解説

拡散現象の数理川 上 竜 樹Tatsuki KAWAKAMI

理工学部数理情報学科准教授

Associate professor, Department of Applied Mathematics and Informatics

上記のような拡散現象を数理モデルとして考察す

1．はじめにる場合に現れるのが拡散方程式（熱方程式ともい

2017 年 4 月に数理情報学科に着任した川上竜樹う）である．理論としては上記のフーリエの法則です．専門は非線形偏微分方程式の漸近解析です．と， 密度変化は各部分における流入と流出によっ

本稿では私の研究分野について簡単に紹介させていて生じるただきます．分野の特性上，綺麗な図や模式図等が少ないことを予めお詫びいたします．

!
#$!#%!#&"での温度 "をおける 3 次元空間の点 #"!
"""!#!!"とすると，という連続の式から導出され，時刻 に"!!#!!""!"!#!!"

2．反応拡散方程式
各点での熱流は温度勾配に比例する ．これはフ"!は "の時間微分，!は 3 次ーリエの法則として知られている熱の流入・流出のと表される．ここで最も基本となる法則である．簡単に述べると，周囲元空間のラプラシアン（それぞれの空間変数に対すに比べて温度の高いところは時間とともに温度が低る 2 階微分の和）である．
（数学嫌いの方々は既に下し，逆に温度の低いところは熱が流れ込んで温度本稿を読み飛ばそうとしているかと思うが，もう少が上昇するということである．このように，熱伝導しお付き合いいただきたい．
）説明を簡単にするたによって温度分布が変化していく現象を熱拡散現象

めにここからは空間次元は 1 次元として考える．すという．熱伝導以外にも拡散現象は日常生活の中になわちも多く潜んでおり，例えばコーヒーにミルクを入れ"!""##

ると模様を作りがなら溶けていく（液体中の化学物質の拡散），研究室でカップ麺を食べると匂いが充（1）"がある点で最大値を取ったと仮満する（空気中の化学物質の拡散），お酒を飲み過である．ここでぎた後，ふらつきながら家に帰ろうとするといつも定しよう．このとき，最大点では関数は上に凸，つより時間がかかる or 帰れない（ブラウン運動，酔まり歩ともいう）などである．

するか同じ値になる．同様に最小値を取った点では―１―"##!#なので，（1）から次の瞬間に "は減少拡散方程式の解の時間変化関数は下に凸になるので，次の瞬間に%は増加するか同じ値になる．この様に拡散方程式を満たす関数（温度）は平均化されていくことがわかる．一般に無限に長い針金の上で（1）を考察した場合，解%は時間無限大で 0 に収束する．

一方，実際の拡散現象には様々な外力や自己（もp＝2 の時の爆発の様子

時間に食堂で食べるか，生協で購入するか，コンビ%!'!$"が空間的に一様，つ'!$"&&!$"の場合，&''&#となるので，（2）まり %!

ニで購入するかは一様に散らばる（拡散する）だけは次の常微分方程式

しくは相互）からの影響が現れる．例えば，お昼のの場合を考える．関数

でなく，その日の天気（外力），それぞれの混み具&$&&#合（相互効果）やその時に食べたいもの（趣向に関する走化性）に依存する．
（もちろん財布の中身にもよるが…．
）これらの多くは反応項と呼ばれるもとなる．これは変数分離形の 1 階常微分方程式であので表現され，先ほどの拡散方程式（1）に反応項るので，解を具体的に求めることができ，初期値%$&%''%"!%"&!$"&#$!!#!$"$$!#!$$"!%"を加えた（2）でモデル化される．これを反応拡散方程式という．
これらの反応項&!#"&$とすると"!%"の多くは非線形項として表現と な る．こ れ は 有 限 時 刻!&$"!#!$"で &!!"&%" となることがわかる．これを解の爆発という．

される．様々な数理モデルやそれぞれの反応項につこの爆発現象は明らかに関数（温度）を平均化する

いては例えば参考文献 1）〜3）を参照いただきたという拡散方程式の作用とは相反する．では（3）い．では，反応拡散方程式（2）に関する研究とはのような反応項を持った反応拡散方程式（2），つまどのようなものがあるのだろうか．

り%$&%''%%#

3．爆発現象と臨界指数（4）

ここでは最も単純な非線形性として自身の冪乗で増加する反応項"!%"&%#!##$（これを半線形熱方程式という）を無限に長い針金の上で考えた場合，解（3）―２―%は① 0 に収束する．（拡散が支配的）

②有限時間で爆発する．（反応項が支配的）化鉄の実験のように縁からの熱により自己生成的に③それ以外の挙動をする．（両方のバランス）

反応が進んでいくようなものや，より積極的に境界のどれになるであろうか．これは（4）に対する最上での反応を考慮したもの，縁の表面での拡散を考も基本的かつ重要な問題として古くから研究されて慮したものなども近年では考察されてきている．著4）

おり，1966 年の藤田宏先生の研究 に端を発するも者も半空間という最も単純な境界のある非有界領域のである．詳細は省くが初期温度が恒等的に 0 でなについて，境界からの流入量が自身の温度に依存す

いとき，るような次の場合"!%のとき，どんな初期温度でも必ず有限1）%"$$$"（非線形境界条件），$##%"$$$"（動的境界条件）

時間で爆発する．

"$%のとき，初期温度の状況により有限時2）間で爆発する場合と 0 に収束する場合の両方が起こる．
ことが示されている．この臨界指数!"$%"は藤田についてそれぞれ藤田指数と解が 0 に収束する場合の形状と速さを求めた7），8）．ここで%"は法線方向微指数と呼ばれている．また，それぞれの場合につい分である．このように，領域の内部における拡散現て，その形状や速さについても盛んに研究されてい象に留まらず，境界からの影響を考慮した拡散現象

る．詳しくは参考文献 5）を参照いただきたい．こが近年盛んに研究されている．特に，工学などからこでは，著者の研究としては解の高次漸近展開理論の要請もあり，境界上での反応を考慮した動的境界を構築した参考文献 6）を挙げるに留める．上記の条件が世界中で盛んに研究されている．この動的境ような臨界指数は他にもいくつか知られており，拡界条件については領域が有界な場合については古く

散と非線形のバランスや方程式に内在する構造，まは 1990 年代から精力的に研究されてきているが，た考える領域の形状から現れる．そのため，様々な非有界領域の場合はこれまでほとんど研究成果がな反応項に対して現在も精力的に研究が続いている．

く，多くの未解決問題が残っているとともに，今後の進展が期待されている．

4．境界からの影響
上記の話題は主に無限に長い針金や平面全体もし

5．異常拡散くは 3 次元空間全体（全空間という）をイメージしこれまで述べてきた拡散は，物質の粒子の平均二たものである．一方で，実際の化学物質の反応実験乗変位が経過時間 に関して線形に増大するいわゆや部屋での熱の動きは限られた空間（有界領域）やる#通常の拡散である．これと異なり，非線形に#!!$" $"に比例する現象がそれを顕微鏡で拡大した領域（半空間など）で観察増大する，すなわち， !

され，モデル化される．この場合は先ほどと違い，

知 ら れ て お り，異 常 拡 散 と 呼 ば れ て い る．特 に考える空間に縁（境界）が存在するため，縁での状!$$の場合を優拡散，##!#$の場合を劣拡散

況（境界条件）を考える必要がある．例えば有限のと呼び，乱気流や金融市場，アモルファス（半晶長さの針金の両端を氷等で冷やして温度を固定した体）半導体や有機 EL 素材における電荷移動，軽石もの（ディリクレ境界条件 or 第 1 種境界条件）や，やスポンジなどの多孔質媒質における拡散，あるい保温瓶のように外部との熱のやり取りをなくしたもは高分子の緩和現象などが知られている．この異常の（ノイマン境界条件 or 第 2 種境界条件），もしく拡散に付随する微分方程式としてははその両方が合わさったもの（ロバン境界条件 or（ⅰ）多孔質媒質方程式第 3 種境界条件）等が代表的なものである．また硫（ⅱ）空間微分に関して分数冪微分作用素を含む放―３―$#$!$! !!$$"

については先に挙げた動的境界条件との関連も指摘

物型方程式（ⅲ）時間微分に関して非整数階微分を含む微分方
程式

され10），ますますその研究の進展が期待されている．著者もこれらの話題についていくつか研究を行などが挙げられる．
（i）の多孔質媒質方程式は，先なっている11），12）が，その扱いの困難さからも非常に挙げたフーリエの法則の代わりに，温度勾配の係に多くの課題が残されている．特に，非整数階の時数（拡散係数）として自身の量を考慮したダルシー間微分を含む問題に関しては，数学的な基礎理論すの法則を用いることで得られる．多孔質媒質方程式

ら整備されていない状況であり，これからの研究のは見かけの単純さに反して，方程式自身が非線形性担う役割は非常に大きいと言える．

を有しており，（1）のような拡散方程式と大きく異なる性質を有している．例えば，拡散方程式の解は6．おわりに無限伝播性（目の前でライターの火を灯すと，アンこの様に，身近な現象を元にモデル化・簡単化さドロメダ星雲にある星の温度が微少であるが変化すれた問題についてもまだまだ多くの未解決問題が残る！！）を有するのに対して，多孔質媒質方程式のされている．近年では非常に優秀な計算機や数値計解は有限伝播性という性質を持っている．これは感算の理論が急速に発展してきており，多くの未解決覚的には非常に現実に即しているように思われる．

問題への強力なアプローチの一つとして注目を増し余談であるが，著者が修士の頃，助教の方に同じこている．いつか（そう遠くない未来？）AI によっとを意見した．その時は， 神ならぬあなたが，東て，未解決問題に対して完璧な証明が与えられる日

京湾に一粒落とした塩が，次の瞬間にカリフォルニが来てしまうかもしれない．そんな日が来るまでア海岸の塩分濃度を全く上昇させないとなぜ言い切は，紙とペンで数学の思考を楽しんでいきたいと思れるのかいます．と言われた．著書の修士論文はこの多孔質媒質方程式を扱ったものであったので， 物理現象と数学の理論は違うということを伝えてくれようとしたのだと理解しているが，かなり衝撃的であ

参考文献
１）柳 田 英 二，爆 発 と 凝 集（非 線 形・非 平 衡 現 象 の 数理），東京大学出版会，2006.

ったのを覚えている．話を元に戻すが，このように解の性質の違いからも，数学的な取り扱いが大きく異なり，非常に豊かな構造を含んでいることから多くの研究が行われてきた9）．一方で，非線形項を含

２）柳田英二，反応拡散方程式，東京大学出版会，2015.
３）二 宮 広 和，侵 入・伝 播 と 拡 散 方 程 式，共 立 出 版，
2014.
４）H. Fujita, On the blowing up of solutions of the Cauchy
problem forんだ問題を考えた場合，方程式と反応項の両方の非I, 13（1966）109-124.

線形性の影響により，拡散方程式に対して非常に有効な解析手法が適用できず，多くの未解決問題が起"!""!"!!!, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect.

５）P. Quittner and P. Souplet, Superlinear Parabolic Problems : Blow-up, Global Existence and Steady States, Birkh-

こされている．また，金融市場や生物個体の空間移

user Verlag, Basel, 2007.

動における異常拡散，特に飛躍型マルコフ過程と呼６）K. Ishige and T. Kawakami, Refined asymptotic profiles

ばれる確率過程によって記述される異常拡散の離散

for a semilinear heat equation, Math. Ann., 353（2012）モデルの連続極限として現れる分数冪微分作用素
や，高分子溶液のような不均質媒体中での拡散や土161-192.
７）T. Kawakami, Global existence of solutions for the heatequation with a nonlinear boundary condition, J. Math.

壌中での汚染物質の拡散などの数理モデルとして現Anal. Appl., 368（2010）320-329.

れる非整数階の時間微分を含んだ微分方程式は近年

８）M. Fila, K. Ishige and T. Kawakami, Large time behavior

非常に注目を浴びている．また，分数冪微分作用素

of solutions of a semilinear elliptic equation with a dynami-―４―

cal boundary condition, Adv. Differential Equations, 18１１）T. Iwabuchi and T. Kawakami, Existence of maild solutions for a Hamilton-Jacobi equation with critical fractional（2013）69-100.
９）J. L. Vazquez, Porous Medium Equation. Mathematicalviscosity in the Besov spaces, J. Math. Pures Appl.（9）,Theory, Oxford University Press, Oxford, 2006.

107（2017）464-489.

１０）L. Caffarelli and L. Silvestre, An extension problem re-１２）K. Ishige, T. Kawakami and H. Michihisa, Asymptotic

lated to the fractional Laplacian, Comm. Partial Differential

expansions of solutions of fractional diffusion equations,Equations, 32（2007）1245-1260.

SIAM J. Math. Anal., 49（2017）2167-2190.

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