０ ガイダンス：ノートの取り方・グラフの描き方
１ 日常の科学
２ 科学の体系
３ 数と単位と次元４ 量の変化と微分・積分
５ 多変数関数の微分と積分
６ ベクトル解析
７ 科学的な調べ方
８ 科学的な分析
９ 自然界のモデル化
１０ 封筒裏の計算とフェルミ推定
１１ 科学光学機器の基礎
１２ 科学的な表現
補 相対論入門（未）補 量子論入門（未）2018 年 10 月版（ver.3）
大阪教育大学 福江 純
fukue@cc.osaka-kyoiku.ac.jp

1

０ ガイダンス
講義シラバス
授業科目

科学の読み書き力

キーワード

科学的な考え方、手法、分析、計算、表現

授業の到達目標
自分を取り巻く自然界や事象について、科学的な見方と立場で捉え、取り扱い、そして科学的な根拠で判断できるようにするための基礎を培う。
いわゆる科学リテラシー（科学の読み書き能力）を学ぶ。
授業の概要
科学的な考え方を身につけるために、科学の言語である数学（の基礎）や、科学的な調べ方、データ処理の方法、問題の解き方、科学光学機器の基礎、そして科学的な表現などを学ぶ。併せて、ノートの取り方も、ホームワークも含め、しっかりと身につけてもらう。ときおり、息抜きを兼ねて、現代科学の基礎である相対論と量子論も概説する。また 2015 年度から
は、読書を含めたホームワークを課しており、科学英語についても紹介している。なお、科学倫理は扱わない※。
★綴じた大学ノートを使用のこと（ルーズリーフは不可）★関数電卓やハサミが必要なときがある

科学の読み書き力 science literacy
科学倫理 science ethics※科学倫理を取り扱わないことについて。ウソをつかない、人のモノを盗まないといったことは、躾として身についておくべき当たり前のことだ。このような人の品格にかかわることは、
わざわざ講義をしたり、それで身に付くものでもないだろう。

▼授業の計画
０ オリエンテーション：ノート、電卓、はさみ
１ 日常の科学
２ 科学の体系と科学的な考え方

授業の計画

３ 単位と次元：時空の編み目

傍注参照

４ スペシャル：相対論入門

成績評価（１） 講義前の昼休みに前回の講義ノートを提出（50％前後）（２） 随時のホームワーク（＋自主的 HW）の確認（20％前後）（３） 毎週の読書感想文の確認（20％前後）

５ 微分と積分６ 多変数の微分と積分
７ ベクトル解析
８ スペシャル：量子論入門（４） 適宜の課題レポート（20％〜30％）

９ 科学的な調べ方

参考文献

１０ 科学的な分析

山下景子『美人の日本語』幻冬舎

１１ 科学的な解き方：自然界のモデ

柳瀬尚紀『日本語は天才である』新潮文庫

ル化

本多勝一『日本語の作文技術』朝日文庫

１２ 科学光学機器の基礎

木下是雄『理科系の作文技術』中公新書

１３ 科学的な表現：太陽は何色

木下是雄『レポートの組み立て方』ちくま学芸文庫
ジェイムズ・D・スタイン『不可能、不確定、不完全』早川文庫
マーカス・デュ・ソートイ『素数の音楽』新潮文庫
スティーヴン・ワインバーグ『電子と原子核の発見』ちくま学芸文庫
リチャード・ファインマン『光と物質のふしぎな理論』岩波現代文庫
フランク・ウィルチェク『物質のすべては光』早川書房
2

１４ まとめ福江 純『科学の国のアリス』大和書房
リチャード・フォーティ『生命 40 億年全史』草思社▼ノートの両開きイメージ

アンドルー・H・ノール『生命最初の 30 億年』紀伊國屋書店
ニック・レーン『ミトコンドリアが進化を決めた』みすず書房
ニック・レーン『生命の跳躍−進化の 10 大発明』みすず書房

（左頁）

（右頁）

板書

補足メモ
宿題

カール・セーガン『百億の星と千億の生命』

自主活動

川上伸一『生命と地球の共進化』NHK ブックス

読書感想文等

リサ・ランドール『ダークマターと恐竜絶滅』
福江 純『宇宙のしくみ』日本実業出版社▼グラフの描き方

福江 純『ブラックホール宇宙』サイエンス・アイ新書
福江 純『SF アニメを科楽する』日本評論社
山本 弘『ニセ科学を 10 倍楽しむ本』
鵜沼 仁『数・式・記号の英語』丸善出版
Anthony T. Tu 『科学英語実用ハンドブック』化学同人

ノートの取り方
半年の講義で、ふつうのノートを取れば大学ノート１冊分ぐらいの板書

グラフを最初に描くのは、おそらくの量になる。しかしながら、少数ではあるが、10 頁かそれ以下しかノート

は算数なので、理科で重要な誤差入りが取れない人も居る。ちゃんとノートが取れる人にとっては今更であろう

グラフの描き方は習わないだろう。現が、ノートの取り方について、一つの例示をしておきたい。

在の学校教育の欠陥でもある。

★綴じた大学ノート・キャンパスノートを使うこと▼データ点の記号★両開きで使い、板書は左側、その他は右側に書くこと＋×○△□◇★新しい回・項目では頁を改めること★白紙部分が生じても詰めないこと▼グラフの英語★計算などで間違ったときは、消しゴムで消さずに、赤字で訂正グラフの表題 graph title

グラフの描き方

原点 origin
枠 frame

科学的なグラフ（データのプロット）については、きちんと描ける人は

横軸 x(horizontal)-axis, abscissa

ほとんど居ない。重要なポイントを箇条書きにしておく。

縦軸 y(vertical)-axis, ordinate★座標軸には、プロットする量（変数）と単位を明記する。

軸の名前 axis label★座標メモリは切りをよくし、同種の物理量なら同じスケールに取る。

データ点 data point★データ点は小さな点にせず、差し渡し 5mm 程度の記号で囲む。

太い実線 thick solid line

理由１ 大きさをもたせて見やすくする

細い破線 thin dashed line

理由２ フィッティング曲線に埋もれないようにする

点線 dotted line

理由３ 異なる種類のデータには違う記号をあてて弁別する

一点鎖線 dash-dotted line, chain

本来の理由：データには必ず誤差が付くので、記号の差し渡しは、本来

dotted line

は誤差を表している。したがって、たとえば、縦軸の誤差が大きければ、
縦方向に長い十字や菱形になる。
3

１ 日常の科学
Questions today
空はなぜ青い？
夕焼けはなぜ赤い？
夜空はなぜ暗い？
虹はどうしてできる？
ふだん目にする日常の中には、考えてみればさまざまな不思議がある。
外に出てみれば空はなぜ青いのかと思う。夕暮れになれば夕焼けがなぜ赤いのか、夜になればなぜ夜空は暗いのかと考える。霧と雨の違いはどうだ
光の分解

ろう？ 虹はどのような仕組みで見えるのか？
身の回りの世界には、予想外に多くの不思議が潜んでいる。今回の授業

可視光 visual light

では、日常の中の科学を少し紹介する。

波長λ wavelength

光のスペクトル

振動数ν frequency

目に見える光（可視光）をプリズムなどに通すと、紫から赤までの色に分かれる。日本では、
赤橙黄緑青藍紫（せきとうこうりょくせいらんし）で虹の七色と呼ばれる。
光には波の性質があるので、波長と振動数をもち、波長が違う光は違う色にみえる。たとえば、赤の波長は 780 ナノメートル
であり、それより長い波長のものを赤外線という。また、紫の波長は 380
ナノメートルであり、それより短いものを紫外線という。
色（波長）に分解された光（の並び）をスペクトル（spectrum）と呼ぶ。

λν＝c（光速）▼可視光の波長（めやす）赤：780 nm～630 nm
橙：630 nm～590 nm
黄：590 nm～565 nm
緑：565 nm～500 nm
青：500 nm～450 nm
藍：450 nm～430 nm
紫：430 nm～380 nm

広い意味では、電波、赤外線、可視光、
紫外線、X 線、ガンマ線なども“光（の仲間）”で、電磁波と総称する。
▼電磁波の波長（めやす）電波（radio wave）：1 mm 以上
赤外線 IR（infrared）：770 nm～1 mm
可視光（visual light）：380nm～770 nm
紫外線（ultraviolet）：10 nm～380 nm
X 線（X-ray）：0.01 nm～10 nm

可視光のスペクトルと電磁波

ガンマ線（gamma-ray）：0.01 nm 以下

4

Q1 空はなぜ青いのか？
空はなぜ青いのだろう。飛行機に乗って上空で見る空の色は、空色ではなく、ぐっと濃い群青色になる。このことから、空の青色には、太陽光と同時に、空気が重要な役割を果たしていることがわかる。

青空

群青色の空

一般に、雨滴やチリや空気分子など、微小な粒子に光線があたると、光線はあちこちの方向にランダムに散乱される。その際、チリなどのように光の波長よりも大きな粒子による散乱では、光の色（波長）に無関係に散乱が起こる。これをミー散乱という。たとえば、霧や靄が白っぽいのはミー散乱のためで、黄砂のときに空が白いのもミー散乱のためである。
一方、空気分子（酸素分子や窒素分子）のように光の波長よりも微小な粒子による散乱では、波長が短い光の方が散乱の度合いが大きい。具体的には、光の波長をλとすると、散乱の度合いは、

1

λ4

霧で白っぽい朝の空（2007/0122）に比例する。たとえば、青い光の波長は赤い光の波長の半分程度なので、青い光の方が赤い光
より 16 倍も強く散乱されることになる。これをレイリー散乱という。晴れた日の青空は、このレイリー散乱によって起こっている。
さて、ここで新たな疑問が生じるかもしれない。可視光では、もっとも波長が短い光は青ではなく紫だった。それなら、なぜ青空は青色であって紫にならないのだろうか。自分で考えてみよう。

Q2 夕焼けはなぜ赤いか？
では、夕焼けはなぜ赤いのだろう。晴れた日の空が青く、朝焼けや夕焼
けが赤いのは、別々の理由があるわけではなく、同じ現象－散乱－を異な通常の夕焼け（2011/0425）と黄砂の日の夕焼け（2011/0502）

る側面から見ているものだ。
ミー散乱 Mie scattering
レイリー散乱 Rayleigh scattering

5

夕日

太陽光は昼と夕方では大気層を突き抜ける距離が異なる。明け方や夕方は太陽の高度が低く地平線近傍になるので、太陽光が大気層に対して斜めに入射し、昼よりも大気層を長い距離通過することになる。太陽光が大気中を長距離通過してくる間に、青い光は散乱されきってしまい、逆に散乱されにくい赤やオレンジの光が残って、赤色が強調され人間の目に届くことになる。一方、途中で散乱された青い光は、よその地方で青空を作っている。

Q3 夜空はなぜ暗いか？
ハインリッヒ・ヴィルヘルム・オルバ

森の中で木を見るとき、木と木の間に木が見え、また木と木の間に木がース（1758～1840）

見え、というようにまわりはすべて木しか見えない。同じように夜空を考えてみると、星と星の間に星が見え、またその星と星の間に星が見えというように、星が無限にあるならば、夜空は星で埋め尽くされるだろう。
宇宙が無限に拡がっていて、悠久の過去から永遠に続いており、そして宇宙全体に無数の星々が存在しているとすると、宇宙のどの方向を見てもどこかで必ず星に辿り着くので、夜空も昼間のごとく明るいはずだ。ならば、夜空はなぜ暗いのだろう。この素朴な問いかけは、最初に考察した 19
世紀の科学者にちなみ「オルバースのパラドックス」と呼ばれている。

星1個の明るさは距離の2乗に反比例して減少するが、視野内の星の個数は距離の 2 乗に比例して増加するので、どの距離でも星夜の明るさは一定になる。
夕暮れのグラデーション

宇宙は 138 億年前、ビッグバンにより誕生し、ずっと膨張し続けている。
宇宙は永久不変に続いてきたわけではないので、星は無限に存在するわけではない。さらに、光速は有限なので、非常に遠方の星（おおざっぱには
138 億光年より彼方の星）からの光はまだ届いていない。観測できる範囲の星数はさらに少なくなる。その結果、夜空は暗い。
6

Q4 雨より霧や靄の視界が悪いのはなぜ？

虹 rainbow / L’arc en ciel

雨滴と霧の水滴の個数を比較してみる。雨滴も霧の水滴も球形と仮定す
ると、同じ体積の水量で比較すると、直径の 3 乗に比例して霧の水滴の個数が雨滴の個数より多くなる。光は水滴に入射すると散乱されるため直進しない。雨や霧の中を通る光は雨滴より霧の水滴の方がはるかに多いことから霧の方が光をより散乱させることになる。したがって、雨の方が遠くまで見ることができる。→第 10 講参照

Q5 虹はどうして見えるのか？
雨上がりの虹は自然現象の中でもっとも美しいものの一つに数えられるだろう。七色の虹は、どのようにしてできるのだろうか。雨上がりや散水時に見えることから、微小な水滴が重要な役割を果たしていることは間違いないだろう。また虹は、太陽の方向にはできず、太陽を背にした方向にできることから、太陽光との位置関係も重要なポイントになるはずだ。

主虹と副虹（2011/0921；屋久島にて）

虹は太陽光が水滴中で屈折・反射して起きる現象である。虹は観測者から見て太陽の真反対である対日点を中心とし、半径約 42°の円上に現れる。
ふつうに見られる主虹（しゅにじ）では、内側が青で外側が赤になるが、まれに見られる副虹（ふくにじ）では逆になる。

スネルの法則

sin i
=n
sin r
入射角 i incident angle
屈折角 r refraction angle

Report： 虹を設計してみよう

屈折率 n refractive index

水滴の断面を円とし、円の表面でスネルの法則を用いて、入射光線を屈

赤色光の屈折率 1.331

折させていく。水の屈折率は約 1.3 である。さらに、赤色光と青色光の違

青色光の屈折率 1.343

いまで出せるだろうか。
7

２ 科学の体系
Questions today
科学で扱えるモノは？
科学で扱えないモノは？
ギリシャ語のアルファベットが書けるか？
βやδの筆順は？
そもそも科学とはなんだろう。ここでは科学そのものと科学の体系などについて、簡単にまとめておく。

科学の対象▼科学の対象地震、天気、天体、地球、食べ物、科学で扱えるものと扱えないモノがある。
科学で扱えるものとは、物体の落下や水の蒸発、植物の成長、星の変光などのように、観察や観測によって客観的に測定でき定量化できて、そして再現性があるものである。一方、科学で扱えないモノには、おばけ、空飛ぶ円盤、超能力、心情などがあげられる。これらはいずれも、測定や定量化ができておらず、再現性もないため、現在は科学の対象ではない。
ただし、最近の科学技術によって、たとえば、心情については MRI などを調べることができるようになりつつある。植物状態の人でも脳の精密な測定で、脳の活動状態などが分かるようになってきている。現在は科学の対象ではないモノも、いずれは科学で扱えるようになるかもしれない。

動物、電気、化学反応▼科学で扱えないモノ（現時点）
人間の性格、神の存在、宗教、
幽霊、空飛ぶ円盤、超能力▼磁気共鳴撮像 MRI
強い磁石によって、体内にある弱い磁場をもつ水素原子に影響を与え、体内の原子の状態を画像にする装置。
MRI magnetic resonance imaging

数量化と客観性測定結果が数値化できること（数量化）と、だれが行っても同じ結果になること（再現性・客観性）は、科学できることの基本である。
科学的な視点の置き方として、対になる言葉を少し並べてみよう。
定量的と定性的：定量的とは物事の性質を数値を用いて表すことに対し、定性的とは物事の性質を質的な表現のみで表すこと。
客観的と主観的：客観的とは誰が観察しても同じ結果（事実）と判断されることで、主観的とは自分が観測したことだけで判断すること（意見）で他の誰もが同じ意見をもつとは限らない。

数量化 quantification
定量的 quantitative
定性的 qualitative
客観的 objective
主観的 subjective
一般的 general
特殊的 special
論理的 logical

普遍的・一般的と特殊的。

非論理的 illogical

論理的と非論理的・直感的。

実証的 demonstrative, empirical

実証的と思弁的などもある。

思弁的 speculative8科学の源流ギリシャ語 episteme sophia

近・現代科学は 16 世紀から 18 世紀にかけて主にヨーロッパで発展し、

ラテン語

scientia sapientia

20 世紀初頭の相対性理論と量子力学の完成をもって、一段落した。もっと

英語

knowledge wisdom

も、科学的な思考という観点からは、西洋科学の源流はギリシャ時代の「自

日本語

知識 智慧

然哲学」が発祥地だと考えられる。
ラテン語のスキエンチアはサイエンスの語源であり、サピエンチアはヒ▼ギリシャ語のアルファベットトの学名である、Homo sapiens のサピエンスの語源である。前者は知識と

大文字 小文字 読み方 用例いう意味で、後者は智慧という意味だ。すなわち、科学という言葉は、もＡ α アルファ α線、赤経αともと「知る学問」ということが分かる。

Ｂ β ベータ

β崩壊

なお、日本語での「科学」という言葉の由来を知っているだろうか。科Γ γ ガンマ

比熱比γ

学の「科」は理科や百科事典などで使われる字である。すなわち、日本とΔ δ デルタ

微小量Δ、赤緯δ

では、科学とは「諸科の学問」という意味である。社会・自由・権利、哲Ｅ ε イプシロン 偏平率ε学・物理学・化学・天文学などと同様、明治時代に造られた言葉である。

Ｚ ζ ゼータ

ＺガンダムＨ η エータ効率ηΘ θ シータ

極角θ

科学の言葉
科学のすべては＜数学＞という言葉で綴られている。科学と数学が違うＩ ι イオタところは、科学の一つ一つの数には自然現象の意味があり、単位がつくこＫ κ カッパ

吸収係数κとだ。たとえば 160 ㎝は長さを表す。

Λ λ ラムダ

波長λ、宇宙項Λ

しかし、数学という言葉で綴られた科学の内容を、読み書きし伝えるたＭ μ ミュー

μ中間子

めには、当然ながら、まずは国語（日本語）の読み書き力が不可欠である。

Ｎ ν ニュー

振動数ν

Ξ ξ クシー

無次元化変数ξ

したがって、“科学の読み書き力”とはつまるところ、
１に【国語の読み書き力】、

Ｏ ο オミクロン くじら座ο星

２に【国語の読み書き力】、そしてΠ π パイ円周率π３に【数学の読み書き力】などがあって、そのあとでようやく、

Ｐ ρ ロー

密度ρ【諸科学の読み書き力】を身に着けることだと捉えて欲しい。

Σ σ シグマ

定数σＴ τ タウ

固有時間τ

また科学の世界では、数字や英語のアルファベットはもちろんだが、それら以外に、ギリシャ文字を頻繁に使用する。英語のアルファベットは書Υ υ ウプシロン

き順も含め学校できちんと習うが、ギリシャ語については習う機会がない。

Φ φ ファイ

方位角φ

そのため、研究者でもμとνを読み違える人が少なくない。またβやδやＸ χ カイｈ-χ星団

σの書き順を知らない人もいる。

Ψ ψ プサイ

ポテンシャルψ

この機会に、
ギリシャ語のアルファベット 24 文字をきちんと覚えること。 Ω ω オメガ
αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω
ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
ほとんどの小文字は一筆で書く。たとえば、βは左下から書き始めて円を描くように右側を書く（13 のように分けて書かない）。δは円の上から
反時計回りに描いて上の右端で止める。σは円の上から右回りに描いて上の髭を延ばす（左回りに描いて髭を後から付けない）
。
9

角速度Ω

いうまでもないことだが、“アルファベット”という言葉自体が、αとβから来ている。

▼アラビア語由来の用語
algebra 代数学
algorithm アルゴリズム
azimuth 方位角
alchemy 錬金術（→化学）alcohol アルコール
alkali アルカリalbatross あほうどり
almanac 暦

Alhambra アルハンブラ

科学の手法

Aldebaran アルデバラン

ギリシャ文明は紀元前 800 年ごろからはじまり、紀元前 146 年にローマ

Altair アルタイル

帝国に征服されるまで続いた。
実用主義のローマ時代には科学は軽視され、Deneb デネブ

さらにキリスト教の影響もあり、ヨーロッパにおいて科学は廃れた。しかFomalhaut フォーマルハウト

し、その間、ギリシャ科学はアラビア圏で温存された。アルゴリズムやア

Gibraltar ジブラルタル

ルコール、アルデバランやアルタイルなど、アル（アラビア語の定冠詞・Vega ベガ接辞）がつくものはアラビア圏で命名されたものである。
たとえば、エジプトのアレキサンドリアでは、古代ギリシャ文化がヘレ
ニズム文化として開花し、古代ギリシャの学問的伝統も保存され、科学とプ ト レ マ イ オ ス （ Clausius
Ptolemaeus：90?～170）

学問の一大研究施設ムセイオン、学問の女神ムーサ（ミューズ）の展堂も建設された。ムセイオンは博物館の語源でもある。このアレキサンドリア

ニコラス・コペルニクス（Nicolaus

で、２世紀に活躍した天文学者プトレマイオスは、ギリシャ時代の知識体

Copernicus：1473～1543）

系を４冊の大著で集大成した。その成果は、西欧社会に逆輸入され、コペルニクスが現れるまで、1400 年の長きにわたって、西洋科学を支配する中心的教義となっていく。
10

16 世紀の科学者ガリレオ・ガリレイ（Galileo Galilei；1564－1642）
は、思弁や論証が中心だったギリシャの自然哲学と異なり、実験と観察に

ガ リ レ オ ・ ガ リ レ イ （ Galileo

よって、モデルを検証した。たとえば、ガリレオは振り子の実験や斜面の

Galilei：1564～1642）

実験などをした。これを実証科学という。実証科学はまた、現代科学の基本的手法でもある。

実証科学 experimental science

科学の過程
ティコ・ブラーエ（Tycho Brahe：1546

科学的理解の多くは、自然現象の観察・観測からはじまり、収集したデ～1601）

ータの中に何らかの規則性や法則性を見い出し、その規則性や法則性を再

ヨ ハ ネ ス ・ ケ プ ラ ー （ Johannes

現するモデルを構築して、そのモデルが新たな現象を予測できるかどうか

Kepler：1571～1630）

で検証されていく。その典型例を以下に示す。

アイザック・ニュートン（Isaac①自然現象のデータを収集する。

Newton：1643～1727）

ティコ・ブラーエは、星座の中における火星の動きを目視で観測し、変な動きをすることを発見した。
②エッセンスを抽出して、データの規則性・法則性を見い出す。
ヨハネス・ケプラーは、ティコが収集した火星のデータをもとに、惑星の運動に関するケプラーの法則を導いた。

▼要素還元主義 vs 全体論③モデル化と理論の構築を行い、物理的解釈をし、新しい予測をたてる。

複雑な対象（たとえば、人体、宇宙、アイザック・ニュートンは、ケプラーの法則にもとづき、万有引力の法物質）を、各部分（各臓器、銀河、原則を発見した。アインシュタインの登場までこの後 300 年はニュートンの子）に分割し、さらに基本要素（細胞、考え方をもとに科学が発展していく。

星、クォーク）まで分割していって、要素の仕組みや働きを調べることで、Homework： 言葉の源流を調べてみよう

全体を理解しようとする方法論が要

峠・榊・畑・辻・凪など、日本で造られた漢字を「国字」という。他にどんなものがあるだろうか。

素還元主義。要素還元主義は現代科学の基本的な方法論だが、要素間のネッ

江戸時代に造られた惑星や地球、西洋科学が急入した明治時代に造られトワークが重要なこともわかってき

た社会や科学など、日本で造られた漢字の熟語を「和製漢語」という。他て、全体は全体として捉える全体論もにどんなものがあるだろうか。

併用されるようになった。部分の集合

Homework： 科学の過程の例を調べてみよう

が全体ではないということで、例を挙

植物の葉・遺伝や化学反応などで、科学の過程の例を調べてみよう。

Exercise： 星のスペクトル分類

げれば、人体（全体）を 60 兆個の細胞（部分）に分割することはできても、収集データに規則性を見い出す演習として、19 世紀の天文学者になったつもりで、星のスペクトル分類に挑戦してみよう。図は、17 個の星のスペ60 兆個の細胞を集めたモノが人体にはならないということである。

クトルだ。バラバラに並べてあるので、見かけのパターンがちぐはぐになっている。全体の明るさや黒い縦筋（吸収線）のパターンができるだけス

要素還元主義 reductionism

ムーズに移り変わるように、並べ直してみて欲しい。30 分ぐらいは根気よ

全体論 holism

く頑張ること。これは観察眼がモノを言う問題なので、専門家でも間違えるし、高校生でもパーフェクトに並べることがある。
11

Question

第１ヒント：一番上は 15Mon、一番下は 61CygB
第２ヒント：全体に共通している黒い縦筋のパターンで手詰まりになったら、他の縦筋の変化に目を向ける

12

Answer13

３ 数と単位と次元
Questions today
以下の計算は自信をもってできる？
指数の計算 4×106＋107＝
指数の計算 4×106×107＝
有効数字
31.4＋2.0＝
有効数字
31.4×2.0＝▼数式は文章の一部
文章中の数式はもちろん、改行した（立てた）数式にも、つぎの段落に続くときはコンマを、そこで終わるとき
はピリオドをつける。

数学について基本をおさらいし、数学で扱う数・量と、自然現象で扱う
数・量の違いを説明しておく。

Two plus three is equal to five.

数学を英語で表現すると？

Two minus three equals minus one.
Two times three is equal to six.

英語では下記の式はどのように読むのだろうか。

Two multiplied by three is six.

2＋3＝5

Two over three equals o point 66.

2－3＝－1

Two divided by three is

2×3＝6
2÷3＝0.66

x equals two point seven two times

x＝2.72×109

ten to the ninth power.

− b ± b 2 − 4acx=2ax equals minus b plus-minus thesquare root of b squared minus

指数と有効数字

4ac over 2a.

数値表現の中で、科学的な計算でしばしば出てくるもので、とくに注意が必要なものが指数表示と有効数字の問題である。

a＞b
a is greater than b.

・指数表示

a≦ b

4×106＋107＝1.4×106

指数部分を揃えて足す

4×106×107＝4×1013

指数部分を足すだけでよい

3.14＋2.0＝5.1

和と差は、小数点以下の桁を小さい方に揃える

3.14×2.0＝6.2

積と商は、数値全体の桁を小さい方に揃える

a is less than or equal to b.

※3.14×2.0*＝を計算すると＊のため、値が決まらない。
・有効数字
ただ、300 と書いたのではどこまでが有効数字が不明なので、3.0×102；3.00×102のように、わざわざ指数表示にして、有効数字を明示する。
なお、指数表示にしたとき、小数点のついた数値部分をファクター（因子）、指数部分をオーダー（桁）と呼び分ける。
14

a2: a squared
a3: a cubed
a4: a to the fourth (power)a－4: a to the minus four
a1/3: a to the one-third

ファクター factor
オーダー order指数関数・対数関数・三角関数のおさらい
関数 function

【指数】

【対数】

10 a

f (x): f of x

log10 a【指数関数】

y = 10 x

指数 exponent【対数関数】（10 を底）x = log10 y= log yy = ex（自然対数を底）= exp(x)対数 logarithm
自然対数 natural logarithm

常用対数

指数関数 exponential function
対数関数 logarithmic function

x = log e y= ln y自然対数

自然対数の底（ネイピア数）
base of natural logarithm
Napier’s constant

Exercise： 指数関数と対数関数のグラフ

e＝2.71828

指数関数と対数関数のグラフを描いてみよう。
ちゃんと描けるだろうか。
記号 ln の n は自然（natural）よりグラフからもわかるように、

y = ex

x 2 , x 3 よりもはるかに大きく変化する

y = ln x なかなか大きくならず、大きな数を表現するときに役立つという性質がある。
◦指数関数 e x の実例 放射性物質の崩壊 （半減期など）

y = y 0 e − kt
◦対数関数 log x の実例 水素イオン指数 pH

pH ≡ − log10[Η + ]
mol/L[H + ] :水素イオン濃度(mol/L)[Ｈ＋]＝10－7 mol/L のとき pH＝7 となり中性

pH power of Hydrogen

対数スケールになるものは、地震のマ
グニチュード、音の強さのデシベル、
音階（1 オクターブで 2 倍周波数が違【三角関数】う)、星の明るさの等級など、他にも

y = sin x, y = cos x, y = tan x

多い。

【逆三角関数】x = sin −1 y ,x = arcsin y三角関数 sinusoidal function

Exercise： 三角関数と逆三角関数のグラフ
三角関数と逆三角関数のグラフを描いてみよう。

15

知っての通り、三角関数は周期関数なので、周期的な自然現象の場面では頻繁に出現する。また自然現象の解析でもよく登場する。

▼その他の数学記号◦三角関数 y = sin x の実例 波の式～ is similar to （とほぼ同じ）

f = A sin(kx − ωt ),∝ is proportional to （比例する

2π 
 2π
x−
t
f = A sinT 
 λ∞ infinite （無限大）∴ therefore （それゆえ）≡ equivalent （定義）√ root （根号）
√2 the square root of 2▼定数や変数の記号（シンボル）
英語の綴りの頭文字が、定数記号や変数記号になることが多いので、英語の綴りを知っておくと、それだけで記号の意味がわかることも少なくない。
指数関数と対数関数（逆関数の関係になっている）▼定数や変数の書体（フォント）
通常の定数や変数はイタリック体
光速度 c、万有引力定数 G
半径 r、速度 v
ただし、ギリシャ語は立体
円周率π、角度θベクトルはボールド体
力 F、速度ベクトル v
また、単位も立体
距離 10 kmスクリプト（筆記体）や花文字もある
筆記体 R,ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU
三角関数

VWXYZ

Report/Homework： 自然現象を対数グラフに並べる
自然界のさまざまな事物を log R－log M 図（半径と質量の対数グラフ）にプロットしてみよ。

上記のルールは添え字にも適用
Fi が i 番目の力なら i はイタリク
イオンにかかる力なら i は立体16物理量と単位と次元
自然界に存在する事物や対象に関する量で、原理的には測定が可能であ

物理量 physical quantity

り、一般的には数量化して表現できる量を物理量と呼ぶ。観測可能というオブザーバブル observable

意味で、オブザーバブルということもある。

単位 unit

数学で扱う数との違いは、物理量は必ず単位（次元）をもち、次元 dimension

物理量＝数＋単位という形で表現されることである。またここでいう次元とは、3 次元空間などの数学的次元の意味ではなく、単位を包括するような、個々の物理量▼SI 単位系
メートル法に準拠して、1960 年、の属性を表す物理的次元というものである。

パリで開催された第 11 回国際度量衡〈単位と次元の違い〉

学会で採用された国際単位系。

単位

次元

［長さ］

m、cm、mile、尺L（Length）

SI 単位系 Le Systeme International［質量］

kg、g、貫M（Mass）

d’Unites

［時間］

s、時

T（Time）［角度］°、ラジアンO (次元としては 0)▼SI 単位系の基本単位
長さ m（メートル）

Exercise： SI 単位系の基本単位

質量 kg（キログラム）

SI 単位系の基本単位を挙げよ。

時間 s（秒）Exercise： SI 単位系の組立単位

電流 A（アンペア）

SI 単位系の組立単位、N（ニュートン）、J（ジュール）、W（ワット）を、基本単位で表してみよ。

温度 K（ケルビン）
物質量 mol（モル）光度 cd（カンデラ）

公式の活用法

▼SI 単位系の組立単位の例

自然科学で出てくる公式の両辺は物理量なので、当然、単位は同じになる。したがって、単位がわからないとき、公式の両辺の単位を比べれば、わからない単位を導ける。

力 N（ニュートン）＝kg m s-2
エネルギー J（ジュール）＝kg m2 s-2
仕事率 W（ワット）＝J/s＝kg m2 s-3

例 1 力の単位 N がわからない ⇒ 加速度の公式
力＝質量×加速度▼単位は半角あけて立体で表記する

F = ma10 km、10000 K、

N＝kg m/s2 であることがわかる。
例 2 万有引力定数 G の単位がわからない ⇒ 万有引力の法則の式
力＝G×質量×質量／距離 2

ma = F = −▼複数の単位をつけるときは注意

kg m s-2 ◎GMm
r2

kg m/s2 ○kg・m/s2 ○G の単位＝[G]＝N m2/kg2 であることがわかる。

kg m/s/s ×

17

次元解析
高度な数学や専門的な物理を知らなくても、物理量の次元を上手に組み合わせるだけで、世界の基本量を見積もることが可能になる。その極めて強力な手法を次元解析と呼んでいる。具体例として、ブラックホールのサ次元解析 dimensional analysis

イズと時空の基本スケールを導いてみよう。
まず基礎定数の次元は以下となる。
光速度の次元▼光速度[c ] = LT −1

光の速度。真空中の光速度は自然界

万有引力定数の次元[G ] = L2 LT −2 M −1 = M −1 L3T −2

プランク定数の次元[h ] = ML T T = ML T
2

−2

2

でもっとも速い速度になる。

c = 3.00 × 108 [ m/s]

−1

▼万有引力定数
物体に働く重力の強さを表す定数。

例 1 ブラックホールのサイズ
質量m のブラックホールのサイズには、
まずブラックホールの質量m（次元［m］＝M）が関係するだろう。また重力場だから万有引力定数 G が関

G = 6.67 × 10 −11 [ Nm 2 kg −2 ]▼プランク定数

係し、光さえ出られないから光速度 c も関わるはずだ。G と c と m を組み

ミクロな世界における物事の離散合わせて長さの次元をもつ量が作れれば、それがブラックホールのサイズ

状態（とびとびの状態）の最小単位をと関係するだろう。

表す定数。プランク定数が 0 の極限で物理状態は連続的になり、量子力学はExercise： ブラックホールのサイズ

古典力学に帰着する。

G と c と m を組み合わせて長さの次元をもつ量を作ってみよ。
ヒント：最初に Gm という組み合わせの次元を考えてみよ。

h = 6.63 × 10 −34 [J ⋅ s]

G と c と m を組み合わせて長さの次元をもつ量を作ってみると、唯一、
3 −2
G × m  L T=
 c 2  L2 T − 2 = Lという組み合わせが可能である。実際、

rg =

Gm
c2

は、ブラックホールの重力半径と呼ばれる量で、球対称なシュバルツシル

映画『インターステラー』より

ト・ブラックホールの半径の半分に等しい。
重力半径 gravitational radius

Exercise： 脱出速度

脱出速度 escape velocity

質量が M で半径が R の天体表面から速度 v で打ち上げられたとき、天体の重力を逃れて無限遠まで到達するために必要な速度を脱出速度と呼ぶ。
脱出速度が光速度に等しくなる条件から、質量と半径の関係を求めてみよ。
18

例 2 時空のプランクスケール

プランク時間 Planck time

現代物理学（量子力学）の考え方では、時間や空間そしてエネルギーな

プランク長さ Planck length

どは連続的な物理量ではなく、非常にミクロなスケールでは飛び飛び（離プランクスケール Planck scale散的）だと信じられている。時間の最小スケールをプランク時間、空間の最小スケールをプランク長さなどと呼び、これらをプランクスケールと総称する。時空間はプランクスケールのメッシュで織り上げられた不確定な織物で、つねにゆらいでおり、プランクスケールでは因果律さえ成り立っていないだろう。このような時空の構造に対しては、光速度 c、万有引力
定数 G、そしてプランク定数 h が関係しているだろう。G と c と h を組み合わせた物理量は、時空を表す量になるだろう。

Exercise： プランクスケール

プランクスケールで眺めた時空イメ

G と c と h を組み合わせて長さの次元をもつ量を作ってみよ。また時間ージの次元をもつ量を作ってみよ。

（http://scribol.com/science/phys

ヒント：最初に Gh/c3 という組み合わせの次元を考えてみよ。

ics/）▼その他のプランクスケール

G と c と h を組み合わせて長さの次元をもつ量を作ってみると、唯一、

Gh
lp =
c3
Gh
c5

のみが時間の次元をもつ量になる。これがプランク時間である。
具体的な数値を入れてみると、

lp =

tp =

Gh
=
c3

hc
= 5 × 10 −5 [ g ]G

mp =のみが長さの次元になる。これがプランク長さだ。同様に、

tp =プランク質量(3 × 10 )8 3

6.67 × 10 −11 × 6.63 × 10 −34(3 × 10 )

Ep =

hc 5
= 5 × 1016 [erg ]G▼プランクスケール同士の関係

6.67 × 10 −11 × 6.63 × 10 −34

8 5

プランクエネルギー≅ 4.0 × 10 −34 [ m]lp / tp = c
tp × Ep = hl p × mpc = h= 1.3 × 10 −43 [s]最初は光速、後の 2 つは不確定性原理を意味する。

が得られるだろう。光は１プランク時間で１プランク長さ進む！

GoldenWeek Report： サイエンスデザイン▼プランクスケールでの光速
プランクスケールでの光速は１。さだれも見たことがないモノを描いて着色せよ。ただし、科学的に考察しらに、万有引力定数やプランク定数もた説明（科学考証）をつけること。

１になる。

GoldenWeek Present： 読書▼書評

毎週の小説やコミックとは違うガッシリした本、たとえば、科学書や日本語の本などを読み、レポート用紙１枚で書評をまとめること。手書き、
図１，２枚を入れても可。
19

感想や粗筋ではなく、本の内容を評価し論じること。

４ 量の変化と微分・積分
Questions today
基本関数の微積分は覚えているか？

関数・函数 function

科学を表現する言葉は数学である。これから数回は、微分、積分、偏微分、多重積分、そしてベクトル解析など、多少ヘビーな話題が続くので、自然現象への応用例で具体的なイメージを掴んで欲しい。
まず今回は、前半は高校数学レベルの微積分の復習で、後半は簡単な微分方程式と応用を紹介する。併せて、それらの科学英語にも触れる。

関数の微分と積分

y＝f (x): y equals f of x.

微分 differentiation, derivative
微分の differential
微分する differentiate
導関数 derivative
微分係数 differential coefficient

一変数（x）の単純な関数（y）は、 y = f (x) と書き表される。自然現
象を表す関数は、多くの場合、どこでも微分可能な連続関数である。

dy/dx＝3: dy dx equals three.
y’ =dy/dx: y prime equals dy dx.
y”: y double prime

積分 integration, integral
積分の integral
積分する integrate
不定積分 indefinite integralｋ

定積分 definite integral【微分】＜微分は傾き！＞•dy
任意の x における導関数は、
f ' ( x) f (t ) のように表される。
dx

特定の点 x0 における微分係数は、 f ' ( x0 )dyのように表される。
dx x = x0∫ f ( x )dx のように表される。ここで、F (x ) は

IC integrated circuit 集積回路
IR interated resort 統合型…

f ' ( x) はライプニッツが使い始め•た。また、 f (t ) はニュートンの時間原始関数、 f (x) は被積分関数と呼ばれる。
定積分は、 F =被積分関数 integrand∫f dx: the integral of f dx

【積分】＜積分は足し算！＞
不定積分は、F ( x ) =原始関数 primitive function

微分によく使われる。

x2∫ f ( x)dx のように表される。ここで、x と x は積
1

x1

2

▼積分記号

分の下限と上限である。

積分記号のExercise： 基本関数の微分と積分を思い出してみよう
基本関数と、その微分および積分を書き出してみよ。
20∫ は英字の S（sum）

を引き延ばした形からきている。

基本関数

微分

xn

nx n −1

1
x
ex

−

e ax

ae ax

e

ax

1
x2
x

a x log a
1x
cos x− sin x1
cos 2 x

log x
sin x
cos x
tan x

積分
1 n +1x （ただしn ≠ −1）
n +1

xn: x to the nth (power)
1/x： one over x
x－1: x inverselog x

ax: a to the xth (power)

e

x

1 x
e
a
ax
log a

オイラーの公式 Euler’s formulae iθ = cos θ + i sin θ
微分

x log x − xie iθ = − sin θ + i cos θ− cos xsin x

オイラーの等式 Euler’s identity− log cos xe iπ = −1
オイラーの等式は、自然対数の底（ネテイラー展開イピア数）e と虚数単位 i と円周率 π任意の関数 f(x)は、ある点（x＝a）

を結びつける単純な数式で、しばしばの近傍で無限級数の和に展開できる。

もっとも美しい数式と呼ばれる。

この方法（の一つ）がテイラー展開
で、無限級数をテイラー級数と呼ぶ。

レオンハルト・オイラー（Leonhard

テイラー展開では以下のように級数に展開される。
∞(a)( x − a) nn!
n =0f ' (a)f " (a)( x − a) +( x − a) 2 + = f (a) +1!
2!
f " (a)( x − a) 2 + = f (a ) + f ' (a )( x − a ) +2

f ( x) = ∑fEuler：1707～1783）(n)

テイラー展開 Taylor expansion
テイラー級数 Taylor series

テイラー展開を使うと、 x << 1 のときに、 sin x, cos x, e をそれぞれ以x

下のように展開でき、x が小さいときの近似解が得られる。

11
sin x ≈ x − x 3  , cos x ≈ 1 − x 2 
621
ex ≈ 1 + x + x2 2

▼その他の例x << 1 のとき、

(1 + x ) a ≈ 1 + ax
(1 − x ) a ≈ 1 − axlog(1 + x ) ≈ 1 + x

Homework： テイラー展開
上記を確認するとともに、いろいろな関数のテイラー展開をしてみよ。
21微分の例：さまざまな速度【物理】位置、速度、加速度

位置x (t )

速度v (t ) =

加速度

dx
dt
dv d 2 x=
a (t ) =dt dt 2

たとえば、一定加速度 g における自由落下運動だと、鉛直方向下向きをy 軸として、a =いて、v =

d2y
=g
dt 2

dy
= gt
dt

が立式される。この微分方程式を初速 0 で解が得られ、さらに初期位置 0 で積分して、y =

1 2
gt
2

が得られる。

自由落下【化学】化学反応速度
次のような化学反応を考える。
分子 A＋分子 B→分子 P
化学反応速度は濃度[A]による。
希薄溶液で分子同士が衝突する割合が化学反応率（化学反応速度）になることから、化学反応速度 v [mol L-1 s-1]は以下のように書ける。

d [ B] d [ P]d [ A]
=
=−
dt
dt
dt
= k[ A][ B]v=−

ここで、 k [L mol-1 s-1]は速度定数である。

化学反応速度【生物】細菌の増殖速度好条件のもとでは大腸菌は 20 分に１回分裂する。
このときの増殖速度は、

v = 1回 / 20分 となる。また細胞の個体数が 2 倍になる時間を世代時間
t0 と定義すると、時刻 t＝0 における初期細胞数を N0 として、時刻 t における細胞数 N は、 N = N 0 2

t / t0と表される。

【地学】
大陸移動の速度＝cm～10cm/年 （髪の毛の伸びる速度程度）
雨滴の終端速度＝1.2cm/s （半径 10μm のとき）宇宙の膨張速度＝68km/s （326 万光年の距離で）＝時速 75m （1 光年の距離で）Exercise： その他の例
いろいろな分野での微分を使った量を調べてみよ。
22

積分の例：曲線の長さ（線積分）
曲線の長さは曲線に沿った微小な直線を足したものと考えるとよい。

L = ∫ ds ← ∑ ∆sx2x1

直角座標を使うと、 ds =
x2

L=∫

x1

=∫

x2

=∫

x2

=∫

x2

x1

x1

x1

dx 2 + dy 2 なので、dx 2 + dy 2
 dy 2 dx 2 1 + 2  dx 

曲線の長さ2

 dy 
1 +   dx
 dx 

x と y が媒介変数表現の場合

L=∫

1 + { f ' ( x)} dx

x2

x1

2

x2

と導かれる。

=∫

x2

例 円周の長さ

=∫

x1

x1

原点を中心とする半径 r の円について、
xy 座標系では以下のようになる。

r 2 = x2 + y2
（上半分のみ）y = r 2 − x2
dy
x
=−
dx
r 2 − x2
これらを使って、円の長さを求める。

L=∫

r

−r

r
x2
r
1+ 2
dx
dx
=
2
∫
2
−
r
r −x
r − x2

ここで、変数変換
は、 − r ≤ x ≤ r
π

x = r sin θ 、 dx = r cos θ dθとすると、積分範囲(− π / 2 ≤ θ ≤ π / 2) と変換され、以下となる。
πr ⋅ r cos θL=∫πdθ = ∫ 2π rdθ = π r
−
−
r
θ
cos
2
2
2

以上より、上半分の円周の長さが求まった。
関数の形がわかっていれば、この線積分の方法で曲線の長さを計算できる。
また線積分の考え方を使えば、凸凹したものの周の長さを出すときは、
細かく切って足し合わせればよいこともわかる。
23

円周の長さ

dx 2 + dy 2
 dx 2 dy 2 
dt 2  2 + 2 
dt 
 dt
x ' (t ) 2 + y ' (t ) 2 dt

積分の例：面積
面積の場合は細い短冊の面積を足し合わせたものと考えるとよい。
x2

S = ∫ f ( x )dx ← ∑ f∆xx1

例 円の面積
直角座標(x, y)から極座標(r,θ)への変換を使うと、

x = r cos θ

曲線の下の面積y = r sin θ
r 2 = x2 + y2yxtan θ =となるので、
x2

S = ∫ f ( x )dx
x1

=∫

r

=∫

π /2

−r

r 2 − x 2 dx

−π / 2r cos θ r cosθdθ
円の面積

π /2

θ 1

= r 2  + sin 2θ 
2 4
 −π / 2
1= πr 22サイクロイドx = a (θ − sin θ )y = a (1 − cos θ )となり、円の上半分の面積が求まったことになる。

長さ

l = 8a例 円の面積 2

面積

S = 3πa 2円の場合には、小学校で図形的に面積を求めたときのように、菊のように円を細い三角形で分割すると、円の面積は簡単に出る。円の半径を r = aとすると、極座標では、三角形の底辺の長さが a、高さが adθ なので、以下のようになる。

S=∫

2π

0

1 2
a dθ
2

1 2 2πadθ
2 ∫0= π a2=

Exercise： 葉の周囲の長さをもとめる
周囲が凸凹した葉の、周囲の長さを求める方法を考えてみよ。

Exercise： 葉の面積をもとめる
周囲が凸凹した葉の、面積を求める方法を考えてみよ。
24

葉の周囲の長さは折れ線にして繋ぐ。
葉の面積は、・方眼で数え上げる
・極座標で足し合わせる

25

５ 多変数関数の微分と積分
Questions today
地形の等高線で傾斜が急なところは？
気圧の等高線を描いたことはある？
多変数関数 multivariable function

独立変数が 2 つ以上ある関数を多変数関数という。たとえば、

z = f ( x, y ) は x と y の 2 変数の関数 z である。通常の自然現象は縦横高常微分 ordinary differential

さの 3 次元空間で起こるので、自然現象を表現する物理量は一般には 3 つ

偏微分 partial differentiationの空間座標を独立変数とする多変数関数になっている。さらに時間変化まpartial derivativeで考えれば、4 つの時空間座標を独立変数とする多変数関数になる。1 変数の関数と異なり、
多変数関数の微分や積分は、
偏微分および重積分になる。

重積分 multiple integral
多重積分 multiple integration

偏微分に対して、1 変数関数の通常の偏微分微分を常微分と呼ぶ。また、常微分の＜微分は傾き！！！＞微分記号 d はかたい微分、偏微分のある独立変数（たとえば x）に関して偏微分する際は、他の変数（たと微分記号∂はやわらかい微分というえば y）は固定して微分する（定数とみなす）。ある変数（たとえば x）のことがある。

偏微分は多変数関数の曲面上では、その変数軸（たとえば x 軸）方向の曲常微分記号

面の傾きに対応している。

ordinary differential symbol∂ff ( x + ∆x, y ) − f ( x, y )= lim∂x ∆x→0∆x∂ff ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )= lim∂y ∆y →0
∆y

多重積分

偏微分記号
partial differential symbol∂の読み方
round d, del＜積分は足し算！！！＞曲面の下の体積は以下の多重積分で求められる。

V =∫

x2

x1

y2

∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ h( r, θ )rdrdθ
y126

偏微分の例：等高線と傾斜地形の等高線図や気圧の等圧線図は、典型的な多変数関数のグラフにな

等高線 contourっている。等高線の密なところが地面の傾斜がもっとも急なことは知っているだろう。関数の微分が図形的には関数を描いたグラフの勾配（傾き）であったことから予想できるように、等高線を表す多変数関数の偏微分は地形の勾配になっている。
全微分 total derivative

高さ h が直角座標（x,y）の関数 h ( x, y ) だとする。このとき、高さの微小変化量は、図形的に考えればわかるように、x 方向の h の変化量は

∆h =

∂h
∂h
∆x 、y 方向の h の変化量は ∆h =∆y となる。さらに、x 方向∂x∂yと y 方向の両方を合わせた変化量（全微分）は、 ∆h =∂h∂h∆x + ∆y で
∂x
∂y

ある。
高さの偏微分が地形の勾配を決めるので、各点での偏微分を成分とする、

 ∂h ∂h ∇h =  , 
 ∂x ∂y 
傾斜ベクトル gradient vectorというベクトルを傾斜ベクトルと呼ぶ。
▼微分演算子ナブラ

Exercise：

傾斜ベクトルについた記号は、偏微

傾斜ベクトルの大きさと方向を求めよ。

分を成分とする一種のベクトルで、多変数関数とその勾配ベクトルは、科学のさまざまな場面で使われる。
例

高さ関数

傾斜ベクトル

物理 電磁ポテンシャル 電磁力∂ ∂ 
∇ =  , 
 ∂x ∂y と定義される微分演算子ベクトルで

重力ポテンシャル 重力

ある。この記号 ∇ はナブラ(nabla)

化学 濃度分布濃度勾配と読むが、ギリシャの竪琴に似ている

地学 気圧分布気圧勾配ことに由来する。

27

偏微分の例：重力と重力ポテンシャル
ニュートンの万有引力の法則

ニュートンの万有引力の法則は 1 次元では、Newton’s law ofFGM
dφ=g=− 2 =−mrdr(universal) gravitation
重力 gravity, gravitationGMと定義されると表される。ここで、 g は重力加速度で、φはφ ≡ −r
重力ポテンシャルである。マイナスの符号を別にすれば、重力ポテンシャ
ルが高さ関数、重力加速度が傾斜ベクトルに相当する。

gravitational acceleration
重力ポテンシャル
gravitational potential

多変数関数の偏微分を使うと、即座に 3 次元へ拡張できる。すなわち、

φ=−

重力加速度

重力波（浮力による流体の波）
gravity waveGMr

重力波（時空のゆらぎの波）
1
2 2

gravitational waver = x2 + y2 + z2 = (x2 + y2 + z )と直角座標で表せば、重力および重力加速度のベクトルを

g = (gx , g y , gz )F = ( F x , Fy , Fz ),▼ベクトルのフォント高校まではベクトルを矢印で表現するが、大学では、ベクトルの書体はと置いて、重力加速度ベクトルと重力ポテンシャルの関係は以下となる。

F= g = −∇φ
m

∂φ
∂φ
∂φ
gx = − , g y = − , gz = −
∂x
∂y
∂z

具体的に x 成分を求めると以下のようになる。

ここで、 r−1
2= (x + y + z ) , r
2

2

2

−3

線を 2 重にして表す。

−

32= ( x + y + z ) である。
2v ( r , t ), vi ( ri , t )手書きの場合は、文字の縦線や斜めFx∂φ= gx = −∂xm∂  GM = − −

∂x 
r 
∂ −1
= GM
r
∂x
3
−
 1
= GM  − ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ⋅ 2 x
 2
GMx
=− 3
r
GM x
=− 2
r r
−1

通常、太字で表す（添え字も使う）
。

2

2

同様に、

28

重力場（NASA）

Fym= gy = −∂φ∂y

3 次元の多変数関数になると、 ∇ の∂  GM 
−

∂y 
r 
∂ −1
= GM
r
∂y

価値が見えてくるが、

=−

∂φ
,
∂x
∂φ
,
gy = −∂y∂φgz = −∂zgx = −−
 1
= GM  − ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ⋅ 2 y
 2
GMy
=− 3
r
GM y
=− 2
r r
3

という 3 本の式を、F= g = −∇φm

∂φFz
= gz = −∂zm∂  GM = − −∂z r ∂= GM r −1∂z3−
 1 22
2
2= GM  − ( x + y + z ) ⋅ 2 z
 2
GMz
=− 3
r
GM z
=− 2
r r

という 1 本の式で表すことができるから美しい！！

2 つの同符号の電荷のポテンシャル

Exercise： 電場と電位
電場と電位についても同じ関係が成り立つことを確認せよ。

Homework： 力の大きさを計算して確認せよ
F 1=
Fx2 + Fy2 + Fz2
m m
GM
= 2
r

2 つの異符号の電荷のポテンシャルになるはず!!

29

偏微分の例：偏微分方程式
微分方程式 differential equation

微分を含む方程式を一般に微分方程式というが、とくに 1 変数関数でかたい微分を含むものを常微分方程式、多変数関数で偏微分を含むものを偏微分方程式と呼ぶ。常微分方程式で表される自然現象は多いが、偏微分方
程式で表される現象はさらに多種多様である。常微分方程式の例について

常微分方程式 O.D.E.
ordinary differential equation
偏微分方程式 P.D.E.
partial differential equation

は、また改めて紹介するし、科学の読み書き力として、簡単な常微分方程式ぐらいは解けるようになって欲しい。ここでは自然現象における代表的な偏微分方程式を紹介するが、以下のような自然現象が偏微分方程式で表フィックの法則
Fick’s law of diffusion

されるのだということと、例示する解がたしかに偏微分方程式を満たして物理量の勾配に物理量の流率が比例いることなどを確認して欲しい。

する【拡散方程式】

拡散方程式 diffusion equation

水にインクを垂らしたときのインクの拡がる様子（微小粒子の拡散）、物
質中の熱運動の伝播（熱伝導）、雲や恒星大気での光子の伝播（散乱）など、多くの場面で拡散型の微分方程式が現れる。
インクなどの拡散を考えると、物質の濃度 c［kg m-3］が x 軸方向の時間
t が経過するにつれてどのように変化するかを表す拡散方程式は、

∂c
∂ 2c
=D 2
∂t
∂x
と表される。ただしここで、 D ［m2 s-1］は拡散係数である。

中心から拡散で拡がる様子

熱伝導方程式 heat conduction eq

インクの拡散（http://www.flowillustrator.com/fluid-dynamics/basics/）【熱伝導方程式】
拡散型の方程式である熱伝導方
程式は、温度を T ( x, t ) として、

∂T
∂ 2T
=K 2
∂t
∂x

両端を 0K にした棒が冷却する様子と表される。
ただしここで、K［m2▼【ポワソン方程式】s-1］は温度伝導率である。

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+
= 4πρ
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

焼け火箸（https://blog.goo.ne.jp/mirojoan/）30

【波動方程式】
ギターの弦の振動、音、交流電流、水波動方程式 wave equationの波、地震波、光（電磁波）など、自然界には多種多様な波がある。波を表す物
理量（変位）を f ( x, t ) とすると、波動
方程式は、
2
∂2 f
2 ∂ f
=
c
∂t 2
∂x 2

と表せる。ここで、c は波の速さである。

波長と振動数（周波数）

この波動方程式の解、すなわち波は以下のように書ける。

2π 
 2π
f ( x, t ) = A sin
t−
x
λ 
 T
= A sin(ω t − kx )⇒ Ae iωt −ikx
ここで、 A は波の振幅、 λ は波長、 T は周期、 k = 2π / λ は波数、

平面波

ω = 2π / T は角振動数である。また波の速さ c は、ν = 1 / T を振動数として、 c = λν = λ / T となる。
この解が波動方程式を満たすことを確認してみよう。

∂f= ωA cos(ω t − kx)∂t∂2 f= −ω 2 A sin(ω t − kx) = −ω 2 f∂x 2∂f= (−k ) A cos(ω t − kx)∂x∂2 f= −(−k ) 2 A sin(ω t − kx) = −k 2 f
2
∂x
これらを

球面波

2
∂2 f
2 ∂ f
に代入すると、
=
c
∂t 2
∂x 2

− ω 2 f = −c 2 k 2 f
c2 =

ω2
k2

衝撃波（http://rooziato.com/）

ω

2π λ
λ
⋅
=±
c=± =±k
T 2π
TExercise： 確認

衝撃波も波の一種だが、非線形な波なので、単純な三角関数では表せない。

上の確認をせよ。
31

多重積分の例：表面積（面積分）
曲面の面積は曲面上の微小面積要素を足し合わせたものと考えるとよい。

S = ∫ dS ← ∑ ∆S
例 球面の面積
原点を中心とする半径 r の球について、xyz 座標系では以下のようになる。 曲面の面積r2 = x2 + y2 + z2
z = r2 − x2 − y2

（上半分のみ）また球面状の微小面積要素 dS と、それを xy 平面に射影した微小面積要素
dxdy の関係は、dS が極角 θ だけ傾いており、 cos θ = z / r なので、

dS = dxdy

1r= dxdy2cos θr − x2 − y2となる。これらを使うと、球の上半分の、さらに 1/4 の面積は、
r2 − x2
r
1
S = ∫ dS = ∫ ∫0 04と表される。ここで、y =rr − x2 − y22dxdy

r 2 − x 2 sin θ 、dy = r 2 − x 2 cos θ dθ

いう変数変換をすると、積分範囲は、 0 ≤ x ≤ rと(0 ≤ θ ≤ π / 2 ) と変換され、以下となる。
rr2 − x2
1
S=∫ ∫
0 0
4
r

π /2

0

0

=∫ ∫

r
r − x cos θ2rdxdθ =

2πr

dx r 2 − x 2 cos θdθπrdx = r
2∫
2

球面の面積

2

0

S = 2πr 2以上より、上半分の球面の面積が求まった。
曲面を表す多変数関数の形がわかっていれば、この面積分の方法で曲面の面積を計算できる。

32

多重積分の例：体積
体積の場合は細い曲面下の薄い板（さらに分割すれば、細い柱）の体積を足し合わせたものと考えるとよい。

V = ∫∫ f ( x, y )dxdy← ∑ f∆x∆y

例 球の体積
直角座標(x, y, z)で球を表すと以下となる。

x2 + y2 + z 2 = r 2曲面の下の体積z = r 2 − x2 − y2
高さが z で幅が dy の薄い板（微小体積 zdy）を x 方向に積分する。
y2x2

V = ∫ zdy ∫ dx
y1

=∫

y2

y1
r

x1

x2

∫ zdxdy 一般的

=∫ ∫

x1

r 2 − x2

−r − r 2 − x2

r 2 − x 2 − y 2 dxdyrr 2 − x2−r

− r 2 − x2

= ∫ dx ∫r 2 − x 2 − y 2 dyr 2 − x 2 sin θ , dy = r 2 − x 2 cos θ dθ , −ここで、 y =

π
2

≤θ ≤

変数変換すると、πr

V = ∫ dx ∫ 2π r 2 − x 2 1 − sin 2 θ r 2 − x 2 cos θ dθ
−r

−

r

2

π

= ∫ dx ∫ 2π (r 2 − x 2 ) cos 2 θ dθ
−r

−

2

r

= ∫ dx(r 2 − x 2 )cos 2 θ =1 + cos 2θ
2

π

−r

2

π 2

r

1 
r x − x3 23  −r
1 4= × π r3
2 3=となり、球の上半分の体積が求まった。

Exercise： 確認
上記を確認せよ。
33

π
2

と

球の体積

▼球座標

多重積分の例：球殻の作る重力場

3 次元空間の座標としては、微小量と多重積分を使うと、薄い球殻による重力の強さを計算することができる。かなり面倒な変換があるので、やや上級向け演習。
一様密度 ρ の物質でできた、半径 R で厚さが dR（dR<<R）の薄い球殻の中心から、距離 r（r＞R）における重力の強さを求めてみよう。

・直角座標（x, y, z）
・円筒座標（r, φ, z）
・球座標（r, θ, φ）などがよく使われる。

円筒座標

球座標を使うと、
球殻上の微小面積要素 dS は dS = R sin θ dϕ ⋅ Rdθ と表されるので、厚さを掛けて微小体積とし、密度を掛けて微小部分の質量
球座標

dm = ρ ⋅ dR ⋅ R sin θ dϕ ⋅ Rdθ
▼座標変換= ρ R 2 dR sin θ dθ dϕx＝r sin θ cos φが得られる。また、考えている点と微小部分の距離 l、その微分量 dl、そ

y＝r sin θ sin φ

して半径方向と微小部分方向のなす角度χは、それぞれ以下のようになる。

z＝r cos θl = R + r − 2 Rr cos θ
ldl = Rr sin θ dθr − R cos θ
cos χ =
l2
l + r2 − R2
=
2rl
2

2

2

▼球座標と微小体積要素
直角座標における微小体積要素は、
dV＝dxdydz だが、球座標の場合は、微小面積要素 dS＝r sin θ dφ rdθ に微小な厚さ dr を掛けて、以下となる。
dV＝r2 dr sin θ dθ dφ

上記の準備のもとで、この微小部分から、考えている点にある質量 m’ にかかる中心方向の重力は、単位質量当たりの重力（重力加速度）にすると以下のように表せる（中心方向と垂直方向は全体としてキャンセルする）。

dm
1
df = −G 2 cos χm'lρ R 2 dR sin θ dθ dϕ l 2 + r 2 − R 2
⋅
= −G
2rl
l2
2
2
2
ρ R dRdϕ ldl l + r − R 2
= −G
×
×
l2
Rr
2rl
（θに関する積分を l に関する積分に変えている）

球座標での微小体積要素34

この式を距離 l と円周角 φ で多重積分すると、以下のようになる。

ρ R 2 dR l 2 + r 2 − R 2
1
f = −Gdldϕm'l2
2r 2 R ∫ ∫2
2
2
r+R l + r − R
ρ RdR
= −G
π
2
∫r−R l 2 dl
2r 2
= −G
= −G

ρ RdR
2r 2

▼積分方程式の例

ぐるりの積分輻射輸送方程式
radiative transfer equation
媒質中を伝播する光線の変化を表r+Rす方程式で、たとえば、具体例として

 r2 − R2 
2π l −

l

 r−R

・薄雲を通した太陽の見え方
・青空、夕焼け、黄砂ρ 4π R 2 dR

・霧の中のヘッドライト

r2

・肌色

そして、m = ρ 4 R 2 dR は、
いま考えている薄い球殻全体の質量なので、などが挙げられる。基本的には、光線の強さ（輻射強度）に関する微分方程

結局、球殻状の物質分布が作る外部の重力場は、式だが、光線の強さの積分を含むた

1m
f = −G 2m'r

め、微分積分方程式になっている。

と表されることになる。これは、球殻の物質がすべて中心に集中している
場合の重力場と同じである。すなわち、
球殻外部の重力場は質点の重力場と同じなことがわかる。さらに、球対称な物体は連続する球殻であることから、球対称な物体の外部重力場は質点の重力場と同じことが一般的に証明できる。

dI ( l )= η − αI ( l ) − βI ( l )dssin θ ' dθ ' dϕ '+ β ∫∫ I ( l ' )4π
I ( l )：ある方向（l）の光の強さ
η：光の体積放射率α：光の体積吸収係数β：光の体積散乱係数

Homework： 球殻内部の重力場をもとめる
同様な方法で、球殻内部の重力場が 0 になることを示せ。

1
f =0
G

Homework： 重力ポテンシャル
球殻外部と内部の重力ポテンシャルと求めてみよ。

Homework： 電場と電位
球殻に分布した電荷による、電場と電位についても考えてみよ。

35

６ ベクトル解析
Questions today
スカラーとベクトルの違いは？
ベクトルの内積とは？
電磁場のマクスウェル方程式は習った？

▼スカラー、ベクトル、テンソル数のタイプとして、質量やポテンシ
ャルのように、1 つの数値で表されるものがスカラー。
（ベクトルなどと比較して）スカラーの成分（要素）は 1

微分・積分の復習、偏微分、多重積分ときて、いよいよヘビーのピーク、ベクトル解析を簡単に紹介する。

位置ベクトルや速度ベクトルのよ

物理量のタイプによって、以下のような関数がある。
スカラー関数 φ ( x, y, z , t )重力ポテンシャル、電位ベクトル関数 v ( x, y , z, t )速度ベクトルRij , g ij , Tik

うに、複数の成分（要素）をもつが、その要素を 1 行（1 列）に並べて表現できる数がベクトル。成分は 1 つの添F ( x, y , z, t ) 力ベクトル
E ( x, y , z, t ) 電場ベクトル
テンソル関数つで、その値は座標系によらない。

え字で表現できる。向きと大きさをもった量でもある。一般に、ベクトルの時空テンソル、エネルギー運動量テンソル成分は座標に依存して変化する。
歪みテンソルのように、複数の成分をもち、かつ 2 つ以上の添え字で表現

ベクトル方程式の例

dv
=F
m
dt
m
m

dv
= −∇φ
dt

されるものがテンソル。添え字が 2 つ

一般的な運動方程式の場合は行列で表すこともできる。

重力ポテンシャルを用いた重力が働いている場合

スカラー scalor
ベクトル vector

dv 1= J × B ローレンツ力（電磁力）が働いている場合
dt c

これらの方程式は、空間成分にわければそれぞれ 3 本の式になるところテンソル tensor

Ak： Capital A sub kが、ベクトルで表すと 1 つの式で表現できて美しい。また、成分毎だとバラバラに計算しないといけないところが、ベクトルだと計算の手間が 1/3になり、まとめてエレガントに演算できる。

▼アインシュタイン方程式
アインシュタインが導いた一般相対論の最終方程式で、左辺が（物質のテンソル方程式の例

1
8π G
R ik − Rg ik + Λg ik = 4 T ik
2c

分布で決まる）空間の構造を、右辺がアインシュタイン方程式（空間の構造で決まる）物質の分布を表す。ブラックホールも宇宙全体も、この（2 階の）テンソル方程式は、変数が時空間の関数なので、この 1

この方程式で解明できる。

つの方程式の中には、なんと 16 本の成分式を含んでいる（時空の対称性か
ら独立な式は 10 本になる）。

アルベルト・アインシュタイン（Albert Einstein：1879～1955）

36

▼ベクトルのフォント

内積（スカラー積）高校まではベクトルを矢印で表現

ベクトルの内積（スカラーするが、大学の理系では、ベクトルの積）はスカラーとなり、その大書体は通常は、太字・添え字で表す。

きさは、それぞれのベクトルのv ( r , t ), vi ( ri , t )大きさの積にベクトルのなす角度の余弦を掛けたもの。

手書きの場合は、文字の縦線や斜め線を 2 重にして表す。

式で表すと以下となる。
C＝A・B＝|A| |B| cosθ

内積 inner product

成分表示は以下となる。

スカラー積 scalor product

C＝A・B＝AxBx＋AyBy＋AzBz
内積の例 仕事
斜め上向きの力 F で水平方向にベクトル s だけ動かしたとき、その力のなす仕事は、W＝F・s になる。
仕事

Exercise： 内積の可換性
A・B＝B・A であることを確認せよ。

外積（ベクトル積）
ベクトルの外積はベクトル

外積 cross product, outer productとなり、その大きさは、それベクトル積 vector product

ぞれのベクトルの大きさの積になす角度の正弦を掛けたもので、向きは、2 つのベクトルが作る平面に垂直方向で 1
つ目のベクトルから 2 つ目の▼行列式

ベクトルに右ねじを回すとき

a11
a 21
a31

にねじの進む方向となる。
式で表すと以下となる。
C＝A×B＝|A| |B| sinθｅ
成分表示は以下となる。

ex
C = Ax
Bx

ey
Ay
By

ez
Ay
Az =
By
Bz

Az
A
ex − x
Bz
Bx

Ax
Az
ey +
Bx
Bz
37

 A B − Az B y 

 y z
Ay
e z =  Az B x − Ax Bz 
By
A B − A B 
y x
 x y

外積の例 力のモーメント
中心から位置ベクトル r で中心方向に対して垂直方向に力 F をかけたと
き、力のモーメント（トルク）、N＝r×F になる。
外積の例 ローレンツ力

 0 


B = (0,0, Bz ), J = ( J x ,0,0) のとき、 J × B =  − J x Bz  となる。
 0 


Exercise： 外積の非可換性

トルク▼微分演算子ナブラ∇

一般に、A×B＝B×A が成り立たないことを確認せよ。

活字体ではわかりにくいが、この記号も太字にならないといけない。また
手書きの場合は、左側の斜め線を 2 重ベクトル演算子にして表す。

偏微分のところで少し触れた微分演算子▽（ナブラ）は、偏微分を成分にもつベクトル演算子でもある。

この記号 ∇ はナブラ(nabla)と読むが、ギリシャの竪琴に似ていることに由来する。

∂ ∂ ∂∇ =  , , 
 ∂x ∂y ∂z 

ベクトル演算子 vector operator

ナブラの例 静電ポテンシャルと電場
電荷 q の点電荷から距離 r における、静電ポテンシャルφと電場 E

φ=k

q
r

E = −∇φ = k

q r
r2 r

同符号の場合2 つの点電荷がある場合もポテンシャル（スカラー）なら足すだけ。

φ=k

q
q
+k
r1
r2

E = −∇φ

Exercise： 重力と重力ポテンシャル

異符号の場合複数の重力源がある場合の、重力ポテンシャルと重力場を考えてみよ。
ベクトル解析 vector calculus

ベクトルやベクトル演算子を用いて数式を記述し、ベクトルやベクトル演算子の性質を上手に利用して、微分や積分を実行し、数式をエレガントに処理するのが、ベクトル解析のおおまかな内容である。

38

ナブラとスカラー関数の演算：勾配
勾配 gradient

ベクトル演算子ナブラをスカラー関数に作用させたものはベクトルとな
り、勾配と呼ばれる。

 ∂φ ∂φ ∂φ 
∇φ = grad φ =  , , 
 ∂x ∂y ∂z 

記号と直角座標での成分表示

自然現象での用例としては、高さ関数とその勾配ベクトルのところで触ポテンシャルと勾配ベクトル

れたように、電磁ポテンシャルと電磁力、重力ポテンシャルと重力、化学
濃度分布と濃度勾配、気圧分布と気圧勾配などがある。一般には、物理量

発散 divergenceのポテンシャル分布を表すスカラー関数と、そのポテンシャルによって生じる力の場を表している。

ナブラとベクトル関数の内積：発散
ベクトル演算子ナブラとベクトル関数の内積はスカラーとなり、発散と呼ばれる。

∇ ⋅ A = div A =∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z

記号と直角座標での成分表示
発散：2 次元（上）と 3 次元（下）自然現象での用例としては、物質の流れや磁場などがあるとき、ある領域における、それらの物理量の流入・流出を表している。

▼ラプラシアン

簡単のために x 方向 1 次元で考えてみると、物理量 Ax（これは x 方向のスカラーポテンシャル（スカラー）

物質流量 ρvx だったり、電場 Ex だったり、磁場 Bx だったりする）が、位にナブラを作用させると勾配（ベクト置 x において Ax で、x＋dx で Ax＋dAx に変化したとき、dx の間での変化率

ル）になるが、その勾配ベクトルにナは、dAx/dx になる。そして、

ブラを内積させると発散（スカラー）

dAx/dx＞0 Ax という物理量が増えた（湧き出しがあった）となる。このナブラとナブラを内積さ

dAx/dx＝0 Ax という物理量の増減はない

せた演算子をラプラス演算子（ラプラdAx/dx＜0 Ax という物理量が減った（吸い込みがあった）シアン）と呼ぶ。

ということになる。これを 3 次元に拡張すると、GM

φ=−∂Ax ∂Ay ∂Azr∇⋅ A =++> 0 物理量の流出がある
∂x
∂y
∂z
∇φ =
∂A ∂A
∂A
∇∇φ = ∇ 2φ = ∆φ = ?
∇ ⋅ A = x + y + z = 0 ネットには物理量の出入りはない
∂z
∂x
∂y
∂A ∂A
∂A
ラプラス演算子 Laplacian∇ ⋅ A = x + y + z > 0 物理量の流入がある∂x∂y∂zということを意味する。

Homework： ラプラシアン
重力ポテンシャル φ＝－GM/r にナブラ∇を 2 回演算してみよ。
39

ナブラとベクトル関数の外積：回転
ベクトル演算子ナブラとベクトル関数の外積はベクトルで、回転と呼ぶ。 回転 rotationex∂∇× A =
∂x
Ax

ey
∂
∂y
Ay

 ∂Az ∂Ay 


−
ez
∂z 
 ∂y
∂
 ∂A ∂A =  x − z  記号と直角座標の成分表示
∂z
∂x
∂z

 ∂A
Az
 y − ∂Ax 
 ∂x
∂y 


自然現象での用例としては、電流を流したときに、導線の周囲には右ねじの法則の磁場が生じるが、この磁場の形状がまさに回転で表される。あるいは、水の流れで水車を回す（渦を作る）とき、水の流れの様子と回す
強さ（および向き）の関係が回転で決まる。
簡単のために xy 平面で、水の流れ（xy 平面内のベクトル場なので、Ax（上）左回りの回転と Ay がある）による渦（z 方向のベクトルになる）の生成を考えてみよう。

（中）右回りの回転

このときは、回転の z 成分のみを考えて以下となる。

（下）回転なし∇ × A |z =

∂Ay
∂x

−

∂Ax
∂y

▼ベクトル解析の公式

まず y 方向の流れの場（右辺第 1 項）を考えてみると、一様な流れでは

以下のような公式を上手に利用し、偏部分は 0 となり渦の生成を起こせない。上向きの流れが x 方向の増加す

ベクトル式のまま、さまざまな式変形る場合と、下向きの流れが x 方向に減少する場合は、反時計回りの渦を引をするのが、ベクトル解析の極意。

き起こすが、
このとき右辺第 1 項はどちらも正になっている。
逆に言えば、
右辺第 1 項が負の場合は右回りの渦になる。

A × ( B × C ) = B( A ⋅ C )− C ( A ⋅ B)

つぎに x 方向の流れの場（右辺第 2 項）を考えてみると、マイナスの符号を考慮すると、右向きの流れで y 方向に減少する場合と、左向きの流れ
で y 方向に増加する場合が、反時計回りの渦に寄与する。

A1

A2

A3

A ⋅ ( B × C ) = B1 B2
C1 C 2B3
C3∇(ϕψ ) = (∇ϕ )ψ + ϕ (∇ψ )∇ ⋅ (ϕA) = (∇ϕ ) ⋅ A + ϕ (∇ ⋅ A)
∇ × (ϕA) = (∇ϕ ) × A + ϕ (∇ × A)∇ ⋅ ( A × B) = B ⋅ (∇ × A)
− A ⋅ (∇ × B)
∇ × ( A × B ) = ( B ⋅ ∇) A − ( A ⋅ ∇) B
+ A(∇ ⋅ B) − B(∇ ⋅ A)
∇ × (∇ϕ ) = 0∇ ⋅ (∇ × A) = 0∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A
合わせると、右辺の符号が正の場合、反時計回りの渦場となる。
40

自然を記述する美しい方程式
電磁力や重力などの力の場、時空構造、そして素粒子などの振る舞いを記述する方程式は、しばしば、ベクトルやテンソルなどの量をもちいて表現されている。
【マクスウェル方程式】
電場と磁場を統合した電磁場の振る舞いを表すベクトル方程式。

div E = ∇ ⋅ E = 4πρ
div B = ∇ ⋅ B = 0
1 ∂B
rot E = ∇ × E = −c ∂t
1 ∂E 4πJ
rot B = ∇ × B =
+
c
c ∂t

電場のポテンシャル【アインシュタイン方程式】
時空の構造と物質・エネルギーの分布を同時に表すテンソル方程式。

R ik −

1 ik
8π G
Rg + Λg ik = 4 T ik
2c

空間の曲がりこの（2 階の）テンソル方程式は、変数が時空間の関数なので、16 本の式を含んでいる（時空の対称性から独立な式は 10 本になる）。
【シュレディンガー方程式】
原子内での電子の量子力学的な振る舞いを表す波動方程式。

 2 2∂i Ψ = HΨ =  −∇ + V ( r ) Ψ
∂t
 2m


電

子

雲

の

分

布

（https://commons.wikimedia.org/w【ディラック方程式】

iki/File:Hydrogen_Density_Plots）

相対論的な電子・陽電子の振る舞いを表すスピノール方程式。

ψ + 
 0 1 ψ + 
 1 0 ψ + E  −  = cp  −  + mc 2  −  1 0 ψ 
 0 − 1ψ ψ マイナスの電荷をもった電子とプラスの電荷をもった陽電子が結びついたポジトロニウム41

マクスウェル方程式
ジェームズ・クラーク・マクスウェル

ベクトル解析の総まとめとして、電磁場を記述するマクスウェル方程式（James Clerk Maxwell：1831～1879）

について、少し述べておこう。
高校や大学で電流や磁場を学ぶと、静電気に関するクーロンの法則、静磁気に関するクーロンの法則、オームの法則、アンペールの法則、キルヒ

マクスウェル方程式
Maxwell’s equations

ホッフの法則、ビオ・サバールの法則、右ねじの法則、フレミングの左手の法則、フレミングの右手の法則、レンツの法則、ファラデーの電磁誘導の法則、などなど、法則の嵐で頭を抱えただろう。これら電場と磁場の性質に関して、1864 年、マクスウェルがたった 4 本のベクトル方程式にまとめた。それがマクスウェル方程式である。

①

div E = ∇ ⋅ E = 4πρ

▼電場に関するガウスの法則②

div B = ∇ ⋅ B = 0

電束は＋電荷から出て－電荷で終る③

rot E = ∇ × E = −

④

1 ∂B
c ∂t
1 ∂E 4π+
rot B = ∇ × B =
J
c ∂t
c

以下、順に見てみよう。

▼磁場に関するガウスの法則①あるベクトル（電場 E）の発散が正になるのは、そのベクトル場に対し磁束線は湧き出しも吸い込みもないて湧き出しがあることを意味している。この式は、電荷 ρ のまわりには、他の電荷に影響を与える力の場（電場 E）が存在することを表している。
…これは電気に関するクーロンの法則を含んでいる。
②あるベクトル（磁場 B）の発散が 0 ということは、湧き出しや吸い込みがないことを意味する。この式は、単独の磁荷が存在しないことや、磁極の間には磁気の場（磁場 B）が存在することを意味している（磁力線はリング状でもよい）。…これは磁気に関するクーロンの法則を含んでいる。

▼アンペールの法則③ベクトルの回転は渦状の場を意味する。この式は、磁気の場（磁場 B）

電流のまわりに磁場ができるが変化すると起電力 E が生じることを表している。…これはファラデーの電磁誘導の法則だ。
④ベクトルの回転は渦状の場を意味する。この式は、電荷が移動して電流J が流れると、そのまわりに磁気の場（磁場 H）が生まれることを表している。…これはアンペールの法則を一般化したものだ。

Exercise： アンペールの法則▼ファラデーの電磁誘導の法則

ベクトルの回転のところを振り返り、④で時間項を落とした式の z 成分：

J z = ∇ × B |z =

∂B y
∂x

−

∂Bx
∂y

が z 方向の電流によって右ねじの方向の磁場になることを示せ。
42

磁束の時間変化で電場ができるマクスウェル方程式：電磁波
マクスウェル方程式は一般的には複雑だが、比較的に解きやすい例として、マクスウェル方程式から電磁波の波動方程式を導いてみよう。
まず電荷なし（ρ＝0）
、電流なし（J＝0）とすると、①

div E = ∇ ⋅ E = 0②

div B = ∇ ⋅ B = 0

電場と磁場が交互に変化して、電磁波③

rot E = ∇ × E = −

1 ∂B
c ∂t
1 ∂E
rot B = ∇ × B =
c ∂t

を形成する

④

▼ベクトル形式での変形となり、③と④を成分で書き下すと、以下となる。

成分表記だと、x 成分だけでも、か∂E= c rot B∂t⇓∂B= −c rot E∂t⇓

なり面倒な計算になり、それを 3 成分

∂B y 
 ∂B∂E x= c z −
∂t
∂z 
 ∂y

∂E y 
 ∂E∂B x= −c z −
∂z 
∂t
 ∂y

ま、一挙に導くことができる。

∂E y

∂B y

に右式を入れる。

∂B  ∂B= c x − z 
∂t
∂x 
 ∂z
 ∂B y ∂B x 
∂E z

= c
−
∂t
∂y 
 ∂x

について計算しないといけない。ベク
トル解析を使うと、ベクトル形式のま

∂E 
 ∂E
= − c x − z 
∂x 
∂t
 ∂z
 ∂E y ∂E x ∂Bz−= −c
∂y 
∂t
 ∂x

左式の x 成分の両辺を時間で偏微分し、磁場の時間微分に右式を入れる。


∂2 Ex
∂E 
∂  ∂E y ∂E x ∂  ∂E + c  x − z 
= c  − c 
−
2
∂t
∂y 
∂z  ∂z∂x  ∂y  ∂x ∂ 2 E y ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ez = c −++−
22
 ∂x∂y

∂
∂
∂
∂
y
z
z
x


2

∂2E
∂ 2 E x ∂ 2 E x ∂  ∂E x ∂E y ∂E z 
= c 2  2x +
+
− 
+
+
2
2

∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
z
x
x
x
y
z




左式の両辺を時間で偏微分し、磁場∂2E∂B= c rot2∂t∂t2= −c rot rot E
ここで右辺の rot rot E＝∇×∇×E なので、ベクトル解析の公式：∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A
を右辺に適用すると、以下となる。

∂2E= −c 2 ∇ × (∇ × E )2∂t= − c 2 ∇( ∇ ⋅ E ) + c 2 ∇ 2 E= c 2 ∆E
（div E＝∇・E＝0 を使用）

 ∂2 Ex ∂2 Ex ∂2 Ex 
 = c 2 ∆E x
= c 2 
+
+
2
2
2 
∂y
∂z 
 ∂x

本文の 3 倍（3 成分）の内容が、半分の分量で済んでいることがわかると変形でき（div E＝0）
、電場の x 成分 Ex に関する波動方程式の形になる。
これは、真空中（ρ＝0、J＝0）で電場が波として伝わることを表している。

だろうか（入力は半分以下だ！）。
式の導出や意味はともかく、ベクト
ル解析はそれぐらい便利なものだとExercise： その他の成分いうことを感じてもらえばよい。

電場のy 成分z 成分、磁場の各成分も同じ波動方程式になることを示せ。
43

７ 科学的な調べ方
Questions today
平均はどう計算する？
標準偏差（誤差）はどう評価する？
実験 experiment

自然界に存在する事物の物理量と、数学で扱う数の違いとして、物理量
は単位（次元）をもつことは述べた。もう一つの大きな違いは、理論的に導出する場合を除き、物理量の値は実験や観測などの測定によって得られるので、物理量には必ず誤差が伴うことだ。エクセルなどに測定データを放り込めばグラフは描いてくれるだろうが、誤差評価などの基本的なことができていない人が多い。ここでは誤差評価など、データ処理の基礎を簡

観測 observation
測定 measurement
誤差 error
測定誤差 measurement error
統計誤差 statistical error
計算誤差 calculation error

単にまとめておく。

誤差▼誤差

一口に誤差といっても、何種類もの誤差がある。たとえば、1 本の鉛筆同じ測定誤差でも、ものさしが少しの長さを 10 回測ると、mm のレベルで測定値がばらつくだろう。このよう縮んでいるなど測定器具などの偏りな測定に伴う誤差を測定誤差という。また、10 本の鉛筆を同時に測っても、によるものを系統誤差という。正しい

それぞれの鉛筆の長さが違うので、測定値がばらつくだろう。このような標本調査に伴う誤差を統計誤差という。さらに、円周率を使った計算をする際には、通常は厳密な値ではなく、
3.14 ぐらいに数値を丸めて計算する。
このように、計算に伴う誤差が計算誤差である。

物差しで測定して、単純に、ランダムに生ずるものは偶然誤差という。
計算誤差にも、有効数字を短く“丸めた”ための丸め誤差や、近い値の数誤差に関する理論だけで『誤差論』と呼ばれる 1 冊の本になるぐらいだが、最低限の誤差評価の仕方を身につけて欲しい。

字を引き算して有効数字が減少する
桁落ちなど、種々のものがある。

母集団と標本集団講義の受講者男子（女子）の平均身長を求めるなら、全員の身長を申告してもらって、平均を取ればよい。しかし、日本の大学全体での一回生男子（女子）の平均身長を求めるとき、全員の身長を測定するのは現実的ではない。全体の一部を取り出して、その集団のデータで処理し、全体の動向を推定するだろう。
もともとの集団（データ全体）を母集団、取り出した一部を標本、そして母集団から標本を取り出すことを標本抽出と呼ぶ。また母集団全体での調査を全数調査、標本集団での調査を標本調査と呼ぶ。

44

母集団 population
標本集団 sample population

板書したデータリスト

平均と標準偏差（誤差）

データ番号 身長 体重

先週集めたデータを板書し、受講者の身長と体重をもとに統計量を求めてみよう。平均、標準偏差、相関係数などを計算し、ヒストグラム、相関図、正規分布などを描く。男子と女子で違いが出るか?

1
2
…

①平均

i
N

N

∑x

∑y

i

x = i =1 , y = i =1
N
N

xi

yi

…

i

N

※母集団の平均をμ、標本平均

xN

yN

平均 mean, average

を m と区別することもある。

標準偏差 standard deviation

②標準偏差
・偏差

具体的なデータ例

データのバラツキ具合の指標として、平均からのずれ（偏差）を使って、∑ ( xi − x)

データ番号 身長[cm] 体重[kg]男子N
でもよさそうだが、偏差は＋も－もあるため、相殺されてしまうことがあ

01 180 82

21 168 67

り、適切な指標とならない。絶対値にするか…?

02 171 65

22 164 65

・標準偏差

03 178 54

23 165 48

N

04 165 55

24 171 70

05 167 66

25 168 79

06 171 56

26 170 62

07 170 70

27 180 70

08 181 70

28 168 60

09 169 56

29 170 55

10 185 72

30 175 80

11 171 67

31 170 60

12 165 57

32 178 57

13 171 56

33 172 64

14 170 65

34 175 72

15 188 65

35 184 81

16 168 53

36 175 66

17 180 74

37 180 64

18 170 64

38 160 46

19 167 74

39 164 71

20 180 73

40 178 65∑ ( xi − x) 2

σ=

i =1

2 乗したら常に正になる。

N

N

σ=
=

∑ ( x − 2 xx + x )
2

2
i

i =1

i

N

∑x − Nx2i∑ x − 2x∑ x + N x ,
=
2

2
i

i

N

∑x = Nxi

2

N※母集団の標準偏差をσ、標本平均を s と区別することもある。

全体N ⊃ 標本M の場合、
M

N

σ=

∑ ( xi − x ) 2
i =1

N

, s=

∑ ( xi − x ) 2
i =1

M −1

のように、標本集団の標準偏差（誤差）を少し多めに見積もるとよい。

Exercise： 受講者の身長と体重の統計を調べてみよう
身長と体重の平均と標準偏差を求めよ。
45

正規分布
具体的なデータ例

誤差がランダムに生じる場合、標本数が十分に大きければ、誤差の分布
は、釣り鐘形状の正規分布（ガウス分布）になる。

データ番号 身長[cm] 体重[kg]女子

01 159 49
02 153 56
03 159 44
04 153 50
05 160 47
06 156 47
07 169 53
平均が x で、標準偏差がσの正規分布は以下の式で表される。

08 155 53
09 164 51

f ( x) =1e
2π σ( x− x )2−2σ 2

10 158 53
11 168 51

正規分布は全範囲（－∞<x<∞）で積分すると 1 になるように、係数が決12 167 61
13 162 49∫

められている： f ( x)dx = 1
平均値に対して対称な正規分布では、データ全体を 100%とすると、

x ±σ

68.26%

正規分布 normal distribution

x ± 2σ94.44%

ガウス分布 Gaussian distribution

x ± 3σ99.73%の割合になっている。
▼検定

Homework： 受講者の身長と体重の統計を調べてみよう
し残した部分を仕上げよ。

誤差の評価に関連して、得られた結果が統計的に意味があるかどうか（有Homework： 正規分布を描く

意と呼ぶ）を判定する誤差検定という事前に受講者の身長と体重の平均および標準偏差を計算しておくこと。
身長のヒストグラムを描き、同じグラフ上に、身長の平均と標準偏差で表される正規分布を描いてみよ。

Homework： 標本調査と統計処理何でもよいので標本調査を行い、平均、標準偏差、正規分布を描くこと。
ただし、他の人と同じデータは不可。

Homework： 統計分布
2 項分布、ポワソン分布など、他の統計分布についても調べてみよ。

46

統計処理もある。検定についても調べてみて欲しい。

８ 科学的な分析
Questions today
散布図を描けるか？
相関係数とは何か？
最小二乗法とは何か？

散布図 scatter plot
相関係数 correlation coefficient

一つのデータについて統計処理をすることもあるが、2 つ（あるいはそれ以上）のデータについての関連を知りたいことも多い。たとえば、身長が高い人は体重も大きいのだろうか。2 種類のデータに関する基本的な分析手法を簡単に紹介する。

散布図と相関係数
2 種類のデータの関係を調べる一番単純な方法は、横軸にデータ x（たとえば身長）
、縦軸にデータ y（たとえば体重）を取ったグラフに、データ点をプロットすることだろう。このようなデータプロットを散布図と呼ぶ。

散布図

データをプロットした散布図では定性的には関連性を読み取れるが、関正の相関、負の相関、無相関

連の度合いを数値化して表すためには、以下で定義される相関係数 r を計算すればよい。

▼データの前処理
データ間で比例関係が期待できなNr≡∑ ( x − x )( y − y )
i

i =1

i

∑ ( x − x) ∑ ( y − y)2iい場合は、データの値を前処理すると
よい。

2

i

たとえば、葉っぱの大きさ（長さ）相関係数は、 − 1 ≤ r ≤ 1 の範囲に収まる数値になり、非常に強い相関がと重さの関係をみるときは、長さを 2あるほど 1 に近く、無相関の場合は 0 となり、x が増えるときに y が減る

乗して面積の次元にしたものと重さような逆の相関（反相関）のときは－1 に近くなる。

の散布図を作るとよいかもしれない。
べき乗の関係が期待される場合には、Exercise： 受講者の身長と体重の統計を調べてみよう
身長と体重の相関係数を求めよ。

それぞれのデータの対数をプロットするといいだろう。

47

最小二乗法もし 2 種類のデータの間に因果関係があれば、データの分布は 1 次関数
その他、何らかの数学的関係で近似できることが多い。観測されたデータにもっともよくフィットする直線（あるいは曲線）を求める方法が、最小二乗法である。またフィットした直線を最小二乗直線あるいは回帰直線と最小二乗法 method of least squares

呼ぶ。エクセルなどのソフトを使えば、ボタンを押すだけで最小二乗直線

回帰直線 regression lineを求めてくれるが、きちんと原理を知っておけば、より深いデータ解析が可能になる。

残差と最小二乗直線得られたデータ点をグラフ上にプロットし、もっともよくフィットする
直線の式を y = a + bx と置いたとき（係数 ab はまだ不明）、最小二乗法で残差 residualは以下のような考え方で係数を定めている。

残差平方和 residual sum of squares

まず、データ点と最小二乗直線の y 方向のずれを、残差 ei と呼ぶ。

ei = yi − y= yi − (a + bxi )この残差は、未定係数を別として、データ量のみを使って決めることができる。標準偏差のときのように、残差の単純和はキャンセルされてしまう
ので、残差を 2 乗して加えた残差平方和 J を考える。
NJ = ∑ ei2
i =1

そして、最小二乗法では、この残差平方和が最小となるように、係数 abを決める。
具体的には微分を使う。すなわち、残差平方和を係数 a と係数 b の 2 変数の関数とみなし、係数 a による偏微分と係数 b による偏微分がどちらも0 となるようにする。
48

では、実際に係数を求めてみよう。まず残差平方和を展開する。

J = ∑ [ yi − (a + bxi )]2[= ∑ yi2 − 2ayi − 2bxi yi + a 2 + 2abxi + b 2 xi2]= ∑ yi2 −2a ∑ yi − 2b∑ xi yi + Na 2 + 2ab∑ xi + b 2 ∑ xi2
極値の条件は以下である。

y = a + bx
y = a + bx

∂J
∂J
= 0,
=0
∂a
∂b
偏微分を実行すると以下となる。

∂J= −2∑ yi + 2 Na + 2b∑ xi = 0∂a∂J= −2∑ xi yi + 2a ∑ xi + 2b∑ xi2 = 0∂b▼直線で近似できない場合
直線的でないときは対数を取るとこれらは a, b の連立 1 次方程式になっている。

表せることが多い。

2 Na + 2b∑ xi = 2∑ yi

体重 w が w = Ah で表されるとb2a ∑ xi + 2b∑ xi2 = 2∑ xi yi

き。 b は 1 と 3 の間である。

log10 w = log10 A + b log10 h

2 N ∑ xi a + 2(∑ xi ) b = 2∑ xi ∑ yi
2W

2 N ∑ xi a + 2 N ∑ xi b = 2 N ∑ xi yi(2(∑ x ) − 2 N ∑ x )b = 2∑ x ∑ y − 2 N ∑ x yii∑x y − Nxy∑x − Nx∴y∑ x − x∑ x ya=∑ x − Nx
b=

i

i

i

される。
i

2

2
i

i

2
i

log10 y = log10 A + bx log10 e= log10 A + (b log10 e )x

i

2
i

i

2

あるいは

H

細菌の培養などは y = Ae bx で表

2

i

a

a = y − bx

Exercise： 受講者の身長と体重の統計を調べてみよう
身長と体重の最小二乗直線を求めよ。

Homework： 受講者の身長と体重の統計を調べてみよう
し残した部分を仕上げよ。

Report： 自然現象を表す微分方程式を調べる
１ 自然現象の説明
２ 微分方程式
３ その解
４ 解の意味、解釈（☆最も重要）49

９ 自然界のモデル化
Questions today
化学反応はどう進む？
細胞の増殖の仕方は？

▼その他の例【物理】
投体運動

科学の体系で述べたように、自然現象を観察・観測し、あるいは実験を行ってデータを収集し、収集したデータの中に何らかの規則性や法則性を見い出し、その規則性や法則性を再現するモデルを構築して、さらにはそのモデルを用いて新たな現象を予測・予報していくことが、自然現象を理解するということであり、科学の営みである。実際、さまざまな自然現象がモデル化されており、それらのモデルの多くは微分方程式や偏微分方程式あるいは積分方程式などで表されている。いくつかは、すでに触れた通りである。ここではいろいろな例を挙げ、いくつか解いてみたい。
【物理】

単振動
単振り子
減衰振動・強制振動
電気回路：直流回路、交流回路
衝撃波
孤立波
シュレディンガー方程式
【化学】
反応工学

自由落下（重力）量子化学

荷電粒子の運動（電磁力、ローレンツ力）

分子軌道法

冷却・熱伝導 → 偏微分【生物】

波動方程式 → 偏微分

概日リズム

原子核崩壊

形態形成

【化学】

競争モデル

化学反応方程式

疫病モデル

物質の溶解曲線

生物モデルの確率微分方程式

結晶の成長

適応進化のダイナミクス

拡散方程式→偏微分

【地学】

【生物】

海洋波、津波成長曲線（植物・バクテリアのコロニーなどで使われる）
酵素反応

大気波動
地球の年齢の放射性年代測定

パターン形成 → 拡散方程式 → 偏微分

惑星の内部構造

生態系のロトカ=ボルテラ方程式 → 非線形【地学】

恒星の構造と進化
超新星爆発

雨滴の落下（空気抵抗）

宇宙の膨張

大気の静水圧平衡（重力と空気の重さが釣り合い）
カオス方程式 → 気象などで使われる、非線形
地震波（波動方程式の一種だが、地球上の物質条件）
惑星の軌道運動ブラックホールのまわりの光線の曲がり
50

〈物理分野；放射性物質の崩壊〉
放射性物質の崩壊の速さは、「現在」の物質量に比例する。時間 t の関数としての物質量を y と置くと、崩壊の速さ dy/dt が y に比例することから、

dy
= −ky
dt
と立式できる。ここで k は崩壊定数で、マイナスの符号は減少を表す。

燐

銅

ウ

ラ

ン

鉱

石

たとえば、ラジウム 88Ra226 では、およそ、（http://www.ne.jp/asahi/radioact

k＝－1.4×10-11 s-1

ivity/mineral/gallery/）である。
上の微分方程式は変数分離型で、以下のように解ける。

放射性崩壊 radio isotope decay

1dy = −kdty1∫ y dy = − ∫ kdt
ln y = −kt + C
y = e C e −kt = y0 e −kt▼初期条件と境界条件。
なお、最後の式では、時刻 t＝0 での物質量を y0 とした（初期条件）
放射性物質の量が最初の物質量の半分になるまでの時間を半減期と呼ぶ。半減期の条件から以下のように求められる。

微分方程式を不定積分しただけでは、一般に積分定数が残る。状況に合うように積分定数を定めるためには、方程式とは別の条件が必要である。時1y 0 = y = y 0 e −kt
21= e −kt
2
1− kt = log = − log 22
1
t = log 2k

間的な変化の場合は初期条件、空間的な変動の場合は境界条件などを与える。

半減期 a half-life period▼熱放射による冷却

たとえば、ラジウム 88Ra226 では、高温物体が熱を失う割合は、物体のt＝1570 yr

温度 T と周囲の温度 Te との 4 乗差にぐらいとなる。

比例する。物体の質量を M、比熱を c、表面積を S、ボルツマン定数を k と置
くと、以下の式で表される。

McdT= −kS (T 4 − Te4 )dt

この式を解いてみよ。

51

〈物理分野；荷電粒子の運動〉
磁場中で荷電粒子が運動すると、磁石のそばの電流が流れている導線が力を受けるように、電磁力（ローレンツ力）を受ける。ローレンツ力は電流と磁場に垂直な方向に働くので、磁場の方向の運動は変化しないが、それ以外の方向の運動は変化する。

霧箱内での荷電粒子の軌跡：上方から入射したガンマ線光子によって、電子磁場の方向を z 軸とし、垂直な平面（xy 平面）での運動を考える。

と陽電子が対生成された様子

I = qv, J = qv, B = (0,0, B ), v = ( v x , v y ,0) のとき、（https://www.nuclear-power.net/n
uclear-power/reactor-physics/）

dv 1
q
m
= J × B= v× B
dt cc

dv x qB=v y  ①
dt mc
dv y
qB
=−
v x  ②
dt
mc
dv y
dv x
+ vy
=0
dt
dt
1
1
v x2 + v 2y = C または mv x2 + mv 2y = C '2
2① × vx + ② × v y
積分して

より

vx

粒子加速器スプリング８

また、

d
×①
dt

より

2
d 2 v x qB dv y
 qB 
=
= −
 vx
dt
mc dt
 mc 

となるので、これを解いて、上の積分を考慮し、以下の解が得られる。

 qB  v x = A sin t 
 mc  

1 2 1 2
mv x + mv y = C '2
2から運動エネルギーが保存されていることがわかる。

 qB  v y = A cost 
 mc  52

〈化学分野；化学反応方程式〉【一次反応】
1 種類の原料から反応生成物が生成する化学反応▼一次反応の例

溶媒（たとえば水）が十分多量にあれば、反応速度は原料の濃度[A]に比例する。反応速度定数を k と置けば、以下のような変数分離型で解ける。

d [ A]= −k[ A]dt
1
d [ A] = −kdt
[ A]
1
∫ [ A] d [ A] = −k ∫ dt
log[ A] = −kt + C

酢酸メチルの加水分解

CH 3COOCH 3 + H 2O
→ CH 3COOH + CH 3OH[ A] = e − kt + c
積分定数を決めるため、t=0 のときの[A]0 を代入する。

[ A]0 = e c▼二次反応の例
水素とヨウ素の化合∴ [ A] = e −kt e c = [ A]0 e −kt

H 2 + I 2 → 2 HI

【二次反応】
2 種類の原料から生成物が生成する化学反応。
反応速度は濃度の積に比例する。
（1）A+A→B の場合

d [ A]= −k [ A]2
dt
1∫ [ A]2 d [ A] = −k ∫ dt
1−
= −kt + C
[ A]
積分定数を決めるため、t=0 のときの[A]0 を代入する。

C=−
∴

1
[ A]0

1
1
−
= −kt
[ A]0 [ A]

∴ [A] =

1
1
+ kt
[A]0

53

（2）A+B→C の場合
原料 A

原料 B

生成物 C

時刻 t＝0 での濃度

a

b

0

時刻 t＝t での濃度

a－x

b－x

x

上記のように変数と初期条件を設定すると、反応方程式は以下のように表せ、積分できる。

dx= k ( a − x )(b − x )
dt
x
t
dx
∫0 (a − x )(b − x ) = ∫0kt = kt
x

1  1

1 

∫ b − a  a − x − b − x dx = kt
01[− ln(a − x ) + ln(b − x )]0x = ktb−a
1  b− xbln− ln  = ktb−a  a− xa1a (b − x )ln= ktb − a b( a − x )1b( a − x )ln= kt
a − b a (b − x )b( a − x )= exp[( a − b)kt ]a (b − x )a−x a= exp[( a − b)kt ]b− x ba−bkと置くと、最終的に、
ここで、µ =
2e µt − e − µtx = ab µt
ae − be − µtが導ける。

▼ナフタリンの蒸発
ナフタリンの蒸発速度は表面積に比例する。ナフタリンが半径 r の球形をしていると仮定したとき、その半径の変化はどう表されるか。
また 3 ヶ月の間に、半径が 1cm から 0.5cm になったとすると、球が事実上なくなる（半径 0.5mm になる）までどれぐらいかかるか。

上記の反応では、a＞b（μ＞0）を暗に仮定している。このときは、十分に時間が経つと、初期に少ない方の原料 B が先になくなって、x＝b となった段階で、反応式の右辺が 0 になり（反応速度も 0 になる）
、化学反応は停止する。

Homework：
上の解をグラフに描いてみよ。たとえば、a＝1，b＝0.9，k＝0.1 など。

Homework：
上記のタイプの化学反応で、a＜b（μ＜0）の場合は、基本的には同じ解になる。一方、a＝b だと、積分が変わってくる。解いてみよ。
54

〈生物分野；細胞の増殖と成長曲線〉
細胞の増殖や人口増加の速度は、十分な栄養と場所があれば、細胞数（個体数）に比例する。すなわち、生物集団の個体数を x と置くと、

dx
= ax
dt
x (t ) = x (0)e at

ロジスティック方程式 logistic eq.

という指数型の解が得られ、無限に増殖する（マルサスの法則）。
しかし、実際には、個体数が増殖していくと、培地の栄養が不足したり、
培地そのものが限界になり、環境が悪化して増殖が抑制される。
このとき、生物集団の個体数

x

増加因子

ax
抑制因子 (1 − kx)と置いて、増殖速度が増加因子と抑制因子の積に比例するとした式dx= ax(1 − kx)
dt
をロジスティック方程式と呼ぶ。
この方程式は、以下のように変数分離で解ける。

dx= ax (1 − kx )
dt
x
t
dx
∫0 x(1 − kx ) = ∫0adt
x

1



k

∫  x + 1 − kx dx = at0[ln x − ln(1 − kx )]0x = atln

x 1 − kx0= at
x0 1 − kxx=1

実際の増殖の様子

1
k +  − k e −at x0

時間が経つと、個体数は 1/k に近づくので、1/k＝x∞と置けば、

x (t ) =x∞
x

1 +  ∞ − 1e −at x0と表すこともできる。

Homework：
上の解をグラフに描いてみよ。
55

〈生物分野；酵素反応〉
生体内の酵素反応で、基質 S に酵素 E が結合し結合体 ES となり、その一部は基質と酵素に戻る一方、一部は基質に戻らずに、酵素が分離して生成物 P が形成される。この酵素反応で、基質＋酵素と結合体の間がほぼ平衡状態になっているときの反応速度式を、ミカエリス・メンテン式と呼ぶ。

酵素反応 enzymatic reaction
ミカエリス・メンテン式
Michaelis-Menten equation

上記の反応で、基質＋酵素から結合体への反応速度を k1、その逆を k2、結合体から酵素＋生成物への反応速度を k3 と置くと、反応式は以下となる。

d [ES ]
= k1 [E ][S ] − k 2 [ES ] − k 3 [ES ]dtd [P ]= k 3 [ES ]dt
ここで、基質＋酵素と結合体の間の反応速度が大きく、結合体の濃度がほぼ一定（d[ES]/dt～0）とすると、最初の式から、

0 = k1 [E ][S ] − ( k 2 + k 3 )[ES ]となり、酵素の総量を[ES ] =

E tot = [E ] + [ES ] と置けば、結合体の濃度は、

E tot
k + k31+ 2
k1 [S ]

反応速度と基質濃度の関係となる。これを生成物の反応式へ入れると、以下が得られる。

k1k 3 [S ]d [P ]
E tot=
k 2 + k 3 + k1 [S ]dt

基質濃度が高くなると、酵素のほとんどが基質と結合して酵素欠乏状態になる（飽和状態と呼ぶ）。

これがミカエリス・メンテン式である。
・基質濃度［S］が低いときは、反応速度は基質濃度に比例する
・基質濃度［S］が高くなると、反応速度は一定値に近づく

Homework：
上の解をグラフに描いてみよ。
56

〈地学分野；雨滴の落下〉
雨滴は上空から落ちてくるはずなのに、それほど大きな落下速度ではない。速度に比例する空気抵抗を受けるためだ。雨滴の運動方程式は、鉛直上向き（重力加速度と反対方向）を z

雨 滴 （ http://www.bioweather.net/

軸とする座標系で、以下となる。

column/weather/contents/mame006.hmdv= −mg − kvdttm）

ただし、m は雨滴の質量、g は重力加速度の大きさ、k は空気抵抗の大きさ、そして v は速度の z 成分である（抵抗として働くので速度の前の符号はマイナス；落下運動なので速度の値は負であり全体としては正の値）。
この微分方程式も変数分離型で、時刻 t＝0 で雨滴が原点（z＝0）に静止している（v＝0）という初期条件のもとで解くと以下のようになる。

dvk= − ∫ dt
mg
m
v+
k
mg
k
ln v += − t+Ckm
mgv=−+ C ' e −kt / mkmgv=−(1 − e −kt / m )kmg  mz=−t − (1 − e −kt / m )

k  k


∫

猫の落下

終端速度 terminal speed

終末速度の意味は運動方程式に戻って考えればよくわかる。すなわち雨滴の落下は重力によって次第に加速されるが、雨滴に働く重力と速度に比例する抵抗が釣り合った段階でネット
な力が 0 となり、雨滴は一定の最終速度に達する。

十分時間が経てば、指数項は小さくなるので、v → v∞ ≡ −mgkのように、落下速度は一定の値に近づく。これが雨滴の最終速度である（終末速度とか終端速度とも呼ばれる）。
ちなみに、典型的な雨滴（半径 1mm 程度）の地表付近での最終速度は、
およそ 7m/s くらいと測定されている。

雨滴の落下速度（終末速度）

Homework：
上の解をグラフに描いてみよ。

57

〈地学分野；光線の曲がり〉
衝突パラメータ impact parameter

質量があると周囲の時空は歪み、光線も曲げられてしまう。ブラックホ

シュバルツシルト半径ールの場合は言うに及ばず、太陽の場合でさえ、太陽の縁をかすめる光線

Schwarzschild radius

は 1 秒角程度曲がることが測定されている。曲がった時空における光線の軌跡は、おそらく予想外に簡単な形の微分方程式になっている。

光線の曲がり中心天体（たとえばブラックホール）の質量を M、無限遠方から中心軸に対して b（衝突パラメータと呼ぶ）だけ離れて入射してきた光線の軌跡
を、極座標（r, φ）で表す。このとき、軌跡の微分方程式は以下となる。

d 2  1  1 3 rg + =
dϕ 2  r  r 2 r 2
ただしここで、 rg ≡ 2GM / c 2 はシュバルツシルト半径である。
両辺に d  1  を掛けて、角度で積分すると以下の積分が得られる。
dϕ  r 
2

rg  1
 d  1 
1  dϕ  r  + r 2 1 − r  = b 2
 



最初の微分方程式にせよ、積分した上の式にせよ、形としては比較的簡単な形をしているが、これ以上の積分は難しい。しかしながら、これらの式から、多少の性質を調べてみることはできる。
（1）ニュートン力学の場合
光速を無限大とすると、ニュートン力学の極限になるが、シュバルツシ
ルト半径は 0 となる。このとき、上の式は、
2 d  1 
1
1 dϕ  r  + r 2 = b 2 となるが、この式が、以下の解をもつことは、すぐ確かめられるだろう。

1 cos ϕ=rbあるいは、 r cos ϕ = b だが、これはまさしく直線の式である。
すなわち、
ニュートン力学の極限では、たしかに光線は直進している。
58

重力レンズ現象（2）光子半径d 2  1  1 3 rg + =
dϕ 2  r  r 2 r 2→

1 3 rg=r 2 r2光子半径 photon radius

上の式で、半径 r が方位角 φ によらず一定の場合、左辺の第 1 項は 0 となる。このとき、残りの項から、一定の半径として、

r = rph ≡3rg2が得られる。この半径を光子半径と呼ぶ。

光線の曲がり光線（光子）は光子半径で円軌道を描くことができる（ただし、不安定）。

円軌道を描く光子に注目（3）ブラックホールの見かけの大きさ
2rg  1
 d  1 
1  = 2
+
1
−


2 
 dϕ r 
r
r





 b

→

rg  11 =−
1r 2 
r  b 2

上の式で、やはり左辺の第 1 項を 0 と置くと、半径が一定のときの半径と衝突パラメータ b の関係が得られる。
光子半径を入れると、以下となる。

b = bc ≡27
rg ≈ 2.60rg
4

これを臨界衝突パラメータと呼んでいる。
無限遠から飛来する光線（光子）は、その衝突パラメータが臨界衝突パ
ラメータより大きければ、ブラックホールで曲げられた後、無限遠へ飛び去る。臨界衝突パラメータのときは、ブラックホールのそばで光子半径に巻き付く。そして臨界衝突パラメータより小さければ、ブラックホールにブラックホールの見かけの大きさ

吸い込まれる。
光線を逆に辿れば、ブラックホールから出てくる光線（というものを想ブラックホールシャドー

像すると）は、ギリギリ出てくる光線は無限遠で臨界衝突パラメータの方

black hole shadow

向に出ていくことになる。言い方を変えれば、無限遠から見たときのブラックホールの見かけの大きさは、その幾何学的な投影サイズ（シュバルツ
シルト半径）よりかなり大きく、シュバルツシルト半径の約 2.6 倍の大きさに見えることになる。このブラックホールの影をブラックホールシャドーと呼ぶ。

ブラックホールシャドー（ブラックホールが自転している場合の例；高橋労太さんの計算）Homework：
ブラックホールシャドーについて調べてみよ。

59

１０ 封筒裏の計算とフェルミ推定
Questions today
概算とは？
さて、ここまで紹介したように、自然現象はさまざまな微分方程式や積分方程式その他の方程式で記述され、方程式を解析して理解がすすむ。が、いつもいつも微分方程式などを解析的・数値的に解いて、解を求めてから後、ようやく自然現象の理解を進めるわけではない。大雑把な振る舞いが知りたいだけなら、微分方程式を解かずに、ラフな見積もりで概略を理解することは可能だ。また物理的に解釈するためには、ラフな見積もりから、現象の根幹となる要素の当たりをつけることも多い。先に触れた次元解析もその種の一例である。ここではふたたび、概算とオーダー評価について、いくつかの例を眺めておく。

オーダー評価概算 rough estimation
オーダー評価 order evaluation

熱伝導方程式は、物質の温度を T ( x, t ) として、

∂T
∂ 2T
=K 2
∂t
∂x
と表された。ただしここで、 K ［m2 s-1］は温度伝導率である。
高温の溶岩（たとえば、温度 1000K）が海水中に流れ込んで急冷する現象を考えてみよう。
溶岩の温度伝導率は、溶岩の熱伝導率を κ、密度を ρ、
比熱を Cp として、以下ぐらいとなる。

κ = 1 W m −1 K −1

枕状溶岩（20110919 屋久島）

ρ = 2.5 g cm −3

溶岩が海水中で急冷すると、枕を積み

C p = 1 J g −1 K −1

重ねたような状態になり、枕状溶岩と

K=

呼ばれる。

κ
~ 4 × 10 −7 m 2 s −1 = 4 × 10 −3 cm 2 s −1
ρC p

溶岩が冷える途中の温度分布や温度変化などの細かい過程を知りたけれ
ば、偏微分方程式を数値的に解かないとならない。しかし、冷却時間のおおざっぱな見積もりならば、冷却時間を τ、溶岩のサイズを L として、偏微分方程式を、地球大気の静水圧平衡の式をオー
ダー評価すると、大気の厚さが見積も
れる。

T

T
≈K 2
τ
L

のような代数式に置き換えて、オーダー評価する。この代数式を変形すると、溶岩の温度に無関係に、冷却時間は以下ぐらいだと見積もれる。

τ≈▼地球大気の厚さ

L2K

たとえば、L＝10cm のとき、τ＝2500s＝40min となる。
60

封筒裏の計算次元解析やオーダー評価なども含め、ちょっとした手計算で、物理量の見積もりや概算をすることを封筒裏の計算と呼ぶことがある。
経験的に感じていると思うが、雨のときよりも霧や靄のときの方が、視

封筒裏の計算back-of-the-envelope calculation

界が悪くて遠方の見通しがきかない。封筒裏の計算で示してみよう。

Q 雨より霧の方が視界が悪いのはなぜ？
▼多少違うが一般的な見積もり

まず大前提として、ある体積内の水の総量（総体積）は、雨でも霧でも変わらないとしよう。その体積内に、半径 rrain の雨粒が Nrain 個あれば、雨多少違うが基本的には同じ考えによる見積もりも示してみよう。

の総量は、Vrain＝Nrain（4π/3）rrain3 になる。同様に、半径 rfog の霧粒が Nfog

水滴の半径を r、体積を V、断面積個あれば、霧の総量は、Vfog＝Nfog（4π/3）rfog3 になる。これらは等しいと仮を S、単位体積内の個数密度を n、そ定したので、以下が成り立つ。

して見通せる距離を l とする。

Nrain rrain3＝Nfogrfog3

このとき、一方、見通しの悪さは、水滴が視野を遮る面積に比例するはずだが、視nSl＝1線方向で水滴が重ならないとすると、雨粒の総面積は、Srain＝Nrainπrrain2 になという式は、水滴の断面積 S で長さがり、霧の場合は、Sfog＝Nfogπrfog2 になる。これらの比は、以下となる。

l の円筒内に含まれる水滴の個数が 1

Sfog / Srain＝Nfogrfog2/Nrain rrain2

個ということを意味している。言い換

最初の式を用いて、個数の比を消去すると、最終的に、
Sfog / Srain＝rrain/rfog

えれば、見通せる距離 l は、
l＝1/(nS)という関係が得られる。
すなわち、雨粒より霧の水滴の半径が小さければ、その割合に反比例して、水滴が視野を遮る総面積は広くなるのである。

で決まることがわかる。
さて、水滴の個数密度は、総量を 1以上の導出は、体積や面積だけの単純な掛け算や比だけなので、広告の個の水滴の体積 V で割って得られる

裏紙にでも簡単に手計算できる。しかし、このような簡単な計算でも、結が、水滴の体積は半径 r の 3 乗に比例果として、定量的な関係も含め、正しく見積もりができている。

するので、個数密度は r の 3 乗に反比Homework：

例する。一方、断面積 S は r の 2 乗に以下の見積もりから、単細胞生物が大きくなれない理由を考察してみよ。

比例する。結果、見通せる距離 l は，細胞はその活動に応じてエネルギーを消費し発熱する。細胞の温度を T、水滴の半径rに比例して決まることが比熱を C と置くと、細胞の単位質量当たりの発熱量 Q［J/kg/s］は、Q［J/kg/s］

わかる。

＝CT ほどになる。細胞の大きさを a とすると、密度はほぼ 1 なので、細胞

たとえば、大粒の雨（半径 1mm）

全体での発熱量 QM［J/s］は、だいたい QM［J/s］＝Qa3＝CTa3 になる。

のときの見通し距離が 600m なら、同

一方、発生した熱は細胞表面から放熱しないといけない。赤外線放射で放熱するならば、ステファンボルツマンの法則から、単位面積当たりの放熱量 L［J/m2/s］は、L［J/m2/s］＝σT4 になる。したがって、細胞表面全体での放熱量 LS［J/s］は表面積を掛けて、LS［J/s］＝La2＝σT4a2 ほどになる。
発熱と放熱は釣り合わないといけないので、
CTa3＝σT4a2 → a／T3～一定という関係が得られる。細胞が大きくなると、必然的に高温になる。
61

じ総量で、霧（半径 0.01m）になると、
見通し距離は 6m に落ちる。

フェルミ推定
さらに、封筒裏の計算の最強例として、フェルミ推定と呼ばれるものもある。ここまで紹介したオーダー評価や封筒裏の計算例では、それなりに

フェルミ推定 Fermi estimate

見積もりを行うベースがあった。一方、見かけ上は見積もりの見当すら難しいような問題を、適切な要素に分解し、それぞれの要素の下限値や上限

そもそも、封筒裏の計算も、フェルミ値を見積もり、科学的な推論によって、もとの問題をある程度は推定するに由来する。

方法が、物理学者エンリコ・フェルミが得意としたフェルミ推定である。
フェルミ自身がシカゴ大学の学生に出題した問題を考えてみよう。

Q シカゴにピアノの調律師は何人いるか？

▼フェルミ問題の例
・シカゴにピアノの調律師は何人いるか？

まず、問題をいくつかの要素にわけてみよう。

・日本全国に電柱は何本あるか？

関係しそうな要素としては、ピアノの台数、必要な調律回数、調律師の・東京都にマンホールはいくつある

仕事量などが考えられる。このうち、ピアノの台数は、一家にあってもせか？

いぜい一台だろうから、世帯数と保有率で決まるだろう（学校や教会にも・長野に蕎麦屋は何軒くらいあるか？

あるはずだが、簡単のために省略する）。前者の世帯数は、シカゴの人口と・京都市に飼い猫は何匹いるか？

世帯の平均人数にわけられる。そこで下記のように数値を置いてみる。
下限

上限

中央

シカゴの人口

100 万人1000 万人

300 万人

世帯の平均人数

2人

5人

3人

▽世帯数

20 万

500 万

100 万

ピアノの保有率0.05

0.5▽ピアノの総数

1 万台

250 万台

0.1
10 万台

ピアノ 1 台で必要な年間の調律回数
0.5 回▼年間の調律総数 5000 回

1回

1回

250 万回

10 万回

調律師 1 人が 1 日の調律するピアノの台数
1台

3台

2台

300 日

250 日

調律師が年間に働く日数200 日■調律師 1 人が年間に調律するピアノの台数
200 台

900 台

500 台

年間の調律総数▼を台数■で割ると、調律師の人数として、
1 万人

10 人

200 人

となって、シカゴに居るピアノの調律師は、最低でも 10 人、最大で 1 万人を超えることはなく、おそらくは 200 人のオーダーだろうと推定できた。
62

１１ 科学光学機器の基礎
Questions today
光の性質を挙げてみよ？
レンズと鏡のはたらきは？
レンズの公式とは？
顕微鏡と望遠鏡の取り扱いは？
測定器具 measuring instrument

科学ではさまざまな器具を用いて各種の測定や実験を行う。物差しに始まり、時計、秤、プリズム、レンズ、試験管、ビーカー、ピペット、メス

実験器具 laboratory instrument
観測装置 observational equipment

シリンダー、シャーレ、アルコールランプ、バーナー、顕微鏡、照度計、望遠鏡などなど、枚挙にいとまがない。これらの器具の取り扱い方法は実▼光の 3 法則

験や観察実習で習うはずだが、時間的な制約などもあり、なかなか器具の直進の法則、反射の法則、屈折の法

働きや原理までは教えられないことが多いだろう。そこで、ここでは、光則は、古代アレキサンドリアの古くか

学機器について、光学の基礎から器具の原理まで、ごく簡単に触れておきたい。

ら知られており、光の 3 法則と呼ばれる。
光の 3 法則 3 law of light

光の性質（法則）〔直進の法則〕光線は一様な媒質中では直進する〔反射の法則〕光線は媒質の境界面で反射される。反射の際、入射角と反射角は等しい。
〔屈折の法則〕光線は境界面を通過するときに屈折する。屈折の際、入射角と屈折角の間にはスネルの法則が成り立つ。

直進するレーザー光線

反射 reflection
屈折 refraction
入射角 incident angle

入射角、反射角、屈折角

反射角 angle of reflection
屈折角 angle of refraction

スネルの法則 Snell’s law

スネルの法則63

入射角を i、屈折角を r、屈折前の媒質の屈折率を n1、屈折後の媒質の屈折率を n2 と置くと、スネルの法則は一般形で以下となる。

sin i n2=
sin r n1▼光の波動的性質

とくに、空気中から液体中への入射の場合は、空気の屈折率はほぼ 1 な振る舞うときに現れる性質である。

分散、回折、干渉は、光が波としてので、液体（たとえば水）の屈折率を n と置くと、下記となる。
分散 dispersion

sin i
=n
sin r

回折 diffraction
干渉 interference〔分散〕屈折率の異なる媒質に光が入射するとき、波長によって屈折率が少しずつ違うために、光（白色光）はいろいろな色光に分解される。これ
を光の分散と呼ぶ。分散を利用した器具がプリズムである。また虹も分散で生じる。
〔回折〕光線の進路が微小な角などで曲げられ回り込む現象を、光の回折と呼ぶ。回折の度合いは光の波長によって違う。回折を利用して光をスペクトルに分解する器具が回折格子である。
〔干渉〕光線は薄膜で反射するときや、近接スリットを通過するときに、分散の例

光同士が強め合ったり弱め合ったり、さらには色が着いたりする現象を、光の干渉と呼ぶ。シャボン玉や油膜の色は光の干渉で生じる。

回折の例

プリズム

直視分光器

干渉の例

64

レンズと鏡、レンズの公式
凸レンズ convex lens

〔凸レンズ〕周囲に比べて中央が膨らんだレンズ：像は倒立実像

物体と凸レンズの距離 p（>0）
、像と凸レンズの距離 q（>0）
、焦点距離 f

レンズの公式

1 1 1+ = ； p > 0, q > 0, f > 0p q f

凹レンズ concave lensq>0

〔凹レンズ〕周囲に比べて中央がへこんだレンズ：像は正立虚像

凹面鏡 concave mirror

物体と凹レンズの距離 p（>0）
、像と凹レンズの距離 q（<0）
、焦点距離 f

レンズの公式

1 1 1+ = ； p > 0, q < 0, f > 0
p q f

q<0

〔凹面鏡〕周囲に比べて中央がへこんだ鏡：像は倒立実像

凸面鏡 convex mirror

物体と凹面鏡の距離 p（>0）
、像と凹面鏡の距離 q（>0）
、焦点距離 f

レンズの公式

1 1 1+ = ； p > 0, q > 0, f > 0
p q f

q>0

〔凸面鏡〕周囲に比べて中央が膨らんだ鏡：像は正立虚像

物体と凸面鏡の距離 p（>0）
、像と凸面鏡の距離 q（<0）
、焦点距離 f

レンズの公式

1 1 1+ = ； p > 0, q < 0, f > 0
p q f
65

q<0

Exercise/Homework/Report： 像の作図
凸レンズ、凹レンズ、凹面鏡、凸面鏡のぞれぞれで、像を作図してみよ。

光学機器：虫眼鏡、顕微鏡、望遠鏡
顕微鏡や望遠鏡は、レンズや鏡を組み合わせて光を導く光学機器だが、レンズ・鏡による結像に加えて、観察者の眼による結像も必要なため、像をみる仕組みは予想外に複雑になる。以下、光線の経路を示しておく。

虫眼鏡 magnifying glass〔虫眼鏡〕単レンズを用いたもっとも単純な光学装置

顕微鏡 microscope〔顕微鏡〕小さなモノを拡大してみる光学装置

望遠鏡 telescope

瞳 pupil〔望遠鏡〕遠くのモノを拡大してみる光学装置

虹彩 irisHomework/Report： 機器の取り扱い
顕微鏡の取り扱い上の注意点をまとめよ。
望遠鏡の取り扱い上の注意点をまとめよ。
66

光学的性能光学機器は、用いたレンズなどの物理的制約によって、性能が決まる（制限がある）。以下、望遠鏡を例に取り、いくつかの光学的性能を説明する。
〔口径 D〕屈折望遠鏡の対物レンズや反射望遠鏡の主鏡の直径。口径が大きいほど集光力が高く、望遠鏡の性能の大部分は口径で決まる。
〔集光力〕望遠鏡が肉眼の何倍の光を集めることができるかという値。対物鏡の面積と肉眼の瞳（直径 7mm）の面積の比で与えられる。
〔分解能 θ〕 2 つの物体を見分けることができる最小の角距離（角度でどれだけ離れているか）。分解能θ[rad]は観測波長と対物鏡の口径だけで決まり、観測波長 λ［cm］に比例し、対物鏡の口径 D［cm］に反比例する。

θ=

λ

▼主鏡

D

望遠鏡の場合、レンズを使っていて〔焦点距離 f〕レンズあるいは反射鏡と天体の実像の間の距離。焦点距離

も、主“鏡”と呼ぶ。

が長いほど大きな実像が得られる。
〔口径比・F 数 F〕対物鏡の焦点距離 f を口径 D で割ったもの。実像の口径 diameter

単位面積あたりの明るさは F 数の 2 乗に反比例するので、F 数が小さいほ

集光力 light-gathering power

ど明るい光学系という。

分解能 resolution

F=

f
D

▼分解能

〔倍率 m〕肉眼で見た天体の見かけの大きさと、望遠鏡を通してみた見か

空間分解能（角度分解能）以外に、けの大きさの比。
対物鏡による実像の大きさは対物鏡の焦点距離に比例し、光の波長をどこまで細かく分解でき接眼鏡による拡大率は接眼鏡の焦点距離に反比例するので、倍率 m は，るかという波長分解能や、時間的な変対物鏡の焦点距離 fobs を接眼鏡の焦点距離 feye で割ったものになる。

化をどこまで細かく分解できるかと

fm = obsf eye

いう時間分解能もある。

焦点距離 focal length

Exercise： 口径と分解能

倍率 magnification

いろいろな望遠鏡の分解能と“視力”を求めよ。
口径 D

分解能 θ

相当視力

瞳

0.7 cm0.3’3

倍率を上げていくと、分解能による

小型望遠鏡

10 cm

1”

60

限界を超えると像がぼやけてしまう。

大阪教育大学望遠鏡

51 cm

0.24”

250

また単位面積当たりの光線が減るた

すばる望遠鏡8m

0.016”

4000

め、輝度が下がって暗くなる。光学機

見かけの大きさが 1’の物体を見分ける視力が 1 である。

器の分解能（口径）に応じて、適正な分解能の単位は、角度の分（’）および角度の秒（”）

倍率の範囲がある。

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▼適正倍率

１２ 科学的な表現
Questions today
文字の書体（フォント）とは？
レポートや論文の組み立て方は？
読み書き力の最後に、読み書き力と対である表現力、とくに科学的な表
現方法やプレゼンテーションについて、いくつか注意しておきたい。

話法★話★ うまい方がいい

字は綺麗に書けるに越したことはな【話の流れ】

いが、字の上手下手は、音楽や絵と同・序破急のリズムで、ツカミ（序）、何が目的か（破）、まとめ（急）を。
【口頭発表】

じく才能に依存する。ぼくのように字が下手な人間はつらいものもあるが。

・相手の目を見ながら、全体のようすを眺めながら
・滑舌をよく

書体・字体・フォント font

・早口は×（プロの話し方…一定のスピード）
明朝体 Mincho

書法

ゴシック体 Gothic★字★ 綺麗な方がいい【書体・字体・フォント】

ローマン体 Roman

・日本語の書体：明朝体、ゴシック体

イタリク体 Italic・英語のフォント：ローマン体（立体）、イタリク体（斜体）、ゴシック
体（太字）以外に、サンセリフ、花文字、など多数ある【文体】

ゴシック体 Gothic
サンセリフ体 Sanselif
スクリプト体（筆記体） Script

・ですます調、である調、そのハイブリッド
・句読点を（。
、）とするか（．
，）にするか

文体 style

・新井素子風、ラノベ風…
【日本語の力】

文字種や文法が日本語非ネイティブ・日本語は、表意文字の漢字、表音文字の和語（ひらかな、カタカナ）
さらに英語のアルファベットまで、多種多様な文字種を使って、非常に豊富な表現が可能な希有な言語である。たとえば、英語は大文字小文字合わ
せても 52 文字しか使えないが、日本語は表音文字の仮名だけでも、濁音や促音を含めれば英語の3 倍くらいの文字がある。
さらに、
通常は漢字も2000
字ぐらいは使えるだろう。書に際しては、この日本語の力を最大限に活かすのが重要なポイントになる。そのためには、まず、読んで読んで読みまくり、書いて書いて書きまくるのが、最短の一歩である。
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にとっては日本語の学びにくさの主因だが、ここは（マンガ文化と合わせ）日本語ネイティブに生まれた幸運に感謝したい。

【文、段落、文章】
・一文の長さはできるだけ短くする

文 sentence

・ただしブツ切りの文を並べずに、丁寧に接続詞でつなぐ

段落 paragraph

・適当に改行して段落としない。関連のある文を並べて段落とする。

文章 writing

日本語のスタイル 最後に結論；それまではいろいろな説明
英語のスタイル

最初に結論(テーマ)；後で理由付けや説明【文のタイプ】▼段落の構成と文の順序最初に結論を書く英語の場合、よい・事実、 ・推論、 ・意見、 ・感想、 ・想像、 ・創作

文章では、各段落の最初の文を続けて科学的な論文で用いる文タイプは、基本的に、事実と事実から論理的にいけば、結論だけをまとめたアブスト

導かれる推論のみである。意見や主張や感想は通常は書くことはなく、想ラクトとして読める構成になってい像や創作は科学的な文章では改竄または捏造と呼ばれる。

る。逆に、最後に結論を書く日本語の【レジメ】

スタイルでも、各段落の最後の文を繋ゼミの発表などで使用する A4 で 2 枚程度の短いまとめがレジメ。

げると全体の概要になっているのが、・冒頭に、タイトル、発表者名、発表日を必ず明記すること

よい科学文章構成だろう。

・末尾に参考文献を明記すること【レポート】

事実 fact

演習や実験など実習内容を提出するための報告文がレポート。

推論 inference

標準的なレポートは、冒頭にタイトルや著者名を記し、意見 opinion

１ 目的

感想 impressions

２ 方法

想像 imagination

３ 結果

創作 creation

４ 議論で構成する。もちろん最後には参考文献を過不足なく入れる。

レジメ resume【論文】

レポート report

研究成果を学術誌で公表するための正式な文章が（科学）論文。その分

論文 paper

野の現状をレビューした総説記事、新しい知見を報告する原著論文、短い

総説記事 review

レター論文などがある。

少し長い原著論文 article

標準的な論文は、タイトル・著者名・所属組織名を記し、abstract（概要）

通常の原著論文 paper
短い原著論文 letter

1 Introduction 動機、先行研究について
2 Observation/Model/Method → 観測方法、理論的モデル、実験

アブストラクト・概要 abstract

3 Results 結果（新しく得られたこと知見）

はじめに introduction

4 Discussion

方法 method

5 Conclusion

結果 results

References 参考文献

議論 discussionで構成する。

結論 coclusion

Exercise： 事実と感想

参考文献 references

夕日の写真を見て、事実と感想を述べよ。
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【ワープロソフト】
ワード：フォントが悪く欠点が多いが、デフォルトになってしまった
一太郎：フォントが綺麗で変換もよいが、使用者は減った▼文字コードLaTeX：数式などを美麗にレイアウトする、上級向けソフト

SHIFT-JIS

エディタ：レイアウトは組めないが、文字入力できる簡易ソフト

UTF-8

▼エディタ
秀丸
TeraPadNotepad

ワードの画面イメージとフォント

ブラインドタッチ touch typing（ブラインドタッチは和製英語）▼キーボード配列
標準的なキー配列は、英字最上段の左から、QWERTY と並ぶので QWERTY（クLaTeX の画面イメージとフォント

ウォーティー）配列と呼ぶ。昔のタイ
プライターは打鍵に連動して梃子の【ブラインドタッチ】

原理でアームが回転し印字していた。

手書きのレポートは別として、多くの場合は、文章をパソコンなどのキキーを叩く速度が速すぎるとアーム

ーボードで入力するだろう。手元のキーボードを見ずに入力する作法：ブが絡んでしまうため、わざとややこし

ラインドタッチ（タッチタイピング）を身に付ければ、（一本指の場合の）い配列にして打鍵速度を落としたと

通常の 3 倍どころか、10 倍 20 倍の速度で入力できるようになる。文章をいうのが通説。

考えながら、あるいはモニタの横の原稿を見ながら入力できるので、文章を書くスピードが格段に向上する。
一週間の特訓で身に付くので、是非、チャレンジして欲しい。
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画法▼グラフの英語★絵★ 上手な方がいい

グラフの表題 graph title【絵・図・写真の重要性】

原点 origin

・小説など物語なら別だが、文章だけのレポートは読む気にならない

枠 frame・視覚的なインパクトが大きい（着色もポイント）

横軸 x(horizontal)-axis, abscissa

・「百聞は一見にしかず」に尽きるが

縦軸 y(vertical)-axis, ordinate

・絵の情報量は文字よりも桁で大きい（着色すると数十倍増し）

軸の名前 axis label

・絵を有効的に使うと◎データ点 data point【画像の種類】
・説明図、イラスト：ちゃんとした絵があると内容を読みたくなる

実線 solid line/curve・グラフ、3D グラフ：結果を定量的に表す

破線 dashed line/curve

・写真：コントラストのあるわかりやすいものに

点線 dotted line/curve【図の割合】

一点鎖線 dash-dotted line, chain

・レジメ：見開きの場合、1/3～1/2 ぐらいは図に

dotted line・レポート：１頁か２頁に１枚程度は図を入れる

太線 thick line/curve【お絵かきソフト】

細線 thin line/curve

Paint 系(ぬり絵) Photoshop, PaintShop ⇒ 拡大すると粗くなる
Draw 系(線をかく) Flash, Illustrator ⇒ 拡大しても粗くならない

太い実線 thick solid line

Sma4win ２次元のグラフ

細い破線 thin dashed line

Graph-R ３次元のグラフ

イラストの例（イラレで作成）、グラフの例（Sma4Win で作成）
、グラフの例（Flash で作成）

3D グラフの例（Graph-R で作成）
、写真の例（paintshop で加工）

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算法★プログラミング★ 必要なときに覚えればよい▼算譜の例

プレゼンテーション（パワーポイントの場合）

Open “test.txt” for create as #1
for x=0 to 100

・文章のみ××× ママ見るが、最悪のパターン（演示中に読めないし、そもそもパワポにする意味がない）

y=sin(x)print #1, x, y

・説明文は必ず（１行ごとぐらいの）箇条書きでnext x・絵や画像 できるだけカラーで、また動画も利用
・アニメーション…ここぞというところだけに使い、多用しない

close（インパクトが薄れるし、時間も無駄）・各頁に図を入れて、その説明文を入れるぐらいの気持ちで▼算譜の例

Open “test.cvs” for create as #2
print #2, “データ形式, 2”
for y=0 to 100
for x=0 to 100
z=sin(100*x)*cos(100*y)print #2, x, y, z
next x
next yパワポの例（ブラックホール活動天体入門）

close

パワポの例（研究室紹介パンフレットなので、こちらは字が多い）

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Presentation： 実践編
小学校４年生または中学校２年生を対象に、下記の現象を説明せよ。
・虹・スペクトル・時間の遅れ・その他、自然現象
１）現象自体の説明と、その仕組みの説明をすること
２）手書きの説明図、自作のグラフ・写真を３枚以上使うこと。
３）口頭発表の場合は１０分が目安、レポート／レジメは A4 で２枚程度
４）１～３人以内でのグループ活動は OK

おまけ：色立体73

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