第２９回に引き続き，藤原です。第３０回目は第ある時刻 t における変位 x が，２９回目で紹介した問題の解説です。模範解答だけ

x = Acos(wt+f)

でなく，＜理論確認＞や＜考察＞の部分では，入試と表される「単振動」において，速度 v，加速度 aにおける最重要事項の確認や，少し踏み込んだ話には定義式から考えて，次の様に変化しながら運動し触れております。今回の問題は，最終的には波動現ます。

象「定常波」に繋がる話なのですが，導出過程で用いられる力学的思考は，複数の物体の運動を扱う上で，非常に重要な思考法となります。単なる参考問題としてではなく，せっかくですから是非学習して，入試本番までに身に着けてもらいたいと思います。

v=dx=-wAsin(wt+f)
dtx=dv= -w2Acos(wt+f)
dt⇒

a = -w2x

逆に，変位 x と加速度 a の変化が常に【解答解説】

a = -( 定数 )x

図 1 において，変位 x と逆向きに大きさ（絶対値）…（※）の関係を満たしながら運動する場合，その運動は単振動で運動する（⇒ x = Acos(wt+f)）ことも証明

kx0されています。弾性力によって速度変化する１物体mの運動は，その最も代表的な例です。

+

ただし弾性力があっても，必ずしも単振動をするx

訳ではありません。その例を扱っているのが以下のkx の弾性力が働く。よって運動方程式は設問です。

ma = -kx1

図 2 において，中心のばねが伸びている場合を仮（注：変位 x > 0 のとき（伸びているとき），弾性力定すると，その伸びは x2-x1 であり，中心のばねは，-kx<0。変位 x < 0 のとき（縮んでいるとき），弾左右のおもりにそれぞれ引く力を与える。よって，性力 -kx > 0 。よって上の式で，伸びているときと， 左右のおもりの運動方程式は縮んでいるときのどちらの場合の力も表している。）

kM(x2-x1)

kx2

kx1
mk上の運動方程式を変形して a = x，これをm0x1m単振動の条件式 a=-w2x と比較して，x の変化は角 （左）ma1=-kx1+kM(x2-x1)
振動数 w =kの単振動。
m++0x2…13（右）ma2=-kM(x2-x1)-kx22…24＜理論確認：単振動とは＞（注：x2-x1<0 のとき，中心のばねは縮んでおり，「単振動とはどんな運動か？」分かっているようで曖
昧な人もいるかと思われますので，確認しましょう。

1

左右のおもりに押す力を与えるが，その場合でも運動方程式は上記と同じ式になる。）

度」の時間変化率を求めたものが「加速度」となります。よって，＜考察１：単振動の条件＞
上記の式 1，2 は，まだこの段階では
a1 = -( 定数 )x1， a2 = -( 定数 )x2と変形できるかどうかがわかりません。よって，この 2 つのおもりが単振動するのかどうかは，まだ未d 2 x1 d 2 x2d2 X=+2dt
dt 2dt 2⇔aX = a1 + a2d 2 y1 d 2 y2d 2Y=dt 2dt 2dt 2⇔

aY = a1 - a2

知です。「弾性力があれば単振動」という理解の仕方は誤っており，単振動の条件は，ある物体の加速上の式 3 を変形して aX = -度と変位が，（※）の様な条件式を満たしているかどうかで決まります。

kX，m

これを単振動の条件式と比較して，X の変化は角振動数 wX =加速度の定義より，aX = a1 + a2，aY = a1-a2，kの単振動。
m

1 + 2 より7m(a1+a2) = -k(x1+x2)⇔maX = -kX

上の式 4 を変形して aY = -…3

これを単振動の条件式と比較して，Y の変化は角振

5
1 - 2 より

動数 wY =m(a1-a2) = -k(x1 -x2) - 2kM(x1 - x2)⇔k + 2 kMY，m

k + 2 kMの単振動。
m8maY = -(k+2kM)Y …4
6＜考察 3：重心運動と相対運動＞
5＜考察 2：変位，速度，加速度の定義＞
受験生にとって，今回の問題の出来・不出来を決めるのは5，66の部分をクリアできた人は，その後の誘導に従って，の部分だと思います。

与えられた「変位の関係式」から「加速度の関係式」を導き出すことができたかどうかで，大きく点差がaX = -( 定数 )X，aY = -( 定数 )Yまで導かれたかと思います。これは X，Y の変化が単振動であることを導いていますが，そもそも X，Y はどのような運動に注目しているのでしょうか。

ついたと予想されます。
誘導が少なく，若干受験生を突き放した感じの問

実は今回の誘導は強引な展開ではなく，物理学に題文です。ただしアンフェアではありません。速度

おいて良く用いられる思考法に基づいて誘導されてと加速度の定義をどれだけ丁寧に理解しているかがます。本問に限らず複雑な２物体の運動を解析する問われます。

X = x1 +x2，ときに，個々の運動を考えるより先に重心運動と相対運動を解析してみる手法があります。

←この与式の x1，x2 には，t の関数が入ります。よって，X も t の関数です，この式の重心運動

両辺を t で微分して，「変位」の時間変化率を求めた

２物体の重心の変位を xG，加速度を aG とすると，ものが「速度」であり，さらに両辺を t で微分して「速2xG =mx1 + mx2x + x2
= 1m+ m2

両辺を時刻 t で微分してaG =ma1 + a22m1 + 2 より，重心の方程式は，2maG = -k(x1+x2)⇔m0xR+2maG = -2kxG
条件を満たしているので，右のおもりから見た左のおもりの運動もきれいに単振動に見えることがわ

kx2kx1mm+0xGかります。
（注：本問の運動 Y は，相対運動を表しています）（参考：慣性力を用いて相対の運動方程式を表すと，maR = -kx1 - kMxR - ma22 を用いて a2 を消去すれば，同様の式になります）

この式から分かるように，2 つのおもりに互いに逆向き・同じ大きさで与えられていた中央のばねか与えられている外力にもよりますが，個々の運動らの力は，２つのおもりを 1 つの物体と見なした場の扱いとなり，全体の重心運動には無は複雑でも，「重心」と「相対」運動は規則的な運関係となります。重心運動は，外部から与えられる動を行っている場合が多く，まずそれらの運動を求２つのばねからの力で決定され，それは重心の変位めてから，その後に「個々の運動」を分析していく，

x G 対して逆向きに，x G に比例した大きさで与えらといった考え方が，本問の根底にある思考法です。

合に内力れるので，重心はきれいに単振動を行います。
（注：本問は重心運動をそのまま利用せず，重心の２倍の変位・加速度で動く運動 X を考えています。 時刻 t に対する X，Y の変化
ただし単振動を行う点に違いはありません）。

右のおもりから見た，左のおもりの相対的な変位（両する）を xR，加速度を aR とすると，

x1 =aR = a1 - a2…6X +YX -Y，x2 =の変化を考える。
22x1 =

1{AXcos(wXt + fX)+AYcos(wYt + fY)}
2…7（5 - 6) ÷ 2 より

1 - 2 より，右のおもりから見た左のおもりの運動

x2 =

方程式は，

1{AXcos(wXt + fX)-AYcos(wYt + fY)}
2AX ≠ 0，AY = 0 の場合，7，8 より

maR = -kxR - 2kMxR⇔

Y = AYcos(wYt + fY)（5 + 6) ÷ 2 より

xR = x1 - x2
両辺を時刻 t で微分して…5を用いて，時刻 t に対する相対運動
方のおもりが共につり合いの位置にいるときを 0 と

X = AXcos(wXt + fX)

maR = -(k+2kM)xR

3…8x1 = x2 =の図の様になります。

1AXcos(wXt + fX)29となり，2 つのおもりは常に等しい変位で動く。よって，x1 の変位の向きが（→）のとき，x2 の変位の向m

きも（→）である。

m++9x10x20

AX = 0，AY ≠ 0 の場合，7，8 より
x1 =1AYcos(wYt + fY)
2x2 = -10

1AYcos(wYt + fY)2となり，2 つのおもりは常に逆の変位で動く。よって，mm

x1 の変位の向きが（→）のとき，x2 の変位の向きは++（←）である。

x10x2010A X ≠ 0，A Y ≠ 0 の場合，7，8 より x1，x2 の振動は単振動ではなく，振幅（x1，x2 を時刻 t に対する弦の定常波に類似しており，図関数と見なした場合の極大・極小値の大きさ）は一定にならない。このような現象をうなりと呼ぶ。

図11109は基本振動，は 2 倍振動に似ています（ただし似ているだけで，実際に基本・2 倍振動と呼ぶわけではありません）。

今回のモデルでは，おもりにこれら以外の単振動（振幅・周期一定の往復運動）を発生させることは，の振動を発生させるには， 出来ません。ばね振動にしろ，張力による弦の振動910にしろ，ある長さ・質量が与えられた系において，初期条件（出発のさせ方）が重要になります。
例えば，２つのおもりを共に同じ変位ずらした状 そこで発生させることができる単振動の種類は限られており，その周期・振動数も限られた固有値しか態から静かに放した場合などはの振動にな9取ることができません。
系によってそれぞれ固有に定まっている，その周
2pm= 2p
り，その周期は T1 =となります。一方， 期・振動数のことを「固有周期・固有振動数」と呼wXkびます。
正負逆の変位から静かに放した場合などは10＜考察 4：固有振動とうなり＞の振動になり，その周期は T2 =最後の A X ≠ 0，A Y ≠ 0 の場合は，2 つのおもり

2pm= 2pwYk + 2 kM

は振幅・周期が一定の往復運動ではありません。横軸を時刻として，振動の変位の変化は下のグラフのとなります。
様になります。「うなり」とは音波だけの現象を指，の振動を，また，これらの910すのではなく，このように振幅が時間によって変化軸と垂直な方向の振動に置き換えて考えると，以下4する現象を一般的に指します。
変位0t了
＜最後に＞
（1）変位・速度・力学入試問題として考えると，加速度の関係は厳密に理解しておくべき。（2）重心や相対に注目した運動の眺め方にも慣れておくべき。という２点は実感されたと思われます。
一方で，曖昧なイメージしかなかった「固有振動数・うなり」に関しても，力学的導出から数値の意味が理解出来たと思います。
医学部を目指す強者の中には，「学習の効率性」を重視し過ぎてしまい，日々の学習において「そこまで深い物理の理解は必要か？」と感じてしまう人もいたりします。
ただし，暗記項目が少ない科目であるが故に，目指す学部は関係なく，物理問題では「ひらめきではなく理解の深度」が何より要求される事であると知っておいて下さい。医学部受験者向けに作られた本問でもそうなのです。
模範解答に「疑問」を持つこと。自分の解答を「批評」してみること，その 2 点が物理理解を深める為の王道です。是非実践していって下さい。

5