今回の問題は【2015 お茶の水女子大学】の入試問

次に直角三角形となるのは，正六角形の外接円の題から出題しました．研伸館の講義の中では，(1) の直径を 1 辺にもつときで，その直径を選ぶ場合の数問題が正八角形や正十二角形で，かつ，場合の数をは 2 つの頂点
1 と 4，2 と 5，3 と 6求める問題として，登場していると思います．

を結んだ線分から 1 つ選ぶので 3 通り．そのそれぞ

それでは，まず問題の確認です．

れに対して，残りの 1 つの頂点の選び方が 4C1 = 4（通問題(1)り）ずつある．サイコロの目が出る順序の並び替えも考えて，求める確率は

正 6 角形の 6 つの頂点を 1，2，3，4，5，6 とする．

3 ∑ 4 C1 ∑ 3! 1=63
3

サイコロを 3 回振って出た目を順に i，j，k とする．
頂点 i，j，k が三角形をなす確率，直角三角形をなである．

す確率，鋭角三角形をなす確率，鈍角三角形をなす確率をそれぞれ求めよ．

《解説》
(2)

正 n 角形の n 個の頂点を 1，2，B，n とする．

ここまでは難しくありませんが，三角形の個数を番号 1，2，B，n が等確率で現れるくじを引いて数える問題ではなく確率を求める問題なので，確率戻すことを 3 回繰り返し，出た番号を順に i，j，kの分子を考える際にとする．頂点 i，j，k が直角三角形をなす確率，鋭（条件に合う三角形の個数）× 3 !

角三角形をなす確率をそれぞれ求めよ．となることに注意しましょう．
次に，鈍角三角形になる確率ですが，鈍角三角形の個数の求め方として有名なものには(1) は三角形が合計 20 個しかできないので，具体的に書き並べても解けるのですが，(2) に繋がるよう「ある直径をまたがないように頂点を選ぶ」に，なるべく一般的な解法で解いていきます．

「直径より短い弦を選んで，特に問題では鋭角三角形をなす確率のほうが先に問われていますが，(2) でも使える一般的な解法では，鈍角三角形のほうが個数を数えやすいので鈍角三角形→の 2 つがあります．この 2 つの解法を紹介するために，ここでは特別に鋭角三角形『三角形の頂点を反時計回りに見たときにの順番に入れ替えて，答案を作成します．

一番最初にくる頂点』というものを定義しましょう．いくつか具体例を挙

［解答］
(1)

残りの頂点を選ぶ」

げると，以下の図の◯のついている頂点のことを指正六角形の頂点が，反時計回りにしています．

1，2，3，4，5，6

1と並んでいるとして，一般性を失わない．正六角形の頂点は，3 点が一直線上に並ぶことはないので，2頂点 i，j，k が三角形をなすのは，i，j，k がすべて異なるときであるから，その確率はªº

P3C ∑ 3!
5= 6 33=
36696である．

163 を選ぶので 1 通り．

1『反時計回りに見たときに一番最初にくる頂点』の選び方は 6C1 = 6（通り）あるので，サイコロの目2が出る順序の並び替えも考えて，求める確率は1 ∑ 6 C1 ∑ 3! 1=6363である．
（【解法１】の補足）
たとえば正七角形の場合は『反時計回りに見たときに一番最初にくる頂点』として 1 を選んだとき，6「1 と《4 と 5 の中点》を結んだ直径」をまたがないように選ぶと鈍角三角形になるので2，3，45のうちから 2 つの頂点を選ぶことになります．

41

この特別な頂点を定義することで，たとえば 1，22，3 の頂点を持つ三角形に対して1 を基準に作ったとき2 を基準に作ったとき33 を基準に作ったときを重複して数えることを防ぐことができます．『反4時計回りに見たときに一番最初にくる頂点』は 1 で5よって，鈍角三角形の個数はすから

C2・7C1 = 21（個）1 を基準に作ったとき

3となります．

のみに絞って数えれば，1 つの三角形に対して 1 回だけ数えることができるわけです．
以下，この特別な頂点を用いて，有名な 2 つの解【解法２】法のそれぞれで，鈍角三角形になる確率を求めてみ『三角形の頂点を反時計回りに見たときに一番最ましょう．

初にくる頂点』として 1 を選ぶ．次に，鈍角三角形の鈍角の対辺として，直径よりも短い弦を選ぶと
1と3［(1) 解答続き］を結んだ線分となり，この 2 頂点の間にある劣弧上次に，鈍角三角形となる確率を考える．の頂点を 3 つ目の頂点として選べば鈍角三角形とな【解法１】『三角形の頂点を反時計回りに見たときに一番最る．その頂点の選び方は，2 のみの 1 通りである．

初にくる頂点』として 1 を選んだとき，残りの 2 頂

反時計回りに見たときに一番最初にくる頂点の選び方は 6C1 = 6（通り）あるので，求める確率は点を「1 と 4 を結んだ直径」をまたがないように選
ぶと鈍角三角形となる．この場合の数は，頂点の 2，2て用いてみましょう．

1 ∑ 6 C1 ∑ 3! 1=636

その際，n が奇数の場合は，ある頂点のちょうどである．

反対側には頂点がないことに気をつけると，次のよ（【解法２】の補足）

うな解答になります．

たとえば正七角形の場合は『反時計回りに見たときに一番最初にくる頂点』として 1 を選んだとき，［(2) 解答］

鈍角三角形の鈍角の対辺として，直径よりも短い弦

正 n 角形の頂点が，反時計回りにを選ぶと1，2，B，n

1 と 3，1 と 4と並んでいるとして，一般性を失わない．また，nを結んだ線分のいずれかになります．

は 3 以上の自然数である．
まず，直角三角形になる確率を考える．

1n が偶数のとき(i)2

正 n 角形の外接円の直径を 1 辺にもつときで，その直径の選び方は 2 つの頂点k とk+3n2ª k = 1 , 2 , ººº , n2 ºを結んだ線分から 1 つ選ぶので4n通り．そのそれ2ぞれに対して，残りの 1 つの頂点の選び方がこの 2 頂点の間にある劣弧上の頂点を 3 つ目の頂点

C1 = n - 2（通り）として選べば鈍角三角形となりn-2ずつあるので，求める確率は

1 と 3 の弦に対しては 2 のみで 1 個n( n - 2)∑ 3!
3( n - 2)
2=n3n2

1 と 4 の弦に対しては 2，3 の 2 個で合計 3 個作ることができます．よって，鈍角三角形の個数はである．

(1 + 2)・7C1 = 21（個）(ii)となります．

n が奇数のとき

正 n 角形の 2 頂点を結ぶ線分が，外接円の直径になることはないので，直角三角形はできない．よっ最後に，（【解法１】【解法２】いずれの場合でも）て，求める確率は 0 である．

鋭角三角形となるのは，三角形となる事象のうち，直角三角形になる，または，鈍角三角形になること

次に，鈍角三角形となる確率を求めるために『三の余事象なので，求める確率は角形の頂点を反時計回りに見たときに一番最初にく

15 1 1- - =9 3 6 18る頂点』として 1 を選んだときを考える．
【解法１】

である．

n が偶数のとき(i)n が 6 以上の偶数のときは，残りの 2 頂点を「1《解説》と以上が (1) の解答になります．以下 (2) では，ここまでで説明してきた解法を一般的に正 n 角形に対しn+ 1 を結んだ直径」をまたがないように選ぶと2鈍角三角形となる．

3

1
1n22nn2n+22n+12n +12n+32

この場合の数はこの場合の数は

2，3，B，2，3，B，n2n+ 12から 2 頂点を選ぶのでから 2 頂点を選ぶのでn+1-12ªºª n 2+ 1 - 2º
1 n -1 n - 3ºª 2 º= ª22C2 =1 n +1-122ª ºª n2 - 2º
1 n-2 n-4ºª 2 º= ª22通りある．n = 3 のときは鈍角三角形はできないの通りある．n = 4 のときは鈍角三角形はできないので，上の結果は n = 3 のときも成り立つ．(i) と同様で，上の結果は n = 4 のときも成り立つ．『反時計に考えて，鈍角三角形になる確率はn-12C2 =1 n-12 2ª

回りに見たときに一番最初にくる頂点』の選び方は

1 n -122C1 = n（通り）あるので，鈍角三角形になる確率は

nª1 n-222n33( n - 1)( n - 3)
=4n2ºª n 2- 4 º ∑ n ∑ 3!

n33( n - 2)( n - 4)
=4n2である．
【解法２】

である．
(ii)

n が奇数のとき

1 以外の頂点は，1 を通る直径の両側に(i)対辺として，直径よりも短い弦を選ぶと1とkn -1 n +1=
22ª k = 3 , 4 , ººº , n2 ºを結んだ線分となり，この 2 頂点の間にある劣弧上の頂点を 3 つ目の頂点として選べば鈍角三角形となより，n が 5 以上の奇数のときは，残りの 2 頂点を「1 と《n が偶数のとき
n が 6 以上の偶数のときは，鈍角三角形の鈍角のn -1個2ずつあるので1+ºª n 2- 3 º ∑ n ∑ 3!

る．その頂点の選び方は，それぞれの k に対してn+ 1n+3との中点》を結んだ直径」をま22

k - 2 （個）たがないように選ぶと鈍角三角形となる．

ずつある．『反時計回りに見たときに一番最初にくる頂点』の選び方は nC1 = n（通り）あるので，鈍角三角形になる確率は

4

( n - 1)( n - 2) 3( n - 2) 3( n - 2)( n - 4)n2
4n2n2
( n - 2)( n - 4) 3( n - 2)( n - 4)=
4n2n2
( n - 2)( n - 4)
=
4n2

n2

S (k - 2) ∑ n ∑ 3!

k= 3

n3

1+=ª n2 - 2º nª 2 - 2º ∑ 62n2
3( n - 2)( n - 4)
=4n2である．n = 4 のときは鈍角三角形はできないので，上の結果は n = 4 のときも成り立つ．

(ii)

n が奇数のとき(ii)n が奇数のとき( n - 1)( n - 2)
3( n - 1)( n - 3)
-0n2
4n2
( n - 1){4( n - 2) - 3( n - 3)}=
4n2( n - 1)( n + 1)=
4n2

n が 5 以上の奇数のときは，鈍角三角形の鈍角の対辺として，直径よりも短い弦を選ぶとª k = 3 , 4 , ººº , n 2+ 1 º1とkを結んだ線分となり，この 2 頂点の間にある劣弧上である．の頂点を 3 つ目の頂点として選べば鈍角三角形となる．その頂点の選び方は，それぞれの k に対して
k - 2 （個）（最後に）高校 3 年生で強者たらんとしている人から「標準ずつある．(i) と同様に考えて，鈍角三角形になる確的な問題までは解けるのですが，応用問題になると，率はどこから手をつけていいかわからなくなって困ってn+ 12います」という質問を，最近，受けるようになりまS (k - 2) ∑ n ∑ 3!

した．

k= 3n3n +11+-2
n +12- 2 ∑62
2=n23( n - 1)( n - 3)=
4n2ªºª

標準的な解法が身についてきたからこその質問なºので良い質問なのですが，この質問を解決する万能な解決法は残念ながら存在しないのだと思います．
ただ，解決法の 1 つとして，別解にも興味を持ち，1 つの問題に対して複数のアプローチを試みることである．n = 3 のときは鈍角三角形はできないので，ができるようになる，というものがあると考えてい上の結果は n = 3 のときも成り立つ．

ます．今回の問題の場合，鈍角三角形の確率を求める際に【解法２】ではシグマ計算（もしくは，等差（【解法１】【解法２】いずれの場合でも）頂点 i，j，数列の和の公式）を用いるため，数学 IA しか学んk が三角形をなす確率はでいない頃の授業では登場しなかったかもしれないのですが，すでに数学 IIB まで習い終えている人はP3 ( n - 1)( n - 2)
=n3n2

n

是非習得して頂き，自分の頭の中にある解法の幅をであるから，(1) と同様に余事象の確率を考えて，鋭広げていってほしいと思います．

角三角形になる確率は(i)n が偶数のとき（数学科5中西）