ビームモニター概論

KEK, High Energy Accelerator Research Organization
帯名 崇 （Takashi OBINA）

2020/09/08 KEK + Online Zoom meetingはじめに
本講義「ビームモニター概論」では、今回のOHOレクチャー全体の導入となるような基礎的な内容を講義いたします。
– 何のためにビームモニターが必要なのか理解する– 基礎的なビームモニター（ビーム位置・ビーム強度）を理解する– 用語に慣れることができれば良いと考えています。基礎的な内容をゆっくりと説明していきます。高度な内容は他の講師＆過去のOHO講義に任せます。計測に関するな
んとなくの「イメージ」をつかむことを主眼に置いています。

また、今回のOHO20を通して、似たようなトピックスが何度か登場します。
これは「重要なことは繰り返し出てくる」と理解してください。

2

Reference：ビーム診断に関連する学会
詳細に入る前に、情報の探し方についてコメントします。
いまや検索すれば多くの情報に行き当たります。今回のOHOを通してビーム診断に興味を持った場合、次のステップとしては学会や論文になることと思います。

大きなキーワードとしてはビーム診断（Beam Diagnostics）や ビーム計測・計装（Beam Instrumentation） という用語で多くの情報を得ることができます。代表的な国際学会としてはIBICがあります（以前に米国で開催されていたBIWと、欧州で1年おきに開催されていたDIPACにアジア地域を加えて毎年開催するようにしたものです）– IBIC: International Beam Instrumentation Conference– BIW– DIPAC: Beam Instrumentation Workshop (U.S.A):Workshop on Beam Diagnostics and Instrumentation
for Particle Accelerators (Europe)

3

今年のIBIC
Brazilの予定でしたがオンライン開催となりました。来週9/14～です4Award
BIW→IBICでは「Faraday Cup Award」と呼ばれる賞があります。
https://www.faraday-cup.com/
過去に日本人も受賞しております（賞のために研究するわけではありませんが、紹介まで。）

5

加速器スクール
加速器スクールも多く開催されています。トピックスは年によって異なります
が、診断に関する多くの講義資料が公開されています。
•

CERN Accelerator School (CAS)– http://cas.web.cern.ch/•

U.S. Particle Accelerator School (USPAS)– http://uspas.fnal.gov/index.shtml•

US-CERN-Japan-Russia Joint International Accelerator School– http://uspas.fnal.gov/programs/JAS/index.shtml•

Joint Universities Accelerator School (JUAS)– https://espace.cern.ch/juas/SitePages/Home.aspx

もちろん、過去のOHOテキストはとても貴重な情報源です。
– http://accwww2.kek.jp/oho/index.html

6その他の学会
加速器全般：• IPAC (PAC, EPAC)– International Particle Accelerator Conference

近年では、加速器制御とビーム診断・制御は深く関係しています。制御関係で大きな学会としてはICALEPCSがあります– ICALEPCS– International Conference on Accelerator and Large Experimental Physics
Control Systems– https://www.icalepcs.org/

いずれもProceedingsは JACoW にて検索できます。
– https://jacow.org/※今回のOHOレクチャーでは、いわゆる高速デジタル信号処理（FPGA,DSP)に関する内容は多くは含まれておりません（飛山さんのフィードバック講義のところに少し出てくるはず）。制御寄りの話題として、いずれ取り上げるべきトピックスかもしれません。
7日本語での文献
平松成範先生の教科書
S. Hiramatsu“加速器のビームモニター / Beam Instrumentation for Accelerators”
KEK Internal 2004-4 (In Japanese)8

ビーム診断・制御の重要性
世間一般で「診断」というと、こちらかも...

Diagnostics：診断

Operation：手術
運転・制御

正しいビーム診断無くして加速器運転・制御は不可能！！
適切なツール（道具）を作ったり、改良したり、研究開発を行う
運転や目的に応じて、より高度な診断装置の開発もおこないます。
9なにを目指すのか？
目的はいろいろ––––ビームを加速したい：より高いエネルギーに到達したい
電流をもっと上げたい：もっと大電流を蓄積したい
ビーム品質を上げたい：ビームを絞りたい…その他いろいろ…

段階によっても異なる• 加速器のコミッショニング時に求められる診断装置• そこからビーム品質を上げていく（高度化する）ときに必要な診断装置
は異なることが多い。もちろん、陽子加速器と電子加速器でも異なりますし、
医療用加速器と高エネルギー物理用の加速器も異なります。

（当然ですが）すべてに使える万能な道具はありません。狼人間を撃つ銀の弾
丸はありません。加速器固有に、それぞれの段階・目的に応じて、適切な道具
立て（Instrumentation）を考えることは必須です。
以下では大きな目標はひとまず脇においておき、ビーム計測の話に絞ります
10

加速器とは今回の受講者はみなさん加速器とその建設目的は知っていると思うので、ここの説明はスキップして...

LINAC

SKEKB

KEK つくば

J-PARC（(東海）11クルックス管は立派な電子加速器

12この電子ビームの特性は？
どのようなビームパラメータを知りたい?
–
–
–
–
–
–
–

ビーム位置 (beam position)
電荷量（粒子数＝ビーム強度, charge）
用語については後の
横方向分布（transverse = horizontal / vertical）
ページでコメントを
進行方向分布（バンチ長、Longitudinal beam profile）
エネルギー、エネルギー広がり（Energy / Energy Spread）
Emittance : 6-dimensional distribution of particle beam.....他に知りたいことはたくさんあるでしょう...

electron beam

※この管にはガスを封入してあるので軌道が見えている13

どのようにして測定する？
– （一般的に）知りたい荷電粒子は真空ダクトの内側にあって、見えない。
– しかも放射線シールドの中– 遠隔から、何らかの方法で、よく見えないモノを可視化することが必要※ おおよそ実験とはそのようなものだ、という言い方もできますが ...

SKEKBトンネル

電磁石

真空容器

14

本日の講義では「ビーム診断・モニター・インスツルメンテーション」のカバーする範囲は幅
広く、分類方法もいろいろります。本講義の方針は以下の通りです：
•
•
•
•
•

破壊型モニターは別の講義におまかせ
基礎的な電磁気からスタート
代表的な診断装置として「ビーム位置」をとりあげる
一般的な「時間領域」「周波数領域」の概念を説明
時間が許せば「ビーム強度」について紹介

今年のOHOは初オンライン開催なので、勝手がわからないところもあります
切りの良いところで質問を受け付けます。

ここまでの内容でなにか質問（や要望、コメント）はあるでしょうか？

15

用語
ビーム座標・方向についての用語– 進行方向：Longitudinal （時間方向/temporal とも呼ぶ）– Transverse（=Vertical/Horizontal）横方向（鉛直/水平）yTransverse / 横方向

鉛直(垂直)方向
Longitudinal / 縦方向/ 進行方向/時間方向
s

ex
水平方向

• “タテ方向“という用語は（ちょっと危険なことがあるので）要確認
Longitudinal を指すことが多いが、ときどき鉛直方向のこともタテと呼ぶ。
• “垂直方向”と呼ぶとき、進行方向に対して垂直方向 = Transverseを指すこともあるし、大地に対する垂直（＝鉛直）をこともある。文脈で判断。
• 水平・鉛直ともにどちらを＋にとるかはcase-by-case. (右手系・左手系）
16

Table of Contents•

Introduction– ビーム診断の必要性について＋概要説明•

基礎電磁気学– 自由空間での電磁場– 真空ダクト内での電磁場•

Beam Position Monitor (BPM)– 電極の例 → 詳細は2日目の高井さん、宮原さんの講義で– 境界要素法の詳細– ビーム計測機器• 計測器：オシロスコープ、スペクトラムアナライザ、• Time and Frequency domain• 計測器でよく使う単位の話を少し時間が無いので講義はここまで•

ビーム強度測定– FC– CT– DCCT
17

Table of Contents•

Introduction– ビーム診断の必要性について＋概要説明•

基礎電磁気学– 自由空間での電磁場– 真空ダクト内での電磁場•

Beam Position Monitor (BPM)– 電極の例→詳細は2日目の高井さんの講義で– 境界要素法の詳細– ビーム計測機器• 計測器：オシロスコープ、スペクトラムアナライザ、• Time and Frequency domain•

ビーム強度測定– FC– CT– DCCT
18

Coulombの法則
高校生の時に習う書き方：電荷 q1, q2が距離r離れているときに及ぼす力は

r

q2

q1

ベクトルで書くと：

これは「力」の大きさと向きで電荷の相互作用を表すやりかた。
歴史的には静電力として実験されてきた

19

歴史的には電荷なるもの：箔検電器↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Electroscope

Coulombの実験：ねじり天秤
https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb%27s_law →20

電場、という考え方
q1は「電場 (Electric Field)」をつくり、それによってq2が受ける力は
Wikipedia : 力場となる。（ファインマン物理にも記載があるが）「分けて考える」ことが重要。

電場を視覚的に表すためには電気力線を使うことが大部分（3次元表示は通常は不要）。密度が濃い場所は電場が強く、密度が薄い場所は弱い

https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_field21

静止している電荷と電場••

電荷Qが静止しているとき（あるいは静止系で観測するとき）には、静電場を3次元自由空間に発生。分布は球状。
いわゆる、電場に対するガウスの法則（Gauss’s Law）

積分形

E

微分形

ε_0 : 真空の誘電率
μ_0 : 真空の透磁率22電場と電位電場Eに対して、スカラーポテンシャルとして電位（electric potential）Vが定義できる。（静電場ではrotE=0）

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electric-field-terrain-model-3D-potential-with-points.jpg

23

静磁場
磁場に対するGaussの法則：磁束線には「湧き出し」も「吸い込み」も無い= 磁束線は閉曲線になる（モノポールは存在しない）

アンペールの法則（電流の周りに磁場ができる）

I

H

24

ベクトルポテンシャル
電場におけるポテンシャル（電位）Vのように、磁場に関するポテンシャルとしてベクトルポテンシャルAを定義できる。ただし電場で定義したような
grad ではなく以下のrotとして表すことができる。

※ 数学的にはベクトル場Xに対して– rotX = 0 ならばスカラー場の grad で表すことが可能 : rot(gradV)=0– divX = 0 ならば (別の)ベクトル場のrotで表すことが可能 : div(rotY)=0※ 磁気回路をメインに取り扱う場合は磁位を定義する方が簡単なこともあるI
電場はポテンシャルの傾き(=grad)だったのでイ
メージはつかみやすい。ベクトルポテンシャルはすこしイメージが沸きにくいかもしれないが、電流がつくる磁場を考えると、rotAが磁場になるイメージができるかも（古典電磁気学の範囲では）

B

25

電流素片 ds がつくる磁場
Biot-Savartの法則

P(x’, y’, z’)rds

Q(x,y,z)

ここから、ベクトルポテンシャルAは以下のようにあらわすことができるizz方向に無限に電流が流れる場合を計算I

P(x’, y’, z’)

r

dz
y
x

I

A

rotA

B

このとき、Aはz成分のみで、x,yが遠ざかるにつれて小さくなる。
小さくなり方によって回転(rot)してそれが磁場。
26

ローレンツ力
電場および磁場がある環境で、電荷qが受ける力は

B

E

q
?

例えば一様磁場中の粒子は等速円運動

v

q
B
r

このとき1周にかかる時間はサイクロトロン周期(半径rによらない)
また、運動量pとするとと書ける ＝ 半径を測れば、運動量がわかる。
27

静電場・静磁場から時間的に変化する場へ：電磁誘導
磁束Φの時間変化に応じて起電力が生じる

よくある説明として「磁束の変化を打ち消す方向に電流が流れる」という表現をする（レンツの法則）

ファラデーの電磁誘導実験
https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_induction（磁場の中で導線が動くとき、電子がLorentz力

で動く、と考えても良い）28

Maxwell方程式へむけてここまでをまとめると電荷の保存とか、連続の式

Maxwellは定常（または準定常電磁場）で成り立つアンペールの法則（ビオ・サバールの法則）を拡張し、時間変化をともなう場について変位電流と呼ばれる概念を導入した。
真電流

変位電流

29

Maxwell方程式
電荷が動くと、電磁場を発生する（EM-field)

E
B

q

v

where

30

マイクロ波の伝播:定性的な説明
電流ループがあるとすれば、Hが出来る。静磁場であればこれだけ。

I
H
電流ループが時間変化すれば、伝播していく

E
I(t)

H
31

マイクロ波の伝播
次々と伝播していく

E
I(t)
H

H

真空中のとき32

ここまで、非相対論のお話
ざっと復習してきましたが、肝心なポイントをいくつか書くと• Maxwell方程式は覚える– 全てはここから始まる、と考えて問題ない– 道具としてとても便利＆必須– 電磁波が理解できる•

電子が動くと、電磁波が放出される：マイクロ波理論

33

特殊相対論と電磁場
光速度不変の原理 → 時空の相対性 を簡単に説明します。
ここで、２つの慣性座標系(S, S')を考え、x軸に方向に v で進むことを考える

y’
y
S

O
z

v

P(x, y, z, t)(x’, y’, z', t’)

S’

x

x’

２つの系での座標変換を考えると、y,zについては運動していないのでとなり、古典的なガリレイ変換（Galilei Transform）ではx,tについてとなるが、vが光速度に近づくにしたがって従来の考えでは不十分となった。
（歴史的には Michelson-Morley 干渉計での実験など）
34

特殊相対論と電磁場
そこで、新たな変換式として以下の形を仮定してみる。
y’

※

y
S

O

v

P(x, y, z, t)(x’, y’, z', t’)

S’

O'

z

x

x’

t=0 (when O=O’) のときに光を発したとする。
光の波面は伝播して点Pに到達する。どちらの系で見てもその波面は球の表面として表現できるので、波面の方程式は以下のようになる：
光速度不変
35

4元ベクトル
波面の式から(y=y', z=z')なのでとなり、仮定した変換式※を代入するとこれが任意の x, t について成立する条件より p,q,r,sを求めると、変換式はとなり、これがローレンツ変換（Lorentz Transform）である。
すなわち、(x,y,z)とtは独立なものではなく、(x,y,z,ct)が１つのベクトルの４つの成分と考えられる。いわゆる４元ベクトル（four vector）。
36

ここから
S, S'は対等な空間であって、どちらが正しいということはない。
「自然界の法則は２つの系S,S'のいずれからみても同じ形で表される」＝相対性原理（principle of relativity）
運動方程式やエネルギー保存則など様々な自然法則はこの原理に適合するような形になおしたものが真の自然法則。

たとえば、物体の質量mは速度vによって変わり、静止質量をm0とするととなることなど。エネルギーは以下のようにあらわすことができる。

37

相対論でよく出てくる式など（説明はskip）
Energy E, rest mass m_0, speed of light c, speed of particle v

where

now introduce a momentum p

On the other hand, from the relationshipyou can confirm

38

Kinetic Energy and b,g of e-, p39

Kinetic Energy vs momentum•

GeVクラスの電子加速器では相対論効果を気にすることは(意外と)少い➢ β = 1、γ>>1 で良い（ultrarelativistic limit; 超相対論的極限)•

陽子（重粒子）のマシンや、電子でも低エネルギーマシン(KEKではcERLなど)では大きな効果があります
その他色々と出てくるのですが、とりあえず電磁気の話に戻ります40

Maxwell方程式の相対性
Maxwell方程式をLorentz変換する。(x軸方向に運動する系S’ (x’))

より、簡単のため電流密度 J=0、電荷密度 ρ=0 の場合を考えて

同様に

より、

41

運動する電荷のつくる電磁場：相対論的
電荷 q が速度 v で動く場合 (簡単のため、2次元 x-y 平面で考える)

y’
y
S

O

S’

P(x,y,t)(x’, y’, t’)

v

r
r’

O’

q
静止系S’(O’-x’y’)では磁場は無く、電場のみ

x

x’

42

電子に乗った系から静止系（S）へ変換 E’, B’ → E,B

距離 OP も同様に変換される r’ → r.
t=0 (when O=O’) のときに4つのベクトルは以下のようになる

また、以下の関係式が成り立つのでしたがって r’はとなる
43

各要素ごとに書き下すと44

まとめると実験室系からみて、荷電粒子の運動が相対論的な領域に到達すると下の式でいうところのsin^2の項が出てきて分布が球対象ではなくなる

and

45

Electric field in free space46

Electric field in free space (cont.)

47

Electric field in free space (cont.)•

High energy particle : Electric field from single electron is regarded
to a ‘thin disk’ shape48

animation

animated49

Electric Field Line plot (Shintake:Radiation2D)
b=0.1

0.9

0.99

0.999

50

余談：イメージをつかむために••新竹さんの作成された、“Radiation 2D Simulator”
http://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm– 現在サイト消滅 → 昨日連絡をとり、OHOのサイトへのupload許可頂いた– 残っているのはUSPASのサイトの Physics Demonstration （旧ver）

51

元論文は
EPAC2002, p166752

基礎電磁気の最後に２つの電子が同じ速度で動いたとき、お互いに及ぼす力はどうなる？
– 静止しているときは Coulomb 則。相対論的な電子では?
– 実際の加速器のなかでも、バンチ内の電荷でおきている現象

E
B

q

v

v

53

Table of Contents•

Introduction– ビーム診断の必要性について＋概要説明•

基礎電磁気学– 自由空間での電磁場– 真空ダクト内での電磁場•

Beam Position Monitor (BPM)– 電極の例→詳細は2日目の高井さんの講義で– 境界要素法の詳細– ビーム計測機器• 計測器：オシロスコープ、スペクトラムアナライザ、• Time and Frequency domain•

ビーム強度測定– FC– CT– DCCT54

円筒チャンバー内のビーム
これまでは自由空間での話。
次に、円筒チャンバー（＝金属境界）内で、ビームがどこを通っているか（＝ビーム位置, Beam Position）を求めることを考えますyesx

ダクト外観の写真

円筒チェンバーでの電磁場周辺に金属壁がある場合、電場は金属壁に対して垂直に入ります。電荷が静止している場合であっても、自由空間では球形に広がっていた電場は左図のようになり、壁面には符号が逆の電荷が誘起されます。
そして、電荷が動くと先ほどの相対論的効果によって進行方向分布が圧縮されあす。s軸にそって積分すれば壁面の総電荷は電荷qと等しく(符号逆)なります。

Hofmann, CERN Accelerator School 2009, p67
56

高エネルギーマシンでのビーム位置計測
高エネルギー加速器では進行方向の電場分布を考慮する必要はありません。
ということは、断面での2次元静電場問題となるので簡単です。

••– 簡単のため、円筒は無限に長いと仮定（ビームが斜めに動く効果も無いと仮定）– チャンバー内の「鏡像電荷」の分布から、ビーム位置を計算する– e.x. ビームが中心にいれば鏡像電荷は均一に分布。中心からずれたら↓

y

y
+ +

es

+

+ +
+

+
e-

+
x

+

++
+
+
+

+

+

+

+
+

+

+

+

x

+

この電荷分布がわかれば、ビーム位置が分かる
57

もういちど、ガウスの法則••

無限に長い線電荷（線電荷密度 l ）を考える
全ての電場は線電荷に対して垂直方向のみ。進行方向成分は無い
ldrGauss’s Law :

then

58

線電荷が紙面垂直にあるとして、境界を表現••

真空壁＝GND ：半径Rの円形ダクト
x1の位置に電荷がある場合を考える
y

R
l
O
x1

x

P

59

電気鏡像法（電気映像法, method of images)•

２つの線電荷を配置することで、ポテンシャル（V) がゼロのチャンバー壁（=Ground Level)を表現できる
y
Q
r1

r

R
q
O
x1

r2

l

-l

P

P’

x

Geometrical relationship (Low of cosines)60ここで、x2=R2/x1 と置くと円筒境界を満足することを確認する

using

and

r=R と置くことで円筒境界の電場を求めることができる：
qに依存しない＝定数61

鏡像電荷の分布
チャンバー上の電荷分布はポテンシャルを動径方向に微分してとなる。簡単のため”normalized position”として P=x/R を使用すると以下のようにも表現できる

y

図のような位置に電極を配置。
各電極に発生する電荷量から x,y 位置を計算する（線形近似）

QB
QC

QA
x

QD

62

電極の例

KEKBのBPM (1/4 cut mode）
N-connector

周波数特性を改善するためガラ
スフィードスルーを使用したボタン
電極の例。SMAコネクター。
ceramics er ～10> glass = er ～ 4
M. Tobiyama
Proc. IBIC2012 tuta02 talk63

ピックアップ電極の配置例
円形ダクト＋45 deg rotated 配置– 放射光リングでは、光が当たるのを避けるためこのような回転配置をとる場合
が多い。

y
Vb

Va

QB

このときの x,y 位置計算式

QA
x
QC

QD
Vd

Vd

64

位置計算に関するコメント
線形近似は、ビームがダクト中心付近にあるときには十分。
中心から外れた場所では、高次の多項式近似が必要（次ページ）– 多項式を計算するにあたり、解析解で良い– 位置計算を行う方法はいろいろある (D/S, LogRatio, AM/PM, etc)65

多項式での計算例
例えばU,Vを定義•

15

Beam position
CalculatedcERL でのBPM 位置計算例（5次多項式）
おおよそ -5mm< (x,y) <+5mm の範囲では Linearで良い

10

Y [mm]

5

理想的にはビームをこの範囲内に保って運転することが望ましい。（蓄積リングではだいたい実現可能。しかし、Linacではどこの場所でも通ることができるので

0
-5
-10
-15
-15

-10

-5

0

X [mm]

5

10

15

注：通常は4電極和は電荷量に比例する。
x,yが大きくなると 補正が必要となる
66

チェンバー形状が複雑な場合
鏡像電荷法の限界– 単純な形状であれば、うまく配置することで解析解が求められる– 複雑なチェンバー形状に対しては鏡像電荷の配置が困難

数値計算で求める

境界要素法 Boundary Element Method (BEM)
有限要素法 Finite Element Method (FEM)

各種のソフトウェアがある（有償・無償含め）• CST Microwave Studio / Particle Studio• MAFIA• GdfidL• Poisson/Superfish .....
本講義では最も基本的な「境界要素法」を解説します。
（単純なので、自分でプログラムを書くことも容易です。ぜひ挑戦してください）※ツールを使った手法については別の講義で取り上げる予定です67境界要素法•Boundary Element Method (BEM)– FEM uses 2-Dim “mesh”– BEM uses 1-Dim “line charge”••

有限要素法は非常に細かい構造の計算には有利
境界要素法は高速かつシンプル。実は高精度。簡単に自分で実装できる。

•

Reference : T. Shintake, et.al., NIM A254(1987) 146-150

Original problem. The field satisfies the
Laplace equation
andon the boundary.

Equivalent problem described byfree charges only68Basics of BEM
Ref: T. Shintake, et.al., NIM A254(1987) 146-150
Electric field is given by scalar potential :scalar potential at the point r iswhere G is the kernel of Green’s function

69

Numerical calculation
Ref: T. Shintake, et.al., NIM A254(1987) 146-150

in case the length of each element is short enough,→and the equation becomes the matrix

70

Comment•

How to treat i=j case?
i-1
i
i+1

Dsj

i-1

i

rij

i+1

sj j

j+1
j-1

sj j

No problem

has the form

Gii(r) becomes infinite at r -> 0 limit
G(r)

0

r

However, you can integrate from 0 to some length
has the form
71

note on Gii
Transform coordinate r -> x. dr -> rd x
i+1
i
i-1

Dsj

r

sj

x=1

x=0
x = -1

General formula72potential of the vacuum chamber
Ref: T. Shintake, et.al., NIM A254(1987) 146-150
Because of the simple condition
charge distribution (sj) is calculated from the inversion of [Gij]BPM for TRISTAN-AR (cylindrical chamber)73

Position Map and Error
Ref: T. Shintake, et.al., NIM A254(1987) 146-150

Ref: T. Shintake, et.al., NIM A254(1987) 146-15074

example••••

R=54 mm circular chamber
Charge distribution calculated by BEM calc.
beam position [-10mm, -10mm] and [0mm, 0mm] are shown in fig.
kx=38.3674 vs anal 38.3611– diff 0.016% (when div 1000)

angle(q)

A

B

C

D

75

BEMなら任意の真空容器形状に対応できる
例：cERLのアーク部のダクト形状※ 例えば4電極を使うとして、どの位置に、どのサイズの電極を配置するのが良いか検討する際に使うことができる。
例：x, y の係数が偏りすぎないように、とか、非線形項を使わずにどこまで
Linear 計算でカバーできるか、など検討
76

Table of Contents•

Introduction– ビーム診断の必要性について＋概要説明•

基礎電磁気学– 自由空間での電磁場– 真空ダクト内での電磁場•

Beam Position Monitor (BPM)– 電極の例– 境界要素法の詳細– ビーム計測機器

ここまでの話で、真空チャンバー内の”staticな”電荷分布の計算ができるようになった。
（2次元の無限長電荷モデル）• 計測器：オシロスコープ、スペクトラムアナライザ、• Time and Frequency domain•

ビーム強度測定– FC– CT– DCCT

実際のビーム計測では、加速器内の電荷は時間方向に塊（バンチ）を形成している。
次の段階としてバンチの時間構造やピックアッ
プ電極の周波数特性などを知る必要がある

77ビーム信号の時間応答•

一般的な静電ピックアップを考える

•

等価回路

S. Hiramatsu, “Beam Instrumentation for Accelerators”, KEK Internal 2004-4 (In Japanese)78

solution (time domain)

solution of the differential equation is :depends on the bunch shape

Transient term
becomes 0 as t → ∞79

Time response•

Example : Button Pickup on electron machine (short bunch length)

Simulated signal of KEKB (positron)
N=3.2x10^10 80.51mA, sz=5mm, l=12mm
angle 13.8 deg, 2pF pickup
high peak voltage (360deg coverage)

Ref. S. Hiramatsu, KEK Internal 2004-4

80

Time domain•

500 MHz Scope (PF-AR button pickup)

電圧

時間

81

Time and Frequency Domain•"Spectrum Analysis Basics“, Keysight Application Note 150

http://literature.cdn.keysight.com/litweb/pdf/5952-0292.pdf
82

solution in frequency domain

put v, and q has the formw<< 1/CR : High pass filter with time constant 1/CR
w >> 1/CR : V(w) = constantVconstant∝CRf83

Effect of bunch shape, cable, etc••

In high frequency region, bunch shape takes a major roll in voltage.
Coaxial cable behaves as low pass filter (LPF)

V∝CR

attenuation due to• Bunch Shape : Q(w)• Cable attenuation (LPF)f84

Time and Frequency domain
R. Bracewell,“The Fourier Transform and its Applications”, McGrow-Hill, (1978)

Fourier transform of some function f(x) is defined as

Inverse Fourier transform is defined as

おそらく、図書館にはあると思います85some useful transform pairGaussian - Gaussian
sinc – rectangle(sin(x)/x)sinc^2 - triangle

1 – impulse(Heaviside(|X|))cos – impulse pair (II)Shah – Shah (III)Ref : R. Bracewell86some basic theorem

Also important : modulation, convolution, etc

Ref : R. Bracewell87shiftRef : R. Bracewell88Beam signal : single bunch or bunch train••

Monitor a bunch at some location of the ring
Assume a “Impulse” beam

V

Trev

Trev

KEK-PF: ～600 ns
KEKB : ～ 10ms

Oscilloscope
Spectrum Analyzert
In frequency domain : Fourier transform
Amp

frev
2*DC

DC

KEK-PF: ～1.6 MHzKEKB : ～ 100 kHzf89multibunch
Every bucket are filled with bunch
Trf = 1/frf

V

Trev

Trf

KEK-PF: ～2 ns
KEKB : ～ 2 nst
In frequency domain : Fourier transform

Amp

fRF
KEK-PF : ～500 MHz
KEKB : ～ 500 MHzf90

Gaussian Beam•

The single bunch spectrum rolls off in high frequency depending on
its bunch shape (Gaussian for electron storage ring).

1 nC bunch

91

Oscilloscope and Spectrum Analyzer•

Time domain signal : Oscilloscope

Sample photo from Tektronix website•

Frequency domain signal : Spectrum Analyzer

Sample photo from Keysight website
92Spectrum Analyzer"Spectrum Analysis Basics“, Keysight Application Note 150
93

Example•••

single bunch signal (PF-AR button pickup)
frev=800 kHz is not visible in this frequency span
スペアナの縦軸は dBm 単位で表記することが一般的
0 Hz

H : 360 MHz/div

3.6 GHzline spectrum(frev = 800 kHz)94dB単位に関するコメント••

オシロは（通常は）時間 vs 電圧を表示し、電圧はリニアスケールです。
一方で、スペアナは（通常は）入力信号が非常に微弱なものから大信号まで幅広い入力電圧を表示することが必要です。そのため、縦軸は「デシベル」単位で表示することが大部分です。

大きい（小さい）数を表す方法といえば、指数表現です。
0.01 = 10^-2
0.1 = 10^-1
1= 10^010= 10^1100= 10^21000= 10^3

常用対数をとると、指数部分を整数で表せるので簡単になります
log10(10^-2) = -2
log10(10^-1) = -1
log10(10^0) = 0
log10(10^1) = 1
log10(10^2) = 2
log10(10^3) = 3

logを使うと、掛け算を足し算で、割り算を引き算で表すことができるのもメリット
log(ab) = log(a) + log(b)log(a/b) = log(a) - log(b)95dB単位に関するコメント
ここで、なにかのシステムで電力を伝えることを考えます。
P1

P2

システムで電力が増えたり減ったりした量を表現するときに、電力の比(P2/P1)をとることは自然です。さらに大きな数を比較するため常用対数をとります。

となり、これが「ベル」単位です。
（電話で有名な Alexander Graham Bell に由来し、ベル研究所が命名した）
実用上はこれを1/10倍した「デシベル」単位が使われます。
（ベル単位では実用単位として大きすぎるのが理由 ex. 1ℓ＝10dℓ）
dB = 10*log(P2/P1)

例えば、電力が4倍になるのは 「3 dB」となる（0.3 Bは使いづらい）
10*log(2.0/1.0) = 10*log(2) = 10*0.301 = 3.01 [dB]96

かならず覚える

電力∝電圧^2なので
dB = 10*log(P2/P1) = 10*log(V2^2/V1^2) = 20*log(V2/V1)
dB
0 dB
3 dB
6 dB
10 dB
20 dB
30 dB
40 dB

電力比
1
2
4
10
100
1,000
10,000

電圧比
1
1.41
2
3 (3.16)1030 (31.6)100

log1 = 0log2 = 0.301

sqrt(2)=1.41

log10 = 1

sqrt(10)=3.162

97電力を表す単位：dBm
dBmは 「1 mW」を基準とした電力
dBm = 10*log(P/1mW)
すなわち、0 dBm は 1 mWのこと。これも良く使うので覚えておくこと。
例えば 1 W = 30 dBm。
[Q] 0 dBm の信号をオシロスコープの50Ω負荷で測定すると、何Vか？
[A] P = V^2/R で R=50 なので、これから計算すると V = 0.224 V
ただし、これは「実効値」なので、ピーク電圧はこれの sqrt(2)倍になり、もしオシロで測定するときの peak-to-peak であればさらに2倍。

Vrms = 0.224 V

Vpp = 632 mV

98

Attenuator、Amp、測定器
Attenuator やアンプは dB 単位で表記すると便利。特にアンプを多段に接続するときには、ゲインの「和」で良い。
3 dB

Pin
10 dB

Pout
30 dB

固定減衰器の例（SUHNER社より引用）
アンプのカタログ記載例（R&K社より引用）

https://en.wikipedia.org/wiki/Attenuator_(electronics)

99

余談ですが加速器でよく使うのは「dBm」単位です。
また「dB」と言ったらそれは相対レベル値 = gain/attenuationを表す相対的な単位、であってなにかの絶対値を表すものではあります。
なにかの絶対値を表すときにはdBVとかdBμなど、dBの後ろに何かが付いた絶対レベル値です。
一方で、音圧を表す業界はちょっと特殊で、慣例として「dB」といったときに勝手に基準音圧＝20μPaに対する相対値として表します。よく騒音計で〇dBは図書館に相当し、工事現場は○○dBといった表記を見たことがないでしょうか？正直言って電気に慣れ親しんだ身からすると「dBといったら相対値だろう！」と、気持ち悪くて仕方ないのですがこれも業界の標準なので、従うしかありません。（場合によっては dB SPL と明示してある場合も）※ 通常の人間が感知できる最小音圧は20μPaと言われています100

ビームスペクトルの例••

蓄積リング内に１つのバンチを蓄積したとき、1か所のボタン電極で測定したビーム信号
この周波数幅では周回周波数frev=800 kHzの構造は見えない
0 Hz

H : 360 MHz/div

3.6 GHzline spectrum(frev = 800 kHz)101

ビームスペクトル：全バケットにビーム蓄積••

PF-Ringで全バケットに蓄積したときの信号 (RF 500 MHz)START : 500 MHz, STOP 3 GHz

102

一部のバンチに蓄積したときのスペクトル例••

Harmonic number = 312
Question : このような周波数特性のとき、バンチ構造はどうなっている？

103

スペアナ：少し拡大••

大局的にはバンチ列＝パルス幅t の矩形波とみなすことができる
sin(x)/x, where x = nw0t/2– zero at nw0 = 1/t, 2/t, 3/t, ...

zoom 500 – 1.5 GHz

Ref : R. Bracewell104

バンチの時間構造•

オシロスコープによる測定– 回答：5%だけビームの無い「ギャップ」がある時間構造

300 bucket filled

12 empty bucket to avoid ion trapping

Trev = 624 ns
frev = 1.6 MHz
105

検波回路
•
•
•

ビーム位置測定では、これらのビーム信号の周波数成分のうち、一部を取り出して測定することになる。（全周波数成分を使うのはS/Nで不利）
Linacなど、ビームが一度しか通らないマシンでは、どの周波数を使っても構わない。
気にするのは電極の周波数応答のみで良い.
蓄積リングでは、RFの整数倍（harmonics）を使うことが多い。

We can use any frequency

avoid above cutoff (TE11)

single bunch (PF-AR)

No signal between RF harmonics

multi bunch in all bucket (PF-Ring)

例えば PF-AR がTRISTAN の入射ブースターであった頃には約 350 MHz 成分を検出に使用していた。現在はRF周波数である508MHzを使用している。

106

Table of Contents•

Introduction– ビーム診断の必要性について＋概要説明•

基礎電磁気学– 自由空間での電磁場– 真空ダクト内での電磁場•

Beam Position Monitor (BPM)– 電極の例→詳細は2日目の高井さんの講義で– 境界要素法の詳細– ビーム計測機器• 計測器：オシロスコープ、スペクトラムアナライザ、• Time and Frequency domain•

ビーム強度測定– FC– CT– DCCT107電荷量の測定※ケーブルを流れる電流とは異なり、加速器では真空容器内の電荷を測定する必要があります。
破壊的な測定– Faraday Cup = ビームをそこで完全に止めて、電荷量を測定する。
乱暴な言い方をすれば、電子を金属で受け止めてそこに流れる電流を抵抗を通して電圧として測るだけ。

I

e-

50Ω

高精度で測定するには、二次電子放出を抑えるバイアスをかけたり、形状を工夫したり、熱負荷を考えたり....

https://en.wikipedia.org/wiki/Faraday_cup 108電荷量の測定
非破壊での測定：電流トランス

出力信号例（ステップ応答）

応答の時定数は巻数や素材によって決まるインダクタンスLで変わる。

※目的に応じて、スペックを確認

下の写真はBergoz社の例。CT単体またはin-frange（セラミックスギャップ付き）でも販売。

109

余談
真空中のビーム測定には先のBergoz社の製品が良く使われますが、もっと遅いパルスとか、電磁石電源の電流測定とかであればピアソン社の製品が良く使われている気がします。
https://www.pearsonelectronics.com/

どの会社の製品が使われているか知りたい場合、まずは加速器関連の学会に企業展
示として参加している会社をチェックするのが手っ取り早いと思われます。
国際学会なら先に挙げたIPAC, IBIC, ICALEPCS。
日本では、まずは加速器学会（https://www.pasj.jp/）でしょう。
110

DC電流測定
•
•
•
•

•
•

目的 : 加速器内に蓄積している電荷量＝電流値を知りたい
特に平均成分のみ＝DC成分。
典型的な測定の大きさとしては mA から数 A のレンジ
一方で、周辺の電磁石で使っている電流は数１００Aクラス。漏れ磁場の量は小さいとはいえ、測定したいμAのレンジにくらべると桁が違う
しかし、ビームは高精度 (mA) で測定したい。しかも「非破壊」で。
単純なトランス（CT）ではDC出力が無い
Ibeam(t)B(t)

mVout(t)

m0

S

111

どのようにしてDC電流をCTで測定するか？
••

外部から変調をかける(typically several kHz)
コアの飽和を活用する– ここでは単純化のため、部分的にLinearな応答と近似する– ヒステリシスが無視できるような応答

B
+Bs
-Hs

Ibeam(t)

+Hs

H

B(t)

mm

-Bs

Vmod(t)Vout(t)

m0

S

112

DC成分が無いとき
B

B(t)
+Bs

-Hs

+Hs

H
H(t)

t
-Bs

Vout

modulationtequal spacing between output pulses→ only odd-harmonicst

T. Utsunomiya, “DC Amplifier Design Manual”, 宇都宮敏夫 “直流増幅回路の設計マニュアル”

113with DC beam component
B

B(t)
+Bs

-Hs

+Hs

H
H(t)
modulation

t
-Bs

Vout

DC
t

uneven spacing between output pulses→ 2n*fmod component is produced114フィードバックをかける••

2n*fmod 成分を検出して、コアに対しフィードバックをかける
そのフィードバック電流が中心を流れる電流と等しい。
– 回路に流れる電流をμAの桁で測定するのは比較的簡単•

原理的にはコア１つで計測できる
Ibeam(t)B(t)

Vmod(t)Ifeedback(t)mm

Vout(t)m0

detect 2n*fmod

S
115

DCCTおもちゃ•春日先生謹製。一般公開用。

116

実際には
•

磁性体（コア）のB-H応答は非線形– 典型的には3次か、それ以上の多項式近似が必要な応答を示す– ヒステリシス効果もある•

ノイズ源は？電源のリップルが大きい– 大きな変調信号 (base carrier)– 変調信号の奇数次高調波が大きい– 検出したい偶数次の高調波は実際には小さい•

２つのコアを逆向きに変調することでこれらの効果を低減する (balanced
modulator)

FB current
Beam

BPF
2fmod

Sync
Detect

LPF
DC

x2
fmod
117

2 コアでの応答 （ビームの有無を比較）

P. Forck, Joint University Accelerator School 2011, Lecture Notes on Beam Instrumentation and Diagnostics (2011).

118

K. Unser (Bergoz社の創始者)による発明•••

K. Unser, IEEE Trans. Nucl. Sci. NS16(1969) 934
http://www.bergoz.com/en/npct
コアを3つ使用– 良い特性のものを選定することが必要••

LR integratorを使用
周波数応答を改善 (～ several kHz range)

Ref. S. Hiramatsu, KEK Internal 2004-4
119

平松先生のモデル•

Parallel Feedback– 良いコアを選定する必要が無いという利点がある

M. Arinaga et al. NIM, A499(2003)100-137
120

DCCT in cERL-KEK
Toroidal Core
Magnetic shield

Photo taken without electro-static shield

Courtesy R. Takai

121

ビーム診断・制御の重要性
目的は、日々の小さなことから、大きな物理まで、色々。

Diagnostics：診断
BPM/Pickup
Detector
Vibration
SR monitor
Luminosity monitor
Laser
Beam Loss Monitor
Emittance
Bunch Length
Phase space....

Operation：手術
運転・制御
Kicker (Cavity, Stripline)
Magnet (fast/slow)
Scraper / Collimator.....

正しいビーム診断無くして加速器運転・制御は不可能！！
適切なツール（道具）を作ったり、改良したり、研究開発を行う
様々な目的に応じて、従来の技術では「見えなかった」ものを「可視化」して「操作・制御」し、さらなる物理の発展に寄与する 122