2015 年度「統計」期末試験問題
付表 3 から付表 6 を参照し，正しい答えを選択しなさい．ただし，数値は四捨五入により小数点以下3 桁までとする（計算過程においても小数点以下 4 桁を四捨五入し，小数点以下 3 桁までを利用する）．
選択肢を選ぶ問題の場合には適切な選択肢の番号をマークし，数値を答える問題の場合には 1 桁ごとに数値をマークすること．
問題内の，〔1〕，〔2〕……は，解答番号を表している．
ただし，解答番号【7】【13】は正負の符号を表すものとし，解答が正（＋）である場合は「9」に，負（－）である場合は「0」にマークせよ．
注意：解答が小数点以下の位において 0 となる部分には 0 をマークすること．
例）解答が 23.28 の場合で，〔1〕〔2〕.〔3〕〔4〕〔5〕に解答する場合には，〔1〕2〔2〕3〔3〕2〔4〕8〔5〕0をマークする．
Ⅰ．A 社と B 社が「垂直的分業関係」にある場合，両社の生産額には正の相関が見られる．また，A 社と B 社とが「競争関係」にある場合には両社の生産額には負の相関が見られ，この 2 社が「水平的分業関係」にある場合，両社の生産額は無相関になる．
ここで，近年の A 社と B 社の生産額を調べると，下の表 1 の通りとなった．また，その結果から導かれる記述統計量は表 2 の通りである．
表 1 A 社および B 社の生産額

表 2 各種記述統計量

年

A社

B社

統計量

A社

B社

2008

3519

標本平均

26.5

〔1〕
〔2〕

2009

2822

標本分散

28.3

22.8

2010

2530

標本標準偏差

5.320

〔3〕
．〔4〕
〔5〕
〔6〕

2011

2825

標本共分散

【7】
〔8〕
〔9〕
．
〔10〕
〔11〕
〔12〕

2012

2430

相関係数

【13】
〔14〕
．〔15〕
〔16〕
〔17〕

2013

1930

（単位）億円1（１）表 2 中の，B 社の生産額の標本平均，標本標準偏差と，両社の生産額の標本共分散，相関係数を求め，適切な数値および符号（符号は【7】【13】）をマークせよ．
（２）A 社の生産額の中央値は〔18〕
〔19〕
．
〔20〕
，最頻値は〔21〕〔22〕である．
（３）以上の結果から導かれることとして，最も適切なものを 1 つ選び，その番号を解答欄にマークせよ．

…………………解答番号〔23〕①A 社の生産量が増大した結果，B 社の生産量が増大した．
②B 社の生産量が増大した結果，A 社の生産量が増大した．
③A 社と B 社は，「垂直的分業関係」にある．
④A 社と B 社は，「水平的分業関係」にある．
⑤A 社と B 社は，「競争関係」にある．
⑥A 社と B 社の関係はわからない．
Ⅱ．次の（１）の空欄に，適切な数値をマークせよ．
また，（２）については，下の文章の内容が正しい場合には「1」を，誤りである場合には「0」をマークせよ．なお，問題文の前の〔番号〕は解答番号である．
（１）4 つの選択肢の中から 1 つの正解を選ぶ問題が 20 問用意されている．なお，各問題の配点はすべて 5 点である．
J 君は，どの問題もわからなかったので，すべての問題にでたらめに答えた．このとき，J 君の正解数の平均は〔24〕問であり，J 君の点数の期待値は〔25〕〔26〕点である．
（２）平均が  ，分散が  2 の無限母集団から n 個の無作為標本を復元抽出したとして，その n 個の標本から作られる標本平均 X を母集団平均（母平均：  ）の推定量として用いる場合を考える．
〔27〕この標本平均 X の平均は  ，分散は  2 である．
〔28〕この標本平均 X の期待値（ E ( X ) ）は，真の平均（母集団平均（  ））に等しくなるから，一致推定量である．
〔29〕この標本平均 X は，標本数 n の極限（ n   ）において真の平均（母集団平均（  ））に収束することがチェビシェフの不等式によって証明される．これを大数の法則という．
〔30〕この標本平均 X は，標本数 n の極限（ n   ）において真の平均（母集団平均（  ））に収束するから，不偏推定量である．
（裏面に続く）2Ⅲ．次の（１）（２）の〔31〕～〔37〕について，適切な数値をマークせよ．
（１）ある国では M 伝染病がはやっており，1 日に平均 1 人感染するという．5 日間に 5 人以上感染する確率は〔31〕〔32〕％である（％（百分率）にしたときに小数点以下が出た場合は四捨五入すること）．なお，M 伝染病の感染者数はポアッソン分布（ポアソン分布）に従うものとする．
（２）ある大学では，2 年次終了時の GPA が 1.00 未満である場合，3 年次に進級できないことになっている．ここで，ある年の 2 年次終了時の全員の成績を調査したところ，平均＝2.22，標準偏差＝1.525の正規分布に従っていた．したがって，この学年では〔33〕〔34〕．
〔35〕〔36〕〔37〕％の学生が 3 年次に進級できないことになる（ただし，この問題では計算途中で四捨五入しないこと）．
Ⅳ．以下では，ベイズの定理（ベイズの公式）を導出し，ベイズの定理を用いた確率計算を行う．
（１）まず，ベイズの定理を導出する第１ステップとして，条件付き確率を確認する． P( A  B) として最も適当なものを 1 つ選びなさい．

………………………………解答番号〔38〕①P( A  B) P( A  B)
P( B)

②P( A  B) P( A  B)
P( A)

③P( A  B) P( A  B)
P( B)

④P( A  B) P( A  B)
P( A)

⑤P( A  B) P( A)
P( A  B)（２）上記の条件付き確率と P( B)  P( B  A)  P( B  AC ) であることを用いると，ベイズの定理が導出される．ベイズの定理として最も適当なものを 1 つ選びなさい．
①

P( A  B) P( B  A) P( B)
P( B  A) P( A)  P( A  BC ) P( BC )②

P( A  B) P( B  A) P( A)
P( B  A) P( A)  P( A  BC ) P( BC )③P( A  B) P( B  A) P( B)
P( B  A) P( A)  P( B  AC ) P( AC )④P( A  B) P( B  A) P( A)
P( B  A) P( A)  P( B  AC ) P( AC )⑤P( A  B) P( B  A) P( A)
P( B  A) P( B)  P( B  AC ) P( AC )…………………解答番号〔39〕（３）ある都市でシートベルト着用率と事故死の状況を調査したところ，事故死になる（ A )人のうち 2割はシートベルトを着用( B )していた．他方，事故死にならなかった( A ( A) )人のうち 7 割はシーCトベルトを着用していることもわかった．ちなみに，事故死になる人は全体の 5％だとわかっている．このような情報をもとにして計算される，シートベルトをしながら( B )事故死になる人( A )の確率は〔40〕
．〔41〕
〔42〕
〔43〕％である．
3Ⅴ．プロ野球選手の F 投手の球速について 9 球をしらべたところ，標本平均は 140km/h，標本標準偏差は 15km/h となった．F 投手のプロ野球時代の球速が正規分布に従うとして，以下の問いに答えよ．
（１）母分散（母集団分散：  2 ）について信頼係数 95％で区間推定を行うと，信頼区間は，
〔44〕
〔45〕
〔46〕
．
〔47〕
〔48〕
〔49〕以上，
〔50〕
〔51〕
〔52〕
．
〔53〕
〔54〕〔55〕以下となる．
（２）母平均（母集団平均：  ）について信頼係数 95％で区間推定を行うと，信頼区間は，
〔56〕
〔57〕
〔58〕
．
〔59〕
〔60〕
〔61〕以上，〔62〕〔63〕〔64〕
．
〔65〕
〔66〕
〔67〕以下となる．
（３）母分散（母集団分散）が 144 とわかっている場合，母平均（母集団平均：  ）について信頼係数95％で区間推定を行うと，信頼区間は，〔68〕
〔69〕
〔70〕
．
〔71〕
〔72〕
〔73〕以上，〔74〕〔75〕
〔76〕
．
〔77〕
〔78〕
〔79〕以下となる．
（４）母分散（母集団分散）が 144 とわかっている場合，「F 投手のプロ野球時代の平均球速が，F 投手の高校時代の最速スピード 132km/h より速いと言えるか」について有意水準 1％で検定を行った場
合， P 値は〔80〕
．
〔81〕
〔82〕
〔83〕であり，帰無仮説は〔84〕される．
※〔84〕に入る語が，「棄却」の場合には「1」を，「採択」の場合には「0」をマークせよ．
※帰無仮説が「採択」されるとは，帰無仮説が「棄却されない」ということである．
（2 枚目に続く）

4

しつけ

Ⅵ．ある調査で，子供の頃に「ルールを守る」という 躾 を受けたと記憶している者（以下，「躾を受けた者」）と，記憶していない者（以下，「躾を受けていない者」）について，現在の所得がどのように異なるかを調べた．その結果，「躾を受けた者」の回答者数は 1600 人で，このグループの平均所得は 680万円，標準偏差は 200 万円であった．また，「躾を受けていない者」の回答者数は 2500 人であり，このグループの平均所得は 665 万円，標準偏差は 180 万円であった．この調査結果から，「子供の頃にルールを守るという『躾を受けた者』の平均所得が，『躾を受けていない者』の平均所得よりも高いと言えるか」について仮説検定しなさい．なお，2 つのグループの母分散は異なると仮定する．
（１）この検定を行うための（標準化された）検定統計量は，〔85〕．〔86〕〔87〕〔88〕である．
（２）この問題の検定結果として最も適当なものを 1 つ選びなさい．

…………解答番号〔89〕①有意水準 5％の臨界値は 1.96 であり，「躾を受けた者」の平均所得は「躾を受けていない者」の平均所得よりも有意には高くない．
②有意水準 5％の臨界値は 1.645（1.65）であり，「躾を受けた者」の平均所得は，「躾を受けていない者」の平均所得よりも有意に高くない．
③有意水準 1％の臨界値は 2.33 であり，「躾を受けた者」の平均所得は，「躾を受けていない者」の平均所得よりも有意に高くない．
④有意水準 1％の臨界値は 2.33 であり，「躾を受けた者」の平均所得は，「躾を受けていない者」の平均所得よりも有意に高い．
⑤有意水準 1％の臨界値は 2.575（2.58）であり，「躾を受けた者」の平均所得は，「躾を受けていない者」の平均所得よりも有意に高い．

5Ⅶ．回帰分析に関する以下の文章の（１）～（３）について，（１）の〔91〕～〔93〕，および（３）の〔96〕～〔100〕に最も適切な語句を指定された【語群】から選び，その番号をマークせよ．なお，同じ選択肢を複数回用いても良い．
また，（１）の〔90〕，（２）の〔94〕〔95〕には，適切な数値をマークせよ．
（１）標準的線形回帰モデルの仮定のもとでは，誤差項（ ui ）は平均が〔90〕，分散は独立で〔91〕な分
散  2 をもつ〔92〕分布となっている．また，〔93〕変数は確率変数ではなく，誤差項とは〔93〕である．
（２）最小自乗法（最小二乗法）（特に単回帰）においてモデルの説明力を表す決定係数は，最小で〔94〕，最大で〔95〕の値を取り，〔95〕に近いほどモデルの説明力が高い．
（３）最小自乗法（最小二乗法）では，残差（誤差）の 2 乗の和を最小にするように回帰直線を引く．残差（誤差）とは回帰直線と各データの間の距離のことであるが，この距離は〔96〕に対して垂直に取っている．
回帰モデル Yi  a  bX i  ui （ここで，ui は標準的線形回帰モデルの仮定を満たす誤差項）について最小自乗法でパラメータ b を推定すると，この推定量は〔97〕となる．この推定量をもとにパラメーbˆタ b の有意性を検定する場合，帰無仮説を〔98〕として，検定統計量 （ sb̂ は標準誤差）が〔99〕sbˆ
分布に従うことを用いて行う．
検定結果は，上記の帰無仮説が〔100〕場合，この 2 つの変数 X と Y との間には Y  a  bX となる有意な関係があるとされる．
〔91〕と〔93〕の【語群】①被説明②従属③独立④周辺⑤均一〔92〕と〔99〕の【語群】
①正規

②標準正規

③自由度 n  1 の  2⑤自由度 n  1 の t⑥自由度 n  2 の t⑦自由度 n1  n2  2 の t④自由度 n  2 の  2〔96〕〔97〕と〔100〕の【語群】④ X 軸（横軸） ⑤ Y 軸（縦軸）

①NABY

②BIUS

③BLUE

⑥回帰直線

⑦棄却される⑧棄却されない ⑨無相関である② H0 : b  0③ H0 : b  0〔98〕の【語群】① H0 : b  0④ H0 : b  0⑤ H0 : b  0⑥ H0 : b  0（以下，余白）6