Analyticity of solutions and its application to the Navier-Stokes
equations in an end-point critical space
中里 亮介 (信州大学 工学部)1
1. Introduction; Navier-Stokes equations, Fourier-Herz spaces
本講演では, 次の非圧縮性粘性流体の運動を記述する非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値問
題を, 全領域 Rd (d ≥ 2) 上で考察する:
∂t u − ν∆u + div (u ⊗ u) + ∇p = 0, t > 0, x ∈ Rd ,







div u = 0,

t > 0, x ∈ Rd ,u|t=0 = u0 ,x ∈ Rd .

(NS)

ただし u = u(t, x) : R+ × Rd → Rd , p = p(t, x) : R+ × Rd → Rd はそれぞれ, 流体の速度ベクトル場と圧力を表す未知函数であるとし, u0 = u0 (x) : Rd → Rd は初期流速を表す. また ν > 0 は粘性係数を表し, テンソル積 u ⊗ u は d 次正方行列 (ui uj )i,j を用いて定義される.
臨界空間に於ける初期値問題 (NS) の時間大域適切性に関しては, Fujita-Kato [3] の臨界 Sobolev−1+d/2空間 Ḣ2−1+d/p(Rd ) 上での研究以降, 様々な臨界空間 (例えば, Ld (Rd ), Ḃp,∞(Rd ) (d ≤ p < ∞),BM O−1 (Rd ) など) 上での研究成果が知られている. しかし, 端点 p = ∞ の場合の臨界 Besov 空−1 (Rd ) (1 ≤ σ ≤ ∞) 上では, 解写像の初期値連続依存性が破綻するため, 初期値問題 (NS)間 Ḃ∞,σは非適切になることが知られている.
ḃd
一方で, 後述する Fourier-Herz 空間 B −1∞,σ (R ) 上では, 任意の σ ∈ [1, 2] に対し, 初期値問題 (NS)の解は時間大域適切性を満たし (cf. Cannone-Wu [1], Iwabuchi-Takada [4]), σ > 2 の場合は非適切になることが知られている (cf. [4]). 本講演では, 時間大域適切性が得られる限界のクラスḃ −1 (Rd ) に焦点を当て, その上での解の正則性と長時間挙動について考察したい.
B∞,2以下では, 本講演内で用いる函数空間と初期値問題 (NS) の軟解に関し, それらの定義を述べる.
ḃḃ
定義 1.1 (Fourier-Herz spaces). s ∈ R, 1 ≤ p, σ ≤ ∞ とする. Fourier-Herz 空間 B sp,σ = B sp,σ (Rd )とそのノルム ∥ · ∥ ḃ sB p,σを以下で定義する:ḃ s := f ∈ S ′ (Rd ); fb ∈ L1 (Rd ), ∥f ∥Bḃ sp,σloc

B p,σ< ∞ , ∥f ∥ ḃ s

B p,σn:=2sj ∥ϕj ∗ f ∥Lbpoj∈Z ℓσ.

ただし Fourier-Lebesgue ノルム ∥ · ∥Lbp を ∥f ∥Lbp := ∥fb∥Lp′ と定義し, p′ は p の Hölder 共役を表す.
函数族 {ϕj }j∈Z ⊂ S(Rd ) は Littlewood-Paley の 2 進単位周波数分解とする.
定義 1.2 (Chemin-Lerner spaces). s ∈ R, 1 ≤ p, σ, r ≤ ∞ とし, T ∈ R+ に対して I = (0, T ) と定める. Fourier-Herz 空間を基調とした Chemin-Lerner 型の時空函数空間を次のように定める:noḃ s )r (I;Bḃ s ) := C(I; S )∥·∥L^sj^
p,σ , ∥f ∥:=2∥ϕ∗f∥.
Lr (I;Bj0ḃ sbp )p,σ^r
Lr (I;LL (I;B p,σ )j∈Z ℓσただし S0 = S0 (Rd ) は Schwartz 空間 S(Rd ) の部分集合であり, supp fb ⊂ C\{0} を満たす函数全ḃ s ) と表記する.
体の集合であるとする. もし T = ∞ と取れる場合, ^Lr (R+ ; Bp,σ1〒 380-8553 長野県長野市若里 4-17-1 信州大学 長野キャンパス 総合研究棟 (W2 棟) 6 階 602-5.
信州大学 工学部 工学基礎部門 数学教室 助教. E-mail: nakasato@shinshu-u.ac.jp
本研究は科研費 (課題番号: 22K13936) の助成を受けたものである.

1b ∞ ) が 次の積分方程式
定義 1.3 (Mild solution to (NS)). 初期値 u0 = u0 (x) に対し, u ∈ L2 (R+ ; Lを満たすとき, u を初期値問題 (NS) の解 (軟解) であるという:Z ttν∆e(t−τ )ν∆ Pσ div (u ⊗ u)(τ ) dτu(t) = e u0 −b ∞ ).
in L2 (R+ ; L0

ただし, etν∆ u0 := F −1 [e−tν|ξ| ub0 ] であり, Pσ はソレノイダル空間への Helmholtz 射影作用素を表2し, ベクトル場 v ∈ S ′ (Rd ) に対して, Pσ v := v + (−∆)−1 ∇div v と定義される.

2. Main Results; Gevrey Analyticity, Time-decay estimates
以下では, s ∈ R と v ∈ S ′ (Rd ) に対し, |∇|s v := F −1 [|ξ|s vb ] とする. 初期値問題 (NS) に対して,次の Gevrey 型解析性と時間減衰評価に関する結果を得た (cf. [6]).
定理 2.1 (Global well-posedness and Gevrey analyticity). S ′ (Rd ) の意味で div u0 = 0 を満たす初ḃd
期値 u0 ∈ B −1∞,2 (R ) に対して, ある十分に小さい定数 ε0 > 0 が存在し, ∥u0 ∥ ḃ −1 ≤ ε0 が成り立つ
B ∞,2と仮定する. このとき, 初期値問題 (NS) の時間大域解 u が一意的に存在し, 次を満たす:ḃ −1 ) ∩ L2 (R ; Bḃ 0 ) ∩ ^ḃ 1 ).
u ∈ C([0, ∞); B
L1 (R+ ; B+∞,1∞,2∞,2(Analyticity ) 更に, ある定数 C > 0 が存在し, u は次の時間一様評価を満たす:√∥e νt|∇| u∥ ^∞ḃ −1 )∩L2 (0,t;Bḃ 0 )∩ ^ḃ 1 ) ≤ C∥u0 ∥Bḃ −1
L (0,t;BL1 (0,t;B∞,2∞,1∞,2∞,2for all t > 0.

(2.1)

ḃd注意 2.2. B −1∞,2 (R ) 上での時間大域適切性については, 論文 [1, 4] 内で既に証明されている. 定理ḃ 0 ) と Gevrey 型解析性 (2.1) を満たすことを2.1 では, [1, 4] で得られた大域解 u が u ∈ L2 (R+ ; B∞,1b p -L
b 1 減衰評価の証明では, (2.1) が本質的に重要な役割を果たす.
明らかにした. 次の Lb p -L
b 1 decay estimates). 1 ≤ p ≤ ∞ とする. 初期値 u0 は定理 2.1 と同じ仮定を満たす
定理 2.3 (Lḃとし, 更に u0 ∈ B 01,∞ (Rd ) も満たすと仮定する. このとき, 初期値問題 (NS) の時間大域解 u は, 任意の s > −d/p′ に対して, 次の Lp -L1 型の減衰評価を満たす:∥|∇|s u(t)∥Lbp = O(t− d2 (1− p1 )− 2s)(t → ∞).

定理 2.1 の (2.1) と定理 2.3 の応用で, Miyakawa [5] や Fujigaki-Miyakawa [2] で得られている,

Reﬁned decay estimate や軟解の漸近展開についても導出が可能である. もし時間に余裕があれば,その結果についても触れる予定である.

References[1] Cannone, M., Wu, G., Global well-posedness for Navier-Stokes equations in critical Fourier-Herzspaces, Nonlinear Anal., 75 (2012) 3754–3760.
[2] Fujigaki, Y., Miyakawa, T., Asymptotic proﬁles of nonstationary incompressible Navier-Stokes ﬂows
in the whole space, SIAM J. Math. Anal., 33 (2001) 523–544.
[3] Fujita, H., Kato, T., On the Navier-Stokes initial value problem. I, Arch. Ration. Mech. Anal., 16(1964) 269–315.
[4] Iwabuchi, T., Takada, R., Global well-posedness and ill-posedness for the Navier-Stokes equations
with the Coriolis force in function spaces of Besov type, J. Funct. Anal., 267 (2014), 1321–1337.
[5] Miyakawa, T., Application of Hardy space techniques to the time-decay problem for incompressible
Navier-Stokes ﬂows in Rn , Funkcial. Ekvac., 41 (1998) 383–434.
[6] Nakasato, R., Gevrey type analyticity and asymptotic behavior of solutions to the Navier-Stokes
equations in an end-point scaling critical framework, preprint.

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