第８回

スツルム・リウヴィル形式
理学部

齊藤国靖 ∗

2022 年 12 月 13 日
ロドリーグの公式で得られる直交多項式はスツルム・リウヴィル型と呼ばれる微分方程式の解である。スツルム・リウヴィル型微分方程式はこれまで扱ってきた変数係数の２階線型微分方程式であり、ルジャンドルの微分方程式など、様々な微分方程式がこの形式に当てはまる。具体例として、ロドリーグの公式によるルジャンドル多項式、エルミート多項式、ラゲール多項式がスツル
ム・リウヴィル型微分方程式の解であることを示そう。

1 スツルム・リウヴィル型微分方程式
ロドリーグの公式（第 7 回参照）でGn (x) = cn w(x)g(x)nとすると、n 次の多項式はϕn (x) =(1)c n dn{w(x)g(x)n }w(x) dxn(2)で与えられる。但し、cn は定数である。式 (2) の左辺は n 次多項式であり、右辺は w(x)g(x)n をn 回微分したものなので、関数g(x) はたかだか２次の多項式である。証明は 5 節で示すが、式 (2):::::::::::::::::::::::::::::
で与えられる直交多項式 ϕn (x) はスツルム・リウヴィル型微分方程式

ddx{dyw(x)g(x)dx}+ λn w(x)y = 0(3)の解である。式 (3) は::::::::::::::::::::::::::::
変数係数の２階線型常微分方程式であり、定数 λn は

(λn = −nϕ′1n − 1 ′′+gc12)(4)で与えられる。ここで、ϕ1 (x) は１次多項式、g(x) はたかだか２次多項式なので、ϕ′1 と g ′′ は共に定数である。以下、これまでに学んだ直交多項式• ルジャンドル多項式 Pn (x)∗ k.saitoh@cc.kyoto-su.ac.jp

1

2 ルジャンドルの微分方程式

2• エルミート多項式 Hn (x)• ラゲール多項式 Ln (x)が全てスツルム・リウヴィル型微分方程式 (3) の解であることを示そう。

2 ルジャンドルの微分方程式
ルジャンドル多項式の微分形（第 7 回参照）

Pn (x) =)n1 dn ( 2x −1nn2 n! dx(5)は、式 (2) において

cn =1,2n n!

g(x) = x2 − 1w(x) = 1 ,とする場合に等しく、g(x) は２次多項式である。また、

1,2c1 =g ′′ = 2であり、式 (5) で n = 1 とすると、

P1 (x) =)1 d ( 2x −1 =x2 dxとなる。つまり、

ϕ′1 ≡ P1′ (x) = 1なので、式 (4) より(n−1λn = −n 2 +×22)= −n(n + 1)となる。従って、スツルム・リウヴィル型微分方程式 (3) はddx{( 2) dyx −1dx}− n(n + 1)y = 0(6)で与えられる。式 (6) はルジャンドルの微分方程式と呼ばれ、y = Pn (x) が解である。

3 エルミートの微分方程式
エルミート多項式の微分形（第 7 回参照）

Hn (x) = (−1)n ex2

dn −x2edxn

は、式 (2) において

cn = (−1)n ,w(x) = e−x ,2g(x) = 1(7)

4 ラゲールの微分方程式3とする場合に等しく、g(x) は定数である。また、

g ′′ = 0c1 = −1 ,であり、式 (7) で n = 1 とすると、

H1 (x) = −ex2d −x2e= 2xdxとなる。つまり、

ϕ′1 ≡ H1′ (x) = 2
なので、式 (4) より()n−1× 0 = 2nλn = −n −2 +2となる。従って、スツルム・リウヴィル型微分方程式 (3) はddx{e−x2 dy}dx+ 2ne−x y = 02(8)で与えられる。式 (8) を少し計算すると(−2x)e−x2∴22 d y2dy+ e−x+ 2ne−x y = 02dxdxd2 ydy− 2x+ 2ny = 02dxdx(9)となる。式 (9) はエルミートの微分方程式と呼ばれ、y = Hn (x) が解である。

4 ラゲールの微分方程式
ラゲール多項式の微分形は

Ln (x) = exdn ( −x n )e xdxnで与えられる。これは、式 (2) において

cn = 1 ,w(x) = e−x ,g(x) = xとする場合に等しく、g(x) は１次多項式である。また、

c1 = 1 ,g ′′ = 0であり、式 (10) で n = 1 とすると、

L1 (x) = exd ( −x )e x =1−xdxとなる。つまり、

ϕ′1 ≡ L′1 (x) = −1(10)5 補足4なので、式 (4) より(n−1λn = −n −1 +×02)=nとなる。従って、スツルム・リウヴィル型微分方程式 (3) はddx∴ −e−x x{e−xdyxdx}+ ne−x y = 0dydyd2 y+ e−x+ e−x x 2 + ne−x y = 0dxdxdx∴xdyd2 y+ (1 − x)+ ny = 02dxdx(11)となる。式 (11) はラゲールの微分方程式と呼ばれ、y = Ln (x) が解である。

5 補足
ロドリーグの公式 (2) で与えられる n 次多項式 ϕn (x) がスツルム・リウヴィル型微分方程式 (3)の解になることを示す。まず、x の関数]
[dn+1dnF (x) ≡ cn n+1 g(x) {w(x)g(x) }dxdx(12)を考え、右辺の {. . . } の中身を次の様に微分する。

[]}
dn+1d { n−1F (x) = cn n+1 gg· wgdxdx}][{dn+1n−2 ′n−1 d(wg)= cn n+1 g (n − 1)gg · wg + gdxdx} ][{dn+1d′= cn n+1(n − 1)g w +(wg) g ndxdx(13)但し、簡単のため各関数の引数 (x) は省いた。次に、ロドリーグの公式 (2) で n = 1 とすると

ϕ1 (x) =∴c1 d{w(x)g(x)}w(x) dxdwϕ1(wg) =dxc1(14)なので、これを式 (13) の右辺の最後の項に代入すると[{} ]wϕ1dn+1′(n−1)gw+gn
dxn+1c1[{}]
dn+1ϕ1′n(n − 1)g += cn n+1wg
dxc1

F (x) = cnが得られる。ここで、Z(x) ≡ w(x)g(x)n(15)5 補足5と置いて、ライプニッツの積の微分公式∑dn+1(n + 1)!
{X(x)Y(x)}=X (n+1−k) Y (k)n+1dx
k!(n + 1 − k)!
n+1(16)k=0を用いると、式 (15) は[{} ]dn+1ϕ1′
F (x) = cn n+1
Z(n − 1)g +dxc1}{}[{ϕ′ϕ1Z (n+1) + (n + 1) (n − 1)g ′′ + 1 Z (n)= cn (n − 1)g ′ +c1c1{}]′′n(n + 1)
ϕ1′′′(n−1)(n − 1)g +Z+ ...
+2c1と計算できる。但し、Z (n) ≡(17)dn
Z(x)
dxnとした。式 (17) の右辺において、g(x) は x のたかだか２次の多項式、ϕ1 (x) は１次多項式なので、

g ′′′ = g (4) = · · · = 0 ,ϕ′′1 = ϕ1 = · · · = 0(4)である。従って、式 (17) は[{F (x) = cn(n − 1)g ′ +ϕ1c1}{}]ϕ′Z (n+1) + (n + 1) (n − 1)g ′′ + 1 Z (n)c1(18)と書ける。ここで、Z(x) を用いてロドリーグの公式 (2) を書き直すと

cn (n)Zw(x)ϕn (x) =wϕncn∴ Z (n) =(19)となる。よって、これを式 (18) に代入すると{F (x) =ϕ1(n − 1)g +c1′}{ϕ′(wϕn ) + (n + 1) (n − 1)g + 1c1′′′}wϕn(20)が得られる。
一方、Z(x) を用いて式 (12) を書き直すとF (x) = cn

dn+1 { (1) }gZ
dxn+1となり、g(x) がたかだか２次多項式であることを考えて、ライプニッツの積の微分公式 (16) を適用すると[F (x) = cn gZ(n+2)′+ (n + 1)g Z(n+1)

n(n + 1) ′′ (n)+g Z2]

5 補足6となる。これに式 (19) を代入すると

F (x) = g(wϕn )′′ + (n + 1)g ′ (wϕn )′ +n(n + 1) ′′g wϕn2(21)が得られる。

F (x) の表式 (20) と (21) は等価なので、両式の右辺を等しいとすると
}
{}
{
ϕ′1
ϕ1′′′′(wϕn ) + (n + 1) (n − 1)g +wϕn(n − 1)g +c1c1n(n + 1) ′′= g(wϕn )′′ + (n + 1)g ′ (wϕn )′ +g wϕn2()( ′)ϕ1
ϕ1n − 2 ′′∴ g(wϕn )′′ + 2g ′ −(wϕn )′ − (n + 1)+g wϕn = 0c1c12(22)となる。ここで、(wϕn )′ = w′ ϕn + wϕ′n(wϕn )′′ = w′′ ϕn + 2w′ ϕ′n + wϕ′′nと分解し、ϕn , ϕ′n , ϕ′′n に比例する項をまとめると) }ϕ12gw + 2g −w ϕ′nc1) }
{()
( ′ϕ1
ϕ1n − 2 ′′′′′′g w ϕn = 0+ gw + 2g −w − (n + 1)+c1c12gwϕ′′n +{(′′となる。まず、ϕ′n の係数に式 (14) を用いると(

ϕ12gw + 2g −c1′′)

w = 2gw′ + 2g ′ w −wϕ1c1= 2(wg)′ − (wg)′= (wg)′となる。また、ϕn の係数は)ϕ′1n − 2 ′′w − (n + 1)+g w
c12( ′)(wϕ1 )′
ϕ1n − 1 ′′′′= (wg) −−n+g w
c1c12(ϕ1gw + 2g −c1′′′)(′と変形することができる。ここで、式 (14) の両辺を x で微分すると(wg)′′ =(wϕ1 )′c1となり、式 (4) の λn を用いると、ϕn の係数は(wϕ1 )′−n(wg) −c1′′()ϕ′1n − 1 ′′+g w = λn wc12(23)5 補足7となる。従って、式 (23) はwgϕ′′n + (wg)′ ϕ′n + λn wϕn = 0∴ (wgϕ′n )′ + λn wϕn = 0となり、これはスツルム・リウヴィル型微分方程式

ddx{}
dw(x)g(x) ϕn (x) + λn w(x)ϕn (x) = 0dx(24)である。
以上により、ロドリーグの公式で与えられる n 次多項式 ϕn (x) はスツルム・リウヴィル型微分方程式を満たすことが示された。