Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Institut für Mathematik
Abteilung für Reine Mathematik
Prof. Dr. D. Wolke
Dipl.-Math. S. Feiler

1: Mo 16-18, SR 318
Christian Marquardt

2: Di 11-13, SR 119
Jonas Unger

3: Di 11-13, SR 125
Michael Gutmann

4: Di 11-13, SR 112
Stefan Fischer

5: Di 16-18, SR 119
Kai Siebold

6: Di 16-18, SR 125
Arno Pauly

7: Do 11-13, SR 127
Sarah Marzi

8: Do 16-18, SR 414
Bianca Straub

9: Fr 11-13, HS II
Elisabeth Wursthorn

10: Fr 11-13, SR 414
Nicolas Ketterer

11: Fr 12-14, SR 218
Christian MarquardtFragestunde: Do 09-11
Simon Feiler, SR 414

Übungen zur Vorlesung

Mathematik für Ingenieure und Informatiker I
Wintersemester 2007 / 2008

Übungsblatt Nummer 703. Dezember 2007
Abgabe am Montag, den 10.12.2007 vor der Vorlesung
Bitte die Lösungen mit Name, Matrikelnummer, Übungsnummer und Name des Tutors versehen.

Aufgabe 19a) Schreiben Sie 1, 235802 als gekürzten Bruch!
Das heißt, finden Sie das n ∈ N und das z ∈ Z mit ggT (n, z) = 1 und nz = 1, 235802!
Bemerkung: Dabei bedeutet der Strich über den Ziffern 8, 0 und 2 periodische Wiederholung. Also wird 802 unendlich oft an die 1, 235 angehängt.

 N → N0` 7→ a` := # {m ∈ N : m hat in dem Zahlensystem mit.
b) Sei a :
9 Ziffern eine `-stellige Darstellung}Das heißt, für alle ` ∈ N ist a` die Anzahl der `-stelligen Nonalzahlen.
Diese Anzahlen werden nun als Dezimalstellen“ einer reellen Zahl verwendet.
”∞Xa`
Sei also b :=.
`10`=1a`?
`→∞ 10`Für welche anderen Zahlensysteme wäre die b entsprechende Zahl ebenfalls reell?
Berechnen Sie b! Was folgt insbesondere für lim

Ist für diese Systeme die b entsprechende Zahl ebenfalls ganz?
Mit welchen Zahlensystemen könnte man b definieren (statt dem hier verwendeten Dezimalsystem), damit a` für alle ` ∈ N die Anzahl der `-stelligen Zahlen im Zahlensystem
mit 26 Ziffern bzw. mit m ∈ N Ziffern darstellen könnte, und b immer noch reell wäre?
Bemerkung: Das Zahlensystem mit 26 Ziffern wird meist mit Hilfe der Ziffernmenge{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z}
dargestellt. Jeder Buchstabe entspricht dabei der Ziffer, die durch −1+ seine
Position im Alphabet gegeben ist.
Zum Beispiel ist (M AT HEM AT IK)26 = (65.308.863.973.766)10 .
bitte wenden

Aufgabe 20
In dem Film A beautiful mind“ von Ron Howard erzählt Russell Crowe alias John Nash sinngemäß”
folgende Geschichte:
Stellen Sie sich zwei Radfahrer namens Matilda und Hans vor, die in zwei verschiedenen Orten”
gleichzeitig losfahren. Die Orte sind genau 30 Kilometer voneinander entfernt. Hans fährt mit einer
Geschwindigkeit von 7,5 km/h, Matilda fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h. Beide fahren
exakt aufeinander zu, die Straße zwischen beiden Orten macht keine Kurven.
Bevor Hans losfährt, sitzt auf seinem vorderen Fahrradreifen eine Fliege. Durch die plötzliche Bewegung aufgeschreckt fliegt diese auf, als Hans losfährt. Die Fliege fliegt mit einer Geschwindigkeit von 30km/h genau in Richtung von Matildas Fahrrad. Dort angekommen ist sie irritiert, dass schon wieder
ein Reifen auf sie zukommt, und dreht wieder um. Dabei berührt sie kurz Matildas Vorderreifen. Siefliegt wieder mit 30 km/h in Richtung von Hans.
Und so geht es weiter, bis die arme Fliege zermatscht wird.“a) Wie weit ist die Fliege insgesamt geflogen?
Am Rande einer Holzfabrik befindet sich eine Klippe. Hinter einem drei Meter breiten Abgrund befindet sich eine Felsnadel von zwei Metern Durchmesser. Eines Tages entdeckt einer der Holzarbeiteram abgelegenen Ende dieser Felsnadel ein Edelweiß. Seine Schwester hat an diesem Tag Geburtstag
und so beschließt er, der Schwester dieses Edelweiß zu schenken.
Nun überlegt er sich, wie er an das Edelweiß herankommt. Er schaut sich auf dem Fabrikgelände um
und entdeckt einen Stapel von zwei Meter langen Holzbrettern. Alle Holzbretter sind gleich schwer undaus homogenen Material gebaut. Damit will er eine Brücke bauen. Er legt alle Holzbretter aufeinander
an den Rand des Abgrundes. Dann schiebt er das oberste Brett so weit heraus, dass es gerade nochstabil auf den anderen liegenbleibt. Das Brett ragt nun einen Meter über den Abgrund. Dann schiebt
er das zweite Brett ebenfalls so weit heraus, dass gerade keines der Bretter in den Abgrund fällt. Daserste Brett bewegt sich natürlich mit. (Wie weit hängt das zweite Brett nun über dem Abgrund?) Ermacht weiter mit dem dritten Brett. Auch dieses schiebt er wieder genau so weit wie möglich überden Abgrund, ohne dass ein Brett abstürzt.
Damit macht er weiter, bis er schließlich den ganzen Abgrund mit einer Brücke überbaut hat.
b) Wie viele Bretter braucht der Holzarbeiter?
c) Wie breit darf der Abgrund höchstens sein, um ihn mit dieser Methode überbrücken zu können,
wenn man annimmt, dass der Vorrat an Holzbrettern beliebig groß ist?

Aufgabe 21a) In Aufgabe 7a) haben Sie eine erste Beziehung der Fibonacci-Folge zum sogenannten Goldenen”
Schnitt“ bewiesen. Der Zusammenhang geht sogar noch weiter.
Seien a0 := 0, a1 := 1 und an+2 := an+1 + an für alle n ∈ N.
()
N → Q
an+1 .
Sei b :
n 7→ bn :=an
Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (bn )n∈N !
 N×R → R
n  Xn.
b) Sei c :j·x 
 (n, x) 7→ cn,x :=jj=0Für welche x ∈ R konvergiert die Folge (cn,x )n∈N ? Berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert!
Begründen Sie in den anderen Fällen die Divergenz!