― 112 ―APWバンド計算における電子密度の角度平均と球対称ポテンシャルの構成
成

田章

Angular Average of Electronic Density and Constructionof Spherical Potential in APW Band Calculation
Akira NARITA（2011年11月25日受理）
In the APW method for the band calculations, the Muﬃn-tin（MT）potential for each atom
in solids must be self-consistently made. For this purpose, the basic mathematical formulae arerequired for the spatial electronic density due to the band electrons and for the MT potential.
When the spherical approximation is assumed, the formula for the density is derived byperforming the angular average of the squared absolute value of the Bloch function. On theother hand, although the formula was constructed for the spherical MT potential in previousreference 3）the fatal error is found for the constant part. The error is here corrected, and it isveriﬁed that in the revised form the result for the special case in which one atom exists in unit
cell is in good agreement with one due to Moruzzi, Janak and Williams.6）
Keywords : band calculation in APW method, angular average of squared absolute value ofBloch function, spherical MT potential

1.

はじめにAPW 法（augmented plane wave method）はSlater により考案されたバンド計算の代表的方法で多くの成功を収めて来た。1） この方法では，対象とする固体を構成するそれぞれの 原子に対する Muﬃn-tin（MT）ポテンシャルは繰り返し計算（iteration）によって自己無撞着に作られなければ2）ならない。
イタレーションにおいてポテンシャルを構成する手続きについては，文献 3）で詳しく述べた。ただし，そこでは MT ポテンシャルに対して球対称ということを仮定している。現在では，
APW 法に内在する困難を克服するために LAPW法4）が考案され，更に，MT ポテンシャルについても球対称を超える FLAPW 法5） が主流になっている。
この論文の第一の目的は，ポテンシャルの構成において文献 3）では紙数の都合で割愛せざるを得なかったことを詳述することである。それは，ポテンシャルを構成するときに必要な Bloch 電子の電子密度についてである。この密度は Fermi エネルギーより下の準位を占有する電子の波動関数の絶対値の2 乗の和で与えられるが，ここでは球対称近似を採用するのでその角度平均を知る必要があり本論文でそれに対する表式を与える。第二の目的は，文献 3）においてポテンシャルを構成する基本式の定数部分に致命的な誤りがあったので，それを訂正することである。訂正後の結果は，単位胞に原子が 1個だけ含まれる場合については文献 6）によるものと比較でき，良い一致を示すことが確認された。
以下では，Rydberg 原子単位を採用する。即ち，ħ＝1，m ＝1/2，e2＝2 である。
２．電子密度の角度平均
ここでは簡単化のため結晶は単体とし，単位胞内には原子は 1 個だけ含まれるとする。任意の原子の核を中心とする球すなわち Muﬃn-tin（MT）球を考
平成24年２月

― 113 ―APWバンド計算における電子密度の角度平均と球対称ポテンシャルの構成

えその半径を rM とする。バンド計算では，通常，rMは隣接する MT 球と接するようにとる。
Г）
バ ン ド エ ネ ル ギ ー E（vkに 属 す る Bloch 関 数 を（Г）
ψ vk（r）とする。ここで，v はバンドの番号，k はブリルアンゾーン内の波数ベクトル，Гは点 k における点群に対する規約表現の一つを表す。規約表現の次元が 2 以上のときは，Гはその表現行列においてある対角成分から構成される一次元表現とする。このとき，これから作られる射影演算子を適当な関数に作用することによりその対角成分が属する行として変換する基底関数が抽出される（ただし，その基底関数が含まれていなければ 0 となる）。7）また，ここでは立方格子を基礎とする結晶（単純，面心および体心立方格子など）を考えることにする。この結晶では，空間群は並進群と点群に分離できてそれらの 直 積 で 表 す こ と が で き 共 変 的（symmorphicspace group）と呼ばれている。一方，六方格子を基礎とする結晶ではその分離はできず非共変的（non-symmorphic）と呼ばれていて，取り扱いは難しくなる。ここでは共変的な場合を考える。
Г）
2.1 ＜¦ψ（vk（r）¦2＞の計算Г） 2
我々がここで計算するのは＜|ψ（vk（r）| ＞ で あ り，＜＞は MT 球内の半径 r の球面上における角度平均を表す。ただし，APW 法では，MT 球の外部（MT球間）では，電子密度は一定すなわち電子は一様分Г）布していると仮定するので，そこでの＜|ψ（vk（r）|2＞を考える必要はない。
ψ APWk （r）を APW 法における基底とすると，これは最初 Slater1）により導入されたもので，次式で与えられる。
iψ APW＝k （r）i∞ll＝0 m＝－llm

MiYlm× R（r）（r^）（r ∈MT）lr）
exp（ik・（r ∈/ MT）
i（1）ここで，R（r）はポテンシャルとして球対称なMTl
ポテンシャルを採用したときの Schrodinger 方程式の解として得られる動径波動関数，Ylm（r^）（^r =（θ,φ））
は球面調和関数，ki＝k ＋ Gi であり，Gi は逆格子ベクトルである。ただし，半相対論的取り扱いをしたときは，R（r）
は Koelling- Harmon 方程式8）の解のうちl大きい方の成分のことである（小さい成分は無視）。
詳細については文献 8）を参照されたい。ψ APWk （r）の個数は採用する Gi の個数に等しいが，Gi はエネルギーの小さい順に，即ち | ki | の小さい順に選ぶ。
さらに，αlm（rM, ki）は次式で定義される。
i

秋田高専研究紀要第47号（2）

この αlm（rM,ki）は ψ APWk （r）が MT 球面上で連続となl 次の球ベッセるように決めたものであり，j（x）はl^ル関数，k i は ki の向きを表すベクトルで角度座標のE の関数でもあることである。R（r）はエネルギーlが，簡単のためそれは省略しており，詳細について
1），2）
は Slater の 原 論 文 な ど を 参 照 さ れ た い。
上のAPW
ψ k （r）に群論の表現論における射影演算子を作用させて規約表現Гに属する基底関数を作ることができる。その際 ψ APW（1）における exp
k （r）として，式r）を利用する方が容易である。求まった基底（ik・i関数を ψ SAPWk,Гs（r）で表すと，iiiΣg （Гs）ψ （r）

ψ SAPW＝k,Гs（r）

（k）
ii（3）

APWkiと書くことができる。規約表現Гに属する基底関数は採用する APW 法の基底 ψ APWk （r）の個数に応じてAPW何個か作られ，ψ k （r）の個数が多いほど ψ SAPWもk,Гs（r）多く，s はそれらを区別する添字である。もちろん，
ψ SAPWk,Гs（r）の全ての既約表現Г（この節では一つのГを仮定していたが）と s に関しての総数は ψ APWk （r）のr）総数に等しく，ψ SAPW（は互いに直交していなけれk,Гsばならない。g（k）
は射影演算子を利用して群論i （Гs）
から得られる係数である。7）バンド計算における固有値問題を解いた結果，
Г）Bloch 関 数 ψ（vk（r） は ψ SAPWk,Гs（r）の１次結合の形に表される。即ち，iii

Σc ψ （r）＝Σc Σg （Гs）ψ （r）

Г）
ψ（vk（r）＝︵Г︶kv,ss︵Г︶kv,ssΣΣα （r ,k ）4π

Y＊lm（k^i）αlm（rM,ki）＝ i l （kjl i rM）───R（rlM）

SAPWk,Гs（k）i（4）APWkii︶である。ここで式（3）を代入した。係数 c︵Гkv,s は固有ベクトルの成分である。式（4）を用いると上で述べГ） 2た角度平均＜|ψ（vk（r）| ＞が計算できるのでそれを以Г） 2下で実行しよう。＜|ψ（vk（r）| ＞は次のように書ける。

Σc c
I×Σg （Гs）g （Гt）Г）＜|ψ（vk（r）|2＞＝s,t︵Г︶＊ ︵Г︶＊kv,skv,t＊ （k）（k）iAPWk,ijii,j（5）

ここで，I APWk,ij は次式で定義されるものであることが容易にわかり，式（1）を用いると
＊ APW
APW
I APW＞
k,ij ＝＜ψ k （r）ψ k （r）ijΣΣα （r ,k ）α （r ,k ）2＝（4π）

lml'm'lmM

i＊l'm'Mj＊
R（r）
Yl'm'×R（r）＜Ylm（r^）（r^）＞
ll'（6）

― 114 ―成田＊
Yl'm'となる。ここで，角度平均＜Y lm（r^）（r^）＞は Ylm（r^）の直交性から次のようになる。
＊
Yl'm'＜Y lm（r^）（r^）＞

1= ──24πr∫∫
2π0π0

従って上で定義した I APWk,ij は次のようになる。

ΣR（r）
2ll＝0

Σα （r ,k ）α （r ,k ）l×m＝－llm

Mi＊lmM（8）j式（8）の右辺における m 和は式（2）と公式9）2l＋1 ^ ^＊Ylm（k^i）Ylm（k^j）＝─── P（k・li k j）
4π
m＝－lΣl（9）を利用すると容易に実行でき，結果は次のようになる。

Σα （r ,k ）α （r ,k ）lA（l）
k,ij＝lmm＝－lM

i＊lmMjΣY （k^ ）Y （k^ ）

（10a）

11＝─
─ D（l）（rM）───2k,ijR
4π（rlM）（10b）

×m＝－llmilmj＊（13a）∫（13b）Г）=N |ψ（vk（r）|2 drΩである。ここで，V は結晶全体の体積，Ω は単位胞の体積，N は単位胞の個数であり，V=NΩ の関係がある。式（13b）の導出においては，Rn を格子ベクГ）トルとするとき，関数 ψ（vk（r）に対して Bloch の定（Г）
Г）
理 ψvk（ r＋R n ）=exp（ik・R n ）ψ（vk（r）を 用 い た。Ω をГ）
MT 球とその外部 Ωout に分けて，N（vkを MT 球内部か（Г）（Г）
らの寄与 N vk,inと外部からの寄与 N vk,outの和に分けて次のように書く。
Г） （Г）
Г）N（vk=Nvk,in＋N（vk,out2（Г）
vk

MT∫ ＜|ψ （r）| ＞r dr（14b）∫ |ψ （r）| dr（14c）rM=4πN2（Г）
vk

Σc2
R（r）
lD（l）
（rM）────2k,ijR（rM）ll＝0

Σ∞（11）Г） 2
以上より目的とした＜|ψ（vk（r）| ＞に対して式（5）と（11）より次式を得る。

ΣΣГ）︶＊ ︵Г︶＜|ψ（vk（r）|2＞＝ c︵Гkv,s c kv,ts,tcs,ti,jΣ

（12）

Г）
ここで，r ≤ rM である。ただし，ここで ψ（vk（r）が規格化されていないことに注意しなければならない。
規格化は次節で行う。

（k）i

＊ （k）
ji,jr M）
S（lΣD （r ）R───
（r ）

（15a）

∫ R（r）r dr

（15b）

∞（l）
k,ij

MrMS（r＝lM）

2l0lM22Г）Г）
次に N（vk,outを計算しよう。式（14c）において ψ（vk（r）
APWに式（4）を用い，ψ k （r）に式（1）における exp（ik・i r）を用いるとiΣcΣg （Гs）g （Гt）

︵Г︶＊ ︵Г︶kv,skv,tГ）N（vk,out＝Ncs,t（k）
i＊ （k）
ji,ji －k ）・r dr］∫ exp［（k×＊ （k）
g（k）
i （Гs）g j （Гt）

2R（r）
l× D（l）（rM）───k,ij
2R（rlM）
l＝0∞

Σg （Гs）g （Гt）

︵Г︶＊ ︵Г︶kv,skv,tГ）N（vk,in＝4πN

l＝0I APWk,ij ＝2Г）
最初に，N（vk,inを与えよう。これは，式（14b）に式（12）を用いると次のようになる。

ここでである。これより式（8）の I APWk,ij は次のようになる。

2（Г）
vk0

Ωout×^・^ （kD（l）
jl i rM）
jl j rM） （10c）（rM）＝（2l＋1）P（k（kk,ijli k j）

（14a）

∫ |ψ （r）| drГ）N（vk,in=NГ）N（vk,out=N

jl j rM）
jl i rM）（kl l （k＝（－i）i ───────
2R（rlM）
l∫
V（7）

∞Г）
（r）の規格化
2.2 ψ（vk（Г）
ψvk（r）の絶対値の 2 乗の結晶全体にわたる積分Г）を N（vkとするとГ）Г）
N（vk= |ψ（vk（r）|2 dr＊
YlmYl'm'（r^）（r^）r 2 sinθdθdφ1=──δll'δmm'4πI APWk,ij ＝4π章jΩouti（16）である。Ωout における積分は，Ω における積分から
MT 球における積分を引けばよいのでi －k ）・r］dr∫ exp［（ki －k ）＝・r］dr∫exp［（ki －k ）－・r］dr∫ exp［（kjΩoutijΩ

MTiji（17）平成24年２月

― 115 ―APWバンド計算における電子密度の角度平均と球対称ポテンシャルの構成と書くことができる。右辺第 1 項の積分は，ki＝k3．MT ポテンシャルの定数部分＋Gi より kj－ki＝Gj－Gi であることを用いると Ωδij文献 3）において APW 法によるバンド計算に利となる。第 2 項は，積分領域が球であることから，
q＝kj－ki とおいて q の向きを z 方向に選び極座標を用する MT ポテンシャルの構成を論じそれに対する表式を導いた。しかし，そこで致命的な誤りがあっ用いて 3 重積分すると4πr 2M j（qr）/qとなる。ただM1
し，q＝|kj－ki |， j（x）＝（sin x－x cos x）/x2 で あ る。 たのでここで訂正する。誤りは文献 3）における式1Г）（43）と（44）である。
従って，N（vk,outはΣcΣg （Гs）g （Гt）

︵Г︶＊ ︵Г︶kv,skv,tГ）N（vk,out＝Ncs,t（k）
i＊ （k）
ji,jj（qij）
1× Ωδij－3Ω1 ───qij（18）となる。ここで，Ω1＝（4π/3）r 3M ，qij＝| kj－ki |rM である。i , j に関する和を i＝ j と i≠ j に分ける。その際，i＝ j の項に対して球ベッセル関数が j（q/qij＝1/3ij）
1︵Г︶（k）（qij →0）であること，および，gi（Гs）と ckv,sの正規直交性

Σg （Гs）g （Гt）＝δ

（19a）

Σc（19b）

＊ （k）

（k）
ii

sti

s︵Г︶＊ ︵Г︶kv,skv,sc ＝1を用いるとΩ1Ω1Г）︶＊ ︵Г︶N（vk,out＝V 1－─ －3V ─ c︵Гkv,s c kv,tΩΩ s,tΣ

j（qij）1

Σg （Гs）g （Гt）──q ─×（k）
ii≠ j

＊ （k）
jij（20）を得る。
Г）式（13）の N（vkは式（15a）と（20）の和で与えられГ） 2Г）る。式（12）の＜|ψ（vk（r）| ＞をこの N（vkで割ることに（Г）
より規格化された ψvk（r）を用いて計算したものにГ） 2なる。以上で，＜|ψ（vk（r）| ＞の計算は終わった。
面心および体心立方格子について，単位胞の体積Ω，MT 球の体積 Ω1，およびそれらの比は次の通りである。面心立方格子では Ω ＝ a3/4，rM ＝√2a/4 なので Ω1/Ω ＝√2π/6 である。体心立方格子では Ω ＝a3/2，rM ＝√3a/4 より Ω1/Ω ＝√3π/8 である。
最後に，単位胞に複数の原子が存在するときのこГ） 2とを述べておく。このときは，＜|ψ（vk（r）| ＞は式（12）の右辺に含まれる MT 半径，MT 球の体積および動径波動関数に原子を区別する添字 p を付けて，つまり ap，Ωp，R（p）l として，p に関する和をとればよい。
（Г）
Nvk についても同様で，式（15a）と（20）において，rM，Ω1，Rl をそれぞれ ap，Ωp，R（p）l で置き換えて，pに関する和をとればよい。

3.1 MT 球間の平均ポテンシャル V 0
文献 3）の式（43）で与えられる MT 球間の平均ポテンシャル V0 は次のように訂正されねばならな
いことは容易にわかるであろう。

∫V（r）drΩ
V0= ─────
Ωout

（21a）

ΣΩ

（21b）

out

Ωout=Ω－ss

ここで，Ω は前節と同様単位胞の体積，単位胞内に複数の原子があるとしているので Ωs は s 番目の原 子 の MT 球 の 体 積，Ωout は MT 球 間 の 体 積 で ある。 ま た，V（r） は MT 球 外 の ポ テ ン シ ャ ル で ある。文献 3）で述べたように，V（r）は MT 球外では A-charge model と ﬁctitious charge model の両方で一致するので計算の容易さから後者を用いることにする。式（21a）の分子を B とすると

∫ V（r）drB=Ωout∫V （r）dr－Σ∫V （r）dr

=（f）

Ωs

Ωs（f）sである。上付きの（ f ）は ﬁctitious charge model をf）採用していることを表す。第 2 項目にあるV（s （r）（f）
としては角度平均したV s （r）を用いることができる。それは文献 3）の式（41）で与えられていて
2Qs 4πρf）
V（s （r）= －──－── r 2＋VMs（0）r3（23）である。VMs（0）は周囲のイオンが s 番目の原子位置につくる Madelung ポテンシャルであり，ρとQs は
文献 3）の式（31）と（32）で与えられていて

ΣδZss
ρ= ────Ωout（24）Qs=δZs＋Ωs ρ（25）である。ここで，δZs は次式で定義される。

秋田高専研究紀要第47号（22）

― 116 ―成田∫σ（r）drδZs=Zs －as（26）s0r ～ r＋dr
Zs は s 番目の原子の核電荷，σ（r）は球殻sおける電子密度である。また，as は s 番目の MT 球の半径であり，Ωs と Ωs=4πa3s/3の関係がある。as は
前節までは単位胞内に原子が 1 個だけある場合を考えていたので rM で表していたことに注意されたい。
δZs は MT 球の外にはみ出している電子の個数を表す。ρは MT 球の外にはみだしている電子をそこで一様分布させたときの電子密度を表す。式（24）～（26）よりΣQ －Ωρ= 0s（27）sが成り立つことがわかる。これは電気的中性の条件と考えられ ﬁctitious charge model を打ち立てる基礎式と成っているものである。式（22）の第 1 項目f）は文献 3）の式（34）で与えられていてにあるV（（r）
2Qs2ρ───＋ ─── dr'ΣΣ─|R －r | ∫|r'－r |f）V（（r）=－sVnsn（28）である。ここで，Rns＝Rn＋rs であり，rs は単位胞内における s 番目の原子の位置ベクトルである。このf）V（（r）を式（22）の最右辺の第 1 項目に代入すると
き，この第 1 項目の積分はゼロであることを証明することができる。以下でそれを証明する。
f）V（（r）は格子と同じ周期を持つ周期関数なので第 1 項目の積分を I とすると
1f）f）
I = V（（r）
dr = ─ V（（r）
drΩN V∫∫（29）である。式（27）を ρについて解いてそれを式（28）に代入してから式（29）に代入すると
2I = ─ Qs －N sndr───Σ Σ∫─|R －r |V∫∫fexp（ig･r）
Σ（g）

（30）

（31a）

g4π1f（g）=── lim ───V α →0 α2＋g2Vn（31b）である。式（30）の［ ］の中を Is とおいて式（31）を用いると，Is はnsg1＋─ dr dr'VΩ Vfexp［（ig･（r'－r）］（32）∫ ∫ Σ（g）gとなる。右辺第 1 項で r 積分を実行すると Vδg,0 が現れ，次に n 和を実行すると N がでる。第 2 項でも r積分と r' 積分を実行すると V 2δg,0 がでる。これらから Is は次のようになる。
Vf δg,0Is = V（－N＋─） （g）
Ω g

Σ

（33）

ここで，V, N, Ω の間に V＝NΩ の関係があることを用いると Is＝0 を得る。よって，式（22）の右辺第 1 項の積分 I は I＝0 となることが証明された。
I＝0 より式（22）の B は，式（23）を代入して r に関する積分を実行すると容易に計算できる。最終的に，式（21a）の V0 は次のようになる。
BV0 = ──Ωout
1= ──Ωout

3Qs4πρ

a －V （0）ΣΩ ─a─＋──5sss2sMs（34）3.2 MJW の表式との比較
文献 3）の式（45）における Cs－V0を次式のように書くことにする。
As Zout
Cs－V0 = ───a（35）ここで，Cs は文献 3）において式（42）で与えられ3Ωs ρ
Cs =－───＋VMs（0）as（36）

であり，a は格子定数，Zout は MT 球の外に存在する電子の総数で式（26）の和ΣδZとなる。ここで，関数 1/| r | のフーリエ変換を利用する。それはよく知られているように
1
─=|r|f］
exp［（ig･（R －r）Σ∫drΣ（g）

Is = －Zout =nsdr'1＋─ dr ───VV|r'－r |Ω章ss（37）で与えられる。単位胞に原子が 1 個だけ存在するときは，As は文献 6）の p.11にある MJW による表式2.1では C と書かれるものに一致し，p.12でその数値がいくつかの立方格子に対して与えられている。ここでの目的は，式（34）と（36）などを用いて式（35）の右辺の As に対する数式を与え，単位胞に原子が 1個しかないときはこの数値が MJW による C に一致することを示すことである。
最初に，式（23）の Madelung ポテンシャル VMs（0）を

平成24年２月

― 117 ―APWバンド計算における電子密度の角度平均と球対称ポテンシャルの構成

2QsVMs（0）= ── Msa（38）とおくと Ms は良く知られた Madelung 定数である。
式（36）で与えられる Cs は式（38）と（25）を用いると，
δZs と ρ で表すことができる。さらに，式（24）と（37）より ρ = Zout/Ωout なので，結局 Cs は δZs と Zout で表すことができそれは次式で与えられる。
δZsZout3Cs=2Ms ──＋ 2Ms－─ βs ──aaγs（39）ここで，asγs= ─ ,aΩsβs= ──Ωout（40）である。同様にして，式（34）の V0を δZs と Zout で表すと次のようになる。
3δZtβ ──
Σ2M －─aγ

V0=－tttt18Zout─ β ──
Σ2M －─a5γ=－tt2tt（41）式（39）と（41）から式（35）の As は次式で与えられる。
3As=2M（1＋ββs－──（5＋6βs）
βsss）
5γs
3 δZs＋ 2M（1＋β－─βs ──ss）
Zoutγt33δZt

─ β ＋（2M －─）β ──Σ 2M －─5γγ Z＋t≠ stt2ttttout（42）

この As は，単位胞に原子が 1 個だけ存在するときは，δZs=Zout なので62A=2M（1＋β）－──（5＋3β）
β5γ（43）となる。ここで，添字 s は落とした。この A は MJW
による表式2.1における C に相当するものである。
s.c. で は M=2.837297，γ=0.5，β＝π/（6－π） な の で
A=3.116680（3.116686：MJW の値）となり MJW による値と良く一致している。b.c.c. では M=3.639233，
γ= √3/4，β=√3π/（8－√3π），A=4.085384（4.085521）；
f.c.c. では，M=4.584862，γ= √2/4，β=√2π/（6－√2π），
A=4.831663（4.832066）である。A は MJW の値と有効数字 4 桁は一致しているが少しのずれがある。そのずれの原因はここで用いた M にある；即ち，M には我々が計算したものを用いたがその精度が有効数
字 4 桁ということである。

秋田高専研究紀要第47号

4．まとめ
APW 法によるバンド計算においては，対象とする固体を構成するそれぞれの原子に対する MT ポテンシャルは自己無撞着な数値計算によって作られる。この論文では，球対称近似を仮定した場合において，自己無撞着計算で必要なバンド電子の電子密度およびポテンシャルを構成する基本式の定数部分について議論し，前者については導出，後者については誤っていた文献 3）の結果を訂正して補足を行った。もう少し具体的にいうと次の通りである。
電子密度については Bloch 関数の絶対値の 2 乗の角度平均が要求されるので，それを実行して球対称化された電子密度の表式を得た。次に，単位胞に複数の原子が存在するときの球対称化された MT ポテン
シャルの定数部分に関する計算を訂正した。単位胞に原子が 1 個だけ存在する場合は，本論文で計算した場合の特別な場合であり，しかもそれはこれまでに得られている MJW による結果に相当するものである。両者の比較を行った結果，良く一致していることが確認できた。
参考文献
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5）藤原毅夫：「固体電子構造 －物質設計の基礎－」（朝倉書店，1999）
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8）D.D. Koelling and B.N. Harmon : J. Phys. C, 10,3107, 1977.
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［小出昭一郎，田村二郎 訳：「量子力学」（1，2，3），東京図書，1971.］