計測自動制御学会東北支那窮177回研究集会：19弧1U．31）
茸料番号177・14

GAによる有理パラメータ曲線の最適化
Repara皿etrizationofrationalcurvesusingGencticAlgoril・○趣 柄象 人丸保 重範

Bin甜an別1anand呂higeIlOriOkubo
山形大学工学部

FacultyofEngineering，YamagataUniversity
キーワード‥有理曲線（rationalcurve），再パラメータ化（rel〕arametrization），最適化（Optimaldesign），遺伝アルゴリズL（genetica】gorithm）

連絡先：992・8510米沢市城南4−3−16 山形大学工学部・概観システム工学科 大久保研究室，Tel∴
023日−26−3皇45，Fax・：02B8・26・B205Email＝Zhaoby＠miI）ultra．yE．yarnagata・u．aC．jp

1．はじめにパラメータ曲線、曲面はCAD／CAMにおける幅・＼￣＝中り γ誌γ「り（1〕ヱ＝ヱ「り広く使われている。ほとんどのアルゴリズムは3Dユークリッド空間でなく、パラメータ空間で行う。しかし、三つの関数で与えられる。ベクトルの記号を使均一のパラメータ点列に対してその3Dユークって〔1）式がt」ッド空間の点列はほとんど不均一になっていP＝ダ（りる。従って、曲面を設計するとき、これら曲線（2〕式を微分したものを（2）

β「り ＝「f「り，J「り，ゴ「り」（3〕のため作られる曲面も不均一一なパラメータを持つ。この点は図1で明らかに示す。と書くことにする。微係数を∫■とか血山盈と書

文献2は非有理Bezier曲線に対する研究を行く代わりに曳としたのは物理からの輸入である。

ったが，有理Be血汀鮪備について研究は進んでp（t）がt時の点の位置を表すとすると、j中）はいかなかった。本報では，遺伝アルゴリズムを勒点の速度ベクトルになる。ベクトル上中）の点用いて有理Be加r曲線に対するパラメい夕最適さl擁）Fは化を研究する。

l帥ノl＝2．弧長パラメータ曲線とノルム曲線

匝什㌦十け「用コ十日什㌦〔4）で与えられ、パラメータtに関する運動の速さ2．1弧長パラメータ曲線を表す。

3D空間パラメータ曲線は1

〆＝〆「ユリ＝「‡′「山〆「∫ノ．ヱ′「棚のように、普通の微分記号を使う。

竿、／『＼亡永 （血・（カtl

血 d dF一ゆ ￠虚 血 血成一仁0巨1t；O〔9），＝ ■■■■−−−、 一 三＝，＿．＿

血 虚血 血 功曲

t芦1

（10）

（10）式から（7）式を使うことにより陣中

母ユ・「豊川計芸一芸芸已1＝山という当然な結果が出てくる。物理的に言えi・ま、運動（日）の速さは一定でつねに1であるということである1〕。

2．2ノルム曲線（6）式によって，パラメータ曲線p（t），t∈LO，1］の弧（C）

Fjg．1Uncvennndcvendi冒tributed

長は（12）式I〕aramet．Cr．

∫＝距碑

同様に♪（りを微分して得られる〆り＝「卯′り巾」．叶ⅧとなるD（13）式のような曲線「（t・）がノルム曲線と呼ば（5）れる。

は加速度ベクトルを表す。
他線p（L）の長さを計算すると、＝†ナご∴ ∫∫r（り＝〔G）（12）式から次（14）式が成り立っ。となる。

距中指隼抽岬＝1（14〕（G）式から∴微積分により耳り＝陣」芦つまり，任意ノルム曲線にとって一平均パラメータ速（7）度が常に1になる。

が出る。すべてのtに対して紳）≠0ならばl紳）J＞0であるから、Sはtの単調増加関数とい3．均一パラメータ曲線の評価関数うことになり、tをsの関数として書くことが可能になる。従って亡二輪腫（1）式あるいは上述から分かるように、弧長パラメータ曲線（2）式に代人することにより、曲線がパラメータSを使って表示することができる。

p〔s）の速さ帥渕は一定でつねに1であるから．

簡単のために（1）式及叫2）式がすでに3D空間の点列は均一になるに決まっている。

ダ＝〆∫ノ＝「叫′∫Åγr項ヱ「刷（12）（R） 曲線形状と次数nとパラメータの範囲t∈軋1岬とパラメータsで善かれているとする。

変わらないに対して、弧長パラメータ曲線に」」」

習慣上sで微分したときは番近似している普通のパラメータのノルム曲線2（13）r（t）が式（15）のような評価関数によって「1−αル（20）

叫ノ1一項＋「1−αノ〃ノ＝加朝一1糎

（15）

ここで 0くαく1。

求められる。

〔20）式を式（1別 に代入すると（15）式を展開して（lG）式J岩上仲）lユ山中紳＋1．■i 卦1−αノ価史・戸上・W血「7り捏、一叫＝「ト可万α′卜た・lr七・占両何J＝か嘲コかL（16）となる。したがって，評価関数は次のように書（封）になる。

くことが十分だといえる。

〔正∫＝出陣を（21）式に代入する「1【nJ「1−り十出（17）Cauchy−Schwarヱ不等式によって．超Jは明らと（18）式になる。したがって（1日）式とかなことである。

（21）式が同じ曲線を表す。

（18）式と（21）式が同じ曲線であることか

上付舶岬≧L抽呵ら，叶に制御頂点は同じ，ただし．制御頂点のここで′（f）＝lr嘲とg（り＝1であるロ

荷重ほ講師頑酋帖胸ル

4＿ 有理Be王ier曲線のパラメータの変になる。これら荷重に対する曲線がすべて同じ換曲線である。その中に弧長パラメータに一番近似する山線に対するq粥22）式によって求める。
これまでよく使われている有理曲線は有理ノ＝距正当紳輔梱・BeEier曲線である。

n次有理BeEier曲線は（22）

ここで‰（可はノルム曲線である0ダ上・1γ上・占吼長「りJ叶り＝（18）ーγ尤・占〃．た「り5．GAによる再パラメータ化である。ここで遺伝アルゴリズム（GA）は変数をコード
転出＝「1−り正Jた

耐 力．川ヰn一げ一斗r財（］．9）

化した追伝千とし，遭伝子集合に射し選択付ノト一軒（S巳1ection）ノ交叉（Crossoverト 突然変装（Mut吉1L血l）などの避伝干操作を繰り返し，適卯pん‖皿印判御頂点で、Ⅳ紺′J一．．．′帆はその制御応度関数が最大になるように探索する。（22）式
頂点の荷重である。

は相当な難しい有理垂項式で しかも微分の計

Mobius写像式（20）式によって】パラメータ算が非常に困難であるから，最適なαの探索にu∈［OJl】はパラメータt∈［OJl］に写像される。

遺伝アルゴリズム（GA）を使う。

3

簡単にするために〃 尉叫＝計−〔押五・研一柚ノ（24）と〃 町〃ノ＝計一畔十1蟻仙（25）を定義する。
したがって（21）式が

ミ巨富i＝（26）となる。

月 。（可−ヴ仔（叶月■α（可曾■仔（〟）＝抒1〔〃）月−α（打）町ヱ（zり一尺α（叶月■擢（可粁㌔（可（27）孟醐＝孟距−げ¶た聞）＝可古n＿．山（可一札再（可‡花回＝〃＿1 ＝督一姫山（￠一触軋】−α・肌軋輌
（29）

IIニ叫＝

川こぃ1
J王J

〃＿】

＝督一抑￣た￣1（〔1−ゆ‰−α・l批正回（30）

評価関数（22）式の樺分は台形方法によって〃−1陣〕血坤5（g（0〕＋g（1））＋芸g㈲‡（31〕となる。ここで以上＝宜ムJム＝〟Ⅳ

Fig．2．Flowcharl，Orgeneticalgorithm．

4

垂はw＝［11皇31】である。

本論文では簡単なGA（Simple Gene亡ic

園：i（a）は本来の曲線で，㈲は最適化後の曲線

山gnrithm）を蛙う。変数はα（0＜丘く1）である。遺である。αの値は0叫叫＝0．67である。（小まノルム

伝アルゴリズムのフローチャートをFig．2に示

曲線最適化前後の速度である。図3から見れば，す。

本有理M批ius写像でパラメ←夕を完全に改善す

了．応用ることが国難であり，ある程度の改善は■一丁能であることがわかる。

∩−9

遺伝アルゴリズムを僚うとき，次のパラメー︻凸タが使われる。個体数≡30，交文を行なう確率＝丁0甘栗然変異を行なう確率＝0．03J計算終了世代
致＝100，図4はmin（1）の行動を示す。

2

ヰ

6

8 10 12 14

ralOri由nalcurve．

28qO60

邑01ロ0Fig・4Behaviorofmin〔【）ing巳neticalgorithnl．

24681Dlコ14B，おわりに巾）Optimalcurvewlth

本論文では遺伝アルゴリズムを用いて、亜長パラメータに一番近い均一のパラメータを持つ有理BeEier曲線を最適化することを検討した。
例を通して、この方法の有効性を元す。今壊GAを用いて、より適当な有理入相blus写像を探索することを取り込んでいくつもりである。

0−1D．6凸畠

参考文献
11）小脚召七 曲線と曲面の微分幾何，罫輩房（c）Sp巳edofcurves．

（1996）

Fig．3ExampIcofreparametriEation．

皇）】l．T．Faruuki，Or）timalparamcLeri用Lic）nS．

凶3に京す曲線の制御頂点は亡b叩扉即・ノ揖de（ブG甜皿2日克⊥kβ∫如，14．

1−＝11巨10粕129；135こ103】で，制御頂点の荷15ヨ／16即1997）

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