現代物理学
第一回
第二回
2022/4/8
2022/4/15

1• 先週は第一回から休講にしてすいませんでした。
• 子供が保育園でコロナを貰ってきたのを看病していて感染しました。皆さんもどうぞお気を付けて...

2• 次回からは対面です。駒場七号館721号室です。
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3https://www.c.u-tokyo.ac.jp/zenki/classes/layout/haichizu.pdf

• 担当教員は私、立川裕二です。
• 所属は柏キャンパスの Kavli 数物連携宇宙研究機構 (KavliInstitute for Physics and Mathematics of theUniverse, 略して Kavli IPMU) です。

• ホームページ: https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/4

柏キャンパス

本郷キャンパス

駒場キャンパス5

柏キャンパス

本郷キャンパス

駒場キャンパス6• 続ける前に、何年生の受講生が多いのか知りたいので、• 一年生の人?
• 二年生の人?
• それ以外?

7

現代物理とは?

8• 伝統的には「現代物理」という単語は、二十世紀初頭にあらわれた相対論＋量子論以降の物理を指すと思います。

• 皆さん(の大部分)の生まれたのは二十一世紀ですから、そろそろ言葉の意味をアップデートしたほうが良さそうです。

9• 二十一世紀の物理、となると、僕はその進展を直接知っています。(大学入学が1998年なので。)• 重力波の直接検出の発表が 2016 年。
• Higgs 粒子の発見の発表が 2012 年。
• 三次元トポロジカル絶縁体の実験的確認が2007年〜。

10

重力波
• 重力を時空の計量の揺らぎとして記述するのが一般相対性理論。その揺らぎが伝搬するのが重力波。存在が予言されたのは 1916 年。

• 連星パルサーの観測による間接的確認はあったものの、直接観測の発表は 2016年。

• 重力波観測装置は 1960 年代から開発、直接観測した
LIGO は 1994 年に建設開始。

11

重力波
• はじめに観測されたのは、15億光年ぐらい先のブラックホールの連星がくっついた際に放出されたもの。
(宇宙の年齢が130億年、地球の年齢が45億年)• 太陽の30倍ぐらいの重さのもの(ブラックホールの半径は3kmぐらい)が光速の5割のスピードとかでぐるぐる回ってくっついた。

12

重力波
• 4km の干渉計が陽子のサイズより小さい長さだけたわむのを測った。

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LIGO̲Hanford̲aerial̲05.jpg

13

Higgs 粒子• 物質を分解していくと素粒子に行き着くが、これを記述するのが素粒子の標準模型。その中で Higgs 粒子が最後に発見された。

• 理論的に記述されたのが 1964 年。
• 見つかったのが 2012 年。

14Higgs 粒子• CERN の LHC 加速器を使った。全長27km。
山手線が34km だからそれくらいのサイズです。

https://cds.cern.ch/record/841506/ les/LHC-PHO-1986-001.jpg

fi15

重力波/Higgs• 両方とも、僕が学部生のころ(2000年前後)には先生方が「いま建設中で、そろそろみつかるはず」と興奮げに語っていた。

• その後、十年〜二十年で達成された。

16

トポロジカル絶縁体• トポロジカル絶縁体というのは物質内部は絶縁体だが、表面にのみ電気が流れるという不思議な物質。

• トポロジーという数学的分野に深く関連。
• 存在が理論的に予言されたのが 2006 年、実例の実験的確認が 2007 年。

17

超伝導体
• 歴史は長い。いろいろなタイプのものが存在。
• 「従来型」で抵抗がゼロになる温度が一番高いものはMgB2 で、 2000 年に青山学院大学で当時学部生だった永松純さんが卒業研究中に発見した。

• ちょうど僕も学部生だったのでニュースはおぼろげに覚えている。

• 皆さんも何か数年後に見つけてしまうかも?
18• これ以外にも沢山沢山面白い発見や進展がある。
• 量子コンピュータがとうとう実機がでてきた、とか。
• この講義とおなじ金曜二限にやってますね。
• それぞれ専門の教員に語らせたら一学期は軽くかかる。
• 物理に限らずどんな分野でも面白い進展がある。
• 進展の早い遅いの違いはありますが。
(機械学習は最近すごいですよね。)

19

• 僕の専門は物理というより理論物理、そのなかでもさらに数理物理なので、「現代物理」の典型的な話にはできなさそうです。

• 今回の講義では、ブラックホールの量子力学にともなう理論的諸問題について議論できればと思っています。

20

理論物理とは?

21

一般相対論

熱統計力学

量子論
他にもいろいろ...
22

一般相対論•等価原理•アインシュタイン方程式•ブラックホール•重力波•宇宙の膨張•などなど...

23

理論物理の分野

いくつかの基本原理
そこそこ数学的な導出
沢山の現象

24

理論物理の分野

いくつかの基本原理
そこそこ数学的な導出
沢山の現象
数理物理屋はここが面白くなってしまってここばかりやっている。

• はじめて勉強する時は全部まぜこぜになって混乱しがちですね。教科書も区別して書いていないことが多い。

• おまけに科学史的発展も一緒にかいてあってさらに混乱。
25

• 基本原理はなぜ正しいのか?
• そこから導出された結果沢山が実験と合うから。
• 「なぜ原理がこうでないといけないか」という研究もありますが、非常に少数派。

26

• 「相対論はおかしい、直観とあわない」とかいうトンデモさんも沢山います。でも、少なくとも相対論は論理的には矛盾していない。

• 異なる原理に従う宇宙をスパコンでシミュレートして、その中に自意識をもった何かが創発して、「物理」の研究をはじめて、その原理をみつけたとして、その原理はなぜなのか... シミュレートしている僕が選んだから、以上のことはありえないですね。

• さすがに論理的に矛盾しているものはシミュレートできないですけど。
27

• 逆にいうと、理論物理を学んでいて、基本原理がなぜそうなのか、頑張って納得しようとして、判った気になっちゃったりするかもしれませんが、それも(多分)気のせいです。

• また、「基本原理」は教科書によって違う表現がしてあることがある。量子力学/熱力学の古めの教科書 vs 新しめの教科書、など。

28

• でも「教科書 A の基本原理」「教科書 B の基本原理」は結局等価なので、そこから導出できる現象は一緒。

教科書Aの基本原理

相互に導出可能導出

教科書Bの基本原理
導出

同じ現象

29

• ユークリッド幾何の基礎をギリシャ時代からある初等幾何の公理系におくか、座標幾何からはじめるかの違いのようなもの。

初等幾何

相互に導出可能

導出

座標幾何

導出

同じ定理

30

• 各分野の有名な日本語の教科書は原理の部分にこだわっていることが多い気がする。

• それも別に悪くはない(し読んでいて楽しい)のですが、• とりあえずは基本原理は受け入れて、勉強したら良いのではないかなというのが僕の意見です。

• また...

31

理論には適用限界がある
ニュートンのあまり重いものには適用できない。

重力理論

一般相対論

量子力学と組み合わせると問題がある

32???

• それぞれの段階で、論理的には矛盾が無い。でも、この世を記述する際に、適用限界を超えたものはつかえない。

• ニュートンの重力理論は「間違っている」けれど「間違っていない」わけです。

• 一般相対論のほうが「より正しい」が、ニュートン式で済むところにわざわざ一般相対論を使わなくてもよい。

• ただし、今回の講義のテーマの「ブラックホールの情報喪失問題」は、

33

一般相対論

熱統計力学

ブラックホールの情報喪失問題

量子論34

• みっつ(一般相対論、量子力学、熱統計力学)のそれぞれは自己矛盾がないのだが、みっつ合わせると矛盾しているように思われる、という点で、現在の理論物理では珍しいケース。

• これを一学期かけて紹介したい。
• おおざっぱにいうと...

35• 一般相対論によると、とても重くて小さいモノは光でも何でも吸い込むブラックホールになる。
(Schwarzschild, 1916)• そのブラックホールを量子力学的に扱うと、熱的な放射があることがわかる。
(Hawking, 1974)• ブラックホールは量子力学的な効果による熱的な放射によってゆっくりエネルギーを失い、いずれ消滅すると思われる。

36• さて、ブラックホールは何を圧縮して作っても、古典的一般相対論の段階では全質量にしか依存しない。
重さ M のもの
A

重さ M のもの
B

潰す

潰す
重さ M のブラックホール37• ホーキング輻射は質量 M にしか依らない。
重さ M のもの
A

重さ M のもの
B

潰す

潰す
重さ M のブラックホール

蒸発

重さ M にのみよる輻射
38• 蒸発すると、何で出来ていたかを忘れてしまう。
重さ M のもの
A

重さ M のもの
B

潰す

潰す
重さ M のブラックホール

蒸発

重さ M にのみよる輻射
39

情報が失われた!

• でも、量子力学では原理的に情報は失われないはず。
何かがおかしい。これがブラックホールの情報喪失問題。
重さ M のもの
A

重さ M のもの
B

潰す

潰す
重さ M のブラックホール

蒸発

重さ M にのみよる輻射
40

情報が失われた!

• みっつ(一般相対論、量子力学、熱統計力学)のそれぞれは自己矛盾がないのだが、みっつ合わせると矛盾しているように思われる、という点で、現在の理論物理では珍しいケース。

• どう解決されるか、には色んな説があって(ここ数年で大きな進展があったりしましたが)決着はついていない。

• 今回の講義では、一体どういう問題なのか、そこを理解することが目標。

41

第二回

• でも、今日の残りの時間は本題には入らず、まずはいろいろな諸連絡、また、第一回のみ参加してくださる人もいるでしょうから、大学および大学院での勉強/研究について、みなさんが知っていたらよいかなと思うこと(および単純に僕が伝えておきたいこと)を述べたいと思います。(いわゆる老害を発揮します。)
まあすでにそういう与太話がおおいですが。

42

成績評価法43

“なんぢら人を審くな、審かれざらん爲なり。”‒マタイ伝 7:1

44

• というわけで、あまり気が進まないのですが、成績はつけざるを得ませんね。皆さんも進学振り分けがありますから気にせざるを得ません。悲しいことです。

• 学期末に、レポートを電子的に提出してください。
• レポート内容についてはまたいずれ指定します。

45

• 雑談ですが、僕も2012年に講義を担当し始めて数年は学期末にテストをやっていました。

• だって、僕も生まれてそれまで、講義/授業は、学期末にはテストをするものでしたからね。入試も受けてきたし。

• でも、「ずっとそうだ」からといって、「そうするのは良いことだ/必要なことだ」というわけではないです。

46

• 古代アステカ文明では、冬至の度に、生きている人を屠って、その心臓を太陽に捧げて、力を失ってきた太陽にまた元気を与えてきたそうです。

• ずーっとやってきて、毎回効き目があった。

47

• 捧げられる人「こんなのに意味はない、僕は死ぬのは嫌だ」• 傍観者「止めてもいいんじゃない、あれ、可哀想でしょ、自分なら、死にたくないよ」• 識者「でも、もし止めてみて、日が延びなかったらどうする。ずっと昔からやってきていつも効き目があったんだ。
共同体のために死になさい！」

48

事象 A

事象 Ｂ

冬至に生きた人間を屠って心臓を捧げた

その日から、昼の長さがまた延びた• 事象 A と事象 B には(毎年 A を行っていたアステカ文明
では)確かに相関がある。でもそれは因果関係ではない。

• Correlation does not mean causation. という。
• 世の中、こういうことは多いのではないでしょうか。
49

• テストだってそうです。期末テストは各国あるかもしれませんが、日本のようなタイプの大学入試は例えばアメリカではありません。

• (アメリカでやってないから日本でも無くしたほうがよい、といっているわけでもありません。それも短絡的。)• (中国でやっていた科挙に近い気がします。でも日本では科挙はやっていなかったので、明治期以降の大学入試はどういう経緯で始まったのでしょう? きっと既存研究がありますが、調べていません、すいません。)

50

• テスト中に教科書/ノートを参照してはいけない、というのは特に謎です。僕が研究をするときは随時必要な情報は教科書/論文/Wikipedia で調べますから。会社で働くようになっても、同様では?

• まあでも例えば外科医になるなら、手術中に咄嗟な判断をするためには頭に当然体内のことが全部入っていて取り出せるようになっていないといけないでしょうから、仕事の種類に依存するのはわかりますが...

51• あと、ある程度有名な話ですが、物理学者の Igor Tamm
はロシア革命の際に白軍支配下のクリミアから赤軍支配地に逃げた際、赤軍の兵士に捕まり、「物理を知っているというならここでテーラー展開を誤差項を含めて導出しろ、出来なければ銃殺する」 と言われて生き延びたという話がある。
ソース: https://damtson.wordpress.com/2017/08/12/igor-tamm-and-the-taylor-expansion/• でも、そういうケースはむしろ稀だと思う。
どうでしょうか?

52レポートを書くための(?)
情報の調べ方

53

ネット

本論文54

ネット

55

• 日本語だけでなく英語でも検索しよう。
• Wikipedia でも英語版は専門的な内容でも非常に質が高いことが多い。(物理より数学の方が質が高い気がする。)• 国内国外の大学教員のページにも有用な情報あったり。
• 批判的に読むこと。(Wikipedia だと、あなたが読んだ数分前に、僕が嘘の内容を書いているかもしれません。)

56

• Yahoo 知恵袋のもっと専門的なものも英語ならある。
• 大学程度の数学: https://math.stackexchange.com• 大学院以上程度の数学: https://mathover ow.net• 物理全般: https://physics.stackexchange.com

fl57

• 例えば数年前に僕が mathover ow で聞いた質問

fl58

• それに対する答え

59

本60

• 最近は何でもネットで検索してしまいがちですが、本もまだまだ役に立ちますよ。

• 大学図書館には沢山専門書があります。
• ebook を大学で購入してある場合は、ネット経由で読めます。

61• 出版社側としては大学所属の人が読んでいることを確認しないといけません。大学のネットワーク内からなら普通に読める筈。

• 大学のネットワーク外から図書館の ebook を読むこともできます。

• https://www.lib.u-tokyo.ac.jp/ja/library/literacy/userguide/campus/o campus 参照。

ff62

• 本を探すには、OPAC https://opac.dl.itc.utokyo.ac.jp/opac/opac̲search/ を活用しましょう。

63

• 他の学部の図書館に入って借りることも可能。
• 他のキャンパスの図書館から本を取り寄せることも可。
• お金を払ってコピーを取り寄せたりもできる(はず。教員は出来ますが、学生はできたかな…)• 他大学にしかない本でも、同様にコピーを取り寄せたりもできる(はず。教員は出来ますが、学生はできたかな…)

64• 専門書は高いですが、大抵は東大のどこかの図書館にはあります。どこの図書館にもない場合は、図書館に購入依頼を出すこともできます。

• いつでも買ってくれるわけではありませんけど。
• (僕は柏所属なので、柏図書館に読みたかった文系の本を頼んでみたら、「柏は理系キャンパスなので文系の本は買いません」と言われたことがあります。その時は本郷の総合図書館に同じ本を無事買ってもらえて、それを柏に取り寄せたことがあります。)

65• どこの学部でもいいですが、図書室に入ってみるのをおすすめします。駒場の数学科だとこんな感じです。

66• これが全部数学の本なわけで、人類の知的蓄積に圧倒されます。他の分野だって同様です。到底自分の一生でその全体を把握できるわけがありませんね。僕はもう研究人生の半分まで来たからよりよく分かります。

• 皆さんも四年生になれば卒業研究でこの知的蓄積にほんの少しですが付け加えることになるわけです。

• (学科によると卒業研究がないこともありますが。でもそういう学科は大抵の人が修士にあがって、修論で同じことをします。)

67• また、図書館はじめ世の中にある知識の量を考えると、「知ったかぶり」をするのが馬鹿らしいと思えてきます。

• 学部学生→院生→ポスドク... と色々みていると、経験を積んだ人ほど知ったかぶりをしない気がします。

• 教員相手に知ったかぶりするとすぐバレます。
知らないのがわかれば教えられますが、知ったフリをしているところに教えるのも憚られますしね。

68

論文

69

• 本の話ばかりしましたが、一冊の本になっていない専門的な学術論文もさらに沢山あります。

• 最先端のこと、本には書いていない細かいことを知りたくなったら必要になりますが、皆さんにはまだすこし早いかもしれません。

• でも折角なので学術論文の話もしましょう。

70

大昔は…

研究する

論文を書く

論文雑誌に投稿
査読に落ちる
査読に通る

ここではじめて論文雑誌に載る

71

他の研究者に読んでもらえる

最近は…
研究する

論文を書く

プレプリントを発表

しばらくたって論文雑誌に投稿
査読に落ちる
査読に通る

論文雑誌に載る72

ここではじめて他の研究者に読んでもらえるプレプリントって?

73• プレプリントは数学、物理なら https://arxiv.org/74

• プレプリントは数学、物理なら https://arxiv.org/75

• プレプリントは数学、物理なら https://arxiv.org/76

• プレプリントは数学、物理なら https://arxiv.org/
TOPOLOGICAL MODULAR FORMS AND
THE ABSENCE OF ALL HETEROTIC GLOBAL ANOMALIESarXiv:2108.13542v1 [hep-th] 30 Aug 2021

YUJI TACHIKAWA AND MAYUKO YAMASHITAA BSTRACT. We reformulate the question of the absence of global anomalies of heterotic string
theory mathematically in terms of a certain natural transformation TMF• ! (IZ ⌦string )• 20 , fromtopological modular forms to the Anderson dual of string bordism groups, using the Segal-StolzTeichner conjecture. We will show that this natural transformation vanishes, implying that heterotic
global anomalies are always absent. The fact that TMF21 (pt) = 0 plays an important role inthe process. Along the way, we also discuss how the twists of TMF can be described under theSegal-Stolz-Teichner conjecture, by using the result of Freed and Hopkins concerning anomalies ofquantum field theories.
The paper contains separate introductions for mathematicians and for string theorists, in thehope of making the content more accessible to a larger audience. The sections are also demarcatedcleanly into mathematically rigorous parts and those which are not.

C ONTENTS
1. Introduction
1.1. Introduction for mathematicians
1.2. Introduction for string theorists
2. Description of anomalies
2.1. Physics setup
2.2. Mathematical reformulation
3. Vanishing of anomalies
3.1. The proof
3.2. A corollary
4. Twists of KO and TMF and the Segal-Stolz-Teichner conjecture
Appendix A. Table of spin and string bordism groups
Appendix B. Tables of ⇡⇤ (tmf), ⇡⇤ (Tmf) and ⇡⇤ (TMF)
0Appendix C. Some examples of (IZ ⌦B )• (pt) ! (IZ ⌦B )•+n (pt)References

2261010111818212225252632

Date: August, 2021.
YT thanks helpful discussions with Arun Debray and Kantaro Ohmori during the early stage of this work, and theauthors thank Justin Kaidi, Kantaro Ohmori and Kazuya Yonekura for detailed comments on the draft. The researchof Yuji Tachikawa is supported by in part supported by WPI Initiative, MEXT, Japan through IPMU, the University ofTokyo, and in part by Grant-in-Aid for JSPS KAKENHI Grant Number 17H04837. The work of Mayuko Yamashita
is supported by Grant-in-Aid for JSPS KAKENHI Grant Number 20K14307 and JST CREST program JPMJCR18T6.

77• 投稿するのも無料、読むのも無料。
• でも、論文の品質の保証は(ほとんど)無い。
• でも、読者自身が専門家なら自分で判断できるので特に問題は起きない。

78• 分野によっていろいろある:• medicine: https://medrxiv.org• biology: https://biorxiv.org• 文系全般: https://academia.edu• コロナウイルス関連の論文は上記ふたつにバンバンでています。判らないなりに読んだことのある人もいるのでは?

79

論文が論文雑誌に載るとは?

80• じゃあ論文雑誌にのった論文とは？

81• じゃあ論文雑誌にのった論文とは？

82• じゃあ論文雑誌にのった論文とは？

83• いろんな雑誌がある。
• おおざっぱにグレードがあって、良い雑誌の査読に通るのは難しい。

• 良い雑誌の査読はより厳密(多分)。
• 査読に通っていても正しいとは限らない。やはり最終的には読者が判断しないといけない。

84• Nature とか Science は有名だが数理物理は載らない。
• あとは Physical Review Letters というのが有名。でもこれは一論文4ページ程度という上限がある。普通僕のやってる数理物理では軽く数十ページとかになるのでかなり無理して内容を圧縮しないといけない。だからキャッチーな論文は出るが本当に意義のある論文は滅多にないと思う。

85• 論文は山のようにある。どんな詰まらないネタでも、思いついた段階で、他の人がすでにやって論文を書いていると思ってよいぐらい。

• 昔ファインマンは「新着論文雑誌が図書館の棚を埋める速度はいずれ光速を超えるだろう。でもそれは相対論と矛盾しない。なぜなら情報を全く運ばないからだ！」といったそうです。

• でもその前にオンライン化して実物の論文雑誌は消滅しましたが...

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査読についてもう少し87• 査読に通ったから正しい、というわけではないことについてもう少し。

• 論文執筆、論文の査読、いろいろなステップを行うのは人間なので、悪意がなくても間違ってしまうことはある。

• 出版後に訂正がでることはよくある。
• 論文を撤回することもままある。

88• 最近気になった例。数日前 NHK で京大数理研の望月新一教授による 「abc 予想の証明」に関する話の特集があった。これまでの経緯は• 2012年に合計600頁に及ぶプレプリントが発表。
• Publications of R.I.M.S. に投稿、査読に8年かかる。
• 2020年4月4日に査読が終わり出版されることが発表。

89• この論文は難解だということで有名。2018年にはScholze と Stix が、論文の特定の箇所が間違っていると指摘。Mochizuki 側はそこは間違いではないと返答。

• どちらが正しいのかは僕には到底判定出来ません。
• Publications of R.I.M.S. の査読を通ったと聞いても、僕個人は何とも判断のしようがない。

• どなたか勉強して教えてください！

90• また別の極端な例。三次元空間に球を最密充填するには、良く知られた「最密格子」というのが最密である、というのはケプラー予想といって、長らく未解決だった。

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• 1998年に Thomas Hales は証明をプレプリントとしてarXiv に発表。コンピュータを援用した非常にややこしい証明。

• 2005年に論文は Annals of Mathematics に出版。査読者は「99%正しいと思う」とのコメント。

• それに Hales は満足出来なかったらしく、自分で 100%確認することを開始。というのは…

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• 数学は公理+三段論法の積み重ねなので、証明の各ステップで何と何を組み合わせて三段論法を使ったかをキチンと書いてあれば、証明があっているか間違っているかは機械的に確認できるはず。

• 言うは易し行うは難しで、「計算機による自動証明」という数学とコンピューティングの活発に研究されている境界領域になっている。

• 2014年まで掛かってこれを実行。
• それが 2017 年に論文として出版された。
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1998

元のプレプリント200520142017“99%正しい”
として出版

コンピュータによる証明の確認のアナウンス

それが出版

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• これらは極端なケースですが、査読は通常理論物理なら数ヶ月、数学なら一年ぐらい(?)掛かるのでは。

• プレプリントを書くまでに掛かる時間もいろいろ。
• 僕は通常アイデアからプレプリントまで数ヶ月くらいだった気がしますが、最近はのんびりしていて半年から一年かかることもしばしばです。

• 院生のころ(~2006)思った疑問を2018年に急に解決できたこともありました。

95• 皆さんはこれまでの教育の結果として、• 学習、記憶したものを使って• 何も見ない所で• 一時間程度で• 与えられた問題を慌ててとく• のに最適化されてると思いますが、研究はそうではないので悪しからず！

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