物理学基礎 I（医・医）第６回
仕事とエネルギー（１次元）
川﨑猛史
名古屋大学理学部物理学科

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川﨑 (理・物理)物理学基礎 I（医・医） 第６回

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第６回講義資料目次
1 講義のスケジュール
2 今回の内容
3 仕事とエネルギー

仕事とは仕事の具体的な計算
Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入
位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出
具体的な系における力学的エネルギー保存則
力学的エネルギーが保存しない運動の具体例
4 まとめ

第 6 回講義のまとめ
第 5・6 回レポート課題について

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講義のスケジュール

第６回講義資料目次
1 講義のスケジュール
2 今回の内容
3 仕事とエネルギー

仕事とは仕事の具体的な計算
Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入
位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出
具体的な系における力学的エネルギー保存則
力学的エネルギーが保存しない運動の具体例
4 まとめ

第 6 回講義のまとめ
第 5・6 回レポート課題について

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講義のスケジュール

1. 講義のスケジュール
講義資料は各講義予定日前日にアップロードする．
1 4/16：第 1 回
2 4/23：第 2 回 (第 1・2 回課題公開)
3 4/30：第 3 回 (第 1・2 回課題提出期限)
4 5/07：第 4 回 (第 3・4 回課題公開)
5 5/14：第 5 回 (第 3・4 回課題提出期限)
6 5/21：第 6 回 (第 5・6 回課題公開)
7 5/28：第 7 回 (第 5・6 回課題提出期限)
8 6/04：第 8 回 (第 7・8 回課題公開)
9 6/11：名大祭のため休講
10 6/18：第 9 回 (第 7・8 回課題提出期限)
11 6/25：第 10 回
(第 9・10 回課題公開)
12 7/02：第 11 回 (第 9・10 回課題提出期限)
13 7/09：第 12 回
14 7/16：第 13 回 (第 11・12・13 回課題公開)
15 7/17：補講（質問対応等）
16 7/23：オリンピックのため休講(第 11・12・13 回課題提出期限)
17 8/6（予定）： 期末試験
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今回の内容第６回講義資料目次
1 講義のスケジュール
2 今回の内容
3 仕事とエネルギー

仕事とは仕事の具体的な計算
Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入
位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出
具体的な系における力学的エネルギー保存則
力学的エネルギーが保存しない運動の具体例
4 まとめ

第 6 回講義のまとめ
第 5・6 回レポート課題について川﨑 (理・物理)

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今回の内容2. 今回の内容
本講義内容（期末試験範囲予定）[教科書 p31-p103(但し p93 以降はごく基本的な内容に限る)]
導入：物理学とは．
質点の運動学：質点の位置，速度，加速度の関係，ならびに，これらの微分（積分）による表現方法を学ぶ。特に，自由落下，斜方投射，等速円運動などを具体的に扱う。
運動の原因となる「力」を導入する．
「運動の３法則」（慣性の法則，運動方程式，作用・反作用の法則）を導入し，様々な運動を運動方程式を用いて普遍的に表現する．
質点の運動方程式の解法：運動方程式を様々なタイプの微分方程式に落とし込み，これらを具体的に解く。特に，減衰運動，単振動，減衰振動，強制振動などを扱う。
エネルギーとその保存則：仕事とエネルギーの関係を考察し，それらの具体的な問題を扱う．
中心力運動：重力ポテンシャル系を例に，中心力による質点の軌道を考察する．
相対運動と慣性力：座標変換と相対運動を扱い，慣性力を導入する．
多質点系の並進運動：重心運動と相対運動に分けて考える．
多質点系の回転運動：慣性モーメントの導入．
剛体の動力学：慣性モーメントを用いて回転する剛体運動の簡単な例を扱う．

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仕事とエネルギー

第６回講義資料目次
1 講義のスケジュール
2 今回の内容
3 仕事とエネルギー

仕事とは仕事の具体的な計算
Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入
位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出
具体的な系における力学的エネルギー保存則
力学的エネルギーが保存しない運動の具体例
4 まとめ

第 6 回講義のまとめ
第 5・6 回レポート課題について

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仕事とエネルギー

3. 仕事とエネルギー

仕事とエネルギー [教科書 p51 〜 p60]
物体が Newton の運動法則に従って運動する場合，時間を経ても変化しない量：保存量が存在.
今回は，保存量の一つであるエネルギーの概念を導入．
力と変位の積によって定義される「仕事」を出発点とし，物理学において最も重要な概念の 1 つである運動エネルギーと位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）を導入．
運動エネルギーと位置エネルギーの和（力学的エネルギー）が，特定の条件下において保存することが，運動方程式から直接導かれることを示す．
今回は簡単のため，議論を 1 次元運動に限定．

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仕事とは

3.1. 仕事とは

仕事とは [教科書 p51]
質量 m の物体に一定の力 F を与え，力と平行な直線上を ∆x 変位．
当該区間において力が質点に行った「仕事」を以下の様に定義．
「仕事」の定義
仕事 (∆W ) ≡ 物体に働く力 (F ) ×物体の変位 (∆x)．
仕事の単位： J(ジュール) = Nm = kg m2 /s2 ．

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仕事の具体的な計算

3.2. 仕事の具体的な計算
仕事の具体的な計算 [教科書 p51]
時間区間 [t1 , t2 ] において，物体の位置 x(t) のみに依存する力 F (x(t)) が，物体の変位と常に平行方向に働く，1 次元運動における仕事を考える．
つまり，速度 v に比例するような抵抗力は働いていない状況を考える．
物体が運動する位置区間 [x(t1 ), x(t2 )] を，N (≫ 1) 個の微小区間[xi , xi + ∆x] (i = 1, 2, ..., N ) に分割．
ここで，xi+1 = xi + ∆x．
各区間が十分微小であれば，区間内における力は一定とみなすことが可能．
各区間における仕事は F (xi )∆x．
全区間で行った仕事の総和は，W =N∑

F (xi )∆x .

(1)

i=1

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仕事の具体的な計算

3.2. 仕事の具体的な計算 (2)∆x → 0 の極限を取ると，N∑

F (xi )∆x →∫ x(t2 )F (x)dx(2)

x(t1 )

i=1

上記の仕事の総和 W は，

∫ x(t2 )F (x)dx

W =(3)

x(t1 )

仕事を計算する際，この様な積分表記が有用．
以下，時間区間 [t1 , t2 ] で，力 F (x) が行った仕事を２通りの方法で考える．

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仕事とエネルギー

Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入

3.3. Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入

Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入 [教科書 p55 − 56]
時間区間 [t1 , t2 ] で，力 F (x) が行った仕事を求める（1 つ目の方法）．
物体の運動方程式は，mẍ = F (x) であるから力を mẍ と表せば，仕事は∫ x(t2 )
W =

mẍdx

(4)

x(t1 )

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Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入

3.3. Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入 (2)dx = ẋdt であることから，式 (4) の右辺を変形して，ẍdt = dẋ や v = ẋ に注意して∫ t2
W =mẍ(ẋdt)
t1∫ t2=mẋ(ẍdt)
t1∫ v(t2 )mẋdẋ

=v(t1 )

=mv(t2 )2mv(t1 )2−22(5)を得る.

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13 / 37仕事とエネルギー

Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入

3.3. Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入 (3)

ここで，K(v) =mv 22(6)を，速度 v をもつ質量 m の物体に関する運動エネルギーと定義する．
式 (5),(6) より，力の行った仕事は，K(v) を用いて，W = K(v(t2 )) − K(v(t1 ))(7)

仕事 W は，2 時刻における運動エネルギーの差で表されることが分かる．

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位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出

3.4. 位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出
位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出 [教科書 p55 − 56]
仕事を２つ目の方法で求める．
ここでは運動方程式の右辺から同様に仕事を計算する．
式 (3) で定義した仕事を，F (x) を用いて計算すると∫ x(t2 )W =F (x′ )dx′(8)x(t1 )である．
いま，適当に決めた基準点 x0 を間に挟んで積分を分割すると∫ x0
W =x(t1 )F (x′ )dx′ +∫ x(t2 )F (x′ )dx′(9)x0

である．
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位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出

3.4. 位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出 (2)新たに位置エネルギー U (x) を，力の位置に関する定積分として以下のように定義する．

∫ x
U (x) = −F (x′ )dx′(10)x0

ただし基準点 x0 は，式 (9) で選んだ x0 と同じものを選ぶ．
すると，仕事は∫ x0
W=x(t1 )=−

F (x′ )dx′ +∫ x(t1 )∫ x(t2 )x0( ∫)x(t2 )
F (x′ )dx′ − −F (x′ )dx′x0=
川﨑 (理・物理)F (x′ )dx′x0

U (x(t1 )) − U (x(t2 ))物理学基礎 I（医・医） 第６回(11)
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位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出

3.4. 位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出 (3)このように，仕事 W を，位置エネルギーと運動エネルギーの２通りの方法：式 (7) と (11) で表した．
これらは等しいので，U (x(t1 )) − U (x(t2 )) = K(v(t2 )) − K(v(t1 )).

(12)

同時刻のエネルギー同士をまとめれば，U (x(t1 )) + K(v(t1 )) = U (x(t2 )) + K(v(t2 ))(13)

ここで，運動エネルギーと位置エネルギーの和である力学的エネルギー
E(t) = U (x) + K(v) を導入.
任意の時刻 t1 ，t2 で E(t1 ) = E(t2 ) が成立.

E(t) は時間に依らず一定である（保存する）．
このことを， 力学的エネルギー保存則 と呼ぶ．
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位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出

3.4. 位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出 (4)一次元系の場合，力が位置のみに依存すれば力学的エネルギー保存則が成立する．この様に力学的エネルギーが保存する力を 保存力 という．
∫x
U (x) = − x0 F (x′ )dx′ であったので，逆に F (x) は位置エネルギーを位置x に関する微分F (x) = −dU (x)dx(14)である．

U が与えられて，その位置微分から力を求めることがよくある．（例：分子間力，万有引力）
U は保存力に関する潜在的な情報を有しているので ポテンシャルエネルギー ともいう．

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位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出

3.4. 位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出 (5)例：万有引力ポテンシャル [教科書 p65 参照]
質量 M の物体の位置を原点とし，x 離れた質量 m の物体の万有引力ポテン
シャルはU (x) = −GmMx(15)と表される．この時，質量 m の物体にかかる力を求めよ．

U (x) を x に関して微分すれば，
F (x) = −dU
mM= −G 2dxx(16)と x 軸と逆方向に働く力（万有引力）が求まる．

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位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出

3.4. 位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出 (6)

力学的エネルギー保存則のまとめ
質点に働く力が，質点の一次元の位置 x のみに依存する場合（力が x に対して一定である場合も含む），その様な力を保存力という．
質点に働く力が保存力の場合，力学的エネルギーは時間に対して保存する．

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具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則
具体的な系における力学的エネルギー保存則 [教科書 p57]
例 1:

重力場中の 1 次元運動質量 m の物体が，初期条件 x(0) = 0，ẋ(0) = v0 を初期条件にとる，1 次元鉛直投げ上げ運動を考える．この時，適当に x 軸を取れば，物体の運動方程式は，mẍ = −mg(17)となる．いま，任意の時間区間 [0, t1 ] における仕事とエネルギーとの関係を考察する．
重力は物体の速度には依存せず，あらゆる位置で一定であるため保存力．
力学的エネルギーが保存するはず．
以下これを検証する．

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具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (2)実際に，任意の位置 x における位置エネルギー U (x) を，基準点を x = 0 とし，∫ x
U (x) = −(−mg)dx = mgx(18)0と定義する．
位置エネルギーの基準点はどこでもよくて，U (x) が最も簡単になるように選ぶことが多い．
さて，任意の時間区間 [0, t1 ] において重力が行った仕事 W と位置エネルギーとの関係は，∫ x(t1 )W =(−mg)dx
x(0)=0∫ 0=x(0)川﨑 (理・物理)∫ x(t1 )(−mg)dx +(−mg)dx
0=

U (x(0)) − U (x(t1 ))=0 − mgx(t1 )物理学基礎 I（医・医） 第６回(19)
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22 / 37仕事とエネルギー

具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (3)重力が行った仕事と各時刻の運動エネルギーとの関係は，初期条件 ẋ(0) = v0
を用いれば，∫ x(t2 )W=

mẍdxx(t1 )∫ t1=mẍẋdt0∫ t1=

mẋẍdt0∫ v(t1 )=mẋdẋv(0)==川﨑 (理・物理)

mv(t1 )2mv02−
22K(v(t1 )) − K(v(0))

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具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (4)式 (19)，(20) を比較すれば，力学的エネルギー保存則

mv(t1 )2mv02+ mgx(t1 ) =+ 0 = Const.
22(21)を得る．
これを用いることで，例えば，t = t1 において，投げ上げにおける頂点に至る場合，v(t1 ) = 0 となるので，頂点座標 x(t1 ) は，x(t1 ) =v022g(22)を得る．

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具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (5)例 2:

弾性力の位置エネルギー：弾性エネルギー

一端を固定した，ばね定数 k(> 0) のばねに，質点とみなせる質量 m(> 0)の小球をつけ，滑らかな水平面上を 1 次元運動させる．この時，適当に x 軸を取れば，物体の運動方程式は，mẍ = −kx(23)となる．いま，初期条件を x(0) = x0 ，ẋ(0) = 0 とする時，任意の時間区間[0, t1 ] における仕事とエネルギーとの関係を考察する．
弾性力 −kx は，位置 x のみに依存することから保存力である．その為，力学的エネルギーが保存するはずである．
基準点を x = 0(ばねが自然長) とする位置エネルギーを∫ x
U (x) = −(−kx)dx =0kx22(24)と定義．
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仕事とエネルギー

具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (6)時間区間 [0, t1 ] において，ばねが行った仕事と位置エネルギーの関係は，∫ x(t1 )W=(−kx)dxx(0)=x0∫ 0=∫ x(t1 )(−kx)dx +x(0)=川﨑 (理・物理)(25)(−kx)dx
0kx(t1 )2kx20−= U (x(0)) − U (x(t1 ))22

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26 / 37仕事とエネルギー

具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (7)初期条件 ẋ(0) = v(0) = 0 を用いれば，弾性力が行った仕事と，各時刻の運動エネルギーとの関係は，∫ x(t1 )
W =
mẍdx
(26)
x(0)

∫ t1=

mẍẋdt0==mv(t1 )2−02K(v(t1 )) − K(v(0))

式 (26)，(27) を比較すれば，力学的エネルギー保存則

mv(t1 )2kx(t1 )2kx20+== Const.
222(27)が求まる．

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27 / 37仕事とエネルギー

具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (8)
力学的エネルギー保存則が成立することは，単振動の解からも直接確認できる．
本例における，初期条件を考慮した特殊解は，位置√x(t) = x0 cos( k/m t)(28)
ならびに速度ẋ(t) = v(t) = −x0√√k/m sin( k/m t)(29)となることを以前扱った．
22
力学的エネルギー E(t) = kx(t)+ mv(t)に，解 (28)，(29) を代入すると，22E(t) =

√√
kx20
kx20
kx20
cos2 ( k/m t) +sin2 ( k/m t) == Const.
222(30)

これは先の式 (27) と同等の結果であり，力学的エネルギー E(t) が時間に依存せず一定であることがわかる．

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28 / 37仕事とエネルギー

具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (9)次に，単振動の解軌道 (x(t), ẋ(t)) を時刻 t を広く変化させたものを図示する．
この様な図を，位相図という．
kx20= E0 とおくと，(x(t), ẋ(t)) は2kx(t)2mv(t)2+= E022の関係を満たす．
これを整理すると(()2x(t)√2E0 /k+(31))2v(t)√2E0 /mとなる．

x(t)，ẋ(t) を適当にスケールした解軌道 (x(t)/√=1(32)

2E0, ẋ(t)/k√2E0) は半径 1mの円．
コンピュータを用いて図示した結果が図 1．
この様な閉じた円上に解軌道が乗ることは，力学的エネルギーが保存していることを意味する．
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具体的な系における力学的エネルギー保存則

3.5. 具体的な系における力学的エネルギー保存則 (10)
1.00
0.75

0.25

ẋ(t)/

q

2E0m

0.50

0.00

−0.25
−0.50
−0.75
−1.00

q−1.00−0.75−0.50−0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

x(t)/

2E0k

図 1: t を幅広く変化させた際の単振動の解軌道 (x(t)/√2E0，ẋ(t)/k√

2E0)．半径 1mの円になっている．

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仕事とエネルギー

力学的エネルギーが保存しない運動の具体例

3.6. 力学的エネルギーが保存しない運動の具体例
力学的エネルギーが保存しない運動の具体例：抵抗力のかかる運動 [講義オリジナル]

次に扱う非保存力を含む系の解軌道は，単振動の時と比べて振る舞いが異なることを紹介する．
例：減衰振動
一端を固定した，ばね定数 k(> 0) のばねに，質点とみなせる質量 m(> 0) の小球をつけ，滑らかな水平面上を 1 次元運動させる．ここでは，粘性抵抗力−ξ ẋ が掛かるとする．この時，適当に x 軸を取れば，物体の運動方程式は，mẍ = −ξx − kx(33)となる．いま，初期条件を x(0) =√x0 ，ẋ(0) = 0 とし，減衰振動するパラメータに対して，時間区間 [0, 10π m/k] における仕事とエネルギーとの関係を考察する．

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31 / 37仕事とエネルギー

力学的エネルギーが保存しない運動の具体例

3.6. 力学的エネルギーが保存しない運動の具体例 (2)
この問題では，非保存力である粘性抵抗力が働いているため力学的エネルギーが保存しない様子を考察．
今回与えられた初期条件を満たす運動方程式の特殊解はx(t)=ẋ(t)=+√x0 ωe−γt√sin ( ω 2 − γ 2 t + ϕ)
ω2 − γ 2√x0 ωe−γt√{−γ sin ( ω 2 − γ 2 t + ϕ)
ω2 − γ 2√√ω 2 − γ 2 cos ( ω 2 − γ 2 t + ϕ)}(34)(35)となることを以前示した．
√√
ここで，ω = k/m，γ = ξ/2m，ϕ = tan−1 ( (ω/γ)2 − 1)．
kx2

初期時刻における力学的エネルギーは E0 = 2 0 ．
√√00
単振動の時と同じように，解軌道 (x(t)/ 2E, ẋ(t)/ 2E) をコンピュータをkm用いて計算した結果を図 2 に示した．
解軌道は渦巻状の軌道をとり，時間の経過に伴い原点へ収束する．
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仕事とエネルギー

力学的エネルギーが保存しない運動の具体例

3.6. 力学的エネルギーが保存しない運動の具体例 (3)
1.00
0.75

0.25

ẋ(t)/

q2E0m

0.50

0.00

−0.25
−0.50
−0.75
−1.00

q−1.00−0.75−0.50−0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00x(t)/
図 2: √ω/γ = 10 における，時間区間 [0, 10π√(x(t)/

川﨑 (理・物理)

2E0，ẋ(t)/k2E0k√m/k] における減衰振動の解軌道

2E0)．渦状軌道をとり，時間の経過に伴い原点へ収束していく.
m

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力学的エネルギーが保存しない運動の具体例

3.6. 力学的エネルギーが保存しない運動の具体例 (4)原点と軌道の各点との距離は力学的エネルギーの大きさと比例するため，原点へ収束していく軌道曲線の振る舞いは力学的エネルギーの減少を示唆．
従って，一般的に，抵抗力などの非保存力が働く系は，力学的エネルギー保存則は成立せず．

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まとめ

第６回講義資料目次
1 講義のスケジュール
2 今回の内容
3 仕事とエネルギー

仕事とは仕事の具体的な計算Newton 第 2 法則から運動エネルギーを導入
位置エネルギーの導入とエネルギー保存則の導出
具体的な系における力学的エネルギー保存則
力学的エネルギーが保存しない運動の具体例
4 まとめ

第 6 回講義のまとめ
第 5・6 回レポート課題について

川﨑 (理・物理)物理学基礎 I（医・医） 第６回

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第 6 回講義のまとめ

4.1. 第 6 回講義のまとめ

1 次元運動をする系におけるエネルギー保存則を導入した．
物体に掛かる力がその位置にのみ依存する「保存力」の場合，力学的エネルギーが保存する．
重力や単振動における弾性力は保存力であり，力学的エネルギーが保存する．
非保存力である抵抗力がかかると，力学的エネルギーは保存しない．

次回予告： 仕事とエネルギー（２・３次元）

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第 5・6 回レポート課題について

4.2. 第 5・6 回レポート課題について

当科目 NUCT 内「課題」欄に、「第 5・6 回レポート課題」を用意しました．
その中に，問題兼解答用紙をアップしましたので，各自印刷し，所定欄に解答の上，電子化した解答のスキャンを同ページ所定欄に添付してください．
解答用紙の印刷が諸事情により難しい場合は，通常のレポート用紙に解答してもよいこととします．
採点結果は，NUCT を通して各人へお知らせします．
添付ファイルは１つにまとめていることが望ましいです。
ファイル名は 第 5・6 回レポート課題 (氏名).pdf と命名してください．
スキャン方法の詳細は NUCT のフォーラムを参照ください。

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