第１１回

２階線形微分方程式 − 同次方程式の解法
理学部

齊藤国靖 ∗

2023 年 4 月 5 日
１階線形微分方程式の解き方を踏まえ，２階線形微分方程式の解き方を学ぶ．特に，定数係数の場合に限定し，まずは同次方程式の解き方について説明する．定数係数の２階線形微分方程式が同次方程式であれば，特性方程式を用いる方法が最も強力である．

1 ２階線形微分方程式
次の微分方程式

dyd2 y+ p(x)+ q(x)y = r(x)
2dxdx

(1)

は２階線形微分方程式であり，非同次項が r(x) = 0 であれば同次方程式，r(x) ̸= 0 であれば非同次方程式である．同次方程式のうち，関数 p(x), q(x) が定数の場合，式 (1) はd2 ydy+a+ by = 02dxdx(2)となり，これは定数係数であるという．式 (2) は最も基本的なタイプの２階線形微分方程式である．

1.1 特性方程式
式 (2) を解くため，解の形をy(x) = eλx(3)と仮定する．これを式 (2) に代入すると，各項はd2 y= λ2 eλx ,dx2と計算できるので，

ady= aλeλx ,dx

by = beλx( 2)
λ + aλ + b eλx = 0となる．但し，eλx > 0 なので，上式が成立するには

λ2 + aλ + b = 0∗ k.saitoh@cc.kyoto-su.ac.jp

1(4)1 ２階線形微分方程式2でなければならない．式 (4) は式 (3) で導入した λ に関する方程式であり，特性方程式と呼ばれる．特性方程式は２次方程式なので，解の公式を使って解くと::::::::::::::::::::

λ=となる．つまり，

λ1 =−a +−a ±√a2 − 4b2√

a2 − 4b,2λ2 =(5)−a −√a2 − 4b2とすれば，式 (3) より，y(x) = eλ1 x と y(x) = eλ2 x が式 (2) の解であることが解る．
ところで，c1 , c2 を定数とすれば，eλ1 x と eλ2 x の線形結合

y(x) = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x(6)も解である（実際に代入して確認せよ）．式 (6) は任意定数を２個含むので，２階微分方程式 (2) の一般解である．しかし，λ1 , λ2 の性質によっては一般解にならない場合もある．λ1 , λ2 の性質は特性方程式の判別式 D ≡ a2 − 4b によって決まるので，以下，D について場合分けして考えよう．

1.1.1

D > 0 の場合

λλ2 は異なる実解である．このとき，eλ1 x と eλ2 x は一次独立であり（後述），式 (6) が一般解
1 ,:::::::::::::::::となる．

1.1.2

D < 0 の場合

λλ2 は複素共役である．p, q を実数として，1 ,:::::::::::::::
λ1 = p + iq ,λ2 = λ∗1 = p − iqとすると，式 (6) はy(x) = c1 e(p+iq)x + c2 e(p−iq)x()= epx c1 eiqx + c2 e−iqxとなる．ここで，オイラーの公式

e±iqx = cos qx ± i sin qx
を代入するとy(x) = epx {(c1 + c2 ) cos qx + i (c1 − c2 ) sin qx}となり，これが一般解である．

(7)

1 ２階線形微分方程式

1.1.33D = 0 の場合

λλ2 は重解である．重解を λ ≡ λ1 = λ2 とすると，式 (6) は1 ,:::::::::::
y(x) = (c1 + c2 )eλx ≡ Ceλxとなる．但し，C ≡ c1 + c2 とした．これは任意定数を１個しか含まないから，２階微分方程式 (2)の一般解にはならない．そこで，一般解を求めるため，任意定数 C を関数 C(x) として定数変化法を使う．y = C(x)eλx を式 (2) に代入すると，各項はd2 y=dx2( 2)d C
dC2+ 2λ+ λ C eλx ,dx2dx

dya=dx()dC+ λC aeλx ,dx

by = Cbeλxと計算できるので，{ 2()}d C
dC
dC2+2λ+λC++λCa+Cbeλx = 0dx2dxdx∴)
d2 CdC ( 2+λ+aλ+bC=0+(2λ+a)dx2dx(8)となる．ここで，λ は特性方程式 (4) の解なので，第３項の係数はゼロである．

λ2 + aλ + b = 0
また，特性方程式 (4) の解と係数の関係から，2λ = −aなので，第２項の係数もゼロである．つまり，式 (8) は

d2 C=0dx2であり，これを解いて C(x) = c1 x + c2 と求めることができる．但し，c1 , c2 は新たな積分定数である．よって，重解 λ1 = λ2 = λ の場合の一般解は

y(x) = (c1 x + c2 )eλx(9)である．

1.2 例題：抵抗力が働くときのバネ振動速度に比例した抵抗力が働くときのバネ振動の方程式ẍ + ν ẋ + ω 2 x = 0を解け．但し，ν, ω は定数とし，初期条件をx(0) = x0 ,ẋ(0) = 0(10)1 ２階線形微分方程式

4とせよ．
式 (10) は定数係数の２階線形微分方程式であり，同次方程式だから，解を x(t) = eλt として代入すると，特性方程式

λ2 + νλ + ω 2 = 0(11)が得られる．そこで，判別式 D = ν 2 − 4ω 2 によって場合分けをする．

a)D > 0 の場合
特性方程式 (11) は異なる実解

λ1 =−ν +√ν 2 − 4ω 2,2をもつ．これらを√γ≡を用いて書き換えると，

λ1 = −

λ2 =−ν −√ν 2 − 4ω 22

ν2− ω24ν+γ ,2λ2 = −ν−γ2となる．よって，式 (10) の一般解はx(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t()∴ x(t) = c1 eγt + c2 e−γt e−νt/2(12)である．式 (12) を t で微分すると())ν ( γtẋ(t) = γ c1 eγt − c2 e−γt e−νt/2 −c1 e + c2 e−γt e−νt/22
なので，初期条件より，

x(0) = c1 + c2 = x0ẋ(0) = γ(c1 − c2 ) −ν(c1 + c2 ) = 02を得る．これらを c1 , c2 について解くと

x0c1 =2(ν1+2γ),x0c2 =2(ν1−2γなので，これを式 (12) に代入して答えを得る．

b)D < 0 の場合
特性方程式 (11) は複素共役の解λ1 = −

ν+ iΩ ,2λ2 = −ν− iΩ2)1 ２階線形微分方程式5をもつ．但し，

√Ω≡

ω2 −

ν24とした．よって，式 (10) の一般解はx(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t()∴ x(t) = e−νt/2 c1 eiΩt + c2 e−iΩt(13)である．オイラーの公式を使えば，x(t) = e−νt/2 {(c1 + c2 ) cos Ωt + i(c1 − c2 ) sin Ωt}(14)となる．式 (13) を t で微分すると()()νẋ(t) = − e−νt/2 c1 eiΩt + c2 e−iΩt + iΩe−νt/2 c1 eiΩt − c2 e−iΩt2なので，初期条件より，

x(0) = c1 + c2 = x0
νẋ(0) = − (c1 + c2 ) + iΩ(c1 − c2 ) = 02を得る．つまり，

c 1 + c 2 = x0 ,i(c1 − c2 ) =νx02Ω

なので，これを式 (14) に代入して，)(νx(t) = x0 e−νt/2 cos Ωt +sin Ωt2Ω(15)が答えである．

c)

D = 0 の場合
特性方程式 (11) は重解

λ1 = λ 2 = −ν2をもつ．このとき，一般解はx(t) = (c1 t + c2 )e−νt/2である．式 (16) を t で微分すると

ẋ(t) = c1 e−νt/2 −ν(c1 t + c2 )e−νt/22

なので，初期条件より，x(0) = c2 = x0νẋ(0) = c1 − c2 = 02(16)1 ２階線形微分方程式6を得る．つまり，

c1 =

νx0 ,
2c 2 = x0(ν)
t + 1 e−νt/2

なので，これを式 (16) に代入して，x(t) = x02(17)が答えである．

(補足) バネ振動の方程式 (10) は，特性方程式 (11) の判別式 D = ν 2 − 4ω 2 の値によって異なる解をもつ．例えば，D > 0 の場合は

D = ν 2 − 4ω 2 > 0 ,∴ ω2 <ν24

なので，バネの固有振動数 ω が ν/2 よりも小さければ，式 (12) の様な振動しない解が得られ，これを過減衰という．逆に，ω が ν/2 よりも大きければ，式 (15) の様に振動しながら減衰する解が得られる．また，ω = ν/2，つまり D = 0 の場合は式 (17) が解であり，振動しない場合とする場合の境い目にあり，臨界減衰と呼ばれる．この様に，バネ振動の方程式(10) の解は，固有振動数 ω や抵抗係数 ν の大きさが決まってはじめて求まるのである．

1.3 演習次の２階線形微分方程式を解け．

(1)dyd2 y−2− 3y = 02dxdx(2)
d2 ydy−6+ 9y = 02dxdx