Debreceni Egyetem
Természettudományi Kar
Matematikai Intézet

Szakdolgozat

Pi formulák
készítette:

Szabó Mariann

témavezet®: Dr. Tengely Szabolcs

Debrecen, 2008.

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzéki

1. Bevezet®

3

1.1.

A Pi története . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.

Érdekessségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. Eredmények

13

2.1.

Az egységnyi átmér®j¶ kör kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.

Pi irracionális . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.1.

Bizonyítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3.

2.4.

2.5.
2.6.

2.7.

Buon t¶problémája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.1.

Bizonyítás (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.2.

Bizonyítás (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Az Euler-féle sor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4.1.

Bizonyítás (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4.2.

Bizonyítás (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Pi nem egyenl® 22/7-el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Wallis formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.6.1.

A Wallis formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.6.2.

Egy számsorozat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.6.3.

Egy geometriai értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Összegzés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Irodalomjegyzék

35
37

i

Köszönetnyilvánítás

Szeretném köszönetemet kifejezni Dr.

Tengely Szabolcsnak, hogy lehet®séget

nyújtott szakdolgozatom elkészítéséhez, valamint hogy szakmai tanácsaival mind
elméleti, mind gyakorlati téren segítette el®rehaladásomat.

Továbbá köszönetet mondok családomnak, akik a kezdetekt®l fogva családi és
anyagi hátteret biztosítottak számomra tanulmányaim sikeres befejezéséhez.

1

1. Bevezet®

A mindennapi életünk során nem telik el úgy nap, hogy ne találkoznánk körrel, kör
alakú tárggyal. Nem feltétlenül a matematika rejtelmeiben kell kutatnunk. Elégcsak egy egyszer¶ gy¶r¶re gondolnunk, vagy egy tányérra, a háromszög alakú kis
sajtokat rejt® dobozra, egy tortára, vagy említhetjük az órát is. Bizonyára nagyon sokan bámulták már nagyra nyílt szemekkel, csodálattal a pörgetty¶t, amit agyerekek ma is nagyon szeretnek. Szélesebb körben pedig gondoljunk a gömbre,életünk els® pöttyös labdájára, vagy a szerencsejáték sorsolásánál az urnára és aszámokat rejt® kis labdákra. Egyszer¶ kis tárgyak ezek, mégis mindegyikben ottrejlik valahol a π , ha egy kör kerületét, területét keressük. Az ezekhez szükséges
ismeretekkel az iskolában találkozunk el®ször. Akkor csodálkozunk rá el®ször aπ -re.
Bizonyára elgondolkodott már rajta élete során legalább egyszer minden ember,hogy vajon honnan jöhetett ez a szám, ez a jelölés.
Van valami különös varázsa ennek a különleges számnak. A titok talán éppen abban rejlik, hogy különleges, egyedi, és az ilyen tulajdonsággal felruházott dolgok
nagyon sok ember érdekl®dését felkeltik. Éppen emiatt esett a választásom errea témára.
Ismerkedjünk meg tehát ezzel a számmal közelebbr®l!

A pi egy konstans, egy természeti állandó, amely a bennünket körülvev® világ
fontos jellemz®je; π -vel jelöljük. Nagyon sok matematikai és zikai egyenlet elmaradhatatlan együtthatója. Egy valós szám, melyet egy d = 2r átmér®j¶ kör K
kerületének arányaként értelmezünk:

π=

K
K
= .
d
2r

A görög név, πριϕρια, (periféria=kerület) is erre utal. A Pi-t Arkhimédészi, vagy Ludolph-konstansnak (egy holland π - kutató, Ludolph von Ceulen után)is nevezik.

A π értéke ötven tizedesszámjegyig:

3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510 . . .
3

4

FEJEZET 1.

BEVEZET

Ez a pontosság elegend® a tudományos munkák során, de a tizedesjegyek száma végtelen.

A mai modern számítástechnikai eszközökkel, módszerekkel már

több mint egybillió tizedesjegyig kiszámították az értékét.

1.1. A Pi története
A Pi a kör kerületének kiszámításakor jelent meg, mint probléma. A Biblia két
hivatkozást is tartalmaz, mely π -nek három értéket ad. Meg kell említeni, hogy
mindkét eset majdnem biztosan zikai mérések eredményei.

Királyok I. könyve, 7.23: És csinála egy öntött tengert, melyek egyik szélét®l fogva a másik széléig tíz sing volt, köröskörül kerek, és öt sing magas, és a kerületit
harmincz sing zsinór érte vala körül.
Ugyanez megtalálható a II. Krónikákban (4.2). Ezek szerint:
A babyloniak egy becslése: 3 +1
8 = 3, 125.

30
π= K
d = 10 = 3.

Az egyiptomi Rhind papiruszon található egy képlet, ami ennek a problémának amegoldásával foglalkozik. Mindez i.e. 1650 körüli id®kben. A képletet alkalmazva
kapjuk a28= 3, 1605 . . . értéket, ami abban az id®ben rendkívüli pontosságnak
34

számított.
Nem kevesebb, mint 1500 év elteltével Arkhimédész (i.e. 287-212), akit az ókorlegnagyobb és a világ egyik legnagyobb matematikusaként tartanak számon, akör területének kiszámításakor a következ® határértékeket állapította meg a kör
kerülete és átmér®je közötti arányra:

1
3 10
71 < π < 3 7 vagy 3, 140 < π < 3, 142.
Az antik világ utolsó nagy matematika tudósának Apollóniosz Pergiosznak (i.
e. 262-205) állítólag sikerült megállapítania a π els® négy pontos tizedesét. Err®lazonban semmi biztosat nem tudunk, mivel sok m¶ve elveszett.
Mezopotámiában ugyanekkor lényegesen pontatlanabb közelít® értéket használtak, de szinte minden tudós különböz® közelítést talált, és alkalmazott.
Kínában a mértékegységek egységesítését rendelték el a Han-dinasztia idején.
Ekkor, a matematika történetében egyedülálló esetként, törvény szabta meg a
Pi értékét, ami 3, 1547 volt.
A hinduk, Ariabatha - az egyik legnagyobb indiai gondolkodó és csillagász - révén
a 3, 1416 közelít® értékkel számoltak 500 körül. Az értékét a perzsák 16 tizedesjegyig számították ki.

Az V. században Tsu Csung Chih, a híres csillagász, Ariabatha kortársa, megállapítja a π els® hat pontos tizedesét, és kimutatja, hogy ez a szám a 3,1415926 és a

1.1.

5

A PI TÖRTÉNETE

3,1415927 között van. Ugyancsak neki tulajdonítanak egy másik egész számokból
álló arányt is, amely hat tizedesig közelíti meg: π =

355
113 .

E nagyszer¶ felfedezések után azonban a kínai és az indiai matematika hanyatlásnak
indul. Ez a korszak egybeesik a rabszolgatartó-rendszer összeomlásával és a feudalizmus megjelenésével.

Egészen az V. századig nem írtak egyetlen olyan könyvet sem Európában, amelyben megemlítenék Arkhimédésznek a π -vel kapcsolatos valamelyik fölfedezését.
Az ókori görögök ismerték az egyiptomiak és a babiloniak eredményeit. Azokban
az id®kben azonban minden tudományos eredményt nagy titokban tartottak. Ennek abban is látjuk kárát, hogy nem maradt meg az utókor számára Apollóniosz
eredményeinek teljes egésze.

Nagyon sok év telt el, míg a probléma elérkezett Európába.

A középkor áta-lakulásainak századai megviselték a görög geometriát, már csak arab kéziratok®rizték. Amelyek aztán fokozatosan t¶ntek fel latin nyelvre fordítva Európában.
Az egyik ilyen arab kéziratban, melyet a három Banu Musa testvér, Muhhamed,
Ahmed és al Hasszan fordított, a kör kerületének és területének megállapításával kapcsolatban a π -nek a következ® értékeket tulajdonították:

π =√10 vagyπ = 227 .
Leonardo Fibonacci (11701250) 1220-ban írt Practica geometriae cím¶ m¶vében
megemlít egy régóta elfeledett igazságot, nevezetesen, hogy a π értéke nem egészen

1
pontosan 3 7 , hanem csak megközelít®leg annyi. Továbbá arra is rámutat, hogy377
a π értéke ugyancsak megközelít®leg a
120 aránnyal is kifejezhet®. Ez az érték
indiai eredet¶ és Ariakhatától származik; hogy Fibonacci megemlíti a könyvében,arra utal, hogy ismerte az indiai matematikusok m¶veit is.
Leonardo azonban megnevez egy harmadik közelít® értéket is:

π = 864
275 = 3, 1418
melyet minden valószín¶ség szerint maga Leonardo állapított meg. A könyv tartalmából egyértelm¶en látszik, hogy jól ismerte Arkhimédész azon eljárását, amellyel a körbe és a kör köré 96 oldalú sokszöget szerkesztett.
Számításai szerint a π értéke a következ® arányok közé esik:

1440
1448
< π < 4581
458 495
melyeknek 3,1418 a megközelít® értéke. Tehát Fibonacci pontosan állapította
meg a π els® három tizedesét.
Nagyszer¶ logikájával és matematikai ismereteivel Fibonacci messze felülmúlta
kortársait.

6

FEJEZET 1.

BEVEZETAzt a tudásszintet, amelyet Arkhimédész felfedezésével megteremtett, csak a
XVII. század matematikusainak sikerült fel¶lmúlniuk.
A XVII. - XVIII. században aztán óriási érdekl®désnek örvendett a matematikusok körében a π természetének megfejtése.

A XVII. század vége fel Adrian Anthonisz (15271607) pontosan meghatározta a π értékének els® hat tizedesét, π = 3, 1415929 . . . , amelyet a

355
113 aránnyal

fejez ki. Ezt az arányt a kínaiak már az V. században megállapították, az európaiak azonban ez idáig nem ismerték. Elképzelhet®, hogy egy misszionárius hozta
magával Kínából, de éppúgy lehetséges az is, hogy Európában újra felfedezték.
Azonban alig, hogy megállapították ezt az új értéket, a matematikusok szerint ez
a hat tizedesjegy túl kevés a π szám azonosításához.

1579-ben Francois Viéte (15401604) a π els® kilenc tizedesjegyét határozza meg.
Egy 393216 oldalú sokszögre alkalmazta Arkhimédész eljárását.
Nem telt el sok id® Viéte felfedezése után, Adrien van Roomen (1561-1615) egy

23 0 = 1073741824 oldalú sokszöget használva 15 pontos tizedesét állapította meg
a π -nek.
1562-ben Ludolph van Ceulen (15401610), aki nem volt hivatásos matematikus,
Arkhimédész módszerét egy 32 milliárd 512 millió oldalú sokszögre alkalmazva, πels® 20 pontos tizedesjegyét állapította meg. Azonban csak 1596-ban hozta
nyilvánosságra eredményét, holland nyelven írt De circulo cím¶ könyvében. Halála
után további 15 tizedesszámjegyet találtak kézirataiban.
Ludolph halálos ágyán meghagyta, hogy véssék sírkövére ezeket a számokat, ahogy
annak idején Arkhimédész síremlékére a hengerbe szerkesztett gömböt vésték.
Emlékét azzal tisztelték meg, hogy hosszú id®n keresztül Ludolph-féle számnak
nevezték a π -t.

1654-ben Huygens a De circuli magnitudine inventa cím¶ munkájában megmutatta, hogyan szerkeszthet®k olyan egyenes szakaszok, melyek elég jól megközelítik
a körívet. Egy hatszögre alkalmazva formuláit, π 9 tizedesjegyét állapította meg.
Viéte-nek ehhez a közelítéshez egy majdnem 400 ezer oldalú sokszögre volt szüksége.
John Wallis, Euler, James Gregory, Leibniz, T. F. Lagny, Newton végtelen szorzatok segítségével közlítették π értékét. A Newton által megállapított sor segítségével könnyen ki lehet számolni az els® 14 tizedesjegyet.
A XVIII. század elején felélénkült a π tizedesszámjegyei utáni hajsza.
Abraham Sharp (16511742) a

π
6 =

q

1
3

1
1 − 3·3+ 321·5 − 331·7 + · · ·



1.1.

7

A PI TÖRTÉNETE

sor tagjainak összegzésével a π 72 tizedesjegyét határozta meg. Nem sokkal kés®bb
John Machin csillagász 100 tizedesjegyig jutott. Utána Lagny már 148 tizedesig
számította ki π értékét. Ezután Euler talált egy újabb sort, amivel a Lagny által
megtalált tizedesszámjegyeket 80 óra alatt kiszámolta, és eközben felfedezte, hogy
Lagny tévedett a 113. számjegynél egy egységet.
A XIX. században is folytatódott az érdekl®dés a π tizedesjegyei után.

Perszehibák is akadtak b®ven a számításokban, de mindig akadt valaki, aki rátalált ahelyes irányra.
Vega 136 pontos tizedesjegyig jutott, William Rutherford 151, Z. Dase, a tehetséges hamburgi számoló, 200 tizedesjegyét mutatta ki. 1847-ben Thomas Clausen
248, míg 1853-ban Z. Dase 440 pontos tizedesjegyet számolt ki, de ebben az évben
a rekord mégis William Shanks (18121888) nevéhez f¶z®dik, aki 607 tizdesjegyig
jutott. 1853-ban már 707 tizedesszámjegyet határozott meg, de 1944-ben a szintén angol Ferguson rájött, hogy az 528. tizedest®l hibás a számítás.
1958-ban elektronikus számológépek segítségével a π -nek 10000 tizedesszámjegyétállípították meg. Az els® 3000 tizedesjegyet mindössze 10 perc alatt számították
ki.

Egy japán számítástechnikai tudós 2002-ben számítógéppel 1,24 billió (!)

jegy

pontossággal számolta ki a π értékét.

Már a XVIII. századtól tudjuk, hogy a Pi irracionális szám.

Els®ként 1767-

ben Johannes Heinrich Lambert (17281777) mutatta ki. Adrien Marie Legendre(17521833) 1794-ben megjelent Elements de géomtrie cím¶ munkájában egy újés pontosabb bizonyítást adott a π és π

2 irracionális voltára. Charles Hermite(18221901) 1873-ban közölt egy újabb bizonyítást. A XX. századi matematikusokat is foglalkoztatta ez a kérdés, íme néhány név:

Nagell 1951; Niven 1956;

Struik 1969; Königsberger 1990; Schröder 1993; Stevens 1999; Borwein és Bailey
2003.
Ferdinand Lindemann (18521939) fedezte föl a π transzcendens voltát 1882-ben.
Lindemann bizonyításának Klein 1955-ben egy egyszer¶sített, de mégis bonyolult
verzióját mutatta meg.

Ha a

π szám egy irracionális algebrai szám, akkor fel lehetne tételezni, hogy

létezhet olyan algebrai egyenletsorozat, amely lépésr®l lépésre való megoldás útján
vezessen el egy irracionális együtthatójú egyenlethez, és így adja meg egy körz®vel és vonalzóval való szerkesztés lehet®ségét is.

Csak 1844-ben mutatta ki Li-

ouville, hogy léteznek olyan irracionális számok is, amelyek egyetlen racionális
együtthatójú algebrai egyenletnek sem gyökei.

 adta meg az els® példákat

is egyes ilyenfajta nem algebrai számok szerkesztésére, amelyeket transzcendens
számoknak nevezett el.

Ennek a felfedezésnek az alapján a matematikusoknak

8

FEJEZET 1.

BEVEZET

lehet®ségük nyílt arra, hogy pontosabban fogalmazzák meg a π szám természetérevonatkozó kérdést: algebrai vagy transzcendens szám-e a π ? Az ókori görög probléma, a kör négyszögesítésének a lehetetlensége csak akkor bizonyított tény, ha ki
lehetne mutatni, hogy a π transzcendens szám, vagyis hogy a π nem lehet gyöke
egyetlen racionális együtthatójú algebrai egyenletnek sem.

Azt is tudjuk, hogy π nem Liouville-szám, melyet Mahler bizonyított be 1953ben.
Joseph Liouville (18091882) megmutatta, hogy több transzcendens szám az 1 +1
1
1
1
n + n2 + n3 + · · · + nn + alakban írható, ahol n > 1 valós szám.

π szimbólumot el®ször egy Welsh-i matematikus, William Jones használta
1706-ban a Synopsis palmariorun matheseos cím¶ munkájában. A π bet¶ állandó
A

használatáig különböz® jelöléseket alkalmaztak, például:

π c
σ, r.

Aztán 1734-t®lkezdve alkalmazta Euler, igaz nem következetesen. 1736-tól ezt a jelölést használta a Goldbach és Bernoulli testvérekhez írott leveleiben, majd 1784-ben, az Intro-

ductiv in analysis innitorum cím¶ könyvében. Azóta ezt a jelölést véglegesnek
tekintették, és így használja az összes matematikus.

1.2. Érdekessségek
Az 1988-ban Darren Aronofsky lmet forgatott a híres számról. A Pi cím¶ lm
egy sötét, különös és hiperkinetikus alkotás, mely egy matematikusról szól, akilassan elmebeteggé válik egy, az Értékt®zsdéhez való képlet keresése során. Egy
Hasidic nev¶ titkos szekta és egy Wall Street-i cég is elsajátítja az ® kutatását,és megpróbálják magukhoz csábítani ®t. Sajnos, a lm alapjában véve a valódi
matematikával egyáltalán nem foglalkozik.

314159,π els® 6 számjegye.

Ez a kombinációja Carl Sagan:

Kapcsolat cím¶regényében Ellie irodai széfjének. A regény végén olvashatunk egy kitalált példát aπ értékének nagyon-nagyon pontos kiszámítására. Itt az okos rádiócsillagász lány
keresi létezésünk, s®t világunk létezésének okait. A π kutatásával próbálkozik, ésigen meglep® eredményre jut, ami a regényb®l készült látványos lmb®l sajnos
kimaradt.

A

π eddig kiszámított egymás után következ® számjegyei között nem találtak

semmilyen ismétl®dési mintát, el®fordul azonban egy érdekes részlet: egyszer szerepel a 271828182845, ami az e természeti állandó.

A Willim Shanks által talált 707 tizedesszámjegyet megörökítették a párizsi Fel-

1.2.

9

ÉRDEKESSSÉGEK

fedezések Palotája egyik frízén.
Ugyancsak a párizsi Felfedezések Palotájában, a matematika osztályának egyik
ajtaja fölé van vésve Euler egyik híres relációja:

eix = cos x + i sin xiπ = −1 összefüggést kapjuk. Ami

A képletben, ha x felveszi a π értékét, az e

azért is különös, mert az e valós számot az iπ imaginárius hatványra emelve, a−1 valós számot kapjuk eredményül.
Leonardo da Vincit (14521519) is érdekelte a kör négyszögesítésének problémája.

Azonban m¶veltsége, vagy talán intiúciói arra késztették, hogy kételkedjena körz®vel és vonalzóval való megoldásban.

A m¶vész ismerte Arkhimédészneka kör mérésére vonatkozó munkáit is. Hátramaradt írásaiban a következ® megjegyzéssel találkozhatunk:A kör négyszögesítése  jó az elnevezés, de rossz amegfogalmazása. Az elnevezés azért jó, mert Arkhimédész szerint a kör területe
egy, a kör kerületéb®l és félátmér®jéb®l alkotott derékszög¶ háromszög területével
egyenl®; a megfogalmazás azonban helytelen, mert tulajdonképpen egy 96 oldalú
sokszög négyszögesítését állapítja meg, olyanét, amelyb®l hiányzik a 96 oldal által
levágott 96 szelet. Ez semmiképp sem nevezhet® a kör négyszögesítésének; nem
kevésbé igaz azonban, hogy lehetetlen ezt másképp csinálni.
D. E. Smith a következ®ket írta: Leonardo da Vincit jeles matematikusként em-

legetnék, ha másirányú kiválóságai nem homályosítanák el matematikusi hírnevét.

Akadtak szélhámosok is, akik nagy pénzeket akartak keresni a kör négyszögesítésével. Íme egy példa: két léh¶t® összeállt, engedélyt váltott ki és Négyszögesít®
Irodát nyitott.

Prospektusukban ezt írták:Mióta világ a világ, létezik egyösszemérhet® és állandó arány a kör és egy adott egyenesoldalú sokszög között.
Ez a pontos arány 9179
200 -zal egyenl®! Keresse föl rendeléseivel a Négyszögesít®

Irodát.

A henger térfogatának képlete egy matematikai vicchez vezet: Mekkora egy pizza

10

FEJEZET 1.

BEVEZET

térfogata, ha a vastagsága a és sugara z? A válasz: Pizza. Ez az eredmény 2.
pizza - tételként is ismert.

Március 14-e a pi napja, 1988 óta ünnepeljük.
van tehát pi perc, s®t másodperc is.

Tovább is bontható ez a nap,

Amit a további tizedesjegyek alapján ál-

lapíthatunk meg: 1 óra 59 perc és 26 másodperc. Erre a rendkívüli napra egyretöbb gyelem összpontosul. Ma már lehet a π szimbólummal ellátott ereklyéket
vásárolni, a pólón át a bögréig. S®t, még sokan tortával köszöntik e jeles napot,
méghozzá kör alakú tortával, amin akár egy szimbólum is szerepelhet.

Véletlenül éppen a március 14-i pi napon született a zseniális zikus, Albert Einstein.

Egy szoborral is megtisztelték ezt a különleges számot. Ez a szobor Seattle-ben,Washington államban található.

A Brüsszelben található Európai Unió szimbólumaként ismert gömbökben isott rejlik a pi szám. A gömbök egyenl® távolságra vannak egymástól, és mindegyik gömb azonos méret¶.

1.2.

11

ÉRDEKESSSÉGEKA mnemotechnikai verseknek egyik fajtáját az olyan versek (szövegek) képezik,
amelyek számneveket nem is tartalmaznak, hanem a szöveg minden egyes szavának a bet¶i száma adja a megjegyzésre szánt számsorozatot.

Ez utóbbi versekf®leg sokjegy¶ szám, illet®leg hosszú tizedes tört számjegyeinek megjegyzésére alkalmasak, amennyiben a számjegyek között nem szerepel nulla.
Minden id®k legjobb  a fenti kritériumoknak eleget tev®  magyar nyelv¶ piversét Szász Pál matematikus írta 1952-ben:

3

1

4 1

5

9

Nem a régi s durva közelítés,
2

6

5

3

5

Mi szótól szóig így kijön
89Bet¶iket számlálva.
7

93

Ludolph eredménye már,
2 3

8

4

6

Ha itt végezzük húsz jegyen.
2

6

4

3

3

8

De rendre kij® még tíz pontosan,
3

2

7

9

Azt is bízvást ígérhetem.
A matematikában sok végtelen tört van, de a pi mindenkit megbabonáz. Mert
elb¶völ®, hogy egy rendkívül bonyolult számban egy olyan végtelenül egyszer¶
fogalom rejlik, mint a kör.

2. Eredmények

2.1. Az egységnyi átmér®j¶ kör kerülete
Bevezetésként az egyik legismertebb formula bizonyítása következik.

Az r sugarú kör kerülete:

K = 2rπ(2.1.1)

Egy kör köré rajzolt egyenl®oldalú érint®sokszög, illetve a körbe rajzolt egyenl®oldalú húrsokszög kerülete a sokszög oldalszámának növelésével egyre közelebb
kerül a kör kerületéhez, de nem éri el azt.
A sokszög felbontható egyenl®szárú, egybevágó háromszögekre. Az érint®sokszög
módszerével fogjuk π -t kiszámítani.

Kkör = Ksokszög = n · a(2.1.2)Az ábrán egy egységnyi átmér®j¶ kört láthatunk, amely köré egy érint®sokszöget rajzoltunk.
Bármilyen n oldalszámú sokszöget választunk, az mindig egybevágó egyenl®szárú
13

14

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEK

háromszögekb®l áll; pontosan annyiból, ahány oldalú a sokszög.
A sokszög kerülete egyenl® az egyenl®szárú háromszögek a alapjainak összegével,ami látható az ábrából. Minél nagyobb a sokszög oldalainak száma annál jobban
megközelíti az összeg a kör kerületét.
Ha tudjuk, hogy a sokszögünk hány oldalú, akkor már csak azkell kiszámolnunk.

Majda hosszúságot

a-t az oldalak n számával beszorozva kapjuk a kör

kerületének közelít® értékét.
Az a hosszúságot az alábbi ábra alapján határozhatjuk meg:

tan

a
α
szemközti oldal
a 1
a 2
=
= 21 = ÷ = · = a2melletti oldal
2 2
2 1
2

A kör köré rajzolt érint®sokszögnek az egyik háromszögéb®l indulunk ki. Az
ábrából kit¶nik, hogy az egyenl®szárú háromszög alaphoz tartozó magassága pontosan a kör sugara, azaz

1
2 . Ez a magasságvonal a háromszög szimmetriatengelyeis.
Számításainkat a háromszög szimmetriatengelyét®l jobbra es® derékszög¶ háromszögön végezzük el.
Az ábrán a derékszög¶ háromszög hosszabbik befogója ismert, 1/2. A háromszög

α szögét a következ®képpen számíthatjuk ki: a kör teljes, 360◦ -os szöge egyenl®
◦arányban oszlik meg a sokszöget alkotó háromszögek között. Azaz α = 360 /n,ahol n a sokszög oldalainak száma.
Az a értékét a derékszög¶ háromszögekre vonatkozó függvények segítségével kaphatjuk meg:

2.1.

AZ EGYSÉGNYI ÁTMÉRJ KÖR KERÜLETE

tan

tan

α
2

=

a
2
1
2

a
2
1
2

=

a 1
a 2
÷ = · =a
2 2
2 1

α
2

15

= a

α értékét behelyettesítve:a = tan360◦ /n.
2

Egyszer¶sítés után:a = tan180◦.
nEz alapján számíthatjuk ki az érint®sokszög egyik oldalának hosszát, aminek
felhasználásával a kör kerülete:

Kkör = n · a

180◦
n
π
= n · tann

Kkör = n · tan
Kkör

Bármilyen nagy oldalszámot is választunk, az érint®sökszög kerülete mindig
valamivel nagyobb, mint a köré.

⊗

16

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEK

2.2. Pi irracionális
Ezt már az ókor legnagyobb gondolkodója, Arisztotelész (i.e. 384322) is sejtette,amikor a kör sugaráról és kerületér®l azt állította, hogy nem összemérhet®k. Bár
nem volt matematikus, nagyon érdekelte ez a tudományág, amelyre számos utalás
esik m¶veiben.
Az els® bizonyítást erre az alapvet® tulajdonságra Johannes Heinrich Lambertadta 1766-ban.

Az alábbi bizonyítás 1947-b®l, Ivan Nivent®l származik. Rendkívül elegáns egyoldalalas bizonyítás, mely csak elemi analízist használ.

Iwamoto és Koksma is megmutatta, hogy:• π 2 irracionális (ez er®sebb állítás)• er irracinonális minden r 6= 0 racionális számra.
Niven módszerének gyökerei és el®zményei egészen 1873-ig, Charles Hermite
klasszikus cikkéig nyúlnak vissza, melyben el®ször mutatta meg, hogy e transzcendens, vagyis hogy e semmilyen racionális együtthatós polinomnak nem gyöke.

e := 1 +Mivel π

1 1 1
1
+ + +
+ · · · = 2, 718281828 . . .
1 2 6 24

(2.2.1)

2 irracionális volta er®sebb állítás, ezért az alábbiakban ezt az állítást bi-

zonyítjuk.

2.2.1. Tétel.

π 2 irracionális.

2.2.1. Bizonyítás
Tegyük fel, hogy π

2 = a
b

a, b > 0 egészekre. Most az

F (x) := bn (π 2n f (x) − π 2n−2 f (2) (x) + π 2n−4 f (n) (x)I . . . )(2.2.2)polinomot fogjuk használni, mely kielégíti az

F 00 (x) := −π 2 F (x) + bnπ 2n+2 f (x)azonosságot.
2.2.1. Lemma. Valamely rögzített n ≥ 1-re legyennf (x) = x (1−x)
n!

n(2.2.3)

2.3.

17

BUFFON TPROBLÉMÁJA

1(i) Az f (x) függvény f (x) = n!

P2nii=n ci x alakú polinom, ahol a ci együtthatók

egészek.
(ii)

1
0 < x < 1-re és 0 < f (x) < n!
teljesül.

(iii) Az f(k) (0) és az f (k) (1) minden k ≥ 0-ra egészek.

Bizonyítás:Az (i) és (ii) nyilvánvaló.

Az (iii)-hez vegyük észre, hogy az

f (k) k -adik de-rivált x = 0-ban elt¶nik, hacsaknem n ≤ k ≤ 2n, ebben a tartományban viszontk!
f (k) (0) = n!
ck egész. Másrészt f (x) = f (1 − x)-b®l f (k) (x) = (−1)k f (k) (1 − x)(k) (1) = f (k) (0), tehát szintén egész.
minden x-re, ezért f

A lemma (iii) állítása miatt F (0) és F (1) egészek. Elemi deriválási szabályok
alapján

=d  0F (x) sin πx − πF (x) cos πx =dxF 00 (x) + π 2 F (x) sin πx =(2.2.4)= bn π 2n+2 f (x) sin πx == π 2 an f (x) sin πx(2.2.5)Így ezt kaptuk:

1
1 0
N: =
F (x) sin πx − F (x) cos πx =a f (x) sin πxdx =π00= F (0) + F (1)(2.2.6)Z 1

ami egész.

nTovábbá N pozitív, hiszen egy (a határokat leszámítva) pozitív

függvény integráljaként deniáltuk. Ha azonban n-et olyan nagynak választjuk,
hogy

πan
n! < 1 legyen, a Lemma (ii) állításából

R1n
0 < N < π 0 an f (x) sin πxdx < πan! < 1-et kapunk, ami ellentmondás.
⊗

2.3. Buon t¶problémája
Egy francia nemes, Georges Louis Leclerc, Buon grófja (1707-1788) 1777-ben az
alábbi problémát vetette fel:

18

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEKHa leejtünk egy t¶t egy vonalas lapra, mi a valószín¶sége annak, hogy a t¶ keresztezni fog egy vonalat?

A valószín¶ség a lap vonalainak d távolságától és a t¶ l hosszától függ, vagyis
inkább az l/d aránytól. A rövid t¶ számunkra l ≤ d hosszt fog jelenteni. Másszóval, rövid t¶ az, ami nem metsz több vonalat egyszerre (két vonalat nulla valószín¶séggel érint). A válasz Buon kérdésére talán meglep®: π -vel van összefüggésben.

2.3.1. Tétel. (Buon t¶problémája):Ha egy rövid,l hosszúságú t¶t leejtünk egy egyenl®, d ≥ l távolságú közökkel

vonalazott papírlapra, akkor annak a valószín¶sége, hogy a t¶ keresztezni fogja
valamelyik vonalat, pontosan:

p=

2 l
·
π d

(2.3.1)

2.3.1. Bizonyítás (1)Ebb®l az eredményb®l közelít® értéket kaphatunk π -re. Ugyanis, ha egy t¶t Nszer ejtünk le, és a t¶ P esetben metsz vonalat, akkorP
2 l
N megközelít®leg π · d -velegyenl®, ebb®l

π≈

2l N
· .
d P

A legalaposabb vizsgálatot Lazzarini végezte 1901-ben.
Ha tetsz®leges hosszúságú t¶t (hosszút vagy rövidet) ejtünk le, a metszéspontok
számának várható értéke:

E = p 1 + p 2 + p3 + . . . ,
ahol

2.3.

BUFFON TPROBLÉMÁJA

19• p1 annak a valószín¶sége, hogy a t¶ pontosan egy vonalat fog metszeni,• p2 az a valószín¶ség, melyet pontosan 2 metszéspont esetén kapunk,• p3 a három metszéspont valószín¶sége, stb.
Annak a valószín¶sége, hogy legalább egy metszéspont lesz (ezt kérdezi a Buffon probléma):p = p 1 + p2 + p3 + . . .
Megjegyzés. Azoknak az eseményeknek a valószín¶sége, amikor a t¶ pontosan avonalon fekszik, vagy egyik végpontja esik valamelyik vonalra: nulla. Ezért ezeket
az eseteket elhanyagolhatjuk a probléma tárgyalásakor.
Másrészt annak a valószín¶sége, hogy a t¶ egynél több vonalat metsz, ha rövid:nulla, p2 = p3 = . . . = 0, így E = p-t kapunk, vagyis a keresett valószín¶ség éppen a keresztezések várható értéke. Ez az átfogalmazás nagyon hasznos, hiszenkihasználhatjuk a várható érték linearitását.
Egy l hosszúságú egyenes t¶ leejtésekor keletkezett metszéspontok várható száma
legyen E(l). Ha ez a hossz:

l = x + y , és a hossz x els®, illetve y második részét

külön vizsgáljuk,akkor az

E(x + y) = E(x) + E(y)eredményt kapjuk. Hiszen mindig az els® és a második rész összege lesz a keletkezett metszéspontok száma.

A függvényegyenletb®l, n szerinti indukcióval E(nx) = n · E(x)-et kapunk mindenn ∈ N -re, és ekkor

mE

n 
 n 
x = E m x = E(nx) = nE(x),mmvagyis minden r ∈ Q racionális számra E(rx) = rE(x) teljesül. Továbbá E(x)monoton, ha r ≥ 0, amib®l

20

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEK

E(x) = c · x-et kapunk minden x ≥ 0-ra, ahol c = E(1) valamilyen konstans.
Ezen konstans meghatározásához más alakú t¶ket használunk. Ha leejtünk egy
egyenes darabokból álló töröttvonal t¶t, melynek teljes hossza l , akkor a keletkezett metszéspontok száma (1 valószín¶séggel) az egyenes darabok metszéspontjainak összege.

Azaz a metszéspontok várható számának ugyancsak az E = c · l értéket kaptuk avárható érték linearitása miatt.

Megjegyzés. Itt nem számít, hogy az egyenes darabok rugalmasan vagy merevencsatlakoznak.

Barbier megoldásának kulcsa az, hogy egy tökéletes d átmér®j¶, x = d · π hosszúságú, kör alakú t¶t vett.

Ha egy vonalas papírlapra ilyen t¶t ejtünk, akkor az

minden alkalommal pontosan két metszéspontot eredményez.

A kört sokszögekkel lehet közelíteni. Így a kör alakú C t¶vel a lapra ejtünk egy

Pn beírt és egy P n köréírt sokszöget is. Minden vonal, amely metszi Pn -et, C-t isnmetszeni fogja, és minden C-t metsz® vonal P -et is metszi majd. Azaz a metszéspontok várható száma az

E(Pn ) < E(C) < E(P n )egynel®tlenséget kielégíti. Mivel Pn és P

n is sokszögek, így mindkét esetben

a metszéspontok száma "c-szer a hossz"', míg C-re ez az érték 2, tehát

2.3.

21

BUFFON TPROBLÉMÁJA

cl(Pn ) < 2 < cl(P n )(2.3.2)Pn és P n is közelíti C-t, ha n → ∞. Speciálisan
lim l(Pn ) = dπ = lim l(P n )

n→∞

n→∞

(2.3.3)és így n → ∞-re (2.3.2)-b®l

cdπ ≤ 2 ≤ cdπ
következik, ami c =2 1
π · d -t ad.

⊗
2.3.2. Bizonyítás (2)Bizonyítás analízissel!
A t¶probléma egy (egyszer¶) integrál kiszámításával megoldható. Ehhez el®ször
a t¶ meredekségét vizsgáljuk. Tegyük fel, hogy amikor leesik, α szöget zár be avízszintessel, ahol 0 ≤ α ≤π
2.

Megjegyzés. Elhanyagolhatjuk azt az esetet, amikor a t¶ negatív szöget zár be avízszintessel. Ugyanis ez a pozitív esettel szimmetrikus, így ugyanazt a valószín¶séget adja.
Az α szögben fekv® t¶ hossza l sin α, és annak a valószín¶sége, hogy egy ilyent¶ az egymástól d távolságban elhelyezked® vízszintes vonalak valamelyikét metszi:

22

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEKl sin α.
dTehát a valószín¶séget a lehetséges szögek szerinti átlagolással kapjuk:

p =
=

2
π

Z π/2
0

l sin α
2
dα =
R π/2
l
d
π·
sin αdα
d

0

2 l
2 l
π/2
· [− cos α]0 = · · (0 − (−1))π dπ dHosszú t¶re is ugyanezt az

0 ≤ α ≤ arcsin dl .

(2.3.4)l sin αvalószín¶séget kapjuk, ha l sin α ≤ d, vagyisdA t¶ nagyobb α szögekre azonban egy vonalat mindenképpen metsz, tehát avalószín¶ség 1. Így l ≥ d-re

2.4.

23

AZ EULER-FÉLE SOR

p =
p =

2
π

Z arcsin(d/l)

2
π

l
d

0

l sin α+d

Z arcsin(d/l)
0

!

Z π/2
1dα
!

π/2
sin α + [α]0lπdarcsin(d/l)
p =[− cos α]0+ − arcsin
d
2
l
!
!
r
2
2 l
d
π
d
p =
1 − 1 − 2 + − arcsin
π d
l
2
l
!
!
r
2 l
d2
d
p = 1+
1 − 1 − 2 − arcsin
π d
l
l
2
π

(2.3.5)arcsin(d/l)

(2.3.6)⊗l = d-re a formula π2 -t ad, l -ben szigorúan n®, valamint 1-hez tart, ha l → ∞:√
2(1 − 1 − 1) − arcsin 1
π2
p = 1 + (1 − arcsin| {z 1})ππp = 1+

222 π
p = 1+ − ·π |π {z 2}
1

p =

2
π

Ma már nagyon sok weblapot találunk, amelyek matematikával foglalkoznak.
Az egyik ilyen lapon∗ tesztet is futtathatunk arra vonatkozólag, hogy a Buont¶probléma valóban a pi közelít® értékét adja eredményül.

2.4. Az Euler-féle sor
Tudjuk, hogy a

P
1
1p∈P p sor is.
n≥1 n sor divergens, s®t még aP

Viszont a négyzetek reciprokösszege konvergens, és érdekes határértéket ad.

2.4.1. Tétel. (Euler sor):

X 1
n≥1
∗

n

=
2

π2
6

http://www.angelre.com/wa/hurben/bu.html(2.4.1)

24

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEK

Ez az állítás Euler egy kalsszikus, híres és fontos tétele 1734-b®l. Egyik rendkívül fontos következménye, hogy a Riemann-féle zéta függvény els® nemtriviálisértékét, ζ(2)-t adja meg. Ez az érték irracionális.
Az eredményen kívül a bizonyítások sokszín¶sége is rendkívül érdekes színfoltja amatematikatörténetnek.

2.4.1. Bizonyítás (1)William J. LeVeque számelmélet feladatgy¶jteményében jelent meg feladatként azels® bizonyítás, 1956-ban. Majd kés®bb Tom Apostol újra felfedezte. A bizonyításaz

Z 1Z 1
I :=
0

0

1
dxdy
1 − xykett®s integrál kétféle kiszámításán alapul.

Az els®höz az1
1−xy -t mértani sorrá

fejtjük, szorzatokra bontjuk az összeadandókat, majd integrálunk:I :=Z 1Z 1X
0

=

=

X
n≥0

xn dx

 Z 10Xn≥0(xy) dxdy =0 n≥0

X Z 1n≥0=n

XZ 1Z 1
n≥0 0

0



X

y n dy

=

0

1
n+1

 
−0 ·

xn y n dxdy

n≥0

1 
1
1
1
xn+1 ·
y n+1
n+1
n+1
0
0

 X
1
1
1
−0 =
·
n+1
n+1 n+1
n≥0

X 1
1
=
= ζ(2).
(n + 1)2n2
n≥1

A számítás azt is megmutatja, hogy a (pozitív függvényen vett, x = y = 1
pólusú) kett®s integrál véges. Meggyelhetjük, hogy az el®bbi levezetés visszafelé
olvasva is egyszer¶.
vezet.

ζ(2) kiértékelése tehát az I kett®s integrál kiértékeléséhez

2.4.

25

AZ EULER-FÉLE SOR

I másik kiszámításához megváltoztatjuk a koordinátákat. Az új kooordinátákataz

y−x
u := y+x
2 és a v := 2kifejezések adják.
Az eredeti integrálási tartományból úgy kapjuk az újat, hogy az eredeti ko-◦

ordinátarendszert 45 -kal elforgatjuk, majdaz új integrálási tartomány egy

√
1

2

√

2-ed részére kicsinyítjük. Így tehát

2 oldalú négyzet.

Behelyettesítve x = u − v -t és y = u + v -t

1 − xy =1
1 − u2 + v 2

adódik.
Az integrál átalakításához

dxdy -t 2dudv -vel helyettesítjük hogy a koordináta-transzformáció miatti területfelez®dést kompenzáljuk (a transzformáció Jacobi
determinánsa 2, amire azért van szükség, mert helyettesítéses integrálást alkalmaztunk). Az u tengelyre nézve az új integrálási tartomány és az integrálandó
függvény szimmetrikusak, ezért a tartomány fels® felében kétszer kell kiszámítani
az integrált, melyet két részre vágunk.

26

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEK

Z 1/2 Z u
Z 1 Z 1−u
dv
dv
4
−
du + 4du.
1 − u2 + v 2
1 − u2 + v 2
0
0
1/2
0
R dx
= a1 arctan xa + C :Felhasználva, hogy
a2 +x2

u

1−u
Z 1 
1
dv
1
dv
√
√
I := 4arctan √+4arctan √1 − u2
1 − u2 0
1 − u2
1 − u2 0
0
1/2




Z 1/2
Z 1
1
u
1
1−u
√
√
= 4
arctan √du + 4arctan √du
1 − u2
1 − u2
1 − u2
1 − u20
1/2
Z 1/2 a kapott érték.

Az integrálok meghatározásához közvetlenül kiszámítjuk, hogy ag(u) := arctan



√ u
1−u2



0

függvény deriváltja g (u) = √

1
,
1−u2

míg a

h(u) = arctan



√1−u
1−u2



= arctan

q

1−u
1+u



0

deriváltja h (u) = −1√ 1
2 1−u2 .

Tehát használhatjuk a következ® formulát:

Z b

f 0 (x) = f (x)dx =

a



b
1
1
f (x)2 = f (b)2 · f (a)222aés így

Z 1/2
I = 4

g 0 (u)g(u)du + 40

Z 1−2h0 (u)h(u)du

1/2


1/2

1
= 2 g(u)2 0 − 4 h(u)2 1/2
 2
 2
1
1
2
2
= 2g
− 2g(0) − 4h(1) + 4h22
 π 2 π 2 π 2 π= 2−0−0+4
=6
=
6
6
6
6
⊗
Az Euler sor értékét ebb®l a bizonyításból egy egyszer¶ koordináta-transzformációval, integrálással kaptuk. Hasonló jelleg¶ bizonyítást kés®bb Beukers, Calabi és Kolk talált, melyben egy triviálisnak egyáltalán nem nevezhet® koordinátatranszformációt használtak. Bizonyításuk kiindulópontja az, hogy páros és páratlan tagokra bontották fel a1n≥1 n2 sort.

P

27

2.4.

AZ EULER-FÉLE SOR

Az

P
1
1
1
+ 412 + 612 + · · · = k≥1 (2k)2 páros tagok összege 4 ζ(2), tehát a párat22

lan tagok:

P
1
1+ 312 + 512 + · · · = k≥1 (2k+1)
2 a teljes ζ(2) érték 3/4-ét teszik ki.
12
Tehát az Euler sor a páratlan tagokra vonatkozó egyenl®séggel ekvivalens:

X
k≥0

π2
1
=
(2k + 1)28

2.4.2. Bizonyítás (2)Az els® bizonyításhoz hasonlóan az összeget egy kett®s integrállal fejezzük ki,
mégpedig

Z 1Z 1
J

=
0

0

X
1
1
dxdy
=
1 − x2 y 2(2k + 1)2

(2.4.2)k≥0

A J integrált kell kiszámolunk. Beukers, Calabi és Kolk javaslata alapján abevezetett új koordináták:s

1 − x2
1 − x2 y 2s

1 − y2
1 − x2 y 2

u := arccos

v := arccos

Nem vesszük gyelembe a kett®s integrál kiszámításakor az integrálási tartomány
határát, 0 < x < 1, illetve 0 < y < 1 tartományban vizsgáljuk x-et és y -t. Ekkor
az u és v az u > 0, v > 0, u + v < π/2 háromszögben fekszik.
A koordináta-transzformácó explicit inverze a következ® helyettesítésre vezet:

sin u
sin v
x = cosv és y = cos u .

28

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEK

Ez a képlet bijektív transzformációt ad meg az S = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} egységnégyzet belseje és a T = {(u, v) : u, v ≥ 0, u + v ≤ π/2} háromszög belseje között.
A koordináta-transzformáció Jacobi determinánsa ezután

det

cos u
cosv
sin u sin v
cos2 usin u sin v
cos2 v
cos v
cos u

!
=1−

sin2 u sin2 v= 1 − x2 y 2 .
cos2 u cos2 v

Ez azt jelenti, hogy a kiszámítandó integrál

Z π/2 Z π/2−u
J

=

1dudv
0

(2.4.3)0

alakba írható, amely egyenl® a T háromszög

1
2


2
π 2
= π8 terülétével.
2⊗
Ugyanez a bizonyítási módszer alkalmazható ζ(2k) 2k -dimenziós integrálokkal
történ® kiszámítására is minden k ≥ 1-re.

2.5. Pi nem egyenl® 22/7-el
A 22/7 egy racionális szám, mely széleskörben használt közelít® értéke π -nek.
A közelítés az ókor óta ismert. El®ször Arkhimédész bizonyította, a Measurementof a Circle cím¶ m¶vében egy 6 ∗ 2

n szöget egy körbe írva és a kör köré rajzolva,

meghatározta az els® szigorú megközelítést arra vonatkozóan, hogy a 22/7 fels®
becslés.

Az

n = 4 -re a következ®t kapta a kör kerülete és átmér®je közötti

arányra:3+

101<π <3+
71
7

2.5.

29

PI NEM EGYENL 22/7-EL

Fibonacci a Practica geomatriae cím¶ könyvében rámutat arra, hogy a π értéke
nem pontosan

3 71 , hanem csak közelít® értéke.

Fibonacci ismerte Arkhimédész

eljárását, ami nemcsak ebb®l a m¶véb®l, hanem egyéb munkáiból is megállapítható.
Akkoriban még nem sokat lehetett tudni a π -r®l, és nagyon sok matematikus szerint ez az arány a pi pontos értéke.

A XIV. században Dominicus Parisiensis

a Practica geometriae cím¶ m¶vében hangsúlyozza, hogy a 3

1
7 a kör kerülete ésátmér®je közötti aránynak csak megközelít® értéke.
Egy lényegretör®, modern bizonyítás következik arról, hogy a22
7 > π , mely csupánalapvet® matematikai módszereket igényel. A cél nem els®sorban az, hogy meggy®zzem az olvasót arról, hogy ez az állítás valóban igaz; létezik szisztematikus
eljárás π értékének kiszámítására.

Az alapötlet

Z 1 4
22
x (1 − x)4
π =
−
dx
7
1 + x20
Z 1 4
x (1 − x)4
22
0 <
dx =
−x
2
1
+
x
7
0

Ebb®l következik, hogy

(2.5.1)22
7 > π.

Részletesebben:

Az a tény, hogy az integrál pozitív, abból az állításból következik, hogy pozi-tív függyvény integrálja is pozitív. Jelen esetben az integrálandó függvényünk egy
tört, a számláló és a nevez® is nemnegatív. Nemnegatív valós számok hatványának össszege vagy szorzata szintén nemnegatív.
Mivel az integrálandó függvényünk tehát pozitív, az integrál 0 és 1 között pozitív,
mert az integrálás alsó határa kisebb mint az integrál fels® határa (0 < 1).
Megmutatjuk, hogy az integrál valóban eleget tesz a kívánt feltételnek:

A számlálóban felbontjuk a zárójelet, majd az azonos tagokat összevonjuk. Ezutána számlálót b®vítjük. Úgy rendezzük a számlálóban lév® kifejezést, hogy kiemelést
tudjunk alkalmazni, és így a nevez®ben lév® kifejezéssel azonos értékeket is kapjunk,hogy aztán egyszer¶síthessünk azokkal.

30

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEK

Z 1

0 <
0 <
0 <
0 <
0 <
0 <
0 <
0 <
0 <

x4 (1 − x)4dx(2.5.2)
1 + x20
Z 1 4
x (1 − 2x + x2 )(1 − 2x + x2 )dx
1 + x20
Z 1 4
x (1 − 2x + x2 − 2x + 4x2 − 2x3 + x2 − 2x3 + x4 )dx
1 + x20
Z 1 4
x (1 − 4x + 6x2 − 4x3 + x4 )dx
1 + x20
Z 1 4
x − 4x5 + 6x6 − 4x7 + x8
dx
1 + x20
Z 1−4x4 + (4x4 + x4 + 5x6 ) + (x6 + x8 ) + (−4x5 − 4x7 )dx
1 + x20
Z 1−4x4 + (5x4 + 5x6 ) + (x6 + x8 ) + (−4x5 − 4x7 )dx
1 + x20
Z 1−4x4 + 5x4 (1 + x2 ) + x6 (1 + x2 ) − 4x5 (1 + x2 )dx
1 + x2
0

Z 1
−4x4
5x4 (1 + x2 ) x6 (1 + x2 ) −4x5 (1 + x2 )+++dx
1 + x2
1 + x2
1 + x2
1 + x20

A következ® egyenlet alkalmazható a számlálóban, ezzel az integrál értékén
nem változtatunk.

−4x4 = −4x4 − 4x2 + 4x2 + 4 − 4A lehetséges egyszer¶sítéseket végrehajtjuk, majd elvégezzük az integrálást.

Z 1

0 <
0 <
0 <
0 <


(−4x4 − 4x2 ) + (4x2 + 4) − 4465+ 5x + x − 4x dx
1 + x20

Z 1
−4x2 (1 + x2 ) 4(1 + x2 )
4
4
6
5
+
−
+ 5x + x − 4x dx
1 + x2
1 + x2
1 + x20Z 1
4x6 − 4x5 + 5x4 − 4x2 + 4 −dx
1 + x20
1
4x6 − 4x5 + 5x4 − 4x2 + 4 −1 + x2 0

1x7 2x6
4x3−+ x5 −+ 4x − 4 arctan x(2.5.3)7330Behelyettesítjük x helyére 1-et (arctan(1) = π/4) és 0-t, majd kivonjuk ®ket0 <egymásból.

2.6.

31

WALLIS FORMULA

Így a következ® eredményhez jutunk:

0 <
0 <
0 <
0 <
π <
π 6=

1 2
4
− +1− +4−π
7 3
3
1
+3−π
7
1 21
+
−π
7
7
22
−π
7
22
7
22
7

(2.5.4)(2.5.5)

Tehát valóban 22/7 > π .

⊗Az integrál becslése els® ízben 1968-ban jelent meg feladatként a Putnam
versenyen.

D. P. Dalzell 1944-ben mutatta meg, hogy ha x helyére a nevez®ben 1-et helyettesítünk, akkor az integrál egy alsó becslését, míg ha 0-t helyettesítünk, akkor egy
fels® határát kapjuk:

1
<
1260

Z 1
0

x4 (1 − x2 )4
1
dx <
.
2
1+x
630

(2.5.6)

Tehát

22
1
22 1
−
<π<
.
7
630
7 1260(2.5.7)

Talán nem is létezik még egy ilyen számítási módszer π becslésére, amely közel
3 tizedesjegyet ennyire gyorsan és egyszer¶en kiszámol. Dalzell is így gondolta.

2.6. Wallis formula
John Wallis (16161703) nagy csodálója volt a görög matematikusoknak, kiadta
Arkhimédész, Eutociusz, Ptolemaiosz és Arisztarkhosz munkáinak egy részét.

2.6.1. A Wallis formula
A következ® egyszer¶ bizonyítás, mely Johan Wästlund nevéhez f¶z®dik, nem
igényel semmilyen integrálás vagy szögfüggvény alkalmazását.

32

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEKAz alábbi képlet bizonyítás nélkül megtalálható Wallis 1655-ben megjelent Arith-

metica innitorum, sive Nova Methodus... cím¶ könyvében, azzal a megjegyzéssel, hogy a képletet nem a szerz® állapította meg, hanem egyik barátja, William
Brouncker. Az els® bizonyítást több mint 120 évvel kés®bb Euler adta meg.

π
2 2 4 4
· · · ··· = .
1 3 3 52

(2.6.1)(2.6.1) különböz® bizonyítása a legtöbb könyvben bizonyos határozott integrál
becslésére támaszkodik, hasonlóan mint az

Z π/2(sin x)n dx

0parciális integrálásánál. Ez a bizonyítási módszer a matematikusok számára sem
egy alapfeladat.
A következ® bizonyítás célja, hogy megmutassuk, (2.6.1)-t az általános iskolában
tanult matematika módszerekkel is tudjuk igazolni, úgymint: alapvet® algebrai
ismeretek, Pitagorasz tétele, az r sugarú kör π · r

2 területképlete.

1951-ben Viggo Brun adott meg egy módszert Wallis formulájának kiszámítására.
1953-ban Yaglom és Yaglom adott (2.6.1)-re egy gyönyör¶ bizonyítást, mely nem
használ integrálást, hanem néhány meglehet®sen bonyolult trigonometriai azonosságot.

2.6.2. Egy számsorozat
A Wallis formulát a következ® alakban adjuk meg:W =2 2 4 4
· · · ··· .
1 3 3 5(2.6.2)(2.6.2)-t felírhatjuk 2 részsorozat szorzataként, ahol az egyik részsorozat tényez®i páros számok, melyek egy növekv® sorozatot adnak (2, 2, 4, 4, . . . ); míg a másik
részsorotat tagjai páratlan számok, és csökken® sorozatot alkotnak


1, 13 , 13 , 15 , · · · .

Legyen s0 = 0, s1 = 1, és az n-edik tag:sn =2n − 1
3 5
· ···
.
2 4
2n − 2(2.6.2) páratlan számokból álló részsorozata felírható a következ® formában:2n
22 · 42 · · · (2n)
=
> W,
s2n
1 · 32 · · · (2n − 1)2

2.6.

33

WALLIS FORMULA

míg a páros számokból álló részsorozat:

2n − 122 · 42 · · · (2n − 2)2=· (2n − 1) < W.
s2n
1 · 32 · · · (2n − 3)2
Ebb®l következik, hogy2n − 12n< s2n <.
W
W
Megmutatjuk an -re az sn+1 − sn különbséget, és vegyük észre, hogyan = sn+1 − sn = sn

2n + 1−12n
=(2.6.3)sn
1 3
2n − 1= · ···
.
2n
2 4
2n

El®ször levezetjük a következ® azonosságot:ai aj =

j+1
i+1
ai aj+1 +ai+1 aj .
i+j+1
i+j+1

(2.6.4)

Bizonyítás:A behelyettesítések után

ai+1 =

2i + 1ai
2(i + 1)

aj+1 =

2j + 1ji ,
2(j + 1)és

(2.6.4) jobb oldala megfelel:


ai aj

2j + 1j+1
2i + 1i+1·+·
2(j + 1) i + j + 1 2(i + 1) i + j + 1

= ai aj .

⊗2

Az a0 -t®l indulva és (2.6.4)-et alkalmazva a következ® azonosságot kapjuk:

1 = a20 = a0 a1 + a1 a0 = a0 a2 + a21 + a2 a0 = · · ·(2.6.5)· · · = a0 an + a1 an−1 + · · · + an a0 .
Bizonyítás:(2.6.4)-et minden tagra alkalmazva, az a0 an−1 + · · · + an−1 a0 összeg megfelel:1a0 an + a1 an−1
n




+

n−1
2
a1 an−1 + a2 an−2
n
n




+ ··· +

1
an−1 a1 + an a0 .
n

34

FEJEZET 2.

EREDMÉNYEK

Az egynem¶ tagokat összeadjuk, majd a lehetséges egyszer¶sítéseket elvégezve
kapjuk: a0 an + · · · + an a0 .

⊗2.6.3. Egy geometriai értelmezés
Az x − y sík pozitív negyedét téglalapokra osztjuk, mégpedig úgy, hogy egyenes
vonalakat rajzolunk x = sn és y = sn értékeknél, minden n-re.
Legyen adott az

Ri,j téglalap a bal alsó sarkának (si , sj ) koordinátáival és ajobb fels® sarkának (si+1 , sj+1 ) koordinátáival. Az Ri,j téglalap területe ai · aj .
Következésképpen a (2.6.5) azonosság felhasználásával az Ri,j téglalap területe 1,ahol i + j = n.

Pn egy sokszögtartomány, amelyet az összes Ri,j téglalap alkot, ahol
i + j < n. Ennélfogva Pn területe n (lásd az alábbi ábrát).

LegyenPn küls® sarokpontjai az (si , sj ) koordinátájú pontok, melyre i + j = n + 1.
A Pitagorasz tétel miatt, egy ilyen pont origótól való távolságaq

s2i + s2j .

(2.6.3) miatt ez felülr®l korlátos a következ® alapjánr2(i + j)=Wr2(n + 1)
.
W

2.7.

35

ÖSSZEGZÉSHasonlóan, Pn bels® sarokpontjai az (si +sj ) koordinátájú pontok, ahol i+j =n. Egy ilyen pont origótól való távolsága alulról korlátos a következ® alapjánrr
2(i + j − 1)
2(n − 1)=.
W
W
p
Ezért Pn tartalmaz egy
2(n − 1)/W sugarú negyedkört, ésPn benne vanpegy
2(n + 1)/W sugarú negyedkörben. Mivel egy r sugarú negyedkör területe
2
πr /4, a következ® határokat kapjuk Pn területére:π(n − 1)π(n + 1)
<n<
.
2W
2W
Mivel ez minden n-re igaz, arra a következtetésre jutottunk, hogy valóban:

W =

π
.
2

2.7. ÖsszegzésA π -nek rengeteg formulája létezik az egyszer¶t®l a rendkívül komplikáltig, ahogyan azt láthattuk az eddigi példák alapján is.

Nem az volt a dolgozatom

célja, hogy bemutassam a π összes formuláját, hanem, hogy néhány érdekes és
egyszer¶bb formulával részletesen foglalkozzunk.
Életünk során bármerre terel®dik is a gyelmünk, mindig elénk kerül valamilyen
formában a π .

Egy gumigyár gömb alakú butántároló-tornyaiban (azért gömb

alakú, mert az összes azonos felületnagyságú testek közül a gömbnek van a legnagyobb térfogata) éppúgy jelen van, mint egy egyszer¶ kerékben, vagy a termelés
gépesítésére és automatizálására szolgáló legbonyolultabb berendezésekben.
Mindennapjaink részévé vált tehát ez a különleges szám, még akkor is, ha megfeledkezünk róla.

Irodalomjegyzék[1] Martin Aigner and Günter M. Ziegler. Bizonyítások a könyvb®l. 2004.
[2] L. Berggren, J. Borwien, and eds P. Borwien. Pi: A source book. 1997.
[3] F. Beukers, J. A. C. Kolk, and E. Calabi. Sums of generalized harmonic series andvolumes. 1993.
[4] Florica T. Cimpan. A pi története. 1971.
[5] http://en.wikipedia.org.
[6] http://www.ep.liu.se/ea/lsm/2005/002/lsm05002.pdf.
[7] http://www.maths.ex.ac.uk/ rjc/etc/zets2.dvi,ps,pdf.
[8] http://www.mathworld.wolfram.com/Pi.html.
[9] H. S. Zuckerman I. Niven. Bevezetés a számelméletbe. 1978.

37