デーンツイストを用いた閉曲面上の単純閉曲線のパズルとその解き方
黄倉成利(表現論研究室)§1. Introduction
題名における閉曲面上の単純閉曲線のパズルというのは、1990 年代に阿原一志先生が開発した Teruaki というパズルゲームのことである。これは向き付け可能な穴が２つある閉曲面 Σ2 上に描かれた単純閉曲線を扱うパズルであり、トポロジーの考え方に基づいて作られている。そのため、単純閉曲線は Σ2 上を連続的に自由に動かすことができる。連続的に自由に動かすことによって写り合う２つの単純閉曲線はフリーホモトピックと呼ばれ、フリーホモトピックな単純閉曲線は同じものとみなす。デーンとリコリッシュにより任意の２つの単純閉曲線は一方に対してデーンツイストと呼ばれる操作を何回か行うことで、もう一方の単純閉曲線に写すことができることが知られている。ここで、Σ2 上の単純閉曲線 l に沿った右回りのデーンツイストとはll=⇒という閉曲面上の変形のことをいう（詳しい定義は §2 を参照）。Teruaki では、最初にスタートの単純閉曲線 cs とゴールの単純閉曲線 cg が与えられ、デーンツイストと呼ばれる操作を使って cs と cg に写すのであるが、そのときに操作した回数の少なさを競うゲームである。
本論文では Teruaki の基礎となっている数学的考えや理論を [1] に基づいて説明する。最後に応用として、３つの穴あき閉曲面 Σ3 上への Teruaki の拡張と、Σ2 上の２つの単純閉曲線を同時に入れ替えるパズルを考察してその解法を与える。

§2. デーンツイスト・写像類群・複雑度
ここでは、Teruaki の数学的背景を説明するために必要な諸概念を述べる。
第二可算公理を満たす二次元多様体を曲面という。曲面が境界をもたず、かつ、コンパクトなとき閉曲面とい個う。閉曲面には向き付け可能なものとそうでないものがあるが、この論文では、閉曲面といえば向き付け可能な閉曲面であるとする。向き付け可能で連結な閉曲面は R3 の中に右図のような閉曲面として実現される。この閉曲面を種数 g の閉曲面といい、Σg で表す。

1

定義 2.1 曲面 Σ 上の曲線 γ : [0, 1] → Σ について

1. γ が単射な写像であるとき γ を単純曲線という。
2. γ の始点と終点が一致しているとき γ を閉曲線という。
3. 閉曲線 γ の [0, 1) への制限 γ|[0,1) が単射であるとき γ を単純閉曲線という。
定義 2.2 閉曲面上の単純閉曲線 c が分離曲線であるとは、閉曲面を c に沿って切ったときに閉曲面が２つの部分に分かれることをいう。c に沿って閉曲面を切っても２つの部分に分かれないとき、c は非分離曲線であるという。
d

例えば、トーラス Σ1 上の図 2.1 のような単純閉曲線
c は分離曲線であり、d は非分離曲線である。

c
図 2.1曲面上の単純閉曲線 l を用いて、曲面に次のような操作を施すことを考える。
作業 1 l に沿って曲面を切る。
作業 2 切り口の一方を、切り口に沿って右回り（左回り）に 360 度ねじる。
作業 3 ねじったまま曲面を貼付ける。
この一連の操作を l に沿っての右回り（左回り）のデーンツイストといい、右回りのデーンツイストを τl 、左回りのデーンツイストを τl−1 と書くことにする。このとき l の向きは考えない。下図は右回りのデーンツイストの様子を描いている。
l作業１

=⇒作業２

作業３

=⇒

=⇒

l に沿っての右回りのデーンツイストを行う操作を +l、左回りのデーンツイストを行う操作を −l と書く。例えば、下図左端の Σ2 上の cs に +E という操作をすると右端の単純閉曲線が得られる。

csE作業１

=⇒

作業２

=⇒

作業３

=⇒

連続的に動かした曲線も、同じとみたいのでアイソトピーという概念を入れる。
定義 2.3

1. 連続写像 H : Σg × [0, 1] → Σg であって、条件「各 t ∈ [0, 1] に対して、Ht (x) := H(x, t) で定まる連続写像 Ht := Σg → Σg は Σg の自己同相写像である」を満たすものを、Σg の自己同相写像のアイソトピーという。
2lまた、2 つの単純閉曲線 ϕ, ψ に対して、H0 = ϕ, H1 = ψ となるアイソトピー
H が存在するとき、ϕ と ψ はアイソトピックであるという。

2. 曲面 Σ 上の２つの曲線 γ, γ ′ : [0, 1] → Σ がアンビエント・アイソトピックであるとは、γ ′ = ϕ ◦ γ を満たす、恒等写像とアイソトピックな閉曲面 Σ の自己同相写像 ϕ が存在するときをいう。
デーンツイストは向きを保つ自己同相写像である。ここで、自己同相写像 ϕ :Σ → Σ が向きを保つとは外から見て反時計回りに動く単純閉曲線 c の自己同相写像による像 ϕ(c) が外から見て反時計回りに動く閉曲線であるときをいう。
定義 2.4 閉曲面 Σg の向きを保つ自己同相写像のアイソトピー類のことを写像類といい、写像類全体の集合を Mg と書く。このとき Mg には、演算写像 ◦ : Mg ×Mg →Mg が [ϕ] ◦ [ψ] = [ϕ ◦ ψ] により矛盾なく定義され、これは次の性質を満たす。

1. 演算 ◦ は結合律を満たす。
2. 単位元 [idΣg ] ∈ Mg が存在する。
3. 全ての [ϕ] ∈ Mg に対して、その逆元 [ϕ]−1 = [ϕ−1 ] ∈ Mg が存在する。
したがって Mg は群構造をもつ。この群 Mg のことを Σg の写像類群という。
写像類群の定義より、次の命題が分かる。
命題 2.5

1. 閉曲面 Σg 上の単純閉曲線 c と、Σg の自己同相写像 ϕ : Σg → Σg に対して
[τϕ(c) ] = [ϕ] ◦ [τc ] ◦ [ϕ]−1 .
2. 閉曲面 Σg 上の２つの単純閉曲線 c, c′ がアンビエント・アイソトピックならば [τc ] = [τc′ ].
以下、アンビエント・アイソトピックな自己同相写像どうしを同一視する。また、記号が煩雑になるのを防ぐために [τc ] を τc と略記する。
次に Σg の単純閉曲線の複雑度を導入する。
まず、Σg を曲線 q1 , q2 , · · · , qg+1 によってg + 2 個の境界付き曲面 Y0 , Y1 , · · · , Yg+1 にわける (図 2.1)。円板と同相である Y0 , Yg+1 を除いた Yi (i = 1, 2, · · · , g) については、さらに図 2.2 のように曲線 mi , li , bi をとる。

3Y0 Y1 Y2q1 q2

Y Y +1q3

図 2.1qq +1mili

これらの曲線たちを基準曲線とよび、(g+1 ) ( g ) ( g) (g )∪∪∪∪R :=qi ∪li ∪mi ∪bii=1i=1i=1biqii=1qi+1

図 2.2を基準曲線族と呼ぶ。
閉曲面上の任意の単純閉曲線 c に対して、c と基準曲線族 R との交点の個数を cの複雑度という。ただし、必要ならば c を少し動かして c は R の曲線とは接しないとし、かつ、li と mi の交点を通らないものとしておく。こうすることで複雑度は有限の値になる。次が成り立つ [1,p.184]。
補題 2.6 写像類 ψ を−1−1−1ψ = τl−1◦ τn−1◦ τl−1◦ τm◦ τn−1
◦ τl−1′ ◦ τm ◦ τliiii+1iii+1iと定めると、ψ は m′i+1 = ψ(mi+1 ) を満たす。
補題 2.7 曲面 Yi において、写像類 ϕ を ϕ = (τmi ◦ τli ◦ τm′i )4 と定めると、等式◦ ϕ が成り立つ。
τqi+1 = τq−1i§3. デーンとリコリッシュの定理
Teruaki を数学的に解くためにはデーンとリコリッシュにより証明された Σg 上の写像類群の構造に関する定理を用いるので、この節ではその定理を紹介する。

lgmgl2

l1m1m2n1n2 ng-1
図 3.1

まず、Σg 上の標準的な位置にある単純閉曲線に図 3.1 のように名前をつけておく。次のデーン-リコリッシュの定理により、群 Mg の生成元がデーンツイストで与えられることが分かる [1,p.105]。
定理 3.1 (デーン-リコリッシュの定理)

1. 任意の非分離曲線 c に対して、何回かデーンツイストを行って、m1 とアンビエント・アイソトピックな曲線に写すことができる。

2. 閉曲面の任意の自己同相写像は有限個のデーンツイストの積で書き表せる。
定理 3.1 の２に関しては、より詳しく次のことが分かる [1,p.174]。

4

定理 3.2 (リコリッシュの定理)
Σg 上の写像類群は図 3.1 にある 3g − 1 個の Σg 上の単純閉曲線に沿ってのデーンツイストたちで生成される。
定理 3.2 の証明の中で「リコリッシュの職人技」と呼ばれるテクニックが使われている。このテクニックの一部を次節以降において「てるあき」を解くときに使うので、ここで説明する。
Y0
Y +1
閉曲面 Σg を基準曲線 q1 , q2 , . . . , qg によって
cY0 , Y1 , . . . , Yg+1 に分割したときに、閉曲面 Σg 上の単純閉曲線 c が Y0 , Yg+1 上では図 3.2 であり、Yi (i = 1, 2, . . . , g) 上では次図の Type 1 から Typeq1 図 3.2 q4 のいずれかであるとする。
Yicqi

Yi

YicType 1qi+1Yiccqi

qiqi+1

Type 2qi+1Type 3qiqi+1Type 4

このとき、c を l1 へと写すときに使うテクニックがリコリッシュの職人技である。この職人技を使うと、次の変形が行える。
iii+1i+1≈τni
=⇒

ii+1i

τli+1i+1ii+1τmi=⇒=⇒τmi+1ii+1≈=⇒ii+1§4. パズルゲーム「てるあき」とその解き方
パズルゲーム「てるあき」は、明治大学の阿原先生が視覚的に幾何学の問題を解けるように、と考えて作ったソフトウェアである。
（以後、パズルゲーム「てるあき」を「てるあき」と書くことにする。）
B
AC「てるあき」では Σ2 上に図 4.1 のような５つの単純閉曲線 A,B,C,D,E が用意されている。このとき、「てるあき」は次のルールのもとで、Σ2 上の与えられたスタートの単図 4.1
純閉曲線 cs からゴールの単純閉曲線 cg に写すゲームである。

5DE

「てるあき」のルール

c

1. ５つの単純閉曲線 A, B, C, D, E に沿ったデーンツイストのみを使って単純閉曲線を写すことができる。

cs

2. cs を最小回数で cg に写すことを目指す。
例えば、図のように cs と cg が与えられたとき、cs を cg に写すことを目指す。

csc

そのためには +C という操作を行えばよい。
c+c≈

=⇒

今のは一例であるが、複雑度が１以上のとき一般の場合にもリコリッシュの定理より「てるあき」には（最小かどうかは分からないが）解があることが分かる。
まずは cg = B の場合のときに cs を cg に写せることを説明する。その手順は以下の通りである（[1]）。
まず、スタートの単純閉曲線 cs の複雑度が０か１か２以上であるかを考える。
もし、cs の複雑度が０のときは cs は分離曲線となってしまうので、cs を非分離曲線 l1 = cg に写すことはできない。そこで複雑度が１以上のときを考える。

• 複雑度＝１のとき
cs は、いずれかの非分離な基準曲線とアンビエント・アイソトピックであるから m1 , m2 , l2 のいずれかである。
[i] cs = m1 のとき“ + B + A ” という操作で cs を cg に写すことができる。
l1m1+B+A=⇒=⇒

6≈

[ii] cs = l2 のとき“ + C + D + B + C ” という操作で cs を cg に写すことができる。
l2n2+C+D=⇒≈=⇒

l1+B+C=⇒≈=⇒[iii] cs = m2 のとき“+D+E+C+D+B+C” という操作で cs を cg に写すことができる。
l2m2+D+E=⇒≈=⇒

n2+C=⇒+D≈=⇒

あとは [ii] と同じ操作で l1 にすることができる。
上記のいずれの手順も最小手順である。次に複雑度が２以上のときを考えるが、実際には、このときの最小手順を求めることは非常に難しい。そのため、最小手順であるかはわからないが、複雑度が２以上のときの手順を示す。

• 複雑度が２以上のときcs の複雑度が２以上のときは、リコリッシュの職人技などを使って複雑度を１まで減らしたあとに、ゴールの単純閉曲線に写す、という方針で解いていく。cs として次の３つの場合が考えられる。
[i] cs が片側に寄っている。
[ii] cs が左右にまたがっている。
[iii] cs が分離曲線に沿ってデーンツイストしている。
ここではページ数の都合上、[ii] の場合において cs が右図の単純閉曲線であるときを考える。
「てるあき」の Level 1 の Stage 16 を使って説明する。

7cs

cs をのように変形する。この形は、「リ≈コリッシュの職人技」の最後の形であるから「リコリッシュの職人技」を逆にたどる要領で “ − E + A − D − C ” と操作すれば、cs を cg に写すことができる。
−E≈+A=⇒=⇒−D≈=⇒l1−C≈=⇒≈

以上のことから、(−E + A − D − C)(cs ) = l1 となるので、命題 2.5 より τl1 =(−E + A − D − C) ◦ τcs ◦ (−E + A − D − C)−1 となる。
従って、τcs = (−E + A − D − C)−1 ◦ τl1 ◦ (−E + A − D − C) となる。

§5. 「てるあき」に関する考察
第４節では、Σ2 上の一つの非分離な単純閉曲線を別の非分離な単純閉曲線へ写せることを観察した。では、[問題 A] Σ2 と同様に Σ3 上で「てるあき」を遊ぶことができるだろうか。
[問題 B] Σ2 上で二つの非分離な単純閉曲線を同時に入れ替えることはできるだろうか。
最初に [問題 A] について考える。
スタートの単純閉曲線 cs とゴールの単純閉曲線 cg を与えて、cs を cg に写すことは「てるあき」と同じでよいが、Σ3 上「てるあき」を遊ぶことができるようにするためには、次のように新しく「てるあき」のルールを定義し直す必要がある。
まず、Σ2 上で準備した５つの単純閉曲線 A, B, C, D, E の代わりに Σ3 上には８つの単純閉曲線 A, B, C, D, E, F, G, H を準備する。

BA

EGC

F
D

8H

Σ3 上の「てるあき」のルール
1. 上の８つの単純閉曲線に沿ったデーンツイストのみを使って単純閉曲線を写すことができる。
2. 最小の手順で cs を cg に写すことを目指す。
今回も cg = B としておく。いまから Σ3 上で「てるあき」を遊ぶことができるということを確認していく。
q2
q3
いま、Σ2 上では cs = m1 , n1 , l2 , m2 のときは cs を cg へ写すことができ、τq2 は A, B, C, D, E に沿ったデーンツイストを使って書くことができることは前節で確認した。これは Σ3 上でもできる。
また、補題 2.6 と補題 2.7 より τq3 を A, B, C, D, E, F, G に沿ったデーンツイストを使って書くことができる。しかし、まだ cs = n2 , cs = l3 , cs = m3 のときに cs をcg へ写すことができることは確認できていないので実際に確かめてみる。

[i] cs = n2 のとき“ + D + F ” という操作で cs を l2 に写すことができる。
l2n2+D=⇒+F=⇒≈

l2 を “ + C + D + B + C ” という操作で l1 へ写せることは分かっているので“ + D + F + C + D + B + C ” という操作で cs を cg に写すことができる。
[ii] cs = l3 のとき“ + F + G ” という操作で cs を n2 に写すことができる。
n2l3+F=⇒+G=⇒≈n2 を “ + D + F + C + D + B + C ” という操作で l1 へ写せることは分かっているので “ + F + G + D + F + C + D + B + C ” という操作で cs を cg に写すことができる。
[iii] cs = m3 のとき“ + G + H ” という操作で cs を l3 に写すことができる。
l3m3+G=⇒+H=⇒≈

l3 を “ + F + G + D + F + C + D + B + C ” という操作で l1 へ写せることは分かっているので “ + G + H + F + G + D + F + C + D + B + C ” という操作で cs を cg に写すことができる。
9

cs の複雑度が１の場合は今回示した手順が cg に写す最小手順である。複雑度が２以上の場合にもデーンとリコリッシュの定理により、上記のルールを使うことでΣ3 上で「てるあき」を遊ぶことができる。なお、問題 A に関してはすでに、Σg 上でのデーンツイストを使った単純閉曲線 c の写り方を観察するためのソフトウェアが Teruaki の拡張版として東京大学の逆井卓也先生によって開発されている [2]。
次に、問題 B について考える。まず、互いに交わらない簡単な二つの非分離な単純閉曲線を同時に入れ替えることができることを確かめる。この場合は場合２に帰着させることができる。

cscscscs
場合 2

場合 1

例えば、下図のように場合１は場合２にすることができる。
cscs
cs+D

=⇒

+Ecs≈

=⇒

場合２のときは “ + D + E + C − B + D + C ” という操作で互いの位置を入れ替えることができる。
cscs=⇒+C=⇒+B≈≈=⇒+C≈

このように、二つの簡単な非分離な単純閉曲線の位置は入れ替えることができることは分かったが二つの複雑な非分離な単純閉曲線の位置を入れ替えることができることは時間が足りなかったので確かめることができなかった。これらを調べることは今後の課題である。
参考文献[1] 阿原一志, 逆井卓也（共著）『パズルゲームで楽しむ写像類群入門』日本評論社, 2013.
[2] Teruaki for Mathematica 7,
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/˜sakasai/MCG/MCG.html.

10+D=⇒