【2020/最終】プロジェクトNo.06複雑系の数理とシミュレーション

川⼝聡/川越敏司/⻫藤朝輝KawaguchiSatoshi KawagoeToshiji SaitouAsaki

反応拡散系におけるパターン形成
Patternformationinreactiondiffusionsystem
プロジェクトメンバー：花⼭⻯也(PL)/三浦玲⾳/鈴⽊翔⽃/藤⽥淳
purojectmember
HanayamaTatuya
MiuraReon
SuzukiSyoto FujitaAtushi

プロジェクト概要

プロジェクトテーマ ProjectThemeOverview

⽣物の拡散や模様が反応拡散系で形成されることをモデル⽅程式を⽤いて解析する。
We analyze the diffusion and patterns of living organisms formed by reactiondiffusion systems using model equations.

活動内容 Activity

⽬的 Purpose
参考⽂献を輪読し、実際に数値計算することで、論⽂読解能⼒、モデリン
グ能⼒、プログラミング能⼒を⾝に付ける。また、⾝に付けた能⼒を応⽤し、数値計算プログラムを作成して、反応拡散系の解の振る舞いを調べ、どのようなパターン形成が出来ているか確認する。
Acquire the ability to read a treatise, model, and program by reading the references in acircle and performing numerical calculations. Also, by applying the acquired abilities,
create a numerical calculation program, investigate the behavior of the solution of thereaction-diffusion system, and confirm what kind of pattern formation is possible.

今年度はグループ分けを⾏わず活動をしていく。各⾃が⾃習の形で毎週の課題をこなし、zoomを通して、発表し、理解を深めていく。前期は、数値計算するための基礎知識を学び、後期は、前期で⾝に付けた知識を駆使し、前期同様の作業を交えながら、数値計算から進⾏波解の振る舞いの変化を求める。
そしてその進⾏波解の振る舞いをプログラムで作成して、時間空間変化のアニメーション動画を作成する。
This year, we will continue to work without grouping. Each person will complete weekly tasks in the form of self-study, present through zoom, and deepen
their understanding. In the first half, learn the basic knowledge for numerical calculation, and in the second half, make full use of the knowledge acquired in
the first half, and while doing the same work as in the first half, find the change in the behavior of the traveling wave solution from the numerical calculation.
Then, a program is created for the behavior of the traveling wave, and a video of the time-spatial change is created.

成果 Outcome
反応拡散⽅程式をFourier変換で解析解を出し、単純オイラー法を⽤いて確認した。その結果、拡散⽅程式は時間経過とともにピークは⼩さくなるが空間分布に関しては広がり、∫u(x,t)dx=1を維持していることがわかった。次にx=0, Lにおける境界条件をNeumann境界条件とした、
ετ ∂u/∂t=(∂^2 u)/(∂x^2 )+f(u,a) ,f(u,a)=u(1-u)(u-a) で の 定 数 a の変化によるフロント解の動きを確認した。a=0.5の時はu=0とu=1の安定性が等しく、0<a<0.5の時はu=1の⽅がより安定していて、フロント解は右に動く。また、0.5<a<1の時はu=0の⽅がより安定していて、フロ ン ト 解 は 左 へ 動 く こ と が 確 認 で き た ( 図 1) 。 こ れ ら の こ と よ り
u=0,u=1が安定、u=aで不安定な双安定系であることがわかる。また、ετ ∂u/∂t=ε^2 (∂^2 u)/(∂x^2 )+f(u,v) ,∂v/∂t=(∂^2 u)/(∂x^2)+g(u,v) で は 均 衡 が 崩 れ た 時 、 進 ⾏ パ ル ス 解 が ⽣ じ る こ と が 確 認 を した。その後FitzHugh-Nagumo⽅程式を計算することで進⾏パルス解は境界におけるvの値が⼩さいほうに動くことがわかる(図2)。
The reaction-diffusion equation was analyzed by Fourier transform andconfirmed by the simple Euler method. As a result, it was found that thediffusion equation has a smaller peak with the passage of time, but has awider spatial distribution and maintains ∫u (x, t) dx = 1. Next, ετ ∂u / ∂t= (∂ ^ 2 u) / (∂x ^ 2) + f (u, a), f (u, a), where the boundary condition at x= 0, L is the Neumann boundary condition. We confirmed the movementof the front solution due to the change of the constant a at) = u (1-u) (ua).
When a = 0.5, the stability of u = 0 and u = 1 is equal, when 0 <a <0.5, u= 1 is more stable, and the front solution moves to the right. It was alsoconfirmed that when 0.5 <a <1, u = 0 was more stable and the front
solution moved to the left (Fig. 1). From these facts, it can be seen that u= 0 and u = 1 are stable, and u = a is an unstable bistable system. Also,ετ ∂u / ∂t = ε ^ 2 (∂ ^ 2 u) / (∂x ^ 2) + f (u, v), ∂v / ∂t = (∂ ^ 2 u) / (∂x ^2) It was confirmed that a traveling pulse solution occurs when theequilibrium is lost at + g (u, v). After that, by calculating the FitzHughNagumo equation, it can be seen that the traveling pulse solution moves
toward the smaller value of v at the boundary (Fig. 2).

スケジュール Schedule

図1:フロント進⾏波解

図2:進⾏パルス解

今後の予定 FuturePlan
1次元2成分の反応拡散系の偏微分⽅程式の解を数値計算により求め、その時の進⾏波解がどのような形の波で振る舞うのかがわかった。また、そのときの解の振る舞いの変化を1次元の進⾏パルス解としてアニメーション動画を作成することができた。今後は、2次元空間で、初期条件を変えることで、螺旋状とリング状のパターンを形成して、アニメーション動画を作成する。
The solution of the partial differential equation of the reaction-diffusion system of
one-dimensional and two components was obtained by numerical calculation, and it
was found what kind of wave the traveling wave solution at that time behaves. Inaddition, it was possible to create an animation movie by using the change in thebehavior of the solution at that time as a one-dimensional traveling pulse solution. In
the future, we will create animated videos by forming spiral and ring-shaped patterns
by changing the initial conditions in a two-dimensional space.