研究班番号【91】整数を「ふりまわす」教科書
数学班：本田光輝 徳山力基 長尾拓弥

要約
整数問題は理解が困難であるが、大学の入試問題に頻出であることを知った。授業を一通り受けたものの、整数分野の入試問題を解くには力が不足していることが分かった。私達の整数への理解を深めると共に、多くの人に還元するため、多くの入試問題を解き、複数の教科書と参考書を読み比べ、整数問題を「ふりまわす」ことができる程、簡単に解ける教科書を作成した。

１．はじめに
私達は初めに、研究目標を定めた。そして、その目標を達成することができるような研究を行うことにした。私達が立てた目標は「自分のためにも、人のためにも」というものである。その理由として、まず「自分たちのためにも」とあるが、これは高校二年生の一年間を通じた長期的な研究なので、何かしらの形で自分たちの成長を期待できるものにしたいと考えたからだ。また、「人のためにも」とは、私達の研究が世界の誰かの役に立つものになってほしいという願いのもと定めた。
この研究目標のもと、研究する題材を探し「整数の教科書を作る」というものに定めた。この動機としては、私
達は数学班になり、数学に関して「自分のためにも」に値するものを班内で話し合った。その結果、単純明快に、数学力（高校範囲で）をつけたいということになった。数学力をつけるということは、自分の得意な分野をより伸ばすか、自分たちの苦手とする分野を少しでも得意にするか、という２つの意味として捉えることとする。偶然にも、苦手とする分野が「整数」と班内で一致していたため、後者の数学力をつけることにした。よって「整数」を研究することになった。次に「人のためにも」に値するものを話し合った。「人」の定義を高校生として、高校生がよく使い、自分たちの研究を事細かに知らせることができるものは何か、と考えたとき「教科書」が一番適していると考えた。よって「教科書」をつくることになった。以上の事により「整数の教科書」を作成するという研究をすることになった。
（「教科書」のタイトルとしてある「ふりまわす」の由来ですが、「ふりまわす」という言葉のイメージとして、自由にものを扱うということがあります。例えば「武器をふりまわす」という言葉を聞いたとき、頭の中で変幻自在に武器を使う人を思い浮かべるのではないでしょうか。このように「整数」の分野を自由に扱うことができるような教科書という思いを込めて名付けました。）

２．研究手法いきなり「整数の教科書」を作ろうとしても、指標も構成も何もかもが不鮮明であった。そのためまず自分たちの教科書の位置づけをすることにした。少し極端な例であるが、世の中には「教科書だけで高校数学は簡単に完璧に理解できる。」という意見と「教科書は丁寧であるが、教科書で学ぶより参考書を用いたほうが理解しやすい」という意見を耳にすることが多くあったので、教科書と参考書との良し悪しを確かめる意味も込めて、
教科書と参考書を読み比べ、構成する上で重きを置きたいことを見つけ出すことにした。そして、この研究の指標を「ある程度は入試問題を解ける教科書」と設定し、入試問題を解くために、入試問題を分担して解くことにした。
まとめると、手順としては以下の3つである。
ⅰ 教科書を読む
ⅱ 参考書を読む
ⅲ 入試問題を解く

３．結果
教科書は、問題文の後に解説が記載されており、ページ数も少なく、簡潔にまとめられている。
また、整数の章の中でも、教科書の出版社により、単元の順番が若干変動していたり、ある出版社の教科書では記載されている事項が、他の出版社の教科書には記載されていなかったりした。

参考書は問題文と解説の間に、その問題における重要事項1が記載されている。参考書にも、教科書と同様の出版社による差異が認められた。

４．考察
初めに、3社の教科書を比較した結果をもとに考察を述べる。
教科書は文部科学省が規定した学習指導要領に則って作成されるため、教科書の出版社によって記載されている単元に大きな違いはないと考えた。しかし、学習指導要領に規定されていない発展的な内容の有無や記載内容の順序などは教科書によって異なっていた。これは各教科書出版社の執筆者による思惑があるからだと考えた。
次に、参考書と教科書を比較した結果をもとに考察を述べる。
参考書では、教科書に比べ問題、解答、解説などの量が圧倒的に多く、問題を解く際のポイントや入試でよく問われるような点などが詳しくまとめられており、また、そのポイントはある問題ごとにのみ当てはまるものではなく、他の問題やより発展的な問題にも対応しているということがわかった。これらのことから、参考書は言葉の意味や定義をある程度理解した人が入試問題などの初見の問題で点数を取ることができるようにすることを目的としていると考えた。
一方、教科書では定義や説明などの後に図形やグラフを用いた具体例が示されており、情報が詳しくまとめられていた。しかし、問題を解く際のポイントや入試でよく問われるような点といったものが記載されているものの、参考書ほど強調して説明されていなかった。これらのことから、教科書は参考書と比べて、入試問題などの初見の問題で点数を取ることを目的としておらず、言葉の意味や定義の深い理解を促すことを目的としていると考えた。また、教科書の読者自身が、簡潔にまとまった状態の教科書の文章から、他の問題にも当てはまるようなポイント、共通性などを発見したり推測したりする論理的思考力を養うことも目的としていると考えた。

５．結論
3.結果や4.考察、入試問題から抽出した重要事項を基に、問題ごとのポイントや、そのポイントの活かし方といったものを詳しく説明したり、より発展的な演習問題を増やしたりして『整数を「ふりまわす」教科書』を作成した。次ページからがその作成した教科書である。

重要事項は、参考書により名称が異なっている。NEW ACTION LEGENDⅠ+Aでは思考のプロセスやActionと呼ばれている一方、Focus Gold数学Ⅰ+AではFocusと呼ばれている。
1

数学A 整数
Ⅰ約数と倍数
ⅰ定義
ⅱ例題
ⅲ練習問題

Ⅱ方程式
ⅰ整数の割り算
ⅱ剰余類
ⅲ不定方程式

Ⅲ発展
ⅰフェルマーの小定理
ⅱ鳩の巣原理Ⅰ約数と倍数
ⅰ 定義
ⅱ 例題
ⅲ 練習問題

整数問題

は、受験生の君の前にきっと立ちはだかるだろう。
そんな時には、この教科書を使ってほしい。
なぜならこの教科書は君と同じような悩みを持つ、とある高校生３人が君のために頭を悩まし、時間を割いて熟成させたものだから。
Ⅰ章では、整数問題の土台を作り、Ⅱ章、Ⅲ章を通して、ポイントをその土台の上に、コツコツ積み重ねていってほしい。
受験生に幸あれ、

１章 約数と倍数
１．定義

太字は重要事項。青字は補足説明。

２つの整数𝑎,𝑏について、ある整数𝑘を用いて、
𝑎 = 𝑏𝑘と表されるとき、𝑏は𝑎の約数であるといい、𝑎は𝑏の倍数であるという。
𝑎 = 𝑏𝑘 より、𝑎 = (− 𝑏)(− 𝑘)だから、𝑏が𝑎の約数ならば、− 𝑏も𝑎の約数である。
6の約数は1, 2, 3, 6, − 1, − 2, − 3, − 6である。
− 1, − 2, − 3, − 6も約数であることに注意。
２以上の自然数で、１とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。
２以上の自然数で、素数以外の数を合成数という。
整数がいくつかの整数の積で表されるとき、積を作る１つ１つの整数を、もとの整数の因数といい、素数である因数を素因数という。
自然数を素数だけの積の形に表すことを素因数分解という。
210 = 2 × 3 × 5 × 7 である。
1は素数でないことに注意。
倍数判定法を知っていると、楽に素因数分解ができることがある。
2の倍数判定法・・・1の位が偶数3の倍数判定法・・・各位の数の和が3の倍数
5の倍数判定法・・・1の位が5の倍数
7の倍数判定法・・・下1桁を抜いた数から下1桁の数の2倍を引くことを繰り返しても7の倍数倍数判定法を知らないから解けない、という問題はない。
2つ以上の整数に共通な約数を、それらの整数の公約数といい、公約数のうち、最大のものを最大公約数という。
2つ以上の整数に共通な倍数を、それらの整数の公倍数といい、公倍数のうち、最小のものを最小公倍数という。
素因数分解を用いると、最大公約数や最小公倍数を求められる。
72と240の最大公約数、最小公倍数
32

72 = 2 × 3

4

1

1

、 240 = 2 × 3 × 5

3

1

0

最大公約数・・・指数の小さい方を選ぶ∴ 2 × 3 × 5 = 24

最小公倍数・・・指数の大きい方を選ぶ∴ 2 × 3 × 5 = 720

4

2

1

2つの整数𝑎, 𝑏の最大公約数が1であるとき、𝑎, 𝑏は互いに素であるという。
9と14は最大公約数が1だから、互いに素である。

青字は重要ポイント、赤字は解説。

２． 例題

定義に加えて、入試問題に頻出ポイントを学習し、教科書＋αの知識を蓄え、「３．練習問題」や、入試問題に備える。

例題１𝑥𝑦 + 4𝑥 − 𝑦 = 6を満たす整数𝑥,𝑦の組を求めよ。
ポイント 因数分解→積の形にもっていく。
表を用いて、候補を洗い出す。

解説

与えられた等式より、𝑥𝑦 + 4𝑥 − 𝑦 − 4 + 4 = 6∴(𝑥 − 1)(𝑦 + 4) + 4 = 6(𝑥 − 1)(𝑦 + 4) = 2→ − 4 + 4について後述

𝑥−1

−2

−1

1

2

𝑦+4

−1

−2

2

1

∴(𝑥 − 1, 𝑦 + 4) = (− 2, − 1), (− 1, − 2), (1, 2), (2, 1)
答.(𝑥, 𝑦) = (− 1, − 5), (0, 2), (2, − 2), (3, − 3)

〜補足〜
生徒：1行目の式変形が思いつきません。天才的な発想ですか。
先生：これは因数分解の準備のようなものです。式中の「𝑥𝑦 + 4𝑥 − 𝑦」を見て、「(𝑥 − 1)(𝑦 + 4)」と因数分解できると発想できると、式に− 4を加えたくなり、
帳尻合わせに+ 4を加えたくなるのです。天才的というより、経験値です。
生徒：経験値ですか。。。
先生：それほど焦ることはありません。2,3回経験を積めば、身につきます。
整数の単元、数学という教科はこのようなスキルを1つずつ身につけていくことが数学力向上に繋がります。

例題２504の正の約数の個数を求めよ。
𝑎 𝑏 𝑐

ポイン卜 自然数𝑁を素因数分解した結果が𝑁 = 𝑝 𝑞 𝑟 ・・・のとき、𝑁の正の約数の個数は (𝑎 + 1)(𝑏 + 1)(𝑐 + 1)・・・と表される。
解説

3

2

504を素因数分解すると、504 = 2 ・3 ・7504の正の約数の個数は、(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) =24

答. 24個例題３𝑎, 𝑘を整数とする。4𝑎 = 3𝑘 − 72を満たすとき、𝑘が4の倍数であることを示せ。

ポイント 𝑎, 𝑏, 𝑘は整数、𝑎, 𝑏が互いに素で、𝑎 = 𝑏𝑘のとき、𝑘は𝑎の倍数である。
因数分解→積の形にもっていく。
解説

与えられた等式より、3𝑘 = 4𝑎 + 72
3𝑘 = 4(𝑎 + 18)
このとき、3と4は互いに素だから、𝑘は4の倍数。

例題４最大公約数が15、最小公倍数が180である2つの自然数𝑎, 𝑏の組をすべてもとめよ。
ただし、𝑎 < 𝑏とする。
ポイント 最大公約数、最小公倍数の性質
2つの自然数𝑎, 𝑏の最大公約数を𝑔、最小公倍数を𝑙とする。
𝑎 = 𝑔𝑎'、𝑏 = 𝑔𝑏'であるとすると、
𝑎', 𝑏'は互いに素、𝑙 = 𝑔𝑎'𝑏'、𝑎𝑏 = 𝑔𝑙が成り立つ。
解説

最大公約数が15だから、𝑎 = 15𝑎', 𝑏 = 15𝑏'（𝑎', 𝑏'は互いに素である自然数で、𝑎' < 𝑏')
このとき𝑎, 𝑏の最小公倍数は15𝑎'𝑏'と表されるから、
15𝑎'𝑏' = 180 すなわち 𝑎'𝑏' = 12
よって、(𝑎', 𝑏') = (1, 12), (3, 4)
答. (𝑎, 𝑏) = (15, 180), (45, 60)

例題５
1

1

1

3

1

𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数で、𝑥 < 𝑦 < 𝑧である。 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1を満たす𝑥, 𝑦, 𝑧の値を求めよ。
ポイント

1
𝑎

1

1

1

1

解説

𝑥 < 𝑦 < 𝑧より、 𝑧 < 𝑦 < 𝑥≤ 𝑏 ≤ 𝑐 のとき、 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 𝑐 と、上からおさえる。
1

1

1

1

1

1

3

1 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < 𝑥 よって、𝑥 < 311(ⅰ)𝑥 = 1のとき、 𝑦 + 𝑧 = 0
1

1

1

1

1

2

このとき、 𝑦 + 𝑧 > 0より、等式を満たす𝑦, 𝑧の組はない。
1(ⅱ)𝑥 = 2のとき、 𝑦 + 𝑧 = 2121= 𝑦 + 𝑧 < 𝑦 よって𝑦 < 4 また、𝑥 < 𝑦より、𝑦 = 3111

よって、 3 + 𝑧 = 2

𝑧=6以上より、答.(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 3, 6)
３． 練習問題「２．例題」で学んだポイントを整理して身につけるとともに、活用する練習をして、定期考査や入試問題に備える。
練習問題１2

𝑛を自然数とする。 4𝑛 + 165 が自然数となるような𝑛は何通りあるか。
また最大の𝑛を求めよ。
ポイント 因数分解→積の形にもっていく。
表を用いて、候補を洗い出す。
「(与式)が〜となる」→(与式) = 𝑎と置く。𝑎のとりうる値の範囲に注意。
2

解説

4𝑛 + 165 = 𝑎とすると、(𝑎は自然数)
2

2

2

2

𝑎 > 0 より、4𝑛 + 165 = 𝑎∴𝑎 − 4𝑛 = 165(𝑎 + 2𝑛)(𝑎 − 2𝑛) = 165 また𝑎 + 2𝑛 > 𝑎 − 2𝑛より、
𝑎 + 2𝑛

165

55

33

15

𝑎 − 2𝑛

1

3

5

11

表を使った後は、文字が消えるように、
表より、(𝑎 + 2𝑛) − (𝑎 − 2𝑛)をして、∴𝑛 = 41, 13, 7, 1 上ー下や上＋下をする。表を使うことで、
4𝑛 = 164, 52, 28, 4
この操作が楽になる。
答. 4通り、最大の𝑛は41

練習問題２2𝑛を整数とする。 𝑛 − 8𝑛 + 1が整数となる𝑛は何個あるか。また最大の𝑛を求めよ。

ポイント 平方完成で一次の項を消して、積の形にもっていく。
表を用いて、候補を洗い出す。
「(与式)が〜となる」→(与式) = 𝑎と置く。𝑎のとりうる値の範囲に注意。

2

解説

2

2

2

∴𝑛 − 8𝑛 + 1 = 𝑎𝑛 − 8𝑛 + 1 = 𝑎 (𝑎 ≥ 0)2(𝑛 − 4) − 𝑎 = 15 ∴(𝑛 − 4 + 𝑎)(𝑛 − 4 − 𝑎) = 15
𝑛 − 4 + 𝑎 > 𝑛 − 4 − 𝑎 より、
𝑛−4+𝑎

15

5

−3

− 15

𝑛−4−𝑎

1

3

−5

−1

表より、 (2𝑛 − 8, 2𝑎) = (16, 14), (8, 2), (− 8, 2), (− 16, 14)(2𝑛, 2𝑎) = (24, 14), (16, 2), (0, 2), (− 8, 14)(𝑛, 𝑎) = (12, 7), (8, 1), (0, 1), (− 4, 7)
答.4個、最大の𝑛は12

練習問題３
1

1

5

𝑥, 𝑦を自然数とする。1 < 𝑥 < 𝑦のとき、(1 + 𝑥 )(1 + 𝑦 ) = 3 を満たす𝑥, 𝑦の組をすべて求めよ。

ポイント 因数分解→積の形にもっていく。
表を用いて、候補を洗い出す。

1
𝑥𝑦

解説

1

1

5

+ 𝑥 + 𝑦 + 1 = 3 𝑥 > 0, 𝑦 > 0より、𝑥𝑦 > 0だから、両辺に𝑥𝑦をかけて、

３
2
3
3
3
𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 両辺に ２ をかけて、𝑥𝑦 − 2 𝑥 − 2 𝑦 − 2 = 0333
15(𝑥 − 2 )(𝑦 − 2 ) = 4 両辺に4をかけて、(2𝑥 − 3)(2𝑦 − 3) = 15

2𝑦 − 3 > 2𝑥 − 3より、
2𝑦 − 315

52𝑥 − 313

表より、(2𝑥 − 3, 2𝑦 − 3) = (1, 15), (3, 5)
よって、答.(𝑥, 𝑦) = (2, 9), (3, 4)

練習問題４1

1

1

𝑎, 𝑏, 𝑐を自然数とする。𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐のとき、(1 + 𝑎 )(1 + 𝑏 )(1 + 𝑐 ) = 2を満たす𝑎, 𝑏, 𝑐の組を求めよ。
1

1

1 3

1

ポイント 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐のとき、(1 + 𝑎 )(1 + 𝑏 )(1 + 𝑐 ) ≤ (1 + 𝑐 )因数分解→積の形にもっていく。
表を用いて、候補を洗い出す。
解説

1

1

1

𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 > 0より、 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 だから、
1

1

1 3

1

2 = (1 + 𝑎 )(1 + 𝑏 )(1 + 𝑐 ) ≤ (1 + 𝑐 )1 3

𝑐 = 1, 2, 3のとき、これを満たす。𝑐 = 4のとき、(1 + 4 ) =
1 3

1 3

よって、2 ≤ (1 + 𝑐 )
125
64
1 3

< 2となり、これを満たさない。このとき、(1 + 𝑐 ) は単調減少だから、𝑐 ≥ 4のときは2 > (1 + 𝑐 ) となる。

(ⅰ) 𝑐 = 1のとき、
1

1

1

1

1

1

1

1

(1 + 𝑎 )(1 + 𝑏 ) = 1より、 1 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 = 1だから、 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 = 0111

このとき、 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 > 0より、これを満たす𝑎, 𝑏は存在しない。

(ⅱ)𝑐 = 2のとき、
1

1

4

1

(1 + 𝑎 )(1 + 𝑏 ) = 3 より、 𝑎𝑏 > 0より、 3 𝑎𝑏 − 𝑎 − 𝑏 − 1 = 0
両辺を3倍して、𝑎𝑏 − 3𝑎 − 3𝑏 − 3 = 0 だから、(𝑎 − 3)(𝑏 − 3) = 12 また𝑎 − 3 ≥ 𝑏 − 3より、
𝑎−3

12

6

4

𝑏−3

1

2

3

(𝑎 − 3, 𝑏 − 3) = (12, 1), (6, 2), (4, 3)より、(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (15, 4, 2), (9, 5, 2), (7, 6, 2)(ⅲ)𝑐 = 3のとき、(ⅱ)と同様にして、(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (8, 3, 3), (5, 4, 3)以上より、答.(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (15, 4, 2), (9, 5, 2), (7, 6, 2), (8, 3, 3), (5, 4, 3)

Ⅱ 余
ⅰ 余り
ⅱ 剰余
ⅲ 不定方程式

第Ⅰ章では約数と倍数について学んだ第Ⅱ章では整数を割った余りや条件を満たす数を求める方法を学ぶ

整数の割り算【１】 整数 𝑎と正の整数𝑏に対して
𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟,
0 ≤ 𝑟< 𝑏 （𝑞：𝑎を𝑏で割った商、𝑟：𝑎を𝑏で割った余り）を満たす整数𝑞と𝑟がただ一通りに決まる。
𝑟 = 0のとき𝑎は𝑏で割り切れる 𝑟 ≠ 0のとき𝑎は𝑏で割り切れない例

51＝11×4＋7 だから、51を11で割った商は4、余りは7− 34＝5×（ー7）＋1だから、 − 34を5で割った商はー7、余りは1

例題１整数𝑎, 𝑏について、𝑎を5で割ると2余り、𝑏を5で割ると4余る。
このとき、(1)𝑎 + 𝑏 (2)𝑎 − 𝑏 (3)𝑎𝑏 の余りを求めよ。

（解答） 条件より、𝑎 = 5𝑚 + 2 , 𝑏 = 5𝑛 + 4（𝑚, 𝑛は整数）と表される。 ←ⅰ（1）𝑎 + 𝑏 = (5𝑚 + 2) + (5𝑛 + 4) = 5(𝑚 + 𝑛 + 1) + 1
𝑚, 𝑛は整数だから、𝑚 + 𝑛 + 1も整数。 よって、𝑎 + 𝑏を5で割った余りは １（2）𝑎 − 𝑏 = (5𝑚 + 2) − (5𝑛 + 4) = 5(𝑚 − 𝑛 − 1) + 3←ⅱ𝑚, 𝑛は整数だから、𝑚 − 𝑛 − 1も整数。 よって、𝑎 − 𝑏を5で割った余りは ３(3)𝑎𝑏 = (5𝑚 + 2)(5𝑛 + 4) = 25𝑚𝑛 + 20𝑚 + 10𝑛 + 8 = 5(5𝑚𝑛 + 4𝑚 + 2𝑛 + 1) + 3
𝑚, 𝑛は整数だから、5𝑚𝑛 + 4𝑚 + 2𝑛 + 1も整数。 よって、𝑎𝑏を5で割った余りは ３
補足
ⅰ･･･𝑎を5で割った商と𝑏を5で割った商は異なるので、異なる文字でおく。
ⅱ･･･割り算の余りは０以上であることに注意する。
𝑎 − 𝑏 = 5(𝑚 − 𝑛) − 2、5(𝑚 − 𝑛 + 1) − 7のように変形して、余り − 2、 − 7としない。

例題２ 𝑎 , 𝑎
余りを求めよ。

2+ 𝑏（𝑎, 𝑏：正の整数）を5で割った余りがそれぞれ2,3のとき、𝑏を5で2（解答）条件より、𝑎 = 5𝑚＋2･･･①， 𝑎②に①を代入すると、 （5𝑚 + 2)2

+ 𝑏 = 5𝑛 + 3･･･② （𝑚, 𝑛は整数）と表せる。

+ 𝑏 = 5𝑛 + 3

𝑏 = 5𝑛 + 3 − (25𝑚=5(− 5𝑚
2

2

2+ 20𝑚 + 4)

− 4𝑚 + 𝑛 − 1) + 4

𝑚, 𝑛は整数だから、 − 5𝑚 − 4𝑚 + 𝑛 − 1も整数
よって、𝑏を5で割った余りは 4割った例題３ (１)1833を割ると13余り、2048を割ると18余る自然数をすべて求めよ。
(２)36, 54, 90のいずれで割っても19余る自然数のうち、2000に最も近い自然数を求めよ。
（解答）（１） 求める自然数を𝑛とする。
←ⅰ𝑛で1833を割ると13余るので𝑛 ≥ 14であり、1833 − 13＝1820は𝑛で割り切れる。
↑ⅱ𝑛で2048を割ると18余るので、𝑛 ≥ 19であり、2048 − 18 = 2030は𝑛で割り切れる。
よって、𝑛は1820と2048の公約数で、𝑛 ≥ 19である。
２

1820 = 2 ×5×7×13 2030 = 2×5×7×23だから、1820と2030の最大公約数は、2×5×7=70
𝑛は最大公約数である70の約数なので、𝑛 ≥ 19を満たすのは𝑛 = 70, 35←ⅲ（２） 求める自然数を𝑛とする。
条件より、𝑛 = 36𝑝 + 19, 𝑛 = 54𝑞 + 19, 𝑛 = 90𝑟 + 19だから、
𝑛 − 19 = 36𝑝, 𝑛 − 19 = 54𝑞, 𝑛 − 19 = 90𝑟
よって、𝑛 − 19は36, 54, 90の公倍数
2

2

3

2

36=2 ×3 , 54=2×3 , 90=2×3 ×5より36, 54, 90の最小公倍数は、
2２

３×3 ×5＝540 よって、𝑛 − 19 = 540𝑘（𝑘は整数）と表せる。
よって、𝑛 = 540𝑘 + 19
𝑘 = 3のとき、𝑛 = 540・3 + 19 = 1639
𝑘 = 4のとき、𝑛 = 540・4 + 19 = 2179
よって、2000に最も近い自然数は 2179

補足
ⅰ･･･求める数を文字で置く
ⅱ･･･【１】𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟なので、𝑎 − 𝑟 = 𝑏𝑞
割られる数と余りの差𝑎 − 𝑟は、割る数𝑏の倍数
ⅲ･･･公約数は最大公約数の約数である
ⅳ･･･公倍数は最小公倍数の倍数である

←ⅳ

剰余類
【２】

正の整数𝑚について、すべての整数𝑛は𝑚𝑘 , 𝑚𝑘 + 1 , 𝑚𝑘 + 2 , ·····, 𝑚𝑘 + (𝑚 − 1) (𝑘は整数)のいずれかで表せる。
ある整数𝑚の倍数になることを証明したいとき、𝑚で割った余りで分類してそれぞれの場合を調べるとよい

例１

整数𝑘を用いて、すべての整数を3で割った余りで分類する
3で割った余りが0→3𝑘 , 3で割った余りが1 → 3𝑘 + 1
3で割った余りが2 → 3𝑘 + 2または3𝑘 − 1

𝑘

･･･

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

3𝑘

･･･

-15

-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

15

3𝑘 + 1

･･･

-14

-11

-8

-5

-2

1

4

7

10

13

16

3𝑘 + 2

･･･

-13

-10

-7

-4

-1

2

5

8

11

14

17

※整数を3で割った余りは０か１か２なので、上の表のように3で割った余りが
0 , 1 , 2の3つのグループにすべての整数を分類することができる。
例２

例題４

整数𝑘を用いて、すべての整数を2で割った余りで分類する
2で割った余りが0（偶数）→2𝑘
2で割った余りが1（奇数）→2𝑘 + 1

𝑁 = 2𝑛

3+ 3𝑛

2+ 𝑛（𝑛: 整数）が6の倍数であることを証明せよ。

（解答） 𝑁が6の倍数 ⇔ 𝑁が2の倍数かつ𝑁が3の倍数
2

𝑁 = 𝑛(2𝑛 ＋3𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
𝑛(𝑛 + 1)は2連続整数の積なので、𝑁は2の倍数←ⅰ（ア）𝑛 = 3𝑘(𝑘：整数)のとき←ⅱ
𝑁 = 3𝑘(3𝑘 + 1)(2・3𝑘 + 1)（イ）𝑁 = 3𝑘 + 1（𝑘：整数）のとき
𝑁 = (3𝑘 + 1)(3𝑘 + 2)(6𝑘 + 3) = 3(3𝑘 + 1)(3𝑘 + 2)(2𝑘 + 1)（ウ）𝑁 = 3𝑘 + 2（𝑘：整数）のとき
𝑁 = (3𝑘 + 2)(3𝑘 + 3)(6𝑘 + 5) = 3(3𝑘 + 2)(𝑘 + 1)(3𝑘 + 5)
𝑘は整数なので、（ア）〜（ウ）いずれの場合も𝑁は3の倍数
よって、𝑁は6の倍数
補足
ⅰ･･･偶数と奇数は交互に並んでいるので、２連続の整数の積には必ず偶数が一つ含まれよって、２連続整数の積は偶数となる
ⅱ･･･𝑁が3の倍数であることを示したいので、整数𝑛を3で割った余りで分類してみる

る。

例題５

5つの数 𝑝 , 2𝑝 + 1 , 4𝑝 − 1 , 6𝑝 − 1 , 8𝑝 + 1がいずれも素数となる自然数𝑝をすべて求めよ。

（実験）𝑝は素数ということを利用して小さい素数から順番に𝑝に代入してみる。←ⅰ
𝑝

2

3

5

7

11

13

17

19

･･･

2𝑝 + 1

5

7

11

15

23

27

35

39

･･･

4𝑝 − 1

7

11

19

27

43

51

67

75

･･･

6𝑝 − 1

11

17

29

41

65

77

101

113

･･･

8𝑝 + 1

17

25

41

57

89

105

137

153

･･･

⇒ 𝑝 = 2 , 5のときは5つの数が全て素数。𝑝がそれ以外の場合は5つの数のいずれかの数に5の倍数が含まれていると予想を立てる。 ⇒𝑝を5で割った余りに分類してみる。
（解答） 𝑝は素数なので、𝑝は2以上の自然数。
←ⅱ
よって、𝑝は5𝑘 , 5𝑘 ± 1 , 5𝑘 − 2 , 5𝑘 − 3(𝑘: 自然数)と表せる。
←ⅲ（ア）𝑝 = 5𝑘のとき
𝑘 = 1のときのみ、𝑝が素数となる。このとき、2𝑝 + 1 = 11 , 4𝑝 − 1 = 19 ,6𝑝 − 1 = 29 , 8𝑝 + 1 = 41となり、5つの数が全て素数となる。
←ⅳ（イ）𝑝 = 5𝑘 + 1のとき
6𝑝 − 1 = 6(5𝑘 + 1) − 1 = 5(6𝑘 + 1)←ⅴ
𝑘は自然数なので、6𝑘 + 1は7以上の自然数。よって、6𝑝 − 1は素数でない。
（ウ）𝑝 = 5𝑘 − 1のとき
4𝑝 − 1 = 4(5𝑘 − 1) − 1 = 5(4𝑘 − 1)←ⅴ
𝑘は自然数なので、4𝑘 − 1は3以上の自然数。よって、4𝑝 − 1は素数でない。
（ェ）𝑝 = 5𝑘 − 2のとき
8𝑝 + 1 = 8(5𝑘 − 2) + 1 = 5(8𝑘 − 3)←ⅴ
𝑘は自然数なので、8𝑘 − 3は5以上の自然数。よって8𝑝 + 1は素数でない。
（オ）𝑝 = 5𝑘 − 3のとき
2𝑝 + 1 = 2(5𝑘 − 3) + 1 = 5(2𝑘 − 1)←ⅴ
𝑘は自然数なので、2𝑘 − 1は1以上の自然数。
よって、𝑘＝1のときのみ、𝑝が素数となる。このとき、2𝑝 + 1 = 5 , 4𝑝 − 1 = 7 ,6𝑝 − 1 = 11 , 8𝑝 + 1 = 17となり、5つの数が全て素数となる。
←ⅳ（ア）〜（オ）より、求める自然数𝑝 は𝑝 = 2 , 5
補足
ⅰ･･･問題がわかりにくいときは文字に具体的な数字を代入して実験し、規則性などがな
いかを探す
ⅱ･･･２は素数の中で唯一偶数であることに注意
ⅲ･･･𝑝 = 5𝑘 ± 2とおくと、𝑝 = 2を表せない
ⅳ･･･残りの数が素数となるかを確認する
ⅴ･･･それぞれの場合で、𝑝が素数とならない場合を考える。この場合、5でくくり、5の倍数であることを示せばよい

割り算の余りの性質【3】 𝑚を正の整数、2つの整数𝑎, 𝑏を𝑚で割ったときの余りをそれぞれ𝑟, 𝑠とする。
①𝑎 + 𝑏を𝑚で割った余りは、𝑟＋𝑠を𝑚で割った余りと等しい。
②𝑎 − 𝑏を𝑚で割った余りは𝑟 − 𝑠を𝑚で割った余りに等しい。
③𝑎𝑏を𝑚で割った余りは𝑟𝑠を𝑚で割った余りに等しい。
𝑘𝑘④𝑎 を𝑚で割った余りは𝑟 を𝑚で割った余りに等しい。（𝑘: 正の整数）③の証明 𝑝, 𝑞を整数とすると、𝑎 = 𝑚𝑝 + 𝑟, 𝑏 = 𝑚𝑞 + 𝑠 と表せる。
𝑎𝑏 = (𝑚𝑝 + 𝑟)(𝑚𝑞 + 𝑠) = 𝑚(𝑚𝑝𝑞 + 𝑝𝑠 + 𝑞𝑟) + 𝑟𝑠
よって、𝑎𝑏を𝑚で割った余りは、𝑟𝑠を𝑚で割った余りに等しい。
③より、④が成立する。

re)例題１ 整数𝑎, 𝑏について、𝑎を5で割ると2余り、𝑏を5で割ると4余る。このとき、(1)𝑎 + 𝑏 (2)𝑎 − 𝑏 (3)𝑎𝑏 の余りを求めよ。

（解答）𝑎を5で割った余りは2、𝑏を5で割った余りは4だから、（1） 上記①より、𝑎 + 𝑏を5で割った余りは2 + 4 = 6を5で割った余りとひとしいので
𝑎 + 𝑏を5で割った余りは 1（2）上記②より、𝑎 − 𝑏を5で割った余りは2 − 4を5で割った余りに等しく、3（3）上記③より、𝑎𝑏を5で割った余りは2×4を5で割った余りに等しく、3

例題６（１）49

100

を6で割った余り（2）380

を10で割った余り（解答）（1）49を6で割った余りは1なので、上記④より、49
1を6で割った余りは

80

（2）3
80

3

８０

を6で割った余りに等しく、1

80

= (3

４

)

20

= 81

20

であり、81を10で割った余りは1であることから、20を10で割った余りは1 を10で割った余りに等しく、1

合同式【4】 𝑚：正の整数。2つの整数𝑎, 𝑏について𝑎 − 𝑏が𝑚の倍数であるとき、
𝑎と𝑏は𝑚を法として合同といい、𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚） と表す。
𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚） ⇔ 𝑎を𝑚で割った余りと𝑏を𝑚で割った余りが等しい。･･･☆
［1］𝑎 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)［2］𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)のとき、𝑏 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)［3］𝑎 ≡ 𝑏 , 𝑏 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) のとき、𝑎 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)◯合同式の性質 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑：整数
①𝑎 + 𝑏 ≡ 𝑐 + 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)

𝑚, 𝑘：正の整数②𝑎 − 𝑏 ≡ 𝑐 − 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑘𝑘③𝑎𝑏 ≡ 𝑐𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)④𝑎 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)⑤𝑎𝑐≡𝑏𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)のとき、𝑐と𝑚が互いに素ならば、𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)
例１8と15と57を7で割ることを考える。
8、15、57を7で割った余りはいずれも1なので、8 ≡ 15 ≡ 57 （𝑚𝑜𝑑 7）

例２4を法として13と合同な数を考える。
13 = 4×(− 1) + 17 = 4×1 + 9 = 4×2 + 5 = 4×3 + 1 = 4×4 − 3 = ･･･なので、13 ≡ 17 ≡ 9 ≡ 5 ≡ 1 ≡− 3 ≡ ･･･（𝑚𝑜𝑑 4)と表せる。←※

例３（⑤について）合同式の両辺は、法とした数と互いに素な数であれば割ることができる。
145≡232 (𝑚𝑜𝑑 3) のとき、3と29は互いに素な数なので、合同式の両辺を29で割ることができ、5≡8 (𝑚𝑜𝑑 3)
補足・一般に、余りによる分類をする際、整数全体を自然数で割った余りを考えるよりを利用する方が扱いやすい

も、合同式※合同式の定義より、𝑎 − 𝑏が𝑚の倍数であれば𝑎 ≡ 𝑏なので、13との差が4の倍数である 数は全て13と合同であるとみなせる⇒⇒余りを負の数によって表すことが可能になった！
⇒基本的に、合同式の中の数は絶対値が小さい数の方が扱いやすい！
（⑤の証明） 𝑎𝑐≡𝑏𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)のとき、𝑐と𝑚の最大公約数を𝑔とすると、
𝑐 = 𝑐'𝑔 , 𝑚 = 𝑚'𝑔 (𝑐’ , 𝑚'は互いに素)と表せる。
合同式の定義より、𝑎𝑐≡𝑏𝑐のとき、𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 = 𝑚𝑘 (𝑘: 整数）なので、(𝑎 − 𝑏)𝑐 = (𝑎 − 𝑏)𝑐'𝑔 = 𝑚'𝑔𝑘 両辺を𝑔で割って、(𝑎 − 𝑏)𝑐' = 𝑚'𝑘𝑐'と𝑚'は互いに素だから𝑎 − 𝑏は𝑚'で割り切れる。
よって、𝑎≡𝑏 （𝑚𝑜𝑑 𝑚') つまり、𝑎≡𝑏 （𝑚𝑜𝑑𝑚)𝑔

ここで、𝑐と𝑚が互いに素のとき、𝑔 = 1なので、𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)re例題１（解答）

整数𝑎, 𝑏について、𝑎を5で割ると2余り、𝑏を5で割ると4余る。このとき、(1)𝑎 + 𝑏 (2)𝑎 − 𝑏 (3)𝑎𝑏 の余りを求めよ。

条件より、𝑎≡2 , 𝑏≡4 (𝑚𝑜𝑑 5 )（1）𝑎 + 𝑏≡2 + 4≡6≡1 (𝑚𝑜𝑑 5)（𝑚𝑜𝑑 5)（2）𝑎 − 𝑏≡2 − 4≡ − 2≡3（3）𝑎𝑏≡2×4≡8≡3 (𝑚𝑜𝑑 5)

re例題４

3

𝑁 = 2𝑛+ 3𝑛

2+ 𝑛（𝑛: 整数）が6の倍数であることを証明せよ。

（解答）𝑁が6の倍数 ⇔ 𝑁が2の倍数かつ𝑁が3の倍数
2

𝑁 = 𝑛(2𝑛 ＋3𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
𝑛(𝑛 + 1)は2連続整数の積なので、𝑁は2の倍数すべての整数𝑛は、𝑛≡0 , 1 , 2 (𝑚𝑜𝑑 3)と表せる。
（ア）𝑛≡0 (𝑚𝑜𝑑 3)のとき
2

←ⅰ
←ⅱ

𝑁 = 𝑛(2𝑛 + 3𝑛 + 1)≡0 (𝑚𝑜𝑑 3)（イ）𝑛≡1 (𝑚𝑜𝑑 3)のとき
2

𝑁 = 𝑛(2𝑛 + 3𝑛 + 1)≡1(2 + 3 + 1)≡6≡0 (𝑚𝑜𝑑 3)（ウ）𝑛≡2（𝑚𝑜𝑑 3)のとき
2

𝑁＝𝑛(2𝑛 + 3𝑛 + 1)≡2(8 + 6 + 1)≡30≡0 (𝑚𝑜𝑑 3)（ア）〜（ウ）より、いずれの場合も𝑁は3の倍数
よって、𝑁は6の倍数
補足
ⅰ･･･𝑛 = 3𝑘 , 3𝑘 + 1 , 3𝑘 + 2に分類する代わりに、𝑚𝑜𝑑 3を利用している
ⅱ･･･与式の𝑛を𝑛≡0と置き換えている。このように、合同式中では合同な数どうしを置きとができるが、指数などと置き換えることはできない

re例題６

（解答）

（１）49

を6で割った余り

100

（１）49

≡1

（別解）49
（２）3

100

80

100

を10で割った余り≡1 （𝑚𝑜𝑑 6）
2

2

80

100

= (7 )

≡(3 )

（2）3

40

≡9

100

40

=7

200

≡(− 1)

≡1

40

≡1

200

≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 6)(𝑚𝑜𝑑 10)

このように、整数を余りで分類する際に合同式を利用すると、比較的簡潔に解答できる。

換えるこ

例題７

2015

の1の位を求めよ。

37

←ⅰ
←ⅱ

（解答） 以下、𝑚𝑜𝑑 10 で考える。
37≡ − 3なので、
37

2015

≡（ − 3)

≡9

2015

2

≡{(− 3) }

1007

1007

×(− 3)

1007

×(− 3)≡(− 1)

×(− 3)≡ − 3≡7

補足
ⅰ･･･ある数の1の位の数は、その数を10で割った余りに等しいので𝑚𝑜𝑑 10を利用する
同様に、ある数の下2桁を求めるときは、𝑚𝑜𝑑 100を考えればよい
ⅱ･･･37≡7と表すより、絶対値の小さい数の方が扱いやすいので、37 ≡− 3と表す

例題８2𝑛は整数とするとき、𝑛 を3で割った余りを求めよ。

（解答）以下𝑚𝑜𝑑 3で考えると、すべての整数𝑛は𝑛 ≡ 0, 𝑛 ≡ 1, 𝑛 ≡ 2と表せる。 ←ⅰ（ⅰ）𝑛 ≡ 0のとき 𝑛2（ⅱ）𝑛 ≡ 1のとき 𝑛2（ⅲ）𝑛 ≡ 2のとき 𝑛

2

≡0
≡1
≡2

2

≡4≡1

2

ⅰ〜ⅲより、𝑛 を3で割った余りは、0または1。
補足
ⅰ･･･ 3で割った余りを考えるので、𝑚𝑜𝑑 3で分類する★ 同様に、平方数を3,4,8などで割った余りにも規則性がある。
1

2

3

4

5

6

7

･･･

1

4

9

16

25

36

49

･･･

𝑚𝑜𝑑 2

1

0

1

0

1

0

1

･･･

𝑚𝑜𝑑 3

1

1

0

1

1

0

1

･･･

𝑚𝑜𝑑 4

1

0

1

0

1

0

1

･･･

𝑚𝑜𝑑 5

1

4

4

1

0

1

4

･･･

𝑚𝑜𝑑 8

1

4

1

0

1

4

1

･･･

𝑛
𝑛

2

例題９ 18𝑛3

𝑛−1+ 2 ・（ − 21）

は13で割り切れることを示せ。（𝑛：自然数）（解答） 以下、𝑚𝑜𝑑 13 で考える
←ⅰ18 ≡ 13 + 5 ≡ 5 , − 21 ≡− 13・2 + 5 ≡ 5 だから、（与式） ≡ 5𝑛+ 2 ・5

3

よって、18

𝑛

3

𝑛−1

≡5

+ 2 ・（ − 21）

𝑛−1

3

𝑛−1

・13 ≡ 0(5 + 2 )≡ 5

←ⅱ

𝑛−1

は13で割り切れる補足
ⅰ･･･13で割り切れるとき、（与式）が13で割った余りが0となる⇒自然数𝑛を整数𝑘を用いて13で割った余りで分類する（13𝑘 , 13𝑘 ± 1 , 13𝑘 ± 2 , ･･･）と場合分けの数が多く、計算が面倒⇒𝑚𝑜𝑑 13 において（与式）≡ 0となれば13で割り切れる⇒𝑚𝑜𝑑 13 で考えてみる
ⅱ･･･合同式中の数を置き換えている

演習１

2000

を12で割った余りを求めよ。

2000（解答）以下𝑚𝑜𝑑 12で考える
2000 = 12 × 166 + 8 = 12 × 167 − 4だから、2000≡− 4 と表せるので
2000

2000
ここで、

4

≡ (− 4)𝑛

4

𝑚𝑜𝑑 12
表より、4
2000

2000

≡ 16

1

4

2

1000

≡4

1000

4

≡ 16

500

3

←ⅱ

≡ ･･･

4

4

←ⅰ

4

5

･･･

4

16

64

256

1024

･･･

4

4

4

4

4

･･･

𝑛

は 𝑚𝑜𝑑 12 で 4 , 4 , 4 , 4 ,･･･と繰り返されるので、
1000

2000
≡4
≡4
よって、求める余りは 4
補足
ⅰ･･･合同式中では絶対値の小さい数のほうが扱いやすい
ⅱ･･･指数部分が小さくならず計算が面倒𝑛⇒4 が 𝑛の値によって𝑚𝑜𝑑 12 でどのように変化するかを𝑛に具体的な数を代入しし、周期性などがないかを探すて実験演習2 どの2つも互いに素である自然数𝑎 , 𝑏 , 𝑐について、𝑎(1) 𝑐は奇数であることを示せ(2) 𝑎 , 𝑏のどちらか一方は3の倍数であることを示せ

2

+𝑏

2

2

= 𝑐 を満たすとき（解答）（１）𝑐は偶数であると仮定すると、𝑐2

よって、 𝑐
また、𝑎

2

よって、𝑎

≡ 4𝑐'

2

+𝑏

2

←ⅰ

= 2𝑐'と表せる←ⅱ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 4)≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4), 𝑏2

2

2≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4)≡ 1 + 1 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 4)2

これは、 𝑐 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 4)に矛盾
よって、仮定が誤りであり、𝑐は奇数である←ⅲ（２）𝑎 , 𝑏のどちらも3の倍数でないと仮定すると、
2𝑎≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3) , 𝑏

よって、𝑎

2

2

←ⅳ

≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3)2←ⅴ+ 𝑏 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 3)(1)より、𝑐は奇数なので、𝑐

2

≡1

2

2

2

これは自然数𝑎 , 𝑏 , 𝑐が𝑎 + 𝑏 = 𝑐 を満たさず、矛盾
よって、仮定が誤りであり、𝑎 , 𝑏のどちらか一方は3の倍数である

補足
ⅰ･･･自然数𝑎 , 𝑏 , 𝑐は互いに素なので、𝑎 , 𝑏 , 𝑐のうち偶数は多くとも１つ
2

𝑎

+𝑏

2

2

= 𝑐 は① （左辺）＝（偶数）＋（偶数）、 （右辺）＝（偶数）②（左辺）＝ （奇数）＋（奇数）、（右辺）＝（偶数）③ （左辺）＝（偶数）＋（奇数）、（右辺）＝（奇数）の3種類
2（右辺）＝𝑐 が奇数となるのは③の場合⇒背理法を利用し、𝑐は偶数であると仮定して矛盾を導く
ⅱ･･･平方数は𝑚𝑜𝑑 4で0または1にしかならないことを利用する
ⅲ･･･「〜のどちらか一方」→「〜のどちらも〜ない」と仮定し、背理法を利用する
ⅳ･･･平方数は𝑚𝑜𝑑 3 で0または1にしかならないことを利用する
ⅴ･･･3で割って2余る平方数は存在しない

1

2

3

4

5

･･･

1

4

9

16

25

･･･

𝑚𝑜𝑑 3

1

1

0

1

1

･･･

𝑚𝑜𝑑 4

1

0

1

0

1

･･･

𝑛
𝑛

2

２

演習３ 2以上の自然数𝑛に対し、𝑛と𝑛𝑛 = 3に限ることを示せ(実験) 𝑛が素数となることを利用し、𝑛と𝑛法則を見つける+ 2がともに素数となるのは２+ 2の𝑛に具体的な数を代入して実験し、
←ⅰ

𝑛

2

3

5

7

11

13

17

･･･

2

6

11

17

51

123

171

291

･･･

⇒⇒ 𝑛 = 3のとき以外は𝑛 + 2が3の倍数になっていると予想を立てる。
⇒⇒𝑛を3で割った余りで分類してみる

←ⅱ

𝑛

+2

２

２

（解答）(Ⅰ)𝑛 = 2のとき、𝑛
𝑛と𝑛

２

2

+2=2

+ 2 = 6となり、+ 2がともに素数とならない
２(Ⅱ)𝑛 = 3のとき、𝑛

+2=3

2

+ 2 = 11となり、

２

𝑛と𝑛 + 2がともに素数となる(Ⅲ)𝑛 ≥ 4のとき、𝑛は素数となる必要があるので、𝑛 ≡± 1 (𝑚𝑜𝑑 3)と表せる ←ⅲ(ⅰ)𝑛 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3)のとき
２

2

𝑛 + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 3)(ⅱ)𝑛 ≡− 1 (𝑚𝑜𝑑 3)のとき
𝑛２+ 2≡ (− 1)2+ 2 ≡ 3 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 3)(ⅰ)(ⅱ)より、𝑛 ≥ 4のとき、𝑛
𝑛と𝑛

２

２

+ 2は常に3の倍数となるので、+ 2がともに素数とならない(Ⅰ)〜(Ⅲ)より、𝑛と𝑛２+ 2がともに素数となるのは、𝑛 = 3のときに限る

補足
２ⅰ･･･𝑛 + 2を積の形にできず、素数となる場合を考えにくい⇒具体的な数を代入して実験
２

ⅱ･･･𝑛 + 2が3の倍数であることを示したいので、3で割った余りで分類する
ⅲ･･･𝑛 ≡ 0のとき、𝑛は3の倍数となるので、𝑛 = 3のとき以外は𝑛は素数とならない不定方程式【５】①範囲を絞って調べる範囲を狭くする②積＝定数の形に変形③その他（一次不定方程式など）

補足①文字の条件（正の整数なら1以上、３桁の数なら100≤ 𝑁 ≤ 999など）や置き換利用して、調べる文字の範囲をできるだけ狭くすることを考える②因数分解などで与式を積の形に変形し、（積）＝（定数）を満たすものを調べる
このとき、文字の範囲を絞って調べる範囲を狭くすることも考える①についての例
例題１０𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 10を満たす自然数𝑥, 𝑦, 𝑧を求めよ。

（解答）与式より、4𝑧 = 10 − (𝑥 + 2𝑦)←ⅰ𝑥, 𝑦は自然数だから、𝑥 ≥ 1, 𝑦 ≥ 1なので、𝑥 + 2𝑦 ≥ 3←ⅱ
7

よって、4𝑧 ≤ 7となり、1 ≤ 𝑧 ≤ 4←ⅲ

𝑧は自然数なので、𝑧 = 1
このとき、𝑥 + 2𝑦 + 4 = 10となり、𝑥 + 2𝑦 = 6
2𝑦 = 6 − 𝑥←ⅳ𝑥 ≥ 1より、2𝑦 ≤ 5
5

よって、1 ≤ 𝑦 ≤ 2
𝑦は自然数なので、𝑦 = 1, 2
𝑦 = 1のとき、𝑥 = 10 − 2 − 4 = 4
𝑦 = 2のとき、𝑥 = 10 − 4 − 4 = 2(𝑥, 𝑦, 𝑧) =(4, 1, 1) (2, 2, 1)
補足
ⅰ･･･ 𝑥 = , 𝑦 = , 𝑧 = の形に変形したとき、最も範囲を狭くできる文字は𝑧であるので𝑧について整理してみる
ⅱ･･･𝑥, 𝑦は自然数であることを利用して範囲を絞る
ⅲ･･･条件から、𝑧の範囲を絞る
ⅳ･･･𝑧の次に係数の大きい𝑦の範囲を絞る

えなどを

①、②についての例
例題１１

1
𝑥

1

1

+ 𝑦 + 𝑧 = 1、0 < 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑧を満たす自然数(𝑥, 𝑦, 𝑧)の組を求めよ。
1

1

1（解答） 0 < 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑧だから、 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧
1

1

1

1

1

1

3

←ⅰ

よって、1 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≦ 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
0 < 𝑥 ≦ 3となり、 𝑥 = 1, 2, 3
1𝑦（ⅰ）𝑥 = 1のとき、
11+ 𝑧 = 0となるため、不適。
11（ⅱ）𝑥 = 2のとき、 𝑦 + 𝑧 = 2
両辺に2𝑦𝑧をかけると、2𝑧 + 2𝑦 = 𝑦𝑧
𝑦𝑧 − 2𝑥 − 2𝑦 = 0となり、（𝑦 − 2）（𝑧 − 2） = 4
0 < 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑧だから、0 ≦ 𝑦 − 2 ≦ 𝑧 − 2
↓ⅳ

←ⅱ
←ⅲ

𝑦−2

1

2

4

-1

-2

-4

𝑧−2

4

2

1

-4

-2

-1

◯

◯

×

×

×

×

(𝑦 − 2 , 𝑧 − 2) = (1 , 4)(2 , 2)
よって、 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = （2 , 3 , 6)(2 , 4 , 4)
112（ⅲ）𝑥 = 3のとき、 𝑦 + 𝑧 = 3333

両辺に 2 𝑦𝑧をかけると、𝑦𝑧 − 2 𝑦 − 2 𝑧 = 0339(𝑦 − 2 )(𝑧 − 2 ) = 4
両辺に4をかけて、(2𝑦 − 3)(2𝑧 − 3) = 9
3 ≦ 2𝑦 − 3 ≦ 2𝑧 − 3だから、（2𝑦 − 3 , 2𝑧 − 3） = (3 , 3)
よって、(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = (3 , 3 , 3)
ⅰ〜ⅲより、(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)＝（2 , 3 , 6）(2 , 4 , 4)(3 , 3 , 3)

←ⅴ

補足
1

1

1

ⅰ･･･ 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 を利用して与式の𝑦 , 𝑧を最も小さい𝑥に置き換えることで、上から𝑥の範る
ⅱ･･･因数分解して(積)＝(定数)の形にする。この場合、𝑦𝑧の係数が1になるよう、(𝑦ー◯)(𝑧ー□)＝（定数）となるよう無理やり因数分解し◯や□、定数を求める
ⅲ･･･このとき、𝑥=2だから、０＜2≦𝑦≦𝑧 よって、0≦𝑦ー2≦𝑧ー2ⅳ･･･(yー2)(zー2)=4を満たす𝑦 , 𝑧を書き出して、不等式などの条件に適するものを探す
ⅴ･･･このとき、𝑥=3だから、０＜3≦𝑦≦𝑧 よって、3≦2𝑦ー3≦2𝑧ー3

囲を絞ユークリッドの互除法･･･因数分解に頼らない最大公約数の求め方【６】 2つの自然数𝑎, 𝑏について、𝑎を𝑏で割ったときの商を𝑞, 余りを𝑟とすると
𝑎と𝑏の最大公約数は𝑏と𝑟の最大公約数に等しい
例１ 371と1219の最大公約数を求める。
1219=371×3+106 （1219と371の最大公約数）＝（371と106の最大公約数）
371=106×3+53＝（106と53の最大公約数）
106=53×2+0
よって、371と1219の最大公約数は53（証明）条件より、𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟･･･①
移行して、𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞･･･②
𝑎と𝑏の最大公約数を𝑚, 𝑏と𝑟の最大公約数を𝑛とする。
𝑚は𝑎と𝑏の公約数だから、②より、𝑚は𝑟の約数。よって、𝑚は𝑏と𝑟の公約数。
𝑏と𝑟の最大公約数は𝑛だから、𝑚 ≤ 𝑛･･･③
𝑛は𝑏と𝑟の公約数だから、①より𝑛は𝑎の約数。よって、𝑛は𝑏と𝑎の公約数。
一方、𝑎と𝑏の最大公約数は𝑚だから、𝑛 ≤ 𝑚･･･④
𝑚=𝑛③、④より、
例２ 177と52の最大公約数を177と52を使って表す
互除法を用いて、
177=52・3+21
移項 21=177−52・3 ･･･①
52=21・2+10
移項 10=52−21・2 ･･･②
21=10・2+1
移項 1=21−10・2 ･･･③
10=1・10+0
よって最大公約数は1
ここで、③に①,②を代入して、 1＝21−(52−21・2)・2③←②＝21・5+52・(−2)＝（177−52・3)・5+52・(−2)③←①＝177・5+52・(−17)
よって 1＝177・5+52・(−17)
このように、互除法を用いて、2つの整数𝑎, 𝑏の最大公約数𝑔を任意の整数𝑝, 𝑞を用いて
𝑔 = 𝑎𝑝＋𝑏𝑞 と表せる。
特に、𝑎, 𝑏が互いに素であるとき、最大公約数𝑔は1なので、𝑎𝑝 + 𝑏𝑞 = 1 を満たす整数𝑝, 𝑞が存在する。
ここで、両辺に整数𝑐をかけると、𝑎(𝑐𝑝) + 𝑏(𝑐𝑞) = 𝑐 が成り立つ。

一次不定方程式

【７】 𝑎, 𝑏, 𝑐：整数の定数、𝑎 ≠ 0 , 𝑏 ≠ 0とする。𝑥, 𝑦についての1次方程式
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 を成り立たせる整数𝑥, 𝑦の組をこの方程式の整数解という★

2つの整数𝑎, 𝑏が互いに素であるならば、どんな𝑐についても
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐を満たす整数𝑥 , 𝑦が存在する。
（★より、𝑎, 𝑏が互いに素ならばこの方程式を成り立たせる整数𝑥, 𝑦が存在する。）

例題１２ 方程式3𝑥 + 5𝑦 = 43･･･①を満たす整数x,yを全て求めよ。
（解答） (𝑥, 𝑦) = (1, 8)はこの方程式を満たすので、3・1 + 5・8 = 43･･･② ←ⅰ①ー②より、 3(𝑥 − 1) + 5(𝑦 − 8) = 03(𝑥 − 1)＝ − 5(𝑦 − 8)･･･③
3と５は互いに素だから、 𝑥 − 1 は５の倍数←ⅱ
よって、 𝑥 − 1 = 5𝑘 (𝑘: 整数）とおくと、𝑥 = 5𝑘 + 1←ⅲ③に代入して、 15𝑘 =− 5(𝑦 − 8)
よって、 𝑦 − 8 =− 3𝑘 となり、 𝑦 =− 3𝑘 + 8①を満たす𝑥, 𝑦は、𝑥 = 5𝑘 + 1 , 𝑦 =− 3𝑘 + 8 (𝑘: 整数）←ⅳ

補足ⅰ･･･一次不定方程式を解くとき、まずは1組の解（特殊解）を見つける。元の式から特殊解を代入した式を引き、右辺を0にすることで◯𝑥 = △𝑦の形をつくり、◯と△が互いに素で あれば、𝑥は△の倍数、𝑦は◯の倍数であることを利用する
ⅱ･･･③より、左辺は3の倍数×整数、右辺は5の倍数×整数 であり、等式が成立するには
左辺の整数部分が5の倍数である必要がある
ⅲ･･･𝑥 − 1が5の倍数となる𝑥は無数に存在するので、整数𝑘を用いて一般的に表す
ⅳ･･･使用した特殊解によって異なるが、解全体としては同じ

例題１３ 方程式177𝑥 + 52𝑦 = 2･･･①を満たす整数𝑥, 𝑦 の組を求めよ。 ←ⅰ（解答）①の係数177 , 52について、互除法を用いて、177=52・3+21より、 21=177−52・3 ･･･②
52=21・2+10より、 10=52−21・2 ･･･③
21=10・2+1より、 1=21−10・2 ･･･④④に③,②を代入して、 1＝21−(52−21・2)・2＝21・5+52・(−2)＝（177−52・3)・5+52・(−2)＝177・5+52・(−17)
よって 、
177・5+52・(−17)＝1
両辺に2をかけて、 177・10+52・(−34)=2･･･⑤←ⅱ①−⑤より、 177(𝑥 − 10) + 52(𝑦 + 34) = 0
よって、
177(𝑥 − 10)＝ − 52(𝑦 + 34)･･･⑥
177と52は互いに素なので、𝑥 − 10は52の倍数
𝑥 − 10 = 52𝑘(𝑘: 整数）とすると、𝑥 = 52𝑘 + 10⑥に代入すると、177・52𝑘=−52(𝑦 + 34)
𝑦 + 34 =− 177𝑘となり、𝑦 =− 177𝑘 − 34①を満たす整数𝑥, 𝑦は、𝑥 = 52𝑘 + 10 , 𝑦 =− 177𝑘 − 34
補足
ⅰ･･･特殊解を見つけることが難しい場合、互除法を用いて最大公約数を表す
ⅱ･･･右辺の数字を与式と揃えるため、両辺に2をかける

演習４ 11で割ると2余り、7で割ると6余るような3桁の自然数Nの最大値、最小値は？
（解答）
𝑁 = 11𝑝 + 2 , 𝑁 = 7𝑞 + 6より、11𝑝 + 2 = 7𝑞 + 6←ⅰ
よって、11𝑝 − 7𝑞 = 4 ･･･① となり、一次不定方程式である
𝑝 = 1 , 𝑞 = 1のとき、①が成り立つので、11・1 − ７・1 = 4 ･･･②①−②より、11(𝑝 − 1) − 7(𝑞 − 1) = 011(𝑝 − 1)＝7(𝑞 − 1)となり、7と11は互いに素なので、𝑝 − 1 = 7𝑘(𝑘: 整数)と表せる
よって、𝑝 = 7𝑘 + 1
このとき、𝑁 = 11(7𝑘 + 1) + 2 = 77𝑘 + 13
𝑁は3桁だから、100 ≤ 77𝑘 + 13 ≤ 999←ⅱ
８７

よって、 ７７ ≤ 𝑘 ≤986
77= 12. 8･･･

𝑘は整数なので、𝑘 = 2, 3, ・・・, 12

𝑘 = 1のとき、𝑁が最小となり、𝑁 = 77・2＋13 = 167
𝑘 = 12のとき、𝑁が最大となり、𝑁 = 77・12 + 13 = 937
補足
ⅰ･･･条件を式に表す
ⅱ･･･𝑁は3桁であることを利用して、𝑘の範囲を絞る

演習５ 𝑚を正の整数とする。

(1)70𝑥 + 130𝑦 = 𝑚が整数解を持つとき、𝑚の最小値を求めよ。
(2) (1)のすべての整数解を求めよ。
(3)𝑥 , 𝑦についての１次方程式70𝑥 + 130𝑦 = 𝑚を満たす𝑥 , 𝑦がともに正の整数３つ持つような𝑚の最小値を求めよ。

解を

(1)

10(7𝑥 + 13𝑦) = 𝑚 より、左辺が10の倍数なので、右辺も10の倍数
よって、𝑚 = 10𝑚'(𝑚': 正の整数)と表せる。
このとき、7𝑥 + 13𝑦 = 𝑚' ･･･①
𝑥と𝑦の係数が互いに素なので、どのような𝑚'についても、この一次不定方程式を成整数𝑥 , 𝑦が存在する。
←ⅰ𝑚が最小となる𝑚'は、𝑚' = 1
このとき、𝑚 = 10

り立たせる(2) (1)より、70𝑥 + 130𝑦 =10
両辺を10で割って 7𝑥 + 13𝑦 = 1･･･②(𝑥 , 𝑦) = (2 , − 1)のとき、②が成り立つので、7・2 + 13・(− 1) = 1･･･③②−③より、7(𝑥 − 2) + 13(𝑦 + 1) = 07(𝑥 − 2) =− 13(𝑦 + 1)となり、7と13は互いに素なので、
𝑥 − 2 = 13𝑘 (𝑘: 整数)と表せる
よって、𝑥 = 13𝑘 + 2 , 𝑦 =− 7𝑘 − 1 (𝑘: 整数）(3)③×𝑚'より、7・2𝑚' + 13・(− 𝑚') = 𝑚'･･･④①−④より、 7(𝑥 − 2𝑚') + 13(𝑦 + 𝑚') = 07(𝑥 − 2𝑚') =− 13(𝑦 + 𝑚')
7と13は互いに素だから、𝑥 , 𝑦は整数𝑙を用いて、←ⅱ

𝑥 = 13𝑙 + 2𝑚' , 𝑦 =− 7𝑙 − 𝑚'と表せる
𝑥 , 𝑦は正の整数なので、𝑥 = 13𝑙 + 2𝑚' ≥ 1 , 𝑦 =− 7𝑙 − 𝑚' ≥ 1

←ⅲ

1−2𝑚'
−1−𝑚'
𝑙について考えると、 13 ≤ 𝑙 , 𝑙 ≤ 7
1−2𝑚'
−1−𝑚'
≤𝑙≤ 7
よって、
13
1−2𝑚'
−1−𝑚'
よって、𝑙の最小値𝑙' = 13
, 𝑙の最大値𝑙" = 7

𝑥 , 𝑦がともに正の整数解を３つ持つので、このとき、2 ≤ 𝑙" − 𝑙' < 3𝑙" − 𝑙'＝13(−1−𝑚')−7(1−2𝑚')
𝑚'−20
= 91
91

よって、2 ≤

𝑚'−20
91

←☆

なので、

< 3 つまり、202 ≤ 𝑚' < 293𝑚が最小となるのは、𝑚'が最小 つまり、𝑚'＝202のとき
このとき、𝑚 = 10𝑚' = 10・202 = 2020

補足
ⅰ･･･【６】★を参照
ⅱ･･･右辺に𝑚'をかけ①ー④をして右辺を0にすることで◯𝑥 = △𝑦の形をつくりにかかるⅲ･･･𝑥 , 𝑦が正の整数であることをりようして𝑚'の範囲を絞る

Ⅲ 番外編
ⅰフェルマーの小定理
ⅱ鳩ノ巣原理番外編についてこの中で扱う内容は、｢入試問題しか勝たん！計算問題しか勝たん！｣という人には面白いものではな
いかもしれません。絶対に必要という知識ではなく、｢ホ~こんな考え方もあるんやなぁ｣ぐらいの気持ち
でいい気がします。その代わり1から100まで丁寧に全てを載せているわけではないので、実際に手を動かして、考えながら、最後まで見てみてね。

ⅰフェルマーの小定理
この定理を使って問題を解いていくというより、この定理を背景とした問題の方がよく出題されています。この定理の証明の中では、整数問題における重要な考え方や、性質が数多く含まれる上、この定理が背景問題となったときには、一気に点数を獲得できるため、知って損なことはほぼないです。

ⅱ 鳩ノ巣原理
この話はほんとにおまけみたいなものです。じっくり考えることが好きな人や、｢計算！計算！計算こそが正義！愛だ！｣というのが苦手なひとには面白い話題であると思います。

ⅰ フェルマーの小定理「𝑝：素数 𝑎：𝑝と互いに素の整数𝑎𝑝−1≡1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)」

今回この定理を証明する方法を二つ紹介！！
𝑝

証明する際は「𝑎 ≡𝑎（𝑚𝑜𝑑 𝑝）」を示す｣(𝑎と𝑝は互いに素の整数より両辺を𝑎で割れるため、元の式と同値)
POINT 互いに素な二数の最大公約数は1,-1である(この性質は息を吸うように使うので完璧に理解しておく方がいいです。)
証明① 二項定理と数学的帰納法を用いる。
POINT 文字の場合分け(今回𝑎は𝑝と互いに素の整数というだけで符号が不明のため場合分けが必要
しかし、基本的に𝑎 > 0としてる場合が多いので流し見でいいです。)
𝑎 < 0のとき
𝑎 =− 𝑏とすると
𝑎𝑝−1= (− 𝑏)𝑝−1= (− 1)

𝑝−1

𝑝−1

×𝑏

POINT −を含む累乗は肩の数に注目(偶奇で − 1か1が分かるため気をつける癖をつけておくほうがいいです。)
POINT 素数の中で偶数なのは2だけ(当たり前ですが地味に使うので一応書いときました)
𝑝 ≠ 2のとき 𝑝は素数より 𝑝 − 1は偶数になる (− 1)2−1

𝑝 = 2のとき (− 1)
𝑝−1

=− 1

𝑝−1

×𝑏

𝑝−1

= 𝑏

𝑝−1

− 1≡1(𝑚𝑜𝑑 2) よって 𝑎 = (− 1)×𝑏 = 𝑏(𝑚𝑜𝑑 2)

𝑝−1

𝑝−1

𝑝−1

よって 𝑎
= (− 𝑏)= (− 1)×𝑏≡𝑏
このことより、𝑎 < 0のときでも、𝑎 > 0に帰着できる

𝑝−1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)𝑎 = 0のとき𝑝𝑝𝑎 ＝0 より明らかに𝑎 ≡𝑎（𝑚𝑜𝑑 𝑝）を満たす
𝑎 > 0のとき
POINT 自然数に関する証明は数学的帰納方法を使うとうまくいく場合がある[1] 𝑎 = 1のとき 𝑎𝑝= 1 ≡1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)𝑝[2] 𝑎 = 𝑘(𝑘 = 1, 2, …)のとき 𝑘 ≡𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑝)と仮定する
𝑎 = 𝑘 + 1のとき
(𝑘 + 1)𝑝𝑝

2= 𝑘 + 𝑝𝐶1𝑘 + 𝑝𝐶2𝑘 + ⋯ + 𝑝𝐶𝑝 − 1 𝑘 + 1
2

POINT 𝑝𝐶1𝑘 + 𝑝𝐶2𝑘 + ⋯ + 𝑝𝐶𝑝ｰ1 𝑘は𝑝の倍数（＊）(重要な性質なので後に証明します)𝑝≡ 𝑘 + 1（𝑚𝑜𝑑 𝑝）𝑝

また、仮定の 𝑎 = 𝑘(𝑘 = 1, 2, …)のとき 𝑘 ≡𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑝)より
= 𝑘 + 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)
このことより、𝑎 = 𝑘 + 1のときでも成立する

よって数学的帰納法より、すべての自然数𝑎において「𝑎このことより、 「𝑝：素数 𝑎：𝑝と互いに素の整数𝑎𝑝−1≡𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝)」が成立

𝑝−1≡1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)」が示された(＊)の証明①𝑝𝐶𝑟(𝑝 素数 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 1 )の式変形から考える
POINT 知らないと直接的な変形は難しい(後ほど意味を考えて変形する方法を紹介)𝑝!
𝑝𝐶𝑟𝑟!(𝑃−𝑟)!
𝑝(𝑝−1)!
= ×𝑟 (𝑟−1)!{(𝑝−1)−(𝑟−1)!
𝑝= ×𝑝ｰ1𝐶𝑟ｰ1𝑟𝑟 ≠ 0より 𝑟×𝑝𝐶𝑟 = 𝑝×𝑝ｰ1𝐶𝑟ｰ1
𝑝𝐶𝑟 =

また、

1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 1 𝑝 素数 より 𝑟と𝑝は互いに素である

POINT 𝑎と𝑝は互いに素で、𝑎×𝑏が𝑝の倍数ならば、𝑏が𝑝の倍数である(この性質も息を吸うように使うので完璧に理解しておく方がいいです。)
よって𝑝𝐶𝑟(𝑝 素数 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 1)は𝑝の倍数である。
②𝑝𝐶𝑟×𝑟 (𝑝 素数 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 1 )を別の視点で捉える
𝑝𝐶𝑟×𝑟は𝑝人の中から𝑟人選び、そのうちの一人を選ぶ選び方の総数である
これとは逆の選び方をする
つまり、先に一人を決めて𝑛 − 1人の中から𝑟 − 1を選ぶ選び方は 𝑝×𝑝 − 1𝐶𝑟 − 1 となる逆の操作をするだけなので、求まる値は変わらない
よって 𝑟×𝑝𝐶𝑟 = 𝑝×𝑝 − 1𝐶𝑟 − 1が成立する (以下は①と同じ考え方)
POINT (この性質自体は𝑝 ≥ 2 𝑟 ≥ 1 で成立する。)
有名な二項係数の性質を下にまとめておきます
𝑝𝐶𝑟 = 𝑝𝐶𝑟 − 𝑛
𝑝𝐶𝑟 = 𝑝ｰ1𝐶𝑟 + 𝑛ｰ1𝐶𝑟ｰ1 (𝑝 ≥ 2 𝑟 ≥ 1)
𝑟×𝑝𝐶𝑟 = 𝑝×𝑝ｰ1𝐶𝑟ｰ1 (𝑝 ≥ 2 𝑟 ≥ 1)𝑝
𝑝𝐶0 + 𝑝𝐶1 + ⋯ + 𝑝𝐶𝑝 = 2(なぜこの式が成立するのか気になったら調べてみてね)③𝐶で表されるものは整数(※)であることを利用する{𝑝𝐶𝑟×𝑟 (𝑝 素数 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 1 )}POINT 𝐶で表されるものは整数になる。後ほど紹介
𝑝𝐶𝑟 =𝑝𝑃𝑟 𝑝×(𝑝−1)⋯×{(𝑝−𝑟)+1}=𝑟!
𝑟×(𝑟−1)⋯×1

ここで、𝑝 素数 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 1 より、𝑝と𝑟は互いに素POINT 互いに素な二数の最大公約数は1,-１である
よって𝑟! は𝑝で割り切れない
しかし、𝑝𝐶𝑟は整数
このことより、𝑟! は残りの(𝑝 − 1)⋯×{(𝑝 − 𝑟) + 1}で割り切れる
POINT 情報を式化する

(左辺が整数より右辺も整数になるのは当たり前ですが、以下の様な考え方を自力で思いつくのは難しいと思うので、知っておいて損はないと思います。)
この割ったときの商を𝑠(整数)とすると
𝑝𝐶𝑟 = 𝑝×𝑠 と表すことができるので、𝑝𝐶𝑟(𝑝 素数 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 1)は𝑝の倍数※この証明はルジャンドルの定理(𝑛! に含まれる素因数𝑝の個数を一般化した公式)とガウス記号の性質を用いて、分子と分母の素因数𝑝の数を比較することで、数式的に証明することが可能（証明が気になった人は調べてみてね）
しかし、𝑝𝐶𝑟は𝑝個のものの中から𝑛個選ぶ場合の数より整数であろう、ということは感覚的に分かります。

お疲れさまでした。証明①は終了です。証明そのものはそれほど長いものではなかったと思いますが、それに付随する性質なども証明するとなったらなかなか大変なものです。一方、証明②はある有名な定理を使うことでとても簡潔に証明することが可能です。

証明②「𝑛×1, 𝑛×2, ⋯𝑛×(𝑝 − 1)を𝑝で割った余りは全て異なる（𝑝 素数 𝑛と𝑝 互いに素）」(＊)
POINT 𝑛×1, 𝑛×2, ⋯𝑛×(𝑝 − 1)を𝑝で割った余りは全て異なる（𝑝 素数 𝑛と𝑝 互いに素）(暗記はしておかなくても証明すれば当たり前に感じると思います。
証明は後ほど。)
𝑛×2𝑛×3𝑛×⋯(𝑝 − 1)𝑛 ≡ 1×2×3×⋯(𝑝 − 1)（𝑚𝑜𝑑 𝑝）
POINT 情報を式化する(よくわからないことも式にすれば、理解できることがあるので心がけておくといいと思います。
今回,割った余りが全て異なるとありますが(𝑛と𝑝は互いに素)より
余りは0になることがないため、1, 2, 3, ⋯(𝑝 − 1)のどれかになります。)
𝑛𝑝−1

×(𝑝 − 1)! ≡ (𝑝− 1)! (𝑚𝑜𝑑 𝑝)∴ (𝑛𝑝は素数より(𝑝 − 1)! は𝑝の倍数でないので
𝑛𝑝−1− 1≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) ∴ 𝑛

𝑝−1

𝑝−1

− 1)(𝑝 − 1)! ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝)≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)（＊） ⇔ 「𝑛×1, 𝑛×2, 𝑛×3, ⋯𝑛×(𝑝 − 1)を𝑝で割ると余りの等しい組は存在しない」を証明
POINT ないことの証明は背理法を考えてみる(これもおそらく脳裏に焼き付いていると思いますが一応書きました)「𝑛×1, 𝑛×2, 𝑛×3, ⋯𝑛×(𝑝 − 1)を𝑝で割ると余りが等しい組が存在する」と仮定する
POINT 情報を式化する
割った余りが等しい組を、𝑛×𝑖, 𝑛×𝑗(1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑝 − 1)とする
𝑛×𝑖 ≡ 𝑛×𝑗(𝑚𝑜𝑑 𝑝) ∴𝑛(𝑗 − 𝑖) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝)
ここで、𝑛と𝑝は互いに素より (𝑗 − 𝑖) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝)
しかし、(1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑝 − 1)より 𝑗 − 𝑖の範囲は (0 < 𝑗 − 𝑖 ≤ 𝑝 − 2)となるため
𝑗 − 𝑖は𝑝の倍数とならない つまり 𝑗 − 𝑖 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)は矛盾する
よって仮定が偽のため、

「𝑛×1, 𝑛×2, 𝑛×3, ⋯𝑛×(𝑝 − 1)を𝑝で割ると余りの等しい組は存在しない」が示された

お疲れさまでした！これで証明②も終了です。個人的な感想ですが、一つの定理をとっても、全く異なる角度から証明できるのは本当にすごいですよね。
さて、話を戻しますが、せっかくここまで見てすぐに忘れてしまってはもったいないと思うので、この下にフェルマーの小定理に関する問題を載せておきます。
(解答の際にフェルマーの小定理を使わず、重要な性質は簡単にでも証明してください
また、解答は上記の証明内に全てあるので省略しますが、解くためのヒントは最後のページに載せておきます。)

問1 𝑝 を素数とする．
(1)自然数 𝑘 が 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1 を満たすとき， 𝑝𝐶𝑘 は 𝑝 で割り切れることを示せ．
た だし，𝑝𝐶𝑘 は 𝑝 個のものから 𝑘 個取った組合せの総数である.
(2)𝑛 を自然数とするとき，数学的帰納法を用いて，𝑛(3)𝑛 が 𝑝 の倍数でないとき，𝑛𝑝−1

𝑝− 𝑛 は 𝑝 で割り切れることを示せ．

− 1 は 𝑝 で割り切れることを示せ．

[’14 富山大]

問2 𝑝は 素数、𝑛と𝑝 は互いに素とする
𝑛×1, 𝑛×2, ⋯𝑛×(𝑝 − 1)を𝑝で割った余りは全て異なることを証明せよ.

以上でフェルマーの小定理に関してはおしまいです！！お疲れさまでした！！

ⅱ 鳩ノ巣原理（部屋割り論法）

𝑚匹の鳩を 𝑛 個の巣に入れるとき、𝑚 > 𝑛 であれば、少なくとも1個の巣には2匹以上の鳩が存在する
鳩ノ巣原理についての話をしていきましょう。今回は、数式的な性質を証明していくというものではな
く、何かを証明するときに使う論法のうちの一つを、実例を交えて紹介していくというものです。文字があるので、少しややこしく見えますが、この原理自体は、いたって当たり前のことです。
具体例を出してみます。
三羽の鳩がいて、彼らは巣を二つ持っています。
この三羽の鳩が巣に帰ったとき、多い方の巣には必ず何羽以上の鳩がいるでしょうか。
正解は二羽以上です！。(鳩と巣の絵を書いてみるとよく分かります)
噛み砕いて説明するならば、鳩の数より巣の数が少なければ、どこかの巣には必ず2羽以上の鳩が存在する。鳩ノ巣原理はこのことを表しています。
先に書いておきますが、この鳩ノ巣原理で重要なことは「鳩」｢巣｣をうまく設定することです。
例題1のように簡単な状況ならすぐに分かりますが、難しい状況になると「鳩」｢巣｣を探すのが問題を解く鍵になるので、どう設定すればよいのかかよ~く考えてください！
とまぁ、このように基本的にほぼほぼ計算は必要なく頭を使い、実験しながら、考えていく分野です。今
回は、六題用意しています。最後まで楽しんで見てくだい！！

例題1
裏面と表面を判別できるようなコインを3つ投げる。このとき、投げた後に同じ面のコインが存在するこ
とを示せ。

例題2
一辺が4mの正方形の部屋に、ヒトが5人いるとすると、ヒトとヒトとの距離が3m未満であることを示せ。

練習問題1
3×3の9マスの中に、1,2,3のどれかを書く。このとき、それぞれの縦、横、斜めの和のうち、一致するものが存在することを示せ。

練習問題2
xy平面上に互いに異なる5個の格子点(x座標,y座評どちらも整数となる点)を任意に選ぶと。その中に、2つの格子点を結ぶ線分の中点がまた格子点になるような2点が存在することを示せ。

発展問題１
6人いれば互いに知り合いの3人か互いに知り合いでない3人が必ず存在することを示せ。

発展問題２
二人以上いると知り合いの数が同じ二人が存在することを示せ。

以上になります！！解答は最後のページに書いておきますが、実際に手を動かしてわかってほしいので、簡潔にしてます。ぜひ、自分で考えてみてください
いかがだったでしょうか。面白いとおもった人は、文明の力を大いに使って、もっと調べてみてください。まだまだ難しい問題や面白い問題があります。

例えば、数学Aに載っている、「互いに素な自然a,bに対して、𝑎𝑥＋𝑏𝑦 = 1となる整数𝑥. 𝑦が存在する」
このことを鳩ノ巣原理を用いて証明したりしている人もいました。

ということで、これをもって番外編は終わりです。お疲れさまでした。2つのことを紹介するのにこれほ
どの時間がかかるとは、やっぱり教科書というものは偉大で素晴らしいものだと、実感しました。今回自分は、｢整数｣分野のおまけとして個人的にあるときに興味があった話題を選んだだけであって、他にもまだまだ面白い話題が、たくさんの分野の中に存在するので、普段の勉強の息抜きなどにみてほしい
なと思います。
教科書ということで単元別に紹介していましたが、入試問題は初見の問題であるので、どういう知識が必要でどのような考え方が必要なのかを自分で考えて解く必要があります。このことから、私が言いたいのは経験がものをいう、ということです。どの分野でもありうることですが、頭の中では理解しているつもりでも、実際に手を動かして解いてみると手が止まってしまうことはよくあることだと思います。なので、寝る間も惜しんで解く必要はないと思いますが、ある程度は問題を解き、解説を見てそのなかで整数問題を解く「勘」を養って行けば「整数王」に近づくはずだと思います。
最後までご覧いただきありがとうございました。

解答集
フェルマーの小定理 ヒント
問1 (1) 𝑝で割り切れるということは𝑝の倍数である。
1. 𝑝𝐶𝑟を𝑝ｰ1𝐶𝑟ｰ1 の形に変形 2. 𝑝𝐶𝑟が整数であることを利用

(2) (1)の結果を利用
(3) 𝑛

𝑝−1

− 1の形だけから導くのは難しいので、(2)の形を利用する

問2 全て異なることを、証明しやすい形に言い換えていく

鳩ノ巣原理
例題1
裏面と表面を判別できるようなコインを3つ投げる。このとき、投げた後に同じ面のコインが存在することを示せ。
コインの判別方法は裏面か表面の2通り存在。これを「巣」とする。コインの数は3つ存在、これを「鳩」とする。そして、鳩ノ巣原理を用いて考えると、少なくとも1個の巣に2匹以上の鳩が存在するため、投げた後に同じ面のコインが存在する。
例題2
一辺が4mの正方形の部屋に、人が5人いるとすると、人と人との距離が3m未満であることを示せ。
正方形の部屋を4つに分割すると、一辺が2mの正方形の部屋が4つできる。部屋数を「巣」、人数を「鳩」とすると鳩ノ巣原理より、必ずどこかの部屋に二人以上の人が存在する。また、その2人の最大距離を考えると、正方形の対角線になる。対角線の長さは2× 2＝2 2 よって2 2≒2×1. 14＝2．28＜3
このことにより、ヒトとヒトとの距離は3m未満である。

練習問題1
3×3の9マスの中に、1,2,3のどれかを書く。このとき、それぞれの縦、横、斜めの和のうち、一致するものが存在することを示せ。
縦,横,斜めの数は8個。3マスの中に1,2,3を、合計した和が被ることなく入る総数は7通り。よって、縦,横,斜めの数を「鳩」、3マスの中に1,2,3を入れる総数を「巣」とすると鳩ノ巣原理より、縦、横、斜めの和のうち、一致するものが存在する。

練習問題2xy平面上に互いに異なる5個の格子点(x座標,y座評どちらも整数となる点)を任意に選ぶと。その中に、2つの格子点を結ぶ線分の中点がまた格子点になるような2点が存在することを示せ。
2つの格子点(𝑥, 𝑋) (𝑦, 𝑌)の中点は（𝑥+𝑦 𝑋+𝑌, 2 ）。この点も格子点になるのは、
2

𝑥 + 𝑦, 𝑋 + 𝑌が偶数のとき。また2数の和が偶数となるのは偶数 + 偶数 か奇数 + 奇数。
格子点の取りうるの偶奇の場合の数は(偶数,偶数) (偶数,奇数) (奇数,偶数) (奇数,偶数)の4通り。本問は異なる5つの点を選ぶので、｢巣｣を偶奇の場合の数、｢鳩｣を異なる5つの点とすると、鳩ノ巣原理より、偶奇が一致する2点が必ず存在するため、中点も格子点になるような2点は存在する。

発展問題1
6人いれば互いに知り合いの3人か互いに知り合いでない3人が必ず存在することを示せ。
六人をそれぞれA,B,C,D,E,Fとする。3人で一組と考えると、どこか一組でも題意を満たす組が存在することを示したい。まずAを基準にして考える。(以降 知り合いを「有」知り合いでないことを「無」と略記す
る。)残りの五人を有か、無か、で二つに分けたとき必ず多い方は3人以上になる。(例えば、B,C,Eが有でD,Fは無なら有が3人以上、B.Dが有でC,E,Fが無なら無が3人以上いる。)このことは、鳩ノ巣原理より明らかである。有か無の二つの「巣」に5人の「鳩」を入れため、どちらか一方は3羽以上の鳩が存在する。この3人以上の方に注目する。(今回はAとB,E,Fが有でC,Dが無とする。)
このとき、BとE,BとF,EとF の3つのうちどれか一つでも有があれば、(AとB,AとE,AとFは有より)題意を満たす。また3つとも無だとしても、B,E,Fの3人が無よりこれもまた題意を満たす。もし5人の内3人以上

が無の場合は、これと逆のことを同様にすればよく、また基準を変えたとしても有か無かで分けたとき必ず片方は3人以上になるので、同様のことをすれば題意を満たす。よって、6人いれば互いに知り合いの3人か互いに知り合いでない3人が必ず存在することが示せた。
補足
今回は文字だけで解答を記しましたが、とても分かりづらいと思います。分かりやすく解くとしたら、まず6人を頂点とした、六角形を書く。頂点同士を知り合いならば赤色、知り合いでないならば黒色という風に区別をつける。そうすることで、3人が知り合いならば赤色の、3人が知り合いでないならば黒色の、三角形ができることを示す、という風にグラフとして捉えて問題を言い換えるとスッキリするはずです。また、この問題を一般化したもので、ラムゼーの定理が背景問題としてあります。気になる人は調べてみ
てね。

発展問題2
二人以上いると知り合いの数が同じ二人が存在することを示せ。
解答
まず、n人(𝑛 ≥ 2)いるとする。このとき、少なくとも必ず知り合いの数が同じ人がいることを示したい。
なにかの存在を証明するので鳩の巣原理で考えてみる。まず「鳩」は人数として、n人。｢鳩｣は知り合いの人数として、誰も知らない0人から自分を除いて全員を知っているn-1人までの、ｎ個。しかし、全員の知っている人数が異なる場合、知り合いの数が0人の人と、全員知っているn-1の人がいることになるが、誰も知らない人と全員知っている人が同時にいることはありえないので、全員の知っている人数が異なることはない。よって、鳩の巣原理より、必ずどこかの巣に2羽以上の鳩が存在するため、二人以上いると知り合いの数が同じ二人が存在することが示された。

６．参考文献ならびに参考Webページ
改訂版数学A 数研出版
詳説数学A 啓林館
数学A Advanced 東京書籍
Focus Gold数学Ⅰ＋A 4th Edition 啓林館
NEW ACTION LEGEND 数学Ⅰ＋A 東京書籍
全国大学入試問題正解 数学 国公立大編 2019年度受験用 旺文社
全国大学入試問題正解 数学 国公立大編 2020年度受験用 旺文社
全国大学入試問題正解 数学 国公立大編 2021年度受験用 旺文社