らせん状の波面をもつ電子波の生成，伝播，干渉
Production, Propagation and Interference of Electron Vortex Beam晃ａ，長谷川裕也ａ，内田

齋藤

正哉ｂ

Koh Saitoh, Yuya Hasegawa and Masaya Uchidaａ名古屋大学エコトピア科学研究所ｂ

要旨

埼玉工業大学先端科学研究所

本稿では，らせん状の波面をもつ電子波の物理的基礎を概説し，最近われわれが行った電子らせん波の生成，伝播および干渉についての結果を紹介する．透過電子顕微鏡の照射レンズ系に FIB 加工したフォーク型回折格子およびスパイラルゾーンプレートを導入し，試料上でのビーム径がナノメーターオーダーの電子らせん波を生成した．特にスパイラルゾーンプレートをもちいた実験では，±90ћ という大きな軌道角運動量をもつ電子らせん波が生成できた．また，回折格子等を通過した電子がらせん波を形成するまでの伝播過程を観察し，その強度分布がフレネル伝播理論にもとづくシミュレーションときわめて良い一致を示すことを明らかにした．
さらに 2 つの電子らせん波をもちいた干渉実験を行い，互いの軌道角運動量によらずそれらが干渉することを見出した．この結果から，軌道角運動量はスピンと異なり，位置や運動量と同時計測不可能な物理量であることが確認できた．

キーワード：電子らせん波，電子渦，軌道角運動量，位相特異点，干渉を担うと考えられ，磁場あるいは磁性体との相互作用を利用
1.

はじめに

した磁気イメージングが期待される．また光に比べて波長が2010 年，内田・外村によりらせん状の波面をもつ電子波

短く，物質との相互作用が大きいことから，ナノメーターサの生成が報告された 1）．真空中を伝播する電子は平面波またイズの電子らせん波をもちいた微小領域の分析やイメージン

は球面波であると認識していた多くの電子顕微鏡研究者にグ，さらにはナノ材料のマニピュレーションが期待されていとって，この報告は衝撃的であり，この未知のプローブの可る．

能性に対する期待から大きな注目を集めた．発見後わずかの

内田・外村の第一報では，厚さがらせん階段状に変化した

間に，Nature，Science 誌から 3 報の報告 1 ～ 3） があったこと

グラファイト膜に電子平面波を入射し，透過した電子の波面からもその科学的新規性および重要性は伺えるであろう．彼がらせん状になることを実験的に示した 1）．彼らはグラファ

らの報告以来，この新しい電子ビームの物理的性質の解明，

イトを透過した電子波とグラファイトを透過していない参照

応用を目指した研究が盛んになされている．

波をバイプリズムにより干渉させ，その位相変化からグラ

らせん状の波面をもつ波については，光の分野では既に20 年ほど前から研究が進められていた

4,5）

ファイトを透過した電子波がらせん状の波面を形成している．その光を照射しことを確認した．厚さがらせん階段状に変化した試料はこれた物体にトルクを与えることが実験的に確かめられ 6 ～ 8），現

までもたくさん電顕観察されていた訳で，この意味でらせん

在では回転操作を行う光ピンセットに応用されている．また

波はこれまでもたくさん生成されていたといえる．内田・外らせん波の軌道角運動量を量子ビット（N（ 状態なので quNit

村の発見は，「らせん状の波面をもつ電子波が存在しうる」ともよばれる）としてもちいる量子情報分野での応用

9,10）

，

ということを世に知らしめたことといえるだろう．その直後，ビームの中心に強度がゼロとなる暗点を利用した STED 等

アントワープの Verbeeck らのグループは，フォーク型回折の超分解能顕微鏡への応用 11），ビームの軌道角運動量および格子（図 6（d）および 6（e）参照）に電子平面波を入射する

円環状の強度分布を利用したナノ加工 12），天体観測におけることにより，その回折波としてらせん波が生成することを報コロナグラフなど，さまざまな応用がなされている．電子の告した．さらに彼らはこの回折格子をもちいて電子エネル

らせん波の場合，電子が電荷をもつことから磁気モーメント

ギー損失磁気円二色性（EMCD）の測定を行った 2）．その後，ａ〒 464–8603 名古屋市千種区不老町
TEL/FAX: 052–789–3596
E-mail: saitoh@esi.nagoya-u.ac.jp
2013 年 3 月 8 日受付

解説

らせん状の波面をもつ電子波の生成，伝播，干渉

米国の McMorran らは刃状転位の分岐を 25 本に増やした回折格子を作製し，その 4 次回折波として，軌道角運動量100 ћ のらせん波を生成した 3）．そのような大きな軌道角運動量をもつらせん電子波は，大きな磁気モーメントをもつと39【著作権者：社団法人 日本顕微鏡学会】

考えられるため，試料との大きな磁気的相互作用が期待される．最近では，磁場との相互作用13），電子らせん波と原子との非弾性散乱の散乱振幅 14）やマルチスライス法によるらせん波の結晶中の伝播過程
2.

15）などが計算されている．

波は「らせん転位を含む進行波」であり，トポロジカル数はバーガースベクトルに対応する．
図 2 にトポロジカル数の異なるらせん波の波面を示す．ト
ポロジカル数 A = ±1 のらせん波は，中心軸のまわりを一周回ると進行方向に 1 波長分だけずれるらせん構造をもつ．ト

らせん波とはポロジカル数の符号によりらせんの回り方が反転している．

らせん波は，以下の手続により平面波から作ることができ

A = 2 のらせん波は，一周回ると波面が 2 波長分だけずれる．

る．平面波とは，平坦な波面（等位相面）をもつ波である

ずらしてつながる波面を同一の色で示すと，赤と緑の 2 つの（図 1（a））．進行方向は波面に垂直な方向である．平面波の

らせん状の曲面が互いに交わらないように交互に重なり合っ

進行方向に平行な直線 l を置く．その線を端とする半無限平ていることがわかる．この構造は，DNA がもつ 2 重らせん

面 P を考え，平面 P と平面波の各波面との交線に切り込み構造と類似している．同様に，A = 3 のらせん波は 3 重らせを入れる（図 1（b））．次に平面 P の裏側と表側にある波面を，んと呼べる構造をもつことがわかる．通常の平面波と同様に，平面波の進行方向に 1 枚分（つまり 1 波長分）ずらしてつな

進行方向に隣接する波面の間隔は波長である．波長が等しい

げる．このようにして作られるらせん状の面がらせん波の波

場合，トポロジカル数が大きいほど中心軸（図 1 の直線 l）

面である（図 1（c））．

に対する波面の傾きが大きくなることがわかる．らせん波の波面のずれ方は，トポロジカル数（またはトポロジカル

もっとも顕著な特徴は，中心軸上の強度がゼロとなることでチャージ）とよばれる指標で表す．トポロジカル数は整数で

ある．
これは，
直線 l 上では波の位相が不定となるためである．

あり，その符号および絶対値で，それぞれ波面のずれの向き

たとえば図 2 とは位相が異なる等位相面を描くと，中心軸およびずれた波面の枚数を表す．図 1（c）のらせん波のトポのまわりに回転したような波面となるが，中心軸はどの等位ロジカル数は −1 である．格子欠陥の言葉でいえば，らせん

相面にも含まれる．これは中心軸の位相が定まらないことを意味する．中心軸上の点は位相特異点とよばれる．
らせん波は軌道角運動量をもつとされる．軌道角運動量は，粒子的描像では，ある中心のまわりでの重心移動をともなう
回転運動の大きさを表す．つまり，らせん波は，ちょうど太陽の周りを周回する惑星の公転運動（自転運動はスピン角運動量に対応）に相当する運動成分をもつ．らせん波の場合，
中心力ポテンシャルがないにもかかわらず公転しているということに留意されたい（3 章参照）．らせん波は進行波であり，

図 1 平面波の波面の一部をずらして（らせん転位を導入して）らせん波を作る手順．（a）通常の平面波．波面（等位相面）は進行方向に垂直で周期的に配列している．
（b）平面波の波面に垂直な直線 l を端とする半無限平面 P を重ねる．（c）平面 P の
表と裏にある波面を進行方向に（またはその逆方向に）ずらしてつなげる．

したがって公転しながら並進していることになる．この進行方向は公転面に垂直である．つまり粒子の軌跡はらせんを描くことになる．図 3（a），3（b）および 3（c）は，粒子的描像
での平面波および（収束）らせん波の軌跡を表す模型である 16）．2 枚の水平の円盤が上下にあり，その外周に白いゴム糸が取付けられている．円盤は中心を通る鉛直軸の周りで回転できるようになっている．回転していない場合（図 3（a）），

図 2 トポロジカル数の異なるらせん波の等位相面．連続する
波面を同じ色で示した．

40

図 3 平面波（a）およびらせん波（b），（c）の流線．進行方
向を図の上方から下方へとすると，平面波の場合すべての流線
は平行で一様であるのに対し，らせん波の場合，中心軸を迂回しながら進行する．

顕微鏡 Vol. 48, No. 1（2013）【著作権者：社団法人 日本顕微鏡学会】

すべてのゴム糸は鉛直方向を向き，ちょうど円筒の側面に沿うように並ぶ．これは，波面上のどの位置でも進行方向が等しい平面波に相当する．図 3（b）は，下の板を鉛直軸のまわりに 180° 回転したものである．各糸は中央付近で交差し合っている．もし糸どうしが重なり合えるなら，すべての糸は同図4

一の中点をとおって上下を結ぶ．これは通常の収束ビームの動径分布を表す関数 R(r) の例．

流線に相当する．図 3（b）の模型では各糸が中点を迂回して上下を結んでいる．これは収束らせん波の流線を表すものである．図 3（c）は，図 3（b）とは逆向きにまわしたものであり，トポロジカル数の符号が反転したらせん波の流線を表す．
電子らせん波の波動関数 17）

3.

自由空間（真空中）を伝播する電子の波動関数 Ψ は，以下の Schrödinger 方程式にしたがう．
2

−

2

=∇
Ψ = EΨ2m

図5（1）

方位角依存性を表す関数 Φ(φ) の例．

ここで m は電子の質量，E は電子の全エネルギー（ここでΦ(φ) の周期境界条件，つまり z 軸のまわりを一周してもとは運動エネルギーのみ）である．円柱座標系（r, φ, z）で表の位置に戻った際に Φ(φ) は同じ値とならなければならない

わすと，この式はπ
A は整数でなければならない．
（Φ(φ) = Φ(φ + 2π)）ことから，= 2 ⎡⎢ 1 ∂ ⎛⎜ ∂ ⎟⎞ 1 ∂ 2∂ 2 ⎤⎥−++
Ψ = EΨ
r⎟⎜
2 m ⎢⎣ r ∂ r ⎜⎝ ∂ r ⎟⎠ r 2 ∂φ2 ∂ z2 ⎥⎦この A は上述のトポロジカル数である．Ф(φ) は方位角方向（2）( ) についての微分方程式（式（6））の解は以下のように
Z(z

となる．
Ψ ( r , φ, z) = R( r )Φ(φ) Z ( z)の位相変化を担っており，Ψ がらせん波となるための最も重要な成分である．A = 1 および A = 2 の場合の解を図 5 に示す．

（3）

なる．
Z ( z) = Z0 exp (±2π ikz)

として変数分離を行うと，r, φ, z の各変数について以下の 3

ここで，k = 2 mEz = である．Z(z( ) は z 方向の位相変化を担っつの方程式が導かれる．
2
2∂ R 1 ∂R ⎛⎜ 2 m
A ⎞⎟⎟⎟ R = 0
E
+
+
−
⎜
r
2
r ∂r ⎜⎝ = 2r2 ⎠∂rており，Ψ が z 方向に波数 k で伝播する進行波であることを（4）表している．
( ) の積は，
Ф(φ) と Z(z2∂Φ= −A 2 Φ
2∂φ

Φ(φ) Z ( z) = Φ 0 Z0 exp {2π i(Aφ + kz)}

（5）

（10）

となる．等位相面は，この関数の位相すなわち 2π(Aφ + kz)

2

2 m( E − Er )2 mE
∂ Z
Z =− 2 z Z
=−
2
2
∂z
=
=

（9）

（6）

π (Aφ + kz) = 一定を満たが一定の面となる．A ≠ 0 の時，2πi
す φ と z の集合は，らせん状の曲面となる．

ここで，Er および A は変数分離の際に導入した定数である．
R(r) についての微分方程式（（4）式）の解は，第 1 種ベッ

4.

電子らせん波の生成および伝播

セル関数 JA および第 2 種ベッセル関数 YA となることが知ら

4.1

フォーク型回折格子をもちいた電子らせん波の生成れている．第 2 種ベッセル関数は r = 0 で発散するため，第1 種ベッセル関数だけが解として許される．
R( r ) = J A (ar )電子らせん波を生成するためにもっとも多くもちいられているマスクは，フォーク型回折格子である．図 6 はフォー

（7）

ク型回折格子によるらせん波生成の原理を示す．波長の等しい 2 つの平面波 1 および 2 を考える．図 6（a）に示すように，

ここで a = 2 mEr = である．JJA(r) のいくつかの例を図 4 に

平面波 1 は左側から右側に伝播し（水色の波面），平面波 2示す．次数 A により中央にゼロ点をもつのが特徴である．

はそれとはわずかに傾いて伝播している（黒の波面）．これ

Φ(φ) についての微分方程式（（5）式）の解は以下のよう

Φ(φ) = Φ 0 exp (±2π iAφ)

解説

らせん状の波面をもつ電子波の生成，伝播，干渉らがスクリーン状で干渉すると，図 6（b）のような等間隔の干渉模様，すなわちホログラムが形成される．まず，このホ

になる．
（8）

ログラムをフィルム等で記録する．次にスクリーンの代わりに記録したホログラムを置き，図 6（c）のように同じ波長を41【著作権者：社団法人 日本顕微鏡学会】

図7

CL 絞り位置に導入したフォーク型回折格子の SIM 像．

図 6 ホログラフィーの原理をもちいたフォーク型回折格子の作製（a）およびらせん波の生成（c）．（b）通常の回折格子．（d）（e）A = –1 のフォーク型回折格子．
A = 1 のフォーク型回折格子．

もつ平面波を右側から照射する．ホログラフィーの原理にしたがえば，入射平面波はさきほどと逆過程をたどり，平面波
2 と逆向きに伝播する平面波が生成される．次に，さきほどの平面波 2 をらせん波に置き換える．らせん波は，円筒座標
π Aφ) で与えることができる．
系で方位角依存する項 exp(2πi図 6（d）および 6（e）はそれぞれ A = 1 および A = –1 として計算したホログラムである．これらのホログラムをスクリーン位置に設置し，図 6（c）のように右側から平面波を入射す
ると，平面波 2 の方向にらせん波が生成することになる．平
面波どうしの干渉縞と異なり，らせん波との干渉縞では中央の 1 本の縞が刃状転位のように途中で 2 本に分岐している．
またその分岐の向きは符号により反転する．
回折格子の作製は 2 通りの方法で行った．ひとつは厚さ 1ミクロン程度の Pt 箔を利用する方法で，もうひとつは SiN
薄膜に PtPd を蒸着した膜を利用する方法である．後者では，

図 8 図 7 のフォーク型回折格子によるナノ電子らせん波の生
成．照射レンズを変化させて試料面で焦点を結ぶまでの強度の変化．（a）から（d）の順に収束角が増大し，（d）では試料面でクロスオーバーを結んでいる．（e）から（h）は，フレネル伝播を仮定したシミュレーション．

ま ず， 厚 さ 200 nm の Si3N4 膜 の 両 面 に， 厚 さ 100 nm の
PtPd 膜をマグネトロンスパッタ装置で蒸着した．FIB 装置（日立ハイテク製，FB-2100）により金属薄膜を貫通するサブミ

ションと極めて良い一致を示した．

クロンオーダーの孔を切削することができる．あらかじめ計

作製したマスクを，電界放出型電子銃を搭載した透過電子算機ホログラムで設計しておいた画像をもちいて電子線が通顕微鏡（日本電子製 JEM-2010F）の試料位置および収束レ

過するスリット部分を FIB 装置で切削し，回折格子を作製

ンズ絞り位置に導入した．試料位置に導入した場合，回折モーした．フォーク型回折格子のスリット間隔，スリット幅およドで結像系レンズのフォーカス条件を変えながら，スクリー

び全体の直径は，生成する回折らせん波の回折角，消滅則おン上に形成される回折図形を観察した．回折角が μrad オー

よびビーム径（リング径）に影響する．材料の強度や加工精ダーであるため，高分散回折モードをもちいた．収束レンズ度も考慮して，スリット幅を 0.3 μm，スリット間隔を 0.5 μm，（CL）絞り位置に導入した場合，照射系レンズのフォーカス

全体の直径を 5 μm とした．今回もちいた Pt 箔および PtPd

条件を変えながら，試料位置に形成される波動場の強度分布

膜に対する加速電圧 200 kV の電子線の透過率はおよそ 1％を観察した．加速電圧は 120 kV または 200 kV とした．強度であり，この厚さの PtPd 膜でほとんどの電子は遮断される分布の記録には CCD カメラをもちいた．

ことが確認できた．実際，後述するように，実験で観察され

図 7 は CL 絞り位置に導入したフォーク型回折格子の SIM

た伝播の様子は，2 値化マスクを仮定して得たシミュレー像である．ここで暗い部分は電子が通過する孔で，その周り

42

顕微鏡 Vol. 48, No. 1（2013）【著作権者：社団法人 日本顕微鏡学会】

は電子線を遮蔽する Pt 箔である．回折格子全体の直径は約15 μm で，スリット間隔は約 2 μm である．刃状転位のバー
ガースベクトルの大きさは 1 である．図 8（a）～ 8（d）は CLの励磁を変化させた際の試料位置でのビーム強度分布である．隣り合う回折格子を通過した電子波どうしが干渉し，
図 8（d）で離散的な回折波を形成する様子がみられる．図 8（d）にみられる回折波はリング状の強度分布を示しており，
らせん波であることがわかる．本実験では，1 次回折波として直径約 1 nm の電子らせん波が得られた．図 8（e）～ 8（h）
は，フレネル伝播理論にもとづき計算したシミュレーションである．計算した強度分布は実験で観察された分布とよい一致を示している．図 8（h）の下側に示すように計算した位相分布にはリング状の回折ピークは暗点のまわりを 1 周する間に位相が 2π の整数倍だけ変化しており，らせん波であることが確認できる．
4.2

スパイラルゾーンプレートをもちいた電子らせん波の生成 20）らせん波を生成するもうひとつのマスクは，スパイラル
ゾーンプレートである．図 9 はゾーンプレートによりらせん波が生成される原理を示す．左側から伝播する平面波およ

図 9 ホログラフィーの原理にもとづくスパイラルゾーンプ
レートの作製（a）およびらせん波の生成（c）．（b）通常のフレネルゾーンプレート．
（d）A = 1 のスパイラルゾーンプレート．
（e）A = 10 のスパイラルゾーンプレート．

び点光源 P から放たれる球面波がある．これらがスクリーン上で干渉すると，図 9（b）のような干渉模様をつくる．これが点光源によるホログラムである．回折格子の場合と同様に，まず，この干渉模様をホログラムとしてフィルム等で記録する．次に，スクリーンの代わりにホログラムを設置し，
図 9（c）のように先ほどと同じ波長をもつ平面波を右側から照射する．ホログラフィーの原理にしたがえば，照射した波はさきほどと逆過程をたどり，点光源 P の位置に収束し，焦点をむすぶ．次に，さきほどの点光源から放たれる球面波をらせん状の波面に置き換える．球面波は，円筒座標系で以下の式で表される．
2

Ψ SW ( r , φ, z) = R( r )図 10 A = 1（a）および A = 10（b）のスパイラルゾーンプレー
トの SIM 像．

2

exp{2π ik r + ( z − z1 ) }r 2 + ( z − z1 )2

スパッタ法で蒸着し，FIB 装置をもちいて微細加工を行った．

ここで，R(r) は動径座標にのみ依存する関数である．z 軸

スパイラルゾーンのパターンは，200 keV（λ = 2.5 pm）のπ Aφ} を掛ける
まわりの方位角依存性をもつ位相因子 exp{2πi電子線に対して 1 次の焦点距離 z1 が 2 m，そのトポロジカル

ことにより，球面波の波面はらせん状になる．

数が A = 10 となるようにデザインした．マスク全体の直径

Ψ SVW ( r , φ, z) = Ψ SW ( r , φ, z)exp{2π iAφ}は 20 μm で 6 つのフレネル帯からなる．
電子らせん波の生成には，電界放出型電子銃を搭載した透図 9（d）および 9（e）は平面波と A = 1 および A = 10 の球

過電子顕微鏡（日本電子製 JEM-2100F）を加速電圧 200 kV

面らせん波の干渉模様である．渦巻き状の干渉縞が形成されでもちいた．図 10（b）に示した A = 10 のスパイラルゾーン

ることがわかる．各干渉模様は，それぞれ 1 回および 10 回

プレートを収束レンズ絞り位置に導入し，照射系レンズの回転対称性をもっていることがわかる．一般にトポロジカル

フォーカス条件を変えながら，試料面上に形成される波動場

数 A のらせん波を生成するスパイラルゾーンプレートは A 回の強度分布を観察した．電子線の収束角は，フォーカス変化

回転対称性をもつ．

を通じて約 10 mrad であった．

図 10（a）および 10（b）は，われわれが作製したそれぞれ

収束レンズの励磁条件を変化させることにより，図 11（a）

トポロジカル数が 1 および 10 のスパイラルゾーンプレート～11（k）に示すようなリング状の強度分布がみられた．図 11の SIM 像である．フォーク型回折格子と同様に，厚さ 50 nm（a）は，0 次波が焦点を結ぶ条件での強度分布である．図 11の Si3N4 膜の裏表両面に約 100 nm の PtPd 層をマグネトロン（b）および 11（c）は 10 個のピークからなるリングを示して解説

らせん状の波面をもつ電子波の生成，伝播，干渉

43【著作権者：社団法人 日本顕微鏡学会】

おり，それぞれトポロジカル数が A = 10 および A = –10 の9 次波（図 11（j））および –9 次波（図 11（k））まで観察する

1 次波および –1 次波であることがわかる．図 11（d）およびことができた．

11（e）は 30 個のピークからなるリングを示しており，それ回折次数がゼロおよび負のらせん波について触れておく．

ぞれ A = 30 および A = –30 をもつ 3 次波および –3 次波であゾーンプレートに平面波を入射するともともと設計時に置いることがわかる．本研究では，A = 90 および A = –90 をもつた焦点 P（図 9（a））への収束球面波（内向波）だけでなく，
ゾーンプレートを透過する平面波およびゾーンプレートに対して P と反対の位置にある点を焦点とする発散球面波（外向波）も強め合いの干渉により生成される．これらはレンズにより収束され，焦点を結ぶ．2 値化マスクであるため，フォーク型回折格子の場合と同様に，高次波も生成される．
本研究では± 9 次の球面波まで生成されることが確認できたのはそのためである．
図 12 は，図 11（a）～11（k）で観察されたリングの直径の回折次数依存性を示している．軌道角運動量とリングの直径が比例関係であることがわかる．このことは，フォーク型回折格子で観察された結果と一致している 3）．収束角の増大にともないリングの直径は減少する．これは，らせん波でない
通常の収束電子ビームと同様のふるまいである．今回の実験
では，収束半角を 13 mrad とした時，各回折波リングの直径が最小となり，ゼロ次波では 0.2 nm，1 次波では 1 nm となった．この収束レンズ条件では，隣接する回折らせん波の焦点
はほぼ等間隔で配列し，その距離は約 200 nm となった．さらに収束角を増大させると，ビーム径は増大するのが観察された．これは球面収差の影響であると考えられる．収差補正子をもちいて照射系の収差を抑えることにより，さらにリング径が縮小することが期待される．ただし，リング径の最小値は電子の軌道角運動量および波長によって制限されることが報告されている 21,22）．
スパイラルゾーンプレートに平面波を入射することにより，伝播方向の異なる位置に焦点を結ぶらせん波が生成される． 今 回 の 実 験 で は， 隣 り 合 う 焦 点 間 の 距 離 は お よ そ
200 nm であった．走査透過電子顕微鏡（STEM）23）や電子エ
ネルギー損失分光（EELS）にもちいる場合，特定の軌道角運動量をもつらせん波のみからなる電子線を生成する必要がある．このような特定の軌道各運動量をもつらせん波の選択は，そのらせん波が焦点を結ぶ位置にピンホールを挿入することにより行うことができる．この場合，STEM におけるプロー
ブの走査は，試料ステージの走査により行うことができる 24）．

図 11 スパイラルゾーンプレートをもちいて生成した収束ら
せん波．白い 2 重円で囲まれた円環部分にリング状に配列した輝点がみられるが，それらがらせん波である．輝点の数はトポ
ロジカル数を表す．（a）A = 0，（b）A = 10，（c）A = –10，（d）（e）A = –30，（f）A = 50，（g）A = –50，（h）A = 70，（i）
A = 30，（j）A = 90，（j）A = –90．
A = –70，44

図 12 （a）収束電子らせん波のビームウェスト直径の回折次数依存性．（b）0 次，1 次および－ 1 次波のビームウェスト直径の収束角依存性．

顕微鏡 Vol. 48, No. 1（2013）【著作権者：社団法人 日本顕微鏡学会】

5.

2 つの電子らせん波の干渉 25）

今回さまざまな軌道角運動量をもつらせん波が生成された置に導入し，カメラ長 80 m で回折図形を観察した．各マス
クからの回折波どうしが重なり合う回折面で，干渉模様を観察した．

が，それらは互いに干渉するであろうか？われわれはヤング，15（b）および 15（c）は，2 つのらせん波のトポロ
図 15（a）の 2 重スリットと同等のレイアウトで実験的検証を行った．

ジカル数（AA, AB）
がそれぞれ（+1, +1）（，+1, –1）
および（+1, 0）干渉は，波であることを示す最も顕著な現象であるが，波だとした場合の実験結果である．2 つのらせん波の軌道角運動からといって必ず干渉するとは限らない．たとえば，2 重ス

量が等しい場合，ヤングの実験と同様に干渉を生じることがリットのそれぞれに互いに偏光方向が直交する偏光板を設置期待され，実験でもその期待通りに干渉縞がみられた．軌道すると干渉縞が消失する 26,27）．量子力学によれば，2 つのス

角運動量が異なる場合，すなわち軌道角運動量の「印付け」

リットのどちらを通過したか判別できた場合，干渉縞は生じがなされた場合でも，干渉縞が現れた．この結果は，スクリー

ない．互いに直交する偏光板を設置することは，光子がどちン上で検出する（つまり位置の測定を行う）ことにより，軌らのスリットを通過したか判別できる「印」を付けることに

道角運動量が不確定になってしまうため，と解釈される．つ

相当していると考えられる．次に，2 重スリットとスクリー

まり，軌道角運動量（正確には軌道角運動量の z 成分 Lz）とンの間に，偏光方向が 45° 方向の偏光板を挿入すると干渉縞が再び出現する 27）．これは，45° 偏光板により 2 重スリットで付けられた「印」が消去されるためと解釈できる．この種の実験は which-way 実験として知られるもので，これまでさまざまな工夫を凝らした実験がなされ，興味深い議論がなされている 27 ～ 32）．われわれが行った実験は，電子への軌道角
運動量の「印付け」が干渉に影響を及ぼすか？ということを明らかにする実験でもある．
図 13 は，今回の実験のレイアウトを模式的に示したものである．ヤングの 2 重スリットの各スリット位置に回折格子を設置したマスクを作成し，その膜に電子線を照射した．回
折格子を通過した電子は図 8 のように回折面でらせん波を形成する．2 つの回折格子のスリット間隔およびスリット方向は等しく，両回折格子からの回折波はスクリーン上の同じ位置でリング状ピークを形成するため，それらは重なり合う．

図 14 実験でもちいた 3 つの 2 重回折格子．各図の上のカッ
コ内の数字は，回折格子のバーガースベクトルの組み合わせを表す．

この重なり合った回折リング内に生じる干渉模様を観察し，14（b）および 14（c）は，今回もちいた 3 種
た．図 14（a）
類の 2 重回折格子マスクである．バーガースベクトル b =+1，–1 および 0 のフォーク型回折格子を異なる組み合わせで配置した．作製した回折格子を透過型電子顕微鏡の試料位

図 13 本実験のレイアウト．ヤングの 2 重スリットの各スリッ
トの代わりに回折格子を設置した．

解説

らせん状の波面をもつ電子波の生成，伝播，干渉

図 15 2 つのらせん波を重ね合わせた際に観察された干渉模様．らせん波どうしが波として干渉しあうと仮定した計算とよい一致を示している．

45【著作権者：社団法人 日本顕微鏡学会】

位置（z（ 方向に垂直な座標 x または y）の不確定性関係に起因していると考える．量子力学では，同時計測可能性と演算子の非可換性は密接に関係している．実際，Lz と x（または y）
は非可換（[L[ z, x] ≠ 0 または [[Lz, y] ≠ 0）であり，同時計測不可能な物理量であることがわかる．
今回の干渉実験により，電子ビームが担う軌道角運動量という物理量の量子力学的な性質を明らかにすることができた．軌道角運動量はスピンと異なり，位置（x（ および y）と同時計測不可能な（非可換な）物理量であることが確認できた．実験のレイアウトにさらなる工夫を加えることにより，遅延選択，量子消去 27 ～ 32）など量子情報分野の興味深い問題を明らかにするための実験が可能になるであろう．2 つの電子らせん波による干渉縞の模様は，2 つの電子の軌道角運動量の差を反映して変化することが判明した．この結果は任意の電子の軌道角運動量が計測できることを意味する．この性質を利用することにより試料と相互作用した電子の軌道角運動量をマッピングする新しい電子顕微鏡法が行えるであろう．
6. まとめ
本稿では，電子らせん波の生成，伝播過程および干渉性について述べた．フォーク型回折格子およびスパイラルゾーン
プレートのいずれの方法も，マスクからの波の回折波としてらせん波を生成する．通常の電子波と同様に磁場レンズでビームを収束することができ，収差補正子のない電子顕微鏡
でもビーム径 1 nm 程度まで絞ることができる．マスクのデザインの改良や収差補正レンズの最適化を行うことにより原子レベルのビーム径を実現することができるであろう．生成
したらせん波の軌道角運動量の計測については，もうひとつ別のフォーク型回折格子をもちいて行うことが可能であり，今回紹介したスパイラルゾーンプレートの 1 次の焦点位置に生成した電子波の軌道角運動量が 10 ћ であることを確かめている 33）．またヤングの 2 重スリットと同じレイアウトで 2つの電子らせん波が軌道角運動量によらず干渉することを確かめた．この結果は，軌道角運動量と位置の不確定性関係を実験的に示したものといえる．
本研究を行うにあたり，名古屋大学エコトピア科学研究所の吉田健太氏，名古屋大学結晶材料工学専攻の武藤道洋氏，
平川和馬氏にはおもに実験の面で，名古屋大学情報科学研究科の谷村省吾先生には干渉実験の解釈についてご助言をいた
だきました．また田中信夫先生には研究全般にわたりご支援
いただきました．この場をお借りして感謝の意を表します．
本研究の一部は，科研費基盤研究（A）（No. 23241036）および三菱財団研究助成により行われました．
文

献1）Uchida, M. and Tonomura, A.: Nature, 464, 737–739 (2010)2）Verbeeck, J., Tian, H. and Schattschneider, P.: Nature, 467, 301–304

46(2010)
3）McMorran, B.J., Agrawal, A., Anderson I.M., Herzing, A.A., Lezec,
H.J., McClelland, J.J. and Unguris, J.: Science, 331, 192–195 (2011)4）Allen, L., Barnett, S.M. and Padgett, M.J. (Eds.): Optical AngularMomentum, Taylor & Francis, London (2003)
5）Franke-Arnold, S., Allen, L. and Padgett, M.J.: Laser Photon. Rev., 2,
299–313 (2008)6）Allen, L., Beijersbergen, M.W., Spreeuw, R.J.C. and Woerdman, J.P.:
Phys. Rev. A, 45, 8185–8189 (1992)
7）Simpson, N.B., Dholakia, K., Allen, L. and Padgett, M.J.: Opt. Lett.,
22, 52–54 (1997)
8）Friese, M.E.J., Nieminen, T.A., Heckenberg, N.R. and H.
Rubinsztein-Dunlop: Nature, 394, 348–350 (1998)9）Leach, J., Padgett, M.J., Barnett, S.M., Franke-Arnold, S. and
Courtial, J.: Phys. Rev. Lett., 88, 257901 (2002)
10）Mair, A., Vaziri, A., Weihs, G. and Zeilinger, A.: Nature, 412, 313–
316 (2001)
11）Harke, B., Keller, J., Ullal, C.K., Westphal, V., Schönle, A. and Hell,
S.W.: Optics Express, 16, 4154–4162 (2008)12）Toyoda, K., Miyamoto, K., Aoki, N., Morita, R. and Omatsu, T.:
Nano Letters, 12, 3645–3649 (2012)13）Bliokh, K.Y., Dennis, M.R. and Nori, F.: Phys. Rev. Lett., 107,174802 (2011)14）Lloyd, S., Babiker, M. and Yuan, J.: Phys. Rev. Lett., 108, 074802(2012)
15）Löffler, S. and Schattschneider, P.: Acta Cryst. A, 68, 443–447 (2012)16）名古屋市科学館に展示されている．
17）例えば，Schattschneider, P. and Verbeeck, J.: Ultramicroscopy, 111,
1461–1468 (2011)20）Saitoh, K., Hasegawa, Y., Tanaka, N. and Uchida, M.: J. Electron
Microsc., 61, 171–177 (2012)21）Idrobo, J.C. and Pennycook, S.J.: J. Electron Microsc., 60, 295–300(2011)
22）Verbeeck, J., Schattschneider, P., Lazar, S., Stoger-Pollach, M.,
Loffler, S., Steiger-Thirsfeld, A. and Van Tendeloo, G.: Appl. Phys.
Lett., 99, 203109 (2011)23）Verbeeck, J., Tian, H. and Beche. A.: Ultramicroscopy, 113, 83–87(2011)24）Hashimoto, A., Shimojo, M., Mitsuishi, K. and Takeguchi, M.:
Microsc. Microanal. 16, 233–238 (2010)25）Hasegawa, Y., Saitoh, K., Tanaka, N., Tanimura, S. and Uchida, M.: J.
Phys. Soc. Jpn., 82, 033002 (2013)26）Fresnel, A. and Arago, F.: Ann. Chim. Phys. X, Series 2, 288–305(1819)
27）谷村省吾：日経サイエンス，2012 年 3 月号 32–43，2012 年 4 月
号 44–45（2012）28）Scully, M.O. and Drühl, K.: Phys. Rev. A, 25, 2208–2213 (1982)
29）Dürr, S., Nonn, T. and Rempe, G.: Nature, 395, 33–37 (1998)30）Kim, Y.-H., Yu, R., Kulik, S.P., Shih, Y. and Scully, M.O.: Phys. Rev.
Lett., 84, 1–5 (2000)31）Jacques, V., Wu, E., Grosshans, F., Treussart, F., Grangier, P., Aspect,
A., Roch, J.-F.: Science, 315, 966–968, (2007)32）Frabboni, S., Gazzadi, G.C. and Pozzi, G.: Appl. Phys. Lett., 97,
263101 (2010)33）Saitoh, K., et al. submitted

顕微鏡 Vol. 48, No. 1（2013）【著作権者：社団法人 日本顕微鏡学会】