Debreceni Egyetem
Természettudományi Kar
Matematikai Intézet

Szakdolgozat

Matematika Geogebrával
készítette:

Zdrobe Marius

témavezet®: Dr. Tengely Szabolcs

Debrecen, 2009

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzéki1Bevezetés

2

2

A

3

4

5

6

7

Geogebra

program3

Egyenletek, egyenl®tlenségek megoldása

3.1.

Az egyenlet, egyenl®tlenség

3.2.

A másodfokú egyenlet

3.3.

A

Geogebrával

6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Geogebra alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Euler-féle vonal, Feuerbach-féle kör

9
17

4.1.

A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai. . . . . . . . . . . . .

17

4.2.

Az Euler-féle vonal és a Feuerbach-féle kör . . . . . . . . . . . . . .

18

4.3.

Szerkesztés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4.4.

Feuerbach kilenc-pont tételének egyik bizonyítása . . . . . . . . . .

24

Geogebrával

Az integrál szemléltetése

27

5.1.

Integrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

5.2.

A Riemann-integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

5.3.

Az alsó és a fels® integrálközelít® összeg

28

5.4.

Az integrál szemléltetése. . . . . . . . . . . . . . .

Geogebrával . . . . . . . . . . . . . . . . .

Függvényvizsgálat

6.1.

A függvényvizsgálat elemei

6.2.

A

29
33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geogebra alkalmazása függvényvizsgálathoz . . . . . . . . . . . .

33
35

Összegzés

39

Irodalomjegyzék

40iKöszönetnyilvánítás

Ezúton köszönetemet fejezem ki témavezet®mnek Dr. Tengely Szabolcsnak,
hogy folyamatos útmutatással és hasznos tanácsokkal segítséget nyújtott szakdolgozatom elkészítéséhez.
Köszönettel tartozom családomnak is, mert türelmesek voltak és támogattak
mindenben tanulmányaim sikeres elvégzéséhez.

1

1. BevezetésA

Geogebra egy általános célú dinamikus matematikai segédprogram, amit

matematikai ábrázolás céljából fejlesztettek ki. Kiemelkedik a többi hasonló program közül könny¶ kezelhet®ségével, és sokoldalúságával.

Ezen kívül el®nyei aszabad hozzáférhet®ség és használat, a platform függetlenség (operációs rendszer
független) és az, hogy van magyar nyelv¶ változata.
Ez a szakdolgozat a

Geogebra program néhány gyakorlati alkalmazását muta-

tja be. Segítséget jelenthet az általános vagy középiskolában matematikát tanító
tanároknak, a diákjaiknak, vagy bárkinek akit érdekel a program abban, hogy
megismerkedhessenek annak használati módjával.

Segítségével a tanárok színe-

sebbé tehetik a matematika órákat, rugalmasabban és pontosabban szerkeszthetnek vagy szemléltethetnek. Így a diákok érdekesebb matematika órákon vehetnek
részt, ezeken könnyebben követhetik a szerkesztéseket, maguk is megtanulhatják
a program használatát, szert téve nemcsak matematikai, hanem informatikai ismeretekre is. Így a program használata motivációként is hasznos lehet.
Ezen kívül aGeogebra azoknak is segítséget nyújthat, akik valamilyen ok

miatt nem tudnak papír alapú szerkesztéseket elvégezni.

Lehet®vé teszi a pon-tos szerkesztést és az utólagos módosításokat, elkerülve az újraszerkesztés szükségességét. Végig lehet futtatni gombnyomásra a szerkesztés lépéseit. Van benne
nyomvonal követési lehet®ség, ami hasznos a mértani helyek meghatározásában,animáció készítési lehet®ség, valamint makró segítségével új eszközöket is lehet
létrehozni.
Az els® témakörben a

Geogebra programot mutatom be. A másodikban az

egyenletek témakörében használható alkalmazást ismertetem.
makörben a

A harmadik té-

Geogebra egy geometriai alkalmazása következik. Ebben a fejezetben

bizonyítás szemléltetésére is használom a programot.

A negyedik fejezetben az

analízis témakörében az integrál egy látványos szemléltetési módjával folytatom.
Az utolsó részben szintén analízis témakörben a program lehet®ségeit vázolom fel
egy függvényvizsgálat esetén. Minden alkalmazás esetén, az elméleti rész után,részletesen leírom annak készítési módját úgy, hogy azt bárki végig tudja vinni. Ezzel szándékszom azokat az olvasókat segíteni, akik nem rendelkeznek sok
számítógépes gyakorlattal. Ezek a példák nem fedik le az egyes témakörök minden részét, de elég általánosak ahhoz, hogy sok területen alkalmazhassuk ®ket.
Általában ehhez csak kisebb módosítások szükségesek.

2

2. A

A

Geogebra

program

Geogebra egy középiskolai matematika oktatási segédprogramnak szánt szoftMarkus Hohenwarter. Az általam használtver, melynek kitalálója és készít®jeverzió a 2007. augusztus 9.-én megjelent 3.0 verzió. A program szabad-hozzáférés¶.
M¶ködéséhezJava futtató környezet szükséges, amit szintén díjmentesen letölt-

hetünk az internetr®l. Ez biztosítja a program számára a platform függetlenséget.
A dinamikus matematikai szoftvereknek, amelyek közé a tárgyalt program istartozik, néhány jellemz® szolgáltatását sorolom fel:ü Interaktivitás - az ábrázolt pontok között logikai kapcsolat van, azaz van
olyan pont amit mi teszünk a rajzlapra, ezeket bázis pontoknak szoktuk
nevezni, és olyanok amiket ezekb®l származtatunk; a bázispontok helyének
változtatásával a többi pont ami ezekt®l függ is elmozdul;

ü Szerkesztés lépéseinek visszajátszása - a program megjegyzi a szerkesztés
lépéseit, és így utólag bármikor visszanézhetjük, vagy levetíthetjük az el®reelkészített szerkesztést;

ü Animáció készítés - általában azt jelenti, hogy a bázispontot végig vezeti
egy alakzaton és mindig a megfelel® ábra jelenik meg;ü Nyomvonal megjelenítés - a bázispont végig fut egy alakzaton és a t®lefügg® pont vonalat húz maga után, így nyomvonal jelenik meg; ezt általában
mértani hely meghatározásánál lehet jól használni;ü Makró készítés - A program képes új eszközt létrehozni, megjegyez egym¶veletsort, amit gombnyomásra elvégez bármikor.
Fontos megemlíteni, hogy a

Geogebra fel van szerelve a makró készítés le-het®ségével, ami új eszközök létrehozására ad lehet®séget, úgy hogy a program
megjegyez több lépésb®l álló m¶veletsort, amit e gomb segítségével bármikor egy
kattintásra elvégezhetünk.
A Geogebra ablakának felépítése:

1 Menüsor - a program egyéb funkcióit, beállításait lehet itt elvégezni, az
eszközöket innen nem lehet elérni, azokat az eszköztárból lehet kiválasztani;

3

FEJEZET 2.

4

A GEOGEBRA PROGRAM

2.1. ábra.

1 Eszköztár - itt elérhet® minden szerkesztési eszköz vizuálisan gombokkal,
de ha rávisszük az egér mutatóját, akkor szövegesen is megjelenik az eszköz
neve;

1 Parancssor - itt lehet beírni adatokat szövegesen, algebrai alakban; amikor
egy ilyen sort beírunk, megjelenik a megfelel® alakban, az algebrai ablakban
és a megfelel® rajz a geometriai ablakban; ennek szintaktikája részletezve
van a súgóban;1 Algebrai ablak - ebben az objektumok jelennek meg képlettel; van szabad
alakzat, függ® alakzat és segéd alakzat; a szabad alakzat például pont eseténa bázispont, tehát amit mozgatni lehet; a függ® alakzat az, ami együttmozog az elmozdított szabad alakzattal; a segéd alakzat pedig olyan, amit
mi jelölhetünk, annak

Tulajdonságok menüjében és kés®bb amikor akarjuk

eltüntethet® a rajzlapról;

1 Geometria ablak (rajzlap) - ez a program rajzoló része, itt jelennek meg
az alakzatok síkba rajzolva; ha ezen az ablakon rávisszük az egeret egy
alakzatra, akkor megjelenik egy leírása; ha kétszer rákattintunk az egér bal
gombjával egy objektumra, akkor megjelenik aTulajdonságok párbeszéd-ablak, ahol egyébként jobb oldalon a többi alakzat is fel van sorolva;

FEJEZET 2.

5

A GEOGEBRA PROGRAM

1 Navigációs eszköztár - arra szolgál, hogy a szerkesztés lépései között lépeges-

Lejátszás gombbal automatikusan lejátssza a program a szerkesztés
lépéseit; a Szerkeszt® Protokol gombbal pedig egy táblázatban jeleníti meg asünk; alépéseket, a deníciókat, a megfelel® parancsokat, és itt lehet töréspontokat
létrehozni.
A programnak nagyon jó magyar nyelv¶ súgója van, ezért nem sorolom fela parancsokat, és alakzat eszköztárból való létrehozásának módját.

Ezekkel akés®bbiekben az alkalmazások készítésének leírásában foglalkozom.
A számok esetében a tizedesvessz® jele a pont és a programot be lehet állítani,
hogy hány tizedes jeggyel számoljon a

Beállítások menü Tizedes Hely menüpon-tjában.
Nagyon hasznos, hogy a parancssorban van súgó, aParancs gomb megnyomá-

sával a rajzlapról, vagy az algebra ablakból választhatunk objektumot. Lista vanmatematikai jelekkel, operátorokkal és az összes paranccsal, amit egy kattintással
beilleszt a program a parancssor adatbeviteli mez®jébe.

3. Egyenletek, egyenl®tlenségek
megoldása

Geogebrával

3.1. Az egyenlet, egyenl®tlenség
Az egyenletet, illetve egyenl®tlenséget többféleképpen megközelíthetjük. Ha
az általános iskolában is használt megközelítést használjuk, akkor az egyenletr®lazt mondjuk, hogy olyan nyitott (hiányos) mondat, amely úgy írható le, hogy két
kifejezés közé az egyenl®ség jelét tesszük. A továbbiakban alaphalmazként a valós
számok halmazát használjuk.
Példa:

3x − 2 = 2x + 2,
2y 3 + 5y 2 + 3 = 5y − 7.
Egyenl®tlenség esetén ez a jel lehet:< (kisebb), ≤ (kisebb egyenl®), > (na-gyobb), ≥ (nagyobb egyenl®), vagy a 6= (nem egyenl®) jel.
Példa:

3x − 2 < 2x + 2,
2y 3 + 5y 2 + 3 ≥ 5y − 7.
Az egyenletet, egyenl®tlenséget tekinthetjük, olyan nyitott mondatnak, amelyet egy olyan logikai függvényként (igaz, hamis) értelmezzük, melynek két oldalán
függvények vannak.
Példa:

ax + b = cx + d,
ax2 + bx + c ≤ dx + g.
Az egyenlet, egyenl®tlenség lehet algebrai vagy transzcendens egyenlet, aszerint, hogy a kifejezések algebrai kifejezések vagy nem (trigonometrikus, exponenciális, logaritmikus).
Az alaphalmaz az a halmaz ahonnan választhatjuk a változó értékét. Azt azértéket, amelyre az egyenlet vagy egyenl®tlenség igaz, megoldásnak vagy gyöknek
nevezzük. A megoldások halmazát igazsághalmaznak nevezzük. Ha az egyenlet,
6

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

7

GEOGEBRÁVAL

egyenl®tlenség minden adott értékre igaz akkor azonosságnak illetve azonos egyenl®tlenségnek nevezzük.

Az egyenlet, egyenl®tlenség határozott, ha véges számúértékre igaz, ellenkez® esetben határozatlan.
Egyenletet és egyenl®tlenséget megoldani annyit jelent, mint meghatározni az
igazsághalmazát.

3.2. A másodfokú egyenlet
2 +bx+c = 0 egyenletet, ahol a, b, c ∈ R és a 6= 0 másodfokú egyenletnekAz ax

nevezzük. A következ® másodfokú egyenleteket hiányos másodfokú egyenleteknek
nevezzük:

2 + bx = 0,

- ha a 6= 0, b 6= 0, c = 0, akkor ax- ha a 6= 0, b = 0, c 6= 0

, akkor ax

2 + c = 0.

A másodfokú egyenlet általános megoldása:

ax2 + bx + c = 0.
Els® lépésként kiemelünk minden tagból a-t, és a következ®t kapjuk:



c
b
= 0.
a x2 + x +aaMegpróbáljuk a kifejezést úgy átalakítani, hogy a zárójelben két tag négyzetének a különbségét kapjuk. Ehhez el®bb teljes négyzetté alakítunk:

"

b
x+
2a

2

#
b2
c
− 2+
= 0,
4a
a

"

b
x+
2a

2

#
b2 − 4ac
−
= 0.
4a2

a

a
Amennyibenb2 − 4ac ≥ 0:



b 2
a x +
−
2a

r




b 2

a
x+
−
2a

√

b2 − 4ac
4a2

b2 − 4ac2a!2 
 = 0,!2 
 = 0.

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

8

GEOGEBRÁVAL

a2 − b2 = (a + b) (a − b) azonosságot szorzattá alakítunk:

Felhasználva az

"

b
a x+
+
2a

√

b2 − 4ac
2a

#"

b
x+
−
2a

√

#
b2 − 4ac= 0.
2a

Egy szorzat akkor 0, ha valamely tényez®je 0. Így a következ®ket írhatjuk:

√

"

b
a x+
+
2a
x+

√

b+

x1 = −x1 =Ha#
b2 − 4ac= 0,
2ab2 − 4ac
= 0,
2a

b+

−b −

√

b2 − 4ac
,
2a

"

b
a x+
−
2a
x+

b−

x2 = −√

b2 − 4ac
,
2a

x2 =

√

√

#
b2 − 4ac= 0,
2ab2 − 4ac
= 0,
2a

b−

−b +

√

b2 − 4ac,2a√b2 − 4ac,2ab2 − 4ac < 0, akkor a következ® átalakításokkat végezzük:b 2 b2 − 4ac
−
= 0,
x+
2a
4a2


b 2
= b2 − 4ac.
4a2 x +
2a2

Most bevisszük a 4a -t bevisszük a zárojelbe és egyszerüsítünk:(2ax + b)2 = b2 − 4ac.
2 − 4ac < 0 feltételekt összevetve a következ® eredményt

A fenti egyenlet és a b
kapjuk:(2ax + b)2 < 0,ami valós számok esetén lehetetlen, tehát ebben az esetben nincs valós megoldás.
A másodfokú egyenlet megoldóképlete:x1 , x2 =−b ±√b2 − 4ac.
2a

A másodfokú egyenlet megoldásainak száma a diszkriminánstól függ, amely-

2 − 4ac. A diszkrimináns értékét®l függ®en:

nek képlete: D = b- ha D > 0, akkor két különböz® valós gyök van, x1 és x2 ,- ha D = 0, akkor egy(két egyenl®) valós gyök van, x1 = x2 ,- ha D < 0, akkor nincs valós gyöke az egyenletnek.

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

9

GEOGEBRÁVAL

3.3. AA

Geogebra alkalmazása

Geogebrában más matematikai programokkal ellentétben, amelyek csak meg-adják az egyenlet megoldását, esetleg a megoldáshoz vezet® lépéseket, grakus
úton oldjuk meg ezeket. Ezért kapcsolatot teremt a függvények, amelyeket gyakran
szoktunk ábrázolni, és az ily módon mostmár szintén ábrázolt egyenletek között.
Itt az egyenlet két oldalát ábrázolandó függvényeknek tekintjük és a metszéspontok a megoldások. Az egyenl®tlenségek esetén szinten leolvasható a grakonokból
a megoldás.
A

Geogebrával nagyon sokféle egyenlet és egyenl®tlenség oldható meg, ábrá-zolható.
Ebben a fejezetben az:

ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
alakú egyenletek, egyenl®tlenségek(<, >)

Geogebrával való megoldását tárgyalom.

Tehát egyismeretlenes, legfeljebb másodfokú algebrai egyenlet, vagy egyenl®tlenség megoldása a cél.

Azért van az egyenlet mindkét oldalán egy-egy másodfokú kifejezés, hogy a Geogebrával való megoldása látványosabb legyen. Így a megoldás nem egy parabola(egyenes) és az x-tengely metszéspontjai lesznek, hanem a két parabola (egyenes)
metszéspontjai.
Fontos megjegyeznem, hogy a program az egyenletmegoldásokat, és általábana kiszámított értékeket, alapértelmezésként két tizedes jegyes pontossággal, kerekítve számítja és jeleníti meg. Ezt az opciót állítani lehet 0-tól 5 tizedesjegyig,
tehát százezredekre kerekített értékig.
Ez a

Geogebrával készített alkalmazás használható az általános iskolában ésa középiskolában is az egyenletek, egyenl®tlenségek tanításához.

Alkalmas bár-

milyen valós együtthatós másodfokú egyenlet vagy egyenl®tlenség megoldására.
Az együtthatók értékének változtatásával egyidej¶leg változik a megfelel® oldal
grakonja és így a megoldás is. Ezáltal azon kívül, hogy a tanulóknak integráltan is taníthatjuk a függvényeket, illetve egyenleteket, a dinamikus változtatás
lehet®sége más szemszögbe hozza ezeket a fogalmakat.
Az a, b, c, d, e, f együttható értékeinek megfelel®en a következ® érdekes esetek
fordulhatnak el®:-ha a = d = 0 akkor bx + c = ex + f els®fokú egyenlethez jutunk (3.1. ábra),-ha a = d = e = f= 0, akkor az bx + c = 0 alakú egyenletet kapunk (3.2.

ábra),-ha a vagy d nem nulla akkor másodfokú egyenletr®l van szó (3.3. ábra).
-ha valamelyik oldalon minden együttható nulla, például ha d = e = f = 0,

2 + bx + c = 0 alakú egyenlet megoldását látjuk (3.4.

akkor a hagyományos axábra)FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

10

GEOGEBRÁVAL

3.1. ábra.

3.2. ábra.

Az els® esetben a megoldás a két egyenes metszéspontja, vagyis az x =

f −c
b−e .

A második esetben a bx + c függvény grakonja és az x-tengely metszéspontja a megoldás. A harmadik eset megoldásai a két oldal megfelel® paraboláinak
metszéspontjai. Az utolsó esetben a parabola és az x-tengely metszéspontjai azegyenlet megoldásai.
A

Geogebra minden esetben kiszámolja a valós megoldásokat és ezek értéke

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

11

GEOGEBRÁVAL

3.3. ábra.

3.4. ábra.

dinamikusan változnak az egyenlet és az egyenlethez tartozó grakonok változtatásával egyidej¶leg.
Az egyenl®tlenségek megoldásának ábrázolásához két esetet tettem be a munkalapba, a kisebb és a nagyobb relációjeles egyenl®tlenséget.
A következ®kben leírom részletesen, hogyan készült ez aA

Geogebra alkalmazás.

Geogebra indítása után szükség van a tengelyek megjelenítésére, ehhez a

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

12

GEOGEBRÁVAL

Nézet menüben be kell kapcsolni a tengelyek menüpontot. Ezen kívül a Nézet
menü Algebra ablak menüpontot is be kell kapcsolnunk, amit elérhetünk a CTRL+SHIFT+A billenty¶kombinációval is. Ezután bevezetünk hat együtthatót, amitkés®bb használni fogunk, és ezeknek alapértéket adunk.

Ehhez a parancssorba

beírjuk a következ® sorokat:a = −1
b=0
c=6
d=1
e=3
j = −5.

Ezután beírjuk a két függvényt, amelyek az egyenlet két oldalát adják:

f (x) = a ∗ x ∧ 2 + b ∗ x + c
g(x) = e ∗ x ∧ 2 + f ∗ x + j.
Ekkor kirajzolódik a két függvény grakonja és az eszköztárban található

rajz-

lap mozgatása eszközzel (3.5. ábra), a munkalap kényelmes helyzetbe mozgatható, úgy hogy a grakonok jól látható helyzetbe kerüljenek, illetve ugyanennél azeszköznél legördítve az eszközlistát, kiválaszthatjuk a nagyítás vagy kicsinyítés
eszközöket a megfelel® látvány eléréséhez.

3.5. ábra.

A következ® lépés az, hogy az együtthatókat, amelyek a szabad alakzatok
résznél vannak, egyesével megjelenítjük a munkalapon úgy, hogy külön-külön mindegyikre rámegyünk az egérrel, jobb gombot nyomunk és kiválasztjuk az alakzat
megjelenítése opciót (3.6. ábra). Az együtthatókhoz tartozó küszöbértékeket és abeosztás nagyságát a munkaablakban a csuszkára kattintva jobb gombbal,

Tulaj-

donságok menü, Csuszka fül kiválasztásával tehetjük meg. Itt a párbeszédablak
jobb oldalán könnyen változtathatjuk az objektum tulajdonságait.
A továbbiakban az eszköztár

szöveg beszúrása (3.7. ábra) eszközével az "f(x)=g(x) megoldásai:" szöveget illesztjük be a megfelel® helyre.

Ezután a következ® két paranccsal, amit a parancssorba beírunk, megjelenítjük
a két grakon metszéspontját:
Metszéspont[f,g,1]Metszéspont[f,g,2].

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

13

GEOGEBRÁVAL

3.6. ábra.

3.7. ábra.

új pont (3.8.
ábra) eszközt, legördítjük a listáját, innen kiválasztjuk a két alakzat metszéspontja
Ezt megtehetjük úgy is, hogy az eszköztárban kiválasztjuk az(3.9. ábra) eszközt és rákattintunk a két pontra.

3.8. ábra.

3.9. ábra.

tulajdonságok menüpont kiválasztásával a névhez beírjuk X 1 és X 2. Ugyanitt, a tulajdonságok párbeszédablak, szöveg menüpontjában a tizedes hely gördíthet® listából lehet kiválasztaniÁtnevezzük az így kapott pontokat úgy, hogy ahány tizedesjegyes kerekítést használjon a program az értékek megjelenítéséhez.
Ezt követ®en néhány dinamikus szövegrész következik, amit a szöveg beillesztés
eszközzel készíthetünk el a következ® szövegekkel:"x 1=" + (x(X 1))"x 2=" + (x(X 2))"f (x) = ax

2 + bx + c =" + f

2 + ex + j =" + g"g(x) = dx

f + "=" + g

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

14

GEOGEBRÁVAL

A továbbiakban mer®legeseket szerkesztünk az x-tengelyre a metszéspontokon
keresztül. Ehhez az eszköztárból kiválasztjuk amer®leges (3.10. ábra) eszközt,

rákattintunk a pontra és azután az x-tengelyre. Az így készített egyenes stílusát
szaggatotvonalasra változtatjuk a

Tulajdonságok párbeszédablak Style fülére kat-tintva és kiválasztva a megfelel® tipust, vonalvastagságot.

3.10. ábra.

A fentieknek megfelel®en a készített mer®legesek és az x-tengely metszéspontjait kijelöljük.
Most következik az egyenl®tlenségek (<, >) ábrázolása a Geogebrával.

Az

egyenl®tlenségek megoldásait az x-tengelyen legutóbb kijelölt két pont által határolt szakasz és félegyenesek adják. Ehhez készítünk egy szakaszt amely összeköti
a legutóbb készített két pontot.

Ezt úgy tehetjük meg, hogy az eszköztárban

egyenes két ponton keresztül (3.11. ábra) eszközt és utána a listából
szakasz (3.12. ábra) eszközt, majd a két pontra kattintunk.

kiválasztjuk az
a

3.11. ábra.

3.12. ábra.

A készített szakasz két oldalából készítünk két félegyenest úgy, hogy mindkét

egyenes két
ponton keresztül (3.11. ábra) eszközt legördítve kiválasztjuk a félegyenes (3.13.

oldalon találomra kijelölünk egy-egy pontot, aztán az eszköztárból azábra) eszközt és rákattintunk a megfelel® pontokra.

3.13. ábra.

Az alkalmazás, a jelenlegi helyzetében, ha az egyenletnek nincs megoldása,nemdeniált. Ennek elkerülésének céljából, a megoldások megjelenítését feltételhez

vagy csak egy megoldása van, akkor a nem létez® megoldáshoz azt írja ki

kötjük úgy, hogy rákattintunk az x2 -t tartalmazó szövegre az egér jobb gomb-

Tulajdonságok menüpontot, a megjelen® párbeszédablakban
Advanced fülre és beírjuk azt, hogy k ≥ 0. Ezt azért kell így

jával, kiválasztjuk arákattintunk az

megoldani, mert a k az a két megoldás közötti szakaszt jelenti az x-tengelyen és
ha nincs csak egy megoldás, akkor nincs szakasz sem.

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

15

GEOGEBRÁVAL

Ahhoz, hogy a másik szöveg az x1 -et tartalmazó szöveg is eltünjön ha nincs
értéke, egy szakaszt kell szerkeszteni az x1 -el jelölt pont és a rajta áthaladó xtengelyre mer®leges egyenes és az x-tengely metszéspontja között aszakasz (3.12.

ábra) eszköz segítségével. Erre a szakaszra csak a feltétel miatt van szükségünk,
ezért letiltjuk a megjelenését és a nevének a megjelenését. Az x1 -et tartalmazó
szöveg elt¶néséhez a

Tulajdonságok menüpont Advanced fülénél be kell írni azt,

hogy n ≥ 0 feltéve, hogy az el®bb létrehozott szakasz neve n lett létrehozása után.
Utolsó lépésként az egyenl®tlenséghez szükséges szövegeket illesztjük be, amelyeket megfelel®en párosítva a grakus megoldással (szakasz félegyenes), azonos
szín¶re színezünk, aTulajdonságok párbeszédablak Szín fülére kattintva. Ezek aszövegek a következ®képpen néznek ki:
f + ">" + gx(A) + " < x ""< " + (x(B))f(x)>g(x) megoldásai:f(x)<g(x) megoldásai:x(A) + " > x "" és x > " + (x(B))
Itt is a megoldások nem létezése esetére feltételeket kell beilleszteni a megjelenítéssel kapcsolatban a

Tulajdonságok menüpont Advenced fülénél úgy, hogy

az x < szövegeknél az n ≥ 0 feltételt, az x > szövegeknél a k ≥ 0 feltételt kellbeállítani.
A

Geogebra Nézet menüjének Szerkeszt® protokoll menüpontja alatti alkalma-zással megnézhetjük a munkánkat összesítve és levezethetjük lépésenként(3.14.
ábra és 3.15. ábra). Ezt használhatjuk bemutató céllal is az alkalmazás készítésének lépésr®l-lépésre való bemutatásához.

FEJEZET 3.

EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

16

GEOGEBRÁVAL

3.14. ábra.

3.15. ábra.

4. Euler-féle vonal,
Feuerbach-féle kör

4.1. A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai
A háromszög két oldalfelez® pontját összeköt® szakaszát

középvonalnak nevez-zük. A középvonal párhuzamos az általa nem felezett oldallal és hossza fele a nem
felezett oldal hosszának.
Egy és csak egy olyan kör van, amelyre egy háromszög mindhárom csúcsa
illeszkedik, ezt a háromszög

körülírt körének nevezzük. Ennek középpontja he-gyesszög¶ háromszög esetén a háromszögön belülre, derékszög¶ háromszög eseténaz átfogó felezési pontjába, tompaszög¶ háromszög esetén pedig a háromszögön
kívülre esik. Az oldalak felez®mer®legesei egymást a háromszög köré írt kör középpontjában metszik (4.1.ábra). A köré írható kör sugara ennek a pontnak és bármelyik csúcspontnak a távolsága.

4.1. ábra.

Egy háromszög csúcspontjából a szemközti oldalegyenesre bocsátott mer®leges

17

FEJEZET 4.

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

18

magasságának nevezzük. Egy háromszög három magasságának egyenese egy ponton halad át, ezt a pontot a háromszög magasságpontjának(ortocentrumának) hívjuk (4.2. ábra). Ha egy háromszög nem derékszög¶, akkor
szakaszt a háromszög

csúcsai a magasságponttal együtt ún. ortocentrikus pontnégyest alkotnak. Ez azt
jelenti, hogy közülük bármely három olyan háromszöget határoz meg, amelynek
a negyedik a magasságpontja.

4.2. ábra.

Egy háromszög csúcsát a szemközti oldal felez®pontjával összeköt® szakaszt asúlyvonalának nevezzük. A háromszög súlyvonalai egy ponton haladnak át. Ez a pont a háromszög súlypontja(baricentruma). A súlypont mindegyik
háromszög

súlyvonalnak (a csúcstól távolabbi) harmadolópontja. Egy és csak egy olyan kör

beírt
körének hívjuk. A háromszög szögfelez®i egymást a beírt kör középpontjábanlétezik, amely egy háromszög mindhárom oldalát érinti, ezt a háromszög

metszik.
Azt a kört, amely a háromszög oldalát és másik két oldalának meghosszabbítását érinti, a háromszög

hozzáírt körének nevezzük.

A háromszög minden

oldalához egyetlen hozzáírt kör tartozik, amelynek középpontja egy bels® és két
küls® szög felez®jének közös pontja.

4.2. Az Euler-féle vonal és a Feuerbach-féle kör
Ha egy háromszög nem szabályos, akkor körülírt körének középpontja, súlypontja és magasságpontja egy egyenesre illeszkedik.

A súlypont a körülírt kör

középpontja és a súlypont távolságát harmadolja, és a körülírt kör középpontjához
van közelebb.
Ennek a három pontnak az egyenesét

Euler-féle egyenesnek nevezzük.

Szabályos háromszög esetén a fent említett három pont egybeesik és ebben

FEJEZET 4.

19

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

4.3. ábra.

az esetben a háromszögnek nincs ilyen egyenese. A magasságpont kétszer akkora
távolságra van a háromszög csúcsától, mint a körülírt kör középpontja a csúcscsal szemközti oldaltól. A magasságpontnak az oldalakra vonatkozó tükörképei aháromszög körülírt körén vannak.
Egy háromszög oldalfelez® pontjai, a magasságainak talppontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összeköt® szakaszok felez®pontjai rajta vannak egy olyan
körön, amelynek középpontja a magasságpontot a körülírt kör középpontjávalösszeköt® szakasz felez®pontja, sugara pedig fele a körülírt kör sugarának. Ezt akört a háromszög

Feuerbach-féle körének (vagy a kilencpontos körnek) nevezzük.

A Feuerbach-kör középpontja felezi a magasságpontot és a háromszög körülírt
körének középpontját összeköt® szakaszt, sugara pedig a körülírt kör sugarának a fele.

A Feuerbach-kört a kilenc pont közül bármely három egyértelm¶enmeghatározza. Így a magasságpontot a csúcsokkal összeköt® szakaszok felez®pontjai is egy kört határoznak meg és ez a kör a háromszög köréírt körének

1
2 arányú

kicsinyítéséb®l származik .
Ezek közül a pontok közül Euler 1765-ben hatot ismert.

Ismerte azt, hogy

az oldalfelez® pontok, a magasságok talppontjai rajta vannak ugyanazon a körön,de nem ismerte azt, hogy a magasságpontot és a csúcsokat összeköt® szakaszok
felez®pontjai is ezen a körön vannak. Az els® teljes bizonyítását annak, hogy akilenc pont egy körön helyezkedik el Poncelet francia matematikus adta 1821ben. A kört azért nevezik mégis Feuerbach-körnek, mert ® 1822-ben egy újabb
tulajdonságot vett észre, mégpedig azt, hogy a kilencpontos kör érinti a háromszög
beírt körét és mindhárom hozzáírt körét.[1]FEJEZET 4.

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

204.4. ábra.

4.3. Szerkesztés

Geogebrával

Az el®z® fejezetben láthattuk hogyan lehet egyenletek megoldását szemléltetni.
Ebben a fejezetben a programnak egy geometriai alkalmazását láthatjuk. Itt nem
csak feladat megoldáshoz használhatjuk a

Geogebrát, hanem tételek bizonyításá-

nak szemléltetésére is. Mivel ezekkel a dinamikus geometriai programokkal pontos
szerkesztéseket lehet végezni a szerkesztés gyorsabbá válik, és biztosak lehetünk
benne, hogy a pontatlanságból ered® hibákat elkerüljük.
lehet megszerkeszteni ezt a dinamikus ábrát (4.4.

El®bb leírom hogyanábra), ezután egy elemi ge-

ometriai módszerrel hogyan lehet bizonyítani azt, hogy a kilenc el®bb említett
nevezetes pont rajta van egy körön.
A szerkesztések minél jobb átláthatósága érdekében érdemes különböz® színeket
használni. Viszont kerülni kell a felesleges színezéseket, például ezekben az ábrákban a hasonló elemeket ugyanazzal a színnel jelöltem, mondjuk az oldalfelez®
mer®legeseket szaggatott piros vonallal. Az ábrák elkészítésének leírásában nem
térek ki a különböz® elemek színezésére.
Az ábra elkészítéséhez a háromszög csúcspontjait kell el®ször kijelölni az eszköztár

új pont eszközével. Ezután a háromszöget az eszköztár sokszög (4.5. ábra)eszközével készíthetjük el úgy, hogy a pontokra kattintunk sorba és utoljára ismét

4.5. ábra.

az el®ször kijelölt pontra kattintunk. Ekkor aszakasz felez® (4.6. ábra) eszközt

FEJEZET 4.

21

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

4.6. ábra.

alkalmazzuk a háromszög oldalaira. Az eszköz kiválasztása után rákattintunk aszakaszra vagy két pontra. A három felez®mer®legesnek kijelöljük a közös pontjáta

két alakzat metszéspontja (4.7. ábra) eszközzel és elnevezzük köréírt -nek, vagyis

4.7. ábra.

ez a haromszög köré írt kör középpontja.
Most a háromszög oldalainak a felez®pontjait szerkesztjük meg a

felez® vagy

középpont (4.8. ábra) eszköz segítségével, a felez®mer®leges szerkesztéséhez hason-

4.8. ábra.

lóan. Azegyenes két ponton keresztül (4.9. ábra) eszköz segítségével összekötjük a

4.9. ábra.

két alakzat
metszéspontja eszközzel ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját, és elnevezzük
baricentrumnak, vagyis ez a háromszög súlypontja.
Megszerkesztjünk a háromszög magasságvonalait a mer®leges (4.10. ábra)háromszög csúcspontjait a szembenlév® felez® pontokkal. Kijelöljük azeszköz segítségével, úgy hogy kijelöljük sorba a háromszög csúcspontját és utána

4.10. ábra.

a vele szemben lév® oldalt. Ezeknek kijelöljük a közös pontját a

két alakzat met-széspontja eszköz segítségével és elnevezzük azt ortocentrumnak, vagyis a magasságpont. Egyenest szerkesztünk az egyenes két ponton keresztül eszközzel az ortocentrum és a köréírt pontokon keresztül. A harmadik pont a baricentrum is rajta
van ezen az egyenesen. Nagyon jól lehet szemléltetni tehát azt, hogy ez a három
nevezetes pont mindig ezen az egyenesen van, akkor is ha elmozdítjuk a háromszög
valamelyik csúcspontját. Ezt az egyenest Euler-féle vonalnak nevezzük. Elkészíthetjük a háromszög köré írt körét aköré írt kör (4.11. ábra) eszközzel.

FEJEZET 4.

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

22

4.11. ábra.

A továbbiakban megszerkesztjük a magasságpontot és a súlypontot összekötö
szakasz felez®pontját, amit elnevezhetünk

Feuerbach -nak. Ez lesz a Feuerbach-féle kör középpontja. Most megszerkesztjük a Feuerbach-féle kört a meglév® pontjainkkal, és kijelöljük a körön a kilenc nevezetes pontot. Itt is a pontok helyének
változtatásával látszik, hogy ez a kilenc pont bármely háromszög esetén egy körön
helyezkedik el.
A következ®kben a háromszög Feuerbach által felfedezett azon tulajdonságát
szeretnénk szemléltetni miszerint a Feuerbach-féle kör érinti a háromszög beírt
körét és a hozzáírt köröket.

Ehhez megszerkesztjük a beírt kört és a hozzáírt

köröket.

egyenes két ponton keresztül eszközzel megrajzoljuk azokat az egyeneseket
amelyekre a háromszög oldalai illeszkednek.
Most a szögfelez® (4.12.
ábra)
Az

eszköz segítségével megszerkesztjük a háromszög szögfelez® egyeneseit és a küls®

4.12. ábra.

szögek szögfelez®it. A háromszögön kívüli metszéspontokból mer®legest húzunk

az oldalak egyeneseire azért hogy a hozzáírt köröket a kör középponttal és kerületi
ponttal (4.13. ábra) eszköz segítségével megszerkeszthessük.

4.13. ábra.

A háromszög szögfelez® egyeneseinek metszéspontjából mer®legest húzunk aháromszög egyik oldalára, kijelöljük a metszéspontot és megszerkesztjük a háromszögbe írt kört.
A

Geogebra Nézet menüjének Szerkeszt® protokoll menüpontja alatti alkalma-zással megnézhetjük a munkánkat összesítve és levezethetjük lépésenként (4.14.
és 4.15. ábra).

FEJEZET 4.

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

4.14. ábra.

4.15. ábra.

23

FEJEZET 4.

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

244.4. Feuerbach kilenc-pont tételének egyik bizonyítása
A bizonyítást három

Geogebra ábra, alkalmazás segítségével szemléltethetjük.

Az els® a magasságpont oldalakra vett tükörképeivel foglalkozik, a második amagasságpont az oldalak felez®pontjaira vett tükörképeit vizsgálja és a harmadika kilenc pont helyét vizsgálja a körülírt körön lév® pontokkal kapcsolatban.

A

három ábra megfelel a bizonyítás f® lépéseinek.
El®ször bizonyítsuk azt, hogy a magasságpont a háromszög oldalára vett tükörképe rajta van a haromszög köréírt körön (OD = DF ).

4.16. ábra.

BAD4 és a ACH4 háromszögeket azt kapjuk, hogy a
két egyenl® nagyságú szög miatt az ABD∠ = HCA∠. Mivel BC közös húrja
a BAC∠ és a BF C∠ középponti szögnek, ezért ez a két szög egyenl® nagyságú.
Emiatt a BAD4 és a F CD4 háromszögeknek van két egyenl® nagyságú szöge,és így a következ® is igaz BAC∠ = DF C∠. Ugyanígy a BAD4 és a ODC4
háromszögekkel kapcsolatban igaz az, hogy BAC∠ = COD∠. A fentiek miattaz ODC4 és a CDF 4 háromszögek kongruensek és így sikerült bizonyítani azt,
amit akartunk OD = DF .
Összehasonlítva a

Most bizonyítsuk be azt, hogy a magasságpont oldalfelez®pontokra vett tükörképe is rajta van a körülírt körön.
Az ODK4 háromszögnek kétszeres O középpontú nagyított képe az OF J4
háromszög, így F J kétszerese a DK -nak. Mivel DKLF négyszög téglalap DK =F L, tehát DK = F L = LJ .

FEJEZET 4.

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

25

4.17. ábra.

Ha a kört tükrözzük a t tengelyre, akkor önmagát kapjuk, és így az F pont
képe a J pont. Mivel a fentiekben beláttuk, hogy az F pont rajta van a körön,ezért a J pont is rajta van.

4.18. ábra.

FEJEZET 4.

EULER-FÉLE VONAL, FEUERBACH-FÉLE KÖR

A harmadik ábrát tekintve az el®bbi bizonyításokkal beláttuk, hogy a

26

T,S,R,Q,P,O pontok rajta vannak a háromszög körülírt körén. Ezenken a pontokon kívül aháromszög csúcspontjai is rajta vannak ezen a körön, tehát kilenc pont van rajta.
Mivel a csúcspontokon kívül, ezeket a pontokat úgy kaptuk, hogy egy a háromszög oldalán lév® pontot kétszeresen nagyítottuk a magasságpontból, a köréírt kör
egy

1
2 arányú nagyított képe ennek a háromszögnek a Feuerbach-féle köre lesz,

amelyen rajta lesznek az el®bb említett hat pont és ezen kívül a magasságpontot
és a csúcsokat összeköt® szakaszok felez® pontjai.

5. Az integrál szemléltetése

5.1. Integrálok
Az emeltszint¶ érettségi anyagának egy fontos fogalmának az el®készítésével,integrál (határozatlan, határozott) fogalmával folytatjuk. Ebben a fejezetben
használni fogjuk a Geogebra integrállal kapcsolatos eszközeit, lehet®ségeit.
az

Ahhoz, hogy az integrálról beszéljünk deniáljuk a függvényt, a dierenciálhányados függvényt, és a dierenciálhatóságot.
Legyenek A és B adott halmazok. Az f ⊂ A × B relációt

függvénynek nevez-zük, ha (x, y) ∈ f és (x, z) ∈ f esetén y = z teljesül.
Legyen < a, b > egy nyílt vagy zárt intervallum, f :< a, b >→ R valós függvény. A

ϕ(x, x0 ) =f (x) − f (x0 ),x − x0(x 6= x0 , x, x0 ∈<a,b>), által deniált függvényt az f függvény x, x0 -hoz tartozódierenciálhányados függvényének nevezzük.
Az f :< a, b >→ R függvény dierenciálható az x0 ∈< a, b > pontban halétezik af (x) − f (x0 )= f 0 (x0 )x→x0
x − x0lim(véges) határérték. Ezt a határértéket az f

dosának nevezzük.

függvény x0 -beli dierenciálhánya-Ha f az < a, b > minden pontjában dierenciálható, akkor azt mondjuk, hogydierenciáható <a, b >-n.

A fent deniált f0:< a, b >→ R függvényt az f

függvény dierenciálhányados (derivált) függvényének nevezzük.
Az F:< a, b >→ R dierenciálható függvényt az f :< a, b >→ R függvény0
primitív függvényének vagy határozatlan
integráljának nevezük ha, F = f . Az F
R
függvényt a következ®képpen jelöljük:
f . Az F függvény x helyen felvett értékétR
F (x) = f (x)dx-el jelöljük.
Az f (x) függvénynek végtelen sok F (x) + c, c ∈ R alakú primitív függvénye0van, melyek csupán egy konstansban különböznek egymástól, mivel (F (x) + c) =F 0 (x) = f (x).

27

FEJEZET 5.

28

AZ INTEGRÁL SZEMLÉLTETÉSE

5.2. A Riemann-integrál
A függvénygörbe alatti terület els® precíz denícióját Riemann vezette be.
Róla nevezték ezt el Riemann-integrálnak. Általában erre használjuk a határozott
integrál megnevezést.

: [a, b] → R típusú korlátos fügvényekkel dolgozunk. Az intervallum egy felosztásának nevezzük és δ -val
jelöljük az [a, b] intervallum pontjainak egy véges halmazát, úgy hogy a < x0 <x1 < x2 < . . . < xn < b. Legyen az összes ilyen felosztás halmaza ∆. Az így
Legyen [a, b] zárt intervallum.

A továbbiakban fkeletkez® intervallumokat nevezzük részintervallumoknak.
A

felosztás nomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumá-

nak a hosszát, jelöljük ν(δ)-val.
Legyen [a, b] R egy zárt intervalluma, f : [a, b] → R egy függvény, δ az [a, b]intervallum egy felosztása és minden [xi−1 , xi ] intervallumból válasszunk ki egy

ξi ∈ [xi−1 , xi ] elemet (ezek halmaza legyen ξ ). A
σn =

n
X

(xi − xi−1 )f (ξi )i=1összeget az f függvény δ felosztás és a ξ elemhalmazra vonatkozó

nek nevezzük, vagy az integrál n-tagú közelít® összegének.

Riemann összegé-

A felosztásokból készíthetünk a (számsorozatok mintájára) végtelen sorozatokat.

Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak.

Ha a felosztások nomságainak

ν1 , ν2 , . . . sorozata nullához tart, akkor a sorozatot normális felosztássorozatnak
vagy minden határon túl nomodó felosztássorozatnak nevezzük.
Amennyiben minden normális felosztássorozat esetén, a közelít® összeg ugyanahhoz az A számhoz tart, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható
az [a, b] intervallumon. Az A értéket nevezzük a függvény Riemann-integráljának(határozott integráljának, 5.1.

ábra).

Egy f függvény [a, b] intervallumon vettRiemann integrálját a következ® módon jelöljük:

Rba f (x)dx vagy röviden

Rb

a f.

5.3. Az alsó és a fels® integrálközelít® összeg
Ha a σn összegben a f (ξi ) helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli fels® határát írjuk, akkor a fels® integrálközelít® összeghez jutunk:

Sn =

X

Mi (xi − xi−1 )ahol Mi a függvény fels® határa az [xi − xi−1 ] intervallumon.

Hasonló módondeniáljuk az alsó integrálközelít® összeget is:

sn =

X

mi (xi − xi−1 )ahol mi az függvény alsó határa az [xi − xi−1 ] intervallumon. Amennyiben létezika [a, b] intervallumon az f függvény Riemann integrálja, akkor az sn ≤.

Rba f ≤ Sn

FEJEZET 5.

29

AZ INTEGRÁL SZEMLÉLTETÉSE

5.1. ábra.

5.4. Az integrál szemléltetése
Ebben a témakörben is használhatjuk alehet®vé teszi az integrál szemléltetését.

Geogebrával
Geogebrát. Az elkészített alkalmazás

A számítások mennyisége miatt és azábrázolás bonyolultsága miatt, nehéz és sok munkába kerül krétával ezt megoldani,így ezzel az alkalmazással a diákok könnyebben megérthetik a határozott integrál lényegét, láthatják azt területként ábrázolva, és láthatják az alsó és fels®
itegrálközelít® összegeket (5.2.

ábra).

Az elkészített alkalmazással a következ®

deg függvények integráját szemlél-

polinom alakú f (x) = s(x − a) (x − b) (x − c)tethetjük.

Az a, b, c, d, e, g, s változók segítségével lehet a megfelel® polinomot

beállítani, ezzel párhuzamosan változik az ábrázolt grakon alakja is.
A p és q változók a Riemann integrál alsó-, illetve fels®határa. Ezek változtatásával egyidejüleg változik a grakonon a szinezett rész, az integrál értéke, az
alsó integrálközelít® összeg, a fels® integrálközelít® összeg, és különbségeik.
Még egy változó van, az n, amely az integrálközelít® összegek, vagyis az intervallum részintervallumainak a számát jelenti. Az n változó növekedésével a két
integrálközelít® összeg közeledik egymáshoz, így a különbségük egyre kisebb, és
egy megfelel®en nagy n érték esetén, nagyon jól közelítik az integrál értékét.
A továbbiakban leírom hogyan lehet elkészíteni egy ilyen alklalmazást.
A

Geogebrábát beindítva a Nézet menüben bekapcsoljuk a Tengelyek menüpon-tot a tengelyek megjelenítéséhez, illetve a könyebb munka érdekében bekapcsoljuk
ugyancsak a

Nézet menüben az Algebra Ablak menüpontot (CTRL+SHIFT+A).

Ezután a parancssorba beírjuk, hogy a = 1 és az algebra ablakban rákattintunkaz egér jobb gombjával kiválasztjuk atulajdonságok menüpontot. Megjelenik egy

FEJEZET 5.

30

AZ INTEGRÁL SZEMLÉLTETÉSE

5.2. ábra.

Basic fület, itt
be pipáljuk az egérrel az alakzat megjelenítése négyzetet, és utána a csúszka fület
párbeszédablak, a változó párbeszédablaka, ebben kiválasztjuk aválasztva átállítjuk a beosztást 1-re. Egy olyan eszközt kapunk a rajzlapon, amelyik segítségével változtathatjuk, egér segítségével, az a változó értékét-5 -t®l 5 -ig

egy nagyságú léptekkel.
Ugyanezt megcsináljuk a b, c, d, e, g, s változókkal is csak a d, e, g, s változók
esetén a Tulajdonságok párbeszédablakban a Csúszka fül alatt a min értéket 0-ra
a max értéket 6-ra állítjuk.

deEzután beírjuk a parancssorba a következ® sort: f (x) = s(x − a) (x − b) (x −c)g . Ekkor a rajzlapon megjelenik a függvény grakonja és az algebra ablakban
a függvény valódi változók behelyettesítésével kapott alakját.
Ahhoz, hogy a rajzlapon is nyomon követhessük a függvény alakját beszúrjuk az eszköztár
szöveget:szöveg beszúrása eszköz (5.3. ábra) segítségével a következ® két

f (x) = s(x − a)d (x − b)e (x − c)g és ”f (x) = ” + f . Most beírjuk a p

5.3. ábra.

és q változókat a parancssorba egy alapértéket megadva. Ezeknél a tulajdonságok párbeszédalakban elég ha az alakzat megjelenítését kipipáljuk, mert lehetnek
negatívak, és tizedestörtek is.
Az

Integrál[f(x), p, q] szöveg parancssorba való beírásával a grakonon azonnal

beszinez®dik a függvény és az x-tengely közötti rész a p és q közötti részben, ami

FEJEZET 5.

31

AZ INTEGRÁL SZEMLÉLTETÉSE

megfelel a függvény ezen pontok közötti Riemann integráljának.

Itt is, mintmáshol, lehet®ségünk van a megjelenítés tulajdonságainak a változtatására, mintpéldául szín, kitöltés és vonalvastagság.
a ”

REzt írott alakban is megjeleníthetjük” + f + ”dx = ” + i szöveg beillesztésével a szöveg beszúrása (5.2.

segítségével.

ábra)Hasonló módon az integrál jel tetejére beillesztjük szövegként a p

illetve q értékeit a p + ”” és q + ”” szöveget.
A következ® az hogy beírjuk az n vátozót egy értékkel és a tulajdonságaiban

a csúszka fülnél a min értéket átállítjuk 0-ra, a max értékét 300-ra, illetve abasic fülnél bepipáljuk az alakzat megjelenítése négyzetet. A Fels®összeg[f, p,q, n] szöveg begépelésével a grakonon megjelennek a fels®összeghez szükséges
téglalapok az eddigiekt®l eltér® színnel. Ugyaezt megcsináljuk a Alsóösszeg[f, p,q, n] szöveggel. Ezeket a változókat elnevezzük also -nak illetve felso -nek.
Az eszköztár szöveg beszúrása eszközének segítségéval beírjva a következ®
szövegeket: "Alsó összeg = " + also és "Fels® összeg = " + felso, azt eredményezi,
hogy a program megjeleníti az idéz®jelben lév® szöveget és kiszámolja mellé amegfelel® integrálközelít® összeget. Beírjuk a parancssorba, hogy

kul=also+felsoés így kapunk még egy változót, amely az alsó és fels® integrálközelít® összegek
különbségét fogja mutatni.

"Eltérés = " + kul.

Ehhez aszöveg beszúrása eszközzel beírjuk, hogy:

Az utolsó érték amit megjelenítünk az a függvény és az x-tengely közötti teljes
terület, amit úgy tudunk megoldani, hogy az f abszolút értékének számíttatjuk ki
és jeleníttetjünk meg az értékét. Ezt megtehetjük a következ® szöveg begépelésével

Integrál[abs(f(x)), p, q]. Az utolsó létrehozott változót nevezzük át ter-re. Utolsó
lépésként szurjuk be a következ® szöveget: "A görbe és az x-tengely közötti terület= " + ter.
Mint az el®z® fejezetekben tárgyalt alkalmazások esetén itt is hasznos lehetáttekinteni a szerkesztés lépéseit. A

Nézet menü Szerkeszt® protokol menü pontja

alatt érhetjük el ez a szolgáltatást (5.4. ábra).

FEJEZET 5.

AZ INTEGRÁL SZEMLÉLTETÉSE

5.4. ábra.

32

6. Függvényvizsgálat

6.1. A függvényvizsgálat elemei
Ebben a fejezetben a függvényvizsgálathoz szükséges elméleti elemek felsorolása után a függvényvizsgálat

Geogebrával szemléltethet® részeit szeretném be-

mutatni egy változtatható együtthatókkal rendelkez® negyedfokú polinóm alakú
függvény segítségével.
Az élet különböz® területein el®forduló folyamatokkal kapcsolatos összefüggések vizsgálatában rendkívüli fontosságúak a függvények segítségével végzett
vizsgálatok. Ezen összefüggések tanulmányozásához a különböz® változók közötti
kapcsolatot keressük, amelyet egy függvény segítségével ábrázoljuk pontosan vagyközelít® módon. Ezek után, a kapott függvény vagy függvények tulajdonságainak
a vizsgálatával folytatva megállapításokat hozhatunk.

Ezt

függvényvizsgálatnak

nevezzük.
A középiskolás matematika tananyagban a függvények alakjának és értékeinek
megismerésén, és a függvény transzformáció alkalmazásán túl, további általános
ismeretek elsajátítása is szükséges. Ezeket egy függvényvizsgálat végigkövetésével jobban meg lehet értetni. Ha ehhez társul, ennek a dinamikus programnak,
a lehet®ségeinek a használata, akkor így, a látványosabb szemléltetéssel, könnyebben, jobban és érdekesebben meg lehet ezeket az ismereteket tanulni.
Egy alapos függvényvizsgálatnak tartalmaznia kell a következ® elemeket:

U az értelmezési tartomány meghatározása,
U a zérushelyek meghatározása az x = 0 és az y = f (x) = 0 esetekben,
U a függvény folytonosságának vizsgálata és a szakadási helyeknek a megállapítása,

U paritás vizsgálat; a függvény lehet páros, páratlan vagy egyik sem,U a függvény periodicitása,
U a monotonitás vizsgálata (els® derivált),U a széls®értékek megállapítása (els® derivált),U a függvény konvexitásának meghatározása (második derivált),33

FEJEZET 6.

FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

34

U az inexiós pontok megkeresése (második derivált),U a határértékek vizsgálata,
U függvény grakonjának rajzolása és az értékkészlet megadása,
U egyéb jellemz®k megállapítása.
Amennyiben nincs megadva, a függvény értelmezési tartományát kell els®
lépésként megállapítani.

Az értelmezési tartományt Df -el szoktuk jelölni és azalaphalmaz azon elemeit tartalmazza amelyekre értelmezhet® a függvény.

Az f : R → R függvénynek az x ∈ Df zérushelye, ha ebben a pontban
f (x) = 0. Ezenkívül meg lehet állapítani az f (0) értékét is, ez az érték a függvényés az y tengely metszéspontját adja.
Az f : R → R függvény folytonos az a ∈ Df pontban, ha ∀ > 0 esetén∃δ > 0 : ∀x ∈ kδ (a) ∩ Df :| f (x) − f (a) |< . Itt kδ (a) alatt az a pont egy δsugarú nyílt (gömb)környezetét értjük, vagyis kδ (a) = {x ∈ R || x − a |< δ}.
Amikor az f : R → R függvény valamely a ∈ Df pontjában nem folytonos,
akkor azt modjuk, hogy az a pont az f szakadási helye.
Az f : R → R függvény akkor páros, ha x ∈ Df esetén f (x) = f (−x).
A függvény akkor páratlan ha f (−x) = −f (x). Az ábrázolássorán a függvény
paritása abban nyílvánul meg, hogy a páros függvény szimmetrikus az y tengelyre,a páratlan pedig az origóra.
A periodicitással kapcsolatban az lehet mondani, hogy egy f : R → R függvény

periódikus, ha ∃p ∈ R úgy, hogy p > 0, és ∀x ∈ Df esetén x + p ∈ Df és
f (x) = f (x + p). Ebben az esetben a p az f függvény periódusa.
: R → R függvénynek az (a, b) ∈ Df intervallumon akövetkez® lehet, x1 , x2 ∈ (a, b) esetén:
A montonitása az f

û monoton növekv®, ha x1 < x2 esetén f (x1 ) ≤ f (x2 ),û szigorúan monoton növekv®, ha x1 < x2 esetén f (x1 ) < f (x2 ),û monoton csökken®, ha x1 < x2 esetén f (x1 ) ≥ f (x2 ) ,û szigorúan monoton csökken®, ha x1 < x2 esetén f (x1 ) > f (x2 ).
Ezek megállapításához sok segítséget nyújthat a függvény els® deriváltjának
a kiszámítása. A derivált el®jele különböz® intervallumokon adja az eredeti függvény monotonitását, abban az intervallumban, a következ®k szerint:

û monoton növekv®, ha f 0 ≥ 0 az adott intervallumon,
û szigorúan monoton növekv®, ha f 0 > 0 az adott intervallumon,
û monoton csökken®, ha f 0 ≤ 0 az adott intervallumon,

FEJEZET 6.

35FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

û szigorúan monoton csökken®, ha f 0 < 0 az adott intervallumon.
: R → R függvénynek egy intervallumon az x0 ∈ Df pontban lokális
minimuma van, ha az intervallum bármely x0 -tól különböz® pontjában f (x) >f (x0 ) teljesül. Hasonló módon, az f függvénynek lokális maximuma van, ha azintervallum bármely x0 -tól különböz® pontban teljesül az, hogy f (x) < f (x0 ).
Ha az f : R → R függvény deriválható egy pont környezetében, a deriváltja
Egy fabban a pontban nulla és el®jelet vált, akkor a függvénynek ott lokális széls®értékevan. Az ilyen pontokban a deriváltfüggvény el®jelet vált, ahol a derivált függvény
negatív értékeket vesz fel ott a függvény csökken®, ahol pozitív ott pedig növekv®.
Aszerint, hogy a deriváltfüggvény egy pontban, negatívból pozitívba vagy pozitívból negatívba megy át, az eredeti függvénynek lokális minimuma vagy maximuma
van, abban a pontban.
A függvénynek a görbületét annak második deriváltfüggvényének vizsgálatávalállapíthatjuk meg. Azt a pontot ahol a függvény görbülete megváltozikinexiós

pontnak (görbületváltási hely) nevezzük. Ha az f : R → R függvény kétszer
deriválható egy pont környezetében, a második deriváltja nulla és az el®jelet vált
(vagyis a függvény harmadik deriváltja ha létezik nem nulla) abban a pontban,
akkor az a függvénynek inexiós pontja.

Általánosan ennek megállapításához

mindig szükség van a legutolsó még nem nulla deriváltfüggvény megvizsgálására.
Ekkor azon az intervallumon ahol f ” ≥ 0, az eredeti függvény
amelyen f ” ≤ 0,

konkáv.

Egy L halmaznak az t ∈ Df

konvex és azon

torlódási pontja, ha bármely környezete végtelen

sok L-beli pontot tartalmaz, azaz ∀ > 0 : k (a) ∩ L végtelen.
az f függvény torlódási pontja. Az t pontban a függvénynek T a

Legyen t ∈ Df

határértéke, ha∃T ∈ R : ∀ > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ (kδ (t) \ {t}) ∩ Df : f (x) ∈ k (T ).
A függvényvizsgálat eddigi lépéseinek az eredményeit megjeleníthetjük táblázatban is, hogy összességében vizsgálhassuk a függvényt és így következtethessünk
ennek grakonjának alakjára. Ezek segítségével elég jó pontossággal megrajzolhatjuk a függvény grakonját.
El®fordulhat, hogy a függvény ezen tulajdonságain túl, más tulajdonságai isérdekel bennünket, mint például a függvény asszimptotái, ennek a szakadási pontokbeli jobb- és baloldali dierenciál hányadosai, vagy valamely pontban a jobbés baloldali folytonosság, de az el®bb bemutatott tulajdonságok elegend®ek ahhoz,
hogy teljes függvényvizsgálatról beszéljünk.

6.2. A

Geogebra alkalmazása függvényvizsgálathoz

Természetesen a könyebb és látványosabb szemléltetés céljából ehhez a témához
is készíthet®

Geogebra alkalmazás. A továbbiakban láthatjuk, hogy néhány perc

alatt és viszonylag egyszer¶en elkészíthet® egy nagyon hasznos alkalmazás.

A

FEJEZET 6.

FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

36

4 +bx3 +cx2 +dx+e függvények függvényvizs-

következ® polinom alakú f (x) = ax

gálatához szükséges alkalmazás készítését részletezem.

6.1. ábra.

Az a, b, c, d, e, g, s változók változtatásával lehet a megfelel® polinomot beállítani, ezzel párhuzamosan változik az ábrázolt grakonok alakja is. A függvény ésderiváltjainak a grakonyainak az ábrázolásával könnyen megállapítható a függvény monotonitása, konvexitása, széls®értékei, inexios pontjai és más tulajdonságok is.
Els® lépésként beírjuk a parancssorba az együtthatóknak megfelel® változókat
egy alapértékkel és az algebra ablakban beállítjuk ezeknek a megjelenítését. Mosta függvény grakonjának megjelenítéséhez beírjuk a parancssorba a következ®
szöveget: f (x) = a ∗ x ∧ 4 + b ∗ x ∧ 3 + c ∗ x ∧ 2 + d ∗ x + e. Ekkor beírjuk, hogy

Széls®érték[f] és a grakonon megjelennek a függvény széls®értékei(mindegyik).
Ezeket a pontokat átnevezhetjük a kés®bbi könyebb átláthatóság érdekében Széls®érték1, Széls®érték2, illetve Széls®érték3 nevekkel (ha három van). Ezután
az f függvény primitív függvényét ábrázoljuk beírva a parancssorba azt, hogyg(x) = f 0 (x). Megjelenítjük ennek gyökeit is a Gyök[g] parancs beírásával.
Követezik az f második deriváltja, vagyis a g els® deriváltja, ezt megkpjuk beírva
0azt, hogy h(x) = g (x).
Összekötve a széls®értékeket a széls®értékhelyeket jelz® pontokkal könnyebben
láthatjuk ezek változását, amikor változtatjuk az eredeti függvény együtthatóit.

InexiósPont[f].
Úgyanígy jelennek meg a g függény széls®értékei ha beírjuk, hogy Széls®érték[g].

Az inexiós pontok megjelenítéséhez beíruk a parancssorba, hogy

FEJEZET 6.

FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

37

Szakasszal összekötjük a g széls®értékeit f -nek a megfelel® inexiós pontjaival.
A függvények kitev®inek a változását akkor láthatjuk, ha szövegként beillesztjük ezeket a következ®ket beírva a parancssorba:"f(x) = " + f"f '(x) = " + g

4 + bx3 + cx2 + dx + e""f (x) = ax"f (x) = " + hTermészetesen ezt megtehetjük az eszköztárban található
köz használatával is.

Kijelöljük aSöveg beszúrása esz-

h függvény és az x-tengely metszéspontját.

A kijel®lt széls®érték és inexiós pontok helyeinek változásának szemléltetéséhez
beszúrjuk a következ® szövegeket:"D=" + (x(D))"A=" + (x(A))"E=" + (x(E))"B=" + (x(B))"F=" + (x(F))
Végül azért, hogy a három fügvényt, az együtthatókat, a széls®értékeket, az
inexiós pontokat és különböz® más elemeket egymástól megkülönböztethessükés átláthatóbb ábrát kapjunk átszinezzük ezeket úgy hogy az egymáshoz kapcsolódóakat ugyanazzal a színnel szinezzük.
A

Nézet menü Szerkeszt® protokol menü pontja alatt megtekinthetjük a szer-

kesztés lépéseit (6.2. ábra).

FEJEZET 6.

FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

6.2. ábra.

38

7. Összegzés

Szakdolgozatom célját, hogy bemutassam a

Geogebra legfontosabb alkalmazási

lehet®ségeit a matematikában, sikerült elérnem.

Nem a teljességre törekedtem,

hanem a felhasználóbarát, olvasóbarát leírásra. Tapasztalatom szerint az id®sebb
tanárok többségének nincs olyan informatikai tapasztalata, mint a atalabbaknak, pedig sokszor jobban szeretnének újitásokat, más, esetleg jobb szemléltetést
bevezetni az órákra.

Ebben nyújt a dolgozat legtöbb segítséget, mivel lépésr®llépésre követve a leírást, bárki elkészítheti ezeket az alkalmazásokat. De a dolgozatot azok is nyugodtan olvashatják, akik nem jártasak a matematikában, csak
kiváncsiak a programra, mivel minden témakör elején feldolgoztam a témávalkapcsolatos elméleti részt is.
Általában egy adott témakörhöz található olyan szoftver, amellyel lehet dolgozni, de azok csak egy bizonyos feladat vagy résztémakör feldolgozásában használható. A dolgozatból az derül ki, hogy a

Geogebra egy sokoldalú program, amit

azzal a céllal fejlesztettek, hogy minél többen és többféleképpen használhassanak.
A szerz®kkel könnyen kapcsolatot lehet teremteni, és így még több segítségre tehet
szert a felhasználó, és esetleg a program készít®k is.
Remélem a program terjeszt®jének sikerül elérnie a továbbiakban azt, hogy
továbbfejlesszék a programot, talán egy jól m¶köd® háromdimenziós verzióval,hogy aki használja minél több örömét lelje benne.

39

Irodalomjegyzék[1] Internet. http://zeus.nyf.hu/ mattan/faliujsag/Haromszoggeometria.pdf. 2009.
[2] Ha jós Gy®rgy. Bevezetés a geometriába. Nemzeti Tankönyvkiadó, 1971.
[3] La jkó Károly. Analízis II. Debreceni Egyetem, 2003.
[4] Markus Hohenwarter, fordító:

Sulik Szabolcs.

GeoGebra 2.5 kézikönyv.

Geogebrasúgó, 2006.
[5] Dr. Szendrei János. Algebra és Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 1996.
[6] Dr. Ábrahám István. Analízis 2. Mozaik, 2005.

40