Sci.Rep.KanazawaUnIv.，
Vol.10，No 2，pp.6
3‑
67December1965四Absolute convergence of Fourier series
with a gap condition
by.
ANoboruMATSUYAM
Detartmen
tofi
Vlathernatics，Facu
ltyofS
cience，Kanazaw
aUniv
ersity(Receiv
巴d 2
1September1965)

1. Letth巴 L integrablefunctionf(x)，withperiod2，‑n h旦vetheFourie
rseries司

1J
I'''ll︑︑町‑‑~ao 十2::: (apcospx+bpsinpx)，

p=l

where

ap=bp= 0，fo
r1りヂ nb
(1.2)

p=O，
1，2，.
.•

J
江主可弘∞，ルConceringt
heorde
roft
heFou
r
ie
rcoe
fficientsoff(x)andtheabsolut巴conv
ergenceoft
heFourierseriesoff(的， N.E.Noble(1J，P.B. Kεnnedy (2，3)，M. Tomie[4JandS.M.Mazhar(5Jprovedveryi
nterestiogresults. On巴 oftheNoble'sassertionsisasfollows:
SUlゆose(1.
1) and (1.2)，andf(x)satisfie
saLiJりschitzcondition of order a，Oく αく 1，insomeintervalIx‑XoI~三 ò ， thenforß くぴ問。̲:12ρμ 百(lapl十九 1)<∞P=l1nthepresentpape
rwehavetriedtoobtai
naki
ndo
fa
nalogousmodi
ficati
o
noft
h
efo
llow
in
gw
el
lknownWiener'stheorem.

LetF(x) beLebesguei
ntegr
ablei
nt
hei
nter
v
al (π ，π) w
ith jうer
iod 2n‑.1fateverypoiniy ontheclose
dinterval(π ，πJ theree
xistαfunctionGy(x)andao>0sucht
hat(i) Gy(川 口 F(x)for Ix‑ylく o，and(ii)theFourier serie
sofG
ν(x)ishent
heFourie
rser
ie
sofF(x) isabsolute!
yconv
ergent.
absolutel
yconv
ergent，tWeshallshowthatthefollow
ingtheoremw
illbeestablished.

lJノ/fE¥

1・︑︑・
1Theorem. Letf(x) satis
fy(1.
1) and (1.2)
.Ift
heree
xis
taninterv
al Ix‑xol<oandaf
unct
iong(x) sucht
hat(i)
g(x) = f(x)forI
x‑xolく 3g(x) ‑ !
ao+2::(apCOS px+spsinρx)‑ 63‑

Nobor
uI'ilATSUYAMA

64/ft¥.
ー‑1︑・1司ノAI.
: (japj+Ispl)ω(p)く C O，

P=lwhereω(的 isafunctiondefine
don 1~玉おく∞， andsatisfyforanyy ミ 1，andabso~luteconstantsC，Cl andC2
寸ムfu

く/与一

一旬
hd

く一二手一
Z 一広
く一一一
くニヱyω

由一

thenz 一広戊一n
E 一‑‑m 一日(1.3)

Oく 臼 (x)豆C2XCI.
:(japj十 jbpj)
ω (t) く∞Asaspecialcase，ifwetakeω(t) 1，fort=1，2，.・・， thenweobtaintheabove
mentionedNoble'stypetheoremo
fVViener'sone. Moreoveri
f wetake，onCー π，7C)ニg(x)εLipα9iく á~三1andω(ρ )=1，t =，12，.
.。

g(x) E L
ipα ，。く d豆 1andg(x) E BVandω(t)=l，t=1，2，.
.。
•1g(x) E Lipa ，0く d三 1and臼(jう )=t1nj"
sく a ，t =，12，・因。
g(x) E L
ipa ，0< a三 1andg(x)EBV，ω(ρ)ニ tsJ2，sく a，t=1，2，.

thenfrom ourtheor
巴m，we obtai
n Theorem 3，Theorem5and Theorern 4(ii)of
Noble'spaper，respectiv
ely。

2. Wesuppose，withoutany1
0ssofton
ε nk sucht
hatex
istsatl
e乱s
(2.
1)

1，2，.
，. ther
ethatforeach附 =0，2川三三 nkく 2tn+2I
fotherwise，wernake2m+1 aterr
nofthesequence{的}. Moreoverwe mayassurnethatxo=0.
Puttingforεachh=1，2，.
・・fk(X) = f(x 十寸宅~. )‑fム(2.
2)

抑っ主ァ)，白ι的 )= g(x十 寸)‑g(x‑ke山san 同，，~" k ，)

LJ u't

J:JJ'l.

then伽k抑erko (=ko(o))sucht
hatfor凶く十oa
nd jxJ(2.3)

andtheFourierserieso
ffk(X) andare，respectively，fμ)~~ 三 2 (sin-!:~p=o(2.
4)白 川k)tX)，gk(X)‑ 呈 2(sinっ壁一) (spCosμαρsin
p=oNowi
fwepu
tfori

kJ

n'k

1，2，・・・Mi‑1，thent
hesequεnceo
fintegralnumb
色rs{I，4! Jsatis
fiesAbsolutec
onv
er
ge叫ceofFourierseries討 ith{j gapconditio叫M，<nルポ(2.
5)

町

け一65一lim ，
̲ Ni→∞ lOg ni

Weconsid巴rthesequenceo
ftr
igonometricpolynomials{T"(x)}，which'Nasde
finedbyNoble C1Jandhast
hefollowin
gproperties，
且fTM(ぉ : S dpcostx， dop=o(i)ート for xlく十，ITM(x)1豆 A1tFf/{¥・‑︑︑.
‑(2.
6)

1ミト(‑A3oM) for 七"1￨九州孟Az叫JJf‑‑¥

I・‑︐︑・1

whereA1，A2 and1，aI巴 someabsoluteCOl1stants.

hefrequencyof巴achterms ofTMi(x) cosniX liesi
nt
hei
nterv
al
By (2.
6)(i)，t(n，‑ M ni+M)，andi
け，ni‑Mi:>rti‑Ni‑
ミni‑(ni‑n‑1)ニ ni‑l(2.
7)

Jli十1111，く 叫 十 N i二‑(n，十 l‑Jli)=Jl， +1
五 Fム1By (1.
1)，(1.
2)，(2.
4) and (2.
7)，wehavem 」今一1‑¥，，!(x)cos x dx=土nk

2ムJlι

π J‑ん

1:
1一π¥!k(x)T"L(川 cos仰 向一π=十いん (X)TMi(的 cosnバ山一卜
十 1(!k(X)‑gk(X))TMi(x) cosn.xdx
一πn=t.
，十q;.

By (2.
3)，(2.
6)ancl(2.
2)

￨ 山 + ¥ x(1，，!(x)1+1山)!)A2 叫(‑A刈Ixl迄五)dx

π話A

2 位p(‑A3o M，) ~2(1!(x)1十 Ig(x)l) dx 豆 ん 叫 (‑A3oM;)

一πOntheotherhand1うi，i=1，2，• • • ，ismorecomplicated. Byrεasonof(2.
4)，(2.
6)，(2.
5) and (2.
7)π

ム=十三2(sin :~) ¥(ん cosμ ‑ a sin抑 )TMi(x) cos仰 のp=okp

L.
tJ't.

7c∞. πP¥rQ::8(sin五::‑) (sp・‑二‑ ¥ TM，(x) 2cospxcosn;x dxp=ok.
t.
t J'bμπーαp@÷iTEz(山 in仰‑iCcos仰 向 )NoboruMATSUYAMA

66き(sin子与).ßp ・-ι~ TM，切 )cos(ρ ゅ dxp=o~""k・一πL::，
̲.̲(sin2:~nk/)
・tpd
L:
:，
̲̲(sin竺主).spdn，‑
pp一%十;:"， p~p-ni .
o~ni ̲P三;:M，~... 2n，，O三五ρ‑ni三 M ，~...

Sinceby(2.
6)wehave，fdpl~玉 A5 fo
rt=O，1，2，.
.
. Mi' uniformlyini，￨あ￨主主4.5

L::的 ‑1<ρく ，ni+1IspI

andfork~玉 ko我i
話 A4 p(‑AadMi)+ A5
L
:
:
Ispl
‑1<ρ+12hinnis

1位的

く的

BythesalUereasonweobtain，fork~ko ，12dnzSinFL￨話 A4叫ん 四k I(‑AadMi)+ A5均一

L:
:

同￨l<P
く 的+1

Thusweobtain(2.
8)(Ian十九 i1)孟A6exp(‑AaoMi)+A5
L::(lapl+Ispj)
iIni‑1<
ρく 的+1
三三 P汁 Qi，providedthat(2.
9)

h ミ~ko ，÷nkくni;;;;'nkI
fwedenotethelargestk suchas 2m‑1<叫 壬 2 by k'=k'(m) andsu
c
has
隅べnk
くさ .nk1，byk"=k m)，thenby(2.
8)wehave

51(iail+lbi￨)曲 ( n $ ) z E 7 z(lah￨+lb l)の (ni)+A7=1 2 4 く均三玉 2mi=l

包

叫刑。
。

:t•ni)十 A7Qiω(L::ni)+
豆 i i z p $ ω(=1 2 1 <m=l 2 ‑1く均三五 2均三五 2m冊

隅隅冊一Qiw(ni)+A7i:;
ω(ni)P汁:;
L::
L::= A6 im=l量的'くntく nm=lきk'
的<nk'nk'<==P+Q+A7)
2.
5)and(1.3ee，by(ytoss回 sIti。

五 z 一元一く∞xp(‑AaoMi)く呈」玄 三
P = 2AAω (ni)e，‑i=l ，i=l "i=l'i(2.
10)

2.
8)
therhandby(heoOnt
ω(Clapl+Iん1)
ni)L::
Q =L::::̲ L
1き岳町， ¥nk'<n均一1<ρ話的棚田}Ltl

F伺何Mg

ρur︑︑︐︐︐十ft¥，L:nく ρ <向 +1d+ω (ni)‑
flbsolulec
ONvergenceofF凶 rierseriesw
ithagゆ condit
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67，，， "./h?:‑11'，"(什!
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州バp1)川 ωZ丸ι川J)‑
1叫nh川紙什川十刊1)η)占ηk'
く舟判 く 't，b

海?却町よJlnk"く β三 1'tk"
吐=2 I::同∞(1向い‑1spl)(w(nJイ 臼 (ni十 1)):z.
=ω(n;)十臼 (n;ぽ〉一一一一一一一一一min(w(p);n;くp~玉 n; +1)i=1 ni
く戸手持什 1=nk' くlう~tlkl十 1:
8

1 niく ρ
三1
Zi
ト1

2 :
Eエ
3

叶
(αi的p[+[spj)臼 (nk +1) 一斗ト戸←斗トb

卜い川一+什一"，，，υ￨
αpバl←ト叶1sp[)
G臼ρtベ》(nωkμ1)~([apj+Iん1)臼 (ρ)

As :8(1αpl+Ispl)臼 (p)This last fonnular follows from (1.3) 旦nd (2.
1).Fro111thisand (2.10) weobtainI::(1apI十￨んj)臼 (ρ) 三 A9 I::Claplト￨ん ￨ω(ρ)く ∞pRefenmces(1J M.E.Noble，Coeffici
邑ntpropertieso
fFourierserie
swit
hagapcondition，Math.Annalen，

128(1ヲ54)，
55‑
62.
【2J P.B.Kennedy，
Fourierserieswithg
aps，
Quart.Jour.Math.，
7(1956)，
224‑
230.

一
一一一一一
̲， NoteonFourier series with l‑
Iadamard gaps，Jour. Lond. Math. Soc.，39(3) 】(1964)，
115‑116.
(4) M.Tomi
ふ Ontheordero
fmagnitudeo
fFou
rierco巴fficientswithl‑Iadamard'sg
aps，Jour.
Lond.Math.Soc.，37(1962)，117‑
120.
(5J S.M.Mazhar，Ontheabsolut
邑 convergenceo
faFourierserieswit
hgaps，
Proc.Nat.Inst.
Sci.I
ndia，26(1ヲ60)，104‑
109.