円形加速器の概略と単粒子力学の基礎

1. 放射光源からの光..........................................................................................................1
1.

導入......................................................................................................................................................... 1

2.

蓄積リングから光を取り出す.................................................................................................................. 1
2.1. 偏向電磁石.......................................................................................................................................... 1
2.2. ウィグラー.......................................................................................................................................... 2
2.3. 多極ウィグラー .................................................................................................................................. 3
2.4. アンジュレータ .................................................................................................................................. 5
2.5. 真空封止型短周期アンジュレータ ..................................................................................................... 53.

光の波長域とパラメータ ......................................................................................................................... 7
3.1. 光束密度と全光束............................................................................................................................... 8
3.2. 実効的な光束密度............................................................................................................................... 8
3.3. 位相空間 ............................................................................................................................................. 93.4. 輝度................................................................................................................................................... 10
3.5. 回折限界 ........................................................................................................................................... 10
3.6. コヒーレントな部分 ......................................................................................................................... 10
3.7. パルス幅とパルス間隔.......................................................................................................................11
3.8. 縦方向コヒーレント長と時間コヒーレンス ..................................................................................... 123.9. 可変偏光アンジュレータ .................................................................................................................. 123.10.
光束密度の表式............................................................................................................................. 13

2. 放射光源の概略 ...........................................................................................................141.

入射器と蓄積リング .............................................................................................................................. 14
1.1. KEK つくばの電子陽電子加速器 ..................................................................................................... 14
1.2. 電子蓄積リングの構成...................................................................................................................... 142.

入射器の構成......................................................................................................................................... 15
2.1. 入射器全体の構成............................................................................................................................. 15
2.2. 電子銃............................................................................................................................................... 16
2.3. 粒子の発散角、ソレノイドによる集束 ............................................................................................ 172.4. RF..................................................................................................................................................... 17
2.5. バンチャー........................................................................................................................................ 18
2.6. LINAC パルスの時間構造................................................................................................................ 18
2.7. RF 源、立体回路 .............................................................................................................................. 19
2.8. 空間電荷効果、断熱減衰 .................................................................................................................. 20
2.9. 加速管の数と加速勾配、ビームパワー ............................................................................................ 21
2.10.
振り分け偏向電磁石、BT............................................................................................................. 22

3.

PF リングの構成 ................................................................................................................................... 23
3.1. 全体の概略........................................................................................................................................ 23
3.2. ビームライン .................................................................................................................................... 23
3.3. チャンネル........................................................................................................................................ 24
3.4. 蓄積リングに必要な要素 .................................................................................................................. 24
3.5. 横方向と縦方向 ................................................................................................................................ 25

i

3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.

リングの DC 電磁石 ......................................................................................................................... 26
集束力、中心軌道、軌道周りの微少振動......................................................................................... 26
ヒルの方程式 .................................................................................................................................... 27
４極電磁石による集束力 .................................................................................................................. 28
強集束と位相安定性 ..................................................................................................................... 28
エネルギー収差............................................................................................................................. 29
振動数と共鳴振動 ......................................................................................................................... 30
ダイナミックアパーチャ、物理アパーチャ ................................................................................. 32
ビーム寿命.................................................................................................................................... 33
色収差の補正 ................................................................................................................................ 33
入射............................................................................................................................................... 34
放射減衰と放射励起 ..................................................................................................................... 36
RF 加速空洞.................................................................................................................................. 37
位相安定性.................................................................................................................................... 40
真空ダクト.................................................................................................................................... 43
ビーム診断系 ................................................................................................................................ 47
フィードバックシステム .............................................................................................................. 50
制御系、安全系、タイミング系 ................................................................................................... 51
電気、水、圧空、空調.................................................................................................................. 54
シンクロトロン放射積分 .............................................................................................................. 57
ビームサイズと色消しラティス ................................................................................................... 58
放射光源の歴史と世代.................................................................................................................. 59

3. ビーム力学の基礎........................................................................................................611.

運動方程式とその解 .............................................................................................................................. 61
1.1. 運動方程式........................................................................................................................................ 61
1.2. 電磁石の磁場 .................................................................................................................................... 62
1.2.1.
2 次元の場合 ............................................................................................................................. 62
1.2.2.
電磁石のギャップと磁場の強さ ............................................................................................... 63
1.3. フロケーの定理と解の性質 .............................................................................................................. 64
1.3.1.
フロケーの定理......................................................................................................................... 64
1.3.2.
方程式の解 ................................................................................................................................ 65
1.3.3.
周期構造と波数空間.................................................................................................................. 67
1.3.4.
位相空間の面積不変.................................................................................................................. 68
1.4. 転送行列 ........................................................................................................................................... 69
1.4.1.
ドリフトスペース ..................................................................................................................... 69
1.4.2.
偏向電磁石 ................................................................................................................................ 70
1.4.3.
集束型 4 極電磁石 ..................................................................................................................... 70
1.4.4.
発散型 4 極電磁石 ..................................................................................................................... 71
1.4.5.
矩形偏向電磁石......................................................................................................................... 71
1.5. トゥイスパラメータとその性質 ....................................................................................................... 72
1.5.1.
トゥイスパラメータの転送....................................................................................................... 72
1.5.2.
クーラン・シュナイダー不変量 ............................................................................................... 74
1.5.3.
規格化運動量と規格化座標....................................................................................................... 75
1.5.4.
位相空間内の楕円の転送 .......................................................................................................... 75
1.6. 色収差と６極による補正 .................................................................................................................. 76ii

1.7. 分散による軌道長のずれ .................................................................................................................. 77
1.8. 誤差キックによる軌道のずれ........................................................................................................... 78
1.8.1.
数学的準備 ................................................................................................................................ 78
1.8.2.
COD の導出 .............................................................................................................................. 792.

縦方向の粒子の運動 .............................................................................................................................. 80
2.1. 周回時間と運動量偏差...................................................................................................................... 80
2.2. 縦方向の振動 .................................................................................................................................... 80
2.2.1.
微少振動としての解.................................................................................................................. 81
2.2.2.
微小でない場合への解 .............................................................................................................. 81

3.

エミッタンスとバンチ長 ....................................................................................................................... 83
3.1. 放射減衰 ........................................................................................................................................... 83
3.2. 放射励起 ........................................................................................................................................... 84
3.3. 最小エミッタンス条件...................................................................................................................... 85
3.3.1.
H 関数の積分の計算 ................................................................................................................. 86
3.3.2.
理論最小エミッタンスの場合 ................................................................................................... 86
3.3.3.
DBA の場合 .............................................................................................................................. 87

4. 付録 .............................................................................................................................89
1.

ソレノイドとスキュー４極 ................................................................................................................... 89
1.1. ソレノイドの磁場............................................................................................................................. 89
1.1.1.
線形成分の簡単な導出 .............................................................................................................. 89
1.1.2.
高次を含むソレノイドの磁場 ................................................................................................... 89
1.1.3.
３次元磁場に対する粒子の運動方程式..................................................................................... 91
1.1.4.
ソレノイドに対する運動方程式 ............................................................................................... 91
1.2. 転送行列の導出 ................................................................................................................................ 91
1.2.1.
skew４極の転送行列 ................................................................................................................ 92
1.2.2.
ソレノイドの転送行列 .............................................................................................................. 93
1.2.3.
ソレノイドの途中の座標 .......................................................................................................... 94
1.2.4.
ソレノイドの端の効果 .............................................................................................................. 942.

振幅依存チューンシフト ....................................................................................................................... 96
2.1. 調和振動子の運動方程式 .................................................................................................................. 96
2.2. 作用変数と角変数の導入 .................................................................................................................. 96
2.3. 調和振動子に対する摂動論 .............................................................................................................. 96
2.4. 2 次と 3 次の項がある場合のハミルトニアン.................................................................................. 98
2.5. 3 次の場合の摂動による解 ............................................................................................................... 98
2.6. 2 次の場合の摂動による解 ............................................................................................................... 98
2.7. 微分方程式を直に解く...................................................................................................................... 99
2.7.1.
2 次の場合................................................................................................................................. 99
2.7.2.
3 次の場合............................................................................................................................... 100
2.8. 実際の加速器の場合のハミルトニアン .......................................................................................... 100
2.9. 実際の加速器の場合の摂動 ............................................................................................................ 101
2.10.
8 極の振幅依存チューンシフト .................................................................................................. 102
2.11.
6 極によるチューンシフト ......................................................................................................... 102

iii

3.

挿入光源の影響と転送行列 ................................................................................................................. 104
3.1. 水平偏光の場合 .............................................................................................................................. 104
3.2. 一般化した場合 .............................................................................................................................. 106
3.3. 一般化した場合の転送行列 ............................................................................................................ 107
3.4. 水平偏光の場合の非線形チューンシフト....................................................................................... 108
3.5. トラッキングを行う場合の注意 ..................................................................................................... 1084.

減衰のある強制振動の基礎 ..................................................................................................................110
4.1. ピルボックス空洞の固有モード ......................................................................................................110
4.1.1.
弦の振動...................................................................................................................................110
4.1.2.
電磁場の方程式と境界条件......................................................................................................110
4.1.3.
TM モードの解 ........................................................................................................................111
4.1.4.
Q、U、P..................................................................................................................................111
4.1.5.
TM モードの一般解 .................................................................................................................112
4.1.6.
TE モードの一般解..................................................................................................................112
4.2. 等価回路の導入 ...............................................................................................................................113
4.3. 減衰のある強制振動 ........................................................................................................................113
4.3.1.
強制力のない減衰振動 .............................................................................................................113
4.3.2.
減衰のない強制振動.................................................................................................................114
4.3.3.
減衰を伴う強制振動.................................................................................................................115
4.3.4.
電流で駆動される LCR 共振回路 ............................................................................................116
4.4. 反射と整合.......................................................................................................................................118
4.4.1.
伝送線 ......................................................................................................................................118
4.4.2.
反射 ..........................................................................................................................................1194.4.3.
整合、開放と短絡 ................................................................................................................... 120
4.5. 等価回路による RF の取り扱い ..................................................................................................... 120
4.6. ビーム負荷の補正........................................................................................................................... 122

あとがき ..................................................................................................................................................... 125iv

垂直方向なら垂直偏光（鉛直偏光）、らせん運動

1. 放射光源からの光させれば円偏光となる。
パルス光：

蓄積リングの中の電子は、ある塊（バンチという）になって周回している。PF

1. 導入

リングの場合、周長 187 m でバンチの数は最大でビーム物理学的な内容に入る前に、導入とし312 個、バンチの長さは約 1 cm である。すなわて光源からの光と光源となる蓄積リングについち、リングの真空ダクトの中を、60 cm おきに 1て概略を述べる。この最初の章では、放射光源か

cm の長さの電子の塊が回っていることになる。

らの光について概略を述べる。現在では放射光源

バンチ毎に光が出るため、放射光は時間的には連リングの技術はほぼ完成されたものであり、建設続したフラッシュ光の様な感じになる。実際、試されたばかりの最新蓄積リングと同程度の性能料のＸ線フラッシュ撮影の為に、バンチの数を１の加速器の建設も、さほど困難なものではない。

個に減らして運転することもある。なお、PF リ

それは、放射光源に要求されてきたものが、どちングでは試料の動きが１個のバンチの長さ 1 cm

らかと言えばある一面に関して突出した性能で= 30 ps よりも早い場合には、画像はぼやけてしはなく、どんな分野の誰でも容易に使用できる安まう。

定性と汎用性であったからかも知れない。まずこ

波長可変： 偏向電磁石からの光は連続スの章では、放射光の発生源と光のパラメータにつペクトルであり、分光器を用いて必要な波長を抜いて、導出はしないがその意味についてのみ順にき出して使うことができる。一方、挿入光源から述べる。

の光は準単色的であるが、磁極のギャップを変え

2. 蓄積リングから光を取り出す

ればある範囲で自由に波長を変えることができる。放射光源からの光は実験室における小型の光荷電粒子が加速度運動をすると、光が発生す

源よりも５～６桁以上も強い光であり、放射光源

る。粒子の運動方向と同じ向きの加速度に対して以外ではきわめて弱い光しか発生させられない発生した光を制動放射、運動方向に垂直な向きの波長領域も存在する。

加速度の場合をシンクロトロン放射という。簡単に言えば、粒子の速さが急に変わった場合と、粒このように、シンクロトロン放射光は他の光子が曲げられた場合とで、粒子を曲げて発生させ源からの光にない特徴をいくつも備えており、物たシンクロトロン放射を利用するのが放射光源

性、生命など、多くの分野において非常に有用なである。シンクロトロン放射光の特長を以下にま光である。次に、蓄積リングから放射光を取り出とめる。

す仕組みについて述べる。

指向性：

2.1. 偏向電磁石

蓄積リングの場合、荷電粒子は

電子または陽電子であり、エネルギーは数 GeV、蓄積リングの場合、粒子の軌道を曲げて円形

すなわち、電子の速さは光速の 99.999……%で、ローレンツ因子 γ は数千、運動は相対論的な領域にする為に偏向電磁石を使うが、それがまずは光になる。相対論的な領域のシンクロトロン放射

ら可視光、紫外、Ｘ線までに渡る広い波長領域をは、指向性が高く強い光になる。すなわち、ただカバーする連続なスペクトルをもつ。シンクロト

曲げただけでも、粒子の軌道の接線方向に集中しロン放射の特長から、偏向電磁石からの光はビー

た強い光が発生する。

ムのローレンツ因子の逆数 1 [ rad ] の発散角内偏光可変源となる。偏向電磁石からの光は、遠赤外領域か

γ： 光の偏光面は電子の運動面とにほぼ全てのエネルギーが集中する。PF の場合、一致する。水平方向に曲げれば水平偏光の光が、

1

γ=

E
2.5[GeV ]≈≈ 49002m0c511[ MeV ]であり、光の発散角は1

γ= 0.2[mrad ]である。これは、簡単に言えば、垂直方向の光のサイズが、1 m 進むと 0.2 mm、10 m 下流で 2 mmになる、ということである。（実際にはもっと複雑である。）

ちなみに、水平方向については偏向電磁石内の円弧軌道上で連続的に光が発生す

図 1-1

PF リング主偏向電磁石

る為、光源点を選んで発散角を小さくすることは通常不可能である。PF リングの主偏向電磁石を図 1-1

電磁石の上をどけた時に、電磁石の上半分を取り去り、ダクトが見える状態にした写真を図 1-2 に示す。
放射光

さて、偏向電磁石から発生する最も短い波長（高エネルギー）の光を臨界波長（臨界エネルギー hωc ）という。臨界エネルギーは加速器のビー
ムのエネルギーと偏向電磁石の曲率半径で決まる。PF リングの場合、曲率半径を

ρ=

L

θ

=

1.943[m]= 8.66[m]0.2244[rad ]

電子

とすると、

図 1-2 電子の軌道と放射光のビームライン

3γ 3chω c = h≈ 4[keV ]2ρ

ーのビームで高いエネルギーの光を発生させるとなる。通常、リングの電磁石の配置から、主偏工夫がなされている。

向電磁石の曲率半径を変更することは不可能で

2.2. ウィグラーある。従って、臨界波長よりも短い光が必要な場
合、ビームのエネルギーを高くするしかないが、リングの主偏向電磁石の臨界エネルギーよ

そうすると加速器全体が影響を受けるし、また、りも高いエネルギーの光を発生させる為、ウィグ

ビームのエネルギーは偏向電磁石の磁場の限界

ラーが導入される。ウィグラーは蓄積リングの直以上にはならない。リングの主偏向電磁石を光源

線部に導入されるが、直線部とは、蓄積リングのとして用いる場合、通常は低エネルギーのリング

中で電磁石などが配置されない隙間の部分のこで波長の短いＸ線を発生させることは困難であとである。昔の加速器では電磁石が隙間なく並べる。

られ、全体を上から眺めるとほとんど円形である
偏向電磁石から波長の短いＸ線を発生させことが多かったが、最近の加速器では直線部こそる仕組みとして、次にあげるウィグラーを使う方が加速器の主役であり、軌道も多角形的になるこ

法と、主偏向電磁石のいくつかを超伝導電磁石にとが多い。直線部の、電磁石等がなく、別の装置置き換える方法とがある。実際、アメリカの放射が入れられる隙間は、個々の加速器に依るが、短いもので 1 m、長いものでは 30 m 以上に及ぶ。

光源である ALS や、名古屋大学の放射光源では、リングの主偏向電磁石の内のいくつかを超伝導放射光源ではそこに挿入光源が配置され、素粒子電磁石とし、強い磁場にすることで、低エネルギ

実験用の衝突型加速器では衝突点と検出器が配2置される。（後で述べるが、放射光を出すことでフトしているだけである。PF の場合、垂直方向粒子が失ったエネルギーを加速によって注ぎ足の超伝導電磁石を使ったウィグラーが導入されすための加速装置（RF 空洞）や、時間と共に失ており、最大磁場は 4.8 T、臨界エネルギーは約われていく蓄積ビームに新たに電子を注ぎ足す

20 keV である（図 1-3）。

装置（入射システム）なども直線部に配置され2.3. 多極ウィグラー

る。）
逸れた話を元に戻す。ウィグラーはリングのさて、ウィグラーの磁極の数をもっと増やし

主偏向電磁石の限界よりも短い波長の光を発生ていったらどうなるであろうか。直線部の長さはさせるために導入されるが、直線部に配置される

有限であり、磁極の数を増やすと、それぞれの磁ため、強く曲げて直線から逸らした電子の軌道極の長さは必然的に短くなる。磁極の長さが短いを、逆向きに曲げて直線上に戻す必要がある。すと、大きな電磁石を使うことは難しくなり、永久

なわち、磁石の配置としては最低でも３極、磁石を並べてウィグラーを作ることになる。磁場+ θ 、 − θ 、 + θ の電磁石を並べなければいけ2
2

としてはリングの主偏向電磁石よりも弱くなってしまう一方、電子の軌道は「うねる」というよない。この場合、電子の軌道は半サイン波形のよりも「蛇行」に近い状態となる（図 1-4）。電子がうに１回うねるだけとなる。ウィグラーから発生「蛇行」すると、個々の「うねり」毎に発生する

する光のスペクトルは、偏向電磁石と同様、連続光が干渉し、強めあう効果が生じてくる。すると、スペクトルであり、臨界波長がより短い方向にシ

光の強さは格段に増大する。このような挿入光源
を多極ウィグラーという。干渉効果で光が強めあうということは、逆に言えばウィグラーの周期と磁場によって、きちんと強めあえる光の波長が決まってしまうということである。多極ウィグラーから発生する光のスペクトルを見ると、干渉の効
果により強めあうことができた光、すなわち、基本波とその高調波からなるピーク構造が見える。
とはいえ、比較的磁場が強く、電子の軌道の振れ幅が大きい場合には、基本波の波長は長く、かつ、
かなりの高次まで強度が弱くなることなく発生するため、スペクトルとしてはギザギザではあるが連続スペクトル的になる。
挿入光源では、磁場と周期が基本波の周波数
や、電子の軌道の振れ角を決める。それらの特長を表すパラメータ K 値は、

図 1-3 PF の超伝導垂直ウィグラー

ሩඇ

ổؔಓ

ὲᾧᾇᾛ

᭐ࠄᾗ̵ᾤ
図 1-4 挿入光源と電子の軌道3eB0 λu= 93.4 B0 λu
2πm0 cと書ける。ここで、 B0 [T ] はアンジュレータのピが最も強い状態において、K ≈ 10 程度になること

ーク磁場、λu [m] は周期である。基本波（１次光）

ペクトルになる。ギャップを開いていくと磁場はK=が多い。その時、基本波の波長は長く（エネルギーは低く）、スペクトルはギザギザのほぼ連続ス
弱くなってゆき、 K も減ってゆく。それに従い、の波長 λ1[m] は、

基本波の波長は短く（エネルギーが高く）なるが、λ ⎛ K2 ⎞⎟λ1 = u2 ⎜⎜1 +
2γ ⎝
2 ⎟⎠

光の強さは弱くなってゆく。K ≈ 1 程度になると、電子軌道の振れ角が十分に小さくなり、干渉効果となる。エネルギーに直せば、が顕著な状態となる。その状態を、場合によって⎛ E 2 [GeV 2 ] ⎞⎟⎟hω1 = 9.498⎜⎜
2
λ
K
1
+
2
⎠
⎝ u

(

は多極ウィグラーの「アンジュレータモード」と)呼ぶこともある。
図 1-5 に、例として PF の多極ウィグラーである。干渉の効果で光の指向性もより強くなり、放射光の角度広がりは

MPW13 のスペクトルを示す。MPW13 の周期は

2λk
1 1+ K 2 2
2=≡ 2σ p 'nNLγとなる。ここで、 n は光の次数、 N は挿入光源の周期数、 L は挿入光源の全長である。

18 cm、図に示した K=5 の時の１次光のエネルギ
ーは 25 eV、K = 1.25 の時は 194 eV となる。周期数は 25 周期、1 次光の角度広がりは、K = 5 の時が 0.15 mrad、K = 1.25 の時が 0.05 mrad である。偏向電磁石では円弧軌道上で連続に光が発生

多極ウィグラーでは、ギャップを閉じて磁場する為、水平方向の発散角は実効的に大きくなっ
１次光

2 次光

3 次光

図 1-5 PF の MPW13 における、多極ウィグラー的なスペクトル（K=5）とアンジュレータ的なスペクトル(K=1.25)。光源のパラメータは現在の PF のパラメータではない。Flux（全光束）はアン
ジュレータからの放射光を全て取り込んだ場合の光子数。（出典は北村英男編集、『挿入光源ハンドブック』, KEK-89-24）

4

たが、挿入光源からの光の場合は水平、垂直量方

スペクトルである。高調波は、偶数次が弱く、奇向とも発散角が小さくなる。

数次が強く、それでも次数が上がって行くに従って光の強さが弱くなり、通常は基本波以外には３2.4. アンジュレータ

次、５次程度までしか使われない。

光の干渉効果を最大限に生かす為、ギャップ

アンジュレータからの光の最も大きな特長

が最小（磁場最大）の状態で K ≈ 1 程度になるよ

は、光のスポットサイズが小さく、向きも揃ってうに設計した挿入光源をアンジュレータと呼ぶ。

いるということである。光は光源点から試料上ま使用したい光のパラメータに従って最適になるで届けなければいけないが、光のダクトの大きさように設計されたアンジュレータからの光の強は有限である。光のサイズや角度広がりが大きい

さは、偏向電磁石やウィグラーからの光に比べてと、試料上には発生した光の一部しか届けること何桁も強くなる。また、スペクトルも準単色の線ができない。一方で、アンジュレータ光はサイズ
も角度広がりも小さいため、光子を失うことなく試料上まで届けることができ、また、光学系を使って平行度を高めたり、スポットサイズをさらに小さくしたりすることができる。PF のアンジュ
レータ U02 の写真を図 1-6 に示す。
さて、アンジュレータ光のエネルギーについて考えてみる。2.5 GeV の PF リングでは、例えば挿入光源の磁場が 0.3 T、周期長を 5 cm とすると、 K = 1.4 、 hω1 = 600eV となる。この場合、5 次光を使うと 3keV 程度までの光は得られるが、このようなアンジュレータでは、もっと高エネル
ギーの光、例えば 10keV の光を出すことはできない。低エネルギーの中小規模放射光源で 10keV のアンジュレータ光を作るためには、アンジュレー
タの周期長を短くすることが必要である。ところ

図 1-6 PF のアンジュレータ U02

が、アンジュレータの磁極の長さがそのギャップṒẋṓ ᥨचἿ‫װܣ‬

よりもあまりに短い場合、磁力線は上下磁極間でؔಓはなく、同じ磁極列の間で閉じてしまい、磁場が出なくなる（図 1-7）。そこで、真空封止型短周期
アンジュレータが開発された。

ὲᾧᾇᾛ

2.5. 真空封止型短周期アンジュレータ
中小規模の低エネルギー放射光源において、
10 keV 以上のアンジュレータ光を利用するため

ṒẌṓ ὲᾧᾇᾛὣ‫ݪ‬ἙἫἼؔಓὣᇷἠἨἰ‫װܣ‬には、アンジュレータの周期を短くし、かつギャップをそれよりも閉じる必要がある。通常のアンジュレータの場合、磁極列は真空ダクトの外側に置かれるため、最小ギャップはビームの通る隙間と上下の真空ダクトの厚さよりも広い必要がある。その様な場合、ギャップの最小値はかなりの

図 1-7 アンジュレータの磁極と磁力線5ṒẋṓᥨचἿὦᾷὼᾩᾰ̵ᾃṒẌṓ ᇄክࡢย۶ὦᾷὼᾩᾰ̵ᾃ

಄࡮ὲᾧᾇᾛ
ǗṞẗẗ಄࡮ὲᾧᾇᾛ
ṨṜẍẗ᭐ࠄᾗ̵ᾤሩඇԔṤؔಓǗṛẍẗሩඇԔṤؔಓǗ௝ẍẗ

図 1-8 真空封止型アンジュレータの概念図
プを開いて K～0.4 程度にすれば、３次光ではあるが、10keV の光を使うことができる。
蓄積リングにおいて光を発生させる装置について述べたが、一覧を図 1-10 に、スペクトル領域と輝度の概略を図 1-11 にまとめる。最近の放射光源ではアンジュレータが主役であり、新たに
偏向電磁石
常伝導
(Normal conducting)
超伝導(Super conducting)

図 1-9 PF の真空封止型短周期
アンジュレータ U17

挿入光源工夫をしても例えば 2 cm 程度である。それよりウィグラー(Wiggler)もギャップを狭くしたい場合、磁極列を真空中に封入すれば、ビームの通る隙間ぎりぎりまで、例

水平 （偏光）垂直 （偏光）えば 4 mm 程度までギャップを閉じることができ多極ウィグラー(Multipole wiggler)る。（図 1-8）そのようなアンジュレータを真空封止型短周期アンジュレータという。短周期アンジ

アンジュレータ(Undulator)

ュレータが開発されたことにより、エネルギーの高いアンジュレータ光を使うのに、大規模な高エネルギー放射光源は不要になった。

楕円 （偏光）円 （偏光）

短周期アンジュレータ(Short period
and short gap)

PF の短周期アンジュレータ U17 の場合、周期長 λu = 1.6cm 、最小ギャップは g = 4.5mm 、
その時のピーク磁場 B0 = 0.84T 、 K = 1.27 、１
次光のエネルギーは hω1 = 2.1keV である。ギャッ

図 1-10 蓄積リングにおいて光を発生させる装置

6

アンジュレータ

短周期アンジュレータ

19

10

PF
E=2.5GeV, I=450mA
ε =36nmrad, 1% caupling

Brilliance (photons/sec/mm2/mrad2/0.1%b.w.)

18

MPW
#16-U

U#02

PF-AR
E=6.5GeV, I=50mA
ε =290nmrad, 1% caupling

SGU#17

10

1st

3rd

Revolver
#19

EMPW
#28-U

5th

17

MPW
#05-W

10

多極ウィグラー
MPW
#13-U

16

10

MPW
#16-W

A
C

D

B

AR-EMPW#NE01-W

AR-NE#03,NW#02,#12
15

10

MPW
#13-W
AR-NW#14-36
14

10

PF-Bend

偏向電磁石

ウィグラー・超伝導電磁石

1310AR-Bend
VW#14
12

10

1

10

真空紫外・軟 X 線

4

10

103

102

Photon Energy (eV)

105

硬X線

図 1-11 挿入光源と光のエネルギー領域、輝度（PF リングの場合）可視光建設される光源では、加速器のパラメータはアン：

目に見える光で、赤い光（約ジュレータを前提に決められる。アンジュレータ

1.5eV、波長 800nm）～青い光（約 3eV、波長からの光の光束と輝度が大きくなることを目指

400nm）である。

して加速器が設計されるが、具体的にどのような

VUV ： 真空紫外光（vacuum ultraviolet,

ことか、次の項では光束と輝度について述べる。

VUV）とは、波長の短い側の紫外光で、この領域には窒素分子や酸素分子の吸収帯（～200nm、6eV

3. 光の波長域とパラメータ辺りまで）がある。光路を真空に保つ必要がある
為、真空紫外という名がついている。

放射光源において利用される光のエネルギ

SX ：ーは、およそ 1meV から 50keV 程度までの広い

軟 X 線(soft X-ray)とは、およそ数範囲に及ぶ。境界は曖昧ではあるが、各波長域のkeV までのエネルギーの低い、波長の長い側の X

光には名前がつけられている。

線をいう。この領域の X 線は物質を透過しない。
VUV・SX を使った代表的な実験は、物質や薄膜

1meV 付近の光は、テラなどの表面の電子状態や、分子の電子状態など、

ヘルツ光(THz)、遠赤外光(Far infrared, FIR)など

荷電子帯付近の電子の軌道や状態密度などを調と呼ばれ、今のところは放射光源以外に強力な光べる実験である。

源はない。（半導体を使った光源などがあるが、X ：THz、FIR 光：

硬 X 線（hard X-ray）またはただ X線と言った場合には、～10keV 以上の X 線を指す

弱い。）

7

֢ϫዉϰញἓἰὛἼಶ὜
๎ቷἿҫࠄἿ௝ɰ

᭐ࠄἿ᣺ᦇ

᭐ࠄᾔᾷᾅ
ҫ༽࿙ὣಐὑ
ἓ὜௻‫׹‬Ἷ֢ϫዉϰញċṯṙṯ Ṧ ṚṘṛṏἿጪ‫ۇ‬ṯҫࠄἿὬᾑᾯὲ̵ẅẏẀẇொࡤҫ

図 1-12 光束密度ことが多い。物質透過率も高く、光は粒子として挿入光源の場合も偏向電磁石の場合も、当然散乱されるような振る舞いとなる。主に物質や結ながらその波長においてスペクトル強度がある晶の構造を調べる実験が代表的な実験である。

かどうかに関わらず、任意の波長に対してこれらの値を計算することが可能である。しかしなが放射光のパラメータは、エネルギー、光束、ら、挿入光源において興味あるのは大抵「 k 次光

輝度、パルス幅で決まる。各パラメータの数学的の強さ」であるため、よく使われるのは「 k 次光に正確な表式はさておき、まずはこれらの各パラに対する軸上の光束密度」である。

メータが何かについて述べる。

ここで重要なのは、挿入光源の場合の、全光束に対する軸上の光束の比である。この比は、3.1. 光束密度と全光束F
λ2= π = 2πσ p′Ld PkdωdΩ θ =0,ϕ =02

光の強さは光子の数で表される。３次元の極座標系 (r , θ , ϕ ) を考える。光源を望むある立体角(θ , ϕ ) において、毎秒飛んでくる光子の数を、0.1%と書ける。ただし、 λ は考えている光（ k 次光）のバンド幅で数えたものを、光束密度という。一の波長、 L は挿入光源の全長、般的に、

σ p′ =

d 2 Pk[ photons / s / mrad 2 / 0.1%b.w.]
dωdΩ

2L

は、アンジュレータ光の角度広がりである。

で表す（図 1-12）。これを全立体角で積分したも3.2. 実効的な光束密度のを全光束といい、

F =

λ

dPk
[ photons / s / 0.1%b.w.]dω

前項の光束密度や全光束は、光源の角度広がりの効果を考えていない値である。実際の電子ビと書く。全光束はその光源から発生する全ての光ームには、電子の位置、進行方向、エネルギーの子の数である。偏向電磁石やウィグラーの場合、すべてにばらつきがある。ここでは、電子ビーム

光の発散角が大きく、全光束をビームラインに届の角度広がりの効果を考えて実効的な光束密度

けることはできない。実際に試料上に届く光子のを求めてみる。

数を見積もるには、光軸上の光束密度を使うのが電子ビームにばらつきがあったとしても、全便利である。

光束は変わらない。従って、最も簡単には、

d 2 Pk[ photons / s / mrad 2 / 0.1%b.w.]dωdΩ θ =o,ϕ =0

d 2 PkF=dωdΩ θ =0,ϕ =0 2πσ p ' 2

8電子ビームの分布をガウス分布とした時、位置の分布の標準偏差を σ x 、発散角の分布を σ x ′ とにおいて、光の発散角の部分を、電子の発散角との畳み込みに変えればよい。電子の水平、垂直方
向の発散角をそれぞれ σ x ' 、 σ y ' とすると、する。電子ビームの場合、ビームの広がりを表すのにこれら標準偏差を径として作られる楕円のσ p ' 2 → Σ x′Σ y′ = σ x′ 2 + σ p′ 2 σ y′ 2 + σ p′ 2

面積を使い、

d 2 PkF=D =dωdΩ θ =0,ϕ =0,effective 2πΣ x′ Σ y′

ε=

S

π

= σ x σ x′をエミッタンスという。通常の場合、単位はとなる。これが実効的な光軸上の光束密度となる。光束密度という場合、理想的な場合の値と、[nm ⋅ rad ] = 10 −9 [m ⋅ rad ] である。電子のエミッ

実効的な値とがあるので注意が必要である。

タンスは、後で述べるが、放射励起と放射減衰の平衡状態によって決まる値である。

3.3. 位相空間

光の場合、光束密度と同様に光軸付近の光をビームの位置や発散角の広がりを表現する考える。光軸上に毎秒飛んでくる光子を、0.1%ののに、位相空間での粒子の分布を特徴的に表す量

バンド幅で位相空間にプロットし、その原点付近を使う。位相空間とは、図 1-13 に示すように座（光軸上）の粒子密度を使うのがもっとも便利で

標と運動量（発散角）で張られる空間である。

ある。だが、物理的にも数学的にも、その様な値
ᆃ௚ញ
፦ࠄ௝

Ảṑ
ϫᆸክ᫐ἼἛἢ὜
፦ࠄἿԋई

Ṝı
Ả

ᤃ͢ếͳোỀἿ
፦ࠄࡂॄ

֛যıἿӉ

፦ࠄ௝
Ṝı

ϫᑔ

図 1-13 位相空間における分布の標準偏差と粒子密度9を正確に計算することは極めて困難である。そこである。 0.1nm ⋅ rad なら 1keV 、10 pm ⋅ rad ならで、多くの仮定の上で近似的に計算することに10keV である。
さて、蓄積リングのエミッタンスは、放射励し、それを輝度という。

起と減衰の平衡で決まるが、放射励起は軌道が曲3.4. 輝度げられて放射光を発生する面内のみで生じる。従光子密度は全光束を光の角度広がりで割っって、蓄積リングでは水平方向のエミッタンスはた値であったが、それをさらに光のビームサイズ

平衡である有限の値となるが、垂直方向のエミッで割って、輝度を求める。本当はきちんと積分を

タンスは垂直方向に軌道を曲げる挿入光源や、電計算する必要があるが、結果だけを見ると、サイ磁石などの誤差の効果を無視すれば、ゼロとなズで割っただけでもそれほど悪くない近似ではる。蓄積リングのビームは水平につぶれたようなある。

扁平な形であり、垂直方向のビームサイズは水平

ところで、光は回折現象の為に、ある大きさ方向に比べると極めて小さい。PF リングの場合、以下に絞ったり、ピンホールでスポットサイズを

水平方向の電子のエミッタンスは 36nm ⋅ rad であり、 λ = 460nm( = 2.7eV ) の青い可視光が回折小さくしたりすることができない。光子の波動関数の広がりともいえるその様な広がりを、光の固有エミッタンス ε p という。

ε p = σ pσ p′ =限界となる。垂直方向のエミッタンスは、水平方向に対する比で表すことが多く、PF リングの場

λ
4π

合は約 1%である。垂直方向のエミッタンスに対しては、 λ = 4.6nm(= 270eV ) で回折限界に達すである。従って、アンジュレータ光の光のサイズ

る。ちなみに最も性能のよい蓄積リングの水平方

は、向のエミッタンスはおよそ 1nm ⋅ rad 、垂直方向は

εp
λL
=
σ p′
4π
となる。これは、角度広がりが σ p′ のビームを、それに対して 0.1%程度である。蓄積リング型放射

σp =光源では、VUV・SX 光に対してはぎりぎり回折
限界になっているが、X 線に対しては水平方向の電子のエミッタンスのせいで光の質が悪化してアンジュレータの中心まで飛ばした時に生じる
ビームサイズ L

しまっている状態である。

σ と考えることもできる。
2 p′

3.6. コヒーレントな部分

電子の水平、垂直方向のビームサイズをそれ
ぞれ σ x 、 σ y とし、光源のサイズとして、光のサ
イズと畳み込みを取る。 Σx =有限なサイズを持つ光源からの光の場合、一般に、その光源内の、大きさが波長程度の領域か

σ x2 + σ p2 、ら発生する光子は、互いに位相が揃い、空間的に

Σ y = σ x + σ p とすると、輝度は22

コヒーレントになる。位置でなく、角度広がりもきちんと考えると、光子の位相空間の中で、光の

D
F
=
B =
2
2πΣ x Σ y (2π ) Σ x Σ y Σ x′ Σ y′

固有エミッタンスで決まる範囲内の光子が互いにコヒーレントということになる。

[ photons / s / mm 2 / mrad 2 / 0.1%b.w]

光軸上の位相空間の光子密度は輝度で与えと書ける。

られる為、輝度に光の固有エミッタンスをかければ、コヒーレントな光子の数となる。光軸上のコ3.5. 回折限界

ヒーレントな光束は、F coh = ε pB [ photons / s / 0.1%b.w.]

実効的な光束密度や輝度において、電子のビームサイズと光のビームサイズの寄与がほぼ同となる。

程度になった時を回折限界という。電子のエミッ
タンスが 1nm ⋅ rad の時、 100eV の光が回折限界

10

周波数は

例えば光のスポットサイズを回折限界（簡単には波長程度）まで小さく絞ろうとするならば、

f rev =

光はコヒーレントでなければならない。すなわ

c
[Hz ]
C

ち、回折限界の光のサイズに達するまでスリットである。単バンチ運転の場合、これがそのまま光などで光を削ってゆくと、コヒーレントな部分しのパルス繰り返し周波数となる。マルチバンチ運

か残らないのである。

転の場合、周回軌道上のバンチの配置をフィルパ

f =ターン（filling pattern）というが、光のパルス繰

F coh
F

り返はフィルパターンが反映される。リングに蓄を coherent fraction といい、全光束の中でコヒー積可能なバンチの最大数をハーモニック数

レントである部分の割合を表す。FEL では 100%

(harmonic number) h というが、最大数までバンであるが、放射光源の場合、既存の最も性能のよ
い蓄積リングでも 0.1%あるかないかという程度

チを蓄積して運転するフルフィル(full filling)運転の場合、繰り返しは hf rev (= f RF ) となる。フルである。

フィルの場合、隣り合ったバンチの間隔はリング
加速空洞の RF 源の周波数と同じになる。バンチ

3.7. パルス幅とパルス間隔

パターンの例を図 1-14 に示す。

放射光のパルス幅は、電子のバンチ長で決ま

単バンチ運転の場合、ある程度大きな電流値る。バンチ長は、水平エミッタンス同様、放射励で運転するためには、バンチあたりの電荷量を非起と減衰の平衡で決まる。電子はおよそ光の速さで走っている為、バンチ長を σ z とすると、パル

常に大きくする必要がある。バンチ電荷を増やす

ス幅は少、不安定性の励起や真空ダクトの発熱など様々

τz =

σz

と、ビームサイズの増大効果やビーム寿命の減な現象が生じる。装置に対する負荷や、ビームパ

[sec]

c
となる。リングの周長を C とすると、電子の周回ラメータの悪化を考えると、バンチ電荷はより小さい方が望ましい。ただし、完全なフルフィルの場合でも、航跡場の効果や残留ガスの効果、陽電Ṓẋṓ ᾙᾯᾙὧᾯ

ᾔᾷᾅἿ௝ ṧ ᾓ̵ᾦᾏᾇέ௝

子の場合は電子雲の効果などで不安定性が生じる可能性がある。ただし、連続フィルの場合、ある部分でバンチ間隔を空ければ不安定性を防げؔ‫ؔۂ‬ಓ

る可能性があり、例えば図 1-14 の部分的フィルṒẌṓ ᦼԋᆋᾙᾯᾙὧᾯ

(b)や several bunch (e)がそういった目的で使わ᥯Ꮠᾙὧᾯれる。単バンチ的な部分と連続フィルの部分の混ክ἞ᾔήᾇᾌṒẍṓ ֢ᾔᾷᾅ

在 (e)は、単バンチを望むユーザーと、大きな平‫ݸ‬᭐ᖲἿᾔᾷᾅ

均電流値を望むユーザーの要望を両立させる目的で使われることがある。

ṒẎṓ ẝẏẠẏẜẋẖ ẌẟẘẍẒ

PF リングの場合、バンチ長は約 1 cm、パル
ス幅は 30 ps である。RF の周波数は 500.1MHz、ハーモニック数 312 に対して、通常は不安定性抑Ṓẏṓ ༃‫۝‬制の為に 280 バンチか 300 バンチの連続フィル
で、最大蓄積電流 450 mA で運転している。１年ክ἞ᾔήᾇᾌ

᥯Ꮠᾙὧᾯ

に数週間だけ単バンチモードで運転を行うが、そክ἞ᾔήᾇᾌ

の場合、周長 187 m から、繰り返し周波数は 1.6

図 1-14 バンチパターンの例

MHz となり、最大蓄積電流は 60mA である。

11

3.8. 縦方向コヒーレント長と時間コヒーレンス
縦方向のコヒーレント長を、光の進行方向に距離をずらしてみた時に、光子同士の位相の差が変わらないと見なせる範囲とする。コヒーレント
図 1-15 小貫型の磁極列

長は、バンド幅によって決まる。これは、周波数が違えば、距離によって位相の進み具合が変わるṒẋṓ ๣बћҫష

為、例えば周波数の違う２つの波を重ねてみると、進行方向のある点と別の点では２つの波の位相差は違う値になる。ただし、周波数の差が小さければ、進行方向の距離に対する位相差の変化は小さいだろうし、周波数が大きく違えば、距離にṒẌṓ ൶ӉẩӉẩ۳ᆷћҫష

対する位相の進みも大きく違い、少し離れただけ
で位相の差は大きく変化するだろう。コヒーレン
ト長 lcoh は、

λλ2=lcoh =ΔλΔλλ

図 1-16 APPLE II 型
可変偏光アンジュレータとなる。
ところで、アンジュレータ光は干渉効果を利

垂直偏光や円偏光、楕円偏光のためには水平方向用しているために線スペクトル的になっている。

の磁場が必要である。

スペクトル形状は、ある中心周波数に対して⎛ ⎛⎞⎞⎜ sin⎜ πN Δω ⎟ ⎟⎜ωc ⎟⎠ ⎟⎜
I (Δω ) ∝ ⎜ ⎝
Δω ⎟
⎜ πN
⎟
⎜
⎟
ωc
⎝
⎠

水平磁場を発生させる為に、水平方向にも磁2極を配置した例として、図 1-15 に小貫型と呼ばれる磁極列を示す。ただし、通常の蓄積リングでは入射を行う為に水平方向に広いアパーチャが必要である。それは、入射された電子ビームが蓄積されるまでの間に、水平方向に大振幅の振動をと、よくある形に書ける。ただし、ω c は考えてい行いながら周回するという過程を経るからである光の中心周波数、 N は挿入光源の周期数である。入射ビームは蓄積リングの中心軌道から水平る。このスペクトルの幅はおよそ、方向に大きく離れた点に入射されるため、入射直

Δω

1
≈
ωc N

後から大振幅で振動を始める。入射ビームは周回する内に放射減衰の効果で徐々に振幅を減らしである。この値よりも分光器の分解能の方が遙かてゆき、やがて蓄積される。入射を可能にするたに小さい為、通常の場合、縦方向または時間方向

めには、水平方向に±数 cm の口径が必要である。

のコヒーレンスは、分光器のエネルギー分解能で仮に真空ダクトの内側に水平磁極列を配置した決まることになる。

としても、入射時はギャップを開かなければいけ3.9. 可変偏光アンジュレータ

ないし、その場合はトップアップ運転は不可能となる。そのような制約があるため、このタイプの挿入光源において電子を水平に蛇行運動さ

挿入光源は水平磁極列はダクトの外側に配置させれば水平偏光の光が発生し、縦方向に蛇行させれ、ギャップをあまり閉じないような使い方をされば垂直偏光、螺旋運動させると円偏光となる。

れることが多い。すなわち、低エネルギーの蓄積

12リングで比較的周期長が長い挿入光源として用X = 2ξγθ K y cos 2 φ + K x sin 2 φ
2

いられる。

2

2

入射の制約を回避するため、垂直方向の磁極

Y =ξ

Ky − Kx4

列のみで水平磁場を発生させる挿入光源も数多く存在する。ここではその例として、図 1-16 にである。さらに、挿入光源の周期を

APPLE II 型の磁極列を示す。上下の磁極列を２ω0 =つに割って、磁極列を４つとし、偏光を変える時
はビーム進行方向に磁極をずらす操作が行われ、2

λu として、2πλu 、 K x と K y は挿入光源の水平・垂直磁場のＫ値、 θ と φ は光と電子ビームの進行方向のる。なお、APPLE II では、ビーム進行方向からなす角度である。

見て互いに対角になる磁極を同じ方向にずらす

軸上の光束密度は、ことになる（図の矢印）。このようなタイプの磁2挿入光源と同じく、周期長が短く、入射の為に特⎛ ⎛ Nπω ⎞ ⎞⎜ sin ⎜⎟⎟
22 2 2
⎜ ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠ ⎟
d Pk
eγ ξ
Gk (K x , K y )⎜=⎟ωdωdΩ θ = 0
cπ 2
⎜
−k ⎟
⎟
⎜ ω1
⎠
⎝

別な操作が必要ない挿入光源を作ることができとなる。ただし、る。

2⎛⎞⎜ K 2 ⎛⎜ J (Y ) − J (Y )⎞⎟ ⎟0 ⎟k +1⎜ y ⎜ k −1 0
⎟
2
2
⎝
⎠ ⎟、
2
Gk (K x , K y ) = ξ 0 ⎜
2
⎜
⎞ ⎟
2⎛
⎜ + K x ⎜ J k −1 (Y0 ) + J k +1 (Y0 )⎟ ⎟
⎜
⎟ ⎟
⎜
2
⎝ 2
⎠ ⎠
⎝

極列の場合、非線形磁場や端部磁場の影響が難し
く、場合によってはビーム寿命や入射効率に影響を与えることがある。ただし、通常の水平偏光の3.10. 光束密度の表式
最後に、光束密度と輝度の表式のみを示す。
このテキストでは導出は行わない。電子ビームの角度広がりを考慮しない理想的な場合、光束密度−1⎛ Kx2 + K y2 ⎞22
Ky − Kx⎟
ξ 0 = k ⎜1 +
Y
=
ξ
⎜
⎟
2
⎝
⎠ 、 0
4

は以下の式で与えられる。
2⎞⎛⎛ ⎛ Nπω ⎞ ⎞⎟⎜⎜ sin ⎜⎟⎟⎟
⎜ e 2 γ 2ξ 2 ⎜ ⎜ ω 0 ⎟ ⎟
⎝
⎠
⎟
⎜
⎜
⎟
cπ 2 ⎜ ω
2
⎟
⎜
−k ⎟
d Pk
⎟
=⎜
⎜ ω1
⎟
⎝
⎠
dωdΩ ⎜⎟2⎜ ⎛⎞⎟⎜ ⎜ 2 S 0γθ cos φ − K y (S1 + S −1 ) ⎟ ⎟⎜ × ⎜⎜⎟⎟⎜ + 2 S 0γθ sin φ − K x (S1 − S −1 ) 2 ⎟ ⎟
⎠⎠
⎝ ⎝

である。

ただし、
−1

2
2
⎛
Kx + Ky ⎞2⎜⎟
ξ = k 1 + (γθ ) +
⎜
⎟
2
⎝
⎠ 、
−1

2
2
⎛
K + Ky ⎞⎟ω1 = 2γ ω 0 ⎜1 + (γθ )2 + x
⎟
⎜
2
⎠ 、
⎝
2

∞

S q = ∑ (exp(i (k + 2 p + q )δ )J k + 2 p + q ( X )J p (Y ))p = −∞

Ktan δ = x tan φ
Ky

、

、

13

2. 放射光源の概略
加速器は巨大な装置であり、部品の数も膨大である。一人で全てを行うことは不可能である
し、実際、加速器を専門とする研究者でも、加速

KEKB

Belle

器のある部分について専門としていることが多

ATF

STF

い。この章では、蓄積リング型の放射光源の全体像について、雑学的に広く浅く紹介したい。
まずは KEK 内の加速器の全体構成を述べた

PF-AR

後、PF リングを例にとり、最上流の電子銃から入射器、PF リングまでをざっと紹介する。

1. 入射器と蓄積リング

PF1.1. KEK つくばの電子陽電子加速器
図 2-1 に KEK つくばキャンパスの航空写真
を示す。
ATF ：

国際リニアコライダ計画の為のダ

ンピングリング及び収束系の試験加速器。建物内

LINACに電子銃、線形加速器、入射路、蓄積リング、出射路、テストビームラインがある。
STF：

国際リニアコライダ計画の為の超伝導空洞試験加速器。
LINAC

：

図 2-1 KEK つくばキャンパスの電子用電子加速器

PF、PF-AR、KEKB の LERと HER という４蓄積リングにビームを供給する入射器。LINAC は PF には 2.5 GeV の電子を、

PF ： 2.5 GeV 電子リング。放射光利用専用の蓄積リング。本テキストの主役！

PF-AR には 3 GeV の電子を、HER には 8 GeV

PF-AR ： 6.5 GeV 電子蓄積リング。現在の電子を、LER には 3.5 GeV の陽電子を直接供は常に単バンチ運転で、放射光利用運転のみ行っ給している。

ている。以前は TRISTAN 用の入射蓄積リングで、

KEKB ：

8 GeV の電子蓄積リング(HER,

high energy ring)、3.5 GeV の陽電子蓄積リング(LER, low energy ring)からなる衝突型加速器。
同じトンネル内に２台の加速器が設置されておLINAC からの 2.5 GeV の電子と陽電子を 8 GeVまで加速し、TRISTAN へ入射していた。
1.2. 電子蓄積リングの構成

り、衝突点には Belle という検出器が挿入されて電子蓄積リングを運転するためには、入射器いる。KEKB は 1999 年に建設された。なお、やビーム輸送路などが必要である。加速器全体とKEKB 以 前 に は KEKB ト ン ネ ル 内 に はしての放射光源の構成例を図 2-2 に示す。

TRISTAN という衝突型加速器が存在した。30

最も簡単な例(a)は、ユーザー運転で使うエネ

GeV の電子－陽電子衝突加速器で、その時代、ルギーのビームを入射器から入射し、蓄積するとPF-AR は TRISTAN 用の加速入射リングとしていうパターンである。リングのエネルギーと同じ用いられていた。

エネルギーの LINAC を、フルエナジー（fullenergy） LINAC、入射をフルエナジー入射といṒẋṓ ͳϬὬᾑᾯὲ̵ҫ༽ṒẌṓ ᱔Ὤᾑᾯὲ̵ҫ༽ᘘኟᾮᾷὴἹ
ᾪ̵ὺ̵Ἷᾗ̵ᾤᾭὨᾷ

ᾗ̵ᾤ
ᤛᥘᢿ

ᾚ̵ώᾃ̵
ύᾷέᾱᾌᾱᾷ
ᾙᾯὬᾑᾯὲ̵ṶṳṸṫṭṶṳṸṫṭṒẍṓ Ԫͪχᆋඥષ

ターを主リングと同じトンネル内に設置したパターンである。

͹ᘘኟᾮᾷὴἹ
ᾪ̵ὺ̵Ἷᾗ̵ᾤᾭὨᾷ

フルエナジーの LINAC が作れず、一方でブースターを作る費用や敷地がない場合によく行
われる構成(c)の場合、入射後に加速してエネルギーを上げてからユーザー運転が行われる。この様な構成では、ビーム電流値が一定になるように頻ṒẎṓ ӄ۶ᆋἻ௹ዶỗͪχҫ༽

繁に注ぎ足し入射を行うトップアップ運転が絶対に不可能である上に、低エネルギー入射の為に

ՉᥫἨἷ
ᦀᤀ

ビーム不安定性が生じ、入射や加速自体が困難になる場合さえある。例えば PF-AR がこの構成でϬὬᾑᾯὲ̵ṶṳṸṫṭ

あるが、PF-AR はそもそもトリスタンのブースタ
ーシンクロトロンであった。

図 2-2 放射光源加速器の構成(a)以外ではユーザービームラインは省略してある。

2. 入射器の構成
2.1. 入射器全体の構成う。入射器が KEKB や PF-AR と共通であるが、PF リングもこの構成といえる。

蓄積リングを運転するためには入射器が必

高エネルギーの蓄積リングでは、フルエナジ要である。ここでは、KEK の入射器を例にとり、ーLINAC の設置が、建設及び運転費用や運転調

入射器全体の構成を述べる。KEK にある電子陽整の難しさなどから避けられる場合がある。その

電子線形加速器の平面図を図 2-3 に示す。

様な場合、低エネルギーLINAC から入射加速用

線形加速器の最も上流には電子銃がある。電のブースターシンクロトロンに一旦ビームを入子銃は電子ビームを生成する装置で、陰極に数百れ、加速してから主蓄積リングに入射を行う構成

ボルトの電圧をかけ、接地電位の陽極に向けて電(b)がとられる。例えば SPring8 はこの構成であ子を打ち出す。電子銃で作られた電子ビームは、る。高エネルギー放射光源のみならず、最近の中ビームサイズや発散角のばらつきが大きく、バン

低エネルギーの放射光源でも頻繁に採用される

チ長も長い。まずはソレノイドによる集束系でビことが多いこの構成の利点は、主リングへ入射さームの損失を防ぎつつ、加速しながら速度差の効れるビームの質が向上し、安定に入射が行えると果でバンチ長を短くすることが行われる。この部いうことである。エネルギーに依らず、LINAC

分をバンチャーという。バンチャーを出た電子は調整や安定的な運転が難しい。一発一発のビー

は、４極電磁石で集束されながら、所定のエネル

ムのパラメータの揺らぎが大きく、また、そもそ

ギーまで加速される。

もビームサイズやエネルギー広がりも決して小余談であるが、陽電子ビームは電子ビームをさくはない。ブースターで一旦蓄積し、ビームのターゲットに当てて生成する。KEK の電子陽電パラメータを放射励起と放射減衰の平衡状態か子加速器の場合も途中にタングステンで作られら決まる値にリセットすることで、主リングへのたターゲットがある。ターゲットは中心に穴が開入射が安定し、入射調整なども容易になる。(d)

けられており、電子モードの場合はビームは中央で示すように、世界各地で建設されている新第３の穴を通り抜ける。また、TRISTAN の時代、世代放射光源でもこの構成が取られることが多LINAC は PF に 2.5GeV の電子、AR に 2.5GeV

い。DIAMOND は入射器とブースターを主リングの電子と陽電子を供給していた。その時代、電子の内側に配置したパターンであり、SLS はブース

銃は「CT 電子銃」と呼ばれる電子銃のみであり、

15

ṺṰὉ
ṜṘṟṱẏẀ᭐ࠄṵṯṵṬὉṝṘṚṱẏẀ ᬔ᭐ࠄṢṘṚṱẏẀ᭐ࠄ

陰極（-200kV）、グリッド絶縁の為の碍子

ṺṰṗṫṼὉ
ṝṘṚṱẏẀ᭐ࠄᾗ̵ᾤώὨᾇᾅᾨ̵ᾍ

ṵṯṵṬẩṺṰᄄ᭐ࠄᨺếṫṛ᭐ࠄᨺỀ電子ビーム

図 2-4 電子銃の模型

ᬔ᭐ࠄᄀષ
ᾃ̵ὶᾇᾌ

安全の為、柵の中に電子銃がある

ᾔᾷᾅᾧ̵

᎓ṛṝṚẗ

ṺṰṗṫṼᄄ᭐ࠄᨺ
ếṭṾ᭐ࠄᨺỀ᎓ṟṚṚẗ
高圧電源

図 2-3 KEK 電子陽電子線形加速器
LINAC もそこが最上流であった。KEKB が建設
図 2-5 「A1 電子銃」付近の写真された時、LINAC が延長された。敷地の問題か
ら J の字になっているが、現在は KEKB、PF には最上流の「A1 電子銃」からの電子を加速して供給している。
2.2. 電子銃
KEK の LINAC の電子銃は DC 熱電子銃である。陰極を加熱し、熱エネルギーによって電子を真空中に引き出すのが熱電子銃である。その特長
は、安定かつ効率的に大電流の電子ビームが出力でき、陰極の寿命も長いことである。短所は、高温の効果で発生した電子の運動量のばらつきが大きいことで、それを熱エミッタンスという。ま図 2-6 「CT 電子銃」

た、電子を打ち出すタイミング以外のタイミングで発生する電子ビームを暗電流というが、暗電流16ドが使われる。初段の加速管の周りに設置された
ソレノイドの写真を図 2-7 に示す。
2.4. RF高エネルギー加速器で粒子を加速するには、
時間的に変動する電場が必要である。静電場の場
合、静的な電位差が必要であるが、真空中でも大気圧下でも、電位差が大きくなると雷のように放電が起こる。タンクを作って SF6 ガスを高圧封入すると放電しにくくなるが、それでも 5 MV 程度
までがやっとである。さらに、円形加速器の場合、
図 2-7 ソレノイドが巻かれた初段の加速管

同じ場所を何度も通るため、静的な電位差で加速することは不可能である。

も比較的多い。電子銃の内部構造の分かる型の写余談であるが、静電場を使って加速する低エ真を図 2-4 に示す。碍子の襞には表面積を大きく

ネルギーの重イオン加速器には、タンデム型といして絶縁破壊を防ぐ目的がある。パルス幅やタイうのがある。イオン源で重粒子を負に帯電させてミングは、陰極とグリッド間にパルス電圧をかけおき、GND から例えば+5 MV まで静電場で加速て制御する。電子銃室の様子を図 2-5 に示す。電する。その後、電位+5 MV になっている中間点で源の向こう側の柵の中から、左側に向かって電子

周りの電子を剥ぎ取り、正に帯電させ、GND にビームが打ち出される。PF-AR 用の CT 電子銃の向かって再び加速を行う。その様にすると 10 MV

写真を図 2-6 に示す。

の重イオンビームを作ることができる。

なお、ERL では 500kV の光陰極電子銃が使RF はラジオ波、マイクロ波、極超短波など

われることになっている。陰極は加熱されず、大と呼ばれる、時間的に変動する電磁場である。

強度のレーザーを当てて電界の力で電子を引き

LINAC でも蓄積リングも加速には RF が使われ、出す。熱エミッタンスは小さく、また、レーザー

KEK の LINAC で使われている RF の周波数は光のサイズや強度分布を最適化することで、極低エミッタンスの電子ビームの生成が可能となる。
2.3. 粒子の発散角、ソレノイドによる集束
電子銃から出た電子は、発散角のばらつきが大きく、バンチ長も長い。発散角 θ は横方向の運動量を pt 、縦方向の運動量を p z として、

⎛ pt ⎞ pt⎟⎟ ≈p⎝ z ⎠ pz

θ = arctan⎜⎜RFと書ける。発散角 θ を持つ粒子が Δz 進むと、中心
軌道から横方向に θΔz だけずれる。発散角のばらつきが大きいと、電子ビームは少し進んだだけで電子ビーム

サイズが大きくなり、やがて電子がダクトに衝突して失われてしまう。ビームサイズ増大と電子の損失を防ぐために、電子銃を出た直後はソレノイ

図 2-8 LINAC の加速管

172856 MHz（波長約 10.5cm）、蓄積リングではどṽṲṬṛ Ṥ ṛṛṞṷṲẤ

こも約 500 MHz（波長約 60cm）である。RF は導体の空洞内に閉じこめられ、それを LINAC のԕಓἿᾔᾷᾅ᫅ǗṠṚẍẗ

ຩ᫅᎓ṜṘṠẗ

場合は加速管、加速セル、リングの場合は RF 空ṽṲṬṜ Ṥ ṟṡṛṷṲẤ

洞、加速空洞という。電磁場の空洞における共振
は、音波におけるバイオリンの弦や太鼓の膜での共振と同じである。例えば PF リングで使われてຩ᫅᎓ṟṜẍẗ

いる空洞の長さは RF の半波長で約 30cm である。
空洞の中では、弦の場合の固定端に相当する定在波が立っており、空洞表面で垂直方向の電場はゼṺṬẩṬẩ͹Չᥫ Ṥ ṜṢṟṠṷṲẤ
ຩ᫅᎓ṛṚṘṟẍẗ

ロとなる。一方、KEK の LINAC の場合、RF はᾔᾷᾅᾷὴ঵Ἷᾔᾷᾅ᫅Ǘṛẗẗ

進行波であり、加速管のセルの長さは３セルで１波長となる約 33mm、それを 2/3πモードという。

᭐ࠄᨺ

加速管を割って中が見えるようになった状態のṽṲṬṛṽṲṬṜ ṺṬ

ᾔᾷᾅᾷὴἿὐ

写真を図 2-8 に示す。

ṬẟẘẍẒẏẜ
Չᥫ

図 2-9 バンチャーと初段加速

なお、ERL の場合、RF 空洞はリングと同じ
定在波空洞で、周波数は 3GHz（波長約 10cm）

ー系の出口では、電子のエネルギーは 16 MeV、である。

バンチ長約 1 mm (2～3ps)になっている。
ERL の場合、電子銃からの電子ビームのパル

2.5. バンチャー

ス幅は 10～20 ps、入射部でのバンチングによりRF は時間的に変動する電磁場であり、簡単

約 1 ps まで短くなる。

にいえば、空洞の中で電圧はV (t ) = V0 sin (ωt )2.6. LINAC パルスの時間構造の様に正弦的に変化する。電子の打ち込まれるタ

KEK の LINAC はパルス運転が基本であり、イミングによって加速量が変化するのが RF によ

ビーム繰り返しは最大 50 Hz である。すなわち、る加速の特徴である。

加速管の中に RF を導入し、電子銃から電子ビー

ところで、電子銃から出た電子ビームのバンチ
長はおよ そ 2ns (= 60cm ) である。 これは 2856

ムを打ち出して加速、加速が終わったら RF を切る、ということを 50Hz で繰り返す。LINAC のMHz の１波長よりも長く、そのまま加速を始め

RF の時間構造を図 2-10 に示す。クライストロン

ると大半の電子は失われてしまう。その為、図 2-9で発生させた RF のパルス幅は 4 μs、それをで示す様に最初は波長の長い RF を使い、バンチ

SLED (SLAC (Stanford Linear Accelerator
Centre) energy doubler)で圧縮し、電圧を約 4 倍、の前側の粒子を減速、バンチ後ろ側を加速する。
電子ビームをそのまましばらく走らせると、前側

パルス幅を 1μs にする。この RF のパルスをマクの粒子は遅れ、後ろ側は追いつき、結果としてバ

ロパルスという。加速管の中を伝わる RF パワー

ンチ長が短くなる。それを SHB（sub harmonicの速度、群速度は KEK の LINAC の場合、およbuncher）という。KEK の LINAC では、主加速

そ光速の 1/100 である。従って、2m の加速管にの前に SHB が２本、PB (Pre-buncher)が１本、パワーが満たされるまで、約 0.7 μs かかる。加速

Buncher が１本あり、合計４本の加速管でバンチ

管の最上流にカップラーという RF を送り出す部

ングを行っている。バンチング前は電子のエネル

分があり、RF はそこからさざ波の様に加速管をギー200 keV、バンチ長 2 ns であるが、バンチャ

進んでゆく。途中のディスクや壁などによる反射
波と進行波が重なり合い、定常状態になったとこ

18έᾭὨώᾌᾱᾷἜ὚Ἷ
ṼṰᾕᾯώṽṶṯṮṒṽṶṫṭ ẏẘẏẜẑả ẎẙẟẌẖẏẜṓἼὙ὜ṼṰᾕᾯώटἿۜᐎ
᭐ۜ᎓ṞмẐẖẋẞ ẞẙẚ
ἛὙἮṞµẝ

ᾕᾯώटἛὙἮṛµẝṟṚṲẤἸᐫὛ᥆Ἠ

ṜṚẗẝẏẍ

ṼṰᾢέᾱᾕᾯώ๎ἼᾔᾷᾅổлǗ௝лՉᥫጢἼṼṰἝ༹ἰἦὝ὜ష᫐
ᾙὧᾮᾷὴᾃὨᾤǗṚṘṡμẝ

図 2-10 LINAC の RF パルスの時間構造
ろで電子バンチが通過する。マクロパルス毎にバンチの数は１個から数個であり、電荷は 1～10 nC

コレクタ程度である。ビームと一緒に加速管を通過した
RF は、最下流のカップラーから外に取り出され、水冷されているダミーロードという吸収体に吸収されて熱に変えられる。ところで、加速管は銅製であるが、RF を通すと内部の壁の抵抗によって発熱が生じる。また、ダミーロードの発熱もあ出力空洞る。これらの発熱は非常に大きく、常伝導の加速管を用いる場合、加速管に常時 RF を満たし、例

電子

えば 2856 MHz で連続的に 8 GeV のビームを出すことは不可能に近い。

空洞、
自由空間

ERL の場合、空洞は全て超伝導であり、空洞内には常時 RF が満たされている。1.3 GHz の RF

入力空洞のピークには、全て電子バンチが載っており、電子ビームの繰り返しも 1.3 GHz となる。
電子源

2.7. RF 源、立体回路
LINAC 及び蓄積リングでは、RF 源としてク
ライストロンが使われる。クライストロンは真空

図 2-11 クライストロンの半割モデル

管の一種で、電子銃同様、電子を打ち出し、途中

19

ばらく飛ばして密度変調に変え、出力空洞で RFを取り出す。電子と、出力空洞で取り出しきれなかったエネルギーは、コレクタで熱に変えられる。LINAC 地上部にはクライストロン及び電源が並んでおり、クライストロンギャラリーと呼ばれる（図 2-12）。
クライストロンで作られた RF は、導波管と呼ばれる矩形の中空の銅パイプを通って地下にクライストロン

ある LINAC 本体の加速管まで届けられる。導波

電源・制御系

管で構成される RF 輸送路を、立体回路という（図2-13）。LINAC 本体の写真を図 2-14 に示す。
2.8. 空間電荷効果、断熱減衰

図 2-12 クライストロンギャラリー

電子ビームが電子銃を出た直後からバンチ
ャーを出るあたりまで、低エネルギーの領域ではクライストロンより

バンチ内の電子同士のクーロン斥力の効果が顕
入力カップラー

著である。それを空間電荷効果という。クーロン

ダミーロード斥力は電子間距離の逆２乗に比例して弱くなる

出力カップラーが、電子が相対論的領域まで加速されると、電子２本に供給の静止系での電子間距離は、ローレンツ因子に従

加速管
水配管

って増大する為、クーロン斥力はほとんど効かな
くなる。ちなみに、実験室系で相対論的領域での空間電荷効果の抑制を記述すると、電子に働く電架台

場と磁場とが打ち消しあう効果となる。空間電荷効果の抑制のためには、電子銃が高電圧である方

図 2-13 立体回路が望ましく、また、低エネルギーの区間をできるだけ短くする様に初段の加速空洞を配置することが重要である。
電子の発散角 θ は θ ≈ pt p z と書けることを前に述べたが、電子を加速すると横方向の運動
量 pt は変化せず、縦方向の運動量 p z のみが増大
し、発散角が減少する。この効果を断熱減衰という（図 2-15）。断熱減衰で発散角が減少する効果
により、電子のばらつきを位相空間の面積で表し
ՉᥫԪ
Չᥫ঵

ビーム

図 2-14 LINAC 本体

ᥳᜊ௻‫׹‬Ἷᦀՠ᧺Ἕܾ‫ݸ‬Ἢ὜Ἴহἕẩ᭐ࠄἿᆃ௚ញὀ༓࡯Ἢ὜Ẫの入力空洞で LINAC 初段のバンチャー同様に速図 2-15 断熱減衰

度変調をかける。速度変調をかけられた電子をし20た量、エミッタンスもローレンツ因子 γβ に逆比

50 Hz の繰り返しで打ち出す場合、平均電流値は

例して減少する。電子銃や LINAC の性能を表す

500 nA となる。加速電圧をかけてパワーにする

為にはエネルギーによって変化するエミッタンと、スを使うのは不便なことがあり、その場合、ロー

10nC × 50 Hz × 8GV = 4kW

レンツ因子で規格化したエミッタンスが使われに過ぎない。一方で LINAC が運転中の消費電力ることがある。規格化エミッタンス、またはノー
マライズドエミッタンス ε n と、自然エミッタンス

は約 3 MW である。消費パワーの内でビームに与ε の関係は、えられる分は極僅かである。
ちなみに PF リングの場合、ユーザー運転時

ε n = γβεの初期電流値は 450 mA、ビームエネルギーは 2.5
GeV である。このビームを使い捨てとして作るた

である。

めには、

450mA × 2.5GV = 1125MW

蓄積リングの入射器としての LINAC は、リの電力が必要となる。蓄積リングの場合、実際のング側で入射可能な範囲であれば、ビーム品質の悪化やパラメータの揺らぎはそれほど問題にな

蓄積ビームに 1125MW のパワーが蓄積されていらない。蓄積リングの場合、蓄積ビームのパラメ

る訳ではない。例えば PF リングの場合、電子のータは入射ビームには依らず、蓄積リング側の性

周回周期は 1.6 MHz であり、1 バンチあたりの電能、すなわち放射減衰と放射励起の平衡で決ま荷量は約 1 nC、通常のユーザー運転では 280 バ

る。どのような入射ビームであっても、蓄積されンチあるので、全電荷量は 280 nC に過ぎない。

ればパラメータはリング側で決まるパラメータ

入射効率の問題もあるが、PF リングを周回するにリセットされる。一方、ERL では、放射光によ

全ビームを作るためには、る平衡状態を避ける為、入射部のパラメータ、ビ

1nC × 25 Hz × 2.5GV = 63W

ーム輸送路のパラメータなど、上流側のビーム品

で 11 秒間運転するだけである。ちなみに実際の質がそのまま下流側に伝わってゆく。蓄積リング

入射は電荷量はこの半分程度で、時間も 10 分程の平衡状態よりも遙かに優れた品質のビームを度かかっている。入射路途中や蓄積リング内での作り出すため、ERL の入射部は非常に重要であ

入射ビームの損失が避けられないからである。

る。電子銃の電圧、集束の為のソレノイドの配置、

ERL の場合、電荷 77pC で繰り返し 1.3 GHz

バンチャーと初段加速空洞の配置などの最適化のビームを超伝導 LINAC で作る。エネルギーをが、ERL 全体の性能そのものを決めてしまう。

100 MeV とすると、ビームに与えるパワーは

2.9. 加速管の数と加速勾配、ビームパワーとなる。ビームエネルギーが GeV の領域になる

77 pC × 1.3GHz × 100MV = 10MWと、パワーも GW の領域となる。消費電力や発熱、

KEK の LINAC では、2 m の加速管を 240 本
使用している。全ての加速管を利用して 8 GeV ま

放射線の問題から、常に平均電流 100mA のビー

でビームを加速する場合、加速勾配はムを作り、どこかに捨て続けることは非常に困難

8000 / 240 / 2 = 16.7[ MV / m]

である為、エネルギー回収が必須となる。エネルとなる。実際には、あるクライストロンは不調だ

ギーを回収を行えば、たとえ周回部のエネルギー

ったり、予備として休ませてあったりする為、加が GeV 領域であっても、必要なエネルギーは入速勾配は約 20 MV/m で運転が行われている。加射部でビームに与えるエネルギーのみである。入速管 4 本に対して１本のクライストロンが接続さ射部のビームエネルギーを 10 MeV とすると、例れており、クライストロンの RF 出力パワーは１

えば

77 pC ×1.3GHz ×10MV = 1MW

本あたり 50kW である。ところで、現状の LINACのほぼ最大出力である、電荷 10 nC のバンチを21

となる。ただし、この値は現状の LINAC の最大
出力の 250 倍である。RF 源やカップラー、空洞

PF-Ringなど、入射部の全ての要素をこの 250 倍に耐え得る設計にしなければならず、また、ビームを捨てるビームダンプも同様である。
2.10. 振り分け偏向電磁石、BT

BT

LINAC の終端にはビームスイッチヤードと呼ばれる振り分け部がある。ビームは PF、PF-AR、
HER、LER という４つの蓄積リングへ続く BT(beam transport、ビーム輸送路)に振り分けられる。

図 2-18 BT と PF リング

PF と他の３リングを振り分ける為の偏向電磁石の周長が 187 m であるので、それとほぼ同じ長さであ上から、振り分け部を見た写真を図 2-16 に示す。左る。LINAC は地下、PF リングは地上にあるため、側が PF へ続く BT、右側は PF-AR、HER、LER で

BT 途中には坂をあがってゆく部分もある。BT は真ある。PF-BT の写真を図 2-17 に示す。電磁石は偏空やモニタ、電磁石に至るまで比較的安価に設計さ向電磁石を除いて空冷であり、蓄積リングものに比れている。１日１度の入射時のみビームが通ればよべて大きさが小さい。BT から PF リングまでの全景

いという時代はそれで十分であったが、top-up 入射を図 2-18 に示す。BT の全長は約 181m、リングのを行う為には入射ビームの品質を維持し、入射効率を一定に保つ必要があり、BT の重要性は徐々に増してきている。
ここまでで LINAC の紹介を終える。重要だが全く述べられていない項目には、例えばＱ値、パワー損失、シャントインピーダンスといった RF の初歩、モニタ系、タイミング系、ビーム不安定性、各種フィードバックを含む制御系などがある。いずれ

振り分け Bend

もなくてはならない重要なトピックであり、LINACを主題とした過去の OHO セミナーの教科書にはきちんと書かれている。

図 2-16 PF へのビーム振り分け

図 2-17 PF-BT 上流部分

22

また、ビームラインとリングの間の真空は、ベリ

3. PF リングの構成

リウム窓で切り離されている。一方、VUV・SXのビームラインはハッチがなく、光のダクトが直3.1. 全体の概略

接見える状態である。X 線と異なり、VUV・SX

PF リングはエネルギー2.5 GeV、周長 187 mのビームラインでは、光のダクトにおいても超高の放射光専用の蓄積リングである。光源棟の全体真空が要求され、また、リングと真空は繋がって図を図 2-19 に示す。PF には光源棟の他に電源棟いる。

があり、PF の電源、蓄積リングの主偏向電磁石、４極及び６極電磁石電源が設置されている。また、エネルギーセンターという建物もあり、
LINAC 及び PF の為の空調や冷却水の為の設備が設置されている。
3.2. ビームライン
実験ホールの写真を図 2-20 に示す。典型的な X 線ビームラインの写真を図 2-21 に、VUV・SX ビームラインを図 2-22 に示す。X 線ビームラインの特徴は、ハッチで覆われていることである。X 線は空気中を透過するため、分光器など最図 2-20 PF 実験ホール

終段の装置は大気中においても測定可能である。

蓄積リング
地下機械室（B1F)

28B
27A 2
27B

1C
1A

1B

2C
2A
3B

28A

B3

3A
3C1

3C2
3C3

27A 1

B1

B2

B28

4A

B26

B5

4B1

4B2

BT

B27

B4

B25

B6

4C

B24

B7

20A
20B
19B
19A

6A

5

B22

B9

6B

7B

B21

B10

B19

B12

6C 7C

18B

18C

B20

B11

制御室(2F)

21

B23

B8

渡り廊下

18A
17B

8A
8B

B14

10A

17C

B18

B13

7A

B16

B15

11C

16A1

9A
8C2
10B
9C

11D
10C

17A

16B

B17

13C
12A
11B

12C

実験ホール

16A2

15A

14B

12B
11A

15C

14A
13A

15B1

15B2

14C1
14C2

13B1
13B2

硬Ｘ線実験ステーション
軟Ｘ線/極紫外実験ステーション

10 m

図 2-19 PF リング光源棟

23

3.3. チャンネル
ユーザーのビームライン最上流の、リングと繋がっている基幹部をビームチャンネルという。
PF リングのチャンネル部分の写真を図 2-23 に示す。光源からの広がりのある光の内、ユーザービ
ームラインへ届ける部分を切り出し、余計な光を遮るのがチャンネルの役割である。また、ユーザ
ー実験が安全に行える様に、安全インターロックも担っている。
3.4. 蓄積リングに必要な要素
加速器としての蓄積リングに必要な要素を

図 2-21 典型的な X 線ビームライン

適当に箇条書きとしてまとめてみる。
・ LINAC からのビームを入射するための入射シ
ステム。パルス偏向電磁石、パルスセプタム電磁石、パルス電源。
・ 軌道を円形に閉じるための偏向電磁石、横方向に集束するための４極電磁石、エネルギー収差補正のための６極電磁石、軌道補正のためのス
テアリング電磁石、及び各電源。
・ 放射光を出して失ったエネルギーを補填するための加速空洞、カップラー、立体回路（導波管、サーキュレータ、ダミーロードなど）、クライストロンと電源、各種フィードバック制御

図 2-22 典型的な VUV・SX ビームラインを含むローレベル系。
・ 真空ダクト、真空ポンプ、真空モニタ、ダクトやベローを放射光から保護するアブソーバ、ダ
クトのつなぎ目（フランジやベロー）と、ビー
ムから見て RF 的に凹凸をなくしてダクト内面を滑らかにするための RF コンタクト、ゲー

BL28

トバルブ、真空を開ける際のポートや粗引きセット。
・ 様々なハードウェアに対して、制御計算機、制BL01

御インターフェースとネットワーク、ソフトウ
ェア。
・ 放射線安全などの安全系、LINAC との間やビームラインとの間、リングの各装置間に対するタイミング系。

図 2-23 チャンネル部分

・ ビーム診断系：BPM（beam position monitor、
ビ ー ム 位 置 モ ニ タ ）、 DCCT （ DC current

24transfer、蓄積電流値モニタ）、光干渉計（ビᘘኟᾮᾷὴؔ‫ۂ‬᣺ᦇ

ームサイズモニタ）、光ビーム位置モニタ、
WCM（wall current monitor、壁電流モニタ、ͣ͢௻‫׹‬
ẞẜẋẘẝẠẏẜẝẏṖ Ạẏẜẞẓẍẋẖ
ᾗ̵ᾤᥳᜊ௻‫׹‬ẖẙẘẑẓẞẟẎẓẘẋẖ

入射路途中のビームや、リングのフィルパター

ࣹ‫ר‬௻‫׹‬ẞẜẋẘẝẠẏẜẝẏṖ ẒẙẜẓẤẙẘẞẋẖ

ンの為のモニタ）、モニタ電極からの信号処理
系（平均して精度を上げるか、瞬時測定で周波数を上げるか、また、ノイズの落とし方など
色 々 な 深 い ノ ウ ハ ウ が あ る ）、 RFKO(RFknock-out、ビームを揺さぶるリボン状の電極、

図 2-24 座標軸の名称

チューンを測るのに使う)。
・ 不安定性抑制のためのフィードバックシステ
ム、縦方向と横方向。ビーム振動を測定するピックアップ、信号処理系、ビームを蹴って振動抑制するためのキッカーと電源（RF アンプ）。
・ 超伝導ウィグラー、圧縮冷凍機、電源。
・ 挿入光源。
・ 電源配線や各種信号配線のためのスペース、ケーブルダクト。
・ 電力供給のための受電、変電、配電設備。
・ 冷却水を、電磁石、RF、真空ダクト、ユーザ
ーのビームライン、大規模な電源、空調設備な
図 2-25 PF リングの４極電磁石

ど必要な部分に供給する為の水配管と熱交換機。別の建物になる場合は配管のためのトンネ
ルなども必要。
・ 加速器を設置する為の、放射線的に遮蔽され、地盤が安定したトンネル。ユーザーのための実験ホール……。
加速器には非常に多くの要素が必要であり、前にも述べたが多くの研究者、技術者、管理部門、委託業者が協力して建設、運転などを行っている。ここからは PF リングの各要素について簡単に紹介を行う。
3.5. 横方向と縦方向
ビーム力学において、縦方向”longitudinal”

図 2-26 PF リングの６極電磁石というと、ビームの進行方向を指す。縦方向に垂直な方向、横方向”transverse” というと、通常のは”x”で表す。なお、文献によっては縦が”y”で垂リングでは上下方向である垂直”vertical”方向と、直が”z”のこともある。

内外方向である水平”horizontal”方向を指す。ここでは、縦方向は”z”または”s”、垂直は”y”、水平25

3.6. リングの DC 電磁石ᾔᾑἼὙ὜ুҥՆ

蓄積リングの主要な DC 主電磁石には、偏向
電磁石、４極電磁石、６極電磁石がある。偏向電
磁石は粒子を曲げて周回軌道にする電磁石、４極ᾡᾊᾷύᾧᾯἼὙ὜ឞᥐ

電磁石は粒子がダクトの中に留まるように集束する電磁石、６極電磁石はエネルギー収差を補正する電磁石である。PF リングの４極電磁石の写
真を図 2-25 に、６極を図 2-26 に示す。４極電磁
石と６極電磁石の働きについて述べる前に、加速ᦀՠἿͳোẩࠡࠪ࿙の中の粒子の運動について簡単に述べる。

図 2-27 バネによる復元力

3.7. 集束力、中心軌道、軌道周りの微少振動Ṓẋṓ ᬹರՆἿὨᾥ̵ὼ

真空ダクトと偏向電磁石だけを使っても、電子ビームは安定に周回しない。電子ビームを構成する電子には、運動の向きとエネルギーにばらつ
きがあり、ほとんど全ての電子は理想的な設計軌
道上を真っ直ぐに飛んでいない。発散角を持ったṒẌṓ ៗࣽἻἨ

電子は、ずれた方向へ飛ぶので、何もしなければṒẍṓ ᬹರՆἼៗࣽἝἓ὜‫װܣ‬

すぐにダクトの壁に当たってなくなってしまう。
また、たとえ最初に全ての電子が理想的な軌道上を真っ直ぐ向いて飛び始めたとしても、電磁石には誤差がある。磁場の強さは完璧ではないし、偏向電磁石に傾きがあれば、水平磁場成分が生じてビームを垂直に蹴ってしまう。据え付け位置も完璧ではない。そこで、電子ビームに運動量のばらつきがあり、また、電磁石などに誤差がある場合
でも電子ビームを蓄積リング内に留めて安定にͳো᣺ᦇ὏ὠὛἼ
ଭՠἪ὜፦ࠄᦈ

周回させる為、集束力が必要となる。

ͳো᣺ᦇ

ͳো᣺ᦇ

集束力とは、重りについたバネの力と同じ
図 2-28 中心軌道とその周りの微小振動

で、中心からずれた粒子を中心に引き戻す復元力

x′′ = −kxする。加速器においてこの振動を、横方向はベーである。横方向には４極電磁石が線形の集束力

タトロン（betatron）振動、縦方向はシンクロト

を、縦方向には RF 空洞が非線形の集束力を与えロン（synchrotron）振動と呼ぶ。

る。バネと重りのモデルの場合、重りには常に復蓄積リングを構成する全ての要素には誤差元力が働くが、蓄積リングの場合、集束力のあるがあり、設計上の中心と現実の粒子の運動の中心

要素は４極電磁石や RF 空洞に限られる。すなわは異なる。ただし、誤差がある場合でも、集束力

ち、粒子の周回軌道上の進行距離に応じて集束力の作用でどこかに安定点、運動の中心が現れる。

の有無や強さが変化する。

x′′ = −k (z )x運動の中心とは、横方向にはベータトロン振動の従って、粒子の振動は単振動、正弦振動ではなく、軌道上の距離に応じて振動の速さや振幅が変化

中心軌道で、電磁石の内部のどこかを通過し、周回軌道となる軌道である。縦方向には、リングのある場所でビームを観測した時に、ビームの通過26Ṓẋṓ ϫᆸክ᫐ἿԋईṒẌṓ ፦ࠄἿ᣺ᢺ
ॅෂ

ॅෂ

᣺ᦇ᫅

ᆃ௚ញ

図 2-29 位相空間の粒子分布と、対応する粒子の軌跡
するタイミングである。誤差が大き過ぎると全てれを初座標として方程式を解けば中心軌道が求の振動が不安定になる場合もあるが、大抵の場合まる。

電子達はその周りを振動することになる。横方向

蓄積リングの場合、方程式の係数に周期性
x′′ = k (s )x 、 k (s + C ) = k (s )の中心軌道とベータトロン振動のイメージを図が加わる。４極電磁石による集束力は線形である

2-28 に示す。

が、この様な方程式をヒルの方程式と呼ぶ。蓄積はどこかに運動の中心ができて、ばらつきのある

リングでも、例えば入射ビームの入射後１周の振3.8. ヒルの方程式

る舞いを求めたい場合などには LINAC 同様に初加速器における横方向のビームの運動方程座標に依存する解を求めるが、蓄積ビームの性質

式は、調和振動の方程式で、係数を時間的に変化を調べる場合には周期解を求める必要がある。実させた様な方程式

際、蓄積リングの場合、ビームのパラメータは入x′′ = k (s )x

射時のパラメータではなく、放射減衰と放射励起である。現実の加速器の場合、電磁石には誤差がの平衡状態によって、すなわち、周期解によってあり、そのせいで復元力の中心が要素毎に変化し決まる状態になる。中心軌道は、全ての誤差を含たりする。通常は誤差の効果は分離して解く。解んだ状態で１周辿って元に戻る閉じた軌道であは中心軌道とその周りの微小振動として表される。
LINAC でも蓄積リングでも、粒子達全体のる。なお、調和振動の場合は、変数は時間である
が、加速器の場合、中心軌道に沿った軌道長 s[m]実空間の大きさであるビームサイズは、図 2-29が変数となり、 x′ = dxに示すように、単粒子の軌跡からは求めることは

ds

は中心軌道に対する粒できない。図では位相空間においてある円周上に子の進行方向の角度、すなわち発散角となる。

並ぶ粒子の、自由空間を進んだ場合の軌跡を示し

LINAC や BT の様に軌道が閉じていない場

たが、ビームサイズはこの様な多数の軌跡に対す

合、粒子の運動は軌道入口から順に辿って求めれる包絡線であり、ここでは軌道長の 2 乗に比例しばよい。粒子が多数まとまって飛んでいることをた放物線が包絡線となる。ヒルの方程式の解は位考えると、まずは軌道入り口における粒子全体の相及び振幅が変調された調和振動

位相空間での分布から、平均の位置と発散角を求dz
0 β (z )x(s ) ∝ β (s ) cos(φ (s )) 、 φ ( z ) = ∫める。図のイメージでは、それに従って入り口からボールを転がして軌道を観測、数学的には、そsとして書けるが、この振幅の変調を表す関数
β [m] をベータトロン関数と呼ぶ。（自由空間で27

は β は放物線となる。）

集団としてのビームのになる。４極電磁石の断面を図 2-30 に示す。図大きさはこれに位相空間の面積 ε をかけ、の電磁石は水平方向にはビームを集束させ、垂直σ x [m] = βε方向に発散させる。水平方向の働きが名前となとなる。なお、通常はビームにエネルギーのばら

り、集束極性(focusing)の４極電磁石という。S とつきがあるので、その影響も考慮する必要があ

N とを入れ替えた状態、すなわち、図をちょうど
90 度回して、水平と垂直を入れ替えた様な状態の

2

⎛ σ ⎞
り、後述するが σ x [ m] = βε + ⎜η ε ⎟ となる。
⎝ E⎠

電磁石を、発散(defocusing)という。レンズを並べてビームを転送する様子を、図 3-31 に示す。
フォーカスとデフォーカスの４極を交互に並べ

3.9. ４極電磁石による集束力

る最も簡単な電磁石配置を、FODO 構造という。

横方向の集束力は４極電磁石によって与えら

ビーム輸送路や衝突型加速器の円周部分などでれる。４極電磁石は電子ビームに対し、幾何光学よく採用される方式である。

におけるレンズと同じ作用を為すが、光の場合と3.10. 強集束と位相安定性

異なり、水平方向に集束作用のある凸レンズ的であれば、垂直方向には発散作用のある凹レンズ的加速器において横方向の集束は４極電磁石によって与えられるが、強い発散と集束の４極電磁石を並べてビームを集束することを「強集束」

ṽの原理という。

Ṹ

強集束の原理が開発される以前、加速器に使われる電磁石は偏光電磁石のみであった。偏光電
磁石は中心軌道を曲げるだけでなく、ビーム振動に対しては水平方向には弱い集束力として働く。
偏光電磁石のみ並べただけでも、水平方向のビーṸṽ

ムの運動は安定にできる。その場合、別に垂直方向の集束力が必要で、初期は偏光電磁石端部の偶然な誤差磁場、さらに進むと端部の角度の工夫で水平方向の集束力を垂直方向に回すなどの工夫

図 2-30 ４極電磁石の断面形状が為された。初期の加速器、特にサイクロトロンなどで、水平と垂直の集束力の和が一定という制Ṓẋṓ ๣ब௻‫׹‬

限の下に作られた集束系を「弱集束」という。
偏光電磁石への工夫をさらに進めると、磁極に傾きをつけ、極端な場合は４極電磁石を半分に割ったような形の偏光電磁石にすると集束力を強くできる。そのような偏光電磁石を機能結合
ṒẌṓ ۳ᆷ௻‫׹‬型、combined function magnet といい、機能結合型の偏光電磁石だけで FODO 構造を作ることができる。やがて、集束機能を偏光電磁石から分離し、４極電磁石が導入されることになる。なお、
現在でもビームのエミッタンスを下げるために

ṻṰ

ṻṮ

ṻṰ

機能結合型の偏光電磁石が使われることがある。

ṻṮ

図 2-31 FODO 構造28

縦方向の集束は RF 空洞によって与えられの曲げ角は少なく、低いエネルギーでは多くなる。詳細は RF の項で述べるが、RF による縦方る。集束力の作用でエネルギーのずれた電子も安向の集束作用を「位相安定性」の原理という。強定に周回できるが、中心軌道は変化する。エネル

集束と位相安定性とが、加速器のビーム力学を支ギーに依存した中心軌道の変化量を分散関数、

える２大原理である。

dispersion function と呼ぶ（図 2-32）。通常はエネルギーのずれに線形な部分をη[m] で表し、3.11. エネルギー収差

Δx = η

相対論的領域まで加速されているため、電子とする。ただし、 ΔPの速さはほぼ光速であり、エネルギーが変化しても速さは変わらない。エネルギーによって変化す

P

ΔP
P

は運動量のずれである。

元々の軌道にこれを足したものが、エネルギーがるのは質量、運動量であり、高いエネルギーの電ずれた粒子のベータトロン振動の中心軌道とな子は電磁石によって曲げられにくく、低いエネルる。

ギーの電子は多く曲げられる。この項ではエネル

中心軌道の変化に伴い、軌道長も変化する。

ギー収差に伴う磁場による曲げられ方の違いか

通常はエネルギーの高い、重い粒子は外側を通るら生じる効果について述べる。

ために軌道長が長くなり、エネルギーの低い、軽い粒子は内側を通るために軌道長が短くなる。エ

偏光電磁石において、高いエネルギーの電子

ネルギーによる軌道長の変化率をモーメンタム
コンパクション（momentum compaction factor）

Ὤᾑᾯὲ̵Ἷ᱔ἕ᭐ࠄὀ౷ἣ὚ὝἼἠἠẩ‫ݰ‬ѥὣᥨ὜

という。分散と同様に、エネルギーに線形な項をα で表し、
ΔC
ΔP
1η=α、α = ∫ds
C
P
C bend ρである。ここで、 C は周長、第２式の積分は全偏向電磁石内での積分で、 ρ は偏向電磁石の曲率半径である。（導出については、次章を参照。） 通Ὤᾑᾯὲ̵ἿϬἕ᭐ࠄὀ‫ݳ‬ἠ౷ἣ὚Ὕἷẩӈѥὣᥨ὜

常のリングでは重い粒子は外側を回ることから、

α > 0 であるが、蓄積リングの集束系を工夫して
α = 0 や α < 0 にすることもできる。

図 2-32 エネルギー分散Ὤᾑᾯὲ̵ἿϬἕ፦ࠄὀᬹರἦὝἪ἟὜

次に、エネルギー収差の、集束力に対する影響について述べる。４極電磁石の集束力は、高いエネルギーの電子に対しては弱く、低いエネルギーの電子には強く働く。集束力の変化は、電子のベータトロン振動に影響を与える。強く集束されれば、ビームはより激しく振動することになり、振動の包絡線は細く、リング１周の振動数は上昇する。逆に、集束が弱ければ、包絡線は太く、振動数は減少する。運動量のずれに対するベータト
ロン振動数の変化を色収差という。線形部分に対する係数 ξ を、Ὤᾑᾯὲ̵Ἷ᱔ἕ፦ࠄὀ
ᬹರἝ᢮ὛἻἕ

図 2-33 色収差29ṒẌṓ ֛௟௝ᾅᾩ̵ᾷἿషἿ፦ࠄἿ᣺ᦇṒẋṓ ௟௝ᾅᾩ̵ᾷἿషἿ፦ࠄἿ᣺ᦇ

ЇἙὁᾅᾩ̵ᾷἝṟṘṟἿ‫װܣ‬ẩͳো᣺ᦇἼࡠἨἷ
Ṝؔ‫ۂ‬Ἰṛṛ‫ۂ‬ଭՠἨẩҥἿ᣺ᦇἼૌ὜

ЇἙὁᾅᾩ̵ᾷἝṟἿ‫װܣ‬ẩͳো᣺ᦇἼࡠἨἷ
ổؔἸộ‫ۂ‬ଭՠἪ὜

ង༟࿙

Ỗؔᆵ

ổؔᆵ

ង༟࿙

Ảṑ

Ảṑ

Ả

Ả

図 2-34 整数・半整数チューンにおける軌道例

ΔP
1、ξ = −Kβds
P
4π ∫B ,Qと書く。ここで、 Δν はベータトロン振動数、 K

ロン振動中の粒子を観測することを考える。振動は４極電磁石や偏向電磁石の集束力の強さを表

同じ場所を通過する為、観測される粒子の位置はし、一定である（図 2-34(a)）。0.5、1.5、2.5……など

蓄積リングの軌道上の或る１点で、ベータトΔν = ξ

数が整数の場合、粒子は周回毎に蓄積リング内の

B′ −2
[m ]
K=
Bρ
である。なお、この K を使うと４極電磁石内の運動方程式は x′′ = Kx と書ける。

を半整数というが、チューンが半整数の場合、粒子は２周回毎に同じ軌道に戻るので、或る点で観測すると、粒子は軸対称な２点間を周回毎に行ったり来たりする（図 2-34(b)）。1/3、2/3……など、
1/3 の倍数の場合、３周毎に同じ軌道に戻るので、

3.12. 振動数と共鳴振動

対称な３点を交互に行き来する。一方で、振動数蓄積リングを周回する粒子は、中心軌道の周が中途半端な値の場合、粒子はベータトロン関数

りをベータトロン振動しながらまわっている。粒で決まる最大振幅内の至る所をくまなく適当に子の運動が完璧に通過して行く様に見えるだろう。

x′′ = k (s )x

軌道上のその点で粒子に余計な力、例えば偏という線形の方程式で尽くされるなら、振動の大向電磁石の様に、通過する粒子を常に或る方向へ

きさを 2 J として、解は蹴る力、が働いた時を考える。振動数が整数の場

x(s ) = 2 Jβ (s ) cos(φ (s ))合、周回毎に粒子は同じ方向に蹴られ、その方向と書ける。数学的には、振幅がどんなに大きくての振幅が増大していく（図 2-35）。これは数学的もこの解は正しい。また、振動数がどんな値であには共鳴振動となり、減衰力項がなければ振幅はろうとも、解は解である。現実にはそうではない。

指数関数的に増大していく。次に、余計な力が４極電磁石の力の様に、中心軌道の右側と左側で力

30

ͳো᣺ᦇ

ៗࣽሩ‫ܣ‬ἻἺἼὙ὜
ϴផἻᣟὛញἼὙὛẩؔ‫๎ۂ‬ἼଭटἝܾ‫ݸ‬Ἢ὜

Ảṑ
Δθ

Ỗؔᆵ

Δθ

Δθ

Δθ

ṛؔᆵ

Ả

図 2-35 整数共鳴の向きが反転する様な場合を考える。振動数が半から磁場が裾を引くが、その影響をきちんと扱う

整数の場合、粒子は中心軌道の右、左、右、左、ことは困難である。電磁石の誤差については統計……と軸対称な２点間を行き来するが、右側では的に大きさの予測はできても、具体的にどの電磁右へ蹴られ、左側では左へ蹴られ、という共鳴が石にいくつの誤差があるかを知ることはほぼ不生じる。この場合も振幅は指数関数的に増大して可能である。また、RF 加速空洞には、加速の為ゆく。直感的には明らかではないが、余計な力がの電磁場だけでなく、余計な電場、高次モードが６極電磁石的な蹴りの場合、振動数が 1/3 の倍数存在するし、場合によっては空洞の温度変化や振の時に共鳴振動となる。一方、ベータトロン振動動による変形で時々刻々それらが変わることも数が中途半端な値の時、粒子にとってこれらの力ある。さらに、蓄積ビームに働く力は、電磁石とは、周回毎にでたらめの方向に蹴られているのとRF 空洞からの力だけではない。真空ダクトは金同じことで、協調的に働かず、共鳴にならない。

属製であり、内壁は導体である。ダクトの中を走

例えば、偏向電磁石的な力は粒子の中心軌道を若る電子には、ダクト上に鏡面電荷がついて走る。

干歪ませ、４極電磁石的な力は振動数を若干変化

ダクトに凹凸があると、鏡面電荷とビームとの間させ、６極電磁石的な力は、運動量偏差に対するの場が変化し、ビームに力が働く。ダクトの凹凸応答を変化させるが、設計粒子に対しては線形のが、空洞のような閉じた空間を作ると、そこに電範囲では影響しない。従って、ベータトロン振動

磁場が長い時間残ってしまうこともある。この様数は、できるだけ中途半端な値にしておくべきでな電磁場を航跡場、ウェイクフィールドという。

ある。通常の場合、整数、半整数、1/3 の倍数、現実の加速器では、線形、非線形を問わず、余計

1/4 の倍数までを考え、それらから離れた値にしな電磁場や航跡場による力が至る所に存在する。

ておけば十分である。

ベータトロン振動数を中途半端な値にし、空洞やダクトの形状などを工夫することで、高次モード

現実の加速器では、粒子には様々な不明な力や航跡場の振動数がベータトロン振動数に重なが働いている。これらの力は、数学的にきちんとらないようにし、破壊的な共鳴振動が励起されな書けないのみならず、どこでどのような余計な力いようにしているのである。

が働いているか、現実にほとんど分からないまま
加速器は運転されている。例えば、理想的に設計製造された電磁石でも、ビーム進行方向に磁極の31۳ᆷଭՠ௝

ἤἿᏱἼἜἜ὜Ἱ
Ӏ᳗ଭՠἸ
ᾗ̵ᾤᾱώ

๣बଭटБࠊ
ẞẟẘẏ ẝẒẓẐẞ

ṚṘṟ

ᇄክᾄέᾌ
ṚṘṝṝ
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ẞẟẘẏ ẝẒẓẐẞ
Ṛ
Ṛ

ṚṘṝṝ

๣बଭՠ௝

ṚṘṟ

図 2-36 ダイナミックアパーチャと共鳴線の概念
3.13. ダイナミックアパーチャ、物理アパーチャ
中心軌道付近の粒子に対して、設計上のベー
タトロン振動数を中途半端な値にすることが重要であるが、運動量のずれや、振動の振幅が大きい場合、ベータトロン振動数が変化する。それぞれ 、 運 動 量 依 存 チ ュ ー ン シ フ ト (momentum
dependent tune shift)、振幅依存チューンシフト(amplitude dependent tune shift)というが、その効果で振動数が共鳴に引っかかる振動数になると、その運動量の粒子、その振幅の粒子は安定に周回できずに失われてしまう。逆に言えば、真空ダクトの中で粒子が安定に周回できる空間的な領域と運動量の範囲は、設計粒子の振動数から振幅または運動量偏差を増やしていき、共鳴に当た

図 2-37 PF リングのある日の電流履歴

るまでの範囲、ということになる。概念を図 2-36

る方法が行われる。それを、粒子トラッキングに示す。この安定領域をダイナミックアパーチャ（particle tracking）計算という。計算においては、（dynamic aperture、動力学的口径）という。一どの共鳴線が効くか調べると共に、どの様にすれ方、真空ダクトによる物理的な口径をフィジカル
アパーチャ(physical aperture、物理口径)という。

ば共鳴線が弱くなるか、振幅や運動量依存チュー
ンシフトが小さくなるか、などを考えつつ、電磁ダイナミックアパーチャはフィジカルアパーチ

石の値の最適化が行われる。整数共鳴と半整数共

ャよりも広ければ十分である。

鳴はどうやっても逃れられないが、他の共鳴はリ蓄積リングの設計において最も重要なこと

ングの対称性や非線形力の配置の最適化で強さは、十分に広いダイナミックアパーチャを確保すが変わる。蓄積リングの電磁石配置をラティスとることである。ダイナミックアパーチャが狭い

いうが、ラティス設計の目的は、対称性や非線形と、入射が困難になり、また、蓄積ビーム寿命も力の配置、チューンを最適化して広いダイナミッ短くなる。ダイナミックアパーチャを解析的に求クアパーチャを確保することにある。

める方法はなく、現在は様々な力を考慮した上で、粒子を計算上で数千～数万周回させてみて、途中で振幅がダクトの大きさを超えないか調べ32

3.14. ビーム寿命

さい為、この効果は効かない。水平方向のベータトロン振動のみが寄与する。低エネルギーの蓄積

蓄積リングに蓄積された電流は、時間と共に減ってゆく。電流減少を指数関数

リングの方が、もともと縦方向の運動量が小さい⎛ t⎞
I = I 0 exp⎜ − ⎟⎝ τ⎠
で記述したときの時定数 τ をビーム寿命という。

ため、小さな変化にも敏感となる。また、エミッ
タンスの小さなビームほど散乱が起こりやすい。
従って、高エネルギーのリングでもエミッタンス
が非常に小さい場合は効くことがあるが、主に中PF リングのある日の運転の様子を図 2-37 に示

低エネルギーの低エミッタンスリングで顕著です。この日は１日２回、朝９時と夜９時に入射がある。ビーム内散乱による寿命を長くするために行われ、入射直後の電流値は 450 mA である。それが 12 時間かけて約 300 mA まで減少している。
入射直後のビーム寿命は約 30 時間、電流が 300
mA の時が約 41 時間である。

は、運動量方向にアパーチャが広いことが重要である。
PF リングの場合、改造や修理のためにリン蓄積リングの寿命は、量子寿命（quantum
lifetime）τ q 、残留ガス散乱によるビーム損失 τ g 、グの真空を空けて作業を行うと、直後は真空圧

ビーム内散乱またはタウシェック効果によるビーム損失 τ T 、の３つの効果によって決まる。

けるとガスは減ってゆき、寿命は長くなっていτ = τ q +τ g +τ T
2

2

力、すなわち残留ガスが寿命を決める。運転を続く。これを焼き出し効果という。やがて、圧力が2下がりきると、寿命は残留ガス散乱とタウシェッ
ク効果の両方によって決まるようになる。タウシ： 粒子が放射光を出す過程は量ェック効果による寿命が見えるまで焼き出しが子力学的な確率過程であり、確率的に非常に大き進んだ状態では、垂直方向のビームサイズを増やなエネルギーの放射光を発生させる場合がある。

したりバンチ長を伸ばしたりすると、水平方向の粒子はその反跳として非常に大きく蹴られ、真空IBS の頻度が減少し、寿命が長くなる。

量子寿命

ダクトに衝突して失われる。ただし、真空ダクト

3.15. 色収差の補正が非常に細い場合を除き、ビーム寿命に対するこ

横方向の物理的なアパーチャはダクトによの効果の寄与は無視できるほど小さい。
： 粒子が真空中の残留ガスって決まるが、縦方向は RF 空洞の電圧によってと衝突して失われることで決まる寿命。真空度が決まる。縦方向の安定領域を RF バケツ（RF

悪い場合や、リングのエミッタンスが大きい場合

bucket）というが、領域の大きさをバケットハイ

残留ガス散乱（IBS が小さいので）、リングのエネルギーが大きト（bucket height）という。通常は ΔP

い場合に主として寿命を決める。

である。横方向のダイナミックアパーチャがダク

ビーム内散乱：ビーム内散乱Pで数%トより広いことが望ましいのと同じく、縦方向も（intra-beam scattering、IBS）またはタウシェッ

バケットハイトよりは大きいことが望ましい。そク効果（Touscheck effect）とは、バンチ内でベの為には、色収差に伴う運動量依存チューンシフ

ータトロン振動している粒子同士が衝突し、横方トを補正する必要がある。

向の運動量が縦方向の運動量に変わる効果であ

色収差の補正（図 2-38、39）は、６極電磁石をる。ベータトロン振動のエネルギーが縦方向のエ使って行われる。一般に、n 極電磁石の中をビー

ネルギーのズレへと変わることで、粒子が運動量

ムが通過する場合、軌道にズレがあると、ズレに方向の安定領域から外れ、失われる。蓄積リング比例した n-1 極成分として働く。例えば、4 極電の場合、垂直方向はビームサイズが非常に小さ

磁石ではズレに比例した 2 極成分すなわち曲げ角く、ベータトロン振動の振幅及びエネルギーも小が、6 極電磁石ではズレに比例した 4 極成分すな33Ṟඇ᭐ሩᇺ

Ṡඇ᭐ሩᇺ

図 2-38 色収差補正
図 2-40 セプタム電磁石外観

図 2-39 4 極電磁石と６極電磁石
わり集束力になる。６極を分散関数のある部分に設置することで、分散関数の効果で運動量に比例した水平方向の軌道のズレが生じ、６極電磁石の図 2-41 キッカー電磁石外観効果で軌道のズレ、すなわち運動量のズレに比例した集束力がビームに与えられ、エネルギーによーモニック６極（harmonic sextupole）という。

る集束力の違いを補正することができる。

6 極電磁石の最適化が、低エミッタンスの蓄積リ

最近の放射光源においては、エミッタンスをングにおいてダイナミックアパーチャ確保の鍵下げるために強い集束力が用いられている。４極となる。

電磁石が強ければ色収差も大きく、補正のための６極電磁石にも必然的に強い磁場が必要となる。

ここまで、リングの DC 的な主電磁石及び横６極電磁石はリングに存在する最も大きな非線

方向のビーム力学の概略を述べてきた。次は、パ形力であり、強い非線形力は、多数の共鳴振動を

ルス電磁石を用いた入射系について述べる。

励起し、振幅依存チューンシフトを劇的に増大さ3.16. 入射せ、ダイナミックアパーチャを減少させる。対策として、分散関数のない部分に６極電磁石を設置

入射器からのビームを蓄積リングへ打ち込

し、共鳴やチューンシフトを打ち消すようにする

み、蓄積することを入射という。入射にはセプタ

最適化が行われ、その様な目的の 6 極電磁石をハ34Ṓẋṓ ᘘኟᾗ̵ᾤἼᾔᾷᾛὣዉἷἻἕἹǡǡᾗ̵ᾤҸࡤᢿὙὛ

ᾗ̵ᾤଭट

὿ᾛᾃᾤ

セプタム板
（保護板付）

὿ᾛᾃᾤἼᜑኰ

ᾗ̵ᾤᥳᜊ௻‫׹‬ᢸᭆṒẌṓ ᥨचἿҸࡤώά̵ᾤ
ᾔᾷᾛἼὙἴἷ࠮ՕᆋἼ༓࡯Ἠἰ
Ҹࡤᾗ̵ᾤἿԕಓଭट
ᾗ̵ᾤଭट

Ҹࡤᾗ̵ᾤ

ҸࡤάᾇὯ̵

ᘘኟᾗ̵ᾤἿ᣺ᦇ

入射ビーム
ᾗ̵ᾤᥳᜊ௻‫׹‬ᢸᭆ

図 2-42 セプタム電磁石本体

図 2-43 入射ビームの振動

ム電磁石（図 2-40）、キッカー電磁石（図 2-41）

入射ビームのベータトロン振動はセプタム
板の外側から始まるため、周回して戻って来た入という２種類のパルス電磁石が用いられる。
セプタム電磁石はビーム輸送路最下流、すな

射ビームはセプタム板に内側から衝突して失わわちリングとの境界に置かれる特殊な電磁石で、れる（図 2-43-(a)）。それを防ぐために、入射の瞬

入射ビームの軌道と蓄積ビームの軌道の間は、セ間だけ入射点において蓄積ビームの軌道を入射プタム板という金属板で仕切られている（図

ビームに近づける操作が行われる（図 2-43-(b)）。

2-42）。入射ビーム側で磁場をパルス的に励磁す

入射ビームのベータトロン振動の初期振幅は、入ると、セプタム板の上で渦電流が生じ、蓄積ビー

射ビームの位置と蓄積ビームの中心軌道との距

ム側には磁場が遮蔽される。セプタム電磁石はビ離なので、一時的に蓄積ビームを入射ビームに近ーム輸送路の最後で、入射ビームの軌道を蓄積リづけることで、振幅を減らすことができる。入射ングの軌道に沿った向きに向けるために使われビームが周回して戻って来た時には中心軌道はる。蓄積後に入射ビームのベータトロン振動の振元の場所に戻っており、入射ビームはセプタム板

幅が最小になるようにセプタムの角度が決めらの内側を通過することができる。入射点で蓄積ビれるが、蓄積リングのパラメータによっては、入ームの軌道を入射の瞬間だけ移動させる、局所パ射ビームの軌道は蓄積リングの軌道と平行でな

ルスバンプの為に使われるのがキッカー電磁石

い場合が最適になることもある。入射されたビーである。
パルス電磁石は DC 電磁石と異なり、渦電流

ムは、蓄積リングの軌道を中心軌道として、大振の効果が顕著である。鉄芯にはフェライトの様に幅のベータトロン振動を始める。

渦電流の効果が小さい材質（図 2-44）か、絶縁さ

35図 2-45 セラミックダクト
図 2-44 キッカー半割写真

άᾇὯ̵Ṟ
άᾇὯ̵ṝ
Ҹࡤ࿙

れた薄い鉄板を重ねた様な積層鋼板構造にすることが必要である。また、金属製のダクトはセプάᾇὯ̵Ṝ

タム板と同じで磁場を遮蔽する為、真空ダクトに

άᾇὯ̵ṛ

ᘘኟᾮᾷὴ

もセラミック製のダクトを使う必要がある（図ṬṜṝ2-45）。また、パルス磁石の場合、電源に対して

ṬṜṞ

ṬṜṡ

὿ᾛᾃᾤṛ
὿ᾛᾃᾤṜ

ṬṜṠ

ṬṜṟ

は電気的な抵抗値よりもインダクタンスの影響が顕著である。インダクタンスに周波数をかけたᾗ̵ᾤᤛᥘᢿ

ものが電圧になるが、通常、インダクタンスを下げるためにコイルの巻き数や断面積を小さく抑図 2-46 PF 入射点付近のラティスえる。そうすると磁場を出すためには電流値を大きくする必要が生じる。インダクタンス、電流値、電源電圧のバランスでパラメータを最適化する

ビーム輸送路が、通常は電流数千アンペア、電圧数十 kV になる。渦電流の効果は非常に厳しく、電磁石の周りに導体があると悉く帯電する為、接地の取り方も重要となる。
蓄積リング

PF リングの入射点付近のラティスを図 2-46に、写真を図 2-47 に示す。さて、入射ビームは

セプタム
K3

大振幅のベータトロン振動をしながらリングを周回するが、放射減衰の効果で振幅が徐々に減ってゆき、やがて蓄積ビームと混じり合う。次の項
図 2-47 PF 入射点付近

では放射減衰と放射励起について述べる。
3.17. 放射減衰と放射励起衰の効果で減衰する。この項では放射減衰と放射励起について述べる。

蓄積リングを周回する電子の位相空間での広がり、すなわちエミッタンスは、放射減衰と放射励起の平衡状態によって決まる。また、入射ビ

粒子が放射光を出す（図 2-48-(a)）と、粒子ームの振動や、パルス電磁石の誤差、航跡場などの運動量が減少する。放射光は粒子の進行方向にによって励起された蓄積ビームの振動も、放射減放出されるので、ベータトロン振動している粒子36Ṓẋṓ ொࡤ༓᜘⎛ 2 ⎞ε (t ) = ε exp⎜ − t ⎟⎝ τ ⎠と書ける。ここで、 τ は減衰時間である。励起のொࡤҫὣԅἪẢ௻‫׹‬ᦀՠ᧺

強さを G と書けば、時間変化の式は、

ொࡤҫἼὙ὜
ᦀՠ᧺༓࡯๣ब௻‫׹‬Ἷᦀՠ᧺Ἷ༓࡯

2dε=− ε +Gτdtとなる。これを dε= 0 として解けば、平衡状態dt಄ԕክູἼὙ὜Չᥫ

ொࡤſՉᥫ঵

における自然エミッタンスが分かる。

Ấ௻‫ᦀ׹‬ՠ᧺ṒẌṓ ொࡤՒᢧ

蓄積リングに入射されたビームは、放射減衰ொࡤҫὣԅἪἹ
ᦀՠ᧺Ἕ༓࡯
ឥផ፦ࠄἿͳো᣺ᦇによって振幅が減少し、やがて蓄積ビームと混じり合う。PF リングの水平方向の減衰時間は 7.8

ẏ

ms である。すなわち、入射ビームが 12500 周す
ると振動の振幅が 1 ≈ 37% に減少する。

ᾝ̵ᾃᾌᾱᾷଭՠὣ
޹ὒ὜e

入射ビームの振動の観測は、ビームの電荷がᦀՠ᧺ἿἫὝἰ፦ࠄἿͳো᣺ᦇ

小さく、また、周回平均をとらずに観測する必要がある為に簡単ではない。また、入射ビームは入

図 2-48 放射減衰と放射励起

射直後は集団としてまとまっているが、蓄積リングを周回するに従ってばらばらになっていく。電に対しては、設計軌道に垂直な、ベータトロン振気的なモニタにおいては、ビームの重心を測定す

動の運動量が含まれる。放射光によって失われた

ることしかできないため、ビームがばらばらにな

運動量は RF 加速空洞による加速で補われるが、るに従い、振動が急激に減少していく様に見え

空洞が粒子に与える運動量は常に設計軌道に平る。これをビームのスメア(smear)という。ビー行である。すなわち、放射光は余計な方向の運動

ムがスメアしてしまう場合でも、放射光を使った量も持ち去るが、加速は常に望ましい方向に対しモニタを使えば振動が観測できる。

て行われるため、放射光を出し、その分加速され……を繰り返すと、ベータトロン振動は減衰す

横方向に関してはとりあえずここまでとし、る。この効果を放射減衰という。

次はビーム進行方向の運動と、その集束力を与えさて、放射光は偏向電磁石で軌道が曲げられる RF 加速空洞について述べる。

た時に出るが、放射光を出して運動量とエネルギ

3.18. RF 加速空洞ーが変化した粒子は、その瞬間から偏向電磁石での曲げられ方が変化する。すなわち、放射光を出粒子が放射光を出して失った分のエネルギ

してエネルギーが変わった瞬間から、粒子は分散ーを注ぎ足す為、線形加速器と同じく、蓄積リン関数で決まる軌道を中心にベータトロン振動を

グでも粒子を加速するのに RF 加速空洞が使われ始める。この効果を放射励起という。

る。PF リングの加速空洞の写真を図 2-49 に示す。

横方向の運動量が大きいほど放射光の持ちRF 源や立体回路は線形加速器と同様であるが、去る余計な運動量も大きいため、放射減衰はベー

線形加速器に比べて周波数が 500.1 MHz と低い

タトロン振動の振幅によって大きさが変わる。一ため、導波管の大きさが大きい。PF リングのク方、放射励起はその時点の粒子のベータトロン振

ライストロン（図 2-50）は、電子源が上部にあり、動の状況に依らない。従って、粒子の集団として上から下に向けて電子が飛ぶ構造になっている。

の広がり ε を考えると、その減衰は37

(a) リング内(b) テストベンチ

カップラー
HOM 吸収体

図 2-50 PF リングのクライストロン

図 2-49 PF リングの RF 加速空洞
途中の空洞で密度変調し、取り出し空洞から RFが取り出されるという構造は同じである。周波数が低いため、導波管同様にクライストロンも大きい。RF 立体回路の一部を図 2-51（次ページ）に示す。クライストロンから発生した RF は、導波管を通ってリングの RF 空洞へと供給される。ク
ライストロンの出力空洞の出口や、リング内のRF 空洞本体の入口など、導波管と空洞の間には結合器（カップラー、coupler）というアンテナ状の部品が取り付けられている。カップラーによって空洞内から RF が引き出され、また、空洞に RFが供給される。導波管は内部も含めて空気中であるが、空洞内は真空であり、カップラーがその境

図 2-52 カップラー部分の外観界になっている。カップラーの設計は、カップラー内のアンテナ構造の電磁場分布を計算し、発熱変換して各モード毎に方程式を考えると、減衰のや放電の防止を考えつつ、真空をセラミックで仕ある強制振動の式となる。RF の各部は LCR 共振切るという難しい作業である。
RF パワーの流れは、伝送線回路の理論を使回路として考えることができ、回路と回路との間って計算される。数学的には、電磁場をフーリエはトランスで結合されることとなる。等価回路の38

ッドを出し入れする、空洞内のループアンテナをϞᥘᏱế࡭ຩጢỀ

回転させるなどし、実効的に空洞の体積を変えるṼ Ṷ

ことで電気的なキャパシタンスを変えるが、その

ṭ

Ṽ

᭐ࠄᾗ̵ᾤ

整合がうまくいかない場合、RF が空洞に入ってゆかない。また、電子ビームも RF 空洞内に電磁

ṭ
Ẅṛ

ẄṜ

Ṽ

場を誘起するが、その RF もカップラーを通じてṶ

上流側に伝わってゆく。空洞から出てくる RF パ
ワーがクライストロンに戻ってゆかない為に、立

ᡜᖲ
Ꮊ‫ڢװ‬
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ếέᾭὨώᾌᾱᾷỀếὯᾇᾛᾭ̵ỀếክູಙϰỀ

体回路の途中にはサーキュレータが入れられている。サーキュレータは誘電体を使ったダイオー

図 2-53 等価回路のイメージ

ドのような一方通行回路で、三つ叉の接続口に、クライストロン、RF 空洞、ダミーロードが接続イメージを図 2-53 に示す。乾電池に豆電球、とされる。クライストロン側から入った RF は常にいう感じの閉じた静的な回路と異なり、伝送線の空洞側へ抜け、空洞側から入った RF はクライス回路で重要なのはインピーダンスの整合である。

トロン側へ戻ることなく、常にダミーロード側へ

インピーダンスとは、電気的な抵抗値や容量、イ

抜ける。サーキュレータによって、クライストロ

ンダクタンスから決まる回路の定数で、負荷や結ンが反射 RF から保護される。空洞側からの RF合器の定数がきちんと一致していないと、波は反は、水冷されたダミーロードで熱に変えられる。

射してしまい、きちんと伝わってゆかない。クラ

空洞やクライストロンなど、RF パワーの絡

イストロン、導波管、カップラーを通って空洞まむ回路をハイボル、高電圧回路と呼ぶ一方、それで RF の波が伝わってゆくが、例えば電子ビームぞれの制御系をローレベル、低電圧回路と呼ぶ。

の状態が急激に変わると整合が取れなくなってPF の RF のローレベルはアナログモジュールでRF が空洞内に供給されず、反射して戻ってくる。
また、空洞自身の回路定数は、例えば空洞内にロ構成されている（図 2-54）。複数台の RF に対し、
位相とパワー両方について、ビームの状態を見な
クライストロン

ダミーロード（反射 RF 等の吸収体）

サーキュレータ（RF 波の一方通行）

リング内空洞へ（空洞から反射）

図 2-51 PF リングの RF 立体回路

39

に分割されている。また、HOM 対策として、それぞれのセルに HOM 吸収用の結合器が取り付けられている。PF-AR 固有の問題ではあるが、セルが増えるとセル間の結合の効果で立ち得る HOMの数が劇的に増えるため、ビームへの影響は極めて大きい。
ERL では 9 セルの超伝導空洞が採用されることになっており、HOM 吸収体は PF リングのように両脇に取り付けられる予定である。また、真空を仕切りながら大電力を空洞に供給するカップラーであるが、ERL の場合、主加速空洞はエ
図 2-54 RF 制御系

ネルギー回収のためにパワーが少ないが、入射部の空洞では桁違いの大きなパワーを空洞に供給

がらフィードバック制御を行っている。詳細は省しなければならない為、カップラーの設計も難しく。

い。

空洞には電子ビームを加速する為の基本波だけでなく、高調波（higher order mode、HOM）
が存在し、電子ビームの不安定性の原因となる。

3.19. 位相安定性
ビームの縦方向の位置とは、リングのある場所

ビーム不安定性を防ぐためには、空洞本体をでビームを観測した時の、RF の位相に対するビ

HOM が立ちにくい設計にすると共に、立ってしームのタイミングである。ビームに RF をかける

まった HOM を速やかに除去する仕組みが必要である。PF リングでは、HOM ロード（load、負荷）として、空洞両脇に炭化珪素、SiC の幅広ダクト

だけで、加速電圧と放射光による損失が釣り合う位相を中心に、粒子が集束される。この効果を位相安定性という。この項では位相安定性と縦方向が接合されている（図 2-49 参照）。基本波はカッのビームの運動の概略について述べる。

トオフのために脇の SiC ダクトへは伝わらないが、HOM は波長が短いため、SiC ダクトに伝わ粒子が RF に到着するタイミングを変えるもり、そこで吸収される。HOM を脇に逃がし、吸のは、粒子の軌道長の変化である。粒子のエネル

収することでビーム不安定性が抑制される。他のギーが増えると、質量が増え、偏向電磁石で曲げ

HOM 対策としては、例えば空洞内の電磁場分布

られにくくなるため、外側の軌道を通るようになを考え、基本波の電場は弱いが HOM は強いといり、軌道長が伸びる（図 2-55-(a)）。従って、あるう場所にカップラーを取り付け、HOM だけを空周回に注目すると、エネルギーの高い粒子は RF洞の外側に取り出すという仕組みが採用されるへの到着が遅れ、エネルギーの低い粒子は設計粒こともある。

子よりも早く到着する。そこで、空洞内の電場はPF の場合、RF 空洞はリングに４台設置され時間的に変化するが、電圧が徐々に下がっていくており、それぞれにクライストロンが接続されてタイミングで粒子を加速すれば、早く到着した粒いる。PF の空洞は空洞毎に空間が１部屋しかな

子は設計粒子よりも多く加速され、遅く到着した

く、単セルと呼ばれる。一方、PF-AR の場合、空粒子は加速量が減り、どちらの粒子もエネルギー

洞はリングに６台設置されているが、空洞本体内のズレが小さくなる（図 2-55-(b)）。横方向のベー部は LINAC の加速管の様に多数に仕切られておタトロン振動の場合、座標と発散角で振動を記述

り、多セルである。PF-AR の場合、空洞１本の内するが、縦方向の場合、RF の位相またはタイミ

部は、加速セルが 11 部屋、加速セルに RF パワーを伝えるための結合セルが 10 部屋の合計 21 セル

40

ングのズレと、エネルギーのズレになる。この振となる。PF リングの場合、 α = 6.56 × 10

動をシンクロトロン振動という。

h = 320 、 eV = 1.7 MeV 、 E = 2.5GeV 、
φ 0 = 13.6° でν s = 0.015 である。１周期の振動に

RF の集束力の線形部分だけを考え、位相とエネルギーのズレが小さい範囲で線形振動を考−3、

約 70 周かかる。

えると、周波数は

RF 電圧は正弦的に変化するが、それを設計

αhω 0 eV cos φ 02πEと書ける。ただし、α はモーメンタムコンパクシ
ョン、h はハーモニック数、ω 0 は粒子の周回角振
動数、 V は RF のピーク電圧、 φ 0 は設計粒子のRF 位相で、周回のエネルギー損失 U 0 = eV sin φ 0を満たす値、 E はビームのエネルギーである。ま

粒子の位相付近で線形近似せず、非線形のまま数た、リング周回の振動数に直すと、シンクロトロと RF 到着時間のズレが座標系を張る。集束力が

2

Ωs =

学的に解くことができ、解は位相空間上の軌跡として与えられる。正弦振動、すなわち集束力が線形で振幅が正弦的に変化する振動の場合、軌跡は円である。振動の大きさが違ういくつかの粒子を重ね書きすると、図 2-56 の様な同心円になる。
一方、シンクロトロン振動の場合、位置と運動量の代わりに、設計粒子に対するエネルギーのズレ

ン振動数は正弦的な場合、軌跡は図 2-57 の様になる。軌跡

αheV cos φ0
νs =
2πE

が閉じている範囲に入っている粒子は安定であり、軌跡に沿って周回し続ける。安定領域の中心Ṓẋṓ Ὤᾑᾯὲ̵ԋ௚ἼὙ὜᣺ᦇ᫅Ἷ‫ݪ‬ց᱔Ὤᾑᾯὲ̵፦ࠄὀ
‫ݰ‬ѥὣ‫ۂ‬Ὓẩ᣺ᦇ᫅Ἕ᫅ἕ

ϬὬᾑᾯὲ̵፦ࠄὀ
ӈѥὣ‫ۂ‬Ὓẩ᣺ᦇ᫅ἝᇷἕṼṰክູṒẌṓ ᾃὨᾣᾷὴἼὙ὜ՉᥫἿᦉἕ
ṼṰ᭐ۜ

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఑ἠԜᇎἨẩ‫ݳ‬ἠՉᥫἦὝ὜

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ؔ‫ۂ‬Ἷ
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ឥផ፦ࠄ

᱔Ὤᾑᾯὲ̵፦ࠄὀ
᥼ἠԜᇎἨẩՉᥫἝ࡯Ἳἕ

ష᫐

図 2-55 位相安定性

41Ṓẋṓ ଭटἿష᫐‫ݪ‬ցṒẌṓ ϫᆸክ᫐Ἷ᣺ᢺ

ଭट

ଭट

ᦀՠ᧺
ష᫐

図 2-56 正弦振動の位相空間の軌跡
合、キッカー及びセプタムのタイミングが入射ビċṯṙṯ

ームに合っていたとしても、セパラトリクスから὿ᾕᾭᾌᾮέώ

外れたビームは失われる。また、エネルギーのずれたビームが入射された場合も同様である。ずれが小さければセパラトリクス内の粒子は蓄積さࠡࠪ᮵‫܌‬

れるため、入射率が悪化するのみであるが、ともあれ、入射ビームの中心がセパラトリクスの中央に来るようにタイミング及び LINAC のエネルギċẞーを調整することが重要である。

図 2-57 セパラトリクス
部分は同心円的であり、これを円だと近似することが線形近似に相当する。また、図には書いていないが、放射減衰の効果で振動は減衰してゆき、やがて放射励起との平衡で決まるエネルギー広
がりとバンチ長の範囲に収まる。一方、不安定領域に入った粒子は、エネルギーのずれがどんどん増大してゆき、やがて失われる。安定領域と不安定領域の境界をセパラトリクスという。
入射ビームがセパラトリクスの外に来てしまった場合、ビームのエネルギーのずれは周回す
るに従って増大してゆく。分散関数の効果でエネ
ルギーのずれは軌道のずれとなり、やがてビームはダクトに衝突して失われる。RF の位相に対して入射ビームの到着するタイミングがずれた場

42

3.20.

RF コンタクト

真空ダクト

蓄積リングにおいてビームを安定に周回させるため、真空系は非常に重要である。残留ガスが多いとビーム寿命が短いばかりでなく、様々な不安定性が励起され、明らかに真空によるものか
ら、どう考えても真空と関係なさそうなものまで、ありとあらゆるものが不安定になる。
蓄積リングの真空は、残留ガス散乱によるビアブソーバ

ーム寿命を目安に、目標とする真空圧力を求め、それを実現するためのダクトの大きさとポンプ

ガスケット入れる溝の配置を決めることから始まる。排気のしやすさをコンダクタンスというが、リング各部のコンダ

図 2-59 RF コンタクト付きフランジ

クタンスと排気速度を与えると、リング１周の圧力分布が計算でき、ビーム寿命を見積もることができる。およその見積もりが済んだところで、具体的な機器配置を検討することとなる。
真空ダクトの例を図 2-58 に示す。まず、複数の真空ダクトを繋ぐには繋ぎ目が必要であり、接続面をフランジという。”flange”には帽子のつば、などという意味もある。フランジとフランジをあわせてボルトで留めるが、間にパッキンを挟んで空気が入らないようにする必要がある。超高
図 2-60 コンタクト付けスポット溶接の様子

真空用のパッキンには、純銅の輪であるガスケッ
フランジ

アブソーバ
形状変換

ベローズ
図 2-58 真空ダクトの例

43

力を逃がす機構が必要である。薄い板を蛇腹にし、伸び縮みと上下左右のずれを吸収できる様にした部分をベローズという。”bellows”にはふいごという意味がある。ベローズもビームから見た時に RF 的に滑らかでなくてはならず、RF コンタ
クトが必要である（図 2-61）。フランジと異なり、ベローズの RF コンタクトはベローズが変形しても平気な設計である必要がある。電子は曲げられると放射光を出すが、フランジやベローズに放射

図 2-61 RF コンタクト付きのベローズの内側光が当たると、局所的かつ不均一に加熱され、リークの原因となるだけでなく、ひどい場合は RF

トや、バネ入りで比較的複雑な構造のヘリコフレコンタクトやベローズそのものが溶けてしまうックスなど、何種類か存在する。基本的にはフラこともある。ベローズやフランジを放射光から保ンジでパッキンを押し潰す構造になっている。フ

護するためには、上流側にアブソーバ、放射光吸ランジ面に指紋をつけたりするとどんなに引い

収体を挿入し、弱い部分がその影に入るようにすても真空がよくならないし、パッキンが触れる部る必要がある。アブソーバはダクト内面の突起で分にほんの僅かな傷があるだけでも、空気が入りあり、航跡場の影響も当然考えなければいけな込む原因となる。真空中に空気が漏れ入ることい。実際、光による発熱よりも航跡場による発熱を、真空漏れ、リークと呼ぶ。フランジを合わせの方が強くなってしまうこともある。

てボルトで締める時も、何段階かに分けて上下左

さて、真空装置において真空を悪化させる原右を均等に締めていかないと、パッキンが平均的

因は、ダクトの内壁面や内部に存在するガス分子に潰れず、リークの原因となる。

が放出されることである。真空ダクトをリングに

次に、真空ダクト内を実際にビームが通過す導入する際には、予めリークチェックの他に、ダる時のことを考えてみる。フランジとフランジのクト内壁面のガスを放出させる為、ポンプで引き間の隙間がビームに見えると、そこに航跡場が残ながらダクトの温度を上げるベイキングというる。ビーム不安定性の原因となるような共鳴性の作業が行われる。ガスの急激な放出は主に温度上場は立たないとしても、発熱の原因にはなる。局

昇によるものであるが、温度上昇の原因は航跡場

所的な発熱は金属の膨張変形を引き起こし、リーや放射光である。従って、航跡場が生じるところ

クの原因となる。従って、フランジ繋ぎ目は RFや放射光の当たる部分には、ポンプを設置してお的には滑らかである必要がある。具体的には RF

くことが望ましい。フランジやベローズを保護すコンタクトという薄い銅板の爪（図 2-59）を、フる為のアブソーバの近くにはポンプが必要であ

ランジ片側のダクト周囲に溶接する（図 2-60）。

るし、また、２本のダクトの断面形状が異なる場

そうすると、航跡場はカットオフに引っかかり、合、緩やかに繋ぐ方が航跡場の観点から望ましい

フランジの隙間に入り込んでいかなくなる。

為、形状変換という緩やかに断面形状が変わる接２本のダクトを繋ぐためにフランジを合わ

続ダクトを挿入するが、航跡場の影響がなくなる

せるが、ダクト繋ぎ目にはいろいろな要因で力がわけではなく、場合によっては冷却と排気ポンプ加わる。ビームを蓄積するとそれだけでダクトのが必要な程に発熱することもある。新しいダクト

温度が上がるし、加減速しても温度が変わる。蓄の場合、通常は或る程度ガスを出し切るまでの積ビームを一気に失うことを、ビームダンプ、ア間、ビームを蓄積する度に真空が一時的に劇的にボートなどと呼ぶが、大電流でビームダンプする悪化する。また、航跡場はバンチ電荷やエミッタと、さらに急激に温度が変わる。温度変化などにンスに依存する為、通常の多数バンチ運転でダク

よる力は、ダクトの繋ぎ目に集中してかかる為、

44

(a) SIP 外観

チタンの塊

図 2-62 ゲッターの頭
トの枯れが進んだ状態であっても、単バンチ大電(b) ポンプ内部のセル荷で運転すると再び真空が劇的に悪化することもある。ひどい場合にはダクトの凹凸面の航跡場が強い部分で、放電が生じることもある。放電により、ダクトの金属粒子が飛び散ってビームと衝突し、寿命が短くなるだけならともかく、セラミック部分を割ったり、ダクトを溶かしたりして非常に深刻な事態になることもある。たかがフラン

図 2-63 SIP

ジひとつとっても非常に難しい。真空系は全てにおいて緻密で抜け目ない設計と、丁寧かつ慎重な扱いが要求される困難な分野である。
PF リングでは真空ポンプとして、チタンゲ
ッターポンプ(getter pump、sublimation pump、
図 2-62)、SIP（sputter ion pump 図 2-63）、DIP（distributed ion pump）などが主に使われている。チタンゲッターは、ゲッターを「焚いた」時
のみ動作するポンプで、ダクト中にチタンを飛ばし、残留ガスをチタンと化学反応させ、一緒にダ

図 2-64 DIP のケーブル

クト内壁に強力に吸着させるというポンプである。イオンポンプもチタンを飛ばしてガスをイオ

ダクトの壁面に数 m に渡って取り付けられた長ン化させるが、ポンプ内で電子を飛ばし、チタンいポンプであり、PF リングでは偏向電磁石のダ

陰極にぶつけてチタンを飛ばし、チタンによってクト内に設置されている。ダクト端の DIP 用の高イオン化したガスを電場で吸着させる仕組みに

圧ケーブルの繋ぎ目を図 2-64 に示す。ゲッターなっている。SIP、DIP ともにイオンポンプであは反応性のない希ガス（noble gas）は引けないが、るが、SIP は独立した箱のようなポンプ、DIP は

45

ゲートバルブ

図 2-67 冷却水配管の分岐ポンプ取り付けポート
ターボポンプ

図 2-68 配管作業の様子

図 2-65 ゲートバルブや粗引きポート

期シャットダウン中に行われ、作業のための準備は、例えばダクトやアブソーバのチェックやベイキングなどがあるが、半年から１年以上前から周到に行われるのが普通である。リングの真空を破ると、たとえ乾燥窒素で大気圧にしたとしても、運転開始時にはビームを蓄積してガス出しをする必要が生じる。真空を破る区間はできるだけ局
所的に留めたい。そこで、コストの関係で最小限ではあるが、リングの所々に真空を仕切るための
ゲートバルブや、真空を破る時、再び引く時の為のポンプ取り付け口などが設置されている（図2-65）。

図 2-66 冷却水配管

放射光や航跡場による発熱を冷却する為、ダ
クトやアブソーバの水配管も重要である。図 2-66

イオンポンプは希ガスも引けるため、noble gasにダクトの水配管の例を示す。アブソーバ以外にpump を略し、ノーブルポンプ（高貴なポンプ）

も、４極電磁石内のダクトの放射光が当たる側でということもある。
リングに新しい機器を設置する場合や、真空ある外側壁面には、冷却水配管が溶接されてい系の維持管理の為には、時々リングの真空を破るる。配管が２本あるのは、水の往きと帰りである。

必要が生じる。真空作業は通常は１ヶ月以上の長

また、リングトンネル内には真空とチャンネルの46

(a) BPM 外観

図 2-69 BA ゲージ
ための冷却水配管及び圧空配管の分岐板が所々に設置されている（図 2-67）。圧空とは、圧縮空気配管で、ゲートバルブなど、空気圧で動作する
装置に圧力の高い空気を供給する為の配管であ(b) BPM 電極

る。冷却水配管の様子を図 2-68 に示す。
放射光や航跡場による発熱を監視する為、真空ダクトの至る所には温度計が取り付けられている。また、真空圧力を測定するためのゲージも数 多 く 存 在 す る 。 PF リ ン グ で は CCG(coldcathode ionization gauge、冷陰極電離真空計)、
BA（Bayard-Albert gauge、図 2-69）等の真空計が利用されている。いずれも電子を飛ばして残留ガスをイオン化させ、残留ガスイオンによる電流を測定する電離真空計である。

図 2-70 PF リングの BPM
3.21. ビーム診断系
蓄積リングでは、ビーム電流値、ビームの位れる電圧を測定する。電圧はビームと電極との距

置、サイズ、チューンなど、ビームに関するパラ離に比例するため、電極間の電圧の足し引きでビメータを測定する装置が多数設置されている。

ームの位置が分かる。モニタの分解能をあげるた

様々なモニタがあるが、それぞれのモニタ毎に経めにはノイズを落とす為の高周波フィルターをかけ、信号を平均すればよい。例えば 0.1 秒程度

験と知識、試行錯誤の蓄積があり、現在でも性能向上の為に多くの専門家が携わっている分野での周期で COD が読めればいいとすると、平均化ある。ここでは各モニタの詳細は完全に省き、紹によってサブミクロンの分解能が得られる。一介程度に留める。

方、入射ビームや蓄積ビームのベータトロン振動を測定する場合、平均せずに周回毎に信号処理をリングの BPM(beam position monitor)の写する必要がある。そのような BPM をシングルパ

真を図 2-70 に示す。BPM はダクトの中に対角４ス（single pass BPM）と呼ぶことがある。基本

カ所に電極を設置し、ビームが通った時に誘起さ47

(a) 切換器

からの信号をシングルパス用の処理系に繋げば周回毎の測定が可能である。読み取り精度は1~10μm まで悪くなる。平均化するための信号処
理系を図 2-71 に示す。４つの電極からの信号は、
まず PF リング地下トンネルの天井に取り付けられた切り換え器を通る。切り換え器では４つの電極からの信号を時間差で切り換え、順に読んでいく。これらの信号は RF 周波数と同じ、
約 500 MHzの帯域の信号である。次に、その信号を検波回路に通し、約 10MHz 程度まで平均化する。検波回
路は BPM6 箇所に付き１台ずつ存在する。平均化
した信号を最後に ADC で読み、振幅に変換する。

(b) 検波回路

ビーム位置の絶対値に関しては、電気的な処理を多数含む為、BPM 電極の設置精度の他、回路の電気的特性も重要となる。電子ビームを使ってこれらを同時に校正することができ、それを BBA（beam based alignment）という。
BPM の他にも様々なモニタが存在し、例えば 、 電 流 値 を 読 む た め の DCCT (DC current
transfer、図 2-72)、シングルパスで電荷量を測定する壁電流モニタ（WCM、wall current monitor、
図 2-73）などがリングに設置されている。一方、ビーム輸送路などにおいては、蛍光スクリーンに

図 2-71 BPM 信号処理系

ビームを当てて、それをカメラで観測するスクリ
ーンモニタ（図 2-74）などもよく使われる。スクリーンを出し入れする機構、中を照らす豆電球、像を写すカメラからなり、放射線保護のため、カメラは遮蔽の中に置かれる。
最後に、ベータトロンチューンの測定について述べる。まずは蓄積リングの軌道上のある場所
で、ビーム位置を観測しているとする。チューンが整数の場合、ビームは周回毎に同じ場所を通る
ため、観測される信号は周回周波数と同じ周波数である。チューンが半整数の場合、ビームは中心軌道に対称な２点を交互に通過する為、観測される信号は２周回で１周期、すなわち周回周波数の半分の周波数となる。チューンの端数が 1/3 の場合、ビームは３点を通過し、３周で１周期になる

図 2-72 DCCT

為、周回周波数の 1/3 の周波数の信号が観測される。また、その場合、チューンが 2/3 の場合と区的には信号処理系の違いであるので、通常の電極

48図 2-75 RFKO

図 2-73 WCM

Ṓẋṓ ᾠᾃᾷ᭐ඇ

スクリーン出し入れの為のモーター、中を照らす豆電球ṒẌṓ ώᾌᾮᾇᾛᾭὨᾷ

ビデオカメラ

図 2-74 ビーム輸送路のスクリーンモニタ
別することはできない。結局、ビームのベータト

図 2-76 ボタン電極とストリップライン電極

ロン振動をある点で観測すると、ベータトロン振動の振動数の小数部分ν~β に周回周波数 f rev をかストリップライン（strip line）電極（図 2-75）はけた周波数、及びその折り返し周波数⎧⎪ν~β × f rev
f obs = ⎨⎪⎩(1 −ν~β )× f rev

ダクト内に設置された幅広のリボン状の電極（図2-74）で、BPM のボタン電極と同様、ビーム位置の測定にも使えるし、逆に RF 波を供給して振の信号が観測される。

動を励起することもできる。励起する場合には、PF リングの場合、周回周波数は 1.6 MHz、

RFKO（RF knock out）と呼ぶこともある。チュ

ベータトロン振動数は水平が 9.61、垂直が 5.27

ーンを測定する場合、RFKO に入れる信号の周波であるので、水平は約 980 kHz または 620 kHz、数をベータトロン振動近辺で掃引しながら、ビー

垂直は約 430 kHz または 1170kHz となる。ストムに励起された振動のスペクトルを観測すれば、リップライン電極にこの振動数の信号を入れれ

振動スペクトルのピークはベータトロン振動数

ば、ベータトロン振動を励起することができる。

の場所になる。真空が悪い場合や不安定性が強い

49

場合、また、入射中など、スペクトルの乱れが激ビーム寿命が短くなる。８極電磁石の非線形性はしい場合には、手で振動数を変えながら光モニタ

ダイナミックアパーチャを減少させ、入射効率のでビームプロファイルを観測し、サイズが大きく低下と入射ビーム損失に結びつく。そこで、PFなるところを探すという方法もある。ちなみにビリングでは横方向及び縦方向の不安定性に対すームを意図的にダンプさせる時、PF リングではるフィードバック（feedbackｍ、FB）システムが垂直方向のベータトロン振動を強力に励起し、ビ導入された。

ームサイズを増大させてビームを落としている。

詳細は完全に省き、装置の外観の紹介のみに

なお、ボタン電極及びストリップライン電極留めるが、ビーム不安定性に対するフィードバッ

を上下左右に置かない理由は、放射光の為であクは、不安定性によって引き起こされたビーム振る。

動をバンチ毎、周回毎に観測、振動を抑える為の力を瞬時に計算し、観測点の下流のどこかで各バ

3.22. フィードバックシステム

ンチを蹴って振動を抑制する、というシステムでダクトの凹凸や極端に狭い箇所、RF の HOM
や残留ガスなど、ビーム不安定性の原因は数多くあり、全てを取り除くことは困難である。以前、PF リングでは、ユーザーに影響しないように不安定性を緩和する為、RF 位相変調によって実効的にバンチ長を長くする、バンチ間隔をあける、
８極電磁石で線形の振幅依存チューンシフトを与える、などの対策を行っていた。直線部増強の為の改造によってダクトの凹凸が大幅に減り、不安定性はかなり緩和されたが、まだ対策が必要である。RF 位相変調による縦方向振動は、光源点

図 2-78 横方向 FB の為の RF アンプが色消しになっていない箇所にあるビームライ
ンでは振動となって観測されるし、バンチ間隔をあけるためにはバンチ電荷を増やす必要があり、キッカー（ストリップライン）

ピックアップ（ボタン電極）図 2-77 横方向 FB の
ピックアップとキッカー

図 2-79 縦方向 FB 用のキッカー

50ある。ビーム振動を観測するためのピックアッと、端末上で電源の ON/OFF、電流設定などを行

プ、信号処理系、蹴るための電流を発生させるア

うと、ネットワーク上にその情報が投げられる。

ンプなど、全てがバンチ間隔、すなわち RF 周波制御サーバを通す場合と、CPU モジュールが直接数以上の帯域を持っていることが必要である。

受ける場合があるが、情報は制御対象の機器に繋

横方向、縦方向のフィードバックとも、振動

がった CPU モジュールによって受け取られる。

のピックアップとしてはボタン電極が使われてCPU モジュールは情報を解釈し、各インターフェいる。ビームを蹴るためのキッカーについては、ースボードに対し、決められた接点信号や電圧信

横方向はストリップライン電極、縦方向は空洞で号などを出す様に指令を出す。インターフェースある。横方向 FB のピックアップとキッカーを図

ボードから信号を受けて、電源が動く、というこ

2-77 に、信号処理系と RF アンプを図 2-78 に示とになる。
制御のソフトウェアとして最近は EPICS がす。縦方向 FB のキッカーを図 2-79 に示す。

用いられることが多い。EPICS では、全ての制御

3.23. 制御系、安全系、タイミング系

はレコードと呼ばれる文字列で行われ、例えば電装置を遠隔に制御する場合や、他の装置と組源 ON なら、”PFRMG:BPS:ON”のような文字列

み合わせて制御する場合、特別な制御系が必要とが対応する。EPICS では CPU モジュールを IOCなる。制御全体のイメージを図 2-80 に示す。

と呼ぶが、IOC 上では文字列をネットワークから

例えば PF リングの電源の場合（図 2-81）、

受け取るソフトウェアが動いており、各文字列

電源本体には接点信号とアナログ電圧入力の為が、インターフェースモジュールのどの様な信号の端子が存在する。電源の入り切り及び状態確認に対応するかのデータベースがある。ネットワー

は接点信号、電流設定はアナログ入力で行う。端クを通じてレコードを受け取った IOC は、そのレ

子台の 1 番と 2 番を短絡したら電源 ON、電圧 0.1

コードに対応するインターフェースモジュール

V 入力したら電源電流 10A 出力、というイメージに、対応した指令を出すのである。例えである。そして、接点信号や電圧信号を作るのは、ば、”PFRMG:BPS:ON”なら、B 電源に繋がった

CAMAC、VME といった規格のインターフェース

インターフェースのある接点を閉じる指令、といボードである。CAMAC、VME とも、クレートとう感じである。一方、制御端末側では、レコード

いう電源と信号やりとりのためのコネクタのつをネットワークに送出し、応答を受け取るソフト

いた箱があり、そこにインターフェースボード

ウェアを動かす必要がある。EPICS の特徴は、各（モジュール）を挿して使う。モジュールには多機器に対応するレコードを、どの IOC が持っていくの種類があり、例えば電圧の読み書き、接点信るか、制御端末側で知る必要がないということで号の読み書きなどが可能なモジュールを挿せば、ある。ネットワーク上にレコードを送出すると、電源制御には十分である。CAMAC や VME の便

ネットワーク（イーサネット）の仕様として情報利な点は、CPU モジュールというボードコンピュは勝手にばらまかれるが、IOC 側が文字列自体をータのモジュールがあり、クレートに複数挿した読んで自動的に自分の配下の機器に関する指令

インターフェースボードを、CPU モジュールからかどうか判別してくれるのである。

指令することができる点である。CPU モジュール

昔の制御端末の場合、CPU モジュール側ではは計算機そのものであり、通常はネットワークにどの端末から指令を受けるか指定し、端末側では繋ぐことができる。ネットワークを通じて CPU

どの CPU に指令を出すか指定する必要があった。

モジュールに指令を出すのは、制御サーバまたは

すなわち、CPU と端末は 1 対 1 対応であり、文制御端末である。制御室に並んだ PC から GUI

字通りリモコンのような状態であった。それに比（graphic user interface）などを通じて、電源のべると EPICS では、ネットワークにさえ繋がっ

ON/OFF や電流設定が行われる。過程を逆に辿る

51

ていれば、どのパソコンからも全ての機器を制御

ハードウェアとしては、CPU モジュールがパソコできる。非常に便利である。

ンに変わったり、OS が Linux や VxWorks、インPF リングでは他の装置の制御系もソフトウ

ターフェースが LAN-GPIB であったり、制御先ェアとしてはほとんど EPICS が採用されている。

の機器が直接ネットワーク制御可能であったり制御される機器（電源など）
制御の為の信号・ 接点・ アナログ電圧
・ TTL、NIM パルス など
直接結線
制御用の信号源・ デジタル I/O・ DAC、ADC
・ パルス源など

制御インターフェース

直接結線、バス、
ネットワークインターフェースを指令する部分
ネットワークから指令を受けるネットワーク制御室の制御端末

図 2-80 制御のイメージ

図 2-81 制御系の例

52と、様々な場合があるが、根本的には電源制御と(a) 屋外の放射線モニタ

大きな差はない。
リングの運転に関しては、制御系の他にも安全系やタイミング系が必要である。
蓄積リング全体の安全系、インターロック系
は、異常事態や故障の際にビームダンプさせ、人員や機器を保護したり、制御ミスをハード的に防止する為にある。例えば、入射効率が悪く、ビー
ムロスが多い場合の警告や、発生した放射線量が規定値を超えた場合の入射停止、運転中にリングへ入ろうとした場合や、ビームラインに X 線が来(b) 実験ホール内の放射線モニタている時に防護ハッチを開けようとした時のビームダンプなどがある。また、入射中、蓄積中、ユーザー実験中、停止中など、状態を切り分けて制御の可能不可能を判断するのも安全系である。
例えば、入射モードまたは top-up 状態でなければ入射器に入射要求は出せない、などである。リン
グ全体のインターロックモジュールを図 2-82 に、
放射線モニタを図 2-83 に示す。
タイミング系については、例えば入射の為には入射器とのタイミングをあわせる必要がある
し、ビーム診断系にはビームのタイミングを必要

図 2-83 放射線モニタとするものもあるが、蓄積リングの場合、光ファ
イバケーブルや BNC ケーブルでタイミング用のパルスを送れば十分である。

図 2-82 インターロックモジュール53

3.24. 電気、水、圧空、空調
Ὤᾑᾯὲ̵
὿ᾷᾃ̵

蓄積リングのためには、電力、冷却水、建物なども必要である。PF 付近の建物図を図 2-84 に
示す。

ᇿካ്
࠮ᰱ༾Ѱ്
᭐༽്
‫ד‬᭐ậ‫ݪ‬᭐૎

つくばキャンパスの受電設備はほぼキャン
パス北端のつくば実験室付近にある。栃木の方から送電線で送られてきた電気は、中央受電棟で受図 2-84 PF 付近の建物配置図

電され、各施設へ送られる。例えば、電磁石及びRF 電源関係の受電設備は、PF 電源棟の裏にある（図 2-85）。電源棟裏の屋外の受電・変電設備から、電源棟内の盤へ送られ、そこからさらに電源棟内の電源や配電盤へ電気が送られる。なお、電源によっては AC6.6 kV や AC440 V を直接受電するものもある。また、分電盤に来ている端子には、３相 200V、単相 100V、200V、単相３線 100/200Vなどの種類がある。
リング主電磁石や RF の電源はサイズがかな
り大きく、PF リングではそれらの電源のみ電源

図 2-85 PF 電源棟の変電設備棟という別の建物に設置されている。電源棟からリングへケーブルを引くために、地下に共同溝トンネルが存在する（図 2-86）。このトンネルは
LINAC やエネルギーセンターとも通じており、冷却水などもここを通る。
PF リングの冷却水や空調設備は、エネルギーセンターから供給される冷水を使っている。エ
ネルギーセンターでは冷凍機及び冷却塔を使って、常時６℃の冷水を作り、LINAC と PF とに供給している。エネルギーセンターの写真を図 2-87に、冷凍機の写真を図 2-88 に示す。エネセンには１台１億と言われる冷凍機が４台設置されて

図 2-86 地下ピット

いる。
エネセンから供給された冷水は、共同溝を通って電源棟のポンプ室（図 2-89）へ来る。電源棟には冷却塔（図 2-90）と、エネセンからの冷水との熱交換機（図 2-91）があり、両者を使って温まった冷却水を冷やしている。冷却水を熱交換機と冷却塔へ送る割合は、冷却水の温まり具合やその日の気温などによって変わる。その割合を調整す
る弁を３方弁（図 2-92）という。３方弁の調整が

図 2-87 PF エネセン

水温の安定度の鍵となる。リング冷却水は常に

54

図 2-88 エネセンの冷凍機

図 2-91 電源棟の熱交換機

図 2-92 ３方弁

図 2-89 ポンプ室

図 2-90 電源棟の冷却塔
25℃に保たれており、揺らぎは１℃以下に抑えられている。電源棟で作られた 25℃の冷却水は再び共同溝を通ってリングへ向かう。

図 2-93 エアータンク

また、エネセンからは圧空も供給されていで作られた圧縮空気は電源棟の空気タンクで一る。圧縮空気はゲートバルブや真空装置の出し入
れなど、様々な用途に用いられている。エネセン

55

(a) 実験ホールの空調
空調ダクト

吹出口
(b) リングトンネル内の空調
吹出口、吸込口

図 2-94 リング直下の様子

図 2-96 実験ホールとトンネルの空調

図 2-95 空調機
端受け、それをリングに回している。空気タンク

さて、リングの空調にもエネセンからの冷水を図 2-93 に示す。

を使うが、空調機は光源棟の最上階に設置されて冷却水主配管、電源から電磁石への電源ケーいる（図 2-95）。空調の吹き出し口はトンネル天ブル、RF 電源からクライストロンへの高圧ケー井に存在し、図 2-96 のようになっている。リンブル、圧空などが共同溝を通って電源棟からリン

グ内及び実験ホール内は、冷却水温と同じく 25℃

グ地下へ向かっている。冷却水や電磁石ケーブルに保たれており、揺らぎはやはり１度以内に抑えなどはリングトンネル直下に配管やケーブルラ

られている。

ックがある（図 2-94）。電源棟から電磁石まで、冷却水やリングの空調は、運転に関して非常往復で 500m を超える距離があり、直径数 cm のに重要な役割を占める。例えば RF 空洞の HOM

ケーブルや、直径 30cm 程の水配管を引き回すには空洞の形状に非常に敏感であるが、空洞形状はは、それなりの手間やコスト、場所が必要である。

冷却水温や空調の温度によって変化する。HOM

56

与えられる。
（括弧内は ρ = const. 、逆ベンドなし
で全て機能分離型の場合。）⎞
η ⎛ 1ds⎜⎜ = ∫ηds ⎟⎟
Bend内 ρ⎝ ρ Bend内⎠

I1 = ∫⎛ 2πρ 2π ⎞⎟ds⎜⎜ = 2 =Bend内 ρρ ⎟⎠⎝ ρ⎛ 2π ⎞
1
I3 = ∫
ds⎜⎜ = 2 ⎟⎟
3
Bend内
ρ
⎝ ρ ⎠
1

I2 = ∫

I4 = ∫

Bend内

2(1 − 2n )η ds⎛⎜ = 1
ρ

⎞

ρ ∫

⎜
⎝

3

3

ηds ⎟⎟

Bend内

⎠

⎛ 1
⎞
⎜=
⎟
ds
Hds
3
3 ∫Bend内
Bend内
⎜
⎟
ρ
⎝ ρ
⎠

図 2-97 リングトンネル内のクレーン

H

I5 = ∫

による不安定性は調整によって避けられる場合

ただし、 α 、 β をトゥイスパラメータとして、もあるが、温度が安定しないといくら調整してもH=無駄である。ダクトの凹凸の影響も同様である。
また、LINAC のビームについても、エネルギー1β(η + (αη + βη ′) )
2

2

である。

や分散などのパラメータを安定させるためには、

モーメンタムコンパクションは、周長を C と

空調や冷却水温を安定させることが非常に重要して、である。蓄積リングの安定性の向上は、インフラ

I
C

α= 1

基盤の整備の重要性に気づき、それをきちんと行
うようになってきたという点が非常に大きい。
にクレーンがあるかどうかで作業の容易さが大と与えられる。
周回のエネルギー損失は、 re を電子古典半

きく変わる。PF リングの場合、リングトンネル、径、 E をビームエネルギー、 m0 を電子静止質量

入射路、地下機械室、電源棟など、必要なところ

として、リングの改造や機器の設置の際、トンネル内にはクレーンが設置されている。リングトンネル

U0 =内のクレーンの様子を図 2-97 に示す。
電力、冷却水、空調、熱交換機やポンプ、ケ

2re E 4()

3

3 m0 c 2

I2となる。

ーブルや水配管の引き回しなど、通常は表に出てビームのエネルギー広がりはこない設備も蓄積リングには必要不可欠であり、Cq =繰り返すが、安定な運転やビームの安定性にとってそれらは致命的である。

55 h
32 3 m0 cとして、
2

3.25. シンクロトロン放射積分σE

この項ではエミッタンス、エネルギー広がり、バンチ長など、放射励起と放射減衰の平衡で

2

⎛ E ⎞
I3
⎟
= C q ⎜⎜
2 ⎟⎝ m0 c ⎠ 2 I 2 + I 4

であり、エミッタンスは
2

⎛ E ⎞
I5
⎟
ε = C q ⎜⎜2 ⎟⎝ m0 c ⎠ I 2 − I 4

決まるパラメータに関して表式のみ与える。
シンクロトロン放射積分は、 ρ を偏向電磁石の曲率半径、η を分散関数として、以下のように57

数がゼロになっており、TBA の場合は３台毎であとなる。バンチ長は、シンクロトロン振動の周波数を Ω s としてσl =る。それぞれの場合のオプティクスを図 2-97 に

cα
σE E
Ωs

示す。
ところで、エミッタンスを小さくするために

となる。
は、

放射減衰による減衰時間は、

C[ m ]ρ [ m ]τ x , E [ms] =13.2 J x , E E 3[GeV ]と な る 。 た だ し 、 J x = 1−

H=

I4
I
、 JE = 2 + 4 は
I2
I2

の積分値、

damping partition number である。

H Bend =3.26. ビームサイズと色消しラティス⎛ σE ⎞⎟⎝ E ⎠例えば、ε = 1nm ⋅ rad 、 β = 10m ならば、エミッ
タンスのビームサイズへの寄与は σ x = 100μm で

∫

ρ3
1

ρ3

ds
ds

最適化による、エミッタンスの最小値は以下で与σ x = εβ + ⎜η

E

Bend内

H

を小さくすればよい。偏向電磁石内の分散関数の

2

σ

∫

Bend内

水平方向のビームサイズは以下の様に書ける。

ある。一方、η = 10cm 、 E

η 2 + (βη ′ + αη )2β(a) DBA の典型的なオプティクス= 1× 10 −1 とすると、分散関数のエミッタンスへの寄与は 100μm となり、ビームサイズは両方の寄与を合わせて
σ x = 141μm となる。ビームサイズを小さくする
為には、分散関数を消すことが効果的であり、その様なオプティクスを色消し（achromat）という。
放射光源蓄積リングでよく採用される色消
しラティスに DBA(double bend achromat)、TBA（triple bend achromat）がある。分散関数はエネ(b) TBA の典型的なオプティクス

ルギーの違いによる、偏向電磁石での曲げられ方の違いで発生する為、その効果を消すには、最低でも偏向電磁石が２台必要（図 2-98）である。
DBA の場合、最低限の偏向電磁石２台毎に分散関

図 2-98 色消しの原理

図 2-99 典型的な色消しオプティクス

58

1975 年、現在の西東京市にあった旧東京大学

えられる。
2

ε=

3

1 C q ⎛ E ⎞ ⎛ 2π ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟.
2
12 15 J x ⎜⎝ m0 c ⎟⎠ ⎝ N ⎠原子核研究所に世界初の放射光利用実験専用シンクロトロン、SOR-Ring が建設された。その後も続いて世界中に放射光利用の為の蓄積リング

ただし、 N は偏向電磁石の数である。色消しをせが続々と建設され、そのような蓄積リングを第２ず、エミッタンスを下げるようなオプティクスを
TME（theoretical minimum emittance）と呼ぶ。
すなわち、エミッタンスを下げる為には、偏向電に示す。放射光専用リングの特徴は、大電流と長時間の安定性を重要視している点である。衝突型

磁石を分割し、４極電磁石を使って分散関数を絞リングの場合、入射器からビームを入射し、必要ることが必要である。ただし、TME の場合、色があれば加速してから衝突させれば目的が達せ

消しにはなっていないので、分散関数の影響でビられる。ビーム蓄積時間は数秒～数分程度であームサイズは小さくない場合もある。そうなってり、当時の衝突実験リングはその間だけ安定であしまっては本末転倒である。なお、DBA の場合のれば十分であった。一方、放射光源は大電流のビ最小値はその３倍で、2世代放射光源と呼ぶ。SOR-Ring の写真を図 2-100

ームを長時間にわたって蓄積し、ユーザーが連続

3

1 C q ⎛ E ⎞ ⎛ 2π ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ .
ε=2
4 15 J x ⎜⎝ m0 c ⎟⎠ ⎝ N ⎠的に実験を行うため、その間ずっと安定でなければならない。現在から見れば古い放射光源といえども、真空系や診断系、空洞など、全ての要素がとなる。

大電流の蓄積と長時間の安定性に気を遣って作3.27. 放射光源の歴史と世代られている。また、第２世代の頃は必ずしも主体ではなかったが、挿入光源の開発もこの時代に始

この章の最後として、放射光源の歴史についまった。

て簡単に述べる。
放射光の存在が最初に注目されたのは、ビー1983 年の PF リング運転開始をはさんで、

ム周回のエネルギー損失においてであった。最初

1993 年、世界初の第３世代放射光源であるアメリに放射光のエネルギーやスペクトルが計算され

カの ALS (advanced light source)が建設された。

たのは、1944～45 年頃のことである。放射光の第３世代放射光源の特徴は、挿入光源の利用を前

最初の観測は、1948 年、
アメリカ GE 社の 70 MeV提に作られたリングということであり、低エミッ

シンクロトロンで行われた。放射光利用実験が最

タンス、色消し直線部などがその特徴である。

初に行われたのは 1963 年、アメリカ規格標準局

ALS は VUV・SX 領域をターゲットにした低エネの 180 MeV シンクロトロンであった。その後、ルギーのリングであったが、その後、ESRF、APS、素粒子実験用のシンクロトロンにおいて、衝突実
験の合間に放射光利用実験が行われるようになり、それを第１世代放射光源と呼ぶ。
第１世代のリングは衝突実験用であるため、ラティスは集束と発散の４極電磁石を繰り返した FODO 構造、正確には間に偏向電磁石を挟ん
で FBDB 構造が基本であった。入射系や RF 空洞を設置する為には直線部が必要であるが、FBDB
から偏向電磁石を抜くことでその分の直線部を確保するのが一般的でり、そのような部分をミッ
シ ン グ ベ ン ド (missing bend) セ ル と い っ た 。

図 2-100 世界初の放射光専用リング
SOR-Ring

PF-AR はこのタイプである。

59

SPring8 という X 線をターゲットにした巨大な高エネルギー放射光源も建設された。
第３世代放射光源では DBA、TBA などの色消しセル構造が一般的である。低エミッタンスの為には強い集束力と色収差補正が要求されるが、そのせいで電磁石の小さな誤差がビームに大きな影響を与える。電磁石に限らず全ての要素について同じことが言える為、空調や冷却水などのインフラを含め、全てをきちんと作る必要がある。
第３世代放射光源は蓄積リング型放射光源の完成形、電子ビームのパラメータとしてはほぼ性能の限界と考えられる。
2000 年 12 月、「新」第３世代放射光源といわれる SLS（Swiss Light Source）が運転を開始した。新第３世代放射光源の特徴は、真空封止型
アンジュレータなどを利用し、低エネルギーでありながらアンジュレータからの X 線利用に主眼を置いたことである。SLS のビームのエネルギーはPF リングとほぼ同じ 2.4 GeV、周長は 100m 長
い 288m である。真空封止型挿入光源のギャップ
を限界まで閉じるためには、ビーム不安定性や軌道の揺らぎがあってはならない。電子ビームのエ
ミッタンスや電流値、カップリングなどの性能は通常の第３世代と大きく違うものではないが、ビーム不安定性の抑制や入射時や蓄積時のビーム
軌道の安定性など、ビームが常に安定であることに重点が置かれている。第３世代よりもさらに安定性が追求されているのである。
2008 年の現在、第３世代放射光源、新第３世
代放射光源にない光の性質として、短パルス、コヒーレンス、という性質が求められている。蓄積リングでは放射減衰と放射励起の平衡で電子ビームのパラメータが決まる為、エミッタンスやバンチ長には限界がある。その限界を超える為に、
LINAC を基にした X 線領域の放射光源が提案されており、それが XFEL と ERL である。

60

3.

B0 (r ) = B0 (ρ ) +ビーム力学の基礎∂B0(r − ρ ) + L.
∂r

(1-8)

右辺第 1 項は偏向電磁石の磁場、第 2 項は 4 極電

この章では、ビーム力学の基礎的内容につい磁石の磁場勾配に対応する。また、偏向電磁石にて、最低限これだけは、という項目のみ抜粋してよる曲げの力と向心力の釣り合いの式から、

述べる。

mv0

2

ρ

1. 運動方程式とその解= ev0 B0 (ρ ).

(1-9)

すなわち、

1

1.1. 運動方程式

ρ

粒子の運動方程式x′′ = Kx

=

eB0
p0

(1-10)である。また、 ρ >> x より、

(1-1)

−1

駆使する方法もあるが、難しいので、高校の教科

x⎞
x⎞
1
1
1⎛
1⎛
=
= ⎜⎜1 + ⎟⎟ ≈ ⎜⎜1 − ⎟⎟ρ⎝ ρ⎠r ρ+x ρ⎝ ρ⎠

書レベルの式から始める。水平方向の粒子の運動なので、方程式は

方程式は、

d2
x⎞
1⎛
r = x′′ = ⎜⎜1 − ⎟⎟
2
d s
ρ⎝ ρ⎠

を求める。曲線座標系上で微分幾何と解析力学を

d
mv 2
− evB
p=
dt
r

(1-2)

(1-11)(1-12)e(B0 + B′x + L + ΔB )−p0 + Δpと書ける。右辺第 1 項は向心力、第 2 項はローレ
ンツ力である。粒子の質量を、何周かする程度の間は一定 m(t ) = const. と見倣すと、となる。磁場にかかる最初の項の逆数、 0 = B0 ρddp = m v.
dt
dt

を magnetic rigidity という。ちなみに、この値を

p
e

(1-3)

数値的に求めるには、変数を時間から軌道長 vt = s へ変換する。向心力

B0 ρ =の中心を原点とすると、極座標における同径方向の距離 r が座標となり、方程式はd2
mv 2
mv 2 2 r =− evB.
dsr(1-13)

Δpという簡単な式がある。さて、
(1-4)

p0

= δ とおき、

δ << 1 を使うと、
1
1 ⎛ 1 ⎞ 1
(1 − δ )= ⎜⎟≈p0 + Δp p0 ⎝ 1 + δ ⎠ p0

従って、
2

d
p
p 2 r = − eB
dsr

E[GeV ]
0.3

(1-5)

(1-14)となる。偏向電磁石の項に対しては近似式を適用となる。ここまでは厳密な式である。磁場の誤差して展開し、4 極電磁石の項は分母に δ を残したや運動量のずれ（運動量偏差）を考慮し、まま扱うことにすると、(1-10)式より、偏向電磁

p → p0 + Δp

B → B0 (r ) + ΔB

石の最初の項は向心力の最初の項とキャンセル(1-6)

される。4 極電磁石の項について、

e
B′
B′ =
=K
(1-15)p0
B0 ρ
とおく。また、 ΔBΔp など高次の項は落とすこととおく。方程式はd2
1 e(B0 (r ) + ΔB )
r= −
2
ds
r
p0 + Δp(1-7)となる。曲率半径の設計値を ρ とし、r = ρ + x とにする。展開して線形の項のみ整理すると、方程展開。磁場もこの付近で展開すると、

式は61

x′′ = −

x

ρ

−
2

K
δ
ΔB
−
x−
ρ 1+ δ
B0 ρ

1.2. 電磁石の磁場(1-16)

この項では電磁石と磁場の関係について述となる。この線形の方程式が基本となる。

べる。2 次元のラプラス方程式で通常の偏向電磁
石、4 極、6 極電磁石などの磁場を求めた後、実ところで、微分方程式の一般論として、&y& = f (t ) y + g (t )(1-17)

際の電磁石のギャップと磁場の関係について述べる。

の解は、&y&s = f (t ) y s + g (t ) を満たす適当な特別解と、&y&h = f (t ) yh を満たす一般的な斉次解との和で1.2.1. 2 次元の場合

rd2( yh + ys ) = f (t )( yh + y s ) + g (t )dt 2r

真空中では、 ∇ × B = 0 なので、磁場はスカ書ける。すなわち、rr

ラーポテンシャル ϕ を使い、 B = ∇ϕ と書ける。

(1-18)

スカラーポテンシャルはラプラス方程式

Δϕ = 0である。

(1-23)

を満たす。

ϕ = R(r )Θ(θ )同様にして粒子の運動方程式を解くことを考える。加速器の場合、必ずしも綺麗に分離でき

とおいて、変数分離する。

δ
るわけではないが、 − に対する特別解をρxδ = ηδ とし、−

⎧ d2
2
⎪ dθ 2 Θ = −m Θ⎪⎨2⎪⎛⎜ 1 ⎛⎜ d r d ⎞⎟ − m ⎞⎟ R = 0.
⎪⎩⎜⎝ r ⎝ dr dr ⎠ r 2 ⎟⎠ΔBに対する特別解を xCOD 、斉B0 ρ

次解を xβ と書くと、解はx = xβ + xδ + xCOD

(1-24)(1-25)

従って、上の式より(1-19)

Θ = eimθ .

(1-26)

で与えられ、これを方程式に代入すれば、斉次解

ここで、はベータトロン振動の方程式

θ → θ + 2π で不変なので、 m は整数である。下xβ

Kxβ = − 2 −xβ(1-20)
ρ 1+ δ
1
は色収差を表す。最初の定数項に
となり、
1+ δ

ただし、原点で正則でなければいけない為、下の対する特別解は、分散関数

式や r

″

η
1
η ″ = − 2 − Kη −
ρ
ρ

の式より

R = ar n + br − n
R = R ln r + B−nn≠0
n = 0.

の項は不適当。よって、解は

ϕ = ∑ r n ( An sin nθ + Bn cos nθ )(1-21)(1-27)(1-28)n =1と な り 、 最 後 の 特 別 解 が COD (closed orbitとなる。 An を normal 成分、 Bn を skew 成分とdistortion)呼ぶ。ポテンシャルを磁場に直すと、

ΔB
x″xCOD = − COD− KxCOD −
2
ρ
B0 ρ

r r
⎛∂ 1 ∂ ⎞B = ∇ϕ = ⎜ ,⎟ϕ⎝ ∂r r ∂θ ⎠(1-22)(1-29)より、となる。ただし、線形項のみを考える為、分散関Br = ∑ nr n −1 ( An sin nθ + Bn cos nθ )数と COD の式では色収差項は省かれる。

n =1

Bθ = ∑ nr n −1 ( An cos nθ − Bn sin nθ )これらの方程式を個別の電磁石に対して解(1-30)n =1

く前に、まずは電磁石の磁場を考えることにすとなる。円筒座標からデカルト座標 x 、 y に変換

る。

する為に、

62

x = r cos θ 、 y = r sin θ⎛ Bx ⎞ ⎛ cos θ − sin θ ⎞⎛ Bx ⎞⎜ ⎟ = ⎜⎜⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜B ⎟⎝ y ⎠ ⎝ sin θ cos θ ⎠⎝ B y ⎠(1-31)(1-32)を使う。

n = 1 の時が偏向電磁石成分で、⎧ Bx = B1⎨⎩ B y = A1 ,ṫ
(1-33)

Ṭ

skew は垂直 Bend、normal は普通の水平 Bendである。

n = 2 の時は 4 極電磁石成分で、⎧ Bx = 2r ( A2 sin θ + B2 cosθ )⎪ = 2 A y + 2B x⎪
22⎨
⎪By = 2r ( A2 cosθ − B2 sin θ )⎪ = 2 A x − 2 B y,22⎩n = 3 が 6 極電磁石成分である。
⎧ Bx = 3r 2 ( A3 sin 2θ + B3 cos 2θ )⎪2
2
⎪ = 6 A3 xy + 3B3 x − y⎨
2⎪ B y = 3r ( A3 cos 2θ − B3 sin 2θ )⎪2
2
⎩ = 3 A3 x − y − 6 B3 xy.

(

(

)

図 3-1 ４極電磁石の断面(1-34)

磁場の線積分は、その積分路内側を通る全電流に等しいということになる。線積分を図に示した経路上で計算する。真空中の透磁率を μ0 、鉄心中をμ とすると、

r r 1 B点 r r 1 A点 r rH∫ ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl

(1-35)

μ0 A点)

透磁率は真空と等しいとする。鉄心内の積分はゼ

高次成分は、An =ロ、ギャップ間の線積分は、ポテンシャル(1-28)⎞
1⎛ ∂⎜⎜ n −1 Bθ ⎟⎟n! ⎝ ∂r⎠ θ =0
n −1

を使って、

⎞
1⎛ ∂
Bn = − ⎜⎜ n −1 Bθ ⎟⎟n! ⎝ ∂r⎠ θ =π
n −1

r r 1
H
∫ ⋅ dl = (ϕ ( A) − ϕ (B ))μ0(1-36)(1-41)と書ける。断面を通る電流はコイルの電流値 I [ A]にコイル毎の巻き数 N をかけた値の 2 本分で、

n

r

r

となる。

∫ j ⋅ dS = 2 NI

1.2.2. 電磁石のギャップと磁場の強さとなる。A 点では θ =(1-42)π、B 点では θ = −

π

2n
2n
あり、電磁石のボア径を R[m] とすると、

電磁石のギャップと磁場の関係を求める。電磁石の断面を図 3-1 に示す。図は 4 極電磁石であ1

るが、normal 成分の一般の n 極電磁石の場合をμ0考える。スカラーポテンシャルは

ϕ = Ar n sin nθ(1-40)

μ B点となるが、鉄心中では μ → ∞ と考え、空気中のでn(ϕ ( A) − ϕ (B )) = 2 AR = 2 NI
μ0(1-43)となる。従って、(1-37)と書ける。ここで、アンペールの法則より、

r r∇× H = j(1-38)r
ただし、 j は電流密度である。これを積分すると、
r r
r r(1-39)∫ H ⋅ dl = ∫ j ⋅ dS

ϕ=

μ0 NI
R

n

(1-44)となり、磁場は、

n!μ0 NI∂ n −1B=n −1 θ
Rn
∂r
θ =0
となる。

63

r n sin nθ

(1-45)

れ磁場の分だけ磁場（勾配）の積分値は大きくな

2る。一方、大電流の場合、現実の磁場は飽和が見
実測

K値 [m-1]1.5られる。電磁石の磁場が鉄心によって強められる

計算のは、鉄のスピンが揃う為であるが、揃いきって1

しまうとそれ以上磁場が強められなくなる。磁場の強さと電流の関係をかなり概念的に書けば、図0.5
03-3 のようになる。図 3-2 の励磁曲線吾は、図 3-3の右上象限にあたる部分で 0～800 A のループを
0

200

400

600

800

描かせ、電流上昇方向の時に測定した磁場であ

電流値 [A]る。加速器運転時は電磁石を必ず同じループに乗

図 3-2 励磁曲線の例

せて励磁する必要があり、それを電磁石の初期化
という。

ሩ‫ܣ‬

ᯩ‫ؤ‬Ἢ὜ἹክᕲἹ
‫״‬Ἡѹ἞

1.3. フロケーの定理と解の性質࢔ส౷Ᏹếᾖώᾊᾮύώᾯ̵ᾛỀ

偏向電磁石と 4 極電磁石、ドリフトスペースክᕲἿ‫װܣ‬（電磁石のない自由空間）が並んだ場合の粒子の運動方程式は、

᭐໇

x′′ = Kxีᄛሩ‫ܣ‬(1-47)と書ける。ただし、 K は軌道長によって変化する
為、それを露わに書けば、方程式は x′′ = K (s )x である。ただし、蓄積リングの場合、周回すれば元の場所に戻るので、周長を C として、

図 3-3 概念的励磁曲線

K (s + C ) = K (s )例えば PF リングの偏向電磁石の場合、磁極のという周期条件がある。この項ではこの方程式の間隔は 2 R = 70mm 、コイルは上下の合計で 48 タ

解の性質を調べ、解がーン、電流は最大 1500A である。空気中の透磁率⎛ ds⎞
x = A β cos⎜⎜ ∫ + δ ⎟⎟⎝ β⎠

を真空中と等しい値

μ0 = 4π × 10 [ H / m]−7

(1-48)(1-49)(1-46)の様な形に書けることを示す。なお、 β の方程式とすると、上の式より、磁場は約 1.3 T となる。4は与えられるが、具体的な計算にはその方程式は

極電磁石の場合、ボア径は R = 35mm 、コイルは磁極あたり 23 ターン、電流は最大 800A である。
式に当てはめると、磁場勾配は約 38 T/m となる解かない。代わりに転送行列を用いるが、それを順に述べる。
1.3.1. フロケーの定理

が、実際には磁場に飽和が見られ、30 T/m 程度に

x′′ = K (s )x は、周期的な係数の 2 階の線形微なる。PF の電磁石の励磁曲線の例を図 3-2 に示

B′L −1す。縦軸は[m ] である。現実の電磁石では
B0 ρ分方程式（ヒルの方程式と呼ぶ）であるが、その解は、以下の性質を持つ。

磁極両端からビーム進行方向に離れて行くに従：

ま ず 、 y (s ) が 解 で あ れ ば 、

y′′(s ) = K (s ) y (s )(1-50)

い、磁場が緩やかに減衰する。端部の漏れ磁場と周期性いうが、裾を引く距離はおよそ磁極ギャップと同y (s + C ) も解になる。 y (s ) は方程式を満たすのじ程度である。計算値では電磁石中心の磁場の強で、さに磁極の長さをかけるが、現実の電磁石では漏

64

r
r
y (s + C ) = VΛV −1 y (s )s → s + C と変えても、方程式は満たされる。
y′′(s + C ) = K (s + C ) y (s + C ).
(1-51)K (s + C ) = K (s ) より、
y′′(s + C ) = K (s ) y (s + C ).
(1-52)
よって、 y (s + C ) も解であることが示された。
線形性 ：と書ける。ここで、rr
V −1 y (s ) ≡ z (s )rrz (s + C ) = Λz (s ).

z1 (s + C ) = λ1 z1 (s )と書けたことになる。そこで、 k =

v
とおいて、
C

⎛v ⎞
z (s ) = F (s )exp⎜ s ⎟⎝C ⎠も解になる。従って、当然(1-54)

も解になるが、この解は初期条件が ya に等しいの(1-65)としてみる。

z (s + C ) = e v z (s )で、 ya そのものである。よって、(1-55)v↔ eCと書けることが示された。

( s +C )v

F (s + C ) = e v e C F (s )s(1-66)↔ F (s + C ) = F (s ).
v

従って、 z (s ) = e C F (s ) 、 F (s + C ) = F (s ) なる解： 周期条件を満たす構造

内の振動は、同じ周期条件を持つ振幅関数と位相sがあることが示された。

に分解できる。すなわち、方程式の解は、

z (s ) = F (s )exp(ks )と書け、 F は
F (s + C ) = F (s )(1-64)z2 (s + C ) = eν 2 z2 (s )(1-53)と書ける。方程式は線形なので、ある解の和や差フロケーの定理(1-63)z2 (s + C ) = λ2 z2 (s )とできる。 λ = exp(ν ) とおけば、
z1 (s + C ) = eν 1 z1 (s )を y1 (s ) 、 y2 (s ) を使って書けば、

ya (s ) = ay1 (s ) + by2 (s )(1-62)

すなわち、

すると、他の全ての解はこの 2 解の線形結合で書ける。ある解を ya (s ) とする。この解の初期条件

ay1 (s ) + by2 (s )(1-61)とおけば、

y1 (s ) 、 y2 (s ) を独立した 2 解とya (0) = ay1 (0) + by2 (0)ya′ (0) = ay1′(0) + by2′ (0)(1-60)(1-56)

1.3.2. 方程式の解(1-57)

粒子の運動方程式の解が、 z (s ) = e C F (s ) 、F (s + C ) = F (s ) と書けることを示したが、これをvという周期性を持つ様にできる。これを示す。

s

さらに詳しく調べてゆく。周回後に振動の大きさ

y1 (s ) 、 y2 (s ) を独立した 2 解とすると、周回後の y1 (s + C ) 、 y2 (s + C ) はその線形結合で書けが指数関数的に変化することは、振動の減衰または発散を意味する。蓄積リングの周期解には v が虚数になる解が適当であり、る。

⎛ y (s ) ⎞⎛ y1 (s + C ) ⎞⎟⎟ = M ⎜⎜ 1 ⎟⎟.
⎜⎜(1-58)⎝ y 2 (s ) ⎠⎝ y 2 (s + C ) ⎠行列 M の固有値を λ1 、 λ2 、対応する固有ベクトr r
ルを v1 、 v2 とする。すなわち、
r rrr
M (v1 v2 ) = (λ1v1 λ2 v2 )v1 = iμ(1-67)とおき、露わに書くことにする。ただし、数学的には振動数に実数成分があり、発散する場合も解である。ここで、 F (s ) を極形式で書き直し、F (s ) = F (s ) eiφ ( s ) = ω (s )eiφ ( s )(1-68)とする。 ω (s ) > 0 であり、トゥイスパラメータで(1-59)⎛ v1x v2 x ⎞⎛ λ1 0 ⎞
⎟⎜⎜
⎟
.
= ⎜⎜
⎟
⎟
⎝ v1 y v2 y ⎠⎝ 0 λ2 ⎠−1
従って、 MV = VΛ ↔ M = VΛV であり、書けば ω (s ) =65

β である。極形式を使うと解は、r ⎛ x(s ) ⎞ ⎛ z (s )x0 = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0
⎝ p(s0 )⎠ ⎝ z ′(s0 )⎛a⎞= X 0 ⎜⎜ ⎟⎟⎝b⎠μz (s ) = e C ω (s )eiφ ( s )i s= ω (s )eμ ⎞⎛i ⎜ φ ( s )+ s ⎟C ⎠⎝(1-69)≡ ω (s )eiϕ ( s )となる。

ω (s + C ) = ω (c )(1-70)r ⎛ x(s + C ) ⎞⎟⎟x1 = ⎜⎜ 0⎝ p ( s0 + C ) ⎠z (s0 + C ) ⎞⎛ a ⎞⎛ z ( s0 + C ) ~⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟= ⎜⎜~⎝ z ′(s0 + C ) z ′(s0 + C )⎠⎝ b ⎠(1-71)である。
z (s ) とすると、K は
また、z (s ) の複素共役を ~実数なので、~~
z ′′(s ) = K (s )~z (s )~= K (s )z (s )より、 ~z (s ) も解となる。

従って、

⎛a⎞
r
r
⎜⎜ ⎟⎟ = X 0 −1 x0 = X 1−1 x1
⎝b⎠
r
−1 r
↔ x1 = X 1 X 0 x0式を求める。

z (s ) = ω (s )eiϕ ( s ) より、
z′ = ω ′eiϕ + iϕ ′ωeiϕ ,z ′′ = ω ′′eiϕ + 2iϕ ′ω ′eiϕ

M = X1 X 0(1-75)(1-76)

虚部の方程式は、

2(1-77)

ϕ ′(s + C ) = φ ′(s + C ) +と書ける。そこで、

ϕ ′ω 2 = 1

ϕ=∫

ds

β

= ϕ ′(s )(1-78)

1β(1-85)μL(1-86)

などから、

、従って、

z (s0 + C ) ⎞⎛ z (s + C ) ~⎟⎟M = ⎜⎜ 0~⎝ z ′(s0 + C ) z ′(s0 + C )⎠z ′(s0 ) − ~z ( s0 ) ⎞
1 ⎛ ~
⎟.
⎜⎜
⋅
det X 0 ⎝ − z ′(s0 ) z (s0 ) ⎟⎠となる。

さて、実際に粒子の初期座標を与えた場合のz (s ) を使って書く。任意の解は、解を、 z (s ) 、 ~x = az + b~z
p = x′ = az ′ + b~z′

(1-84)z ′ = ω ′eiϕ + iϕ ′ωeiϕ ,~z ′ = ω ′e −iϕ − iϕ ′ωe −iϕ ,ω (s + C ) = ω (s ),ω ′(s + C ) = ω ′(s ),ϕ (s + C ) = ϕ (s ) + μ ,実部と虚部に分ければ、(ϕ ′ω )′ = 0 ↔ ϕ ′ω = const.

(1-83)z = ωe iϕ ,~z = ωe −iϕ ,代入して、

ω ′′ + Kω − ϕ ′2ω = 0
2ϕ ′ω ′ + ϕ ′′ω = 0.

−1となる。具体的にこれを求める。

(1-74)

ω ′′ + 2iϕ ′ω ′ − ϕ ′2ω + Kω + iϕ ′′ω = 0.

(1-82)となる。1 周の運動を表す行列を M とすれば、(1-73)− ϕ ′2ωe iϕ + iϕ ′′ωeiϕ .

とおく。後で関連づけるが、 ϕ ′ =(1-81)⎛a⎞= X 1 ⎜⎜ ⎟⎟.
⎝b⎠(1-72)z (s ) をもとの方程式に代入し、ω と ϕ の方程

2(1-80)とすると、周回後はであり、

ϕ (s + C ) = ϕ (s ) + μ (+ 2πn )~z (s0 ) ⎞⎛ a ⎞⎟⎜ ⎟~z ′(s0 )⎟⎠⎜⎝ b ⎟⎠(1-87)

ここで、

det X 0 = z (s0 )~z′(s0 ) − ~z (s0 )z′(s0 )(1-79)= −2iϕ ′ω 2 = −2iである。結局、と書ける。軌道上のある位置で、66(1-88)

⎞⎛ cos μ − ωω ′ sin μω 2 sin μ⎟⎜22
M = ⎜ 1 + ω ω′
sin μ cos μ + ωω ′ sin μ ⎟⎟
⎜−
ω2
⎠
⎝

x′ = A+A(1-89)となる。なお、 ϕ ′ω = 1 を使った。
2

x = Aω (s ) cos(ϕ (s ) + δ 0 )大振幅、最大発散角は A(1-91)

ことで、位相空間における集団としてのビームの振る舞いが分かる。

(1-92)sin (ϕ (s ) + δ 0 )1.3.3. 周期構造と波数空間と書ける。包絡線関数 ω は必ず正であるが、それ

フロケーの定理は物性などではブロッホの

を

ω= β

定理として知られる定理と同じである。ブロッホ(1-93)の定理では、方程式はシュレディンガー方程式、と書く。さらに、 β の微分をとって、′

β ′ = (ω ) = 2ωω ′ = −2α

解は、結晶など周期構造の周期を波数とする平面(1-94)波となる。
結晶の場合、結晶格子の間隔が狭くなると、とおく。最後に、

ω2

=

1+α 2

≡γ

波数空間すなわち逆格子の間隔は長くなる。加速(1-95)

器の場合、格子に当たるものは電磁石の並びで、βと書く。これら α 、 β 、 γ をトゥイスパラメータ

それをラティスという。ここで、周回のラティス
が、ある小さな単位構造に分解できる場合を考えという。トゥイスパラメータを使うと、周回の転る。そのような単位構造をセルというが、通常の送行列は

β sin μ⎛ cos μ + α sin μ⎞⎟
M = ⎜⎜
cos μ − α sin μ ⎟⎠⎝ − γ sin μ

加速器のラティスは、「セル」の繰り返しで作ら(1-96)

れていることが多い。これを結晶の場合と同様に考えてみると、周回ラティスを何分割かしたセルと書ける。また、(1-111)と(1-113)より、が周期構造の最小単位になっているのであれば、

ω ′′ + Kω − ϕ ′2ω = 0″↔ β +K β −β や A γ だということができる。後で述べるが、1 粒子の運動を解く

x′ = Aω ′ cos(ϕ (s ) + δ 0 )1 + ω 2ω ′2(1-99)ば cos や sin は ± 1 の範囲であるので、ビームの最とする。微分すると、

2

sin (ϕ (s ) + δ )集団としてのビームの運動を考えると、例え(1-90)と書ける。定数を振幅と初期位相に直し、

ωβ (s )となる。

x = aωeiϕ + bωe −iϕ+1= − A γ sin (ϕ (s ) + δ ′)

任意の解は

A

− α (s )cos(ϕ (s ) + δ )β (s )

逆空間では波数の間隔はその分だけ拡大される

1

β

3

=0

(1-97)

ことになる。
加速器内の粒子の振動の安定領域、すなわちとなる。この方程式を包絡線の方程式（envelope

ダイナミックアパーチャは、共鳴振動によって決equation）という。空間電荷効果などの解析には、

まるが、セル構造をとるラティスの場合、共鳴は

この方程式が基本となる。

セル構造の効果で弱められる。例えば、1 周のラティスが 2 セルでできている場合を 2 回対称と呼ぶが、強い共鳴線の間隔は周回内に小さな周期構解も書き直してみると、

x = A β (s ) cos(ϕ (s ) + δ 0 ),造がない場合の 2 倍間隔になる。10 セルなら 10(1-98)

倍間隔である。どんなセル構造でも整数や半整数
共鳴は避けられないが、高次の共鳴はこの拡大効67

果によってかなり弱めることができる為、通常のᆃ௚ញ加速器ではセル構造が重要となる。逆に、様々な፦ࠄƋ

誤差や非線形力に対して、セルとしての周期性をʈˑؔ‫ۂ‬

保つことが、安定領域の維持に繋がる。ところで、元々強かった 1 セルに対する共鳴線は拡大先でも፦ࠄƊ

強いままである。そのような共鳴線を構造共鳴線と呼ぶ。例えば、周回ラティスが 10 セルで構成

ϫᑔ

፦ࠄƋ

されている時、周回チューンが 10 になる整数共
鳴は、1 セルのチューンが 1 になる場合に相当すƊؔ঵

るが、非常に強い。10/2 = 5 の倍数の半整数共鳴、
10/3 の倍数の 3 次共鳴なども非常に強力であり、共鳴線上だけでなく、その近くの振動数になっただけでも運動が不安定になる。なお、振動が不安፦ࠄƊ

定になる振動数の幅をストップバンドという。
中小エネルギーの第３世代光源の場合、DBA
図 3-4 位相空間内の 2 粒子

や TBA 構造が 1 セルとなり、セル長は直線部の長さに依るが目安としては 20 m 程度、周期数は
通常 10 以上で、従って周長は 200 m 以上となる。

子間の衝突がある場合も、1 粒子空間に全粒子押し込めた位相空間の面積は保存しない。入射器最1.3.4. 位相空間の面積不変

上流部の、粒子間のクーロン斥力による空間電荷

解析力学による正しい位相空間の定義は、例

効果が顕著な部分でも、ビームサイズは増大してえば N 個の粒子の３次元空間での運動の場合、ゆく。

3 N 次元の空間になる。運動は 3 N 次元の空間上の 1 点の軌跡を追うことに相当する。位相空間の1 粒子の位相空間上に押し込めた 2 個の粒子、面積の不変という場合、いくつかの異なった初期

粒子 1 と粒子 2 を考える（図 3-4）。それぞれの粒条件から始まる複数の運動状態の時間変化を追子のある周回の座標を、

rx1 = ( x1 , x1′ ),rx2 = (x2 , x2′ )跡することに相当する。加速器においては解析力
学における正しい意味での位相空間の不変も成立するが、1 粒子の位相空間に、全粒子の位置と(1-100)とする。周回の転送行列を M とし、1 周後の座標

座標を書き込んだような意味での位相空間の面を回っても粒子全体の集合としてのビームサイズ~rr
x1 = Mx1 = (~x1 , ~x1′ ),~rr
x = Mx = (~
x ,~
x′ )

と発散角の統計的分散の様子は変わらない。

と書く。位相空間において、粒子 1 ベクトルと粒積も保存する。すなわち、厳密に線形の運動方程式の安定解に従って加速器を周回する限り、何周

2

現実の加速器では、安定な平衡状態であれば、包絡線関数が歪むことはあるにせよ、ビームサイ2

2(1-101)2子 2 ベクトルの張る領域の面積は、それらのベク
トルの外積で書くことができ、

r r
W = x1 × x2 = x2 x1′ − x2′ x1 ,~ ~r ~rW = x1 × x2 = ~x2 ~x1′ − ~x2′ ~x1

ズは周回ごとに不変と思ってよい。ただし、例えば航跡場の影響に依る不安定性が起きた場合などはビームサイズがばたつくことがあるし、入射である。

時など、蓄積ビームに振動が励起された場合も放まず、 x′′ = Kx を使うと、

射減衰で変化する。また、粒子間の相互作用や粒68(1-102)

dW= x2′ x1′′ − x2′′x1′ = x′2 Kx1 − Kx2 x′ = 0dsすなわち、数学的には解は振幅の指数関数的(1-103)な増大や減少を含むが、周回のベータトロンチュ

である。従って、軌道上のどこかまで進んだ場合ーンを実数と限定することで、それらを排除できでも、1 周進んだ場合でも、位相空間の面積は不るともいえる。

変であることが分かる。ある周回と、1 周後につ1.4. 転送行列

いてこれを適用してみる。周回の転送行列を、⎛a b ⎞⎟⎟ とおいて書き直せば、
M = ⎜⎜⎝c d ⎠~W =~x2 ~x1′ − ~x′2 ~
x1
= (ax2 + bx2′ )(cx1 + dx1′ )− (cx2 + dx2′ )(ax1 + bx1′ )= (ad − bc )( x2 x1′ − x2′ x1 )

前項では方程式の解が包絡線と変調された振動で書けることを述べたが、具体的に包絡線や位相の進みなどは与えられていない。包絡線方程式は、解くにはあまりに難しい。そこで、加速器
では、要素毎に方程式を解いて、行列の形にまと(1-104)

め、それを掛け合わせて周回の運動を求めるという手法がとられる。要素（電磁石やドリフトスペ= det M ⋅ Wース）毎に、である。従って、

det M = 1⎛ x⎞⎛x⎞⎜⎜ ⎟⎟ = M ある要素 ⎜⎜ ⎟⎟⎝ x′ ⎠出口⎝ x′ ⎠入り口(1-105)でなければならない。

なる行列を求め、それをその要素の転送行列という。リング 1 周分の要素の転送行列（～数百個？）

さて、 M の固有値を λ1 、 λ2 、対応する固有ベr(1-112)rrを掛け合わせれば、入り口の座標に対して周回後クトルを v1 、 v2 とする。任意の粒子の座標は v1 、r
v2 の線形結合で書け、rrrx = Av1 + Bv2となる。この粒子の N 周後の座標は、r
Nr
Nr
M N x = Aλ1 v1 + Bλ2 v2の座標が分かる（それが前項の M ）。ただし、結局のところ、1 周分どころか 1 セル分でも手計算(1-106)

では難しかろう。
転送行列を調べると、各要素内の粒子の運動(1-107)だけでなく、トゥイスパラメータ、すなわち、ビである。解が安定であるためには、ームサイズやチューンなど、様々なビームパラメ

λ ≤1(1-108)ータの変化が分かる。また、ある要素の強さを変でなければならない。ところで、行列の固有方程

えた時のビームの応答なども分かる。この項で式は、各要素の転送行列を実際に求める。

λ − (λ1 + λ2 )λ + λ1λ2 = 02↔ λ2 − (a + d )λ + ad − bc = 0

1.4.1. ドリフトスペース(1-109)電磁石などのない空間では、と det M = 1 より、

λ1 ⋅ λ2 = 1

x′′ = 0

(1-110)となる。この方程式の解は、iμである。従って、片方の固有値を λ1 = e とおくと、もう片方は λ1 = e− iμ(1-113)x = As + Bとなる。ただし、数学的(1-114)であり、 A と B は積分定数である。転送行列を求には μ は虚数でも複素数でもよい。周回の転送行

めるためには、積分定数を初座標と初発散角で書かなければいけない。s = 0 の時、x = x0 、 x′ = x′0

列の具体的な形から、

a + d = λ1 + λ2 = TrM = 2 cos μ(1-111)となるが、 λ ≤ 1 という安定条件を課すと、 μ はとすると、 x′(0) = A = x0′ 、 x(0) = B = x0 、すなわ

ち x(s ) = x0 + sx0′ 、 x′(s ) = x0′ となり、行列に直せ

実数でなければならなくなる。

ば、垂直方向も含め、

69s ⎞⎛ x0 ⎞⎟⎜ ⎟,1 ⎟⎠⎜⎝ x0′ ⎟⎠⎛ x ⎞ ⎛1⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎝ x′ ⎠ ⎝ 0⎛ y ⎞ ⎛1⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎝ y′ ⎠ ⎝ 0

η = A cos
(1-115)s ⎞⎛ y0 ⎞⎟⎜ ⎟1 ⎟⎠⎜⎝ y0′ ⎟⎠

s

ρ

A

+ B sin
s

s

ρ

+ρ

B

(1-123)sη ′ = − sin + cosρρ ρρとなる。積分定数を初期条件に書き換えると、
A = η0 − ρ 、 B = ρη0′ 、従って、となる。
分散関数についても同様で、

である。

⎛
s⎞
+ ρ ⎜⎜1 − cos ⎟⎟,ρρρ⎠⎝(1-124)η0sssη ′ = − sin + η 0′ cos + sin

1.4.2. 偏向電磁石となる。分散関数にエネルギーのずれをかけたも⎛ η ⎞ ⎛ 1 s ⎞⎛η0 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎝η ′ ⎠ ⎝ 0 1 ⎠⎝η0′ ⎠η = η 0 cos(1-116)

ρ

x

ρ

.
2

x′ = −

A

ρ

s

ρ

sin

+ B sin
s

ρ

+

B

ρ

s

ρ

cos

ρ

ρ

ρ

⎛
⎛ ηδ ⎞ ⎜⎜⎜⎟M bend⎜η ′δ ⎟ = ⎜⎜ δ ⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎜⎜
⎝0 0

,
s

s

ρ

列で書けば、(1-117)解は

x = A cos+ ρη 0′ sinのが実際の軌道偏差になる。実際の軌道偏差を行

偏向電磁石中の粒子の運動方程式は、

x′′ = −

s

s ⎞⎞

⎛

ρ ⎜⎜1 − cos ⎟⎟ ⎟⎛η δ ⎞ρ ⎠ ⎟⎜ 0 ⎟⎝⎟⎜η0′δ ⎟
s
sin
⎟⎜
⎟
ρ
⎟⎝ δ ⎠(1-125)⎟⎠と書ける。紙面横幅の都合で、 M bend は(1-119)の(1-118).

1

積分定数を初期条件に書き換えると、 A = x0 、

2 行 2 列の偏向電磁石の転送行列である。

B = ρx0′ となる。従って、

1.4.3. 集束型 4 極電磁石

s
⎛
⎜ cos
x
⎛ ⎞ ⎜
ρ
⎜⎜ ⎟⎟ =
1⎝ x′ ⎠ ⎜ − sin s
⎜ ρ
ρ
⎝

s⎞
⎟
ρ ⎟⎛⎜ x0 ⎞⎟s ⎟⎜ ′ ⎟cos ⎟⎝ x0 ⎠
ρ ⎠集束型 4 極電磁石の方程式は、K > 0 として、

ρ sinx′′ = − Kx

(1-119)(1-126)である。偏向電磁石と見比べ、

となる。

1

ρ

→ K とすればよい。従って転送行列は⎛⎜ cos K s
F =⎜⎜ − K sin K s⎝

なお、垂直方向については何も力が働かない
ため、ドリフトスペースと同じである。
分散関数の場合、方程式は

η 1
η ′′ = − 2 +ρρ(1-127)となる。分散関数についても転送行列は同じである。集束型 4 極電磁石内の垂直方向の運動方程式
は y ′′ = + Ky であり、これに対する解は次項で述(1-120)となる。特別解はη = ρ,

1⎞
sin K s ⎟K⎟
cos K s ⎟⎠べる発散型 4 極電磁石の水平方向の場合と等し(1-121)い。

斉次解は

η = A cossρ

+ B sinsρ(1-122)

ここで、集束力 KL =である。足しあわせて一般解は

B′L −1[m ] を保ったまま、Bρ

電磁石の長さをゼロにする近似を考えよう。その70

ような近似を薄レンズ近似という。 KL を露わに

発散型 4 極電磁石内：

書いた転送行列は、⎛x ⎞ ⎛ y ⎞⎛y ⎞⎛x⎞⎜⎜ ⎟⎟ = D⎜⎜ 0 ⎟⎟ 、 ⎜⎜ ⎟⎟ = F ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎝ x′ ⎠⎝ x0′ ⎠ ⎝ y′ ⎠⎝ y0′ ⎠⎛
sin K L ⎞⎜ cos K L
⎟
L
K
L
⎜
⎟
F=
⎜
⎟
sin K Lcos K L ⎟⎜ − KLKL⎝⎠
であり、これで L → 0 とすると、
0⎞
⎛ 1
⎟⎟
Fthin = ⎜⎜⎝ − KL 1 ⎠(1-136)となる。

(1-128)1.4.5. 矩形偏向電磁石
偏向電磁石は電子の軌道から考えると扇形(1-129)（セクター（sector）型、図 3-5-(a)）が自然な形であるが、実際に電磁石を製作することを考えるとなる。

と、矩形（レクタンギュラー(rectangular)型、図1.4.4. 発散型 4 極電磁石

蓄積リングの偏向電磁石は多くが矩形である。

3-5-(b)）の方が作り易いし精度も出る。従って、次に、発散型 4 極電磁石の方程式を考える。

K > 0 として、
x′′ = Kx.
上の式で K → i K と置き換える。
cos iθ = cosh θ− i sin iθ = sinh θ

偏向電磁石の転送行列を見ると、水平方向は
集束 4 極電磁石と同じであり、水平方向には集束(1-130)

力として働いている。運動方程式から分かるが、向心力の分母における曲率半径の違いが集束力(1-131)の源であり、すなわち、中心軌道の外側から偏向
電磁石に入った粒子は電磁石内の軌道長が長く、より、⎛⎜ cosh K s
D=⎜⎜ K sinh K s⎝

1⎞sinh K s ⎟K⎟cosh K s ⎟⎠内側から入ったら短い、軌道長が長いとより多く曲げられる為に外側から内側へ向かって中心軌(1-132)

道に近づき、短いと曲げが足りないのでやはり粒となる。分散関数についても同じである。薄レンṒẋṓ ૐজἿћ‫׹‬᭐ሩᇺ

ズ近似では、⎛ 1 0⎞⎟⎟
Dthin = ⎜⎜⎝ KL 1 ⎠(1-133)

ͳো᣺ᦇ

となる。

ṒẌṓ ᇶজἿћ‫׹‬᭐ሩᇺ

ちなみに、方程式を解く時、解を

x = Ae

ͳো᣺ᦇ

− Ks

+ Be
(1-134)
x′ ⎞
x′ ⎞
1⎛
1⎛
とおき、A = ⎜ x0 + 0 ⎟ 、B = ⎜ x0 − 0 ⎟ か
2⎝
2⎝
K⎠
K⎠
Ks

Ṓẍṓ ᇶজἿћ‫׹‬᭐ሩᇺዟ
ሩᇺӈ
ᯝᢸᭆἿ
༓࡯

ら求めることもできる。
4 極電磁石について整理すると、

ዟἿញॄ

集束型 4 極電磁石：⎛x ⎞ ⎛ y ⎞⎛y ⎞⎛x⎞⎜⎜ ⎟⎟ = F ⎜⎜ 0 ⎟⎟ 、 ⎜⎜ ⎟⎟ = D⎜⎜ 0 ⎟⎟⎝ x′ ⎠⎝ x0′ ⎠ ⎝ y′ ⎠⎝ y0′ ⎠

፦ࠄἿଭट(1-135)ͳো᣺ᦇ

図 3-5 矩形偏向電磁石71

子は内側から外側へ中心軌道に近づく。偏向電磁形である。端の集束力や発散力を生かすため、台石が矩形の場合、この条件が崩れる。図 3-5-(c)に形や逆向き台形の電磁石も存在する。

示すが、偏向電磁石端の、設計軌道の角度に対する角度を ϕ 、考える粒子の振幅を x 、偏向電磁石

1.5. トゥイスパラメータとその性質

内の飛距離の減少分を Δl とすると、図より、

Δltan ϕ =
x1.5.1. トゥイスパラメータの転送(1-137)転送行列を加速器の全要素について求め、掛従って、曲げ角の減少分は

Δl

ρ

=

x tan ϕ

け合わせれば、求めた場所を始点として周回の転送行列が計算できる。その行列を周回の転送行列(1-138)ρ

曲げ角減少分が振幅に比例するため、発散型 4 極

β sin μ⎞⎛ cos μ + α sin μ⎟ (1-142)
M = ⎜⎜
cos μ − α sin μ ⎟⎠⎝ − γ sin μ

電磁石と同じ効果となる。すなわち、と比較すれば、その場所のトゥイスパラメータを

x′ = x0′ +x tan ϕ求めることができる。トゥイスパラメータは 1 粒(1-139)ρ子の運動だけでなく、ビームの全体としての運動

行列は、

⎛ 1
M edge, x = ⎜ tan ϕ⎜⎝ ρを知る為の重要なパラメータである為、加速器の

0⎞
⎟
1⎟
⎠

各点においてそれを求めるのがビーム光学の最(1-140)

初の計算となる。

となる。水平には発散力であるが、この効果をエ

加速器 1 周のトゥイスパラメータが知りたい

ッジフォーカス（edge focus）という。

場合、要素毎にそこを始点に周回の転送行列をかさて、扇形偏向電磁石内では垂直方向はドリ

けても求まるが、転送行列を使ってトゥイスパラ

フトスペースと同じであったが、矩形電磁石の場

メータを転送して求めることもできる。図 3-6 の合、電磁石端で垂直方向に集束力が生じる。扇形

ように、蓄積リングのある要素 1 を始点とした 1
周の転送行列を M 1 、ある要素 2 を始点とした 1の場合、電磁石端の角度は軌道と垂直の為、漏れ
磁場の方向はビーム進行方向 z と垂直方向 y の周の転送行列を M 2 、要素 1 から要素 2 までの転みとなり、水平方向成分はない。従って、垂直方

送行列を M 12 とする。要素 1 を始点に 1 周して要向に力は働かない。矩形電磁石の場合、端の角度

素 2 にたどり着く様な転送を考える。

と粒子の進行方向が違う為、設計軌道に対して水

⎛x⎞
⎛x⎞
⎜⎜ ⎟⎟
= M 12 M 1 ⎜⎜ ⎟⎟⎝ x′ ⎠1, N⎝ x′ ⎠ 2, N +1

平な磁場成分があることになり、それは垂直方向の力となる。垂直方向の集束力の強さは、水平方⎛ 1
M edge, y = ⎜ − tan ϕ
⎜
ρ
⎝

0⎞
⎟
1⎟
⎠

(1-143)⎛x⎞= M 2 M 12 ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ x′ ⎠1, N

向の発散力の強さと等しく、(1-141)となる。エッジフォーカスという名前の由来は垂ᘘኟᾮᾷὴ

直方向の集束力であり、初期の加速器では、偶然

ᝯᎢổ

ṷṛṜ

の誤差によるものを含め、このエッジの力を使っᝯᎢỖ

て垂直方向の集束力を得ていた為である。
なお、矩形という場合、端の角度は偏向電磁石の曲げ角を θ とすると

θ
2

ṷṛ

になっている場合が矩

図 3-6 周回の転送行列と要素間の転送行列72ṷṜ⎛ m11m22 + m12 m21⎜
T = ⎜ − 2m11m12⎜ − 2m m
21 22
⎝

従って、

M 2 = M 12 M 1M 12−1(1-144)と書ける。ところで、周回の転送行列(1-131)は、

I を単位行列、⎛ α β⎞⎟⎟J = ⎜⎜⎝−γ α ⎠

m11

2

m21

2

− m12 m22 ⎞
⎟
2
m12 ⎟
2
m22 ⎟⎠(1-157)と書ける。

(1-145)として、ドリフトスペースの場合にこれを具体的に

M = I cos μ + J sin μ(1-146)と書ける。また、M 12 I1M 12

J 2 = M 12 J1M 12− m21m11−1

求めてみよう。

= I である。よって、−1(1-147)⎛1 s⎞⎟⎟
M = ⎜⎜⎝ 0 1⎠(1-158)

より、

より、

⎛m
M 12 = ⎜⎜ 11
⎝ m21

m12 ⎞
⎟
m22 ⎟⎠

0 − s⎞⎛ 1⎜⎟
T = ⎜ − 2 s 1 s 2 ⎟.
⎜ 0
0 1 ⎟⎠⎝(1-148)として、⎛ α 2 β 2 ⎞ ⎛ m11⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜
−
γ
α
2⎠
⎝ 2
⎝ m21

m12 ⎞⎛ α1 β1 ⎞⎛ m11⎟⎜⎟⎜
m22 ⎟⎠⎜⎝ − γ 1 α1 ⎟⎠⎜⎝ m21

m12 ⎞⎟m22 ⎟⎠−1

従って、

β 2 = β1 − 2 s α 1 + s 2 γ 1 ,α2 =α 1 − sγ 1 ,γ2 =γ1となる。 β (s ) を平方完成させると、(1-149)となる。ここで、

det M = 1

(1-159)(1-150)(1-160)2

より、⎛ α1 ⎞α12β 2 = γ 1 ⎜⎜ s − ⎟⎟ + β1 −
γ1 ⎠
γ1
⎝

m11m22 − m12 m21 = 1,
−1

⎛ m11 m12 ⎞⎛ m⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜ 22⎝ m21 m22 ⎠⎝ − m21− m12 ⎞⎟.
m11 ⎟⎠(1-151)と な る が 、 こ れ は 、 s0 =(1,1)成分は− m12 m22γ 1 − m21m11β1 ,(1-152)

式より、この点では、 α 0 = 0 、従って γ 0 =(1,2)成分は− 2m11m12α1 + m11 β1 + m12 γ 1 ,
2

2

2

2

(s − s0 ) + ββ (s ) =0(1-153)+ m12 m22γ 1 + m21m11β1

β0

と

2

β0

(1-154)(1-163)となることが分かる。すなわち、 s = s0 を中心に

(2,2)成分は− (m11m22 + m12 m21 )α11なる。これらを使えば、(2,1)成分は2m11m12α1 + m11 β1 + m12 γ 1 ,α1で β (s ) が 極 小 値
γ1α12
β 0 = β1 −をとることを示している。(1-162)
γ1

よって、(1-138)を具体的に計算すると、(m11m22 + m12 m21 )α1(1-161)

放物線となり、中心で β を小さく絞れば、上下流での β の増大は急激になり、β を大きな値に留め(1-155)ておけば、上下流のビームサイズの変化は緩やかとなる。これも行列で書けば、になる、ということを示している。挿入光源を設⎛α 2 ⎞⎛ α1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ β 2 ⎟ = T ⎜ β1 ⎟
⎜γ ⎟
⎜γ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 1⎠

置する直線部では、挿入光源中央で必要以上にビ(1-156)

ームサイズを小さくすると、端の方でのビームサ
イズが大きくなる。また、真空封止型短周期小ギ

73

ャップ挿入光源の場合、磁極列にビームが当たるのを防ぐために垂直方向の β をかなり絞る必要

ン振動の大きさを表す量であり、軌道上の場所にがあるが、上下流でのビームサイズの増大を考え

α = 0 の時を考えると、この楕円は軸と直交依らず、周回に依らず、一定となる。

ると、全長はそれほど長くはできない。なお、そしている。その時、楕円の方程式はれでも長い挿入光源が必要な場合、磁極列の途中

x2に 4 極電磁石を入れてビームを絞り直しながら、β離れた磁極列間の位相をあわせるという難しいとなる。従って、楕円の面積は、 πε である。こ調整が必要になる。全く制限がない場合のオプテ

れは軌道上の場所に依らず、周回に依らず、このィクス設計の目安、絞りすぎず緩すぎず、は、例

値となる。

L
えば直線部全長の半分 β min = などとすること
2+ β x′ 2 = ε(1-167)

さて、軌道上のある場所で、1 粒子の座標をがある。そうすると、例えば直線部全長が 10 m
なら、 β は中央で 5 m、両端で 10 m となる。

位相空間上に書いていく。ある粒子が位相空間上
で 1 周後にどこにくるかという写像をポアンカレ(a) 1 粒子の軌跡

1.5.2. クーラン・シュナイダー不変量ᆃ௚ញ

ビーム内の粒子を 1 粒子の位相空間に押し込めた場合の位相空間の面積不変を示したが、この

ؔ‫ۂ‬঵

項では、具体的に面積がどう書けるかについて述べる。
ある粒子について、運動方程式の解は、

x = A β cos(ϕ + δ )x′ = A

−α

β

+A

1

β

ϫᑔ

cos(ϕ + δ )(1-164)sin (ϕ + δ )(b) 楕円とトゥイスパラメータ= − A γ sin (ϕ + δ ′)ᆃ௚ញと書ける。従って、

cos(ϕ + δ ) =

x

εγ

A β

β⎛

α ⎞
sin (ϕ + δ ) = −⎜⎜ x′ + x ⎟⎟β ⎠A ⎝(1-165)θと、 cos θ + sin θ = 1 より、
2

ε=

2

(x + (βx′ + αx ) )
β
1

εβ

2

2

(1-166)= γx + 2αxx ′ + β x ′ = const.
となる。この量は、よく文字 W 、 2 J 、 ε などで22表されるが、クーラン・シュナイダー不変量(Courant-Snyder invariant)という。ここでは、ある初期座標を与えた 1 粒子に対してベータトロ

図 3-7 位相空間における軌跡74ϫᑔ

マップ(Poincare map)、グラフとしての重ね書きば、粒子の集合全体としてのビームの位相空間でをポアンカレプロット(Poincare plot)という。チの振る舞いが分かる。なお、1 粒子に対して振動ューンが整数や半整数など不適当な場合でなけの大きさというときは 2 J 、 W などと書き、ビー

れば、1 粒子の座標は(1-166)式の示す傾いた楕円

ムを構成する粒子全体の統計量を考えるときは ε上に散らばる（図 3-7-(a)）。この楕円の最大値は、と書くことが多い。クーランシュナイダー不変量(1-164)を見れば明らかなようには、ビーム全体の位相区間の面積が、軌道上の位x ≤ εβ ,置と周回に依らずに常に一定であるということ(1-167)x′ ≤ εγを示す。楕円の短軸や長軸の長さや傾きは、トゥイスパラメータで与えられる為、トゥイスパラメ

である。なお、(1-166)を x 、 x′ の 2 次方程式としータでビーム全体の変化が追えることとなる。ビ

て解き、判別式で実数解を持つ範囲としても同じーム光学はトゥイスパラメータが基本である。

ことが分かる。すなわち、(αx′ ± εγ − x′ ),γ1x′ = (αx ± εβ − x ).
β

x=

1

1.5.3. 規格化運動量と規格化座標2

位相空間の楕円は、(1-168)(x + (βx′ + αx ) ) = ε
β
1

2

より、

(1-173)なので、εγ − x′ 2 ≥ 0,X=

(1-169)εβ − x ≥ 0.
2

ームを消すことで分かる。

⎛x⎞⎛ X ⎞ ⎛ X cos θ − X ′ sin θ ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = R(− θ )⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟⎝ x′ ⎠⎝ X ′ ⎠ ⎝ X sin θ + X ′ cos θ ⎠,X (s ) = ε cos(ϕ (s ) + δ ),P(s ) = ε sin (ϕ (s ) + δ )ε = γx 2 + 2αxx′ + βx′ 2()+ (γ sin θ − α sin 2θ + β cos θ )X ′(1-175)と書ける。

= γ cos 2 θ + α sin 2θ + β sin 2 θ X 2
2(1-174)

た、ベータトロン振動は、

を代入し、

2

例えば、入射点では入射ビームの初期振幅 x(1-171)はセプタムの壁と蓄積ビームのバンプによって+ ((β − γ ) sin 2θ + 2α cos 2θ )XX ′幾何学的に決まるが、x′ についてはセプタムの蹴り角である程度の自由度がある。その場合、セプ
タムの蹴り角を調整し、 βx′ + αx = 0 を満たす蹴より、(β − γ )sin 2θ + 2α cos 2θ = 0
2α
β −γ

β

と規格化すると、位相空間の楕円は円になる。ま(1-170)2x

β x ′ + αxP=β

軸の回転角については、座標を回転してクロスタ↔ tan 2θ = −2

2

り角にすれば、 P = 0 となって入射ビームのベー(1-172)

タトロン振動の大きさは最小となる。

を満たす。

1.5.4. 位相空間内の楕円の転送
粒子の集団としてのビーム全体は、位相空間

さて、ビームを構成する粒子達のベータトロの１本の楕円で表現できる。この項では、ドリフ

ン振動の大きさはある範囲で統計的に分布してトスペースと４極電磁石による楕円の転送につおり、位相は適当に散らばっている。従って、粒いて述べる。

子全体のベータトロン振動の大きさに対して統計的な分散を考え、それをエミッタンス ε とすれ75

図 3-8 に、ドリフトスペースと４極電磁石が位相空間の楕円を転送する様子を示す。ドリフトṒẋṓ ᾍᾮᾙᾌώᾞ̵ώ

スペースでは、粒子の発散角は変わらず、距離にᆃ௚ញ

比例して位置のみが変化してゆく為、楕円は右に伸びてゆく。薄レンズ近似の４極電磁石の場合、粒子の位置は変化せず、発散角のみが変化する。
どちらの場合も楕円の面積は不変である。図 3-9ϫᑔに FODO 構造の場合の例を示す。
理想的な場合の設計粒子に対する解析はここまでとし、次に、誤差やエネルギー偏差があるṒẌṓ ᬹರ۶Ộඇ

場合の扱いについて述べる。

ᆃ௚ញ

1.6. 色収差と６極による補正
４極電磁石における粒子の運動方程式は

δ=

ϫᑔ

Δp
p0

(1-176)

として、

x′′ =

K
x = (K − Kδ )x
1+ δ(1-177)と書ける。すなわち、エネルギー偏差に伴い、集図 3-8 位相空間の楕円の転送束力が変化する。これは、集束型４極電磁石に対して弱い発散型４極を付け加え、発散型に対して弱い集束型を付け加えることと同じである。まず
は、リングのある場所に余計な小さな４極成分が加わった場合の周回の転送行列の変化について

ẋ࿙ Ẍ࿙
Ẍ࿙

ẍ࿙ Ẏ࿙

ᾍᾮᾙᾌ
ώᾞ̵ώ

調べる。

ẋ࿙
ᾍᾮᾙᾌώᾞ̵ώἸ
ᯝ὇௻‫׹‬ṒẋȀẌ᫐Ề

リングのある場所に薄レンズ近似の弱い４
極

ᆃ௚ỘඇἼ
Ὑ὜ᣟὛ
ṒẌȀẍ᫐Ềẍ࿙

⎛ 1
M ΔK = ⎜⎜
⎝ ΔK

Ẏ࿙
ᾍᾮᾙᾌ
ώᾞ̵ώ

0⎞
⎟
1 ⎟⎠

(1-178)が加わったとすると、その場所の周回の転送行列

ᬹರỘඇἼ
Ὑ὜ᣟὛ
ếẎȀẋ᫐Ề

⎛ cos μ + α sin μ
M = ⎜⎜⎝ − γ sin μᾍᾮᾙᾌώᾞ̵ώἸ
ᯝ὇௻‫׹‬ếẍȀẎ᫐Ềβ sin μ⎞⎟ (1-179)
cos μ − α sin μ ⎟⎠は

M → MM ΔK (1-180)

図 3-9 FODO セルの例と変化する。書き下せば、76

MM ΔK =cos μ + α sin μ⎞⎛⎟⎜β sin μ− ΔKβ sin μ⎟⎜⎟⎜⎛ cos μ⎞⎟⎟ cos μ − α sin μ ⎟⎟⎜⎜ − γ sin μ − ΔK ⎜⎜⎝ − α sin μ ⎠⎠⎝６極電磁石を使って色収差の補正を行うことが可能である。normal の６極電磁石の磁場は、

1B′′ として、
6⎧⎪ Bx = 6 A3 xy⎨
2
2⎪⎩ B y = 3 A3 x − y
A3 =((1-180)となる。対角の和をとると、TrMM ΔK = 2 cos μ − ΔKβ sin μ(1-181)(1-189))と書ける。従って、運動方程式は λ =となる。ここで、

cos(μ + Δμ ) = cos μ cos Δμ − sin μ sin Δμに対し、 Δμ の 1 次までとる。

Δμ 2
L≈1
2
Δμ 3
+ L ≈ Δμsin Δμ = Δμ −3!

て、

(1-190)

れている場合、６極電磁石内の粒子の軌道は、
x = xβ + ηδ
(1-191)(1-183)となる。代入すると、(

x′β′ = −λ (xβ + ηδ ) − y βより、

2y ′β′ = 2λ (xβ + ηδ )y β

(1-184)2)x′β′ = −2ληδxβy ′β′ = 2ληδy β(1-185)

力として働くことが分かる。

Δμ x = −λη xδβ xエネルギー偏差による集束力の変化は、

Δμ y = λη xδβ yΔK = − Kδ11
Kβ x ds −λη xδβ x ds
∫
Q
4π
2π ∫S
1
1
ξy =
Kβ y ds +λη xδβ y ds
∫
4π Q
2π ∫S

ξx = −を足しあわせれば、エネルギーが変化した時のベータトロン振動の振動数の変化が求まる。

Kβ
dsδ
2

(1-186)ば、運動量偏差に伴うチューンのずれが補正さ(1-187)

れ、それを色収差補正と呼ぶ。

係数を色収差といい、

ΔpΔν = ξ
,
p0
1
ξ =−
Kβds
4π ∫Q

(1-195)となる。これがゼロになるように６極を決めれこれは[rad]単位なので、チューンに直して、

1
Δν = −
Kβδds
4π ∫Q(1-194)６極電磁石も考慮すると、色収差はである。従って、全周の４極電磁石に対してこれQ(1-193)となる。６極電磁石が運動量偏差に比例した集束となる。

Δμ = ∫ −(1-192)展開して xβ 、 y β について線形項のみ残すと、従って、チューンシフトは

ΔKβ
Δμ =
2

)

となる。分散関数のある場所に６極電磁石が置か

cos Δμ = 1 −cos(μ + Δμ ) = cos μ − Δμ sin μ
ΔKβ
sin μ .
= cos μ −2(x′′ = −λ x 2 − y 2y ′′ = 2λxy

(1-182)

B′′
とし
2B0 ρ

1.7. 分散による軌道長のずれ
粒子の中心軌道が設計軌道から変化すると、(1-188)周回の軌道長も変化する。運動量がずれた粒子の軌道のずれは分散関数であるが、その軌道のずれ

となる。

77

ΔC = ∫

ԋ௚᫖௝Ἰ๼὏὜
ͳো᣺ᦇ

B

dl

ηδ

ds

(1-198)となる。運動量偏差に対する周長偏差の比をとっη ′δdsdl ′η
ds ⋅ δρて、モメンタムコンパクションファクター(momentum compaction factor)は、

ΔC
Δp
,
=α
C
p0

ឥផ፦ࠄἿ
ͳো᣺ᦇ

(1-199)1 η
α = ∫ ds ⋅ δ
C Bρ
となる。

ρ

1.8. 誤差キックによる軌道のずれdθ

磁場誤差がある場合、粒子の運動方程式は

x′′ = Δθ

(1-200)であるが、軌道上のある部分に蹴りがあるとすると、方程式はx′′ = K (s )x + f (s )図 3-10 分散関数に伴う軌道長の変化となる。これを解く。
1.8.1. 数学的準備による軌道長変化を、モーメンタムコンパクショ

最初に数学的準備として、

ンという。
曲率半径 ρ の無限小の長さの軌道上で、分散πe ikθ
(1-202)=cos υ (θ m π )∑22
υ sin (πυ )k = −∞υ − kであることを示す。ただし、 0 ≤ θ の場合に負の符号、 θ < 0 の時に正の符号とする。
∞

関数による軌道長の変化を求める（図 3-10）。設
計粒子の軌道長は、

ds = ρdθ(1-201)(1-196)である。分散関数による軌道の軌道長は、(dl ′)2 + (η ′δds )22
2= (ρ + ηδ ) dθ 2 + (η ′δds )dl =以下の複素積分を考える。

I =∫

2

⎛ ηδ ⎞⎟ + (η ′δ )ds= ⎜⎜1 +
ρ ⎟⎠
⎝

1
e iθz
dz
υ 2 − k 2 e 2πiz − 1(1-203)

積分路として無限に大きな矩形をとると、ジョル(1-197)ダンの補助定理により、この積分はゼロである。
留数定理により、積分は⎛ 1 ⎛ 2ηδ (ηδ )2⎞
2⎞≈ ⎜1 + ⎜⎜++ (η ′δ ) ⎟⎟ ⎟ds
2
⎜ 2 ρ
⎟
ρ
⎠⎠
⎝
⎝
⎛ ηδ ⎞⎟ds.
≈ ⎜⎜1 +
ρ ⎟⎠
⎝

⎡ 1
I
e iθz ⎤= Re s ⎢ 2
⎥=0
2
2πiz
2πi
⎣υ − k e − 1⎦

(1-204)1に対する留数は、
υ − k2
1 e iθυ1e iθυ
−+2υ e 2πiυ − 1 2υ e −2πiυ − 1(1-205)
1 cos υ (θ − π )=−2i υ sin (πυ )と書ける。前項、

従って、運動量に線形の変化は曲率半径の有限な部分、すなわち偏向電磁石内でのみ生じる。１周の軌道長変化は、

782

であり、後項、

ここで、 X 、 β 、 f は変数 φ の関数で、リンe iθzに対しては、
e 2πiz − 1

グ周回で周期的なので、周期 2π である。各関数

ikθ

∞

e
1
.
∑
2
2πi k ~ −∞ υ − k 2をフーリエ変換して、(1-206)∞~X (φ ) = ∑ X k e ikφ ,これらを足せばゼロであるので、

k = −∞

∞

ikθ

e
π
=
cos υ (θ m π )∑22
υ sin (πυ )k = −∞υ − k∞~
F (φ ) = β β f = ∑ Fk e ikφ(1-207)k = −∞となる。逆変換は、が示された。

1 2π~
Xk =X (φ )e −ikφ dφ ,
2π ∫0
1 2π
~
Fk =
F (φ )e −ikφ dφ .
∫02π1.8.2. COD の導出
方程式x′′ + K (s )x + f (s ) = 0(1-208)x = εβ cos(ϕ + δ ),d2X
+ν 2 X = ν 2 β β f
2
dφ
~
~
~
↔ −k 2 X k +ν 2 X k = Fk .

(1-209)dsβである。規格化した座標

X =

x

~
Fk
X (φ ) = ∑ 2
e ikφ2
k = −∞ ν − k
∞

∞
1 2π
e ik (φ −φ ′ )′()
Fφ ∑ 2
dφ ′
=
2
2π ∫0
k = −∞ ν − kを使い、ベータトロン振動の位相に関しては、フーリエ変換するため、1 周で 2π 進む様な規格化した位相の進みϕ 1 dsφ= = ∫ν ν βを使う。蹴りがない場合、変数を元に戻すと、(1-211)x(s ) =である。運動方程式を書き直すと、( β X )″ + K β X = f(1-212)となる。
(1-212)
軌道上のある場所 s = s1 に薄レンズの蹴りと、包絡線の方程式″

β = −K β +1

β βΔθ を入れた場合、発生する COD は
β (s )β (s1 )xCOD (s ) =cos(πν − ϕ (s ) − ϕ (s1 ) )Δθ2 sin (πν )(1-213)を使うと、方程式は以下のように書ける。

d2X
1
X = f
+
2
ν 2 β β dφβ β(1-220)1

d2X↔
+ν 2 X = ν 2β β f2dφ⎞β (s ) s +C ⎛⎜ β (s1 ) f (s1 )⎟ds1∫
2 sin (πν ) s ⎜⎝ ⋅ cos(ϕ (s ) − ϕ (s1 ) − π )⎟⎠(1-219)となる。ここで、

dX
1 dX
X′=
φ′ =
dφ
νβ dφ

(1-218)π⎞⎛⎟
1 2π ⎜ F (φ ′)ν sin (πν ) ⎟dφ ′.
=
⎜
∫
0
2π
⎜ cosν (φ − φ ′ − π )⎟⎠⎝(1-210)X = ε cos(νφ + δ )(1-217)

よって、(1-210)β(1-216)方程式に代入し、を解く。蹴りがない場合、解はϕ=∫(1-215)となる。
(1-214)79ここまでで横方向のビームの運動に関するE = γm0c 2

話を終える。次章では縦方向、RF 空洞による位

p = γm0v

相安定性について述べる。

より、

2. 縦方向の粒子の運動

dp dE dv dγ dβ
dβ
.
=
+
=
+
=γ2
β
p
E
v
γ
β

2.1. 周回時間と運動量偏差

従って、

dv 1 dp=,v γ2 p
dC
dp
=α
C
p

この章では縦方向の粒子の運動について考える。相対論的な電子の場合、

E = m0c 2 + (cp ) ≈ cp
2

(2-6)

(2-1)

であり、

(2-7)

(2-8)

より、

dp dE
=
p
E

1 ⎞ dpdt dC dv ⎛=−= ⎜⎜ α − 2 ⎟⎟
t
C
v ⎝
γ ⎠ p

(2-2)

(2-9)

としてよい。例えば PF リングでは、エネルギーとなる。この式は、低エネルギーの状態でエネル

は 2.5 GeV で、運動量は 2.49999989… GeV/c でギーが増えた時、速さが速くなる効果と、重くなあり、区別せずともほぼ問題ない。

って大回りになって周長が伸びる効果のどちらが効くかという式である。

低エネルギーの場合や重粒子の場合は状況

重粒子の場合、が異なる。エネルギーは[MeV]、運動量は[MeV/c]1と単位もきちんと書いて区別する必要がある。例γt =えば電子のエネルギー10 MeV の場合、運動量はをトランジションガンマ transition γという。粒α(2-10)

9.97 MeV/c となる。(2-2)式もよい近似ではなくな子を加速してエネルギーを増やしていくと、トラる。

ンジションエネルギーを超えた段階で RF の安定粒子が周回するのにかかる時間は、周長をC[m] 、粒子の進行方向の速さを v[m / s] として、

Ct=v

位相が 180 度変化する。すなわち、縦方向の安定性を失わないためには加速途中で RF の位相を跳(2-3)

ばす必要がある。
ERL の入射器周辺など、ビームのエネルギーである。周長の時間変化を考慮しながら微分しが低い場合、バンチ長を議論する際に分散関数のて、積分で求まるモーメンタムコンパクション的な

dC Cdv
dt =− 2vv
dt dC dv
↔ =
− .
t
C
v

値を使うことがあるが、速さの変化の効果も無視
(2-4)

できない。
2.2. 縦方向の振動

ここで、ローレンツ因子を導入する。

γ=↔

電子のエネルギーは超相対論的とし、

11− β 2dγ

γ= (γ 2 − 1)

dβ

β

dp dE
=
p
E

(2-5)

(2-11)を使い、速さの変化も無視する。

.

dt
dE
=α
.
t
E

ここで、

80

(2-12)

設計粒子の RF 到着時間を τ 0 とし、そこからの差

dΔE eV&
=
Δτ ,
dt
T
dΔτ
ΔE
= −α
dt
E

を考える。ある粒子が RF に着く時間の、設計粒子との差を、

Δt = −(τ − τ 0 ) = −Δτ

(2-13)

d 2 Δτ
αeV&
1 dΔE
=
−
α
=
−
Δτ
dt 2
E dt
TE

タイミングで RF に到着し、Δτ < 0 の時は遅れて着くことになる。

Ωs =電圧と位相は、(2-14)=

でなければならない。ここで、 V [MV ] は RF の
ピーク電圧である。また、

1eV=
sin ϕ0 U 0(2-23)

これは調和振動子の式であり、振動数はリング周回の放射光によるエネルギー損失
を U 0 [ MeV / rev] とすると、それを補う為に、RFq=(2-22)

より、とする。Δτ > 0 の時、粒子は設計粒子よりも早い

eV sin ϕ0 = U 0(2-21)αeV&TEαω RF eV cos(ϕ0 )(2-24)

TEとなる。縦方向の振動をシンクロトロン振動と呼び、この周波数をシンクロトロン周波数という。

(2-15)

ちなみに、リングの周回角振動数と RF の角周波を overvoltage factor という。さて、タイミング数との関係は、ハーモニック数を h として、のずれた粒子が余計に得るエネルギーは、

ωRF = hωrev = h

δE = eV (τ ) − U 0 = eV (τ ) − eV (τ 0 )= eV (τ ) − eV0(2-16)(2-25)なので、

αhωrev 2eV cos(ϕ0 )
Ωs =
2πE

である。周回毎に RF の場所で一気にこのエネル
ギー変化が生じる。

(2-26)とも書ける。また、これを周回あたりの振動数に実際の力は時間に対して離散的であるが、振直すと、動自体が何周回もかけてゆっくり行われる為、時間的になだらかにしてしまう。周回周期を T [sec]

νs =

として、

dE eV (τ ) − eV0
=
dt
T

2π
T

αheV cos(ϕ0 )
Ωs
T=
2π
2πE

(2-27)となり、これをシンクロトロン振動数という。

(2-17)とする。設計粒子のエネルギーのずれはゼロなの

2.2.2. 微小でない場合への解で、時間差やエネルギーのずれが大きい場合、eV (τ ) − U 0 = eV sin (ωRFτ ) − U 0(2-28)

dΔE eV (τ ) − eV0=dtT(2-18)としたまま解く必要がある。方程式は

とできる。

d 2τ
α
(eV (τ ) − U 0 )=−(2-29)2dt
TEとなる。これは、時間( t )に依らず、位置( τ )のみ

2.2.1. 微少振動としての解時間差やエネルギーのずれが大きくないとに依存するポテンシャルの中での運動と同じですると、電圧の時間微分をとって、

dτ
をかけて積分すると、左辺は
dt
2dτ d 2τ
1 ⎛ dτ ⎞(2-30)∫ dt dt 2 dt = 2 ⎜⎝ dt ⎟⎠eV (τ ) − eV = eV& (τ 0 )Δτ
(2-19)と書ける。ただし、 V (t ) = V sin (ωRF t ) より、
eV& (τ ) = ω eV cos(ϕ )(2-20)

ある。両辺にである。ここで、となり、右辺は

0

RF

0

81

∫−

α
TE

(eV (τ ) − U 0 ) dτ dt
dt

τ

α

τ0

TE

= −∫

(eV (τ ) − U 0 )dτ

α

τ0

TE

α

(eV (τ ) − U 0 )dτ(eV sin (ωrf τ ) − U 0 )dτTE ∫τ 0α ⎛⎜ eVττ ⎞cos ωrf τ τ − [U 0τ ]τ 0 ⎟=−⎟0TE ⎜⎝ ωrf⎠
ϕ − ϕ0 ⎞αeV ⎛⎟⎜⎜ cos ϕ0 − cos ϕ −=q ⎟⎠2πhE ⎝=(2-31)≡ −Φ (τ )τ[となる。従って、
2

1 ⎛ dτ ⎞⎜ ⎟ + Φ(τ ) = const.
2 ⎝ dt ⎠τΦ (τ ) = ∫(2-32)と書ける。積分を計算すれば、]となる。ポテンシャル中の運動になぞらえると、

1 ⎛ dτ ⎞⎜ ⎟2 ⎝ dt ⎠2(2-34)

が運動エネルギーに対応し、(a) RF 電圧の時間変化

φ =0
φ0
π − φ0(b) ポテンシャルΦΦ′ = 0Φ = Φ max(c) 位相空間の軌跡(2-33)

安定領域

Φ=0

セパラトリクス
図 3-11 セパラトリクス

82Φ (τ )

3. エミッタンスとバンチ長(2-35)

がポテンシャルエネルギー、
3.1. 放射減衰21 ⎛ dτ ⎞Φ 0 = ⎜ ⎟ + Φ(τ )2 ⎝ dt ⎠(2-36)

粒子の出す放射光による単位時間あたりの放射パワーは、がエネルギーの総和である。

P ∝ E 2B2

(3-1)
である。ここで、 E は粒子のエネルギー、 B は偏さて、振動が安定な最大の部分では、図から明らかなように、Φ′(τ 1 ) = 0(2-37)

光電磁石の磁場の強さである。粒子のエネルギーがずれても、偏向電磁石の磁場は変わらず、分散である。

Φ′(τ 1 ) = eV (τ 1 ) − U 0= eV (sin φ1 − sin φ0 ) = 0関数によって偏向電磁石内の飛距離が変わるだ(2-38)けである。なお、設計粒子のエネルギーを変えた
場合の関係式は磁場も一緒に変えることを想定

より、

φ1 = π − φ0

し、放射パワーはエネルギーの 4 乗に比例する。

(2-39)

エネルギーのずれを想定した場合の周回の放射となる。これから、⎛ cos ϕ 0 − cos(π − ϕ 0 )⎞⎟αeV ⎜Φ max =
π − 2ϕ 0 ⎟⎜−2πhE ⎜
⎟
q
⎝
⎠
αeV ⎛
1
1 ⎞
⎜⎜ 2 cos ϕ 0 − arccos( ) ⎟⎟=2πhE ⎝qq ⎠=ロスは、粒子のエネルギーの 2 乗に比例し、U ∝ E 2 ↔ U = AE 2
↔ ΔU = 2 AEΔE ↔

を失い、エネルギーの低い粒子は少ししかエネル
ギーを失わない。粒子のエネルギーのずれ ΔE に対する放射ロスの大きさ U の変化は、この式より、設計粒子のエネルギーに近いところで、となる。ここで、

U
ΔU
ΔE
dU
↔
=2 0
=2
U0
E0
dE
E0

(2-41)

U↔ U = U 0 + 2 0 ΔE
E0を energy aperture function という。安定なエネ
ルギーのずれの最大値は、

U0⎛ ΔEmax ⎞ 2
F (q )⎜⎟ = 2 Φ max =παhE⎝ E ⎠ α(3-2)

エネルギーの高い粒子はより沢山のエネルギー(2-40)⎛ 1 ⎞⎞
αU 0 ⎛ 2⎜ q − 1 − arccos⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜
⎟
πhE ⎝
⎝ q ⎠⎠⎛⎛ 1 ⎞⎞F (q ) = 2⎜⎜ q 2 − 1 − arccos⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎝ q ⎠⎠
⎝

ΔU
ΔE
=2
U
E

(3-3)

と書ける。エネルギーが ΔE ずれると、放射ロスU0
ΔE だけ増える。従って、シンクロトロン
E0
dΔE eV&=Δτ にこれを加え、周回振動の方程式dt
T(2-42)が2となり、これをバケットハイトという。

あたりを単位時間あたりに直し、U
dΔE eV&=Δτ − 2 0 ΔE
dt
T
TE 0
dΔτ
ΔE
= −α
より、
となる。
dt
E

83

(3-4)

d 2 Δτ
α dΔE
=−
2
E dt
dt
(3-5)
⎞
U0
α ⎛ eV&= − ⎜⎜
Δτ − 2
ΔE ⎟⎟
E⎝ T
TE 0
⎠
ΔE
1 dΔτ
=−
を代入し、振動となる。この式にE
α dtである。ビームサイズはの式にすると、方程式はミッタンスではなく、振幅の減衰時間はd Δτ 2U 0 dΔτ
2++ Ω s Δτ = 0
2
E 0T dtdt⎛t⎞

ε ∝ exp⎜ − ⎟⎝ τ⎠(3-15)

であり、時定数は

E 0T
U0

τ=

2

ε に比例するため、エ2 E 0TU0τx =(3 - 6 )(3-16)(3-17)と書ける。これは減衰振動の方程式であり、解はとなる。これをベータトロン振動の減衰時間とい⎛ t ⎞Δτ ∝ exp⎜⎜ − ⎟⎟ exp(± iΩ s t )⎝ τε ⎠う。

(3-7)

ちなみに、縦方向と横方向を比べると、
τ x = τ y = 2τ ε
(3-18)と書ける。減衰の時定数は

τε =

E 0T
U0

となる。

(3-8)

3.2. 放射励起となる。これを、シンクロトロン振動の放射減衰

放射光は量子力学的に放出されるため、放射時間という。

光を出すことで粒子のエネルギーは統計的にばらつく。粒子の出す放射パワーの平均値は周回の横方向の場合、発散角はエネルギーロスに等しくなるが、全ての粒子が均px′ = xpz(3-9)

等にエネルギー損失しない。それを計算するためには、光子のエネルギーでなく、エネルギーの 2と書けるが、放射で運動量が減少して、その分だ乗平均を計算する必要がある。

け加速されて、という過程で発散角は偏光電磁石からの全ての放射光が特徴的に

px
p ⎛ Δp ⎞⎟= x ⎜⎜1 −x′ =p z + Δp p z ⎝p z ⎟⎠

臨界エネルギー(3-10)

3γ 3 c 3 hE 0 γ 2
=
2ρ
2 ρmc

だけ減少する。 x は変わらないまま、 x ′ がこれだ

uc = hけ減るので、エミッタンスの減少量も、だとしてみる。周回の放射パワーをこれで割っ⎛ Δp ⎞⎟⎟
ε x → ε x ⎜⎜1 −pz ⎠⎝て、粒子が周回あたりに出す光子数は、およそ(3-11)

N=となる。周回あたりの加速量は、

Δp ΔE U 0
=
=
pz
E
E0
であるため、単位時間あたりにすると、

U0
uc(3-20)である。従って、周回あたりに出す光子のエネル(3-12)

ギーの 2 乗平均は、

U0
とな
TE 0

Nu 2

rev

=

U0 2
uc = U 0uc
uc(3-21)となる。単位時間あたりに直して、る。従って、

Udε= − 0 εxdt
TE 0(3-19)

Nu 2 =(3-14)

U0
uc
T(3-22)である。ちなみに、もっとまじめな計算を行うと、となる。この方程式の解は、

この値は

84

55 U 0uc
24 3 TNu 2 =

エネルギーが変わったことにより、中心軌道が分(3-23)

散関数で表される軌道へと変化する。すなわち、⎛ u ⎞⎟⎟ = 0,Δx = Δx β + η ⎜⎜ −⎝ E0 ⎠と書ける。ここからはこの値を使う。
放射光を出すことで、エネルギーのずれの 2乗平均が、単位時間あたりこの値で増大してゆくことになるので、すなわち、

d (ΔE )

2=dt

55 U 0uc
24 3 Tとなり、中心軌道がずれてベータトロン振動の初(3-24)

期振幅と初期発散角が与えられたのと同じことである。放射減衰との平衡を考えると、⎛ t ⎞ΔE ∝ exp⎜⎜ − ⎟⎟⎝ τε ⎠になる。エミッタンス増大の効果は、クーラン・
シュナイダー不変量から、(3-25)Δε = γΔx 2 + 2αΔxΔx ′ + βΔx ′ 2⎛ u ⎞= γη + 2αμη ′ + βη ′ ⎜⎜ ⎟⎟⎝ E0 ⎠

(

より、

⎛

⎞

(ΔE )2 ∝ exp⎜⎜ − 2t ⎟⎟(3-26)⎝ τε ⎠d (ΔE )

=−

dt

2

τε

)

2

( 3 - 3 3)1dε
= 2 H Nu 2
dt E 024 3 TUdε1= − 0 ε x + 2 H Nu 2 = 0
dt
TE 0
E0

(3-28)

55 hE 0 γ 2=
64 3 ρmc
2(3-35)となる。放射減衰の効果を入れて、(ΔE ) 2 = τ ε ⋅ 55 U 0 u c
2 24 3 T(3-34)

とおく。従って、(ΔE ) 2 + 55 U 0 u c = 0

よって、(3-36)

より、

εx =従って、エネルギー広がりはh γ2
H32 3 mc ρ

55(3-37)

ただし、

2

σε

2

H (s ) = γη 2 + 2αμη ′ + β η ′ 2(3-27)

22となる。ここで、従って、平衡状態を考えると
2(3-32)⎛ u ⎞⎟⎟ = 0Δx ′ = Δx ′β + η ′⎜⎜ −⎝ E0 ⎠⎛ ΔE ⎞
55 hγ 2⎟⎟ == ⎜⎜64 3 ρmc⎝ E0 ⎠(3-29)

H =

となる。

1

2πρ ∫Bend

Hds(3-38)である。

時間広がりに直すと、

σ τ = (Δτ )22⎛ α ⎞ ⎛ ΔE ⎞
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ Ω s ⎠ ⎝ E0 ⎠3.3. 最小エミッタンス条件

2(3-30)

蓄積リングのエミッタンスは偏向電磁石の中の分散関数の最適化によって決まる。ここでである。従って、バンチ長は

σ l 2 = cσ τ =cα σ εΩ s E0は、蓄積リングにおいてエミッタンスが最小にな(3-31)

る条件と、その時のエミッタンスについて、色消し条件を外して理論最小にする場合と、DBA の場となる。

合の 2 通りについて述べる。

さて、横方向については、分散関数がゼロでない場所でエネルギー u の光子を放出したとすると、放出時に電子の位置と傾きは変化しないが、

85

3.3.2. 理論最小エミッタンスの場合

3.3.1. H 関数の積分の計算
まずは H =

1

2πρ ∫

Bend

色消し条件を外して、理論最小にする場合にHds の計算について

ついて解を求める。オプティクスによって最適化
可能なパラメータは、α 、 β 、η 、η ′ である。ま述べる。偏向電磁石入り口での分散関数とその微分を η1 、 η1′ 、ある曲げ角 θ =sρずはトゥイスパラメータ α 、 β について、まで進んだ時の値をη 2 、η 2′ とする。分散関数の方程式の解より、

η 2 = η1 cos θ + η1′ρ sin θ + ρ (1 − cos θ ),
η 2′ = −η11ρ

(3-39)sin θ + η1′ cos θ + sin θ

1+ α 2∂I= B(η ′) − C (η ) 2 = 0,
∂β
β
α
∂I
= A(η ,η ′) − 2C (η ) = 0
β
∂α
従って、

である。一方、トゥイスパラメータについては、
偏向電磁石入り口の値を β1 、 α 1 、 γ 1 、途中の値

2C (η )α,A(η ,η ′)β =−C (η )
B(η ′)を β 2 、 α 2 、 γ 2 とすると、

β 2 = β1 cos θ − 2α 1 ρ sin θ cosθ + γ 1 ρ sin θ ,21

α 2 = β1

ρ2(

sin θ cosθ + α 1 1 − 2 sin θ
2

2

α=

)

− γ 1 ρ sin θ cosθ ,1

γ 2 = β1

ρ2

sin θ −
22

ρ⎛ 2C (η ) ⎞C (η )⎟⎟ −⎜⎜ −⎝ A(η ,η ′) ⎠ B(η ′)2∂I= (2η ′θ 0 + 2(1 − cosθ 0 ))α∂η+ (2ηθ 0 + 2 ρ (sin θ 0 − θ 0 ))γ

α 1 sin θ cosθ + γ 1 cos θとなる。従って、積分はI=(3-43)となる。一方、2(3-40)

1(3-42)≡ Dα + Eγ = 0,

L

Hds
ρ∫

∂I
= (2ηθ 0 + 2 ρ (sin θ 0 − θ 0 ))α∂η ′+ (2η ′θ 0 + 2(1 − cosθ 0 ))β0⎛ 2ηη ′θ 0 + 2η ′ρ (sin θ 0 − θ 0 )
⎞
⎜
⎟
=⎜
ρ
⎟α
⎜ + 2(η − ρ )(1 − cosθ 0 ) + (1 − cos 2θ 0 )⎟
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
2
1 ⎜θ 0 + 2η ′ θ 0 − sin 2θ 0 ⎟
+ ⎜
2
⎟β
2⎜
+ 4η ′(1 − cosθ 0 )⎟⎠⎝(3-44)≡ Eα + Dβ = 0.
より、η 、η ′ を求めることで、α と β の値も決まる。方程式を行列で書くと、⎛ α γ ⎞⎛ D ⎞ r⎜⎜⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0⎝ β α ⎠⎝ E ⎠⎛ 2η θ 0 + 4ηρ (sin θ 0 − θ 0 )
⎞
⎟
1⎜
+ ⎜
1
⎞ ⎟γ
2⎛
2 ⎜ + ρ ⎜ 3θ 0 − 4 sin θ 0 + sin 2θ 0 ⎟ ⎟2⎝⎠⎠⎝≡ A(η ,η ′)α + B (η ′)β + C (η )γ2(3-45)となるが、⎛α γ ⎞⎟⎟ = α 2 − βγ = 1 ≠ 0
det⎜⎜⎝β α ⎠(3-46)

より、

D = 2η ′θ 0 + 2(1 − cosθ 0 ) = 0,

(3-41)となる。ただし、添字 1 は外し、偏向電磁石の曲げ角を θ 0 とした。この積分を、各条件に従って計となる。従って、エミッタンスが最小になるため

算する。

には、

E = 2ηθ 0 + 2 ρ (sin θ 0 − θ 0 ) = 0

86(3-47)

sin θ 0 ⎞⎟θ 0 ⎟⎠(3-48)(cosθ 0 − 1)

(3-49)⎛

η = ρ ⎜⎜1 −

η′ =

⎝
1

θ0

H one −bend =11⎛ 2π ⎞
ρ⎜ ⎟2π 12 15 ⎝ N ⎠3

でなければならないことが分かる。なお、分散関数の方程式の解に代入すると、偏向電磁石の中央となるので、エミッタンスは

ε=(3-50)DBA では色消し条件により、偏向電磁石入り口でη = 0,
η′ = 0⎛1⎞
I = ⎜ (1 − cos 2θ 0 ) − 2(1 − cosθ 0 )⎟ ρα⎝2⎠1+ (2θ 0 − sin 2θ 0 )β4ρ2となる。トゥイスパラメータで微分した結果は変(3-51)

わらないので、

β =−

α=

2 15

ρθ 0

2C
α,
A
C
B

(3-59)
2⎛ 2C ⎞ C
⎜−
⎟ −
B
⎝ A ⎠

である。分散関数については、初期値ゼロから転より、送すればよいので、

η = ρ (1 − cosθ 0 ),
η ′ = sin θ 0(3-52)となる。リング全体の偏向電磁石の数を N とする
と、

2π
θ0 =
N

(3-58)(6θ 0 − 8 sin θ 0 + sin 2θ 0 )γ
4
≡ Aα + Bβ + Cγ ,+8ρθ 0 ,
151
ρθ 0 412 15(3-57)である。積分は大幅に簡単となり、薄レンズ近似を使うと、

I=(3-56)

同様の計算を DBA の場合に対して行う。

ロン関数は偏向電磁石中央を中心に対称になる。

γ=3

3.3.3. DBA の場合となっていることが分かる。分散関数とベータト

β=(3-55)となる。

αc = 01
η = ρθ 0 2 ,61
η′ = − θ0 ,2
1
4
A = − ρθ 0 ,12
1 3
B = θ0 ,
12
1 2 5
C=
ρ θ0 ,
45
α = 15 ,1 C q γ ⎛ 2π ⎞⎟⎜12 15 J x ⎝ N ⎠
2では、C (η c )βc = 2,2θ 0 − sin 2θ 0

(3-54)となる。全偏向電磁石では、

1 ⎛ 2π ⎞H all −bend =⎜⎟12 15 ⎝ N ⎠⎛θ ⎞2
η c = ρ ⎜⎜1 − sin 0 ⎟⎟,2⎠⎝ θ0η c′ = 0,4となる。
薄レンズ近似をすると、(3-53)

より、

87(3-60)

1
4
A = − ρθ 0 ,4
1 3
B = θ0 ,3
1 2 5
ρ θ0 ,
C=20
α = 15 ,β=γ=(3-61)

6
ρθ 0 ,
15
8 15
3ρθ 0

より、

I=

1
ρθ 0 4 ,4 15

H all −bend =ρ ⎛ 2π ⎞(3-62)⎜⎟
4 15 ⎝ N ⎠C q γ 2 ⎛ 2π ⎞ 3ε=⎜ ⎟ .
4 15 J x ⎝ N ⎠1

3(3-63)となる。これは理論最小の場合の 3 倍の値である。

88

4.

A00

付録

0

この章では、トピックとしていくつかの内容を取り上げて述べる。それぞれに特に関連がある
わけはなく、また、ERL にとって重要というわけ

A01

1/ٛy

1/ٛx

A20

A11

A02

ks

kn

-ks

でもない。

1. ソレノイドとスキュー４極

A10

A30

A21

A12

A03

-k's

k'n

-k's

-k'n

ソレノイドとスキュー４極の磁場、運動方程漸化式より、

式、転送行列について述べる。

′′ + A02 + A20 = 0.
A00

1.1. ソレノイドの磁場対称性を考えて、1′′ .
A02 = A20 = − A00
2

1.1.1. 線形成分の簡単な導出
ソレノイドの磁場を求めるためには磁場の従って、ポテンシャルはビーム進行方向成分の影響を考える必要があり、′′ (x 2 + y 2 )ϕ = A00 − A00

３次元のラプラス方程式を解く必要がある。ただし、最低次のみでよい場合、解を適当に仮定すれば簡単な漸化式で磁場を求めることができる。
３次元のデカルト座標でラプラス方程式は以下のように書ける。

∂2
∂2
∂2
ϕ
+
ϕ
+
ϕ = 0.
∂x 2
∂y 2
∂z 2

(A1-1)

ここで、スカラーポテンシャルを

xn y mϕ = ∑ Anm ( z )n! m!
n,m >0(A1-2)となり、ソレノイドの磁場は′,Bz = A00
Br = −

1
1′′ r = − Bz′ r ,A00
22(A1-8)

Bϕ = 0となる。

３次元のラプラス方程式を円筒座標で解く。

∂2
∂2
1 ∂
1 ∂2
ϕ+
ϕ + 2 ϕ + 2 2 ϕ = 0.
∂r 2
∂z
r ∂r
r ∂θ
(A1-3)(A1-9)

ソレノイドなので、軸対称として、

ϕ = ϕ (r, z ) = ∑ an ( z )r n

(A1-10)nと展開する。各項を展開してみると、と書ける。従って、漸化式(A1-4)

が成り立つ。 A00 はソレノイド項、 A10 と A01 は偏向電磁石、A20 、A11 、A02 は４極電磁石、A30 、A21 、

A12 、 A03 は 6 極電磁石である。

(A1-7)

方程式は、A20 + A02

An + 2, m ( z ) + An , m + 2 ( z ) + An′′, m ( z ) = 0

1
4(A1-6)

1.1.2. 高次を含むソレノイドの磁場とおいて、方程式に代入する。式は⎛ An+2,m ( z ) ⎞⎜⎟ xn ym+ ∑ ⎜ + An ,m+2 (z )⎟
=0
n! m!
⎟
n ,m >0 ⎜⎜ + A′′ ( z ) ⎟⎝ n ,m
⎠(A1-5)

ϕ = a0 + a1r + a2 r 2+ a3 r 3 + a4 r 4 + L an r n + L ,∂2
ϕ = 2a2 + 63 r + 4 ⋅ 3a4 r 2∂r 2+ L n(n − 1)an r n−2 + L ,(A1-11)(A1-12)

1 ∂1
ϕ = a1 + 2a2 + 33 r + 4a4 r 2r ∂rr+ L nan r n−2 + L ,(A1-13)∂2
ϕ = a0′′ + a1′′r + a2′′r 2 + a3′′r 32∂z+ L an′′r n + L(A1-14)(−1) n ⎛ r ⎞Br = ∑2 ⎜ ⎟n =1 ((n − 1)!) ⎝ 2 ⎠最初の項は、である。原点で正則なので、(A1-16)1
a1 = 0 、よって、
r2n⎧(−1) n ⎛ r ⎞( 2n)b0⎪ Bz = ∑2 ⎜ ⎟n = 0 (n!) ⎝ 2 ⎠⎪⎪⎪(−1) n r 2 n ( 2 n +1)⋅xb⎨ Bx = ∑2 n +1 0
n = 0 n!(n + 1)! 2⎪⎪(−1) n r 2 n ( 2 n +1)⋅yb⎪By = ∑
2 n +1 0
n = 0 n!(n + 1)! 2⎩⎪

は全てゼロとなり、偶数次しか残らない。順に書
き下せば、

1
a0′′,
22

″
1
1 ⎛ 1 ⎞′′′′
a4 = − 2 a2 = − 2 ⎜ − 2 a0 ⎟
4
4 ⎝ 2
⎠
1 1 ( 4)= + 2 2 a0′′ ,
4 2
1
1 1 ( 4)a6 = − 2 a4′′ = 2 2 a2
6
6 4
1 1 1 (6)= − 2 2 2 a0 ,6 4 2
M(−1) n(2n)
a2 n = 2 n 2 a0 , n = 1,2,3L.
2 (n!)(A1-17)n = 0,1,2,3L.

テンシャルについては、

r 2 ( 2) r 4 ( 4)a0 + a0
4
64
6
r
r8
( 6)
(8)
− 2 6 a0 + 2 8 a0 + L.
6282

ϕ = a0 −(A1-19)r 2 ( 2) r 4 ( 4)a0 + a0
4
64

1(6)− 2 6 a0 + L.
62
ここで、 a0′ = b0 とおく。

(A1-27)円筒座標での横方向の磁場は、

r 2 ( 2) r 4 ( 4)b0 + b0
4
64
6
r
r8
( 6)
(8)
− 2 6 b0 + 2 8 b0 + L ,6282
3r (1) r (3)Br = − b0 + b0
2
16
5
r
r7
( 5)
(7)
−
+
b
b + L.
6 0
8 0
6⋅2
8⋅2
デカルト座標 x 、 y に直すと、
Bz = b0 −(A1-20)(A1-21)(A1-22)となる。すなわち、

ϕ = a0 −(A1-26)

低次の部分を書き出してみると、スカラーポ

従って、ポテンシャルは
2nn(− 1) ⎛ r ⎞
( 2n)
ϕ =∑
a0
2 ⎜ ⎟
n = 0 (n!) ⎝ 2 ⎠(A1-25)となる。

(A1-18)

そして、奇数次はゼロである。

a2 n +1 = 0.

より、

a1 = 0 でなければならない。従って、奇数次の項

a2 = −b0(A1-24)( 2 n −1)

⎛ Bx ⎞ ⎛ cos θ − sin θ ⎞⎛ Br ⎞⎜ ⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟⎜⎜
⎜B ⎟
⎝ y ⎠ ⎝ sin θ cos θ ⎠⎝ Bθ ≡ 0 ⎠⎛ B cos θ ⎞⎟⎟= ⎜⎜ r⎝ Br sin θ ⎠(A1-15)a0′′ + 4a2 = 0

2 n −1

デカルト座標系に直せば、となる。方程式に代入すると、漸化式は

an′′−2 + n 2 an = 0.

2n(−1) n ⎛ r ⎞
( 2n)
b0 ,
2 ⎜ ⎟
n =0 (n!) ⎝ 2 ⎠

Bz = ∑(A1-23)90(A1-28)⎛ 1 (1) r 2 ( 3)r4
( 5) ⎞⎜ − b0 + b0 −
b ⎟
6 0
2
16
6⋅2
⎟ x,
Bx = ⎜
⎜ r6
⎟
(7)
b
+
L
⎜+
⎟
0
⎝ 8 ⋅ 28⎠
⎛ 1 (1) r 2 ( 3)r4
( 5) ⎞⎜ − b0 + b0 −
b ⎟
6 0
2
16
6⋅2
⎟ y.
By = ⎜
⎜ r6
⎟
(7)
b
+
L
⎜+
⎟
0
⎝ 8 ⋅ 28
⎠

1⎛
1
x⎞ 1
y′Bz −
By ,⎜⎜1 − ⎟⎟ +Bρρ ⎝ ρ ⎠ Bρ
1
1
y′′ =
Bx −
x′Bz
Bρ
Bρ

x′′ =

(A1-29)が求める運動方程式である。水平方向の偏向電磁石成分を除けば、

11y′Bz −
By ,
Bρ
Bρ
1
1
y′′ =
Bx −
x′Bz
Bρ
Bρ

x′′ =

ベクトルポテンシャルは

⎛ 1
r2
r4
( 4) ⎞⎜ − b0 + b0 ( 2) −
b ⎟
6 0
2
16
6⋅2
⎟,
Ax = − x⎜
⎜ r6
⎟
(6)
+
b
L
⎜+
⎟
0
⎝ 8 ⋅ 28⎠
(A1-30)2
4⎛ 1
r ( 2)r( 4) ⎞⎜ − b0 + b0 −
b0 ⎟
2
16
6 ⋅ 26⎜⎟
Ay = y
⎜ r6
⎟
(6)
b +L
⎜+
⎟
8 0
⎝ 8⋅2
⎠
∂ 2n
となる。なお、 Az = 0 、
r = nr 2(n −1) 2 x に注
∂x1.1.4. ソレノイドに対する運動方程式
前項の b0 = Bs と書き換え、 g = −

Bs
とお
2 Bρ

く。線形な運動方程式は、

x′′ + 2 gy′ + g ′y = 0,y′′ − 2 gx′ − g ′x = 0(A1-35)となる。３次までの高次を含めると以下の通り。

(

)

1
⎛
⎞
x′′ = ⎜ − 2 g + g ′′ x 2 + y 2 ⎟ y′
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
− ⎜ g ′ − g ( 3) x 2 + y 2 ⎟ y ,8⎝⎠ることもできる。

(

1.1.3. ３次元磁場に対する粒子の運動方程式

(

)

)

1
⎛
⎞
y′′ = ⎜ 2 g − g ′′ x 2 + y 2 ⎟ x′
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
+ ⎜ g ′ − g ( 3) x 2 + y 2 ⎟ x.
8⎠⎝

前項では垂直方向磁場、磁場勾配及び誤差磁場があるときの運動方程式を求めたが、ここでは、
水平方向、垂直方向、進行方向の３方向の磁場が(ある場合の運動方程式を求める。
ローレンツ力は以下のようになる。

(A1-36))1.2. 転送行列の導出(A1-31)あまり使わないが、skew とソレノイドの転送行列を求める。両者とも、運動としては水平垂直の結合となり、行列も４行４列となる。運動に従って、運動方程式は結合があると、水平垂直の運動が物理的な水平垂

2

d
mvz
+ ev y Bz − evz B y ,
px =
dt
r
d
p y = evz Bx − evx Bz
dt(A1-34)となる。

意すれば、磁場はベクトルポテンシャルから求め⎛ v x ⎞ ⎛ Bx ⎞ ⎛ v y Bz − v z B y ⎞⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ v y ⎟ × ⎜ B y ⎟ = ⎜ v z Bx − v x Bz ⎟.
⎜v ⎟ ⎜ B ⎟ ⎜v B − v B ⎟y x⎠⎝ z⎠ ⎝ z⎠ ⎝ x y(A1-33)直軸の座標系では分離できなくなる。あくまで 2(A1-32)方向の独立した振動として扱いたい場合は座標系を取り直せば分離することが可能だが、軌道上の各点で座標軸の方向を変化させることが必要となる。３章の最初と同じ近似を使うと、で、すなわち、固有振動に対する固有座標系は、軌道長に応じて回転してゆく。トゥイスパラメー

91

タはその座標軸への包絡線なので、物理的な上下

これが等しくなる為には、 A = a 、 B = b 、

左右方向へは、射影をとる必要がある。

C = −c 、 D = − d でなければならない。従って、
q s = θ とおいて、解はb
sin θ
x = a cos θ +q

ここでは、参考として skew４極電磁石とソレノイドの転送行列を求める。
1.2.1. skew４極の転送行列+ c cosh θ +skew の強さを Bx = − B ' x 、 B y = B ' y とする

B′として、運動方程式は
Bρ
x′′ = −qy,y′′ = −qxと、 q =(A1-37)− c cosh θ −極の場合から類推して、 cos 、 sin 、 sinh 、 coshx0 + y0、2
x′ + y0′x − y0x′ − y0′、c = 0、d = 0
となる。
b= 0
2
2
2

をとり、以下のように解を仮定する。

y0′ = b − d と な り 、 従 っ て 、 a =bsin q sqdsinh q s,qB
sin q sy = A cos q s +q+ C cosh q s +結局、⎛ cos θ + cosh θ⎜2
M1 = ⎜⎜q (sin θ − sinh θ )⎜−2⎝(A1-38)Dsinh q s.
q⎛ cosθ − cosh θ⎜2M2 = ⎜⎜q (sin θ + sinh θ )⎜−2⎝x′ = −a q sin q s + b cos q sy′ = − A q sin q s + B cos q s(A1-39)として、転送行列は⎛ x0 ⎞⎛x⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ x0′ ⎟ ⎛ M 1⎜ x′ ⎟=M
skew⎜ y ⎟ = ⎜⎜ M
⎜ y⎟
⎜ 0⎟ ⎝ 2⎜ ⎟⎜ y′ ⎟⎜ y′ ⎟⎝ ⎠⎝ 0⎠

さらに微分する。方程式の右辺は、+ cq cosh q s + d q sinh q s,sin θ − sinh θ ⎞⎟2 q⎟cosθ − cosh θ ⎟⎟2⎠(A1-44)+ C q sinh q s + D cosh q s.
x′′ = −aq cos q s − b q sin q s

sin θ + sinh θ ⎞⎟2 q⎟,cos θ + cosh θ ⎟⎟2⎠(A1-43)

微分して、+ c q sinh q s + d cosh q s,dsinh θ
qと書ける。初期条件を求めるため、 θ = 0 を代入
すると、 x0 = a + c 、 x0′ = b + d 、 y0 = a − c 、

独立な解が４つあるはずである。normal の 4+ c cosh q s +(A1-42)bsin θ
y = a cos θ +qとなる。これを解く。

x = a cos q s +dsinh θ ,q(A1-40)

左辺は、

B
⎛
⎞
sin q s⎜ A cos q s +⎟q⎜⎟− qy = −q⎜⎟ (A1-41)
D⎜ + C cosh q s +sinh q s ⎟⎟⎜q⎝⎠

⎛ x0 ⎞⎜ ⎟M 2 ⎞⎜ x0′ ⎟⎟M 1 ⎟⎠⎜ y0 ⎟⎜ ⎟⎜ y′ ⎟⎝ 0⎠(A1-45)となる。
通常の２行２列の集束４極電磁石の転送行列

F 、発散４極電磁石 D との関係を調べる。まずは座標を、回転の式

となる。

92

~
x = x cos ϕ + y sin ϕ ,~x ′ = x′ cos ϕ + y′ sin ϕ ,~y = − x sin ϕ + y cos ϕ ,~y′ = − x′ sin ϕ + y′ cos ϕ

ここで、− Bs (s ) ⎞ds ⎟⎟(A1-56)o⎠⎝ o 2 Bρとすると方程式が簡単になる。θ ′ = g 、θ ′′ = g ′ よ
s

sin ϕ
0
cos ϕ
0

0
cos ϕ
0
− sin ϕ~~f ′′ + g 2 f = 0.

0 ⎞⎟sin ϕ ⎟
0 ⎟⎟cos ϕ ⎟⎠~
⎛ f ⎞ ⎛⎜ cos gs⎜~ ⎟=⎜ f ′ ⎟ ⎜⎜⎝ ⎠ ⎝ − g sin gs(A1-47)x⎞⎛~⎜~ ⎟⎜ x′ ⎟ ⎛ F=⎜⎜~y ⎟ ⎜⎝ 0⎜ ⎟⎜~⎟⎝ y′ ⎠(~x + i~y ) = (x + iy )e −iθ (s )= ( x + iy )(cos θ + i sin θ )(A1-50)

x⎞
⎛x⎞
⎛~
⎜ ⎟
⎜~ ⎟
⎜ x′ ⎟⎜ x′ ⎟⎜ y ⎟ = R(− θ )⎜ ~
y⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ y′ ⎟⎜~⎟⎝ ⎠1⎝ y′ ⎠1

ソレノイド内の粒子の運動方程式は、(A1-51)⎛F= R(− θ )⎜⎜⎝0である。これを解いて転送行列を求める。
f = x + iy
(A1-52)とおくと、方程式はf ′′ − 2igf ′ − ig ′f = 0.
(A1-53)~− iθ ( s )ここで、 f = fe
とおく。
~ iθ (s )f = fe ,~~f ′ = f e′ iθ + iθ ′fe iθ ,(A1-54)
~ iθ
~ iθ
~ iθ
~
f ′′ = f ′e′ + 2iθ ′f e′ + iθ ′′f e − θ ′2 f eiθ

()(A1-60)⎛ x0 ⎞⎜ ⎟0 ⎞⎜ x0′ ⎟⎟F ⎟⎠⎜ y0 ⎟⎜ ⎟⎜ y′ ⎟⎝ 0⎠(A1-61)となる。書き下せば、

sin 2θ ⎞⎛2⎜ cos θ
⎟
g
2
⎜
⎟,
M1 =
⎜ g sin 2θ
⎟2
cos θ ⎟⎜−
2⎝⎠
1
⎛ sin 2θ⎞− sin 2 θ ⎟⎜−2g⎟
M2 = ⎜
sin 2θ ⎟⎜2−⎜ g sin θ⎟
2 ⎠⎝を方程式に代入して、~+ iθ ′′ − θ ′2 + 2 gθ ′ − ig ′ f = 0.

(A1-59)を考え、また、始点では座標は重なっている（~
x0 = x0 など）ことにより、転送行列は1.2.2. ソレノイドの転送行列~~
f ′′ + (2iθ ′ − 2ig ) f ′x ⎞⎛~⎜ ~0 ⎟
0 ⎞⎜ x0′ ⎟⎟ ⎟yF ⎟⎠⎜ ~
⎜ 0⎟⎜~⎟
⎝ y0′ ⎠と書けることを意味する。座標の回転たものという当然の結果となった。

x′′ + 2 gy′ + g ′y = 0,y′′ − 2 gx′ − g ′x = 0(A1-58)列 F を使って、(A1-49)skew４極は結局は normal４極を 45 度傾け

1⎞ ~sin gs ⎟⎛⎜ f 0 ⎞⎟g⎟⎜ ~′ ⎟
cos gs ⎟⎠⎝ f 0 ⎠これはすなわち、normal 集束４極の水平転送行と書ける。これを使うと、と書ける。

(A1-57)

従って、

⎛1 0⎞
⎟⎟ として、45 度の回転は、である。 I = ⎜⎜
0
1
⎝
⎠
I
I⎞
1 ⎛
⎜⎜
⎟
(A1-48)R(45°) =2 ⎝ − I I ⎟⎠⎛D 0 ⎞⎟⎟
R(− 45°)M skew R(45°) = ⎜⎜
0
F
⎝
⎠
0
F
⎛
⎞
⎟⎟
R(45°)M skew R(− 45°) = ⎜⎜
0
D
⎝
⎠

s

り、

を使って回転させる。２次元の回転行列は、⎛ cos ϕ⎜⎜ 0
R(ϕ ) = ⎜− sin ϕ⎜⎜ 0⎝⎛θ (s ) = ∫ g (s )ds⎜⎜ = ∫(A1-46)(A1-55)

として、93(A1-62)(A1-63)⎛ M
M solenoid = ⎜⎜ 1
⎝− M2

M2 ⎞
⎟
M 1 ⎟⎠⎛ 1⎜⎜ 0
M 入口 = ⎜
0
⎜
⎜− g
⎝

(A1-64)となる。これは、出入り口における端の効果も含
めた、ソレノイド全体の転送行列である。ソレノ
イドの長さを L とすると、 θ = θ (L ) = gL の時以⎛1⎜⎜0
M 出口 = ⎜0⎜⎜g⎝

1.2.3. ソレノイドの途中の座標
skew もソレノイドも、２行２列の４極の行列を回転させたものであるが、skew は回転角が

0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1 ⎟⎠

(A1-70)

0 0
1 −g
0 1
0 0

0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1 ⎟⎠

(A1-71)である。内部の行列から全体の行列を求めるには

45 度と固定であるのに対し、ソレノイドの場合は出口の効果をかける必要があり、回転角度は軌道長に依存する。その為、ソレノイ

M 全体 = M 出口M 内部 (s = L )(A1-72)~となる。 M 出口R (− θ ) = R(− θ ) である。

ド内部の座標を得るためには、発散角に対して回転行列部分の微分も考慮に入れる必要がある。すなわち、

1.2.4. ソレノイドの端の効果(~x ′ + i~y ′) = (x′ + iy′)e −iθ (s )− iθ ′( x′ + iy′)e −iθ (s )(A1-65)

ソレノイドの磁束は、長いソレノイドの内部
では、ビーム進行方向を向いており、端の方は同から、途中までの座標と発散角に対する回転行列型方向に曲がって外へ出て行く。ソレノイドの中を求める必要がある。

0
cos ϕ
0
− sin ϕ0g10である。ちなみに、出口は符号が逆で、外はこの行列は適用できない。

⎛ cos ϕ⎜~⎜ − g sin ϕ
R (ϕ ) = ⎜− sin ϕ⎜⎜ − g cos ϕ
⎝

0
1
0
0

sin ϕ
g cos ϕcos ϕ
− g sin ϕ

央から無限遠まで、半径 r の円筒を考え、その円

0 ⎞⎟sin ϕ ⎟.
0 ⎟⎟cos ϕ ⎟⎠筒に対する磁束の出入りを考える（図 A1-1）。ソ
レノイド中央の断面で円筒内に進入する磁束の和は、円筒側面から同径方向に出て行く磁束の和に等しくなるはずである。すなわち、∞(A1-66)
この行列で回すと、途中までの座標が分かり、∫ 2πrB dz + πr B = 0

sin 2θ ⎞⎛~ ⎜ cos 2 θ⎟
M1 = ⎜
2 g ⎟,⎜ 0
1 ⎟⎠⎝1⎛ sin 2θ⎞− sin 2 θ ⎟~⎜−M2 = ⎜
2
g
⎟⎟
⎜ g
0
⎝
⎠

従って、ソレノイド端付近の外向きの磁束をまと

2

r

0

(A1-73)s

めたものは、(A1-67)1∞∫ B dz = − 2 rB0

⎛F 0 ⎞~⎟⎟
M inside = R (− θ )⎜⎜⎝0 F⎠(A1-69)~~⎛ M1 M 2 ⎞= ⎜⎜ ~~ ⎟⎟⎝ − M 2 M1 ⎠となる。ちなみに、 s = 0 とすると、入り口の端(A1-74)sとなる。磁場と力が直交することと、その向きを(A1-68)として、r考えると、端における蹴りはӉጅἜ὚ԅἷᜊἠ
‫״‬য௻‫׹‬ሩ‫ܣ‬ӉጅἼҸ὜Ấ௻‫׹‬ሩ‫ܣ‬֛যẜἿӉጅ

の効果を取り出すことができる。

図 A1-1 ソレノイドの磁場

94

Br sin θB= − s y,Bρ
2 BρB cos θB
Δy′ = r
= s x
Bρ
2 Bρ

x′′ = −4 g 2 A cos 2 gs − 4 g 2 B sin 2 gs,

Δx′ = −

y′′ = −4 g 2C cos 2 gs − 4 g 2 D sin 2 gs.

(A1-75)方程式に代入して

x′′ = 2 gy′ ↔
4 g 2 ( A cos 2 gs + B sin 2 gs )となる。

従って、 A = − D 、 B = C である。

転送行列を考えてみる。

a
,
4g 2
b
y = B cos 2 gs − A sin 2 gs + 2 ,4g
x′ = −2 gA sin 2 gs + 2 gB cos 2 gs,
y′ = −2 gB sin 2 gs − 2 gA cos 2 gs.
x = A cos 2 gs + B sin 2 gs +ソレノイド磁場の方向をどちら向きにするかによるが、入り口で転送行列が(1-187)式に、出口で(1-188)式になる場合を考える。すなわち、入り口で(A1-76)(A1-77)という場合である。

y′′ + 2 gx′ = 0y0′x′
cos 2 gs + 0 sin 2 gs
2g
2gy′
+ x0 + 0 ,2gx′y′y = 0 cos 2 gs + 0 sin 2 gs
2g
2gx′
+ y0 − 0 ,2gx′ = y0′ sin 2 gs + x0′ cos 2 gs,
y′ = − x0′ sin 2 gs + y0′ cos 2 gs.
x=−(A1-78)となる。これを解いてみる。もう 1 回微分して、カップリングをやめると、

x′′′ + 2 gy′′ = x′′′ + 4 g 2 x′ = 0,y′′′ + 2 gx′′ = y′′′ + 4 g 2 y′ = 0.

(A1-79)

これを積分して、

x′′ + 4 g 2 x = a,y′′ + 4 g 2 y = b.

(A1-80)ab
積分定数に対する特解は x =
、y =
なの
2
4g
4g 2

(A1-81)

sin 2 gs
⎛
⎜1
2g
⎜
0
cos 2 gs
M inside = ⎜⎜1 − cos 2 gs
⎜0 −
2g
⎜
− sin 2 gs
⎝0

(A1-82)

M 全体 = M 出口M 内部 M 入口

x = A cos 2 gs + B sin 2 gs +これを微分して方程式に代入する。

x′ = −2 gA sin 2 gs + 2 gB cos 2 gs,
y′ = −2 gC sin 2 gs + 2 gD cos 2 gs,(A1-87)(A1-88)

従って、転送行列はで、斉次解を足して、一般解は

a
,
4g 2
b
y = C cos 2 gs + D sin 2 gs + 2 .
4g(A1-86)

して、内部の運動方程式は、

x′′ − 2 gy′ = 0,

(A1-85)s = 0 を代入し、初期条件を求めると、
bax0 = A + 2 、 y0 = B + 2 、 x0′ = 2 gB 、
4g
4g
y0′ = −2 gA となる。従って、 A 、 B 、 a 、 b を消出口でΔx′ = − gy,Δy′ = gx

(A1-84)= 4 g 2 (C sin 2 gs − D cos 2 gs )ソレノイドの最後として、端と内部を分けて

Δx′ = gy,Δy′ = − gx,(A1-83)1 − cos 2 gs ⎞⎟2g⎟0
sin 2 gs ⎟sin 2 gs ⎟
1
⎟
2g
⎟
0
cos 2 gs ⎠0

(A1-89)(A1-90)とした行列は、(1-181)、(1-189)に等しくなる。

95

2.2. 作用変数と角変数の導入

2. 振幅依存チューンシフト

調和振動子のハミルトニアンの変数を、正準微分方程式を適当な摂動で解くと、永年項が変換を使って、物理的な座標と運動量から、角変生じる。永年項とは時間発展に比例して増大して数と作用変数とに変換する。最初のハミルトニア

ゆく項である。正準摂動法を使うと永年項の発生

ンは、を防ぐことができる。まずは調和振動子に対して

p 2 mω 2 2
+
q .
2m
2
(q, p ) → (θ , J ) への母関数は、mω
F (q,θ , t ) = −q tan θ2
H=

摂動の説明を行った後、実際の蓄積リングにおける 6 極電磁石及び 8 極電磁石について振幅依存チューンシフトを導出する。
2.1. 調和振動子の運動方程式

変数を含む。従って、

dF = pdq − Jdθ + (H ′ − H )dt

m&x& + kx = 0km(A2-1)

1 2
mx& ,
2

2

∂F mω ⎛ q ⎞
=
J =−
⎜
⎟ ,
∂θ
2 ⎝ cos θ ⎠(A2-2)

1 2
kx
2

q=
(A2-3)

1 2 1 2mx& − kx ,22

p=
(A2-4)∂F= H = Jω∂t

(A2-15)

∂H
= ω,
∂J
∂H
=0
J& = −∂θθ& =(A2-6)(A2-16)となる。作用変数は一定、角変数は角速度 ω で増大してゆく。すなわち、

J = J 0 = const.,(A2-7)

θ = θ 0 + ωt

(A2-17)である。

従って、結局、

q&& + kq = 0(A2-14)運動方程式はハミルトンの運動方程式は∂Hp= q& − = 0,
q& −
∂p
m
∂H
p& +
= p& + kq = 0,∂q∂F
= − 2Jmω sin θ∂qH′ = H +d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
= m&x& + kx = 0,
(A2-5)⎜ ⎟−dt ⎝ ∂x& ⎠ ∂x
ハミルトニアンは、 q = x, p = mx& として、
p2 1 2+ kq ,
2m 2(A2-13)

新しいハミルトニアンはラグランジュの運動方程式はH = pq& − L =

2J
cos θ
mω

元の運動量変数はである。ラグランジアンはL = T −U =(A2-12)

従って、ポテンシャルエネルギーはU=(A2-11)

より、新しい運動量変数は、

運動エネルギーはT=(A2-10)であり、この母関数は元の座標変数、新しい座標

調和振動子の方程式は↔ &x& + ω 2 x = 0, ω =(A2-9)(A2-8)

2.3. 調和振動子に対する摂動論となる。

角変数と作用変数を使ったハミルトニアンに、小さな高次項が付け加わった場合に近似解を

96

( )

⎞
∂χ
~ ∂εV ⎛ ∂χ= εV ϕ , J + ~ ⋅ ⎜⎜ ε 1 + ε 2 2 + L⎟⎟∂ϕ∂J ⎝ ∂ϕ⎠求める方法について述べる。調和振動子のハミル
トニアンを H 0 (ϕ , J ) として、

H (ϕ , J ) = H 0 (ϕ , J ) + εV (ϕ , J )(A2-18)2⎞
1 ∂ 2εV ⎛ ∂χ1∂χ
++ ε 2 2 + L⎟⎟ .
~ 2 ⋅ ⎜⎜ ε
2! ∂J ⎝ ∂ϕ∂ϕ⎠なるハミルトニアンが与えられたとする。この( ~)時、正準変換 (ϕ , J ) → ϕ~, J によって、新しいハ(A2-26)

ミルトニアンが

従って、

( )

~ ~
~
H ϕ~, J = H (ϕ~ )(A2-19)と作用変数のみを含むように書ければ、この運動は解けたことになる。具体的には、

()

()

()

~
~
~
~
H (ϕ~ ) = H 0 J + ε V1 J + ε 2 V2 J + Lと書くことが目標である。ただし、

( )

()

⎞
⎛ ∂H ∂χ+ ε ⎜⎜ ~0 ⋅ 1 + V ⎟⎟ → ε V⎠⎝ ∂J ∂ϕ(A2-20)は平均す(A2-28)（2 次項は）( )2⎛ ∂H ∂χ1 ∂ 2 H 0 ⎛ ∂χ1 ⎞ ∂V ∂χ1 ⎞⎟
0
2
⎜
⋅
+
+ε
⋅
⎟ +
⎜
⎜ ∂J~ ∂ϕ 2! ∂J~ 2 ⎜⎝ ∂ϕ ⎟⎠ ∂J~ ∂ϕ ⎟
⎝
⎠

( )

~
~
~
~
F = F ϕ , J = ϕJ + εχ1 ϕ , J + ε 2 χ 2 ϕ , J + L

2(A2-21)とする。元の座標と新しい運動量でかかれた母関→ ε 2 V2
(A2-29)数である。従って、となるようにしたい。

元の運動量はJ=(A2-27)（1 次項は、）ることを表す。
変換の母関数をH (ϕ , J ) =（ ε について 0 次の項は、）
~
H0 J

∂χ
∂χ
∂F ~
= J + ε 1 + ε 2 2 + L,
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ

1 次の式より、(A2-22)⎛ ∂H⎝ ∂Jε ⎜⎜ ~0 ⋅新しい座標は∂F∂χ∂χ
ϕ~ = ~ = ϕ + ε ~1 + ε 2 ~2 + L
∂J
∂J
∂J

⎞
∂χ1
+ V ⎟⎟∂ϕ⎠⎛ ∂H ∂χ⎞= ε V + ε ⎜⎜ ~0 ⋅ 1 + V − V ⎟⎟⎝ ∂J ∂ϕ⎠(A2-23)と書ける。これらをハミルトニアンに代入して、(A2-30)より、 χ1 を決める。

H (ϕ , J ) = H 0 (ϕ , J ) + εV (ϕ , J )

V− V
dϕ .
∂H 0
~
∂J

⎛ ~
⎞
∂χ
∂χ
= H 0 ⎜⎜ ϕ , J + ε 1 + ε 2 2 + L⎟⎟
∂ϕ
∂ϕ
⎝
⎠

χ1 = − ∫

⎛ ~
⎞
∂χ
∂χ
+ εV ⎜⎜ ϕ , J + ε 1 + ε 2 2 + L⎟⎟,
∂ϕ
∂ϕ
⎝
⎠

同様にして、2 次の式は、(A2-31)2

1 ∂ 2 H 0 ⎛ ∂χ1 ⎞ ∂V ∂χ1
V2 =⎟ + ~⋅~ ⎜2! ∂J 2 ⎜⎝ ∂ϕ ⎟⎠ ∂J ∂ϕ(A2-24)展開する。第 1 項は(A2-32)

として、

( )

⎞
∂χ
~ ∂H ⎛ ∂χ= H 0 ϕ , J + ~0 ⋅ ⎜⎜ ε 1 + ε 2 2 + L⎟⎟∂ϕ∂J ⎝ ∂ϕ⎠∂H 0 ∂χ 2+ V2 − V2 = 0
~ ⋅
∂J ∂ϕ

(A2-33)より χ 2 が決まる。2 次までの摂動を計算する場

2⎞
1 ∂ 2 H 0 ⎛ ∂χ1∂χ
+ ε 2 2 + L⎟⎟ ,+~ 2 ⋅ ⎜⎜ ε
2! ∂J ⎝ ∂ϕ∂ϕ⎠∫合、 V2 = V2 dϕ を計算すれば十分で、 χ 2 を求める必要はない。

(A2-25)
第 2 項は、

97

2.4. 2 次と 3 次の項がある場合のハミルトニアン

3~
H = J − εJ 2
8

簡単のため

x′′ + x = 0,
1
H = x2 + p2
2()

ハミルトンの運動方程式 ϕ& =(A2-34)∂H3= 1− εJ∂J4となる。振幅を a = 2 J と書けば、
3Δν = − εa 28

ν = ϕ& =場合、

x′′ + x = εx 2 ,

(

)

1 2
1
x + p 2 − εx 3
23

(A2-35)x′′ + x = εx 3 ,((A2-44)2.6. 2 次の場合の摂動による解

)

1 2
1
x + p 2 − εx 42
4(A2-36)

6 極に対応する場合について解く。1 次ではチューンシフトが出ないため、6 極の場合、1 次の母関数である χ1 をきちんと求め、2 次まで摂である。作用変数と角変数に変換すると、

x = 2 J cos ϕ ,p = − 2 J sin ϕ ,動する必要がある。

(A2-37)32 2J ε (cos 3ϕ + 3 cos ϕ )
6
⎛~
∂χ ⎞
= ⎜⎜ J + ε 1 ⎟⎟
∂ϕ ⎠
⎝

H=J−

より、

1
(cos 3ϕ + 3 cos ϕ )4
3 1
1
cos 4 ϕ = + cos 2ϕ + cos 4ϕ
8 2
8cos3 ϕ =(A2-38)3∂χ ⎞ 2
2⎛~−⎜⎜ J + ε 1 ⎟⎟ ε (cos 3ϕ~ + 3 cos ϕ~ )
∂ϕ ⎠
6 ⎝

を使って、6 極の場合、

H=J−(A2-43)となる。

8 極電磁石に対応する、3 次の項がある場合、

H=∂H
より、これを J∂Jで微分したのが新しい振動数となる。振動数は、とする。6 極電磁石に対応する、2 次の項がある

H=(A2-42)2
J J ε (cos 3ϕ + 3 cos ϕ )6(A2-39)∂χ1~として、
ここで、 J >> ε
∂ϕ

8 極の場合、1⎛3 1⎞
H = J − J 2ε ⎜ + cos 2ϕ + cos 4ϕ ⎟ (A2-40)
8
⎝8 2
⎠

3
2

⎛~
∂χ ⎞
3ε ∂χ ⎞
~ ⎛⎜⎜ J + ε 1 ⎟⎟ ≈ J 2 ⎜⎜1 + ~ 1 ⎟⎟∂ϕ ⎠⎝⎝ 2 J ∂ϕ ⎠となる。

(A2-45)3(A2-46)とする。
0 次は

2.5. 3 次の場合の摂動による解~ ~H = J.

運動方程式に 3 次項、すなわち 8 極に対応する(A2-47)

1 次は場合の方が容易なので、そちらから解く。

3

1 2π
1
⎛3 1
⎞
− J 2ε ⎜ + cos 2ϕ + cos 4ϕ ⎟dϕ
V =
∫
0
2π
8
⎝8 2
⎠
3
= − εJ 2
8

V =−

2 ~2
J ε (cos 3ϕ~ + 3 cos ϕ~ )6

(A2-48)として、V =(A2-41)1 2π ~
Vdϕ = 02π ∫0(A2-49)

よって、新しいハミルトニアンに 1 次の項は加わ従って、らない。また、母関数の 1 次項は

98

∂χ1
+V − V = 0∂ϕx0′′ + x0 = 0 ↔ x0 = a cos s.
1 次は(A2-50)↔ χ1 = − ∫ Vdϕ~

(A2-58)x1′′ + x1 = x0 = a 2 cos 2 s2（A2-59）a2 a2↔ x1 =− cos 2s.
2
6

となる。
2 次は、

もともと 1 次の段階では振幅依存チューンシフト

2 ~ 2 3ε ∂χ1∂χ 2⋅ ε (cos 3ϕ~ + 3 cos ϕ~ )
−
J ⋅ ~
6
∂ϕ
2 J ∂ϕは出ないので、ここまでは解ける。2 次は、（A2-51）x2′′ + x2 = 2 x0 x1 =3

(A2-50)より、

V2 = −

5 3
1
a cos s − a 3 cos 3s
6
6(A2-60)3
5aa3↔ x2 =
s cos s + cos 3s.
1248
右辺第 1 項の s に比例する項を永年項という。こ∂χ1= −V なので、∂ϕ

1 2 2
ε J (cos 3ϕ~ + 3 cos ϕ~ )12

(A2-52)の項があると、振幅は時間発展とともにどんどんよって、平均してV2 =増大してゆくが、実際はそうならないのでこの解

1 2π
5V2 dϕ = − ε 2 J 2
∫
2π 0
12

(A2-53)は誤りである。
永年項を防ぐには、振動数の変化を考慮に入

となる。

5
~
H = J − ε 2J 2
12れればよい。すなわち、~
s = ωs ,(A2-54)(A2-61)

ω = 1 + εω1 + ε 2ω2 + L

より、

5
6

と変数変換を考える。方程式に代入すると、

ν = 1− ε 2J

(1 + εω + ε ω + L) (x′′ + εx′′ + ε x′′ + L)

5
↔ Δν = − ε 2 a 2
12

2

2

(A2-55)

1

2

2

0

1

+ x0 + εx1 + ε x2 + L =

2

2

(

(

(A2-62)2.7. 微分方程式を直に解く

0 次は

x0′′ + x0 = 0 ↔ x0 = a cos ~s.

最後に、微分方程式を直に摂動で解いてみる。振幅依存チューンシフトを仮定しないと、解

1 次はに永年項が現れることを示す。解は外力に対するx1′′ + x1 + 2ω1 x0′′ = x0

特解のみを示し、斉次解は省く。

となるが、永年項は出ないため、

2

a2 a2
− cos 2~s.
26解く。まず、振動数は一定だとして、解をx1 =x = x0 + εx1 + ε 2 x2 + L

2 次は、(A2-56)x2′′ + x2 + 2ω2 x0′′ = 2 x0 x1と展開する。方程式に代入して、

x0′′ + εx1′′ + ε x2′′ + L + x0 + εx1 + ε x2 + L =
2

2

(

2

(A2-64)(A2-65)(A2-66)(A2-67)

これは、

) )

1
5
x2′′ + x2 = 2ω2 a cos ~s + a 3 cos ~s − a 3 cos 3~s
6
6

ε x0 + 2εx0 x1 + ε x1 + 2 x0 x2 + L
2(A2-63)でよい。解は、6 極に対応する 2 次の場合の x′′ + x = εx を(2

ω1 = 02.7.1. 2 次の場合

2

) )ε x0 2 + 2εx0 x1 + ε 2 x12 + 2 x0 x2 + Lとなる。

(A2-57)(A2-68)

整理すると、0 次は

99s 、 sin ~sのと書けるが、右辺の外力の項に、 cos ~となる。

項があると永年項が出るため、これがゼロになるように ω2 を決めればよい。従って、

2.8. 実際の加速器の場合のハミルトニアン

ω2 = −

5 2a
12

加速器の場合に、角変数と作用変数への変換(A2-69)を行う。加速器のハミルトニアンは、

これは振幅依存チューンシフトを表し、正準摂動

H=によって求めたものと一致する。2 次の解は

x2 =

1 3
a cos 3~
s.
48

∂H
,
∂p
∂H
p′ = −
.
∂x

x′ =

⎛⎛
5
⎞ ⎞
x = a cos⎜⎜ ⎜1 − ε 2 a 2 ⎟ s ⎟⎟⎠ ⎠⎝ ⎝ 12

+

εa 2

−

2

εa 2

⎛ ⎛
5
⎞ ⎞
cos⎜⎜ 2⎜1 − ε 2 a 2 ⎟ s ⎟⎟6⎠ ⎠⎝ ⎝ 12⎞⎛ ds(A2-70)x = 2β J cos⎜⎜ ∫ + δ 0 ⎟⎟,⎠⎝ β⎛ ⎛ ds⎞⎞⎜ sin ⎜⎜ ∫ + δ 0 ⎟⎟⎟⎟2J ⎜ ⎝ β⎠
p = x′ = −⎜⎟ (A2-71)
β ⎜
⎞⎟
⎛ ds
+ α cos⎜⎜ ∫ + δ 0 ⎟⎟ ⎟
⎜
⎠⎠
⎝ β
⎝
である。作用変数と角変数 (x, p ) → (ϕ , J ) への変

⎛ ⎛
5
⎞ ⎞
cos⎜⎜ 3⎜1 − ε 2 a 2 ⎟ s ⎟⎟48
⎠ ⎠⎝ ⎝ 12となる。
2.7.2. 3 次の場合
8 極に対応する 3 次の場合も同様である。

(1 + εω1 + L)2 (x0′′ + εx1′′ + L)(

換を考える。母関数は、)+ x0 + εx1 + L = ε x0 + 3εx0 x1 + L
2

F =−(A2-72)0 次はx0′′ + x0 = 0 ↔ x0 = a cos ~
s.

∂F
,
∂ϕ
∂F
,
p=
∂x
∂F
~
.
H =H+
∂s

(A2-64)

永年項を防ぐためには、

3
ω1 = − a 2
8

~
∂H
,
∂ϕ
~
∂H
ϕ′ =
∂J

(A2-65)J′ = −

3acos 3~s.
32(A2-73)運動方程式はとしなければならない。

x1 = −(A2-72)J =−3⎛
3a 3 ⎞
a3⎟⎟ cos ~= ⎜⎜ 2aω1 +s + cos 3~
s
4 ⎠
4
⎝

⎞
x2 ⎛ ⎛
ds υ ⎞⎜ tan⎜⎜ ϕ + ∫ − s ⎟⎟ + α ⎟⎜⎟2β ⎝ ⎝
β R ⎠⎠より、変数間の関係は、(A2-73)1 次はx1′′ + x1 = −2ω1 x0′′ + x0

(A2-69)

変数は(A2-71)

ε 2a3

3(A2-68)であり、運動方程式は(A2-70)

ここまでを全て含めると、解は+1
1K (s )x 2 + p 2
2
2(A2-66)解は、となる。p と J の表式を計算すると、ϕ =

3
⎛ ⎛ 3
⎛⎛ 3
⎞ ⎞
⎞ ⎞ εacos⎜⎜ 3⎜1 − εa 2 ⎟ s ⎟⎟x = a cos⎜⎜ ⎜1 − εa 2 ⎟ s ⎟⎟ −⎠ ⎠⎠ ⎠ 32
⎝ ⎝ 8
⎝⎝ 8

を使って、

(A2-67)100(A2-74)υC

s + δ0

J =−

p=−

x2
2β

1
,
⎞
2 ⎛ dscos ⎜⎜ ∫ + δ 0 ⎟⎟⎝ β⎠

（A2-75）⎞x⎛ ⎛ds υ ⎞⎜ tan⎜⎜ ϕ + ∫ − s ⎟⎟ + α ⎟
⎟
⎜
β⎝ ⎝
β C ⎠
⎠

となる。変換後の新しいハミルトニアンは

~ υ
H= J
C

(A2-76)(となる。さらに s = Cθ と変数変換して、~
H (ϕ , J ,θ ) = υJ(

2.9. 実際の加速器の場合の摂動す。ハミルトニアンはH (ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ ) = H 0 (J x , J y )+ εV (ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ ).
(A2-78)

(

)

(

)

~ ~
+ εχ ϕ x , ϕ y , J x , J y , θ .
(A2-79)

各変数の関係は、(A2-82)

摂動後のハミルトニアンから、角変数と軌道長の

∂
~
εχ ,
Jx = Jx +∂ϕ x

両方の変数を消すことが目的であるため、ポテン
シャルの平均は、角変数と周回の両方についてと

∂
~
εχ ,
Jy = Jy +∂ϕ y∂
ϕ~x = ϕ x + ~ εχ ,∂J x)

⎛ ∂V ∂χ ∂V ∂χ
⎞
+ ~
⎜ ~
⎟
⎜ ∂J x ∂ϕ x ∂J y ∂ϕ y
⎟
⎜
⎟
⎛ 2
⎞⎟
2
⎜
⎜ ∂ H 0 ⎛ ∂χ ⎞⎟⎟⎟⎜⎜ ~ 2 ⎜⎜
⎟⎟
∂
ϕ
∂
J
⎜
⎜ x ⎝ x⎠⎟ ⎟.
+ ε 2⎜
2⎜⎟⎟⎜ + 1 ⎜ + 2 ∂~ H~0 ∂χ ∂χ ⎟ ⎟⎜ 2! ⎜∂J x ∂J y ∂ϕ x ∂ϕ y ⎟ ⎟
⎜
⎜
⎟⎟
2
⎜
⎜ ∂ 2 H 0 ⎛ ∂χ ⎞⎟⎟⎟⎜+ ~2 ⎜⎜⎟⎟ ⎟⎟⎜ ∂J y ⎜ ∂ϕ y ⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝

実際の加速器に対する摂動について書き下~ ~~~F ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ = ϕ x J x + ϕ y J y

)

∂χ ⎞
~ ~
⎛
⎟
⎜V ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ +
∂θ ⎟
⎜
+ε
⎜ ∂H 0 ∂χ ∂H 0 ∂χ ⎟⎜ + ~ ∂ϕ + ~ ∂ϕ ⎟
∂J y
x
y ⎠
⎝ ∂J x(A2-77)

となる。

母関数は

⎛ ~ ∂εχ ~ ∂εχ ⎞~⎟H = H0 ⎜ J x +
,Jy +
⎜
⎟
∂
∂
ϕ
ϕ
x
y ⎠
⎝
⎛
~ ∂εχ ~ ∂εχ ⎞⎟+ εV ⎜ϕ x , ϕ y , J x +,Jy +,θ (A2-81)
⎜
⎟
∂
∂
ϕ
ϕ
x
y
⎝
⎠
∂χ
+ε
.
∂θ
6 極の為、 ε の 2 次まで展開する。
~~ ~H = H0 J x , J y

る。

(

~ ~
V Jx, Jy

(A2-80)=∂∂J y

ϕ~y = ϕ y + ~ εχ ,)V (ϕ , ϕ , J , J ,θ )dϕ dϕ dθ(2π ) ∫ ∫ ∫
1

3

2π

2π

2π

0

0

0

~ ~

x

y

x

y

x

y

(A2-83)8 極に対する 1 次までの摂動では、ここまでの計∂χ
~.
H = H +ε∂θ

算で十分である。6 極に対する 2 次までの摂動では、1 次の χ を求める必要がある。χ の方程式は、

(

)

(

~ ~
~ ~
V ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ − V J x , J y

代入すると、+)∂χ ∂H 0 ∂χ ∂H 0 ∂χ
+ ~
+ ~
=0
∂θ ∂J x ∂ϕ x ∂J y ∂ϕ y

これを求めるため、フーリエ変換する。

101(A2-84)() (2π1 ) ∫ dϕ ∫ dϕ ∫ dθ~~ ~Vkx ,k y , p J x , J y =

2π

3

2π

x

0

((

y

0

)

2π

である。代入して、

0

2 x4 − 6x2 y2 + y4

(

(

))

⎛ V ϕ x , ϕ y , J~x , J~y ,θ − V J~x , J~y ⎞⎟,⋅⎜⎜ −i (kxϕ x +k yϕ y − pθ )
⎟
⎝⋅ e
⎠
2π
2π
2π
1
~ ~
χ~k x ,k y , p J x , J y =dϕ x ∫ dϕ y ∫ dθ
2 ∫0
0
0
(2π )
~ ~
−i (k ϕ + k ϕ − pθ )⋅ χ ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ e x x y y .

(= J x β x (3 + cos 4ϕ x + 4 cos 2ϕ x )2)+ J y β y (3 + cos 4ϕ y + 4 cos 2ϕ y )2(A2-85)
従って、

(

)

(

~ ~
~ ~
V ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ − V J x , J y
∞

= ∑

∞

(

∞

(

~ ~

χ ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ)

平均化する為、定数項以外は効かない。

⎛ 3J 2 2π β 2 dθ⎞
⎜ x ∫0 x⎟⎜⎟
2π
K
V = 4 ⎜ − 12 J x J y ∫ β x β x dθ ⎟
0
96π ⎜
⎟
2π
2
2
⎜⎜
+ 3J y ∫ β y dθ ⎟⎟
0
⎝
⎠

)

)

(

)

∞
∞
∞
~ ~ − i ( k xϕ x + k yϕ y − p θ )= ∑ ∑ ∑ χ k ,k , p J x , J y e

k x = −∞ k = −∞ p = −∞xy方程式に代入すると、 k x , k y , p 成分は~
V − ipχ~ + υ x ik x χ~ + υ y ik y χ~ = 0

ポテンシャルは(A2-88)同じ、級数と余弦の関係(1-207)を使うと、

(

~ ~

)

( )
( )
( )

(A2-94)
ポテンシャルの 1 次の平均はゼロである。

~~ ~ i (k ϕ +k ϕ − pθ )iVk x ,k y , p J x , J y e x x y y= ∑ ∑ ∑~~k xυ x J x + k yυ y J y − p
k x = −∞ k y =−∞ p = −∞
∞

∞

∞

)

⎞
⎛ 2 cos ϕ x
⎟
⎜
1
⎟
⎜
′
(
)
β
β
ϕ
ϕ
K
J
J
cos
2
−
x x y y +
x +
y .
2 2
⎟
⎜
⎜ + cos(ϕ − 2ϕ )⎟xy⎠⎝より、蹴りに対する COD 導出の際に使ったのとχ ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ(1
K ′ x 3 − 3 xy 2
63
1
K ′ J x β x (cos 3ϕ x + 3 cos ϕ x )
=
6 2

V=

(A2-87)となる。従って、~iV=
k x ,k y , pυxkx + υ yk y − p

V =(A2-89)

1

2π

2π

2π

0

0

0

V dϕ dϕ dθ = 0. (A2-95)(2π ) ∫ ∫ ∫
3

x

y

~

となる。

従って、 V は V そのものであり、 χ は

2.10. 8 極の振幅依存チューンシフト

χ ϕ x , ϕ y , J x , J y ,θ

(

(

)

1
K3 x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 ,4(A2-90)y = 2 J y β y cos ϕ y .

)

( )
( )
( )

~ ~ i (k ϕ +k ϕ − pθ )iVk x ,k y , p J x , J y e x x y y= ∑ ∑ ∑~~k xυ x J x + k yυ y J y − p
k x = −∞ k y =−∞ p = −∞∞∞(A2-96)

ここで、

x = 2 J x β x cos ϕ x ,~ ~∞8 極電磁石のポテンシャルは、V=(A2-93)2.11. 6 極によるチューンシフト(A2-86)

χ~2(A2-92)~~ ~ − i ( k xϕ x + k yϕ y − p θ )∑ ∑ V k x ,k y , p J x , J y e

k x = −∞ k y = −∞ p = −∞

2

⎛12
⎞
⎜
⎟
⎜ + 12 cos 2ϕ x + 12 cos 2ϕ y ⎟− J x J yβxβ y ⎜⎟⎜ + 6 cos 2(ϕ x − ϕ y )⎟⎜ + 6 cos 2(ϕ + ϕ )
⎟
x
y
⎝
⎠

)

(

)

で与えられる。これを計算するために、

V ′ = f (θ ) cos(nϕ x + mϕ y )(A2-91)

とおくと、

102

(A2-97)() (2π1 ) ∫ dϕ ∫ dϕ ∫ dθ~ ~Vk x ,k y , p J x , J y =

(

2π

3

0

2π

x

2π

y

0

⋅ f (θ ) cos(nϕ x + mϕ y )e

より、後半部分は全てゼロ、⎛ ∂V ∂χ ∂V ∂χ ⎞⎟ ≡ V2+⎜ ∂J ∂ϕ x ∂J~ ∂ϕ y ⎟
y
⎝ x
⎠

0

(

−i k xϕ x + k yϕ y − pθ)

ε 2⎜ ~)(A2-98)なので、 Vn ,m , p と V−n , − m , p の項のみが残り、その 2の部分のみ考えればよい。平均をとって、V2 =項に対して、⎛ ie ip (θ ′−θ ) f (θ ′)e i (nϕ x +mϕ y ) ⎞⎜⎟∞⎜ (nυ x + mυ y ) − p
⎟
1 2π
χ= ∑
dθ ′⎜
⎟
∫
−i (nϕ + mϕ )0
ip (θ ′−θ )p =−∞ 2πf (θ ′)e x y ⎟⎜ ie⎜ + − (nυ + mυ ) − p ⎟xy⎝⎠⎛ nϕ x + mϕ y⎞⎜⎟sin ⎜ + (nυ x + mυ y ) ⎟⎜⎟× (θ ′ − θ − π )⎠1 θ + 2π⎝=− ∫dθ ′f (θ ′)π θsin (nυ x + mυ y )π

χ =−

+

6 2 ∫θ
1

θ + 2πdθ ′K ′ J x β x

0

0

0

x

y

⎞
⎛ 2 cos ϕ x⎟⎜K′
J y β y ⎜ + cos(ϕ x + 2ϕ y )⎟,
−
Jx
4 2
⎟
⎜
⎜ + cos(ϕ − 2ϕ )⎟
x
y ⎠
⎝
⎞
⎛ 2 cos ϕ x
⎟
⎜
1
∂V
⎜
′
K J x β x β y + cos(ϕ x + 2ϕ y )⎟
=−
∂J y
2 2
⎟
⎜
⎜ + cos(ϕ − 2ϕ )⎟
x
y
⎠
⎝

βx

(A2-104)3∂χ
1 θ + 2πdθ ′K ′ J x β x
=−
∫
∂ϕ x
2 2 θ

(c(3,0) + c(1,0))+1

θ + 2π2 2 ∫θ

dθ ′K ′ J x β x J y β y× (2c(1,0 ) + c(1,2 ) + c(1,−2 ))(A2-100)(A2-105)∂χ
1 θ + 2π=dθ ′K ′ J x β x J y β y
∂ϕ y
2 ∫θ
× (c(1,2) − c(1,−2 ))掛け合わせて積分をとるが、⎧0∫ cos nθ cos mθ =⎨⎩π3(s(3,0) + 3s(1,0))

2π

1

2π

θ + 2π2π3∂V
1K ′ J x β x (cos 3ϕ x + 3 cos ϕ x )=∂J x 4 2

とおく。

1

2π

V dϕ dϕ dθ(2π ) ∫ ∫ ∫3く。

で、式を簡単にするために、⎛ nϕ x + mϕ y⎞⎜⎟cos⎜ + (nυ x + mυ y ) ⎟⎜⎟× (θ ′ − θ − π )⎠⎝= c(n, m )sin (nυ x + mυ y )π1が求める解である。それぞれを順に計算してゆ(A2-99)となる。ポテンシャルは 5 項あるが、それぞれ(n, m ) = (3,0), (1,0), (1,0), (1,2), (1,−2) である。ここ⎛ nϕ x + mϕ y⎞⎜⎟sin⎜ + (nυ x + mυ y ) ⎟⎜⎟× (θ ′ − θ − π )⎠⎝= s(n, m ),sin (nυ x + mυ y )π(A2-103)0

for m ≠ n
for m = n(A2-106)なので、結局、 cos 中の位相の係数が同じ組み合∂V ∂χ
中の、 c(1,0 ) に対す∂J x ∂ϕ x(A2-101)

わせしか残らない。 ~dθ ′K ′ J x β x J y β y
2 2 ∫θ
× (2 s (1,0 ) + s(1,2) + s (1,−2))

る掛け算のみ、クロスタームが生じる。

⎛ (nυ x + mυ y )
⎞
⎟
cos⎜⎜
× (θ ′ − θ − π )⎟⎠⎝= c′(n, m )sin (nυ x + mυ y )πとなる。ハミルトニアンの 2 次の項から 2 次のポテンシャル平均を求める必要があるが、

∂H 0
∂H 0
~ = ν x = const., ~ = ν y = const. (A2-102)
∂J x
∂J y

と書くと、

103

(A2-107)2π

θ + 2π0θDx = − ∫ dθ ∫

3.

dθ ′

水平偏光の挿入光源では、ビームは水平面内

331K ′(θ ) β x (θ ) K ′(θ ′) β x (θ ′)64π⋅ (c′(3,0 ) + 3c′(1,0 ))⋅2π

θ + 2π0θDxy = ∫ dθ ∫を蛇行するが、ビームオプティクスに対しては、
それは集束力となる。この章では挿入光源の集束
力と、ソレノイドや skew よりさらに使わないとdθ ′思われるが、転送行列を求める。

⎛ 3K ′(θ ) β (θ ) 3 K ′(θ ′) β (θ ′)β (θ ′) ⎞
x
x
y
⎜
⎟
⋅⎜
3⎟
⎜ + K ′(θ ) β (θ )β (θ )K ′(θ ′) β (θ ′) ⎟
x
y
x
⎝
⎠
1
⋅
c′(1,0)32π
2π

θ + 2π0θ− ∫ dθ ∫3.1. 水平偏光の場合
水平偏光の挿入光源の磁場は、

Bx = 0,B y = B0 cosh ky cos kz,
Bz = − B0 sinh ky sin kzと書ける。ただし、 B0 は垂直方向のピーク磁場、2π
λu を挿入光源の周期長として k =
はその波数

dθ ′

1
⋅ K ′(θ ) β x (θ )β y (θ )K ′(θ ′) β x (θ ′)β y (θ ′)8⋅ (c′(1,2) − c′(1,−2))2π

θ + 2π0θD y = ∫ dθ ∫挿入光源の影響と転送行列λuである。電磁気学の法則より、垂直磁場を正弦的dθ ′に変化させると、正弦的なビーム進行方向の磁場成分が必ず生じる。この磁場を運動方程式に代入
1K ′(θ ) β x (θ )β y (θ )K ′(θ ′) β x (θ ′)β y (θ ′)するが、粒子の運動を。中心軌道とその周りのベ64πータトロン振動とに分割する（図 A3-1）。
⋅ (4c′(1,0) + c′(1,2) + c′(1,−2))x = xCO + x β ,(A2-108)⋅−

V ′ = Dx J x + Dxy J x J y + Dy J y2

2(A2-109)

運動方程式

1(y′Bz − B y )Bρ1( − x′Bz )y ′′ =
Bρ

と書ける。従って、Δυ x = 2 Dx J x + Dxy J y
Δυ y =

Dxy J x + 2 D y J y(A3-1)

y = yCO + y β .

として、

x′′ =
(A2-110)となり、これが振幅依存チューンシフトとなる。

(A3-2)と磁場を見比べ、中心軌道は፦ࠄἿ᣺ᢺƖͳো᣺ᦇƄᾝ̵ᾃᾌᾱᾷଭՠ

ᾝ̵ᾃᾌᾱᾷ
ଭՠષԋͳো᣺ᦇếᚣᜊ᣺ᦇỀ

図 A3-1 挿入光源中の軌道

1041(− B y (xCO , yCO , z ))Bρ1
= − cosh kyCO cos kz ,

′′ =
xCO

ρ

′′ =
yCO

(A3-3)=1(Bx (xCO , yCO , z )) = 0
Bρcosh kyCO cos k = u ′′ + η u′′δ1 ⎛ − (v′ + η v′δ )sinh k (v + η vδ )sin kz ⎞⎜⎟⎟ = 0.
ρ ⎜⎝ − cosh k (v + η vδ )cos kz
⎠

すなわち、

水平方向のベータトロン振動項を u 、垂直方向をρρ

(A3-9)とできる。すなわち、水平面内の蛇行軌道である。

v と書くことにすると、
1x′′ + η ′x′δ = u ′′ + η u′′δ − cosh kv cos kz,

1

u ′′ + η u′′δ −u ′′ + η u′′δ = 0.

従って、水平方向にはドリフトスペースと同じである。垂直方向は、左辺はv′′ + η v′′δ = v′′ + η v′′δ(A3-4)y ′′ + η ′y′δ = v′′ + η v′′δ .

となり、右辺は積分して、−x′ + η ′xδ = u ′ + η u′ δ −1cosh kv sin kz ,
ρk(A3-5)(A3-6)y + η y δ = v + η vδである。運動方程式に代入すると、

1

ρ

(A3-12)

cosh kv cos kz

より、ベータトロン振動の運動方程式は

1 ⎛ − (v′ + η v′δ )sinh k (v + η vδ )sin kz ⎞⎟⎟,= ⎜⎜
ρ ⎝ − cosh k (v + η vδ )cos kz⎠

v′′ = −

1sinh 2kv,
4ρ 2k1
η v′′ = − 2 η v
2ρとなる。 v << 1 として線形化すると、sinh 2kv ≈ 2kv

v′′ + η v′′δ=−1(cosh kv sinh k (v + η vδ ))2ρ 2k1= − 2 (cosh kv(sinh kv + kη vδ cosh kv + L))2ρ k1
1= − 2 sinh 2kv − 2 η vδ4ρ k2ρさらに積分し、

u ′′ + η u′′δ −⎞1⎛
1⎜⎜ u ′ + η u′ δ −cosh kv sin kz ⎟⎟
ρ⎝
ρk
⎠

=−
1
cosh kv cos kz ,
ρk 2

(A3-11)⋅ sinh k (v + η vδ )sin kz

y ′ + η ′yδ = v′ + η v′δ .
x + η xδ = u + η u δ −(A3-10)⎞1⎛
1cosh kv sin kz ⎟⎟⎜⎜ u ′ + η u′ δ −ρkρ⎝⎠⋅ sinh k (v + η vδ )sin kzとなるので、

1(A3-7)となる。ここで、中心軌道に対応する、軌道長に

v′′ = −

対して速く変化する振動を落とし、ゆっくりしたである。水平偏光の挿入光源では、垂直方向の正ベータトロン振動のみ取り出す。 z に関して平均

弦磁場により、水平方向に中心軌道が蛇行し、軌をとると、道周りの振動に関しては、蛇行軌道に対しては何

sin kz = cos kz = 0,

も力は働かず、ドリフトスペースと同じになる。

1
sin kz = cos kz =
2
2

2

2ρ 2

v

(A3-13)

一方で垂直方向には進行方向磁場と水平蛇行運(A3-8)

動により、集束力が生じる。

より、水平方向は、

105

3.2. 一般化した場合

x' ' = −挿入光源の磁場を一般化してみる。

⎛ k' ⎞
Bx = B0 y ⎜ y ⎟ sinh k ' y x sinh k y y cos kz
⎜k ⎟
⎝ y ⎠
+ B0 x cosh k x x cosh k ' x y sin kz,−−

B y = B0 y cosh k ' y x cosh k y y cos kz⎛ k' ⎞+ B0 x ⎜⎜ x ⎟⎟ sinh k x x sinh k ' x y sin kz,⎝ kx ⎠⎛k ⎞Bz = B0 y ⎜ ⎟ cosh k ' y x sinh k y y sin kz
⎜k ⎟
⎝ y⎠
⎛k ⎞
+ B0 x ⎜⎜ ⎟⎟ sinh k x x cosh k ' x y cos kz,⎝ kx ⎠−

1

2

sinh 2k ' y x sinh 2 k y y2sinh 2k x x cosh 2 k ' x yy'k 'x k ' y

4ρ x k x

ρx ρ yk kxk yy'ρxρ yky' ' = −−ための波数であり、マックスウェル方程式から、−

k 2 = k x + k x′ = k y + k ′y を満たす。
2

水平偏光の場合と同様に、磁場の式より、中

+

心軌道を

xCO =

4ρ y k y2sinh k ' y x sinh k y ycosh k ' y x cosh k y y⋅ cosh k x x cosh k ' y y

磁場の水平方向変化と垂直方向変化を考慮する
2

k'y

+

B0 y は垂直方向のピーク磁場、k x 、k x′ 、k y 、k ′y は2

k 'x
sinh 2k ' y x +sinh 2k x x
2 2
24ρ y k4ρ x k 2 k x⋅ sinh k x x sinh k ' y y(A3-14)と書ける。ここで、 B0 x は水平方向のピーク磁場、

2

2

k'y

1
cosh k ' y xβ cosh k y y β cos kz
ρ yk 2k 'x
4ρ x k 2
2

1
4ρ y k y2sinh 2k ' x y +k'y

24ρ y k 2 k y
2sinh 2k y ycosh 2 k ' y x sinh 2k y y

k 'x
sinh 2 k x x sinh 2k ' x y
224ρ y k xx'

k 'x k ' yρx ρ yk kxk ysinh k ' y x sinh k y y⋅ sinh k x x sinh k ' y y

1 ⎛ k 'x ⎞⎜⎟ sinh k x xβ sinh k ' x y β sin kz ,+
ρ x k 2 ⎜⎝ k x ⎟⎠−x'

ρxρ ykcosh k ' y x cosh k y y⋅ cosh k x x cosh k ' y y.

1 ⎛⎜ k ' y ⎞⎟yCO = −
sinh k ' y xβ sinh k y y β cos kz
ρ y k 2 ⎜⎝ k y ⎟⎠(A3-16)となる。線形化すると、

1−
cosh k x xβ cosh k ' x y β sin kz.
ρxk 2

2⎛ k'y2k x ⎞⎟
y'++x′′ = −⎜x2
2
⎜ 2ρ k 2 2ρ k 2 ⎟ρxρ ykx⎝ y⎠≡ − a x x + by ′,(A3-15)とする。座標を中心軌道とその周りのベータトロ

2⎛ k 'x 2ky ⎞⎜⎟ y − x′+y ′′ = −2222⎜ 2ρ kρxρ yk2 ρ y k ⎟⎠⎝ x
≡ − a y y − bx′.

ン振動に分離する。運動方程式に代入し、 z 方向に平均し、遅いベータトロン振動の成分のみ取り出すと、方程式は

である。

106

(A3-17)

3.3. 一般化した場合の転送行列を使う。

M (1,1) =x′′ + a x x − by ′ = 0,y ′′'+ a y y + bx′ = 0(A3-18)=である。これをラプラス変換を使って解く。

L( x ) = X ,L( x ′ ) = ~s X − x0 ,L( x′′) = ~sX − ~
s 2X − ~s x − x′0

(A3-19)

y

0

)

)(

(A3-22)det = ~
s +α + β ~s +α − β2である。従って、

(

(

として、

)

(A3-23)~⎞1 ⎛ (ba x )x0 + (− bs )x0′
⎜
⎟
Y=
3
2 ~
2
~
~
⎜
det ⎝ + s + a x + b s y0 + s + a x y0′ ⎟⎠

(

(

))

(

)

(A3-24)M (1,4) =となる。
転送行列 M を成分毎に書き下す。行列の(1,1) 成分は X に対する x0 の係数で、(~s + (a + b )~s )3

M (1,1) =ydet(A3-28)

(

)

(

)

−b
(cos κ1s − cos κ 2 s )2βばよい。
(A3-25)(A3-29)(A3-30)(A3-31)(A3-32)((A3-33)2
1 ⎛⎜ κ 1 − a y cos κ 1 s ⎞⎟,M (2,2) =2β ⎜ − κ 2 2 − a y cos κ 2 s ⎟⎝⎠(A3-34)((A3-26)107)

1 ⎛⎜ κ 2 κ 2 − κ 3 sin κ 2 s ⎞⎟,2 β ⎜⎝ − κ 1 κ12 − κ 3 sin κ 1 s ⎟⎠M (2,1) =である。これを逆変換する。

⎛ ω ⎞L−1 ⎜ ~ 2
= sin ωs2 ⎟⎝ s +ω ⎠)となる。2 行目は 1 行目の各成分を s で微分すれ

2

s
⎛ ~
⎞
= cos ωs,L−1 ⎜ ~ 2
2 ⎟⎝ s +ω ⎠(⎞⎛ κ 12 − a y⎜sin κ 1 s ⎟⎟1 ⎜ κ1M (1,2) =⎟,⎜2β ⎜ κ 2 2 − a y⎟sin κ 2 s ⎟
⎜− κ
2
⎠
⎝
ba y ⎛ sin κ 1 s sin κ 2 s ⎞⎜⎟,−M (1,3) =2 β ⎜⎝ κ 1
κ 2 ⎟⎠))))

β − α + (a y + b 2 )cos α − β s2β21 ⎛⎜ κ 1 − κ 3 cos κ 1 s ⎞⎟,M (1,1) =2β ⎜⎝ − κ 2 2 − κ 3 cos κ 2 s ⎟⎠

2 ~
~3
⎞
1 ⎛⎜ s + a y + b s x0
⎟,
X =
2
~
~
⎜
det ⎝ + s + a y x0′ + (− ba y )y0 + (bs ) y0′ ⎟⎠()κ 4 = ax + b 2

β = α − ax a y((

κ2 = α − β ,22~s 2 + (α + β )~β − α + ay + b2
s
+
2
~
2β
s + (α − β )2βκ3 = ay + b2 ,1
ax + a y + b 2 ,
2

とおいて、

~
s

κ1 = α + β ,左辺の行列の行列式は、()(A3-27)となる。同じようにして 1 行目の各成分を求める。

− b~s ⎞⎛ X ⎞ ⎛ ~s x + x0′ − by0 ⎞⎟⎜ ⎟ = ⎜ 0
⎟.
2
⎜
⎟
~
~
⎜
s + a y ⎟⎠⎝ Y ⎠ ⎝ s y0 + y0′ + bx0 ⎟⎠(A3-21)α=(+となる。行列で書くと、⎛~
s 2 + ax
⎜
⎜ b~
s
⎝

det
α + β − ay + b2(~
s 2X −~
s x0 − x0′ + a x X − b(~s Y − y0 ) = 0(A3-20)2~
s Y −~s y − y ′ + a Y + b(~
sX − x )= 002yα + β − (a y + b 2 )=cos α + β s2β0を方程式に代入すると、

0(~s + (a + b )s )
3

方程式は

(

2

(

)

)

)

M (2,3) =ba y(cos κ1s − cos κ 2 s ),2βb(κ1 sin κ1s − κ 2 sin κ 2 s ).
M (2,4) =2β

Δν y =(A3-35)ba x ⎛ sin κ 1 s sin κ 2 s ⎞⎜⎟,−2 β ⎜⎝ κ 1
κ 2 ⎟⎠

b(cos κ1s − cos κ 2 s ),M (3,2) =2β()

y = 2Jβ cos ϕ
V (J ) = −(A3-37)()(A3-43)M (4,4) =1 ⎛⎜ κ 1 − a x cos κ 1 s ⎞⎟.
2 β ⎜⎝ − κ 2 2 − a x cos κ 2 s ⎟⎠(A3-44)

(

(

2

(

)

)

)

=

4ρ 2k

∂V
∂ ⎛ cosh 2ky ⎞⎟= − ⎜⎜∂y∂y ⎝ 8ρ 2 k 2 ⎟⎠1 ⎛L ⎞ 2 π dϕ⎜⎜ − 2 2 ⎟⎟ ∫2π ⎝ 8 ρ k ⎠ 0 2π()
(A3-50)

)
)

1 ⎛
L ⎞
⎜⎜ − 2 2 ⎟⎟ I 0 2k 2 Jβ .
2π ⎝ 8 ρ k ⎠ここで、 I n ( z ) は n 次の変形ベッセル関数である。
微分して、Δυ y =

(

L ⎞
∂ 1 ⎛
⎜⎜ − 2 2 ⎟⎟ I 0 2k 2 Jβ
∂J 2π ⎝ 8 ρ k ⎠
=−

(

L

I1 2k 2 Jβ4πρ 2

2k 2 Jβ))(A3-51)となる。ちなみに

I1 ( z ) 1 z 2
z4
= +
+
+ LL
z
2 16 384(A3-52)と展開できることを使えば、

Δυ y = −1 L
4π 2 ρ 2(A3-53)となり、線形化した集束力による場合に帰着する。
3.5. トラッキングを行う場合の注意(A3-45)

解析的に線形化して転送行列を使わず、磁場の式をそのまま蹴りとして入れ、トラッキングをである。ポテンシャルを使って書けば、

y ′′ = −0=

におけるベータトロン振動の運動方程式は、

sinh 2ky0(

水平方向に磁場一様な水平偏光の挿入光源

12π⋅ cosh 2k 2 Jβ cos ϕ

3.4. 水平偏光の場合の非線形チューンシフト

y ′′ = −2πdϕ ∫ dθ(2π ) ∫
2()

1 ⎛⎜ κ 2 κ 2 − κ 4 sin κ 2 s ⎞⎟,2β ⎜⎝ − κ 1 κ 12 − κ 4 sin κ 1 s ⎟⎠1Lδ (s )
cosh 2k 2 Jβ cos ϕ
8ρ 2 k 2(A3-38)M (4,3) =2(A3-49)を代入し、2
1 ⎛⎜ κ 1 − κ 4 cos κ 1 s ⎞⎟M (3,3) =,(A3-39)2 β ⎜⎝ − κ 2 2 − κ 4 cos κ 2 s ⎟⎠⎛ κ12 − a x⎞⎜sin κ 1 s ⎟⎟1 ⎜ κ1M (3,4) =(A3-40)⎜⎟,2β ⎜ κ 2 2 − a xsin κ 2 s ⎟⎟
⎜− κ
2
⎝
⎠
ba
M (4,1) = − x (cos κ 1 s − cos κ 2 s ),(A3-41)2βb(κ1 sin κ1s − κ 2 sin κ 2 s ), (A3-42)
M (4,2) = −2β((A3-48)と書けるはずである。これを計算する。

(A3-36)

3 行目と 4 行目は、1 行目と 2 行目において、位置も含めて x → y と置き換えればよい。

M (3,1) = −∂V∂Jすることも可能である。その際、運動方程式はと書ける。長さ L の挿入光源に対し、薄レンズで

x′′ = − f x ( x, y ) + g ( x, y ) y ′,y ′′ = − f y ( x, y ) − g ( x, y )x′

この力が働くとすると、となるが、これを発散角の差分方程式に直す。x1 、V (y) = −L δ (s )cosh 2ky8ρ 2 k 2(A3-46)(A3-54)y1 、 x1′ 、 y1′ を蹴る前の座標と発散角、 x2 、 y2 、
x′2 、 y 2′ を蹴った後として、(A3-47)と書ける。前章の摂動によると、

108

x′2 − x1′ = − f x ( x1 , y1 ) + g (x1 , y1 ) y1′ ,y 2′ − y1′ = − f y ( x1 , y1 ) − g ( x1 , y1 )x1′の場合、それを symplectic でなくなるという。す⎛ cosh k ′y x cosh k y y⎞⎜⎟⎜ cosh k x x cosh k ′y y⎟⎟
1 ⎜(A3-60)g=
k x′ k ′y⎜sinh k ′y x sinh k y y ⎟ρxρ yk ⎜ −
⎟
k k
⎜ x y
⎟
⎜ sinh k x sinh k ′ y
⎟
x
y
⎝
⎠

なわち、non-symplectic な写像では、誤差が位相である。

(A3-55)とすると前章の永年項と同様、蹴る度に振動の大きさが増大する。1 次元の場合は周回の転送行列の固有値が 1 を超えることに対応するが、多次元空間の位相方向でなく、同径方向に蓄積してゆく。写像を symplectic とし、誤った振幅増大を防ぐには、

y ′ + y 2′x′2 − x1′ = − f x ( x1 , y1 ) + g (x1 , y1 ) 1,
2(A3-56)x1′ + x′2
y 2′ − y1′ = − f y ( x1 , y1 ) − g ( x1 , y1 )2としなければならない。

⎛ x2′ ⎞⎜⎜ ⎟⎟ =⎝ y 2′ ⎠1⎛ g (x1 , y1 ) ⎞
1+ ⎜
⎟
2
⎝
⎠
g ( x1 , y1 ) ⎞
⎛
1
⎟
⎜
2
⎟
⋅⎜
⎟⎟
⎜⎜ − g ( x1 , y1 )
12⎠⎝
g (x1 , y1 ) ⎞⎛y1′ ⎟⎜ x1′ − f x (x1 , y1 ) +2⎟⋅⎜⎜⎜ y ′ − f ( x , y ) − g ( x1 , y1 ) x′ ⎟⎟
1
y
1
1
1
2
⎠
⎝
2

(A3-57)

一般化した挿入光源の場合、

fx =⎞k ′y ⎛ 1⎜ + 1 sinh 2 k y y ⎟ sinh 2k ′y x
222⎟
4 ρ y ⎜⎝ k
ky
⎠

+

2
⎛
k x′ ⎞
2⎜⎟ sinh 2k x x
′
cosh
k
y
−
x
2
k 2 ⎟⎠
4 ρ x k x ⎜⎝1

(A3-58)⎞k x′ ⎛ 1⎜ + 12 sinh 2 k x y ⎟ sinh 2k x′ x
2 ⎜ 2⎟
4ρ x ⎝ kkx⎠
2
k ′y ⎞
1 ⎛⎜2⎟ sinh 2k y x
′
cosh
k
y
+
−
y
2
k 2 ⎟⎠
4 ρ y k y ⎜⎝fy =(A3-59)109

この方程式を解くと、4. 減衰のある強制振動の基礎

λn =減衰のある強制振動について述べる。例え2L2πν, ωn =nλn(A4-2)

ば、RF を電気的な等価回路で記述すると、それとして、は減衰のある強制振動となる。ここでは各種概念

⎞
⎛
⎛
⎞
⎟
⎜ an sin ⎜ 2π x ⎟
⎜
⎟
∞ ⎜
⎟
⎝ λn ⎠f ( x, t ) = ∑ ⎜⎟ cos(ωn t )⎛ 2π ⎞ ⎟n =0 ⎜x ⎟⎟ ⎟+ bn cos⎜⎜⎜
λ⎝ n ⎠⎠⎝

について、詳細は省いて紹介のみ行う。RF や導波管の場合、電磁場は固有モードの重ね合わせで書ける。各固有モードは減衰のある強制振動として記述でき、電気的には LCR 回路における共振(A4-3)と等価になる。ここでは、例としてまず力学の場となる。位置のみに注目すると、合について解き、次に電流で駆動される LCR 回∞⎛⎛ 2πn ⎞
⎛ 2πn ⎞ ⎞x ⎟ ⎟⎟x ⎟ + bn cos⎜f ( x ) = ∑ ⎜⎜ an sin ⎜⎝ L ⎠⎝ L ⎠⎠
n =0 ⎝

路の場合を解く。RF を扱う場合、回路は閉じた回路ではなく、パワーが回路を流れてゆく様な、伝送線という概念が必要になる。そこで、伝送線と整合という概念を簡単に述べ、最後に等価回路(A4-4)であり、境界条件により、固定端の場合は sin のによる RF の扱いについて述べる。

項のみとなり、解放端の場合は cos の項のみとなる。

4.1. ピルボックス空洞の固有モード

1 次元の弦の場合は sin 、 cos となるものが、

4.1.1. 弦の振動空洞の場合は 2 次元でベッセル関数となる。次の2 次元の場合を考える前に、1 次元の簡単な項でそれを示す。

例として弦の振動を考える。とはいえ、物理的に4.1.2. 電磁場の方程式と境界条件弦を記述することはそれほど単純ではない。弦を微少な部分に区切り、弦の変位が小さいとして、

ピルボックス(pilbox)とは、薬のケースのこと

張力の垂直方向成分のみ取り出すと、方程式はで、円筒形の最も簡単な形状（図 A4-1）のことで∂ f 1∂ f=∂x 2 ν ∂t 2ある。ピルボックス壁面における電磁場の境界条

22(A4-1)

件は、と書ける。ただし、 T を弦の張力、 μ を線密度として、ν = T μ は弦の上の進行波の速度である。

電場：接線方向の電場は連続、すなわち、

E1t = E2t ↔

D1t

ε1

=

D2t

ε2

(A4-5)

かつ、垂直方向の電束密度の差は表面電荷に等しく、

D1n − D2 n = ρ s ↔ ε 1 E1n − ε 2 E2 n = ρ s(A4-6)となる。
磁場：接線方向の磁場の差は表面電流に等し
く、

(

)

r
r
r r
n × H1 − H 2 = J s ↔ H1t − H 2t = J s(A4-7)

かつ、垂直方向の磁束密度は連続で、Fig. A4-1 ピルボックス型空洞

B1n = B2 n ↔ μ1 H1n = μ 2 H 2 n
となる。

110

(A4-8)

E z = E0 J 0 (k r r ) cos(ωt ),空洞内を真空とすると、電磁場は波動方程式rrr 1 ∂2Er 1 ∂2B2
2∇ E − 2 2 = 0, ∇ B − 2 2 = 0,
c ∂t
c ∂t

Bθ = −(A4-9)E0
J1 (k r r ) sin (ωt )c(A4-17)を満たす。スカラーポテンシャルとベクトルポテが解である。ここで、スキンデプス(skin depth)

ンシャルは薄いとして、空洞内面の壁表面で電場の垂直方

r
r
r
∂A r
E = −∇φ −, B = ∇× A∂t

向成分がゼロになるという境界条件を課す。すな
わち、 r = Rc で E z = 0 、すなわち(A4-10)J 0 (k r Rc ) = 0

を使い、ローレンツゲージ

r 1 ∂φ=0∇⋅ A+ 2c ∂t

でなければならない。ベッセル関数のゼロ点は、(A4-11)J 0 ( x ) = 0 ↔ x = 2.405, 5.520, 8.645LLをとると、波動方程式は以下のように書き直せ(A4-19)などと与えられるが、動径方向に節のない、波数る。

1 ∂ 2φ
ρ
=− ,
2
2
c ∂t
ε0
r
2
r 1 ∂ Ar
∇ 2 A − 2 2 = − μ0 J .
c ∂t(A4-18)∇ 2φ −

が最小となる次数を考えれば、

k r Rc = 2.405(A4-12)(A4-20)となる。振動数は

ω = ckr =空洞内部には電荷や電流はない為、rρ = 0, J = 0(A4-13)2.405cRc(A4-21)である。このモードを TM010 モードという。1 次である。

元の弦の場合に sin であったものが、2 次元ではベッセル関数 J 0 になることが分かる。

4.1.3. TM モードの解

4.1.4. Q、U、P

空洞の長さを L[m] 、半径を Rc [m] 、ビーム
進行方向を z とし、空洞は 0 ≤ z ≤ L に置かれてい空洞に関して重要なパラメータを定義する。

るとする。粒子を加速する為には、縦方向、 z 方

空洞内の最大蓄積エネルギーを U 、単位時間あた

向に電場、横方向、すなわちビーム軸に巻き付く

りに空洞内壁の電気的な抵抗で熱に変わるエネ

ような回転方向に磁場が立つようなモードの電ルギー損失を P とする。空洞の共振の強さを表す

磁場が必要である。このようなモードを、TM

Q 値（quality factor）を、(transverse magnetic)モードという。縦方向の磁場がゼロ H z = 0 の下で、円筒座標系での波動方

Q=

程式は、

で定義する。

∂ E z 1 ∂E z ∂ E z 1 ∂ E z=0−++∂r 2 c 2 ∂t 2
∂z 2
r ∂r
2

2

2

できて、

r2
πε 0 LRc 2 2 2=
τEd
E0 J1 (2.405),
2 ∫空洞内2
R
P= s ∫
H 2 dS
空洞壁上
2

U=

まず始めに、角度方向には対称で、 z 方向に依存しない解を求めてみる。すなわち、(A4-15)となるような解である。方程式に代入すると、∂ R 1 ∂R ω++
R=0
∂r 2 r ∂r c 2
2(A4-22)P

なお、ピルボックス型の場合、解析的に計算(A4-14)となる。

E z = R(r ) cos(ωt )ωUε0= πRc Rs

2

(A4-16)ε0 2
2E0 (L + Rc )J 1 (2.405)(L + Rc )μ0

(A4-23)となるが、これはベッセル関数の方程式である。

111

となる。ここで、空洞内壁の電気伝導度を σ としk mn =て、高周波に対する表面抵抗

μ 0ω
2σ

Rs =

(A4-24)xmn,
Rcω = c k mn + k z
2

を使った。

2

⎛ pπ ⎞= c k mn + ⎜⎟⎝ L ⎠4.1.6. TE モードの一般解

角度 θ 方向の節の数を m 、原点を除く動径 r同様にして、TE モードの一般解は、方向の節の数を n 、縦方向の周期数の 2 倍、すな
わち縦方向が半波長の何倍かを p で表すことに⎛ pπ ⎞z ⎟ cos(ωt )Bz = B0 J m (k mn r ) cos(mθ ) sin ⎜
⎝ L ⎠
pπ Rc
B0 J m′ (k mn r )
Br =
L ymn

する。TM モードの一般解は、⎛ pπ ⎞z ⎟ cos(ωt )E z = E0 J m (k mn r ) cos(mθ ) cos⎜
⎝ L ⎠
pπ Rc
E0 J m′ (k mn r )Er = −
L xmn⎛ pπ ⎞⋅ cos(mθ ) cos⎜z ⎟ cos(ωt )⎝ L ⎠pπ mRcB0 J m (k mn r )Bθ = −
L ymn 2 r
2⎛ pπ ⎞⋅ cos(mθ ) sin ⎜z ⎟ cos(ωt )⎝ L ⎠⎛ pπ ⎞⋅ sin (mθ ) cos⎜z ⎟ cos(ωt )⎝ L ⎠pπ mRc
E0 J m (k mn r )L xmn 2 r
2

Ez = 0⎛ pπ ⎞⋅ sin (mθ ) sin ⎜z ⎟ cos(ωt )
⎝ L ⎠

2

Er = −

Bz = 0mRc
B0 J m (k mn r )2
ymn r⎛ pπ ⎞⋅ sin (mθ ) sin ⎜z ⎟ sin (ωt )
⎝ L ⎠

2

Br =

mRc
E0 J m (k mn r )2
xmn rc 2⎛ pπ ⎞⋅ sin (mθ ) cos⎜z ⎟ sin (ωt )
⎝ L ⎠

Bθ =

(A4-26)である。

4.1.5. TM モードの一般解

Eθ =

2

2

Eθ =

Rc
B0 J m′ (k mn r )ymn⎛ pπ ⎞⋅ cos(mθ ) sin ⎜z ⎟ sin (ωt )
⎝ L ⎠

Rc
E0 J m′ (k mn r )xmn c 2

(A4-27)となる。 ymn は以下のように与えられる。

⎛ pπ ⎞⋅ cos(mθ ) cos⎜z ⎟ sin (ωt )⎝ L ⎠(A4-25)と書ける。ただし、 xmn は以下のように与えられ
る。
n=1

n=2

n=3

m=0

2.405

5.52

8.654

m=1

3.832

7.016

10.173

m=2

5.136

8.417

11.62

n=1

n=2

n=3

m=0

3.832

7.016

10.174

m=1

10841

5.331

8.536

m=2

3.054

6.706

9.97

同じく、

k mn =

また、

ymn
,
Rc

ω = c k mn + k z
2

112

2

⎛ pπ ⎞= c k mn + ⎜
⎟
⎝ L ⎠
2

2

(A4-28)である。
4.2. 等価回路の導入

A0

A0 e − stベクトルポテンシャルを使って、固有モード
展開する。

r
r r
A = ∑ qn (t )An (r )(A4-29)n

各モードは、ヘルムホルツの方程式r ⎛ ωn ⎞ 2 r∇ An + ⎜ ⎟ An = 0⎝ c ⎠2(A4-30)− A0 e − stを満たす。マックスウェル方程式rr 1 ∂2 Ar∇ A − 2 2 = −μ0 Jc ∂t2に代入し、両辺に

∫

空洞内

− A0

(A4-31)

図 A4-2 減衰振動rdτ Am ⋅ を作用させて積分すると、直交条件

∫

空洞内

r r
U
2
Am ⋅ An dτ = 2δ mn m ω mε0

減衰のない時の角振動数を(A4-32)より、

r r
1 ∫ J ⋅ An dτ2rq&&n + ω n qn =ε 0 ∫ An 2 dτ&x& + γx& + ω0 2 x = 0(A4-33)を仮定し、実際の解はその実部 x = Re( z ) だとする。また、α と p は複素数とする。方程式に代入(A4-34)

すると、− p 2 + iγp + ω0 = 02となり、すなわち、これは減衰のある強制振動の

p = ω + is

等価回路として扱うことができる。なお、モードと実部と虚部に分解し、方程式も実部と虚部に分毎に回路定数は異なる値となる。

ける。 ω と s は実数とする。方程式はs 2 − ω 2 + ω 0 − sγ = 024.3. 減衰のある強制振動− 2ωs + ωγ = 0

RF の等価回路を解く前に、力学の場合と簡(A4-41)となり、従って、単な回路の場合を準備として考えてみる。

s=4.3.1. 強制力のない減衰振動
減衰のある単振動の方程式は、

γ2,

ω = ω0 −2(A4-35)γ2(A4-42)4となり、解はである。振動のエネルギーの減衰時間をbm(A4-40)となる。

式である。RF は、各モード毎に LCR 共振回路を

γ=(A4-38)となる。この方程式を解く。解として複素関数
z = A0 exp i ( pt + α )(A4-39)ば、

m&x& = −kx − bx&(A4-37)とすると、方程式はとなる。空洞内壁のエネルギーロスの項を入れれr r
ωn
1 ∫ J ⋅ An dτ2rq&&n +
q& n + ωn qn =Q
ε 0 ∫ An 2 dτ

k
m

ω0 =

x = A0 e − st cos(ωt + α )(A4-36)113(A4-43)

となる。この解は、振幅が指数関数的に減衰するめる。前項と同様に z = A0 exp i ( pt + α ) 、強制力振動を表している（図 A4-2）。また、振動のエネ

も F = Fe とおいて代入する。 α と p は実数で~ルギーは振幅の 2 乗なので、あるとする。実部と虚部に分けた方程式は、kk 2
E = A2 = A0 e −2 st ∝ e −γt2
2(A4-44)

ω0 2 − p 2 =と、時定数 γ で減衰する。

Q

⎛ ω ⎞
↔ x = A0 exp⎜⎜ − 0 t ⎟⎟ cos(ωt + ε )⎝ 2Q ⎠

p = ω,
sin α = 0

(A4-45)(A4-49)上の実部の式より

ω0 2 − ω 2 =Fcos(α )
mA0

(A4-50)となる。 cos α = ±1 のどちらかであり、(A4-46)

ω0 > ω → α = 0, ω 2 = ω0 2 −となる。図 A4-3 にいくつかの Q に対する振動の様子を示す。 Q が大きい場合、減衰の効果が小さ

F
mA0

F
ω0 < ω → α = π , ω = ω0 +mA02

く、振動が長く続くことが分かる。

(A4-51)2となる。

4.3.2. 減衰のない強制振動

A=

次に、減衰のない強制振動について考える。
方程式はm&x& + kx = F cos ωt(A4-48)となる。下の虚部の式より、

ただし、

1
4Q 2

F
cos((ω − p )t − α )
mA0

F
0=
sin ((ω − p )t − α )mA0ω方程式と解を ω0 と Q = 0 で書き直すと、γ
ω&x& + 0 x& + ω0 2 x = 0

ω = ω0 1 −

ωt

1
F
2
m ω0 − ω 2(A4-52)である。完全解は、(A4-47)x = A0 cos(ω0t + δ ) +である。斉次解は単振動であるので、特別解を求1
Fcos(ωt )2
m ω0 − ω 2となる。強制力の振動数が系の振動数より速い場

減衰なし

合に振動の位相が反転する様子の例を、図 A4-4
Q=10

Q=50

に示す。紐に付けた重りを手に持ってゆっくり揺

Q=500

らすと、揺らした方向に重りが振動するが、左右Ṓẋṓ ὗἴἠὛ
୲὚Ἠἰష

図 A4-3 減衰と Q 値ṒẌṓ ᥫἠ
୲὚Ἠἰష

図 A4-4 強制力の振動数と位相の反転

114

に速く動かすと、手の動きと重りの動きは逆にな

ちなみに、強制振動の振動数を変化させた場る。

合の、定常状態での振幅は、

4.3.3. 減衰を伴う強制振動

FmA0

減衰のある強制振動の方程式は、

m&x& + bx& + kx = F cos ωt（A4-53）ωγである。この方程式を解く時、初期状態から始めて過渡現象として解を求めることもできるが、こδ

こでは、十分に時間が経ち、初期値の影響が減衰

ω02 − ω 2

によって消え、減衰と強制振動が釣り合った定常

図 A4-5 強制力と振動の位相関係状態になった後の解を求めることとする。振動数は強制振動の振動数に等しいが、振動の位相が遅れているという仮定を置く。すなわち、解を
z = A0 exp i (ωt − δ )(A4-54)20

とおく。仮定から、 ω と δ は実数とする。方程式

15

A(ω )
A0 10

は、

&z& + γz& + ω0 2 z =

F iωt
e
m

Q=20

（A4-55）Q=10解を代入して、ω0 2 − ω 2 =

F
cos δ
mA0

5

Q=5
Q=1

(A4-56)

F
ωγ =
sin δ
mA0

0

0

0.5

従って、定常状態の振幅と位相の遅れは、

2 2

2

2

2

0

(A4-57)Q=10

ω0 − ω
となる。 Q を使って書けば、
ω0F
ωA(ω ) =
2
2mω 0 ⎛ ω
ω ⎞
2

Q=20

150

ωγ

tan δ =

2

1⎜⎜⎟⎟ + 2−Q⎝ ω ω0 ⎠

δ

100

50

Q=1

0

tan δ =

2

図 A4-6 Q 値と振幅

Fm(ω − ω ) + ω γ

1.5

ω ω0

これは、ベクトル的に書くと図 A4-5 の様になる。

A(ω ) =

1

1
Q

(A4-58)

0

0

Q=5
0.5

1

1.5

ω ω0

ω0 ω
−
ω ω0

図 A4-7 Q 値と位相遅れ

である。

115

2

dA
1
= 0 ↔ ω = ω0 1 −dω
2Q 2

4.3.4. 電流で駆動される LCR 共振回路

(A4-59)電流で駆動される LCR 共振回路（図 A4-8）を考える。各要素の電流と電圧の式

で最大値

Amax =F Q
m ω0 2

1
1
4Q 2

1−

I = IR + IC + IL ,dI
Q
V = L L = RI R = ,
dt
C
dQ
IC =
dt

(A4-60)をとる。なお、Q<

1(A4-61)

2

V V&
I& = + + CV&&
L R

ついていかない様な場合に相当するが、スペクト
ルにピークはなく、外力の振動数の増加に従って振幅は単調に減少する。いくつかの Q において、衰振動になっており、力学との違いは強制力が電

I&
1 &
1
V&& +
V+
V=
RC
LC
C

(A4-62)≈Q

ω0 =(A4-63)をとることが分かる。
Q が大きい場合、共鳴によって励起される振動の振幅は非常に大きくなる。例えば、強制力がある時間の間だけ働き、振動が励起され、その後、働かなくなって振動が減衰する、という様な現象を考えた場合、Q が大きいと共鳴によって大きな

1
,
LC

1
2
U = CV0 ,
2
2
1 V0
P=
,
2 R
ωU
Q = 0 = ω0 RC
P

振動が励起され、強制力が切れた後もなかなか減
衰せずに長く残る。

となる。
方程式を解く為に完全解は、減衰振動の式を足し合わせて、⎛ ω ⎞x = A0 exp⎜⎜ − 0 t ⎟⎟ cos(ωt + ε )⎝ 2Q ⎠
F
mω0

2

ω0
ω
2

⎛ ω0 ω ⎞1⎜⎜− ⎟⎟ + 2⎝ ω ω0 ⎠ Q(A4-69)

を使えば、

I&
ω
2
V&& + 0 V& + ω0 V =QC+(A4-68)である。ここで、の時に最大振幅

11−
4Q 2となる。この方程式は V について強制力のある減

き換えて、に、位相遅れを図 A4-7 に示す。

Q

(A4-67)流の微分であるという点のみである。方程式を書

外力の振動数に対する定常状態の振幅を図 A4-6

Amax
=
A0

(A4-66)より、方程式はの場合、系の振動数が遅すぎて外力の速さに系が

ω
1
= 1−
≈1
ω0
2Q 2

(A4-65)cos(ωt − δ )(A4-64)

図 A4-8 LCR 共振回路

となる。

116

(A4-70)I = I 0 e i ωt ,(A4-71)

V = V0ei (ωt +ϕ )

I0
ω
CV0

とおいて代入する。

ω0 2 − ω 2 + i

ωω0

=i

Q

I0
ωe − iϕCV0π(A4-72)2ューニングファクター(detuning factor)

図 A4-8 LCR 回路の位相関係(A4-73)

RI 0
1 + y2

(A4-79)る。また、インピーダンスの逆数をアドミッタン= RI 0 cos ϕス(admittance)という。一般化した電気容量のよ
うな値であるが、

e i (ωt +ϕ ) = RI 0 cos ϕ e i (ωt +ϕ )1 1 + iy=ZRY=

I = I 0e ,1 + y2R
1 + iy合、抵抗の効果のみを考えればよいことが分か(A4-74)

iωt

RI 0

=

場合、 y = 0 で Z = R となる。共鳴状態にいる場となる。従って、解は

V =

i+ y

2

と書ける。 ω = ω 0 の共鳴上（on-resonance）の

ω0 2 − ω 2tan (− ϕ ) = −
= y,
ωω0
V0 =

R ⋅ e iϕZ=を導入すると、

QQ−ϕ

ω0 2 − ω 2

位相関係を図に示すと図 A4-9 の様になる。デチ⎛ω ω ⎞
y = Q⎜⎜ − 0 ⎟⎟⎝ ω0 ω ⎠ωω0(A4-75)(A4-80)となる。
ちなみに、インピーダンスをフーリエ変換した値となる。すなわち、デチューンされると、大きさが cos ϕ 倍となり、位相が ϕ ずれるということにW (t ) = ∫ Z (ω )eiωt dω

(A4-81)を航跡場ポテンシャル（wake potential）という。

なる。

LCR 回路の場合を計算すると、力学の場合と異なり、dV= 0 ↔ ω = ω0dωW (t ) =(A4-76)で共鳴が起こる。また、周波数は L と C で決まる
ため、抵抗値が変化しても、 Q は変化するが共振t⎞1e ⎜⎜ cos(ω1t ) −sin (ω1t )⎟⎟
Q
τω1
⎝
⎠

(A4-82)となる。ただし、

周波数は変化しない。

ω1 = ω0 1 −ここで、インピーダンス(impedance)を導入

τ=する。インピーダンスの定義は、

V = ZIω0 R − τ ⎛(A4-77)

1
,
4Q 2

2Q

(A4-83)ω0となる Z で、複素数として一般化した抵抗のようである。ウェイクポテンシャルは、系にデルタ関なものである。この LCR 回路のインピーダンス

数的な電流

I (t ) = qδ (t )は、e iϕ =

1 − iy1+ y2(A4-84)を加えた時の電圧の応答(A4-78)V (t ) = W (t )q(A4-85)を表すグリーン関数ということもできる。

を使って、

117

4.4. 反射と整合の関数として、路ではなく、パワーが流れて行くような回路、す

∂ 2v
∂v
∂ 2v
(
)
RGv
RC
LG
LC
=
+
+
+
,
∂z 2
∂t
∂t 2
∂i
∂ 2i
∂ 2i
(
)
=
+
+
+
RGi
RC
LG
LC
∂t
∂t 2
∂z 2

なわち伝送線の概念が必要になる。同軸ケーブという方程式を満たすことが示される。

ル、フィーダー線、導波管など、全て伝送線であ

入力が正弦波の場合、すなわち

4.4.1. 伝送線
RF 源まで考えた場合、等価回路は閉じた回(A4-86)

る。ここでは、伝送線という概念の紹介を目的と

v = Veiωt ,して、話の流れのみ、辿る。なお、伝送線の理論

I = Ieiωtは戦時中にレーダーや通信などを行う目的で発という場合、方程式は結局、展したものである。RF 空洞と同様、伝送線上で散的にインピーダンスが存在する回路となる。添dV= − ZI ,
dz
dI
= −YV
dz

字の s と p は shunt と parallel であるが、どちらとなる。すなわち、伝送線は全体をまとめて１つも訳すと並列である。（直列は series。）

各ブロのインピーダンスまたはアドミタンスで扱うこ

ック毎に電圧と電流を考え、差分方程式を立ててとができる。RF 源に伝送線を繋ぐと、RF 源から連続極限をとる。パワーの流れる方向(添字 s)の単はインピーダンスが 1 個ぶら下がったことと等価

位長さあたりの抵抗成分を R 、インダクタンスをである。実際は伝送線の先に RF 空洞が繋がるが、

L 、パワーに対して並列（添字 p）な電気容量成分を C 、抵抗成分を G と書くと、伝送線上の各部分の電流 i と電圧 v は、伝送線上の距離 z と時間 t

空洞も 1 個のインピーダンスとして扱える。

電磁場の方程式を解き、固有モード分解し、等価回路を導入すると、まずは図 A4-9(a)のような離(A4-87)(A4-88)方程式を組み合わせると、(a) インピーダンスの連続としての伝送線

Zs

2

Zs

2

Zs

2

Zp

Zs

Zs

2

2

Zp

Zs

2

Zs

2

Zp

Zs

2

Zs

2

Zp

Zp

(b) 伝送線上の各ブロックを流れる電流と電圧

Vn −1
I n −1I n −1

Vn
In

Vn +1
In

I n +1

I n +1

図 A4-9 伝送線の等価回路

118

Vn + 2
In+2

Zs

In+2

2

d 2V
= γ 2V ,dz 2
d 2I= γ 2I2dz(a) 伝送線と負荷?

(A4-89)という波動方程式が得られる。 γ を伝送線の伝搬定数といい、具体的な回路を示さないのであまりγ==意味はないが、(b) 等価回路(R + iωL )(G + iωC )である。この実部を減衰定数、虚部を位相定数という。方程式の解は

Zc

V = V1e −γz + V2 eγz ,I=(

1V1e −γz − V2 eγz
Z

)

Zl

(A4-90)
図 A4-10 伝送線と負荷の等価回路となり、すなわち、右向きの波と左向きの波の重ね合わせとなる。

V = V1e − iβz + V2eiβz ,例えば矩形の導波管内の電磁波の場合、電場

I=が水平方向、磁場が垂直方向とすると、方程式はd 2 Ex= γ 2 Ex ,dz 2
d 2H y= γ 2H y2
dz(A4-91)

射波の振幅の比Γ=(A4-92)

V2
V1(A4-97)を反射係数という。終端部分を原点 z = 0 とすれ
ば、

Zl =

どを使ったが、詳細は触れない。

V (0)V1 + V2
1+ Γ== Zc
I (0 ) 1 (V − V )
1− Γ
1
2
Zc

4.4.2. 反射より、

伝送線はまとめて 1 個のインピーダンスとして扱える。インピーダンス Z c の伝送線の終端を、

Γ=

インピーダンス Z l で終端したとする（図 A4-10）。

となる。入力電力は

伝送線は無損失

P+ =(A4-93)とする。伝搬定数は

γ = iω LC

Zl − Zc
Zl + Zc
V1(A4-98)(A4-99)2(A4-100)

Zl

反射電力は(A4-94)P− =であり、減衰は生じない。

β = ω LC

(A4-96)

戻ってくる方向、反射波が V2 である。入射波と反である。導波管中の透磁率、誘電率、表面抵抗な

G = 0, R = 0)となる。
伝送線を伝わる方向、入射波が V1 、伝送線をとなることが示される。ただし、

γ = iωμ (σ + iωε ),
iωμ
Z=
γ

(

1
V1e − iβz − V2eiβzZ(A4-95)

とおけば、

119

V2
Zl

2

= P+ Γ 2(A4-101)である。一般の場合、 Γ は複素数であり、反射にで短絡状態となる。短絡状態になっている伝送線

よって振幅と位相の両者が変化する。

の断面上を、detuned short 面という。導波管の場合、導波管の進行方向に対して垂直な成分の電4.4.3. 整合、開放と短絡場がゼロ、磁場が最大になっている面である。

Z l = Z c の場合、反射係数はゼロであり、反終端を短絡した場合、すなわち Z l = 0 の場

射が起こらない。この状態を整合が取れているという。整合が取れている場合、伝送線の長さに依らず、終端部分の無負荷端子電圧 V (0 ) は変化しな

合、反射係数は − 1 であり、やはり全反射となる。

い。また、反射がないことを、伝送線が無限に長(A4-108)

V (0 ) = 0,
V1 = −V2

いと見なすこともできる。50Ωの BNC ケーブル

I (0 ) = I l =に 50Ωの終端抵抗をつけた場合、インピーダンス
整合がとれた状態になる為、信号の反射が起こら

2V1
Zc

であり、

V ( z ) = iZ c I l sin β z ,ない。無限に長い BNC ケーブルを繋いだのと同じである。なお、整合が取れている場合、入射電(A4-109)

I ( z ) = I l cos β z

力が一定であれば負荷に最大の電力を送り込んでいる状態となる。

となる。伝送線上で短絡状態と開放状態がRF などでサーキュレータで反射波を逃がす

λ
4

毎に

繰り返されるのは同じであるが、場所が入れ替わ場合、RF 源側から導波管を見ると、反射がないる。

為、常に整合状態となっているように見える。

4.5. 等価回路による RF の取り扱い
終端に何も繋いでいない、開放端の場合、すなわち Z l = ∞ の場合、反射係数は 1 であり、全反RF 系の構成と等価回路を図 A4-11 に示す。
RF 源から出た RF は、導波管、サーキュレータ、Ṓẋṓ ṼṰἿඥષᾄᾣ̵ᾱ̵ᾍ
ế௟‫װ‬ᡜᖲỀ射となる。

I (0 ) = 0,

V1 = V2 =(A4-102)

Vl
2

ṼṰ༽
Ꮊ‫ڢװ‬

であり、

V ( z ) = Vl cos β z ,ό̵άᾩᾰ̵ᾃ

(A4-103)

V
I (z ) = i l sin β z
Zc

ክູಙϰ

となる。すなわち、伝送線上で、

nλz = 0,
2ṒẌṓ ዾГ‫ۂ‬ᢿ
(A4-104)

I′

V ′ Z0

1: n Iの時、

I = 0, V = Vmax = 2Vl

Z0(A4-105)

R

V
C

L

で開放状態、z=nλ 3nλ,44(A4-106)ṼṰ༽ế௟‫װ‬Ề

の時、

V = 0, I = I max =

2Vl
Zc

ϞᥘᏱ

Ꮊ‫ڢװ‬

ክູಙϰ

図 A4-11 RF の等価回路(A4-107)120導波管を通り、結合器を介して空洞に供給されパワー損失に対する Q0 を unloaded Q という。外る。空洞から反射があったとしても、サーキュレ部（導波管）によるパワー損失に対する Qex をータがダミーロードに逃がしてしまうので、空洞

external Q、両者の損失を考えた QL を loaded Q

側から見た回路と RF 源から見た回路は一致しなという。それぞれ、い。
一切ないため、RF 源からは、結合器を通して見QL =じて見た導波管のインピーダンス Z 0 が見えているが、空洞のインピーダンス Z c と一致しない場
合、RF は反射する。
導波管のインピーダンスを Z 0 、RF は導波管

β=ランスとして扱う。結合器を通さないで見た値に

ω0U
Pex

= ω0 n 2 Z 0C ,

ω0U
Pc + Pex=(A4-113)1
1
1+
Q0 QexPex QcR== 2
Pc Qex n Z 0(A4-114)とする。

はダッシュをつけることにする。すなわち、

1 1+ β=QL
Q0(A4-110)(A4-115)が成り立つ。 β < 1 の場合、 Pex < Pc 、 Qex > Qc で弱結合（under coupled）、β > 1 の場合、Pex > Pc 、であり、空洞のインピーダンスはVV′= n 2 = n 2 Z c′I
I′

= ω0 RC ,となる。また、結合定数を終端の LCR 共振回路として、結合器は 1 : n のト

Zc =

Pc

Qex =

た空洞のインピーダンスは整合されたインピー
ダンス Z 0 に見える。一方、空洞からは結合器を通V = nV ′,
I′
I=
n

ω0U

Q0 =

導波管のインピーダンスを Z 0 とおく。反射がQex < Qc で強結合（over coupled）、β = 1 の場合、
Pex = Pc 、 Qex = Qc で critically coupled という。

(A4-111)である。LCR 共振回路として要素毎に見ると、

1
,
1
1
iωC +
+
iωL R
1
1
Z c′ = 2
n iωC + 1 + 1iωL R

RF 源から空洞側を見ると、サーキュレータ

Zc =の為に反射が戻って来ない為、導波管と空洞は常に整合が取れているように見える。それは、β = 1(A4-112)で空洞と RF 源の周波数が等しい on-resonance
場合、すなわち結合器を通して空洞と導波管の整合が取れている場合に相当するが、まずは実際にである。蓄積エネルギーとパワー損失は、

n CV ′,
2n 2V ′2
Pc =
2R

U=

2

そのような場合について扱う。サーキュレータな2

しでも反射波は存在しない場合、空洞自身も単なる抵抗と見なすことができ、整合終端負荷は導波(A4-113)管と同じ Z 0 、流れる電流は消費されるパワーと空洞で消費されるパワーはとなる。導波管によるパワー損失は、

Pex =

V′
2Z 0

I
である。導波管で
2

2

等しく、

(A4-114)2である。ただし、RF 源の周波数と RF 空洞の周Z 0 I ′2
1 ⎛ I′ ⎞P+ = Z 0 ⎜ ⎟ =2 ⎝2⎠8

波数は一致しており、共鳴上（on-resonance）にとなる。

あるとする。その場合、共振回路は抵抗だけと思ってもよく、その抵抗値を Z 0 とする。空洞による(A4-115)

実際の整合状態にかかわらず、反射波はサー
キュレータで逃がされるため、RF 源は常にこの121

パワーを出し続けることになる。従って、空洞側ビームからの電圧と、RF 源からの電圧の和が空に供給される電流とパワーは on-resonance の場

洞に生じる電圧となるが、RF 源からそれを見る

合、常に、と、整合状態ではなくなってしまう。ビーム有り

βZ 0
I′
,
= I′
n
R
Z I ′2 RI 2
P+ = 0 =88βで反射のない状態にする為には、RF 源の周波数

I=を空洞の共振周波数からずらし、かつ、結合定数(A4-116)を最適化する必要がある。ここでは、ビームの影
響を補正する為のデチューン及び結合定数の最適化について述べる。

となる。
次に、空洞側から見た場合、反射がある場合減衰のある強制振動項で述べたとおり、外力について考える。空洞側から見ると、導波管の抵の周波数と系の共振周波数が違う場合、外力と系

抗は

n Z0 =
2

Rに生じる振動との間には位相差と大きさの差が生じる。空洞の周波数を ω0 、外力である RF 源の(A4-117)β周波数を ω とする。空洞内に立つ電場の周波数はであり、これが空洞の抵抗値と並列に存在するこ外力と同じ ω であり、これがマスターオシレータとになる。導波管と空洞をあわせた合成抵抗は

1R=
1 β 1+ β+R Rからの周波数である。RF 源からの電流を(A4-118)i g = i0 g e iωtとする。空洞の電圧は、(A4-75)に結合器の影響を考慮して、である。従って、電圧は

V=

2 β
R
I = P+ rs
1+ β
1+ β

V =

(A4-119)となる。ここで、空洞のシャントインピーダンス

rs =(A4-123)

1+ y

2e i (ωt +ϕ )⎛ω ω ⎞
y = QL ⎜⎜ − 0 ⎟⎟⎝ ω0 ω ⎠(A4-120)を使った。反射係数はR− Z0
Z L − Z0 n2
β −1
Γ=
=
=
Z L + Z0 R + Z
β +1
0
2
n

i0 g

(A4-124)となる。デチューニングファクターは

2

V
R
=
P
2

R
1+ β

(A4-125)

位相差はtan ϕ = − y(A4-121)(A4-126)となる。
デチューンなし β = 1 の時のビームの作る空であり、結合器で跳ね返されるパワーはP− = P+ Γ 2

洞電圧を Vbr 、RF 源の作る空洞電圧を Vgr 、空洞となる。従って、実際に空洞に供給されるパワー

内部の電圧の和をrrr
Vcr = Vgr + Vbrは、

Pc = P+ − P− = P+

4β
(1 + β )2(A4-127)とする。デチューン角を ϕ とし、デチューンし(A4-122)た後のビームの作る空洞電圧を Vb 、RF 源の作るとなる。当然ながら、これは整合状態 β = 1 で最空洞電圧を Vg 、空洞内部の電圧の和を

大となる。

r r r
Vc = Vg + Vb

4.6. ビーム負荷の補正とする。ビーム電流 − ib を横軸にし、各電圧の位(A4-128)

相と大きさを書いた図をフェーザーダイアグラム（図 A4-12）という。加速位相を φ とする。ビ

ビームが存在する場合、ビームは RF 源と同様に空洞内に電圧を発生させる。位相を含めて、

122

Vbr
Vgr
Vcr
Vb

−ϕ −α

−ϕ

φ

Vc

−ϕ

Vg

− ib

Vbr
図 A4-12 フェーザーダイアグラム
ームの感じる加速電圧は、 Vc cos φ である。各電P+ =圧を複素数として書くことにすると、デチューン
後の電圧は大きさが cos ϕ 倍、位相が ϕ ずれるの

4βrs

gr

(A4-136)より、デチューン角は

V sin φV sin φ= − brsin ϕ = − br
cos ϕ
Vcr
Vc

(A4-130)(A4-138)

従って、

より、
+

(A4-135)

グ（optimum tuning）という。この時、Vgr sin α = Vcr sin ϕ + Vbr sin φ = 0(A4-137)(A4-129)と書ける。一方、

2(
1+ β )
2
P =
V

⎟
⎠

の時である。この場合をオプティマムチューニン

Vc = (Vcr cos ϕ )e iϕ2 βVgr = P+ rs
1+ β

cos α

α =0

Vg = (Vgr cos ϕ )e iϕ ,Vg = (Vgr cos ϕ )e⎜
4 β rs ⎝より、これが最小になるのは、

で、

iϕ(1 + β )2 ⎛ Vcr cosϕ + Vbr cosφ ⎞ 2

V sin φtan ϕ = − brVc

(A4-131)(A4-139)となる。ここで、各ベクトルを Vc に平行な成分とを満たす。この時を optimum detuning という。
通常、φ > 0 なので、ϕ < 0 、すなわち、空洞の共垂直な成分に分けて考える。

振周波数を RF 源の周波数よりも低くしておくこ

Vgr cos α = Vcr cos ϕ − Vbr cos(π − φ ),Vgr sin α = Vcr sin ϕ + Vbr sin (π − φ )とになる。電流が増加するに従い、その差も大き(A4-132)

くしていく必要がある。また、
2より、

tan α =

Vcr sin ϕ + Vbr sin φ
Vcr cos ϕ + Vbr cos φPc =(A4-133)

Pb = ibVc cos φとなる。また、V cos ϕ + Vbr cos φ
Vgr = cr
cos α

Vc
,
rs

より、
(A4-134)

より、

123(A4-140)P+ =(1 + β )2 (V + V cos φ )24βrsc

(1 + β )2 P 2 ⎛⎜1 +=
4βc

図書室のページよりダウンロード可能。
現 LINAC の佐藤さんから、学生時代に教え

br

⎜
⎝

⎞
Pb
⎟
Pc (1 + β ) ⎟⎠2

(A4-141)て頂いた参考文献。
[5]

クトリーの加速器」

従って、

このテキストは残念ながらダウンロード

P∂P+(A4-142)= 0 ↔ β = 1+ bPc∂βの 時 に P+ が 最 小 と な る 。 こ の 時 の 結 合 を 、できない様であるが、OHO’04「Ｂファクトリ
ーと加速器の基礎」の阿部哲郎, 「高周波加速入門」が同じように優れたテキストである。

optimum coupling という。反射は

Pr = P+ − Pb − Pc

(A4-143)

で あ る が 、 optimum tuning か つ optimum
coupling の時、ゼロとなる。

付録 4 章の参考文献は、[1]

A.P.フレンチ著, 平松 惇, 安福 精一監訳,「MIT 物理 振動・波動」, 培風館, 1986/11
学部時代に読んだ初歩的な本だが、とても分かり易かった。

[2]

三輪 進, 「高周波電磁気学」, 東京電機大学
出版局, 1992/09
厚い長い本は嫌！というわけで、各項目が数ページにまとめられている本を選んだ。
ダイジェスト的にぱらぱら読むのには向いていると思う。

[3]

Thomas Wrangler, “Principles of RF
Linear Accelerators”, Wiley, 1998/04
東大物性研の学生時代に、指導教官の神谷先生、中村先生、高木さん、現 J-PARC の小関さん、LINAC の佐藤さん（学生時代の先輩）とやったゼミの教科書だった。当時は「LINAC なんて……」と思っていた（熱意もない、大変よくない学生でした）が、今になって思うと、非常に有り難いゼミでした。すみませんでした。

[4]赤井 和憲, “RF システム”, OHO’94「Ｂファ

Perry B. Wilson, “KEK lectures on beamloading and impedance problems in e+ estorage rings”, KEK-ACCELERATOR-79-7

124

あとがき
今年の OHO の主題は ERL である。加速器科学の将来は、蓄積リングではなく、線形加速器にあるのかも知れない。実際、放射光源は蓄積リングを光源とした第３世代から、線形加速器をもとにした第４世代、FEL や ERL へと進みつつある。シンクロトロン放射の平衡状態による、エミッタンスとバンチ長の限界を突破できない限り、
次世代放射光は線形加速器となろう。また、素粒
子原子核分野においても、話題は超高ルミノシテ
ィの電子・陽電子蓄積リングから、超高エネルギ
ーの線形加速器へと進みつつある。レプトンのフレーバー物理の次は、新粒子探しということだろうか。ハドロン加速器では J-PARC や LHC など、
新しい蓄積リングが建設、運転開始されているが、電子・陽電子の蓄積リングの将来は必ずしも明るいものではないかも知れない。
このテキストには分量制限がないとはいえ、紙面と時間の大半を無駄なことに費やした様な気もする……最初に光の話、次に、蓄積リングを広く浅く雑談、その後に本題であるビーム力学、
最後に、過去のテキストに載っていないような話
題を扱う……、予定であったが、1 ヶ月以上前か
ら書き始めたにも関わらず、予想以上に手間取り、満足に書けなかった。毎年の著者に共通する後悔と思うが、基礎としてきちんと書かねばならない内容はもっとある。書けなかった、もしくはごまかした(!) 内容の多さが、極めて残念である。
ちなみに、過去の OHO のテキストは名著ばかりで、ビーム力学の基礎も数年毎に与えられている。それらを読めば、加速器科学のエキスパートになれる！
参 考 文 献本文中では参考文献に言及しなかったが。テ
キストを書くにあたって参照した文献について、ここに並べる。
挿入光源と光のパラメータについて[1] Richard P. Walker, “Insertion Devices:
Undulators and Wigglers”, Proc. of “CERN

Accelerator School: Synchrotron radiation andfree electron lasers”, 1996, CERN 98-04
新しい教科書ではないが、光束や輝度についてきちんと書かれている。かつて、様々な会合で輝度や光束の意味についての混乱を目にする機会があったが、こんなに古いテキストにきちんと書かれているのは驚きであった。2008 年現在、CERN のサイトからダウンロード可能。
http://documents.cern.ch/cgi-bin/setlink?base=cernrep&categ=Yellow_Report&id=98-04[2] Pascal Elleaume, “Insertion Devices”, Proc. of“CERN Accelerator School: Synchrotron
radiation and free electron lasers”, 2003, CERN
2005-012
テキストもすばらしいが、講義資料もダウンロードでき、それもすばらしい。挿入
光源の光束や輝度のみならず、実際の電子ビームに対してどのようになるかについて、シ
ミュレーションや測定結果も交えて解説してある。2008 年現在、CERN のサイトからダウンロード可能。
http://cas.web.cern.ch/cas/BRUNNEN/
lectures.html[3] 土屋 公央, “挿入型光源”, 1993 年 OHO セミナ
ー「光源用加速器と放射光用ビームライン」
世の中に挿入光源の光について扱った
テキストは数多くあるが、だいたいの教科書
は積分の式を載せて、あとは結果だけが書いてある。最初から最後まで式をとばさずに書いたものは、これしかないのではないかと思うくらい、とても貴重なテキスト。OHO のページからダウンロード可能。
[4] 北村 英男 編集, “放射光実験施設 挿入光源
ハンドブック(’90)”, KEK Report 89-24 1990
北村氏が挿入光源について、神谷先生がそのビームへの影響について要約した内容が冒頭についている。また、パラメータは古いが、実際の挿入光源の光束や輝度の詳細について公開されている貴重な本。2008 年現在、
KEK 図書室の文献のページからダウンロードできる。

のページからダウンロードできないが、生出さんのテキストは 2008 年現在、KEKB のページからダウンロード可能。

ビーム力学[5] 神谷 幸秀, “加速器の原理 シンクロトロン及びストレージング”, 1984 年 OHO セミナー「高エネルギー加速器入門」

http://www-acc.kek.jp/kekb/
Commissioning_in_PDF/beam_dynamics.pdf

神谷先生は筆者が大学 1 年の時からの恩師であり、物理に限らず、何から何まで、神谷先生に教わったので今があると思っている。が、最初にビーム物理学を真面目に勉強しようと思った大学 4 年の時、天邪鬼な筆者
としては、恩師のテキストは避けようと思った（誠にすみません）。そこで、他のテキストを読んでみた……が、さっぱりであった。色々悪あがきして最後に神谷先生のテキストを読み始めたときの、その爽快感といったら……
毎年の OHO で参照されているが、やはりビーム物理の最初は、これしかないと思う。

[10] 大貫 義郎、吉田 春男、「力学」 (現代物理学叢書)、岩波書店、(2001 年 6 月)
加速器では粒子の安定性が重要な話題であるが、シンプレクティックということや、
非線形を含む力学問題が解けるかどうかということについて、後半（吉田）に書かれている。関係ないが、筆者が最初にシンプレクテ
ィックという言葉を聞いたのは、学部最後の1998 年 3 月、理研の主催した第 8 回冬の学校「加速器におけるビーム物理」での講義で、吉田氏が講師だった。

[6] 神谷 幸秀, “コメント”, 挿入光源とビーム力学研究会 OHP 集, 1992 年 4 月, （残念ながら出版されていない）[11] Shyh-Yuan Lee, “Accelerator Physics”, World
Scientific, 2004[12] Helmut Wiedemann, “Particle Accelerator
Physics”, Springer; 3rd edition (June 12, 2007)

ワークショップの開催中、夜に思いついて書いたコメントとしてのトラペだそうである。本テキストの挿入光源のビームへの影響
は、神谷先生の一晩の思いつきの域を出ていない……のだ！

参照文献。何でも書いてある。加速器の教科書といえば、ヴィーデマンかリーか、という感じ。
[13] 本田 融, “放射光源リングの概要”, 放射光利用基礎講習会テキスト, 2005 年 9 月[7] 小林 幸則, “電子ストレージリング(II－ビー
ムの性質”, 1993 年 OHO セミナー「光源用加速器と放射光用ビームライン」

ユーザー向けの講習会のテキストで、本田さん以外は実験とビームラインの話。光源の基礎として必要な内容が、とてもよくまとまっている。真空グループの本田さんにも、色々お世話になっています。ありがとうございます。

直属の上司である小林さんは何でもすぐ謙遜するが、古典力学の摂動を簡単に解説したテキストは、これが最善と思う。小林さんにも色々大変お世話になっています。ありがとうございます。これからもよろしくお願
いいたします。
[8] 船越 義裕, “電子貯蔵リングにおけるビーム
ダイナミックスの基礎”, 1994 年 OHO セミナ
ー「Ｂファクトリーの加速器」

その他、宣伝[14] 羽島 良一 他編集, “コンパクト ERL の設計
研 究 報 告 書 ”, KEK Report 2007-7 / JAEA
Research 2008-032

ビーム物理の基礎、誤差の扱いや影響な
ど、とてもしっかり書かれている。このくらいしっかり書いてみたかった……！

[15] Workshop SAD2006
http://acc-physics.kek.jp/SAD/SAD2006/
Doc/program.html[9] 生出 勝宣, “ビーム力学入門”, JLC-FFIR92 研
究会講義録・研究報告集, KEK Proceedings
93-6 (1993)

ありがとうございました。

シンプレクティックについて、カオスや安定性について書かれている。Proc.は図書室

126