相互作用のある場の理論におけるエンタングルメントエントロピー
酒井勝太 (高エネ研)
磯暁氏, 森祟人氏 (高エネ研 & 総研大)との共同研究
・ PRD 103, 10, 105010 (arXiv:2103.05303)
・ PRD 103, 12, 125019 (arXiv:2105.02598)
・ To appear in Symmetry (arXiv:2105.14834)
セミナー@京大, 2021年7月7日

目次
1. イントロダクション
2. オービフォールド法 (レビュー)

3. Feynman図上のゲージ理論

4. プロパゲータからの寄与

5. 相互作用頂点からの寄与
6. 他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点7. まとめと展望
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目次
1. イントロダクション
2. オービフォールド法 (レビュー)

3. Feynman図上のゲージ理論

4. プロパゲータからの寄与

5. 相互作用頂点からの寄与
6. 他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点7. まとめと展望01/47

1. イントロダクション
エンタングルメントエントロピー(EE)とは?
EE = (純粋)状態における、2つの部分空間の量子相関の指標「自分に見えている部分系は、見えていない部分とどれだけもつれているか？」Ex) Bell pair
ABClassically↑ or ↓→02/47

1. イントロダクション場の理論におけるEE・・・ 空間領域間の量子相関
・ ホライゾン越しの量子効果(ブラックホール、 ドジッター時空、 …)

タイムスライス[Solodukhin, ‘94], …

・ ホログラフィーでの幾何との対応[Ryu-Takayanagi, ‘06], …

・ 量子相転移のオーダーパラメタ
・ [Chen-Wang-Zhang, ‘06], …
・・

ブラックホール、凝縮系、量子情報、….
様々な文脈で議論の対象に
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1. イントロダクション
従来の主流の解析① CFT(とその摂動): 共形対称性に関する種々のテクニックが使える(e.g. (1+1)次元のEE → ツイスト演算子を挿入した分配関数)② 自由場理論: 状態も作用もガウシアンなので簡単(e.g. 任意の部分系での数値解析、 曲がった時空中でのHeat kernelによる計算、…)

一方で、一般の(CFTから遠い)相互作用のある場の理論におけるEEは、さらなる理解が必要
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1. イントロダクション
相互作用のある場の理論でのEE?
・ EE = 自由場理論では、ミクロな自由度の量子もつれとして書かれる・・・ 状態がもつれている以上、マクロな物理にも反映される量であるはず

・ 相互作用 → 輻射補正の存在
・・・ EEをくりこまれた物理量と関係づけられるか？
・ 状態はガウシアンではない.
・・・ EEの非ガウス性を、くりこみと整合的に分離できるか？

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1. イントロダクション
最終的にやりたいこと“量子相関が部分系の観測量に与える影響を調べたい”
定量的には物理量がEEにどう依存するか(or まったくしないのか)調べたい

が、概念的にも技術的にも困難や微妙な点が多々ある……

今回はひとまず、EEをくりこまれた量で表すことをもって、両者を関係づけてみる
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1. イントロダクション
1ページまとめ・ EEには2つの特定の寄与が含まれる：プロパゲータからの寄与と相互作用頂点からの寄与。
・ プロパゲータからの寄与はくりこまれたプロパゲータを用いて書ける。
→ ガウス性の分離.

・ 頂点からの寄与(非ガウス部)は複合演算子のくりこまれた相関関数で書ける。
例)・ Wilson流のくりこみ群と組み合わせて考えると、IR領域の物理から見えるEEは上の二つだけからなる。
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1. Introduction

まず、説明の準備として、オービフォールド法によるEEの計算と、“ Feynman図上のゲージ理論”というアイデアを紹介する。

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1. イントロダクション
2. オービフォールド法 (レビュー)

3. Feynman図上のゲージ理論

4. プロパゲータからの寄与

5. 相互作用頂点からの寄与
6. 他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点7. まとめと展望2. オービフォールド法 (レビュー)
Euclidean形式でのEEの計算 ・・・ レプリカトリック: n-fold上での分配関数例) 部分系が半空間→ n-foldはcone(deficit angle.)

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2. オービフォールド法 (レビュー)
我々の解析 ・・・ 半空間に関するEE(結果から一般の場合についての観察を得たい)

オービフォールド法 [Nishioka-Takayanagi, ‘06]
1. レプリカトリック2.

自由エネルギー上の理論=10/47

2. オービフォールド法 (レビュー)
上の理論 →上の理論 × 射影鏡像法例)

～

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2. オービフォールド法 (レビュー)
オービフォールド法による自由場理論のEE[Nishioka-Takayanagi, ‘06]

ここで、

バルク

境界

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2. オービフォールド法 (レビュー)・ 第一項 ＝ 平坦時空での自由エネルギー / M∝
しかしEEに効かない。
バルク体積( 注.
・ 第二項∝)

境界に並行なモードのみ含む

境界の面積～面積則13/47

1. イントロダクション
2. オービフォールド法 (レビュー)

3. Feynman図上のゲージ理論

4. プロパゲータからの寄与

5. 相互作用頂点からの寄与
6. 他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点7. まとめと展望

3. Feynman図上のゲージ理論

オービフォールド上の場の理論例)：理論

プロパゲータ：
平坦空間のもの頂点：
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3. Feynman図上のゲージ理論

プロパゲータの解釈：ツイストされた運動量
m: ツイスト数
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ゲージ理論3. Feynman図上の自由エネルギー ＝ 連結バブル図
・ 素朴には、すべてのプロパゲータで運動量がツイスト
・ しかし頂点に次の不変性あり：

ツイストの一部は解除できる=16/47

3. Feynman図上のゲージ理論

Covariantな理解
各Feynman図を格子に見立てると…
・ 頂点 →サイト.
・ 2サイト間に流れる運動量のツイスト数→ リンク変数・ 各頂点ごとの、運動量の一斉ツイストに関する不変性→ ゲージ不変性

変数と不変性の構造に関して言えば、“Feynman図上の(lattice-likeな)ゲージ理論”
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ゲージ理論3. Feynman図上のバブル図の計算
・・・ ツイスト数の組を固定して計算した後、ツイスト数について足し上げ
普通のゲージ場の配位の足し上げなら…
(ゲージ自由度の足し上げ) × (同値でない配位に関して足し上げ)→ ゲージ群体積をだす

プラケットのfield strength

今の場合だと…
非同値なツイスト数の組= プラケットを回る運動量に関するツイスト数の組~ ループ運動量に掛かるツイストで指定される
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ゲージ理論3. Feynman図上のチェック：面積則
L-ループ、P本のプロパゲータ、V個の頂点のバブルについて、
・ 素朴には P 個のツイストに関する足し上げ

・ そのうち、 (P - L) 個は ‟ゲージ自由度”→ 足し上げると、overall factor
・ 頂点は、全部でoverall factor

を出す 。
。

バブル図は一般に、次の形で書かれる：

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3. Feynman図上のゲージ理論

チェック：面積則・ ツイストがない配位 …
, しかしEEに効かない。

・ 他すべての配位

Area law at all-order
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3. Feynman図上のゲージ理論

ここまでのまとめオービフォールド上の場の理論✓

ツイストされた運動量のバブル図
非同値なツイストの配位

Feynman図上のゲージ理論
配位について足し上げ

自由エネルギーとEE

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ゲージ理論3. Feynman図上のやるべきこと：全ツイスト配位に関して足し上げTechnicalに非常に難しい。
一方で、２種の特別な寄与を与える配位を見出すことができる
一般の配位からの寄与
プロパゲータからとみなせる寄与

Sec.4

頂点からとみなせる寄与
Sec.5

Sec.6

EE
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1. イントロダクション
2. オービフォールド法 (レビュー)

3. Feynman図上のゲージ理論

4. プロパゲータからの寄与

5. 相互作用頂点からの寄与
6. 他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点7. まとめと展望4.プロパゲータからの寄与
特定の配位：,23/47

4.プロパゲータからの寄与
特定の配位：,,それぞれ、一つのプロパゲータにかかるツイストと再解釈できる.
→ プロパゲータからの寄与
23/47

4.プロパゲータからの寄与
単一プロパゲータツイストからのEEへの寄与: 素朴には、バブル図中の各プロパゲータをに置き換えて得られる。
→ バブルをプロパゲータで微分して、でつなぎなおす。
24/47

4.プロパゲータからの寄与
しかし、[ループ運動量のツイスト ↔ 単一プロパゲータのツイスト]の対応には、redundancyがある
例)

両方足そうとしている
本当に足すべきなのは
これ一個単純に、全プロパゲータでツイストを考えると、overcounting.
25/47

4.プロパゲータからの寄与
redundancyへの対処 ・・・ overcounitngしたものを割る例)

=

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4.プロパゲータからの寄与
単一プロパゲータツイストのEEへの寄与: free part (1-loop)

:正しい
27/47

4.プロパゲータからの寄与
単一プロパゲータツイストのEEへの寄与: interaction part
Noting,-full

まず、redundancyを無視すれば

1PI

1PI

1PI++1PI

1PI

1PI+ ・・・
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4.プロパゲータからの寄与
単一プロパゲータツイストのEEへの寄与: interaction part
正しい寄与は、redundant partsを割って得る：

29/47

4.プロパゲータからの寄与
Free partと組み合わせて、くりこまれたプロパゲータ G で 書かれる！
EEのガウス性の分離30/47足すべきツイストの配位は他にもたくさんある。
それらについては？

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1. イントロダクション
2. オービフォールド法 (レビュー)

3. Feynman図上のゲージ理論

4. プロパゲータからの寄与

5. 相互作用頂点からの寄与
6. 他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点7. まとめと展望5.相互作用頂点からの寄与
もう一つの、特定の配位:,32/47

5.相互作用頂点からの寄与
もう一つの、特定の配位:,デルタ関数で頂点を “開く”

頂点からのEEへの寄与

32/47

5.相互作用頂点からの寄与
この寄与を各バブル図から系統的に拾うには…

(i) 各頂点を分解する。
(ii) 端点を二つに再度まとめる。
(iii) それらを(i)でつなぐ。

(ii)

(iii)

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5.相互作用頂点からの寄与
再び：・ 素朴には、すべての頂点からEEへの寄与がある。
→ 頂点で微分すれば得られる。
・ しかしやはり、redundancyがある

34/47

5.相互作用頂点からの寄与
正しい寄与の求め方はおおよそプロパゲータの寄与と同じ

例:

理論

ここで

: ステップ (i)Exactな4点関数
35/47

5.相互作用頂点からの寄与: ステップ (ii)

複合演算子

まずredundancyを無視すると, EEへの寄与は: ステップ (iii)のExactな相関関数

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5.相互作用頂点からの寄与
一般化された1PI (g-1PI)“どこの内線または頂点を1回切っても分離しない”← 非 g-1PI 図

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5.相互作用頂点からの寄与

・のg-1PI部に関する展開 ＝ overcountingに関する展開

・ それぞれを割って、正しい寄与を得る。

38/47

5.相互作用頂点からの寄与

理論では、頂点からのEEへの寄与は、複合演算子のくりこまれた相関関数で表される。
39/47

5.相互作用頂点からの寄与
一般の理論への拡張も容易： 演算子の混合を考慮する。
・ g-1PI部や頂点係数を行列で書くことになる：(引数はすべて.)結合定数 × 複合演算子をつくる組み合わせ因子

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5.相互作用頂点からの寄与

プロパゲータと頂点からの寄与は、様々な演算子間のくりこまれた相関関数で表される。

“様々な演算子” = 基本場 & 頂点を開いたときに出現する複合演算子

41/47ところで、足すべきツイスト配位には、単一のプロパゲータor 頂点のツイストとみなせないものがたくさんある。
それらに関しては？

ポイント:
それらは必ず複数ループを含む図に現れる

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1. イントロダクション
2. オービフォールド法 (レビュー)

3. Feynman図上のゲージ理論

4. プロパゲータからの寄与

5. 相互作用頂点からの寄与
6. 他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点7. まとめと展望6.他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点Wilson流のくりこみ群と有効理論
・ あるカットオフスケールで定義された理論がある
・ 短波長モードをより低いエネルギースケールまで積分する

・ リスケールしてカットオフをそろえる → 有効作用

☆ IR極限においては、量子揺らぎは積分され切っている。

Feynman図はくりこまれたプロパゲータでかかれ、ループを含まない。

43/47

6.他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点例)

理論“カットオフがまだ顕わに入っている?”
これは、連続時空で独立な自由度を測るために必要(自由場の時も要る)→ 自然な取り方として、(最も長い相関長)-1が考えられる44/47

6.他の寄与は？ -Wilson流くりこみの観点まとめると、IR物理から見えるEEは、 プロパゲータと頂点からの補正のみと考えられる。

演算子間のくりこまれた相関関数でとらえられる(はず)。

“有効作用には無限個の相互作用頂点がある。
→ 無限種の複合演算子から寄与がある？”
おそらくそう。しかし、より高次元の演算子はより短い相関長を持つ→ より小さい寄与を与える
45/47

1. イントロダクション
2. オービフォールド法 (レビュー)

3. Feynman図上のゲージ理論

4. プロパゲータからの寄与

5. 相互作用頂点からの寄与
6. 他からの寄与は？ -Wilson流くりこみの観点7. まとめと展望7.まとめと展望
まとめ
・ 相互作用のある場の理論において、部分系が半空間の場合のEEを解析した.
・ オービフォールド法→ Feynman図上のゲージ理論→ 計算は、各バブル図でループ運動量に関するツイスト数の足し上げに帰着。
・ プロパゲータからのEEへの寄与は、くりこまれたプロパゲータで書かれ、EEのガウス部を分離する。
・ 頂点からの寄与は、複合演算子のくりこまれた相関関数で書かれる。

・ Wilson流くりこみと組み合わせると、IR有効理論の立場から見えるEEは、上の二つの寄与がすべてだと考えられる。

→ EE はくりこまれた相関関数で書かれる!
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7.まとめと展望
展望・ 具体的な評価に基づく、議論の正当化
数値解析や可解系を用いれば… （例： massive Thirring模型）
・ 一般化-- スピンや微分相互作用がある系へ → 実は既に適用できる-- 一般の部分領域に→ 実時間形式との関係を明らかにする必要性.
(波動関数とHamiltonianの言葉では？)-- 非相対論へ
・ Wilson流くりこみ群とくりこまれたEEとの関係の精密化( 例：c-定理、 a-定理や、 tensor networkとは?）・ 様々な応用(凝縮系、 トポロジカル EE、 ブラックホール、 宇宙論、 …)Thank you!
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BackupA. 単一のツイストされたプロパゲータ
座標空間で見たプロパゲータのツイスト(境界)周りの、に関する微分展開
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A. 単一のツイストされたプロパゲータ
座標空間で見たプロパゲータのツイスト
特に単一のプロパゲータがツイストされていると、(Xに依存しない)境界に“pin留め”されたモード
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A. 単一のツイストされたプロパゲータ・ 領域間の相関を直接反映している。
・ 境界に平行なモードのみが伝播する。
垂直方向は ”reduce” されている。
→ 境界に応じたバルクのfoliationを考える?

・・・

・・・

A. 単一のツイストされたプロパゲータ
プロパゲータからのEEへの寄与

28/54

B. EE from 2PI formalism(Although it’s straightforward to calculate those bubbles…)

The above discussion holds even if
we replace the bare propagatorswith full-quantum, renormalized ones.

Let’s employ 2PI formalism
to evaluate EE in terms of 2-pt. functions!

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B. EE from 2PI formalism
2 Particle Irreducible formalism[Cornwall-Jackiw-Tomboulis, ’74]
Effective action:： renormalized 2-pt.function： renormalized 1-pt.function： 2PI bubbles consisting of,Consider 1- & 2-pt. function as fundamental variables consistently.
26/37

B. EE from 2PI formalism
2 Particle Irreducible formalism[Cornwall-Jackiw-Tomboulis, ’74]

Gap equation (EOM): Schwinger-Dyson eq.

: Taking into account the resummation with respect to 2-pt. function.
27/37

B. EE from 2PI formalism
We can evaluate EE from, with the help of the gap equation(in the present case,)

Renormalized 2-pt. function contribution to EE+ （contributions from others）

While there’re many other contributions, those are not from.

We have separated the gaussian contribution completely!
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