Sci.
R♀p.KanazawaU
niv
.
Vol.2
9No.1pp.9‑14
Jun
己 1
984

SupplementaryNotesonGaloisGroups

CentralExtensionsofAIgebraicNumberFields

YoshiomiFURUTA
Departmeniof，Kanazawa Univ
ersityF
acultyofScience(RεcelV
邑dApril16，1984)
Abstr
act.Therelation
sbetwe巴11G
aloisgroupsofcentr
alextensionsandthoseo
feverywh
巴relocallyabelianc
entra!ext
巴nsionsar
est
uc
1i
ed
Introd阻む tion
LetbeatowerofG
aloi
sextensionsofalgebrai
cnumberf
ieldso
ff
i
ni
t
ed
egr
ee.
ontai
nedinM. L
etK* KMo，which
DenotebyMot
hemaximala
belia
nextensionOV巴rkci
scalledthegenusfieldforM/K/k. WecallLacentraiextensionofK/ki
nM whenLi
sGaloisextensionoverkcontainedinM andGal(L/K)i
scontainedinthecenterofGal(L/K). WecallLanEL‑abeliancentralextensionofK/ki
nM whenLi
sacentralextensiono
fK/kinM andeachlocalcompletionofL i
scontainedinthecompositeo
fthelocal.
completionofK andana
belia
nextensio
nofthecorrespondin
glocalcompletiono
fk
Denoteby Rresp. Rorby
resp. K
Mthe maximal central extension resp. theoncerningmaximalEL‑abeliancentr
alextensionofK/kinM. Therea
resev
eralpapersl) crKoverkandoverK*. Howevert
herelationsbetweenG
aloiswithG
aloisg
rou
pso
fRo
g
rou
pso
fKandKar
enotwrittenεxplicitly2l. Sowes
halltreatitinthepresentpapersrather
εxpo
sitor
y. Especiallyt
hefir
sthal
fpar
ti
swell
‑
kno
明'
11，but(Theorem6) whichiwerepeatitwit
hsomechange
sofarrangementf
orthesakeo
fc
onv
εni
ence.
二ヲ

1. Throughoutthispaper，weu
sethefollow
ingnotat
io
nfo
rana
lgebr
ai
cnumberf
ieldF
andGaloisextensionL/F.
FabplFp

1ianextensionofF
Maximalabe
MaximalGaloi
sextensionwhichi
sexerywherel
ocallyabelian
LocalcompletionofF ataprimep1) Seefori
nstancether
efer
日nc
己 att
hee
nc
1ofthispaper2) Cf.He
ic
1er[5] ，whic
hpartlyconcemswiththerelation9‑

YoshiomiFURUTA

10JFIdelegroupo
fF
Multiplicativ
egroupofnon‑zeroe
lementso
fF

FX

coincideswiththegroupofidelεsofF
1assproupofF
IdelecGaloisgroupo
fL/FKernelo
fth
enormresidu
emap →
Nonτ1mapo
fLtoF
FーnthatistheideleKernelofthenormresiduemapJ
toL classfiεldldelec
1assgroupofF
toL clz，
ssfield

CF=group
二Kへf(andR2.

asinwεaddt
henotationkkk

Tidy‑JY1JOKAK*K

同 uyundTHHJn

一一一一一一Kム K ホK︒
︐OGroupo
fideles{l of sucht
hatNKfI' {lニ lGroup
乳 1ideles{llσ ，where(lE.Jf( andσε G(K/k)
ofidelesaofλ.suchthat!ずに '1. αε lz
XヲofkandPaofKov
erp.
Letpbea
Westartourdiscussionfromthec
aselVi Kab
二PROPOS!TIO
N1. LetM =Kab.

日(K"/K)二 J
K二Theη

1¥
1山(2) 日 ( 立 二JiDE(3)=JKDKProof.(1)andニ

Putfollow

Iromclassfield

TNehavealso♂ K什nニ

G(Kp/kp.
) ThensinceH‑l(G，.
h)壬:"2H‑1(Gp，Kp)，wehaveJ;
くHence3) H(立/K)二 日 玉 川 K吋 立TIl'叫んは)
F=il

1(l)
.
D]
("。Dk二J;{.

PForageneralcaseo
fM，PROPOSITION 2(1') H(K~/K) ェ JJ~ H(M/K)(2') 日(立川町ニ忌日3) Cf.l
VIasuda[8J丘ndlVIiyakε[9JH(M/K)ニ K"NM，wehavethefo11o司吋Cc河 ImlExtensicms11=J;;
3. A commutative。

。

。
1M。
→KX →→一O

ター一lλo--~，Kλ歩一今一〉。

C"↓ρ。 →J→O→レ、。

。

impliesthegrou
ps，where(非)ofexactsequenceso
fstandsforH

↓i.
;
A̲̲̲̲
̲
̲ ，̲̲，…→ H‑l(KX)ー → ー → ー → 一 一 〉 町( 再 ↓x'!
λ→ H-l (l(X)~:一日 '(h)仁川

fL m m ‑今日。(3K) →lρ立日↓Fhio(日 瓦↓4. Letゆ beaf
initegroupandφbeanonnalsubgroupo
f⑤@ LetA b日 a@‑moduleand
NflbeanofA defined
ニ Eσ'a. Put0ぷ 二 Kerト!の andlet自白b
εσE.¥)thehomomorphismofA)to
乱 N争 inducεdfrom
Dεnoteby1，¥¥thεi!
).
augmentationi
dealofthegroupringZ(PROPOSITIO
N3([3，Proposition6J)， Notation
N品as目‑l(争 ， → H‑1(@，A) →H‑l(匂/争， N0A) →Oωehavetheexactsequence

YoshiomiF
URUTA1
2GaloisextensionwithG
aloisgroup@
ニi4
PROPOSIT
ION4. LetM/K/kbeatower
争 =G(fvl/K)andG=Thenλωhereλ is̲H‑l(@，CM)=DefloG

ned η theexactsequeηce(洋)inSection3.

圃BydefinitionofDef
トふ wehaveCM)
;
:;
:
Def
¥G(0ぷCM)/I申CM)
ニoDefoい→助 ニ ベN，iCM)/
I，i尉CM=ν珂 ぉ 助 ， CM.
):i Nowwecanprovetheoftheorem

2andt
heexactsequence併)

grou
ps.

THEOREM5. Letfv'[/K/kbeα tower Galoisextensions0/grou
ρs@=G(l¥1:/k)andG=
The幻 wehave

立*(4)H‑l(G，withGaloisνH‑1(G，C(NII/K))

CM )
三日(5)

;
:nN

竺o"
H‑1(G，K)(.(γパKlk

λC(M/K))三 δコ
日;: O"H‑3(G，Def(li̲ゅnH(M/K))(6)
主hl/u#H‑l(G，(4). Theexactsequence(わKer♂

Z)

H

H‑l(G，λ#H‑1(G，C(M/K))竺 Im

問。 H(M/K)!
H(M/K)

ご 日(K:1/K)/H(食M/K)主J~ .

Ontheother
1CK)/λ詳
日一H‑(G，itfollow
sfromProposition3andProposition4thatC(M/K))ニH‑l(G，CK)/λロ 向 =
H‑1(G，CK)/DefGGH‑1(G，CM)司4) C
f.Shi問[15JandKuz'min[7，p. 1l 52~ J

CentraIExiensions

13，Prool01(5). WehaveH(K~/K)= {aεJK;NKka三日 (M/k)=kXNM1dM}byt
ranslation

theoremofclassfieldtheory. HenceProposition2implies

K

G(RM/K~;)

三 H(K;I/K)/
J H(MjK)~ N
Klk
H(K:l/K)jN
K
ld.
i(M/K)(kXNM1dMnNK1kh)/N町 kK^.NM1dMn

三 (kX円 NK
lkh)/((kX NKlkh)パl'hn，K".NM1dM)
ニ(kX円 ・ (kXn
NM1dM)

ItiswellknownthatkXn
NKldK/NKlk
Kx Keri#ニ 1mandalso(kXnNMldM).NKlk
Kx/二kXハN川
N川 KXニ (Prool01(6). ByPropositio
n2，(2')and(3')，wehave，

川G(KM/立三J町 dK• K^.NMldM /J~ .KX.NM~ J Kν叫/江J 日K 什(リJ~ .KX・NM1dM)
ニ JK /J~(J;(什 KX .

主 (J;dJ~)/(J~ ・n H(M/K))/
泊

三 H‑1(G，JK)/}(#H‑1(G，H(M/K)).

Remark. (i) Theformula(4)ofTheorem5isobtained5) immediately，ifweuseHochschild‑Serreexactsequence(ii) IfM issu
fficientlylarge，wehave6)DO¥̲GH‑3(@，Z) O.HenceTheorem5impliesXG(KM/K~) 三 H-3(G ， Z) and7) G(立M/K~) 三 δ 先日 -3(G ， Z)三(kトscalledハJKlkh)/NK1kK，X whichi
二numberknot.
THEOREM 6.

。一→Wehav
ethelollowi
ηg e
叩 ctsequence.

G(食M/立川¥1

一→G(食M/K~)

一→¥1

G(立M/K~)I1
1

H‑1(G，h)j*
H‑1(G，CK)o'J#H‑
1(G，CK)
0‑‑> )(nH‑
1(G，H(M/K)) ー → λ世 l(G，C(M/K))が λ官 l(Gフ C(M/K))
少1115)SeeH巴ider[4，S2J6)Se邑 Heider[4，S4J，Miyake[9J呂ndYamashita[16J.
7)SeeMasuda[8，Theorem 8JandHeider[5，Satz 7J.

→O

1
11一一う Hリ

YoshiomiFURUTA

14StlE[‑l(Gフ Cl()

H‑l(G，Def品→ c
H‑1(@，Def由~G が日一。

¥11l1
I

#g‑3(G，Defa Gd#H‑3(臥 Z)

H‑S(G，GH‑3(@，→吋wher
ej ando* areinduced
市C 1V1 )j#ando#isαsin(的 in3.

ThetheoremfollowsimmediatelyfromTheorem5andthe1111111

L﹁HドlbuKM
H
GA小川ε一マが。

w ぐげ︑持a
日 K
efjft
=Imi
#ニ

R

j#H‑1(G，. h } η λ = K e ro
#什1mA存 =λ耳目 l(G，行い町川.土γM
J1︑A T λities.

Re
1feJ
relilcces[1J A Frohlich，Onfieldsofc
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sandth巴r
ankofidealc
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so
fcong
r
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USSRI
zv
esti
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ind，alsErzeugεrnichtabelsch
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lgebr
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