2017 年度「統計」期末試験問題

付表 3 から付表 6 を参照し，正しい答えを選択しなさい．ただし，数値は四捨五⼊により⼩数点以下 3桁までとする（計算過程においても⼩数点以下 4 桁を四捨五⼊し，⼩数点以下 3 桁までを利⽤する）．
選択肢を選ぶ問題の場合には適切な選択肢の番号をマークし，数値を答える問題の場合には 1 桁ごとに数値をマークすること．
問題内の，〔1〕，〔2〕……は，解答番号を表している．
ただし，解答番号【13】【18】【75】は正負の符号を表すものとし，解答が正（＋）である場合は「9」に，負（−）である場合は「0」にマークせよ．
注意：解答が⼩数点以下の位において 0 となる部分には 0 をマークすること．
例）解答が 23.28 の場合で，〔1〕〔2〕.〔3〕〔4〕〔5〕に解答する場合には，〔1〕2〔2〕3〔3〕2〔4〕8〔5〕0をマークする．
【学⽣ ID 欄】左詰めで記⼊（下 2 桁は空欄）．マーク部分の下 2 桁には必ず「＊」にマークすること．

Ⅰ．６つの地域の⾼齢化率（全⼈⼝に占める 65 歳以上の⼈⼝の割合）と，ある政党の⽀持率を調べたとこ
ろ表１のようになった．各種記述統計量は表２のとおりである．なお，（２）（３）については，表中に⽰されている数値を⽤いて導出すること．
表１

⾼齢化率と政党⽀持率

表２ 各種記述統計量
⾼齢化率

政党⽀持率

標 本 平 均25.6673428

標 本 分 散53.867〔3〕〔4〕.〔5〕1843

標本標準偏差7.339〔6〕.〔7〕〔8〕〔9〕

C25〔1〕〔2〕

変 動 係 数

0.286

0.〔10〕〔11〕〔12〕

D38

21

標本共分散− 65.8

E

2340

相 関 係 数【13】〔14〕.〔15〕〔16〕
〔17〕

F

2045

⾼齢化率

政党⽀持率（％）（％）

A30B地区統1計量

（１）表１中の地区 C の数値を求め，マークせよ．
（２）表２中の政党⽀持率の標本分散，標本標準偏差，変動係数，および⾼齢化率と政党⽀持率の相関係数を求め，適切な数値および符号をマークせよ．（符号は【13】）（３）地区 E の⾼齢化率を標準化すると【18】〔19〕.〔20〕〔21〕〔22〕となる．（符号は【18】）Ⅱ．ベイズの定理（ベイズの公式）は，条件と結果を⼊れ替えた（因果関係を逆にした）確率を求める⽅法である．すなわち， P ( B | A) を使って P ( A | B ) を求める⽅法である．ベイズの定理の導出は以下のス
テップで⾏う．
（１）条件付き確率の公式として最も適切なものを以下から選択せよ．……………………解答番号〔23〕① P( A | B) P( A  B)
P( B)

② P( A | B) P( A  B)
P( B)

④ P( A | B) P( A  B)
P( A)

⑤ P( A | B) P( A  B)
P( A  B)③ P( A | B) P( A  B)
P( A)（２）⼀般に事象 A と事象 B が⽣じる場合について， P( B)  P( A  B)  P( AC  B) が成⽴する．これを応⽤すればベイズの定理が得られる．ベイズの定理として正しいものを以下から選択せよ．
……………解答番号〔24〕① P( A | B) 

P ( A | B) P( A)
P( B | A) P( B)  P( B | A) P( A)② P( A | B) P ( B | A) P( B)
P( B | A) P( A)  P( AC | B) P( AC )③ P( A | B) P ( B | A) P( A)
P( B | A) P( A)  P( B | AC ) P( AC )④ P( A | B) P( A | B) P( B)
P( B | A) P( A)  P( B | AC ) P( BC )⑤ P( A | B) P( A | B) P( A)
P( B | A) P( AC )  P( B | AC ) P( A)（３）ある電⼦製品には，純正品と偽物が存在している。純正品を A ，偽物を AC とする。純正品の市場シ
ェアは 0.8，偽物のシェアは 0.2 である。外⾒は純正品と偽物は同じであるが，不良品( B )である⽐率が異なっている。不良品である⽐率は，純正品で 0.02，偽物で 0.30 である。
以上の確率をもとにして，購⼊した製品が不良品 B であった時に，それが純正品 A である確率
P ( A | B ) を求めると，
〔25〕
．
〔26〕
〔27〕〔28〕となる．（この問題は，百分率（％）で答えるのではない）（裏⾯に続く）2

Ⅲ．以下の（１）〜（３）について，求めた数値，確率をマークせよ．ただし，〔33〕については求めた⾦額を下の【選択肢】から最も適切なものを選び，その番号をマークせよ．
（１）ある店の客単価の平均（1 ⼈あたりの平均⽀払額）が 2400 円であるとする．この店では，会計の際に 20 本中 3 本の当たりが⼊ったくじを引いてもらい，当たりが出た場合にはその⽀払いを無料にするというキャンペーンを⾏おうとしている．なお，くじは引くたびに元に戻すことになっている．
25 ⼈に連続してこのくじ引きを⾏った場合，無料になる⼈の平均は〔29〕．
〔30〕
〔31〕
〔32〕⼈であるから，この店は〔33〕円をこのキャンペーンのコストとして⾒込んでおかなければならない．
〔33〕の【選択肢】①5,000②7,000③9,000④12,000（２）ある池では１時間に平均 2 匹⿂が釣れる．ある釣り⼈が 3 時間に 5 匹以上の⿂を釣ることができる
確率は〔34〕．〔35〕〔36〕〔37〕である．（この問題は百分率（％）で答えるのではない）（３）プロ野球の M 選⼿の打球の⾶距離は，平均 78.35m，標準偏差 7.5m の正規分布に従うことがわかっている．ただし，M 選⼿は無⼼にバットを振っており，⾶距離を全くコントロールしていない．
また，ゴロになった打球については⾶距離の分布には含まれていない．95m 以上の⾶距離であればホームランとなるとき，M 選⼿がホームランを打つ確率は〔38〕．〔39〕〔40〕〔41〕％である．
Ⅳ．以下の【A】【B】の状況のもとで，それぞれの語句説明⽂が⽰す最も適切な語句を下の【選択肢】から選び，その番号をマークせよ．
【A】の状況
標本空間中に事象 A と事象 B があると考える．
〔42〕事象 A と事象 B に共通部分がない（事象 A と事象 B の積事象が空事象である）場合，事象 A か事象 B のどちらかが⽣じる確率は，事象 A が⽣じる確率と事象 B が⽣じる確率を⾜せばよいという性質（確率は⾜すことができるという性質）．
〔43〕事象 A と事象 B に共通部分がある（事象 A と事象 B の積事象が空事象でない）場合，事象 A か事象 B のどちらかが⽣じる確率が P( A  B)  P( A)  P ( B )  P ( A  B ) で表されるということ．
〔44〕事象 A と事象 B の積事象が P( B | A) P( A) （もしくは P( A | B) P( B) ）で表されるということ．
（【選択肢】および問題の続きは右ページ）

3【B】の状況
⺟集団平均（⺟平均）が  ，⺟集団分散（⺟分散）が  2 の⺟集団から n 個の標本を抽出（無限⺟集団からの無作為復元抽出）し，その無作為標本を⽤いて標本平均（ X ）を求め，⺟集団平均（  ）の推定量とする．
〔45〕標本数 n が⼤きいとき，⺟集団の分布（⺟分布）がいかなる場合であっても，標本平均（ X ）が正規分布に従う（もしくは，標本平均を標準化した確率変数が標準正規分布に従う）こと．
〔46〕⺟集団の分布（⺟分布）がいかなる場合であっても，標本平均（ X ）が，標本数 n の極限（ n   ）において⺟集団平均（  ）から外れる確率が 0 となること．
〔47〕⺟集団の分布（⺟分布）がいかなる場合であっても，標本平均（ X ）が，標本数 n の極限（ n   ）において⺟集団平均（  ）に収束することによって⽰される推定量としての望ましい性質．
〔48〕⺟集団の分布（⺟分布）がいかなる場合であっても，標本平均（ X ）の期待値（ E ( X ) ）が，⺟集団平均（  ）に等しくなるという推定量としての望ましい性質．
〔42〕〔47〕〔48〕の【選択肢】
①不偏性

②加法性

③効率性（有効性）

④乗法性

⑤⼀致性

⑥独⽴性

⑦従属性

⑧連続性

⑨再⽣性

〔43〕〔44〕〔45〕〔46〕の【選択肢】①中⼼極限定理②チェビシェフの不等式

③乗法定理

④加法定理

⑤⼤数の法則

⑥同時確率

⑦周辺確率

⑧条件付き確率（2 枚⽬に続く）

4Ⅴ．スマートフォンのある機種の連続待ち受け時間は 570 時間と公表されている．なお，この機種の連続待ち受け時間の分布は正規分布に従うことがわかっている．この機種の⼯場において 9 個の製品を無作為に抽出し，連続待ち受け時間を調べたところ以下の結果を得た（単位：時間）．
568，

572，

580，

571，

573，

588，

569，

573，

572

以下の（１）〜（５）について，求めた数値，符号，適した選択肢の番号をマークせよ．
ただし，（２）〜（４）については，（５）の情報を⽤いないこと．
（１）この結果から導かれる連続待ち受け時間の標本平均は〔49〕〔50〕〔51〕時間，標本分散は 39（標本標準偏差は 6.245）である．
（２）この機種の連続待ち受け時間の⺟集団平均（⺟平均）  を信頼係数 90％で区間推定を⾏うと，信頼区間は〔52〕〔53〕〔54〕．〔55〕〔56〕〔57〕〜〔58〕〔59〕〔60〕．〔61〕〔62〕〔63〕時間である．
（３）この機種の連続待ち受け時間の⺟集団分散（⺟分散）  2 を信頼係数 95％で区間推定を⾏うと，信頼区間は〔64〕〔65〕．
〔66〕〔67〕〔68〕〜〔69〕〔70〕〔71〕．〔72〕〔73〕〔74〕である．
（４）この調査をもとに，この機種の連続待ち受け時間が公表値である 570 時間を超えていると⾔えるかについて有意⽔準 1％で検定を⾏うと，（標準化された）検定統計量は【75】
〔76〕．
〔77〕
〔78〕
〔79〕であり，〔80〕．
〔80〕の【選択肢】①臨界値は 1.96 なので帰無仮説を棄却する．したがって，連続待ち受け時間は公表値 570 時間を超えていると⾔える②臨界値は 2.23（2.225）なので帰無仮説を棄却する．したがって，連続待ち受け時間は公表値570 時間を超えているとは⾔えない③臨界値は 2.58（2.575）なので帰無仮説を棄却しない．したがって，連続待ち受け時間は公表値570 時間を超えていると⾔える④臨界値は 2.897 なので帰無仮説を棄却しない．したがって，連続待ち受け時間は公表値 570 時間を超えているとは⾔えない⑤臨界値は 3.355 なので帰無仮説を棄却する．したがって，連続待ち受け時間は公表値 570 時間を超えていると⾔える（Ⅴの問題は右ページに続く）
5

（５）仮にこの機種の連続待ち受け時間の⺟集団分散（  2 ）が 56.25 であることがわかっている場合，この調査をもとに，この機種の連続待ち受け時間が公表値である 570 時間を超えていると⾔えるかについて有意⽔準 5％で検定を⾏うとする．このとき，⽚側検定での P 値は〔81〕．〔82〕〔83〕〔84〕であり，〔85〕．
〔85〕の【選択肢】① P 値が有意⽔準よりも⼤きいので，帰無仮説を棄却する．したがって，連続待ち受け時間は 570時間を超えていると⾔える．
② P 値が有意⽔準よりも⼤きいので，帰無仮説を棄却する．したがって，連続待ち受け時間は 570時間を超えているとは⾔えない．
③ P 値が有意⽔準よりも⼤きいので，帰無仮説を棄却しない．したがって，連続待ち受け時間は570 時間を超えているとは⾔えない．
④ P 値が有意⽔準よりも⼩さいので，帰無仮説を棄却する．したがって，連続待ち受け時間は 570時間を超えていると⾔える．
⑤ P 値が有意⽔準よりも⼩さいので，帰無仮説を棄却する．したがって，連続待ち受け時間は 570時間を超えているはと⾔えない．
⑥ P 値が有意⽔準よりも⼩さいので，帰無仮説を棄却しない．したがって，連続待ち受け時間は570 時間を超えているとは⾔えない．
（裏⾯に続く）6Ⅵ．2017 年に⾏われたある調査結果によると，22 歳までに海外旅⾏の経験が無いグループと有るグルー
プ別に，現在の年収に関して次表のような結果を得ている．
海外旅⾏経験の有無

標本数個⼈年収の標本平均個⼈年収の標本標準偏差（単位：万円）（単位：万円）無し

900375250

有り

400

410300

これら２つのグループの⺟集団標準偏差が異なるとして，海外旅⾏経験の有無にかかわらず，個⼈年収が等しいと⾔えるかについて検定を⾏うことにする．両グループの標本数が多いことから正規分布を⽤いた検定を⾏う．

（１）この場合の（標準化された）「検定統計量」は，絶対値で〔86〕.〔87〕〔88〕〔89〕となる．

（２）対⽴仮説を「海外旅⾏経験の有無によって，個⼈年収に差がある」として，有意⽔準 5％で両側検定したとする．この検定結果として最も適切なものを選択せよ．ただし，臨界値が分布表から直接導出できない場合には，最も近い 2 つの値の中点とする．

…………………解答番号〔90〕①検定統計量が棄却域に⼊るので，海外旅⾏経験の有無にかかわらず，個⼈年収に差がない．
②検定統計量が棄却域に⼊らないので，海外旅⾏経験の有無にかかわらず，個⼈年収に差がない．
③検定統計量が棄却域に⼊るので，海外旅⾏経験の有無によって，個⼈年収に差がある．
④検定統計量が棄却域に⼊らないので，海外旅⾏経験の有無によって，個⼈年収に差がある．
⑤海外旅⾏経験の有無と個⼈年収に差との関係については，統計的に何も⾔えない．
（右ページにも問題は続いている）

7

Ⅶ．回帰分析に関する以下の⽂章について，空欄（〔解答番号〕）に⼊る最も適切なものを指定された【選択肢】から 1 つ選び，その番号をマークせよ．ただし，〔98〕については適切な数値をマークせよ．
回帰モデル Yi  a  bX i  ui を最⼩⼆乗法（最⼩⾃乗法）で推定する場合を考える．ここで X i は〔91〕，Yi は〔92〕といわれる．また， ui は標準的線形回帰モデルの仮定を満たす誤差項である．

最⼩⼆乗法で b について検定する場合，帰無仮説を H 0 :〔93〕として，標準化された検定統計量bˆsbˆ

（ sb̂ は標準誤差）が〔94〕に従うことを⽤いる．なお，たとえば回帰係数 b が正であると⾔えるかを検定する場合の対⽴仮説は H 1 : 〔95〕である．検定によって帰無仮説が〔96〕場合，2 つの変数 X i とYi には有意な関係があるとされる．

さて，誤差項（ ui ）に関する標準的線形回帰モデルの仮定には，誤差項は〔97〕に従っており，その平均は〔98〕，分散が〔99〕であることなどが含まれる．そして，この仮定のもとでの回帰係数 b の推定量 b̂ は〔100〕．

〔91〕〔92〕〔99〕の【選択肢】
①従属変数

②独⽴変数

③均⼀④⼀致②b  0③b  0④b  0②標準正規分布③⾃由度 n  1 の t 分布

④⾃由度 n  2 の t 分布

⑥⾃由度 n  2 の  2 分布

⑦ベルヌーイ確率分布〔93〕〔95〕の【選択肢】①b  0⑤b  0⑥b  0〔94〕〔97〕の【選択肢】①正規分布⑤⾃由度 n  1 の  2 分布〔96〕の【選択肢】①棄却される②棄却されない〔100〕の【選択肢】①不偏推定量であるが最良推定量ではない②不偏推定量であり，最良推定量である③不偏推定量ではない（問題終了）

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