川崎医科大学 2014 年度入学試験 解答速報 物理
平成 26 年1

次の問いに対して，最も適切なものを選択肢の中から一つ選びなさい．

(1)

質量 m1 , m2 の 2 つの天体 1, 2 が，互いの万有引力により，1 月 25 日 実施

図 1 のように平面上で C 点を中心として角速度 ω の等速円運動をしている．万有引力定数を G, C 点から天体 1，2 までの距離をそれぞれ r1 ，r2 ，天体間の距離を R = r1 + r2 とする．
m1 m2
円運動の向心力 F は，F = ア：④ G
なので，天R2
体 1, 2 の運動方程式はそれぞれF = イ：⑤ m1 r1 ω2，F = ウ：⑤ m2 r2 ω2m1r1Cr2と書け，これ

エ：② m1 r1 = m2 r2 が得られるので，r2 を R で
m1R となる．ω と R の関係
表すと，r2 = オ：②
m1 + m2

m2

らからは ω 2 = カ：① G√
T = キ：① 2π

m1 + m2R3R3G(m1 + m2 )R
図1となり，円運動の周期 T はとなる．

天体 1 と 2 の間の L 点で，質量 m の人工衛星に適切な初速を与えたところ，人工衛星は，図 2 のように 2 つの天体との相対位置が変わらないような等速円運動を始めた． m はm1 , m2 と比べて非常に小さく，人工衛星が天体の運動に与える影響は無視できるものとして，L 点の満たすべき条件を考え

m1mる．

L 点と天体 2 との距離を x とすると，天体 1，2 と人工衛C星にはたらく万有引力 F1 , F2 はそれぞれ
m1 mm2 m
図2− G− G
F1 = ク：⃝，F2 = ケ：⃝で，人(R − x)2x2()
m1
m1 + m2
コ：⑤mR−xG
工衛星にはたらく遠心力 F は F =なので，m1 + m2
R3()
m1m2
m1
m1 + m2
サ：⑤=+R−x
力のつりあい式を整理すると，(R − x)2x2
m1 + m2
R3xLm2が得られる．

(2) 問 1

滑らかな水平面上に台車が置かれており，台車はば音波

ね定数 k のばねにつながれ，ばねの他端は固定されている．台車には音源が乗せてあり，周波数 f の音波を発生している．音源と台車を合わせた全体の質量は mで，音速は V とする．
ばねをつり合いの位置から引き伸ばして台車を静かに離すと，台車は振幅 a の単振動をした．ばねが伸び−aる向きに x 軸の正方向を取り，ばねがつり合いの状態a0
図3にあるときの音源の位置を x = 0 とする．
台車の前方の x 軸上には静止した観測者がおり，音源から伝わる音が，最高音と最低音を周期 T で繰り返すのを観測していた．

√mk(a)

周期 T はいくらか． シ(b)

観測者が観測する最高音の周波数は ス：④④ 2πVVf ，最低音の周波数は セ：③f
V − aω
V + aωである．ただし，台車の単振動の角振動数を ω とする．

(c)

最高音と最低音の周波数の差を ∆f として，台車の単振動の振幅 a を m，k ，V ，f ，∆f を用いて表しなさい．ただし，∆f は f に比べて十分に小さいとし，計算では次の近似式を使いなさい．x
√1m
∆fn .
ソが 1 に比べて十分に小さいとき，(1 + x) =. 1 + nx．
②V2kf

問2x 軸上の x = 10 cm に波源 A があり，x = −10 cm に波源 B がある．波源 A から波源 B に向かって，波源 B からは波源 A に向かって波長 2 cm，振幅 1 cm，周期 4 s の等しい進行波を，図 4 のように同位相で発生させるものとする．波の発生を開始した時刻を t = 0 s とする．

BA0

タ：① 0.5x

図4cm/s である．

(a)

波の進む速さは(b)t = 20 s と t = 25 s での波の変位は，次の x 軸上の 3 地点でいくらになるか．
t = 20 s のとき，x = 0 cm で チ：⑤ 0 cm，x = 1 cm で ツ：⑤ 0 cm，x = 5 cm で(i)テ：⑤ 0cm である．

t = 25 s のとき，x = 0 cm で ト：⑨ 2 cm，x = 1 cm で ナ：① −2 cm，x = 5 cm

(ii)
でニ：③ −1cm である．

x解説(1) 2 天体の公転運動を厳密に扱った問題．お互いの重心の周りを公転しているということから，2 天体間の距離R，全質量 m1 ，m2 と公転周期 T の間にもケプラーの第 3 法則が適用出来ることが導かれる．地球からの距離が近い 2 重星の質量などは，この関係を利用して求めることもある．また，後半の L 点 は，2 天体の周囲にある万有引力と遠心力がつりあう平衡点 (ラグランジュポイントと呼ばれる．) の一つ (L1 )．地球−月間のラグランジュポイントや，太陽−地球間におけるラグランジュポイントは，観測衛星や，宇宙基地，スペースコロニーを配置する場所として最適な場所であり，実際小惑星などが束縛されていたりする．

(2) 問 1

音のドップラー効果の体裁を取っているが，前半の 2 重星の問題で，両天体から出る光のドップラー効果から，天体間距離 R (この問題では，a) を導かせる問題．
VVf ，最低周波数 fL =f の差が，∆f =(c) の近似が難しいが，最高周波数 fH =V − aω
V + aω
2 aω
2aωV∆ffH − fL =fとなるので，まず，=(V )2 と変形する．
V 2 − (aω)2f
1 − aω
Vaω
∆f，υ =などと置き換え，υ の 2 次方程式として整理すると，rυ 2 + 2υ − r = 0 となる．
r=fV√
1 + r2 − 1が得られる．ここで，r ≪ 1 であ
υ > 0 であることを考慮して解の公式を用いると，υ =r√. 1 + 1 r2 となるので，υ =. r が得られる．
ることを用いて，与えられた近似式を用いると， 1 + r2 =.
.
22√aω . ∆fVm∆f.
もとの文字に戻してやると，=.
なので，a =が得られる．こういう計算は特.
V2f2k f
徴的な物理量での無次元化の概念がわかっていれば楽なのだが，慣れが必要．
問2波の干渉の問題．前半の天体の問題とはあまり関係がない．指定の時刻に波先がどこにあるかがわかっ
55ていれば，t = 20 s では干渉領域が無く．t = 25 s では，− λ <x<λ までが干渉領域であるとわ==44かる．

2

次の問いに対して，最も適切なものを選択肢の中から一つ選びなさい．

(1)

図 1 のように距離 L だけ離れた陰極と陽極の間に強さ E の一様な電界が y 軸の負の方向に形成されている．陰極から初速度 0 で放出された電子 (質量 m，電気素量 e) は電界で加速され，スリットを通過した後，磁束密度 B の一様な磁界に入射した．なお，図中の破線矢印は，電界中およびスリット通過直後の電子の進行方向を表している．
問1

磁界の向きが，図 1 に示すように x 軸の正の方向のとき，次の問いに答えなさい．

(a)

B(b)

磁界領域に入射したときの電子の速さはいく√
2eEL⃝+らか． イm(c)電子が磁界から受ける力の大きさはいくらか．
√2eELyウ⑦ eBm(d)磁界領域で電子が描く円軌道の半径 r はいく
√
12mEL
エらか．
⑥Be(e)

円軌道の半径 r を用いて比電荷を表しなさい．
2EL
オ⑥
B 2 r2(f)電子が円軌道を一周するのに要する時間 T はいくらか． カ(g)問2電子が陰極を出てから陽極に到達するまでの√2mL
ア⑤
時間はいくらか．
eEELx図12πmeB
電界の強さと磁束密度をどちらもはじめの値の 2 倍に強めたとする．
②1④ √2(i)

円軌道の半径は r の何倍になるか． キ(ii)

電子が円軌道を一周するのに要する時間は T の何倍になるか．

ク⑤12

磁界の向きが図 2 に示すように，x 軸から y 軸へ向けて θ の方向のとき，磁界方向から電子を見ると，電子は等速円運動をしていた．その円運動の半径を r′ ，周期を T ′ として次の問いに答えなさい．
√2mELcos θ(a)′r はいくらか． ケ⑥Be(b)T ′ は T の何倍になるか． コ②1BθELyx

図2(2)

図 3 のように奥行と高さが同じで横幅の違う直方体が n 個接着してある．側面の面積は S で，j 番目の直方体の中心の x 座標を xj ，横幅を ℓj ，密度を ρj とする．重力加速度を g とすると，j 番目の直方体の体積

Vj は

サ：① Sℓj ，質量 mj は

シ：⑤ Sℓj ρj ，重さは

ℓ1

ス：⑨ Sℓj ρj gℓjℓ2である．

ℓnρ1

ρ2ρjρnx1x2xjxnSx

図3n 個全体の質量を M ，全体の重心の x 座標を xc とすると，M は，M =n∑

mj = セ：③j=1n∑

Sℓj ρjでj=1ある．直方体全体を図 4 のように x = xc で支えるとき，xc のまわりの重力による力のモーメントの和は，
ソ：⑧n∑(xc − xj )mj gで，これが 0 なので，xc M = タ：⑤j=1

直方体の質量 mj の割合 fj =n∑x j mjとなる．M に対する j 番目のj=1ℓj ρjmj+= チ：⃝n∑Mℓj ρjj=1ける．

xc
図4を使うと，xc は，xc = ツ：④n∑
j=1xj fjと書解説(1) 問 1 (a)電子の加速度は，運動方程式 ma = eE から，a =1eEと求まる．よって，L =at0 2 より，t0m2が求まる．

(b)v0 = at0 に (a) を代入．

(c)ev0 B に (b) を代入．

(d)

mv0 2= ev0 B より，r について解けばよい．
reについて解けばよい．
(d) を
m2πrを (d) の式を使って整理すればよい．
T =v0(e)(f)(g)(d) の式を見れば良い．

(h)(f) の式を見れば良い．

問 2 (a)(b)

mに v0 を代入．
eB
問 1(f) から 周期は速度によらないことがわかる．

円運動の速さは v0 cos なので，r′ = v0 cos θ2 物体の重心の概念を最低限知っている必要がある．式は複雑に見えるが，誘導にのれれば易しい．次元で(2)答えも絞れる．

講評：
大問 1 は，万有引力，ドップラー効果，波の重ね合わせ．大問 2 は，電場，磁場中の荷電粒子の運動，重心．の実質 5 問．万有引力は，取っつきにくく計算が繁雑なのでうまくやらないと時間がかかる．次元などで選択肢を絞って計算するなど工夫すれば完答できる．ドップラー効果の問題では，最後の近似が 2 次方程式の解の公式から近似する必要があり，文字が多く計算でつまづきやすい．ただし，次元で選択肢を 2 つに絞れるので，時間をかけて計算するよりもどちらかを選んで飛ばした方が良いかもしれない．波の重ね合わせは波の先頭がどこにあるかがわかっていれば易しい．
磁場中の荷電粒子の運動も標準的．磁場が斜めのとき，らせん運動になることがわかっていれば完答できる．重∑心の問題は，で式を表さなければならないので，慣れていない受験生が多いだろうが，ほとんどの問題は次元を考えると選択肢は 1 つに絞れる．
全体の印象としては，難度の高い問題も混ざっているが平年並み．あまり出来なかったと感じた受験生は少なかっただろう．

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