第３回に引き続き，藤原です。第４回目は第３回目

ペットボトルに働く推進力が水に与える力の反作で紹介した，２００５年度京大後期問題「ペットボ用であること，微小時間における力と運動の関係式トルの推進力」の解説を掲載したいと思います。各を立てることに目を向ければ，問われていることが小問ごとに模範解答と＜考察＞を記載しました。＜ 「力積と運動量」であることに気づく強者は多いか考察＞では，より深い所まで踏み込んだ思考や，各と思われる。一方で，その式をそのまま与式に代入

問題で試されている物理的な能力などについて記述しても，P と F の比例式とならない。与えられたエしています。物理学習を行う上での参考となれば幸ネルギーの式が，水の質量ではなく密度で表されていです。

いることから，この式の両辺に「吹き出す水の体積」かけることで，吹き出す水の質量 Dm についてのエ【解答解説】

ネルギーの式になることを意識できるかどうかが試問１されている。

ある瞬間のペットボトル，および内部の水の速度を V0 とする（このとき，ペットボトルから見問2た水の相対速度は 0 である）。作用・反作用の法則

より，微小時間 Dt において，ペットボトルの気体が， 吹き出す水が，回りから受ける外力は以下のような水に与える力は F（下向き）であるので，力積と運ものがある。

動量変化の関係式より，1，重力。

FDt = Dmu……（※）

2，大気から受ける力。

Dt の間に，吹き出す水の質量は Dm = r(AuDt) で3，ペットボトルの内壁から受ける力（動摩擦力）。

あるので，これを（※）に代入して，4，まだペットボトル内にある水から受ける力。

FDt = rADtu2u2 =しかし水を含めたペットボトル全体の外部からの要Fと な る。 さ ら に こ れ を
ρA

文 中 に 与 え ら れ た 式，因（外力）は省くと文中にあるので，上記の内，３，4 が当てはまる項目である。
1ru2 = P に 代 入 す る と，
2F＜考察＞= P となり題意通り，F と P は比例関係にある。
2A
問 1 の（※）の式やエネルギーの式は，実際にはF，P だけでなく上記の 1 ～ 4 の力や，ペットボト＜考察＞ルから見た吹き出す水の運動なので，慣性力の影響

文中の与式は，エネルギーの原理から導きだせる。右を考えて立式するのが正しい。F，P に対してそれ以外の力が十分に弱く，微小時間 Dt の間における，HK>1@

図において，内部気体が面積 S の水面上を微小時間 Dt （断面積 K）力積および仕事が無視できる，という事を前提としΔp>P@て問 1 は出題されている。これに類する問題として，の間に微小距離 Dx 押したと摩擦のある床上や空中での２物体の衝突問題があする。この間に内部気体がり，それらの問題では動摩擦力や重力は，2 物体が水にした仕事は PSDx である。また押した部分の質与えあう撃力と比べ非常に小さいとすることで，衝量が Dm と等しい（Dm = rSDx）ので，エネルギー突直前・直後で運動量がほぼ保存されると考える。の原理より
1rSDxu2 = PSDx2

ある物体の運動（速度変化）の要因は，その物体

1ru2 = P となる。
2が外部から受ける力である。物理における根本法則

1

が定着していれば，論理的に具体例を上げられる問らない。u を消去し，変数を V のみにした微分方程題である。

式を作り，V が t のどのような関数となるかを導き出す，といった計算方針を考えつく解析力，またそ

問3れを正しく計算する計算力が試されている。

1ru2 = P を P0V0 = PV に代入して P を消去すると，2
問41Êˆ2u = ÁÁ 2 P0V 0 ˜˜ となる。これを
ÁË rV ˜¯(1)に代入して，気体の圧力が大きかったときの結果。(b) は初めにおいて，水の質量が大きく，内部気体が小さかった

1

Ê 2P V ˆ 2dV= AÁÁÁ 0 0 ˜˜˜dt
Ë rV ¯1(a) は初めにおいて，水の質量が小さく，内部ときの結果。
(2)

Ê 2P V ˆdV= AÁÁÁ 0 0 ˜˜˜dt
Ë r ¯12¤V2¤

Ê 2P V ˆ 22 dV 2= AÁÁÁ 0 0 ˜˜˜3 dt
Ë r ¯3>e1

llllD

両辺を積分して（積分定数を Z とする）
1

Ê 2P V ˆ 22 23
V = AÁÁÁ 0 0 ˜˜˜ t + Z3
Ë r ¯e>2¤1¸3ÏÔ 3A Ê 2P V ˆ 23Z ÔÔÔ
0 0˜Á
V = ÌÔÁÁ˜˜ t + 2 ˝ÔÔÔÔÔ 2 Ë r ¯˛ÓE(3)一方，問 1 の結果から，P0V0 = PV を用いて P を消去すると F =(a) 出発から F が重力より強い間は，上向きを正と2 AP0V 0となり，上記の式を代入してVした速度（グラフの傾き）は増加していく。F が重力より弱くなった後は，速度は減少していき，やが

21
¸ -3
Ï
Ô
Ô 3A Ê 2P V ˆ 2
Á 0 0 ˜ t + 3Z Ô˝F = 2 AP0V 0 ÔÌ
Ô 2 ÁÁË r ˜˜¯2 ÔÔÔÔÔ˛Óて 0 となった後，負の速度を大きくしながら降下していく。しかし，どの時点で t1 に達するかは解らないので，グラフは以下の 3 通りが考えられる。

23Ï
¸ -31= ÔÌ 3 ( rA)- 2 t + 2 AP V - 2 3Z Ô˝0 0
Ô 4 P0V 02 Ô˛
Ó

()

``

2= ( Bt + C )- 3となり，題意を満たしている。

ll`

＜考察＞
において，u は長い時間でみると，V と同様に変数である。よって，V は t の 1 次関数とはな

2llll

値であることは導かれる。

(b) 速度の変化の仕方は (a) と似ているが，t1 よりも気体に関する問われている知識は基本的である

早い時刻で減速が始まるのは明らかであるので，グが，そこから問 3 の仮定のどこに不備があるかを見ラフは以下の 2 通りが考えられる。

つけるのは，やや考察力を必要とする。

``

ボイルの法則の式の成立条件が定着しているかどうかが重要である。

ll

ll
【おわりに】＜考察＞

今回の問題は，要約すると以下の３点の能力がある(2) の (a) は，水が無くなった後も，内部気体を吹き出すことによって生まれる，推進力 F がしばらくかを試していると思われます。

存在する。(a)，(b) 共に内部気体の圧力が大気とほ

１，各物理量について，どのような関係式（物理法ぼ等しくなった時点で F = 0 になると思われる。

則や定義式）が成立しているかを，述べることがで(3) のグラフを，正しく場合分けして描く事ができる，物理に対する本質的な理解力。

きる強者は少ないと思われる。速度（グラフの傾き） ２，導出した式や与えられたグラフから，状況を読の変化に注目して，グラフを描く事ができるかどうみ取る解析力。

かが最も重要である。さらに細かく考察して，m の３，変数・定数の違いに注意して，正しい微積計算減少にしたがい，重力が弱くなることまで考慮したや近似計算を行える計算力。

ものは，超強者（または実験の経験者）といえる。
前期試験の問題と比べ，「何を答えていけばよい
問5

霧は高圧・低温状態で発生する。初め最も高か」が読み取りにくい難問といえますが，枝葉の知圧であったときに発生していなかった霧が，途中で識の有無ではなく，以上の 3 点を試しているという発生したということは，内部気体の温度が低下した

点では京大前期試験も全く同じ傾向があります。今事を意味する。よって問 3 における式 P0V0 = PV（ボ後の学習や問題演習を進めていく際に，やみくもにイルの法則）は，等温変化のときに成立する式であ問題に当たるだけでなく，上記の３点を丁寧に意識るので，温度が低下するならば，変化後の圧力 P， しながら，問題を読み解いていく練習を積んでいっ
V について，P0V0 > PV となるはずである。よってて下さい。

問 3 で求めた値より，実際の推進力は小さい。
＜考察＞
温度低下の原因は，断熱的な膨張によるものと考えられる（水にした仕事分，内部気体のエネルギーが減少したことによる温度低下）。
完全な断熱状態ならば，ポアッソンの法則 P0V0g= PV が成立し，この式を用いて問 3 の推進力を求gめ直す事ができる。ただ，この式がなくとも P0V0 >PV であることは説明できるので，F がより小さい

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