177TheScienceRepo巾oftheKanazawaUniversity，Vol.町， No.
2，pp.
177‑
182，May，1
956TheLawoftheIteratedLogarithmforDependentRa
ndomVariables
By
NoboruMATSUYAMAandShigeruTAKAHASHI
956)(Receiv
edFebruar
y1
5，1S1. Let(1.
1)

さ1，~2....

beasequenceo
frandomvariablesdefine
donaprobabiIityspao
泡 (.
Q.B.P). Wesaythat(1.
1)ism‑dependenti
ffor some integer m孟O. theinequalt
ys‑r> mimpIi
田 thatthetwosets(~1. ~2..... ~.γー 1. ~r) (~s. ~S+ I..... ~n-1. ら)arei
ndependent.
Bytheinduct
ion.if(1.1)ism‑dependent.thenthefolIowingblocks(~ri. ~r.!+!...... ~r'!-I. ~rD. (i=l. 2....)

areindependen
twheneverれ +!‑r/>mandr/
孟η (i=l.2.
..
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fm‑dependence
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Wesuppo田 t
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E(~i)=O.
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1424(雨与石)~il 三五 nuniformlyini.
From (1.3) itfoI
Iow
sthatforeachithereexistsE伎の.and~.~

Eほの =0(1)Furtherletu
sput.n(1.5)

Sη=2~iand(1.6)

Bn=E(S~).

InS
S2‑4. weprovethefol
Iowing
1.2).(1.3)andTheorem. If((1.7)lセ
笠与>
0.
n‑.
，Bη=σ2今回thenwehave(i→+∞).

N. MATSUYAMAandS.TAKAHASHI

178(→∞両」ー1)=
1yl2
BlOg2Bn=n旬

Fortheproofofthistheo
叩 m weusethewell lmown theoremo
f A. N. Kolmogorov，whichs
阻むesthelawofthei
teratedlogari
出m forindependen
trandomvar
iabl悶.
3!2. Foranyfixedα(1くαく2)，weput(2.
1)
仇 =Ckαl，and(2.
1')~k=仇 +1 一 (~+1)
foranyintegt
主rk孟 ko ・ whe問 koαー 1>~.
Thenwehave(2.
2)(k→+∞).

nk l-1 -nk=~k-~k寸 =O(か一 1)

Wedefinerandomv
ariablesasfoIIows;
nk+1‑1(2.
3)

2

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3')

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I2~il.

mk<jくnk+1 i~mk +1

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ariableshav
ingthe mean v
aluezeroandnk十c1

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i‑mk十 1From(1.4)wehave，bytheM
inkow
ski'sinequaIity/ nk+1‑1¥\， ~ηlk 十J

E(VD壬E(V{2)豆ECVr2)
壬( 2，' {E(さの }'/.)=O(l)(k→十∞).

Thereforebothseries，E(V2)k• ~ ~(fV'k¥2¥Z一k
一一一一"i:"' an2EI(一一一一一 I
1:flOg2k anda1'~\~v'7i交 [Og2 k))
7areconv
egent. Fromt
hefirst，wehav
ebyt
heKhintchine‑
Kolmogorov'stheoremandt
hi
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1=1.
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か lOg2kで士五与工士

i:ko '"~}

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む v，，， v~ ， l5ec;.v ) ‑andthis加 pIiesHencewehave~.~P(長詰τ; →0)=1(1(k-~_l̲̲

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sput，fornk孟t三二~k (k三ko)
(3.
1)

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¥1
1'か lOg
2k \i~ko mk<j<nk+l i‑mk十 1"'} ~}ら， =~~i ー仇，-~，if I~i I;豆一旦こ竺一一logzkotherwise，

TheLawoftheIterated Logarithr
nforDependentRandornVar
iables(3.
1りwhere179

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i dP=O(一企ιι.~)，.l‑，，/ L/.
.
， ，;'-，， 12-:~ ，'¥ k1ー α/2(logk)1+さ/J
ï~il>"l ー α/2/ 10g品、ai=(3.
2)(k→+∞).

I~il~kl ー α /2/10g2kFurtherletusput，fork;'三ka，m"

(3.
3')

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λ==.
l:~i ，(3.
3)

U'，，=2害zy，t
=tlJ
cnI}
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l=nk

and
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;
".

(3.
3")

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ar
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shav
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o，and
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trandomv
ariable
s. The same factsar
etruefor{;;/'}and{Uk"}.
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̲，Max.
"'Ii~O2^;
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I‑
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，" •.
V.'

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J.v
Vk，r.*)
グ ~OSinceeachWlc，γisthe maximum modulus ofthe sumofindependent random v
ariableshav
ingmeanvaluezero， by (1.3)，(32) and the Kolmogorov's inequality we hav
efor，

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1/がk僧 loめg k ' )‑くη'k‑nk)い2

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一一一一‑V¥.o
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k，ukν k
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三三 n71しHencewec
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e W 7，by
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max
12: e'n.
，1"=0 0;;三 ;i~三叩 ^， -n ，， )/C川十 J) t
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判 明 十 J) げん

γ~O(k→十∞).

180N.MATSUYAMAandS.TAKAHASHI
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.
kor~O(k→+∞).

O~ ~ご\下/k'"

BytheBorel‑Cante11ilemma.itfollow
sthat
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下/か log2k(3.
4)

ontheotherhand.wehave/〆 mk、2¥

mk

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(3.
5)

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2

mk i+
刑

¥

{E(!
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山 =O(k 1一一一三一一 lZ 'kj~j-m¥(logk)1+， )豆 22必ー(k→+∞).

吋Fromthiswehave~"2)
E(Uk2~一一一一一く+∞，τhlog2k
包andthisimplies.

、

122ー Up(ωu/k'"log
2kHencewehave

k"

，，.
，.
，.
.
，，，，，rr
抑的‑1"I

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"log
2k(3.
6)

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下i::ko.‑)From (3.
4) and(3.
6)，weobtain

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14M1 ￨tizJF￨)→ 0)=1P(初会7hog2k ¥j::koU‑41F+1s.
k'"l(3.
7)

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L Ln.
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つい({よムん(似ι糾i
‑U
仏 一町
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Fの川E((iAoUi

U 弓よ町/'の川よ土併い(町m
仏川i
U"の/'勺)νり叩2)η
戸2よ=E(昨(。
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ぱf{仔!;d叩 d{1;/'つ}， wehave

IE(UU")IMfr-~.，o，ik→十∞).
E(UiU/')I
豆 2h
2 E(I;ti!
;JI)=O( n~~"t.\(1+')/. i (l t E n k i ‑ i ‑ m ¥(logk)
刑1.

(1+，)/. )Therefo
叩 weobt
ainby(3.
5) and仕leaboveinequality，よUついやかが )+0ゆり

E(((k→十∞).

iBythesameway，iti
sseenthat

E(九峠ιh+山卜(よ仏町〉
アか=E(2+2E(U均 Snη%hol〕+E(SnL ふ=ECioUO2)O仙 O伽
十I
fweput=E((U小o伊〉0(1)(k→十∞).

TheLawofthelter
atedLogarithmforDetendentRandomVar
iables1812，DK=E((bつ)出.
enwehavek"/2(4.1)
Dk=E((Snkー け + 伽 訂2By泣ledefinitionso
f ~i' andUk'，iti
sseenthatmkmk
21らFー 仇 1+ 2 lad
戸 ni~nkk
Uk'(4.
2)= y2Dk/log2Dk々 防 局2Dk =1

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I=oO{1)1=0(I7̲̲I} ¥，
/
10g2k
¥
.log2k} }
¥ yk'
pplyt
Hencewea
hetheoremo
fA. N. Kolmogorovto‑(Uk'} andweobtain7.

(4.
3)

7.

(k→+∞).

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=1.
2Dog
2Dkkl
¥n→∞干1ノIplüゐOn出 eotherhandwehaveforn (nkくηくnk+l)
22IE(Sn豆2IE(SSn‑Snk))
1+ E((Sn‑Snk)2)
η(k‑E(Sn)1トmmk mnk nk‑'
2 2 E(Iふらり+2 2 E(I~i ~i+j J)
z‑n‑mJ‑nz‑
nkJ~-mkk〉=O(k"‑l)=o(k匁

話2Hencewehave
0.~， +Bη= Bl‑l+O(k )=Dao(k"')
吋切(k→+∞).
(k→十∞).

By ()，(2.
4.
1.74)and(4)， itisseenthatfor mk
くnくnk+l2 Vi+2\~áSn..-li‑mk+1=0)→∞¥m
下/28刀逗~~-ノBy出 eds:.
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nof ~i " wehavefornknζ mk/両p(l2四22吻

叫If

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L¥3/2¥)=0 (1)to石川 J J

0¥¥ lna. b)¥ ¥2 Ut'‑ 2 ~/\Iゐ土よ三+1...= 1 )tplT¥h y 21Jn 1ノぽ '2 1Jn∞

ιFI2 Ui'¥

I2 Ut'¥=p(Tt忌 J三~~=7 1ー¥→聞も12Bnog2Bn ノn.llim z~=:EL--=-= 7 1
7=plノ=
2Dk ー¥
n→∞下/2Ddog
品

占On甘lor 均三二n三二mkeotherhandby(3.7)，f2Ut"+ 2 ~t"\~-1p(lim 一一竺 k_ =0→∞ y2Bnl¥nog
2Bn ‑J/)=(n→+∞)，

182N.MATSuYAMAandS.TAKAHASHI'Andthusweobtain，by(4.
4)

/，s~i

\P
Ilim ，̲ i‑l¥n→田平/2B log2B.
η犯1 )=ーノReference自.
[1] W. Hoeffding and H. Robbins， The centrallimit theoremfor dependentrandomv
ariables，
DukeMath.Jour.， vol.15(1948)pp.7
73‑780.
(2) G. 陥 rsaglia， 1加 atedlimits and thecentrallimitth巴 悶m fordependentv
ariables， Proc.

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8
7一回1.
(3) P. H. Diananda，Thecentrallimittheoremfor m‑dependentv
ariables，Proc. CambridgeP
hilos.

Soc.，vo
1.51(1955)pp.9
2‑95.

asGesetzdes 句riertenLogarithmus， M批 h. Ann.
， vol.l0l(1929)(4) A. N. Kolmogorov， Ober dロp.126‑135.