動的膜の分子動力学計算
小山 志穂里（株）豊田中央研究所

１．はじめにマイクロ・ナノスケールの輸送システムは，バイオやエネルギー貯蔵などの幅広い分野への応用が期待されている技術で，小規模な流れに特有の現象を利用した様々なデバイスが提案されている。一般的なマイクロ・ナノ流体デバイスでは，固液界面に形成された電気二重層に電場や化学ポテンシャルなどの外場を印加することで動電現象が引き起こされ，界面において液体の流れを伴う。マイクロ・ナノスケールのシステムでは，体積に対する表面積の割合が大きく
このような現象が促進されるため，小規模な輸送システムの原動力として応用することが研究されている。
代表的な動電現象としては，外部電場により誘起される電気浸透流[1]が挙げられる。電気浸
透流は電場によって直接誘起されるため，機械的な可動部がなく，ポンプを小型化するための重要な技術として認識されている。これまでの研究では，ナノサイズのシステムで流量を予測するための理論解析[2-5]や分子動力学（MD）シミュレーション[6-9]，ガラス多孔質材料[10,11]やポリカーボネート膜を加工した実験[12]などが行われている。
電気浸透流の実用化に向けた課題の一つは，外場として直流電圧を長時間印加することにより生じる溶液の電気分解である。これを防ぐために，進行波電位の利用[13]や電気分解の特性
時間スケールよりも短い周期の交流電圧を用いる[14,15]など，多くの試みがなされてきた。これらの方法では，順方向と逆方向の電気浸透流を整流して，正味の一方通行の流れを誘発することが重要な要素となる。
流れの整流と制御は，様々なタイプの小規模システムで幅広く研究されており，特に，ナノスケールでの整流は関心が高いトピックである。このような整流装置の例としては，円錐形の細孔[14-16]やラチェット形の流路[17]などの幾何学的に非対称な構造を用いたもの，固液界面の表面電荷分布の非対称性[18-21]，指向性印加電圧[22-24]，ナノ多孔質媒体とイオン交換膜の組
み合わせによる非対称性[25]などが考えられている。また，古典的なバルブ構造もナノスケール
システムへの応用が検討されている[26]。このアプローチは，前方と後方の流れの間に大きな差を機械的に作り出すことができるので有望であるが，複雑なナノ加工法や，繊細な構造の機械的な誤作動が懸念点となっている。これを克服するシステムとして，例えば，アクティブフィル
ターの目詰まりに基づくマイクロスケールの整流[27,28]のような，自発的かつ機械的に逆流を防止できるより単純な構造のシステムであれば，ナノスケールの電気浸透流を効率的に整流することができ，応用の可能性が広がる。
本研究では，より簡易な構造で交流電圧下での整流が可能な電気浸透流ポンプとして，細孔密度の異なる2種類の膜と帯電したコロイド粒子からなる電気浸透流ダイオードを提案した。この電気浸透流ダイオードは，順方向に電場を印加する際は，コロイド粒子は細孔密度の高い膜に近づくため，発生する電気浸透流にはほとんど影響を与えない。一方で，逆方向に電場を印加したときにはコロイド粒子が細孔を閉塞するため，流れを準機械的に抑制する。この流れの非対称性から，周期がコロイド運動の緩和時間よりも十分に長ければ，交流電場で誘起される
電気浸透流から正味の一方向の流れを得ることが期待される。本研究では，まず，提案システ
ムのMDシミュレーションを行い，電流と流量の両方について電場に対する強い非線形性，すな
わち，電気浸透流ダイオードとしての性能を確認した。さらに，この現象を確認するために，
電気浸透流ダイオードの数理モデルを構築し，シミュレーション結果との比較を行った。モデリングでは，コロイド粒子の存在確率に応じて変化する流路の有効径と呼ばれる新しいパラメータを導入し，有限長の円筒形細孔を通過する電気浸透流の理論モデルを拡張した。シミュ1
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レーション結果との比較より，提案したモデル方程式がシステムの振る舞いを再現することを示した。

２．問題設定と分子動力学（MD）シミュレーション

(a)

膜

電場

イオン

(b)

ℳ1

コロイド粒子ℳ2

イオン

Fig. 1: 電気浸透流ダイオードの概要。
(a)は模式図，(b)はシミュレーションで検討したシステムである。シミュレーション系では、膜ℳ1は物理的な細孔を持ち、膜ℳ2はコロイド粒子のみに作用するエネルギー障壁としてモデル化されている（文献[29]より

一部改変して転載; CC BY 4.0）。

Fig.1(a)のように，z軸に垂直な方向に平行に置かれた2種類の膜ℳ1とℳ2に帯電したコロイド

粒子が挟まれた電気浸透流ダイオードを考える。コロイド粒子の大きさは膜の孔径Dよりもわず

かに大きく，1粒子あたり電荷q > 0に帯電している。膜が有する細孔の数は膜ℳ1がコロイド粒子の数と同程度，膜ℳ2がℳ1に比べてはるかに多いとし，細孔壁は負に帯電している。ここにz方向の電場Ezを印加すると，コロイド粒子は電場の向きに応じてℳ1あるいはℳ2側に電気泳動する。Ez < 0ではコロイド粒子はℳ1の近くに移動するため，誘起された電流や電気浸透流は細孔近傍の粒子によって遮断されると予想される。

本研究では，膜，コロイド粒子，溶媒を理想的な粒子でモデル化し，分子動力学（MD）シミュレーションを行った。粒子間の相互作用には，粒子間相互作用のポテンシャルエネルギーがr* < rc でℰ = 4ϵ [(σ /r*)12 − (σ /r*)6 ] ，それ以外で0 となるLennard-Jones（LJ）ポテンシャルを用いた。ここで，r*は相互作用する粒子の中心間の距離，ϵとσはそれぞれ粒子のポテンシャル深さと直径に対応するパラメータ，rcはカットオフパラメータである。本研究では，すべてのLJ粒子についてLJパラメータをϵ0とσ0とし，カットオフ距離はrc = 2.5σ0とした。本研究では，物理量を以下の特徴量を用いてスケーリングした；長さσ0 ，質量m 0 ，時間τ0 = σ0 m 0 /ϵ0 ，エネル2
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ギーϵ0，温度T0 = ϵ0 /kB，電荷q0 =4π ε0 σ0 ϵ0 ，電場E0 = ϵ0 /4π ε0 σ03ϵ0 。ここで kB はボルツマ

ン定数，ε0は真空の誘電率である。

実際の計算でのMDシミュレーションのスナップショットをFig.1(b)に示す。膜ℳ1 はz 方向に

六角密着構造を7層積層し，膜面中心から1.2σ0 以下の距離にある粒子を除去して細孔としたものを作成し，その中間層がz = Lz /4となるように配置した（Lzはz方向のシステムサイズ）。細
孔壁には12個の一価の陰イオン（電荷−q0）を一様に分布させた。細孔密度の高い膜ℳ2は，コロイド粒子のみに作用する仮想的なエネルギー障壁でモデル化し，具体的にはガウスポテン
シャル障壁𝒰𝒰 = U0 exp [−a 0(z − z 0 )2 ], z < σ0 を仮定した。ここで，ポテンシャル高さU0 はコロ
イド粒子がℳ1を通過しないために十分な大きさである30ϵ0に設定し，ℳ2の中心はz 0 = 3Lz /4，

ポテンシャルの幅，すなわち膜厚を決めるパラメータa 0は10σ0−2とした。コロイド粒子は，対角線の長さが2σ0の正二十面体の頂点に12個の陽イオンが位置するように構成され，コロイド粒子の正味の電荷はq ，すなわち，各イオンの電荷はq /12 とした。電解質溶液は，20 個の一価の陰イオンと32 − q 個の一価の陽イオンを含む2410 個の粒子から構成されており，陽イオンの数
は，系全体の電荷（細孔壁の表面電荷を含む）がゼロになるように決定した。MDシミュレー
ションには，オープンソースパッケージであるLAMMPSを使用した。各粒子のニュートン方程
式の時間積分には速度Verlet法，長距離のクーロン相互作用の取り扱いには，particle-particleparticle-mesh（PPPM）法を採用した。また，すべての方向に周期境界条件を適用し，NVTアン
サンブルを用いて系の温度をT0に維持した。シミュレーションの時間ステップはd t = 0.002τ0とした。系のサイズはx, y 方向がLx = L y = 10σ0，z方向はLz ∼ 40σ0で，Lzの正確な値は，z方向の圧力が1.0 ± 0.1ϵ0 /σ03となるように決定した。

0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.8(b) 0.2× 10 − 3 σ 0 /τ 0
0.15
0.1

Qz

Iz

(a) 0.025× q0 /τ0

q=0
q=2q0
q=3q0
q=6q0
-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.05
0

q=0
q=2q0
q=3q0
q=6q0

-0.05
-0.1
-0.15

× E0

0.8

Ez

-0.2
-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Ez

0.2

0.4

0.6

× E0

0.8

Fig. 2: MDシミュレーションから得られた電気浸透流ダイオードの非線形応答。
(a)が電流Iz，(b)が電気浸透流Qzを示し，コロイド粒子の電荷qに対する電場Ezの関数としてプロットしている（文献[29]より転載; CC BY 4.0）。

コロイド粒子の電荷qを様々な値に設定した場合のシミュレーション結果をFig.2に示す。ここでは，電流Iz と電気浸透流Qz を，−0.7E0 ≤ Ez ≤ 0.7E0 の範囲で電場Ez の関数としてプロットした。シミュレーションは，まず10 5 ステップの間，圧力をϵ0 /σ03 ，温度をT0 に保ったまま，電場なしでシステムの平衡化を行い，その後，電場を印加して，107 ステップ以上の本計算を行っ3
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た。電流と流量は，それぞれ Iz = (S /V )q v ， Qz = (1/N )v のように計算し，ここ∑ i zi∑ zi
ions

solution

で，qiとvziは粒子の電荷とz方向の速度，SとVはそれぞれx-y平面上の面積と体積，Nは対象領域内の粒子の数である。これらの値は，本計算の最後の8 × 106 ステップの平均値として算出した。計算は，各ケースについて異なる3種類の初期設定を用いて実行した。図中のシンボルとエラーバーはこれらの平均値と分散であり，線は後述するモデル方程式による予測値である（詳細は4.2節を参照）。

q > 0の場合，電流Iz と流量Qz はともに電場Ez に対して明らかな非線形性を示した。Ez < 0 の場合の流れ，つまり逆流は抑制され，q = 6q0 では流れは完全にブロックされる。Ez < 0 の場

合，コロイド粒子はℳ1の細孔に接近し，細孔を流れる電流や流れを遮断するバルブの役割をする。この効果はコロイド粒子の電荷が大きいほど高くなった。コロイド粒子の挙動を示すため，q = 6q0 ，Ez = ± 0.7E0 の場合についてz 軸方向のコロイド粒子の確率分布関数をFig.3に示す。コロイド粒子は，電場が負（Ez = − 0.7E0）の条件ではほとんどが膜ℳ1の近くに存在するのに対し，電場が正（Ez = 0.7E0）の条件ではℳ1から十分に離れていることが確認された。これとMDの結果から，電流と流れの非線形な挙動は，コロイド粒子によって流路の実質的な径が小さくなることに起因することが示唆された。

(a)

ℳ1

ℳ2

(b)

1.5

1.5

1.0

1.0

0.5

0.5

0.0

10

15

20

0.0

25

ℳ1

10

ℳ2

15

20

25

Fig. 3: 電場印加時のコロイド粒子の挙動。
(a)順方向（Ez > 0），(b)逆方向（Ez < 0）の電場に対する応答を示す。横軸はz座標，縦軸はz方向のコロイド粒子の存在確率pz (z )を示す（文献[29]より一部改変して転載; CC BY 4.0）。

そこで，本研究ではコロイド粒子の存在確率に依存する流路の実質的なサイズ，すなわち有効径を導入することで，非線形応答を捉える理論モデルを構築した。この有効径を用いて，Sherwoodらによって提案された有限長の円筒形細孔に誘起される電流と電気浸透流を与える理論モデル[4]を拡張する。次節ではモデル方程式を構築し，モデルとMDシミュレーションの結果を比較する。

３．電気浸透流ダイオードの数理モデルの構築

本節では，Fig.2のMDシミュレーションの結果を再現する電気浸透流ダイオードの数理モデルを構築する。

4
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３．１．ナノポアを通過する電気浸透流

Fig. 4: 有限長さの円筒形細孔の模式図。

長さL，流路径Dで，電荷密度は細孔の淵がσm，円筒壁面はσcである。細孔の両端で圧力差Δ˜
𝒫𝒫 ，電位差Δϕ̃を持つ（文献[29]より転載; CC BY 4.0）。

まず，Sherwoodらが提案した有限長の円筒形細孔内の電流および電気浸透流のモデル式を概説し，コロイド粒子のない流れを表現するために採用する。ここでは，文献[3,4]を基に，Fig.4に示すような有限の長さL，直径Dの円筒形細孔を流れる電流と電気浸透流のモデル方程式の簡単な導出を行う。線形応答領域では，電流Izと電気浸透流Qzは次のように書ける：
Iz = − GΔΦ,（1）

Qz = − HΔΦ .

（2）

ここで，Gはコンダクタンス，Hは電気浸透流係数，ΔΦは膜の両側の電位差である。有限長さの円筒形細孔に対するG とH の明示的な式を与える前に，非常に薄い膜（L ≪ D ）と厚い膜（L ≫ D）という極端なケースを考える。

L ≪ Dの場合，膜は孔のある厚さ0 のシートとみなされ，入口効果が支配的となる。このとき，コンダクタンスは直径に比例し，Gm = κ D（κは溶液のバルク電気伝導度）となる。また，

細孔径Dに比べてデバイ長λdが十分に小さい領域（λd ≪ D，今回のMDシミュレーションではこれに相当）に限定すると，電気浸透流係数はHm ∼ Dσm λd /μとなる。ここで，μは溶液粘度，σmは細孔の縁に沿った電荷密度である。一方，膜厚が大きいL ≫ Dの場合は円筒壁面の効果が支配 的 に な り ， コ ンダク タ ン ス は Gc = π D 2 κ /(4L) ， λd ≪ D の 場 合 で の 電 気 浸 透 流 係 数 は

Hc ∼ π D 2 σc λd /(4μ L)（σcは円筒壁面の表面電荷密度）となる。なお，以下では，L ≪ Dの場合の量を下付きのmで表し，L ≫ Dの場合の量を下付きのcで表す。

次に，有限長L の円筒形細孔のG とH を上述の極限のケースの係数を用いて示す。コンダクタ
ンスGは，単純に入口と円筒壁面の効果を直列に組み合わせることで得られる：−1 + G −1
G = (Gm
c )

−1

=κ

1
4L
+
( π D2 D )

−1

.

（3）

𝒫𝒫 の影響を考慮する
電気浸透流係数Hの表現には，有限長の円筒の両端間に発生する圧力差Δ˜
5
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必要がある（例えば，文献[30]を参照）。以下の議論では，便宜上，円筒の両端間の電位差をΔϕ̃と表す。Δ˜
𝒫𝒫 とΔϕ̃の値は電流と流量に関する2つの連続の式を用いて求められる。具体的には，膜を流れる電流の連続性は次のように書ける：
Iz = Gm (ΔΦ − Δϕ̃) = GcΔϕ̃ .

（4）

ここで，2つ目の等式の左辺は膜の外側の電流，右辺は膜の内側の電流である。流量Qzの連続性は，電位差と圧力差の両方で発生する流量を考慮して次のように書ける[30]：Qz = Hm (ΔΦ − Δϕ̃) − ℒm Δ˜
𝒫𝒫 = HcΔϕ + ℒcΔ˜
𝒫𝒫 .

（5）

ここで，ℒm = − D 3 /(24μ)は無限に薄いシート上の細孔の透過率に関するSampsonの公式[31]，ℒc = − π D 4 /(128L μ)は円筒形流路の透過率に関するPoiseuilleの法則である。2つ目の等式の左辺は電位差と圧力差によって誘起された膜外の流量の和であり，右辺は円筒内の流量である。
ここで，Δϕ̃とΔ˜
𝒫𝒫 の明示的な表現は，式(4)，(5)を解くことで与えられ，続いて式(5)の第一等式を用いて，電気浸透流係数は次のように計算できる：
H=( ΔΦ )Qz=−1ℒm HcGc−1 + ℒc Hm Gm(λd /μ) (D σm + 16L σc /3π)
.
=
−1
−1
(ℒm + ℒc )(Gm + Gc )(1 + 4L /π D) (1 + 16L /3π D)（6）

３．２．流路の有効径

電気浸透流ダイオードのモデルでは，電流と流量の変化を，式(3)および(6)においてDに代わる有効径Deﬀを導入することで捉え，細孔の入り口付近にコロイド粒子が存在する場合の影響を考える。本研究では，Deﬀのモデル方程式を以下の形で提案する：

Deﬀ = D exp −α (Pz (q, Ez ) − Pz0) (Px y (q) − Px0y) .
[
]

（7）

ここで，α > 0はモデルパラメータ（定数），Pz (q, Ez )はコロイド粒子が膜ℳ1に近づく確率（に比例する）量，Px y (q)はコロイド粒子が細孔の周りにある確率に関係する量で，Pz0とPx0yはq = 0のときの値である。Px yはx-y平面上のコロイド粒子の運動を表すので，Ezには依存しないと仮定する。この単純なモデル方程式を導出するにあたって，Deﬀの微小変動に伴う確率p*(式(7)の指2) のように見積もることができ
数関数の変数に対応する)の変化が，dp* ∼ − (Deﬀ dDeﬀ )/(π Deﬀ

る，すなわち，p*の変化が流路断面積の変化率に比例すると仮定する。この関係式をp* → 0でDeﬀ = Dという条件で積分することで，式(7)は得られ，これは電気浸透流ダイオードの本質的な特徴を記述する。コロイド粒子がℳ1から十分に離れている場合（Pz ∼ 0）は有効径は細孔径と等しく（Deﬀ ∼ D），コロイド粒子がℳ1付近にあり（Pz ≫ 0），かつ細孔近傍に存在する場合（Px y ≫ 0），流路は完全に閉塞する（Deﬀ ∼ 0）。次節では，Fokker-Planck方程式の解を用いて，PzとPx yの解析的な表現について説明する。

6
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３．３．コロイド粒子の運動に対するFokker-Planck方程式
ここでは，Fokker-Planck方程式を用いてコロイド粒子の運動を考察し，有効径のモデル方程式(7)に含まれるパラメータPzとPx yの具体形を導出する。電場が印加された溶液中のコロイド粒
子には，電気泳動による力と溶媒粒子からのランダム力が作用し，これにより粒子の移流・拡散が生じる。以下では，このような条件下での確率密度を支配するFokker-Planck方程式を，ℳ1に対して垂直な方向（z軸方向）の運動と平行な方向（x-y平面内）の運動に分けて定式化する
まず，z軸方向の確率密度関数pzに関するFokker-Planck方程式は，
∂pz
∂t

=

∂
∂
(A pz ) + (𝒟𝒟pz ) ,
]
[
∂z
∂z

（8）

と書け，ここで，A(q, Ez )は移流速度，𝒟𝒟は粒子の拡散係数で，qとEzには依存しないと仮定する。定常状態では，解析解は次のように得られる：

Az
AA
pz (z ) = p0 exp −, p0 = A 𝒟𝒟−1 exp − z1 − exp − z2
( 𝒟𝒟 )
)
(
(
𝒟𝒟
𝒟𝒟 )]
[

−1

.

（9）

ここで，z1とz2は，それぞれℳ1とℳ2の表面における境界の位置である（Fig.3の破線参照）。

次に，コロイド粒子のx-y方向の運動に注目する。円筒座標系において動径方向の存在確率分

布prを考えると，Fokker-Planck方程式は次のように書ける：
∂pr
1 ∂
1 ∂
∂
=
r
p .
(Ar r pr) + 𝒟𝒟
(
∂t
r ∂r
∂r )] r[ r ∂r（10）

さらにここでは，コロイド粒子と細孔壁の電気的相互作用による径方向の移流を考慮して，係数Arはr 2に反比例する，すなわちAr (q, r) = CA(q)/r 2と仮定する。このとき，次のような解析解が得られる：−1pr (r) = pr 0 exp

rmax
CA
CA
r exp
, pr 0 =dr( 𝒟𝒟r )
( 𝒟𝒟r ) ][ ∫0以上から，有効径の式(7)のパラメータは，Pz = pz (z1)および Px y =

δr

∫0

.

（11）

r′pr (r′)dr′（δrは細孔近傍領域の半径）と定義した。これらのパラメータの具体的な値については，2章の問題設定に対応して独立して行った移流と拡散のMDシミュレーションの結果から推定した。

４．モデルとMDシミュレーションの比較
４．１．モデルパラメータの決定

ここでは，MDシミュレーションに用いた系のモデルパラメータの具体的な値を決定する。
まず，溶液中のコロイド粒子の拡散係数𝒟𝒟 を推定するために，バルク電解質溶液中のコロイ

ド粒子のブラウン運動について，独立したMDシミュレーションを実行した。コロイド粒子の平均二乗変位から拡散係数は𝒟𝒟 = 1.7 × 10−2 σ02 /τ0と求められた。コロイド粒子の電荷は拡散運動にほとんど影響しないため，以下の議論では全てのケースについてこの値を使用する。
7
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次にz 方向の移流の影響を考える。この移流の効果は式(9)のパラメータA(q, Ez ) を介してモデルに組み込まれている。（ℳ2と同様の）2つの仮想膜の間に電荷qを持つコロイド粒子が挟まれた系に電場Ezを印加するMDシミュレーションから，z軸に沿ったコロイド粒子の確率密度関数を求め，上記で得られた𝒟𝒟 の値を用いて式(9)で与えられる解析解をフィッティングすることで，各 (q, Ez ) における係数 A の値を決定した。その結果， A = β qEz という関係が得られ，

β = − 1.3 × 10−2 σ02 /ϵ0 τ0と求められた。

最後に，式(11)のCAの値を決定するために，x-y方向の移流の影響を調べた。ここでは，膜ℳ1の近傍でコロイド粒子の運動が2次元に限定される状況を考える。この制約は，ℳ2と同様の仮想的な膜をℳ1 からコロイド粒子の粒子径だけ離れた位置に配置することで実現した。x-y平面での運動に注目するため，物理的な細孔は考慮せず，ℳ1内の電荷は2章の問題設定と同様に分布させた。z方向のときと同様に𝒟𝒟の値を用いて，式(11)で与えられる解析解をこれらの制約付
きMDシミュレーションで得られた確率密度関数にフィッティングすることで，CAの値を決定した。その結果，CAの値はCA = γqの形で得られ，γ = 6.2 × 10−4 σ03 /τ0 q0と求められた。

４．２．モデル方程式の検証

× σ0
1

Deff

0.8
0.6

q=0
q=2q0
q=3q0
q=6q0

0.4
0.2
0
-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

× E0

0.8

Ez
Fig. 5: 有効径Deﬀの比較。

様々なq に対して，電場Ez の関数としてプロットしている。シンボルはシミュレーションから推定された値
を，線はモデル方程式(9)で与えられた値を示す（文献[29]より転載; CC BY 4.0）。

ここまでで，独立したMDシミュレーションから得られたモデルパラメータ𝒟𝒟, A , CA の値を用いて，コロイド粒子が存在する場合の流路の有効径Deﬀを推定することができた。式(1), (2), (3),(6)で与えられたモデルにより，式(7)で定義された有効径 Deﬀ を用いて推定した電流と流量を

Fig.2に線で示す。ここでは，自由パラメータαはα = 6.7とした。電流，流量ともに，MDシミュ
レーションの結果とよく一致しており，モデル推定値は電気浸透流ダイオードの正しい非線形挙動を示した。この結果から，自由パラメータを適切に設定すれば，電気浸透流ダイオードの性能は，コロイド粒子の電荷qと電場Ezの関数として，モデル方程式から近似的に推定できることがわかった。

8
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有効径Deﬀの値を直接比較したものをFig.5に示す。ここでは，MDシミュレーションのDeﬀの値

は，直径Dを未知のパラメータとして，式(1), (2), (3), (6)を用いて，Fig.2のMDの結果から逆算した。MDシミュレーションとモデル方程式の間には良好な一致が得られ，モデル方程式が電気浸透流ダイオードの特徴をよく捉えられていることが確認できた。モデルの他の物理パラメータに関して，表面電荷密度σc やσm などのパラメータは，幾何学的な設定から決定でき，電解質溶液の特性に関連する電気伝導度κと粘度μも独立して測定することができる。しかし，上記の比較

では，これらのパラメータの値を単独で測定することを回避するために，細孔近傍にコロイド粒子が存在せず純粋な電流と流量が近似的に得られる領域Ez ≥ 0 における電流と流量の線形近似から求めた。

５．おわりに

本研究では，細孔密度の異なる2種類の膜の間に帯電したコロイド粒子を配置した電気浸透流

ダイオードを提案し，MDシミュレーションとモデル方程式の構築を行った。シミュレーション
では，2枚の膜の間の細孔密度の違いにより，コロイド粒子がナノバルブの役割を果たすことによる電流と電気浸透流の整流が観察された。モデル構築では，流路の有効径の概念を導入することで，提案した電気浸透流ダイオードの重要な特徴であるコロイドナノバルブ（コロイド粒子が流路を塞いで逆方向の電流と流れを防ぐ現象）を捉える数理モデルを確立した。有効径は，細孔周辺の存在確率密度関数に依存しており，式(7)で定義される。この有効径の考え方は，分子ふるい，ナノフィルトレーション，多孔質媒体中の輸送，交通システムの渋滞解析など，他の用途にも応用できる可能性がある。モデル方程式のパラメータはコロイド粒子の移流・拡散に関するFokker-Planck方程式の解析解から得られ，これらの値を用いて，MDシミュレーションの全結果をモデル方程式により再現することに成功した。これにより，提案したモデル方程式がコロイドナノバルブの本質的なメカニズムを記述できていることが確認された。比較の際には，自由パラメータαを一度だけ校正する必要があるが，αの値が特定できれば，同様の系に対して様々な条件下でのダイオードの性能を推定することができる。
実用面では，本ダイオードは，整流の特性緩和時間よりも十分に長い周期であれば，交流電圧下での流れの整流に応用できると期待される。さらに，このナノバルブは，物理的なパラ
メータを適切に選択すれば非対称な流れを可能にし，逆方向の流れをほぼ完全に遮断することができるため，既存の交流電気浸透流システムと比較して，より効率的な整流が実現できる可能性がある。本研究では，コロイド粒子，膜，電解質溶液は，抽象的な材料を想定していたが，これらは実用的な材料に置き換えて検討することができる。これらの実験的検討は今後の研究トピックである。

６．謝辞

本研究は東京大学情報基盤センター若手・女性利用者推薦制度の助成を受けて実施された。

参

考

文

献

[1] V. Pretorius, B. J. Hopkins, and J. D. Schieke, Electro-osmosis: A new concept for high-speed liquid
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