第7回
理学部正準変換

物理科学科

齊藤 国靖

2024 年 6 月 14 日
正準変換という変数変換の方法を導入し，具体的な例を挙げて説明する．正準変換は無限小正準変換など今後の内容の基礎となる重要な考え方である．

1 正準変換位相空間内の点 (qi , pi ) を新しい変数 (Qi , Pi ) に変換することを考える．このとき，ハミルトニアン H(qi , pi , t) は新しいハミルトニアン K(Qi , Pi , t) に変換される．そこで，


新しい変数の正準方程式

Q̇i =

∂K,∂Pi

Ṗi = −∂K
∂Qi(1)
が成り立つ場合，この変換を正準変換という．

1.1 母関数
第 6 回で見た通り，正準方程式は最小作用の原理の帰結である．変換前の変数 qi , pi とハミルトニアン H(qi , pi , t) による最小作用の原理は∫ t2δ

{pi q̇i − H(qi , pi , t)} dt = 0(2)t1である．一方，変換後の変数 Qi , Pi とハミルトニアン K(Qi , Pi , t) による最小作用の原理は∫ t2 {δ}Pi Q̇i − K(Qi , Pi , t) dt = 0(3)t1である．式 (2) と (3) は共にゼロなので，左辺の被積分関数同士は等しい．但し，被積分関数の添え字 i に対し，アインシュタインの縮約記法が使われていることに注意しよう．ところで，ラグランジアンには時間に関する導関数 dF/dt の不定性があった様に（第 2 回），一般に作用の変分の被積分関数には不定性がある．式 (2) と (3) の被積分関数にも同じ不定性があり，これらの被積分関数は不定性も含めて等しいはずである．つまり，

1

1 正準変換
正準変換前後の関係

2pi q̇i − H(qi , pi , t) = Pi Q̇i − K(Qi , Pi , t) +dFdt

(4)であり，右辺の不定性を表す関数 F のことを正準変換 (qi , pi ) → (Qi , Pi ) の母関数という．

1.2 正準変換の例 1正準変換は何か母関数を与えることで決まる．例えば，

F = F1 (qi , Qi , t)(5)であれば，式 (5) の時間に関する微分が

∂F1
∂F1
∂F1dF
=
q̇i +
Q̇i +dt∂qi∂Qi∂tなので，これを式 (4) に代入して整理すると

∂F1
∂F1
∂F1
Q̇i +
q̇i +
∂qi∂Qi∂t())()(∂F1∂F1∂F1∴ pi −=0q̇i − Pi +Q̇i + K − H −∂qi∂Qi∂t())()(∂F1∂F1∂F1∴ pi −
dt = 0dqi − Pi +dQi + K − H −∂qi∂Qi∂tpi q̇i − H = Pi Q̇i − K +となる．これが常に成り立つため，dqi , dQi , dt の各係数はゼロであり，次の正準変換が得られる．

正準変換 I


pi =



∂F1,
∂qiPi = −

∂F1,
∂Qi

K=H+

∂F1
∂t(6)


適当な母関数 F1 (qi , Qi , t) を選んで，式 (6) を満たす変数変換 (qi , pi ) → (Qi , Pi ) が見つかれば，それは正準変換である．例えば，

F1 (qi , Qi , t) = qi Qiの場合，式 (6) よりpi = Q i ,Pi = −qi ,K=Hとなる．従って，変数変換 (qi , pi ) → (Qi , Pi ) = (pi , −qi ) は正準変換であり，変換によってハミルトニアンは不変である．

2 正準変換の応用

3

1.3 正準変換の例 2次に，母関数がF = F2 (qi , Pi , t) − Qi Pi(7)であれば，

∂F2
∂F2
∂F2dF
=
q̇i +Ṗi +− Q̇i Pi − Qi Ṗidt
∂qi
∂Pi∂t
なので，これを式 (4) に代入して整理すると∂F2∂F2∂F2q̇i +Ṗi +− Q̇i Pi − Qi Ṗi∂qi∂Pi∂t()()()∂F2∂F2∂F2∴ pi −q̇i + Qi −Ṗi + K − H −=0∂qi∂Pi∂t()()()∂F2∂F2∂F2∴ pi −
dqi + Qi −dPi + K − H −dt = 0∂qi∂Pi∂tpi q̇i − H = Pi Q̇i − K +となる．これが常に成り立つため，dqi , dPi , dt の各係数はゼロであり，次の正準変換が得られる．

正準変換 II

pi =

∂F2,
∂qi

Qi =

∂F2,
∂Pi

K=H+

∂F2
∂t(8)


例えば，

F2 (qi , Pi , t) = fi (q1 , . . . , qn )Piの場合，式 (8) より，変換後の座標はQi = fi (q1 , . . . , qn )となる．これは座標の間だけの変換であり，点変換と呼ばれる．さらに，fi (q1 , . . . , qn ) の関数形は任意なので，次の重要な結論が得られる．



点変換は全て正準変換である．



2 正準変換の応用
2.1 1 次元調和振動子
まず，正準変換 I によって，1 次元調和振動子の運動を調べよう．振動子の質量を m，角振動数を ω とすれば，振動子のハミルトニアンはH(q, p) =1 2 mω 2 2p +q2m2(9)2 正準変換の応用

4である．そこで，正準変換 I の母関数をF1 (qi , Qi , t) ≡1mωq 2 cot Q2とすれば，式 (6) より∂F1= mωq cot Q ,∂q∂F11∂11P =−= − mωq 2cot Q = mωq 2 2 ,∂Q2∂Q2sin Q∂F1=H ,K=H+∂tp=(10)(11)(12)が得られる．ここで，式 (11) より

q2 =2Psin2 Qmω

(13)となり，式 (10) より

p2 = (mω)2 q 2 cot2 Q)(2P22sin Q cot2 Q= (mω)
mω
= 2mωP cos2 Q(14)となる．但し，q 2 に式 (13) を代入した．よって，式 (13), (14) を式 (9) のハミルトニアンに代入し，式 (12) の新しいハミルトニアンを具体的に求めるとK(Q, P ) = H(q, p)= ωP cos2 Q + ωP sin2 Q= ωP(15)であることが解る．
式 (15) を用いて，新しい変数 Q, P の正準方程式 (1) を書き下すとQ̇ =∂K=ω ,∂PṖ = −∂K=0∂Qとなる．これらは直ちに解くことができ，

Q(t) = ωt + a ,P =bが得られる．但し，a, b は定数である．ところで，式 (9) のハミルトニアンは時間に陽に依存しないため，全エネルギー E は一定であり，H(q, p) = E

2 正準変換の応用5が成り立つ．従って，式 (15) を用いると，∴P =ωP = E ,Eωとなる．従って，定数 b = E/ω であり，式 (13) を使って元の座標系での q(t) を求めると√2Psin Qmω
√
2E=sin(ωt + a)mω 2q(t) =(16)となる．これは a を初期位相とする単振動を表している．
この例では，式 (15) の様に新しいハミルトニアンを変換後の座標 Q に依らない形 K(P ) にできたことが重要で，変換後の運動量 P を定数（保存量）にすることで，簡単に問題を解ける様にしている．

2.2 回転座標系
次に，正準変換 II によって，回転座標系への変数変換について調べよう．ここでは，自由度が 2つの座標系 (q1 , q2 ) に対し，一定の角速度 ω で回転する座標系 (Q1 , Q2 ) を考える．つまり，回転行列を用いて(Q1Q2)(=cos ωt− sin ωtsin ωtcos ωt)( )q1q2(17)という座標変換を扱う．
元の座標系 (q1 , q2 ) では質量 m の自由な質点の運動を考え，質点のハミルトニアン

H(qi , pi ) =)1 ( 2p1 + p222m(18)を導入する．そこで，正準変換 II の母関数に含まれる関数をF2 (qi , Pi , t) ≡ (q1 cos ωt + q2 sin ωt) P1 + (q2 cos ωt − q1 sin ωt) P2とすれば，式 (8) より∂F2= P1 cos ωt − P2 sin ωt ,∂q1
∂F2p2 == P1 sin ωt + P2 cos ωt ,∂q2

p1 =(19)(20)が得られる．また，∂F2= ω (−q1 sin ωt + q2 cos ωt) P1 − ω (q2 sin ωt + q1 cos ωt) P2∂t= ωQ2 P1 − ωQ1 P2(21)2 正準変換の応用

6なので，式 (8) の最後の式より∂F2K=H+∂t}
1 {22=(P1 cos ωt − P2 sin ωt) + (P1 sin ωt + P2 cos ωt) + ω (Q2 P1 − Q1 P2 )2m)
1 ( 2P1 + P22 + ω (Q2 P1 − Q1 P2 )=2m(22)となる．但し，式 (17), (19), (20) を用いた．
式 (22) を用いて，新しい変数 Qi , Pi (i = 1, 2) の正準方程式 (1) を書き下すと∂K
P1=+ ωQ2 ,∂P1m∂KP2=− ωQ1 ,Q̇2 =∂P2m∂KṖ1 = −= ωP2 ,∂Q1∂KṖ2 = −= −ωP1 ,∂Q2Q̇1 =(23)(24)(25)(26)となる．式 (23)-(26) を回転座標系 (Q1 , Q2 ) について解くため，まずは式 (23) の両辺を時間で微分し，式 (25) を代入すると

Ṗ1+ ω Q̇2m
ωP2=+ ω Q̇2mQ̈1 =(27)となる．一方，式 (24) を P2 について解くと()P2 = m Q̇2 + ωQ1であるから，これを式 (27) に代入してQ̈1 = ω 2 Q1 + 2ω Q̇2(28)が得られる．同様に，式 (24) の両辺を時間で微分し，式 (26) を代入するとṖ2− ω Q̇1m
ωP1=−− ω Q̇1mQ̈2 =となる．一方，式 (23) を P1 について解くと()P1 = m Q̇1 − ωQ2(29)2 正準変換の応用

7であるから，これを式 (29) に代入してQ̈2 = ω 2 Q2 − 2ω Q̇1が得られる．以上，式 (28), (30) をまとめると{Q̈1 = ω 2 Q1 + 2ω Q̇2Q̈2 = ω 2 Q2 − 2ω Q̇1となり，それぞれ右辺の第 1 項が遠心力を表し，第 2 項がコリオリ力を表している．

(30)