2018 年度「統計」期末試験問題

付表 3 から付表 6 を参照し，正しい答えを選択しなさい．選択肢を選ぶ問題の場合には適切な選択肢の番号をマークし，数値を答える問題の場合には 1 桁ごとに数値をマークすること．ただし，問題⽂中に指⽰されている場合および解答欄（解答番号）が特定の桁までで区切られている場合を除き，数値は計算過程においても⼩数点以下 4 桁を四捨五⼊し，⼩数点以下 3 桁までを利⽤すること（最終的な解答も⼩数点以下第 3位までを解答する）．
標準正規分布を⽤いる際に分布表から直接導出できない場合は，最も近い 2 つの値の中点とする．
問題内の，〔1〕，〔2〕……は，解答番号を表している．
ただし，解答番号【14】【60】は正負の符号を表すものとし，解答が正（＋）である場合は「9」に，負（−）である場合は「0」にマークせよ．
注意：解答が⼩数点以下の位において 0 となる部分には 0 をマークすること．
（例）解答が 23.28 の場合で，〔1〕〔2〕.〔3〕〔4〕〔5〕に解答する場合には，〔1〕2〔2〕3〔3〕2〔4〕8〔5〕0をマークする．
【学⽣ ID 欄】左詰めで記⼊2016 年度以前⽣（学⽣ ID8 桁）は，必ずマーク部分の下 2 桁の「＊」にマークすること．

Ⅰ．ある 6 つの村における農業補助⾦額と⽶の⽣産量は下の表 1 の通りである．以下の問いに答えよ．ただし，この問題の（１）については，⼩数点以下第 2 位を四捨五⼊し，⼩数点以下第 1 位までを解答せよ．
（２）については整数値のみを解答せよ．また，（３）（４）については，表 2 中の数値を⽤いて計算せよ．
表1

6 カ村の農業補助⾦額と⽶の⽣産量

表2

記述統計量

国

補助⾦額

⽶⽣産量

記述統計量

補助⾦額

⽶⽣産量

A村

2842

平均

1631

B村

316

分散

〔1〕〔2〕
．
〔3〕

123.2

C村

1638

標準偏差

〔4〕．
〔5〕11.1D村

2437E村

918F村

1635

（単位）補助⾦額：100 万円，⽶⽣産量：トン
1

（１）農業補助⾦額の分散と標準偏差を求めよ（解答番号は表 2 中にあるとおり）．
（２）⽶の⽣産量の中央値は〔6〕〔7〕であり，農業補助⾦額の最頻値は〔8〕〔9〕である．
（３）農業補助⾦額の変動係数は〔10〕．
〔11〕〔12〕〔13〕，⽶の⽣産量の変動係数は 0.358 である．
（４）農業補助⾦と⽶の⽣産量との間の共分散は 93.2 であり，この 2 変数間の相関係数は【14】〔15〕．
〔16〕〔17〕〔18〕である．
（５）上の（３）（４）の結果からわかることの組み合わせとして適切なものを下の【選択肢】から選び，解答欄にマークせよ．

…………………解答番号〔19〕（あ）変動係数で⾒た場合，⽶の⽣産量の散らばり具合の⽅が農業補助⾦額の散らばり具合よりも⼤きい．
（い）変動係数で⾒た場合，農業補助⾦額と⽶の⽣産量の単位が異なるので，その散らばり具合を⽐較することはできない．
（う）農業補助⾦額と⽶の⽣産量の散布図では，右上がりのプロットが描かれる．
（え）農業補助⾦額と⽶の⽣産量との間には正の相関があるので，農業補助⾦額を増やすことによって⽶の⽣産量が増⼤する．
（お）農業補助⾦額と⽶の⽣産量との間には正の相関があるので，⽶の⽣産量がより多い村により多くの農業補助⾦額が投⼊されているといえる．
（か）農業補助⾦額と⽶の⽣産量との間には負の相関があるので，⽶の⽣産量を増⼤させるためには農業補助⾦を減らせばよい．
【選択肢】①（あ）と（う）が正しい②（い）と（う）が正しい ③（あ）と（え）が正しい④（い）と（か）が正しい⑤（う）と（え）が正しい ⑥（う）と（お）が正しい⑦（え）と（お）が正しい⑧（あ）と（う）と（お）が正しい⑨（い）と（え）と（お）が正しい（裏⾯に続く）2

Ⅱ．ベイズの定理（ベイズの公式）は，条件と結果を⼊れ替えた（因果関係を逆にした）確率を求める⽅法である．すなわち， P ( B | A) を使って P ( A | B ) を求める⽅法である．ベイズの定理の導出は以下のステップで⾏う．
（１）条件付き確率の公式として最も適切なものを以下から選択せよ．………………………解答番号〔20〕① P( A | B) P( A  B)
P( B)

② P( A | B) P( A  B)
P( A)

③ P( A | B) ④ P( A | B) P( A  B)
P( B)

⑤ P( A | B) P( B)
P( A  B)⑥P( A | B) P( A  B)
P( A)

P( A)
P( A  B)（２）⼀般に事象 A と事象 B が⽣じる場合について，P( B)  P( A  B)  P( AC  B) が成⽴する．これを応⽤すればベイズの定理が得られる．ベイズの定理として正しいものを以下から選択せよ．
……………解答番号〔21〕① P( A | B) P( A | B) P( A)
P( B | A) P( B)  P( B | A) P( A)② P( A | B) P ( B | A) P( A)P ( B | A) P( A)  P( B | AC ) P( AC )③ P( A | B) P ( B | A) P( B)P ( B | A) P( A)  P( AC | B) P( AC )④ P( A | B) P( A | B) P( B)
P( B | A) P( A)  P( B | AC ) P( BC )⑤ P( A | B) P( A | B) P( A)
P( B | A) P( AC )  P( B | AC ) P( A)（３）あるスポーツのワールドカップでは，過去に予選開始 3 ヶ⽉以内に監督が交代して予選通過をした確率は低いと⾔われている．予選突破を事象 A ，予選敗退を事象 AC とする．予選突破の確率は 0.5 とする．予選開始 3 ヶ⽉以内に監督が交代する事象を B とする．また，予選突破をしたチームの中で予選開始 3 ヶ⽉以内に監督が交代していた確率は 0.05 で，予選敗退したチームの中で予選開始 3 ヶ⽉以内に監督が交代していた確率は 0.25 であった．以上の確率をもとにして，予選開始 3 ヶ⽉以内に監督が交代して予選通過をする確率 P ( A | B ) を求めると，
〔22〕
．
〔23〕
〔24〕〔25〕となる（この問題は，百分率（％）で答えるのではない）．

3

Ⅲ．以下の（１）（２）について，（１）の〔26〕〜〔30〕については最も適切なものを指定された【選択肢】から選び，その番号をマークせよ（同じ選択肢を複数回⽤いてもよい）．
（１）の〔31〕〜〔35〕と（２）については適切な数値をマークせよ．
また（３）については，下線部（あ）〜（き）に含まれる誤りを適切に修正するものを選択肢から選び，その番号をマークせよ．選択肢の前の番号は解答番号である．
（１）⽣じる結果（根元事象）が「ある事象が起こる（成功）」と「ある事象が起こらない（失敗）」の 2 種類しかない試⾏を〔26〕という．ここで，ある事象が起こる（成功）の確率が p であるとすると，ある事象が起こらない確率は〔27〕となる．
このような試⾏（実験）を n 回繰り返したときに x 回成功する確率は〔28〕によって表され，その平均は〔29〕，分散は〔30〕である．
したがって，⾚⽟ 5 個，⽩⽟ 45 個（合計 50 個）の中から 1 つを引いて⾚⽟が出た場合を当たり（成功）とし，その場合 100 円の賞⾦がもらえるというゲームを 24 回続けて⾏ったとする（ただし，引いた⽟は毎回元に戻す）．このとき，当たりとなる回数の平均は〔31〕．
〔32〕回であり，期待される賞⾦額は〔33〕〔34〕〔35〕円である．
〔27〕〔29〕〔30〕【選択肢】①p② (1  p )③ np④ np (1  p)

⑥n

⑦

⑧ 2

⑨⑤ p (1  p )2n〔26〕〔28〕【選択肢】①ベルヌーイ試⾏②ポアソン分布③⼆項分布④⾃由度 n の t⑤標準正規分布⑥正規分布⑦⾃由度 n の  2 分布

⑧⾃由度 n  1 の t（２）ある⾃動⾞販売店では，30 ⽇間で 15 台⾞が売れると⾔われている．この販売店において，6 ⽇間で 3台以上の⾞を売ることができる確率は〔36〕．
〔37〕〔38〕〔39〕である（この問題は百分率（％）で答えるのではない）．
（Ⅲの問題は 2 枚⽬に続いている）

4

（３）⺟集団の分布がいかなるものであっても，平均が  ，分散が  2 の⺟集団から n 個の無作為標本を取り出したとき（無限⺟集団の復元抽出とする），その n 個の無作為標本から作られる標本平均 X の平均は（あ）

 ，分散は（い）  2 となる．

この標本平均 X を⺟集団平均（  ）の推定量として⽤いた場合，標本平均 X が n の極限（ n   ）において真の平均  に収束する（真の平均  から外れる確率が 0 となる）ことから（う）不偏推定量である．そして，この性質を（え）⼤数の法則という．また，その期待値（ E ( X ) ）は真の平均  に等しくなることが証明されており，標本平均 X は⺟集団平均（  ）の（お）不偏推定量でもある．なお，不偏推定量のうち，より（か）分散が⼩さい⽅が効率的（有効）であるといい，この標本平均 X は最も効率的であることから（き）最⼩推定量でもある．
〔40〕（あ）（い）について①（あ）を n  に修正③（い）をn ( X   )2②（あ）を p (1  p ) に修正に修正④（い）を

2nに修正〔41〕（う）（え）（お）について①（う）を普遍推定量に修正②（う）を⼀致推定量に修正③（え）を中⼼極限定理に修正④（お）を普遍推定量に修正〔42〕（か）（き）について①（か）を確率に修正②（か）を標本成功率に修正③（き）を有意推定量に修正④（き）最⼩分散不偏推定量に修正（次ページに続く）

5

Ⅳ．年間 25 試合に登板する⼆⼑流メジャーリーガーＯ選⼿のピッチングの球速は，平均 135km/h，分散 2500の正規分布に従うことがわかっている．Ｏ選⼿のピッチングの球速が 90km/h 以上 160km/h 以下となる確率は〔43〕〔44〕．
〔45〕〔46〕〔47〕％である（この問題は，計算途中では四捨五⼊しないこと）．
Ⅴ．スペインのプロサッカーチームから移籍してきたＩ選⼿のシュートのスピードを無作為に 16 回調べた
ところ，標本平均が 135km/h，標本分散が 2500 という結果であった．Ｉ選⼿のシュートのスピードが正規分布に従っているとして，以下の問いに答えよ．ただし，標本数 16 は⼩標本であるとする．
（１）⺟平均（⺟集団平均：  ）について信頼係数 95％で区間推定を⾏うと，信頼区間は，〔48〕〔49〕〔50〕．
〔51〕〔52〕〔53〕以上，〔54〕〔55〕〔56〕．
〔57〕〔58〕〔59〕以下となる．
（２）「Ｉ選⼿の平均シュートスピードが，⽇本⼈プロサッカー選⼿Ｈ選⼿のシュートのスピードの平均110km/h より速いといえるか」について有意⽔準 5％で検定を⾏った場合，検定統計量は，【60】〔61〕．
〔62〕〔63〕〔64〕であり，帰無仮説は〔65〕される．
〔65〕の【選択肢】
①棄却

②採択

※【60】は符号（正（＋）の場合「9」，負（−）の場合「0」）※帰無仮説が「採択」されるとは，帰無仮説が「棄却されない」ということである．
（３）⺟分散（⺟集団分散：  2 ）について信頼係数 90％で区間推定を⾏うと，信頼区間の整数部分は，〔66〕〔67〕〔68〕〔69〕以上，〔70〕〔71〕〔72〕〔73〕以下となる（この問題では，計算途中は⼩数点以下第 4 位を四捨五⼊して⼩数点以下第 3 位までを利⽤し，最終的な解答では⼩数点以下第 1 位を四捨五⼊して整数値のみを解答すること）．
（４）この問題⽂にあるとおりの調査結果のもとで，⺟集団の標準偏差が 50km/h であるとわかっている場
合，⺟平均（⺟集団平均：  ）について信頼係数 99％で区間推定を⾏うと，信頼区間は，〔74〕〔75〕〔76〕．
〔77〕〔78〕〔79〕以上，〔80〕〔81〕〔82〕．
〔83〕〔84〕〔85〕以下となる．
（裏⾯に続く）6

Ⅵ．全国の中学 3 年⽣を対象とした数学に関する学⼒調査結果によると，都市部に住むグループと⾮都市部に住むグループでは，得点に関して次表のような結果を得ている．
都市部と⾮都市部

標本数

数学の数学得点の平均得点

標本標準偏差都市部

4006822

⾮都市部

4006520

これら２つのグループの⺟集団分散（標準偏差）が異なるとして，都市部と⾮都市部の数学得点の平均値が等しいと⾔えるかについて検定を⾏うことにする．両グループの標本数が多いことから正規分布を⽤いた検定を⾏う．

（１）この場合の（標準化された）「検定統計量」は，絶対値で〔86〕.〔87〕〔88〕〔89〕となり，P 値は〔90〕.〔91〕〔92〕〔93〕となる（ P 値は，求めた検定統計量の⼩数点以下第 3 位を四捨五⼊して，⼩数点以下第 2 までを利⽤して求めること．ただし，求めた P 値は⼩数点以下第 4 位を四捨五⼊して⼩数点以下第 3 位までを解答すること（百分率（％）で答えるのではない））．
（２）対⽴仮説を「数学得点の平均は都市部の⽅が⾮都市部より⾼い」として，有意⽔準 5％で⽚側検定したとする．この検定結果として最も適切なものを選択せよ．

…………………解答番号〔94〕① （標準化された）「検定統計量」が臨界値よりも⼩さいので，数学得点の平均は都市部の⽅が⾼いと⾔える．
② （標準化された）「検定統計量」が臨界値よりも⼤きいので，数学得点の平均は都市部の⽅が⾼いとは⾔えない．
③ P 値が有意⽔準よりも⼩さいので，数学得点の平均は都市部の⽅が⾼いとは⾔えない．
④ P 値が有意⽔準よりも⼩さいので，数学得点の平均は都市部の⽅が⾼いと⾔える．
⑤ P 値が有意⽔準よりも⼤きいので，数学得点の平均は都市部の⽅が⾼いと⾔える．
⑥都市部と⾮都市部にかかわらず，数学得点の平均値の差については，統計的に何も⾔えない．
（次ページに続く）

7

Ⅶ． X i を独⽴変数（説明変数），Yi を従属変数（被説明変数）とする線形回帰モデル Yi  a  bX i  ui を最⼩⼆乗法（最⼩⾃乗法）で推定（検定）する場合を考える．なお， ui は標準的線形回帰モデルの仮定を満たす誤差項である．
以下の⽂章〔95〕〜〔98〕について，内容が正しいものの組み合わせを以下の選択肢から選び，その番号をマークせよ．
解答番号〔95〕（あ）標準的線形回帰モデルの仮定において誤差項は，平均が 0，分散が 1 の正規分布に従う（い）標準的線形回帰モデルの仮定において誤差項は，独⽴変数と独⽴である．
（う）標準的線形回帰モデルの仮定において誤差項の分散は均⼀である．
解答番号〔96〕（あ）残差とは，各データと回帰直線との最短の距離（データから回帰直線への垂線の距離）のことである．
（い）残差とは， X 軸へ垂直の⽅向（縦⽅向）の，各データと回帰直線との距離のことである．
（う）最⼩⼆乗法とは，残差の和を最⼩にする回帰直線を引く⽅法である．
解答番号〔97〕（あ）最⼩⼆乗法で係数 b について検定する場合，帰無仮説は H 0 : b  0 とする．
（い）最⼩⼆乗法で係数 b が正であるといえるかについて検定する場合，対⽴仮説は H 0 : b  0 とする．
（う）最⼩⼆乗法で係数 b が正であるといえるかについて検定する場合，両側検定を⾏う．
解答番号〔98〕（あ）最⼩⼆乗法で係数 b が正であるといえるかについて検定する場合，検定統計量（ t 値）が臨界値よりも⼤きければ（外側にあれば）帰無仮説が棄却される．
（い）最⼩⼆乗法で係数 b が正であるといえるかについて検定する場合，帰無仮説が棄却されれば，2 変数（独⽴変数と従属変数）との間に有意な関係があるといえる．
（う）最⼩⼆乗法における決定係数は，回帰モデルの説明⼒を表している．
【選択肢】①（あ）のみが正しい ②（い）のみが正しい④（あ）と（い）が正しい③（う）のみが正しい⑤（あ）と（う）が正しい ⑥（い）と（う）が正しい（い）（う）とも正しい ⑧（あ）（い）（う）とも誤り⑦（あ）（以下余⽩）

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