[(4 + n)/17] + (9864/289 + (504*n)/289)*[(5 + n)/17] + (23520/289 + (792 *n)/289)*[(6 + n)/17] + 4*[(6 + n)/16] + ((7128/289) + (1080*n)/289)*[(7 + n)/17] + 4*[(7 + n)/16] + (3872/289 + (144*n)/289)*[(8 + n)/17]-4*[(8 + n)/16] + (6744/289 + (432*n)/289)*[(9 + n)/17]-4*[(9 + n)/16] + (20256/289 +(720*n)/289)*[(10 + n)/17] + (-(9992/289) + (1008*n)/289)*[(11 + n)/17] + 8*[(11 + n)/16] + (1952/289 + (72*n)/289)*[(12 + n)/17] + 8*[(12 + n)/16] + (4000/ 289 + (360*n)/289)*[(13 + n)/17] +(17232/289 + (648*n)/289)*[(14 + n)/17] + (-(12752/289) + (936*n)/289)*[(15 + n)/17]-(512/17)*[(17 + n)/34]-(2560/17)*[(19 + n)/34] + (64/17-(72*n)/17)*[(20 + n)/34]-(384/17)*[(21 + n)/34] +(128/17)*[(22 + n)/34]-(2432/17)*[(23 + n)/34] + (192/17-(72*n)/17)*[(24 + n)/34]-(256/17)*[(25 + n)/34] + (256/17)*[(26 + n)/34]-(2304/17)*[(27 + n)/34] + (320/17-(72*n)/17)*[(28 + n)/34](128/17)*[(29 + n)/34] + (384/17)*[(30 + n)/34]-128*[(31 + n)/34] + (448/17-(72*n)/17)*[(32 + n)/34]-(2048/17)*[(35 + n)/68] + (-(1984/17)-(72*n)/17)*[(36 + n)/68] + (192/17-(72*n)/17)*[(37 +n)/68] + (256/17)*[(38 + n)/68]-(1792/17)*[(39 + n)/68] + (-(1728/17)-(72*n)/17)*[(40 + n)/68] + (448/17-(72*n)/17)*[(41 + n)/68] + (512/17)*[(42 + n)/68]-(1536/17)*[(43 + n)/68] + (-(1472/17)(72*n)/17)*[(44 + n)/68] + (704/17-(72*n)/17)*[(45 + n)/68] + (768/17)*[(46 + n)/68]-(1280/17)*[(47 + n)/68] + (-(1216/17)-(72*n)/17)*[(48 + n)/68] + (960/17-(72*n)/17)*[(49 + n)/68] +(1024/17)*[(50 + n)/68]-(1024/17)*[(51 + n)/68] + (-(960/17)-(72*n)/17)*[(52 + n)/68] + (1216/17-(72*n)/17)*[(53 + n)/68] + (1280/17)*[(54 + n)/68]-(768/17)*[(55 + n)/68] + (-(704/17)(72*n)/17)*[(56 + n)/68] + (1472/17-(72*n)/17)*[(57 + n)/68] + (1536/17)*[(58 + n)/68]-(512/17)*[(59 + n)/68] + (-(448/17)-(72*n)/17)*[(60 + n)/68] + (1728/17-(72*n)/17)*[(61 + n)/68] +(1792/17)*[(62 + n)/68]-(256/17)*[(63 + n)/68] + (-(192/17)-(72*n)/17)*[(64 + n)/68] + (1984/17-(72*n)/17)*[(65 + n)/68] + (2048/17)*[(66 + n)/68]

Recurrence

Generating function- 4x^2*(9x^160 + 31x^159 + 85x^158 + 225x^157 +677x^156 + 1250x^155 + 2245x^154 +3711x^153 + 6276x^152 + 8490x^151 +11720x^150 + 15504x^149 + 21147x^148 +24813x^147 +30688x^146 + 36876x^145 +45893x^144 + 50416x^143 + 59173x^142 +67619x^141 + 79867x^140 + 84140x^139 +95183x^138 + 104703x^137 + 118799x^136 +121158x^135 + 133482x^134 +
143080x^133 +158346x^132 + 158404x^131 + 171882x^130 +181480x^129 + 197898x^128 + 195652x^127 +210282x^126 + 219880x^125 + 237450x^124 +232902x^123 + 248680x^122 +258280x^121 +277002x^120 + 270150x^119 + 287078x^118 +296682x^117 + 316554x^116 + 307398x^115 +325478x^114 + 335082x^113 + 356106x^112 +344646x^111 + 363878x^110 +373482x^109 +395658x^108 + 381894x^107 + 402280x^106 +411880x^105 + 435210x^104 + 419142x^103 +440680x^102 + 450278x^101 + 474764x^100 +456390x^99 + 479080x^98 +
488678x^97 +514316x^96 + 493638x^95 + 517480x^94 +527078x^93 + 553924x^92 + 530828x^91 +555714x^90 + 565034x^89 + 591994x^88 +565560x^87 + 589786x^86 + 596454x^85+620412x^84 + 588474x^83 + 609240x^82 +611272x^81 + 630226x^80 + 593006x^79 +609704x^78 + 606928x^77 + 620212x^76 +579044x^75 + 591130x^74 + 583838x^73 +591962x^72 +
548920x^71 + 557518x^70 +548078x^69 + 553584x^68 + 511986x^67 +519318x^66 + 509720x^65 + 514038x^64 +474812x^63 + 480918x^62 + 471320x^61 +474486x^60 + 437564x^59 +
442518x^58 +432920x^57 + 434934x^56 + 400314x^55 +404120x^54 + 394520x^53 + 395382x^52 +363066x^51 + 365722x^50 + 356118x^49 +355830x^48 + 325818x^47 + 327322x^46+317718x^45 + 316278x^44 + 288570x^43 +288922x^42 + 279318x^41 + 276726x^40 +251322x^39 + 250520x^38 + 240920x^37 +237174x^36 + 214074x^35 + 212120x^34 +202522x^33 +
197620x^32 + 176826x^31 +173720x^30 + 164122x^29 + 158068x^28 +139578x^27 + 135320x^26 + 125722x^25 +118523x^24 + 102357x^23 + 97001x^22 +87541x^21 + 79641x^20 +
66334x^19 +60769x^18 + 52635x^17 + 45696x^16 +36324x^15 + 31840x^14 + 26024x^13 +21011x^12 + 15397x^11 + 12408x^10 +8996x^9 + 6207x^8 + 3756x^7 + 2497x^6 +1343x^5 +627x^4 + 228x^3 + 99x^2 + 19x +1) / ((x - 1)^7*(x + 1)^4*(x^2 + 1)^4*(x^4 + 1)* (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)*(x^8 + 1)* (x^16 - x^15 + x^14 - x^13 + x^12 - x^11 + x^10 -x^9 + x^8 - x^7 +x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 -x + 1)^2*(x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 +x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 +x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2* (x^32 - x^30 + x^28 - x^26 + x^24 x^22 + x^20 -x^18 + x^16 - x^14 + x^12 - x^10 + x^8 - x^6 +x^4 - x^2 + 1)^2)544

Three [3,4] riders on an n x n chessboard (3 Anteloperiders)
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 8400-((205725031*n)/30240000) + (96874369*n^2)/11340000-(6306877*n^3)/2160000 + (5038759*n^4)/3628800-(3*n^5)/8 + n^6/6 + (90224/625 + (56*n)/625)*[n/10] + (3/2)*[n/8] + (40/7)*[n/7](68/27)*[n/6] + (53263/400 + (1039*n)/400 + (71*n^2)/96 + n^3/2)*[n/4]-(2/27)*n^2*[n/3] + (-(629066119/2160000) + (21297*n)/10000-(361*n^2)/192 + n^3/4)*[n/2]-(4/3)*[(1 + n)/12] +(71096/625 + (296*n)/625)*[(1 + n)/10]-(17/2)*[(1 + n)/8] + 4*[(1 + n)/7]-(32/27)*[(1 + n)/6] + (-(10877/80) + (1361*n)/400-(217*n^2)/96 + n^3/2)*[(1 + n)/4] + ((4*n)/27-n^2/27)*[(1 + n)/3] +(4/3)*[(2 + n)/12] + (167312/625 + (152*n)/625)*[(2 + n)/10]-(17/2)*[(2 + n)/8]-(85/27)*[(2 + n)/6] + (4/3)*[(3 + n)/12] + (-(19024/625) + (192*n)/625)*[(3 + n)/10] + (11/2)*[(3 + n)/8] +(20/7)*[(3 + n)/7]-(19/27)*[(3 + n)/6] + (11832/125 + (8*n)/125)*[(4 + n)/25]-(4/3)*[(4 + n)/12] + (14224/625 + (8*n)/625)*[(4 + n)/10] + (40/7)*[(4 + n)/7] + (14448/125 + (8*n)/125)*[(5 + n)/25] 12*[(5 + n)/16] + (-(608/25) + (248*n)/625)*[(5 + n)/10] + (12/7)*[(5 + n)/7] + (14264/125 + (8*n)/125)*[(6 + n)/25] + (16104/125 + (104*n)/625)*[(6 + n)/10] + (2256/25 + (8*n)/125)*[(7 + n)/25]+ 8*[(7 + n)/16] + (-(96512/625) + (144*n)/625)*[(7 + n)/10] + (11496/125 + (8*n)/125)*[(8 + n)/25]-8*[(8 + n)/16] + (15144/125 + (16*n)/125)*[(9 + n)/25] + (-(1344/25) + (8*n)/25)*[(9 + n)/20]+ (16376/125 + (16*n)/125)*[(10 + n)/25]-(1536/25)*[(10 + n)/20] + 12*[(10 + n)/16] + (14008/125 + (16*n)/125)*[(11 + n)/25] + (-(7872/25)-(8*n)/25)*[(11 + n)/20]-4*[(11 + n)/16] + (2608/25 +(16*n)/125)*[(12 + n)/25] + (-(7488/25)-(8*n)/25)*[(12 + n)/20]-4*[(12 + n)/16] + (13472/125 + (16*n)/125)*[(13 + n)/25]-(768/25)*[(13 + n)/20] + (24136/125 + (24*n)/125)*[(14 + n)/25](768/25)*[(14 + n)/20] + (24984/125 + (24*n)/125)*[(15 + n)/25] + (-(7104/25)-(8*n)/25)*[(15 + n)/20] + (24432/125 + (24*n)/125)*[(16 + n)/25] + (-(1344/5)-(8*n)/25)*[(16 + n)/20] + (4496/25 +(24*n)/125)*[(17 + n)/25] + (20128/125 + (24*n)/125)*[(18 + n)/25] + (-(15792/125) + (32*n)/125)*[(19 + n)/25] + (-(13368/125)-(8*n)/125)*[(20 + n)/25] + (-(14184/125)-(8*n)/125)*[(21 +n)/25] + (-(608/5)-(8*n)/125)*[(22 + n)/25] + (-(13416/125)-(8*n)/125)*[(23 + n)/25]-(384/5)*[(29 + n)/50]-(384/5)*[(30 + n)/50]-(384/5)*[(31 + n)/50]-(384/5)*[(32 + n)/50]-(384/5)*[(33 + n)/50]384*[(39 + n)/50] + (-(9408/25)-(8*n)/25)*[(40 + n)/50] + (-(9024/25)-(8*n)/25)*[(41 + n)/50] + (-(1728/5)-(8*n)/25)*[(42 + n)/50] + (-(8256/25)-(8*n)/25)*[(43 + n)/50] + (1728/25-(8*n)/25)*[(44+ n)/50] + (384/5)*[(45 + n)/50] + (384/5)*[(46 + n)/50] + (384/5)*[(47 + n)/50] + (384/5)*[(48 + n)/50]-(1536/5)*[(59 + n)/100] + (-(7488/25)-(8*n)/25)*[(60 + n)/100] + (-(7104/25)(8*n)/25)*[(61 + n)/100] + (-(1344/5)-(8*n)/25)*[(62 + n)/100] + (-(6336/25)-(8*n)/25)*[(63 + n)/100] + (-(5952/25)-(8*n)/25)*[(64 + n)/100] + (-(5568/25)-(8*n)/25)*[(65 + n)/100] + (-(5184/25)(8*n)/25)*[(66 + n)/100] + (-192-(8*n)/25)*[(67 + n)/100] + (-(4416/25)-(8*n)/25)*[(68 + n)/100] + (3648/25-(8*n)/25)*[(69 + n)/100] + (768/5)*[(70 + n)/100] + (768/5)*[(71 + n)/100] +(768/5)*[(72 + n)/100] + (768/5)*[(73 + n)/100] + (768/5)*[(74 + n)/100] + (768/5)*[(75 + n)/100] + (768/5)*[(76 + n)/100] + (768/5)*[(77 + n)/100] + (768/5)*[(78 + n)/100]-(768/5)*[(79 +n)/100] + (-(3648/25)-(8*n)/25)*[(80 + n)/100] + (-(3264/25)-(8*n)/25)*[(81 + n)/100] + (-(576/5)-(8*n)/25)*[(82 + n)/100] + (-(2496/25)-(8*n)/25)*[(83 + n)/100] + (-(2112/25)-(8*n)/25)*[(84 +n)/100] + (-(1728/25)-(8*n)/25)*[(85 + n)/100] + (-(1344/25)-(8*n)/25)*[(86 + n)/100] + (-(192/5)-(8*n)/25)*[(87 + n)/100] + (-(576/25)-(8*n)/25)*[(88 + n)/100] + (7488/25-(8*n)/25)*[(89 +n)/100] + (1536/5)*[(90 + n)/100] + (1536/5)*[(91 + n)/100] + (1536/5)*[(92 + n)/100] + (1536/5)*[(93 + n)/100] + (1536/5)*[( 94 + n)/100] + (1536/5)*[(95 + n)/100] + (1536/5)*[(96 + n)/100] +(1536/5)*[(97 + n)/100] + (1536/5)*[(98 + n)/100]

Recurrence

545

Generating function- 4x^2*(1 + 21x + 140x^2 + 528x^3 + 1543x^4 + 3774x^5 +8150x^6 + 15656x^7 + 27695x^8 + 45785x^9 +72070x^10 +107828x^11 + 155144x^12 + 215570x^13 + 292230x^14 +385227x^15 +
496758x^16 + 627084x^17 + 780400x^18 +953755x^19 + 1148843x^20 + 1362906x^21 +1601741x^22 +1857832x^23 + 2132691x^24 + 2419852x^25 +2728731x^26 +3047285x^27 +
3378267x^28 + 3711574x^29 +4062342x^30 +4414377x^31 + 4772840x^32 + 5124145x^33 +5490697x^34 +5852706x^35 + 6218574x^36 + 6571265x^37 +6940877x^38 +7303750x^39 +
7671092x^40 + 8021592x^41 +8392388x^42 +8755270x^43 + 9123768x^44 + 9471966x^45 +9843914x^46 +10206794x^47 + 10576440x^48 + 10922332x^49 +11295434x^50 +11658316x^51 +
12029114x^52 + 12372700x^53 +12746954x^54 +13109834x^55 + 13481782x^56 + 13823064x^57 +14198470x^58 +14561350x^59 + 14934450x^60 + 15273430x^61 +15649990x^62+16012870x^63 + 16387124x^64 + 16723800x^65 +17101510x^66 +17464388x^67 + 17839796x^68 + 18174172x^69 +18553036x^70 +18915914x^71 + 19292472x^72 + 19624540x^73+20004554x^74 +20367434x^75 + 20745146x^76 + 21074910x^77 +21456074x^78 +21818954x^79 + 22197816x^80 + 22525274x^81 +22907590x^82 +23270470x^83 + 23650484x^84 +
23975638x^85 +24359108x^86 +24721990x^87 + 25103156x^88 + 25426008x^89 +25810630x^90 +26173510x^91 + 26555826x^92 + 26876376x^93 +27262154x^94 +27625036x^95 +
28008504x^96 + 28326748x^97 +28713674x^98 +29076544x^99 + 29461150x^100 + 29777034x^101 +30164872x^102 + 30526976x^103 + 30910726x^104 +31219900x^105 + 31600386x^106+ 31948266x^107 +32311132x^108 + 32586286x^109 + 32924094x^110 +33215462x^111 + 33508924x^112 + 33697118x^113 +33935334x^114 + 34112228x^115 + 34278404x^116+34324492x^117 + 34410540x^118 + 34426698x^119 +34426882x^120 + 34303172x^121 + 34219332x^122 +34070022x^123 + 33911820x^124 + 33639612x^125 +33416848x^126 +
33142616x^127 + 32873322x^128 +32506502x^129 + 32201106x^130 + 31859916x^131 +31536832x^132 + 31131730x^133 + 30795930x^134 +30434804x^135 + 30098076x^136 +
29687902x^137 +29347122x^138 + 28984250x^139 + 28645708x^140 +28237608x^141 + 27895612x^142 + 27532730x^143 +27193032x^144 + 26787234x^145 + 26444086x^146+26081206x^147 + 25740360x^148 + 25336868x^149 +24992566x^150 + 24629684x^151 + 24287686x^152 +23886500x^153 + 23541046x^154 + 23178166x^155 +22835018x^156 +
22436136x^157 + 22089530x^158 +21726650x^159 + 21382350x^160 + 20985770x^161 +20638010x^162 + 20275130x^163 + 19929676x^164 +19535400x^165 + 19186490x^166 +18823612x^167 +18477004x^168 + 18085028x^169 + 17734964x^170 +17372086x^171 + 17024328x^172 + 16634660x^173 +16283446x^174 + 15920566x^175 + 15571654x^176+15184290x^177 + 14831926x^178 + 14469046x^179 +14118984x^180 + 13733926x^181 + 13380410x^182 +13017530x^183 + 12666316x^184 + 12283562x^185 +11928892x^186 +
11566010x^187 + 11213644x^188 +10833192x^189 + 10477370x^190 + 10114490x^191 +9760974x^192 + 9382824x^193 + 9025846x^194 +8662964x^195 +8308296x^196 + 7932452x^197 +
7574326x^198 +7211448x^199 +6855633x^200 + 6482121x^201 + 6122972x^202 +5760488x^203 +5404531x^204 + 5035526x^205 + 4679472x^206 +4324094x^207 +3977997x^208 +
3627145x^209 + 3291844x^210 +2964718x^211 +2652748x^212 + 2346536x^213 + 2060452x^214 +1790561x^215 +1541654x^216 + 1307648x^217 + 1097068x^218 +907539x^219+741051x^220 + 593106x^221 + 466911x^222 +360130x^223 +272265x^224 + 199720x^225 + 142413x^226 +98091x^227 +65195x^228 + 41100x^229 + 24536x^230 + 13699x^231+7128x^232 + 3325x^233 + 1381x^234 + 506x^235 +174x^236 +49x^237 + 9x^238) / ((-1 + x)^7*(1 + x)^4*(1 + x^2)^4* (1 - x + x^2)*(1 + x + x^2)^3*(1 + x^4)*(1 - x^2 + x^4)* (1 - x + x^2- x^3 + x^4)^2*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^2* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)*(1 + x^8)* (1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8)^2*(1 - x^5 + x^10 - x^15 +x^20)^2* (1 + x^5 + x^10 + x^15 +x^20)^2*(1 - x^10 + x^20 - x^30 +x^40)^2)546

Three [1,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 1950
(2161043*n)/760500-(421423*n^2)/190125-(56804*n^3)/63375 + (27959*n^4)/58500-(28*n^5)/75 + n^6/6 + (704/13 + (320*n)/169)*[n/13] + (42004*[n/10])/1625 + (104/9)*[n/6] +((5952*n)/325-(436*n^2)/125 + (64*n^3)/25)*[n/5]-(3055063*[n/2])/29250 + (-(8720/169) + (640*n)/169)*[(1 + n)/13] + (33244*[(1 + n)/10])/1625 + (104/9)*[(1 + n)/6] + ((24766*n)/1625(387*n^2)/125 + (48*n^3)/25)*[(1 + n)/5] + (4312/169 + (128*n)/169)*[(2 + n)/13] + (18079/325)*[(2 + n)/10] + (76/9)*[(2 + n) /6] + ((24808*n)/1625-(298*n^2)/125 + (32*n^3)/25)*[(2 + n)/5] +(13200/169 + (448*n)/169)*[(3 + n)/13]-(148691*[(3 + n)/10])/1625 + (28/9)*[(3 + n)/6] + ((13886*n)/1625-(169*n^2)/125 + (16*n^3)/25)*[(3 + n)/5]-(16/5)*[(4 + n)/25] + (-(48/169) +(768*n)/169)*[(4 + n)/13] + (147066*[(4 + n)/10])/1625-(64/5)*[(5 + n)/25] + (4920/169 + (256*n)/169)*[(5 + n)/13]-(105062*[(5 + n)/10])/1625-(16/5)*[(6 + n)/25] + (-(8920/169) +(576*n)/169)*[(6 + n)/13] + (2799/25)*[(6 + n)/10] + (16/5)*[(7 + n)/25] + (-(384/169) + (64*n)/169)*[(7 + n)/13]-(56671*[(7 + n)/10])/1625 + (32/5)*[(8 + n)/25] + (13056/169 + (384*n)/169)*[(8+ n)/13] + (16/5)*[(9 + n)/25] + (-(4168/169) + (704*n)/169)*[(9 + n)/13]-(56/5)*[(10 + n)/25] + (5872/169 + (192*n)/169)*[(10 + n)/13]-(56/5)*[(11 + n)/25] + (-(12776/169) + (512*n)/169)*[(11+ n)/13]-(8/5)*[(12 + n)/25] + (48/5)*[(13 + n)/25] + 32*[(14 + n)/26] + (56/5)*[(14 + n)/25]-8*[(15 + n)/26]-(16/5)*[(15 + n)/25]-(1920/13)*[(16 + n)/65]-8*[(16 + n)/25] + (40/13-(64*n)/13)*[(17+ n)/65]-24*[(17 + n)/26]-(32/5)*[(17 + n)/25] + (80/13)*[(18 + n)/65] + 24*[(18 + n)/26] + (8/5)*[(18 + n)/25] + (80/13)*[(19 + n)/65] + 8*[(19 + n)/26] + (64/5)*[(19 + n)/25] + (80/13)*[(20 +n)/65] + 24*[(20 + n)/26] + (16/5)*[(20 + n)/25]-(1840/13)*[(21 + n)/65]-24*[(21 + n)/26]-(8/5)*[(21 + n)/25] + (120/13-(64*n)/13)*[(22 + n)/65]-(16/5)*[(22 + n)/25] + (160/13)*[(23 + n)/65]8*[(23 + n)/26]-(8/5)*[(23 + n)/25] + (160/13)*[(24 + n)/65] + 32*[(24 + n)/26] + (160/13)*[(25 + n)/65]-(1760/13)*[(26 + n)/65] + (200/13-(64*n)/13)*[(27 + n)/65] + (240/13)*[(28 + n)/65](1680/13)*[(29 + n)/65] + (280/13-(64*n)/13)*[(30 + n)/65]-(1600/13)*[(31 + n)/65] + (360/13-(64*n)/13)*[(32 + n)/65] + (400/13)*[(33 + n)/65]-(1520/13)*[(34 + n)/65] + (440/13-(64*n)/13)*[(35+ n)/65]-(1440/13)*[(36 + n)/65] + (40-(64*n)/13)*[(37 + n)/65] + (560/13)*[(38 + n)/65]-(1360/13)*[(39 + n)/65] + (600/13-(64*n)/13)*[(40 + n)/65]-(1280/13)*[(41 + n)/65] + (-(1240/13)(64*n)/13)*[(42 + n)/65] + (760/13-(64*n)/13)*[(43 + n)/65]-(1120/13)*[(44 + n)/65] + (840/13-(64*n)/13)*[(45 + n)/65]-80*[(46 + n)/65] + (-(1000/13)-(64*n)/13)*[(47 + n)/65] + (1000/13(64*n)/13)*[(48 + n)/65]-(880/13)*[(49 + n)/65] + (1080/13-(64*n)/13)*[(50 + n)/65]-(800/13)*[(51 + n)/65] + (-(760/13)-(64*n)/13)*[(52 + n)/65] + (1240/13-(64*n)/13)*[(53 + n)/65](640/13)*[(54 + n)/65] + (-(600/13)-(64*n)/13)*[(55 + n)/65] + (-40-(64*n)/13)*[(56 + n)/65] + (-(440/13)-(64*n)/13)*[(57 + n)/65] + (120-(64*n)/13)*[(58 + n)/65]-(320/13)*[(59 + n)/65] + ((280/13)-(64*n)/13)*[(60 + n)/65] + (-(200/13)-(64*n)/13)*[(61 + n)/65] + (-(120/13)-(64*n)/13)*[(62 + n)/65] + (1880/13-(64*n)/13)*[(63 + n)/65]

Recurrence

547

Generating function- 4x^2*(1 + 17x + 64x^2 + 171x^3 + 204x^4 + 817x^5 + 816x^6 +2158x^7 + 2304x^8 + 3556x^9 + 6538x^10 + 5678x^11 +12359x^12 + 9442x^13 + 16967x^14 + 20779x^15 +20155x^16+34529x^17 + 25633x^18 + 44458x^19 + 47084x^20 +47704x^21 +72370x^22 + 55494x^23 + 89732x^24 + 91483x^25 +91546x^26 +132587x^27 + 102536x^28 + 157856x^29 + 156914x^30+154070x^31 + 216540x^32 + 166486x^33 + 247602x^34 +240007x^35 + 232552x^36 + 318550x^37 + 244277x^38 +352235x^39 + 337042x^40 + 321545x^41 + 434679x^42 +331911x^43 +
467708x^44 + 444479x^45 + 417608x^46 +561185x^47 + 424839x^48 + 590226x^49 + 556401x^50 +517377x^51 + 691437x^52 + 519227x^53 + 714678x^54 +668890x^55 + 617864x^56 +
821947x^57 + 613713x^58 +839196x^59 + 781370x^60 + 718382x^61 + 952433x^62 +708223x^63 + 963608x^64 + 894030x^65 + 818606x^66 +1083125x^67 + 801981x^68 + 1088256x^69+1004268x^70 +918216x^71 + 1208655x^72 + 893077x^73 +1205192x^74 +1106112x^75 + 1008284x^76 + 1319305x^77 +972905x^78 +1303026x^79 + 1190130x^80 + 1079668x^81+1405861x^82 +1034471x^83 + 1373252x^84 + 1249238x^85 +1125932x^86 +1459819x^87 + 1070035x^88 + 1406578x^89 +1273414x^90 +1138434x^91 + 1469963x^92 + 1070533x^93+1394508x^94 +1255526x^95 + 1113252x^96 + 1433343x^97 +1036269x^98 +1340374x^99 + 1201058x^100 + 1057492x^101 +1359275x^102 +975579x^103 + 1255454x^104 + 1119488x^105+980170x^106 +1257117x^107 + 895367x^108 + 1148296x^109 +1017900x^110 +887680x^111 + 1135463x^112 + 803229x^113 +1028464x^114 +905926x^115 + 789194x^116 +
1005063x^117 +709273x^118 +903822x^119 + 793610x^120 + 688636x^121 +874553x^122 +614787x^123 + 779304x^124 + 681130x^125 +588118x^126 +744067x^127 + 520277x^128 +
654812x^129 +568629x^130 +487637x^131 + 613631x^132 + 425948x^133 +530520x^134 +456935x^135 + 387948x^136 + 485207x^137 +333599x^138 +409352x^139 + 350170x^140 +292298x^141 +364916x^142 +246233x^143 + 298267x^144 + 251911x^145 +206277x^146 +256590x^147 + 167916x^148 + 201270x^149 +165698x^150 +133344x^151 + 163911x^152 +103291x^153 +122030x^154 +97603x^155 + 76680x^156 + 93630x^157 + 55831x^158 +65656x^159 + 50540x^160 + 38698x^161 + 47097x^162 +25265x^163 + 30924x^164 + 21115x^165 +16696x^166 +18595x^167 + 8564x^168 + 11051x^169 + 5650x^170 +5185x^171 + 4224x^172 + 1702x^173 + 2016x^174 +601x^175 +732x^176 + 252x^177 + 112x^178 + 50x^179 +13x^180+9x^181) / ((-1 + x)^7*(1 + x)*(1 - x + x^2)*(1 + x +x^2)* (1 - x + x^2 - x^3 + x^4)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^4* (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 - x^7 + x^8 - x^9 +x^10 -x^11+x^12)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 +x^9 + x^10 + x^11 + x^12)^2*(1 + x^5 + x^10 + x^15 +x^20)* (1 - x + x^5 - x^6 + x^10 - x^11 + x^13 - x^14 + x^15 -x^16+x^18 - x^19 + x^20 - x^21 + x^23 - x^24 + x^25 -x^27 + x^28 -x^29 + x^30 - x^32 + x^33 - x^34 + x^35 - x^37 +x^38 - x^42 +x^43 - x^47 + x^48)^2)548

Three [2,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 10150-((10086547*n)/4415250) + (7167719*n^2)/2207625-(162584*n^3)/105125 + (19393*n^4)/25375-(26*n^5)/75 + n^6/6 + (-(4240/29) + (1656*n)/841)*[n/29] + (921804*[n/10])/3625 + (88/7)*[n/7]+ ((8712*n)/725-(312*n^2)/125 + (48*n^3)/25)*[n/5]-(470881*[n/2])/3625 + (-(224976/841) + (1224*n)/841)*[(1 + n)/29] + (860844*[(1 + n)/10])/3625 + 4*[(1 + n)/7] + ((32136*n)/3625(354*n^2)/125 + (36*n^3)/25)*[(1 + n)/5] + (-(334816/841) + (792*n)/841)*[(2 + n)/29] + (359698/725)*[(2 + n)/10] + 8*[(2 + n)/7] + ((34168*n)/3625-(316*n^2)/125 + (24*n^3)/25)*[(2 + n)/5] +(80888/841 + (360*n)/841)*[(3 + n)/29]-(474506*[(3 + n)/10])/3625 + (44/7)*[(3 + n)/7] + ((14856*n)/3625-(198*n^2)/125 + (12*n^3)/25)*[(3 + n)/5] + (-(21632/841) + (2016*n)/841)*[(4 + n)/29]+ (24/5)*[(4 + n)/25] + (467256*[(4 + n)/10])/3625 + (32/7)*[(4 + n)/7] + (-(142648/841) + (1584*n)/841)*[(5 + n)/29]-(32/5)*[(5 + n)/25] + (454548*[(5 + n)/10])/3625 + (60/7)*[(5 + n)/7] + ((243648/841) + (1152*n)/841)*[(6 + n)/29] + (53414/145)*[(6 + n)/10] + (-(358040/841) + (720*n)/841)*[(7 + n)/29] + (16/5)*[(7 + n)/25] + (1331234*[(7 + n)/10])/3625 + (61000/841 +(288*n)/841)*[(8 + n)/29]-(24/5)*[(8 + n)/25] + (-(43752/841) + (1944*n)/841)*[(9 + n)/29] + (64/5)*[(9 + n)/25] + (-(159112/841) + (1512*n)/841)*[(10 + n)/29]-8*[(10 + n)/25] + (-(260024/841)+ (1080*n)/841)*[(11 + n)/29] + (32/5)*[(11 + n)/25] + (-(379896/841) + (648*n)/841)*[(12 + n)/29]-(8/5)*[(12 + n)/25] + (41552/841 + (216*n)/841)*[(13 + n)/29] + (-(66360/841) +(1872*n)/841)*[(14 + n)/29] + 8*[(14 + n)/25] + (-(176992/841) + (1440*n)/841)*[(15 + n)/29]-(64/5)*[(15 + n)/25] + (-(278744/841) + (1008*n)/841)*[(16 + n)/29] + (56/5)*[(16 + n)/25] + ((398296/841) + (576*n)/841)*[(17 + n)/29]-(32/5)*[(17 + n)/25] + (24632/841 + (144*n)/841)*[(18 + n)/29] + (32/5)*[(18 + n)/25] + (-(87368/841) + (1800*n)/841)*[(19 + n)/29] + (32/5)*[(19 +n)/25] + (-(194200/841) + (1368*n)/841)*[(20 + n)/29]-(24/5)*[(20 + n)/25] + (-(297720/841) + (936*n)/841)*[(21 + n)/29] + (32/5)*[(21 + n)/25] + (-(411152/841) + (504*n)/841)*[(22 + n)/29](16/5)*[(22 + n)/25] + (12328/841 + (72*n)/841)*[(23 + n)/29] + (32/5)*[(23 + n)/25] + (-(104688/841) + (1728*n)/841)*[(24 + n)/29] + (-(208648/841) + (1296*n)/841)*[(25 + n)/29] + ((314864/841) + (864*n)/841)*[(26 + n)/29] + (-(423104/841) + (432*n)/841)*[(27 + n)/29]-(17920/29)*[(32 + n)/145] + (160/29-(72*n)/29)*[(33 + n)/145] + (320/29)*[(34 + n)/145] +(320/29)*[(35 + n)/145] + (320/29)*[(36 + n)/145]-(17600/29)*[(37 + n)/145] + (480/29-(72*n)/29)*[(38 + n)/145] + (640/29)*[(39 + n)/145] + (640/29)*[(40 + n)/145] + (640/29)*[(41 + n)/145](17280/29)*[(42 + n)/145] + (800/29-(72*n)/29)*[(43 + n)/145] + (960/29)*[(44 + n)/145] + (960/29)*[(45 + n)/145] + (960/29)*[(46 + n)/145]-(16960/29)*[(47 + n)/145] + (1120/29(72*n)/29)*[(48 + n)/145] + (1280/29)*[(49 + n)/145] + (1280/29)*[(50 + n)/145] + (1280/29)*[(51 + n)/145]-(16640/29)*[(52 + n)/145] + (1440/29-(72*n)/29)*[(53 + n)/145] + (1600/29)*[(54 +n)/145] + (1600/29)*[(55 + n)/145] + (1600/29)*[(56 + n)/145]-(16320/29)*[(57 + n)/145] + (1760/29-(72*n)/29)*[(58 + n)/145] + (1920/29)*[(59 + n)/145] + (1920/29)*[(60 + n)/145](16000/29)*[(61 + n)/145] + (-(15840/29)-(72*n)/29)*[(62 + n)/145] + (2400/29-(72*n)/29)*[(63 + n)/145] + (2560/29)*[(64 + n)/145] + (2560/29)*[(65 + n)/145]-(15360/29)*[(66 + n)/145] + ((15200/29)-(72*n)/29)*[(67 + n)/145] + (3040/29-(72*n)/29)*[(68 + n)/145] + (3200/29)*[(69 + n)/145] + (3200/29)*[(70 + n)/145]-(14720/29)*[(71 + n)/145] + (-(14560/29)-(72*n)/29)*[(72 +n)/145] + (3680/29-(72*n)/29)*[(73 + n)/145] + (3840/29)*[(74 + n)/145] + (3840/29)*[(75 + n)/145]-(14080/29)*[(76 + n)/145] + (-480-(72*n)/29)*[(77 + n)/145] + (4320/29-(72*n)/29)*[(78 +n)/145] + (4480/29)*[(79 + n)/145] + (4480/29)*[(80 + n)/145]-(13440/29)*[(81 + n)/145] + (-(13280/29)-(72*n)/29)*[(82 + n)/145] + (4960/29-(72*n)/29)*[(83 + n)/145] + (5120/29)*[(84 +n)/145] + (5120/29)*[(85 + n)/145]-(12800/29)*[(86 + n)/145] + (-(12640/29)-(72*n)/29)*[(87 + n)/145] + (5600/29-(72*n)/29)*[(88 + n)/145] + (5760/29)*[(89 + n)/145]-(12160/29)*[(90 + n)/145]+ (-(12000/29)-(72*n)/29)*[(91 + n)/145] + (-(11680/29)-(72*n)/29)*[(92 + n)/145] + (6560/29-(72*n)/29)*[(93 + n)/145] + (6720/29)*[(94 + n)/145]-(11200/29)*[(95 + n)/145] + (-(11040/29)(72*n)/29)*[(96 + n)/145] + (-(10720/29)-(72*n)/29)*[(97 + n)/145] + (7520/29-(72*n)/29)*[(98 + n)/145] + (7680/29)*[(99 + n)/145]-(10240/29)*[(100 + n)/145] + (-(10080/29)-(72*n)/29)*[(101+ n)/145] + (-(9760/29)-(72*n)/29)*[(102 + n)/145] + (8480/29-(72*n)/29)*[(103 + n)/145] + (8640/29)*[(104 + n)/145]-320*[(105 + n)/145] + (-(9120/29)-(72*n)/29)*[(106 + n)/145] + ((8800/29)-(72*n)/29)*[(107 + n)/145] + (9440/29-(72*n)/29)*[(108 + n)/145] + (9600/29)*[(109 + n)/145]-(8320/29)*[(110 + n)/145] + (-(8160/29)-(72*n)/29)*[(111 + n)/145] + (-(7840/29)(72*n)/29)*[(112 + n)/145] + (10400/29-(72*n)/29)*[(113 + n)/145] + (10560/29)*[(114 + n)/145]-(7360/29)*[(115 + n)/145] + (-(7200/29)-(72*n)/29)*[(116 + n)/145] + (-(6880/29)(72*n)/29)*[(117 + n)/145] + (11360/29-(72*n)/29)*[(118 + n)/145]-(6400/29)*[(119 + n)/145] + (-(6240/29)-(72*n)/29)*[(120 + n)/145] + (-(5920/29)-(72*n)/29)*[(121 + n)/145] + (-(5600/29)(72*n)/29)*[(122 + n)/145] + (12640/29-(72*n)/29)*[(123 + n)/145]-(5120/29)*[(124 + n)/145] + (-(4960/29)-(72*n)/29)*[(125 + n)/145] + (-160-(72*n)/29)*[(126 + n)/145] + (-(4320/29)(72*n)/29)*[(127 + n)/145] + (480-(72*n)/29)*[(128 + n)/145]-(3840/29)*[(129 + n)/145] + (-(3680/29)-(72*n)/29)*[(130 + n)/145] + (-(3360/29)-(72*n)/29)*[(131 + n)/145] + (-(3040/29)(72*n)/29)*[(132 + n)/145] + (15200/29-(72*n)/29)*[(133 + n)/145]-(2560/29)*[(134 + n)/145] + (-(2400/29)-(72*n)/29)*[(135 + n)/145] + (-(2080/29)-(72*n)/29)*[(136 + n)/145] + (-(1760/29)(72*n)/29)*[(137 + n)/145] + (16480/29-(72*n)/29)*[(138 + n)/145]-(1280/29)*[(139 + n)/145] + (-(1120/29)-(72*n)/29)*[(140 + n)/145] + (-(800/29)-(72*n)/29)*[(141 + n)/145] + (-(480/29)(72*n)/29)*[(142 + n)/145] + (17760/29-(72*n)/29)*[(143 + n)/145]

549
Recurrence

Generating function- 4x^2*(1 + 19x + 99x^2 + 316x^3 + 642x^4 + 1417x^5 +2688x^6 + 4663x^7 + 7560x^8 + 10808x^9 +16372x^10 +23239x^11 + 31669x^12 + 41982x^13 + 51958x^14 +67488x^15 +84464x^16+ 102479x^17 + 122991x^18 + 140935x^19 +168863x^20 + 197805x^21 + 225271x^22 + 256277x^23 +281433x^24 + 322710x^25 + 364524x^26 + 400460x^27 +441753x^28 + 472889x^29 +527638x^30 + 581999x^31 +623680x^32 + 672795x^33 + 706419x^34 + 771531x^35 +834988x^36 + 876962x^37 + 929161x^38 + 960561x^39 +1031771x^40 + 1100701x^41 + 1138940x^42+1191440x^43 +1218480x^44 + 1294246x^45 + 1367698x^46 +1401440x^47 +1453938x^48 + 1476480x^49 + 1556742x^50 +1634700x^51 +1663942x^52 + 1716434x^53 + 1734480x^54+1819240x^55 +1901700x^56 + 1926446x^57 + 1978936x^58 +1992480x^59 +2081740x^60 + 2168700x^61 + 2188944x^62 +2241440x^63 +2250480x^64 + 2344236x^65 + 2435700x^66+2451440x^67 +2503940x^68 + 2508484x^69 + 2606734x^70 +2702700x^71 +2713940x^72 + 2766440x^73 + 2766486x^74 +2869238x^75 +2969700x^76 + 2976438x^77 + 3028940x^78+3024482x^79 +3131740x^80 + 3236702x^81 + 3238934x^82 +3291440x^83 +3282480x^84 + 3394240x^85 + 3503706x^86 +3501436x^87 +3553940x^88 + 3540480x^89 + 3656740x^90+3770704x^91 +3763940x^92 + 3816440x^93 + 3798476x^94 +3919240x^95 +4037700x^96 + 4026440x^97 + 4078944x^98 +4056474x^99 +4181740x^100 + 4304700x^101 + 4288940x^102+4341446x^103 +4314478x^104 + 4444240x^105 + 4571698x^106 +4551440x^107 +4603942x^108 + 4572480x^109 + 4706742x^110 +4838694x^111 +4813940x^112 + 4866440x^113 +
4830480x^114 +4969246x^115 +5105696x^116 + 5076440x^117 + 5128940x^118 +5088480x^119 +5231744x^120 + 5372700x^121 + 5338940x^122 +5391436x^123 +5346480x^124 +5494240x^125 + 5639700x^126 +5601444x^127 +5653934x^128 + 5604480x^129 + 5756740x^130 +5906700x^131 +5863946x^132 + 5916438x^133 + 5862480x^134 +6019238x^135+6173700x^136 + 6126442x^137 + 6178940x^138 +6120482x^139 +6281734x^140 + 6440700x^141 + 6388940x^142 +6441440x^143 +6378394x^144 + 6544230x^145 + 6707658x^146+6651238x^147 +6703304x^148 + 6635196x^149 + 6803902x^150 +6969412x^151 +6904610x^152 + 6951320x^153 + 6872956x^154 +7036500x^155 +7195230x^156 + 7113100x^157 +7144980x^158 +7048568x^159 +7196768x^160 + 7339690x^161 + 7233980x^162 +7245458x^163 +7128608x^164 + 7256514x^165 + 7380092x^166 +7250898x^167 +7241388x^168 +7105700x^169 + 7211324x^170 +7313656x^171 +7163024x^172 + 7132944x^173 + 6980702x^174 +7063968x^175 +7145614x^176 + 6979080x^177 + 6933354x^178 +6771550x^179+6838674x^180 + 6906716x^181 + 6735012x^182 +6683114x^183 +6521354x^184 + 6580698x^185 + 6642380x^186 +6473560x^187 +6421060x^188 + 6263520x^189 + 6318254x^190+6375302x^191 +6211060x^192 + 6158562x^193 + 6005520x^194 +6055758x^195 +6108300x^196 + 5948558x^197 + 5896066x^198 +5747520x^199 +5793260x^200 + 5841300x^201 +5686054x^202 +5633564x^203 +5489520x^204 + 5530760x^205 + 5574300x^206 +5423556x^207 +5371060x^208 + 5231520x^209 + 5268264x^210 +5307300x^211 +5161060x^212 +
5108560x^213 + 4973516x^214 +5005766x^215 +5040300x^216 + 4898560x^217 + 4846060x^218 +4715514x^219 +4743262x^220 + 4773300x^221 + 4636062x^222 +4583560x^223+4457518x^224 + 4480760x^225 + 4506298x^226 +4373566x^227 +4321060x^228 + 4199520x^229 + 4218260x^230 +4239294x^231 +4111064x^232 + 4058560x^233 + 3941520x^234+3955760x^235 +3972296x^236 + 3848560x^237 + 3796060x^238 +3683524x^239 +3693260x^240 + 3705300x^241 + 3586060x^242 +3533556x^243 +3425526x^244 + 3430760x^245 +
3438300x^246 +3323560x^247 +3271054x^248 + 3167522x^249 + 3168260x^250 +3171302x^251 +3061060x^252 + 3008558x^253 + 2909520x^254 +2905758x^255 +2904306x^256 +
2798560x^257 + 2746060x^258 +2651520x^259 +2643254x^260 + 2637304x^261 + 2536060x^262 +2483560x^263 +2393520x^264 + 2380756x^265 + 2370300x^266 +2273560x^267+2221064x^268 + 2135520x^269 + 2118260x^270 +2103300x^271 +2011056x^272 + 1958566x^273 + 1877520x^274 +1855760x^275 +1836300x^276 + 1748554x^277 + 1696062x^278+1619520x^279 +1593262x^280 + 1569300x^281 + 1486058x^282 +1433560x^283 +1361518x^284 + 1330766x^285 + 1302300x^286 +1223560x^287 +1171060x^288 + 1103516x^289 +
1068269x^290 +1035323x^291 +961163x^292 + 908880x^293 + 846162x^294 +807181x^295 +770990x^296 + 703227x^297 + 653620x^298 +598326x^299 +559628x^300 + 524531x^301 +467731x^302 +425538x^303 +381474x^304 + 348244x^305 + 318756x^306 +276041x^307 +244051x^308 + 212457x^309 + 187123x^310 +165103x^311 +136331x^312 + 114835x^313 +
94957x^314 +78466x^315 +64820x^316 + 49016x^317 + 37803x^318 + 28409x^319 +20894x^320 + 15297x^321 + 9740x^322 + 6351x^323 +3941x^324 + 2295x^325 + 1296x^326 + 526x^327+225x^328 +85x^329 + 31x^330 + 9x^331) / ((-1 + x)^7*(1 + x)* (1 - x + x^2 - x^3 + x^4)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^4* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)*(1 + x^5 + x^10 +x^15+x^20)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 +x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 +x^17 + x^18 +x^19 + x^20 + x^21 + x^22 + x^23 + x^24 + x^25
+x^26 + x^27 +x^28)^2*(1 - x + x^5 - x^6 + x^10 - x^11 + x^15 -x^16 + x^20 -x^21 + x^25 - x^26 + x^29 - x^31 + x^34 - x^36 +x^39 - x^41 +x^44 - x^46 + x^49 - x^51 + x^54 - x^56 +x^58 -x^61 + x^63 -x^66 + x^68 - x^71 + x^73 - x^76 + x^78 - x^81 +x^83 - x^86 +x^87 - x^91 + x^92 - x^96 + x^97 - x^101 + x^102 -x^106 +x^107 - x^111 + x^112)^2)550

Three [3,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 10200-((17822257*n)/3901500) + (68846273*n^2)/11704500-(431599*n^3)/195075 + (181046*n^4)/172125-(8*n^5)/25 + n^6/6 + (-(3216/17) + (160*n)/289)*[n/17] +(787812*[n/10])/2125 + 6*[n/8]-(416/135)*[n/6] + ((3424*n)/425-(116*n^2)/75 + (32*n^3)/25)*[n/5]-[n/4]-(2/135)*n^2*[n/3]-(22241357*[n/2])/114750 + (20312/289 +(48*n)/289)*[(1 + n)/17]-(214508*[(1 + n)/10])/2125-2*[(1 + n)/8]-(416/135)*[(1 + n)/6] + ((17546*n)/2125-(13*n^2)/5 + (24*n^3)/25)*[(1 + n)/5] + 7*[(1 + n)/4] + ((2*n)/27n^2/135)*[(1 + n)/3] + (-(28008/289) + (208*n)/289)*[(2 + n)/17] + (324163*[(2 + n)/10])/1275-2*[(2 + n)/8]-(259/135)*[(2 + n)/6] + ((8968*n)/2125-(202*n^2)/75 +(16*n^3)/25)*[(2 + n)/5] + (41904/289 + (96*n)/289)*[(3 + n)/17]-(1161799*[(3 + n)/10])/6375 + 6*[(3 + n)/8]-(157/135)*[(3 + n)/6] + ((8986*n)/2125-(137*n^2)/75 +(8*n^3)/25)*[(3 + n)/5] + (24/5)*[(4 + n)/25] + (-(4416/289) + (256*n)/289)*[(4 + n)/17] + (8/5)*[(4 + n)/15] + (1142674*[(4 + n)/10])/6375-8*[(5 + n)/25] + (-(67552/289) +(144*n)/289)*[(5 + n)/17]-(32/15)*[(5 + n)/15] + (1220762*[(5 + n)/10])/6375 + (16/5)*[(6 + n)/25] + (16376/289 + (32*n)/289)*[(6 + n)/17] + (8/15)*[(6 + n)/15] +(20731/255)*[(6 + n)/10] + (16/5)*[(7 + n)/25] + (-(40000/289) + (192*n)/289)*[(7 + n)/17] + (478141*[(7 + n)/10])/6375 + (37224/289 + (80*n)/289)*[(8 + n)/17]-(8/15)*[(8 +n)/15] + (32/5)*[(9 + n)/25] + (-(18784/289) + (240*n)/289)*[(9 + n)/17] + (32/15)*[(9 + n)/15]-(64/5)*[(10 + n)/25] + (-(69304/289) + (128*n)/289)*[(10 + n)/17]-(8/5)*[(10 +n)/15] + 8*[(11 + n)/25] + (3304/289 + (16*n)/289)*[(11 + n)/17] + (32/5)*[(12 + n)/25] + (-(42088/289) + (176*n)/289)*[(12 + n)/17]-(48/5)*[(13 + n)/25] + (24496/289 +(64*n)/289)*[(13 + n)/17] + (64/5)*[(14 + n)/25] + (-(22160/289) + (224*n)/289)*[(14 + n)/17]-(32/5)*[(15 + n)/25] + (-(80328/289) + (112*n)/289)*[(15 + n)/17]-(8/5)*[(16 +n)/25] + (48/5)*[(17 + n)/25] + 16*[(18 + n)/34]-(24/5)*[(18 + n)/25]-16*[(19 + n)/34] + 8*[(19 + n)/25]-(7680/17)*[(20 + n)/85] + 32*[(20 + n)/34]-(24/5)*[(20 + n)/25] +(120/17-(16*n)/17)*[(21 + n)/85]-32*[(21 + n)/34]-(8/5)*[(21 + n)/25] + (240/17)*[(22 + n)/85] + 24*[(22 + n)/34] + (64/5)*[(22 + n)/25] + (240/17)*[(23 + n)/85]-16*[(23 +n)/34]-(8/5)*[(23 + n)/25] + (240/17)*[(24 + n)/85] + 8*[(24 + n)/34]-(7440/17)*[(25 + n)/85] + (360/17-(16*n)/17)*[(26 + n)/85] + 8*[(26 + n)/34] + (480/17)*[(27 + n)/85]16*[(27 + n)/34] + (480/17)*[(28 + n)/85] + 24*[(28 + n)/34] + (480/17)*[(29 + n)/85]-32*[(29 + n)/34]-(7200/17)*[(30 + n)/85] + 32*[(30 + n)/34] + (600/17-(16*n)/17)*[(31 +n)/85]-16*[(31 + n)/34] + (720/17)*[(32 + n)/85] + 16*[(32 + n)/34] + (720/17)*[(33 + n)/85] + (720/17)*[(34 + n)/85]-(6960/17)*[(35 + n)/85] + (840/17-(16*n)/17)*[(36 +n)/85]-(6720/17)*[(37 + n)/85] + (1080/17-(16*n)/17)*[(38 + n)/85] + (1200/17)*[(39 + n)/85]-(6480/17)*[(40 + n)/85] + (1320/17-(16*n)/17)*[(41 + n)/85]-(6240/17)*[(42 +n)/85] + (1560/17-(16*n)/17)*[(43 + n)/85] + (1680/17)*[(44 + n)/85]-(6000/17)*[(45 + n)/85] + (1800/17-(16*n)/17)*[(46 + n)/85]-(5760/17)*[(47 + n)/85] + (120(16*n)/17)*[(48 + n)/85] + (2160/17)*[(49 + n)/85]-(5520/17)*[(50 + n)/85] + (2280/17-(16*n)/17)*[(51 + n)/85]-(5280/17)*[(52 + n)/85] + (2520/17-(16*n)/17)*[(53 + n)/85](5040/17)*[(54 + n)/85] + (-(4920/17)-(16*n)/17)*[(55 + n)/85] + (3000/17-(16*n)/17)*[(56 + n)/85]-(4560/17)*[(57 + n)/85] + (3240/17-(16*n)/17)*[(58 + n)/85]-(4320/17)*[(59+ n)/85] + (-(4200/17)-(16*n)/17)*[(60 + n)/85] + (3720/17-(16*n)/17)*[(61 + n)/85]-(3840/17)*[(62 + n)/85] + (3960/17-(16*n)/17)*[(63 + n)/85]-(3600/17)*[(64 + n)/85] + ((3480/17)-(16*n)/17)*[(65 + n)/85] + (4440/17-(16*n)/17)*[(66 + n)/85]-(3120/17)*[(67 + n)/85] + (4680/17-(16*n)/17)*[(68 + n)/85]-(2880/17)*[(69 + n)/85] + (-(2760/17)(16*n)/17)*[(70 + n)/85] + (-(2520/17)-(16*n)/17)*[(71 + n)/85] + (-(2280/17)-(16*n)/17)*[(72 + n)/85] + (5640/17-(16*n)/17)*[(73 + n)/85]-(1920/17)*[(74 + n)/85] + ((1800/17)-(16*n)/17)*[(75 + n)/85] + (-(1560/17)-(16*n)/17)*[(76 + n)/85] + (-(1320/17)-(16*n)/17)*[(77 + n)/85] + (6600/17-(16*n)/17)*[(78 + n)/85]-(960/17)*[(79 + n)/85] + ((840/17)-(16*n)/17)*[(80 + n)/85] + (-(600/17)-(16*n)/17)*[(81 + n)/85] + (-(360/17)-(16*n)/17)*[(82 + n)/85] + (7560/17-(16*n)/17)*[(83 + n)/85]

551

Recurrence

Generating function- 4x^2*(1 + 18x + 83x^2 + 270x^3 + 586x^4 + 1446x^5 +2580x^6 + 5242x^7 + 8349x^8 + 14046x^9 + 21830x^10 +32295x^11 + 49034x^12 + 65868x^13 + 94613x^14 +123507x^15 + 165967x^16 + 216031x^17 + 269474x^18 +346669x^19+417769x^20 + 522325x^21 + 626065x^22 + 743681x^23 +892982x^24 + 1027763x^25 + 1223278x^26 + 1397092x^27 +1606419x^28 + 1846802x^29 + 2066120x^30 +2379481x^31 + 2636042x^32 + 2965828x^33 + 3309756x^34+3634674x^35 +4085395x^36 + 4431561x^37 + 4904332x^38 +5350495x^39 + 5794798x^40 + 6383504x^41 + 6814819x^42 +7435468x^43 +7964896x^44 + 8529173x^45 + 9234993x^46 +9738811x^47 + 10493280x^48 + 11080162x^49 +
11753122x^50 +12547695x^51 + 13107770x^52 + 13974771x^53 +14593206x^54 + 15358911x^55 + 16212496x^56 +16811926x^57 +17765377x^58 + 18390626x^59 + 19227388x^60 +20110395x^61 + 20729128x^62 + 21740988x^63+22349628x^64 +23234714x^65 + 24122238x^66 + 24743488x^67 +25791586x^68 + 26369773x^69 + 27287108x^70 +28167917x^71 +28782379x^72 + 29858409x^73 + 30401278x^74 +31345931x^75 + 32217820x^76 + 32823389x^77+33926368x^78 +34433312x^79 + 35404891x^80 + 36267860x^81 +36864349x^82 + 37994402x^83 + 38465256x^84 +39463937x^85 +40317736x^86 + 40905275x^87 + 42061702x^88 +42496264x^89 + 43519801x^90 + 44362896x^91+44935623x^92 +46113918x^93 + 46500970x^94 + 47538439x^95 +48353104x^96 + 48889403x^97 + 50066590x^98 +50372124x^99 +51393873x^100 + 52135956x^101 + 52596251x^102 +53727524x^103 + 53899876x^104 +54864463x^105 +55473108x^106 +55817287x^107 + 56846998x^108 + 56839342x^109 +57703391x^110 + 58121290x^111 + 58316159x^112 +59189640x^113 +58963586x^114 + 59685867x^115 + 59858692x^116 +59879527x^117 +60538560x^118 + 60069960x^119 +60607509x^120 +60497066x^121 + 60329349x^122 + 60729576x^123 +60020510x^124 + 60346101x^125 + 59951038x^126 +59603559x^127 +59735562x^128 + 58823422x^129 + 58936591x^130+58297852x^131 + 57796745x^132 + 57687814x^133 +56625000x^134 +56547619x^135 + 55722540x^136 + 55099747x^137 +54792932x^138 + 53630804x^139 + 53395149x^140 +52442802x^141 +51732541x^142 + 51279568x^143 +
50068094x^144 +49717013x^145 + 48697180x^146 + 47938897x^147 +47396618x^148 +46181780x^149 + 45761717x^150 + 44723124x^151 +43951583x^152 + 43363056x^153 + 42173872x^154 +41715615x^155 +40682062x^156 +39914579x^157 + 39297602x^158 +38142722x^159 + 37657069x^160 + 36632180x^161 +35873611x^162 +35229632x^163 + 34110688x^164 + 33598109x^165 +32582140x^166 + 31832651x^167 + 31161598x^168 +30078724x^169+29539082x^170 + 28532186x^171 + 27791722x^172 +27093888x^173 + 26047310x^174 + 25481533x^175 +24484764x^176 +23755875x^177 + 23033993x^178 + 22028744x^179 +21442951x^180 + 20464441x^181 + 19758703x^182+19023462x^183 +18077343x^184 + 17485580x^185 + 16548137x^186 +15884658x^187 + 15159082x^188 + 14297375x^189 +13720848x^190 +12854487x^191 + 12253688x^192 + 11565301x^193 +10811676x^194 + 10271866x^195 +9505412x^196 +8983749x^197 +8360001x^198 + 7733532x^199 + 7251173x^200 +6611647x^201 + 6181651x^202 + 5651432x^203 +5164444x^204 +4760737x^205 + 4267539x^206 + 3936170x^207 +3521932x^208 + 3173175x^209 +2861881x^210 +2515638x^211 +2278462x^212 + 1985050x^213 + 1755622x^214 +1537236x^215 + 1317175x^216 + 1161424x^217 + 974906x^218 +838858x^219 + 702219x^220 + 579845x^221 +489403x^222 + 388377x^223 +319910x^224 + 249000x^225 +194642x^226 +152573x^227 + 110975x^228 + 85360x^229 +58459x^230 + 42585x^231 + 28755x^232 + 18634x^233 +12332x^234 +6829x^235 + 4398x^236 + 2149x^237 + 1198x^238 +495x^239 + 197x^240+ 81x^241 + 22x^242 + 9x^243) / ((-1 + x)^7*(1 + x)*(1 + x^2)*(1 - x +x^2)*(1 + x + x^2)^3*(1 + x^4)*(1 - x + x^2 - x^3 +x^4)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^4* (1 - x + x^3 - x^4 + x^5 - x^7 + x^8)*(1 - x + x^2 - x^3 +x^4 - x^5 + x^6 x^7 + x^8 - x^9 + x^10 - x^11 + x^12 -x^13 +x^14 - x^15 +x^16)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 +x^9 + x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 +x^16)^2*(1 + x^5 + x^10 + x^15 +x^20)*(1 - x + x^5 - x^6 + x^10
- x^11 + x^15 - x^16 + x^17 -x^18 + x^20 - x^21 +x^22 - x^23 + x^25 - x^26 + x^27 - x^28 + x^30 -x^31 + x^32 - x^33 + x^34 - x^36 + x^37 - x^38 + x^39 -x^41 + x^42 -x^43 + x^44 - x^46 + x^47 - x^48 + x^49 - x^53 +x^54 - x^58 +x^59 - x^63 + x^64)^2)552

Three [4,5] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 73800-((10612048451*n)/1452384000) + (1599380411*n^2)/181548000-(14618761*n^3)/5379200 + (47513153*n^4)/35424000-(22*n^5)/75 + n^6/6 + (9120/41 + (64*n)/1681)*[n/41] + (3989788*[n/10] )/5125 + (8/3)*[n/9]-(5/2)*[n/8] + ((4096*n)/1025-(4*n^2)/5 + (16*n^3)/25)*[n/5] + (-(67/80)-(3*n)/16-(9*n^2)/160)*[n/4] + (152/27)*[n/3] + (-(666298711/656000) + (3*n)/16-(9*n^2)/320)*[n/2] + (789952/1681 + (128*n)/1681)*[(1 +n)/41] -(2609092*[(1 + n)/10] )/5125 + 8*[(1 + n)/9] -(5/2)*[(1 + n)/8] + ((18804*n)/5125-(63*n^2)/25 + (12*n^3)/25)*[(1 + n)/5] + (-(67/80) + (3*n)/16-(9*n^2)/160)*[(1 + n)/4] + (4/27)*[(1 + n)/3] + (1221528/1681 +(192*n)/1681)*[(2 + n)/41] + (249521*[(2 + n)/10] )/1025 + (8/3)*[(2 + n)/9] -(5/2)*[(2 + n)/8] + ((14832*n)/5125-(74*n^2)/25 + (8*n^3)/25)*[(2 + n)/5] + (1642080/1681 + (256*n)/1681)*[(3 + n)/41] -(5216037*[(3 +n)/10] )/5125-(20/3)*[(3 + n)/9] -(5/2)*[(3 + n)/8] + ((8564*n)/5125-(53*n^2)/25 + (4*n^3)/25)*[(3 + n)/5] + (-(74160/1681) + (320*n)/1681)*[(4 + n)/41] + (64/5)*[(4 + n)/25] + (5204762*[(4 + n)/10] )/5125 + 4*[(4 +n)/9] + (311552/1681 + (56*n)/1681)*[(5 + n)/41] -(8/5)*[(5 + n)/25] -(1210874*[(5 + n)/10] )/5125 + (28/3)*[(5 + n)/9] + (740688/1681 + (120*n)/1681)*[(6 + n)/41] -(48/5)*[(6 + n)/25] + (520569*[(6 + n)/10] )/1025+ (1173560/1681 + (184*n)/1681)*[(7 + n)/41] -(24/5)*[(7 + n)/25] -(3944857*[(7 + n)/10] )/5125 + (1583600/1681 + (248*n)/1681)*[(8 + n)/41] + (64/5)*[(8 + n)/25] + (-(154960/1681) + (312*n)/1681)*[(9 + n)/41] +16*[(9 + n)/25] + (12/5)*[(9 + n)/20] + (250416/1681 + (48*n)/1681)*[(10 + n)/41] -(48/5)*[(10 + n)/25] -(12/5)*[(10 + n)/20] + (687408/1681 + (112*n)/1681)*[(11 + n)/41] -(72/5)*[(11 + n)/25] + (1116328/1681 +(176*n)/1681)*[(12 + n)/41] + (32/5)*[(12 + n)/25] + (1510608/1681 + (240*n)/1681)*[(13 + n)/41] + (104/5)*[(13 + n)/25] + (4/5)*[(13 + n)/20] + (-(215176/1681) + (304*n)/1681)*[(14 + n)/41] + (48/5)*[(14 + n)/25]-(4/5)*[(14 + n)/20] + (204616/1681 + (40*n)/1681)*[(15 + n)/41] -16*[(15 + n)/25] -(4/5)*[(15 + n)/20] + (644216/1681 + (104*n)/1681)*[(16 + n)/41] -(32/5)*[(16 + n)/25] + (4/5)*[(16 + n)/20] + (1063936/1681 +(168*n)/1681)*[(17 + n)/41] + (88/5)*[(17 + n)/25] + (1437208/1681 + (232*n)/1681)*[(18 + n)/41] + 16*[(18 + n)/25] + (-(267600/1681) + (296*n)/1681)*[(19 + n)/41] + (8/5)*[(19 + n)/25] + (161360/1681 +(32*n)/1681)*[(20 + n)/41] -(64/5)*[(20 + n)/25] + (598320/1681 + (96*n)/1681)*[(21 + n)/41] + (32/5)*[(21 + n)/25] + (1003592/1681 + (160*n)/1681)*[(22 + n)/41] + (64/5)*[(22 + n)/25] + (1377504/1681 +(224*n)/1681)*[(23 + n)/41] + (32/5)*[(23 + n)/25] + (-(311576/1681) + (288*n)/1681)*[(24 + n)/41] + (121304/1681 + (24*n)/1681)*[(25 + n)/41] + (550376/1681 + (88*n)/1681)*[(26 + n)/41] + (935952/1681 +(152*n)/1681)*[(27 + n)/41] + (1332152/1681 + (216*n)/1681)*[(28 + n)/41] + (-(346448/1681) + (280*n)/1681)*[(29 + n)/41] + (85104/1681 + (16*n)/1681)*[(30 + n)/41] + (501040/1681 + (80*n)/1681)*[(31 + n)/41]+ (875120/1681 + (144*n)/1681)*[(32 + n)/41] + (1288360/1681 + (208*n)/1681)*[(33 + n)/41] + (-(385008/1681) + (272*n)/1681)*[(34 + n)/41] + (39968/1681 + (8*n)/1681)*[(35 + n)/41] + (437520/1681 +(72*n)/1681)*[(36 + n)/41] + (835200/1681 + (136*n)/1681)*[(37 + n)/41] + (1260232/1681 + (200*n)/1681)*[(38 + n)/41] + (-(413152/1681) + (264*n)/1681)*[(39 + n)/41] -(51200/41)*[(44 + n)/205] + (320/41(8*n)/41)*[(45 + n)/205] + (640/41)*[(46 + n)/205] + (640/41)*[(47 + n)/205] + (640/41)*[(48 + n)/205] -(50560/41)*[(49 + n)/205] + (960/41-(8*n)/41)*[(50 + n)/205] + (1280/41)*[(51 + n)/205] + (1280/41)*[(52 +n)/205] + (1280/41)*[(53 + n)/205] -(49920/41)*[(54 + n)/205] + (1600/41-(8*n)/41)*[(55 + n)/205] + (1920/41)*[(56 + n)/205] + (1920/41)*[(57 + n)/205] + (1920/41)*[(58 + n)/205] -(49280/41)*[(59 + n)/205] +(2240/41-(8*n)/41)*[(60 + n)/205] + (2560/41)*[(61 + n)/205] + (2560/41)*[(62 + n)/205] + (2560/41)*[(63 + n)/205] -(48640/41)*[(64 + n)/205] + (2880/41-(8*n)/41)*[(65 + n)/205] + (3200/41)*[(66 + n)/205] +(3200/41)*[(67 + n)/205] + (3200/41)*[(68 + n)/205] -(48000/41)*[(69 + n)/205] + (3520/41-(8*n)/41)*[(70 + n)/205] + (3840/41)*[(71 + n)/205] + (3840/41)*[(72 + n)/205] + (3840/41)*[(73 + n)/205] -(47360/41)*[(74+ n)/205] + (4160/41-(8*n)/41)*[(75 + n)/205] + (4480/41)*[(76 + n)/205] + (4480/41)*[(77 + n)/205] + (4480/41)*[(78 + n)/205] -(46720/41)*[(79 + n)/205] + (4800/41-(8*n)/41)*[(80 + n)/205] + (5120/41)*[(81 +n)/205] + (5120/41)*[(82 + n)/205] + (5120/41)*[(83 + n)/205] -(46080/41)*[(84 + n)/205] + (-(45760/41)-(8*n)/41)*[(85 + n)/205] + (6080/41-(8*n)/41)*[(86 + n)/205] + (6400/41)*[(87 + n)/205] + (6400/41)*[(88 +n)/205] -(44800/41)*[(89 + n)/205] + (-(44480/41)-(8*n)/41)*[(90 + n)/205] + (7360/41-(8*n)/41)*[(91 + n)/205] + (7680/41)*[(92 + n)/205] + (7680/41)*[(93 + n)/205] -(43520/41)*[(94 + n)/205] + (-(43200/41)(8*n)/41)*[(95 + n)/205] + (8640/41-(8*n)/41)*[(96 + n)/205] + (8960/41)*[(97 + n)/205] + (8960/41)*[(98 + n)/205] -(42240/41)*[(99 + n)/205] + (-(41920/41)-(8*n)/41)*[(100 + n)/205] + (9920/41-(8*n)/41)*[(101 +n)/205] + (10240/41)*[(102 + n)/205] + (10240/41)*[(103 + n)/205] -(40960/41)*[(104 + n)/205] + (-(40640/41)-(8*n)/41)*[(105 + n)/205] + (11200/41-(8*n)/41)*[(106 + n)/205] + (11520/41)*[(107 + n)/205] +(11520/41)*[(108 + n)/205] -(39680/41)*[(109 + n)/205] + (-960-(8*n)/41)*[(110 + n)/205] + (12480/41-(8*n)/41)*[(111 + n)/205] + (12800/41)*[(112 + n)/205] + (12800/41)*[(113 + n)/205] -(38400/41)*[(114 +n)/205] + (-(38080/41)-(8*n)/41)*[(115 + n)/205] + (13760/41-(8*n)/41)*[(116 + n)/205] + (14080/41)*[(117 + n)/205] + (14080/41)*[(118 + n)/205] -(37120/41)*[(119 + n)/205] + (-(36800/41)-(8*n)/41)*[(120 +n)/205] + (15040/41-(8*n)/41)*[(121 + n)/205] + (15360/41)*[(122 + n)/205] + (15360/41)*[(123 + n)/205] -(35840/41)*[(124 + n)/205] + (-(35520/41)-(8*n)/41)*[(125 + n)/205] + (-(34880/41)-(8*n)/41)*[(126 +n)/205] + (16960/41-(8*n)/41)*[(127 + n)/205] + (17280/41)*[(128 + n)/205] -(33920/41)*[(129 + n)/205] + (-(33600/41)-(8*n)/41)*[(130 + n)/205] + (-(32960/41)-(8*n)/41)*[(131 + n)/205] + (18880/41(8*n)/41)*[(132 + n)/205] + (19200/41)*[(133 + n)/205] -(32000/41)*[(134 + n)/205] + (-(31680/41)-(8*n)/41)*[(135 + n)/205] + (-(31040/41)-(8*n)/41)*[(136 + n)/205] + (20800/41-(8*n)/41)*[(137 + n)/205] +(21120/41)*[(138 + n)/205] -(30080/41)*[(139 + n)/205] + (-(29760/41)-(8*n)/41)*[(140 + n)/205] + (-(29120/41)-(8*n)/41)*[(141 + n)/205] + (22720/41-(8*n)/41)*[(142 + n)/205] + (23040/41)*[(143 + n)/205] (28160/41)*[(144 + n)/205] + (-(27840/41)-(8*n)/41)*[(145 + n)/205] + (-(27200/41)-(8*n)/41)*[(146 + n)/205] + (24640/41-(8*n)/41)*[(147 + n)/205] + (24960/41)*[(148 + n)/205] -640*[(149 + n)/205] + (-(25920/41)(8*n)/41)*[(150 + n)/205] + (-(25280/41)-(8*n)/41)*[(151 + n)/205] + (26560/41-(8*n)/41)*[(152 + n)/205] + (26880/41)*[(153 + n)/205] -(24320/41)*[(154 + n)/205] + (-(24000/41)-(8*n)/41)*[(155 + n)/205] + ((23360/41)-(8*n)/41)*[(156 + n)/205] + (28480/41-(8*n)/41)*[(157 + n)/205] + (28800/41)*[(158 + n)/205] -(22400/41)*[(159 + n)/205] + (-(22080/41)-(8*n)/41)*[(160 + n)/205] + (-(21440/41)-(8*n)/41)*[(161 +n)/205] + (30400/41-(8*n)/41)*[(162 + n)/205] + (30720/41)*[(163 + n)/205] -(20480/41)*[(164 + n)/205] + (-(20160/41)-(8*n)/41)*[(165 + n)/205] + (-(19520/41)-(8*n)/41)*[(166 + n)/205] + (-(18880/41)(8*n)/41)*[(167 + n)/205] + (32960/41-(8*n)/41)*[(168 + n)/205] -(17920/41)*[(169 + n)/205] + (-(17600/41)-(8*n)/41)*[(170 + n)/205] + (-(16960/41)-(8*n)/41)*[(171 + n)/205] + (-(16320/41)-(8*n)/41)*[(172 +n)/205] + (35520/41-(8*n)/41)*[(173 + n)/205] -(15360/41)*[(174 + n)/205] + (-(15040/41)-(8*n)/41)*[(175 + n)/205] + (-(14400/41)-(8*n)/41)*[(176 + n)/205] + (-(13760/41)-(8*n)/41)*[(177 + n)/205] + (38080/41(8*n)/41)*[(178 + n)/205] -(12800/41)*[(179 + n)/205] + (-(12480/41)-(8*n)/41)*[(180 + n)/205] + (-(11840/41)-(8*n)/41)*[(181 + n)/205] + (-(11200/41)-(8*n)/41)*[(182 + n)/205] + (40640/41-(8*n)/41)*[(183 +n)/205] -(10240/41)*[(184 + n)/205] + (-(9920/41)-(8*n)/41)*[(185 + n)/205] + (-(9280/41)-(8*n)/41)*[(186 + n)/205] + (-(8640/41)-(8*n)/41)*[(187 + n)/205] + (43200/41-(8*n)/41)*[(188 + n)/205] -(7680/41)*[(189 +n)/205] + (-(7360/41)-(8*n)/41)*[(190 + n)/205] + (-(6720/41)-(8*n)/41)*[(191 + n)/205] + (-(6080/41)-(8*n)/41)*[(192 + n)/205] + (45760/41-(8*n)/41)*[(193 + n)/205] -(5120/41)*[(194 + n)/205] + (-(4800/41)(8*n)/41)*[(195 + n)/205] + (-(4160/41)-(8*n)/41)*[(196 + n)/205] + (-(3520/41)-(8*n)/41)*[(197 + n)/205] + (48320/41-(8*n)/41)*[(198 + n)/205] -(2560/41)*[(199 + n)/205] + (-(2240/41)-(8*n)/41)*[(200 + n)/205] +(-(1600/41)-(8*n)/41)*[(201 + n)/205] + (-(960/41)-(8*n)/41)*[(202 + n)/205] + (50880/41-(8*n)/41)*[(203 + n)/205]

553
Recurrence

Generating function- 4 x^2 * (1 + 21 x + 140 x^2 + 575 x^3 + 1717 x^4 + 4307 x^5 + 9541 x^6 + 19195 x^7 + 35812 x^8 + 62392 x^9 + 103086 x^10 + 162833 x^11 + 247432 x^12 + 363813 x^13 + 518257 x^14 + 718774 x^15 + 973311 x^16 + 1290357 x^17 +
1679592 x^18 + 2147306 x^19 + 2703140 x^20 + 3355307 x^21 + 4112881 x^22 + 4986952 x^23 + 5980790 x^24 + 7104564 x^25 + 8364447 x^26 + 9768542 x^27 + 11327895 x^28 + 13038411 x^29 + 14908222 x^30 + 16936809 x^31 +19128089 x^32 + 21490214 x^33 + 24006688 x^34 + 26681665 x^35 + 29504712 x^36 + 32475608 x^37 + 35600803 x^38 + 38851404 x^39 + 42230839 x^40 + 45720392 x^41 + 49320398 x^42 + 53040279 x^43 + 56841605 x^44 +
60731451 x^45 + 64684404 x^46 + 68704952 x^47 + 72808165 x^48 + 76947367 x^49 + 81135604 x^50 + 85341251 x^51 + 89575629 x^52 + 93861897 x^53 + 98147279 x^54 + 102453822 x^55 + 106745381 x^56 + 111042911 x^57 +
115379591 x^58 + 119697575 x^59 + 124028374 x^60 + 128330190 x^61 + 132632425 x^62 + 136976239 x^63 + 141296232 x^64 + 145630882 x^65 + 149930034 x^66 + 154229384 x^67 + 158576232 x^68 + 162896234 x^69 + 167233888
x^70 + 171530040 x^71 + 175826390 x^72 + 180176240 x^73 + 184496242 x^74 + 188836896 x^75 + 193130048 x^76 + 197423396 x^77 + 201776246 x^78 + 206096248 x^79 + 210439898 x^80 + 214730048 x^81 + 219020396 x^82 +
223376246 x^83 + 227696248 x^84 + 232042898 x^85 + 236330046 x^86 + 240617396 x^87 + 244976248 x^88 + 249296248 x^89 + 253645896 x^90 + 257930042 x^91 + 262214390 x^92 + 266576240 x^93 + 270896238 x^94 + 275248884
x^95 + 279530032 x^96 + 283811382 x^97 + 288176234 x^98 + 292496234 x^99 + 296851882 x^100 + 301130032 x^101 + 305408384 x^102 + 309776234 x^103 + 314096232 x^104 + 318454882 x^105 + 322730032 x^106 + 327005384
x^107 + 331376234 x^108 + 335696232 x^109 + 340057884 x^110 + 344330038 x^111 + 348602390 x^112 + 352976240 x^113 + 357296240 x^114 + 361660892 x^115 + 365930046 x^116 + 370199398 x^117 + 374576246 x^118 +378896246 x^119 + 383263898 x^120 + 387530048 x^121 + 391796398 x^122 + 396176246 x^123 + 400496246 x^124 + 404866898 x^125 + 409130048 x^126 + 413393396 x^127 + 417776246 x^128 + 422096248 x^129 + 426469898
x^130 + 430730046 x^131 + 434990392 x^132 + 439376240 x^133 + 443696240 x^134 + 448072888 x^135 + 452330034 x^136 + 456587382 x^137 + 460976232 x^138 + 465296234 x^139 + 469675884 x^140 + 473930032 x^141 +478184382 x^142 + 482576234 x^143 + 486896234 x^144 + 491278882 x^145 + 495530032 x^146 + 499781382 x^147 + 504176234 x^148 + 508496234 x^149 + 512881882 x^150 + 517130034 x^151 + 521378388 x^152 + 525776240 x^153+ 530096240 x^154 + 534484890 x^155 + 538730042 x^156 + 542975396 x^157 + 547376248 x^158 + 551696246 x^159 + 556087896 x^160 + 560330048 x^161 + 564572398 x^162 + 568976248 x^163 + 573296246 x^164 + 577690896
x^165 + 581930048 x^166 + 586169398 x^167 + 590576246 x^168 + 594896246 x^169 + 599293898 x^170 + 603530048 x^171 + 607766396 x^172 + 612176242 x^173 + 616496240 x^174 + 620896890 x^175 + 625130038 x^176 +629363384 x^177 + 633776232 x^178 + 638096232 x^179 + 642499884 x^180 + 646730034 x^181 + 650960382 x^182 + 655376232 x^183 + 659696234 x^184 + 664102884 x^185 + 668330032 x^186 + 672557382 x^187 + 676976232
x^188 + 681296234 x^189 + 685705884 x^190 + 689930032 x^191 + 694154384 x^192 + 698576238 x^193 + 702896240 x^194 + 707308890 x^195 + 711530040 x^196 + 715751392 x^197 + 720176246 x^198 + 724496248 x^199 +728911896 x^200 + 733130046 x^201 + 737348398 x^202 + 741776248 x^203 + 746096236 x^204 + 750514866 x^205 + 754729956 x^206 + 758945046 x^207 + 763375010 x^208 + 767692708 x^209 + 772109162 x^210 + 776310830
x^211 + 780503868 x^212 + 784904494 x^213 + 789171350 x^214 + 793514638 x^215 + 797604318 x^216 + 801644484 x^217 + 805848584 x^218 + 809859710 x^219 + 813886342 x^220 + 817583424 x^221 + 821155682 x^222 +824817056 x^223 + 828201632 x^224 + 831520632 x^225 + 834419468 x^226 + 837107692 x^227 + 839802416 x^228 + 842134768 x^229 + 844320904 x^230 + 846001324 x^231 + 847393510 x^232 + 848720660 x^233 + 849619628 x^234+ 850316646 x^235 + 850456614 x^236 + 850271392 x^237 + 849995966 x^238 + 849282986 x^239 + 848372640 x^240 + 846920666 x^241 + 845173208 x^242 + 843374658 x^243 + 841193448 x^244 + 838877212 x^245 + 836089250
x^246 + 833080588 x^247 + 830095682 x^248 + 826813026 x^249 + 823478966 x^250 + 819761190 x^251 + 815908422 x^252 + 812159830 x^253 + 808201408 x^254 + 804273564 x^255 + 800047402 x^256 + 795763992 x^257 +
791652316 x^258 + 787401568 x^259 + 783240158 x^260 + 778839214 x^261 + 774426522 x^262 + 770217028 x^263 + 765901074 x^264 + 761694142 x^265 + 757269666 x^266 + 752844546 x^267 + 748623762 x^268 + 744303768
x^269 + 740092118 x^270 + 735669966 x^271 + 731247616 x^272 + 727023768 x^273 + 722703766 x^274 + 718489112 x^275 + 714069960 x^276 + 709650610 x^277 + 705423760 x^278 + 701103758 x^279 + 696886104 x^280 +
692469952 x^281 + 688053604 x^282 + 683823754 x^283 + 679503752 x^284 + 675283102 x^285 + 670869952 x^286 + 666456604 x^287 + 662223754 x^288 + 657903752 x^289 + 653680102 x^290 + 649269954 x^291 + 644859604
x^292 + 640623752 x^293 + 636303752 x^294 + 632077104 x^295 + 627669958 x^296 + 623262610 x^297 + 619023760 x^298 + 614703762 x^299 + 610474116 x^300 + 606069968 x^301 + 601665618 x^302 + 597423766 x^303 +
593103766 x^304 + 588871118 x^305 + 584469968 x^306 + 580068616 x^307 + 575823766 x^308 + 571503768 x^309 + 567268118 x^310 + 562869968 x^311 + 558471616 x^312 + 554223766 x^313 + 549903768 x^314 + 545665116 x^315+ 541269962 x^316 + 536874610 x^317 + 532623760 x^318 + 528303760 x^319 + 524062108 x^320 + 519669954 x^321 + 515277602 x^322 + 511023754 x^323 + 506703754 x^324 + 502459102 x^325 + 498069952 x^326 + 493680602
x^327 + 489423754 x^328 + 485103754 x^329 + 480856102 x^330 + 476469952 x^331 + 472083604 x^332 + 467823754 x^333 + 463503752 x^334 + 459253102 x^335 + 454869954 x^336 + 450486608 x^337 + 446223760 x^338 +
441903760 x^339 + 437650112 x^340 + 433269966 x^341 + 428889618 x^342 + 424623768 x^343 + 420303766 x^344 + 416047116 x^345 + 411669968 x^346 + 407292618 x^347 + 403023766 x^348 + 398703766 x^349 + 394444118
x^350 + 390069968 x^351 + 385695618 x^352 + 381423766 x^353 + 377103766 x^354 + 372841118 x^355 + 368469966 x^356 + 364098612 x^357 + 359823760 x^358 + 355503760 x^359 + 351238110 x^360 + 346869958 x^361 +
342501604 x^362 + 338223752 x^363 + 333903754 x^364 + 329635104 x^365 + 325269952 x^366 + 320904602 x^367 + 316623752 x^368 + 312303754 x^369 + 308032104 x^370 + 303669952 x^371 + 299307602 x^372 + 295023754
x^373 + 290703754 x^374 + 286429102 x^375 + 282069952 x^376 + 277710604 x^377 + 273423758 x^378 + 269103760 x^379 + 264826110 x^380 + 260469962 x^381 + 256113616 x^382 + 251823768 x^383 + 247503768 x^384 +
243223116 x^385 + 238869966 x^386 + 234516618 x^387 + 230223768 x^388 + 225903766 x^389 + 221620116 x^390 + 217269968 x^391 + 212919618 x^392 + 208623768 x^393 + 204303766 x^394 + 200017116 x^395 + 195669968 x^396+ 191322616 x^397 + 187023762 x^398 + 182703760 x^399 + 178414110 x^400 + 174069960 x^401 + 169725608 x^402 + 165423754 x^403 + 161103752 x^404 + 156811104 x^405 + 152469954 x^406 + 148128602 x^407 + 143823752
x^408 + 139503754 x^409 + 135208113 x^410 + 130869993 x^411 + 126531774 x^412 + 122224375 x^413 + 117905535 x^414 + 113609491 x^415 + 109279589 x^416 + 104953907 x^417 + 100659684 x^418 + 96366268 x^419 +
92105306 x^420 + 87832889 x^421 + 83585124 x^422 + 79387643 x^423 + 75222073 x^424 + 71117924 x^425 + 67043295 x^426 + 63030981 x^427 + 59103362 x^428 + 55251072 x^429 + 51499248 x^430 + 47825255 x^431 + 44256467
x^432 + 40810672 x^433 + 37484492 x^434 + 34297592 x^435 + 31234299 x^436 + 28315018 x^437 + 25551495 x^438 + 22941991 x^439 + 20498142 x^440 + 18206577 x^441 + 16077509 x^442 + 14113790 x^443 + 12310276 x^444 +10668625 x^445 + 9174552 x^446 + 7828124 x^447 + 6624489 x^448 + 5555108 x^449 + 4614909 x^450 + 3790328 x^451 + 3075994 x^452 + 2464029 x^453 + 1945359 x^454 + 1512563 x^455 + 1154376 x^456 + 863586 x^457 + 631965
x^458 + 451185 x^459 + 313792 x^460 + 211307 x^461 + 137349 x^462 + 85777 x^463 + 51163 x^464 + 29050 x^465 + 15445 x^466 + 7607 x^467 + 3421 x^468 + 1391 x^469 + 524 x^470 + 174 x^471 + 49 x^472 + 9 x^473) / ((-1 + x)^7
(1 + x)^3 (1 + x^2)^3 (1 + x + x^2) (1 + x^4) (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^4 (1 + x^3 + x^6) (1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8) (1 + x^5 + x^10 + x^15 + x^20) (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 +x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 + x^17 + x^18 + x^19 + x^20 + x^21 + x^22 + x^23 + x^24 + x^25 + x^26 + x^27 + x^28 + x^29 + x^30 + x^31 + x^32 + x^33 + x^34 + x^35 + x^36 + x^37 + x^38 + x^39 + x^40)^2(1 - x + x^5 - x^6 + x^10 - x^11 + x^15 - x^16 + x^20 - x^21 + x^25 - x^26 + x^30 - x^31 + x^35 - x^36 + x^40 - x^42 + x^45 - x^47 + x^50 - x^52 + x^55 - x^57 + x^60 - x^62 + x^65 - x^67 + x^70 - x^72 + x^75 - x^77 + x^80 - x^83 +x^85 - x^88 + x^90 - x^93 + x^95 - x^98 + x^100 - x^103 + x^105 - x^108 + x^110 - x^113 + x^115 - x^118 + x^120 - x^124 + x^125 - x^129 + x^130 - x^134 + x^135 - x^139 + x^140 - x^144 + x^145 - x^149 + x^150 - x^154 + x^155- x^159 + x^160)^2)554

Three [1,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 9324
(37948709*n)/8279712-(1064411*n^2)/258741-(364075*n^3)/591408 + (21947*n^4)/74592-(17*n^5)/54 + n^6/6 + (1968/37 + (1200*n)/1369)*[n/37] + 8*[n/9] + (120/7)*[n/7] + (79043/999 + (4567*n)/333(113*n^2)/54 + (20*n^3)/9)*[n/6] + (23/2)*[n/4] + (-(2945263/15984) + (2483*n)/333-(233*n^2)/216 + (5*n^3)/9)*[n/2] + (44136/1369 + (2400*n)/1369)*[(1 + n)/37] + 8*[(1 + n)/12] + 20*[(1 + n)/7] + (-(2569/27) +(6713*n)/333-(161*n^2)/54 + (20*n^3)/9)*[(1 + n)/6] + (23/2)*[(1 + n)/4] + (159048/1369 + (3600*n)/1369)*[(2 + n)/37] + 27*[(2 + n)/12] + 16*[(2 + n)/7] + (25411/3996 + (6713*n)/666-(161*n^2)/108 +(10*n^3)/9)*[(2 + n)/6] + (151152/1369 + (4800*n)/1369)*[(3 + n)/37] + 11*[(3 + n)/12] + (60/7)*[(3 + n)/7] + (-(563051/3996) + (2953*n)/222-(209*n^2)/108 + (10*n^3)/9)*[(3 + n)/6] + (265536/1369 +(6000*n)/1369)*[(4 + n)/37]-32*[(4 + n)/12] + (8/7)*[(4 + n)/7] + (-(19944/1369) + (7200*n)/1369)*[(5 + n)/37]-(56/3)*[(5 + n)/9]-(20/7)*[(5 + n)/7] + (54840/1369 + (1000*n)/1369)*[(6 + n)/37] + (22504/1369 +(2200*n)/1369)*[(7 + n)/37] + (40/3)*[(7 + n)/18] + (135536/1369 + (3400*n)/1369)*[(8 + n)/37] + (56/3)*[(8 + n)/18] + (127536/1369 + (4600*n)/1369)*[(9 + n)/37] + (243592/1369 + (5800*n)/1369)*[(10 + n)/37](32/3)*[(10 + n)/18] + (-(38440/1369) + (7000*n)/1369)*[(11 + n)/37] + (41568/1369 + (800*n)/1369)*[(12 + n)/37]-(40/3)*[(12 + n)/18] + (5280/1369 + (2000*n)/1369)*[(13 + n)/37]-(64/3)*[(13 + n)/18] +(116136/1369 + (3200*n)/1369)*[(14 + n)/37] + (40/3)*[(14 + n)/18] + (107736/1369 + (4400*n)/1369)*[(15 + n)/37] + (32/3)*[(15 + n)/18] + (225168/1369 + (5600*n)/1369)*[(16 + n)/37] + (56/3)*[(16 + n)/18] + ((53712/1369) + (6800*n)/1369)*[(17 + n)/37] + (31224/1369 + (600*n)/1369)*[(18 + n)/37] + (-(9312/1369) + (1800*n)/1369)*[(19 + n)/37] + (99072/1369 + (3000*n)/1369)*[(20 + n)/37] + (89976/1369 +(4200*n)/1369)*[(21 + n)/37] + (208488/1369 + (5400*n)/1369)*[(22 + n)/37] + (-(67536/1369) + (6600*n)/1369)*[(23 + n)/37] + 40*[(23 + n)/36] + (22032/1369 + (400*n)/1369)*[(24 + n)/37] + 8*[(24 + n)/36] + ((23048/1369) + (1600*n)/1369)*[(25 + n)/37]-24*[(25 + n)/36] + (82568/1369 + (2800*n)/1369)*[(26 + n)/37]-32*[(26 + n)/36] + (72480/1369 + (4000*n)/1369)*[(27 + n)/37]-16*[(27 + n)/36] + (191776/1369 +(5200*n)/1369)*[(28 + n)/37] + 16*[(28 + n)/36] + (-(81688/1369) + (6400*n)/1369)*[(29 + n)/37] + 8*[(29 + n)/36] + (12216/1369 + (200*n)/1369)*[(30 + n)/37] + 40*[(30 + n)/36] + (-(37704/1369) +(1400*n)/1369)*[(31 + n)/37] + 40*[(31 + n)/36] + (64848/1369 + (2600*n)/1369)*[(32 + n)/37] + 16*[(32 + n)/36] + (53472/1369 + (3800*n)/1369)*[(33 + n)/37]-16*[(33 + n)/36] + (173256/1369 +(5000*n)/1369)*[(34 + n)/37]-40*[(34 + n)/36] + (-(97944/1369) + (6200*n)/1369)*[(35 + n)/37]-(3456/37)*[(37 + n)/74] + (6912/37)*[(39 + n)/111]-(10368/37)*[(39 + n)/74] + (6816/37 + (200*n)/37)*[(40 + n)/111] +(-(6816/37)-(200*n)/37)*[(40 + n)/74] + (-(288/37) + (200*n)/37)*[(41 + n)/111] + (-(10080/37)-(200*n)/37)*[(41 + n)/74]-(384/37)*[(42 + n)/111] + (480/37-(200*n)/37)*[(42 + n)/74]-(384/37)*[(43 + n)/111](2880/37)*[(43 + n)/74]-(384/37)*[(44 + n)/111] + (576/37)*[(44 + n)/74] + (6528/37)*[(45 + n)/111]-(9792/37)*[(45 + n)/74] + (6432/37 + (200*n)/37)*[(46 + n)/111] + (-(6240/37)-(200*n)/37)*[(46 + n)/74] + ((672/37) + (200*n)/37)*[(47 + n)/111] + (-(9504/37)-(200*n)/37)*[(47 + n)/74]-(768/37)*[(48 + n)/111] + (1056/37-(200*n)/37)*[(48 + n)/74]-(768/37)*[(49 + n)/111]-(2304/37)*[(49 + n)/74]-(768/37)*[(50 + n)/111] +(1152/37)*[(50 + n)/74] + (6144/37)*[(51 + n)/111]-(9216/37)*[(51 + n)/74] + (6048/37 + (200*n)/37)*[(52 + n)/111] + (-(5664/37)-(200*n)/37)*[(52 + n)/74] + (-(1056/37) + (200*n)/37)*[(53 + n)/111] + (-(8928/37)(200*n)/37)*[(53 + n)/74]-(1152/37)*[(54 + n)/111] + (1632/37-(200*n)/37)*[(54 + n)/74]-(1152/37)*[(55 + n)/111]-(1728/37)*[(55 + n)/74]-(1152/37)*[(56 + n)/111] + (1728/37)*[(56 + n)/74] + (5760/37)*[(57 +n)/111]-(8640/37)*[(57 + n)/74] + (5664/37 + (200*n)/37)*[(58 + n)/111] + (-(5088/37)-(200*n)/37)*[(58 + n)/74] + (-(1440/37) + (200*n)/37)*[(59 + n)/111] + (-(8352/37)-(200*n)/37)*[(59 + n)/74]-(1536/37)*[(60 +n)/111] + (2208/37-(200*n)/37)*[(60 + n)/74]-(1536/37)*[(61 + n)/111]-(1152/37)*[(61 + n)/74]-(1536/37)*[(62 + n)/111] + (2304/37)*[(62 + n)/74] + (5376/37)*[(63 + n)/111]-(8064/37)*[(63 + n)/74] + (5280/37 +(200*n)/37)*[(64 + n)/111] + (-(4512/37)-(200*n)/37)*[(64 + n)/74] + (-(1824/37) + (200*n)/37)*[(65 + n)/111] + (-(7776/37)-(200*n)/37)*[(65 + n)/74]-(1920/37)*[(66 + n)/111] + (2784/37-(200*n)/37)*[(66 + n)/74](1920/37)*[(67 + n)/111]-(576/37)*[(67 + n)/74]-(1920/37)*[(68 + n)/111] + (2880/37)*[(68 + n)/74] + (4992/37)*[(69 + n)/111]-(7488/37)*[(69 + n)/74] + (4896/37 + (200*n)/37)*[(70 + n)/111] + (-(3936/37)(200*n)/37)*[(70 + n)/74] + (-(2208/37) + (200*n)/37)*[(71 + n)/111] + (-(7200/37)-(200*n)/37)*[(71 + n)/74]-(2304/37)*[(72 + n)/111] + (3360/37-(200*n)/37)*[(72 + n)/74]-(2304/37)*[(73 + n)/111]-(2304/37)*[(74 +n)/111]-(2304/37)*[(75 + n)/111]-(2304/37)*[(76 + n)/111]-(9216/37)*[(77 + n)/111] + (-(9120/37)-(200*n)/37)*[(78 + n)/111] + (-(2016/37)-(200*n)/37)*[(79 + n)/111]-(1920/37)*[(80 + n)/111]-(1920/37)*[(81 +n)/111]-(1920/37)*[(82 + n)/111]-(8832/37)*[(83 + n)/111] + (-(8736/37)-(200*n)/37)*[(84 + n)/111] + (-(1632/37)-(200*n)/37)*[(85 + n)/111]-(1536/37)*[(86 + n)/111]-(1536/37)*[(87 + n)/111]-(1536/37)*[(88 +n)/111]-(8448/37)*[(89 + n)/111] + (-(8352/37)-(200*n)/37)*[(90 + n)/111] + (-(1248/37)-(200*n)/37)*[(91 + n)/111]-(1152/37)*[(92 + n)/111]-(1152/37)*[(93 + n)/111]-(1152/37)*[(94 + n)/111]-(8064/37)*[(95 +n)/111] + (-(7968/37)-(200*n)/37)*[(96 + n)/111] + (-(864/37)-(200*n)/37)*[(97 + n)/111]-(768/37)*[(98 + n)/111]-(768/37)*[(99 + n)/111]-(768/37)*[(100 + n)/111]-(7680/37)*[(101 + n)/111] + (-(7584/37)(200*n)/37)*[(102 + n)/111] + (-(480/37)-(200*n)/37)*[(103 + n)/111]-(384/37)*[(104 + n)/111]-(384/37)*[(105 + n)/111]-(384/37)*[(106 + n)/111]-(7296/37)*[(107 + n)/111] + (-(7200/37)-(200*n)/37)*[(108 + n)/111]+ (-(96/37)-(200*n)/37)*[(109 + n)/111]-(6912/37)*[(149 + n)/222] + (-(13728/37)-(200*n)/37)*[(150 + n)/222] + (-(13440/37)-(400*n)/37)*[(151 + n)/222] + (-(6144/37)-(400*n)/37)*[(152 + n)/222] + (1056/37(200*n)/37)*[(153 + n)/222] + (1152/37)*[(154 + n)/222]-(5760/37)*[(155 + n)/222] + (-(12576/37)-(200*n)/37)*[(156 + n)/222] + (-(12288/37)-(400*n)/37)*[(157 + n)/222] + (-(4992/37)-(400*n)/37)*[(158 + n)/222] +(2208/37-(200*n)/37)*[(159 + n)/222] + (2304/37)*[(160 + n)/222]-(4608/37)*[(161 + n)/222] + (-(11424/37)-(200*n)/37)*[(162 + n)/222] + (-(11136/37)-(400*n)/37)*[(163 + n)/222] + (-(3840/37)-(400*n)/37)*[(164 +n)/222] + (3360/37-(200*n)/37)*[(165 + n)/222] + (3456/37)*[(166 + n)/222]-(3456/37)*[(167 + n)/222] + (-(10272/37)-(200*n)/37)*[(168 + n)/222] + (-(9984/37)-(400*n)/37)*[(169 + n)/222] + (-(2688/37)(400*n)/37)*[(170 + n)/222] + (4512/37-(200*n)/37)*[(171 + n)/222] + (4608/37)*[(172 + n)/222]-(2304/37)*[(173 + n)/222] + (-(9120/37)-(200*n)/37)*[(174 + n)/222] + (-(8832/37)-(400*n)/37)*[(175 + n)/222] + ((1536/37)-(400*n)/37)*[(176 + n)/222] + (5664/37-(200*n)/37)*[(177 + n)/222] + (5760/37)*[(178 + n)/222]-(1152/37)*[(179 + n)/222] + (-(7968/37)-(200*n)/37)*[(180 + n)/222] + (-(7680/37)-(400*n)/37)*[(181 +n)/222] + (-(384/37)-(400*n)/37)*[(182 + n)/222] + (6816/37-(200*n)/37)*[(183 + n)/222] + (6912/37)*[(184 + n)/222] + (96/37-(200*n)/37)*[(186 + n)/222] + (7200/37-(200*n)/37)*[(187 + n)/222] + 384*[(188 +n)/222] + (14112/37 + (200*n)/37)*[(189 + n)/222] + (7008/37 + (200*n)/37)*[(190 + n)/222] + (96/37-(200*n)/37)*[(192 + n)/222] + (7200/37-(200*n)/37)*[(193 + n)/222] + 384*[(194 + n)/222] + (14112/37 +(200*n)/37)*[(195 + n)/222] + (7008/37 + (200*n)/37)*[(196 + n)/222] + (96/37-(200*n)/37)*[(198 + n)/222] + (7200/37-(200*n)/37)*[(199 + n)/222] + 384*[(200 + n)/222] + (14112/37 + (200*n)/37)*[(201 + n)/222] +(7008/37 + (200*n)/37)*[(202 + n)/222] + (96/37-(200*n)/37)*[(204 + n)/222] + (7200/37-(200*n)/37)*[(205 + n)/222] + 384*[(206 + n)/222] + (14112/37 + (200*n)/37)*[(207 + n)/222] + (7008/37 + (200*n)/37)*[(208+ n)/222] + (96/37-(200*n)/37)*[(210 + n)/222] + (7200/37-(200*n)/37)*[(211 + n)/222] + 384*[(212 + n)/222] + (14112/37 + (200*n)/37)*[(213 + n)/222] + (7008/37 + (200*n)/37)*[(214 + n)/222] + (96/37(200*n)/37)*[(216 + n)/222] + (7200/37-(200*n)/37)*[(217 + n)/222] + 384*[(218 + n)/222] + (14112/37 + (200*n)/37)*[(219 + n)/222] + (7008/37 + (200*n)/37)*[(220 + n)/222]

555

Recurrence

Generating function- 4x^2*(1 + 19x + 99x^2 + 316x^3 + 775x^4 + 1335x^5 +2693x^6 + 4652x^7 + 7469x^8 + 11280x^9 +16190x^10 +20801x^11 + 29216x^12 + 37657x^13 + 47465x^14 +58535x^15 +70865x^16 + 80698x^17 + 99756x^18 + 114929x^19+132301x^20 + 150929x^21 + 170819x^22 + 184849x^23 +216730x^24 + 237563x^25 + 262493x^26 + 288685x^27 +316133x^28 + 333279x^29 + 380143x^30 + 405557x^31 +438047x^32 + 471797x^33 + 506809x^34 + 525990x^35+589996x^36 + 618892x^37 + 658862x^38 + 699955x^39 +742066x^40 + 761645x^41 + 843595x^42 + 872973x^43 +917766x^44 + 962825x^45 + 1008045x^46 +1023450x^47 +1119806x^48 + 1144046x^49 + 1189404x^50 +1234764x^51+1280124x^52 + 1289103x^53 + 1398439x^54 +1416206x^55 +1461564x^56 + 1506924x^57 + 1552284x^58 +1554783x^59 +1677079x^60 + 1688366x^61 + 1733724x^62 +1779084x^63 +1824444x^64 + 1820463x^65 + 1955719x^66+1960526x^67 +2005884x^68 + 2051244x^69 + 2096604x^70 +2086143x^71 +2234359x^72 + 2232686x^73 + 2278044x^74 +2323404x^75 +2368764x^76 + 2351823x^77 + 2513001x^78 +2504844x^79 +2550204x^80 + 2595564x^81 +
2640924x^82 +2617503x^83 +2791641x^84 + 2777002x^85 + 2822366x^86 +2867724x^87 +2913084x^88 + 2883183x^89 + 3070281x^90 +3049162x^91 +3094526x^92 + 3139884x^93 + 3185244x^94 +3148863x^95 +3348921x^96 +
3321322x^97 + 3366686x^98 +3412044x^99 +3457404x^100 + 3414543x^101 + 3627561x^102 +3593482x^103 +3638846x^104 + 3684204x^105 + 3729564x^106 +3680223x^107 +3906201x^108 + 3865642x^109 + 3911006x^110+3956364x^111 +4001724x^112 + 3945903x^113 + 4184841x^114 +4137804x^115 +4183164x^116 + 4228524x^117 + 4273884x^118 +4211583x^119 +4463481x^120 + 4409964x^121 + 4455322x^122 +4500686x^123 +4546044x^124 +4477263x^125 + 4742121x^126 +4682124x^127 +4727482x^128 + 4772846x^129 + 4818204x^130 +4742943x^131 +5020761x^132 + 4954284x^133 + 4999642x^134 +5045006x^135 +5090364x^136 + 5008623x^137 + 5299401x^138+5226444x^139 +5271802x^140 + 5317166x^141 + 5362524x^142 +5274303x^143 +5578041x^144 + 5498604x^145 + 5543962x^146 +5589326x^147 +5634684x^148 + 5539983x^149 + 5856681x^150 +5770764x^151 +5816124x^152 +
5861484x^153 + 5906844x^154 +5805663x^155 +6135321x^156 + 6042924x^157 + 6088284x^158 +6133642x^159 +6179006x^160 + 6071343x^161 + 6413961x^162 +6315084x^163 +6360444x^164 + 6405802x^165 + 6451166x^166+6337023x^167 +6692601x^168 + 6587244x^169 + 6632604x^170 +6677962x^171 +6723326x^172 + 6602703x^173 + 6971241x^174 +6859404x^175 +6904764x^176 + 6950122x^177 + 6995486x^178 +6868383x^179 +7249881x^180 +
7131564x^181 + 7176924x^182 +7222282x^183 +7267646x^184 + 7134063x^185 + 7528521x^186 +7403724x^187 +7449084x^188 + 7494444x^189 + 7539804x^190 +7399743x^191 +7807161x^192 + 7675884x^193 + 7721244x^194+7766604x^195 +7811962x^196 + 7665425x^197 + 8085801x^198 +7948044x^199 +7993404x^200 + 8038764x^201 + 8084122x^202 +7931105x^203 +8364441x^204 + 8220204x^205 + 8265564x^206 +8310924x^207 +8356282x^208 +
8196785x^209 + 8643081x^210 +8492364x^211 +8537724x^212 + 8583084x^213 + 8628442x^214 +8462465x^215 +8921721x^216 + 8764524x^217 + 8809884x^218 +8855244x^219 +8900602x^220 + 8727843x^221 + 9200355x^222+9036642x^223 +9081842x^224 + 9126768x^225 + 9171210x^226 +8991451x^227 +9473917x^228 + 9299544x^229 + 9339270x^230 +9377008x^231 +9412548x^232 + 9217903x^233 + 9698913x^234 +9505690x^235 +9531434x^236 +
9554654x^237 + 9575354x^238 +9363785x^239 +9836771x^240 + 9623306x^241 + 9633922x^242 +9642026x^243 +9647606x^244 + 9421163x^245 + 9881463x^246 +9650198x^247 +9645698x^248 + 9638674x^249 + 9629138x^250+9389983x^251 +9833277x^252 + 9586370x^253 + 9566750x^254 +9544610x^255 +9519946x^256 + 9270543x^257 + 9692215x^258 +9431864x^259 +9397284x^260 + 9360458x^261 + 9321596x^262 +9064315x^263 +9463349x^264 +
9195854x^265 + 9151628x^266 +9106870x^267 +9061790x^268 + 8806679x^269 + 9190165x^270 +8925874x^271 +8880516x^272 + 8835156x^273 + 8789796x^274 +8541057x^275 +8911241x^276 + 8653714x^277 + 8608356x^278+8562996x^279 +8517636x^280 + 8275377x^281 + 8632601x^282 +8381554x^283 +8336196x^284 + 8290836x^285 + 8245476x^286 +8009697x^287 +8353961x^288 + 8109394x^289 + 8064036x^290 +8018676x^291 +7973316x^292 +
7744017x^293 + 8075321x^294 +7837234x^295 +7791876x^296 + 7746516x^297 + 7701156x^298 +7478337x^299 +7796679x^300 + 7565076x^301 + 7519716x^302 +7474356x^303 +7428996x^304 + 7212657x^305 + 7518039x^306+7292918x^307 +7247554x^308 + 7202196x^309 + 7156836x^310 +6946977x^311 +7239399x^312 + 7020758x^313 + 6975394x^314 +6930036x^315 +6884676x^316 + 6681297x^317 + 6960759x^318 +6748598x^319 +6703234x^320 +
6657876x^321 + 6612516x^322 +6415617x^323 +6682119x^324 + 6476438x^325 + 6431074x^326 +6385716x^327 +6340356x^328 + 6149937x^329 + 6403479x^330 +6204278x^331 +6158914x^332 + 6113556x^333 + 6068196x^334+5884257x^335 +6124839x^336 + 5932116x^337 + 5886756x^338 +5841396x^339 +5796036x^340 + 5618577x^341 + 5846199x^342 +5659956x^343 +5614598x^344 + 5569234x^345 + 5523876x^346 +5352897x^347 +5567559x^348 +
5387796x^349 + 5342438x^350 +5297074x^351 +5251716x^352 + 5087217x^353 + 5288919x^354 +5115636x^355 +5070278x^356 + 5024914x^357 + 4979556x^358 +4821537x^359 +5010279x^360 + 4843476x^361 + 4798118x^362+4752754x^363 +4707396x^364 + 4555857x^365 + 4731639x^366 +4571316x^367 +4525958x^368 + 4480594x^369 + 4435236x^370 +4290177x^371 +4452999x^372 + 4299156x^373 + 4253796x^374 +4208436x^375 +4163076x^376 +
4024497x^377 + 4174359x^378 +4026996x^379 +3981636x^380 + 3936278x^381 + 3890914x^382 +3758817x^383 +3895719x^384 + 3754836x^385 + 3709476x^386 +3664118x^387 +3618754x^388 + 3493137x^389 + 3617079x^390+3482676x^391 +3437316x^392 + 3391958x^393 + 3346594x^394 +3227457x^395 +3338439x^396 + 3210516x^397 + 3165156x^398 +3119798x^399 +3074434x^400 + 2961777x^401 + 3059799x^402 +2938356x^403 +2892996x^404 +
2847638x^405 + 2802274x^406 +2696097x^407 +2781159x^408 + 2666196x^409 + 2620836x^410 +2575476x^411 +2530116x^412 + 2430417x^413 + 2502519x^414 +2394036x^415 +2348676x^416 + 2303316x^417 + 2257958x^418+2164735x^419 +2223879x^420 + 2121876x^421 + 2076516x^422 +2031156x^423 +1985798x^424 + 1899055x^425 + 1945239x^426 +1849716x^427 +1804356x^428 + 1758996x^429 + 1713638x^430 +1633375x^431 +1666599x^432 +
1577556x^433 + 1532196x^434 +1486836x^435 +1441478x^436 + 1367695x^437 + 1387959x^438 +1305396x^439 +1260036x^440 + 1214676x^441 + 1169318x^442 +1102017x^443 +1109324x^444 + 1033259x^445 + 987979x^446+942836x^447 +897935x^448 + 837674x^449 + 833370x^450 +765724x^451 +723181x^452 + 681632x^453 + 641182x^454 +591456x^455 +581251x^456 + 526573x^457 + 491021x^458 +456731x^459 +423701x^460 + 385677x^461 +
373153x^462 +331685x^463 +303697x^464 + 276965x^465 + 251495x^466 +224148x^467 +211487x^468 + 182159x^469 + 161729x^470 +142561x^471 +124649x^472 + 106898x^473 + 96260x^474 +77993x^475 +65123x^476 +
53513x^477 + 43165x^478 + 33927x^479 +27469x^480 + 19164x^481 + 13774x^482 + 9507x^483 +6258x^484 + 3900x^485 + 2436x^486 + 1093x^487 +526x^488 +225x^489 + 85x^490 + 31x^491 + 9x^492) / ((-1 + x)^7*(1 + x)^4*(1+x^2)*(1 - x + x^2)^4*(1 + x + x^2)^4* (1 - x^2 + x^4)*(1 - x^3 + x^6)*(1 + x^3 + x^6)* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)*(1 - x^6 + x^12)* (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 - x^7 + x^8 - x^9 +x^10 -x^11 + x^12 - x^13 + x^14
- x^15 + x^16 - x^17 +x^18 - x^19 +x^20 - x^21 + x^22 - x^23 + x^24 - x^25 + x^26 -x^27 + x^28 -x^29 + x^30 - x^31 + x^32 - x^33 + x^34 - x^35 +x^36)^2* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 +x^10 +x^11 +x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 + x^17 +x^18 + x^19 +x^20 + x^21 + x^22 + x^23 + x^24 + x^25 + x^26 +x^27 + x^28 +x^29 + x^30 + x^31 + x^32 + x^33 + x^34 + x^35 +x^36)^2* (1 - x + x^3 - x^4 + x^6 - x^7 + x^9 - x^10 +x^12 - x^13 +x^15 - x^16 + x^18 - x^19 + x^21 - x^22 + x^24 -x^25 + x^27 -x^28 + x^30 - x^31 + x^33 - x^34 + x^36 - x^38 +x^39 - x^41 +x^42 - x^44 + x^45 - x^47 + x^48 - x^50 + x^51 -x^53 + x^54 -x^56 + x^57 - x^59 + x^60 x^62 + x^63 - x^65 +x^66 - x^68 +x^69 - x^71 + x^72)^2*(1 + x - x^3 - x^4 + x^6 +x^7 - x^9 -x^10 + x^12 + x^13 - x^15 - x^16 + x^18 + x^19 -x^21 - x^22 +x^24 + x^25 - x^27 - x^28 + x^30 + x^31 - x^33 -x^34 + x^36 -x^38 - x^39
+ x^41 + x^42 - x^44 - x^45 + x^47 +x^48 - x^50 -x^51 + x^53 + x^54 - x^56 - x^57 + x^59 + x^60 -x^62 - x^63 +x^65 + x^66 - x^68 - x^69 + x^71 + x^72)^2)556

Three [5,6] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 9.12.2010) , period = 120780-((33779786191*n)/4420548000) + (3720202499*n^2)/414426375-(520819691*n^3)/200934000 + (289333151*n^4)/217404000-(13*n^5)/54 + n^6/6 + (21520/61 + (80*n)/3721)*[n/61] + (120/11)*[n/11](96/125)*[n/10]-(64/3)*[n/9] + (5306683/8235 + (3377*n)/1647 + (157*n^2)/90 + (4*n^3)/9)*[n/6]-(32/375)*n^2*[n/5] + (35/2)*[n/4] + (-(3339621287/3294000) + (2293*n)/1647-(281*n^2)/120 + n^3/9)*[n/2] +(993240/3721 + (160*n)/3721)*[(1 + n)/61] + 8*[(1 + n)/12] + (140/11)*[(1 + n)/11]-(96/125)*[(1 + n)/10] + (-(46217/135) + (5695*n)/1647-(27*n^2)/10 + (4*n^3)/9)*[(1 + n)/6] + ((24*n)/125-(8*n^2)/125)*[(1 + n)/5]+ (35/2)*[(1 + n)/4] + (2496112/3721 + (240*n)/3721)*[(2 + n)/61] + 15*[(2 + n)/12] + (80/11)*[(2 + n)/11]-(212/75)*[(2 + n)/10] + (8887811/32940 + (5695*n)/3294-(27*n^2)/20 + (2*n^3)/9)*[(2 + n)/6] +((32*n)/125-(16*n^2)/375)*[(2 + n)/5] + (2248688/3721 + (320*n)/3721)*[(3 + n)/61]-17*[(3 + n)/12] + (4/11)*[(3 + n)/11]-(268/375)*[(3 + n)/10] + (-(21270859/32940) + (2671*n)/1098-(643*n^2)/180 +(2*n^3)/9)*[(3 + n)/6] + ((24*n)/125-(8*n^2)/375)*[(3 + n)/5] + (3705520/3721 + (400*n)/3721)*[(4 + n)/61]-(8/5)*[(4 + n)/15]-48*[(4 + n)/12]-(24/11)*[(4 + n)/11]-(632/375)*[(4 + n)/10] + (-(219640/3721) +(480*n)/3721)*[(5 + n)/61] + (8/15)*[(5 + n)/15] + (60/11)*[(5 + n)/11] + (344/375)*[(5 + n)/10] + (1133080/3721 + (72*n)/3721)*[(6 + n)/61] + (16/15)*[(6 + n)/15] + (144/11)*[(6 + n)/11]-(4/75)*[(6 + n)/10] +(856040/3721 + (152*n)/3721)*[(7 + n)/61] + 16*[(7 + n)/18] + (116/11)*[(7 + n)/11] + (772/375)*[(7 + n)/10] + (2374512/3721 + (232*n)/3721)*[(8 + n)/61]-(40/3)*[(8 + n)/18] + (8/15)*[(8 + n)/15] + (40/11)*[(8 +n)/11] + (2115848/3721 + (312*n)/3721)*[(9 + n)/61]-(40/3)*[(9 + n)/18] + (8/3)*[(9 + n)/15]-(20/11)*[(9 + n)/11] + (3534600/3721 + (392*n)/3721)*[(10 + n)/61]-8*[(10 + n)/18]-(16/5)*[(10 + n)/15] + ((455480/3721) + (472*n)/3721)*[(11 + n)/61] + (80/3)*[(11 + n)/18] + (954320/3721 + (64*n)/3721)*[(12 + n)/61]-(88/3)*[(12 + n)/18] + (707520/3721 + (144*n)/3721)*[(13 + n)/61]-24*[(13 + n)/18] + (2229392/3721+ (224*n)/3721)*[(14 + n)/61]-16*[(14 + n)/18] + (1947288/3721 + (304*n)/3721)*[(15 + n)/61] + 16*[(15 + n)/18] + (3315760/3721 + (384*n)/3721)*[(16 + n)/61] + 32*[(16 + n)/18] + (-(632368/3721) +(464*n)/3721)*[(17 + n)/61] + (822312/3721 + (56*n)/3721)*[(18 + n)/61] + (593552/3721 + (136*n)/3721)*[(19 + n)/61] + (24/5)*[(19 + n)/30] + (2106624/3721 + (216*n)/3721)*[(20 + n)/61]-(16/5)*[(20 + n)/30] +(1788880/3721 + (296*n)/3721)*[(21 + n)/61]-(8/5)*[(21 + n)/30] + (3094872/3721 + (376*n)/3721)*[(22 + n)/61] + (-(793736/3721) + (456*n)/3721)*[(23 + n)/61] + 8*[(23 + n)/36]-(8/5)*[(23 + n)/30] + (693624/3721+ (48*n)/3721)*[(24 + n)/61]-48*[(24 + n)/36]-(16/5)*[(24 + n)/30] + (470704/3721 + (128*n)/3721)*[(25 + n)/61]-32*[(25 + n)/36] + (24/5)*[(25 + n)/30] + (1962776/3721 + (208*n)/3721)*[(26 + n)/61] + 32*[(26 +n)/36] + (1597192/3721 + (288*n)/3721)*[(27 + n)/61] + 64*[(27 + n)/36] + (2917808/3721 + (368*n)/3721)*[(28 + n)/61] + 24*[(28 + n)/36] + (-(923480/3721) + (448*n)/3721)*[(29 + n)/61]-48*[(29 + n)/36] +(584360/3721 + (40*n)/3721)*[(30 + n)/61] + 8*[(30 + n)/36] + (355080/3721 + (120*n)/3721)*[(31 + n)/61] + 56*[(31 + n)/36] + (1813952/3721 + (200*n)/3721)*[(32 + n)/61] + 32*[(32 + n)/36] + (1388328/3721 +(280*n)/3721)*[(33 + n)/61]-32*[(33 + n)/36] + (2770904/3721 + (360*n)/3721)*[(34 + n)/61]-56*[(34 + n)/36] + (-(1035264/3721) + (440*n)/3721)*[(35 + n)/61] + (480856/3721 + (32*n)/3721)*[(36 + n)/61] +(233016/3721 + (112*n)/3721)*[(37 + n)/61] + (1646488/3721 + (192*n)/3721)*[(38 + n)/61] + (1208160/3721 + (272*n)/3721)*[(39 + n)/61] + (2640496/3721 + (352*n)/3721)*[(40 + n)/61] + (-(1142752/3721) +(432*n)/3721)*[(41 + n)/61] + (369448/3721 + (24*n)/3721)*[(42 + n)/61] + (90848/3721 + (104*n)/3721)*[(43 + n)/61] + (1446720/3721 + (184*n)/3721)*[(44 + n)/61] + (1072792/3721 + (264*n)/3721)*[(45 + n)/61]+ (2542688/3721 + (344*n)/3721)*[(46 + n)/61] + (-(1229840/3721) + (424*n)/3721)*[(47 + n)/61] + (266240/3721 + (16*n)/3721)*[(48 + n)/61] + (-(55320/3721) + (96*n)/3721)*[(49 + n)/61] + (1260520/3721 +(176*n)/3721)*[(50 + n)/61] + (938792/3721 + (256*n)/3721)*[(51 + n)/61] + (2434048/3721 + (336*n)/3721)*[(52 + n)/61] + (-(1339960/3721) + (416*n)/3721)*[(53 + n)/61] + (127800/3721 + (8*n)/3721)*[(54 +n)/61] + (-(248920/3721) + (88*n)/3721)*[(55 + n)/61] + (1133760/3721 + (168*n)/3721)*[(56 + n)/61] + (852032/3721 + (248*n)/3721)*[(57 + n)/61] + (2360448/3721 + (328*n)/3721)*[(58 + n)/61] + ((1427240/3721) + (408*n)/3721)*[(59 + n)/61]-(28800/61)*[(61 + n)/122] + (57600/61)*[(63 + n)/183]-(86400/61)*[(63 + n)/122] + (57120/61 + (8*n)/61)*[(64 + n)/183] + (-(57120/61)-(8*n)/61)*[(64 + n)/122] + ((1440/61) + (8*n)/61)*[(65 + n)/183] + (-(84960/61)-(8*n)/61)*[(65 + n)/122]-(1920/61)*[(66 + n)/183] + (2400/61-(8*n)/61)*[(66 + n)/122]-(1920/61)*[(67 + n)/183]-(25920/61)*[(67 + n)/122]-(1920/61)*[(68 +n)/183] + (2880/61)*[(68 + n)/122] + (55680/61)*[(69 + n)/183]-(83520/61)*[(69 + n)/122] + (55200/61 + (8*n)/61)*[(70 + n)/183] + (-(54240/61)-(8*n)/61)*[(70 + n)/122] + (-(3360/61) + (8*n)/61)*[(71 + n)/183] + ((82080/61)-(8*n)/61)*[(71 + n)/122]-(3840/61)*[(72 + n)/183] + (5280/61-(8*n)/61)*[(72 + n)/122]-(3840/61)*[(73 + n)/183]-(23040/61)*[(73 + n)/122]-(3840/61)*[(74 + n)/183] + (5760/61)*[(74 + n)/122] +(53760/61)*[(75 + n)/183]-(80640/61)*[(75 + n)/122] + (53280/61 + (8*n)/61)*[(76 + n)/183] + (-(51360/61)-(8*n)/61)*[(76 + n)/122] + (-(5280/61) + (8*n)/61)*[(77 + n)/183] + (-(79200/61)-(8*n)/61)*[(77 + n)/122](5760/61)*[(78 + n)/183] + (8160/61-(8*n)/61)*[(78 + n)/122]-(5760/61)*[(79 + n)/183]-(20160/61)*[(79 + n)/122]-(5760/61)*[(80 + n)/183] + (8640/61)*[(80 + n)/122] + (51840/61)*[(81 + n)/183]-(77760/61)*[(81 +n)/122] + (51360/61 + (8*n)/61)*[(82 + n)/183] + (-(48480/61)-(8*n)/61)*[(82 + n)/122] + (-(7200/61) + (8*n)/61)*[(83 + n)/183] + (-(76320/61)-(8*n)/61)*[(83 + n)/122]-(7680/61)*[(84 + n)/183] + (11040/61(8*n)/61)*[(84 + n)/122]-(7680/61)*[(85 + n)/183]-(17280/61)*[(85 + n)/122]-(7680/61)*[(86 + n)/183] + (11520/61)*[(86 + n)/122] + (49920/61)*[(87 + n)/183]-(74880/61)*[(87 + n)/122] + (49440/61 + (8*n)/61)*[(88+ n)/183] + (-(45600/61)-(8*n)/61)*[(88 + n)/122] + (-(9120/61) + (8*n)/61)*[(89 + n)/183] + (-(73440/61)-(8*n)/61)*[(89 + n)/122]-(9600/61)*[(90 + n)/183] + (13920/61-(8*n)/61)*[(90 + n)/122]-(9600/61)*[(91 +n)/183]-(14400/61)*[(91 + n)/122]-(9600/61)*[(92 + n)/183] + (14400/61)*[(92 + n)/122] + (48000/61)*[(93 + n)/183]-(72000/61)*[(93 + n)/122] + (47520/61 + (8*n)/61)*[(94 + n)/183] + (-(42720/61)-(8*n)/61)*[(94 +n)/122] + (-(11040/61) + (8*n)/61)*[(95 + n)/183] + (-(70560/61)-(8*n)/61)*[(95 + n)/122]-(11520/61)*[(96 + n)/183] + (16800/61-(8*n)/61)*[(96 + n)/122]-(11520/61)*[(97 + n)/183]-(11520/61)*[(97 + n)/122](11520/61)*[(98 + n)/183] + (17280/61)*[(98 + n)/122] + (46080/61)*[(99 + n)/183]-(69120/61)*[(99 + n)/122] + (45600/61 + (8*n)/61)*[(100 + n)/183] + (-(39840/61)-(8*n)/61)*[(100 + n)/122] + (-(12960/61) +(8*n)/61)*[(101 + n)/183] + (-(67680/61)-(8*n)/61)*[(101 + n)/122]-(13440/61)*[(102 + n)/183] + (19680/61-(8*n)/61)*[(102 + n)/122]-(13440/61)*[(103 + n)/183]-(8640/61)*[(103 + n)/122]-(13440/61)*[(104 +n)/183] + (20160/61)*[(104 + n)/122] + (44160/61)*[(105 + n)/183]-(66240/61)*[(105 + n)/122] + (43680/61 + (8*n)/61)*[(106 + n)/183] + (-(36960/61)-(8*n)/61)*[(106 + n)/122] + (-(14880/61) + (8*n)/61)*[(107 +n)/183] + (-(64800/61)-(8*n)/61)*[(107 + n)/122]-(15360/61)*[(108 + n)/183] + (22560/61-(8*n)/61)*[(108 + n)/122]-(15360/61)*[(109 + n)/183]-(5760/61)*[(109 + n)/122]-(15360/61)*[(110 + n)/183] +(23040/61)*[(110 + n)/122] + (42240/61)*[(111 + n)/183]-(63360/61)*[(111 + n)/122] + (41760/61 + (8*n)/61)*[(112 + n)/183] + (-(34080/61)-(8*n)/61)*[(112 + n)/122] + (-(16800/61) + (8*n)/61)*[(113 + n)/183] + ((61920/61)-(8*n)/61)*[(113 + n)/122]-(17280/61)*[(114 + n)/183] + (25440/61-(8*n)/61)*[(114 + n)/122]-(17280/61)*[(115 + n)/183]-(2880/61)*[(115 + n)/122]-(17280/61)*[(116 + n)/183] + (25920/61)*[(116 +n)/122] + (40320/61)*[(117 + n)/183]-(60480/61)*[(117 + n)/122] + (39840/61 + (8*n)/61)*[(118 + n)/183] + (-(31200/61)-(8*n)/61)*[(118 + n)/122] + (-(18720/61) + (8*n)/61)*[(119 + n)/183] + (-(59040/61)(8*n)/61)*[(119 + n)/122]-(19200/61)*[(120 + n)/183] + (28320/61-(8*n)/61)*[(120 + n)/122]-(19200/61)*[(121 + n)/183]-(19200/61)*[(122 + n)/183]-(19200/61)*[(123 + n)/183]-(19200/61)*[(124 + n)/183](76800/61)*[(125 + n)/183] + (-(76320/61)-(8*n)/61)*[(126 + n)/183] + (-(17760/61)-(8*n)/61)*[(127 + n)/183]-(17280/61)*[(128 + n)/183]-(17280/61)*[(129 + n)/183]-(17280/61)*[(130 + n)/183]-(74880/61)*[(131 +n)/183] + (-(74400/61)-(8*n)/61)*[(132 + n)/183] + (-(15840/61)-(8*n)/61)*[(133 + n)/183]-(15360/61)*[(134 + n)/183]-(15360/61)*[(135 + n)/183]-(15360/61)*[(136 + n)/183]-(72960/61)*[(137 + n)/183] + ((72480/61)-(8*n)/61)*[(138 + n)/183] + (-(13920/61)-(8*n)/61)*[(139 + n)/183]-(13440/61)*[(140 + n)/183]-(13440/61)*[(141 + n)/183]-(13440/61)*[(142 + n)/183]-(71040/61)*[(143 + n)/183] + (-(70560/61)(8*n)/61)*[(144 + n)/183] + (-(12000/61)-(8*n)/61)*[(145 + n)/183]-(11520/61)*[(146 + n)/183]-(11520/61)*[(147 + n)/183]-(11520/61)*[(148 + n)/183]-(69120/61)*[(149 + n)/183] + (-(68640/61)-(8*n)/61)*[(150 +557n)/183] + (-(10080/61)-(8*n)/61)*[(151 + n)/183]-(9600/61)*[(152 + n)/183]-(9600/61)*[(153 + n)/183]-(9600/61)*[(154 + n)/183]-(67200/61)*[(155 + n)/183] + (-(66720/61)-(8*n)/61)*[(156 + n)/183] + (-(8160/61)(8*n)/61)*[(157 + n)/183]-(7680/61)*[(158 + n)/183]-(7680/61)*[(159 + n)/183]-(7680/61)*[(160 + n)/183]-(65280/61)*[(161 + n)/183] + (-(64800/61)-(8*n)/61)*[(162 + n)/183] + (-(6240/61)-(8*n)/61)*[(163 +n)/183]-(5760/61)*[(164 + n)/183]-(5760/61)*[(165 + n)/183]-(5760/61)*[(166 + n)/183]-(63360/61)*[(167 + n)/183] + (-(62880/61)-(8*n)/61)*[(168 + n)/183] + (-(4320/61)-(8*n)/61)*[(169 + n)/183]-(3840/61)*[(170 +n)/183]-(3840/61)*[(171 + n)/183]-(3840/61)*[(172 + n)/183]-(61440/61)*[(173 + n)/183] + (-(60960/61)-(8*n)/61)*[(174 + n)/183] + (-(2400/61)-(8*n)/61)*[(175 + n)/183]-(1920/61)*[(176 + n)/183]-(1920/61)*[(177 +n)/183]-(1920/61)*[(178 + n)/183]-(59520/61)*[(179 + n)/183] + (-(59040/61)-(8*n)/61)*[(180 + n)/183] + (-(480/61)-(8*n)/61)*[(181 + n)/183]-(57600/61)*[(245 + n)/366] + (-(114720/61)-(8*n)/61)*[(246 + n)/366] +(-(113280/61)-(16*n)/61)*[(247 + n)/366] + (-(53760/61)-(16*n)/61)*[(248 + n)/366] + (5280/61-(8*n)/61)*[(249 + n)/366] + (5760/61)*[(250 + n)/366]-(51840/61)*[(251 + n)/366] + (-(108960/61)-(8*n)/61)*[(252 +n)/366] + (-(107520/61)-(16*n)/61)*[(253 + n)/366] + (-(48000/61)-(16*n)/61)*[(254 + n)/366] + (11040/61-(8*n)/61)*[(255 + n)/366] + (11520/61)*[(256 + n)/366]-(46080/61)*[(257 + n)/366] + (-(103200/61)(8*n)/61)*[(258 + n)/366] + (-(101760/61)-(16*n)/61)*[(259 + n)/366] + (-(42240/61)-(16*n)/61)*[(260 + n)/366] + (16800/61-(8*n)/61)*[(261 + n)/366] + (17280/61)*[(262 + n)/366]-(40320/61)*[(263 + n)/366] + ((97440/61)-(8*n)/61)*[(264 + n)/366] + (-(96000/61)-(16*n)/61)*[(265 + n)/366] + (-(36480/61)-(16*n)/61)*[(266 + n)/366] + (22560/61-(8*n)/61)*[(267 + n)/366] + (23040/61)*[(268 + n)/366]-(34560/61)*[(269 +n)/366] + (-(91680/61)-(8*n)/61)*[(270 + n)/366] + (-(90240/61)-(16*n)/61)*[(271 + n)/366] + (-(30720/61)-(16*n)/61)*[(272 + n)/366] + (28320/61-(8*n)/61)*[(273 + n)/366] + (28800/61)*[(274 + n)/366](28800/61)*[(275 + n)/366] + (-(85920/61)-(8*n)/61)*[(276 + n)/366] + (-(84480/61)-(16*n)/61)*[(277 + n)/366] + (-(24960/61)-(16*n)/61)*[(278 + n)/366] + (34080/61-(8*n)/61)*[(279 + n)/366] + (34560/61)*[(280 +n)/366]-(23040/61)*[(281 + n)/366] + (-(80160/61)-(8*n)/61)*[(282 + n)/366] + (-(78720/61)-(16*n)/61)*[(283 + n)/366] + (-(19200/61)-(16*n)/61)*[(284 + n)/366] + (39840/61-(8*n)/61)*[(285 + n)/366] +(40320/61)*[(286 + n)/366]-(17280/61)*[(287 + n)/366] + (-(74400/61)-(8*n)/61)*[(288 + n)/366] + (-(72960/61)-(16*n)/61)*[(289 + n)/366] + (-(13440/61)-(16*n)/61)*[(290 + n)/366] + (45600/61-(8*n)/61)*[(291 +n)/366] + (46080/61)*[(292 + n)/366]-(11520/61)*[(293 + n)/366] + (-(68640/61)-(8*n)/61)*[(294 + n)/366] + (-(67200/61)-(16*n)/61)*[(295 + n)/366] + (-(7680/61)-(16*n)/61)*[(296 + n)/366] + (51360/61(8*n)/61)*[(297 + n)/366] + (51840/61)*[(298 + n)/366]-(5760/61)*[(299 + n)/366] + (-(62880/61)-(8*n)/61)*[(300 + n)/366] + (-(61440/61)-(16*n)/61)*[(301 + n)/366] + (-(1920/61)-(16*n)/61)*[(302 + n)/366] +(57120/61-(8*n)/61)*[(303 + n)/366] + (57600/61)*[(304 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(306 + n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(307 + n)/366] + 1920*[(308 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(309 + n)/366] +(58080/61 + (8*n)/61)*[(310 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(312 + n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(313 + n)/366] + 1920*[(314 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(315 + n)/366] + (58080/61 + (8*n)/61)*[(316 +n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(318 + n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(319 + n)/366] + 1920*[(320 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(321 + n)/366] + (58080/61 + (8*n)/61)*[(322 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(324+ n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(325 + n)/366] + 1920*[(326 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(327 + n)/366] + (58080/61 + (8*n)/61)*[(328 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(330 + n)/366] + (59040/61(8*n)/61)*[(331 + n)/366] + 1920*[(332 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(333 + n)/366] + (58080/61 + (8*n)/61)*[(334 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(336 + n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(337 + n)/366] +1920*[(338 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(339 + n)/366] + (58080/61 + (8*n)/61)*[(340 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(342 + n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(343 + n)/366] + 1920*[(344 + n)/366] +(116640/61 + (8*n)/61)*[(345 + n)/366] + (58080/61 + (8*n)/61)*[(346 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(348 + n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(349 + n)/366] + 1920*[(350 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(351 +n)/366] + (58080/61 + (8*n)/61)*[(352 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(354 + n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(355 + n)/366] + 1920*[(356 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(357 + n)/366] + (58080/61 +(8*n)/61)*[(358 + n)/366] + (480/61-(8*n)/61)*[(360 + n)/366] + (59040/61-(8*n)/61)*[(361 + n)/366] + 1920*[(362 + n)/366] + (116640/61 + (8*n)/61)*[(363 + n)/366] + (58080/61 + (8*n)/61)*[(364 + n)/366]Výpočet tohoto vzorce trval 72 hodin. Vytvořující funkce a rekurence by zabrala dalších několik stran, myslím, že jejich publikace zde je nadbytečná. Zde je pouze denominator:(-1 + x)^7 (1 + x)^4 (1 + x^2) (1 - x + x^2)^4 (1 + x + x^2)^4 (1 - x^2 + x^4) (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^3 (1 - x^3 + x^6) (1 + x^3 + x^6) (1 - x + x^3 - x^4 + x^5 - x^7 +x^8) (1 + x - x^3 - x^4 - x^5 + x^7 + x^8) (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10) (1 - x^6 + x^12) (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 - x^7 + x^8 - x^9 + x^10 - x^11 +x^12 - x^13 + x^14 - x^15 + x^16 - x^17 + x^18 - x^19 + x^20 - x^21 + x^22 - x^23 + x^24 - x^25 + x^26 - x^27 + x^28 - x^29 + x^30 - x^31 + x^32 - x^33 + x^34 - x^35 + x^36 - x^37 + x^38 x^39 + x^40 - x^41 + x^42 - x^43 + x^44 - x^45 + x^46 - x^47 + x^48 - x^49 + x^50 - x^51 + x^52 - x^53 + x^54 - x^55 + x^56 - x^57 + x^58 - x^59 + x^60)^2 (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 +x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 + x^17 + x^18 + x^19 + x^20 + x^21 + x^22 + x^23 + x^24 + x^25 + x^26 + x^27 + x^28 + x^29 + x^30 + x^31 + x^32
+ x^33 + x^34 + x^35 + x^36 + x^37 + x^38 + x^39 + x^40 + x^41 + x^42 + x^43 + x^44 + x^45 + x^46 + x^47 + x^48 + x^49 + x^50 + x^51 + x^52 + x^53 + x^54 + x^55 + x^56 + x^57 + x^58
+ x^59 + x^60)^2 (1 - x + x^3 - x^4 + x^6 - x^7 + x^9 - x^10 + x^12 - x^13 + x^15 - x^16 + x^18 - x^19 + x^21 - x^22 + x^24 - x^25 + x^27 - x^28 + x^30 - x^31 + x^33 - x^34 + x^36 - x^37 +x^39 - x^40 + x^42 - x^43 + x^45 - x^46 + x^48 - x^49 + x^51 - x^52 + x^54 - x^55 + x^57 - x^58 + x^60 - x^62 + x^63 - x^65 + x^66 - x^68 + x^69 - x^71 + x^72 - x^74 + x^75 - x^77 + x^78 x^80 + x^81 - x^83 + x^84 - x^86 + x^87 - x^89 + x^90 - x^92 + x^93 - x^95 + x^96 - x^98 + x^99 - x^101 + x^102 - x^104 + x^105 - x^107 + x^108 - x^110 + x^111 - x^113 + x^114 - x^116 +x^117 - x^119 + x^120)^2 (1 + x - x^3 - x^4 + x^6 + x^7 - x^9 - x^10 + x^12 + x^13 - x^15 - x^16 + x^18 + x^19 - x^21 - x^22 + x^24 + x^25 - x^27 - x^28 + x^30 + x^31 - x^33 - x^34 + x^36 +x^37 - x^39 - x^40 + x^42 + x^43 - x^45 - x^46 + x^48 + x^49 - x^51 - x^52 + x^54 + x^55 - x^57 - x^58 + x^60 - x^62 - x^63 + x^65 + x^66 - x^68 - x^69 + x^71 + x^72 - x^74 - x^75 + x^77 +x^78 - x^80 - x^81 + x^83 + x^84 - x^86 - x^87 + x^89 + x^90 - x^92 - x^93 + x^95 + x^96 - x^98 - x^99 + x^101 + x^102 - x^104 - x^105 + x^107 + x^108 - x^110 - x^111 + x^113 + x^114 x^116 - x^117 + x^119 + x^120)^2558

Three [1,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 8.12.2010) , period = 9800
(3999719*n)/643125-(14952089*n^2)/2572500-(301453*n^3)/643125 + (5737*n^4)/34300-(40*n^5)/147 + n^6/6 + (178304/625)*[n/10] + 18*[n/8] + (-(191829/1715) + (19584*n)/1225-(990*n^2)/343 +(144*n^3)/49)*[n/7] + (4608/625)*n*[n/5] + 13*[n/4]-(47635122*[n/2])/214375-(100184/625)*[(1 + n)/10] + 34*[(1 + n)/8] + (873484/8575 + (178418*n)/8575-(965*n^2)/343 + (120*n^3)/49)*[(1 + n)/7] +(2016/625)*n*[(1 + n)/5]-3*[(1 + n)/4] + (103152/625)*[(2 + n)/10] + 34*[(2 + n)/8] + ((157856*n)/8575-(884*n^2)/343 + (96*n^3)/49)*[(2 + n)/7] + (3024/625)*n*[(2 + n)/5] + (381823*[(3 + n)/14])/1715(158704/625)*[(3 + n)/10] + 18*[(3 + n)/8] + ((174186*n)/8575-(747*n^2)/343 + (72*n^3)/49)*[(3 + n)/7] + (432/625)*n*[(3 + n)/5] + (16152/125 + (288*n)/125)*[(4 + n)/25]-(1269743*[(4 + n)/14])/8575 +(138704/625)*[(4 + n)/10] + ((128624*n)/8575-(554*n^2)/343 + (48*n^3)/49)*[(4 + n)/7] + (14928/125 + (288*n)/125)*[(5 + n)/25]-(232522*[(5 + n)/14])/1225 + (1584/25)*[(5 + n)/10] + ((4234*n)/1715(305*n^2)/343 + (24*n^3)/49)*[(5 + n)/7]-(80/7)*[(6 + n)/49] + (12304/125 + (288*n)/125)*[(6 + n)/25]-(272014*[(6 + n)/14])/8575 + (16704/125)*[(6 + n)/10]-(200/7)*[(7 + n)/49] + (1656/25 + (288*n)/125)*[(7 +n)/25] + (272014*[(7 + n)/14])/8575-(25552/625)*[(7 + n)/10]-(80/7)*[(8 + n)/49] + (8856/125 + (288*n)/125)*[(8 + n)/25]-(263439*[(8 + n)/14])/8575 + (8/7)*[(9 + n)/49] + (-(12416/125) + (576*n)/125)*[(9 + n)/25] +(272014*[(9 + n)/14])/8575 + (64/7)*[(10 + n)/49] + (-(1288/5)-(144*n)/25)*[(10 + n)/35] + (-(6584/125)-(144*n)/125)*[(10 + n)/25] + (1645676*[(10 + n)/14])/8575 + (88/7)*[(11 + n)/49] + (6832/25)*[(11 + n)/35] + ((3272/125)-(144*n)/125)*[(11 + n)/25]-(997729*[(11 + n)/14])/8575 + (80/7)*[(12 + n)/49] + (6776/25 + (144*n)/25)*[(12 + n)/35] + (-(552/25)-(144*n)/125)*[(12 + n)/25]-(1891093*[(12 + n)/14])/8575-(40/7)*[(13 +n)/49] + (6664/25 + (144*n)/25)*[(13 + n)/35] + (-(5048/125)-(144*n)/125)*[(13 + n)/25]-(240/7)*[(14 + n)/49] + (-(168/25) + (144*n)/25)*[(14 + n)/35] + (6016/125 + (144*n)/125)*[(14 + n)/25]-(240/7)*[(15 + n)/49]+ (-(6664/25)-(144*n)/25)*[(15 + n)/35] + (1904/125 + (144*n)/125)*[(15 + n)/25]-(80/7)*[(16 + n)/49]-(112/25)*[(16 + n)/35] + (592/125 + (144*n)/125)*[(16 + n)/25] + (72/7)*[(17 + n)/49] + (-(6552/25)(144*n)/25)*[(17 + n)/35] + (416/25 + (144*n)/125)*[(17 + n)/25] + (160/7)*[(18 + n)/49] + (1344/5)*[(18 + n)/35] + (6368/125 + (144*n)/125)*[(18 + n)/25] + (184/7)*[(19 + n)/49] + (6664/25 + (144*n)/25)*[(19 +n)/35] + (-(13992/125) + (432*n)/125)*[(19 + n)/25] + (64/7)*[(20 + n)/49] + (112/25)*[(20 + n)/35] + (-(10048/125)-(288*n)/125)*[(20 + n)/25]-(176/7)*[(21 + n)/49] + (6552/25 + (144*n)/25)*[(21 + n)/35] + ((11424/125)-(288*n)/125)*[(21 + n)/25]-(256/7)*[(22 + n)/49] + (-(576/5)-(288*n)/125)*[(22 + n)/25]-(208/7)*[(23 + n)/49] + (1288/5 + (144*n)/25)*[(23 + n)/35] + (-(15976/125)-(288*n)/125)*[(23 + n)/25](32/7)*[(24 + n)/49]-(6832/25)*[(24 + n)/35] + (160/7)*[(25 + n)/49] + (-(56/25)-(144*n)/25)*[(25 + n)/35] + (256/7)*[(26 + n)/49] + (1288/5 + (144*n)/25)*[(26 + n)/35] + (176/7)*[(27 + n)/49]-(112/25)*[(27 + n)/35](64/7)*[(28 + n)/49] + (6328/25 + (144*n)/25)*[(28 + n)/35]-56*[(29 + n)/50]-(184/7)*[(29 + n)/49]-(6944/25)*[(29 + n)/35]-16*[(30 + n)/50]-(208/7)*[(30 + n)/49] + (-(6888/25)-(144*n)/25)*[(30 + n)/35] + 24*[(31 +n)/50]-(136/7)*[(31 + n)/49] + (-(6776/25)-(144*n)/25)*[(31 + n)/35] + 64*[(32 + n)/50] + (32/7)*[(32 + n)/49] + (56/25-(144*n)/25)*[(32 + n)/35] + 56*[(33 + n)/50] + (240/7)*[(33 + n)/49] + (6552/25 +(144*n)/25)*[(33 + n)/35] + 72*[(34 + n)/50] + (240/7)*[(34 + n)/49]-8*[(35 + n)/50] + (40/7)*[(35 + n)/49]-72*[(36 + n)/50]-(80/7)*[(36 + n)/49]-80*[(37 + n)/50]-(136/7)*[(37 + n)/49]-32*[(38 + n)/50]-(128/7)*[(38 +n)/49]-8*[(39 + n)/50]-8*[(39 + n)/49] + 72*[(40 + n)/50] + (80/7)*[(40 + n)/49] + 96*[(41 + n)/50] + (200/7)*[(41 + n)/49] + 64*[(42 + n)/50] + (80/7)*[(42 + n)/49]-16*[(43 + n)/50]-16*[(44 + n)/50]-(48/7)*[(44 +n)/49]-56*[(45 + n)/50]-(64/7)*[(45 + n)/49]-40*[(46 + n)/50]-(48/7)*[(46 + n)/49] + 40*[(48 + n)/50]-(1344/5)*[(54 + n)/175] + (-(6664/25)-(144*n)/25)*[(55 + n)/175] + (-(6552/25)-(144*n)/25)*[(56 + n)/175] + ((1288/5)-(144*n)/25)*[(57 + n)/175] + (-(6328/25)-(144*n)/25)*[(58 + n)/175] + (504/25-(144*n)/25)*[(59 + n)/175] + (112/5)*[(60 + n)/175] + (112/5)*[(61 + n)/175] + (112/5)*[(62 + n)/175] + (112/5)*[(63 + n)/175]+ (112/5)*[(64 + n)/175] + (112/5)*[(65 + n)/175] + (112/5)*[(66 + n)/175] + (112/5)*[(67 + n)/175] + (112/5)*[(68 + n)/175] + (112/5)*[(69 + n)/175] + (112/5)*[(70 + n)/175] + (112/5)*[(71 + n)/175] + (112/5)*[(72 +n)/175] + (112/5)*[(73 + n)/175] + (112/5)*[(74 + n)/175] + (112/5)*[(75 + n)/175] + (112/5)*[(76 + n)/175] + (112/5)*[(77 + n)/175] + (112/5)*[(78 + n)/175]-(1232/5)*[(79 + n)/175] + (-(6104/25)-(144*n)/25)*[(80 +n)/175] + (-(5992/25)-(144*n)/25)*[(81 + n)/175] + (-(1176/5)-(144*n)/25)*[(82 + n)/175] + (-(5768/25)-(144*n)/25)*[(83 + n)/175] + (1064/25-(144*n)/25)*[(84 + n)/175] + (224/5)*[(85 + n)/175] + (224/5)*[(86 +n)/175] + (224/5)*[(87 + n)/175] + (224/5)*[(88 + n)/175]-224*[(89 + n)/175] + (-(5544/25)-(144*n)/25)*[(90 + n)/175] + (-(5432/25)-(144*n)/25)*[(91 + n)/175] + (-(1064/5)-(144*n)/25)*[(92 + n)/175] + (-(5208/25)(144*n)/25)*[(93 + n)/175] + (1624/25-(144*n)/25)*[(94 + n)/175] + (336/5)*[(95 + n)/175] + (336/5)*[(96 + n)/175] + (336/5)*[(97 + n)/175] + (336/5)*[(98 + n)/175] + (336/5)*[(99 + n)/175] + (336/5)*[(100 + n)/175]+ (336/5)*[(101 + n)/175] + (336/5)*[(102 + n)/175] + (336/5)*[(103 + n)/175]-(1008/5)*[(104 + n)/175] + (-(4984/25)-(144*n)/25)*[(105 + n)/175] + (-(4872/25)-(144*n)/25)*[(106 + n)/175] + (-(952/5)(144*n)/25)*[(107 + n)/175] + (-(4648/25)-(144*n)/25)*[(108 + n)/175] + (2184/25-(144*n)/25)*[(109 + n)/175] + (448/5)*[(110 + n)/175] + (448/5)*[(111 + n)/175] + (448/5)*[(112 + n)/175] + (448/5)*[(113 + n)/175](896/5)*[(114 + n)/175] + (-(4424/25)-(144*n)/25)*[(115 + n)/175] + (-(4312/25)-(144*n)/25)*[(116 + n)/175] + (-168-(144*n)/25)*[(117 + n)/175] + (-(4088/25)-(144*n)/25)*[(118 + n)/175] + (2744/25(144*n)/25)*[(119 + n)/175] + 112*[(120 + n)/175] + 112*[(121 + n)/175] + 112*[(122 + n)/175] + 112*[(123 + n)/175]-(784/5)*[(124 + n)/175] + (-(3864/25)-(144*n)/25)*[(125 + n)/175] + (-(3752/25)(144*n)/25)*[(126 + n)/175] + (-(728/5)-(144*n)/25)*[(127 + n)/175] + (-(3528/25)-(144*n)/25)*[(128 + n)/175] + (-(3416/25)-(144*n)/25)*[(129 + n)/175] + (-(3304/25)-(144*n)/25)*[(130 + n)/175] + (-(3192/25)(144*n)/25)*[(131 + n)/175] + (-(616/5)-(144*n)/25)*[(132 + n)/175] + (-(2968/25)-(144*n)/25)*[(133 + n)/175] + (3864/25-(144*n)/25)*[(134 + n)/175] + (784/5)*[(135 + n)/175] + (784/5)*[(136 + n)/175] +(784/5)*[(137 + n)/175] + (784/5)*[(138 + n)/175]-112*[(139 + n)/175] + (-(2744/25)-(144*n)/25)*[(140 + n)/175] + (-(2632/25)-(144*n)/25)*[(141 + n)/175] + (-(504/5)-(144*n)/25)*[(142 + n)/175] + (-(2408/25)(144*n)/25)*[(143 + n)/175] + (4424/25-(144*n)/25)*[(144 + n)/175] + (896/5)*[(145 + n)/175] + (896/5)*[(146 + n)/175] + (896/5)*[(147 + n)/175] + (896/5)*[(148 + n)/175]-(448/5)*[(149 + n)/175] + (-(2184/25)(144*n)/25)*[(150 + n)/175] + (-(2072/25)-(144*n)/25)*[(151 + n)/175] + (-(392/5)-(144*n)/25)*[(152 + n)/175] + (-(1848/25)-(144*n)/25)*[(153 + n)/175] + (-(1736/25)-(144*n)/25)*[(154 + n)/175] + (-(1624/25)(144*n)/25)*[(155 + n)/175] + (-(1512/25)-(144*n)/25)*[(156 + n)/175] + (-56-(144*n)/25)*[(157 + n)/175] + (-(1288/25)-(144*n)/25)*[(158 + n)/175] + (-(1176/25)-(144*n)/25)*[(159 + n)/175] + (-(1064/25)(144*n)/25)*[(160 + n)/175] + (-(952/25)-(144*n)/25)*[(161 + n)/175] + (-(168/5)-(144*n)/25)*[(162 + n)/175] + (-(728/25)-(144*n)/25)*[(163 + n)/175] + (-(616/25)-(144*n)/25)*[(164 + n)/175] + (-(504/25)(144*n)/25)*[(165 + n)/175] + (-(392/25)-(144*n)/25)*[(166 + n)/175] + (-(56/5)-(144*n)/25)*[(167 + n)/175] + (-(168/25)-(144*n)/25)*[(168 + n)/175] + (6664/25-(144*n)/25)*[(169 + n)/175] + (1344/5)*[(170 +n)/175] + (1344/5)*[(171 + n)/175] + (1344/5)*[(172 + n)/175] + (1344/5)*[(173 + n)/175]

559

Recurrence

Generating function- 4x^2*(1 + 17x + 64x^2 + 171x^3 + 369x^4 + 702x^5 + 789x^6 +2437x^7 + 1975x^8 + 5347x^9 + 4577x^10 + 9913x^11 +9075x^12 + 13820x^13 + 20705x^14 + 18031x^15 +35316x^16 +25203x^17 + 53021x^18 + 35574x^19 + 65552x^20+66676x^21 +70662x^22 + 102942x^23 + 79130x^24 + 142571x^25 +90975x^26 + 167987x^27 + 146691x^28 + 167858x^29 +212554x^30 + 171202x^31 + 282979x^32 + 178674x^33 +327589x^34 + 264849x^35 + 319107x^36 + 370811x^37+313328x^38 + 487263x^39 + 311211x^40 + 563465x^41 +433479x^42 + 548468x^43 + 588488x^44 + 531657x^45 +767590x^46 + 510783x^47 + 888850x^48 + 669413x^49 +869033x^50 + 876062x^51 + 838164x^52 + 1129563x^53+784493x^54 + 1306412x^55 + 974426x^56 +1280722x^57 +1229972x^58 + 1229986x^59 + 1564509x^60 +1125966x^61 +1804466x^62 + 1335511x^63 + 1771057x^64 +1631084x^65 +1694820x^66 + 2048347x^67 + 1524451x^68+2356841x^69 +1740519x^70 + 2317819x^71 + 2066193x^72 +2215795x^73 +2568013x^74 + 1969332x^75 + 2951399x^76 +2183223x^77 +2912924x^78 + 2531036x^79 + 2788031x^80 +3119095x^81 +2457241x^82 + 3581616x^83 +
2659614x^84 +3546774x^85 +3019084x^86 + 3399465x^87 + 3688757x^88 +2975432x^89 +4228615x^90 + 3157109x^91 + 4195584x^92 +3519276x^93 +4024246x^94 + 4264520x^95 + 3502030x^96 +4878831x^97 +3659213x^98 +
4845899x^99 + 4021421x^100 +4649878x^101 +4840760x^102 + 4028878x^103 + 5529159x^104 +4161367x^105 +5496221x^106 + 4523583x^107 + 5275496x^108 +5417018x^109 +4555704x^110 + 6179513x^111 + 4663491x^112+6146575x^113 +5025713x^114 + 5901146x^115 + 5993244x^116 +5082562x^117 +6829835x^118 + 5165645x^119 + 6796903x^120 +5527865x^121 +6526778x^122 + 6569484x^123 + 5609410x^124 +7480163x^125 +5667797x^126 +7447231x^127 + 6030017x^128 +7152410x^129 +7145726x^130 + 6136252x^131 + 8130501x^132 +6169935x^133 +8097577x^134 + 6532147x^135 + 7778068x^136 +7721938x^137 +6663126x^138 + 8780807x^139 + 6672105x^140+8747891x^141 +7034309x^142 + 8403694x^143 + 8298180x^144 +7189974x^145 +9431135x^146 + 7174257x^147 + 9398219x^148 +7536461x^149 +9029326x^150 + 8874420x^151 + 7716822x^152 +10081463x^153 +7676409x^154 +
10048549x^155 + 8038607x^156 +9654968x^157 +9450646x^158 + 8243688x^159 + 10731769x^160 +8178587x^161 +10698849x^162 + 8540785x^163 + 10280578x^164 +10026904x^165 + 8770522x^166 + 11382107x^167 +8680733x^168+ 11349179x^169 + 9042937x^170 +10906210x^171 + 10603144x^172 + 9297370x^173 +12032181x^174 + 9183387x^175 + 11998715x^176 +9545969x^177 + 11530238x^178 + 11180158x^179 +9821050x^180 + 12683195x^181 +9678157x^182 +12647887x^183 + 10034549x^184 + 12150314x^185 +11733808x^186 + 10334906x^187 + 13303709x^188 +10147279x^189 + 13262847x^190 + 10479773x^191 +12731934x^192 + 12226346x^193 + 10806492x^194+13852335x^195 + 10555977x^196 + 13809171x^197 +10845665x^198 + 13250212x^199 + 12623486x^200 +11222030x^201 + 14298801x^202 + 10896837x^203 +14266619x^204 + 11126829x^205 + 13693964x^206 +12916400x^207 +
11576240x^208 + 14626919x^209 +11165929x^210 + 14610947x^211 + 11316221x^212 +14031592x^213 + 13087578x^214 + 11834758x^215 +14808505x^216 + 11328061x^217 + 14805067x^218 +11380755x^219 + 14222328x^220 +13101652x^221 +11963720x^222 + 14807309x^223 + 11358595x^224 +14814519x^225 + 11307001x^226 + 14236208x^227 +12952434x^228 + 11944914x^229 + 14620245x^230 +11253235x^231 + 14638705x^232 + 11104343x^233+14074936x^234 + 12662288x^235 + 11785060x^236 +14278215x^237 + 11029715x^238 + 14311615x^239 +10801265x^240 + 13773656x^241 + 12268342x^242 +11517198x^243 + 13822033x^244 + 10723363x^245 +13867161x^246 +
10434207x^247 + 13356838x^248 +11805250x^249 + 11154792x^250 + 13282237x^251 +10341369x^252 + 13325767x^253 + 10008439x^254 +12835730x^255 + 11281840x^256 + 10703058x^257 +12675141x^258 + 9887479x^259 +
12711901x^260 +9530739x^261 + 12242244x^262 + 10715254x^263 +10196776x^264 + 12028465x^265 + 9397397x^266 +12062099x^267 + 9034767x^268 + 11616554x^269 +10141480x^270 + 9669170x^271 + 11379369x^272+8894587x^273 + 11412301x^274 + 8532379x^275 +10990922x^276 + 9565240x^277 + 9142322x^278 +10729041x^279 + 8392433x^280 + 10761979x^281 +8030217x^282 + 10365304x^283 + 8988982x^284 +8615496x^285+10078687x^286 + 7890309x^287 + 10111625x^288 +7528087x^289 + 9739654x^290 + 8412756x^291 +8088638x^292 +9428365x^293 + 7388155x^294 + 9461297x^295 +7025935x^296 +9114022x^297 + 7836516x^298 + 7561790x^299+8778037x^300 +6886003x^301 + 8810969x^302 + 6523783x^303 +8488390x^304 +7260274x^305 + 7034948x^306 + 8127699x^307 +6383865x^308 +8160623x^309 + 6021653x^310 + 7862732x^311 +6684062x^312 +6508074x^313 +
7477393x^314 + 5881695x^315 +7510309x^316 +5519491x^317 + 7237106x^318 + 6107820x^319 +5981226x^320 +6827065x^321 + 5379543x^322 + 6859981x^323 +5017339x^324 +6611474x^325 + 5531580x^326 + 5454378x^327+6176737x^328 +4877391x^329 + 6209651x^330 + 4515193x^331 +5985832x^332 +4955354x^333 + 4927512x^334 + 5526431x^335 +4375213x^336 +5559351x^337 + 4013015x^338 + 5360222x^339 +4379096x^340 +4400678x^341 +
4876093x^342 + 3873067x^343 +4909021x^344 +3510863x^345 + 4734590x^346 + 3802856x^347 +3873830x^348 +4225767x^349 + 3370916x^350 + 4258712x^351 +3008775x^352 +4109131x^353 + 3226985x^354 + 3347684x^355+3576232x^356 +2871190x^357 + 3610354x^358 + 2511888x^359 +3487925x^360 +2660263x^361 + 2829235x^362 + 2938907x^363 +2387328x^364 +2976062x^365 + 2039719x^366 + 2882907x^367 +2127137x^368 +2328882x^369 +
2340313x^370 + 1931147x^371 +2378367x^372 +1605193x^373 + 2311206x^374 + 1640447x^375 +1857439x^376 +1792420x^377 + 1509012x^378 + 1825235x^379 +1212653x^380 +1777650x^381 + 1204605x^382 + 1418302x^383+1301676x^384 +1125038x^385 + 1326130x^386 + 868784x^387 +1294116x^388 +832671x^389 + 1023971x^390 + 887238x^391 +791504x^392 +905169x^393 + 584305x^394 + 886815x^395 +536758x^396 +696697x^397 + 562293x^398 +525288x^399 +575404x^400 +369729x^401 + 567688x^402 + 322491x^403 +443557x^404 +329527x^405 + 328155x^406 + 336757x^407 +221501x^408 +333862x^409 + 181219x^410 + 258158x^411 +177283x^412 +187062x^413 +176788x^414 + 120443x^415 +173080x^416 +88807x^417 + 129803x^418 + 79326x^419 + 89918x^420 +73220x^421 + 53400x^422 + 68419x^423 + 32233x^424 +47832x^425 + 23556x^426 + 30468x^427 + 17997x^428 +16089x^429 +
15023x^430 + 7081x^431 + 8885x^432 +3459x^433 + 4691x^434 + 1541x^435 + 1961x^436 +855x^437 +477x^438 + 252x^439 + 112x^440 + 50x^441 +13x^442 +9x^443) / ((-1 + x)^7*(1 + x)*(1 + x^2)*(1 + x^4)* (1 - x + x^2 - x^3 +x^4)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^2* (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6)* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4*(1 - x^5 + x^10 -x^15 +x^20)*(1 + x^5 + x^10 + x^15 + x^20)^2* (1 - x + x^5 - x^6 + x^7 - x^8 + x^10 - x^11 + x^12 x^13 +x^14 - x^16 + x^17 - x^18 + x^19 - x^23 + x^24)^2* (1 + x^7 + x^14 + x^21 + x^28 + x^35 + x^42)* (1 - x^5 + x^25 - x^30 + x^35 - x^40 + x^50 - x^55 + x^60 -x^65 + x^70 - x^80 + x^85 - x^90 + x^95 - x^115 +x^120)^2)560

Three [2,7] riders on an n x n chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 10.12.2010) , period = 46746(9331535*n)/52028298 + (10866655*n^2)/26014149-(871858*n^3)/963487 + (196166*n^4)/490833-(38*n^5)/147 + n^6/6 + (18064/53 + (3000*n)/2809)*[n/53] + (64/3)*[n/9] + (-(10126938/18179) + (45160*n)/2597(804*n^2)/343 + (120*n^3)/49)*[n/7] + (160/27)*[n/3] + (3239441*[n/2])/18179 + (2054344/2809 + (6000*n)/2809)*[(1 + n)/53]-8*[(1 + n)/9] + (-(13990348/18179) + (228680*n)/18179-(950*n^2)/343 +(100*n^3)/49)*[(1 + n)/7] + (476/27)*[(1 + n)/3] + (-(637504/2809) + (9000*n)/2809)*[(2 + n)/53] + (64/3)*[(2 + n)/9] + ((233672*n)/18179-(984*n^2)/343 + (80*n^3)/49)*[(2 + n)/7] + (437104/2809 +(1400*n)/2809)*[(3 + n)/53]-(3680926*[(3 + n)/14])/18179 + (20/3)*[(3 + n)/9] + ((191936*n)/18179-(906*n^2)/343 + (60*n^3)/49)*[(3 + n)/7] + (1507112/2809 + (4400*n)/2809)*[(4 + n)/53]-(13588734*[(4 +n)/14])/18179-4*[(4 + n)/9] + ((174032*n)/18179-(716*n^2)/343 + (40*n^3)/49)*[(4 + n)/7] + (2538600/2809 + (7400*n)/2809)*[(5 + n)/53]-(2468040*[(5 + n)/14])/2597 + (44/3)*[(5 + n)/9] + ((40800*n)/18179(414*n^2)/343 + (20*n^3)/49)*[(5 + n)/7] + (-(82184/2809) + (10400*n)/2809)*[(6 + n)/53] + (32/7)*[(6 + n)/49]-(3257620*[(6 + n)/14])/18179 + (885408/2809 + (2800*n)/2809)*[(7 + n)/53]-(96/7)*[(7 + n)/49] +(3257620*[(7 + n)/14])/18179 + (1984928/2809 + (5800*n)/2809)*[(8 + n)/53]-(48/7)*[(8 + n)/49]-(3221262*[(8 + n)/14])/18179 + (-(723856/2809) + (8800*n)/2809)*[(9 + n)/53] + (24/7)*[(9 + n)/49] + (3257620*[(9 +n)/14])/18179 + (359256/2809 + (1200*n)/2809)*[(10 + n)/53]-(48/7)*[(10 + n)/49]-(6902188*[(10 + n)/14])/18179 + (1418264/2809 + (4200*n)/2809)*[(11 + n)/53] + (72/7)*[(11 + n)/49]-(10331114*[(11 +n)/14])/18179 + (2464192/2809 + (7200*n)/2809)*[(12 + n)/53]-(8/7)*[(12 + n)/49]-(20497542*[(12 + n)/14])/18179 + (-(161656/2809) + (10200*n)/2809)*[(13 + n)/53] + (136/7)*[(13 + n)/49] + (826312/2809 +(2600*n)/2809)*[(14 + n)/53]-(96/7)*[(14 + n)/49] + (1926704/2809 + (5600*n)/2809)*[(15 + n)/53] + (24/7)*[(15 + n)/49] + (-(800712/2809) + (8600*n)/2809)*[(16 + n)/53]-(32/7)*[(16 + n)/49] + (289208/2809 +(1000*n)/2809)*[(17 + n)/53]-(40/7)*[(17 + n)/49] + (1335520/2809 + (4000*n)/2809)*[(18 + n)/53] + 8*[(18 + n)/49] + (2394192/2809 + (7000*n)/2809)*[(19 + n)/53]-(80/7)*[(19 + n)/49] + (-(238416/2809) +(10000*n)/2809)*[(20 + n)/53] + (200/7)*[(20 + n)/49] + (768232/2809 + (2400*n)/2809)*[(21 + n)/53]-16*[(21 + n)/49] + (1867800/2809 + (5400*n)/2809)*[(22 + n)/53] + (104/7)*[(22 + n)/49] + (-(879944/2809) +(8400*n)/2809)*[(23 + n)/53]-8*[(23 + n)/49] + (215088/2809 + (800*n)/2809)*[(24 + n)/53] + (24/7)*[(24 + n)/49] + (1247008/2809 + (3800*n)/2809)*[(25 + n)/53] + (8/7)*[(25 + n)/49] + (2316728/2809 +(6800*n)/2809)*[(26 + n)/53]-(48/7)*[(26 + n)/49] + (-(324336/2809) + (9800*n)/2809)*[(27 + n)/53] + 16*[(27 + n)/49] + (699296/2809 + (2200*n)/2809)*[(28 + n)/53]-(200/7)*[(28 + n)/49] + (1796344/2809 +(5200*n)/2809)*[(29 + n)/53] + (136/7)*[(29 + n)/49] + (-(950952/2809) + (8200*n)/2809)*[(30 + n)/53]-(104/7)*[(30 + n)/49] + (147496/2809 + (600*n)/2809)*[(31 + n)/53] + (88/7)*[(31 + n)/49] + (1163328/2809 +(3600*n)/2809)*[(32 + n)/53]-(16/7)*[(32 + n)/49] + (2242400/2809 + (6600*n)/2809)*[(33 + n)/53] + (32/7)*[(33 + n)/49] + (-(408816/2809) + (9600*n)/2809)*[(34 + n)/53] + (96/7)*[(34 + n)/49] + (630104/2809 +(2000*n)/2809)*[(35 + n)/53]-(136/7)*[(35 + n)/49] + (1722936/2809 + (5000*n)/2809)*[(36 + n)/53] + (64/7)*[(36 + n)/49] + (-(1003136/2809) + (8000*n)/2809)*[(37 + n)/53]-(120/7)*[(37 + n)/49] + (97032/2809 +(400*n)/2809)*[(38 + n)/53] + (96/7)*[(38 + n)/49] + (1095080/2809 + (3400*n)/2809)*[(39 + n)/53]-(72/7)*[(39 + n)/49] + (2181808/2809 + (6400*n)/2809)*[(40 + n)/53] + (104/7)*[(40 + n)/49] + (-(481256/2809) +(9400*n)/2809)*[(41 + n)/53] + (96/7)*[(41 + n)/49] + (571256/2809 + (1800*n)/2809)*[(42 + n)/53]-(32/7)*[(42 + n)/49] + (1658176/2809 + (4800*n)/2809)*[(43 + n)/53] + 8*[(43 + n)/49] + (-(1048368/2809) +(7800*n)/2809)*[(44 + n)/53]-(48/7)*[(44 + n)/49] + (51824/2809 + (200*n)/2809)*[(45 + n)/53] + (48/7)*[(45 + n)/49] + (1030392/2809 + (3200*n)/2809)*[(46 + n)/53]-(48/7)*[(46 + n)/49] + (2123080/2809 +(6200*n)/2809)*[(47 + n)/53] + 8*[(47 + n)/49] + (-(553528/2809) + (9200*n)/2809)*[(48 + n)/53] + (510880/2809 + (1600*n)/2809)*[(49 + n)/53] + (1590192/2809 + (4600*n)/2809)*[(50 + n)/53] + (-(1098520/2809)+ (7600*n)/2809)*[(51 + n)/53]-(69888/53)*[(58 + n)/371] + (224/53-(200*n)/53)*[(59 + n)/371] + (448/53)*[(60 + n)/371] + (448/53)*[(61 + n)/371] + (448/53)*[(62 + n)/371] + (448/53)*[(63 + n)/371] +(448/53)*[(64 + n)/371]-(69440/53)*[(65 + n)/371] + (672/53-(200*n)/53)*[(66 + n)/371] + (896/53)*[(67 + n)/371] + (896/53)*[(68 + n)/371] + (896/53)*[(69 + n)/371] + (896/53)*[(70 + n)/371] + (896/53)*[(71 +n)/371]-(68992/53)*[(72 + n)/371] + (1120/53-(200*n)/53)*[(73 + n)/371] + (1344/53)*[(74 + n)/371] + (1344/53)*[(75 + n)/371] + (1344/53)*[(76 + n)/371] + (1344/53)*[(77 + n)/371] + (1344/53)*[(78 + n)/371](68544/53)*[(79 + n)/371] + (1568/53-(200*n)/53)*[(80 + n)/371] + (1792/53)*[(81 + n)/371] + (1792/53)*[(82 + n)/371] + (1792/53)*[(83 + n)/371] + (1792/53)*[(84 + n)/371] + (1792/53)*[(85 + n)/371](68096/53)*[(86 + n)/371] + (2016/53-(200*n)/53)*[(87 + n)/371] + (2240/53)*[(88 + n)/371] + (2240/53)*[(89 + n)/371] + (2240/53)*[(90 + n)/371] + (2240/53)*[(91 + n)/371] + (2240/53)*[(92 + n)/371](67648/53)*[(93 + n)/371] + (2464/53-(200*n)/53)*[(94 + n)/371] + (2688/53)*[(95 + n)/371] + (2688/53)*[(96 + n)/371] + (2688/53)*[(97 + n)/371] + (2688/53)*[(98 + n)/371] + (2688/53)*[(99 + n)/371](67200/53)*[(100 + n)/371] + (2912/53-(200*n)/53)*[(101 + n)/371] + (3136/53)*[(102 + n)/371] + (3136/53)*[(103 + n)/371] + (3136/53)*[(104 + n)/371] + (3136/53)*[(105 + n)/371] + (3136/53)*[(106 + n)/371](66752/53)*[(107 + n)/371] + (3360/53-(200*n)/53)*[(108 + n)/371] + (3584/53)*[(109 + n)/371] + (3584/53)*[(110 + n)/371]-(66304/53)*[(111 + n)/371] + (3808/53-(200*n)/53)*[(112 + n)/371] + (4032/53)*[(113 +n)/371]-(65856/53)*[(114 + n)/371] + (4256/53-(200*n)/53)*[(115 + n)/371] + (4480/53)*[(116 + n)/371] + (4480/53)*[(117 + n)/371]-(65408/53)*[(118 + n)/371] + (4704/53-(200*n)/53)*[(119 + n)/371] +(4928/53)*[(120 + n)/371]-(64960/53)*[(121 + n)/371] + (5152/53-(200*n)/53)*[(122 + n)/371] + (5376/53)*[(123 + n)/371] + (5376/53)*[(124 + n)/371]-(64512/53)*[(125 + n)/371] + (5600/53-(200*n)/53)*[(126 +n)/371] + (5824/53)*[(127 + n)/371]-(64064/53)*[(128 + n)/371] + (6048/53-(200*n)/53)*[(129 + n)/371] + (6272/53)*[(130 + n)/371] + (6272/53)*[(131 + n)/371]-(63616/53)*[(132 + n)/371] + (6496/53(200*n)/53)*[(133 + n)/371] + (6720/53)*[(134 + n)/371]-(63168/53)*[(135 + n)/371] + (6944/53-(200*n)/53)*[(136 + n)/371] + (7168/53)*[(137 + n)/371] + (7168/53)*[(138 + n)/371]-(62720/53)*[(139 + n)/371] +(7392/53-(200*n)/53)*[(140 + n)/371] + (7616/53)*[(141 + n)/371]-(62272/53)*[(142 + n)/371] + (7840/53-(200*n)/53)*[(143 + n)/371] + (8064/53)*[(144 + n)/371] + (8064/53)*[(145 + n)/371]-(61824/53)*[(146 +n)/371] + (8288/53-(200*n)/53)*[(147 + n)/371] + (8512/53)*[(148 + n)/371]-(61376/53)*[(149 + n)/371] + (8736/53-(200*n)/53)*[(150 + n)/371] + (8960/53)*[(151 + n)/371] + (8960/53)*[(152 + n)/371](60928/53)*[(153 + n)/371] + (9184/53-(200*n)/53)*[(154 + n)/371] + (9408/53)*[(155 + n)/371]-(60480/53)*[(156 + n)/371] + (9632/53-(200*n)/53)*[(157 + n)/371] + (9856/53)*[(158 + n)/371] + (9856/53)*[(159 +n)/371]-(60032/53)*[(160 + n)/371] + (10080/53-(200*n)/53)*[(161 + n)/371] + (10304/53)*[(162 + n)/371]-(59584/53)*[(163 + n)/371] + (-1120-(200*n)/53)*[(164 + n)/371] + (10976/53-(200*n)/53)*[(165 + n)/371] +(11200/53)*[(166 + n)/371]-(58688/53)*[(167 + n)/371] + (11424/53-(200*n)/53)*[(168 + n)/371] + (11648/53)*[(169 + n)/371]-(58240/53)*[(170 + n)/371] + (-(58016/53)-(200*n)/53)*[(171 + n)/371] + (12320/53(200*n)/53)*[(172 + n)/371] + (12544/53)*[(173 + n)/371]-(57344/53)*[(174 + n)/371] + (12768/53-(200*n)/53)*[(175 + n)/371] + (12992/53)*[(176 + n)/371]-(56896/53)*[(177 + n)/371] + (-(56672/53)(200*n)/53)*[(178 + n)/371] + (13664/53-(200*n)/53)*[(179 + n)/371] + (13888/53)*[(180 + n)/371]-(56000/53)*[(181 + n)/371] + (14112/53-(200*n)/53)*[(182 + n)/371] + (14336/53)*[(183 + n)/371](55552/53)*[(184 + n)/371] + (-(55328/53)-(200*n)/53)*[(185 + n)/371] + (15008/53-(200*n)/53)*[(186 + n)/371] + (15232/53)*[(187 + n)/371]-(54656/53)*[(188 + n)/371] + (15456/53-(200*n)/53)*[(189 + n)/371] +(15680/53)*[(190 + n)/371]-(54208/53)*[(191 + n)/371] + (-(53984/53)-(200*n)/53)*[(192 + n)/371] + (16352/53-(200*n)/53)*[(193 + n)/371] + (16576/53)*[(194 + n)/371]-(53312/53)*[(195 + n)/371] + (16800/53(200*n)/53)*[(196 + n)/371] + (17024/53)*[(197 + n)/371]-(52864/53)*[(198 + n)/371] + (-(52640/53)-(200*n)/53)*[(199 + n)/371] + (17696/53-(200*n)/53)*[(200 + n)/371] + (17920/53)*[(201 + n)/371](51968/53)*[(202 + n)/371] + (18144/53-(200*n)/53)*[(203 + n)/371] + (18368/53)*[(204 + n)/371]-(51520/53)*[(205 + n)/371] + (-(51296/53)-(200*n)/53)*[(206 + n)/371] + (19040/53-(200*n)/53)*[(207 + n)/371] +(19264/53)*[(208 + n)/371]-(50624/53)*[(209 + n)/371] + (19488/53-(200*n)/53)*[(210 + n)/371] + (19712/53)*[(211 + n)/371]-(50176/53)*[(212 + n)/371] + (-(49952/53)-(200*n)/53)*[(213 + n)/371] + (20384/53(200*n)/53)*[(214 + n)/371] + (20608/53)*[(215 + n)/371]-(49280/53)*[(216 + n)/371] + (-(49056/53)-(200*n)/53)*[(217 + n)/371] + (21280/53-(200*n)/53)*[(218 + n)/371]-(48384/53)*[(219 + n)/371] + (-(48160/53)(200*n)/53)*[(220 + n)/371] + (22176/53-(200*n)/53)*[(221 + n)/371] + (22400/53)*[(222 + n)/371]-896*[(223 + n)/371] + (-(47264/53)-(200*n)/53)*[(224 + n)/371] + (23072/53-(200*n)/53)*[(225 + n)/371]-

561(46592/53)*[(226 + n)/371] + (-(46368/53)-(200*n)/53)*[(227 + n)/371] + (23968/53-(200*n)/53)*[(228 + n)/371] + (24192/53)*[(229 + n)/371]-(45696/53)*[(230 + n)/371] + (-(45472/53)-(200*n)/53)*[(231 + n)/371] +(24864/53-(200*n)/53)*[(232 + n)/371]-(44800/53)*[(233 + n)/371] + (-(44576/53)-(200*n)/53)*[(234 + n)/371] + (25760/53-(200*n)/53)*[(235 + n)/371] + (25984/53)*[(236 + n)/371]-(43904/53)*[(237 + n)/371] + ((43680/53)-(200*n)/53)*[(238 + n)/371] + (26656/53-(200*n)/53)*[(239 + n)/371]-(43008/53)*[(240 + n)/371] + (-(42784/53)-(200*n)/53)*[(241 + n)/371] + (27552/53-(200*n)/53)*[(242 + n)/371] + (27776/53)*[(243+ n)/371]-(42112/53)*[(244 + n)/371] + (-(41888/53)-(200*n)/53)*[(245 + n)/371] + (28448/53-(200*n)/53)*[(246 + n)/371]-(41216/53)*[(247 + n)/371] + (-(40992/53)-(200*n)/53)*[(248 + n)/371] + (29344/53(200*n)/53)*[(249 + n)/371] + (29568/53)*[(250 + n)/371]-(40320/53)*[(251 + n)/371] + (-(40096/53)-(200*n)/53)*[(252 + n)/371] + (30240/53-(200*n)/53)*[(253 + n)/371]-(39424/53)*[(254 + n)/371] + (-(39200/53)(200*n)/53)*[(255 + n)/371] + (31136/53-(200*n)/53)*[(256 + n)/371] + (31360/53)*[(257 + n)/371]-(38528/53)*[(258 + n)/371] + (-(38304/53)-(200*n)/53)*[(259 + n)/371] + (32032/53-(200*n)/53)*[(260 + n)/371](37632/53)*[(261 + n)/371] + (-(37408/53)-(200*n)/53)*[(262 + n)/371] + (32928/53-(200*n)/53)*[(263 + n)/371] + (33152/53)*[(264 + n)/371]-(36736/53)*[(265 + n)/371] + (-(36512/53)-(200*n)/53)*[(266 + n)/371] +(33824/53-(200*n)/53)*[(267 + n)/371]-(35840/53)*[(268 + n)/371] + (-672-(200*n)/53)*[(269 + n)/371] + (-(35168/53)-(200*n)/53)*[(270 + n)/371] + (35168/53-(200*n)/53)*[(271 + n)/371]-(34496/53)*[(272 +n)/371] + (-(34272/53)-(200*n)/53)*[(273 + n)/371] + (36064/53-(200*n)/53)*[(274 + n)/371]-(33600/53)*[(275 + n)/371] + (-(33376/53)-(200*n)/53)*[(276 + n)/371] + (-(32928/53)-(200*n)/53)*[(277 + n)/371] +(37408/53-(200*n)/53)*[(278 + n)/371]-(32256/53)*[(279 + n)/371] + (-(32032/53)-(200*n)/53)*[(280 + n)/371] + (38304/53-(200*n)/53)*[(281 + n)/371]-(31360/53)*[(282 + n)/371] + (-(31136/53)-(200*n)/53)*[(283 +n)/371] + (-(30688/53)-(200*n)/53)*[(284 + n)/371] + (39648/53-(200*n)/53)*[(285 + n)/371]-(30016/53)*[(286 + n)/371] + (-(29792/53)-(200*n)/53)*[(287 + n)/371] + (40544/53-(200*n)/53)*[(288 + n)/371](29120/53)*[(289 + n)/371] + (-(28896/53)-(200*n)/53)*[(290 + n)/371] + (-(28448/53)-(200*n)/53)*[(291 + n)/371] + (41888/53-(200*n)/53)*[(292 + n)/371]-(27776/53)*[(293 + n)/371] + (-(27552/53)(200*n)/53)*[(294 + n)/371] + (42784/53-(200*n)/53)*[(295 + n)/371]-(26880/53)*[(296 + n)/371] + (-(26656/53)-(200*n)/53)*[(297 + n)/371] + (-(26208/53)-(200*n)/53)*[(298 + n)/371] + (44128/53(200*n)/53)*[(299 + n)/371]-(25536/53)*[(300 + n)/371] + (-(25312/53)-(200*n)/53)*[(301 + n)/371] + (45024/53-(200*n)/53)*[(302 + n)/371]-(24640/53)*[(303 + n)/371] + (-(24416/53)-(200*n)/53)*[(304 + n)/371] +(-(23968/53)-(200*n)/53)*[(305 + n)/371] + (46368/53-(200*n)/53)*[(306 + n)/371]-(23296/53)*[(307 + n)/371] + (-(23072/53)-(200*n)/53)*[(308 + n)/371] + (47264/53-(200*n)/53)*[(309 + n)/371]-(22400/53)*[(310 +n)/371] + (-(22176/53)-(200*n)/53)*[(311 + n)/371] + (-(21728/53)-(200*n)/53)*[(312 + n)/371] + (48608/53-(200*n)/53)*[(313 + n)/371]-(21056/53)*[(314 + n)/371] + (-(20832/53)-(200*n)/53)*[(315 + n)/371] +(49504/53-(200*n)/53)*[(316 + n)/371]-(20160/53)*[(317 + n)/371] + (-(19936/53)-(200*n)/53)*[(318 + n)/371] + (-(19488/53)-(200*n)/53)*[(319 + n)/371] + (50848/53-(200*n)/53)*[(320 + n)/371]-(18816/53)*[(321 +n)/371] + (-(18592/53)-(200*n)/53)*[(322 + n)/371] + (-(18144/53)-(200*n)/53)*[(323 + n)/371] + (-(17696/53)-(200*n)/53)*[(324 + n)/371] + (-(17248/53)-(200*n)/53)*[(325 + n)/371] + (-(16800/53)(200*n)/53)*[(326 + n)/371] + (53536/53-(200*n)/53)*[(327 + n)/371]-(16128/53)*[(328 + n)/371] + (-(15904/53)-(200*n)/53)*[(329 + n)/371] + (-(15456/53)-(200*n)/53)*[(330 + n)/371] + (-(15008/53)(200*n)/53)*[(331 + n)/371] + (-(14560/53)-(200*n)/53)*[(332 + n)/371] + (-(14112/53)-(200*n)/53)*[(333 + n)/371] + (56224/53-(200*n)/53)*[(334 + n)/371]-(13440/53)*[(335 + n)/371] + (-(13216/53)(200*n)/53)*[(336 + n)/371] + (-(12768/53)-(200*n)/53)*[(337 + n)/371] + (-(12320/53)-(200*n)/53)*[(338 + n)/371] + (-224-(200*n)/53)*[(339 + n)/371] + (-(11424/53)-(200*n)/53)*[(340 + n)/371] + (58912/53(200*n)/53)*[(341 + n)/371]-(10752/53)*[(342 + n)/371] + (-(10528/53)-(200*n)/53)*[(343 + n)/371] + (-(10080/53)-(200*n)/53)*[(344 + n)/371] + (-(9632/53)-(200*n)/53)*[(345 + n)/371] + (-(9184/53)(200*n)/53)*[(346 + n)/371] + (-(8736/53)-(200*n)/53)*[(347 + n)/371] + (61600/53-(200*n)/53)*[(348 + n)/371]-(8064/53)*[(349 + n)/371] + (-(7840/53)-(200*n)/53)*[(350 + n)/371] + (-(7392/53)-(200*n)/53)*[(351+ n)/371] + (-(6944/53)-(200*n)/53)*[(352 + n)/371] + (-(6496/53)-(200*n)/53)*[(353 + n)/371] + (-(6048/53)-(200*n)/53)*[(354 + n)/371] + (64288/53-(200*n)/53)*[(355 + n)/371]-(5376/53)*[(356 + n)/371] + ((5152/53)-(200*n)/53)*[(357 + n)/371] + (-(4704/53)-(200*n)/53)*[(358 + n)/371] + (-(4256/53)-(200*n)/53)*[(359 + n)/371] + (-(3808/53)-(200*n)/53)*[(360 + n)/371] + (-(3360/53)-(200*n)/53)*[(361 + n)/371] +(66976/53-(200*n)/53)*[(362 + n)/371]-(2688/53)*[(363 + n)/371] + (-(2464/53)-(200*n)/53)*[(364 + n)/371] + (-(2016/53)-(200*n)/53)*[(365 + n)/371] + (-(1568/53)-(200*n)/53)*[(366 + n)/371] + (-(1120/53)(200*n)/53)*[(367 + n)/371] + (-(672/53)-(200*n)/53)*[(368 + n)/371] + (69664/53-(200*n)/53)*[(369 + n)/371]

Vytvořující funkce a rekurence by zabrala dalších několik stran, myslím, že jejich publikace zde je nadbytečná. Zde je pouze denominator:(-1 + x)^7 (1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x^3 + x^6) (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6) (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4 (1 + x^7 + x^14 + x^21 + x^28 + x^35 + x^42) (1 + x + x^2 + x^3 +x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 + x^17 + x^18 + x^19 + x^20 + x^21 + x^22 + x^23 + x^24 + x^25 + x^26 + x^27 + x^28 + x^29 + x^30 +x^31 + x^32 + x^33 + x^34 + x^35 + x^36 + x^37 + x^38 + x^39 + x^40 + x^41 + x^42 + x^43 + x^44 + x^45 + x^46 + x^47 + x^48 + x^49 + x^50 + x^51 + x^52)^2 (1 - x + x^7 - x^8 + x^14 x^15 + x^21 - x^22 + x^28 - x^29 + x^35 - x^36 + x^42 - x^43 + x^49 - x^50 + x^53 - x^54 + x^56 - x^57 + x^60 - x^61 + x^63 - x^64 + x^67 - x^68 + x^70 - x^71 + x^74 - x^75 + x^77 - x^78 +x^81 - x^82 + x^84 - x^85 + x^88 - x^89 + x^91 - x^92 + x^95 - x^96 + x^98 - x^99 + x^102 - x^103 + x^105 - x^107 + x^109 - x^110 + x^112 - x^114 + x^116 - x^117 + x^119 - x^121 + x^123- x^124 + x^126 - x^128 + x^130 - x^131 + x^133 - x^135 + x^137 - x^138 + x^140 - x^142 + x^144 - x^145 + x^147 - x^149 + x^151 - x^152 + x^154 - x^156 + x^158 - x^160 + x^161 - x^163+ x^165 - x^167 + x^168 - x^170 + x^172 - x^174 + x^175 - x^177 + x^179 - x^181 + x^182 - x^184 + x^186 - x^188 + x^189 - x^191 + x^193 - x^195 + x^196 - x^198 + x^200 - x^202 + x^203- x^205 + x^207 - x^209 + x^210 - x^213 + x^214 - x^216 + x^217 - x^220 + x^221 - x^223 + x^224 - x^227 + x^228 - x^230 + x^231 - x^234 + x^235 - x^237 + x^238 - x^241 + x^242 - x^244+ x^245 - x^248 + x^249 - x^251 + x^252 - x^255 + x^256 - x^258 + x^259 - x^262 + x^263 - x^269 + x^270 - x^276 + x^277 - x^283 + x^284 - x^290 + x^291 - x^297 + x^298 - x^304 + x^305- x^311 + x^312)^2

562

3 riders on an n x n chessboard (selected riders only)
n

[1,3]

[2,3]

[1,4]

[3,4]

[1,5]

[2,5]

[3,5]

[4,5]

[1,6]

[5,6]

[1,7]

[2,7]

2

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

84

4

404

452

560

560

560

560

560

560

560

560

560

560

5

1624

1772

1948

2120

2300

2300

2300

2300

2300

2300

2300

2300

6

5248

5596

5848

6340

6480

6608

6736

6872

7140

7140

7140

7140

7

13408

14372

15200

16216

16244

16584

16944

17312

17320

18052

18424

18424

8

30924

32816

35012

36836

36628

37312

38004

38724

38276

40192

39956

40196

9

65100

68376

71156

75224

75516

76696

77884

79080

77920

81564

80356

80952

10

124564130696135552142736144544146396148256150124147912

1539241513121524281122542423540824389225525225612425972426332826696826468427382026928027110012388416403444417700434500433964439808445740451712450580463732

456628459360136360046597086794927067407067047154927243247332727281207513247428967467721410063721040984

1069000

1109344111147211239161136440

1149020

1138640

11745281166176

117145215

1544552

1592624

16322881688740

1695356

17122841729264

1746316

1729248

1780792

1763432

177209616229694823657562426896250285225045842529708

25548482580132

25586762629172

2600620

2613344173338332

3432108

35097923617320361817236530683688124372331236989763792032

374979637675201847521364875528

497484451198885122092

516866452153485262296523737653569445298256

5321900

19662176467874926923756711287271193727179584

7240008

730064872562367422992

73504567381056

20

907665292917889477296971754097322249808308

9884560

99610609893404

10115300

10030108

10068752

2112255960

12528200

12751224

13066468

13075876

13176744

13277740

13379156

13292580

13578252

13482400

13530248

22

16295812

16645540

16928684

17330180

17336796

17466068

17595652

17725648

17621180

17979888

17840836

17904696

23

21402156

21840404

22199980

22699728

22706968

22868700

23030728

23193336

23072840

23514508

23325532

23407556

2427790464

28329016

28783976

29394776

29407040

29605424

29804272

30003684

29869968

30405124

30158976

30261748

25

35668152

36337740

36886120

37649660

37689020

37928684

38168792

38409560

38215928

38894040

38595112

38721236

264534318046159952

46822816

47757948

47784896

48083400

48382360

48682212

48435932

49274832

4892222049074600

1

563
27

57131148

58112328

58913596

60040240

60058136

60422384

60787300

61153180

60853524

61872028

61465812

61647384

28

71332148

72521704

73517964

74857256

74870420

75307860

75746004

76185324

75832432

77050436

76591680

76805584

29

88385304

89806032

90968452

92586928

92626696

93145028

93664300

94184852

93779744

95218220

94627356

94889856

30 108733408 110409260 111767568 113694524 113778480 114385984 114994448 115604344 115149244 116830160 116092156 116408196
31 132793320 134785124 136412372 138678672 138734900 139462128 140190400 140920404 140348060 142368728 141490144 141865284
32 161168252 163506888 165453252 168091128 168123340 168981972 169841924 170703748 170009864 172403716 171379008 171818832
33 194458476 197176392 199393740 202503012 202553868 203556272 204560068 205566192 204747220 207549248 206373716 206884356
34 233224820 236403144 238984096 242607964 242697416 243856368 245017000 246180136 245233660 248480420 247150348 247737988
35 278270928 281950500 284954920 289138304 289289688 290618676 291949448 293282892 292207584 295937156 294449968 295121192
36 330388104 334611432 338105376 342895052 342989960 344537716 346087432 347640248 346476276 350728392 348925724 349712444
37 390310828 395183768 399160472 404699296 404793876 406578620 408365716 410156296 408754964 413698356 411589392 412501084
38 459083444 464658516 469188692 475537264 475653564 477694400 479737756 481785140 480137112 485828076 483398920 484445824
39 537725064 544056972 549217836 556439004 556602616 558919208 561238712 563562484 561659400 568156368 565393924 566586376
40 627176452 634400060 640361464 648520588 648760608 651373524 653989536 656610040 654444580 661808120 658700188 660049268
41 728766484 736948276 743623028 752916524 753122544 756104808 759090432 762081304 759706096 767999052 764534280 766051192
42 843782104 852990840 860468572 870978696 871174100 874552504 877934772 881322884 878752824 888039964 884208336 885904928
43 973405780 983810540 992294440 1004106440 1004318136 1008120592 1011927204 1015740324 1012734048 1023284164 1018866816 1020798420
44 1119298452 1130981676 1140601848 1153803628 1154062592 1158317748 1162577608 1166844288 1163384564 1175285336 1170255428 1172438180
45 1283058152 1296105220 1306736224 1321589876 1322025584 1326763224 1331505836 1336255860 1332326192 1345668104 1339999472 1342450404
46 1466147124 1480766480 1492649304 1509263640 1509636024 1514960428 1520290216 1525628372 1521296240 1536172796 1529839840 1532576204
47 1670609700 1686902496 1700185020 1718671992 1719008764 1724957652 1730912600 1736876640 1732152852 1748660116 1741638356 1744678336
48 1898401512 1916471844 1931313204 1951788092 1952121108 1958733544 1965352444 1971981328 1966880468 1985117304 1977383236 1980745232
49 2151305920 2171407352 2187791284 2210595392 2211082008 2218398020 2225721216 2233055076 2227210028 2247578616 2239194664 2242897968
50 2431805236 2454059832 2472153688 2497427036 2498137824 2506198800 2514267400 2522347380 2515729468 2538358700 2528908172 2533040880
n

[1,3]

[2,3]

[1,4]

[3,4]

[1,5]

[2,5]

[3,5]

[4,5]

[1,6]

[5,6]

All generating functions were verified at least for first 500 values for each sequence.

[1,7]

[2,7]

564

11.3)

2 riders on an n x n toroidal chessboard - 2 liniové kameny na prstencové šachovnici n x nTento případ se ukázal jako nečekaně komplikovaný, ale současně i velmi zajímavý. K prozkoumání bylo nutné vygenerovat tisíce hodnot
pro různé kombinace [r,s], což si vyžádalo stovky hodin počítačového času. Poměrně snadné jsou případy r = 0 a r = s.
Zabývejme se proto nejprve případem 0 < r < s (bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že r je menší než s, jinak obě čísla prohodíme).
Zde je nutné opět rozlišit několik případů. Problém se mi podařilo kompletně vyřešit, když čísla r a s jsou nesoudělná, tedy největší společný
dělitel je roven 1. V obecném případě (pro libovolná 0 < r < s) mám ale následující hypotézu o velikosti periody. Výpočty byla ověřena její
platnost pro všechna 0 < r < s <= 20 (LCM je nejmenší společný násobek a GCD je největší společný dělitel):Conjecture (V. Kotěšovec, 16.12.2010), for any r,s, 0 < r < s

Nyní uvažujme případ, kdy r a s jsou nesoudělná. Potom ještě záleží na tom, zda výraz

je sudé nebo liché číslo.

Pokud je 0 < r < s, GCD(r,s)=1 a
je liché číslo, potom je vytvořující funkce pro počet neohrožujících se dvojic liniových kamenů
s jednotkovým tahem [r,s] na prstencové šachovnici:
If 0 < r < s and GCD(r,s)=1 andchessboard isis odd, then generating function for number of two non-attacking riders [r,s] on an n x n toroidal

P(x) je polynom stupně
Hloubka rekurence je
Perioda je(pokud r a s jsou nesoudělná aje liché, platí že

jsou nesoudělná a tedy jejich nejmenší společný násobek LCM je roven jejich součinu )565

Pokud je 0 < r < s, GCD(r,s)=1 a
je sudé číslo, potom je vytvořující funkce pro počet neohrožujících se dvojic liniových kamenů
s jednotkovým tahem [r,s] na prstencové šachovnici:
If 0 < r < s and GCD(r,s)=1 andchessboard isis even, then generating function for number of two non-attacking riders [r,s] on an n x n toroidal

Proti předchozímu případu je tedy jmenovatel vydělen výrazem

a stupeň denominátoru je proto o 6 menší.

P(x) je polynom stupně
Hloubka rekurence je
Perioda je(pokud r a s jsou nesoudělná aje sudé, platí že

je dělitelné 2, ale už žádnou vyšší mocninou dvojky)

Stupeň polynomu ve jmenovateli vytvořující funkce (hloubku
rekurence) jde pro oba případy vyjádřit tímto společným vzorcem:
If 0 < r < s and GCD(r,s)=1 then recurrence order is

Graf určuje hodnoty d v závislosti na r, sPoznámky: Pokud jsou čísla r,s nesoudělná, nazývají se též relatively prime nebo coprime. Z náhodně vybraných dvou přirozených čísel má tuto vlastnost asi 61%
dvojic (přesněji, pravděpodobnost, že dvě přirozená čísla jsou nesoudělná, je ). Do skupiny GCD(r,s)=1 evidentně patří např. dvojice [1,s] nebo [s-1,s].
Výrazy x = s2 - r2, y = 2rs, z = r2 + s2, představují celočíselná řešení diofantické rovnice x2 + y2 = z2, což věděli už Pythagoras a Euclid, viz Pythagorean Triple. Pror,s nesoudělná a opačné parity generují tyto výrazy tzv. primitivní řešení této rovnice (kdy jsou x,y nesoudělná).

566
Pokud je 0 < r < s, GCD(r,s) > 1, pro periodu platí vzorec ze str. 564 a hloubka rekurence d (což je stupeň jmenovatele vytvořující funkce) je závislá na
prvočíselných rozkladech členů r2 + s2 , s2 - r2 a 2rs. Lze ji omezit nerovností

Graf určuje hodnoty d v závislosti na r, s

Graf z jiného pohledu s viditelným horním omezením 6s(r+s)(všechny hodnoty pro r, s <= 16)(v intervalu 16 < r,s <= 32 nejsou vypočteny všechny hodnoty)

Následující grafy názorně ukazují jak je hloubka rekurence závislá na největším společném děliteli GCD(r,s). Pro přehlednost jsou vybrány jen případy 1,2,3.
Názorně je vidět, že hodnoty pro nesoudělná r, s (červené body, resp. plocha) vykazují pravidelnost a jsou všude nad ostatními hodnotami.
GCD(r,s) = 1 red
GCD(r,s) = 2 green
GCD(r,s) = 3 blue

Graf vpravo vznikl proložením spojitých ploch jednotlivými body.

567

Pro řadu speciálních případů se mi hloubku rekurence podařilo určit přesně, kompletně je vyřešen případ GCD(r,s)=2
Pokud je 0 < r < s, GCD(r,s)=2 a, kde m je liché číslo (m is odd number), je hloubka rekurence (recurrence order)

Pokud je 0 < r < s, GCD(r,s)=2 a, kde m je liché číslo (m is odd number), je hloubka rekurence(toto pokrývá všechny možnosti, protože u dvojky mohou být vzhledem k dalším podmínkám pouze exponenty 2 nebo 3)

Oba případy jdou vyjádřit jedním vzorcem:
If 0 < r < s, GCD(r,s)=2 and, (m is odd number), then recurrence order is(w is the greatest dividing exponent of a base 2)

V grafu vidíme, že např. pro s=16 nebo s=20 jsou body v jedné přímce, kdežto pro s=14 nebo s=18 jsou dvě skupiny bodů (s lineární závislostí) v různých výškách.
Např. dvojice (2,14), (6,14), (10,14) patří všechny do skupiny w=3, kdežto dvojice (4,14), (8,14), (12,14) patří do skupiny w=2. Dvojice (2,16), (6,16), (10,16),(14,16) patří všechny do skupiny w=2. Závislost je možno ověřit i pomocí hodnot v tabulce na str. 572.

568

Kompletně je vyřešen i případ GCD(r,s)=4
Pokud je 0 < r < s, GCD(r,s)=4 a, kde m je liché číslo (m is odd number), je hloubka rekurence (recurrence order)

Pokud je 0 < r < s, GCD(r,s)=4 a, kde m je liché číslo (m is odd number), je hloubka rekurence(je třeba ještě poznamenat, že toto pokrývá všechny možnosti, protože u dvojky mohou být pouze exponenty 4 nebo 5)

Oba případy jdou vyjádřit jedním vzorcem:
If 0 < r < s, GCD(r,s)=4 and, (m is odd number), then recurrence order isČástečně je vyřešen případ GCD(r,s) = r
Pokud je r > 0, s = 2r, r=2w (if r is power of 2), je hloubka rekurence (recurrence order)

Pokud je r prvočíslo (if r is prime) > 5, s = 2r, je hloubka rekurence (recurrence order)(těmto případům je věnována tabulka na str. 577)

569

Vraťme se nakonec ještě k hraničním případům. Zde se mi podařilo vše kompletně vyřešit.
Případ r = 0 má poměrně jednoduché řešení.
If r=0 then generating function for number of two non-attacking riders [0,s] (s>0) on an n x n toroidal chessboard isP(x) je polynom stupně
Hloubka rekurence je
Perioda je

44

Roznásobením jmenovatele dostaneme pro tento případ i rekurentní vztah

570Případ 0 < r = s je závislý na tom, jakou nejvyšší mocninu 2 obsahuje toto číslo ve svém rozkladu. Předpokládejme, že
kde m je liché číslo. Potom je vytvořující funkce následující:
If, (m is odd number) then generating function for number of two non-attacking riders [s,s] on an n x ntoroidal chessboard isP(x) je polynom stupně
Hloubka rekurence je
Perioda je
Speciální případy (special cases)
If s is odd number

If s is power of 2

Odtud vyplývá omezení pro stupeň jmenovatele, tedy minimální a maximální hloubku rekurence:(d is degree of denominator = recurrence order)
Poznámka: Případ [s,s] jsem ověřil vygenerováním vytvořujících funkcí pro všechna s < 50.

s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

d
8
15
16
29
24
31
32
57
40
47
48
61
56
63
64
113
72
79
80
93
88
95
96
121
104
111
112
125
120
127
128
225
136
143
144
157
152
159
160
185

4(s+1)
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80
84
88
92
96
100
104
108
112
116
120
124
128
132
136
140
144
148
152
156
160
168

w
0
1
0
2
0
1
0
3
0
1
0
2
0
1
0
4
0
1
0
2
0
1
0
3
0
1
0
2
0
1
0
5
0
1
0
2
0
1
0
3

571

Complete table for all r, s <= 7
r
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
6
7

s period r=0 r=s r2+s2 s2-r2 2rs LCM(r2+s2, s2-r2, 2rs) GCD(r,s) recurrence order
1
s
1
1
0
1
5
2
s
4
4
0
2
9
3
s
9
9
0
3
13
4
s
16
16
0
4
17
5
s
25
25
0
5
21
6
s
36
36
0
6
25
7
s
49
49
0
7
29
1
2s
2
0
2
2
8
2
5
3
4
60
1
60
32
3
10
8
6
120
1
120
62
4
17
15
8
2040
1
2040
116
5
26
24 10
1560
1
1560
170
6 15540
37
35 12
15540
1
248
7
50
48
14
8400
1
8400
326
2
2s
8
0
8
4
15
3
13
5 12
780
1
780
86
4
20
12 16
240
2
120
45
5 12180
29
21 20
12180
1
206
6
40
32 24
480
2
240
123
7 66780
53
45 28
66780
1
374
3
2s
18
0 18
6
16
4
25
7 24
4200
1
4200
164
5
34
16 30
4080
1
4080
230
6
45
27 36
540
3
180
52
7 24360
58
40 42
24360
1
410
4
2s
32
0 32
8
29
5 14760
41
9 40
14760
1
266
6
52
20 48
3120
2
1560
123
7 12012065
33 56
120120
1
458
5
2s
50
0 50
10
24
6 40260
61
11 60
40260
1
392
7 31080
74
24 70
31080
1
494
6
2s
72
0 72
12
31
7 92820
85
13 84
92820
1
542
7
2s
98
0 98
14
32

r2+s2

6s(r+s)-4

4s+1
4s+1
4s+1
4s+1
4s+1
4s+1
4s+1

cyclotomic polynomials
1
1,2
1,3
1,2,4
1,5
1,2,3,6
1,7
1,2

prime
2.5
prime
2.13
prime
2.52

32
68
116
176
248
332

prime
22.5
prime
23.5
prime

86
140
206
284
374

1,2,3,4,5
1,2,3,4,5,6,8,10
1,2,3,4,5,8,15,17
1,2,3,4,5,6,8,10,12,13,24,26
1,2,3,4,5,6,7,12,35,37
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,24,25,48,50
1,2,4
1,2,3,4,5,6,12,13
1,2,3,4,5,8
1,2,3,4,5,7,10,20,21,29
1,2,3,4,5,6,8,10,12,16,20
1,2,3,4,5,7,9,14,15,28,45,53
1,2,3

2

5
2.17
32.5
2.29

164
236
320
416

1,2,3,4,5,6,7,8,12,24,25
1,2,3,4,5,6,8,10,15,16,17,30,34
1,2,3,4,5,9
1,2,3,4,5,6,7,8,10,14,20,21,29,40,42,58
1,2,4,8

prime
22.13
5.13

266
356
458

1,2,3,4,5,8,9,10,20,40,41
1,2,3,4,5,6,8,12,13,24
1,2,3,4,5,7,8,11,13,14,28,33,56,65
1,2,5

prime
2.37

392
500

1,2,3,4,5,6,10,11,12,15,20,30,60,61
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,24,35,37,70,74
1,2,3,4,6

5.17

542

1,2,3,4,5,6,7,12,13,14,17,21,28,42,84,85
1,2,7

572

Complete table for all r, s <= 16, 0 < rrsperiod

1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5

8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12

65520
4080
1927202402776808400
18984029520
235620360
4539601335602340
1310403549601999803120
595140
24360
300
8160
1063860
29520
61902080520
6435002402401265880385440176154047124018559203999601021020497640
31080
6120
480
2413320

r2+s2 s2-r2 2rs
65
68
73
80
89
100
113
82
85
90
97
106
117
130
145
101
104
109
116
125
136
149
164
181
122
125
130
137
146
157
170
185
202
221
145
148
153
160
169

63
60
55
48
39
28
15
80
77
72
65
56
45
32
17
99
96
91
84
75
64
51
36
19
120
117
112
105
96
85
72
57
40
21
143
140
135
128
119

16
32
48
64
80
96
112
18
36
54
72
90
108
126
144
20
40
60
80
100
120
140
160
180
22
44
66
88
110
132
154
176
198
220
24
48
72
96
120

2

2

LCM(r +s ,s2-r2, 2rs)
65520
8160
192720960
27768016800
18984029520
2356201080
4539601335607020
1310403549601999806240
595140
48720
1500
16320
1063860
59040
61902080520
6435002402401265880385440176154047124018559203999601021020497640
62160
18360
1920
2413320

GCD(r,s)recurrence
order

r2+s2

6s(r+s)-4

1
2
1
4
1
2
1
1
1
3
1
1
3
1
1
1
2
1
2
5
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1

428
141
524
71
620
237
716
530
590
100
698
746
160
854
914
656
339
776
267
96
459
1016
387
1136
782
854
914
986
1046
1118
1178
1250
1310
1382
932
285
208
245
1220

5.13
22.17
prime
24.5
prime
22.52
prime
2.41
5.17
2.32.5
prime
2.53
32.13
2.5.13
5.29
prime
23.13
prime
22.29
53
3
2 .17
prime
22.41
prime
2.61
53
2.5.13
prime
2.73
prime
2.5.17
5.37
2.101
13.17
5.29
22.37
32.17
25.5
132

428
476
524
572
620
668
716
536
590
644
698
752
806
860
914
656
716
776
836
896
956
1016
1076
1136
788
854
920
986
1052
1118
1184
1250
1316
1382
932
1004
1076
1148
1220

s
cyclotomic polynomials
1,2,3,4,5,7,8,9,13,16,21,63,65
1,2,3,4,5,8,15,16,17
1,2,3,4,5,6,8,11,12,16,24,48,55,73
1,2,3,4,5,8,16
1,2,3,4,5,8,10,13,16,20,39,40,80,89
1,2,3,4,5,6,7,8,12,16,24,25,48
1,2,3,4,5,7,8,14,15,16,28,56,112,113
1,2,3,4,5,6,8,9,10,16,18,20,40,41,80,82
1,2,3,4,5,6,7,9,11,12,17,18,36,77,85
1,2,3,4,5,6,8,9,10,18
1,2,3,4,5,6,8,9,12,13,18,24,36,65,72,97
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,14,15,18,28,30,45,53,56,90,106
1,2,3,4,5,6,9,12,13,18,36
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,13,14,16,18,21,26,32,42,63,65,126,130
1,2,3,4,5,6,8,9,12,16,17,18,24,29,36,48,72,144,145
1,2,3,4,5,9,10,11,20,33,99,101
1,2,3,4,5,6,8,10,12,13,16,20,24,26,48,52
1,2,3,4,5,6,7,10,12,13,15,20,30,60,91,109
1,2,3,4,5,7,8,10,20,21,29,40
1,2,3,4,5,25
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,30,32,34,60,68
1,2,3,4,5,7,10,14,17,20,28,35,51,70,140,149
1,2,3,4,5,8,9,10,16,20,40,41,80
1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,19,20,30,36,45,60,90,180,181
1,2,3,4,5,6,8,10,11,12,15,20,22,24,30,40,60,61,120,122
1,2,3,4,5,9,11,13,22,25,39,44,117,125
1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,16,22,26,28,33,56,65,66,112,130
1,2,3,4,5,7,8,11,15,21,22,35,44,88,105,137
1,2,3,4,5,6,8,10,11,12,16,22,24,32,48,55,73,96,110,146
1,2,3,4,5,6,11,12,17,22,33,44,66,85,132,157
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,17,18,22,24,34,36,72,77,85,154,170
1,2,3,4,5,8,11,16,19,22,37,44,57,88,176,185
1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,18,20,22,33,40,66,99,101,198,202
1,2,3,4,5,7,10,11,13,17,20,21,22,44,55,110,220,221
1,2,3,4,5,6,8,11,12,13,24,29,143,145
1,2,3,4,5,6,7,8,12,24,35,37
1,2,3,4,5,8,9,15,17,45
1,2,3,4,5,6,8,10,12,16,20,24,32,40
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,13,15,17,20,24,30,40,60,119,120,169

573
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15

360
3080280
3120
12600
80520
1609080
18564014843405553602943720907920425334011902805088720
1287000
4825860
9952802441400
107562016800
3220140
133560529074048720
4202402408027460
62160
7322700
185640358722037968030365404680
6044280600
36540
2531760
11166960
12240
3900
296868044280
2151240

180
193
208
225
244
265
170
173
178
185
194
205
218
233
250
269
290
313
197
200
205
212
221
232
245
260
277
296
317
340
365
226
229
234
241
250
261
274
289
306
325
346
369
394

108
95
80
63
44
23
168
165
160
153
144
133
120
105
88
69
48
25
195
192
187
180
171
160
147
132
115
96
75
52
27
224
221
216
209
200
189
176
161
144
125
104
81
56

144
168
192
216
240
264
26
52
78
104
130
156
182
208
234
260
286
312
28
56
84
112
140
168
196
224
252
280
308
336
364
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390

2160
308028012480
37800
1610401609080
18564014843405553602943720907920425334011902805088720
1287000
4825860
9952802441400
107562033600
3220140
267120529074097440
2940
4804808027460
1243207322700
37128035872203796803036540
14040
60442803000
1096202531760
11166960
36720
19500
29686801328402151240

6
1
4
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
7
2
1
2
1
2
1
1
1
3
1
5
3
1
1
3
5
1
3
1

73
1364
197
310
573
1652
1082
1166
1238
1322
1394
1478
1550
1634
1706
1790
1862
1946
1256
651
1424
459
1592
819
56
627
1928
987
2096
795
2264
1430
1526
316
1706
186
334
1970
2066
412
150
2330
322
2510

22.32.5
prime
24.13
32.52
22.61
5.53
2.5.17
prime
2.89
5.37
2.97
5.41
2.109
prime
2.53
prime
2.5.29
prime
prime
23.52
5.41
22.53
13.17
23.29
5.72
2
2 .5.13
prime
23.37
prime
22.5.17
5.73
2.113
prime
2.32.13
prime
2.53
32.29
2.137
172
2.32.17
52.13
2.173
32.41
2.197

1292
1364
1436
1508
1580
1652
1088
1166
1244
1322
1400
1478
1556
1634
1712
1790
1868
1946
1256
1340
1424
1508
1592
1676
1760
1844
1928
2012
2096
2180
2264
1436
1526
1616
1706
1796
1886
1976
2066
2156
2246
2336
2426
2516

1,2,3,4,5,6,8,9
1,2,3,4,5,6,7,8,12,14,19,21,24,28,42,56,84,95,168,193
1,2,3,4,5,6,8,12,13,16,24,48
1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,18,24,25,36,72
1,2,3,4,5,6,8,10,11,12,15,20,24,30,40,60,61,120
1,2,3,4,5,6,8,11,12,22,23,24,33,44,53,66,88,132,264,265
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,13,14,17,21,24,26,28,34,42,56,84,85,168,170
1,2,3,4,5,11,13,15,26,33,52,55,165,173
1,2,3,4,5,6,8,10,13,16,20,26,32,39,40,78,80,89,160,178
1,2,3,4,5,8,9,13,17,26,37,51,52,104,153,185
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,13,16,18,24,26,36,48,65,72,97,130,144,194
1,2,3,4,5,6,7,12,13,19,26,39,41,52,78,133,156,205
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,13,14,15,20,24,26,30,40,60,91,109,120,182,218
1,2,3,4,5,7,8,13,15,16,21,26,35,52,104,105,208,233
1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,13,18,22,25,26,39,44,50,78,88,117,125,234,250
1,2,3,4,5,10,13,20,23,26,52,65,69,130,260,269
1,2,3,4,5,6,8,10,11,12,13,16,22,24,26,29,48,58,143,145,286,290
1,2,3,4,5,6,8,12,13,24,25,26,39,52,78,104,156,312,313
1,2,3,4,5,7,13,14,15,28,39,65,195,197
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,20,24,25,28,32,48,50,96,100
1,2,3,4,5,6,7,11,12,14,17,21,28,41,42,84,187,205
1,2,3,4,5,7,8,9,14,15,28,45,53,56
1,2,3,4,5,7,9,10,13,14,17,19,20,28,35,57,70,140,171,221
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,20,21,28,29,40,42,58,80,84,116
1,2,3,4,5,7
1,2,3,4,5,7,8,11,13,14,16,28,33,56,65,112
1,2,3,4,5,6,7,9,12,14,18,21,23,28,36,42,63,84,115,126,252,277
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,20,24,28,35,37,48,70,74,140,148
1,2,3,4,5,7,11,14,15,22,25,28,44,75,77,154,308,317
1,2,3,4,5,6,7,8,12,13,14,17,21,24,28,42,56,84,85,168
1,2,3,4,5,7,9,13,14,26,27,28,52,73,91,182,364,365
1,2,3,4,5,6,7,8,10,14,15,16,28,30,32,56,112,113,224,226
1,2,3,4,5,6,10,12,13,15,17,20,30,60,221,229
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,13,18,24,26,36,72
1,2,3,4,5,6,8,10,11,12,15,19,20,24,30,40,60,120,209,241
1,2,3,4,5,6,8,10,25,50
1,2,3,4,5,7,9,10,20,21,29,63
1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,14,15,16,21,22,30,35,42,44,70,88,105,137,176,210,274
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,15,16,17,20,23,24,30,40,48,60,80,120,161,240,289
1,2,3,4,5,6,8,9,10,15,16,17,18,30,34,45,90
1,2,3,4,5,6,12,13,25
1,2,3,4,5,6,8,10,11,13,15,22,26,30,33,52,55,66,104,110,165,173,330,346
1,2,3,4,5,8,9,10,20,27,40,41
1,2,3,4,5,6,7,8,10,13,14,15,26,28,30,39,56,65,78,130,195,197,390,394

574
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

15
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16

5127780
209712013104062836808160
10385760
38544014142240
480
16984800
55536017915040
16800
15381600
3796807157280rs

period

421
257
260
265
272
281
292
305
320
337
356
377
400
425
452
481

29
255
252
247
240
231
220
207
192
175
156
135
112
87
60
31

420
32
64
96
128
160
192
224
256
288
320
352
384
416
448
480

r2+s2 s2-r2 2rs

5127780
2097120262080628368032640
10385760
77088014142240
3840
16984800
111072017915040
67200
15381600
7593607157280

LCM(r2+s2,
s2-r2, 2rs)

1
1
2
1
4
1
2
1
8
1
2
1
4
1
2
1

2606
1628
477
1820
191
2012
669
2204
123
2396
861
2588
383
2780
1053
2972

prime
prime
22.5.13
5.53
24.17
prime
22.73
5.61
26.5
prime
22.89
13.29
24.52
52.17
22.113
13.37

2606
1628
1724
1820
1916
2012
2108
2204
2300
2396
2492
2588
2684
2780
2876
2972

GCD(r,s)recurrence
order

r2+s2

6s(r+s)-4

1,2,3,4,5,6,7,10,12,14,15,20,21,28,29,30,35,42,60,70,84,105,140,210,420,421
1,2,3,4,5,8,15,16,17,32,51,85,255,257
1,2,3,4,5,7,8,9,13,16,21,32,63,65
1,2,3,4,5,6,8,12,13,16,19,24,32,48,53,96,247,265
1,2,3,4,5,8,15,16,17,32
1,2,3,4,5,7,8,10,11,16,20,21,32,33,40,77,80,160,231,281
1,2,3,4,5,6,8,11,12,16,24,32,48,55,73,96
1,2,3,4,5,7,8,9,14,16,23,28,32,56,61,69,112,207,224,305
1,2,3,4,5,8,16,32
1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,16,18,24,25,32,35,36,48,72,96,144,175,288,337
1,2,3,4,5,8,10,13,16,20,32,39,40,80,89,160
1,2,3,4,5,8,9,11,13,15,16,22,27,29,32,44,45,88,135,176,352,377
1,2,3,4,5,6,7,8,12,16,24,25,32,48,96
1,2,3,4,5,8,13,16,17,25,26,29,32,52,85,87,104,208,416,425
1,2,3,4,5,7,8,14,15,16,28,32,56,112,113,224
1,2,3,4,5,6,8,10,12,13,15,16,20,24,30,31,32,37,40,48,60,80,96,120,160,240,480,481

cyclotomic polynomials

V tabulce je možno si ověřit výše uvedené vztahy o hloubce rekurence i hypotézu o velikosti periody. Zejména při GCD(r,s) = 1 je shoda hodnot u periody aLCM(r2 + s2, s2 - r2, 2rs) viditelná na první pohled, stejně tak v případě hloubky rekurence shoda s výrazem 6s(r+s)-4 pokud je r2+s2 liché, resp. že je menší o 6
pokud je r2+s2 sudé. Rovněž vidíme, že členy r2 + s2 , s2 - r2 a 2rs se v případě GCD(r,s) = 1 vždy vyskytují mezi čísly cyklotomických polynomů obsažených ve
jmenovateli vytvořující funkce.
K těmto tabulkám je třeba poznamenat, že nevznikaly nijak snadno (jak by se snad na první pohled mohlo zdát). Např. vygenerování dostatečného počtu hodnot jen
pro kombinaci [15,16] trvalo (dost optimalizovaným programem) asi 20 hodin a následné hledání rekurence a vytvořující funkce dalších asi 15 hodin! Ostatní
hodnoty si vyžádaly času sice méně, ale i tak často šlo o několik hodin na jednu položku tabulky. Proto jsem v následující tabulce ponechal sadu (zdánlivě
neuspořádaných) hodnot, protože každou vypočtenou hodnotu pro r nebo s větší než 16 považuji za cennou, zejména při nízkém GCD(r,s).
Hodnoty pro r = s > 7 je možno nalézt v tabulce na str. 570, hodnoty pro r = 0 jsou zřejmé z tabulky na str. 571. Hodnoty pro [s,r] jsou shodné jako pro [r,s].

575

Table for miscellaneous r, s, GCD(r,s) > 1
2

2

r

s

period r2+s2

s2-r2

2rs

LCM(r +s ,s2-r2, 2rs)

GCD(r,s)recurrence
order

r2+s2

6s(r+s)-4

2
3
4
6
8
9
10
12
14
15
16
2
4
5
6
8
10
12
14
15
16
18
4
4
4
8
8
12
16
20
4
4
12
20
3
3
6
6
9

18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
24
32
40
28
36
32
28
24
28
36
28
28
24
30
21
27
24

59040
46620
471240720
907920540
2671204680
2620801207807099203999606240
10200
1190280
48720
600
16320
212772021000
59040
123804062160
26208079992026712094248077088048048016104033600
11808097440
124320196560599940200340706860578160

328
333
340
360
388
405
424
468
520
549
580
404
416
425
436
464
500
544
596
625
656
724
592
1040
1616
848
1360
1168
1040
976
800
1312
928
1184
585
909
477
765
657

320
315
308
288
260
243
224
180
128
99
68
396
384
375
364
336
300
256
204
175
144
76
560
1008
1584
720
1232
880
528
176
768
1280
640
384
567
891
405
693
495

72
108
144
216
288
324
360
432
504
540
576
80
160
200
240
320
400
480
560
600
640
720
192
256
320
448
576
768
896
960
224
288
672
1120
144
180
252
324
432

1180801398609424804320
18158404860
53424028080
524160362340141984079992024960
51000
2380560
1948806000
65280
4255440
1050002361602476080
24864010483203199680
1068480
37699203083520192192064416013440047232038976049728058968017998206010202120580
1734480

2
3
2
6
2
9
2
6
2
3
2
2
4
5
2
4
10
4
2
5
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3

1059
322
699
199
915
112
1491
271
1707
754
1347
717
677
300
957
389
125
917
1437
468
629
1677
359
575
839
629
917
959
965
935
1301
2117
1637
1973
808
1252
646
808
814

23.41
32.37
22.5.1723.32.5
22.97
34.5
23.53
2 2
2 .3 .13
23.5.13
32.61
22.5.2922.10125.13
52.17
22.109
24.29
22.53
25.17
22.14954
4
2 .41
22.18124.37
24.5.1324.10124.53
24.5.1724.73
24.5.13
24.61
25.52
25.41
25.29
25.37
32.5.1332.101
32.53
32.5.17
32.73

2156
2264
2372
2588
2804
2912
3020
3236
3452
3560
3668
2636
2876
2996
3116
3356
3596
3836
4076
4196
4316
4556
4028
6908
10556
6044
9500
8444
7388
6332
5372
8636
6716
8060
3884
5936
3398
5342
4748

cyclotomic polynomials
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,16,18,20,32,36,40,41,80,82,160,164
1,2,3,4,5,6,7,9,12,18,35,36,37
1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,17,18,24,36,72,77,85
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,16,18,20,36
1,2,3,4,5,6,8,9,12,13,16,18,24,36,48,65,72,97,144
1,2,3,4,5,9,27
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,28,30,36,45,53,56,60,90,106,112,180,212
1,2,3,4,5,6,8,9,12,13,18,24,36,72
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,16,18,20,21,26,28,32,36,42,52,63,64,65,84,126,130,252,260
1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,15,18,20,30,36,45,60,61,90,180
1,2,3,4,5,6,8,9,12,16,17,18,24,29,32,36,48,72,96,144,145,288
1,2,3,4,5,8,9,10,11,20,33,40,99,101
1,2,3,4,5,6,8,10,12,13,16,20,24,26,32,40,48,52,96,104
1,2,3,4,5,8,15,17,25,75
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,13,15,20,24,30,40,60,91,109,120
1,2,3,4,5,7,8,10,16,20,21,29,40,80
1,2,3,4,5,8,10,25
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40,60,64,68,120,136
1,2,3,4,5,7,8,10,14,17,20,28,35,40,51,56,70,140,149,280
1,2,3,4,5,6,7,8,12,24,25,125
1,2,3,4,5,8,9,10,16,20,32,40,41,80,160
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,19,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,181,360
1,2,3,4,5,6,7,8,12,16,24,35,37,48
1,2,3,4,5,7,8,9,13,16,21,32,63,64,65
1,2,3,4,5,8,9,10,11,16,20,33,40,80,99,101
1,2,3,4,5,7,8,9,14,15,16,28,45,53,56,112
1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,16,17,18,24,36,48,72,77,85,144
1,2,3,4,5,6,8,11,12,16,24,32,48,55,64,73,96,192
1,2,3,4,5,7,8,11,13,14,16,28,32,33,56,65,112,224
1,2,3,4,5,6,8,10,11,12,15,16,20,24,30,40,48,60,61,80,120,240
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,20,24,25,28,32,40,48,50,56,64,96,100,192,200
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,16,18,20,24,32,36,40,41,64,72,80,82,160,164,320,328
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,20,21,24,28,29,32,40,42,56,58,80,84,116,160,168,232
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,20,24,28,32,35,37,40,48,56,70,74,96,140,148,280,296
1,2,3,4,5,7,8,9,13,16,21,27,63,65,189
1,2,3,4,5,9,10,11,20,27,33,99,101,297
1,2,3,4,5,7,9,14,15,27,28,45,53,135
1,2,3,4,5,6,7,9,11,12,17,18,27,36,54,77,85,108
1,2,3,4,5,6,8,9,11,12,16,18,24,36,48,55,72,73,144

576
12
15
18
3
3
9
7
7
7
14
14
21
28
35
14
16
18
20
22
24
26
28
30
18
21
24
27
30
33

21
24
21
21
27
21
21
28
35
28
42
42
56
70
21
24
27
30
33
36
39
42
45
24
28
32
36
40
44

360360833040278460
25200
88560
73080
840
14280
10920
840
1680
1260
1680
2100
5460
6240
7020
7800
8580
9360
10140
10920
11700
25200
29400
33600
37800
42000
46200

585
801
765
450
738
522
490
833
1274
980
1960
2205
3920
6125
637
832
1053
1300
1573
1872
2197
2548
2925
900
1225
1600
2025
2500
3025

297
351
117
432
720
360
392
735
1176
588
1568
1323
2352
3675
245
320
405
500
605
720
845
980
1125
252
343
448
567
700
847

504
720
756
126
162
378
294
392
490
784
1176
1764
3136
4900
588
768
972
1200
1452
1728
2028
2352
2700
864
1176
1536
1944
2400
2904

1081080
249912083538075600
265680219240
5880
99960
76440
11760
23520
26460
47040
73500
38220
49920
63180
78000
94380
112320131820152880175500151200205800268800340200420000508200

3
3
3
3
3
3
7
7
7
14
14
21
28
35
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
7
8
9
10
11

658
856
1048
616
640
664
86
140
194
93
171
124
167
216
110
345
382
203
126
493
566
171
256
529
296
675
748
557
204

32.5.1332.89
32.5.172.32.52
2.32.41
2.32.29
2.5.7272.17
2.72.1322.5.72
23.5.72
32.5.72
24.5.72
53.72
72.13
26.13
34.13
2 2
2 .5 .13
112.1324.32.13
133
2 2
2 .7 .13
32.52.13
22.32.52
52.72
26.52
34.52
22.54
52.112

4154
5612
4910
3020
4856
3776
3524
5876
8816
7052
14108
15872
28220
44096
4406
5756
7286
8996
10886
12956
15206
17636
20246
6044
8228
10748
13604
16796
20324

1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,14,28,33,56,65,99
1,2,3,4,5,8,9,10,13,16,20,39,40,80,89,117
1,2,3,4,5,6,7,9,12,13,14,17,18,21,28,36,42,63,84,85,126,252
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,24,25,36,48,50,72,144
1,2,3,4,5,6,8,9,10,16,18,20,27,40,41,54,80,82
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,14,18,20,21,29,40,42,58,63,126
1,2,3,4,5,6,7,8,10
1,2,3,4,5,7,8,15,17
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,13,24,26
1,2,3,4,5,7,8,14
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,20
1,2,3,4,5,7,9,21
1,2,3,4,5,7,8,14,16,28
1,2,3,4,5,7,25,35
1,2,3,4,5,6,7,12,13
1,2,3,4,5,6,8,12,13,16,24,32,48,96
1,2,3,4,5,6,9,12,13,18,27,36,54,108
1,2,3,4,5,6,8,10,12,13,24,25
1,2,3,4,5,6,11,12,13
1,2,3,4,5,6,8,9,12,13,16,18,24,36,48,72,144
1,2,3,4,5,6,12,13,169
1,2,3,4,5,6,7,8,12,13,14,24
1,2,3,4,5,6,9,12,13,15,18,25,36
1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,16,18,24,25,36,48,72,144
1,2,3,4,5,6,7,8,12,24,25,49
1,2,3,4,5,6,7,8,12,16,24,25,32,48,64,96,192
1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,18,24,25,27,36,54,72,108,216
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,16,24,25,48,125
1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,24,25

577

Table for selected r, s (s=2r)
2

2

2

2

2

2

2

2

r
s period r +s
s -r
2rs LCM(r +s , s -r , 2rs) GCD(r,s) recurrence order
11 22
605
363
484
7260
11
660
72
12 24
720
432
576
8640
12
720
115
13 26
845
507
676
10140
13
780
80
14 28
980
588
784
11760
14
840
93
15 30
675
900
13500
15
900 1125148
16 32
768 102415360
16
960 1280227
17 34
867 115617340
171020 144596
18 36
972 1296
19440
181080 1620
157
19 38
21660
19
1140 1805 1083 1444
104
20 40
24000
20
1200 2000 1200 1600
183
21 42
26460
21
1260 2205 1323 1764
124
22 44
29040
22
1320 2420 1452 1936
125
23 46
31740
23
1380 2645 1587 2116
120
24 48
34560
24
1440 2880 1728 2304
199
25 50
37500
25
1500 3125 1875 2500
416
26 52
40560
26
1560 3380 2028 2704
141
27 54
43740
27
1620 3645 2187 2916
292
28 56
47040
28
1680 3920 2352 3136
167
29 58
50460
29
1740 4205 2523 3364
144
30 60
54000
30
1800 4500 2700 3600
217
31 62
57660
31
1860 4805 2883 3844
152
32 64
61440
32
1920 5120 3072 4096
435
64 128245760643840 20480 12288 16384
851
rs period r2+s2 s2-r2
2rs LCM(r2+s2, s2-r2, 2rs) GCD(r,s) recurrence order

r
prime
prime
24
prime
prime

prime

prime
prime
25
26
r

r2+s2 6s(r+s)-4 cyclotomic polynomials
1,2,3,4,5,11
5.112
4352
1,2,3,4,5,6,8,9,12,16
24.32.55180
1,2,3,4,5,13
5.132
6080
2
2
1,2,3,4,5,7,8,14
2 .5.77052
1,2,3,4,5,9,15,25
32.53
8096
8
1,2,3,4,5,8,16,32,64
2 .5
9212
1,2,3,4,5,17
5.172
10400
2 4
1,2,3,4,5,6,8,9,18,27
2 .3 .511660
2
1,2,3,4,5,19
5.19
12992
4 3
1,2,3,4,5,8,10,16,20,25
2 .5
14396
2
2
1,2,3,4,5,7,9,21
3 .5.715872
2
2
1,2,3,4,5,8,11,22
2 .5.1117420
2
1,2,3,4,5,23
5.23
19040
6 2
1,2,3,4,5,6,8,9,12,16,24,32
2 .3 .520732
5
1,2,3,4,5,25,125
5
22496
2
2
1,2,3,4,5,8,13,26
2 .5.1324332
1,2,3,4,5,9,27,81
36.5
26240
4
2
1,2,3,4,5,7,8,14,16,28
2 .5.728220
1,2,3,4,5,29
5.292
30272
2 2 3
1,2,3,4,5,6,8,9,10,15,25,30
2 .3 .532396
1,2,3,4,5,31
5.312
34592
10
1,2,3,4,5,8,16,32,64,128
2 .5
36860
12
1,2,3,4,5,8,16,32,64,128,256
2 .5147452
r2+s2 6s(r+s)-4 cyclotomic polynomials

V této tabulce je vždy s dvojnásobkem r, potom evidentně GCD(r,s) = r. Výrazy pro hloubku rekurence mají lineární tvar v případě, že r je prvočíslo (větší než 5)
nebo když r je mocnina 2. Více viz str. 568.

578

Two [0,1] riders (Rooks) on a toroidal chessboard
Explicit formula (only for completness)(identical as on a normal chessboard)

Recurrence
a[n] = a[n-5] -5a[n-4] +10a[n-3] -10a[n-2] +5a[n-1]Generating function

Two [0,2] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=2
Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-9] -a[n-8] -4a[n-7] +4a[n-6] +6a[n-5] -6a[n-4] -4a[n-3] +4a[n-2] +a[n-1]Generating function

579

Two [0,3] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=3

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-13] -a[n-12] -4a[n-10] +4a[n-9] +6a[n-7] -6a[n-6] -4a[n-4] +4a[n-3] +a[n-1]Generating function

Two [0,4] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=4

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-17] -a[n-16] -4a[n-13] +4a[n-12] +6a[n-9] -6a[n-8] -4a[n-5] +4a[n-4] +a[n-1]Generating function

580

Two [0,5] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=5

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-21] -a[n-20] -4a[n-16] +4a[n-15] +6a[n-11] -6a[n-10] -4a[n-6] +4a[n-5] +a[n-1]Generating function

Two [0,6] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=6

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-25] -a[n-24] -4a[n-19] +4a[n-18] +6a[n-13] -6a[n-12] -4a[n-7] +4a[n-6] +a[n-1]Generating function- 2 x^2 (x^22+6 x^21+20 x^20+57 x^19+141 x^18+126 x^17+429 x^16+360 x^15+534 x^14+765 x^13+1017 x^12+504 x^11+1191 x^10+558 x^9+600 x^8+567 x^7+459 x^6+126 x^5+215
x^4+48 x^3+34 x^2+15 x+3) / ((x-1)^5 (x+1)^4 (x^2-x+1)^4 (x^2+x+1)^4)581

Two [0,7] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=7

Zde je možno poznamenat, že výraz

nabývá pouze dvou hodnot. Pokud je n=7k (násobek 7), je roven 3, jinak vždy -1/2

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-29]-a[n-28]-4a[n-22]+4a[n-21]+6a[n-15]-6a[n-14]-4a[n-8]+4a[n-7]+a[n-1]Generating function-2 x^2 (x^26+8 x^25+27 x^24+64 x^23+125 x^22+216 x^21+196 x^20+655 x^19+697 x^18+892 x^17+1075 x^16+1228 x^15+1333 x^14+784 x^13+1921 x^12+1228 x^11+1075 x^10+892
x^9+697 x^8+508 x^7+196 x^6+363 x^5+125 x^4+64 x^3+27 x^2+8 x+1) / ((x-1)^5 (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^4)582

Two [1,1] riders (Bishops) on a toroidal chessboard
Explicit formula (only for completness) , period=2
Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-8] -2a[n-7] -2a[n-6] +6a[n-5] -6a[n-3] +2a[n-2] +2a[n-1]Generating function

Two [1,2] riders (Nightriders) on a toroidal chessboard
Explicit formula (only for completness), period=60

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-32] +4a[n-31] +10a[n-30] +17a[n-29] +20a[n-28] +11a[n-27] -15a[n-26] -54a[n-25] -90a[n-24] -99a[n-23] -63a[n-22] +18a[n-21] +116a[n-20] +188a[n-19] +194a[n-18] +123a[n-17] 123a[n-15] -194a[n-14] -188a[n-13] -116a[n-12] -18a[n-11] +63a[n-10] +99a[n-9] +90a[n-8] +54a[n-7] +15a[n-6] -11a[n-5] -20a[n-4] -17a[n-3] -10a[n-2] -4a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^29+25 x^28+151 x^27+620 x^26+1965 x^25+5094 x^24+11169 x^23+21370 x^22+36349 x^21+56009 x^20+78898 x^19+102778 x^18+124128 x^17+139254 x^16+144792
x^15+139276 x^14+123618 x^13+101232 x^12+76538 x^11+53680 x^10+35008 x^9+21359 x^8+12037 x^7+6226 x^6+2853 x^5+1122 x^4+351 x^3+82 x^2+13 x+1) / ((x-1)^5 (x+1)^3(x^2+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3)583

Two [1,3] riders (Camelriders = Mehari) on a toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=120

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-62] -2a[n-61] +7a[n-60] -12a[n-59] +27a[n-58] -42a[n-57] +74a[n-56] -106a[n-55] +158a[n-54] -210a[n-53] +273a[n-52] -336a[n-51] +384a[n-50] -432a[n-49] +426a[n-48] -420a[n-47]+324a[n-46] -228a[n-45] +33a[n-44] +162a[n-43] -420a[n-42] +678a[n-41] -918a[n-40] +1158a[n-39] -1282a[n-38] +1406a[n-37] -1342a[n-36] +1278a[n-35] -1020a[n-34] +762a[n-33] 381a[n-32] +381a[n-30] -762a[n-29] +1020a[n-28] -1278a[n-27] +1342a[n-26] -1406a[n-25] +1282a[n-24] -1158a[n-23] +918a[n-22] -678a[n-21] +420a[n-20] -162a[n-19] -33a[n-18] +228a[n-17]-324a[n-16] +420a[n-15] -426a[n-14] +432a[n-13] -384a[n-12] +336a[n-11] -273a[n-10] +210a[n-9] -158a[n-8] +106a[n-7] -74a[n-6] +42a[n-5] -27a[n-4] +12a[n-3] -7a[n-2] +2a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^59+14 x^58+41 x^57+144 x^56+293 x^55+788 x^54+1175 x^53+3336 x^52+3195 x^51+11496 x^50+5971 x^49+33442 x^48+6370 x^47+83106 x^46-1947 x^45+177752 x^4426845 x^43+330998 x^42-71970 x^41+543140 x^40-133108 x^39+794306 x^38-196101 x^37+1047978 x^36-247416 x^35+1263676 x^34-281372 x^33+1410806 x^32-304345 x^31+1474358
x^30-325662 x^29+1452422 x^28-347455 x^27+1349570 x^26-358694 x^25+1175380 x^24-344002 x^23+948726 x^22-295455 x^21+699482 x^20-221566 x^19+463760 x^18-141432
x^17+272102 x^16-75241 x^15+138944 x^14-31815 x^13+60498 x^12-9830 x^11+21922 x^10-1637 x^9+6456 x^8+177 x^7+1500 x^6+205 x^5+260 x^4+59 x^3+36 x^2+5 x+2) / ((x-1)^5(x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4+1)^3 (x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3)584

Two [1,4] riders (Girafferiders) on a toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=2040

Suma na posledním řádku, kterou jsem dostal řešením diferenční rovnice, je zajímavá. Nabývá totiž pouze dvou hodnot

pouze pro n=17k (násobky 17)

pro všechna ostatní nAlternative formula

Na tomto místě jsem si vzpomněl na jeden z nejhezčích matematických vzorců, které jsem v životě viděl:Tento excelentní vzorec (neobsahující komplexní čísla!), který odvodil už Gauss (viz např. Hans Rademacher: „Lectures on elementary number theory“, 1964), jdeještě trochu zjednodušit:

585
Recurrence
a[n] = a[n-116] +4a[n-115] +10a[n-114] +20a[n-113] +35a[n-112] +56a[n-111] +84a[n-110] +120a[n-109] +162a[n-108] +208a[n-107] +256a[n-106] +304a[n-105] +350a[n-104] +392a[n-103]+428a[n-102] +453a[n-101] +465a[n-100] +459a[n-99] +430a[n-98] +373a[n-97] +283a[n-96] +155a[n-95] -16a[n-94] -226a[n-93] -472a[n-92] -742a[n-91] -1024a[n-90] -1306a[n-89] 1576a[n-88] -1822a[n-87] -2029a[n-86] -2191a[n-85] -2293a[n-84] -2329a[n-83] -2290a[n-82] -2167a[n-81] -1951a[n-80] -1633a[n-79] -1213a[n-78] -688a[n-77] -82a[n-76] +584a[n-75]+1280a[n-74] +1976a[n-73] +2642a[n-72] +3247a[n-71] +3769a[n-70] +4177a[n-69] +4467a[n-68] +4626a[n-67] +4650a[n-66] +4534a[n-65] +4273a[n-64] +3865a[n-63] +3305a[n-62] +2615a[n-61] +1808a[n-60] +924a[n-59] -924a[n-57] -1808a[n-56] -2615a[n-55] -3305a[n-54] -3865a[n-53] -4273a[n-52] -4534a[n-51] -4650a[n-50] -4626a[n-49] -4467a[n-48] -4177a[n-47] 3769a[n-46] -3247a[n-45] -2642a[n-44] -1976a[n-43] -1280a[n-42] -584a[n-41] +82a[n-40] +688a[n-39] +1213a[n-38] +1633a[n-37] +1951a[n-36] +2167a[n-35] +2290a[n-34] +2329a[n-33]+2293a[n-32] +2191a[n-31] +2029a[n-30] +1822a[n-29] +1576a[n-28] +1306a[n-27] +1024a[n-26] +742a[n-25] +472a[n-24] +226a[n-23] +16a[n-22] -155a[n-21] -283a[n-20] -373a[n-19] 430a[n-18] -459a[n-17] -465a[n-16] -453a[n-15] -428a[n-14] -392a[n-13] -350a[n-12] -304a[n-11] -256a[n-10] -208a[n-9] -162a[n-8] -120a[n-7] -84a[n-6] -56a[n-5] -35a[n-4] -20a[n-3] -10a[n-2] 4a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^113+25 x^112+151 x^111+626 x^110+2046 x^109+5628 x^108+13569 x^107+29874 x^106+61053 x^105+117390 x^104+214062 x^103+373134 x^102+625085 x^101+1011124
x^100+1587295 x^99+2425780 x^98+3619505 x^97+5282582 x^96+7553233 x^95+10596493 x^94+14606353 x^93+19806715 x^92+26446333 x^91+34804018 x^90+45179400 x^89+57895623
x^88+73293717 x^87+91725047 x^86+113542047 x^85+139092036 x^84+168707882 x^83+202678398 x^82+241251807 x^81+284621309 x^80+332907419 x^79+386146502 x^78+444276538
x^77+507120706 x^76+574382293 x^75+645678947 x^74+720500151 x^73+798202059 x^72+878022868 x^71+959091582 x^70+1040445633 x^69+1121054273 x^68+1199831660
x^67+1275625463 x^66+1347277026 x^65+1413661728 x^64+1473700719 x^63+1526393046 x^62+1570834352 x^61+1606243784 x^60+1631982170 x^59+1647589214 x^58+1652785631
x^57+1647474848 x^56+1631753039 x^55+1605903062 x^54+1570389514 x^53+1525838162 x^52+1473024638 x^51+1412864050 x^50+1346367111 x^49+1274617056 x^48+1198739598
x^47+1119882827 x^46+1039185362 x^45+957766515 x^44+876689385 x^43+796905582 x^42+719272824 x^41+644549067 x^40+573377043 x^39+506274931 x^38+443635885
x^37+385720594 x^36+332669676 x^35+284552456 x^34+241337759 x^33+202902817 x^32+169052295 x^31+139534020 x^30+114050932 x^29+92278332 x^28+73877103 x^27+58488331
x^26+45760437 x^25+35355591 x^24+26952680 x^23+20253214 x^22+14985517 x^21+10907139 x^20+7799233 x^19+5473279 x^18+3763835 x^17+253 2050 x^16+1663619 x^15+1065946
x^14+665083 x^13+402724 x^12+235897 x^11+132654 x^10+71190 x^9+36238 x^8+17301 x^7+7698 x^6+3141 x^5+1164 x^4+354 x^3+82 x^2+13 x+1) / ((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3(x^2+x+1)^3 (x^4+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)^3 (x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)

Two [1,5] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=1560

586

Recurrence
a[n] = a[n-170] -2a[n-169] +7a[n-168] -12a[n-167] +27a[n-166] -42a[n-165] +77a[n-164] -112a[n-163] +182a[n-162] -252a[n-161] +375a[n-160] -498a[n-159] +693a[n-158] -888a[n-157]+1173a[n-156] -1458a[n-155] +1848a[n-154] -2238a[n-153] +2743a[n-152] -3248a[n-151] +3874a[n-150] -4500a[n-149] +5250a[n-148] -6000a[n-147] +6872a[n-146] -7744a[n-145] +8726a[n-144] -9708a[n-143] +10773a[n-142] -11838a[n-141] +12938a[n-140] -14038a[n-139] +15098a[n-138] -16158a[n-137] +17079a[n-136] -18000a[n-135] +18671a[n-134] -19342a[n-133]+19652a[n-132] -19962a[n-131] +19812a[n-130] -19662a[n-129] +18977a[n-128] -18292a[n-127] +17024a[n-126] -15756a[n-125] +13878a[n-124] -12000a[n-123] +9503a[n-122] -7006a[n-121]+3905a[n-120] -804a[n-119] -2853a[n-118] +6510a[n-117] -10630a[n-116] +14750a[n-115] -19180a[n-114] +23610a[n-113] -28131a[n-112] +32652a[n-111] -37000a[n-110] +41348a[n-109] 45244a[n-108] +49140a[n-107] -52320a[n-106] +55500a[n-105] -57745a[n-104] +59990a[n-103] -61147a[n-102] +62304a[n-101] -62280a[n-100] +62256a[n-99] -61004a[n-98] +59752a[n-97] 57266a[n-96] +54780a[n-95] -51099a[n-94] +47418a[n-93] -42634a[n-92] +37850a[n-91] -32125a[n-90] +26400a[n-89] -19983a[n-88] +13566a[n-87] -6783a[n-86] +6783a[n-84] -13566a[n-83]+19983a[n-82] -26400a[n-81] +32125a[n-80] -37850a[n-79] +42634a[n-78] -47418a[n-77] +51099a[n-76] -54780a[n-75] +57266a[n-74] -59752a[n-73] +61004a[n-72] -62256a[n-71] +62280a[n-70] -62304a[n-69] +61147a[n-68] -59990a[n-67] +57745a[n-66] -55500a[n-65] +52320a[n-64] -49140a[n-63] +45244a[n-62] -41348a[n-61] +37000a[n-60] -32652a[n-59] +28131a[n-58]-23610a[n-57] +19180a[n-56] -14750a[n-55] +10630a[n-54] -6510a[n-53] +2853a[n-52] +804a[n-51] -3905a[n-50] +7006a[n-49] -9503a[n-48] +12000a[n-47] -13878a[n-46] +15756a[n-45] 17024a[n-44] +18292a[n-43] -18977a[n-42] +19662a[n-41] -19812a[n-40] +19962a[n-39] -19652a[n-38] +19342a[n-37] -18671a[n-36] +18000a[n-35] -17079a[n-34] +16158a[n-33] -15098a[n-32]+14038a[n-31] -12938a[n-30] +11838a[n-29] -10773a[n-28] +9708a[n-27] -8726a[n-26] +7744a[n-25] -6872a[n-24] +6000a[n-23] -5250a[n-22] +4500a[n-21] -3874a[n-20] +3248a[n-19] 2743a[n-18] +2238a[n-17] -1848a[n-16] +1458a[n-15] -1173a[n-14] +888a[n-13] -693a[n-12] +498a[n-11] -375a[n-10] +252a[n-9] -182a[n-8] +112a[n-7] -77a[n-6] +42a[n-5] -27a[n-4] +12a[n-3] 7a[n-2] +2a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^167+14 x^166+41 x^165+144 x^164+293 x^163+788 x^162+1181 x^161+3378 x^160+3324 x^159+11970 x^158+6973 x^157+36526 x^156+11224 x^155+95550 x^154+15069
x^153+218846 x^152+18074 x^151+451508 x^150+20828 x^149+859744 x^148+24082 x^147+1534772 x^146+29684 x^145+2607152 x^144+25120 x^143+4274820 x^142-43980
x^141+6834908 x^140-299518 x^139+10714514 x^138-959109 x^137+16507958 x^136-2371450 x^135+24987856 x^134-5006834 x^133+37072564 x^132-9415720 x^131+53778634 x^13016182569 x^129+76153710 x^128-25873386 x^127+105196908 x^126-38971598 x^125+141793096 x^124-55853684 x^123+186668928 x^122-76770532 x^121+240350156 x^120-101868864
x^119+303127974 x^118-131138547 x^117+374992476 x^116-164392129 x^115+455577416 x^114-201233353 x^113+544110488 x^112-241041121 x^111+639350888 x^110-282873863
x^109+739605214 x^108-325634468 x^107+842851018 x^106-368160227 x^105+946855828 x^104-409325721 x^103+1049299542 x^102-448132218 x^101+1147944004 x^100-483877592
x^99+1240716916 x^98-516067900 x^97+1325754932 x^96-544423542 x^95+1401412576 x^94-568820654 x^93+1466264680 x^92-589242156 x^91+1519095246 x^90-605692677
x^89+1558922454 x^88-618202224 x^87+1584988266 x^86-626776157 x^85+1596802810 x^84-631401726 x^83+1594173214 x^82-632021783 x^81+1577180874 x^80-628531416
x^79+1546177062 x^78-620790019 x^77+1501797354 x^76-608655330 x^75+1444925896 x^74-591982850 x^73+1376646088 x^72-570679790 x^71+1298247932 x^70-544703644
x^69+1211201452 x^68-514148216 x^67+1117167436 x^66-479292436 x^65+1017995634 x^64-440657829 x^63+915717520 x^62-399000095 x^61+812506150 x^60-355393848
x^59+710596714 x^58-311057483 x^57+612122756 x^56-267257503 x^55+519000296 x^54-225198995 x^53+432815324 x^52-185929411 x^51+354706044 x^50-150168423 x^49+285351438
x^48-118399870 x^47+225036656 x^46-90885532 x^45+173704428 x^44-67695440 x^43+131011060 x^42-48727962 x^41+96393048 x^40-33762696 x^39+69100302 x^38-22439699
x^37+48237934 x^36-14279294 x^35+32808748 x^34-8708234 x^33+21776872 x^32-5126176 x^31+14144858 x^30-2960779 x^29+9018122 x^28-1716508 x^27+5649968 x^26-1018416
x^25+3472056 x^24-623424 x^23+2081852 x^22-386116 x^21+1204472 x^20-231218 x^19+661444 x^18-128220 x^17+338720 x^16-63940 x^15+158654 x^14-26997 x^13+65778 x^12-8600
x^11+23098 x^10-1445 x^9+6570 x^8+192 x^7+1506 x^6+205 x^5+260 x^4+59 x^3+36 x^2+5 x+2) /((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4+1)^3 (x^4-x^2+1)^3 (x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^8-x^4+1)^3 (x^12-x^11+x^10-x^9+x^8-x^7+x^6x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)587

Two [1,6] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=15540

Recurrence
a[n] = a[n-248] +4a[n-247] +10a[n-246] +20a[n-245] +35a[n-244] +56a[n-243] +84a[n-242] +120a[n-241] +165a[n-240] +220a[n-239] +286a[n-238] +364a[n-237] +452a[n-236] +548a[n-235]+650a[n-234] +756a[n-233] +864a[n-232] +972a[n-231] +1078a[n-230] +1180a[n-229] +1276a[n-228] +1364a[n-227] +1442a[n-226] +1508a[n-225] +1563a[n-224] +1608a[n-223] +1644a[n-222]+1672a[n-221] +1693a[n-220] +1708a[n-219] +1718a[n-218] +1724a[n-217] +1727a[n-216] +1728a[n-215] +1728a[n-214] +1725a[n-213] +1716a[n-212] +1695a[n-211] +1656a[n-210] +1593a[n-209] +1500a[n-208] +1371a[n-207] +1200a[n-206] +981a[n-205] +708a[n-204] +375a[n-203] -24a[n-202] -486a[n-201] -1008a[n-200] -1578a[n-199] -2184a[n-198] -2814a[n-197] 3456a[n-196] -4098a[n-195] -4728a[n-194] -5334a[n-193] -5904a[n-192] -6426a[n-191] -6888a[n-190] -7287a[n-189] -7620a[n-188] -7893a[n-187] -8112a[n-186] -8283a[n-185] -8412a[n-184] 8505a[n-183] -8568a[n-182] -8607a[n-181] -8628a[n-180] -8637a[n-179] -8637a[n-178] -8628a[n-177] -8601a[n-176] -8544a[n-175] -8442a[n-174] -8280a[n-173] -8043a[n-172] -7716a[n-171] 7284a[n-170] -6732a[n-169] -6045a[n-168] -5208a[n-167] -4215a[n-166] -3060a[n-165] -1764a[n-164] -348a[n-163] +1158a[n-162] +2724a[n-161] +4320a[n-160] +5916a[n-159] +7482a[n-158]+8988a[n-157] +10404a[n-156] +11700a[n-155] +12855a[n-154] +13848a[n-153] +14685a[n-152] +15372a[n-151] +15924a[n-150] +16356a[n-149] +16683a[n-148] +16920a[n-147] +17082a[n-146] +17184a[n-145] +17241a[n-144] +17267a[n-143] +17273a[n-142] +17261a[n-141] +17224a[n-140] +17146a[n-139] +17008a[n-138] +16790a[n-137] +16472a[n-136] +16034a[n-135] +15456a[n-134] +14718a[n-133] +13800a[n-132] +12685a[n-131] +11356a[n-130] +9823a[n-129] +8096a[n-128] +6212a[n-127] +4208a[n-126] +2124a[n-125] -2124a[n-123] 4208a[n-122] -6212a[n-121] -8096a[n-120] -9823a[n-119] -11356a[n-118] -12685a[n-117] -13800a[n-116] -14718a[n-115] -15456a[n-114] -16034a[n-113] -16472a[n-112] -16790a[n-111] 17008a[n-110] -17146a[n-109] -17224a[n-108] -17261a[n-107] -17273a[n-106] -17267a[n-105] -17241a[n-104] -17184a[n-103] -17082a[n-102] -16920a[n-101] -16683a[n-100] -16356a[n-99] 15924a[n-98] -15372a[n-97] -14685a[n-96] -13848a[n-95] -12855a[n-94] -11700a[n-93] -10404a[n-92] -8988a[n-91] -7482a[n-90] -5916a[n-89] -4320a[n-88] -2724a[n-87] -1158a[n-86] +348a[n-85] +1764a[n-84] +3060a[n-83] +4215a[n-82] +5208a[n-81] +6045a[n-80] +6732a[n-79] +7284a[n-78] +7716a[n-77] +8043a[n-76] +8280a[n-75] +8442a[n-74] +8544a[n-73] +8601a[n-72] +8628a[n-71] +8637a[n-70] +8637a[n-69] +8628a[n-68] +8607a[n-67] +8568a[n-66] +8505a[n-65] +8412a[n-64] +8283a[n-63] +8112a[n-62] +7893a[n-61] +7620a[n-60] +7287a[n-59] +6888a[n-58] +6426a[n-57] +5904a[n-56] +5334a[n-55] +4728a[n-54] +4098a[n-53] +3456a[n-52] +2814a[n-51] +2184a[n-50] +1578a[n-49] +1008a[n-48] +486a[n-47] +24a[n-46] 375a[n-45] -708a[n-44] -981a[n-43] -1200a[n-42] -1371a[n-41] -1500a[n-40] -1593a[n-39] -1656a[n-38] -1695a[n-37] -1716a[n-36] -1725a[n-35] -1728a[n-34] -1728a[n-33] -1727a[n-32] 1724a[n-31] -1718a[n-30] -1708a[n-29] -1693a[n-28] -1672a[n-27] -1644a[n-26] -1608a[n-25] -1563a[n-24] -1508a[n-23] -1442a[n-22] -1364a[n-21] -1276a[n-20] -1180a[n-19] -1078a[n-18] 972a[n-17] -864a[n-16] -756a[n-15] -650a[n-14] -548a[n-13] -452a[n-12] -364a[n-11] -286a[n-10] -220a[n-9] -165a[n-8] -120a[n-7] -84a[n-6] -56a[n-5] -35a[n-4] -20a[n-3] -10a[n-2] -4a[n-1]588Generating function- 2 x^2 (2 x^245+25 x^244+151 x^243+626 x^242+2046 x^241+5664 x^240+13860 x^239+30694 x^238+62737 x^237+120385 x^236+219116 x^235+382220 x^234+642445 x^233+1045669 x^232+1654456 x^231+2551934 x^230+3846191
x^229+5676473 x^228+8218355 x^227+11692072 x^226+16370302 x^225+22584065 x^224+30731659 x^223+41288314 x^222+54815874 x^221+71969356 x^220+93507160 x^219+120304742 x^218+153362418 x^217+193817313
x^216+242952195 x^215+302202988 x^214+373167544 x^213+457620572 x^212+557544230 x^211+675117662 x^210+812748213 x^209+973062525 x^208+1158916143 x^207+1373397981 x^206+1619843272 x^205+1901841910
x^204+2223246199 x^203+2588179865 x^202+3001048442 x^201+3466535157 x^200+3989536891 x^199+4575228313 x^198+5228990069 x^197+5956470929 x^196+6763570643 x^195+7656424359 x^194+8641385307
x^193+9724995990 x^192+10913971491 x^191+12215173537 x^190+13635556096 x^189+15182139061 x^188+16862034434 x^187+18682345565 x^186+20650172748 x^185+22772497846 x^184+25056160870 x^183+27507811646
x^182+30133844519 x^181+32940364433 x^180+35933106687 x^179+39117384411 x^178+42498071982 x^177+46079568450 x^176+49865690371 x^175+53859495889 x^174+58063371478 x^173+62479035707 x^172+67107423341
x^171+71948646471 x^170+77001957325 x^169+82265692123 x^168+87737242493 x^167+93413019605 x^166+99288386933 x^165+105357554208 x^164+111613631454 x^163+118049035188 x^162+124655040732 x^161+131421678799
x^160+138337840585 x^159+145391295424 x^158+152568714392 x^157+159855697877 x^156+167236833162 x^155+174695703919 x^154+182214950452 x^153+189776453621 x^152+197361309377 x^151+204949493402
x^150+212520345225 x^149+220052800938 x^148+227525395209 x^147+234916301853 x^146+242203431370 x^145+249364549765 x^144+256377343357 x^143+263219603675 x^142+269869338641 x^141+276304766785
x^140+282504478839 x^139+288447684555 x^138+294114195975 x^137+299484434510 x^136+304539561353 x^135+309261668497 x^134+313633845025 x^133+317640274660 x^132+321266335158 x^131+324498638045
x^130+327325095539 x^129+329735072214 x^128+331719421401 x^127+333270565989 x^126+334382544594 x^125+335051077200 x^124+335273617512 x^123+335049318578 x^122+334379049096 x^121+333265383192
x^120+331712585234 x^119+329726568597 x^118+327314906073 x^117+324486754984 x^116+321252770891 x^115+317625043049 x^114+313616997678 x^113+309243348148 x^112+304519932265 x^111+299463636453
x^110+294092349041 x^109+288424855574 x^108+282480737407 x^107+276280302759 x^106+269844393999 x^105+263194256259 x^104+256351529879 x^103+249338266979 x^102+242176684717 x^101+234889004029
x^100+227497456126 x^99+220024172565 x^98+212491002327 x^97+204919449882 x^96+197330560323 x^95+189744827042 x^94+182182157813 x^93+174661881053 x^92+167202523162 x^91+159821336335 x^90+152534647740
x^89+145357900493 x^88+138305486666 x^87+131390705056 x^86+124625770423 x^85+118021774999 x^84+111588680010 x^83+105335310804 x^82+99269357208 x^81+93397285368 x^80+87724456673 x^79+82255589261
x^78+76994363747 x^77+71943379243 x^76+67104267679 x^75+62477767695 x^74+58063765721 x^73+53861328515 x^72+49868762182 x^71+46083651337 x^70+42502899229 x^69+39122844354 x^68+35939257038
x^67+32947252821 x^66+30141468375 x^65+27516168557 x^64+25065282719 x^63+22782420812 x^62+20660925142 x^61+18693949486 x^60+16874491452 x^59+15195455711 x^58+13649699690 x^57+12230053705
x^56+10929432328 x^55+9740824009 x^54+8657386299 x^53+7672413426 x^52+6779355795 x^51+5971867143 x^50+5243822939 x^49+4589329397 x^48+4002744605 x^47+3478688305 x^46+3012050227 x^45+2598000417
x^44+2231920850 x^43+1909471703 x^42+1626522439 x^41+1379211838 x^40+1163948824 x^39+977399439 x^38+816475767 x^37+678326625 x^36+560328093 x^35+460069796 x^34+375349958 x^33+304165532 x^32+244720984
x^31+195397036 x^30+154761125 x^29+121536825 x^28+94588956 x^27+72914886 x^26+55637140 x^25+41994748 x^24+31331550 x^23+23088730 x^22+16791577 x^21+12039817 x^20+8501716 x^19+5905192 x^18+4029093
x^17+2695313 x^16+1764041 x^15+1127198 x^14+701374 x^13+423949 x^12+248187 x^11+140108 x^10+75830 x^9+39161 x^8+18979 x^7+8518 x^6+3432 x^5+1200 x^4+354 x^3+82 x^2+13 x+1) /((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4-x^2+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^24-x^23+x^19-x^18+x^17-x^16+x^14-x^13+x^12-x^11+x^10-x^8+x^7-x^6+x^5-x+1)^3(x^36+x^35+x^34+x^33+x^32+x^31+x^30+x^29+x^28+x^27+x^26+x^25+x^24+x^23+x^22+x^21+x^20+x^19+x^18+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)

Two [1,7] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=8400

589

Two [2,2] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=4

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-15] -a[n-14] -a[n-13] +a[n-12] -3a[n-11] +3a[n-10] +3a[n-9] -3a[n-8] +3a[n-7] -3a[n-6] -3a[n-5] +3a[n-4] -a[n-3] +a[n-2] +a[n-1]Generating function

Two [2,3] riders (Zebrariders) on a toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=780

Suma na posledním řádku nabývá pouze dvou hodnot

pouze pro n=13k (násobky 13)

pro všechna ostatní n590
Mimochodem pro

platí, že ač je reálným kořenem algebraické rovnice, nelze jej algebraicky vyjádřit bez pomoci komplexních čísel, možný rozklad je tento:

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-86] +4a[n-85] +10a[n-84] +20a[n-83] +35a[n-82] +53a[n-81] +72a[n-80] +90a[n-79] +105a[n-78] +115a[n-77] +121a[n-76] +124a[n-75] +122a[n-74] +110a[n-73] +83a[n-72] +35a[n-71] -40a[n-70] -139a[n-69] -250a[n-68] -361a[n-67] -460a[n-66] -535a[n-65] -583a[n-64] -610a[n-63] -619a[n-62] -604a[n-61] -556a[n-60] -463a[n-59] -310a[n-58] -91a[n-57] +173a[n-56]+452a[n-55] +716a[n-54] +935a[n-53] +1088a[n-52] +1181a[n-51] +1228a[n-50] +1234a[n-49] +1195a[n-48] +1103a[n-47] +941a[n-46] +692a[n-45] +366a[n-44] -366a[n-42] -692a[n-41] 941a[n-40] -1103a[n-39] -1195a[n-38] -1234a[n-37] -1228a[n-36] -1181a[n-35] -1088a[n-34] -935a[n-33] -716a[n-32] -452a[n-31] -173a[n-30] +91a[n-29] +310a[n-28] +463a[n-27] +556a[n-26]+604a[n-25] +619a[n-24] +610a[n-23] +583a[n-22] +535a[n-21] +460a[n-20] +361a[n-19] +250a[n-18] +139a[n-17] +40a[n-16] -35a[n-15] -83a[n-14] -110a[n-13] -122a[n-12] -124a[n-11] 121a[n-10] -115a[n-9] -105a[n-8] -90a[n-7] -72a[n-6] -53a[n-5] -35a[n-4] -20a[n-3] -10a[n-2] -4a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^83+25 x^82+151 x^81+626 x^80+2046 x^79+5658 x^78+13638 x^77+29653 x^76+59389 x^75+111307 x^74+196985 x^73+332924 x^72+541246 x^71+849568 x^70+1291717
x^69+1908618 x^68+2745151 x^67+3849865 x^66+5275869 x^65+7079212 x^64+9315487 x^63+12040148 x^62+15303864 x^61+19149690 x^60+23601737 x^59+28669496 x^58+34341386
x^57+40582966 x^56+47329955 x^55+54508610 x^54+62013100 x^53+69713081 x^52+77456276 x^51+85079133 x^50+92391106 x^49+99206599 x^48+105343147 x^47+110630282
x^46+114913319 x^45+118069096 x^44+120000020 x^43+120644729 x^42+119980752 x^41+118028699 x^40+114848624 x^39+110539350 x^38+105230441 x^37+99076574 x^36+92244899
x^35+84919855 x^34+77286946 x^33+69529019 x^32+61817972 x^31+54317717 x^30+47154084 x^29+40433126 x^28+34233569 x^27+28607520 x^26+23576000 x^25+19154156
x^24+15332731 x^23+12086190 x^22+9375108 x^21+7152820 x^20+5361001 x^19+3940666 x^18+2834411 x^17+1990165 x^16+1359709 x^15+900764 x^14+577303 x^13+357496
x^12+213102 x^11+122024 x^10+67085 x^9+35159 x^8+17263 x^7+7891 x^6+3282 x^5+1200 x^4+354 x^3+82 x^2+13 x+1) / ((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4x^2+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)591

Two [2,4] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=120

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-45] +5a[n-44] +14a[n-43] +27a[n-42] +40a[n-41] +46a[n-40] +38a[n-39] +12a[n-38] -30a[n-37] -81a[n-36] -132a[n-35] -171a[n-34] -186a[n-33] 165a[n-32] -102a[n-31] +2a[n-30] +130a[n-29] +253a[n-28] +339a[n-27] +365a[n-26] +323a[n-25] +220a[n-24] +78a[n-23] -78a[n-22] -220a[n-21] -323a[n-20] 365a[n-19] -339a[n-18] -253a[n-17] -130a[n-16] -2a[n-15] +102a[n-14] +165a[n-13] +186a[n-12] +171a[n-11] +132a[n-10] +81a[n-9] +30a[n-8] -12a[n-7] 38a[n-6] -46a[n-5] -40a[n-4] -27a[n-3] -14a[n-2] -5a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^42+21 x^41+146 x^40+639 x^39+2189 x^38+6102 x^37+14589 x^36+30684 x^35+58518 x^34+102798 x^33+168676 x^32+260102 x^31+379556 x^30+525582 x^29+694198
x^28+877488 x^27+1066646 x^26+1248119 x^25+1407992 x^24+1529751 x^23+1602205 x^22+1616289 x^21+1571915 x^20+1472099 x^19+1328181 x^18+1152780 x^17+963359
x^16+774340 x^15+599334 x^14+445116 x^13+316276 x^12+213274 x^11+136146 x^10+81666 x^9+46000 x^8+24032 x^7+11596 x^6+4991 x^5+1870 x^4+567 x^3+139 x^2+24 x+3) /((x-1)^5 (x+1)^4 (x^2+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3)

Two [2,5] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=12180

592

Recurrence
a[n] = a[n-206] +4a[n-205] +10a[n-204] +20a[n-203] +35a[n-202] +56a[n-201] +84a[n-200] +120a[n-199] +165a[n-198] +220a[n-197] +286a[n-196] +364a[n-195] +455a[n-194] +560a[n-193]+680a[n-192] +816a[n-191] +969a[n-190] +1140a[n-189] +1330a[n-188] +1540a[n-187] +1768a[n-186] +2009a[n-185] +2258a[n-184] +2510a[n-183] +2760a[n-182] +3003a[n-181] +3234a[n-180] +3448a[n-179] +3640a[n-178] +3802a[n-177] +3926a[n-176] +4004a[n-175] +4028a[n-174] +3990a[n-173] +3882a[n-172] +3696a[n-171] +3424a[n-170] +3058a[n-169] +2590a[n-168] +2012a[n-167] +1319a[n-166] +515a[n-165] -393a[n-164] -1398a[n-163] -2493a[n-162] -3671a[n-161] -4925a[n-160] -6248a[n-159] -7633a[n-158] -9064a[n-157] -10516a[n-156] 11964a[n-155] -13383a[n-154] -14748a[n-153] -16034a[n-152] -17216a[n-151] -18269a[n-150] -19168a[n-149] -19885a[n-148] -20392a[n-147] -20662a[n-146] -20677a[n-145] -20428a[n-144] 19907a[n-143] -19106a[n-142] -18017a[n-141] -16632a[n-140] -14943a[n-139] -12942a[n-138] -10630a[n-137] -8035a[n-136] -5194a[n-135] -2144a[n-134] +1078a[n-133] +4435a[n-132]+7890a[n-131] +11406a[n-130] +14946a[n-129] +18464a[n-128] +21905a[n-127] +25214a[n-126] +28339a[n-125] +31237a[n-124] +33868a[n-123] +36192a[n-122] +38169a[n-121] +39759a[n-120] +40921a[n-119] +41614a[n-118] +41800a[n-117] +41468a[n-116] +40634a[n-115] +39317a[n-114] +37536a[n-113] +35310a[n-112] +32658a[n-111] +29599a[n-110] +26152a[n-109] +22345a[n-108] +18233a[n-107] +13880a[n-106] +9350a[n-105] +4704a[n-104] -4704a[n-102] -9350a[n-101] -13880a[n-100] -18233a[n-99] -22345a[n-98] -26152a[n-97] 29599a[n-96] -32658a[n-95] -35310a[n-94] -37536a[n-93] -39317a[n-92] -40634a[n-91] -41468a[n-90] -41800a[n-89] -41614a[n-88] -40921a[n-87] -39759a[n-86] -38169a[n-85] -36192a[n-84] 33868a[n-83] -31237a[n-82] -28339a[n-81] -25214a[n-80] -21905a[n-79] -18464a[n-78] -14946a[n-77] -11406a[n-76] -7890a[n-75] -4435a[n-74] -1078a[n-73] +2144a[n-72] +5194a[n-71]+8035a[n-70] +10630a[n-69] +12942a[n-68] +14943a[n-67] +16632a[n-66] +18017a[n-65] +19106a[n-64] +19907a[n-63] +20428a[n-62] +20677a[n-61] +20662a[n-60] +20392a[n-59] +19885a[n-58] +19168a[n-57] +18269a[n-56] +17216a[n-55] +16034a[n-54] +14748a[n-53] +13383a[n-52] +11964a[n-51] +10516a[n-50] +9064a[n-49] +7633a[n-48] +6248a[n-47] +4925a[n-46]+3671a[n-45] +2493a[n-44] +1398a[n-43] +393a[n-42] -515a[n-41] -1319a[n-40] -2012a[n-39] -2590a[n-38] -3058a[n-37] -3424a[n-36] -3696a[n-35] -3882a[n-34] -3990a[n-33] -4028a[n-32] 4004a[n-31] -3926a[n-30] -3802a[n-29] -3640a[n-28] -3448a[n-27] -3234a[n-26] -3003a[n-25] -2760a[n-24] -2510a[n-23] -2258a[n-22] -2009a[n-21] -1768a[n-20] -1540a[n-19] -1330a[n-18] 1140a[n-17] -969a[n-16] -816a[n-15] -680a[n-14] -560a[n-13] -455a[n-12] -364a[n-11] -286a[n-10] -220a[n-9] -165a[n-8] -120a[n-7] -84a[n-6] -56a[n-5] -35a[n-4] -20a[n-3] -10a[n-2] -4a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^203+25 x^202+151 x^201+626 x^200+2046 x^199+5628 x^198+13716 x^197+30334 x^196+62017 x^195+119325 x^194+217900 x^193+380764 x^192+640403 x^191+1042484 x^190+1649549
x^189+2545196 x^188+3839033 x^187+5673473 x^186+8230639 x^185+11744754 x^184+16512657 x^183+22900947 x^182+31358507 x^181+42432179 x^180+56782263 x^179+75198811 x^178+98620450
x^177+128157118 x^176+165119794 x^175+211034968 x^174+267663150 x^173+337024491 x^172+421422441 x^171+523466298 x^170+646098404 x^169+792614699 x^168+966685105 x^167+1172373527
x^166+1414154591 x^165+1696932647 x^164+2026022367 x^163+2407184640 x^162+2846619731 x^161+3350961462 x^160+3927266157 x^159+4582993965 x^158+5325982588 x^157+6164412175
x^156+7106720424 x^155+8161551307 x^154+9337737472 x^153+10644243440 x^152+12090078900 x^151+13684222347 x^150+15435523292 x^149+17352603270 x^148+19443744945 x^147+21716804525
x^146+24179066502 x^145+26837139588 x^144+29696829254 x^143+32763011184 x^142+36039513576 x^141+39528988161 x^140+43232794619 x^139+47150895530 x^138+51281754546 x^137+55622241234
x^136+60167561499 x^135+64911350717 x^134+69845451614 x^133+74959866662 x^132+80242730828 x^131+85680308966 x^130+91257018734 x^129+96955463121 x^128+102756497056
x^127+108639270883 x^126+114581330298 x^125+120558779926 x^124+126546389248 x^123+132517806307 x^122+138445685856 x^121+144301910784 x^120+150057800216 x^119+155684330254
x^118+161152347595 x^117+166432835127 x^116+171497129078 x^115+176317075490 x^114+180865289718 x^113+185115490738 x^112+189042750562 x^111+192623736562 x^110+195836914181
x^109+198662744075 x^108+201083867933 x^107+203085347212 x^106+204654772231 x^105+205782422445 x^104+206461281487 x^103+206687121313 x^102+206458542546 x^101+205776978355
x^100+204646691407 x^99+203074720583 x^98+201070821463 x^97+198647371744 x^96+195819234987 x^95+192603696359 x^94+189020256785 x^93+185090482546 x^92+180837729874
x^91+176286927346 x^90+171464352068 x^89+166397405630 x^88+161114356016 x^87+155644078219 x^86+150015715981 x^85+144258424504 x^84+138401222216 x^83+132472787484 x^82+126501212016
x^81+120513810887 x^80+114536929606 x^79+108595767508 x^78+102714191024 x^77+96914642947 x^76+91217968330 x^75+85643349741 x^74+80208185792 x^73+74928033590 x^72+69816607380
x^71+64885753322 x^70+60145457174 x^69+55603859965 x^68+51267297129 x^67+47140359774 x^66+43225973352 x^65+39525647468 x^64+36039406757 x^63+32765880745 x^62+29702415642
x^61+26845189254 x^60+24189325660 x^59+21729017064 x^58+19457655780 x^57+17367951769 x^56+15452055981 x^55+13701681786 x^54+12108200490 x^53+10662775863 x^52+9356439138
x^51+8180185772 x^50+7125059056 x^49+6182231575 x^48+5343064592 x^47+4599177427 x^46+3942486886 x^45+3365207737 x^44+2859887397 x^43+2419474968 x^42+2037341309 x^41+1707291186
x^40+1423568823 x^39+1180856911 x^38+974271545 x^37+799359431 x^36+652053683 x^35+528686279 x^34+425963426 x^33+340944414 x^32+271018335 x^31+213881451 x^30+167515328
x^29+130159168 x^28+100287532 x^27+76587602 x^26+57935032 x^25+43377367 x^24+32121861 x^23+23508305 x^22+16989053 x^21+12113105 x^20+8512803 x^19+5891346 x^18+4010093 x^17+2678921
x^16+1751807 x^15+1118828 x^14+696053 x^13+420692 x^12+246139 x^11+138652 x^10+74614 x^9+38101 x^8+18259 x^7+8158 x^6+3288 x^5+1164 x^4+354 x^3+82 x^2+13 x+1) /((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^8-x^6+x^4-x^2+1)^3 (x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)^3(x^28+x^27+x^26+x^25+x^24+x^23+x^22+x^21+x^20+x^19+x^18+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)593

Two [2,6] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 15.12.2010) , period=240

Alternative formula594

Recurrence
a[n] = a[n-123] -a[n-122] -a[n-121] +a[n-120] +6a[n-119] -6a[n-118] -6a[n-117] +6a[n-116] +21a[n-115] -21a[n-114] -21a[n-113] +21a[n-112] +53a[n-111] -53a[n-110] -53a[n-109] +53a[n-108]+105a[n-107] -105a[n-106] -105a[n-105] +105a[n-104] +168a[n-103] -168a[n-102] -168a[n-101] +168a[n-100] +216a[n-99] -216a[n-98] -216a[n-97] +216a[n-96] +210a[n-95] -210a[n-94] 210a[n-93] +210a[n-92] +114a[n-91] -114a[n-90] -114a[n-89] +114a[n-88] -81a[n-87] +81a[n-86] +81a[n-85] -81a[n-84] -339a[n-83] +339a[n-82] +339a[n-81] -339a[n-80] -579a[n-79] +579a[n-78] +579a[n-77] -579a[n-76] -703a[n-75] +703a[n-74] +703a[n-73] -703a[n-72] -639a[n-71] +639a[n-70] +639a[n-69] -639a[n-68] -381a[n-67] +381a[n-66] +381a[n-65] -381a[n-64]+381a[n-59] -381a[n-58] -381a[n-57] +381a[n-56] +639a[n-55] -639a[n-54] -639a[n-53] +639a[n-52] +703a[n-51] -703a[n-50] -703a[n-49] +703a[n-48] +579a[n-47] -579a[n-46] -579a[n-45]+579a[n-44] +339a[n-43] -339a[n-42] -339a[n-41] +339a[n-40] +81a[n-39] -81a[n-38] -81a[n-37] +81a[n-36] -114a[n-35] +114a[n-34] +114a[n-33] -114a[n-32] -210a[n-31] +210a[n-30] +210a[n-29] -210a[n-28] -216a[n-27] +216a[n-26] +216a[n-25] -216a[n-24] -168a[n-23] +168a[n-22] +168a[n-21] -168a[n-20] -105a[n-19] +105a[n-18] +105a[n-17] -105a[n-16] -53a[n-15] +53a[n-14] +53a[n-13] -53a[n-12] -21a[n-11] +21a[n-10] +21a[n-9] -21a[n-8] -6a[n-7] +6a[n-6] +6a[n-5] -6a[n-4] -a[n-3] +a[n-2] +a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^120+9 x^119+50 x^118+48 x^117+190 x^116+142 x^115+555 x^114+603 x^113+1696 x^112+1021 x^111+3316 x^110+3604 x^109+8465 x^108+4338 x^107+15261 x^106+14445
x^105+29254 x^104+14135 x^103+54818 x^102+45634 x^101+79803 x^100+35989 x^99+160985 x^98+121571 x^97+183684 x^96+73096 x^95+398785 x^94+280715 x^93+372351
x^92+123735 x^91+850530 x^90+569750 x^89+684997 x^88+178165 x^87+1591147 x^86+1024921 x^85+1162538 x^84+226975 x^83+2648879 x^82+1647843 x^81+1828213 x^80+268048
x^79+3977483 x^78+2379297 x^77+2664741 x^76+314682 x^75+5441872 x^74+3111422 x^73+3582483 x^72+378858 x^71+6848606 x^70+3713858 x^69+4425372 x^68+455671
x^67+7984404 x^66+4082942 x^65+5007542 x^64+513381 x^63+8663007 x^62+4169009 x^61+5189648 x^60+508096 x^59+8762817 x^58+3981455 x^57+4932463 x^56+416020
x^55+8254794 x^54+3567608 x^53+4314401 x^52+257354 x^51+7215570 x^50+2993710 x^49+3490008 x^48+84989 x^47+5821346 x^46+2334940 x^45+2623716 x^44-41709 x^43+4305561
x^42+1671923 x^41+1838446 x^40-96017 x^39+2898687 x^38+1080515 x^37+1199485 x^36-87820 x^35+1761361 x^34+619123 x^33+721705 x^32-52127 x^31+958742 x^30+306306
x^29+394515 x^28-17901 x^27+462323 x^26+126745 x^25+191200 x^24+780 x^23+194891 x^22+41585 x^21+79885 x^20+5475 x^19+70378 x^18+9914 x^17+27437 x^16+3880 x^15+21033
x^14+1329 x^13+7364 x^12+1559 x^11+4836 x^10-28 x^9+1443 x^8+338 x^7+719 x^6+7 x^5+150 x^4+38 x^3+44 x^2+6 x+3) / ((x-1)^5 (x+1)^4 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3(x^4+1)^3 (x^4-x^2+1)^3 (x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^8+1)^3 (x^8-x^6+x^4-x^2+1)^3)595

Two [2,7] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=66780

Two [3,3] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=6

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-16] +2a[n-15] -6a[n-13] -9a[n-12] +14a[n-10] +16a[n-9] -16a[n-7] -14a[n-6] +9a[n-4] +6a[n-3] -2a[n-1]Generating function

596

Two [3,4] riders (Anteloperider) on a toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=4200

Recurrence
a[n] = a[n-164] +4a[n-163] +10a[n-162] +20a[n-161] +35a[n-160] +56a[n-159] +84a[n-158] +117a[n-157] +153a[n-156] +190a[n-155] +226a[n-154] +259a[n-153] +287a[n-152] +308a[n-151]+323a[n-150] +333a[n-149] +339a[n-148] +342a[n-147] +343a[n-146] +343a[n-145] +343a[n-144] +343a[n-143] +343a[n-142] +343a[n-141] +340a[n-140] +328a[n-139] +301a[n-138] +253a[n-137] +178a[n-136] +70a[n-135] -77a[n-134] -260a[n-133] -467a[n-132] -686a[n-131] -905a[n-130] -1112a[n-129] -1295a[n-128] -1442a[n-127] -1550a[n-126] -1625a[n-125] -1673a[n-124]-1700a[n-123] -1712a[n-122] -1715a[n-121] -1715a[n-120] -1715a[n-119] -1715a[n-118] -1715a[n-117] -1712a[n-116] -1694a[n-115] -1646a[n-114] -1553a[n-113] -1400a[n-112] -1172a[n-111] 854a[n-110] -440a[n-109] +49a[n-108] +583a[n-107] +1132a[n-106] +1666a[n-105] +2155a[n-104] +2569a[n-103] +2887a[n-102] +3115a[n-101] +3268a[n-100] +3361a[n-99] +3409a[n-98]+3427a[n-97] +3430a[n-96] +3430a[n-95] +3430a[n-94] +3430a[n-93] +3429a[n-92] +3417a[n-91] +3375a[n-90] +3283a[n-89] +3121a[n-88] +2869a[n-87] +2507a[n-86] +2018a[n-85] +1412a[n-84] +726a[n-83] -726a[n-81] -1412a[n-80] -2018a[n-79] -2507a[n-78] -2869a[n-77] -3121a[n-76] -3283a[n-75] -3375a[n-74] -3417a[n-73] -3429a[n-72] -3430a[n-71] -3430a[n-70] 3430a[n-69] -3430a[n-68] -3427a[n-67] -3409a[n-66] -3361a[n-65] -3268a[n-64] -3115a[n-63] -2887a[n-62] -2569a[n-61] -2155a[n-60] -1666a[n-59] -1132a[n-58] -583a[n-57] -49a[n-56] +440a[n-55] +854a[n-54] +1172a[n-53] +1400a[n-52] +1553a[n-51] +1646a[n-50] +1694a[n-49] +1712a[n-48] +1715a[n-47] +1715a[n-46] +1715a[n-45] +1715a[n-44] +1715a[n-43] +1712a[n-42]+1700a[n-41] +1673a[n-40] +1625a[n-39] +1550a[n-38] +1442a[n-37] +1295a[n-36] +1112a[n-35] +905a[n-34] +686a[n-33] +467a[n-32] +260a[n-31] +77a[n-30] -70a[n-29] -178a[n-28] 253a[n-27] -301a[n-26] -328a[n-25] -340a[n-24] -343a[n-23] -343a[n-22] -343a[n-21] -343a[n-20] -343a[n-19] -343a[n-18] -342a[n-17] -339a[n-16] -333a[n-15] -323a[n-14] -308a[n-13] 287a[n-12] -259a[n-11] -226a[n-10] -190a[n-9] -153a[n-8] -117a[n-7] -84a[n-6] -56a[n-5] -35a[n-4] -20a[n-3] -10a[n-2] -4a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^161+25 x^160+151 x^159+626 x^158+2046 x^157+5664 x^156+13860 x^155+30816 x^154+63174 x^153+121212 x^152+219798 x^151+380562 x^150+632627 x^149+1014916
x^148+1577809 x^147+2385772 x^146+3517995 x^145+5072043 x^144+7162805 x^143+9928449 x^142+13530957 x^141+18156925 x^140+24018285 x^139+31364175 x^138+40480672
x^137+51690417 x^136+65348265 x^135+81846610 x^134+101617510 x^133+125138848 x^132+152907280 x^131+185440494 x^130+223291038 x^129+267046184 x^128+317321152
x^127+374758822 x^126+440002858 x^125+513724292 x^124+596603555 x^123+689313765 x^122+792505490 x^121+906797033 x^120+1032746917 x^119+1170877911 x^118+1321641849
x^117+1485420145 x^116+1662498067 x^115+1853079991 x^114+2057222081 x^113+2274895855 x^112+2505941200 x^111+2750062553 x^110+3006816116 x^109+3275617730
x^108+3555694290 x^107+3846245832 x^106+4146267102 x^105+4454591730 x^104+4769897512 x^103+5090724304 x^102+5415468591 x^101+5742446898 x^100+6069740283
x^99+6395387617 x^98+6717356022 x^97+7033583043 x^96+7341960974 x^95+7640412070 x^94+7926835414 x^93+8199210250 x^92+8455561150 x^91+8694010192 x^90+8912752199
x^89+9110121770 x^88+9284537195 x^87+9434611317 x^86+9559134255 x^85+9657084246 x^84+9727621216 x^83+9770141734 x^82+9784262332 x^81+9769880138 x^80+9727117750
x^79+9656337874 x^78+9558120054 x^77+9433307646 x^76+9282939987 x^75+9108263227 x^74+8910670997 x^73+8691707774 x^72+8453056055 x^71+8196552490 x^70+7924076476
x^69+7637606060 x^68+7339150876 x^67+7030776904 x^66+6714554292 x^65+6392592195 x^64+6066935502 x^63+5739618215 x^62+5412588843 x^61+5087727222 x^60+4766804209
x^59+4451514010 x^58+4143284728 x^57+3843438796 x^56+3553135374 x^55+3273382128 x^54+3005023864 x^53+2748743594 x^52+2505024170 x^51+2274331641 x^50+2056956994
x^49+1853067505 x^48+1662700731 x^47+1485778441 x^46+1322111041 x^45+1171444805 x^44+1033398369 x^43+907530057 x^42+793322627 x^41+690208997 x^40+597571724
x^39+514778137 x^38+441156155 x^37+376021466 x^36+318686654 x^35+268475524 x^34+224738506 x^33+186868866 x^32+154273950 x^31+126399600 x^30+102727838
x^29+82781038 x^28+66119602 x^27+52325960 x^26+41000553 x^25+31787577 x^24+24367910 x^23+18456399 x^22+13796199 x^21+10162967 x^20+7365189 x^19+5244441
x^18+3663519 x^17+2505717 x^16+1674027 x^15+1090606 x^14+690835 x^13+424408 x^12+251755 x^11+143526 x^10+78144 x^9+40402 x^8+19488 x^7+8646 x^6+3432 x^5+1200
x^4+354 x^3+82 x^2+13 x+1) / ((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4+1)^3 (x^4-x^2+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^8-x^4+1)^3(x^20+x^15+x^10+x^5+1)^3)597

Two [3,5] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=4080

Analyzujme tuto posloupnost. Graf pro tuto funkci je dost nezajímavý, protože
funkce se asymptoticky chová jako polynom 4. stupně a platí

Perioda, tedy taková nejmenší hodnota p, že pro
existuje (přizafixovaném b) vzorec bez kvazipolynomů (zde bez celých částí), je pro tuto
posloupnost rovna nejmenšímu společnému násobku dílčích period, tedyp = LCM (2,4,6,8,10,15,16,17,30,34) = 4080
Abychom lépe pochopili anomálie funkce, zobrazme si graf očištěný od„hladké složky“, tedy graf funkce

Tato funkce se pro n jdoucí do nekonečna limitně blíží hodnotě -4, ale na grafu
nádherně vidime příspěvky jednotlivých členů (které se se zvětšujícím se nstávají tím více zanedbatelnými). „Vrstevnice“ nejvíce nahoře odpovídá
periodě 4080.

598
Recurrence
a[n] = a[n-230] -2a[n-229] +7a[n-228] -12a[n-227] +27a[n-226] -42a[n-225] +77a[n-224] -112a[n-223] +182a[n-222] -252a[n-221] +378a[n-220] -504a[n-219] +714a[n-218] -924a[n-217]+1254a[n-216] -1584a[n-215] +2076a[n-214] -2568a[n-213] +3268a[n-212] -3968a[n-211] +4924a[n-210] -5880a[n-209] +7140a[n-208] -8400a[n-207] +10010a[n-206] -11620a[n-205]+13622a[n-204] -15624a[n-203] +18054a[n-202] -20484a[n-201] +23367a[n-200] -26250a[n-199] +29598a[n-198] -32946a[n-197] +36753a[n-196] -40560a[n-195] +44797a[n-194] 49034a[n-193] +53644a[n-192] -58254a[n-191] +63147a[n-190] -68040a[n-189] +73088a[n-188] -78136a[n-187] +83168a[n-186] -88200a[n-185] +93006a[n-184] -97812a[n-183] +102146a[n-182] -106480a[n-181] +110072a[n-180] -113664a[n-179] +116232a[n-178] -118800a[n-177] +120062a[n-176] -121324a[n-175] +121010a[n-174] -120696a[n-173] +118560a[n-172] 116424a[n-171] +112259a[n-170] -108094a[n-169] +101738a[n-168] -95382a[n-167] +86733a[n-166] -78084a[n-165] +67106a[n-164] -56128a[n-163] +42860a[n-162] -29592a[n-161]+14157a[n-160] +1278a[n-159] -18664a[n-158] +36050a[n-157] -55069a[n-156] +74088a[n-155] -94320a[n-154] +114552a[n-153] -135472a[n-152] +156392a[n-151] -177394a[n-150]+198396a[n-149] -218814a[n-148] +239232a[n-147] -258370a[n-146] +277508a[n-145] -294670a[n-144] +311832a[n-143] -326352a[n-142] +340872a[n-141] -352145a[n-140] +363418a[n-139] 370922a[n-138] +378426a[n-137] -381753a[n-136] +385080a[n-135] -383940a[n-134] +382800a[n-133] -377034a[n-132] +371268a[n-131] -360852a[n-130] +350436a[n-129] -335486a[n-128]+320536a[n-127] -301313a[n-126] +282090a[n-125] -259002a[n-124] +235914a[n-123] -209521a[n-122] +183128a[n-121] -154120a[n-120] +125112a[n-119] -94296a[n-118] +63480a[n-117] 31740a[n-116] +31740a[n-114] -63480a[n-113] +94296a[n-112] -125112a[n-111] +154120a[n-110] -183128a[n-109] +209521a[n-108] -235914a[n-107] +259002a[n-106] -282090a[n-105]+301313a[n-104] -320536a[n-103] +335486a[n-102] -350436a[n-101] +360852a[n-100] -371268a[n-99] +377034a[n-98] -382800a[n-97] +383940a[n-96] -385080a[n-95] +381753a[n-94] 378426a[n-93] +370922a[n-92] -363418a[n-91] +352145a[n-90] -340872a[n-89] +326352a[n-88] -311832a[n-87] +294670a[n-86] -277508a[n-85] +258370a[n-84] -239232a[n-83] +218814a[n-82]-198396a[n-81] +177394a[n-80] -156392a[n-79] +135472a[n-78] -114552a[n-77] +94320a[n-76] -74088a[n-75] +55069a[n-74] -36050a[n-73] +18664a[n-72] -1278a[n-71] -14157a[n-70]+29592a[n-69] -42860a[n-68] +56128a[n-67] -67106a[n-66] +78084a[n-65] -86733a[n-64] +95382a[n-63] -101738a[n-62] +108094a[n-61] -112259a[n-60] +116424a[n-59] -118560a[n-58]+120696a[n-57] -121010a[n-56] +121324a[n-55] -120062a[n-54] +118800a[n-53] -116232a[n-52] +113664a[n-51] -110072a[n-50] +106480a[n-49] -102146a[n-48] +97812a[n-47] -93006a[n-46]+88200a[n-45] -83168a[n-44] +78136a[n-43] -73088a[n-42] +68040a[n-41] -63147a[n-40] +58254a[n-39] -53644a[n-38] +49034a[n-37] -44797a[n-36] +40560a[n-35] -36753a[n-34] +32946a[n-33] -29598a[n-32] +26250a[n-31] -23367a[n-30] +20484a[n-29] -18054a[n-28] +15624a[n-27] -13622a[n-26] +11620a[n-25] -10010a[n-24] +8400a[n-23] -7140a[n-22] +5880a[n-21] 4924a[n-20] +3968a[n-19] -3268a[n-18] +2568a[n-17] -2076a[n-16] +1584a[n-15] -1254a[n-14] +924a[n-13] -714a[n-12] +504a[n-11] -378a[n-10] +252a[n-9] -182a[n-8] +112a[n-7] -77a[n-6]+42a[n-5] -27a[n-4] +12a[n-3] -7a[n-2] +2a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^227+14 x^226+41 x^225+144 x^224+293 x^223+788 x^222+1181 x^221+3378 x^220+3324 x^219+11970 x^218+6979 x^217+36280 x^216+10909 x^215+95994 x^214+13206 x^213+224826
x^212+12893 x^211+473756 x^210+13051 x^209+918478 x^208+20878 x^207+1669678 x^206+49055 x^205+2887124 x^204+114083 x^203+4794546 x^202+239292 x^201+7692950 x^200+460079
x^199+11987456 x^198+799607 x^197+18239132 x^196+1230551 x^195+27247612 x^194+1600345 x^193+40143490 x^192+1561926 x^191+58479924 x^190+504726 x^189+84321906 x^188-2521017
x^187+120344664 x^186-8892885 x^185+169935754 x^184-20499020 x^183+237228326 x^182-39726983 x^181+327090388 x^180-69463875 x^179+445055922 x^178-112982784 x^177+597171350 x^176173814453 x^175+789818172 x^174-255609417 x^173+1029511786 x^172-361978184 x^171+1322653006 x^170-496297943 x^169+1675271392 x^168-661585245 x^167+2092871168 x^166-860449417
x^165+2580163044 x^164-1094808895 x^163+3140691710 x^162-1365703014 x^161+3776609094 x^160-1673213685 x^159+4488492516 x^158-2016394109 x^157+5275181704 x^156-2393236445
x^155+6133656620 x^154-2800637767 x^153+7058861778 x^152-3234223848 x^151+8043403158 x^150-3688149037 x^149+9077657180 x^148-4155614593 x^147+10150312938 x^146-4629353704
x^145+11248740494 x^144-5101898401 x^143+12359291616 x^142-5565840849 x^141+13467636530 x^140-6014082402 x^139+14559144330 x^138-6440151405 x^137+15619435958 x^136-6838723726
x^135+16635118024 x^134-7206103166 x^133+17594086636 x^132-7539933004 x^131+18485318212 x^130-7838824952 x^129+19298866416 x^128-8102257020 x^127+20025972540 x^126-8330435018
x^125+20659157208 x^124-8524173966 x^123+21192260930 x^122-8684660453 x^121+21620354314 x^120-8813132138 x^119+21939526986 x^118-8910490743 x^117+22146793732 x^116-8977257557
x^115+22240258030 x^114-9013620470 x^113+22219161958 x^112-9019386221 x^111+22083886396 x^110-8993988159 x^109+21835939938 x^108-8936500578 x^107+21477936994 x^106-8845707611
x^105+21013527590 x^104-8720075484 x^103+20447215872 x^102-8557813546 x^101+19784438964 x^100-8357274672 x^99+19031766432 x^98-8117285564 x^97+18196982044 x^96-7837390660
x^95+17289038692 x^94-7517973518 x^93+16317965584 x^92-7160394748 x^91+15294760058 x^90-6767090339 x^89+14231396034 x^88-6341935770 x^87+13141041578 x^86-5890524681 x^85+12037766232
x^84-5419675997 x^83+10935820718 x^82-4936898920 x^81+9849099210 x^80-4450059205 x^79+8790775268 x^78-3967113461 x^77+7772981790 x^76-3495831216 x^75+6806526618 x^74-3043512079
x^73+5900539508 x^72-2616486219 x^71+5061943468 x^70-2219583479 x^69+4295357124 x^68-1856323413 x^67+3603406662 x^66-1529083870 x^65+2986907918 x^64-1239129835 x^63+2444992620 x^62986642791 x^61+1975273316 x^60-770791051 x^59+1574025256 x^58-589808927 x^57+1236411478 x^56-441187376 x^55+956852146 x^54-321961525 x^53+729288300 x^52-228762213 x^51+547330502 x^50157949184 x^49+404509314 x^48-105810835 x^47+294517156 x^46-68730779 x^45+211402718 x^44-43332452 x^43+149741698 x^42-26613901 x^41+104784144 x^40-16067217 x^39+72517866 x^38-9683448
x^37+49674600 x^36-5967836 x^35+33693154 x^34-3860159 x^33+22614700 x^32-2648275 x^31+14982608 x^30-1893811 x^29+9752144 x^28-1363861 x^27+6198446 x^26-961884 x^25+3824202 x^24-652673
x^23+2277476 x^22-423505 x^21+1300606 x^20-258986 x^19+704302 x^18-145285 x^17+355388 x^16-72043 x^15+163050 x^14-29562 x^13+65898 x^12-9023 x^11+22816 x^10-1445 x^9+6570 x^8+192
x^7+1506 x^6+205 x^5+260 x^4+59 x^3+36 x^2+5 x+2) /((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4+1)^3 (x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^8+1)^3 (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)^3 (x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1)^3 (x^16-x^15+x^14x^13+x^12-x^11+x^10-x^9+x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)599

Two [3,6] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=180Výraznabývá pouze tří možných hodnot, pro n=9k je roven 3, pro n=9k+3 a n=9k+6 je roven -3/2, jinak je roven 0.

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-52] +5a[n-51] +15a[n-50] +34a[n-49] +62a[n-48] +93a[n-47] +115a[n-46] +113a[n-45] +75a[n-44] -2a[n-43] -109a[n-42] -228a[n-41] -339a[n-40] 423a[n-39] -462a[n-38] -439a[n-37] -338a[n-36] -150a[n-35] +113a[n-34] +412a[n-33] +687a[n-32] +875a[n-31] +931a[n-30] +843a[n-29] +632a[n-28] +337a[n-27] -337a[n-25] -632a[n-24] -843a[n-23] -931a[n-22] -875a[n-21] -687a[n-20] -412a[n-19] -113a[n-18] +150a[n-17] +338a[n-16] +439a[n-15] +462a[n-14]+423a[n-13] +339a[n-12] +228a[n-11] +109a[n-10] +2a[n-9] -75a[n-8] -113a[n-7] -115a[n-6] -93a[n-5] -62a[n-4] -34a[n-3] -15a[n-2] -5a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^49+27 x^48+151 x^47+667 x^46+2412 x^45+7115 x^44+18054 x^43+40792 x^42+83282 x^41+156561 x^40+274705 x^39+453203 x^38+707931 x^37+1053058 x^36+1496462
x^35+2038876 x^34+2673041 x^33+3380349 x^32+4132934 x^31+4896616 x^30+5626869 x^29+6275371 x^28+6797198 x^27+7149588 x^26+7301595 x^25+7242132 x^24+6973905
x^23+6517618 x^22+5912556 x^21+5204651 x^20+4443437 x^19+3679482 x^18+2952700 x^17+2292075 x^16+1718333 x^15+1240354 x^14+858114 x^13+567362 x^12+357115
x^11+212757 x^10+119699 x^9+63319 x^8+31058 x^7+14002 x^6+5712 x^5+2011 x^4+584 x^3+141 x^2+23 x+1) / ((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2+x+1)^4 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3(x^6+x^3+1)^3)

600

Two [3,7] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=24360

Two [4,4] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=8

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-29] -a[n-28] -a[n-25] +a[n-24] -3a[n-21] +3a[n-20] +3a[n-17] -3a[n-16] +3a[n-13] -3a[n-12] -3a[n-9] +3a[n-8] -a[n-5] +a[n-4] +a[n-1]Generating function- 2 x^2 (x^26+6 x^25+29 x^24+40 x^23+148 x^22+156 x^21+368 x^20+296 x^19+753 x^18+570 x^17+1097 x^16+624 x^15+1496 x^14+840 x^13+1376 x^12+656 x^11+1275 x^10+570
x^9+791 x^8+264 x^7+500 x^6+156 x^5+176 x^4+40 x^3+51 x^2+6 x+3) / ((x-1)^5 (x+1)^4 (x^2+1)^4 (x^4+1)^3)

601

Two [4,5] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=14760

Recurrence
a[n] = a[n-266] +4a[n-265] +10a[n-264] +20a[n-263] +35a[n-262] +56a[n-261] +84a[n-260] +120a[n-259] +165a[n-258] +217a[n-257] +274a[n-256] +334a[n-255] +395a[n-254] +455a[n-253] +512a[n-252] +564a[n-251] +609a[n-250] +645a[n-249] +673a[n-248] +694a[n-247] +709a[n-246] +719a[n-245] +725a[n-244] +728a[n-243] +729a[n-242] +729a[n-241] +729a[n-240] +729a[n-239] +729a[n-238] +729a[n-237]+729a[n-236] +729a[n-235] +729a[n-234] +729a[n-233] +729a[n-232] +729a[n-231] +729a[n-230] +729a[n-229] +729a[n-228] +729a[n-227] +726a[n-226] +714a[n-225] +687a[n-224] +639a[n-223] +564a[n-222]+456a[n-221] +309a[n-220] +117a[n-219] -126a[n-218] -417a[n-217] -744a[n-216] -1095a[n-215] -1458a[n-214] -1821a[n-213] -2172a[n-212] -2499a[n-211] -2790a[n-210] -3033a[n-209] -3225a[n-208] -3372a[n-207] 3480a[n-206] -3555a[n-205] -3603a[n-204] -3630a[n-203] -3642a[n-202] -3645a[n-201] -3645a[n-200] -3645a[n-199] -3645a[n-198] -3645a[n-197] -3645a[n-196] -3645a[n-195] -3645a[n-194] -3645a[n-193] 3645a[n-192] -3645a[n-191] -3645a[n-190] -3645a[n-189] -3645a[n-188] -3645a[n-187] -3642a[n-186] -3624a[n-185] -3576a[n-184] -3483a[n-183] -3330a[n-182] -3102a[n-181] -2784a[n-180] -2361a[n-179] 1818a[n-178] -1149a[n-177] -375a[n-176] +474a[n-175] +1368a[n-174] +2277a[n-173] +3171a[n-172] +4020a[n-171] +4794a[n-170] +5463a[n-169] +6006a[n-168] +6429a[n-167] +6747a[n-166] +6975a[n-165]+7128a[n-164] +7221a[n-163] +7269a[n-162] +7287a[n-161] +7290a[n-160] +7290a[n-159] +7290a[n-158] +7290a[n-157] +7290a[n-156] +7290a[n-155] +7290a[n-154] +7290a[n-153] +7290a[n-152] +7290a[n-151]+7290a[n-150] +7290a[n-149] +7290a[n-148] +7290a[n-147] +7289a[n-146] +7277a[n-145] +7235a[n-144] +7143a[n-143] +6981a[n-142] +6729a[n-141] +6367a[n-140] +5875a[n-139] +5233a[n-138] +4424a[n-137]+3458a[n-136] +2372a[n-135] +1206a[n-134] -1206a[n-132] -2372a[n-131] -3458a[n-130] -4424a[n-129] -5233a[n-128] -5875a[n-127] -6367a[n-126] -6729a[n-125] -6981a[n-124] -7143a[n-123] -7235a[n-122] 7277a[n-121] -7289a[n-120] -7290a[n-119] -7290a[n-118] -7290a[n-117] -7290a[n-116] -7290a[n-115] -7290a[n-114] -7290a[n-113] -7290a[n-112] -7290a[n-111] -7290a[n-110] -7290a[n-109] -7290a[n-108] 7290a[n-107] -7290a[n-106] -7287a[n-105] -7269a[n-104] -7221a[n-103] -7128a[n-102] -6975a[n-101] -6747a[n-100] -6429a[n-99] -6006a[n-98] -5463a[n-97] -4794a[n-96] -4020a[n-95] -3171a[n-94] -2277a[n-93] 1368a[n-92] -474a[n-91] +375a[n-90] +1149a[n-89] +1818a[n-88] +2361a[n-87] +2784a[n-86] +3102a[n-85] +3330a[n-84] +3483a[n-83] +3576a[n-82] +3624a[n-81] +3642a[n-80] +3645a[n-79] +3645a[n-78]+3645a[n-77] +3645a[n-76] +3645a[n-75] +3645a[n-74] +3645a[n-73] +3645a[n-72] +3645a[n-71] +3645a[n-70] +3645a[n-69] +3645a[n-68] +3645a[n-67] +3645a[n-66] +3645a[n-65] +3642a[n-64] +3630a[n-63]+3603a[n-62] +3555a[n-61] +3480a[n-60] +3372a[n-59] +3225a[n-58] +3033a[n-57] +2790a[n-56] +2499a[n-55] +2172a[n-54] +1821a[n-53] +1458a[n-52] +1095a[n-51] +744a[n-50] +417a[n-49] +126a[n-48] 117a[n-47] -309a[n-46] -456a[n-45] -564a[n-44] -639a[n-43] -687a[n-42] -714a[n-41] -726a[n-40] -729a[n-39] -729a[n-38] -729a[n-37] -729a[n-36] -729a[n-35] -729a[n-34] -729a[n-33] -729a[n-32] -729a[n-31] 729a[n-30] -729a[n-29] -729a[n-28] -729a[n-27] -729a[n-26] -729a[n-25] -729a[n-24] -728a[n-23] -725a[n-22] -719a[n-21] -709a[n-20] -694a[n-19] -673a[n-18] -645a[n-17] -609a[n-16] -564a[n-15] -512a[n-14] 455a[n-13] -395a[n-12] -334a[n-11] -274a[n-10] -217a[n-9] -165a[n-8] -120a[n-7] -84a[n-6] -56a[n-5] -35a[n-4] -20a[n-3] -10a[n-2] -4a[n-1]602

Generating function- 2 x^2 (2 x^263+25 x^262+151 x^261+626 x^260+2046 x^259+5628 x^258+13569 x^257+29874 x^256+61302 x^255+118631 x^254+217670 x^253+381419 x^252+641850 x^251+1042478 x^250+1641830 x^249+2517061 x^248+3765912
x^247+5511639 x^246+7905139 x^245+11134214 x^244+15423368 x^243+21039022 x^242+28293392 x^241+37549724 x^240+49224500 x^239+63794261 x^238+81798485 x^237+103846973 x^236+130610295 x^235+162840264
x^234+201368862 x^233+247117192 x^232+301091308 x^231+364390821 x^230+438214969 x^229+523868209 x^228+622758183 x^227+736416192 x^226+866477082 x^225+1014727910 x^224+1183103156 x^223+1373672756
x^222+1588640933 x^221+1830345578 x^220+2101263251 x^219+2404018714 x^218+2741376863 x^217+3116269721 x^216+3531681434 x^215+3990660996 x^214+4496393988 x^213+5052206638 x^212+5661552132 x^211+6327998772
x^210+7055222790 x^209+7847002909 x^208+8707166611 x^207+9639697374 x^206+10648686125 x^205+11738274764 x^204+12912583763 x^203+14175722434 x^202+15531763672 x^201+16984714518 x^200+18538473650
x^199+20196860240 x^198+21963526609 x^197+23841975121 x^196+25835458513 x^195+27947089209 x^194+30179742606 x^193+32536064952 x^192+35018418990 x^191+37628911256 x^190+40369338761 x^189+43241175437
x^188+46245520069 x^187+49383183049 x^186+52654513822 x^185+56059520376 x^184+59597555514 x^183+63267602075 x^182+67068147653 x^181+70997170433 x^180+75052131526 x^179+79229969565 x^178+83527027143
x^177+87939125167 x^176+92461346407 x^175+97088792839 x^174+101815794750 x^173+106636098379 x^172+111542850340 x^171+116528621414 x^170+121585426328 x^169+126704739023 x^168+131877464691
x^167+137094197306 x^166+142344472367 x^165+147617618069 x^164+152902502042 x^163+158187703607 x^162+163461489860 x^161+168711859894 x^160+173926608832 x^159+179093445645 x^158+184199854943
x^157+189233467598 x^156+194181737340 x^155+199032350405 x^154+203772952883 x^153+208391323608 x^152+212875363038 x^151+217213211217 x^150+221393186731 x^149+225403903978 x^148+229234276336
x^147+232873659289 x^146+236311592815 x^145+239538203590 x^144+242544070938 x^143+245320378528 x^142+247858795627 x^141+250151627306 x^140+252191867552 x^139+253973230550 x^138+255490135422
x^137+256737876781 x^136+257712449059 x^135+258410732125 x^134+258830415238 x^133+258970168798 x^132+258829548832 x^131+258409011088 x^130+257709901258 x^129+256734450363 x^128+255485746747
x^127+253967818639 x^126+252185450884 x^125+250144251302 x^124+247850457332 x^123+245311105760 x^122+242533857781 x^121+239527011196 x^120+236299467146 x^119+232860675856 x^118+229220485885
x^117+225389262691 x^116+221377736902 x^115+217197138364 x^114+212858793937 x^113+208374385107 x^112+203755804860 x^111+199015154514 x^110+194164626449 x^109+189216565151 x^108+184183349250
x^107+179077402640 x^106+173911021589 x^105+168696647391 x^104+163446456718 x^103+158172685030 x^102+152887256012 x^101+147601920029 x^100+142328136914 x^99+137077013081 x^98+131859259169
x^97+126685216724 x^96+121564689789 x^95+116507203271 x^94+111521158298 x^93+106614587462 x^92+101794906516 x^91+97068952465 x^90+92442978966 x^89+87922647397 x^88+83513013733 x^87+79218554251
x^86+75042987117 x^85+70990071267 x^84+67062855592 x^83+63263900495 x^82+59595207383 x^81+56058294995 x^80+52654206672 x^79+49383519168 x^78+46246357420 x^77+43242520075 x^76+40371194329 x^75+37631269661
x^74+35021218343 x^73+32539267994 x^72+30183314826 x^71+27950975712 x^70+25839601740 x^69+23846331531 x^68+21968063941 x^67+20201512417 x^66+18543197119 x^65+16989541634 x^64+15536763662 x^63+14180974686
x^62+12918163072 x^61+11744281366 x^60+10655217281 x^59+9646835870 x^58+8715008375 x^57+7855636572 x^56+7064641195 x^55+6338032561 x^54+5671964730 x^53+5062781142 x^52+4506903912 x^51+4000883662
x^50+3541400772 x^49+3125268234 x^48+2749439162 x^47+2411016293 x^46+2107244027 x^45+1835433220 x^44+1592945549 x^43+1377306200 x^42+1186175099 x^41+1017353672 x^40+868774400 x^39+738495230 x^38+624699858
x^37+525698742 x^36+439941021 x^35+366019297 x^34+302620969 x^33+248548347 x^32+202698178 x^31+164063680 x^30+131728950 x^29+104862894 x^28+82710621 x^27+64597613 x^26+49920773 x^25+38149499 x^24+28805210
x^23+21470900 x^22+15783752 x^21+11432262 x^20+8149430 x^19+5710592 x^18+3928259 x^17+2648361 x^16+1745214 x^15+1121977 x^14+701726 x^13+425762 x^12+249218 x^11+139721 x^10+74456 x^9+37413 x^8+17544
x^7+7698 x^6+3141 x^5+1164 x^4+354 x^3+82 x^2+13 x+1) / ((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4+1)^3 (x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^6+x^3+1)^3 (x^8-x^6+x^4-x^2+1)^3 (x^16-x^12+x^8-x^4+1)^3(x^40+x^39+x^38+x^37+x^36+x^35+x^34+x^33+x^32+x^31+x^30+x^29+x^28+x^27+x^26+x^25+x^24+x^23+x^22+x^21+x^20+x^19+x^18+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)

603

Two [4,6] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=1560

Recurrence
a[n] = a[n-123] +5a[n-122] +14a[n-121] +30a[n-120] +55a[n-119] +88a[n-118] +125a[n-117] +162a[n-116] +195a[n-115] +220a[n-114] +236a[n-113] +245a[n-112] +249a[n-111] +247a[n-110]+235a[n-109] +208a[n-108] +160a[n-107] +85a[n-106] -14a[n-105] -125a[n-104] -236a[n-103] -335a[n-102] -410a[n-101] -458a[n-100] -488a[n-99] -512a[n-98] -539a[n-97] -575a[n-96] 623a[n-95] -674a[n-94] -710a[n-93] -722a[n-92] -710a[n-91] -674a[n-90] -623a[n-89] -575a[n-88] -539a[n-87] -506a[n-86] -458a[n-85] -375a[n-84] -235a[n-83] -19a[n-82] +262a[n-81] +570a[n-80] +870a[n-79] +1130a[n-78] +1318a[n-77] +1429a[n-76] +1488a[n-75] +1520a[n-74] +1538a[n-73] +1546a[n-72] +1539a[n-71] +1494a[n-70] +1380a[n-69] +1194a[n-68] +960a[n-67]+702a[n-66] +453a[n-65] +255a[n-64] +123a[n-63] +36a[n-62] -36a[n-61] -123a[n-60] -255a[n-59] -453a[n-58] -702a[n-57] -960a[n-56] -1194a[n-55] -1380a[n-54] -1494a[n-53] -1539a[n-52] 1546a[n-51] -1538a[n-50] -1520a[n-49] -1488a[n-48] -1429a[n-47] -1318a[n-46] -1130a[n-45] -870a[n-44] -570a[n-43] -262a[n-42] +19a[n-41] +235a[n-40] +375a[n-39] +458a[n-38] +506a[n-37]+539a[n-36] +575a[n-35] +623a[n-34] +674a[n-33] +710a[n-32] +722a[n-31] +710a[n-30] +674a[n-29] +623a[n-28] +575a[n-27] +539a[n-26] +512a[n-25] +488a[n-24] +458a[n-23] +410a[n-22]+335a[n-21] +236a[n-20] +125a[n-19] +14a[n-18] -85a[n-17] -160a[n-16] -208a[n-15] -235a[n-14] -247a[n-13] -249a[n-12] -245a[n-11] -236a[n-10] -220a[n-9] -195a[n-8] -162a[n-7] -125a[n-6] 88a[n-5] -55a[n-4] -30a[n-3] -14a[n-2] -5a[n-1]Generating function- 2 x^2 (2 x^120+21 x^119+146 x^118+645 x^117+2252 x^116+6540 x^115+16518 x^114+37377 x^113+77706 x^112+150482 x^111+274510 x^110+475807 x^109+790394 x^108+1264619
x^107+1956829 x^106+2938494 x^105+4295183 x^104+6122960 x^103+8531632 x^102+11644606 x^101+15599273 x^100+20543999 x^99+26642 128 x^98+34068057 x^97+43006175
x^96+53640848 x^95+66161385 x^94+80749814 x^93+97573182 x^92+116775527 x^91+138491256 x^90+162823643 x^89+189857778 x^88+219655592 x^87+252260935 x^86+287675134
x^85+325863707 x^84+366724025 x^83+410116282 x^82+455839273 x^81+503646200 x^80+553256994 x^79+604395055 x^78+656710460 x^77+709822151 x^76+763297148
x^75+816653554 x^74+869334441 x^73+920795250 x^72+970467796 x^71+1017825329 x^70+1062342897 x^69+1103535235 x^68+1140925711 x^67+1174096326 x^66+1202614335
x^65+1226133526 x^64+1244363677 x^63+1257102876 x^62+1264192904 x^61+1265589681 x^60+1261275445 x^59+1251315820 x^58+1235798986 x^57+1214898555 x^56+1188839990
x^55+1157947589 x^54+1122569086 x^53+1083157245 x^52+1040184107 x^51+994150007 x^50+945546603 x^49+894912874 x^48+842762692 x^47+789647115 x^46+736097544
x^45+682653968 x^44+629812333 x^43+578023428 x^42+527639517 x^41+478990630 x^40+432335174 x^39+387889115 x^38+345840778 x^37+306376309 x^36+269612495
x^35+235633878 x^34+204469177 x^33+176105158 x^32+150478398 x^31+127506457 x^30+107078568 x^29+89081917 x^28+73378650 x^27+59818108 x^26+48235323 x^25+38457472
x^24+30293507 x^23+23557385 x^22+18066124 x^21+13646755 x^20+10135505 x^19+7387512 x^18+5272264 x^17+3675400 x^16+2495075 x^15+1645364 x^14+1051537 x^13+649477
x^12+386072 x^11+220263 x^10+119958 x^9+61816 x^8+29786 x^7+13315 x^6+5408 x^5+1942 x^4+576 x^3+139 x^2+24 x+3) / ((x-1)^5 (x+1)^4 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3(x^4+1)^3 (x^4-x^2+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^8-x^4+1)^3 (x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)604

Two [4,7] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=120120

Two [5,5] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=10

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-24] +2a[n-23] -2a[n-21] -a[n-20] -4a[n-19] -8a[n-18] +8a[n-16] +4a[n-15] +6a[n-14] +12a[n-13] -12a[n-11] -6a[n-10] -4a[n-9] -8a[n-8] +8a[n-6] +4a[n-5] +a[n-4] +2a[n-3] -2a[n-1]Generating function- 2 x^2 (x^21+12 x^20+56 x^19+174 x^18+362 x^17+714 x^16+1392 x^15+2202 x^14+2878 x^13+3234 x^12+3382 x^11+3782 x^10+3828 x^9+3022 x^8+2046 x^7+1290 x^6+812 x^5+514
x^4+226 x^3+58 x^2+13 x+2) / ((x-1)^5 (x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^4)605

Two [5,6] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=40260

606

Recurrence
a[n] = a[n-392] +4a[n-391] +10a[n-390] +20a[n-389] +35a[n-388] +56a[n-387] +84a[n-386] +120a[n-385] +165a[n-384] +220a[n-383] +286a[n-382] +361a[n-381] +443a[n-380]+530a[n-379] +620a[n-378] +711a[n-377] +801a[n-376] +888a[n-375] +970a[n-374] +1045a[n-373] +1111a[n-372] +1166a[n-371] +1211a[n-370] +1247a[n-369] +1275a[n-368]+1296a[n-367] +1311a[n-366] +1321a[n-365] +1327a[n-364] +1330a[n-363] +1331a[n-362] +1331a[n-361] +1331a[n-360] +1331a[n-359] +1331a[n-358] +1331a[n-357]+1331a[n-356] +1331a[n-355] +1331a[n-354] +1331a[n-353] +1331a[n-352] +1331a[n-351] +1331a[n-350] +1331a[n-349] +1331a[n-348] +1331a[n-347] +1331a[n-346]+1331a[n-345] +1331a[n-344] +1331a[n-343] +1331a[n-342] +1331a[n-341] +1331a[n-340] +1331a[n-339] +1331a[n-338] +1331a[n-337] +1331a[n-336] +1331a[n-335]+1331a[n-334] +1331a[n-333] +1328a[n-332] +1316a[n-331] +1289a[n-330] +1241a[n-329] +1166a[n-328] +1058a[n-327] +911a[n-326] +719a[n-325] +476a[n-324] +176a[n-323] -187a[n-322] -610a[n-321] -1081a[n-320] -1588a[n-319] -2119a[n-318] -2662a[n-317] -3205a[n-316] -3736a[n-315] -4243a[n-314] -4714a[n-313] -5137a[n-312] 5500a[n-311] -5800a[n-310] -6043a[n-309] -6235a[n-308] -6382a[n-307] -6490a[n-306] -6565a[n-305] -6613a[n-304] -6640a[n-303] -6652a[n-302] -6655a[n-301] -6655a[n-300] 6655a[n-299] -6655a[n-298] -6655a[n-297] -6655a[n-296] -6655a[n-295] -6655a[n-294] -6655a[n-293] -6655a[n-292] -6655a[n-291] -6655a[n-290] -6655a[n-289] -6655a[n-288] 6655a[n-287] -6655a[n-286] -6655a[n-285] -6655a[n-284] -6655a[n-283] -6655a[n-282] -6655a[n-281] -6655a[n-280] -6655a[n-279] -6655a[n-278] -6655a[n-277] -6655a[n-276] 6655a[n-275] -6655a[n-274] -6655a[n-273] -6652a[n-272] -6634a[n-271] -6586a[n-270] -6493a[n-269] -6340a[n-268] -6112a[n-267] -5794a[n-266] -5371a[n-265] -4828a[n-264] 4150a[n-263] -3322a[n-262] -2338a[n-261] -1219a[n-260] +5a[n-259] +1304a[n-258] +2648a[n-257] +4007a[n-256] +5351a[n-255] +6650a[n-254] +7874a[n-253] +8993a[n-252]+9977a[n-251] +10805a[n-250] +11483a[n-249] +12026a[n-248] +12449a[n-247] +12767a[n-246] +12995a[n-245] +13148a[n-244] +13241a[n-243] +13289a[n-242] +13307a[n-241] +13310a[n-240] +13310a[n-239] +13310a[n-238] +13310a[n-237] +13310a[n-236] +13310a[n-235] +13310a[n-234] +13310a[n-233] +13310a[n-232] +13310a[n-231] +13310a[n-230] +13310a[n-229] +13310a[n-228] +13310a[n-227] +13310a[n-226] +13310a[n-225] +13310a[n-224] +13310a[n-223] +13310a[n-222] +13310a[n-221] +13310a[n-220] +13310a[n-219] +13310a[n-218] +13310a[n-217] +13310a[n-216] +13310a[n-215] +13310a[n-214] +13310a[n-213] +13309a[n-212] +13297a[n-211] +13255a[n-210] +13163a[n-209] +13001a[n-208] +12749a[n-207] +12387a[n-206] +11895a[n-205] +11253a[n-204] +10441a[n-203] +9439a[n-202] +8230a[n-201] +6824a[n-200] +5258a[n-199] +3572a[n-198] +1806a[n-197] -1806a[n-195] -3572a[n-194] -5258a[n-193] -6824a[n-192] -8230a[n-191] -9439a[n-190] 10441a[n-189] -11253a[n-188] -11895a[n-187] -12387a[n-186] -12749a[n-185] -13001a[n-184] -13163a[n-183] -13255a[n-182] -13297a[n-181] -13309a[n-180] -13310a[n-179] 13310a[n-178] -13310a[n-177] -13310a[n-176] -13310a[n-175] -13310a[n-174] -13310a[n-173] -13310a[n-172] -13310a[n-171] -13310a[n-170] -13310a[n-169] -13310a[n-168] 13310a[n-167] -13310a[n-166] -13310a[n-165] -13310a[n-164] -13310a[n-163] -13310a[n-162] -13310a[n-161] -13310a[n-160] -13310a[n-159] -13310a[n-158] -13310a[n-157] 13310a[n-156] -13310a[n-155] -13310a[n-154] -13310a[n-153] -13310a[n-152] -13307a[n-151] -13289a[n-150] -13241a[n-149] -13148a[n-148] -12995a[n-147] -12767a[n-146] 12449a[n-145] -12026a[n-144] -11483a[n-143] -10805a[n-142] -9977a[n-141] -8993a[n-140] -7874a[n-139] -6650a[n-138] -5351a[n-137] -4007a[n-136] -2648a[n-135] 1304a[n-134] -5a[n-133] +1219a[n-132] +2338a[n-131] +3322a[n-130] +4150a[n-129] +4828a[n-128] +5371a[n-127] +5794a[n-126] +6112a[n-125] +6340a[n-124] +6493a[n-123] +6586a[n-122] +6634a[n-121] +6652a[n-120] +6655a[n-119] +6655a[n-118] +6655a[n-117] +6655a[n-116] +6655a[n-115] +6655a[n-114] +6655a[n-113]+6655a[n-112] +6655a[n-111] +6655a[n-110] +6655a[n-109] +6655a[n-108] +6655a[n-107] +6655a[n-106] +6655a[n-105] +6655a[n-104] +6655a[n-103] +6655a[n-102]+6655a[n-101] +6655a[n-100] +6655a[n-99] +6655a[n-98] +6655a[n-97] +6655a[n-96] +6655a[n-95] +6655a[n-94] +6655a[n-93] +6655a[n-92] +6655a[n-91] +6652a[n-90]+6640a[n-89] +6613a[n-88] +6565a[n-87] +6490a[n-86] +6382a[n-85] +6235a[n-84] +6043a[n-83] +5800a[n-82] +5500a[n-81] +5137a[n-80] +4714a[n-79] +4243a[n-78]+3736a[n-77] +3205a[n-76] +2662a[n-75] +2119a[n-74] +1588a[n-73] +1081a[n-72] +610a[n-71] +187a[n-70] -176a[n-69] -476a[n-68] -719a[n-67] -911a[n-66] -1058a[n-65] 1166a[n-64] -1241a[n-63] -1289a[n-62] -1316a[n-61] -1328a[n-60] -1331a[n-59] -1331a[n-58] -1331a[n-57] -1331a[n-56] -1331a[n-55] -1331a[n-54] -1331a[n-53] -1331a[n-52] 1331a[n-51] -1331a[n-50] -1331a[n-49] -1331a[n-48] -1331a[n-47] -1331a[n-46] -1331a[n-45] -1331a[n-44] -1331a[n-43] -1331a[n-42] -1331a[n-41] -1331a[n-40] -1331a[n-39] 1331a[n-38] -1331a[n-37] -1331a[n-36] -1331a[n-35] -1331a[n-34] -1331a[n-33] -1331a[n-32] -1331a[n-31] -1331a[n-30] -1330a[n-29] -1327a[n-28] -1321a[n-27] -1311a[n-26] 1296a[n-25] -1275a[n-24] -1247a[n-23] -1211a[n-22] -1166a[n-21] -1111a[n-20] -1045a[n-19] -970a[n-18] -888a[n-17] -801a[n-16] -711a[n-15] -620a[n-14] -530a[n-13] 443a[n-12] -361a[n-11] -286a[n-10] -220a[n-9] -165a[n-8] -120a[n-7] -84a[n-6] -56a[n-5] -35a[n-4] -20a[n-3] -10a[n-2] -4a[n-1]607Generating function- 2 x^2 (2 x^389+25 x^388+151 x^387+626 x^386+2046 x^385+5664 x^384+13713 x^383+30106 x^382+61267 x^381+117645 x^380+215376 x^379+378402 x^378+640078 x^377+1046163 x^376+1659699
x^375+2563734 x^374+3865355 x^373+5701838 x^372+8245129 x^371+11711741 x^370+16364765 x^369+22522468 x^368+30562211 x^367+40933382 x^366+54162779 x^365+70857032 x^364+91714472
x^363+117534751 x^362+149222914 x^361+187813141 x^360+234452237 x^359+290420339 x^358+357137702 x^357+436175276 x^356+529252682 x^355+638256917 x^354+765250364 x^353+912474728
x^352+1082357288 x^351+1277538610 x^350+1500823657 x^349+1755244750 x^348+2044050090 x^347+2370715842 x^346+2738965407 x^345+3152768971 x^344+3616330547 x^343+4134125804
x^342+4710897579 x^341+5351674441 x^340+6061724653 x^339+6846651173 x^338+7712339404 x^337+8664993667 x^336+9711134093 x^335+10857568159 x^334+12111439018 x^333+13480251044
x^332+14971817648 x^331+16594415255 x^330+18356764914 x^329+20267998685 x^328+22337606474 x^327+24575484201 x^326+26991906595 x^325+29597549020 x^324+32403521043 x^323+35421341429
x^322+38662936208 x^321+42140707105 x^320+45867150610 x^319+49854899794 x^318+54116982103 x^317+58666829712 x^316+63518277435 x^315+68685536556 x^314+74183159939 x^313+80026052036
x^312+86229417714 x^311+92808790789 x^310+99779882464 x^309+107158951711 x^308+114962691851 x^307+123207991856 x^306+131911861501 x^305+141091305853 x^304+150763386016
x^303+160945201249 x^302+171653767306 x^301+182906126323 x^300+194719028300 x^299+207109155458 x^298+220092880946 x^297+233686310699 x^296+247905187145 x^295+262764959027
x^294+278280798548 x^293+294467472269 x^292+311339282957 x^291+328910152243 x^290+347193192223 x^289+366201234166 x^288+385946437947 x^287+406440339033 x^286+427693797447
x^285+449716981774 x^284+472519238030 x^283+496109170358 x^282+520494512757 x^281+545682155098 x^280+571677885748 x^279+598486911722 x^278+626113228420 x^277+654559877791
x^276+683828792570 x^275+713920700530 x^274+744835283134 x^273+776571094295 x^272+809125307549 x^271+842494046453 x^270+876671408598 x^269+911650477058 x^268+947422727519
x^267+983978310009 x^266+1021305811684 x^265+1059392356108 x^264+1098223605432 x^263+1137783549500 x^262+1178054544179 x^261+1219017422530 x^260+1260650864002 x^259+1302933911587
x^258+1345843372987 x^257+1389354418995 x^256+1433440513188 x^255+1478073425586 x^254+1523223258428 x^253+1568858526200 x^252+1614946111416 x^251+1661451399352 x^250+1708338097507
x^249+1755569014963 x^248+1803103560101 x^247+1850900446052 x^246+1898917045192 x^245+1947109513066 x^244+1995433167874 x^243+2043842316634 x^242+2092290211078 x^241+2140729403440
x^240+2189111339357 x^239+2237387249036 x^238+2285507443229 x^237+2333422401737 x^236+2381081773526 x^235+2428435074209 x^234+2475431537054 x^233+2522019920855 x^232+2568148846070
x^231+2613766982134 x^230+2658822709723 x^229+2703265334674 x^228+2747043749163 x^227+2790107244204 x^226+2832405433071 x^225+2873888369731 x^224+2914506468236 x^223+2954210898371
x^222+2992953440586 x^221+3030686655919 x^220+3067363823398 x^219+3102939663746 x^218+3137369006263 x^217+3170608137322 x^216+3202614345629 x^215+3233346174610 x^214+3262763736313
x^213+3290828424941 x^212+3317502868568 x^211+3342751544927 x^210+3366540444994 x^209+3388837423330 x^208+3409611601756 x^207+3428834368622 x^206+3446478856407 x^205+3462520373331
x^204+3476936279350 x^203+3489705848887 x^202+3500810703985 x^201+3510234858508 x^200+3517964392482 x^199+3523987928763 x^198+3528296376477 x^197+3530883436230 x^196+3531745254462
x^195+3530880561248 x^194+3528290614896 x^193+3523979234490 x^192+3517952745755 x^191+3510220015347 x^190+3500792292900 x^189+3489683537960 x^188+3476909897977 x^187+3462489950377
x^186+3446444213836 x^185+3428795464155 x^184+3409568682315 x^183+3388790615380 x^182+3366489909382 x^181+3342697230262 x^180+3317444830274 x^179+3290767069241 x^178+3262699414742
x^177+3233279038255 x^176+3202544464783 x^175+3170535909268 x^174+3137294660803 x^173+3102863130916 x^172+3067285140037 x^171+3030605603596 x^170+2992870279636 x^169+2954126223553
x^168+2914420439600 x^167+2873801214005 x^166+2832317391266 x^165+2790018436749 x^164+2746954266765 x^163+2703175393638 x^162+2658732530057 x^161+2613676669684 x^160+2568058968721
x^159+2521930822488 x^158+2475343052924 x^157+2428347247409 x^156+2380994544844 x^155+2333335973387 x^154+2285422263140 x^153+2237303510011 x^152+2189029367843 x^151+2140649197406
x^150+2092211368915 x^149+2043764261920 x^148+1995355176862 x^147+1947031039344 x^146+1898837509570 x^145+1850819390590 x^144+1803020274378 x^143+1755482588702 x^142+1708247774807
x^141+1661355913035 x^140+1614845605447 x^139+1568754629494 x^138+1523117242514 x^137+1477966695782 x^136+1433334468518 x^135+1389250463054 x^134+1345742885628 x^133+1302838306671
x^132+1260561597027 x^131+1218935918245 x^130+1177982724448 x^129+1137721847268 x^128+1098170910833 x^127+1059347942366 x^126+1021268864978 x^125+983948136640 x^124+947398645558
x^123+911631676949 x^122+876657127781 x^121+842483507360 x^120+809117839916 x^119+776565902963 x^118+744831946175 x^117+713919284503 x^116+683829286786 x^115+654562351744
x^114+626117577580 x^113+598493014807 x^112+571685747488 x^111+545691734584 x^110+520505905702 x^109+496122316858 x^108+472533892313 x^107+449733054836 x^106+427711205552
x^105+406458981318 x^104+385966228707 x^103+366222132279 x^102+347215133885 x^101+328933063798 x^100+311363156707 x^99+294492102753 x^98+278306000543 x^97+262790747717
x^96+247931512240 x^95+233713160801 x^94+220120176155 x^93+207136715275 x^92+194746738454 x^91+182933992160 x^90+171681939214 x^89+160973855083 x^88+150792786016 x^87+141121790289
x^86+131943713692 x^85+123241507711 x^84+114998119053 x^83+107196610394 x^82+99820176953 x^81+92852083971 x^80+86275789906 x^79+80075018353 x^78+74233993130 x^77+68737547348
x^76+63570747977 x^75+58719041780 x^74+54168220719 x^73+49904466780 x^72+45914335473 x^71+42184784230 x^70+38703192226 x^69+35457356409 x^68+32435475518 x^67+29625887237
x^66+27017022029 x^65+24597780454 x^64+22357461811 x^63+20285763755 x^62+18372805526 x^61+16609093073 x^60+14985496316 x^59+13493275763 x^58+12124034006 x^57+10869768730
x^56+9722906278 x^55+8676320035 x^54+7723176451 x^53+6856987225 x^52+6071583760 x^51+5361068833 x^50+4719845059 x^49+4142617999 x^48+3624359687 x^47+3160360880 x^46+2746136057
x^45+2377469457 x^44+2050396515 x^43+1761208350 x^42+1506413936 x^41+1282753060 x^40+1087196773 x^39+916928118 x^38+769330046 x^37+641996894 x^36+532671424 x^35+439293713
x^34+359973440 x^33+292983634 x^32+236756738 x^31+189876599 x^30+151059763 x^29+119157499 x^28+93145222 x^27+72115709 x^26+55258406 x^25+41875976 x^24+31360631 x^23+23190182
x^22+16918601 x^21+12164406 x^20+8608577 x^19+5989607 x^18+4091111 x^17+2738570 x^16+1791521 x^15+1142442 x^14+707835 x^13+424785 x^12+245886 x^11+136296 x^10+72090 x^9+36421
x^8+17509 x^7+7930 x^6+3285 x^5+1200 x^4+354 x^3+82 x^2+13 x+1) /((x-1)^5 (x+1)^3 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^3 (x^2+x+1)^3 (x^4-x^2+1)^3 (x^4-x^3+x^2-x+1)^3 (x^4+x^3+x^2+x+1)^3 (x^8-x^6+x^4-x^2+1)^3 (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)^3 (x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1)^3(x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3(x^16+x^14-x^10-x^8-x^6+x^2+1)^3(x^60+x^59+x^58+x^57+x^56+x^55+x^54+x^53+x^52+x^51+x^50+x^49+x^48+x^47+x^46+x^45+x^44+x^43+x^42+x^41+x^40+x^39+x^38+x^37+x^36+x^35+x^34+x^33+x^32+x^31+x^30+x^29+x^28+x^27+x^26+x^25+x^24+x^23+x^22+x^21+x^20+x^19+x^18+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3)608

Two [5,7] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=31080

609

Two [6,6] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=12

Alternative formulaPředchozí vzorec je jen jedním z možných vyjádření této funkce pomocí celých částí. Při jiném nastavení tvaru rovnice s hledanými koeficienty dostaneme např.
Alternative formula 2

Všechny 3 vzorce dávají stejné hodnoty pro celočíselná n, oba vzorce s celými částmi jsou dokonce identické.

Recurrence
a[n] = a[n-31] -a[n-30] +3a[n-29] -3a[n-28] +3a[n-27] -3a[n-26] -3a[n-25] +3a[n-24] -12a[n-23] +12a[n-22] -12a[n-21] +12a[n-20] +2a[n-19] -2a[n-18] +18a[n-17]-18a[n-16] +18a[n-15] -18a[n-14] +2a[n-13] -2a[n-12] -12a[n-11] +12a[n-10] -12a[n-9] +12a[n-8] -3a[n-7] +3a[n-6] +3a[n-5] -3a[n-4] +3a[n-3] -3a[n-2] +a[n-1]Generating function- 2 x^2 (x^28+6 x^27+23 x^26+79 x^25+200 x^24+327 x^23+901 x^22+943 x^21+2236 x^20+2316 x^19+4011 x^18+4041 x^17+6237 x^16+4737 x^15+7746 x^14+4506 x^13+6861 x^12+3969
x^11+4619 x^10+2649 x^9+2692 x^8+1076 x^7+1237 x^6+303 x^5+338 x^4+89 x^3+47 x^2+15 x+3) / ((x-1)^5 (x+1)^4 (x^2+1)^3 (x^2-x+1)^4 (x^2+x+1)^4)

610

Two [6,7] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=92820

611

Two [7,7] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 17.5.2010) , period=14

Stejně jako u [0,7], výraz

nabývá pouze dvou hodnot. Pokud je n=7k (násobek 7), je roven 3, jinak vždy -1/2

Alternative formula

Recurrence
a[n] = a[n-32]+2a[n-31]-2a[n-29]-a[n-28]-4a[n-25]-8a[n-24]+8a[n-22]+4a[n-21]+6a[n-18]+12a[n-17]-12a[n-15]-6a[n-14]-4a[n-11]-8a[n-10]+8a[n-8]+4a[n-7]+a[n-4]+2a[n-3]-2a[n-1]Generating function-2 x^2 (x^29+12 x^28+56 x^27+174 x^26+412 x^25+818 x^24+1293 x^23+2028 x^22+3476 x^21+5152 x^20+6499 x^19+7822 x^18+9124 x^17+9526 x^16+9478 x^15+10654 x^14+11284
x^13+9706 x^12+7816 x^11+6346 x^10+4705 x^9+3180 x^8+2320 x^7+1736 x^6+967 x^5+414 x^4+176 x^3+58 x^2+13 x+2) / ((x-1)^5 (x+1)^3 (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^4)612

Two [8,8] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=16

Alternative formula:

Generating function- 2 x^2 (3+6 x+51 x^2+40 x^3+179 x^4+162 x^5+567 x^6+288 x^7+976 x^8+744 x^9+1928 x^10+1040 x^11+2704 x^12+1896 x^13+4664 x^14+1952 x^15+5383 x^16+3606 x^17+7727
x^18+3800 x^19+8503 x^20+5442 x^21+11283 x^22+4672 x^23+10720 x^24+6576 x^25+12272 x^26+5600 x^27+11104 x^28+6576 x^29+12176 x^30+4544 x^31+9577 x^32+5442 x^33+8969
x^34+3800 x^35+6649 x^36+3606 x^37+5685 x^38+2080 x^39+3664 x^40+1896 x^41+2696 x^42+1040 x^43+1552 x^44+744 x^45+952 x^46+288 x^47+397 x^48+162 x^49+149 x^50+40
x^51+29 x^52+6 x^53+x^54) / ((-1+x)^5 (1+x)^4 (1+x^2)^4 (1+x^4)^4 (1+x^8)^3)

Two [9,9] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=18

Alternative formula:

Generating function- 2 x^2 (2+22 x+76 x^2+176 x^3+468 x^4+955 x^5+1442 x^6+2508 x^7+4102 x^8+5076 x^9+6890 x^10+9996 x^11+11694 x^12+13977 x^13+17808 x^14+18912 x^15+20412 x^16+23919 x^17+22902 x^18+21147 x^19+22548 x^20+20796
x^21+17784 x^22+16923 x^23+14226 x^24+10944 x^25+9354 x^26+7000 x^27+4502 x^28+3344 x^29+2326 x^30+1305 x^31+764 x^32+412 x^33+156 x^34+47 x^35+12 x^36+x^37) / ((-1+x)^5 (1+x)^3 (1+x+x^2)^4 (1+x^3+x^6)^4)613

Two [10,10] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=20

Alternative formula:

Generating function- 2 x^2 (3+6 x+56 x^2+112 x^3+279 x^4+462 x^5+1018 x^6+1142 x^7+3074 x^8+2234 x^9+6914 x^10+4152 x^11+12080 x^12+8758 x^13+17222 x^14+15714 x^15+22086 x^16+20314 x^17+29598 x^18+20918 x^19+38140 x^20+20348
x^21+40704 x^22+21554 x^23+35720 x^24+23386 x^25+27374 x^26+20546 x^27+20582 x^28+13662 x^29+15966 x^30+7824 x^31+10728 x^32+4370 x^33+5578 x^34+2438 x^35+2322 x^36+1198 x^37+746 x^38+386 x^39+177 x^40+70
x^41+32 x^42+6 x^43+x^44) / ((-1+x)^5 (1+x)^4 (1+x^2)^3 (1-x+x^2-x^3+x^4)^4 (1+x+x^2+x^3+x^4)^4)

Two [11,11] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=22

Poznámka: Trigonometrický tvar tohoto vzorce jsem také vygeneroval, ale vzorec je příliš rozsáhlý, myslím, že není vhodné jej publikovat

Generating function- 2 x^2 (2+13 x+58 x^2+176 x^3+414 x^4+820 x^5+1442 x^6+2328 x^7+3526 x^8+5689 x^9+8260 x^10+9464 x^11+11136 x^12+15039 x^13+19250 x^14+23024 x^15+26822 x^16+30500 x^17+33914 x^18+36920 x^19+41794 x^20+45972
x^21+42062 x^22+37222 x^23+38718 x^24+39380 x^25+36926 x^26+33920 x^27+30506 x^28+26828 x^29+23030 x^30+19861 x^31+16860 x^32+12348 x^33+8256 x^34+6443 x^35+5082 x^36+3524 x^37+2326 x^38+1440 x^39+818
x^40+412 x^41+174 x^42+56 x^43+12 x^44+x^45) / ((-1+x)^5 (1+x)^3 (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10)^4)614

Two [12,12] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=24

Alternative formula:

Generating function- 2 x^2 (3+15 x+42 x^2+40 x^3+224 x^4+171 x^5+677 x^6+667 x^7+1390 x^8+1173 x^9+3902 x^10+2697 x^11+5727 x^12+5766 x^13+11746 x^14+6825 x^15+17519 x^16+14643 x^17+25621 x^18+16262 x^19+34690 x^20+23799
x^21+46289 x^22+29241 x^23+48501 x^24+33876 x^25+63318 x^26+34809 x^27+57231 x^28+42057 x^29+62943 x^30+31764 x^31+56934 x^32+37017 x^33+49797 x^34+26451 x^35+41325 x^36+22890 x^37+33510 x^38+17459
x^39+21301 x^40+12105 x^41+16879 x^42+7418 x^43+8918 x^44+5397 x^45+5419 x^46+2091 x^47+2940 x^48+1389 x^49+1112 x^50+483 x^51+493 x^52+144 x^53+152 x^54+49 x^55+20 x^56+6 x^57+x^58) / ((-1+x)^5 (1+x)^4(1+x^2)^4 (1-x+x^2)^4 (1+x+x^2)^4 (1+x^4)^3 (1-x^2+x^4)^4)

Two [13,13] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=26

Generating function- 2 x^2 (2+13 x+58 x^2+176 x^3+414 x^4+820 x^5+1442 x^6+2328 x^7+3526 x^8+5084 x^9+7050 x^10+10486 x^11+14426 x^12+15868 x^13+17874 x^14+23434 x^15+29398 x^16+34612 x^17+39946 x^18+45256 x^19+50398 x^20+55228
x^21+59602 x^22+63376 x^23+70462 x^24+76660 x^25+69670 x^26+61558 x^27+64498 x^28+66412 x^29+63382 x^30+59608 x^31+55234 x^32+50404 x^33+45262 x^34+39952 x^35+34618 x^36+30418 x^37+26482 x^38+19904
x^39+13842 x^40+11382 x^41+9470 x^42+7048 x^43+5082 x^44+3524 x^45+2326 x^46+1440 x^47+818 x^48+412 x^49+174 x^50+56 x^51+12 x^52+x^53) /((-1+x)^5 (1+x)^3 (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12)^4)615

Two [14,14] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=28

Generating function- 2 x^2 (3+6 x+56 x^2+62 x^3+329 x^4+459 x^5+1021 x^6+1433 x^7+2583 x^8+2825 x^9+5935 x^10+4923 x^11+12145 x^12+7868 x^13+21240 x^14+11924 x^15+31748 x^16+18820 x^17+43616 x^18+31649 x^19+54323 x^20+47991
x^21+62545 x^22+56863 x^23+76401 x^24+57989 x^25+96803 x^26+58296 x^27+112186 x^28+56956 x^29+114336 x^30+57044 x^31+106214 x^32+61941 x^33+92131 x^34+65143 x^35+73353 x^36+57335 x^37+59105 x^38+41733
x^39+51415 x^40+28756 x^41+41568 x^42+19244 x^43+29052 x^44+12268 x^45+18008 x^46+8263 x^47+10109 x^48+5385 x^49+4991 x^50+2929 x^51+2031 x^52+1195 x^53+749 x^54+336 x^55+227 x^56+70 x^57+32 x^58+6
x^59+x^60) / ((-1+x)^5 (1+x)^4 (1+x^2)^3 (1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6)^4 (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^4)

Two [15,15] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=30

Generating function- 2 x^2 (2+22 x+76 x^2+226 x^3+568 x^4+955 x^5+1342 x^6+2377 x^7+4340 x^8+5884 x^9+7140 x^10+9581 x^11+11998 x^12+16299 x^13+22528 x^14+24672 x^15+28808 x^16+38277 x^17+45522 x^18+54351 x^19+60120 x^20+57564
x^21+65664 x^22+86595 x^23+93258 x^24+86925 x^25+90852 x^26+95166 x^27+101208 x^28+114291 x^29+107262 x^30+98919 x^31+108168 x^32+108078 x^33+104244 x^34+98295 x^35+80646 x^36+74841 x^37+82440 x^38+76632
x^39+59880 x^40+51453 x^41+46374 x^42+40287 x^43+37284 x^44+30052 x^45+22100 x^46+19529 x^47+16274 x^48+12287 x^49+9380 x^50+6248 x^51+4268 x^52+3475 x^53+2426 x^54+1305 x^55+664 x^56+362 x^57+156 x^58+47
x^59+12 x^60+x^61) / ((-1+x)^5 (1+x)^3 (1+x+x^2)^4 (1+x+x^2+x^3+x^4)^4 (1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8)^4)616

Two [16,16] riders on an n x n toroidal chessboard
Explicit formula (V. Kotěšovec, 7.12.2010) , period=32

Alternative formula:

Generating function- 2 x^2 (3+6 x+51 x^2+40 x^3+179 x^4+162 x^5+567 x^6+288 x^7+979 x^8+750 x^9+1979 x^10+1080 x^11+2883 x^12+2058 x^13+5295 x^14+2176 x^15+6368 x^16+4368 x^17+9808 x^18+4960 x^19+11744 x^20+7824 x^21+17648
x^22+7488 x^23+19040 x^24+12432 x^25+25936 x^26+12640 x^27+28256 x^28+18192 x^29+40112 x^30+14976 x^31+39383 x^32+25086 x^33+50359 x^34+24040 x^35+51911 x^36+32682 x^37+67403 x^38+27360 x^39+64487
x^40+40134 x^41+77599 x^42+36280 x^43+75671 x^44+46578 x^45+94371 x^46+35072 x^47+84032 x^48+51168 x^49+95584 x^50+43840 x^51+88640 x^52+53472 x^53+102944 x^54+40320 x^55+89408 x^56+53472 x^57+97120
x^58+43840 x^59+86336 x^60+51168 x^61+97952 x^62+34560 x^63+79433 x^64+46578 x^65+81913 x^66+36280 x^67+69209 x^68+40134 x^69+72389 x^70+27360 x^71+57017 x^72+32682 x^73+55441 x^74+24040 x^75+44297
x^76+25086 x^77+44205 x^78+15488 x^79+32480 x^80+18192 x^81+29776 x^82+12640 x^83+22496 x^84+12432 x^85+20720 x^86+7488 x^87+14432 x^88+7824 x^89+12112 x^90+4960 x^91+8288 x^92+4368 x^93+6832 x^94+2176
x^95+4061 x^96+2058 x^97+2845 x^98+1080 x^99+1581 x^100+750 x^101+953 x^102+288 x^103+397 x^104+162 x^105+149 x^106+40 x^107+29 x^108+6 x^109+x^110) / ((-1+x)^5 (1+x)^4 (1+x^2)^4 (1+x^4)^4 (1+x^8)^4 (1+x^16)^3)

617

2 Riders on an n x n toroidal chessboard
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

1
2

2

6

2

6

2

6

2

4

2

4

2

4

2

4

6

2

6

3

18

18

36

18

18

36

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

4

72

104

72

120

72

104

72

80

72

80

72

80

72

80

112

72

104

5

200

200

200

200

300

200

200

200

200

200

200

200

200

200

200

200

200

6

450

558

594

558

450

630

450

468

378

468

378

468

450

468

558

450

558

7

882

882

882

882

882

882

1176

882

588

588

588

588

882

882

882

588

588

8

1568

1824

1568

1952

1568

1824

1568

1600

1312

1600

1568

1600

1312

1600

1856

1312

1824

9

2592

2592

3078

2592

2592

3078

2592

2592

2106

2106

2106

2106

2106

2106

2592

2106

2106

10

4050

4550

4050

4550

4850

4550

4050

4100

3650

4100

3650

4100

3650

4100

4550

3650

4550

11

6050

6050

6050

6050

6050

6050

6050

6050

4840

4840

4840

4840

4840

4840

6050

4840

4840

12

8712

9576

9864

10008

8712

10152

8712

8784

7848

8208

7848

8784

8712

8784

9648

8712

9288

13

12168

12168

12168

12168

12168

12168

12168

12168

10140

10140

10140

12168

10140

10140

12168

12168

10140

14

16562

17934

16562

17934

16562

17934

18914

16660

14210

14308

14210

14308

15386

16660

17934

14210

16758

15

22050

22050

24300

22050

24750

24300

22050

22050

20250

20250

22050

20250

20250

20250

22050

20250

20250

16

28800

30848

28800

31872

28800

30848

28800

28928

25728

26880

26752

26880

25728

28928

30976

25728

29824

17

36992

36992

36992

36992

36992

36992

36992

36992

32368

32368

36992

32368

32368

32368

36992

32368

32368

18

46818

49734

50706

49734

46818

51678

46818

46980

42282

43092

42282

43092

42930

43092

49734

42930

47790

19

58482

58482

58482

58482

58482

58482

58482

58482

51984

51984

51984

51984

51984

51984

58482

51984

51984

20

72200

76200

72200

78200

78600

76200

72200

72400

67400

69200

67400

69200

67400

69200

76400

67400

74600

21

88200

88200

94374

88200

88200

94374

96138

88200

80262

80262

80262

80262

82908

82908

88200

80262

80262

22

106722112046106722112046106722112046106722106964

97042

97284

97042

97284

97042

97284

11204697042

10720623

12801812801812801812801812801812801812801812801811638011638011638011638011638011638012801811638011638024152352

159264

16156816272015235216387215235215264014198414572814428815264014544015264015955214544015580825

18000018000018000018000019250018000018000018000016750016750016750016750016750018000018000016750016750026

211250220038211250220038211250220038211250211588195026

195364

195026211588195026

19536422003820313821192627

2464022464022595242464022464022595242464022464022289062289062289062289062289062289062464022289062289062828576829674428576830223228576829674430458428616026695226734426695226734427165627675229713626695228733629329672329672329672329672329672329672329672329672306124306124306124306124306124306124329672306124306124303784503919503964503919504000504009503784503789003586503645003658503645003604503645003919503604503847503143245043245043245043245043245043245043245043245040362040362040362040362040362040362043245040362040362032492032508416492032

516608492032508416492032492544463360467968467456467968463360476160508928463360496128335575685575685815265575685575685815265575685575685248985248985248985248985248985248985575685248985248983462944264909462944264909462944264909462944263002059245059302861094659302859245059302864909459245063059835708050708050708050708050742350708050744800708050671300671300671300671300708050678650708050671300671300618
36793800817128824904

8287927938008326807938007944487549207581607549207633447626967633448177767626967989843788711288711288711288711288711288711288711288711283782883782883782883782888711283782888711283782883782838988418 1015854

988418 1015854

988418989140936434937156936434937156936434937156 1015854

936434

989862988418 1015854

39 1098162 1098162 1137708 1098162 1098162 1137708 1098162 1098162 1043406 1043406 1043406 1061658 1043406 1043406 1098162 1061658 1043406
40 1216800 1248800 1216800 1264800 1268000 1248800 1216800 1217600 1165600 1179200 1172000 1179200 1165600 1179200 1249600 1165600 1229600
41 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800 1277560 1277560 1277560 1277560 1277560 1277560 1344800 1277560 1277560
42 1482642 1519686 1532034 1519686 1482642 1544382 1546146 1483524 1415610 1420020 1415610 1420020 1429722 1441188 1519686 1419138 1487934
43 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818 1553160 1553160 1553160 1553160 1553160 1553160 1630818 1553160 1553160
44 1789832 1832424 1789832 1853720 1789832 1832424 1789832 1790800 1712392 1713360 1712392 1713360 1712392 1713360 1833392 1712392 1793704
45 1960200 1960200 2020950 1960200 2033100 2020950 1960200 1960200 1883250 1883250 1899450 1883250 1883250 1883250 1960200 1883250 1883250
46 2142450 2191118 2142450 2191118 2142450 2191118 2142450 2143508 2049346 2050404 2049346 2050404 2049346 2050404 2191118 2049346 2144566
47 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122 2235508 2235508 2235508 2235508 2235508 2235508 2337122 2235508 2235508
48 2544768 2600064 2618496 2627712 2544768 2636928 2544768 2545920 2448000 2462976 2457216 2490624 2461824 2545920 2601216 2461824 2558592
49 2765952 2765952 2765952 2765952 2765952 2765952 2866794 2765952 2650704 2650704 2650704 2650704 2665110 2665110 2765952 2650704 2650704
50 3001250 3063750 3001250 3063750 3101250 3063750 3001250 3002500 2891250 2902500 2891250 2902500 2891250 3002500 3063750 2891250 3013750
n

[0,1]

[0,2]

[0,3]

[0,4]

[0,5]

[0,6]

[0,7]

[1,1]

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[1,6]

[1,7]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

2 Riders on an n x n toroidal chessboard
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

1
2

2

6

2

4

2

4

2

4

6

2

6

2

4

2

4

6

2

4

3

18

18

18

36

18

18

36

18

18

18

18

18

18

18

18

36

18

18

4

72

112

72

80

72

80

72

80

120

72

104

72

80

72

80

112

72

80

5

200

200

200

200

200

200

200

200

200

200

200

200

300

200

200

200

200

200

6

378

558

378

612

450

468

594

468

558

378

558

378

468

450

468

630

450

468

7

882

588

882

882

882

588

588

882

882

588

588

882

882

588

882

882

882

1176

8

1312

1856

1312

1600

1568

1600

1312

1600

1984

1568

1824

1568

1600

1312

1600

1856

1312

1600

9

2106

2106

2592

3078

2106

2106

3078

2106

2592

2592

2106

2106

2592

2106

2106

3078

2106

2592

10

4050

4550

3650

4100

3650

4100

3650

4100

4550

4050

4550

3650

4900

4050

4100

4550

3650

4100

11

4840

4840

4840

6050

4840

4840

4840

4840

6050

4840

4840

6050

6050

6050

4840

6050

4840

6050

12

7848

9648

7848

9936

8712

8208

9864

8208

10008

7848

9576

7848

8784

8712

8784

10224

8712

8784

13

10140

10140

10140

12168

10140

10140

10140

10140

12168

10140

12168

12168

12168

10140

10140

12168

12168

12168

14

15386

16758

16562

16660

15386

14308

14210

16660

17934

14210

16758

16562

16660

14210

16660

17934

16562

19012

15

20250

20250

22050

24300

20250

22050

24300

20250

22050

20250

20250

20250

24750

22050

20250

24300

20250

22050

16

25728

30976

25728

28928

26752

28928

25728

26880

32000

26752

29824

26752

28928

25728

26880

30976

25728

28928

17

32368

32368

32368

36992

32368

36992

32368

32368

36992

32368

32368

32368

36992

32368

32368

36992

36992

36992

619
18

42282

47790

44226

50868

42930

43092

50058

43092

49734

44226

47790

42282

46980

42930

43092

51678

42930

46980

19

51984

51984

51984

58482

51984

51984

51984

51984

58482

51984

51984

51984

58482

51984

51984

58482

51984

58482

20

72200

76400

67400

72400

67400

69200

67400

72400

78200

72200

74600

67400

78800

72200

69200

76400

67400

72400

21

88200

80262

82908

94374

82908

80262

91728

88200

88200

80262

80262

82908

88200

80262

82908

94374

88200

96138

22

97042

10720697042

106964

97042

97284

97042

97284

11204697042

107206101882106964

10188297284

11204697042

1069642311638011638011638012801811638011638011638011638012801811638011638011638012801811638011638012801811638012801824141984157248141984

161856152352145728159264145728163008144288159264

1442881526401454401526401641601454401526402516750016750016750018000018000016750016750016750018000016750016750016750019250016750016750018000016750018000026

195026211926

195026211588195026

195364

195026

195364220038195026220038203138211588195026

19536422003820313821158827228906228906233280259524228906228906255150228906246402233280228906228906246402228906228906259524228906246402282716562877282857682861602716562673442669522767523022322669522873362857682861602669522767522971362857683049762932967230612430612432967230612430612430612432967232967230612430612430612432967230612430612432967230612432967230362250384750365850396900360450378900392850364500391950362250384750358650400500378450364500400950360450378900314036204036204036204324504036204036204036204036204324504036204036204036204324504036204036204324504036204324503246336050073646336049254446745647616046336046796851712046745649612846745649254446336046796850892846336049254433

524898524898524898581526524898524898570636524898557568524898524898557568557568535788524898581526524898557568345924506305985924506300205924506300205924505930286490945924506305985924506300205924505930286490946109466300203567865067130067865070805067865067130067130067865070805067130067130067865074235067130070805070805067865074480036754920802224762696825552762696758160817128758160828792762696801576754920794448762696763344

8333287626967944483783782883782883782888711283782883782883782883782888711283782883782883782888711283782888711288711283782888711238936434

989862936434

989140936434937156936434937156 1015854

936434

989862936434

989140936434937156 1015854

936434

98914039 1043406 1043406 1043406 1137708 1043406 1043406 1119456 1043406 1098162 1043406 1061658 1061658 1098162 1043406 1043406 1137708 1061658 1098162
40 1184800 1236800 1165600 1217600 1172000 1179200 1165600 1217600 1265600 1216800 1229600 1172000 1268800 1184800 1179200 1249600 1165600 1217600
41 1277560 1277560 1277560 1344800 1277560 1277560 1277560 1277560 1344800 1344800 1277560 1277560 1344800 1277560 1277560 1344800 1277560 1344800
42 1447362 1487934 1436778 1532916 1429722 1420020 1510866 1483524 1519686 1415610 1487934 1436778 1483524 1419138 1441188 1544382 1482642 1547028
43 1553160 1553160 1553160 1630818 1553160 1553160 1553160 1553160 1630818 1553160 1553160 1553160 1630818 1553160 1553160 1630818 1553160 1630818
44 1712392 1794672 1712392 1790800 1712392 1713360 1712392 1713360 1853720 1712392 1793704 1731752 1790800 1731752 1713360 1833392 1712392 1790800
45 1883250 1883250 1960200 2020950 1883250 1899450 2004750 1883250 1960200 1895400 1883250 1883250 2033100 1899450 1883250 2020950 1883250 1960200
46 2049346 2144566 2049346 2143508 2049346 2050404 2049346 2050404 2191118 2049346 2144566 2049346 2143508 2049346 2050404 2191118 2049346 2143508
47 2235508 2235508 2235508 2337122 2235508 2235508 2235508 2235508 2337122 2235508 2235508 2235508 2337122 2235508 2235508 2337122 2235508 2337122
48 2448000 2573568 2448000 2619648 2489472 2481408 2590848 2462976 2628864 2457216 2572416 2457216 2545920 2461824 2490624 2638080 2461824 2545920
49 2665110 2650704 2665110 2765952 2665110 2650704 2650704 2665110 2765952 2650704 2650704 2665110 2765952 2650704 2665110 2765952 2665110 2866794
50 2901250 3013750 2891250 3002500 2941250 2902500 2891250 2902500 3063750 2901250 3013750 2891250 3102500 2901250 2902500 3063750 2891250 3002500
n

[2,5]

[2,6]

[2,7]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[3,6]

[3,7]

[4,4]

[4,5]

[4,6]

[4,7]

[5,5]

[5,6]

[5,7]

[6,6]

[6,7]

[7,7]

620

2 Riders on an n x n toroidal chessboard
n

[8,8]

[9,9]

[10,10][11,11][12,12][13,13][14,14][15,15][16,16]

2

6

4

6

4

6

4

6

4

6

3

18

36

18

18

36

18

18

36

18

4

120

80

112

80

120

80

112

80

120

5

200

200

300

200

200

200

200

300

200

6

558

612

558

468

630

468

558

612

558

7

882

882

882

882

882

882

1176

882

882

8

2016

1600

1856

1600

1984

1600

1856

1600

2016

9

2592

3240

2592

2592

3078

2592

2592

3078

2592

10

4550

4100

4950

4100

4550

4100

4550

4900

4550

11

6050

6050

6050

7260

6050

6050

6050

6050

6050

12

10008

9936

9648

8784

10296

8784

9648

9936

10008

13

12168

12168

12168

12168

12168

14196

12168

12168

12168

14

17934

16660

17934

16660

17934

16660

19110

16660

17934

15

22050

24300

24750

22050

24300

22050

22050

25200

22050

16

32512

28928

30976

28928

32000

28928

30976

28928

32640

17

36992

36992

36992

36992

36992

36992

36992

36992

36992

18

49734

52164

49734

46980

51678

46980

49734

50868

49734

19

58482

58482

58482

58482

58482

58482

58482

58482

58482

20

78200

72400

79600

72400

78200

72400

76400

78800

78200

21

88200

94374

88200

88200

94374

88200

96138

94374

88200

22

11204610696411204611664411204610696411204610696411204623

1280181280181280181280181280181280181280181280181280182416444816185615955215264016531215264015955216185616444825

18000018000019250018000018000018000018000019250018000026

220038211588220038211588220038227812220038211588220038127246402263898246402246402259524246402246402259524246402283022322861602971362861603022322861603065442861603022322932967232967232967232967232967232967232967232967232967230391950396900402750378900400950378900391950404100391950314324504324504324504324504324504324504324504324504324503252121649254450892849254451712049254450892849254452326433

5575685815265575685902385815265575685575685815265575683464909463002064909463002064909463002064909463002064909435708050708050742350708050708050708050744800742350708050368287928359208177767944488365687944488177768255528287923788711288711288711288711288711288711288711288711288711238 1015854

989140 1015854

989140 1015854

989140 1015854

989140 1015854

39 1098162 1137708 1098162 1098162 1137708 1152918 1098162 1137708 1098162
40 1272800 1217600 1275200 1217600 1265600 1217600 1249600 1268800 1272800
41 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800 1344800
42 1519686 1532916 1519686 1483524 1544382 1483524 1551438 1532916 1519686
43 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818 1630818
44 1853720 1790800 1833392 1868240 1853720 1790800 1833392 1790800 1853720
45 1960200 2041200 2033100 1960200 2020950 1960200 1960200 2045250 1960200
46 2191118 2143508 2191118 2143508 2191118 2143508 2191118 2143508 2191118
47 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122 2337122
48 2642688 2619648 2601216 2545920 2647296 2545920 2601216 2619648 2648448
49 2765952 2765952 2765952 2765952 2765952 2765952 2866794 2765952 2765952
50 3063750 3002500 3113750 3002500 3063750 3002500 3063750 3102500 3063750
n

[8,8]

[9,9]

[10,10][11,11][12,12][13,13][14,14][15,15][16,16]

Poznámka: případ 3 Riders na prstencové šachovnici je už enormně složitý a řešení je (kromě triviálních věží a střelců) známo zatím jen pro 3 tátoše.

62112) Composite pieces Rook/Queen + Leaper/Rider - Kombinované kameny(permutations with dynamically restricted positions)
V této kapitole se zabývám rozmístěním n neohrožujících se kombinovaných kamenů, které vzniknou složením pohyblivosti věže a jiných (bodových nebo
liniových) kamenů. Z matematického hlediska jde o permutace {1, 2, ... , n} s nějakými omezujícími vlastnostmi. Sloupce šachovnice (kdy každá věž stojí právě na
jednom sloupci) určují pozici v permutaci. Jelikož nalezení obecných vzorců je obtížné, zaměřil jsem se na tzv. asymptotické chování, tj. vlastnosti pro n blížící sek nekonečnu. Smyslem zkoumání těchto posloupností bylo zejména hledání obecných závislostí při kombinacích kamenů s různými pohyblivostmi. K tomu bylopotřeba vygenerovat co nejvíce hodnot. Tato kapitola obsahuje celkem 71 sérií hodnot. Jen málo z toho jsou hodnoty již dříve vypočtené (např. dámy nebo
amazonky), zbytek je výsledek více než 1000 hodin nových výpočtů optimalizovaným programem v assembleru!
Všechny tyto posloupnosti mají asymptotický průběh
kde b a q jsou konstanty (specifické pro každý kámen).
Jelikož u většiny posloupností je znám jen relativně malý počet hodnot (explicitní vzorce jsou z těchto 71 posloupností známy jen v případě 2 z nich - a to ještě jenv případě věží a skokanů, kdy je q=1), bylo jedinou možností, jak zjistit hodnoty konstant b a q, nějakým způsobem je extrapolovat. Pro tento účel je v matematice
nejvhodnější tzv. metoda nejmenších čtverců. Abychom mohli provést lineární regresi, uvažujme (pro interní výpočty) raději zlogaritmovanou posloupnost

Konstanty získané lineární regresí pak snadno převedeme zpět na původní konstanty b a q. Tyto konstanty jsou zobrazeny v posledních 2 řádcích všech tabulek.
Z hlediska přesnosti výpočtů je daleko spolehlivější odhad konstanty q než konstanty b. Naštěstí pro obecné hypotézy je právě konstanta q tou zajímavou. Jinak
samozřejmě je přesnost lepší tam, kde bylo známo více hodnot, tedy pro menší hodnoty r a s, kde se během výpočtu vyloučí více možností vzájemně se ohrožujících
kamenů a ve stejném čase je proto možné vypočítat hodnoty pro větší n.
Pro výpočet (kdy se prokládá známými body přímka) jsem volil vždy pouze 5 nejvyšších bodů posloupnosti (tento počet byl zjištěn experimentálně, větší počet bodůdával příliš velkou váhu malým hodnotám, které z hlediska asymptotického chování nemají příliš význam). Do grafů jsou však zaneseny všechny hodnoty. Ještě jetřeba poznamenat, že pro účely grafů jsem zobrazil funkci, která dává až na znaménko shodné výsledky, ale vyhnul jsem se tak záporným hodnotám a grafy
jsou přehlednější.
Další série grafů vychází z toho, žea tedy tento podíl umožňuje s přibývajícím počtem hodnot zpřesňovat přiblížení k limitní hodnotě q.

62212.1) n pieces rook+leaper[r,s] on an n x n chessboard - n kamenů věž+skokan[r,s] na šachovnici n x n

Pro kombinaci kamenů věž + bodový skokan existují přesné asymptotické vzorce.
General asymptotic formulas for number of ways to place n non-attacking composite pieces rook+leaper on an n x n board:
typ kamene (kombinovaného s věží)počet polí interferujících
s jinými permutacemipříkladyn composite pieces on an n x n board

number of squares

examples4
Rook + Leaper [d,d]|p(j+d) - p(j)| <> d1/e2

rook+alfil
d=2(for all j=1..n-d)

8
Rook + Leaper [r,s](0 < r < s)|p(i+r) - p(i)| <> s|p(j+s) - p(j)| <> r1/e4

rook+knight
r=1, s=2
An empress moves
like a rook and a knight(for all i=1..n-r, j=1..n-s)

2
Rook + semi-Leaper [d,d]p(j+d) - p(j) <> d(for all j=1..n-d)

1/erook+semi-alfil
d=2

623

Rook + semi-Leaper [d1,d1] + semi-Leaper [d2,d2](d1<>d2)

4

1/e

rook+
semi-fers+semi-alfil
d1=1, d2=2

Rook + Leaper [d,d] + Leaper [r,s](0 < r < s)

12

1/e6

rook+fers+zebra
d=1
r=2, s=3

Rook + Leaper [r1,s1] + Leaper [r2,s2](0 < r1 < s1, 0 < r2 < s2, [r1,s1] <> [r2,s2])

168generallym(m je konstanta nezávislá na n)

n composite pieces on an n x n board

number of squares

examples2

1/e

rook+knight+zebra
r1=1, s1=2
r2=2, s2=3

Rozmístění n neohrožujících se věží na šachovnici n x n můžeme interpretovat také jako systém permutací n prvků. Do těchto permutací pak zasahují poleoznačená bílými kroužky. Tyto kroužky pro každý z n kamenů dynamicky vytvářejí "zakázaná" pole, kam už není možné postavit další kámen. Je tu zajímavé
srovnání s kapitolou 3.1.1 (permutations with restricted position), kde však byla "zakázaná" pole určena staticky (např. p(j) <> j). Zde se to děje dynamicky (např.
p(j+d) - p(j) <> d), výsledky jsou však podobné (permutations with dynamically restricted position).

624
Tyto výsledky korespondují s tzv. Poissonovým rozložením, které se používá při zkoumání kombinace "raritních" jevů (tedy takových, které mají velmi malou
pravděpodobnost). Největším úskalím teorie pravděpodobnosti je totiž to, že při kombinaci několika jevů v praxi většinou neplatí požadovaná podmínka jejichabsolutní nezávislosti (events are not independent) a proto nelze použít některé teoreticky odvozené vzorce založené na této podmínce. Poissonovo rozložení
umožňuje analyzovat i jevy, mezi nimiž může být i "mírná" závislost (if there is limited interference between properties). Pro konečná n tak sice nedostaneme přesné
výsledky, ale pro asymptotický průběh (pokud není závislost jevů příliš velká) můžeme takto dostat přesné výsledky! Effect of the dependence can be ignored if weare only interested in the asymptotic behavior. Dobrým příkladem mohou být právě kombinace věží a skokanů (kdy interference skokanů s ostatními liniemi je jen
mírná) a věží a liniových kamenů (kdy naopak počet průsečíků linií je už tak velký, že ho nelze zanedbat a má vliv na výslednou pravděpodobnost kombinace těchtojevů).
Velmi přesně toto popisují Bengt Aspvall a Frank M. Liang v článku The Dinner Table Problem (1980), viz Part 2: "The Poisson Approximation for the Number of
Permutations Satisfying k Properties", str. 7-12. Těmto typům pravděpodobností se věnovali také P. Flajolet a R. Sedgewick v knize Analytic combinatorics (2009),
str. 372 (Proposition V.11), str. 373 (Examples V.51).
Z pohledu teorie pravděpodobnosti můžeme ale tyto vzorce odvodit i touto úvahou, např. pro věže a skokany [r,s] (v příkladu na diagramu
r=2, s=3). Předpokládejme, že je již na šachovnici umístěno k těchto kamenů. Po přidání dalšího kamene ubydou na každém sloupci(z původních n-k polí) 4 potenciálně obsaditelná pole (pravděpodobnost kolizí je zanedbatelná). Pokud je n velké, můžeme odhadnout
celkovou pravděpodobnost jako součin n takovýchto kroků. Dostáváme tak (při konstantním k).

Je třeba ale poznamenat, že podobný postup nelze aplikovat na kombinované kameny věž + liniový kámen, protože tam už vzájemné interakce linií překročí(z hlediska teorie pravděpodobnosti) "zanedbatelnou" hodnotu (jako tomu je v případě interakce linie s konstantním - na n nezávislým - počtem polí).

Hodnotu 1/e4 jsem potvrdil pro kombinované kameny věž + skokan [r,s] (0 < r < s) také pomocí tzv.
metody Monte Carlo. Ta spočívá v simulování testovaného jevu vygenerováním velkého množství
náhodných vzorků. V tomto případě jsem testoval n kamenů s kombinovanou pohyblivostí věže ajezdce (tzv. empress) na šachovnicích n x n pro n=100 až 1000 s krokem 100. Pro každou šachovnici
jsem vygeneroval milion vzorků. Např. na šachovnici 1000 x 1000 bylo 18347 pokusů z 1000000
vyhovujících. Získané hodnoty jsou vyneseny v grafu (na ose x je n, na ose y vypočtená
pravděpodobnost a červená čára určuje očekávanou limitní hodnotu pro n jdoucí do nekonečna).
This result I confirmed with Monte Carlo method. I used function RandomSample[Range[n]] in
Mathematica, n=100 to 1000 with step 100 and 1000000 samples for each n. Red line is a limit value.

625
Při hledání na internetu jsem narazil ne několik článků o problému rozmístění n lidí u stolu (Dinner Table Problem), který se šachem souvisí jen okrajově. Jdeo určení počtu možných permutací, takových aby po přeskupení měl každý u stolu jiné sousedy než měl předtím. Ve speciálním případě je tento problém
ekvivalentní s „ways to arrange n non-attacking kings on an n x n board, with 1 in each row and column“, tedy s počtem rozmístění neohrožujících se n králů našachovnici n x n tak, že v každé řadě a v každém sloupci je právě jeden král. Z šachového hlediska se ale vlastně jedná o rozmístění kamenů, které mají pohyblivost
jako věž + fers ! From chess view is this problem not about kings, but about pieces rook + fers. Fers is leaper [1,1].
Pro počty rozmístění těchto exokamenů tak dokonce existuje obecný vzorec (formula in closed form exists):n composite pieces Rook + Leaper[1,1] (rook+fers) on an n x n chessboard (sekvence A002464 v OEIS). Asi první se tímto problémem zabýval I. Kaplansky,
Symbolic solution of certain problems in permutations (1944), dále pak M. Abramson and W. Moser (1966), kteří pomocí metody inkluze a exkluze (kdy se od
celkového počtu n-faktoriál možných rozmístění věží odčítají možnosti napadení fersů, v další úrovni se ale musí přičíst ty možnosti, které byly odečteny vícekrát
atd.) došli k explicitnímu vzorci:

Asymptotický vzorec (doplnil jsem členy počínaje n6)

Rekurence (pro n > 4):

Generating function (Philippe Flajolet)

Tabulka hodnot v programu Mathematica
Table[n!+Sum[(-1)^r*(n-r)!*Sum[2^c*Binomial[r-1,c-1]*Binomial[n-r,c],{c,1,r}],{r,1,n-1}],{n,1,25}]

nebo
Table[SeriesCoefficient[Sum[k!*x^k*(1-x)^k/(1+x)^k,{k,0,n}],{x,0,n}],{n,1,25}]

626
Podobný vzorec existuje i pro případ rozmístění těchto kamenů na prstencové šachovnici.
n composite pieces Rook + Leaper[1,1] (rook+fers) on an n x n toroidal chessboard (sekvence A089222 v OEIS, pro n > 1)
Odvodili jej Bengt Aspvall and Frank M. Liang, The Dinner Table Problem (1980), platí pro n > 2.

Asymptotický rozklad

uvedený v citovaném článku je však chybný. Asymptotic expansion in article by Aspvall and Liang is wrong. Vzorec je takto citován i v Taurasově článku.
Správný asymptotický rozklad je (right asymptotic formula is)(V. Kotěšovec, 6.4.2012)

O správnosti mého vzorce se lze snadno přesvědčit numerickým výpočtem, kdy např. pro n=200 vychází poměr správné hodnoty ku asymptotické podle vzorce ze článku 1.0000000000125542243(Aspvall + Liang), kdežto u mého vzorce pro 7 členů 1.0000000000000008990 (Kotěšovec 7 terms), pro 8 členů pak dokonce 1.0000000000000000121
Čitatelé i jmenovatelé tohoto rozvoje jsou v OEIS jako samostatné sekvence A078630 a A078631.

Rekurence (Václav Kotěšovec, 13.4.2011), pro n>=14:

nebo pro n>=8:

Tabulka hodnot v programu Mathematica
Table[If[n<3,If[n==1,1,0],n!+(-1)^n*2n+Sum[(-1)^r*(n/(n-r))^2*(n-r)!*Sum[2^c*Binomial[r-1,c-1]*Binomial[n-r,c],{c,1,r}],{r,1,n-1}]],{n,1,25}]

627
A ještě rozmístění těchto kamenů na válcové šachovnici.
n composite pieces Rook + Leaper[1,1] (rook+fers) on an n x n cylindrical chessboard (A002493)
Explicitní vzorec (Vladeta Jovovic, 24.11.2007),přepsáno do programu Mathematica:b[n_]:=(If[n>0,n!+Sum[(-1)^r*(n-r)!*Sum[2^c*Binomial[r-1,c-1]*Binomial[n-r,c],{c,1,r}],{r,1,n-1}],0]);Table[If[n>2,b[n]-2*Sum[b[n-1-2k],{k,0,Floor[n/2]}],If[n==1,1,0]],{n,1,25}]

Jednodušší vzorec (Andrew Woods, 8.1.2015),

Rekurence (Doron Zeilberger, 14.11.2007):

Asymptotický rozklad (asymptotic expansion)(Václav Kotěšovec, 6.4.2012)

628
n non-attacking composite pieces Rook + Fers on a chessboard n x nnormal board

toroidal board

cylindrical board

A002464

A089222, n > 1

A002493

1

1

1

1

2

0

0

0

3

0

0

0

4

2

0

0

5

14

10

10

6

90

36

60

7

646

322

462

8

5242

2832

3920

9

47622

27954

36954

10

479306299260382740115296790347448243275101263779034

43546872

53088888

13831283558

586722162

702756210

1411661506218

8463487844

9988248956

15175203184374

130214368530

151751644590

162806878055610

2129319003680

2454798429600

1747767457130566

36889393903794

42130249479562

18860568917787402

675098760648204

764681923900260

1916362838542699862

13015877566642418

14636063499474054

20327460573946510746

263726707757115400

294639009867223880

21

6880329406055690790

5603148830577775218

6223681483119443490

22151436547414562736234

124568968969991162100

137643067038372067788

233484423186862152966838

2892414672938546871250

3180893444110091247070

2483655126041771262574458

70019837217089733132720

76672486187670765972336

n

25 2092014180086865279171334 1764352488154548396118450 1924400398260570692302650
nnormal board

toroidal board

cylindrical board

629
Nejdále se ale v tomto směru dostal Roberto Tauraso ve svém článku The dinner table problem: the rectangular case (Integers,
2006), kdy (při řešení jiného problému) vlastně odvodil vzorce pro všechny typy kamenů věž + skokan [d,d]. Pro d > 1 jsou však tyto„vzorce“ nesmírně komplikované (a jde spíše o něco mezi matematickým vzorcem a návodem na počítačový program), takže jeaplikovat je obtížné. Více viz str. 631.
Roberto Tauraso found in his article general formula for all composite pieces rook + leaper [d,d] (but formulas for d > 1 are very
complicated). See page 631 for more.
Např. pro d=2 dostaneme kámen s pohyblivostí věž + alfil (rook + leaper[2,2]), který v pozici diagramu napadá (kromě věžovýchpolí) pole b3, b7, f3, f7. Pro d=3 dostaneme exokámen věž + skokan [3,3] (rook + leaper[3,3]), jemuž by byla dostupná pole a2, a8,
g2, g8 atd. For example rook + alfil, A110128 or rook + leaper[3,3], A117574. Alfil is a leaper [2,2].

Nejzajímavější na těchto posloupnostech je však jejich asymptotické chování. Případem d = 1 se (z nešachového pohledu) zabývala řada matematiků. Následující
limitu na základě numerických výpočtů nejprve jen odhadl P. Bjørstad (1979). Důkaz najdeme v již citovaném článku The Dinner Table Problem, Bengt Aspvall aFrank M. Liang (1980) nebo viz David P. Robbins (American Mathematical Monthly 2/1980, str.122 - v jeho článku jde o případ k=0).

Vidíme tedy, že ze všech možných rozmístění neohrožujících se věží na šachovnici n x n zůstane jen něco přes 13% takových, kde se kameny neohrožují ani jako
fersové.
Roberto Tauraso pak v citovaném článku odvodil, že předchozí elegantní limita platí pro všechny tyto kombinované kameny věž + skokan [d,d]. Ještě přesněji, že
pro d > 0 platían,d is number of ways to place n non-attacking composite pieces rook + leaper [d,d] on an n x n chessboard

630Zabýval jsem tímto problémem důkladněji a podařilo se mi tento asymptotický vzorec ještě více zpřesnit(more terms by Václav Kotěšovec, 13.4.2011)

Díky velké sérii vypočtených hodnot jsem mohl tyto teoreticky odvozené asymptotické odhady ověřit.
Vidíme značné přiblížení červených asymptotických grafů ke skutečným hodnotám.

Tauraso2006Kotěšovec 2011

631
Pro d > 1 je vzorec, který odvodil R. Tauraso, velmi komplikovaný a je poměrně obtížné jej aplikovat. Např. jeho sumy přes všechny indexy, jejichž součet mádanou hodnotu (nebo cyklus přes všechny podmnožiny), se nedají zapsat jako klasické matematické sumy, ale představuje to cyklus, který je v programátorském
jazyku backtrackingem (tedy NP problém). Výpočet hodnot pro vyšší n je proto časově dost náročný a hodnoty pro n > 35 jsou už nedosažitelné. Přesto je aplikování
tohoto vzorce výrazně efektivnější než metoda hrubé síly. Tauraso v článku vypočítal hodnoty pro d <= 3 a n <= 16. Další hodnoty jsem vypočetl tak, že jsem jehovzorec (pro d=2,3,4,5,6) naprogramoval v programu Mathematica. Dostal jsem tak řadu nových hodnot. Současně jsem vzorec upravil tak, abych dostal i hodnoty
pro případ semi-Leapers (v programu to určuje proměnná semi=1). Na ukázku uvádím programy pro d=2 a d=3 (šlo by je ještě mírně zefektivnit vytknutím některých
částí mimo cykly, bylo by to však na úkor přehlednosti). Programy pro d=4,5,6 jsou k dispozici jako pomocné soubory u jednotlivých sekvencí v OEIS.
(* Vaclav Kotesovec 9.4.2011, based on article by R. Tauraso, 2006 *)<< Combinatorica`(* semi=2 Rook + Leaper[d,d] *)(* semi=1 Rook + semi-Leaper[d,d] *)(* version for d=2 *)semi=2;d=2;counter=ConstantArray[0,30];
Do[Print[Timing[If[n>=d,suma=0;
n1=0;Do[If[Mod[i-1,d]==0,n1=n1+1],{i,1,n}];n2=0;Do[If[Mod[i-2,d]==0,n2=n2+1],{i,1,n}];
Do[Do[
Do[Do[
part1=(-1)^(r1+r2)*semi^(c1+c2)*(n-(r1+r2)-(c1+c2))!*Binomial[n1-r1,c1]*Binomial[n2-r2,c2];
If[c1==0,If[r1==0,nl1=1,nl1=0];,nl1=NumberOfCompositions[r1-c1,c1];];
If[c2==0,If[r2==0,nl2=1,nl2=0];,nl2=NumberOfCompositions[r2-c2,c2];];
Do[Do[
If[c1==0,z1={};,z1=Compositions[r1-c1,c1][[l1]];];
If[c2==0,z2={};,z2=Compositions[r2-c2,c2][[l2]];];
z=Flatten[{z1,z2}];Do[m=NthSubset[p,Range[c1+c2]];u=Length[m];If[u==0,s=u,s=u+Sum[z[[m[[i]]]],{i,1,u}];];
If[n1-s>=0 && n2-(r1+r2-s)>=0,
suma=suma+part1*Binomial[n1-s,u]*u!*Binomial[n2-(r1+r2-s),c1+c2-u]*(c1+c2-u)!;];,{p,0,2^(c1+c2)-1}];,{l2,1,nl2}];,{l1,1,nl1}];,{c2,0,Min[r2,n2-r2]}];,{c1,0,Min[r1,n1-r1]}];,{r2,0,n2-1}];,{r1,0,n1-1}];
counter[[n]]=suma,counter[[n]]=n!];n],"rl",d,d,If[semi==1,"semi=","="],Take[counter,n],";"];,{n,1,30}]

632(* Vaclav Kotesovec 9.4.2011, based on article by R. Tauraso, 2006 *)<< Combinatorica`(* semi=2 Rook + Leaper[d,d] *)(* semi=1 Rook + semi-Leaper[d,d] *)(* version for d=3 *)semi=2; d=3; counter=ConstantArray[0,30];
Do[Print[Timing[If[n>=d,suma=0;
n1=0;Do[If[Mod[i-1,d]==0,n1=n1+1],{i,1,n}];n2=0;Do[If[Mod[i-2,d]==0,n2=n2+1],{i,1,n}];n3=0;Do[If[Mod[i-3,d]==0,n3=n3+1],{i,1,n}];
Do[Do[Do[
Do[Do[Do[part1=(-1)^(r1+r2+r3)*semi^(c1+c2+c3)*(n-(r1+r2+r3)-(c1+c2+c3))!*
Binomial[n1-r1,c1]*Binomial[n2-r2,c2]*Binomial[n3-r3,c3];
If[c1==0,If[r1==0,nl1=1,nl1=0];,nl1=NumberOfCompositions[r1-c1,c1];];
If[c2==0,If[r2==0,nl2=1,nl2=0];,nl2=NumberOfCompositions[r2-c2,c2];];
If[c3==0,If[r3==0,nl3=1,nl3=0];,nl3=NumberOfCompositions[r3-c3,c3];];
Do[Do[Do[If[c1==0,z1={};,z1=Compositions[r1-c1,c1][[l1]];];
If[c2==0,z2={};,z2=Compositions[r2-c2,c2][[l2]];];
If[c3==0,z3={};,z3=Compositions[r3-c3,c3][[l3]];];
z=Flatten[{z1,z2,z3}];
Do[m1=NthSubset[p1,Range[c1+c2+c3]];j1=Length[m1];If[j1==0,s1=0,s1=j1+Sum[z[[m1[[i1]]]],{i1,1,j1}];];
rest2=Complement[Range[c1+c2+c3],m1];
Do[m2=NthSubset[p2,rest2];j2=Length[m2];If[j2==0,s2=0,s2=j2+Sum[z[[m2[[i2]]]],{i2,1,j2}];];
s3=r1+r2+r3-s1-s2; j3=c1+c2+c3-j1-j2;
If[n1-s1>=0 && n2-s2>=0 && n3-s3>=0,
suma=suma+part1*Binomial[n1-s1,j1]*j1!*Binomial[n2-s2,j2]*j2!*Binomial[n3-s3,j3]*j3!;];,{p2,0,2^(c1+c2+c3-j1)-1}];,{p1,0,2^(c1+c2+c3)-1}];,{l3,1,nl3}];,{l2,1,nl2}];,{l1,1,nl1}];,{c3,0,Min[r3,n3-r3]}];,{c2,0,Min[r2,n2-r2]}];,{c1,0,Min[r1,n1-r1]}];,{r3,0,n3-1}];,{r2,0,n2-1}];,{r1,0,n1-1}];
counter[[n]]=suma,counter[[n]]=n!];n],"rl",d,d,If[semi==1,"semi=","="],Take[counter,n],";"];,{n,1,30}]

633

Rook + Leaper [d,d]nRook + Leaper [1,1](Rook + Fers) A002464

Rook + Leaper [2,2](Rook + Alfil) A110128(b=1/e2, q=1)

Rook + Leaper [3,3]A117574

Rook + Leaper [4,4]A189255

Rook + Leaper [5,5]A189256

Rook + Leaper [6,6]A189271

1

1

1

1

1

1

1

2

0

2

2

2

2

2

3

0

4

6

6

6

6

4

2

16

20

24

24

24

5

14

44

80

108

120

120

6

90

200

384

544

672

720

7

646

1288

2240

3264

4128

4800

8

5242

9512

15424

23040

28992

34752

9

47622

78652

123456176832231936280512104793067443601110928

1563392

20889602528256115296790786714811287232

15536160

20434944

25282560

1263779034

91310696

127016304

171172224

221871360

278323200

13831283558

1154292796

1565107248

2066033472

2645370624

3289036800

1411661506218

15784573160

20935873872

27146652480

34344038400

42336448512

15175203184374

232050062524

301974271248

385447394880

482103767040

589351062528

162806878055610

3648471927912

4669727780624

5878028516736

7269498483456

8820501301248

1747767457130566

61080818510972

77046043259824

95776238793504

117240911729664

141215147788800

18860568917787402

1084657970877416

1350585114106416

1660164417866304

2013265377314688

2407845089203200

1916362838542699862

20361216987032284

25062108668100208

30496085473606944

36665783917283328

43543159894318080

20327460573946510746

402839381030339816

490725684463001488

591661117634375040

705762463906133760

832618225074748416

216880329406055690790

8377409956454452732

10109820295907492304

12087628978334638752

14313891805008665856

16782891792284791296

22

151436547414562736234

182678001773062774632

218584873235926445712

259353732110769122368

305058200866133496192

355619038157213568000

6815052066896539474560

7901759178346667289600

233484423186862152966838

4167828820253946799580

4948433337202579395696

5830260198084688642464

2483655126041771262574458

99292137525499869150056

117052159699521707890992

137021386015707177170304

159241382359638761724672 183700312404587478328320

25

2092014180086865279171334

2465527529988321926145148

2887549945416110999938672

3360010743290968081122336

3883921082001847040221440?

74158795581965682470686352

85815593755614101982027328 98699868661535185749114624?

26

54406969991009281966468810

63704271555280621107183848

27

1469338018629653986976409366

1710101405270323112159517916

1979635478643025761775312848 2279036042450233133952884256

?

?

28

41150196372502770671331103322

47626790016894277708127056872

54847606543679146894975981328

?

?

?

29

1193582389760980498221633250022

1374305956375642411982698417148

1575028667838499959325329451376

?

?

?

41037883377351622121202567287912 46819703912445220921650905524656

3035813584121884333767012044281386

?

?

?

31

1110392038956066804370138783529590

1266656031681902255259486481952476

?

?

?

?

32

35537496393064930638101703032280634

40368253747693813222893788235646568

?

?

?

?

33

1172885751272849638829453912565746118

1327068809196576138131488816314347644

?

?

?

?

34

39882710261949712055631675791418498698

44958361170834617131818573462995145192

?

?

?

?

35 1396041747291640242139965142726500859094 1568218783559279355276983559478585123292

?

?

?

?

634

635

636

Rook + Leaper [r,s] (0 < r < s)nRook + Leaper [1,2]A137774(Empress)

Rook + Leaper [1,3] Rook + Leaper [1,4] Rook + Leaper [1,5] Rook + Leaper [2,3] Rook + Leaper [2,4] Rook + Leaper [2,5] Rook + Leaper [3,4] Rook + Leaper [3,5] Rook + Leaper [4,5]A189358
A189563
A189564
A189565
A189566
A189567
A189568
A189569
A189570(Rook + Camel)(Rook + Giraffe)(Rook + Zebra)(Rook + Antilope)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

8

8

24

24

12

24

24

24

24

24

5

20

24

48

120

36

60

120

80

120

120

6

94

126

182

336

174

208

392

326

464

552

7

438

524

868

1474

708

1184

1810

1566

2274

2826

8

2766

3072

5752

8340

4334

7840

10400

9544

13236

17080

9

19480

22854

37156

57756

31424

51636

72228

65036

91760

11781610163058189646296944475658263732410272589674518498740562943250111546726

1827114273882041710702503296383645651968704750006

654198483303561216598282

19889946

28894206

41950294

26844578

39971896

52398658

48830634

65632694

82954582

13

197708058

238648524

335399468

472535256

316692056

455888312

588036216

554929274

732880076

915854808

142586423174

3131979014

4285522402

5882635676

4090634212

5717233896

7274466172

6926227324

8995905626

11147075946

1536769177348

44540692612

59536763892

79963449714

57274447458

78164908748

98024173852

93970452970

120367234946

147948526182

16563504645310

681114241416

892785282788

1173614446044

863488976620

1153568477544

1427556373892

1377573324202

?

?

17

9248221393974

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18

161670971937362

?

?

?

?

?

?

?

?

?

19

2996936692836754

?

?

?

?

?

?

?

?

?

20

58689061747521430

?

?

?

?

?

?

?

?

?

21

1210222434323163704

?

?

?

?

?

?

?

?

?

22

26204614054454840842

?

?

?

?

?

?

?

?

?

23

594313769819021397534

?

?

?

?

?

?

?

?

?

24 14086979362268860896282

?

?

?

?

?

?

?

?

?

25

?
4

b

1/e

q

1

n

Rook + Leaper [1,2]

?

1/e
1

4

?

1/e
1

4

?

1/e
1

4

?

1/e
1

4

?

1/e
1

4

?

1/e

4

1

?

1/e
1

4

?

1/e
1

4

?

1/e

4

1

Rook + Leaper [1,3] Rook + Leaper [1,4] Rook + Leaper [1,5] Rook + Leaper [2,3] Rook + Leaper [2,4] Rook + Leaper [2,5] Rook + Leaper [3,4] Rook + Leaper [3,5] Rook + Leaper [4,5]Hodnoty pro Empress, n=18 až n=24 vypočetl Wolfram Schubert, 2011-2012

637

638

639
Z matematického pohledu (nikoliv ze šachového) jsou ještě zajímavé kameny, které mohou tahat na pole jen jedné linie (viz též semi-bishops). Semi-Leaper (český
termín neexistuje, navrhuji semi-skokan) je bodový kámen, který tahá na pole vzdálená o souřadnice [d,d] a [-d,-d], tedy (v obou směrech) jen po jedné z linií(volíme vždy diagonálu z levého dolního do pravého horního rohu). Pro d=1 existuje vzorec (byl odvozen při řešení jiných matematických úloh).
n composite pieces Rook + semi-Leaper[1,1] (rook+semi-fers) on an n x n normal chessboard (=A000255 (n-1), pozor sekvence v OEIS
je o 1 posunutá! Sequence in OEIS is shifted). Platí vzorec pro rook + fers se zaměněným 2c za 1c, který se dá ale v tomto případě výrazně
zjednodušit (Len Smiley, 2001)

Nebo dokonce takovýmto trikem s užitím funkce celá část (Benoit Cloitre, 2004). Přesto, že je ve jmenovateli číslo e, výsledky jsou
celočíselné a přesné.

Rekurence (pro n > 2):
jiná možná rekurence

Jelikož je sekvence posunutá, musí se exponenciální generační funkce pro A000255 zintegrovat (ovšem tento integrál nejde dále zjednodušit), takže

Tabulku hodnot dostaneme v programu Mathematica takto
Table[(n-1)!*Sum[(-1)^k*(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,25}]

nebo pomocí generačních funkcí
Table[(n-1)!*SeriesCoefficient[E^(-x)/(1-x)^2,{x,0,n-1}],{n,1,25}]
Table[n!*SeriesCoefficient[Integrate[E^(-x)/(1-x)^2,x],{x,0,n}],{n,1,25}]

640
Obecný vzorec pro počet rozestavení na prstencové šachovnici:
n composite pieces Rook + semi-Leaper[1,1] (rook+semi-fers) on an n x n toroidal chessboard(OEIS A167760, n > 1, number of permutations p of {n} with no p(i)+1 = p(i+1) mod n, Joel Barnes, 2009 )For n > 1

V programu Mathematica:
Table[If[n==1,1,n*(-1)^n+n!*Sum[(-1)^k/k!*n/(n-k),{k,0,n-1}]],{n,1,25}]

Rekurence (V. Kotěšovec, 11.4.2012),

nebo pro

Asymptotic:(V. Kotěšovec, 11.4.2012)Čísla v čitateli této expanze jsou tzv. Rao Uppuluri-Carpenter numbers (or complementary Bell numbers), viz A000587.
Koeficient v čitateli asymptotického rozvoje umá hodnotu

kde S2 jsou Stirlingova čísla druhého druhu, S2= Stirling numbers of the second kind.

641
Obecný vzorec je znám i pro počet rozestavení na válcové šachovnici:
n composite pieces Rook + semi-Leaper[1,1] (rook+semi-fers) on an n x n cylindrical chessboard(OEIS A000240, Rencontres numbers: permutations with exactly one fixed point)

Je možné podobné zjednodušení jako u předchozích sekvencí(Gary Detlefs, 2010), pro n > 1

Rekurence (pro n > 3):
jiná možná rekurence

Exponenciální generační funkce:

Tabulku hodnot dostaneme v programu Mathematica takto
Table[n!*Sum[(-1)^k/k!,{k,0,n-1}],{n,1,25}]

nebo pomocí generační funkce
Table[n!*SeriesCoefficient[x*E^(-x)/(1-x),{x,0,n}],{n,1,25}]

Poznámka: Ve 4. a 5.edici byl tento případ omylem označen jako prstencová šachovnice. Correction: this case is cylindrical chessboard (not toroidal as signed in 5th edition, p.574)

642

n non-attacking composite pieces Rook + semi-Fers on a chessboard n x nnormal board

toroidal board

cylindrical board

A000255 (n-1)

A167760, n > 1

A000240

1

1

1

1

2

1

0

0

3

3

3

3

4

11

4

8

5

53

40

45

6

309

216

264

7

2119

1603

1855

8

16687

13000

14832

9

1483291188721334971014684571202880

1334960

1116019531

13361403

14684571

12

190899411

161638764

176214840

13

2467007773

2115684272

2290792933

1434361893981

29792671832

32071101048

15513137616783

449145795915

481066515735

168178130767479

7217975402768

7697064251744

17138547156531409

123180993414224

130850092279665

182486151753313617

2224874726830656

2355301661033952

1947106033220679059

42402252681323859

44750731559645107

20939765362752547227

850380681002034900

895014631192902120

2119690321886243846661

17902407539998807896

18795307255050944541

22432292066866171724421

394741856473979171608

413496759611120779880

239923922230666898717143

9097740802923890621491

9510425471055777937263

n

24 237760636776394448431551 218756916554461567237080 228250211305338670494288
25 5934505493938805432851513 5478383494555902629818600 5706255282633466762357225
nnormal board

toroidal board

cylindrical board

643
Asymptotický vzorec jsem odvodil i pro věž a semi-skokany. Zelené grafy představují asymptotický odhad jen s prvním členem, červené i s kvadratickým členem.
sn,d is number of ways to place n non-attacking composite pieces rook + semi-leaper [d,d] on an n x n normal chessboard(asymptotic formula by Václav Kotěšovec, 13.4.2011)

644

Rook + semi-Leaper [d,d]nRook + semi-Leaper [1,1](rook+ semifers) A000255(n-1)

Rook + semi-Leaper [2,2](rook+ semialfil) A189281(b=1/e, q=1)

Rook + semi-Leaper [3,3]A189282

Rook + semi-Leaper [4,4]A189283

Rook + semi-Leaper [5,5]A189284

Rook + semi-Leaper [6,6]A189285

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

2

3

3

5

6

6

6

6

4

11

18

22

24

24

24

5

53

75

98

114

120

120

6

309

410

534

628

696

720

7

2119

2729

3414

4062

4572

4920

8

16687

20906

25498

30360

34260

37488

9

148329181499217338255186290328319644101468457

176349020809902414292275148030332641116019531

18943701

22076030

25350954

28686024

31784280

12190899411

222822578

256888218

292378968

328764732

364902480

13

2467007773

2847624899

3252308706

3673917102

4106158164

4538652840

1434361893981

39282739034

44497313158

49928069188

55495145304

61102571376

15513137616783

581701775369

654139144158

729534877758

806797105320

885045657564

168178130767479

9202313110506

10281397705242

11403682481112

12554890849992

13722397569072

17138547156531409

154873904848803

172033123244330

189862332575658

208164423163908

226742901078120

182486151753313617

2762800622799362

3052895403376110

3354017704180052

3663256621120548

3977354871110160

1947106033220679059

52071171437696453

57266799403366334

62654508729565554

68188490015132040

73816786920489720

20939765362752547227

1033855049655584786

1132124282036449570

1233924707891272728

1338490745511631080

1444940702597713008

21

19690321886243846661

21567640717569135515

23524895818926592242

25550498290562247438

27630826605742438968

29750236302549282948

22432292066866171724421

471630531427793184474

512577206181190933062

554913370184289495780

598383049497841208340

642693417769786746864

239923922230666898717143

10787660036599729160073

11685351024627411070118

12612648556263898345758

13564486434215852731596

14535097378893765189240

24237760636776394448431551

257590656485400508526570

278171270561272398036690

299411750583810718488216

321206759087756505407112

343437047642562028552080

255934505493938805432851513

6409633590481106885238443

6902101621895493710920746

7409924986737790240296258

7930808120217133293871320?

190856850583975937020030228 203827200974194835222910072?

26

154068892631103602583645049

165928838963556686281573922

178206624272932144933612846

27

4154153845757163802996059099

4462073606461933066205164757

4780478044628193147299363958 5108283222440036893650974970

?

?

28

116167945043852116348068366947

124470791290376112779747519538

133047169003039779980813861410

?

?

?

29

3364864615063302680426807870189

3597058248632667485834774744787

3836660497727132031475893228338

?

?

?

30

100833776298063636990123342509997

107559658152025736992729145688602 114493586561621867215142856973830

?

?

?

31

3122594362778744887436077703535391

3324154021716716493547315823808809

?

?

?

?

32

99825438535083000620222109084897031

106067493846954075776733869818571690

?

?

?

?

33

3291214458368797111357625899526302113

3490771207487802026912252686947947027

?

?

?

?

34

111804491159292960694648762175084674721

118383998479651470880820236769742970626

?

?

?

?

35 3909962776542130968292859568637246910243 4133478159186775319059453592629838113797

?

?

?

?

645

646

647

Rook + semi-Leaper [d1,d1] + semi-Leaper [d2,d2]nRook + semi-Leaper [1,1] + semi-Leaper [2,2] Rook + semi-Leaper [1,1] + semi-Leaper [3,3](rook+semifers+semialfil)

1

1

1

2

1

1

3

3

3

4

8

10

5

30

44

6

157

243

7

1048

1522

8

7929

11143

9

68251

92786

10

6602328727071170694079126803

1282948157

105014815

131058074881

1317128636

1414574813942

17878539860

15215575225911

261049562469

163407132220806

4079081043391

17

?

b

1/e

q

1

2

?

1/e

2

1

n Rook + semi-Leaper [1,1] + semi-Leaper [2,2] Rook + semi-Leaper [1,1] + semi-Leaper [3,3]Pokud složíme dva semi-leapery, limity se násobí (situace je stejná jako u jednoho leapera, v obou případech máme shodný počet polí)

648

649

12.2) n pieces queen+leaper[r,s] on an n x n chessboard - n kamenů dáma+skokan[r,s] na šachovnici n x nConjecture (V. Kotěšovec, February 2011): Constant q is identical for all sequences in this group.
Hypotéza: konstanta q je pro všechny tyto posloupnosti stejná a rovna konstantě q pro dámu, všechny posloupnosti
v této skupině mají asymptotický průběh

Example: queen + zebra (r=2, s=3)
Mám hypotézu, že i konstanty b (jinak specifické pro každý kámen) konvergují v této skupině posloupností k jedné společné konstantě. Vzhledem k tomu, žekonstanta b je v tomto případě při výpočtech zatížena značnou chybou (viz grafy na str. 654), nelze její hodnotu spolehlivě určit. Constant b has in this case big
statistical error, computed values are not reliable. Zatím nejpřesněji byla vypočtena pro Amazonky (queen + knight) viz str. 349.
Conjecture (exists one constant b for all sequences in this group):

Zajímavou kuriozitou je to, že na šachovnici 8x8 neexistuje rozestavení 8 kamenů s kombinovanou pohyblivostí dáma + antilopa, tj. v každém z 92 možných
rozestavení neohrožujících se dam na šachovnici 8x8 existuje aspoň jedna dvojice dam vzdálených o souřadnice [3,4] nebo [4,3]. Totéž platí pro velblouda i zebru, tj.
na šachovnici 8x8 je vždy aspoň jedna dvojice dam s rozdílem souřadnic [1,3] (resp. [3,1]) nebo [2,3] (resp. [3,2]).

650

Queen + Leaper [r,s] (0 < r < s)nQueen + Leaper [1,2] Queen + Leaper [1,3] Queen + Leaper [1,4] Queen + Leaper [1,5] Queen + Leaper [2,3] Queen + Leaper [2,4] Queen + Leaper [2,5] Queen + Leaper [3,4] Queen + Leaper [3,5] Queen + Leaper [4,5]A051223
A189864
A189865
A189866
A189867
A189868
A189869
A189870
A189871
A189872(Amazon)(Queen + Camel)(Queen + Giraffe)(Queen + Zebra)(Queen + Antilope)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

5

0

0

10

10

10

0

10

2

10

10

6

0

0

0

0

0

0

4

4

0

4

7

0

0

0

0

0

0

28

28

8

12

8

0

0

4

0

0

0

20

0

24

32

9

0

0

32

40

0

0

56

20

72

96

10

4

4

76

52

48

4

72

52

116

144

11

44

56

196

160

152

64

288

280

384

576

12

156

176

632

500

472

384

1304

1192

1660

2280

13

1876

1932

3368

2656

2696

2936

6368

5520

7344

11988

14

5180

4188

12532

11540

12320

10720

22884

20196

24364

47128

15

32516

26960

79788

67776

74436

62664

1258641159361304082327561620290018245646828641571642962042027275541270183674336012907721713306221132064281508826105202515116254058445655724174032

4242704

73835881889249767645784

18287968

17450592

16122496

16373760

2986225627261284

27018788

46039788

1964492432

58695136

126620984

124903880

113016608

115200080

207238124

193428616

190618152

311958088

20495864256

470822912

938037664

944965832

843492920

868564232

1540506028

1445733328

1431986780

2263575696

21

3977841852

3792417988

7232141830

7292031780

6575649316

6708291360

11774180220

11133210948

11053915716

16975534432

2234092182276

32440237692

59774887344?

54694203188

?

?

?

?

?

23

306819842212

?

?

?

?

?

?

?

?

?

24

2883202816808

?

?

?

?

?

?

?

?

?

25

28144109776812

?

?

?

?

?

?

?

?

?

26

286022102245804

?

?

?

?

?

?

?

?

?

27

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

b

0.0284095

0.0233651

0.173967

0.1322520.129941

0.159152

0.328469

0.254702

0.277452

0.842935q0.391033^n0.393871^n0.369264^n

0.374241^n0.37271^n0.36929^n0.366528^n0.370027^n0.368272^n0.356487^nn Queen + Leaper [1,2] Queen + Leaper [1,3] Queen + Leaper [1,4] Queen + Leaper [1,5] Queen + Leaper [2,3] Queen + Leaper [2,4] Queen + Leaper [2,5] Queen + Leaper [3,4] Queen + Leaper [3,5] Queen + Leaper [4,5]Je třeba zdůraznit, že konstanty b a q jsou vypočteny metodou nejmenších čtverců a jde tedy jen o odhady (b and q were computed with least squares method only - constant q is probably identicalfor all columns). Numerické výpočty jsou velmi blízko hypotéze, že by zde měly být všechny konstanty q shodné. Samozřejmě pro přesnější výsledky bychom potřebovali znát mnohem více hodnot.

651

652

V následujícím grafu jsou zobrazeny společně všechny grafy z předchozí strany, v grafu vpravo potom jen regresní přímky. Vidíme, že tytopřímky jsou (při respektování statistické chyby) všechny rovnoběžné, jen vzájemně posunuté. Z rovnoběžnosti lze usuzovat, že konstanta q
je pro všechny tyto posloupnosti stejná (rovna konstantě q pro dámu!) a posun souvisí pouze s konstantou b (v grafu je úměrný jejímu
logaritmu).
Tyto skutečnosti (i podobné chování kombinovaných kamenů věž + skokan) mě vedly k hypotéze, matematicky zapsané na další straně.
Rozptyl (společné) konstanty q je poměrně malý. Konstanty b mohou být specifické pro každou posloupnost, ale spíše bych se přikláněl ke
konvergenci k jedné společné konstantě, tak jak tomu bylo v případě věží. V tom případě by se pro velká n svazek přímek sbíhal do jednoho
bodu (náznak toho je vidět v grafech). Pro přesnější určení bychom potřebovali aspoň 50 hodnot. Grafy na str. 654 proto ukazují věrohodnější
odhad konstant b jen v případě skokanů [1,2] a [1,3], předpokládám však, že od určitého n dojde k ustálení i ostatních grafů pro větší r a s.
Queen + Leaper [r,s] (0 < r < s <= 5)

653

654

Pro přesnější určení hodnoty tohoto podílu není dostatek hodnot. Je třeba si ještě uvědomit, že první (stabilnější) graf pro amazonky má více hodnot.

65512.3) n pieces rook+rider[r,s] on an n x n chessboard - n kamenů věž+liniový kámen[r,s] na šachovnici n x nPřesné asymptotické výsledky z kapitoly 12.1 pro skokany bohužel nejdou přímo rozšířit pro liniové kameny, protože zde již nejde vzájemnou interferenci linií úplně
zanedbat (there is not limited interference between properties), můžeme se je ale pokusit použít alespoň pro odhady chování těchto posloupností. Vytvořme sitabulku počtu polí, které pro každý typ kamene přichází v úvahu pro interferenci s ostatními liniemi.

typ kamene (kombinovaného s věží) počet polí interferujících s jinými permutacemi násobící pravděpodobnostní faktor
semi-Leaper [d,d]21/eLeaper [d,d]

4

1/e2

Leaper [r,s] (0 < r < s)

8

1/e4

Pokud tyto výsledky zobecníme, zjistíme, že (asymptoticky) je vliv jednoho přidaného pole zhruba (average factor for one square)

Pro m polí potom (factor for m squares)

Nyní můžeme pro účel odhadu provést tutéž úvahu pro liniové kameny. Stačí spočítat přibližný počet polí, která jsou příslušnému liniovému kamenu dostupná
v oblasti n x n.

656
Určíme maximální a průměrné počty dostupných polí.
Schéma znázorňuje počet polí dostupných
semi-střelci (semi-rider [1,1]) z každého polešachovnice 8x8 (d=1). Při zobecnění našachovnici n x n dostáváme maximální počet
dostupných polí n-1 (asymptoticky můžeme
uvažovat rovno n). Průměrný počet je (average
number of possible moves from each square):Obecně pro jednu linii semi-ridera [r,s]rozdělme šachovnici n x n na 3 části.
Části A a C jsou shodné. V oblasti B jeprůměrná dostupnost
polí, v částech
A a C je pak tento počet políasymptoticky

Pro průměrný počet dostupných polí proto dostáváme přibližně

Schéma ukazuje počet polí dostupných semitátoši po jediné linii (semi-rider [1,2], r=1, s=2)z každého pole šachovnice 8x8. Vidíme, že vestředním pásu jsou tyto počty stejné a závislé
pouze na s (větší ze souřadnic), kdežto v obou
okrajových oblastech jsou hodnoty menší.
Závislost na r je dána úhlem, který svírají
hranice těchto oblastí. Speciálně při r=s je
prostřední oblast prázdná.
Maximální počet dostupných polí je přibližně
n/s.

Tento asymptotický vzorec platí i pro případ r = s = d, kdy pro jednu semi-linii
dostáváme průměrnou hodnotu počtu dostupných polí

Schéma ukazuje počet polí dostupných střelci
(rider [1,1] = bishop) z každého pole šachovnice
8x8. I zde můžeme snadno odvodit vzorec proprůměrný počet dostupných polí na šachovnici
n x n. Pro n sudé (for even n) dostaneme
metodou soustředných čtverců:Vidíme, že jde o dvojnásobek počtu pro semi-střelce a že je v souladu sevzorcem pro d=1.

657

typ kamene(kombinovaného s věží)počet linií

piece(composite with rook)

number of linesof riderspočet polí interferujících
s jinými permutacemi násobící pravděpodobnostní faktor(na všech liniích)number of squareson all lines of riders

probability factor(for n going to infinity)příklady
examplesmaximal:semi-Rider [d,d]1average:rook+semi-bishop(=semiqueen)
d=1

maximal:Rider [d,d]2average:rook+alfilrider
d=2

maximal:Rider [r,s](0 < r < s)4
average:rook+nightrider
r=1, s=2

Pole na liniích věžové složky jsou označeny černými kroužky (tyto linie jsou už zabudovány v permutacích). Sčítají se jen pole na liniích riderů (označené bílými
kroužky). Odvozené násobící faktory jsou současně i dolními omezeními pro konstanty q v asymptotickém odhadu

658
Pro skupiny probírané na dalších stranách dostáváme tak tyto asymptotické odhady pro konstanty q.

kombinované kameny
composite pieces

Rook + semi-Rider [d,d]odhadestimatenumerický výpočet
numerical results

nelineární regrese
non-linear regression

poznámkycomments

V grafech jsou vypočtené hodnoty q
odpovídající
vzorci(body)
Points are computed values from firstvalues of sequences.
Na ose x jsou hodnoty d, resp. s, na ose yjsou hodnoty q.
Regresní křivka proložená těmito body
metodou nejmenších čtverců je zelená(odpovídá sloupci numerical results)

Rook + Rider [d,d]Červená křivka odpovídá odhadům přivolbě maximálního počtu dostupných polí(for maximal number of squares).

Rook + Rider [r,s](0 < r < s)Modrá křivka odpovídá odhadům při volbě
průměrného počtu dostupných polí (foraverage number of squares). V posledním
grafu pro [r,s] je zobrazeno současně
6 grafů pro r=1 až r=6.
3D graph for [r,s] see next page.
Queen + Rider [r,s] see page 676.

659Předchozí odhady vyhovují i zřejmému

Konstanty b jsou při numerickém výpočtu zatíženy obrovskou chybou, takže jsem se ani nesnažil o jejich odhad. Můžeme předpokládat, že každá z těchto konstant je
specifická pro daný materiál. Z hlediska asymptotického chování těchto funkcí je konstanta b méně zajímavá, o rychlosti růstu rozhoduje zejména konstanta q.
Otevřenou otázkou zůstává v případě liniových kamenů [r,s], zda je konstanta q závislá pouze na hodnotě s (tak jako tomu bylo např. v případě dvou riderů v kapitole
11.1) nebo existuje i nějaká závislost na hodnotě r ? Numerické výpočty sice určitou závislost ukazují, ale je možné, že se zvyšujícím se n se bude tato závislost na rzmenšovat až se pro n blížící se nekonečnu stane zanedbatelnou. Z dosud vypočtených hodnot toto nelze rozhodnout, ale předchozí teoretické úvahy o průměrném
počtu dostupných polích, který je na r závislý, mírné závislosti na r nasvědčují, i když dominantním parametrem je hodnota s.
Open problem for Rook+Riders [r,s] is dependence (or independence) on value of r. For small values of n is q dependent also on r, but for n going to infinity can be
this dependence low.

Dvojrozměrná regrese pro proměnné r a s dává výsledekVýsledek (proložení plochy metodou nejmenších čtverců) zobrazuje graf. Vidíme, žezávislost na s je zřejmá, ale závislost na r je jen mírná (na hranici statistické chyby).
(least squares method used for this graph)660Ještě jiný typ odhadu konstant q, založený na teorii pravděpodobnosti. Pro velká n je
pravděpodobnost, že se v náhodně zvolené pozici n kamenů věž + skokan [d,d] (rook+ leaper [d,d]) nebudou žádné dva napadat, dána výrazem (viz str. 630)

Analogicky je pro velká n pravděpodobnost, že se v náhodně zvolené pozici
n kamenů věž + semi-skokan [d,d] (rook + semi-leaper [d,d]) nebudou žádné dva
napadat, dána výrazem (viz str. 643)

Liniový kámen [d,d] můžeme složit jako kombinaci skokanů [d,d] + [2d,2d] + [3d,3d]+ ... . Pokud postavíme kámen doprostřed šachovnice, stačí k pokrytí všech liniísložení přibližně n/(2d) skokanů. Nutnou podmínkou k tomu, aby se žádné dva
kameny nenapadaly je, aby se ani žádná dvojice těchto kamenů nenapadala. Pokud by
byly tyto jevy nezávislé, šlo by určit výslednou pravděpodobnost jako součin všech
dílčích pravděpodobností. Jelikož tyto jevy zcela nezávislé nejsou, půjde pouzeo odhad. Samotný součin pravděpodobností sice konverguje k 0, ale vhodným
umocněním z něj přeci jen něco dostaneme. Events are not absolutely independent,
therefore is following equation only estimate

Odtud dostáváme pro rook + semi-rider pro součin pravděpodobností výraz (odhad
konstanty q)Výsledek opět můžeme zanést do grafu ze strany 658.

Black graph is product of probabilities, if rook +semi-rider is composed from semileapers. For description of other graphs see page 658.

Graf součinu pravděpodobností (složení ridera ze série skokanů) můžeme zanést dopředchozího grafu. Dostáváme jiný typ odhadu, viz černý graf.
Black graph is product of probabilities, if rook + rider is composed from leapers.

Poznámka: Jelikož se ukázalo, že další člen u 1/n2 je kvadratický v d, nelze použít metodu
uvedenou ve 3.vydání této knihy na str.33 k důkazu tam uvedené hypotézy (i když tato hypotéza
je pravděpodobně správná).

661

Rook + Rider [d,d]nRook + Rider [1,1] Rook + Rider [2,2] Rook + Rider [3,3] Rook + Rider [4,4] Rook + Rider [5,5] Rook + Rider [6,6]A000170
A189838
A189839
A189840
A189841
A189842(Queen)(Rook + Alfilrider)

1

1

1

1

1

1

1

2

0

2

2

2

2

2

3

0

4

6

6

6

6

4

2

16

20

24

24

24

5

10

36

80

108

120

120

6

4

128

384

544

672

720

7

40

672

2112

3264

4128

4800

8

92

4264

12992

23040

28992

34752

9

352

25044

94272

1710722319362805121072417371271680014096642088960252825611

2680

1318904

614144012916224

20017152

25282560

12

14200

11069056

58451568

131217408

207208704

278323200

13

73712

96808692

596647568

1428028032

2326900992

3242649600

14365596927478976

6555879072

16709309440

28338241536

40330371072

152279184

9435033872

77766001056

210367491840

373152276480

536528954880

1614772512

103783608480

981202169600

2847184825728

5206300028928

7633092132864

1795815104

1195155968388

?

?

?

?

18

666090624

?

?

?

?

?

19

4968057848

?

?

?

?

?

20

39029188884

?

?

?

?

?

21

314666222712

?

?

?

?

?

22

2691008701644

?

?

?

?

?

23

24233937684440

?

?

?

?

?

24

227514171973736

?

?

?

?

?

25

2207893435808352

?

?

?

?

?

26 22317699616364044

?

?

?

?

?

27

?

?

?

?

b
q
n

?

?

2.40076

2.25238

2.141972.241612.24271

2.37220.389867^n0.682034^n0.787447^n0.839133^n0.871478^n0.889654^n

Rook + Rider [1,1] Rook + Rider [2,2] Rook + Rider [3,3] Rook + Rider [4,4] Rook + Rider [5,5] Rook + Rider [6,6]

662

663
Všechny předchozí grafy pro kombinovaný kámen s pohyblivostí věže a liniového kamene s jednotkovým krokem [d,d] můžeme zobrazit i v jednom grafu.
Vidíme, že úhel, který svírají jednotlivé přímky s osou x je nepřímo úměrný hodnotám konstant q.
Rook + Rider [d,d] (0 < d <= 6)

[1,1]

[2,2]

664

665

Rook + Rider [r,s] (0 < r < s) Part 1nRook + Rider [1,2] Rook + Rider [1,3] Rook + Rider [1,4] Rook + Rider [1,5] Rook + Rider [1,6] Rook + Rider [2,3] Rook + Rider [2,4] Rook + Rider [2,5] Rook + Rider [2,6]A189837
A189850
A189851
A189852
A189853
A189854
A189855
A189856
A189857(Waran)(Rook + Camelrider) (Rook + Girafferider)(Rook+Flamingorider) (Rook + Zebrarider)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

6

6

6

6

6

6

6

6

4

8

8

24

24

24

12

24

24

24

5

12

24

48

120

120

36

60

120

120

6

22

126

182

336

720

174

208

392

720

7

58

316

868

1474

2640

500

1184

1810

2952

8

276

1344

5752

8340

13596

2052

7840

10400

16064

9

648

7782

22952

57756

87768

12112

36036

72228

104800

10

2304

33930

131766475658680274

65092

209664589674816160116508

1724309129642812910609075640788213954803823906

73277281224528

1106754755697820852460

61678252

2954798

10996728

29420944

74031176

13

96402

643223652602390

181255892

482005340

20568796

83573220266232984

621684168

1446692245188572

432795244

1817101242

4454053680

157579774

723835856

2711139976

5950876288

152271738372437930

4121203656

20435345782

46705656280

1346294112

7132494776

30669073348

64694543120

1613723826

2728674526

44335718598

197871434994

549750105234

11580692142

77976981216

316482938974

777746708096

1776579326

23648822368

416447624724?

?

110130002110

790552134804

?

?

18

512425626

233010291526

?

?

?

1145065547108

?

?

?

19

3281233020

2083328647344

?

?

?

?

?

?

?

20

24654941268

?

?

?

?

?

?

?

?

21

175398054696

?

?

?

?

?

?

?

?

22

?

?

?

?

?

?

?

?

?

b

9.48404

8.52714.29002

3.57298

13.7666

6.32192

4.027133.64365

10.4021q0.355448^n0.50164^n0.618556^n0.69243^n0.673535^n0.55834^n0.644209^n

0.711548^n0.701029^nn Rook + Rider [1,2] Rook + Rider [1,3]

Rook + Rider [1,4] Rook + Rider [1,5]Rook + Rider [1,6]

Rook + Rider [2,3] Rook + Rider [2,4] Rook + Rider [2,5] Rook + Rider [2,6]Kamenem s kombinovanou pohyblivostí věž + tátoš se zabýval už T. R. Dawson v roce 1937 a zjistil, že maximální počet neohrožujících se těchto kamenů na šachovnici n x n je n. Jak píše na svéinternetové stránce George Jelliss: "Rook + Nightrider: This problem was analysed by T. R. Dawson in Comptes rendus de la Congres International de Recreations Mathematiques 1937 (edited by
M. Kraitchik), p.49, where it was presented as a problem of arranging Rooks with no two in a line of knight moves. As with Rooks the maximum is n."

666

667

V grafech jsou zajímavé periody způsobené vztahem mezi rozměrem šachovnice a hodnotou souřadnice s.

668

Rook + Rider [r,s] (0 < r < s) Part 2nRook + Rider [3,4] Rook + Rider [3,5] Rook + Rider [3,6] Rook + Rider [4,5] Rook + Rider [4,6] Rook + Rider [5,6]A189858
A189859
A189860
A189861
A189862
A189863(Rook + Antiloperider)

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

3

6

6

6

6

6

6

4

24

24

24

24

24

24

5

80

120

120

120

120

120

6

326

464

720

552

720

720

7

1566

2274

3312

2826

3720

4176

8

9544

13236

18688

17080

22336

26140

9

53696

91760

127104117816153796185084103473827405629902089432501213344

1491098112566892

53055488878016736912810849504

13285034

1221907934

43237840

89267712

63533572

108891704

132514356

13

184868860

395858894

789509184

603300392

1023690268

1321161252

141704360992

4087066620

7803741824

6280101222

10593791168

14181339764

1517294597926

46633569480

85447337472

71927971040

119694887008

164574628260

16

192725663600

509698057110

1008717911040

836503868762

1472935989952

2057033314380

17

2139133978996

?

?

?

?

?

18

?

?

?

?

?

?

b

4.96843

4.1491210.2789

4.615647.49489

6.16692q

0.67396^n0.726319^n0.714119^n0.743449^n0.746019^n0.771717^nn

Rook + Rider [3,4]Rook + Rider [3,5] Rook + Rider [3,6] Rook + Rider [4,5] Rook + Rider [4,6] Rook + Rider [5,6]

669

670

671
15 předchozích grafů pro kombinovaný kámen s pohyblivostí věže a liniového kamene s jednotkovým krokem [r,s] (0 < r < s) je zobrazeno v jednom grafu. Stejnou
barvou jsou označeny vždy ty regresní přímky odpovídající stejným hodnotám s. Přímky stejných barev nejsou (pro malá n) zcela rovnoběžné (což je patrné
zejména pro fialové přímky v případě s=3) a hodnoty q budou proto asi závislé (kromě hodnoty s) určitým způsobem i na hodnotě r. Je však také možné, že se tatozávislost bude s narůstajícím n zmenšovat a asymptotická závislost zůstane tak jen na s (na spolehlivé rozluštění této záhady máme ale stále velmi málo hodnot).

Rook + Rider [r,s] (0 < r < s <= 6)

[1,2]

[1,3]
[2,3]
[1,4]

672

Rook + semi-Rider [d,d]nRook + semi-Rider [1,1] Rook + semi-Rider [2,2] Rook + semi-Rider [3,3] Rook + semi-Rider [4,4] Rook + semi-Rider [5,5] Rook + semi-Rider [6,6]A099152
A189843
A189844
A189846
A189847
A189848(semi-queen)(Rook + semi-alfilrider)

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

2

3

3

5

6

6

6

6

4

7

18

22

24

24

24

5

23

71

98

114

120

120

6

83

356

534

628

696

720

7

405

2097

3334

4062

4572

4920

8

2113

14212

23724

30360

34260

37488

9

12657

105821

1918202516582903283196441082297

8875761704532

230864827514803033264115964838093601

16689868

23351268

28426056

31784280124698655

81310936

179288892

259031232

318900264

364902480

1340071743

876456695

2069311996

3091784268

3874868280

4509620040

14367854835

10257217440

25760882744

39697601392

50813711808

59768680032

153622508685

127631146697

345073745880

546982720164

716309557440

847746532152

1638027715185

1705775408656

4900331447624

8064677125440

10721493269568?

17424060091065

?

?

?

?

?

18

5006620130753

?

?

?

?

?

19

62395131973755

?

?

?

?

?

20

818456924866815

?

?

?

?

?

21

11271715349614463

?

?

?

?

?

22

?

?

?

?

?

?

b

1.55013

1.52878

1.51902

1.49596

1.4523

1.41182q0.65588^n0.832528^n0.889743^n0.918639^n0.936971^n0.949652^nn Rook + semi-Rider [1,1] Rook + semi-Rider [2,2] Rook + semi-Rider [3,3] Rook + semi-Rider [4,4] Rook + semi-Rider [5,5] Rook + semi-Rider [6,6]Nové hodnoty pro semi-queen, n=19-21 vypočetl Wolfram Schubert, 27.5.2011 a 26.2.2012

673

674
Předchozích 6 grafů pro kombinovaný kámen s pohyblivostí věže a liniového kamene s jednotkovým krokem [d,d] (který se může pohybovat v obou směrech jen
po diagonálách, které vedou z levého dolního rohu do pravého horního rohu) můžeme zobrazit i v jednom grafu. Vidíme, že úhel, který svírají jednotlivé přímky
s osou x je nepřímo úměrný hodnotám konstant q.
Rook + semi-Rider [d,d] (0 < d <= 6)

[1,1]

[2,2]

675

676

12.4) n pieces queen+rider[r,s] on an n x n chessboard - n kamenů dáma+liniový kámen[r,s] na šachovnici n x n

V souladu s výsledky pro kombinované kameny věž + liniový kámen [r,s] (viz kap. 12.2) dostáváme pro dámu
typ kamene(kombinovaného s věží)počet linií

piece(composite with rook)

number of linesof riders

Bishop + Rider [r,s](0 < r < s)2+4počet polí interferujících
s jinými permutacemi násobící pravděpodobnostní faktor(na všech liniích)number of squareson all lines of riders

probability factor(for n going to infinity)přikladexamplequeen+nightrider
r=1, s=2

Kombinovaný kámen s pohyblivostí věže, střelce a liniového kamene s jednotkovým tahem [r,s] (0 < r < s) se může pohybovat celkem na 8 různých liniích. Z toho
2 věžové linie jsou zahrnuty v permutacích, na každé střelcové linii je mu dostupných přibližně n polí a na každé linii ridera přibližně n/s polí. Přesnější odhad
závislosti také na hodnotě r (tak jako v kapitole 12.3), je už vzhledem k velkému počtu vzájemně se křížících linií příliš komplikovaný (viz též 3D graf na další
straně).
Asymptotický průběh

Hypotéza: Konstanta q je násobkem konstanty pro dámu a konstanty q pro kombinovaný kámen věž+liniový kámen [r,s].
Conjecture:queen

rook+rider [r,s]677
Tento vztah vyhovuje i zřejmému

Asymptotické odhady pro konstanty q
kombinované kameny
composite pieces

odhad
estimatenumerický výpočet
numerical results

Regression

Queen + Rider [r,s](0 < r < s)Dvojrozměrná regrese pro proměnné r a s dává výsledekVýsledek (proložení plochy metodou nejmenších čtverců) zobrazuje graf. Vidíme závislost na s,
ale závislost na r je na hranici statistické chyby a nelze ji věrohodně určit.
(least squares method used for this graph)678

Queen + Rider [r,s] (0 < r < s)Queen + Rider [1,2] Queen + Rider [1,3] Queen + Rider [1,4] Queen + Rider [1,5] Queen + Rider [2,3] Queen + Rider [2,4] Queen + Rider [2,5] Queen + Rider [3,4] Queen + Rider [3,5] Queen + Rider [4,5]A102388
A189873
A189874
A189875
A189876
A189877
A189878
A189879
A189880
A189881(Elefant)(Queen + Camelrider) (Queen + Girafferider)(Queen + Zebrarider)(Queen + Antiloperider)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
5
0
0
10
10
10
0
10
2
10
10
6
0
0
0
0
0
0
4
4
0
4
7
0
0
0
0
0
0
28
28
8
12
8
0
0
4
0
0
0
20
0
24
32
9
0
0
8
40
0
0
56
20
72
96
10
4
4
28
52
16
4
72
20
116
144
11
44
56
100
152
60
56
200
180
336
528
12
6
18
186
260
40
172
644
520
1124
1712
13
78
116
624
1192
304
680
2940
1888
4056
7472
14
8
112
1720
4144
620
1348
9152
6016
12628
24500
15
16
408
7288
18408
2512
6576
39200
22480
58984
103536
16
18
916
30666
71552
8734
34568
16610010523626306648602017
234
2400
10022031293628410
1076247399244335001124116
221880818124
7228
360208149815694312
4137603586840
1933604
5388972
11113020
19
468
27368
1517804
78546723458241697288
18640500
968726829219680
59242576
20
516111478730233644923706
13910728035558107580592
50998366
173696136
342584556
21882
44564429429672
213840604
575956637441416
547737844
269523272
967249940
1981826412
22
2092
1674860
139854636
1156549592
25227796
192483420
3080550788
1507984008
?
?
23
7068
7624368753288744?
121663032
1115143224
?
?
?
?
24
22794
38737270?
?
635977968
?
?
?
?
?
25
85456
178933064
?
?
?
?
?
?
?
?
26
275732
?
?
?
?
?
?
?
?
?
27
974048
?
?
?
?
?
?
?
?
?
28
3698242
?
?
?
?
?
?
?
?
?
29
14120996
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30
59531852
?
?
?
?
?
?
?
?
?
31
252272512
?
?
?
?
?
?
?
?
?
32
1163430462
?
?
?
?
?
?
?
?
?
33
5229335374
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10.15177.9191254.2874
10.4664
30.7572
13.1742
14.514211.96147.39265
14.0784b0.13955^n0.19342^n0.216484^n0.256926^n0.205477^n0.234158^n0.264475^n0.258009^n0.280763^n0.281611^nqn Queen + Rider [1,2] Queen + Rider [1,3] Queen + Rider [1,4] Queen + Rider [1,5] Queen + Rider [2,3] Queen + Rider [2,4] Queen + Rider [2,5] Queen + Rider [3,4] Queen + Rider [3,5] Queen + Rider [4,5]nHodnoty pro kámen Elephant, n=29 až n=33 vypočetl Wolfram Schubert, 24.7.2011 a 27.5.2012 (n=33)

679

680
10 předchozích grafů pro kombinovaný kámen s pohyblivostí dámy a liniového kamene s jednotkovým krokem [r,s] (0 < r < s) můžeme zobrazit v jednom grafu.
V grafech jsou stejnou barvou označeny vždy ty regresní přímky odpovídající stejným hodnotám s.
Queen + Rider [r,s] (0 < r < s <= 5)

[1,2]

[1,3]
[2,3]

681

682

13) Comparison of general formulas - Porovnání obecných vzorců
Queens - board n x n

n2k/k! - 5/3*n2k-1/(k-2)! +1/36*n2k-2 *(25k+4)*(2k-3) /(k-2)! - ...

Queens - toroidal board n x n

n2k/k! - 2*n2k-1/(k-2)! + (24k2-32k-11+3*(-1)n)*n2k-2/ 12/(k-2)! - ...

Kings - board n x n

n2k/k! - 9n2k-2/2/(k-2)! + 6n2k-3/(k-2)! +(243k2-439k-142)*n2k-4/24/(k-2)!- ...

Kings - cylindrical board n x n

n2k/k! - 9/2*n2k-2/(k-2)! + 3n2k-3/(k-2)! +(243k+47)*n2k-4/24/(k-3)!+...

Kings - toroidal board n x n
Rooks - board n x n

n2k/k! -9/2*n2k-2/(k-2)!+(243k+47)*n2k-4/24/(k-3)!(243k2+141k+80)*n2k-6/16/(k-4)!+(98415k3+114210k2+140645k+101762)*n2k-8/5760/(k-5)!-...
n2k/k! + n2k-1 *(-1)1 /k!/1! *k(k-1) +n2k-2 *(-1)2 /k!/2! *k(k-1)(3k2-5k+1)/3 +n2k-3 *(-1)3 /k!/3! *k2(k-1)3(k-2) +...

Bishops - board n x n

n2k/k! - 2n2k-1/3/(k-2)! + (8k2-13k+12)*n2k-2/36/(k-2)! - ...

Bishops - toroidal board n x n

n2k/k! - n2k-1/ (k-2)! + (6k2-10k+5+3*(-1)n)*n2k-2/ 12/(k-2)! - ...

Knights - board n x n

n2k/k! - 9n2k-2/2/(k-2)! + 12n2k-3/(k-2)! +(243k2-343k-478)*n2k-4/24/(k-2)! -...

Knights - cylindrical board n x n
Knights - toroidal board n x nNightriders - board n x nNightriders - toroidal board n x n
Amazons - board n x n
Amazons - toroidal board n x n
Zebras - board n x n
Zebras - toroidal board n x nWazirs - board n x nWazirs - toroidal board n x nFerses - board n x nFerses - toroidal board n x nGrasshoppers - board n x n

n2k/k! - 9n2k-2/2/(k-2)! + 6n2k-3/(k-2)! + ...

Grasshoppers - toroidal board n x n

n2k/k! - n2k-2/2/(k-2)! - 4n2k-3/(k-3)! + (51k+143)*n2k-4/24/(k-3)! -...

all combinations =n2k/k! - n2k-2/k!*COMB(k,2) +n2k-4/k!*COMB(k,3)*(3k-1)/4 n2k-6/k!*COMB(k,4)*k(k-1)/2 + ...

Queens - board k x n

nk - 3k(k-1)/2*nk-1 +(9k4/8-29k3/12-k2/8+23k/12-1/4+(-1)k/4)*nk-2-...

Kings - board k x n(kn)k/k! - 3(k-1)(3k-2)(kn)k-1/2/k! + ...
or (kn)k/k! - COMB(3k-2,2)(kn)k-1/k! + ...

Rooks - board k x n

nk + nk-1 *(-1)1 *COMB(k,2) /21 *2 +nk-2 *(-1)2 *COMB(k,3) /22 *(3k-1) +nk-3 *(-1)3 *COMB(k,4) /23 *4k(k-1) +...

Bishops - board k x n(kn)k/k! - (kn)k-1(2k-1)/2/(k-2)! + ...
or (kn)k/k! - (kn)k-1 *COMB(2k-1,2)/2/(k-1)!+...

Knights - board k x n(kn)k/k! - 3(k-1)(3k-4)(kn)k-1/k!/2 + ...
or (kn)k/k! - COMB(3k-3,2)*(kn)k-1/k! + ...

Nightriders - board k x n(kn)k/k! - ...

Amazons - board k x n

nk - (k+3)(3k-4)nk-1/2 + ...

Zebras - board k x n(kn)k/k! - (k-1)(9k-20)(kn)k-1/2/k! + ...

Wazirs - board k x n(kn)k/k! - (k-1)(5k-2)*(kn)k-1/2/k! + ...

Ferses - board k x n(kn)k/k! - (k-1)(5k-4)*(kn)k-1/2/k! + ...

all combinations =(kn)k/k! - (kn)k-1/k!*COMB(k,2) +(kn)k-2/k!*COMB(k,3)*(3k-1)/4 (kn)k-3/k!*COMB(k,4)*k(k-1)/2 + ...

n2k/k! - 9n2k-2/2/(k-2)! + (243k+143)*n2k-4/24/(k-3)! - ...
n2k/k! - 5/6*n2k-1/(k-2)! +...
n2k/k! - 2*n2k-1/(k-2)! +...
n2k/k! - 5/3*n2k-1/(k-2)! +(50k2-67k-156)/36*n2k-2/(k-2)!- ...
n2k/k! - 2*n2k-1/(k-2)! +(24k2-32k-59+3*(-1)n)*n2k-2/ 12/(k-2)! - ...
n2k/k!-9n2k-2/2/(k-2)!+20n2k-3/(k-2)!+(243k2-343k-862)n2k-4/24/(k-2)!-..
n2k/k! - 9/2*n2k-2/(k-2)! + (243k+143)*n2k-4/24/(k-3)!-...
n2k/k! - 5n2k-2/2/(k-2)!+2n2k-3/(k-2)!+(75k+23)*n2k-4/24/(k-3)!-...
n2k/k! - 5n2k-2/2/(k-2)! + (75k+23)*n2k-4/24/(k-3)! +...
n2k/k! -5n2k-2/2/(k-2)!+4n2k-3/(k-2)!+(75k2-127k-94)*n2k-4/24/(k-2)!-..
n2k/k! - 5n2k-2/2/(k-2)! + (75k+23)*n2k-4/24/(k-3)! +...
n2k/k! - n2k-2/2/(k-2)! - 10n2k-3/3/(k-3)! +(39k+275)*n2k-4/24/(k-3)!-...

683
chessboard n x n

n2k / k!

+ n2k-1 k(k-1) / k!

QueensQueens (toroidal)
Kings
Kings (toroidal)
Rooks

1
1
1
1
1

- 5/3
-2
0
0
-1

(25k+4)(2k-3)/18(24k2-32k-11+3(-1)n)/6-9-92(3k -5k+1)/30
60- k(k-1)2(k-2)/6

Bishops1- 2/3(8k2-13k+12)/18- (40k4-155k3+329k2-220k-6)/810

Bishops (toroidal)

1-1(6k2-10k+5+3(-1)n)/6

Knights
Knights (cylindrical)
Knights (toroidal)
Nightriders
Nightriders (toroidal)
Amazons
Amazons (toroidal)
ZebrasZebras (toroidal)
WazirsWazirs (toroidal)
FersesFerses (toroidal)
Grasshoppers
Grasshoppers (toroidal)

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

0
0
0
- 5/6
-2
- 5/3
-2
0
0
0
0
0
0
0
0

all combinations

10+ n2k-2/ k!

+ n2k-3 k(k-1) / k!

+ n2k-4/ 4 / k!

(243k2-439k-142)/(k-2)
243k+475
4(15k -75k +125k3-81k2+7k+3)/15(320k5-1520k4+4663k3-3076k2+4941k15840)/1620(30k5-150k4+340k3-222k2-151k-669)/30+ (6k3-4k2-11k-45)*(-1)n/2

-9
-9
-9

- (k-2)(2k3-4k2+5k+3)/12- (k+1)(k-2)*(-1)n/4
12
6
0(50k2-67k-156)/18(24k2-32k-59+3(-1)n)/6
-9
-9
-5
-5
-5
-5
-1
-1

20
0
2
0
4
0
- 10(k-2)/3- 4(k-2)(243k2-343k-862)/(k-2)
243k+143
75k+2375k+232(75k -127k-94)/(k-2)
75k+23
39k+275
51k+143

-1

0

3k-1

(243k2-343k-478)/(k-2)
243k+143

For k non-attacking leapers [r,s] (with access to m squares) on an n x n chessboard is general formula (see chapter 13.1 for more):684

chessboard k x n
Queensnk
1- nk-1 / 2
3k(k-1)Rooks

1

k(k-1)

Amazons1(k+3)(3k-4)

chessboard k x n

nk kk / k!

+ nk-2 / 22
9k4/2 - 29k3/3 - k2/2 + 23k/3 - 1 + (-1)k(3k-1)- nk-1 kk-1

Kings
Bishops
Knights
Nightriders
ZebrasWazirsFerses

1
1
1
1
1
1
1

(9k-6)/k
2k-1(9k-12)/k

all combinations

1

1

/ k!

- nk-3 / 23

+ nk-4 / 24
(15k3-30k2+5k+2) / 3

4k(k-1)+ nk-2 kk-2

/ k!

- nk-3 kk-3

/ k!

+ nk-4 kk-4

/ k!

(9k-20)/k(5k-2)/k(5k-4)/k(3k-1)/4k(k-1)/2(15k3-30k2+5k+2)/48

68513.1) General asymptotic formulas (Leapers) - Obecné asymptotické vzorce (skokani)
Theorem (V. Kotěšovec, 29.11.2011):
Number of ways to place k non-attacking leapers [r,s] on an n x n chessboard,,, is asymptotic ():

where m is number of accessible squares for one leaper
For semi-leapers [r,s],m=2
For leapers [r,s], 0 < r = s, m=4 (for example Wazir, Fers)
For leapers [r,s], 0 < r < s, m=8 (for example Knight, Zebra and also King)Důkaz (proof). Máme-li rozmístit k skokanů na šachovnici n x n, jde první kámen umístit na n2 polí. Napadá-li tento kámen m polí (a sám jedno zabírá), můžeme
druhý kámen umístit minimálně na n2-1-m polí, třetí kámen minimálně na n2-2-2m polí, atd. Při asymptotickém zkoumání můžeme zanedbat možné kolize napadení
jednoho pole dvěma nebo více kameny (toto můžeme udělat jen v případě leapers, nikoliv však v případě riders, kdy tento vliv už není zanedbatelný, viz též str. 624).
Přesněji, pokud je na šachovnici n x n již umístěno j skokanů, kryjí přibližně j*m z n2 polí. Přidáme-li dalšího, je pravděpodobnost dvojnásobného krytí nějakého polepřibližně: Probability that at least one square is under attack by two leapers (such events can be ignored if we are only interested in the asymptotic behavior):

Celkový počet neidentických rozmístění k skokanů je potom asymptotickyÚpravu součinu provedeme jeho zlogaritmováním a využitím Taylorova rozvoje rozvojeUžitím prvního členu dostáváme exponent odpovídající dokazované větěv nuleminimal free squares for1. leaper
2. leaper
3. leaper
4. leaper686Předchozí vzorec platí nejen pro konstantní k, ale až do k <= O(n). Nejzajímavější je případ k = n.
Členy v předchozím asymptotickém rozvoji mají tvar

, pro k = n tedy, což jde pro d > 1 k nule a dostaneme tak důležitou větuNumber of ways to place n non-attacking leapers [r,s] on an n x n chessboard,, is asymptotic:(V. Kotěšovec, 29.11.2011)

where m is number of accessible squares for one leaper (m=4 for Wazir and Fers, m=8 for Knight and Zebra). It’s also possible use this theorem for composite
pieces (but only for leapers, not for riders, m must be constant, not dependent on n). For example King=Wazir + Fers, m=8. Gnu=Knight + Camel, m=16.
Asymptotic result is in case of the leapers independent on values r and s, important is only number of accessible squares.
Tento výsledek je též v souladu s úvahami o faktoru vlivu jednoho dostupného pole v kapitole 12.3.

leaper

r

s m

wazir
fers
knightzebra
semi-wazir
semi-fers

0
1
1
2
0
1
0
1

1
1
2
3
1
1
1
1

king

Jelikož výraz

probability =

4
4
8
8
2
2

- 5/2
- 5/2
- 9/2
- 9/2
- 3/2
- 3/2

8

- 9/2

určuje počet všech možných rozmístění n kamenů na šachovnici n x n (bez ohledu na to, zda se ohrožují či nikoliv), je pravděpodobnost, žev náhodném rozestavení n skokanů na šachovnici n x n se nebudou žádné kameny ohrožovat asymptoticky rovna, kde m je počet polí dostupných jednomu
skokanovi. Vzorec jde použít i pro kombinace dvou čí více skokanů (např. král = vezír + fers), ale m musí být konstantní, nezávislé na n.

Probability, that in the random arrangements of n leapers on an n x n chessboard no pieces attacking other is asymptotic
the number of accessible squares for one leaper.

, where m is68713.2) Composite pieces Leaper + Leaper - Kombinované kameny skokan + skokan
V předchozích kapitolách jsme se setkali se skokany, kteří měli dostupných 4 nebo 8 polí. V této kapitole probírám ukázky kombinovaných skokanů, kteří mohou
skočit celkem na 12 nebo 16 polí. I v tomto případě platí asymptotické vzorce z kapitoly 13.1. V případě jednoduchých skokanů (jimž je dostupných m polí) majívzorce pro počty neohrožujících se k stejných kamenů tvar
Při složení více skokanů se sčítají jednotlivé složky

Příklady viz tabulka
composite leaper
Gnu

16

Okapi

16

Bison

16

Zebu

16

Knight + Fers

12

Knight + Wazir

12

Impala16

Squirrel16

Auroch16

Root-25-leaper

12

Root-50-leaper

12

1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
0
1
3
1
0
2
1
1
0
3
5
1

2
3
2
3
3
3
3
4
2
1
2
1
2
4
2
2
2
2
4
5
4
5
7

3
4
3
5
4
5
4
5
3
2
3
1
3
7
3
2
4
3
5
5
7
10
8

8
8
8
8
8
8
8
8
8
4
8
4
8
8
8
4
4
8
8
4
8
4
8

12
16
12
20
16
20
16
20
12
4
12
2
12
28
12
4
8
12
20
10
28
20
32

28
32
36
36
16
14
40
24
32
38
52

Websites with definitions of the fairy chess pieces: in English, in French, in German.

688
Gnu je kombinovaný kámen s pohyblivostí skokanů [1,2] a [1,3]. A gnu moves like a camel ([1,3] leaper) and a knight.
Gnu, board n x nkExplicit formula

Christian Poisson, 1990n >= 3

2
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 6

3
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 94
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

5
Generating functionn >= 12

689

k Gnus board n x n
n 2 gnus

3 gnus4 gnus5 gnus

1
2

6

4

1

3

28

36

18

2

4

84

168

116

16

5

220

868

1684

1780

6

490

3332

12789

29992

7

960

10020

62864

253946

8

1708

25336

2350001453336

9

2824

56468

7279006444750104410 114260

195468523524096

116580 214232

469347873730016

12

9460 377720 10303324

204625064

13 13188 633136 21021646

514501780

14 17914 1017348 40360605 1192348216
15 23800 1577180 73621780 2580711482
16 31020 2371032 128550168 5270722312
17 39760 3470620 216150184 10241052878
18 50218 4962836 351688021 19055495816
19 62604 6951728 555906410 34137207664
20 77140 9560600 856479500 59141483592

690
Okapi je kombinovaný kámen s pohyblivostí skokanů [1,2] a [2,3]. An okapi moves like a zebra ([2,3] leaper) and a knight.
Okapi, board n x nkExplicit formula

2

Christian Poisson, 1990n >= 2

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 6

Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 94
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

5
Generating functionn >= 12

691
k Okapis board n x n
n 2 okapis

3 okapis

4 okapis

5 okapis

1
2

6

4

1

3

28

36

18

2

4

88

208

228

128

5

228

1008

2544

4146

6

502

3672

16461

49964

7

976

10684

73864

350752

8

1728

26484

2621561807076

9

2848

58284

7860647501276104438

116952206688526241396

11

6612

2180324893030

79937758

12

9496

38288410636312

217544260

13

13228

63994421549610

539453146

14

17958 1026104

41163469

1237688444

15

23848 1588212

74801020

2659038172

1631072 2384692 130232220

5400393300

1739816 3487284 218490092 10448068364

1850278 4982904 354873325 19375795132

19

62668 6975624 560161274 34619435882

2077208 9588772 862069080 59850286532

21

94132 12967152 1296972310 100473162502

22 113686 17279384 1911932197 164280312028
23 136128 22720364 2767054240 262297612928

692
Bison je kombinovaný kámen s pohyblivostí skokanů [1,3] a [2,3]. A bison moves like a camel ([1,3] leaper) and a zebra ([2,3] leaper).
Bison, board n x nkExplicit formula2

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 3Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 6

Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 94
Generating function

Explicit formula5

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 12Generating function(2*x^3*(1854*x^19-14574*x^18+49562*x^17-106794*x^16+219430*x^15-518062*x^14+1056150*x^13-1523898*x^12+1520760*x^111160566*x^10+892182*x^9-815996*x^8+673688*x^7-364912*x^6+110293*x^5-27595*x^4-4626*x^3-2268*x^2+315*x-63))/(x-1)^11

693
k Bisons board n x n
n 2 bisons

3 bisons

4 bisons

5 bisons

1
2

6

4

1

3

36

84

126

126

4

100

328

634

756

5

244

1224

3494

5922

6

522

4032

18519

53604

7

1000

11392

82084

402284

8

1756

27700

2844702042180

9

2880

60192

8355128249644104474

119760216340328194620

116652

221972

5066666

84506146

12

9540

38821210929018

227277612

13

13276

64694022017834

558650950

14

18010 1035072

41880987

1273214708

1523904 1599480

75862008

2721390420

16

31132 2398612 131754566

5505057900

1739880 3504232 220618948 10617212256

1850346 5003280 357784899 19640343876

1962740 6999852 564066862 35021591306

2077284 9617300 867219338 60446540620

21

94212 13000452 1303661766 101337867522

22 113770 17317952 1920504003 165509870260
23 136216 22764720 2777905164 264015352712

694
Zebu je kombinovaný kámen s pohyblivostí skokanů [1,3] a [1,4]. A zebu moves like a camel ([1,3] leaper) and a giraffe ([1,4] leaper).
Zebu, board n x nkExplicit formula2

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 4Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 8Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 12

4
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 16

5
Generating function
2*x^3*(202*x^23-1106*x^22+1724*x^21+2132*x^20-18314*x^19+64358*x^18-139762*x^17+135746*x^16+120966*x^15-599972*x^14+1025004*x^131182608*x^12+1006408*x^11-483888*x^10-164842*x^9+495608*x^8-381550*x^7+160036*x^6-44773*x^5+567*x^4-10718*x^3-290*x^2+15*x-63)/(x-1)^11

695

k Zebus board n x n
n 2 zebus

3 zebus

4 zebus

5 zebus

1
2

6

4

1

3

36

84

126

126

4

108

404

926

1356

5

252

1352

4302

8566

6

530

4220

20259

61872

7

1008

11552

82562

390488

8

1764

27904

285002

2006076

9

2888

60500

8387928220284104482

120188217175928237404

11

6660

2225365082538

84700170

129548

38892810955518

227746676

13 13284

64782422059194559629022

14 18018 1036140

41942591

1275096572

15 23912 1600748

75950344

2724770828

16 31140 2400096 131877322

5510797076

17 39888 3505948 220785108 10626512276
18 50354 5005244 358004839 19654839348
19 62748 7002080 564352446 35043453758
20 77292 9619808 867584014 60478597364
21 94220 13003256 1304120662 101383736358
22 113778 17321068 1921074023 165574110980
23 136224 22768164 2778605084 264103636364

696

composite piece Knight + Fers, board n x nkExplicit formula2

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 4Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 6

4
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

5
Generating functionn >= 8

697
k composite pieces Knight+Fers board n x n
n 2 knight+fers 3 knight+fers 4 knight+fers

5 knight+fers

1
2

4

0

0

3

20

10

1

0

4

78

160

179

128

5

220

934

2219

3212

6

500

3604

15260

40632

7

984

10818

73357

327914

8

1750

27248

271743

1852424

9

2888

60370

8317258052678104500

121364220489228763320

11

6700

226134522911588302108129614

39644811350667

240512760

13

13380

66119822928423

594767080

14

18148

105778043637780

1358408056

15

24080

1633594

78993617

2902911690

16

31350

2447664137013295

5863189000

17

40144

3572378229042377 11281971314

18

50660

5095348370767428 20814151896

19

63108

7121390583441935 37009325344

20

77710

9774624895353067 63694603320

21

94700

13200694 1343558675 106484121252

22114324

17569108 1975925612 173446515928

23

13684023075698 2853502133 275967078622

698
composite piece Knight + Wazir, board n x nkExplicit formula2

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 4Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 6

4
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

5
Generating functionn >= 8

699
k composite pieces Knight+Wazir board n x n
n 2 knight+wazir 3 knight+wazir 4 knight+wazir 5 knight+wazir
1
2

2

0

0

3

16

14

6

1

4

72

144

161

116

5

212

862

1998

2999

6

490

3428

14240

38836

7

972

10478

69886

313283

8

1736

26672

2625491782140

9

2872

59474

8111967807853104482

120052216423628071124

11

6680

2242985155400

86613625

12

9592

39396811225741

236822924

13

13356

65794222727714

587361571

14

18122

1053604

43328976

1344520356

15

24052

162834278535226

2878271819

16

31320

2441168

136353085

5821443772

17

40112

3564458

228115696 11213954273

18

50626

5085812369495404 20706979412

19

63072

7110034

581729556 36845293669

20

77672

9761232

893087141 63449859724

21

94660

13185038

1340605670 106127080679

22

11428217550948

1972129376 172935992932

23

13679623054782

2848681494 275250102663

700
Impala je kombinovaný kámen s pohyblivostí skokanů [1,2] a [3,4]. An impala moves like an antilope ([3,4] leaper) and a knight.
Impala, board n x nkExplicit formula

2

Christian Poisson, 1990n >= 3Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 8Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 12

4
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 16

5
Generating function
2*x^3*(126*x^23-778*x^22+2030*x^21-3038*x^20-486*x^19+26970*x^18-103356*x^17+213700*x^16-280174*x^15+229676*x^14-13274*x^13393084*x^12+853682*x^11-1067716*x^10+891564*x^9-535942*x^8+266136*x^7-107794*x^6+31673*x^5-17925*x^4-5786*x^3-1164*x^2-159*x-1)/(x-1)^11

701
k Impalas board n x n
n 2 impalas 3 impalas

4 impalas

5 impalas

1
2

6

4

1

3

28

36

18

2

4

96

276

412

340

5

244

1220

3472

5958

6

526

4128

19465

58740

7

1008

11596

83982

409740

8

1768

28136

2906762084888

9

2896

61032

8544968495772104494

121180220879729071456

116676

224172515899886879914

12

9568

39141611098648

232827336

13

13308

65139622307354

570364522

14

18046 1041052

42347901

1296078688

15

23944 1607280

76581532

2763279296

1631176 2408552 132822748

5577897568

1739928 3516656 222156028 10738451380

1850398 5018556 359938909 19834780832

1962796 7018372 567017466 35323608130

2077344 9639480 871181912 60902798384

21

94276 13026732 1308891718 102010521470

22

113838 17348796 1927301333 166480366144

23

136288 22800616 2786619264 265388869128

702
Squirrel (Ecureuil) je kámen s pohyblivostí skokanů [0,2], [1,2] a [2,2]. A squirrel moves like a dabbaba ([0,2] leaper), alfil ([2,2] leaper) and a knight.
Squirrel, board n x nkExplicit formula

2

Christian Poisson, 1990n >= 1

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 4Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 6

4
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

5
Generating functionn >= 8

703
k Squirrels board n x n
n 2 squirrels 3 squirrels

4 squirrels

5 squirrels

1
2

6

4

1

3

20

16

4

0

4

72

100

44

0

5

204

748

1501

1776

6

470

3024

11221

26516

7

936

9360

55511

209510

8

1680

24164

2146521258464

9

2792

54600

6816435800454104374

111488186202921736524

11

6540

21032445242616940612812

9416

37242010015456

195232880

13

13140

62616420558517

495755520

14

17862

1008400

39648253

1157386812

15

23744

1565928

72565819

2519030294

16

30960

2357124 127032476

5166815040

17

39696

3453680 214025351 10072716834

18

50150

4942464 348779557 18791750636

19

62532

6927500 552002713 33735774180

20

77064

9532068 851329584 58545766224

2193980 12900924 1283046241 98588765612

22113526 17202640 1894114821 161610509148

23135960 22632064 2744531647 258580217562

704
Auroch je kombinovaný kámen s pohyblivostí skokanů [1,2] a [1,4]. An auroch moves like a giraffe ([1,4] leaper) and a knight.
Auroch, board n x nkExplicit formula

2

Christian Poisson, 1990n >= 4Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 8Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 12

4
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 16

5
Generating function
2*x^3*(202*x^23-1850*x^22+8208*x^21-23108*x^20+38480*x^19+880*x^18-219774*x^17+721230*x^16-1384684*x^15+1773122*x^14-1359494*x^13+18140*x^12+1643908*x^112640866*x^10+2485182*x^9-1607232*x^8+748078*x^7-231868*x^6+37363*x^5-13095*x^4-7302*x^3-480*x^2-159*x-1)/(x-1)^11

705
k Aurochs board n x n
n 2 aurochs 3 aurochs

4 aurochs

5 aurochs

1
2

6

4

1

3

28

36

18

2

4

96

276

412

340

5

236

1104

2876

4590

6

510

3772

16509

46724

7

984

10828

74186

343144

8

1736

26672

2624121776112

9

2856

58576

7889567478964104446

1173642074077

26250288

11

6620

218580490681080023350

129504

38358410660120

217837496

13

13236

64081221587622

540160802

14

17966 1027156

41221013

1239170832

1523856 1589464

74884528

2661849660

1631080 2386160 130349324

5405345968

1739824 3488984 218649720 10456310456

1850286 4984852 355085797 19388899768

1962676 6977836 560438398 34639504966

2077216 9591264 862424248 59880069136

21

94140 12969940 1297420594 100516189090

22113694 17282484 1912490445 164341045480

23

136136 22723792 2767741172 262381617324

706
Root-25-leaper je kombinovaný kámen s pohyblivostí skokanů [0,5] a [3,4]. A Root-25-leaper is [0,5] leaper and [3,4] leaper.
Root-25-leaper, board n x nkExplicit formula2n >= 5Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 10

Generating function

Explicit formula

4

Christian Poisson, 1990

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 15

Generating function-x^2*(28*x^21-80*x^20+24*x^19-36*x^18+440*x^17-1646*x^16+6614*x^15-14920*x^14+14604*x^13-5036*x^12+9437*x^11-30615*x^10+45205*x^951221*x^8+54641*x^7-44089*x^6+19112*x^5-432*x^4-1190*x^3+722*x^2+117*x+1)/(x-1)^9

707
k Root-25-leapers board n x n
n 2 root-25-leapers 3 root-25-leapers 4 root-25-leapers 5 root-25-leapers
1
2

6

4

1

3

36

84

126

126

4

120

560

1820

4368

5

292

2120

10738

40366

6

594

5976

41148

206348

7

1100

15028

140006944750

8

1888

34112

4231013827568

9

3048

70900

1144550

13649072

10

4682

136716279858442803400

116904

2475786275432

119906341

12

9840

42536813085361

305549160

13

13628

69911025666618

719345283

14

18418

110633247789672

1583512048

15

24372

1694566

85081410

3290405003

16

31664

2522968145689277

6503400112

17

40480

3664058

241108300

12303125641

18

51018

5205580

387195240

22393933800

19

63488

7252482605395860

39388867609

20

78112

9929016924213005

67195210512

21

95124

13380958

1380944922

111527056041

22

11477017777948

2023724900

180576196032

2313730823315950

2913894990

285878050909

708
Root-50-leaper je kombinovaný kámen s pohyblivostí skokanů [5,5] a [1,7]. A Root-50-leaper is [5,5] leaper and [1,7] leaper.
Root-50-leaper, board n x nkExplicit formula

2

Christian Poisson, 1990n >= 7

Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

3
Generating functionn >= 14

709
k Root-50-leapers board n x n
n 2 root-50-leapers 3 root-50-leapers 4 root-50-leapers 5 root-50-leapers
1
2

6

4

1

3

36

84

126

126

4

120

560

1820

4368

5

300

2300

12650

53130

6

628

7072

57784

365056

7

1168

18048

2032561778424

8

1970

38880

5533856057536

9

3144

77940

138772018921948

10

4792

1466283220866

54140628

11

7028

2610906974613142807584

12

9978

44329614196153

349301152

13

13780

72247427387649

800337560

14

18584

1136148

50366666

1726398720

15

24552

173204288850349

3534518514

16

31858

2569304

151052243

6904442604

17

40688

3720538248560769

12940233230

18

51240

5273572397338348

23376642504

19

63724

7333438618951187

40866027328

20

78362

10024472

942036271

69365031744

21

95388

13492534

1404042851

114649846146

2211504817907348

2053270756

184988483880

2313760023464962

2951246465

292009666272

71013.3) General asymptotic formulas (Riders) - Obecné asymptotické vzorce (liniové kameny)
První členy vzorců pro počet pozic nenapadajících se liniových kamenů s jednotkovým tahem [r,s] na šachovnici n x n mají obecně tvar
Number of ways to place k non-attacking riders [r,s] on an n x n chessboard,, first terms:

where L is number of lines for one rider
L=1 for semi-riders [r,s](for example semi-bishop)
L=2 for riders [r,s], 0 < r = s (for example rook or bishop)
L=4 for riders [r,s], 0 < r < s (for example nightrider)
V souladu s výsledky pro semi-riders z kapitoly 6.1.2 lze zobecnit i asymptotický vzorec pro více linií. Hodnota k musí být konstantní.
Number of ways to place k non-attacking riders [r,s] on an n x n chessboard,(V. Kotěšovec, 23.11.2011), is asymptotic (for constant k):s L 3s - r 6s2

rider

r

exponent

rook

0 1 2

3

6

- 6/6

-1

bishop

1 1 2

2

6

- 4/6

- 2/3

nightrider

1 2 4

5

24

- 20/24- 5/6

semi-rook

0 1 1

3

6

- 3/6

- 1/2

semi-bishop

1 1 1

2

6

- 2/6

- 1/3

semi-nightrider 1 2 1

524- 5/24- 5/24

711
Zde je na místě položit si podobnou otázku jako v případě skokanů - je na ni ovšem snadná odpověď - pravděpodobnost, že v náhodném rozestavení n liniových
kamenů (riders) na šachovnici n x n se nebudou žádné kameny ohrožovat je asymptoticky rovna 0. Např. pro věže jde o limitu podílu počtu vyhovujících případů avšech možných případů, tedy

Maximální počet nenapadajících se liniových kamenů (riderů) s jednotkovým tahem [r,s], je na šachovnici n x n omezen nerovností
Maximal number M of non-attacking riders [r,s] (0 < r <= s) on an n x n chessboard satisfy inequalityMožné je omezení i druhé strany, více viz str. 764. See page 764 for more.

71213.4) Composite pieces Rider + Rider - Kombinované liniové kameny
Number of ways to place n non-attacking pieces on an n x n chessboard, asymptotic behavior
piece
kámen

numberof lines

formulaasymptoticbq

0.3989422804

2.7182818284

0.8099431005

1.7955607383

for comparisonsemi-rooksemi-věž

1semi-rook + semi-bishop
semi-věž + semi střelec

2

see
p.716

conjectured

semi-rook + bishop
semi-věž + střelec

3

rook
věž

2

1.11...

1

1

713

rook + semi-bishop = semi-queenvež + semi-střelec = semi-dáma

3

rook + bishop = queenvěž + střelec = dáma

4bishopstřelec2

all possible positions
všechny možné pozice n kamenů

0.655...

conjectured

see
4.1.1

0.389068...

0.631266...

3.0882773047

1

see
4.1.2

0.242522...

4.9108149645

see chapter 6.1.1

1

see 6.1.1

0.203478...

5.82586...

see chapter 6.1.2

1

see 6.1.2

0.183256...

6.42670...

0.0965323526

7.3890560989

semi-bishop
semi-střelec

semi-nightrider
semi-tátošsemi-zebrarider
semi-liniová zebra

conjectured

714
Při složení více liniových kamenů (např. dáma = věž + střelec) se sčítají jednotlivé složky a první členy vzorců mají tvarPříklady viz tabulka
Rider

r

s L 3s - r 6s

composite piece
Rider+Rider

2

Rook

0 1 2

3

6

- 6/6

-1

Bishop

1 1 2

2

6

- 4/6

- 2/3

Nightrider

1 2 4

5

24

- 20/24- 5/6

semi-Rook

0 1 1

3

6

- 3/6

- 1/2

semi-Bishop

1 1 1

2

6

- 2/6

- 1/3

semi-Nightrider 1 2 1

524- 5/24- 5/24piecesRook
BishopRooksemi-Queensemi-Bishop
semi-Rooksemi-Rook + semi-Bishop
semi-Bishop
semi-Rooksemi-Rook + Bishop
BishopBishopBishop + Nightrider
Nightrider
Queen

-1
- 2/3
-1
- 1/3
- 1/2
- 1/3
- 1/2
- 2/3
- 2/3
- 5/6

- 5/3
- 4/3
- 5/6
- 7/6
- 3/2

Určení přesných asymptotických vzorců pro liniové kameny ovšem zůstává nejdůležitějším zatím kompletně nevyřešeným problémem z této oblasti. V případě věží,střelců, semi-střelců a kombinace semi-věže a semi-střelce byl problém vyřešen. V ostatních případech existují jen numerické odhady. Zejména v případě dam, jdeo úlohu, kterou zatím nevyřešil žádný matematik. Je však možné, že v některých případech navždy zůstane jen u numerických výsledků (a pouze se bude zvyšovat
jejich přesnost), protože konstanty v asymptotických rozvojích mohou být specifické a algebraicky (resp. na symbolické úrovni) nevyjádřitelné.

715

semi-Rook / semi-věž
Z matematického (méně už ze šachového) hlediska je zajímavý kámen semi-věž, který táhne jen po jedné z věžových linií (viz diagram). Na každém řádku může takbýt jen jedna (neohrožující se) semi-věž, ale na každém sloupci šachovnice n x n může nad sebou stát až n neohrožujících se semi-věží.
Two semi-rooks do not attack each other if they are in the same column.
Pro počet pozic neohrožujících se k věží na šachovnici n x n lze snadno odvodit následující vzorec
Number of ways to place k non-attacking semi-Rooks on an n x n chessboard

Speciálně při k = n (což je maximální počet neohrožujících se semi-věží na šachovnici n x n)
Number of ways to place n non-attacking semi-Rooks on an n x n chessboard
Součet přes všechna k >= 0
summed over all k >= 0Několik prvních polynomů
2 semi-rooks, board n x n

3 semi-rooks, board n x n

4 semi-rooks, board n x n

5 semi-rooks, board n x n

Poznámka: Jak mě upozornil Juraj Lörinc, tento kámen, označovaný jako "horizontal rook", použil již Peter Gvozdják v letech 2003-2006 v několika šachových úlohách, viz jehokniha "Cyclone 2" z roku 2010, úlohy č. 2497, 2499, 2500, 2501 a 2503. Význam semi-věže není tak pouze matematický, i když její použití bylo (ze šachového pohledu) opravdu
jen vyjímečné. Vzhledem k již (v matematice) zavedenému termínu "semi-queen" bych ale raději zůstal u označení "semi-rook" a nevnášel tak do terminologie zbytečný zmatek.

716

composite piece semi-Rook + semi-Bishop / semi-věž + semi-střelec
Odpovídá sekvenci A088789(n+1), viz též A038049 Number of labeled rooted trees with 2-colored leaves.
Pro naši (posunutou) sekvenci je tak znám vzorec
Number of ways to place n non-attacking composite pieces semi-Rook+semi-Bishop on an n x n chessboardkterý jde též vyjádřit ve tvaru
Alternative formula (V. Kotěšovec, 12.12.2011)

kde S2 jsou Stirlingova čísla druhého druhu, S2= Stirling numbers of the second kindProti sekvenci A088789 je naše sekvence o 1 posunutá, takže má trochu jinou exponenciální generační funkci

kde nealgebraická funkce LambertW je řešením rovnice

Poznámka: Exponenciální vytvořující funkce se liší od normální (tzv. ordinární vytvořující funkce) tím, že všechny její koeficienty jsou děleny n-faktoriál.

Zatímco v případě ordinární vytvořující funkce posuneme sekvenci o 1 doprava násobením x a o 1 doleva dělením x, v případě exponenciální vytvořující funkce získáme posun doleva derivováním aposun doprava integrováním podle x.

717Zabýval jsem se asymptotickým chováním této posloupnosti a došel jsem k následujícímu vzorci
Theorem (V. Kotěšovec, 12.12.2011, extended 25.9.2012)
Asymptotic formula
kde konstanta q je kořen rovnice
where constant q is the root of the equationin closed form

numericky

Funkce LambertW je řešením rovnicePředchozí výraz se dá zapsat i ve tvaru

kde nové konstanty c a d mají hodnotu

d = 0.66054988100780872848117793543941478081177875007819993...
c = 2.03022627660436210683587656150792063827135766446385548...
Jinými slovy, násobící pravděpodobnostní faktor semi-střelcové složky (oproti původní pouze semi-věžové) je zhruba 66% na každý přidaný kámen.

718Důkaz (proof): Zjistíme, který z členů předchozí sumy je maximální. K tomu použijeme Stirlingův vzorec, ze
kterého plyne

Na grafu vpravo vidíme, že Stirlingův vzorec je velmi přesný a oba grafy téměř splývají. Současně je téžzřejmé, že tato funkce nabývá v intervalu <1, n> maxima. K určení bodu, kde maximum nastává, stačí zjistit,
kde je tečna rovnoběžná s osou x, tj. kde je derivace této funkce (podle x) rovna 0. Dostaneme

Nyní zavedeme substituci
a rovnice se zjednoduší na

a pokud řešíme předchozí rovnici pro n jdoucí do nekonečna, můžeme celou rovnici vydělit n2 a určit limituKořen p=1 nás nezajímá a tak dostaneme pro hledané p rovnici
Odkud numericky dostáváme

Nyní, aby byl důkaz korektní, musíme ještě dokázat jakou hodnotu má celková suma. K tomu použijeme stejnou metodu jako na str. 249 nebo na str. 261.
Určitě platí, že součet musí být větší než samotná hodnota maxima a menší než plocha obdélníku s jednou stranou rovnou maximu a druhou počtu členů sumy, tedy

719Když tuto nerovnost umocníme na 1/n, dostaneme

a tedyHledanou konstantu q určíme potom takto

Odtud už snadno odvodíme i přímou rovnici pro konstantu q

Konstanta b pak vychází (při použití podobného postupu jako v článku Asymptotic of a sums of powers of binomial coefficients * x^k, Václav Kotěšovec, 20.9.2012)Přímá rovnice pro konstantu b je

Poznámka: V programu Mathematica se tzv. Lambert W function (pomocí níž jde výše vypočtené konstanty také vyjádřit) označuje oficiálně jako ProductLog, ovšem lze použít
i nezdokumentovanou identickou funkci LambertW. Shodné označení má tato funkce i v programu Maple. Tuto funkci zavedl v roce 1758 Johann Heinrich Lambert.

720

composite pieces semi-Rook+semi-Bishop, board n x nkExplicit formula2n >= 1

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 15.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula4

Václav Kotěšovec, 15.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula5

Václav Kotěšovec, 15.12.2011

Václav Kotěšovec, 15.12.2011

Generating functionn >= 1

721

Explicit formula6

Václav Kotěšovec, 20.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula7

Václav Kotěšovec, 20.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula8

Václav Kotěšovec, 20.12.2011

Generating function

Zajímavý výsledek je, že kombinace jedné věžové a jedné střelcové linie dává vzorce bez kvazipolynomů (vzorce jsou vždy jen polynomy).
Obecně mají vzorce tvarn >= 1

722

k composite pieces semi-Rook+semi-Bishop on an n x n board
1 sR 2 sR

n +sB +sB

3 sR 4 semi-Rook 5 semi-Rook 6 semi-Rook 7 semi-Rook+sB +semi-Bishop +semi-Bishop +semi-Bishop +semi-Bishop

8 semi-Rook+semi-Bishop

9 semi-Rook 10 semi-Rook 11 semi-Rook 12 semi-Rook summed over all
k>=0+semi-Bishop +semi-Bishop +semi-Bishop +semi-Bishop

1

1

2

4

3

0

0

3

9

22

14

0

0

0

0

0

0

4

16

82

156

90

0

0

0

0

0

0

0

0

345

5

25

220

840

1366

738

0

0

0

0

0

0

0

3190

6

36

485

3100

9796

14288

7364

0

0

0

0

0

0

35070

7

49

938

9030

46816

129360174112

86608

0

0

0

0

0

446914

8

64

1652

22344

172116767424

19167762424880

1173240

0

0

0

0

6478497

9

81

2712

49056

5257563442740

13682320

31572720

38019496

17990600

000105285482

10 100 4215

98280

1398432

1263225672989680

264792640

573192856

662999712

308055528

001896163700

11 121 6270 183150

334039239800376

314845168

1645959040

5543205976

11382380856

12732060496

5826331440

037488113286

12 144 8998 321860

7321182111239040

1153887064

8203011696

39498613616 125028335872 245586813088 267036147392 120629547584

807255247537

13 169 12532 538824

14954082

282205638

3715549552

34451937520

224213845856

?

?

?

?

?

14 196 17017 865956

28800772

660900240

10766306980

126165925600

1065763707008

?

?

?

?

?

15 225 22610 1344070

52773448

1447149704

28575758640

412869291120

4390333572768

?

?

?

?

?

16 256 29480 2024400

92653288

2992289664

70420633712 1229665442720

16068926887728

?

?

?

?

?

17 289 37808 2970240

156745848

5888686440

162845692256 3380573260064

53243184900048

?

?

?

?

?

18 324 47787 4258704

256695648

11099649792

356368857728 8674524817920 162041117686448

?

?

?

?

?

19 361 59622 5982606

408483888

20143184400

743105221280 20961579991040

458200632898736

?

?

?

?

?

20 400 73530 8252460

633634914

35346143232 1484842550480 48048814516640 1215001732607936

?

?

?

?

?

2
8
46

Table of values for n composite pieces semi-Rook+semi-Bishop on an n x n board see page 724.

723

semi-Rook + semi-Rider [r,s]Z matematického hlediska vede cesta k dalším objevům přes jednodušší případy ke složitějším. V případě dam jde o kombinaci celkem 4 linií, což je už velmi složitý
případ. Je třeba začít u jedné linie (semi-věž, semi-střelec, semi-tátoš, ...) a pokračovat s analýzou kombinací 2 linií. V předchozí kapitole jsme probrali kombinaci
semi-věže a semi-střelce, kompletně je vyřešen i případ semi-střelec + semi-střelec (=střelec).
Další logicky následující kombinací dvou linií je semi-věž + semi-tátoš nebo obecně semi-věž + semi-rider [r,s]. Zde je zajímavé, že jiné počty neohrožujících se
kamenů dostaneme pro kombinaci semi-věž + semi-rider [r,s] a jiné pro kombinaci semi-věž + semi-rider [s,r]. Je to dáno tím, že linie těchto kombinovaných
kamenů spolu svírají jiný úhel (different angle between lines). Na diagramech je pohyblivost kombinací semi-věže a dvou různých typů semi-tátošů (zbývajícímožnosti linií jsou již jen symetrické a nepřinášejí nic nového).

semi-Rook + semi-rider [2,1]semi-Rook + semi-rider [1,2]724
n composite pieces semi-Rook + semi-Rider [r,s] on an n x n boardn[1,1], A088789(n+1)

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[2,1]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

[2,5]

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

14

21

27

27

27

21

24

27

27

27

4

90

169

208

256

256

164

196

224

256

256

5

738

1596

2205

2625

3125

1563

2024

2420

2750

3125

6

7364

19600

29791

34596

40176

18832

25600

32768

36864

41472

7

86608

268164432666556549634207259193378744499488596288664048811732404435236755227210556001

11852352

4223632

6492304

891251211316496

12487168917990600

79561580

153990656

208513112

255584169

76070235

125226752

183250432

230167232

269879184

10308055528

1655513344

3295476576

4732889616

6240321451

1563167616

2710660096

4082234112

5309162496

6590815232

11

5826331440

36759983976

80235224280 121292697000 156361252230

34803217389

64495821312 101675149280 137204816000 168366571520

12120629547584

13

2713659864832 24411070559680?

?

? 22898323922635

?

?

?

?

14

65909241461760

?

?

?

?

?

?

?

?

?

15

1718947213795328

?

?

?

?

?

?

?

?

?

16

47912968352783232

?

?

?

?

?

?

?

?

?

17

1421417290991105664

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18

44717945211445216640

?

?

?

?

?

?

?

?

?

19 1487040748881346835200

?

?

?

?

?

?

?

?

?

20 52117255681017313721088

?

?

?

?

?

?

?

?

?

[1,2]

[1,3]

[1,4]

[1,5]

[2,1]

[2,2]

[2,3]

[2,4]

[2,5]

n

[1,1]

922007084944 2189909641256 3461445366016 4377071727952

863359950656 1686985345600 2807995147712 3930163511296 4770014560256

725
n composite pieces semi-Rook + semi-Rider [r,s] on an n x n board
n

[3,1]

[3,2]

[3,3]

[3,4]

[3,5]

[4,1]

[4,2]

[4,3]

[4,4]

[4,5]

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

4

209

225

240

256

256

256

256

256

256

256

5

2185

2415

2645

2875

3125

2640

2760

2880

3000

3125

6

29133

32400

35937

39204

42768

34552

36864

39304

41616

44064

7

426477496320571050637875694575551131

59266963691668135272578887402813883872910407600

12117361

13144256

10379520

11182336

12042240

12960000

13824000

9149429340

180477720

216000000

253125000

284765625

206342704

228363626

252435968

277432832

300259584

103216193403

4035806784

4981453344

5929616016

6956883693

4677403968

5263792704

5912248320

6596038656

7339040224

1178023879268 100319121630 126751561560

154542303000 180982570710

119307362883 135570764775 153785010400

173379750000 194230418400

12 2112289159788 2756961368100 3543788106936 4444945756416 5187218454000 3385005121536 3865722228736 4410944000000 5008715616256 5629630775296
13

?

?

?

?

?

?

?

?

n

[5,1]

[5,2]

[5,3]

[5,4]

[5,5]

1

1

1

1

1

1

2

4

4

4

4

4

3

27

27

27

27

27

4

256

256

256

256

256

5

3125

3125

3125

3125

3125

6

40391

41616

42875

44100

45360

7

635355664965695835726761757687811807953

12453841

13133056

13845841

14526784

9253284345

268014285

283593393

299942181

316377369

106157184375

6520562500

6905250000

7310250000

7737809375

11 155061901916 167127701298 180093652760

193793285000 208131743750

12 4341715514773 4735537424641 5164260624125 5624486560000 6098220774800
13

?

?

?

?

?

?

?

726
Při předpokládaném asymptotickém průběhu

vychází metodou lineární regrese tyto hodnoty (viz též graf na další straně)

r s
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5

1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5

linear regression

exact value

0.7657 * 1.79833^n 0.8099 * 1.79556^n0.6685 * 2.15241^n0.6193 * 2.32820^n0.6306 * 2.41260^n0.5873 * 2.48313^n0.6644 * 2.14242^n0.6346 * 2.27505^n0.6064 * 2.38210^n0.6104 * 2.44645^n0.5740 * 2.50486^n0.6208 * 2.32121^n0.6094 * 2.37776^n0.5962 * 2.43297^n0.5923 * 2.47929^n0.5622 * 2.52591^n0.6315 * 2.40851^n0.6116 * 2.44319^n0.5924 * 2.47802^n0.5761 * 2.51115^n0.5518 * 2.54633^n0.5870 * 2.48114^n0.5755 * 2.50246^n0.5642 * 2.52390^n0.5545 * 2.54476^n0.5426 * 2.56616^nGraf zobrazuje hodnoty odhadů konstant q podle hodnot [r,s].
Pokud půjde r nebo s do nekonečna, je limitní hodnota q rovna e = 2.71828...
Otevřenou otázkou zůstává jestli budou hodnoty konstant q shodné pro [r,s] a [s,r]. Hodnoty počtu pozic se sice liší, jevšak možné, že limitně obě konstanty splynou. Podle horního grafu se zdá, že by to tak mohlo být (argumentem pro je
i to, že počet dostupných polí je pro oba typy kamenů asymptoticky blízký), graf podílu počtu pozic nenapadajících se
kamenů semi-Rook+semi-rider[1,2] / semi-Rook+semi-rider[2,1] už ale tak přesvědčivý není.

727

728

729

semi-Bishop + semi-Nightrider / semi-střelec + semi-tátoš
Podobně jako v případě semi-věže kombinované se semi-tátošem, tak i v případě semi-střelce kombinovaného se semi-tátošem existují 2 neidentické kombinacerůzných úhlů linií. Počty pozic jsou zcela odlišné (a je otázka, zda se asymptoticky budou k sobě přibližovat ?).

semi-Bishop + semi-rider [1,2]semi-Bishop + semi-rider [1,-2]

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

n composite pieces
semi-Bishop+semi-Nightrider
on an n x n board[1,2][1,-2]
1
1
5
5
43
51
560
769
9134
15345
1901383810654581634
11323991
131269244
391861841
4191833774 15476988033
153090178661 687029386845
?
?

730

Bishop + semi-Rook / Střelec + semi-věž

composite pieces Bishop + semi-Rook, board n x nkExplicit formula2n >= 1

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 15.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula4

Václav Kotěšovec, 15.12.2011

Václav Kotěšovec, 15.12.2011

Generating function(denominátory vycházejí shodně jako pro dámy)n >= 1

731

k pieces Bishop+semi-Rook board n x n
n 2 B+sR 3 B+sR

4 B+sR

5 B+sR

1
2

2

0

0

3

17

5

0

0

4

68

84

24

0

5

190

524

501

125

6

430

2120

4404

3504

7

847

6561

24021

40313

8

1512

16968

97214

284920

9

2508

38512

318892

1452846

10

3930

79200

896816588786811

5885

1507252239376

20064370

128492

269500509005459787696

13

11882

45774010716223

159917923

14

16198

74474421175090

391632000

1521595 1168209

39661573

890840067

16

28240 1775760

70971974

1903739128

1736312 2626496 122082352

3855677212

18

46002 3792768 202889934

7453997196

1957513 5361957 327106374 13834236640

2071060 7438500 513370692 24767479408

21

86870 10145900 786555219 42941804489

22105182 13629000 1179357138 72345923652

23126247 18056225 1734128349 118771639133

nn composite pieces Bishop + semi-Rookon an n x n board, A185056

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

1
2
5
24
125
796
5635
48042
453947483487256433455
727449366
10099103269
152097526360
2449915208271
42295879864692?

q ~ 1.11

732

semi-Queen = Rook + semi-Bishop / semi-dáma = věž + semi-střelec
semi-Queens, board n x nkExplicit formula, A103220(n-1)

2n >= 1

Generating function

Explicit formula, A202654

3

Václav Kotěšovec, 15.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula, A202655

4

Václav Kotěšovec, 15.12.2011n >= 1

Generating function

Explicit formula, A202656

5

Václav Kotěšovec, 15.12.2011

Václav Kotěšovec, 15.12.2011

Generating functionn >= 1

733
semi-Queens, board n x nkExplicit formula, A202657

6

Václav Kotěšovec, 16.12.2011n >= 1

Recurrence

Generating function-x^6*(31709*x^16 + 377288*x^15 + 2265487*x^14 + 8441426*x^13 + 22166758*x^12 + 43217858*x^11 + 64805639*x^10 + 75943200*x^9 + 70077016*x^8+ 50738668*x^7 + 28477437*x^6 + 12074418*x^5 + 3711058*x^4 + 771370*x^3 + 96173*x^2 + 5692*x + 83) / ((x-1)^13*(x+1)^6*(x^2+x+1)^2)

Obecně mají vzorce pro semi-dámy tvar

Faktory v denominátoru generační funkce jsou sice shodné jako pro dámy, ale nové členy se objevují vždy až s vyšším k. Např. člen x2+x+1, který je v denominátoru
pro dámy už od k = 4, se objeví v případě semi-dam až od k = 6.

734
k semi-Queens board n x n
n 2 sQ

3 sQ

4 sQ

5 sQ 6 semi-Queens

1
2

1

0

0

3

13

3

0

0

0

4

58

52

7

0

0

5

170

370

223

23

0

6

395

1620

2429

1104

83

7

791

5285

15045

16945

6107

8 1428

14168

66122

1416961263769 238833012

2300748107461377328

10 376569240

67579835683529984758

11 5665 133815

174531812948318

54399330

12 8206 242220

407399340514560

239675936

13 11518 415558

8764753112720393

895773148

14 15743 681772 17630795

285073712

2935757573

15 21035 1076985 33522531

666143975

8641608781

16 27560 1646960 60756612 1456288512

23259768860

17 35496 2448680 105666148 3007576740

58039719112

18 45033 3552048 177293340 5913372864 135720432200
19 56373 5041707 288246972 11138305068 299995484600
20 69730 7018980 455749371 20202100224 631220344328

735

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

n semi-Queens
on an n x n normal boardn Queens
on an n x n normal board

n semi-Queens
on an n x n toroidal boardn Queens
on an n x n toroidal board

A099152

A000170(for 2n+1= A006717)

A051906 (for 2n+1= A007705)
1
0
0
0
10
0
28
0
0
0
88
0
4524
0
0
0
1406920820496000128850048
01957725000
000605917055356
013404947681712

1
1
3
7
23
83
405
2113
12657
82297
5964834698655
40071743
367854835
3622508685
38027715185
424060091065
5006620130753
62395131973755
818456924866815
11271715349614463
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Hodnoty pro n=19-21
vypočetl Wolfram Schubert

1
0
0
2
10
4
40
92
352
724
2680
14200
73712
365596227918414772512
95815104
666090624
4968057848
39029188884
314666222712
2691008701644
24233937684440
227514171973736
2207893435808352
22317699616364044
?
?
?
?
?
see chapter 1.1.1 for more

1
0
3
0
15
0
133
0
2025
0
37851
0
1030367036362925
01606008513
087656896891
05778121715415
0452794797220965
041609568918940625
0
?
0
?
0
?
Hodnotu pro n=25 vypočetl
v roce 2006 Yuh-Pyng Shiehsee chapter 1.3.1 for more

736

n semi-Queens on an n x n normal board
Kámen semi-Queen (semi-dáma, Rook+semi-Rider [1,1]) vymysleli matematici v (zatím
marné) snaze najít řešení alespoň zjednodušeného problému n-dam, kdy tyto kameny majípohyblivost věže a ze střelce využívají jen jednu ze dvou diagonál. Viz OEIS A099152
Number of solutions to a modified version of the n-queens problem, in which two queens do
not attack each other if they are in the same northwest-southeast diagonal.

Z matematického hlediska je ale ještě zajímavější počet rozmístění n neohrožujících se semi-dam na prstencové šachovnici, který má blízko k úlohám z abstraktní algebry. Jelikož pro sudá n jsou
hodnoty nulové, v OEIS najdeme sekvenci A006717 = Toroidal semi-queens on a (2n+1) x (2n+1) board, s odkazem na článek N. J. Cavenagh and I. M. Wanless, On the number of transversals in
Cayley tables of cyclic groups (Discrete Applied Mathematics 158, 2010). Pro počet rozmístění tn je zatím nejlepší dokázaný asymptotický odhad (McKay, 2006)

Tento odhad je ale (zejména z levé strany) velmi slabý. I. Vardi přišel v roce 1991 s hypotézou, která (při přepisu domého značení) zní, kde 0 < q < 1
Ve sborníku "Surveys in Combinatorics 2011", str.403-437, mě zaujal článek, Ian M. Wanless: Transversals in latinsquares: a survey, ve kterém zejména na str. 417 autor shrnul nejnovější výsledky relevantní k našemu případu. Cituje
zde články, v nichž autoři došli k numerickým odhadům (v mém značení) konstanty q. C. Cooper, "Deriving the numberof good permutations" (Cybernetics and Systems Analysis 5, 2000),, N. Yu. Kuznetsov (Кузнецов
Николай Юрьевич), "Applying fast simulation to find the number of good permutations" (Cybernetics and Systems
Analysis, Кибернетика и системный анализ, 43, 2007) a "Estimating the number of good permutations by a modified
fast simulation method" (Cybernetics and Systems Analysis 44, 2008),. Viz graf vpravo. Hypotézu
autora posledního článku, že q=1/e však nesdílím, myslím, že půjde sice o numericky blízkou, ale specifickou konstantu.
I think that limit 0.37... is specific constant, not 1/e (=conjecture by Kuznetsov).

Jelikož každá konfigurace ohrožujících se semi-dam na normální šachovnici je takovou konfigurací i na prstencovéšachovnici (ne nutně obráceně), je počet neohrožujících se semi-dam na normální šachovnici určitě vetší nebo roven než
na prstencové šachovnici (tomu odpovídá i moje vypočtená hodnota pro normální šachovnici q ~ 0.65, větší než pro
prstencovou).

737

Nightrider + semi-Rook / Tátoš + semi-věž

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

n composite pieces
Nightrider + semi-Rookon an n x n board
1
4
9
52
195
1088
6575
60140
493943540602054531207
671606852
8209455393
121547788848
1765984519213
29268855643138?

q ~ 1.03

738

Bishop + Nightrider / Střelec + Tátoš
V kapitolách 12.3 a 12.4 byly probírány kombinace liniových kamenů, kdy vždy jednou složkou byla pohyblivost věže. Následuje přiklad nepravoúhlé kombinace
liniových kamenů, [1,1] rider + [1,2] rider.

composite pieces Bishop+Nightrider, board n x nkExplicit formula

Václav Kotěšovec, 15.12.2011n >= 1

Recurrence2
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 15.12.2011n >= 1

Recurrence
3

Generating function-2*x^3*(53*x^35 + 117*x^34 + 479*x^33 + 875*x^32 + 2318*x^31 + 3430*x^30 + 7302*x^29 + 9178*x^28 + 16860*x^27 + 18816*x^26 + 30870*x^25 + 31522*x^24 + 47245*x^23 +
44809*x^22 + 62155*x^21 + 55163*x^20 + 71092*x^19 + 59248*x^18 + 70936*x^17 + 55536*x^16 + 61817*x^15 + 45285*x^14 + 46877*x^13 + 31945*x^12 + 30548*x^11 + 19140*x^10+ 16638*x^9 + 9342*x^8 + 7212*x^7 + 3440*x^6 + 2292*x^5 + 844*x^4 + 463*x^3 + 107*x^2 + 43*x + 3) / ((x-1)^7*(x+1)^4*(x^2+1)^2*(x^2-x+1)^2*(x^2+x+1)^2*(x^4-x^3+x^2x+1)^2*(x^4+x^3+x^2+x+1)^2)

739
k pieces Bishop+Nightrider board n x n
n3036672090095888

31419430110730650

32

477664135194080

2 B+N

3 B+N

33

541728163974336

2

4

0

34

612068197727272

3

18

6

35

689010237045158

4

68

104

36

773028282718952

5

180

496

37

864468335458576

6

408

1936

38

963832396207736

7

798

5702

39

1071486465809182

8

1432

14784

40

1187960545377472

9

2376

33316

41

1313640635903340

10

3740

69160

42

1449084

738692032

11

5610

13188243

1594698854898834

12

8124

23789644

1751068

986040160

13

11388

40560445

19186201133453244

14

15568

6647524620979681298887224

15

20790

1047066472289558

1483879434

16

27248

160135248

2494032

1690434408

17

35088

237771249

2711856

1920308216

18

44532

345092050

2943700

2175784872

19

55746

489552651

31900502458859590

20

68980

682018452

3451604

2772120232

21

84420

933085653

3728868

3117821640

2210234412579024

5440225683498881600

2312295816709918

5543332303917836110

2414656821927816

5646616084377959872

25

17340028425628

57

50082484882092740

2620378836471672

58

53739325433894112

27

23797846316378

5957592266036531042

28

27633258304008

60

61649406694076640

2931911672752660

n

2 B+N

3 B+N

1

n composite pieces
n Bishop+Nightrider
on an n x n board
1
1
2
4
3
6
4
86
5
298
6
2824
7
15576
8
234450921262941031730472
11365253566
12
5456584348
13
?

740

13.5) Composite pieces Rider + Leaper - Kombinované kameny liniový kámen + skokan
V kapitolách 12.1 a 12.2 byly probírány kombinace liniových kamenů a skokanů, kdy jedna z liniových složek byla vždy věž. V této kapitole se zabývám
i kombinací nepravoúhlých liniových kamenů (střelců a tátošů) a bodových kamenů (skokanů).
Pro počet pozic neohrožujících se k kombinovaných kamenů: libovolný skokan [x,y] + liniový kámen [r,s] s pohyblivostí na L různých linií na šachovnici n x n jsou
první dva členy vzorců ve tvaru jako pro samotný liniový kámen

Jelikož u skokanů je koeficient u n2k-1 vždy roven 0, je v kombinaci skokan + liniový kámen vždy rozhodujícím kamenem liniový kámen. Vypočtené vzorce pro
kombinované kameny toto tvrzení potvrzují.
composite pieces
same as for
Rider + Leaper2r s L 3s - r 6s
Rider
= RookRook + Knight-1
Bishop + Knight
- 2/3
Rook
0 1 2
3
6
- 6/6
-1
= BishopBishop+Wazir
2/3
Bishop
1 1 2
2
6
- 4/6
- 2/3
Nightrider + Wazir - 5/6= Nightrider
Nightrider 1 2 4524- 20/24- 5/6
Nightrider + Fers
- 5/6

Pro počet pozic neohrožujících se n kombinovaných kamenů typu liniový kámen + skokan na šachovnici n x n mám hypotézu pro asymptotické chování
Conjecture:
Number of ways to place n non-attacking composite pieces rider [r,s] + leaper [x,y], leaper with access to m squares, on an n x n chessboard,
asymptotic to, is

Liší se tedy pouze v násobící konstantě a nejdůležitější mocninná konstanta q je shodná jako pro počet rozestavení n samotných liniových kamenů (bez složky skokana). Pro věžbyla hypotéza dokázána v kapitole 12.1 (for rooks proved in chapter 12.1). Pro důkladné ověření této hypotézy není zatím k dispozici dostatek vypočtených hodnot.

741
Empress (císařovna) je kombinovaný kámen s pohyblivostí věže a jezdce. An empress moves like a rook and a knight.
Empress, board n x nkExplicit formula

2

Christian Poisson, 1990n >= 1

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 4Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 6

4
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

5
Generating functionn >= 8

742

k Empresses board n x n
n 2 empresses 3 empresses 4 empresses

5 empresses

1
2

2

0

0

3

10

2

0

0

4

48

36

8

0

5

152

280

152

20

6

370

1348

1792

796

7

762

4734

12360

13116

8

1400

13348

59248

121780

9

2368

32176

219544761920

10

3762

69060

674040358628411

5690

1355981795552

13661128

12

8272

248164428332044252404

13

11640

4290489356928

126184680

14

15938

70771619024864

324702700

15

21322

112219036444520

767970064

16

27960

172054866392112 1692831348

17

36032

2562544 115862680 3515273344

18

45730

3721348 194822008 6935178220

19

57258

5285406 317133984 13087496520

20

70832

7360420 501688600 23754911284

For n nonattacking empresses on n x n board, see page 636 and A137774.

See also A218244 - Number of inequivalent (rotationally and reflectively distinct) ways to place n nonattacking empresses on n X n board (Witold Dlugosz, 24.10.2012)

743
Princezna je kombinovaný kámen s pohyblivostí střelce a jezdce. A princess moves like a bishop and a knight.
Princess, board n x nkExplicit formula

2

Christian Poisson, 1990n >= 1

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 4Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 6

4
Generating function

Explicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

5
Generating functionn >= 8

744

k Princesses board n x n
n 2 princesses 3 princesses 4 princesses

5 princesses

1
2

4

0

0

3

18

6

0

0

4

68

104

86

40

5

192

628

1034

854

6

440

2464

7162

11256

7

874

7566

35646

96510

8

1568

19520

138090587312

9

2608

44248

4421222753770

10

4092

90824

1222238

10560608

11

6130

172418301107834598258

128844

307352676307899919312

13

12368

52028414085706

260421218

14

16848

84350427553058

623471696

15

22442

1318358

51120926 1389969898

16

29320

1996784

90660866 2916589328

17

37664

2942976 154636410 5809210842

18

47668

4235160 254941574 11058651680

19

59538

5967498 407928966 20233034210

20

73492

8252104 635650142 35743795568

n A245011 - n Princesses on an n x n board
1
1
2
4
3
6
4
86
5
854
6
9556
7
14616882660326956083228101349544632
1136786865968
121117327217782
13
?

745
Kombinované kameny střelec a vezír. Composite pieces bishop ([1,1] rider) and wazir ([0,1] leaper).
composite piece Bishop+Wazir, board n x nkExplicit formula2n >= 1

Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 2

Generating function

Explicit formula4

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 3Generating function

Explicit formula5

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

Václav Kotěšovec, 12.12.2011

Generating functionn >= 4

746

k Bishop+Wazir board n x n
n 2 bishop+wazir 3 bishop+wazir 4 bishop+wazir 5 bishop+wazir
1
2

0

0

0

3

14

4

0

0

4

68

88

30

0

5

200

634

818

412

6

460

2664

7476

10200

7

910

8304

40556

108862

8

1624

21360

160198712080

9

2688

48022

5111583393760

10

4200

97680

1397604

12938312

11

6270

183868339911241791010

12

9020

3253207539758

118721728

13

12584

54715415525514

304441988

14

17108

88216830064724

717983576

15

22750

137226455290772

1579159078

16

29680

206998497304470

3273987984

17

38080

3040174

164859310

6452251912

18

48144

4361760

270209732

12168448264

19

60078

6129652430149712

22080669386

20

74100

8456760667264318

38724597248

n n composite pieces Bishop+Wazir on an n x n board
1
1
2
0
3
4
4
30
5
412
6
6548
7
12466882719988967809372
10
1892344428
1158698438466
12
?

747
Kombinované kameny tátoš a vezír. Composite pieces nightrider ([1,2] rider) and wazir ([0,1] leaper).

composite piece Nightrider+Wazir, board n x nkExplicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 1

Recurrence2
Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 2

Recurrence
Generating function(2*x^3*(x^29-4*x^28-3*x^27-13*x^26-141*x^25-431*x^24-1181*x^23-2053*x^22-3536*x^21-4641*x^20-6468*x^19-7406*x^18-9444*x^17-10180*x^1612124*x^15-12108*x^14-13000*x^13-11660*x^12-11294*x^11-9280*x^10-8413*x^9-6502*x^8-5441*x^7-3727*x^6-2607*x^5-1373*x^4-691*x^3-215*x^258*x-7))/((x-1)^7*(x+1)^4*(x^2+1)*(x^2+x+1)*(x^4-x^3+x^2-x+1)^2*(x^4+x^3+x^2+x+1)^2)

748

k Nightrider+Wazir board n x n30382090101969812

31436480124864286

n 2 nightrider+wazir 3 nightrider+wazir

32

496512151920968

1

33562496183659866

034

634882220778176

2

2

3

16

14

35

714000263904378

4

72

144

36

800328313876404

5

200

718

37

894216371445326

6

458

2804

38

996170437607568

7

896

8210

39

1106560

513251790

8

1600

20888

40

1225920599551728

9

2640

46166

41

1354640697549410

10

4130

93856

42

1493282

808615820

11

6160

175670431642256933963198

12

8872

31133244

1802152

1075180608

13

12376

522730451973400

1233668014

14

16842

844584

46

21566181411254600

15

22400

131355447

2352256

1609546494

16

29248

198551248

2560960

1830636044

17

37536

2917374492783200

2076354854

18

47490

4193364503019650

2349082536

19

59280

589700251

3270800

2650896254

20

73160

81491285235373522984488112

21

89320

11067042

53

38198163352202038

2210804214817536

5441189223757068708

23129536

19559834

554435200

4201720618

24

15411225517020

5647694084689554360

25

1820003289913857

51220965223513766

26

21353841997016

58

5494050

5807389656

27

24897653081322

59

58858406444460830

282886806652310460

62982807138941724

29

33292082664330n 2 nightrider+wazir 3 nightrider+wazir

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

n composite pieces Nightrider+Wazir
on an n x n board
1
2
14
161
1383
23578
3349687280162149282992
4077694470
104127918260?

749
Kombinované kameny tátoš a fers. Composite pieces nightrider ([1,2] rider) and fers ([1,1] leaper).

composite piece Nightrider+Fers, board n x nkExplicit formula

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 1

Recurrence2
Generating function

Explicit formula3

Václav Kotěšovec, 12.12.2011n >= 2

Recurrence
Generating function(2*x^3*(x^29+7*x^27+3*x^26-137*x^25-429*x^24-1199*x^23-2061*x^22-3548*x^21-4639*x^20-6468*x^19-7414*x^18-9464*x^17-10212*x^1612132*x^15-12112*x^14-12964*x^13-11644*x^12-11270*x^11-9284*x^10-8413*x^9-6498*x^8-5431*x^7-3711*x^6-2603*x^5-1371*x^4-709*x^3-223*x^270*x-5))/((x-1)^7*(x+1)^4*(x^2+1)*(x^2+x+1)*(x^4-x^3+x^2-x+1)^2*(x^4+x^3+x^2+x+1)^2)

750

k Nightrider+Fers board n x n30382148102014444

31436540124913786

n 2 nightrider+fers 3 nightrider+fers

32496574151975808

1

33562560183720282

034634948220844672

2

4

3

20

10

35

714068263977206

4

78

160

36

800398313956100

5

208

766

37

894288371532158

6

468

2940

38

996244437702104

7

908

8462

39

1106636513354314

8

1614

21344

40

1225998

599662840

9

2656

46870

41

1354720

697669410

10

4148

94928

42

1493364808745340

11

6180

177170431642340934102554

12

8894

31341244

1802238

1075330464

13

12400

52546645

19734881233828702

14

16868

848160462156708

1411426816

15

22428

131806247

2352348

1609730586

16

29278

1991168

48

2561054

1830832740

17

37568

29242864927832962076564518

18

47524

42017805030197482349305928

19

59316

590704651

3270900

2651133754

20

73198

81610805235374542984740512

21

89360

11081042

53

38199203352469734

2210808414833896

5441190283757352524

2312958019578710

5544353084202020966

24

15415825538756

56

47695184689872096

25

182048329239065751222085223849318

26

2135884202519258

5494164

5807743912

27

24902853113094

5958859566444834234

28

28873466558880

60

62983987139335196

29

33297682704314n 2 nightrider+fers 3 nightrider+fers

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

n composite pieces Nightrider+Fers
on an n x n board
1
4
10
179
1604
29148
3823068480000
166690076
4599354356
113873719104?

75114) Maximal number of non-attacking pieces - Maximální počty neohrožujících se kamenů na šachovnici n x n
Tabulka shrnuje maximální počet neohrožujících se kamenů stejných hodnot na šachovnici n x n (n > 1)
normal chessboard n x n
non-attacking

neohrožujících se

Kings

králů

Queenseven nodd ncomment

toroidal chessboard n x neven nodd ncomment

Kings Problem

Watkins + Ricci, 2002
A189889dam

Pauls 1874
Ahrens 1901

Pólya 1918, Monsky 1989
see chapter 1.3.1, A085801

Rooks

věží

trivialtrivial

Bishopsstřelců

, Dudeney 1917
Bishops Problem

easy

Knights

jezdců

Nightriders

tátošů

Zebraszeber

Amazonsamazonek

Wazirsvezírů

Jelliss 2004Kotěšovec 2011

FersesfersůKotěšovec 2011Kotěšovec 2011

(known in 19th century)or 0, Dudeney 1917

n >= 11, (conjecture VK)

Knights Problem, A030978

Kotěšovec 2011

A190394n > 9, (conjecture VK)n >= 27, (conjecture VK)
Monsky 1989or 0sudé nliché nkomentář
normální šachovnice n x nsudé n(for n > 10 same as for queens)liché nkomentář
prstencová šachovnice n x n

E. Pauls byl první, kdo dokázal, že problém n dam má řešení pro libovolné n > 3 (first proof that n non-attacking queens can always be placed on an n x n board for n>3 was by E. Pauls). Maximální
počty pro střelce a jezdce na normální šachovnici uvádí Henry Dudeney, "Amusements in Mathematics" (1917), str. 96. Maximální počet králů na normální šachovnici uvádí např. Joseph
S. Madachy v knize "Mathematics on vacation" (1966), v kapitole "Chessboard placement problems" na str. 39 (ale tento výsledek byl znám již v 19. století). Důkaz vzorce pro maximální počet
neohrožujících se králů, které se vejdou na prstencovou šachovnici n x n, viz kniha John Watkins: Across the Board: The Mathematics of Chessboard Problems (2004), str. 194.

75214.1) normal chessboard - normální šachovnice
Maximal number of non-attacking / Maximální počet neohrožujících se
normalchessboard

Kings

QueensRooks

Bishops

Knights

1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10 x 1011 x 1112 x 1213 x 13
14 x 1415 x 15

1
1
4
4
9
9
16
16
25
25
36
36
49
49
64

1
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28

1
4
5
8
13
18
25
32
41
50
61
72
85
98
113

1
4
5
8
10
16
17
20
21
24
26
32
33
36
39

normálníšachovnice

králů

dam

věží

střelců

jezdců

tátošů

Nightriders Amazons

WazirsFersesZebrasGrasshoppers

1
1
1
2
4
4
5
6
8
10
11
12
13
14
15

1
2
5
8
13
18
25
32
41
50
61
72
85
98
113

1
2
6
8
15
18
28
32
45
50
66
72
91
98
120

1
4
9
12
13
20
28
36
44
50
61
72*
85*
98*
113*

1
4
6
8
10
14
18
22
27
>= 33
>= 37
>= 46
>= 50
>= 61
>= 65

amazonekvezírů

fersů

zeber

cvrčků

* - best found to date and an improvement seems unlikely, but an exhaustive search has not been performed

Karl Fabel publikoval v knize Schach und Zahl (1966) na str.62 dvě zajímavé pozice: 22 neohrožujících se cvrčků (viz diagram) a 20 neohrožujících se tátošů (viz diagram).
Počítačem jsem nyní dokázal, že obě tyto hodnoty jsou (na šachovnici 8 x 8) opravdu maximální (proven optima)! Co se týče tátošů, ke stejnému výsledku došel i George Jelliss(The Games and Puzzles Journal, Issue 37, January-February 2005, Chess-Piece Arrangement Problems), který uvádí hodnoty 1,4,5,8 (do šachovnice 4x4 shodné jako pro jezdce),
10, 16, 17, 20. Tyto hodnoty jsem ověřil počítačem a vypočítal další (např. na šachovnici 16x16 se vejde 42 nenapadajících se tátošů). Obecný vzorec zatím není znám, odvodil
jsem však nerovnost určující meze pro tato maxima (viz str. 758). Open problems: general formula for maximal number of non-attacking nightriders and grasshoppers.
George Jelliss publikoval na své internetové stránce i hodnoty pro zebry (The Games and Puzzles Journal, Issue 34, July-August 2004), ale jen do n=6 (s tím, že autorem je T. W.
Marlow). I zde jsem doplnil nové hodnoty. Pro větší n budou pravděpodobné maximální počty stejné jako pro jezdce.

753Příklady pozic - Examples

16 kings, 8x8

20 zebras, 6x6
T. W. Marlow (2004)

8 queens, 8x8

8 rooks, 8x8

28 zebras, 7x7(proven optima)

36 zebras, 8x8
V. Kotěšovec (2011)(proven optima!)

14 bishops, 8x8

41 zebras, 9x9(not maximal)

32 knights, 8x8

44 zebras, 9x9
V. Kotěšovec (2011)(proven optima!)

10 amazons, 10x10

50 zebras, 10x10(proven optima)

Konstrukce černých kamenů na černých polích je téměř vždy tou s maximálním počtem kamenů. Pro zebry ale až do šachovnice 9x9 existují atypická rozestavení s větším počtem těchto kamenů
(např. na 8x8 je 36 více než 32 zeber na všech černých polích). Konstrukce 44 zeber na 9x9 je jediná možná. Od šachovnice 10x10 je však i pro zebry konstrukce s kameny na černých polích už tou
maximální (počítačem dokázáno ještě i pro n=11). S 50 zebrami na 10x10 existují jen 2 pozice (na diagramu je druhá z nich - s kameny pouze na bílých polích).

32 ferses, 8x8

28 ferses, 7x7

32 wazirs, 8x8

754
Grasshopper - moves along Queen-lines over another unit of either colour to the square immediately beyond that unit. A capture may be made on arrival, but thehurdle is not affected.

10 grasshoppers, 5x5

14 grasshoppers, 6x6

18 grasshoppers, 7x7

22 grasshoppers, 8x8Karl Fabel (1966)(proven optima!)

27 grasshoppers, 9x9
V. Kotěšovec (4/2011)(proven optima!)

Počítačem jsem dokázal, že na šachovnici 8x8 lze umístit maximálně 22 neohrožujících se cvrčků a existuje celkem 74 takových pozic. První takovou pozici
zkonstruoval Karl Fabel a najdeme ji v knize Schach und Zahl (1966) na str.62. Nyní je potvrzeno, že jde o absolutní rekord, na šachovnici 8x8 neexistuje pozices 23 (nebo více) nenapadajícími se cvrčky. Jinak je zřejmé, že pro šachovnici n x n se maximum pohybuje někde mezi n2/4 a n2/2 (např. každá pozice nenapadajících
se králů jistě vyhovuje i pro cvrčky, na druhé straně počet cvrčků na každé řadě nebo sloupci nemůže přesáhnout n/2+1), ale přesný vzorec bude těžké objevit.
Pomocí konstrukce na diagramu jsem odvodil ještě následující přesnější
odhad maxima m. Pro n>4

Numericky je tento odhad zanesen v tabulce na str. 752 a graf ukazuje, že
pro zatím vypočtené hodnoty je tento dolní odhad velmi těsný.
33 grasshoppers, 10x10(non-proven optima)
Hodnota 33 pro n=10 sice není dokázána počítačem (s jistotou) jako absolutní rekord, ale předpokládám, že už nebude překonána.
Počítačem mám v tomto případě pro maximum m dokázanou alespoň nerovnost 33 <= m <= 36.

755

Rookhopper - moves like a Grasshopper but only on Rook-lines. Bishophopper - moves like a Grasshopper but only on Bishop-lines.

32 rookhoppers, 8x8(proven optima)

30 bishophoppers, 7x7(proven optima)

36 bishophoppers, 8x8(proven optima)

76 bishophoppers, 12x12(proven optima)

Jednotlivé cvrčkové složky se nazývají věžový cvrček a střelcový cvrček. Pro věžového cvrčka
dostáváme od n > 3 shodné výsledky jako pro vezíra.
Maximal number m of non-attacking rookhoppers on an n x n normal chessboard, for n>3 is(hranaté závorky znamenají celou část)Zajímavější je střelcový cvrček, kde existují optimálnější konfigurace než pro ferse. Konstrukce na
diagramech (s kameny na okrajích šachovnice) dává pro maximální počet nenapadajících sestřelcových cvrčků na normální šachovnici n x n následující vzorec.
Maximal number m of non-attacking bishophoppers on an n x n normal chessboard, for n>2 is(V. Kotěšovec, 13.3.2012)(počítačem ověřeno pro).

122 bishophoppers, 15x15(proven optima!)

normalchessboard

Rookhopper

Bishophopper

1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10 x 1011 x 1112 x 1213 x 13
14 x 1415 x 1516 x 1617 x 17

1
4
6
8
13
18
25
32
41
50
61
72
85
98
113
128
145

1
4
8
12
17
22
30
36
47
54
68
76
93
102
122
132
155

normální šachovnice věžový cvrček střelcový cvrček

756
Nightrider - a Rider along a straight line on squares lying a Knight's move away from each other.
Theorem (V. Kotěšovec, 5.5.2011): Pro maximální počet m neohrožujících se tátošů, které lze rozmístit na normální šachovnici n x n (n > 3), platí nerovnost
Maximal number m of non-attacking nightriders (A190394) on an n x n normal chessboard (n > 3) satisfy the following inequalityDůkaz: Určíme maximální možný počet rovnoběžných linií s krokem [1,2] na normálníšachovnici. Na každé z těchto linií může být vždy nejvýše jeden tátoš. Tyto linie ukazuje
diagram. Vidíme, že jejich počet je

even nTím je dokázáno, že na normální šachovnici n x n nelze umístit
nebo více
neohrožujících se tátošů. Tato část nerovnosti platí dokonce pro všechna n.
Obráceně, abychom dokázali druhou část nerovnosti, je třeba zkonstruovat alespoň jedno
takové řešení. Diagramy ukazují (pro n>3) rozmístění 2n neohrožujících tátošů na normálníchšachovnicích sudých, resp. lichých rozměrů. Pro sudá n jsou tátoši vždy na krajních řadách,
pro lichá n je druhá n-tice vždy na předposlední řadě.
Proof: No more than 3n-2 parallel lines (with step [1,2]) exists. Diagram shows these lines
and his "starting points" for a normal chessboard. Arrangements of 2n nightriders on ann x n normal chessboard exists (see constructions for even and odd n).

odd n

V grafu vpravo znázorňují zelené přímky správnost nerovnosti pro
skutečné hodnoty budou blíže hornímu odhadu.
Modře je označen asymptoticky lepší dolní odhad

Similar proof for toroidal chessboard, see page 784.

(green lines). Pro větší n se dá předpokládat, že(blue), který bude pro

odvozen na další straně.

Výše uvedenou větu jsem současně aplikoval i v počítačovém programu, kdy lze výpočet výrazně urychlit podmínkou, že na každé
z uvažovaných linií může být maximálně jeden kámen. Pokud potřebujeme objevit maximální možný počet nenapadajících se kamenů
nebo zjistit počet všech takových pozic, je třeba prozkoumat všechny možnosti, ale pokud chceme rychle najít jen jednu vyhovující
pozici, vyexperimentoval jsem, že tento postup lze výrazně urychlit tím, že jednotlivé linie setřídíme podle jejich délek a kamenyumísťujeme nejprve na ty linie, které jsou nejkratší. Je to jakási obdoba Warnsdorffova algoritmu, který se používá v teorii grafů pro
nalezení cesty jezdce.

757

Dolní mez je možno ještě zlepšit pomocí konstrukce na diagramu. Pozice na šachovnici 16x16 obsahuje celkem 40 tátošů
(a nejde tedy o absolutní rekord, který je 42), ale na tomto principu lze vytvořit obecné pozice, obsahující více než(dokázané dolní omezení) 2n tátošů. Pokud umístíme na okraje vždy d tátošů, určují linie vyznačené na diagramu mez pro
tento počet a současně i rovnoběžnou řádku, kde bude umístěna shodná skupina tátošů. Celkový počet tak bude 8d.
Rovnice vyznačených přímek obecně pro ridera [r,s] (zde je r=1 a s=2) jsouŘešením této soustavy nalezneme souřadnice [x,y] průsečíku, s tím, že
Dostaneme tak

Toto samozřejmě přesně platí, jen pokud jsou výsledkem celá čísla, tedy když n je sudé aje násobkem

Pro hledané maximum dostáváme

Tento odhad obecně není lepší než nerovnost na str. 764 a má význam pouze pro případ r=1 s=2 (např. pro r=2 s=3 už je
lepší dolní mez 3n). Pro tátoše a šachovnice typu
tak dostáváme nerovnost

kterou jde zobecnit, když vezmeme pro každé n nejbližší menší celé číslo tvaru
prázdný). Odtud pak dostaneme pro všechna(zbytek šachovnice ponechámecož má značný význam zejména z asymptotického hlediska, protože odtud (a z předchozí věty) vyplývá, že

Obrázek vlevo určuje pokrytí šachovnice větších rozměrů tátoši umístěnými ve 4 skupinách na okrajích šachovnice. Bílá místa jsou volná pro umístění dalšíchkamenů. Další čtveřici skupin kamenů doplníme (podle vzoru jako na horním diagramu) do míst, kde hodnota d nabývá maxima (označeného šipkou).

758Příklady maximálních konfigurací. Pro n <= 19 jde o absolutní rekordy (proven optima).

16 nightriders, 6x6(proven optima)
jediná možná pozice

24 nightriders, 10x10
V. Kotěšovec (2011)(proven optima)

17 nightriders, 7x7(proven optima)

20 nightriders, 8x8Karl Fabel (1966)(proven optima!)

existují pouze tyto 2 pozice!

21 nightriders, 9x9
V. Kotěšovec (2011)(proven optima)

existují pouze tyto 2 pozice!

existují pouze tyto 2 pozice!

26 nightriders, 11x11
V. Kotěšovec (2011)(proven optima)
existuje celkem 40 různých
pozic

jiná pozice, kde jsou
všechny kameny jen načerných polích

32 nightriders, 12x12
V. Kotěšovec (2011)(proven optima)

existují pouze tyto 2 pozice!

Primárním cílem tohoto výzkumu bylo samozřejmě nalézt hodnoty maximálních počtů neohrožujících se kamenů různých typů. Jak ale vidíme z diagramů, výsledkem jsoui příklady takových konfigurací, z nichž řada z nich působí esteticky pěkným dojmem. Je to jakýsi průsečík šachu, matematiky a umění. Při zkoumání dalších typů liniových
kamenů tak už pro mě bylo na prvním místě hlavně nalezení dalších oku lahodících konfigurací.
A ještě jednu poznámku. V šachových úlohách je symetrie spíše na závadu, protože symetrické varianty nepřinášejí už nic nového. V případě konfigurací nenapadajících se kamenů
je tomu však naopak, právě tyto symetrické pozice (ať už je symetrie úplná nebo jen částečná) dodávají diagramům tu uměleckou složku a určitou harmonii.

759

33 nightriders, 13x13
V. Kotěšovec (2011)(proven optima)
existuje celkem 25 různých pozic

jiná pozice, kde jsou všechny kameny
jen na černých polích

39 nightriders, 15x15
V. Kotěšovec (2011)(proven optima)
existují pouze 2 pozice(kromě této už jen zrcadlově otočená)36 nightriders, 14x14
V. Kotěšovec (2011)(proven optima)
existuje celkem 17 různých pozic

42 nightriders, 16x16
V. Kotěšovec (2011)(proven optima)

760

























45 nightriders, 17x17
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

48 nightriders, 18x18
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

761




























51 nightriders, 19x19
V. Kotěšovec (31.3.2012)(proven optima)

54 nightriders, 20x20
Rob Pratt (24.6.2015, see A190394)(proven optima)

762Ještě mohou být zajímavé možnosti rozmístění nenapadajících se tátošů jen na černých polích šachovnice.
(diagramy pro n=11 až 13 viz předchozí sekce)


























16 nightriders, 8x8
on a black squares
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

34 nightriders, 14x14
on a black squares
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

37 nightriders, 15x15
on a black squares
V. Kotěšovec (1.4.2012)(proven optima)

normalNightriders
chessboard on a black squares
1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10 x 1011 x 1112 x 1213 x 13
14 x 1415 x 1516 x 1617 x 1718 x 18
19 x 19
20 x 20

normálníšachovnice

1
2
5
8
9
10
13
16
18
20
26
32
33
34
37
40
41
42
>= 44

tátoši jen načerných polích

763






 



 



 











40 nightriders on a black squares, 16x16
V. Kotěšovec (2012, proven optima)

41 nightriders on a black squares, 17x17
V. Kotěšovec (2012, proven optima)



 


 



 

















42 nightriders on a black squares, 18x18
V. Kotěšovec (2012, proven optima)

44 nightriders on a black squares, 19x19
V. Kotěšovec (2012, non proven optima)

764
Theorem (V. Kotěšovec, 20.3.2012):
Generally, the maximal number m of non-attacking riders [r,s],, on an n x n normal chessboard satisfy forDůkaz (proof) platnosti horní meze, která je rovna počtu
možných linií těchto kamenů ve stejném směru, je identický
jako na str.756 pro tátoše, viz též schéma v kapitole 6.1.1.
Počet možných linií je určen plochou oblasti na schématu
vlevo, která je rovna. Umístění vícekamenů než je horní mez nerovnosti na šachovnici n x n byznamenalo (podle Dirichletova principu), že na některéz těchto linií musí stát nejméně 2 kameny, tedy že senapadají, což by byl spor.
Tato část nerovnosti platí pro všechna

Dolní mez lze dokázat tím, žezkonstruujeme alespoň jednu takovou
pozici. Pokud umístíme n kamenů na celýřádek, bude celkový počet kamenů rovenpočet řádků krát n. V případě ridera [r,s]můžeme umístit nenapadající se kameny na
prvních r řádků. Pro další umístění jsou tak(do určitého místa) vyloučeny všechnyřádky (ve směru [r,s] nahoru) v pásech
šířky r s periodou s (modře šrafované
oblasti ve schématu pro r=3, s=5, n=16).
Jelikož je r < s, skončí toto omezení dříve
ve směru [s,r] a to v bodě se souřadnicíViz červené šipky v grafu. Řádky nad tímto místem, které jsou za následující modře
šrafovanou oblastí, jsou pak už volné pro umístění další série kamenů. Šířka každého takového
pásu je. Nyní mohou nastat 2 případy. Pokud nebude tento pruh širší než r, tedymůžeme jej zcela zaplnit kameny (které se nebudou ohrožovat) a celkový počet rozmístěných
kamenů bude tak

the following inequality

Pro tento případ je tak věta dokázána. Následující schéma ukazuje rozsah pokrytí při umístění
r plných řádek riderů [r,s] od dolního okraje šachovnice. Zobrazeno pro n = 100, r = 5, s = 7.
Vidíme, že nahoře vznikají pásy šířky
. Do jednoho z nich můžeme umístit 2 řadykamenů, čímž dostáváme potřebných 5+2=7 = s obsazených řad kamenů.

Současně vidíme, že by se dalo (v tomto případě) umístit ještě určité množství kamenů na bílá
pole. Asymptoticky tak dostáváme pro případ
dokonce vylepšenou nerovnostDruhý případ, kdy, tedyje složitější. Celý pás šířky
nemůžeme zaplnit kameny, protože by se napadaly.
Přípustné jsou pouze pásy šířky maximálně r. Z modularity podle s je zřejmé, že každá
obsazená řádka zabere v celém poli vždy sérii rovnoběžných řádek vzdálených od sebe s.
Celkový počet plně obsazených řádek tak nemůže být větší než s (maximální počet zbytků podělení s). Zbývá dokázat, že taková konfigurace vždy opravdu existuje.

765
Na následujících schématech jsou při volbě n = 100, r = 2, s = 7 volné pruhy sice šířky 5, alemůžeme přidávat vždy nejvýše 2 (=r) nové řádky. Na pravém schématu je tak konfiguraceřádek 2+2+2+1 =7 (=s). Žádný další kámen už nelze přidat.

Následují funkce (v programu Mathematica) určí pro zadané r, s na šachovnici n x nmaximální počet takových volných řádek, kam lze umístit další kameny.
nlines[n_,r_,s_]:=(p=ConstantArray[0,n];lines=0;
Do[If[p[[base]]==0,
Do[If[k<=Floor[(n-1)/s],If[base+k*r<=n,p[[base+k*r]]=1]];
If[k<=Floor[(n-1)/r],If[base+k*s<=n,p[[base+k*s]]=1]];,{k,1,n}];lines=lines+1],{base,1,n}];lines);

Program můžeme ověřit pro data na schématu z předchozí strany. Dostáváme tak pole, ve
kterém hodnoty 0 určují řádky, na které lze umístit kameny.

Je však zajímavé, že ne vždy funguje algoritmus s přidáváním vždy právě r spojitých řádek na
první volnou pozici. Následující schémata znázorňují situaci pro n = 280, r = 5, s = 11. Od
prvního volného řádku není k dispozici r řádek v celku a pokud bychom je dali až do dalšího
volného pruhu, mohlo by se v některých případech stát, že by se vešlo celkově jen s-1 plných
řádek. Proto je potřeba r-tici rozdělit a obsazovat nové řádky vždy hned do prvníbezprostředně možné volné pozice.

Platnost dolního omezení, tedy že existuje s takových řádek, jsem programem ověřil pro
všechna. Zajímavý je ještě rozsah platnosti, protože pro malá n dolní omezeníještě vždy neplatí. S jistotou platí pro všechna, jak ukazuje výstup z následujícího
programu. Této hranice je dosaženo pro ridery [r,s], kde r dělí, speciálně vždy pro[1,s] a [s-1,s]. Počet hodnotv každé řádce je roven počtu dělitelů čísla
.

766

Maximal number of non-attacking
normalchessboard Nightriders Camelriders Zebrariders Girafferiders Anteloperiders
1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10 x 1011 x 1112 x 1213 x 13
14 x 1415 x 1516 x 1617 x 1718 x 18
19 x 19
20 x 20
21 x 2122 x 2223 x 23
24 x 24
25 x 25
26 x 26
27 x 27
28 x 28

Riders [1,5]

1

1

1

1

1

1

4

4

4

4

4

4

5

9

9

9

9

9

8

10

12

16

16

16

10
16
17
20
21
24
26
32
33
36
39
42
45
48
51
54

15

13

17

21

25

18

20

20

24

26

20
24
29
32
41
42
49
50
55
58
60
62
69
72
81
82
87
90
94
98

24
26
32
36
39
46
48
52

25

25

31

32

36

34

33
40
45
52
52
58

40
46
50
56

45
50

52
56
65
70
77
78
85
98
102
104

Rider

[1,2]

[1,3]

[2,3]

[1,4]

[3,4]

[1,5]

numberof lines

3n-2

4n-3

5n-6

5n-4

7n-12

6n-5

767




 

































20 Camelriders, 7x7
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

24 Camelriders, 8x8
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

29 Camelriders, 9x9
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

32 Camelriders, 10x10
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

41 Camelriders, 11x11
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)
























42 Camelriders, 12x12
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

49 Camelriders, 13x13
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

50 Camelriders, 14x14
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

55 Camelriders, 15x15
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

768

  


  

  


  

  


  

  


  

  


  

  


  


58 Camelriders, 16x16
60 Camelriders, 17x17
62 Camelriders, 18x18
V. Kotěšovec (2012)
V. Kotěšovec (2012)
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)(proven optima)(proven optima)

  


  

  


  

  


  

  


  

  


  

  


  

  


  


69 Camelriders, 19x19
72 Camelriders, 20x20
81 Camelriders, 21x21
V. Kotěšovec (2012)
V. Kotěšovec (2012)
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)(proven optima)(proven optima)

769
 


 

 


 

 


 
 


 
 


 
 


 
 


 
 


 


82 Camelriders, 22x22
V. Kotěšovec (2012, proven optima)

87 Camelriders, 23x23
V. Kotěšovec (2012, proven optima) 
  



  
  



 
 
  



  
  



  
  


 
  
  



  
  



  
  



 
 
  


 

90 Camelriders, 24x24
V. Kotěšovec (2012, proven optima)

94 Camelriders, 25x25
V. Kotěšovec (2012, proven optima)

98 Camelriders, 26x26
V. Kotěšovec (2012, proven optima)

770







































24 Zebrariders, 7x7
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

26 Zebrariders, 8x8
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

32 Zebrariders, 9x9
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

36 Zebrariders, 10x10
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)























46 Zebrariders, 12x12
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

48 Zebrariders, 13x13
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

39 Zebrariders, 11x11
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

771





















52 Zebrariders, 14x14
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

57 Zebrariders, 15x15
V. Kotěšovec (2012)(non proven optima)

772



























































 


33 Girafferiders, 9x9
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

40 Girafferiders, 10x10
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

45 Girafferiders, 11x11
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

52 Girafferiders, 12x12
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

Poznámka: Pro šachovnice 8x8 a menší jsou výsledky pro Girafferiders shodné jako pro žirafy, vlastnost liniového kamene se neuplatní.




 






















52 Girafferiders, 13x13
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

58 Girafferiders, 14x14
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

773















































 

40 Anteloperiders, 9x9
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

46 Anteloperiders, 10x10
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

50 Anteloperiders, 11x11
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)



 



















56 Anteloperiders, 12x12
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

62 Anteloperiders, 13x13
V. Kotěšovec (2012)(non proven optima)

774







 




















































52 Riders [1,5], 11x11
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

56 Riders [1,5], 12x12
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

65 Riders [1,5], 13x13
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

70 Riders [1,5], 14x14
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)





























77 Riders [1,5], 15x15
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

78 Riders [1,5], 16x16
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

85 Riders [1,5], 17x17
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

775































98 Riders [1,5], 18x18
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

102 Riders [1,5], 19x19
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

104 Riders [1,5], 20x20
V. Kotěšovec (2012)(proven optima)

776
Maximální počty semi-kamenů a jejich srovnání se shodnými kameny s plnou působností po všech liniích
Maximal number of non-attacking / Maximální počet neohrožujících se
normalchessboard

1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10 x 1011 x 1112 x 1213 x 13
14 x 1415 x 1516 x 16

Bishops semi-Bishops

1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31

Knightssemi-Knights

Nightriders

semi-Nightriders

Wazirssemi-Wazirs

Fersessemi-Ferses

1
4
5
8
13
18
25
32
41
50
61
72
85
98
113
128

1
4
7
10
16
24
30
36
47
60
69
78
94
112
124
136

1
4
5
8
10
16
17
20
21
24
26
32
33
36
39
42

1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46

1
2
5
8
13
18
25
32
41
50
61
72
85
98
113
128

1
2
6
8
15
18
28
32
45
50
66
72
91
98
120
128

1
2
6
8
15
18
28
32
45
50
66
72
91
98
120
128

1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
78
91
105
120
136

jezdců

semi-jezdců

tátošů

semi-tátošů

vezírů

semi-vezírů

fersůsemi-fersů

nxn

normální šachovnice střelců semi-střelců

77714.2) toroidal chessboard - prstencová šachovnice

Maximal number of non-attacking / Maximální počet neohrožujících se
toroidalchessboard

Kings

QueensRooks

Bishops

Knights

1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10 x 1011 x 1112 x 1213 x 13
14 x 1415 x 15

1
1
1
4
5
9
10
16
18
25
27
36
39
49
52

1
1
1
2
5
4
7
6
7
9
11
10
13
13
13

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

1
2
3
8
5
18
14
32
27
50
41*
72
61*
98
85*

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

prstencovášachovnice

králů

dam

věží

střelců

jezdců

tátošů

Nightriders Amazons

WazirsFersesZebrasGrasshoppers

1
1
1
1
1
2
4
5
5
8
11
10
13
13
13

1
2
3
8
10
18
21
32
36
50
55
72
78
98
105

1
2
3
8
10
18
21
32
36
50
55
72
78
98
105

1
4
3
8
10
18
14
32
27
50
44
72
52*
98
90*

1
4
4
8
10
12
14
18
22
>=26
>=32
>=37
>=45
>=50
>=60

amazonekvezírů

fersů

zeber

cvrčků

* - best found to date and an improvement seems unlikely, but an exhaustive search has not been performed

778Příklady pozic - Examples

18 kings, toroidal 9x9

14 knights, toroidal 7x7

11 queens, toroidal 11x11

13 knights, toroidal 7x7(not maximal!)8 rooks, toroidal 8x8

27 knights, toroidal 9x9(proven optima!)

9 bishops, 9x9

25 knights, toroidal 9x9(maximum on black squares,
but not absolute maximum)

Určení maximálního počtu neohrožujících se jezdců na prstencové šachovnici je snadné našachovnicích sudých rozměrů (kde lze použít, stejně jako na normální šachovnici, konfiguraci
jezdců pouze na černých polích), ale je poměrně složité na šachovnici lichých rozměrů (kdespolu sousedí pole stejných barev!). Jsou možné 2 typy konstrukcí. Pro n>=11 je opět tou
nejlepší konfigurací rozmístění jezdců jen na černých polích s dostatečnou mezerou (alespoň
2 řady a 2 sloupce), aby na sebe nemohli jezdci na prstencové šachovnici působit. Ale prošachovnice n x n, kde n je liché a menší než 11, vtěsnáme na šachovnici více kamenů připoužití jezdců umístěných ve sloupcích vzdálených od sebe o 3 (pokud je n typu 3k nebo
3k+1) nebo kombinací obou možností (pokud je n typu 3k+2).

11 amazons, toroidal 11x11

36 knights, toroidal 11x11(not maximal!)

32 knights, toroidal 8x8

41 knights, toroidal 11x11(position shifted for better view)

Pro n >=11 tak dostaneme vzorec pro maximální počet neohrožujících se jezdců na prstencovéšachovnici lichých rozměrů (Maximal number of non-attacking knights on an n x n toroidal
chessboard is, if n is odd, n>=11)

Je však možné zahrnout všechny případy do jednoho výrazu. V programu Mathematica
dostaneme tabulku maximálních počtů kamenů (zahrnující i šachovnice sudých rozměrů)takto:

Table[If[EvenQ[n],n^2/2,Max[If[Mod[n,3]==2,n*(n-5)/3+3*(n-1)/2-1,n*Floor[n/3]],((n-2)^2+1)/2]],{n,1,50}]

779
Zebra is a leaper [2,3].
A

B1

C

44 zebras, toroidal 11x11(proven optima!)

32 zebras, toroidal 11x11(not maximal)

33 zebras, toroidal 11x11(not maximal)

Pro šachovnice sudých rozměrů je (vzhledem k tomu,
že zebry podobně jako jezdci mění svým tahem barvupole) nejlepší konstrukcí umístění všech kamenů načerná pole, kterých je v případě prstencových
šachovnic sudých rozměrů

32 zebras, toroidal 8x8

A

B1

C

n

14 zebras, toroidal 7x7

8 zebras, toroidal 7x7

11 zebras, toroidal 7x7

A

B1

C

27 zebras, toroidal 9x9(proven optima!)

18 zebras, toroidal 9x9(not maximal)

20 zebras, toroidal 9x9(maximal on black squares)

7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39

konstrukce A konstrukce B1 konstrukce B2 konstrukce C
14
27
44
52
90
102
133
168
184
250
270
319
372
396
490
518
585

8
18
32
50
72
98
128
162
200
242
288
338
392
450
512
578
648

8
19
32
51
72
99
128
163
200
243
288
339
392
451
512
579
648

11
20
33
?
?

Podobně jako v případě jezdců jsou možné i pro zebry na prstencové šachovnici
lichých rozměrů různé typy konstrukcí, které jsem označil jako A, B1, B2, C.

780
A

B1

B2

A

B1

B2

52 zebras, toroidal 13x13

50 zebras, toroidal 13x13(not maximal)

51 zebras, toroidal 13x13(not maximal)

90 zebras, toroidal 15x15

72 zebras, toroidal 15x15(not maximal!)72 zebras, toroidal 15x15

Pro n<=11 existují různé nepravidelné konstrukce zeber pouze na černých polích (označené jako C), umožňující umístění více zeber než při konstrukcích B1 nebo B2. Prošachovnici 15x15 však počítač (po asi 10 hodinách) už žádnou atypickou konstrukci nenašel (i když nebylo možné prozkoumat všechny možnosti). Je možné, že konstrukce typu C,
které by umožňovaly rozmístění více neohrožujících se zeber, pro větší rozměry prstencových šachovnic už neexistují. Na posledním diagramu jsem konstrukci B2 na prstencovéšachovnici 15x15 posunul tak, aby bylo zřejmější napadání jednotlivých polích na prstencové šachovnici.
Pro čtvercovou konstrukci B1 je maximální počet možných kamenů
. Konstrukce B2 dává stejný výsledek jako B1 pro n typu 4k-1, ale pro n typu 4k+1 se na prstencovoušachovnici vejde o 1 kámen více. Maximální počet kamenů tak pro B2 vychází

Conjecture (V. Kotěšovec, 4.5.2011): Maximal number of non-attacking zebras on an n x n toroidal chessboard is (if n is odd, n>=27)

Pro menší hodnoty n je většinou lepší konstrukce A, ve dvou přilehlých sloupcích, oddělených mezerou 3 sloupců od dalších. Záleží ovšem ještě na tom, jaký dává n zbytek podělení 5. V případě, že je n typu 5k, 5k+1, 5k+2 nebo 5k+3, vycházejí vždy 2 sloupce vedle sebe. V případě n=5k+4 zůstane jeden sloupec osamocený (viz předchozí strana).
Je však evidentní, že pro velká n musí být konstrukce B vždy lepší než konstrukce A. Velikost pokrytí se v případě konstrukcí B asymptoticky blíží k 50%, kdežto v případě
konstrukce A je to pouze 40% pokrytí. Konstrukce B s kameny na černých polích je úspěšnější než konstrukce A ale až od n>=27 (viz též tabulka na předchozí straně). Od tohoto
n je pro prstencové šachovnice lichých rozměrů maximální počet rozmístitelných neohrožujících se zeber daný předchozím vzorcem pro konstrukci B2.
Celkem tedy máme (když zahrneme i atypické hodnoty pro n<=3)
Flatten[{{1,4,3},Table[If[EvenQ[n],n^2/2,
Max[If[Mod[n,5]==4,2n*Floor[n/5]+n,2n*Floor[n/5]],(n-3)*(n-4)/2+2*Floor[n/4]]],{n,4,50}]}]781
Pro vezíry a fersy na prstencových šachovnicích lichých rozměrů jsou nejúspornější tyto konstrukce:(Wazir is a leaper [0,1], Fers is a leaper [1,1])

32 wazirs, toroidal 8x8

21 wazirs, toroidal 7x7

36 wazirs, toroidal 9x9(proven optima!)

55 wazirs, toroidal 11x11(proven optima!)

78 wazirs, toroidal 13x13(proven optima!)

Na prstencové šachovnici 9x9 existuje celkem 18 pozic se 36 nenapadajícími se vezíry. Na prstencové šachovnici 11x11 existuje celkem 22 pozic s 55
nenapadajícími se vezíry. Na prstencové šachovnici 13x13 existuje celkem 26 pozic se 78 nenapadajícími se vezíry.

32 ferses, toroidal 8x8(proven optima)

21 ferses, toroidal 7x7(proven optima)

36 ferses, toroidal 9x9(proven optima)

55 ferses, toroidal 11x11(proven optima)

Note: On an n x n toroidal chessboard are results for rookhoppers (for n>3) same as for wazirs and results for bishophoppers (for n>3) are same as for ferses.

782

12 grasshoppers, toroidal 6x6(proven optima)

14 grasshoppers, toroidal 7x7(proven optima)

18 grasshoppers, toroidal 8x8
V. Kotěšovec (4/2011)(proven optima!)

22 grasshoppers, toroidal 9x9
V. Kotěšovec (4/2011)(proven optima!)

Počítačem jsem dokázal, že na prstencovou šachovnici 8x8 se vejde maximálně 18 nenapadajících se cvrčků. Možných pozic s 18 kameny je celkem 6784. Pro
prstencovou šachovnici 9x9 je nalezené maximum 22, což je rovněž absolutní rekord. Existuje celkem 1620 různých pozic. Rekordy pro šachovnice větších rozměrů
mohou být ještě překonány. Most of the results are "absolute" (proven optima), but some are identified as only "probable" (best found to date and an improvement
seems unlikely, but an exhaustive search has not been performed).

26 grasshoppers,
toroidal 10x10(non-proven optima)

Z konstrukcí na diagramech sudých rozměrů vyplývá (pro n>2) odhad maxima

37 grasshoppers,
toroidal 12x12(non-proven optima), což je o 1 pole lepší než při rozmístění na polích nenapadajících se králů.

783

32 grasshoppers, toroidal 11x11(Pavel Kameník, 5/2011
Cornel Pacurar, 5/2011)(non-proven optima)

39 grasshoppers, toroidal 13x13(not maximal)

45 grasshoppers, toroidal 13x13(Pavel Kameník, 16.5.2011)(non-proven optima)

45 grasshoppers, toroidal 13x13(Luis Miguel Martín, 19.5.2011)(another position, symmetrical)

Pro lichá n se mi dlouho nedařilo najít nějakou pravidelnou konstrukci. Např. pro prstencovou šachovnici 13x13 tak byla v tu chvíli maximální konfigurace
39 nenapadajících se cvrčků umístěných na polích jako při pozici králů (viz diagram). Jelikož nebylo časově únosné prozkoumat počítačem šachovnice většíchrozměrů, vypsal jsem 15.5.2011 na mojí internetové stránce malou soutěž, jestli někdo neobjeví pozici se 40 neohrožujícími se cvrčky na prstencové šachovnici
13x13. Předpokládal jsem totiž, že do té doby nalezená pozice se 39 cvrčky určitě nebude tou maximální. A skutečně, hned 16.5.2011 objevil Pavel Kameník pozici
se 45 cvrčky a současně i kýžený mustr pro prstencové šachovnice lichých rozměrů. Jeho konstrukce dává pro lichá n vzorec

Pro n=9 je sice lepší nepravidelná konstrukce nalezená počítačem (22 cvrčků proti 21), ale od šachovnice 11x11 je už lepší Pavlova konstrukce.
I announced on my website tournament (C 31.5.2011): "Find configuration of 40 non-attacking grasshoppers on an 13x13 toroidal chessboard!". Winner Pavel
Kameník found arrangements of 45 grasshoppers and simultaneously general scheme if n is odd. His construction is best for n>=11 (for n=9 is better position on
previous page). Identical position on an 11x11 toroidal board found also Cornel Pacurar.
Aktuální známé hodnoty všech maxim (resp. jejich dolních mezí) jsou zaneseny v tabulce na str. 777.
Poznámka: Jako kuriozitu mohu doplnit, že „korektnost“ všech těchto pozic lze ověřit programem WinChloe. Stačí všechny kameny definovat jako neutrální a řešit jako jednotažku s výzvou „Gainde piece“. Pokud nemá taková úloha řešení, je pozice správná, není možné žádné braní a tedy kameny se nenapadají.

784

Theorem (V. Kotěšovec, 5.5.2011):
Maximální počet neohrožujících se tátošů, které lze rozmístit na prstencovou šachovnici n x n je n. Řešení existuje pro každé n.
Maximal number of non-attacking nightriders on an n x n toroidal chessboard is n. Such solution exists for any n.

Maximální počet kamenů je omezen počtem rovnoběžných linií s krokem [1,2],
přičemž vzhledem k podmínce, že se tátoši nenapadají, může být na každé z těchto
linií nejvýše jeden kámen. Počet takovýchto neidentických linií na prstencovéšachovnici n x n je (podobně jako v případě střelců) roven n. Není proto možné na
prstencovou šachovnici n x n umístit n+1 nebo více neohrožujících se tátošů. Viz
diagram, ve kterém je každá z potenciálních linií označena jinou barvou (proprstencovou šachovnici 8x8 je takovýchto linií právě 8).
Proof: No more than n parallel lines (with step [1,2]) exists, therefore no
arrangements of n+1 nightriders on an n x n toroidal chessboard exists.

n = 2k + 1

Pro důkaz existence řešení rozlišíme celkem 3 případy.
 Pro lichá n sestrojíme vyhovující pozici jednoduše umístěním n tátošů na
jednom sloupci nebo řadě.
 Pro sudá n je konstrukce obtížnější. Pokud je n násobkem 4, zkonstruujemeřešení složením celkem n/4 bloků 4x4 s konfigurací tátošů ve čtverci 2x2.
 Pokud je n sudé, ale n/2 liché, složíme řešení ze 2 bloků n/2 x n/2 sumístěním vždy n/2 tátošů na krajním sloupci každého dílčího bloku.
Takto můžeme vytvořit řešení pro každé n, úloha má tedy vždy alespoň jednořešení. Viz diagramy.
Proof of existence: construction of solution for each of 3 cases of chessboard types.

n = 4kn = 4k + 2

Ohledně počtu možných rozestavení na prstencové šachovnici, viz kap. 6.4.
Co se týče válcové šachovnice, viz kap. 6.6 a poznámka na str. 339.

785Ještě je zajímavé, že pravděpodobně pro všechna n > 3 existují rozestavení n neohrožujících se tátošů taková, že všechny kameny jsou jen na černých polích
prstencové šachovnice n x n. Toto tvrzení lze dokázat pro všechna n sudá. Pro lichá n jsou konstrukce složitější a existence pro všechna lichá n není jasná.
Examples of special configurations of n non-attacking nightriders on an n x n toroidal chessboard, all units are on a black squares! Existence proved for n even.
For n odd not exists solution for n=3, but for all n>3 probably exists (=conjecture, verified with computer for all n<=38, case n=37 took 279 hours!).

7 nightriders,toroidal 7x7

8 nightriders,toroidal 8x8

11 nightriders, toroidal 11x11(až na posuny a symetriejediná možná pozice)

9 nightriders,toroidal 9x9

12 nightriders, toroidal 12x12

n=4k+213 nightriders, toroidal 13x13(jediná možná pozice)

n=8k

n=8k+415 nightriders, toroidal 15x15

17 nightriders, toroidal 17x17

Konfigurace n neohrožujících se tátošů na prstencové šachovnici n x n s umístěním všech kamenů na černých polích neexistuje na šachovnici 3x3, počítačem byla ale nalezena na
všech ostatních prstencových šachovnicích (lichých i sudých rozměrů) až do n<=38. Některá symetrická rozestavení přinášejí i pěkný estetický zážitek. Na diagramech jsou
zobrazena postavení na šachovnicích lichých rozměrů a ze sudých pouze typ 8k+4.

786

19 nightriders on a black squares,
toroidal 19x19

21 nightriders on a black squares,
toroidal 21x21

23 nightriders on a black squares,
toroidal 23x23

25 nightriders on a black squares,
toroidal 25x25

27 nightriders on a black squares,
toroidal 27x27

28 nightriders on a black squares,
toroidal 28x28

787

29 nightriders on a black squares,
toroidal 29x29

31 nightriders on a black squares,
toroidal 31x31

33 nightriders on a black squares,
toroidal 33x33

35 nightriders on a black squares,
toroidal 35x35

36 nightriders on a black squares,
toroidal 36x36

37 nightriders on a black squares,
toroidal 37x37

Nalezení pozice pro prstencovou šachovnici 37 x 37 s 37 nenapadajícími se tátoši na černých polích trvalo 279 hodin! Pozice je tentokrát zcela nepravidelná.
Diagramy v kapitole 14 byly pořízeny pomocí programu WinChloe.

78814.3) cylindrical chessboard - válcová šachovnice
Maximal number of non-attacking / Maximální počet neohrožujících se
cylindrical chessboard

Kings

Knights

WazirsFerses

1x1
2x2
3x3
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10 x 1011 x 1112 x 1213 x 13
14 x 1415 x 15

1
1
2
4
6
9
12
16
20
25
30
36
42
49
56

1
2
3
8
10
18
21
32
32
50
50*
72
72*
98
98*

1
2
3
8
10
18
21
32
36
50
55
72
78
98
105

1
2
6
8
15
18
28
32
45
50
66
72
91
98
120

vezírů

fersůnxn
n even / sudénxn
n odd / lichéválcová šachovnice, (conjecture)králů

jezdců

Pro dámy, věže a střelce jsou výsledky pro válcovou šachovnici shodné jako pro prstencovou šachovnici.
For queens, rooks and bishops are for cylindrical chessboard maximal numbers identical as for toroidal board.

789
Zajímavý je případ jezdců na válcové šachovnici lichých rozměrů. Od n=9 je nejlepší konstrukce s vynecháním 2 sloupců, ta však není nejlepší na 7x7, kde by
obsahovala jen 18 jezdců, přičemž zde existuje konstrukce s 21 jezdci.

21 knights, cylindrical board 7x7(proven optima)

32 knights, cylindrical board 9x9(proven optima)

50 knights, cylindrical board 11x11

79015) Methods - Metody hledání vzorců
Pro hledání vzorců jsem napsal několik počítačových programů, které hledaly (podle
zvoleného materiálu a rozměru šachovnic) počty neohrožujících se kamenů stejných
hodnot. Po vygenerování dostatečného počtu členů těchto posloupností (což si pro
celou tuto knihu vyžádalo dohromady určitě několik tisíc hodin počítačového času!),jsem pak postupoval několika možnými metodami (nejvíce se osvědčila metoda č.3).

Metoda 1 - odhad tvaru řešení. Při této metodě vycházíme z toho, že
analyzované posloupnosti vedou na homogenní lineární diferenční rovnici
s konstantními koeficienty. Podle počtu rozmísťovaných kamenů snadno
určíme řád této rovnice. Příslušnou diferenční rovnici v tu chvíli sice vůbec
neznáme, ale víme, jaký tvar má obecně její řešení. Pokud dobře odhadneme
tvar partikulárních řešení, jde pak hledat koeficienty příslušných polynomů,což vede k soustavě lineárních rovnic. Počet neznámých koeficientů je
minimálně stupeň tohoto polynomu plus jedna, v případě existencekvazipolynomů (pro každé partikulární řešení) může ale být neznámých
mnohem více. Pokud máme ale k dispozici jen několik prvních členů neznámé
posloupnosti, je možné stupně kvazipolynomů (které zatím neznáme) volit jen
v rozsahu, který nám dovoluje celkový počet vypočtených hodnot (s nutnou
rezervou 1-2 hodnot pro ověření vzorce pro n+1). Pokud to nestačí, musíme
vypočítat další hodnoty. Stupně kvazipolynomů jsou vždy menší než stupeň
hlavního polynomu (dost často to dokonce bývají jen konstanty, občas i nula),
problém je v tom, že to v okamžiku výpočtu neznáme a tak musíme často
experimentovat, zejména pokud máme málo hodnot posloupnosti a výpočet
dalších hodnot je časově náročný. Obecně platí, že vyšší stupeň
kvazipolynomu jde očekávat u členů s nejkratší periodou (obvykle u (-1)n),kvazipolynomy u členů s delší periodou obvykle nemají vyšší stupeň než 1.
Tato metoda je ovšem nejvíce úspěšná pokud vzorec neobsahuje
kvazipolynomy a pokud explicitní vzorec platí již od malých hodnot n (často
se stává, že vzorec platí až od určité hodnoty n).
Metoda 2 - pokud vzorec obsahuje kvazipolynomy (je závislý na typurozměru šachovnice sudá/lichá apod.), je k jeho určení třeba více hodnot.
K minimalizaci počtu potřebných hodnot je možné se pokusit nejprve určit
periodu a potom hledat koeficienty jen jednoho (pevného) polynomu pro
aritmetickou posloupnost n = ap+b, kde p je perioda, b je pevná konstanta(zvolíme jeden z možných posunů) a index a se zvětšuje o 1. Tuto metodu
jsem použil např. v případě 3 tátošů na normální šachovnici, kde při periodě 60

zkoumáme např. posloupnost n=10,70,130,190,250,310. Jelikož víme, ževzorec bude polynom 6.stupně, stačí nám 7 hodnot, ale koeficient u n6 se dápředpokládat (podle tvaru jiných vzorců) jako 1/6, proto stačí hodnot jen 6.
Optimalizovaným programem jsem proto vygeneroval prvních 310 členů
posloupnosti a odtud už se jeden z dílčích vzorců dal určit. Podobným
postupem se pak dají odvodit vzorce pro ostatní posuny. Pak je možné hledat
závislosti a snažit se vzorec unifikovat. Nejtypičtějším příkladem této metodyje (při periodě=2) hledání dvou různých vzorců samostatně pro sudé asamostatně pro liché členy posloupnosti.
Metoda 3 - ve známé číselné řadě se dají hledat rekurence, tj. závislosti nové
hodnoty na hodnotách předchozích. Tato metoda opět vede na soustavu
lineárních rovnic, jejichž řešení však musí být v celočíselných koeficientech.
Pokud se nám podaří takovou závislost najít, máme diferenční rovnici, kterou
dále řešíme již popsanými metodami. Minimalizovat počet nezbytných hodnot
se dá při znalosti, že u některých rekurentních rovnic tohoto typu jsou
koeficienty zepředu a zezadu navzájem symetrické a liší se jen obráceným
znaménkem. Zatímco obecná rekurence z q předchozích hodnot vyžaduje
znalost 2q počátečních hodnot, u symetrické rekurence stejné hloubky je to jen
q + [(q+1)/2] hodnot, tedy o čtvrtinu méně (což může být rozhodující při
značné náročnosti výpočtů hodnot pro další n). Tuto metodu jsem použil např.
pro 5 dam na normální i prstencové šachovnici nebo 4 amazonky na n x n.
Metoda 4 - určení vytvořující funkce jde použít jen někdy (např. v případě
m.n králů na šachovnici 2m x 2n), z takové funkce pak už snadno vyplývá tvarpříslušné diferenční rovnice (je dán jmenovatelem) a pomocí Taylorova
rozvoje lze vypočítat potřebný počet počátečních hodnot nezbytných k určení
koeficientů ve vzorci. Vytvořující funkce má jednu příjemnou vlastnost, žeplatí pro všechna n bez vyjímky (a to i v případech, kdy explicitní vzorec nebo
rekurence platí až od určité hodnoty n). Např. vzorec pro počet rozmístění
4 neohrožujících se dam na šachovnici 4 x n platí až od n=7 (rekurence
an = 5an-1 - 10an-2 + 10an-3 - 5an-4 + an-5 dokonce až pro n >= 12). Pomocí
vytvořující funkce -2x4(x3-x2+x+1)(x4+4x2+1)/(x-1)5 dostaneme správné
hodnoty pro všechna n (speciálně tedy i pro n=4,5,6). Vypočítat hodnoty
posloupnosti ze známé vytvořující funkce g(x) pak zvládne např. program
Derive příkazem vector(subst(dif(g(x),x,k)/k!,x,0),k,1,50), výsledkem jevektor s prvními 50 hodnotami. V programu Mathematica dostaneme totéž
(pro předtím zadanou funkci g) pomocí
Table[SeriesCoefficient[g, {x, 0, n}], {n, 1, 50}]

791(* Příklad programu na hledání symetrické rekurence (Metoda 3), © V. Kotěšovec 2009
Procedura hledá lineární rekurenci v zadané posloupnosti, určí vytvořující funkci a ověří platnost pro celou posloupnost (tabulka na
konci musí vyjít samé 0)rada - (input sequence) je vstupní posloupnost (předpokládá se, že začíná od indexu 1),
start - (starting order of recurrence, recommended >2) je počáteční hloubka rekurence (je vhodné zvolit třeba 5, ne 1),
poly0 - (1 or know part of denominator) je známý člen denominátoru vytvořující funkce (lze použít ke zmenšení počtu potřebných
členů), pokud neznáme, volíme 1,
nadpis - (text in title) je text vypsaný kvůli lepší orientaci*)
rekursym[rada_, start_, poly0_, nadpis_] := (Print["=================== symetrical recurrence "];Print[nadpis]; d = Exponent[poly0, x]; nasel = 0;For[m = start, m + Floor[m/2] + d <= Length[rada], m = m + 1, mpul = Floor[m/2];(* s každým krokem se vypisuje: aktuální hloubka rekurence, počet neznámých pro soustavu lineárních rovnic, rozsah indexů členů
použitých ze vstupní sekvence *)(* with each step display: current order of recurrence, number of unknown constants, indexes of values from input sequence *)Print[m, ",", mpul, ",", m + d, ",", m + Floor[m/2] + d];
polyd = Expand[poly0*(-1 + Sum[Subscript[c, j]*x^j, {j, 1, mpul}] - Sum[Subscript[c, m - j]*x^j, {j, mpul + 1, m - 1}] + x^m)];sol = polyd /.Solve[Table[Sum[Coefficient[polyd, x, i]*rada[[n - i]], {i, 0, m + d}] == 0, {n, m + 1 + d, m + mpul + d}]];test = Coefficient[sol, x, 2];(* skončím u prvního celočíselného řešení *)If[test == Floor[test], nasel = 1; Break[]];];
If[nasel == 0, Print["No solution found"]; Return[0]];(* rekurence nalezena, vypíšu jmenovatel vytvořující funkce (denominator found) *)denom = Factor[sol]; Print[denom];(* vypíšu nalezenou rekurenci v obvyklém tvaru (print recurrence) *)Print[TraditionalForm[Sum[Coefficient[sol, x, i]*Subscript[a, n - i], {i, 0, m + d}]]];(* ještě vypočítám vytvořující funkci (generating function) *)gf = (Sum[Subscript[b, i]*x^i, {i, 0, m + d - 1}]/denom)[[1]];gfvyp = Factor[gf /.Solve[Table[rada[[k]] == Simplify[SeriesCoefficient[gf, {x, 0, k}]], {k, 1, m + d}]]][[1]];Print[gfvyp];(* kontrola platnosti pro celou posloupnost - pokud vyjdou některé hodnoty nenulové, není výsledek správný a je nutno zadat vícečlenů vstupní posloupnosti *)(* verify of formula, all differences must be zero - if not then more input values necessary *)Print[Table[rada[[k]] - SeriesCoefficient[gfvyp, {x, 0, k}], {k, 1, Length[rada]}]];);(* Example - Příklad volání procedury pro 4 dámy na šachovnici n x n *)q4={0,0,0,2,82,982,7002,34568,131248,412596,1123832,2739386,6106214,12654614,24675650,45704724,80999104,138170148,227938788,
365106738,569681574,868289594,1295775946,1897176508,2729909796,3866439956,5397191260,7434046062,10114126790,13604287706};
rekursym[q4, 5, 1, "4 queens on an n x n chessboard"](* výsledkem je nalezení rekurence hloubky 17, k čemuž bylo při této metodě potřeba minimálně 25 členů posloupnosti *)(* Ještě je třeba poznamenat, že zabudované funkce FindSequenceFunction, FindGeneratingFunction, FindLinearRecurrence řešení
nenajdou *)(* Note that internal functions FindSequenceFunction, FindGeneratingFunction, FindLinearRecurrence not found solution *)792

Index of citations - Jmenný rejstřík citací (jiných autorů)Abramson Morton
Ahrens Wilhelm
Alekseyev Max A.
Arshon Solomon E.
Aspvall Bengt
Azemard Louis
Baltić VladimirBandelow Christoph
Barnes Joel
Baxter R. J.
Bell Eric Temple
Birkhoff George David
Bjørstad P.
Bonsdorff Eero
Breger Alex V.
Buchanan Andrew
Burchett Paul Asa
Butera Paolo
Calkin N.J.
Carpenter John A.
Cavenagh Nicholas J.
Chaiken SethChernov Alex
Chowla Sarvadaman
Cloitre Benoit
Chyzak Frédéric
Cockayne E. J.
Cooper C.
Dawson Thomas Rayner
Detlefs Gary
Dlugosz Witold
Dudeney Henry
Durango Bill
Dutka Jacques625
40, 67, 751
82, 128, 178, 189, 192, 285
242, 244, 254
624, 626
16
226
82, 90, 136, 157
640
70, 372
640
228
629
90
82, 128, 129, 130, 130, 132, 138, 159, 178, 181,
183, 186, 189, 196, 202, 208, 209
229
258
372
74
640
736
34, 40, 239
209
22737, 639229
258
736
444, 665
641
742
234, 256, 284, 751
348
221

Eickenscheidt Bernd
Elkies NoamEngel Arthur
Engelhardt Matthias
Erickson Martin
EuclidEuler Leonhard
Fabel Karl
Fernando Suren
Fibonacci Leonardo
Finch Steven R.
Flajolet Philippe
Franel Jérôme
Gauss Carl Friedrich
Gerbicz Robert
Gibbons P. B.
Good Irving John
Graham Ronald L.
Gvozdják Peter
Hanna Paul D.
Hanusa Christopher R.H.
Hardin Ronald H.
Heinz Alois P.
Ichharam Jaimal
James K.
Jelliss George
Jovovic Vladeta
Kameník Pavel
Kaplansky Irving
Karavaev Artem M.
Kauers ManuelKeane Joe

62
350
508
63
229
565
20, 22, 23, 24, 54, 55, 57, 220
64, 67, 82, 90, 136, 234, 283, 284, 444, 752,
754
229
21, 22, 23, 24, 26, 54, 55, 56, 57, 90, 300,
380, 421, 431
68
221, 224, 227, 228, 624, 625
282
13
372
258
249, 262
282
715
253, 433
34, 40, 239
71, 214, 225, 285, 300, 372, 380, 405, 409, 417,
421, 440
71, 29334
74665, 752
221, 223, 224, 627
783
222, 625
14, 18, 50, 53, 56, 61, 162, 209
228, 229, 433
282

793
Kerawala S. M.
Khalyavin Andrey
Kitaev Sergey
Kløve Torleiv
Knuth Donald E.
Kraitchik Maurice
Kuznetsov N. Yu.
Lačný Ľudovít
Laguerre EdmondLaisant Charles-Ange
Lambert Johann HeinrichLandau EdmundLarsen Michael
Lehmer Derrick Henry
Liang Frank M.
Lörinc Juraj
Louridas Panos
Lucas Edouard
Luschny Peter
Ma Jianpeng
Madachy Joseph S.
Mansour Toufik
Marlow T. W.
Martín Luis MiguelMathar R. J.
McKay Brendan D.
Mendelsohn N. S.
Migotti A.
de Moivre Abraham
Monsky Paul
Moser William O.J.
Newcomb Simon
Nielsen Birger
Nilsson Johan
Oprisch family
Pacurar Cornel
Patashnik Oren

221
50, 51, 56, 61
91, 421, 431
226
90, 135, 282
665
736
40
219, 280
221
251, 263, 719
11, 13, 16, 64, 67
135, 160
226
624, 626
715
11, 343, 347
11, 13, 16, 64, 67, 169, 216, 227, 283, 284, 300,
303, 409, 431, 436, 480
264
37
751
91, 421, 431
752, 753
783
300
68, 372, 736
223
20
95
62, 751625
243
36, 37, 348, 349, 360
68348, 353
783
282

Pauls E.
Pemantle Robin
Perepechko Sergey
Perlstadt Marci A.
Pernici M.
Perott Joseph M.
Perron Oskar
Pinter Antal
Poisson Christian
Poisson Siméon Denis
Pólya George
Pratt Rob
Purvis S.
Pythagoras
Rao-Uppuluri V. R.
Ricci Chris
Richardson Lewis Fry
Riihimaa Olavi
Riordan John
Rivin Igor
Robbins David P.
Robinson Robert W.
Rothe Heinrich August
Saifutdinov Shamil
Salvy Bruno
Scheid Francis
Schlude Konrad
Schubert Wolfram
Sedgewick Robert
Shieh Yuh-Pyng
Sierpiński Wacław
Sloane Neil J. A.
Smiley Len
Soltsien Kay
Specker Ernst
Stanley Richard P.

39, 40, 751
229
12, 13282
372
242, 244280
34
312, 343, 347, 351, 361, 369, 415, 444, 480,
515, 517, 518, 524, 688, 690, 700, 702, 704,
706, 708, 741, 743
624
62, 751
761
74
565
640
751
328, 379
90
222, 24336, 63, 348, 360
629
229, 243, 259
227
162
228
284
62
348, 350, 636, 672, 678, 736
221, 224, 227, 228, 624
736
20
3
639
64
62
16

794
Stirling James
Syski Peter
Tarry M. Harold
Tauraso Roberto
Taylor Brook
Timashev A. N.
Tittmann Peter
Touchard Jacques
Tran Khang
Trjitzinsky W. R.
van Lint J. H.
Vardi Ilan
Vilenkin Naum Ya.
Wanless Ian M.
Warnsdorff H. C.

36, 231, 261, 436, 464, 718
350
39, 40629, 630, 631
42, 43, 685, 790
249, 262
382
221
229
228
227
36, 63, 348, 360, 736
221, 229, 242
736
756

Watkins John
Webb J. A.
Welsch L.
Wernli Stefan
Wilf Herbert S.
Wilson David W.
Wilson Mark C.
Wilson R. M.
Woods Andrew
Yaglom A. M., I. M.
Yamanouchi Hiroaki
Zaslavsky Thomas
Zeilberger Doron
Zimmermann Paul
Zhang Cheng

258, 751
258
258
350
82, 91, 92, 136, 139, 140
162
229
227
64, 65, 68, 77, 627
259
285
34, 40, 239
228, 229, 627
36, 63, 348, 360, 372
37

795
Electronic edition of chess books by Václav Kotěšovec
(seznam knih a brožur doposud vyšlých v této edici)volume
1
2
3
4
5

6

7
8

title
Cyklická vazba – 30 let
30 years of cyclical pin (1977-2007)
Exokoncovky - nové výsledky 2008
Fairy chess endgames - new results 2008
234 mých nejlepších šachových úloh234 best chess problemsVyužití teorie grafů v šachových úlohách
Application of Graph Theory in Chess Problems(Dual-free Leaper and Hopper tours)
Rekordy v maximálnících a minimálnících
Records in maximummers and minimummers
Neohrožující se kameny
Non-attacking chess pieces(chess and mathematics)
Exodvojtažky 2008-2010
Fairy twomovers 2008-2010
Exokoncovky na šachovnici n x nFairy chess endings on an nxn chessboard

pages

PDF publishedprinted books

24

8.11.2007-

46

14.5.2008-

320

3.9.2008

50 (numbered)76

31.5.200960

304

24.7.2009-116

1st edition, 22.4.2010237

2nd edition, 23.6.2010348

3rd edition, 19.1.2011467

4th edition, 15.6.2011703

5th edition, 9.1.2012795

6th edition, 2.2.2013

54

28.2.2011

50

410

19.7.2013

-

-



 Electronic edition of chess books by Václav Kotěšovec, volume 6 

Neohrožující se kameny © Václav Kotěšovec, 2013
[Non-attacking chess pieces]sixth edition 2.2.2013, several language corrections in the English text 4.1.2015, some new values added 8.9.2016, version 6.26

Published on site: http://www.kotesovec.cz
Vychází jako elektronická kniha v PDF [electronic book in PDF]