一一一一一一一一5leScienceReportsoftheKanazawaUniv
ersity，Vol.III，No.1，pp.5‑ 9，March，1955.

A Noteonthegeneral Div
isorProblem
By
YoshikazuEDA(Receiv
edOctob
町 2，1954)
ぽ'aldiv
iso
rproblemi
nirstconsideredthegen
1. Prof. Hasse and Prof. Suetuna fanalgebraicnumberfieldsasfolIows[5J:
sanextensionQi
sanextensionoftherational number fieldo
fdegree1 and Jど iofQ ofdegreem.
A，，(x)= 2
JT" (n)N(U)孟a

was considered by them，where九 (n)isthenumbero
fwaysof位 pressingi
ntegraIidealninρasaproductof(1idealfactorsinK (1(孟，2).It
scorrespondinggeneratingfunctioni
sgiv
enby
T，，(n)
Z(s)=2J
一一一一一 ，s=σ十 it，nλT(n)'thisDir
ich
Ietseriesisabso
luteconv
er
gentin ~(s)>l andhavet
hep
roductformu
la

引きf子
司
" n"

Z(s)=O(s)・
Z*(s)，ψ(1h∞i‑1包喝dZ叱s)=IIL(s，X.
)"';=2J‑‑=
竺子‑ A叱x)=2
JA"1 nO

仰正玉msa Galoiswh
町eDir
ichletseries O(S)isabsoluteconv.
町 gent in ~ω> 会 K発 iextensionofK withGaloi
sgroup @ ; X1> ・・・・・ ，X
har
epr
imitivec
haractersof @ andX1 isprincipalcharacter.L(s，X.)areArtin'sL‑functions.Thenwehave
A(x)= 2J B A〆
錫J;
孟z

略 'l
1andtheir
Hauptsatz
A(x)=xP，，(logx)+.
1， (x)andτ

Pぷlogx)=2ja. log
τ l‑i‑1X ，whereaO，al，・・・・ ・，aη‑1 areconstantsdependingo
nlyonx， Q andK andaO>O.
IfB"andA.
.areknown，thenA(x)isca
Iculated位 plicitly，I
fK isAbeliane
xtensionoftherationalnumberfieldand1=1then(K=(P(S) 1IL(s，X)，Xニ同 1Y.E D A6

where :tK iszetafunctiono
fK [lJ.Int
hiscase，ourunknowncoeff
icientso
fP areIicitly
ourTheorem1andStir
ling'sformula[4J. Ourmethodi
suseddecide
dexp
toIseki'sextensiono
fHardy‑Landau'sidentity[6J.
初Ifl=m=l，thenZ(心=r:;(s) T (n)=筑ヲ約andx""

47rZ .
J(c>l)

十=Wistheresiduea
tw= 1.Inthiscase，

よ1

1 r
=ーーァ
Ir:
:
"
(初〉一一一‑dw xP，，(logx)

A，，(x)

0where C:
(心 isthe Riemann's zetafu
nct
ion and ゐ (n) isthe numbero
fwaysexpressingn asaproductofx factors.Wehave([6J，[9J，and[3]Chap.

areg
iv
e
nbytheorem2explicitly.

2仰12r

LemmaL Wedefinesymboli
cpowersSi bymeanso
f=Si。主，and=50

記7then羽re haveかし+(0ご~1玉zg古 =Si(where十1/とわ，arebinomialcoef
ficients.

Proof. The case:
1=2 istriv
ial.I
fweassumet
hattheresulti
stru
efork<1andO手z
三1‑2，thenitiseasyt
oprovethat ourr
esultisa
Isotruefo
1'1
1<1+1and0:‑:主ζ
1‑1. Thus，lemma1i
sprovedindu
ction.
Lemma2. Put

2Jb:"ィ ， 。=1i=.
̲kヲ，..了 e=bi0・と0)，thenwehave
1'‑1

ヨ
三s"

(1‑，1')"，十・・十 A 時何十 1(止と0，止とt.
乙ヲ

andr(ん一r(ん.
.
.
.
・ ん)=
3‑1， ，" IIp)

ヲ

wherer(ん.
.
.
・=0forsomeれく O
andapartition(Fl2"23"tAP) iswr
ittenfo
1'b1'evityas
P1'oof.Fromtheidentityfぷ=/レ 1 f.wehave
フA:)".

⑩p
宮山‑4JF?一t}[8JA i"午、tt: ()Jl f，lte

Dizlisor.
lJr{lβle;n~4

VVeprove01
11njsultbyi
ndu
ction.羽1eThe case jl=1 istriv
ial，for b 1 " ニ I~ん=aSSllmethattl冶resultist1"ueforall
ヅ三~jl--l ，1三当主X. thenwehavefromtheabove
司pP‑lb~=sObr，，>~，‑.
b?
f‑j.
;=S'Ol)~一-I-s-s"
ム‑l bO"，l)
‑";
1!
Ji
古 ~.1

sm
..

=sob"寸1‑.
:;ても=sob，，+‑1\，11&十~=orん〉打 1 ・・ ..b~i ・ b p - i

い1+" 寸 tti可 制 +17)‑11¥/11>司" p.ρ b
¥'1.
.
.
.
.
.b~; • β 'p '‑1.

悦f'ojート・P ~-1L/十l，‑，o11"

p‑<1Lsn2Jγ，1'b¥"
1

ト i句 ='JJl 十]

=♂ b"
，+L
Js=b~ る'"

.
:.
.
.
"
J.
I~'1 十 A。
βP ‑ ii=，n μ1十 .-~μ る詰旬

=0t
hu
sweo
bt
ai
nt
h
e1'e
1ati
011.
sandourlemmawasp
rov
ed.
11.=2，thぞ~n wehav
εLetp
et
c
γ(011000)=r(001000)トー T(010000)=1，固andrr(101000)斗 r(110000)十=2ト‑ 2トー 2 ト 0+0+0=6.

i'(111000)= (011000)ト
‑

Lemm.
a3，li
立m立(号+討 並紅gf
主5fιf
均→∞¥ゴ附N一十→wqト+
一 1'~bi
fw=O，thenj九

ず与1.

.
，;
.
.Y

竺二士主1‑‑巳ゴム

C areq.
‑thEu
ler'
sconstants.
(jP
roof.See[4J 仁ernma5.
Denjoy).TheintegraIfunction
Lemma4. (G偽(ふつ ~~H;， (s) ←とぐs ，tends unifonnly to0as tl→ ∞ inther
昭 ionofs.(ε)(σ>1+ε)andofemi‑
planedrectang1e[‑1卜εく σく 2，tく AJ，candA ar
epositiv
eindependent，whereCQ，m〉Z
53‑‑L‑;'~'o (ュマ十。
<ω

手1ヲIsHurw
itz'szetafunction[9J，andthisrεducestor;(s) when 7CJ=1，andμ(恕寸ωιι+刈H託正りSけf)=ア一一一一ニ一一一斗(1'‑1‑'‑‑‑‑‑‑‑‑‑.
;:←1、山F'，
三

よてD竺竺一(j+'‑i‑J.

Proof.See[2J.

3.
ntheregionoflemn"
1a4，wehave. 1
Theorem1i

where4号O

F+r;(.
I'，7O)=L; .F1 i，・・一一WehaveY EDA，¥ノnδ

τi/1¥¥ Jノ月uun
δ

〆1¥

RMg

十dgb

¥l/t¥

戸︑ワω

R︐FJ︐rv︑︑︑ ‑vιどノka一daa三¥tノ J+ヲ1 五竺2__~

fafuofLγλ17:α) ， 1

一一~
ゐ 十7.1 十よζ j ‑areDirichlet'sL‑
functionsmodム g(s) areintegralfunctionso
fsand

wherewew
rite={山X=Xl，0XXl，for

宇印

ourtheoremfromlemma4andt
heformula([7J，Salz368)，

Proot W ehave=τFZLKU
C〔 号〉ヲkJyandIよ(1)=KTheorel証l 2.
，where︑¥t"‑1it‑l‑i‑‑tz目色Mよd1吋

J一"，~"/{¥一。
一卜 Jλ1十四十み(1=臼十 1and〔一一 1)什

ローたーl'vーマ戸‑1)1 ハ +1

ProoLFromlemma4，wehave
回(‑((心=乙一一一て‑ C，;=:'1 (i+~'TJ←

Thus，weobtain

ぞとべs)工市主 (‑l)h‑1〉h × 208?(51〉j J

fun
ct
ion，
where可 aregivenlemma2，ヲ

andwege
tourtheorem，

Examples，[3]，p，2
β c‑1，+1)，

1/1¥

︐qU4i

守7P

fー
﹁'aMム咽O4Fb︒

中山σbJ3/l¥o‑‑︑
1

l2 1
一一一
¥iノP2(lOgX)=‑十+l)logx

A二九rot
e 01! the/;eJlera!Divuo1' .
1ヰrob!emfj+

卜(4b/2b1b2十4ん‑6β12‑‑"
1ん十 401‑‑1)'1"，十去(5b 山 約十品 (10b/叫 ん 一 知 山g2x

λ(地 斗 内 ・4j‑+(1 0bl~+20bl ん +5b'3 ← 10β12-5b2+5bj-1)logx+{(5b/+30b12九 十 20b1b'3+10ん2十 5b4)←(10b/十 20b1ん+5b3)+(10b12+5b2)‑5ん+l}，where，b are given byLemma 2，and。

bo=Cー，
βIil‑‑TrCj

1 ~.

bz= ‑ZTC2，んトじ;
，‑3

ん=よC

4

Referεnces.Artin UberdieZetafunktionengewissera
IgebraischenZahlk
δrper.Math.Ann.Bd 88.192，1. E)
凶

2. A.Denjoy

L活qllationfonctionnell巴 deじ(r).C.R.AcaeLS
ci.Paris，T.258ヲ No.5，1954.

3L.E.Dickson Historyo
fthetheoryofNumbers.VoL1.1
952，Chelsea.

4Y.Ed旦圃圃OnSeiber
g'sFllnc
tion.Proc.JapanAcad.Vol.29(1953).

5. 日。 Hasse u.Z. Suetuna

Einallgemeine
sTeil白rproblem derIdea!
th巴orie.J F
ac.Sci.Imp.
同Univ. Tokyo.Sec.，
1. Vo1.2，Part5，193，
16. K.I
8巴ki

On a GeneralDivi
80r Problem inAlgebraic Number Fields. Nat. Sd. R巴p.，

OchanomizuUniv.vol.，
1' No. 1，1
953‑‑wdQU

ahlentheor
ie.Bd.，
2: 1927，Leipzig.
E. Landau Vorlesung巴nuberZD.E.Littlewood

巴r
8 andmatrixrepr
巴sentationsofg
roups.2ndThe theoryofG
τoupcharactc1.
ed.1
950，Oxfor
9. E.C Titchmarch TheTheorvo
ftheRiemannZ
etafunction.1
951，Oxforc1.
昏目