数理解析研究所講究録
第 1826 巻 2013 年 53-100

53

Cohomology and -values
$L$

吉田敬之
一変数の modular 形式の 函数の特殊値の比を cohomology 群を用いて計算する志村の方法 ([Shl]) を思い出そう．
$L$と$0\leq l\in Z$

に対して$\{\begin{array}{l}uv\end{array}\}\in C^{2}$$\{\begin{array}{l}uv\end{array}\}=t(u^{l}u^{l-1}v\ldots uv^{l-1}v^{l})$とおき，表現$\rho_{l}$: $GL(2, C)arrow GL(l+1, C)$ を$\rho_{l}(g)[_{v}^{u}J^{l}=(g\{\begin{array}{l}uv\end{array}\})^{l}$(2, ) は Fuchsで定義する． は 次の対称テンソル表現と呼ばれる．
群とする． は非負整数， は の表現空間とする． についての重さ $l+2$の正則 cusp 形式をとる． に値をもつ幻上の正則 1-form$\Gamma\subset SL$$l$$\rho_{l}$

$V$

$l$

$R$

$\Gamma$$\rho_{l}$$V$$\Omega\in S_{l+2}(\Gamma)$$\mathfrak{d}(\Omega)$を(1)$\mathfrak{d}(\Omega)=\Omega(z)\{\begin{array}{l}z1\end{array}\}dz$

によって定義する．

$\rho=\rho_{l}$

(2)

とおく．

$\mathfrak{d}(\Omega)\circ\gamma=\rho(\gamma)\mathfrak{d}(\Omega) , \gamma\in\Gamma$

は容易に確かめられる．ここにを表す． の点，または$\mathfrak{H}$$\Gamma$$\mathfrak{d}(\Omega)\circ\gamma$のカスプ$z_{0}$

志村型の積分)(3)は$\mathfrak{d}(\Omega)$

をとる．

を

$\gamma$$\gamma\in\Gamma$

によって変換したものに対して積分 (Eichler-$f( \gamma)=\int_{z_{0}}^{\gamma z0}\mathfrak{d}(\Omega)$を考える．

$\gamma_{1},$$\gamma_{2}\in\Gamma$に対して$f( \gamma_{1}\gamma_{2})=\int_{z0}^{\gamma_{1}\gamma_{2}z_{0}}\mathfrak{d}(\Omega)=\int_{z0}^{\gamma_{1}z_{0}}\mathfrak{d}(\Omega)+\int_{\gamma_{1}z0}^{\gamma_{1}\gamma_{2}z_{0}}\mathfrak{d}(\Omega)$$=f( \gamma_{1})+\int_{z0}^{\gamma_{2}z_{0}}\mathfrak{d}(\Omega)\circ\gamma_{1}$54を得る．(2) により$f$

は 1-cocycle 条件$f(\gamma_{1}\gamma_{2})=f(\gamma_{1})+\rho(\gamma_{1})f(\gamma_{2}) , \gamma_{1}, \gamma_{2}\in\Gamma$

をみたすことがわかる． を別の点
$z_{0}$$z_{0}’$に置き換え$f’( \gamma)=\int_{z_{0}’}^{\gamma z_{0}’}\mathfrak{d}(\Omega)$

とおく．このとき$f’( \gamma)=\int_{z_{0}’}^{z0}\mathfrak{d}(\Omega)+\int_{z0}^{\gamma z0}\mathfrak{d}(\Omega)+\int_{z0}^{\gamma z_{0}’}\mathfrak{d}(\Omega)$$=f( \gamma)+\int_{z_{0}’}^{z0}(\mathfrak{d}(\Omega)-\mathfrak{d}(\Omega)\circ\gamma)$

であるから

(4)

$f’( \gamma)=f(\gamma)+(\rho(\gamma)-1)\int_{z_{0}}^{z_{0}’}\mathfrak{d}(\Omega)$を得る．よっては放物元， はに依らない．
cohomology 類はで固定されるカスプとする．(4) により$H^{1}(\Gamma, V)$$p\in\Gamma$$z_{0}’$

$p$

における

$f$

の

$z_{0}$$f(p)=( \rho(p)-1)\int_{z_{0}’}^{z_{0}}\mathfrak{d}(\Omega)$$f(p)$ は coboundary の形であるが，これはを得る．

条件である．
今 $\Gamma=SL$ (2,

$Z$

$f$

についての parabolic) とし $z_{0}=i\infty$ ととる．
$\sigma=(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array}), \tau=(\begin{array}{ll}1 10 1\end{array})$

とおく．このとき(5)$f( \sigma\tau)=-(\int_{0}^{i\infty}\Omega(z)z^{t}dz)_{0\leq t\leq l}=-(i^{t+1}R(t+1, \Omega))_{0\leq t\leq l}$である．ここにである．

$L(s, \Omega)$$(\sigma\tau)^{3}=1,$を$\sigma^{2}=1$函数として $R(s, \Omega)=(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L(s, \Omega)$であるから，1-cocycle 条件から$\Omega$の$L$$[1+\rho(\sigma\tau)+\rho((\sigma\tau)^{2})]f(\sigma\tau)=0,$(6)$[1+\rho(\sigma)]f(\sigma)=[1+-\rho(\sigma)]f(\sigma\tau)=0.$

55とは群環 $Z[SL(2\dot{}, Z)]$ の元を得る．換言すればの特殊値に対する制約条件を与える．
の作用で消えている．これは$1+\sigma\tau+(\sigma\tau)^{2}$$f(\sigma\tau)$$1+\sigma$$L(\mathcal{S}_{i}\Omega)$$k=12,$$\Omega=\triangle$に対して志村は$R(8, \triangle)=\frac{5}{4}R(6, \triangle)$,$R(10, \triangle)=\frac{12}{5}R(6, \triangle)$,$R(9, \triangle)=\frac{14}{9}R(7, \triangle)$を得た．
実際 PARI で$\{f(i,j,1,a,b,c,d)=1ocal(u=\max(j-i,0),t=\min(1+1-i,j-1),x)$ ;$x=sum(s=u,t,$binomial $(1+1-i,s)$ binomial $(i- lj-1-s)*a$ $(1+1-i-s)*b^{\wedge}s*c^{\wedge}(s+i-j)*d^{\wedge}$ (j-l-s) ;$\{r(g)=1ocal(x,a,b,c,d,n);a=g[1,1];b=g[1,2];c=g[2,1];d=g[2,2];n=1+1$ ;x matrix $(n,n,i,j,f(i,j,1,a,b,c,d));x\}$$1=10;s=r([O,1;-1,O]);t=r([1,1;O,1]);id=r([1,O;O,1])$ ;tor $=(s*tI^{\wedge}2+s*t+$ id; $A=$ matker(tor); $B=$ matker(s id);C matintersect( $A,B$ ); $D=$ matimage(C);print $(D[,1])$ ; print $(D[,2])$ ; print $(D[,3])$
“

$*$

$)$

$x\}$

$=$

$+$

$=$

とプログラムを書くと，の特殊値の比が計算される．ここに $r(g)$ は$L(s, \triangle)$2 行 2 列の行列に対して$\rho_{l}(g)$を計算する函数である．

筆者は学生時代に志村先生のこの計算法に興味を持ち，70 年代以来高次元化を数回試みたことがある．2010 年の春になってようやく実二次体上のHilbert modular form に対して，non-trivial な結果を得た．以下この結果に到る道をなるべく self-contained になるよう書いたが，さらに詳しい内容については [Y4], [Y6] を参照されたい．定理 1.3 の証明と本稿の最後に書いたプログラムは未発表のものである．

1. 群の生成元と基本関係
が Euclid 環であるとき $SL(2, R)$ の生成元を与えよう．まず Euclid 環の定義を復習する． は可換環， は整列集合， は の最小元とする．次のはまたは
条件 1), 2) をみたす写像 : $Rarrow\Gamma$ が存在するとき，
Euclid 環であるという．
$R$

$R$

$\Gamma$$\Gamma$$\gamma_{0}$$(R, \Gamma, \varphi)$$\varphi$1.

2.

$\varphi(a)=\gamma_{0}\Leftrightarrow a=0.$$a,$$b\in R,$ $a\neq 0$とする．このとき$q,$$r\in R$ があって

$b=qa+r, \varphi(r)<\varphi(a)$

となる．

$R$

56
は $\Gamma=\{x\in Z|x\geq 0\},$ $\varphi(a)=|a|$ ととって Euclid 環にな
周知のように$Q(\sqrt{5})$ の整数環と $\varphi(a)=|N(a)|$ ととって Euclid 環にな
は上記の
る．
$Z$

$R$

る．ここに $N(a)$ は
命題 1.1.
$(\begin{array}{ll}1 b0 1\end{array})$$\Gamma$のノルムである．

$a$は Euclid$(R, \Gamma, \varphi)$, $b\in R,$

環とする．

$SL(2, R)$ は$\sigma=(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array})$$\varphi(c)$$G$$G\neq SL(2, R)$とする．

$SL(2, R)\backslash G$ に属する元
とおく．

と仮定して矛盾を導く．
について$a\in R^{\cross},$で生成される．

$(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array})$証明．上記の元で生成される $SL(2, R)$ の部分群を$\gamma=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$,$(\begin{array}{ll}a 00 a^{-1}\end{array})$が最小になるものをとる． は整列集合である$\Gamma$から，この様な元は存在する．この元を改めて$\gamma=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$$c=0$ なとおく．

らば$\gamma=(\begin{array}{ll}a 00 a^{-1}\end{array})(\begin{array}{ll}1 a^{-1}b0 1\end{array})\in G$$c\neq 0$ としてよい．
$a=qc+r,$となって矛盾である．

と$\varphi(r)<\varphi(c)$$q,$$r\in R$をとる．最小性の仮定から$\sigma^{-1}(\begin{array}{ll}1 -q0 1\end{array})\gamma= (_{a-qc}* **)\in G$となり矛盾を得る．
となるが，これからはは群， の有限個の元を生成すると仮定する．
は自由生成元翫，で生成される自由群とする． から への全射$\gamma\in G$

$G$

$G$

$s_{1},$$s_{2},$$\ldots,$$s_{m}$$G$$\mathcal{F}$$G$$\mathcal{F}$$\tilde{s}_{m}$$\tilde{s}_{2},$$\ldots,$によって定める． から への写像
$g\in G$ に対して
$f\circ\pi=id,$ $\pi(1)=1$ と取る．
$R=Ker(f)$ とおく．
準同型

$f$

を

$f(\tilde{s}_{i})=s_{i},$$G$$1\leq i\leq m$$\mathcal{F}$

$\pi$

を

$\tilde{g}=\pi(g)$とおく．

補題 1.2.

$R$

は

証明．

$(\tilde{s}_{i}\tilde{g})^{-1}\overline{s_{i}g},$$(\tilde{s}_{i}\tilde{g})^{-1}\overline{s_{i}g},$

部分群を$s_{i}^{-1}g$$R_{0}$ととるとら$1\leq i\leq m$とする．このとき$s_{i}^{-1}g\equiv\tilde{s}_{i}^{-1}\tilde{g}$$i_{j}\in\{\underline{1,2,}\ldots, m\},$$1\leq i\leq m$$\epsilon_{j}=\pm 1$とその共役によって生成される．

とその共役によって生成される$\overline{s_{i}g}\equiv\tilde{s}_{i}\tilde{g}mod R_{0},$$g\in G$

であるが， を
$g$$r\in R$mod 埼を得る．
をとる．

と書ける．
である．上記の注意かを得る．この手順を繰り返して$s_{i_{1}}^{\epsilon_{1}}s_{i_{2}}^{\epsilon_{2}}\cdots s_{i_{1}}^{\epsilon l}=1$$1=s_{i_{1}}^{\epsilon\iota}s_{i_{2}}^{\epsilon 2}\cdots s_{i_{l}}^{\epsilon_{l}}\equiv\tilde{s}_{i_{1}}^{\epsilon_{1}}\tilde{s}_{i_{2}}^{t2}\cdots\hat{s}_{i_{l}}^{\epsilon_{l}}mod R_{0}$

$\in$

の正規

$r=\tilde{s}_{i_{1}}^{\mathbb{E}1}\hat{\dot{s}}_{i_{2}}^{\epsilon 2}\cdots\tilde{s}_{i_{l}}^{\epsilon\iota},$$s_{i_{1}}^{\epsilon 1}s_{i_{2}}^{\epsilon 2}\cdots s_{i_{l}}^{\epsilon l}\equiv\tilde{s}_{i_{1}}^{\epsilon_{1}}s_{i_{2}}^{\epsilon 2}\cdots s_{i_{l}}^{\epsilon\iota}mod R_{0}$となる．よって r$\mathcal{F}$&, $R=$ 馬を得る．

57
この簡単な補題を適用することにより，PSL(2, ) の生成元と関係を代数的に決定できる．(これは筆者が 4 回生のときに得た証明法である．関係の純代数的証明，即ち定理 1.3 の証明，は文献には見かけないように思う．)1 行$Z$列に対して，その $PSL(2, Z)$ への像も同じ記号で表す．

$(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in SL(2, Z)$

PSL(2, Z),$\Gamma=$$\sigma=(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array}), \tau=(\begin{array}{ll}1 10 1\end{array})$

とおく． は自由生成元$\mathcal{F}$を$f(\tilde{\sigma})=\sigma,$$f(\tilde{\tau})=\tau$

める．

$\gamma=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$$\tilde{\tau}$$\tilde{\sigma},$で生成される自由群とする．準同型で定める．写像$\pi$:$\Gamma\ni\gammaarrow\tilde{\gamma}\in \mathcal{F}$$f$:$\mathcal{F}arrow\Gamma$

を次のように定$c=0$ ならば $a=d=\pm 1$ である．
とおく．

$\tilde{\gamma}=\tilde{\tau}^{a^{-1}b}$

と

はすでに定
$a=0$ ならば $c=\pm 1$ である．
おく．
とおく．ここに$(|c|,$c\neq0$$a\neq0$
かつ義されていることに注意されたい．
とする． |a|)$ につい$\tilde{\gamma}=\tilde{\sigma}\overline{\sigma\gamma}$ての辞書式順序についての帰納法によってる．

$\sigma\gamma=(\begin{array}{ll}c d-a -b\end{array})$$\tilde{\gamma}$$\overline{\sigma\gamma}$を定義する．まず $|a|<|c|$ とすであるから， はすでに定義されている．

$\tilde{\gamma}=\tilde{\sigma}\overline{\sigma\gamma}$$\overline{\sigma\gamma}$と$t\in Z$ を $|a+tc|<c$$c>0$ と仮定してよい．
おく．次に $|a|\geq|c|$ と仮定する．
ととる．一般にはこのような は二つあるが，そのうちの小さい方を取ると$t$

規則を決めておく．
$\tilde{\gamma}=(\begin{array}{l}1-t01\end{array})(\begin{array}{ll}1 t0 1\end{array})\gamma$

とおく．ユークリッドの互除法を使うこの構成によって，写像

$\pi$

:

$\Gammaarrow \mathcal{F}$得られた．明らかに $f\circ\pi=id,$ $\pi(1)=1$ が成り立っている．また が$R=Ker(f)$ とおく．容易にで生成されることも同時に証明された．
$\Gamma$$\sigma$がと$\tau$(1.1)$\tilde{\sigma}^{2}\in R, (\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3}\in R$がわかる．
定理 1.3.

証明．

$R$

は

$\tilde{\sigma}^{2},$$(\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3}$とその共役で生成される．

とその共役によって生成されるに対してする．補題 1.2 により，任意の$\tilde{\sigma}^{2},$$(\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3}$$\mathcal{F}$の正規部分群を馬と$\gamma\in\Gamma$(1.2)$\overline{\sigma\gamma}\equiv\tilde{\sigma}\tilde{\gamma}$

(1.3)

mod

$R_{0},$$\overline{\tau\gamma}\equiv\tilde{\tau}\tilde{\gamma}mod R_{0}$を示せば十分である．

$\gamma=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$

とおく．

lFuchs 群の生成元と基本関係は通常は基本領域の形から得られる．

58
まず (1.2) を証明しよう．
$c=0$ ならば，定義によりゆえ (1.2) は成り立つ．
$a=0$ ならば，定義により$\tilde{\sigma\gamma}=\tilde{\sigma}\overline{\sigma\cdot\sigma\gamma}=\tilde{\sigma}\tilde{\gamma}$$\tilde{\gamma}=\tilde{\sigma}\overline{\sigma\gamma}$

である．従って$a\neq 0$ かつ $c\neq 0$ であるとなり，(1.2) は成り立つ．
ならば定義により$|a|>|c|$
御ゆえ (1.2) は成り立とする．
ゆえ (1.2) は成り立つ．
$|a|=|c|$ と$|a|<|c|$ ならば定義により
つ．
$c=\pm1$$a=\pm1,$$c=1$仮定する．このときである．
と仮定してよい．定義に$\overline{\sigma\gamma}=\tilde{\sigma}^{-1}\tilde{\gamma}\equiv\tilde{\sigma}\tilde{\gamma}mod R_{0}$$\overline{\sigma\gamma}=\tilde{\sigma}\overline{\sigma\cdot\sigma\gamma}=$$\tilde{\gamma}=\tilde{\sigma}\overline{\sigma\gamma}$

より$\tilde{\gamma}=(\begin{array}{ll}1 a0 1\end{array})-(\begin{array}{l}0-1d1\end{array})=-(\begin{array}{ll}1 a0 1\end{array})\tilde{\sigma}-(\begin{array}{ll}1 d0 1\end{array})-,$$\overline{\sigma\gamma}=(\begin{array}{ll}1 -a^{-1}0 1\end{array})(\begin{array}{ll}0 a^{-1}-a -b\end{array})=(\begin{array}{ll}1 -a0 1\end{array})\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}-a -b0 -a\end{array})$$a=1$ とする．このとき $d=b+1$ であり，(1.2) は関係である．
$\overline{\sigma\tau\sigma\tau}\equiv\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}$

mod 橘に帰着するが，これが (1.1) から得られるのは明らかである．次に $a=-1$ とする．このとき $d=-b-1$ であり，(1.2) は関係$\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\equiv\tilde{\tau}\tilde{\sigma}mod R_{0}$に帰着するが，これが (1.1) から得られるのは明らかである．よって (1.2) は証明された．
$(|c|, |a|)$ の辞書式順序についての帰納法によって (1.3)
次に (1.3) を示す．
と同時に

(1.4)

$\overline{\tau^{-1}\gamma}\equiv\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\gamma}$

mod 瑞を証明していく．
$\tau\gamma=(\begin{array}{ll}a+c b+dc d\end{array}), \tau^{-1}\gamma=(\begin{array}{ll}a-c b-dc d\end{array})$$c\geq 1$ と仮$c=0$ ならば (1.3), (1.4) は定義によって明らかである．
である．

定してよい．

(I) $|a|\geq c$ の場合．
$t\in Z$ とを $|a+tc|<c,$ $|a+c+t_{1}c|<c$ をみとする．
たし，この条件をみたすものの内最小であるようにとる．定義から$|a+c|\geq c$$t_{1}\in Z$$\tilde{\gamma}=(\begin{array}{l}1-t01\end{array})-(\begin{array}{ll}1 t0 1\end{array})\gamma-, \overline{\tau\gamma}=(\begin{array}{ll}1 -t_{1}0 l\end{array})-(\begin{array}{ll}1 t_{1}0 1\end{array})\tau\gamma$

59$t_{1}=t-1$ は明らかであるから (1.3) が成り立つ．
$|a+c|<c$ とすとなる．
る．このとき (1.4) についての帰納法の仮定をに適用できる．
$\tau^{-1}\tau\gamma\equiv$$\tau\gamma$$\tilde{\tau}^{-1}\overline{\tau\gamma}mod R_{0}$$|a-c|\geq c$

から (1.3) が得られる．

$t\in Z$ を上のように選び，とする．

を $|a-c+t_{2}c|<c$$t_{2}\in Z$

をみたし，この条件をみたすものの内最小であるようにとる．定義から$\overline{\tau^{-1}\gamma}=(\begin{array}{ll}1 -t_{2}0 1\end{array})-(\begin{array}{ll}1 t_{2}0 1\end{array})\tau^{-1}\gamma-$$t_{2}=t+1$ は明らかであるから (1.4) が成り立つ．
$|a-c|<c$ とすとなる．
る．このとき (1.3) についての帰納法の仮定をに適用できる．
$\tau^{-1}\gamma$$\tau\tau^{-1}\gamma\equiv$から (1.4) が得られる．
(II) $|a|<c$ の場合．

$\tilde{\tau}\tau^{-1}\gamma mod R_{0}$帰納法の仮定を$\sigma\gamma=(\begin{array}{ll}c d-a -b\end{array})$に適用できる．すでに証明された (1.2)

も用いて$\overline{\tau^{-1}\sigma\gamma}\equiv\tilde{\tau}^{-1}\overline{\sigma\gamma}\equiv\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}\tilde{\gamma}mod R_{0}$を得る．(1.1) により$\overline{\sigma\tau\sigma\tau}\equiv\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}mod R_{0}$であるから$\overline{\sigma\tau\sigma\tau\gamma}=\overline{\tau^{-1}\sigma\gamma}\equiv\tilde{\sigma}\overline{\tau\sigma\tau\gamma}mod R_{0}$を得る．これに (1.2) を用いて
(1.5)$\overline{\tau\sigma\tau\gamma}\equiv\overline{\tau\sigma\tau\gamma}$

を得る．

mod

である．
に適用できる．(1.5)$|a+c|<c$$\sigma\tau\gamma=(\begin{array}{ll}c d-a-c -b-d\end{array})$

納法の仮定を$\sigma\tau\gamma$$R_{0}$からとする．このとき帰$\overline{\sigma\tau\gamma}\equiv\overline{\sigma\tau\gamma}mod R_{0}$を得る．これに (1.2) を用いて (1.3) を得る．
$|a+c|\geq c$ とする．このとき $0\leq a<c$ である．定義から$\overline{\tau\gamma}=(\begin{array}{ll}1 10 1\end{array})(\begin{array}{ll}1 -10 1\end{array})\tau\gamma=\tilde{\tau}\tilde{\gamma}$

であり，(1.3) が成り立っている．
に用いて帰納法の仮定を$\sigma\gamma$$\overline{\tau\sigma\gamma}\equiv\tilde{\tau}\overline{\sigma\gamma}\equiv\overline{\tau\sigma\gamma}mod R_{0}$を得る．(1.1) により$\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\equiv\tilde{\tau}\tilde{\sigma}mod R_{0}$であるから$\sigma\tau^{-1}\sigma\tau^{-1}\gamma\equiv\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\gamma}mod R_{0}$60を得る．これに (1.2) を用いて
(1.6)$\tau^{-1}\sigma\tau^{-1}\gamma\equiv\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\gamma}mod R_{0}$を得る．

$\sigma\tau^{-1}\gamma=(\begin{array}{ll}c dc-a d-b\end{array})$$|c-a|<c$ とする．このとき帰納である．

に適用できる．(1.6) から
mod 馬を得る．
$|c-a|\geq c$ とする．このとき $-c<a\leq 0$
これに (1.2) を用いて (1.4) を得る．

法の仮定を$\overline{\sigma\tau^{-1}\gamma}\equiv\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\gamma}$$\sigma\tau^{-1}\gamma$

である．定義から$\overline{\tau^{-1}\gamma}=(\begin{array}{l}1-101\end{array})-(\begin{array}{ll}1 10 1\end{array})\tau^{-1}\gamma=\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\gamma}-$であり，(1.4) が成り立っている．(証明終)2. 群の cohomology 論
この節では群の cohomology 群についての基本的事項を復習する．命題 2.3,
2.4 以外は標準的な教科書に書かれている．
$G$$M$ は $G$ 加群とする．
は群とする．左 $Z[G]$ 加群を $G$ 加群と呼ぶ．
から $M$ への写像全体のなすアーベル群$0<n\in Z$ に対して $C^{n}(G, M)$ は$G^{n}$$C^{0}(G, M)=M$ とおく．境界作用素 $d_{n}:C^{n}(G, M)arrow C^{n+1}(G, M)$とする．

を$(d_{n}f)(g_{1}, \ldots,g_{n+1})=g_{1}f(g_{2}, \ldots, g_{n+1})+(-1)^{n+1}f(g_{1}, \ldots, g_{n})$(2.1)$+ \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}f(g_{1}, \ldots, g_{i}g_{i+1}, \ldots, g_{n+1})$$\{C^{n}(G, M), d_{n}\}$ は複体をで定義する．このとき $d_{n+1}od_{n}=0$ が成り立ち，なす．
$Z^{n}(G, M)=Ker(d_{n}) , B^{n}(G, M)={\rm Im}(d_{n-1})$ .

-cochain,-cobounday-cocycle,という．cohomology 群 $H^{n}(G, M)$ は複体 $\{C^{n}(G, M), d_{n}\}$ の cohomology 群である．即ち$C^{n}(G, M)$ の元をとおく．ここに $B^{0}(G, M)=\{0\}$ と解する．

$Z^{n}(G, \Lambda I)$

の元を

$n$

$B^{n}(G, M)$

の元を

$n$

$n$

$H^{n}(G, M)=Z^{n}(G, M)/B^{n}(G, M)$ である．

例 2.1. $i=1$ とする．このとき $Z^{1}(G, M)$ は $G$ から $M$ への写像で$f(g_{1}g_{2})=g_{1}f(g_{2})+f(g_{1}) , g_{1}, g_{2}\in G$61
をみたすもの全体で$B^{1}(G, M)=\{gm-m|g\in G, m\in M\}$である．とくに$G$の $M$ への作用が自明ならば $H^{1}(G, M)=Hom(G, M)$ である．
$Z^{2}(G, M)$ は $G\cross G$ から $M$ への写像で
例 2.2. $i=2$ とする．
$g_{1,92,g_{3}\in G}$$g_{1}f(g_{2}, g_{3})-f(g_{1}g_{2}, g_{3})+f(g_{1}, g_{2}g_{3})-f(g_{1}, g_{2})=0,$をみたすもの全体からなる．

(2.2)$1arrow Marrow\tilde{G}arrow^{\pi}Garrow 1$

を群の完全列 (群拡大) とする．各 $g\in G$ に対し $\pi(\tilde{g})=g$ をみたす
取って固定する．

を$\tilde{g}\in\tilde{G}$$gm=\tilde{g}m(\tilde{g})^{-1}, g\in G, m\in M$$gm$ はとおく．

$\tilde{g}$$M$ はの取り方によらずに定まり，$G$加群になる．

$f(g_{1}, g_{2})=\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2}(\overline{g_{1}g_{2}})^{-1}, g_{1}, g_{2}\in G$$f(g_{1}, g_{2})$ は群拡大 (2.2) が定とおくと $f\in Z^{2}(G, M)$ が直接計算でわかる．
$H^{2}(G, M)$ は群拡大 (2.2) の “ 同値類” を記述する．
める因子団である．

$H$

は $G$ の指数有限の部分群とする．transfer 写像 $T$ : $H^{n}(H, M)arrow$$H^{n}(G, M)$の具体形は次のように与えられる (Eckmann [E], [Y4]).

命題 2.1.

$M$ は$H$ は指数有限の部分群，$G=$加群とする．
は群，$c\inH^{n}(H_{-}tI)$
は
類
$f\in
Z^{n}(H,M)$
cohomology
は剰余類分解とする．
このとき $T(c)\in H^{n}(G, M)$ を表す -cocycleを表す -cocycl とする
$G$

$G$

$u_{i=1}^{r}x_{i}H$

$n$

$e$

$f\in Z^{n}(G, M)$$n$は次式で与えられる．

$f(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n})=\sum_{i=1}^{r}x_{i}f(x_{i}^{-1}g_{1}x_{p_{i}(1),92}x_{p_{i}(1)}^{-1}x_{p_{i}(2)}, \ldots, x_{p_{i}(n-1)}^{-1}g_{n}x_{pi(n)})$ここに$x_{p_{i}(l)}$は$\mathfrak{B}_{i}^{-1}g_{1}x_{p_{i}(1)}\in H, x_{p_{i}(l-1)}^{-1}g_{l^{X}p_{i}(l)}^{-}\in H, 2\leq l\leq n$となるように選ぶ．

.

62${\rm Res}$: $H^{n}(G, M)arrow H^{n}(H, M)$ は制限写像とする．このとき$To{\rm Res}(c)=[G:H]c,$$(2_{;}3)$$c\in H^{n}(G, M)$.

が成り立つ．

cohomology 群の上の Hecke 作用素を考える． は群， は部分群とする．
$\tilde{G}$$M$は$\tilde{G}$加群とする．任意の$t\in\tilde{G}$

$G$

に対して

$[G:g\cap tGt^{-1}]<\infty$と仮定する．

$t\in\tilde{G}$に対して$G_{t}=G^{\cdot}\cap t^{-1}Gt$

とおく．

conj : $H^{n}(G, M)arrow H^{n}(t^{-1}Gt, M)$
は $H^{n}(t^{-1}Gt, M)$ から $H^{n}(G_{t}, M)$ への制限写像とし: $H^{n}(G_{t}, M)arrow H^{n}(G, \Lambda I)$ は transfer 写像とする．このときは共役写像とする．

${\rm Res}$$T$$[GtG]=T$ oReso conj

(2.4)

と定義する．(2.4) の右辺は両側剰余類 $GtG$ にのみ依存し，(2.4) により環準はの定同型 $\mathcal{H}(G,\tilde{G})arrow End(H^{n}(G, M))$ が定まる．ここにめる Hecke 環である．この作用素の $n=2$ のときの具体形は次のようになる ([Y4]).
$\mathcal{H}(G,\tilde{G})$

命題 2.2.

$c\in H^{2}(G, M),$ $f\in Z^{2}(G, M)$

る．

$GtG=\sqcup_{i=1}^{d}G\beta_{i}$$Z^{2}(G, M)$は$c$$[GtG](c)$を剰余類分解とする．

$G,\tilde{G}$を表す 2-cocycle とすを表す 2-cocycle $h\in$は$h(g_{1}, g_{2})= \sum_{i=1}^{d}\beta_{i}^{-1}f(\beta_{i}g_{1}\beta_{j(i)}^{-1},\beta_{j(i)}g_{2}\beta_{k(j(i))}^{-1})$$j(i)$ と $k(i)$ をで与えられる．ここに $1\leq i\leq d$ に対し，$\beta_{i}g_{1}\beta_{j(i)}^{-1}\in G, \beta_{i}g_{2}\beta_{k(i)}^{-1}\in G$

と選ぶ．
$N$ は
$M$ は
は群，
加群とする．
$Ho$ chschild-Serre のスペクトル系列
$G$

(2.5)

$G$

$G$

の正規部分群とする．このとき$E_{2}^{p,q}=H^{p}(G/N, H^{q}(N, \Lambda f))\Rightarrow H^{n}(G, M)$

63がある．低次元においてこれは完全列$0arrow H^{1}(G/N, M^{N})arrow H^{1}(G, M)arrow H^{1}(N, M)^{G/N}$(2.6)$arrow H^{2}(G/N, l1/I^{N})arrow H^{2}(G, M)$を与える．
次に $H^{2}(G, M)$ を計算する MacLane ([K], \S 50) による手法を述べる．自由群を取って $G=\mathcal{F}/R$ と書く． : $\mathcal{F}arrow G$ を自然準同型とすると$Ker(\pi)=R$ である．
$m\in$
とおいてを$gm=\pi(g)m,$加群と$\mathcal{F}$$\pi$$g\in \mathcal{F},$$\mathcal{F}$

みる．

(2.7)

$H^{i}(\mathcal{F}, M)=0, i\geq 2$であるから (2.6) は完全列
$0arrow H^{1}(G, M)arrow H^{1}(\mathcal{F}, M)arrow H^{1}(R, M)^{G}arrow H^{2}(G, M)arrow 0$を与える．故に(2.8)$H^{2}(G, M)\cong H^{1}(R, M)^{G}/{\rm Im}(H^{1}(\mathcal{F}, M))$

$B^{1}(R, M)=0,$ $H^{1}(R, M)=$が成り立つ． は $M$ に自明に作用するから，$R$$Hom(R, M)$ である．よって$H^{1}(R, M)^{G}=\{\varphi\in Hom(R, l\mathfrak{l}’I)|\varphi(grg^{-1})=g\varphi(r), g\in \mathcal{F}, r\in R\}$である．

同型 (2.8) は具体的には次のように与えられる．

$g\in \mathcal{F}$とおく．2-cocycle
値をとる$\mathcal{F}$に対して，をとる．写像の 2-cocycle である．(2.7) により，1-cochain$f\in Z^{2}(G, M)$$\pi(g)=\overline{g}$$(g_{1}, g_{2})arrow f(\overline{g}_{1},\overline{g}_{2})$は $M$ に

$a\in C^{1}(\mathcal{F}, \Lambda I)$

あって

(2.9)

$f(\overline{g}_{1},\overline{g}_{2})=g_{1}a(g_{2})+a(g_{1})-a(g_{1}g_{2}) , g_{1}, g_{2}\in \mathcal{F}$$\varphi=a|R$ を
となる．

$a$

の $R$ への制限とする．
$f$ は正規化されている，即ち$f(1, g)=f(g, 1)=0, \forall g\in G$と仮定してよい．

$r_{1},$$r_{2}\in R$

ならば (2.9) により$a(r_{2})+a(r_{1})-a(r_{1}r_{2})=0$を得る．故に $\varphi\in Z^{1}(R, M)=Hom(R, M)$ である．(2.9) により(2.10)$a(gr)=ga(r)+a(g) , g\in \mathcal{F}, r\in R$が64を得る．再び (2.9) により$a(grg^{-1})=gra(g^{-1})+a(gr)-f(\overline{g},\overline{g}^{-1})$$=ga(g^{-1})+ga(r)+a(g)-f(\overline{g},\overline{g}^{-1})$を得る．ここに$g\in \mathcal{F},$

この式に $g_{1}=g,$ $g_{2}=g^{-1}$ としたときの (2.9)$r\in R.$

を $a(1)=0$ に注意して使うと(2.11)$\varphi(grg^{-1})=g\varphi(r) , g\in \mathcal{F}, r\in R.$を得る．よってがわがった． は (2.9) をみたす別の 1であ$\varphi’=a’|R,$$a’=a+b$ とおく．このときcochain とする．
における類は同じである．
のるから， と$a’$$\varphi\in H^{1}(R, M)^{G}$$b\in Z^{1}(\mathcal{F}, M)$$H^{1}(R, M)^{G}/{\rm Im}(H^{1}(\mathcal{F}, M))$$\varphi’$$\varphi$l-cochain$c$$a(g)+c(\overline{g})$の coboundary を$f$に加えたとする．このとき (2.9) は $a(g)$ を$a|R$ は変わらない．よって準同型に置き換えて成立し，: $H^{2}(G, M)arrow H^{1}(R, M)^{G}/{\rm Im}(H^{1}(\mathcal{F}_{i}M))$.

$\omega$が定義できた． が全射同型であることは困難なく証明できる．
$\omega$

次に$f\in Z^{2}(G, M)$$a\in C^{1}(\mathcal{F}, M)$$\pi(\tilde{g})=g$

をとり

をみたす

は正規化された cocycle とする．(2.9) をみたす

とおく．各 $g\in G$ に対し，$\varphi=a|R\in H^{1}(R, M)^{G}$$\tilde{g}\in \mathcal{F}$を選ぶ．このとき (2.9) は$f(g_{1}, g_{2})=g_{l}a($擁$)+a(\tilde{g}_{l})-a(\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2})$,$g_{1},$$g_{2}\in G.$とかける．(2.10) により$a(\overline{g_{1}g_{2}}(\overline{g_{1}g_{2}})^{-1}\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2})=g_{1}g_{2}\varphi((\overline{g_{1}g_{2}})^{-1}\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2})+a(\overline{g_{1}g_{2}})$.

を得る．この式に (2.11) を用いて
$a(\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2})=a(\overline{g_{1}g_{2}})+\varphi(\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2}(\overline{g_{1}g_{2}})^{-1})$.

を得る．よって(2.12)$f(g_{1}, g_{2})=g_{1}a(\tilde{g}_{2})+a(\tilde{g}_{1})-a(\overline{g_{1}g_{2}})-\varphi(\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2}(\overline{g_{1}g_{2}})^{-1})$が成り立つ．この式は coboundary を(2.13)$f$,$g_{1},$$g_{2}\in G$に加えることにより$f(g_{1}, g_{2})=-\varphi(\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2}(\overline{g_{1}g_{2}})^{-1})$と仮定してよいことを示している．逆に次の命題が成り立つ．
に対し $f(g_{1}, g_{2})$ を (2.13)
ならば $f$ は正規によって定義する．このとき $f\in Z^{2}(G, M)$ である．
化されている．

命題 2.3.

$\varphi\in H^{1}(R, M)^{G}$とする．

$g_{1},$$g_{2}\in G$$\tilde{1}=1$

65
この命題は直接計算によって容易に示すことができるので証明は省略する．

(2.8) の右辺に Hecke 作用素がどう作用するかを具体的に書き表わそう．
とする．
は正規化された 2-cocycle でその cohomology 類をはその類が $[GtG](c)$ を表わす命題 2.2 で与えられた 2-cocycle とする．明らかにがあって[よ正規化されている．1-cochain$f\in Z^{2}(G, M)$

$c$

$h$

$h$

$b\in C^{1}(\mathcal{F}, M)$$h(g_{1},\overline{g}_{2})=g_{1}b(g_{2})+b(g_{1})-b(g_{1}g_{2}) , g_{1)}g_{2}\in\mathcal{F}$をみたす．

命題 2.4.
を$\varphi\in H^{1}(R, M)^{G}$をとり正規化された 2-cocycle $f\in Z^{2}(G, M)$$m$ 個の元 $gj\in G,$ $1\leq j\leq m$ が与えられているとする．
(2.13) で与える．

各 $jl$ こ対して

$d$

文字の上の置換$p_{j}\in S_{d}$を$\beta_{i}g_{j}\beta_{p_{j}(i)}^{-1}\in G, 1\leq i\leq d$で定める．

$qj\in S_{d}$を帰納的に$q_{1}=p_{1)} q_{k}=p_{k}q_{k-1}, 2\leq k\leq m$$b(\tilde{g}j)=0,1\leq j\leq m$ と仮定する．このときで定める．

(2.14)$b(\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2}\cdots\tilde{g}_{m})$$= \sum_{i=1}^{d}\beta_{i}^{-1_{\varphi(\beta_{i}\overline{g_{1}\beta_{q_{1}(i)}^{-1}}\beta_{q1(i)}\overline{g_{2}\beta_{q2(i)}}^{-1}\cdots\beta_{q_{m-1}\overline{(i)g_{m}}\beta_{q_{m}(i)}^{-1}(\beta_{i}g_{1}g_{2}\overline{\cdots g_{m}}\beta_{q_{m}(i)}^{-1})^{-1})}}}$

が成り立つ．
$\varphi(1)=0$ であるから右辺$m=1$ ならば (2.14) の左辺は証明．
であり，$m\geq 2$ で公式 (2.14) は $m-1$ のとき正しいと仮定する．命題
も
である．
$0$

$0$

2.2 と

(2.13) により$b(\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2}\cdots\tilde{g}_{m-1}\tilde{g}_{m})$$=g_{1}g_{2}\cdots g_{m-1}b(\tilde{g}_{m})+b(\tilde{g}_{1}\tilde{g}_{2}\cdots\tilde{g}_{m-1})-h(g_{1}\cdots g_{m-1}, g_{m})$$= \sum_{i=1}^{d}\beta_{i}^{-1_{\varphi(\beta_{i}\overline{g_{1}\beta_{q1(i)}^{-1}}\cdots\beta_{q_{m}-2(i)\overline{g_{m-1}}\beta_{q_{m}-1(i)}^{-1}(\beta_{i}g_{1}g_{2}\cdots\overline{g_{m-1}}\beta_{q_{m-1}(i)}^{-1})^{-1})}}}$$+ \sum_{i=1}^{d}\beta_{im-1(i)-1\overline{(i)g_{m}}\beta_{q_{m}(i)}^{-1}(\beta_{i}g_{1}g_{2}\overline{\cdots g_{m}}\beta_{q_{m}(i)}^{-1})^{-1})}^{-1_{\varphi(\beta_{i}g_{1}g_{2}\cdots\overline{g_{m-1}}\beta_{q}^{-1}\beta_{q_{m}}}}$$= \sum_{i=1}^{d}\beta_{i}^{-1}\varphi(\beta_{i}\overline{g_{1}\beta_{q_{1}(i)}^{-1}}\cdots\beta_{q_{m}-1\overline{(i)g_{m}}\beta_{q_{m}(i)}^{-1}(\beta_{i}g_{1}g_{2}\overline{\cdots g_{m}}\beta_{q_{m}(i)}^{-1})^{-1})}$

を得る．

66

3. ヒルベルトモジュラー形式
モジュラー形式について簡単に復習する．詳しくは

この節ではヒルベルト
志村 [Sh4] を参照．

次の総実代数体とする． によりを上の different を表わす． の単数群
は

$F$

$Q$

$\mathcal{O}_{F}$

$n$

$F$

の同型写像全体の集合を$\mathfrak{d}_{F}$

$F$

の

$F$

$E_{F}$$\xi\in F$$\{\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n}\}$$z=(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n})\in \mathfrak{H}^{n}$の整数環， によりと書く． から民の中へ
に対して
とする．

$\mathcal{O}_{F}^{\cross}$

とおく．

$F$

$\xi^{(\nu)}=\xi^{\sigma_{\nu}}$に対して$e_{F}(\xi z)=\exp(2\pi i\sum_{v=1}^{n}\xi^{(\nu)}z_{\nu})$$k=(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n})\in Z^{n}$は成分毎への作用とおく．
をとる．
$g=(g_{1},\ldots,g_{n})\in
GL(2, R)_{+}^{n},$上の函数に作用している．
をに対して， 上の函数
$GL(2, R)_{+}^{n}$で$\Omega,$$\mathfrak{H}^{n}$$\mathfrak{H}^{n}$$z=(z_{1}, \ldots, z_{n})\in \mathfrak{H}^{n}$$\Omega|_{k}g$$\mathfrak{H}^{n}$$( \Omega|_{k}g)(z)=\prod_{\nu=1}^{n}\det(g_{\nu})^{k_{\nu}/2}j(g_{\nu}, z_{\nu})^{-k_{\nu}}\Omega(gz)$$GL(2, F)$ を $GL(2, R)^{n}$ にによって定義する．

GL$(2, F)\ni(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\mapsto((\begin{array}{ll}a^{(1)} b^{(1)}c^{(1)} d^{(1)}\end{array}), \ldots, (\begin{array}{ll}a^{(n)} b^{(n)}c^{(n)} d^{(n)}\end{array}))\in$

GL $(2, R)^{n}$によって埋め込む．
$\Gamma$は$SL(2_{i}\mathcal{O}_{F})$の合同部分群とする． 上の正則函数$\mathfrak{H}^{n}$$\Omega$

は任意の$\gamma\in\Gamma$

に対して$\Omega|_{k}\gamma=\Omega$をみたすとき， についての重さ$\Gamma$$k$のヒルベルトモジュラー形式であると$F=Q$ のときはさらにカスプにおける条件を課す．各 $g\in SL(2, F)$ にいう．

対し$\Omega|_{k}g$

こに

$L$

は $( \Omega|_{k}g)(z)=\sum_{\xi\in L}a_{g}(\xi)e_{F}(\xi z)$ の形の Fourier

展開をもつ．こ$\xi\neq 0$ が総正でなければ $a_{g}(\xi)=0$ が成りは $F$ の中の格子である．

はカスプ形式が各 $g\in SL(2, F)$ について消えるときであるという． についての重さのヒルベルト・モジュラー形式の空間を立つ．定数項$a_{g}(0)$$\Omega$$k$$\Gamma$$G_{k}(\Gamma)=G_{k_{1},k_{2},\ldots,k_{n}}(r)$で表わし，カスプ形式の空間をで表わす．
しばらく $\Gamma=SL(2, \mathcal{O}_{F})$
展開は

(3.1)

と仮定し，

$0\neq\Omega\in S_{k}(\Gamma)$$\Omega(z)=\sum_{0\ll\xi\in \mathfrak{d}_{F}^{-1}}a(\xi)e_{F}(\xi z)$$S_{k}(\Gamma)=S_{k_{1},k_{2},\ldots,k_{n}}(\Gamma)$をとる． の Fourier$\Omega$67の形である．

$(_{0}^{u}$$u^{-1)}0\in\Gamma,$ $u\in E_{F}$について$u^{k} \sum_{0\ll\xi\in \mathfrak{d}_{F}^{-1}}a(\xi)e_{F}(\xi u^{2}z)=\sum_{0\ll\xi\in \mathfrak{d}_{F}^{-1}}a(\xi)e_{F}(\xi z)$が成り立つ．ここに$u^{k}= \prod_{\nu=1}^{n}(u^{(\nu)})^{k_{\nu}}$(3.2)

とおいた．よって$a(u^{2}\xi)=u^{k}a(\xi) , u\in E_{F}$を得る．とくに $u=-1$ ととって

(3.3)$\sum_{\nu=1}^{n}k_{\nu}\equiv$

Omod2がわかる．簡単のため(A)

各 $u\in E_{F}$ に対して

$u^{k}>0$を仮定する．
$k_{0}= \max(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n})$とおく． の$\Omega$

(3.4)

$L$

,

$k’=(k_{1}’, k_{2}’, \ldots, k_{n}’)$$k_{v}’=k_{0}-k_{\nu},$函数を$L(s, \Omega)=\sum_{\xi E_{F}^{2}}a(\xi)\xi^{k’/2}N(\xi)^{-s}, \xi^{k’/2}=\prod_{\nu=1}^{n}(\xi^{(\nu)})^{k_{\nu}’/2}$

ををみたすすべての剰余類
によって定義する．ここに和は走る．(3.2) と (A) により，和が well defined であることがわかる．級数 (3.4)$0\ll\xi\in \mathfrak{d}_{F}^{-1}$$\xi E_{F}^{2}$は Re(s) 十分大きいとき収束する(3.5)$R(s, \Omega)=(2\pi)^{-ns}\prod_{\nu=1}^{n}\Gamma(s-\frac{k_{\nu}’}{2})L(s, \Omega)$

とおく．一変数のときと同様の計算によって(3.6)${\rm Re}(s)$が十分大きいとき積分表示$\int_{R_{+}^{n}/E_{F}^{2}}\Omega(iy_{1}, iy_{2)}\ldots, iy_{n})\prod_{\nu=1}^{n}y_{\nu}^{s-k_{\nu}’/2-1}dy_{\nu}=(2\pi)^{\Sigma_{\nu=1}^{n}k_{\nu}’/2}R(s, \Omega)$を得る．この積分を変形することにより$R(s, \Omega)$は$s$の整函数であり，函数

等式

(3.7)

$R(s, \Omega)=(-1)^{\Sigma_{\nu=1}^{n}k_{\nu}/2}R(k_{0}-s, \Omega)$

をみたすことが証明できる．

68
4.
$\Gamma$

モジュラー形式と cohomology 群

ヒルベルトの合同部分群とする．

は $SL(2, \mathcal{O}_{F})$$l_{n}$$l_{2},$$l_{1},$$\ldots,$は非負整数とする． は
$V$

につい
は
の表現空間とする．
ての重さ $(l_{1}+2, l_{2}+2, \ldots, l_{n}+2)$ のヒルベルトモジュラー形式とする．
$\Omega\in G_{l_{1}+2,l_{2}+2,\ldots,l_{n}+2}(\Gamma)$$\rho_{l_{1}}\otimes\rho_{l_{2}}\otimes\cdots\otimes\rho_{l_{n}}$$\Gamma$

$V$

に値をもつ

(4.1)

$\mathfrak{H}^{n}$

上の正則な

$n$

-form

$\mathfrak{d}(\Omega)$を$\mathfrak{d}(\Omega)=\Omega(z)\{\begin{array}{l}z_{1}1\end{array}\}\otimes\{\begin{array}{l}z_{2}1\end{array}\}\otimes\cdots\otimes\{\begin{array}{l}z_{n}1\end{array}\}dz_{1}dz_{2}\cdots dz_{n}$によって定義する．

$\rho=\rho\iota_{1}\otimes\rho\iota_{2}\otimes\cdots\otimes\rho\iota_{n}$$g=(g_{1}, \ldots, g_{n})\in GL(2, R)_{+}^{n}$$\mathfrak{d}(\Omega)og$

とおく．

をとる． の$g$$\mathfrak{H}^{n}$への作用により$\mathfrak{d}(\zeta\})$はに移る．ここに$\mathfrak{d}(\Omega)\circ g=\Omega(g(z))\{\begin{array}{l}g_{1^{Z}1}1\end{array}\}\otimes\cdots\otimes\{\begin{array}{l}g_{n}z_{n}1\end{array}\}(dz_{1}og_{1})\cdots(dz_{n}\circ g_{n})$.

容易な計算により$\mathfrak{d}(\Omega)\circ g=\prod_{\nu=1}^{n}(\det g_{\nu})^{-l_{\nu}/2}\rho(g)\mathfrak{d}(\Omega|_{k}g)$,$g\in GL(2, R)_{+}^{n}\cap GL(2, F)$を得る．特に(4.2)$\mathfrak{d}(\Omega)\circ\gamma=\rho(\gamma)\mathfrak{d}(\Omega) , \gamma\in\Gamma$が成り立つ．

$\mathfrak{d}(\Omega)$から $Z^{n}(\Gamma, V)$ の$n$-cocycle を explicit に構成できる．([Y3],第五章)$w=(w_{1}, w_{2})\in \mathfrak{H}^{2}$$z=(z_{1}, z_{2})\in$$n=2$ の場合を詳しく述べよう．
をとる．
$\mathfrak{H}^{2}$

に対して

(4.3)

$F(z)= \int_{w1}^{z_{1}}\int_{w2}^{z_{2}}\mathfrak{d}(\Omega)$

とおく． は$\mathcal{H}$る．

$\varphi\in \mathcal{H}$

と

$V$

に値をもつ
に対し

$\mathfrak{H}^{2}$$\gamma\in\Gamma$(4.4)

上の正則函数全体のなすベクトル空間とす
を上の函数$\mathfrak{H}^{2}$$\gamma\varphi$$(\gamma\varphi)(z)=\rho(\gamma)\varphi(\gamma^{-1}z)$によって定義する． のこの作用で$\Gamma$$\mathcal{H}$は$\Gamma$加群になる．

$\frac{\partial}{\partial z_{1}}\frac{\partial}{\partial z_{2}}(\gamma F-F)=0$

69
であるから
$\gamma F-F=g(\gamma;z_{1})+h(\gamma;z_{2})$と書ける．ここにる函数である． と$g(\gamma;z_{1})\in \mathcal{H},$

$g$

を

$h$

$h(\gamma;z_{2})\in \mathcal{H}$$C^{1}(\Gamma, \mathcal{H})$はそれぞれ$z_{1},$$z_{2}$にのみ依存すの 1-cochain とみなす．このとき明らかに$dg(\gamma_{1}, \gamma_{2};z_{1})+dh(\gamma_{1}, \gamma_{2};z_{2})=0$が成り立つ．
$f(\Omega)(\gamma_{1}, \gamma_{2})=dg(\gamma_{1}, \gamma_{2};z_{1})$とおく．

$f(\Omega)$$f(\gamma_{1}, \gamma_{2})\in V$
を $f$ と略記する．
は定数であることがわかる．

$\mathcal{H}$において $f$ は coboundary であるから，$f$ は cocycle 条件(4.5)$\gamma_{1}f(\gamma_{2}, \gamma_{3})-f(\gamma_{1}\gamma_{2}, \gamma_{3})+f(\gamma_{1}, \gamma_{2}\gamma_{3})-f(\gamma_{1}, \gamma_{2})=0$の cohomology 類を定める．
をみたす．2-cocycle はのは$x\in F$ に対し上の共役を表わを具体的に書き表わそう．
$H^{2}(\Gamma, V)$

$f$

$x’$

$f$

す

$\gamma=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in\Gamma$
$.$

とみなす．

$\gamma\in\Gamma$に対し$\gamma’=(\begin{array}{ll}a’ b’c^{/} d’\end{array})$$x$

とおく． と$\gamma$$Q$$\gamma’$を $SL$ (2, $R$ ) の元とする．

$F( \gamma(z))=F(\gamma z_{1}, \gamma’z_{2})=\int_{w_{1}}^{\gamma z_{1}}\int_{w_{2}}^{\gamma’z_{2}}\mathfrak{d}(\Omega)$$= \int_{\gamma w_{1}}^{\gamma z_{1}}\int_{w_{2}}^{\gamma’z_{2}}\mathfrak{d}(\Omega)+\int_{\gamma w_{1}}^{\gamma z_{1}}\int_{w}^{\gamma’w}2\mathfrak{d}(\Omega)+2\int_{w_{1}}^{\gamma w_{1}}\int_{w_{2}}^{\gamma’z_{2}}\mathfrak{d}(\Omega)$$=( \rho_{l_{1}}(\gamma)\otimes\rho_{l_{2}}(\gamma’))F(z)+l_{w}^{\gamma z_{1}}1\int_{w}^{\gamma’w_{2}}2\mathfrak{d}(\Omega)+\int_{w}^{\gamma w_{1}}1\int_{w2}^{\gamma’z_{2}}\mathfrak{d}(\Omega)$を得る．この式の$z$を$\gamma^{-1}z$で置き換えて$( \rho_{l_{1}}(\gamma)\otimes\rho_{l_{2}}(\gamma’))F(\gamma^{-1}z)-F(z)=-\int_{w_{1}}^{z_{1}}\int_{w2}^{\gamma’w2}\mathfrak{d}(\Omega)-\int_{w_{1}}^{\gamma w1}\int_{w_{2}}^{z_{2}}\mathfrak{d}(\Omega)$を得る．従って(4.6)$g( \gamma;z_{1})=-\int_{w1}^{z1}\int_{w_{2}}^{\gamma’w_{2}}\mathfrak{d}(\Omega)$(4.7)$h( \gamma;z_{2})=-\int_{w_{1}}^{\gamma w_{1}}\int_{w_{2}}^{z_{2}}\mathfrak{d}(\Omega)$,70と取ることができる．

$\gamma_{1},$$\gamma_{2}\in\Gamma$

に対して

(4.8)

$f(\gamma_{1}, \gamma_{2})=(\gamma_{1}g)(\gamma_{2};z_{1})-g(\gamma_{1}\gamma_{2};z_{1})+g(\gamma_{1};z_{1})$(4.9)$f(\gamma_{1}, \gamma_{2})=-\{(\gamma_{1}h)(\gamma_{2};z_{2})-h(\gamma_{1}\gamma_{2};z_{2})+h(\gamma_{1};z_{2})\}$,

である．(4.6) と (4.8) によって$f(\gamma_{1}, \gamma_{2})=(\rho_{l_{1}}(\gamma_{1})\otimes\rho_{l_{2}}(\gamma_{1}’))g(\gamma_{2};\gamma_{1}^{-1}z_{1})-g(\gamma_{1}\gamma_{2};z_{1})+g(\gamma_{1};z_{1})$$=-( \rho_{l_{1}}(\gamma_{1})\otimes\rho_{l_{2}}(\gamma_{1}’))\int_{\gamma_{2}w_{1}}^{\gamma_{1}^{-1}z_{1}}\int_{w2}^{\gamma_{2}’w}2\mathfrak{d}(\Omega)$$+ \int_{\gamma_{1}\gamma_{2}w_{1}}^{z1}\int_{w2}^{\gamma_{1}’\gamma_{2}’w2}\mathfrak{d}(\Omega)-\int_{1}^{z}1w_{1}\int_{w_{2}}^{\gamma_{1}’w2}\mathfrak{d}(\Omega)$$=- \int_{1\gamma_{2}w_{1}}^{z_{1}}\int^{\gamma_{1}’\gamma_{2}’w2},1\mathfrak{d}(\Omega)+w2\int_{1\gamma_{2}w_{1}}^{z_{1}}\int_{w2}^{\gamma_{1}’\gamma_{2}’w}2\mathfrak{d}(\Omega)-\int_{1}^{z}1w_{1}\int_{w}^{\gamma_{1}’w_{2}}2\mathfrak{d}(\Omega)$$=l_{1\gamma_{2}w_{1}}^{z_{1}} \int_{w}^{\gamma_{1}’w2}\mathfrak{d}(\Omega)-l_{1w}^{z_{1}}\int_{w}^{\gamma_{1}’w2}2\mathfrak{d}(\Omega)$$= \int_{\gamma_{1}\gamma_{2}w_{1}}^{\gamma_{1}w1}\int_{w}^{\gamma_{1}’w2}2\mathfrak{d}(\Omega)$を得る．ここで計算の途中で (4.2) を用いた．cocycle の具体的な形(4.10)$f( \gamma_{1}, \gamma_{2})=\int_{\gamma_{1}\gamma_{2}w_{1}}^{\gamma_{i}w_{1}}\int_{w2}^{\gamma_{1}’w2}\mathfrak{d}(\Omega)$が得られた．
$w_{2}$

はそのままで$g(\gamma, z_{1})+a(\gamma)$$w_{1}$

を$w_{1}^{*}$

で置き換えたとする．このとき$f(\gamma_{1}, \gamma_{2})$は $f(\gamma_{1}, \gamma_{2})+\gamma_{1}a(\gamma_{2})-a(\gamma_{1}\gamma_{2})+a(\gamma_{1})$ に変わる． はそで置き換えたとする．このとき $h(\gamma;z_{2})$ は $h(\gamma, z_{2})+b(\gamma)$$w_{2}^{*}$$b( \gamma)=\int_{w_{1}}^{\gamma w_{1}}\int_{w_{2}}^{w_{\dot{2}}}\mathfrak{d}(\Omega)$は(4.9) によりての cohomology 類は “基点”
$f(\gamma_{1}, \gamma_{2})$$f$.
$w_{1}$

をに変わる．ここに$w_{2}$

はに変わる．ここに$a( \gamma)=\int_{\gamma w1}^{\gamma wi}\int_{w2}^{\gamma’w2}\mathfrak{d}(\Omega)$

よって
のままで

$g(\gamma;z_{1})$.

$f(\gamma_{1}, \gamma_{2})-\gamma_{1}b(\gamma_{2})+b(\gamma_{1}\gamma_{2})-b(\gamma_{1})$$w_{1},$$w_{2}$に変わる．従っの取り方によらない．

71
とおく．(4.10) により
cocycle とみなせることがわかる．場合によってまた (4.10) により$\overline{\Gamma}=\Gamma/(\{\pm 1_{2}.\}\cap\Gamma)$(4.11)

$f$

は

$f$

を

$\overline{\Gamma}$$\overline{\Gamma}$に値をもつ 2の 2-cocycle とみる．の$V$

$f(1, \gamma)=f(\gamma, 1)=0, \forall\gamma\in\overline{\Gamma}$がわかる．すなわち cocycle は正規化されている．
今はカスプ形式とする．このとき cocycle $f=f(\Omega)$ は “parabolic 条$f$$\Omega$

件 “ をみたす．即ち$q\in\Gamma$

は放物元で$w^{*}=(w_{1}^{*}, w_{2}^{*})$

は $q’$ の固定点とする．

$\Omega$

はカスプ形式であるからをで置き換えることができる． はから得られた cocycle とする．(4.10) により $f^{*}(q, \gamma)=0$ であり 1-cochain$w_{2}$$f^{*}$$w_{2}^{*}$$(w_{1}, w_{2}^{*})$

$b$

によって
$f^{*}(\gamma_{1}, \gamma_{2})=f(\gamma_{1}, \gamma_{2})-\gamma_{1}b(\gamma_{2})+b(\gamma_{1}\gamma_{2})-b(\gamma_{1})$となる．故に$f(q, \gamma)=qb(\gamma)-b(q\gamma)+b(q) , \gamma\in\Gamma$が成り立つ．即ち が放物元のとき$q$$f(q, \gamma)$$f(\gamma, q)$
は coboundary の形である．

についても同様である．
$L$

函数 $L(s, \Omega)$ の特殊値と cocycleの関係を詳しく調べよう．
$F$ の基本単数とする．
をと仮定する．
$f(\Omega)$$SL(2, \mathcal{O}_{F})$$\epsilon$$\sigma=(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array}), \mu=(\begin{array}{ll}\epsilon 00 \epsilon^{-1}\end{array})$

とおく．

$\sigma,$

$\mu$

を

$\overline{\Gamma}$の元とみなす．cocycle 条件により(4.12)$\sigma f(\sigma, \sigma)=f(\sigma, \sigma)$を得る．基点として$w_{1}=i\epsilon^{-1}, w_{2}=i\infty$をとる．(4.10) により(4.13)$f( \sigma, \mu)=f(\sigma, \sigma)=-\int_{i\epsilon^{-1}}^{i\epsilon}\int_{0}^{i\infty}\mathfrak{d}(\Omega)$を得る．
$P=\{(\begin{array}{ll}u v0 u^{-1}\end{array})|u\in E_{F}, v\in \mathcal{O}_{F}\}\subset\Gamma$$p\in P$ について $pw_{2}=w_{2}$ であるから，(4.10) により
とおく．

(4.14)$f(p, \gamma)=0, \forall p\in P, \forall\gamma\in\Gamma$$\Gamma=$

72を得る．cocycle 条件 (4.5) において $\gamma_{1}=p\in P$ と取って(4.15)$f(p\gamma_{1}, \gamma_{2})=pf(\gamma_{1}, \gamma_{2}) , p\in P, \gamma_{1}, \gamma_{2}\in\Gamma$を得る．これは$\Gamma=SL(2, \mathcal{O}_{F})$のときの parabolic 条件であり特殊値の計算において以下重要な役割をはたす．
$0\leq s\leq l_{1},0\leq t\leq l_{2}$(4.16)

に対して$P_{s,t}= \int_{i\epsilon^{-1}}^{i\epsilon}\int_{0}^{i\infty}\Omega(z)z_{1}^{s}z_{2}^{t}dz_{1}dz_{2}$とおく．

$f(\sigma, \sigma)$の成分は $-P_{s,t}$ で与えられる．関係(4.17)$\sigma f(\sigma, \sigma)=f(\sigma, \sigma)$

は$P_{s,t}=(-1)^{l_{1}+l_{2}-s-t}P_{l_{1}-s,l_{2}-t}$$k_{1}=l_{1}+2,$ $k_{2}=l_{2}+2$ とおく．(4.3) によりと同値である．

(4.18)$l_{1}\equiv l_{2}$を得る．

$l_{1}\geq l_{2}$mod2と仮定する．このとき$k_{0}=k_{1}, k_{1}’=0, k_{2}’=k_{1}-k_{2}$である．

$E_{F}^{2}=\langle\epsilon^{2}\rangle$

れる．

${\rm Re}(s)$であるから$R_{+}^{2}/E_{F}^{2}$の基本領域は$[\epsilon^{-1}, \epsilon]\cross R_{+}$

で与えらが十分大きいとき，(4.6) により$\int_{\epsilon^{-1}}^{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\Omega(iy_{1}, iy_{2})y_{1}^{s-1}y_{2}^{s-(k_{1}-k_{2})/2-1}dy_{1}dy_{2}$(4. 19)$=(2\pi)^{(k_{1}-k_{2})/2}R(s, \Omega)$を得る．この積分は全ての $s\in C$ について局所一様に収束していることが確$m\in Z$ をとり $s=m,$ $t=m-(k_{1}-k_{2})/2$ とおく．このときかめられる．
$0\leq s\leq l_{1},0\leq t\leq l_{2}$(4.20)

が成立する条件は$\frac{k_{1}-k_{2}}{2}\leq m\leq\frac{k_{1}+k_{2}}{2}-2$である．この範囲の $m$ について
$P_{m,m-(k_{1}-k_{2})/2}= \int_{i\epsilon^{-1}}^{i\epsilon}\int_{0}^{i\infty}\Omega(z)z_{1}^{m}z_{2}^{m-(k_{1}-k_{2})/2}dz_{1}dz_{2}$$=i^{2m-(k_{1}-k_{2})/2+2} \int_{\epsilon^{-1}}^{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\Omega(iy_{1}, iy_{2})y_{1}^{m}y_{2}^{m-(k_{1}-k_{2})/2}dy_{1}dy_{2}$73である．よって (4.19) により(4.21)$P_{m,m-(k_{1}-k_{2})/2}=(-1)^{m+1}i^{-(k_{1}-k_{2})/2}(2\pi)^{(k_{1}-k_{2})/2}R(m+1, \Omega)$を得る．函数等式 (3.7) により，これは$(-1)^{m+1}i^{-(k_{1}-k_{2})/2}(2\pi)^{(k_{1}-k_{2})/2}(-1)^{(k_{1}+k_{2})/2}R(k_{1}-m-1, \Omega)$$k_{1}-m-2$ も (4.20) をみたすから (4.21) によりに等しい．

(4.22)$P_{m,m-(k_{1}-k_{2})/2}=(-1)^{(k_{1}-k_{2})/2}P_{k_{1}-m-2,(k_{1}+k_{2})/2-m-2}$となる．(4.22) は (4.17) と consistent である．(4.20) は $L(m+1, \Omega)$ がcritical value であるための条件であることを注意しておく．([Sh4], (4.14) 参
照 .
$)$とし $f=f(\Omega)\in Z^{2}(\Gamma, V)$ は (4.10) によってから得られの cohomology 類への Hecke 作用素の作用を書きる 2-cocycle とする．
を
とも書く．
表そう．
$F$ の総正$F$ は次の総実代数体， はの合同部分群とする．
な元に対し$\Omega\in M_{k}(\Gamma)$$\Omega$$f(\Omega)$$f(\Omega)$$f_{\Omega}$$\Gamma$$n$$SL(2, \mathcal{O}_{F})$$\varpi$$\Gamma(\begin{array}{ll}1 00 \varpi\end{array})\Gamma=u_{i=1}^{d}\Gamma\beta_{i}$を剰余類分解とする．

$\Omega\in M_{k}(\Gamma)$(4.23)$\Omega|T(\varpi)=N(\varpi)^{k_{0}/2-1}\sum_{i=1}^{d}\Omega|_{k}\beta_{i}.$によって定義する．明らかに$M_{k}(\Gamma)$

をとる．Hecke 作用素 $T(\varpi)$ をであり(4.24)$\Omega$は剰余類分解の取り方によらない．
がカスプ形式ならばはカスプ形式である．また$\Omega|T(\varpi)\in$$T(\varpi)$$\Omega|T(\varpi)$$\mathfrak{d}(\Omega|T(\varpi))=\prod_{\nu=1}^{n}(\varpi^{(\nu})^{(k_{0}+k_{\nu})/2-2}\sum_{i=1}^{d}\rho(\beta_{i})^{-1}(\mathfrak{d}(\Omega)\circ\beta_{i})$が成り立つ．

(4.25)$c= \prod_{\nu=1}^{n}(\varpi^{(\nu)})^{(k_{0}+k_{\nu})/2-2}$

とおく．以下 $n=2$ と仮定する．

(4.26)$F_{\Omega|T(\varpi)}(z)= \int_{w1}^{z_{1}}\int_{w2}^{z_{2}}\mathfrak{d}(\Omega|T(\varpi)) , z=(z_{1}, z_{2})$74
とおく．(4.10) を導いたように，この函数から出発して

2-cocycle$\gamma_{2}\in\Gamma$(4.27)$f_{\Omega|T(\varpi)}$に付随する$\Omega|T(\varpi)$を計算できる．詳細は略するが結果は次のようになる．

$\gamma_{1},$に対し$\beta_{i}\gamma_{1}=\delta_{i}^{(1)}\beta_{j(i)},$$\beta_{i}\gamma_{2}=\delta_{i}^{(2)}\beta_{k(i)},$$\delta_{i}^{(1)}\in\Gamma,$$1\leq i\leq d$$\delta_{i}^{(2)}\in\Gamma,$

とおく．このとき coboundary を法として(4.28)$f_{\Omega|T(\varpi)}( \gamma_{1}, \gamma_{2})=c\sum_{i=1}^{d}\beta_{i}^{-1}f_{\Omega}(\beta_{i}\gamma_{1}\beta_{j(i)}^{-1} , \beta_{j(i)}\gamma_{2}\beta_{k(j(i))}^{-1})$

である．この公式は倍を除いて命題 2.2 と一致する．

$c$の狭義類数は 1 とする． は Hecke 作用素の共通固有函数とする．こ函数 $L(s, \Omega)$ は志村 [Sh4] あるいは Jacquetのとき (3.4) で定義された
Langlands $[JL|$ で与えられた Euler 積と本質的に一致するが，微妙な違いが$F$$\Omega$$L$ある．これを説明しておこう．
$\delta\gg 0$によって$\mathfrak{d}_{F}=(\delta)$と書く．

$\Omega\in S_{k_{1},k_{2}}(\Gamma),$$\Gamma=SL(2, \mathcal{O}_{F})$とし$\Omega(z)=\sum_{0\ll\alpha\in \mathcal{O}_{F}}c(\alpha)e_{F}(\frac{\alpha}{\delta}z)$

を Fourier 展開とする．(3.1) の記号では $a(\alpha/\delta)=c(\alpha)$ である．
$\triangle=\{\alpha\in M(2, \mathcal{O}_{F})|\det\alpha\gg 0\}$とおく． は$\mathfrak{m}$Hecke 環$F$$\mathcal{H}(\Gamma, \triangle)$の整イデアルとし $m\gg 0$ を $\mathfrak{m}=(m)$ と取る．このときの元 $T(m)$ を$T( \mathfrak{m})=\sum_{\alpha\in\Delta,\det\alpha=m}\Gamma\alpha\Gamma$

で定義する．

$T(m)=u_{i=1}^{e}\Gamma\beta_{i}$$T(m)$ の$\Omega$を剰余類分解とする．

$k_{1}\geq k_{2}$と仮定する．

への作用を$\Omega|T(\mathfrak{m})=N(m)^{k_{1}/2-1}\sum_{i=1}^{e}\Omega|_{k}\beta_{i}$で定義する．このとき$\Omega|T(m)\in S_{k}(\Gamma)$

でありこれがとらないことがわかる．
は全ての $T(m)$ の共通固有函数とする．
$\Omega\neq 0$$\Omega|T(\mathfrak{m})=\lambda(\mathfrak{m})\Omega$$\beta_{i}$の取り方によ75
とおく． は $c(1)=1$ と正規化されていると仮定する．一変数の場合と同様$\Omega$に計算して$\lambda(\mathfrak{m})=c(m)(m^{(2)})^{(k_{1}-k_{2})/2},$(4.29)$L(s, \Omega)=(\delta^{(2)})^{(k_{1}-k_{2})/2}D_{F}^{s}\prod_{\mathfrak{p}}(1-\lambda(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}+N(\mathfrak{p})^{k_{1}-1-2s})^{-1}$を得る．ここに$D_{F}=N(\delta)$ は $F$ の判は $F$ の全ての素イデアルにわたり，$\mathfrak{p}$別式である．
$0\ll\varpi\in \mathcal{O}_{F}$をが素イデアル$\mathfrak{p}$を生成するとき，(4.23) で定義される$T(\varpi)$とも書く．

$T(\mathfrak{p})$5. Parabolic 条件と特殊値の計算法の函数 $L(s, \Omega)$ の特殊値の比
この節ではヒルベルト モジュラー形式
を $H^{2}(\Gamma, V)$ を用いて計算する原理を説明する．
$F$,
は実二次体， は $F$ の基本単数とする． PSL$L$$\Omega$$\Gamma=$$\epsilon$$(2, \mathcal{O}_{F})$$P=\{(\begin{array}{ll}u 10 u^{-1}\end{array})|u\in E_{F}, v\in \mathcal{O}_{F}\}/\{\pm 1_{2}\}$

とおく．非負整数$l_{1},$$l_{2}$

は$l_{1}\geq l_{2},$$k_{1}=l_{1}+2,$ $k_{2}=l_{2}+2,$ $k=(k_{1}, k_{2})$mod2 をみたすと仮定する，$l_{1}\equiv l_{2}$とおく．

$N(\epsilon)=-1$とする．

$\Omega\in S_{k}(\Gamma)$

ならばは偶数であると仮定する．(これは 3 節の仮定 (A) である．), 碗はそれぞれの表現空間とする． の基底 $\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{l +1}\}$$l_{1}$

を、$V_{1}$$V_{1}$$\rho_{l_{1}},$$\rho_{l_{2}}$$\rho_{l_{1}}((\begin{array}{ll}a 00 1\end{array}))e_{i}=a^{l_{1}+1-i}e_{i}$$\rho_{l_{2}}((\begin{array}{ll}a 00 1\end{array}))e_{i}’=a^{l_{2}+1-i}e_{i}’$(5.1)と取る．同様にと取る．このとき$V_{2}$の基底$\{$$\rho=\rho_{l_{1}}\otimes\rho_{l_{2}}$e\’i,$e_{2}’,$$\ldots,$$e_{l_{2}+1}’\}$

を

に対して

$\rho((\begin{array}{ll}\alpha 00 \beta\end{array}))(e_{i}\otimes e_{j}’)=\alpha^{l_{1}+1-i}(\alpha’)^{l_{2}+1-j}\beta^{i-1}(\beta’)^{j-1}(e_{i}\otimes e_{j}’)$が成り立つ．ここに前節では$\Omega$である．
から $L(s, \Omega)$ の特殊値についての情報を含む 2-cocycle $f(\Omega)\in$$\alpha,$$\beta\in F^{\cross}$を構成したが， の cohomology 類は coboundary を法として定まっている． に coboundary を加えたとき特殊値に関係する成分はどう$f(\Omega)$$Z^{2}(\Gamma, V)$$f(\Omega)$

変化するであろうか．答は次の定理によって与えられる．
定理 5.1.

$i=1$ または 2 とする．このとき$\dim H^{i}(P, V)=\{\begin{array}{ll}0 l_{1}\neq l_{2} または N(\epsilon)^{l_{1}}=-1 のとき，1 l_{1}=l_{2} 力、つ N(\epsilon)^{l_{1}}=1 のとき．\end{array}$

この定理の $i=1$ の場合は次の定理から従う．

76
定理 5.2.
$U=\{(\begin{array}{ll}\pm 1 u0 \pm 1\end{array})|u\in \mathcal{O}_{F}\}/\{\pm 1_{2}\}\subset\Gamma$

とおく．このとき $\dim H^{1}(U, V)=2$ であり値は$\epsilon^{l_{1}+2}(\epsilon’)^{-\iota_{2}},$$\epsilon^{-\iota_{1}-2}(\epsilon’)^{l_{2}}$である．特に$\mu$の$H^{1}(U, V)$への作用の固有$H^{1}(U, V)^{P/U}=0.$$P/U\cong Z$ であるから(2.4) において $G=P,$ $N=U,$ $M=V$ と取ると，

完全列$0arrow H^{1}(P/U, V^{U})arrow H^{1}(P, V)arrow H^{1}(U, V)^{P/U}arrow 0$$\dim H^{1}(P/U, V^{U})$ はまたはのときはが得られる．
かつのとき 1 であることは容易にわかるので，定理 5.1 の$i=1$ の場合は定理 5.2 から従う．定理 5.2 の証明は [Y4] または [Y6] を参$N(\epsilon)^{l_{1}}=-1$$l_{1}\neq l_{2}$$0,$$N(\epsilon)^{\iota_{1}}=1$$l_{1}=l_{2}$

照されたい．
$f$

は parabolic 条件 (4.15) をみたす $Z^{2}(\Gamma, V)$ の 2-cocycle$b\in C^{1}(\Gamma, V)$の coboundaryとし，これに$b(\gamma_{1}\gamma_{2})-\gamma_{1}b(\gamma_{2})-b(\gamma_{1})$を加えたとする．得られた 2-cocycle は正規化されており parabolic 条件 (4. 15)
をみたすと仮定する．このとき $b(1)=0$ であり parabolic 条件を用いて$p\gamma_{1}b(\gamma_{2})+b(p\gamma_{1})-b(p\gamma_{1}\gamma_{2})=p\gamma_{1}b(\gamma_{2})+pb(\gamma_{1})-pb(\gamma_{1}\gamma_{2})$を得る．

と取り， を(5.2)$b(p\gamma)=pb(\gamma)+b(p) , p\in P, \gamma\in\Gamma$$\gamma_{2}=\gamma_{1}^{-1}$$\gamma_{1}$,$p\in P$と書くと， は条件$b$$\gamma$$A=f(\sigma, \mu)$ とおく． の coboundary を加えると，を充たすことがわかる．
$b$

$A$

は $A+b(\sigma l^{l})-\sigma b(\mu)-b(\sigma)$ に変わる．(5.2) により$b(\sigma\mu)=b(\mu^{-1}\sigma)=\mu^{-1}b(\sigma)+b(\mu^{-1}) , b(\mu^{-1})=-\mu^{-1}b(\mu)$であるから， は$A$$A+(\mu^{-1}-1)b(\sigma)-(\sigma+\mu^{-1})b(\mu)$に変わる．(5.2) により わ $|P\in Z^{1}(P, V)$ であることに注意する．まず$b\in V$ があってとする．定理 5.1 により，$b(\mu)=(\mu-1)b$$l_{1}\neq l_{2}$77$(\sigma+\mu^{-1})(\mu-1)=(\mu^{-1}-1)(\sigma-1)$ であるから， は
となる．
$A$

$A+(\mu^{-1}-1)[b(\sigma)+(1-\sigma)b]$に変わる．(5.1) により(5.3)$\mu^{-1}(e_{i}\otimes e_{i-(l_{1}-l_{2})/2}’)=N(\epsilon)^{l_{1}}(e_{i}\otimes e_{i-(l_{1}-l_{2})/2}’)$であるから $A$ の特殊値に関係する成分は変わらないことがわかる．次に $l_{1}=l_{2}$$b\in V$ と bo $\in V^{U}$ がとしよう．定理 5.1 と定理 5.2 の下の完全列により，あって$b(\mu)=(\mu-1)b+b_{0}, b\in V, b_{0}\in V^{U}$となる．故に $A$ は$A+(\mu^{-1}-1)[b(\sigma)+(1-\sigma)b]-(\sigma+\mu^{-1})b_{0}$に変わる．bo$\in V^{U}$

ゆえ，この式から$A$の特殊値に関係する成分は，端にある二つの特殊値 $L(1, \Omega)$ と $L(l_{1}+1, \Omega)$ に関係する成分を除いて変わらない
ことがわかる．
$\overline{Z}^{2}(\Gamma, V)$

は正規化された 2-cocycle 全体のなす$Z^{2}(\Gamma, V)$の部分群とする．

$\overline{B}^{2}(\Gamma, V)=\{f=db|b\in C^{1}(\Gamma, V), b(1)=0\}$とおくと，$\overline{Z}^{2}(\Gamma, V)\cap B^{2}(\Gamma, V)=\overline{B}^{2}(\Gamma, V)$が成り立つ．よって$\overline{Z}^{2}(\Gamma, V)/\overline{B}^{2}(\Gamma, V)\subset Z^{2}(\Gamma, V)/B^{2}(\Gamma, V)$である．任意の 2-cocycle は coboundary を加えて正規化されるから$H^{2}(\Gamma, V)=\overline{Z}^{2}(\Gamma, V)/\overline{B}^{2}(\Gamma, V)$を得る．
$Z_{P}^{2}(\Gamma, V)=${$f\in\overline{Z}^{2}(\Gamma, V)|f$

は parabolic 条件 (4.15) をみたす},$B_{P}^{2}(\Gamma, V)=\{f\in\overline{B}^{2}(\Gamma, V)|f=db, b\in C^{1}(\Gamma,V)_{i}$$b(p\gamma)=pb(\gamma)+b(p) , p\in P_{\dot{y}}\gamma\in\Gamma\}$の元を正規化された pambolic 2-cocycle と呼ぶ．次の補題
とおく．
は容易に確かめられる．
$Z_{P}^{2}(\Gamma, V)$

補題 5.3.

$Z_{P}^{2}(\Gamma, V)\cap\overline{B}^{2}(\Gamma, V)=B_{P}^{2}(\Gamma, V)$が成り立つ．

78
補題 5.3 により$Z_{P}^{2}(\Gamma, V)/B_{P}^{2}(\Gamma, V)\subset\overline{Z}^{2}(\Gamma, V)/\overline{B}^{2}(\Gamma, V)=H^{2}(\Gamma, V)$である．

$H^{2}(\Gamma_{\dot{3}}V)$の parabolic 部分

HP2$(\Gamma, V)$を$H_{P}^{2}(\Gamma, V)=Z_{P}^{2}(\Gamma, V)/B_{P}^{2}(\Gamma, V)$

で定義する．

定理 5.1 の応用として， が Hecke 作用素の共通固有函数であるときの cohomology 類が消えないことを示しておこう．
$\Omega$$f(\Omega)$$f\in Z_{P}^{2}(\Gamma, V)$
命題 5.4. $N(\epsilon)=-1$ ならばは偶数であると仮定する．
$(l_{1}-l_{2})/2+1\leq
i\leq(l_{1}+l_{2})/2+1$
は正規化された parabolic 2-cocycle とする．
のとき
は
における
に対し
の係数とする．
$\ell_{1}$$f(\sigma, \mu)$$c_{i}$

はある
免 $\neq 0$$l_{1}\neq l_{2}$$e_{i}\otimes e_{i-(l_{1}-l_{2})/2}’$

のときは
と仮定し，
と仮定する．このとき の cohomology 類は消えない．
について

$i$

$l_{1}=l_{2}$$c_{i}\neq 0$$i\neq 1,$ $l_{1}+1$

について

$f$

証明． の cohomology 類が消えると仮定する．このとき$f$$b\in C^{1}(\Gamma, V)$があって$f(\gamma_{1_{\dot{2}}}\gamma_{2})=\gamma_{1}b(\gamma_{2})+b(\gamma_{1})-b(\gamma_{1}\gamma_{2}) , \gamma_{1}, \gamma_{2}\in\Gamma$となる． は (5.2) をみたすから，前と同様の計算により$b$$f(\sigma, \mu)=(1-\mu^{-1})b(\sigma)+(\sigma+\mu^{-1})b(\mu)$

を得る．
まず
り

$l_{1}\neq l_{2}$$b\in V$$b|P\in Z^{1}(P, V)$ であるから，定理 5.1 によの場合を考える．

があって $b(\mu)=(\mu-1)b$ となる．これから$f(\sigma, \mu)=(1-\mu^{-1})[b(\sigma)+(1-\sigma)b]$を得る．(5.3) により$Q$は全て消える．これは矛盾であり，この場合には証明できた．
次に $l_{1}=l_{2}$ の場合を考える．定理 5.1 と定理 5.2 の下の完全列により，$b\in V$ と $b_{0}\in V^{U}$ があって$b(\mu)=(\mu-1)b+b_{0}$となる．このとき$f(\sigma, \mu)=(1-\mu^{-1})[b(\sigma)+(1-\sigma)b]+(\sigma+\mu^{-1})b_{0}$を得る．

$b_{0}\in V^{U}$

ゆえ，この式から $i\neq 1,$ $l_{1}+1$ のとき $c_{i}=0$ がわかる．これは矛盾であり証明が終わる．

79
定理 5.5.

$k=(k_{1}, k_{2}),$$k_{1}\geq k_{2},$mod2 とする．

$k_{1}\equiv k_{2}\equiv 0$$\Omega\in S_{k}(\Gamma)$

で $f=f(\Omega)$ は $(4.10)$ で定義される正規化された parabolic 2-cocycleとすの狭義類数は1
ではる．
Hecke 作用素の共通固有函数であると仮定す
ならば $k_{2}\geq 4$ と仮定し，$k_{1}=k_{2}$ ならば $k_{2}\geq 6$ と仮定する．こる．
の $H^{2}(\Gamma, V)$ における cohomology 類は消えない．
のとき$F$$\Omega$$k_{1}\neq k_{2}$$f$$k_{1}=l_{1}+2,$ $k_{2}=l_{2}+2$ とおく． が $(l_{1}-l_{2})/2+1\leq i\leq$
証明．
$i$$(l_{1}+l_{2})/2+1$の係数の範囲にあるとき，(4.21) によりは $L(l_{1}+2-i, \Omega)$ を$f(\sigma, \mu)$における$e_{i}\otimes e_{i-(l_{1}-l_{2})/2}’$でない定数倍したものであることがわかる．
${\rm Re}(s)\geq(k_{1}+1)/2$ のとき $L(s, \Omega)\neq 0$ であることは良く知られている ([Sh4],$c_{i}$$0$

Proposition 4.16 参照). $i=(l_{1}-l_{2})/2+1$ のとき， は $L((k_{1}+k_{2})/2-1, \Omega)$$c_{i}$の $0$

でない定数倍である．

から$k_{1}\neq k_{2}$$k_{2}\geq 3$

ならば $(k_{1}+k_{2})/2-1\geq(k_{1}+1)/2$ である$k_{1}=k_{2}$ とする．
$i=2$ のときのとき定理は補題 5.4 から従う．

は $L(k_{1}-2, \Omega)$ の$0$でない定数倍である．

$k_{1}\geq 5$であるから定理は補題 5.4 から従う．
を具体的な計算のためには$H^{2}(\Gamma, V)$$\Gamma$$c_{i}$

ならば $k_{1}-2\geq(k_{1}+1)/2$の外部自己同型の作用で分解しておくのが好都合である．
$Z=\{(\begin{array}{ll}u 00 u\end{array})|u\in E_{F}\}$とおく．これは$GL(2, \mathcal{O}_{F})$の中心である．同型$Z.$ $SL(2, \mathcal{O}_{F})/Z\cong SL(2, \mathcal{O}_{F})/\{\pm(\begin{array}{ll}1 00 1\end{array})\}=$

により$\Gamma$PSL$(2, \mathcal{O}_{F})=\Gamma$

を PGL $(2, \mathcal{O}_{F})=GL(2, \mathcal{O}_{F})/Z$ の部分群とみなす．以下

偶数であると仮定する． が偶数のとき
$l$

$GL$

(2,

$C$

) の表現

$\rho_{l}’$$l_{1}$と$l_{2}$はを$\rho_{l}’(g)=\rho_{l}(g)\det(g)^{-l/2}, g\in GL(2, C)$で定義する． は中心の上で自明である．
$\rho_{l}’$$g\in GL(2, \mathcal{O}_{F}),$$\rho’=\rho_{l_{1}}’\otimes\rho_{l_{2}}’$$v\in V$であるから， を PGL
$V$

$V$

の

$\Gamma$$gv=\rho’(g)v,$
とおく．

$\rho’(z)=$ id, $z\in Z$
により， は $GL(2, \mathcal{O}_{F})$ 加群になる．
$V$$(2, \mathcal{O}_{F})$

加群とみなすことができる．

$\rho’|\Gamma=\rho|\Gamma$

ゆえ，加群としての構造は前と同じである．

PGL $(2, \mathcal{O}_{F})/PSL(2, \mathcal{O}_{F})\cong E_{F}/E_{F}^{2}\cong Z/2Z\oplus Z/2Z$が成り立つ．共役により PGL$H^{2}(\Gamma, V)$$(2, \mathcal{O}_{F})$は$\Gamma$に外部自己同型として作用し，はこの作用で 4 個の部分空間の直和に分解する．
$v=(\begin{array}{ll}\epsilon 00 1\end{array}), \delta=(\begin{array}{ll}-1 00 1\end{array})$80
とおく．PGL
作用を調べよう．

$(2, \mathcal{O}_{F})$は PSL$(2, \mathcal{O}_{F})$$f\in Z^{2}(\Gamma, V)$

(5.4)

と

に対し

$\delta$$\nu,$

によって生成される．まず$\tilde{c}f\in Z^{2}(\Gamma, V)$

$\nu$

の

を

$\tilde{e}f(\gamma_{1}, \gamma_{2})=\nu^{-1}f(\nu\gamma_{1}v^{-1}, \nu\gamma_{2}\nu^{-1}) , \gamma_{1}, \gamma_{2}\in\Gamma$$v^{2}=\mu$の自己同型 を誘導する．
によって定義する． はゆえ，$e^{2}=1$ である．(5.4) によりはによる内部自己同型から得られる．故に$\tilde{e}^{2}$$H^{2}(\Gamma, V)$$\tilde{e}$

$e$

$f$

$\mu$

が parabolic 2-cocycle ならばずも parabolic 2-cocycle であることがわかる．

故に

$e$

の作用によって分解$H_{P}^{2}(\Gamma, V)=H_{P}^{2}(\Gamma, V)^{+}\oplus H_{P}^{2}(\Gamma, V)^{-}$$H^{2}(\Gamma, V)=H^{2}(\Gamma, V)^{+}\oplus H^{2}(\Gamma, V)^{-},$

が得られる．ここに$H^{2}(\Gamma, V)^{\pm}=\{c\in H^{2}(\Gamma, V)|ec=\pm c\},$$H_{P}^{2}(\Gamma, V)^{\pm}=\{c\in H_{P}^{2}(\Gamma, V)|ec=\pm c\}$である．この分解は$f= \frac{1}{2}[(1+\overline{e})f+(1-\tilde{e})f], f\in Z^{2}(\Gamma, V)$によって得られている．
$\overline{\Gamma}^{*}=\{\gamma\in GL(2, \mathcal{O}_{F})|\det(\gamma)=\epsilon^{n}, n\in Z\}, \Gamma^{*}=Z\overline{\Gamma}^{*}/Z$$r*$ はとおく．

${\rm Res}$$\Gamma$と$\nu$で生成され $[\Gamma^{*}:\Gamma]=2$ である．

: $H^{2}(\Gamma^{*}, V)arrow H^{2}(\Gamma, V)$ ,$T$: $H^{2}(\Gamma, V)arrow H^{2}(\Gamma^{*}, V)$を制限写像と transfer 写像とする．
命題 5.6.

(1) ${\rm Res}(H^{2}(\Gamma^{*}, V))=H^{2}(\Gamma, V)^{+}.$(2) $T(H^{2}(\Gamma, V)^{+})=H^{2}(\Gamma^{*}, V)$ .
(3) $Ker(T)=H^{2}(\Gamma, V)^{-}$

証明は容易であるから省略する．実際の計算には cohomology 群のほうが$H^{2}(\Gamma, V)$

よりも扱いやすい． の作用により$\delta$$H^{2}(\Gamma^{*}, V)$$H^{2}(\Gamma^{*}, V)$を$H^{2}(\Gamma^{*}, V)=H^{2}(\Gamma^{*}, V)^{+}\oplus H^{2}(\Gamma^{*}, V)^{-}$と分解する．
は $r*$ を生成すると仮定する．(この仮定は$v,$(5.7) まで
は三文字
ならば充たされる．)の上の自由群とする．
をへの全射準同型$\mathcal{O}_{F}=Z+Z\epsilon$$\tau$$\sigma,$$\mathcal{F}^{*}$$\tilde{\sigma},$$\tilde{\nu},$$\tilde{\tau}$$\pi^{*}$$\pi^{*}(\tilde{\sigma})=\sigma, \pi^{*}(\tilde{v})=\nu, \pi^{*}(\tilde{\tau})=\tau$$\mathcal{F}^{*}$から$\Gamma^{*}$

81
によって定義しを$R^{*}$(5.5)$\pi^{*}$の核とする．(2.8) により$H^{2}(\Gamma^{*}, V)\cong H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*}}/{\rm Im}(H^{1}(\mathcal{F}^{*}, V))$を得る．
は$\delta$$\sigma,$$(\tilde{\sigma})_{\delta}=\tilde{\sigma},$

$v$

と可換で

$\delta\tau\delta^{-1}=\tau^{-1}$$(\tilde{\tau})_{\delta}=\tilde{\tau}^{-1}$$(\tilde{\nu})_{\delta}=\tilde{v},$をみたす．

$\mathcal{F}^{*}$の自己同型$x\mapsto x_{\delta}$

をにより定義できる．

$\pi^{*}(x_{\delta})=\delta\pi^{*}(x)\delta^{-1}, x\in \mathcal{F}^{*}$

がわかる．このとき次の命題が成り立つ．
命題 5.7.

元とする． の$\delta$$H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*}}$

は
をとる．
への作用を
と書く．このとき$f\in Z^{2}(\Gamma^{*}, V)$$Z^{2}(\Gamma^{*}, V)$の元$\psi$$\varphi\in H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*}}$$\tilde{d}$$f$$\tilde{d}f$

に対応する
に対応する

は
$\psi(r)=\delta^{-1}\varphi(r_{\delta}) , r\in R^{*}$

で与えられる．
$\varphi\in H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*}}$とする．

$\varphi_{\delta}\in H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*}}$(5.6)$\varphi_{\delta}(r)=\delta^{-1}\varphi(r_{\delta})$で定義する．このときがを$\pm 1$$(\varphi_{\delta})_{\delta}=\varphi$

であり，$H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*}}$は$\delta$の作用で固有値の固有空間の直和に分解する．

(5.7)$H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*}}=H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma,+}\oplus H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*},-}$

次節で計算例を与える前に，ここまでに得られた結果をまとめておこう．
$l_{1}$と$l_{2}$$R(s, \Omega)$は非負の偶数でを (3.4) と$l_{1}\geq l_{2}$とする．

$\Omega\in S_{l_{1}+2,l_{2}+2}(\Gamma)$

をとる．

$L(s, \Omega)$と(3.5) で定義する．函数等式は (3.7) により$R(s, \Omega)=(-1)^{(l_{1}+l_{2})/2}R(l_{1}+2-s, \Omega)$である．整数
(5.8)

$m$

について

$L(m, \Omega)$が critical value である条件は$\frac{l_{1}-l_{2}}{2}+1\leq m\leq\frac{l_{1}+l_{2}}{2}+1$である．函数等式の中心にある critical value は $L(l_{1}/2+1, \Omega)$ で，これは$(l_{1}+l_{2})/2$

が奇数ならば消える．(4.21) により(5.9)$R(m, \Omega)=(-1)^{m}i^{(l_{1}-l_{2})/2}(2\pi)^{(l_{2}-l_{1})/2}P_{m-1,m-1-(l_{1}-l_{2})/2}$

82
である．ここに$Z_{P}^{2}(\Gamma, V)$

は (4.16)$f=f(\Omega)\in$で定義される周期積分である．
を (4.10) で定義される parabolic 2-cocycle とする．このとき$P_{s,t}$$f( \sigma, \mu)=-\int_{i\epsilon}^{i\epsilon_{1}}\int_{0}^{i\infty}\mathfrak{d}(\Omega)$であり$-P_{m-1,m-1-(l_{1}-l_{2})/2}$

は $f(\sigma, \mu)$ にお数に等しい．(5.4) で定義される作用素$\tilde{e}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} J$

る $e_{l_{1}+2-m}\otimes e_{(l_{1}+l_{2})/2+2-m}’$ の係によって$f^{+}=(1+\overline{e})f, f^{-}=(1-\tilde{e})f$

とおく．このとき(5.10)$f^{\pm}\in Z_{p}^{2}(\Gamma, V)$であり$f^{+}(\sigma, \mu)=(1+v)f(\sigma, \mu),\cdot f^{-}(\sigma, \mu)=(1-\nu)f(\sigma, \mu)$が成り立つ．(5.1) により$\nu(e_{l_{1}+2-m}\otimes e_{(l_{1}+l_{2})/2+2-m}’)$(5.11)$=N(\epsilon)^{m-1-l_{1}/2}e_{l_{1}+2-m}\otimes e_{(l_{1}+l_{2})/2+2-m}’$を得る．

と仮定する．(5.11) により

は奇
に対
$m$
は偶数の
数の
が奇数なら
して $R(m, \Omega)$ についての情報を含んでいることがわかる．
$R(m, \Omega)$ についての情報を含み
$m$
に対して
は偶数の
ば，
は奇数の $m$ に対して $R(m, \Omega)$ についての情報を含んでいる．
$N(\epsilon)=-1$$m$$l_{1}/2$が偶数ならば，に対して $R(m, \Omega)$ についての情報を含み$f^{+}(\sigma, \mu)$$f^{-}(\sigma, \mu)$$l_{1}/2$$f^{-}(\sigma, \mu)$$f^{+}(\sigma, \mu)$

6. 計算例$F$ の基本単数は
この節では $F=Q(\sqrt{5})$ と仮定する．
は関係の元$\sigma,$$\nu,$$\tau$$(i^{*})$$\sigma^{2}=1,$$(ii^{*})$$(\sigma\tau)^{3}=1,$$(iii^{*})$$(\sigma v)^{2}=1,$$(iv^{*})$$\tau\nu\tau\nu^{-1}=\nu\tau\nu^{-1_{\mathcal{T}}},$$\epsilon=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$である．

$\Gamma^{*}$

83$\nu^{2}\tau v^{-2}=\tau v\tau\nu^{-1}$$(v^{*})$

をみたす． は三文字$\mathcal{F}^{*}$

を

$r*$

$\pi^{*}(\tilde{\sigma})=\sigma,$$\tilde{\sigma},$$\tilde{\tau}$$\tilde{v},$$\pi^{*}(\tilde{\nu})=\nu,$である．このとき$\Gamma^{*}=\mathcal{F}^{*}/R^{*}$の上の自由群とする．全射準同型
によって定義しは五個の元$\pi^{*}(\tilde{\tau})=\tau$$R^{*}$$(\tilde{i})$は$R^{*}$$\pi^{*}$$\pi^{*}:\mathcal{F}^{*}arrow$の核とする．

$\tilde{\sigma}^{2},$(ii)$(\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3},$$(i\tilde{i}i)$$(\tilde{\sigma}\tilde{v})^{2},$$(i\tilde{v})$$\overline{\tau\nu\tau\nu}^{-1}(\overline{v\tau v}^{-1}\tilde{\tau})^{-1},$

ヂ$(\tilde{v})$とその共役で生成された群

v-2$\sim\tau\sim$$(\overline{\tau v\tau v}^{-1})^{-1}$$R^{*}=R_{0}$ でが基本関係でを含む．
あることがわかる．証明については [Y5], [Y6] を参照されたい．しかしこの$(i^{*})_{-}\sim(v^{*})$$R_{0}$

事実は以下の計算には必要ではない．
は上半三角行列で表わされる元からなる$P^{*}$$\tilde{v}$とで生成される

全射である． .
$\tilde{\tau}$$R_{P}$の部分群とする．このときをこの準同型の核とする． は$\mathcal{F}^{*}$$R_{P^{*}}$

成されていることがわかる．
各に対して$\gamma\in\Gamma^{*}$$\tilde{\gamma}$$\Gamma^{*}$$\tilde{\gamma}\in \mathcal{F}^{*}$を$\pi^{*}(\tilde{\gamma})=\gamma$の部分群とする．

$\mathcal{F}_{P^{*}}$は$\pi^{*}|\mathcal{F}_{P^{*}}:\mathcal{F}_{P^{*}}arrow P^{*}$

は$(i_{V}^{\sim}),$$\eta=(\begin{array}{ll}1 \epsilon 0 1\end{array})\in\Gamma$$\tilde{\eta}=\tilde{\nu}\tilde{\tau}\tilde{v}^{-1}$とその共役で生と選ぶ．具体的計算のためにはの選び方を決めることが必要である．

である．
と決めておく．まずとができて，この表示は一意的である．

$(\tilde{v})$$p\in \mathcal{P}$とおく．

$\eta=\nu\tau v^{-1}$とする．
とおく．次に$p=\mu^{a}\tau^{b}\eta^{c}$$\tilde{p}=\tilde{\mu}^{a}\tilde{\tau}^{b}\tilde{\eta}^{c}$

と書くこ
とす

$p\in P^{*}$$p\in P$ または $p=vp_{1},$ $p_{1}\in P$ である．後の場合は
とおく．
る．
を
の完全代表系にもなっていの完全代表系とする． は$p\in P^{*},$が与えられたときと書る．
と仮定する．
きにと定義することにする． の取り方をはっきり定め，各$\tilde{p}=\tilde{v}\tilde{p}_{1}$$\triangle$$\triangle$$P\backslash \Gamma$$\sigma\in\triangle\sim$

対して$\delta\in\triangle$$\gamma=p\delta,$$\delta\in\triangle$$\triangle$$\tilde{\gamma}=\tilde{p}\delta\sim$$\delta$$P^{*}\backslash \Gamma^{*}$$\gamma\in\Gamma^{*}$

を定義すればよい． を定めることは，各剰余類$\triangle$

つの元を選ぶことと同値である．

$\gamma=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$$P\gamma,$$\gamma\in\Gamma$

から一

とおく．

(1) $P\gamma=P$ の場合．単位元 1 を代表元としてとる． の単位元を 1 と$\mathcal{F}$する．

(2) $c\in E_{F}$の場合．

$(\begin{array}{ll}0 -11 d\end{array})$の形の元を代表元としてとる$(\begin{array}{ll}0 -11 d\end{array})=\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}1 d0 1\end{array})$

(一意的)

84
とおく．

はノルムの絶対値について Euclid 環であることに注意する ([HW], Theorem 247, . 213 参照) 即ち各 $x,$(3) $c\neq 0$ かつ$c\not\in E_{F}$の場合．

$\mathcal{O}_{F}$$y\in \mathcal{O}_{F},$$P$$x\neq 0$

に対し

$q,$

$r\in \mathcal{O}_{F}$があって$y=qx+r, |N(r)|<|N(x)|$が成り立つ．
$(\begin{array}{ll}l t0 1\end{array})(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})=(\begin{array}{llll}a +tc b +td c d\end{array})$$(\begin{array}{ll}u 00 u^{-1}\end{array})(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})=(\begin{array}{ll}ua ubu^{-1}c u^{-1}d\end{array}),$を用いる．まず左から$(\begin{array}{ll}u 00 u^{-1}\end{array}),$$u\in E_{F}$

を

に掛けて

$\gamma$$c$を$c\gg 0, 1\leq c’/c<\epsilon^{4}$と正規化する．次に左からと仮定できる．このような$(\begin{array}{ll}1 t0 1\end{array}),$$t$$t\in \mathcal{O}_{F}$を$\gamma$に掛けて $|N(a)|<|N(c)|$の取り方を明確化することは簡単ではない．言い換えれば $|N(a)|<|N(c)|$ をみたす$\gamma$は与えられた剰余類の中に複数個ある． の優先順位を次のように決める．
1.
が最小．2.
が最小．3.

$a=\alpha+\beta\epsilon,$$a$$|\alpha|+|\beta|$$\delta\in\triangle$に対し$|\alpha|$$\tilde{\delta}$$|\beta|$を次のように定める．

$\alpha,$が最小．4.

$\delta=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$

とおく．

$\beta\in Z$$\alpha\geq 0.5.$

とおき$\beta\geq 0.$$|N(c)|$につい$|N(c)|=0$ または 1 のときは (1) と (2) で決めていての帰納法で定義する．
る． の取り方から $|N(a)|<|N(c)|$ である．と定義$|N(c_{1})|=|N(a)|<|N(c)|$ である．
とおく．
$\sigma^{-1}\delta=p_{1}\delta_{1},$$\triangle$$p_{1}\in P,$$\delta_{1}\in\triangle,$$\tilde{\delta}=\tilde{\sigma}\tilde{p}_{1}\tilde{\delta}_{1}$$\delta_{1}=(\begin{array}{ll}a_{1} b_{1}c_{1} d_{1}\end{array})$

する．
$f^{*}=\tilde{T}(f)$とは正規化された parabolic 2-cocycle とする．
$f^{*}\in Z^{2}(\Gamma^{*}, V)$ であり $f^{*}|\Gamma=f^{+}$ である．parabolic 条件
おく．このとき$f\in Z_{p}^{2}(\Gamma, V)$(6.1)$f^{*}(p\gamma_{1}, \gamma_{2})=pf^{*}(\gamma_{1}, \gamma_{2}) , p\in P^{*}, \gamma_{1}, \gamma_{2}\in\Gamma^{*}$

は容易に確かめられる．

(6.2)$H^{2}(\Gamma^{*}, V)\cong H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma}/{\rm Im}(H^{1}(\mathcal{F}^{*}, V))$が成り立っている．
うに得られていた．

$\varphi\in H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma^{*}}$$a\in C^{1}(\mathcal{F}^{*}, V)$

(6.3)

を

$f^{*}$に対応する元とする． は次のよ$\varphi$があって$a(g_{1}g_{2})=g_{1}a(g_{2})+a(g_{1})-f^{*}(\pi^{*}(g_{1}), \pi^{*}(g_{2})) , g_{1}, g_{2}\in \mathcal{F}^{*}$

85の値を を wordである．(6.3) を $a(g),$となる．このときとみたときの長さについて，帰納的に決めていくのに使うことができる．このときと取ることができる．(6.1) により $f^{*}(p, \gamma)=0,$$p\in P^{*},$
が成り立つからとなる．特に$\varphi=a|R^{*}$$g\in \mathcal{F}^{*}$$g$$a(\tilde{\sigma})=a(\tilde{v})=a(\tilde{\tau})=0$$a|\mathcal{F}_{P}\cdot=0$$\gamma\in\Gamma^{*}$(6.4)$\varphi|R_{P}*=0$を得る．(2.13) で示したように(6.5)$f^{*}$に coboundary を加えることにより$f^{*}(\gamma_{1}, \gamma_{2})=-\varphi(\tilde{\gamma}_{1}\tilde{\gamma}_{2}(\overline{\gamma_{1}\gamma_{2}})^{-1})$と仮定してよい．(6.4) を用い–て確かめられる．

$\mu^{-1}\sigma=\overline{\mu^{-1}}\tilde{\sigma}$

,

$\mu$

-1

が parabolic 条件 (6.1) をみたすことが$f^{*}$$\mu\sim\in$RP。であるから$f^{*}(\sigma, \mu)=-\varphi(\tilde{\sigma}\tilde{\mu}\tilde{\sigma}^{-1}\tilde{\mu})=-\varphi(\overline{\sigma\mu\sigma}^{-2}\tilde{\sigma}\tilde{\mu})=-\varphi(\tilde{\sigma}\tilde{\mu}\tilde{\sigma}^{-2}(\tilde{\sigma}\tilde{\mu})^{-1}\overline{\sigma\mu\overline{\sigma}}\mu)$$=-\sigma\mu\varphi(\tilde{\sigma}^{-2})-\varphi(\tilde{\sigma}\overline{\mu\sigma\mu})=-\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{\mu})^{2})+\sigma\mu\varphi(\tilde{\sigma}^{2})$.

となる．
$\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{\mu})^{2})=\varphi(\tilde{\sigma}\tilde{\nu}^{2}\tilde{\sigma}\overline{v}^{2})=\varphi(\tilde{\sigma}\overline{v}\overline{\sigma v\nu}^{-1}\tilde{\sigma}^{-1}\tilde{v}\overline{\sigma\nu}^{2})$$=\varphi(\overline{\sigma v\sigma v})+\varphi(\tilde{\nu}^{-1}\tilde{\sigma}^{-2}\tilde{v})+\varphi(\tilde{\nu}^{-1}\overline{\sigma v\sigma}\tilde{\nu}^{2})=(1+v^{-1})\varphi((\overline{\sigma v})^{2})-v^{-1}\varphi(\tilde{\sigma}^{2})$

であるから

(6.6)

. $f^{*}(\sigma, \mu)=-(1+v^{-1})\varphi((\overline{\sigma v})^{2})+(\sigma\mu+\nu^{-1})\varphi(\tilde{\sigma}^{2})$を得る． はり， は元$(i\tilde{v})$$\varphi$$h\in H^{1}(\mathcal{F}^{*}, V)$の元 (i)の上でとる値によって定まる．(6.4) によとに注意する．
の上では値をとる．
$h(\tilde{v})=0,$ $h(\tilde{\tau})=0$ ととって $h|R^{*}$ をを$\mathcal{F}^{*}$$\varphi$$\sim(\tilde{v})$に加えることでをみたしている．
に $h|R^{*}$$\sigma\varphi(\tilde{\sigma}^{2})=\varphi(\tilde{\sigma}^{2})$$h(\tilde{\sigma})=-\varphi(\tilde{\sigma}^{2})/2,$$\varphi(\tilde{\sigma}^{2})=0$$\varphi$$0$$(\tilde{v})$$\varphi$と仮定できる．この操作の後で$\varphi$は依然 (6.4)$S,$ $T,$ $U\in V$ に対しを加える手{頂を分析しよう．

$h(\tilde{\sigma})=s_{l}, h(\tilde{\tau})=T, h(\tilde{v})=U$をみたす $h\in H^{1}(\mathcal{F}^{*}, V)$ がある． が元$h$$(i\tilde{v})$と$(\tilde{v})$で消える条件はそれぞれ(6.7)$(1+\tau v-v-v\tau\nu^{-1})T+(\tau-1)(1-v\tau v^{-1})U=0,$(6.8)$(v^{2}-1-\tau v)T+(1+v-v^{2}\tau v^{-1}-\tau)U=0$

である．また(6.9)$h(\tilde{\sigma}^{2})=(1+\sigma)S$

86
である．
$A=\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{\nu})^{2})$,$B=\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3})$とおく．

(6.10)$\sigma vA=A, \sigma\tau B=B$

を決めることである．
を注意しておく．目的は$g^{*}=T(\varpi)f^{*}$ とおく．ここに次に Hecke 作用素を考察する．
に (4.28) で定義されるが詳しく書けば次の通り．
$A$$g^{*}$

は本質的$\Gamma^{*}(\begin{array}{ll}1 00 \varpi\end{array})\Gamma^{*}=u_{i=1}^{d}\Gamma^{*}\beta_{i}$を剰余類分解とする．置換$j,$$k\in S_{d}$を (4.27) で定めて$g^{*}( \gamma_{1}, \gamma_{2})=c\sum_{i=1}^{d}\beta_{i}^{-1}f^{*}(\beta_{i}\gamma_{1}\beta_{j(i)}^{-1}, \beta_{j(i)}\gamma_{2}\beta_{k(j(i))}^{-1})$である．

$\psi\in H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma}$

を$g^{*}$に対応する元とする．命題 2.4 により$\psi$

は次の公式で与えられる．
$\psi(\tilde{\gamma}_{1}\tilde{\gamma}_{2}\cdots\tilde{\gamma}_{m})$(6.11)$=c \sum_{i=1}^{d}\beta_{i}^{-1}\varphi(\beta_{i}\overline{\gamma_{1}\beta_{q1(i)}^{-1}}\beta_{q_{1}(i)}\overline{\gamma_{2}\beta}_{q_{2}(i)}^{-1}\cdots\beta_{q_{m}-1(i)}\overline{\gamma_{m}}\beta_{q_{m}(i)}^{-1})$

ここに $\gamma j=\sigma$ またはて$G\mapsto r*,$$\gamma_{j}\in P^{*}$$M\mapsto V,$ $R\mapsto R^{*},$

である．(命題 2.4 においとする．他の記号は同じである．)

で $\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{m}=1$$g_{j}\mapsto\gamma j$

例 6.1. $T(2)$ を考えよう．
$\beta_{1}=(\begin{array}{ll}1 00 2\end{array}), \beta_{2}=(\begin{array}{ll}1 10 2\end{array}), \beta_{3}=(\begin{array}{ll}l \epsilon 0 2\end{array}),$$\beta_{4}=(\begin{array}{ll}1 \epsilon^{2}0 2\end{array}) \beta_{5}=(\begin{array}{ll}2 00 1\end{array})$と取れる．(6.11) により$\psi((\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3})=c(\beta_{3}^{-1}Z_{3}+\beta_{4}^{-1}Z_{4})$を得る．ここに(6.12).

$Z_{3}=\varphi(((\begin{array}{ll}\epsilon -\epsilon^{2}2 -\epsilon^{2}\end{array})\tilde{\tau})^{3})-, Z_{4}=\varphi(((\begin{array}{ll}\epsilon^{2} -\epsilon^{2}2 -\epsilon\end{array})-)^{3})$

87
に対する

である．

$\gamma\in\Gamma^{*}$$\tilde{\gamma}$の取り方から

$–2 –1$$(\begin{array}{ll}\epsilon -\epsilon^{2}2 -\epsilon^{2}\end{array})=\tilde{\sigma}-(\begin{array}{ll}\epsilon^{-1} 00 \epsilon\end{array})-(\begin{array}{ll}1 \epsilon 0 1\end{array}) \tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}1 \epsilon 0 1\end{array})$となる．よって (6.4) を用いて
$Z_{3}=\varphi((\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}\epsilon^{-1} -20 \epsilon\end{array})\tilde{\sigma}-(\begin{array}{ll}1 -\epsilon^{-1}0 1\end{array}))^{3})-$を得る．同様にして$Z_{4}=\varphi((\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}\epsilon^{-2} -20 \epsilon^{2}\end{array})\tilde{\sigma}-(\begin{array}{l}1-101\end{array}))^{3})-$がわかる．
$P^{*}$と$\sigma$は$\Gamma^{*}$

を生成するから， の任意の元は (i), (iv),$R^{*}$$(\tilde{v})$を用い$\tilde{\sigma}$による共役をとることで$r=\overline{\sigma p}_{1}\tilde{\sigma}\tilde{p}_{2}\cdots\tilde{\sigma}\tilde{p}_{m}$$1\leq i\leq m,$と書ける．ここにである．このような元を $m$ 項関係とよぶ．以下 (6.13a) から (6.18) までの公式ば容易に証明$p_{i}\in P^{*},$$\sigma p_{1}\sigma p_{2}\cdots\sigma p_{m}=1$

される．

(6.13a)$\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{v}^{n})^{2})=(1+v^{-1}+\cdots+v^{1-n})A, n\geq 1,$$(6.13b)$$\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{v}^{-n})^{2})=-(\nu+\nu^{2}+\cdots+\nu^{n})A,$$t\in E_{F}$$n\geq 1,$

に対して$B(t)=\varphi(\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}1 t0 1\end{array})\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}1 t^{-1}0 1\end{array})\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}1 t0 1\end{array})(\begin{array}{ll}t 00 t^{-1}\end{array}))$とおく．このとき $B(1)=B$ であり，
(6.14)$B(-t)=-\sigma(\begin{array}{ll}t 00 t^{-1}\end{array})B(t)-(\begin{array}{ll}t^{-1} 00 t\end{array})\varphi((\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}t^{-1} 00 t\end{array}))^{2})$,$B(\epsilon t)=v^{-1}B(t)$(6.15)$+[1+\sigma(\begin{array}{ll}1 \epsilon t0 1\end{array})\sigma(\begin{array}{ll}1 \epsilon^{-1}t^{-1}0 1\end{array})-\sigma(\begin{array}{ll}1 \epsilon t0 1\end{array})\sigma]A,$

88(6.16)$B(t)=\sigma(_{0}^{1}$$1t)B(t^{-1})+\varphi((\tilde{\sigma}(_{0}^{t}$が成り立つ．この公式により $B(t)$ を用いて三項関係

$r$

$A$

と

$B$

$t^{-1))^{2})}0$$B(t)$ をで表すことができる．

に対する公式を得る．
$\varphi(\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{1} x_{1}0 1\end{array})\tilde{\sigma}-(\begin{array}{ll}u_{2} x_{2}0 1\end{array})\tilde{\sigma}-(\begin{array}{ll}u_{3} x_{3}0 1\end{array}))-$(6.17)$=(\begin{array}{ll}u_{1}^{-1} 00 1\end{array})B(u_{1}^{-1}x_{1})+\varphi((\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{1} 00 1\end{array}))^{2})$.

$+(\begin{array}{ll}u_{3}^{-1} -u_{3}^{-1_{X_{3}}}0 1\end{array})\sigma\varphi((\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{2} 00 1\end{array}))^{2})$$r\in R^{*}$$m\geq 4$ とする．
は $m$ 項関係，

$p_{i}=(\begin{array}{ll}u_{i} x_{i}0 1\end{array}),$$u_{i}\in E_{F},$$x_{i}\in \mathcal{O}_{F},$と書ける．ある について $x_{i}=0$ ならば $(r)$ は $(m-2)$ 項関係
は $(m-1)$ 項関係に帰着
ならばに帰着する．ある について

$1\leq i\leq m$$i$$x_{i}\in F_{\Gamma}$$i$

する．例えば$x_{1}\in E_{F},$$m\geq 4$$\varphi(r)$のとき$\varphi(\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{1} x_{1}0 1\end{array})\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{2} x_{2}0 1\end{array})\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{3} x_{3}0 1\end{array})\tilde{\sigma}\cdots\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{m} x_{m}0 1\end{array}))$$=(1 -u_{1)\varphi(\tilde{\sigma}}^{-1}u(\begin{array}{ll}1 -u^{-1}0 1\end{array})(\begin{array}{ll}u_{2} x_{2}0 1\end{array})\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{3} x_{3}0 1\end{array})\tilde{\sigma}$(6.18)–...

$\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{m} x_{m}0 1\end{array})-(1$$-u_{1))}^{-1}u$$+(\begin{array}{ll}u_{1}^{-1} 00 1\end{array})B(u)+\varphi((\tilde{\sigma}(\begin{array}{ll}u_{1} 00 1\end{array}))^{2})$が成り立つ．ここに$u=u_{1}^{-1}x_{1}$である．

実際の計算には分解 (5.7) を使うのが便利である．
仮定する．このとき$\varphi\in H^{1}(R^{*}, V)^{\Gamma_{\}}^{r}+}$$-\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3})=\varphi(\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1}\tilde{\sigma})=\tau^{-1}\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{\tau}^{-1})^{3})$$=\tau^{-1}\varphi(((\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3})_{\delta})=\tau^{-1}\delta\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{\tau})^{3})$であるから$(\delta\tau+1)B=0$を得る．同様にして$(\delta-1)A=0$

と

89
がわかる．

計算機を用いて次の事実が確かめられる．

実験事実 6.2. $0\leq l_{2}\leq l_{1}\leq 20$ とする． が$\delta$$\varphi$の作用でプラス空間にあ$h|R^{*},$ $h\in H^{1}(\mathcal{F}^{*}, V)$をり (6.4) をみたすという状況を保ちつつ，て $B=0$ とできる．

よって問題は$A=\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{v})^{2})$に加え$\varphi$に対する制約条件を見出すことである．自明
とおき (6.12) でな制約条件 $(\sigma v-1)A=0$ に注意する．

$x=(\begin{array}{ll}\epsilon -\epsilon^{2}2 -\epsilon^{2}\end{array})\tau$定義されるを考える．明らかに $xZ_{3}=Z_{3}$ が成り立つ．公式 (6.13a)は(6.18) を使うとで表されることがわかる．よって $xZ_{3}=Z_{3}$ は に$Z_{3}$$\sim$$A$$A$$Z_{3}$

ついての制約条件であるが，この条件を同じ記号$(619)$$Z_{A}^{+}=\{v\in V|$$(\sigma$lノで表す．そこで$xZ_{3}=Z_{3}$$-1)V=0,$ $(\delta-1)V=0,$ $xZ_{3}=Z_{3}\}$

とおく．

線型写像

(6.20)$\zeta^{+}:Z_{A}^{+}arrow C^{l_{2}+1}$を次のように定義する．

$V\in Z_{A}^{+}$

に対して，$(l_{1}-l_{2})/2+1\leq m\leq(l_{1}+l_{2})/2+1$をとる．

$e_{l_{1}+2-m}\otimes e_{(l_{1}+l_{2})/2+2-m}’$の $(1+v^{-1})v$

における係数を$(l_{1}+l_{2})/2+2-m$ 番目の係数とする．(この意味は$\zeta^{+}(V)$の(6.6) を参照)

例 6.3. $l_{1}=8,$ $l_{2}=4$ ととる．このとき $\dim S_{10,6}(\Gamma)=1$ である．
は一次元であり $t(4,0,1,0,4)$ のスカラー倍からなることがわかる．よって$\zeta^{+}(Z_{A}^{+})$$R(7, \Omega)/R(5, \Omega)=4, \Omega\in S_{10,6}(\Gamma)$ .

を得る．
例 6.4. 例 6.3 と同様にして次の値を得る．
$R(9, \Omega)/R(7, \Omega)=6, \Omega\in S_{14,6}(\Gamma)$ .

$R(6, \Omega)/R(4, \Omega)=\frac{25}{6}, \Omega\in S_{8,8}(\Gamma)$.

$R(8, \Omega)/R(6, \Omega)=7, \Omega\in S_{12,8}(\Gamma)$ .
$R(10, \Omega)/R(8, \Omega)=^{\underline{720}} \Omega\in S_{12,10}(\Gamma)$垣’.

この例に現れるカスプ形式の空間は全て一次元である．
$\dim S_{l_{1}+2,l_{2}+2}(\Gamma)>1$

このために$H^{1}(\mathcal{F}^{*}, V)$の場合を扱うには Hecke 作用素を使う必要がある．

から$Z_{A}^{+}$

への寄与を考える．

$h\in H^{1}(\mathcal{F}^{*}, V)$$h(\tilde{\sigma})=S, h(\tilde{v})=U, h(\tilde{\tau})=T$

をとり

90
とおく．

$h|R^{*}$が元$(\tilde{i})$, (ii), (iv),$(\tilde{v})$

で消えることを要求する．このための条

件は(6.21)$(\sigma+1)S=0,$(6.22)$\{(\sigma\tau)^{2}+\sigma\tau+1\}(\sigma T+S)=0$と(6.7), (6.8) である．
$h((\tilde{\sigma}\tilde{v})^{2})=(\sigma v+1)(\sigma U+S)$である．条件(6.23)$(\delta-1)(\sigma\nu+1)(\sigma U+S)=0$

は $S,$ $T,$ $U$ が関係 (6.7), (6.8), (6.21), (6.22), (6.23) をみたす $V$を課す．

$B_{A}^{+}$のベクトルを走ったとき $(\sigma v+1)(\sigma U+S)$ で生成される $V$ の部分空間とす

る．

$B_{A}^{+}\subset Z_{A}^{+}$(6.24)

であり，第 5 節の結果から$\zeta^{+}(B_{A}^{+})=\{0\}$if$l_{1}\neq l_{2},$$\dim\zeta^{+}(B_{A}^{+})\leq 1$if$l_{1}=l_{2}$がわかる．計算機を用いて次の事実が確かめられる．
実験事実 6.5.

$0\leq l_{2}\leq l_{1}\leq 20$とする．このとき$\dim S_{l_{1}+2,l_{2}+1}(\Gamma)=$$\dim Z_{A}^{+}/B_{A}^{+}.$

この事実は$A=\varphi((\tilde{\sigma}\tilde{v})^{2})$に課せられた制約条件が十分であることを意味している．
$\dim S_{14,10}(\Gamma)=2$ である．(6.11) を用いて例 6.6. $l_{1}=12,$ $l_{2}=8$ ととる．
への作用を計算することにより固有値は $-2560\pm 960\sqrt{106}$の固有ベクであることがわかる．固有値 $-2560+960\sqrt{106}$ に属する$T(2)$ の$Z_{A}^{+}/B_{A}^{+}$$Z_{A}^{+}/B_{A}^{+}$

トルをとり$\zeta^{+}$

で写せば，$0\neq\Omega\in S_{14,10}(\Gamma),$$\Omega|T(2)=(-2560+960\sqrt{106})\Omega$に対し$R(11, \Omega)/R(7, \Omega)=1616-76\sqrt{106},$

を得る．

$0\neq\Omega\in S_{14,10}(\Gamma)$$R(9, \Omega)/R(7, \Omega)=\frac{58}{3}-\frac{5}{6}\sqrt{106}$, $\Omega|T(2)=(-2560-960\sqrt{106})\Omega$ に対しては$R(11, \Omega)/R(7, \Omega)=1616+76\sqrt{106},$$R(9, \Omega)/R(7, \Omega)=\frac{58}{3}+\frac{5}{6}\sqrt{106}$を得る．本稿では解説しないが，minus part の元$0\neq\Omega\in S_{14,10}(\Gamma),$$\Omega|T(2)=(-2560+960\sqrt{106})\Omega$を用いて計算するとに対しては$f^{-}$$R(10, \Omega)/R(8, \Omega)=50-\sqrt{106},$

91$0\neq\Omega\in S_{14,10}(\Gamma)$, $\Omega|T(2)=(-2560-960\sqrt{106})\Omega$ に対しては$R(10, \Omega)/R(8, \Omega)=50+\sqrt{106}$は Hecke 作用素の共通固有函数とする．(6.8) によを得る．

$\Omega\in S_{14,10}(\Gamma)$

が critical value である範囲は $3\leq m\leq 11$ である．函数等式はであるから，critical line の右側にある全ての criticalvalue を扱ったことになる．
り$L(m, \Omega)$$L(s, \Omega)=L(14-s, \Omega)$

例 6.7.
$T(2)$ の$l_{1}=l_{2}=18$$Z_{A}^{+}/B_{A}^{+}$$\dim S_{20,20}(\Gamma)=7$ である．(6.11) を用いてととる．

への作用を計算すると $T(2)$ の固有多項式は$(X-97280)^{2}(X+840640)(X^{4}-1286780X^{3}+19006483200X^{2}$$+27181090390835200X-22979876427231395840000)$からの baseであることがわかる．ここに四次の既約因子はからのは$S_{20}(SL_{2}(Z))$
base change 部$X+840640$
change 部分に対応する．
分に対応する．因子 ( –97280)2 は非 base change 部分に対応する．
$S_{20}(\Gamma_{0}(5), (_{\overline{5}}))$$X$$\Omega\in$は非 base change 部分に属する Hecke 作用素の共通固有函数とする．plus part について計算して$\dim S_{20,20}(\Gamma)$$R(18, \Omega)/R(10, \Omega)=39355680000,$$R(16, \Omega)/R(10, \Omega)=33163650,$$R(14, \Omega)/R(10, \Omega)=\frac{1266460}{27}, R(12, \zeta])/R(10, \Omega)=\frac{26075}{216}.$を得る．minus part について計算して$R(17, \Omega)/R(11, \Omega)=\frac{111006792000}{803},$$R(15, \Omega)/R(11, \Omega)=\frac{54618434}{365},$$R(13, \Omega)/R(11, \Omega)=\frac{453159}{1606}.$を得る．non base change 部分は二次元で本質的に二つの Hecke 作用素の共通固有函数があるが，これらの比は同じである．この事実については [Y6],$P.$

424 を参照されたい．

7. 補足(1) $L(s, \Omega)$ の特殊値の計算法として，志村 [Sh3] に始まる Rankin-Selberg 積
分と微分作用素を用いる方法がある．これと本稿で述べた cohomological な計算法の比較については [Y6], 第八節を参照されたい．
$L(s, \Omega)$ の特殊値と関係から得られた 2-cocycle の成分を周期と呼ぶ．
(2)
しない周期について本稿の方法で若干の情報が得られる．[Y6], 第九節を参照$\Omega$

されたい．

92

References[B] D. Blasius, Hilbert modular forms and the Ramanujan conjecture, Noncommutative geometry and number theory, 35-56, Aspects Math., 37,

Vieweg, 2006.
[BW] A. Borel and N. Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups,
and representations of reductive groups, Ann. Math. Studies 94, Princeton University Press, 1980.
[CE] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton University
Press, 1956.
[DG] K. Doi and K. Goto, On the -series associated with modular forms,
Memoirs of Institute of Science and Engineering, Ritsumeikan Univ. 52(1993), 1-19 (in Japanese).
$L$[DHI] K. Doi, H. Hida and H. Ishii, Discriminant of Heckc fields and twisted
adjoint -values for $GL(2)$ , Inv. Math. 134 (1998), 547-577.
$L$[DI] K. Doi and H. Ishii, Hilbert modular -values and discriminant of
Hecke’s fields, Memoirs of Institute of Science and Engineering, Ritsumeikan Univ. 53 (1994), 1-12.
$L$[E] B. Eckman, Cohomology of groups and tranfer, Ann. of Math. 58 (1953),

481-493.
[Ha] G. Harder, Eisenstein cohomology of arithmetic groups. The caseInv. Math. 89 (1987), 37-118.

$GL_{2},$[Hil] H. Hida, On abelian varieties with complex multiplication as factorsof the abelian variety attached to Hilbert modular forms, JapaneseMath. 5 (1979), 157-208.
$J.$[Hi2] H. Hida, -ordinary cohomology groups for $SL$ (2) over number fields,
Duke Math. . 69 (1993), 259-314.
$p$

$J$

[Hi3] H. Hida, On the critical values of -functions of $GL$ (2) and $GL$ (2)$GL$ (2), Duke Math.
. 74 (1994), 431-529.
$L$$\cross$$J$[HW] G. H. Hardy and E. M. Wright, An introduction to the theory of
numbers, Oxford University Press, fifth edition, 1979.

[JL] H. Jacquet and R. P. Langlands, Automorphic forms on $GL(2)$ , Lecturenotes in mathematics 114, Springer-Verlag, 1970.

93[K] A. G. Kurosh, The theory of groups, English edition, two volumes,
Chelsea, 1955, 1956.
[KS] M. Kuga and G. Shimura, On vector differential forms attached to automorphic forms, J. Math. Soc. Japan, 12 (1960), 258-270 $(=$ Collected
Papers of Goro Shimura I, $[60a])$ .

[Mac] A. M. Macbeath, Groups of homeomorphisms of a simply connected
space, Ann. of Math. 79 (1964), 473-488.
[Man] Y. I. Manin, Periods of parabolic forms and -adic Hecke series, Math.
USSR Sbornik 21 (1973), 371-393.
$p$[MM] Y. Matsushima and S. Murakami, On vector valued harmonic forms
and automorphic forms on symmetic Riemannian manifolds, Ann. of
Math. 78 (1963), 365-416.
[MS] Y. Matsushima and G. Shimura, On the cohomology groups attachedto certain vector valued differential forms on the product of the upper
half plane, Ann. of Math. 78 (1963), 417-449 $(=$ Collected Papers ofGoro Shimura I, $[63c])$ .

[PARI2] PARI $/GP$ , version 2.3.4, Bordeaux, 2008, http://pari.math.ubordeaux. $fr/.$[Sc] O. Schreier, Die Untergruppen der freie Gruppen, Abh. Math. Sem.

Univ. Hamburg 5 (1927), 161-183.
[Sel] J-P. Serre, Corps locaux, deuxieme \’edition, Hermann, 1968.
[Se2] J-P. Serre, Cohomologie des groupes discrets, Ann. of Math. Studies
70 (1971), 77-169 $(=($Euvre $II, 88)$ .

[Shi] H. Shimizu, On discontinuous groups operating on the product of theupper half planes, Ann. of Math. 77 (1963), 33-71.
[Shl] G. Shimura, Sur les int\’egraies attach\’ees aux formes automorphes, J.
Math. Soc. Japan 11 (1959), 291-311 $(=$ Collected Papers $I, [59c])$ .

[Sh2] G. Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic
Functions, Iwanami Shoten and Princeton University Press, 1971.

[Sh3] G. Shimura, The special values of the zeta functions associated withcusp forms, Comm. pure and applied Math. 29 (1976), 783-804 $(=Co1-$
lected Papers II, $[76b])$ .

94[Sh4] G. Shimura, The special values of the zeta functions associated with
Hilbert modular forms, Duke Math. . 45 (1978), 637-679 $(=Collected$
Papers III, $[78c])$ .
$J$[Sh5] G. Shimura, The critical values of certain Dirichlet series attached toHilbert modular forms, Duke Math. . 63 (1991), 557-613 $(=Collected$
Papers IV, [91] .
$J$

$)$

[Sh6] G. Shimura, Eisenstein series and zeta functions on symplectic groups,
Inv. Math. 119 (1995), 539-584 $(=$ Collected Papers $IV, [95a])$ .
[Sh7] G. Shimura, Arithmeticity in the theory of automorphic forms, Math.
Surveys and Monogr. vol. 82, American Mathematical Society, 2000.

[Sil] C. L. Siegel, Discontinuous groups, Ann. of Math. 44(1943), 674-689$(=$ Gesammelte Abhandlungen $III, No. 43)$ .
[Si2] C. L. Siegel, Lectures on advanced analytic number theory, Tata Institute, 1961.

[Su] M. Suzuki, Group Theory I, Grundlehren der mathematischen Wissenshaften 247, Springer Verlag, 1982.
[Sw] R. W. Swan, Generators and relations for certain special linear groups,
Advances in Math. 6 (1971), 1-77.
[V] L. N. Vaser\v{s}tein, On the groupover Dedekind rings of arithmetic
type, Math. USSR Sbornik 18 (1972), 321-332.
$SL_{2}$[Yl] H. Yoshida, On the zeta functions of Shimura varieties and periods ofHilbert modular forms, Duke Math. . 75 (1994), 121-191.
$J$[Y2] H. Yoshida, On a conjecture of Shimura concerning periods of Hilbert
modular forms, Amer. J. Math. 117 (1995), 1019-1038.
[Y3] H. Yoshida, Absolute $CM$ -periods, Math. Surveys and Monogr. vol. 106,
American Mathematical Society, 2003.
[Y4] H. Yoshida, Cohomology and$L$-values, nt/1012.4573.

[Y5] H. Yoshida, On some problems concerning discrete subgroups, Commentarii Mathematici Univ. Sancti Pauli 60 (2011), 231-253.

[Y6] H. Yoshida, Cohomology and -values, Kyoto J. Math., 52 (2012), 369$L$

432.
$E$

-mail: hyoshidalll@gmail.com

95
例 6.3 を計算する PARI プログラム$\{f(i, j, l_{\dot{0}}a, b, c, d)=local(u=\max(j-i, 0), t=\min(l+1-i, j-1), x)$ ;$x=sum(s=u, t, binomial(l+1-i, s)*binomial(i-1, j-1-s)*$$a^{\wedge}(l+1-i-s)*b^{\wedge}s*c^{\wedge}(s+i-j)*d^{\wedge}(j-1-s));x\}$$\{mm(i, n)=ceil(i/n)\}$$\{nn(i, n)=i-(mm(i, n)-1)*n\}$$\{rr(g)=local(x, a, b, c, d, ca, cb, cc, cd, m, n);a=g[1,1];ca=conj(a);b=$$g[1,2];cb=conj(b);c=g[2,1];cc=conj(c);d=g[2,2];cd=conj(d);m=$$l1+1;n=l2+1;x=matrix(m*n, m*n, i, j, f(mm(i, n), mm(j, n), l1, a, b, c, d)*$$f(nn(i, n), nn(j, n), l2, ca, cb, cc, cd));x\}$$\{r(g)=local(x, a, b, c, d, ca, cb, cc, cd, m, n);a=g[1,1];ca=con\dot{J}(a);b=$$g[1,2];cb=conj(b);c=g[2,1];cc=conj(c);d=g[2,2];cd=conj(d);y=$$(a*d-b*c)^{(}l1/2)*(ca*cd-cb*cc)^{(}l2/2);m=l1+1;n=l2+1;\tau=matrix(m,*$$n,$$m*n,$ $i,$ $j,$ $f(mm(i, n), mm(j, n), l1, a, b, c, d)*f(nn(i, n), nn(j, n), l2, ca, cb, cc, cd))$ ;$x=if(y, x*(1/y), rr([O, 0;0,0]));x\}${add $(x, y)=local(a=length(x[1, ]), b=length(y[1, ]), c=length(x[, 1]), z);z=$

matrix $(c, a+b);for(i=1, c, for(j=1, a, z[i, j]=x[i, j]));for(i=1,$$a+1,$ $a+b,$ $z[i,j]=y[i,j-a]));z\}$add3 $(x, y, z)=add(add(x, y),$ $z)\}$$c,$$for(j=$$\{$$\{add4(x, y, z, w)=add(add3(x, y, z), w)\}$$\{add5(x, y, z, w, t)=add(add4(x, y, z, w), t)\}$$\{$vadd $(x, y)=mattranspose(add(mattranspose(x),$ $mattranspose(y)))\}$$\{dia(x, y)=local(a=length(x[1, ]), b=length(y[1, ]), z);z=matrix(a+$$b,$$a+b);for(i=1, a, for(j=1, a, z[i, j]=x[i, j]));for(i=1,$ $for(j=$$a,$$a+1,$ $a+b,$ $z[i, j]=0));for(i=a+1, a+b, for(j=1, a, z[i, j]=0));for(i=$$a+1,$ $a+b,$ $for(j=a+1, a+b, z[i, j]=y[i-a, j-a]));z\}$$\{vc(x)=local(a=length(x[1, ]), z);z=matrix(4, a);for(i=1,2,$ $for(j=$

1,

$a,$

$z[i, j]=x[i+2, j]));for(i=3,4, for(j=1, a, z[i, j]=x[i-2, j]));z\}$$\{ep(u)=local(n, z);e=$ quadgen(5); for $(i=-40,40,$ if $(u-(1-2*i+$$4*floor(i/2))*(e^{\wedge}(floor(i/2)))==0,$ $n=i$ ; break)$)$; $z=[1-2*n+4*$$floor(n/2),$ $floor(n/2)];z\}$$\{\max 4(a.

b, c, d)=\max(\max(\max(a, b), c), d)\}${clean $(p)=local(a=length(p[1, ]), q);q=[O, 0;0,0;0,0;0,0]$ ;for $(i=1, a, q=if( \max 4(abs(p[1, i]), abs(p[2, i]), abs(p[3, i]), abs(p[4, i]))$ ,add $(q, [p[1, i];p[2, i];p[3, i];p[4, i]]),$ $q));q\}$$\{a2(n)=local(k, k1, m, z, z1, z2, ze, w);e=$ quadgen(5); $k=abs(n);k1=$$k;if(n, k=k1, k=1);m=(sign(n)+1)/2;z=matrix(2,2*k);ze=$matrix $(2,2*k);for(i=1,2, for(j=1,2*k, ze[i, j]=0));for(j=1_{:}k,$ $z[1,2*$$j-1]=e^{A}(-sign(n)*(j-m)));for(j=1, k, z[1,2*j]=0);for(j=$96
1, $z[2,2*j-1]=0);for(j=1, k, z[2,2*j]=1);z1=vadd(z, ze);z2=$
vadd $(ze, z);if(m, z=z1, z=z2);if(n, u)=z,$ $w=[O, 0;0,0;0,0;0,0]);w\}$$k,$$\{b3(d, n)=local(w, w1, z, z1, ze, s, test, x);e=quadgen(5);ze=matrix(2,2)$ ;for $(i=1,2, for(j=1,2, ze[i,j]=0));z1=[e\wedge(-n), 0;0,1];s=[O, 1;-1,0];w1=$$s*[1,0;0, e^{\wedge}(-n)];z=vadd(z1, ze);w=vadd(ze, w1)$ ; $test=sign(d)+1;x=$

if $(test, z, w);x\}$$\{a3(d, n)=local(m, z, ze, zze, z1, z2, zz, w, w1, w2, nu, s, s1, s2,$ testl, $test2, uu)$ ;$e=$ quadgen(5);$m=abs(n);ze=[0,0;0,0];zze=[0,0;0,0;0,0;0,0];z1=$$zze;nu=[e, 0;0,1];s=[O, 1;-1,0]$ ;for $(i=0, m-1, z1=add4(dia(nu^{へ}(-1), nu^{\wedge}(-1))*z1,$ $vadd([1,0;0,1], ze),$ $vadd(s$$[1, e\wedge(i+1);0,1]*s*[1, e\wedge(-i-1);0,1],$ $ze),$ $vadd(ze, s*[1, e^{\wedge}(i+1);0,1]*$$s)));uu=s*[1, e^{\wedge}(-m);0,1];z2=add(dia(uu, uu)*z1, a2(-2*m))$ ; testl $=$sign $(n)+1;if(test1, z=z1, z=z2);if(n, z=z, z=zze);s1=s*$$[e^{\wedge}n, 0;0, e^{(}-n)];w1=dia(s1, s1)*z;w1=vc(w1);s2=[e^{\wedge}(-n), 0;0, e^{n}];w2=$$dia(s2, s2)*a2(-2*n);w2=vc(w2);w=add(w1, w2)$ ; test2 $=sign(d)+$1; if $(test2, zz=z, zz=w);zz\}${nor $(p)=$ local $(m= length(p[1, ])$ /2, ) $;q=matrix(2,2*m);for(j=$1, $m,$ $q[1,2*j-1]=p[1,2*j-1]/p[2,2*j]);for(j=1,$ $m,$ $q[1,2*j]=$$q$$p[1,2*j]/p[2,2*j]);for(j=1, m, q[2,2*j]=1);q\}$$\{ra3(p)=local(a.b, c, s_{\dot{0}}t1, t2, u1, u2, u3, x1, x2, x3, z1, z2, z3);s=[O, 1;-1,0]$ ;$p=nor(p);u1=p[1,1];u2=p[1,3];u3=p[1,5];x1=p[1,2];x2=p[1,4];x3=$$p[1,6];t1=[u1^{\wedge}(-1), 0;0,1];a=ep(x1/u1);b=ep(u1);c=ep(u2);z1=$$dia(t1, t1)*a3(a[1], a[2]);z2=a2(b[2])_{)}\cdot t2=[1, -x3/u3;0,1]*[u3^{\wedge}(-1), 0;0,1]*$$s;z3=dia(t2, t2)*a2(c[2]);z=add3(z1, z2, z3);z\}$$\{rb3(p)=local(a, s, t1, u1, u2, u3, x1, x2, x3);s=[O, 1;-1,0];p=nor(p);u1=$$p[1,1];u2=p[1,3];u3=p[1,5];x1=p[1,2];x2=p[1,4];x3=p[1,6];t1=$$[u1^{\wedge}(-1), 0;0,1];a=ep(x1/u1);z=dia(t1, t1)*b3(a[1], a[2]);z\}${sel (v) $=local(a=length(v), k);k=0;for(i=1,$ if $(v[i]==0,$ $k=$
$O$

$i$

$a,$

; break) ;
$)$

$k\}$

$\{sel1(v)=local(a=length(v), k);k=0;e=quadgen(5)$ ;for $(i=1, a,$ if $(abs(norm(v[i])$ ) $==1,$ $k=i$ ; break));{cut $(k,p)=local(m=lengtf\iota(p[1, ])/2, q);q=matrix(2_{\dot{1}}2*m);for(i=$1, 2, for $(j=1,2*(m-k+1), q[i,j]=p[i, 2*k+j-2]));for(i=1,2,$ $for(j=$$k\}$$2*(m-k+1)+1,2*m,$ $q[i,j]=p[i,j-2*m+2*k-2]));q\}$$\{res(k,p)=local(s, z);s=.$ $[0,1;-1,0];z=$ [1,0;0,1];

for $(i=1,$ $k-1,$ $z=$

$z*s*[p[1,2*i-1],p[1,2*i];p[2,2*i-1],p[2,2*i]]);z\}$$\{ra4e(p)=local(adj, s, u, uu, v, v2, t1, t2, x_{\dot{1}}kO, k1, q, qq, w1, w2,w3, z, z1, z2, z3)$ ;quadgen(5); $p=nor(p);x=vector(4);for(j=1,4,$ $x[j]=p[1,2*$$j]);kO=$ sell $(x);k1= \max(1, kO);q=cut(k1, p);adj=rcs(k1, p);u=$
vector (4) $;for(j=1,4, u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,4,$ $x[j]=q[1,2*$$e=$$j]);uu=x[1]/u[1];v=ep(uu);t1=[u[1]^{\wedge}(-1), 0;0,1];z1=dia(t1_{\dot{0}}t1)*$

97$a3(v[1], v[2]);v2=ep(u[1]);z2=a2(v2[2]);t2=[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*$$[1, -uu;0,1];w1=[1, -1/uu;0,1]*[u[2], x[2];0,1];?1)2=[u[3], x[3];0,1];w3=$$[u[4], x[4];0,1]*[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];qq=add3(w1, w2, w3)$ ;$z3=dia(t2, t2)*ra3(qq);z=add3(z1, z2, z3);z=dia(adj, adj)*z;z=$clean $(z);z\}$$\{ra4n(p)=local(k0, k1, q, adj, u, v1, v2, x, t, z, z1, z2, z3);e=quadgen(5);p=$

nor $(p);x=vector(4);for(j=1,4, x[j]=p[1,2*j]);kO=selO(x);k1=$$\max(1, kO);q=cut(k1, p);adj=res(k1, p);u=vector(4);for(j=1,4,$ $u[j]=$$q[1,2*j-1]);for(j=1,4, x[j]=q[1,2*j]);v1=ep(u[1]);z1=a2(v1[2]);t=$$[u[1]^{\wedge}(-1), 0;0,1]*[u[2], x[2];0,1];v2=ep(u[3]);z2=dia(t, t)*a2(v2[2]);z=$

add$(z1, z2);z=dia(adj, adj)*z;z=clean(z);z\}$$\{ra4(p)=local(k0, k1, x, z, z1, z2);p=nor(p);x=vector(4);for(j=1,4,$ $x[j]=$$p[1,2*j]);kO=selO(x);k1=sel1(x);z1=if(k1, ra4e(p), 0);z2=if(kO, ra4n(p), 0)$ ;$z=if(k1, z1, z2);z\}$$\{rb4(p)=local(adj, s, u, uu, v, v2, t1, t2, x, kO, k1, q, qq, w1, w2, w3, z, z1, z2, z3);e=$

quadgen(5); $p=nor(p);x=vector(4);for(j=1,4, x[j]=p[1,2*j]);kO=$sell $(x);k1= \max(1, kO);q=cut(k1,p);adj=res(k1, p);u=vector(4);for(j=$$1,4,$ $u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,4, x[j]=q[1,2*j]);uu=x[1]/u[1];\uparrow)=$$ep(uu);t1=[u[1]^{(}-1), 0;0,1];z1=dia(t1, t1)*b3(v[1], v[2]);t2=[1/u[1], 0;0,1]*$$[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];w1=[1, -1/uu;0,1]*[u[2], x[2];0,1];w2=$$[u[3], x[3];0,1];w3=[u[4], x[4];0,1]*[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];qq=$$add3(w1, w2, w3);z3=dia(t2, t2)*rb3(qq);z=add(z1, z3);z=dia(adj, adj)*$$z;z=if(kO, z, [O, 0;0,0]);z=clean(z);z\}$$\{ra5e(p)=local(adj, s, u, uu, v, v2, t1, t2, x, kO, k1, q, qq, w1, w2, w3, w4,z, z1, z2, z3)$ ;$e=$ quadgen(5); $p=nor(p);x=vector(5);for(j=1,5_{i}x[j]=p[1,2*$$j]);kO=$ sell $(x);k1= \max(1, kO);q=cut(k1,p);adj=res(k1,p);u=$
vector (5) $;for(j=1,5, u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,5,$ $x[j]=q[1,2*$$j]);uu=x[1]/u[1];v=ep(uu);t1=[u[1]^{\wedge}(-1), 0;0,1];z1=dia(t1, t1)*$$a3(v[1], v[2]);v2=ep(u[1]);z2=a2(v2[2]);t2=[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*$$[1, -uu;0,1];w1=[1, -1/uu;0,1]*[u[2], x[2];0,1];w2=[u[3], x[3];0,1];w3=$$[u[4], x[4];0,1];w4=[u[5], x[5];0,1]*[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];qq=$$add4(w1, w2, w3, w4);z3=dia(t2, t2)*ra4(qq);z=add3(z1, z2, z3);z=$$dia(adj, adj)*z;z=clean(z);z\}$$\{ra5n(p)=local(adj, s, u, v, t1, x, kO, k1, q, qq, w1, w2, w3_{i}z, z1, z2)$ ;quadgen(5); $p=nor(p);x=vector(5);for(j=1,5,$ $x[j]=p[1,2*$$j]);k O=selO(x);k1=\max(1, kO);q=cut(k1,p);adj=res(k1,p);u=$
vector (5) $;for(j=1,5, u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,5,$ $x[j]=q[1,2*$$e=$$j]);v=ep(u[1]);z1=a2(v[2]);t1=[1/u[1], 0;0,1]*[u[2], x[2];0,1];w1=$$[u[3], x[3];0,1];w2=[u[4], x[4];0,1];w3=[u[5], x[5];0,1]*[1/u[1], 0;0,1]*$$[u[2], x[2];0,1];qq=add3(w1, w2, w3);z2=dia(t1, t1)*ra3(qq);z=add(z1, z2)$ ;$z=dia(adj, adj)*z;z=clean(z);z\}$98$\{ra5(p)=local(k0, k1, z, z1, z2);p=nor(p);x=vector(5);for(j=1,5,$ $x[j]=$$p[1,2*j]);kO=selO(x);k1=scl1(x)$ ; zl $=if(k1, ra5e(p), 0);z2=if(kO, ra5n(p), 0)$ ;$z=if(k1, z1, z2);z\}$$\{rb5e(p)=local(adj, s, u, uu,v, v2, t1, t2, x, kO, k1, q, qq, w1, w2, w3, w4, z, z1, z2, z3)$ ;$e=$ quadgen(5); $p=nor(p);x=vector(5);for(j=1,5,$ $x[j]=p[1,2*$$j]);k O=sel1(x);k1=\max(1, kO);q=cut(k1,p);adj=res(k1,p);u=$
vector (5) $;for(j=1,5, u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,5,$ $x[j]=q[1,2*$$j]);uu=x[1]/u[1];v=ep(uu);t1=[u[1]^{(}-1), 0;0,1];z1=dia(t1,\cdot t1)*$$b3(v[1], v[2]);t2=[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];w1=[1, -1/uu;0,1]*$$[u[2], x[2];0,1];w2=[u[3], x[3];0,1];w3=[u[4], x[4];0,1];w4=[u[5], x[5];0,1]*$$[1/u[1]_{)}0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];qq=add4(w1, w2, w3, w4);z2=$$dia(t2, t2)*rb4(qq);z=add(z1, z2);z=dia(adj, adj)*z;z=clean(z);z\}$$\{rb5n(p)=local(adj, s, u, v, t1, x, kO, k1, q, qq, w1, w2, w3, z, z1, z2);e=quadgen(5)$ ;$p=nor(p);x=vector(5);for(j=1,5, x[j]=p[1,2*j]);kO=selO(x);k1=$$\max(1, kO);q=cut(k1,p);adj=res(k1,p);u=vector(5);for(j=1,5,$ $u[j]=$$q[1,2*j-1]);for(j=1,5, x[j]=q[1,2*j]);l1=[1/u[1], O;O, 1]*[u[2], x[2];0,1];w1=$$[u[3], x[3];0,1];w2=[u[4], x[4];0,1];w3=[u[5], x[5];0_{i}1]*[1/u[1], 0;0,1]*$$[?1,[2], x[2];0,1];qq=add3(w1, w2, w3);z=dia(t1, t1)*rb3(qq);z=dia(adj, adj)*$$z;z=clean(z);z\}$$\{rb5(p)=local(k0, k1, z, z1, z2);p=nor(p);x=vector(5);for(j=1,5,$ $x[j]=$$p[1,2*j]);kO=selO(x);k1=sel1(x);z1=if(k1, rb5e(p), 0);z2=if(kO, rb5n(p), 0)$ ;$z=if(k1, z1, z2);z\}$$\{ra6e(p)=local(ad_{\dot{j}}, s, u, uu, v, v2, t1, t2, x_{i}kO, k1, q, qq, w1, w2, w3, w4, w5, z, z1, z2, z3)$ ;$e=$ quadgen(5); $p=nor(p);x=vector(6);for(j=1,6,$ $x[j]=p[1,2*$$j]);k O=sel1(x);k1=\max(1, kO);q=cut(k1, p);adj=res(k1, p);u=$
vector (6) $;for(j=1,6, u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,6,$ $x[j]=q[1,2*$$j]);uu=x[1]/u[1];v=ep(uu);t1=[u[1]^{(}-1), 0;0,1];z1=dia(b1_{\dot{0}}b1)*$$a3(v[1], v[2]);v2=ep(u[1]);z2=a2(v2[2]);t2=[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*$$[1, -uu;0,1];w1=[1, -1/uu;0,1]*[u[2], x[2];0,1];w2=[u[3], x[3];0,1];w3=$$[u[4], x[4];0,1];w4=[u[5], x[5];0,1];w5=[u[6], x[6];0,1]*[1/u[1], 0;0,1]*$$[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];qq=add5(w1, w2, w3, w4, w5);z3=dia(t2, t2)*$$ra5(qq);z=add3(z1, z2, z3);z=dia(adj, adj)*z;z=clean(z);z\}$$\{ra6n(p)=$ local $(adj, s, u, v, t1, x, kO, k1, q_{\dot{2}}qq, w1, w2, w3, w4, z, z1, z2);e=$

quadgen(5); $p=nor(p);x=vector(6);for(j=1,6, x[j]=p[1,2*j]);kO=$$sel O(x);k1=\max(1, kO);q=cut(k1,p);adj=res(k1_{i}p);u=vector(6);for(j=$1,6, $u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,6, x[j]=q[1,2*j]);v=ep(u[1]);z1=$$a2(v[2]);t1=[1/u[1], 0;0,1]*[u[2], x[2];0,1];w1=[u[3], x[3];0,1];w2=[u[4], x[4];0,1]$ ;$w3=[u[5], x[5];0,1];w4=[u[6], x[6];0,1]*[1/u[1], 0;0,1]*[u[2], x[2];0,1];qq=$$add4(w1, w2_{i}w3, w4);z2=dia(t1, t1)*ra4(qq);z=add(z1, z2);z=dia(adj, adj)*$$z;z=clean(z);z\}$99$\{ra6(p)=local(kO, k1, z, z1, z2);p=nor(p);x=vector(6);for(j=1,6,$ $x[j]=$$p[1,2*j]);kO=selO(x);k1=sel1(x);z1=if(k1, ra6e(p), 0);z2=if(kO, ra6n(p), 0)$ ;$z=if(k1, z1, z2);z\}$$\{rb6e(p)=local(adj, s, u, uu, v, v2, t1, t2, x, kO, k1, q, qq, w1, w2, w3, w4,w5, z_{i}z1, z2, z3)$;$e=quadgen(5)$ ; $p=nor(p)$ ; $x=vector(6);for(j=1,6,$ $x[j]=p[1,2*$$j]);k O=sell(x);k1=\max(1, kO);q=cut(k1,p);adj=res(k1,p);u=$
vector (6) $;for(j=1,6, u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,6,$ $x[j]=q[1,2*$$j]);uu=x[1]/u[1];v=ep(uu);t1=[u[1]^{(}-1), 0;0,1];z1=dia(t1_{i}t1)*$$b3(v[1], v[2]);t2=[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];w1=[1, -1/uu;0,1]*$$[u[2], x[2];0,1];w2=[u[3], x[3];0,1];w3=[u[4], x[4];0,1];w4=[u[5], x[5];0,1];w5=$$[u[6], x[6];0,1]*[1/u[1], 0;0,1]*[1/uu, 0;0, uu]*[1, -uu;0,1];qq=add5(w1, w2, w3, w4, w5)$ ;$z2=dia(t2, t2)*rb5(qq);z=add(z1, z2);z=dia(adj, adj)*z;z=clean(z);z\}$$\{rb6n(p)=$ local $(adj, s, u, v, t1, x, kO, k1, q, qq, w1, w2, w3, w4, z, z1, z2);e=$
quadgen(5); $p=nor(p);x=vector(6);for(j=1,6, x[j]=p[1,2*j]);kO=$$sel O(x);k1=\max(1, kO);q=cut(k1,p);adj=res(k1,p);^{I}u=vector(6);for(j=$1,6, $u[j]=q[1,2*j-1]);for(j=1,6, x[j]=q[1,2*j]);t1=[1/u[1], 0;0,1]*$$[u[2], x[2];0,1];w1=[u[3], x[3];0,1];w2=[u[4], x[4];0,1];w3=[u[5], x[5];0,1];w4=$
add4 $(で 1J1, w2, w3, w4);Z=$$dia(t1, t1)*rb4(qq);z=dia(adj, adj)*z;z=clean(z);z\}$$[u[6],$ $X[6];0,1]*[1/u[1],$ $0;0,1]*[u[2],$ $X[2];0,1];qq=$$\{rb6(p)=local(kO, k1, z, z1, z2);p=nor(p);x=vector(6);for(j=1_{\dot{1}}6,$ $x[j]=$$p[1,2*j]);kO=selO(x);k1=sel1(x);z1=if(k1, rb6e(p), 0);z2=if(kO, rb6n(p), 0)$ ;$z=if(k1, z1, z2);z\}$print (123)$\{dev(p)=local(a=length(p[1, ])/2, de)$ ; for $(i=1,$ $a,$ $de=de+r([p[1,2*i-$

1 $p[1,2*i];p[2,2*i-1],$ $p[2,2*i]])-r([p[3,2*i-1],$ $p[3,2*i];p[4,2*i-$
1 $p[4,2*i]]));$ de}
$],$

$],$

$\{e=quadgen(5);l1=8;l2=4;k=(l1+1)*(l2+1);sr=r([O, 1;-1,0])$ ; $nur=$$r([e, 0;0,1])$ ; $taur=r([1,1;0,1]);idr=r([1,0;0,1]);del=r([-1,0;0,1])$ ;$B1=r([2,0;0,1]);B2=r([2, -1;0,1]);B3=r([2, -e;O, 1]);B4=r([2, -e^{2};0,1]);B5=$$r([1,0;0,2])$ ;print(345);$ZA3=ra6([1/e, -2,1, -1/e, 1/e, -2,1, -1/e, 1/c, -2,1, -1/e;0, e, 0,1,0, e, 0,1,0, e, 0,1])$ ;$ZA4=ra6([e^{\wedge}(-2),$ $-2,1,$ $-1,$$-2,1,$ $-1$ ;$-2,1,$ $-1,$$e\wedge 2,0,1,0,$ $e\wedge 2,0,1,0,$ $e\wedge 2,0,1])$ ;$e^{\wedge}(-2),$$e^{\wedge}(-2),$$0,$$A=idr+taur*nur-nur-nur*taur*nur\wedge(-1);B=(taur-idr)*(idr-nur*$$taur*nur\wedge(-1));C=nur*nur-idr-taur*nur;D=idr+nur-nur*nur*$$taur*nur^{\wedge}(-1)$ -taur; $SS=sr+idr;xi=(sr*taur)^{2}+sr*taur+idr;XA=$$xi*sr;XB=(sr*nur+idr)*sr;XC=sr*nur+idr$ ;print (567);$ma=[e_{;}-e\wedge 2;2, -e^{\wedge}2]*[1,1;0,1];print(ma^{\wedge}3);T=(r(ma)-idr)*dev(ZA3);U=$$(del+idr)*(sr*nur+idr);A=T*U;X=matker(A);Y=U*X;W=$

100
matimage(Y); $W=(nur^{\wedge}(-1)+idr)*W;c=matrank(W);print(c)$ ;print (” Results”);$YY=matrix(l2+1, c);dd=(l1-l2)/2;for(i=1,$ $l2+1,$ $(for(j=1,$ $YY[i,j]=$$W[(i+dd-1)*(l2+1)+i,j])));YY=matimage(YY);dim=matrank(YY);print(dim)$ ;”for $(j=1,” dim, print(YY[.’ j]))$ ; print $(YY[1, 1]/YY[3,1]);print($ weight$l1+2$ ”, $l2+2)\}$$c,$$=$