真空のエネルギー密度「クライン・ゴルドン方程式〜実スカラー場〜」とかでは運動量を連続に取っていましたが、ここでは離散的な場合を考えます。そのついでに、プレートに挟まれた真空のエネルギー密度を求めます。

質量 0 の実数スカラー場を考えます。質量を 0 にするのは簡単にするためと、後で電磁場の場合に変更しやすくするためです。なので、場 ϕ(x) は、質量 0 のクライン・ゴルドン方程式□ϕ(x) = 0(1)に従うとします。これの解を求めますが、運動量を連続値にしないために、長さ L の範囲に限定します。これによって、境界 L で境界条件が必要になるので、周期的境界条件

ϕ(x + nL) = ϕ(x)(n = (n1 , n2 , n3 ))を与えます。ni は整数です。これのもとで (1) を解けば、当然、平面波の解

fk (x, t) = Ce−i(ωk t−k·x)(ωk = |k| , k =2πn)Lが出てきます。規格化定数 C は通常通り粒子密度 (電荷密度)ρ を使って、3 次元体積 V の領域で

∫d3 x ρ = 1Vとすることで決めます (空間体積 V の中に 1 つ粒子がいるという規格化)。共変的な規格化にするなら右辺を 2Eにすばいいです (「規格化について」参照)。スカラー場の粒子密度は

ρ = i(ϕ∗ (x)∂∂ϕ(x) − ϕ(x) ϕ∗ (x))
∂t
∂t

なので

∫iV

d3 x(fk∗∂fk∂f ∗− fk k ) = −iV (iωk C 2 + iωk C 2 ) = 2ωk V C 2∂t∂t

よって、規格化定数はC=√12ωk Vとなります。ちなみに、「クライン・ゴルドン場〜複素スカラー場〜」で定義したように、(1) の解 g に対する関数の内積∫< g1 , g2 >= id3 x(g1∗ (x)1∂∂g2 (x) − g2 (x) g1∗ (x))∂t∂tと同じです。内積記号を使えば、直交性を< fk , fk′ >= δkk′と書けます (k ̸= k′ で 0 になるのはすぐに分かります )。k は離散化されているので、クロネッカーデルタになります。

ϕ(x, t) の展開は、離散化されているので積分でなく和になってϕ(x, t) =∑(ak fk (x, t) + a†k fk∗ (x, t))k

共役量 π との同時刻交換関係を[ϕ(x, t), π(x′ , t)] = iδ(x − x′ )(π =∂L= ∂0 ϕ)∂(∂0 ϕ)とすれば[ϕ(x, t), π(x′ , t)] =∑(ak fk (x, t) + a†k fk∗ (x, t))(−iωk′ ak′ fk′ (x′ , t) + iωk′ a†k′ fk∗′ (x′ , t))k,k′−∑(−iωk′ ak′ fk′ (x′ , t) + iωk′ a†k′ fk∗′ (x′ , t))(ak fk (x, t) + a†k fk∗ (x, t))

k,k′

= −

∑(iωk′ ak ak′ fk (x, t)fk′ (x′ , t) − a†k a†k′ fk∗ (x, t)fk∗′ (x′ , t)k,k′

− ak a†k′ fk (x, t)fk∗′ (x′ , t) + a†k ak′ fk∗ (x, t)fk′ (x′ , t)+∑)(iωk′ ak′ ak fk′ (x′ , t)fk (x, t) − a†k′ a†k fk∗′ (x′ , t)fk∗ (x, t)k,k′+ ak′ a†k fk∗ (x, t)fk′ (x′ , t) − a†k′ ak fk (x, t)fk∗′ (x′ , t)
= iωk′∑()[ak′ , ak ]fk′ (x′ , t)fk (x, t) + [a†k , a†k′ ]fk∗′ (x′ , t)fk∗ (x, t)k,k′)+ [ak′ , a†k ]fk∗ (x, t)fk′ (x′ , t) − [a†k′ , ak ]fk (x, t)fk∗′ (x′ , t)
このとき、a†k , ak の交換関係を[ak , a†k′ ] = δkk′ , [ak , ak′ ] = 0 , [a†k , a†k′ ] = 0とすることで2(2)[ϕ(x, t), π(x′ , t)] =∑iωk′ (δkk′ fk∗ (x, t)fk′ (x′ , t) + δkk′ fk (x, t)fk∗′ (x′ , t))k,k′=∑iωk′ (fk∗ (x, t)fk (x′ , t) + fk (x, t)fk∗ (x′ , t))

k=

∑′′
1
(e−ik(x−x ) + eik(x−x ) )2ωk Viωkk=

V(2π)3∫d3 k′′iωk(e−ik(x−x ) + eik(x−x ) )2ωk V= iδ 3 (x − x′ )2π/L で離散化された運動量 k での、連続極限としての積分∑k⇒ (L 3∑V)(∆k)3 ⇒2π(2π)3∫d3 kk(∆k = (2π 3) )Lを使っています。よって、a† , a は交換関係 (2) を満たす生成、消滅演算子です。
ハミルトニアンを求めるには∫11d3 x( π 2 + (∇ϕ)2 )22

H=に今の結果入れればいいですが、「クライン・ゴルドン場〜実スカラー場〜」と同じ計算なので

H=1∑
ωk (a†k ak + ak a†k )
2k=

∑k=

∑k

1
ωk (a†k ak + [ak , a†k ])21
ωk (a†k ak + )2(3)3 次元全運動量でも同様で

K=∑ka†k akkとなります。
これで運動量が離散化している場合での基本的な話は終わりです。次にこれを使って真空のエネルギー密度を求めてみます。真空 |0⟩ のエネルギーは物理的な状況を考える限り 0 とし、それに合わせるためにハミルトニアン(3) の第二項 (零点エネルギー) を測定の基準として無視しますが、それを計算してみます。
状況を設定します。まず、3 次元空間上に z 軸方向の差が a となるように平行に 2 つプレートを置きます。プレートの長さは L で、2 次元面です。3 次元座標で書けば、(x, y, 0) と (x, y, a) にプレートを置くということです。
このとき、a は L に比べて小さいとします。2 つのプレート上での ϕ はプレートの静止系において同じ値を持っているとします。

3

真空のエネルギーは真空の状態 |0⟩ でハミルトニアンを挟めばいいので⟨0|H|0⟩
そうすると、当然真空の粒子数は 0 なので、ハミルトニアンの第一項は消えて第二項だけが残り⟨0|H|0⟩ =1∑
ωk2k

今はプレートに挟まれた空間を考えているので、プレート間の体積 aL2 で割ってエネルギー密度 ϵ にすると

ϵ=1 1 ∑ωk2 aL2k3 次元運動量 k は全方向に対して周期的境界条件をとっているなら、nx,y,z を整数としてkx,y =2π2πnx,y , kz =nzLaとなるので ωk は

ωk = |k| = ((2π 2 22π) (nx + n2y ) + ( )2 n2z )1/2
Laしかし、今はプレートの間に閉じ込めておきたいので、z 方向に対しては境界で 0 になるという条件

ϕ(z = 0) = ϕ(z = a) = 0を使います。この境界条件では

kz =πnzaとなるので、これに置き換えて

ωk =√k2 = ((2π 2 2π) (nx + n2y ) + ( )2 n2z )1/2
La

このとき、nx,y は 0, ±1, ±2, · · · ですが、nz は 1, 2, 3, · · · です。
計算したい和の形を見ると明らかに発散しているので、このままでは計算できません。なので、ϵ(a) = −d ∑ −µωkd
1 1
1 1limlime
S(µ, a)=−22 aL µ→0 dµ
2 aL2 µ→0 dµkと変形します。こうすれば、和は e−µωk に対してとるので発散しません (ωk ≥ 0)。x, y 成分は L → ∞ にして積分に書き換えてしまえば4

S(µ, a) =∑∞∑e−µωk =∞∑exp[−µ((nz =1 nx ,ny =−∞k2π 2 2π) (nx + n2y ) + ( )2 n2z )1/2 ]La∞ ∫L2 ∑π=
d2 k exp[−µ(kx2 + ky2 + ( )2 n2z )1/2 ](2π)2 n =1az

∞

L2 ∑
=
2π n =1∫ ∞z0πdρ ρ exp[−µ(ρ2 + ( )2 n2z )1/2 ]
a∞

=

L2 ∑
F (nz )
2π n =1z

ここでの ρ は ρ = (kx2 + ky2 )1/2 です。ρ 積分は普通に実行できて∫ ∞F (nz ) =0

∫ ∞
=0

∫ ∞
=πdρ ρ exp[−µ(ρ2 + ( )2 n2z )1/2 ]adρ ρ exp[−µ(ρ2 + c2nz )1/2 ]dλ λ exp[−µλ] (λ = (ρ2 + c2 )1/2 )cnz= −= −dλ exp[−µλ]cnz

d 1 −µcnz)( edµ µ= − (−=(∫ ∞ddµ1cn− z )e−µcnz
2µµ1πnz
1 πnz) exp[−µ]+2µµ aa

ここでオイラー・マクローリンの公式 (0 ∼ a の区間で関数 f (x) が解析的で、和が収束する)
n−1∑1f (xm ) + (f (0) + f (xn )) =2m=1

∫ af (x)dx +0∞∑B2m(2m)!
m=1(f (2m−1) (a) − f (2m−1) (0))

を使います。f (2m−1) (a) は f (x) を x で 2m − 1 回微分して、x = a にするという意味です。B2m はベルヌーイ数です。また、オイラー・マクローリンの公式の変化版である Abel-Plana の公式∞∑1f (xm ) − f (0) =
2m=0

∫ ∞

∫ ∞
dx f (x) + i001
(f (ix) − f (−ix))dx 2πxe−1を使っても求められます (Abel-Plana の公式からオイラー・マクローリニンの公式を導出できる)。f (x) は複素平面の右半面で解析的である必要があります。
オイラー・マクローリンの公式を 0 ≤ x < ∞ の範囲とし、F (nz ) は nz の無限大で 0 になることを使えば

5∞∑1
F (m) + F (0) =2m=1∫ ∞F (x)dx −0∞∑B2m(2m)!
m=1F (2m−1) (0)

これによって∞∑nz =1∫ ∞F (nz ) =F (x)dx −0∞∑B2m1F (2m−1) (0) − F (0)(2m)!
2m=1

右辺第一項の積分は、具体的に実行する必要がないので∫ ∞011 πxπx( 2+) exp[−µ ]dx = aµµ aa

∫ ∞(01π+ l) exp[−πµl]dl2µµ(l =x)
a= aG(µ)とします。G(µ) は µ = 0 で発散する項を持っています。
右辺第二項での F (x) の微分をみてみると、m = 1 では

(1 ππ 11 πx )πxdF (x)|x=0 =−µ ( 2 +) exp[−µ ]|x=0dxµaa µµ aa=π 11πxπx( − −) exp[−µ ]|x=0a µ µaaππx= − ( )2 x exp[−µ ]|x=0aa=0m = 2 では

π 2 d2πxd3 F (x)|=−()(x exp[−µ ])|x=0x=0dx3a dx2aπ dππx= − ( )2 (1 − µ x) exp[−µ ]|x=0a dxaaπ 2(πππ )πx= − ( ) − µ − µ (1 − µ x) exp[−µ ]|x=0aaaaaππxπ 3= − µ( ) (−2 + µ x) exp[−µ ]|x=0aaaπ 3= 2µ( )am ≥ 3 の微分は同様に行っていくと、µ2 が係数として出てきます。なので、これより上の微分は、最後に µ 微分を行って、µ = 0 の極限をとるときに消えます。というわけで

6∞∑

F (nz ) = aG(µ) −B4 (2)1F (0) − F (0) + O(µ2 )4!
2= aG(µ) +1 1
π12µ( )3 − 2 + O(µ2 )30 4!
a2µ= aG(µ) +π31
µ − 2 + O(µ2 )3360a2µnz =1を考えればいいです。ベルヌーイ数は B4 = −1/30 です。第 3 項は µ = 0 で発散する項なので G(µ) の中に含めてS(µ, a) =∞)L2 ∑L2 (π3F (nz ) =aG(µ) +µ + O(µ2 )32π n =12π360az

これによってエネルギー密度はϵ(a) = −1 1dS(µ, a)lim
22 aL µ→0 dµ= −1 1 L2dπ3lim(aG(µ) +µ)
22 aL 2π µ→0 dµ360a3= −d
1 1 L2π3lim(aG(µ)+µ)
2 aL2 2π µ→0 dµ360a3= −1dπ2lim
G(µ) −
4π µ→0 dµ1440a4

今考えている状況は間隔 a の 2 つのプレート間なので、物理的な空間であるミンコフスキー空間の真空エネルギーにはなっていないですが、ミンコフスキー空間との対応を持っているべきです。
プレート間の距離 a を無限大にとることで、運動量空間で z 方向も連続値になるので、ミンコフスキー空間になります。そして、ミンコフスキー空間の真空エネルギーは真空の定義から 0 になるべきです。このことを踏まえればϵ(a = ∞) = −d1lim
G(µ)
4π µ→0 dµのときに、真空エネルギー密度は 0 になれという条件を課すことで、ミンコフスキー空間と対応を取ります。よって

ϵ(a) = ϵ(a, µ) − ϵ(∞, µ) = −π21440a4

これがプレート間の真空のエネルギー密度となります。
この結果は電磁場に簡単に変更できます。電磁場は質量 0、スピン 0 のボソンなので、ここでの状況とほぼ同じです。違うのは電磁場では偏極による自由度が 2 あることです。よって、2 倍するだけで電磁場になり、電磁場がいるプレート (導電性の板) 間の真空エネルギー密度はϵem (a) = −7π2720a4

これに電磁場がいるプレート上の面積 A による体積 aA をかけてエネルギーにした aAϵem (a) を a で微分して、力F とした
Fdπ2π2π2= − (aϵem (a)) =−=−44
Ada720a180a240a4
これのことをカシミール力 (Casimir force) と言います。aAϵem (a) はプレートを離していくことで増えていくので、プレート間に引力が働いていると考えられ、それがカシミール力です (このため −d/da で微分している)。これは 1997 年に実験で観測された現象で、カシミール効果と呼ばれます。

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