Egész pontokról racionálisan
Tengely Szabolcs
2008. április 16.

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 1

Algebrai görbék
❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Legyen f ∈ Q[X , Y ], C(R) = {(x, y) ∈ R 2 : f(x, y) = 0}.
●

génusz legalább 1: Siegel (1929) igazolta, hogy C(Z) véges.

●génusz legalább 2: Faltings (1983) bebizonyította, hogy
C(Q) véges.

1 génuszú görbék:
2 génuszú görbék:

Y 2 = X 3 + a1 X + a2 .

Y 2 = b6 X 6 + b5 X 5 + b4 X 4 + b3 X 3 + b2 X 2 + b1 X + b0 .

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 2

Eszközök
❖ Algebrai görbék

●❖ Runge módszer●❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita●❖ Eszközök❖ Algoritmus

●
●
●
●
●
●

Intézeti Szeminárium

Elemi, lokális módszerek
Runge módszer

Skolem módszer
Baker módszer

Chabauty módszer

Elliptikus Chabauty módszer
Demjanenko-Manin módszer
Moduláris módszer
Mordell-Weil szita

tengely@math.klte.hu – slide 3

Runge módszer❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök

P(X , Y ) =❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

n
m X
X

ai,j X i Y j ,ai,j ∈ Z

i=0 j=0

irreducibilis polinom a Q[X , Y ] gyűrűben. Legyen λ > 0.

●●

Pλ (X , Y ) : az összes ai,j X i Y j összege, ahol i + λj maximális,P̃(X , Y ) : az összes olyan ai,j X i Y j összege, amely előfordul
valamely Pλ (X , Y ) polinomban.

Egy P polinom eleget tesz Runge feltételének, ha nem létezikλ, amelyre P̃ = Pλ konstans szorzótól eltekintve egy
irreducibilis polinom hatványa.

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 4❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

Példa:●●●P(X , Y ) = X 2 − Y 8 − Y 7 − Y 2 − 3Y + 5,

Pλ (X , Y ) = X 2 ha λ < 41 ,Pλ (X , Y ) = X 2 − Y 8 ha λ = 41 ,Pλ (X , Y ) = Y 8 ha λ > 41 ,így P̃(X , Y ) = X 2 − Y 8 = (X − Y 4 )(X + Y 4 ).

tengely@math.klte.hu – slide 5❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Példa:●●●P(X , Y ) = X 2 − Y 8 − Y 7 − Y 2 − 3Y + 5,

Pλ (X , Y ) = X 2 ha λ < 41 ,Pλ (X , Y ) = X 2 − Y 8 ha λ = 41 ,Pλ (X , Y ) = Y 8 ha λ > 41 ,így P̃(X , Y ) = X 2 − Y 8 = (X − Y 4 )(X + Y 4 ).

Tétel (Runge,1887). Ha a P polinom eleget tesz a Runge
feltételnek, akkor a P(x, y) = 0 diofantikus egyenletnek csak
véges sok megoldása van.
További eredmények: Hilliker és Straus, Walsh, Grytczuk ésSchinzel, Laurent és Poulakis.
Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 5❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Az F (x) = G(y) eset:

deg F = n, deg G = m, gcd(m, n) > 1 és az F (X ) − G(Y )polinom irreducibilis a Q[X , Y ] gyűrűben. Legyen
1 < d | gcd(m, n). Ekkor Runge feltétele teljesül.

Tétel (T.Sz.,2003). Ha (x, y) ∈ Z2 megoldása az F (x) = G(y)egyenletnek, ahol F és G kielégítik a fenti feltételeket, akkor
max{|x|, |y|} ≤ dIntézeti Szeminárium

2m2
d −m

3m
m2 +mn+mm2(m + 1) ( + 1) (h + 1) d +2m .
d3m
2dtengely@math.klte.hu – slide 6

❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Lemma (Walsh,1992). Az U d = F (X ), V d = G(X ) egyenletekáltal deﬁniált U, V algebrai függvényekhez léteznek Puiseux
kifejtések:u(X ) =
v(X ) =∞
X

fi X −i és

i=− nd∞X

gi X −ii=− mdúgy, hogy d2(n/d+i)−1 fi ∈ Z minden i > − dn esetén, hasonlóannmd2(m/d+i)−1 gi ∈ Z minden i > − md esetén, és f− d = g− d = 1.
ndTovábbá |fi | ≤ (H(F ) + 1) +i+1 ha i ≥ − dn ésm|gi | ≤ (H(G) + 1) d +i+1 ha i ≥ − md.
Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 7

❖ Algebrai görbék

❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

F (X ) = ∞X

i=− nddfi X −i  ,G(Y ) = i=− mdgi Y −i  ,Amennyiben |t| elég nagy:
∞
X

d

2m
d −1

fi t

−i

gi t

−i

i=1

és

∞
X
i=1

Intézeti Szeminárium

∞
X

d

d

2m
d −1

1
<
2
1
< .
2

tengely@math.klte.hu – slide 8

❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Mivel F (x) = G(y), így u(x)d − v(y)d = 0, azaz
d−1(u(x) − v(y)) u(x)d−2

+ u(x)

d−1v(y) + . . . + v(y)



= 0,

ha d páratlan,


2
2
d−2
d−4
2
d−2
u(x) − v(y) u(x)+ u(x) v(y) + . . . + v(y)= 0,ha d páros.

A fenti egyenletekből adódik, hogyu(x) = v(y) ha d páratlan, ésu(x) = ±v(y) ha d páros.

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 9

❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szitaÍgy
0 = |u(x) ± v(y)| =∞X

fi x −i ±

0
X

2m
d −1

gi y−i .

i=− md

i=− dnHa |x| és |y| elég nagy, akkor
0X

i=− nd

d

2m
d −1

fi x

−i

±

i=− m
d

Egész együtthatós polinom!
n

Q(x, y) :=Intézeti Szeminárium

∞
X

d
X

i=0

2m

d d −1 f−i x i ±dgi y−i < 1.

m

d
X

i=0

2m

d d −1 g−i yi = 0.

Megoldás x-re: ResY (F (X ) − G(Y ), Q(X , Y )) = 0.
Megoldás y-ra: ResX (F (X ) − G(Y ), Q(X , Y )) = 0.

tengely@math.klte.hu – slide 10

Algoritmus❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

P0

P0
−i
Legyen u(X ) = i=− n fi X és v(X ) = i=− m gi X −i , aholpp+p| gcd(m, n) páratlan. Legyen t ∈ R . Ekkor(u(x) − t)p < F (x) < (u(x) + t)p ahol x ∈/ [xt− , xt+ ],+(v(y) − t)p < G(y) < (v(y) + t)p ahol y ∈/ [y−t , yt ].

xt− = min{{0} ∪ {x ∈ R : F (x) − (u(x) − t)p = 0
vagy F (x) − (u(x) + t)p = 0}},xt+ = max{{0} ∪ {x ∈ R : F (x) − (u(x) − t)p = 0
vagy F (x) − (u(x) + t)p = 0}},py−t = min{{0} ∪ {x ∈ R : G(x) − (v(x) − t) = 0
vagy G(x) − (v(x) + t)p = 0}},py+t = max{{0} ∪ {x ∈ R : G(x) − (v(x) − t) = 0
vagy G(x) − (v(x) + t)p = 0}}.
tengely@math.klte.hu – slide 11❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer

Adódik, hogyu(x) − t < F (x)1/p < u(x) + t ahol x ∈/ [xt− , xt+ ],❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

Így+v(y) − t < G(y)1/p < v(y) + t ahol y ∈/ [y−t , yt ].

−2t < u(x) − v(y) < 2t.

A speciális megoldások gyökei a
ResY (F (X ) − G(Y ), u(X ) − v(Y ) − T ) polinomnak. Itt−2t < T < 2t racionális szám, amelynek nevezője osztója
2mp p −1 -nek.

tengely@math.klte.hu – slide 12❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Megoldások meghatározása:+
F (x) = G(k) valamilyen k ∈ [y−
,
y
t
t ],

G(y) = F (k) valamilyen k ∈ [xt− , xt+ ],ResY (F (X ) − G(Y ), u(X ) − v(Y ) − T ) = 0 ahol T ∈ Q, |T | < 2t
a nevezője osztója p

2m
p −1

számnak.

Adott egyenlet megoldásához tehát t-től függő rendszert kellkezelni. Az rendszerben szereplő egyenletek számát redukáljuk
("baby-step giant-step" eﬀektus).

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 13

Példa❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök

x 3 − 5x 2 + 45x − 713 =y9 − 3y8 + 9y7 − 17y6 + 38y5 − 199y4 − 261y3 + 789y2 + 234y.

❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Ekkor

5
u(X ) = X − ,34v(Y ) = Y 3 − Y 2 + 2Y − .
3

t
1/6
1/3
2/3
4/3

"rendszer mérete"
177
95
67
52

+
[xt− , xt+ , y−t , yt ][ -86, 45, -32, 11 ][ -48, 15, -18, 9 ][ -27, 13, -10, 8 ][ -16, 11, -2, 6 ]Megoldás: (x, y) = (−11, −2).
Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 14

Demjanenko-Manin módszer❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Cu,v : Y 2 = uX 6 + vX 4 + vX 2 + u =: F (X ),Legyen Eu,v : Y 2 = uX 3 + vX 2 + vX + u.
Magasság: h(P) = h(x1 /x2 ) = log(max{|x1 |, |x2 |}).
Kanonikus magasság: ĥ(P) = limn→∞ 4−n h([2n ]P).
Tulajdonságok: ĥ(P) = h(P) + O(1) és ĥ(mP) = m2 ĥ(P).
Silverman korlát:

1111h(j) − h(∆) − 1.946 ≤ ĥ(P) − h(P) ≤ h(j) + h(∆) + 2.14
4
6
6
6

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 15❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

Leképezések:φ1 (X , Y ) = (X 2 , Y ),φ2 (X , Y ) = (1/X 2 , Y /X 3 ).

(φ1 + φ2 )(X , Y ) = (f+ (X ), Y g+ (X )) és(φ1 − φ2 )(X , Y ) = (f− (X ), Y g− (X )), ahol

−2uX 3 − 3uX 2 − 2uX + vX 2
f+ (X ) =,4
3
2u(X + 2X + 2X + 2X + 1)
2uX 3 − 3uX 2 + 2uX + vX 2.
f− (X ) =u(X 4 − 2X 3 + 2X 2 − 2X + 1)

tengely@math.klte.hu – slide 16❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Tegyük fel, hogy Eu,v (Q) = hEu,v (Q)tors , Ri és P ∈ Cu,v (Q).
Ekkor
φ1 (P) = [n]R + T1 , φ2 (P) = [m]R + T2 .

Ha N elég nagy, akkor[N]φ1 (P) = [nN]R,[N]φ2 (P) = [mN]R.

Így ĥ(φ1 (P)) = n2 ĥ(R) és ĥ(φ2 (P)) = m2 ĥ(R).

|ĥ(φ1 (P)) − ĥ(φ2 (P))| ≤ |ĥ(φ1 (P)) − h(φ1 (P))| +|ĥ(φ2 (P)) − h(φ2 (P))| + |h(φ1 (P)) − h(φ2 (P))|⇒ |m2 − n2 | < konst. ⇒ min{|m|, |n|} < konst.

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 17

Hiperelliptikus alapozás❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

C:

Y 2 = F (X ) = X (X − 1)(X − 2)(X − 5)(X − 6),

Ekkor a megfelelő osztályok:(x, y) + (u, v) − 2∞ → {(x, y), (u, v)}.
Speciális elemek: {(x, y), (x, −y)}, {∞, ∞} √→ O.
Megfelelő párok: (x, y), (u, v) ∈ C(Q), C(Q( d)).√1
Példák: {(0, 0), (10, −120)}, {∞, (1, 0)}, {( 11+22 41, 35 +√√√1
5 41), ( 115 41)}.
−
2
2 41, 35 −√√111
Nem OK: {(3, 6), ( 2 + 2 41, 35 + 5 41)}.

tengely@math.klte.hu – slide 18❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

Elemek összeadása: A = {(0, 0), (1, 0)}, B = {(2, 0), (3, 6)}.
Az Y = X (X − 1)(X − 2) görbe átmegy a 4 ponton.
Behelyettesítve az Y 2 = F (X ) egyenletbe adódik:X (X − 1)(X − 2)(X − 3)(X 2 − X + 10).

Legyen
√
√
√
√
1
1
1
1
C = {( 2 + 2 −39, 15 − 5 −39), ( 2 − 2 −39, 15 + 5 −39)}.
Ekkor A√+ B + C = O, √azaz A + B =√
√
1
1
1
1
{( 2 + 2 −39, −15 + 5 −39), ( 2 − 2 −39, −15 − 5 −39)}.

tengely@math.klte.hu – slide 19

Baker módszer + Mordell-Weil szita❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

Y p − Y = Xq − X,

2 ≤ p < q.

Fielder, Alford (1998): pozitív megoldások(3, 2, 2, 3), (6, 2, 2, 5), (15, 2, 6, 3), (16, 2, 3, 5),(13, 3, 3, 7), (91, 2, 2, 13), (280, 2, 5, 7), (4930, 2, 30, 5).

tengely@math.klte.hu – slide 20

Baker módszer + Mordell-Weil szita❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

Y p − Y = Xq − X,

2 ≤ p < q.

Fielder, Alford (1998): pozitív megoldások(3, 2, 2, 3), (6, 2, 2, 5), (15, 2, 6, 3), (16, 2, 3, 5),(13, 3, 3, 7), (91, 2, 2, 13), (280, 2, 5, 7), (4930, 2, 30, 5).

További eredmények:
Mordell (1963): p = 2, q = 3 eset,
Mignotte és Pethő (1999): végességi eredmények, teljes
megoldás p = 2, q > 2 esetben, feltéve, hogy y teljes hatványa
valamilyen prímnek.

tengely@math.klte.hu – slide 20❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium   nm=,klk, l, m, n ∈ N és 2 ≤ k ≤ n2 , 2 ≤ l ≤ m2 .
Ismert megoldások:         
36
120
22
56
10
16
,
=
,
=
,
=
3
2
3
2
3
2
             
14
15
78
19
153
10
21
,
=
=
,
=
,
=
6
5
2
5
2
4
2

    
F2i+2 F2i+317
F2i+2 F2i+3 − 1
221,ahol i = 1, 2, . . . ,==8F2i F2i+3
F2i F2i+3 + 1
2

tengely@math.klte.hu – slide 21❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita   nm=,klk, l, m, n ∈ N és 2 ≤ k ≤ n2 , 2 ≤ l ≤ m2 .
Ismert megoldások:         
36
120
22
56
10
16
,
=
,
=
,
=
3
2
3
2
3
2
             
14
15
78
19
153
10
21
,
=
=
,
=
,
=
6
5
2
5
2
4
2

    
F2i+2 F2i+317
F2i+2 F2i+3 − 1
221,ahol i = 1, 2, . . . ,==8F2i F2i+3
F2i F2i+3 + 1
2

Lind (1968), Singmaster (1975): Fibonaccisorozattal megadott
megoldás családok. De Weger (1997): nk ≤ 1030 vagyn ≤ 1000 esetében nincs több nem triviális megoldás.

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 21❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti SzemináriumMordell (1963), Avanesov (1966/1967), Pintér (1995), De Weger(1996), Stroeker és De Weger (1999): teljes megoldások(k, l) ∈ {(2, 3), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (4, 6)}

esetében. Ezek a problémák Thue egyenletekre vagy elliptikus
görbékre vezetnek.

tengely@math.klte.hu – slide 22❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti SzemináriumMordell (1963), Avanesov (1966/1967), Pintér (1995), De Weger(1996), Stroeker és De Weger (1999): teljes megoldások(k, l) ∈ {(2, 3), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (4, 6)}

esetében. Ezek a problémák Thue egyenletekre vagy elliptikus
görbékre vezetnek.
Általános végességi eredmények:
Kiss (1988): k = 2 és l adott páratlan prím.
Brindza (1991): k = 2 és l ≥ 3.

tengely@math.klte.hu – slide 22❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Bugeaud, Mignotte, Siksek, Stoll, Tengely (2008):
Y 2 − Y = X5 − Xösszes egész megoldása:(X , Y ) = (−1, 0), (−1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, −5),
(2, 6), (3, −15), (3, 16), (30, −4929), (30, 4930).

J(Q) Mordell-Weil csoportjának a rangja 3.

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 23❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Bugeaud, Mignotte, Siksek, Stoll, Tengely (2008):
   xy=
52összes egész megoldása:(X , Y ) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0),(3, 1), (4, 0), (4, 1), (5, −1), (5, 2),(6, −3), (6, 4), (7, −6), (7, 7), (15, −77), (15, 78),
(19, −152), (19, 153).

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 24❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

●Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

tengely@math.klte.hu – slide 25❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök●❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

●Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q)
Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

tengely@math.klte.hu – slide 25❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök●❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

●●Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q)
Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell aMordell-Weil csoport rangját meghatározni.

tengely@math.klte.hu – slide 25❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök●❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

●

●

●

Intézeti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q)
Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell aMordell-Weil csoport rangját meghatározni.
S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: afellépő számtestek foka nagy.

tengely@math.klte.hu – slide 25❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök●❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

●

●

●

●

Intézeti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q)
Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell aMordell-Weil csoport rangját meghatározni.
S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: afellépő számtestek foka nagy.
S-egység egyenletek + Skolem módszere: a fellépő
számtestek foka nagy.

tengely@math.klte.hu – slide 25❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök●❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

●

●

●

●

●

Intézeti Szeminárium

Mivel F (X , Y ) = Y 2 − Y − X 5 + X esetében F (0, 0) = 0,
Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb
közös osztóval rendelkező megoldások.

Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(Q)
Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe
génusza.

Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell aMordell-Weil csoport rangját meghatározni.
S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: afellépő számtestek foka nagy.
S-egység egyenletek + Skolem módszere: a fellépő
számtestek foka nagy.
Demjanenko-Manin módszer: független leképezések
kellenek elliptikus görbére.

tengely@math.klte.hu – slide 25❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

Transzformált alak:C:

2y2 = x 5 − 16x + 8,

tengely@math.klte.hu – slide 26

❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Transzformált alak:C:

2y2 = x 5 − 16x + 8,

Mordell-Weil bázis J(Q)-ban:
D1 = (0, 2) − ∞,D2 = (2, 2) − ∞,D3 = (−2, 2) − ∞.

Ekkor x − α = κξ 2 , ahol κ ∈{1, −2α, 4 − 2α, −4 − 2α, −2α + α 2 , 2α + α 2 , −4 + α 2 , 8α − 2α 3 }.
Baker korlát log x-re: 5.1 × 10565 .

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 26

❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer

Bruin, Stoll: Mordell-Weil szita
(C(Q)) ⊆ W + BJ(Q),❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

ahol W az ismert racionális pontok képe és
8

4

3

3

2

2

2

B = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 ·Legyen L0 = BZ3 és
3

φ : Z → J(Q),Intézeti Szeminárium

2

φ(a1 , . . . , ar ) =

X

Y

p

37≤p≤149
p6=107

ai Di ,

tengely@math.klte.hu – slide 27❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Ekkor

(C(Q)) ⊂ W + φ(BZ3 ).

Rácsok csökkenő lánca:BZ3 = L0 ) L1 ) L2 ) · · · ) Lk ,úgy, hogy

(C(Q)) ⊂ W + φ(Lj ).

Az így meghatározott rács indexe: 3.32 × 103240 ,az ebben a rácsban található legrövidebb vektor hossza:
1.156 × 101080 .
Amennyiben létezne P ∈ C(Q) ismeretlen pont, akkor
log x(P) ≥ 0.95 × 102159 ,ellentmondás, mert a felső korlát 5.1 × 10565 .
Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 28

g-gonális számok❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Intézeti Szeminárium

Deﬁníció:m{(g − 2)m − (g − 4)}Gm,g =.
2
Rekurzív sorozatokban található g-gonális számok vizsgálata
g ∈ {3, 4, 5, 7} esetében: J.H.E Cohn, Katayama, Ljunggren,
Luo, Prasad, Rao.

tengely@math.klte.hu – slide 29

g-gonális számok❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

Deﬁníció:m{(g − 2)m − (g − 4)}Gm,g =.
2
Rekurzív sorozatokban található g-gonális számok vizsgálata
g ∈ {3, 4, 5, 7} esetében: J.H.E Cohn, Katayama, Ljunggren,
Luo, Prasad, Rao.
Tengely (2008): g ∈ {6, 8, 9, 10, . . . , 20} esetében
Fn = Gm,g ,Pn = Gm,g ,Ln = Gm,g ,Qn = Gm,gegyenletek megoldásainak meghatározása.

Intézeti Szeminárium

tengely@math.klte.hu – slide 29❖ Algebrai görbék
❖ Eszközök❖ Runge módszer❖ Algoritmus❖ Példa❖ DemjanenkoManin❖ Hiperelliptikus
alapozás❖ Baker módszer +Mordell-Weil szita

A következő görbék vizsgálatára vezet:
CFeven
:
n

CFodd
:
n

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 16,

CLodd
:
n

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 + 80,

CPodd
:
n

Y 2 = 2((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 4,

CQodd
:
n

Y 2 = 2((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 + 8.

CLeven:nCPeven:n

CQeven:nIntézeti Szeminárium

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 + 16,

Y 2 = 5((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 80,

Y 2 = 2((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 + 4,

Y 2 = 2((g − 2)X 2 − (g − 4)X )2 − 8,tengely@math.klte.hu – slide 30