第3章 弾性率
目 的 各種工業材料の弾性的性質について理解する．

3.1 剛性と弾性率
3.2 金属とセラミックス
3.2.1 応力－ひずみ曲線
3.2.2 ヤング率の誘導
3.2.3 金属とセラミックスのヤング率の比較
3.3 ポリマー
3.3.1 応力－ひずみ曲線
3.3.2 温度とヤング率の関係(1) ガラスプラトー (2) ガラス転移 (3) ゴムプラトー (4) 粘性流動
3.4 複合材料
3.4.1 応力－ひずみ曲線
3.4.2 複合則 (1) 連続繊維強化複合材料 (2) 粒子強化複合材料

3.5 ヤング率の比較
3.6 ケーススタディ(1) 天体反射望遠鏡(2) 究極の自転車フレーム(3) タボリーノのテーブル (4) トラック用板ばね

13.1 剛性(rigidity)と弾性率(elastic constant)
剛 性・荷重Fに対する弾性変形量d (F/d)
・弾性率と形状(面積A，断面2次モーメントI)により決定される．
※形状は材料力学の問題と考え，本講義では物性(弾性率，特にヤング率)を対象とする．
弾性率
ヤング率(縦弾性係数)
剛性率(せん断弾性係数)
体積弾性係数ポアソン比

E=s/e
G=t/exy
K=sp/ev
n=-ey/ex

等方性弾性体 独立な弾性係数は2個
E，n → G=E/{2(1+n)}，K=E/{3(1-2n)}

(1)

簡便な近似

n≒1/3，G≒3E/8，K≒E(2)

3.2 金属とセラミックス
3.2.1 応力－ひずみ曲線
・破壊挙動は異なる→セラミックスは圧縮に強いが引張に弱い
・弾性挙動は同様であり，弾性域における応力とひずみの関係は線形

図3.1 金属の応力－ひずみ曲線

図3.2 セラミックスの応力－ひずみ曲線23.2.2 ヤング率の誘導
原子間に作用する力は，式(3)のように原子結合に基づく引力faと電子の干渉による斥力frの和として与えられる．

f (r ) = f a + f r =A B−rm rn(m  n)(3)

図3.3 原子間に働く引力と斥力式(3)で，m，n，A，Bは原子の種類に依存する定数である．原子の釣合い位置r=r0 では f(r0)=0である．よって式(3)より，

B=Ar0nr0m(4)

図3.5に示す単純な構造の結晶を考える．r0×r0の面に作用する
応力は，

sx =

図3.4 原子間に働く力

4 f (r ) / 4 f (r )= 2 (5)r02r0

またひずみは，

ex =r − r0r0(6)図3.5 引張応力を受ける結晶3 ds x 
 ds1  =  x
 d e x  r = r  dr d e x / dr  r = r(7)

式(5)より，d s x 1 df1  mA nB = 2= −+dr
r0 dr r02  r m +1 r n +1 (8)式(6)より，de x 1=
dr r0(9)一方，ヤング率は， E = 0

式(4)および(7)～(9)より，

E=0A( n − m )r0m(10)・実際の単結晶について計算するには，式(5)および(6)で格子と力が作用する方向を考慮する必要がある．
・多結晶体の場合，さらに各結晶粒の方位を考慮し，平均的な値としてヤング率を求める必要がある．
↓
しかしながら，定性的には原子間力とヤング率を関連づけて考えてよい．

3.2.3 金属とセラミックスのヤング率の比較
ポテンシャルエネルギー(potential energy)
原子を∞から r まで移動させるために必要な仕事である．式(3)の f(r) を用いれば，ポテンシャルカーブ，すなわち r とポテンシャルエネルギー U(r) の関係は，rU ( r ) =  f ( r ) dr = −AB+m −1( m − 1) r
( n − 1) r n −1(11)図3.6 ポテンシャルカーブと原子間に働く力の関係4

式(11)の関係を図示すると，図3.6右のようになる．
さらに式(4)を用いて，原子の釣合い位置 r=r0 での U(r0 )，を求めれば，

U ( r0 ) =A( n − m )( m − 1)( n − 1) r0m −1(12)

これが，原子間の結合エネルギー(bond energy)である．
ポテンシャルカーブの形とヤング率の関係
イオン結合性，共有結合性の物質（つまり，セラミックス）↓
結合エネルギーが高い（ポテンシャルカーブが鋭い）↓df/dr（位置 r=r0 ）が大きい↓
ヤング率 Eが高い
つまり，定性的にポテンシャルカーブの形状とヤング率の関係が説明された．

3.3 ポリマー
3.3.1 応力－ひずみ曲線
ガラス転移点(Tg，glass transition)
2次結合が溶け始める温度
ポリマーの挙動
規格化温度(T/Tg，normalized temperature)に依存

図3.7 ポリマーの応力－ひずみ曲線

図3.8 線状非晶質ポリマー(点線：2次結合)

53.3.2 温度とヤング率の関係
図3.9に示すようにポリマーのヤング率は温度に強く依存する．

(1) ガラスプラトー(T≪Tg)
ポリマー分子の共有結合と2次結合がヤング率を支配する領域
共有結合率 f共有結合(ヤング率 E1)が占める割合．残り（1-f）の領域は2次結合(ヤング率 E2 )が占める
図3.9 規格化温度とヤング率の関係

応力 s が作用し，ひずみ e が生じたとすると，

e= f共有結合 E12次結合 E2ss+ (1 − f )E1E2(13)

E1=1000 GPa(ダイヤモンド)
E2=1 GPa(炭化水素)とすると，図3.10の様に，共有結合率を用いて各ポリマーのヤング率を概算できる．

図3.10 共有結合率 f とヤング率の関係

6

(2) ガラス転移(T≒Tg)
2次結合が溶けてポリマー分子は互いにすべるため(図3.11(a))，ヤング率のが急激に低下する．
(3) ゴムプラトー(T>Tg)
ポリマー分子の絡み合いにより節目ができる(図3.
11(b))．この場合，負荷時 図3.11 (a) 2次結合が溶けた後のポリマー分子の挙動，(b) ポリマー分子の絡み合いによるには節目間の部分がすべ節目の形成(図中E部)るが，除荷時には節目間の部分が再度戻る(ゴム弾性挙動)．
(4) 粘性流動(T≫ Tg，線状ポリマーのみ)
ポリマー分子間の節目もすべるようになり，粘性流動が生じる．

3.4 複合材料
3.4.1 応力－ひずみ曲線
母材が降伏するまでの弾性率は複合則で表記できる．

3.4.2 複合則
(1) 連続繊維強化複合材料繊維方向(上限，図3.13(a))
作用応力 s の下で複合材料全体にひずみ e が生じているとすると，

s = V f s f + (1 − V f )s m= E f V f e + E m (1 − V f )e(14)図3.12 連続繊維強化複合材料の応力－ひずみ曲線

よってヤング率は，sEcomp = =e繊
E f V f + E m (1 − V f ) 母維材(15) 複合材料

表3.1 記号の説明

体積率

応 力

ひずみ

ヤング率

Vf
1-Vf
1sfsmsefeme

Ef
Em
Ecomｐ

7繊維垂直方向(下限，図3.13(b))
作用応力 s の下で複合材料全体にひずみ e が生じているとすると，

e = V f e f + (1 − V f ) e m = V f s / E f + (1 − V f )s / E ms
1
よってヤング率は，
E comp = =e V f / E f + (1 − V f ) / E m

(16)
(17)

(2) 粒子強化複合材料
・傾向として，連続繊維強化複合材料の場合の下限に近いヤング率を示す．
・等方性であり，コスト的にも安い→充填材入ポリマー

図3.13 連続繊維強化複合材料の異方性

図3.14 複合材料のヤング率の強化繊
維の体積率に対する依存性

3.5 ヤング率の比較
セラミックス
イオン結合・共有結合のため高ヤング率
金属
金属結合のため高－中程度のヤング率

ポリマー
2次結合の存在により低弾性率
複合材料
高ヤング率(強化材に依存)
図3.15 工業材料のヤング率の比較

8

表3.2 種々の材料のヤング率
材料名
ダイヤモンド炭化タングステン(WC)
オスミウム
Co-WCサーメット
チタン，ジルコニウム
ハフニウムのほう化物
炭化けい素(SiC)
ホウ素
タングステンとその合金アルミナ(Al203)
ベリリア(BeO)
炭化チタン(TiC)
炭化タンタル(TaC)
モリブデンとその合金
炭化ニオプ(NbC)
窒化ケイ素(Si3N4)
クロム
ベリリウムとその合金
マグネシア(MgO)
コバルトとその合金
ジルコニア(ZrO)
ニッケル
ニッケル合金
CFRP
鉄
鉄基超合金
低合金鋼
オーステナイトステンレス
軟鋼
鋳鉄
タンタルとその合金
白金
ウラン
ポロン繊維強化エポキシ
銅
銅合金
ムライト
ジルコニア(ZrO2)
バナジウム
チタン
チタン合金
バラジウム
黄銅と青銅

ヤング率(GPa)
1000
450-650551
400-530450-500
430-445441
380-411385-392375-385
370-380360-375
320-365
320-340
280-310285-290290-318240-275
200-248
160-241214
130-21470-270196
193-214200
190-200196
170-190150-186
172
172
125
124
120-150
145
145
130
116
80-130124
103-124

材料名
ニオブとその合金
ケイ素
ジルコニウムとその合金
シリカガラス(SiO2水晶)
亜鉛とその合金
金
カルサイト(大理石)
アルミニウムアルミニウム合金
銀
ソーダガラス
アルカリハライド(LiFなど)
花こう岩
スズとその合金
コンクリート・セメントガラス
マグネシウムとその合金
GFRP
カルサイト(石灰石)
黒鉛
油頁岩
木材(木目に平行)
鉛とその合金
アルキド
氷
メラミン
ポリイミド
ポリエステル
アクリル
ナイロン
PMMA
ポリスチレン
ポリカーボネート
エポキシ
木材(木目に垂直)
ポリプロピレン
PVC
ポリエチレン(高密度)
発泡ポリウレタン
ポリエチレン(低密度)ゴム
発砲ポリマー

ヤング率(GPa)
80-110
107
96
94
43-96
82
70-82
69
69-79
76
69
15-68
62
41-53
30-50
35-45
41-45
7-45
31
27
18
9-16
16-18
14-17
9.1
6-7
3-5
1.8-3.5
1.6-3.4
2-43.4
3-3.4
2.6
2.6-3
0.6-1.0
0.9
0.2-0.8
0.7
0.01-0.06
0.2
0.01-0.1
0.001-0.01

3.6 ケーススタディ(1)天体望遠鏡
背 景
19世紀までの天体望遠鏡の反射鏡は青銅製で，アイルランドの天文家Rosse伯爵(1800-1867)もこれを用いて渦巻き銀河を発見した．しかし，当時，直径1m以上の鏡は重すぎて作れなかった．今世紀に入ると，鏡として銀で被服したガラスが用いられるようになった．カリフォルニアのパロマ山にある世界最大級の天体反射望遠鏡(鏡の直径5m)では，ガラス製の鏡の厚さは1 mに達し，その重量は70 tである．この場合，ガラスはその力学
図3.16 マウナケア山(ハワ的特性のために選択されている．すなわち，厚さイ)にある望遠鏡わずか100 nm (重量 30 g)の銀を70 t ものガラス(直径3.8m)を使って支えているのである．

9問 題あなたは，その道では著名な中小企業の技師であり，直径5 mの大型反射鏡の設計を命じられた．その反射鏡の材料を選択せよ．鏡のたわみは焦点距離を変えて収差の原因となるため，自重による鏡中央のたわみは光の波長よりも小さくなければならない．また，鏡を支える機構は鏡の重量の2乗に比例するため，材料は最軽量となるように選択する必要がある．なお，光学的に完全な鏡面を得るといった仕事は部下にまかせることにする．
検 討
・鏡の単純化円周部を支持された直径 2a，厚さ t の円板
・鏡の中心部のたわみ d≦光の波長(1 mm)↓
油圧ジャッキ等により補正するがそれでもd≦10 mmとする必要あり
条件： 直径2a=5 m，たわみ d=10 mmで質量最小とする

図3.17 望遠鏡の自重によるたわみ

質量は M=pa2tr であり，ここでr は材料の密度とする．自重による鏡の中心部の弾性たわみを計算すると，d=0.67 Mga 2p Et 3(18)

ここで，ポアソン比 n=0.33，E はヤング率，g は重力加速度である．t=M/p a2rを式(18)に代入すれば，M =0.67 g 4 r 3padE(19)

よって，M を最小とするには最小の M1=r3/E を選択すればよい．ここでM1 を材料指標(material index)と呼ぶ．
選定結果
計算結果を表3.4に示す．この表より，反射鏡に最適な材料はCFRPであり，ついで発泡ポリウレタンであることがわかる．木材は経年変化するため非現実的である．ガラスは鋼，アルミニウム，コンクリートよりも優れており(反射鏡の多くがガラス製である理由はここにある)，また鏡面仕上げも容易である．
注目すべき点は，発泡ポリウレタンやCFRP製の反射鏡の重さはガラス製の10

場合の約1/5であるため，鏡を支える構造物の費用はガラス製の鏡と比ベて1/25ですむことである．さらに厚さに注目すると，ガラス製の鏡は約1 mの厚さ(実際でもこの程度の厚さ)である一方，CFRP製ではわずか0.38 mでよい．逆に発泡ポリウレタン製では非常に厚くしなければならない．発泡ポリウレタンが鏡の材料として優れていることに注目すれば，ガラスそのものを発泡化し，低密度で中実ガラスと同程度の安定性を有する材料として使用するという着想も得られる．
表3.4 直径5 m望遠鏡の鏡の支持材

材料

E(GPa) r(Mg/m3) M1(Ns3/m5) M(t) t(m)軟鋼200
コンクリート47
アルミニウム69
ガラス
69
GFRP
40
木材
12
発泡ポリウレタン 0.06
CFRP
270

7.8
2.5
2.7
2.5
2.0
0.6
0.1
1.5

2.4
0.34
0.28
0.23
0.20
0.017
0.017
0.012

199
5350
45421312100.95
1.1
0.95
0.91
1.0
1.1
6.80.36右図に示す密度とヤング率の関係図に指標 M1=const. の直線を引いて考えると，全体を見通して考える際に有効である．

図3.18 密度とヤング率の関係

11

(2) 究極の自転車問題2.1
あなたはツールドフランスでの優勝を目指す自転車競技チームの主任設計者である．一定剛性で最軽量の自転車フレーム用の材料を選択せよ．選定候
補は，鉄鋼材料，木材，アルミニウム合
金，GFRP，チタン合金およびCFRPである．なお，フレームは円管とする．円管の直径2r はすでに決定されているが，円管の肉厚 t は自由である(ただし t≪r)．

図3.19 レース用自転車

ヒント： フレームを長さ l の片持ちはりと見なすと，自由端に力 F が加わったときの変位量 d は容易に計算できる．
問題2.2
チームはデコレーション用に問題2.1で設計した自転車のレプリカを作ることにした．この自転車は必要最低限の剛性があればよい．塗装を施すので材質は何でもよいが，目安として鉄鋼材料，木材，アルミニウム合金，GFRP，チタン合金およびCFRPを候補とする．剛性一定で最も安価な自転車を与える

材料は何か．なお，材料費は質量 M×単価 p とし，加工賃等はとりあえず考えない．材料の単価は表3.5を参考にせよ．
表3.5 材料の単価
材料名

価格(US/ton)

材料名

価格(US/ton)

ダイヤモンド(工業用)
金
CFRP
タングステン
チタン合金
ポリイミド
マグネシウム合金
ポリカーポネート
マグネシア
工具鋼
ステンレス鋼
鋼(地金)アルミニウム(地金)
黄銅(地金)
ポリエステル
発泡ポリマー
亜鉛(地金)
鉛(地金)
ポリプロピレンポリスチレン
低密度ポリエチレン
合板
軟鋼(展伸材)鉄(地金)強化コンクリートセメント

6-9×108

白金銀
Co／WCサーメット
コバルト合金ニッケル合金SiC(ファインセラミクス)
ナイロン66
PMMA
アルミナ
GFRP
鋼(展伸材)
アルミニウム(展伸材)
黄銅(展伸材)
エポキシ
ガラス
亜鉛(展伸材)
鉛(展伸材)
天然ゴム
高密度ポリエチレン
硬質木材ポリ塩化ビニル
低合金鋼
鋳鉄
軟質木材
燃料油
石炭

1.8-2.25×107
4.5-6.75×105
5.55-7.5×104
2.4-3.6×104
7.6-9.0×104
2.25-3.75×104
3750-8100
2700-3750
12000-18000
950-4500
1800-1875
1365-1800
1800-2100
3750-4800
1020-1800
1500-1950825-1200675-2250
825-900
600-1500
675-1800
480-675
300-525150-450150-21075-87

7.5-8.4×106
5.25-12×104
1.95-2.25×104
4.8-6.0×104
3.3-3.75×104
3300-4950
4125-4800
7500-22500
1800-3000
2700-3450
1725-1800
1365-1395
1650-2100
1800-2700
1650-4500
1500-1650
750-825750-1050
900-1200
900-975
450-1500
375-525270-300
192-27075-9012図3.20 タボリーノのテーブル(4) トラック用板ばね
問 題
あなたは大手トラックメーカーでサスペンションの設計を担当している．会社は斜陽で，重役会議では高性能軽量トラックか，低コストのトラックを開発して，起死回生をはかることとなった．このトラックに使用する板ばねの材質を選択せよ．板ばねの長さ l と幅 b は変更できないが，厚さ t は自由に選択できるものとする．材料は，鉄鋼材料，ガラス，アルミ合金，GFRP，チタン合金およびCFRPを候補とする．材料はいずれにおいても十分な強度を有すると考え，剛性のみを考えることにする．

図3.21 板ばね

ヒント： 板バネを図3.21に示すように両端支持はりと考える．ばねの価格は，ばねの質量M×単価 p であり，製造にかかわるコストは無視する．

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