ERL入射部でのビーム力学
高エネルギー加速器研究機構
物質構造科学研究所 放射光源研究系
宮島 司
OHO’08, Lecture 2-4 (14:00 – 15:00)
2008年9月3日（水）目次• 前半の講義 (Lecture 2-3, 11:30 – 12:30)– ERL入射部の役割– ERL入射部を構成する要素– ERL入射部で重要となる物理– ビームを構成する単粒子の運動方程式• 後半の講義 (Lecture 2-4, 14:00 – 15:00)– 電子バンチ内での空間電荷効果– 空間電荷効果による投影エミッタンスの増減– 空間電荷効果の数値計算– 合流部での物理空間電荷効果空間電荷効果の分類• ビーム内での荷電粒子間にはCoulomb相互作用が働く– 同じ電荷符号：斥力– 異なる電荷符号：引力• ビームのように非常に多くの荷電粒子を含む場合– 離れた距離にある粒子集団からの相互作用全体：空間的に滑らかな力– 近接した粒子からの相互作用：強い力（衝突的、局所的な配置に強く依存）• ビームの静止系での相互作用– 静止系ではビーム内の粒子間の速度差は非相対論的であるとする– ビームはN個の粒子からなる粒子jが粒子iに及ぼすCoulomb力

ビーム全体が粒子iに及ぼす力

ビーム全体が粒子iに及ぼす力•

Coulomb力の性質として、ある程度距離の離れた粒子からの力もFiに寄与する⇒これらの多数の小さい力が集まって空間的に滑らかなポテンシャルが形成される

ただし、粒子iに極めて近い位置にも幾つかの粒子がある⇒粒子iとの局所的な位置関係に強く依存した強い力• 空間的に滑らかなポテンシャルと局所的な（衝突的な）力に分けると•右辺第2項の和は、粒子iに極めて近い粒子についての和どの程度の距離まで、そのような局所的な強い力となるかを示す指針⇒Debye長空間的に滑らかなポテンシャル ⇒ 電荷分布密度から計算できる

プラズマの場合のDebye遮蔽
1価のイオンと電子からなる中性なプラズマのDebye長プラズマは温度Tで熱平衡状態にある
球座標で考え、プラズマの中心(r=0)にテスト電荷qを置く⇒電荷分布は中性から外れ、ポテンシャルφ(r)が生じる• イオンと電子の分布⇒Maxwell分布•••

裸の電荷のポテンシャル

このポテンシャルはイオンと電子から作られる電荷分布のずれから生じる：Poisson方程式

指数関数を展開し１次の項のみを残す

Debye長Debye長の外側では、Coulomb力が遮蔽される相対論的電子ビームのDebye長• 電子ビーム：非中性プラズマ• プラズマについての議論から電子ビームのDebye長を類推する• 電子ビームのDebye長：局所的な強い力がどの範囲まで重要かを示す
相対論的な速度をもつ電子ビームの運動方程式

円筒断面をもつ連続ビ ムによる空間電荷力
円筒断面をもつ連続ビームによる空間電荷力

相対論的な電子ビームのプラズマ周波数
ビームが実験室系の温度Tで熱平衡状態にある場合
相対論的な電子ビームのDebye長• ビーム内での空間電荷効果の分類• ビームの半径：a• ビーム内の粒子間平均距離：lp• λD>>lpの場合：Debye長の内側に十分多くの粒子が含まれる– λD>>a： 衝突的な力が強い、エミッタンスが支配的な領域
ビーム内粒子はDebye長以内に収まる
数多くの粒子から受ける衝突的な力が支配的
衝突的な力によりビーム内粒子間でのエネルギーのやり取りが十分に行われる⇒熱平衡状態に達する
統計力学からの類推によって、個別の相互作用を無視して、６次元位相空間をもつ単粒子の集団として扱える
エミッタンスは保存– λD<<a： 集団的な効果による空間的に滑らかな力が支配的な領域
粒子の多くはDebye長の外にある
空間的に滑らかな力が支配的となる
空間電荷効果が線形な場合にはエミッタンスは保存– λD～a： 衝突的な力、空間的に滑らかな力の両方が重要

λD～lpの場合：Debye長の内側に入る粒子の数は限られてくる
ビームの温度が極端に低いか、粒子密度が極端に高いとき着目する粒子の極近傍にいる少数の粒子からの力が支配的••

マクロ粒子を用いたビームのシミュレーション
マクロ粒子の数が重要となる
N = 1000

N = 50000•

マクロ粒子の数が多い場合⇒ビーム内の粒子間距離が近くなる⇒Debye長内に入る粒子数は多くなる•

マクロ粒子の数が少ない場合⇒ビーム内の粒子間距離が遠くなる⇒少数の局所的な力による効果が強くなる••

現実のビームに近づけるには、多くのマクロ粒子が必要となるシミュレーションの際には、Debye長と粒子間距離から、どの程度のマクロ粒子が必要となるかを把握しておく必要がある

空間電荷効果を含んだ
ビーム内電子の方程式•

z軸上を進行する連続ビーム•

ビームは半径aの円形断面をもち、半径bの同心円真空チェンバーの中を進行する•

ビーム軸上と真空チェンバー壁面でのポテンシャルの差は、運動エネルギーに比べて十分小さい•

真空チェンバー壁面での鏡像電荷が及ぼす影響は
真空チ
ンバ 壁面での鏡像電荷が及ぼす影響は無視

ビ
ビームの電荷密度と電流密度•ビームの粒子密度は、ビーム内で一定、ビーム外ではゼロ⇒ビーム内の電流密度は一様

vはビームの速度•

全てのビーム粒子は軌道上に沿って運動し、その軌道は交差しない

ビーム断面上で、電荷密度、電流密度、ビームの速度が一定であると仮定すると•ビーム進行方向に沿ったあらゆる位置で、ビーム断面は時間に依存して変化しない•

粒子の軌道は、近軸光線近似に従う

•

円筒形ビームで電荷密度が一定の場合、電場は半径方向成分のみが残る•

磁場は円周方向成分のみが残る•

半径方向の運動方程式

外部電磁場による加減速なし
円周方向の速度が十分小さいを無視

電場と磁場を代入

時間による微分をzによる微分に置き換える• 空間電荷効果の影響を表現するパラメタ• 一般化されたパービアンス(generalized perveance)• Budkerパラメタ• プラズマ周波数• 一般化されたパービアンスを用いると空間電荷効果を含んだ方程式は• Characteristic currentビームエンベロープ方程式•

一般化されたパービアンスを用いると空間電荷効果を含んだ粒子の方程式は••ビームを構成する粒子の軌道が互いに交差しないと仮定（laminar flow)
自由空間でのビームサイズrmの時間発展を記述するビームエンベロープ方程式•

ビームの半径rmの代わりに、rmsビームサイズのエンベロープ方程式

一様円形断面の場合のrmsビームサイズ

空間電荷効果がないときのビームエンベロープ方程式に空間電荷による項を付け加える
ビーム半径rmについてのビームエンベロープ方程式
エネルギーの変化を考慮してに置き換えた

Rmsビームサイズについてのビームエンベロープ方程式

加速電場による収束発散
ソレノイドによる収束
円周方向運動量

エミッタンスの項
空間電荷の項空間電荷効果による投影エミッタンスの増減

投影エミッタンスの増減•

空間電荷効果を含んだビームエンベロープ方程式を用いて、平衡状態からの微小な振動を考え、投影エミッタンスの増大を示す

ソレノイド、RF電磁場による収束を表す係数
一様な収束力の下での運動を考える
初期の円周方向運動量：ゼロ
ビームは外部電磁場によって加速されない
空間電荷効果が支配的⇒エミッタンス項を無視

ζ
バンチ化されたビーム
各スライス毎にI(ζ)

• スライス毎のビームエンベロープ方程式の場合、平衡状態でのビームサイズはこのσeqの周りで微小な振幅δσで振動すると考える

微小な振動の方程式はをもつ単振動
初期条件を持つ場合の解位相空間では、 σeqを中心とした楕円となる

位相空間では、 σeqを中心とした楕円となる••••

ビームが３つのスライスから構成される場合
各スライスは、I1, I2, I3の電流をもつ
I1 < I2 < I3
ビームの初期値：どのスライスでも電流毎に楕円の中心が異なるが な

バンチ電流に依存しない⇒各スライスは同じ角振動数で振動する

Ｒmsエミッタンス

各スライスではエミッタンスはゼロ
しかし、投影エミッタンスはゼロとはならない•位相０：スライスが作る面積はゼロ•位相π/2：スライスが作る面積は最大•位相π：面積は再びゼロ
空間電荷効果がある場合、スライス毎の•位相3π/2：再び面積最大電流が異なると、投影エミッタンスの増減が生じる

ソレノイドによるエミッタンスの補償
バンチ化されたビームで、スライス毎にビーム電流が異なる場合、投影エミッタンスの増減が起きることがわかった• ERL入射器でも、電子銃で生成された電子バンチは、バンチ前後での空間電荷効果の違いによって、投影エミッタンスの増大が起きる• これを回復するには、スライスのずれをもとにもどすようにすればよい⇒ソレノイド（と自由空間）により可能•

(a) 電子銃から電子ビームが生成された直後スライスの不一致はない(c) ソレノイド出口
適切な磁場を与えれば、位相空間分布を垂直方向に反転できる(b) ソレノイド入口
空間電荷効果によってスライスの不一致が生じる(d) ソレノイド下流
適切な距離自由空間を進むとスライスが一致する

空間電荷効果の数値計算

空間電荷効果を含んだビームのシミュレーション•••

現実の加速器：複雑な電磁場、バンチ化されたビーム
ビームを解析的に取り扱うことは難しい
多くの場合には、ERL入射器の設計などでは多くの場合、数値計算による方法が用いられる

ERL: 1.3 GHz, 100 mA のビーム
⇒1 バンチあたりの電荷量：Q = -77 pC• 電子バンチ内の電荷：N
電子バンチ内の電荷 N = Q/e
Q/ = 4.88 × 1008
• 数値計算で全ての電子間のCoulomb相互作用を直接計算すると、～N2の計算回数 ⇒ 現実的ではない• 直接電子を扱う代わりに、電子バンチの運動を記述す方法•– 電子バンチを進行方向にスライスし、小さい幅をもつ多数の円筒の集まりと考える– 同じe/mを持ったマクロ粒子の集まりとして記述する– 電荷Qを持つバンチをNm個のマクロ粒子で記述すると、一つのマクロ粒子あたりQ/Nmの電荷となる

空間電荷効果の扱い方のレベル
1.

円筒スライスを用いた準解析的コード（スライス内では電荷密度が一定として、空間電荷効果の非線形性を無視）



2.

マクロ粒子を用い、ビームの静止系で静電場を計算




3.

ビームの運動は、各スライスの半径の大きさと進行方向の幅の変化で記述される
基本的に扱うスライス数は粒子数に比べて少ないため、計算は高速
複雑な粒子分布は扱えないビームの運動は、マクロ粒子の集団として記述される
空間電荷計算は、粒子分布をビームの静止系にLorenz変換して、Poisson方程式から静電場を求める
マクロ粒子の数を増やせば、複雑な分布の扱えるビームの静止系を定義するため、ビーム内の粒子の速度差が大きいと正しくない

遅延ポテンシャルの効果を取り入れたコード(Lienard-Wichertポテンシャルを用いる）


マクロ粒子を用いる
Lienard-Wichertポテンシャルを解くため、余計な仮定を含まない厳密な計算が可能
ただし、計算に時間がかかる代表的な空間電荷計算コード
1.

HOMDYN (レベル１、円筒対称ビーム）

2.

ASTRA（レベル２、円筒対称ビーム）

3.

Parmela（レベル２、円筒対称ビーム、３次元空間電荷効果）

4.

GPT（レベル２、３次元空間電荷効果）

5.

TREDI（レベル３）

6.

PETAR（レベル３）

点電荷間の力を計算する方法• ビームを構成するマクロ粒子のうち、２つを取り出し、その静止系にLorentz変換した後、Coulombの法則から、静電場を計算• 逆Lorentz変換によって、静電場を実験室系の電磁場に変換する• 長所：電荷密度や電磁場の平均化などの近似を入れていない• 短所：粒子数が増えた場合には、計算時間が掛る• また、マクロ粒子の数が少ない場合には、粒子間距離が近い場合に相互作用が非常に強くなる場合があり、数値的なノイズが生じる場合がある• ビームは電荷Qを持つ、N個のマクロ粒子から構成される• ２つの粒子i, jを考え、マクロ粒子jがiの位置に作る電磁場を求める
実験室系での粒子間距離
マクロ粒子jの静止系でみた粒子間距離

静止系での静電場

逆Lorentz変換
実験室系での電磁場

ビーム全体がiの位置に作る電磁場

ビームの静止系に設置した格子上で静電場を計算する方法• 空間電荷効果の計算方法の代表的なものとして、ビームの静止系でPoisson方程式を解いて静電場を求める方法がある• Poisson方程式を解く際には、格子上での電荷密度から計算することになる• 長所– 格子間隔内では粒子分布が平均化されるため、点電荷間の計算のときのような意図しない衝突的な力の影響を避けることができる– 粒子数が増えても、点電荷間の計算より高速• 短所– 格子間隔によっては、細かい粒子分布が見えなくなってしまう– 格子サイズと粒子数の選び方が重要– Lorenz変換する際に、ビーム全体の静止系を仮定しているため、エネルギー拡がりが大きいビームの場合には、速度差のため厳密な静止系を定義できない– エネルギー拡がりが大きい場合には、注意が必要

計算の流れ格子の作り方の例(GPT user manual)この方法では、空間電荷力は空間的に滑らかな力となる対象とするビームが衝突的な力が重要な場合には、注意が必要
Debye長を求め、空間電荷力の計算法を選択する必要がある

計算例１
DC電子銃のシミュレーション•••

GPT(General Particle Tracer)による空間電荷効果を含んだシミュレーション
ビームライン：JAEA-type 光電陰極DC
電子銃
z =1 m の位置で仮想的なスクリーンを設置

電子銃が作る静電場
ソレノイドが作る静磁場

初期分布
x-y分布

t-y分布

ソレノイドの強さの影響
z =1 mでの規格化rmsエミッタンスとビームサイズ

0.025 T

規格化rmsエミッタンスとビームサイズの時間発展カソード直後

アノード

ソレノイド後スクリーン上バンチ長の変化
電子銃から出た後、単調に増加⇒短いバンチ長を得るには、バンチャーが必要

エネルギーとエネルギー拡がり

計算例２
CERL入射器のシミュレーション•

ビームライン：CERL入射器

••
•
••
•
•

光電陰極DC電子銃
ソレノイド１
バンチャ 空洞バンチャー空洞
ソレノイド２超伝導空洞１超伝導空洞２超伝導空洞３

規格化rmsエミッタンスとビームサイズの時間発展

バンチ長の変化
電子銃から出た後、単調に増加
バンチャー空洞後は、減少に転じる

エネルギーとエネルギー拡がり

合流部での物理

縦方向空間電荷力による投影エミッタンスの増大と補償
縦方向空間電荷効果によって、時間発展とともにビームのエネルギー拡がりが増大• 合流部手前まで：ビームは直線軌道を進むため、エネルギー拡がりは横方向の運動に対して影響を与えない• 合流部：偏向電磁石によってビームが曲げられる⇒エネルギー拡がりが分散関数を通して、横方向の運動に影響を与える•

合流部内でエネルギー拡がりの変化がない場⇒合流部出口で分散関数がゼロであればよい• 合流部内でエネルギー拡がりが変化する場合⇒出口の分散関数の調整だけでは、横方向への影響を避けられない⇒合流部直前で、ビーム光学関数を最適化しておく必要がある••

同様のことは、CSRによっても引き起こされる合流部での電磁石配置にある対称性を持たせると線形な縦方向空間電荷力の影響をキャンセルできる⇒zigzag merger

合流部での縦方向空間電荷力(LSC)の線形解析(R. Hajima)
仮定：縦方向空間電荷力によって生じるエネルギー拡がりは、電子バンチが進んだ距離に比例（合流部ないで粒子分布が大きく変化しない場合は妥当）
縦方向空間電荷力によるエネルギー拡がり： κ(s-s0)
s: 設計軌道上のビーム進行方向の座標
s0: 偏向電磁石入口の座標
設計軌道からの水平方向の位置ずれ
合流部入口までのLSCによるエネルギー拡がり
偏向電磁石の曲率半径s=0でのエネルギー拡がり合流部での水平方向の運動を記述する量合流部での水平方向の運動を記述する量
拡張した転送行列s0⇒s1の時間発展

空間電荷分散関数

行列要素は、自由空間、偏向電磁石などの要素毎に決まる

縦方向空間電荷力による位相空間(x, x’)での位置のずれ

縦方向空間電荷力による位相空間(x, x’)での位置のずれの直線状に整列

合流部でのバンチスライス：
合流部出口での位相空間の傾き向きが不一致のとき⇒投影エミッタンス増大

LSCによってバンチスライスが整列する向き向きが一致したとき⇒投影エミッタンスの増大は最小合流部ではビーム
光学関数を調整する手段がない⇒合流部手前のマッチング部でビー
ム光学関数を調整する

合流部でのCSRの影響•

合流部でのCSRによっても、縦方向空間電荷力の場合と同様に、分散関数が有限な部分でのエネルギー拡がりの増大が引き起こされる•

ERL入射器の合流部では、LSCと同様に、CSRによる影響も評価する必要がある
シミュレーションには、空間電荷効果＋CSRを含んだコードが必要
また 高速なCSR計算の多くは超相対論的な近似
また、高速なCSR計算の多くは超相対論的な近似(γ>>1)が使われているが、合流部ではその条件が満たされない
低エネルギー側でも有効なCSR計算法が必要•••••

GPT用にSaganが提案した方法を用いて、1次元CSR計算をするためのプログラムを開発し、合流部での影響を調べた
GPT/CSRの利点：比較的高速、低エネルギー領域
でも有効1次元CSRによるエネルギー変化••

GPT/CSR を用いて、偏向電磁石出口からのCSRによるwake関数を計算した
バンチ前方は加速され、後方は減速される•Beam energy: 128 MeV•Bending radius: ρ = 10.0 m•Bunch length: σs = 0.3 mm•Initial distribution: Gaussian•BunchB h charge:h
Q = 80 pC
C•Shielding chamber height: h = ∞•Number of image charge layers: 32

CSRによるエネルギー損失• 円形軌道に対して、GPT/CSR, elegant,
解析的式から安定状態でのCSRによるエネルギー損失を計算した•ElegantのCSR計算は、超相対論的な仮定を含む•GPT/CSR はその仮定を含まない
C. Mayes によるエネルギー損失の式
dε2 (re me c 2 )cβ 4γ 4=−N (1 + ( N − 1)T (a))
2ρdt
3a = 3 / 2 ⋅ γ 3σ s /( βρ )1⎞
9 1 ⎛⎜ 8 a 2
⎛ 1 ⎞
⎟
π
2π−T (a) =eK
a5/ 6 ⎜3 ⎜2 ⎟⎟32π a ⎝
⎝ 8a ⎠⎠
K5/6(x) : the modified Bessel function
N : the number of election in the bunch
re : the classical electron radius•Bending radius: ρ = 1.0 m•Bunch length: σs = 0.6 mm•Initial distribution: Gaussian•Bunch charge: Q = 80 pC.

CSRによるエネルギー損失•GPT/CSR と elegant ともに、E0 > 40MeVでは解析値と一致•elegant と解析値はE0 → 0で発散
•GPT/CSR は予想される通りゼロに近づく

解析式（ γ >> (r/σs)1/3 の近似の場合）[1,2]dσ δre Ncβ≈ 0.22 2 / 3 4 / 3dtγρ σ sc : the speed of lightγ : the Lorentz energy factor

β = (1 − 1 / γ 2 )1/ 2[1] P. Emma and R. Brinkmann, Proceedings of PAC97, Vancouver,B.C., Canada, 1997, pp. 1679-1681.
[2] Ya. S. Derbenev. et.al., TESLA FEL-Report 1995-05.

CSR の遮蔽• 真空チェンバーによるCSRの遮蔽• 鏡像電荷により表現
Chamber height, h2hh

GPT/CSR を用いて、円軌道に対してエネルギー損失を計算•Bending radius: ρ = 10.0 m•Bunch length: σs = 1.0 mm•Initial distribution: Gaussian•Bunch charge: Q = 80 pC.
•Number of image charge layers: 32

CSR in merger section• 3-dipole mergerに対して、GPT/CSRを用いてCSRによるエミッタンス増大を計算した• 計算では、空間電荷効果の影響は無視• (a) p0 = 10 MeV/c and (b) p0 = 500 MeV/c.

•Bunch length: σs = 0.3 mm•Initial distribution: Gaussian•Bunch charge: Q = 80 pC•Initial emittance : εnx = 1×10-12 m rad•Initial betatron function : βx = βy = 9 m•Without shielding and space charge

x 10−4(a) p0 = 10 MeV/c, no CSRelegant
GPT/CSR

64x

Horizontal beam
am size, σ (mm)2000.030.5

11.5
2(b) p0 = 10 MeV/c, CSR

2.5

32.5

32.5

3elegant
GPT/CSR

0.02
0.01
000.5
11.5
2−4(c) p = 500 MeV/c, CSRx 1008elegant
6GPT/CSR
42000.5

11.5s (m)2まとめ• 本講義での紹介内容– 電子バンチ内での空間電荷効果– 空間電荷効果による投影エミッタンスの増減– 空間電荷効果の数値計算– 合流部での物理• 現実のERL入射器設計においては、最小エミッタンスを実現するためのパラメタ（機器の配置や設定値）を調整する必要がある• このために、数値計算による最適化法が幾つか提案されている• おわび– 印刷されたテキストには、いくつか誤りがあることがわかりました– 後日、web上に正誤表を載せる予定です– また、時間の都合上テキストに掲載できなかった、パラメタ最適化手法等についても増補する予定ですCSR in GPT• 1D CSR wake calculation in GPT using D. Sagan’s formula.
– General Particle Tracer (GPT) is a particle tracking code, which includes
3D space charge effect based on a nonequidistant multigrid Poissonsolver or a point-to-point method.
– The routine can calculate 1D-wake functions for arbitrary beam
trajectories as well as CSR shielding effect.
– In particularparticular, the CSR routine does not assume ultrarelativistic electron
beam and is therefore applicable at low beam energies in the injector.

• I. V. Bazarov and T. Miyajima, “Calculation of Coherent Synchrotron
Radiation in General Particle Tracer”, Proc of EPAC 2008, MOPC024• D. Sagan, “AN EFFICIENT FORMALISM FOR SIMULATING THE
LONGITUDINAL KICK FROM COHERENT SYNCHROTRON RADIATION”,
Proc of EPAC 2006, THPCH024

Sagan’ss formula
SaganSagan’s formula 1
Two particle interaction• The source particle at point P’.
• An electric field E(P) at the position of the kicked particle at point Pand time.
• The Lienard-Wiechert formulaE( P ) =L − Lβ 'e L × [(L − Lβ' ) × a']+γ 2 ( L − L ⋅ β' ) c 2(L − L ⋅ β ' ) 3e

• The CSR term
ECSR ≡ E − E SC
• Here, the space charge term is
E SC ( P) ≡eγ [zsˆ + xxˆ + yyˆ ](γ z + x + y )2 22β ≡ β = β'2 3/ 2• The rate of energy change is given by
K CSR = eβˆ ⋅ ECSR = eβˆ ⋅ (E − ECSR )βˆ ≡ β / βSagan’s formula 2Space charge term
• The space charge termeγ [zsˆ + xxˆ + yyˆ ]E ( P) ≡SC(γ z + x + y )2 222 3/ 2

• The longitudinal distance isrequired to calculate the spacecharge term.
• The change of the longitudinal
position of the source particle is
Ls − z = βc(t − t ') = βL

• The longitudinal distance
between P’ and P isz = Ls − β L

Sagan’s formula 3
Calculation of z on arbitrary orbit• The orbit is divided into N elements from O.
ν = ∑dLs = d +ν 1
• The path length:• v and w components of the vector L:N

1ii =1Lv = v + R sin φLw = w − R(1 − cos φ )v = ν 1 −ν 3w = ω2

L = L2v + L2w• The distance, z:
z = Ls − β L

ν1 + d ⎡g 2 d 3 1 (2ω2 − gd 2 ) ⎤z=+ ⎢ν 3 +−⎥2γ 2 ⎢⎣68 ν1 + d⎥⎦
211⎛1⎞v3 = ∑ d i ⎜ ψ i + ψ i g i d i + g i2 d i2 ⎟26⎝2⎠
i =1N1⎛⎞ω2 = ∑ d i ⎜ψ i + g i d i ⎟2
⎠
⎝
i =1
N

Sagan’s formula 4
Calculation of CSR kick on arbitrary orbit• CSR kick:()⎧⎪ g τ 2 − α 2 (α − τκ ) τ 2 − α 2 + 2τακ ⎫⎪ e 2K CSR = 4e γ τ ⎨+⎬− 2 222 322 3⎪⎩⎪⎭ γ zτ +ατ +α24 2()()

τ = γ (d +ν 1 )1⎛⎞
α = γ ⎜ ω2 + gddν 1 + gdd 2 ⎟2⎝⎠κ = γ (θ + gd )2

ν1 + d ⎡g 2 d 3 1 (2ω2 − gd 2 ) ⎤+ ⎢ν 3 +−z=⎥22γ68
ν+d⎢⎣1⎥⎦2

Procedure of CSR calculation
1. Calculate i, which satisfy zi = z0
2. Calculate ν1, ω1, g and d with i
3. Calculate KCSR with i
4. Shift z0 and repeat 1 to 3.
z0P’sPCSR calculation in GPT

Commands of GPT/CSR• Command name
– csr1Dwakexz();• Assumption– ItI isi assumedd thath theh particles
i l move on x-z plane.
lNamely, the vertical component of the averagevelocity is zero.

• Options– The GPT/CSR has 16 options.

Options of GPT/CSR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.

CSRTimestep (double) (s)CSRCalcTstep (double) (s)CSRMeshNbin (long)
CSRBGTolerance (double)
CSRMeshBoxSize (double)
CSRMeshNbfac (double)
CSRMeshStep (double) (m)CSRTriangleWidth (double) (m)CSRSign (double)
CSRHshield (double) (m)CSRNimage (int)
CSRDriftLength (double) (m)CSRCalcArea (double) (m)CSRArcRadius (double) (m)CSRArcAngle (double) (rad)CSROutputWake (double) (m)#----------------------------# example of CSR calculation#----------------------------csr_dt = 10.0e-12;
csr_tstep = 0.0;
csr_Nb = 0;
csr_bgtol = 1.0e-2;
csr_nstd = 20.0;
csr_mNbfac = 0.1;
csr_mdl = 0.06e-3;
csr_dtri = 0.6e-3;
csr_sign = -1.0;
csr_h= 1.0;
csr_Nh = 0;
csr_inids
i id = 10.0;00
csr_xin = -10.0;
csr_xout = 10.0;
csr_zin = -10.0;
csr_zout = 10.0;
csr_arcr = 0.0;
csr_arcang = 0.0;
csr_wfrom = 0.0;
csr_wto = 0.0;
csr_wstep = 0.0;#-----------------------------------------# please comment out the following line
# for calculation without CSR#-----------------------------------------csr1Dwakexz("CSRTimestep", csr_dt, "CSRCalcTstep", csr_tstep, "CSRMeshNbin", csr_Nb,"CSRBGTolerance", csr_bgtol, "CSRMeshBoxSize", csr_nstd, "CSRMeshNbfac", csr_mNbfac,"CSRMeshStep", csr_mdl, "CSRTriangleWidth", csr_dtri, "CSRSign", csr_sign,"CSRHshield", csr_h, "CSRNimage", csr_Nh, "CSRDriftLength", csr_inids,"CSRCalcArea", csr_xin, csr_xout, csr_zin, csr_zout,"CSRArcRadius", csr_arcr, "CSRArcAngle", csr_arcang,"CSROutputWake", csr_wfrom, csr_wto, csr_wstep);CSR in transient statewith shielding•Beam energy: 128 MeV•Bending radius: ρ = 10.0 m•Bunch length: σs = 0.3 mm•Initial distribution: Gaussian•Bunch charge: Q = 80 pC•Shielding chamber height: h = 2 cm
g charge
g layers:
y32•Number of image