，， ，，，，

1'heScienc
巳 ReportsoftheKanazawaU且 iv
ersity Vol.II
I No 1 1‑'P. 21‑26 March J955

On the l，aw ofthe It
erated I，ogarithm

By
Noboru JV[ATSUYAMA and Shigeru TAKABASHI(Receiv
edSeptember15，1954)
1. Let (Zd lt=1，丸 山 ・ beaninfinite sequenceo
findependent 1・andomvariables
and Vkじ1^，ibethedistributionfunctionofZ".Supposet
hatthesecondmoment
(1.
1)

ハリ

JMA

一一¥
:︐JZvdt

Yyk(1.2)均十ρi!

existsandt
hemeanv
alueforl
t=1，2，・.

a7ち

LetB"denotet
hed
isper
s
iollo
fL
jZk，i.
e.，k~J(1.
3)

J
βヲ
J
ん
む"
'1A.Kolmogoroff[lJprovedt
hefol
1owing whichi
scal1edt
heKolmogoroffstheoremoft
helawofiteratedlogarithm.
THEOREMa.If(1.4)

ろ二↑ 十∞Jasn→+∞ and/ 幻 ¥.
112豆町=o{寸二子!k‑‑)(1.
5)

、u 2.D
主机/asn→+∞， thenil:̲ ZI+Z2+.
.
.
.・十 Z" ，'1Probl
1im。空=1/=1L引開(2β nlog~B ρ 1/ω

J

Ontheothぽhand，Hartmana
nclWintnerロ
Jprovedthefollowing
THEOREM/3.Supposethat
Bη>nConst>O(1.6)
andthatthe V，，(x)posses
sac
lomi
nanti
nt
hefollowingsense:，JdV
刈=o(JdV(心)hichhast
hesecondmomentandi
ssuchth註tTheree
xist
sadi
str
ibut
i
onfu
nct
iollV(x)，v￨
ぷ!と 7・f→ 十 ∞同i
三ツholdsu
niformlyink. Then「τ ーアー←e‑.
・・ 十 Z"1i
Probllim 一~一一
云=ll=L>"∞ (2Blog2J九 /2 ‑ . LJney

NoMATSUYAMAand S.TAKAHASHI22F、
romtheconditionsofthisth
叩 rem，itIssεenthat

82=0〔1〕(l凶'7)

出刃→+∞ヲ andthereexisttwoconsね llts 0く a<ssuchthat(1.8)
州三玉Bη~ lI ß.
The purpose ofthis paper istoreplacethecondition(1.
5) bysome conditionsでningdispersions f.(18)).
conce回Let {X，，} k=1，2，000000り bebeasequenceo
findependen
trandomv
ariables andstri:butiol1functionofXr
coSupposet
hatth
edもよー
一一(1.

and(1.

コ

Moreoverlet 臼J，} k=1 2，ラfo
rk=1，2，・0，0

beanysequenceo
fr
ealnumberssucht
hat
め000000

011)

日U

Underthese'iJ'le

THEOREM。

thatasn→+∞.

‑仰 一

provethのfo
rk=1，(A)or(B)

心 hasadominantηthesenseo
f Hartmanand Wintneri
nthetheorem.

Ifas11→ 十 回 ?

￨ん =o(Bよ/勺1九￨=oa/ノ1apeprJ(1.

ー︑︑andas11→ 十 ∞ 7t
1.
en

刈思←

P

hmgJd

¥j︑︑丸x/1¥

dゾ

ffitt¥{

/1¥

ー¥
ノF
dx︑
¥泊

ftfJa

一一ぷF刈 =ρiJ日目 flJh‑

一一and︒︒

1nth♂ case(B)，iti
8S
関口 thatω)，x2dF告) H22b~， conv
erg
巴S，thenProb[~九X1c converges]=l.

刀。 t!ze L，28l
IZV '/l!
te.
lte〆"aiedLρgarit!
lltlholduniformlyi
nk (asr→+∞)" Using above threerelat
ions，we CClll prove thef.thecase
iVhence，f01" simpl
icity，weproγe
theorembythesimil
arwayasthato圃，in332‑4，oniyforthecasethetheorem2. Asimpl
ecomputation [3Jshowsthat(c.
f.(l.11)，(1.
12)and(l.13))log.
i
丸、= O(lOg2Bn'logll)

Jas1z→ 十 ∞ ヲ henceweobt
ain(2.
1)logzβO(lOg21l)
Letk"denotethes
mallestintege
r1sucht
hat
伺 =Jl→ イ ∞ .

うlog~ 1
1>0and logzB，， >O.

Putf.
orl.
s:kくん0'I k1/2(2.2)

αk =1k1/2for¥ ]og2k

止。
三三k.

Defin
easequence{X，，'}of.independentrandomV8J七lblesa
sfollows.
百IX
必， 1>αb¥‑αj.y，.
'= ¥IX，，‑的〆(2.
3)

where(2.
4)=iflXk 1
三五内?

J 仇)

fo
rk=1 2，

:
xd Fヲ

i'?
:
1j'
く αkThen，fromt
hed
efinitio
nofX，/ and(1.
10)，wehave，fork= 1 2 9 a Vヲ

Eてん x，/) O
ニandE山[J ω‑(J ω)"J

アJ=凡Xk/x2d F:xdfl1"'1;';;
αk

辺I>
"'kI
fwedenotefor1= 1，2，Bn'=2JE[(九 Xk/)
2]，k 1詰

thenby(1.
9)，wehavelkf
J(jtyK32)〕

Ua‑BhZfE〔らう十〉

J.
xω

'
三2点bkdF

2

必 1>αkl2dF(.
x).
2( 2JbJbl.
)Irk'+三玉22υ
Jjνk~l\ k=NO 十 1

J、

辺 I~α11'0 十 1/sucha01" JlとλThusforanyε>0，thereexists.
s，fLVoゲ?

0<..1丸一‑B，/<2BRo+2Bnc，

N.MATSUYAMA and S.TAKAHASHI

24

andhenceby(1.
11)，weobtain
G.~n→+∞.

B怜 ~B，..'

Fromthed
efinitionofx.
，.
'， (2.
1)and(1.16)，wehave，.
.1/2

R

¥1/2

1
九 Xn/l三iん1([αnl+αI〆1)<2
1ん 凡 1<12b ーlとι:::‑
1=o(主%og2V¥一log2
B‑n怜)
/偽 一

一I

切asn→∞. Henceby(2.5)，itfollow
sthatp 〆 、 1/2l
九 Xn'l=olーoとnn=o~ lg2Bn')
Iasn→∞)

ApplyingKol
mogoroff'
stheoremin3
1to{hXk/}，weobtain「マーんX/X.
，.
' =1
1i
P
robll
im‑
':
'.
.
.
!
‑:.
:
一一+ ・‑・+九"'n<>n1=1
L怖+∞ (2Bn'log
2B，，/y/2 ‑~jI

andby(2.5)

rl:
̲__':');~1~一一一一←~-=11=
b1X/+" …・+ん X:~/，lProbl1im1.
Lふ∞(2B.
.
log
Bny/2‑ ~j2(2.
6)

3. Letusdefineasequence{ Xk//} ofi
ndependen
trandomv
ar
iable
sa
sfol
1ow
s.I
f
1
三kくん， thenX‑，//=0andi
fkよれ， then(3.1)

iflXk1>が /2 orI
Xk1
三α h{一 αk"

Xk//=~“し主 k一αk

立 向 くI
Xkl三当1/2

wherefxdFω

ぃ(3.
2)

"'kく 1"'1正~k~/ :t.

FromthedefinitionofXk"，wehaveE(九 Xk")=O，andby(1，9)
E仇X川 = 凡 (J ω‑(Jマ ωYJx宮dP'dF"'k く l"'l::;;k~ 片三:b~"'/c く f"'l!五 k J. j .:ifor止とん.

x2dP(x)12"'k<l"'fS;k/

Bytheabover
elat
ionand(1.
13)，wehave
ぷ E[(九 Xk")2] ̲nfぷ
1LJ
一一一一 O( LJ L 1~_.
，乱。‑
(Bk10gog
3k2Bk) ‑~\k~o k1hIi，17"lJ x2dF(心j2唱 岬

αk く l"l.s: k~ j Z(k1 / 2 ) ρ 1r ∞=O( LJL1士‑‑z.‑ LJ，岬 I
x2dFωl¥k=kO 高 崎

8kma[お44〈￨幅叩'/∞=ρ

[m21og~m]，

2d0
1JIxF(心LJ‑‑‑‑‑，ーさ一一 ¥+0(1)1L
fλ112 ~ JVV ..‑ '‑‑V.‑'，‑，':'‑::'.
2k
10民叉 k¥m=1こE
二ー Im<必!孟 m+l、 llog
2忌。J盟 国日υl25On t!
u: La'w ofthe/teratedLeJl.
:
ari
!!
tm=
刊
べべο(J xがdf
Ji
い2>
[出。JHence，bytheTchel
コ3
引 :
hef
f'sinequality，itf
ollow
sthat

ペ 九 L¥rふο一 夜 lbZEi3172 mmgesirip帥 abi1i机k"

andbyP.Levy'stheorem [4エthisi
sequivalenttor"Ci̲ åkX ，~:____oi=1Probl;:
一一一ーム一一一十conve
rges1.
l，，‑:';:も。 (Bog2B1c)11】」
1cl'."'"'M'T7"Cl."i"'rf'J:.l.

ThereforebyKnopp'stheorem，weobtainr ，，~b1，，'(/'イ ・・・+
九 Yn""iProblli
m ム一一一一一一一‑Lt
ー =01=1.
仁川町(2β log
2B"Yl2j(3.
3)

偽V

4. Wedefineasequenc
沿 {)(k///}ofi
ndependen
trandom v
ariabJessuchasV(4.1)/1/_IXli~i
f IXk 1>が/出，!0i
f 1X，;>， I<k1(2，Thenfromthede
11nitionofXk=1，2，"島and(1.
9)，wehave

川加∞::
8Pro叫 ん L'(k川￨ヰcO]与::8Prob[1Xk1>Jll/2Jk皿

k~j=急 J忍止

J ω三fd1?

Hencewehave

;
:
Tp1
'
obC lIbteXk'" Ic
町 町gesJ=lThe
1'eforeby(1.
11)フ weobtain(4.2)

i，.
bーれ 1((+・・，.
・・ トんX7/〆AIProbllim … ιJ 一一一----~^~~-"'::: 16̲̲̲‑‑̲=0I=1.
l;(2B"log2B"YI:lVj
け ∞From(2.6)，(3.
3)and(4.2)，iti
sseenthatn)~ b，c
CX1/ 十 Xk"‑{しん附〉、てE五五言;
ι)1/2

~jP
robll
im̲!c三L
lt:
:;
'∞

一一一一一
一 =11=1.

Nowfromthedi
11nitionsofX!c'， Xk" and)u'ぺ wehave

つ九 X!
c‑b!
c(X，/+X，，"+Xic"=b九k I xdF(心x)=一 九δ
ゐ川云計kμ1バ/Andwehaveby(1.
9) and(1.13)，∞ "ヤー=一一一uhl

k.~i:(\ (、Bklog2BkY/2ilxldFCr〉.J噌《l:.
ei>k1j，.
f:

xd.
.
F(必2山 叫 >kμ1/βfo
1' k=lフ 2，'26N
.MATSUYAMA and S.TAKAHASH1r.
.
.
.1β 寸

=o(忌。
(k10ふ〉
附忌;
2]L2J
プ〔十〈四屯=o( 14ifFωゑ(k10ムyバ )+O(n叩yω)=O(苫:心ω=O(fxdFiω)+O(fxdTi22I"'J>[止l/2JI"'J> 1/2
偽as n→+∞.

= 0(1)
Hence byKonopp'stheoremweobtain
1ノ︑V付+D叫

U戸ん一助+一均一価FfLTHUc

一寸一回'AVv川 一"Z 日一(1)=0

as n→+∞.

Thereforewehave
「τl;
'':;
:∞
Probl
1imb ， Xーム・・・・・・ +b~X~.

.i

1/2-~)βρ一(2B"log
一一←一一一
一
色 =11=1.
z

ThusweprovetheTheorem.

References(1) A.Kolmogoroff，UberdasGesetzdesi
ter
匂rtenlogar
ithms，Math.Annalen，Vo1.101(1929)pp.
126‑135.
(2) P.HartmanandA.Wintner，Onthelawo
ftheiteratedlogarithm，Amer.Jour.Math.，
Vo1.63(1941)pp.169‑176.
(3)'
K.Knopp，TheorieundAn
wendungd
erUnendlich
巴nR
eihen，Berlin(1924)pp.271‑272.
(4) P.Levy，Theoried
el'additiondev
ariablesaleatoires，Paris(1937)pp.139‑140.