O matematyce
profesora Zdzisława Krygowskiego
Na dorobek naukowy profesora Zdzisława Krygowskiego składa się dwadzieścia jeden opublikowanych prac matematycznych, trzy podręczniki
akademickie i dziewięć prac popularyzujących matematykę. Większość
wyników naukowych Krygowskiego dotyczy zagadnień szeroko pojętej teorii funkcji eliptycznych i (ogólniejszej) teorii funkcji abelowych ifunkcji theta. Od momentu powstania (w wyniku prac Nielsa Abela iCarla Gustava Jacobiego) do czasów nam współczesnych, teoria funkcji
abelowych i funkcji theta stanowi jeden z kluczowych działów matematyki, który dzisiaj lokuje się na pograniczu analizy zespolonej, teorii
liczb i geometrii algebraicznej. Można wytyczyć ciągłą linię w historii
rozwoju badań matematycznych poczynając od prac Eulera i Gaussa
o całkach i funkcjach eliptycznych, a kończąc na wynikach Andre Weila, Goro Shimury, Jean-Pierre Serre’a i Andrew Wilesa o krzywych
eliptycznych, rozmaitościach abelowych i równaniach diofantycznych.
Problematyka i rezultaty pracy naukowej profesora Krygowskiego znajdują się w środku tak wytyczonej linii rozwoju, w najbliższym sąsiedztwie najważniejszych problemów tej dziedziny na przełomie wieków XIX
i XX. W okresie najaktywniejszej działalności naukowej Krygowskiego,
to jest w latach 1894-1909, wspomniane teorie znajdowały się w centrum zainteresowania najlepszych matematyków tamtych czasów: Karla Weierstrassa, Felixa Kleina, Émila Picarda, Paula Appella i Henri
Poincare.
Jak zwyczaj każe, przy opisywaniu dorobku uczonego bierzemy poduwagę trzy niezbędne cechy dobrej roboty w nauce:• wysoki poziom merytoryczny badań w zestawieniu z istniejącym
w danym czasie stanem wiedzy w uprawianej dziedzinie,• zaangażowanie w proces kształenia młodego pokolenia, a w szczególności w tworzenie nowego pokolenia badaczy,• służbę i poświęcenie w pracy na rzecz lokalnego środowiska akademickiego i naukowego.

1

Naszym celem w tym opracowaniu jest opis wyników pracy naukowej profesora Zdzisława Krygowskiego, która niewątpliwie posiadała
pierwszą z wymienionych cech. Szczegółowe omówienie poza naukowych
aspektów działalności profesora pozostawimy do wykonania w innym
miejscu. Tutaj zwrócimy uwagę czytelnika tylko na dwa wybrane fakty,
które dobrze ilustrują inne zasługi Krygowskiego. Po pierwsze, wśród
wielu studentów matematyki, którzy w okresie międzywojennym byli
wychowankami profesora Krygowskiego znajdowała się trójka poznańskich kryptologów. Rejewski, Różycki i Zygalski na wykładach profesora
Krygowskiego (z algebry, analizy i geometrii) zdobywali umiejętności
matematyczne, które okazały się kluczowe przy łamaniu systemu kodowaniu Enigma. Z tytułu pracy magisterskiej Rejewskiego (Funkcje
podwójnie peryodyczne stopnia drugiego i trzeciego z zastosowaniami),można przypuszczać, że w jego przypadku ważnym elementem edukacji matematycznej były seminaria Krygowskiego o funkcjach abelowych. Po drugie, pisząc o służbie dla środowiska lokalnego należy pamiętać, że Zdzisław Krygowski był pierwszym profesorem zwyczajnym
nauk matematycznych zatrudnionym na nowo utworzonym Uniwersytecie Poznańskim w 1919 roku. Krygowski wprowadził nowoczesne badania matematyczne do kanonu działań podjętych w tamtym czasie na
uniwersytecie w Poznaniu, organizując pierwszą katedrę przedmiotu iaktywnie uczestnicząc w pracach administracji młodej uczelni (na różnych jej szczeblach - w tym na stanowisku prorektora) przez cały okresmiędzywojenny, aż do przejścia w stan spoczynku w 1937 roku.
Pierwsza część naszego opracowania zawiera krótki wstęp do problematyki badawczej, którą zajmował się Krygowski, napisany z myślą oczytelniku współczesnym. Wprowadzamy podstawowe pojęcia i fakty z
teorii funkcji abelowych i funkcji theta, które są niezbędne dla zrozumienia omawianych wyników naukowych. Dla uproszczenia przyjęliśmy
przy tym formę opisu wolnego od precyzyjnych odwołań do literatury przedmiotu. Czytelnikowi głębiej zainteresowanemu omawianą tutaj
teorią, polecamy dołączony spis bibliografii, który został uporządkowany według daty opublikowania (pierwszego wydania, w przypadku
książki). W drugiej części opracowania zamieściliśmy szczegółowy opis
wyników uzyskanych w pracach profesora Zdzisława Krygowskiego.
Serdecznie dziękuję profesor Magdalenie Jaroszewskiej, bez której
2

entuzjazmu i zaangażowania w pracę edytorską i przy zbieraniu materiałów archiwalnych, tom prac profesora Zdzisława Krygowskiego nie
mógłby powstać. Profesorom Jerzemu Kaczorowskiemu i Julianowi Musielakowi dziękuję za cenne uwagi dotyczące tego opracowania. Profesjonalny skład tekstu artykułu zawdzięczam panu Pawłowi Mleczce.
Bonn, we wrześniu 2010

Wojciech Gajda

1.1 Wprowadzenie do teorii funkcji abelowych
Teoria funkcji abelowych powstała na początku XIX wieku w wyniku
badania całek postaciZq

W (x, R(x))dx,

gdzie W (x) jest funkcją wymierną, a R(x) wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Badano wtedy także ogólniejsze całkiZ

W (x, y)dx,

gdzie x i y spełniają równanie algebraiczne typu F (x, y) = 0. Jako
pierwszy przykład rozważmy znacznie wcześniej znaną całkę elementarną
Z x
dt
√
u=
.
0
1 − t2
Funkcją odwrotną x = f (u) do tej całki jest funkcja sinus, która maokres 2π. Funkcja f spełnia równanie różniczkowe f (u)2 + [f 0 (u)]2 = 1.
Ponadto, przekształcenieu(f (u), f 0 (u))−→

definiuje parametryzację okręgu jednostkowego x2 + y 2 = 1. Dobrze
znany wzór na sinus sumy kątów zapisujemy w tej notacji jako równość
Z x
0

1

Z x
Z Φ(x ,x )
dt
dt
dt
2
1 2
√
√
√
+
=
,
0
0
1 − t2
1 − t2
1 − t2

gdzie Φ(x1 , x2 ) = x1q1 − x22 + x2

q1 − x21 .
3

Niech teraz R(t) będzie wielomianem stopnia 3 lub 4, który ma pojedyńcze pierwiastki zespolone. Rozważmy całkę (nie elementarną)
u=

Z x
0

q

dt
.
R(t)

Tak jak uprzednio definiujemy funkcję odwrotną x = f (u). Funkcja
f ma dwa okresy, które są liczbami zespolonymi, liniowo niezależnymi
nad ciałem liczb rzeczywistych. Spełnione jest równanie różniczkowe[f 0 (u)]2 = R(f (u)). Ponadto, przekształcenieu−→(f (u), f 0 (u))

definiuje parametryzację krzywej y 2 = R(x), którą nazywamy krzywą
eliptyczną Całki ostatniego typu pojawiają się, gdy obliczamy długość
łuku elipsy. Funkcje odwrotne x = f (u), gdy deg(R(x)) = 3, 4 noszą
nazwę funkcji eliptycznych i stanowią naturalne odpowiedniki funkcji
sinus. Całki przy pomocy, których definiujemy funkcje eliptyczne noszą
nazwę całek eliptycznych. W przypadku, gdy R jest wielomianem stopnia większego od czterech, równanie y 2 = R(x) zadaje krzywą hipereliptyczną.
Funkcje eliptyczne znajdują się w centrum zainteresownia wielu
czołowych matematyków od około trzystu lat. Tomy I-20 i I-21 dzieła
Opera omnia Leonarda Eulera prawie w całości były poświecone badaniu całek eliptycznych. W szczególności, Euler (uogólniając wcześniejRdt
sze wyniki Fagnano) dowiódł wzór na dodawanie całek 0x √1−t
4 (jest to
całka długości łuku lemniskaty), który ma postać:
Z x
Z Φ(x ,x )
dt
dt
dt
2
1 2
√
√
+
=
,
0
0
0
1 − t4
1 − t4
1 − t4√√x1 1−x42 +x2 1−x41
gdzie Φ(x1 , x2 ) =. Legendre, Gauss, Eisenstein i Wei1+x21 x22
erstrass podjęli badania całek i funkcji eliptycznych rozpoczęte przez
Eulera. Na przykład, Legendre opublikował monumentalne dzieło na
ten temat: Traité des functiones elliptiques et des integrales euleriennes.
Gauss dowiódł, że funkcja odwrotna do całki długości łuku lemniskaty jest dwuokresowa oraz rozwinął teorię sinusa i cosinusa lemniskaty.
Jacobi, Eisenstein, a następnie Weierstrass podali swoje własne wersje
Z x

1

√

4

teorii funkcji eliptycznych oraz badali zastosowania funkcji eliptycznych
do analizy i arytmetyki. W naszych czasach najbardziej znaną funkcją
eliptyczną jest funkcja ℘, którą wprowadził Weierstarss podczas swoich
wykładów w Berlinie w latach 60-stych XIX wieku:




X
1
1
1

,
℘(z) := 2 +−22z(z − mω1 − nω2 )(mω1 + nω2 )(m,n)∈Z2 , (m,n)6=(0,0)

gdzie ω1 , ω2 jest ustaloną parą liczb zespolonych, takich że ω1 /ω2 ∈/ R.
Jest to dwuokresowa funkcja meromorficzna (której okresami są liczby
ω1 i ω2 ) o biegunach rzędu dwa w punktach kraty Λ := Zω1 +Zω2 (krata
Λ nosi nazwę kraty okresów funkcji ℘) i jest analityczna w pozostałychz ∈ C. Funkcja ℘-Weierstrassa spełnia równanie różniczkowe[℘0 (z)]2 = 4[℘(z)]3 − g2 ℘(z) − g3 ,gdzie
g2 := 601,
4
ω∈Λ, ω6=0 ωX

g3 := 140

1.
6
ω∈Λ, ω6=0 ωXFunkcja ℘(z) jest funkcją odwrotną do całki eliptycznej z = √ 3 dtR

4t −g2 t−g3

oraz spełnia wzór na dodawanie:
2

1 ℘0 (z1 ) − ℘0 (z2 ) ℘(z1 + z2 ) = −℘(z1 ) − ℘(z2 ) + .
4 ℘(z1 ) − ℘(z2 )Ostatni wzór pozwala wprowadzić strukturę grupy abelowej na punktach wymiernych krzywej eliptycznej y 2 = 4x3 −g2 x−g3 . Każda funkcja
eliptyczna, której kratą okresów jest Λ wyraża się jako pewna funkcja
wymierna dwóch zmiennych od ℘ i jej pochodnej. Dowody własności
funkcji ℘-Weierstrassa można znaleźć w książce Whittakera i Watsona:
Kurs analizy współczesnej II i w książce Langa: Elliptic functions. Teorię funkcji i całek eliptyczych zilustrujemy dwoma przykładami obliczenia okresów, które pochodzą ze wspomnianego dzieła Legendre’a.
Dla obliczenia okresów krzywej y 2 = 4x3 − 4x Legendre posłużył się
funkcjami Gaussa długości łuku lemniskaty i pokazał, że:

ω1 =

Z ∞
1

2

Γ( 14 )dt
1 1 1√
= B( , ) = 3/2 1/2 ,2 π
t3 − t 2 4 25

w2 = iω1 .

Ponieważ dla kraty Z[i] = Z+Zi zachodzi związek g2 = 4ω14 , otrzymujemy stąd wartość szereguΓ( 41 )81
= 6.
4
2 × 3 × 5 × π2(m,n)∈Z2 , (m,n)6=(0,0) (m + ni)
X

Dla krzywej y 2 = 4x3 − 4 okresy wyliczone przez Legendre’a wynoszą:

ω1 =

Z ∞
1

3

Γ( 13 )
1 1 1
dt√
= B( , ) = 4/3 ,2 πt3 − 1 3 6 2

w2 = ρω1 ,gdzie ρ2 + ρ + 1 = 0. Dla kraty Z[ρ] = Z + Zρ spełniony jest związek
g3 = 4ω16 , co pozwala obliczyć wartość szereguΓ( 31 )18
1
= 8.
6
2 × 5 × 7 × π6(m,n)∈Z2 , (m,n)6=(0,0) (m + ni)
XWystępujące w powyższych wzorach funkcje beta i gamma zdefiniował
Euler:
Γ(a)Γ(b) Z 1 a−1
B(a, b) :==x (1 − x)b−1 dx
0Γ(a + b)Z ∞∞zz−t z dt−γz −1 Y
e t=e z(1 + )−1 e n ,Γ(z) :=
0
t
n
n=1
gdzie
n 1
X
− log n)γ := lim (k→∞ k=1 k
jest stałą Eulera, równą w przybliżeniu 0, 577215664.
Za pomocą iloczynu niekończonego
σ(z) :=Y(1 −ω∈Λ, ω6=0z ωz + z22)e 2ω ,
ωdla kraty Λ = Zω1 + Zω2 definiujemy funkcję σ Weierstrassa, która
jest funkcją całkowitą i ma pojedyńcze zera w każdym punkcie kraty.
Funkcja σ pełni dla kraty Λ podobną rolę jak funkcjazz z(1 − )e n = −eγz Γ(−z)−1
n
n­1
Y

6

dla zbioru liczb naturalnych N, oraz jak funkcjaYsin(πz)z z=z(1 − )e nπnn∈Z, n6=0

dla zbioru lizb całkowitych Z. Funkcje ℘ i σ Weierstrassa łączy związek
d2℘(z) = − 2 [log σ(z)].
dz
W latach 20-stych XIX wieku Abel podał nową metodę obliczaniaR
całek √dt , dla wielomianu R stopnia ­ 5. Metoda Abela wymaga
R(t)wprowadzenia g nowych zmiennych, gdzie g oznacza rodzaj krzywej
y 2 = R(z). Przy tym podejściu do zagadnienia całkowania zamiast
badać jedną całkę analizuje się jednocześnie g całek. Gdy deg R(x) =5, 6 rodzaj krzywej y 2 = R(x) wynosi 2. Posługując się metodą Abela
w tym przypadku, definiujemy dwie nowe zmienne za pomocą układu
równań:
Z x
Z x
dt
dt
1
2
q
q
v1 =
+
,
o
0
R(t)
R(t)
v2 =

Z x
0

1

Z x
tdt
tdt
2
q
+
0
R(t)
R(t)

q

oraz funkcje f1 i f2 , które zadane są równaniami:
x1 + x2 = f1 (v1 , v2 )x1 x2 = f2 (v1 , v2 ).
Abel wykazał, że tak zdefiniowane funkcje f1 i f2 mają cztery okresy w
C2 , które jako wektory są liniowo niezależne nad ciałem liczb rzeczywistych. Funkcje Abela (od nazwiska autora nazywane funkcjami abelowymi) spełniają formuły dodawania dzięki, którym fi (v1 + u1 , v2 + u2 ), dlai = 1, 2 można otrzymać jako wyrażenie wymierne od wartości f1 , f2
i ich pierwszych pochodnych w punktach (v1 , v2 ), (v1 , u2 ), (u1 , v2 ) oraz
(u1 , u2 ).
Przypomnijmy, że każda gładka krzywa algebraiczna C zdefiniowana nad ciałem C zadaje zwartą powierzchnię Riemanna X := C(C)(to znaczy jednowymiarową, zwartą rozmaitość analityczną). Mówimy,
7że powierzchnia Riemanna X rodzaju g jest hipereliptyczna jeśli spełniony jest jeden z następujących równoważnych warunków:• istnieje nakrycie rozgałęzione F : X −→ P1C stopnia dwa sfery
Riemanna P1C = C ∪ {∞}• istnieje inwolucja w : X −→ X, która ma 2g + 2 punktów stałych• istnieje inwolucja w : X −→ X, taka, że powierzchnia ilorazowa
X/w jest rodzaju zero (to znaczy, X/w jest biracjonalnie równoważna z P1C ).
Oznaczmy przez α0 , α1 , . . . , α2g+1 ∈ P1C obrazy punktów rozgałęzienia
nakrycia F. Powierzchmia X jest zadana równaniem
2

y =

2g+1
Y

(x − αi )i=0jeśli αi 6= ∞, dla i = 0, 1, . . . , 2g+1, i równaniem
2

y =

2g
Y

(x − αi ),i=0jeśli α2g+1 = ∞. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: równanie
2y = R(x) =nY(x − βi ),i=1gdzie βi 6= βj dla i 6= j, zadaje krzywą hipereliptyczną rodzaju g =[ n−12 ]. Jeśli C jest krzywą hipereliptyczną rodzaju g > 1, to C posiada
2g+2 punktów Weierstrassa, które są jednocześnie punktami rozgałęzienia nakrycia F i punktami stałymi inwolucji w.
Najważniejsze prace w dorobku naukowym profesora Zdzisława
Krygowskiego dotyczą teorii funkcji abelowych dla krzywych hiperliptycznych. Przed omówieniem wyników poszczególnych prac zdefiniujemy rozmaitość Jacobiego krzywej hipereliptycznej, co pozwoli nam w
naturalny sposób wprowadzić macierze okresów i funkcje theta, o których pisał Krygowski. Niech C będzie krzywą algebraiczą, gładką, któraokreśla nad C powierzchnię Riemanna rodzaju g ­ 1 (geometrycznierzecz ujmując, nasza powierzchnia ma g ”dziur”). Niech Ω1 (C) oznacza przestrzeń 1−form różniczkowych, holomorficznych na C. Riemann8dowiódł, że wymiar tej przestrzeni nad C wynosi g. Ustalmy bazę (ω1 ,ω2 , . . . , ωg ) tej przestrzeni. Na przykład, jeśli C zadana jest równaniem
y 2 = R(x), gdzie R jest wielomianem stopnia 2g+1 o różnych pierwiastxdx
xg−1 dx
kach, to układ form różniczkowych ( dxy , y , ...,y ) stanowi bazęw Ω1 (C). Jak już wspomnieliśmy Abel zamiast obliczać całkę z jednej
formy ω ∈ Ω1 (C) rozważał jednocześnie całki z g form. Ustalmy punkt
P0 ∈ Ω1 (C). Przyporządkowanie punktowi P ∈ C(C) układu całek z
form bazy:
Z P
Z P
Z P
P −→ ( ω1 ,
ω2 , . . . ,
ωg )
P0

P0

P0

zależy istotnie od wyboru dróg całkowania, a także od wyboru punktu
P0 . Aby uniezależnić się od tych wyborów, ustalimy zamknięte drogi
całkowania γ1 , γ2 , . . . , γ2g , które zadają bazę pierwszej grupy homologii
H1 (C(C), Z) = Z2g powierzchni Riemanna C(C). Obliczamy wartości
R
2g 2 całek γi ωj , dla 1 ¬ i ¬ 2g, 1 ¬ j ¬ g, które nazywamy całkami
kanonicznymi
pierwszego rodzaju. Macierz utworzona z tych całek Ω :=hRiγi ωj ∈ Mg,2g (C) nosi nazwę macierzy okresów krzywej C. Macierzokresów zapisujemy w postaci Ω = [Ω1 |Ω2 ] przy tym g × g−macierzeΩ1 i Ω2 mają współczynniki w C. Z twierdzenia Riemanna wynika, żew przestrzeni Ω1 (C) i w grupie H1 (C(C), Z) można wybrać bazy w taki
sposób, że macierze Ω1 i Ω2 spełniają następujące warunki (tak zwane
relacje Riemanna):• Ω1 t Ω2 = Ω2 t Ω1
• macierz−i(Ω̄1 t Ω2 − Ω̄2 t Ω1 ) jest dodatnio określona.

Wynika z tego, że macierz Ω1 jest odwracalna oraz, że po zamianie bazmacierz Ω przyjmuje postać Ω = [Ig |τ ]. Przy tym Ig jest macierzą jednostkową, natomiast τ = Ω−1
1 Ω2 i τ jest macierzą symetryczną, którejczęść urojona jest macierzą dodatnio określoną. Oznaczmy przez ΛΩpodrupę w grupie addytywnej Cg generowaną przez kolumny macierzyokresów Ω. Wtedy po normalizacji, opisanej powyżej otrzymujemy kratę ΛΩ = Zg + Zg τ, którą nazywamy kratą okresów krzywej C. Krataokresów stanowi zbiór wartości układów g−całek z form różniczkowychz Ω1 (C) obliczanych po wszystkich drogach zamkniętych na C. Dla
ustalonego P0 ∈ C(C) przyporządkowanie
Z P

P −→ (

P0

ω1 ,

Z P
P0

ω2 , . . . ,
9

Z P
P0

ωg ) modulo ΛΩdefiniuje funkcję φP0 : C(C) −→ Cg /ΛΩ , którą nazywamy przekształceniem Abela-Jacobiego. Torus zespolony Jac(C) := Cg /ΛΩ nosi nazwę
rozmaitości Jacobiego krzywej C. Definicja rozmaitości Jacobiego, która
nie zależy od wyborów baz ma postać
Jac(C) := [Ω1 (C)∗ ]/H1 (C(C), Z),gdzie przestrzeń dualną Ω1 (C)∗ = Hom(Ω1 (C), C) utożsamiamy z Cg ,natomiast H1 (C(C), Z) z ΛΩ ⊂ Cg za pomocą zanurzenia
γ

−→

(ω −→

Z
γ

ω).

Niech Div(C) oznacza abelową grupę wolną generowaną przez punkty na krzywej C, a przez Div 0 (C) podgrupę dywizorów stopnia zero,Pzłożoną z kombinacji liniowych nP P, gdzie nP ∈ Z, nP = 0, dla praPwie wszystkich P, oraz nP = 0. Przekształcenie Abela-Jacobiego φP0
przedłuża się do homomorfizmu grup
φP0 : Div 0 (C) −→ Jac(C),który jest surjekcją, a jego jądro składa się z dywizorów wszystkich
funkcji meromorficznych na C. Ten ostatni fakt zostal dowiedziony
niezależnie przez Abela i przez Jacobiego (rzecz jasna w terminach całek
abelowych, a nie rozmaitości Jac(C)). Terminologia, którą wykorzystaliśmy przy zdefiniowaniu homomorfizmu Abela-Jacobiego została wprowadzona w pierwszej połowie XX wieku, w pracach Lefschetza i Weila,chociaż jej źródeł należy szukać w pracach Riemanna, Pryma, Apella i
Poincare’ego o funkcjach abelowych, które studiował Krygowski w końcu XIX wieku. W przypadku krzywej eliptycznej (wtedy g = 1) funkcja
φP0 zadaje izomorfizm grupy punktów wymiernych C(C)∪{∞} z grupą
Jac(C).
Z relacji Riemanna wynika, że macierz okresów Ω definiuje na
przestrzeni V = [Ω1 (C)]∗ formę hermitowską
H : V × V −→ C
H(z, w) = z t (=τ )w̄, która jest dualna do formyΩ1 (C) × Ω1 (C) −→ C
10zadanej przyporządkowaniem (ω, ω 0 ) −→ i C ω∧ω̄ 0 . Forma H przyjmuje
wartości całkowite na wektorach z kraty ΛΩ . Nazywamy ją formą Riemanna. Para (ΛΩ , H) określa na torusie zespolonym Jac(C) strukturę
rozmaitości algebraicznej rzutowej. Wynika to z twierdzenia dowiedzionego przez Lefschetza, które mówi, że istnieje zanurzenie torusa Jac(C)na podzbiór domknięty w przestrzeni rzutowej PN
C określone przez funkcje theta stowarzyszone z formą hermitowską H. Współcześnie mówimy,
że torus Jac(C) jest spolaryzowaną rozmaitością abelową. Torelli dowiódł, ż każda krzywa rzutowa gładka C nad C jest wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu rozmaitości zespolonych) przezparę (Jac(C), H).
R

Riemann wprowadził funkcję theta zdefiniowaną za pomocą rozwinięcia w szereg Fouriera
Θ(z, τ ) :=

X

t

t

eπi(m τ m) e2πi(m z) ,m∈Zg

dla z ∈ Cg i τ ∈ Mg,g (C), która jest macierzą symetryczną taką,żeaczęść urojona = τ jest dodatnio określona. Dla każdego wektora  bggz przestrzeni R × R definiujemy funkcję theta z charakterystyką:




t
t
a
θ   (z, τ ) := eπia τ b+2πia (z+b) Θ(z + τ a + b, τ ).
b





a
Jeżeli a, b ∈ 11 Zg ⊂ Rg , to wektor   nazywamy theta charakterybstyką. Jeżeli Ω = [Ω1 |Ω2 ] jest macierzą okresów krzywej C, to układ 4g
funkcji theta z charakterystykami, ze współrzędnymi 0 lub 21 , określa
zanurzenie holomorficzne na podzbiór domknięty w przestrzeni rzutowejg
φ : Jac(C) −→ P4C −1
 





a
−1

gdzie φ(z) := θ   (Ω−1
1 2z, Ω1 Ω2 ) . Współrzędne rzutowe indeksobawane są tutaj 4g wektorami   z 21 Zg ze współrzędnymi 0 lub 21 , pob 



1 1
1
0
0
.
.
.
0
.
.
.
2 . Z i skończywszy na  2 2cząwszy od wektora 1 1
10 0 ... 0
.
.
.
2 2
2
11

twierdzenia Lefschetza wynika, że funkcja φ ustala izomorfizm holomorficzny torusa zespolonego Jac(C) z podrozmaitością algebraiczną w
4g −1
PC. Równania algebraiczne, które określają rozmaitość algebraiczną
Jac(C) w przestrzeni rzutowej zadają
tożsamości algebraiczne spełniaane przez przestępne funkcje θ   (z, τ ).
b
W przypadku,
cztery funkcje theta z charakte  gdy g =
 1mamy
1
1
00
rystykami:   ,  2  ,  1  ,  21  . Są to funkcje zmiennych z, τ ∈ C,
0
0
2
2
gdzie =τ > 0, które (dla ustalonego τ ) określają zanurzenie krzywej
eliptycznej C/(Z+Zτ ) w przestrzeni rzutowej P3C (jako przekrój dwóch
powierzchni stopnia dwa). Dla ustalonego τ ∈ C, takiego, że =τ > 0
przyjmujemy oznaczenie q := eπiτ . Wtedy za pomocą funkcji theta z
charakterystykami można wyrazić klasyczne funkcje theta Jacobiego
zdefiniowane dla kraty Z + Zτ :1
(2m+1)2
X(−1)m q 4 eπi(2m+1)zϑ1 (z) = −iθ  21  (z, τ ) = −i
m∈Z
2






ϑ2 (z) = θ

0

1
2

(z, τ ) =X(−1)m q(2m+1)24eπi(2m+1)zm∈Zϑ3 (z) = θ X m2 2πimz
0(z, τ ) =
q e
0
m∈Z




1
X
2
ϑ4 (z) = θ  2  (z, τ ) =(−1)m q m e2πimz .
0m∈Z

Krygowski w swoich pracach [5], [17] i [18] badał tożsamości algebraiczne dla funkcji theta krzywych hipereliptycznych rodzaju g ­ 3.
Równania algebraiczne Jacobianów krzywych hipereliptycznych (i ogólniej arytmetyka i geometria tych rozmaitości abelowych) są intesywnie
badane w naszych czasach ponieważ znajdują różnorodne zastosowania w teorii liczb, analizie zespolonej i w fizyce. Ze względu na dużązłożoność obliczeniową operacji dodawania na rozmaitościach abelowych, równania Jacobianów krzywych hipereliptycznych (szczególnie
krzywych rodzaju 2 i 3) znalazły zastosowanie w kryptografii, przy12

konstrukcji bezpiecznych systemów kodowania z kluczem publicznym.
Widać z tego wyraźnie, że problematyka, którą prawie sto lat temu
uprawiał profesor Krygowski, nic nie straciła ze swojej atrakcyjności i
nadal stanowi obiekt badań wielu matematyków.
Literatura
N.H. Abel, Ouvres completès Tomme I, II, Zredagowane i opatrzone wstępem przez
L. Sylowa i S. Lie, Reprint drugiego wydania (1881), Edit. Jacques Gabay, Sceaux,
1992.
C.G. Jacobi, Gesammelte Werke Bände I-VIII, Reprint pierwszego wydania (z wieloma zmianami redakcyjnymi) (1864-1890), Chelsea Publising, 1969.
G. Göppel, Theorie transcedentum Abelianarum primi ordinis adumbrato levis,
J.Reine Angew. Math. 35 (1847), 277.
K. Weierstrass, Beitag zur Theorie der Abel’schen Integrale, Jahreber. Königl. katolishen Gymnasium zu Braunsberg in dem Shuljahre 1848/1849 (1849), 3-23.
G. Rosenhain, Abhandlung über Funktionen zweier Variabler mit vier Perioden,
Mem. Pres. l’Acad. de Sci. de France des Savants 9 (1851), 361-455.
K. Weierstrass, Zur Therie Abelchen Functionen, J. Reine. Angew. Math. 47 (1854),
289-306.
K. Burkhardt, Beitrage zur Theorie der hyperelliptische Sigmafunctionen, Math.
Ann. 32 (1888), 381-402.
F. Klein, Über hyperelliptische Sigmafunctionen, Math. Ann. 32 (1888), 351-380.
E. Wiltheis, Über die Potenzreihnen der hyperelliptischen Thetafunktionen, Math.
Ann. 32 (1888), 410-423.
O. Bolza, On the first and second derivatives of hyperelliptic σ-functions, Amer. J.
Math. 17 (1895) no. 11.
H. F. Baker, Abel’s thoerem and the allied theory including the theory of Theta
functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1897.
H. F. Baker, On the hyperelliptic sigma fuctions, Amer. J. Math. 20 (1898), 301-384.
H. F. Baker, Multiple periodic functions, Cambridge University Press, Cambridge,
1907.
A. Kräzer and W. Wirtinger, Abelsche Functionen und allgemeine Thetafunctionen, Encyklädie der Matematischen Wissenshaften, II (2), Heft 7, Teübner, 1915, pp.
603-882.
H. Bateman and A. Erdeleyi, Higher transcedental functions, vol. 2, McGraw-Hill,
New York, 1955.

13

J. D. Fay, Theta fuctions on Riemann surfaces, Lecture Notes in Math., 52, Springer
Verlag, Berlin, 1973.
E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambidge
University Press, Cambridge, 1973.
S. Lang, Elliptic functions, Springer Verlag, New York, 1973.
D. Mumford, Curves and their Jacobian, University of Michigan Press, Ann Arbor,
1975.
P. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley, New York, 1978.
H. M. Farkas and J. Kra, Riemann surfaces, Graduate Texts in Math., 71, Springer
Verlag, New York, 1980.
D. Mumford, Tata lectures on Theta I, Birkhäuser Verlag, Berlin, 1982.
J.-I. Igusa, Problems on abelian functios at the time of Poincaré and some at present,
Bull. of the AMS, 6, no. 2 (1982), pp. 161-174.
A.Wiles, Modular eliptic curves and Fermat’s last theorem, Ann. ofMath. 141, no.2
(1995), pp. 443-551.
H.-J. Weber, Hyperelliptic simple fators of J0 (N ) with dimension at least 3, Experim. Math., 6, no. 4 (1997), pp. 273-287.
J.-P. Serre, Ouvres, Collected papers vol. I-IV, Springer Verlag, 2000.
G. Shimura, Collected papers vol. I-IV, Springer Verlag, 2001.
J. Guárdia, Jacobian nullwerte, periods and symmetric equations for hyperelliptic
curves, Ann. Ins. Fourier, Grenoble, 57, no. 4 (2007), 153-1283.
R. de Jong, Canonical height and logarithmic equidistribution on superelliptic curves,preprint, arXives: 0911.1271.

1.2 Omówienie prac
Pierwszą pracę Zdzisław Krygowski opublikował w czasopiśmie Prace Matematyczno-Fizyczne w 1894 roku w wieku 21 lat. Problematyka, której poświęcona została praca [1] wytyczyła główny nurt badań
Krygowskiego w pierwszym okresie twórczości naukowej, aż do przedstawienia rozprawy habilitacyjnej w 1908 roku. Rozwijana przez całydziewiętnasty wiek (poczynając od wyników Abela i Jacobiego, przez

14prace Riemanna i Pryma, po badania Weierstrassa i Poincare’ego) teoria funkcji abelowych, a w szczególności funkcji eliptycznych i hipereliptycznych, stanowiła na przełomie wieków XIX i XX, jedną z najważniejszych dziedzin matematyki. Badania naukowe Krygowskiego, których
wyniki zawierają prace [1] - [12] z listy publikacji, mieszczą się w głównym nurcie tematycznym tej dziedziny.
W pracy [1] Krygowski podejmuje problem rozwijania funkcji
abelowych w szeregi trygonometryczne. Niech u(z) będzie funkcją eliptyczną (zmiennej zespolonej z) zadaną przez całkę
Z u
0

dt
= z,
(1 − t2 )(1 − k 2 t2 )qo okresach 4K i 2K 0 i. Współczynniki szeregu Fouriera funkcji u(z) mająpostać ogólną
mπi u √dumπiz
1 Z z0 +4K
1 Z z0 +4K
u(z)e 2K dz =u(z)e 2K 0 (1−u2 )(1−k2 u2 ) dz.
Am =
4K z0
4K z0
Riemann, a następnie Poincare i Appell zastosowali rozwinięcia klasycznych funkcji theta do obliczania współczynników Am w rozwinięciach
trygonometrycznych pewnych funkcji przestępnych. W pracy [1] Krygowski stosuje metodę Appella-Poincare do badania szeregu Fouriera
funkcji∞X
1
H(x) =
2zn=−∞ [(x − ma) + p]
i funkcji ogólniejszych

R

H(x1 , x2 , . . . , xk ) =1,z(m1 ,m2 ,...,mk )∈Zk [F (m1 , m2 , . . . , mk )]X

gdzie F (x1 , x2 , . . . , xk ) jest formą kwadratową zmiennych x1 , x2 , . . . ,xk oraz |z| > k2 . Krygowski wykorzystuje rozwinięcia funkcji Γ i funkcji
ϑ3 Jacobiego przy wyprowadzeniu rozwinięcia
H(x) =∞
X

Am cos

m=0

gdzie

2πmx
,
a

Z
2 2
2σ
−pu− ma2πu z− 23
Am =
e
u du,
au(e2πiz −1)Γ(z) L

15

oraz σ = 0, gdy m = 0 oraz σ = 1, gdy m 6= 0. Występująca we wzorze
na Am całka krzywoliniowa wyraża się w pewnych przypadkach, za
pomocą funkcji wykładniczych, a w innych za pomocą funkcji specjalnej
Bessela. Podobne rozwinięcia Krygowski wyprowadza także dla funkcji
H(x1 , x2 , . . . , xk ). W następnej części pracy [1] Krygowski zastosował
tak zwaną tożsamość dwukwadratową Jacobiego łączącą wartości specjalne funkcji ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 i ϑ4 do wyprowadzenia (analogicznej w formie)zależności agebraicznej dwóch szeregów postaci
1z(m1 ,m2 ,m3 ,m4 )∈Z4 (P1 P2 P3 P4 )X

i dwóch szeregów postaci
1z(m1 ,m2 ,m3 ,m4 )∈Z4 (Q1 Q2 Q3 Q4 )X

gdzie
Pj = a2j m2j + 2mj vj i
11
Qj = aj (mj + )2 + 2(mj + )vj i
22
dla j = 1, 2, 3, 4 i ustalonych wektorów (a1 , a2 , a3 , a4 ), (v1 , v2 , v3 , v4 )z C4 . Podobne tożsamości łączące wartości funkcji zwiazanych z funkcjami theta były dowodzone w późniejszych pracach Krygowskiego na
przykład w [5], [10] i [12]. W pracy [1] autor dowodzi także rozwinięcia funkcji H(x) za pomocą funkcji theta wprowadzonych przez Briota
i Bouqueta. W zakończeniu pracy [1] Krygowski nakreśla program dalszych badań funkcji specjalnych, który realizuje konsekwentnie w swoich następnych pracach. Program ten sprowadza się do następujących
zagadnień badawczych:• badania rozwinięcia funkcji specjalnych (np. funkcji hipereliptycznych) w szeregi trygonometryczne metodą Apella-Poincare’ego• znajdowanie zależności algebraicznych pomiędzy szczególnymi wartościami funkcji specjalnych, które wynikają z klasycznych tożsamości spełnianych pzez funkcje theta Jacobiego, Riemanna, Pryma
i Krätzera16• obliczanie wartości całek hipereliptyczncyh za pomocą rozwinięć
w szeregi trygonometryczne metodą Apella-Poincare’ego.
Prace [2], [3] i [4] z listy publikacji Krygowskiego poświęcone
zostały pewnemu zagadnieniu z klasycznej analizy zespolonej. W tych
pracach Krygowski rozwija pochodzącą od Poincare’ego metodę konstruowania funkcji zmiennej zespolonej, które mają z góry zadany zbiór
osobliwości. Pierwsze przykłady takich funkcji poznajemy zazwyczajP2nna wykładach z analizy zespolonej, jak na przykład f (z) = ∞n=1 z(ze zbiorem osobliwości wypełniającym okrąg jednostkowy) lub funkcja
Tannery’ego∞ z 2n−1X
1+z
ψ(z) = −−22n1−zn=1 1−z(zbiór osobliwości ψ jest okręgiem jednostkowym, funkcja przyjmuje
wartość −1 wewnątrz koła jednostkowego oraz wartość 1 na zewnętrz
koła jednostkowego). Niech {Ar }r∈N będzie zbiorem gęstym w kole jednostkowym zawartym w płaszczyźnie zespolonej. W pracy [4] Krygowski wykorzystuje funkcję Tannery’ego do konstrukcji funkcji postaci
φ(z) =∞ Φ(r, θ, A )Xr
mrr=1 (z−Ar )(dla ustalonej liczby naturalnej p) o następujących własnościach:(a) punkty osobliwe funkcji φ(z) leżą gęsto w koleK(0, p) := {z ∈ C :|z| ¬ p},(b) na zewnątrz koła K(0, p) szereg określający funkcję φ(z) jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie,(c) poza kołem K(0, p) funkcja φ(z) jest jednokrotną funkcją analityczną.
Praca [4] zawiera konstrukcję funkcji Φ(r, θ, Ar ), dowody własności (a),(b) i (c) oraz dyskusję możliwych uogólnień.
Prace [2] i [3] zawierają konstrukcję i analizę własności kolejnych
przykładów funkcji zmiennej zespolonej o zadanym zbiorze osobliwości.
17

Niech q1 , q2 , q3 , q4 będą liczbami zespolonymi o module mniejszym odjeden. W pracy [3] Krygowski definiuje i bada funkcję
q1m1 q2m2 q3m3 q4m4
φ(z) =√
m3 −m4 ,1(m1 ,m2 ,m3 ,m4 ) z − m1 +m2 [(m1 −m2 ) + i2 m1 m2 m3 +m4 ]X

gdzie sumowanie wzięte jest po czwórkach liczb całkowitych nieujemnych z wyłączeniem przypadków: m1 = m2 = m3 = m4 = 0 oraz
m1 = m2 = 0, m3 = m4 = 0. Funkcja φ jest jednowartościową funkcją
ciągłą poza kołem jednostkowym, które stanowi jej obszar osobliwy.
∞
Niech {aj }∞j=1 , {Aj }j=1 będą ustalonymi zbiorami liczb zespolonych taPkich, że szereg Aj jest zbieżny bezwzględnie. W dalszej częśći pracy[3] i w pracy [2] Krygowski modyfikuje metodę Poincare’ego konstruk1
cji funkcji z osobliwościami w zbiorze {aj }∞j=1 zastępując wyrażenia z−aj
z metody Poincare’ego wyrażeniami postaci
πiaj(−1)m e− a,z − aj − magdzie a ∈ C× jest ustaloną liczbą, a m przebiega liczby całkowite. Autor
wprowadza funkcję
πiaj(−1)m Aj e− aφ(z) =,
j m=−∞ z − aj − maX∞Xi po przekształceniu
πiaj

π X (−1)m Aj e− aφ(z) =,
a j sin πa (z − aj )oraz dowodzi, że φ jest funkcją jednokrotną, ciągłą poza punktami
zbioru {aj + ma}∞
j=1,m∈Z . Następnie Krygowski wykorzystuje funkcję
φ do zdefiniowania pewnych funkcji dwuokresowych zmiennej zespolonej. ktore mają osobliwości w punktach zbiorów{aj + mω + m0 ω 0 :j ∈ N, m, m0 ∈ Z}

{bj + mω + m0 ω 0 :j ∈ N, m, m0 ∈ Z},

gdzie ω, ω 0 jest ustaloną parą okresów kraty w C, natomiast {aj }∞j=1 i∞{bj }j=1 są ustalonymi zbiorami liczb zespolonych.
18Praca [2] opublikowana w prestiżowym czasopiśmie Bulletin dela Societe Math. France zawiera zwięzłe omówienie modyfikacji metody
Poincare’ego i jej zastosowania do teorii funkcji eliptycznych i ogólniejszych funkcji dwuokresowych zmiennej zespolonej.
Przystąpimy teraz do omówienia wyników Krygowskiego z prac[5], [7], [10] i [12], które stanowią najważniejszą część dorobku naukowego tego autora. Rozważmy krzywą hiperliptyczną rodzaju 2 zadaną
równaniem
y 2 = R(x) = x5 + p41 + p2 x3 + p3 x2 + p4 x + p5 ,w którym wielomian R(x) = 4i=0 (x − αi ) ma pierwiastki rzeczywiste i
α0 > α1 > α2 > α3 > α4 . Z taką krzywą w naturalny sposób związane
są całki abelowe pierwszego rodzaju
Qxk−1 dxqR(x)Zi całki abelowe drugiego rodzaju
Zxk+1 dxq,R(x)dla k = 0, 1. Powierzchnię Riemanna krzywej rozcinamy wzdłuż pętli
a1 , a2 , b1 , b2 , które odpowiadają wybranym generatorom pierwszej grupy homologii. Liczby zespolone uzyskane po wykonaniu całkowania po
drogach a1 , a2 , b1 , b2 dla całek pierwszego rodzaju oznaczymy przez2ωk1 ,

02ωk1,

2ωk2 ,

02ωk2,

natomiast dla całek drugiego rodzaju przez2ηk1 ,
Niech
Ik =

Z

0
2ηk1
,

2ηk2 ,

02ηk2.

a0k + a1k x + a2k x2 + a3k x3qdx
2 R(x)(gdzie k = 1, 2) będzie całką abelową ogólnej postaci dla krzywej y 2 =R(x). Jeżeli wykonamy normalizację całek Ik po drogach całkowania
a1 , a2 , b1 , b2 w ten spośob, że dla k = 1 przyjmą one wartości:
0,

0,

−2πi,
19

0,

natomiast dla k = 2 przyjmą wartości:
0,

0,

0,

−2πi,

wówczas współczynniki aij formy różniczkowej z całki Ik zostaną wyrażone za pomocą następujących formuł (Krygowski przypisuje je Weberowi):
a0k = 3η2k + 2p1 η1k + p2 ω2k
a1k = η1k − p2 ω1k
a2k = −ω2k − 2p1 ω1k
a3k = −3ω1k .
W pracy [10] Krygowski w elegancki sposób wyprowadza odpowiedniki
wzorów Webera na współczynniki aij form różniczkowych całek abelowych Ik dla krzywych hipereliptycznych y 2 = R(x) rodzaju g zadanych
wielomianami
2g+1

R(x) = x2g+ p1 x + . . . + p2g+1 =2gY(x − αi ),i=0których pierwiastki są liczbami rzeczywistymi α0 > α1 > . . . > α2g .
Krygowski opisuje algorytm, który pozwala efektywnie (po obliczeniu
pewnej liczby wyznaczników macierzy) wyrazić całki abelowe hipereliptyczne ogólnej postaci za pomocą znormalizowanych całek abelowych
pierwszego i drugiego rodzaju. W przypadku, gdy g = 3, 4, Krygowski
stosuje swój algorytm do zupełnego wyznaczenia całek Ik , których liczniki funkcji wymiernych zawierają dowolne wielomiany stopni odpowiednio 5 i 7.
Prace [5], [7], [10] i [12] (oraz ich omówienia [6], [8] i [11])są poświęcone teorii funkcji theta, które określają zanurzenia rozmaitości Jacobiego krzywych hipereliptycznych w przestrzeniach rzutowych. Warto podkreślić, że badania Krygowskiego koncentrowały sięna zagadnieniach teorii funkcji theta, które były przedmiotem zainteresowania najlepszych matematyków tamtych czasów na przykład:
Riemanna, Pryma, Webera, Frobeniusa, Poincare’ego i Appella. Badano przede wszystkim analityczne własności funkcji theta. Współcześnie

20

te same funkcje, o których sto lat temu pisał Krygowski, są nadal badane za pomocą nowoczesnej analizy i algebry. Metody geometrii algebraicznej XX wieku (rozwiniętej przez Grothendieka, Serre’a i ichwspółpracowników) pozwalają uzyskiwać czysto teorio liczbowe informacje z własności takich funkcji, jak funkcje theta krzywych hipereliptycznych, że wspomnę w tym miejscu teorię form automorficznych(i program Langlandsa), która pozwala (w szczególnych przypadkach)znajdować rozwiązania równań algebraicznych w liczbach całkowitych.
Wspomniany powyżej algorytm wyrażania całek abelowych za
pomocą całek kanonicznych został zastosowny przez Krygowskiego w
pracy [12] do uzyskania rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji theta
stowarzyszonych z krzywymi hipereliptycznymi y 2 = R(x), gdzie R jest
wielomianem o współczynnikach zespolonych. Dla krzywych drugiegorodzaju Weierstrass (patrz Mathematische Werke III, str. 289) wprowadził piętnaście funkcji hiperliptycznych, w tym pięć funkcji pierwszej
kategorii:ϑ2µ (v1 , v2 )= c2µ (x1 − αµ )(x2 − αµ );ϑ25 (v1 , v2 )(µ = 0, 1, 2, 3, 4),oraz dziesięć funkcji drugiej kategorii:
ϑ2µν (v1 , v2 );
ϑ25 (v1 , v2 )(µ, ν = 0, 1, 2, 3, 4, µ < ν)

gdzie R(x) = 4i=0 (x − αi ) oraz cµ są stałymi łatwymi do obliczenia za
pomocą αµ . W pracy, opublikowanej przez Appella w tomie XIII czasopisma Acta Mathematica, podana została ogólna metoda rozwijania
funkcji hiperliptycznych pierwszej kategorii w szereg Furiera. Metody
Appella nie można zastosować do rozwijania funkcji
Qϑ2µν (v1 , v2 )
ϑ25 (v1 , v2 )drugiej kategorii. W wyrażeniach definiujących te funkcje w mianowniku występuje czynnik (x1 − x2 )2 , który uniemożliwia zamianę całki
podwójnej we wzorze na wspołczynnik Fouriera na iloczyn dwóch całek
21pojedyńczych, jak to ma miejsce w metodzie Appella zastosowanej dofunkcjiϑ2µ (v1 , v2 ).
ϑ25 (v1 , v2 )Rozwiązanie tej trudności stanowi główny wynik prac [10] i [12], którezłożyły się na rozprawę habilitacyjną Krygowskiego przedstawioną w
1908 roku. Z tego powodu temu zagadnieniu poświęcimy tutaj niecowięcej miejsca.
Rozważmy układ równań Abela-Jacobiego
Z x A +A x
Ai1 + Ai2 x
2
i1
i2
q
q
dx +
dx = vi ,
α1
α3
R(x)
R(x)

Z x

1

dla i = 1, 2, gdzie R(x) = 4i=0 (x − αi ), natomiast pierwiastki spełniają
warunki: α0 > α1 > α2 > α3 > α4 . Zakładamy, że całki pierwszego
rodzaju są znormalizowane w ten spośob, że macierz okresów ma postaćQ

1 0 τ11 τ21 
.
0 1 τ12 τ22
Z układu równań Abela-Jacobiego obliczamy wartość wyznacznika macierzy zamiany zmiennych:∂(v1 , v2 )x1 − x2q= −(A11 A22 − A12 A21 ) q.
∂(x1 , x2 )R(x1 ) R(x2 )Przy takich oznaczeniach funkcje hipereliptyczne drugiej kategorii wprowadzone przez Weierstrasa przyjmują postaćqq(x1 − αµ )(x1 − αν ) (x2 − αµ )(x2 − αν )ϑµν (v1 , v2 )= cµνP (x1 , x2 )
ϑ5 (v1 , v2 )(x1 − x2 )√√R(x1 )R(x )gdzie P (x1 , x2 ) = (x1 −αµ )(x1 −αν ) − (x2 −αµ )(x22−αν ) , a stałe cµν wyrażają
się przez wartości pochodnej wielomianu R w miejscach αµ . Rozważmy
rozwinięcie FourieraXϑ2µν (v1 , v2 )=Pn1 n2 e2πin1 v1 +2πin2 v22
ϑ5 (v1 , v2 )(n1 ,n2 )∈Z×Z

22ϑ2 (v ,v )gdzie współczynniki Pn1 n2 szeregu Fouriera funkcji ϑµν2 (v11,v22) obliczamy5
za pomocą całki podwójnej
Z 1 Z 1 ϑ2 (v , v )µν 1 2 −2πin1 v1 −2πin2 v2
P n1 n2 =edv.
0 0 ϑ25 (v1 , v2 )Po wykonaniu podstawień otrzymujemy
Pn1 n2 = −c2µν (A1 A22 −A12 A21 )××(x1 −αmu )(x2 −αmu )(x1 −αnu )(x1 −αnu ) 2
qq
P (x1 , x2 )e−A dx1 dx2 ,L1 L2(x1 −x2 ) R(x1 ) R(x2 )ZZ

gdzie całkowanie odbywa się po odpowiednio dobranych drogach L1 i
L2 na powierzchni Riemanna orazA = 2πin1

Z x

1

α1

dω1 +

Z x

2

α3



dω1 + 2πin1

Z x

1

α1

dω2 +

Z x

2

α3



dω2 ,

W ostatnim wzorze w nawiasach kwadratowych występują całki kanoniczne rozważanej krzywej. We wzorze na współczynnik Pn1 n2 występuje
całka podwójna z funkcji wymiernej z wyrażeniem liniowym (x1 −x2 )w mianowniku. Pojawienie się właśnie tego wyrażenia uniemożliwia zastosowanie metody Appella do rozwijania funkcji drugiej kategorii w
szereg Fouriera przez wyrażenie Pn1 n2 za pomocą iloczynu całek pojedyńczych.
W pracy [12] Krygowski podaje nową metodę rozwinięcia funkcji
ϑ2 (v ,v )theta takiego typu, jak ϑµν2 (v11,v22) . Do uzyskania rozwinięcia w szereg Fo5
uriera funkcji hipereliptycznych drugiej kategorii Krygowski stosuje algorytm z pracy [10] na wyrażania całek abelowych postaci Ik za pomocą
całek kanonicznych pierwszego i drugiego rodzaju. W metodzie opracowanej przez Krygowskiego wykorzystuje się klasyczne wyniki Königsberga (opublikowane w tomie 65 Journal für die reine und angewandete
Mathematik) oraz wspomniane już wzory na funkcje theta Weierstrassa
i Webera oraz funkcje theta w postaci Rosenchaina. W pracach [10] i[12] Krygowski wielokrotnie ilustruje działanie swojej metody (rozwijania funkcji hipereliptycznych w szereg Fouriera) przykładami obliczeń
dla krzywych rodzaju 2 i 3 (patrz na przykład wzory (5.39) i (5.40) z
pracy [12], dla g = 2).
23

W pracy [13] Krygowski podaje nowy dowód rozwinięcia funkcji
eliptycznej sn(u) Jacobiego w szereg trygonometryczny
∞
2π X
nπu
qn
sn(u) =
sin
K n=1 1 − q nKgdzie 4K jest okresem funkcji sn(u). Jacobi uzyskał to rozwinięcie za
pomocą funkcji theta. Dowód Krygowskiego z pracy [13] jest prostszy od dowodu Jacobiego, bo wykorzystuje ogólną metodę rozwijania
funkcji meromorficznych w szeregi trygonometryczne pochodzącą od
Appela (Acta Mathematica, tom XIII) i nie używa skomplikowanych
technicznie własności funkcji theta.
Prace [14] i [15] z algebry liniowej zawierają ciekawy wynik z
teorii wyznacznika macierzy kwadratowej o wpółczynnikach w ciele.
Autor podaje uogólnienie wzoru Trudi-Gordana na obliczanie liczby
inwersji w rozkładzie dowolnej permutacji. Ten nowy wzór na liczbę
inwersji został następnie zastosowany przez Krygowskiego do rozkładu
wyznacznika na sumę produktów trzech wyznaczników niższych rzędów
metodą Laplace’a i Vandermonde’a. W tym rozkładzie atuor zastępuje
klasyczną regułę znaków Jacobiego lepszym sposobem obliczania znaków, który wyprowadza z uzyskanego przez siebie uogólnienia wzoru
Trudi-Gordana.
Prace [16] i [21] są poświęcone teorii równań algebraicznych piątego stopnia o współczynnikach zespolonych. Z teorii Galois wiemy,
że wielomiany jednej zmiennej o współczynnikach zespolonych stopnia mniejszego od pięciu mają rozwiązalne grupy Galois, co w praktyce oznacza, że pierwiastki takich wielomianów (to znaczy rozwiązania
odpowiednich równań algebraicznych) można wyrazić przez współczynniki posługując się przy tym operacjami algebraicznymi: dodawaniem,mnożeniem i obliczaniem pierwiastka z liczby. Szczególny przypadek
takiego wyrażenia pierwiastków przez współczynniki za pomocą operacji algebraicznych zachodzi dla wielomianu kwadratowego. Wtedy
posługujemy się wzorami z pierwiastkiem kwadratowym z wyróżnika
(dobrze znana ”delta” z lekcji matematyki ze szkoły średniej). W przypadku wielomianów piątego i wyższych stopni grupa Galois zazwyczaj
nie jest grupą rozwiązalną, co na podstawie tego samego twierdzenia
Galois oznacza, że nie można wyrazić pierwiastków przez współczynniki24

za pomocą, li tylko operacji algebraicznych. W tym przypadku niezbędne okazują się funkcje nie algebraiczne, tak zwane funkcje przestępne,a dokładniej funkcje eliptyczne, gdy stopień wynosi pięć, oraz pewne
funkcje theta dla wielomianów wyższych stopni.
Intensywne poszukiwania skutecznego algorytmu na pierwiastki wielomianów wyższych stopni (opartego na funkcjach przestępnych)
były prowadzone od lat czterdziestych dziewiętnastego stulecia, to jest
od momentu, gdy opublikowano (pierwotnie zagubione) prace Galois. W czasie, gdy działał profesor Krygowski istniały dwa podstawowe sposoby podejścia do tego problemu podane, odpowiednio, przez
Hermite’a i Kleina. W pracy [16] Krygowski i Seipelt używają sposobu Kleina opartego o tak zwane równanie dwudziestościanu (patrz
F.Klein: Vorlesungen über Icosahedron, 1888), który pozwala wyrazić
pierwiastki wielomianu stopnia piątego za pomocą wartości pewnych
funkcji modularnych. Krygowski i Seipelt ulepszają metodę Kleina (zapomocą wyboru innego niezmiennika geometrycznego) czyniąc ją dogodniejszą do zastosowań w konkretnych obliczeniach. W tym miejscu
zacytujemy omówienie pracy [16] z tomu III Sprawozdań PTPN z 1933
roku, choćby ze względu na elegancki styl i piękny język tego tekstu.
Można przy-puszczać, że autorem tego sprawozdania był Zdzisław Krygowski.
Zdzisław Krygowski i Lidja Seipeltówna: Przyczynek do teorii
równań rozwiązujących równania dwudziestościanu.
W powyższej pracy z jednej strony podany jest sposób badania
grupy obrotów dwudziestościanu na podstawie odpowiedniego modelu,z drugiej zaś strony zostało wprowadzone nowe równanie rozwiązujące
równania dwudziestościanu na podstawie formy odpowiadającej środkom krawędzi ośmiościanu, wpisanego w dwudziestościan. Forma ta
rzędu dwunastego ma kształt:
K = 11(z112 + z212 ) − 84(z111 z2 − z1 z211 ) − 66(z110 z22 + z12 z210 )−−220(z19 z23 − z12 z29 ) + 165(z18 z24 + z14 z28 ) − 264(z17 z25 − z15 z27 ) − 924z16 z26 .
i czyni zadość równaniu:
K 5 + αf K 4 + βf 2 K 3 + γf 3 K 2 + δf 4 K + T 2 + κH 3 = 0,25

gdzie f, T, H są znane formy niezmienne Kleina, zaś α, β, γ, δ, , κmają następujące wartości liczbowe:
α = 420
β = 74190
γ = 6974900
δ = 349673625
 = 4286875
κ = 4447926.
Dla

420f
= K̄ − 84f
5powyższe równanie przyjmuje prostszy kształt:
K = K̄ −48K̄ 5 + 15840f 2 K̄ 3 + 6388800f 3 K̄ 2 + 73790640f 4 K̄++161051T 2 + 7891499H 3 = 0.
Między funkcjami K, t, W , przyczem t oraz W są funkcjami wprowadzonemi przez Kleina, zachodzi związek
K 2 + 135t4 + 256W 3 = 0
analogiczny do związku Kleina
T 2 + H 3 − 17285 = 0.
Metoda Kleina rozwiązywania równania algebraicznego stopniapiątego i związane z nią badania przyczyniły się do powstania wielu
nam współczesnych ważkich teorii matematycznych, takich jak teoria
form i funkcji automorficznych, teoria grup arytmetycznych, czy teoriarozmaitości Shimury. Praca [21] zawiera analizę rozwiązania pewnej
klasy równań piątego stopnia, dla której metoda Hermite’a prowadzi
do wyrażenia pierwiastków przez wartości funkcji algebraicznych od
współczynników wielomianu. Na zakończenie dodajmy, że dopiero w
1986 roku McMullen podał dobry algorytm (z czasem wielomianowym)
26

na obliczanie pierwiastków wielomianu stopnia piątego, dalej modyfikując metodę Felixa Kleina. Dla wielomianów stopni wyższych od pięciu wiadomo tylko, że do wyrażenia pierwiastków przez współczynniki
potrzebne są pewne funkcje theta, które można zastąpić funkcjami modularnymi Siegela drugiego rodzaju. Dowiódł tego Uemaru w 1983 roku. Skutecznego, wielomianowego algorytmu na pierwiastki dla stopniwiększych od pięciu, jak do tej pory nie poznaliśmy.
Prace [17], [18] i [19] zostały opublikowane w bardzo dobrym czasopiśmie matematycznym Bulletin des Sciences Mathematiques redagowanym w tamtych czasach przez E. Picarda, na krótko przed przejściem
profesora Krygowskiego w stan spoczynku w 1937 roku. Wspomniane
prace dotyczą wzoru na wyznacznik Kieperta z teorii funkcji eliptycznych. W tej teorii funkcja σ Weierstrassa pełni rolę uniweralnej funkcji
theta, przez którą można wyrazić funkcje eliptyczne. Najprostszą tegotypu tożsamość spełnia funkcja ℘ Weierstrassa℘(u) − ℘(v) = −σ(u + v)σ(u − v).
σ(u)2 σ(v)2Szczególnie ważne są tożsamości łączące funkcję ℘ i jej wyższe pochodne
z funkcją sigma. Taką tożsamością jest wzór Kieperta

1 ℘(u0 ) . . .
 1 ℘(u ) . . .
1



1
℘(u
2) . . .
det 
..
 ..
 .
.
1 ℘(un ) . . .

℘(n−1) (u0 )℘(n−1) (u1 ) PQn(n−1)σ( ui ) j6=k σ(uj −uk )℘(n−1) (u1 )  = (−1) 2 1!2!3! . . . n!
.
σ (n+1) (u0 )σ (n+1) (u1 ) . . . σ (n+1) (un )
..


.


℘(n−1) (un )Wzór Kieperta znajduje zastosowania w wielu miejscach teorii funkcji
eliptycznych, szczególnie w teorii mnożenia zespolonego oraz w metodzie Kieperta rozwiązywania równań algebraicznych stopnia piątego
za pomocą funkcji sigma. Wzór Kieperta wyprowadza się zazwyczaj z
twierdzenia Abela-Liouville’a. W pracy [18] Krygowski dowodzi wzoru
Kieperta za pomocą bardziej elementarnej metody, opartej na zastosowaniu twierdzenia Hermite’a o istnieniu zależności liniowej pomiędzy
n+1 funkcjami theta tej samej charakterystyki i tego samego rzędu n.
Szczególnie ciekawa jest praca [17], w której Krygowski uzyskuje dowody szeregu skomplikowanych tożsamości stanowiących uogólnienia
twierdzenia o dodawaniu funkcji sigma. Jedną z najprostszych włsności
jest znikanie następującej sumy dwudziestu wyrazów
27

X(−1)i1 +i2 +i3σ(ui1 +ui2 +ui3 )σ(uj1 +uj2 +uj3 ) ××σ(ui1 −ui2 )σ(ui1 −ui3 )σ(ui2 −ui3 )σ(uj1 −uj2 )σ(uj1 −uj3 )σ(uj2 −uj3 ) ××σ 3 (ui1 )σ 3 (ui2 )σ 3 (ui3 )σ 3 (uj1 )σ 3 (uj2 )σ 3 (uj3 ) = 0,gdzie suma jest wzięta po wszystkich trójkach wskaźników i1 < i2 < i3oraz j1 < j2 < j3 , które przebiegają zbiór liczb {1, 2, 3, . . . , 6}.
Lista prac matematycznych
profesora Zdzisława Krygowskiego[1] O pewnej klasie funkcji przestępnych i ich rozwijaniu na szeregi Fouriera, Prace Mat.Fiz. 5 (1894), 70-84.
[2] Sur les fonctions et espaces lacunaires, Bull. Soc. Math. Franc. 25 (1897), 240-243.
[3] Przyczynek do teoryi funkcyj o obszarach osobliwych, Prace Mat.-Fiz. 9 (1898), 213221.
[4] Z teoryi funkcyj analitycznych, Wiad. Mat. 3 (1899), 147-154.
[5] O pewnym zastosowaniu funkcyi theta, Sprawozdania I Gimnazjum w Przemylu, Nakładem Funduszu Naukowego, drukiem J. Styfiego, Przemyśl 1900, 3-20.
[6] O pewnym zastosowaniu funkcyi theta, Wiad. Mat. 4 (1900), 253-255.
[7] O rozwijaniu funkcyi hypereliptycznych pierwszego rzędu na szeregi Fouriera, Program II Szkoły Realnej, Lwów 1905, 3-31.
[8] Sur le développement des fonctions hyperelliptiques en séries trigonomtriques, C. R.
Acad. Sci. Paris 144 (1907), 889-892.
[9] O pewnych kształtach caek kanonicznych hypereliptycznych drugiego gatunku i ichzwiązkach z funkcyami theta, Wiad. Mat. 12 (1908), 27-34.
[10] Sur le développement des fonctions hyperelliptiques en séries trigonométriques (Orozwinięciu funkcyj hypereliptycznych na szeregi trygonometryczne), Prace Mat.-Fiz.
19 (1908), 21-61.
[11] Sur les intégrales hyperelliptiques canoniques de seconde espace, C. R. Acad Sci. Paris
146 (1908), 914-915.
[12] Sur le développement des fonctions hyperelliptiques en séries trigonométriques, deuxieme parte, Prace Mat.-Fiz. 20 (1909), 153-187.
[13] O rozwijaniu funkcji Z(u) Jacobiego na szereg trygonometryczny, Prace. Kom. Mat.
Przyr. PTPN (1921), 37-48.
[14] Solution d’un probleme d’analyse combinatoire et son application la théorie des dterminants, Bull. Soc. Amis. Sci. Pozna (1928), 67.

28

[15] O rozwiązaniu pewnego zagadnienia z analizy kombinacyjnej i jego zastosowaniu w
teorii wyznacznikw, Wyd. PTPN (1928), str. 8.
[16] Sur une équation résolvante de l’équation de l’icosaedre, Bull. Soc. Amis. Sci. B.4(1930), 10-18. (współ. L. Seipelt).
17] Sur certaines généralisations de l’équation a trois termes entre les fonctions sigma,
Bull. Sci. Math. 60 no. 2 (1936), 72-79.
[18] Remarques sur la formule de Kiepert dans la thorie des fonctions elliptiques, Bull.
Sci. Math. 61 no. 2 (1937), 110-114.
[19] Calcul du déterminant de Kiepert dans la théorie des fonctions elliptiques, Bull. Sci.
Math. 61 no. 2 (1937), 197-200.
[20] Sur une certaine famille de surfaces transcendantes, Bull. Soc. Amis. Sci. B.12 (1953),
107-111.
[21] Sur une classe des équations algébriques du cinquime degré résolubles algébriquement,
Bull. Soc. Amis. Sci. B.13 (1956), 295-299.

29