Discussion Paper No.401

情報構造におけるフォーカルポイントの定式化
Formulation of Focal Points in Information Structure
中央大学経済学部
多田 由彦

May 2024

INSTITUTE OF ECONOMIC RESEARCH
Chuo University
Tokyo, Japan

情報構造におけるフォーカルポイントの定式化*
Formulation of Focal Points in Information Structure
多⽥由彦 (中央⼤学)
2024 年 4 ⽉ 24 ⽇
概要
本稿は標準的な状態空間モデルにおいて戦略の突出とフォーカルポイントを定式化する.
フォーカルポイントを静学的にかつ数理的に分析した分野の１つとして可変フレーム理論があるが, フレームを⽤いた定式化はいささか冗⻑であるように感じられる. 本稿では情報構造において抽象化して定式化することによってこの冗⻑さを省いた. さらに本稿はプレイヤーたちに与えられる情報集合によってフォーカルポイントの候補が絞られた時, その絞られた中からどれが最も各⼈の利得を⾼めるのかについて共有知識となっている場合には, そのフォーカルポイントをプレイすることを証明した.
キーワード：フォーカルポイント, 共有知識.
JEL Classiﬁcation: C70, C72, D80, D82.
1. イントロダクションプレイヤーたちがコーディネーションゲームにおいて意思決定をするとき, 相⼿が特定の均衡に注⽬していることを信じて, 意思決定を⾏うことがあるかもしれない. すべてのプ
レイヤーがその均衡に注⽬し, 互いにそれを注⽬していることを信じている場合, そのような均衡を Schelling (1960) はフォーカルポイント (focal point) と名付けた.1 フォーカ
ルポイントは多くの⽂献で参照される概念である. このフォーカルポイントを数理的にか*

本稿は拙著「フォーカルポイントの定式化」(IERCU Discussion Paper, No. 393) 並びに“Note on Focal Points: Formulation in Information Structure” (2023, SSRN) に対して加筆修正したものであり, 2023 年度数理経済学会研究集会 (早稲⽥⼤学, 2023 年 11 ⽉ 25 ⽇-26⽇), ゲーム理論ワークショップ 2024 (京都⼤学, 2024 年 3 ⽉ 8 ⽇-10 ⽇) で発表した. 本
稿に有益なコメントをしてくださった瀧澤弘和⽒に感謝する.
1「お互い相⼿がそうしようとしていることを知っているならば、⼈々はしばしば⾃分の意図や予測を他者に合わせることができるのである. 多くの状況、そしてこの種のゲームを⾏う⼈々が直⾯するおそらくすべての状況は、⾏動を調整するいくつかの⼿がかりを与えてくれる。つまり、相⼿がどう予測すると⾃分が予測するかについての相⼿の予測を各⼈がどう予測するかについてのフォーカル・ポイントがそれである。
」Schelling(1960/2008), 邦訳 pp.61.
1

つ静学的に定式化した研究分野の⼀つが可変フレーム理論 (variable frame theory) である.
可変フレーム理論は Bacharach (1993) で提案された理論であり, 「フレーム」と呼ばれる属性を⽤いて, 戦略集合上の分割を定義し, ある特定の戦略の突出 (salience) を表現することでフォーカルポイントについて議論を⾏おうとする. 例えば⾚⾊と⻩⾊のそれぞれの⾊で塗られたボールが５つ存在し、そのうちの１つに傷が⼊っていたとする. この時,「⾊」というフレームを取り出した場合、５つのボールは「⾚⾊のボール」と「⻩⾊のボール」で分けられ, それぞれまとめられる. 「傷」というフレームで分けた場合には, 「傷のあるボール」と「傷のないボール」とに分けられ, それぞれまとめられる. この時, ただ１つだけ存在する「傷のあるボール」は５つのボールの中でも突出していると考えることができる.
可変フレーム理論におけるフォーカルポイントの数理的な定式化は彼以後の研究でも試み
ら れ , Bacharach and Bernasconi (1997), Bacharach and Stahl (2000), Casajus (2000),
Janssen (2001) などで⾏われた. また Bacharach and Bernasconi (1997) と Bacharach andStahl (2000) ではフレームの認識とフォーカルポイントの関係を分析した実験研究を⾏っている. 直近の研究では, Charness and Sontuoso (2023) が Heifetz, Meier, and Schipper(2013) で提案された「不可知信念構造」(unawareness belief structure) のモデルと可変フレーム理論を組み合わせ, ⼀部のフレームに対する無知が⼀意のフォーカルポイントを導き出す可能性を⽰唆した.
このように可変フレーム理論はコーディネーションゲームにおけるフォーカルポイント
に関して極めて⽰唆的な結論を導き出しており, 今後の研究の発展も期待される. その⼀⽅
で可変フレーム理論はある種の冗⻑さを感じる. モデルの分析者は各プレイヤーが持っている戦略を「フレーム」という概念を使い分けて解釈し, 分類している. 例えば, 待ち合わ
せゲームの場合, 同じ待ち合わせ場所でも象徴的な⽬印として表現することができるし, 住所で表現することもできるし, 緯度経度を⽤いて表現することもできる. その分類によって,特定の戦略の突出を表現しようとしている. しかしながら, 本質的には戦略集合を分割して特定の戦略の突出を表現しているに過ぎない. となると我々はモデル分析者によって外⽣的に与えられるフレームを⽤いることなくより抽象的に戦略集合の分割と特定の戦略の突出を表現することができるはずである. また可変フレーム理論の場合, フレームによる分類
から戦略の突出を表現し, 各プレイヤーの推論の帰結としてのフォーカルポイントを定式化するが, 現実のゲーム的状況では, 特定の戦略が突出していることを他者から知識として受け取り, それをフォーカルポイントと認識することがありうる. 例えば「渋⾕で待ち合わ
せするならハチ公像の前だよね」という会話を⽿にした⼈は, その会話をフレームで分析して突出している待ち合わせ場所が「ハチ公像」だと特定しているとは⾔えない. どちらかというと, その会話から直接的に突出している待ち合わせ場所が「ハチ公像」だと特定していると考える⽅が⾃然である. 確かに, 初めて直⾯するようなゲーム的状況では, それぞれのプレイヤーたちが戦略集合に対してフレームを⽤いて解釈するという作業が⼊るかもしれないが, 過去に何度もプレイがされているようなゲーム的状況であれば, 過去のプレイを知2

識として戦略の突出を理解していると考えられる. また, フレームを⽤いて分類することができないようなゲーム的状況が存在するかもしれない.
上述の観点から本稿ではフレームは⽤いず標準的な情報構造モデルを⽤いて戦略の突出とフォーカルポイントの定式化を試みる. 我々は情報構造モデルにおける状態空間上の各状態には, それぞれのプレイヤーにとってどの戦略が突出しているのかが記述されていると解釈する. この時, 各プレイヤーは受け取った情報集合からすべてのプレイヤーにとって共通で突出している戦略を⾒つけ出し, フォーカルポイントを⾒つけ出そうとするだろう. フォーカルポイントはナッシュ均衡の１つであるが, どのナッシュ均衡がフォーカル
ポイントになるかは, すべてのプレイヤーの間でどのナッシュ均衡が突出していると認識しているのかの信念に依存することは明らかである. したがって, 本稿はある特定の戦略がすべてのプレイヤーにとって突出していることが共有知識となっている場合に, その戦略
をフォーカルポイントと名付けることにする.
さまざまなフォーカルポイントの候補があったとしても, プレイヤーたちが⼊⼿する情報集合によってはその候補が絞られることがあるかもしれない. 本稿は主要定理として, そうして絞られた候補の中で, すべてのプレイヤーの利得を最も⾼めるフォーカルポイントの候補が実際にプレイされうることを⽰す. 我々の定理は⼀意のフォーカルポイントがプレイされうることを指摘した点で, 可変フレーム理論における対称⾏列ゲームにおいてフォーカルポイントと解釈できるような⼀意の均衡がプレイされうることを⽰した Casajus(2000) と Janssen (2001) と関連性があるように⾒えるが, 彼らがフォーカルポイントを⼀意に定義しているのに対して, 本稿はフォーカルポイントの候補が複数存在したり, あるいはそもそも存在しなかったりすることを認めた上で, ⼀定の条件のもとでは⼀意のフォーカルポイントがプレイされうることを⽰している点で本質的に異なっている.
本稿は以下のように構成される. ２節では数学的な準備として標準形ゲームと情報構造,
そして情報構造をベースにした戦略集合上の分割をそれぞれ定義する. ３節では戦略の突出とフォーカルポイントを定式化し, フォーカルポイントのプレイについての主要定理を⽰す. 最後の４節では結論と議論を述べる.

2. 準備
2.1 標準形ゲームの定義と状態空間
まず標準形ゲーム 𝐺 = (𝐼, {𝑆! }!∈# , {𝑢! }!∈# ) を定義する. 以下では単に「ゲーム」と呼ぶときは, 標準形ゲームのことを指す. 𝐼 はプレイヤーの集合である. 𝑆! はプレイヤー 𝑖 の戦略集合であり, プレイヤー 𝑖 の戦略を 𝑠! ∈ 𝑆! と表す. 直積集合 𝑆 =×!∈# 𝑆! について, 𝑠 =(𝑠! )!∈# ∈ 𝑆 を戦略プロファイルとする. 任意の 𝑖 ∈ 𝐼 に対して, 𝑢! : 𝑆 → ℝ を 𝑖 の効⽤関数
とおく.
続いてゲーム 𝐺 における情報構造 (Ω, Π! ) について考える. Ω は状態空間であり, 各プ

3

レイヤー 𝑖 ごとに Ω 上で分割が定義されているものと仮定する. プレイヤー 𝑖 の Ω 上の分割を 𝒬! と記す. 続いてプレイヤー 𝑖 の情報関数 Π! : Ω → 2$ ∖ {∅} を⽤意する. 任意の 𝜔 ∈ Ω に対して, 情報集合 Π! (𝜔) は分割 𝒬! の要素であるとする, e.g., Π! (𝜔) ∈ 𝒬! . 情
報関数 Π! は以下の条件を満たすものとする.
C1 任意の 𝜔 ∈ Ω に対して, 𝜔 ∈ Π! (𝜔).
C2 任意の 𝜔, 𝜔% ∈ Ω に対して, 𝜔% ∈ Π! (𝜔) ならば, Π! (𝜔% ) = Π! (𝜔).
プレイヤーたちの間で Ω 上の分割が束として定義できるものとする. ⋁!∈# 𝒬! をすべてのプレイヤーの Ω 上の coarsest common reﬁnement な分割の結び (join) とし, ⋀!∈# 𝒬! をすべてのプレイヤーの Ω 上の ﬁnest common coarsening な分割の交わり (meet) とする.
< : Ω → 2$ を ﬁnest common coarsening な分割の関数とおき, 𝜔 を含む分割の交
ここで Π< (𝜔) と記す. すなわち Π< (𝜔) ∈ ⋀!∈# 𝒬! .
わりの要素を Π
例１

２⼈の主体１と２について, それぞれの Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 上の分割を以下のように定義する：
𝑃& = G{1, 2}, {3, 4}, {5}, {6, 7, 8}, {9, 10}H
𝑃' = G{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7}, {8, 9, 10}H
このとき, 分割の結びは,𝑃& ∨ 𝑃' = G{1, 2}, {3, 4}, {5}, {6, 7}, {8}, {9, 10}Hであり, 分割の交わりは,𝑃& ∧ 𝑃' = G{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8, 9, 10}Hとなる. 各主体の情報関数 Π& , Π' をとる. 真の状態が 2 ∈ Ω であるとき,
Π& (2) = {1, 2}, Π' = {1, 2, 3, 4}となり, 𝜔 = 2 を含む分割の交わりの要素は,< (2) = {1, 2, 3, 4}Πとなる. □
Ω 上の確率測度 𝜇: 2$ → [0, 1] について考える. 𝜇 について共通事前確率 (common
prior) を仮定し, ∑(∈$ 𝜇 ({𝜔}) = 1 とする.
これらの準備をもとに, 共有知識 (common knowledge) を定義する. そのためにまず⾃明 (self-evident) な事象を定義する.
定義１

事象 𝐹 ⊆ Ω が 𝜔 で⾃明であるとは, すべての 𝑖 対して, Π! (𝜔) ⊆ 𝐹 が成⽴することである.

4

定義２

事象 𝐸 ⊆ Ω が 𝜔 で共有知識になっているとは, 𝜔 ∈ 𝐹 ⊆ 𝐸 を満たす⾃明な事象

𝐹 が存在することである.
補題１

事象 𝐹 が 𝜔 で⾃明であるならば, 𝐹 はすべてのプレイヤーの Ω 上の分割の交わりの要素である.

証明

事象 𝐹 が 𝜔 で⾃明であると仮定する. このときすべての 𝑖 に対して, 𝐹 =⋃(∈$ Π! (𝜔) であり, かつ ⋃(∈$ Π! (𝜔) ∈ ⋀!∈# 𝒬! であるから, 𝐹 ∈ ⋀!∈# 𝒬! . ∎Aumann (1976) では, 以下の定理が証明されている.
定理１ (Aumann 1976)Ω 上で共有事前確率が存在し, 各プレイヤーの Ω 上の分割が共有知識になっていると仮定する. 𝜔 ですべてのプレイヤーの事象 𝐸 の事後確率が共有知識になっているならば, すべてのプレイヤーの事後確率は同じ値を取る.

証明 各プレイヤー 𝑖 ∈ 𝐼 の事象 𝐸 の事後確率を 𝑞! とする. ここで 𝜔 で事象 𝐸 の事
後確率 𝑞! であることが共有知識になっていることを事象 𝐹 とおく. このとき, 𝐹U ⊆ 𝐹 を満たすような⾃明な事象 𝐹U が存在する. 補題１より 𝐹U ∈ ⋀!∈# 𝒬! であるから任意のプレイヤーの事後確率は 𝑞! = 𝜇V𝐸W𝐹U X と記せる. すなわちすべてのプレイヤーの事後確率が同じになる. ∎

2.2 戦略集合上の分割
本節では, 戦略集合上の分割を定義する. まず ℙ を戦略集合 𝑆 上の分割の集合とする.
このとき, ⋃𝒫∈ℙ 𝒫 ⊆ 𝑆 とする. 任意の要素 𝒫 ∈ ℙ は 𝑆 上の分割であり, 分割の各要素
𝑃 ∈ 𝒫 は 𝑃 ⊆ 𝑆 を満たす. 2 ここで 𝑖 の注⽬関数 𝜋! : Ω → ℙ を定義する. これは 𝜔 ∈ Ωを与えられたとき, プレイヤー 𝑖 が注⽬している 𝑆 上の分割は 𝜋! (𝜔) ∈ ℙ であると解釈する. 以下では 𝜋! が共有知識になっていることを仮定する. このとき, それぞれのプレイ
ヤーの注⽬関数から各プレイヤーがどのように戦略集合を分割しているのか推論することが可能となる. したがって, Ω 上の各状態 𝜔 は, それぞれのプレイヤーの戦略集合上の分割についても記述されていると解釈することができる.
ここで 𝜔 での 𝑆 上の分割の要素を定義するために 𝑖 の関数 𝑃!( : 𝑆 → 𝑆 をとる. これ
ここでは 𝑆 上の分割が相関しているものと考えている. もし 𝑆 上の分割が独⽴である
ことを仮定した場合 ⋃𝒫∈ℙ 𝒫 ⊆×!∈# (2+! ∖ ∅) となり, 分割の各要素 𝑃 ∈ 𝒫 は 𝑃 ∈×!∈# (2+! ∖ ∅) を満たす. この場合, 分割の関数も 𝑃!( : 𝑆 →×!∈# (2+! ∖ ∅) と定義することが
できる.
2

5

は 𝜔 での各戦略 𝑠 がどのような分割の要素になっているのかを表したものであり, 定義
より 𝑃!( (𝑠) ∈ 𝜋! (𝜔) となる. このとき 𝑃!( は以下の性質を満たすものとする.
P1 任意の 𝑠 ∈ 𝑆 に対して, 𝑠 ∈ 𝑃!( (𝑠).
P2 任意の 𝑠, 𝑠 % ∈ 𝑆 に対して, 𝑠 % ∈ 𝑃!( (𝑠) ならば, 𝑃!( (𝑠 % ) = 𝑃!( (𝑠).
ここで純粋戦略ナッシュ均衡を定義する.
定義３

ゲーム 𝐺 において 𝑠 ∗ ∈ 𝑆 が純粋戦略ナッシュ均衡であるとは, 任意の 𝑖 ∈ 𝐼 と∗) を満たすことである.
𝑠! ∈ 𝑆! に対して, 𝑢! (𝑠 ∗ ) ≥ 𝑢! (𝑠! , 𝑠-!

ここでゲーム 𝐺 におけるナッシュ均衡の集合を 𝑆 ./ と記す.
例２

テーブルの上に５つのボール {1, 2, 3, 4, 5} があり, ボール１と２は⾚⾊, ボール３,

４, ５は⻩⾊であるとする. ただし, ボール３には傷が⼊っているものとする. プレイヤー
A と B はそれぞれ同時に１つのボールを選択する. このとき, ボールの番号が同じであれ
ば, 両者ともに１０点, ボールの番号が違っていれば, 両者ともに 0 点を獲得するものとす
る. これを 𝐺 = (𝐼, {𝑆0 , 𝑆1 }, {𝑢0 , 𝑢1 }) で定式化すると,𝐼 = {𝐴, 𝐵}；
𝑆0 = 𝑆1 = {1, 2, 3, 4, 5}；
10 𝑖𝑓 𝑠0 = 𝑠1
𝑢! (𝑠0 , 𝑠1 ) = _, 𝑖 = 𝐴, 𝐵.
0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
このとき, ナッシュ均衡の集合は 𝑆 ./ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} となる.
ここで３つの状態 𝜔& , 𝜔' , 𝜔2 について考える. 𝜔& を与えられたとき, 各プレイヤーの戦
略集合の分割は⾊で仕切られ, 以下のようになっていると：(𝑃& " = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}；(

𝑃' " = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}；(

𝑃2 " = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}.
𝜔' は⾊だけでなく, ボール３に傷が⼊っていることを A も B も知っている場合を表し, 戦略集合の分割は以下のようになっているとする：(

𝑃& # = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}；(

𝑃' # = {(3, 3)}；(𝑃2 # = {(3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}；(𝑃3 $ = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}.
𝜔2 は⾊だけでなく, ボール３に傷が⼊っていることを A は気づいているが, B は気づいていない場合を表し, 各プレイヤーの戦略集合の分割は以下のようになっているとする：

6

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

𝑃0&$ = 𝑃& # , 𝑃0'$ = 𝑃' # , 𝑃02$ = 𝑃2 # , 𝑃03$ = 𝑃3 # ；𝑃1&$ = 𝑃& " , 𝑃1'$ = 𝑃' " , 𝑃12$ = 𝑃2 " . □3. フォーカルポイント
本節では突出 (salience) とフォーカルポイント (focal point) の定義を⾏う. まず突出を以下のように定義する.
定義４

ゲーム 𝐺 において 𝑠 ∗ ∈ 𝑆 が 𝜔 ∈ Ω で 𝑖 にとって突出しているとは, 𝑠 ∗ ∈ 𝑆 ./であり, かつ 𝑠 ∗ が以下の条件を満たすことである：任意の 𝑠 ∈ 𝑆 ./ ∖ {𝑠 ∗ } に対して,
l𝑠 ∉ 𝑃!( (𝑠 ∗ )；l𝑠 % ∈ 𝑃!( (𝑠) であるような 𝑠 % ∈ 𝑆 ./ ∖ {𝑠} が少なくとも１つ存在する.
これはある戦略 𝑠 ∗ が 𝜔 で 𝑖 にとって顕著であるとき, 𝑠 ∗ がナッシュ均衡であり, 𝑠 ∗以外のナッシュ均衡は 𝑠 ∗ を同じ分割の要素に含まれておらず, かつ 𝑠 ∗ 以外のナッシュ均衡を含む分割の要素には２つ以上のナッシュ均衡が含まれていることを意味する.
続いて共有突出 (common salience) を定義する.
定義５

ゲーム 𝐺 において 𝑠 ∗ ∈ 𝑆 が 𝜔 ∈ Ω で共有突出であるとは, すべてのプレイヤ

ー 𝑖 にとって 𝑠 ∗ が 𝜔 で突出していることである.
注⽬関数 𝜋! は共有知識となっているので, プレイヤーたちは 𝜔 で共有突出となっている戦略を推論で導き出すことができる. したがって, Ω 上の各状態 𝜔 は, それぞれのプレイヤーにとってどの戦略が突出しているのかが記述されていると解釈することができる.
4

続いて関数 𝑠 4 : Ω → 𝑆 ∪ {𝜙} をとり, 𝑠 4 (𝜔) = j𝑠! (𝜔)k

!∈#

た 𝜔

を 𝜔 での共有突出とする. まで の 共 有 突 出 が 存 在 し な い 場 合 は , 𝑠 4 (𝜔) = 𝜙と 記 す . そ し て 𝑆4 =G𝑠 4 (𝜔) ∈ 𝑆W𝜔 ∈ Ω ∧ 𝑠 4 (𝜔) ≠ 𝜙H を共有突出の集合とする.
例２ (続き)5 つのボールのケースでは, 𝑠 4 (𝜔& ) = 𝑠 4 (𝜔2 ) = 𝜙, 𝑠 4 (𝜔' ) = (3, 3) となる.

□
最後にフォーカルポイントを定義する. フォーカルポイントはナッシュ均衡であるが,どのナッシュ均衡がフォーカルポイントとなるかは各プレイヤーがどのナッシュ均衡が共有突出であると認識しているのかに依存する. ここで各状態 𝜔 は各プレイヤーの戦略集合上の分割や共有突出について記述がされているわけであるから, どれがフォーカルポイン
トとなるのかも併せて推論することが可能である. このとき, フォーカルポイントは次の7

ように定義される.
定義６

ゲーム 𝐺 において 𝑠 ∗ ∈ 𝑆 が 𝜔 ∈ Ω でフォーカルポイントであるとは, 𝑠 ∗ が 𝜔

で共有突出となっており, かつそれが共有知識となっていることである.
本稿のフォーカルポイントの定義には利得の条件を含めていない. これはパレート劣位なナッシュ均衡がフォーカルポイントになる可能性を認めるためである. なお, 各プレイ
ヤーの情報関数 Π! と注⽬関数 𝜋! は共有知識となっているので, すべてのプレイヤーはどれが共有突出となっているのか推論することができる. したがって, 「𝑠 ∗ が 𝜔 で共有突出となっている」という事象は⾃明な事象となるので, 定義２からそれ⾃⾝が共有知識である. したがって, 以下の注釈は明らかに成り⽴つ.
注釈１

ゲーム 𝐺 においてすべてのプレイヤーの情報関数と注⽬関数が共有知識となっているならば, 共有突出とフォーカルポイントは同値な概念である. したがって, 𝜔 を与えられたとき, 𝑠 4 (𝜔) ≠ 𝜙 ならば, 𝑠 4 (𝜔) はフォーカルポイントである.
フォーカルポイントは以下の性質を持つ.
注釈２

任意のゲーム 𝐺 においてフォーカルポイントが存在しないような 𝜔 ∈ Ω が存在するかもしれない.
集合 𝑋 に対して |𝑋| は 𝑋 の要素の個数と定義する. このとき, 次の注釈が成り⽴つ.
注釈３

フォーカルポイントが存在するならば, |𝑆 ./ | ≠ 2.

これはすなわち, ゲーム 𝐺 においてナッシュ均衡の数が２個であるとき, フォーカルポ
イントは存在しないことを意味する. この注釈は, プレイヤーは２つの均衡に対して均衡選択を迫られた場合, 戦略集合の分割だけでは区別ができず, 結果としてフォーカルポイン
トは定まらないと解釈することができる. この場合, ナッシュ均衡がただ２個のみである
場合には, フォーカルポイントは静学的に定まるものではなく, 動学的に決まるものであると考えることができる. 例えば, 歴史的な背景によってどちらがフォーカルポイントとなるのか変わるかもしれない.
以下では 𝑠 4 (𝜔) をフォーカルポイント戦略とよび, フォーカルポイント戦略に対するプ
レイヤーたちの期待効⽤について考える. ここで 𝜔 ∈ Ω を与えたときに, 𝑠 4 (𝜔) = 𝜙 であるならば, 任意のプレイヤー 𝑖 ∈ 𝐼 と 𝑠! ∈ 𝑆! に対して,8

𝑢! j𝑠 4 (𝜔)k =∑5%!∈+%! ∑5!∈+! 𝑢! (𝑠! , 𝑠-! )|𝑆|とする. これはフォーカルポイントがない場合において, 𝑖 は 𝑠! をプレイし, 他のプレイ
ヤーはランダムに戦略をプレイした場合の 𝑖 の期待効⽤となる. このとき, 任意の 𝑖 ∈ 𝐼
に対して, 𝑖 が戦略 𝑠 ∗ に注⽬し, 他のプレイヤーは 𝜔 で 𝑠 4 (𝜔) に注⽬したとき, 𝑖 が𝑠!∗ をプレイした場合の期待効⽤は,
4

𝐸𝑢! (𝑠!∗ ) = o 𝜇({𝜔}) ⋅ 𝑢! j𝑠!∗ , 𝑠-! (𝜔)k(∈$4となる. なお, 𝑠 4 (𝜔) = 𝜙 の時の 𝑖 の戦略 𝑠! (𝜔) = 𝜙! については 𝑖 は 𝑆! 上の戦略をランダムにプレイしているものと考える. すなわち,𝐸𝑢! (𝜙! ) = o
5! ∈+!

𝐸𝑢! (𝑠! )|𝑆! |とする. 以上の準備のもとで以下の命題が成⽴する.
命題１

任意の Γ = (𝐺, Ω) において, Ω 上の共有事前確率 𝜇 が存在し, 各プレイヤーのΩ 上の分割が共有知識になっていると仮定する. ある 𝜔 ∈ Ω が与えられたとき, 𝑠 ∗ が 𝜔< (𝜔) ( 𝜔% ≠ 𝜔 ) と 任 意 の 𝑖 に 対 してで 共 有 突 出 と な って お り , か つ 任 意 の 𝜔% ∈ Π
𝐸𝑢! (𝑠!∗ ) ≥ 𝐸𝑢! j𝑠!4 (𝜔% )k であることが共有知識になっているならば, 𝑠 ∗ は 𝜔 で最適である.

証明 Γ = (𝐺, Ω) において, Ω 上の共有事前確率 𝜇 が存在し, 各プレイヤーの Ω 上の分
割が共有知識になっていると仮定する. ある 𝜔 ∈ Ω が与えられたとき, 𝜔 の共有突出が< (𝜔) と任意の 𝑖 に対して 𝑢! (𝑠 ∗ ) ≥ 𝑢! j𝑠 4 (𝜔)k であることが𝑠 ∗ であり, かつ任意の 𝜔% ∈ Π< (𝜔)共有知識になっているとする. ここで「𝜔 の共有突出が 𝑠 ∗ であり, かつ任意の 𝜔% ∈ Πと任意の 𝑖 に対して 𝑢! (𝑠 ∗ ) ≥ 𝑢! j𝑠 4 (𝜔)k である」という事象を 𝐸 とおく. 𝐸 が共有知識になっているとき, その事前確率は 𝜇(𝐸) であり, 任意の事象 𝐹 の事後確率は 𝜇(𝐹|𝐸) =6(/∩9)
6(/)となるから, 𝐸 が起きた場合にすべてのプレイヤー 𝑖 が 𝑠 ∗ に注⽬し, それをプレ9

イした場合の期待効⽤と任意のプレイヤー 𝑖 が任意の 𝑠! ∈ 𝑆! をプレイした場合の期待効
⽤との関係は,4

4

𝐸𝑢! (𝑠!∗ |𝐸) = o 𝜇({𝜔}|𝐸) ⋅ 𝑢! j𝑠!∗ , 𝑠-! (𝜔)k ≥ o 𝜇({𝜔}|𝐸) ⋅ 𝑢! j𝑠! , 𝑠-! (𝜔)k = 𝐸𝑢! (𝑠! |𝐸).
(∈$

(∈$

従って, 𝑠 ∗ は 𝜔 で最適である. ∎この定理は真の状態におけるフォーカルポイントが必ずプレイされることを意味するわけではない. あくまで真の状態 𝜔 において, 𝜔 でのフォーカルポイントが最適な解の１つになることを意味しているに過ぎない. これは 𝜔 を含む ﬁnest common coarsening な< (𝜔) の別の要素 𝜔% を取り出した時, その 𝜔% でのフォーカルポイントを選分割の要素 Π択するときに得られる期待利得が 𝜔 でのフォーカルポイントを選択するときに得られる期待利得と同じである場合には, 均衡選択の問題が残ってしまうことを暗に⽰している. ⾔
い換えれば, 真の状態でのフォーカルポイントが⼀意の解になり得るとは限らないことを意味している.
< (𝜔) でのフォー
しかしながら, 𝜔 でのフォーカルポイント戦略を選ぶことが他の 𝜔% ∈ Π
カルポイント戦略を選ぶことよりも期待利得を厳密に⾼めることができるならば, 𝜔 でのフォーカルポイント戦略は⼀意の解になりうることは明らかである. 従って, 以下の定理は明らかに成り⽴つ.
定理２

任意の Γ = (𝐺, Ω) において, Ω 上の共有事前確率 𝜇 が存在し, 各プレイヤーのΩ 上の分割が共有知識になっていると仮定する. ある 𝜔 ∈ Ω が与えられたとき, 𝑠 ∗ が 𝜔< (𝜔) (𝜔% ≠ 𝜔 かつ 𝑠 4 (𝜔% ) ≠ 𝑠 ∗ ) と任意の 𝑖で共有突出となっており, かつ任意の 𝜔% ∈ Πに対して 𝐸𝑢! (𝑠!∗ ) > 𝐸𝑢! j𝑠!4 (𝜔% )k であることが共有知識になっているならば, すべてのプ
レイヤーは 𝑠 ∗ をプレイする.
この定理では, 𝜔% でのフォーカルポイント 𝑠 4 (𝜔% ) が 𝜔 でのフォーカルポイント 𝑠 ∗< (𝜔) である場合, 各プレイヤーが 𝑠!4 (𝜔% )と⽐べてパレート優位であったとしても, 𝜔% ∉ Πをプレイすることは最適にはなり得ないので, パレート劣位なフォーカルポイント 𝑠 ∗ がプレイされうる余地を残している.
この定理は⼀意のフォーカルポイントを推論によってプレイしうることを主張している
点で Casajus (2000) と Janssen (2001) の定理を⼀般化したものであるように感じるかもしれない. しかしながら, Casajus (2000) ではフォーカルポイントを⼀意に定義しているのに対して, 本稿はフォーカルポイントの候補が複数存在したり, あるいは存在しなかった10

りすることを認めている. その上で定理２は複数のフォーカルポイントの候補の中から実際にプレイされるフォーカルポイントがただ１つに決まることを⽰している点で彼らの研究とは本質的には異なっている. むしろ本稿の主要定理は Aumann (1976) の同意定理を⽤いた定理であり, Milgrom and Stokey (1982) の no-trade theorem の亜種と考えるのが妥当である.
例２を⽤いて定理２の内容を確認する.
５つのボールのケースにおいて, Ω = {𝜔& , 𝜔' , 𝜔2 } 上の共有事前確率を

例２ (続き)𝜇(𝜔& ) = 0.2, 𝜇(𝜔' ) = 0.6, 𝜇(𝜔2 ) = 0.2 とおく. プレイヤー A と B の Ω 上の分割をそれぞれΠ0 (𝜔& ) = {𝜔& }, Π0 (𝜔' ) = Π0 (𝜔2 ) = {𝜔' , 𝜔2 }；Π1 (𝜔& ) = {𝜔& }, Π1 (𝜔' ) = {𝜔' }, Π1 (𝜔2 ) = {𝜔2 }とし, 真の状態は 𝜔' であると仮定する. このときフォーカルポイントは (3, 3) であり,< (𝜔' ) = {𝜔' , 𝜔2 } となっている. また 𝜔2 ∈ Π< (𝜔' ) に対して,
𝜔' を含む分割の交わりは Π
𝑠 4 (𝜔2 ) = 𝜙 が成⽴する. すなわち, 𝑢! j𝑠 4 (𝜔2 )k = 𝑢! (𝜙) = 2.
今, 𝜔' のフォーカルポイントが (3, 3) であり, かつ 𝐸𝑢! (3) = 6 > 𝐸𝑢! j𝑠!4 (𝜔2 )k が共有< (𝜔' ) は⾃明な事象であるから, 「𝜔' のフ
知識になっているとする. このとき, 補題から Πォーカルポイントが (3, 3) であり, かつ 𝑢! (3, 3) = 10 > 𝑢! j𝑠 4 (𝜔2 )k が共有知識になって< (𝜔' ) ⊆ 𝐸 でなければならない. このときプレイヤー A もいる」という事象 𝐸 に対して, Π
プレイヤー B もフォーカルポイントであるボール３を選択した場合の期待効⽤は𝐸𝑢! (3|𝐸) =

0.6
0.2
4
⋅ 𝑢 (3, 3) +⋅ 𝑢 j3, 𝑠-! (𝜔2 )k = 8
0.8 !
0.8 !

であり, それ以外のボール 𝑠! ≠ 3 を選んだ場合の期待効⽤は𝐸𝑢! (𝑠! |𝐸) =

0.6
0.2
1
4
⋅ 𝑢! (𝑠! , 3) +⋅ 𝑢! j𝑠! , 𝑠-! (𝜔2 )k =
0.8
0.8
2

であり, 明らかに 𝐸𝑢! (3|𝐸) > 𝐸𝑢! (𝑠! |𝐸) となっている. 従って, プレイヤー A も B もボール３を選択する. □4. 結論と議論
本稿では突出とフォーカルポイントを静学的に定義し, ある状態でのフォーカルポイン
トが共有知識になっていること, その状態でのフォーカルポイント戦略が同じ情報集合における他の状態のフォーカルポイント戦略と⽐べてパレート優位になっていることが共有

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知識になっているならば, すべてのプレイヤーがフォーカルポイントを選択することを証明した. 本稿のアプローチは可変フレーム理論とは異なるが, フレームと呼ばれるラベルの集合を⽤いずにフォーカルポイントを抽象的にかつ静学的に定義することができた. また
可変フレーム理論で証明された⼀意の均衡のプレイとは本質的には異なる⼀意のフォーカ
ルポイントのプレイについて, 同意定理を⽤いた証明を提⽰した.
本稿の主要定理は⼀⾒すると Aumann and Brandenburger (1995) が⽰した予備的観察を焼き直したもの, あるいはその劣化版のように⾒えるかもしれない. Aumann and
Brandenburger (1995) では相互作⽤的信念体系 (interactive belief system) と呼ばれる枠組みを⽤いて, 均衡のプレイについての条件を分析した. このとき彼らの予備的観察では「すべてのプレイヤーが合理的であり, ⾃⾝の利得関数を知っていて, 他のプレイヤーの選
択を知っているならば, その時のプレイヤーたちのプレイはナッシュ均衡になる」ことが⽰された. この予備的観察では我々の定理２とは異なり共有知識を仮定していない点で,我々の定理２は彼らの予備的観察よりも劣化しているように感じるかもしれない. しかしながら Aumann and Brandenburger (1995) では状態空間上の状態について, どのプレイヤ
ーが何を選択するのかについてまで記述されていることを仮定しているのに対して, 我々の状態空間上の状態は, あくまでどの戦略がフォーカルポイントとなりうるのかのみを記述している. したがって, ある特定の状態を与えられたからといって直ちにその状態から他のプレイヤーの⾏動を予想できるわけではなく, 他のプレイヤーの⾏動を予想するためには, さらに推論を重ねなくてはならない. すなわち, 我々の情報構造モデルは Aumann and
Brandenburger (1995) の相互作⽤的信念体系とは異なっている.
ただし, 本稿にはいくつかの課題がある. 本稿のモデルの場合, ナッシュ均衡の数が２個しかない場合には定義上フォーカルポイントが存在しないことになっている. これは⼀度きりのゲーム的状況に突然直⾯した場合に, 判断材料がないために特定の均衡戦略に着⽬することができないようなケースを反映していると解釈できるかもしれない. しかし
Schelling (1960) では被験者に表か裏かを選ばせてパートナーと同じものを選んだ場合には報酬がもらえるような実験において, 表を選ぶ被験者が多かったことを実験で⽰している. また繰り返し的な状況であれば, ナッシュ均衡が２個しかない場合でも学習によって特定の均衡がフォーカルポイントとなることがありうるかもしれない. そうした場合, 本稿
での定式化とどのように整合性を取るのかが重要な点となるだろう.
また Charness and Sontuoso (2023) のように他のプレイヤーの戦略集合の分割についての無知を加味する必要があり, 本稿で⽤いられている標準的な状態空間モデルを Heifetz,
Meier, and Schipper (2013) が提案した不可知信念構造モデルに置き換えて分析していくこ
とも視野に⼊れる必要があるだろう. Charness and Sontuoso (2023) のモデルは具体例を⽤いた分析にとどまっているが, 無知とフォーカルポイントとの関係について「知識の節約」という観点から極めて重要な点をついているように思われる. これらの点を今後の課題として取り組んでいきたい.

12【参考⽂献】
Aumann, R.J., (1976), “Agreeing to disagree”, The Annals of Statics, Vol. 4, pp. 1236-1239.
Aumann, R.J., and Brandenburger, A., (1995), “Epistemic Conditions for Nash Equilibrium”,

Econometrica, Vol. 63, pp. 1161-1180.
Bacharach, M., (1993), “Variable Universe Games”, in K. Binmore, A. Kirman, P. Tani (Eds.),
Frontiers of Game Theory, MIT Press, pp. 255-276.
Bacharach, M., and Bernasconi, M., (1997), “The variable frame theory of focal points: An
experimental study”, Games and Economic Behavior, Vol. 19, pp. 1-45.
Bacharach, M., and Stahl, D.O., (2000), “Variable-frame level-n theory”, Games andEconomic Behavior, Vol. 32, pp. 220-246.
Charness, G., and Sontuoso, A., (2023), “The doors of perception: Theory and evidence offrame-dependent rationalizability”, American Economic Journal: Microeconomics,
Vol.15, pp. 309-344.
Casajus, A., (2000), “Focal Points in Framed Strategic Forms”, Games and Economic

Behavior, Vol. 32, pp. 263-291.
Heifetz, A., Meier, M., and Schipper, B.C., (2013), “Unawareness, Beliefs, and Speculative
Trade”, Games and Economic Behavior, Vol. 77, pp.100-121.
Janssen, M.C.W., (2001), “Rationalizing focal points”, Theory and Decision, Vol. 50, pp. 119148.
Milgrom, P., and Stokey, N., (1982), “Information, Trade and Common Knowledge”, Journalof Economic Theory, Vol. 26, pp.17-27.
Schelling, T.C., (1960), The Strategy of Conﬂict, Harvard University Press. (河野勝監訳『紛争の戦略：ゲーム理論のエッセンス』2008 年、勁草書房)13

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