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数理解析研究所講究録
第2031巻 2017年 124-158

KZ 型超幾何系の変換と解析
Transformation and Analysis of Hypergeometric Systems of KZ type

大島利雄
TOSHIO OSHIMA

城西大学理学部
FACULTY 0F SCIENCE, JOSAI UNIVERSITY

Abstract
The middle convolution introduced by Katz is extended to an operation on a regular holonomic

system by Haraoka.

Using this operation on a KZ type equation together with other relatedtransformations,

can

we

analyze the equation, in particular, its residue matrices and the ir‐

reducibility of its solution space.

We examine examples of hypergeometric functions with two

variables realized by solutions of these KZ type equations, which include Appells hypergeometricfunctions.

1

はじめに(x0, . . . x_{n}) 変数の未知関数を成分とするサイズ N の縦ベク トル u(x) に対する

du=(\displaystyle \sum_{0\leq i\leq n}A_{i,j}d\log(x_{i}-x_{j}) u(1)という方程式を KZ (Knizhnik‐Zamolodchikov [9]) 型方程式 (以下,単に KZ 方程式) という.

A_{i,j} は複素数成分の N 次の正方行列で,N を方程式の階数という.これは\displaystyle\frac{\partialu}{\partialx_{i} =\sum_{$\nu$\in\{0,\ldots,n\} backslash\{i\} \frac{A_{i,$\nu$} {x_{i-X_{$\nu$} u(i=0,\ldots,n)という連立方程式と同値であるが,積分可能条件から(2)[A_{i,j}, A_{k,l}]=[A_{i,j}, A_{i,k}+A_{j,k}]=0を得る (異なる添え字は異なる数字を表すとする).

互いに異なる添え字 i, j と i_{1}

,

.

.

.

,

i_{m} に対して

A_{i, }:=0, A_{i,j}=A_{j,i}, A_{i,n+1}:=-\displaystyle \sum_{ $\nu$=1}^{n}A_{i, $\nu$}, A_{i_{1},\ldots,i_{m} :=\sum_{1\leq p<q\leq m}A_{i_{p},i_{\mathrm{q}とおくと ( x_{n+1}=\infty に対応する),(3)

I, J\subset\{0, . . . , n+1\} と L\subset\{0, . . . , n\} に対して

if I\cap J=\emptyset or[A_{I}, A_{J}]=0
A_{0,\ldots,n}=A_{L}-A_{\{0,\ldots,n+1\}\backslash L}

I\subset J

orJ\subset I ,

(4)

(5)

125

が成り立ち, A_{0,\ldots,n} は全ての A切 と可換なので,方程式の既約性を仮定すると(6)

A_{0,\ldots,n}= $\kappa$ I_{N}となる複素数 $\kappa$ があるとしてよい (以下これを仮定する).
ここで x\mathrm{i} ,\cdots,x_{n} を固定して x=x_{0}を変数とみなすと\mathcal{N} :\displayst le\frac{du}{dx}=\sum_{$\nu$=1}^{n}\frac{A_{0,$\nu$}{x- _{$\nu$}u(7)という Schlesinger 型の常微分方程式が得られる.このようなFuchs 型常微分方程式に関しては,Katz の導入した middle convolution \mathrm{m}\mathrm{c}_{ $\mu$} がきっかけとなって飛躍的に解析が進み,多くのことが解明された ([8], [11], [4]). なお, \mathrm{m}\mathrm{c}_{ $\mu$} はx

変数についての - $\mu$ 階の微分 と見なされるものであり,関数 u(x) に対して Riemann‐Liouville 積分を行うことに対応する.Schlesinger 型の方程式に対する middle convolution はDettweiler‐Reiter [2] によって留数行列の組 \{A0,1, . . . , A_{0,n+1}\} の変換に翻訳されたが,これはさらに原岡 [3] によって KZ 方程式を含む多変数の揚合に拡張された.

Schlesinger 型の常微分方程式に対し,各留数行列 A_{0, $\nu$}(i=1, \ldots, n+1) の共役類を与えると,方程式が一意的に決まってしまう場合,すなわち (A_{0,1}, \ldots, A_{0,n+1}) の同時共役類が決まってしまう揚合をリジッドという.

A_{0, $\nu$} が対角化可能なとき,その固有値の重複度は N の分割

N=m_{ $\nu$,1}+\cdots+m_{ $\nu$,r_{ $\nu$}} ( $\nu$=1, \ldots,n+1)(8)の組 (それをスペクトル型という) を与えるが,idx\displaystyle\mathcal{N}:=2N^{2}-\sum_{$\nu$=1}^{n+1} (N^{2}-\displaystyle\sum_{$\nu$=1}^{r_j}m_{j}^{2} )
)

$\nu$

(9)

をリジッド指数という. \mathcal{N} が既約ならば \mathrm{i}\mathrm{d}x\mathcal{N}\leq 2 であり, 2-\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathcal{N} は方程式の特異点での局所的性質 ( A_{0, $\nu$} の各共役類達) から決まらないモジュライ空間の次元となる.すなわち idx \mathcal{N}=2 が方程式がリジッドとなるための必要十分条件となる (cf. [8]).
リジッドな常微分方程式 (7) は,middle convolution とゲージ変換 (特に addition という)
u\mapsto(x-x_{ $\nu$})^{$\lambda$_{ $\nu$}}u の繰り返しによって階数1の自明な方程式 \displayst le\frac{du}{dx =0 に変換される.また,これらの変換は可逆なので,リジッドな常微分方程式 (7) は自明な方程式からmiddle convolution とaddition で構成できることになる.一般の場合は idx \mathcal{N} がこれらの変換における不変量となるが,スペクトル型の空間は idx \mathcal{N} 毎に有限軌道に別れる (cf. [12, 11]). その変換は,Crawley‐Boevy [1]がquiver の表現と関連して導入した無限次元の星形 Kac‐Moody ルート系の Weyl 群による作用と見なすことが出来て,Riemann 球面上の Fuchs 型方程式の全体の空間への作用が明らかになった.
リジッドな方程式 (7) は自明な方程式からmiddle convolution とadditionで構成できるので,原岡[3]の変換に拡張すれば,リジッドな方程式 (7) から KZ 方程式 (1) が得られることになる.この
拡張は ( ( y_{2},\ldots,yのの関数倍を除いて) 一意,よって逆に KZ 方程式 (1) から得られた常微分方程式(7) が既約リジッドならば,それはこのようにして構成されるものであることも分かる.
KZ 方程式全体の空間には,x0変数に注目した middle convolution の他に,対称性に起因する変数 x_{i} の置換が作用している.Fuchs 型常微分方程式の大域解析には,局所的性質がどのように変換

126

されるかを知ることがキーであった.KZ 方程式についてのこのような解析は,これからの課題である.この方向で,まず [14] が得られたが,全貌を明らかにするには至っていない.常微分方程式に限ってもリジットという枠の中では閉じない広い変換が得られることでも興味深い (cf. §5.11).

2方程式の変換と多変数超幾何関数
KZ 方程式 (1) は留数行列 A_{i,j} で定まるが,0 が(x\mathrm{i} -x_{2})^{- $\kappa$}u という変換により,Ao,
満たされるとしてよい.このとき Ao, n+1 +\cdots+A_{n,n+1} =0 となるので,留数行列 \{A_{i,j}\} の n+1
個の添え字を任意に入れ えたものも KZ 方程式となる.すなわち (n+2) 次対称群 \mathfrak{S}_{n+2} がKZ 方
u \mapsto\cdots,n=

程式の空間に作用している.
KZ 方程式は,Riemann 球面 \mathb {P}^{1} 内の n+2 個の点 \{x_{0}, . . . , x_{n+2}\} の配置空間上の方程式とみなせて,一次分数変換が作用している.一次分数変換によって3点は 0 1, \infty に移して考えることが出,来るので,KZ 方程式の解は実質的に残りの n-1 変数の関数 (超幾何関数) と考えられる.たとえばGauss の超幾何関数」2 ( $\alpha$, $\beta$, $\gamma$;x) はu(t_{0}, t_{1}, t_{x})=F( $\alpha$, $\beta$, $\gamma$;_{t_{1}-t_{0} ^{t- }A\displaystyle \ovalbox{\t \smal REJECT})=F( $\alpha$, $\beta$, $\gamma$;\frac{(t_{1}-t_{\infty})(t_{x}-t_{0})}{\text{（}t_{x}-t_{\infty})(t_{1}-t_{0})})とおくと3変数 t_{0}, t\mathrm{i} 毎のKZ 方程式を満たすことが分かる (n=2 に対応する.なお,,\inftyも動かせば t_{0}, t_{1},t_{\infty} , ちの4変数となる).
n=2 の場合は,常微分方程式に帰着され, $\kappa$=0 とした KZ 方程式において A_{0,1}+A_{0,2}+A_{\mathrm{i}_{2}},=0となるので, A_{1,2}=A_{0,3} が成立し,実際には 6_{3} の作用とみなせる (添え字 {1,2,3} の置換).
KZ 方程式 (1) が真に多変数の超幾何微分方程式と見なせるのは n\geq 3 のときであり,簡単のため,このノートでは主に n=3 の場合,すなわち2変数の超幾何関数の場合を主に扱う.この場合は,たとえば x0=x, x_{1}=0, x_{2}=y, x_{4}=\infty とおいて KZ 方程式 (1) の解 u(x,0,y, 1) を超幾何関数と考える.Appell の超幾何関数は,この最も簡単な例となっていることが分かる (cf. §5).
u\mapsto(x_{i}-x_{j})^{ $\lambda$}u という変換は, A_{i,j}, A_{i,n+1}, A_{j,n+1} の3つをそれぞれ A_{i,j}+ $\lambda$, A_{i,n+1}- $\lambda$,

A_{j,n+1}- $\lambda$ と変換することに対応する (addition).
x_{0} 変数に対する middle convolution \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{0}, $\mu$}は以下のように定義される.簡単のため, n=3 の場

合を述べよう (一般の場合でも同様).元の方程式がSchlesinger型方程式として既約ならば (すなわ
ち A_{0, $\nu$} が非自明共通不変部分空間を持たないとき) \mathrm{m}\mathrm{c}_{x0,0} は恒等写像と定義される.まず,$\mu$\neq 0のときは,convolutionが\tilde{A}_{0,1}=\tilde{A}_{0,3}=\tilde{A}_{2,3}=\left(\begin{ar y}{l A_{0,1}+$\mu$&A_{0,2}&A_{0,3}\ 0&0&0\ 0&0&0 \end{ar y}\right),\left(\begin{ar y}{l 0&0&0\ 0&0&0\ A_{0,1}&A_{0,2}&A_{0,3}+$\mu$ \end{ar y}\right),\left(\begin{ar y}{l } A_{2,3}&0&0\ 0&A_{0,3}+A_{2,3}&-A_{0,3}\ 0&-A_{0,2}&A_{0,2}+A_{2,3} \end{ar y}\right)\tilde{A}_{0,2}=\tilde{A}_{1,2}=,\tilde{A}_{1,3}=\left(\begin{ar y}{l 0&0&0\ A_{0,1}&A_{0,2}+$\mu$&A_{0,3}\ 0&0&0 \end{ar y}\right)\left(\begin{ar y}{l } A_{0,2}+A_{0,2}&-A_{0,2}&0\ -A_{0,1}&A_{0,1}+A_{1,2}&0\ 0&0&A_{1,2} \end{ar y}\right)\left(\begin{ar y}{l } A_{0,3}+A_{1,3}&0&-A_{0,3}\ 0&A_{1,3}&0\ -A_{0,1}& A_{0,1}+A_{1,3} \end{ar y}\right)
,

,

127

によって定まる階数 3N の (一般には可約な) KZ 方程式として定義される.このとき\mathcal{K}:=\{(_{v+v_{3}^{2} ^{v+v1}v+v) \in \mathb {C}^{3N}|v\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A_{0,1}+A_{0,2}+A_{0,3}+ $\mu$), v_{j}\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{0, $\nu$}\}(10)\tilde{A}_{i,j} の共通の不変部分空間となるので, \mathbb{C}^{3N}/\mathcal{K} 上に \tilde{A}_{i,j} が誘導する線型変換を適当な基底で表現した表現行列を \mathrm{A}_{i,j} とおき,得られる KZ 方程式を middle convolution \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{0}, $\mu$} による変換と定が義する.方程式の階数は N から 3N-\dim \mathcal{K} に変わる.また \mathrm{m}\mathrm{c}_{x\mathrm{o}, $\mu$} の逆変換は \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{\mathrm{o} ,- $\mu$} となる.

この変換によって方程式の階数をできるだけ下げるには,addition によって各 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{0, $\nu$} の次元が最大になるようにあらかじめ変換し,また $\mu$ を調整して \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A_{0,1}+A_{0,2}+A_{0,3}+ $\mu$) の次元が最大になるように取ればよい.簡単のため A_{i,j} が対角化可能として, A_{0, $\nu$} の固有値の重複度が (8) のよ

うになっているとしよう.このときSchlesinger型方程式 (7) のスペクトル型を\mathrm{m}:=m_{n+1,1}\cdots m_{n+1,r_{n+1}}, m_{1,1}\cdots m_{1,r_{1}} )\ldots)m_{n,1}\cdots m_{n,r_{n}}で定義する.各特異点での重複度は

m_{j, $\nu$}\geq m_{j, $\nu$+1} (\forall $\nu$, j)と大きい順に並んでいるとしてよい.このとき(11)d(\mathrm{m})=m_{1,1}+\cdots+m_{n+1,1}-(n-1)N

とおくと,上の middle convolution による reduction Iま,各 mj,1 が mj,1-d(\mathrm{m}) に変わることが分かる.よって階数は N から N-d(\mathrm{m}) に変わる.
\mathrm{m}がリジッドな方程式のスペクトル型を与えるための必要十分条件は,この変換のあと各特異点で重複度を大きい順に並べ

える変換とを合わせた変換を考え,それを反復することにより階数が1まで単調に減少することであることが言える (途中で負の重複度が現れたなら,既約に実現が不可能なスペクトル型であり,減らないことがあれば,それは実現可能だがリジッドとはならない).
たとえば Gauss の超幾何のスペクトル型は11, 11, 11で,Appell の盈にあたる超幾何のスペクト

ル型は22, 22, 31, 22となるが,それらのスペクトル型のリダクションは ([16] や[17] で計算可能)\underline{1}1,\underline{1}1, 11\Rightarrow^{1}-01, 01, 01\rightarrow 10, 10, 10\underline{2}2,\underline{2}2,\underline{3}1, \underline{2}2\Rightarrow-112, 12, 21, 12\rightarrow\underline{2}1,\underline{2}1,\underline{2}1,\underline{2}1\Rightarrow^{2}-01, 01, 01, 01\rightarrow 10, 10, 10, 10(12)となってリジッドなスペクトル型であることが分かる ( \Rightarrow の上の数字は -d(\mathrm{m}) ).
留数行列 A_{0, $\nu$} の重複度 m_{j, $\nu$} に対応する固有値を $\lambda$_{j_{ $\nu$} とするとき,方程式 (7) の一般化 Riemann,scheme を
x_{n+1}x_{1}[$\lambda$_{n+1,1}]_{m_{n+1},1}[$\lambda$_{1,1}]_{m_{1,1}:[$\lambda$_{n+1,r_{n+1}}]_{m_{n+1},r_{n+1}}

..

.

.

..

:

[$\lambda$_{1}, r_{1}]_{m_{1. $\tau$}}1

.

x_{n}

[$\lambda$_{n,1}]_{m_{n,1}
:

.

(13)

[$\lambda$_{n,r_{n} ]_{rn_{n,r_{n} }によって定義する ( [ $\lambda$]_{1} は単に $\lambda$ と略記してもよい). middle convolution による A_{i,j} の固有値とスペクトル型の変換については §4で述べる.

128

n=3 のときに2変数 (x , のの超幾何関数とみたときの吻の添え字の置換から誘導される (x, y)の座標変換を列記する (x_{0}=x, x_{1}=0, x_{2}=y, x_{3}=1)

.

129

3

lrreducibility of Equations
リジッドな Schlesinger 型方程式 (7) が常微分方程式として既約 (解空間のモノドロミー群が既約といっても同じ) となるための必要十分条件を得る具体的なアルゴリズムを与えよう.実際には,

Kac‐Moody ルート系の言葉で述べられる (cf. [11, 13]).
それは,方程式のスペクトル型 \mathrm{m} のリダクションから以下のように得られる.リダクションはmiddle convolution による変換のステップと重複度を大きい順に並べ

える隣接互換のステップとからなるが,各ステップに対し一つの条件が対応する.各ステップでのスペクトル型の差から出発して,そこから逆に \mathrm{m} までたどって得られるスペクトル型 \overline{\mathrm{m}_{i} =k_{ $\nu$}\mathrm{m}_{i} の \mathrm{m}_{i} を集めた集合 $\Sigma$(\mathrm{m}) を考える.ただし義は最大公約数で括って k_{i}\mathrm{m}_{i} と表す.なお

k_{i}=2NN_{i}-\displaystyle \sum_{j}(NN_{i}-\sum_{ $\nu$}\mathrm{m}_{j, $\nu$}\cdot(\mathrm{m}_{i})_{j, $\nu$})が成立する (ただし,N_{i}=\displaystyle \sum_{ $\nu$}(\mathrm{m}_{i})_{1, $\nu$} ).

(14)

ここで

\mathrm{m}=k_{i}\mathrm{m}_{i}\oplus m\'{i}(15)という分解が重要である,方程式の一般化Riemann scheme (13) に対し\displaystyle \{\sum_{j, $\nu$}(\mathrm{m}_{i})_{j, $\nu$}\cdot$\lambda$_{j, $\nu$}|i=1, \}(16)のいずれの元も整数とはならないことが既約性の必要十分条件となる.

Appell の F_{1} に対応するスペクトル型21, 21, 21, 21の例では
21, 21,21, 21\Rightar ow-2\underline{0}12 \underline{0}1, \underline{0}1, \underline{0}1\rightar ow\underline{10}1 01, 01, 01\rightar ow \mathrm{i} 10, \underline{10} 01, 01\rightar ow 1 10 10, \underline{10}, 01\searrow 1

,2(10,10,10,10)$\epsilon$^{2}01, 10, 10, 10 $\epsilon$^{1}\underline{-1}1, \underline{0}0, \underline{0}0, \underline{0}0\leftar ow
10, 01, 10, 10 $\epsilon$^{1}\underline{0}0, \underline{-1}1, \underline{0}0, \underline{0}0\leftar ow \underline{00}, -11 00, 00\leftarrow
10, 10, 01, 10 \not\in^{1}\underline{0}0, \underline{0}0, \underline{-1}1,\underline{0}0\leftar ow \underline{00}, 00, -11, 00\leftarrow 00,\underline{00} -11, 00\leftarrow,*

10, 10, 10, 10

*

,

*

)

10, 10, 10, 01*

3 \underline{0}0,\underline{0}0, \underline{0}0,\underline{-1}1\leftar ow\underline{00} 00, 00, -11\leftarrow 00, \underline{00}, 00, -11\leftarrow 00 00, \underline{00}, -11\leftarrow*
,

,

となるので

$\Sigma$(21,21,21,21)=\{10 10, 10, 10, 01, 10, 10, 10, 10, 01, 10, 10, 10, 10, 01, 10, 10, 10, 10, 10 \},と5つのスペクトル型からなり,それから既約分解に対応する \mathrm{m} の分解が5つ得られる :21, 21, 21, 21=2(10,10,10,10)\oplus(01,01,01,01)
21, 21, 21, 21=01, 10, 10, 10\oplus 20, 11, 11, 11

21, 21, 21, 21=10, 01, 10, 10\oplus 11, 20, 11, 11
21, 21, 21, 21=10, 10, 01, 10\oplus 11, 11, 20, 11

21, 21, 21, 21=10, 10, 10, 01\oplus 11, 11, 11, 20

(17)

130

スペク

トル型21, 21, 21, 21の方程式のRiemann scheme が\left\{ begin{ar y}{l } x=0&x=1&x=y&x=\infty\ {[}0]_{2}&[0]_{2}&[0]_{2}&[a]_{2}\ a_{1}&a_{2}&a_{3}&b \end{ar y}\right\}であったとすると,(16) より\{a, a+\mathrm{a}_{1}, a+a_{2}, a+a_{3}, b\}のいずれも整数でないことが既約性の必要十分条件となる.
なお \mathrm{m}_{i}\in $\Sigma$\langle \mathrm{m}) はリジッドなスペクトル型となるが,それは \mathrm{m} の分解 (15) のmí で分類される.
Definition 1.

$\Sigma$(\mathrm{m}) に現れる \mathrm{m}_{i} は以下の3つのいずれかのタイプに分かれる.

Type 1 : \mathrm{m}_{i}' の各成分は非負整数

Type 2: \mathrm{m}_{i}' の成分に (ある一つの特異点で) 1と -1 が各一つずつ現れ,残りの成分は全て 0Type 3: \mathrm{m}_{i}' の各成分に正整数は現れないType 1では \mathrm{m}_{i}' が,Type 3では -\mathrm{m}_{i}' がリジッドなスペクトル型になる.
Theorem 2 ([13, Proposition 2.5]). 既約条件を表す (16) の元の中で,Type 3に対応するものは省いてよい (他の元から来る条件に含まれる).

リジッドな Schlesinger 型方程式 (7) に対応する KZ 方程式 (1) の既約性については以下が言える.
Theorem 3([13, Theorem 3.3]). 既約条件を表す (16) の元の中で,Type 1やType 2に対応するものが整数でなければ方程式 (1) \mathrm{I}5: (モノドロミー群が) 既約である.また,Type 1に対応するものが整数であれば可約である.Type 3に対応するものは省いてよい (他のType 1の元から来る条件に含まれる).
Remark 4. 上の定理で,KZ 方程式の既約性条件に Type 2に対応するものは不要であろうと予想される.いずれにせよ,Type 2の条件が成立するときは,モノドロミー群が既約でも,ある種の分解が存在することが分かる.たとえば, u(x, y)=F( $\alpha$, $\beta,\ \gamma$;x)\cdot F( $\alpha$, $\beta,\ \gamma$;y) は階数4の方程式を満たし $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一般ならそのモノ ドロミー群は既約である.実際 Appell の F_{4} ではこのようなことが起こる.Type 2の分解が起こるときは,分解の1と -1 の重複度を一つにまとめたスペクトル型が2以上のある整数で割り切れるときのみで,そのような分解はあまりない (cf. §5.9).

4Middle convolution
A_{0,j} のスペクトル型と固有値が \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{0}, $\mu$} によってどのように変化するかの記述は ([2] にあるように)容易であるが, A_{i,j} (0<i< ののスペクトル型の変化はより理解が困難であった.その記述が [14]によって得られたので解説する.簡単のため A_{i,j} は対角化可能とする (cf. [11, Theorem 12.10]).
対角化可能行列 A の固有値 $\lambda$_{ $\nu$} とその重複度 m_{ $\nu$} の組の集合を[A]= { [$\lambda$_{1}]_{m_{1} , [$\lambda$_{2}]_{m_{2}

)

.

.

.}

131

のように表す.

A_{0,j}=\{[$\lambda$_{j,1}]_{m_{j,1}}, [$\lambda$_{j,2}]_{m_{j.2}}, . . \} となっていたとする.記述を簡単にするため\mathrm{m}j,1=0 となることを許すと$\lambda$_{1,1}=\cdots=$\lambda$_{n,1}=0, $\lambda$_{n+1,1}= $\mu$と仮定してよい.これらは \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{0}, $\mu$} によって

[A_{0,j}]\mapsto\{[0]_{m_{j,1}-d(\mathrm{m})}, [$\lambda$_{j,2}+ $\mu$]_{m_{j,2}}, . ..\} (j=1, \ldots, n),[A_{0,n+1}]\mapsto\{[- $\mu$]_{m_{n+1.1}-d(\mathrm{m})}, [$\lambda$_{n+1,2}- $\mu$]_{m_{n+1.2}}, \ldots\}と変換される.
KZ 方程式の留数行列に対して \{[A_{i,j}]\} が \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{0}, $\mu$} でどのように変換されるかは,\{[A姻} の情報からだけでは分からない.それを知るには可積分条件 (4) がキーとなる.
N 次正方行列 A, B が可換とする.共に対角化可能とすると同時対角化が出来るので,同時 (一般) 固有空間分解が可能となる.同時固有空間の固有値とその重複度を [ $\lambda$: $\mu$]_{rn} のように書いて,そ\left(0 & \mathrm{o}_{0} & -1\right),の全体を [A:B] と表す.たとえば A=\left(1 & 2 & 2 & 3\right)

B=

のときは

[A:B]=\{[0:1]_{1}, [0:2]_{2}, [-1:3]_{1}\}=\{[0:1], [0:2]_{2}, [-1:3]\}
である (添え字の1は略してよい).このような情報を使うことにより,以下の結果が得られる.
Theorem 5([14, Theorem 4.1]). \{[A_{i,j} :A_{0,k}], [A_{0,i} :A_{0,i,j}] | \{i,j, k\} \subset \{1, . .., n+1\}\} が分

かっていれば,これらを \mathrm{m}\mathrm{c}_{x\mathrm{o}, $\mu$} で変換したものがどうなるかが分かる ( i, j, k は互いに異なる).
具体的には [14] を参照して下さい.
n=3 のときは A_{0,1,2}= $\kappa$-A_{3,4} などとなることから,より簡単になって \{[Ai :A_{J}]|\# I=\# J=2, I\cap J=\emptyset\} のみで閉じて以下の定理から計算できる.
Theorem 6 ([14, Theorem 7.1]). n=3 とする.(10) の \mathcal{K}\mathrm{I} ま.

\mathcal{K}_{1}=\left(\begin{ar y}{l &0\ \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{}&A_{0,1} \end{ar y}\right), \mathcal{K}_{2}=(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{0,2}0 ) \mathcal{K}_{3}=(00) \mathcal{K}_{4}=\{\left(\begin{ar ay}{l} v\ v\ v \end{ar ay}\right) |v\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A_{0,4}- $\mu$)\},,の4つの \mathbb{C}^{3N} の部分空間の直和となるが,任意の添え字の集合[\tilde{A}_{i,j} :\tilde{A}_{0,k}]=\{i,j, k\}=\{1 2, 3 \} に対し,[ Aもj : A_{0,k}+ $\mu$] \cup [ Aもj : 0] \cup[A_{0,4-} $\kappa$ : 0],[\tilde{A}_i,\mathrm{j}:\tilde{A}_0,k]|_{\mathcl{K}_$\nu}=\left{\begin{ar y}{l [A_{k,4}+$\kap $:0]|_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{}A_0,\mathrm{v} &($\nu=i,j)\ {[}A_i,j}:$\mu$]|_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{}A\tex{。}k&($\nu=k),\ {[}A_i,j}:0]|_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{}(A\tex{。}4-$\mu$)&($\nu=4), \end{ar y}\right.
[ \tilde{A}_{i,4} : Ã0, k ] =[A_{i,4} : A_{0,k}+ $\mu$]\cup[A_{i,4} : 0]\cup[A_{j,k}- $\kappa$- $\mu$ : 0],[Ãi,4 :\tilde{A}_{0,k} ]|$\kap _{$\nu}=left\{bginary}{l [A_j,k}-$\ap mu$:0]_{\athrmK}\athrm{e}\athrm{}A_0,i&($\nu=i), {[}A_i,4:0]|{\mathrK}\mathr{e}\mathr{}A_\mathr{O},j&($\nu=j), {[}A_i,4:$\mu]|_{athrmK}\athrm{e}\athrm{}A_0.\athrm{k}&($\nu=k), {[}A_j,k-$\ap mu$:0]|_{\athrmK}\athrm{e}\athrm{}\ext（A_{0,4}-$\mu)&(athrm{v}=4),\end{ary}\ight.

132[\tilde{A}_{i,j}:\tilde{A}_{0,4}]= [Aち j:A_{0,4}- $\mu$] \cup[A_{i,j}:- $\mu$]\cup[A_{k,4}+ $\kappa$:- $\mu$],[Ãi,j0,4\left{\begin{ar y}{l [A_{k,4}+$\kap $:- \mu$]|_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{}A_0{$\nu$},&($\nu$=i,j)\ {[}A_i,j}:-$\mu$]|_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{}A_0.k}&($\nu$=k),\ {[}A_i,j}:0]|_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{}(A_{0,4}-$\mu$)}&(\mathrm{v}=4), \end{ar y}\right.

[Ãi,j: Ãk,4] =[A_{i,j}:A_{i,j}- $\kappa$- $\mu$]\cup[A_{i,j}:A_{k,4}]\cup[A_{k,4}+ $\kappa$:A_{k,4}],[\tilde{A}_i,j:\tlde{A}_k,4]|$\kap $_{ \nu$}=\left{\begin{ar y}{l [A_{k,4}+$\kap $:A_{k,4}]|_{\mathr {K}\mathr {e}\mathr {}A_0,$\nu}&($\nu=i,j)\tex{）}\ {[}A_i,j:A_{i,j}-$\kap $- \mu$]|_{\mathr {K}\mathr {e}\mathr {}A_0,k}&($\nu=k),\ {[}A_i,j:A_{i,\mathr {j}-$\kap $- \mu$]|_{\mathr {K}\mathr {e}\mathr {}(A_0,4}-$\mu)}&($\nu=4). \end{ar y}\ight.

となる.すなわち I, J\subset { 0, 1 )2, 3, 4}, \# I=\# J=2, I\cap J=\emptyset のとき [Ai :A_{J}] は \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{0}, $\mu$} に
よって[A_{I}:A_{J}]\displaystyle\mapsto[\tilde{A}_{I}:\tilde{A}_{J}]\backslash\bigcup_{$\nu$=1}^{4}[\~{A}_{I}:\tilde{A}_{J}]|_{\mathcal{K}_{$\nu$}, $\kap a$\mapsto$\kap a$+$\mu$と変換される.
Remark 7.

ためには,

ii)

i) 上の定理を利用して,例えば [A_{1,2} :A_{0,3}] が \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{0}, $\mu$} でどのように変わるかを知る[A_{1,2}:A_{0,3}], [A_{3,4}:A_{0,1}], [A_{3,4}:A_{0,2}], [A_{1,2}:A_{0,4}] のデータが必要である.

n=3 のとき,上の定理の [A_{I}:A_{J}] は15組ある.

iii) I, J\subset \{0 1, 2, 3, 4 \}, \# I=\# J=2 とする. I\cap J=\emptyset のときは, [A_{I} :A_{J}] から [Ai] や[Ai+A_{J}] が分かる.一方 \#(I\cap J)=1 のときは, A_{0,1}+A_{0,2}=A_{0,1,2}-A_{1,2}= $\kappa$-(A_{3,4}+A_{1,2}),などから分かる.なお,5$\kappa$

はtraceAi, j が [A_{i,j}] から分かるので \{[A_{i,j}]\} から分かる.

Rigid spectral types
リジッドなスペクトル型は KZ 方程式に対応するが, n-1 が解の超幾何関数の実質的な変数の数になるので, n\geq 3 のときが多変数の KZ 型超幾何関数に対応する.方程式の階数が低い方から,何種類のリジッドなスペクトル型が存在するかの表を表1に載せた (cf. Remark14).
表1

Hypergeometric equations with less than 7 variables

スペクトル型が21, 21, 21, 21となる常微分方程式はJordan‐Pochhammer の微分方程式となるが,その解の積分表示から,それはAppel1の F_{1} になることが知られていた.より一般に \infty も含

133

表2

めて

Hierarchy of rigid quartets (cf. [11])p+2 個の確定特異点を持ってスペクトル型が p1,p1

,

..

.

,pl となるものはリジッドであってLauricella の F_{D} に対応している.2変数で4階に対応するスペクトル型は2個あって,Appell の巧, F_{3} 濫に対応している.具体的には31, 31, 22, 211が乃,馬に,31, 22, 22, 22が盈に対応し,ている.階数が大きくなるに従って,2変数の多くの超幾何が得られるが,それらは今まで知られていなかったものであろう.

階数の小さなものにつき,1回のmiddle convolution によってどのようにスペクトル型が変化するかを矢印で示して表にしたのが表2である (全ての矢印を描いている訳ではない).
Remark 8.

i) リジッドなスペクトル型に対応する超幾何関数のパラメータの数はパラメータの数=\displaystyle \sum ( \# 各特異点での異なるブロックの個数 -1 )=\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1}(r_{j}-1)(18)で与えられる.実際,有限の各特異点では異なる固有値はブロックの個数あるが,適当なaddition
で一つは特定の値 (通常は 0 ) にできる.一方,\displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}A_{0,j}=0 に起因するフツクスの関係式\displaystyle\sum_{j,$\nu$}m_{j,$\nu$} \lambda$_{j,$\nu$}=0(19)があるので,実質的なパラメータの数は (18) のようになる.リジッドな方程式は,一般化Riemannscheme から一意に定まることに注意.

ii) 表2において矢印は二つのスペクトル型が addition と一つの middle convolution で変換されることを意味している.また,Appellの乃 と 瑞は同一の KZ 方程式の異なる点での局所座標による解のべき級数表示に対応し, I_{5} と ゐや I_{6} と J_{6} は同一の KZ 方程式の異なる変数に対応するSchlesinger 方程式となっている.

134

リジッドな方程式やそれに対応する KZ 方程式の解は積分表示を持つ.一般化 Riemanniii)

scheme における特性指数 $\lambda$_{j_{2} $\nu$} を整数ずらしたものに対応する解には微分作用素で与えられる隣接関係式が存在する (cf. [11, Theorem 11.2]). このことから方程式の既約条件 (モノドロミー群が既約となる条件) は,特性指数を整数ずらしても変わらないことが言える (cf. [13, Lemma 2.1]).

iv) リジッドなスペクトル型に対し,特性指数および変数の多項式を係数とする単独高階常微分方程式が一意に存在することが言える (cf. [11, Theorem 6.14]).

しかしながらSchlesinger型の方程式の場合は,可約となる特性指数への拡張が一意とは限らないため,一意性が崩れる.たとえばGaussの超幾何に対応する Schlesinger 型の方程式の Riemann scheme\left{\begin{ar y}{l $\lambd$_{0,1}&$\lambd$_{1,}&$\lambd$_{2,1}\ $\lambd$_{0,2}&$\lambd$_{1,2}&$\lambd$_{2,} \end{ar y}\ight}

条件 \displaystyle \sum_{j, $\nu$}$\lambda$_{j, $\nu$}=0 が成り立っているが,この方程式は $\lambda$_{0,j}+$\lambda$_{1,j}+$\lambda$_{2,j}=0

において Fuchs(j=1,2) のとき可約になる.このとき,(一般には完全可約でない) 既約商のRiemann scheme が \{$\lambda$_{0,1} $\lambda$_{1,1} $\lambda$_{2,1}\} になるか \{$\lambda$_{0,2}$\lambda$_{1,2}$\lambda$_{2,2}\} になるかは既約な方程式からの拡張 (一意でない) に依存する.addition とmiddle convolution を使った構成の仕方によると言ってもよい.

Examples5.1

middle convolution \mathrm{m}\mathrm{c}_{ $\mu$} や分解を与える $\Sigma$(\mathrm{m}) の計算(接続公式もこれを用いて表せる (cf. [11,Proposition 7.9 and Theorem 12.6]) やTheorem 6を利用した計算を実現するため,数式処理
Risa / Asir のライブラリ[17] を作成しており,この節の例の多くの結果はそれを用いて計算することができる.

解の積分表示やべき級数による表示は [11] の結果が適応できるので,ここでは方程式の具体型やモノドロミー群の既約性などについて扱う.
5.2

Appells F_{1}

du=0 に対応する trivial な方程式の addition

1\displaystyle \mapsto(\prod_{ $\nu$=1}^{3}(x_{0}-x_{ $\nu$})^{$\lambda$_{ $\nu$}})\cdot 1 によって階数1のKZ

type equation (1) が得られて,それは

A_{0,i}=$\lambda$_{i}, A_{0,4}=-$\lambda$_{123}, A_{i,j}=0, \mathcal{A}_{i,4}=-$\lambda$_{i}, $\kappa$=$\lambda$_{123}となる($\lambda$_{ij}=$\lambda$_{i}+$\lambda$_{\mathrm{j} , $\lambda$_{123}= $\lambda \iota$+$\lambda$_{2}+$\lambda$_{3}).

(\{i,j, k\}=\{1,2,3\})

次に $\mu$\in \mathbb{C} に対して \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{0}, $\mu$} を施すと Appell の超幾何級数 F_{1} の満たす方程式に対応する KZ 方程式が得られる.それはa_{0}=- $\mu$,a_{j}=$\lambda$_{j}+ $\mu$, a_{123}=a_{1}+a_{2}+a_{3}and

a_{ij}=a_{i}+a_{j}(0\leq i<j\leq 3)

,

とおくと

A_{0,1}=

A_{1,2}=\left(\begin{ar y}{l a_{1}&a_{02}&a_{03}\ 0& 0\ 0& 0 \end{ar y}\right)\left(\begin{ar y}{l a_{02}&-a_{02}&0\ -a_{01}&a_{01}&0\ 0& 0 \end{ar y}\right),,

A_{0,2}=

A_{2,3}=\left(\begin{ar y}{l 0& 0\ a_{01}&a_{2}&a_{3}\ 0& 0 \end{ar y}\right),\left(\begin{ar y}{l 0& 0\ 0&a_{03}&-a03\ 0&-a_{02}&a_{02} \end{ar y}\right)

A_{0,3}=,

A_{1,3}=\left(\begin{ar y}{l 0& 0\ 0& 0\ a_{01}&a02&a3 \end{ar y}\right)\left(\begin{ar y}{l a_{03}&0 -a_{03}\ 0& 0\ -a_{01}&0 a_{01} \end{ar y}\right).
,

135

となり

(cf. §1),

その一般化 Riemann scheme (各 A_{i,j} の固有値とその重複度の表) は\left{\begin{ar y}{l A_{01}A_{02}\mathrm{A}03A_{04}A_{12}\mathrm{A}13\mathrm{A}23\ x=0 yx=1 \infty =0y1t_{0}=t_{1}\ {[}0]_{2}[0]_{2}[0]_{2}[a_{0}] 2[0]_{2}[0]_{2}[0]_{2}\ a_{1}a_{2}\mathrm{a}3-2a_{0}-a_{123} a_{0}+a_{12} a_{0}+a_{13}2a_{0}+a_{23} \end{ar y}\right.
A_{14} A_{24} A_{34}t_{0}=\inftyy=\infty

t_{1}

=

0科

[-a_{01}]_{2} [-a_{02}]_{2} [-a_{03}]_{2}-2a_{0}-a_{123} -2a_{0}-a_{123} -2a_{0}-a_{123}となる.また定理6を適用すると以下が得られる.

[A_{i,j} :A_{0,k}]=\{[0:a_{k}], [0 :OJ, [-$\lambda$_{ij} 0[A_{i,4}:A_{0,k}]=\{[-$\lambda$_{i}:$\lambda$_{k}+ $\mu$], [-$\lambda$_{i}:0], [-$\lambda$_{123}- $\mu$:0[A_{i,j}:A_{0,4}]=\{[0:-$\lambda$_{123}- $\mu$], [0:- $\mu$], [-$\lambda$_{i\mathrm{j}}:- $\mu$]\},[A_{i,j}:A_{k,4}]=\{[0:-$\lambda$_{123}- $\mu$], [0:-$\lambda$_{k}], [-$\lambda$_{ij}:-$\lambda$_{k}]\}.
:\mathrm{m}=21 , 21, 21, 21 : rank =3 with 4 parameters and[ $\Sigma$(\mathrm{m})]=1^{4}\cdot 2^{1}[ $\Sigma$(\mathrm{m})] は $\Sigma$(\mathrm{m}) の型 (cf. [11, Remark 7.11 \mathrm{i}\mathrm{i})] の [ $\Delta$(\mathrm{m})] と同じ).
21, 21, 21, 21 \rightarrow 01 01, 01, 01 H_{2}:11 11, 11, 20 (middle convolution での変換)=10 10, 10, 01\oplus 11 11, 11, 20 (可約性: 対称性から4 cases, cf. §3(17))=2(10,10,10,10)\oplus 01 01, 01) 01 (1 case)
10, 10, 10, 01: 2a0+a\mathrm{i}23\not\in \mathbb{Z} (既約条件)
なお,

,

,

,

,

,

10, 10, 01, 10: a_{03}\not\in \mathbb{Z}10, 01, 10, 10: a_{02}\not\in \mathbb{Z}01, 10, 10, 10: a_{01}\not\in \mathbb{Z}10, 10, 10, 10 : a_{0}\not\in \mathbb{Z}
これらの分解は全て Type 1( \Rightarrow 5 条件)

KZ 方程式の解において x_{0}=x, x_{1}=0, x_{2}=y, x_{3}=1, x_{4}=\infty とおいて2変数 (x, y) の超幾何関数と考える.分かりやすくするため,上では x_{0}=x, x_{1}=t_{0}, x_{2}=t_{y}, x_{3}=t\mathrm{i}, x_{4}=t_{\infty} とおいている.上の表の最下行は,x=

堀変数のSchlesinger型常微分方程式とみたときのスペクトル型が21,21, 21, 21であること (順に oo, 0, y, 1 での固有値の重複度データ) を示し,idx はそのリジッド指数が2となることを示している (5つの変数 x0,\cdots,x_{4} は \mathfrak{S}_{5} の作用で置換される).

Appell の超幾何級数

F_{1}($\alpha$;$\beta,\beta$';$\gam a$;x,y)=\displaystyle\sum_{m,n=0}^{\infty}\frac{($\alpha$)_{m+n}($\beta$)_{m}($\beta$')_{n} {($\gam a$)_{m+n}m!n}x^{n}y^{n}はa_{0}= $\beta$, a_{1}=$\beta$'- $\gamma$+1, a_{2}=- $\beta$- $\beta$', a_{3}= $\gamma$- $\alpha$- $\beta$-1
によって KZ 方程式の解と対応し,そのことから既約性の必要十分条件は\{ $\alpha$, $\beta,\ \beta$', $\alpha$- $\gamma$, $\beta$+$\beta$'- $\gamma$\}\cap \mathbb{Z}=\emptyset.

136であることが分かる.

v_{0}=F_{1}( $\alpha$; $\beta,\ \beta$'; $\gamma$;x, y) v_{1}=x_{7x}^{\partial \mathrm{u}_{ $\Delta$} , v_{2}=y_{y}^{up}\displaystyle \frac{\partial}{\partial}, v={}^{t}(v0, v\mathrm{i}, v_{2}) とおくと v は,

dv= (B_{0,1}\displaystyle \frac{dx}{x}+B_{0,2}\frac{d(x-y)}{x-y}+B_{0,3}\frac{d(x-1)}{x-1}+B_{1,2}\frac{dy}{y}+B_{2,3}\frac{d(y-1)}{y-1})v

B_{0,1}=\left(\begin{ar y}{l } 0&1& 0\ 0&$\beta$'- \gam a$&+1&0\ 0&$\beta$'& 0 \end{ar y}\right),B_{0,2}=\left(\begin{ar y}{l 0&0&0\ -$\alpha\beta$&-$\alpha$- \beta$+ \gam a$-1& $\beta$\ 0&0&0 \end{ar y}\right)
B_{0,3}=\left(\begin{ar y}{l 0&0&0\ 0&$\beta$'& $\beta$\ 0&-$\beta$'&-$\beta$ \end{ar y}\right),B_{1,2}=\left(\begin{ar y}{l 0&0&1\ 0&0&-$\beta$\ 0&0&+1$\beta$- \gam a$ \end{ar y}\right)
B_{2,3}=\left(\begin{ar y}{l } 0&0&0&\ 0&0&0&\ -$\alpha\beta$'&-$\beta$'&-$\alpha-\beta$'+$\gam a$&-1 \end{ar y}\right)

(20)

,

,

,

という Pfaff 方程式を満たすが,対応は

A_{i,j}=R^{-1}B_{i,j}R((i,j)\in\{(0,1) (0,2), (0,3) (1, 2), (2, 3,,

R:=\left(\begin{ar y}{l } 1&0&0&\ $\beta\beta$'- \gam a$+1&-$\beta$'&-$\alpha$+ \gam a$&-1\ $\beta$'&$\beta$'&0& \end{ar y}\right)
A_{1,3}= $\kappa$ I_{3}-\displaystyle \mathrm{A}_{1,2}-A_{2,3}-\sum_{ $\nu$=1}^{3}A_{0, $\nu$} に注意).

で与えられる (なお,5.3

Appells F_{2} F3,

211, 22, 31, 31 : rank =4\rightarrow

F_{1}:201 , 21, 21, 21,

5 parameters, (1^{6}\cdot 2^{2})

H_{2}:011 02, 11, 11,=010 , 01, 10, 10\oplus 201 , 21, 21, 21(4)=101 , 11, 11, 20\oplus 110 , 11, 20, 11(2)=2(100,01,10,10)\oplus 011 , 20) 11, 11(2)

これらは全てType1.
上の分解は,以下のようにして得られる.
\underline{2}11, \underline{2}2, \underline{3}1, \underline{3}1\Rightar ow-2 \underline{01}1 02, 11, 11,\rightarrow

1\underline{01} 02, 11, 11,\rightarrow

110, \underline{02} 11, 11,\rightarrow\underline{1}10, \underline{2}0, \underline{1}1,\underline{1}1\Rightar ow-1

.

.

.

2(100,10,10,10) 望 *OIO, 10, 10, 10 $\epsilon$^{1} \underline{-1}10, \underline{0}0,\underline{0}0, \underline{0}0 \leftarrow *001, 10, 10, 10\not\in^{1} \underline{-1}01, \underline{0}0,\underline{0}0, \underline{0}0 \leftarrow \underline{0-1}1, \underline{0}0, \underline{0}0, \underline{0}0 \leftarrow *2(100,01,10,10)\mathrm{g}_{2(\underline{0}00,\underline{-1}1,\underline{0}0,\underline{0}0)}^{1}\leftarrow 2(\underline{00}0, -11,00,00)\leftarrow 2(0\underline{00}, -11,00,00)\leftarrow*

010, 01, 10, 10$\epsilon$^{0} \underline{0}10,\underline{0}1,\underline{1}0, \underline{1}0\leftarrow\underline{10}0 , 01, 10, 10\leftarrow

1\underline{00} , 01, 10, 10\leftarrow

100,\underline{10} 10, 10 $\epsilon$^{1}001 , 01, 10, 10\in^{0} \underline{0}01,\underline{0}1, \underline{1}0,\underline{1}0\leftarrow\underline{00}1 , 01, 10, 10\leftarrow

1\underline{10} , 01, 10, 10\leftarrow

010,\underline{10} , 10, 10

110, 11, 11, 20

超010,\underline{0}1, \underline{0}1, \underline{1}0\leftarrow\underline{10}0 , 01, 01, 10\leftarrow

1\underline{00} , 01, 01, 10\leftarrow

100, \underline{10} 01, 10斗110, 11, 20, 11\neq_{=}^{1} \underline{0}10,\underline{0}1,\underline{1}0,\underline{0}1\leftarrow\underline{10}0 01, 10, 01\leftarrow

1\underline{00} 01, 10, 01\leftarrow

100, \underline{10} 10, 01

,

,

,

\not\in^{1}

*
.

..

,

,

\not\in^{1}\cdots137

一般化 Riemann scheme は\left{\begin{ar y}{l A_{01}A_{02}\mathr {A}03 _{04}A_{12}\mathr {A}13\ x=0 yx=1 \infty=0t_{}= 1\ {[}0]_2[0]_{3}[0]_{3}[d]_{2}[0]_{3}[0]_{3}\ {[}a]_2b\mathr {c}ea+b2da+c2d\ f \end{ar y}\right.
A_{23} A_{14} A_{24} A_{34}t_{0}=\inftyt_{1}= 科科
y=\inftyy=1[e]_{2} [-a-d\rfloor_{2} [a+c+d]_{2} [a+b+d\rfloor_{2}aae[f]_{2}f

00となる,ただし

2a+b+c+2d+e+f=0である.よって既約条件は{ d, e, a+d, a+e, a+b+d+e, a+c+d+e, f a+f } \cap \mathbb{Z}=\emptyset).

となる.また同時固有値分解はとなる.
この KZ 方程式は Appell の超幾何乃( $\alpha$; $\beta,\ \beta$'; $\gamma,\ \gamma$';x, 1-y) の満たす方程式となる ;F_{2}($\alpha$;$\beta,\ beta$';$\gam a,\gam a$';x,y)=\displaystyle\sum_{rn, =0}^{\infty}\frac{($\alpha$)_{m+n}($\beta$)_{m}($\beta$')_{n}{($\gam a$)_{m}($\gam a$')_{n}m!n}x^{m}y^{n},a=1- $\gamma$, b= $\gamma$+$\gamma$'- $\alpha$- $\beta$- $\beta$'-2, c= $\gamma$- $\alpha$- $\beta$+$\beta$'-1,
d= $\beta$, e= $\alpha-\gamma$'+1, f= $\alpha$

(21)

138

対応となり,既約条件 (21) は\{ $\alpha$, $\beta,\ \beta$', $\alpha$- $\gamma$, $\alpha-\gamma$', $\beta$- $\gamma,\ \beta$'-$\gamma$', $\alpha$- $\gamma-\gamma$'\}\cap \mathbb{Z}=\emptyset

(22)

.

具体的に書くと,満たす方程式 (20) が以下で与えられる.

v_{0}:=F_{2}($\alpha$;$\beta,\ beta$';$\gam a,\gam a$';x,1-y),v:=\displaystyle\mathrm{t}(v_{0},\frac{x}{$\beta$}\frac{\partialv_{0} {\partialx},\frac{y}{$\beta$}\frac{\partialv_{0} {\partialy},\frac{xy}{$\beta\beta$}\frac{\partial^{2}v_{0} {\partialx\partialy})

B_{0,1}=(_{0}^ 0 1-$\gam a\beta$0 0 1-$\gam a\beta$0 ),B_{0,2}=\left(\begin{ar y}{l } 0& $\beta$'&0 \ 0& 0&$\beta$&\ 0& 1-$\gam a$'&0 \ 0& 0&1-&$\gam a$' \end{ar y}\right)
B_{0,3}=\left(begin{ar y}{l 0& 0& \ -$\alph$&- \alph$- \beta$+ \gam $-1&$\beta$'&-\beta$'\ 0& 0& \ $\alph$& \beta$& \beta$& \beta$ \end{ar y}\right)
B_{1,2}=\left(bgin{ar y}{l 0& 0& 0\ &0 & 0\ -$\alph$&- \beta$&0 &$\beta$\ $\alph$& \beta$& \alph$+\beta$'-\gam $'&+\mathr {l}&$\beta$ \end{ar y}\ight)
B_{2,3}=\left(\begin{ar y}{l } 0&0&0&0&\ 0&0&0&0&\ 0&0&0&0&\ -$\alpha$&-$\alpha$- \beta$+ \gam a$-\mathrm{l}&-$\alpha-\beta$'- \gam a$'&-$\alpha$- \beta-\beta$'+ \gam a$+ \gam a$'&-2 \end{ar y}\right)

,

,

,

,

.

これらは数式処理 Risa/ Asir のライブラリ [14] を用いて以下のようにして得られる.
[O] \mathrm{S}=\prime\prime 211,22 31 31$,,[1] os‐md. \mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s}(\mathrm{S},Al \mathrm{l}^{\mathfrak{l}1 ) $[2] $\Gamma$ 2=\mathrm{o}\mathrm{s}_{-}\mathrm{m}\mathrm{d}.\mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s} (\mathrm{S} ,0 ) $[3] $\Gamma$ 2 subst( $\Gamma$ 2 dl, \mathrm{d} d2, e)$=,,[4] $\Gamma$ 2\mathrm{S}=\mathrm{o}\mathrm{s}_{-}\mathrm{m}\mathrm{d} simplify ( $\Gamma$ 2 [2*\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+2*\mathrm{d}+\mathrm{e}+\mathrm{f}],4 ) {\$}.

,

[5] $\Gamma$ 2\mathrm{T}=\mathrm{o}\mathrm{s} ‐md. \mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s} ( $\Gamma$ 2\mathrm{S} [[[2, 3] , \mathrm{f}]]){\$},[6] \mathrm{S}1=\mathrm{o}\mathrm{s}_{-}\mathrm{m}\mathrm{d}.\mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s} ( $\Gamma$ 2\mathrm{T}, get | dviout =1 ) {\$}|\prime[7] \mathrm{S}1=\mathrm{o}\mathrm{s}_{-}\mathrm{m}\mathrm{d} divmattex (Sl [6]);.

,[8] \mathrm{S}2=\mathrm{o}\mathrm{s}_{-}\mathrm{m}\mathrm{d}.\mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s}( $\Gamma$ 2\mathrm{T}, | \mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{w}' ) ;[9] \mathrm{S}3=\mathrm{o}\mathrm{s}_{-}\mathrm{m}\mathrm{d}.\mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s} ( $\Gamma$ 2\mathrm{T},spct | dviout =1 ) ;[1] ではスペクトル型211, 22, 31, 31に対応した (x, y) 変数のPfaff系微分方程式に対し,一般化
Riemann scheme, スペクトル型の分解,既約条件,Pfaff 系方程式が Tffi のソースで得られる.

[2] では同時スペク トル分解のデータを得るが,[3] でパラメータ d_{1}, d_{2} を d, e に置き換え,[4] で 2a+b+c+2d+e+f=0 の条件のもとで表示が簡単になるように書き直し ([2] においてos‐md. \mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s}(\mathrm{S},3){\$} とすると [3], [4] を含めて自動的に行う),[5] で u\mapsto(x_{2}-x_{3})^{f}u とaddition を施したものに変更する.それに対して [6] で一般化 Riemann scheme を得て,その TEXのソースを6項目で改行したもの Sl に [7] で変換し,同時固有空間分解の題X のソース S2とidxのテーブルの TEX のソース S3をそれぞれ [8], [9] で得ている.

139

5.4

Appells F_{4}31, 22, 22, 22 : rank =4 4 parameters,,(1^{8}\cdot 2^{1})\rightarrow

F_{1} : 12, 12, 21, 12(8)=10 , 01, 01, 01\oplus 21 , 21, 21, 21=2(20,11,11,11)\oplus(-1)1 00, 00, 00,(1)

上の最後の分解は Type 2となる.
この分解は以下から分かる.

対応する一般化Riemann scheme はa+b+c+d+e=0という条件のもとでとなる.ただし,x=x0 変数における additionとmiddle convolution の他,

u\mapsto(x\mathrm{i}-x_{2})^{a}(x_{2}-x_{3})^{\mathrm{c}}(x_{1}-x_{3})^{-a-\mathrm{c}}u に対応する addition (前者の変換と可換) を行った.
Remark 9. x 変数での Schlesinger 型常微分方程式 (7) がリジッドで,その一般化 Riemann schemが等しい2つの KZ 方程式は,適当な a, b, c\in \mathbb{C} によって u\mapsto(x_{1}-x_{2})^{a}(x_{2}-x_{3})^{c}(x\mathrm{i}-x_{3})^{-a-c}で定まる mddition で移りあう(cf. [13, Theorem 3.2]).

同時固有空間分解は[Aoi: A_{23} ]={ [b:0], [b:c] [0:0], [0:c] },)[A_{01}:A_{24}]=\{[b:d\rfloor [b:e] [0:d] [0:e]\},[A_{01} : A34] =\{[b:b+a], [b:2b], [0:b+a], [0:0]\},[A_{02} : A13] =\{[2a:-b-c], [0:-b-c], [0:2d\rfloor, [0:2e]\},[A_{02} : A_{14}]=\{[2a:a], [0:a], [0:c], [0:-c]\},[A_{02} : A_{34}]= { [2a:a], [0:a] [0:b] [0:-b] },
,

)

)

,

)

140

[A03: A_{12} ] =\{[\mathrm{c}:b], [c:0], [0 : b], [0:0]\},[A03: A_{14} ] =\{[c:a], [c:c], [0:a], [0:-c]\},[A03: A_{24} ] =\{[c:d\rfloor, [c:e], [0 :d], [0:e]\},[A_{04}:A_{12}]=\{[d:0], [d:c], [e:0], [e:c]\},[A_{04} :A13] =\{[d:-b-c], [d:2d\rfloor, [e:-b-c], [e:2e]\},[A_{04} :A23] =\{[d:0], [d:-c], [e:0], [e:-c]\},[A_{12} :A34] =\{[0:a], [0:b], [c:a], [c :-b]\},[A13: A_{24} ] =\{[-b-c:e], [-b-c:d], [2d:e], [2e:d]\},[A_{14} :A23] =\{[a:0], [c:0], [a:-\mathrm{c}], [-\mathrm{c}:-c]\}となる.

Appell の超幾何関数

F_{4}($\alpha$, $\beta$;$\gam a,\ gam a$';x,y)=\displaystyle\sum_{m=n=0}^{\infty}\frac{($\alpha$)_{m+n}($\beta$)_{m+n}{($\gam a$)_{m}($\gam a$')_{n}m!n}x^{m}y^{n}に対して,加藤 [6, 7] は u(x, y)=F_{4}( $\alpha$, $\beta$; $\gamma$, $\gamma$' ;xy, (1-x)(1-yv=t(v,\displaystyle\frac{x}{$\alpha$}\frac{\partialv}{\partialx},\frac{y}{$\alpha$}\frac{\partialv}{\partialy},\frac{xy}{$\alpha$($\alpha$+$\epsilon$)}(\frac{\partial^{2}v{\partialy}\partialy+\frac{$\epsilon$}{x-y}(\frac{\partialv}{\partialx}-\frac{\partialv}{\partialy})
とおいたものが方程式\left{bgin{ary}l x(1-)\frac{prtial^{2}v\partilx^{2}+($\gam $-(\alph$+\beta$+1)x\frac{prtialv}{\partilx}-$\alph\beta$v+\epsilon$\frac{y-1}x (\frac{prtialv}{\partilx}-y\frac{prtialv}{\partily})=0,\ y(1-)\frac{prtial^{2}v\partily^{2}+($\gam $-(\alph$+\beta$+1)y\frac{prtialv}{\partily}-$\alph\beta$v+\epsilon$\frac{x-1}y (\frac{prtialv}{\partily}-x\frac{prtialv}{\partilx})=0,\end{ary}\ight.
$\epsilon$:= $\gamma$+$\gamma$'- $\alpha$- $\beta$-1

(23)
(24)

および以下で定まる KZ 方程式 (20)

B_{0,1}=(_{0}^{0} 01-$\gam a\ lpha$0$\epsilon$0 0 $\alpha$+ \epsilon$1-$\gam a$0 )B_{0,2}=(_{0}^{0} 0-$\epsilon$0 $\epsilon$- \epsilon$0 $\epsilon$0 0)B_{0,3}=(_{0}^{0} 0 0 1\displayst le\frac{$\alpha\epsilon$}{0 $\gam a \alpha$10_{$\epsilon$}0+)
B_{1,2}=\left(\begin{ar y}{l 0& 0& \ -$\beta$&-\gam $'&$\epsilon$&0\ 0& 0& \ 0& -$\beta$- \epsilon$&-\gam $' \end{ar y}\right)B_{2,3}=\left(\begin{ar y}{l 0& 0& \ 0& 0& \ -$\beta$& \epsilon$&-\gam $'&0\ 0&-$\beta$- \epsilon$&0 -$\gam $' \end{ar y}\right)を満たすことを示した.

ここで扱った KZ 方程式 (1) との対応は

a= $\epsilon$, b=1- $\gamma$, c=-$\gamma$', d= $\alpha$, e= $\beta$
で与えられ、それらの既約条件は\{d, e, b+d, b+e, c+d, c+e, b+c+d, b+\mathrm{c}+e\}\cap \mathbb{Z}=\emptyset(25){ $\alpha$ $\beta$, $\alpha$- $\gamma$, $\beta$- $\gamma$, $\alpha-\gamma$', $\beta-\gamma$', $\alpha$- $\gamma-\gamma$', $\beta$- $\gamma-\gamma$' } \cap \mathbb{Z}=\emptyset

(26)

すなわち
)

141

で与えられる.これは最初に与えた8 + 1個のスペクトル型の分解のうちType 2の分解を除いた8個の Type1の分解から得られる条件である.
Remark 10. $\epsilon$=0 のとき方程式 (23) は積に分解する解(27)v( $\alpha$, $\beta,\ \gamma$;x, y)=F( $\alpha$, $\beta$, $\gamma$;x)\cdot F( $\alpha$, $\beta,\ \gamma$;y)を持つが,$\alpha$,$\beta$, $\gamma$ が一般ならば解空間のモノドロミーは既約となる.

Schlesinger 型常微分方程式 (7) が既約になるための必要十分条件は,上の (26) かつ 2 $\epsilon$\not\in \mathbb{Z} が成り立つことである.

常微分方程式 \displaystyle \frac{du}{dx}=(^{\underline{A}_{41} x+ 島 +\overline{x}-1A_{\lrcorner \mathrm{L})u} はスペクトル型が22, 22, 211, 211,

Remark 11.

リジッ

ド指数が -4 で,解のモノドロミー群は,特異点 y の位置に依らない.一般に,リジッドでないこのような例の組織的研究は興味深い.この方程式を明示的に書くと以下のようになる.

\displaystle\frac{du} x=\left(bgin{ary}l 0&$\alph &0 \ 0&1-$\gam $&0 \ 0&$\epsilon$&0 $\alph+$\epsilon$\ 0& 1-$\gam $\end{ary}\ight) \left(bgin{ar y}{l 0& 0&\ -$\beta$&-\gam $'& \epsilon$&0\ &0 &0\ &0 -($\beta$+\epsilon$)&-\gam $' \end{ar y}\ight) \displaystyle\frac{u}{x-y}\left(bgin{ary}l 0&-$\alph&-$\alph&0\ $beta&$\lpha+$\bet&-$\epsilon&-($\alph+$\epsilon)\ $beta&-$\epsilon&$\alph+$\beta&-($\lpha+$\epsilon)\ 0&$\beta+ psilon$&\beta$+ psilon$&2(\alph$+\beta $psilon)\ed{ary}\ight)\displayte\frac{u}x十\displaystyle \frac{u}{x-1}

十( $\epsilon$= $\gamma$+$\gamma$'- $\alpha$- $\beta$-1)

Rank 5 with 6 parameters

5.5

I5 41, 32, 311, 311,

J5 41, 41, 221, 221:

41,41 221, 221\rightarrow

F_{1} : 21, 21, 021, 021

41, 32, 311, 311\rightarrow

H_{2} : 11, 02, 011, 011,(1^{6}\cdot 2^{4})

41, 41, 221, 221=10 , 10, 001, 010\oplus 31 , 31, 220, 211(4)=20 , 11, 110, 110\oplus 21 , 30, 111, 111(2)=2(10,10,100,100)\oplus 21 , 21, 021, 021(4)上の10個の分解はすべて Type 1

a+b+2c+d+2e+2f+g=0という複素パラメータを使うと以下のようになる.

.

142

\left{\begin{ar y}{l A_{01}A_{02}\mathr {A}03 _{04}A_{12}&\mathr {A}13\ x=0 yx=1 \infty=0&t_{0}= 1\ {[}0]_4[0]_{4}[0]_{2}[e]_{2}[0]_{3}&[0]_{3}\ ab[c]_{2}[f]_{2}[-dg]_{2}&-b\mathr {c}-eg\ d9&-bcfg \end{ar y}\ight.

A_{23} A_{14} A_{24} A_{34}

y=1

t_{0}

=

0科

y=\inftyt_{1}=\infty[0]_{3} [-a-c-e-f]_{3} [-b-c-e-f]_{3} [-\mathrm{c}-d-e-f]_{2}-a-c-e-9 c+g c+g [9]_{2}-a-c-f-g

9

g

,

-d

既約条件は

\{e, f, g, c+e, c+f, c+g, d+e, d+f, a+c+e+f, b+c+e+f\}\cap \mathbb{Z}=\emptyset.
対応する (x, y) 変数の超幾何微分方程式を Pfaff 系の形で表示すると
h=c+d+e+f とおいて(\left(\begin{ar y}{l } a&b+c e+f&(a+e)h+(f c)(f+d)&(b+c e+f)h&(d+e)(d+f)\ 0&0&0&0&0\ 0&0&0&0&0\ 0&0&0&0&0\ 0&0&0&0&0 \end{ar y}\right)\left(\begin{ar y}{l } 0&0&0&0&0\ a+c e+f&b&(a+c e+f)h&(b+e)h+(c f)(d+f)&(d+e)(d+f)\ 0&0&0&0&0\ 0&0&0&0&0\ 0&0&0&0&0 \end{ar y}\right)\left(begin{ar y}{l 0& 0& 0\ 0& 0& 0\ mathrm{l}&0 c&0 \ 0&1 0&c 0\ 0& a+cef&b+cef&d \end{ar y}\right)\left(\begin{ar y}{l } b+c e+f&-(b+c e+f)&0 &0\ -(a+c e+f)&a+\mathrm{c}+e f&0 &0\ 0& b+c e+f&-(b+\mathrm{c}+e f)&0\ 0& -(a+\mathrm{c}+e f)&a+c e+f&0\ 0& 0& 0 \end{ar y}\right)

du=

+

+

十

\displaystle\frac{dx}\displaystyle \frac{d(x-y)}{x-y}\displaystyle \frac{d(x-1)}{x-1}\displaytle\frac{dy}

143

十

(_{0}^ 0 \displayte\frc{h0}1 -(a+c_{0}+e+f)ha+c_{0}+e+f0 -(b+e)h-(c+f)(d+f)-(b+c+e+f)b+d+e+f0 -(e_{0)}b+c+e+f0 \displaystyle\frac{d(y-1)}{y-1})
Rank 5 with 5 parameters

5.6

41, 32, 32, 221 :\rightarrow鉱.

(1^{7}\cdot 2^{3})

31 , 22, 22, 220

F_{1}

:

F_{2}:31 22, 31, 121,

21, 12, 12, 021=10 , 10, 10, 001\oplus 31 , 22, 22, 220(1)=10 , 01, 10, 010\oplus 31 , 31, 22, 211(4)=20 , 11, 11, 101\oplus 21 , 21, 21, 120(2)=2 (10, 10, 10) 100 ) \oplus 21 , 12, 12, 021(2)=2(20,11,11,110)\oplus 01 10, 10, 001(1),

これら10個の分解はすべて Type 1

f=b-29, g=a+b+c+d+eとおくとRiemann scheme は\{[a]_2}A{01}[]_{3}

A_{02}[0]_{4}b A_{03}[ ]_{3}[c]_{2} A_{04}[d|_{2}[e]_{2}f [c+d+e+g]_{2}A_{12}[0]_{3} a+c 2da+c 2eA_{13}[0]_{3} [a+d+e+g]_{2}A_{23}[0]_{3}

既約条件は[b-g]_{2}c+fA_{14}-cf [-dg]_{2}[-eg]_{2}A_{24}f [b-g]_{2}aA_{34}-+fa\}\{d, e, f, a+d, a+e, c+d, c+e, a+c+d+e, a+c+d+f, a+\mathrm{c}+e+f\}\cap \mathbb{Z}=\emptyset,
同時固有空間分解は

144[A13: A_{24} ] =\{[0 :-d-g], [0:-e-9], [a+c+2e:-d-g], [0:f], [a+c+2d:-e-9]\},[A_{14} :A23] =\{[b-g:0], [c+f:0], [b-g:a+d+e+g], [f:0], [-c:a+d+e+9]\}.
Pf白ff 系方程式は

du=(\leftbgin{ary}l a&0 g-b&0 \mathr{c}+d\ 0&a 0&c+e dg\ 0& 0& 0\ &0 &0 \ 0& 0& 0\end{ary}\ight) (0 0 a+e0 0 g-b0 0 0 0 c 0 0 c)
(g\displayst le\frac{0 }{0, }a +0 0e 0 bc+0 0eg\frac{0 }{0, }c)+(a\displaystyle\frac{0}{0 }g-(a_{0}^{0}+e)a+e0-(b_{0, }^{0}-9)b-g -(\mathrm{c}+e)d+g0 -(d+g)c+e0 0)
\
d
i
s
p
l
a
y
s
t
y
l
e
\
f
r
a
c
{
d
(
y
1
)
}
{
y
1
}
)
u
.
(
c
_
{
0
}
^
+
e
)
\
m
a
t
h
r
m
{
c
}
+
e
0
+(^{-(d}0^{+g)}0 -(a_{0}+e)d+g0 -(b_{0}^{0}-g)b-g0 -(cg)\displaystle\frac{0} 9)\displaystyle \frac{d(x-1)}{x-1}\displaystyle\frac{dx}{ +\displaystyle \frac{d(x-y)}{x-y}十\displaytle\frac{dy}5,7Rank 5 with 4 parameters

P_{4,5}32 , 32, 82, 32 :\rightarrow F_{4} :22, 22, 22, 31(1^{8}\cdot 2^{2})
F_{1} : 12, 12, 12, 12=10 , 10, 10, 01\oplus 22 , 22, 22, 31(4)=21 , 21, 21, 12\oplus 11 , 11, 11, 20(4)=2(10,10,10,10)\oplus 12 12, 12, 12,(1)=2(21,21,21,21)\oplus-(10,10,10,10)(1)

最後の分解は Type3なので,既約条件には不要 (その直前の分解に対応する条件に含まれる).
a+b+c+3d+e=0のもとで方程式およびRiemann scheme は

du=(_{0}^{0}a 0a+d a+d a+d-(a+e)c+d\ isplayst le\mathrm{c}+dc +d-(a_{0}+d)0 -(\mathrm{c}+2d)-(c+2d)-(ac + e2 d ) \frac{dx}{145+\displaytle\ ft(begin{ar y}{l 0& 0& 0\ -(c+d)&b 0&c+2d&0\ a+2d&0 b&-(a+d)&-(b+d)\ 0& 0& 0\ 0& 0& 0 \end{ar y}\right)\frac{d(x-y)}{+\displaytle\ ft(begin{ar y}{l 0& 0& 0\ 0& 0& 0\ 0& 0& 0\ -(c+d)&b+2d&0 c&0\ 0&-(a+d)&-(c+d)&0 c \end{ar y}\right)\frac{d(x-1)}{+(-ac+d)-(a+e)2(c+d)c+dc+da+d e-(a+d)-(a+d)-(a+d)-(a+d)-2(c+d)a\displayst le\frac{}( c+d-c+d)-\mathrm{c}+d)a+e-(b^{0}+d)a+d0 -(a+d)b+0 d0)\frac{dy}{+(_{-c+d)}^{-(c+d)}a+d e-(c+d)-(c+d)-(b+2d)-(a+d)c+2da+d0-(b_{0}^{0}+d)\displayst le\mathrm{c}+d0-(c+2d)-(a+d)b+2da+d0-(\mathrm{c}^{0}+d)b+0 d)\frac{d(y-1)}{y-1})u\left{begin{ary}l A_{01}A_{02}\mathr{A}03 _{4}A_{12}\mathr{A}13\ x=0 yx=1 \infty=0t_{}= 1\ {[}0]_3[0]_{3}[0]_{3}[2d\rflo _{3}[0]_{2}[0]_{2}\ {[}a]_2\tex{［わ］}2[c]_{}[e]_{2}[c+de]_{2}[b+de]_{2}\ -c+de-b+de \nd{ary}\ight.
A_{23} A_{14} A_{24} A_{34}y=1 t_{0}=t_{\infty} y=\infty t_{1}=t_{\infty}[0]_{2}ト司2[-d」[-d]_{2}[a+d+e]_{2} [-a-d-e]_{2} [-b-d-e]_{2} [-c-d-e]_{2}-a+d-e a+d+e b+d+e c+d+e

で既約条件は\{d, e, a+d, b+d, c+d, d-e, a+2d, b+2d, c+2d\}\cap \mathbb{Z}=\emptyset,
同時固有空間分解は

,

146

5.8

Rank 6

階数6のリジッドな Schlesinger 型常微分方程式に対応する KZ 方程式は以下の10種類となる.

51, 51, 222, 2211

6階7 パラメータ=10 , 10, 001, 0001\oplus 41 , 41, 221, 2210

(6)=30 , 21, 111, 1110\oplus 21 , 30, 111, 1101

(2)

=2(10,10,001,0100)\oplus 31 , 31, 220, 2011

(6)

51, 33, 411, 411も含まれる ( y=x_{2} 変数).
パラメータの間の関係式と一般化Riemann scheme は

a+b+2c+2d+2e+2f+g+h=0,\left{\begin{ar y}{l A_{01}A_{02}\mathrm{A}03 _{04}A_{12}\mathrm{A}13\mathrm{A}23\ {[}0]_5}[0]_{5}[0]_{2}[e]_{2}[9]_{3}[0]_{4}[0]_{4}\ ab[c]_{2}[f]_{2}[h]_{3}a+cde+2fbc+de2f\ {[}\tex{司}2ga+cd2e+fbc+d2e+f\ h \end{ar y}\right.
A_{14} A_{24} A_{34}[b+c+d+e+f]_{3} [a+c+d+e+f]_{3} [-c-d-e-f]_{2}cc[g]_{2}d d [h]_{2}00となる.このことから前節と同様,対応する KZ 方程式の既約性の必要十分条件が容易に得られる.
これらは数式処理のRisa/ Asir で[14] を用いて
[O] \mathrm{S}=\prime|51,51,222 2211^{11} $,[1] os‐md. sproot ( \mathrm{S}, \prime pairs | dviout =1 ) {\$}/* 全ての分解*/[2] \mathrm{P}=\mathrm{o}\mathrm{s} ‐md. \mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}r\mathrm{s} ( \mathrm{S} ,3 ) $/* 同次固有値分解*/[3] os‐md. \mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s} ( \mathrm{p}[1]/* 一般化 Riemann scheme*//* スペクトル型と idx の表*/,

get |\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}=1 ) {\$}

[4] os‐md. \mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s} ( \mathrm{P}[1], | \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{t}^{1 }| dviout =1 ) {\$}などとして得られる.実際は

147\mathrm{Q}=\mathrm{o}\mathrm{s} ‐md. \mathrm{m}\mathrm{c}2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{s}(\mathrm{P}[1], [ [1,2] ,\mathrm{h}] )すなわち addition u\mapsto(x_{1}-x_{2})^{h}u に対応する変換を行い,[3], [4] の \mathrm{P} [1] を \mathrm{Q} で置き換えて,
Riemarm scheme がより見やすくなるようにしている.

以下,残りの9例についても同様なデータを挙げる.
6階7パラメータ

42, 411, 411, 411=10 , 100, 100, 010\oplus 32 , 311, 311, 401(6)=21 , 210, 210, 210\oplus 21 , 201, 201, 201(4)=2(01,100,100,100)\oplus 40 , 211, 211, 211(1)=4(10,100,100,100)\oplus 02 011, 011, 011(1),2a+b+c+d+e+4f+g+h=0,\left{\begin{ar y}{l A_{01}A_{02}\mathrm{A}03A_{04}A_{12}\mathrm{A}13\ {[}0]_{4}[0]_{4}[0]_{4}[f]_{4}[0\mathrm{J}_4[0]_{4}\ {[}a]_{2}bdga+b2fa+d2f\ ceha+c2fa+e2f \end{ar y}\right.
51, 42, 321, 321

6階6パラメータ=10 , 10, 100, 001\oplus 41 , 32, 221, 320=10 , 10, 010, 010\oplus 41 , 32, 311, 311=10 , 01, 100, 100\oplus 41,41 , 221, 221=20 , 11, 110, 101\oplus 31 , 31, 211, 220=30 , 21, 111, 111\oplus 21 , 21, 210, 210

(2)
(1)
(1)
(2)
(1)

=2(10,10,010,100)\oplus 31 31, 220, 211=2(20,11,110,110)\oplus 11 20, 101, 101=3(10,10,100,100)\oplus 21 12, 021, 021
,

,

,

(2)
(1)
(1)

\left{\begin{ar y}{l A_{01}A_{02}A_{03}A_{04}A_{12}&\ {[}0]_{5}[0]_{4}[0]_{3}[e]_{3}[0]_{4}&\ a[b]_{2}[c]_{2}[f]_{2}[-bde-g]_{2}&\ dg&-b \end{ar y}\right.
A_{23} A_{14}[0]_{3} [b+c+d+e+f+g]_{3}b+c+d+e+2f [b+\mathrm{c}+e+g]_{2}b+c+d+2e+f g
b+c+2e51, 42, 33, 2211

6階6パラメータ=10 , 10, 10, 0010\oplus 41 , 32, 23, 2201

(4)

=20 , 11, 11, 1010\oplus 31 , 31, 22, 1201

(4)

=2(10,10,10,1000)\oplus 31 , 22, 13, 0211

(4)

=2(10,11,11,1100)\oplus 11 20, 11, 0011

(1),

a+2b+3c+2d+2e+f+9=0,

A_{23}

A_{14}

A_{24}

A_{34}[-a]_{2}[g]_{2}[h]_{2}[-a-f]_{4}[0]_{2}[a+d+f]_{2}[a+e+f]_{2}[0]_{2}[a+b+f]_{2}[a+c+f]_{2}

g

h

148

\left{\begin{ar y}{l A_{01}A_{02}\mathrm{A}03 _{04}A_{12}\mathrm{A}13\ {[}0]_5}[0]_{4}[c]_{3}[e]_{2}[0]_{4}[0]_{3}\ a[b]_{2}[0]_{3}\tex{同}2[-bcf9]_{2}[f-g]_{3}\ f\ g \end{ar y}\right.
A_{23} A_{14} A_{24}

A_{34}[a+b+c+d+e+g]_{2}[g]_{2}[0]_{4} [b+\mathrm{c}+d+g]_{2} [-b-c-d-e]_{2}b+c+2e [b+c+e+g]_{2} c+gb+c+2d \mathrm{c}+g c+f
gfb+g-b-c-f

951, 411, 33, 222

6階6パラメータ=20 , 101, 11, 011\oplus 31 , 310, 22, 211(6)=2(10,100,10,100)\oplus 31 211, 13, 022,(6)

a+b+c+3d+2e+2f+2g=0,

A_{24} A_{34}a+d+e+f+g]_{2}[a+d+e+f+g]_{3}-c-b-c-d-f-b-c-d-g-b-b-c-d-e

-b-d
-c-d

42, 411, 411, 33

6階6パラメータ=11 , 110, 200, 11\oplus 31 , 301, 211, 22

(4)

(4)
=3(10,100,100,10)\oplus 12 111, 111, 03 (2)=21 , 210, 201, 12\oplus 21 , 201, 210, 21,

2a+b+c+d+e+3f+3g=0,\left{bginary}{l A_01} {2\mathr{A}03_4}A{12\mathr{A}13\mathr{A}23\ {[}0]_4 {}[0]_4f{3}\tex同}2[b]_{ a4}\ {[a]_2}bd[9]_{3}e2[\mathr{c}]_2-f\ mathr{c}e-f g\ -g\end{ary}\ight.

A_{14} A_{24} A_{34}[f+g]_{4}[a+2f+29]_{2}[f+g]_{4}[f+g]_{4}b+2f+2g d+2f+2g
c+2f+29 e+2f+29

149

51, 33, 33, 222

6階5パラメータ=10 , 10, 10, 100\oplus 41 , 23, 23, 122(12)=2(20,11,11,11)\oplus 11 , 11, 11, 02(3)

a+3b+3\mathrm{c}+2d+2e+2f=0,

42, 411, 33, 33

6階5 パラメータ=20 , 110, 11, 11\oplus 22 , 301, 22, 22(2)=21 , 210, 21, 12\oplus 21 , 201, 12, 21(4)=2(10,100,10,10)\oplus 22 , 211, 13, 13(4)=2(11,200,11,11)\oplus 20 011, 11, 11(1),

2a+b+c+3d+3e+3f=0,\left\{ begin{ar y}{l A_{01}[0]_{4}A_{02}[0]_{4}A_{03}[0]_{3}A_{04}[e]_{3}A_{12}[0]_{2}A_{13}[0]_{4}\ {[}a]_{2}b\tex{同}31f]_{3}[-a\mathrm{c}-def]_{2}a+d 2e\ c \end{ar y}\right.
[-a-b-d-e-f]_{2}

a+d+2fA_{23}[0]_{2}[d\rflo r_{2} [-a d-e f]_{4}A_{14}-d [a+f]_{2}[a+-d0e]_{2}A_{24} [a-a-b-2d-e-f-a-c-2d-e-f+c+e+f]_{2}[a+b^{A_{34} +e+f]_{2}-a-f-a-e42, 33, 33, 33

6階4 パラメータ=10 , 10, 10, 10\oplus 32 , 23, 23, 23(8)=21 , 21, 21, 21\oplus 21 , 12, 12, 12(4)=2(20,11,11,11)\oplus 02 11, 11, 11,(1)=2(31,22,22,22)\oplus-(20,11,11,11)
Type 3の分解が一つ現れる.
2a+b+c+d+e=0,

(1)

150

42, 42, 42, 321

6階5 パラメータ=10 , 10, 01, 100\oplus 32 , 32, 41, 221(3)=11 , 11, 20, 110\oplus 31 , 31, 22, 211(3)=21 , 21, 21, 200\oplus 21 , 21, 21, 120(1)=2(10,10,10,010)\oplus 22 22, 22, 301,(1)=2(21,21,21,210)\oplus 00 00, 00, (-1)01,=3(10,10,10,100)\oplus 12 , 12, 12, 021

(1)

(1)

2a+2b+2\mathrm{c}+3d+2e+f=0,\left\{ begin{ar y}{l A_{01}A_{02}\mathrm{A}03A_{04}A_{12}\mathrm{A}13\ {[}0]_{4}[0]_{4}[0]_{4}[d]_{3}[0]_{3}[0]_{3}\ {[}a]_{2}[b]_{2}[c]_{2}[e]_{2}[-abd-f]_{2}[-acd-f]_{2}\ fa+b 2da+\mathrm{c}+2d \end{ar y}\right.

A_{23} A_{14} A_{24} A_{34}[0]_{3} [-\displaystyle \frac{1}{2}d+\frac{1}{2}f]_{2} [-\frac{1}{2}d+\frac{1}{2}f]_{2} [-\frac{1}{2}d+\frac{1}{2}f]_{2}[-b-c-d-f]_{2}[a+c+d+f]_{2}[b+c+d+f]_{2}b+c+2df

Ía + b + d + f ] 2

ff-b-c-d -a-c-d -a-b-d上の分解には Type 2のものが一つ現れる.このときは F_{4} の場合の (27) と同様(28)

F_{1}( $\alpha$; $\beta$- $\delta$, $\delta$; $\gamma$;x, y)\cdot F( $\alpha$, $\beta,\ \gamma$;y)というような解がある場合に対応し,KZ 方程式としては班約であるが,x変数のみのSchlesinger型方程式としては可約になる.

この分解の例は42, 42, 42, \underline{3}2\underline{1}\rightar ow 42 42, 42, 42=2(21,21,21,21) に対応する (cf. Remark 4).
,

21, 21, 21, 21はAppell の F_{\mathrm{i} のスペクトル型であることに注意.
5.9

Decompositions of Type 2 and Type 3

4点以上の特異点に対応する10階以下のリジッドなスペクトル型 (347種) の全てのType 2とType 3の分解を以下に列挙する.Type 2の分解で \rightarrow で示されたリジッドスペクトル型は,そのよ
り小さな階数の Type 2の分解に middle convolution で帰着されることを示している (よって KZ

方程式の既約条件には関わらない分解となる).

22, 22, 22, 31=2(11,11,11,20)\oplus 00, 00, 00, (-1)1
32, 32, 32, 32=2(21,21,21,21)\oplus-(10,10,10,10)

42, 42, 42, 312=2(\underline{2}1,\underline{2}1,\underline{2}1,20\underline{1})\oplus 00, 00, 00, (-1)10\rightarrow 22, 22, 22, 310
42, 33, 33, 33=2(31,22,22,22)\oplus-(20,11,11,11)

52, 52, 43, 322=2(31,31,22,211)\oplus-(10,10,01,100)
43, 43, 43, 43=2(32,32,32,32)\oplus-(21,21,21,21)\underline{6}2,\underline{6}2,\underline{6}2,\underline{6}2 \underline{5}3=2(31,31,31,31,31)\oplus 00 00, 00, 00, (-1)1\sim 12 12, 12, 12, 03),,

62 )62, 431, 422=2 ( \underline{3}1,\underline{3}1, \underline{2}20 ) 2\underline{1}1 ) \oplus 00 , 00, 0(-1)1, 000\rightarrow 42 , 42, 231, 402

62, 62, 44, 3221=2(\underline{3}1,\underline{3}1, \underline{2}2,2\underline{1}10)\oplus 00, 00, 00, (-1)001\rightarrow 42, 42, 24, 3021
62, 53, 53, 332=2(41,32,32,221)\oplus-(20,11,11,110)

151

62, 53, 44, 422=2(31,31,22,211)\oplus 00, (-1)1, 00, 000
62, 44, 44, 431=2(\underline{3}1,22,22,\underline{2}20)\oplus 00 00, 00, 0(-1)1\rightarrow 42 24, 24 )231,,

53, 44, 44, 44=2(42,33,33,33)\oplus-(31,22,22,22)=2(31,22,22,22)\oplus(-1)1, 00, 00, 00
72, 72, 72, 63, 54=2 (41, 41, 41 )32, 32 ) \oplus- ( 10,10,10 )01, 10)

81, 63, 63, 63, 63=3(30,21,21,21,21)\oplus(-1)1, 00, 00, 00, 00
81, 63, 333, 333=3(30,21,111,111)\oplus(-1)1 00 )000, 000,

72, 72, 432, 432=2(41,41,221,221)\oplus-(10,10,010,010)
72, 63, 522, 522=2(41,32,311,311)\oplus-(10,01,100,100)
72, 54, 54, 432=2(41,32,32,221)\oplus-(10,10,10,010)
63, 63, 63, 432=2(42,42,42,321)\oplus-(21,21,21,210)
54, 54, 54, 54=2(43,43,43,43)\oplus-(32,32,32,32)=2(32,32,32,32)\oplus-(10,10,10,10)
82, 82, 82, 64, 631=2(\underline{4}1,\underline{4}1,\underline{4}1,3\underline{2},320)\oplus 00 00, 00, 00, 0(-1)1\rightarrow 42 42, 42, 60, 231,,

82, 82, 73, 73, 55=2(51,51,42,42,33)\oplus-(20,20,11,11,11)

82, 82, 442, 4321=2(\underline{4}1,\underline{4}1, \underline{2}21,22\underline{1}0)\oplus 00, 00, 000, 0(-1)01\rightarrow 62, 62, 242, 4301
82, 631, 622, 622=2(\underline{4}1,\underline{3}20,\underline{3}11,311)\oplus 00, 0(-1)1, 000, 000\rightarrow 62, 62, 422, 4301
82, 73, 55, 3322=2(51,42,33,2211)\oplus-(20,11,11,1100)
82, 73, 532, 532=2(51,42,321,321)\oplus-(20,11,110,110)
82, 64, 64, 4321=2(\underline{4}1, \underline{3}2,\underline{3}2,22\underline{1}0)\oplus 00, 00, 00, 0(-1)01\rightarrow 62, 62, 44, 4301
82, 64, 631, 442=2(\underline{4}1,\underline{3}2,\underline{3}20,22\underline{1})\oplus 00, 00, 0(-1)1, 000\rightarrow 62, 62, 431, 440
82, 64, 622, 532=2(\underline{4}1,\underline{3}2,\underline{3}11,31\underline{1})\oplus 00 00, 000, (-1)10\rightarrow 62 44, 422 )530
82, 55, 55, 433=2(51,33,33,222)\oplus-(20,11,11,011)
73, 73, 64, 433=2(52,52,43,322)\oplus-(31,31,22,211)
73, 622, 55, 55=2(42,411,33,33)\oplus- ( 11,200,11 )11)
64, 64, 64, 631=2(\underline{3}2,\underline{3}2,3\underline{2},\underline{3}20)\oplus 00, 00, 00, 0(-1)1\rightarrow 44, 44, 62, 431
64, 55, 55, 55=2(53,44,44,44)\oplus-(42,33,33,33)=2(42,33,33,33)\oplus-(20,11,11,11),,

たとえば,8階で特異点が4個以上に対応するリジッドなスペクトル型で,Type2と Type 3のものを全て得るには,[14] をRisa/ Asir で読み込んで以下を実行すればよい.
Rank=8 ;/* give rank */\mathrm{G}=\mathrm{o}\mathrm{s} ‐md. spgen (Rank |\mathrm{e}\mathrm{q}=1 , str =1,\mathrm{p}\mathrm{t}=[4 , 100 ] );/* get spectral types */for ( \mathrm{T}=\mathrm{G};\mathrm{T}!=[] ; \mathrm{T}=\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{r} ( \mathrm{T}if ( (os‐md. sproot(car(T), |\mathrm{l}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{s}^{1/}| only =6 ))!

) /* only type 2, 3 */os‐md. sproot (os‐md. \mathrm{s}2\mathrm{s}\mathrm{p} (car (T) |\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{d}=-1 ),/* in standard order */tlpair \mathrm{s}^{\downar ow|} only=6 dviout =1 ) ;
,

\} ;

152

Multiplicities of simultaneous eigenvalues

5.10

リジッドな Schlesinger 型方程式のスペクトル型 ( A_{0,1},

A_{0,2}, A_{0,3}, A_{0,4} の順)と KZ 方程式に拡張したときの互いに可換な留数行列の15組 (§5.3の例と同じ順) の同時固有値の重複度の表である.

[21, 21, 21, 21]: 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}, 1^{3}[22, 31, 31, 211]: 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 21^{2}, 1^{4}, 1^{4}, 21^{2}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4} 1^{4}, 1^{4}, 1^{4})[22, 31, 22, 22]:1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}, 1^{4}[41,41, 221, 221]: 21^{3}, 21^{3}, 21^{3}, 21^{3}, 21^{3}, 21^{3}, 1^{5}, 1^{6}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 21^{3}, 1^{5}, 1^{5}[41, 32, 23, 211]: 21^{3}, 1^{5}, 1^{5}, 21^{3} 1^{5}, 1^{5}, 21^{3}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5})[32, 32, 32, 32]:1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}, 1^{5}[51, 51, 222, 2211]: 31^{3}, 21^{4}, 2^{2}1^{2}, 31^{3}, 21^{4}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 1^{6}[42, 411, 411, 411]: 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}[51, 42, 33, 2211]:31^{3}, 1^{6}, 21^{4}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 21^{4}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}[51,42, 321, 321]: 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}[42,411, 411, 33]: 2^{2}1^{2}, 2^{2}1^{2}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 21^{4}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}[ 51, 411, 33, 222]:21^{4}, 1^{6}, 21^{4}, 2^{2}1^{2}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}[51, 33, 33, 222]:21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}[42, 42, 42, 321]: 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}[42, 411, 33, 33]: 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 21^{4}, 21^{4}, 1^{6}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 1^{6}, 1^{6}, 2^{2}1^{2}, 1^{6} 1^{6}, 1^{6}, 1^{6})[42, 33, 33, 33]:1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}, 1^{6}[61, 61, 2221, 2221] : 31^{4}, 31^{4} 3212, 31^{4}, 31^{4} 3212, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7} 3212, 1^{7}, 1^{7},,,[61, 511, 331, 322]: 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 2^{2}1^{3} 2^{2}1^{3}, 31^{4}, 21^{5}, 1^{7}, 2^{2}1^{3}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5} 21^{5}, 1^{7}, 21^{5}))[52, 511, 43, 4111]:3212, 2^{3}1, 2^{2}1^{3} 3212, 21^{5}, 21^{5}, 1^{7} 21^{5}, 2^{3}1, 1^{7}, 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 1^{7}, 2^{3}1, 21^{5},)[511, 511, 43, 421]: 31^{4}, 21^{5}, 2^{2}1^{3}, 31^{4}, 21^{5}, 2^{2}1^{3}, 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 21^{5}, 2^{2}1^{\mathrm{S} , 2^{2}1^{3}, 2^{2}1^{3}, 2^{2}1^{\mathrm{S} , 21^{5}, 21^{5}[61 52, 331, 3211 ] : 31^{4}, 21^{5}, 31^{4}, 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 31^{4} 2^{2}1^{3}, 1^{7}, 1^{7} 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 31^{4}, 1^{7}, 1^{7},))[61,421,421, 421]: 2^{2}1^{3}, 2^{2}1^{3}, 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{6}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}[ 61, 52, 322, 322]:21^{5}, 21^{5}, 2^{2}1^{3}, 2^{2}1^{3}, 2^{2}1^{3}, 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 2^{2}1^{3}, 1^{7}, 1^{7}[61,43,43, 2221] : 31^{4}, 21^{5}, 21^{5}, 2^{3}1, 1^{7}, 21^{5}, 2^{3}1, 1^{7}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5}, 21^{5}, 1^{7}[61,43,421, 322]: 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 1^{7}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}[52, 52,421, 421]: 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}[52, 511, 43, 331]: 21^{5}, 21^{5}, 1^{7}, 31^{4}, 21^{5}, 1^{7}, 21^{5}, 2^{2}1^{3}, 21^{5}, 1^{7}, 2^{2}1^{3}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5}, 1^{7}[52, 52, 43, 322]:2^{2}1^{3}, 1^{7}, 1^{7}, 2^{2}1^{3}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7} 1^{7}, 1^{7}, 1^{7})[52, 43, 43, 421]: 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 2^{2}1^{3}, 1^{7}, 1^{7}, 2^{2}1^{3}, 1^{7}, 1^{7}, 21^{5}, 21^{5}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}[43, 43, 43, 43]: 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}, 1^{7}
Remark 12(素数階の KZ 方程式).7は素数なので7階のリジッドなスペクトル型 \mathrm{m} に対して

153$\Sigma$(\mathrm{m}) には Type 3のものはない.このようなときはSchlesinger 型方程式と,それを拡張した KZ
方程式の既約条件は同じである.
Remark 13 (パラメータの個数).リジッドな Schlesinger 型方程式に対応した KZ 方程式の解となる2変数超幾何関数は,方程式の階数を n とすると,( n\geq 3 のとき) パラメータの数の最小は4で最大は n+1 となる.最小のものは P_{4,n} 最大のものは I_{n} ゐとなる (cf. [11, §13.9]) :,,P_{4,2m}=m+1m-1 mm, mm, mm,

P_{4,2m+1}=m+1m, m+1m, m+1m, m+1m

I_{2m}=(2m-1)1 mm m1^{m}, m-11^{m+1},,

I_{2m+1}=(2m)1, m+1m, m+11^{m}, m+11^{rn}

J_{2m}=(2m-1)1, (2m-1)1, 2^{m}1, 2^{m-1}1^{2}
J_{2m+1}=(2m)1 (2m)1, 2^{m}1, 2^{rn}1)

Remark 14 (リジッドな切り口).特異点が4つの7階以下のリジッドSchlesinger 方程式で,2変数超幾何に拡張したときに同じKZ 方程式になるものは以下の4組 (スペクトル型の組で表す) である.他は全て異なり全30種の7階以下の2変数超幾何となる.

(41,41, 221, 221: 41, 32,311, 311)
(61, 61, 2221, 2221 :61, 43, 4111, 4111)(51, 51,222, 2211:51, 411, 33, 222)
(61, 52, 322, 322: 61, 43, 331, 331)(29)

一般にスペクトル型煽とみは、同一の KZ 型方程式が対応する.
4点の特異点をもつリジットFuchs型方程式のスペクトル型の数とその中で同一の KZ 型方程式に対応する組の数を階数別に表にすると表3のようになる.以下の同一の KZ 型方程式に対応する例では,n階の場合,ある特異点で n-11 となるスペクトル型を必ず含んでいることが計算から分かる.
表3 切り口が異なるリジッドなスペクトル型をもつ KZ 型2変数超幾何

Remark 15 (非リジッドな切り口).リジッドな4点特異点の Schlesinger 型常微分方程式に対応す

るKZ 方程式から別の変数 ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} の4つある) のSchlesinger 型方程式が得られるが,後者のリジッド指数が p となるものを考える (上の例では p=2 であるがスペクトル型が元と異なるものを考えた). 16階までには, p=0 や一2となるものはない.
16階以下でリジッド指数が -4 や一6のものが現れるのは以下の場合に限る (\rightar ow はリダクション,*

はbasic すなわち middle convolution で階数が下げられないことを示す).
idx =-4:31 , 22, 22, 22\Rightarrow

22, 22, 211, 211*

42, 411, 33, 33 \Rightarrow 42, 411, 411, 222 \rightarrow 22, 22, 211, 211
idx =-6:41 , 32, 32, 221\Rightarrow

32, 32, 311, 2111

\rightarrow

22 , 22, 211, 1111

51, 42, 33, 2211 \Rightarrow 42, 42, 411, 21111\rightarrow 32, 32, 311, 2111

*

154

一方,リジッド指数一8が現れるのは
idx =-8:51 , 42, 33, 2211

\Rightarrow411, 33, 33, 2211 *51, 42, 321, 321 \Rightarrow 42, 42, 3111, 3111 \rightarrow 22, 22, 1111, 1111*
61, 52, 331, 3211 \Rightarrow 52, 52, 4111, 31111 \rightarrow 42, 42, 3111, 3111
71, 62, 3311, 3311 \Rightarrow 62, 62, 41111, 41111 \rightarrow 52, 52, 4111, 31111
62, 611, 431, 431 \Rightarrow 62, 5111, 5111, 422 \rightarrow 42, 42, 3111, 3111
72, 711, 441,4311 \Rightarrow 72, 6111, 522, 51111 \rightarrow 62, 5111, 5111, 422
82, 811, 4411, 4411 \Rightarrow 82, 622, 61111, 61111\rightarrow 72, 6111, 522, 51111のほか

31, 31, 22, 211\Rightarrow

211, 211, 211, 211*で始まる

(4m-2)11, (2m+1)2^{m-1}1, (2m+1)2^{m-1}1, (2\mathrm{m})(2m)\Rightarrow(4m-2)11, (4m-2)11, 4^{m-1}211, 4^{m-1}211(4m)11, (2m+2)2^{m}, (2m+2)2^{m-1}11, (2m+1)(2m+1)\Rightarrow(4m)11, (4m)11,4^{m}11, 4^{m-1}2211という偶数階の系列のものがある (m=1,2, \ldots )

5.11

.

Middle convolution of F_{4}§5.4で考察した盈に対応する KZ 方程式に u\mapsto(x_{1}-x_{3})^{-2d}u\mathrm{I} こ対応する addition を施すと,その一般化Riemann scheme は\{[b]_{2}A_{01}A_{02}[0]_{3}2aA_{03}[0]_{2}[c]_{2}A_{04}[d]_{2}[e]_{2}A_{12}[0]_{2}[b]_{2}[a-d+e]_{2}- d+2eA_{13}0A_{23}[0]_{2}[\mathrm{c}]_{2}[-b+d-e]_{2} c_{2d}+2dA_{14}A_{24}[d]_{2}[e]_{2}[-\mathrm{c}+d-e]_{2} b+2dA_{34}2d\},
a+b+c+d+e=0となる.パラメータが一般ならば x_{1} 変数が満たすSchlesinger型常微分方程式は既約である.

さらに変数銑について middle convolution \mathrm{m}\mathrm{c}_{x_{1},2d} を施すと,階数6のKZ 方程式が得られ,その一般化 Riemann scheme はスペクトル型は

155

で,どの変数賜 (0\leq j\leq 4) の満たす Schlesinger 型常微分方程式もリジッドではない.
同時固有空間分解はとなる.
x=x_{1} 変数に対する常微分方程式( x_{0} と x_{1} を交換すると考えてもよい) はリジッド指数が -4で,その一般化Riemann scheme は

となる.

5.12

\left\{ begin{ar y}{l } x&=0&x=y&x&=1&x=\infty\ {[}b+2d]_{2}[0]_{4}& [b+2d\rflo r_{2}[0]_{4}&[-bc]_{2}[0]_{3}& [a+\mathrm{c}]_{2}[- d\rflo r_{3}\ & &2e& 2c \end{ar y}\right\}(a+b \mathrm{c}+d e=0)
KZ equation

オリジナルの基本的な KZ 方程式は\displaystyle\frac{\partial$\phi$}{\partialz_{i}=\frac{1}{$\kap a$}\sum_{j\neqi}\frac{$\Omega$_{i,j}{z_{i}-z_{\mathrm{j} $\phi$(1\leqi\leqn),$\Omega$_{i,j}:=\displaystyle \frac{m_{i}m_{j} {2}I_{n}-D_{i,j}=$\Omega$_{j,i} (1\leq i<j\leq n)

,

i

j

1\overlin{\leq}\mathrm{q}\overlin{\leq}nji\left(\begin{ar y}{l m_{j}&-m_{j}\ -m_{i}&m_{i} \end{ar y}\right)

D_{i,j}:= (m_{j}$\delta$_{p,i}($\delta$_{q,i}-$\delta$_{q,j})+m_{i}$\delta$_{p,j}($\delta$_{q,j}-$\delta$_{q,i}) _{1<p<n}=156という形をしていて, j 番目の成分が\displaystyle\int_{$\gam a$}\prod_{1\leqi<j\leqn}(z_{i}-z_{\mathrm{j})^{\frac{m_{i}m_{j}{2$\kap a$}\prod_{k=1}^{n}(t-z_{k})^{-}\hslash\frac{dt}{-z_{j}m_{$\Delta$}
で与えられる解 u をもつ (cf. [18]).
\mathbb{C}^{n} の標準基底を \{e_{1}, . . . , e_{n}\} として(ej は n 次の単位行列石の j 列目の縦ベクトル)e_{i_{1},\ldots,i_{\mathrm{p}}}=e_{i_{1}}+\cdots+e_{i_{p}}とおくと

D_{i,j}e_{ $\nu$}=0 ( $\nu$\neq i, j)
D_{i,j}e_{i,j}=0,,

D_{i,j}e_{i}=m_{j}e_{i}-m_{i}e_{j}\equiv(m_{i}+m_{j})e_{i}mod \mathbb{C}e_{i,j}であるから[$\Omega$_{i,j}]=\displaystyle \{[\frac{m_{i}m_{j}}{2}]_{n-1}, \frac{m_{i}m}{2}-m_{i} - mj\}.
また-$\Omega$_{1,\infty}:=$\Omega$_{1,2}+\cdots+$\Omega$_{1,n-4}=^{m_{2}}(m_{2}+\cdots+m_{n})I_{n}-B_{1,\infty},

とおくと

B_{1,\infty}=B_{1,2}+\cdots+B_{2,n}=\left(\begin{ar y}{l } m_{2}+&\cdots&+m_{n}&-m_{2}&\cdots&-m_{n}\ -m_{1}& &m_{1}& \ & & \d ots&\ -rn_{1}& & &m_{1} \end{ar y}\right)
B_{1,\infty}e_{1,\ldots,n}=0,

B_{1,\infty}e_{1}=(m_{2}+\cdots+m_{n})e_{1}-m_{1}e_{2}-\cdots-m_{1}e_{n}\equiv(m_{1}+\cdots+m_{n})e_{1} mod \mathbb{C}e_{1,\ldots,n},B_{1,\infty}e_{j}=-m_{j}e_{1}+m_{1}e_{j}\equiv m_{1}(v)_{j} mod \mathbb{C}e_{1}より[$\Omega$_{1,\infty}]=\displaystyle \{[-\frac{m}{2}(m_{2}+\cdots+m_{n}-2)]_{n-2}, m_{1}-(^{\underline{r}_{2}}\lrcorner^{n}-1)(m_{2}+\cdots+m_{n}),\rightarrow m_{2}(m_{2}+\cdots+m_{n}$\Omega$_{i,j^{e\mathrm{i} ,\ldots,n}\in \mathbb{C}e\mathrm{i},\ldots,n であるから,$\Omega$ 勾から\overline{V}=\mathbb{C}^{n}/\mathbb{C}e_{1,\ldots,n} 上に線形変換 \overline{$\Omega$}_{i,j} が誘導され[\overline{ $\Omega$}_{i,j}]= {[処警]n‐2, 子 -m_{i}-m_{j} },[\overline{ $\Omega$}_{1,\infty}]=\{[-m_{2}\rightarrow(m_{2}+\cdots+m_{n}-2)]_{n-2}, m_{1}-(\displaystyle \frac{m}{2}-1)(m_{2}+\cdots+m_{n}[\overline{ $\Omega$}_{j,\infty}]=\{[_{2}^{m_{\lrcorner}^{2} -\cdot 一警 (m_{1}+\cdots+m_{n}-2)]_{n-2}, -m^{2}2z-( 穿 -1)(m_{1}+\cdots+m_{n})\}157を満たす.さらに

u\displaystyle \mapsto\prod_{i\triangleleft}(x_{i}-x_{\mathrm{j} )^{-\rightar ow}\underline{mi}m.
2 $\kappa$uという addition により[\overline{ $\Omega$}_{i,j}]=\{[0]_{n-2}, -m_{i}-m_{j}\}, [\overline{ $\Omega$}_{j,\infty}]=\{[mj]_{n-2}, m_{1}+\cdots+m_{n}\}と変換される.
変数 z_{1} の満たす常微分方程式のスペクトル型はリジッドな Jordan‐Pochhammer 型 n-21 n)

21 ,

.

..

,

n-21 となる( n 個の特異点を持ち, n=3 のときGauss の超幾何となる) ので,KZ 方程

式は n-1 変数の Lauricella の F_{D} の満たす微分方程式に対応することが分かる.
そのスペク トル型の分解は\displaystyle \frac{n}{n-21,n-21,\cdots,n-21}=01 10,,\cdots,10\oplus n-20, n-31),=(n-2)(10,10, \cdots , 10)\oplus 01 01,
,

(n)

01

(1)

\cdots,であるから (cf. [11, §13.3])n-31,z_{1} 変数の Schlesinger 型微分方程式の一般化 Riemann scheme を\displaystyle \left\{\begin{ar ay}{l } [a_{1,0}]_{n-2} & \cdots & [a_{n,0}]_{n-2}\ a_{1, } & \cdots & a_{n,1} \end{ar ay}\right\}, \sum_{j=1}^{n}( n-2)a_{j,0}+a_{j,1})=0
とおくと(\displaystyle \frac{\overline{ $\Omega$}_{1\infty} { $\kappa$}=\{[a_{1,0}]_{n-2}, a_{1,1}\}, \frac{\overline{ $\Omega$}_{1} { $\kappa$}\dot{4} =\{[aj,0]_{n-2}, aj,1\}, j=2, \ldots,n),

既約のための必要 +分条件は\displaystyle \{\sum_{j=1}^{n}a_{j,1}, \sum_{j=1}^{n}a_{j,$\delta$_{j.k} |k=1, \cdots, n\}\cap \mathb {Z}=\emptysetとなる.すなわち\{m_{1}, \cdots, m_{n\rangle}m_{1}+\cdots+m_{n}\}\cap $\kappa$ \mathbb{Z}=\emptyset.

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