第９回

常微分方程式の初等解法
理学部

齊藤国靖 ∗

2023 年 4 月 5 日
力学で学ぶ運動方程式をはじめ，物理学のあらゆる分野で微分方程式が登場する．微分方程式を解くことが物理学の問題を解くことに直結する場合も多い．そこで，第９回からは微分方程式の解説を始め，まずは基本的な常微分方程式の初等解法について説明する．

1 常微分方程式
1.1 微分方程式とは次の方程式

dy= aydx(1)を満たす関数 y(x) を考える．但し，a は定数とする．まず，y(x) = eax とすれば

dyd ax=(e ) = aeax = aydxdxとなり，式 (1) を満たしている．さらに，C を定数として y(x) = Ceax とすればdyd=(Ceax ) = Caeax = aydxdx
なので，これも式 (1) を満たしている．
式 (1) の様に，y(x) とその導関数 dy/dx から成る方程式を微分方程式といい，y(x) を求めることを微分方程式を解くという．式 (1) を満たす関数はいくつか考えられるが，y(x) = eax は Ceax
で C = 1 とした場合なので，y(x) = Ceax の方がより一般的である．この様に，任意定数（積分定数ともいう）C を含む解を一般解という．
任意定数 C を決めるには何か条件を付け加えればよい．例えば，x = 0 のとき y(0) = 10 であれば，C = 10 でなければならない．この様に，x:::::::::::::::::::::::::::::= 0 における関数値を与える条件を初期条件という．

∗ k.saitoh@cc.kyoto-su.ac.jp

1

1 常微分方程式

21.2 微分方程式の分類
速度に比例する抵抗力を受ける質点の運動方程式

md2 xdx= −kx − η2dtdt(2)も微分方程式であり，これを解けば質点の座標 x(t) が求まる．一般に，微分方程式はある関数 Fを用いて(Fdy d2 ydn yx, y,, 2,..., ndx dxdx)=0と書くことができる．微分方程式に含まれる導関数の最高階数 n をその微分方程式の階数という．
例えば，式 (1) の階数は 1 で，式 (2) の階数は 2 である．
微分方程式 (1) や (2) の解，y(x) や x(t) はいずれも 1 変数関数である．この様に，1 変数関数の微分方程式のことを常微分方程式と呼ぶ．また，式 (1) と (2) は階数も含めて 1 階常微分方程式，2 階常微分方程式と呼ぶこともある．なお，微分方程式が多変数関数 f (x, y) とその偏微分を含む場合，偏微分方程式と呼ぶが，本講義では扱わない．

1.3 一般解式 (1) の解として，y(x) = Ceax の様に任意定数 C を含むものを一般解と呼ぶ．一般解にいく
つの任意定数が含まれるかは微分方程式の階数によって決まり，一般に「微分方程式の一般解に含まれる任意定数の個数は微分方程式の階数に等しい．」
例えば，次の２階常微分方程式

d2 y=adx2(3)を考える．但し，a は定数とする．式 (3) を解くため，両辺を x で積分すると

dy= ax + c1dxとなる．ここで，c1 は積分定数である．これをさらに x で積分すると

y(x) =

a 2x + c1 x + c22(4)となり，式 (3) の解が得られる．但し，c2 は積分定数である．式 (4) は任意定数 c1 , c2 を含むので，式 (3) の一般解である．また，式 (4) に含まれる任意定数の個数は式 (3) の微分の階数に等しい．この様に，２階の微分方程式を解くため，x で２回積分した結果，２個の積分定数が得られ，一般解は自ずと２個の任意定数 c1 , c2 を含むのである．

2 変数分離型

31.4 演習2 階常微分方程式
d2 x= −ω 2 x
dt2(5)を解け．また，任意定数が 2 個あることを確認せよ．

2 変数分離型
これまでの例の様に，簡単な微分方程式であれば直感的に解けるかもしれないが，微分方程式が複雑になるとそうはいかない．そこで，微分方程式を解くための様々なテクニックがあり，まずは最も初等的な変数分離法を解説する．

2.1 一般的な手順
関数 y(x) に関する 1 階常微分方程式がdy= X(x)Y (y)dx(6)の形に書けるとき，これを変数分離型という．ここで，右辺は x の関数 X(x) と y の関数 Y (y) の積で与えられる．但し，y(x) は関数なので，Y (y) = Y (y(x)) は合成関数であることに注意しよう．式 (6) を解くため，まず両辺を Y (y) で割る．

1 dy= X(x)Y (y) dx
この両辺を x で積分すると∫1 dydx =Y (y) dx∫
X(x)dxとなるが，左辺は合成関数の積分∫を使って変形できる．よって，

1 dydx =Y (y) dx∫

1dy =Y (y)

∫

1dy
Y (y)

∫X(x)dx(7)となり，両辺の積分を実行すれば，微分方程式 (6) の解が求まる．

2.2 例題1 階常微分方程式
dy= −x(y − 1)dx(8)2 変数分離型

4を解く．但し，y > 1 とする．
右辺は X(x) = −x と Y (y) = y − 1 の積なので変数分離型である．両辺を y − 1 で割ると

1 dy= −xy − 1 dx
なので，x で積分して∫1 dydx = −y − 1 dx∫∫∴xdx

1dy = −y−1∫xdxとなる．y > 1 に注意して，両辺の積分を実行するとlog(y − 1) = −x2+c2となる．但し，c は積分定数である．よって，

y − 1 = e−x /2 ec∴ y = Ce−x /2 + 122(9)が微分方程式 (8) の解である．ここで，C ≡ ec は任意定数である．

2.3 形式的な手順
上述の変数分離法を少し違う方法で説明しよう．式 (6) を次のように書き換えたとする．

1dy = X(x)dx
Y (y)この書き換えは形式的なもので厳密には正しくないが，結果的に変数分離法と同じになる．上の式の左辺は y だけ，右辺は x だけで表されるため，変数を両辺に分離した形になっている．これが「変数分離法」という名前の由来である．両辺をそれぞれ積分すると∫1dy =Y (y)∫X(x)dxとなり，式 (7) と一致するのが解る．この様な方法で問題を解いても間違いではない．

2.4 演習(1)

1 階常微分方程式
dy= 1 − y2dx

(10)

dx
= a(1 − x)2dt(11)を解け．但し，y > 1 とする．

(2)

1 階常微分方程式を解け．但し，a は定数とし，初期条件を x(0) = 0 とする．

3 同次型

53 同次型
一見，変数分離型ではない微分方程式も，式変形や変数変換を行うことで変数分離型に帰着する場合がある．次に説明する同次型の微分方程式もその一つである．
まず，関数 y(x) に関する 1 階常微分方程式が，ある関数 f を用いて

(y)dy=fdxx(12)と書けるとき，これを同次型という．一般に，次数の等しい２つの同次式

p(x, y) = a0 xn + a1 xn−1 y + a2 xn−2 y 2 + · · · + an y nq(x, y) = b0 xn + b1 xn−1 y + b2 xn−2 y 2 + · · · + bn y nが与えられたとき，それらの分数は

p(x, y)a0 xn + a1 xn−1 y + a2 xn−2 y 2 + · · · + an y n=q(x, y)b0 xn + b1 xn−1 y + b2 xn−2 y 2 + · · · + bn y n( )2( )n( )a0 + a1 xy + a2 xy + · · · + an xy=( )( )2( )nb0 + b1 xy + b2 xy + · · · + bn xyと変形できるので，式 (12) の右辺の形となる．従って，dyp(x, y)=dxq(x, y)(13)も同次型の微分方程式である．

3.1 一般的な手順
式 (12) を解くために，新しい関数u≡yxを導入する．y(x) = xu(x) なので，dyddu=(xu) = u + xdx
dxdxである．従って，式 (12) はu+x∴du= f (u)dxdu
1= {f (u) − u}dxxとなり，u(x) に関する変数分離型の微分方程式になる．式 (6) を解いたのと同じ手順で解くと，

dxdu=f (u) − ux3 同次型6∫∴du=f (u) − uとなる．よって，左辺の積分を∫F (u) ≡∫dxxduf (u) − uと置くと，

F (u) = log |x| + cとなる．但し，c は積分定数である．従って，

x = ±CeF (y/x)(14)となり，C ≡ ec は任意定数である．式 (14) は x について解いた形であり，微分方程式 (12) の解y(x) については，ここからさらに解く必要があることに注意．

3.2 例題1 階常微分方程式
dyx+y=dxx−y(15)を解け．
式 (15) の右辺は２つの同次式，x + y と x − y の分数なので，同次型の微分方程式である．まず，

u=yxとして右辺を変形すると，

1+ux+y=x−y1−uとなる．一方，y = xu なので，式 (15) の左辺は

dy
du=u+xdxdxである．従って，式 (15) は

du1+uu+x=dx
1−udu1∴=dxx(1 + u21−u)となる．これを変数分離法で解くと，)
dx
1−udu =21+ux)∫ (∫1−udx∴
du =21+ux(となる．

(16)

3 同次型

7式 (16) の右辺の積分は∫dx= log |x| + cxである．但し，c は積分定数である．一方，式 (16) の左辺の積分は∫ (1−u1 + u2)∫

du−
1 + u2du =∫u
du
1 + u2(17)と分解できる．式 (17) の右辺の第１項は，u = tan θ と変数変換すれば∫du=
1 + u2∫dθ
12 cos2 θ
1 + tan θ∫dθ
= cos2 θ 2cos θ∫= dθ=θとなる．但し，積分定数は式 (16) の右辺の c に含めることにする．また，式 (17) の右辺の第２項
は，u2 = z と変数変換すれば∫udu =
1 + u2=

∫

1 dz
1+z 2

1log(1 + z)
2となる．ここでも，積分定数は c に含めることにする．
以上により，式 (16) は

θ−1log(1 + z) = log |x| + c2となる．z = u2 = y 2 /x2 を代入して整理すると，()
1y2
θ − log 1 + 2 = log |x| + c2x
{ ()}
1y22
∴θ−log 1 + 2 + log x = c2x∴θ−()
1log x2 + y 2 = c2となる．ここで，(x, y) を極座標 (r, θ) で表して{x = r cos θy = r sin θとすると，先程の変数変換

u=y= tan θx(18)3 同次型8は満たされている．x2 + y 2 = r 2 なので，式 (18) より

θ−1log r2 = c2

∴ log r = θ − c∴ r = Ceθ(19)となる．但し，C ≡ e−c は任意定数である．式 (19) は角度 θ とともに原点からの距離 r が大きくなる曲線を表しており，ベルヌイらせんと呼ばれる．つまり，式 (15) の微分方程式の解 y(x) はベルヌイらせんを直交座標 (x, y) で表したものになる．

3.3 演習1 階常微分方程式
dyx2 + y 2
=
dx2xy
を解け．

(20)