フィードバックとビーム不安定

来るバンチからの電磁波が、この電磁波エネルギーを大きくするように働くと (共振)、エネルギーは増大を続け、ついにはバンチに影響 (振動) するように

はじめに

1

多バンチのビームを蓄積リングに蓄積すると、ビームが作り出す電磁波と、高周波加速空洞をはじめとするリングの真空容器構造や、真空容器内のイオン、電子雲などが相互作用し、ビームが不安定になることがあります。このテキストでは、ビーム不安定現象についてまず簡単な例で説明し、その不安定を観察・抑制するために用いられるバンチフィードバッ
クシステムについて、SuperKEKB 加速器のシステ
ムを例に概要の説明を行います。ビーム不安定についても、あるいはフィードバックシステム (自動制御) についてもそれぞれその背景には発展し続ける理論があり、それぞれが立派な本になるほどの量があります。このためこの講義の中で詳細に説明するのはあっさりあきらめ、ちゃんと理解したい方は巻末の参考書 [1, 2, 3] などで各自学習を進めていただ
ければと思います。
本講義では、始めにビームが持つ信号成分について簡単に復習し、手軽なビーム不安定の例として、
どの円形加速器でも起こせるロビンソン不安定について説明します。また、多バンチ蓄積で観測されるビーム不安定のモードについても概説します。次にフィードバック系の概要を紹介し、個別バンチフィー
ドバックシステムについて、SuperKEKB 加速器での例をもとに各要素をおおまかに説明します。最後に、バンチフィードバックシステムの実用的な応用例についても SuperKEKB 加速器をもとに説明します。

なります。バンチが振動し始めると、さらに大きなエネルギーが供給されるようになり、ますますビー
ムの振動を大きくしていきます。このような現象をビーム不安定 (Beam Instability) と言います。
一方、電子 (陽電子) 円形加速器では、ビームは放射光を出す事により失ったエネルギーを高周波加速空洞から補給されますが、このことにより振動は減衰されます。この放射減衰の減衰時定数 (振幅が 1/e になる時間) は、例えば SuperKEKB 加速器の場合、進行方向 20 ms (2000 turn) 程度、横方向 40 ms (4000turn) 程度ですが、この減衰率よりビーム不安定の成長率が早いとビーム不安定がおこり、振動 (進行方向や横方向) を始めてしまいます。大電流、多バンチの加速器 (ファクトリーマシンなど) では大電流を蓄積するため、それでは不安定の成長率が低くて無視できていた不安定源の影響が無視できなくなり、また多くのバンチがあるために複雑なモードでの不安定が起きやすく、チューニングで逃げることが難しくなります。一旦ビーム不安定が起きてしまうと、電流は積めなくなるし、ビーム品質 (サイズ、安定性)は大きく損なわれるので、加速器の性能を大きく損なってしまうことになります。
このようなビーム不安定から逃れるためには、まずは不安定の原因を加速器真空要素から取り除く努
力を行うことが必要です。HOM の無い、あるいは大幅に減衰させた高周波加速空洞の設計、電磁波が捕獲されないスムーズな真空チェンバーや真空フランジなどの開発が必要です。次に、たとえビームが振動し始めたとしても、振幅に依存して振動の周波数が2ビーム信号と不安定

自動的に変わるようなメカニズムを用意しておくの2.1

ビーム不安定ウ空洞などの高次空洞の導入などがこれにあたりまも有効な手段です。六極以上の多極磁石導入、ランダ
す。これらに加えて、振動を検出し、抑制するフィー

円形加速器中を周回するビームは周りを囲んでいる真空容器 (真空チェンバー、加速空洞、フランジやベローズなどのチェンバー等の繋ぎ部分) の構造が変化するところで電磁波を放出します。運悪く、次々

ドバックシステム、特にバンチ毎の振動を個別バン
チ毎に検知し、それぞれ個別にフィードバックする個
別バンチフィードバックシステム (bunch by bunch

feedback system) の導入が、今では常識であると考えます (筆者の商売上の常識かも知れませんが)。

2.2

バンチが作り出す信号

簡単のためバンチ長 σ のバンチを考えます。ある
時刻におけるビーム電流は時間領域では
t2

Ib (t) = Ae− 2σ2図 3: フィルパターンが一様でない場合のスペクトラムと表せるとします (通常の電子、陽電子リングの場
合)。この分布をフーリエ変換して周波数領域にすない普通の真空チェンバー中で、段差、あるいは構ると造を通過するとき、チェンバー表面に捕獲されて振ω2I(ω) = Aσ exp(− 1 )2 σ2

動を続けたり、あるいはチェンバー表面や構造物で熱に変わることがあります。この様な電磁場のこととなり、バンチ長 σ の逆数で 1/e となるような、ガウを Wake ﬁeld(航跡場) とよび、モニターの立場から

ス分布をしています。例えばバンチ長が 7 mm (=23は不要なノイズとなります。

ps) では 1/e となる周波数は 6.8 GHz となります。

真空チェンバのどこかで発生した wake がモニター

次に、図 1 のように電荷が全て等しく、一定時間まで届くかは、その wake の周波数が、チェンバー

間隔 (時間間隔 1/2πωRF ) でやってくるバンチ列をの持つ導波管モードカットオフ周波数より上か下か考えます。 この信号を周波数領域で見ると図 2 のにより大きく異なります。というのは、導波管モードで伝搬する電磁波のチェンバー壁でのエネルギー損失は小さく、遙か遠くまで伝わるからです。真空チェンバーの導波管モードのカットオフ周波数は円形、あるいは長方形の断面を持つものについては解

図 1: 一定間隔で来るバンチ列

析的に求めることが出来 [4]、例えば半径 a の円形
チェンバーでは、最も低次の導波管モードは TE11
モードで、その周波数はa×ωc= 1.841cという関係式で求めることが出来ます (c は光速)。例
えば ϕ64 mm の円形チェンバーンでは 2.74 GHz に
図 2: 周波数領域で見た信号なります。円形とかでない一般的な断面形状のチェンバーでは、電磁界計算コードで二次元問題の固有ように、ωRF の n 逓倍成分だけが残ります。実際の値を求めることでも、あるいはもっと横着して三次ビームは、図 3 上の様にバンチ毎の強度が異なりま元モデルの S パラメーターを周波数をスイープする

すので、周波数領域で見ると、図 3 下のように nfRF

ことでも求めることが出来ます。

のラインの間に、バンチ強度のばらつきに対応する

カットオフ周波数以上の周波数領域では、とにか
frev ごとのスペクトラムラインが現れます。このよ く遙か彼方で発生した信号が飛び交っていますので、
うに、ビームから放出される電磁波が、完全導体で モニターに入ってくるノイズレベルが上昇しますし、ビーム不安定の例

本来の信号レベルも影響を受けてしまいますので、 3精度が必要な信号観測には使えません。wake を捕獲する構造にとっては、逆に比較的簡単に信号が構造体から出て行って (Q 値が下がる) どこかで勝手に熱に変わってくれることが期待できるので、カットオ
フより下の周波数に比べてあまり気にしなくてもよいケースが増えます。
カットオフ周波数以下の周波数領域であっても、
カットオフ周波数に近い信号は、発生源からある程度の長さは減衰しながら侵入していきますので、モ

3.1

Wake potential

ここから、有名な A. Hoﬀman のレクチャーノー
ト [6] に従い、進行方向のロビンソン不安定という現象を見てみます。まず図 4 に模式的に書いてある様な、空洞共振器がリング中にあるとします。等価
回路は右のようになり、並列共振回路を電流 I でドライブする形となります。この空洞を電流 I でドラ

ニターの近くに発生源 (段差など) がある場合は注意が必要です。この侵入する長さ ∆z(強度が 1/e になる長さ) は

∆z =

2π

λc
√
1 − (λ/λc )2で表されます [5]。ここで、λc はカットオフ周波数

図 4: 空洞共振器に相当する波長です。例えば ϕ64 mm の円形チェン
バーで、2.5 GHz の wake の侵入長は 42 mm です

イブするときはが、2.7 GHz の侵入長は 102 mm となり、結構入っV +てくることになります。
ここでもう一つ、真空チェンバーの skin depth について紹介しておきます。ビームが作り出す壁電流
成分は、有限の電気伝導度、厚さを持つ真空チェン
バーでは周波数により大体表面から skin depth δ の範囲を流れ、√
δ = 2/µσωとなります。ここで µ は透磁率、σ は電気伝導度です。
例えば室温の銅に対しては、10 GHz の skin depthは δ = 0.7µm、10 kHz では δ = 0.7 mm となりまωrωr Rs ˙V̇ + ωr2 V =I
Q
Qという微分方程式が成り立ちます。ここで√
1Cωr, Q = Rsωr = √,α =L
2Q
LC
を使うと、初期条件 0 のとき( √V (t) = V̂ e−αt cos ωr

もちろん、厚い (かつ丈夫な) メッキを施すのは必ず)とすると、capacitor の電圧はV (0+ ) =ばステンレス合金であっても、ある程度の厚みの銅発熱をある程度抑えることが出来る事が分かります。

1
t+ϕ
4Q2

となります。ここで、初期条件として I(t) = qδ(t)す。ここから、電気伝導度があまり良くない、例え
メッキをすれば、加速器内で使ってもビームによる

1−

ωr Rs
q
=
q
C
Q

capacitor に貯まる energy はU=q2
ωr R s 2
V (0+ )=q =q = kpm q 2
C2Q2

しも容易な話ではありませんので、それなりの技術となります。ここで、kpm を parasitic mode loss fac-

力が必要とはなります。

tor と呼びます。この capacitor に貯まった電荷は Rsと L を通して放電しますのでV̇ (0+ ) = −2ωr kpmq̇
=q
CQ

が成り立ちます。これが、この共振回路の初期条件です。結果として空洞に誘起される電圧は、Q ≫ 1を考えるとV (t) ∼ 2qkpm e−αt cos(ωr t)となります。このあとからくる電荷 q ′ は U = q ′ V (t)• ω = ωr で Zr (ω) は最大、Zi (ω) は 0• |ω| < ωr で Zi (ω) > 0、つまり inductive• |ω| > ωr で Zi (ω) < 0、つまり capacitiveとなります。

のエネルギーをもらう、あるいは失います。このよ
うな、単位電荷あたりの energy gain/loss を wakepotential (Green function G(t)) と言います。

3.3

バンチによって誘起される電圧

次に、次式の様なバンチ列がやってくるケースを

3.2

空洞のインピーダンス

考えます。

Ip (t) =ˆ
空洞を I = Icosωtで励振するときはV̈ +ωr
ωr Rs ˆV̇ + ωr2 V = −Iωsinωt
Q
Q∞∑

これによって誘起される電圧は、周波数領域でみるととなります。この微分方程式を解くと
ω 2 −ω 2cosωt − Q rωr ω sinωtˆ sV (t) = IR
( 2 2 )2
ω −ω
1 + Q2 rωr ω∞∑V˜p (ω) = I˜p (ω)Z(ω) = ω˜I(ω)δ(ω− nω0 )Z(ω)

n=−∞

時間領域では∞∑という解が得られます。この解の cos の項は励振と同相なので、Resistive term と、sin の方は励振と 90

I(t − kT0 )k=−∞Vk (t) =In Z(nω0 )ejnω0 tn=−∞

度ずれていますので Reactive term と言います。

さて、ここから振幅と位相という表現をやめて、 となります。
もしも、バンチがシンクロトン振動数 ωs = ω0 νs複素数空間で表現することにします。すると、電流で進行方向に振動していると、k 周後の通過時間は

源は

ˆ jωt
I(t) = Ie

tk = kT0 + τk , τk = τ̂ cos 2πνs k

微分方程式はV̈ +ωr
ωr Rs ˙V̇ + ωr2 V =I
QQとなります。この空洞のインピーダンス (V /I) は

電流は時間領域では

Ip (t) =∞∑I(t − kT0 − τk )−∞

ω 2 −ω 2cosωt − Q rωr ω sinωtZ(ω) = Rs( 2 2 )2 = Zr (ω) + jZi (ω) 周波数領域では
ωr −ω
2
1+Q
∞
ωr ω
∑
˜
I˜p (ω) = I(ω)
e−jω(kT0 +τk )であり、Green function G(t) のフーリエ変換となりk=−∞ます。Q が十分大きいときは

1 − j2Q ∆ωωrZ(ω) ∼ Rs( )2
1 + 4Q2 ∆ω
ωr
で、となります。
シンクロトロン振動の振幅が小さく、νs ≪ 1 で、バ√˜˜ ± νs )ω0 ) = 2π In
ンチ長も短い場合、I(nω)∼ I((nω0と近似してもよいので∞∑

以下のように書くことが出来ます。

In [ejnω0 t

Ip (t)

=

−

ω0 τ̂
j
((n − νs )ej(n−νs )ωt2(n + νs )ej(n+νs )ω0 t )]∞∑I0 + 2In [cos nω0 t

<V >

∼

n=−∞

+
=

n=1

−

ω0 τ̂
((n − νs )(sin nω0 t cos νs ω0 t
2
cos nω0 t sin νs ω0 t)+(n + νs )(sin nω0 t cos νs ω0 t+

cos nω0 t sin νs ω0 t))]+となります。このバンチが空洞に誘起する電圧は∫ ∞1
I˜k (ω)Z(ω)dωVk (t) = √
2π −∞
なので

Vk (t)−+

2In2 0[Z
I0 nrnω0 τ̇ +−(Znr − Znr
)
2ωs
nω0τ
−
0
0
(−2Zni
+ Zni
+ Zni
)]
2

右辺の 1 項目は振動に関係無い定常項です。2 項目
は、空洞による Energy loss (gain) を示しています。

3 項目は振動数 (シンクロトロン振動数) をずらす効果を示しています。この式に、具体的な空洞イン
ピーダンスの形を与えると、シンクロトロン振動しているバンチの振動が増大するのか、あるいは減衰するのか時定数まで含めて推定することが出来るは
ずです。

3.4

ロビンソン不安定高周波加速空洞の中心周波数を、ビームローディ

=

2

∞
∑

ングの補償のためにずらす (少し detune する) とき[In Z(nω0 )ejnω0 t

n=1

+

+

ω0 τ̂
In (
2
(n + νs )Z((n + νs )ω0 )ej((n+νs )ω0 t)(n − νs )Z((n − νs )ω0 )e((n−νs )ω0 t) ]と書けます。平均電圧は∫∫ T0
ik (t)Vk (t)dt
1∫< V >==Ik (t)Vk (t)dt
I0 T0 0ik (t)dtのことを考えてみましょう。Energy がずれた粒子に
対しては

∆ω0
∆E
= −αc
ω0
E
という関係が成り立ちます。ここで、αc は momen-

tum compaction factor で、多くのリングでは正の値をとります (がんばれば 0、または負の値をもつリングを作る事は可能ですが)。バンチが coherent にシンクロトロン振動していると、そのバンチの周回
周波数も変調されることになります。リングのエネ

今対象にしているのは十分 Q が大きく、かつ ωs がルギーが transition energy より上だと、そのバンチ

小さいケースなので、以下の様な記号を使っての周回周波数 ω0 は上の式よりエネルギーが高いときは ω0 は低くなり、エネルギーが低いときは ω0 は+
Znr

= Zr (nω0 + ωs ),−Znr= Zr (nω0 − ωs ),0
Znr= Zr (nω0 )

+
Zni

=

Zi (nω0 + ωs ),

−
Zni

=

Zi (nω0 − ωs ),

0
Zni

=

Zi (nω0 )高くなることが分かります。
まず、高周波加速空洞が、リングの周回周波数のハーモニック数倍より低く detune されている時のことを考えます。このときのインピーダンスの実部(エネルギーに関係する項) は図 5 の様に表されます。
このとき、Energy が高い (ω0 が低い) バンチはより高いインピーダンスを感じるので、平均より多くの

逆にエネルギーが低いバンチは、平均より高いイン
ピーダンスを感じるため、空洞で失うエネルギーは
平均より大きくなります。このため何回も空洞を通過するうちにシンクロトロン振動の振幅は増大していき、ビームは不安定になります。このような不安
定振動増大のメカニズムをロビンソン不安定と呼び、大体どんな円形加速器でも、単バンチでも容易に引き起こすことができます (もちろん、引き起こさな
いように detune することになります)。

3.5
図 5: 低い周波数に空洞を detune した場合

多バンチの時の振動モード

円形加速器のハーモニック数が M のとき、全てのバケツにバンチを入れるとすると、それぞれのバン

エネルギーを空洞でロスします。逆にエネルギーがチ相互の振動の様子は図 7 のような、お互いにばね低いバンチは、平均より低いインピーダンスを感じでつながった連成振動子 (実際は端と端がつながってるため、空洞で失うエネルギーは平均より少なくないるが) の振動にたとえることが出来ます。この連ります。このように、空洞でシンクロトロン振動を小さくするようなフィードバック (負帰還) がかかる
ため、何回も空洞を通過するうちにシンクロトロン
振動の振幅は減衰します。
逆に、空洞がリングの周回周波数のハーモニック
数倍より高く detune されているときはどうなるでしょうか (図 6)。こんどは、エネルギーが高い (ω0 が

図 7: バンチ結合振動モデル
成振動子の最も低い振動モード (姿態) は全てのバンチが同じ方向に振動するモード (図 8) で、全部のバンチが同じ方向にベータトロン振動とかシンクロト
ロン振動しているものです。逆に最も高い振動モー

図 8: 最低次 (0 モード) のバンチ結合振動
ドは、隣り合うバンチが逆方向 (逆位相) に振動する
モード (図 9) となります。このように、M 個のバン

図 9: 最高次のバンチ結合振動
図 6: 高い周波数に空洞を detune した場合
チがあると、M 個の独立な振動モードが存在するこ低い) バンチはより低いインピーダンスを感じるので、平均より少ないエネルギーを空洞でロスします。

とになります。但し、位相を考えなければ振動の周波数的には半分は同じに見えるので、M/2 個のモーバンドが出ます (実際は大振幅で無いと 2 本目以降

ドを相手にすれば良いことになります。

はノイズレベルに隠れて見えないことが多い)。

この振動モードは、ビーム不安定を起こしている
不安定源 (インピーダンス) の情報を反映しています

M 個の均等につめたバンチがあるときは、時間領域ではので、不安定がおきている時に振動モードを測定することは非常に大事です。

f (t) =

∞ M
−1
∑
∑

cos(ωβ t+ϕn )δ(t−(kT0 +nT0 /M ))k=−∞ n=03.6の様に表せ、周波数領域では、そのモードに対応す振動するバンチの信号

る (n × frev および M − n × frev ) スペクトラムの上バンチ結合ビーム不安定が起きていて、あるモー

下対称にサイドバンドが現れます。これから、スペドで振動しているバンチ列の出す信号が、周波数領

クトラムアナライザでビームを観測することで、そ域でどう観測されるかを見てみます [7]。これは、バの不安定のモードを求めることができる、という訳

ンチ結合ビーム不安定が起きている加速器で、ボタです。実際はゆっくりスペクトラムアナライザで見ン電極からの信号を、スペクトラムアナライザなどていられるような不安定だと既に他の理由で緩和、を使って観測したとき、どのような (特徴的な) スペ

あるいは不安定現象自体の特性が変わってしまってクトラムが見られるのか、ということです。

いることが多いことから、イマドキの加速器では必

まず、ベータトロン振動をしている単バンチの信

ずしも簡単な話ではありません。

号は、位置検出電極では振幅変調として見えますので時間領域ではf (t) = Aβ cos ωβ t4∞∑

δ(t − kT0 )k=−∞となります。これを周波数領域で観測するとF (ω) =

フィードバック制御
フィードバック制御の例として、自動車を運転する際にスピードを一定に保とうとする、という事を考えます (図 10)。目標のスピードに対して、例えば

∞
∑

Aβ ω0
(δ(ω−mω0 +ωβ )+δ(ω−mω0 ωβ ))2 m=−∞となり、mω0 のスペクトラムの上下 ∆ω = ±ωβ 離れたところに同じ高さのサイドバンドがでます。
シンクロトロン振動の場合は、位相変調なので時
図 10: 自動車のスピードコントロールの例

間領域ではf (t) =∞∑

δ(t + τ sin(ωs t + ϕ) − kT0 )k=−∞F (ω) = ω0

I=−∞

定のまま保つ、という場合、情報の帰還 (フィードバック) がないので、開ループ (open loop) となり、周波数領域では∞∑

スピードメータを無視してアクセルペダル開度を一

スピードは周囲環境によってあがったりさがったり

e−jIϕ J1 (ωτ )∞∑δ(ω−Iωs −mω0 )m=−∞となり (J1 は 1 次のベッセル関数)、スペクトラムラ
インの上下に対象に ∆ω = n ± ωs ずつ離れたサイドします。逆に、スピードメーターでスピードを観測し、それをもとにアクセルペダル開度を変える、という場合、目標値からのずれを小さくするように帰還 (負帰還) を行うことで、周囲の状況の影響は小さ
くなると期待されます。このような状況を閉ループ

(closed loop) と言います。もちろん、極めて下手な となりますので、Y = R − W となり、前と同じく運転のように、ずれに対して必要な修正以上にアクW = 1 の場合、Y = 99km/h となり、誤差は 1%とセルペダル操作をすると、却って変動は増幅されてなります。つまり、誤差は open-loop の場合と比べしまうこともあり、最悪発振のようなこと (拡声器て 1/10 になったという事です。

のハウリングのようなもの) も起きます。
次に、このフィードバックの効果を、もう少し定量的に見てみましょう。条件として• スピードを 100 km/h に保ちたい• アクセルを 1 unit 踏むと、speed は 10 km/h 上がる

ここから、さらにフィードバックのことを勉強したい方は参考書に上げている自動制御理論の本などをご覧頂ければ良いと思いますが、以下にごく一般的な性質だけをあげておきます。

• Positive feedback (正帰還)差が小さくなる方向では無く、拡大する方向に
フィードバックすると、当然値は一方向に急激• 外乱として道路の勾配 1%でスピードは 10 km/hに大きくずれていきます。通常の系は出力が無限に大きくなることはないので、実際にはどこ下がる• スピードメーターには誤差は無いとします。ブロック図は図 11 の様になります。open

かで飽和する、あるいは回路の非線形性によって増大が収まることになりますが、制御は当然に困難なことが多いです。しかしながら、この性質を利用して、例えば検出回路の Q を高めることに使ったり (並 4 ラジオなどの再生検波回路とか)、発振回路などに使われることがあります。

• フィードバックゲイン
フィードバックゲインを上げると、定常状態のエ
ラーは減りますし、目標値への追随性がよくなります。しかしながら、ゲインが高くなりすぎ
図 11: 自動車のスピードコントロールのブロック図

loop の場合、ループは開いたままなので、ると系の安定性が損なわれはじめ、振動を始めたり、急速に振動を成長させたりします。このようなことを防ぐためにはゲイン、位相にマージンが必要です。バンチフィードバックではほY = 10(U − W ) ＝ 10((W/10) − W ) = R − 10W
で、たとえば外乱が 0 のときは Y = 100km/h です
が、1%のときは Y = 90km/h で、10%のロスとなります。

ぼゲインを下げる他に工夫は難しいのですが、遅いシステムでは PID 制御など、系を安定化する手法があります。

• 時間遅れのあるシステム

閉ループの場合、例えば結果の 90%をフィードバッ

時間遅れ要素は、常にシステムを不安定にさせクする (目標値との差の 9 割を戻すようにアクセルます。また、この応答は線形応答ではないので、を踏む) とすると安定性の評価は簡単ではありません。円形加速

10(U − W )

Y

=

U

= R − 0.9Y

器では、通常頑張っても最低 1 周待たなければフィードバックは出来ないし、その前はさらにもう 1 周前以前になりますので、結果としてかなり昔のデータまで使ってフィードバックするの不安定モードを標的に、高周波加速システム

ことになります。このため、実際のフィードバッ

自体を使って抑制することが多いです [8]。

クゲインには上限が存在します。計算機を使って (とてもゆっくりと) フィードバック量を決める系では、単純なアナログ系と比べて莫大な量の時間遅れが発生するため、遅い制御といえどもゲインの上限が見えてしまうことが多いです。

このテキストでは、個別バンチフィードバックシス
テムについて、SuperKEKB 加速器用バンチフィー
ドバックシステムを例に概説します。バンチフィー
ドバックシステムは• バンチの重心振動を検出する、高速位置検出シ

5ステム

バンチフィードバックシステム• 位置信号からフィードバックに必要な信号 (振ビーム不安定を起こさない、起きている不安定から

幅、位相) を計算する信号処理回路。位置検出逃れるためには、以下のような方策が考えられます。

したバンチと同じバンチをフィードバックする、
精密タイミング遅延回路もここに含まれます。

• 不安定の原因 (インピーダンス源) を突き止め、加速器要素から取り除く努力をする。

• ビームを蹴り戻すフィードバックキッカー及び

このような例としては、HOM の無い高周波加広帯域大出力増幅器

速空洞を設計する、真空チェンバーの段差をス
ムーズにする、不要な空洞構造を作らないなど

からなります。また、これらのフィードバック機器

あり、リング全体のインピーダンスをちゃんとを利用、応用した機器類 (バンチ電流検出、ベータ

管理することが重要です。

トロンチューン測定、不安定モード測定) からも、役に立つ情報が沢山出てきますので、加速器の運転に• ビームが振動を起こしたとき、自然に振動周波 とって重要です。
数がずれていく仕組み (非線形力) を導入する。
例としては八極磁石などの多極磁石の導入、ランダウ空洞などの高次高調波空度の導入などがあります。ただし、非線形力の導入にはそれな
いに無視できない副作用があり、横方向だと力学的口径 (Dynamic Aperture) が大きく減少し5.1

個別バンチフィードバックの方法

個別バンチフィードバックシステムの動作は、図12 のように、各バンチごとの位相空間での動きで表す事が出来ます。

たり、進行方向だとシンクロトロン振動数が振動モードによって大きく変わり、あとでフィー
ドバックシステムを構築しようとした際に大きな困難に見舞われることがあります。

• フィードバックシステムで、アクティブに振動• 各バンチの重心位置を独立に測定・検出する• フィードバックキッカーの位置で位相差が 90 度となるように位相シフトを行う (あるいは、90度となる位置にキッカーを設置する)。同時に不を押さえ込む。

要な成分、特に DC 成分 (周回周波数に同期し大きく分けて、モード毎フィードバック方式ているオフセット) を除去する。

(mode-by-mode feedback) と、個別バンチフィードバック方式 (bunch-by-bunch feedback)があります。モード毎フィードバックは、通常進行方向で、特に高周波加速空洞がからむ特定• バンチがキッカーの位置に来るまで待つ。通常
1-turn delay と呼ばれるが、小さなリングでは 1
周に収まらないことがあり、このときは 2-turndelay になる。

図 13: 典型的な横方向バンチフィードバックシス
テム
図 12: 個別バンチフィードバックの位相平面上の動作• バンチを蹴ってバンチの角度 (横方向の場合) あ
るいは運動量 (進行方向の場合) を変えるという動作を行います。このように、ぴったり 90 度の位置でビームを蹴り戻すようなフィードバックが通常のフィードバックで、resistive フィードバックと呼びます。90 度以外の場所で蹴る場合、+側でも-側

図 14: 典型的な進行方向バンチフィードバックシス

でも余計な位相の進みが加わり、かつ折角のフィーテム

ドバックキックが、振動を減衰するのでは無く、振動の位相をずらすことに使われるので、通常望まし成は非常に厄介なためです)。また、同じバンチを蹴くありません。特殊なケースでこの位相がバンチごるために遅延回路 (アナログだと長い同軸ケーブル、とに変化することを元に、バンチ結合がずれることデジタルだと FIFO を用いた delay) が必要となりまを期待するフィードバックも試みられたことはありす。今時のシステムでは、1 個の電極から来た位置ますが、正直言って役に立ったかどうかは極めて疑信号を、数タップ FIR デジタルフィルターを用いて問です [9]。

位相シフトし、かつタイミングも合わせる、という

図 13 に典型的な横方向バンチフィードバックシスのが当たり前となっています。

テムの概念図を、図 14 に進行方向バンチフィード

進行方向では、シンクロトロン振動の位相の進み

バックシステムの概念図を示します。 横方向 (ベーは一般的に遅く、1 周するのにリングを何周もする

タトロン振動方向) は、ベータトロン振動の位相はのが普通です。なので、1 カ所の検出器から得た進行

比較的早く進む事が多く、少し離れた、ベータトロ

方向位置 (ビーム位相) を、デジタルフィルターを用

ン振動位相差が 90 度に近い二つの位置モニターらのいて 90 度の位相ソフトし、フィードバックに必要な軌道情報をベクトル合成することで、1 周後の (きっ 信号を作るのが通例です。1 周の遅延などは横方向とと近くにある) フィードバックキッカーに対して良 同じです。また、進行方向フィードバックで、フィーい位相差を作り出すことが可能です (が、正直なとドバックキッカーとして空洞を用いたり、また特殊

ころ、お勧めしません。アナログ回路のベクトル合な連続ストリップラインキッカーを使う場合、ベースバンドで蹴るのでは無く、RF 周波数の逓倍の信号付近で蹴ることが多く、その場合はベースバンドのフィードバック信号を up convert したり、キッカーの carrier 信号に対して振幅変調をするためのバックエンド回路が必要になることがあります。
いずれにしても、バンチフィードバックシステムを成立させるためには• 信号の切れが良く、かつ感度も良い検出ヘッド• 感度良く、バンチ間クロストークが低く、かつ低ノイズなバンチ位置検出回路

図 15: SuperKEKB 用ガラス封止フィードスルー• 高性能で使いやすい (ユーザーフレンドリーな)
フィードバックデジタルフィルタ• ビームや小作業で壊れない真空機器が必要です。

5.3

バンチ位置検出回路

バンチ位置検出回路に求められるのは以下の様な項目になります。

• バンチ変位に (それなりに) 比例した信号を出す。

5.2

検出器ヘッドバンチ位置検出用のヘッドは、ボタン電極でもス• 隣のバンチの信号が (あまり) 混じっていないこと。

トリップライン電極でも良いのですが、通常電子陽• (あまり時間をかけずに) 位置信号が出る。位置

電子リングでは、バンチ間隔が短い、バンチ長も短

信号がバンチ電流に比例していても良い。

い、大電流だとストリップラインは壊れそうで怖い、ということからボタン電極が使われることが多いです。通常、COD 測定用に使っているボタン電極では、• バンチトレインの前後で (あまり) オフセットがずれない。特に大電流加速器の場合、あまりに結構長いリンギングがバンチ通過後に続くことがあ

大きな変位 (ゲインの設定によっては mm くらり、フィードバック用には特別に気合いを入れて作っいであっても) 応答が変 (飽和する、甚だしい場たものを使う事があります。図 15 に、SuperKEKB
フィードバックシステム用に開発されたボタンを示

合には応答の符号が逆転しても) でも (とりあえず) 気にしない

します。KEKB 時代にフィードバック検出電極としという、() でくくられた怪しい言葉で分かるようにて使っていたもの (A) とこの電極 (B) の、線形加速

大変おおらかなもので、逆にこれくらい条件を緩め

器からの非常に短いビームを使った応答の実測例をなければ、そもそも回路を設計することが出来ない

図 16 に示します。KEKB タイプの電極も、通常のくらい使用条件としては厳しいとも言えます。

電極に比べると極めて良い時間応答を持っており (通次に、バンチ位置検出回路でよく用いられる、ア常の電極はこのような測定をすると遙か彼方までひ

ナログかけ算器 (Double Balanced Mixer、DBM) に

どいリンギングが続くことがある)、実際 KEKB 時

ついて紹介します。DBM には三つの口 (端子) があ

代のバンチフィードバックで問題になったことはあり、それぞれ RF、LO、IF と呼ばれます。この DBM

りません。しかしながら、シールを低 ϵr のガラスにの特徴としてパッシブな DBM だと変え構造を最適化した SuperKEKB 用はさらに良い応答を持っていることが分かります [10, 11]。

RF × LO= IF

(carrier よりずっと低周波の、例えば音声帯くらいの) 変調信号を入れ、RF ポートから振幅変調された信号が出る、といったものがあります。また、

sin A × cos B =1(sin(A + B) + sin(A − B))
2となることから、周波数変換に用いることが出来ます (そもそもそのために開発されたものなので、名前にもその名残がある)。スーパーへテロダインラジオ
では、入ってきた電波を (普通はまず高周波増幅し)ミキサーの RF ポートに入れます。ラジオでは、局部発振器 (Local oscillator) の周波数を周波数チュー
ニングに合わせてずらしてミキサーの LO に入れ、AM 放送では電波の周波数-局部発振器の周波数=455
kHz とし、中間周波 (IF) を増幅して検波し、低周波増幅するというのが典型的でした (イマドキのラジ
オはもっと文明開化しているに違いないので、このような古典的ラジオは逆に珍しいかもしれない)。
周波数変換の例として、位相検波と振幅検波を紹介します。今、A sin(nωRF t + ϕ) のビームからの信号 (RF) に cos(nωRF t) の、リング RF に同期した

LO 信号を DBM を使ってかけ算すると
図 16: KEKB 用 (A) と SuperKEKB 用 (B) の線形加速器からのビームに対する電極応答例

A sin(nωRF t + ϕ) × cos(nωRF t)
1= A(sin(2nωRF t + ϕ) + sin ϕ)2

RF × IF=

LO

で、IF からの信号を低域濾波器 (Low Pass Filter:LO × IF=RF

LPF) で高周波成分を落とすとこの信号は ∝ A sin ϕというように、二つの入力に入れた信号のかけ算結となり、ϕ が十分小さいときは ∼ ϕ となって、位相に比例する信号が得られることになります。

果が残りの口に出てくる、という動作をします。但次に、同じ A sin(nωRF t + ϕ) のビームからの信し、通常 RF と LO は DC は通さないがかつ広帯域、 号 (RF) に今度は sin(nωRF t) の LO 信号を DBM を

IF は物によっては DC を通し、また帯域は余り高い 使ってかけ算すると周波数までは延びていない、というのが普通です。
A sin(nωRF t + ϕ) × sin(nωRF t)
また、LO の方に RF よりずっと高いパワーを入れ
1る (LO に入れるパワーレベルが指定されてる) 事が= − A(cos(2nωRF t + ϕ) − cos ϕ)2
普通です。
となり、同じく IF 出力を LPF で高周波成分を落とDBM の単純な利用としては、電圧制御可変減衰すと ∝ A cos ϕ、ϕ が十分小さいときは ∼ A となり、
器 (IF ポートに DC 電圧、LO ポートに信号を入れ、振幅情報が得られることになります。
RF ポートから信号出力させる)、また振幅変調 (AM
実際に使われている SuperKEKB バンチフィード変調) では、LO ポートに信号 carrier、IF ポートにバックシステムの進行方向検出回路のブロック図を

電気式の位相シフタを入れておき、レベルを変えずに位相だけ ±180◦ 回転出来るようにしておきますので、信号出力を見ながら位相シフタを調整すること
で位相検波にすることができます。出力は、位相差にバンチ電流をかけたものに比例します。
同じく横方向検出回路のブロック図を図 18 に示します。BPF を出るまでは進行方向と同じですが、
図 17: SuperKEKB バンチフィードバック系用進行方向位置検出回路ブロック図
図 17 に示します。ボタン電極からの信号は、特殊なComb-line 結合型の 2 GHz(=4 × frf ) の帯域濾波器(Bandpass ﬁlter: BPF) を通すことで RF の 4 逓倍
付近の信号を取り出します [12]。2 GHz を使っているのは、前に述べたモニターチェンバーのカットオ
フ周波数が 2.7 GHz 付近でそれより十分低いこと、隣のバンチとの間隔 2 ns の間に例えば 3 サイクルく

図 18: SuperKEKB バンチフィードバック系用横方
向位置検出回路ブロック図

らいの波を作る事ができるから、という事から選ん

これを 180◦ ハイブリッドにいれて、差分信号を主だ物です。位相検出では周波数が高い方がこの時点に BPM に入れるところから変わってきます。なお、での感度は高く出来ますが、あまり高い周波数を選DC 的なオフセットをキャンセルし、ADC のダイナ

ぶと大振幅のシンクロトロン振動に対してフィード

ミックレンジを損なわないようにするため、和信号

バックの応答が逆転する (山を越してしまう) ことがをこれも DBM を使って減衰 (場合によっては位相あり、難しいところです。SLAC の PEP-II 加速器のをひっくり返す) させた信号を合成することにより、

進行方向フィードバック [13] では RF の 6 逓倍付近バンチ強度によらずオフセットキャンセルを実現すの信号を使っていましたが、RF の transient beam

ることができます (もちろん、差信号と和信号のタ

loading に伴うバンチトレイン前後での大きな平衡

イミングを極めて精密に合わせておく必要がありま

位相のずれ、また空洞の使用/不使用 (大きく detuneす)[14]。図 19 にコムライン型 BPM の出力例、図 20する) などに伴う大きな平衡位相のずれであるバンに最終位置出力例を示します。

チの検出信号が逆転位相にはいってしまうことがあ

ここで、少し実用上役に立つ話を 2 つ紹介します。

り、そうなると今まで negative feedback だったもの

まず、高周波素子の性質です。多くの高周波素子は、が positive feedback になってしまうことが起きるた

たとえとても広帯域とうたってはいても、本質的にめ調整に苦労していました。

狭帯域と考えた方が安全です。このため、通す信号

信号の位置依存性を少なくするために上下の電極はできるだけ必要な帯域まで絞ってから入れた方が信号をタイミングを合わせてハイブリッド合成器を安全です。例えば、180◦ ハイブリッドに入れる信号を使い同相で合成し、出力を DBM の RF ポートにについて、ボタン電極からの信号を直接入れて引き入れます。大体、この信号レベルは 0 dBm 以下です。 算をさせる、というのはあまりお勧めできる話ではLO には RF の 4 逓倍信号を入れ (Level 17=17 dBm)

ありません (回路点数、ひいてはコストはかなり省を入れ、出力をベッセルタイプの LPF に入れ、その略できるのですが)。

後広帯域 DC 増幅器 (DC-1.8 GHz) で増幅し、デジ

次に Double Balanced Mixer についてです。DBM
タルフィルターに渡します。RF の 4 逓倍信号には、 には使えるパワーレンジがあり、特に LO ポートに• バンチタイミング (RF 基準クロック) と完全に同期していること。

• フィードバック信号の 1-turn delay を作り出せること。
運用上は、この Delay がある程度調整 (RF バ
ケツステップ+微調) が望ましく、また、温度などが変わっても変動しないことが望ましいです。
この点、同軸ケーブルをとぐろに巻いた、アナログの delay は温度変動や湿度変動などあり、非常に使いにくく、昔の人たちは苦労なさった
ものと思われます (ケーブルにお日様の光が直図 19: 2 GHz comb BPF 出力例

接あたってヒドイことになっていた加速器を見たこともあります)。

• DC 成分を reject できること。
DC 成分が残っていると貴重なフィードバック
パワーが DC(及び周回周波数の整数倍、つまりDC の COD とか、進行方向平衡位相をわずかに変えることに費やされ、肝心のフィードバッ
クが効かないことになりかねないためです。

• フィードバックに必要な成分以外を除去する。
できるだけ、ベータトロン周波数あるいはシンクロトロン周波数の成分だけ残すことが、やは
図 20: 位置検出出力例
ついてはあまりダイナミックレンジは大きくなく、指定されたパワーを入れることで最も性能を発揮します。全てのポートについて、特に passive な DBM については厳しいパワー制限があり、超過したパワー

り貴重なフィードバックパワーを有効に使うことにつながり、また、コライダーなどでチューンに広がりがある場合、フィードバックシステ
ムのサイドエフェクトを阻止するのに役に立ちます。

• フィードバック信号の位相シフトをする。

を入れると信号がひずんだり、ヒドイ場合は DBM

進行方向フィードバックでは、前述のようになが焼損し使えなくなります (もっとヒドイことに、一かなかシンクロトロン位相は回ってくれないの

見出力が出ていながら、実は壊れていてボロボロ、で、このデジタル処理部で位相シフトを行う必ということも起こりえます)。

要 (ほぼ 90◦ ) があります。横方向であっても、この機能があると、アナログベクトル合成が省略

5.4

信号処理部

フィードバック信号処理部に求められる機能は重要な順に以下の様になります。

でき、またボタン電極とフィードバックキッカー
間のベータトロン位相をあまり気にせずに、また全周のベータトロンチューンなどが大きく変わったときでも追随させるのが容易になります。

という感じになります。図 21 に、現代的なフィーえる機能は非常に限られていました。

ドバック用デジタル信号処理部のブロック例を示し

その後、ロジックの書き換え部分を SRAM にします。位置検出回路から出力された位置信号は、RF

た FPGA が出現し、現時点でも驚くスピードで進化を続けています。この 20 年で、集積度は 600 倍以
上、スイッチング速度は 100 倍以上、電力は 1/150となり、価格もものすごく安くなった、というのがメーカーの宣伝です。(価格については、最先端デバ
イスの値段はあまり変わらない、あるいはもっと高くなっている、という印象はありますが)。

FPGA は中に DSP(Digital Signal Processing) ユ
ニットを多数含んでいて、加減算、かけ算の演算が得意です (但し固定小数点)。割り算は、やってやれ
ないことはないのですが、繰り返し演算をする必要
図 21: 今風のデジタル信号処理回路ブロック例

があり、基本的にやることはありません。
この FPGA に組み込むするデジタルフィルターとと同期した ADC でデジタイズされ、大容量高速のしては、バンチフィードバックでは FIR(Finite Im-

FPGA に渡されます。FPGA 内には通常 FIR 型のpulse Response) 型のフィルターとすることが多いでデジタルフィルター、ディレイ調整用の FIFO など

す。N タップの FIR フィルターは図 22 のような構が用意され、データを内部のブロックメモリーだけ造をしていて、応答はでなく、外部のメモリーにも記録、読み出しがフィードバックを損なうこと無く出来るようにしてあります。出力も RF と同期した高速 DAC で、これらの機能をフィードバック出力を止める・邪魔すること無く外部から容易に制御出来るようになっているのが望ましいです (というか、そうなっていない原始的なものは正直言ってやっていられないです)。

図 22: N-tap FIR フィルター

ここで出てくる FPGA は、Field Programmable

Gate

Array で 、歴 史 的 に は 1970 年 代 末 にPLD(Programmable Logic Device) と し て 数 個
分のロジックが入った IC が出てきたのが発祥の元でy(nT ) =N−1∑c(kT )x(nT − kT )k=0

す。1980 年代には集積度があがった CPLD(Complexと書けます。FIR フィルターの特徴として、インパル

Programmable Logic Device) が出てきて、中にはス応答を中心に対して対象にすると完全直線位相特

かなり早いスイッチング速度を可能にし、数千個性をもつこと、また、群遅延 (Group delay) が全周分のロジックを含み、不揮発性メモリーでロジッ 波数に対してフラットになる、ということがありま
クの書き換えが可能となったものも出てきました。 す。また、当然インパルス応答の値にかかわらずフィ

KEKB 時代のデジタルフィルターは、このような
CPLD を多数組み合わせ、かつ、(とてもそのまま

ルター自体は常に安定なので、IIR(Inﬁnite impulse

では 508 MHz では動作しないため)ASIC ベースのの心配をする必要もありません。

response) フィルターのようなリミットサイクル振動

デマルチプレクサ (1:16)、マルチプレクサ (16:1) とSuperKEKB では、日米協力事業のもと SLAC と組み合わせた、非常に大変なシステムでしたが、使KEK で共同で開発したデジタルフィルター iGp(8ビット) の後継機、iGp12[15] をダンピングリングを

1-turn ディレイを決める FIFO にも使うので、含めると全部で 12 台使用しています。PF では iGp

SuperKEKB のような大型のリングでは工夫をを 3 台使用しています。

重ねても非常に厳しい。

FIR フィルターのタップ数については、以下の様な実用的な考察があります。

という事情があります。SuperKEKB に使っている

iGp12 は、SuperKEKB だけ用に通常の iGp12 より• やたらに長い FIR フィルターを使えば、例えば 大規模かつ高速の FGPA を使っていますが、それでフィルターの中心周波数付近で位相シフトを一も現在の構成では最大 18 Tap の制限があります (こ定にしたり、あるいは S/N を上げるようなこと

れは、DSP ブロックの数だけではなく、現在使ってができる。

いる FPGA の内部のタイミングマージン制限の方• しかしながら、時間遅れの大きな信号 (やたら長い FIR フィルターに寄与する大昔の位置信号)を使ったフィードバックは、不安定になりやすい。
特に、ベータトロン tune が半整数、整数の近くがより効いていることが分かっています。もっと高速の FPGA が使えると事情は変わると思われます
が、その場合は FPGA のフットプリントが完全に変わっていまい、基板を全部作り替えなければならな
くなる)。

だと急激にこの問題は深刻になりやすいが、衝突型加速器では、ルミノシティが高い working

5.5

大出力広帯域増幅器

point は半整数の少し上という事が多く、厳しい。

広帯域大出力増幅器の回路方式として、主に以下• 不安定が厳しいときは、横方向では実用上 8 タッ の 4 方式があります。
プ以上にできることはあまりない (できれば 4• B級
タップとか、もっと少なくしたほうが高いフィー
基本的にベースバイアスをかけない増幅方式で、ドバックゲインで使えることが多い)。
そのため入力がない時は電流が流れず、電力効• 逆に進行方向用は、シンクロトロン振動の周期率は良好となります。しかしながら、バイポーが非常に遅いことが多いため (SuperKEKB で

ラトランジスタでも FET でも、ゼロ電流付近のは 50 周で 1 周期)、短い FIR フィルターでは適応答が悪い (入力に対して電流が流れない、流切なフィルターが構成しにくい。

れにくい) 領域があるため、出力に大きな歪み

このため、得られた各周のデータを全部つかうが発生します。ハイファイをうたわない通常ののではなく、間引いて使う (ダウンサンプリン

ラジオでも採用しにくい方式です。

グ) 設定にすることが多いのですが、折角得られているデータを捨ててしまうのは残念ですし、
またダウンサンプリングにより系全体がより不安定になりやすくなってしまう可能性があります。これを避けるためには、今度はシンクロト
ロン 1 周期をカバーする長い FIR フィルターが欲しい。

• FIR フィルターの長さは、具体的には FPGA

• AB 級
ゼロ電流付近の歪みを除くため、ある程度のバ
イアスをかけておく方式です。電力効率は純 B
級よりは悪くなります (バイアスの深さにより、
思いっきり深いバイアスだと後述の A 級程度に、余り深くないと B 級程度と幅があります)。
但し、通常 AB 級と明言している増幅器の入出力特性は、大変穏やかな、ゆっくりした変化しの中の DSP ブロックの数で制限されることがかしない物を想定していることが (経験上) 多い

多い。この DSP ブロックは、演算のみならず、ため、急激なパワー変化が日常茶飯事なバンチ

フィードバック用には使えないことが多いのが実情です。また、電源が非力なため長いバース
ト信号を出そうとすると息切れして出なくなるとか、周波数特性は十分あるはずなのにパルス信号に対する応答がおかしいなど、頭を抱えることがありますので、導入前の慎重な検討と試験が必要です。

• C級
これは negative bias をかけた増幅方式で、極め

5.6

フィードバックキッカー

フィードバックキッカーとして通常よく使われるのは、50Ω にインピーダンス整合したストリップラインです。ストリップライン自体の特性については、既に他の講義でしっかり説明されていますので [16, 17]、
ここではこのストリップラインをキッカーとして使うことに関して紹介します。図 23 に SuperKEKB DR
用ストリップラインキッカーの GdﬁdL モデル (カットモデル) を示します。

て歪みが大きく、多くの高調波が出てくるし、出力特性は非線形丸出しとなります。しかしな
がら電力効率は (他に比べると) とても良い、という特徴があります。もちろん、フィードバッ
ク用には使えません。

• A級

図 23: ダンピングリング用ストリップライン型フィードバックキッカーの GdﬁdL モデル

入力信号全周期において動作点を上回るように十分大きなバイアス電流を流す回路で、極めてストリップラインをフィードバックキッカーとし

電力効率は劣悪 (入力なしでも最大出力とほぼて使う場合、ストリップラインの端から進行波を入同じ電力を消費しつづける) で、当然大きな廃れることになります。例えば、横方向に蹴りたい場

熱があり、その処理も大変です。また、あまり

合、左右にストリップラインがあるなら、そこに差一般的で無いため価格も高価となります。しか動パワーを入れる訳です。さて、ストリップラインにし、歪みは小さく、一般に電源も十分強力なのは上流と下流にそれぞれポートがありますが、どちで、広帯域フィードバックには向いています。 らから入力すべきでしょうか。Panofsky-Wenzel の定理によると [18]、ストリップラインなどに進行波
SuperKEKB で は 、横 方 向 に 周 波 数 帯 域 を入れてビームを蹴ろうとする場合、ビームの横方

10 kHz∼254 MHz、飽和出力 500 W のアンプを 16 向へのキックは、キッカーでの進行方向の電場の変台、進行方向用に周波数帯域 800 MHz∼2 GHz、飽 化によって表す事ができる、ということになります。
和出力 500 W の増幅器を 8 台 (LER 用のみ) 使用

つまり、純粋な横方向の電場しかない電磁波 (ビー

しています。いずれも日本製で、極めて深い AB 級

ム進行方向と同じ方向に同じ早さで走っている進行の構成です。どちらも内部に広帯域の方向性結合器波) ではビームを進行方向に蹴れない (当然) だけでを持っていて、リモートから進行波、反射波をモニなく、横方向にも蹴れない、ということになります。

ターしていて、特に反射波が増大した際は (何か下ということは、横方向に蹴る場合でも、ビームの進流、同軸ケーブル、フィードバックキッカー、広帯

行方向と逆方向から進行波を入れる必要がある、と域減衰器などに故障がある可能性が高いため) 直ちいうことになります。

にビームアボートを行うように運用しています。

ストリップラインを進行方向キッカーとして使う
際のシャントインピーダンス R∥ は (おおまかには)
以下の様に表されます。

R∥ T 2 = 2ZL g∥2 sin2 kℓここで T は transit time factor、ZL はストリップ

別の場所に用意する物です。もう一つは、四本のストラインの特性インピーダンス、g∥ は進行方向幾何学

リップライン電極を大体 45◦ とか、斜めに配置して、因子、ℓ はストリップラインの長さです。通常、ス

4 電極の組み合わせで水平・鉛直のキックを実現する

トリップラインの特性インピーダンスは 50Ω で設計物です (図 25)。 PF、PF-AR、SuperKEKB(LER、するので (そうでないと同軸ケーブル、フィードス
ルー、増幅器などありとあらゆる物とのインピーダ
ンス整合に悩むことになる)、単独のストリップライ
ン電極を進行方向キッカーとして使う際のシャント
インピーダンスは極めて小さく、∼ 100Ω 以下となります。但し、周波数応答は周期関数となりますので、ベースバンドだけでなく、高い周波数でも同様
なシャントインピーダンスを得ることができるので、最終段の高周波増幅器への帯域要請は比較的楽にはなります。また、極悪非道の低シャントインピーダ
ンスとはいえ、ちょこっとフィードバックのテストく
らいには使えますので、本格的な進行方向キッカーを導入する前の試験には使えることが多いです。

図 24: J-PARC MR 用横方向キッカー (水平対向電極)

対向電極に逆相の進行波を入れた時の横方向のシャ
ントインピーダンス R⊥ は (やはり概算で))2(
2ℓ sin kℓR⊥ T 2 = 2ZL g⊥
h kℓとなります。ここで、h は対向電極間の距離、g⊥ は
横方向の幾何学構造因子 (ビームから見たストリッ
プラインの見込み角のようなもの) です。横方向のシャントインピーダンスは sin2 kℓ/(kℓ)2 に比例する
ため、sinc 関数の自乗となり高周波側では急激に低い値になってしまうのでベースバンド (DC 付近) しか使えません。低周波側のリミットでは、シャント
インピーダンスはストリップラインの長さ ℓ の自乗に比例しますが、ℓ が長いと高周波側でのシャント
インピーダンスの落ちが早くなってしまいますので、使いたいフィードバック帯域 (最小バンチ間隔がい
くらか、など) を考慮して長さを決める必要があります。典型的には数 kΩ のシャントインピーダンス
が容易に実現可能です。
さて、世の中の横方向用ストリップラインキッカーの配置には、大きく分けて二つの流儀があるようです。一つは図 24 のように、電極を水平、鉛直に配置するもので、大概水平用と鉛直用の二種類のキッカーを

図 25: SuperKEKB 用横方向キッカー (45◦ 対向電極)

HER、DR) では 4 電極型を採用しています。J-PARC
MR では水平、鉛直の電極を使用した、独立の 2 台がセットです。世界的には、(筆者が裏で暗躍していないところは) 大体水平と鉛直は別のキッカーで、またさらにご丁寧にベータトロンチューン測定用にもう 1 セット用意している放射光源もあります。
水平、鉛直を分離する派の主張は、筆者の色眼鏡で見るところ 4 電極のキッカーだと、キッカーで XY結合が起きてしまう、というものが多いようです。しかしながら、• そもそもフィードバックキッカーは DC 磁石にストリップライン電極は、すでに紹介されたよう比べて極めて非力で、たとえ頑張って XY 結合に [16] 方向性があり、基本的に下流ポート (フィードを作ろうとしても難しい

バック信号を入れるポート) からはビームパワーが• 一般に水平鉛直のベータトロンチューンは十分離れており、例えば鉛直に水平方向のチューンで励振しても、(非常にルミノシティの高いコライダーで無ければ) 励振することは極めて困難

出てこない、というのが建前です。実際は、あちこ
ちのインピーダンス不整合を避けることができず (また、避けるために努力するのは却って性能を劣化させることが多いため)、下流ポートからも結構なピー

クパワーをもつビーム誘起電圧が出てきます (主に• うまくいっているバンチフィードバックシステ フィードバック帯域外の高周波成分)。高周波増幅器
ム、リングではそもそも入射振動など外来振動 とフィードスルーをつなぐケーブルである程度減衰
源は小さいし、不安定源も振動が小さいうちにすることは期待したいですが、それでも直接最終段抑制されるので、大きなパワーが連続的に入っ 高周波増幅器に接続すると、増幅器を壊したり、あている状況ではない。
るいは中のパワー測定用の方向性結合器を誤動作さと思うので、XY 結合がおこる、という主張には残せることになりますので、反射型でも良いのでアン

念ながら賛同できません。また、特に水平方向の電プ出力にハイパワー LPF を入れておくことをお勧

極を水平面に入れると、上流から来る放射光をどうめします。

避けるか (避けるためには電極を結構引っ込め、かストリップライン電極は、チェンバーの真空の中、つ十分な高さの光マスクを入れなければならない)

熱的にはほぼ宙に浮いている形になり、またビームかが悩みどころになります。放射光源で良く採用されら見える立体角も大きくなりますので、ビームがもている、電極を通常の真空チェンバーのツライチにたらす壁損失だけでも結構熱くなることが予想され持ってくる設計では、電極の外側に空洞構造ができ、 ます。たとえ電極を無酸素銅などで作っても、フィーtrapped mode が発生しますので、この対処も必要 ドスルーへは熱は抜けていかないため、銅で電極をです。残念ながらどう考えてもあまり良いアイデアでは無いと思います。
電極 4 本でフィードバックキッカーを構成すると• キッカー 1 台で水平、鉛直のキックを与えることが出来る。

作るのは極めて危険です (銅は脆化点温度が低く、たちまちふにゃふにゃになって垂れてしまう)。KEKB時代、電極を銅でつくり、フィードスルーとの間にスライド機構 (熱による収縮を吸収する) をいれた構造を試したことがありますが、スライドはしてくれ
ず、高温となった電極は垂れ、最後にフィードスルー• 水平面に電極を置く必要が無いので、あまりきつ との取り付けネジが伸長に耐えられず折れて電極がい放射光マスクを入れなくても放射光を避ける 垂れ下がり、ビームを通さない状態にまでなった封ことが比較的容易。もちろん、入射アパーチャー 印したい歴史があります。取り外した電極は、2 mmを損なうことは (あまり) ない。

厚であったにもかかわらずふにゃふにゃで、ちょっと押しただけで変形するおそろしいものに成り果て• 大きな入射振動 (水平) がある時などは、4 つのていました。筆者のおすすめは、ステンレス合金に、√電極が協力して対向電極の 2 倍の電圧を出す
必要なだけの厚さ (数 10µm 以上は欲しい) の銅メッことが出来るので、フィードバックの飽和限界
キをする、というものです。
を高くすることが出来る。
と、メリットの方が多いと思います (実は言葉巧みに自分の趣味に誘導しているので、これ以上は読者諸賢の判断に任せます)。

5.7

進行方向用フィードバックキッカー

進行方向用のキッカーとしては、まずは前述のス
トリップライン電極を同相で (ビームと逆方向から)
エキサイトする、というものがあります。但し、これも前述のようにシャントインピーダンスが極悪非道な ∼ 100Ω 程度で、大パワーをつぎ込んでも十分なフィードバック電圧 (キック) を出す事は難しいです。単純なストリップラインの改善型として、SLACの PEP-II 加速器、LBNL の ALS 光源のそれぞれ当初導入された Series Drift Tube 型というキッカーもありますが [19]、構造が極めて複雑で、電極部の発熱、ビームパワーの扱い (フィードスルーを通過するピークパワーが大きすぎる) など、多くの困難があり、今となっては採用するのは難しいです。
代わりに多くの加速器で採用されているのは、入力
出力カップラと空洞部を強烈に結合する (over coupleする) 構造の空洞で、イタリア・フラスカティ研究所のDAΦNE リングで開発、実用化されたため、DAΦNE
タイプと呼ばれる空洞型キッカーです [20]。コライ
ダーでは PEP-II の後期/SuperKEKB などで採用され、放射光リングでも PF、BESSY など多くの加速器で使用されています。図 26 に SuperKEKB 用の進
行方向キッカーの HFSS 用 1/4 カットモデルを示します。入力ポートは 2 つ、出力ポートも 2 つで、細かい計算しないと Q 値とか、シャントインピーダンスは
正しくは求められないようです。SuperKEKB 用の場合、計算上では中心周波数は 2 41 fRF = 1.14 GHz、

Q 値としては 4.8 程度、空洞 1 台あたりのシャント
インピーダンスでは 1.6 kΩ 程度が達成出来ていると思われます。なお、実際の空洞はアルミ合金を溶接して作ってありますが (銅で作っても良いですが、メチャクチャ重くなる) アルミ表面でのマルチパク
タ現象を抑えるため、TiN コーティングなどを施しています (美しく金色に見える)。
なお、空洞の中心周波数が RF 周波数の逓倍から1/4fRF ずらしてありますが、これはビームローディ
ングの影響を避ける、また全てのバンチを入れた時、空洞内での干渉によりパワーが出てこないようにする、など色々なことを考えて DAΦNE 以来設計されてきたものを踏襲した結果ですが、このため単純にフィードバック信号でキャリア信号を AM 変調して空洞に入れることが出来ません。SuperKEKB やPF では、RF の 2.25 逓倍信号をバンチタイミング
で QPSK(Quadrature Phase Shift Keying) 変調したものをキャリアとして用いて、それを AM 変調する、という結構面倒なバックエンド回路を用いています。実際、この RF から 1/4 だけずらす意味があるのか、という疑問もあり、最近では筆者や PEP-IIの進行方向フィードバックをしていた人などは、な
しでいいんじゃね、という考えに傾きつつあります(だれか試して欲しい)。
さて、このフィードバックキッカーはなんと言っても空洞なので、入力ポート出力ポートといっても実は差は無く、どこから信号を入れても良いし、どのポートからも均等にビームからのパワーが出てきます。このため、アンプを保護する、また不要な反射波を空洞にに戻さないため、吸収型 (ダイプレクサ構造) のハイパワー低域濾波器、及び広帯域のハイパワーサーキュレーターなどを用意する必要があり
図 26: SuperKEKB 用進行方向キッカー HFSS モ
デル
ことを言うとフィードスルーの実際の特性まで含めてます。特に、サーキュレーターは結構くせ者で、ここで実用帯域が制限されてしまうこともありますので、ちゃんと (ハイパワーで) 確認が必要です。

6

バンチフィードバック機器の応用

6.1

位置検出信号の直接利用

バンチ位置検出信号を直接オシロスコープなどで観察することで、蓄積ビームや入射ビームが周回毎にどうなっているかを直感的に観測することができます。例えば、入射キッカー相互間の蹴り角、タイミングなどがずれているため入射バンプが閉じず蓄積ビームが大きく蹴られてしまう様な際、バンチ位
置信号を見ながら調節することで、より楽に調整ができる、といったことがあげられます。このために、

図 27: SuperKEKB HER のバンチフィルの例

それなりに広帯域なオシロスコープをフィードバッ
ク位置検出回路の近くに埋め殺しにして、画面を制

ンチトレインのどこかでぴったり振幅検波の位相に御室に転送して使う、などといったことをすればよしたとしても、他のところではそれがずれてくる、

り便利となります。

という訳です。ただ、このずれは cos 0◦ の周りでのずれなので、高周波加速空洞のストアエネルギーが6.2

バンチ電流モニター

十分大きく、かつ蓄積電流が大きくなければあまり誤差とはなりません。平衡位相のずれが無視できな

進行方向の位相モニターを、バンチ強度検出の位相

い場合、正確に測定するためには検出回路の BPF をで使い、RF と同期した高速 ADC でデジタイズすれ出た信号を 2 つに分け、一方は in-phase で、もう一ば簡単にバンチ電流モニターが実現可能です。もちろ方は 90 度ずれた信号を LO にいれてダウンコンバー

ん、バンチ電流の絶対値はデジタイズした値を DCCT

トし、両者の自乗和の平方根をとる (振幅)、tan−1などで較正する必要はありますが。SuperKEKB でをとる (位相) という検出方法をする必要があり、こは、各リングに 1 台ずつ 8 ビット ADC とメモリーのような検波方式を I/Q 検波と呼びます。

で構成される VME 型のバンチ電流モニターを設置
して、入射パルス毎に最大 50 Hz でバンチ電流を測定し、これを光ファイバーで繋いだ Reﬂective メモ

6.3

ベータトロンチューン測定

リーを通してバケツ選択システムに送り、入射毎にベータトロンチューンを測定するためには、ビー最適な入射バケツを選ぶことで均等なフィルパター

ムをベータトロン周波数の周りで励振し、その応答ンを実現しています。図 27 はバンチ電流モニターでをとる、いわゆるスカラーの beam transfer function

測定した SuperKEKB HER のバンチ電流の様子で測定をすればよいことになります。ビームを励振す

す。なお、このフィルパターンのように、リングにるキッカー、また広帯域増幅器はフィードバックシ

大体均等に入れるのでは無く、バンチトレインの形

ステムがすでに持っていますので、例えばフィード

で入れると (バンチが無いところは、ビームを捨てる

バック信号に励振信号を合成 (単に加える) すれば、ときにアボートキッカー電圧が立ち上がる時間分の励振は簡単にできます。SuperKEKB で使っている

ビームは蹴り損なうため入れていない)、高周波加速方式では、トラッキングジェネレーターをもつスペ

空洞の負荷がこのギャップで変化するため (transient

クトラムアナライザを 2 GHz 帯のベータトロン周波

beam loading)、バンチトレインの頭から尻尾まで、 数付近 ( 実際は、巨大な RF の逓倍部分のスペクト
バンチの進行方向平衡位相が変化します。つまり、バ ラムをさけ、+1 revolution 信号程度離れたところ

を使う事が多い) でスイープさせ、トラッキングジェ システムとして実現できていましたが、回路数、調ネレーターの信号を RF の 4 逓倍信号でダウンコン

整の面倒さなど今のシステムと比べものにならない

バートしたものでビームを励振 (フィードバック信号ものでした。技術の進歩はおそろしいものです)。図に重畳する)、スペクトラムアナライザは斜め方向の電極信号を直接観測する、というものです。水平と28 に iGp12 の single bunch beam transfer function
測定機能を使って測定した SuperKEKB リングベー

鉛直のチューンは別々ですから、水平は水平で、鉛タトロンチューンを示します。

直は鉛直でそれぞれスペクトラムアナライザの設定を自動で変え、励振出力もそれと同期して水平、鉛直方向の信号として出す、という回路になっています。もちろん、バンチ位置検出信号を FFT アナライ
ザなどでスイープしながら見る、という方式でも測定は可能です。
なお、横方向フィードバックが生きていると、バンチ電流が大きくなってきたとき、つまりフィード
バックゲインが大きくなってきたとき、励振してもフィードバックによってベータトロン振動の Q が大きく下がっているため、励振がぬめっとしたなだらかな山になって、たとえ応答データをフィットしてもベータトロンチューンを精度良く求めることが困難になってきます。これは、たとえフィードバック
ループ外に独立にチューン測定用キッカーを用意しようが、Beam transfer function がそうなってしまっているので改善することは困難です (ということで、チューン測定用に別のストリップラインキッカーを

図 28: パイロットバンチチューン測定の例

用意する、という流儀は残念ながら全く理解出来な
いです)。

SuperKEKB で使用している iGp12 プロセッサは、内部に励振、また FFT の機能を持っており、single

bunch beam transfer function 測定をさせることが可能です。また、そのバンチに対してフィードバッ
クを OFF することも可能なので、自然の状態に近いバンチの tune を測定することが出来ます。このような測定を、pilot bunch tune 測定と呼んでいます。

(同じようなことは、KEKB 時代には高速アナログ
スイッチを使ってパイロットバンチに対してフィードバックをアナログ的に OFF し、そのバンチだけを選択的に励振したり、また高速アナログスイッチや単バンチ振動測定回路を使って振動検出し、スペク
トラムアナライザで観測する、ゲートチューン測定

6.4

Transient-domain analysis

バンチフィードバックシステムを使った新しいビー
ム不安定の解析方法として、Transient-domain 測定という手法があります [21, 22, 23, 24, 25]。これは、バンチフィードバックで不安定を抑制している状態から、ある時間だけフィードバックをオフ (あるいは positive feedback にして励振) して、不安定の成長を記録し、不安定モードに変換してその成長、減衰を観測するもので• 不安定のはじまりを観測することができるため、純粋に理論との比較がやりやすい• 不安定モードの情報から、不安定の原因を探求

図 29 に LER 鉛直方向で観測された不安定モードしやすい。特に、加速器の条件を変えたときに、 の成長の様子を見た例を示します。このとき電流は不安定モードがどう変わるかみることで、より直感的に不安定に迫れる• 一番早く成長するモード、また時間とともに成長する様子など、定常状態では分からない情報が得られる• 不安定の成長時間とそれを抑制する際のダンピ
ングタイムから、より正確な (本当の) フィード
バックダンピングタイム情報が得られる。

• 成長時 (自由状態) の tune とダンピング時のtune の差からフィードバックシステムが resistive か (どのていど reactive か) が分かるという、種々の優れた特徴があり、PEP-II や KEKB、

SuperKEKB でのビーム不安定の研究で活躍してきました。実際の測定では、iGp12 に備わっている、

Grow-damp 機能を使います。これは指定したタイミングでフィードバックフィルターを切り替えることができるもので、例えば FB-ON からある時間の
間 FB-OFF(FIR 係数が 0 のフィルターに切替)、その後 FB-ON(もとの係数にもどす) とし、その間のフィードバックループ内のバンチ位置信号情報を記録することができるものです。
まず、フィードバックにかかわっている iGp12 を
同時に FB-OFF、5 ms から 15 ms 後に FB ON し、
その間のデータをとります。とった iGp12 のデータ

図 29: LER 鉛直方向の不安定モード例

756 mA、大体 0.5 mA/bunch 程度のバンチ電流でした。横軸はモード ID で、0 から 5119 までありま
すが、フィルパターンが 3 バケツおきなので、同じモードが三回繰り返しています。図の奥行き方向が時間経過で、フィードバック OFF してから不安定モードが成長し、再び ON にすることで減衰していく様子が見えます。不安定モードパターンから、この不安定が直線部での電子雲不安定性から来ている可能性が高いことが分かります [25]。図 30 に不安定
モードのうち成長が早い 4 つの代表モードについて
横軸時間経過、縦軸不安定モードの強度をとったものを示します。不安定の成長は指数関数的で、成長(全バンチ 2400 周分程度) を計算機に転送、5120 ×
128 turns データ (必要なら 64 周でも 256 周でも可)を切りだし、FFT をとり (通常の base 2 の FFT ではなく base 5 の FFT)、FFT の結果 (振幅情報) の指定周波数のサイドバンドを全モードについて測定、
これを時間方向に半分くらい重ねながら移動し、時間発展を観測する、という解析を行います。つまり、ある瞬間のデータをスペクトラムアナライザで観測し、モードの変化を見るというものです。(ちなみにもうちょっと賢い方法もあり、PEP-II のグループは

図 30: 不安定モードの成長と減衰の例

Matlab を使ってその方法で解析していた)[26]。
の時定数は 1.7 ms 程度でした。フィードバックのダンピングタイムの時定数は、(急激にダンプしすぎてドバックシステム開発、設計時から多くの教えを頂いてあまり精度がないが) 最小でも 0.5 ms 程度だとき、感謝しております。KEKB モニターグループの分かります。これは SuperKEKB の 50 周以下、とい同僚たち、特に今年 3 月若くして逝去されたジョン

うことで不安定に打ち勝ってこれだけの減衰時間をフラナガン教授には KEKB/SuperKEKB 横方向、

達成していることから、十分高速なフィードバック

進行方向フィードバックシステム開発において大きダンピングを実現出来ていることが分かります。な

く貢献して頂きました。感謝いたします。

お、放射減衰時間は横方向については 40 ms 程度なので、これらより遙かに遅いです。

参考文献

7

まとめ
ビーム不安定とそれを抑制するために使われる

バンチフィードバックシステムについて、主に Su-

perKEKB での経験をもとに紹介しました。バンチ
フィードバックシステムは、本 OHO2020 の講義で紹介された、通常のビームモニターと随分毛色が異なり、全然精密測定ではありませんし、S/N はひど
いものだし、ダイナミックレンジもたいしたことがないシステムとも言えますが、今やバンチフィード
バックなしに蓄積リング設計は考えられない、とも[1] 樋口龍雄、自動制御理論 (森北出版) ISBN4-62772640-6.
[2] G. F. Franklin, et al, Feedback Control of Dynamic Systems, (ADDISON-WESLEY PUBLISHING), ISBN 0-201-50862-1.
[3] 尾知博 デジタルフィルター設計入門 CQ 出版社[4] ハリー A. アトウォーター、マイクロ波理論入門 (好学社).

[5] 阿部英太郎、マイクロ波技術 (東京大学出版会)

言えると思います。デジタル信号処理技術の急速な進歩で、数年前は夢だと思われていたようなシステ[6] A. Hoﬀmann, Beam Instabilities, CERN Ac-

ムが、実現できるようになったことで、高速デジタ

celerator School CERN 95-06, vol. 1 pp.307-

ル信号処理をベーストしたバンチフィードバックシ

330, 1995.

ステムの構築は容易になったとも言えます。しかしながら、ビームに直接触れる部分、例えばボタンヘッ[7] John D. Fox, IBIC2012 ”Learning From
Beams”.

ド、またフィードバックキッカーなど、そしてアナログ高周波回路もまだまだ手を抜ける部分ではあり[8] F. Pedersen and F. Sacherer, ”Theory and Per-ません。皆様のなかで、このようなワイドバンドな

formance of the Longitudinal Active Damping

技術、研究にご興味のある方の参画をお待ちしておSystem for the CERN Booster”, IEEE Trans.

ります。

Nucl. Sci. NS-24 (1396) 1977.

本項で紹介したフィードバック技術や研究は、KEK[9] J. Gareyte, ”Transverse Mode Coupling In-

内外の加速器施設での諸先生方、特に家入孝夫先生、

stabilities”, AIP Conference Proceedings 592,

春日俊夫先生の先導的な研究から発展したものが多pp.260-278. 2000.

くあります。また、長年高エネルギー分野における日米協力事業などで共同研究してきた SLAC/Stanford[10] M. Tobiyama, et al, ”Development of But-

大、INFN-LNF などの共同研究者の方たちの共同研

ton Electrode with Improved Time Response”,

究によって、大きく発展してきました。特に、スタンin procedings of BIW08, Taho City, CA,

フォード大の John D. Fox 教授には KEKB 用フィー

TUPTF042, 2008.

[11] M. Tobiyama, ”BPM Electrode and High[23] D. Teytelman, et al, Phys. Rev. ST Accel.

Power Feedthrough - Special Topics in

Beams 4, 112801 (2001). [13] S. Heifets andWideband Feedthrough”, in proceedings of

D. Teytelman, Phys. Rev. ST

IBIC2012, Tsukuba, Japan (TUTA02).
[12] M. Tobiyama, et al, ”Bunch by Bunch Feedback Systems for SuperKEKB Rings”, in proceedings of PASJ2016, Chiba, Japan.
[13] D. Teytelman, et al, ”A Non-Invasive Technique for Conﬁguring Low Level RF Feedback
Loops in PEP-II”, in proceedings of 2005 PAC,
Knoxville, Tennessee.
[14] W. Barry,

et al,”Transverse Coupled-bunch Feedback in the Advanced Light
Source(ALS)”, in proceedings of EPAC94,
London.
[15] https://www.dimtel.com/[16] 高井良太, OHO2020 講義録[17] G. Lambertson, ”Dynamic Devices- Pickups
and Kickers”, AIP proceedings 1992.
[18] W. K. H. Panofsky and W. A. Wenzel, Rev.
Sci. Instr. 27 967 (1956).
[19] J. N. Corlett, et al, ”Longitudinal and Transverse Feedback Kickers for the ALS”, in proceedings of the EPAC94, London.
[20] R. Boni, et al, ”A waveguide Overloaded Cavity as a Longitudinal Kicker for the DAΦNE
Bunch-by-Bunch Feedback System”, Particle
Accelerators, 1996, Vel 52, pp 95-113.
[21] J. D. Fox, et al, in Proceedings of the 1999
Particle Accelerator Conference, New York(IEEE, Piscataway, NJ, 1999), p. 636.
[22] S. Prabbhaker, et al, Phys. Rev. ST Accel.
Beams 2, 084401 (1999).

[24] S. Heifets and D. Teytelman, Phys. Rev. ST
Accel. Beams 8, 064402 (2005).
[25] M. Tobiyama, et al, Phys. Rev. ST Accel.
Beams 9, 012801 (2006).
[26] D. Teytelman, Ph.D. thesis, Stanford University (Report No. SLAC-R-633, 2003).