LONG-RANGE SCATTERING FOR NONLINEAR SCHRÖDINGER
EQUATION WITH TIME-DECAYING HARMONIC POTENTIAL
川本昌紀 (愛媛大学)

1. 概略
σ(t) ∈ L∞ (Rt ) についての２階常微分方程式(ζ1 (0) = 1,
ζj′′ (t) + σ(t)ζj (t) = 0,
ζ1′ (0) = 0,(

ζ2 (0) = 0,ζ2′ (0) = 1を考察する。この時、2 つの線型独立解 ζ1 (t), ζ2 (t) は以下の性質を持つと仮定する；
仮定 1:
次の (A), (B), (C) を満たす定数 r0 > 0, c1,± , c2,± ∈/ {0, ∞, −∞}, c3,± ∈ R,
λ ∈ [0, 1/2) が存在する；(A). 任意の |t| ≥ r0 に対して、定数 c > 0 が存在して |ζ2 (t)| ≥ c.

ζ1 (t)= c1,± ,t→±∞ (±t)λ(B). lim

ζ2 (t)= c2,± ,t→±∞ (±t)1−λlimζ2 (t) − c2,± (±t)1−λ= c3,±t→±∞(±t)λlim(C). ζ1 (t), ζ2 (t), ζ1′ (t), ζ2′ (t) は連続関数である。
√
注意 1: σ0 ∈ [0, 1/4) に対して σ(t) = σ0 t−2 for |t| ≥ r0 とすると、λ = (1 − 1 − 4σ0 )/2として上の仮定を満たすモデルが存在する。この意味で ”時間減衰” としている。詳しくはGeluk-Marić-Tomić [1] を参照。
上記の仮定 1 の下で、本講演では 以下の時間減衰ポテンシャル付き非線形シュレディンガー
方程式について考察する：∆σ(t)|x|2u(t, x) +u(t, x) + µ|u(t, x)|2/(n(1−λ)) u(t, x)
22
ここで、x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , n = 1, 2, 3, ∆ = ∂12 + .... + ∂n2 , µ ∈ R\{0} である。線型方程式の解作用素 U0 (t, 0) は、任意の ϕ ∈ D(−∆ + |x|2 ) に対してi∂t u(t, x) = −i∂t U0 (t, s)ϕ = H0 (t)U0 (t, s)ϕ,U0 (t, t)ϕ = ϕ,i∂s U0 (t, s)ϕ = −U0 (t, s)H0 (s)ϕ,U0 (t, s)D(−∆ + |x|2 ) ⊂ D(−∆ + |x|2 )H0 (t) := −∆/2 + σ(t)|x|2 /2を満たすものとする。この時、|t| ≥ r0 に対して以下の MDFM 分解が得られる；
ζ2 (t)
ζ2 (t)
D(ζ2 (t))F M
U0 (t, 0) = M
ζ2′ (t)
ζ1 (t)
1

ここで F は Fourier 変換であり、 ϕ ∈ L2 (Rn ) に対して
2(M(t)ϕ) (x) = ei|x| /(2t) ϕ(x),(D(t)ϕ) (x) =x
1ϕ(it)n/2tである。最後に 0 ≤ λ = λ(n) < 1/2 に以下の仮定を課す；
仮定 2: λ = λ(n) は以下の条件を満たすとする；√√
13 − 145
7 − 410 ≤ λ(1) <, 0 ≤ λ(2) <,44
定数 k と α を以下で定める；
20<k <1+,n(1 − λ)0 ≤ λ(3) < 0.022


0 < α < min (1, k/2 − nλ/4) ,nλi.e. k >2.

以上のセッティングの下で以下の定理を得た；
定理:[3] 仮定 1,2 を仮定する。さらに、定数 k, α, b > 0 はn(−2λ2 + λ + 1)
< b < λ + α(1 − 2λ)4kn∞nを満たしているとする。終値データ u+ は u
cu+ ∥∞ < ϵ ≪ 1 とす+ ∈ H (R ) ∩ L (R ) で ∥cる。この時、0 < T = T (ϵ) があって、
sup tb ∥u(t, ·) − up (t, ·)∥L2 (Rn ) < ∞t∈[T,∞)が成り立つ。ここで c+ := |c2,± |1/(1−λ) に対して、
hiζ2 (t)2/(n(1−λ))up (t) := M
D(ζ2 (t))F uc
u+ |(log t)/c++ exp −iµ |cζ2′ (t)が成り立つ。
注意 2: Kawamoto-Miyazaki [4] により、λ の条件は仮定２よりも良くなる事が証明されている。
証明のアイデアのおおよそは Hayashi-Naumkin-Wang [2] によるが、ここで、この線形解に対するストリッカーツ評価式に時間に関する重みが出てきてしまう (例えば Kawamoto-Yoneyama[6])。この問題を解決するために、時間重みつきエネルギー空間 XT をnXT := ϕ ∈ C ([T, ∞); S ′ (Rn )) ; ∥ϕ∥X = sup τ b ∥ϕ∥∞,2,λ,ττ ≥To+ sup τ b−2λ ∥ϕ∥βn ,αn ,λ,τ < ∞τ ≥Tで定め、この空間上での縮小写像を構成する。ここで(∥ ⟨t⟩−c/a ∥u(t, ·)∥Lb (Rn ) ∥Lat (τ,∞) ,∥u∥a,b,c,τ =supt≥τ ⟨t⟩−c ∥u(t, ·)∥Lb (Rn ) ,2a ̸= ∞,a=∞である。また本研究の応用として、近年、次の２つの研究も行なっている；(I). より一般の非線形項がついた場合における終値問題 (宮崎隼人氏 (香川大学) との共同研
究 [4]),(II). µ ∈ C で Imµ < 0 の場合での mass などの減衰評価 (佐藤拓也氏 (東北大学) との共同研
究 [5]).
これらの研究では、MDFM 分解やストリカーツ評価式を用いる事で、σ(t) ≡ 0 の場合と同様の議論が扱える事が強く効いている。

References[1] Geluk, J. L., Marić, V., Tomić, M.: On regularly varying solutions of second order linear diﬀerentialequations, Diﬀerential and Integral Equ., 6, 329–336, (1993).
[2] Hayashi, N., Naumkin, I.P., Wang, H.: Modiﬁed wave operators for nonlinear Schrödinger equations inlower order Sobolev spaces, J. Hyperbolic Diﬀer. Eqn., 8, 759–775 (2011)[3] Kawamoto, M.: Final state problem for nonlinear Schrödinger equations with time-dependent harmonicoscillators, J. Math. Anal. Appl., 503, (2021), 125292 (17 pages).
[4] Kawamoto, M., Miyazaki, H.: Long-range scattering for a critical homogeneous type nonlinear
Schrödinger equation with time-decaying harmonic potentials, arXiv:2206.08168.
[5] Kawamoto, M., Sato, T.: Asymptotic behavior of solutions to a dissipative nonlinear Schrödinger equation with time-dependent harmonic potentials, J. Diﬀer. eqn., 345, (2023), 418–446.
[6] Kawamoto, M., Yoneyama, T.: Strichartz estimates for harmonic potential with time-decaying coeﬃcient, J. Evol. Eqn. 18, 127–142 (2017) .
Email: kawamoto.masaki.zs@ehime-u.ac.jp

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