計測自動制御学会産業論文集
Vol.5, No.1, 1/8（2006）

スマート構造物のクラック推定を伴う振動制御−ゲインスケジュールド制御系による実験的検証− †高 木 清 志∗ ・西 郷 宗 玄∗

Vibration Control of a Smart Structure with Identification of a Crack- Experimental Verification of a Gain-Scheduled Controller Kiyoshi Takagi∗ and Muneharu Saigo∗

This paper deals with damage detection and vibration control of a smart structure. A ﬁnite element modelof a cracked beam is established. This model is applied to a cantilever beam and the natural frequencies are
determined for a diﬀerent crack length and locations. This study proposes a method for the crack identiﬁcation
when the vibration of the beam is suppressed by using active control. Furthermore, we design the gain-scheduled
controller considering both the crack length and the location. The eﬃciencies of our crack identiﬁcation method
and the gain-scheduled controller design are veriﬁed by simulation and experiment.
Key Words: vibration control, damage detection, smart structure, gain scheduling, LMI

1.

損傷の推定を行うことができる．モデルベースドヘルスモニ

まえがき

タリングの基礎的研究として，はりを対象としたクラックの構造材料とセンサ，アクチュエータを一体化し，構造自ら同定が行われているが，その中でもモード周波数の変化を利が損傷を検知し，さらには致命傷にならないように制御を行用する方法が提案され，多くの研究が行われている 3) 4) ．しう，スマート構造に関する研究が盛んに行われている．これ

かし，損傷を推定し，それによる部材の振動特性の変化まで

は，損傷が拡大することにより重大な被害を及ぼす原因となを考慮した制御系設計を行った研究例はあまりない．

る航空分野，さらには宇宙構造物へと応用が期待されている．

そこで本研究では，片持ちはりを対象として，振動制御がスマート構造システムを構成する要素の中で損傷診断（ヘルなされた状態で，クラックの位置と深さを推定する一手法をスモニタリング）技術は土木・建築分野においても注目され，示し，クラックによる固有振動数の変化やモード形状の変化

FBG 型光ファイバセンサを用いた地上 12 階建てのビルのヘに即座に対応するゲインスケジュールド制御系を設計する．

や，ロードセルを用いた自動車トンネル

前報 5) ではシミュレーションによりその有効性を示したが，換気用ジェットファンの異常検知システムの開発 2) 等の実用本論文では制御実験を行う．まず，クラックとその開閉を考化例が報告されている．構造物に多数配置されたセンサによ慮した片持ちはりのモデルを有限要素法により求める．さらり得られた信号を用いてヘルスモニタリングを行う方法は，に，モード打ち切り法により低次元化モデルを求め，ゲイン

センサベースドヘルスモニタリングと呼ばれる．一方，損傷

スケジュールド制御系設計のためのクラックの深さと位置にが発生した状態を含む構造物のモデリングを行い，モデルと関する LPV（線形パラメータ変動）モデルを求める．そこで実測値の応答を比較して損傷推定を行う方法はモデルベース

は，フロベニウスノルムを近似の指標として選ぶ手法を用いドヘルスモニタリングと呼ばれる．モデルベースドヘルスモることにより，パラメータ数をなるべく少なくすることがでニタリングでは，多数のセンサを用いる必要はないという利

きる 5) 6) ．つぎに，得られた LPV モデルを LFT（線形分数点がある．そのため，アクティブ振動制御がなされている構変換）表現へと変換し，ゲインスケジュールド制御系を設計

造物では，制御のためのセンサ信号をそのまま用いることでする 7) ．

ルスモニタリング1)

そして，有限要素モデルによりクラックの位置，深さと固有振動数の関係を求め，クラック推定実験を行う．さらに，†

Design & Dynamics 2005 講演会で発表（2005・8）
独立行政法人産業技術総合研究所先進製造プロセス研究部門
茨城県つくば市並木１−２−１∗ National Institute for Advanced Industrial Science andTechnology, 1-2-1, Namiki, Tsukuba-city, 305-8564（Received September 12, 2005）∗

本研究ではクラック推定を複数回繰り返すことで，振動制御がなされていても精度良く推定が行えることを数値シミュ
レーションにより示す．つぎに，推定されたクラックのパラ

1

計測自動制御学会産業論文集
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx..

z

xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
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xxxxxxxxxx
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xxxxxxxxxx
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xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx

Piezo Transducer
Crack

y1

lp

v

a

第5巻

第 1 号 2006 年 1 月となる．ここで，(4) 式は応力拡大係数の重ね合わせの原理

a Pから得られる．全体の影響係数はML

cij = ∂ 2 W (0) /∂Pi ∂Pj + ∂ 2 W (1) /∂Pi ∂Pj ,

tb

y
tp
l
Sensor

P1 = P, P2 = M, i, j = 1, 2

wb

（5）

となる．力学的平衡より，i 番目の要素について(Pi Mi Pi+1 Mi+1 )T = T (Pi+1 Mi+1 )T
Fig. 1 FEM model of cantilever with crack（6）となる．ここで

メータを用いてゲインスケジュールド制御系のスケジューリT =ングを行い，クラックを有する片持ちはりの振動制御実験を

−1

−L

1

0

0

−1

0

1

T
（7）

行う．ゲインスケジュールド制御系は，クラックの考慮をしである．仮想仕事の原理よりクラックを有する要素の剛性行ていない制御系に比べて，クラックが生じた際の制御性能が列は以下のようになる．

高いことから，本研究で提案する推定および制御手法が有効

Kc = T c−1 T T

であることを示す．

2.
2. 1

モデリング

ここで，c は (5) 式を成分とする行列である． 一方，クラッ
クを有しない要素の剛性行列および質量行列は有限要素モデル

クラックの入った片持ちはりのモデルを Fig.1に示す．アKe =定するものとする．圧電素子の接着面のクラックおよび圧電

6L

−12

6L

EI  6L
L3  −12

4L2

−6L

−6L

12

2L2 

−6L 

6L

2L2

−6L

4L2

156

22L

54

−13L

mL  22L
420  54

4L2

素子自体のクラックは考慮しない． 記号は以下のように定義する．l : はりの長さ，E : はりの弾性係数，ν : はりのポア

ソン比，tb : はりの厚さ，wb : はりの幅，a : クラックの深

さ，lp : 圧電素子の長さ，tp : 圧電素子の厚さ，Ea : 圧電素

Me =子のヤング率．パラメータを Table 1に示す． 以下に文献 3)
端から要素 1, 要素 2,..., 要素 18 とする．要素 i の両端の節点

Mb ẍ + Cb ẋ + Kb x = f − Hb z̈

メントとすると
2

2

3= (M L + M P L + P L /3)/2EI

0

2(KIM + KIP )2 + KIIPdaEx = [x2 v2 · · · xi vi · · · x19 v19 ]（1）

f = Ca [0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 · · · 0] umL
[1 0 · · · 1 0 · · · 1 0]T
Hb =
18

（2）

（13）
（14）

となる．ここで，Ca はアクチュエータ係数であり，1 次モードを発振させることにより実験的に求める．減衰行列 Cb は共振実験における時刻歴応答より Cb = 6.0·10−5 Mb +3.0·10−5 Kb

開 口 形 ，面 内 せ ん 断 形 の 応 力 拡 大 係 数 で あ る ．こ こ で ，√
s = a/tb とおくと，KIM = (6M/wb t2b ) πaFI (s), KIP =√√(3P L/wb t2b ) πaFI (s), KIIP = (P/wb tb ) πaFII (s),とする．また，固定端が加振されることによる外乱を考慮し，
外乱入力行列 Hb を壁面の絶対加速度 z̈ による外乱がはりに加わるものとして定式化している．

(2/πs) tan(πs/2)

これより状態方程式はクラックの生じている要素 nc およびクラックの深さ a に依存する時変システムとして表すことが

（3）

でき，

FII (s) = (3s − 2s2 ) ·1.122 − 0.561s + 0.085s2 + 0.18s3
√
1−s

（12）
T

となる．ここで，E  = E/(1 − ν 2 )，KI , KII はそれぞれ

0.923 + 0.199[1 − sin(πs/2)]4,
cos(πs/2)（11）
Tとなる．クラックによる付加的なエネルギは，軸方向の運動

 a

（10）

体の質量，減衰および剛性行列とすると， 運動方程式は，

ずみエネルギは，L を要素の長さ，P をせん断力，M をモー

FI (s) =
156 −22L 

13L −3L2 て圧電素子を貼るものする．Mb , Cb , Kb をそれぞれ，はり全

せん断方向の運動を無視すると，クラックなしの要素のひW (1) = wb

する要素にのみ (8) 式を用いる．はり根元から要素 4 にわたっ側の節点の並進変位および回転変位を xi+1 , vi+1 とする．

2（9）となる． 本研究では，はりの分割数を 18 とし，クラックを有において，左側の節点の並進変位および回転変位を xi , vi ，右を無視すると13L

−13L −3L2 −22L 4L2に従い，有限要素法によりモデルを導出する．要素番号は左

W



12



クチュエータは圧電素子とし，センサははり先端の変位を測

(0)

（8）

（4）

2

ẋf = Af (nc , a)xf + Bf z z̈ + Bf u u（15）

yf = [01×34 0 1 01×36 ]xf = Cf xf（16）計測自動制御学会産業論文集

第5巻

第 1 号 2006 年 1 月

Table 1 Specifications of model
l
E
Ea
d31

0.5 (m)
7 ×1010 (N/m2 )6.9 ×109 (N/m2 )-2.40 ×10−10 (m/V)

wb
tb
lp
tp

0.05 (m)0.005 (m)0.100 (m)0.0003 (m)となる．ここで，状態ベクトルは xf = [x ẋ]T であり，シス
テム行列 Af ，入力行列 Bf z , Bf u は



Af =


Bf z =

0I−Mb−1 Kb

−Mb−1 Cb0
−Mb−1 Hb,

, Bf u =(a) First mode

（17）


0
Mb−1 f（18）となる． また，クラックが生じていないときの状態方程式
を，要素の剛性行列をすべて Ke として全体の剛性行列 K̄b を構成し，(17) 式中の Kb を K̄b に置き換えて Āf を求め，

ẋf = Āf xf + Bf z z̈ + Bf u u（19）

yf = Cf x f（20）(b) Second modeとする．
つぎに，クラックの開閉を考慮した，クラックの位置，深さによる固有振動数の変化を求める．クラックの生じている要素 nc の両側の回転変位 vnc , vnc +1 に着目して， クラックが閉じているときは，クラックが生じていないことと等価であるとすると，vnc +1 (t) > vnc (t)（21）(c) Third mode

であるときは (19) 式を用い，vnc +1 (t) < vnc (t)（22）

Fig. 2 Variation of eigenvalues with crack open/closeであるときはクラックの開いている状態であるため，(15) 式= Ar (nc , a)xr + Br (nc , a)[z̈ u]Tを用いる．クラックの開閉を伴うはりは，非線形システムとなるため解析的な固有値が求まらない．そこで，本研究では

yr = Cr (nc , a)xr

クラック位置を 1 要素毎，深さを 0%から 5%毎に 80%まで変

（23）
（24）

を得る．

化させた各状態において，サンプリング周期を 1ms として 20
秒間のランダム加振シミュレーションを行う．そこで得られ本研究では，はりに生じたクラックによるモデル変動に対た時刻歴応答をフーリエ変換することにより，1 〜 3 次モー

応した制御系を設計するが，クラックの位置，深さの変動をドの固有振動数を求める．さらに，これを 60 回繰り返し，平考慮したゲインスケジュールド制御系を設計するためには，均化を行う．4 章で述べるクラック推定の精度を高めるため(23) 式をに，さらに 1 要素を 5 分割，深さを 1%毎に分割し補間を行う

Ar = F0 + Z1 (nc , a)F1 +···+ Zr (nc , a)Frと，クラックの位置 nc ，深さ a に対する 1 〜 3 次モードの固Br = G0 + Z1 (nc , a)G1 +···+ Zr (nc , a)Gr有振動数を表す行列 Ei ∈ 86×81 (i = 1, 2, 3) が求まる．そCr = H0 + Z1 (nc , a)H1 +···+ Zr (nc , a)Hrの結果を Fig.2に示す．1 〜 3 次モードについて，クラックが生じている要素が，1) はり根元に近いほど，2) 各モード形状のように変形して LPV モデルとして表す必要がある．行列の腹付近である場合，対応する固有モードへの影響が大きく

Ar , Br の各要素は (15) 式をモード分離することにより数値的なり固有振動数が低下する．また，クラックの深さが深いほに求められるため，F0 , ..., Fr ,G0 , ..., Gr ,H0 , ..., Hr ,Z0 , ..., Zr

ど固有振動数が低下することがわかる．

は容易に求められない．そこで，文献 6) のフロベニウスノル

2. 2

ム || · ||F を指標とした手法によりこれらを求める．以下に概線形パラメータ変動 (LPV) モデル

制御系の設計のために，モード打ち切り法を用いて (15) 式

要を述べる．ただし，実行列 X についてその成分を xij と書
くとき，||X||F :=の低次元化を行い，２次モードまでを考慮するモデル

i,jx2ij であり，任意の直交行列 U, V

に対して，||X||F = ||UXV T ||F が成立する．また本稿では，

ẋr = Ar (nc , a)xr + Brz (nc , a)z̈ + Bru (nc , a)u3計測自動制御学会産業論文集

G と H の上側 LFT を G H, で表す．

第5巻

第 1 号 2006 年 1 月を最小化する Λ, F を求める問題となり，特異値分解により解Tが得られる 5) ．ただし，Φ = [I Φ1 ], Λ = [λ ΛT
1 ] であり，I

まず，クラックの生じている要素およびクラックの深さのは成分がすべて 1 の N 次元列ベクトルである．

変動の範囲を以下のようにおく．

nc ∈ [2, 18], a ∈ [0, 0.7tb ]本研究では s = 35 とし，基底関数 φ1 (p), ..., φ35 (p) を（25）

nc , a, n2c , nc a, a2 , n3c , n2c a, nc a2 , a3 , n4c , n3c a,

そして，クラック深さに関しては，変動の範囲で等間隔に 10個ずつ点を取り，各々組み合わせた計 N = 170 個の動作点

n2c a2 , nc a3 , a4 , n5c , n4c a, n3c a2 , n2c a3 , nc a4 , a5 ,を低次元化モデル (23) 式に代入し，以下の状態空間表現を

n6c , n5c a, n4c a2 , n3c a3 , n2c a4 , nc a5 , a6 ,得る．

n7c , n6c a, n5c a2 , n4c a3 , n3c a4 , n2c a5 , nc a6 , a7Tẋr = Ar (pi )xr + Br (pi )[z̈ u] ,yr = Cr (pi )xr ,と選ぶ．項数 r = 3 とし，指標を (30) 式として，以下の LPV

i = 1, ..., N

モデルが得られる．

（26）ẋ = (F0 + Z1 F1 + Z2 F2 + Z3 F3 )x

ここで，行列 Ar , Br, Cr を並べてブロック行列
Ar (pi )Cr (pi )Br (pi )0+(G0 + Z1 G1 + Z2 G2 + Z3 G3 )u,とする．そして，パラメータ nc , a に

y = (H0 + Z1 H1 + Z2 H2 + Z3 H3 )x

依存する成分を横に並べて得られた n 次元の行ベクトルを
FiHiα(pi )T と書く．ブロック行列

Gi0

ZLi ≤ Zi ≤ ZU iに同様の操作を行ったベクトルを fjT と書くと，このとき考える問題は，



さらに，本研究ではゲインスケジュールド制御系の設計を



LFT を用いた手法で行うため，得られた LPV モデルを以下

f1T

. 

α(pi )T  [Z1 (pi ) · · · Zr (pi )]  .. 

のような LFT 表現に変換する．
（27）

y = ∆ G, u

frT
だ し ，Z1 (pi ), · · · , Zr (pi ) は あ ら か じ め s 個 の 実 関 数

次章に示す手法を用いてクラックの位置および深さ nc , a を

結合

求め，それを用いて制御器のスケジューリングを行う．

Z1 (pi ) = φ1 (pi )λ11 + · · · + φs (pi )λs1

本研究では簡易に実装が行える LFT 法を用いたゲインス..
.

ケジュールド制御系の設計を行う．以下に，LFT 法のゲイン
スケジュールド制御器の導出手法の概略を示す 7) ．まず，制Zr (pi ) = φ1 (pi )λ1r + · · · + φs (pi )λsrの中から選ぶとする．すると，近似問題は，

α(p1 )..
.

制御系設計

制御系の構成を Fig.3に示す．制御対象の時刻歴応答より，

φ1 (pi ), · · · , φs (pi ) を基底として定めておき，これらの線形





（32）

3.

で あ る ．こ こ で ，r は LPV モ デ ル の 項 数 と な る ．た



（31）

T







  



α(pN )T

御対象の摂動を含んだ Fig.4のような一般化プラントを構成する．ここで，∆ は制御対象の摂動を表し，∆w は性能のパ

スに導入した仮想的な摂動を表す．そして，Fig.3のように

φ1 (p1 )
..
.

···
..
.

φs (p1 )

..

.


φ1 (pN )···φs (pN )

λ11
 .
 .
 .

···
..
.

λ1r
f1T
 . 
.. 


.   ..  （28）

λs1

···

λsr





制御対象と同様の摂動ブロックを制御器が持つ相互接続を考える．パラメータがオンラインで観測できると仮定すると，すべての ∆ に対して安定で，その w1 := [w11 , w12 ]T から z1 := [z11 , z12 ]T への L2 ゲインが

 z1 L2<γ
w1 L20=w1 ∈L2
sup

frT

を満たすような制御器を LMI（線形行列不等式）を解くこととなり，

A  ΦΛF（33）

により求めることができる．ただし，γ > 0 は与えられたス（29）

カラーである．ゲインスケジュールド制御器は制御対象と同様の摂動ブロックで構成された LFT で表される．

と書くと，||A − ΦΛF||2F を最小化するサイズ s × r の実行列

Λ とサイズ r × n の実行列 F を求める問題となる．この問題

ここで，摂動の範囲を (32) 式のようにとると，性能のパスで特徴的なのは，Λ の列数または F の行数である r は小さいの評価より摂動の評価のパスで γ が小さくならず，保守的な値に定めることができ，LPV モデルの項数を少なくすること制御器となってしまう．そこで，摂動の範囲を小さくし，ˆ = β∆, β < 1∆ができる．これにより，制御器を設計する際に解が求めやす
くなる．また，F0 , G0 が非零の場合については，||(A − If0T − ΦΛF)||2F（34）として設計する．パラメータの変動する範囲全体の安定性の（30）

保証はなくなるが，制御器の設計を行う際は変動幅を (34) 式

4計測自動制御学会産業論文集
u

y

P

^z

た際に制振性能が向上し，クラックの進展を抑制できる．

n c ,a4.

^w

K

第 1 号 2006 年 1 月

12.5Hz 付近にピークが生じる．これにより，クラックが生じ

Crack
Identification

∆

第5巻

4. 1

クラック推定振動制御を伴わない推定

固有振動数変化によるクラック推定は，多数のセンサを用いない等の利点があるが，クラック深さ 10%以下の推定は難Fig. 3 Diagram of control system

∆

z

∆w

しいとされ 8) ，20%〜 80%の深さのクラックを推定する研究例が多い．センサベースドヘルスモニタリングでも，原子炉w

z11 w 11w12の蒸気細管に対する渦電流探傷法のベンチマークには，深さ

Dw W2

W1
G

u

60%のクラックが加工された平板が用いられている 9) ．また，

z12

本研究では，固有振動数の変化を考慮しない制御系では制振性能が劣化してしまう領域のクラックを扱う．そこで，深さ

y45%以上のクラックの推定を行う．
まず，振動制御がなされていない状態で，固有振動数の変Fig. 4 Generalized plant化からクラックの位置，深さを推定する方法を示す．はじめに，はり先端の時刻歴応答を 20 秒間取得し，フーリエ変換
Gain (dB)10050

することにより，1 〜 3 次モード固有振動数 e1 , e2 , e3 を得る．

nc=2, a/tb=0
nc=6, a/tb=0.7
nc=2, a/tb=0.7

0 −1
10

10

0

外乱は基礎部からのランダム外乱とする．つぎに，2.1 節で求めた固有振動数を表す行列 E1 , E2 , E3 と同じサイズの行列
1

10
Frequency (Hz)

10

2

10

Si ∈ 86×81 (i = 1, 2, 3) を用意する．行列 Ei と同様，行列3

Si の行がクラック位置，列がクラック深さに対応する．i 次
モードについて，行列 Ei の n 行 p 列がFig. 5 Gain diagram of gain-scheduled contoller

ei − αi < Ei (n, p) < ei + αi , i = 1, 2, 3
ˆ とした．そして，(32) 式の ∆ の範囲で変動させ，数値
の∆

（37）

を満たすとき，Si (n, p) = 1 とする．これにより，i 次モード

シミュレーション等で安定性および制御性能の確認する．本について，クラックにより固有振動数が，ei ± αi となるク

研究では，性能のパスの重み関数 W1 , W2 によって γ が変化

ラック位置，深さの領域が抽出される．ここで αi はしきい値

するようになるまで β を小さくしてゆき， β = 7 · 10−4 と選であり，αi = 0.05ei とする．そして，行列 Sa

んだ．W1 は乗法的誤差の 3 次モード固有振動数以上をおおSa = S1 + S2 + S2

うような関数とし，W2 の 2 次モード固有振動数付近にゲイ（38）

ンの山を作ることで，2 次モード固有振動数に対する制振性を求め，1 〜 3 次モードについて抽出された領域を重ね合わ能を向上させることができる．しかし，β を小さく選んでも，せる．行列 Sa の成分が 3 となる箇所が，1 〜 3 次モードにつ

1，2 次モードの両方の固有振動数変化に対応するように設計いて抽出された領域がすべて重なった領域であり，その中心

すると，保守的なゲインスケジュールド制御器となった．そがクラックの推定位置，深さに対応する．ここで，αi を小さこで，W2 は 1 次モード固有振動数の変化を重視して平坦なく設定すると，クラックが深く，行列 Ei の変化率が大きい場

重み関数とし，合に抽出される領域が小さくなり，行列 Sa の成分が 3 となる
2

W1 =箇所が現れない場合がある．そこで，深いクラックでも領域

2 2

37.8·{s + 2·0.6·(300·2·π)s + (300·2 ·π) }{s2 + 2 · 0.6 · (5000 · 2 · π)s + (5000 · 2 · π)2 }2

Si をある程度確保できるように αi を設定している．
4. 2

（35）

W2 =

振動制御を伴う推定

つぎに，振動制御を伴ったクラック推定手法を示す．まず，

100
（36）
s2 + 2 · 0.9 · (120 · 2 · π)s + (120 · 2 · π)22 章で示したクラックの開閉を有するモデルと，前章で設計とする．求まった制御器のボード線図を Fig.5に示す．ここしたゲインスケジュールド制御系を用いて閉ループ系を構成で，実線がクラックが生じていないとき，破線が要素 6 にし，新たに振動制御がなされたときのクラックの位置，深さ70%のクラックが生じたとき，一点鎖線が要素 2 に 70%のクと固有値の関係を求める．ここで，ゲインスケジュールド制

ラックが生じたときの制御器である．Fig.2より，要素 2 に御系はクラック深さ０として固定し，2 章と同様に時刻歴応70%のクラックが生じたときは，1 〜 3 次モード固有振動数

答から固有振動数を得る．そして，前節と同様に固有振動数が低下する．ゲインスケジュールド制御系は 1 次モード固有の変化からクラックの位置，深さを推定するが，振動制御が振動数の変化を重視して設計されているので，Fig.5の一点鎖なされているときは，１次モード固有振動数が現れにくく，線に示すように，低下した 1 次モード固有振動数に対応する推定精度は劣化してしまう．

5

計測自動制御学会産業論文集

18

Start
0

14

Cracked element

0, n

第 1 号 2006 年 1 月

Level 3
Level 2
Level 1
Level 0

16
Dc

第5巻

12

Acquiring 20 seconds of time history response

10

Calculating eigenfrequency by FFT
Identify crack location and depth using Fig.10
Update Dc , n + 1

6
4

n

2

No

n > 60
Yes

8

0

20

40
Crack depth (%)

60

80

No

max(D c ) > 15

Fig. 8 Crack identification using eigenvalues

Yes
Identify crack location and depth using D c

ザ変位計 LK-2000 を用いて計測する．はりはリニアガイド上Endに固定され，旭製作所製加振器 WaveMaker によりランダム
加振される．センサ信号およびアクチュエータ出力信号はコ

Fig. 6 Flow chart of crack identification with vibration
control
PZT patch

ンテック社製 AD/DA 変換器 ADA16-32/2(PCI)F を用いてPC に取り込まれる．前章で設計した制御器を 1ms で離散化して PC に実装する．

Crack

5. 2

要素 2 に深さ 70%と要素 9 に深さ 70%のクラックを加工しLasor sensor

た２種類のはりを用いて損傷推定を行う．前報 5) ではクラッShaker
Piezo
DriverSignalgenerator

クラック推定ク開閉を伴う推定をシミュレーションにより行った．しかし，実験では，クラックが 0.3mm の幅を持つことから開閉が生じ
D/A

PC

にくい．そこで，本稿ではクラック開閉を考慮せずに (15) 式のA/Dモデルのみを用いてクラックの位置 nc ，深さ a に対する 1 〜 3
次モードの固有振動数を表す行列 Eoi ∈ 86×81 (i = 1, 2, 3)

Fig. 7 Schematic diagram of experimental setupを求める．これを用いて，4. 1節の手順に従いクラックの推そこで，行列 Si に加えて，推定されたクラックの位置，深86×81

さを蓄積するための行列 Dc ∈ 

定を行う．要素 2 に深さ 70%のクラックを有するはりに対すを用意する．まず，前る推定結果 Sa を Fig.8に示す．行列 Sa の成分が 3, 2, 1, 0 と節で示した方法によりクラックの位置，深さを推定する．そなる成分をそれぞれ白色，薄灰色，濃灰色，黒色で示していして，行列 Dc に対して，推定されたクラック位置の± 5 要る．行列 Sa の成分が 3 となる箇所が，1 〜 3 次モードについ素，深さの 10 要素の範囲の要素に 1 を加算する．これを 60て抽出された領域がすべて重なった領域であり，その中心が回繰り返したのち，行列 Dc の最大値が設定したしきい値をクラックの推定位置，深さに対応する．Fig.9に２種類のは上回った場合，損傷が生じていると判断する．本研究では，りに対して，それぞれ異なるランダム外乱を用いて推定をしきい値は，15 とした．しきい値は，クラック位置を 1 要素行った結果を示す．クラック深さが深い場合は，ほぼ正確な毎，深さを 0%から 5%毎に 80%まで変化させた各状態におい推定が行えることがわかる．クラックが浅い場合は，行列 Saて，シミュレーションによる推定結果を確認し，クラック深の成分が 3 となる領域が大きくなるため推定精度が低くなる

さが 50%以上の状態において推定結果が良好となるように設が，深さ 45%程度までのクラックに対しては，推定が可能で定されている． フローチャートを Fig.6に示す．

あることをシミュレーションにより確認している 5) ．

5.
5. 1

つぎに，振動制御を伴う損傷推定を行う．しかし，１次シミュレーションと実験

モードが大きく減衰するような制御器を用いると，加振実験

実験装置

では制御入力が圧電セラミックスの印加電圧の制限を超えて実験装置の構成図を Fig.7に示す．アルミニウム角棒はメしまった．そこで，圧電セラミックスに印加可能な電圧を実タルソーにより深さ 3.5mm，幅 0.3mm のクラックが加工さ

験の 10 倍と仮定して数値シミュレーションを行う．Fig.10

れている．そして，富士セラミックス製圧電セラミックスに損傷位置，深さを 1) 要素 2，70%，2) 要素 5，70%，3) 要

C-6H を接着し，MESS-TEK 社製ピエゾドライバ M-2683 に

素 9，55%，4) 要素 13，70%，5) 要素 10，70%，とした推定より電圧を印加する．はり先端の変位はキーエンス社製レー

結果を示す．クラックの生じている位置がはり根元付近であ6計測自動制御学会産業論文集

18
16

Cracked element

14

第 1 号 2006 年 1 月

制御実験

5. 3

element=2, depth=70%
element=9, depth=70%
Identified

第5巻

本節では 3 章で設計したゲインスケジュールド制御系を用いて実験を行う．比較のために，ゲインスケジュールド制御

12系と制御入力の大きさがほぼ同じになるように H∞ 固定制御

10器を設計する．

8

まず，はりにクラックを加工していない健全時のはりを用

6

いて実験を行う．外乱は制御開始前に１次モード固有振動数で± 130V の電圧を 7 秒間印加し，発振させることにより与え4ている．Fig.12(a) にはり先端の変位を，Fig.12(b) に制御

2

入力を示す．ゲインスケジュールド制御器による応答を実線

0
0

20

40
Crack depth(%)

60

80

で，固定制御器による応答を破線で示す．クラックが生じていないときは，ゲインスケジュールド制御と固定制御器はほFig. 9 Experimental result of crack identification

ぼ同様の制御性能であることがわかる．つぎに，要素 2 に深さ

70 ％のクラックを加工したはりを用いた応答を Fig.13(a),18
16Cracked element

1412(b) に示す．ゲインスケジュールド制御系の応答を実線で，比element=2, depth=70%
element=5, depth=70%
element=9, depth=55%
element=13, depth=70%
element=10, depth=70%
Identified

較として固定制御器による応答を破線で示す．外乱は健全時の実験と同様に，電圧を印加し発振させることにより与えているが，はりの固有振動数が低下しているため制御開始時の10

初期振幅は大きくなっている．ゲインスケジュールド制御系

8は前節で示した手法により推定された値を用いてクラックの位置，深さによってスケジューリングされている．Fig.5に示

6
4
2

4
20

40
Crack depth(%)

60

−4

(a)

80

3

Displacement of tip(m)

0

x 10

Fig. 10 Result of crack identification with vibration control

20

2
1
0

−1

Value

−2

10

−3
−4
0

2

4

0
15
10
5
Cracked element

0

20

40

60

Gain−scheduled control
Fixed control
6
8
10
12
Time (s)

80
(b)

100

Crack depth (%)
Control input (V)Fig. 11 Value of matrix Dc

る場合，若干深さが深く推定される傾向があるが，大きな誤差は生ずることなく推定が行えることがわかる．Fig.11に損傷位置を要素 9，深さを 60%として推定を行ったときの行

50

0

−50

列 Dc を示す．複数回推定を繰り返すことで，誤推定を回避−100

することができることがわかる．なお，推定値をゲインスケ

0ジュールド制御系に与える際は，クラック位置は小数点以下

2

4

6
8
Time (s)1012を四捨五入し，また，クラック深さが (25) 式の範囲を超えた
Fig. 12 Experimental response without crack

場合はスケジューリングの最大幅である 70%とする．

7

計測自動制御学会産業論文集

4

x 10

−4

(a)

参

Displacement of tip(m)

1
0

−2
−3

Gain−scheduled control
Fixed control
2

4

6
8
Time (s)

10

12

(b)

150

考

文

献

1）岩城，岡田，白石，柴，三田，武田：制震・免震構造物へのヘルスモニタリングシステムの適用，JCOSSAR2003 論文集，
583/590(2003)
2）田中，稲垣：ジェットファン異常検知システム（第２報），電業社機械，27-2, 12/14(2003)
http://www.dmw.co.jp/new/kikai53-1.pdf
3） G. L. Qian, S. N. Gu, and J. S. Jiang : The Dynamic
Behaviour and Crack Detection of a Beam with a Crack,
Journal of Sound and Vibration, 138-2, 233/243(1999)
4） K. L. Narayana, C. Jebaraj : Sensitivity Analysis ofLocal/Global Modal Parameters for Identification of a
Crack in a Beam, Journal of Sound and Vibration, 228-5,
977/994(1999)5）高木，西郷，西村：スマート構造物のクラック推定を伴うゲイ
ンスケジュールド制御，日本機械学会論文集（C 編），71-705,
1574/1582(2005)
6）大石：ゲインスケジュールド制御のためのモデリング, 第 23
回計測自動制御学会 Dynamical System Theory シンポジウ
ム予稿集, 319/322(2000)
7）岩崎徹也：LMI と制御，昭晃堂 (1997)
8） P. F. Rizos, N. Aspragathos, A. D. Dimarogonas : Identification of Crack Location and Magnitude in a Cantilever
Beam from The Vibration Modes, Journal of Sound andVibration, 138-3, 381/388(1999)
9）山本鎮男：ヘルスモニタリング，共立出版 (1999)

2

−1

100

Control input (V)

第 1 号 2006 年 1 月

本研究で提案した推定および制御手法の有効性を検証した．

3

−4
0

第5巻

50
0
−50

−100
−150
0

2

4

6
8
Time (s)

10

［著

12

高

木 清

2002 年千葉大学大学院自然科学研究科博士後期課程人工システム科学専攻修了，2001 年日本
学術振興会特別研究員，2002 年独立行政法人産業技術総合研究所，現在に至る．ロバスト制御
系，ゲインスケジュールド制御系設計に関する研究に従事，博士（工学）したように，ゲインスケジュールド制御系はクラックにより変化したはりの固有振動数に対応した制御器となっているた
め，大きな制御入力を発生している．本研究では，圧電セラ
ミックスに印加する電圧を ±160 V で制限しているため，制西御入力が飽和しているが，ゲインスケジュールド制御系は速郷 宗

玄1974 年神戸大学大学院修士課程機械工学専攻修了．同年工業技術院機械技術研究所入所．2001
年産業技術総合研究所出向．現在に至る．振動制御，波動制御の研究に従事．工学博士．日本
機械学会，日本ロボット学会などの会員

やかに振動を抑えており，クラック進展の抑制に効果的である．しかし，固定制御器ではクラックによる固有振動数の変化に対応しないため，制御入力は大きくならず，制御性能が劣化してしまうことがわかる．

ま と

介］

志（正会員）

Fig. 13 Experimental response with crack depth 70%

6.

者 紹

め

片持ちはりを対象として，クラックを考慮した有限要素モ
デルを導出した．さらに，クラックの深さ，位置をパラメータとする LPV モデルをフロベニウスノルムを近似の指標とする手法により求めた．そして，振動制御がなされている状
態で，固有振動数の変化によりクラックの位置，深さを推定する一手法を提案した．さらに，推定されたクラックに 対応するゲインスケジュールド制御系の設計を行った．実験の応答より，ゲインスケジュールド制御系はクラックを考慮しない制御系に比較して，クラックが生じた際には制御性能が向上するように変化し，クラックの進展を抑制できることから，

8