（図１）

さっそく，問題の確認からいってみましょう．
問題$【1】 右図（図は下にあります）中の子どもが家に帰る経路を考える．ただし， 家，川以外の建物や道路はd

無く，平原が広がっているものとして，以下の問いに答えよ．
(1)

(a)

一度川に寄って水をくんでから家に帰る最短ル

くと，A' が l に関する A の対称点となる．（図２

川の北側の領域のみで作図して (1) の最短ルート参照）．

を求めよ．
(3)

次に C,D が中心で，半径が CA = DA となる円をそれぞれ描き，A でない方の交点を A' とおートを作図して求めよ．
(2)

'&

（図２）

(1) と (2) が同じになることを証明せよ．

$川

北子ども

d

家'&$j

さらに，直線 AA' と l の交点を H とすると， AH
作図の仕方さえわかれば，(1) は一瞬で解けますが， ⊥ l となる．（図３参照）（図３）
人によっては．(2) で困った人もいるかもしれません．
強者の皆さんが目指す大学の入試では，「最も有名$で使いやすい解法」だけでなく，「別解まで把握しdておき，場合に応じて使い分ける力」を要求されます．以下に，解答と，その理由を説明していきます

&+ '
$j

ので，これを機会に作図のバリエーションを増やしておきましょう．

(b)l より南側を使えない場合は，C,D が中心で，半径が CA や DA とは異なる円をそれぞれ描き，川の北側にできる交点を A" とおく．さらに，直［解答］線 AA" と l の交点を H とすると， AH ⊥ l となる．

川を直線 l，子どものいる地点を A，家のある地（図４参照）

点を B とおく．

（図４）

まず，A から l に対して垂線を下ろすときの作図を考える．

$jj

最初に，中心が A で十分な大きさの半径（A と l$の距離よりも大きい半径）をもつ円と l の交点を作d

図して，直線 l 上に 2 点 C,D を&+'

AC = ADとなるようにとる．（図１参照）

以上，(a)，(b) を用いれば，(1)，(2) いずれの場合も，点から直線に垂線を下ろす作図ができる．

1(1)-(a) を用いて，A の l に関する対称点 A' を作図すれば，直線 A'B と l の交点 P に立ち寄るルートがよって，1，4 よりd

HP : IP = HJ : JI

北$+-%$j3る．以上より，(1)，(2) の 2 つのルートは一致する．

(b) を用いて，A,B から l に下ろした垂線の足の交点を E とおき，(b) を用いて作図できる E から

（証明終）【（※）について】(2) を解いたことがなくても，(1) が作図できていl に下ろした垂線の足を J とすれば，J に立ち寄るルー

れば，(3) の問題文より，(2) で作図する点は (1) とトが最短となる．【（※）】d

同じ点であると推測できる（後に (3) で証明もなされる）．

北$(+HP : PI = HJ : JIであり，共に内分点ゆえ，2 点 P,J の場所は一致すをそれぞれ H,I とする．さらに，2 直線 AI と BH

そこで，l の北側のみで (1) の点 P と同じ点を作図%するために，点 P が満たしている条件や性質を考え-る．B から l に下ろした垂線の足を I とおくと,(3)B4である．

最短となる．

(2)

AH : BI = HJ : JI

∠ APH = ∠ A'PH = ∠ BPI

まず，(1) で考えた図において，B から l に下ろ（A' が A の対称点，かつ，対頂角）

した垂線の足を (2) と同様に I とおくと

∠ AHP = ∠ BIP（直角）∠ A'HP = ∠ BIP（直角）より∠ A'PH = ∠ BPI（対頂角）△ APH @ △ BPI

より 2 角相等なのでなので，点 P は△ A'PH @ △ BPI

HP : PI = AH : BIとなる．さらに，A' は l に関する A の対称点ゆえ
HP : IP = A'H : BI = AH : BIを満たす点だとわかる．

B1

最後に，5 を満たす点，つまり線分 HI を AH :が成り立つ．

BI の比に内分する点を考えるために，図内の別の場

次に，(2) で考えた図において，AH // BI ゆえ，錯所から AH : BI を作りだそうと考えると，AH // BI

角に注目してなので，2 線分 AI と BH を交わらせれば（中学生の∠ EAH = ∠ EIBときに体験済みのはずの有名問題を踏まえて）平行∠ EHA = ∠ EBI

線における錯角を用いて，相似比が AH : BI である

より 2 角相等なので2 つの三角形（△ AEH ，△ IEB）を作ることがで△ AEH @ △ IEB

きる．となる．よって
AH : IB = HE : BE

B2である．さらに，EJ // BI なので
HE : BE = HJ : IJ

B5

（コメント）(a) では，ひし形の対角線が，互いの中点で垂直B3に交わること，(b) では，2 点 C,D からの距離が等である．ゆえに，2，3 よりしい点の軌跡は線分 CD の垂直二等分線になること

AH : IB = HJ : IJ2（もしくは，二等辺三角形の頂点から底辺に垂線を上の図の，実線部と点線部の長さの和を考えれば，下ろすと，必ず垂直二等分線になること）を用いて実線部の長さの和のほうが長いことが，直観でもわいます．

かると思います．（具体的に計算してみると，実線(1) では，対称点を利用することで，2 点 A' と B部が 2 5 = 20 ，点線部が 3 2 = 18 です）つまを l に関して逆側に配置しり，2 線分の場合は，交わっていたほうが長さの和「長さが最小」＝「真っ直ぐになるとき」が大きくなるわけです．という性質を使える状態にする有名な解法ですが，このことを拡張して，2n 本のすべての線分が交(2) では，l の南側が使えないため，【（※）について】 わっているような場合を作ることができるか B，の部分で述べたような工夫を考える必要があるのでという順番で考えていきましょう．
す．

続いて，【2】の解説に移りましょう．

［解答］
まず，ある 1 組の 2 線分に注目して，2 線分が交わるときと交わらないときを考えると，次図におい問題て【2】 n を自然数とする．座標平面上の 4n 個の点(1 ,0),(2 ,0),B,(2n ,0),'$(0 ,1),(0 ,2),B,(0 ,2n)を 2 つずつ 2n 個の組に分けて，それぞれの組におけ3る 2 点の距離の和を考える．このような和が最大になるときの，2 点の距離の 2 乗の和を求めよ．

%

〈方針〉&

AC + BD = AP + PC + BP + PD

n = 2 で，点の数が計 8 個であれば，組み分けの= (AP + BP) + (PC + PD)

場合の数は> AB + CD

C2・6C2・4C2 = 2520（通り）となることより，交わるときのほうが線分の長さの8なので，一応有限の値なのですが，それでもすべて和は大きくなる．のパターンを実際に計算してみることは労力がかか

また，2 線分（の一部が）が重なるときと 1 点でりすぎます．ですので，何か，一般的に考えられる交わるときを考えても，上と同じ理由で，交わると方法がないか，考えてみます．

きのほうが線分の長さの和は大きくなる．よって，おそらく，多くの方にとって見慣れない問題だとすべての線分が他の線分と交点を持つような組み分

思いますのでけを行ったとき，題意の「それぞれの組における 2「見慣れない問題は，まず実験する．」

点の距離の和」は最大となるので，以下，そのように従って，最初に n = 1 のときを考えてみましょう． な組み分けの方法を考える．
最初に，x 軸上の 2 点，または，y 軸上の 2 点をq結んで線分を作ると，他の線分と（端点は共有でき*るが）交点をもてないので不適．よって，x 軸上の)点と y 軸上の点で組を作ることが必要である．

2)*

次に (0,1) から線分をのばすとき，終点を (2n,0)p以外の点から選ぶと，(0,l) (l = 2,3,B,2n) の3

いずれかと (2n,0) を結ぶことになり，この 2 つのがあったでしょうか．もしあったのならば，その場線分は交点をもたないので不適．よって，(0,1) とで印象に残し，考え方の選択肢を増やしていって下(2n,0) を組にすることが必要である．

さい．

以下，同様に考えると，すべての線分が他の線分と交点を持つには，k = 1,2,B,2n に対して（数学科(0,k) と (2n - k +1,0)を結ぶことが必要であり，このとき逆に，すべての線分は交点を持つので十分である．
ゆえに，求める「2 点の距離の 2 乗の和」は2nS( (2 n - k + 1) + (- k) )22 2k =1=2nS{(2 n - k + 1) + k }22k =1=2n2k =1=2nS(2 n - k + 1) + S k
2n2nS m + Sk
2m =1=22nSk

2k =12k =12k =1=2n(2 n + 1)(4 n + 1)
3である．
（コメント）【2】の問題は，2008 年度，早稲田大学の教育学部の入試で出題された問題を改題したものでした．
【1】とは逆に，なるべく折れ曲がっていたほうが長さが大きくなる，ということに注目して考える問題になっています．
また，この問題は各軸上にある点の数が偶数個ずつであり，解答の k = 1,2,3,B,n のときと k= 2n,2n - 1,B,n + 1 のときの線分の長さがそれぞれ等しくなるので，「半分だけ和を計算して 2倍する」という解法でも解けるのですが，先の解答のように m = 2n - k + 1 の置き換えを利用すれば，偶数個，奇数個に関係なく，同じように解くことができます．（元々の入試問題では，各軸上の点は 3個ずつ，計 6 個の点で考える問題です）．
2 つの問題を通して，1 カ所でも心惹かれる部分

4中西）