209TheSciellceR巴portsoftheKallaawaUlliv
ersity，Vol.III，No，2，pp. 209‑212，]
uly，1955
古Onthe Serie
sof Some IudependentRandom Var
iables.
By
ShigemTAKAHASHI
(Rec
巴iv
巴d2
1January，1955)

1. Let{X，.
!} beas色quenceofindependen
trandomv
ariableswit
hacommondistributionfunctionF(吋 and{ιJ beadecreasingsequenceo
fpositiv
enumbers.
pmFurtherlet us

Po=Prob.L510nX321く 十 ∞ ]P1 = Prob.'f}，[~ a"Xn convergesJ
andpzニ P
rob.

う[ a"( Xl
I ‑JXdF(x))conv e
SJ
何laJlXI三1Itisseenthateachof

吋 IXil豆 1J=l(1.1)

PF04fob[fEand恒 101221Xzlg/も]=1(1.2)

P'l= Prob.[implies

便 IanXnI壬 1J=1(1.3)

Prob.[heBorel‑Cantellilemma，(1.1)andalso(1.2) imply
andt
herefore，byt

子Prob.1[X >~去〕ニ?fdF(的く十∞(1.4)

lllIxl>~anInthisnoteweprov
ethatunder80mecondit
ionson(‑an，}(1.4)impliesPi= 1(i=O，1，2). Especially， by Knopp'stheoreminthe theorγof series， Po= 1(01' P1 = 1)
imp
1iesP'o= 1(orP'l= 1).
2. THEOREM1. I
fforsomeA >1
山一→さく(2.1)

all

竺(yn

幻十1/1，2，then(1.4) impliesPo= 1.
PROOF. Bythethreeseriestheorem，iti
ssufficientt
oshowthatkVη =ヱII(anX)2dF(x) 一 (nnd九11 ¥aノla"x・1~三 1

Ia x dF(X))2Jく十回
1nI2
10S. TAKAHASI‑II

3M ?
flGnziく」∞.

戸lanxl三 I

Ontheotherhand，itmaybes
ee
nt
hatf
la2d0 豆 Vn 豆I
F(x)豆 恥nxlah
丸￨壬 1andhence，iti
ssu
ff
icienttoprov
et
hat ヱlilnく十∞.
Wehave三x) =ヱ
a"xl dF(nan 2:nG∞ヱ=/t¥削

m=1 u m

一一戸く一¥lノ 一 n%
Z1 一t

dF〔Z〉

l‑f/Fd=zJ‑

二Jm

1 1 = τ 1 η包=)

f1 αn

∞

主玉玄 an 玄X
i dF(x)1nτ1IanX l~三 1

where
1O.
aoFrom(2.
1)，wehave
一 一 三dm(C)A戸

forn二三 mandwehave

Jf hnzA
Fgt(;jA
豆豆A amm

wh古reA isacon
stantindependen
tofm.
Therefore，itfollowsthat

ヱMn三玉 A :sm I dF(x)n=lm~l百三っく lxl三M 刀1‑1ニA三l
CJdF(約 十lxl>誌umJdF(り く 十 ∞三。
レず二王<:lxl

THEOREM2. LetF(x) beasymmetri
cdistributionfunctio
nandforsomeA > 弘(2.
2)

αn+1

an

く {~-V¥n十 1/n1，2，Then(1.4)impliesPl=Lti
ssufficientt
oshow社lat
PROOF. I子J(anX)
2dF(x)く 十 ∞lanxl，三1andthi
scanbeprov
edby.thesamewaya
sthep
roofo
fL Mn く+∞.
nTHEOREM3. I
fforsome ，1>唱n+1 ̲̲̲̲( n ¥，1(2.
3)
an = ¥ n+1)。

n1，2，。

ntheSeriesofSomeIndelうE幻 dentRandOJn Variables.

2
11then(1.4')implics1"'2= LPI¥'OOF.Letusdefin
erandomvariablesY"anclZηasfollows.
y，，=

X'I1，iXη1> 。
Jlif[X"l三 一a"anc
1Z，，=0，1if

1if

IX> 1ーn!

if

IXnl4an

1an =1，2.
.

}lFrom(1.4)andtheaboved
efinitions，itfollow
sthat(2.
4)
Dr1ia}/Zn く→∞〕 = I，此(ミ1and2]‑[E(GJM〉
了
DnzE[(GJM〉=j.〔GFlddF〔同一(Ia xdF(x))2!
1Ia"x dF(x)M l1 =E(anY")=
lanxl1でさAstheproofofTheorem2，wecanshowt
hat(anx) dF(x)く+∞.
，;lan 壬，1On theothεr hand， the random v
ariable(anYn‑ 111[n)hasthemeanv
aluezeroandO~

ヱ D"三玉ヱn】

多忽 1

hintc
hine
‑
Kolmogoroff'stheorern，wehavethedispersionDn. Hence，byKr(2.
5)〕=1.

Prob. ヱ(酌 :VYI‑ 1!
;f")conv
仰 tsFrom(2.
4) and(2.
5)，wegettherequiredresult.
3. 10 • SupposethatPfob‑Bi‑fL￨く+∞J=1(日Then，bytheBorel‑Cante
1lilemrna，itfollowstha
tforanyconstantc> 0，手Prob.[:X I>ー]く十∞.
IlTherefore，wehave

f.x dF(x)く + ∞1 I1thestronglawoIlargenumb
巴r
8showsthat

紅lC(rx[dF(的 J=1

Pfob[t;1(Xjc￨→Ontheothεrhand，fγom(3.
1)，wehave，‑'1n、

Prob. 1云 F1￨Xhl→ o
J= 1.

Hence，wehave

2
12S. TAKAHASHl̲l， Dつf!
xidF(x) ニ O
andthisisequivalenttoProb.[Xη=oJ=1

(3.
2)

n

1，2，There
fore，A inTheorem1cannotber
ε，placedby1既 ceptatrivial回 目 (320 •.

LetF(x) be symmetric andProb.

(3.
3)

1Xn 仰 1仰 初 I=Ln0，Thenwehave，bythesamewaya
s1nV

斗じっx2 dF(めく+∞andfromthecentral1i
mittheoremand (3.3)，wehavef dF(x)=0がT
hisshowsthat.
3)imp
lies(3.
2).T
herefore AinT
heorern 2 can notbereplaced
多riv
ialcase(3by]7白色xceptat
30 •Lεtprob i‑bL(Xη‑I、 nV nco
附 吋ω J = 1!
ぇ!
三vnalldXndenotet
hesymmetriz
吋 r
andomvar
iableofX

I' "Thenwehaveω =1Therefor
e，byt
hed
iscussioni
n20 ，wehave

Pyob.[Xn=OJニ ln=l，2，Thisshows t
hat
(3.
4)

JPr
め [X，.
，= 111 = 1n =1，2，

wherem isaconstantindependen
tofn.
HenceA inTheorem3cannotbを replace
dby弘 exceptat
riv
ialcase(3.
4).