29TbeScienceReportsoftheKanazawaUniversityVol.IV.No.1，pp.2
9‑‑34Octobcr，1955.
ラ

On the Convergellce ofSomeRandomRiemalln‑SumSByShigeruTAKAHASHI(ReceivedAugust9 1955)

ち1. Let{ti(ω)}，iニ 1，2..
，. be a sequence ofindependent random variablesinaprobabilityspace (Q，B，P) andeach tバω) have the uniform distribution in [0， 1J，thatis，for0三x主 l(1.
1)

J?
(刈 =P(ti(ω)く x)=x.

For each 叫 leti(?
)(ω)denotethei‑thvalueof{tj(ω)} (1手 j三五n) arranged in theincreasingorderandl
et，foreachn(1.
2)

t;.'~l (ω)三 1，[C ~)(ω) 三O.

Further letf(t) ( ω く t<十∞) beaBorel‑;‑measurabJefunction with period 1 andbelon
gtoL(O，1).
Thenweconsiderthefollowin
gtworandomRiemann‑sums(1.3)

Sバ(0)= I:;f(tin)(αJ))(
ti:'l‑¥(ω)一 tjω(ω))，and(1.
4)

べSバ叫 S)22J1f(tY ω)+s)(ti+¥Cω)‑tin)(w))・
勾Inthisnotewedisscus
stheconvergences，inp
robabilityorwithp
rubabilityJ，ofavove，1twoRiemann‑sumstoIf(t)dtandprove。

Theorem1. I
ff(t)εL(O，1)，thenwehaveβ1Sn((υ)→ IfCt)
dt， inp
robability，

凶作→+∞.

0

Theorem2. Letf(t)巴 L(O，1) and，foranε>0，，1(1.5)

j!f(t+h)‑f(t)ldt=0(1111oglhl!日)、(h→ 0).

Thenwehave，foralmostaIIs，，1(1.6)

P(S旬(叫 s)→ If(t)dt)=1.

Rem姉The砂 ‑se
tonwhic
叫 んυ，s)→(f川りdependsonsS.TAKAHASHI

30持2. Letu
sput，for 三nαndj三n (nニ 1，2，.
.
.，)
.

t;
r
平(ω吋〉 寸包 υ
4ο(吋，但(2.
1り)dhb
パ(制叫)ニ(ο2.
2わ)〈d;，什.
"〆る(刈ω)=tム
以包バ(仰吋)一丹t;?
丸‑以〉
1y1L〆((吋川色川'什川ぷ?
悦バ(j 1，2，.
..
幻)，'1二!
)げf んt
以バt(吋ω)=t可?
j叫οべb)(刈0(j=1，2，.
..
n)，and(2.3)

d バ ω〕二工 1-t(:~)( ω).

Thenwecanw
rite(2.4)(Sn(ω) ，E'f(ti(υ))d川やり

(2.
5)

S，，
(叫 s)

工

ェ
エ:f([i(O))十 s)d (1，の川

andrt;'e;O)n (d川(〆，))

(1(2.
6)

If(t)dt='
E，1.f(以 ω)十 u)du斗 1f(u)du.

。

i=lOO

Lemma1. Wehave，for0三h手1，(2.
7)
P(ti"J(ω〕くh)=P(dn(的)くh)=l‑(1‑h)
刈and8)P(d (OJ)く h)=P(d' (w)く h)=l‑‑(1‑h)".
川川

Proof. Wehave，by (1.
1) andt
heindependencyof{ti(ω)，}p(tjn)(川)く己=P( (ii(吋 くh))=l‑P(n(ん(川)ミ三l‑h))=l‑(1へBythedefini
tiono f ω )，wehaveP(d (ω)くh)=P([d川(吋く円以川三五l‑hD+P(ti(ω)>l‑h)
川，1‑1.

= I P(di"，(w)く hIii(川 )=x)dF(x)十 h，O

whereP(Eidenotestheconditionalprobabilityo
fE underthehypothesisF. Fromtheindependencyo
f{i;
(1り}
， itfollow
sthat
P
(d.
;
.，
，(itJ)く :ht;
Cィゆ =x)=P("U(x三tj(<f')く x+h)!ti(1吋ニ x)
1i五?

ェP(U(広三ti(IのくZ トh))1主}ニl‑P(日(ti(itJ)E[x，x十 11)))
1.= 11キz工l‑(1‑h)' 1るHencewehave，1‑hP(d，;.nCω)く h)=

I{1‑(1̲h)n‑1} dF(x)十 h=l一 (1‑11)¥

Inthesameway，wecanprovethelemmafordn(w) andd' (ω).
l1cht
hatx+yく 1，wehave
Lemma2. Foreverypos
itiv
enumbersx andy s川… … … … … … 一 一On theconv
ergenceofSomeRandomRiemann‑Sums31

P[(ti(ω〉くτ)n(di>"'(ω〉く;Y)
J=x{1‑(1̲y)"'‑1}.
Proof. Wehave，inthesamewayasthepoofof(2.8)，
̲X

P[(ti(ω〉くx)n(di，n(ω〉くy)J=IP(d，，，，(ω〉く;YIt.
(ω)=z)dF(z)
i。

唱目晶

Ja︑︐

ザd︑﹄ノ4i

4i

fL

Jftz

守ム

ク向一
一︐a︐︑Y︑︑︐ノ4ir

E屯

4i︑︐︐L

ptitisd白リ

Z

一一Thefollow
inglemmai
swel
Jknow
n.
Lemma3. lff(t)belongstoL(O，l)andperiodicwithperiod1，then。

(h→0)
.

ω仇 f)=Ahfjl￨f(t+d〉‑
f(t〉!
dt=o(I)v 、I....l=m

3!3. Proofo
fTheorem1. From(2.4) and(2.6)，itfollow
sthat(3.
1)

Mf
Sf
シ(州 dP

520"，=:=

1

得:
S;:.
2:;

"，(w)‑

IdP

rdj，，，(ω)

Ilf(tバω))‑f(ti(ω)+u)1du

11tzh)=tt〉(臼)]0"'r+2:; I dPrd川臼rrt~"')(印)520Ilf(ん(ω)‑f(ti(ω)+u)Idu+IdPI
lf(u)Idu

戸 ilh(印)キ tC~)(ω)]0=1 1
十 I2+1C
Bythedefinitionsoft:)(ω)andd，，(ω)，wehave"，，偽，"，ふrd，，(印)

1 1= IdPI\!(t(~)(ω)) ‑f(t(~)(ω)+u) du(3.
2)

削Jd0ω
rd (rd，，(由)IdPI
lf(1‑dぷω))1du+IdPI
lf(1‑u)Idu.
520u0偽三五ByLemma1，wehave
IAjln(I‑z〉MZ￨f(I‑z)ldz+jj(I‑zy‑1dzjhu〉ldu

(33〉

。 。 。

詰

1:，
1+1:
:
1SincenX(1‑x)"‑1五三nxe‑C"‑1)X
手1(0三辺三1)，wehave
IJ，
1=f;::Ly‑11f(I‑z)idZ十 j1M(I一 げ 1(1‑x) dx
1fo210g旬/n(34〉

1

豆44Jf
21i
山と斗Z刈)ld
針…
n(υI一2
幻10昭gμ町n/
仰刈nがザ)"'r‑怜
一づ示￨〉
hb(αI一 州Z
炉一=吋o(ωIο)(
ωn→+∞〉o0Andwehaveゅ・ 5)

仏 孟 jz;ufz)%1dzj23(?とu)!du+jln(I一 げ なz j k I M Mりo

2100旬 / 旬 。

一一一一一一一一一一一一一一一戸←一一一一一一一

32S，TAKAHASHI
2logn/nrヨ[ogn/孟 1‑(1 τ)"1l:f(1‑u)ldu+I‑(11r1

叫ん… f‑jlkl‑uXduzo(l)協戸。

I0(n‑叫ー∞).

Inthesame way， 明Tehave
(3.
6)

山(3.
7)

I dP IIfCti(ω))一f(以 吋 十 u)ldu

J 8 0(1)ByLernrna 2 andLernma3，wehave，(n→十∞).

ニ.
.
d川 [ω)rC;:)(臼[ti(UJ)キ t)]0

ェJJ ω{(IffCx+u)idu}(n 一山 --y)"-~ dy dx

コ=J1(幻イ)(1 -y)日 J~u J x)‑f(山 )Idx
手 j23T;)(i‑yy‑vyjvdu jhz)Y(Z十 u)ldx
0

十200j1(n‑I〉(1 yy一二刈 んjU(Z)￨伽
1Z[Og 刈/凡り り

手 f~~コ)(行〉刊当 ω (y:f)d.針叶 Uz)jdz〉 (JL 一山 y)n-~dy)o2
10g，，/旬三ω(2logn/n;f)I‑(1 y)川 n一(1‑y)"ーツ I+ (2Ilf(x) dx)卜 (1‑y)← 1 I)00)2[ognj1←旬

コ0(1uniformlyini，for1三与三払 asn→ 十 ∞ .
From (3.1)‑(3.7)ラ itfollowsthat〉一(シ 帆 dP

M n= fl5nω
Cf(S2

伊州(げI

ニ 0(n→ート∞).

0Hencefor anyヲ>0，wehave

ω(.J1f( 1>PCI5， 〕
一似甲)
三 Mnl市ニoω(幻→+∞).

りwhichcompletestheprooL
S4. Proof ofTheorem2. FrornTheorem 1，iti
sseenthatforeachs，wehave
付(4.
1わ)

ορ山j丸5怜μn
山(切O切ω
叫υ
偽《J，附州山心s)→f(帆i加n阿
pro
油b
凶a
油励叫
b耐， 部
as←n
→
‑
十一++トりBy (2 5)，wehave③5n(叫 s)‑5 l(W，s)=旬ω)gπ〈ω〕

whereωε[九(w)=t古代的)]，(j(tバ吋十 s)g旬。ù)=~ω)ートs(f(i，，(ω〉十s)‑f(tぷω)‑ d1:1bC)， if UJE[tn(ω) キ t(~) c<り].
"f一一一…… 一…ー … 尻 町 一 一

OntheConvergenceof5omeRandom Riemann‑Sums

33Letusput司ω 山 ) = 市ω)JEベω ιd%/川列E司ω 吟dJ ω必
0 2loμg仇n川/りn)Eand

叫伽川，叫ん，哨旬〆(正E'i=Q‑E，・Thenfromt
heindependencyof(ti(ω)}and(1.1)，社 follow
sthat
(4.
2)
P(El)=l/n
and，fromLemma1，(4.
3)
P(E2)=P(E3)=0 (1 /n~)Ontheotherhandwehave

T戸(n→+∞).

jム fl5川 s)‑5 仇 州P，，‑ofJfdム ιιωα(μ.1=.1s fl九d削川
M，叫
偽バ州
ω正υ

o0

E1n EjJ+j〉
sjdm(ω)If(t州 十 s)‑f(仰E1n E与)‑dん ( 附s)jdP

E~ nEjJo+j〉
sj九 州 If(t錫(附 s)‑f(仰E~ nE~ nEso+j〉
sjdm(ω)If(山)‑dんω()+s)IdP)+s)‑f(仰 )‑dふω()+s)IdP
三 I川2+1:
廿 h+h

E~ nE~ nE;:oBy(4.
3) wehaveP β 1h三五 1d"，，，(ω)dP1If(tバω)+s)1ds=0(P(E2))=0(1/nりEjJ(n→十∞).

0By(4.
2) wehave

I2=jjm(ω〉dpjG(山E1 nE~)+s)Ids=0(2logn/nP(El))=O(均 川)(n→+∞〉

0Bythesameway，wehaveI
込 jdmWPJ1fωυ)+s)‑f川 υ)‑dんω()+s) ds
1EjJ

0=0(P(E2))=0(1/n2)(n→+∞).

andI
込 fdιι仏旬伽"，，，川%ω州 1Ufωり川+廿心S〉一fω
ES

0=0(P(E3))=0(1/n勺By(1.
5) andLemma3，wehave(n→+∞).

S.TAKAl'lASHl

3.
4

1Ufω!
5<J丸 山)dPjf川)一 似

0EなJ

孟 ω (21ogn/n:f) d"，，，(w)dP=O(1川 (iogn)刊(n→十∞).

a

Therefore，itfollowsthat

手訂j〉
Sj
￨
S
丸旬バ川(o!
2Thisshowsthat，fo
ralmostalls，~JIS協 (ω， S)‑S，，‑1(ω，s)!dPく + ∞aandthi
simpliesthat，
foralmost alls，(4.
4)

P(S，，(ω，s) converges)=1.

(4.
4) and (4.1) prove Theorem 2.
Referen:ces[1] A.Kolmogorov，Grundbt;gr
ぽ ederWahrsheinlichkeits‑rechnung，BerJi
n.[1933].

[2] D.A.Dar
ling， Onaclassofp
roblemsrelatedtotherandomdiv
isionofaninterval，AnnalsMath.Stat.voJ.24(1953)pp.2
3
9‑
253.
.Takahashi，Noteson.
theRiemann~sum， Pl'.
oc Japan.Aωd.voL.
31(1955)pp.8‑1
3.
[3] S