数学科｝
単元名

第１学年

尾道市立吉和中学校

指導者

藤潤次

「比例と反比例」～封筒と色紙に隠された関係を解き明かせ～

本単元で育成する資質・能力

基礎的な知識・技能，思考力，コミュニケーション能力

１日時

令和２年１０月５日

２学年

第１学年１組

３場

所

第１学年１組教室

４

単元について○１３：３０～１４：２０

（男子７名

女子１４名

合計２１名）

単元観

本単元の指導は，学習指導要領第１学年「Ｃ関数（１）具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，比例，反比例の関係についての理解を深めるとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を培う。」を受けて設定するものである。
我々の身の回りには，ともなって変わる二つの数量の関係にあるものが多くある。それらの事象を考察したり，理解したりするためには関数的な見方や考え方を必要とする場面が多い。
このことについて小学校算数科では，変化の様子を表や式，折れ線グラフを用いて表したり，変化の特徴を読み取ったり，ともなって変わる二つの数量を見いだして，それらの関係に着目し，変化や対応の特徴を考察したりしてきている。また，比例の関係を理解しこれを用いて問題を解決してきている。反比例については，比例の理解を促すため，その関係について学習した。
これを受けて，中学校第１学年で本単元を学習する。本単元においては，まず，小学校算数科で学習した「ともなって変わる二つの数量の関係」を関数としてとらえ直すことができるようにする。また，表，式，グラフについてもさらに学習し，相互に関連付けながら比例，反比例についての基本的な概念やそれぞれの関数の特徴について理解を深めていく。
さらに，それらを活用することについては，具体的な事象の中からともなって変わる二つの数量を取りだし，それらの変化や対応を調べることを通して，比例，反比例の関係にあるかどうかを判断したり，具体的な事象を比例，反比例と見なすことによって問題を解決したりすることができるようにする。
比例，反比例の学習は，日常生活において数量間の関係を探究する基礎となるものである。具体的な事象を考察することを通して，関数関係を見いだし考察し表現し力を養う。この力は，この領域に止まるものではなく，図形についての考察の場面などにおいても活用される。
○ 生徒観
本学級の生徒は，普段から落ち着いて授業に取り組むことができている。生徒から出された質問に丁寧に応えてくれる周りの生徒もいる。しかし，数学の授業で学習した内容を普段の生活場面でどのように活用できるかを考える生徒は少ない。この要因としては，身の周りの事象を問題解決する方法を，数学的に考える経験が不足していることが考えられる。また，既習事項の定着に課題がある事が考えられる。特に比例・反比例については基本的な内容にも課題があり，苦手とする生徒が多いことも考えられる。前時の内容の復習や小テスト等を毎時間行い，作業や具体物を用いて，興味・関心が持てる授業を展開していきたい。

○指導観

本単元の学習は，日常生活において数量間の関係を探求する基礎となるものである。そのため，具体的に示す例としては，日常生活に関連する事柄を多くあげ，身の回りに関数関係の事象が多くあるということを実感させたい。また，小学校で学習した比例・反比例の学習内容が十分に定着できていないと考えられる生徒もいる。そのため，ともなって変わる数量をきちんと把握させるために，具体的な例をあげ，変化の様子をひとつひとつ確認させていく。さらに，表・式・グラフを単独で用いるのではなく相互に関連付けながら学習することを通してそれぞれのよさを実感をともなって理解させ，関数の特徴を能率的に調べることができるようにさせたい。
単元を通じて育成したい資質・能力は「コミュニケーション能力」である。
「コミュニケーション能力」においては，グループ活動やペア活動を通して，考えた内容や学習のまとめを説明し合う活動を繰り返すことで育成していきたい。

５目○標
具体的な事象の中から，二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，比例，反比例の関係についての理解を深めるとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を培う。

６ 評価規準ア 数学への関心・意欲・
イ 数学的な見方やエ 数量や図形などにつウ 数学的な技能
態度
考え方
いての知識・理解
様々な事象を比例，反比例 比例，反比例などについて 比例，反比例などの関数関 関数関係の意味，比例や反などで捉えたり，表，式， の基礎的・基本的な知識 係を，表，式，グラフなど 比例の意味，比例や反比例グラフなどで表したりす

及び技能を活用しながら を用いて的確に表現したの関係を表わす表，式，グるなど，数学的に考え表現 ，事象を見通しをもって り，数学的に処理したりす ラフの特徴などを理解し，することに関心をもち，意 論理的に考察し表現した るなど，技能を身に付けて 知識を身に付けている。
欲的に数学を問題の解決り，その過程を振り返っ いる。に活用して考えたり判断て考えを深めたりするなしたりしようとしている。 ど，数学的な見方や考え方を身に付けている。

７

指導計画（全２１時間）
評

時

学

習

活動

関 考 技 知１ 関数（課題の設定）

価

評 価 規 準・関数の意味を理解している。

・関数の意味を知る。

【コミュニケーション能力】◎ ・変域の意味と表し方を理解している。 ともなって変わる二つ・変域の意味と表し方を知る。の数量の関係を見つけ２ 関数（情報の収集①）・ともなって変わる二つの数量の間の関 て，それを説明するこ・ともなって変わる二つの数◎量の間の関係を表や式に表係を，表や式に表すことができる。とができる。
（ワークシート・自己す。
【本時】
３ 比例する量（情報収集②）

資質・能力の評価（評価方法）

評価表・行動観察）◎・比例の関係に関心をもち，その変化や・比例の意味を理解し，比例対応の様子を調べようとしている。の関係を式に表す。
４ 比例する量（情報収集③）

・ｙ＝ａｘについて，ｘの変域や比例定 【コミュニケーション能力】

・ｙ＝ａｘについて，ｘの変数を負の数にひろげて，比例の性質が 比例の変化や，対応の域や比例定数を負の数にひ成り立つかどうかを考えることがで 特徴を説明することが◎ろげて，比例の性質が成りきる。

立つかどうか調べる。

できる。
（ワークシート・自己評価表・発表）

５ 比例する量（情報収集④）

・ｙがｘに比例するとき，１組のｘ，ｙ 【コミュニケーション能力】

・ｙがｘに比例するとき，１の値から，ｙをｘの式で表すことがで 比例の式を求める方法

組のｘ，ｙの値から，ｙをきる。

◎ｘの式で表す。

を説明することができる。
（ワークシート・自己評価表・行動観察）

６ 比例のグラフ（情報収集⑤）・点の位置の表し方に関心をもち，数の・座標の意味や点の位置の表範囲を負の数にひろげた場合についし方を知り，点の座標を求 ◎て考えようとしている。

めたり，座標を平面上の点で表したりする。
７ 比例のグラフ（情報収集⑥）・比例のグラフは，式をみたす点の集合 【コミュニケーション能力】

・点を細かくとって，それらであり，原点を通る１つの直線になる 比例のグラフをかく方の点の集まりが一つの直線◎になることを理解する。

ことを理解している。

法を説明することができる。
（ワークシート・自己評価表・行動観察）

８ 比例のグラフ（情報収集⑦）・比例のグラフをかくことができる。

・ｙ＝ａｘについて，ａがい◎ろいろな値をとる場合のグラフをかく。
９ 比例の表，式，グラフ・比例のグラフから比例定数を見いだ 【コミュニケーション能力】（情報収集⑧）

し，比例の式を求めることができる。 比例のグラフから式を・比例のグラフから式を求め求める方法を説明する◎

る方法を考える。

ことができる。
（ワークシート・自己評価表・行動観察）

10 基本の問題（整理・分析①）

・具体的な事象のなかから，比例の関係にある二つの数量を見いだすことが◎ ◎ ◎できる。
・ｙがｘに比例するとき，ｙをｘの式で表すことができる。
・比例のグラフ特徴を理解している。

11 反比例する量（情報の収集⑨）◎・反比例の関係に関心をもち，その変化 【コミュニケーション能力】や対応の様子を調べようとしている。 反比例の変化や対応の・ｙをｘの式で表して，ｙが特徴を説明することがｘに反比例するかどうかをできる。

調べる。

（ワークシート・自己評価表・発表）

12 反比例する量（情報の収集⑩・ｙ＝ａ/ｘについて，ｘの変域や比例）定数を負の数にひろげても，反比例の・ｙ＝ａ/ｘについて，ｘの変◎域や比例定数を負の数にひ性質が成り立つことを理解している。

ろげて，反比例の性質が成り立つかどうかを調べる。
13 反比例する量（情報の収集⑪

・１組のｘ，ｙの値から，反比例の式を 【コミュニケーション能力】）求めることができる。

・ｙがｘに反比例するとき，

法を，説明することが◎１組のｘ，ｙの値から，ｙ反比例の式を求める方できる。

をｘの式で表す。

（ワークシート・自己評価表・行動観察）

14 反比例のグラフ

・反比例のグラフは，式をみたす点の集 【コミュニケーション能力】（情報の収集⑫）

合であり，なめらかな二つの曲線にな 反比例のグラフをかく・点を細かくとって，それら◎の点の集まりがなめらかなることを理解している。

方法を説明することができる。

二つの曲線になることを確（ワークシート・自己認する。

評価表・行動観察）

15 反比例のグラフ・反比例のグラフをかくことができる。

（情報の収集⑬）◎・比例定数が負の数のときの反比例のグラフをかく。
16 反比例の表，式，グラフ・反比例のグラフから式を求めることが 【コミュニケーション能力】（情報の収集⑭）できる。

・反比例のグラフから式を求を求める方法を説明す◎める方法を考える。

反比例のグラフから式ることができる。
（ワークシート・自己評価表・行動観察）

17 反比例の表，式，グラフ・ａ＝ｂｃで表される関係において，二（情報の収集⑮）つの数量に着目して，その数量の間の・ｓ＝ｖｔの式で，ｓ，ｖ，関係を考えることができる。

ｔのうち，一つの変数の値◎を決めたとき，他の二つの変数の関係がどうなるかを調べる。
18 基本の問題（整理・分析②）

・具体的な事象のなかから，反比例の関◎ ◎ ◎係にある二つの数量を見いだすことができる。
・ｙがｘに反比例するとき，ｙをｘの式で表すことができる。
・反比例のグラフ特徴を理解している。

19 比例と反比例の利用

・具体的な事象を比例や反比例の関係で 【コミュニケーション能力】（まとめ・創造・表現①）

とらえ，それらを利用して問題を解決 既習事項を用いて考え・具体的な事象を，比例や反する。

◎

比例の関係を利用して解決た自分の考えを相手に伝えることができる。

する。

（ワークシート・自己評価表・行動観察）

20 比例と反比例の利用

・具体的な事象を比例の関係でとらえる（まとめ・創造・表現②）
・具体的な事象を，比例のグことに関心をもち，比例のグラフを利◎用して問題を解決しようとしている。

ラフを利用して解決する。
21 章の問題Ａ・Ｂ

・具体的な事象から取り出した二つの数量の関係が比例，反比例であるかどうかを判断し，その変化や対応の特徴をとらえることができる。
◎ ◎ ◎・比例，反比例の関係を表，式，グラフを用いて表現したり，処理したりすることができる。
・身のまわりには，比例や反比例を利用して問題を解決できる場面があることを理解している。

８

本時の展開

（１）本時の目標〇操作活動を通して、数量関係に興味を持ち、ともなって変わる２つの数量関係を表や式を用いて表すことができる。
（２）本時の評価規準○ともなって変わる２つの数量の関係を表や式に表すことができる。【数学的な技能】（３）準備物・ワークシート

・発表用シート（４）学習の流れ（２時間目／全２１時間）
学習活動
１

導入［5 分］○課題を確認する。
課題

指導上の留意事項（◇）（◆「努力を要する」状況と判断した生徒への指導の手だて）評価規準〔観点〕★資質・能力（評価方法）

封筒の中に，封筒と同じ大きさの色紙が入っている。
この封筒から，色紙を１㎝ずつ出していく『封筒と色紙に隠された関係を解き明かせ！』

２

課題を確認する。

封筒

〇具体物を提示しながら，問題を把握させる。

２

展開①［15 分］○ともなって変わっていく数量を見つける。
問１

色紙を１㎝ずつ出すにともなって変わっていく数量を見つけよう。
個人思考↓

班で考えを共有◆課題が把握できない生徒には，具体物を操作させながら確認させる。

↓〇机間指導を行い，数量を見つけているこ全体発表とへの評価を行い意欲をもたせる。

予想される生徒の答え・封筒から出ている色紙の面積・封筒から出ている色紙の対角線の長さ・全体の長方形の周りの長さ・全体の長方形の対角線の長さ○・封筒から出ている色紙の周りの長さ・全体の長方形の面積・封筒の中に残っている色紙の面積
・封筒の中に残っている色紙の周りの長さ

本時のねらいを確認する。
ねらい『ともなって変わる２つの数量の関係を表や式に表すことができる。』

３

展開②［15 分］○

課題を確認し，数量関係を表や式に表す。
問２

封筒の大きさは，縦５㎝，横 10 ㎝である。
出ている色紙の横の長さと出ている色紙の面積の関係を表や式で表しなさい。

個人思考↓
班で考えを共有〇変化の様子をＩＣＴを用いて具体的に確認する。
◆具体物を用いながら，出ている横の長さ〇ともなって変わる２が１㎝のとき，２㎝のとき…と確認しなつの数量の間の関係がら表を作成させる。

を表や式に表すことができる。
【ウ①】（ワー○班でともなって変わる

クシート）

数を１つ選択し，表と式を作成する。

★２つの数量間の関係を表や式に表す方法を説明できる。

問３ともなって変わる数量を班で１つ決めて，出ている色紙の横の長さと関係を表や式で表しなさい。

解答の例＜色紙の面積＞

出ている色紙の横の長さ(cm)2

色紙の面積(cm )０１２３４５０５10152025

ｙ＝５ｘ＜全体の長方形の周りの長さ＞

出ている色紙の横の長さ(cm)４

発表［10 分］○各班のともなって変わる２つの数量関係を発

０１２３４５全体の長方形の周りの長さ(cm) 303234363840

ｙ＝２ｘ＋30○ホワイトボードに書かせたものを黒板に掲示する。

表する。

４まとめ［5 分］○

授業のまとめを記入す○学習のまとめを提示する。

る。

○自己評価シートにまとめを記入する。

（５）板書計画
ねらいともなって変わる２つの数量の関係を表や式に表すことができる。

【学習課題】

封筒と色紙に隠された関係を解き明かせ
問３

問１

色紙を１㎝ずつ出すにともなって変わっていく数量を見つけよう。

問２

封筒の大きさは，縦５㎝，横 10 ㎝である。出ている色紙の横の長さと出ている色紙の面積の関係を表や式で表しなさい。ともなって変わる数量を班で１つ決めて，出ている色紙の横の長さと関係を表や式で表しなさい。