細孔における拡散方程式のモデル化
及びコンクリートの中性化への応用に関する研究
その 1 細孔における非定常拡散方程式と境界条件と拡散係数と第 1 近似解の関係の検討
214-017
1. はじめにコンクリートは，細孔径分布を有する多孔体である。

大上諒

濃度C[g/m3]
C1

コンクリートに Fick 拡散第 2 法則を適用するには，細孔における拡散現象を適切にモデル化する必要がある。

C2

しかし，細孔径分布を有する多孔体において，Fick 拡散第 2 法則の基本式となる非定常拡散方程式と境界条件と拡散係数と解の関係は，海外文献も含めて，古今の様々な文献や参考書等で十分に明示されているとはいえない。

x[m]

拡散領域
長さL[m]
濃度C1[g/m3]

断面積
濃度C2
A[m2]
[g/m3]
拡散係数D[m2/sec]

このため，細孔情報に基づくコンクリートの中性化に関する既往研究のうち，幾つかの優れた研究において，数

流入濃度C1[g/m3]
質量流量j [g/sec]

流出濃度C2[g/m3]

値解析手法に対して見過ごせない事項が散見される。
本研究は，細孔における非定常拡散方程式と境界条件

質量流束密度 J [g/(m2･sec)]と拡散係数と第 1 近似解の関係を検討整理し，コンクリートの中性化に関して優れた既往研究の間違いを正し，物理的意味のあるより合理的なコンクリートの中性化速度係数を検討する。本研究その 1 では，細孔における非定常拡散方程式と境界条件と拡散係数と第 1 近似解の関係の検討及びコンクリートの中性化に関して既往研究での数値解析手法の取り扱い注意事項を指摘する。
2.一般的な拡散方程式と境界条件と拡散係数と解の関係
図 1 に，一般的な Fick 拡散第 1 法則での質量流束密

図 1 一般的な Fick 拡散第 1 法則での質量流束密度式と境界条件と拡散係数の関係
濃度C[g/m3]は，x[m]とt[sec]の変数で，C=C(x,t)
断面拡散領域 積A
微小体積
A･Δx
流入
流出断面1断面2Δx度式と境界条件と拡散係数の関係を示す。物質が濃度 C1[g/m3]の大きな槽と，同じ物質が濃度 C2[g/m3]の大きな槽を，拡散領域となる断面積 A[m2]で長さ L[m]のパイプで接続する。拡散による物質の質量流量 j[g/sec]は，断面中性化での拡散方程式解

積 A と濃度勾配（拡散係数 D[m2/sec]）の積に比例する。
また，移動方向を位置 x の正方向とし，濃度 C を x の関数 C=C(x)とすると，移動先濃度 C2 として，C1 と C2 と Lで移動時の微小勾配 dC/dx が導出できる。この質量流量j[g/sec]を，単位断面積あたりの質量流量で表した質量流束密度 J[g/(m2･sec)]が Fick 拡散第 1 法則になる。
また，図 2 に，一般的な Fick 拡散第 2 法則での非定常拡散方程式と境界条件と拡散係数と第 1 近似解の関係を示す。濃度 C は，位置 x と時間 t によって連続的に変わる値 C=C(x,t)で，微小時間 dt あたりの微小濃度 dC となる速度勾配∂C/∂t に拡散領域微小体積 A･Δx を乗じた∂C/∂t･A･Δx に蓄積される。一方，流れ（移流）がないため，流入速度が流入断面 1 での質量流束密度 J1×断面積 A に，流出速度が流出断面 2 での質量流束密度J2×断面積 A になり，この差(J1－J2)･A が蓄積される。
従って，物質収支式が成立し，質量流束密度式を代入す
ると，Fick 拡散第 2 法則となる非定常拡散方程式と境界条件 C(x=0,t)＝C1 と拡散係数 D の関係が導出できる。

図 2 一般的な Fick 拡散第 2 法則での非定常拡散方程式と境界条件と拡散係数と第 1 近似解の関係
拡散係数 D と境界条件 C(x=0,t)=C1 での非定常拡散方程式による CO2 拡散に対するコンクリートの中性化深さ x の第 1 近似解は，アルカリ性の水酸化カルシウム量CH が中性の炭酸カルシウム量へ化学変化した場合，CHと D と境界条件 C1 から x=√(2･D･C1･t/CH)になる。
3.細孔での拡散方程式と境界条件と拡散係数と解の関係
図 3 に，細孔における Fick 第 1 法則での質量流束密度式と境界条件と拡散係数の関係を示す。拡散領域の主面断面積 A[m2]に対して，空隙率εと収斂度δを考える。
空隙率εは，空隙と拡散領域の体積比で，拡散領域主面面積 A に対する主面空隙面積 Aep の比ε=Aep/A になる。
収斂度δは，研究者で定義が異なるが，基本的には，拡散物質の通過断面の通りにくさを表す。空隙率εが規定されても，その細孔径分布の径が小さい領域にて，インクボトル形状のボトルネックによって，拡散物質が通過しやすい箇所や通過しにくい箇所が混在しており，その拡散影響を収斂度δの比例係数で定義づけている。ここでは，収斂度δを空隙率εに対する補正係数と考え，主面収斂空隙面積 Ae=δ･Aep=δ･ε･A とする。
従って，境界条件となる拡散領域内の細孔への流入濃度は，拡散領域外の単位体積あたり濃度 C1[g/m3]の物質存在量と同じ濃度δ･ε･C1[g/m3]になる。
また，拡散領域長さ L[m]に対して，屈曲度τを考える。
屈曲度τは，拡散領域長さ L に対する空隙長さ Le[m]の比τ=Le/L になる。このため，細孔中の拡散方向は xe=
τ･x で，拡散領域の細孔断面積 Aed は，主面収斂空隙断あるが，境界条件の空隙率εと De の関係が不明確である。
濃度C[g/m3]C1δ･ε･C1C2δ･ε･C2xL[m]濃度C1濃度δ･ε･C2
拡散面方向xe =τ･x
[g/m3][g/m3]
主面方向x
主面断面積A[m2]空隙率ε=Aep/A, 収斂度δ収斂空隙断面積Ae=δ･ε･A[m2]バルク拡散係数D0[m2/sec]

単位体積あたり濃度C1の物質存在量と同じ濃度δ･ε･C1が細孔に流入
Le[m]流入濃度δ･ε･C1[g/m3]
流出濃度δ･ε･C2[g/m3]
屈曲度τ=Le/L=xe/x 細孔断面積Aed=1/τ･Ae[m2]質量流量j [g/sec]

面積 Ae=δ･ε･A に対して 1/τ倍の Aed=Ae/τになる。

質量流束密度J [g/(m2･sec)]

それで，細孔中の拡散係数は，一般的な拡散領域の拡散係数と同じバルク拡散係数 D0 [m2/sec]のままとすると，細孔中の拡散領域内の質量流量 j[g/sec]と質量流束密度 J[g/(m2･sec)]は，拡散方向 xe に対して，J=j/Aed=－D0･

図 3 細孔における Fick 拡散第 1 法則での質量流束密度式と境界条件と拡散係数の関係
濃度C[g/m3]は，xe[m]とt[sec]の変数で，C=C(xe,t)d(δ･ε･C)/dxe で，境界条件δ･ε･C1[g/m3]になる。
図 4 に，細孔における Fick 拡散第 2 法則での非定常拡散方程式と境界条件と拡散係数と第 1 近似解の関係を示す。濃度 C は，拡散方向の位置 xe と時間 t によって連流入
断面1続的に変わる値 C=C(xe,t)で，∂(δ･ε･C)/∂t･Aed･Δxe

細孔中の拡散領域微小体積
Aed･ΔxeΔxe

細孔断面積Aed

流出
断面2の蓄積と(J1－J2)･Aed の蓄積が釣り合い，物質収支式が成立する。このときの非定常拡散方程式と境界条件と第1 近似解の対応関係から実効拡散係数あるいは有効拡散係数 De=δ･ε/τ2･D0 が導出できる。

中性化での拡散方程式解

なお，細孔への CO2 拡散を考えるとき，細孔中の相対湿度に応じ，ケルビン半径以下の細孔半径の小さな領域やボトルネック領域では，水蒸気が液化凝縮して液水が充填され，CO2 拡散が通りにくくなる。このため，本研
究その 2 では，収斂度δ/(屈曲度τ)2 を相対湿度や空隙率εの変数を組合せた関数で表すことを考える。

実効拡散係数Deは，バルク拡散係数D0に収斂度δ×空隙率ε／(屈曲度τ)2で比例する。
屈曲度τの2乗τ2をフォーメーションファクターFFや屈曲度ファクターFとすることも多い。
拡散方程式の表現で，境界条件の表現が変わる。

4. 既往研究での取り扱い注意事項の例示
多くの既往研究は，非定常拡散方程式の表現と拡散係の場合，数や境界条件の表現が離散的な記述で，両者の関係や解が省略され，拡散法則での物理的意味が不明確である。
例えば，前田論文 1)や兼松論文 2)では，δ=τ=1 と見かけ拡散係数 De で， C     D  C   反応項 の境界条et x x 件 ε･C1 が示されているが，細孔における Fick 拡散第 2または，法則によれば，    C      D  C   反応項 の境界条etx x 

図 4 細孔における Fick 拡散第 2 法則での非定常拡散方件 ε･C1 設定で， C     De  C   反応項 の境界条件
t x   x 

本研究その 1 では，細孔での非定常拡散方程式と境界ε･C1，あるいは， C     D  C   反応項 の境界条件et x x C1 になる。両文献ともバルクの D0 より小さい De 設定で

程式と境界条件と拡散係数と第 1 近似解の関係
5. まとめ条件と拡散係数と解の関係を明示した。 （中村研究室）
参考文献
1) 前田孝一：コンクリートの中性化の数値解析に関する研究, 日本
建築学会構造系論文報告集, No.402, pp.11-19, 1989.8
2) 兼松学 他：建築用仕上材料によるコンクリートの中性化抑制モデルに関する研究,JCI 年次論文集,Vol.27,No.1,pp.637-642,2005