数理解析研究所講究録 1348 巻 2003 年 95-10085

4 次元の Lipsman 予想の解決
東京大学

数理科学研究科吉野太郎 (Taro Yoshino)

Graduate School of Mathematical Sciences,
University of Tokyo

概要

Lipsman は彼の論文 ([1]) において, (CI) と固有の同値性に関するある予想をした. これは Lipsman 予想と呼ばれている. 今回の主結果はこの予想が $n=4$のときに正しいというものである.
をり一群, $H$ をその閉部分群とする.
然に作用する. このとき
$G$.

$\underline{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{l}}$であるとき$\Gamma$を $G$ の離散部分群とすると,$\Gamma nG/H$ が固有不連続 (properly discontinuous)$\Gamma\backslash G/H$$\Gamma$は $G/H$ に自かつ自由 (free)

を $G/H$ の Clifl[ord-Klein form という

Remark 作用に properly discontinuos かつ free の条件を課さないと,は一般には多様体にならない. 特に $H$ が非コンパクトなとき,は一般には Hausdorff にすらならない.
この話の出発点となる動機は次のようなものである.
$\Gamma\backslash G/H$$\Gamma\backslash G/H$

問題 1:

いつ $\Gamma\backslash G/H$ はClifford-Klein form になるか ?

ここで properly discontinuous と free の定義をしておこう.
$M$ を多様体とし, 離散群が $M$ に作用しているとする. このときDefinition 2.
$M$が properly discontinuous であるとは, $M$ の任意のコンパクト集合txに対$\Gamma$$\Gamma$$S$

して$\Gamma_{S}:=\{\gamma\in\Gamma|\mathrm{y}(S)\cap S\neq\emptyset\}$が有限集合であることをいう.

を多様体とし, 離散群 が $M$ に作用しているとする.
が free であるとは, $M$ の任意の元 に対して$\underline{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}3.}$$\Gamma(^{\urcorner M}$$M$$\Gamma$$x$$\gamma(x)=x\Rightarrow\gamma=id$が成り立つことをいう

これは $\Gamma\{x\}=\{id\}$ と言い替えることもできる.

このとき

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ここで, いくつかの例を見てみよう.

Example 1.

$H$がコンパクトのときF が torsion free$\Rightarrow$

F\G/H は Clifford-Klein formが成り立つ.

Example 2. (1962: Calabi-Murkus 現象)

F\G/H が Clifford-Klein$G=SO$ ( n, 1), $H=SO(n-1,1)$ のとき$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\Rightarrow\Gamma$

は有限群が成り立つ.

Example 3. (1964: Auslander 予想)$G=GL$ (n,$\mathbb{R}$)$\ltimes \mathbb{R}^{n}$,$H=GL$ ( n,$\mathbb{R}$) のとき

F\G/H が compact を Clifford-Klein form ?F は virtually finite$\Rightarrow$が成り立つか ?

Auslander 予想は compact の仮定がないと反例が存在する. また $n\leq 6$ に対しては正しいことが Abels, Margulis, Soifer らによって証明されている (1997).
Clifford-Klein form か否かの判定において free の判定は比較的容易である. 一方 properly discontinuous は (定義は簡単だが) 判定は難しい. その難しさの一つは という離散群を扱うことに起因する. そこで. 次のようなアイディアによってその難しさを回避することにしよう.

Remark$\Gamma$

をの閉部分群としFact 4. (1989; Kobayashi)
る (つまりが compact). このときであり.’$L$$\Gamma\subset L$$G$$\Gamma$を cocompact に含むものとす$L/\Gamma$$L\cap G/H$ が proper $\Leftrightarrow\Gamma\cap G/H$ が properly discontinuousとをる.
$\underline{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}5.}$

ンパクト集合(1961;Palais)$S$$L\cap M$ が固有 (proper) であるとは,に対して$L_{S}:=\{P\in L|\ell(S)\cap S\neq\emptyset\}$がコンパクトであることをいう.

$M$の任意のコ87

Remarkコンパクトかつ離散な集合は有限集合であるから, 離散群にのみ定義された
properly discontinuous という概念を一般の群に自然に拡張したものが proper であると言える.

Remark$G$$M$

が特に等質空間 $G/H$ のとき,の任意のコンパクト集合$L$

へ $G/H$が proper であることは,に対し, $L\cap SHS$ -1 がコンパクト$S$

proper
これを–であるというと同値である.

$(L, G, H)p\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}$Fact4 により, 離散群 ではなく, それを cocompact に含む連結な群 を扱えばよいことが分かる. 従って最初に掲げた問題は, 次のような, もう少し簡単な問題へと降りて$L$$\Gamma$

くる.

間題 2:

いつ $(L, G, H)$

は proper になるか ?

これについて既に知られている例を挙げてみよう.

Example 4. (1989; Kobayashi)$G$を reductive 1] 一群, $L,$ $H$ を $G$ の reductive な部分群としたとき$(L, G, H)$ が (CI)\Leftrightarrow (L, $G,$ $H$ ) が properである.

ここで, (CI)&よ次のように定義される.

Definition 6. (1992; Kobayashi)$(L, G, H)$ が$G$をり一群,$L,$ $H$をその閉部分群としたとき,–(CI) であるとは$G$の任意の元$g$に対して $L\cap gHg$ -1 がコンパクトであることをいう.

(CI) の定義は proper の定義において を一点からなるコンパクト集合としたものに他ならない. 従って 「」 は常に成り立っ.

Remark

$S$$\{g\}$$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\Rightarrow(\mathrm{C}\mathrm{I})$$\underline{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}5.}$(2001;Nasrin)$G$を単連結かつ連結な 2-step 巾ゼロリー群とし) $L,$ $H$

を $G$ の連結閉部分群としたとき(CI)\Leftrightarrow proper
である.

for $(L, G, H)$

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Example 6. (1992;Kobayashi)の閉部分群としたとき,(CI)$\Leftrightarrow$$G=GL(2, \mathbb{R})$$\ltimes \mathbb{R}^{2},$$H=GL(2, \mathbb{R})$とし,$L$を $G$

for $(L, G, H)$properである.

$H=GL$ ( n, ) のとき
Auslander 予想 (Example 3) は, $G=GL$ (n, )が (compact を)Clifford-Klein form になる条件を調べる, という問題であった. そしてExample 6 は, その” 連続版” の判定条件を $n=2$ のときに与えたと言うことができる.
この結果を拡張し, 一般の に対して次のように予想するのは自然なことである.
$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\ltimes \mathbb{R}^{n},$$\Gamma\backslash G/H$$n$

$H=GL$ (n,$\mathbb{R}$),$G=H\ltimes \mathbb{R}^{n},$$L$\subset G に対してか ?

$\lceil(\mathrm{C}\mathrm{I})\Leftrightarrow \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\rfloor$

Lipsman はこの命題にさらに 「 が代数的である」 という条件を加えると, 次の命題と同値になることを証明した ([1]).
$L$

$N$ を
Example 7. (1995;Lipsman 予想)
をとする.の連結閉部分群とすると:$L$$\mathbb{R}^{n}$$n$次元上王角行列全体 $N$ (n) とし, $G=N\ltimes$$G$(CI) 9proper

for $(L, G, H)$となるか ?

は自明であるから, Lipsman 予想においてはの部分が重要である. この予想は, $n=2$ のときは Example 6 から簡単な議論により分かる. $n=3$ のときは Lipsman によって証明された ([1]). $n=4$ のときに成り立つというのが今回の結果である.
proper という条件が (CI) という条件に帰着されることで, どれくらい判定が簡単になるのかを見るために例を挙げよう.
一般に$\lceil(\mathrm{C}\mathrm{I})\Leftarrow \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\rfloor$

Example 8.

$N=N$ (3),$\lceil(\mathrm{C}\mathrm{I})\Rightarrow \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\rfloor$$G=N\ltimes \mathbb{R}^{3}$$X=((\begin{array}{lll}0 0 a 0\end{array}):$ただし, ここで$a,$$b$$(\begin{array}{l}100\end{array})$):

として$X,$ $Y\in \mathrm{g}$を次のように定める.

$Y=\{$:$(\begin{array}{lll}0 b 0 0\end{array})$$(\begin{array}{l}010\end{array}))$は実数である. このとき $[X, Y]=0$ である. さらに,$\Gamma=\Gamma_{a,b}:=\{\exp(nX+mY)|n, m\in \mathbb{Z}\}$$L=L_{a,b}:=\{\exp(pX+qY)|p, q\in \mathbb{R}\}$,

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とおくと, 次のような同値関係が成り立つ.

F\G/H が Clifford-Klein form になる \Leftrightarrow F へ $G/H$ が properly discontinuousが proper$\Leftrightarrow L\wedge G/H$$\Leftrightarrow(L, G, H)$

が proper$\Leftrightarrow(L, G, H)$

が (CI)

А $ab<0$$n=4$ のときの Lipsman 予想の証明には次の 3 つの補題が使われる.

補題 1 は, ある 77pri 面 five7 を $L$ について示せば十分である事を主張する.
$\rangle$

補題 2 は, (CI) のり一環での表現を与える.
補題 3 は, proper のリー環での表現を与える.
について証明されている. さらに $n=4$ のときは”primitive”
かつ (CI) なものは 3 通りに場合分けされ, それらは全て proper であることが示される.

これらの補題は全て一般の$n$

最後に primitive の定義と, 補題 2,3 のステートメントを述べて終わりにしようDefinition 7.

$G$( $:=N\ltimes$ Rn) の連結閉部分群$L$が primitive であるとは, (を $L$ のリー環としたとき,任意の ( $X$ , a)\in [に対しが成り立つことをいう

ただし, ここで$I_{\iota}$$I_{\mathrm{l}}$:=Span、$(X,a)\in 1\cup$で定まる$\mathbb{R}^{n}$$a\in I_{\mathfrak{l}}$はImage(X$-\mathbb{R}^{n}arrow \mathbb{R}^{n}$の部分空間である.

Lemma 2.

[を $L$ のり一環としたとき次は同値.

(i)( L, $G,$ $N$ ) は (CI)(ii)$\mathbb{R}^{n}$の部分空間$V_{\iota}$と線型写像$\Phi$:$1=$とかける. さらに任意の$V_{\iota}arrow \mathfrak{n}${$a\in V_{|}\backslash 0$が存在して$(\Phi(a),$ $a)|a\in$に対して$a\not\in \mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}(\Phi(a))$とをる.

[/i})

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Lemma 3.

[を $L$ のり一環とし, $(L, G, N)$ が (CI) であったとする. さらにのコンパクト集合

$S$

に対し

$V_{(S)}$$\mathbb{R}^{n}$の任意がコンパクトならば $(L, G, N)$ は固有である.

ここで: V(s、は(cs)$:=$$V_{(s_{1},s_{2})}$$:=$$\{v\in V_{\iota}|s_{1}+e_{1}(\Phi(v))v+e_{0}(\Phi(v))s_{2}=0\}$$e_{0}(X)$$:=$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^{k}}{k’!}=\exp(X)$$e_{1}(X)$$:=$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^{k}}{(k+1)!}$$V$で定義される. ただし,

$V_{|},$$\Phi$$s_{1},s_{2}\in S\cup V$ $s_{1}$,S2)

は Lemma 2 によって定められたものとする.

参考文献[1] LIPSMAN, R., Proper actions and a compactness condition, J. Lie Theory. 5 (1995),

25-39.
[2] KOBAYASHI, T., Discontinuous groups acting on omogeneous spaces of reductive
type, Proceedings of the Conference on Representation Theory of Lie Groups and LieAlgebras held in 1990 August-September at Fuji- Kawaguchiko (ICM-90 SatelliteConference) (1992), World Scientific,, 59-75.
New$h$$\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}/$$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{y}/\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}$[3] T.Kobayashi, H. Alikawa and S.Nasrin, Proper actions ofnilpotent homogeneous manifold (in preparation).

$\mathbb{R}^{k}$on a $(k+1)$ -dimensional[4] Nasrin, Salma, Criterion of proper actions for 2-step nilpotent Lie groups, Tokyo J.
Math. 24 (2001), 535-543.
[5] Kobayashi, Toshiyuki, Proper action on a homogeneous space of reductive type,
Math. Ann. 285 (1989), 249-263.