背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

On Projective Baire Property1
石井大海
筑波大学数理物質科学研究科
数学専攻博士後期課程一年
専門：公理的集合論

Sunday 23rd October, 2016
数学基礎論若手の会 2016 ＠清里高原

1

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射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

Table Of Contents1

背景：測度と範疇の双対性とその崩壊

2

射影 Baire 性の無矛盾性
強均質強制法と実数の集合の正則性
強均質代数の構成と Sweet Forcing の概略
まとめと今後

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射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

実数の集合論? Cantor による集合論の創始：Fourier 級数展開の一意性と不連続点の個数の関係の分析

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参考文献

実数の集合論? Cantor による集合論の創始：Fourier 級数展開の一意性と不連続点の個数の関係の分析
実数の集合の解析学的・位相的性質の探求は，集合論発展の動機の大きな一つであった．

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射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

実数の集合論? Cantor による集合論の創始：Fourier 級数展開の一意性と不連続点の個数の関係の分析
実数の集合の解析学的・位相的性質の探求は，集合論発展の動機の大きな一つであった．
· · · こうした問題意識を中心的に扱う集合論の分野を記述集合論という．

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実数の集合論? Cantor による集合論の創始：Fourier 級数展開の一意性と不連続点の個数の関係の分析
実数の集合の解析学的・位相的性質の探求は，集合論発展の動機の大きな一つであった．
· · · こうした問題意識を中心的に扱う集合論の分野を記述集合論という．

Lebesgue 可測性と Baire の性質は，共に記述集合論における古典的な実数の集合の性質

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Borel 集合
以下の議論で中心的な役割を果す Borel 集合を復習しておく．

Definition 1

B を実数の開集合を全て含み，可算和と補集合について閉じている最小の R の部分集合族とし，各 B ∈ B を Borel 集合と呼ぶ．
Borel 集合の全体は，以下のように帰納的に記述出来る：

Σ01 := (開集合全体), Π01 := (閉集合全体) = ¬ Σ01
(
)
[
[
0
0
Σα :=
Bn { Bn }n<ω ⊆Πβn<ωΠ0α := ¬ Σ0α ,

B=

[
α<ω1

β<α

∆0α := Σ0α ∩ Π0α

Σ0α =

[
α<ω1

Π0α =

[

∆0α .

α<ω1
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Lebesgue 可測性
先程の各 Σ0α , Π0α , ∆0α が有限和について閉じている事に注意すれ
ば，Borel 集合 B ∈ B の Lebesgue 測度 µ(B) は，開集合の測度さ
え定まれば，後は先程の B の階層に沿った帰納法で定義出来る：
!
[ 
[
µ
Bn := sup µ
Bk .
n<ω

n<ω

k<n

一般の A ⊆ R の Lebesgue 外測度 µ∗ は以下で定義される：µ∗ (A) := inf { µ(B) | A ⊆ B ∈ B } .
この時，N := { A ⊆ R | µ∗ (A) = 0 } を零集合イデアルと言う．

Definition 2 (Lebesgue 可測性)
def

A ⊆ R が Lebesgue 可測 ⇐==⇒ ∃B ∈ B [A M B ∈ N ]5 / 48

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Baire の性質と痩せ集合
今回の主題である Baire の性質は位相的性質である：

Definition 3
def

D ⊆ R が（位相的に）稠密 ⇐==⇒ D は任意の開集合と交わる．
def

F ⊆ R が閉疎集合 ⇐==⇒ F は稠密開集合の補集合．
defM ⊆ R が痩せ集合（又は第二類集合）⇐==⇒ M は可算個の閉疎集合の和．
痩せ集合の全体を M と書き，痩せ集合イデアルと呼ぶ．
def

A ⊂ R が Baire の性質を持つ ⇐==⇒ ∃U ∈ Σ01 [U M B ∈ M].
Remark 1
任意の Borel 集合は Baire の性質を持つ．したがって次が成立：

A ⊆ R が Baire の性質を持つ ⇐⇒ ∃B ∈ B [A M B ∈ M]
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Baire の性質と Lebesgue 可測性，σ-イデアル
Baire の性質と Lebesgue 可測性は，どちらも「Borel 集合との差が小さい」という形で書ける：∃B ∈ B [A M B ∈ I]

(I = M or N )上のような A を I-強正則と呼ぶことにしよう．
実際，零集合イデアルも痩せ集合イデアルも良く似た性質を持つ：

Definition 4def

I ⊆ P(X ) が集合 X 上の σ-イデアル ⇐==⇒ X ∈/ I であり，I は部分集合と可算和集合について閉じている：[A ⊆ B ∈ I =⇒ A ∈ I,
{ An }n<ω ⊆ I =⇒An ∈ I.
n<ω

Fact 5
M, N は R 上の σ-イデアル．
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イデアルに付随する概念
Definition 6
以下，I を集合 R 上の σ-イデアルとする．

PI := { X ∈ B | X ∈/ I } の元を I-正 (Borel) 集合と呼ぶ．PI
def

上には A ≤I B ⇐==⇒ A \ B ∈ I により自然に擬順序が入る．
def

A ⊆ PI が反鎖 ⇐==⇒ A は (PI , ≤I ) の反鎖．即ち，∀A, B ∈ PI [A 6= B =⇒ A ∩ B ∈ I].
def

I が κ-飽和 ⇐==⇒ PI が κ-鎖条件を満たす．即ち，I-正 Borel
集合からなる反鎖の濃度は κ 未満．
Fact 7
Lebesgue 零イデアル N および痩せ集合イデアル M は共に ω1 -飽
和である．
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測度と範疇の類似：Fubini の定理「測度零」は直積とある意味で可換である：

Fact 8 (Fubini の定理)
A ⊆ R2 に対し，次は同値：
A は零集合．
A の切片は殆んど至る所零集合．即ち：{ x ∈ R | Ax := { y ∈ R | (x, y) ∈ A } ∈/ N } ∈ N.

実は，痩せ集合についても同様の事が成立する：

Fact 9 (Fubini の定理；範疇版)
A ⊆ R2 に対し，次は同値：
A は痩せ集合．
A の切片は殆んど至る所痩せ集合．
0-1 則など他の類似性については Oxtoby [5] 参照．

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劇的な違い：無矛盾性の強さ Iことほどさように測度と範疇の性質は似ている．
ところが「どれだけ複雑な集合が強正則になるか」を考えてみると，両者の間に大きな開きがでてくる！

Definition 10
ϕ(x, y) と実数 z ∈ R により { x ∈ Rn | ϕ(x, z) } のように書ける集
合を射影集合と呼ぶ．射影集合の全体は，定義論理式 ϕ の複雑さによって以下のように階層がわかれる：

(

(

∆13

(

Π11

(

Π12

(

(

∆11

(

(

∆12

(

Σ12

(

Σ11

Σ13
..
.
Π13

.
..
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劇的な違い：無矛盾性の強さ II

まず Solovay は「射影集合が強正則」の無矛盾性の上界を与えた：

Theorem 11 (Solovay 1970 [7])到達不能基数の存在が無矛盾なら，「任意の射影集合が Lebesgue
可測で Baire の性質を持つ」も無矛盾．
それから 14 年後，Shelah は射影可測性には到達不能基数が必須
だが，Baire 性については落とせることを明らかにした：

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劇的な違い：無矛盾性の強さ III
Theorem 12 (Shelah 1984 [6])12

任意の Σ13 -集合が Lebesgue 可測なら，V の ω1 が任意の
z ∈ R について L[z] で到達不能基数となる．特に，射影Lebesgue 可測性と到達不能基数の存在は無矛盾性等価．
「任意の射影集合が Baire の性質を持つ」の無矛盾性に到達
不能基数は要らない．
本講演では特に (2)「ZFC に対する射影 Baire 性の相対無矛
盾性証明」について採り上げる．
可測性に関する結果は，去年の講演 [8] を参照．

この解決のために Shelah が用いたのが強均質強制法，強制概念の融合そして sweet forcing．
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Table Of Contents1

背景：測度と範疇の双対性とその崩壊

2

射影 Baire 性の無矛盾性
強均質強制法と実数の集合の正則性
強均質代数の構成と Sweet Forcing の概略
まとめと今後13 / 48

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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Table Of Contents1

背景：測度と範疇の双対性とその崩壊

2

射影 Baire 性の無矛盾性
強均質強制法と実数の集合の正則性
強均質代数の構成と Sweet Forcing の概略
まとめと今後14 / 48

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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Shelah の証明のキーポイントとなる定理は次：
Theorem 13 (見る人が見ると Solovay [6] に見える物の一般化)
B：強均質完備 Boole 代数，G ：(V , B)-生成的，I ∈ V [G] が絶対的な論理式で定義された適正イデアルとする．
V [G] |= PI  M : V -c.c.c. を満たし，更に以下が成立するとする：∀B0 l B : 可算完備生成

V [G] |= R \ GenI (V [G ∩ B0 ]) ∈ NI .

(∗)

この時，V にパラメータを持つ論理式 ϕ(a, b) に対し，

V [G] |= ∀x0 ∈ R, { x ∈ R | ϕ(x, x0 ) } : I-正則.
Shelah [6] 等で用いられている定理を，Khomskii [4] の導入した一般の正則性概念の文脈で一般化すると得られる．
Solovay の定理：B = Col(ω, < κ), I = M, N（κ：到達不能）.
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Shelah の証明のキーポイントとなる定理は次：
Theorem 13 (見る人が見ると Solovay [6] に見える物の一般化)
B：強均質完備 Boole 代数，G ：(V , B)-生成的，I ∈ V [G] が絶対的な論理式で定義された適正イデアルとする．
V [G] |= PI  M : V -c.c.c. を満たし，更に以下が成立するとする：∀B0 l B : 可算完備生成

V [G] |= R \ GenI (V [G ∩ B0 ]) ∈ NI .

(∗)

この時，V にパラメータを持つ論理式 ϕ(a, b) に対し，

V [G] |= ∀x0 ∈ R, { x ∈ R | ϕ(x, x0 ) } : I-正則.
Shelah [6] 等で用いられている定理を，Khomskii [4] の導入した一般の正則性概念の文脈で一般化すると得られる．
Solovay の定理：B = Col(ω, < κ), I = M, N（κ：到達不能）.
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後完備 Boole 代数
以下の議論で用いる完備 Boole 代数の理論を軽くまずみておく．

Definition 14
def(B, 0, 1, ≤, +, ·) が Boole 代数 ⇐==⇒ (B, ≤) は 0, 1 を最小・最大値とする半順序で，a + b と a · b は a, b ∈ B の上限・下限．
P Q
def(B, , ) が κ-完備 Boole 代数（略：κ-cBa）P⇐==⇒ B はBoole
代数で，濃度 κ 未満の A ⊆ B に対して A およびQ
A はそれぞれ A の上限・下限．|B|+ -完備の時完備という．
def

B が κ-c.c. ⇐==⇒ B の反鎖の濃度は κ 未満．
Fact 15
A が B の極大反鎖 ⇐⇒ A は反鎖でP

A=1

κ-完備 B が κ-c.c. を持つなら，B は完備．
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後完備 Boole 代数と強制法
実は，強制法の理論は完備 Boole 代数の場合を考えれば十分！
約束

cBa B による強制法とは，B \ { 0 } による強制法の事とする．
Fact 16 (擬順序の完備化)
P を擬順序，B を cBa，G を B-生成フィルターとする．
1

2

P の完備化と呼ばれる完備 Boole 代数 B(P) が同型を除いて存在し，両者は強制法に関して「同値」．つまり，B(P)-名称と P-名称は互いに翻訳出来，その翻訳で真偽は不変．
ϕ を FLB -論理式とする時，次の JϕKB を ϕ の真偽値と呼ぶ．
X
JϕK :={b ∈B|b B ϕ}
この時 V [G] |= ϕ ⇐⇒ JϕK ∈ G, p

ϕ ⇐⇒ p ≤ JϕK ．

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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後完備〔埋め込み／生成〕と生成集合
Definition 17
def

e : P → Q が完備埋め込み ⇐==⇒ a ≤ b =⇒ e(a) ≤ e(b),a k b ⇐⇒ e(a) k e(b), で極大反鎖を極大反鎖に移す．
defP ⊆ Q が Q の完備部分代数（P l Q）⇐==⇒ 包含写像 Q ,→ Pが完備埋め込み．
def
B0 が B の可算完備生成部分代数（記号：B0 lω B) ⇐==⇒ B0
はある可算集合 A ⊆ B0 を含む B の最小の完備部分代数．
Remark 2
完備 Boole 代数 B と擬順序 P について次は同値：
完備埋め込み e : P → B が存在する，
B による強制拡大は P-生成フィルターを付加する．
P  PP
P が完備 Boole 代数なら，∀A ⊆ P e
A = B e[A] も同値．
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質
Definition 18
完備 Boole 代数 B が強均質 (strongly homogeneous)
def
∼
∼
⇐=
=⇒ ∀B0 , B1 lω B ∀f : B0 →B1 ∃f¯ : B →B f ⊆ f¯.

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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質
Definition 18
完備 Boole 代数 B が強均質 (strongly homogeneous)
def
∼
∼
⇐=
=⇒ ∀B0 , B1 lω B ∀f : B0 →B1 ∃f¯ : B →B f ⊆ f¯.
f¯

B

B

∼
B1

∼
f

∼
B0
∼
f¯
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質
Definition 18
完備 Boole 代数 B が強均質 (strongly homogeneous)
def
∼
∼
⇐=
=⇒ ∀B0 , B1 lω B ∀f : B0 →B1 ∃f¯ : B →B f ⊆ f¯.
f¯

B

B

∼
B1

∼
f

∼
B0
∼
f¯
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後反復強制法と完備埋め込みの商
完備部分代数 B0 l B の生成フィルター G0 は，強制法 B の生成フィルター G の「部分近似」と思える．
「残り部分」の近似を V [G0 ] で集めてきたものが強制法の商.

Fact 19
B0 l B：cBa，G0 ：V 上 B0 -生成的とする．H を V [G0 ] 上のB/ hG0 i-生成フィルターとすると，V [G0 ][H] は V の B-強制拡大となっている．
? こうした強制法の繰り返しを定式化したのが反復強制法．
強制概念 P と強制概念の P-名称 Q̇ に対し，P ∗ Q̇ が「P のあとに Q̇ で強制する反復強制法」
V [G0 ] における B/ hGi の B0 -名称を (B : B0 ) で表す．
B0 l B =⇒ B u B0 ∗ (B : B0 ).
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後イデアルの組合せ論的性質と付随する定義
Definition 20
def

I が適正イデアル ⇐==⇒ σ-イデアルであり，PI が適正(proper) という「c.c.c. を一般化した良い性質」を満たす．

今回は PI が c.c.c. の場合しか考えないので，立ち入らない．
I が適正の場合も，ちょっと定義を弄れば可測性や Baire 性を一般化した実数の集合の性質として I-正則性が定義出来る．

V ⊆ M を ZFC のモデルとする．M で擬順序集合 P ∈ V がdef
V -c.c.c. を持つ ⇐==⇒ ∀A ∈ V : P の反鎖 M |= |A| ≤ ℵ0 .
NI := { A ⊆ R | ∀B ∈ PI ∃C ≤I B C ∩ A = ∅ } は I と Borel
集合上で一致し，I が適正なら I を含む σ-イデアルとなる．
c.c.c. の場合 NI = I となるので先の定理は，今回の場合単に
NI を I で読み替えればよい．
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後生成実数
Definition 21
B ∈ BV ，V ⊆ W とする．B は M で Borel になるとは限らないが，全ての Borel 集合は「可算和を取る」「補集合を取る」という操作を可算回繰り返して得られるので，対角化すればBorel 集合はなんらかの実数でコード出来る．
[[
B0_ c =
Uc(n) , B1_ c = R \ Bc , B2_ c =Bc(hn,−i)
n<ω
n<ω
V
W
B ∈ B をコードする実数 c を使って Bc と表される集合はW でも Borel 集合であり，c の選び方に依ら寄らない．

B W := BcW と書く．紛れる恐れがなければ B ∗ と書く．

x ∈ R に対し，Gx := { B ∈ PI  M | x ∈ B ∗ } と定める．Gx
が M 上 (PI  M)-生成フィルターになる時，x を I-生成実数と呼び，その全体を GenI (M) で表す．
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射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後条件 (∗) について定理の前提 (∗):

∀B0 l B : 可算完備生成 V [G] |= R \ GenI (V [G ∩ B0 ]) ∈ NI
は，I が適正な場合は「最終的には V [G] における全ての I正集合は，十分小さな途中の拡大 V [G ∩ B0 ] 上の生成実数からなる正集合を含む」ということ．

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射影 Baire 性の無矛盾性
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後条件 (∗) について定理の前提 (∗):

∀B0 l B : 可算完備生成 V [G] |= R \ GenI (V [G ∩ B0 ]) ∈ NI
は，I が適正な場合は「最終的には V [G] における全ての I正集合は，十分小さな途中の拡大 V [G ∩ B0 ] 上の生成実数からなる正集合を含む」ということ．
特に，我々は今 ω1 -飽和の場合だけ考えているので，NI = Iとなるから，「V [G] では殆んど至る所の実数が生成的」という条件に外ならない！

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参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後条件 (∗) について定理の前提 (∗):

∀B0 l B : 可算完備生成 V [G] |= R \ GenI (V [G ∩ B0 ]) ∈ NI
は，I が適正な場合は「最終的には V [G] における全ての I正集合は，十分小さな途中の拡大 V [G ∩ B0 ] 上の生成実数からなる正集合を含む」ということ．
特に，我々は今 ω1 -飽和の場合だけ考えているので，NI = Iとなるから，「V [G] では殆んど至る所の実数が生成的」という条件に外ならない！
実は，基礎モデル V のパラメータを使って定義可能な集合
は，I-生成実数上で一致するような Borel 集合が取れる！

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射影 Baire 性の無矛盾性
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強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後More on Generic Reals I
Definition 22def

A ⊆ R が M 上 I-Solovay ⇐==⇒ なんらかの論理式 ϕ(x, y) とa ∈ M があって，任意の M 上の I-生成実数 z に対し
z ∈ A ⇐⇒ M[z] |= ϕ(x, z).
? I-Solovay 集合とは，I-生成実数 z の所属判定が M[z] だけみれば一様に判定出来るような集合．
Theorem 23
M ⊆ V を推移的モデルとし，PI  M が M-c.c.c. を満たすとする．
この時，A が M 上 I-Solovay なら A ∩ GenI (M) = B ∩ GenI (M)を満たす Borel 集合 B が取れる．
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射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後More on Generic Reals II
Proof.
ϕ(x) が A の Solovay 性の証拠として，I-生成実数の標準的な名前
を ẋG と書く．この時，M の中で { p ∈ PI  M | p ϕ(ẋG ) } に含まれる中で極大な反鎖 A を取る．
この時，PI は M-c.c.c. を満たすので，V から見ればS
B := { B ∗ | B ∈ A } は可算和であり B ∈ BV . そこで x ∈ RV
を M 上の I-ジェネリック実数とすれば，A の極大性と Gx の生成性から，
x ∈ A ⇐⇒ M[x] |= ϕ(x) ⇐⇒ ∃B ∈ A x ∈ B ∗[⇐⇒ x ∈
B ∗ = B.
B∈A

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射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

実数の捕まえ方I が ω1 -飽和であるという設定の下では，殆んど至る所が生成実数だったので，あとは { x ∈ R | ϕ(x, x0 ) } (x0 ∈ RV [G] )の形に書ける集合が何らかの途中の宇宙上で I-Solovay となる事が示せればよい．
ここに強均質性が使われる！
Definition 24
B を完備 Boole 代数，ẋ を実数の B-名称（i.e. B ẋ ∈ R）とす
る．この時，次の集合が生成する B の可算生成完備部分代数を ẋが生成する B の完備部分代数 Bẋ と呼ぶ：
qyẋ(ň) = ǩ B n, k < ω .
適切に同値な名称を選べば，ẋ は Bẋ -名称と見做せる．

? Bẋ は ẋ に関する命題を完全に計算し尽す！
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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bẋ は ẋ の情報を全て持っている
Lemma 25
ϕ(x) をパラメータを V に持つ ZF の論理式，ẋ を実数の B-名称とする時，Jϕ(ẋ)KB ∈ Bẋ .
証明の概略.
背理法で示す．Jϕ(ẋ)K ∈ Bẋ であったとする．この時，Bẋ とJϕ(ẋ)K が可算完備生成する部分代数を Bẋ (ϕ) とおけば，Boole 代∼数の一般論から非自明な自己同型 h : Bẋ (ϕ) → Bẋ (ϕ) であってh  Bẋ = id かつ h(Jϕ(ẋ)K) 6= Jϕ(ẋ)K となるものが取れる．
∼
すると:::::::::::::::::
B の強均質性より h は自己同型 h̄ : B →B へと延長出来る．
∗h̄ は Bẋ 上恒等写像なので h̄ (ẋ) = ẋ. するとh̄(Jϕ(ẋ)K) = Jϕ(h∗ (ẋ))K = Jϕ(ẋ)K となるが，これは h の取り方に反する．
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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後定理 13の証明 I

仮定から V [G] の実数は殆んど至る所 I-生成的でB0 lω B なら V [G ∩ B0 ] 上の I-Solovay 集合は生成実数上
Borel 集合で近似できる．
? 以上を踏まえれば次の補題を示せば終わり．
Lemma 26ϕ(a, b) を V にパラメータを持つ論理式で，x0 ∈ R ∩ V [G] とする．A := { x ∈ R | ϕ(x, x0 ) } は V 上 I-Solovay.

28 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後定理 13の証明 II
Proof.
まず最初に，x0 に当たる B-名称 ẋ0 を取れば，V の代わりに
V [G ∩ Bẋ0 ] を考えることで同じ議論が展開出来るので，以下
x0 ∈ V であるとしてよい．
そこで，x ∈ GenI (V ) を取る．この時，x = ẋ G を満たす B-名称 ẋ
が取れ，補題 25より Jϕ(ẋ)KB ∈ Bẋ となる．J Kẋlh(š)=š (s ∈ <ω ω)は Bẋ で稠密で，これが非零なら [s] ∈ PI となることから Bẋ と PI
は強制法同値なので，V [x] = V [Bẋ ∩ G] となる事に気を付ければ，

x ∈ A ⇐⇒ V [G] |= ϕ(x)⇐⇒ Jϕ(ẋ)K ∈ Bẋ ∩ G(by definition)(強制定理)⇐⇒ V [x] = V [Bẋ ∩ G] |= ϕ(x).

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Table Of Contents1

背景：測度と範疇の双対性とその崩壊

2

射影 Baire 性の無矛盾性
強均質強制法と実数の集合の正則性
強均質代数の構成と Sweet Forcing の概略
まとめと今後30 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質代数の構成と強制法の融合

よって，射影 Baire 性の ZFC に対する無矛盾性を証明するには，次の性質を満たす cBa B が取れればよい：
欲しいもの

B は強均質で，任意の B-生成集合 G と B0 lω B に対し
V [G] |= “R \ GenM (V [G ∩ B0 ]) ∈ M”.
Remark 3? 面倒臭いので，以下 M-生成実数の事を Cohen 実数と呼ぶ．

31 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後殆んど至る所 Cohen 実数? 「殆んど至る所 Cohen 実数」にする方法には二通りある：
Fact 27
D を Hechler 強制法，UM を Cohen アメーバ強制法とする．この時，D ∗ Ḋ および UM は「実数は殆んど至る所 V 上 Cohen」を強制する．

32 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強制法の融合
任意の部分同型を拡張する前に，まず「一つの部分同型」を拡張する方法を考えてみよう．その道具が強制法の融合！

Definition 28
P を強制概念，Q̇0 , Q̇1 を強制概念の P-名称とする．この時，
P ∗ Q̇0 と P ∗ Q̇1 の P 上の融合 (amalgamation) を次で定める：
˙ Q̇1 ).
(P ∗ Q̇0 ) ⊗P (P ∗ Q1 ) := P ∗ (Q̇0 ×
特に，fi : B → Bi (i < 2) を完備埋め込みとした時，

B0 ⊗ B1 := (B ∗ (B0 : f0 [B])) ⊗B (B ∗ (B1 : f1 [B])).
f1 ,f2更に，f : B1 → B2 が B の完備部分代数上の同型の時，i : B1 ,→ Bを包含写像として B ⊗f B := B ⊗f ,i B と定める．
33 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後融合による定義域の拡張
B ⊗f B は B0 l B を中心にして二つの B のコピーを貼り合わせたような形をしている．
f¯
B
B

B0
f

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後融合による定義域の拡張
B ⊗f B は B0 l B を中心にして二つの B のコピーを貼り合わせたような形をしている．
f¯
B
B

B0
f
左側の B を右側へ「入れ換える」操作を考えると，これは f
を B 上に「拡張した」B 上の同型になっている．

34 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後融合による定義域の拡張
B ⊗f B は B0 l B を中心にして二つの B のコピーを貼り合わせたような形をしている．
f¯
B
B

B0
f
左側の B を右側へ「入れ換える」操作を考えると，これは f
を B 上に「拡張した」B 上の同型になっている．
B をより大きな B ⊗ B に埋め込むことで，B × B 上の部分同型として B 全域に拡張できた．
34 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

ω-段階融合与えられた B 上の部分同型を，より大きな完備 Boole 代数に埋め込むことで拡張出来た．

i0

Bω
i1

B0 × { 1 }

B1

e:=f1

{ 1 } × B0

j1 :=er∼∼e`

B0 ⊗ B0f0i2{ 1 } × B1∼

j0 :=e`
∼
∼
er

∼

B0

B2

j2

···

e:=f2

{ 1 } × B1

B1 ⊗ B1
f1

35 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

ω-段階融合与えられた B 上の部分同型を，より大きな完備 Boole 代数に埋め込むことで拡張出来た．
これを往復論法で ω-回繰り返して極限を取れば，帳尻があって全域に拡張出来る！

i0

Bω
i1

B0 × { 1 }

B1

e:=f1

{ 1 } × B0

j1 :=er∼∼e`

B0 ⊗ B0f0i2{ 1 } × B1∼

j0 :=e`
∼
∼
er

∼

B0

B2

j2

···

e:=f2

{ 1 } × B1

B1 ⊗ B1
f1

35 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

ω-段階融合与えられた B 上の部分同型を，より大きな完備 Boole 代数に埋め込むことで拡張出来た．
これを往復論法で ω-回繰り返して極限を取れば，帳尻があって全域に拡張出来る！
まず B0 := B, f0 := f とする．

i0

Bω
i1

B0

B0 × { 1 }

B1

e:=f1

{ 1 } × B0

j1 :=er∼∼e`

B0 ⊗ B0f0i2{ 1 } × B1∼

j0 :=e`
∼
∼
er

∼

1

B2

j2

···

e:=f2

{ 1 } × B1

B1 ⊗ B1
f1

35 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

ω-段階融合与えられた B 上の部分同型を，より大きな完備 Boole 代数に埋め込むことで拡張出来た．
これを往復論法で ω-回繰り返して極限を取れば，帳尻があって全域に拡張出来る！
2

まず B0 := B, f0 := f とする．
Bn+1 := Bn ⊗fn Bn とおくと，fn は Bn+1 上の部分同型∼
f¯n : Bn →Bn へと延長されている．

i0

Bω
i1

B0

B0 × { 1 }

B1

e:=f1

{ 1 } × B0

j1 :=er∼∼e`

B0 ⊗ B0f0i2{ 1 } × B1∼

j0 :=e`
∼
∼
er

∼

1

B2

j2

···

e:=f2

{ 1 } × B1

B1 ⊗ B1
f1

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

ω-段階融合与えられた B 上の部分同型を，より大きな完備 Boole 代数に埋め込むことで拡張出来た．
これを往復論法で ω-回繰り返して極限を取れば，帳尻があって全域に拡張出来る！
2

3

まず B0 := B, f0 := f とする．
Bn+1 := Bn ⊗fn Bn とおくと，fn は Bn+1 上の部分同型∼
f¯n : Bn →Bn へと延長されている．
特に B2n が f2n+1 の値域，B2n+1 が定義域に来るように交互に
j : Bn ,→ Bn+1 を決めていけば，f は最終的に limn Bn 上の全−→単射に延長出来る．これを B の f による ω-段階融合と呼ぶ．
i0

Bω
i1

B0

B0 × { 1 }

B1

e:=f1

{ 1 } × B0

j1 :=er∼∼e`

B0 ⊗ B0f0i2{ 1 } × B1∼

j0 :=e`
∼
∼
er

∼

1

B2

j2

···

e:=f2

{ 1 } × B1

B1 ⊗ B1
f1

35 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

ω-段階融合与えられた B 上の部分同型を，より大きな完備 Boole 代数に埋め込むことで拡張出来た．
これを往復論法で ω-回繰り返して極限を取れば，帳尻があって全域に拡張出来る！
2

3

まず B0 := B, f0 := f とする．
Bn+1 := Bn ⊗fn Bn とおくと，fn は Bn+1 上の部分同型∼
f¯n : Bn →Bn へと延長されている．
特に B2n が f2n+1 の値域，B2n+1 が定義域に来るように交互に
j : Bn ,→ Bn+1 を決めていけば，f は最終的に limn Bn 上の全−→単射に延長出来る．これを B の f による ω-段階融合と呼ぶ．
i0

Bω
i1

B0

B0 × { 1 }

B1

e:=f1

{ 1 } × B0

j1 :=er∼∼e`

B0 ⊗ B0f0i2{ 1 } × B1∼

j0 :=e`
∼
∼
er

∼

1

B2

j2

···

e:=f2

{ 1 } × B1

B1 ⊗ B1
f1

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後概念図

36 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後概念図

36 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後概念図

36 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後概念図

36 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

概念図

これを繰り返す
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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質代数の構成：Bookkeeping

ω-段階融合を繰り返して，最終的な B を得たい．

37 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質代数の構成：Bookkeeping

ω-段階融合を繰り返して，最終的な B を得たい．
!

問題点：ω-融合を繰り返す途中で新たな部分同型が増えるので，予め「部分同型のリスト」を作ることができない．

37 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質代数の構成：Bookkeeping

ω-段階融合を繰り返して，最終的な B を得たい．
!

問題点：ω-融合を繰り返す途中で新たな部分同型が増えるので，予め「部分同型のリスト」を作ることができない．
Bookkeeping 論法（集合論ではよくあること）．

37 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質代数の構成：Bookkeeping

ω-段階融合を繰り返して，最終的な B を得たい．
!

問題点：ω-融合を繰り返す途中で新たな部分同型が増えるので，予め「部分同型のリスト」を作ることができない．
Bookkeeping 論法（集合論ではよくあること）．
必要なら CH とかを仮定して，いい性質の全単射を使って「作ったやつ」の面倒を見ていく．

37 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後強均質代数の構成：Bookkeeping

ω-段階融合を繰り返して，最終的な B を得たい．
!

問題点：ω-融合を繰り返す途中で新たな部分同型が増えるので，予め「部分同型のリスト」を作ることができない．
Bookkeeping 論法（集合論ではよくあること）．

必要なら CH とかを仮定して，いい性質の全単射を使って「作ったやつ」の面倒を見ていく．
余談： “Bookkeeping” の一般的な日本語訳（というか音訳）は「簿記」なんだけど，「簿記論法」と書くとなんか格好わるい

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後自己同型を数える
Bookkeeping をするために，まず自己同型を数えていきたい．
1 まず，B を完備 Boole 代数とした時，可算完備生成部分代数の数は生成系 X ∈ [B]ℵ0 の数で抑えられるから，高々 |B|ℵ0 -個.

38 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後自己同型を数える
Bookkeeping をするために，まず自己同型を数えていきたい．
1 まず，B を完備 Boole 代数とした時，可算完備生成部分代数の数は生成系 X ∈ [B]ℵ0 の数で抑えられるから，高々 |B|ℵ0 -個.
2 計算を簡単にするため，|B| ≤ ℵ として CH を仮定すれば，1
高々 ℵ1 -個の可算完備部分代数を持つことがわかる．

38 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後自己同型を数える
Bookkeeping をするために，まず自己同型を数えていきたい．
1 まず，B を完備 Boole 代数とした時，可算完備生成部分代数の数は生成系 X ∈ [B]ℵ0 の数で抑えられるから，高々 |B|ℵ0 -個.
2 計算を簡単にするため，|B| ≤ ℵ として CH を仮定すれば，1
高々 ℵ1 -個の可算完備部分代数を持つことがわかる．
3 そこから B の中への同型の個数を数えたい．

38 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後自己同型を数える
Bookkeeping をするために，まず自己同型を数えていきたい．
1 まず，B を完備 Boole 代数とした時，可算完備生成部分代数の数は生成系 X ∈ [B]ℵ0 の数で抑えられるから，高々 |B|ℵ0 -個.
2 計算を簡単にするため，|B| ≤ ℵ として CH を仮定すれば，1
高々 ℵ1 -個の可算完備部分代数を持つことがわかる．
3 そこから B の中への同型の個数を数えたい．
4 B に c.c.c. を仮定すれば，可算部分集合の上界を繰り返し追加して閉包を取ることで，X が完備に生成する部分代数
B(X ) は帰納的に構成出来る．

38 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後自己同型を数える
Bookkeeping をするために，まず自己同型を数えていきたい．
1 まず，B を完備 Boole 代数とした時，可算完備生成部分代数の数は生成系 X ∈ [B]ℵ0 の数で抑えられるから，高々 |B|ℵ0 -個.
2 計算を簡単にするため，|B| ≤ ℵ として CH を仮定すれば，1
高々 ℵ1 -個の可算完備部分代数を持つことがわかる．
3 そこから B の中への同型の個数を数えたい．
4 B に c.c.c. を仮定すれば，可算部分集合の上界を繰り返し追加して閉包を取ることで，X が完備に生成する部分代数
B(X ) は帰納的に構成出来る．
5 X から B への写像 f が一つ決まれば，この閉包を取る操作にそって f の行き先を定めてやる事が出来る．よって，B(X )から B の中への同型の個数は高々 |B|ℵ0 = ℵ1 個．

38 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後自己同型を数える
Bookkeeping をするために，まず自己同型を数えていきたい．
1 まず，B を完備 Boole 代数とした時，可算完備生成部分代数の数は生成系 X ∈ [B]ℵ0 の数で抑えられるから，高々 |B|ℵ0 -個.
2 計算を簡単にするため，|B| ≤ ℵ として CH を仮定すれば，1
高々 ℵ1 -個の可算完備部分代数を持つことがわかる．
3 そこから B の中への同型の個数を数えたい．
4 B に c.c.c. を仮定すれば，可算部分集合の上界を繰り返し追加して閉包を取ることで，X が完備に生成する部分代数
B(X ) は帰納的に構成出来る．
5 X から B への写像 f が一つ決まれば，この閉包を取る操作にそって f の行き先を定めてやる事が出来る．よって，B(X )から B の中への同型の個数は高々 |B|ℵ0 = ℵ1 個．
6 以上より |B| ≤ ℵ かつ B が c.c.c. を満たすなら，CH の下で
1
B の可算完備生成部分代数上の部分同型は全部でℵ1 × ℵ1 = ℵ1 個．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の概要
以上を踏まえて，ℵ1 -個ずつ増えていく部分代数と部分同型を纏めて面倒を見ていく形で，ω-融合の順極限 limα<ω1 Bα を−→取っていきたい．
Want: 強均質で「殆んど至る所 Cohen 実数」な cBa B.
1

2

強均質：任意の B0 l B と完備埋め込み f : B0 → B に対して，
α , f ξ ξ, < ω1 で αξ が ω1 の共終列で (Bαξ , f ξ ) がSξS( η<ξ Bαη , η<ξ f η ∪ f ) の ω-段階融合になっているべき．
至る所 Cohen：Bα+1 = Bα ∗ D ∗ D となっている α が共終に存在して欲しい．

∼? トリック：全単射 f : ω1 →
ω1 × ω1 × ω1 で f (α) = (β, γ, δ)なら β ≤ α となるものを固定する．

たとえば ω1 × ω1 × ω1 の整列順序に対応するランク関数を取ればよい．

この f を手掛りに f (α) の値に基づいて Bα を定義する．すな
わち，f (α) = (β, γ, δ) の時，Bα+1 は Bβ の γ-番目の部分同型の δ-回目の処理に相当．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

40 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

例：C を Cohen 強制法とする．C は Suslin 木を追加することが知られている (cf. [2]) のでその名称を Ṫ とする．この時(C ∗ Ṫ ) ⊗ (C ∗ Ṫ ) = C ∗ (Ṫ × Ṫ ) は明らかに c.c.c. でない．

40 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

例：C を Cohen 強制法とする．C は Suslin 木を追加することが知られている (cf. [2]) のでその名称を Ṫ とする．この時(C ∗ Ṫ ) ⊗ (C ∗ Ṫ ) = C ∗ (Ṫ × Ṫ ) は明らかに c.c.c. でない．

克服のために Shelah が考案したのが Sweet Forcing！

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

例：C を Cohen 強制法とする．C は Suslin 木を追加することが知られている (cf. [2]) のでその名称を Ṫ とする．この時(C ∗ Ṫ ) ⊗ (C ∗ Ṫ ) = C ∗ (Ṫ × Ṫ ) は明らかに c.c.c. でない．

克服のために Shelah が考案したのが Sweet Forcing！

Definition 29
def

P が sweet ⇐==⇒ ∃D ⊆ P : 稠密 ∃ { 'n }n : D 上の同値関係s.t.

40 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

例：C を Cohen 強制法とする．C は Suslin 木を追加することが知られている (cf. [2]) のでその名称を Ṫ とする．この時(C ∗ Ṫ ) ⊗ (C ∗ Ṫ ) = C ∗ (Ṫ × Ṫ ) は明らかに c.c.c. でない．

克服のために Shelah が考案したのが Sweet Forcing！

Definition 29
def

P が sweet ⇐==⇒ ∃D ⊆ P : 稠密 ∃ { 'n }n : D 上の同値関係s.t.
1| D 'n | ≤ ℵ0 , 'n+1 refines 'n ,40 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

例：C を Cohen 強制法とする．C は Suslin 木を追加することが知られている (cf. [2]) のでその名称を Ṫ とする．この時(C ∗ Ṫ ) ⊗ (C ∗ Ṫ ) = C ∗ (Ṫ × Ṫ ) は明らかに c.c.c. でない．

克服のために Shelah が考案したのが Sweet Forcing！

Definition 29
def

P が sweet ⇐==⇒ ∃D ⊆ P : 稠密 ∃ { 'n }n : D 上の同値関係s.t.
1| D 'n | ≤ ℵ0 , 'n+1 refines 'n ,2

p ∈ D の 'n -同値類 [p]n は下に有向,

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

例：C を Cohen 強制法とする．C は Suslin 木を追加することが知られている (cf. [2]) のでその名称を Ṫ とする．この時(C ∗ Ṫ ) ⊗ (C ∗ Ṫ ) = C ∗ (Ṫ × Ṫ ) は明らかに c.c.c. でない．

克服のために Shelah が考案したのが Sweet Forcing！

Definition 29
def

P が sweet ⇐==⇒ ∃D ⊆ P : 稠密 ∃ { 'n }n : D 上の同値関係s.t.
1| D 'n | ≤ ℵ0 , 'n+1 refines 'n ,2

p ∈ D の 'n -同値類 [p]n は下に有向,3∀n pn 'n pω なら { pj | n ≤ j } は [pω ]n に下界を持つ．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

例：C を Cohen 強制法とする．C は Suslin 木を追加することが知られている (cf. [2]) のでその名称を Ṫ とする．この時(C ∗ Ṫ ) ⊗ (C ∗ Ṫ ) = C ∗ (Ṫ × Ṫ ) は明らかに c.c.c. でない．

克服のために Shelah が考案したのが Sweet Forcing！

Definition 29
def

P が sweet ⇐==⇒ ∃D ⊆ P : 稠密 ∃ { 'n }n : D 上の同値関係s.t.
1| D 'n | ≤ ℵ0 , 'n+1 refines 'n ,2

p ∈ D の 'n -同値類 [p]n は下に有向,3∀n pn 'n pω なら { pj | n ≤ j } は [pω ]n に下界を持つ．

4∀p ≤ q, n < ω ∃k < ω ∀q 0 ∈ [q]k ∃p 0 ∈ [p]n p 0 ≤ q.

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Bookkeeping の障害：そこで Sweet Forcing
c.c.c. は順極限と反復で保たれるが，融合で保たれない！

例：C を Cohen 強制法とする．C は Suslin 木を追加することが知られている (cf. [2]) のでその名称を Ṫ とする．この時(C ∗ Ṫ ) ⊗ (C ∗ Ṫ ) = C ∗ (Ṫ × Ṫ ) は明らかに c.c.c. でない．

克服のために Shelah が考案したのが Sweet Forcing！

Definition 29
def

P が sweet ⇐==⇒ ∃D ⊆ P : 稠密 ∃ { 'n }n : D 上の同値関係s.t.
1| D 'n | ≤ ℵ0 , 'n+1 refines 'n ,2

p ∈ D の 'n -同値類 [p]n は下に有向,3∀n pn 'n pω なら { pj | n ≤ j } は [pω ]n に下界を持つ．

4∀p ≤ q, n < ω ∃k < ω ∀q 0 ∈ [q]k ∃p 0 ∈ [p]n p 0 ≤ q.

強制法 P が sweet なら P は c.c.c. を満たす．
S
P = { [p]n | n < ω } は σ-centered の可算和．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Sweetness に関するファクツ
証明が滅茶苦茶テクニカルでこの時間内で終わらないので，以下，必要な補題だけ列挙してお茶を濁す．

Fact 30 (たくさんの Facts)1

˙ も sweet.
B が sweet なら，B ∗ Ḋ および B ∗ UM

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Sweetness に関するファクツ
証明が滅茶苦茶テクニカルでこの時間内で終わらないので，以下，必要な補題だけ列挙してお茶を濁す．

Fact 30 (たくさんの Facts)12

˙ も sweet.
B が sweet なら，B ∗ Ḋ および B ∗ UM
hBn | n < ωi が Sweet な完備拡大列なら limn<ω Bn も Sweet.
−→

41 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Sweetness に関するファクツ
証明が滅茶苦茶テクニカルでこの時間内で終わらないので，以下，必要な補題だけ列挙してお茶を濁す．

Fact 30 (たくさんの Facts)1
2
3

˙ も sweet.
B が sweet なら，B ∗ Ḋ および B ∗ UM
hBn | n < ωi が Sweet な完備拡大列なら limn<ω Bn も Sweet.
−→
B0 , B1 , B を cBa，fi : B → Bi を完備埋め込みとし，各 Bi はsweet であるとする．この時，B0 ⊗f0 ,f1 B1 も Sweet.

41 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Sweetness に関するファクツ
証明が滅茶苦茶テクニカルでこの時間内で終わらないので，以下，必要な補題だけ列挙してお茶を濁す．

Fact 30 (たくさんの Facts)1
2
3

˙ も sweet.
B が sweet なら，B ∗ Ḋ および B ∗ UM
hBn | n < ωi が Sweet な完備拡大列なら limn<ω Bn も Sweet.
−→
B0 , B1 , B を cBa，fi : B → Bi を完備埋め込みとし，各 Bi はsweet であるとする．この時，B0 ⊗f0 ,f1 B1 も Sweet.

Remark 4
非可算順極限では sweetness は保たれない．この事も CH を仮定し B を ω1 -回の順極限で作る理由の一つ．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Sweetness に関するファクツ
証明が滅茶苦茶テクニカルでこの時間内で終わらないので，以下，必要な補題だけ列挙してお茶を濁す．

Fact 30 (たくさんの Facts)1
2
3

˙ も sweet.
B が sweet なら，B ∗ Ḋ および B ∗ UM
hBn | n < ωi が Sweet な完備拡大列なら limn<ω Bn も Sweet.
−→
B0 , B1 , B を cBa，fi : B → Bi を完備埋め込みとし，各 Bi はsweet であるとする．この時，B0 ⊗f0 ,f1 B1 も Sweet.

Remark 4
非可算順極限では sweetness は保たれない．この事も CH を仮定し B を ω1 -回の順極限で作る理由の一つ．
D や UM との反復強制法で Sweetness が保たれることは，それぞれの強制法としての構造の情報をフルに使って証明される．とても一般的ではない！
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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後Table Of Contents1

背景：測度と範疇の双対性とその崩壊

2

射影 Baire 性の無矛盾性
強均質強制法と実数の集合の正則性
強均質代数の構成と Sweet Forcing の概略
まとめと今後42 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

まとめと今後Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

まとめと今後Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．
その目的は Con(ZFC) =⇒ Con(ZFC + 射影 Baire 性) の証明のため．

43 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

まとめと今後Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．
その目的は Con(ZFC) =⇒ Con(ZFC + 射影 Baire 性) の証明のため．
D なり UM なりを，他の「至る所 I-生成実数」にするようなものに置き換えられれば一般化出来そうに見える．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

まとめと今後Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．
その目的は Con(ZFC) =⇒ Con(ZFC + 射影 Baire 性) の証明のため．
D なり UM なりを，他の「至る所 I-生成実数」にするようなものに置き換えられれば一般化出来そうに見える．
そういう強制法を I-アメーバ強制法という．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

まとめと今後Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．
その目的は Con(ZFC) =⇒ Con(ZFC + 射影 Baire 性) の証明のため．
D なり UM なりを，他の「至る所 I-生成実数」にするようなものに置き換えられれば一般化出来そうに見える．
そういう強制法を I-アメーバ強制法という．

!

しかし，Lebesgue 可測性については Σ13 の段階で，他の多くの I については Σ12 の段階で到達不能基数の無矛盾性が出ることが知られている．

43 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

まとめと今後Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．
その目的は Con(ZFC) =⇒ Con(ZFC + 射影 Baire 性) の証明のため．
D なり UM なりを，他の「至る所 I-生成実数」にするようなものに置き換えられれば一般化出来そうに見える．
そういう強制法を I-アメーバ強制法という．

!

しかし，Lebesgue 可測性については Σ13 の段階で，他の多くの I については Σ12 の段階で到達不能基数の無矛盾性が出ることが知られている．
I-アメーバ強制法の多くは Sweet ではない事がわかる．

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

まとめと今後Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．
その目的は Con(ZFC) =⇒ Con(ZFC + 射影 Baire 性) の証明のため．
D なり UM なりを，他の「至る所 I-生成実数」にするようなものに置き換えられれば一般化出来そうに見える．
そういう強制法を I-アメーバ強制法という．

!

?

しかし，Lebesgue 可測性については Σ13 の段階で，他の多くの I については Σ12 の段階で到達不能基数の無矛盾性が出ることが知られている．
I-アメーバ強制法の多くは Sweet ではない事がわかる．

アメーバ強制法が Sweet になる I は Cohen の他にもあるか？

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

強均質強制法と正則性
強均質代数と Sweet Forcing
まとめと今後

まとめと今後Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．
その目的は Con(ZFC) =⇒ Con(ZFC + 射影 Baire 性) の証明のため．
D なり UM なりを，他の「至る所 I-生成実数」にするようなものに置き換えられれば一般化出来そうに見える．
そういう強制法を I-アメーバ強制法という．

!

しかし，Lebesgue 可測性については Σ13 の段階で，他の多くの I については Σ12 の段階で到達不能基数の無矛盾性が出ることが知られている．
I-アメーバ強制法の多くは Sweet ではない事がわかる．

?

アメーバ強制法が Sweet になる I は Cohen の他にもあるか？

?

実数の集合の正則性の無矛盾性の差異を，sweetness や他の性質をの関連で特徴づけられないか？
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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

参考文献 I[1]

Tomek Bartoszyński and Haim Judah, Set Theory: On the Structure of
the Real Line, Ak Peters Series, Taylor & Francis, 1995, isbn:9781568810447.

[2]

Mohamed Bekkali, Topics in Set Theory: Lebesgue Measurability,
Large Cardinals, Forcing Axioms, Rho-functions, Lecture Notes inMathematics 1476, Springer Berlin Heidelberg, 1991, isbn:978-3-540-54121-9, doi: 10.1007/BFb0098398.

[3]

Haim Judah and Andrzej Roslanowski, On Shelah’s amalgamation,
Israel Mathematical Conference Proceedings, vol. 6, 1993, pp. 385–414,
url: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;
jsessionid=345856FFEB3FE6383A2CFF42B29E66D0?doi=10.1.1.22.
7671&rep=rep1&type=pdf.

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

参考文献 II[4]

Yurii Khomskii, Regularity Properties and Definability in the Real
Number Continuum: Idealized forcing, polarized partitions, Hausdorff
gaps and mad families in the projective hierarchy, PhD thesis,
Institute for Logic, Language and Computation, Universiteit van
Amsterdam, 2012.

[5]

John C. Oxtoby, Measure and Category: A Survey of the Analogies
between Topological and Measure Spaces, English, vol. 2, Graduate
Texts in Mathematics, Springer US, 1971, isbn: 978-0-387-05349-3, doi:
10.1007/978-1-4615-9964-7.

[6]Saharon Shelah, Can You Take Solovay’s Inaccessible Away?, Israel
Journal of Mathematics 48.1 (1984), pp. 1–47, issn: 0021-2172, doi:
10.1007/BF02760522, url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02760522.

[7]

Robert M. Solovay, A model of set theory in which every set of reals is
Lebesgue measurable, The Annals of Mathematics, 2nd ser. 92.1 (July
1970), pp. 1–56, issn: 0003486X, doi: 10.2307/1970696, url:
http://www.jstor.org/stable/1970696.
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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

参考文献 III[8]

石井大海, Lebesgue 可測性に関する Soloay の定理と実数の集合の正則性,「数学基礎論若手の会 2015」発表資料, 2015, url:
http://www.slideshare.net/konn/lebesguesoloay.

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背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

御清聴
ありがとう
ございました47 / 48

背景：測度と範疇
射影 Baire 性の無矛盾性
参考文献

Any Questions?
Sweet Forcing は c.c.c. の強化版で，強均質代数を構築するための融合によって保たれる性質として Shelah が抽出した．
その目的は Con(ZFC) =⇒ Con(ZFC + 射影 Baire 性) の証明のため．
D なり UM なりを，他の「至る所 I-生成実数」にするようなものに置き換えられれば一般化出来そうに見える．
そういう強制法を I-アメーバ強制法という．

!

しかし，Lebesgue 可測性については Σ13 の段階で，他の多くの I については Σ12 の段階で到達不能基数の無矛盾性が出ることが知られている．
I-アメーバ強制法の多くは Sweet ではない事がわかる．

?

アメーバ強制法が Sweet になる I は Cohen の他にもあるか？

?

実数の集合の正則性の無矛盾性の差異を，sweetness や他の性質をの関連で特徴づけられないか？
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オマケ
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イデアルに付随する正則性
Definition 31
def

I を R 上の σ-イデアルとする．A ⊆ R が I-正則である ⇐==⇒∀B ∈ PI ∃C ≤I B [C ∩ A = ∅ ∨ C ⊆ A].

A

C

C

B

Baire の性質や可測性より一般的に見えるが，ω1 -飽和なら一致：
Lemma 32
I が ω1 -飽和なら，次は同値：
1

A ⊆ R が I-正則，

2∃B ∈ B [A M B ∈ I].

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イデアルに付随する正則性
Definition 31
def

I を R 上の σ-イデアルとする．A ⊆ R が I-正則である ⇐==⇒∀B ∈ PI ∃C ≤I B [C ∩ A = ∅ ∨ C ⊆ A].

A

C

C

B

Baire の性質や可測性より一般的に見えるが，ω1 -飽和なら一致：
Lemma 32
I が ω1 -飽和なら，次は同値：
1

A ⊆ R が I-正則，

2∃B ∈ B [A M B ∈ I].

50 / 48

イデアルに付随する正則性
Definition 31
def

I を R 上の σ-イデアルとする．A ⊆ R が I-正則である ⇐==⇒∀B ∈ PI ∃C ≤I B [C ∩ A = ∅ ∨ C ⊆ A].

A

C

C

B

Baire の性質や可測性より一般的に見えるが，ω1 -飽和なら一致：
Lemma 32
I が ω1 -飽和なら，次は同値：
1

A ⊆ R が I-正則，

2∃B ∈ B [A M B ∈ I].

50 / 48

イデアルに付随する正則性
Definition 31
def

I を R 上の σ-イデアルとする．A ⊆ R が I-正則である ⇐==⇒∀B ∈ PI ∃C ≤I B [C ∩ A = ∅ ∨ C ⊆ A].

A

C

C

B

Baire の性質や可測性より一般的に見えるが，ω1 -飽和なら一致：
Lemma 32
I が ω1 -飽和なら，次は同値：
1

A ⊆ R が I-正則，

2∃B ∈ B [A M B ∈ I].

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Proof of Lemma 32(2) =⇒ (1) は明らかなので，I: ω1 -飽和として逆を示す．そこで A ⊆ R を I-正則とし，次の二つの集合を考える：
S − := { B ∈ PI | B ∩ A = ∅ } ,S + := { B ∈ PI | B ⊆ A } ,A− := (S − に含まれる極大な反鎖),

S−
A
S+

A+ := (S + に含まれる極大な反鎖).
この時，I の ω1 -飽和性から A± はそれぞれ高々可算である．よっSSて B := A+ , B 0 := A− とおけば，これらは共に Borel 集合である．B と A の差は B c ∪ B 0c に含まれているから，B c ∪ B 0c ∈ Iを示せば十分．背理法で示す．仮に R \ (B ∪ B 0 ) ∈/ I なら，A のI-正則性から B c ∪ B 0c で C ⊆ A または C ∩ A = ∅ を満たす
C ∈ PI が取れ，A+ と A− の極大性に反する．
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なぜ I-正則性を考えるか？
ω1 -飽和とは限らない I についても I-正則性は興味深い性質の一般化になっている．
ω1 -飽和の例：

MD を支配位相における痩せ集合の全体とすると，MD -正則
性は D-Baire の性質．

ω1 -飽和でない例：

ctbl を可算集合全体とすると，ctbl-正則性は非 Bernstein 性と一致する．
IRN を Ramsey 零集合の全体とすると，IRN -正則性は完全
Ramsey 性と一致する．

どの場合のイデアルも，（強）適性 (strong properness) という性質を満たす．これは ω1 -飽和の一般化になっている．

とはいえ，今回扱うのは ω1 -飽和条件の場合のみ．適性イデア
ルに付随する正則性の一般論については Khomskii [4] を参照．
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