年次費用平準化を考慮した
社会基盤施設群の最適補修施策
福山峻一 1 ・水谷大二郎 2 ・中里悠人 3
1 非会員

東北大学大学院 工学研究科（〒 980-8579 仙台市青葉区荒巻字青葉 6-6-06）
E-mail: shunichi.fukuyama.s5@dc.tohoku.ac.jp
2 個人正会員 東北大学助教 大学院工学研究科（〒 980-8579 仙台市青葉区荒巻字青葉 6-6-06）
E-mail: daĳiro.mizutani.a5@tohoku.ac.jp
3 非会員 東北大学大学院 工学研究科（〒 980-8579 仙台市青葉区荒巻字青葉 6-6-06）
E-mail: yuto.nakazato.s1@dc.tohoku.ac.jp

社会基盤施設を長期的に維持管理するにあたり，ライフサイクル費用を最小化するような補修施策が有効とされている．一方で，有限個の施設に対してこの施策を採用すると，劣化過程の不確実性に起因して各年次の補修費用が過度に変動し，予算や受注機会の確保が困難となる可能性がある．そこで本研究では，数十程度の規模の施設群に対して，確率過程により施設群の劣化過程をモデル化し，i）ライフサイクル費用，ii）補修費用の変動，の重み付き和を最小化する最適補修施策の決定方法を提案する．さらに，同様の最適化問題において，
厳密解の導出が困難である大規模施設群に対して，予防補修ルールを用いた近似解の導出方法を提案し，その有用性を分析する．
キーワード： 予算平準化，ライフサイクルコスト，最適化，動的計画法，アセットマネジメント

1.

はじめに

用と予算の過度な変動は，工事の実施件数の繁閑に大きな差を生む原因となってしまう．工事件数が不足する

アセットマネジメントの研究分野では社会基盤施設の適切な維持管理を目的とし，施設の期待ライフサイ
クル費用を最小とする補修施策を求めるための方法論が蓄積されてきた 1)2)3) ．一方，現実に有限個の社会基盤施設群を補修することを考えた場合，各年次の期待
補修費用は経年的に変化しなくとも，劣化過程の不確実性に起因して，個々の施設に必要な補修タイミングにばらつきが生じ， 各年次（個々の補修意思決定タイミング）における実際の補修費用に変動が生じることとなる．施設の補修を行う事業主体においては単年次

場合，工事従事者への処遇に悪影響を及ぼす一方，工事件数が増大する場合は，従事者の長時間労働や休暇取得に対する支障などの課題が生じることとなる．また，建設機材に関しても，特定の年次に工事が集中してしまう場合，機材の調達が困難になるなどの弊害が発生する可能性がある．以上の理由により，実務上では補修に必要な費用および資材，人材の年次的な平準化が求められており，ライフサイクル費用のみを最小化する最適補修施策が，実際には施設の維持補修の現場に適してないのが現状である．

ごとの予算がある程度決まっており， そのもとで補修

予算の変動に着目した年次費用平準化に関しての研を行っている．例として道路施設を考えた場合，路線究は，数は少ないものの過去には存在する. 確定的なや道路事務所，出張所それぞれの単位で予算が定めら劣化過程を想定した基礎的な研究として，近田等 4) はれていると考えられる．したがって，実供用状況下の階段状に設定した健全度レベルの下で，遺伝的アルゴ

施設群においては，劣化過程に不確実性が介在するたリズムによって補修アクションの適用タイミングをずめ，期待ライフサイクル費用最小化の観点から望ましらすことで平準化を行うモデルを提案している．また，

い補修施策を採用した場合の補修費用と予算には相違

Yoon et.al5) や Yoon et.al6) . はプロジェクトスケジューリが生じることとなる．補修費用と予算との過度な相違

ングにおける資源平準化問題を応用し，最小モーメン

は，予算の確保に支障をきたすほか，確保された予算ト法を用いて，計画期間内の補修アクションを前後さが非効率的に使用されることとなる．この場合，次期せることによって道路舗装の補修費用を平準化するモの予算が過小に見積もられる，必要な補修が予算内でデルを提案している．これらの研究では補修アクショ

実行できず劣化に起因したリスクが増加するといったンの介入時間を変化させた場合に，先行・後続の補修ア問題が生じる可能性がある．また，このような補修費

クションに与える影響を無視しており，長期的な補修-9-

施策の有用性を議論できるものではない．さらに，経状態を集約することで組合せ爆発を回避，さらに，同年的な社会基盤施設の劣化状態の変化を確定的なもの

様の最適化問題において，厳密解の導出が困難であるとして与えているため，実在の施設で生じ得る劣化過大規模施設群に対して，予防補修ルールを用いた近似

程の不確実性を考慮することは難しい.

解の導出方法を提案し，その有用性を分析する．以下，

一方，不確実な劣化を考慮した平準化の研究として，

2. では社会基盤施設群に対する維持補修過程のモデル

Stephen et.al は，金融の分野における，Markowitz の化を行い，3. で最適化及び近似解法を示す．4. では数

平均ポートフォリオパフォーマンスとその分散の組み値計算を実施し，5. でまとめを述べる．

7)

8)

合わせの最小化を応用し，非線形な目的関数を定義することにより，施設の維持管理における支出と予算の2.

社会基盤施設群の劣化・補修過程(1)

時間軸の設定乖離を最小限に抑える最適補修施策を求める手法を開発しており，不確実な劣化過程を有する単一施設において，経年的な支出であるライフサイクルコストを平

複数の同質な社会基盤施設から構成される社会基盤

準化している．しかし，施設群における維持補修を考施設群の劣化・補修過程をモデル化する．カレンダー

える場合，複数の施設の不確実な劣化過程により年次

時刻 𝑡 0 から始まる，無限に続く時間間隔が一律 𝑑 の離的な支出と予算の乖離が生じるため，筆者の知る限り

散時間軸 T を定義する：

では，不確実な劣化過程を有する複数施設を考慮した

T ≡ {𝑡𝑖 |∀𝑖 ∈ Z, 𝑖 ≥ 0}

年次費用平準化問題に関する研究は存在しない．
そこで本研究では，複数施設群におけるライフサイ
クル費用と期待単年次費用のばらつきを同時に抑えることを目的とする．施設群に対する補修施策を考える
場合，補修の意思決定タイミングにおいて観測されうる施設群の状態ごとに補修アクションを決める必要がある．しかしながら，ここで考慮するべき状態数は 𝐴)
施設数と 𝐵) 個々の施設で定義する離散的な劣化段階に

where 𝑡𝑖 = 𝑡0 + 𝑖𝑑

(1)
(2)

各時点 𝑡 𝑖 ∈ T で，全ての施設に対して一斉点検が行われ，それにより全ての施設の状態（健全度）が観測され，観測結果に基づいて各施設に対する補修工事の意思決定されるとする．補修に必要な時間は非常に小さいとして，補修の実施中に施設の劣化は発生しないとする．

依存して決まり，大規模な施設群では考慮する状態数が膨大となってしまう．また，各状態ごとに取り得る補(2)

社会基盤施設群の健全度ベクトル

修アクションもさまざまであり，それらの組み合わせを本研究では，施設群に含まれる 𝑁 個の施設は全て同

さらに考慮すると，最適解を求めるための補修施策の質（同じ機能，同じ工事費用，同じ劣化過程を有する）

解空間は膨大なものとなり最適化計算が不可能となる．

であると仮定する．単一施設の健全度 ℎ は 𝑀 個の離散

そのような大規模な問題に対して，Mizutani et.al9) は，的なレーティングで表現できるとすると，健全度の状

大規模な舗装ネットワークでの長期計画に沿った補修・態空間 M は M ≡ {1, 2, · · · , 𝑀 } になる．任意の時点

舗装区間の最適解を，簡略化されたルールのもとで近𝑡 𝑖 ∈ T における社会基盤施設群全体の状態は，各健全似的に求める解法を提案した．ここでは，近似的な解法度をとる施設数を用いて，ベクトル 𝒏𝑖 で表現できる：

により厳密解に近い解を比較的計算コストを削減して求められること，解の形式が厳密解よりも簡単であり，s.t.

意味解釈という面で実際の現場で適用しやすいというÕ𝒏𝑖 ≡ [𝑛𝑖,1 , · · · , 𝑛𝑖,𝑀 ]𝑛𝑖,𝑚 = 𝑁∀𝑖 ∈ Z +

(3)
(4)

𝑚∈M

特徴がある．また，Smilowitz et.al10) では，維持補修に

健全度ベクトルの状態空間は N とする．また，時刻ける検査タイミングも最適解に含める Madanat11) の計

𝑡 𝑖 ∈ T において，点検で観測した直後補修実施前の健全度ベクトルと，補修実施後の健全度ベクトルを区別

算手法をネットワークレベル拡張し，共通の制約の下での複数施設群のライフサイクル費用最小化の最適補
修施策を含めている．Smilowitz et.al ではネットワーク

するため，補修前の健全度ベクトルを 𝒏−𝑖 ，補修直後の健全度ベクトルを 𝒏+𝑖 とする．

における施設群を集約化し，補修実施を割合で表すことにより，計算負荷を削減している．

(3)

劣化過程

以上の背景の下で，本研究では，数十程度の規模の本研究では，個々の社会基盤施設の劣化過程は独立

施設群に対して，確率的に劣化する施設群の劣化・補に，同じ斉時マルコフ過程を用いて記述できると仮定す

修過程をモデル化し，i）ライフサイクル費用，ii）補修

る．まず単一施設の劣化過程を記述する．時点 𝑡 𝑖 で補費用の変動，の重み付き和を目的関数として，最適補

修後の健全度が ℎ+𝑖 = 𝑎 ，時点 𝑡 𝑖+1 で点検によって観測修施策を決定する手法を提案する．この際，施設群のされる健全度が ℎ−𝑖+1 = 𝑏 になる確率，すなわち単一施- 10 -

設のマルコフ推移確率 𝜋 𝑎,𝑏 は以下のように表現される：

𝜋 𝑎,𝑏 = 𝜋[ℎ−𝑖+1 = 𝑏|ℎ+𝑖 = 𝑎]∀𝑖 ∈ Z, ∀𝑎, 𝑏 ∈ M

(5)

は：

𝜌(𝒙

𝒏 +𝑖 ,𝒏 −𝑖+1𝑚∈M

マルコフ推移確率については，以下の式が常に成立する．

0 ≤ 𝜋 𝑎,𝑏 ≤ 1 ∀𝑎, 𝑏 ∈ M
𝜋 𝑎,𝑏 = 0
Õ

𝑎>𝑏

if

)=

Ö

[Î

Ö

−
𝑛𝑖+1,𝑚!

−𝑛𝑖+ ,𝑛𝑖+1𝑚′ ∈M 𝑥 𝑚,𝑚′ ! 𝑚′′ ∈M

(𝜋

𝑚,𝑚′′

)

(7)

となり，それを集計した健全度ベクトルのマルコフ推

𝜋 𝑎, 𝑀 = 1 ∀𝑎 ∈ M(8)

移確率 𝑝(𝒏+𝑖 , 𝒏−𝑖+1 ) は

𝜋 𝑎,𝑚 = 1 ∀𝑎 ∈ M(9)𝑝(𝒏+𝑖 , 𝒏−𝑖+1 ) =𝑚∈M

式 (6) は推移確率が 0 以上 1 以下であること，式 (7) は

]

(14)

(6)

∀𝑎, 𝑏 ∈ M

𝑛+ ,𝑛−

𝑖 𝑖+1
𝑥𝑚,𝑚
′′

Õ

+

−

𝜌(𝒙 𝒏𝑖 ,𝒏𝑖+1 )(15)

𝒏 + ,𝒏 −𝒏 + ,𝒏 −𝒙 𝑖 𝑖+1 ∈Ω 𝑖 𝑖+1となる．

健全度が自動で回復することがないこと，式 (8) は健全
度 𝑀 は補修がない限り劣化過程の吸収状態であること，(4)

式 (9) は各健全度から他の健全度になる推移確率の合計が 1 であることを意味する．以上より，単一施設の劣化過程は，全ての 𝑎, 𝑏(𝑎 ∈ M, 𝑏 ∈ M) の組み合わせによって表現されるマルコフ推移行列 𝚷 で表現できる：

𝜋
© 1,1
­ ..
𝚷=­ .
­
« 0

···
..
.

𝜋1, 𝑀
ª
.. ®
. ®®
𝜋𝑀 ,𝑀 ¬···

補修過程

時点 𝑡 𝑖 ∈ T で点検直後の健全度ベクトルが 𝒏−𝑖 に対して特定の補修施策 𝑑 を適用した場合の健全度ベクトルは

𝒏+𝑖 は，補修による健全度ベクトルの推移行列 𝑸 𝑑 (𝒏−𝑖 )を用いて計算できる:

𝒏+𝑖 = 𝒏−𝑖 𝑸 𝑑 (𝒏−𝑖 )

(10)
where

健全度は自動回復しないため，上記マルコフ推移行列
は上三角行列になる．

𝑞 𝑑 (𝒏− )© 1,1 𝑖­...
𝑸 𝑑 (𝒏−𝑖 ) = ­­𝑑−«𝑞 𝐼 ,1 (𝒏𝑖 )0 ≤ 𝑞 𝑑𝑎,𝑏 (𝒏−𝑖 ) ≤ 1 ∀𝑎, 𝑏 ∈ M(18)に，まず健全度ベクトルの変化量 𝒙 を定義する．時点
𝑡𝑖 ∈ T で補修後の健全度ベクトルが 𝒏+𝑖 ，時点 𝑡𝑖+1 で点

𝑞 𝑑 (𝒏−𝑖 ) = 0
Õ 𝑎,𝑏𝑞 𝑑𝑎,𝑚 (𝒏−𝑖 ) = 1
𝑚∈M

+

−

の健全度ベクトルの変化量行列として定義する：
𝒏 + ,𝒏 −

s.t.

𝑖
𝑖+1
©𝑥 1,1­+−.
𝒙 𝒏𝑖 ,𝒏𝑖+1 ≡ ­­ ..
­
« 0

𝑀
Õ
𝑚∈M
𝑀
Õ

𝒏 +𝑖 ,𝒏 −𝑖+1
𝑥 𝑎,𝑚
= 𝑛+𝑖 𝑎𝒏 + ,𝒏 −

𝑚∈M

𝑖
𝑖+1
𝑥 𝑚,𝑏
= 𝑛+𝑖 𝑏𝑥1,𝑖𝑀 𝑖+1 ª
.. ®®
. ®
𝒏 +𝑖 ,𝒏 −𝑖+1 ®
𝑥𝑀 ,𝑀 ¬

···

if

···

𝑎<𝑏

∀𝑎, 𝑏 ∈ M∀𝑎 ∈ M(19)(20)

ここで，𝑞 𝑑𝑎,𝑏 (𝒏−𝑖 ) は，健全度 𝑎 の施設のうち，補修により健全度 𝑏 になる施設の割合を意味する．式 (18) は，

𝒏 + ,𝒏 −

···
..
.

0
..
.

(17)

s.t.

する．この時，以下の条件を満たす 𝒙 𝒏𝑖 ,𝒏𝑖+1 を，施設群

···
..
.

ª
®
®
®
𝑑
−
𝑞 𝐼 ,𝐼 (𝒏𝑖 ) ¬施設群の健全度ベクトルの推移確率を表記するため

検によって観測される健全度ベクトルが 𝒏−𝑖+1 であると

(16)

𝑞 𝑑𝑎,𝑏 (𝒏−𝑖 ) は健全度の変化の割合であるため 0 以上 1 以(11)

下であること，式 (19) は，補修によって健全度が大きくなることはないこと，式 (20) は，𝑞 𝑑𝑎,𝑏 (𝒏−𝑖 ) は各健全度から他の健全度になる推移の割合の合計が 1 である∀𝑎 ∈ M(12)∀𝑏 ∈ M(13)

ことを意味する．なお，本研究では補修施策は時間 𝑡 𝑖によらず一定であり，補修推移行列 𝑸 𝑑 (𝒏−𝑖 ) は健全度ベ
クトル 𝒏−𝑖 によって一意に決定されるとする．

𝒏 +𝑖 ,𝒏 −𝑖+1
𝑥 𝑎,𝑏は，健全度ベクトルが 𝒏+𝑖 から 𝒏−𝑖+1 に変化すると

3.

年次費用平準化を考慮した補修施策

施設の健全度は自動で回復することはないため，変化(1)

維持管理の前提条件

き，健全度が 𝑎 から 𝑏 に変化する施設の数を意味する．
量行列はマルコフ推移行列と同様に上三角行列になる．

本研究では，健全度ごとに異なる工法が用いられ，か同じ組み合わせの (𝒏+𝑖 , 𝒏−𝑖+1 ) に対して，式 (11)，(12)，𝒏 +𝑖 ,𝒏 −𝑖+1

つ健全度ごとに 1 種類の工法のみを考慮すると仮定す(13) を満たす変化量行列 𝒙ての可能な 𝒙𝒏 +𝑖 ,𝒏 −𝑖+1

は複数種類存在し，全の集合を Ω

𝒏 +𝑖 ,𝒏 −𝑖+1

る．すなわち本研究で考慮する施策 𝑑 については，以下の条件が必ず成立する．

とする．

以上をもとに，施設群の健全度ベクトルのマルコフ推
移確率 𝑝(𝒏+𝑖 , 𝒏−𝑖+1 ) を記述する．健全度ベクトルが 𝒏+𝑖 か
+

−

+

−

ら 𝒏−𝑖+1 になる確率は，全ての 𝒙 𝒏𝑖 ,𝒏𝑖+1 ∈ Ω𝒏𝑖 ,𝒏𝑖+1 の発生確
+

−

+

−

率の合計である．特定の 𝒙 𝒏𝑖 ,𝒏𝑖+1 の発生確率 𝜌(𝒙 𝒏𝑖 ,𝒏𝑖+1 )𝑞 𝑑𝑎,𝑏 (𝒏−𝑖 ) ∈ {0, 1}∀𝑎, 𝑏 ∈ M, ∀𝒏−𝑖 ∈ N(21)

また，健全度が最大の 𝑀 であると施設に対しては必ず工事を行う必要があり，その際行われる工事により健- 11 -

全度が最小の 1 になると仮定する．すなわち
 1 if 𝑚 = 1𝑑−𝑞 𝑀 ,𝑚 (𝒏𝑖 ) =∀𝑚 ∈ M, ∀𝒏−𝑖 ∈ N (22)
 0 else
が任意の施策 𝑑 について成立する必要がある．

(2)

単年次期待費用と単年次費用分散

任意の施策 𝑑 を適用した際の，健全度ベクトルの定常生起確率を定式化する．まず，劣化による健全度ベクトルの生起確率の推移を定式化する．健全度ベクトルの状
図–1: 予防補修ルールの概念図

態空間 N に含まれる全ての健全度ベクトル 𝒏 に 1 から𝑆 までの番号をつける，すまわち N = {𝒏1 , 𝒏2 , · · · , 𝒏𝑆 }とすると，劣化による健全度ベクトルの生起確率の推˜ が定義できる：
移確率行列 𝑷𝑝(𝒏1 , 𝒏1 )©
­..
𝑷˜ ≡ ­.
­𝑆1« 𝑝(𝒏 , 𝒏 )

···
..
.
···

𝑝(𝒏1 , 𝒏𝑆 )
ª
®
..
®
.
®
𝑆
𝑆
𝑝(𝒏 , 𝒏 ) ¬(23)

同様に，補修施策 𝑑 を適用した場合，補修による健全˜ 𝑑 が定義できる：
度ベクトルの生起確率の推移行列 𝑸𝑞˜ 𝑑 (𝒏1 , 𝒏1 )©
..
˜ 𝑑 ≡ ­­
𝑸
.
­
𝑑
𝑆
1
«𝑞˜ (𝒏 , 𝒏 )
where

···
..
.
···

𝑞˜ 𝑑 (𝒏1 , 𝒏𝑆 )
ª
®
..
®
.
®
𝑞˜ 𝑑 (𝒏𝑆 , 𝒏𝑆 ) ¬施設群の管理者は，単年次期待費用 𝐸 𝑑 と単年次費
用分散 𝑉𝑑 の重み付き和を最小化するのが目的である．
よって，最適補修施策 𝑑 ∗ は以下のように定義される：Õ1min{(1 − 𝜀)𝐶𝑠𝑑 + 𝜀(𝐶𝑠𝑑 − 𝐸 𝑑 ) 2 |𝒏0 = 𝒏𝑠 }𝑑
(1 + 𝛾) 𝑡𝑖
𝑡𝑖 ∈T

(24)

(31)

最適補修施策を求める問題はマルコフ決定過程であり，補修による健全度の推移は時間に依存せず，状態に依存するため，以下が常に成り立つ：∗

˜ 𝑑 を用いて，時点 𝑡 𝑖 における健全度ベクトルの生起確
𝑸率ベクトル 𝝁𝑖𝑑 を定義することができる：

ここで，𝜀 = 0 の時の最適補修施策は，費用分散を考慮しない LCC 最小化を目的とする最適補修施策問題となる．
また，最適補修施策は価値反復法や政策反復法など

(26)
(27)

𝑑
ここで， 𝜇˜ 𝑖,𝑠は時点 𝑡 𝑖 において，点検により健全度ベ

クトル 𝒏𝑠 が観測される確率である．時間を無限に近づけた場合 (𝑖 → ∞) ，健全度ベクトルの定常生起確率 𝝁˜ 𝑑が得られる：˜𝑑
𝝁˜ 𝑑 = 𝝁˜ 𝑑 𝑷˜ 𝑸

∀𝑎, 𝑏 ∈ M, ∀𝑖 ∈ Z + , ∀𝒏𝑠 ∈ S(32)

˜ と，補修による推移行列
劣化による推移確率行列 𝑷𝑑
˜ 𝑑 ∀𝑖 ∈ Z +𝝁𝑖+1= 𝝁𝑖𝑑 𝑷˜ 𝑸
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝝁𝑖+1
= ( 𝜇˜ 𝑖,1, 𝜇𝑖,2, · · · 𝜇𝑖,𝑆)∗𝑞 𝑑𝑎,𝑏 (𝒏−𝑖 ) = 𝑞 𝑑𝑎,𝑏 (𝒏𝑠 )∀𝑠 ∈ {1, 2, · · · , 𝑆}
(25)

where

最適補修施策∀𝒏𝑠 ∈ N′𝑞˜ 𝑑 (𝒏𝑠 , 𝒏𝑠 )
 1 if 𝒏𝑠′ = 𝒏𝑠 𝑸 𝑑 (𝒏𝑠 )= 0 else(3)のアルゴリズムを用いて解くことが可能であるが，出現しうる状態の数 𝑆 が大きくなるにつれ，計算が困難になり，実用レベルの問題に対して最適補修施策の計算は困難である．

(4)

予防補修ルールを用いた近似的補修施策

最適補修施策の計算は困難であるため，本研究では(28)

最適補修施策に近い施策を計算する方法として，以下施策 𝑑 を適用することで，健全度ベクトル 𝒏𝑠 時の施の予防補修ルールを用いた近似的補修施策を提案する．

設群に対して補修を行うことで発生する費用を 𝐶𝑠𝑑 とす

状態を複数のグループに分割する．グループごとに操ると，単年次期待費用 𝐸 𝑑 ，単年次費用分散 𝑉𝑑 は以下

作変数 (𝜙, 𝜃 ( 𝑀 −1) , · · · , 𝜃 2 ) を設定し，図-1 のルールをのうに計算できる：

用いて状態ごとの補修施策を決定する．単年次に許容できる補修費用の上限値を 𝐶˜ とする．𝐶˜ は，期待ライ

𝐸𝑑 =

Õ

𝑠 ∈ {1,2, ··· ,𝑆 }

𝑉𝑑 =

Õ

𝑠 ∈ {1,2, ··· ,𝑆 }𝐶𝑠𝑑 𝜇˜ 𝑠𝑑(29)(𝐶𝑠𝑑 − 𝐸 𝑑 ) 2 𝜇˜ 𝑠𝑑(30)

フサイクル費用最小化となる 𝑑 ∗ (𝜀) = 𝑑 ∗ (0) を実施した際の定常状態での施設群の状態の生起確率ベクトル𝒗˜ = ( 𝑣˜ 1 , · · · , 𝑣˜ 𝑆 ) ，操作変数 𝜙 を用いて以下のように設- 12 -

定する：

𝐶˜ = 𝜙Õ

な費用の投入により平準化が実現されることを表して∗
𝐶𝑠𝑑 (0) 𝑣˜ 𝑠

(33)

いるが，単年次費用分散を過度に制約することが費用

𝑠 ∈ {1,2, ··· ,𝑆 }低減を阻害してしまう可能性も示唆している．また，パ健全度 𝑚 に対する補修単価を 𝑐 𝑚 とし，𝑡 𝑖 期において観レートフロンティア両端の費用最小解と分散最小解に測された健全度 𝑀 の施設数 𝑛 {𝑖, 𝑀 } の施設をすべて補修する際の費用 𝑛 {𝑖,𝑀 } 𝑐 𝑀 が上限値 𝐶˜ を下回る, すなわちおける最適補修施策を比較すると，費用最小解では最補修可能な施設数にまだ余力がある場合，追加で健全度

かの健全度に対しての補修は見られなかった．この場

𝑀 −1, · · · , 2 の施設もある程度補修するものとする. 具体
˜ と判断されるよう的には，図-4 で余力あり (𝑛𝑠𝑀 𝑐 𝑀 ≤ 𝐶)
なある t 期の状態において，余剰予算 Δ𝐶˜ 𝑀 −1 で補修でき合，最適補修施策は各健全度ベクトルに対して一律な，る健全度 𝑀 − 1 の施設の 100𝜃 𝑀 −1 (0 ≤ 𝜃 ( 𝑀 −1) ≤ 1) パー

適用されており，本研究では施設群を同質なものととら

セントを予防補修する．これを，健全度 𝑚 = 𝑀 −1, · · · , 2

えているため，最適補修施策が均一になったと言える．

と繰り返し，予防補修を行う施設を決定する．各値の次に，分散最小解における最適補修施策を見ると，多算出式は以下に示す．なお，⌈𝛼⌉ は，実数 𝛼 に対して 𝛼

くの健全度ベクトルにおいて費用最小解と同様の，健以上の最小の整数を返す天井関数である．
𝑀Õ
−𝑚−1
Δ𝐶˜𝑚 = 𝐶˜ −𝑛˜ 𝑠𝑀 −𝑎 𝑐 𝑀 −𝑎 (2 ≤ 𝑚 ≤ 𝑀 − 1) (34)

全度 4 のみを補修する補修施策が見られたが，いくつ

𝑎=0

Δ𝑛𝑠𝑚 =

Δ𝐶˜𝑚𝑐𝑚

表-3 のような施策となる．これは，𝜀 = 0 の費用最小解
では，単一施設ごとに LCC 最小となる最適補修施策がかの健全度ベクトルにおいては異なる補修が適用されていた．そこで，実施される補修が費用最小解とは異なる状態のみを取り出して分析した．対象とする健全(2 ≤ 𝑚 ≤ 𝑀 − 1)𝑛˜ 𝑠𝑚 = ⌈𝜃 𝑚 Δ𝑛𝑠𝑚 ⌉悪な健全度に対する確定補修のみが採用され，そのほ(2 ≤ 𝑚 ≤ 𝑀 − 1)

(35)
(36)

以上の計算を個々のグループに対して行うことで補修施策が決定される．また，その補修施策を用いた際の単年次期待費用と単年次費用分散がパレート解となる
ような操作変数 𝜙, 𝜃 𝑀 −1 , · · · , 𝜃 2 の集合を予防補修ルー
ルにおける解集合とする．

4.

数値計算

(1)

小規模な施設数における数値計算例

度ベクトル n𝑠 における，健全度ごとの施設数 𝑛𝑠𝑚 と，

最適補修施策によって補修される施設数 Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ ) ，補

修の際の補修費用 𝐶𝑠𝑑 は付表.1 にまとめた．この時，施設数 20，健全度 4 段階を想定した場合の健全度ベクトルの組み合わせは 1, 771 通りであり，そのうち費用最小解と分散最小解で補修施策が異なっていたものは 630
通りあった．対象の健全度ベクトルにおける補修施策を分析すると，それらのでは健全度 4 の施設数 𝑛𝑠,4 が0 ∼ 4 と全施設数 20 に対して少なく，分析対象外の状態では見られなかった健全度 3 もしくは健全度 2 に対する補修が行われていることがわかった．その際，補修

政策反復法によって最適補修施策の厳密解の算出が可能である小規模な施設数について，予防補修ルール
による近似解と，厳密解との比較を行う．
施設数を 𝑁 = 20 とし，劣化状態の表現，補修工法およびマルコフ推移確率行列 𝚷 はそれぞれ 表-1 と 表-2に示した．予防補修ルールは，全てのグルーピングパ
ターンから最適なパターンを選定したうえで，健全度ベクトルの状態空間を 2 つのグループに分割して補修施策の作成を行った．グルーピングにおける条件式，およびとりうるパラメータの範囲は表-3 に示した．
図-4 には 𝑁 = 20 における最適補修施策の厳密解と近似解それぞれにおける単年次期待費用と単年次費用分
散を示している．予防補修ルールでは，計算期間 3, 000
年，反復回数 10, 000 回のシミュレーションを用いて単年次期待費用と単年次費用分散を算出し，パレート解を導出した．
数値計算によって，厳密解では単年次期待費用と単年次費用分散のトレードオフ関係を示すパレートフロ
ンティアが図-4 ように得られた．この結果は，追加的費用は 1, 900 ∼ 3, 400(千円) の範囲で発生しており，健
全度ベクトルごとで補修費用に一定の範囲で上限値が設定されていることが見て取れた．これは，ある一定の費用水準を定めて，健全度 4 に対する確定補修の補修費用が費用水準を下回った場合に，必ずしも補修が必要とはなっていない施設に対しても予防的に補修を行うというもので，予防補修ルールとと近しい補修施策であると言える．確認のため 𝜀 = 10−4 においても同様の比較を行ったところ，補修施策が費用最小解と異なっていたものは 288 通りあり，その際の補修費用水準
は 300 ∼ 2, 000(千円) の範囲であった．この際の分析対
象の健全度ベクトルにおける 𝑛𝑠𝑀 , Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ ), 𝐶𝑠𝑑 も付表.2にまとめた．𝜀 = 10−4 の場合では，対象となる健全度

ベクトルの数や補修費用の上限値が，分散最小解の場合と比べて小さくなっていることがわかる．したがって分散が抑制されるような補修施策では，いくつかの健
全度ベクトルに対して予防補修と同様の補修施策が設定され，また，分散を小さくしていくにつれ，予防的な補修が実施される健全度ベクトルの数，およびその- 13 -

表–1: 補修による健全度の変化と補修費用

表–2: マルコフ推移確率行列 𝚷

補修単価

健全度

回復水準

1

-

-

2

2→1

300

3

3→2

400

4

4→1

1, 000

健全度

(千円)

1

2

3

4

1

0.69220.26340.04080.00362

00.73390.22910.03703000.78150.2185

4

0

0

0

1

表–3: 予防補修のグルーピング条件とパラメータ (𝑁 = 20)

Íグループ 1
条件式
グループ 2Í𝑠˜𝑚∈M 𝑛 𝑚 𝑐 𝑚 > 𝐶𝑠˜𝑚∈M 𝑛 𝑚 𝑐 𝑚 ≤ 𝐶

𝜃2
𝜃3

0,1

𝜃2

0, 18 , 28 , · · · , 1

𝜃30, 16 , 26 , · · · , 1

𝜑

0,0.7, 0.8, · · · , 1.3

際の補修費用の上限値が大きくなることが分かった．

ストグラムである．予防補修ルールのパラメータは，予防補修ルールによる解を見てみると図-4 では，予グループ 1 は 𝜑 = 1.1, 𝜃 2 = 𝜃 3 = 1.0，グループ 2 は防補修ルールによってパレートフロンティア近傍の近似解が得られていることがわかる．これは，一律に設

𝜑 = 1.1, 𝜃 2 = 1.0, 𝜃 3 = 0.5 とし，補修費用の上限値は𝐶˜ = 2, 107 であった．図-2，図-3 より，予防補修ルール

制させる補修施策の導出が可能であることを示していの適用によって，単年次の費用のばらつきがおさえられ，𝐶˜ = 2107( 千円 ) の周辺に単年次の補修費用が集中る．しかしながら，予防補修ルールによる近似解は，単していることがヒストグラムから確認できる．予防補

年次費用分散が一定値よりも小さいものとなると，パ修ルールを適用する場合，単年次に発生する費用は大レートフロンティア上から乖離した値を示すようになっ

まかに 3 つのグループに分けられる．1 つ目は施設の大た．また，パレートフロンティアにおける分散最小解

半が健全度 1 となる場合である．ここでは補修対象とと同値の補修施策も得ることができていなかった． 先に述べたように，厳密解において分散を抑制する補修なる施設が少数であるため，予防補修を実施したとしても単年次費用は 𝐶˜ よりも小さくなる．グループ 1 の施策は，一定の範囲において状態ごとに補修費用が変補修費用が計算期間内に多く発生する場合，ヒストグ

動している．そのため，近似解をより厳密解に近づけ

ラムは左側に膨らむこととなるが，マルコフ推移確率

定する単純な予防補修のルールにおいても，分散を抑る場合には，予防補修ルールを用いて同様の補修費用

𝚷 による劣化を考慮する場合，𝑁 = 20 では，首期におの変動を再現する必要があり，より細かいグルーピン

いて大半の施設が健全度 1 のままである確率は限りな

グとパラメータの設定が必要となる．しかし，パレー

く低いため，グループ 1 は供用開始時点を除いてほとトフロンティアに近い解を得るためのグルーピングとんど発生することはない．2 つ目は，予防補修の実施によって健全度 2 もしくは 3 の施設が追加補修され， 𝐶˜

パラメータの詳細な設定は，解空間を膨大にさせると共に，作成される補修施策を複雑なものにしてしまうため，予防補修ルールの目的に反すると言える．
次に，予防補修によって生じる単年次費用の特徴を分析するため，初期の状態を 𝑛0 = (20, 0, 0, 0) とし，計算期間 10, 000 年とした確率過程のシミュレーションを行い，単年次費用に対するヒストグラムの作成を行った．予防補修を行わない場合と，予防補修ルールを適用する場合の補修施策において，シミュレーションによって発生した単年次費用のヒストグラムを作成した．
図-2 は予防補修をせず，健全度 4 に対する確定的な補修のみを行うとしたときの，単年次費用のヒストグラ
ムであり，図-3 は予防補修ルールによる補修施策のヒを超えない程度の単年次費用が発生している場合である．予防補修は健全度 4 に対する補修費用が 𝐶˜ よりも低い際に実施されるため，これにより単年次費用が 𝐶˜を過度に下回ることを防ぎ，ヒストグラム左側へのふ
くらみを抑制していると考えられる． 3 つ目は，健全度 4 の施設数が多く，補修によって 𝐶˜ よりも大きな単年次費用が生じる場合である．グループ 3 の補修費用が多く発生する場合，ヒストグラムは右側に膨らむこととなるが，図-3 にそのような特徴は見られなかった．
これは，追加予防補修によって一部の健全度 2,3 の施設の健全度が 1 つ回復することによって，次時点において健全度 4 の施設が発生する確率が小さくなるため，- 14 -

図–3: 予防補修ありの単年次費用のヒストグラム

図–2: 予防補修なしの単年次費用のヒストグラム

表–4: 𝜀 = 0 における最適補修施策

回復水準

1

-

-

2

-

-

3

-

-

4

4→1

1, 000(1000 円)

1 単位に集計化し， 𝑁 = 20 で算出した最適補修施策を

図–4: 厳密解 vs. 予防補修ルール (𝑁 = 20)

適用することによって施設の集計化による近似解を算結果として計画期間を通して健全度 4 の施設が発生することを抑制しているためであると考えられる．以上の理由から，予防補修は，単年次補修費用が過度に小さくなることを防ぎつつ，過度に大きくなることも防ぐ効果があるため，結果的に発生する費用のばらつきを抑えるために有用であると言える．

(2)

補修単価

健全度

出した．この際，近似解を用いて式 (30) より算出される単年次費用分散は，集計化による標本分散となるため，予防補修ルールとの比較に用いるために母分散の算出が必要となる．したがって，最適補修施策の厳密解を算出した施設数を 𝑁 𝑎 ，補修施策を適用する施設数
を 𝑁 𝑏 とすると，単年次期待費用と単年次費用の母分散は式 (37),(38) を用いて以下のようになる．

大規模な施設数における数値計算例

施設数が大規模で，政策反復法による厳密解の算出が困難な場合における補修施策を，予防補修ルールを𝑉𝑑′ =用いて作成する．施設数を 𝑁 = 100 とし，健全度表現，Õ𝑠Õ

𝐶𝑠𝑑 𝜇˜ 𝑠𝑑 ·

𝑁𝑏
𝑁𝑎

(37)

(𝐶𝑠𝑑 − 𝐸 𝑑 ) 2 𝜇˜ 𝑠𝑑 ·

𝑁𝑏
𝑁𝑎

(38)

𝐸 𝑑′ =𝑠

補修工法およびマルコフ推移確率行列 𝚷 は前節で用い予防補修ルールによる補修施策のうち，単年次期待たものと同様とした．また，グルーピングにおける条件

費用と単年次費用分散がパレート解となるものと，式式，およびパラメータの範囲は表-5 に示した．単年次期(37),(38) を用いて算出した， 𝑁 = 100 に対する施設集

待費用と単年次費用分散の計算に用いるシミュレーショ

計化による単年次期待費用と単年次費用分散の近似解

ンは，初期の健全度ベクトルを 𝑛0 = (100, 0, 0, 0) とし，を，どちらも図-5 に示した．𝑁 = 100 の場合，予防補修

𝑁 = 20 の場合と同様に，計算期間 3, 000 年の確率過程

ルールによって得られたパレート解の多くが，施設集における補修費用の平均値と分散を計算し，10, 000 回計化の近似解によるパレートフロンティアよりも優れのシミュレーションにおける平均値を単年次期待費用

た値となっていることがわかる．これは，健全度 2, 3 がと単年次費用分散とした． 𝑁 = 100 では解空間が膨大

追加補修の対象となるような健全度ベクトルに対して，となり厳密解の計算ができないため，施設数を 5 施設

施設集計化による近似解では 5 施設ずつしか追加補修- 15 -

表–5: 予防補修のグルーピング条件とパラメータ (𝑁 = 100)

Í

グループ 1
条件式
グループ 2Í𝑠˜𝑚∈M 𝑛 𝑚 𝑐 𝑚 > 𝐶𝑠˜𝑚∈M 𝑛 𝑚 𝑐 𝑚 ≤ 𝐶

𝜃2
𝜃3
𝜃2
𝜃3

0, 1
19
0, 18
32 , 32 , · · · , 1
110, 10
24 , 24 , · · · , 1

𝜑

0,0.7, · · · , 1.2

困難となる大規模な施設数に対して，ある期で必要となる補修費用が事前に定めた費用水準を下回った場合，当該期で必ずしも補修が必要とはなっていない施設に対しても予防的に補修を行うような予防補修ルールを提案した．予防補修ルールでは，小規模な施設数に対しては最適解近傍の近似解を得ることができ，大規模な施設数では，政策反復法を用いた施設集計化による近似解よりも優れた解を得ることができた．
本研究の課題として，健全度ベクトルの組み合わせ数に起因する推移確率の計算時間の増大が，大規模な施設数での最適補修施策の厳密解の算出を困難にした
図–5: 施設集計化による近似解 vs. 予防補修ルール

ことがあげられる．実用性を考慮した場合，最適化に(𝑁 = 100)

用いる施設数はより大規模なものを想定する必要があ

施設数を制御できないことが原因である．一方，予防補修ルールでは，パラメータの設定によって細かい予防補修の実施施設数が設定できるため，施設集計化による近似解よりも優れた解を得ることがでたと言える．
当然， 𝑁 = 100 に対して政策反復法による最適解の算出を行えば，予防補修ルールよりも優れた解を得ることはできるが，状態空間に起因した問題上，大規模な施設数では計算が不可能であるため．このように大規模な施設数に対して本研究で提案した予防補修ルールが有効であると言える．

り，それに応じて健全度ベクトルの組み合わせも増加することとなる．また，本研究ではすべての施設が同質な確率劣化を行うものとして扱っているが，それらが同質でない施設を含む施設群を考える場合，考慮すべき健全度ベクトルの組み合わせは施設数が同じであってもより多くなってしまい，推移確率の算出がより困難になる．したがって，より実用的な場面を想定した補修施策を提案するためには，健全度ベクトル間の推移確率の算出過程を効率化するような計算手法や近似的解法の開発を行うことが必要であるといえる．また，
本研究では複数の施設を同時に補修する際の補修費用の相関関係や便益，単年次費用のばらつきを抑えるこ

5.

おわりに

とによって生じる便益などを定量化していない．したがって重み付きパラメータがそれらの情報を内包して本研究では，複数の社会基盤施設群に対して，期待いるものとして最適補修施策が選択されることとなる．

ライフサイクル費用最小化の補修施策を実施する際に，しかし，重み付きパラメータの値は意思決定者にとっ劣化の不確実性に起因して，単年次に生じる費用がばては不明瞭であり，実際には同時補修による便益や平らつくことに着目し，単年次において生じる補修費用

準化による便益などを考慮して補修施策は決定されるを抑えつつ，その変動も小さくするような補修施策のものであるため，それらの定量化が今後必要となる．

提案を目的とした．その際，施設群全体を考慮した健

付録

全度ベクトルを新たに定義し，そのもとで健全度ベク
トル間の推移確率の定式化や，ライフサイクル費用と補修費用の変動の双方を目的関数に加えた重み付き最適化を定式化した．また，少数の施設数において最適補修施策の厳密解を算出することよって，単年次期待費用と単年次費用分散の間のトレードオフ関係を明らかにした．次に，分散の抑制に有用となるような施設

3.(1) における分散最小解と 𝜀 = 1.0 · 10−4 での最適解のそれぞれについて，𝜀 = 0 の最適解との比較を行い，適用される補修施策が異なる健全度ベクトルのみを抜き出し，その健全度ベクトルごとの施設数 𝑛𝑠𝑚 ，最適補
修施策によって補修される施設数 Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ ) ，補修の際の補修費用 𝐶𝑠𝑑 を付表-1，付表-2 にまとめた．

群の補修方法に着目し，状態空間が膨大で，最適化が- 16 -

付表-1 𝜀 = 1 における最適補修施策の厳密解
𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )𝐶𝑠𝑑(0,0,17,3)(0,0,1,3)3400(1,4,15,0)(0,0,7,0)2800(2,12,4,2)(0,0,1,2)

2400(4,3,13,0)(0,0,7,0)2800(0,0,18,2)(0,0,3,2)

3200(1,5,12,2)(0,0,2,2)2800(2,12,5,1)(0,2,2,1)

2400(4,4,10,2)(0,0,2,2)2800(0,0,19,1)(0,0,6,1)

3400(1,5,13,1)(0,0,5,1)

3000(2,12,6,0)(0,4,3,0)

2400(4,4,11,1)(0,0,4,1)

2600(0,0,20,0)(0,1,16,3)(0,0,8,0)(0,0,1,3)

3200
3400

(1,5,14,0)(1,6,11,2)(0,0,7,0)(0,0,2,2)

2800
2800

(2,13,3,2)(2,13,4,1)(0,0,1,2)(0,2,2,1)

2400
2400

(4,4,12,0)(4,5,9,2)(0,0,6,0)(0,0,2,2)

2400
2800

(0,1,17,2)(0,0,3,2)

3200(1,6,12,1)(0,0,4,1)

2600(2,13,5,0)(0,4,3,0)

2400(4,5,10,1)(0,0,4,1)

2600(0,1,18,1)(0,0,5,1)

3000(1,6,13,0)(0,0,7,0)2800(2,14,2,2)(0,0,1,2)

2400(4,5,11,0)(0,0,6,0)

2400(0,1,19,0)(0,0,8,0)3200(1,7,10,2)(0,0,2,2)2800(2,14,3,1)(0,3,1,1)

2300(4,6,8,2)(0,0,1,2)

2400(0,2,15,3)(0,0,1,3)3400(1,7,11,1)(0,0,4,1)

2600(2,14,4,0)(0,5,2,0)2300(4,6,9,1)(0,0,4,1)

2600(0,2,16,2)(0,0,3,2)

3200(1,7,12,0)(0,0,7,0)2800(2,15,1,2)(0,1,0,2)

2300(4,6,10,0)(0,0,6,0)2400(0,2,17,1)(0,0,5,1)

3000(1,8,9,2)(0,0,2,2)2800(2,15,2,1)(0,3,1,1)

2300(4,7,7,2)(0,0,1,2)

2400(0,2,18,0)(0,0,8,0)

3200(1,8,10,1)(0,0,4,1)

2600(2,15,3,0)(0,5,2,0)2300(4,7,8,1)(0,0,4,1)

2600(0,3,14,3)(0,0,1,3)3400(1,8,11,0)(0,0,6,0)

2400(2,16,0,2)(0,1,0,2)

2300(4,7,9,0)(0,0,6,0)2400(0,3,15,2)(0,0,3,2)

3200(1,9,8,2)(0,0,2,2)2800(2,16,1,1)(0,3,1,1)

2300(4,8,6,2)(0,0,1,2)

2400(0,3,16,1)(0,0,5,1)

3000(1,9,9,1)(0,0,4,1)

2600(2,16,2,0)(0,5,2,0)2300(4,8,7,1)(0,1,3,1)

2500(0,3,17,0)(0,0,7,0)2800(1,9,10,0)(0,0,6,0)

2400(2,17,0,1)(0,4,0,1)

2200(4,8,8,0)(0,0,6,0)2400(0,4,14,2)(0,0,3,2)

3200(1,10,7,2)(0,0,1,2)

2400(2,17,1,0)(0,6,1,0)

2200(4,9,5,2)(0,0,1,2)

2400(0,4,15,1)(0,0,5,1)

3000(1,10,8,1)(0,0,4,1)

2600(2,18,0,0)(0,7,0,0)

2100(4,9,6,1)(0,1,3,1)

2500(0,4,16,0)(0,0,7,0)

2800(1,10,9,0)(0,0,6,0)

2400(3,0,15,2)(0,0,3,2)3200(4,9,7,0)(0,0,6,0)2400(0,5,13,2)(0,0,2,2)2800(1,11,6,2)(0,0,1,2)

2400(3,0,16,1)(0,0,5,1)

3000(4,10,4,2)(0,0,1,2)

2400(0,5,14,1)(0,0,5,1)

3000(1,11,7,1)(0,0,4,1)

2600(3,0,17,0)(0,0,7,0)

2800(4,10,5,1)(0,2,2,1)

2400(0,5,15,0)(0,0,7,0)2800(1,11,8,0)(0,0,6,0)

2400(3,1,14,2)(0,0,2,2)2800(4,10,6,0)(0,1,5,0)2300(0,6,12,2)(0,0,2,2)2800(1,12,5,2)(0,0,1,2)

2400(3,1,15,1)(0,0,5,1)

3000(4,11,3,2)(0,0,1,2)

2400(0,6,13,1)(0,0,5,1)

3000(1,12,6,1)(0,1,3,1)

2500(3,1,16,0)(0,0,7,0)2800(4,11,4,1)(0,2,2,1)

2400(0,6,14,0)(0,0,7,0)2800(1,12,7,0)(0,0,6,0)

2400(3,2,13,2)(0,0,2,2)2800(4,11,5,0)(0,4,3,0)

2400(0,7,11,2)(0,0,2,2)2800(1,13,4,2)(0,0,1,2)

2400(3,2,14,1)(0,0,5,1)

3000(4,12,2,2)(0,1,0,2)

2300(0,7,12,1)(0,0,4,1)

2600(1,13,5,1)(0,2,2,1)

2400(3,2,15,0)(0,0,7,0)2800(4,12,3,1)(0,3,1,1)

2300(0,7,13,0)(0,0,7,0)2800(1,13,6,0)(0,4,3,0)

2400(3,3,12,2)(0,0,2,2)2800(4,12,4,0)(0,5,2,0)2300(0,8,10,2)(0,8,11,1)(0,0,2,2)(0,0,4,1)

2800
2600

(1,14,3,2)(1,14,4,1)(0,0,1,2)(0,2,2,1)

2400
2400

(3,3,13,1)(3,3,14,0)(0,0,4,1)(0,0,7,0)

2600
2800

(4,13,1,2)(4,13,2,1)(0,1,0,2)(0,3,1,1)

2300
2300

(0,8,12,0)(0,0,7,0)2800(1,14,5,0)(0,4,3,0)

2400(3,4,11,2)(0,0,2,2)2800(4,13,3,0)(0,5,2,0)2300(0,9,9,2)(0,0,2,2)2800(1,15,2,2)(0,0,1,2)

2400(3,4,12,1)(0,0,4,1)

2600(4,14,0,2)(0,1,0,2)2300(0,9,10,1)(0,0,4,1)

2600(1,15,3,1)(0,2,2,1)

2400(3,4,13,0)(0,0,7,0)2800(4,14,1,1)(0,3,1,1)

2300(0,9,11,0)(0,1,6,0)2700(1,15,4,0)(0,5,2,0)2300(3,5,10,2)(0,0,2,2)2800(4,14,2,0)(0,6,1,0)

2200(0,10,8,2)(0,0,2,2)2800(1,16,1,2)(0,1,0,2)

2300(3,5,11,1)(0,0,4,1)

2600(4,15,0,1)(0,4,0,1)

2200(0,10,9,1)(0,0,4,1)

2600(1,16,2,1)(0,3,1,1)

2300(3,5,12,0)(0,0,6,0)

2400(4,15,1,0)(0,6,1,0)

2200(0,10,10,0)(0,0,6,0)

2400(1,16,3,0)(0,5,2,0)2300(3,6,9,2)(0,0,2,2)2800(4,16,0,0)(0,7,0,0)2100(0,11,7,2)(0,0,2,2)2800(1,17,0,2)(0,1,0,2)

2300(3,6,10,1)(0,0,4,1)

2600(5,0,13,2)(0,0,2,2)2800(0,11,8,1)(0,0,4,1)

2600(1,17,1,1)(0,3,1,1)

2300(3,6,11,0)(0,0,6,0)

2400(5,0,14,1)(0,0,4,1)

2600(0,11,9,0)(0,0,6,0)

2400(1,17,2,0)(0,5,2,0)2300(3,7,8,2)(0,0,2,2)2800(5,0,15,0)(0,0,7,0)2800(0,12,6,2)(0,0,1,2)

2400(1,18,0,1)(0,4,0,1)

2200(3,7,9,1)(0,0,4,1)

2600(5,1,12,2)(0,0,2,2)2800(0,12,7,1)(0,0,4,1)

2600(1,18,1,0)(0,6,1,0)

2200(3,7,10,0)(0,0,6,0)

2400(5,1,13,1)(0,0,4,1)

2600(0,12,8,0)(0,0,6,0)

2400(1,19,0,0)(0,8,0,0)

2400(3,8,7,2)(0,0,1,2)

2400(5,1,14,0)(0,0,7,0)2800(0,13,5,2)(0,0,1,2)

2400(2,0,15,3)(0,0,1,3)3400(3,8,8,1)(0,0,4,1)

2600(5,2,11,2)(0,0,2,2)2800(0,13,6,1)(0,1,3,1)

2500(2,0,16,2)(0,0,3,2)3200(3,8,9,0)(0,0,6,0)

2400(5,2,12,1)(0,0,4,1)

2600(0,13,7,0)(0,0,6,0)

2400(2,0,17,1)(0,0,5,1)

3000(3,9,6,2)(0,0,1,2)

2400(5,2,13,0)(0,0,7,0)2800(0,14,4,2)(0,0,1,2)

2400(2,0,18,0)(0,0,7,0)2800(3,9,7,1)(0,1,3,1)

2500(5,3,10,2)(0,0,2,2)2800(0,14,5,1)(0,1,3,1)

2500(2,1,15,2)(0,0,3,2)3200(3,9,8,0)(0,0,6,0)

2400(5,3,11,1)(0,0,4,1)

2600(0,14,6,0)(0,4,3,0)

2400(2,1,16,1)(0,0,5,1)

3000(3,10,5,2)(0,0,1,2)

2400(5,3,12,0)(0,0,6,0)

2400(0,15,3,2)(0,0,1,2)

2400(2,1,17,0)(0,0,7,0)

2800(3,10,6,1)(0,1,3,1)

2500(5,4,9,2)(0,0,2,2)2800(0,15,4,1)(0,2,2,1)

2400(2,2,14,2)(0,0,3,2)

3200(3,10,7,0)(0,0,6,0)

2400(5,4,10,1)(0,0,4,1)

2600(0,15,5,0)(0,4,3,0)

2400(2,2,15,1)(0,0,5,1)

3000(3,11,4,2)(0,0,1,2)

2400(5,4,11,0)(0,0,6,0)

2400(0,16,2,2)(0,0,1,2)

2400(2,2,16,0)(0,0,7,0)2800(3,11,5,1)(0,2,2,1)

2400(5,5,8,2)(0,0,1,2)

2400(0,16,3,1)(0,2,2,1)

2400(2,3,13,2)(0,0,2,2)2800(3,11,6,0)(0,4,3,0)

2400(5,5,9,1)(0,0,4,1)

2600(0,16,4,0)(0,17,1,2)(0,4,3,0)(0,1,0,2)

2400
2300

(2,3,14,1)(2,3,15,0)(0,0,5,1)(0,0,7,0)

3000
2800

(3,12,3,2)(3,12,4,1)(0,0,1,2)(0,2,2,1)

2400
2400

(5,5,10,0)(5,6,7,2)(0,0,6,0)(0,0,1,2)

2400
2400

(0,17,2,1)(0,3,1,1)

2300(2,4,12,2)(0,0,2,2)2800(3,12,5,0)(0,4,3,0)

2400(5,6,8,1)(0,0,4,1)

2600(0,17,3,0)(0,5,2,0)2300(2,4,13,1)(0,0,4,1)

2600(3,13,2,2)(0,1,0,2)

2300(5,6,9,0)(0,0,6,0)

2400(0,18,0,2)(0,1,0,2)2300(2,4,14,0)(0,0,7,0)2800(3,13,3,1)(0,3,1,1)

2300(5,7,6,2)(0,0,1,2)

2400(0,18,1,1)(0,3,1,1)

2300(2,5,11,2)(0,0,2,2)2800(3,13,4,0)(0,5,2,0)2300(5,7,7,1)(0,1,3,1)

2500(0,18,2,0)(0,8,0,0)

2400(2,5,12,1)(0,0,4,1)

2600(3,14,1,2)(0,1,0,2)

2300(5,7,8,0)(0,0,6,0)

2400(0,19,0,1)(0,4,0,1)

2200(2,5,13,0)(0,0,7,0)2800(3,14,2,1)(0,3,1,1)

2300(5,8,5,2)(0,0,1,2)

2400(0,19,1,0)(0,8,0,0)

2400(2,6,10,2)(0,0,2,2)2800(3,14,3,0)(0,5,2,0)2300(5,8,6,1)(0,2,2,1)

2400(0,20,0,0)(0,8,0,0)

2400(2,6,11,1)(0,0,4,1)

2600(3,15,0,2)(0,1,0,2)2300(5,8,7,0)(0,1,5,0)2300(1,0,16,3)(0,0,1,3)3400(2,6,12,0)(0,0,7,0)2800(3,15,1,1)(0,3,1,1)

2300(5,9,4,2)(0,0,1,2)

2400(1,0,17,2)(0,0,3,2)3200(2,7,9,2)(0,0,2,2)2800(3,15,2,0)(0,5,2,0)2300(5,9,5,1)(0,2,2,1)

2400(1,0,18,1)(0,0,5,1)

3000(2,7,10,1)(0,0,4,1)

2600(3,16,0,1)(0,4,0,1)

2200(5,9,6,0)(0,1,5,0)2300(1,0,19,0)(0,0,8,0)3200(2,7,11,0)(0,0,6,0)

2400(3,16,1,0)(0,6,1,0)

2200(5,10,3,2)(0,0,1,2)

2400(1,1,15,3)(0,0,1,3)3400(2,8,8,2)(0,0,2,2)2800(3,17,0,0)(0,7,0,0)

2100(5,10,4,1)(0,2,2,1)

2400(1,1,16,2)(0,0,3,2)3200(2,8,9,1)(0,0,4,1)

2600(4,0,14,2)(0,0,2,2)2800(5,10,5,0)(0,1,5,0)2300(1,1,17,1)(0,0,5,1)

3000(2,8,10,0)(0,0,6,0)

2400(4,0,15,1)(0,0,5,1)

3000(5,11,2,2)(0,1,0,2)

2300(1,1,18,0)(0,0,8,0)3200(2,9,7,2)(0,0,1,2)

2400(4,0,16,0)(0,0,7,0)2800(5,11,3,1)(0,3,1,1)

2300(1,2,15,2)(0,0,3,2)3200(2,9,8,1)(0,0,4,1)

2600(4,1,13,2)(0,0,2,2)2800(5,11,4,0)(0,5,2,0)2300(1,2,16,1)(0,0,5,1)

3000(2,9,9,0)(0,0,6,0)

2400(4,1,14,1)(0,0,5,1)

3000(5,12,1,2)(0,1,0,2)2300(1,2,17,0)(0,0,7,0)2800(2,10,6,2)(0,0,1,2)

2400(4,1,15,0)(0,0,7,0)2800(5,12,2,1)(0,3,1,1)

2300(1,3,14,2)(0,0,3,2)3200(2,10,7,1)(0,1,3,1)

2500(4,2,12,2)(0,0,2,2)2800(5,12,3,0)(0,5,2,0)2300(1,3,15,1)(0,0,5,1)

3000(2,10,8,0)(0,0,6,0)

2400(4,2,13,1)(0,0,4,1)

2600(5,13,0,2)(0,1,0,2)

2300(1,3,16,0)(0,0,7,0)2800(2,11,5,2)(0,0,1,2)

2400(4,2,14,0)(0,0,7,0)2800(5,13,1,1)(0,4,0,1)

2200(1,4,13,2)(0,0,2,2)2800(2,11,6,1)(0,1,3,1)

2500(4,3,11,2)(0,0,2,2)2800(5,13,2,0)(0,6,1,0)

2200(1,4,14,1)(0,0,5,1)

3000(2,11,7,0)(0,0,6,0)

2400(4,3,12,1)(0,0,4,1)

2600(5,14,0,1)(0,4,0,1)

2200- 17 -

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )𝐶𝑠𝑑(5,14,1,0)(0,6,1,0)

2200(7,12,0,1)(0,4,0,1)

2200(10,2,8,0)(0,1,5,0)2300(13,2,5,0)(0,2,4,0)

2200(5,15,0,0)(0,7,0,0)

2100(7,12,1,0)(0,6,1,0)

2200(10,3,5,2)(0,0,1,2)

2400(13,3,2,2)(0,1,0,2)

2300(6,0,12,2)(0,0,2,2)2800(7,13,0,0)(0,7,0,0)

2100(10,3,6,1)(0,0,3,1)

2200(13,3,3,1)(0,0,3,1)

2200(6,0,13,1)(0,0,4,1)

2600(8,0,10,2)(0,0,2,2)

2800(10,3,7,0)(0,1,5,0)

2300(13,3,4,0)(0,2,4,0)

2200(6,0,14,0)(0,0,7,0)2800(8,0,11,1)(0,0,4,1)

2600(10,4,4,2)(0,1,0,2)

2300(13,4,2,1)(0,1,2,1)

2100(6,1,11,2)(0,0,2,2)2800(8,0,12,0)(0,0,6,0)

2400(10,4,5,1)(0,0,3,1)

2200(13,4,3,0)(0,3,3,0)

2100(6,1,12,1)(0,0,4,1)

2600(8,1,9,2)(0,0,1,2)

2400(10,4,6,0)(0,1,5,0)2300(13,5,1,1)(0,2,1,1)

2000(6,1,13,0)(0,0,6,0)

2400(8,1,10,1)(0,0,4,1)

2600(10,5,3,2)(0,1,0,2)

2300(13,5,2,0)(0,4,2,0)

2000(6,2,10,2)(0,0,2,2)2800(8,1,11,0)(0,0,6,0)

2400(10,5,4,1)(0,0,3,1)

2200(13,6,0,1)(0,3,0,1)

1900(6,2,11,1)(0,0,4,1)

2600(8,2,8,2)(0,0,1,2)

2400(10,5,5,0)(0,2,4,0)

2200(13,6,1,0)(0,5,1,0)

1900(6,2,12,0)(0,0,6,0)

2400(8,2,9,1)(0,0,4,1)

2600(10,6,2,2)(0,1,0,2)

2300(13,7,0,0)(0,6,0,0)1800(6,3,9,2)(0,0,1,2)

2400(8,2,10,0)(0,0,6,0)

2400(10,6,3,1)(0,0,3,1)

2200(14,0,4,2)(0,0,1,2)

2400(6,3,10,1)(0,0,4,1)

2600(8,3,7,2)(0,0,1,2)

2400(10,6,4,0)(0,2,4,0)

2200(14,0,5,1)(0,0,3,1)

2200(6,3,11,0)(0,0,6,0)

2400(8,3,8,1)(0,1,3,1)

2500(10,7,1,2)(0,1,0,2)2300(14,0,6,0)(0,0,5,0)

2000(6,4,8,2)(0,0,1,2)

2400(8,3,9,0)(0,0,6,0)

2400(10,7,2,1)(0,1,2,1)

2100(14,1,3,2)(0,1,0,2)

2300(6,4,9,1)(0,0,4,1)

2600(8,4,6,2)(0,0,1,2)

2400(10,7,3,0)(0,3,3,0)

2100(14,1,4,1)(0,0,3,1)

2200(6,4,10,0)(0,0,6,0)

2400(6,5,7,2)(6,5,8,1)(0,0,1,2)(0,1,3,1)

2400
2500

(8,4,7,1)(8,4,8,0)(0,0,3,1)(0,0,6,0)

2200
2400

(10,8,0,2)(10,8,1,1)(0,1,0,2)(0,4,0,1)

2300
2200

(14,1,5,0)(14,2,3,1)(0,0,5,0)(0,0,3,1)

2000
2200

(8,5,5,2)(0,0,1,2)

2400(10,8,2,0)(0,6,1,0)

2200(14,2,4,0)(0,2,4,0)

2200(6,5,9,0)(0,0,6,0)

2400(8,5,6,1)(0,0,3,1)

2200(10,9,0,1)(0,4,0,1)

2200(14,3,2,1)(0,1,2,1)

2100(6,6,6,2)(0,0,1,2)

2400(8,5,7,0)(0,1,5,0)2300(10,9,1,0)(0,7,0,0)

2100(14,3,3,0)(0,3,3,0)

2100(6,6,7,1)(0,1,3,1)

2500(8,6,4,2)(0,0,1,2)

2400(10,10,0,0)(0,7,0,0)

2100(14,4,1,1)(0,2,1,1)

2000(6,6,8,0)(0,0,6,0)

2400(8,6,5,1)(0,0,3,1)

2200(11,0,7,2)(0,0,1,2)

2400(14,4,2,0)(0,4,2,0)

2000(6,7,5,2)(0,0,1,2)

2400(8,6,6,0)(0,1,5,0)2300(11,0,8,1)(0,0,3,1)

2200(14,5,0,1)(0,3,0,1)

1900(6,7,6,1)(0,2,2,1)

2400(8,7,3,2)(0,1,0,2)

2300(11,0,9,0)(0,0,6,0)

2400(14,5,1,0)(0,5,1,0)

1900(6,7,7,0)(0,1,5,0)2300(8,7,4,1)(0,0,3,1)

2200(11,1,6,2)(0,0,1,2)

2400(14,6,0,0)(0,6,0,0)1800(6,8,4,2)(0,0,1,2)

2400(8,7,5,0)(0,2,4,0)

2200(11,1,7,1)(0,0,3,1)

2200(15,0,4,1)(0,0,3,1)

2200(6,8,5,1)(0,2,2,1)

2400(8,8,2,2)(0,1,0,2)

2300(11,1,8,0)(0,1,5,0)2300(15,0,5,0)(0,0,5,0)

2000(6,8,6,0)(0,1,5,0)2300(8,8,3,1)(0,0,3,1)

2200(11,2,5,2)(0,0,1,2)

2400(15,1,3,1)(0,1,2,1)

2100(6,9,3,2)(0,0,1,2)

2400(8,8,4,0)(0,2,4,0)

2200(11,2,6,1)(0,0,3,1)

2200(15,1,4,0)(0,1,4,0)

1900(6,9,4,1)(0,3,1,1)

2300(8,9,1,2)(0,1,0,2)

2300(11,2,7,0)(0,1,5,0)2300(15,2,2,1)(0,1,2,1)

2100(6,9,5,0)(0,1,5,0)2300(8,9,2,1)(0,4,0,1)

2200(11,3,4,2)(0,1,0,2)

2300(15,2,3,0)(0,2,3,0)

1800(6,10,2,2)(0,1,0,2)2300(8,9,3,0)(0,6,1,0)

2200(11,3,5,1)(0,0,3,1)

2200(15,3,1,1)(0,2,1,1)

2000(6,10,3,1)(0,3,1,1)

2300(8,10,0,2)(0,1,0,2)

2300(11,3,6,0)(0,2,4,0)

2200(15,3,2,0)(0,3,2,0)

1700(6,10,4,0)(0,5,2,0)2300(8,10,1,1)(0,4,0,1)

2200(11,4,3,2)(0,1,0,2)

2300(15,4,0,1)(0,3,0,1)

1900(6,11,1,2)(0,1,0,2)

2300(8,10,2,0)(0,6,1,0)

2200(11,4,4,1)(0,0,3,1)

2200(15,4,1,0)(0,4,1,0)

1600(6,11,2,1)(0,3,1,1)

2300(8,11,0,1)(0,4,0,1)

2200(11,4,5,0)(0,2,4,0)

2200(15,5,0,0)(0,5,0,0)

1500(6,11,3,0)(0,5,2,0)2300(8,11,1,0)(0,6,1,0)

2200(11,5,2,2)(0,1,0,2)

2300(16,0,3,1)(0,0,3,1)

2200(6,12,0,2)(0,1,0,2)

2300(8,12,0,0)(0,7,0,0)

2100(11,5,3,1)(0,0,3,1)

2200(16,0,4,0)(0,0,4,0)

1600(6,12,1,1)(0,4,0,1)

2200(9,0,9,2)(0,0,1,2)

2400(11,5,4,0)(0,2,4,0)

2200(16,1,2,1)(0,1,2,1)

2100(6,12,2,0)(0,6,1,0)

2200(9,0,10,1)(0,0,4,1)

2600(11,6,1,2)(0,1,0,2)

2300(16,1,3,0)(0,1,3,0)

1500(6,13,0,1)(0,4,0,1)

2200(9,0,11,0)(0,0,6,0)

2400(11,6,2,1)(0,1,2,1)

2100(16,2,1,1)(0,2,1,1)

2000(6,13,1,0)(6,14,0,0)(0,6,1,0)(0,7,0,0)

2200
2100

(9,1,8,2)(9,1,9,1)(0,0,1,2)(0,0,4,1)

2400
2600

(11,6,3,0)(11,7,0,2)(0,3,3,0)(0,1,0,2)

2100
2300

(16,2,2,0)(16,3,0,1)(0,2,2,0)(0,3,0,1)

1400
1900

(7,0,11,2)(0,0,2,2)2800(9,1,10,0)(0,0,6,0)

2400(11,7,1,1)(0,4,0,1)

2200(16,3,1,0)(0,3,1,0)

1300(7,0,12,1)(0,0,4,1)

2600(9,2,7,2)(0,0,1,2)

2400(11,7,2,0)(0,4,2,0)

2000(16,4,0,0)(0,4,0,0)

1200(7,0,13,0)(0,0,6,0)

2400(9,2,8,1)(0,1,3,1)

2500(11,8,0,1)(0,4,0,1)

2200(17,0,2,1)(0,0,2,1)

1800(7,1,10,2)(0,0,2,2)2800(9,2,9,0)(0,0,6,0)

2400(11,8,1,0)(0,5,1,0)

1900(17,0,3,0)(0,0,3,0)

1200(7,1,11,1)(0,0,4,1)

2600(9,3,6,2)(0,0,1,2)

2400(11,9,0,0)(0,7,0,0)

2100(17,1,1,1)(0,1,1,1)

1700(7,1,12,0)(0,0,6,0)

2400(9,3,7,1)(0,0,3,1)

2200(12,0,6,2)(0,0,1,2)

2400(17,1,2,0)(0,1,2,0)

1100(7,2,9,2)(0,0,1,2)

2400(9,3,8,0)(0,1,5,0)2300(12,0,7,1)(0,0,3,1)

2200(17,2,0,1)(0,2,0,1)

1600(7,2,10,1)(0,0,4,1)

2600(9,4,5,2)(0,0,1,2)

2400(12,0,8,0)(0,0,6,0)

2400(17,2,1,0)(0,2,1,0)

1000(7,2,11,0)(0,0,6,0)

2400(9,4,6,1)(0,0,3,1)

2200(12,1,5,2)(0,0,1,2)

2400(17,3,0,0)(0,3,0,0)

900(7,3,8,2)(0,0,1,2)

2400(9,4,7,0)(0,1,5,0)

2300(12,1,6,1)(0,0,3,1)

2200(18,0,1,1)(0,0,1,1)

1400(7,3,9,1)(0,0,4,1)

2600(9,5,4,2)(0,0,1,2)

2400(12,1,7,0)(0,1,5,0)2300(18,0,2,0)(0,0,2,0)800(7,3,10,0)(0,0,6,0)

2400(9,5,5,1)(0,0,3,1)

2200(12,2,4,2)(0,1,0,2)

2300(18,1,0,1)(0,1,0,1)

1300(7,4,7,2)(0,0,1,2)

2400(9,5,6,0)(0,1,5,0)2300(12,2,5,1)(0,0,3,1)

2200(18,1,1,0)(0,1,1,0)

700(7,4,8,1)(0,1,3,1)

2500(9,6,3,2)(0,1,0,2)

2300(12,2,6,0)(0,2,4,0)

2200(18,2,0,0)(0,2,0,0)600(7,4,9,0)(0,0,6,0)

2400(9,6,4,1)(0,0,3,1)

2200(12,3,3,2)(0,1,0,2)2300(19,0,1,0)(0,0,1,0)400(7,5,6,2)(0,0,1,2)

2400(9,6,5,0)(0,2,4,0)

2200(12,3,4,1)(0,0,3,1)

2200(19,1,0,0)(0,1,0,0)300(7,5,7,1)(0,1,3,1)

2500(9,7,2,2)(0,1,0,2)

2300(12,3,5,0)(0,2,4,0)

2200(7,5,8,0)(0,0,6,0)

2400(9,7,3,1)(0,0,3,1)

2200(12,4,2,2)(0,1,0,2)

2300(7,6,5,2)(0,0,1,2)

2400(9,7,4,0)(0,2,4,0)

2200(12,4,3,1)(0,0,3,1)

2200(7,6,6,1)(0,2,2,1)

2400(9,8,1,2)(0,1,0,2)

2300(12,4,4,0)(0,2,4,0)

2200(7,6,7,0)(0,1,5,0)2300(9,8,2,1)(0,4,0,1)

2200(12,5,1,2)(0,1,0,2)

2300(7,7,4,2)(0,0,1,2)

2400(9,8,3,0)(0,3,3,0)

2100(12,5,2,1)(0,1,2,1)

2100(7,7,5,1)(0,0,3,1)

2200(9,9,0,2)(0,1,0,2)

2300(12,5,3,0)(0,3,3,0)

2100(7,7,6,0)(7,8,3,2)(0,1,5,0)(0,1,0,2)

2300
2300

(9,9,1,1)(9,9,2,0)(0,4,0,1)(0,6,1,0)

2200
2200

(12,6,1,1)(12,6,2,0)(0,2,1,1)(0,4,2,0)

2000
2000

(7,8,4,1)(0,3,1,1)

2300(9,10,0,1)(0,4,0,1)

2200(12,7,0,1)(0,3,0,1)

1900(7,8,5,0)(0,1,5,0)

2300(9,10,1,0)(0,6,1,0)

2200(12,7,1,0)(0,5,1,0)

1900(7,9,2,2)(0,1,0,2)

2300(9,11,0,0)(0,7,0,0)

2100(12,8,0,0)(0,6,0,0)1800(7,9,3,1)(0,3,1,1)

2300(10,0,8,2)(0,0,1,2)

2400(13,0,5,2)(0,0,1,2)

2400(7,9,4,0)(0,2,4,0)

2200(10,0,9,1)(0,0,4,1)

2600(13,0,6,1)(0,0,3,1)

2200(7,10,1,2)(0,1,0,2)

2300(10,0,10,0)(0,0,6,0)

2400(13,0,7,0)(0,0,6,0)

2400(7,10,2,1)(0,3,1,1)

2300(10,1,7,2)(0,0,1,2)

2400(13,1,4,2)(0,1,0,2)

2300(7,10,3,0)(0,6,1,0)

2200(10,1,8,1)(0,0,3,1)

2200(13,1,5,1)(0,0,3,1)

2200(7,11,0,2)(0,1,0,2)

2300(10,1,9,0)(0,0,6,0)

2400(13,1,6,0)(0,1,5,0)2300(7,11,1,1)(0,4,0,1)

2200(10,2,6,2)(0,0,1,2)

2400(13,2,3,2)(0,1,0,2)

2300(7,11,2,0)(0,6,1,0)

2200(10,2,7,1)(0,0,3,1)

2200(13,2,4,1)(0,0,3,1)

2200- 18 -

付表-2 𝜀 = 1.0 × 10−4 における最適補修施策の厳密解
𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )

𝐶𝑠𝑑

𝑛𝑠𝑚

Δ𝑛𝑠𝑚 (𝑑 ∗ )𝐶𝑠𝑑(0,0,19,1)(0,0,2,1)

1800(2,6,12,0)(0,4,0,0)

1200(5,8,7,0)(0,3,0,0)900(11,2,7,0)(0,2,0,0)600(0,0,20,0)(0,1,18,1)(0,0,5,0)(0,0,2,1)

2000
1800

(2,7,10,1)(2,7,11,0)(0,1,0,1)(0,4,0,0)

1300
1200

(5,9,6,0)(5,10,5,0)(0,3,0,0)(0,3,0,0)

900
900(11,3,6,0)(11,4,5,0)(0,3,0,0)(0,2,0,0)900
600(0,1,19,0)(0,0,4,0)

1600(2,8,9,1)(0,1,0,1)

1300(5,11,4,0)(0,3,0,0)

900(11,5,4,0)(0,2,0,0)600(0,2,17,1)(0,0,2,1)

1800(2,8,10,0)(0,4,0,0)

1200(5,12,3,0)(0,3,0,0)

900(11,6,3,0)(0,2,0,0)600(0,2,18,0)(0,0,4,0)

1600(2,9,8,1)(0,1,0,1)

1300(5,13,2,0)(0,3,0,0)

900(11,7,2,0)(0,2,0,0)600(0,3,16,1)(0,0,2,1)

1800(2,9,9,0)(0,4,0,0)

1200(5,14,1,0)(0,3,0,0)

900(11,8,1,0)(0,2,0,0)600(0,3,17,0)(0,0,4,0)

1600(2,10,8,0)(0,4,0,0)

1200(5,15,0,0)(0,2,0,0)600(11,9,0,0)(0,2,0,0)600(0,4,15,1)(0,0,1,1)

1400(2,11,7,0)(0,4,0,0)

1200(6,0,13,1)(0,0,1,1)

1400(12,0,8,0)(0,0,1,0)400(0,4,16,0)(0,0,4,0)

1600(2,12,6,0)(0,3,0,0)

900(6,0,14,0)(0,0,3,0)

1200(12,1,7,0)(0,1,1,0)700(0,5,14,1)(0,0,1,1)

1400(2,13,5,0)(0,3,0,0)

900(6,1,12,1)(0,1,0,1)

1300(12,2,6,0)(0,2,0,0)600(0,5,15,0)(0,1,3,0)

1500(2,14,4,0)(0,3,0,0)

900(6,1,13,0)(0,1,2,0)

1100(12,3,5,0)(0,2,0,0)600(0,6,13,1)(0,0,1,1)

1400(2,15,3,0)(0,3,0,0)

900(6,2,11,1)(0,1,0,1)

1300(12,4,4,0)(0,2,0,0)600(0,6,14,0)(0,2,2,0)

1400(2,16,2,0)(0,3,0,0)

900(6,2,12,0)(0,2,1,0)

1000(12,5,3,0)(0,2,0,0)600(0,7,12,1)(0,1,0,1)

1300(2,17,1,0)(0,3,0,0)

900(6,3,10,1)(0,1,0,1)

1300(12,6,2,0)(0,2,0,0)600(0,7,13,0)(0,3,1,0)

1300(2,18,0,0)(0,3,0,0)

900(6,3,11,0)(0,3,0,0)

900(12,7,1,0)(0,2,0,0)600(0,8,11,1)(0,1,0,1)

1300(3,0,16,1)(0,0,1,1)

1400(6,4,10,0)(0,4,0,0)

1200(12,8,0,0)(0,2,0,0)600(0,8,12,0)(0,4,0,0)

1200(3,0,17,0)(0,0,4,0)

1600(6,5,9,0)(0,3,0,0)

900(13,0,7,0)(0,0,1,0)400(0,9,10,1)(0,1,0,1)

1300(3,1,15,1)(0,0,1,1)

1400(6,6,8,0)(0,3,0,0)

900(13,1,6,0)(0,1,0,0)300(0,9,11,0)(0,4,0,0)

1200(3,1,16,0)(0,1,3,0)

1500(6,7,7,0)(0,3,0,0)900(13,2,5,0)(0,2,0,0)600(0,10,9,1)(0,1,0,1)

1300(3,2,14,1)(0,0,1,1)

1400(6,8,6,0)(0,3,0,0)900(13,3,4,0)(0,2,0,0)600(0,10,10,0)(0,4,0,0)

1200(3,2,15,0)(0,2,2,0)

1400(6,9,5,0)(0,3,0,0)

900(13,4,3,0)(0,2,0,0)600(0,11,8,1)(0,1,0,1)

1300(3,3,13,1)(0,0,1,1)

1400(6,10,4,0)(0,3,0,0)900(13,5,2,0)(0,2,0,0)600(0,11,9,0)(0,4,0,0)

1200(3,3,14,0)(0,2,2,0)

1400(6,11,3,0)(0,3,0,0)900(13,6,1,0)(0,2,0,0)600(0,12,7,1)(0,1,0,1)

1300(3,4,12,1)(0,1,0,1)

1300(6,12,2,0)(0,3,0,0)900(13,7,0,0)(0,2,0,0)600(0,12,8,0)(0,4,0,0)

1200(3,4,13,0)(0,3,1,0)

1300(6,13,1,0)(0,2,0,0)600(14,0,6,0)(0,0,1,0)400(0,13,6,1)(0,13,7,0)(0,1,0,1)(0,4,0,0)

1300
1200

(3,5,11,1)(3,5,12,0)(0,1,0,1)(0,4,0,0)

1300
1200

(6,14,0,0)(7,0,13,0)(0,2,0,0)(0,0,3,0)

600
1200

(14,1,5,0)(14,2,4,0)(0,1,0,0)(0,2,0,0)300
600(0,14,6,0)(0,4,0,0)1200(3,6,10,1)(0,1,0,1)

1300(7,1,11,1)(0,1,0,1)

1300(14,3,3,0)(0,2,0,0)600(0,15,5,0)(0,4,0,0)1200(3,6,11,0)(0,4,0,0)

1200(7,1,12,0)(0,1,2,0)

1100(14,4,2,0)(0,2,0,0)600(0,16,4,0)(0,3,0,0)

900(3,7,9,1)(0,1,0,1)

1300(7,2,11,0)(0,2,1,0)

1000(14,5,1,0)(0,2,0,0)600(0,17,3,0)(0,3,0,0)

900(3,7,10,0)(0,4,0,0)

1200(7,3,10,0)(0,3,0,0)900(14,6,0,0)(0,1,0,0)300(0,18,2,0)(0,3,0,0)

900(3,8,8,1)(0,1,0,1)

1300(7,4,9,0)(0,3,0,0)

900(15,0,5,0)(0,0,1,0)400(0,19,1,0)(0,3,0,0)

900(3,8,9,0)(0,4,0,0)

1200(7,5,8,0)(0,3,0,0)

900(15,1,4,0)(0,1,0,0)300(0,20,0,0)(0,3,0,0)

900(3,9,8,0)(0,4,0,0)1200(7,6,7,0)(0,3,0,0)900(15,2,3,0)(0,2,0,0)600(1,0,18,1)(0,0,2,1)

1800(3,10,7,0)(0,4,0,0)

1200(7,7,6,0)(0,3,0,0)

900(15,3,2,0)(0,2,0,0)600(1,0,19,0)(0,0,4,0)

1600(3,11,6,0)(0,3,0,0)

900(7,8,5,0)(0,3,0,0)

900(15,4,1,0)(0,2,0,0)600(1,1,17,1)(0,0,2,1)

1800(3,12,5,0)(0,3,0,0)

900(7,9,4,0)(0,3,0,0)

900(15,5,0,0)(0,1,0,0)300(1,1,18,0)(0,0,4,0)

1600(3,13,4,0)(0,3,0,0)900(7,10,3,0)(0,3,0,0)

900(16,1,3,0)(0,1,0,0)300(1,2,16,1)(0,0,2,1)

1800(3,14,3,0)(0,3,0,0)900(7,11,2,0)(0,2,0,0)600(16,2,2,0)(0,2,0,0)600(1,2,17,0)(0,0,4,0)

1600(3,15,2,0)(0,3,0,0)900(7,12,1,0)(0,2,0,0)600(16,3,1,0)(0,1,0,0)300(1,3,15,1)(0,0,1,1)

1400(3,16,1,0)(0,3,0,0)900(7,13,0,0)(0,2,0,0)600(16,4,0,0)(0,1,0,0)300(1,3,16,0)(0,1,3,0)

1500(3,17,0,0)(0,3,0,0)

900(8,0,12,0)(0,0,2,0)800(17,1,2,0)(0,1,0,0)300(1,4,14,1)(0,0,1,1)

1400(4,0,15,1)(0,0,1,1)

1400(8,1,11,0)(0,1,2,0)

1100(17,2,1,0)(0,1,0,0)300(1,4,15,0)(0,1,3,0)

1500(4,0,16,0)(0,0,3,0)

1200(8,2,10,0)(0,2,1,0)

1000(17,3,0,0)(0,1,0,0)300(1,5,13,1)(0,0,1,1)

1400(4,1,14,1)(0,0,1,1)

1400(8,3,9,0)(0,3,0,0)

900(18,1,1,0)(0,1,0,0)300(1,5,14,0)(0,2,2,0)

1400(4,1,15,0)(0,0,3,0)

1200(8,4,8,0)(0,3,0,0)900(18,2,0,0)(0,1,0,0)300(1,6,12,1)(0,1,0,1)

1300(4,2,13,1)(0,0,1,1)

1400(8,5,7,0)(0,3,0,0)

900(19,1,0,0)(0,1,0,0)300(1,6,13,0)(0,3,1,0)

1300(4,2,14,0)(0,2,2,0)

1400(8,6,6,0)(0,3,0,0)900(1,7,11,1)(0,1,0,1)

1300(4,3,12,1)(0,1,0,1)

1300(8,7,5,0)(0,3,0,0)900(1,7,12,0)(0,4,0,0)

1200(4,3,13,0)(0,3,1,0)

1300(8,8,4,0)(0,3,0,0)900(1,8,10,1)(1,8,11,0)(0,1,0,1)(0,4,0,0)

1300
1200

(4,4,11,1)(4,4,12,0)(0,1,0,1)(0,4,0,0)

1300
1200

(8,9,3,0)(8,10,2,0)(0,3,0,0)(0,2,0,0)900
600(1,9,9,1)(0,1,0,1)

1300(4,5,10,1)(0,1,0,1)

1300(8,11,1,0)(0,2,0,0)600(1,9,10,0)(0,4,0,0)

1200(4,5,11,0)(0,4,0,0)

1200(8,12,0,0)(0,2,0,0)600(1,10,8,1)(0,1,0,1)

1300(4,6,9,1)(0,1,0,1)

1300(9,0,11,0)(0,0,2,0)800(1,10,9,0)(0,4,0,0)

1200(4,6,10,0)(0,4,0,0)

1200(9,1,10,0)(0,1,1,0)700(1,11,7,1)(0,1,0,1)

1300(4,7,9,0)(0,4,0,0)

1200(9,2,9,0)(0,2,0,0)600(1,11,8,0)(0,4,0,0)

1200(4,8,8,0)(0,4,0,0)

1200(9,3,8,0)(0,3,0,0)900(1,12,7,0)(0,4,0,0)

1200(4,9,7,0)(0,3,0,0)

900(9,4,7,0)(0,3,0,0)900(1,13,6,0)(0,4,0,0)

1200(4,10,6,0)(0,3,0,0)

900(9,5,6,0)(0,3,0,0)900(1,14,5,0)(0,3,0,0)

900(4,11,5,0)(0,3,0,0)

900(9,6,5,0)(0,3,0,0)900(1,15,4,0)(0,3,0,0)

900(4,12,4,0)(0,3,0,0)

900(9,7,4,0)(0,3,0,0)900(1,16,3,0)(0,3,0,0)

900(4,13,3,0)(0,3,0,0)

900(9,8,3,0)(0,2,0,0)600(1,17,2,0)(0,3,0,0)900(4,14,2,0)(0,3,0,0)

900(9,9,2,0)(0,2,0,0)600(1,18,1,0)(0,3,0,0)900(4,15,1,0)(0,3,0,0)

900(9,10,1,0)(0,2,0,0)600(1,19,0,0)(0,3,0,0)

900(4,16,0,0)(0,2,0,0)600(9,11,0,0)(0,2,0,0)600(2,0,17,1)(0,0,2,1)

1800(5,0,14,1)(0,0,1,1)

1400(10,0,10,0)(0,0,2,0)800(2,0,18,0)(0,0,4,0)

1600(5,0,15,0)(0,0,3,0)

1200(10,1,9,0)(0,1,1,0)

700(2,1,16,1)(0,0,2,1)

1800(5,1,13,1)(0,0,1,1)

1400(10,2,8,0)(0,2,0,0)600(2,1,17,0)(0,0,4,0)

1600(5,1,14,0)(0,1,2,0)

1100(10,3,7,0)(0,3,0,0)

900(2,2,15,1)(0,0,1,1)

1400(5,2,12,1)(0,1,0,1)

1300(10,4,6,0)(0,3,0,0)

900(2,2,16,0)(0,1,3,0)

1500(5,2,13,0)(0,1,2,0)

1100(10,5,5,0)(0,3,0,0)

900(2,3,14,1)(0,0,1,1)

1400(5,3,11,1)(0,1,0,1)

1300(10,6,4,0)(0,2,0,0)600(2,3,15,0)(0,1,3,0)

1500(5,3,12,0)(0,3,1,0)

1300(10,7,3,0)(0,2,0,0)600(2,4,13,1)(0,0,1,1)

1400(5,4,10,1)(0,1,0,1)

1300(10,8,2,0)(0,2,0,0)600(2,4,14,0)(2,5,12,1)(0,2,2,0)(0,1,0,1)

1400
1300

(5,4,11,0)(5,5,10,0)(0,4,0,0)(0,4,0,0)

1200
1200

(10,9,1,0)(10,10,0,0)(0,2,0,0)(0,2,0,0)600
600(2,5,13,0)(0,3,1,0)

1300(5,6,9,0)(0,4,0,0)

1200(11,0,9,0)(0,0,2,0)800(2,6,11,1)(0,1,0,1)

1300(5,7,8,0)(0,3,0,0)

900(11,1,8,0)(0,1,1,0)700- 19 -

参考文献
1) 小林潔司，江口利幸，大井明，青木一也，貝戸清之：劣化過程の不確実性を考慮した路面性状調査の最適実施方
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