サッカーボールの模様の数学的分類藤川

敢吉 (表現論研究室)§1. Introduction
1-1 はじめに球面の模様に興味を持ち、考えていく中で特にサッカーボールの模様に興味を持った。いわゆるサッカーボールの模様と言われて想像するのは白の六角形と黒の六角形のパーツが組み合わさってできた幾何学模様であるが、実際のところ、4 年に１度開催される W 杯で使われているボールにはそれだけでなく多種多様な模様がある。
球面の模様を生成する対称性は Conway 記号を用いて表記、分類することができることが知られている [1, 2]。Conway 記号はそれだけでなく生成元と関係式を一定の規則に従って与えることで、模様の対称性全体のなす群を表すこともできる。この論文では、W 杯で実際に使われた様々なサッカーボールの模様を Conway 記号を用いて数学的に分類し、その模様の対称群の生成元と関係式を図で表現する。

§2. 球面の繰り返し模様の分類
2-1 対称性
日常には様々な模様が存在する。それらは一見、複雑であるが対称性を見つけることで綺麗に整理できる。
対称性には次の５つが存在する。

⃝1 恒等対称
そのままを移り合う対称性のことをいう。常に存在する。

⃝2 平行移動
直線の移動で移り合う対称性のことをいう。

⃝3 回転(n ≧ 2) の回転によ点を中心に回転で移り合う対称性のことをいう。 2πnり移り合う回転の中心となる点を「（n 位）旋回点」という。
1⃝4 鏡映左右対称のような、線を軸に鏡で移り合う対称性のことをいう。球面の場合には球の中心を通る平面に関する対称性のことをいう。鏡映の軸となる線を「鏡映線」、n 本 (n ≧ 2) の鏡映線が交わる点を「（n 位）万華鏡点」という。ただし、旋回点でも万華鏡点でもある場合は、旋回点ではなく万華鏡点であると考える。

⃝5 すべり鏡映
平行移動の後、鏡映を行なって移り合う対称性のことをいう。球面の場合には、球の中心で直交する直線を平面に対して直線を軸とする回転を行なったのち、平面に関する鏡映を行なって移り合う対称性のことをいう。ただし、移動前後の点は鏡映線を超えて移り合わないとする。

この論文では以上の対称性に注目してサッカーボールの模様を数学的に分類していく。

2-2 Conway 記号
模様の対称性を表記するために Conway 記号という記号を用いる。
球面の模様には平行移動は存在しないため、2-1 の対称性のうち、回転、鏡映、すべり鏡映に対して Conway 記号を以下のように定める。
定義 2.1 （Conway 記号）⃝1 回転n 位旋回点による回転を n と記す。

2

⃝
2 鏡映
万華鏡点をもたない鏡映線による鏡映は単に ∗ と記し、n 位万華鏡点による鏡映は ∗n と記す。

⃝3 すべり鏡映
すべり鏡映を×と記す。
異なる記号を合わせて表記する際は、旋回点の位数、∗、×、万華鏡点の位数の順番で並べる。具体的には、旋回点の位数が大きいものから順に r1 , r2 , r3 , · · · , rk 、万華鏡点の位数が大きいものから順に s1 , s2 , s3 , · · · , sl であるとき、k 個の旋回点と l 個の万華鏡点を併せもつ模様は r1 r2 r3 · · · rk ∗s1 s2 s3 · · · sl と表記する。

例えば、すべり鏡映のみをもつ模様は ×,異なる２つの３位万華鏡点をもつ模様は ∗33,３位旋回点を１つと２位万華鏡点を１つもつ模様は 3∗2と表記できる。

2-3 球面の繰り返し模様のリスト
球面の繰り返し模様はすべて Conway 記号で表すことができる。この際、同じ対称性をもつ球面の繰り返し模様は同一視する。このとき、次が成り立つ。
定理 2.2 （球面の繰り返し模様のリスト）
球面の繰り返し模様は以下の１４種のいずれかに分類される。

532,

432,

332,

22n (n ≧ 1),

nn (n ≧ 1),

3∗2,2∗n (n ≧ 1),n∗ (n ≧ 1),

n × (n ≧ 1),

∗532,

∗432,

∗332,

∗22n (n ≧ 2),∗nn (n ≧ 2)

この定理の証明は [1] または [2] を参照。

§3. 対称移動の図示
3-1 Conway 記号への生成元の付与と関係式
次のような規則に則って模様の Conway 記号にギリシャ文字と大文字のラテン文字を使って表される生成元を付与し、その生成元に関する関係式を導入する。
ここで、模様の Conway 記号は r1 r2 · · · rk ∗s1 s2 · · · sl または、r1 r2 · · · rk ×であるとする。

3⃝
1 旋回
模様の Conway 記号において回転から定まる部分が r1 r2 · · · rk である
とき、生成元 α1 , α2 , · · · , αk を付与して、α1 r1α2 r2 · · ·αk rk とする。このとき、関係式
1 = α1 r1 = α2 r2 = · · · = αk rkを導入する。

⃝2 鏡映
模様の Conway 記号において鏡映から定まる部分が ∗s1 s2 · · · sl である
RS T
とき、生成元 β, P, Q, · · · , T を付与して、β ∗P sQ
1 s2 · · · sl を作る。このとき、生成元の間に関係式

1 = P 2 = (P Q)s1 = Q2 = (QR)s2 = R2 = · · · = S 2 = (ST )sl = T 2 ,β −1 P β = Tを導入する。

⃝3 すべり鏡映模様の Conway 記号が×を含むとき、生成元 γ, Z を付与して、γ ×Z とする。このとき、関係式 γ = Z 2 を導入する。

⃝
4 ギリシャ文字の規則
模様の各 Conway 記号における α1 , α2 , · · · , αk , β, γ 等のギリシャ文字の全ての生成元に対して常に関係式

α1 α2 · · · αk βγ = 1を導入する。
上の規則に基づいて、模様の Conway 記号に生成元を付与し、関係式を導入する。例えば、Conway 記号が r1 r2 · · · rk ∗s1 s2 · · · sl であるような模様に対して、その Conway 記号に生成元 α1 , α2 , · · · , αk , β, P, Q, · · · , T を与えて、∗S T
R
α1 α2 α3r1 r2 · · ·αk rkβ P sQ
1 s2 · · · sl を考える。このとき、生成元の間に関係式

α1 α2 · · · αk β = 1 = α1r1 = α2r2 = · · · = αkrk
= P 2 = (P Q)s1 = Q2 = (QR)s2 = R2 = · · · = S 2 = (ST )sl = T 2 ,β −1 P β = Tを導入する。以降、生成元と関係式を合わせて4

< α1 , α2 , · · · , αk , β, P, Q, · · · , T |α1 α2 · · · αk β = 1 = α1r1 = α2r2 = · · · = αkrk
= P 2 = (P Q)s1 = Q2 = (QR)s2 = R2 = · · · = S 2 = (ST )sl = T 2 , β −1 P β = T >のように記す。これは球面の模様を保存する対称性全体のなす群を表している [2]。実際、幾何学的には関係式内の大文字のラテン文字は鏡映を、ギリシャ文字は回転を表している。このとき、P Q, QR, · · · 等の大文字のラテン文字の積は２つの鏡映の積として回転を表す。
例 3.3 球面上のモノクロの繰り返し模様
234

この模様の Conway 記号は 432 である。これに、生成元 α1 , α2 , α3 を付与す
ると α1 4α2 3α3 2 となる。このとき、生成元と関係式は< α1 , α2 , α3 |α1 α2 α3 = 1 = α1 4 = α2 3 = α3 2 >であり、これは、この模様の対称群を表す。

3-1 関係式の図による表現
前節で導入した関係式 P 2 = 1 と αr = 1 は模様の上に次のように表せる。
鏡映における関係式 P 2 = 1 は、P が双方向の移動であるため、左下図のように双方向の矢印で表す。また、これは P の移動を２回行えば元の点に戻ることを意味している。
回転における関係式 αr = 1 は α は片方向の回転移動であるため片方向の矢印で表す。また、これは α の移動を r 回行えば元の点に戻ることを意味している。例えるならば、α4 = 1 は右下図のように表せる。

α4P ＊25§4. サッカーボールの模様の数学的分類
この節では、2018 年までに開催されたすべての W 杯で実際に扱われたサッカーボールの模様を数学的に分類する。この際、色、ロゴ、縫い目などは考慮せず、あくまでも模様の対称性に注目する。
結果は次の表の通りである。
年代
1930
1934
1938
1950
1954
1958
1962
1966
1970
1974
1978
1982
1986
1990
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018

開催国
ウルグアイ
イタリア
フランス
ブラジル
スイス
スウェーデンチリ
イングランドメキシコ
西ドイツ
アルゼンチン
スペイン
メキシコ
イタリア
アメリカ合衆国
フランス
韓国、日本
ドイツ
南アフリカ共和国
ブラジル
ロシア

ボールの名称
テルスター
テルスター
タンゴ
タンゴ・エスパーニャ
アステカ
エトルスコ・ユニコ
クエストラ
トリコロールフィーバーノヴァ
チームガイスト
ジャブラニ
ブラズーカ
テルスター 18

Conway 記号
3∗23∗23∗23∗23∗23∗23∗23∗2
∗532
∗532
∗532
∗532
∗532
532
532
532
332
3∗2
∗332
432432

実際のサッカーボールの画像は [3] を参照。
以下、同様の模様をもつサッカーボールごとに詳しく調べていく。
左側の図は模様の対称性に注目して簡略化した図であり、右側の図はそれに対応した模様の対称群の生成元と関係式を図で表現したものである。

6

4-1-1 1930 年 ∼ 1966 年, 2006 年
例 4.4 1930 年
P

3
α１＊2

Conway 記号3∗2α1 β P Q
生成元を付与した Conway 記号3 ∗ 2 (=α1 3∗P 2)模様の対称群の表示< α1 , β, P, Q|α1 β = 1 = α1 3 = P 2 = (P Q)2 = Q2 , β −1 P β = Q >= < α1 , P |1 = α1 3 = P 2 = (P α1 P α1−1 )2 >4-1-2 1970 年 ∼ 1986 年
例 4.5 1970 年
＊3
QR

＊5＊2

PConway 記号∗532
β P Q R S
生成元を付与した Conway 記号∗ 5 3 2 (=∗P 5Q 3R 2)模様の対称群の表示< β, P, Q, R, S|β = 1 = P 2 = (P Q)5 = Q2 = (QR)3 = R2 = (RS)2 = S 2 ,β −1 P β = S >= < P, Q, R|1 = P 2 = (P Q)5 = Q2 = (QR)3 = R2 = (RP )2 >7

4-1-3 1990 年 ∼ 1998 年
例 4.6 1990 年
23α３α２5α１

Conway 記号532
生成元を付与した Conway 記号 α1 5α2 3α3 2模様の対称群の表示< α1 , α2 , α3 |α1 α2 α3 = 1 = α1 5 = α2 3 = α3 2 >4-1-4 2002 年
例 4.7 2002 年
α１α２332α３

Conway 記号332
生成元を付与した Conway 記号 α1 3α2 3α3 2模様の対称群の表示< α1 , α2 , α3 |α1 α2 α3 = 1 = α1 3 = α2 3 = α3 2 >8

4-1-5 2010 年
例 4.8 2010 年
2R33QP

Conway 記号∗332
β P Q R S
生成元を付与した Conway 記号∗ 3 3 2 (=∗P 3Q 3R 2)模様の対称群の表示< β, P, Q, R, S|β = 1 = P 2 = (P Q)3 = Q2 = (QR)3 = R2 = (RS)2 = S 2 ,β −1 P β = S >= < P, Q, R|1 = P 2 = (P Q)3 = Q2 = (QR)3 = R2 = (RP )2 >4-1-6 2014 年, 2018 年
例 4.9 2014 年

α１3α２4α３2

Conway 記号432
生成元を付与した Conway 記号 α1 4α2 3α3 2模様の対称群の表示< α1 , α2 , α3 |α1 α2 α3 = 1 = α1 4 = α2 3 = α3 2 >94-2 おわりにW 杯のサッカーボールの模様は 3∗2, ∗532, 532, 332, ∗332, 432 の 6 つに分類されることがわかった。時代毎に並べてみると、1966 年までは 3∗2、1970 年 ∼ 1986 年 は典型的なサッカーボールとしてイメージされる ∗532、1990 年 ∼ 1998 年 は 532 といったように同様の模様が一定期間続くことが分かる。一方、2002 年以降は多様化が見られる。

参考文献[1] 筱田健一著, 『対称性と数学 繰り返し模様に潜む幾何と代数』, 技術評論社,
2016.
[2] J. H. Conway, H. Burgiel, C. Goodman-Strauss 共著, 『The Symmetries ofThings』, A K Peters, 2008.
[3] https://www.worldcupballs.info.

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