科学理論におけるモデル化とマックスウエルの電磁理論について
概 論
 科学理論とは、実世界に対し観察、推論・仮説を繰り返すことにより、観察した実世界の対象がどのようなメカニズムで機能しているかを説明する知識体系である。
 しかし、実世界は非常に複雑であり実世界の全てを1つの科学理論で説明することは不可能。
よって、実世界の観察対象を限定し、単純化（線形化、独立変数化など）することにより科学理論の構築を行う。これをモデル化と言う。即ち、モデル化により構築された科学理論が示す世界は実世界と完全に一致するものではない。
 実世界のある現象に対応したモデル化が複数存在する場合もあり、どのモデル化が実世界の現象をより良く説明しているかは実測した結果により判断することが出来るが、理論体系自身ではそれを説明することは出来ない。
 マックスウエルの電磁理論は４つの公理からなる論理体系を形成しアンペアの法則に変位電流を追加( 𝑟𝑜𝑡 𝐻 = 𝑖 + 𝜀 𝜕𝐸 ⁄𝜕𝑡 ）するにより電磁波の存在を予想し、ヘルツがそれを実証した。
 マックスウエルは最初に変位電流の存在を真空中の渦管と荷電粒子のモデルにより説明し、次にエーテル中に変位電流が存在するモデルにより説明したが、それらのモデルは現在に至っても実証されていない。
 公理の一つである(𝑟𝑜𝑡 𝐻 = 𝑖 + 𝜀 𝜕𝐸 ⁄𝜕𝑡 ）は変位電流の存在を前提としなくても、電荷の保存則（電流の連続性）を前提とするモデル化とFaradayの電気と磁気の対称性の概念によるモデル化により導くことも可能である。
 量子論につながるプランクの熱放射の式(実験式）やアインシュタインの光量子化説につながる光電効果、そして原子内の電子軌道の安定性など、これらの現象を説明することが出来ず、マックスウエルの電磁理論(モデル化）の限界性が示された。

マックスウエルによる電磁理論の公理の修正と電磁波の予言
実験結果により導かれた基本法則（公理）𝑞 クーロンの法則
𝜕𝐻
𝑑𝑖𝑣𝐸 =
𝑟𝑜𝑡𝐸 = −𝜇ファラディの電磁誘導𝜀 （ガウスの定理）
𝜕𝑡アンペアの法則
𝑑𝑖𝑣𝐻 = 0 単磁荷は存在せず 𝑟𝑜𝑡𝐻 = 𝑖※表現の簡素化のためマックスウエルにより修正された基本法則（公理）
D,B(電束、磁束密度）を
𝜕𝐻𝑞
用いずE,H(電場、磁場
𝑟𝑜𝑡𝐸 = −𝜇𝑑𝑖𝑣𝐸 =の強さ）のみで表記
𝜕𝑡𝜀𝜕𝐸𝑟𝑜𝑡𝐻 = 𝑖 + 𝜀𝑑𝑖𝑣𝐻 = 0
修正箇所
𝜕𝑡

この修正により波動方程式が成立（電磁波の予言）
∇ 𝐸=

1 𝜕 𝐸
1 𝜕 𝐻
, ∇ 𝐻=𝐶 𝜕𝑡
𝐶 𝜕𝑡

∵𝐶=1
𝜕
𝜕
𝜕, ∇ =++𝜇𝜀𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧（理論上の電磁波の速度）＝（実測による光の速度）
光は電磁波である1マックスウエルの分子渦と荷電粒子のモデルによる変位電流の導入
ファラディの磁力線に関する考えに基づきマックスウエルは論文「物理的力線について」において磁場においては何かが回転していると推測+

分子渦（セル）とその間にある荷電粒子（ビーズ）からなるモデルを提案++

流体中の回転する渦からの類推と転がり軸受からの類推により+++++++++++

回転力が異なるセル間のビーズは動くが、セルとビーズに弾性が働くと動かず、ビーズを動かそうとする力が取り除かれると、弾性によりビーズが変位すると考え真空中のビーズの変位による変位電流の存在を仮定
電気変位

マックスウエルによる
セルとビーズによるモデル

変位電流 𝑖 = 𝜀

次にマックスウエルは論文「電磁場の力学的理論」において、
セルとビーズのモデルは数学的説明を確立するための手段にすぎないため、このモデルを捨て去り、エーテル中に変位電流が流れると考えた
しかし、マイケルソン・モーレーの実験結果とこれに基づくアインシュタインの特殊相対性理論によりエーテルの存在は否定された。
電場の時間的変化より磁場が生じるだけで変位電流は存在しないと考えることもでき、また、真空中の電荷の変位による変位電流が存在するモデルを仮定することもできるが、このモデルにおいては、真空中の分極の存在を実証する必要がある

電荷の保存則と電流の連続則を前提とする論理体系から変位電流を導入
変位電流の存在を前提とすると電荷の保存則・電流の連続則を導くことが出来るが、逆に、電荷の保存則・電流の連続則の存在を前提とする。
電流の連続則により、電線の任意の箇所を取り囲む閉曲面から湧き出ていく電流の総和はゼロであるので、𝑑𝑖𝑣 𝑖 = 0

その閉曲面内に電荷qが存在する場合は𝑑𝑖𝑣 𝑖 = −𝜕𝑞𝜕𝑡が成立する。これを電荷の保存則と言う。
また、

𝑑𝑖𝑣 𝐸 =であるので

𝑑𝑖𝑣 𝑖 + 𝜀𝑞𝜀𝜕𝐸=0𝜕𝑡が成立する。電荷qが存在する閉曲面についても電流の連続則が成立するモデルでは上式第２項も電流を表すことになり、

𝑖 =𝜀𝜕𝐸𝜕𝑡も電流を表し、これおを変位電流と言う。よって、アンペアの法則の電流項を次のように変更する。

𝑐𝑢𝑟𝑙 𝐻 = 𝑖 + 𝑖 = 𝑖 + 𝜀𝜕𝐸𝜕𝑡2ファラディの電場と磁場の対称性の概念を前提とすると電場と磁場との間には対称性が成立し、電場と磁場は波のように振動しているというファラディのモデルが成立すつとすれば、電荷q、電流iが存在しない空間の電磁場をアンペアの法則の修正項が存在しない場合電磁場は次に式で表さられる。

𝑑𝑖𝑣 𝐸 = 0𝑟𝑜𝑡 𝐸 = −𝜇𝑑𝑖𝑣 𝐻 = 0𝑐𝑢𝑟𝑙 𝐻 = 0

𝜕𝐻𝜕𝑡しかし、これらの４つの式では電場と磁場の対称性が成立しておらず、ファラディの電場と磁場の対称性が成立するために次のように修正する。

𝑑𝑖𝑣 𝐸 = 0
𝑑𝑖𝑣 𝐻 = 0𝜕𝐻𝜕𝑡
𝜕𝐸𝑟𝑜𝑡 𝐻 = 𝜀𝜕𝑡𝑟𝑜𝑡 𝐸 = −𝜇よって、電荷q、電流iが存在する場合における電磁場は次に式で表さられる。

𝑑𝑖𝑣𝐸 =𝑞𝜀𝑑𝑖𝑣𝐻 = 0𝑟𝑜𝑡𝐸 =−𝜇𝑟𝑜𝑡𝐻 = 𝑖 + 𝜀

𝜕𝐻𝜕𝑡

𝜕𝐸𝜕𝑡

レーリー・ジーンズの式（1900）
レーリー・ジーンズの式とは分子運動論と電磁気学から導いたある温度から放射される電磁波のスペクトル強度分布のことで、レーリー卿が1900年に最初に発表した。その後、1905年にジェームズ・ジーンズが係数に誤りがあることを指摘した。
温度T の物体から放射される波長λのエネルギー密度は
𝑢 =8𝜋𝑘𝑇𝑑𝜆𝜆であり、波長がλ⇒0では、エネルギーはuλ⇒∞となり、実験事実と矛盾する。

3

レーリー・ジーンズの式の破局の意味すること
レーリー・ジーンズの理論においては、次のことを前提に構築されていた。

・ 空洞内に存在する マックスウエルの電磁波の定常波の波長分布を幾何学的に求める。
・ 熱力学とニュートン力学からなる分子運動論により、 定常波のエネルギーを求める。

ニュートン力学も熱力学も、そして電磁波理論も（⇒古典物理学）間違っている可能性が生じた。

プランクのエネルギー量子化仮説（1900）
小さい波長領域でも実験と良く合う次の式をプランクは導入した。

𝑢 =

8𝜋𝑘𝑇𝜆

⇒

𝑢 =

M. Planck,
1858- 19478𝜋ℎ𝑐𝜆 𝑒1⁄−1

実験式であって理論式でない

レーリー・ジーンズの理論が破綻した原因は、空洞の中に存在する電磁波の周波数ｆが増えるとその量も増えることによる。
プランクは周波数νの波はエネルギーｈνの不連続な間隔でしかとることが出来ないと仮定した。
古典的放射

量子的放射4アインシュタインの光量子仮説（1905年）
1905年、光電効果の実験事実に基づき、アインシュタインはプランクの仮説を実体化して光量子仮説を提案した。（エネルギー塊⇒粒子）

光電効果
金属に光を照射すると電子が放出される現象
・ 光を照射すると時間遅れなく電子を放出。
・ いくら強い光を当てても周波数が一定以上でないと電子が放出されない。
電磁波理論では、電磁波のエネルギーの吸収から電子放出
ま でにある一定以上の時間がかかり、また、電磁波のエネルギーは周波数でなく振幅に対応している。

Albert Einstein
1879- 1955

光電子

マックスウエルの電磁理論では説明不可能金属
光電管
WE 3A(1926)

ボア―の量子条件による原子モデル（ 1913）
ラザフォードの原子模型の場合、既存の理論で考えると、原子核をまわる電子は電磁波を放出、つまり、エネルギーを減少させながら回転するので、電子は原子核に吸い込まれてしまう。
マックスウエルの電磁理論では説明不可能
Niels Bohr
1885-1962

そこで、1913年、ボア―はラザフォードの原子模型に量子論の考えを導入し、水素原子のスペクトルを説明するのに成功した。
ボア―の仮定１－量子条件
電子は限られた軌道のみが許され、その軌道においては安定しており、電磁波は放射されない。
𝑚𝑣𝑟 = 𝑛ℎ2𝜋𝑛 = 1,2,3 ⋯ボア―の仮定2－周波数条件
1つの安定軌道から他の安定軌道に移るときにのみ電磁波を放射・吸収し、その周波数は次の式に従う。
ℎ𝑓 = 𝑊 − 𝑊5

参 考 資 料

電荷の持つエネルギーは何処に存在するか？
電荷Qを持つ半径rの導体球の電気的エネルギーをクーロンの法則に従って求めると
𝑈=Q

𝑄
8𝜋𝜀𝑟

ニュートン力学同様に遠隔作用の考え方に従うと、この電気的エネルギーは導体球にあると考える。
r

電場Eが存在するとする近接作用の考えに従うと、電場Eはエネルギーを持たなければならず、この電気的エネルギーは導体球ではなく、電場にあると考える。
電場のエネルギー密度がu= 𝜀𝐸 であるので
𝑈=1𝑄𝜀𝐸 4𝜋𝑟 𝑑𝑟 =28𝜋𝜀𝑟※ 物理的に存在するということはエネルギーを持つということ

マックスウエルの考えを理解しよう！
クーロンの法則(1785)からガウスの定理へ（場の概念による表現）
q1q2

F

𝐹 =𝐹 =𝑘r𝑞 𝑞𝑟

距離rの電荷q1,q2に働く力F1,F2𝐸 =𝑘qr2𝑞𝑟𝑞
𝐸 =𝑘𝑟r1

𝐸( ) = 𝑘𝑎 = 4𝜋𝑟𝑞𝑟

クーロンの法則から単位電荷に働く力を電場の強さEとして定義し、その電場はいたる所の空間に存在すると考える。
ガウスの定理𝑞𝑞𝑑𝑖𝑣𝐸 =𝐸 𝑑𝑎 =𝜀𝜀

電荷qを囲む表面のから湧出てくる電場Eの総和電荷q に比例する

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磁場についての表現
mr

F1

𝐻 =𝑘

磁場についても、電場同様クーロンの法則が成立とし、磁場の強さHを定義。

𝑚𝑟

しかし、実際は単磁荷は存在せず、磁気双極子の状態のみで存在する。
m+ m-𝑚 +𝑚𝑟

𝐻( ) = 𝑘𝑎 = 4𝜋𝑟

𝑑𝑖𝑣𝐻 = 0⋯ (2)磁気双極子を囲む表面のから湧出てくる磁場Hの総和はゼロ

ファラデーの電磁誘導を表現すると
iSNs

𝑉=

𝐸𝑑𝑙 = −lV𝑑 ∫ 𝜇𝐻𝑑𝑠

起電力V、すなわちコイルの円周上lの電場Eの総和

𝑑𝑡𝑟𝑜𝑡𝐸 = −𝜇𝜕𝐻
⋯ (3)
𝜕𝑡

コイルの断面Sを単位時間当りに横切る磁場Hに比例7アンペアの法則の表現は

I

H

電流により生じる磁場の強さHの周回分の総和

𝐻𝑑𝑙 = 𝐼

𝑟𝑜𝑡𝐻 = 𝑖

電流の強さI8