マイクロメカニックス
～Ni 基超合金に現れる問題～
森勉となる．式(1･22)より，変形勾配 ui, j は，.

Ni 基超合金に現れる問題

ui, j(x)＝この 10年位，Ni 基超合金(gg′合金)の研究に携わってき×た．その仕事の幾つかには，マイクロメカニックスの応用が効いた．以下に，それらを議論する．

3∞∞∞( )f f f dj ND((jj)) j j C
1pd j1－∞

dj 2

im3－∞

j nmnpq－∞sin(j1d)sin(j2d)sin(j3d)e0dpq exp(ij･x))
j 1j 2j 3(2･4)となる．応力は，skl(x)＝Cklij{ui, j(x)－e0dij}

･ 実用合金に現れる g′粒子の形と配列(2･5)から求まる．
これによる弾性エネルギーは，実用 Ni 基超合金では，70程度の体積比をもつ g′粒子はfつの問題が作れる．実は，二つは密接に関係しているが．

sij e
i j/2dV

E＝－cuboid 状の形を持ち，〈001〉方向に大体配列する．ここで二から算出される．ここで少し工夫して，式(2･4)の積分を変える．まず，

･･ なぜ cuboid になるのか

j1＝j sin u cos f, j2＝j sin u sin f, j3＝j cos u

第 1 章(第 1 回)で， eigenstrain の周期配列が作る応力を検討した．そして，弾性エネルギーをどう算出するかも調べた．析出物の形の効果を調べることは，この方法の恰好の問

∞

∞

∞

∞

p2pf f f f ff
d j1－∞

dj 2－∞

d j 3＝－∞

dj0du0dfj 2 sin u0(2･8)(2･1)なる eigenstrain(misfit)を持つ．応力が存在していない時のg 相の格子定数 a0 と，同じく応力が存在していない時の g ′相の格子定数 a を用いれば，e0 は，e0＝(a－a0)/a0( 2･ 7)と置き，題である．g′粒子は母相 g 相に対しTe
i j＝e0dij(＝eij )( 2･ 6)

V

までやって，あとは数値積分をする(計算力のある方々，短い計算法に直して下さい)．
昔やった計算をのせた file をなくしているが，こんなことをして， g ′粒子が cuboid の場合，球形の場合より， 5 か(2･2)

ら 10 弾性エネルギーが小さくなったと記憶している．こで定義される．式( 1 ･ 20 )を用いると一辺 2d の cuboid が，んなことで， g′粒子が cuboid になる理由は理解できるが，その中心が原点にあるときの eigenstrain の še
i j 表示は3šei j(j)＝(1/p)

sin(j1d)sin(j2d)sin(j3d)e0dij
j 1j 2j 3

実は，弾性エネルギーをもっと小さくする g ′粒子の形があ(2･3)

る．それは，{ 001 }面に平行な板状形態である．この場合は，応力，弾性エネルギーは 1 ･ 4 節(第 1 回)の結果を使え

防衛大学校研究協力者
Micromechanics II ～Structure of Ni Superalloy～; Tsutomu Mori(National Defence Academy, Yokosuka)
Keywords: g′precipitate, rafting, interaction energy
2016年 2 月 7 日受理[doi:10.2320/materia.55.475]

ま て り あ 第55巻 第10号(2016)
Materia Japanば，解析的に表現できる．{001}面に平行な板状形態とは，期はおそらく球形であろう．球の場合，その中の応力は一様g g ′合金で， raft 化が完全的に達成された時の g ′相の形でであり，場所に依存しない．そこで，界面 &V の動きを決めある．また， cuboid の g′粒子による弾性エネルギーの算出

る応力の場所(方向)依存は，上の式( 2 ･ 12 )だけで議論できも，もっと簡単に済ませる方法があることに気がついたのでる．問題の提出が前後して申し訳ないが，界面に働く力 fNあとで述べる．ただし， g′粒子二つの，そして沢山の g ′粒の場所(方向)依存だけなら，次節で調べるように，式( 2 ･子間の間の相互作用の結果である．一つの g ′粒子の形が12)だけで議論できる．つまり，単位面積あたり，cuboid であることは， g ′粒子が misfit を持つためだが，配fN(n)＝－Cpqij(Sijmn(n)emn－e
i j ) ep q/ 2列効果も相互作用も同じ相互作用のためである．

(2･13)

だけ界面 &V に力が働いていると考える．力は球領域の外側へ向けて正ととる．(ここでは式( 2 ･ 14 ) , ( 2 ･ 15 ) , ( 2･ 16)を

･･ g′粒子が cuboid になるもう一つの理由利用している)右辺，－ Cpqij ( Sijmn( n )e
mn－ e
i j) e pq/ 2 ，は n に

Ni 超合金では，g′粒子(析出物)が〈001〉方向に配列すると垂直な平べったい領域(単位体積あたりに割り付けられる)のいう． g ′粒子間の相互作用の弾性エネルギーが，このよう弾性エネルギーである．よく知られているように，e
i j＝ e0dijに配列すると小さくなるためである．そこで，適当な計算方の場合，このエネルギーは，n が〈111〉の時最大，n が〈001〉

法を使えば，式( 1 ･ 48 )を利用して定量的に議論ができる．の時最少である．(たいていの立方昌での C11－C12＜2C44 を

私の知っている一つの方法は， Mura Cheng による，楕円仮定)界面の動く速さは， g 相の過飽和度や合金元素の拡散体介在物の外側の応力表現である(1)．しかし，この導出は難速度に依存するだろうが，力の大きい場所が速く成長するとしい．しかも，数値積分を要し，せいぜい二つの粒子間の相言える．すると，球形の g′粒子は〈111〉方向へ速く成長する互作用を調べることにしか使えない．実在の Ni 超合金にはと言える．つまり， g ′粒子が小さいときは球状だが，成長沢山の g′粒子が配列している．これらの g′粒子間の相互作

すると cuboid になるという観察結果を説明していると考え用を調べるには使えない．しかし工夫すると，かなり議論のている．

できることがある．それは，第 3 回目に議論する．

力はエネルギーの変化分から定義される．(第 1 回目，

Ni 超合金中の g ′粒子は cuboid 状になるという．この問

1 ･ 5 節参照)したがって， g ′粒子の成長の仕方の議論は，も題は比較的容易に議論できる． Mura の本で勉強したのだとを正せば，エネルギーの増し分の議論から来ていることにが(2) ，最近になってやっと理解できるようになった Hill の留意したい．以上では，面倒くさい議論をしているが勘弁し理論(3) を使う手である．それは， eigenstrain e
i j を持つあるて欲しい．

領域 V の界面 &V でひずみと応力が jump するとき，界面のすぐ内側の V 中の応力 skl(in)を使って，界面のすぐ外側の･･ gg′合金での raft 化の開始応力 skl(out)を算出する方法である．これを導くのは論理的

Ni 基超合金には， cuboid 状の g ′粒子が大体〈 001 〉方向にに簡単だが，かなり紙面を使う．そこで結果だけをまず書配列している．この状態に塑性変形が入り，かつ拡散時間がく．( Mura を見て分からない方は，筆者に連絡して下さ十分にあると，g′粒子が合体して， raft 組織をつくる． raft

い．出かけて説明します)それは，化は，界面を動かそうとして働く界面に働く力による．熱力

spq(out)＝spq(in)－Cpqij{Clkmn e
mn nk nj Nil(n)/D(n)－e
i j}

学 的 力 で あ る ． こ の 力 は ， Eshelby の energy momentum(2･9)

tensor(4) を用いて表現するのが普通である．これは難しい

で あ る ． nk は 界 面 &V で 外 側 へ 立 て た 単 位 法 線 vector,

し，界面でのエネルギーと一種のひずみの jump を含むの

Nil( n) , D (n )は， 1･2節(第 1 回)で定義した Nil( j) , D (j )ので，以下にやさしくこの力を求めてみる(5)．

中身の j を n で置き換えたものである．これを，平板状領域の応力や Eshelby tensor の表現，式(1･32), (1･34)

skl＝Cklij{ND((nn)) n n C e－e}
imjn

mnpq pqij(2･10)

misfit を持つ g′粒子のある界面 &V を考える．界面を動かす際にする応力のする仕事を求めるという仮想変位なる概念を使う．界面 &V を通ると，応力が jump する．そこで，仮想変位も界面の上下または左右双方への動きにとり，この二(2･11)つの動きを考慮して，界面を動かさんとする力とする．このと比べる．すると，界面 &V のすぐ外側の応力は，界面 &V導出法からも分かるように，この力は界面に垂直である．仕のすぐ内側の応力から事は，応力が界面の動きに対して行うものである． g ′粒子{ e
mn nk nj Nil(n)/D(n)}Cmnpq＝Sijpq

Dspq(＝spq(out)－spq(in))＝－Cpqij(Sijmn e
mn－e
i j)

(2･12)だけ変わっていることが分かる．これは素晴らしい結果であの界面 S が成長する向きに dl だけ動いた場合，応力のする仕事は，る．
ここで，有用かつ面白いことに気がつく．

dW＋＝sij(out)e
i j dlS
dW－＝－sij(in)e
i j dlS(C1) 平板状領域の応力表現を知っておけば，eigenstrain を持つ領域のすぐ外側の応力は，中の応力からすぐ求まる．符号が逆転しているが，このことは，考えれば分かる．
(C2) gg′合金に話をとりあえず限定する．g′粒子の析出初(2･14)である．g′粒子が小さくなる向きに動いた場合の仕事は，(2･15)である．ここで力は単位面積あたり
f＝

dW＋－dW－ sij(out)＋sij(in)
＝e
ij
2lS
2(2･16)

講義ノート

で定義できる．Eshelby の表現をやみくもに使っている場合となる．これより side 面は成長し，top 面が収縮することがと形が違うが，析出物と母相の弾性係数が同じ場合には，両分かる．このことが raft 化の原因である．

者は一致していることは証明済である(5)．

以下に，平均場の方法を説明する．いま，同じ形をした粒式( 2 ･ 16 )は形がいい．金属屋は転位に働く力 sb ( Peach 子群( V 群)が沢山存在しているとする．粒子は misfit を持Koehler force)になれている．s は力を生じる原因である．bつとする．(粒子が楕円体なら簡単だが，楕円体でなくては力を受ける転位の性格を表す．式( 2 ･ 16 )の応力項は力をも，一つの粒子内の平均応力を考えれば良い)このため，我生じる原因であり， eは成長または縮退する析出物の性格々が対象としている物体 D は内部応力状態にある．内部応を表している．また，ある特定の応力の効果を調べるのに力 sij の体積積分はゼロなので，やみくもに平均をとれば，(1－f )〈sij〉M＋f〈sij〉V＝0

は，全部を入れなくても，その応力だけを式( 2 ･ 16 )に入れ(2･25)である． f は粒子群の体積比， M は粒子群を除いた部分(しればすむので，都合がいい．
式(2･16)を使って，塑性変形によって生じた応力(内部応ばしば母相と呼ぶ)の領域のことである．非常に沢山の粒子力)が g′粒子の界面に働く力を求める．まず，多くの Ni 基を含む物体を対象としているので，仮想的に一個の粒子を導超合金に共通しているらしい，g′粒子の misfit e0(ei j＝ e0dij)

入しても，上式は変わらない．この仮想的粒子はもともと母が負の場合を仮定する．g′粒子の体積比 F は0.7程度であり，相が存在している領域に入れるのだから，この中の応力は〈sij〉V＝s 0ij＋〈sij〉M

g 領域は，平べったい形で存在している．これらの領域を g(2･26)

channels と呼ぶ．(001), (100), (010)に平行な三種の chan-として良い． s 0ij は，ほかに粒子がなくこの仮想的粒子が一nels がある．[001]方向に引っ張り応力を与えて塑性変形を個だけあった時のその中の応力である．式( 2･ 24)と( 2･ 25)与える場合を考える．

から，式( 2 ･ 19 )と( 2 ･ 20 )がでる．これが平均場の方法とすでに知られているように，そして後で詳しく論じるようか，平均場近似(mean field method, mean field approxima-に，負の misfit と引っ張り方向の条件から，( 001)channelstion)と呼ばれるものの原型である．文献(6), (7)を良く引用のみが塑性変形する．(001)g channels 内の塑性歪は，されるが，実際に読んで自分のものにしている人は少ないと

e P33＝eP(＞0),

e P11＝e P22＝－eP/2( eP ＞ 0 )(2･17)である．まず，一個の( 001 ) channel のみが存在しているときのその中の応力状態を調べる．薄いということから，想像している．これは，現代の風潮である．
･･ Raft のくずれ，raft 面方位の変化

channel を平板状領域とみなす．今の問題の場合，計算に必g g ′合金では塑性変形(クリープ)初期に，そして時間さ要な Eshelby tensors は S3333 ＝ 1, S3311 ＝ S3322 ＝ C12 / C11 だけ

えかければ，g′粒子が界面を{001}に保ったまま平たくなるである．これを使って式(2･17)の eigenstrain を持つ一個の(raft 化)．クリープが進行すると， Tanaka 等が解析したよ(001)channel 内の塑性変形による応力を求めると，

うに， raft 面が{001}面からずれてくるようである(8)．私のs 033＝0,a＋ beP
2(2･18)C12(C11－C12)
b＝
C11(2･19)

s 011＝s 022＝

(C11＋C12)(C11－C12)
a＝,
C11

現在のボスは，あまり簡単には考えないが，内部応力を作る/ g の界
g ′の misfit ひずみとクリープひずみが重なって， g ′面が{001}からずれたほうが，弾性エネルギーが低くなると考えれば，この現象は理解できる．そこでここでは，この線となる．すべての(001)channels による平均応力は，平均場に沿った議論をする．白状すると，Tanaka 等の解析法，その方法(6)(7)を使って，(001)channels の中では，の結果が良く分からないこともあり，結果にも釈然としない〈sij〉f3＝(1－f3)s 0ij(2･20)

ところがあるからでもある．
前と同じように， e0 ＜ 0 の場合を考える．(この前提は本それらの外では，〈sij〉D－f3＝－f3s 0ij(2･21)質的ではない)このため，[ 001 ]方向の引っ張りでは，塑性と求まる． f3 は( 001 ) channels の体積比( f3 ＝( 1－ F )/ 3 ) , D

変形の初期は(001)channels のみに塑性ひずみが入る．Raft－ f3 はそれら以外の領域の体積比である．(平均場の方法は化が進んだ状態では，(100), (010)channels に塑性ひずみが別名でよく使われるので，後で導いておく．）

入る理由がない．そこで，すべての g 領域に一様な塑性ひず式( 2 ･ 16 )に，( 2 ･ 20 ) , ( 2 ･ 21 )を入れると， g ′と g の界面fN ＝(1－2 f )(a＋b)
eP e02みが入るとする．

e P33＝eP ,(top 面)には，(001)g channel へ向かって，(2･22)なる力が働いていることを知る． g ′と g の界面の横方向の( a＋ b)
eP e02(2･27)

g ′には misfit strain e0dij が入っている．物体全体に存在すに応力を作らない一様なe P33＝－eP ,(2･23)

in all g domains

る一様な eigenstrain は応力を作らない．そこで，物体全体面(side 面)には，例えば(100)g channel へ向けて，
fS＝－f

e P11＝e P22＝－eP/2,

e P11＝e P22＝eP/2(2･28)を重ねる．この結果，解くべき問題は平べったい g′領域にのみなる力が働いているのである．e0＜0 なので，fN＜0,f S＞ 0

ま て り あ 第55巻 第10号(2016)
Materia Japan(2･24)

 e0 － eP000ei
0e0＋eP/2, in flat g′ (2･29)
j＝
 00e 0 ＋ e P /2 が入っている状態となる．
こうすれば，1･4節で調べた平板状領域が使え，応力は式( 1 ･ 32 )から( 1 ･ 34 )で表せ，弾性エネルギーは式( 1 ･ 26 )から，掛け算から最終表現として出てくる．形式的にこれを書くと，(2･30)
E ＝ E ( n , e P , e0 )となる．原理的には，この極値を作る条件は数式で求まる．
しかし，実際上は，それを解くのは面倒である．いやらしいのは，計算に必要な D ( n ) , Nij ( n )に立方晶対称の弾性係数が入ってくることである．分子にある Nij ( n )だけならまだ良いが，分母 D(n)にも n があって，極値を求めるのが面倒である．そこで現代的に n1 ＝ sin u cos q, n2 ＝ sin u sin q, n3＝ cos u とおき，u, q を振って式(2･30)が極小になるところを調べてみた．恥ずかしいような，数値計算のごりごりである．問題の対称性から，(2･30)の極小値は q＝ 0，または，q ＝ p / 4 で起こることは想像できる．(実際に計算してみる

では，弾性エネルギーは eP の減少関数であり，eP＝－2e0 でゼロとなる．これらのことは，式(2･29)と1･4節での結果から理解できる．この範囲を越すと，弾性エネルギーは eP の増加関数となり，板面法線が[ 001 ]から[ 101 ]方向へと傾いたとき極小となる．この極小位置と極小値は弾性係数に依存する．0eP－2e0 での挙動は，弾性係数と無関係である．
(次号へつづく)

文( 1 ) T. Mura and P. C. Cheng: J Appl. Mech., 44(1979), 591594.
( 2 ) T. Mura: Micromechanics of Defects in Solids, Martinus
Nijhoff, (1987), 3840.
( 3 ) R. Hill: Progress in Solid Mechanics, NorthHolland, (1961),
245276.
( 4 ) T. Mura: Micromechanics of Defects in Solids, Martinus
Nijhoff, (1987), 311314.
( 5 ) N. Ratel, H. A. Calderon, T. Mori and P. J. Withers: Philos.
Mag., 90(2010), 585597.
( 6 ) T. Mori and K. Tanaka: Acta Metall., 21(1973), 571574.
( 7 ) L. M. Brown: Acta Metall., 21(1973), 879885.
( 8 ) K. Tanaka, K. Ichitsubo, K. Kishida, H. Inui and E.
Matsubara: Acta Mater., 56(2008), 37863790.
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★と， Tanaka 等の絵と違って，極小値は q ＝ 0 で起こること

1957年 東京工業大学卒業(金属工学科)
1957年 東京工業大学助手(金属工学科)
1968年 東京工業大学助教授(金属工学科)
1975年 東京工業大学教授(材料科学専攻)
1995年 リヨービ 嘱託(研究部)
1996年以降，幾つかの大学・研究所への行脚と修行
2013年 現在に至る
専門分野金属材料の力学的性質が分かる． q ＝ p / 4 では，ある u のところでは， &E / &u ＝ 0,&E/&q＝0 となって E は停留値をとることがわかる．しかしここでは，&2E/&u 2＞0, &2E/&q2＜0 となっている．つまり，弾性エネルギーは鞍部となっていることを知る．）
なお，0eP－2e0 では，弾性エネルギーの極小は(u＝0,q＝0)，つまり g′板が[001]に垂直の時に起こる．この範囲



献森勉

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

講義ノート