数理解析研究所講究録
第 1787 巻 2012 年 190-200

190

Poisson に見る流体方程式を構成する分子活動の数学的微視的記述
流体数理古典理論研究所 増田 茂

E-mail: hj9s-msd@asahi-net.or.jp

1

Introduction

1
One of the Poisson‘s themes is the reducibility of sum into integral, namely. how to calculate the microscopicallydescriptive function of attraction and repulsion for formulation of fluid equations. In 1819, Poisson discusses
the so-called ‘Poisson equations’ in M\’emoire sur l’intigration de quelques equations
aur differences
partielles. et particuli\‘erement degenerale $du$ mouvement des fluides lastiques [14], and saying:$li,n\acute{e}aioes$$l\mathscr{E}quation$$\mathscr{E}$

A d\’efaut de m\’ethodes g\’en\’erales, dont nous manquerons peut-\^etre encore long-temps, il $ma$sembl\’e que ce qu’il avait de mieux \‘a faire, ‘\’etat de chercher \‘a int\’egrer isol\’ement les \’equations aux
diff\’erences partiellles les plus importantes par la nature des questions de m6canique et de physique
$c$

$y$

qui

$y$

conduisent.

$C$‘est la 1‘objet que je me suis propos6 dans ce nouveau m\’emoire. [14, p.123]「普遍的諸方式が恐らくなおしばらく出来ないなら、 取るべき最良のものがあった、 即ち、 それは個別に積分するのに、 偏微分方程式を導出した力学や物理の性質によって最も重要なものを探す事であったように思える。

これがこの新しい論文で私の言う積もりだった目的である。」 $[14, p.123]$

He $\infty nsiders$ that it is the best to integrate separately particular solutions of partial differential equations ($PDE)$ . according to the individual nature of the problems. Poisson [14] explains his principle of transfomiing
separately the sum of particular solutions into integration as the solving method of $PDE$ :$\Rightarrow$$\varphi=\sum Ae^{(tp+gx+hy+\cdots)}+\sum Ae^{(tp’+gx+hy+\cdots)}+\cdots$(1)$\varphi=\int e^{(\ell\rho+gx+hy+\cdots)}f(g, h, \cdots)dgdh\cdots+\int e^{(tp’+gx+hy+\cdots)}f’(g, h, \cdots)dgdh\cdots+\cdots$(2)

Les limits de ces inte’grales resteron ind\’eterminaes; en sorte qu‘elles ne son pas des integralesd\’efinies. La substitution de la charact\’eristique , n’a pas chang\’e de nature, la valeur de : cetted\’emi\‘ere expression est toujours une s\’erie ‘exponentiell\’es $mn1tipli’aes$ par des coefficients arbitrairea,
dont chaque terme satisfait isol\’ement \‘al‘\’equation aux diff\’erences partielles propos\’ees; et les fonctions$f,$$f’$ ,, \’etant arbitraires, et pourvant \^etre discontinues. ces deux expressions (1) et (2) sont\’equival\’entes 1‘une \‘a l’autre. [14, pp.172]$\sum$$\varphi$$d$$\cdot\cdot\cdot$「記号の置き換えは本来的に、 の値を変えていない : つまり、 最後の式 (2) が常に任意の係数の掛かるある指数の級数で、 各項は出された偏微分方程式を個別に満たしている ; 関数 $f,$ $f’\cdots$ が任意で、 しかも不連続になり得るのに、 これらの二つの式 (1) と (2) は互いに等価である。」$\sum$$\varphi$$[14, p.1_{\overline{l}}2]$

Since these earlier papers of these sort of issues. he discusses ([15, 16, 17]) with Navier ([11, 12, 13]). andintroduces [22], in which he developes his new ideas of these problems between the integral and sum in the
additional note, (\S 7. “Notes et Additions:“ [22, pp.264-300]) immmediately after issuing his main theories of fluid[20, 21].
This note may be one of the last descriptions on these issues. We couldn follow Navier’s comments whether
Navier gave his opinion against it or not. We think this is the last counterargument by Poisson to Navier.
We introduce these scientific disputes between Poisson and Navier, and other book reviewers. We show below
our translation of the French narrations in Japanese, and of our own in English. In the all citations below of$Fr$ , etc. mean the function of distance:$F(r)$ , etc., sic respectively, except fororiginal. fr.
. viz. $f(r),$$rR$ in $\sum rR$ .
$t$

$r$

$\varphi r,$$\varphi(r),$$2$

2

Circular argument asserting consistency between physical theory
and mathematical principle

Poisson [15. 18, 20, 21] expresses two elastic constants of molecular forces defined in the sphare of an arbitary
molecular activitv of $M$ with sum as follows:,$\frac{2\pi}{3}\sum\frac{r^{3}}{\alpha^{5}}fr\equiv K$.

$\frac{2\pi}{15}\sum\frac{r^{5}}{\alpha^{5}}\frac{d.\frac{1}{r}fr}{dr}\equiv k$(3)

112/21/2011. To establish a time line of these contributor, we list for easy reference the year of their birth and death: Euler
1783). ‘Alembert(1717-1783), Lagrange(1736-1813), Laplace(1749-1827). Fourier(1768-1830). Gauss $(1^{-}\prime 77-1855)$ , Navier(17851836), Poisson(1781-lS40). Cauchy(1789-1857), Stokes(1819-1903).
2If over one paranieter. they express it as $f(r, \cdots )$ .

$(170_{\overline{l}-}$

$d$

191
These endless disputes stalted with
reply [11] to Poisson‘s critical descriptions [15, 18] about Navier’s
integral. which we can summarize as ’Circular argument asserting
calculus
stency between physicaland $mathern.ati\omega l$ prmciple’ in (Fig.1). J.M.C.D., a book reviwer, 3 speaks for Poisson, summarising
the issues of our problem :Poisson が Navier の理論を拒否するには二つの理由がある。 総和法 (sum) は積分による十分な近似式でも置$Naviel\cdot’ S$$by^{r}$$c\cdot onsi$$theor^{i}y$

き換える事に同意出来ないこと、 こうした納得の行く数式変換を想定しても物体の自然状態の中で、 任意の二つの分子間活動がゼロになるという仮説を受け入れられないこと、 である o (J27)4
J.M.C.D. points out the theory of continuum from the viewpoint of scientific histoiy:.

ある物体が堅いものであれ固体であれ、 それを構成する部分の分離に抗する $j$] はゼロか我々が論じているその状態では存在しない。 我々がこの分離を実行する事を求める時にしか、 また、 分子間距

離を少しでも変更しようとする事しか生じ始めない。 即ち、 もし、 この力を積分で表すならば、 物体
が自然状態の中で値がゼロとなって、 分子間距離で何らかの変位が生じた後でもなお、 言わば、 物体.

がその部分が分離していても何らの抵抗にも抗しない事が生じるようになる。 これはちょっとへんな事になる。 (J4-2)

Navier が 1821 年に分子の活動に論及し連続体として物体を見なす事を報告していたのと同じ方程
この分子のアクションを考察する手法は Laplace
が元々毛細管現象の理論を導出するのに使っていたものだ。 Navier はその後で弾性体の理論にこの手法を導入するのに好都合な考え方を得たのだ。 しかし、 全ての学者は連続体の分子を想定していた。
式を Poisson もつかんでいた事は後程説明しよう。

.

そして、 Poisson が計算において物体の実際上の構造と一致した最初だ。 (J5-1)

付言すれば、 連続体の仮説は現実的には全く不正確であるが、 科学の中では大きな足跡を果たし、Laplace の理論は学者達からその果たした役割から賞賛の目で迎えられた c
分子活動についてのこの考察は、 大量の特殊問題において、 就中、 弾性体理論において果たさねばならなかった全ての特別の仮説を取り除くのに計り知れない利点があった。 (J5-2)

Another book reviewer, Cournot [4] introduces Navier [9] Physical theory and mathematical principle as
the consumption‘5 in his conclusion: 「 (Navier の) この応用は間違いなく、 分析するだけの彼の相当な素質を示しているが、 ある物理的理論の価値や、 ある原理の真理に関しては沢山の蓄積された近似の後で分かるのではな
いか? 結局、 Navier の新理論はほんの少しだけ、 (これまでの) 経験主義から流体の振舞いと(時間と頭の) 浪費についての科学にしてくれたのか? 我々はある似たような問題を解決するために過大評価してはならない。 せめて$s$

興味のある応用分野の全ての方々にこの論文の一読をお薦めするしかない。」

Ces applications montrent sans doute un grand talent pour manier l’analyse; mais peut-on
prononeer avec certitude sur la valeur ‘une th\’eorie physique et la v\’erit\’e ‘un principe apr\‘es tant‘approximations accuml\’ees ? En un mot. la nouvellede M.Navier rendra-t-elle moins empirique la science de la conduite et de la d\’epense des fluides? Nous ne Pr\’esumerons Pas assez de nous
pour r\’esoudre une semblable question. et nous ne Pouvons que recommander la lecture de m\’emoire\‘a tous ceux que ce genre d’aPPlications int\’eresse.
A.C. [4. pp.13-14]
$d$

$d$

$d$

$th\mathfrak{X}rie$.

We start with citing Poisson explanation of result using sum instead of integral from (3) as follows :$s$\S 14. Cette \’equation donne lieu de faire une remarque importante; est que les sommes
du no.6. que repr\’esentent les lettres $K$ et ne peuvent \^etre chanpries en des int\’egrales, quoique
la variable croisse dans chacune d’elles Par de tr\‘es-petites diff\’erences egales \‘a : car si cettetransformation \’etait possible. serait z\’ero en m\^eme temps que $K$ ; d’o\‘u il r\’esulterait quiapr\‘e lechangement de forme du corps, les forces $P,$ $Q,$ , seraient nulles comme auparavant, et que desforces donn\’ees qui agiraient sur le corps ne pourraient se faire \’equilibre, ce qui est inadmissible.
Pour faire voir que s‘\’evanouirait au m\^eme temps que $K$ , observons qu’on aurait$c$$\sum$$k,\cdot$$r$$\alpha$

$k$

$s$

$R$

$k$

$K= \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{3}}{\alpha^{6}}$frdr,$k= \frac{2\pi}{15}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{5}}{\alpha^{6}}d.\frac{1}{r}fr$,(4)

en multipliaiit sous les signes
par , et rempla\caant ces signes par ceux de l’int\’egration.
Or, si 1‘on int\‘egre par partie. et si 1‘on fait attention que $fr$ est nulle aux deux limites. il en$\sum$$\frac{dr}{a}$r\’esultera(5)$k=- \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{3}}{\mathfrak{X}}frdr=-K$

ce qui montre que la quantit\’e $K$ etant nulle, on aurait aussi $k=0$ . [ . pp.398-399, \S 14]

haven’tidentified
now.
$\overline{3We}$
issues
on
over

$15$

this persoii in $BS\lambda f(11)$ until
The authors use usually the anonym in $BSM$. As the same example.
Cournot [4]the book review
Navier [9]the signature of A.C. in the same $BSM(10)$ .
”4We put the paragraph number of each disputers. Thisis the 27-th paragraph by J.M.C.D.[6]. By the same way, we mean
$A:Arago[1]$ . $N:Navier[13]$ , Note: Poisson[22]. In bellow, we call this note The Note.
$5We$ mean the ‘consumption’of time or all sort of resouces including intellectual activities. etc.
$J2^{\cdot}$

192

.

\S 16. Je substitute, en outre, dans les \’equations (3)pe \‘a la place de $P,$ $Q$ , etc., leurs valeurs,
et je suppose le corps homog\‘ene; en obselvant que $K=(I$ . il vient(6)$o^{2}$.

(6)$\{\begin{array}{l}X-\frac{d^{2}}{dt}\dot{\tau}^{J}+0^{2}(_{d}arrow x+\frac{2}{3}\frac{d^{2}\gamma)}{dydx}+\frac{2}{3}\frac{d^{\ell}w}{dzdx}+\frac{1}{3}\frac{d^{p}}{d_{lJ}\prime}u\tau+\frac{1}{3}d_{-}=)=0.Y-\frac{d^{2}}{dt}tr+a^{2}(\frac{d^{2}}{dy}vr+\frac{2}{3}\frac{d^{\lrcorner}u}{dxdy}+\frac{2}{3}\frac{d^{z’}w}{dzdy}+\frac{1}{3}dx=d^{2}v+\frac{1}{3}=)=0.Z-=d^{2}u|dt+a^{2}(_{d}\neg_{z}+\frac{2}{3}\frac{d^{2}u}{dxd\backslash \sim}+\frac{2}{3}\frac{d^{2}\iota\prime}{dyd-}+\frac{1}{3}\frac{d^{2}}{dx}wr+\frac{1}{3}\frac{d^{:}}{dy}u_{\dot{T})}=0,\end{array}$\’etant un coefficient, \’egal \‘a$\frac{3k}{\rho}$. Ces 6quations ont la m\^eme forme que celles qui ont \’et\’epar M.Navier6. et qu’il a obtenues en partant de 1‘hypoth\‘ese que les mol\’ecules du corps,
apr\‘esS son hangement de forme, s‘attirent $p^{lO}portionnellement$ aux accroissements de leurs distances
mutuelles; et en admettant. de plus, que les r\’esultantes de ces forces peuvent s‘exprimer par &s, ce qui rendroit nul le coefficient , ainsi qu’on 1‘a vu plus haut. Les \’equations relatives \‘ala surface. form\’ees de la m\^elne mani\‘ere, se trouvent aussi dans le M\’emoire de M.Navier. [15, pp.403$donn’\infty s$$a^{2}$$int\acute{e}g\tau ales$4, \S 16]

Fig.1. Circular argument asserting consistency between physical theory and mathematicol principle
NavierPoisson (including by J.M.C.D.)がゼロになる．cf.(6)
この力を積分で表すならば係数
この力を積分で表せない事は証明していろ$a^{2}$$\approx$

物体の自然状態で常に相殺されている。即ち、 力: $P$ が通常ゼロであるか、 または、 力はゼロでないが、 それらの差し引きではゼロである-, (N9)$\Uparrow$$\Uparrow$

これらの力 (attraction と repulsion) の合力を積分でアクションを分離した分子についてのある級数の総和で表すは定積分で表すことは出来ない．
それは全ての分子のアクションを表す距離の関数の性質を保持するものであり、ゼロでは矛盾する。

表す事が出来る。

$\sum$$\Phi$$\Phi$

Poisson が分子のアクションの成分を表す総和 (sum) が積分で取り替えられないという事を言い張ることの根拠はPoisson は反対に 2 つの分子が積み重ねて自然状態の中でも何らかのアクションを呈すると想定する。

「もし、 部分積分によると、 $f(r)$ は両極値でゼロである
事に注意すれば、 $k=-K$ となる」 事だ。
，
まず、「もし $r^{4}f(r)$ が両極値でゼロとすれば」 とある点．
次に $r^{4}f(r)=0$ に対応する極値としてゼロになる事をそして、 この状態を可能とするために、彼は条件 : $\sum r^{3}f(r)=0$ を導いた。
しかし、 この条件は積分記号を使わないので$\sum r^{5}d[\frac{1}{r}f(r)]=0$ とはならずに済み、各項は Poisson の式からは消滅しない。 (J26)
条件 : $(r^{3}f(r)dr=0$ と、 方程式の各項から必然的に出て来る消滅の必要性を結論づけている。 (J27)

受け入れなければならない義務はない点である、．
関数 $f(r)$ として採用出来る無数の形式が存在する事、
このため、 この状況が成立しなくなる事である。 (N23)$\mathfrak{X}$$\Uparrow$

Navier も私と同じ方程式を出した。 これを積分でやったのがNavier の係数 だ。 Navier は否定しているが、と Navier の は同じだ (cf. Table 1. no.1,4)
私の係数
$t$

$a^{2}$$\epsilon$$\Leftrightarrow$......

.
.

韮

こうなれば、 Navier にどうしたら自然界で物質の全ての個所で積み重ねたアクション無しで、 物体の構成を理解させる事が出来るか考えるしかないのだ。 (A3)
結局、 Navier の新理論はほんの少しだけ、 経験主義から流体の振舞いと浪費についての科学にしたのか? (Cournot[4])私の係数$\epsilon$と Poisson の係数$a^{2}$とは同じものではない。

.
.

私の式はその特別な場合 (Navier の式で弾性が色々な方向で同じ時) 当て嵌る。 (Cauchy[3])同じ方程式は非圧縮流体の場合で Navier が得ているが私のものは Poisson がやったものに近い。 (Stokes[23])

Our issue is about (4) of the elastic body, which paper is previous to the fluid. (cf. In Table 1. the entry no. 1,3
and 4 discuss elastic body.) Poisson says his consisteney between physics and mathematics on the expression(4) and (6) :こうして、 それらの attractioll と熱による分子の相互のアクションしか作用されない自然状態と見られる物体の状態の中で、分子を分離している区間ではこの方程式が物体の全ての個所で成り立っている事等が存在せねばならない。 もし、熱の新たな量をそこに取り入れれば、 同じ距離を保って repulsive foroe が attractive force で出来る量を変えずに増大する。 分子の区間がこの方程式が存在し続けるように増大する必要がある。

そして、 関数 $f(r)$ がそこでは同じでない事から、 それからの

6Bv Poisson’s footnote : Tome VII de ces Memoires, which is Navier[8].

193
熱の膨張、物質的な違いの中で差異が生じる。この式は重要な事を喚起する原因となる。それは $No.6$
での総和$\Sigma$は$\iota_{\backslash }’$と$k$がそれで表わされているが、これを積分へ変更出来ない事だ。 ここに、変数$r\downarrow 1$と同様に極めて微小な差異で表す個々のそれの中で増大する。 しかるにもしこの変換が可能ならば、はと同時にゼロとなる。 ここから物体の変形による力の要素 $P,$ $Q,$ は変形しても以前と同じゼロとなり、物体に作用する加えられた力は平衡状態とは成り得ないという結果が生じる。 これは受け入れられない事だ。
$\alpha$

$K$

$k$

$R$

According to J.M.C.D., Poisson‘s physical conception are as follows :は反対に 2 つの分子が積み重ねて自然状態の中で何らかのアクションを呈すると想定す$\Sigma r3f(r)=0$ を導いた。 しかし、 この条件
は積分記号を使わないので $\sum r^{5}d[\frac{1}{r}f(r)]=0$ とはならずに済み、 各項は Poisson の式からは消滅しない。 (J26)
条件 : $\int r^{3}f(r)dr=0$ と、 方程式の各項から必然的に出て来る消滅の必要性を結論づけている。
$Poi_{S8O1}i$る。 そして、 この状態を可能とするために、 彼は条件 :

.

(J27)

.

Navier explains null of molecular activity in his last paper [13] as follows:
弾性固体は極めて微小な距離に置かれた分子の集合体として認識されている。 これらの分子は積み
重ねて、 2 つの相反するアクション、即ち attraction からなる固有力と熱の原理で齎される repulsionに影響を及ぼす、 ある分子 $M$ と近くにある任意の分子の間には、 この 2 つの力 (attraction とrepulsion) の差である $P$ が存在し、 物体の自然状態ではトータルなアクションである $P$ は分子 $M$ が平衡状態であるからゼロ即ち相互に相殺される。 物体の形状が変更されればアクション $P$ は異なる差の値 となり、 全ての力 :と物体に働く力の間で平衡状態となり、 それによって形状の変位が生じ$\Lambda f’$

.
.
.

$\Pi$

$\Pi$

る。 (N7-1)

どれも 2 つの部分 とに分かれるがあると常に理解してよい。 最初の はもし、 単独で存在すると想定すれば、 全ての力 : の中で平衡状態となり、 同様の方法から、 物体の自然状態では全ての力 : $P$ の中で平衡状態になる。
力:はこうして相互に相殺されるので、 平衡状態は残ったと物体に作用する力との間で存在することが必要となろう。 (N7-2)
こう仮定すれば、 ここで原理として、 もう一つの力が任意の $MM’$ にある 2 つの物質の分子の間で物体の形状の変化によって生成されるという事を得る。 そしてこれがこの 1 つだけを物体に作用する力と平衡状態にするものであり、 それぞれに (微小と想定する) 形状の変化が 2 つの分子間の$\pi$$\pi’$

$\Pi$

$\pi$

$\pi$

$\pi$

$\pi’$$\pi’$

距離 $MM’$ を変えた量に比例している。 (N7-3)
この力は距離 $MM’$ が増大すれば attraction になり、 減小すれば repulsion になる。 それに、分子の力を非常に接近した分子間にしか存在しないもの、 そして急減少する値を持ち、 両者がます$\Pi’$

ます遠ざかる分子に対して未知の法則に従うものと看倣す。 (N7-4)

Arago が強調し、 コメントしている語句を見てみよう。 物体の自然状態ではトータルなアクションはゼロか相互に相殺される。 この語句は排他的ではない。 トータルなアクション $P$ は物体の各点で消滅するか、 あるいは差し引きの結果がゼロ。 この言い回しでは明らかに読者に次の二者択一を任せられている。即ち、 全ての力 : $P$ がゼロ。 あるいは力はゼロでないがそれらの差し引きではゼロ。私はこの問題を曖昧のままにしていた。 計算の設定には全く依存しないこの点について説明するのは必要でなかったからである。 (N9)・この点について説明することは決して不必要ではないと思う。 事実、 アクション: $P$ が混同される事を避けた事に注意願いたい。 アクション: $P$ は物体の自然界で存在し、個々の分子に対して物体の変位状態の中で成立する新たなアクション の部分である と平衡状態になる。
個々の分子に対してこの状態で同様に平衡状態となろうとする。 (N10-1)
このように区別をすることによって読者は力 : $P$ を随意に、 有限の値やゼロに想定する事ができる。
$P$

.

.

$\Pi$

(読者には) 力:$\pi$を想定する自由があるので、 力:

. .
$\pi$

$\pi$

.

は私の説明によって、 個々の分子が相殺するの.

に都合の良い値を持った、 力: $P$ とは別のものであり、 私が提唱する原理は常に存続する。 (NIO-2)
私の Arago への手紙 (ACP,1829 年 1 月号 103 頁) で数学的問題をまだ設定しないのに、 物
私質の構成に関して抱いている考えを説明する事、Poisson のそれとの違いを明確にする事、は 2 者択一をして、 物体の自然状態では任意の 2 つの分子間の attractioll と replllsion が相互に消滅す
る事、 即ち、 これらの分子間で存在するアクション (これを $P$ とする) がゼロである事を受け入れたと述べた。 Arago は「 つの同じ分子が違った方法で積み重ねて作用していて、 物体が$2$外力からのアクションを受ける受けないに拘らず、この作用を受けるという事からこういう結果になった」 と判断している。 以上が実際に私の考えている所だ。 (Nll)

Arago は「物理学者は恐らく (Navier の) この仮説に難を呈するだろう。 それがため大きな困難がもたらされ、 どうしたら私が物質の全ての点が、 積み重ねてアクションがない自然界の中で、 物体の構成を理解出来るか示すしかない」 と付け加えている。 私はこの話には私の意見に対抗できるどんな根拠も見っけられない。 もし何方かがこの問題に関してもつと説明して欲しいと望むならば私はこう言うであろう : 「自然界で 2 つの分子 M. $M’$ の attraction は距離の $MM’$ がどうであれ熱の存在による repulsion によって正確に相殺されることが認識できる」 と。 (N12)
At last. Navier may mend and correct his ideas of null which is attacked from all the physical disputer.

194
3
3.1

“

Notes and Additions” to [22]Purposes of his new theory.

Poisson criticises both Laplace and Gauss on$t1_{1}e$paper of capillary action.

On a vu que je m’ecarte aussi de la Mechanique oe’leste, en ce qui conceme $1^{\cdot}explication$
des ph\’enom\‘enes qui ont lieu quand le liquide atteint 1‘extr\’emit\’e superieure du tube. La
d\’emonstration que Laplace avait.
compris entre les node 1‘invariabilit\’e demales a la surface du liquide et \‘a celle du tube, men\’ees par chaque point situ\’e \‘a une distanceinsensible de leur commune intersection, n’a pas paru satisfaisante ;et M. Gauss en a donn\’e une autre tr\‘es \’el\’egante, et qui ne laisse rien d\’esirer, lorsqu’on fait
$donn’\infty$.

$1^{\cdot}angles$$a^{\grave{\prime}}$abstraction de la variation de densit\’e du liquide pr\’es de sa surface et$pr’\infty$de celle du tube.

Poisson tells his selling point :En eyant \’egard \‘a cette variation, dont la loi est inconnu, $j’ ai$ d\’emonstr\’e la m\^eme proposition,
dans le chapitre III,7 ‘une mani\’ere qui, je crois, ne peut laisser aucun doute.
$d$.

Poisson insists his new theory:
La consid\’eration de cet angle est \’egalernent indispensable, $1orsqu^{:}on$ veut d\’eterminer lepoids n\’ecessaire pour d\’etacher un disque solide de la surface
liquide, l’une des questions
les plus interessantes des cette thione, que l’on ‘avait pas, ce me semble, consid\’er sous sonv\’eritable point de vue.
$i$$d\cdot un$

.
.
.
3.2

$\mathfrak{X}$$n$

En effet, le disque et le liquide \’etantgraduellement par un poids qui croit par p\’etites
parties. re poides et la hanteur correspondantes du liquides sont, \‘a chaque instant, des fonctions
de 1‘angle qui reprbSente 1‘inclination de la normale \‘a la surface dedu disque sur unplan horizontal;‘est lorsque ces fonctions atteiguent leur maximum par rapport \‘a , que le disque se d\’etache$soule\backslash ^{J}ae$$1^{\cdot}ar\grave{e}te$

$i$

$i$

$c$

du liquide;
et il en rdsulte la condition ‘aprdS laquelle on d\’etermine la grandeur du poids propre \‘a op\’erer
la s\’eparation du disque et du liquide.
$d$Essential constitution of corps. and paticularly of fluid ; nature of the molecular forces

Poisson explains two sorts of mutual action consisted of atrraction and molecular force, and moreover the latterincludes attraction and repulsion :.
.

Toutes les parties de la mati\‘ere sont soumises \‘a deux sortes d’actions mutuelles.
L’une de cas forces est attractive, ind\’ependante de la nature des corps ou de leurs mol\’ecules,
proportionnelle au produit des masses, et en raison inverse du carr\’e des distances ; elle s’etendindefiuument dans 1‘espace. et produit la pesanteur universelle et tous les ph\’enom\’enes qui sontdu ressort de la m\’ecanique c\’eleste.
est en partie attractive et en partie r\’epulsive: elle d\’epend de la nature des mol\’ecules
et des leur quantit\’e de calorique. On attribue la partie attractive \‘a la mati\’ere pond\’erable, etla partie r\’epulsive au calolique ; et, en effet, celle-ci change ‘intensit\’e, quoique le poids des..
.

$L^{\cdot}autre$$d$n’ait pas chang\’e.
L’exc\’es de l’une sur 1‘autre est ce $qu^{:}on$ appele proprement la force mok’iculaire.
Elle tend \‘a rapprocher ou \‘a \’ecarte les mol\’ecules, selon que 1‘action de la mati\’ere pond\’erable
est plus grande ou nioindre que 1‘action calorifique.
Son intensit\’e decroit tr\‘es rapidement quand la distance desaugmente, et devient
tout-\‘a-fait insensible, des que cette distance a aequis une grandeur sensible.
$mol\mathfrak{X}uleS$$mol\mathfrak{X}uleS$

Poisson explains attraction and repulsion:
Ainsi, tous les mouvenens que nous obserbons, nous devons les attribuer \‘a des forces ‘attraction
ou de r\’epulsion, pour lequelles 1‘action est egale \‘a la r\’eaction, et qui varient avec les distances,suivant une des deux is pr\’ue’dentes. Les vibrations des corps \’elastiques et la communication dumouvement, soit par le choc. soit par la pression. rd.sultent de la force qui n’est sensible $qu$ \‘a des、-dir de la niol\’eculaire.
distances insensibles,
$d$

$10$

$c’ e_{\iota}st-*$7Equation relative au contour de la surface capillaire. [22, pp.7]$\iota-97$

195

.
...
.
.

.
.
.

Soient. et $m’$ les masses de deux mol\’ecules voisines,
et $M’$ leurs centres de gravit\’e, et la distance $MM’$ ;
$m$

$c$

et

$c’$

leurs quantit\’es de calorique, $M$$r$et considerons $1^{:}action$ mutuelk de ces deux molecules.

Supposons $d\cdot abord$ leurs dimmensions tr\‘es petites par rapport \‘a 1‘intervalle qui les s

e.
$MM’$
L’iiction dont il agit se r\’eduira alors \‘a une force unique.
, et dolsuivant la droit
1‘intensit\’e sera une fonction de , que nous repr\’esenterons par ;en m\^eme temps, leur r\’epulsion mutuelle sera proportionelle au produit de et , et leurattr\‘action au produit deet $m’$ .
En consid\’erant la force comme positive ou comme ri\’egative, selon qu’elle tendra \‘a augmentei
ou \‘a diminer la distance , sa valeur sera 1‘exc\‘es de la r\’epulsion sur l‘attraction ;et si 1‘on suppose que 1‘attraction
de la mati\‘ere pond\’erable et du calorique, qui retientcelui-ci dans chaque molecule, ‘\’etend au-dehors, il faudra retrancher de cet exc\‘es 1‘attraction
du calorique attach\’e \‘a $m’$ sur la mati\‘ere de , et celle de la mati\’ere de $rn’$ sur le calorique
attach\’e \‘a , lesquelles forces seront proportionelles. la premi\‘ere au produit.
De cette nlati\‘ere, la valeur compl\‘ete de sera
$s$

\‘al

$\cdot$$1t$$dirig\mathfrak{X}$

$R$

$r$

$c$

$c^{l}$$m$$R$$\cdot$$r$$r\mathfrak{X}iproque$

$s$

$m$

$m$

$rr\iota c’$

$R$

(7)

$R=cc’\gamma-mm’\alpha-mc’\beta-7|\tau’c\beta’$

les coefficiens$\gamma$.

$\alpha,$$\beta,$$\beta’$, \’etant des quantit\’es positives.

.

Le preluier sera ind\’ep\’endent de la nature de et de celle de $m’$ le seconde d\’ependra de l’uneet de 1‘autre, le triosi\’eme ne d\’ependra que de la nature de $m$ et le quatri\’eme de celle de $m’$ .
$m$

.

.

Poisson reduces the last three terms of (7) to one term.
En r\’eunissante ces trois derniers termes en un seul. on pourra \’ecrire la valeur deforme :

..
..

$R$

sous la$R=Fr-fr$
Chacune des deux fonctions $Fr$ et $fr$ n’aura que des positives;
et si 1‘on fait abstraction de l’attraction en raison inverse du carr\’e des distances, qui n’aucune
influence sensible sur les ph\’enom\‘enes d\’ependans de la force moleculaire proprement dite, cesvaleurs decroitront tr\‘es rapidement et sans alternative. \‘a mesure que la variable augmentera,
et elles deviendront insensibles pour toute valeur sellsible de .
Pour une certaine valeur de cette distance. on
avoir $Fr=fr$ et $R=0$ :
$r$

$r$

$poul\cdot ra$

le signe de sera diff\’erent
et audel\‘a. soit que la r\’epulsion $Fr1$ ‘emporte d’abord sur
1 attraction $fr$ , soit que le contraire ait lieu \‘a 1‘\’egard de ces deux forces.
[22. pp.269-271]

4$R$$en-de\sigma\grave{a}$Reducibility from sum into integral on a function made with attraction and $/or$ repulsion

We discuss whether the sum is reducible into integral or not. Poisson points out this problem. We use theexpressions :,below aceording to the then generally descriptive style.
Poison expresses the sum of the function
as follows:$\varphi 0\equiv\varphi(0),$$\varphi^{\epsilon}\equiv\varphi(\epsilon),$$\varphi 2\overline{\epsilon}\equiv\varphi(2\epsilon)$$\cdot$$\cdot\cdot$$\varphi x$

Soit . une fonction donnee de la $val\cdot iablex$ . Faisons croitre par des diff\’erences constantes
dont la grateur sera repr\’esent par ; supposons que les valeurs de $xS^{)}etendent$ depuis
jusqu‘a $x=\infty$ ; et par la somme des valeurs correspondantes de.
$x$$\varphi x$$\mathfrak{X}$$x=\epsilon$$p$$\epsilon$$p$$\varphi x$$p= \sum_{x=:_{\epsilon},j\in N}^{\infty}.-\cdots$

Here, using the integral of the function$\varphi x$. Poisson says.

of sum of the functionof Poisson‘s Note. then we cite from his original:$\varphi x:\frac{2}{\epsilon}I_{0}^{\infty}[\sum_{i=1}^{\infty}\cos\frac{2i.\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$.

will become an approximate value, which is espressed in (10). We think here is the point$\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty};\rho xdx-\frac{1}{2}\varphi 0$

196, sera une valeur $approach’\propto$ de la somme, que la diff\’erence deces deux quantit\’es peut ‘exprimer par une autre int\’egrale d\’efinie, de sort, que 1‘on aura exactement

L’integrale$\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$

, divis\’ee par et diminu\’ee de$\frac{1}{2}\varphi 0$. et 1‘on a vu, dans mon M\’emoire sur Calcul numenque des Intigrdes$\overline{c}$$d\acute{t}fines^{8}$$p_{\backslash }$

$e$

$s$

(8). [22. p.278]

We show the difference of integral from sum as following :.

(8)$p= \frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx-\frac{1}{2}\varphi 0+\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}[\sum_{i=1}^{\infty}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$

Here,is necessary for adjustment of the series (10). We use a known result:$\frac{2}{\epsilon}$$a \equiv\frac{1}{2\pi^{2}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{12}$,$a’ \equiv\frac{1}{8\pi^{4}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{720}$,$1+_{2} \pi^{1}+\overline{3}^{F}1+\overline{4}^{V}1+\cdots=\frac{\pi^{2}}{6}$$0”\equiv\frac{1}{32\pi^{6}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{6}}=\frac{1}{30240},$$\cdots$, then$i\in N$

Here. we consider the following description :$p= \frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx-\frac{1}{2}\varphi-a\epsilon\varphi’+a’\epsilon^{3}\varphi’’’-a’’\epsilon^{5}\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}+\cdots$.

(9)

where by applying integration by parts to tlie second integral in (8), we get the series of terms having both evenpower of and odd differential of . This means that according to Poisson :$\wedge$$\varphi x$

Par le proaed\’e de 1‘int\’egration par partie. on !uira la second int\’egrale contenue cette formule, en une
suivant les puissanees paires de , dont les coefficiens renfermeront les
diff\’erentielles impaires de, relatives aux deux values extr\’emes de .
$r’\alpha$$s\acute{e}i\cdot ieordonn’\infty$$\epsilon$$x$$\varphi x$

Namely. if $mod (i, 2)=1$.

$(i\in N)$ ,$\overline{\circ}\int 0^{\infty}\underline{2}.[\sum_{i=1}^{\infty}\infty s\frac{2i\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$

for$\cos\frac{1}{2}i\pi=0$. then the second integral in (8) is developed as follows :$=$$\frac{2}{\epsilon}[\frac{\epsilon}{2i\pi x}\sum si_{11}\frac{2i\pi x}{\hat{c}}\varphi x]_{0}^{\infty}-\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\frac{\hat{c}}{2i\pi x}\sum\sin\frac{2i\pi x}{\vee c}\varphi’xdx$$=$$\frac{2}{\vee c}[(_{\overline{2\dot{\uparrow,}\pi x}}’)^{2}\sum\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi’x]_{0\prime}^{\infty}-\frac{2}{c}\int_{0}^{\infty}(\frac{\epsilon}{2i\pi x})^{2}\sum\infty s^{\underline{2i_{\hat{c}}\pi x}}\varphi’’xdx$

$=$

$=$

$\frac{2}{\epsilon}(-\frac{\epsilon^{\underline{Q}}\varphi’}{(2\pi)^{2}}\sum\frac{1}{i^{2}}+\frac{\epsilon^{4}\varphi’’}{(2\pi)^{4}}\sum\frac{1}{i^{4}}-\frac{\overline{c}6_{\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}}}{(2\pi)^{6}}\sum\frac{1}{i^{6}}+\cdots)$$=$$-a\epsilon\varphi’+a’\epsilon^{3}\varphi’’’-a’’\epsilon^{5}\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}+\cdots$

.

(10)

where
. are the same coefficients as (9). In the two limit value $x=\infty$ and $x=0$ , it reserves only theterm at lower limit $x=0$ of the third terlns in (9). Because

.

.

$a’$

$a,$

$a^{Jl}$this function$\varphi,$$\varphi’’,$$\varphi’,$$\varphi x$$\cdots$

and all the differential coefficients evaporate at $x=\infty$

are the values of. ￡.
$d_{4}$$\underline{x}$$\varphi x$$\frac{d^{2,}.\rho x}{dx^{2}},$$\cdots$

which correspond to that at $x=0$ .

In this paper, Poisson asserted that in a singular case using integral, all the terms in (9) evaporate except for
top two terms. then we must use sum (8) as follows:
De plus, \‘a quelque terme que 1‘on arr\^ete la s\’erie (9). le reste qu’il faudra ajouter pour avoir lavaleur exacte de , sera exprint\’e par une int\’egrale d\’efinie, dont la valeur changera g\’en\’eralement d’unterme \‘a l’autre. et dont on pourra assigner des limites qui feront connaitre si la s\’erie est convergente.
Dans le M\’emoire cit\’e, $jai$ examine en d\’etail le cns singulier o\‘u le rest est constant, et o\‘u les termesde la s\’erie (9) s‘evanouissent tous, except\’e les deux premiers; ce qui oblige de recourir \‘a 1‘\’equation(8) pour calculer la valeuer de .
$y$

$p$

$p$

.

Poisson asserted also that :.

de celles qui varient tr\‘es rapidment
une fonction du
En g\’en\’eral, si 1‘on prend pouret sont insensibles d\’es que la variable a aquis une grandeur sensible, les quantitds :seront toutes du ln\^eme ordre de grandeur;$gem\cdot e$$\varphi x$$\varphi x,$$x_{dx}^{\underline{d}_{1}\underline{x}},$$x^{2} \frac{d^{2}\varphi x}{dx^{2}}$.

$x^{3} \frac{d^{3}\varphi x}{dx^{3}},$$\cdot\cdot$,

pour que la s\’erie des produits :, et, \‘a plus forte raison, la s\’erie (9), soient tr\‘es rapidment d\’ecroissantes.
;
des valeurs sensibles deil suffira donc que soit tr\‘es petite, eu \’egard \‘a$\epsilon\varphi’$$\varphi,$.

$\epsilon^{2}\varphi’’,$$\epsilon^{3}\varphi’’’,$$\cdots$$1^{\cdot}etendue$$\epsilon$

8Tome VI des Nouveaux M\’emoires de lA$c(\iota k’\mathfrak{m}.ie$

des Sciences. sic.

$\varphi x$

197

.

et, dans cette hypothaese, la seconde integrale que contient la formule (8) sera toujours llne
quantit\’e extr\^emement petite,-soit qn’elle se d\’eveloppe en s\’erie suivant les puissances de ,. lieu, cause que toutes les quantitee-soit que ce d\’eveloppement $n’ a$ it$\epsilon$$a^{\grave{\prime}}$$pa\dot{s}$sont \’egales \‘a zero.

4.1$\varphi’$.

$\varphi’’,$$\varphi’’’,$$\cdots$,

Reducible examples of sum transformable into integral

We suppose
by putting$c.c^{/},$ $a,$ $\alpha’\ldots$$\epsilon\equiv\beta\alpha$.

. are positive constants.
ま$\varphi x=oe^{-}$$\Rightarrow$, then (9) becomes$p=c(\mathfrak{d}$and supposing that$\beta$(11)

were an infinitesimal fraction, then(12)$p= \frac{c}{\beta}=-\Xi 1\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$$\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$.

is the first term of (11), then sum equals to integral.
$\varphi x=ce^{-\frac{z}{\circ}v^{2}}$$\Rightarrow(\varphi x)^{\prime-x^{2}}=c(-\frac{2x}{\alpha^{2}})\theta.\vec{\alpha-}$$( \varphi x)’’=c[-\frac{2}{\alpha^{2}}+(-\frac{2x}{o^{2}})^{2}]e^{-x^{2}}\vec{Q^{-}}$$\Rightarrow\varphi’=0$$\Rightarrow\varphi’’=-c(\frac{2}{\alpha^{2}})$,,$( \varphi x)’’’=c[(-\frac{2}{\alpha^{2}})(-\frac{2x}{\alpha^{2}})+(-\frac{2x}{\alpha^{2}}I^{3}]e^{-\frac{x}{\alpha}\tau}2\Rightarrow\varphi’’’=0$.

Then. in general:$\{\begin{array}{l}mod (n, 2)=0_{:}(n\in N) \varphi^{(n)}=c(-\frac{2}{\alpha^{Q}\wedge})^{(n-2)}mod (\iota.2)=1, (n\in N) \varphi^{(n)}=0\end{array}$Thus. all the derivatives of odd times become $(\varphi x)’=(\varphi x)’’’=(\varphi x)^{(5)}=0$ , we can get the developing seriesof sum by second integral in (8), into the series of the power of , however, (Poisson descrived simply) if we
put
$t$

$c’$

$\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{\circ}7}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}dx\equiv\frac{1}{2}\alpha\sqrt{\pi}e^{-(\frac{22,\backslash \alpha}{\vee e})^{2}}\wedge$

Correctly. according to (8),$1_{0^{e^{-\frac{x}{Q}\tau}}}^{\infty_{2}}[\sum_{i.=1}^{\infty}\cos\frac{2i\pi x}{\vee\sigma}]dx\equiv\frac{1}{2}\alpha\sqrt{\pi}e^{-(\frac{2\cdot\pi\alpha}{\epsilon})^{\underline{\eta}}}$then, by putting
$p=$
$=$

$\frac{2\pi\alpha}{\xi}\equiv\gamma\cdot,$(8) becomes as following:$c( \frac{\alpha\sqrt{\pi}}{2\epsilon}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{\pi}}(\frac{2\pi\alpha}{\epsilon})e^{-\frac{\underline{o}_{\sim_{\backslash }0}}{\epsilon}}+\frac{1}{2\sqrt{\pi}}(\frac{2\pi \mathfrak{a}}{\epsilon})e^{-4(\frac{2\pi 0}{\epsilon})^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{\pi}}(\frac{2\pi\alpha}{\epsilon})e^{-9(\frac{2\pi 0}{\dot{e}})^{3}}-\cdots)$(13)$\frac{c}{2\sqrt{\pi}}(\frac{\gamma}{2}-\sqrt{}+\gamma e^{-\gamma}-\gamma^{-4\gamma^{2}}+\gamma e^{-9\gamma^{3}}-\cdots)$

As is a big number in the hypothesis of very small in comparison with , this series will converge extremely.
all after the third terms are completely insensible. By the comparison of the first term with the second :. we can neglect the second term, then$7’$$\epsilon$$\alpha$$\frac{c}{2}(\frac{\sqrt{\pi}\alpha}{\text{\’{e}}}-1)>>0$$p= \frac{c}{2\sqrt{\pi}}\frac{2\pi \mathfrak{a}}{2\epsilon}=\frac{c\alpha\sqrt{\tilde{JI}}}{2\epsilon}=\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$

is the first term of (13), then sum equals to integral.
1 Here. Poisson
sumlnerizes$\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$

these two exaniples:Ces deux examples suffisent pour montre que quand on supposose 1‘intervalle des valeurs succussives de extr\‘ement petit par rapport \‘a l’\’etendue des valeurs sensibles des, la sommesetransformera en une int\’egrale divis\’ee par , touts les fois quene sera compos\’e que une ‘un seulterme, ou de plusieurs terms de m\^eme sign; mais cela
par toujours lieu. lorsque cette fonctionsera
de deux parties, des contraires.
$\epsilon$$x$$\epsilon$$\varphi x$$naul\cdot a$$Compos\mathfrak{X}$$p$$\varphi x$

$d$

198
4.2

..

Irreducible examples of sum intransformable into integral

Poisson puts the cases of the irreducible functions as followings:
thethe$\varphi a$: is not composed of only one terrn

is composed of the plural terms having inverse signes$\varphi x$

At first, we consider the first pair of.

$\varphi x$$\varphi x=cc^{-\frac{x}{Q}}-c’e$with term having inverse signes.

一章$\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=\frac{c\alpha}{\epsilon}-\frac{C’C!’}{\epsilon}$

Because the value of
were $compal\cdot able$ and
Next, ifevaporates with . then$mol\cdot e$$\varphi x$

.

than

,

$\varphi=c-c’$(9) does not reduce into the $f_{irst}$
term.

$\frac{1}{e}/0^{\varphi xdx}\infty\cdot,$$x$$\varphi x$$\varphi x=(oe^{-\sum_{a}}-c’e^{-\Rightarrow}\circ)x$.

$\varphi=0$$\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi_{X(l\prime}\iota=\frac{o^{2}}{\epsilon}-\frac{c’\alpha^{\prime^{2}}}{\epsilon}$,$\varphi’=c-c’$Poisson says : this sample function may be the third term of (9), viz.,, which will become comparable orsuperior to the first term, while the coefficients and are almost in the ratio of the inverse squared of and$-ae\varphi’$

$c’$

$c$

$\frac{\alpha’}{\epsilon}$$\frac{a}{\epsilon}$.

At last,consider more complicated pair ofcapable of becoming greater than we expect.
$V^{r}e$.

$b$$\varphi x=b(\frac{\epsilon}{o}e^{-\frac{z}{\alpha}}-\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{z}{\alpha’}})$The series (9) reduces to the second term,.

with term having inverse signes. We suppose is a cofficient$\varphi x$

一$\varphi x=bx(\frac{\epsilon}{\alpha}e$$\frac{1}{2}\varphi$$\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=b(1-1)=0$.

$\sum_{a},-=$$\Rightarrow\frac{1}{\hat{c}}\int_{0}^{\infty}\varphi xd\tau=b(1-1)=0$

The series (9) does not reduce, because all the terms are not colnparable with the first term, then sium does notequal to integral. These examples are also irreducible types from sum into integral.

4.3

Conclusions by Poisson

Poisson concludes the difference of reducibilitv to integral between
andas follows :Je conclus de l\‘a, conform\’ement \‘a ce qui a \’et\’e dit dans le no.1
quequand la somme des valeurs d’une fonction de la nature deest pas r\’eductible \‘a une.

.

$x\varphi x$$\varphi x$$3^{}$$\varphi xn$

int\’egrale d\’efinie,
il ‘est point \‘a craindre que la somnle des valeurs de‘exception. [22. p.282]$n$$x\varphi x$

tombe en m\^eme temps dans ce cas$d$Poisson described previously this theme in the article no.31 of text. We cite this paragraphs itemizing andcomparing two items as follows :Mais cette nouvelle difficult\’e n’a plus lieu, si. comme on 1‘a dit tout \‘a 1‘heure. 1‘action mol\’eculaire
provient de deux forces contraires. dont chacune est extrelnement grand, eu \’egard \‘a leur diff\’erence;.
circonstance qui peut rendre la guantit\’e $\sum rR\infty mparable$ et m\^eme sup\’erieure..
..

$\grave{a}\sum R$–

Tbutefois.
, cette circonstance m\^eme, \‘a unela somme $\sum R$ \’etant irr\’eductible,
ilfaut pas conclure que la m\^eme chose aura \’egalement lieu pour la somnie $\sum rR$ .
On se convaincra sans peine du contraire par des exemples $ai\iota xquels$ on appliquera la formule
relative \‘a ce genre de r\’eductions, et qui montreront que
si la premiere somme est irr\’eductible par nature de la fonction ,et malgr\’e la petitesse des diff\’erences de . la second ne le sera pas en g\’en\’erel.
Quant \‘a la sommed\’epend la pression sur la plan, et qui fait exception \‘a la regle g\’en\’erale,qui ‘est pas r\’eductible \‘a une int\’egrale, il nous suffira ‘-avoir expliqu\’e conunent ellepeut varier, suivant un rapport quelconque. pour des variations tr\‘es petite dams lesmoleculaires, provenant du degre de condensation du liquide.
[22. pp.30-31]$i_{1}zt\acute{e}grale_{:}$$d^{:}apr\grave{e}_{\backslash }\^{\neg}$$n^{:}en$$d\cdot Euler_{\dot{1}}$

$R$

$r$

$d’ 0\grave{u}$$c’ est-\grave{a}_{r}dire$

$d$

$n$

$inter\backslash alles$

Here. Poisson conclusions are two points as followings : $\sum R$ is irreducible into integral, however. $\sum rR$ isreducible into integral, although the differential of is slnall, because the nature of function R. which express
repulsion.
descriptive actions of molecules. such as attraction and
$s$

$r$

$/01^{\cdot}$$\frac{then1i.croscopically}{9[22pp.3tk31]}$

199
5

Conclusions.

Navier describes about what he reallv means of null of molecular action in nature in $N9-12$ . Poisson summarizes
his idea from the mathematical viewpoint as follows :級数 (9) を打ち切るいずれかの項で の正確な値を得るために加える剰余項は定積分で表せる。 この定積分の値は一般的に項によって変化するし、 その級数が収束しているかどうかを知る極限を割り当てることが出来るものである。 この論文では、 の計算で．剰余が定数になる場合や、 ・級数 (9) が最初の 2 項を除いてゼロになる
場合等の特異な場合を詳細に調べた。 これには、 の値を得るために式 (9) に訴えねばならない。 (The Note)
これらの 2 つの例はの大きな値の範囲に比べて極めて微小な の連続した値の区間 を想定する時、が単項だけで出来ている、． が同じ符号を持つ多項からなっている等の時はいつでも総和 が で割ったある積分に変換される事を示すのに十分である。 しかし、 これはこの関数が逆の符号を持つ 2 つの部分で出来ている場合は常には成り立たない。 (The Note)
Poisson doesn’t use at all of sum exeept[ $22$ , pp.3O-3l] and $\sum R’[22, p.68]$ , in which he
xplains the mathematical excePtions, as well as in The Note, bowever, in the Parent part to The Note [22]. heisn’t necessary for using of sum instead of integral, and uses the ordinary deduction of the hydrostatic equations
as follows : In a word. we can conclude that, Poisson choices bum or integral as the case may be of the material,
after enough alternative. Navier Passesd away in 1836. and we don’t know whether he had checked Poisson’sNote. whieh was issued in 1831. Poisson Passed away in lS40. The Navier-Stokes equations was fixed unti11934,
which is cited by a textbook by Prandtl. (cf. Table 1. entry no. 7. For further particulars, cf. [7].) There areother disputes of sorts such as with Fresnel. With Fourier [5]. Poisson $[19],$ [ $15,18$ pp.367-S] disputes about theapplication of root from algebraic into trancendental equatiolls. At any rate, we should evaluate his uniquenessand rigorousness from the insight of mathematics.

.

$p$

$p$

$p$

$\varphi(x)$$\varphi(x)$$x$$\epsilon$$\varphi(x)$$p$$f0_{1}\cdot\sum R,$$\epsilon$$\frac{1}{h}\sum\gamma\cdot R$

$e$

.

$\nu$

Table 1: The kinetic equations of the hydrodynamics until the ”Navier-Stokes equations” were fixed. (Rem.
: hydrodynamics, $N$ under entry-no: non-linear, gr.dv: grad.div,
in elastic,in fluid.
The group of entry 5,6 and 7 show $F=3$ in fluid.
: tensor function with the main axis (the normalg stress)of the Laplacian.)$HD$$E: \frac{\Delta}{r.d_{t}}$$\triangle$$F: \frac{\Delta}{rdv}$

200
References