赤，青，黄，緑の 4 色の玉がそれぞれ十分多《考え方》

くある．この中から玉を 1 個ずつ選び，同じ色まず，最初の第 1 手は大丈夫でしょうか？の玉同士が隣り合わないようにして合計 13 個

「特殊なただ 1 つの玉」があれば，それを固定しの玉を円形に並べる．回転して重なるものはて考えれば良いですが，今回の問題の設定の場合，同じ並べ方であるとするとき，並べ方は全部でどの玉を何個使うのかが不明瞭であるため，そのや何通りあるか．ただし，使わない色の玉がり方では上手く行きません．ですので，前回の中西あってもよいとする．

先生の問題同様
1 回転して重なるものも一旦区別する
2 後から重複度で割る《はじめに》
あれは，夏休みも終わり，9 月になったばかりのの流れで攻めることになります．

某日．

その際，重複度がどうなるかが最初の鍵です．今大学のサークルの先輩が，ご自身の結婚式の際の回は「13」という数字が要で，この数字は素数です

動画をネット上にアップロードをしているようで， から，重複度は 1 または 13 以外にありません．
そちらを視聴しているとき，事件は起きました．

「重複度」の確認をしておくとパソコンがフリーズ．

ある 1 つの並べ方から，それを回転させること言っても，4 月頃からご機嫌斜めであった我がとにより，何通りの異なる並べ方を生み出す

パソコンは，動画再生などの「重い」作業をする際，ことができるか頻繁に同様のフリーズ（→強制終了）は起きていたを考えれば良いんでしたよね．裏を返せば，回転しわけですが，今回の場合，どうやら致命傷だったらている途中にそれまでと同じ並べ方が登場した場合しいようです．それ以降，起動は何とかするもののは，そこから繰り返すことになるので，重複度とし起動後 1 分前後で，何もせずともフリーズてはイレギュラーなものになったわけです．ですが，という，恐ろしい状態に達してしまったのです．

今回の場合，「13」は素数なので，回転の途中で同（その先輩の動画にウィルスが…とかいうわけではじ並べ方は登場せず，グルッと一回転して初めて重）決してないです．念のため．

なることになるのでよって，熟考を重ねた上で，ついにパソコンを新どの色を何回使うかに関わらず，重複度は調！！

必ず 13，つまり 13 で割れば良い

先日，無事私の手元に届き，色々な初期設定をしてようやく始動です．となるわけです．
（全部が同じ色であることはないので，重複度が 1

いやはや，おニューのパソコンは素晴らしいです． ということはあり得ない．）• ちゃんと起動する

逆に，「13」でなく「12」や「14」などの合成数• フリーズしないの場合は，重複度がその都度まちまちになるので困• 勝手に電源が落ちない難を極めることになります．の 3 拍子揃った，何とも快適なマシーンです．

この問題の最初のハードルは，上記の通り，「13そんな環境の中での，記念すべき初の原稿がこちで割れば OK」であることに気付くかどうかです．

らです．（前回の問題の方は，会社のパソコンにて作成．）
プレミアムな解答を以下，ご覧ください（笑）．

1

ここから，後半戦です．

玉の色の数が，n のときと n + 1 のときとの関係

回転して重なるものも一旦区別することにしたのだなんて，ちょっと考えづらいですよね．ここは素で，これは単に横一列に並べるだけのお話です．こ直に，並べる玉の数を n とします．先ほどの考察をの横一列に並べる場合の数を正しく求め，13 で割れ踏まえると，最初と最後とで色が同じか異なるかでば答えです．

分けて考えます．n 個の玉を，隣り合う玉同士の色

しかし，残念ながら，これが一筋縄ではいきませが異なるように横一列に並べる場合の数の中でん．以下のように間違えた考え方をした人はいませ

an：両端の色も異なる並べ方の総数

んか？

bn：両端の色は同じである並べ方の総数
一番左の玉の選び方が 4 通り．

として，an，an+1，bn，bn+1 の関係を考えます．このその右隣は異なる色の玉より 3 通り．

とき，求めるものは以下，同様に 3 通りずつ．
よって，4 ¥ 312 通り．

anです．
13では，どんな漸化式が得られるでしょうか．

・・最終的に円形にするのだから，最初に選ぶ左an+1 を，n 番目のもの，すなわち an と bn とで表橋の玉と，最後に選ぶ右端の玉は同じ色ではダメで現することを考えます．両端の色も異なる n 個の並すよね．じゃあべ方において n + 1 番目の玉の選び方はそれぞれ 24 ¥ 311 ¥ 2 通り通りあり，両端の色が同じである n 個の並べ方におかと言うとこれも間違いです．13 個目を「☆」で表いて n + 1 番目の選び方はそれぞれ 3 通りあるのですとして，具体的に見せると

an+1 = an ¥ 2 + bn ¥ 3

1 2 ・・・・・・・・・12 13= 2an + 3bn

赤青・・・・・・・・・黄 ☆

が成り立ちます．（下の具体例参照）

赤青・・・・・・・・・赤 ☆

1 2 ・・・・・ n n+1の，1 番目と 12 番目の色が同じか否かの大きく分けて 2 ケースとがあって，上側の「☆」にこれるのは青緑の 2 通り，下側の「☆」には青黄緑の 3 通りです．
ですので，「¥ 2」「¥ 3」のどちらであるかは，そan 通り : 赤青・・・・・黄☆ ← ☆には 2 通り

bn 通り : 赤青・・・・・赤☆ ← ☆には 3 通り

さらに，このままでは {an} のみの漸化式ではないの都度違います．じゃあ，12 番目の玉が何色であるので，bn を消去することを考えます．そのために，かで分けて…と考えると，それを考えるためには， b についても，n 番目のもの，すなわち a と bn+1nn
11 番目の玉の色が必要になり…というように，どん とで表現することを考えます．両端の色も異なる
どん泥沼にはまっていきかねません．

n 個の並べ方において n + 1 番目の玉の選び方はそ

では，どうすれば良いか？途方に暮れてしまうあ

れぞれ 1 通り（1 番目と同じ色！）あり，両端の色

なたに魔法の言葉 :が同じである n 個の並べ方からは作れないので直接求めるのが困難なときは，漸化式

bn+1 = an ¥ 1 + bn ¥ 0です．一旦 n にして考えます．文字に変えるのは= an

並べる玉の数が成り立ちます．（下の具体例参照）

玉の色の数

1 2 ・・・・・ n n+1のどちらであるかは大丈夫ですか？

2an 通り : 赤青・・・・・黄☆ ← ☆には赤を（1 通り）

bn 通り : 赤青・・・・・赤☆ ← ☆に赤は置けないしたがって，n = 2,3,4,…… において《解答》bn = an-1 であるので，これより bn を消去して回転して重なるものも区別するときの n 個の玉のan+1 = 2an + 3an-1

並べ方をまず考える．これは，両端の玉および隣り\ an+2 = 2an+1 + 3an (n = 1,2,3,……)合う玉同士の色が異なるように横一列に並べるときが成り立ちます．これで，ほぼ勝利です．の並べ方の総数である．

ここから，特性方程式を用いた変形を行い一般項

n 個の玉を横一列に並べるときan を求めた上で，n = 13 とします．

an：隣り合う玉同士の色が異なり，両端の色

なお，a7 程度でしたら，a1，a2 を求めた上で具体も異なるような並べ方の総数的に代入して順番に求めて行く方が楽かなとは思い

bn：隣り合う玉同士の色が異なるが，両端のます．そのあたりの解法も，状況に応じて使い分け玉の色が同じであるような並べ方の総数られるように！とする．ただし，1 個のみ並べるときについては，左端および右端の玉は，ともにその 1 個のことを指最後に，1 つ注意しておくことがあります．a1 のすものとする．

値は大丈夫ですか？ 1 個並べるだけなんだから，色

このとき，n = 1,2,3,……において，が同じだとか違うだとか関係なく，普通に a1 = 4 でan+1,bn+1 を，n 番目のもの，すなわち an と bn とは？…と考えてしまいそうですが，これは誤りです．

で表すことを考える．

実際，a1 = 4 とすると，b2 = a1 = 4 ですが，これはおかしいですよね．b2 とは，「隣り合う玉同士の 《an+1 について》色は異なるが，両端の色は同じである 2 個の並べ方

両端の色も異なる n 個の並べ方において n + 1の総数」を表しますが，こんなことは不可能です．

番目の玉の選び方はそれぞれ 2 通りあり，両端のつまり，正しくは b2 = 0 のはずです．これより，色が同じである n 個の並べ方において n + 1 番目

a1 = 0 と解釈せざるを得ません．の選び方はそれぞれ 3 通りあるので
an+1 = 2an + 3bn …… 1実は，先ほどの an の定義は少々曖昧で，「1 個だけ並べるときの両端の玉の定義」が不明瞭なのです．
b2 を考えることにより，正しい解釈として「1 個のとき，『左端の玉』と『右端の玉』とは，それぞれ，と表せる．
《bn+1 について》同じその 1 つの玉を指すこととする．」ということ

番目の玉の選び方はそれぞれ 1 通りあり，両端のになります．こう書けば，「両端が異なる色というのは不可能だから，a1 = 0 だな」と判断できますよね．
なお，先ほどの bn+1 = an を導く際色が同じである n 個の並べ方からは作れないのでbn+1 = an …… 2と表せる．

1 2 ・・・・・ n n+1
an 通り : 赤青・・・・・黄両端の色も異なる n 個の並べ方において n + 1

このとき，1 より☆ ← ☆には赤を（1 通り）

an+2 = 2an+1 + 3bn+1としてますが，n = 1 とすると，赤と黄が重なってであり，2 を代入して bn+1 を消去するとしまう，ありえないものを考えているということがan+2 = 2an+1 + 3anわかるでしょう．

が成り立つ．これを変形することにより以上のことに気を付けて，以下，解答です．

3 an +2 + an +1 = 3(an +1 + an )- 3an +1 = -(an +1 - 3an )a n +2《コメント》
いかがだったでしょうか？なお，玉の個数が 7 個程度でしたら，こんな回りくどい考え方をせず，直を得る．a1 = 0,a2 = 4 ¥ 3 = 12 であることから接数える方が楽と感じる方も多いかと思います．

 a + a = (a + a ) ∑ 3 n -1
 n +121nn -1
 an +1 - 3an = (a2 - 3a1 ) ∑ (- 1) a + a = 12 ∑ 3 n -1
 n +1n- n -1
 an +1 - 3an = 12 ∑ (- 1)n a n +1 = - an + 4 ∑ 3- n -1
 an +1 = 3an + 12 ∑ (- 1)直接数える際は，それぞれの玉の使用回数で場合分けします．7 個並べるときのこととして考えるとしましょう．例えば（赤，青，黄，緑）=（3,3,1,0）という使用回数の場合，1 個のみの特殊な「黄」を固定して，隣り合うもの同士の色が異なるようにして並べると黄となり，2 式を連立して赤- an + 4 ∑ 3 n = 3an + 12 ∑ (- 1) n -1
\ an = 3 + 3 ∑ (- 1)n青青- an = 3 n - 3 ∑ (- 1) n -1
n

黄青
赤

赤

( n = 1,2,3,ºº)

赤

赤

青

青
青

赤の 2 通りのみが得られます．色の入れ替えも考えるである．とこれより1 回も使わない色の選び方：4 通り

a13 = 313 + 3 ∑ (- 1)13

1 回のみ使う色の選び方= 1594320

：3 通り

ゆえに

である．

2 ¥ 4 ¥ 3 = 24 通り

ここで，この場合の数は，回転して重なるものもとなります．あとは区別したときの数であるが，これは，区別しないと（赤，青，黄，緑）=（3,2,2,0）

きにおける「1 通り」をそれぞれ「13 通り」と数え=（3,2,1,1）

た結果である．のときも，ちょっと頭を使いますが，求めることはしたがって，求める場合の数は十分可能です．
ちなみに，元々は 7 個の出題の予定でしたが，後1594320= 122640 （通り） ……（答）13である．

から考えた際に，「直接行けちゃうな」と思い至り，「直接行くのはさすがに気が引ける」程度の個数，（解答終わり） 13 に変更したわけです（笑）．

また，今回の場合，「玉の個数が素数でないと大変」という旨の内容を最初に書きましたが，実は「色の個数」の方については特に制約はなく，一般に『m 色』としても大したことはありません．余力のある方は考えてみてください．
それでは，今回はここまでです．では，また次回．
（研伸館数学科4野口）