信号伝送とノイズ抑制技術の基礎

地面変動のような微小振動を研究するには、地球内部の構造とダイナミクスの詳細を知る必要がありますが、

1. はじめに詳細は難しく個別の物理過程を問うことはできません。

本年度の主テーマは「ビーム診断の基礎」ですが、本このような研究では、古典的な確率過程としてのブラウ

講義は主テーマの中では趣向をやや異にした「信号伝送ン運動と同様に解析されます [6, 7, 8]。加速器分野におとノイズ抑制技術の基礎」というテーマで講義をしたい

いても地面変動の非周期的な微小振動が、確率過程としと思います。ビーム診断には様々な方法がありますが、て導かれる AT L の法則 [9, 10] に従い時空発展するこ

本講義ではどのようなビーム診断であろうと共通するノとがようやく確認されるようになり、次世代の大型加速

イズ抑制技術の基礎についてまとめたいと思います。筆器の建設にはなくてはならない手法の一つになってい者が長年に渡り悩まされ続け、実際にビーム診断の研究ます。

で経験しことについてできるだけわかりやすく解説した
いと思います。

このような研究を通して、どのように拡大縮小してもその形を元と比較するとまるで相似形のように不変であ

ノイズ*1 とは、日本語では雑音や揺らぎとも呼ばれ、るという新しい学問分野、フラクタルがマンデルブロに一般に厄介者扱いされることが多いと思います。我々がより開拓されました [11]。筆者も KEK 電子陽電子入射ビーム診断の際に信号を確認しようとする際、“ノイズが器棟において地面変動の非周期的な微小振動を約１年に大きくて信号を観測することができない” とをしばしば渡り観測したところ、そのデータの中に見事にフラクタ言うことがあります。これは、得てして訳も分からずノルの特徴が見出されたことに驚きました [12]。このようイズの所為にした表現の一例です。確かに現場におけるにノイズの背後には何らかの物理過程が存在しているの測定では、このようなことはしばしば生じますが、それで、日頃から注意深く観察をしていれば全く新しい物理

ではノイズ源は何かと問われるとにわかには答えられな現象に遭遇するかもしれません。

いことが多いことも事実です。普段は、ノイズ生成のメ

我々が普段経験するのは、電子回路や電気回路に出現

カニズムを突き詰めて考察することは余りありません。

する狭義のノイズのことです。従って微小信号を扱う場

我々が日常的に見るノイズは、信号伝送や電力伝送に合、如何にノイズを抑制するかが肝要になります。数多

関わることが多いですが、自然界にはさらに広義のノイくの種類のノイズが存在することが知られています。各ズが存在します。アインシュタインが水に浮かんだ花粉

ノイズの背後には異なる物理過程の存在がよく知られての不規則な運動 (ブラウン運動) から原子の存在を予言おり、多くの教科書 [13, 14] で解説されています。例えした話 [1] は有名です。ブラウン運動そのものはノイズ

ば熱雑音 [15, 16] は、抵抗体内の自由電子の不規則な熱(揺らぎ) と同等の性質を持つことが知られています。他

振動によって生じる雑音として知られており、回路設計にも、地面変動の非周期的な微小振動の時空発展、地震には欠かせません。

強度に対する地震の発生頻度、天体の放つ放射強度の時

ショット雑音 [17] は、電気回路において流れる電子

間変化、単細胞内の微粒子の運動、地球表面の温度変動、の数が極度に少ない場合、電子数の統計的変動が大きく地磁気の時間変化など数多くの豊富な事例が知られていなるために発生する雑音のことです。大電流を扱う場合

ます [2, 3]。このような事例は、周波数領域で測定するは余り関係しませんが、極端な微小電流を扱う場合、電とほぼ 1/f (f : 周波数) で減衰するので 1/f ノイズと呼子数の統計的変動は揺らぎとして評価することができ

ばれます。

ます。

ブラウン運動の例からもわかるように、ノイズの背後

フリッカー雑音 [18, 19] は回路に付随して生成されるには深淵な物理が存在することが多く興味深いものがあ

特有の雑音のことで、回路素子の特性に起因すると言わります。特に、地面変動の非周期的な微小振動は、本来れています。この雑音は 1/f 雑音の特性を持っていまは地球物理学の分野で発展している研究テーマですが、す。これらの例は、回路内部で生成される本来的な雑音

大型加速器のアライメントと関係が深く、最近では加速[20] のことです。ここでは幾つかの雑音を紹介しました

器建設場所の選定や建設後の安定な運転に向けて重要なが、これら以外にも物理過程の異なる雑音が多数知られ研究テーマの一つになっています [4, 5]。

ています。物理過程はよく理解されていますので、この際是非原論文を読んでみることをお勧めします。

*1 本講義では、ノイズ、雑音、揺らぎに対し区別なく同義語として用いています.

空間を伝播する外来ノイズは、間接的に主信号を邪魔する雑音となるので極力抑制すべき対象となります。抑制技術としては、同軸ケーブルシールドの二重化や同軸

このモニターは、コアーモニター (CM)、トロイダルモ

チョークを用いるなど、これらのノイズ抑制効果は数多

ニター、カレントトランスフォーマー等と呼ばれ、線形

くの文献 [21, 22, 23] で既に解析されています。例えば、加速器では最も基本的なモニターの一つとして広く利用

同軸ケーブルの二重シールドについては、シールド網線

されています。

の折目構造、シールド厚さ、さらに外部導体を構成する

筆者の所属する KEK 電子陽電子入射器 (以下入射器)

ワイヤー材料の電気伝導率と表皮深さを考慮したシール

では、単バンチの電子 · 陽電子ビームを生成するようにド効果が、周波数に対する伝達インピーダンスという形

なり CM の利用は無くなってしまいましたが、KEK 物で解析されています。二重シールドの効果は、比較的簡質構造科学研究所の低速陽電子施設では小型の電子線

単に計算することができます。二重シールドが通常の一形加速器を利用して低速陽電子を生成しています。低速

重シールドに比べどれくらいの効果を発揮するのかを是

陽電子施設では電子を標的に照射し低速陽電子 (エネル

非各自で計算されることをお勧めします。

ギー可変/最大 35keV) を生成し、固体表面物性や原子分

本講義で扱うテーマは、上記に述べたノイズとは性質

子物理学の研究が精力的に行われています [29]。本加速を異にします。回路内部で生成される本来的な雑音や外器では CM を利用して非破壊でビーム電流を常時計測

来ノイズとは物理過程が異なり、複数の信号線で信号をしています。

伝送する場合に出現するノイズを扱います。このノイズ

この加速器では既存の CM を 2 台と新規に製作したについては、経験的にはよく知られていましたが [24]。

同様なモニター 1 台、合計 3 台を利用してビーム電流をしかし、多重線路からなる伝送回路に対するノイズ生成

計測しています。新規のものは既存のものを参考にしての理論が厳密に構築され [25]、理論に基づき実際の加速同様に製作したつもりでしたが、ノイズ抑制という観点

器に初めて応用されたのはごく最近のことです [26]。

からすると既存モニターは問題なく利用できていたにも筆者は、KEK に入所してから長年ビーム診断に従事関わらず、新規モニターはノイズの影響を大きく受ける

して来ましたが、実際に経験したノイズの問題を長年解ことになりました。ノイズ低減技術の一つとして有効な決することができませんでした。ある時 KEK で、このチョークコイルを用いたノイズ対策を何度も試みました

ノイズ理論の講義を聴講する機会があり [27]、この理論

がことごとく失敗に帰しました*2 。このような経験がこを応用すれば悩ましいノイズ問題を解決できるのではなの問題を考える出発点となり、ここでノイズ生成の原理

いかと直感的に思いました。新理論の応用例は、電磁石に立ち戻って考える必要性に迫られました。

電源から電磁石に供給される電力配信に関するもので、

線形加速器ではノイズは昔から厄介な問題を提供してノイズ対策後の磁場のリップルノイズは大きく低減されいます。特に高電力クライストロンや高速キッカー近くたと報告されました。

のビーム診断では、ノイズを避けることが難しく様々なビーム診断のような信号伝送の場合、同軸ケーブルが工夫によりノイズ抑制が試みられてきました。

使われることが多いのですが、同軸構造を持ったケーブ

本セミナーでは、CM の伝送線路の基本に立ち戻り、

ルにおける信号伝送では、どのように新理論を応用すれ信号伝送とノイズ生成の原理を検討することにします。

ばよいのかが当初はよくわかりませんでした。その後、詳細に解析して行くと、既存モニターと新規モニターで筆者なりに検討し、ようやく一つの結論に達しましたのは、グランド (Gnd.) の位置と取り方に本質的な違いがで、この検討内容を本セミナーのテキストとしてまとめあり、このわずかな違いが信号伝送に大きな影響を与え、ることにしました。

最終的に信号歪みやノイズ生成の原因になっていること

ノイズ生成とその抑制技術に関する教科書は数多く存

がわかりました。

在しますが、本講義の内容は、このような教科書には記

伝送回路においては、Gnd. の取り方が肝要で、信号載されていない、筆者が現場で実際に観測した課題に基伝送とノイズ生成に大きく関わるということをお話した

づいています。従って本内容は、特定のビーム診断に限

いと思います。

定するものではなく、加速器技術全般に応用可能です。
本講義では、ビーム診断の例として長パルスビームの電流計測を取り上げることにします。
電子線形加速器における長パルスビームの電流計測(パルス幅 ≳ 1 µs) では、フェライトコアーにコイルを多数回巻いた電流モニター [28] が用いられることが多い。

*2 チョークコイルとは、リング状のフェライトコアなどの磁性体に同軸ケーブルをリングに沿って複数回巻きつけたものを言います. 加速器施設では、チョークコイルはノイズ抑制技術の一つとしてしばしば用いられます. 市販のフェライトコアは周波
数特性は余りよくありません (f ≲10 kHz). 周波数特性の比較
的良い (f ≲100 kHz) 幾つかのフェライトコアを用いて試験しましたが、ノイズ波形に変化は全く見られませんでした.

Vacuum pipe

2. ビーム電流計測の基礎
Ceramic

2.1. CM を利用した電流計測
図 1 に低速陽電子施設における電子加速器の概略図をBeam current Ib
Magnetic fields

示します。

Io Induced current

e- beam
Coil

R0

CM

Vo Output voltage

図 2 CM を利用したビーム電流計測における信号検出の原理.

電流値に変換することができます。これが CM による電流計測の基本原理です。定量的な解析に興味のある方は他の文献 [30] を参照して下さい。

2.2. CM の機械的構造
図 3 は入射器における CM の機械的構造を示し、ビー
図 1 KEK 物質構造科学研究所低速陽電子実験施

ム側面から見た断面図を示します。

設 に お け る 電 子 線 形 加 速 器 の ビ ー ム ラ イ ン 概 略 図;
Output

KL: klystron, P.B.: pre-buncher, ACC.: accelerator structure, PRM: profile monitor, GV: gate
valve, HV: high voltage station.

Polyimide film
SpringAluminum Case
Toroidal Ferrite CoreCoil

RF Contactor
21

この加速器は典型的な小型の S バンド電子加速器です。熱陰極から放出される熱電子をプレバンチャー及びφ 45mmBeam

バンチャーからなる入射部でビームを集群した後、加速管により 55 MeV まで加速されます。加速電子は標的に照射され、低速陽電子に変換された後、実験室へと輸送されユーザー実験に提供されます。この加速器では計 3Internal terminator
1-Turn Calibration Coil

Insulating
Ceramic
Polyimide film

SpringTest input

台の CM を加速器に沿って配置し、ビーム電流を常時計測しています。既存の CM/2 台を電子銃直後 (CM1) と

BNC Receptacle

図 3 CM の機械的構造側面図.

加速管出口 (CM2) に配置し、新規の CM/1 台を標的前(CM3) に配置しています。

CM は電磁シールド用ケース (Al 製) の内部に二分CM を用いたビーム電流計測の原理を図 2 に示しま割されたフェライトコアー (トーキン製 12001H[31]) がす。ビームが真空パイプに設けたセラミックギャップを組み込まれています。その上半分には導線が 25 回巻か通過するとき、ギャップから漏洩する自己場 (磁場) がれ、導線端は BNC の中心導体と Gnd. に接続されます。

コイルで検出されます。ビーム電流に比例した誘導電流

BNC はポリイミドフィルム (赤色) を挟んで電気的に(I0 ) を終端抵抗 (R0 ) により電圧 (V0 ) に変換し、その振ケースから浮かせる構造になっています。コアーの下半幅を計測すればビーム電流に焼き直すことができます。

分には 1 ターンコイルに抵抗 50 Ω を直列接続し BNC

ここでビームとコイルを 1:N (N :コイル巻数) のトラに接続します。これは電流校正のためのテストパルス入ンスとして扱えば、CM は電圧増幅器として作用します。

力となります。

電圧出力は同軸ケーブル (ケーブル長 l ∼ 20 m (CM1,

二分割されたコアーは上下からバネで強く押され、固CM2), l ∼ 15 m (CM3)) により伝送され、市販のオシ定ジグを使ってその境界面は密着され、計測時の磁場漏

ロスコープ (以下オシロ) を用いれば信号波形と電圧振洩が抑制される構造になっています。CM は真空を破幅を容易に計測することができます。信号の電圧振幅又ることなくセラミックギャップに装着され、分割部はコ

は面積の計測から事前計測された校正係数を乗算すればアーに間隙が生じないようにケースに開けた 4 ヶ所のボ

ルト締めで真空パイプに固定される構造になっています

ライトコアーの周波数特性により決まります。ここで(図 4 参照)。テスト入力にパルスが入力すると、1:N ト

は、簡単のためにトランスを除き、その代わり電圧信号

ランスを通して終端抵抗により電圧信号が BNC から出源に置き換えています。従って、厳密にはコイル間の結力されます。図 4 に入射器で製作された CM を示しま

合度の特性が失われることになります。しかし、この特す。左半分がコイルを巻いた信号出力部を示し、右半分性は CM 出力の絶対値に関わるものなので興味はあり

はテスト入力部を示しています。

ません。後者については、CM 出力の周波数特性を取り入れた電圧信号源を考慮すれば問題ありません。すなわ
ち、信号源出力 (VG ) にはインダクタンス特性を考慮し、フェライトコアーの透磁率の周波数特性を適切に取り入れることにしました。
ここでは VG (ω) に対し以下のような周波数特性を考慮することにします。

VG (ω) = AjωL1 (ω)I0(1)

ここで、L1 と jωL1 はフェライトコアーの自己インダ
図 4 二分割構造による CM. 左半分: コイルを巻いた

クタンスとインピーダンスをそれぞれ示します。I0 は

信号出力部、右半分: テスト入力部.

ビーム電流です。A は比例定数を表しますが、厳密にはコイル間の結合度を用いれば算出することができます。

3. 信号伝送解析のための等価回路
3.1. 等価回路

信号源で生成された信号は 15 m の同軸ケーブルで伝送され、オシロ内蔵 50 Ω を通して波形計測されます。
オシロには電源 (単相 AC100 V) が接続されるだけ

図 5 に信号伝送解析のための等価回路を模式的に示しで、Gnd. 線は積極的には接続されていません。しかします。図 5 (a) は計測システム全体の等価回路を示したながら、よく見ると電源ラインの片側を通して電源用分
電盤の Gnd.(P S Gnd.) に接続されることになります。
従って、オシロの入力端子とシャーシの Gnd. は自動的に P S Gnd. に短絡してしまうことに注意すべきです*3 。
従って、入力信号の電流の一部は、同軸ケーブルではな
く P S Gnd. を通しても帰還することになるので注意が必要です。

3.2. 信号伝送路における Gnd. の取り方
図 5 をさらに進めた等価回路を図 6 に示します。この
図では、信号源側で Gnd. に短絡させない場合と短絡させた場合の等価回路を示しています。ここで言う Gnd.とは加速器のグランドを表しますが、P S Gnd. と区別するために特に Acc Gnd. と記しておきます。図 1 にも図 5 (a) CM による電流計測における信号伝送解析のための等価回路. ビーム (1 ターンコイル) と CM(コイル) との相互作用はトランスを用いて表現されています. (b) 同等価回路. ただし、トランスを CW 信号
源に置き換えています.

示すように Acc Gnd. とは加速器本体のグランドを表しています。
従 っ て 、CM に 対 す る グ ラ ン ド の 取 り 方 と し て 、Acc Gnd. を接続しない状態 (Acc Gnd. 無/oﬀ-state)と接続した状態 (Acc Gnd. 有/on-state) が存在するこものです。ビームを 1 ターンコイルと見なし、1:N トラ
ンスを介してその出力を同軸ケーブルで伝送し信号波形とが理解できます。
繰り返しになりますが、前者は加速器本体のグランドがオシロで計測されます。
図 5 (b) は信号伝送解析のための等価回路を示します。
トランスの特性は、コイル間の結合度と内臓するフェ*3 このことは、オシロの機種に依存するので筆者のオシロのグランド接続が偶々このようになっていたというのが正しいようです.

図 6 信号源側で Gnd. に短絡させない場合と短絡させた場合のさらに拡張された等価回路.

図8

第三のグランド線 (Gnd. Line) を含んだ信号伝

送解析のための集中定数回路素子で表現した等価回路.
二つの伝送モード (d モードと c モード) の伝送姿態もに対し浮いている状態を示し、後者はこれに対し導通し同時に表示しています.

ている状態を示します。このことは、後でわかったことですが、前者が新規製作した CM に相当し、後者が既

図 8 は、図 6 に対応して左側に信号源 (線路位置基準

存の CM に相当しています。新規 CM では、ポリイミ

点 z = 0) を配置し、信号は、同軸ケーブル (長さ l) によ

ド絶縁は出力 BNC の Gnd. をケース (Acc Gnd.) からる信号伝送を経て右側の負荷 (線路位置 z = l) に伝送さ浮かせるために、固定用ネジとして金属の代わりにセラれます。信号源 (e1 、e2 ) と信号源の内部負荷 (Z1 、Z2 )、ミックネジをわざわざ用いました (図 7 参照). 他方、既外部負荷 (Z4 、Z5 ) と Gnd. Line インピーダンス (Z3 、存 CM ではポリイミド絶縁があるにも関わらず、よく見Z6 ) は解析の拡張性と対称性を考慮し集中定数として配ると金属ネジが用いられていました*4 。

置しています。これらは伝送線路解析のための基本パラメータとなります。
図 6 と の 対 応 を 考 え る と 、こ れ ら の パ ラ メ ー タ
は e1 = VG (ω) ̸= 0、e2 = 0、Z1 = Z2 = 0、Z4 = 50 Ω、Z5 = 0 で 与 え ら れ ま す 。計 算 によるとフェライトコアーの自己インダクタンスは()
L1 ∼16 mH (比透磁率 µr =12000 f ≲ 30 × 103 Hz 、()
µr (f )=4.1×108 f −0.96 f ≳ 30 × 103 Hz ) と算出でき
ます*5 。回路の対称性から信号源と外部負荷側の各中点から Gnd. Line が引き出されます。
図 7 CM 入出力部の拡大図. BNC とケース間にポリ

ここまで来るとどうでしょうか、図 8 をご覧ください。

イミドフィルムが挿入され、BNC を加速器グランドか

ここで同軸ケーブルは、Line1(中心導体) と Line2(外導ら絶縁するためのセラミックネジが見えます.

体) で構成されます。通常の回路図ではこれで充分です
が、第三のグランド線 (Gnd. Line) が付け加わっている
ことがわかります。この線は実はアースグランド線を表

4. 信号伝送解析のための準備しています。同軸ケーブルは二本線で構成されますが、

4.1. 等価回路

複数線による伝送回路とは、実はこのアースグランド線

図 8 に信号伝送解析のための等価回路を示します。

が加わった三本線の伝送回路を表しています。さらにこのアースグランド線には、余計なインピーダンス (Z3 、*4 当初、筆者は、この扱いの意味がよく理解できませんでした.

すなわち、既存 CM にはポリイミド絶縁がなされていたので、当然のごとく CM の Gnd. をケースの Gnd. から浮かすべきと考えました. また当時は、一点 Gnd. が良いと信じ負荷側でのみ Gnd. 接続すればよしとし、信号源側は完全なポリイミド
絶縁が有効であろうと考えました. 今から振り返ると、前任者により行われた既存 CM に対するこのような扱いは、Gnd. に対する絶縁効果を帳消しにするものです. 結果的に信号源側のAcc Gnd. の有無という Gnd. の取り方の違いが信号伝送に大きな違いをもたらすことになりました. この結論を得るのに随分と時間を要しました.

Z6 ) が付いていることもわかります。このアースグラン
ド線と余計なインピーダンスの存在が伝送回路に出現するノイズ生成の原因になることが追ってわかります。
次節以降で多重線から成る伝送線路理論を紹介します。しかし、その前に図 8 に示す等価回路において実際の CM で想定されるパラメータを仮定すれば、信号伝送*5 周波数領域 f ≳ 30 × 103 Hz における磁気透磁率の降下は周波数特性 (カタログ値 [31]) から読み取り計算に取り入れました.

がどのように実現されるのかを計算により実感して頂き

抗性インピーダンス (R = 15 Ω) を仮定しています*6 。

たいと思います。以下に、その計算条件をまとめておき

すなわち、e1 = VG (ω)、e2 = 0、Z3 = (R + jωL)/2、ます。

Z6 = (R + jωL)/2、Z4 = 50 Ω、Z5 = 0 の場合を計算

計算条件 (Case I) では、e1 = VG (ω)、e2 = 0、Z3 =条件 (Case III) としました。

Z6 = 0、Z4 = 50 Ω、Z5 = 0 とおき、図 6 の Acc Gnd.

このように図 6 に示す伝送線路は単純な二線路有の場合に対応させます。すなわち、Gnd. Line に余計です が 、実 は 図 8 に示 す よ う に Gnd. は三 番 目 の 線

なインピーダンスが存在しない (Z3 = Z6 = 0)、従って(Gnd. Line) として別に存在することに注意してくだ

Acc Gnd. と P S Gnd. は同電位になる、という条件で

さい*7 。ノイズ源としてさらに e3 が Gnd. Line 上にす。Z4 = 50 Ω はオシロ内臓の終端抵抗 (負荷) のこと

存在すれば、もはや P S Gnd. と Acc Gnd. は性質のです。また、電源及び負荷が非対称 (e1 ̸= e2 、Z4 ̸= Z5 )よい Gnd. ではなくなります。このことは、三線伝送に配置されていることを表します。ここで特徴的なこと

線路に特有な現象で Gnd. を揺らす原因となり、うまは、オシロのグランド P S Gnd. は常に導通しています

く対処しないとノイズ生成や信号波形の歪みを引き起が、電源部のグランド Acc Gnd. の導通条件を考慮してこす要因となるのです。Case III の負荷配置の対称性いることです。この条件は既存 CM の条件に対応し、伝(Z4 = Z5 = 50 Ω) をさらに考慮した場合を計算条件

送線路の基本特性が得られます。

(Case IV) としました。これら 4 つの計算条件を以下に計算条件 (Case II) では、e1 = VG (ω)、e2 = 0、Z3 =まとめます。

+∞、Z6 = 0、Z4 = 50 Ω、Z5 = 0 とおき、図 6 の
表1

Acc Gnd. 無の場合に対応させます。この計算条件は、
Acc Gnd. の導通条件のみを変えた場合に対応します。

Case

Acc Gnd.

I

有

II

無

ド Acc Gnd. が導通されるならば、CM ケース → 真
空パイプ → 加速管 → 導波管 → クライストロン →Z3 = Z6 = 0
Z4 = 50, Z5 = 0ます) は積極的には Gnd. に接続されていません。しかし、図 1 をよく見てください。もし信号源部のグラン

Gnd. Line Z [Ω]Ext. Loads Z [Ω]ここで、注意したいことは P S Gnd. と Acc Gnd. との関係です。加速器本体 (ビームラインのことを指し

三本線の伝送線路における計算例.

Z3 = +∞, Z6 = 0
Z4 = 50, Z5 = 0

III

有

Z3 = Z6 = (R + jωL)/2

クライストロン電源 → 分電盤 Gnd. という経路 (これ(R = 15 Ω, L = 0.33 × 10−6 H)を Gnd. Line で代表させます) が閉じることになり、

Z4 = 50, Z5 = 0

Acc Gnd. と P S Gnd. が結合されることになるのです。

IV有Z3 = Z6 = (R + jωL)/2

このことが加速器本体は積極的ではなく間接的に Gnd.

(R = 15 Ω, L = 0.33 × 10−6 H)に接続されるということを意味します。従って、CM

Z4 = Z5 = 50

ケースが BNC Gnd. に短絡していれば、Acc Gnd. とP S Gnd. は同軸ケーブルを通して Gnd. が直接短絡さCase I–IV に対応する信号伝送特性の計算例は 5 節

れると同時に、Gnd. Line という別の経路でも結合するに示されます。ここで導入した等価回路モデルでは、ことになることがわかります。

Gnd. Line 上の信号源側に Z3 、外部負荷側に Z6 を集中

一般的に、直接短絡のインピーダンスは Gnd. Line定数として配置しています。しかし、実際はこれらの集のそれに比べ充分小さく、同軸ケーブルの Line2 が信中定数を分布定数として分散させる必要があります。こ号電流の帰還路になると考えてよいでしょう。このようこでは簡単のため集中定数としておきます。

な場合、信号源側と外部負荷側の Gnd. 間に電位差は生4.2. 平衡不平衡回路における信号伝送

じません。しかし、CM ケースが BNC Gnd. に対し浮

本節では、平衡不平衡回路 (balanced-unbalanced cir-

いている場合 (Acc Gnd. 無)、もしくは Acc Gnd. 有のcuit) について解説します。図 6 に示された等価回路は状態でもその経路上に何らかのインピーダンスが存在す
れば (Z3 ̸= 0, Z6 ̸= 0)、P S Gnd. と Acc Gnd. 間のGnd. Line にはインピーダンスに応じた電位差が生じることになります。Case III はこのような場合を想定したもので、Gnd. Line 上に誘導性 (L = 0.33 µH) と抵*6 抵抗性インピーダンスについてはデジボルで実測した抵抗値です. 他方、前者は LCR メータで実測したインダクタンスですが、周波数帯域が狭い (f ≲10 kHz) ので信頼性は高くありません.
*7 筆者は土岐氏の講義を聞いた後、初めてこの考えを理解できるようになりました.

不平衡回路 (unbalanced circuit) と呼ばれます。これは対する係数 1/2 が逆になっていることに注意してくだ

伝送線路が、対称ではなく文字通り平衡していない線

さい。

路であることを意味します。一方、平衡回路 (balanced

平衡回路における d モード信号の伝送は優れた技法

circuit) は、対称性を有し文字通り平衡している線路をですが、油断をすると波形歪みやノイズ生成の原因とな言います。伝送線路において両者は重要な役割を担ってる c モードが生じ易くなるので注意が必要です。後節でいます。

さらに解説しますが、このことは c モードの信号伝送と高速デジタル回路では、不平衡回路は片線接地回路

ノイズ生成が強く関係することに起因しています。従っ(single-ended circuit)、差動回路 (diﬀerential circuit)て、平衡回路の特徴を有効に利用するには c モードの生とも呼ばれています。我々がしばしば利用する不平衡回成原理をよく理解し、極力抑制するような伝送線路を構

路では片線が接地されるので、他線の電位を計測するこ

築しておかなければなりません。

とになります。すなわち片線の電位を基準にして他線の他 方 、不 平 衡 回 路 と 言 え ど も |Z2 | (or |Z5 |) ≫電位を計測することになります。他方、平衡回路では二|Z3 | (or |Z6 |) のような場合、Line2 は電流に対し本本の信号線が三番目の Gnd. Line に対し浮いているの来の帰還線路では無くなり、Gnd. Line が帰還線路とで必然として三線の伝送線路となります。このような伝なってしまいます。このようなことにならないように、

送線路では、Gnd. Line に対する二線の各電位が存在

よくよく注意すべきです。ここで述べたことは、本講義

し、パラメータの数は 2 となります。計測される信号のテーマであり本質的な点を言い表しています。

は、パラメータの数に対応して二線の電位の和と差から4.3. 信号伝送の解析

なる２モードの信号が共存し、伝送線路を伝播することになります [25]。

平衡不平衡回路における信号伝送の理論的な解析手法
は参考論文 [33] で詳細に議論されています。ここでは、不平衡回路ではディフェレンシャルモード (d, diﬀer-

解析で重要となる概念を述べるに留め、幾つかの解析結

ential mode) が特徴的ですが、平衡回路ではディフェレ

果を示します。平衡不平衡回路における信号伝送の理論

ンシャルモードに加え、特徴的なコモンモード (c, com-の紹介は次節で行います。

mon mode) が存在することになります。ディフェレン

図 9 に、平衡不平衡回路における信号伝送の解析を行

シャルモードはしばしばノーマルモード (normal mode)

うために留意しなければならない信号伝送の 4 つの形態とも呼ばれます。すなわち、２モードとは d モードと cをまとめました。

モードのことを言いますが、これらは総称して混合モード (mixed mode) とも呼ばれます。伝送線路ではこれらの 2 モードが測定量になることに注意してください。
平衡回路において、片線の電位と電流をそれぞれ V1 、

I1 、他線をそれぞれ V2 、I2 とし、c モードの電位と電流を
Vc 、Ic 、d モードのそれらを Vd 、Id としますと、これらは(2)–(5) 式で定義されます。図 8 にこれらのモード電位と電流を模式的に例示しています。従って d モードにおける独立したパラメータ数は、関係式 V1 ̸= 0, V2 = 0、I1 = −I2 から 2 となり、c モードにおけるパラメータ数
は、それぞれが独立なので 4 となります。これらの諸量
は伝送線路の線路位置 z に依存する物理量であることに注意しておきます。モード電位 (電流) と線電位 (電流)図9の関係を以下に示しておきます。

1
Vc (z) ≡ (V1 (z) + V2 (z))
2
Ic (z) ≡ I1 (z) + I2 (z)Vd (z) ≡ V1 (z) − V2 (z)1Id (z) ≡ (I1 (z) − I2 (z))
2平衡不平衡回路伝送線路における c 及び d モードの 4 つの異なる伝送姿態. (a)–(c) の詳細は表 2 を

(2)
(3)
(4)
(5)

ここで d モードと c モードでは、モード電位と電流に参照してください.

図 8 に対応する平衡不平衡回路で生成される典型的な 4 つの伝送姿態を示しています。例えば図 9 (a) を見てください。真中に負荷が位置しその両側には信号源が置かれ、左右の図は異なる伝送姿態を示します。図 9

(a)–(c) に最も基本となる共通の伝送姿態を各左図に示

筆者は、オシロの入力部と同軸ケーブル間にチョークします。図 9 (a)–(c) の右図が異なる伝送姿態を表し、コイルを挿入して c モードノイズを抑制しようと何度も基本となる伝送姿態と合わせて 4 つの異なる伝送姿態を試みました。しかし、もし信号源或いは伝送途中で既に描いています。ここで、負荷には P S Gnd. が接続してc モードから d モードへの変換が生じていれば、負荷側いますので d モードは計測されますが、オシロを用いるにチョークコイルを幾重に挿入しようとも効果がないのとなると c モードは直接的には計測できないことに注意はこのことを意味しています*8 。このように、三本の伝してください。これは、三番目の線となる Gnd. Line に

送線路では複数の伝送姿態が存在することになるので、対し、P S Gnd. が短絡しているからです。

c モード生成と d モード伝送の波形歪みの抑制が肝要とまずは、図 9 (a) をご覧ください。この段階では図中のパラメータの意味を説明していませんので、その概念を理解するようにしてください。詳細は次節で解説します。
左信号源 (edd ) は主モードである d モードの信号源になります。表 2 に図 9 に示した伝送姿態をまとめておきます。
表2

平衡不平衡回路伝送線路における信号の伝送姿態.

対応図

電源

よる伝送線路を表しており、この伝送姿態は各図 (図 9(a)–(c)) で共通です。すなわち信号源で d モードが生成され、同軸ケーブルによりモードが変わることなく伝送され、オシロで d モード計測が行われます。
他方、図 9 (a) の右信号源 (ecc ) では c モードが生成さ

モード

モード

モード

電源側

ケーブル

負荷側

(a)–(c) 左

edd

d

d

d

(a) 右

ecc

c

c

c→d

(b) 右

edc

c→d

d

d

(c) 右

ecd

d→c

c

c→d

れ、同軸ケーブルによりモードが変わることなく伝送され、負荷で c モードから d モードへの変換が生じ d モー
ド計測が行われます。図 9 (b) は、右信号源 (edc ) で c
モードが生成され信号源で d モードへの変換が生じ、同軸ケーブルにより d モードが伝送され、負荷で d モード
計測が行われます。
図 9 (c) は、右信号源 (ecd ) で d モードが生成され信号源で c モードへの変換が生じ、同軸ケーブルにより c
モードが伝送され、負荷で c モードから d モードへの変換が生じ、d モード計測が行われます。図 9 (c) ではモード変換が 2 回生じるため、図 9 (a)、(b) に比べより高次項になります。左信号源による伝送モードでも同様な高次項が考慮できますが、この高次項を無視し c モードによる高次項を適宜取り入れて計算しています。
このように、伝送線路では複雑なモード生成及び変換過程を通して 2 つの伝送モードが同時に存在することが理解できます。それでは、2 つの伝送モードの生成過程を考察して行きましょう。本来の CM に基づく信号
源 (edd ) により、d モードが生成されます。我々が計測したい信号はこの d モードで、オシロにより計測が可能です。他方、c モードは元々存在しなかったもので、伝送線路の特性により生成されたと考えられます。その生成過程は、等価的な信号源 (ecc 、ecd ) により生成されたり、或いは伝送途中において d モードから変換したものと考えられます。ノイズ生成と強く関係する c モードは極力抑制する必要があるというのはこのことを意味しています。

5. 等価回路による解析
平衡不平衡回路伝送線路の理論はまだ解説しておりま
せんが、ここでは前節の計算条件に示した典型的な解析
結果を紹介します。理想的な伝送線路では負荷での整合条件に応じて反射波が生じ、線路内には進行波と反射波が重畳され定在波が生成されます。整合条件を満足する
場合でも反射波は消失しますが、CW 応答の計測で計測
基準点や周波数に依存した定在波を計測することになります。このように伝送線路の周波数応答を計測又は計算することができれば、平衡不平衡回路による伝送線路の良し悪しを評価できます。
図 10 は、計算条件 Case I(表 1 参照) の解析結果を示します。図 10 (a) は出力振幅 (実数成分 [dBV]) の周
波数特性*9 を示し、図 10 (b) は出力位相 ([deg.]、±180oで定義) の周波数特性を示します (以下同様)。この結果
は、腹と節が半周期ごとに繰り返される歪みの無い理想的な周波数特性を示しています。しかも位相歪みも無い
ので出力の周波数特性は理想的です。しかしながら、主d モード (赤線) に対しモード変換により生じた c モード (青線) の大きさは、最大振幅のところでその振幅差は∼6 dB 程度となりモード変換の割合は比較的大きいことがわかります。この計算例からわかるように理想的な伝*8 チョークコイルは c モード抑制には効果を発揮しますが、d モード抑制には全く影響しません.
*9 出力振幅は、f =0.1 MHz で 0 dBV (1 V) となるように規格化しています.

送線路と言えども、この計算条件では少なからず c モードが生成されることを意味しています。これは、理想的な不平衡回路と言えども信号源と負荷配置の非対称性に起因して比較的大きなモード変換が生じる例を示しています。この結果は、既存 CM (CM1, CM2) により観測される信号波形の周波数特性に近いと考えられます。
図 11 は、計算条件 Case II(表 1 参照) の解析結果を示します。この回路の信号源側は平衡回路になっており、負荷側は不平衡回路になっています。実はこの回路
は平衡回路と不平衡回路が衝突しており、通常は禁止される回路構成です。解析によると両モードに対し周波数特性は大きく歪み、伝送信号に大きな劣化を示す計算例になっていることがわかります。
図 12 は、計算条件 Case III(表 1 参照) の解析結果を示します。この回路は Case II と同様な計算条件ですが、特に Gnd. Line 上にインピーダンスが存在する場合の計算例を示しています。解析によると両モードの周波数特性は大きく歪み、伝送信号に大きな劣化を示していることがわかります。この結果は、ノイズ対策改修前の新規 CM (CM3) により観測される信号波形の周波数特性に近いと考えられます。
図 13 は、計算条件 Case IV(表 1 参照) の解析結果を

図 10

計算条件 Case I の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性. 赤線 (青線): d(c) モード
解析結果. 同軸ケーブル長: l = 15 m.

示します。解析によると d モードの振幅と位相に対する周波数特性には歪みは殆ど見られていません。この回路
は Case III と同様な計算条件ですが、負荷側が平衡回路になっており、完全ではありませんが対称性が高い回路構成となっています。この “対称性が高い” ということが、c モードを大きく抑制し、伝送歪みの少ない d モー
ド伝送を可能にするのです。これまで例証した典型的な計算例から c モード抑制に対する基本的な考え方がお分り頂けると思います。

図 11 計算条件 Case II の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性.

6. 平衡回路における信号伝送
6.1. 信号伝送理論
ここで平衡回路における信号伝送理論を紹介しすることにします。電気回路の理論に基づいた内容ですので難しいことはありません。式の導出は、一度は各自で試みてください。
三本線を基本とする平衡不平衡回路における信号伝送の理論的な解析手法を紹介します。(2)–(5) 式では、線電位 (電流)V1 (I1 )、V2 (I2 ) とモード電位 (電流)Vc (Ic ) (cモード)、Vd (Id ) (d モード) が定義されました。これらの諸量はこの定義式に従うと、行列形式で表現され以下の関係にあります。

(

)
(
) (
)(
)
V1 (z)Vd (z)
1/2 1
Vd (z)≡ TV ·=(6)
V2 (z)Vc (z)−1/2 1Vc (z)
) (
)(
)
(
)
(
1 1/2
Id (z)I (z)
I1 (z)=(7)≡ TI · dIc (z)−1 1/2Ic (z)I2 (z)
基本信号線となる二線上の線電圧 (電流) に対し変換

行列 TV−1 (TI−1 ) を適用すると、実際の測定量となるモー
図 12 計算条件 Case III の解析結果. (a) 振幅の周波

ド電圧 (電流) に変換できることを表しています。これ

数特性、(b) 位相の周波数特性.

らの諸量は、周波数領域における計測を想定し、信号源を基点 (z=0) とした伝送距離 z の関数で表現されます。
信号源においてモード電圧 (電流) に対応するインピー
ダンス行列 (ZG ) を導入し、キルヒホッフの法則を適応しますとモード電圧と電流の関係は以下のようになり
ます。

(

) ( )
(
)
Vd (0)eI (0)= dd − ZG · d
Vc (0)ecc
Ic (0)(8)

ここで ZG 行列は()
ZGdd ZGdc
ZG ≡ZGcd ZGcc()
Z1 + Z2(Z1 − Z2 )/2=(Z1 − Z2 )/2 Z3 + (Z1 + Z2 )/4

(9)

です。

edd (ecc ) は d (c) モードに対応した信号源を表し、行列表現をしますと

( )
(
)
edd
e1 + e3≡ TV−1 ·ecc−e2 + e3()
e1 + e2=(e1 − e2 )/2 + e3

(10)となります。まとめますと (8) 式、(9) 式及び (10) 式から、c モード生成は以下の条件が基本となります。
図 13 計算条件 Case IV の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性.

(i) ZG 行列の非対角成分がゼロでないこと、すなわち
Z1 ̸= Z2 (非対称内部負荷) であること、

(ii) 信号源の非対称性、すなわち e1 ̸= e2 であること、(iii) Gnd. Line 上に第三の信号源 (e3 ) が存在すること、ます。
これらのモード電圧と電流は、伝送線路に沿って負荷に向かって伝播します。モード信号は各モードに対応し(iv) Gnd. Line 上、信号源側にインピーダンス (Z3 ) がた転送行列を用いて以下に定式化されます。

()()
Vd (z)Vd (0)≡ Td ·Id (z)Id (0)()()
Vc (z)Vc (0)≡ Tc ·Ic (z)Ic (0)

存在すること、(v) Gnd. Line 上、負荷側にインピーダンス (Z6 ) が存在すること、(vi) ZL 行列の非対角成分がゼロでないこと、すなわち
Z4 ̸= Z5 (非対称負荷) であること、

(13)
(14)

ここで Td (Tc ) は d (c) モードに対する転送行列です。
波数を β = 2π/λ とおくと、転送行列はそれぞれ以下のが条件となります。
如何でしょうか。これらの条件は、既に前節で解説しようになります (付録 A 参照)。

(た事項ですが、再度確認しますと特に Gnd. Line 上に余計なインピーダンスと信号源が存在すれば、それぞれ(9) 式と (10) 式から c モードが生成されることがわかります。また、信号源側のインピーダンスと信号源の配置を見てください。インピーダンスと信号源に関し、非対称な配置が存在しても c モードが生成されることがわかります。これらの条件は全て独立事象となり、1 つで

Td ≡
(
Tc ≡

cos(βz)−j sin(βz)/Zc)−jZd sin(βz)
cos(βz))−jZc sin(βz)
cos(βz)(15)(16)

Zd 、Zc は各モードに対応した伝送線路のインピーダン
スを表し、これらは(も条件が出現すれば c モードが生成されることになります。後述しますが、条件 (v) と (vi) は負荷側に関係した条件です。これだけの解析ですが、大変重要な事項が理

cos(βz)−j sin(βz)/Zd

Zd
Zc

)

(
=

2v(L11 − L12 )v(L11 + L12 )/2)(17)で与えられます (付録 B 参照)。

解できます。すなわち、c モード生成を抑制するには、伝L11 、L12 は伝送線路のインダクタンス行列 L の成分

送線路の構成要素の配置は対称にすること、Gnd. Lineを表し、単位長さ当りで定義され、それぞれ、線路 1 の上には余計な信号源やインピーダンスを配置しないこと

自己インダクタンス、線路 1-2 間の相互インダクタンスが条件となります。

を表します。伝送線路のインダクタンス行列 L は(もしこのような条件が満足されないと、例えば条件 (i)の場合、信号源側におけるインピーダンス行列の非対角成分を通してモードが互いに変換され、モード電流と非対角成分との積により決まる c モードが出現します。
このことは、モード変換を担う信号源、言い換えますと

c → d 変換源 (edc ) 又は d → c 変換源 (ecd ) という別の信号源が存在することと等価と考えられます。これらの諸量は、図 9 に記した信号変換源では以下のように定式化されます。

L≡

L11
L21

L12
L22

)
=

(
L11
L12

L12
L11

)
(18)

で定義されます。本稿で議論する伝送線路は同軸ケーブ
ルですので、L11 = L22 ̸= 0、L12 = L21 = 0 の関係があります*10 . このように定式化すれば (13) 式と (14) 式
から任意の伝送線路位置 z における各モード電圧と電流の伝播が計算できます。
モード信号が負荷位置 z = l に到達すると信号源における同様な行列演算が成立します。負荷においても対応

edc = ZGdc Ic (0)(11)

するインピーダンス行列 (ZL ) を導入すると、モード電ecd = ZGcd Id (0)(12)

圧と電流は以下のように書けます。

これらの関係式によりますと、各モード電流により信号源負荷の非対称性を通して他モード電圧を誘起する

(

)
(
)
Vd (l)Id (l)= ZL ·Vc (l)Ic (l)(19)

ことがわかります。言い換えますと、信号源負荷に非対称性が存在しますと、原理的にモード間に干渉 (又は結合) が生じることを意味します。この段階では、開放端のモード電圧が定義されるだけで負荷が未定なので、まだ諸量を決めることはできません。(8) 式の 2 つの未知
数 (Id (0), Ic (0)) は、負荷を通ることで初めて決定され*10 同軸ケーブルとして RG-223/u を用いています. カタログ値から L11 = L22 = 0.26 µH/m、v/c = 0.641 を採用しました.
不平衡回路の場合、線路 1、2 を 1 本の同軸ケーブルの中心導体と外部導体として扱います. 平衡回路の場合、線路 1、2 を
2 本の同一種の同軸ケーブルとして扱います. どちらの場合も
L11 = L22 、L12 = L21 = 0 が成立します. このように伝送線路を平衡回路で構成すれば線路も対称化できます.

ここで ZL 行列はが考慮できます。図 9 には、これら 4 つのモード伝送が()
ZLdd ZLdc
ZLcd ZLcc()
Z4 + Z5(Z4 − Z5 )/2=(20)(Z4 − Z5 )/2 Z6 + (Z4 + Z5 )/4

ZL ≡です。(20) 式を見るとモード変換は、信号源と同様に非描かれています。オシロを利用する場合、計測されるのはあくまでも d モードであることに注意してください。

c モードは計測できません。
これらの諸量を再度用いれば、負荷における d モード
電圧と電流は対称負荷 (Z4 ̸= Z5 ) により生じることがわかります。このように、信号源で生成された c モードは、一部は負荷(側で d モードへ変換されますが、一部はモード変換なく計測系に入力することになります。

)()
Vd (l)Vd (0)= Td ·Id (l)Id (0)(29)(8) 式を用いて c モード行列に書き直し、これを負荷
z = l まで伝送させた行列と (19) 式の c モード行列が等しいという等式をおくことで、最終的に未知数を決定す

各モードに対応した電圧と電流の解析式となります。

ることができます。すなわち、

(

)
( )
(
)
Vc (0)e
Vd (0)= ZG1 · dd + ZG2 ·Ic (0)ecc
Id (0)

により計算できます。(22) 式と (29) 式が負荷における6.2. シミュレーション解析(21)

ここでは 6.1 節で議論した信号伝送理論に従い、幾つかの計測条件に対応するシミュレーションを行います。

とおくと、この c モード行列を信号源から負荷まで伝播

次節では実験的検証を行いますので、ここでは検証実験させた場合と負荷で d モード行列が d → c 変換した場に対応した計算条件を取り上げて解説します。

合は、それぞれ()()
Vc (l)Vc (0)= Tc ·Ic (l)Ic (0)()()
Vc (l)Vd (l)= ZL1 ·Ic (l)Id (l)

計算条件 Case1–4 (sim.) を次に示します。ここで、信号源に対する条件は共通で前節と同様に e1 = VG (ω)、(22)

e2 = 0 としました。

(23)

が成立します。すなわち、(22) 式と (23) 式が等しいとおいて未知数を決定します。ここで各行列は以下のよう

表3

実験的検証に対応したシミュレーション計算の条件.

Case

Acc Gnd.

Ext. Loads Z [Ω]に定義されます。

()−ZGcc ZGdc
ZG1 ≡
1
0
ZGdc
(
)
2
1
ZGcc
ZG
ZG2 ≡
ZGdc −1 −ZGdd()
1
ZLcc −ZL2
ZL1 ≡
1
−ZLdd
ZLdc
1

Gnd. Line Z [Ω]1有Z4 = Z5 = 50

(24)
2

無

(25)
3
(27)

ZL2 ≡ ZLdd ZLcc − ZLdc ZLcd

(28)

Z3 = +∞, Z6 = 0
Z4 = Z5 = 50

有

(26)

2
ZG
≡ ZGdd ZGcc − ZGdc ZGcd

Z3 = Z6 = 0

Z3 = 0, Z6 = 15
Z4 = Z5 = 50

4

無Z3 = +∞, Z6 = 15
Z4 = Z5 = 50

まとめますと基本的には次の 4 つのモード伝送(i) 信号源 d モードが負荷まで変換されることなく伝送される、(ii) 信号源 d モードが信号源で一部が d → c モード変換され、負荷までモード変換なく進む、

ここでは、信号源配置は非対称ですが、負荷配置は

50 Ω 終端の対称配置としました。後述しますが、 負荷配置は対称配置にしないと c モード計測ができなくなるからです。条件 Case 3 と Case 4 では Gnd. Line イン(iii) 信号源 d モードが変換されることなく負荷まで伝ピーダンス (Z6 ) として純抵抗の場合を取り上げていま送され、負荷で一部が d → c モード変換される、す。図 14–図 17 に対応するシミュレーション結果を順(iv) 信号源 d モードが信号源で一部が d → c モード変次示しますが、後述する実験的検証で再度取り上げるの換され、負荷で再度 c → d モード変換される、

でここでは説明を割愛します。

図 14

計算条件 Case 1 の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性. 赤線 (青線): d(c) モー

図 16

計算条件 Case 3 の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性.

ドの解析結果. 同軸ケーブル長さ: l = 15 m.

図 15計算条件 Case 2 の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性.

図 17

計算条件 Case 4 の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性.

7. 実験的検証

衡変換器 (バラン)*13 を自作し、これを用いて平衡回路計
測用に SE 出力を BA 出力に変換することにしました.

7.1. 実験装置
一般的なネットワークアナライザー (NA) では、不平衡回路における rf 入出力の周波数特性が計測されます。
従って、この NA では平衡回路の周波数特性を直接計測することはできません。これは前者の NA では不平衡回路計測用に 2 ポートの入出力なのに対し、平衡回路計測用には 4 ポート (≥3 ポート) の入出力が必要となるからです*11 。

CM へのテスト入力を SE 入力とし、出力は Balanced

図 19(BA) として出力させます。このような平衡回路におけ自作した同軸平衡不平衡変換器.

る信号の流れを NA から見ると図 18 のようになります。
図 20 に同軸平衡不平衡変換器が接続された CM 出力部の拡大図を示しました。図中にガムテープが見えるの

図 18

マルチポートネットワークアナライザーを利用した平衡信号伝送回路における信号の流れ.

ポート 1 には CM の rf テスト入力を接続し、 ポー
ト 2、3 には CM の BA 出力を接続します。NA の Gnd.

図 20 同軸平衡不平衡変換器が接続された CM 出力部の拡大図.

は、CM の Acc Gnd. 有 (無) に対応して Acc Gnd. との結合 (不結合) という条件が対応します。従って、本実験では 3 ポートによる NA 計測となります。
計測量は S パラメータですが、3 ポート計測では特徴的な S パラメータ、Sds21 と Scs21 が計測されます (付録 C 参照)[34, 35]。Sds21 (Scs21 ) とは SE 入力に対するd (c) モードの S21 (実数振幅成分と位相成分) のことを意味します。CM 出力は 1 本の同軸出力 (BNC) なので、これをどのように BA 出力させるかが問題となります*12 。試行錯誤の末、図 19 に示すような同軸平衡不平*11 入射器には平衡回路計測用の NA(Agilent, PNA N5221A 10

MHz∼1.3 GHz) がありました. CM の特性計測用としては周
波数下限値が 10 MHz と大きいのですが、原理実証用としては問題ないでしょう.
*12 同軸ケーブルを BA 出力させるには同軸ケーブルの中心導体と外導体 (Gnd.) を分離すればよいのですが、分離後にどのように別の同軸ケーブルに接続できるのかが問題となります. こ
れには、分離後の信号線を 2 本の同軸ケーブルのそれぞれの中心導体に接続し、さらに 2 本の同軸ケーブルの Gnd. が同電位になるように Gnd. 線を互いにハンダ付けをします (図 19参照). さらに計測時にはこの Gnd. は CM ケースに短絡させて Acc Gnd. と同電位にします. この Gnd. が図 8 におけるは、同軸平衡不平衡変換器の BNC Gnd. を CM ケースに短絡させるためです。脚注*12 で解説するように同軸平衡不平衡変換器の Gnd. が Gnd. Line の一部となります。従って、CM/BNC 出力の固定ネジとして金属ネジを挿入すると、CM の Acc Gnd. と NA Gnd. が同電位となり Gnd. Line が結合されることになります。逆に、このネジを取り省くとこの結合が切れることになります*14 。
マルチポートネットワークアナライザーを利用した平衡信号伝送実験のための計測装置を図 21 に示します。

NA からの rf 信号は SE 信号として CM のテスト入力に入ります。CM 出力は SE なのでこれを同軸平衡不平衡変換器を用いて BA 出力に変換し、2 本の同軸ケーブ
Gnd. Line に相当します.
*13 英 語 で は “coaxial-line-typebalanced-unbalanced transformer” と言い、“balanced-unbalanced transformer” を略
して “balun” と呼んでいます.
*14 脚注 4 で述べた Acc Gnd. 有/無というわずかな違いとはこの*ことを指しています.

条件と同一としています。
それでは、基本となる実験結果 Case 1 (exp.) を図 23にします。ACC Gnd. 有の場合、周波数特性には波形歪みは見られませんが、わずかに高周波損失が見えています。この高周波損失はフェライトコアーの周波数特性に起因するもので、信号源に周波数特性を取り入れたことはこのことを説明するためです。振幅特性の最大値で比べると d モードは c モードに対し 5 dB 程度大きくなっています。計算結果の図 14 (Case 1 (sim.)) と比べるとモード間のレベル差、ディップ周波数、位相特性は実験値をよく再現していることがわかります。
実 験 結 果 Case 2 (exp.) を 図 24 に 示 し ま す 。
図 21

マルチポートネットワークアナライザーを利用した平衡信号伝送実験のための計測装置.

ACC Gnd. 無の場合、d モードの周波数特性には波形歪みが見られていません。振幅特性の最大値で比べると d モードは c モードに対し 21 dB 程度大きく、cル (長さ 15 m) を用いて平衡回路で信号伝送を行い NAの 2 ポートに入力させます。NA への入力 (ポート 2、3)と同軸ケーブルとの間にインピーダンス (Z6 ) を挿入す
れば、負荷側の Gnd. Line 上に任意のインピーダンスを装着でき、その特性を計測することができます。図 22に純抵抗とインダクタンスを直列接続した Z6 の拡大図を示します。

モードが効果的に抑制されていることが特徴的です。d
モードは全く影響を受けていません。実験結果 Case 1(exp.) と比べると Case 1 (exp.) では波形歪みは見られませんが、c モードの大きさは d モードに比べわずかに抑制されているだけです。Case 2 (exp.) の結果の対称性の威力がお分かり頂けると思います。
計算結果の図 15 (Case 2 (sim.)) と比べてみますと振幅特性から d モードのディップ周波数はよく一致していますが、実験結果と比較すると c モードの抑制効果が計
算 (> 80 dB) に比べかなり小さいことがわかります。これは実験では高い対称性が保持されていないからであると考えられます。例えば、実験では２本の同軸ケーブルの長さや特性が全く同一とは限りません。逆にこのことは、高い対称性を実現しないと c モードの抑制は難しいことを意味しています。
実 験 結 果 Case 3 (exp.) を 図 25 に 示 し ま す 。

ACC Gnd. 有で Gnd. Line に抵抗を挿入した場合、
図 22

負荷側の Gnd. Line 上に純抵抗とインダクタ

ンスを直列接続した Z6 の拡大図.

振幅と位相の周波数特性に若干の波形歪みが見られます。振幅特性の最大値で比べると d モードは c モード
に対し同程度に大きいことがわかります。このことは、

7.2. 実験結果

Gnd. Line に余計なインピーダンスが存在すると伝送

マルチポート NA を用いた計測では、負荷インピー

線路の特性を変えてしまい、逆に c モード生成が増大

ダンスの配置は必然的に対称負荷 Z4 = Z5 = 50 Ωする結果になることを示しています。計算結果の図 16と な り 、実 際 の 計 測 系 に 対 応 し た 非 対 称 負 荷 Z4 =(Case 3 (sim.)) と比べると周波数特性には若干の歪み

50 Ω, Z5 = 0 に変更することはできません。非対称が見られますが、実験結果をよく再現していることがわ

負荷で計測したい場合は、従来の 2 ポートにしなければかります。

なりません。しかしこの場合は、c モードが計測できな

実 験 結 果 Case 4 (exp.) を 図 26 に 示 し ま す 。

くなるので注意が必要です。従って、対称負荷における

ACC Gnd. 無の場合、d モードの周波数特性には波計測となりますが、平衡不平衡伝送回路の実験的検証と形歪みが見られていません。振幅特性の最大値で比べるしては充分でしょう。実験条件は、6.2 節に示した計算と d モードは c モードに対し 17 dB 程度と大きく、cモードが効果的に抑制されていることを示します。この
結果は、Gnd. Line に余計なインピーダンスが存在しても対称性が高い伝送線路では効果的に c モードが抑制できることを示しています。計算結果の図 17 (Case 4(sim.)) と比べると d モードの周波数特性は実験値をよく再現していますが、実験結果は c モードの抑制効果は計算 (> 80 dB) に比べかなり小さいことがわかります。
この場合も同様に実験では高い対称性が保持されていないからだと考えられます。以上の 4 例の実験的検証か
ら、信号伝送理論に基づく解析モデルが基本的には正しい描像を与えることがわかりました。

図 23

実験条件 Case 1 の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性. 赤線 (青線): d(c) モー
ドの解析結果. 同軸ケーブル長: l = 15 m.

図 24

実験条件 Case 2 の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性.

8. ノイズ生成と抑制技術
図 27 に運転時に取得した長パルス電子ビームの CM
信号波形を示します。図 27 (a) は、CM1 及び CM2 信
号波形とノイズが重畳されたノイズ対策前の CM3 信号
波形を示します。図 27 (b) は、CM1 及び CM2 信号波形とノイズ対策後の CM3 信号波形を示します。運転時の長パルス電子ビームのパルス幅は ∼1 µs (半値全幅)、
典型的な電荷量は CM1 で 347 nC/pulse、CM2 で 225

nC/pulse でした。
(a)

CM3

CM1
CM2

50 mV/div
200 ns/div

図 25

実験条件 Case 3 の解析結果. (a) 振幅の周波(b)数特性、(b) 位相の周波数特性.

CM3

CM1
CM2

50 mV/div
200 ns/div

図 27

長パルス電子ビームに対する CM 出力波形.
(a) CM3 改修前の CM 出力波形. (b) CM3 改修後のCM 出力波形.

明らかに CM3 には比較的大きなノイズが重畳していることが見て取れなす。このノイズ波形が、本研究の出発点となり長年に渡り悩まされてきたノイズ波形です。今回実施したノイズ対策とは、3.2 節で議論した

Acc Gnd. を無から有の状態に移行したことです。この対策が有効となりノイズ波形が効果的に減衰したと考えられます。ちなみに CM1 及び CM2 には何も対策を施していませんが、元々 Acc Gnd. 有の状態にあったことを後に確認しました*15 。
*15 運転用の CM に対し、信号伝送用の同軸ケーブルをオシロから

図 26

実験条件 Case 4 の解析結果. (a) 振幅の周波数特性、(b) 位相の周波数特性.

切り離し、テスターで BNC の中心導体と外導体間の DC 抵抗を計測したところ、CM1 と CM2 の抵抗はほぼゼロでしたが、CM3 のそれは OL を指していました. この測定でようやく解決に向けたヒントを掴みました.

図 28 に高電力クライストロンの運転状態で取得した

CM1

CM3 ノイズ波形 (ビーム無) を示します。図 28 (a) と図 28 (b) は、それぞれ CM3 に対しノイズ対策前と対策(a)

後のノイズ波形を示しています。CM1 と CM2 のノイ

(a)

CM3
200mV/div
400ns/div

CM3
(b)
(b)

CM1
CM2
CM3
50mV/div
400ns/div

図 28 高電力クライストロンの運転状態で取得した

CM3 ノイズ波形 (ビーム無).

図 29 高電力クライストロンの運転状態で取得した

CM ノイズの周波数スペクトル (ビーム無)ズレベルはわずかですが見えています。一方、ノイズ対で比べると CM3 のスペクトルの大きさは、CM1 のそれ策により CM3 のノイズレベルは振幅の大きさで ∼1/10に比べると逆に抑制されているようにも見えます。さらにまで低減していることがわかります。

に、CM1 と CM2 のノイズスペクトルは同程度に小さ

図 29 に高電力クライストロンの運転状態で取得したいですが、CM3 は CM1 のレベルには達していません。

CM ノイズの周波数スペクトル (ビーム無) を示します。

このような抑制効果の違いがどうして出現するのかは、

図 29 (a) と図 29 (b) は、それぞれ CM1 とノイズ対策

今の所まだよくわかりません*16 。何れにしても、明らか後の CM3 に対する周波数スペクトルを示します。CM1にこのノイズ対策は効果的であることがわかりました。

は元から対策を施していませんが、3 次高調波 (中心周

ちなみに、図 27 (a) における CM3 のノイズ波形の基

波数 ∼4 MHz, ∼11 MHz, ∼16 MHz) までのノイズス

本周期を見積もると f ∼6.5 MHz です。図 29 (b) におけペクトルがわずかに見えています。基本波のノイズレベ

る CM3 のノイズスペクトルから推定すると、この周波

ルは 4 MHz で最大-30 dBm 程度です。

数 f は 2 次高調波の裾に対応しており、明らかに高電力

他方、CM3 は対策後のノイズスペクトルを示し、4 次高調波まで見えていることがわかります。しかもスペク
トルの大きさは、まだ CM1 に比べ優位に大きいこともわかります。2 次高調波で定量的にスペクトルの大きさを比べて見ますと、CM3 の大きさは CM1 のそれに比べ20 dBm 程度大きいことがわかります。しかし、基本波*16 ノイズ対策後、CM3 の信号伝送用同軸ケーブルの導通を同様にテスターで計測したところ、DC 抵抗はほぼゼロになりました. しかし、DC 抵抗がゼロになったと言えども Gnd. Line 経
路全体のインピーダンス (AC 抵抗のこと) がゼロとは限らないことに注意すべきです. CM3 は CM1、CM2 に比べオシロから伝送距離が遠いので Gnd. Line インピーダンスが他に比べ大きいのかもしれません.

クライストロンの動作に起因してノイズが生成されたと考えられます。
今回取得したノイズ信号はビームとは無関係です。そこで例えば、高電力クライストロンの動作に起因する仮想的信号源 e3 (図 8 参照) を仮定すれば、この信号源か
らノイズが計測系に回り込んだと考えられます。この現象が正に揺れるノイズ源を意味し、ビーム信号を揺らす原因になると考えられます*17 。

図 30 CM のノイズ抑制に有効な高い対称性を有する
伝送線路.

しかし、ここで注意しなければならないことは、このノイズ源 e3 はあくまでも c モード信号生成に寄与するので、もしモード変換が強く抑制されているならば、dい対称性を有するバランを挿入し、平衡回路を不平衡回モード計測系では観測されないはずです。現実にはノイ路に変換してから不平衡回路計測系に接続します。平衡

ズ信号が d モード計測系において少なからず観測されて回路のまま平衡回路計測系に入力させることも可能です

いるので、伝送線路のどこかでノイズに対しても同様なが、このようにすれば、オシロなど通常の不平衡回路計

モード変換が生じていると考えられます。

測系が利用できるという利点があります。ここでは例を

9. 対称性を考慮した新しい同軸伝送線路
これまでの議論から分かりますように、前述のノイズ対策は抜本的な対策にはなっていません。これは、高電力クライストロンの運転に伴う大きなノイズ源 e3 の存
在は明らかではありませんが、伝送線路の回路構成は非対称なままであるからです。

示すに留めますが、実際には高い対称性を保持した平衡回路による伝送線路の実現は簡単ではありませんが、ノイズ抑制と回路の安定動作という観点からすると重要課
題の一つになります。

10. まとめ
本稿では、KEK 物構研低速陽電子施設における電子

従って、この対策では c モードは殆ど抑制されておら

線形加速器で利用される長パルス電子ビーム用電流モニず、d モードと同程度の強度で生成されると考えられま

ターを例にとり、信号伝送とノイズ低減技術の基礎につす。Gnd. Line や伝送線路上の何らかの非対称性によいて包括的な解説を行いました。基本となる平衡不平衡

り、c → d モード変換がさらに進行すれば d モード計測

回路における信号伝送を等価回路に置きかえ、伝送線路

はさらにノイズの影響を受けるようになります。従って

モデルを構築し、幾つかの計算結果を例証しました。こ抜本的な対策は、やはり高い対称性を持つ伝送線路に改れらの計算例を通して、多重線で構成された伝送線路で修すべきで、その例を図 30 に示します。

は、信号伝送とノイズ生成が強く関係していることがお信号源に対しその中点を Gnd. とし、この中点を 2 本

分かり頂けたと思います。

の同軸ケーブルの Gnd. に接続します。これにより、6.1

マルチポートネットワークアナライザーを用いた平衡

節 (10) 式から信号源の対称性により c モードを抑制で回路による信号伝送の実験的検証を行いましたが、実験きます。一方、信号線は内部インピーダンス R0 = 50 Ω

結果は伝送線路モデルとよく一致し、平衡不平衡回路にを通して同じ特徴を有する 2 本の同軸ケーブルの中心基づく信号伝送理論が正しいことが実証されました。こ

導体に接続します。内部インピーダンスは、信号源と同の伝送線路モデルに基づきノイズ生成の原理とノイズ低軸ケーブル間の伝送線路との整合と、さらに 6.1 節 (9)減技術について議論を行いました。回路要素の配置に対式から内部負荷の高い対称性を保持するために挿入すべ

し高い対称性が、ノイズ低減には極めて有効であることきです。また、計測系への接続では、外部負荷に対し高が示され、新しい伝送線路を提案しました。

*17 筆者が若い頃、当時の先生方がオシロで計測した波形を見ながら “グランドが揺れている” と表現するのをしばしば聞いたことがあります. 当時筆者は、この表現の意味するところがよく理解できませんでした. このことは、クライストロン運転によりGnd. Line に余計な電流が回り込むと、この電流が Gnd. Line
経路に潜む余計なインピーダンスにより電位に変換され、この電位がパルス毎に変化すると考えられます. これが、仮想的信号源 e3 の正体、すなわち揺れるノイズ源を表していると考えています.

同軸ケーブルを用いた平衡不平衡回路における信号伝
送は、ビームモニターに限らず加速器技術全般に応用可能な技術です。特に、ここで議論したノイズ抑制技術は、
これまでの加速器業界では余り議論されて来なかったよ
うにも思われます。安定な加速器運転の実現を目指し、
これまでのノイズ抑制技術を再度見直すべきであろうと考えています。

参考文献[1] A. Einstein, “Investigations of the Theory of Brownian Movement” (Dover, 1956).
[2] J. Klafter, I. M. Sokolov, “ランダムウォークはじめの一歩 – 自然現象の解析を見据えて –” (共立出版、2018).
[3] R. Metzler, J. Klafter, “The Random Walk’s
Guide to Anomalous Diﬀusion: A Fractional Dynamics Approach”, Phys. Rep., 339 (2000), 1.
[4] V. Shiltsev, “Review of observations of ground diffusion in space and in time and fractal model ofground motion”, Phys. Rev. ST Accel. Beams 13,
094801 (2010).

in Conductors”, Phys. Rev. 32, 97 (1928).
[17] J. B. Johnson, “The Shottky Eﬀect in Low Frequency circuits”, Phys. Rev. 26, 71 (1925).
[18] W. Schottky, “Small-Shot Eﬀect and Flicker Effect”, Phys. Rev. 28, 74 (1926).
[19] A. Van Der Ziel, “Flicker Noise in Electronic
Devices”, Adv. Electron. Electron Phys., 49, 225(1979).
[20] A. Van Der Ziel, “Noise in Solid State Devices”,
Adv. Electron. Electron Phys., 46, 313 (1978).
[21] Interaction

Notes(EMP-3),<http://ece-

research.unm.edu/summa/notes/Interaction.html>.
[22] E. F. Vance, “Coupling to Shielded Cables”(John Wiley & Sons, Inc., New York, 1978).

[5] T. Suwada et al., “Real-time observation of dy-[23] E. F. Vance, “Shielding Eﬀectiveness of Braided-

namic floor motion of the KEKB injector linac

Wire Shields”, IEEE Trans. EMC, 17 (2), 71, 1975.

with a laser-based alignment system”, Phys. Rev.

[24] 上 芳夫, “第２章ノイズの発生、伝搬 · 結合、上 芳

ST Accel. Beams 20, 033501 (2017).
[6] D. L. Turcotte, “Fractals in Geology and Geophysics”, Pure Appl. Geophys. 131, 171 (1989).

夫他 (編集)、環境電磁ハンドブック (普及版)” (朝倉書店、2006).

[25] 土岐 博, 佐藤 健次, “3 導体伝送線回路の新理論[7] B. D. Malamud, D. L. Turcotte, “Self-Aﬃne Time

–ノイズを物理により解明する –”, Journal of theSeries: I. Generation and Analyses”, Adv. Geo-

Particle Accelerator Society of Japan, 日本加速器

phys., 40, 1999, 1.

学会誌「加速器」Vol. 6, No. 4, 2009, 302.

[8] J. D. Pelletier, D. L. Turcotte, “Self-Aﬃne Time[26] 佐藤 健次, “重イオン · シンクロトロンの加速器技

Series: II. Applications and Models”, Adv. Geo-

術と物理 · その 1 – 電源と電気回路としての電磁石

phys., 40, 1999, 91.

負荷: コモン · モード · ノイズとの格闘 –”, Journal[9] V. Shiltsev, “Observations of Random Walk of the
Ground in Space and Time”, Phys. Rev. Lett. 104,
238501 (2010).
[10] 諏訪田 剛, “地面変動の時空発展と ATL 則の直接的検証”; Journal of the Particle Accelerator Societyof Japan, 日本加速器学会誌「加速器」Vol. 15, No.
1, 2018, 10.
[11] B. B. Mandelbrot, “The Fractal Geometry of Nature” (Freeman, San Francisco, CA, 1982).
[12] T. Suwada, “Spatiotemporal Diﬀusive Evolution
and Fractal Structure of Ground Motion”, J. Phys.
Soc. Jpn. 87, 024901 (2017).
[13] A. Van Der Ziel, “History of Noise Research”,
Adv. Electron. Electron Phys., 50, 351 (1980).
[14] A. Van Der Ziel,「雑音」[翻訳] 瀧 保夫、飯島 健
一、田宮 潤 (近代科学社、1973).

[15] H. Nyquist, “Thermal Agitation of Electricof the Particle Accelerator Society of Japan, 日本
加速器学会誌「加速器」Vol. 3, No. 1, 2006, 10.

[27] 土岐 博, “新しい多導体伝送線路理論と電磁ノイズ発生のメカニズム”, Mar. 6, 2009, KEK 加速器セミナー.

[28] R. Talman, “Beam Current Monitors”, AIP Conference Proceedings 212, 1 (1990).
[29] http://pfwww.kek.jp/slowpos/Engindex.html.
[30] J. M. Anderson, “Wide Frequency Range Current Transformers”, Rev. Sci. Instrum. 42, 915–926(1971).
[31] DATA BOOK, FERRITE POT CORES 6th ed.,TOKIN Corp.
[32] H. Toki and K. Sato, “Three Conductor Transmission Line Theory and Origin of Electromagnetic Radiation and Noise”, J. Phys. Soc. Jpn. 78,
094201 (2009).

Charge in Conductors”, Phys. Rev. 32, 110 (1928).

[33] A. Sugiura and Y. Kami, “Generation and Prop-[16] J. B. Johnson, “Thermal Agitation of Electricity

agation of Common-Mode Currents in a Balanced

Two-Conductor Line”, IEEE Trans. Electromagn.
Compat., vol. 54, no. 2, pp. 466–473, Apr. 2012.
[34] D. E. Bockelman and W. R. Eisenstadt, “Combined Diﬀerential and Common Mode Scattering Parameters: Theory and Simulation”, IEEE
Trans. Microwave Theory Tech., vol. 43, no. 7,
July 1997, pp. 1530–1539.
[35] K. Kurokawa, “Power Waves and the Scattering
Matrix”, IEEE Trans. Microwave Theory Tech.,vol. 13, no. 2, Mar. 1965, pp. 194–202.
[36] Agilent Technologies, “Multiport & Balanced Device Measurement Application Note Series, Concepts in Balanced Device Measurements”, Application Note 1372-2.

付録 A.

損失を含む場合 γ = (α + jβ)z となり、無損失の場合

伝送線路における転送行列

γ = jβz となります。β は位相定数、α は減衰定数、Z0

伝送線路における転送行列の考え方を図 31 に示しは伝送線路の特性インピーダンスを表します。ここでは、時間振動項 ejωt は省いています。

ます。

2 点における電位と電流を書き下しますと√
V (0) = Z0 (A + B)
1
I(0) = √ (A − B)
Z0√
V (l) = Z0 (Ae−γl + Beγl )1I(l) = √ (Ae−γl − Beγl )
Z0

(33)
(34)
(35)
(36)

が得られます。これらを行列形式で書き下しますと

(

) ( √
)( )
√
V (0)
A
Z0
Z
0
√
√
=
I(0)
B
1/ Z0 −1/ Z0()( )) ( −γl √
√
V (l)
e
Z0
eγl √
Z0
A
√
= −γl
I(l)
B
e / Z0 −eγl / Z0

(37)
(38)

となります。(37) 式と (38) 式から行列 (A, B) を消去
すると以下の関係式を得ることができます。

(
図 31 伝送線路における転送行列の考え方. (a) 伝送

V (l)
I(l)

)

線路上の任意の 2 点 (z = 0, z = l) における電位と電流の定義. (b) 伝送線路における転送行列の定義.

図 31 (a) に伝送線路上の任意の 2 点 (z = 0, z = l)において電位と電流を定義します。電位と電流からなる行列をこの 2 点間の転送行列 T (z) を用いて転送する

(

)
√
√
eγl √
Z0
e−γl √Z0= −γle / Z0 −eγl / Z0
( √
)−1 (
)
√
Z
V (0)
√Z0
√0
×
(39)
I(0)
1/ Z0 −1/ Z0()
cosh(γl)−jZ0 sinh(γl)=−j sinh(γl)/Z0
cosh(γl)
(
)
V (0)
×
(40)
I(0)

ことを考えます。伝送線路は、転送行列を用いれば、簡

ここで双曲線関数の公式 cosh2 z − sinh2 z = 1 を用いま

単に行列演算により演算できるようになります。すなわ

した。(39) 式の演算の際は、逆行列の演算を丁寧に実行

ち、以下の関係を満足する行列 T (z) を求めることにな

しますと (40) 式が出ます。
従って、伝送線路に損失がある場合の転送行列 T (z)

ります。

(

V (l)
I(l)

)
= T (z)

(
)
V (0)
I(0)

は以下のように導出できます。

((30)
T (z) =

信 号 の 流 れ を 左 か ら 右 に 取 る と 、各 点 で の 電 位

cosh(γz)−j sinh(γz)/Z0−jZ0 sinh(γz)
cosh(γz))(41)

V (z)(電流 I(z)) は以下に示すようにそれぞれ透過波

このように転送行列には、伝搬定数 γ を通して信号の減VT (z)(IT (z)) と反射波 VR (z)(IR (z)) の和で表すことが衰と位相が回転することになります。
伝送線路が無損失の場合の転送行列 T (z) は以下のよ

できます。

√

Z0 (Ae−γz + Beγz ) (31)1
I(z) ≡ IT (z) − IR (z) = √ (Ae−γz − Beγz ) (32)Z0√
こ こ で 、透 過 波 を VT (z) = A Z0 e−γz 、IT (z) =√√(A/ Z0 )e−γz 、反 射 波 を VR (z) = (B/ Z0 )eγz 、√IR (z) = (B/ Z0 )eγz としました。反射波の電流は、
V (z) ≡ VT (z) + VR (z) =向きを考慮して負符号としていることに注意してください。γ は伝送線路の伝搬定数を表します。伝送線路にうに導出できます。

(
T (z) =cos(βz)−j sin(βz)/Z0−jZ0 sin(βz)
cos(βz))(42)

付録 B.

平衡回路伝送線路における特性イン
ピーダンス(31) 式と (32) 式から平衡回路伝送線路における線電位と線電流を再度書き下しますと混合 S 行列について

混合モードにおける S 行列と通常 (差動モード) の S
行列との違いを見ておくことにします。図 32 (a) に 2
ポートからなる不平衡 (差動) 回路、図 32 (b) に 4 ポー√

Z0 (A1 e−γz + B1 eγz )(43)1
I1 (z) ≡ I1T (z) − I1R (z) = √ (A1 e−γz − B1 eγz ) (44)Z0√V2 (z) ≡ V2T (z) + V2R (z) = Z0 (A2 e−γz + B2 eγz )(45)1I2 (z) ≡ I2T (z) − I2R (z) = √ (A2 e−γz − B2 eγz ) (46)Z0V1 (z) ≡ V1T (z) + V1R (z) =付録 C.

トからなる平衡回路、図 32 (c) に 3 ポートからなる不平
衡平衡回路をそれぞれ示します。これらは、それぞれ 2
ポート、4 ポート、3 ポートのネットワークアナリザーに対応しています。

となります。
ここで、モード電位 (電流) と線電位 (電流) の関係を再度以下に示しておきます。

1(V1 (z) + V2 (z))
2
Ic (z) ≡ I1 (z) + I2 (z)Vc (z) ≡Vd (z) ≡ V1 (z) − V2 (z)1Id (z) ≡ (I1 (z) − I2 (z))
2

(47)
(48)
(49)
(50)

c モードや d モードは混合モードとも呼ばれますが、この混合モードの特性インピーダンス Zc (z) 、Zd (z) は、以下に示すように透過波を使って定義されます。すな
わち

VcT (z)IcT (z)()
1 V1T (z) + V2T (z)1≡= Z0
2 I1T (z) + I2T (z)2
VdT (z)
Zd (z) ≡IdT (z)()
V1T (z) − V2T (z)≡2= 2Z0
I1T (z) − I2T (z)Zc (z) ≡

(51)

(52)

となります。このように、混合モードの Zc (z)、Zd (z)図 32 (a) 2 ポートからなる不平衡 (差動) 回路. (b) 4ポートからなる平衡回路. (c) 3 ポートからなる不平衡
平衡回路.

は、二線の伝送線路の特性インピーダンス Z0 のそれぞれ 1/2 と 2 倍になることに注意してください。

図 32 (a) は、入力 (Port 1) 及び出力 (Port 2) は差動の入出力からなり、共通のグランドを有する回路で構成されます。従って、入出力ポート数は 2 です。回路の中身は伝送線路を含みどんな回路でも構いません。この回路による数学的な演算は、回路の中身を問うことなく

1 つの行列で表すことができます。この行列は S 行列
(Scattering Matrix 、散乱行列) と呼ばれ、以下のように定義されます。

(
S≡

S11
S21

S12
S22

)
(53)

ここで Sij (i, j = 1, 2) は S パラメータと呼ばれます。S
パラメータの性質から S12 = S21 が成立します。

差動回路における線電位と線電流を再度書き下しますと

ここで、入出力に対し混合モードの振幅係数 addi 、accj
等 (i, j = 1, 2) を用いますとV1 ≡ V1T + V1R =√Z0 (a1 + b1 )1
I1 ≡ I1T − I1R = √ (a1 − b1 )Z0√
V2 ≡ V2T + V2R = Z0 (a2 + b2 )1
I2 ≡ I2T − I2R = √ (a2 − b2 )
Z0

(55)
(56)
(57)

でした。ただし、ここでは a1 = A1 e−γz 、b1 = B1 eγz
等として位相項を含め透過波と反射波の振幅係数 ai 、bj (i, j = 1, 2) を定義しています。また、ポートに関係なく ai は回路へ入力する向きを正とし、bi は回路から出力する向きを正としています。この振幅係数を用いて振幅の入出力比を取りますと、S パラメータは以下に示すように定義されます。

(
S11 ≡
(
S21 ≡

b1
a1
b2
a1

)

(
,

S12 ≡

a2 =0

(

)

,

S22 ≡

a2 =0

b1
a2
b2
a2

 
bd1
(
bd2   = Sdd
bc1 
Scd
bc2

(54)

下しますと

( )
( )
( )
bd1
a
a
= Sdd d1 + Sdc c1
bd2
ad2
ac2
(
)( )
Sdd11 Sdd12
ad1=
Sdd21 Sdd22
ad2
(
)( )
Sdc11 Sdc12
ac1+
Sdc21 Sdc22
ac2

(59)
a1 =0

ここで、着目する S パラメータでは、他端の透過波入力
さい。

(65)

は次元が拡張されて 2×2 行列です。これをさらに書き

a1 =0

はゼロ (a1 = 0 or a2 = 0) とすることに注意してくだ
ad1
ad2 
 
ac1 
ac2

えられます。従って、4 ポートでは S パラメータ Sdd 等

(58)
)



となります。これは (64) 式の次元を拡張したものと考

(

)

Sdc
Scc

)

bc1
bc2

)

( )
( )
ad1
a
= Scd
+ Scc c1
ad2
ac2
(
)( )
Scd11 Scd12
ad1=
Scd21 Scd22
ad2
(
)( )
Scc11 Scc12
ac1+
Scc21 Scc22
ac2

(66)

(67)

(68)

(69)

となります。マルチポートネットワークアナライザーでは、混合モードへの変換 ((47)–(50) 式) は自動的に行わ

この定義によると、逆に振幅係数 ai 、bj (i, j = 1, 2) は1
a1 = √ (V1 + Z0 I1 )2 Z0
1
b1 = √ (V1 − Z0 I1 )2 Z0
1
a2 = √ (V2 + Z0 I2 )2 Z0
1
b2 = √ (V2 − Z0 I2 )2 Z0

方は、文献 [34] を参照してください。

(60)
(61)

最後に、図 32 (c) に 3 ポートからなる不平衡平衡回路を示します。入力は差動ですが、出力は平衡ですので入出力数は 3 となります。これもマルチポートネットワー(62)

クアナライザーが必要です。3 ポートネットワークアナ
ライザーも、4 ポートの場合と全く同様に振幅係数 ai 、(63)

bj (i, j = 1, 3) を用いて表現できます。
この場合も、混合モードの振幅係数 as 、bs 等*18 を用となります。

いますと

これらを行列表現しますと

( )
a1
a=
,
a2

れますので心配には及びません。計算の詳細を知りたい( )bb= 1 ,
b2

b=S·a

(64)

となります。このように S 行列は、入出力の振幅係数間の関係を与える行列と言えます。
図 32 (b) に 4 ポートからなる平衡回路を示します。各
入出力は三番目のグランドに対し浮いていますので、入出力数は 4 となります。これがマルチポートのネット
ワークアナライザーに対応します。詳細な数式は省きま
すが、4 ポートネットワークアナライザーでは、振幅係
数 ai 、bj (i, j = 1, 4) を用いますと 2 ポートネットワー
クアナライザーの場合と同様に表すことができます。

  
bs
Sss11
bd  = Sds21
bc
Scs21

Ssd12
Sdd22
Scd22

 
Ssc12
as
Sdc22  ad 
Scc22
ac

(70)

となります。ここで Sss11 等は行列ではなく S パラメー
タを表しています。
マルチポートネットワークアナライザーを使用するとき、3 ポートか 4 ポートかを設定することができます。
興味のある方は、文献 [36] を参照してください。この文
献は概念の解説に優れており、これを読むとマルチポー
トネットワークアナライザーの使い方を容易に理解することができます。
*18 s は single-ended の s を意味します.