変位電流の正体を探る

Technical Report YK-073_rev2
Dec. 01, 2022
Y. Karasawa

電磁気学の奥深さ（19）：変位電流の正体を探る～変位電流は磁界を生むか？～
変位電流はマクスウェルの電磁気学ジグソーパズルの最後のピースとなり、電流と磁界の関係を解き明かしたアンペア・マクスウェルの法則に組み入れられている。変位電流の説明は電磁気学の教科書に任せ、ここでは、変位電流の働きについて、もう少し深いところを探ってみたい。
同じ電流に分類される伝導電流（真電流）と変位電流、本当に、対等なものなのだろうか？副題の挑発的なタイトルは電磁気学の教科書として定評があり含蓄に富む太田先生の本[1]に触発されている。同書の変位電流を説明する中に「変位電流は磁場をつくらない」という項がある。導体を流れる伝導電流が磁界を作るのに、同じ電流仲間の変位電流が磁界を作らないと言うのは感覚的に納得しがたい。磁界の定量的な算定を矛盾なく行えるようにマクスウェルが苦労して発見したものであるのに、なぜそのようなことになってしまうのだろうかと思う。ここでは、この意味を読者と一緒に考えてみたい。
本レポートは TR-YK-073 (2022.07)の改訂版 (2022.09)の改訂版である。章構成を替え、記述の強化を行っている。

１．伝導電流と変位電流は電流として対等？
「変位電流は磁界を作らない」と言う言葉に強烈な違和感をもつのはアンペア・マクスウェルの法則を表す次式にある。

 H  i + id ,id 

D
t

(1)

i が導体に流れる伝導電流（真電流）の密度、id が電束密度の時間変動を電流と見なした変位電流の密度であり、どちらも単位は[A/m2]である。積分表現（＝周回積分の法則）では

 H  dl    i + i  ndS  I  IcSd(2)dであり、面 S を通過する伝導電流 I と変位電流 Id が一緒になって閉ループ c 上の磁界を作っている、と理解できるからである。さらに、自由空間中の電磁波伝搬では、

 H  id(3)であるので、変位電流無くして磁界は無いと思うからである。

以下、いくつかの例を調べつつ、変位電流と磁界の関係を吟味してゆきたい。
なお、この問題は、この後述べるように論理的には決着していると（筆者は）思っているのであるが、上述のような疑問により、学ぶものにとっては変位電流のパラドックスと受け止められ1変位電流の正体を探る

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Y. Karasawaていて、電磁気学授業の現場（あるいは教育関係者）に混乱を与えているようである。これに関する解釈論文や解説資料は多々あるが、代表として、[2]～[4]を挙げたい。
【注：[1]～[4]での結論も主張も様々であり、本レポート程度の掘り下げでは、まだまだ浅いのかもしれない。
】

２．変位電流は磁界を生むか？
（１）ケース１：半無限長直線導線に電流が流れている場合
図１のように、z 軸上の-∞から 0 まで電流 I が流れている場合を考える。z=0 の原点から距離 aの位置にある点 P の磁界はビオ・サバールの法則を使って次式で求められる。

H  0I sin Idz 24 r
4 aa
22 r  z  a , sin   r(4)しかし、この設定は z=0 でいきなり電流が 0 になってしまうので、電流連続の式（電荷保存則）を満たしていない。そこで、端点においては、時間と共に電荷 Q が Q=It（t >0）で、どんどん溜まってゆくとする。そうするとこの電荷により周囲に電界ができ、かつ、時間とともに変化する。
ゆえに、変位電流が放射状に流れていることになる。そうするとこの変位電流によって生まれる磁界があるはずである。しかし、一点から角度的に均一に放射状に流れる電流からは磁界が生まれない（＝計算してみると 0 になる）ことが分かり、このケースでは変位電流による磁界は無い。
一方、これを周回積分の法則（式(2)）で求めると、P 点を通る半径 a の円形閉ループ（図の点線）を考え、これを縁とする曲面 S を z <0 側にとって S1 とすると、P 点の磁界は

H II
I   i  ndS    i  ndS   2 a4 a2

1

S1 d

S1 d(5a)

また、z >0 側にとって S2 とすると、

H 

1Ii  ndS 
2 a 
4 aS2dI

 i  ndS  2 S2d(5b)となり、変位電流を考慮することによってつじつまの合う結果が得られる。周回積分を適用する際には、変位電流の考慮が不可欠であるが、このケースにおいては、磁界を求めたいだけなら、
式(4)より伝導電流だけを考慮すればよい、すなわち、変位電流は磁界を作っていないのである。
このケースでは、変位電流から磁界を求めると、偶然 0 になっただけなのであるから、変位電流は磁界を作らない、が普遍的な意味にはならないだろうと読者は思うであろう。

2

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図１

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半無限長直線導線に電流が流れている場合（ケース１）（２）ケース２：間隔の離れた２本の半無限長直線導体に電流が流れている場合
図２のように、z 軸上に２本の半無限導体が間隔 d を空けて置かれている場合を考える。伝導電流は図１と同じように流れていて、導線の間隙には電気双極子による電気力線と同じ形の変位電流が流れることになる。この図は、変位電流が伝導電通をつないで、連続的に電流を z の正方向に流しているように見える。この場合も、変位電流は磁界を作っていないのだろうか。ビオ・
サバールの法則を適用して、伝導電流による磁界を求めると、P 点ではH aI 1dz

2 d /2  z 2  a 2 3/2
dI 2122 ad 2   a 2(6)となる。一方、周回積分の法則を z=0 の面上の半径 a の面を S として求めると、図２の P1 点から円形平面 S を見る立体角S は、

d



2
S  2 1 
2d 2   a 
23変位電流の正体を探る

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であるので、面 S を通過する変位電流の面積分値 Id はd2 d  1 
I2d2   a 2 となる。これによって、周回積分で求められる磁界は

dI 2H 122 ad 2   a 2(7)となり、二つの計算法は一致する。この系での磁界の正解値は、アンペア・マクスウェルの法則で裏打ちされている(7)式の結果と見て良いであろう。そうするとその値は伝導電流のみで求めた(6)式になるのだから、このケースでも、ケース１と同様に変位電流は磁界を作らなかったということである。(7)式は変位電流の寄与を求めたのではなく、変位電流のうちの面 S を通過する分の変位電流を集めて求めただけであって、変位電流全体の寄与ではないのである。空間全体に存在する変位電流の微小部分から生まれる磁界をビオ・サバールの式で体積積分すれば 0 になるのである。
勘の鋭い読者であれば、このケースにおいて変位電流の全体からの寄与を計算したら 0 になるのは当然だと気付いているであろう。なぜなら、ケース２はケース１の重ね合わせであり、ケース１において点から放射状に流れだす電流は磁界を作らないと言ったことが、ここでも通用しているからである。

図２

間隔の離れた２本の半無限長直線導体に電流が流れている場合（ケース２）4変位電流の正体を探る

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Y. Karasawa（３）ケース３：変位電流が時間に依存しない場合（平板コンデンサへの充電を例に）
ケース１，２では、変位電流から磁界が生まれない点電荷からの変位電流を扱ったからであり、もう少し一般的にはどうかを知りたいとも思うだろう。例えば、図３のような平板コンデンサに一定電流を連続的に送り込んで充電するようなケース。この場合には、伝導電流が電極の給電点から縁に向けて強度を弱めながら流れ続ける（一方の電極上の電流は逆向きに）。この過程において、極板上の電荷密度は一様に時間と共に増えてゆくので電極間には変位電流が生まれる。このケースについて、
１）導線と極板上に流れる伝導電流からビオ・サバールの式で磁界を求める
２）周回積分の式を用いて、伝導電流と変位電流から周回積分の式で磁界を求める（コンデンサの内部に面 S をとれば、変位電流のみで）この比較を具体的な計算によって厳密に行うのは簡単ではない。しかし次のような類推ができるであろう。
i) 極板上のいたるところ（＝点で代表できる微小エリア）の電流密度の差分から変位電流が生まれているii) その変位電流は、その点から球対称に放射状に流れ出す（あるいは、点に向かって流れ込む）iii) 各点から生まれる変位電流は点を中心とする球対称であるため磁界を作らないiv) 極板上のすべての領域から生まれる変位電流は iii)の重ね合わせであるから、全体としても磁界を作らない
このことは、[5]（の§7.12）に詳しく述べられている。図４は、それをまとめたものである。
次節では、これらのことを論理的に示す。

図３

変位電流が時間に依存しない場合（ケース３：平板コンデンサへの充電の例）
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図４

平板コンデンサ充電時の伝導電流と変位電流の関係（変位電流は極板上の微小領域からは３次元等方向に広がって（対向する極板では収縮）行くが、大局的に見れば図３のように極板間を流れているように見える）

３．変位電流は磁界を生まない
この節のタイトルを裏返しに読めば、「磁界は伝導電流（のみ）によって生まれる」と言うことになる。以下それを示したい。
２節とはアプローチを代えてみよう。変位電流によって領域 V 内に生まれる磁界が、変位電流が存在する領域 V’内で、ビオ・サバールの公式を用いた体積積分によって次式で表されるとしよう。この磁界を Hd とするとHd  r, t  1r  r
id  r , t  dV 3
4 Vr  r 0 Er  r
r,tdV 
34 V tr  r

ベクトル公式A 11
  A  3 A  rr rr r  xi  yj  zk , r  r を用いて(8)式を変形すると6(8)変位電流の正体を探る

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Er ,t  
 1EHd  r, t   0   r , t     t dV 4 V  r  r tr  r (9)となる。この右辺第２項の体積積分は、積分定理（[1]の(A.24)式）により、面積分に変換でき、その領域を十分大きくとると、その面積分は無限遠の表面積分となり 0 になる。結局、(9)式は次式となる。

Hd  r, t  

01E  r , t  dV V4r  r
t(10)

さらに、右辺の電界 E を電磁誘導の法則の式を用いて磁界に書き換えると次式となる[1]。

 Hd  r, t  11
Hd  r, t   dV 4 c 2 V
t 2r  r2(11)この式は、式の左右に磁界が含まれており、磁界として解けたわけではない。しかし、磁界の時間に関する２階微分が 0 であれば、すなわち、変位電流が時間によって変わらないケースのような場合には、右辺が 0 になるのでHd  r   0 if2 Hd  r, t 0
t 2(12)である。このようにして、２節のケース３でも、変位電流は磁界を作らない、が確認できた。
一方、電磁波のような動的な関係では、磁界の２階微分が存在するので、変位電流自身も磁界を生み出していると解釈してよいのだろうか。次に、これらを含めて考える。
電磁気学が教えてくれるように、自由空間において、磁界 H はベクトルポテンシャル A を用いて次式で表される。

H (r , t ) 10  A(r , t )(13)

そのベクトルポテンシャルは伝導電流密度で与えられる関数を空間全体に亘って積分することによって、次式で与えられる[6]。

A(r , t ) 0 i (r',t - r  r' / c)dV'4 Vr  r'(14)これから言えることは、電磁環境の全体で見るならば、磁界は伝導電流より得られ、変位電流．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
を考慮する必要は無い、と言うことになる。考慮すると２重加算になっていけないと言う意味で．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
はなく、本来ならば電流全体で考えなければいけないのであるが、考慮しても変位電流からの寄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
与は打ち消されて０になり、伝導電流だけ考えれば十分であると言う意味である。

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４．変位電流の役割
前節では、磁界を生み出すと言う意味において変位電流の出る幕がなく、存在意義が疑われる物言いになってしまっている。一方、マクスウェルは電磁界の振る舞いに変位電流が不可欠なものとしてこれを組み入れ電磁気学を完成させている（式(1)）
。それゆえ、これまでの議論だけでは、変位電流の働きや必然性が見えず、落ち着かない感じを受けるであろう。このもやもや感解消のためには、電磁気学を支える数学定理「ストークスの定理」から入るのが良いと思う。
３次元空間にベクトル関数 X(r)が定義されているとする。このベクトル X は以下の式を満足する。

  X  ndS   X  dlS(15)c

この積分変換はストークスの定理を表す式なのでその正しさは数学的に証明されている。この空間には X の回転を表すベクトル  X も存在し、ベクトル X と  X は図５のような関係にある。閉路 c を縁とする任意の曲面 S に対して成立するためには、 X は面 S がどこにあっても鎖交するように存在することが（数学的に）要請される。すなわち、  X と言うベクトルは空間の全体を構成する領域 V 内においてループをなすと言うことである。
さて、この数学モデルのベクトル X を、物理量である磁界 H に対応させてみよう。次式である。

  H  ndS   H  dlS(16)c

図５ストークスの定理の説明図（ベクトル X の周回積分値≠0 の場合）

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この式自体は、数学的にも物理学的にも正しい式である。問題は、ベクトル  H がなにか具体的な物理量に対応するかどうか、と言うことである。アンペアの法則では、  H  i であり、電流がループになっていれば、数学モデルとうまく対応する。しかし、図３で示したように途中にコンデンサが入って電流密度 i が切断されているような場合には、数学モデル（ストークスの定理）を満たしていない。そのため、  H がループを成すように、切断された伝導電流の間隙を埋めるものは何か、となった時にその答えが変位電流であったわけである。すなわち,

 H  i  id としてはじめてストークスの定理が満たされるのである。数学が物理の不備（  H  i の対応では  H の輪が切れていること）を教えてくれたのである。

 H は磁界 H の部分的な性質を表すものであって、磁界そのものではない。磁界 H が伝導電流で作られるということと、その一部の性質をもつ別の物理量  H が伝導電流と変位電流の和であることとは、矛盾することではない。後者においては、磁界の周回積分値を求めるに際して、伝導電流と変位電流の両方が面 S と鎖交する部分の値のみから得られると言うことであって、伝導電流や変位電流の全体の情報を用いているわけではない。(14)式が、空間全体の伝導電流から、任意の場所の磁界を求める式であるのに対して、(2)式は、磁界の周回積分値を伝導電流と変位電流の一部の値を用いて定める式である。同式は、伝導電流の全情報が使われているわけではなく、その不足部分を変位電流（の一部の情報）が補っているとも解釈できる。
図６はこのイメージを示している。経路 c 上の線積分値にとっては、面 S がどこにあって誰と出会うか（＝鎖交するか）に関係なく決まることであり、そこに伝導電流があれば、原因は伝導電流と言うだろうし、図の例のようにたまたま変位電流であれば、変位電流が作っていると思うだけである。このように、周回積分の法則においては、磁界の原因探しになんら答えはないのである。

図６

二つの電流と磁界の関係
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マクスウェルの方程式は、と言うか、ヘビサイドが整理した微分方程式は、電界と磁界のそれぞれの発散と回転を表す４つの連立方程式であり、電磁気学はこの４つの方程式から、電界と磁界を定めてゆく構図となっている。その中の一つ  H を構成するのが伝導電流と変位電流であると言うことであって、変位電流が磁界を生むかの議論とは別のところにある。

５．まとめ：電磁気学の全体構造と変位電流の位置づけ
図７は、ここまで行ってきた議論に基づき、電磁気学の全体構造をまとめたもので、この図を用いて、因果関係と相互関係や変位電流の位置づけを整理してみたい。

図７

電磁気学の仕組み（因果関係と相互関係）

同図の下半分、点線で囲った部分は、原因と結果の関係を示している。桶屋が儲かる理由が、風が吹くからなのか、三味線が売れるからかは、視点の置き場所によって何とでも言え、議論が定まらないのは世の常である。図７を見たとき、磁界をつくるのは電流（伝導電流、真電流）であるというのは納得できるであろう。もっと根本は電荷であると言ってもよいし、近いところでは、ベクトルポテンシャルだと言ってもよいのであるが、変位電流が名乗りをあげることは無い。
次に、同図の上部、一点鎖線で囲まれた部分を見てみよう。この部分は、関係が複雑に入り組んでおり、因果関係でなく相互関係というのが良いであろう。この部分が、まさに、マクスウェ
ルの方程式が表す物理法則で、電界と磁界の関係を定めている。この部分からは、電界が磁界を作っている、あるいはその逆に、磁界が電界を作っているとも言えるが、原因と結果と言うよりも相互作用である。その目で見れば、お互いがお互いに関係しているのであるから、その役者の一人である変位電流だって、自分は磁界を作っていると言っても別に不合理ではない。しかし変位電流の意義は、そういう議論とは関係なく、電磁界が持つ４つの性質（電界と磁界それぞれの発散と回転）の一つ：磁界の回転（  H ）を表すのに不可欠な存在であるということである。
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雑談 変位磁流は電界を生むか？
本レポートの主役は変位電流、次式（アンペア・マクスウェルの法則）の右辺第２項である。

  H  i + 0Et

この議論を電界と磁界の関係で置き換えれば、次式の電磁誘導の式になる。

 E  im  0Ht im  0 

右辺第１項の im は伝導電流に対する伝導磁流の意味合いで入れているが、電磁気学では単独磁荷（磁気モノポール）は無いとされているので、伝導磁流 im も実際は存在しない。この式の右辺第２項を、変位電流に対応させて、変位磁流と呼んでみよう。そうすると、「変位電流は磁界を作るか」の疑問は、「変位磁流は電界を作るか」の疑問と同じになるように思うがどうであろうか。前者が yes なら後者も yes、no なら no になるのであろうか。変位電流は伝導電流が消えてしまっているときに登場するピンチヒッター的役割であったが、磁流では、変位磁流自身が主役である。やはり、本質的なところに性質の違いがありそう。
前者では、「伝導電流は磁界を作る」＝常識、「伝導電流と変位電流は電流として対等」＝半ば常識、の下で、「変位電流は磁界を作らない」と言われ、狐につままれた気持ちになると言う話であった。一方、伝導磁流が存在しない中での電磁誘導現象に対して、0 (H / t ) 、すなわち、
B / t を変位磁流と呼んで、「変位磁流は電界を作るか」の疑問に悩む人はまずいない（＝問い自体を考えることが無い）と思う。でも、悩みの深さは同じはずなので、皆さん自身で考えてみてほしい。

参考文献[1] 太田浩一, 電磁気学の基礎 I, 東京大学出版会, 2012. （変位電流の話題は 11.5 節に）[2] 北野正雄, 変位電流をめぐる混乱について,” 大学の物理教育, vol. 27, no. 1, 2021.
http://kir018304.kir.jp/nc/htdocs/?action=common_download_main&upload_id=197[3] T. Hyodo, “Maxwell’s displacement current and magnetic field between capacitor electrodes,”Euro. Jour. Physics, 43, 065202, 2022.
（論文解説）https://www.kek.jp/wp-content/uploads/2022/09/pr20220927.pdf[4] 菅野礼司, http://zero21.blog65.fc2.com/blog-entry-127.html[5] E. M. Purcell （飯田修一監訳）, 電磁気（下）, バークレー物理学コース２, 丸善, 1971. （変位電流は§7.11, 7.12）[6] 宇野亨, 白井宏, 電磁気学, コロナ社, 2010.

読者の皆さんへ
本レポートの内容は、私製本「謎解き電磁気学」の第８章にまとめています。
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