Lecturas Matemáticas
Volumen 45 (1) (2024), páginas 35-72
ISSN 0120-1980

Los dos grandes tesoros de la Geometría y el
descubrimiento de las magnitudes inconmensurables
The two great treasures of Geometry and the discovery ofincommensurability
José María Ayerbe Toledano
Universidad de Sevilla, España

R ESUMEN. El teorema de Pitágoras y la división de un segmento en extrema y media
razón son, según Kepler, los dos grandes tesoros de la Geometría. En este artículo se
estudia cómo son tratadas ambas cuestiones en los Elementos de Euclides, se analiza
la contribución de la escuela pitagórica al desarrollo de la matemática griega y se
profundiza en el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables, un hecho muy
vinculado a los dos tesoros de la Geometría que provocó la primera gran crisis en lahistoria de las matemáticas.
Palabras clave: Teorema de Pitágoras, extrema y media razón, magnitudes inconmensurables, Teeteto, Eudoxo de Cnido, Euclides, Jámblico, Proclo.

A BSTRACT. The Pythagoras theorem and the division of a segment into extreme andmean ratio are, according to Kepler, the two great treasures of Geometry. This paper
studies how both issues are treated in Euclid’s Elements, analyzes the contribution of
the Pythagorean school to the development of Greek mathematics and delves into thediscovery of incommensurability, a fact closely linked to the two treasures of Geometrythat caused the first great crisis in the history of mathematics.
Key words: Pythagoras theorem, extreme and mean ratio, incommensurability, Theaetetus, Eudoxus of Cnidus, Euclid, Iamblichus, Proclus.
2020 AMS Mathematics Subject Classification. Primary 01A20.

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1.

Introducción

Johannes Kepler, que vivió a caballo entre los siglos XVI y XVII, legó a la posteridad
la siguiente cita que podemos considerar como un tributo de admiración a la primera
matemática griega [5, pág. 81]:
“La Geometría tiene dos grandes tesoros: uno de ellos es el Teorema de Pitágoras;
el otro, la división de un segmento en media y extrema razón. El primero lo podemos
comparar a una medida de oro; el segundo lo podríamos considerar como una preciosa
joya”.
La cita de Kepler, como vemos, se refiere al teorema de Pitágoras y a la división deun segmento en extrema y media razón como los dos grandes tesoros de la Geometríay, en efecto, son dos resultados de una enorme belleza y múltiples aplicaciones que han
inspirado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Ambos resultados son atribuidos,de acuerdo con la tradición griega, a la escuela pitagórica que, como es sabido, consideraba
que el número era el principio o la esencia de todas las cosas.
En este artículo estudiamos cómo son tratadas ambas cuestiones en los Elementos deEuclides, incidiendo en los aspectos históricos asociados al desarrollo de la matemática
en los primeros siglos del periodo griego. En este sentido se analiza la contribución que
Pitágoras y sus seguidores hicieron para la consolidación de la matemática como disciplina
científica de carácter deductivo y racional, se profundiza en el descubrimiento de lasmagnitudes inconmensurables, un acontecimiento muy vinculado a los dos tesoros de laGeometría que vino a tirar por tierra toda la filosofía pitagórica, y se estudia la solución
que los matemáticos griegos de la Academia de Platón idearon para superar las dificultades
surgidas como consecuencia de la aparición de dichas magnitudes.
Como se señala en [10, pág. 242] el descubrimiento de la inconmensurabilidad es uno
de los logros más asombrosos y de mayor alcance de las primeras matemáticas griegas. Estanto más asombroso cuanto que, según la tradición antigua, el descubrimiento se produjo
en una época en que la ciencia matemática griega estaba aún en pañales y aparentemente
se ocupaba de los problemas más elementales, mientras que las matemáticas egipcias ybabilonias, que desde un enfoque práctico habían elaborado con anterioridad métodos
muy sofisticados para la resolución de cuestiones aritméticas, algebraicas y geométricas,
jamás sospecharon siquiera la existencia del problema. Esto demostraría el punto de vista
radicalmente distinto respecto de sus predecesores que adoptaron los griegos al encarar elestudio de la matemática y de la ciencia en general.
El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables supuso un revés importantísimo
para la matemática griega ya que afectaba a los fundamentos de la misma. La creencia
intuitiva de que los números naturales y, a partir de ellos, los racionales podían medirlo
todo exactamente era una simple ilusión. Este hecho tuvo como consecuencia la sustitución
de la concepción aritmética del mundo, propia de la escuela pitagórica original, por una
concepción geométrica plasmada de manera magistral en los Elementos de Euclides. Dado
que no disponían de un sistema adecuado para la representación y tratamiento de losnúmeros irracionales, los griegos renunciaron al álgebra, desarrollando en su lugar una

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compleja teoría de magnitudes inconmensurables con ropaje geométrico.
Los Elementos de Euclides [8], un compendio en trece Libros escrito hacia el año
300 a. C. que recoge lo fundamental de la matemática griega de su época, será una
de las referencias principales de este artículo. A lo largo del mismo citaremos algunas
proposiciones de ese tratado notando primero el Libro al que pertenecen y después el
número de cada proposición. Así, la proposición I.47 será la proposición 47 del Libro I
de los Elementos. Se ha procurado ser fiel a las pruebas de las proposiciones recogidas
en dicho texto si bien, en algunas ocasiones, se ha recurrido al álgebra actual para evitar
la penosidad de las demostraciones aritméticas de Euclides. Tampoco se han eludido lasreferencias a longitudes y áreas cuando resulta conveniente, aunque ha de tenerse en cuenta
que estas nociones son ajenas a los Elementos que únicamente hacen alusión a medidas
relativas o razones entre segmentos o figuras. En todo caso se ha tratado de no desvirtuar
los aspectos esenciales de las demostraciones y construcciones incluidas en la gran obra
del maestro alejandrino.
2.

La aportación de la escuela pitagórica al desarrollo de la matemática griega

Hacia el siglo VIII antes de Cristo los egipcios y mesopotamios, que dieron losprimeros pasos en el desarrollo de una matemática todavía de carácter meramente instrumental para la resolución de problemas prácticos concretos, ceden el testigo al mundo
griego que inicia un proceso de desarrollo cultural sin precedentes en la historia de lahumanidad que va a conducir a la matemática, y en general a todos los ámbitos de lacultura, a su mayoría de edad. Este proceso permite a la matemática abandonar su carácter
empírico para convertirse en una ciencia teórica y abstracta que, superando los casos
particulares, busca verdades generales y universales.
Sobre el origen de la palabra “Matemáticas” -“Mathema” en griego-, Proclo recoge
una larga explicación en [19, Comentarios 45-47] en la que señala que, en su opinión,tal designación no es accidental, como sucede con la mayoría de los nombres, sino queéste deja claro qué tipo de función realiza esta ciencia, que no es otra que desarrollar lacompetencia para aprender y conocer. Así afirma que la matemática “estimula nuestro
innato conocimiento, despierta nuestra inteligencia, purga nuestro entendimiento, saca a laluz los conceptos que nos pertenecen esencialmente, aleja el olvido y la ignorancia quetenemos desde el nacimiento y nos libera de las ataduras de la sinrazón”.
Aun cuando la matemática alcanzó en el periodo griego un grado de desarrollo dignode admiración, el proceso no pudo ser repentino sino que se fue materializando de manera
gradual. Más que del “milagro griego", que encierra la poco afortunada idea de un surgimiento de la ciencia, del arte y de la filosofía como por ensalmo, se debe hablar de unaépoca en la que las nuevas culturas que se van desarrollando vigorosamente en las costasdel Mediterráneo beben de los pueblos orientales, en especial de Egipto y Mesopotamia,para, a partir de ese conocimiento, crear su propio saber.
La dificultad fundamental con la que se encuentra el historiador al estudiar el desarrollode la matemática en este periodo es la escasez de documentos originales o copias fieles delas contribuciones matemáticas concretas realizadas por los personajes de la época. Este

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hecho contrasta poderosamente, por ejemplo, con la abundancia de tablillas cuneiformes
con contenido matemático de origen babilonio que han llegado hasta nuestros días, apesar de ser mucho más antiguas. Aunque en menor medida, también se dispone dedocumentación original de la matemática egipcia que se desarrolló entre los años 2.000
y 500 a. C. Sin embargo, de las no muy numerosas producciones matemáticas griegas
que han sobrevivido hasta la actualidad, solo disponemos de copias, compilaciones ocomentarios tardíos, a veces posteriores en varios siglos, cuando no de meras traducciones
cuyo grado de fiabilidad con el original es difícil de evaluar. Como se señala en [21, pág.
36] “esto es particularmente cierto para la matemática del periodo helénico (siglos VI al
IV a. C.), ya que de los escritores anteriores a Euclides no se conoce sino el fragmento
relativo a las lúnulas de Hipócrates, de la Historia de la matemática de Eudemo de Rodas[escrita hacia el año 320 a. C.] que, a su vez, se conoce mediante una reproducción no muy
fiel, aparecida en un comentario aristotélico de Simplicio del s. VI, es decir, de un milenio
después”.
Esta sequía documental explica que la historia de la matemática del periodo helénico
sea ciertamente insegura ya que ha debido ser reconstruida a partir de fuentes escasas,
dispersas y, en algunos casos, poco fiables por diferir muchos cientos de años de lascontribuciones originales. De entre ellas una de las más importantes viene dada por el
conjunto de referencias históricas que aparece en “Los comentarios al libro I de losElementos de Euclides” de Proclo de Licia (410-488 d. C.) [19], texto al que nosotros nos
referiremos reiteradamente en este artículo. Aunque tiene menos interés matemático, es
muy útil para conocer el estilo de vida de los seguidores de Pitágoras la obra de Jámblico(aprox. 250-325 d. C.) “Vida Pitagórica” [15], si bien los datos biográficos que se recogenen la misma deben ser tomados con cautela pues las imprecisiones son muy frecuentes.
En orden cronológico, el primer matemático griego relevante del que tenemos noticia
fue Thales (aprox. 624-548 a. C.), uno de los denominados “siete sabios de Grecia” y alque de hecho se le llama “el primer matemático”, pues es la primera persona a la que se leatribuyen resultados matemáticos concretos. En efecto, Proclo recoge en [19, Comentario157] que “el famoso Thales se dice que fue el primero en demostrar que el círculo es
biseccionado por su diámetro” y en [19, Comentario 251] señala que “fue el primero en
observar y afirmar que en cada triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales”.
Asimismo, en [19, Comentario 299] se apunta que el resultado según el cual si dos rectas
se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí, “fue primero descubierto
por Thales, pero solo se consideró digno de una demostración científica con el autor delos Elementos” y en [19, Comentario 352] se afirma que “Eudemo, en su historia de lageometría, atribuye este teorema a Thales1 , señalando que el método utilizado por éstepara medir la distancia de los barcos a la costa muestra que Thales debe haberlo usado”.
También Proclo [19, Comentario 65], a continuación de unas observaciones introductorias sobre el origen de la geometría en Egipto y su vinculación con la medida delas tierras, informa de que Thales “fue el primero en introducir esta ciencia en Grecia”
1 Se refiere al teorema que demuestra que son iguales dos triángulos que tienen dos ángulos iguales y también

igual el lado correspondiente a dichos ángulos o el que subtiende a alguno de ellos.

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y que “descubrió por sí mismo muchas proposiciones e instruyó a sus sucesores en losprincipios en que se basan muchas otras, siendo su método de ataque en algunos casos más
general y en otros más empírico”. Así, de acuerdo con una tradición firmemente asentada,
Thales sería el primero que abrió el camino que condujo a la organización deductiva
de la geometría y, por ello, se considera convencionalmente que con él finaliza la etapa
precientífica y comienza el periodo del saber crítico y objetivo, esto es, de la ciencia tal
como la conocemos hoy.
Thales fundó la Escuela Jónica en la ciudad de Mileto, un importante núcleo comercial
ubicado en las costas de Asia Menor que entonces era un lugar de encuentro de múltiples
razas y culturas, lo que sin duda favoreció el intercambio de ideas y de conocimiento. En
este sentido se afirma en [20, pág. 77-78] que en Mileto “los prejuicios y supersticiones
primitivos estaban atenuados por el trato con muchos otros pueblos”. A la Escuela Jónica
pertenecieron los filósofos Anaximandro, Anaxímenes y Anaxágoras, pero nosotros, a losefectos que interesan a este artículo, nos detendremos en Pitágoras que, quizás, también
fue discípulo de dicha Escuela. En este sentido se recoge en [15, pág. 33] que “[Thales] lo
acogió complacido [...] y le hizo partícipe de cuantos conocimientos pudo”.
Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego que habría vivido a lo largo degran parte del siglo VI antes de Cristo y que habría recibido una sólida formación científica
y religiosa en Egipto y Babilonia. En [15, pág. 36] se recoge que permaneció veintidós
años en Egipto “estudiando astronomía y geometría [...] e iniciándose en todos los rituales
de los dioses” y doce años en Babilonia donde “aprendió perfectamente el culto de losdioses, llegando junto a ellos a la cumbre de la aritmética, de la música y de las demás
disciplinas”.
Después de estos viajes y sin perjuicio de la dudosa exactitud de las precisiones
cronológicas recogidas en [15], Pitágoras regresó a Samos, “a la edad de cincuenta y seisaños” según se afirma en el mencionado texto, y no fue hasta posteriormente que se traladó
al sur de Italia fundando, en la colonia griega de Crotona, su propia escuela, una asociación
que era, a la vez, escuela filosófica y congregación religiosa.
El pitagorismo era ante todo una forma de vida por la que los miembros de la secta
debían adaptar su proceder a las reglas establecidas por el sabio de Samos, lo que incluía
la convivencia en comunidad y la donación del patrimonio propio a la orden. Además
la escuela participó de forma activa en la política y el gobierno de las ciudades del surde Italia donde se formaron comunidades, desplegando al mismo tiempo una importante
actividad tanto religiosa como científica y filosófica. En [14, pág. 32] se recoge en este
sentido que “el principal objeto de la doctrina pitagórica era la purificación del alma ocatarsis mediante la permanente prosecución de los estudios filosóficos y matemáticos
como base moral para la dirección de la vida con la finalidad de alcanzar la salvación a
través de la sabiduría”. Con Pitágoras se inaugura por tanto la combinación de matemáticas
y teología que, como se apunta en [20, pág. 88], caracterizó la filosofía religiosa en Grecia,
en la Edad Media y en los tiempos modernos hasta Kant.
Una de las características fundamentales de la orden, en lo referente a los conocimientos, era la imposición del secreto y del silencio místicos que impedían la transmisión de las

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enseñanzas a las personas no iniciadas. En relación con este aspecto se señala en [15, pág.
67] que “es ley divina confiar a la memoria los preceptos sagrados y humanos y no hacer
partícipes de los beneficios de la sabiduría a los que ni siquiera en sueños tienen purificada
su alma. Pues no es lícito ofrecer a los que uno se va encontrando lo que se ha conseguido
con esfuerzo, a costa de grandes sacrificios, ni proporcionar los misterios de las dos diosas
de Eleusis2 a profanos: los que llevan a cabo estas acciones son por igual injustos e impíos”.
Este secretismo ha contribuido a rodear la vida y la doctrina de Pitágoras de un halo misterioso que, unido a la mencionada falta absoluta de documentos de la época y al carácter
hagiográfico de las obras griegas posteriores, aderezadas de imprecisiones cronológicas
y elementos legendarios o místicos, ha dificultado históricamente la distinción entre loshechos que se produjeron realmente y la leyenda.
Refiriéndose en particular a las matemáticas, Aristóteles (384-322 a. C.) realiza una
exposición general de la base científica del pitagorismo en [3, Libro I, Cap. V, pág. 30-31]
y nos dice que:“Los llamados pitagóricos, que fueron los primeros en cultivar las matemáticas, nosolo hicieron avanzar a estas, sino que nutridos de ellas creyeron que sus principios eranlos principios de todos los entes. Y puesto que los Números son, entre estos principios,
los primeros por naturaleza y en ellos les parecía contemplar muchas semejanzas con loque es y lo que deviene, más que en el Fuego y en la Tierra y en el Agua [...] y viendo,
además, en los Números las afecciones y las proporciones de las armonías -puesto que,en efecto, las demás cosas parecían asemejarse a los Números en su naturaleza toda, ylos Números eran los primeros de toda la Naturaleza, pensaron que los elementos de losNúmeros eran los elementos de todos los entes, y que el cielo era armonía y número. Y
todas las correspondencias que veían en los números y en las armonías con las afecciones
y con las partes del cielo y con el orden universal, las reunían y reducían a sistema. Y, si
en algún punto faltaba algo, se apresuraban a añadirlo, para que toda su doctrina fuese
coherente”.
Se recoge en este fragmento de Aristóteles el principio esencial sobre el que reposa
toda la filosofía de la escuela pitagórica, esto es, la idea de que el número es la esencia detodas las cosas, en contraposición con sus antecesores del núcleo de Mileto que atribuyeron
este principio a elementos naturales como el agua o el aire. Y cuando hablamos de número
estamos refiriéndonos a los números naturales, toda vez que los griegos nunca introdujeron
formalmente los números racionales sino que consideraban en realidad las fracciones comouna razón o relación entre dos enteros positivos.
Si nos atenemos a lo que nos dice Proclo en [19, Comentario 66] “Pitágoras, quevino después de él [de Thales] transformó esta ciencia [la matemática] en una forma
de educación liberal, examinando sus principios desde el comienzo y demostrando losteoremas de una manera inmaterial e intelectual. Así descubrió la teoría de proporciones yla construcción de las figuras cósmicas [poliedros]”.

2 Ritos de purificación en honor de las diosas Deméter y su hija Perséfone que se celebraban en la ciudad deEleusis, a pocos kilómetros de Atenas, y cuyas ceremonias tenían un carácter secreto.

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La vinculación del sabio de Samos con el carácter deductivo de la matemática hasido objeto de fuerte controversia entre los especialistas en el tema, algunos de los cuales
han puesto en duda que durante la vida de Pitágoras la matemática griega diera un salto
tan extraordinario en su progresión y consideran que este proceso debió ser más lento(ver por ejemplo [5, pág. 82]). Sin embargo, el propio descubrimiento de las magnitudes
inconmensurables prueba, como veremos en la sección 5 de este artículo, que la matemática
helénica se diferenció muy pronto de la de sus predecesores y fue precisamente la adopcióndel método deductivo y la superación del carácter empírico lo que le permitió plantearse
problemas que hasta entonces habían pasado inadvertidos. Abundando en esta idea en [23,pág. 252] se analiza someramente el nivel de la producción matemática realizada durante elsiglo V a. C. por investigadores tan relevantes como Demócrito de Abdera (aprox. 460-370
a. C.) o Hipócrates de Quíos (aprox. 470-410 a. C.) y se observa un grado de madurez que
difícilmente hubiera podido producirse si el método deductivo no se hubiera desarrollado
con anterioridad. Todo ello sería coherente con lo recogido por la tradición antigua que
atribuye a Pitágoras el protagonismo de esta evolución.
Podemos considerar, por tanto, que Pitágoras avanza de manera decisiva en el camino
iniciado por Thales y marca un hito en el desarrollo de las matemáticas como ciencia,
superando el carácter meramente instrumental y técnico como medio para resolver problemas prácticos de la vida cotidiana que tuvo para las civilizaciones anteriores, otorgándoleel estatuto de ciencia racional y vinculándola con el puro amor por la sabiduría. Con él
se realiza el tránsito de lo meramente empírico a lo teórico, apareciendo las primeras
concepciones sobre definición, demostración, teorema o axioma. No es de extrañar que
Bertrand Russell afirme en [20, pág. 79] que “Pitágoras es intelectualmente uno de loshombres más importantes que han existido".

3.

El teorema de Pitágoras

El primer tesoro de la geometría, que según la cita inicial de Kepler puede compararse
con una medida de oro, es el teorema de Pitágoras, del que vamos a ocuparnos en esta
sección. Este resultado es el más importante que se atribuye a la escuela pitagórica y, aún
en la actualidad, es la proposición matemática más conocida y la que permite a Pitágoras,
como se señala en [14, pág. 30], formar parte del “imaginario cultural” de todos lospueblos.
Este teorema aparece demostrado en la proposición 47 del Libro I de los Elementos deEuclides, la penúltima de dicho Libro. Aunque Proclo [19, Comentarios 82 y 432] indica
sucintamente que el propósito del primer Libro es presentar los principios del estudio delas figuras rectilíneas, encontrar sus construcciones y examinar sus propiedades esenciales,
merece la pena hacer notar que el teorema de Pitágoras es la culminación del Libro I de losElementos, hasta el punto de que podría afirmarse que todo el Libro ha sido diseñado para
llegar a la demostración de este resultado fundamental. De hecho, la última proposicióndel Libro, la 48, no es más que el recíproco del teorema de Pitágoras, es decir, el resultado
que prueba que si en un triángulo los lados verifican entre ellos la relación del teorema dePitágoras, entonces el triángulo es rectángulo.

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Es difícil saber a quién debe atribuirse el teorema que hoy conocemos como de Pitágoras. Con toda probabilidad procede de los babilonios pues se han descubierto tablillas
cuneiformes anteriores al año 1.500 a. C. que recogen ternas pitagóricas, esto es, tripletesde números naturales escritos en el sistema de numeración sexagesimal que, a la vez que
representan los lados de triángulos rectángulos, también expresan la posibilidad de descomponer números cuadrados en la suma de dos cuadrados (ver [5, pág. 59] o [21, pág. 23]).
No obstante, se ha sugerido como justificación del nombre de teorema de Pitágoras que lospitagóricos fueron los primeros que dieron una demostración. En este sentido Proclo recoge
en [19, Comentario 426] lo siguiente: “Si escuchamos a quienes gustan de narrar cosas
antiguas, hallaremos que atribuyen este teorema a Pitágoras y dicen que sacrificó un buey
por su descubrimiento”. En la actualidad parece históricamente aceptado que los primeros
pitagóricos efectivamente conocían alguna forma de demostración, probablemente gráfica,del teorema de Pitágoras.
Menos probable resulta la afirmación relativa al sacrificio del buey para celebrar
el descubrimiento del teorema o su demostración, no sólo porque los pitagóricos demayor rango eran vegetarianos, sino porque tenían prohibido el sacrificio de animales ylos banquetes y comilonas encajan muy mal con el modo de vida de la orden. En este
sentido en [15, pág. 85-86] se recoge lo siguiente: “A los filósofos más teoréticos, y muy
especialmente a los que estaban en la más alta cima, [Pitágoras] les impidió enteramente
una alimentación excesiva e injusta, induciéndoles a que jamás comieran animal alguno, ni
en absoluto bebieran vino, ni sacrificaran seres vivos a los dioses ni los maltrataran lo más
mínimo, sino que con el mayor cuidado observaran la justicia con ellos.”En [15, pág. 33] se apunta también que la moderación en el comer y el beber sería una
enseñanza que Pitágoras habría recibido de Thales en su juventud y, en este sentido, seafirma: “Entre otras cosas sacó [Pitágoras] provecho de Thales por ahorrarse especialmente
tiempo, al renunciar por ello a beber vino, a comer carne e incluso antes a la gula, yatenerse a la comida de cosas suaves y de fácil digestión, y consiguiendo con ello un sueño
corto, vigilia, pureza de alma y una salud corporal perfecta e inquebrantable.”
Teorema 1. Teorema de Pitágoras.
En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que está tendido bajo el ángulo
recto [la hipotenusa] es igual a [la suma de] los cuadrados de los lados que contienen alángulo recto [los catetos].

Demostración. Consideremos el triángulo rectángulo ABC de la figura 1, con ángulo
recto BAC. Hemos de probar que el cuadrado construido sobre BC es igual a la suma delos cuadrados construidos sobre AB y AC.
Construimos, tal como se refleja en la figura, los cuadrados BCDE, ABZH y ACKTa partir, respectivamente, de los segmentos BC, AB y AC [Proposición I.46]. Por A
trazamos la recta AA′ , que corta a BC en A′′ y que es paralela a BE, y trazamos también
las rectas ZC y AE.

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E

43

A'

D
Z

H

B

A''

A

C

T

K

Figura 1. Teorema de Pitágoras.

Como los ángulos BAC y BAH son rectos, sigue que los segmentos CA y AH están
en línea recta [Proposición I.14] y, por el mismo razonamiento, BA y AT también estánalineados. Además, como los ángulos EBC y ZBA son iguales al ser rectos, obtenemos
que los ángulos EBA y ZBC son también iguales, pues ambos son un recto más el ángulo
ABC. Por tanto, los triángulos ABE y ZBC tienen respectivamente iguales los lados
AB y ZB y BC y BE y también el ángulo determinado por los mismos, de donde sigue[Proposición I.4] que ambos triángulos son iguales y así los segmentos AE y ZC sontambién iguales.
Consideremos ahora el rectángulo BEA′ A′′ y el triángulo ABE. Se verifica que tienen
la misma base BE y están entre las paralelas BE y AA′ , de donde se deduce [Proposición
I.41] que el área del rectángulo es doble de la del triángulo. Por el mismo razonamiento, si
se considera el cuadrado ABZH observamos que tiene la misma base ZB que el triángulo
ZBC y está entre las paralelas ZB y HC, por lo que el área del cuadrado ABZH es doble
de la del triángulo ZBC. Así, el cuadrado ABZH tiene el mismo área que el rectángulo
BEA′ A′′ .
Si trazamos ahora las rectas AD y BK y consideramos los triángulos ACD y BCK,el mismo razonamiento permite obtener que los triángulos son iguales y, a partir de ahí,que el cuadrado ACKT es el doble que el triángulo BCK y que el rectángulo A′′ A′ DC
es el doble que el triángulo ACD, de donde sigue que el cuadrado ACKT es igual alrectángulo A′′ A′ DC.
Concluimos así que el área del cuadrado BCDE, que es igual a la suma de las áreas delos rectángulos BEA′ A′′ y A′′ A′ DC, coincide con la suma de las áreas de los cuadrados
ABZH y ACKT , que es el resultado buscado.

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La excelente demostración que acabamos de ver no fue, obviamente, la encontrada por
Pitágoras o sus primeros seguidores ya que refleja un grado de desarrollo del pensamiento
matemático que no se había producido en los siglos VI o V a. C. En este sentido merecela pena traer a colación el comentario de [10, pág. 251] que señala que “no es posible
averiguar exactamente cómo los primeros matemáticos griegos demostraron o intentaron
demostrar el teorema en esta forma general, ya que no existe ninguna tradición al respecto”.
Proclo en [19, Comentarios 426-427] atribuye esta prueba directamente a Euclides y nos
dice lo siguiente: “Por mi parte, aunque me maravillo de los primeros que advirtieron
la verdad de este teorema, yo admiro más al autor de los Elementos, no sólo por la muy
lúcida prueba que el hizo, sino también por el teorema que incluyó en el sexto Libro que
es incluso más general y que está probado con irrefutables argumentos científicos”.
En este elogio al trabajo de Euclides se refiere Proclo a la proposición VI.31 en laque se prueba que, en los triángulos rectángulos, la figura construida a partir del ladoque subtiende al ángulo recto es igual a las figuras semejantes y construidas de manera
semejante a partir de los lados que comprenden el ángulo recto. Los argumentos utilizados
para demostrar esta generalización en el Libro VI de los Elementos están basados en losconceptos de semejanza de figuras rectilíneas y proporcionalidad, mientras que, comohemos visto, el teorema de Pitágoras se prueba en el Libro I por medio de la teoría ordinaria
de paralelogramos. Esto parece indicar que Euclides tenía prisa por llegar a este importante
resultado e incide en la idea de que el Libro I se concibió precisamente para poder obtenerlocomo colofón del mismo.
En el marco de una crítica general a los Elementos y, específicamente en relación
con la demostración del teorema de Pitágoras recogida en el Libro I, Schopenhauer, elfamoso filósofo alemán, consideraba que era “tramposa”3 , en el sentido de que se prueba
la licitud de la afirmación mediante una cadena de razonamientos lógicos que, a partirde las premisas permiten obtener la conclusión, pero sin llevar al conocimiento internode la verdad. Por eso Schopenhauer consideraba que toda demostración lógica debía ir
acompañada de otra preliminar en la que entren solamente elementos intuitivos, idea muy
a tener en cuenta por el profesorado en la práctica de la enseñanza.
Klein, en su delicioso libro [16, Vol. II, pág. 317], considera natural que Schopenhauer
censure la forma rígida de la exposición euclídea y que desee que junto a la lógica se tenga
más en cuenta la intuición, pero entiende que no es disculpable que para justificar sus ideas
ataque precisamente a la demostración que da Euclides del teorema de Pitágoras, pues éstase distingue precisamente, dice Klein, por ser muy intuitiva.
Y para rematar su opinión sobre la demostración del teorema de Pitágoras recogida
en los Elementos Klein sentencia [16, Vol. II, pág. 319]: “En esta demostración están
mezcladas de tal modo la intuición y la lógica que cada paso lógico está evidenciado
intuitivamente, lo cual puede muy bien considerarse como el ideal”.

3 En [16, Vol. II, pág. 317] se utiliza el término “ratonera” para traducir el vocablo alemán “mausefallen-

beweiss”(trampa de ratones), si bien se considera más correcta la palabra “tramposa” para reflejar lo que
Schopenhauer quería decir.

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Schopenhauer, al que no le gustaba como hemos dicho esta prueba, sin embargo síconsideraba como excelente la conocida demostración gráfica del teorema de Pitágoraspara el caso de que el triángulo rectángulo sea isósceles, en la que solo hace falta mirar la
figura 2, tomada de [16, Vol. II, pág. 320], para convencerse de la verdad del teorema:

Figura 2. Demostración gráfica del Teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo
isósceles.

Obsérvese que los dos cuadrados coloreados que están colocados sobre uno de sus
vértices son los cuadrados sobre los catetos (tienen como lado los catetos) y la suma delas áreas de ambos coincide con el área del cuadrado central, que es el cuadrado sobre la
hipotenusa (tiene como lado la hipotenusa). Algunos autores consideran que esta prueba
gráfica podría ser la primera demostración del teorema de Pitágoras, si bien, como se hamencionado, no existe ninguna tradición al respecto que permita corroborar esta hipótesis.
Además debe tenerse en cuenta que no es posible obtener ternas pitagóricas que representen
los lados de un triángulo rectángulo isósceles, lo que podría ir en contra de esta conjetura
toda vez que los griegos heredaron de la matemática oriental el interés por la relación
entre los lados de un triángulo rectángulo mediante el estudio de estas ternas de números
naturales.
En relación con ambas demostraciones Klein, para afirmar su punto de vista, señala[16, Vol. II, pág. 320]:“[la segunda demostración] es clarísima y convence en el acto, solamente con mirarla figura, pero no por ello es más intuitiva que la de Euclides [para el caso general] pues
en ambas están la lógica y la intuición mezcladas en el mismo grado, lo que ocurre es
que el caso particular presentado por Schopenhauer permite, en virtud de su propia yespecial naturaleza, evidenciar instintivamente con más facilidad el proceso lógico de lademostración”.
Veamos ahora, para finalizar esta sección, la proposición I.48 de los Elementos, estoes, el recíproco del teorema de Pitágoras.
Proposición 1. Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a [la suma de]los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, el ángulo comprendido por esos
lados restantes del triángulo es recto.
Demostración. Consideremos el triángulo ABC de la figura 3 y supongamos que elcuadrado del lado BC es igual a la suma de los cuadrados de los lados BA y AC. Tenemos

46

J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

que probar que el ángulo BAC es recto.
C

D

A

B

Figura 3. Recíproco del Teorema de Pitágoras.

Para ello construyo [Proposición I.11] el segmento AD que forma ángulo recto con
AC, siendo AD = AB, y trazo el segmento DC. Puesto que AD = AB se tiene que elcuadrado de lado AD es igual al cuadrado de lado AB y si se añaden a ambos cuadrados
el cuadrado de lado AC se mantiene la igualdad. Pero por el teorema de Pitágoras aplicado
al triángulo rectángulo ADC, se tiene que el cuadrado de lado DC es igual a la suma delos cuadrados de lados AD y AC que, a su vez, es igual a la suma de los cuadrados delados BA y AC. Sigue que el cuadrado de lado DC es igual al cuadrado de lado BC y
así DC = BC. En definitiva AB = AD, DC = BC y AC es común a ambos triángulos.
Sigue que [Proposición I.8] el ángulo DAC es igual al ángulo BAC y como el primero es
recto por construcción, el segundo también debe serlo, que es lo que se quería probar.
4.

La división de un segmento en extrema y media razón

El segundo tesoro de la geometría, que según Kepler se puede considerar como una
preciosa joya, es la división de un segmento en extrema y media razón, concepto que fue
exhaustivamente estudiado por los pitagóricos en relación con la estrella de cinco puntas
que se forma al trazar las cinco diagonales de un pentágono regular, llamada pentágono
estrellado o pentagrama místico, que era el símbolo de identificación de los miembros dela escuela.
Comencemos recordando la definición VI.3 de los Elementos, que dice lo siguiente:
Definición 1. Se dice que una recta [un segmento] es cortada en razón extrema y media
cuando la entera [la longitud total del segmento] es al segmento mayor como el mayor es
al menor.
O dicho de forma más breve: “Un segmento es cortado en razón extrema y media
cuando el todo es a la parte [mayor] como ésta es al resto”. Al dividir un segmento en
extrema y media razón resulta que el cociente entre las dos partes en que se divide elLecturas Matemáticas, vol. 45 (1) (2024), pp. 35-72

47

segmento es constante e independiente de la longitud del mismo, si bien en los Elementos√
no se hace ninguna referencia a este hecho. A dicha constante, que viene dada por 1+2 5 ,se la llama el número de oro, la razón aúrea o la divina proporción.
Proposición 2. El cociente entre la parte mayor y la menor en que queda
dividido un√segmento al cortarlo en razón extrema y media es constante e igual a 1+2 5 .
Demostración. Dividamos un segmento de longitud l en razón extrema y media. Si llamamos x a la longitud del lado mayor, se tendrá quelx=⇐⇒ l(l − x) = x2 ⇐⇒ x2 + lx − l2 = 0.
x
l−x
√

√

5
5
Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene que x = −l+l
ó x = −l−l.
22Considerando únicamente la solución positiva sigue que x = l √ l − x = l 3−2 5 .

√
−1+ 5
2

y, por tanto,Así, la razón entre las dos partes en que queda dividido el segmento no depende de lalongitud del mismo y será
√
√
x
1+ 5
−1 + 5
√
=
=
l−x
2
3− 5
como se quería probar.
El nombre de “divina proporción” para referirse al cociente entre las partes resultantes
de la división de un segmento en extrema y media razón tiene su origen en Luca Paciolique, en 1509, dedicó todo un tratado a este tema que ha pasado a la historia más por los
extraordinarios dibujos geométricos de Leonardo da Vinci incluidos en el mismo que por la
originalidad de su contenido matemático. Para justificar el nombre del compendio Pacioli
escribe lo siguiente combinando, como era habitual en la época, matemáticas y teología[17, Cap. V, pág. 41]:
“Paréceme [...] que el título conveniente a nuestro tratado ha de ser La Divina Proporción, y ello por numerosas correspondencias de semejanza que encuentro en nuestra
proporción [...] que corresponden a Dios mismo. [...] Para nuestro propósito será suficiente
considerar cuatro de ellas, entre otras. La primera es que ella es una sola y no más, y noes posible asignarle otras especies ni diferencias. Y dicha unidad es el supremo epíteto
de Dios mismo, según toda la escuela teológica y también filosófica. La segunda correspondencia es la de la Santa Trinidad, es decir, que así como in divinis hay una misma
sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo- de igual modo una misma
proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos como se
dirá. La tercera correspondencia es que, así como Dios no se puede propiamente definir ni
puede darse a entender a nosotros mediante palabras, nuestra proporción no puede nunca
determinarse con un número inteligible ni expresarse mediante cantidad racional alguna,

48

J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

sino que siempre es oculta y secreta y es llamada irracional por los matemáticos. La cuarta
correspondencia consiste en que, así como Dios nunca puede cambiar y está todo Él en
todo y todo en todas partes, de igual modo nuestra proporción es siempre, en toda cantidad
continua y discreta, grande o pequeña, la misma y siempre invariable, y de ninguna manera
puede cambiar ni de otro modo puede aprehenderla el intelecto”.
En la actualidad el número de oro se designa con la letra griega Φ en honor delarquitecto y escultor Fidias, constructor del Partenón, obra paradigmática de la arquitectura
griega clásica que respeta de manera escrupulosa esta proporción en la relación entre
las partes, el techo y las columnas, del edificio. Además, Fidias también aplicó la razón
aúrea en la composición de las esculturas que se ubicaron en el mismo. La notación Φ laempleó por primera vez en 1900 el matemático norteamericano Mark Barr. En la Grecia
clásica la divina proporción no recibía ningún nombre especial y, de hecho, la división deun segmento en extrema y media razón les resultaba tan familiar que habitualmente era
conocida simplemente como “la sección”.
La proposición VI.30 de los Elementos realiza la construcción para dividir un segmento
en extrema y media razón, utilizando sólo regla y compás, como todas las construcciones
de dicho texto. La prueba de Euclides se basa en un resultado anterior sobre aplicación deáreas, concretamente en la proposición VI. 29 que desvela cómo aplicar a una recta dada unparalelogramo igual a una figura rectilínea dada y que exceda en una figura paralelograma
semejante a una dada. Los problemas de aplicación de áreas fueron muy estudiados por laescuela pitagórica y, sin duda, estarían en la génesis de las primeras demostraciones deeste teorema. No obstante, para la división de un segmento en extrema y media razón nose precisa un resultado tan general como el empleado por el genio de Alejandría, sino que
basta construir, a partir de un segmento, un rectángulo igual al cuadrado de lado dicho
segmento y que exceda de éste precisamente en un cuadrado. En la demostración que serecoge a continuación seguiremos fielmente la prueba de Euclides, pero utilizando sólo lo
que se necesita para el objetivo deseado.
Proposición 3. Dividir una recta finita [un segmento] dada en extrema y media razón.
Demostración. Hemos de dividir en extrema y media razón una recta finita AB. Para
ello a partir del segmento AB construyamos un cuadrado ABCD [Prop. I.46]. Vamos
ahora a determinar un rectángulo DHGF que sea igual al cuadrado ABCD y de forma
que exceda en un cuadrado. Con este objetivo dividamos el segmento AD por la mitad
en el punto Z [Prop. I.10], tracemos la recta BZ y prolonguemos ZA hasta un punto H
de forma que ZH sea igual a ZB [Prop. I.2]. Asimismo, con lado AH construyamos elcuadrado AHGE [Prop. I.46], todo ello tal como se recoge en la figura 4.
Veamos que el rectángulo DHGF es igual al cuadrado ABCD. En efecto, como larecta AD ha sido dividida en Z por BZ y se le ha añadido AH se tiene que el rectángulo
DHGF , junto con el cuadrado de lado AZ, es igual al cuadrado de lado ZH 4 [Prop. II.6].
4 Esta expresión es equivalente a la igualdad algebraica (2a + b)b + a2 = (a + b)2 , tomando en este casoa = AZ y b = AH.

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49

F
D

C

Z

A

B
E

H

G

Figura 4. División de un segmento en extrema y media razón.

Pero como ZH = BZ sigue que el rectángulo DHGF , junto con el cuadrado de lado
AZ, es igual al cuadrado de lado ZB. Además, por el teorema de Pitágoras [Prop. I.47]
aplicado al triángulo rectángulo ABZ, se tiene que el cuadrado de lado ZB es igual ala suma de los cuadrados de lados AB y AZ. En consecuencia el rectángulo DHGF es
igual al cuadrado ABCD y por la construcción realizada AHGE es un cuadrado.
Como ABCD es igual a DHGF quitemos de ambos el rectángulo AEF D y se
tendrá que el cuadrado AHGE es igual al rectángulo EBCF , esto es, AE 2 = EB · ABo, equivalentemente [Prop. VI.17],
AB
AE
=
AE
EB
Y como además AB > AE sigue que AE > EB, por lo que el punto E divide la recta
AB en extrema y media razón como se deseaba, siendo AE el segmento mayor.
Como señalamos en el caso del teorema de Pitágoras, la división de un segmento en
extrema y media razón o, como diría Pacioli, la división de una línea según la proporción
que tiene un punto y dos extremos, es probablemente un problema de origen babilonio o,al menos, está fuertemente vinculado a algunos tópicos estudiados por esa matemática. En
efecto, dado un segmento AB de longitud a, la división del mismo en extrema y media
razón consiste en encontrar un punto E en el segmento AB tal que, si llamamos x a lalongitud de AE, se verifique que a(a − x) = x2 , o dicho de otra forma, que a2 = x(a + x).
De acuerdo con la segunda ecuación se obtiene que encontrar la divina proporción
consiste en, dado un segmento AB de longitud a, determinar el punto E de AB tal que,si llamamos x a la longitud AE, se verifique que el rectángulo de lados a + x y x tenga
la misma área que el cuadrado de lado AB. Pero este problema geométrico de aplicaciónde áreas, típico de la escuela pitagórica, no es más que un caso particular del problema
algebraico de determinar dos números b y c conocidos su producto (en nuestro caso
bc = a2 ) y su diferencia (en nuestro caso b − c = a), que era un problema típico de la50

J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

matemática babilonia como se señala en [21, pág. 48]. Además, según se apunta en [5,pág. 56], los babilonios estudiaron en profundidad las ecuaciones cuadráticas del tipo
x2 + px = q, que es precisamente la ecuación que resuelve el problema de la división deun segmento de longitud a en extrema y media razón con p = a y q = a2 .
Así, el más que probable origen mesopotámico de las dos joyas de la geometría, que
son quizás los dos problemas más representativos de la matemática pitagórica, muestra lafuerte relación de esta con la desarrollada por sus predecesores, hecho que se ha puesto demanifiesto a lo largo del siglo XX tras el descubrimiento y estudio de múltiples tablillas
cuneiformes de origen babilonio y papiros egipcios con contenido matemático, pero que
había pasado esencialmente inadvertido para los investigadores anteriores. No obstanteen este tema, como en casi todo lo que se refiere a la primera matemática griega, no hay
unanimidad entre los diferentes autores. Así en [23, pág. 250] se afirma que “la hipótesisde las raíces orientales de la matemática de Pitágoras está basada en la leyenda de sus
viajes a Oriente, lo que no ha sido confirmado por fuentes fiables”.
Veamos ahora la relación del pentágono regular y la estrella pentagonal pitagórica
con el problema de la división de una línea según la proporción que tiene un punto y dos
extremos. La clave nos la da la proposición XIII.8 de los Elementos. A esta propiedad serefiere Pacioli en [17, Cap. XVIII, pág. 54] como “el más excelso de todos los efectos” dela divina proporción.
Teorema 2. Dado un pentágono equilátero y equiángulo [regular], si dos rectas están
tendidas bajo dos ángulos sucesivos [dos lados de la estrella pentagonal] se cortan entre síen extrema y media razón, y sus segmentos mayores son iguales a los lados del pentágono.

Demostración. Sea ABCDE un pentágono regular y sean EB y AC las rectas tendidas
bajo los dos ángulos sucesivos determinados por los vértices E y A. Se cortan en un punto
F tal cómo indica la figura 5.

A

F

E

D

B

C

Figura 5. División de la diagonal del pentágono.

Lecturas Matemáticas, vol. 45 (1) (2024), pp. 35-72

51

Hemos de probar que cada una de estas dos rectas queda cortada por el punto F en
extrema y media razón, siendo la parte mayor igual al lado del pentágono. Vamos a verlo
para el segmento EB pues el otro caso es similar.
Primero circunscribimos una circunferencia al pentágono [Proposición IV.14]. Ya que
EA = AB, AB = BC y son iguales los ángulos comprendidos por dichos segmentos,
sigue [Proposición I.4] que EB = AC, los dos triángulos EAB y ABC son iguales ylos ángulos correspondientes también, esto es, AEB = BAC, EBA = ACB y EAB =ABC. Además como el triángulo EAB es isósceles, los ángulos AEB y EBA son igualesy, de esta forma, son iguales los tres ángulos AEB = EBA = BAC.
Consideremos ahora el ángulo AF E. Se verifica que los ángulos AF E y AF B sumandos rectos. Además [Proposición I.32] los ángulos BAF , ABF y AF B también sumandos rectos. Por tanto, AF E = BAF + ABF = 2BAC.
Por otra parte, el ángulo EAC determina un arco de circunferencia doble que el ángulo
BAC y así [Proposición VI.33], EAC = 2BAC = AF E.
Sigue que el triángulo EAF es isósceles y que EF = EA ya que son lados opuestosa ángulos iguales [Proposición I.6], es decir, EF = EA = AB.
Comparamos ahora los triángulos AF B y EAB cuyos ángulos suman dos rectos. Asíse tiene que 2BAF y AF B suman dos rectos, lo mismo que 5AEF . Ya que los ángulos
AEF y BAF son iguales, sigue que AF B = 3BAF y, por tanto, AF B = EAB.
Obtenemos así que los triángulos ABE y ABF tienen los tres ángulos iguales dedonde sigue [Proposición VI.4] que sus lados son proporcionales, esto es, que
EB
AB
=
AB
FB
Ya que AB = EF , se tiene que
EB
EF
=
EF
FB
Además al ser EB > EF debe ser también EF > F B, luego EB queda cortado en razón
extrema y media por F y el segmento mayor EF coincide con el lado del pentágono, comoqueríamos probar.
Veamos finalmente algunas consecuencias del teorema que acabamos de probar que
serán utilizadas en la sección siguiente. Si en un pentágono regular ABCDE se trazan
todas las diagonales, tal como hacían los pitagóricos para formar el pentagrama místico, seobserva que éstas delimitan un nuevo pentágono regular más pequeño A′ B ′ C ′ D′ E ′ en el
centro del primero, tal como se muestra en la figura 6.
Llamemos l1 y d1 al lado y a la diagonal, respectivamente, del pentágono mayor y
l2 y d2 a esos mismos parámetros pero en el pentágono menor. La proposición anterior1establece que l1 = AE = AD′ y que dl11 = d1l−l
.
1

52

J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

A

E'

E

A'

D'

B

B'
C'

D

C

Figura 6. Pentagrama místico.

De esta segunda igualdad puede obtenerse que d21 − d1 l1 − l12 = 0 y resolviendo √  laecuación de segundo grado y tomando la solución positiva sigue que d1 = l1 1+2 5 .
Así′d1 − l1 = DD = l1

!
√
1+ 5
− 1 = l1
2

√

5−1
2

!

y
′

′

′

l2 = E D = d1 − 2DD = l1

√ !
√

1+ 5
− l1
5 − 1 = l1
2

√ !
3− 5
2

Ahora, aplicando de nuevo la proposición anterior al pentágono menor sigue que
l2
d2
=
l2
d2 − l2y, por tanto,
d2 = l2

√ !
1+ 5
=
2

√ !
1+ 5
2

√ !
3− 5
l1 = l1
2

√

5−1
2

!
= d1 − l1y, en consecuencia, d2 = A′ C ′ = DD′ . Así l2 = l1 − d2 .
En definitiva se ha obtenido que la diferencia entre el diámetro y el lado del pentágono
mayor es igual al diámetro del pentágono menor y la diferencia entre el lado del pentágono
mayor y el diámetro del menor es igual al lado del menor.
Se observa también que este proceso se puede repetir indefinidamente, ya que si ahora
se trazan todas las diagonales del pentágono menor, éstas determinarán de nuevo un tercer
pentágono regular en el centro del segundo y así sucesivamente.

Lecturas Matemáticas, vol. 45 (1) (2024), pp. 35-72

53

Si se llama Pn al n-ésimo pentágono obtenido de esta forma y ln y dn a su lado y su
diámetro, respectivamente, se tendrá que√ !
√ !n−1√ !n−1
3− 5
1+ 5
3− 5
ln = l1
y dn = l122
2
Dado que {ln } y {dn } tienden a cero, se puede afirmar que los pentágonos que sevan obteniendo pueden hacerse “tan pequeños como se quiera” y entre dos pentágonos
sucesivos siempre se cumple que la diferencia entre el diámetro y el lado del mayor es
igual al diámetro del menor y que la diferencia entre el lado del mayor y el diámetro delmenor es igual al lado del menor.
Para acabar esta sección debe señalarse, como se hizo en la anterior, que la depurada
demostración de la proposición XIII.8 de los Elementos que acabamos de ver no pudo serla original elaborada por la escuela pitagórica, sino que debe atribuirse a la experta manode Euclides. Sin embargo está plenamente aceptado que los pitagóricos conocían este
resultado, con las consecuencias que acabamos de señalar para el pentagrama místico, yalguna forma de demostración más o menos arcaica del mismo. El hecho de que la prueba
del teorema no estuviera en el siglo V a. C. a la altura de la concepción euclidiana de
una prueba satisfactoria no quiere decir que no se dispusiera de una demostración que
se considerara totalmente convincente a la luz del desarrollo que la matemática había
alcanzado en esos años. En [10, pág. 258] se especula sobre cómo los miembros de lasecta podían haber obtenido el resultado y se propone un posible camino para alumbrarlo a
partir de dos resultados elementales, a saber, que en un triángulo isósceles los ángulos dela base son iguales, que como hemos visto Proclo se lo atribuye a Thales, y que la suma
de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos, resultado que
Eudemo asigna a los primeros pitagóricos según señala también Proclo en [19, Comentario379] donde, además, se indica cómo era esa prueba.
5.

El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables

De la cita de Aristóteles sobre la base científica del pitagorismo recogida en lasección segunda puede inferirse que los miembros de la escuela distinguían cuatro ramas
en la matemática, a saber, la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. A este
respecto Proclo es mucho más explícito y en [19, Comentario 36] señala lo siguiente: “Los
Pitagóricos consideraban que la ciencia matemática se divide en cuatro partes: una mitad
tenía que ver con la cantidad y la otra mitad con la magnitud; y cada una de estas, a suvez, se dividía en dos partes. Así una cantidad puede ser considerada en sí misma o en su
relación con otras cantidades, mientras que una magnitud puede ser observada inmóvil oen movimiento. La aritmética estudia la cantidad como tal5 , la música las relaciones entre
las cantidades, la geometría las magnitudes en reposo6 y la astronomía las magnitudes en
movimiento”.
5 Es decir, es el estudio de los números en sí, independientemente de los detalles técnicos del cálculo que losgriegos relegaron a una disciplina independiente y de menor importancia llamada logística.
6 Desvinculada ya de su antiguo sentido etimológico de “medir la tierra”.

54

J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

De todas ellas la más importante, al menos en principio, debió ser la aritmética, toda vez
que el postulado fundamental del pitagorismo se condensaba en la idea de que el número
es la esencia de todas las cosas. En este sentido Proclo recoge en [19, Comentario 48] lasiguiente frase: “Que la geometría es una parte de la matemática general que ocupa un
lugar secundario a la aritmética que la completa y la define (pues todo lo que es expresabley cognoscible en geometría está determinado por razones aritméticas) ha sido afirmado
por los antiguos [en referencia, se entiende, a los pitagóricos] y no necesita una larga
discusión aquí”. En la misma línea en [19, Comentarios 59-60] se señala que “la aritmética
es más precisa que la geometría porque sus principios son más simples. Una unidad notiene posición pero un punto sí; y la geometría incluye entre sus principios el punto con
posición, mientras que la aritmética postula la unidad”.
Los resultados aritméticos del periodo helénico están recogidos, fundamentalmente, enlos Libros VII al IX de los Elementos. El primero de ellos es precisamente una esmerada
reconstrucción del antiguo legado aritmético de raíces pitagóricas, pero del total de lacontribución aritmética de los Elementos resulta difícil precisar qué puede atribuirse a éstos
y qué a matemáticos posteriores. Se señala en [8, Libros I-IV, Introducción, pág. 88] que“Euclides da la impresión [en algunos pasajes de estos Libros, particularmente del Libro
IX] de estar reproduciendo un manual anterior, seguramente de origen pitagórico, queversaría sobre números pares, impares y sus relaciones [en [23] se atribuyen expresamentea Pitágoras numerosos resultados en este campo]. En opinión de algunos [autores] no faltan
indicios de la existencia de unos Elementos de Aritmética” anteriores a Euclides que sehabrían perdido y de los que, desgraciadamente, no se tiene ninguna referencia posterior
más allá de la vaga afirmación de Proclo en [19, Comentario 73] relativa a la existencia
de numerosas composiciones de aritmética y astronomía tituladas como “Elementos” o“tratados elementales”.
Por lo que se refiere a los resultados geométricos se atribuye a Pitágoras y los pitagóricos, como se señala en [14, pág. 34] o en [23, pág. 252-253], infinidad de teoremasgeométricos sobre triángulos, polígonos, rectas paralelas, círculos, etc., resultados que
pueblan los cuatro primeros Libros de los Elementos de Euclides. Además, como ya hemos
mencionado, estudiaron de manera exhaustiva la división de un segmento en razón extrema
y media en relación con la longitud de los lados de la estrella pentagonal. Proclo se refiere
en numerosas ocasiones a las aportaciones de los pitagóricos a la geometría y a la importancia que estas tuvieron para el desarrollo posterior de la matemática y la apertura de nuevos
caminos para la investigación. Así por ejemplo, en referencia a la proposición I.44 de losElementos, que aplica a una recta dada en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo
igual a un triángulo dado, recoge en [19, Comentario 420] que “Eudemo y su escuelanos cuentan que estas cosas -la aplicación de áreas por yuxtaposición, por exceso y por
defecto- son antiguos descubrimientos de la Musa pitagórica. Los geómetras posteriores
tomaron estas denominaciones y las aplicaron a las líneas cónicas, llamando a una de ellas
parábola, a otra hipérbola y a la tercera elipse, mientras que los hombres de la antigüedad,
semejantes a dioses, veían que estos términos significaban la construcción de áreas, enel plano, sobre una línea recta finita”. Y en relación con la proposición I.45, que realiza
la construcción de un paralelogramo equivalente al área de una figura rectilínea dada yLecturas Matemáticas, vol. 45 (1) (2024), pp. 35-72

55

establece así la posibilidad de representar cualquier área rectilínea como un rectángulo,
señala en [19, Comentario 423] que “En mi opinión fue este problema el que condujo a losantiguos [en referencia de nuevo a los pitagóricos] a investigar la cuadratura del círculo”.
Sin despreciar los resultados aritméticos aportados por la escuela pitagórica no cabe
duda de que, si analizamos globalmente las contribuciones matemáticas que se atribuyen ala orden, podemos observar que son mucho más abundantes y brillantes las aportaciones
geométricas. Este hecho llama poderosamente la atención dado que, como hemos señalado,
la aritmética debió ser el centro principal de su interés si se atiende a la base filosófica delpitagorismo. En relación con esta aparente paradoja algunos autores han señalado que eldescubrimiento de las magnitudes inconmensurables fue el elemento determinante queparalizó el desarrollo de la aritmética en la etapa pitagórica (ver [21, pág. 45-46], [5, pág.
112] o [12, pág. 29]) y que, finalmente, favoreció la identificación de la matemática con lageometría, identificación que no fue plenamente superada hasta el siglo XVIII. Así por
ejemplo, cuando el Marqués de l’Hopital menciona a Leibniz en el prólogo de su libro“Análisis de los infinitamente pequeños para el estudio de las líneas curvas”, publicado
por primera vez en 1696, se refiere a él como “sabio geómetra”, utilizando el vocablo“geómetra” como sinónimo de “matemático”, lo que era muy habitual en la época.
Los pitagóricos pensaban que dos magnitudes, y más concretamente, dos segmentos,
tienen siempre una parte alícuota común, es decir, son conmensurables. Así, si AB y CD
son dos magnitudes cualesquiera, se suponía que siempre se podían encontrar dos enteros
positivos p y q y una cantidad F tales que AB = pF y CD = qF y, en consecuencia,pAB
CD = q . En definitiva, los pitagóricos creían que la razón entre dos magnitudes o dos
segmentos siempre podía expresarse exactamente como un cociente entre dos números
naturales. En [9, pág. 53] se recoge que “toda la teoría de la proporción pitagórica y defiguras semejantes se basaba en esta presunta obvia asunción, de modo que una extensa
parte de la geometría pitagórica quedó invalidada de repente”.
En [13, pág. 39] se especula acerca de cómo serían las pruebas de las proposiciones
de los Elementos de Euclides que involucran proporciones si se realizaran teniendo en
cuenta la concepción pitagórica de las mismas y, a modo de botón de muestra, se realiza lasiguiente “demostración” de la importante proposición VI.I.
Proposición 4. Los paralelogramos7 [y los triángulos] que tienen la misma altura son
entre sí como sus bases.
Demostración. Sean los paralelogramos ABCD y AEF G con bases respectivas BCy EF sobre la recta M N tal como se recoge en la figura 7. Dado que BC y EF sonconmensurables, tendrán alguna unidad común de medida, digamos H, contenida p vecespen BC y q veces en EF , siendo p y q ∈ N, de forma que BC
EF = q .
Marquemos los puntos de división de amplitud H sobre BC y EF y tracemos paralelasdesde dichos puntos a los segmentos AB o AE, respectivamente, hasta que corten a AD
o AG según corresponda. Así los paralelogramos ABCD y AEF G quedan divididos,
7 En [13] se hace la prueba para triángulos.

56

J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

D

H

M

(p)

C

A

H H

B

G

H H

(q)

E

H

F

N

Figura 7. Proposición VI.I de los Elementos en versión pitagórica.

respectivamente, en p y q paralelogramos más pequeños todos ellos con la misma base yaltura, por lo que [Proposición I.38] tendrán el mismo área.
Así se tiene que
ABCD
p
BC
= =
AEF G
q
EF
que es lo que queríamos probar.
Como se puede comprobar, en esta “demostración” es esencial que las magnitudes BC
y EF sean conmensurables lo cual, a partir del descubrimiento de los irracionales, había
quedado probado que no era cierto en general. Esto condujo a la primera gran crisis de lahistoria de la matemática. Por las indeseadas y negativas consecuencias que parecía tener y
por afectar a los fundamentos mismos de toda la teoría pitagórica, no es de extrañar que elalumbramiento de esta “patología” tratara de mantenerse en secreto.
No se sabe con certeza cuando tuvo lugar el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables que, como vamos a ver enseguida, está íntimamente ligado a las dos joyas
de la Geometría. La tradición es unánime en atribuir el hallazgo a un filósofo pitagórico
llamado Hipasos de Metaponto, el cual lo habría puesto de manifiesto en la primera mitaddel siglo V a. C., si bien merece la pena resaltar que Proclo no menciona en ningún momento a este matemático en [19], a pesar de que el libro contiene numerosas alusiones a lasmagnitudes inconmensurables y, en los Comentarios 64-68, realiza un recorrido histórico
del desarrollo de la geometría desde sus orígenes en Egipto hasta Euclides.
Aun cuando algunos historiadores modernos se han mostrado reacios a aceptar la
antigua tradición griega y han considerado que el descubrimiento de los irracionales debió
ser bastante posterior a la fecha que hemos señalado, dado el escaso desarrollo que lamatemática griega presentaba en esa época, la tradición quedó muy reforzada después dela publicación de [10] y hoy su punto de vista está ampliamente aceptado.
Hipasos de Metaponto fue un notable matemático de la escuela pitagórica nacido
hacia el año 500 a. C. que habría jugado algún papel relevante en los disturbios políticos
acaecidos en el segundo cuarto del siglo V y que, hacia el año 445 a. C., pusieron fin a lapresencia pitagórica en el sur de Italia y provocaron la desbandada de los miembros de laorden hacia otras colonias griegas. Sobre este episodio, promovido según parece por losfamiliares de los pitagóricos que llevaban muy a mal que éstos ofrecieran sus haciendas

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a la escuela, excluyéndolos a ellos, en [15, pág. 160] se explica que Hipasos adoptó una
posición favorable a los instigadores de la revuelta, enfrentándose a sus compañeros y
promoviendo la derogación de la constitución heredada de sus mayores. En este sentido
podría considerarse a Hipasos como un pitagórico disidente que habría traicionado encierta medida al propio Pitágoras. Quizás esta circunstancia podría explicar porqué Proclo
no lo menciona en [19].
Sobre las aportaciones matemáticas de Hipasos, aparte de la inconmensurabilidad, nose sabe mucho. En [10, pág. 245-246] se recoge que, en el campo de la teoría musical,
realizó un experimento con discos de metal que le permitió demostrar que, al golpear dos
de ellos, se producía la misma armonía que con dos cuerdas cuyas longitudes guardaban
la misma proporción que los grosores de los discos. En esta misma área también se leatribuye una teoría de la escala musical que muestra cómo las distintas armonías musicales
pueden derivarse matemáticamente unas de otras. En aritmética parece ser que trabajó enla teoría de proporciones y medias y en geometría se ocupó de dibujar o construir la esfera
formada por doce pentágonos regulares. Según se recoge en [15, pág. 76] por el hecho dedivulgar este último descubrimiento “desapareció en el mar por impío”, nota evidentemente
legendaria pero que incide tanto en el carácter secreto que para los pitagóricos tenían losconocimientos como en el comportamiento díscolo que parece que tuvo Hipasos.
Quizás la opción más probable es que la inconmensurabilidad se descubriera por
primera vez al estudiar el problema de la razón entre los lados de un triángulo rectángulo
isósceles, problema que conduce a la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos. En este
sentido se debe mencionar que en el Diálogo Teeteto de Platón [18, pág. 140-141], escrito
en el año 368/67 a. C. pero fechado ficticiamente en el año 399 a. C., se representa a
Teodoro de Cirene y a Teeteto conversando con Sócrates y tratando de responder a las
preguntas que este les hace acerca de la naturaleza del conocimiento. En la parte inicial del
Diálogo Teeteto hace referencia a las enseñanzas de Teodoro sobre la irracionalidad de las
raíces cuadradas de 3, 5, ... hasta 17, lo que permite suponer que la inconmensurabilidad
de la raíz cuadrada de 2 era ya ampliamente conocida en esa época y, por eso, ni siquiera
se menciona en el Diálogo. En [10] se señala que, teniendo en cuenta la lentitud con laque viajaban los conocimientos matemáticos en aquellos años, puede inferirse que ese
resultado debió de obtenerse con bastante anterioridad, lo que podría encajar con la fecha(no más tarde del año 450 a. C.) en la que se produjo el descubrimiento según la antigua
tradición griega.
Afortunadamente la demostración original de la inconmensurabilidad de la raíz cuadrada de dos se ha conservado en un apéndice al Libro X de los Elementos y que esta
demostración es, al menos en sus aspectos generales, la original lo atestigua el propio
Aristóteles que, en un comentario sobre los silogismos que llevan a conclusión por absurdo
recogido en [2, Primeros Analíticos, Libro I, Cap. 22, pág. 193], señala lo siguiente: “Se
prueba que el diámetro [la diagonal del cuadrado] es inconmensurable porque, si se supone
conmensurable, se deduce que lo par es igual a lo impar”.
La demostración es la siguiente:
Proposición 5. La diagonal del cuadrado es inconmensurable respecto del lado.

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J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

Demostración. Sea ABCD un cuadrado y AC su diagonal. Hemos de probar que AC es
inconmensurable respecto del lado AB en longitud.
Para probarlo supongamos, razonando por absurdo como diría Aristóteles, que AC esconmensurable respecto de AB. Por el teorema de Pitágoras [Proposición I.47] se tieneque el cuadrado de AC es el doble del cuadrado de AB, esto es, AC 2 = 2AB 2 .
Como AC es conmensurable con AB, se tiene que AC será a AB como un entero aotro, esto es, existirán enteros positivos DE y F tales que
AC
DE
=
AB
F
Supondremos que DE y F son los números naturales más pequeños que están en esa
proporción, por lo que serán primos entre sí [Proposición VII.22].
Obviamente DE no puede ser la unidad puesto que AC es mayor que AB y, de ser
DE la unidad, se obtendría que la unidad es mayor que el entero positivo F , lo que noes posible [Definiciones VII.1 y VII.2]. Por tanto, DE es un entero mayor que la unidad.
AC
AC 2
DE 2
Ahora bien, como AB= DE
F se deduce también que AB 2 = F 2 [Proposición VIII.11].
Pero AC 2 = 2AB 2 y, por tanto, DE 2 = 2F 2 [proposición VII.19]. Sigue que DE 2 es unnúmero par y, en consecuencia DE también debe ser un número par [Proposición IX.21].
Como DE y F son primos entre sí y DE es un número par, sigue que F debe ser impar.
Dividamos ahora el número par DE en dos números enteros iguales en el punto G[Definición VII.6]. Como DE = 2DG resulta que DE 2 = 4DG2 . Pero DE 2 = 2F 2 ,de donde sigue que F 2 = 2DG2 . Así F 2 y, por tanto también F , son números pares[Proposición IX.21].
Hemos obtenido pues que el número entero F es a la vez par e impar, lo cual es
imposible. De esta contradicción se deduce que AC es inconmensurable respecto de AB
en longitud como queríamos probar.
Como se señala en [10, pág. 255] “la prueba no presupone ningún conocimiento
geométrico más allá del teorema de Pitágoras en su aplicación especial al triángulo
rectángulo isósceles, que [como vimos en la sección 3] puede “demostrarse” simplemente
dibujando la figura de tal manera que la verdad del teorema en ese caso particular sea
inmediatamente visible. Aparte de esto la demostración permanece en el campo puramente
aritmético; y puesto que los primeros pitagóricos especularon bastante sobre los númerospares e impares la demostración en sí no puede haber estado fuera de su alcance”.
Se obtiene de esta forma, por una simple aplicación del teorema de Pitágoras, queel lado y la diagonal del cuadrado no son conmensurableso, dicho en términos actuales,√
que el número que hoy denominamos como 2 no es racional. Este hecho, como hemos
señalado, venía a tirar por tierra el fundamento mismo de toda la teoría matemática de laescuela pitagórica. Y lo hacía además de la forma más cruel posible, pues el “veneno” delos inconmensurables estaba inoculado en la diagonal del cuadrado, la figura más simple,
considerada una de las figuras perfectas por los griegos, y el teorema de Pitágoras fue

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el reactivo que lo puso de manifiesto. Sobre la consideración que el cuadrado tenía paralos pitagóricos basta remitirse a las palabras de Proclo en [19, Comentario 173]: “Los
Pitagóricos pensaban que el cuadrado, más que cualquier otra figura de cuatro lados, lleva
la imagen de la naturaleza divina. Es su figura favorita para indicar un valor inmaculado;
porque la rectitud de los ángulos imita la integridad y la igualdad de los lados el poderpermanente”.
En [14, pág. 40] se recoge que “la sacudida que la aparición del nuevo ente provocó
en la matemática griega puede calibrarse por el relato que aparece en un viejo escolio-atribuido a Proclo- del Libro X de los Elementos de Euclides: «Es fama que el primero
en dar al dominio público la teoría de los irracionales perecería en un naufragio y elloporque lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber permanecido oculto. En
consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este aspecto de las cosas
vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por lasolas».”A este respecto en [15, pág. 154] se señala que “el primero que descubrió la naturalezade lo conmensurable y de lo inconmensurable a personas indignas de participar en tales
enseñanzas se hizo tan odioso que no sólo fue excluido de la relación y régimen de vida
comunitario, sino que incluso se le preparó una tumba, por entender justamente que el que
había sido una vez compañero había dejado la vida entre los hombres.” En efecto, era una
costumbre pitagórica erigir un monumento funerario a aquellos que, por cualquier causa,
eran expulsados de la orden, así como a los que no podían superar las exigentes pruebas deingreso y debían abandonar la casa común después de haber permanecido algún tiempo
en ella. Y si alguna vez concidían con ellos en cualquier lugar después de la expulsión secomportaban como si no los conociesen y fuesen personas distintas, porque aquellos que
conocieron y para los que prepararon las sepulturas entendían que estaban muertos.
Algunos historiadores (ver por ejemplo [5], [10] o [14]) señalan que el descubrimiento
de los irracionales quizás pudo ocurrir también al intentar encontrar una unidad común que
permitiera medir de forma exacta, simultáneamente, la diagonal y el lado del pentágono
regular. Debió resultar especialmente amargo para los pitagóricos comprobar que su
principal símbolo de identificación, el pentagrama místico, atentaba contra los fundamentos
mismos de su teoría.
En efecto, si se toma un pentágono regular de lado l, la longitud
lado de la estrella
 del
√ 
1+ 5
pentagonal pitagórica construida en el mismo es precisamente lcomo vimos a2
colación del teorema 2. En definitiva, se obtiene que la longitud del lado de la estrellapentagonal pitagórica no es conmensurable respecto del lado del pentágono regular en elque está inscrita. La forma en la que este hecho pudo ponerse de manifiesto podría habersido la siguiente:
Recordemos la construcción de pentágonos {Pn } que realizamos al final de la sección
anterior, en la que cada pentágono se obtenía del precedente trazando sus diagonales y tomando el que éstas determinan. Si llamamos ln y dn al lado y al diámetro, respectivamente,del pentágono Pn probamos que dn − ln = dn+1 y que ln − dn+1 = ln+1 .

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J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

Así, si suponemos que d1 y l1 son conmensurables existirán dos enteros positivos p1
y q1 y una cantidad fija G tal que d1 = p1 G y l1 = q1 G. Pero entonces d2 = d1 − l1 =(p1 − q1 )G y l2 = l1 − d2 = (2q1 − p1 )G, es decir que si G divide a la diagonal y al ladodel primer pentágono, entones hace lo propio con la diagonal y el lado del segundo. Pero
como este proceso puede repetirse indefinidamente, llegaríamos a que G divide a dn y lnpara todo n ∈ N, lo cual es manifiestamente imposible dado que la cantidad G es fija ylas diagonales y los lados de los pentágonos {Pn } pueden hacerse “tan pequeños como sequiera”.
En [10, pág. 259] se insiste en que no hay ninguna razón para no creer que Hipaso
fuera capaz de demostrar la inconmensurabilidad del lado con el diámetro de un pentágono
regular, toda vez que los conocimientos geométricos necesarios para probar el resultado
eran conocidos en su época. Una hipótesis plausible podría ser que Hipaso hubiera llegado
a la convicción de la existencia de magnitudes inconmensurables estudiando el pentágono
regular, mediante un razonamiento parecido al que acabamos de hacer, pero la demostración
rigurosa se habría realizado sobre la diagonal del cuadrado, en la forma que hemos visto en
esta sección, obteniéndose por tanto, en primer lugar, la irracionalidad de la raíz cuadrada
de dos.
En definitiva se obtiene que los dos grandes tesoros de la Geometría, según Kepler,
encierran entre sus muchos misterios el germen de la inconmensurabilidad, lo cual, lejosde ser un demérito, no hace sino engrandecer el valor matemático e histórico de estas dos
joyas.
Para terminar esta sección no podemos dejar de referirnos a lo señalado en [16, Vol. I,
pág. 50-51]: “Podemos, por consiguiente, decir que el número irracional pertenece única
y exclusivamente a la Matemática de precisión [teórica]. Pues la afirmación de que la
distancia entre dos puntos es un número irracional de metros carece completamente desentido, ya que, como hemos visto, todas las cifras decimales posteriores a la sexta no
tienen ya significación real alguna. En la práctica se pueden, por tanto, reemplazar, sininconveniente alguno, los números irracionales por los racionales”. Insistiendo en esta
misma idea en [13, pág. 40] se apunta: “El descubrimiento de la inconmensurabilidad
marca un hito en la historia de la geometría [o de la matemática si se prefiere] porquetrasciende lo empírico. Es absolutamente imposible constatar de forma perceptiva la
inconmensurabilidad sobre una figura [concreta], es decir, la inconmensurabilidad no es
comprobable experimentalmente, sino de forma teórica a través de un acto intelectualpuro”.
Entendemos que es precisamente esta imposibilidad de descubrir la inconmensurabilidad de forma empírica lo que hizo que este hecho pasara inadvertido para las civilizaciones
anteriores a los griegos. Sin embargo, estos fueron capaces de ponerlo de manifiesto en
una etapa tan temprana del desarrollo de su matemática porque adoptaron una posición
diferente al desvincular la ciencia matemática de las ataduras que provoca la realidad y lautilidad inmediata, llevándola a un plano superior. Como recoge Proclo en [19, Comentario65] “no es sorprendente que esta [la geometría] y otras ciencias hayan tenido su origen en

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la necesidad8 , ya que todo lo que se genera en el mundo va de lo imperfecto a lo perfecto.
Así se debió pasar de forma natural de la mera percepción sensorial al cálculo y de ahí a larazón [en referencia al paso de lo empírico a lo puramente intelectual]”.
6.

La solución griega al problema de la inconmensurabilidad

Como se ha señalado con anterioridad, el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables produjo un enorme impacto entre los matemáticos griegos, pues afectaba alos fundamentos mismos de su teoría y ponía en cuestión el principio fundamental de lamatemática y la filosofía pitagórica, esto es, que el número natural es la esencia de todas
las cosas y, en consecuencia, que todo puede medirse de manera exacta a partir de ellos. Al
margen de leyendas y relatos terroríficos parece incuestionable que el descubrimiento trató
de mantenerse en secreto dado que, años más tarde, en el Libro VII de las Leyes, Platón(427-347 a. C.) habría de quejarse amargamente de este secretismo tachando de “necedad
propia de puercos de cría” la ocultación a los jóvenes griegos, como hicieron con él, de ladistinción entre magnitudes conmensurables e inconmensurables.
Sin embargo, una vez superada la conmoción inicial, este tema fue objeto de un intenso
estudio a lo largo de la primera mitad del siglo IV a. C., estudio estimulado vivamente porla Academia, fundada en Atenas por Platón en el año 387 a. C. Como se indica en [10, pág.
261], la forma en la que los griegos abordaron este problema y el ingenio demostrado parasu tratamiento es una muestra de su tenacidad y perseverancia en la indagación científica
mayor aún que el propio descubrimiento de la irracionalidad.
La influencia de Platón fue singularmente notable dado que éste consideraba la matemática como preparatoria para la formación del filósofo, de ahí la célebre frase que
habría estampado en el pórtico de la Academia impidiendo su ingreso a los ignorantes engeometría. A este respecto Proclo recoge en [19, Comentarios 66-68] que “Platón hizo
avanzar de forma notable las matemáticas en general y la geometría en particular debido asu celo por estos estudios” y cita concretamente a una serie de matemáticos importantes deesta época, entre los que están Teeteto y Eudoxo a los que nosotros nos vamos a referir enesta sección, señalando que “Estos hombres vivieron juntos en la Academia, poniendo sus
investigaciones en común” lo que da una clara idea del ambiente favorable al desarrollo dela matemática que había en esa institución. En este sentido se recoge en [11, pág. 298] que“la principal contribución de la Academia de Platón a la ciencia, en opinión de Popper9 ,nació de su profunda comprensión del problema de los irracionales y su consiguiente
sustitución de las concepciones aritméticas del mundo del pitagorismo original por una
concepción geométrica”.
Aunque no se atribuyen a Platón resultados matemáticos relevantes, sus discípulos sírealizaron aportaciones capitales que permitieron superar las dificultades surgidas como
8 En el caso de la geometría la necesidad fue provocada por el Nilo que, con sus continuas avenidas, inundaba lastierras, borraba las líneas de división entre las propiedades y obligaba a su frecuente medición para volver adelimitarlas correctamente.
9 Karl Raimund Popper fue un filósofo, politólogo y profesor austriaco, nacionalizado británico. Se le considera
uno de los filósofos de la ciencia más importantes del siglo XX.

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J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

consecuencia del descubrimiento de las magnitudes inconmensurables. En este esfuerzo
debemos destacar en primer lugar a Teeteto, inmortalizado en el diálogo que lleva su
nombre incluido en los Diálogos de Platón y al que nos hemos referido en la sección
anterior. En dicho pasaje Teeteto, a preguntas de Sócrates, señala que “Con relación a laspotencias10 , Teodoro [de Cirene], este de aquí, nos hizo un dibujo para mostrarnos quela de tres y la de cinco pies no son, atendiendo a su longitud, conmensurables con la deuno, y continuó tratándolas así, una a una, hasta la de diecisiete pies, deteniéndose aquípor alguna razón que yo no sé”. Parece indicarse de este modo en el Diálogo que, conanterioridad a Teeteto, la teoría no estaba muy desarrollada y era necesario ir analizando
individualmente cada caso para luego deducir, de forma gráfica, la inconmensurabilidad dela raíz cuadrada correspondiente.
A continuación Teeteto señala que “Se nos ocurrió entonces que, pareciendo infinito elnúmero de potencias, podríamos intentar reunirlas todas bajo una misma denominación” y,alentado por Sócrates, esboza un amplio programa de trabajo que, en particular, lleva ademostrar la irracionalidad de las raíces cuadradas de todos los números naturales que noson cuadrados perfectos. Por todo ello se considera a Teeteto el autor de la mayor parte delos resultados recogidos en el Libro X de los Elementos, que está dedicado al estudio detipos y criterios de conmensurabilidad e inconmensurabilidad y a la clasificación de rectas
irracionales, y que es conocido como “la cruz de los matemáticos” desde que Simon Stevin(1548-1620) lo calificara de esa forma por las dificultades que solía acarrear su lectura.
El programa de Teeteto es el siguiente: “Dividimos todos los números en dos apartados.
A los que son el producto de multiplicar un número por sí mismo, los representamos enla figura de un cuadrado y los llamamos cuadrados y equiláteros. Pero a los númerosintermedios como el tres, el cinco y todo el que no es producto de multiplicar un número
por sí mismo, sino de multiplicar uno mayor por otro menor o uno menor por otro mayor yque dan siempre lugar a una figura de lados mayores o menores, los representamos en la
figura de un rectángulo y les dimos la denominación de número rectangular11 .
A todas las líneas cuyo cuadrado representa en el plano un número equilátero las
definimos como longitudes. Y a todas las líneas cuyo cuadrado constituye un número defactores desiguales, las definimos como potencias puesto que, no siendo conmensurables
con las primeras atendiendo a la longitud, sí lo son atendiendo a las superficies que pueden
formar. En cuanto a los cuerpos cúbicos hemos hecho algo parecido”.
A la vista del programa de trabajo diseñado por Teeteto, no puede sostenerse, como se
hace a veces, que los griegos no estudiaron los números irracionales. Como se señala en[16, Vol.
pág. 44],√ I, √√ los griegos no sólo descubrieron la irracionalidad de números sencillos
como 2, 3 o 17, sino queqtrataron otros cada vez más complicados, encontrándonos√√
en los Elementos tipos comoa + b y otros semejantes. En general se puede decir
que se limitaron esencialmente a todos los irracionales que se obtienen por aplicación
repetida de extracción de raíces cuadradas y que, por ello, se pueden construir con la regla
y el compás.
10 En todo el Diálogo el vocablo “potencia” se refiere a la raíz cuadrada.
11 Estos números son denominados “planos” en el Libro VII de los Elementos (Def. VII.17).

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Tomando como referencia la demostración de la irracionalidad de las raíces cuadradasde los números naturales que no son cuadrados perfectos que podemos encontrar en cualquier manual al uso (ver, por ejemplo, [1, pág. 8-9]), veamos a continuación como podría
ser la primitiva demostración de ese hecho, realizada de forma similar a la proposición 5de la sección anterior y utilizando la terminología establecida en el programa de trabajo deTeeteto y en el Libro VII de los Elementos. La demostración se mantiene en su integridad
en el campo puramente aritmético, utilizando resultados conocidos por los pitagóricos yrecogidos en los Libros VII, VIII y IX de dicho tratado. Que Teeteto debió realizar esta
prueba, u otra parecida, lo apunta como hemos visto el propio Platón en el Diálogo, al
poner en boca de su discípulo el propósito de “intentar reunir todas [las potencias] bajo
una misma denominación”. Este resultado debe ponerse en conexión con la proposición
X.9 que, en un escolio del Libro X, es expresamente atribuida a Teeteto y a la que este
se refiere implícitamente en su programa al mencionar la existencia de líneas que no sonconmensurables en longitud pero sí lo son atendiendo a las superficies que pueden formar.
Proposición 6. Las potencias de los números rectangulares12 son inconmensurables
respecto de la unidad en longitud.
Demostración. Sea AB el lado de un cuadrado cuya área N es un número [natural]
rectangular. Queremos probar que AB no es conmensurable con la unidad en longitud.
Supongamos en primer lugar que N no es medido por ningún número mayor que 1
que sea cuadrado y equilátero13 . Si suponemos que AB es conmensurable con la unidadF
en longitud, se tiene que AB
1 = G , siendo F y G números [naturales] primos entre sí[Proposición VII.22].
2

F
2
Sigue entonces que N1 = G= N · G2
2 [proposición VIII.11] y, por tanto, F2
2
2[Proposición VII.19], es decir que F es múltiplo de N . Además F y G son primos
entre sí [Proposición VII.27]. Dado que N no es medido por ningún número mayor que
1 que sea cuadrado y equilátero se deduce que también F ha de ser múltiplo de N . AsíF = N · H, con H un número [natural].

De la iguladad F 2 = N ·G2 sigue ahora que N 2 ·H 2 = N ·G2 , es decir, H 2 ·N = G2 ,y por lo tanto obtenemos que G2 es múltiplo de N (y primo con H 2 ). Razonando comoantes sigue que también G es múltiplo de N y llegamos a contradicción puesto que alser F y G primos entre sí no pueden tener una medida común mayor que 1 [Definición
VII.13].
Supongamos ahora que N es medido por algún número cuadrado y equilátero. Entonces
podremos escribir N = M 2 · K, siendo K un número [natural] mayor que 1 que no es
medido por ningún número mayor que 1 que sea cuadrado y equilátero [Definiciones VII.5
y VII.19].
Si suponemos que AB es conmensurable respecto de la unidad en longitud, se obtendríaP
que AB
1 = Q , siendo P y Q números [naturales] primos entre sí [Proposición VII.22].
12 Es decir, las raíces cuadradas de los números naturales que no son cuadrados perfectos.
13 Es decir, N no admite ningún divisor mayor que 1 que sea cuadrado perfecto.

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J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...
2

2

2

P
M ·K
P
2
Por tanto N1 = Q· K · Q2 = P 2=Q2 [Proposición VIII.11], es decir,
2 , y así M
1
2

P[Proposición VII.19]. Sigue que K
1 = (M ·Q)2 [Proposiciones VII.19 y IX.1], lo que no es
posible pues K es un número natural que no es medido por ningún número mayor que 1
que sea cuadrado y equilátero y estaríamos en el caso anterior tomando, si es necesario,en lugar de MP·Q , los números [naturales] más pequeños que estén en esa proporción[Proposición VII.22].

En definitiva obtenemos que AB no es conmensurable con la unidad en longitud comoqueríamos probar.
Muchos siglos después Luca Pacioli escribiría, en referencia a este hecho, lo siguienteen [17, Cap. IX, pág. 48]:
“Así pues, existen o se originan dos clases de raíces, una llamada discreta, es decir
racional, que es la que se puede designar exactamente mediante un número, como la raíz de
9 es 3, y otra llamada sorda, que es aquella que no se puede indicar con exactitud mediante
un número, como se ha dicho a propósito de la raíz de 10 y de otros números. Estas últimas
se conocen, por otro nombre, como irracionales, pues en el arte todas aquellas cantidades
que no se pueden designar exactamente con un número se conocen como irracionales,
mientras que las que sí pueden designarse se llaman racionales.”Volviendo al programa de trabajo esbozado por Teeteto podemos inferir de sus palabras
que los griegos consideraban las cantidades irracionales no cómo números, sino como
magnitudes susceptibles de ser entendidas en cuanto tenían una interpretación geométrica
como longitudes o áreas. Esta interpretación, como se ha señalado, tuvo como consecuencia
importante la derivación de la matemática griega hacia la geometría, dejando el álgebra
prácticamente sin cultivar o, dicho de forma más precisa, cultivando lo que muchos siglos
después se dió en llamar de forma un tanto ambigua (ver [8, Libros I-IV, Introducción, pág.
66-72]) “álgebra geométrica”.
Viene a cuento aquí, y resulta muy esclarecedora, la siguiente cita de [22, pág. 125]:“Ahora√decimos que la longitud de la diagonal [del cuadrado unidad] es el número
irracional 2 y nos sentimos superiores a los pobres griegos que no conocían los irracionales.
√ Pero los griegos conocían muy bien las razones irracionales [...]. Que no considerasen
2 como un número no era resultado de su ignorancia, sino una consecuencia lógica de
su definición de número. Arithmos14 significa cantidad, esto es, número natural. Su rigor
lógico ni siquiera les permitía admitir fracciones; las sustituían por razones de naturales[...]. En el dominio de los números [naturales] la ecuación x2 = 2 no puede ser resuelta
ni siquiera usando razones de números. Pero es resoluble en el dominio de los segmentos
pues la diagonal del cuadrado unidad nos da la solución. En consecuencia, para obtener
soluciones exactas de ecuaciones cuadráticas tuvieron que pasar del dominio de los números al de las magnitudes geométricas. El álgebra geométrica es válida también para lossegmentos irracionales y, a pesar de todo, es una ciencia exacta. Y, por lo tanto, fue la
14 El Libro VII de los Elementos define un número como una pluralidad compuesta de unidades (Definición

VII.2).

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65

necesidad lógica y no un mero capricho lo que obligó a los pitagóricos a transmutar suálgebra a una forma geométrica”.
Insistiendo en estas mismas ideas resulta pertinente traer a colación la siguiente frase
recogida en [19, Comentario 60]: “La afirmación de que cada ratio es expresable pertenecea la aritmética pero no a la geometría, ya que esta contiene ratios√inexpresables”. Es decir,para los griegos no tenía sentido aritmético el número irracional 2, pero sin embargo esta
magnitud tenía todo el sentido geométrico como la diagonal del cuadrado unidad.
El matemático más importante de la Academia fue sin duda Eudoxo de Cnido (aprox.
408-355 a. C.) cuya contribución al desarrollo de la matemática griega fue extraordinariamente relevante. A él se atribuye el enunciado de lo que hoy llamamos el axioma decontinuidad de los números reales, que aparece recogido de forma inocente en la definición
V.4 de los Elementos de la siguiente forma:
Definición 2. Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una
de ellas de modo que supere a la otra.

Arquímedes, sin embargo, lo consideró, más correctamente, un principio o postulado ylo enunció de la siguiente forma en su obra Sobre la esfera y el cilindro:“Dadas dos líneas, dos superficies o dos sólidos desiguales, la mayor de estas figuras
excede a la menor en una magnitud tal que, añadida a sí misma, es capaz de exceder
cualquier magnitud propuesta de las que decimos que guardan razón [o sea, es capaz de
exceder cualquier magnitud finita]”.
En términos más actuales se podría escribir:“Dadas dos cantidades positivas A > B, siempre existe n ∈ N tal que nB > A”.
O equivalentemente, “Dadas dos cantidades positivas A > B, siempre existe n ∈ N
tal que n1 A < B”, que es lo que hoy se llama en los cursos de cálculo infinitesimal la
propiedad arquimediana de R, olvidándonos injustamente de Eudoxo, como tantas veces
sucede con la autoría de los resultados en la matemática.
Como se señala en [13, pág. 62], la importancia del axioma de continuidad está enque permite obtener magnitudes tan grandes o tan pequeñas como se quiera, desterrando
la presencia de infinitésimos o infinitos actuales en sentido aristotélico, con lo que se
conjura la temible presencia del infinito, incompatible con la matemática griega y quetantos quebraderos de cabeza había dado desde las aporías de Zenón de Elea.
La segunda contribución capital de Eudoxo a la matemática griega, que es la que másinteresa a los efectos de este artículo, permitió resolver de forma brillante el problema
generado por la aparición de las magnitudes inconmensurables extendiendo a estas la teoríade la proporción. En [13, pág. 60] se recogen diferentes citas de destacados matemáticos,
profesores e historiadores de la matemática contemporáneos que consideran que esta
aportación de Eudoxo lo sitúa como una de las cimas del pensamiento matemático de todos
los tiempos.

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La definición pitagórica de proporción o igualdad de razones entre números (naturales)
se recoge en los Elementos como la definición 21 del Libro VII y es la siguiente:
Definición 3. Proporcionalidad o igualdad de razones entre números (naturales).
Unos números [naturales] son proporcionales cuando el primero es el mismo múltiplo
o la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto15 .
Dado que esta definición no puede aplicarse al caso de las magnitudes inconmensurables pues entre ellas no existe una razón exacta que pueda expresarse como un cociente
entre dos números naturales, Eudoxo generaliza el concepto y concede carta de naturalezaa la igualdad de razones entre cantidades cualesquiera. La definición se recoge en el Libro
V de los Elementos como la definición 5 en los siguientes términos:
Definición 4. Igualdad de razones entre cantidades cualesquiera.
Se dice que la primera de cuatro cantidades tiene la misma razón con la segunda que latercera con la cuarta cuando tomando cualquier múltiplo de la primera y la tercera, y de la
segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda
según que el múltiplo de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta.
Con nuestra notación actual la definición de igualdad de razones de Eudoxo sería lasiguiente:
Definición 5. Dados los números reales positivos a, b, c y d se verifica que ab = dc si ysólo si para todo m y n ∈ N se tiene que:
Si ma < nb, entonces mc < nd.
Si ma = nb, entonces mc = nd.
Si ma > nb, entonces mc > nd.
Obsérvese que en la definición de los Elementos no se indica nada sobre la naturalezade las cantidades consideradas, sino que simplemente se establecen una serie de relaciones
numéricas que deben cumplir los múltiplos de cada una de ellas. Aunque evidentemente
la segunda definición de igualdad de razones generaliza la primera, la realidad es que
Euclides no lo menciona de forma explícita en todo el tratado, si bien lo da por admitido
de forma tácita cuando lo precisa. Tan paradójico le parece este hecho a Klein que atribuye
el Libro V directamente a Eudoxo y señala lo siguiente en [16, Vol. II, pág. 258]:“En esta parte [En el Libro VII], para estudiar las proporciones entre números enteros,
es decir, el cálculo con números racionales, se expone una teoría completamente independiente de la que figura en el Libro V, y aunque las fracciones racionales son un simple caso
particular de los números reales, para nada se relacionan las dos partes de los Elementos enque figura su estudio, lo cual hace muy difícil sostener que ambas sean del mismo autor”.
15 Un número es “parte” de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor (Definición VII.3) y es “partes”

cuando no lo mide (Definición VII.4).

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El Libro V de los Elementos, uno de los más profundos, está dedicado en exclusiva aldesarrollo de la teoría de la proporción para magnitudes cualesquiera, siendo la definición
que acabamos de enunciar su piedra angular y jugando un papel fundamental el axioma
de continuidad. Como hemos señalado los resultados recogidos en el Libro se atribuyen
a Eudoxo, si bien se considera que a Euclides le corresponde, en contra del criterio de
Klein que acabamos de mencionar, la organización del mismo, organización que puede
haber incluido variantes euclídeas equivalentes pero no idénticas a los supuestos y lemas
empleados por Eudoxo según se reseña en [8, Libros I-IV, Introducción, pág. 79].
Por su parte el Libro VI aplica la teoría de la proporción a la geometría plana, obteniendo diferentes resultados sobre polígonos semejantes y generalizando el procedimientode la aplicación de áreas. Se considera que en este Libro se reconstruyen la mayor parte delas pruebas de los resultados geométricos obtenidos por la escuela pitagórica que habían
quedado invalidados como consecuencia del descubrimiento de las magnitudes inconmensurables. La definición de igualdad de razones de Eudoxo permite ahora extender la teoríade la proporción a dichas magnitudes y dota a la matemática griega de la herramienta
adecuada para poder demostrar, de forma correcta, todos los resultados sobre proporcionalidad y semejanza de figuras geométricas que la escuela pitagórica había obtenido bajo laaparentemente obvia pero falsa asunción de que todas las magnitudes eran conmensurables.
A modo de ejemplo vamos ahora a demostrar correctamente la proposición VI.1, cuya
prueba incorrecta recogimos en la sección anterior en la versión en la que presumiblemente
la habrían probado los pitagóricos.
Proposición 7. Los paralelogramos [y los triángulos] que tienen la misma altura son entre
sí como sus bases.
Demostración. Sean los paralelogramos ABCD y AEF G con bases respectivas BC y
EF sobre la recta M N . Sean m y n dos números naturales cualesquiera. Sobre M N
trazamos, a partir de C, m − 1 segmentos iguales a BC y, a partir de los puntos de división
C2 ,..., Cm−1 , Cm obtenidos, trazamos segmentos paralelos a AB hasta que corten a la
prolongación de AD en los puntos D2 ,..., Dm−1 , Dm . De forma similar trazamos a partir
de F n − 1 segmentos iguales a EF y, a partir de los puntos de división F2 ,..., Fn−1 , Fn
obtenidos, trazamos segmentos paralelos a AE hasta que corten a la prolongación de AG
en los puntos G2 ,...,Gn−1 , Gn , todo ello tal como se indica en la figura 8.
DmDm-1 D2 D A

M CmCm-1 C2 C B

G G2

E

F

Gn-1 Gn

F2

Fn-1 FnN

Figura 8. Proposición VI.I de los Elementos.

Se tiene que
BCm = m(BC), ABCm Dm = m(ABCD), EFn = n(EF ), AEFn Gn = n(AEF G)

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y, por tanto, dado que entre los paralelogramos de igual altura tiene mayor área el que tiene
mayor base [Proposición I.38], podemos concluir quem(ABCD) = ABCm Dm (>=<)AEFn Gn = n(AEF G) ⇐⇒⇐⇒ m(BC) = BCm (>=<)EFn = n(EF )lo que, de acuerdo con la definición de Eudoxo de proporción, nos dice que
ABCD
BC
=
AEF G
EF
que es el resultado que queríamos probar.
Un problema interesante del que nada nos dice Euclides es el de la génesis de lanoción de igualdad de razones. Indudablemente llama la atención la analogía entre este
concepto y el concepto de cortadura utilizado por Dedekind para introducir los números
reales de forma rigurosa a finales del siglo XIX. Dedekind definió un número real comouna cortadura de números racionales, esto es, un par de conjuntos (A1 , A2 ) de números
racionales verificando que tanto A1 como A2 son no vacíos, disjuntos, A1 ∪ A2 = Q ycualquier elemento de A1 es menor que cualquiera de A2 . Intuitivamente, el número real
definido por (A1 , A2 ) es el que está en medio de los dos conjuntos A1 y A2 .
En [6, pág. 11-12] se trata de reconstruir el pensamiento investigador que condujo a
Eudoxo a la definición del concepto de igualdad de razones y se señala que pudo acontecerde la siguiente forma:“Para dar sentido a la razón αβ de dos segmentos rectilíneos inconmensurables entre
sí, vamos a considerar, en la clase de los segmentos rectilíneos conmensurables con elβ, dos subclases: una formada por los menores que el α y otra formada por los mayores
que el α. Si designamos con a y A los segmentos genéricos respectivos, se tendría, enAconsecuencia, a < α < A. Plausiblemente se escribiría, por tanto, βa < α
β < β . Para
m1 A
m2
a
los extremos de esta doble desigualdad se tendría que β = n , β = n . Se inferiría,
m2
m1
m2
por tanto, mn1 < α
β < n , donde los extremos n y n son números fraccionarios. Y
de esa manera Eudoxo y Euclides, muchos siglos antes que Dedekind (1831-1916), se
encontraban ante la bipartición ordenada de los números fraccionarios, o de los racionales,si sólo se tomaban las fracciones irreducibles. A esta bipartición ordenada es a la que
Dedekind llamó “cortadura”.
′

αSegún eso, para Eudoxo y Euclides [...] se escribiría la igualdad αβ = β ′ cuando fueran
los mismos los números fraccionarios que aproximen, por defecto y por exceso, a esas dos
razones.
m2
Y como mn1 < α
β < n implica m1 β < nα < m2 β, y esta implica aquella, conglobando el caso conmensurable y el inconmensurable, para los segmentos rectilíneos α y β,tendríamos la definición 5 del Libro V mediante los equimultíplices:αα′′′β = β ′ precisamente si mβ(>=<)nα implica, respectivamente, mβ (>=<)nα .”Lecturas Matemáticas, vol. 45 (1) (2024), pp. 35-72

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Insistiendo en la relación entre la igualdad de razones de Eudoxo y las cortaduras
de Dedekind, en [7, pág. 73-74] se observa que, si en la igualdad ab = dc consideramos
los denominadores b y d iguales a la unidad, tendremos que a = c si y sólo si, dados
dos números naturales cualesquiera m y n, siempre que ma sea menor, igual o mayor
que n se tendrá que mc es también, respectivamente, menor, igual o mayor que n. Pero
entonces, si vamos colocando en dos conjuntos A1 y B1 los cocientes mn según que sea
ma < n o mc < n, respectivamente, y en otros dos conjuntos A2 y B2 los cocientes mncuando ma ≥ n o mc ≥ n, respectivamente, observaremos que las parejas (A1 , A2 ) y(B1 , B2 ) forman dos cortaduras de números racionales como las definidas por Dedekind
que determinan, respectivamente, los números reales a y c y que A1 = B1 y A2 = B2 .
Podemos por tanto afirmar que Eudoxo estuvo muy cerca de la definición de número
real tal como la conocemos hoy. De hecho en [16, Vol. II, pág. 273-274] se afirma que“Euclides (o más bien Eudoxo) procede -y esto es lo más admirable- del mismo modoque se ha procedido en las investigaciones modernas sobre la noción de número y utiliza
exactamente los mismos medios auxiliares [en referencia al axioma de continuidad]”. Sin
embargo, la realidad es que Eudoxo nunca diseñó un procedimiento que le permitieraobtener los números irracionales partiendo de los racionales de acuerdo con la metodología
actual y, por este motivo, algunos autores han apuntado que la definición de Eudoxo de
igualdad de razones supuso una solución provisional al problema de la inconmensurabilidad
y que la solución definitiva no llegó hasta finales del siglo XIX con la fundamentación
rigurosa de los números reales. En ese caso habrá de añadirse que esa solución provisional
tuvo la virtualidad de mantener su carácter durante más de dos mil años, constituyendoprobablemente una marca no batida en lo que se refiere a vigencia de una solución temporal.
El hecho de no introducir los números reales, para los que no poseían un sistema denumeración adecuado, determinó que los griegos no pudieran asignar en general a las
figuras geométricas números que midieran sus áreas o volúmenes, por lo que para calcularsus cuadraturas o cubaturas debían encontrar su razón con otra figura previamente conocida.
Pero esto no quiere decir que no pudieran conocer las fórmulas de las áreas o volúmenesde los polígonos o poliedros regulares que se utilizan en la geometría elemental sino
simplemente que, al no poder asignar a cada área un número, no les interesaba la fórmula.
Por ejemplo, la mencionada proposición VI.1 de los Elementos nos dice que los triángulos
que tienen la misma altura son entre sí como sus bases, es decir, que los triángulos con la
misma base y altura tienen el mismo área. Esto no es todavía la fórmula del área de un
triángulo como base por altura partido por dos pero, fijado cualquier triángulo, los griegossabían construir otro con la misma base y altura que fuera rectángulo. Para ello sólo tenían
que construir un rectángulo de lado la altura sobre la base del triángulo dado y tomar eltriángulo rectángulo determinado por la diagonal. El área de este triángulo es la mitad dela del rectángulo que lo contiene, esto es, la fórmula buscada.
Finalmente se atribuye también a Eudoxo el resultado que hoy se conoce como elprincipio de exhaución (o de Eudoxo) y que no es otro que la proposición X.1 de losElementos. Dice lo siguiente:

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Proposición 8. Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad, y de la que queda una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente,
quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.
Demostración. Sean R y ε dos magnitudes tales que R > ε > 0. Por el axioma decontinuidad existe n0 ∈ N tal que n0 ε > R. Así, si llamamos R1 , R2 ,..., Rn a las partes
de R que van resultando al quitar en cada paso una magnitud mayor que la mitad de lo que
va quedando, se tiene que:

R1 <

1
n0
1
n0
1
n0
R<
ε, R2 < R1 < 2 ε, ... , Rn0 < Rn0 −1 < n0 ε < ε
2
2
2
2
2
2

con lo que obtenemos el resultado buscado.
Una vez finalizada la prueba se apostilla [8, Libros X-XIII, pág. 13]: “De manera
semejante demostraríamos que esto ocurre también si se quita la mitad”, lo que demuestra elfino olfato matemático de Euclides (o de Eudoxo), toda vez que “la mitad” es precisamentelo mínimo que hay que ir detrayendo en cada paso a lo que vaya quedando de la magnitud
mayor para que el resultado sea cierto.
El principio de exhaución abre las puertas al método de exhaución con el que Euclides
demuestra algunos de los teoremas más importantes recogidos en los Elementos. Entre ellos
podemos destacar las proposiciones XII.7 (porisma) y XII.10 que recogen, respectivamente,que “Todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base e igual altura” yque “Toda pirámide es la tercera parte del prisma que tiene la misma base que ella e igual
altura”. Estos dos resultados son atribuidos a Eudoxo por el propio Arquímedes (287-212
a. C.) en la carta a Eratóstenes que precede a su libro El Método, si bien reconoce elmérito de Demócrito que habría enunciado mucho antes los resultados, aunque sin poderprobarlos rigurosamente. También en el Libro XII se prueba por el método de exhaución, yen consecuencia se atribuye a Eudoxo, la proposición XII.2 que dispone que “Los círculos
son uno a otro como los cuadrados de sus diámetros”, si bien el enunciado sin demostración
sería muy anterior y correspondería a Hipócrates de Quíos.
El método de exhaución consiste en una doble reducción al absurdo de manera que,para demostrar que una magnitud A es igual a otra B o que una figura A es equivalente
a otra B, basta probar que A no puede ser ni mayor ni menor que B. Merece la pena
destacar que el método de exhaución, cuyo nombre fue introducido por primera vez por
el matemático belga Gregorius Saint Vincent (1584-1667) en su obra Opus geometricum
quadrature circuli et sectionum coni, es el equivalente en la matemática griega a la nociónde límite del análisis infinitesimal que no apareció hasta principios del siglo XIX, de lamano de Cauchy y Bolzano, y que no tomó su forma actual hasta los trabajos de Weierstrassen el último tercio de dicho siglo.
Como se señala en [21, pág. 65-66] “el método de exhaución no es un método dedescubrimiento, pues el resultado al que debe llegarse se da por admitido; tampoco esun método constructivo, en el que partiendo de propiedades conocidas se llega por vía

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deductiva a nuevos resultados. El método de exhaución es puramente un método dedemostración que no pretende descubrir una nueva verdad, sino demostrarla”. En [12, pág.
28] se insiste en estas ideas apuntándose que, aún cuando el método de exhaución confiere
al argumento matemático un rigor lógico impecable, tiene algunas serias servidumbres.
En primer lugar, suele resultar muy engorroso el establecimiento de la desigualdad básica
que se necesita para iniciar la doble reducción al absurdo, lo que hace bastante trabajoso elseguimiento de una demostración realizada por exhaución. En segundo lugar no da ninguna
pista que ilumine el camino que ha seguido el investigador para llegar hasta el resultado
que luego se ha probado.
En definitiva, después de los trabajos de Teeteto y, sobre todo, de Eudoxo, el problemade las magnitudes inconmensurables quedó conjurado para la matemática griega, con laconsecuencia mencionada de la derivación del álgebra hacia una forma geométrica. Este
hecho, junto con el rigor lógico impuesto por la escuela platónica para solventar las dudasy paradojas provocadas por la temible presencia del infinito y la aplicación del método
de exhaución para las demostraciones, con la consiguiente ocultación de los métodos dedescubrimiento tan necesarios para el científico, confieren al edificio de la matemática
griega de un aspecto imponente e impenetrable, tan imponente e impenetrable que para
apreciar avances significativos en la matemática posteriores a los realizados por los últimos
grandes matemáticos griegos, Diofanto (hacia el 250 d. C.) y Papo (aprox. 290-350 d. C.),
será necesario esperar más de doce siglos y adoptar, como en su día hicieron los helenos,
un punto de vista diferente (ver, por ejemplo, [4, pág. 97]). Pero esa es otra historia que notiene cabida en este artículo.
Referencias[1] Apostol, T. M. Análisis Matemático, Reverté, 1976.
[2] Aristóteles, Lógica, Primeros Analíticos, Traducción de Francisco Gallach Palés,
Nueva Biblioteca Filosófica XLV, 1931.
[3] Aristóteles, Metafísica, Editor Valentín García Yebra, Gredos 1998.
[4] J. M. Ayerbe Toledano, El nacimiento de la geometría analítica, Lecturas matemáticas, 38(2) (2017), 93-124.
[5] Carl B. Boyer, Historia de la Matemática, Alianza Editorial, 2007.
[6] Norberto Cuesta Dutari, Historia de la invención del cálculo infinitesimal y de su
introducción en España, Ediciones Universidad de Salamanca, 1985.
[7] Antonio J. Durán Guardeño, Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo,
Alianza Universidad, 1996.
[8] Euclides, Elementos, Introducción de Luis Vega, Traducción de María Luisa Puertas
Castaños, Gredos, 1991.
[9] H. Eves, Great Moments in Mathematics, Vol. I, The Mathematical Association ofAmerica, 1977.
[10] K. von Fritz, The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum,
Annals of Mathematics, 46, No. 2 (1945), 242-264.

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J. M. Ayerbe Toledano. Los dos grandes tesoros de la Geometría y...

[11] W. Guthrie, Historia de la filosofía griega. Platón y la Academia de Atenas, Vol. 5,
Gredos, 1990, RBA, 2006.
[12] Pedro M. González Urbaneja, Las raíces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII,Alianza Universidad, 1992.
[13] Pedro M. González Urbaneja, Arquímedes y los orígenes del cálculo integral, Nivola,
2008.
[14] Pedro M. González Urbaneja, Matemáticas y matemáticos en el mundo griego, Cap.
I de El Legado de las Matemáticas. De Euclides a Newton: los genios a través de sus
libros, Editan: Consejería de Cultura (Junta de Andalucía), Universidad de Sevilla,
Real Sociedad Matemática Española, SAEM Thales, 2000, Coord. Antonio J. Durán
Guardeño.
[15] Jámblico, Vida pitagórica y Protréptico, Introducciones, traducción y notas de Miguel
Periago Lorente, Gredos, 2008.
[16] Félix Klein, Matemática elemental desde un punto de vista superior, Biblioteca
Matemática, Dtor. J. Rey Pastor, 1931.
[17] Luca Pacioli, La Divina Proporción, Introducción de Antonio M. González, Traducción de Juan Calatrava, Akal, 1991.
[18] Platón, Teeteto, Traducción de Serafín Vegas González, Digitalia, Inc., Biblioteca
Nueva, 2013.
[19] Proclus, A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements, Translated, with
Introduction and Notes, by Glenn R. Morrow, Princeton University Press, 1970.
[20] B. Russell, Historia de la filosofía occidental, Tomo I, Austral, 2013.
[21] J. Rey Pastor y J. Babini, Historia de la Matemática, Vol. 1, Gedisa, 1984.
[22] B.L. van der Waerden, Scienceawakening, Vol. I, Groningen: Noordhoff International,
1975.
[23] L. Zhmud, Pythagoras as a Mathematician, Historia Mathematica, 16 (1989), 249268.
Recibido en mayo de 2023. Aceptado para publicación en abril de 2024

J OSÉ M. AYERBE T OLEDANOD EPARTAMENTO DE A NÁLISIS M ATEMÁTICOU NIVERSIDAD DE S EVILLAS EVILLA , E SPAÑA
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