計測自動制御学会東北支部 第160回研究集会（1996．5．24）
筆料番号160−13

二重振り子の振り上げと倒立〔第一関節が能動関節の場合）
Swinging−uP and Stabilizing of a VerticalTwo上．inksふIechanisrn
Wjth a Free SecondJ〔〕int

O河野 腸平、橋元 暗、島地 重幸（岩手大学 工学部）

OYouheiKouno，Akira flEIShimoto and ShjgeyukiShimachi（Iwate UniversiLy）
キーーワード：二重振り子（VerticalTwo Links Mechanism），振り上げ（Sサinging−uP），倒立（Stabiliヱing）

連絡先： 〒020 盛岡市上田4−3→5
岩手大学工学部機械工学第二専攻 河野 陽平

TEL 二（0196）2卜6402
FAX：（0196）21−6402

1．はじめに二重振り子の倒立については，特定の軌2．モデルと連動方程式
図1に二重振り子のモデルを示す．

道の繰り返しによるエネルギー増加を利用

リンクは剛体中心軸方向に一様な親密度をしたもの1）等がある．また安定化について持つと仮定する．第］関節はその位置が固は，単振り子をはじめとして多数のものが定されトルクが加えられる．第二関節は自多様な制御別のもとで扱われている．

由関節である．

本研究では，第一関節を駆動関節とし第二関節を自由関節と．した二重振り子の静止 l状態から倒立静止点への振り上げと倒．立点近傍での安定化について考察する．±去振り子の倒立を行うために，システムの倒立点での全エネルギーから関節角空間上での軌道特性を考慮しつつ振り上げに必要なエネルギ山を予則し，その状態までトルクー定としてエネルギーを増加させた後，倒立点への軌道を与えることにより倒立を帯みる・安尉ヒではシステムを線形化して甲計したレギュレータを適用し，倒立点で静止させる．二重振り子が安定に倒立する眼界

Fig．1 二重振り子のモデルの初期角度について，初期条件と特性担を変化させて行ったシミュレーションから検討した．

以下で用いる主な記号を次に示す・
t：時間［s］
ロi＝第iリンクの基準線からの角度［rad］

1

第iリンクの弟i関節軸まわりの慣性Iiがある．

モーメント［kg・m2］

j2＝∫‡＋J言

1i：第iリンクの垂心と窮i関節軸と（4）式（4）から曲率半径pの軌道を与えるトルクは次式となる．の臣巨離［m］

宣ごi 一 叫nβ−Ccos♂〕r：第一関節と第二関節の軸間距離［m］

P

mi：第iリンクの質量［kg］

T：第一関節軸に加える駆動トルクⅢ・m］＋凸cos♂

α＝（5）叫sinβ−Ccos♂）

ラグランジュの運動方程式を用い、変数

d＝r−ポcosユトコ¶りをx．＝句，X2＝q＋色とおいて整理するとモ月＝−∂血石・耶OSトコ【∫串山ユデルの運動方程式は次式のようになる．

日南桂一瑚叩Sトユー症‡＋司C土一匹OSh一方．）∫】＝∫ユβF−Si叫一耶inトユー∫1）J≡Jユ＝∫4りf甲〕

1工c司∫コーり＋∬‡■

5inトユーJl〕

ここで，p＝mの時は直線軌道となる．まγ。一叩皇覇

た式（5）の分母がゼロとなる時・軌道の制御

ー＿鮎inJl叫COS（ユユーりsi叫柏（1）に必要なトルクが発散してしまう．この時γ。−け王cosつ（∫ユー∫．の軌道の傾きは式（6）となる．円・直線軌道

丈一＝一匹0転−り∫ヨーSin∫コを描かせるときにはこれを避けるように軌ー甲｝ユsi中っ−り

道を選ぷ必要がある．

ただし無次元パラメータは

r＝・，∂＝⊥＝一丁7COS（ち−づl），α＝（6）′巧／ヱr

3・2・二重振り子の倒立法

3．二重振り子の倒立

以下の要領で倒立点への振り上げを行う．

3．1．関節角空間上での軌道制御

1）システムの全エネルギーが倒立静止点

関節空間上で曲率半径pの円軌道を描かせるためのトルクを求める．ある点での速でのエネルギーと等しくなるまで，トルク度ベクトルをγニトヨ，ズ。】r，加速度ベクトル一定としエネルギーを増加させる．

2）∫．＝J2の直線軌道に近づくまでトルクを〟＝h，可T・その方向を育とし軌道に零としエネルギー一定のまま移動し，接近そって距離Sを取るものとすると，軌道のしたところで円軌道によって接続する．

法線方向の加速度ベクトルの大きさは次式

3）直線軌道上を倒立点まで移動させる．となる．
＝エ】Sin占l一丈。COS♂

エネルギーの増加はトルクを第一リンクの進行方向に与え続けることで可能である．

（3）

sin♂＝

J4，COS＝・l−．l3）の段階で∫．＝∫2＝方に達した時のエ∫呈十∫言

ネルギーが先に求めた倒立静止点のエネル

ただしげは転置を表す・また，次の関係ギーと等しければそこで静止するが，実際
2

4．2．可制御性・可観測性には，円軌道と直線軌道を措いている部分でのエネルギーの変化がある為に，この間システムの次数は4次，制動力はTlつのエネルギー変化分の誤差が生じる．

なので可制御性行列Ⅴは4×4行列となり，差分を考慮してシステムのエネルギーを増

このⅤの階数が4である辛が可制御である

加させる必要がある．

事の必要十分条件になる．可制御性行列は

しかし，1），次式となる．

2）の段階ではリンクのⅤ＝【独AB AIB A呵

軌道を制御しているわけではなく，システ
ムに与えるエネルギーによって異なる軌道（9）式（9）は次の形式で表される．

0 ダ 0 呼＋角を描くためエネルギーの変化量を計算することが出来ない．そこで最終的には試行錯

0 可Ⅴ＝

誤的に必要なエネルギー量を調整し倒立を行う．

0脚＋句P O 呼＋鼎 0
ヴ 0 肝＋句

4．二重振り子の安定化
4．1．状態方程式と出力方程式
倒立点近傍における安定化には，状態フィードバックを適用する．倒立点近傍に

（10）

甲堵ど＝芸
この行列の階数は4であることより，システムは可制御である．

おいて線形化した状態方程式は次のようにシステムの出力は2つ，状態変数は4つ与えられる．
i＝Ax＋Bアであり，可観測性行列Sは8X4行列で次（7）OlOOαOOγg＝（両＋椚ユr）gl▲﹂u O β ︷dO・ご＝いmユrコ，d＝mノー乱︷dCA】

βCAコ0CA

爪U0爪U︵US＝0O1C00nU

l 爪U

0d＝椚ノzr，占＝ノコ，のように与えられる，
ハリ

01ニこでこの行列の階数は4であり，システムはA＝占亡−αコ

可観測である．

出力方複式は∫l，J2を出力に選べば次のよ4．3．安定限界についてうになる．

非線形のシステムに状態フィードバックを適用した場合の収束可能な範囲をシミュ0 0 0

y＝肝［三1 0 0レーションによって求める．

＝仁王 （8）固有値の師表項・振動項をそれぞれ変化させた吼収束する最大の初期角度J．＝∫2を囲2，図3に示す．
3⊥6に示す■ 固4では軌道は倒立点の手前で速度育となり到達していない．
システムに与えたエネルギーと倒立点におけるエネルギーとの関係を図6に示す．
図6より決定した初期エネルギーを与えた

場合の倒立の結果を囲7−9に，安定化の結果を図10−11に示す．エネルギー増加の段階で与えるトルクを少なくした場合の結果を図12−14に示す．

04．2＝」一4±0・5ノ︻p￠こち．。＝−」土0・2ノ
Fig．2 減衰項一息大初期角度q−30︻p空︼MXH†H汀

0xl［＝dコFig・4 シミュレーション結果110
白
官邑害bJロト

4．壬＝−ユ・5±塾
ス ＝「皇・5±0・4坤

Fig・ユ 振動項一最大初期角度11

この結果をもとに，最大の初期角度を取る時の固有値と初期角度を求めると

A＝−1−9，J．＝エコ＝Oj叫rad】（12）（＝22・23【ded）
1

tim亡国となる・シミュレーションではこの値を採Fig．5 トルクの変化1用する．
5．シミュレーション結果
以上の考察をもとにシミュレーションを行った。初めにシステムに与えるエネル

ギー：E。，倒立静止点エネルギー：Eeとする．E。＝E8と与えた場合の結果を図4
4

汀

■リ

≡誌﹂U⊂山■U官主勤b J O ト▲btimモl6】

Fig・6 エネルギ←一の射ヒ1

Frig・8 トルクの変化25Eh山J呂叫Energy E。【J】

血沌回Fig・6 初期エネルギーと倒立点エネルギーー

ドig・9 エネルギーの変化2汀pL［巾U※M
0− 7r・汀

ド1g・7 シミュxl【r d d］
レーーション結果2

3．13．14

汀3．2

3．3
Xl卜ad】

Fig・10 システムの安定化

5

︻EN︼ む 古 旨 ト
time【8】Fig．ト1エネルギーの変化4

Fi官．11トルクの変化3シミュレーション結果上り、円・直線軌道でのエネルギーの変化による静止点のずれを最初にリンクに与えるエネルギー丑の調節によって補正し，振り子を倒立させることが可能であることが確認された。

6．おわりに第一関節が受動関節である二重振り子のO

XlIrad】 打

Fig．12シミュ

倒立と安定化について検討した．

レーーション結果4システムのエネルギーを増加させ，そのネルギー変化を定量的に取り扱うことが出︵U︻日邑むnbhOト

後，倒立点への軌道を与えたが，途中のエ来ないためにシステムに与えるエネルギーを探索的に決定することにより倒立を行った．

参考文献
1）松岡・西宮・島地：二重振り子の振り上げ方策計測自動制御学会第31回学術講演会，［DS35−2］（1992−7），393
02

4

6
time【s】

Fig．13 トルクの変化46