電磁気学：E-H or E-B?

Technical Report YK-023
July 01, 2019
Y. Karasawa

電磁気学の奥深さ（１）：電気と磁気の対応は E-H か、E-B か電気の場（フィールド）を表す物理量に電界 E と電束密度 D があり、磁気の場では磁界H と磁束密度 B がある。電気と磁気にはかなりの部分で対称性があり、それらを表す物理量には対応関係がある。用語名を見れば、電界（E）と磁界（H）、電束密度（D）と磁束密度（B）であるのだから E と H、D と B が対応していると考えるのが当たり前そう。しかしことはそれほど単純ではない。理由は以下の点にある。
１）電気は単極電荷があるのに対して、磁気には単極磁荷がなく、この部分が非対称である
２）電気の研究は摩擦電気から、磁気の研究は永久磁石から始まり、後者の方が歴史が古く、現在の電磁気学が更地に構築されたわけではない（歴史上の事情がある）
３）電磁気学の教科書（あるいは授業）では、電気的な力を電荷と電荷が作用するクーロン力で、磁気的な力を電流と電流が作用する力（アンペアの力）とする説明から入るのが主流で、電荷が作る場を電界、電流が作る場を磁束密度と呼び、E-B 対応で説明されることが多い。
上記の視点から、対応関係を慎重に見てみたい。なお、文献[1]では、広い視点でこの議論が行われており、深いことはそこで学んでほしい。
電界 E と電束密度 D は誘電率によって、磁界 H と磁束密度 B は透磁率によって、次式の関係を持つ。

D   E, B   H(1)

D と E、B と H はベクトルが同じ方向を向き、大きさも比例関係にあるので、関連は深いが、単位が異なっており、まったく違う物理量である。（電磁気に関係する物理量の単位をまとめた表１を最後のページにつけている）。式(1)の形だけ見れば、電気と磁気では、

E  H , D  B,   の対応でよさそう。本当にそうであろうか。
先ずはそれぞれの定義を見てみよう。以下の説明において、物理量がベクトル量であっても、ベクトルで表す必要が無い議論においてはスカラーで表している。
電界 E
電荷 Q によって、真空中の距離 r 離れた電荷 q に働くクーロン力はF
EQq qE
4 0 r 2(2a)Q(2b)4 0 r 21電磁気学：E-H or E-B?

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Y. Karasawaで表され、電界 E（向きがあるのでベクトル E）は、電荷 Q によって生み出され q に作用する電気的歪を持つ場（近接作用による）と定義される。電界の単位は[N/C]あるいは[V/m]であり、MKSA 単位系では[mkg/(s3A)]である。（以降、本資料では、表 1 で説明している組立単位を用い、電界は[1,1,-3,-1]である）。
電束密度 D
電荷からは電気力線が出ており（←ファラデーが与えてくれたイメージ）、それを電荷 Qと等しいものとしたものが電束である。これを単位面積あたりの密度にしたものが電束密度、その単位は[C/m2], [-2,0,1,1]である。点電荷の場合は、D=Q/(4r2)であり、(2b)式との比較により、D=0E になる。
磁界 H
電磁気学は単極磁荷の存在を認めていない。しかし、永久磁石の一方だけを見て、実効的な意味での単極磁荷とみなすようなことはイメージできる。電磁気学が今の形になる以前、磁荷を用いた力学ができていて、単極磁荷 Qm と別の単極磁荷 qm（単位[Wb]）の間には電荷に対するクーロンの法則と同じように力が働き、磁荷 qm に対し

F

H

Qm qm
 qm H40 r 2(3a)Qm(3b)40 r 2の関係を定め H（向きがあるのでベクトル H）を磁界と呼んだ。単位は[N/Wb]であり、[Wb]=[Nm/A]なので[A/m] (=[-1,0,0,1])である。
なお、この H を「磁界の強さ」と呼ぶ教科書もあるが、|H|が「磁界の強さの強さ」になってしまい、落ち着きが悪い。
磁束密度 B
電流の磁気作用については、アンペアによって定量的に調べられ、距離 r 離れた無限に平行な直線状に流れる電流 I0, I に対して、I の長さ l 当たりに働く力を F とすると、

F

0 I 0 Il  BIl
2 r(4a)B0 I 02 r(4b)で表される。この B（ベクトル B）は磁針に反応する場でもあるので、電流 I0 によって生み出された磁気的歪による場と定義される。そして、これを磁束密度と呼ぶ、と教えられる。
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磁束密度の単位は[N/(Am)]であり、テスラと呼ばれる。組立単位は[0,1,-2,-1]である。この経緯で名づけられた物理量であるならば、電流の周りに磁界が発生する、すなわちこの磁気的歪を、あえて磁束密度と呼ばずに、素直に磁界と呼びたい気持ちになる。筆者が電磁気学を学生に教えるとき、いつもそう思う。しかし、残念ながら、使いたい用語である「磁界」が上述のように既に別の定義で使われているため、違う名前「磁束密度」にしたわけで、電磁気学発展の過程における歴史的都合と言わざるを得ない。
磁束密度に対して、このような入り方をすると、磁気的な場を表す B の用語としての磁束密度（=単位面積当たりの磁束）のイメージが湧いてこないと思う。しかし B の単位を見ると[N/(Am)]= [0,1,-2,-1]であるが、磁荷（磁束）の単位[Wb]=[Nm/A]=[2,1,-2,-1]を使うと[Wb/m2]=[0,1,-2,-1]となって、なるほど、磁束密度と呼ぶことに納得できる。ずいぶん不親切な入り方であったが、これを知って納得でき、磁界とつけなくて良かったという気分になってくる（電磁気学は先人の知恵によってうまく組み立てられている）。
ビオ・サバールの法則
ビオ・サバールの法則は、E-B 対応を示す根拠としてよく使われる。図１(a)で、z 軸上の微小区間 dz に電荷が電荷密度[C/m]で分布している。このとき、図の P 点における電界のz 軸と直交する方向成分 dEx は、クーロンの法則より、

dE x 

 dz sin 4 0 r 2(5)である。同様に、図１(b)に示す微小区間 dz を流れる電流素片 I により、P 点に発生する磁束密度 dB は、ビオ・サバールの法則より、

dB 0 Idz sin 4 r 2(6)である。この二つの式より、電気と磁気の間には E  B,   I , 1/  0  0 の対応関係が有り、この場合は E-B 対応が良さそうに見える。
さらに、誘電体内の静電界、及び磁性体内の静磁界を想定し、0→、0→とし、かつ、
D=E, B=H を使って dE→dD、dB→dH とすると、(5), (6)式は、それぞれ次式になる。

dDx  dz sin 4 r 2(7a)dH Idz sin 4 r 2(7b)この式では、媒質の特性であるやが消え、 D  H ,   I の対称性が顕在化し、E-B（DH）対応を後押ししている。
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Y. Karasawa(a) クーロンの法則(b) ビオ・サバールの法則

図１ 電界と磁束密度の発生の類似性

単位で見ると電磁気学に現われる物理量のうち、E, D, H, B, Q, Qm, , , R（抵抗、インピーダンス）の組立単位は表１よりそれぞれE → [1,1,-3,-1]
D → [-2,0,1,1]
H → [-1,0,0, 1]
B → [0,1,-2,-1]
Q → [0,0,1,1]
Qm → [2,1,-2,-1]

 → [-3,-1,4,2]
 → [0,1,-2,-1]
R → [2,1,-3,-2]であり、単位[ ]でみると、次の関係が成立する。

 E   B   Qm     H    D    Q        R   [2,1, 3, 2]
  
(8)

上式の最初の２辺の等式を分子・分母の対応関係で見るか、分子同士・分母同士の関係で見るかにより、E-H, B-D 対応ともいえるし、E-B, H-D 対応ともいえ、ここからは、目的の答えは見えてこない。
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媒質内での E, D, H, B
真空中の電磁気現象については、E か D、H か B のどちらかだけで議論ができる（もう一方は、0, 0 で結び付けられる）。二つの量の違いを意識しなくてはいけなくなるのは、誘電体や磁性体での電磁気現象を扱うときになる。媒質として、E, D に対しては誘電体を、H, B に対しては磁性体を考え、図 2 のような 2 層媒質での境界条件を調べる。
マックスウェル方程式の  D = 0（誘電体内では=0）,  B = 0 より、D も B も面と垂直方向（単位法線ベクトル n 方向）の成分は等しい（電束も磁束も特性が異なる媒質（誘電体、磁性体）の境界の法線方向を連続的に貫いて行くイメージ）。同様に、  E = 0（静電界）、   H = 0 （静磁界で、かつ、磁性体内での伝導電流無し）より、面の接線成分方向（単位接線ベクトル t 方向）の成分は等しい。この結果、角度1 と2 の関係も自動的に定まる。これらは、以下の電気・磁気間対応になる。

D1  n = D2  n  B1  n = B2  n(9a)E1  t = E2  t  H1  t = H2  t(9b)tan 2  2tan  2 2=
=tan 1 1tan 1 1(9c)

均一媒質内の E と D、H と B の対応については、電気の分極ベクトル P、磁気の分極ベクトル（磁化ベクトル）Pm を用いて、以下のように表せる。

D   0 E  P =  E  B  0 H  Pm =  H(10)(9)式、(10)式より、媒質内の電界・磁界の振る舞いでは、E  H , D  B, P  Pm ,   となり、電気と磁気の対称性がはっきりしている。

(a) 静電界(b) 静磁界
図２ 2 層媒質中の電磁界

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教科書では
では、大学の授業（あるいは教科書）では電磁気学はどう教えられているのであろうか。
図３は一般的な教科書の進み方を図にしたもので、この形（①から順番での）での授業が主流であろう。（図３は、電磁気学授業のうちの静電界と静磁界の部分で、かつ、本資料ではE,D,H,B に絞って議論しており、その他の大事な法則（ガウスの法則、電荷保存則、アンペアの周回積分の法則）や物理量（スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルなど）は省いている）。
結局は、仮想的なものとは言え、磁荷を丁寧に説明して磁界（H）の説明の出発点とする
か、磁荷は実態が無いものとしてほとんど素通りにするかで、E,D,H,B の関係の説明のしかたが分かれる（前者が E-H 対応、後者が E-B 対応）。電磁気学の授業において、どちらの立場を取るか、凡そ、半々と言われているが、どうであろうか。

図３ 一般的な教科書に見る電界・磁界諸量の位置づけ（数値は現われる順番）
対応関係の整理
電気と磁気の対応について、電荷と磁荷を出発点にすれば、E と H、D と B の対応が、実在する物理量である電荷と電流を出発点にすれば、E と B、D と H の対応が自然である。
前者では、電荷と磁荷のそれぞれのクーロンの法則が、後者では、電荷のクーロンの法則と電流素片のビオ・サバールの法則が対になる。単独磁荷の存在を認めない今日の電磁気学では、磁荷を磁気現象の出発点にすえにくい事情があり、対応関係を複雑にしている。しかし、媒質内での E,D、H,B の関係を見れば、E-H、D-B 対応にきれいな対称性があり、本資料では、この物理的特徴の一致を理由に E-H、D-B 対応を押したい。
なお、本シリーズの[2]では、マックスウェルの方程式を電磁ポテンシャル（スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル）で表し、電荷と電流に対して対称性の良い美しい形を示し、その解説を行っている。そこでは、E-B 対応での定式化になっており、この問題は簡単
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Y. Karasawaには結論が出ないのかもしれない。どちらとも言える一種の流儀（あるいは宗教論争）に似ている。
冒頭で述べたように、用語名を見て、電界（E）と磁界（H）、電束密度（D）と磁束密度（B）が対応していると考えるのが当たり前、と言うのは、必ずしもそうではない、と言うことが理解できたと思う。
参考文献[1] 広瀬立成, E と H, D と B, 物理学 One Point シリーズ 10, 共立出版, 1981.
[2] 唐沢好男, “電磁気学の奥深さ(2)：マックスウェル方程式の美しい形,”私報, 技術レポート YK-24, URL:
http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/TR-YK-024_EM-2.pdf

表１ 電磁気関連物理量の MKSA 単位系での次元（表の右欄の 4 つの数値は MKSA 単位系において、makgbscAd の指数部分。本文では、このセットを組立単位と呼び、[a,b,c,d]で表す。物理量の積は指数の和、商は差で求められ、単位の変化を追うのに便利である。
この 4 つの基本単位の並び順にはいくつかの流儀があるが、本資料では MKSA [m, kg, s, A]の順で並べている。
）

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