宇宙と素粒子のなりたち
究極の理論に向けて－超弦理論の展望－
2012年4月7日
於大阪国際会議場

川合 光

自然科学の発展のしかた• 基本法則を探る
基本的なもの，基本的な力• 複雑なものの性質を探る
個々のものの性質
原子・分子，生命，材料科学，天体，宇宙
統一的な性質
熱力学，生命？，・・・
お互いに補い合いながら発展してきた
基本法則 ⇔ 複雑なものの性質
この話
基本法則の理解がどこまで進んでいるか基本的な粒子と相互作用
物質のより基本的な構成単位とその相互作用を調べる。

拡大
身の回りの物体（例）水

１億分の１ｃｍ
＝１Å
原子・分子

酸素原子核

原子・分子＝原子核＋電子
電気力

10個の電子

光子
光子

水素原子核

電子

原子核電子

原子核を拡大してみる
原子核＝陽子＋中性子
核力
8個の陽子と8個の中性子

中間子
中間子

酸素原子核

10万分の１Å = 1 fm

陽子

陽子

水素原子核 （陽子）陽子，中性子，中間子などをまとめてハドロンという。

中性子

ハドロンを拡大してみる
ハドロン＝ クォークや反クォークが強い相互作用でくっついたもの

1 fm
陽子
2個のu-クォーク
1個のd-クォーク

中性子
2個のd-クォーク
1個のu-クォーク

中間子
クォークと反クォーク

グルーオン

クォーク

反クォーク

標準模型
現在、 1 fm の1000分の1 くらいまで細かく見えるが、電子、クォーク、光子、グルーオンなどの拡がりは見えていない。
電磁気、強い相互作用のほかに弱い相互作用がある。
弱い相互作用の例 β崩壊
中性子 → 陽子＋電子＋反ニュートリノ
u電子

Wd

反ニュートリノ標準模型
基本的な粒子
レプトン： 電子
電子ニュートリノ
クォーク： d-クォーク
u-クォーク
↑
第1世代

ミュー粒子
ミューニュートリノ
s-クォークc-クォーク↑
第2世代

タウ粒子
タウニュートリノ
b-クォークt-クォーク↑第3世代

基本的な相互作用 （4つの力）
電磁場
光子
弱い相互作用強い相互作用Wボソン， Zボソン
ヒグス粒子
グルーオン

重力重力子

弱電磁相互作用相互作用の統一
4つの力のうち、重力以外のものは非常に似ており、ゲージ理論で記述される。
しかも、それらは 10-16 ～ 10-18 fm 程度で統一されているように見える。
相互作用の強さ

例として電気力を考える
電子電子

電子

電子

陽電子

電子

電子

電子

真空が分極
我々が観測しているのは、真空が分極するという効果を含んだ後の力である。そのような効果を含まない、生の力を見たければ、2つの電子の間の距離をどんどん小さくしてやればよい。 （これは計算できる。）

α-1１2（距離）

電磁気

力＝α ⋅α： 結合定数

弱い相互作用強い相互作用0.01 fm
長距離log( 1 / 距離 )10-16 ～ 10-18 fm
短距離

10-16 ～ 10-18 fm の間で3つの力は統一されると思われる。
もっと短距離にいくとどうなるか？ ⇒ 弦理論
粒子に見えていたものは実は、大きさが10-16 ～ 10-18 fm の輪ゴムのようなもの

2つを組み合わせると、短い距離 ⇔ 高いエネルギー ⇔ m が大きい
すなわち、短い距離では逆二乗よりもずっとはやく重力は大きくなる。
実際、10-18 fm 程度の距離では電気力＝重力となることがわかる。
10-18 fm くらいの距離では4つの力がすべて同程度の強さになっている。
基本のスケールとして 10-18 fm をもつものがすべての力の背後にあると期待される。

lP = 10−18 fm プランクスケールとよぶ。

重力と他の3つの力の大きさの比較
q1q2

m1m2

電荷

電気力＝ α ⋅質量＝ G⋅

2つの陽子の間の力

重力q1 q2(距離 )2

m1 m2(距離 )2

電気力＝1036 ×重力

近距離で見るとこの関係はどうなるか？
相対論 E = mc 2 重力の式にあらわれる m はエネルギーとともに増大。

h量子力学 p = λ

粒子＝波動p：運動量 λ ：波長
h ：プランク定数hc
特に、粒子の速さが光速 c に近いときは、 E  pc ．
λ
短い距離 ⇔ 高いエネルギー短い距離の現象を見るには高いエネルギーの衝突が必要

2つを組み合わせると、短い距離 ⇔ 高いエネルギー ⇔ m が大きい
すなわち、短い距離では逆二乗よりもずっとはやく重力は大きくなる。
実際、10-18 fm 程度の距離では電気力＝重力となることがわかる。
10-18 fm くらいの距離では4つの力がすべて同程度の強さになっている。
基本のスケールとして 10-18 fm をもつものがすべての力の背後にあると期待される。

lP = 10−18 fm プランクスケールとよぶ。

発散の問題途中に現れる仮想的な運動についての和を素朴にとると結果が無限大になってしまう。 （途中に現れる仮想的な状態を中間状態という。）
ごく短い間だけ電子・陽電子対が現れるようなプロセス．

⇒無限大

しかしこれは光子の伝播に対する補正であり、補正後のものが有限となるように、もとの理論を調節できる。
このように、物理的な確率振幅が有限になるように、素過程のパラメーターを調節することをくりこみという。
素過程

ゲージ理論（重力以外の３つの力）はくりこみができて、実験と非常によく一致する結果が得られる。
（例） 電子の磁気能率

g 理論 / 2 = 1.001159652177 (9)g実験 / 2 = 1.001159652180 (1)重力はくりこみができない。
重力はエネルギーとともに増大するため、重力子 発散の度合が大きく、重力子の伝播に対する補正として吸収できない。
⇒ 重力は本質的に点粒子では記述できない。

発散の問題の歴史
1930年ころ 場の理論 （相対論的な点粒子の量子論）
1935年
湯川 中間子論 素粒子は場の理論で記述すべきもの
当初から、発散の問題は重要
湯川 点粒子を考えること自体に問題がある。
⇒ 基本的に広がったもの （非局所場）
朝永 くりこみ理論
重力以外の場の理論は矛盾なくできることがわかった。
1940年代 量子電磁気学がくりこみ理論によって解決
1967年
弱い相互作用もくりこみ理論で解決
南部（～1971年）
ワインバーグ・サラム理論
小林・益川
1970年代強い相互作用もくりこみ理論で解決
1980年前後 実験的にも標準模型が確立 （重力以外のすべて）
1980年以降の中心的課題 重力と ゲージ理論、物質場（クォーク・レプトン）の統一
重力は本質的に点粒子ではない。
一方、10-18 fm 程度ですべての力は統一されているように見える。
⇒ 何が基本法則か？
10-18 fm 程度の拡がったもの
弦理論

弦理論とは基本的なもの 太さのない輪ゴムのようなもの1次元的な拡がりを考える。
（2次元以上のものも自動的に含まれる。）
いろいろなし方で振動しながら、切れたりくっついたりする。

...

⇔,,

遠くから見ると、異なった種類の粒子に見える。振動のし方＝粒子の種類
たとえば、反ｂクォークにｂクォークにbb対応する振動の対応する振動
し方

時間

光子e－e＋のし方を遠くから見たもの。

は光子に対応する振動のし方

電子に対応する振動のし方

陽電子に対応する振動のし方振動エネルギーが小さなひも ＝ 軽い粒子
クォーク・レプトン
光子・Ｗボソン・Ｚボソン・グルーオン
ヒグス粒子～ 10-18 fm
重力子
重力子自身もひも ⇒ 時空の歪みもひも ⇒ 時空≠点の集まり
弦理論の特徴１．標準模型に現れるすべてのものが、1種類のものの振動のし方の違いとして、統一的に記述できる。
２．発散の問題はない。
なめらか
ではない

点粒子の相互作用

なめらか

ひもの相互作用ひも理論では⇒ 中間状態にあまり短い波長のものは現れない克服すべき点弦理論では、非摂動効果が本質的に重要。
（無限個のものが中間状態に現れる効果、すなわち、無限多体効果。）
非摂動効果は標準模型でも強い相互作用に対しては重要。
（例） クォーク間の力
中間状態に非常に多くのグルーオンが現れる。
⇒いくら離れていても、クォーク間の力は一定（クォークの閉じ込め）
強い相互作用は格子ゲージ理論によって、非摂動効果も含めて完全に記述できる。実際、コンピューターによる数値計算によって、陽子、中性子、中間子の質量が計算できる。
弦理論の場合も、非摂動効果を含んだ記述のし方が見つかれば、時空の次元をはじめ、クォーク・レプトンの質量など、標準模型に現れるすべての量を計算で求めることができるようになると思われる。

弦の非摂動効果
摂動論的には弦上の自由度のとり方に対応して無数の理論がある。
（例）極端な場合として、弦上の自由度を最も小さくとる。
⇒ 時空が10次元の5種類の弦理論がある。
これらのうちのひとつの理論の真空（空っぽの状態）に、適当に無限個のひもをもち込むと、別の理論の真空が得られる。 ひものボース凝縮⇒
ある理論の真空

ひもを無限個もち込む＝
別の理論の真空

まだ、完全に示されているわけではないが、摂動論的にえられる無数の弦理論は、ひとつの理論の異なる基底状態に過ぎないと考えられる。

9D 理論
その24D 理論
その1

9D 理論
その1非摂動超弦理論

10D Heterotic E8× E8

10D Type II A
11D M-theory

トンネル効果

いろいろな理論

それぞれの理論は摂動論的には他の真空へ遷移することはなく、“安定”。
非摂動効果は、遷移をひきおこす。
⇒ 無限個の“真空”の縮退は解けて、唯一の真空が得られる。
超弦理論が正しいとすれば、この唯一の真空は我々の標準模型の世界そのもののはず。
これは、非摂動効果をきちんと取り入れることのできる定式化ができたあかつきには、時空の次元をはじめとして、ゲージ群の構造、クォーク・レプトンの質量といった、すべてのものが自由なパラメーターを１つも持たない理論から説明できるということであり、“究極の理論の完成といえる。” ⇒ 行列模型などいくつかの試みがある。

究極の理論に向けて基本法則の解明の概観 （２０世紀以降）
従来の理論の限界・矛盾 ⇒ 新しい原理による統一的記述
それまで無関係と思っていたものの間に統一的な性質がみつかる。
⇒ 理論の形が絞られ、より具体化する。

理論の具体化ニュートン力学と電磁気学の矛盾 ⇒ 特殊相対性理論
時間と空間、電場と磁場の統一
重力と特殊相対論⇒ 一般相対性理論
時空と場の統一
原子の安定性、輻射場の自由度 ⇒ 量子力学
粒子と場の統一相対論と量子論 発散の問題⇒ ゲージ理論、くりこみ理論
重力以外の力がゲージ理論で統一
重力の発散
⇒ 弦理論
唯一の理論
すべての場の統一

あと少しのところまで来ているように思われる。

付録

ひも理論の摂動論的な定式化
摂動論的な描像
有限個のひもが振動しながら、切れたりくっついたりしている。
時間

終状態
世界面とよぶ
始状態

Ｄ次元時空

空間

始状態から終状態へ遷移する確率振幅＝２つの状態をつなぐ仮想的な運動に対する確率振幅S

1（世界面の面積）+ ”世界面上の場”
2lP

ei
S
 の和

←ひもの内部自由度

内部自由度をうまくとって、世界面が局所スケール変換に対して不変であるようにしたものを臨界弦とよぶ。ここで議論しているのは臨界弦。

内部自由度のとり方を決めると、いろいろな振動のし方がもつエネルギーと角運動量がきまる。

...
,,

角運動量(  )重力子
ゲージ粒子
クォーク・レプトン
ヒグス粒子21( 質量 ∝ 重心系でのエネルギー )質量 20
非常に重い粒子

標準模型の粒子
内部自由度のとり方のかかわらず、臨界弦は必ず重力子を含み、 しかも発散のない理論になっている。
重力子以外の部分は内部自由度のとり方によってかわる。
実際、内部自由度のとり方をかえることによって、いろいろな時空次元、ゲージ構造、世代数をもつ、無数のひも理論が構成できる。
これは摂動論の議論、すなわち、ひもの無限多体効果は考えていない。