医学部［一般・学士］ 模範解答

英語,数学,理科（物理・化学・生物）

英語問１Ⅰ問２問３問４Ⅱ

1522524234322434425353問１26561問２27475問３282822929330510131111432

312333413234114335915

1361016537217238418239619440

12014110212424ⅢⅣⅤ

問１問２（ア）
Ⅵ
（イ）

−102−

数学
【1】次の各文のにあてはまる答えを求めよ。

⑴

a，b を定数とする。整式 x3－4x2＋ax＋b を (x－1)2 で割った余りが 1 であるとき，a の値は（ア） ，b の値は（イ） である。

⑵

x＝sinθ＋cosθ，y＝sin3θ＋cos3θ＋3 sinθcosθ(sinθ＋cosθ)＋6 sinθcosθ－9 (sinθ＋cosθ) とおく。

π≦θ≦πのとき，x のとり得る値の範囲は（ウ） であり，y を x を用いて表すと y＝（エ）となる。さらにこのとき，y のとり4得る値の範囲は（オ） である。
3 点 A(－3, 6), B(5, 0), C(4, 7) を通る円の中心の座標は（カ） であり，半径は（キ） である。この円と直線 y＝2x＋k の共有点の⑶個数が 2 個であるとき，定数 k のとり得る値の範囲は（ク） である⑷

ボタンを押すたびに「あたり」か「はずれ」のいずれか一方だけを画面に表示する機械があり，この機械は以下の規則に従って動く。
規則１．1 回目にボタンを押して「あたり」が表示される確率は2である。
32である。また，
31
ボタンを押して「はずれ」が表示されたとき，次にボタンを押して「あたり」が表示される確率は である。
62
各自然数 n に対して，n 回目にボタンを押して「あたり」が表示される確率を an とする。このとき，a1＝ ，a2＝（ケ） ，3
規則２．ボタンを押して「あたり」が表示されたとき，次にボタンを押して「あたり」が表示される確率は

a3＝（コ） であり，数列｛an｝の一般項は an＝（サ） である。
実部が正で虚部が負である複素数 z が z4＝－8+8 3 i を満たすとする。このとき，z4 を極形式で表すと z4＝（シ） であり，⑸z の値は（ス） である。2 つの複素数 0，z を表す複素数平面上の点をそれぞれ O，A とし，線分 OA の中点を表す複素数をw とおくとき，w2017＋(w)2017 の値は（セ） である。また，1＋z＋z2＋z3＋z4 の値は（ソ）である。
解答欄
⑴ （ア）

－1⑶ （カ）1，3⑸ （シ）※）（コ）

12（16 cos（エ）－1≦x≦ 2（キ）（⑷ （ケ）⑵ （ウ）（イ）55512（サ）2π2π＋ i sin
33（オ）x3＋3x2－9x－3（ク）1－5 5 ＜k＜1＋5 51
11＋（）
32n－1）（ス）（セ）
1－ 3 i（ソ）12π以外のものを選んでもよい。
32π
2π＋2nπ ＋i sin＋2nπ （nは整数）という形なら正解である。
33※（シ）において，z4 の偏角は16 cos｛（－8≦y≦8）（）｝−103−－16＋5 3 i【2】C は直線 x＝1 を軸とする上に凸な放物線であり，原点 O を通るとする。C と曲線 y＝2x x の 2 個の共有点のうち O 以外のものをA(a, 2a a ) とおく。C と曲線 y＝2x x で囲まれた部分の面積を S とし，C と x 軸で囲まれた部分の面積を T とする。このとき，次の問に答えよ。
⑴

放物線 C の頂点の y 座標を a を用いて表せ。また，a のとり得る値の範囲を求めよ。
2a a ＞0, p＜0 であるから，③より，C は直線 x＝1 を軸とする上に凸な放物線であるから，その方程式は，p＜0 を満たす定数 p, q を用いて，…①∴

y＝px (x－2)…④

とると，p＜0 であり，放物線②は点 (a, 2a a ) を通る。
以上により，a のとり得る値の範囲は 0＜a＜2 であり，…②C の方程式は逆に，p＜0 を満たす定数 p に対して，曲線②は直線 x＝1を軸とする上に凸な放物線であり，原点 O を通る。

2a a ＝pa (a－2)

y＝2 ax(x－2)
a－2…⑤x＝1 として，C の頂点の y 座標 y＝－

曲線 y＝2x x の定義域は x≧0 であり，点 A(a, 2a a )は O ではないから，a＞0 である。C は点 A を通るから，2 aを得る。
a－2…③2 aC の頂点の y 座標： － a－2

答⑵

0＜a＜2

逆に，0＜a＜2 を満たす定数 a に対して，④のように p を
q＝－pq＝－p を①に代入すると，y＝p (x－1)2－p②より，2 ap＝a－2

さらに③より，と表せる。C は原点 O を通るから，0＝p (0－1)2＋q∴a(a－2)＜0

y＝p (x－1)2＋q，a のとり得る値の範囲：

0＜a＜2S を a を用いて表せ。
C の方程式は⑤であり，C と曲線 y＝2x x の共通点の x 座標は 0, a であるから，
dx＝dx｛ a－2 x(x－2)－2x x ｝｛ a－2 (x －2x)－2x ｝∫∫
2 a2 a4
42a (a＋3) a＝－ x ＝－ a ＝－
（13 x －x ）（13 a －a ）a－2a－215(a－2)
55S＝a2 aa02 a32203252a322520

答⑶－2a2 (a＋3) a15(a－2)

2S＝T となる a の値がただ 1 つ存在することを証明せよ。
a のとり得る値の範囲は 0＜a＜2 であり，C の方程式は
2 ay＝x(x－2)
a－2

g (0)＝－10＜0,である。C と x 軸の共有点の x 座標は 0, 2 であるから，∫ a－2 x(x－2)dx＝－ 6(a－2) ・2 ＝－ 3(a－2)

T＝

22 a2 a3 次関数 g (a) は 0≦a≦2 で連続であり，38 a0となる。よって，等式 2S＝T を書き下すと，

g (2)＝10＞0となる。したがって，中間値の定理により，方程式 g (a)＝0は 0＜a＜2 の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつ。
さらに，区間 0＜a＜2 において，
g ’(a)＝3a ＋6a＝3a (a＋2)＞02

8 a4a2(a＋3) a－＝－15(a－2)
3(a－2)
a2(a＋3)＝10
a3＋3a2－10＝0
よって，3 次関数 g(a)＝a3＋3a2－10 に対して，方程式 g(a)＝0は 0＜a＜2 の範囲にただ 1 つの実数解をもつことを示せばよい。

より，g (a) は増加する。
よって，方程式 g (a)＝0 の実数解のうち，0＜a＜2 の範囲にあるものはただ 1 つである。

−104−y10

O－10

y＝g (a)2a【3】C を方程式 x2＋y2－｜ 3 x＋y｜－｜ 3 x－y｜=0 (y＞0) の表す曲線とし，b を C と直線 y=b が 6 個の共有点をもつような定数とする。
このとき，次の問に答えよ。
⑴

曲線 C の概形をかけ。また，b のとり得る値の範囲を求めよ。
2 直線 3 x＋y＝0， 3 x－y＝0 を境界として，不等式 y＞0の表す領域を分割して，C の方程式を考える。
（i）不等式 y＞－ 3 x，y＞ 3 x の表す領域において，以上により，C の概形は下の図のようになる。
3下の図より，b のとり得る値の範囲は ＜b＜ 3 である。
23 x＋y＞0 かつ 3 x－y＜0 であるから，C の方程式は
x2＋y2－2y＝0∴ x2＋(y－1)2＝1y3

y＝－ 3 x

これは点 (0, 1) を中心とする半径 1 の円の方程式である。

32（ii）不等式 0＜y≦ 3 x の表す領域において，20≦ 3 x－y＜ 3 x＋y であるから，C の方程式は
x2＋y2－2 3 x＝031∴ (x－ 3 )2＋y2＝3

これは点 ( 3 ，0) を中心とする半径 3 の円の方程式である。
（iii）不等式 0＜y≦－ 3 x の表す領域において，－4－3－2 33 x－y＜ 3 x＋y≦0 であるから，C の方程式は
x2＋y2＋2 3 x＝0

y＝ 3 x－2－1－ 33－2O2334 x2 3

∴ (x＋ 3 )2＋y2＝3

これは点 (－ 3 , 0) を中心とする半径 3 の円の方程式である。
答⑵132b のとり得る値の範囲：

3＜b＜ 32

曲線 C と直線 y＝ax＋b が 6 個の共有点をもつような定数 a のとり得る値の範囲を f(b)＜a＜g(b) とおく。b が (1) で求めた範囲を動くとき，g(b)－f(b) が最大値をとる b の値を求めよ。
円と直線の共有点の個数は 2 個以下だから，C と直線 y＝ax＋bが 6 個の共有点をもつとき，それらの共有点は (1) の (i), (ii), (iii) のそれぞれの領域に 2 個ずつある。このことから，C と直線 y＝ax＋b｛が 6 個の共有点をもつための必要条件は，（）｛h(b)≦k(b) のとき，－h(b)＜a＜h(b)h(b)≧k(b) のとき，－k(b)＜a＜k(b)333かつ a＋b＞
222…①となるから，g(b)－f(b) の値は 2h(b) と 2k(b) のうちの直線 y＝ax＋b は円 x ＋y －2 3 x＝0 と 2 点で交わる…②小さい方と一致する。

直線 y＝ax＋b は円 x2＋y2＋2 3 x＝0 と 2 点で交わる…③3＜b1＜b2＜ 3 のとき，h(b1)＜h(b2) であり，
2a －322b－33－b2，k(b)＝とおくと，32 3 ba のとり得る値の範囲 f(b)＜a＜g(b) は，④，⑤，⑥より，h(b)＝＋b＞22となることがわかる。よって，①，②，③を満たすような a の値の範囲が f(b)＜a＜g(b) となる。
まず，①を満たすような a の値の範囲は－2b－32b－3＜a＜33…④｝

より，k(b1)＞k(b2) となる。
11＞＞02 3 b1 2 3 b23
よって，区間 ＜b＜ 3 において，h(b) は増加し，k(b)2は減少するから，h(b)＝k(b) となる b の値が存在すれば，その b の値で g(b)－f(b) は最大値をとる。

次に，②を満たすような a の値の範囲を考える。

2b－33－b2＝
2 3 b32b(2b－3)＝3－b2y＝ax＋b を x ＋y －2 3 x＝0 に代入すると，
23－b12＞ 3－b22 ＞0

2x2＋(ax＋b)2－2 3 x＝0(a2＋1)x2＋2(ab－ 3 )x＋b2＝0
この２次方程式の判別式を D とおくと，D＝(ab－ 3 )2－(a2＋1)b2＝－2 3 ab＋3－b2
43－b2b＞0 であり，②より D＞0 であるから，
a＜…⑤2 3 b3－b2
同様に，③を満たすような a の値の範囲は－＜a …⑥2 3 b−105−5b2－6b－3＝0
33＋2 6＜b＜ 3 より，b＝52

答

3＋2 65

物理問１問２Ⅰ問３問４問５問１Ⅱ11425311415561571388951011118129問２

132問３14141581681711184199問４問５問６問１

Ⅲ20

7215問２2212問３233問４241625

5265279問５問６−106−

化学

ⅠⅡⅢ

Ⅳ

生物

問１

1319312問２

25243214問３

343733

7問４454434

14問５595435

13問６686236

11問７777837

1問８878638

4問１

92

9739

13問２

103104405問３111111541

5問４125122427問１1341314432問２1481412

44

7⑴

15

2159456⑵167161146

15

問４

17617

4問１

18

3

18

6⑴

19

2

192⑵

20

720

9⑶

21

3

21

4⑷

22

3

22

723

1

23

8⑴

24

5

24

3⑵

25

3

25

3⑶

26

126

3

27

728

529

230

4問３

問２

問１Ⅴ

問２ⅠⅡ−107−Ⅲ