Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Mathematisches Institut
Abteilung für Reine Mathematik
Prof. Dr. D. Wolke
Dipl.-Math. S. Feiler

I: Mo, 14-16 Uhr, SR 414
Nicolas Ketterer, Math. Inst.
III: Di, 16-18 Uhr, SR 01-009/13
Julia Riegger, Gebäude 101
V: Mi, 14-16 Uhr, SR 00-010/14
Elisabeth Wursthorn, Geb. 101

II: Di, 11-13 Uhr, SR 218
Katja Reiser, Math. Inst.
IV: Di, 16-18 Uhr, SR 00-014
Jonas Unger, Gebäude 078
Fragestunde: Do, 16-18 Uhr
Simon Feiler, SR 00-014 (078)Übungen zur Vorlesung

Mathematik für Studierende des Ingenieurwesens IISommersemester 2008Übungsblatt Nummer 2301. Juli 2008

Abgabe am Dienstag, den 08.07.2008 vor der Vorlesung

Bitte die Lösungen mit Name, Matrikelnummer, Übungsnummer und Name des Tutors versehen.

Aufgabe 67√

Seien R+ := {w ∈ R| w > 0}, r ∈ R+ , R ∈ R+ mit R ≥ 2·3 3 · r, h ∈ R+ und H ∈ R+ .
Es soll das Volumen eines Schlitzschraubendrehereinsatzes berechnet werden.
Der so genannte Bit bestehe aus einem sechseckigen Zylinder (auch Prisma) der Höhe H undder Kantenlänge R als Aufnahme, auf den die Schraubendreherklinge gesetzt ist. Die Klinge
selbst entstehe dadurch, dass man von einem Kreiszylinder der Höhe h und des Radius' r zwei
Keile abtrennt.
Dazu setze man auf einem Durchmesser der einen Kreisäche eine Säge an und säge zweimal
auf dem kürzesten Weg diagonal an den Rand der anderen Kreisäche.
Berechnen Sie das Volumen des Bits unter Verwendung des Prinzips von Cavalieri!
Bemerkung: Sie dürfen die Formel V = G·h für das Volumen V eines Zylinders der GrundächeG ∈ R+ und der Höhe h ∈ R+ verwenden.

Aufgabe 68

Seien R+ n:= { w ∈ R| w >¯ 0}, r ∈ R+ und R ∈ R+ mit R > r.o¯Sei R := (x, y, z)T ∈ R3 ¯ r2 ≤ x2 + y 2 und x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 .

R heiÿt sphärischer Ring um (0; 0; 0)T mit Innendurchmesser r und Auÿendurchmesser R.

a) Zeichnen Sie eine Skizze von R!
b) Berechnen Sie das Volumen von R mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri!
c) Zeigen Sie, dass zwei gleich hohe sphärische Ringe stets gleiche Volumina haben!
Aufgabenteil d) nden Sie auf der nächsten Seite.
bitte wendend) Sei H ∈ R+ mit H > r.
Bei der Herstellung von Bleikugeln werden Gieÿformen verwendet, die die rechts dargestellte Form haben. Berechnen
Sie mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri das Volumen einer solchen Gieÿform mit Höhe H , äuÿerem Radius R undinnerem Radius r!
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Volumen, das Sie geometrisch erwarten würden!

Das begleitende ZweibeinAnalog zu dem begleitenden Dreibein von vektorwertigen Funktionen mit drei Komponenten
von einer Veränderlichen kann man vektorwertigen Funktionen mit zwei Komponenenten voneiner Veränderlichen ein½ begleitendes¾Zweibein zuordnen.
2
I → R
Zu einer Funktion f~ :mit I ⊆ R und f~0 (x) 6= ~0 6= f~00 (x) für alle x ∈ ˚I bildet
x 7→ f~ (x) 
2˚ I → R
0~f(x)~man den Tangenteneinheitsvektor Tf~ :~°  und den Normaleneinx 7→ Tf~ (x) := °°° 0
°f~ (x)° 2˚I→R

0~T(x)~~
heitsvektor Nf~ :~ ~ (x) := ° f° .
x 7→ Nf°° °T~ 0 (x)° f~Aufgabe 69

Sei R+ := {w ∈ R| w > 0}. Seien a ∈ R+ , b ∈ R+mit a < b und c ∈ R+ .

½ +¾
 R+ → R2µ¶ R → Rt
Seien f :und ~γ :.
x 7→ f (x) := c · ln (x) t 7→ ~γ (t) :=f (t)¯noT
32¯ 2
Sei G := (x, y) ∈ R ¯ y = 16 · (x + 5) und x ≤ 3 .

a) Geben Sie das begleitende Zweibein von ~γ an!
b) Berechnen Sie die Bogenlänge des Kurvenstücks ~γ |[a;b] !
Bemerkung: Beginnen Sie mit einer partiellen Integration und substituieren Sie in dem
verbleibenden Integral s = τc !
Aufgabe 27c) ist erneut hilfreich.

c) Berechnen Sie die Bogenlänge des Kurvenstücks G!