————————————————————Un autre critère de diagonalisabilité————————————————————♥ Aux féminazies, qui sont décidément partout,même au jury d’un certain concours,
pour le meilleur et surtout pour le Rire...

Un petit théorème
diagonalisibilité :rasbourgeois qui vise à établir cette (nouvelle ?) cara érisation de laProposition.— Soient E un K-espace vecoriel de dimension finie et u ∈ L (E) un endomorphisme. On
note K[u] la sous-algèbre de L (E) engendrée par u.
/ Les propositions suivantesi) u e diagonalisable,ii) il exi e un isomorphisme de K-algèbres entre K[u] et K p pour un certain entier p ≥ 1,sont équivalentes.
/ Les propositions suivantesi) u e diagonalisable dans la clôture algébrique K de K,
0i ) u e diagonalisable dans un surcorps de K,ii) il exi e une famille finie {K1 , · · · , Kq } d’extensions finies et séparables de K telles que K[u] soit isomorphe à K1 × · · · × Kq en tant que K-algèbres,sont équivalentes.
Dans le langage plus savant de l’algèbre commutatif, on a doncu e diagonalisable dans K ⇐⇒ K[u] e une algèbre étale
u e diagonalisable dans K ⇐⇒ K[u] e une algèbre étale déployée
Preuve : De manière générale, le morphisme d’évaluation en u
K[X]
P (X)

−→
7−→

L (E)
P (u)

a pour image K[u] : c’e visiblement une sous-K-algèbre contenant u et, par abilité de l’additionet du produit, on voit que toute sous-K-algèbre qui contient u contient cette image. Le noyau dumorphisme d’évaluation en u étant engendré par le polynôme minimal Π ∈ K[X] de u, on endéduit un isomorphisme de K-algèbre K[u] ' K[X]/(Π).
Par ailleurs, lorsque l’on étend les scalaires par une extension L/K (algébrique ou non) lepolynôme minimal de u en tant que L-endomorphisme re e Π. On voit donc que
u diagonalisable dans une extension de K ⇐⇒ u diagonalisable dans K ⇐⇒ Π e0ce qui ju ifie en particulier l’équivalence i) ⇐⇒ i ) du ).

à racines simples dans K/ i) =⇒ ii). Puisque u ediagonalisable, on a Π(X) =Y(X − λ). Le théorème des re esλ∈Spec(u)chinois assure alors, qu’en tant que K-algèbres, on a les isomorphismes
YK[u] ' K[X]/(Π) 'K[X]/(X − λ) ' K ]Spec(u)λ∈Spec(u)ii) =⇒ i) Supposons qu’il exi e des sous-algèbres K1 , · · · , Kp de K[u] telles que Ki ' K pour i =1, · · · , p et telles que, en tant que K-algèbres, on ait K[u] = K1 ⊕ · · · ⊕ Kp ' K1 × · · · × Kp . Pour chaqueindice i, puisque Ki e un corps, il contient un neutre ei ∈ Ki qui, étant non nul, e aussi ungénérateur de la K-droite ve orielle Ki : Ki = K.ei . On a alors ei2 = ei et donc le polynôme scindé
à racines simples X(X − 1) e annulateur de ei : ei e diagonalisable et, par suite, les élémentsde Ki sont simultanément diagonalisables. Maintenant, pour tout i , j, ei ej = ej ei = 0 et donc
les ei sont simultanément diagonalisables. On en déduit finalement que la K-algèbre K[u] ecodiagonalisable et qu’en particulier, u e bien diagonalisable.
/ i) =⇒ ii). Comme rappelé plus haut, u étant diagonalisable dans K, Π e à racine simple dansK, si bien que la décomposition en fa eurs irrédu ibles de P dans K[X] s’écrit sous la forme
P (X) = P1 (X) · · · Pq (X) où P1 , · · · Pq ∈ K[X] sont des polynômes irrédu ibles et séparables, di in sdeux à deux (donc, en particulier, premiers entre eux deux à deux). L’application du théorème desre es chinois assure alors que
K[u] ' K[X]/(Π) 'q
YK[X]/(Pi ) 'i=1qYKii=1

où Ki = K[X]/(Pi ) e bien une extension de K, séparable et de degré fini égal à d ◦ Pi (puisque Pi eirrédu ible et séparable).
ii) =⇒ i) Ecrivons K[u] = K1 ⊕ · · · ⊕ Kq ' K1 × · · · × Kq où, pour tout i = 1, · · · , q, Ki désigne une
sous-K-algèbre de L (E) qui e aussi un corps, extension finie et séparable de K. Notons ei ∈L (E), le neutre du corps Ki . L’extension Ki /K se considère alors en identifiant le corps K dansKi à la droite ve orielle K.ei . Par le théorème de l’élément primitif, il exi e ui ∈ Ki tel que
Ki = K(ui ). Comme Ki /K e séparable, le polynôme minimal (en tant qu’élément algébrique)µi (X) = λ0 ei + λ1 ei X + · · · + λni ei X ni de ui sur K e séparable. Comme µi e irrédu ible, on voit0que 0 n’e pas racine de µi , si bien que le polynôme Π (X) = X(λ0 + λ1 X + · · · + λni X ni ) ∈ K[X] elui aussi séparable. On a alors dans L (E),n +1

0 = ui µi (ui ) = λ0 ui + λ1 ui2 + · · · + λni ui i0

= Π (ui )0et donc ui e annulateur du polynôme séparable Π , Π e donc à racines simples dans K et ui edonc diagonalisable dans K. Comme précédemment on en déduit finalement que l’algèbre K[u]e codiagonalisable dans K.
——–