2022年度「現代物理学」レポートに関するコメント
担当教員〺 立川裕二〲〰〲〲〯〸〯〲〰

思いがけず〱〷〰人ぐらいレポートを提出してくれたので採点は大変でしたがなかなか面白かったです。皆さん色々な参考文献を教えてくれました。ネット上で公開されているもので良く引用されていたのは〨順不同〩〺• 弘前大、葛西先生 相対論の理解とその周辺• どなたかわかりませんが 物理のぺーじ♥• また、こちらは有名ですがぅきぁぎ の物理学です。〨赤字はウェブページへのリンクになっています。）
また、ネットで無料のものを検索するのは簡便ですし、最近はそれでも随分良質のものが手に入りますが、折角大学というお金のかかるものに課金しているので、図書館や、有料の原著論文なども見る習慣をつけてはどうでしょうか。
講義ノートの誤植の指摘も有り難うございました。 いずれ全部のファイルをまとめて、文献を追加したものを準備する予定なので、その際に反映させたいと思っています。

課題 1
雨が真上から降っているのを電車内から眺めると、 前方から降っているようにみえる。これの特殊相対論版として、あなたが z 軸方向に速さ v < c で動いているとき、z 軸に対して角度 θ をなす方向からくる光はより前方 θ′ から来るように見える。 θ′と θ の関係を v を用いてあらわせ。
これを間違えている人が 〱〯〳 ぐらい居ました。三問やったので良だと思っていたら可になったひとが沢山いたのではないかと思います。
一応愚直な計算による解答を書いておきます。 時空の座標を 〨ct, x, y, z〩 とします。 z軸と θ をなす角度で飛んできて原点をとおる光は a をパラメタとして〨ct, x, y, z〩 〽 〨−a, 〰, a びどの θ, a っはび θ〩〨〱〮〱〩というパラメタ表示を持ちます。さて、z 方向に速度 v で動いている系へのローレンツ変換は!
!
!
〱ct′ctc −v〽√〨〱〮〲〩z′zc2 − v 2 −v cで与えられました。実際、〨ct, z〩 座標系で速度 v で動いていると 〨ct, z〩 〽 〨ca, va〩 という座標を通ります。 これを上式に代入すると 〨ct′ , z ′ 〩 ∝ 〨〱, 〰〩 となって、止まっていることがわかります。そこでこの変換を 〨〱〮〱〩 に作用させるとc 〫 v っはび θv 〫 c っはび θ〨ct′ , x, y, z ′ 〩 〽 a〨− √, 〰, びどの θ, √〩c2 − v 2c2 − v 2〨〱〮〳〩〨ct′ , x, y, z ′ 〩 ∝ 〨−〱, 〰, びどの θ′ , っはび θ′ 〩〨〱〮〴〩となるが、これが〱になるので、っはび θ′ 〽
もしくはv 〫 c っはび θc 〫 v っはび θ〨〱〮〵〩√′ぴちの θ 〽

c2 − v 2 びどの θv 〫 c っはび θ〨〱〮〶〩となる。 v の符号がこれと反対になっているものは○にしてあります、 問題文が明確でなかったですから。作図して導出しようとした人はあいにくほとんど間違っていました。
式 〨〱〮〵〩 からわかるように、v → c で θ′ → 〰 、すなわち、前方に光速に近い速度で走ると、周りのものが全部前のほうに見えます。 この効果は相対論的光行差と呼ばれます。
これをパソコン上でみせてくれるウェブサイト〯ゲームソフトを紹介してくださった学生さんも居ましたので共有しておきます〺 ぇとづのぴ 大が がさぃぁ こっとははぬ はて ぁひぴび と組んで作ったぃちばぴちどの ぅどのびぴづどの と きぉご ぇちねづ がちぢ の ぁ こぬはぷづひ こばづづつ はて がどでとぴ です。 また、阪大の尾田さんと中山さんが〲〰〱〵年につくった、特殊相対論効果を取り入れた〳い〨〴い〿〩シューティン
グゲームもあります〺 相対論的ゲーム部。解説のスライドはこちら。

課題 2
講義では特殊相対論的および一般相対論的な時計の進み/遅れを議論した。 自分でいくつか状況を考えて、自分なりに納得いく精度まで具体的に計算してみよ。例としては、旅客機で遠くまで旅行する場合、高い塔の上、 GPS 衛星やそれに類する衛星の場合はどうだろうか。また、遠い未来にスペースコロニーがあるような世界で、コロニー住人と地球表面住人を比較するとどうなるか、月に基地があるばあいにはどうなるだろうか。
いろいろなケースを皆さん考えてくれました。 飛行機の行き先がかなりの確率でご実家になっていましたが、恋人の住む町というケースもありました。 重力の効果としては、エベレスト、チャレンジャー海淵などは想定していましたが、 チンボラソ山という僕の知らない山もありました。とくに面白かったケースとしては、• 浦島太郎が竜宮城での短い滞在時間で地上で長い時間が経ったのは竜宮城は実は高速で飛行する宇宙船だったのである。 これから宇宙船の速度を逆算する、というのが何と二人も居ました。
• ヱヴァンゲリオン新劇場版でシンジ君が十四年間軌道上に居た際にどれだけ年齢が、という人もありました。 これに関して東京都立大学システムデザイン学部航空宇宙システム工学コース・宇宙システム研究室の ヱヴァンゲリヲン新劇場版：Ｑ冒
頭〶分〳〸秒宇宙考証の解説というのを教えてもらいました。
• 孫悟空について考えた人も二人いました。 ひとりはドラゴンボールで界王星から戻ってくる際。 もうひとりは西遊記でお釈迦様の手の平のなかを跳び回ったときに関してです。 後者に関しては色々な古典の文献を駆使して手の平のサイズを推察するところ等、抱腹絶倒でした。
しかし、 ドラゴンボールもエバンゲリオンも、 僕が小学校〜高校のころの漫画〯アニ
メなわけですが、皆さん古典的な漫画〯アニメもよくご存知でびっくりしました。 もちろん、より最近の漫画〯アニメの状況を取上げてくださった方も居ましたが〮〮〮〲課題 3
特殊相対論および一般相対論的な時計の進み/遅れに対する実験的検証の論文をひとつみつけて読み、それについて簡潔に解説せよ。
皆さん色々な文献を読んでくれました。 ただしまだ若いためレポートしぐさをご存知無い方も多かったです〨そういう作法を教える講義があって然るべきだと思いますが〩。
• 読んだ文献を明示する。〨文献情報内の著者、タイトル、巻号、年、等の順番は業界に依りますのでまあいいのですが、読んだ文献の内容だけ書いてあって文献情報が全く無いのは困ります。〩• プレスリリースを読むだけでなく、プレスリリースのもとになった原著論文を読みましょう。
紹介してくれた論文は〨漏れがあるかもしれませんが〩以下の通りです。 古いものから新しいものへ並んでいます。
ぐはふのつ ちのつ げづぢにち〬 ぜぇひちぶどぴちぴどはのちぬ げづつ〭ことどてぴ どの ぎふっぬづちひ げづびはのちのっづ〢〬 ぐとべびどっちぬ げづぶどづぷ がづぴぴづひび
3 〨〱〹〵〹〩 〴〳〹〮
えちてづぬづ ちのつ かづちぴどので〬 ぜぁひはふのつ〭ぴとづ〭しはひぬつ ぁぴはねどっ ぃぬはっにび〺 ぐひづつどっぴづつ げづぬちぴどぶどびぴどっ ごどねづ ぇちどのび〢〬
こっどづのっづ 177 〨〱〹〷〲〩 〱〶〶〮
えちてづぬづ ちのつ かづちぴどので〬 ぜぁひはふのつ〭ぴとづ〭しはひぬつ ぁぴはねどっ ぃぬはっにび〺 くぢびづひぶづつ げづぬちぴどぶどびぴどっ ごどねづ ぇちどのび〢〬
こっどづのっづ 177 〨〱〹〷〲〩 〱〶〸〮佐分利〬 ぜ周波数・時間計測における相対論効果〢〬 情報通信研究機構研究報告 29 〨〱〹〸〳〩〵〵〮
細川 づぴ ちぬ〮〬 ぜパルサータイミングにおける重力遅延効果〢〬 通信総合研究所季報 45 〨〱〹〹〹〩〱〵〱〮
あづひぴはぴぴど づぴ ちぬ〮〬 ぜぁ ぴづびぴ はて でづのづひちぬ ひづぬちぴどぶどぴべ ふびどので ひちつどは ぬどのにび ぷどぴと ぴとづ ぃちびびどのど びばちっづっひちてぴ〢〬
ぎちぴふひづ 425 〨〲〰〰〳〩 〳〷〴〮
細川〬 ぜ時間・周波数標準における相対論効果〢〬 情報通信研究機構研究報告 49 〨〲〰〰〳〩 〱〵〮中村〬 ぜカーナビと相対論〢〬 日本物理学会誌 60 〨〲〰〰〵〩 〷〴〱〮
げづどのとちひつぴ づぴ ちぬ〮〬 ぜごづびぴ はて ひづぬちぴどぶどびぴどっ ぴどねづ つどぬちぴどはの ぷどぴと てちびぴ はばぴどっちぬ ちぴはねどっ っぬはっにび ちぴ つど》づひづのぴ
ぶづぬはっどぴどづび〢〬 ぎちぴふひづ ぐとべびどっび 3 〨〲〰〰〷〩 〸〶〱〮ことづの づぴ ちぬ〮〬 ぜぁ ばひはばはびちぬ はの ぴとづ ぴづびぴ はて でづのづひちぬ ひづぬちぴどぶどぴべ ぢべ っぬはっに ぴひちのびばはひぴちぴどはの づへばづひどねづのぴび〢〬
ぁつぶちのっづび どの こばちっづ げづびづちひっと 43 〨〲〰〰〹〩 〱〶〴〮ぃとはふ づぴ ちぬ〮〬 ぜくばぴどっちぬ ぃぬはっにび ちのつ げづぬちぴどぶどぴべ〢〬 こっどづのっづ 329 〨〲〰〱〰〩 〱〶〳〰〮ぃどふてはぬどのど づぴ ちぬ〮〬 ぜぁ ぴづびぴ はて でづのづひちぬ ひづぬちぴどぶどぴべ ふびどので ぴとづ がぁげぅこ ちのつ がぁぇぅくこ びちぴづぬぬどぴづび ちのつ ちぇげぁぃぅ ぅちひぴと でひちぶどぴべ ねはつづぬ〢〬 ぅふひ〮 ぐとべび〮 お〮 ぃ 76 〨〲〰〱〶〩 〱〲〰〮
うちぴづづぶ づぴ ちぬ〮〬 ぜぅへばづひどねづのぴちぬ きづちびふひづねづのぴ はて ぇひちぶどぴちぴどはのちぬ ごどねづ いどぬちぴどはの さびどので ごひちのび〭
ばはひぴちぢぬづ けふちのぴふね ぃぬはっにび〢〬 きづちびふひづねづのぴ ごづっとのどぱふづび 59 〨〲〰〱〶〩 〴〰〲〮
山本〬 ぜがぉぇく による重力波検出と一般相対性理論〢〬 物理教育 64 〨〲〰〱〶〩 〸〷〮〳高本 づぴ ちぬ〮〬 ぜ光格子時計の遠隔周波数比較による標高差計測〢〬 応用物理 86 〨〲〰〱〷〩 〹〷〲〮
ごちにちねはぴは づぴ ちぬ〮〬 ぜごづびぴ はて でづのづひちぬ ひづぬちぴどぶどぴべ ぢべ ち ばちどひ はて ぴひちのびばはひぴちぢぬづ はばぴどっちぬ ぬちぴぴどっづ っぬはっにび〢〬
ぎちぴふひづ ぐとはぴはのどっび 14 〨〲〰〲〰〩 〴〱〱〮

課題 4
シュワルツシルト解の導出を自分なりに繰り返し、レポートを読む側に説得力のあるとあなたが考えるだけ計算過程を記述せよ。計算過程に数式処理ソフトを使った場合はプログラムのファイルを別個添付してもよい。
手計算をしてくれた人が大部分でした。 きちぴとづねちぴどっち でやった人も居ました。僕の知らなかったところでは こべねぐべ の重力用の ぇひちぶどぐべ というのがあるようで、それでサッとやってくれた人もいました。

課題 5
回転しているブラックホールを記述する Kerr 解、電荷をもった Reissner-Nordström解、回転して電荷を持った Kerr-Newman 解というものも知られている。このうち幾つかについて、それらを導出する、もしくは、知られている解から出発してそれが一般相対論の方程式を満たすことを確認せよ。
ぎづぷねちの〭おちのどび の方法という、 回転の無いブラックホールの解から回転のあるブラックホールの解をつくる方法を説明してくれた方が散見されました。冒頭で紹介した物理のぺーじ♥でやってあるからだと思います。
また、ぎどにはぬど〓っ〭ぐちのぴど〓っ〬 ぜぁ ぐはびびどぢぬづ ぉのぴふどぴどぶづ いづひどぶちぴどはの はて ぴとづ かづひひ きづぴひどっ どの くひぴとはではのちぬ
うはひね あちびづつ くの ぅぬぬどばびはどつちぬ きづぴひどっ ぁのびちぴぺ〢〬 ちひじどぶ〺〱〲〱〰〮〵〹〲〲 せでひ〭ぱっそ を解説してくれた人もいました。

課題 6
講義では、ブラックホールについて、その地平面の半径、温度、エントロピーなどを学んだ。色々な質量のブラックホールについてそれらの量を計算せよ。簡単のため角運動量は無く、シュワルツシルト解を使ってよい。 地平面を横切ってから、r 〽 〰 の特異点ですり潰されるまでの時間を計算するのも面白いだろう。例としては、地球質量、太陽質量、銀河中心のサジタリウス A∗、重力波で衝突が観測された遠方のブラックホールなど。 また、ちょうど温度が現在の宇宙背景放射温度ぐらいになるもの、ちょうど今ごろ蒸発しおわるであろうものを考える、などでも良い。
これも色々なケースを考えた人がいました。 皆さんブラックホールの質量に関しては
しどにどばづつどち から情報を取ってくる等していた人が多かったですが、銀河中心のブラックホールに関して原論文に遡って調べてくれた方がいたので文献を紹介しておきます〺
ぇどぬぬづびびづの づぴ ちぬ〮〬 ぜぁの さばつちぴづ はの きはのどぴはひどので こぴづぬぬちひ くひぢどぴび どの ぴとづ ぇちぬちっぴどっ ぃづのぴづひ〢〬 ぁびぴひは〭
ばとべびどっちぬ おはふひのちぬ 837 〨〲〰〱〷〩 〳〰〮〴課題 7
何かモノが非常に圧縮されてブラックホールになったとする。このときにエントロピーはどれくらい増加するだろうか? 具体的な例を考えて、 自分が納得する精度まで、計算してみよ。 例: 巨大な星の超新星爆発、中性子星の合体、地球と同じ質量のブラックホールを比較、など。 (もとのモノのエントロピーを自身が納得するように計算するほうが大変だと思われる。)
すでに問題文に書いた通り、物質のエントロピーを計算するほうが大変です。 ネット
で検索すると出てくるからでしょうか、
原 づぴ ちぬ〮〬 ぜ自己重力系のエントロピーについて〢〬 京都産業大学論集．自然科学系列 41〨〲〰〱〲〩 〱〹〮 とぴぴば〺〯〯とつぬ〮とちのつぬづ〮のづぴ〯〱〰〹〶〵〯〷〹〰
を参考文献にしていた人が何人か居ました。砂糖の固まりを考えてくれた人がいて、その方はぐふぴのちね ちのつ あはづひどは〭ぇはちぴづび〬 ぜえづちぴ〭っちばちっどぴべ ねづちびふひづねづのぴび ちのつ ぴとづひねはつべのちねどっ てふのっぴどはのび はてっひべびぴちぬぬどのづ びふっひはびづ ちぴ ぴづねばづひちぴふひづび てひはね 〵 か ぴは 〳〴〲 か〢〬 おはふひのちぬ はて ぃとづねどっちぬ ごとづひねはつべのちね〭
どっび 25 〨〱〹〹〳〩 〶〰〷〮という論文をあげていました。化学は全く疎いので、そういう論文雑誌があることすら知りませんでした。
課題〸〬〹〬〱〰に関しては特にありません。

課題 11
その他、なんでも講義の内容に多少関係ありそうなことなら数ページ程度にまとめてレポートにしてくれても結構です。

課題 12
また、講義の内容にほとんど関係なさそうでも、知的に興味深いことであれば数ページ程度にまとめてレポートにしてくれても結構です。
いくつか他の学生さんに紹介しようと思ったものを列挙します。 まず、ぉのぴづひびぴづぬぬちひ の解説記事を紹介してくれた人がいました〺 くの ごとづ こっどづのっづ はて ぉのぴづひびぴづぬぬちひ。
また、えちぷにどので 輻射や ぐづのひはびづ 過程〨回転するブラックホールからエネルギーを取り出す方法〩 と理論的にはほぼ同じ効果を重力でなくてもっと身近な系で実現する、という方向性を紹介してくれた人が数人いました。文献は〺
こぴづどのとちふづひ〬 ぜくぢびづひぶちぴどはの はて びづぬて〭ちねばぬどてべどので えちぷにどので ひちつどちぴどはの どの ちの ちのちぬはでふづ ぢぬちっに〭とはぬづ
ぬちびづひ〢〬 ぎちぴふひづ ぐとべびどっび 10 〨〲〰〱〴〩 〸〶〴〮ぃひはねぢ づぴ ちぬ〮〬 ぜぁねばぬど「っちぴどはの はて ぷちぶづび てひはね ち ひはぴちぴどので ぢはつべ〢〬 ぎちぴふひづ ぐとべびどっび 16 〨〲〰〲〰〩 〱〰〶〹〮
きはつふでのは〬 ぜごとづ ぬどてづ はて ちの ちのちぬはでふづ ぢぬちっに とはぬづ〢〬 ぎちぴふひづ ぐとべびどっび 17 〨〲〰〲〱〩 〳〰〰〮
また、時間という概念について考察を加えてくれた人も居ました〺
筒井〬 ぜ時間および時間概念の発達について〢〬 科学基礎論研究 15 〨〱〹〸〲〩 〱〹〳〮〵竹内〬 丸山〬 ぜ慣用的時間概念理解の発達〢〬 愛知教育大学研究報告 49 〨〲〰〰〰〩 〱〰〳〮 とぴぴば〺〯〯とつぬ〮とちのつぬづ〮のづぴ〯〱〰〴〲〴〯〵〸〳また、トンデモ文献を紹介してくれた人もいました。 相対論はトンデモさんが沢山おり、それぞれのトンデモさんがどこでつまづいているかを観察するのは興味深くはあります。以前僕がポスドクの時にトンデモさんから電話が掛かってきた話は以前 ぴぷどぴぴづひ に書きました。講義に参加した学生さんが紹介してくれたのは〺• 仲座栄三研究室
この方は環境工学が御専門の琉球大学の方だそうです。 相対論に関するご主張は、これまでの相対論の式や、理論を支持する実験結果はどれも間違っていないが、通常の教科書等にある解釈が全然間違っている、というもののようです。 これは非常に微妙な立場で、僕は数式から実験結果が説明できるのであれば解釈はなんでも良いという立場ですので、 まあ通常の教科書の解釈でもこの人の解釈でもいいのでは、と思います。 ただし、相対論を通常研究している人は、通常の解釈をつかって会話しますので、この人の解釈に基づいて喋ると話が通じ難くなるという問題はあると思います。実験結果に関しては意見の相違は生じないでしょうが。
• 相対論的ＧＰＳ解説の根本的誤り、 カーナビの相対論的効果はウソ という一連のページを含むウェブサイトも紹介してもらいました。 ぇぐこ の仕組みに関しては色々正しいことも書いており、 専門家が一般向けに ぇぐこ における相対論効果について説明するために簡略化しすぎたために嘘になっている点を正しく指摘していたりもします。が、相対論が論理的に間違っているというのはどうかな、と思います。
講義の最初数回で強調しましたが、少なくとも我々の想像の世界のなかで、特殊相対論に従う物理系を考えるのには何も問題はありません。 それと実際の実験が合致するかというのは別問題ですが。 で、特殊相対論にかんするトンデモさんは大抵の場合特殊相対論に論理的問題がある、というのです。これは困ります。

課題 13
近年大学のレポート問題といえば Wikipedia からコピペをするのが問題になっているようであるが、 Wikipedia に情報を付加するのであれば文句はないだろう。というわけで、日本語もしくは英語もしくはあなたの好きな言語の Wikipedia の、今回の講義に関係しそうな項目について、既存記事を改良するなり、新規記事を書くなりせよ。
Wikipedia は特定の編集に関してのリンクを表示することが出来るので、自分の編集がどれかを明記すること。
この課題は毎回出しているのですが、 前回出した際にしどにどばづつどち〺教育プログラムでウィキペディアを執筆する際の注意点というのを ぴぷどぴぴづひ 経由で指摘されました。 これは、しどにどばづつどち 記事の執筆がレポート課題になると、 しどにどばづつどち に質が低かったり、著作権的に問題があったり、しどにどばづつどち の作法にしたがっていなかったりする加筆が沢山追加される問題が過去何度もあったため、推奨されていることの一覧だそうです。今回も皆さんいくつか記事を書いてくださいましたが、 私が更に修正する必要のあるものも散見されます。まだ時間がなくてやっていませんが、八月末までにはまとめて僕のホームページからリンクを貼ろうと思います。

〶課題 14ブラックホールの情報喪失問題を解決してしまったら、論文を書いて arXiv に投稿してください。もちろん優の上をつけます。
生憎どなたも解決してくれませんでした。

〷