第9回
理学部

無限小正準変換
物理科学科

齊藤 国靖

2024 年 6 月 21 日
正準変換の特別な場合として無限小正準変換がある．無限小正準変換は一般化座標と一般化運動量の微小な変化を表す正準変換であり，恒等変換に対する微小なズレとして定式化される．特に，無限小正準変換の母関数が保存量であれば，変換後のハミルトニアンは不変である．具体的に母関数が運動量，角運動量，エネルギーといった保存量で与えらえれる場合について詳しく説明する．

1 恒等変換第 7 回「正準変換」で挙げた正準変換 II の母関数に含まれる関数 F2 (qi , Pi , t) に対し，

pi =

∂F2,
∂qi

Qi =

∂F2,∂Pi

K=H+∂F2∂t(1)が成り立つ．ここで，F2 (qi , Pi , t) = qi Pi とすると

p i = Pi ,Q i = qi ,K=H(2)となり，一般化座標，一般化運動量，およびハミルトニアンは不変である．この様に，

η = (qi , pi ) −→ (Qi , Pi ) = (qi , pi ) = η
であるような正準変換を恒等変換という．以後，F2 (qi , Pi , t) のことも母関数と呼ぶ．

2 無限小正準変換
正準変換のうち，正準変数の微小変化を表すものを
無限小正準変換η = (qi , pi ) −→ η + δη = (qi + δqi , pi + δpi )という．ここで，δη の大きさは微小であるため，無限小正準変換＝恒等変換からの微小なズレ

12 無限小正準変換2と考えることもできる．恒等変換の母関数は F2 (qi , Pi , t) = qi Pi であるから，無限小正準変換の母関数はF2 (qi , Pi , t) = qi Pi + ϵG(qi , Pi , t)(3)であると考えてよい．但し，ϵ ≪ 1 は微小パラメータである．
式 (1) の最初の式に式 (3) を代入すると

pi =

∂F2
∂G= Pi + ϵ∂qi∂qiとなるから，一般化運動量の微小変化は∂G∂qi(4)∂F2∂G= qi + ϵ∂Pi∂Pi(5)

δpi = Pi − pi = −ϵとなることが解る．同様に，式 (1) の 2 番目の式はQi =となる．ここで，関数 G(qi , Pi , t) を Pi = pi + δpi についてテイラー展開するとG(qi , Pi , t) = G(qi , pi + δpi , t)∂G
≈ G(qi , pi , t) +δpi∂piであるから，微小量 ϵ, δpi の 1 次までの近似で{}∂pi ∂∂G∂G≈ϵδpiG(qi , pi , t) +ϵ∂Pi∂Pi ∂pi∂pi()()∂G ∂ 2 G∂δpi+=ϵ 1−δpi∂Pi∂pi∂p2i∂G≈ϵ∂piとなる．但し，pi = Pi − δpi に対し，∂pi /∂Pi = 1 − ∂δpi /∂Pi とした．よって，式 (5) より

Qi ≈ qi + ϵ∂G∂piであり，一般化座標の微小変化は

δqi = Qi − qi ≈ ϵとなることが解る．

∂G∂pi(6)

2 無限小正準変換

3

2.1 行列を用いた表式
式 (4) と (6) をまとめると

正準変数の微小変化δqi = ϵ∂G,∂pi∂G∂qi

δpi = −ϵ(7)である．但し，ここでの関数 G はテイラー展開した後の G(qi , pi , t) なので注意しよう．式 (7) に対応し，2n 次元ベクトル ∂G 


δq1
 ..  . δqn  ,δη =  δp1  . 
 .. 

∂q1

 . 
 .. 
 ∂G 
∂G  ∂qn = ∂G ∂η ∂p1 
 .. 
 . 

δpn(8)∂G∂pnを導入すると，第 8 回「ポアソン括弧式」で用いた 2n × 2n 行列
J =
−1

01..

0.

00..

.

001

(9)−1により，式 (7) は次の様に表される．

δη = ϵJ∂G∂η()T(10)2.2 ポアソン括弧式による表式
第 8 回「ポアソン括弧式」で{u, v} =∂u∂ηJ∂v∂ηという関係式を得た．関数 u, v は任意なので，u→η ,とすると，式 (11) は({η, G} =v→G∂η∂η)TJ

∂G∂η

(11)

2 無限小正準変換

4となる（u と η の置き換えについては，η の各成分に置き換えると考えればよい）．ここで，∂η=1∂ηは単位行列なので，結局，{η, G} = J∂G∂ηとなる．これを式 (10) に代入すると，正準変数の微小変化はδη = ϵ{η, G}(12)と書ける．ここでも，関数 G はテイラー展開した後の G(qi , pi , t) なので注意．

2.3 保存量との関係
式 (1) の最後の式に式 (3) を代入すると，∂{qi Pi + ϵG(qi , Pi , t)}∂t∂G=H +ϵ∂t

K=H+(13)となる．一方，無限小正準変換後のハミルトニアン H(η + δη) をテイラー展開すると(H(η + δη) ≈ H(η) +∂H∂η)Tδηとなる．ここで，右辺第 2 項に式 (10) を代入し，ポアソン括弧式の表式 (11) を適用すると(∂H∂η)T()T∂H∂Gδη = ϵJ∂η∂η= ϵ {H, G}となる．よって，式 (14) はH(η + δη) ≈ H(η) + ϵ {H, G}であり，式 (13) の K との差を計算すると∂G− ϵ {H, G}∂t()∂G=ϵ+ {G, H}
∂tdG
=ϵdt

K − H(η + δη) = ϵである．但し，ポアソン括弧式による時間発展の表式を用いた*1 ．

*1 第 8 回を参照．

(14)

3 無限小正準変換の例

5以上により，

dG= 0 ならば K = H(η + δη)
dtとなり，


G が保存量であれば，無限小正準変換でハミルトニアンは不変

であることが解る．

3 無限小正準変換の例
関数 G(qi , pi , t) に保存量を代入し，無限小正準変換の具体例を見てみよう．

3.1 運動量保存量として運動量を考え，G(qi , pi , t) = pjを式 (12) に代入し，ポアソン括弧式の性質を使うと*2

δqi = ϵ {qi , pj } = ϵδij

(15)

δpi = ϵ {pi , pj } = 0(16)となる．式 (15) は
一般化座標のある成分 qj だけが δqj = ϵ だけ平行移動する

ことを示しており，その他の成分 i ̸= j は平行移動しない．つまり，運動量による無限小正準変換は平行移動を表す．なお，式 (16) より，平行移動によって運動量は変化しないのが解る．

3.2 角運動量保存量として角運動量を考え，G(qi , pi , t) = [ri × pi ]zを式 (12) に代入し，ポアソン括弧式の性質を使うと，座標の各成分に対して

δxi = ϵ {xi , xi piy − yi pix } = −ϵyiδyi = ϵ {yi , xi piy − yi pix } = ϵxi
δzi = ϵ {zi , xi piy − yi pix } = 0*2 第 8 回を参照．

3 無限小正準変換の例

6となる．z 軸方向の単位ベクトル ez = (0, 0, 1) を使うと，上式は

δri = ϵez × riとなり，図の様に
位置ベクトル ri を z 軸の周りに ϵ だけ回転することを示している．つまり，角運動量による無限小正準変換は回転を表す．

図3.3 エネルギー保存量としてエネルギー（ハミルトニアン）を考え，G(qi , pi , t) = Hを式 (12) に代入すると

δη = ϵ{η, H}(17)となる．ここで，ポアソン括弧式を用いて正準方程式を書くと*3η̇ = {η, H}であるから，これを式 (17) に代入して

δη = ϵη̇が得られる．式 (18) の δη は(18)

微小時間 ϵ の間の η の時間変化

であり，ハミルトニアンによる無限小正準変換は正準変数の時間発展を表す．

*3 第 8 回を参照．

4 補足：物理量の時間発展

74 補足：物理量の時間発展
物理量 u(qi , pi ) が時間に陽に依存しないとき，時間の全微分はポアソン括弧式を使って*4

du= {u, H}dt(19)

で与えられる．上式で u → du/dt と置き換えるとddt(dudt){=du,Hdt}

d2 u= {{u, H}, H}
dt2∴(20)となる．但し，右辺に式 (19) を代入した．同様に，時間に関する 3 階微分は

d3 u
= {{{u, H}, H} , H}
dt3(21)である．ところで，関数 u の時間に関するテイラー展開は(u(qi , pi ) = u0 + tdudt)

t2+2!
0( 2 )()
t3 d 3 ud u++ ...
dt2 0 3! dt3 0であるから，式 (19)-(21) を代入すると

u(qi , pi ) = u0 + t{u, H}0 +t2
t3{{u, H}, H}0 + {{{u, H}, H} , H}0 + . . .
2!
3!

(22)となる．但し，u0 は時刻 t = 0 における u(qi , pi ) の値であり，ポアソン括弧式の下付き添え字 “0”も t = 0 での値を表す．ここで，演算子

Ĥ = {∗, H}0を導入すると，式 (22) は


物理量の時間発展u(qi , pi ) = eĤt u0と書ける．これは時刻 t での物理量 u(qi , pi ) と初期値 u0 を結び付ける公式であり，演算子 e
時間推進演算子と呼ばれ，量子力学においても重要な役割を果たす．

*4 第 8 回を参照．

Ĥtは