暑中コンクリートの運搬時と圧送時の生コンクリート温度変化に関する研究
その 2 生コン車の回転ドラム内の生コンクリートの積載高さと積載表面積の関係
213-033

梶本

大希

さ z0 に対応する方向を z 軸とする。

1. はじめに本研究その 2 は，回転ドラム内の生コンクリートの積

円すい側面の任意の部分側面積 S は，算定したい任意載高さと積載表面積の関係を，幾何解析により検討した。の部分側面積を底円に投影し，その底円への投影面積 Sp

2. 回転ドラム表面における生コンクリート積載高さまに，円すいでは定数になる√{(∂z／∂g)2＋(∂z／∂h)2での日射受熱表面積の幾何モデル化＋1}＝円すい母線長／底円半径＝√(z02＋r2)／r を掛け

図 1 に，回転ドラム表面における生コンクリート積載算することで求まる。すなわち，円すい底面への任意の高さまでの日射受熱表面積の幾何モデル化を示す。回転

投影面積 Sp が定まれば，投影面積 Sp に該当する円すいドラム内に積載された生コンクリートにおいて，回転ド側面の任意の部分側面積 S が計算できる。

ラムと直接接触する表面積の一部分が日射受熱表面積に従って，円すい母線と平行に切断したときの部分側面なるとして，円すいを母線と平行に切断したときの部分積 S は，円すい母線に平行に切断した切断線が放物線に側面積と，円柱を傾斜角αで切断したときの部分側面積なることで，h, g 平面に正射影した投影線も放物線になの算定方法を積分式等で一般化し，それぞれの円すいやり，h, g 平面での円すい底円に投影された放物線と対応円柱の部分側面積を組み合わせて，回転ドラム表面におする投影面積 Sp を算定することになる。
ここで，h, g 平面での円すい底円に投影された放物線ける生コンクリート積載高さまでの日射受熱表面積や外と対応する投影面積 Sp は，放物線を外接した長方形の気温熱伝達表面積の関係を導出する。

面積に対して，大きい領域の面積が 2／3 で，残りの小生コンクリート積載高さ y1～y5 に対応する片側部分

さい領域の面積が 1／3 に対応する。の側面積 SS と，真上からの日射での両側部分での回転軸から上半分の側面積 SU と，日射受熱表面積 SS や SUに対する外気温での熱伝達領域の側面積 SST＝SS やSUT＝2･SS－SU と，回転ドラム前部の熱伝達領域の表面積 S0T を求める。これ以外，空気層接触の断熱面積AA とする。回転ドラム内の積載高さ y に応じた生コンクリートの全表面積 SY は SY＝S0T+2･SS+AA になる。
z5=r3･tan(β)
z3z2
y軸

h=－r2

z軸
h=－r3z1y3=y1+y2

r3=r2－z3･tan(α)
y2=2･r2･sin(β)
y4=2･r1･sin(β)
h=r3
y5=y3－2･r3･sin(β)
片側全体でのr1=r2－z1･tan(α)
部分側面積SSh=r2
上部両側でのy1=z2･sin(α)β
部分側面積SUαh=－r1 h=－r2

h=r2 r2
z4=r1･tan(β) h=r1h軸

図 1 回転ドラム表面における生コンクリート積載高さまでの日射受熱表面積の幾何モデル化の概要
3. 円すいを母線に平行切断の部分側面積の計算式
図 2 に，円すいを母線と平行に切断したときの部分側
面積の算定方法の概要を示す。a)図が 0≦h0≦r あるいはr･sin(β)≦y0≦2･r･sin(β)の範囲で，b)図が－r≦h0≦0あるいは 0≦y0≦r･sin(β)の範囲である。
円すいの半径 r の底円と接する軸を h 軸とその平面直z軸 平方根項{(∂z／∂g)2＋(∂z／∂h)2＋1}0.5＝(z02＋r2)0.5／r
z0 部分側面積S3=(z02＋r2)0.5／r･Sp3
部分側面積S2=(z02＋r2)0.5／r･Sp2
部分側面積S1=(z02＋r2)0.5／r･Sp1(z02+r2)0.5
円すい面式z=z0ｰz0/r･(g2+h2)0.5
交点u(0, r/2+h0/2, z0/2－z0･h0/r)
切断線式z=z0/r･h+(－z0･h0/r)
部分側面積S5=(z02＋r2)0.5／r･Sp5
y軸0
β
y軸y0
部分側面積S4=(z02＋r2)0.5／r･Sp4
h軸rｰr0 h0y軸 y軸変数y0でh軸変数h0=y0/sin(β)ｰrh0α
投影面積Sp3=π･r2/2－r2･arccos(h0/r)
r/2－h0/2ｰr
投影面積Sp5=r2･arccos(h0/r)－Sp1－Sp2－Sp4
投影面積Sp2=lh0l･(r2－h02)0.5(r2ｰh02)0.5
投影面積Sp1=2/3･(r－h0)･(r2－h02)0.5
γ2 r r
投影面積Sp4=r2･arccos((r+h0)/(2･r))－(r/2+h0/2)･{r2－(r/2+h0/2)2}0.5γ1
h軸rｰr0 lh0l
投影点v(0,r/2+h0/2, 0)(r2ｰh02)0.5 r
投影放物線
r
中心角2･γ2の扇形面積r2･arccos((r+h0)/(2･r))
点p({r2－(r/2+h0/2)2}0.5, r/2+h0/2, 0)r
中心角2･γ1の扇形面積r2･arccos(h0/r)
g軸交点w((r2－h02)0.5, h0, 0)0≦h0≦r ；r･sin(β)≦y0≦2･r･sin(β) 円すい全体の側面積S0＝π･r･(z02+r2)0.5a) 0≦h0≦r あるいは r･sin(β)≦y0≦2･r･sin(β)の範囲
z軸 平方根項{(∂z／∂g)2＋(∂z／∂h)2＋1}0.5＝(z02＋r2)0.5／r
z0
交点u(0, r/2+h0/2, z0/2－z0･h0/r)
部分側面積
切断線式z=z0/r･h+(－z0･h0/r)
S8=(z02+r2)0.5/r･ Sp8
部分側面積S2=(z02＋r2)0.5／r･Sp2
2
0.52(z +r )
部分側面積S1=(z02＋r2)0.5／r･Sp1
部分側面積 0S7=(z02+r2)0.5/r･ Sp7
円すい面式z=z0ｰz0/r･(g2+h2)0.5
y軸y0y軸0部分側面積S3=(z02＋r2)0.5／r･Sp3
部分側面積S5=(z02＋r2)0.5／r･Sp5
ββ部分側面積S4=(z02＋r2)0.5／r･Sp4h軸rrｰr h0 0ｰr h0 0y軸 y軸変数y0でh軸変数h0=y0/sin(β)ｰrr/2+h/20
r/2－h0/2
α
投影面積 α
投影面積Sp3=π･r2－r2･arccos(h0/r)－lh0l･(r2－h02)0.5
Sp6=2/3･(r+h0)2ｰrｰr
投影面積Sp5=r2･arccos(h0/r)－Sp1－Sp4
220.5
r {r －(r/2+h0/2) }r
投影面積Sp2=lh0l･(r2－h02)0.5γ2γ2 γ2
22 0.52 0.5rr
投影面積Sp1=2/3･(r－h0)･(r －h0 ) －lh0l･(r －h0 )
12
投影面積
20.5
2
投影面積Sp(r ｰh0 )4=r ･arccos((r+h0)/(2･r))
Sp7=Sp5－Sp8h軸－(r/2+h0/2)･{r2－(r/2+h0/2)2}0.5h軸
rrｰr lh0l0ｰr lh0l0
投影点v(0, r/2+h0/2, 0)(r2ｰh02)0.5
投影放物線
rr
220.5
中心角2･γ2の扇形面積r2･arccos((r+h0)/(2･r))
r {r －(r/2+h0/2) }r
点p({r2－(r/2+h0/2)2}0.5, r/2+h0/2, 0)rr
投影面積Sp8交点q(r+h0, 0, 0)
中心角2･γ1の扇形面積r2･arccos(h0/r)=(r/2+h0/2)･{r2－(r/2+h0/2)2}0.52－h 2)0.5, h , 0)g軸交点w((r00+r2･(π/2－arccos((r+h0)/(2･r)))－Sp6－r≦h0≦0 ；0≦y0≦r･sin(β) 円すい全体の側面積S0＝π･r･(z02+r2)0.5z軸
z0

部分側面積
S6=(z02+r2)0.5/r･ Sp6b) －r≦h0≦0 あるいは 0≦y0≦r･sin(β)の範囲

交軸を g 軸とし，円すい母線と垂直になる軸を回転ドラ

図 2 円すいを母線と平行に切断したときの部分側面積ムの積載高さ y0 に対応する y 軸とする。また，円すい高の算定方法の概要

4. 横倒し円柱を傾斜角αで傾斜切断の部分側面積の計算式
図 3 に横倒し円柱を傾斜角αで傾斜切断の部
分側面積の算定方法の概要を示す。端円の半円部の部分円弧長さ c と z 軸の横倒し円柱長さ zについて，円柱長 z と部分円弧長 c の関係式を，任意の部分円弧長 c について積分すると，z＝0から任意の部分円弧長 c に対する円柱長 z までの部分側面積 Sc が求められる。
横倒し円柱の端円中心が，回転ドラムの回転軸に対応する。また，横倒し円柱の長さ方向をz 軸とし，h＝2･r のとき，z＝0 とする。さらに，横倒し円柱の端円と接する軸を g 軸と h 軸とし，h 軸が横倒し円柱の高さに対応し，h 軸との垂h軸
h軸；h=y/sin(β)=y/cos(α)
y軸
円(柱)面式h=2･rLbLa
Lcyl；z=(2･r－yl)/sin(α)でcl=r･γlg2+(h－r)2=r22･r･cos(α)－Lc･sin(α)≦yl≦2･r･cos(α)
hl；z=(2･r+Lc･tan(α)－hl)/tan(α)で2･r－Lc･tan(α)≦hl≦2･rg=r･sin(γ)
rhk；z=(2･r－hj)/tan(α)－Lbで yk；z=(2･r－yj)/sin(α)－Lbでγl
h=r－r･cos(γ)γk r ck=r･γk
hk=hj+Lb･tan(α)
yk=yj+Lb･sin(α)
h=rcos(γ)=(r－h)/r
切断面の直線式 yj；z=(2･r－yj)/sin(α)でγjhj；z=(2･r－hj)/tan(α)でcj=r･γjh=－tan(α)･z+2･r La･sin(α)≦yj≦2･r･cos(α)－ Lc･sin(α)∴γ=arccos((r－h)/r)
La･tan(α)≦hj≦2･r－Lc･tan(α)γi rci=r･γihi；z=(2･r－hi)/tan(α)でβ yi；z=(2･r－yi)/sin(α)でhi=r－r･cos(γi)
0≦yi≦La･sin(α)
0≦hi≦La･tan(α)
円弧長式
α0 Lc区間で(2･r+Lc･tan(α)－hl)/tan(α)
g軸z軸
c=r･γ ∴c=r･arccos((r－h)/r)0
α+β=90ﾟ=π/2
Lc区間で
Lb区間で(2･r－hj)/tan(α)－Lb
Lc－(2･r+La区間の半円の部分側面積SLa
切断面の直線式h=－tan(α)･z+2･rに，Lb区間で(2･r－hj)/tan(α)
Lc･tan(α)
円(柱)面式h=r－r･cos(γ)を代入整理し，
SLa=Sca－Sa1－hl)/tan(α) La区間で(2･r－hi)/tan(α)
円柱長zと部分円弧長cの関係式導出; Sa1=ci･(2･r－hi)/tan(α)
z=－1/tan(α)･(r－r･cos(γ))+2･r/tan(α)
2･r/tan(α)
Lb下区間の半円の部分側面積SLbd∴z=r/tan(α)･cos(γ)+r/tan(α)
SLbd=Scbd－Sbd1+Sbd2
円弧長式c=r･γよりγ=c/rを代入。
半円の円柱長と部分円弧長の関係式; Sbd2=cj･Lbz(c)=r/tan(α)･cos(c/r)+r/tan(α)∴z(c)=r/tan(α)･cos(c/r)+r/tan(α)
円弧長c軸
c=π･r; hk≦rでLc
LbLa
Sbd1=(ck－cj)･{(2･r－hj)/tan(α)－Lb}
Scc, c下限cl～ c上限π･r; hk≧rでcl=r･γlScbu,c下限がhj≦rでπ/2･r，hj≧rでcj～ c上限ck
Sbd1=(π/2･r－cj)･{(2･r－hj)/tan(α)－Lb}ck=r･γk
Sbu1
Scbd, c下限cj～ c上限がhk≦rでck，hk≧rでπ/2･rc=π/2･r
Lb上区間の半円の部分側面積SLbu
Sbd1
cj=r･γj
SLbu=Scbu－Sbu1+Sbu2
ci=r･γi; hj≦rでSc2Sc1 Sa1
Sbd2
Sca, c下限0～ c上限ci
Sbu1=(ck－π/2･r)･{(2･r－hj)/tan(α)－Lb}
z軸0; hj≧rでLc区間で(2･r+Lc･tan(α)－hl)/tan(α) 円柱長zと部分円弧長cの関係式から部分側面積Sc式c上限c上限Sbu1=(ck－cj)･{(2･r－hj)/tan(α)－Lb} Lc区間でSc=∫z(c)･dc=∫{r/tan(α)･cos(c/r)+r/tan(α)}･dc
c下限
c下限
Lb区間で(2･r－hj)/tan(α)－LbSbu2=Lb･(cj－π/2･r), 右図未記載
ここで，∫cos(c/r)･dc=r･sin(c/r)より，
Lc－(2･r+c上限
Sc=r/tan(α)･∫c上限
c下限dc
Lc区間の半円の部分側面積SLc
Lc･tan(α) Lb区間で(2･r－hj)/tan(α)
c下限cos(c/r)･dc+r/tan(α)･∫c上限
Sc=r/tan(α)･[r･sin(c/r)]c上限－hl)/tan(α) La区間で(2･r－hi)/tan(α)
c下限+r/tan(α)･[c]c下限
SLc=Scc+Sc1+Sc2
c上限∴Sc=r/tan(α)･[r･sin(c/r)+c]c下限; Sc1 =cl･(2･r+Lc･tan(α)－hl)/tan(α)
2･r/tan(α); Sc2=(π･r)･(Lc－(2･r+Lc･tan(α)－hl)/tan(α))

直方向を回転ドラム内の生コンクリート積載高さ y に対応する y 軸とする。
傾斜角 α で横倒し円柱を切断すると，切断面は z,h 軸平面で直線式 h=－tan(α)･z+2･r になる。それで，この切断面の直線式に対して，部分体積計算で 3 つの区間に場合分けしたように，ここでも，La 区間，Lb 区間，Lc区間の 3 つに場合分けし，部分側面積を求めた。

図 3 横倒し円柱を傾斜角αで傾斜切断の部分側面積の算定方法の概要
zz軸とg軸の楕円の式zz2/(r/sin(α))2+g2/r2=1t=π∴g=±sin(α)･√((r/sin(α))2－zz2)
極座標表示r/sin(α)＞0, r＞0, 0≦t≦2･π－r/sin(α)
zz=(r/sin(α))･cos(t)g=r･sin(t)第1&2象限の楕円微小面積は，zz軸微小量dzzと，そのときのgでの長方形面積g･dzzで近似でき，
g･dzz=r･sin(t)･dzz
第1&2象限の楕円部分面積Aeは，zz下限からzz上限まで微小面積g･dzzを積分
Ae=∫zz上限
zz下限 g･dzz=∫ zz上限 r･sin(t)･dzz
zz下限
h軸 h=y/sin(β)=y/cos(α)
h軸
h=2･r
h=2･r

5. 回転ドラム内の生コンクリート積載高さに応じた空h=hi

気層接触している断熱条件での表面積の計算式

h=r

h=hi=yi/cos(α)
h=r

g軸r t=π/2zz下限
第1&2象限=(r－hi)/sin(α) の楕円部分
0 面積Aet=3/2･πy=yi

βg軸

0t=0r/sin(α)
t=2･πzz軸y軸

回転ドラム内に積載された生コンクリートは，回転ドラム内の上部と後部で空気層ができる。後部は，半径 r3zz上限=(r－hi)/sin(α)+L/cos(α)－r0α+β=90ﾟ=π/2
αz軸

r/tan(α)

断面積 A(h)と後部の円すい台の切断面積 A(h)と中央の置換積分として，
zz=(r/sin(α))･cos(t)とすると，dzz=－(r/sin(α))･sin(t)･dt
積分範囲のzzからtの変換は，
cos(t)=sin(α)/r･zz∴t=arccos(sin(α)/r･zz)
zz上限(r－hi)/sin(α)+L/cos(α)
zz下限(r－hi)/sin(α)→t上限arccos(1－hi/r+L/r･tan(α))→t下限arccos(1－hi/r)円柱の切断面積 Ae0 を足し合わせた面積 AU=A(h)前部

図 4 円柱での積載高さ y に応じた切断面積 Ae0 の算定方法の概要の底円となる円すいの切断面積 A(h)が空気層接触の断熱表面積 AS となる。また，回転ドラム内の上部にできた空気層接触の断熱表面積 AU は，前部の円すい台の切zz軸(2･r－hi)/tan(α)
L(2･r－hi)/tan(α)+L2･r/tan(α)

Ae=∫zz上限
zz下限 r･sin(t)･dzz=∫ t上限t下限 (r･sin(t)･(－r/sin(α))･sin(t))･dtt上限
22=－r2/sin(α)･∫t上限
t下限 (sin(t) )･dt =－r /(2･sin(α))･∫ t下限 (1－cos(2･t))･dt∴Ae=－r2/(2･sin(α))･[t－1/2･sin(2･t)] t上限
t下限
第1～4象限の楕円部分面積Ae0=2･Ae+A(h)後部+Ae0 になる。それで，回転ドラム内の上部と日射が斜めで回転ドラム片側部受熱での部分側面積 SS

後部で空気層と接触して断熱条件の生コンクリートの断であれば 4.8m2 に，日射が直上で回転ドラム上部受熱で熱表面積 AA＝AS+AU になる。の部分側面積 SU であれば 0.8m2 になった。運搬時の生コン車は様々な方角を向くこともあり，日射が斜めからじた切断面積 Ae0 の算定方法の概要を示す。横倒し円柱の回転ドラム片側部受熱の SS が現実的と考えられる。の斜め切断面は，楕円で囲まれた面の一部分になる。このため，横倒し円柱の部分側面積 S を導出したように，横倒し円柱高さ hi に応じて，横倒し円柱が z 軸上を動き，zz 軸と g 軸の楕円の式を積分することで，横倒し円柱高さ hi あるいは積載高さ yi に応じた第 1&2 象限の楕円の部分面積 Ae が求められる。切断面全体の第 1～4 象限の楕円の部分面積 Ae0 は，第 1&2 象限の楕円の部分面積Ae の 2 倍になる。

回転ドラム内の各部分表面積
SS, SU, SoT+SST, S0T+SUT, AA, SY [m2]

図 4 に，回転ドラム中央部の円柱での積載高さ y に応26242220181614121086420SS
SUS0T+SST
S0T+SUT
AA
SY
0500

1000

1500

2000

2500

回転ドラムの積載高さy [mm], 極東開発社GVW20t車EA44‐32A

6. 混合容積 4.5m3 生コン車の回転ドラムのカタログ寸

図 5 積載高さ y による積載表面積の計算結果

法例に基づく積載高さと積載表面積の計算結果

7. まとめ図 5 に積載高さ y による積載表面積の計算結果を示す。

本研究その 2 では，回転ドラム内の生コンクリートの混合容積 4.5m3 に対して積載高さ y5＝1.2m で，このと積載高さと積載表面積の関係を幾何解析により積分式できの積載している生コンクリートの日射受熱表面積は，一般化し，カタログ寸法例の混合容積 4.5m3 に対応する
積載片側表面積が 4.8m2 を定量できた。（中村研究室）