レター

研究速報
る．また，計測される３次元射影座標とユークリッド2 平面を用いたステレオカメラの弱校正に関する幾何学的な性質
浩 †（正員）蚊野安田昌司 †座標との関係も明らかにする．
2.

ステレオカメラによる 3 次元計測美濃導彦 ††（正員）

2.1

透視投影行列大隅正人 †

ステレオ計測に用いる個々のカメラに固有の特性をGeometric Characteristics of Weak Calibration Using Two Planes
Hiroshi KANO†, Michihiko MINOH††, Members, Masashi YASUDA†,

内部パラメータ，カメラ間の位置関係を外部パラメー
タと呼ぶ．ピンホールカメラモデルを用いる場合，内，画部パラメータは焦点距離（f），画素サイズ（sx, sy）†

and Masato OSUMI , Nonmembers† 三洋電機株式会社メカトロニクス研究所，枚方市
Sanyo Electric Co., Ltd., Mechatoronics Research Center, Hirakata-shi, 573-8534

像中心（( x c , y c ) ）で表現することができる．ここで，α x=f/sx, α y=f/sy と置き換えると，ピンホールカメ
ラの特性は画像の大きさに関係した(α x, α y)，及び画Japan†† 京都大学総合情報メディアセンター，京都市
Center for Information and Multimedia, Kyoto University, Kyoto-shi, 606-0100

像中心を与える(xc, yc)という四つの未知数を含む３×３の内部パラメータ行列Nとして式(1)のように表現できJapan

る．
あらまし

２平面を用いて弱校正されるステレオカ

メラの性質について考察した結果，２平面弱校正ステ
レオにより，３次元射影座標での計測がなされることを数学的に示した．また，計測される３次元射影座標とユークリッド座標の関係についても明らかにした．
キーワード ステレオ視，校正，射影座標
1.

まえがき

ステレオカメラの校正法には様々なものが提案されてきた[2], [4], [5]. これらの方法で校正されるステレオシステムは３次元ユークリッド座標を計測することができる．一方，このような従来の校正法に対して，ステレオカメラの弱校正法[3], [6]と呼ばれる方法が知られている．この方法で校正されるステレオシステムでは３次元射影座標を計測することができる．我々が提案した２平面を用いた多眼ステレオの校正法[1]もこの弱校正法の一つである．
２平面弱校正法で必要な手順は，３次元空間に存在する二つの平面を観察し，平面上の特徴点集合について，ステレオ画像対で対応をとることだけである．２
平面弱校正されたステレオカメラで計測される距離情報は，校正に用いる２平面からの相対的な距離である．
本校正法はその手順が非常に簡単である．したがって，ステレオカメラの自律走行車への応用など，強校正が困難な状況において有効な校正法として期待されている．
本論文の主な目的は，（１）ステレオカメラから観察した２平面に関した幾何学的な性質をまとめること，及び（２）２平面弱校正ステレオにより３次元射影座標系での計測が行われることを数学的に示すことであα xN= 000
αy0xc yc 
1

(1)

カメラの光学中心を原点とし，光軸方向を z 軸，z 軸に垂直で撮像素子の水平方向に平行な軸を x 軸，z 軸・x軸に垂直な軸をy軸とする３次元座標系をカメラ中心の３次元座標系と呼ぶ．ステレオカメラの外部パラメータは，基準カメラ中心の３次元座標系に対する検査カメラ中心の３次元座標系の位置関係として，回転行列Rと並進ベクトルtで記述することができる．２台のカメラを基準カメラ，検査カメラと呼び，基準カメラの内部パラメータを Nb，検査カメラの内部パラメー
タをNi とするとき，このステレオカメラの特性は式(2)の１組の透視投影行列によって記述される[10]．

Pb = Nb ⋅ ( I 0)
Pi = Ni ⋅ ( R – t )(2)

ここで，I は 3 × 3 の単位行列，0 は 3 要素の縦零ベク

トル，( R – t ) なる表現は 3 × 3 の回転行列 R の後ろに 3
要素縦ベクトル–tを連結した3×4行列を意味する．式(2)の透視投影行列を用いることで，基準カメラ中心の３次元座標で記述される測定点（X,Y,Z）が，それぞれの画像面での画像座標（x,y）に式(3)のように変換される．

 X xY y ≈ P ⋅    Z 1 
 1

(3)

ここで，
≈ は射影的な等号を意味する．すなわち，通常
電子情報通信学会論文誌 D-II Vol. J82-D-II No. 3pp. 561-565 1999 年 3 月561

レターの観察点を (xb,yb)，他方のカメラでの観察点を (xi,yi) とθ0するとき，3 × 3 の正則行列を H ，m b = ( x b , y b , 1 ) t ，θαH
1 - (1mi=(xi,yi,1)t，として射影的に成立する式(9)の関係がある．

m i ≈H⋅ m b

H1-αH2(9))H2

平面射影変換行列 H は２台のカメラの内部パラメー
タ Nb，Ni，カメラ間の相対的な位置・姿勢である回転行列 Rと並進ベクトル t，及び基準カメラに対する平面
図１ 二つの平面から補間される平面
Fig. 1 Plane interpolated from two planes.の単位法線ベクトルn と距離z を用いて式(10)のように記述することができる[1], [8]．

t ⋅ nt –1H = Ni ⋅  R – ⋅ Nbz 

することができる．具体的には，H1，H2 を推定した二(10)つの行列とし，H1–kH2 を特異値分解したときの第１特カメラの内部パラメータや位置・姿勢，平面の法線ベクトルと距離に関する情報がなく，平面を２台のカメラで観察した画像における４点以上の対応だけが与異値と第２特異値の比が最大になるように繰返し演算による非線形最小２乗法で k の値を決める．H1，H2 が精度良く推定されておれば，このようにして求めた

えられた場合，式(9)を用いて射影変換行列 H を推定す

H1–kH2 はほとんど特異行列となり，階数を１とみなすることができる．
推定される行列は式(10)で決まる行列ことができる．この二つの 3 × 3 行列 H1，kH2 をステレ
オカメラの幾何学的な特性として用いる校正法が２平に対してスケール因子が不確定である．

面弱校正法である．

ステレオカメラの 2 平面弱校正

3.2

本節では文献[1]で提案したステレオカメラの２平面を H1，H2 とし，この二つの行列をα：1– αの比率で線弱校正法について数学的・幾何学的に説明する．
内部パラメータ，外部パラメータが未知の１対のス
テレオカメラで，異なった場所に配置した二つの平面を観察する．基準カメラに対する二つの平面の単位法
線ベクトルと距離を(n1,z1),(n2,z2)とすると，それぞれの平面による射影変換行列は，式(10)を展開して，式(11)−1H 1 =N i ⋅ R ⋅ Ν b −N i ⋅−1H 2 =N i ⋅ R ⋅ Ν b −N i ⋅1と H

形加算した行列 α · H1+(1–α) · H2 を考える．この行列に関して次の定理１が成り立つ．
[定理１] 二つの平面射影変換行列 H1，H2 をα：1– αの比率で補間した行列α · H1+(1–α) · H2も平面の射影変換行列であり，対応する平面は１本の直線を共有する平面群（面束）である（図１を参照のこと）．となる．

H

スケール因子を等しくした二つの平面射影変換行列2t ⋅ n t1z1t ⋅ n t2z2(12)と記述することができる．

−1⋅ Νbの差行列である H

式(11)を用いることで，α · H1+(1–α) · H2 を式(証明)−1⋅ Νb ntnt   –Ni ⋅  R – t ⋅  α ⋅ 1 + (1 – α ) ⋅ 2   ⋅ Nb 1
 z1z2  (11)
1– H2は nt nt – Ni ⋅ t ⋅  1 – 2  ⋅ Nb–1 となる．この式には 3 × 1 のベ
 z1 z 2 クトルである t が含まれるので，行列の階数は１である．

式(12)の一部を α ⋅とα·t

n1nt+ (1 – α ) ⋅ 2 = (nx , ny , nz ) とおくz1z2

H 1+ ( 1 – α )nx,n 2x +n 2y +n 2z

一方，それぞれの平面に対するステレオカメラ間の(12)·H 2 は単位法線ベクトルnyn 2x +n 2y +n 2z,nz
n 2x +n 2y +n 2z，基準1の平面に対応する射22n + ny + nz

射影変換行列を，画像間の対応点から最小２乗的に推カメラからの距離定することができる．推定される射影変換行列はス影変換行列であることが明らかである．

2xケール因子が未知である．しかし，スケール因子を等H1に対応する平面とH2に対応する平面が交わる直線しくした二つの射影変換行列の差行列の階数が１であが存在する．この直線上の点を２台のカメラで観察しるという性質を利用して二つのスケール因子を等しくた座標をmb=(xb,yb,1)t，mi=(xi,yi,1)t とすると式(13)が成り
563

レター

式(17)を得る．

法線ベクトル n1，n2，及び基準カメラからの距離 z1，z2

Pb = ( I 0)が既知であれば，直接計測される射影座標をユークリッド座標に変換することができる．また，２平面にP i ＝(H 1 |α 0 ⋅ N i ⋅ t )(17)

関して単位法線ベクトル n1，n2 だけが既知で，z1，z2 が式(17)の第１式と適当な行列の積をとることで式(18)を未知の場合，スケール因子が不確定なユークリッド座得る．

標に変換することが可能である．
4.

Pb = ( I 0)

 It= Nb ⋅ ( I 0) ⋅  n1

 z10  Nb–1 0⋅–α 0   0 1

その結果，３次元射影空間での計測がなされ，その空る平面だけに依存することを示した．
謝辞nt
Pi = ( Ni ⋅ R ⋅ Nb–1 – Ni ⋅ t ⋅ 1 ⋅ Nb–1 α 0 ⋅ Ni ⋅ t )z1御討論いただいた京都大学松山隆司教授に感謝致します．
文 N –1 0
n= Ni ⋅ ( R – t ⋅ α 0 ⋅ t ) ⋅  bz1
 0 1

[1]

 It= Nb ⋅ ( R – t ) ⋅  n1

 z1

[2]t1

(19)

したがって，２平面弱校正されたステレオカメラで計べたように，これはユークリッド座標 (X,Y,Z) と式(20)式(20)において二つの座標を関係づける係数行列は基準[4]: A review,” International Journal of Computer Vision, vol.27,
no.2, pp.161-195, 1998.
出口光一郎， カメラキャリブレーション手法の最近動[5]向， 情処研究，CV92-1，1993．
O.Faugeras and G.Toscani, “The Calibration Problem of Stereo,” Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision[6]and Pattern Recognition, pp.15-20, 1986.
O.Faugeras, “What can be seen in three dimensions with anuncalibrated stereo rig?,” Computer Vision - ECCV’92, LNCS-[7]

series, vol.588, pp.563-578, Springer-Verlag, 1992.
R.Hartley, R.Gupta, and T.Chang, “Stereo from uncalibratedcameras,” Proceedings of the IEEE Conference on Computer[8]

Vision and Pattern Recognition, pp.761-764, 1992.
O.Faugeras, “Three-dimensional computer vison,” The MIT
Press, 1993.

カメラの内部パラメータと校正に用いた平面だけで決まる定数行列である．このステレオカメラで計測される３次元座標 (U,V,W,S) は射影座標であるが，検査カメラの内部パラメータや検査カメラが配置される位置に[9]依存しない．したがって，本校正法を基準カメラを共通にする多眼ステレオカメラに応用した場合，すべてのステレオ対から得られる距離情報は同じ射影座標での値であることが保証される．
式(20)とα 0 の性質から明らかなように，基準カメラの内部パラメータNbと校正に用いた二つの平面の単位

no.11，pp.1810-1818，Nov. 1996．
R.Y.Tsai, “A versatile camera calibration technique for high-accuracy 3D machine vision metrology using off-the shelf TV cam-[3]の関係にある．

(20)

献

蚊野 浩，金出武雄， 任意のカメラ配置におけるステレ
オ視とステレオカメラ校正， 信学論(D-II)，vol.J79-D-II，eras and lenses,” IEEE Journal of Robotics and Automation, RA3, no.4, pp.323-344, Aug. 1987.
Z.Zhang, “Determining the epipolar geometry and its uncertainty

測される３次元射影座標を(U,V,W,S)とすると，2.2で述

U
0 –1
 Nb 0  V –α 0  ⋅  0 1 ⋅  W  
 
 S

び

間は基準となるカメラの内部パラメータと校正に用いを得る．

 X
 Y   It
  ≈  n1
 Z   z1
  1

す

計測される３次元空間の幾何学的な性質を考察した．
(18)

また，式(17)の第２式に式(11)を代入することで式(19)0   –1 Nb 0–α 0  ⋅  0 1む

本論文では２平面弱校正されたステレオシステムで[10]

Z.Zhang, R.Deriche, O.Faugeras, and Q.Luong, “A robust technique for matching two uncalibrated images through the recovery of the unknown epipolar geometry,” Artificial Interigence,
vol.78, pp.87-119, 1995.
出口光一郎， コンピュータビジョンのための幾何学
２．ステレオの仕掛けを解き明かす， 情報処理，vol.37，
no.7，pp.662-670，July 1996．
（平成 10 年 7 月 15 日受付，9 月 3 日再受付）

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