Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Institut für Mathematik
Abteilung für Reine Mathematik
Prof. Dr. D. Wolke
Dipl.-Math. S. Feiler

1: Mo 16-18, SR 318
Christian Marquardt

2: Di 11-13, SR 119
Jonas Unger

3: Di 11-13, SR 125
Michael Gutmann

4: Di 11-13, SR 112
Stefan Fischer

5: Di 16-18, SR 119
Kai Siebold

6: Di 16-18, SR 125
Arno Pauly

7: Do 11-13, SR 127
Sarah Marzi

8: Do 16-18, SR 318
Bianca Straub

9: Fr 11-13, HS II
Elisabeth Wursthorn

10: Fr 11-13, SR 414
Nicolas Ketterer

11: Fr 12-14, SR 218
Christian MarquardtFragestunde: Do 09-11
Simon Feiler, SR 414

Übungen zur Vorlesung

Mathematik für Ingenieure und Informatiker I
Wintersemester 2007 / 2008

Übungsblatt Nummer 229. Oktober 2007
Abgabe am Montag, den 05.11.2007 vor der Vorlesung
Bitte die Lösungen mit Name, Matrikelnummer, Übungsnummer und Name des Tutors versehen.

Aufgabe 4
Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen des R2 !
 x2a) A :=∈ R : |2x| ≤ yy x2b) B :=∈ R : |x + 4| < |y|y 3x2c) C :=∈ R : |x| − |y| =y2Aufgabe 5
Für n ∈ N0 und ` ∈ N0 wird der Binomialkoeffizient n` ( n über `“) definiert als”
  `Yn−j+1nn!
n. Ist n ≥ `, so folgt daraus
=.
:=
``j
`! · (n − `)!
j=1Zeigen Sie:a)n+1 Xn+1jj=0b)n−1  Xjj=``=2·n  Xnj=0
=jfür alle n ∈ N0 .

nfür alle ` ∈ N und für alle n ∈ N.
`+1Bemerkung: Eventuell benötigt man vollständige Induktion (siehe Aufgabe 6).
Wenn ja, welches ist der Induktionsparameter?
bitte wenden

Aufgabe 6
Ein Beweis durch Vollständige Induktion gleicht der Durchführung eines Domino-Days.
Um einen Domino-Day durchführen zu können, bedarf es drei grundlegender Handlungen.
1. Alle Steine müssen aufgebaut werden.
2. Es muss kontrolliert werden, ob ein Stein immer dann fällt, wenn sein Vorgänger fällt, dasheißt, wenn sein Vorgänger ihn umwirft.
3. Der erste Stein muss umgeworfen werden.
Ein Induktionsbeweis verläuft genauso.
Zunächst müssen alle Steine“ aufgebaut werden - es muss eine Behauptung aufgestellt werden,”die für alle oder einen Teil der natürlichen (oder auch ganzen) Zahlen (A ⊆ N) gilt.
Daraufhin testet man, ob ein Stein“ fällt, wenn sein Vorgänger fällt. Man nimmt also in der”
Induktionsvoraussetzung an, dass die Behauptung für eine feste Zahl (meistens n oder n0 )gilt. Unter dieser Annahme zeigt man nun im Induktionsschluss, dass die Behauptung für denNachfolger (n + 1 bzw. n0 + 1) gilt.
Zuletzt muss man den ersten Stein“ umwerfen, indem man die Behauptung im Induktionsan”
fang für das Minimum (das heißt für die kleinste Zahl in) der Menge A zeigt.
Da der Induktionsanfang gerne vergessen wird, setzt man ihn meist vor Induktionsvoraussetzung und Induktionsschluss.
Zeigen Sie nun die folgenden Formeln mit Hilfe des Beweisprinzips der Vollständigen Induktion!
Wählen Sie jeweils das genannte N ∈ N0 selbst!
nXn · (n + 1)a)(−1)k+1 · k 2 = (−1)n ·für alle n ∈ {m ∈ N0 : m ≥ N }.
2k=1b)

2·n
X(−1)`+1``=1c)kY=2·nX1

jj=n+1für alle n ∈ {m ∈ N0 : m ≥ N }.
k+11+xn=12n

1 − x2=1−xfür alle x ∈ R \ {1} und für alle k ∈ {m ∈ N0 : m ≥ N }.

Bemerkung: Vorsicht! Nicht immer wird die Induktion nach n geführt.
Per Induktion kann auch definiert werden. Hierzu ein kleines Beispiel:Seien a` ∈ R für alle ` ∈ N und sei n ∈ N.
nn
PPDann ist
ak definiert durch
ak := a1 + a2 + . . . + an−1 + an .
k=1

Man kannP̀

k=1

ak für alle ` ∈ N auch induktiv definieren:

k=1

Induktionsanfang“:”Induktionsvoraussetzung“:”Induktionsschluss“:”

Sei

1
P

ak := a1 .

k=1

Sei n0 ∈ N und sei

n0P

ak bereits definiert.

k=1

Sei

nP0 +1k=1

ak := an0 +1 +n0P

ak .

k=10P
Die Induktion kann auch bei 0 beginnen. Wie wäre dannak zu definieren?
k=1
QGenauso kann man auch das Produktzeichen
oder die Fakultät ! induktiv definieren.