解説 ←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←

受動跳躍
Passive Dynamic Hopping
永瀬純也** 龍谷大学

Jun-ya Nagase** Ryukoku University←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←

1. は じ め に

２. 受動的ロコモーションのリミットサイクル

カンガルーやワラビーのようなホッピングは，起伏の多受動的ロコモーションの重要な性質にリミットサイクル

い地形や飛び石なども軽快に移動できる．また，動物学者がある．安定なリミットサイクルが存在すれば，状態はリによる研究において，ホッピングする哺乳類のいくつかのミットサイクル上を遷移する．また，小さな摂動が加わっ種は，高速時のエネルギー消費量が４脚動物に比べて低いても軌道がリミットサイクル近傍にある限り，再びリミッことが動物実験によって明らかにされている[1]~[4]．エネ

トサイクルに収束する．安定なリミットサイクルは，受動ルギー効率が高い理由の一つに，着地時の衝撃エネルギー歩行[13]と受動走行[14]において数値シミュレーションにを脚のアキレス腱に弾性エネルギーとして吸収して蓄え，より確認されているものの，受動跳躍についてはこれまでそのエネルギーを次の跳躍に積極的に利用していることがに確認されておらず，不安定とされている．
（ここでの「跳挙げられる[5]．

躍」は，すべての脚が同位相で運動し，立脚相と飛行相がこのようなバネ特性を積極的に利用したホッピングロボ存在する脚移動を意味する．）

ットがこれまでに数多く開発されている．なかでも安定化

受動跳躍の安定性は，最初に Raibert によって調べられ制御に特徴を持つホッピングロボットしては，Raibert の先た．胴体，脚，股関節バネおよび脚バネから構成される１駆的研究がまず挙げられる．Raibert は，足の接地位置制御

脚跳躍モデル[15] (以下，Raibert モデル)を使って，数値シによる前進速度の制御，胴体の姿勢制御，および接地期のミュレーションを行った結果，周期軌道は不安定であった．

脚の軌道が鉛直線に対して対称となる制御，これらの３つ

また，Hyon[16]や Lei[17]によって数値シミュレーションにから構成されるシンプルな制御方法[6]を提案し，１脚型のよりポアンカレ写像の不動点(Fixed Point)の安定性解析が跳躍機により非常に安定した２次元跳躍[7]および３次元なされたが，いずれも不安定であった．しかしながらこれ

跳 躍 [8] を 実 機 で 実 現 し た ． ま た ， Geyer ら [9] とらはすべてエネルギー保存系である．

Ghigliazza ら [10]の数値シミュレーションでは，飛行中の散逸系では，Stiesberg ら[18]が，彼らが製作した受動跳躍床に対する脚角度をフィードバック制御して脚の着地角度機の安定性を数値シミュレーションにより調べた．結果，を制御することにより安定化制御を実現している．また，中立安定に非常に近い周期解は得られたものの，安定なリ

Zeglin と Brown [11],[12]は，弓形状の脚を持つ跳躍機におミットサイクルは見つからなかった．しかしながらこの安いて，離散フィードバック制御を用いて飛行中の脚角度と定性解析では，製作した跳躍機以外の物理パラメータでの運動エネルギーを調整することで効率的な 2 次元跳躍を実安定性は検証されていない．

現した．

上記を含め，散逸系の受動跳躍モデルで十分に安定性解

そのような中で本研究では，エネルギー効率の優れたホ析がなされた報告例は筆者の知る限り見当たらない．そこッピングロボットの実現を目指して，センサやモータ，制で本研究では，Raibert モデル[15]の脚バネにダンパを付加御の必要のない受動的ロコモーションによって安定したホした散逸系モデルで受動跳躍の安定性解析を試みることにッピングをおこなう受動跳躍の研究に取り組んでいる．本した．

稿では，受動跳躍の安定性ならびに開発中の受動跳躍機について解説する．

３. 数値シミュレーション
3.1 受動跳躍モデル
受動跳躍の安定性を十分に検証することは，力学モデル

キーワード:Passive dynamic locomotion, Monopedal hopping* 〒520-2194 滋賀県大津市瀬田大江町横谷 1-5* Otsu-shi, Shigaの複雑さゆえに容易ではない．そこで第一段階として，胴体の慣性モーメントを無限大とおくことで胴体の回転運動が拘束された受動跳躍モデル(図１)の安定性を解析した．
このモデルは Raibert モデルとは異なり，胴体の姿勢の安定Torso(Infinite momentof inertia)ている．
着地時においては衝突によって状態が離散的に変化する．

Khipmtorso

この離散的な状態の変化は以下のようにして求められる．

M = mtorso + mleg

着地の瞬間に脚軸方向に平行な運動量と接地点周りの角CoM of torso
and leg

運動量が保存されることから，運動量保存則により以下のJleg , mlegry関係が導かれる．

g− ̇−𝑸+ 𝜽̇+𝑡𝑑 = 𝑸 𝜽𝑡𝑑

Legθ(3)

ここで，θtd+=[θtd+, rtd+]T ，θtd-=[θtd-, xtd-, ytd-]T である．θtd+ お
よび θtd- は，それぞれ着地直後の状態ベクトルと着地直前の状態ベクトルである．行列 Q+と Q- は，運動量保存則から求められる．(3)式より，着地直後の状態𝜽̇+𝑡𝑑 は下式の衝突方程式で記述できる．

Kleg , ClegxFoot(no mass)α
図１ Monopedal passive dynamic hopping physical modelwith infinite torso moment of inertia.

+ −𝟏 𝑸− 𝜽̇−𝜽̇+𝑡𝑑 = (𝑸 )𝑡𝑑(4)衝突方程式の導出の詳細は，文献[19],[20]などを参照されたい．
3.3 漸近安定な不動点の探索
一般に，周期軌道の安定性は，対応するポアンカレ写像の不動点の安定性と等価であり，ポアンカレ写像の不動点が漸近安定であれば周期軌道も漸近安定(リミットサイクルは安定)である[21]．本研究では，受動的ロコモーションの先行研究[22]と同様に，ポアンカレ写像の不動点でのヤ

図２ Hopping motion for one period.

コビ行列の固有値から受動跳躍の安定性を評価する．
着地直後の状態を x+，歩数を k とすると，x+k から x+k+1へのポアンカレ写像 P は次式で表される．

性は考慮されていないが，脚のダイナミクスの安定性を明𝒙+ 𝑘+1 = 𝑷(𝒙+ 𝑘 )αらかにすることができる．
本モデルは，解析を簡単にするために，関連研究(5)

ここで x+ = [θtd+, θtd+, rtd+]T である．また，(6)[15,16,17]で報告されている多くのものと同様に，胴体と脚

𝒙𝑓 = 𝑷(𝒙𝑓 )の質量中心は股関節に位置している．また同様に下記の仮を満たす𝒙𝑓 は不動点と呼ばれる．本研究では，不動点をニ定を置く．

ュートン-ラフソン法によって探索した．ニュートンラフソ(1) 運動は矢状面に限定される．
(2) 衝突時に足先と地面の間に滑りは発生しない．
(3) 足先と地面との衝突は非弾性衝突である．

ン法による不動点探索の詳細は文献[20],[22]などを参照されたい．不動点の安定性は，力学系の流れを不動点まわりで線形近似して求められる次式を満たすヤコビ行列𝑱𝒇 の固3.2 運動方程式と衝突方程式
この１脚受動跳躍には立脚期と飛行期の 2 つの力学系が存在するため，各相で異なる運動方程式を導く必要がある．
立脚期の運動方程式は(1)式で表される．

()()

M s (θs )θs + Cs θs , θs θs + Ts θs , θs + Gs (θs ) = 0(1)

ここで, θs=[θ, r]T は立脚期の位置ベクトルを示し，θ および r はそれぞれ脚角度と脚長を表している．また，Ms(θs)
は慣性行列であり, Cs(θs,θs) はコリオリ力と遠心力の行列，Ts(θs,θs)は，バネの弾性力および減衰力のベクトル，Gs(θs)
は重力ベクトルである．
飛行期の運動方程式は(2)式で表される．

()()

M f (θ f )θf + C f θ f , θ f θ f + T f θ f , θ f + G f (θ f ) = 0

有値から評価できる．
∆𝒙+ 𝑘+1 = 𝑱𝑓 ∆𝒙+ 𝑘(7)

ヤコビ行列𝑱𝒇 のすべての固有値の絶対値が１未満の場合，不動点は漸近安定，つまり安定なリミットサイクルが存在することになる．本研究では𝑱𝒇 は数値的に求めた．
図３は，数値シミュレーションで得られたヤコビ行列𝑱𝒇の固有値の絶対値の最大値|λ|max とそれに対応する物理パラメータ(無次元パラメータ)との関係を示す．本研究の１
脚受動跳躍には，漸近安定な不動点を発現させる非常に多くの物理パラメータの組み合わせが存在することが確認された[23]．

(2)
3.4 段差に対する安定性

ここで, θf =[θ, x, y]T は飛行期の位置ベクトルを示し，x お
よび y は股関節の水平方向の位置と鉛直方向の位置を表し

摂動に対する安定性の評価として，段差に対してダイナミクスがどのように変化するかを調べた．図４は，跳躍開始

|λ|max|λ|maxr0

H|λ|max|λ|maxα
図４ Downward slope with level difference.
0.3

Leg angle θ [rad]図 ３ Absolute values of the maximum eigenvalue of the0.25
0.2
0.15
0.1
0.05

0

Jacobian matrix |λ|max and nondimensional body parameters.

010

後 5 歩目に高さ H の段差がある下り坂のスロープを示して各状態は一時的に振動的に変化するもののその後不動点に収束した．
図６は，それぞれの段差高さ H において，段差通過後に不動点に収束するのに必要な跳躍数 Nconv を示している．予想される通り，ステップの高さ|H/r0|が大きいほど，不動点に収束するために必要な跳躍数 Nconv が増大し，また，段差H がある値以上になると，瞬時に不安定になることがわかる．また図６は，段差に対して本モデルによる受動跳躍の安定性がどの程度高いかを示しているが，特に下降段差では，H/r0 = -58%までの段差に対しても漸近安定であることが見て取れる．

４. 受動跳躍実験
本章では，本研究室にて製作した跳躍機による受動跳躍

405040504050(a) Leg angle

Leg angular velocity ・θ [rad/s]の着地直後における各状態を示している．段差を通過後、30-0.8-0.9-1-1.1-1.2-1.3-1.4-1.5-1.60102030

Number of Steps(b) Leg angular velocity
Leg spring velocity・r [m/s]いる．図５は，H/r0 が-44%（マイナスは下降段差）のとき

20

Number of Steps-4.35-4.4-4.45-4.5-4.55-4.6-4.65-4.70102030

実験について述べる．図７は胴体の姿勢(回転変位)が拘束

Number of Steps

された受動跳躍機がトレッドミル上を跳躍している様子を(c) Leg axial velocity

示す．本跳躍機は，胴体と１本の脚から構成される．胴体

図５ The states in a Poincaré section for each hop. On the fifthと脚との接続部(股関節)にはねじりばねが取り付けられてhop, a step with height H/r0 = −40% emerges.

おり，脚には圧縮バネが配置されている．また胴体上部と25

水平シャフトをリニアブッシュを介して接続し，その水平を介して接続することによって，胴体の姿勢を拘束している(矢状面上の胴体の並進運動，および脚の運動は非拘束)．
実験の結果，トレッドミル上において 6km/h での 30 分以上の連続跳躍が確認できた． また，図７のような直動の脚関節だけでなく回転関節においても長時間の連続跳躍が可能であることを確認している．次に，図８は跳躍機の胴体姿勢の拘束を外して階段状の段差を完全受動跳躍させた様子を示している．本実験により，最大で５段の段差を安定して跳躍する様子が確認された[24]．

Number of step Nconv

シャフトの両端にそれぞれ鉛直シャフトをリニアブッシュ

Downward Upward
20151050-60 -56 -52 -48 -44 -40 -36 -32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -40

4812Level difference H/r0 [%]図６ The number of steps for each level difference when
the state at the Poincaré section converges to a fixed point.

0.11 s0.00 s0.21 s0.37 s0.30 s

図７ Experiment result of passive dynamic hopping with constrained body rotation on a treadmill.

Passive hopper prototype

0.52 s0.00 s0.30 s

0.79 s
図８ Experiment result of passive dynamic hopping on steps.

５. おわりに
本稿では，本研究室で取り組んでいる受動跳躍の安定性解析および実機実験を中心に紹介した．現時点では，胴体の姿勢を拘束した受動跳躍では脚の安定なダイナミクスによって長時間の跳躍が可能な実機は実現できているものの，

1.02 s[6]Raibert, M., “Legged Robots That Balance,” MIT Press, 1986.
[7]Raibert, M., and Tello, E., “Legged Robots That Balance,” IEEE Expert,
1(4), p. 89, 1986.
[8]Raibert, M., Brown, H., and Chepponis, M., “Experiments in BalanceWith a 3d One-Legged Hopping Machine,” Int. J. Rob. Res., 3(2), pp. 75–92,
1984,.

非拘束状態においては数歩の跳躍に留まっている．今後さ[9]Geyer, H., Seyfarth, A., and Blickhan, R., “Compliant Leg Behaviour Explains

らに解析と実験を進めて，より安定した受動跳躍が可能な

Basic Dynamics of Walking and Running,” Proc. R. Soc. B, 273(1603), pp.

跳躍機の実現を目指したい．最後に，本稿が受動的ロコモーションに興味を持たれている方の一助となれば幸いです．

2861–2867, 2006.
[10] Ghigliazza, R., Altendorfer, R., Holmes, P., and Koditschek, D., “A Simply
Stabilized Running Model,” SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 2(2), pp. 187–218, 2003.
[11]Zeglin, G., and Brown, B., “Control of a Bow Leg Hopping Robot,” IEEE

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永瀬純也 (Jun-ya Nagase)2011 年岡山大学大学院自然科学研究科博士後期課程修了．博士（工学）．2006 年住友重機械工業(株)．2010 年関西学院大学理工学部契約助
手． 2012 年龍谷大学理工学部機械システム工学科助教，2015 年同大学講師を経て 2020 年より同大学准教授．この間，2019 年サイモンフレーザー大学客員研究員．博士(工学)．ロボットの移動メカニズムおよびダイナミクスの研究に従事．日本機械学会，IEEE 等会員．
（日本ロボット学会正会員）