日本の降雨量極値データの統計的解析（改）Technical Report YK-021-rev
Sept. 10, 2019
Y. Karasawa

日本の降雨量極値データを統計的に見る（改訂版）～地球温暖化の影響、有りや無しや～
唐沢好男

本レポートは、2019 年２月に公開した YK-021 の改訂版である。一部のデータ（本稿の図９）や下記の注(*)などを加えて書き直しているが、本質的な意味での変更はない。
観測データを客観的に分析するための基礎知識として、本シリーズの YK-019[1]で回帰分析と信頼区間を、YK-020[2]で、最大値の性質を扱う極値統計学を取り上げ、その要点をまとめている。本レポートでは、この手法を用いて、無線通信にも関係深い物理量である降雨量に着目し、年間極値データ（年間最大時間降水量など）の統計的性質を調べる。データ
は、気象庁が 100 年スケールの長期統計データとしてホームページで公開している年毎の日・時間・10 分間の最大降水量[3]（年間の最大値を与える降水現象は降雨によるので、以下、降雨量と呼ぶ）を用いる。
近年、地球規模での温暖化現象や、都会でのヒートアイランド現象などにより、長期傾向
としての気温の増加が報告されている。では、この気温の増加が、降雨現象に影響を与えているであろうか？本レポートの前半では、両現象が重畳して気温上昇が大きい大都市の代表として東京と大阪での降雨量極値データや日本全体で見た時の長期的変化を調べる。この問題については、気象庁としての予測もまとめられているが[4]が、統計手法の応用問題
として、また、それを、筆者のような気象分野の門外漢が体感を得る意味において、解析を行った。レポートの後半では、日本国内において比較的多雨地域にある 18 のエリアの長期データを正規化してまとめて一つ確率分布とみなし、極値統計学から導かれる諸性質と比べて、降雨特性の特徴を明らかにする。また、その結果に基づき、今後、1000 年スケールでの最悪値予測に関する考察を行う。
．．．．．．．
注：本レポートの前半では、日本の降雨の極値データを統計的に解析したが、そこでは、降雨に関して地．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
球温暖化の影響、すなわち、長期的な傾向は見えていない、と結論している。注意して欲しいのは、この結論は、ここで扱ったデータ（限られた地点の極値データ）や処理方法（95%信頼区間解析）の範囲でと言う．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
条件付であり、日本の降雨には、地球温暖化の影響は現れていない、と言う一般的な結論を述べているわ．．．．．
けではない。筆者も、日本各地（特に西日本）の最近の豪雨による災害多発を見るに付け、極値データにもそれが現われているはずと思ったのが本解析の動機であり、勘が外れたというのが正直な気持ちである。
より広い視点での皆さんの解析に委ねたい。

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１．解析のための道具
１．１ 回帰分析と信頼区間（１）回帰直線
第３章で行う回帰分析では、最も基本となる単回帰モデル（回帰特性が直線で表されるモデル）を用いるので、その概要をまとめる。
ある量 y が x の関数として次式の線形関係で与えられている。

y  a  bx

(1)

x と y に関する母集団での関係と言ってよい。x が原因（説明変数）、y が結果（観測値、目的変数）と捕らえられるような量である。
実際に観測される y には、x とは別の要因によって発生する変動成分（e）が加わり、観測される目的変数の試行 i ごとの値は、次式となる。

yi  a  bxi  ei(2)

このとき、x と y の組で与えられる n 個のデータ［(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn)］の処理によって得られる回帰直線ˆyˆ  aˆ  bx

(3)

は、母集団の特性、すなわち、(1)式を推定するものになる。
回帰直線の決定には最小二乗法を用いる。最小二乗法では残差  i  yi  yˆi の２乗和
n

n

n

i 1

i 1

i 1

ˆ )2
S    i2   ( yi  yˆi )2   ( yi  aˆ  bxi

(4)が最小になるよう aˆ , bˆ を定める。ここでの残差i は回帰直線と観測値 yi とのずれであり、(2)式で与えた変動要因としての ei とは別の物理量になる。観測値から回帰直線を具体的に求める方法は、ここでは割愛するが、[1]に詳しくまとめているので見てほしい（[1]の(49)式）。
このようにして、回帰直線は、データが与えられれば一意に定められる。
回帰直線はあくまでも真の特性の推定であってそのものではない。では、回帰直線での推定はどの程度の信頼性があるのだろうか、と言うことが次の問題になる。データ数が少ない
ときや、値にばらつきが大きい場合には、正確度が低いであろうことは容易に想像できるが、客観的な指標が必要になる。
（２）信頼区間
回帰直線の信頼性を定量的に評価するために生み出された概念が区間推定であり、上限と下限で囲まれた範囲が信頼区間である。回帰直線は真の特性を線で推定するが、区間推定では真の特性が指定する確率で存在する範囲を推定する。この確率の目安値を、90%, 95%,2

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99%などで定め、95%が良く用いられる。３章の評価でも 95%信頼区間を採用する。95%信
頼区間の範囲内にある全ての特性（直線で表される）について 5%以上の存在確率が有り、排除できない、と解釈される（注１）。要は、回帰直線の傾向だけで判断するのは危ないですよ、ということである。
具体的な信頼区間（上限と下限）の定め方は、[1]の(61)式にまとめているので、その説明は割愛する。信頼区間の特徴を図１により説明する。同図では、真の特性（y =x+3）を黒線
で、回帰直線を青線で、信頼区間を赤線で示しており、同図(a)は標本数 10 の場合、同図(b)は標本数 100 の場合である。二つの図から、標本数が多くなれば、信頼区間の幅も狭くなる
ことがわかる。両図とも、回帰直線は x の増加に対して y も大きくなる傾向を示しているが、標本数が少ない同図(a)では、例えば緑点線のように、y が減少する特性も信頼区間の中に 5%以上の確率で存在しており、(a)からは、「x が大きくなれば y も大きくなる」と言う答
えを出せない、が結論になる。
なお、両図からもわかるように、信頼区間はあくまで、真の特性（母集団の特性）が存在する確率の高いエリアを示しているのであって、データのばらつき幅とはまったく違うものであることに留意してほしい。
【注１】例えば、95%信頼区間が具体的に定まったとき、「真の特性が 95%の確率でその範囲に存在する」と考えるのは、正確には正しくない。なぜなら、真の特性が固定値であるのに対して、範囲そのものはデータセット毎に変化し、その値は一回のデータセット限りであるからである。ゆえに、「100 回信頼区間を定めたら、そのうちの 95 回は確率の意味で真の特性がこの範囲（毎回変動する）に存在する」と考えた方がより正しい意味になる。

(a) データ点数 10(b) データ点数 100（緑の点線は 5%以上の確率で排除できない特性の例）
図１ y =x+3 の特性（黒）にばらつきを加えたデータの回帰直線（青）と信頼区間（赤）3日本の降雨量極値データの統計的解析（改）１．２Technical Report YK-021-rev
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極値統計（最大値の統計）

一定の確率分布を持つ母集団があり、その中から独立に n 個の標本を得たとき、その最大値 xmax の確率分布を求める学問が極値統計学である。極値統計学は高度な数学に裏打ちされた難易度の高い学問領域になるが、本レポートで議論する範囲の理論（すなわち、極値統計学のイロハの部分）については、[2]にまとめていることで十分である。
（より深く学びたい人には[5]を薦める）
本レポートでは、降雨量の最大値に着目する。日本の降雨量のうち、1 分間降雨量、10 分
間降雨量、時間降雨量の確率分布については、無線通信の降雨減衰推定の目的で多くの研究があり[6]-[9]、以下のように結論されている。
i) 降雨強度（単位時間当たりの降雨量）が比較的弱い部分は対数正規分布（ただし、降雨期間を年間の 10%に見立てての）になる
ii) 降雨強度が強い部分はガンマ分布になる
iii) 上記二つの分布の特徴を包含した M 分布（仲上 m 分布とは別の分布；細矢の M 分布）が全体には良く合う
本稿では、年間の最大値を扱うので、元になる降雨量の確率分布としては、強い強度の部分のみに着目すればよく、ガンマ分布が想定される（M 分布でもよいが、ガンマ分布の方が、以後の解析が容易）。ガンマ分布の確率密度関数 f と累積分布関数 F はそれぞれ次式である。

f ( x) 1  x 1 exp    x 
 ( )（: ガンマ関数）

F ( x)   ( ,  x) /  ( )where  ( , x) 

x

(5a)

(5b)

 t e dt （第一種不完全ガンマ関数）
 1  t0

極値統計理論より、n 個のデータの最大値 xmax の分布は、適当な規格化係数 an, bn（吸引係数とも呼ばれる）を用いて変換した変数 zzxmax  bnan(6)に対して、n が大きい場合には、元の分布に拠らない形になることが導かれていて、極値分布と呼ばれている。
極値分布には三つのタイプがあるが、正規分布やガンマ分布のように指数関数が積の形で入っている分布に対しては、グンベル(Gumbel)分布と呼ばれる次式の形（確率密度関数 fG、
累積確率分布 FG）になる。
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日本の降雨量極値データの統計的解析（改）fG ( z )  exp{ z  exp( z)}(  z  )

FG ( z )  exp{ exp( z)}

(7a)

(7b)

ガンマ分布の吸引係数は次式で与えられる（[5]の表 2.4）。

an  1/ 
bn 

(8a)

 n
 1 
ln 
 ln n     ( )

1

(8b)

一方、グンベル分布に対して、n（>>1）個の標本の平均値を解析的に求めることは難しそうであるが、数値的には求めることができて次式となる。
z   zfG ( z )dz  0.577

(9)



これより、xmax の期待値は次式で推定される。

xmax  0.577an  bn

(10)

なお、文献 [2]では、最大値の平均値を求めるのは難しいと述べて、ここで挙げた具体的な式を提示していない。これは、式(8)で表されるグンベル分布の吸引係数が、標本値の分布に一致するには n の値が極めて大きくなってから（例えば、n >1010）であるためである。
そこで、別のアプローチとして、xmax の平均値を分布の最頻値（モード）を与える xmode（xmax のモードなので xmax,mode のような記述が自然であるが、記号の簡略化により、以下、
xmode で表記する）で代用する方法がある。xmode と n とは、n が 10 程度以上においては、元の分布の確率密度関数 f とその導関数 f’を用いて、次式で関係付けられる[2]。

n f ( xmode )f 2 ( xmode )(11)

ガンマ分布の場合には、n       xmode   1  xmode  exp   xmode 


(12a)

となり、n >>1 では、xmode も大きな値になるので、

ln n  ln       xmode   1  ln xmode   xmode
5

(12b)

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Y. Karasawa  xmode (n  1)


(12c)

xmode  (1/  ) ln n (n  1)(12d)となって、ln n に比例する。ただし、この近似は非常に大雑把なものであり、n の全範囲を通して、無視している項（式(12b)の右辺第１項と第２項）の分は ln n の誤差として固定的に残る。
グンベル分布の式(7)から容易に分かるように、グンベル分布では z =0 が確率密度の最大値､すなわち最頻値になる。式(6)より、xmax のモードが bn であるということになる。そこで、
ガンマ分布のパラメータ値を=1、 =0.1, 1, 4 に対して、３つの推定値、①グンベル分布のbn（式(8b)）、②元の確率分布から求めた xmode（式(12a)）、③さらにその近似である(1/) ln n（式(12d)）を比較してみる。図２はその結果である。
図より、以下の特徴が読み取れる。
i)  =1、すなわち指数分布では、①～③すべてが同じ値になり、かつ、横軸対数グラフ上で直線になるii) の値に関わらず、n が大きい部分では、同じ傾きの直線に漸近する
iii)  >1 では、②の方が、①より少し大きめの値になる（n を極めて大きくしてゆけば、この差は徐々になくなるはず）
iv) <1 では、①と②は n の小さいところまで、かなり良く一致している。
v) ③の近似式は、あくまで傾きを算定するためのもので、=1（指数分布）以外について
n と最頻値（あるいは平均値）との定量的関係を評価したい場合には誤差が大きくなる（ =1 との差に応じて）
図２ではパラメータのを 1 として求めているが、任意のに対しては、縦軸スケールを1/ 倍に置き換えればよい。本資料で評価の対象とする降雨強度は、ごく少数が大きな値に集まり、その大部分は 0 に近いところに値がある分布の形をし、図の=0.1 の場合に近い[6]。
極値分布がグンベル分布になる確率分布には、正規分布、ガンマ分布、対数正規分布などがある。式(12c)に対応する近似式の意味で、正規分布や仲上ｍ分布のように、分布形が e  x

2を積として含むものに対しては xmax は ln n に比例し、図２の片対数のグラフ上では、ln nの増加に対してカーブは寝てくる。一方、対数正規分布では、exp( ln n ) に比例し、カーブ
は立ってくる。ゆえに、直線に漸近するものはガンマ分布形（ e  x ）と判定できる。図３はこの三つのタイプの xmode についての理論計算結果（式(5)）の一例である（設定パラメータ値は図のキャプション中に）。

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図２ ガンマ分布に関する３つの推定値、①グンベル分布の bn、②元の確率分布（ガンマ分布）から求めた xmode、③さらにその近似である(1/) ln n の比較

図３ グンベル分布型３つのタイプの最大値の最頻値 xmode と n の関係（パラメータ設定
値：仲上ｍ分布 (m=1, =32）、ガンマ分布（=2, =1/2）、対数正規分布（対数平均値=0, 標準偏差=1）)

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日本の降雨量極値データの統計的解析（改）２．降雨量データ
気象庁からは、日本各地（約 1,300 箇所）の気象データがホームページから公開されている[3]。ただし、地点を定め、期間を特定して、その全部を吸い上げようとするには極めて多大な労力が必要である。一方、観測所毎の一定期間毎の最大値など、極値データについては
データ量も限られ、吸い上げ作業も前者に比べてはるかに容易である。そこで、ここでは、指定地点における日降水量、時間降水量、10 分間降水量（単位はいずれも mm）のそれぞれの年間最大値について、観測開始から 2018 年までのデータを用いる。年間の最大値が得られるときの降水現象は、本レポートが評価する地点では、例外なく降雨時のものであるため、
以下、降雨量と呼ぶ。
極値統計評価のために、日本の中では、比較的多雨地域になる仙台以西の、かつ、統計的独立が保たれているであろう 100km 程度以上の距離にある 18 箇所を評価の対象にする。それぞれの地点に対する各降水量の年間最大値の平均値および観測期間（データ数）（注２）を表１にまとめている。
【注２】地点によって、実際の観測開始年は表１の観測期間より早いものもある。ただし、観測データに完全でないことを意味する「資料不足値」マークがあるものを除き、測定値が安定となった年からの連続期間データを統計評価に用いていて、表の観測期間はこの値である。また、評価期間の途中に、一つある
いは二つ程度の「資料不足値」マークが入っているものについては、最大値評価では、その影響は無視できると判断して、そこにある値をそのまま用いている。

表１ 解析評価に用いた地点と年間最大降雨量（日・時間・10 分）の観測期間内平均値（表中の数値の単位は mm、（）内の数値は観測期間（年））8日本の降雨量極値データの統計的解析（改）Technical Report YK-021-rev
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３．長期的傾向
以下に提示するデータ及びその統計処理に誤りはないと確信するが、結果の解釈については、素人判断が入っていることを理解した上で見てほしい。また、長期的傾向の判断を
95%信頼区間に基づいて行うが、区間推定の理論は誤差（ばらつき）が正規分布するという条件の下で導かれている。本レポートで着目している年間最大値のばらつきは、この章で示すグンベル分布に従っていると推量され、正規分布とは少しずれている。故に、厳密な意味
での 95%信頼区間にはなっていないが、大きな差はないものと推量される。
３．１ 気温変化で見る地球温暖化問題
図４は、およそ 100 年間における(a)世界、(b)日本、(c)東京（大手町）での気温の年毎の変化とその回帰直線、および、95%信頼区間を示している。同図(a)には、地球全体の温暖化（0.73℃/100 年の上昇）が、(b)は日本（都市化による影響は比較的小さい 15 地点）における温暖化（1.21℃/100 年）が明らかに見えている。気温の上昇率が地球全体より日本の方が大きいのは、前者が陸上＋海上、後者が陸上のみと言う違いや地域性のためと考えられる。
東京の場合はさらに上昇率が大きい（3.2℃/100 年）が、これは、地球温暖化に加え、都市構造の変化によるヒートアイランド現象も加わっているためと説明されている[10]。ちなみに、東京（大手町にある東京管区気象台エリア）は都市化率（92.9%）、気温の上昇率ともに
日本の都市の中で最大であり、ヒートアイランド現象が最も強く現れているエリアになる。
このように、ここ 100 年のスケールで見ると、確実に地球温暖化は進んでいるが、では、降雨データで見るとどうであろうか？

(a) 世界全体（地上＋海上）の平均気温偏差（0.73℃/100 年）（数値データ：気象庁 https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/temp/an_wld.html）

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日本の降雨量極値データの統計的解析（改）

1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
1900

1920

1940

1960

1980

2000

2020

(b) 日本（都市化による影響は比較的小さい 15 地点）の平均気温偏差（1.21℃/100 年）（数値データ：気象庁 https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/temp/an_jpn.html）
18
17
16
15
14
13
12
1900

1950

2000

(c) 東京の平均気温（3.2℃/100 年）（数値データ：気象庁 [3]）図４ 年平均気温の変化（気温偏差の基準値は 1981~2010 の 30 年間平均値）とその回帰直線（青色）および 95%信頼区間（赤色の範囲）
３．２ 降雨極値データで見る地球温暖化問題
大雑把な意味で、降雨に対する地球温暖化の影響を見るために、日本（51 観測点での平均）での年間降水量の年変化を図５に示す。回帰直線は、若干の減少傾向を示しているが、信頼区間内には変化無の特性も含まれており、この特性からは、地球温暖化の影響は見えていないと言える。

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日本の降雨量極値データの統計的解析（改）

400
300
200
100
0
-100
-200
-300
-400
1900

1920

1940

1960

1980

2000

2020

図５ 日本（51 地点）の年間降水量偏差の年変化と回帰特性（数値データ：気象庁 https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/temp/an_jpn_r.html）
地球温暖化にヒートアイランド現象も重畳して気温の上昇が激しい大都市に着目し、東京と大阪での日・時間・10 分間降雨量の年間最大値の年変化を調べる。図６～８はこれをまとめている。回帰直線の傾向から、東京、大阪とも多少の年変化は見られるが、気温のような顕著なものではない。95%信頼区間内には、年変化無しの特性も含まれており、回帰直線が示す若干の年変化傾向を主張するには無理があるといえる。
東京と大阪のデータだけでは、日本全体の傾向を見逃してしまう恐れがある。そこで、表１に示した地点のうち、時間降水量が 70 年間観測できている 16 地点、日降水量が 90 年間観測できている 15 地点の、それぞれの年間最大値の平均値で正規化した降雨量（縦軸の値1 が各地点での最大値の平年値：正規化最大降雨量）を用いて、以下の評価を行った。その評価では、年毎の正規化最大降雨量について、評価地点の中の最大値を選び、この値の変化を見る。もし、近年、日本に異常気象が多発しているのであれば、この統計に見えてくるのではないかと思うからである。図９は、日降雨量と時間降雨量について、この結果を示している。大災害を引き起こす尺度になるであろう日降雨量については、有意な年変化は見られない。時間降雨量についても、回帰直線では、若干、増加傾向になっているが、信頼区間には、年特性無の推定も含まれていて、有意であると結論を出すのは尚早である。
上記以外の特性に着目すれば、地球温暖化の影響が何か現われるのかもしれないが、ここで示した約 100 年のデータからは、信頼区間の考えに立てば、その影響があるとは言えない、と言うのが現時点の答えになる。同様な見解が、気象庁の地球温暖化予測情報（第９巻）[1]の予測にも示されている。もちろん、冒頭ページの脚注に述べたように条件付の結論であり、より一般的な結論を導くためには、多面的な解析が必要であることは言うまでもない。
ただ、近年、「異常気象だ」とか、「バケツをひっくり返したような（あるいは滝のような）雨」、「ゲリラ豪雨」というような話を聞くことが多い。どうして、今回の統計には、見えてこないのだろうか。これについては、文献[11]に統計の見方に関する考察が述べられているが、５節で、それに触れたい。
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Y. Karasawa(a) 大阪(b) 東京図６ 大都市における日降雨量年間最大値の年変化（数値データ[3]）12日本の降雨量極値データの統計的解析（改）Technical Report YK-021-rev
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Y. Karasawa(a) 大阪(b) 東京図７ 大都市における時間降雨量年間最大値の年変化（数値データ[3]）13日本の降雨量極値データの統計的解析（改）Technical Report YK-021-rev
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Y. Karasawa(a) 大阪(b) 東京図８ 大都市における 10 分間降雨量年間最大値の年変化（数値データ[3]）14日本の降雨量極値データの統計的解析（改）Technical Report YK-021-rev
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Y. Karasawa(a) 1-day rainfall (90 years, 15 sites)(b) 1-hour rainfall (70 years, 16 sites)
図９ 日本各地の年間最大値のその最大値の年変化（縦軸の値は、各地点の年間最大値の平均値で正規化したもの）

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４．極値データの統計的性質：千年に一回の豪雨とは？
前節の評価において、対象とした降雨量の極値統計データに関する限り、有意な長期的傾向が見られなかった。そこで、これが定常状態としてさらに長く続くとした場合、その状態
での 100 年、200 年、1000 年に一度の大雨、すなわち、そのような期間で発生する最大値はどのくらいかを調べてみたい。現実には、100 年程度のデータしかないので、気象現象において独立とみなされる程度に離れた多数の点（目安としては 100km 程度以上の距離にある）のデータを集めてデータ量を増やし、最大値の特性を調べる。パラレルワールドのデータを集めて一点の長期間データとみなして、実際の測定期間を超える時間スケールでの最大値の特性評価を行ってみたい。
具体的には表１に挙げている 18 の地点のデータを用いる。地点毎に平均雨量が異なるので、その分布の特徴を調べることのみに絞って、各地域の年間最大値の平均値（表中に示している値）で正規化した量を統計評価に用いる。そして、N 年間での最大値の特性に着目する。ここで言う N 年間の N の意味は、１．２節で説明した極値統計学における n 個のデー
タの n とは別の意味になる。なぜなら、N =1 でもそれは既に１年間に得られたたくさんの降水量の（すなわち、n に相当する数の）最大値のその最大値であるからである。日降雨量
では n =365 個の中の、時間降雨量では 8,760 個の中の、10 分間降雨量では 52,560 個の中の最大値である。故に N は再現期間（recurrence interval）を年の単位で表したものになる。
着目する降雨量のデータが全部合わせて Ndata =2,000 であったとする（実際も大体このオーダ）。N=1 が平均値（今回データ処理では 1 に規格化）、N =100 では、Ndata/N =20 のグループに分けられる。グループ毎の最大値を求め、この 20 個の平均値を N =100 の値とする。このやりかたで、N を変えながら、そのグループの最大値の平均値を求めてゆく。Ndata が N で割り切れない場合には、割り切れるように Ndata を調整して行う。このやり方であるため、
N =Ndata /3 と N =Ndata /2 では、上位数個の値のグループ分けの偶然によって、N =Ndata /3 の
平均値のほうが N =Ndata /2 の平均値よりも大きくなることも稀に起きる。また、データの信頼性（＝安定した平均値が得られる）という意味では、N =Ndata >5 辺りまでであろう。
図１０は、日降雨量、時間降雨量、10 分間降雨量の正規化年間最大値（各地の年間最大値の平均値でそれぞれ正規化した降水量）のヒストグラムを示している。同図には、極値分布を与えるグンベル分布もあわせて示しているが、ヒストグラムに合うよう吸引係数 an, bnを調整している（ガンマ分布のパラメータ: ,  の値が分からないため）。観測値のヒスト
グラムの形は極値分布（グンベル分布）に非常によく合っており、以後の極値統計解析の妥
当性を示すものであると言える。

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日本の降雨量極値データの統計的解析（改）(a) 日降雨量(b) 時間降雨量

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Y. Karasawa日本の降雨量極値データの統計的解析（改）Technical Report YK-021-rev
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Y. Karasawa(c) 10 分間降雨量
図１０ 規格化年最大降雨量のヒストグラムと対応するグンベル分布（実線）
図１１は、年間最大値に対する再現年数 N を三つの正規化降雨量に対して示している。
横軸の N を 1000 年のスケーまで表していて、実効的な年数の意味である。一つの地点で見れば、1000 年に一回の大惨事も、気象的に独立な 20 地点を俯瞰してみれば、エリア全体としては、50 年に一回、どこかで起きる最悪値と読み替えることもできる。図より、３つの特性は、どれも、ガンマ分布形の性質である直線形状になっており、再現期間係数は以下に近似できる。

   log10 N  1
 0.510   0.659
 0.909(13)(10m-rainfall )(1h-rainfall )(1day-rainfall )10 年、100 年、1000 年に一回の大雨は、年間の最大値平均に比べて、10 分間降雨量では、
1.5, 2.0, 2.5 倍、時間降雨量では、1.7, 2.3, 3.0 倍、日降雨量では 1.9, 2.8, 3.7 倍である。東京の時間降雨量年最大の平均値は、42.06mm、10 年、100 年、1000 年に対しては、72mm, 97mm,

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126mm になる。日降雨量年最大の平均値は、119.2mm、10 年、100 年、1000 年に対しては、226mm, 334mm, 441mm になる。驚くべき数値かもしれないが、統計はそれを予想している。
最後に、当然ながら、地域ごとにばらつきや傾向があることを示したい。図１２は、表１の中の大都市５つを取り上げ、その地点に対する式(13)での推定と実際の再現期間特性を示している。それぞれの降雨量の違いによる傾向は維持されているものの、地点毎のデータ数は少ないこともあって結構なばらつきが見える。一般的な傾向として、比較的雨が弱い地域（例えば仙台）では、再現期間に対する倍率が大きめに、雨が強い地域（例えば福岡）では、
小さめになる傾向が見られる。このような地域依存性については、推定精度を上げるための更なる検討が必要である。

図１１ N 年間での最悪値推定（赤線は当該部分の対数回帰直線、点線部分はその外挿）

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Y. Karasawa(c) 10 分間降雨量
図１２ 平均再現期間特性に対する地域依存性（図の赤色点線は図１０の対数回帰直線）

５．ものの見方
この解析を通じて、降雨現象に限ってみれば、世間で言われているほどには、地球温暖化の影響は見えてこなかった。もちろん、ここで捕らえていなかったような降雨の統計値やばらつき量の変化などに着目すれば、また、別の答えが見えてくるかもしれない。ただ、10 分
間降水量の最大値には、いわゆるゲリラ豪雨といわれるバケツをひっくり返したような雨が現れるとイメージされたが、統計には見えてこなかった。時間降水量や日降水量最大値には河川氾濫や土砂災害を引き起こす異常気象が見えてくると思ったが、統計にはでてこなかった。一方、全てを一つの確率現象で捕らえる極値統計学の土俵には、極めて良く乗っていることが分かった。
後者の視点に立って、このまま、同じ確率分布に支配される世界が長く続いたらどうなるかと言う予想をしてみた。1000 年スケールでの数値を示したので、いくらなんでもそれは荒唐無稽と思われるかもしれないが、統計に基づく予測ではそうなる。
東京において、100 年に一回の日降水量の最大値を 334mm と推定した。この値をどう思うかである。生きている間には経験できるかどうかと言う値であるから、東京に住み続けている限り実際に出会うことはないかもしれない。しかし、パラレルワールドと言う考え方がある。一箇所に留まってそこだけを見ていれば、そういうことだろうけれども、例えば、広いエリア全体で 10 の独立な気象が現れていれば、そのエリアのどこかには 10 年に一回は現れるだろうということになる。筆者の子供の頃、1961 年 6 月末、地元の伊那谷に梅雨前
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線豪雨が襲い掛かり、死者が多数出る大災害があった。6 月 27 日の飯田測候所の記録では
日降雨量が 325mm とある。1983 年には、KDD 研究所のメンバーが衛星通信実験のために、島根県の浜田において降雨強度の観測を行っていた。その 7 月 23 日に山陰地方に大水害が起こり、日降水量が 331mm、時間降水量最大値が 91mm を記録した。この一回の集中豪雨
が、10 年間の統計値を 10%も押し上げてしまった[8]。このように、100 年スケールで起きるかどうかと予測した数値が、筆者の身近でも複数回起きている。
降雨に関しても、近年、真に異常気象が発生しているかもしれないし、それを否定するものではないが、「異常気象」だけが一人歩きしないように気をつけたい。筆者と同じような捕らえ方が、もちろん筆者以前に、文献[11]で述べられているので、是非、一読してほしい。
最後に、冒頭ページの脚注を繰り返したい。本レポートでは、日本の降雨の極値データを．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
統計的に解析したが、そこには、降雨に関して地球温暖化の影響（＝長期的な傾向）は見え．．．．．
きていない、と結論している。注意してほしいのは、この結論は、ここで扱ったデータや処．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
理方法の範囲でと言う条件付であり、日本の降雨には、地球温暖化の影響は現れていない、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
と言う一般的な結論を述べているわけではない 。一般的な結論を出すためにはより多面的な解析（例えば、発生回数のような視点）が必要であり、それは、次世代を担う皆さんに委
ねたい。
参考文献
[1] 唐沢好男, “回帰分析と信頼区間：ばらつきの大きい少数データから誤った推論をしないための,” Tech.
Rep. YK-019（私報）, 2019.01, http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/YK-019_Kukan_Suitei.pdf[2] 唐沢好男, “極値統計学へのいざない：想定外の出来事を想定外としないために,” Tech. Rep. YK-020（私報）, 2019.02., http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/YK-020_KyokuchiToukei.pdf[3] 気象庁, 過去の気象データ検索, 気象庁ホームページ, https://www.data.jma.go.jp/obd/stats/etrn/index.php[4] 気象庁, “地球温暖化予測情報 第９巻,” 2017.03, https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/GWP/Vol9/pdf/all.pdf[5] 高橋倫也, 志村隆彰, 極値統計学,

IMS シリーズ：進化する統計数理５, 近代科学社, 2016.

[6] 森田和夫, “降雨強度分布の考察,”研究実用化報告(NTT), vol. 26, no. 5, pp. 1469-1481, 1997.
[7] 細矢良雄, “日本各地の 1 分雨量分布の一推定法,” 信学論(B), vol. J71-B, no.2, pp. 256-262, 1988.
[8] Y. Karasawa and T. Matudo, “One-minute rain rate distributions in Japan based on AMeDAS one-hour rain ratedata,” IEEE Trans. on Geoscience and Remote Sensing, vol. 29, no. 6, pp. 890-898,1991.
[9] 小野健一、唐沢好男、"気象庁の１分間降水量データを用いた日本各地における 1 分間降雨強度特性と最適な近似分布モデルに関する考察," 信学論 B, vol. J89-B, no.3, pp.361-372, 2006.
[10] 気象庁, ヒートアイランド現象, 気象庁ホームページ
https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/himr_faq/index.html[11] 藤部文昭, 統計から見た気象の世界、気象ブックス 041、盛山堂書店, 2014.

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