数理解析研究所講究録 1348 巻 2003 年 134-149

134

一般化 Drinfel’d-Sokolov 階層の相似簡約とaffine Weyl 群対称性
菊地哲也 (Tetsuya Kikuchi, 東北大 理)
覧三郎 (Saburo Kakei, 立教大 理)-

1Introduction

山田泰彦による Painleve’ 方程式に関する一連の研究, 特に affine
型高階 Painleve’ 方程式系 (これを野海・山田系と呼ぶこ
Weyl 群の対称性に基づいたとにする) [1] を拡張し, その対称性や特殊解を調べるものである. これにより: 現時点で
本研究は , 野海正俊

$A_{l}^{(1)}$は野海・山田系には含まれていない Painleve’ I 型方程式などをとらえることも目標としている. ここでは野海・山田系が, modffied (principal) Drinfel’d-Sokolov 階層というソリトン系の相似簡約により得られることに注目して: 扱うソリトン系の範囲を広げることに型野海 山田系とより野海 山田系の拡張を行う. まずランクの低い場合に一変数$\mathrm{V}$$A_{l}^{(1)}$

ソリトン方程式系との関係をまとめておくと,方程式
変形 Boussinesq 方程式
変形 4-reduced P 方程式
変形$A_{1}^{(1)}A_{2}^{(1)}$$.\cdot.\cdot$$A_{3}^{(1)}$:$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$$\mathrm{K}$$arrow$$arrow$$arrow$

Painleve’II
Painleve’IV
Painleve’$\mathrm{V}$また, ランクが 4 以上のときは 3
階以上の方程式になる. ソリトン系との対応を与えることにより, Painlev\’e 垣の有理解を
方程式の有理解を表わす 2-reduced Schur
表わす Yablonskii-Vorob’ev 多項式は変形関数から, また Painleve’IV の有理解を表わす岡本多項式も , 変形 Boussinesq 方程式の有となっている. ここで矢印は相似簡約の操作を表わす$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$

理解である 3-reduced Schur 関数から相似簡約により得られることが説明できる. そこで
この相似簡約という操作に注目して, 扱うソリトン系を一般化 Drinfel’d-Sokolov 階層 [2]型一般化まで広げてみるのだが, ひとつの答えとして, 池田岳との共同研究により$A_{2}^{(1)}$Drinfel’d-Sokolov 階層のひとつである, 変形矢嶋 及川階層の相似簡約で Painleve’ が得られることがわかった [3]. ここではさらに, 野海 山田系への affine Weyl 群作用をソリトン系への対称性に持ち上げるという問題も考える. すなわち, 次の表の ? を埋めよ,という問題を考える.
$\mathrm{V}$135

一般化 Drinfel’ -Sokolov 階層$\mathrm{d}$口$\fbox]$$arrow$

火相似簡約$arrow$
Dolinfel’d-Sokolov 階層$\cup$野海

山田系

Ba..cklund\Uparrow ,\pi ^‘換$\fbox\Uparrow$$\sim$$\simeq\overline{W}$

本稿では, ここでいう一般化 Drinfel’d-Sokolov 階層のさらなる拡張を行い) この結果得られる微分型非線型 Schr\"odinger 方程式と Painleve’ 第 IV 方程式についての研究報告を行う.

2

背景および主結果

まず, われわれの結果について述べる前に, 非線形 Schr\"odinger 方程式と Painleve’ V 型
方程式について整理しておく 非線形 Schr\"odinger 方程式$\mathrm{I}$(NLS)$\mathrm{i}q_{b}=\frac{1}{2}q_{xx}+4|q|^{2}q$に, 微分に依存する非線形項をつけ加えた可積分な方程式を微分型非線形 Sc.hr\"odinger 方

程式と呼ぶ. 我々が扱う方程式は$\mathrm{i}q_{t}=\frac{1}{2}q_{xx}+2\mathrm{i}q^{2}\overline{q}_{x}+4|q|^{4}q$$(\partial \mathrm{I}\backslash ^{\mathrm{T}}\mathrm{L}\mathrm{S})$というものであり, Gerdjikov-Ivanov により与えられた [4]. これらの非線形偏微分方程式と Painlev\’e V 方程式$\mathrm{I}$$y_{xx}= \frac{(y_{x})^{2}}{2y}+\frac{3}{2}y^{3}+4xy^{2}+2(x^{2}+\eta_{1})y+\frac{\eta_{2}}{y}$($\eta_{1},$$\circ$$\eta$

2$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$はパラメータ) に関して, 本研究に直接関連する結果を列挙する.

Ablowitz-Ramani-Segur [5]において未知関数 の次数を $[q]=1_{7}$ 変数 $x,$ の次数を $[x]=-2,$ $[t]=-4$とすると, この方程式は 5 次の同次方程式になっている. そこで, 解 $q=q$ (x, ) に同
次条件$(\partial \mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{S})$

$t$

$q$

$t$

$q(\lambda^{2}x, \lambda^{4}t)=\lambda^{-1}q(x, t)$

を課すと,

$q$

は一変数の関数とみなせる.
$q(x, t)=(2t)^{-1/4}Q(\xi)$ ,

とおき,

(1)

$Q(\xi)=\rho e^{\mathrm{i}\theta}$とおけば, $y=\rho^{2}$ は$(\mathrm{P}_{\mathrm{I}\mathrm{V}})$$\xi:=(2t)^{-1/2}x$でパラメータが退化したものを満たす

136$\circ$JimbO-Miwa [6]スペクトル保存変形とモノドロミー保存変形の関連の研究で,,$\frac{\partial Y}{\partial z}=A(z)Y$$\circ$$A(z)=z$$(\begin{array}{ll}1 00 -1\end{array})+$$B(z)=z$$(\begin{array}{l}100-1\end{array})+$$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$の変形方程式系(2),$\frac{\partial Y}{\partial x}=B(z)Y$$+ \frac{1}{z}(\begin{array}{ll}-v+\theta_{0} -uy/22v(v-2\theta_{0})/uy v-\theta_{0}\end{array})$の両立条件としての記述が, (NLS) の Lax 表示に相似条件を課したものであることを示した. また, (2) の Schlesinger 変換として離散方程式を導いた.
Okamoto[7]$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$を, ハミルトニアン$H=2qp^{2}-(q^{2}+2xq+2\kappa_{0})p+\kappa_{\infty}q$.

に関する正準方程式$q’= \frac{\partial H}{\partial p}$

で表わし,$\mathrm{o}$$A_{2}^{(1)}$型 affine Weyl group,$p’=- \frac{\partial H}{\partial q}$$\mathrm{f}\phi^{r}(A_{2}^{(1)})$(3),対称性を示した.

Grammaticos-Ramani [8]$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$のLax 表示 (2) に関する Schlesinger 変換にょり離散 Painleve’I 方程式
X。-1+X。

$+_{d} \lambda_{\tau\iota+1}^{r}=x+\frac{\nu_{1}n+\nu_{2}+(-1)^{n}\nu_{3}}{X_{n}}$$(\mathrm{d}\mathrm{P}\mathrm{I})$を導いた. この方程式は, 連続極限で Painleve’I 型方程式 $(u”=6u^{2}+x)$ に移る.
$\circ$Noumi-Yamada[9]の Hamiltonian 表示 (3) の不変因子に注目して,$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$$f_{0}’=f_{0}(f_{1}.-f_{2})+\alpha_{0}$$f_{1}’=f_{1}(f_{2}-f_{0})+\alpha$$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$

の対称形式

,

1,

(4)

$f_{2}’=f_{0}(f_{0}-f_{1})+\alpha_{2}$の拡大 affine Weyl 群を与え,
散 Painlev\’e 方程式を得た.
$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$$\overline{\mathrm{T}l^{I}}(A_{2}^{(1)})$対称性を定式化し, この作用を用いて離もうひとつ, 特殊解の観点から調べても, これらの方程式の共通点が浮かび上がる.
には Hermite 多項式で記述される有理解があるが, 文献 [9] に説明されているように, これは長方形の Young 図形に対応する Schur 関数の相似簡約としてとらえら$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{i}_{11}1\mathrm{e}\mathrm{v}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{I}\mathrm{V}$137
れる一方, Ikeda-Yamada による [10] では, 非線形 Schur\"odinger 方程式の有理解としてや
はり長方形の Young 図形に対応する Schur 関数が現れる. また, Kakei-Sasa-Satsuma によるを含む, 一般化微分型非線形 Schur\"odinger 方程式の行列式解 (double Wronの行列式解 [12] も, Schur 多項式
skian 解) [11] と Ohta-Kajiwara-Satsuma によるを用いな多項式解として, Her 面 多項式によって表わされる有理解が得られる.
本研究では以上の結果を一般化 Drinfel’d-Sokolov 階層の視点から統一的に説明することを試みるだが, 実際にはこのソリトン方程式系の一般論も拡張する必要があり, その或功の場合,により上に挙げた結果の関連が明らかになった. 我々の主結果をまとめると,$(\partial \mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{S})$$(\mathrm{d}\mathrm{P}\mathrm{I})$$\mathrm{t}\mathrm{e}$$A_{1}^{(1)}$・一般化 Drinfel’ -Sokolov 階層の拡張
Soliton 方程式への (拡大) affine Weyl 群作用の持ちあげ・相似簡約の Lie 代数的な記述$\mathrm{d}$$\bullet$に或功した.

Painlev\’e V$\mathrm{I}$

微分型 NLS$arrow$$arrow$(2-parameters)$\Uparrow$$\Uparrow$B\"acklund 変換$-_{r}\mathrm{M}’$$\simeq$(A(11))$\simeq$

B\"acklund 変換

$(v$

並進

$1\downarrow$$\simeq$

離散 Painlev\’e I

本稿では, 特殊解と離散系についての説明は省略させてもらい, 上の 3 つの主結果について説明する.

3

微分型非線形 Schr\"odinger 階層の構成
以後, 微分型非線形 Schr\"odinger 方程式を, 連立系$q_{t}= \frac{1}{2}q_{xx}-2q^{2}r_{x}.-4^{3}qr^{2}$$\{$$r_{t}$

として考える. ここで式の Lax 表示は$r=\overline{q}$$=- \frac{1}{2}r_{xx}-2r^{2}q_{x}+4r^{3}q^{2}$とすれば Gerdjikov-Ivanov 方程式 ($\frac{\partial\Psi(z)}{\partial x}=B_{1}(z)\Psi(z)$,$\mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{S}$$\frac{\partial\Psi(z)}{\partial t}=B_{2}(z)\Psi(z)$,) になる. この方程

(5)

38

$B_{1}(z)=z(\begin{array}{ll}1 02r -1\end{array})+$$\wedge$’$B_{2}(z)=z^{2}(\begin{array}{ll}1 02r -1\end{array})+z(\begin{array}{ll}2q^{\gamma}r -2q-r -2qr\end{array})+$で与えられるのだが, この表示が, 一般化 Drinfel’d-Sokolov 階層の拡張として構或される
ことを示す

3.1

準備

まず, 記号の準備をする. Lie 環$[H, E]=2E$ ,で, affirle Lie 環$\hat{\epsilon}l_{2}$の基本関係を$z1_{2}=\mathbb{C}F\oplus \mathbb{C}H\oplus \mathbb{C}E$$[H, F]=-2F$,$[E, F]=H$を果$\hat{\epsilon}\mathrm{I}_{2}=\epsilon 1_{2}\otimes \mathbb{C}[z, z^{-1}]\oplus \mathbb{C}c\oplus$

基本関係を$[X\otimes z^{m}, Y\otimes z^{n}]=[X, Y]\otimes z^{m+n}+m\delta_{m+n,0}$$[\hat{\epsilon}\mathrm{t}_{2}, c]=0$で定める. また$\hat{\epsilon}\mathfrak{l}_{2}$,[d,$X\otimes z^{n}$を$e_{0}=F\otimes z_{:}^{1}$$f_{0}=E\otimes z^{-1}$,$f_{1}=F\otimes z_{:}^{0}$$e_{1}=E\otimes z^{0}$$c$( X, $Y=E,$ $F$, $H$ )] $=nX\otimes z^{n}$の Chevalley generators(X, $Y$ ) ,,$h_{0}=c-H\otimes z^{0}$$h_{1}=H\otimes z^{0}$

(6)
(7)

とする. ソリトン方程式は, 与えられた affine Lie 環の -gradation と Heisenberg subalgebra を用いて構或することができる. まず -gradation$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

$j$

(8)

$\hat{\mathit{5}}l_{2}=\oplus(\hat{\epsilon}\mathfrak{l}_{2})_{n}$$n\in \mathbb{Z}$の場合, homogeneous gradation と principal gradation という 2 通りの次数であるが,付けがあり, それぞれの次数は次のように数えることができる.
$\hat{\epsilon}\mathfrak{l}_{2}$$[d_{\#}, (\hat{z}\mathfrak{l}_{2})_{n}]=n(\hat{\epsilon}1_{2})_{n}$ここで homogeneous gradation は$d_{\mathrm{h}}=d$($\#=\mathrm{h}$or ).
$\mathrm{p}$で,$[d_{\mathrm{h}}, X\otimes z^{n}]=nX\otimes z^{n}$,138
すなわち, Laurent 多項式の次数による次数付\iota であり:principal gradation は\otimes z0, すなわち, Chevalley generators(6), (7) の次数を$\mathrm{e}$$d_{\mathrm{p}}=2d$十$\frac{1}{2}H$$[d_{\mathrm{p}’ j}e]=e_{j}$と数えたものである, 次に,$\hat{\epsilon 1}_{2}$$[d_{\mathrm{p}}, f_{j}]=-fj,$$[d_{\mathrm{p}}, h_{j}]=0$の Heisenberg 部分 Lie 環,$(j=0,1)$$\mathcal{H}=\oplus_{n\in \mathbb{Z}}\mathbb{C}\Lambda_{n}\oplus \mathbb{C}c$

を$[\Lambda_{m}, \Lambda_{n}]=m\delta_{m+n,0^{\mathrm{C}}}$なる関係式で定める. これも, 上の次数付けに対応した基底をもつ 2 種類の同型類があり,それぞれの基底はhomogeneous :principal :$\Lambda_{n}^{(\mathrm{p}}$$\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}=\frac{1}{\sqrt{2}}H\otimes z^{n}$) $=E\otimes z^{n-1}+F\otimes z^{n}$で与えられる. これらの生或元は, 各 gradation に対応して[$d_{\mathrm{h}},$$\Lambda$を満たしている. 以下では

(h)]$=n\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}$

,

のレベル

$\hat{\epsilon}\mathfrak{l}_{2}$$[d_{\mathrm{p}}, \Lambda 7 \mathrm{p})]=(2n-1)\Lambda_{n}^{(\mathrm{p})}$0 の実現$F=(\begin{array}{ll}0 01 0\end{array}):$$E=(\begin{array}{ll}0 10 0\end{array})$$H=(\begin{array}{ll}0 \mathrm{l}0 0\end{array}).$

$i$

$c=0$

(9)

を積極的に用いる.

3.2$\hat{5}(_{2}$Hierarchy of soliton equationsの$\mathbb{Z}$-gradation に対応して, $\exp$ で生或される affine Lie 群
$=$

ビフー

$+$

,

$\hat{G}_{-}=\exp(\oplus(\hat{z}1_{2})_{j})j<0$’$\hat{G}$も$\hat{G}_{+}=\exp(\oplus(\hat{g}(_{2})_{j})j\geq 0$と分解されることを用いて: 以下のようにして方程式系を構或する. まず: 初期値をX で与え, $t=(t_{1},$に関する時間発展を:Heisenberg 部分 Lic 環に対して (0)2, . . .
$X\in\hat{\mathrm{B}}\mathrm{t}_{2}$$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}=\mathrm{e}$

$t$

$g$

$)$

の生或元により(10)$g(t)= \exp(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\sum_{n>0}t_{n}\Lambda_{n})g(0)$で定義する. この$g$(t) を Gauss 分解$g(t)=\{g_{<0}(t)\}^{-1}|g\geq 0(t)$$g_{<0}(t)\in\hat{G}_{-}$,$g_{\geq 0}(t)\in\hat{G}_{+}$

140
することにより:それは, (10) より

$t$

$g$

の未知関数である(t) について$g_{<0}$(t) の或分はソリトン方程式を満たすのである.

$(n=1,2, \ldots)$$\frac{\partial g(t)}{\partial t_{n}}=\Lambda_{n}.g(t)$がわかるので, この両辺を Gauss 分解することにより灸 0 (t),$\frac{\partial g_{<0}}{\partial t_{n}}=B_{n}g_{<0}-g_{<0}\Lambda_{n}$,$g_{\geq 0}$

が

(11)

$B_{n}=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}(g_{<0}\Lambda_{n}^{-1}g_{<0})_{\geq 0}$(12)$\frac{\partial g_{\geq 0}}{\partial t_{n}}=B_{n}g_{\geq 0}$という偏微分方程式をみたすことがわかる. (11) を SatO-Wilson 方程式という$\Psi=g_{<0}\cdot\exp[\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\sum_{j>0}$

も

これより

$\Lambda]$と定義すれば, Lax 方程式(13)$\frac{\partial\Psi}{\partial t_{n}}=B_{n}\Psi$も得られる.

この構或において, 特に時間発展を homogeneous Heisenberg 部分 Lie 環に関するもの$\Lambda_{n}=\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}=\frac{1}{\sqrt{2}}H\otimes z^{n}$,Gauss 分解を principal gradation に関するもの$g_{<0}(t)=(\begin{array}{ll}1 0r 1\end{array})$$+z^{-1}(\begin{array}{ll}v_{1} qw_{2} v_{2}\end{array})+z^{-2}(_{*}^{*}$$g\geq 0(t):=(\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\phi} \mathrm{e}^{\phi}a0 \mathrm{e}^{-\phi}\end{array})$$w_{1)}*+\cdot$$+z(\begin{array}{l}d_{11}c\mathrm{e}^{-\phi}b c_{2}\end{array})+z^{2}(_{d_{2}}^{*}$$**\mathrm{I}+$

(14)

.

$|’$

(15)

$\cdot$とした場合が微分型非線形 Schr\"odinger 階層である. このとき $x:=t_{1},$ $t:=t_{2}$ とおき,
を’ で表わすと, (11), (12) より$\frac{\partial q}{\partial x}=2(w_{1}-qv_{2}+q^{2}r)$,$\frac{\partial}{\partial x^{1}}(\mathrm{e}^{-2\phi}b)=2r-4qr\mathrm{e}^{-2\phi}b$$\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{e}^{2\phi}a)=-2q+4qr\mathrm{e}^{2\phi}a$

,

,

(16)

$\frac{\partial r}{\partial x}=-2(w_{2}-rv_{1}+qr^{2})$$\frac{\partial}{\partial t}(\mathrm{e}^{-2\phi}b)=-r’-2(q’r-qr’-2q^{2}r^{2})\mathrm{e}^{-2\phi}b$$\frac{\partial}{\partial t}(\mathrm{e}^{2\phi}a)=-q’+2(q’r-qr’-2q^{2}r^{2})\mathrm{e}^{2\phi}a$$\partial_{x}$

,

(17)
(18)

141
などが成り立つ. 従って$B_{1}(z)=z(\begin{array}{ll}1 02r -1\end{array})+$:$B_{n}(z)=z^{n}(\begin{array}{ll}1 02r -1\end{array})+\cdot$$(n=1,2, . . . )$ も全て $q,$

3.3.

$\mathrm{t}$とその微分のみで表わされることも確認される.

$r$

一般化 Drinfel’d-Sokolov 階層の拡張

上の構或が, 実は一般化 Drinfel’d-Sokolov 階層の拡張になっている. そのことを見るた
め前節の議論をふり返ってみると, 時間発展と, Gauss 分解において
1 寺間発展 $g(t)= \exp(\sum_{r\iota>0}t_{n}\Lambda_{n})g$ (0)I こお } る Heisenberg subalgebra の選び方$l$$\Lambda_{n}^{(\mathrm{p})}$$\bullet$(principal)or$\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}$(homogeneous)Gauss 分解 $g(t)=\{g_{<0}(t)\}^{-1}g\geq 0(t)$ における次数付けの選び方$d_{\mathrm{p}}=2d+ \frac{1}{2}H\otimes z^{0}$or$d_{\mathrm{h}}=d$という自由度がある. この選び方に応じて 4 種類の方程式系が得られるが, それらはHeisenberg subalg.
(p)(h)$\backslash \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}$

(p)

分解

変形

(h)

$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$

–

-

NLS

$\partial \mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{S}$となっている. 従来は, 時間発展を homogeneous gradation に関するもので行ったときは,Gauss 分解もそれに応じて homogeneous なもので行い, その結果,$g_{<0}(t)=(\begin{array}{ll}1 00 1\end{array})$となり,$\hat{r}=\overline{q}$

のもとで;

$q$

$+z-1$$(\begin{array}{ll}* q\hat{r} *\end{array})+\cdot$$A_{1}^{(1)}$

の場合は

.

が微分型でない非線形 Schr\"odinger 方程式 (NLS) をみたすのだった.

一般の affine Lie 環 に付随するソリトン系については Kac-Peterson [13] により嘉のHeisenberg 部分 Lie 環の同型類は , 有限次元 Lie 環 の Weyl 群の共役類と 1 対 1 に対応することが示されており, それに応じて頂点作用素表現によりソリトン系が構或できる.
$\hat{9}$$\mathfrak{g}$142への内部白己同型としての Weyl 群の作用から
一方,Lie 環の次数付けを定めることができる, すなわち$\mathfrak{g}$$\{\begin{array}{ll}\mathfrak{g} \mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{l}\text{群}\emptyset q)\neq\backslash \mathrm{h}_{\acute{\{}^{\mathrm{n}}}\mathrm{x}^{4^{\backslash }}\lambda.\ovalbox{\tt\small REJECT}\end{array}\}\mapsto\{\hat{\mathfrak{g}}$のを固有空間に分解して:affine$\mathrm{g}$$\mathbb{Z}- \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\}$$-\{\hat{9}$ のHeisenberg subalgebra$\}/\simeq$という対応がある. de Groot らによる一般化 Drinfel’d-Sokolov 階層の構或 [2] は, Weyl
群の共役類に対応するソリトン系の Lax 表示を与えるものであるが, Heisenberg 部分 Lie環に対応する共役類の代表元を , Gauss 分解に対応する共役類の代表元を ’ としたと
$w$

$w$

き, Bruhat order$\geq$

に関して$w\geq w’$という条件を課している. しかし前節で見たように, この仮定を除いても方程式系の構或に問題はおこらないのである. なお、 [2] では, はじめに Lax 表示 (13) の B。の形を決めてから “対角化” をしており, 前節の議論と全く等しいわけではない.

4

2 種類の affine Wey 群対称性
Affine Weyl 群 $W$ (A(l)l)= so,$\langle$$s_{1}\rangle$

を$(j=0,1)$$s_{j}=\exp(f_{j})\exp(-e_{j})\exp(f_{j})$は Chebelley generators (6), (7) である. これはで実現する. ここで.
表現に作用する. 実現 (9) のもとでは$e_{j},$$f_{j}$$s_{0}=(-z z^{-\mathrm{l}}),$と表わされる. これらを用いて 2 種類の$s_{j}$$(j=0,1)$ の作用を構或することができる. 図$g(0)$$\swarrow$\sear ow 右作用$s_{j}^{-1}g(0)\downarrow$$g(0)s_{j}\downarrow$$\#|\pm \mathrm{v}5\mathrm{B}7^{7}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{t}}\text{展}$$\mathrm{e}^{\Sigma t_{n}\Lambda_{n}}g(0)s_{j}$$\mathrm{e}^{\Sigma t_{n}\Lambda_{n}}s_{j}^{-1}g(0)$$||$$s_{j}^{\mathrm{L}}(g_{<0})^{-1}|s_{j}^{\mathrm{L}}(g\geq 0)$

の可積分

(19)

$s_{1}=$

式的に表わすと次のようになる.

左作用$\hat{g}[_{2}$Gauss 分解$||$$s_{j}^{\mathrm{R}}(g_{<0})^{-1},$$s_{j}^{\mathrm{R}}(g_{\geq 0})$

143
4.1

右作用

ここで定義する右作用が, 野海 山田系への affine Weyl 作用のソリトン系への持ちあ
げになることを後に示す これは (19) のを用いて: (t)si の Gauss 分解で定義する:$g$$s_{i}$$g(t)=g_{<0}^{-1}g\geq 0\mathrm{F}\prec g(t)s_{i}=g_{<0}^{-1}g\geq 0si=(s_{i}^{\mathrm{R}}(g_{<0}))^{-1}s_{i}^{\mathrm{R}}(g_{\geq 0})$.

実現 (9), (19) を用いてこれを実行すると, まず$g\geq 0^{s_{1}}=(\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\phi}a -\mathrm{e}^{\phi}\mathrm{e}^{-\phi} 0\end{array})$

(

$+z$

$g_{\geq 0}s_{0}=z^{-1}(\begin{array}{ll}0 \mathrm{e}^{\phi}0 0\end{array})+$$d_{2}*$$+z(\begin{array}{ll}d_{1} -c_{1}c_{2} -\mathrm{e}^{-\phi}b\end{array})+z^{2}$()$+z^{2}(_{-c_{2}}^{-d_{1}}$$-d_{2}*$)$+\cdot$$*\mathrm{I}*+\cdots$:.

となるので: この部分の Gauss 分解$g\geq 0s_{i}=(g\geq 0s_{i})_{<}^{-}0.$を行って:$g_{<0},$$g$\geq si のそれぞれに左から$G_{0}:=(g_{\geq 0}s_{0})_{<0}=(\begin{array}{ll}1 -z^{-1}/\mathrm{e}^{-2\phi}b0 \mathrm{l}\end{array}):$

を掛ければ
属
が

$\text{す}$$(g_{\geq 0}s_{i})_{\geq 0}$$s_{i}^{\mathrm{R}}(g_{<0}),$$s_{i}^{\mathrm{R}}(g\geq 0)$が得られる. この $G_{i}(i=0,1)$ の求め方は, これらがことより $G_{i}=1+(G_{i})_{-1}+(G_{i})_{-2}+\ldots$ とおき,$\hat{G}_{\geq 0}$に属するように,(20)$G_{1}:=(g\geq 0^{s_{1})_{<0}=}$$\hat{G}_{<0}$も次数ごとに分解してを次数ごとに順に決定するのである. よって$(G_{i}.)_{j}$$c$$s_{0}^{\mathrm{R}}(g_{\geq 0})=G_{0}g\geq 0^{s_{0}=}(^{1/\mathrm{e}_{0}^{-\phi}b}$$s_{0}^{\mathrm{R}}(g_{<0})=G_{0}g_{<0}=(\begin{array}{ll}1 0r 1\end{array})$l$-d_{2}\mathrm{e}^{-}$/$g_{\geq 0}s$ie%$b\mathrm{e}^{-2\phi}b)+z(^{-}$$G_{i}g_{>06_{i}^{\urcorner}}$

e-2\sim$d_{2}*)+\cdots$$-\mathrm{e}^{-\phi}+c_{2}/$$+z^{-1}(\begin{array}{ll}v_{1}-r/\mathrm{e}^{-2\phi}b q-1/\mathrm{e}^{-2\phi}bw_{2} v_{2}\end{array})+\cdot\cdot \mathrm{t}$,さらに$s_{1}^{\mathrm{R}}(g_{\geq 0})=G_{1}g_{\geq 0}s_{1}=(\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\phi}a -\mathrm{e}^{\phi}0 1/\mathrm{e}^{\phi}a\end{array})$$s_{1}^{\mathrm{R}}(g_{<0})=G_{1}g_{<0}=(\begin{array}{lll} 1 0r -1/\mathrm{e}^{2\phi}a 1\end{array})$となる. その結果,$\partial \mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{S}$$+z(_{c_{2}-d}d$17e2$\emptyset_{a}$-b:$s_{1}^{\mathrm{R}}$:$q-*q- \frac{1}{\mathrm{e}^{-2\phi}b}$$q\vdasharrow q$,/e2$\psi_{a})+\cdot$$+z^{-1}(\begin{array}{ll}v_{1} qw_{2}-v_{1}/\mathrm{e}^{2\phi}a v_{2}-q/\mathrm{e}^{2\phi}a\end{array})+\cdot$の解への作用は$s_{0}^{\mathrm{R}}$$2+c_{1}-c_{1}$,$r-\not\simeq r$$r \vdash+r-\frac{1}{\mathrm{e}^{2\phi}a}$

に

.
.

,

144
となることがわかる. ここに出てくる関数の逆数は (17), (18) を満たすことに注意. このように, ソリトン方程式への Weyl 群の作用はの解のみでは表わすことができず, 微分方程式 (17), (18) を通して記述される.
なお, 微分作用素–B。への作用を:$1/\mathrm{e}^{-2\phi}b,$$1/\mathrm{e}^{2\phi}a$$\mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{S}$$t_{n}$$\frac{\partial}{\partial t_{n}}-s_{i}^{\mathrm{R}}(B_{n})=s_{i}^{\mathrm{R}}(g_{<0})(\frac{\partial}{\partial t_{n}}-\Lambda_{n})(s_{i}^{\mathrm{R}}(g_{<0}))^{-1}=G_{i}(\frac{\partial}{\partial t_{n}}-B_{n})C_{\tau_{i}}^{-1}$という gauge 変換で表わすことができる. また, ここでの議論は, 時間発展を principal にしても homogeneous

4.2$\text{し}$ても同様に行えることを注意しておく

$($

左作用

この作用は, 時間発展を homogeneous Heisenberg 部分 Lie 環で行ったときに意味をもつ. 初期値 (0) にを左から作用させて時間発展を行うと:$g$$s_{0},$$s_{1}$$\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}s_{i}=-si\Lambda$(h$\dot{)}$$(n\in \mathbb{Z}, i=0,1)$となることより.

$\exp(\sum_{n\geq 0}t_{n}\Lambda_{n})s_{l}^{-1}$

9 $(0)=s_{i}^{-1} \exp(\sum_{n\geq 0}(-t_{n})\Lambda_{n})g(\mathrm{O})=s_{i}^{-1}g(-t)$$(i=0,1)$となる. ここで $-t=(-t_{1}, -t_{2}, \ldots)$ である. そこで, affine Wayl 群の左作用を $s_{i}^{-1}g(-t)$のGauss 分解で定義する:$g(t)=g_{<0}^{-1}g\geq 0\vdasharrow s_{i}^{-1}g(-t)=(g_{<0}(-t)s_{i})^{-1}g\geq 0$ $(-t)=(s_{i}^{\mathrm{L}}(g_{<0}))^{-1}s_{\dot{l}}^{\mathrm{L}}(g_{\geq 0})$.

ここでも実現 (9), (19) を用いて具体的に実行すると, まず$+z^{-1}(_{*}^{-w}$$g_{<0}(-t)s_{0}=z(\begin{array}{ll}0 0-1 0\end{array})+$$g_{<0}(-t)s_{1}=(\begin{array}{ll}0 -11 -r\end{array})$1$+z^{-1}(\begin{array}{ll}q -v_{1}v_{2} -\prime w_{2}\end{array})+z^{-2}(_{*}^{w_{1}}$$r1)+z^{-}2$$(\begin{array}{ll}* v_{1}* w_{2}\end{array})+\cdots$,$**\mathrm{I}+\cdots$となる (行列或分の変数は $-t$ に変換されたもの) ので, これを:
$g_{<0}(-t)s_{i}=(g_{<0}(-t)s_{i})_{\geq 0}^{-1}\cdot(g_{<0}(-t)s_{i})_{<0}$とGauss 分解する. そこで$g_{<0}$(-t)si,$X_{0}:=(g_{<0}(-t)s_{0})_{\geq 0}=(_{Z}^{-1/q}$$g\geq 0$$-q0)$ :(-t) それぞれに, 左から$X_{1}:=(g_{<0}(-t)s_{1})_{\geq 0}=$

(21)

145
の作用が記述できる (をかければ,の或分も $-t$ に変換されたものである). このの構或も,(20) 同様, 次数ごとに決定できる. よって$X_{i}$$s_{i}^{\mathrm{L}}$$X_{i}$$G_{i}$$s_{0}^{\mathrm{L}}(g_{<0})=X_{0}g_{<0}(-t)s_{0}=(\begin{array}{ll}1 0qv_{2}-w_{1} 1\end{array})$$+z^{-1}(_{*}^{w_{1}/q}$$s_{0}^{\mathrm{L}}(g_{\geq 0})=X_{0}g_{\geq 0}(-t)=(\begin{array}{ll}-\mathrm{e}^{\phi}/q -\mathrm{e}^{\phi}a/q0 -\mathrm{e}^{-\phi}q\end{array})$となる. (22) の$qv_{2}-w_{1}$$z^{-2}$まで見ると$s_{1}^{\mathrm{L}}(g_{<0})=X_{1}g_{<0}(-t)s_{1}=(\begin{array}{ll}1 0-1/r 1\end{array})$

$q,$

$r$

:

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$:$s_{1}^{\mathrm{L}}$$s_{1}$

によるもわかる. これより

$r$の$+z^{-1}(\begin{array}{ll}-qr+v_{2} r?f1-\mathrm{c}v_{2}-,v_{2}/r w_{\mathit{2}}\prime/r\end{array})+\cdot$

$q$

(22)

’.

$s_{0}^{\mathrm{L}}$.

$\ulcorner$

(23)

による像は

のみで表すことができる. さらに$s_{1}^{\mathrm{L}}(g\geq 0)=X_{1g\geq 0}(-t)=(\begin{array}{ll}-r\mathrm{e}^{\phi} \mathrm{e}^{-\phi}-r\mathrm{e}^{\phi}b0 -\mathrm{e}^{-\phi}/r\end{array})$となるが, ここでも (16) より,.

$+z(\begin{array}{ll}-c_{1}/q -d_{1}/q\mathrm{e}^{\phi}-\mathrm{e}^{-\phi}bq \mathrm{e}^{\phi}a-c_{2}.q\end{array})+\cdot$$s_{0}(w_{1})=-v_{1}/q$であるが, (16) が成り立つので$-qr+v_{1}-1/q)+\cdot$.. :$+z(\begin{array}{lll}\mathrm{e}^{-\phi}b-rc_{1} c_{2}-\vee rd_{1}-\mathrm{e}^{-\phi}b/r -c_{2}/r \end{array})+$

の像は

$q,$

$r$

(24)

(25)

のみで表せる. その結果は,$q(t)$$\mapsto-\frac{1}{q(-t)}$$r(t)$$-+q(-t)^{2}r(-t)- \frac{q’(-t)}{2}$$q(t)$$-*q(-t)_{7} \cdot(_{\backslash }-t)^{2}+\frac{r’(-t)}{2}$$r(t)$$-+- \frac{1}{r(-t)}$

$\{$

$\{$

.

とをる.

5

Painlev\’e V への相似簡約

5.1

Painleve’IV の導出$\mathrm{I}$

初期値 $g(\mathrm{O})=g$ ( z;0) に対して相似条件oh)$g(\lambda z;0)=\lambda^{\alpha\Lambda}$を要請する. このような行うと,$\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}=\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}(z)$$g$$g(z;0)\lambda^{\beta\Lambda_{0}^{\langle \mathrm{h})}}\Leftrightarrow[d, g(0)]=\alpha$’oh)$g(0)+g(0)\beta\Lambda_{0}^{(\mathrm{h})}$(0) の homogeneous Heisenberg 部分 Lie 環による時間発展をは$\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}(\lambda z)=\lambda^{n}\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})}(z)$146を満たすので $g(t)=g$ ( z; ) は, 相似条件
$t$

90

h)

$g(\lambda z;t)=\lambda^{a}$$g(z;\tilde{t})\lambda$”A$0(\mathrm{h})$$\tilde{t}:=$($\lambda^{2}$$\lambda t_{1},$t2, . . .)$\}[d, g(t)]=(\alpha\Lambda_{0}^{(\mathrm{h})}+\sum_{n>0}nt_{n}\Lambda_{n}^{(\mathrm{h})})g(t)+g(t)\beta\Lambda_{0}^{(\mathrm{h})}$

を瀾たす

このような

$g$

(t) を Gauss 分解することにより, $g(t)_{<0},$$g_{<0}(\lambda z;t)=\lambda^{\alpha}$

’Sh)

5 ):

”Sh)

$\mathrm{h}$$g_{<0}(z;\tilde{t})\lambda^{-\alpha\Lambda}$$g(t)_{\geq 0}$

の相似条件

(26)

$g\geq 0(z,\tilde{t})\lambda^{\beta \mathrm{V}_{0}^{(\mathrm{h})}}$$g_{\geq 0}(\lambda z;t)=\lambda^{\alpha}$が得られる. 特に$q(\tilde{t})=\lambda^{-1-2\alpha}$e (t),q(t),$r(\tilde{t})=\lambda^{2\alpha}$$\phi$$\mathrm{e}^{\phi}(\tilde{t})=\lambda^{-}0-\beta$$a(\tilde{t})=\lambda$

2$\beta$

a(t),

r(t)

$b(\tilde{t})=\lambda^{-}2\beta+1b(t)$等が成り立つ. ここで $\alpha=-1/4$ とした場合が, Ablowitz らの考察した場合 (1) と本質的に同じになる (次数の数え方が 1/2 倍されているだけである). すなわち我々は, 相似条件にパラメータを入れることにより: 後に見るように full parameter の Painleve’IV を得ることができたのである. (26) よりさらにソリトン方程式の相似解の満たす Lax pair$\frac{\partial\Psi(z)}{\partial t_{n}}=B_{n}(z)\Psi(z)$$(n=1,2, \ldots)$ ,$z \frac{\partial\Psi(z)}{\partial z}=M(z)\Psi(z)$,

ここで:$M(z) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}=\alpha\Lambda_{0}+\sum_{n>0}nt_{n}B_{n}$も導かれる. そこで特に $t_{2}=1/2,$ $t_{3}=t_{4}=$$\frac{\partial\Psi(z)}{\partial x}=B_{1}(z)\Psi$(z),$B_{1}(z)=z(\begin{array}{ll}1 02r -1\end{array})+(\begin{array}{ll}\varphi -2q0 -\varphi\end{array})$$=0$と置いて得られる方程式系$z \frac{\partial\Psi(z)}{\partial z}=M(z)\Psi(z)$:$M(z)=z^{2}(\begin{array}{ll}1 02_{l}\prime\cdot -1\end{array})+z(\begin{array}{ll}x+\varphi -2q7\cdot\psi_{0} -x.-\varphi\end{array})+(\begin{array}{ll}\alpha+k q\psi_{1}0 -\alpha-k\end{array})$$\varphi=2qr\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}$,$\psi_{1}=-\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}$

(27)

,

2x-q’/q,:$\psi_{0}=2x-r’/r\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}$$k=2xqr\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}+q’r-qr’-2q^{2}r^{2}$が Painleve’IV の Lax 表示を与えている. それは, 相似条件より関係式 $\alpha+k=-\beta$ と$\psi 0-\psi 1-\varphi-2x$ $+ \frac{\alpha+\beta}{(\rho}.=0$

(28)

147
がわかり, さらに (27) の両立条件より得られる$\varphi’=-\varphi$( $\psi 1+\psi$ o),$\psi_{1}’=2\psi_{1}(x+\varphi)+\psi_{1}^{2}-4\beta$,$\psi 8=-2\psi_{0}(x+\varphi)+\psi_{0}^{2}-4\beta+2$により$\varphi,$”$-\psi_{0}$$\psi_{1}$がそれぞれ$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$,を満たしてぃることがゎかるからである. 特に, パ

ラメータの対応は$\varphi$$\psi$$\psi$

である. ここではる. パラメータ$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$$\alpha,$$\beta$と: $\eta 1=-\alpha+3\beta-1,$$\eta 2=2(\alpha+\beta)^{2}$

1: $\eta 1=2\alpha+1$ ,$=-8\beta^{2}$$\gamma/2$

0 : $\eta 1=-2\alpha$ ,$\eta 2=-2(2\beta-1)^{2}$の確認は省略して, はじめに述べた結果との比較を行うことにすJimbo-Miwa による変形方程式 (2) のモノドロミー指数との対応は ,$(\theta_{\infty}, \theta_{0})=(-\alpha, -\beta)$

であり -,

標$\psi_{1}$$(q, p)$力

JimbO-Miwa による$\backslash \backslash \backslash$$(\mathrm{P}_{1\mathrm{V}})$の解に対応する. さらに Okamoto にょる正準座(3) との対応は$(q,p)=(\varphi, -\psi_{1})$,$(-\psi_{0}, -\varphi)$の二組がある. すなわち, 微分型非線形 Schr\"odinger 方程式まで拡張すると, (NLS) の解と正準座標との関係が理解されるのである. まな, 野海 山田の対称形式 (4) の変数(Chevelley generator ではない) は, 上の $(q, p)$ から得られる Hamiltonian の不$(f_{0}, f_{1}, f_{2})$変因子なので$(f_{0}, f_{1}, f_{2})=(\varphi+\psi_{1}+2x, -\varphi, -\psi_{1})$,$(\varphi-\psi_{0}+2x, \psi 0, -\varphi)$として再現できる.

5.2

Painlev\’e IV の affine Weyl 群対称性

相似条件を満たすような初期値 (O) に対して affine Weyl 群の生或元を左右から作用とさせたとき, -gradation の微分の交換関係より, パラメータは, 右作用$g$$\mathbb{Z}$$d_{\mathrm{p}}$$s_{0},$$s_{1}$$\alpha,$に対しては$s_{0}^{\mathrm{R}}(\alpha)=\alpha$,$s_{0}^{\mathrm{R}}(\beta)=-\beta+1,$$s_{1}^{\mathrm{R}}(\alpha)=\alpha$,$s_{1}^{\mathrm{R}}(\beta)=-\beta$,

左作用に対しては$\ovalbox{\tt\small REJECT}(\alpha)=-\alpha-1$$s_{1}^{\mathrm{L}}(\alpha)=-\alpha$,,$s_{0}^{\mathrm{L}}(\beta)=\beta$,$s_{1}^{\mathrm{L}}(\beta)=\beta$,$\beta$148となることはすぐにわかる.

は, 相似条件のさらに右作用に関しては, 作用を記述するときに現れた関数,
もとで Painlcv\’e IV の解 ,とパラメータのみで表すことができる. 具体的には$\mathrm{e}^{-2\phi}b$$\psi_{1}$$\mathrm{e}^{2\phi}a$$\beta$$\psi_{0}$$\mathrm{e}^{-2\phi}b=\frac{r\psi_{0}}{1-2\beta}$$\mathrm{e}_{J}^{2\phi}a=\frac{q\psi_{1}}{2\beta}$とをる.

ここでは, 時間発展が homogeneous の場合を考察しているのだが, principal の場合に全く同様の議論を行って右作用を Gauge 変換であらわせば, 野海 山田による affine Weyl
群の作用が再現されるのである. こうしての場合,
$A_{1}^{(1)}$$\partial \mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{S}$$W(A_{1}^{(1)})\uparrow$-action$\Rightarrow$

Painlev\’e IV$W(A_{1}^{(1)})\uparrow$$\Rightarrow$-actionという関係がわかった. さらに Dynkin 図形の同型写像にあたるの外部自己同型から,’.‘拡大 affine Weyl 群” の作用を構或し, その並進としてが得られることも示せるの$\epsilon 1_{2}$$(\mathrm{d}\mathrm{P}\mathrm{I})$だが, 詳しくは別の機会に譲ることにする.

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$E_{8}$”