27TheScienceReportsoftheKan乱zawaUniversity，'101.III，No 1，pp.27‑34，March，1955.
園

On SomeProperty ofa Gap Sequence

By
Noboru MATSUYAMA and Shigeru TAKAHASHI.
(Receiv
edSeptεmber15，1954)

1. Let.
fCObeaCB)measurablefunctionwith pe1'iod 1. Suppose thatfo1' SOlllef>0constanto'lIfCt)I三.!vl(1.
1)andJlfl
山 '1=0(1.
2)

R.Fortet[lJ and G. Maruyama [2J proved thati
ff(t)satisnestheLipschitz
1' α(0<0:::::;:'1)， thencondi
tionofo1'deσ一一︑︑)〆一一月
ff

一P
4k 一
一O
一ワω 一
守I
/1¥ 一
fJ‑一却

さい↑
一パm
一 判(1.
3)holdsforalmosta
1
1ム where2=1史 ~l-f( 孟(1udtAnd a1soS. Izumi[3Jobtainedthe same result when.
f(心 isthefunctionofLip'
た(1， α)fo
1' α>0固Thepurposeo
fthi
spaperistosharpenthepr
配 偶dingresults.In~ S2‑‑4，weproveth
efoI
lowing
THEOREM. Let {SOk} k=1，2・， ・・beanincreasing sequence ofpos
itiv
enumbers
EE

and.
f(t) betheboundedfunctionofLi
p沢一 (1， α)satisynng(1.
2)，thenfo1' almosta
11t，thereexistinnnitely(oronlynnitely)many71 sucht
hat(l.
5)

エ~ .f (2k t)>(J" l-~~- れif，andonlyi
f，thモ series:L;~~' eーすペ(1.
6)

止div
e
1'ges(orconverges)
.
fW.F6
1
16
1'[4].
L
et{.oq}k= 1，2，•
Thep
roofi
sbasedont
hefollowingt
heo1'emoLip*(1，α〕 町 田 that1;m州μ，， +h)~l("つ|山=O(uりo hくu28N.MATSUYAMAandS.TAKAHASHI

beasequenceo
findependentrandomv
ariableswithmeanv
aluezero.Suppose也 at
E(xD=σ主↓+均SEhσ2Me
xi
stsand(n→+∞)，

thent
he位reoremo
fW.Fellerreadsasfollows.
fTHEOREMA.IIxkl三品 =o(完了)(k→+∞)，出enwithprobabilityone，th:ereexistinfinitely(oronlyfinitely)manyn such出 at

主Xk>S，，(仇十~.)if，andonlyi
f，the田，ries
σえ よ ω 22.
jτ'j‑(jJke‑2 ~ kJkdiv
erges(orconv
erges)，whereC isanyconstant.
2. Weu田 由efollo
wing. Withoutlossofg
enerality，wemayassumet
hat
LEMMA1log2k
三片手410g2k.
Thep
roofis仕lesameasthato
flemma1in[5J.
LEMMA2. Wehave

寸1(Spm)Vf=。
ωp，，=nσ(n→+∞).

PROOF. Wehave，aft
erM.Kac[6JすJl(t!(問 ydt=Jシ2ω川会1f
I/ο〉/(2W
f‑J
L会:/
JJiげ"(2り)dt
Bylemma1ofS.Izumi[7J，iti
sknown仕latdrρ kt)dtI
三JJlf(t)Hencethelimit(1.
4)existsandwehave

史っとf(か 2t)ydtーすf(会V(2t)ydtIjhl=nlJk=官官 k-~+I .f f(t)f(2kt)dtI+0
ω = 0(1)k29On SomeFroterty 0/a GatSequence

Thefollow
ingde
fin
ition
so
fsequencesareessentiaIlythesamea
sthoseofMaruyamain[2J. Letusput~ν)=[21og v/αlog2J~.Dhesmallestintege
rk suchasanddenoteNot(2.
2)[(logkアJ>l.
(k(logk)り.
Fork孟No， letusdefinesequen
伺 s{mk} and{nk} asfollow
s.
(2.
3)
mk= [k(logk
アJ，and(2. 4 ) 舟 k=mk+l.
(mk).
From(2.
2)，(2.
3)and(2.
4)，itiseasilyseenthatnk‑lく mk<nk，(2.
5)

l
k= mk-nk-l~ (log k)2(k→∞)，

210gk
log2(k→+∞).

and(2.
6)

え(mk)口 町 ‑mk‑‑‑‑一一一一一LEMMA3. Theseries(1.
6)andmkーすrp!
rk2Jヂ
一
一一
一一‑ e(2.
7)

kconv
ergesordI¥nergessimultaneously.
PROOF. S
ince{9k} isincreas
ing，wehave
目白‑
L'P2

̲
‑.
L'
P宅

9mke 2 mk
三 9ke 2 必，hencetheconv
erg
肌 ceof(1.6)impliesthatof(2.
7)
.
Conv
ersely，if(2.
7)converges，出en2}~色tーすに呂田k苛 l !fと ftAh高ν=mk

νtteAhlogZ
生土Lbf
三五 kψmωmk

BytOOdefinitiono3f{mk}，wehavefor長，NoJ;;，Max[og(k+1))21)(lL<log (k+log笠吐m，ogk)(k‑1)(
cl2
汁一則h5g 一~+g2++g

三一2+万 石 工 三 ÷
三 五rThisshowsthat(1.6)converges.
3. Lettbeap
ointin(0.1)叩 dit
sdyadicexpansionbe
t=告の(t)主i 2k

30N.l¥ZL'¥TSUYAM
AandS.TAKAHASJ
主I

wheredc/(め=0orL UsingRademacherfunctionsy k (t)， W冶 mayw
rite.D~(n 一I
fweput1+

k=l ，2，・。

(3.2)

ν(t)ェ

th
色nitfollow
sthat.
3)o(2À~V) )2"t 仇(か。→+∞)，

2ν+andニ 一 仇(t))}+ 仇 (t))(3三whencθbytheh
ypothesisand(3.

j11川，wehaveIdt
三五j r長3whereA 1
SaconstantThisimpliesthata.倍。

!tv(t)!くこ十回

Letusdefine
Xk(t)=札 (t))‑e，lfork>λゐフνfork乙1¥10¥
I= nk̲ 1イ→]and(3.7)

戸¥
J= m1
c十 1ヲ

where内1ti
seasilyseen

Jl ω /山(3わ れ ! : ; ; :川ぐ~

Since

Ai
sthe(B)measurablefunctionoftheRademacher functions

ヘー く均三与野 /c+I'l

め where=n，c/andXc/十l(t) donotcontainthesameRademacherf
unctions and {xん(t)}isthe，weseesequenceo
findependentf
unction
shavingmeanv
aluezero. Bythesameway
フthatisthesequen
問 。findlependen
tf
un
ction
swithmeanv
alu
ez
ero.

Ontheotherhandwehave

On SomeProterty ザ aGat Sequence

31'r牛(X，，(t))
2dt=j1{vZJ(叫f(8v(t))‑f(2Vt)‑ev)}
2dt

2dt=f( 急 f(2νt))2dt+ff
雪 (f(8ω〉一 f(均 一 九)1
5 、i
ν=10"̲1+1

ν=10k̲1+1

イ C=n~1刊/何〉{iJ
三P"+Q，， +2R，，.

Thenb
yLemma2，wehaveP，， =a・2(m，， ‑n"‑1)+0(1)=O((logk)2)(k→+∞).

dby(1.
1)and(3.
8)，wehav
eAnん，v=l.f[f似r︑︐︑r'・+ぷ︐b1ノd︑44ν/tワ
白︑F︑J︑︼ノ''eft‑¥¥ノν︒υ
fi¥︑︑/tFJρiyo

く一一︐a a︑︐︿︐Mオ±)=o(E4白→+∞)，=O(*)=O(hence

Q込 (m，，‑nk‑l)2 Max IiJ. .v=O(/~ー)
1O k~1 く μ ，\I ':;;:mk\Il!

(k→+∞).

BytheaboveresultsandSchw
arzinequalitywehaveIR"l<pi(2 o:2=0(与生)(k→+∞).

σ1=(m ，， -n"-1)σ2+0 (l)~a2 (log k)2(k→+∞)，

Therefore，weobt
ain(3.
9)︑}ノ︑︑i噌/1︒+み命

σ押¥3ノ/l

4 仇2︑dA︑d︐V

一一ι︑db1k/{巴︑︑︐4ノノ︑巴W︑

flyヂa(3.
10)

f!
︒

一一一︒品配・andb
yt
hesameway(k→+∞).

Nowwehave(3.
11)

RB，.
j'三 2 J ak
k‑RO+1N=σ2. 2J [(m，， ‑mk‑l)+(押2k‑l‑nk‑l)J+0(N)
必=RO+1=σ2mR+0(NlogN)~σ2N(logN)2(N→+∞).

Hence，wehave，by(2.
3)andLemma1，
(3.
12)

BR=av
'
訂 +O(v'N )早ν
σ訂 +o(予す)(l¥l→+∞).

82N.MATSUYAMAandS. TAKAHA邑E王I

﹁JJ

瓜耳目一正

¥}ノア/fl¥A¥t
ノ

r~ = 0"'21γ

Thereforeby(1.
1)フ/t¥

CL 三記m(3.
13)︒

Onthむ otherhand(lV→十∞).

.
7)and(3.
13) wehaveヲ(Iyωl くCk¥olrog~ 可-;:)くわ十悶)，andifweapplyA.Kolmogorof
f'stheoremo
ftheiteratedlogarithm，itfollowsthatforalmosta
11ムN}j y心 )1lim ~_"-= N0一一一一=1"V"'l‑十∞ (2じ1g2/2
一1o(3.
14)
From(3.

jand(3.

，wehave(3.
15)

lim こ三二"V.竹 田.
.
aeーハ園

AV 1Jl.
zyψ'nVOntheotherhand，bγthedefinitionsor‑，‑t)，wehave
andpν(心Cv，→and(l目。
ノ (3.
5)，

トー1.
8) andく3.
16)
4. Nowfrom(3wehave
Xり)=

十 o( エーーム~Ik~NO 十 1\f{Jm .
.
v

乱。

e.
.

and(3.
11)，wecanfin
dtwop
ositiveconstantsA1 andAz suchas

二さ/HencebγLemma:3，thetwos
eries(1.

z(4.
1)

fork>N o・、¥

andらo
出 1cC

convergesordiv
erge
ssimu
ltaneously.
Ontheothβrhandbyく1.
1)，(3(4.
2)

1and(3.
12) 同rehave

ωl三五→十0(つ〕。

XkNow，TheoremA in~ 1isapplicablefor
r.Thecasewhere(1.6) diverg問 。
1nthisCa)田， (4.1)div
erges， andwehave，foral
mosta
11t(4.
3)

古川があv\ 仏N 十…._~- )た =N O 十 1\~m .Lroy

ノ'1・'JOn Some1予oterty ofa GatSequelZu

占印occursforinfinitelymanyNHen田， fo
1'almostall人言幻 t)>βkh 1N(SO吋十ニτチ j卜o(今斗y mVγ拙 N¥

沼J¥ノJ.

Vm ヂm，，+Cσ自イーイ学丘)
γ、γσ，.

(N→+∞)，

Y

日

同 ;
.
V』

N /

削occursforinfinitel
ymanyN ，by(3.
15)and(3.
12).

I
fweputC= 1，thenforalmosta
JItandsu
伍cientlylargeN

XK2hfMGIれ N'therefo
1'e，wehavein白nitelymany刀 sucht
hat;
E1/〔2kf〉>σ¥/五一仇

a.e.
.

2Thec
asewh
即 e(1.6)conv
erges.
4.
1)convergesandwehave fo1'almosta
llt
Int
hi
sc
ase(0，•，，、r

J
V〔仔4.
め5)

h

つj
2 川.
X、
冶バh(tめ)>β N¥千ヂ私九7川，白諸畠

NO+l¥7¥γ N J削』

occursonly負fi
凶nit
白e1砂ymanyλλア.
Forany刀， wecanf
indN(1Z)sucht
hat
1IIN(η 〉く nく 7
11NC"，)
十I

andby(1.
1)，wehavefo1'allt(4.
6)，

記 f(2kt)
三(mAVCη)+1"‑1nscn))Ilf

ι品 川N(n)+l川)=o(己記，?)=O(OOgNIケ→斗∞).

F1'om(4.
6)and(3.
15)，wehavefo1'almostal
It(4.
7)

NCn)

I I.
.
n...、¥k~No+l¥ γ叫 NCI
ρノJE/(2kt〉=2xfc(f〕+oi」
4lJj"~1(n→←∞).

Excludingase
tofmeasureze1'o，wecanf
indK(to)foranyfixedtos
uchthatλT>K(to)implies

る川 (tぷ BN(ヂ ‑t‑子二)ln7IJk~NO 十 1\'t' m- lY

ノHenceby(4.
7)フ i
fN(n)>Rてん)， wehave
早 f(2"tο)= NC'.
'8，，) ."C k (tO)+O(~-;;竺旦型ーム/
一一一一、1，"~ .
.
VOトー1ωlJ い(4h〈心)三B N C n lSOmN¥ニ¥ γ川 NCη) !

ym̲
.
.
v('(/，) ‑ ' ¥ ? 川 N 心。ノ仇白色白山)

σ'v/偏 ζ)SOm:VCni+2+0 (一' γ N(η 〕¥ γ mNCn.)ノJJl

34N.l¥
在ATSUYAMA andS.TAKAHASHIConsequent
1y if we put C =←1 we canfind K/(to) such that N(訟の >[K(to) andヲ

K'(to)] impliesσ

両五 (n，) ip"'Nω 十 σζ/乎臼("，)‑
1‑o(守主主)、rmNln) /.

ヰσv丙11，)ヂ叫る〉く V~σ札。
Henceexc
1
udingasetof measure zero，we ca
紅白 nd K"(tO)for anyfixed tosuch thatn>K"(tO) implies

ぷ/(2 t く v‑‑;‑れk O)

o"Thus the theorem isproved.
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