原子核反応論入門
集中講義@名古屋大学
おがた かずゆき

緒方 一介
大阪大学 RCNP /大阪市大&NITEP
1. 核反応研究の概観

6. 散乱問題の純量子力学的解法

2. 断面積とは何か?

7. 波束の理論

3. Lippmann-Schwinger方程式

8. 多重散乱理論

4. アイコナール近似

9. 連続状態離散化チャネル結合法

5. チャネル結合法

略歴・1996-1997年度(M)九州大学大学院にて、河合光路名誉教授の指導の下、核反応の研究に着手。
・1998年度～2001年12月(D → PD)
2001年3月、学位取得。4月、大阪大学核物理研究センターにCOE特別講師として着任。
・2002年1月～2010年度(助手 → 助教)
九州大学大学院理学研究院において反応研究を進める。
・2011年度～ (准教授)2011年4月、大阪大学核物理研究センターに着任。
2018年4月より、大阪市立大学大学院理学研究科 任期付き准教授(クロスアポイントメント 2022年度末まで) 。

1. 核反応研究の概観
原子核反応または略して核反応は一つの原子核と他の粒子との相互作用によって起こる現象の総称である. その様相は非常に多彩である. その機構を明らかにすることが核反応論の目的である. また, それによって反応に関与する原子核, 衝突粒子の状態についての情報を得ることも重要な課題である.
河合 光路『核反応』(丸善)原子核反応とは?

宇宙元素合成原子核の変化を伴う現象全て

核変換

Supernova illustration: Akihiro Ikeshita
Particle CG: Naotsugu Mikami (NAOJ)

超重元素「ImPACT 藤田プログラム 21世紀発明賞の受賞について」より

多彩な核反応・入射原子核が励起する反応(非弾性散乱)

・核子が入射原子核から標的核に移行する反応(核子移行反応)P*P・入射原子核が複数の粒子に分解する反応(分解反応)
N-1Z
NZ

n

T→T+n

・入射原子核が標的核に吸収される反応(融合反応)(P+T)*
P

T

n

NZ

T

N-1Z

T

原子核反応の描述ある反応が起きる確率は、次の遷移行列が得られれば、その絶対値自乗(の定数倍)によって与えられる(3.を参照)。

: 終状態の構成粒子の波動関数と、それらの間の自由波の積: 終状態の構成粒子間の相互作用: 始状態(≠入射状態)の正確な波動関数
系の基本構成要素(核子)の間の相互作用はよくわかっているのに、何が難しいのか?
A. 多体系(多自由度)だから。+ 相互作用がえぐいから。

K. Sekiguchi et al., Phys. Rev. C 65, 034003 (2002).

3粒子系の豊かさ

基礎相互作用がわかっても…
ボロミアン核(6He)

原子核反応の多自由度性の象徴
光学ポテンシャル ＝ 弾性散乱を記述する複素一体ポテンシャル

エネルギー・粒子の移行なし

・弾性散乱のような簡単な反応の記述に、どうしてそのような得体の知れないものが必要なのか?
・W(R) は入射流束の吸収をもたらす。この吸収とは何か?

多彩な核反応・入射原子核が励起する反応(非弾性散乱)

・核子が入射原子核から標的核に移行する反応(核子移行反応)

P*
P

N-1Z

n

NZ

T
T→T+n
多種多様な反応が弾性散乱の背後にあり、その全てが“吸収”として扱われる(吸収 ≠ 融合)

・入射原子核が複数の粒子に分解する反応(分解反応)
N-2Z
NZ

n

・入射原子核が標的核に吸収される反応(融合反応)(P+T)*P

T

T

模型空間の設定(核反応論の“神髄”)
弾性チャネル以外の(視ない)チャネル: Q(追跡不可能)流束の還元

弾性(視る)チャネル: P(チャネル: 反応系の指標)

流束の還元

吸収 ＝ 流束の消失
cf. 全反応断面積

注意: 弾性(視る)チャネル以外に逃げる流束の総量は記述可能。

Feshbachの射影演算子の方法※

エネルギー依存, 複素, 非局所相互作用(5.で分析)の意味は3.を参照

原子核反応の多自由度性の象徴
光学ポテンシャル ＝ 弾性散乱を記述する複素一体ポテンシャル

どう求める? (8.で議論)

エネルギー・粒子の移行なし

・弾性散乱のような簡単な反応の記述に、どうしてそのような得体の知れないものが必要なのか?
・W(R) は入射流束の吸収をもたらす。この吸収とは何か?

核反応研究の概観のまとめ
・核反応研究の目的は、核子多体系の動的な振る舞いの理解であり、その対象は、原子核の変化を伴う現象全てである。
・核反応は極めて多彩な現象であり、入射・標的核(反応系)の組み合わ
せ、入射エネルギーによって様々な反応が起きる。
・少数個のチャネルのみを視る(陽に扱う)際、膨大な数の視ていないチャネルが背後に存在するため、現象の記述に非エルミートの相互作用が現れる(例: 光学ポテンシャル)。
・核反応研究の1つの神髄は、模型空間の設定にある。
・近年では核反応の第一原理計算も発達しており、非常に重要(ただしその価値観はこの講義の思想とは異なる)。

2. 断面積とは何か?

物の大きさを測る
Q: 500円玉の大きさはどれくらい?

A: 定規で測れば良い。→ 直径26.5mm(面倒くさがりの人は…)

A’: Webで調べれば良い。

物の大きさを測る
Q: 500円玉の大きさはどれくらい?

A: 定規で測れば良い。

?

A: Webで調べれば良い。

(面倒くさがりの人は…)(慎重な人は…)

A’: Webで調べれば良い。

A’: 定規で測れば良い。

“見えない”物の大きさを測る
Q: 下のような箱(側面は中空)に、重くて硬い物体が1個入っている。
その物体の大きさを測るにはどうしたら良いか?

1m

“見えない”物の大きさを測る
Q: 下のような箱(側面は中空)に、重くて硬い物体が1個入っている。
その物体の大きさを測るにはどうしたら良いか?

1m
A: ビー玉を撃ち込んで反射するかどうかを見れば良い。

面倒くさがりの人は...
A’: ビー玉を大量に(そして適当に)撃ち込んで、枠に入った数と、反射した数の比を取れば良い。

1m
反射した数 Nref枠に入った数 Nin＝

物体の幅(d m)
枠の幅(1m)

この方法は、本当に目に見えない粒子の測定にも使える!

測定式の注意点
反射した数 Nref枠に入った数 Nin＝

物体の幅(d m)
枠の幅(1m)

1. 反射した数(物体に当たった数) Nref そのものには意味がない。
→ NinとNref の比が物理的意味を持つ。
2. 統計的な式なので、Ninは十分大きくなければならない。
→ 誤差(の最良推定値)はNrefの平方根に反比例。
3. 幅1mの領域に、ただ1つの物体があるという情報を用いている。
→ ミクロの世界に適用する際に注意が必要。

ミクロの粒子を見る
入射粒子
(α粒子)

標的体
(金の薄膜)

前提:・薄膜は大量の原子から出来ている。
・個々の入射粒子はコントロール不可だが、入射粒子全体が薄膜をヒットする領域の大きさは(巨視的に)指定可能。
・反応粒子は、個々に観測可能。
原子の中に、入射粒子を跳ね返す塊が存在するか?
もし存在するとしたら、その大きさはどれくらいか?

塊の大きさの測定法
A

入射粒子がヒットし得る領域(面積S)

Aに入射した粒子の数: Nin
実験結果
跳ね返ってきた粒子の数: Nref

問: Nref / Nin は何を表すか?
・反応が起きた確率(反応確率・イベント率)
断面積
塊を正面から見た面積 σ × Aに含まれる原子(塊)の数 Natom・Aの面積 S※なぜ「反応確率」で話を済ませられないのか?

Aに含まれる原子(塊)の数Natomとは?
薄膜といえども厚みはある。

……
面積S
……

…

…

A

入射粒子が
ヒットし得る領域(面積S)

薄膜を横から見ると…

厚さd
Natom: 入射粒子が衝突する可能性がある原子の数＝ 面積S, 厚さdの体積に含まれる原子の数
Natom＝

標的体の密度 ρ × S × d × アボガドロ定数 Nav
標的物質(金)の原子量 AAu

断面積σの計算式
Nref 塊を正面から見た面積 σ × Aに含まれる原子(塊)の数 Natom＝
Aの面積 S
Nin
Natom＝

標的体の密度 ρ × S × d × アボガドロ定数 Nav
標的物質(金)の原子量 AAu

AAu
Nref
σ＝
×
ρ × d × Nav
Nin
σ は物理的実体の大きさなので、実験の精度の範囲内で、測定環境に依存しない。一方反応率は、d と共に変化する!

σの計算式の適用限界
AAu
Nref
σ＝
×
ρ × d × Nav
Nin
疑問: Nref / Nin は1を越えることはない。一方、標的体の厚さ d を大きくすると右辺の後半部分は際限なく小さくなる。従って、
σ は d が大きい極限で0になってしまうのでは?
.

.

.

.

.

. ……

解答: 上の式は、横から標的体を見たとき、全ての塊が重ならないと仮定して導いている。d が大きい極限では、明らかにこの仮定は成り立たない。従って、標的体はあまり厚くしてはいけない。なお、Nref / Nin ≪ 1 ならば上の式は十分有効。

σの測定からσの計算へ
実験的定義:

AAu
S
Nref
Nref
σ＝
×
＝
×
ρ × d × Nav
Nin
Nin
Natom

簡単化の方針:・標的粒子1つあたりのイベント数を考える。
・単位面積あたりの入射粒子数を指定する。
Nref / Natom
nref
σ＝
＝
Nin / Sn0

標的粒子が1つのとき反応が起きた数をn0 で割れば良い。

注意点:・実際は、単位時間あたりの数を問題とする(ビームを入射)。
・もし確率が規格化されていれば、nref は反応率と等しい。

断面積とは何か?のまとめ
・断面積とは、反応の頻度を定量化する物理量である。
※反応確率は、実験条件(標的体の厚さ)によって変化する。
・断面積は、標的粒子のうち、ある反応を引き起こす能力を持った部分(断面)の“大きさ”とみなすことができる。
・反応のイベント数を、単位面積に入射した粒子の数で割ると、断面積が得られる。
※正確には、単位時間あたりのイベント数を、単位時間・単位
面積あたりに入射した粒子の数(入射流束)で割る。
・粒子がある微小立体角に放出する反応の断面積を微分断面積(正確には角度に対する微分断面積: 角分布)と呼ぶ。

3. Lippmann-Schwinger方程式
・巨視的な空間に広がった波動関数を用いた時間依存散乱理論を概観する。
・時間に依存しない散乱波に、その波が本来有していた
時間依存性の名残 +ih を与える。
・散乱の基礎方程式である LippmannSchwinger (LS)方程式を導出する。

時間依存シュレディンガー方程式(ポテンシャル散乱): 換算質量

巨視的空間( : 1辺の長さ L の立方体)で規格化された平面波で展開:
L
L
L

時間依存シュレディンガー方程式の摂動解

無摂動解:(a は入射チャネルのラベル)

1次の摂動解:
入射時刻
2次の摂動解:(の方程式)

2次の摂動解

積分を以下のように処理:

で相互作用消失

微小な相互作用変化(極限は最後に取る)+ih は、現実の散乱が波束の時間発展で表されることを簡便に表現するもの(+ は無限の過去で自由状態という意味)。

2次の摂動解(つづき)lim は省略(以下も同様)。1次の摂動解とまとめて※この時間依存因子の処理
は、フェルミの黄金律の導出を参照。

1次の摂動入り散乱波
グリーン関数のスペクトル展開Lippmann-Schwinger方程式
同様にして摂動の高次まで取り入れる。

Lippmann-Schwinger (LS)方程式

LS方程式は、適切な境界条件を満たす散乱波の形式解を与える。
+ih を含む式は、無限の過去で平面波状態であったことと、それが相互作用によって平面波+外向波となることの双方を保証する。

Lippmann-Schwinger方程式と遷移行列のまとめ
・波束の運動によって記述される現実の散乱現象を模倣する処理を行う
ことで、適切な境界条件を満たす定常散乱波の形式解が得られる。これがLippmann-Schwinger (LS)方程式である。
・LS 方程式に現れる +ih は、散乱現象が、無限の過去において相互作用を受けていない自由な状態(平面波状態)から始まり、極めてゆっくりと相互作用がはたらいて、平面波+外向波という漸近条件をもつ状態に推移するものであることを保証している。これが、2体散乱における適切な境界条件の実体である。
・3体反応に対しては、LS方程式は理論的正当性を失う(9.を参照)。

4. アイコナール近似

Harrowing of Hell and Resurrection

散乱問題を簡便に解く
以下のシュレディンガー方程式を解く。

TR : 運動エネルギー演算子, E: 散乱エネルギー, U: 一体ポテンシャル
y
b
O

z
R

左図のような座標系(円筒座標系)
で反応を記述する。

xz

アイコナール近似
散乱波に、以下の関数形を仮定(

について対称とする)。

シュレディンガー方程式に代入し、散乱粒子の速さをと近似する。

とすると、これが、解くべき散乱のシュレディンガー方程式。

アイコナール方程式の解

変数分離形の微分方程式なので、容易に解くことができる。

反応の初期条件(波動関数 → 平面波) → C = 1.
アイコナール波動関数

アイコナール近似の成立条件
基本思想:
ポテンシャルによって散乱波は平面波からずれるが、そのずれは緩やかに起きる。
成立条件:
1. ポテンシャル(の絶対値)は、エネルギーよりも十分小さい。
a2. 散乱波の1波長内で、ポテン
シャルの変化が小さい。

E = 200 MeV
E = 5 MeV

R (fm)

光学ポテンシャル(ウッズ-サクソン型)
n+40Ca at 65 MeV: U(R)= V(R) + iW(R)パラメータ: V0 = 40.55 MeV, R0 = 1.17A1/3 fm, a0 = 0.75 fm,
W0 = 10.73 MeV, Rw = 1.26A1/3 fm, aw = 0.58 fm.
00

W (b,z)V (b,z)

-10
-20
-30

-5

-10

-40
-50
-8

-4

0

z (fm)

4

8

-15
-8

-4

0

z (fm)

b = 0 fm
b = 5 fm
48

Vの3次元プロット(y = 0 平面)
n+40Ca at 65 MeV: U(R)= V(R) + iW(R)V (b,z)

パラメータ: V0 = 40.55 MeV, R0 = 1.17A1/3 fm, a0 = 0.75 fm,
W0 = 10.73 MeV, Rw = 1.26A1/3 fm, aw = 0.58 fm.

アイコナール波動関数
n+40Ca at 65 MeV, WS potential, b=0

1

1

0.5

0.5

Im c EK(b,z)

Re c EK(b,z)

平面波

0
-0.5
-1
-12

-8

-4

0

z (fm)

4

8

12

平面波

0
-0.5
-1
-12

-8

-4

0

4

8

12

z (fm)

・吸収によって、振幅が減少する(虚数部 W の効果)。
・ポテンシャルに引き込まれ、波長が短くなる(実数部 V の効果)。

アイコナール波動関数の絶対値と位相n+40Ca at 65 MeV, WS potential
1

300

arg[y (b,z)]|y (b,z) |

0.8
0.6
0.4

b = 0 fm
b = 5 fm

0.2
0
-12

-8

-4

0

4

8

12

200

100

0
-12

-8

z (fm)
・波動関数の変化がより明確に見える。
・b = 5 fm でも同様。ただし変化は小さい。

-40z (fm)4812微分断面積の計算
遷移行列:

ただし
(q = 2K sin(θ/2)). 散乱が前方に限られると仮定する(前方散乱近似)と、q は x 軸と反平行とみなせる。一方、R のx
x 成分はであるから、yO

K’θ
K

よって、被積分関数で z に依存するのは

qz微分断面積の計算(つづき)アイコナール S 行列

微分断面積の計算(さらにつづき)0次の第1種ベッセル関数
積分公式:∴
アイコナール近似に基づく微分断面式

アイコナールS行列の振る舞い
n+40Ca at 65 MeV, WS potential
1

Im S EK(b)S EK(b)

0.6
0.5

0

-0.5

real
imag
0

2

4

6

b (fm)

8

10

b=4
0.3

b = 10
0
-0.3
-0.5

b=2
b=0
0

0.5

1

Re S EK(b)・アイコナール S 行列は、b の変化に伴って複素平面上を滑らかに動き、やがて (1,0) に収束する。

アイコナール近似による断面積の解析
10dσ/dΩ (mb/sr)

10
10
10
10
10

5

n+12C at 65 MeV
n+40Ca at 65 MeV
n+208Pb at 65 MeV

4

3

2

1

65 MeVでもアイコナール
近似が成立している

0

0

10

20

30

θ (deg)40

50

クーロン場中でのアイコナール近似
入射平面波をクーロン入射波に変更すれば、同様の計算が可能。
ゾンマーフェルトパラメータ

クーロンなしの場合と同じ

クーロン位相因子
弾性散乱の微分断面積

ラザフォード振幅

p-40Caの弾性散乱断面積(65MeV)

アイコナール近似のまとめ
・散乱問題を近似的に解く手法として、アイコナール近似を紹介した。この近似は、比較的エネルギーが高いときに有効である。
・アイコナール近似の結果、散乱問題は、z 軸方向についての微分方程式に帰着する。
・ポテンシャルの影響により、入射波の位相がずれ、振幅が減少する。それぞれ、原子核による回折および吸収の効果を表す。
・微分断面積の計算も容易に可能。その結果は、中性子の弾性散乱角分布(～65 MeV)を、後方までかなり良く再現する。
・クーロン相互作用がある場合も同様の定式化が可能。

5. チャネル結合法

原子核反応の多自由度性の象徴
光学ポテンシャル ＝ 弾性散乱を記述する複素一体ポテンシャル

どう求める? (8.で議論)

エネルギー・粒子の移行なし

・弾性散乱のような簡単な反応の記述に、どうしてそのような得体の知れないものが必要なのか?
・W(R) は入射流束の吸収をもたらす。この吸収とは何か?

チャネルの定義(中性子-原子核散乱の例)
反応に関与する粒子それぞれの状態と、それらの間のエネルギーをひとまとめに指定するもの。
※ただし実際に指定しなければならない指標はその一部

入射中性子のエネルギー ＋ 原子核の状態

エネルギー: E0

基底状態
エネルギー: ε0

エネルギー: E1

励起状態
エネルギー: ε1＝

チャネル
弾性チャネル

全(自由)エネルギーが同じなら結合非弾性チャネル反応系の波動関数

原子核の内部ハミルトニアン h の固有関数系{Φ0, Φ1}は完全系をなす(という仮想的な世界を考える)。
シュレディンガー方程式
核内核子の数
核内核子
中性子 R

O

r

系の全エネルギー
重要: v は実数の相互作用※流束はどこにも逃げない!

模型空間と吸収視ていないチャネル: Q(追跡不可能)流束の還元

陽に視るチャネル: P

吸収 ＝ 流束の消失

流束の還元

今の場合

陽に視るチャネル: P

全てのチャネルを視ているので、吸収は存在しない。

チャネル結合方程式

左から

を掛ける。

h を固有値に置き換える。

ただしチャネル結合方程式(つづき)r について積分すると
対角ポテンシャル(の弾性チャネル成分)

結合ポテンシャルチャネル結合方程式(さらにつづき)全く同様にしてチャネル結合(Coupled-Channel; CC)方程式※ χ0 を解くには χ1 が必要、χ1 を解くには χ0 が必要、…

アイコナールCC方程式

アイコナールCC方程式の解

非斉次項
反応の初期条件:ひと

斉次解 (※斉: 整然と並んだ、揃った、斉しい)アイコナールCC方程式の解(つづき)z で偏微分すると、CC方程式の右辺 ÷→は非斉次解。

アイコナールCC方程式の解(さらにつづき)
一般解 ＝ 斉次方程式の一般解 ＋ 非斉次方程式の特解
非弾性チャネルの波動関数も同様に求めると、初期条件を満たす
CC方程式の解は、

ただし、これらはあくまで形式解。

反復法による解法
CC方程式の形式解を、以下のように表記する。

初期解から始めて、徐々に真の解を得るのが、反復法。

…
最終的に、以下の条件を満たす、自己無撞着解を求める。

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数0 (初期解)
1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数1

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数2

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数3

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数4

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数5

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数6

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数7

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数8

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数9

1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)n+AX at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
e0 = -7 MeV, e1 = -5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数10 (収束解)
1

Rey0
Imy0
Rey1
Imy1

0.5

y

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48角分布の計算結果
310elastic (CC)inelastic (CC)elastic (1step)
inelastic (1step)2

dσ/dΩ (mb/sr)

10

1

10

断面積の減少0 (“自明”な効果)

10-1

断面積の増大(“非自明”な効果)

10

-2

10

0

20

40

60

80

100

120

θ (deg)

非弾性チャネルの計算方法の詳細は教科書第7章を参照。

アイコナールS行列の振る舞い
弾性チャネル
1

1
0
1

0.4

3

0.2
0
0

0.4

0.8

2

1
2

-0.4
0

-0.8
5

0

-0.4

1

0

2

0.6

-0.2
-0.8

0.4

Im S1EK

Im S0

EK

0.8

非弾性チャネル

-1.2
-1.6

0

-1.2

0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3

-0.8

5

3
4

0 0.05 0.1

-0.4

0

EK

Re S0EK

Re S1
= 吸収

・いずれのチャネルも、CCによって絶対値が減少(“自明”な効果)。
・弾性チャネルについては、位相が大幅に変化(“非自明”な効果)。

弾性チャネル波動関数の z依存性(at b = 0)
150

Arg y 0 (deg)

100

1step
CC

強い斥力効果

50

0

-50
-8

-4

0

4

8

z (fm)・弾性チャネルに対するCC効果を式で表現してみよう。

複素光学ポテンシャルの“起源”
弾性チャネルの波動関数が満たすシュレディンガー方程式
Folding

非斉次項に、

Dynamical Polarization

動的偏極
ポテンシャル(演算子)の形式解を代入。

畳み込みポテンシャル

複素光学ポテンシャルの“起源” (つづき)弾性チャネルの波動関数のシュレディンガー方程式

一方、光学ポテンシャル U(b,z) を用いて記述すれば、

光学ポテンシャルには、非弾性チャネルとの結合が全て取り入れられている。当然、一般に非弾性チャネルにも粒子の放出は起きる。そしてその分、入射流束は減少する。これ
が光学ポテンシャルの虚数部の起源である。

動的偏極ポテンシャルの解釈
階段関数を導入して書き換える:

動的偏極ポテンシャルの解釈(つづき)整理すると:z’ から z まで、ポテンシャル v11 の中を伝播

z において、ポテンシャル v01
により弾性チャネルに戻る。

(グリーン関数と同等であることが証明可能)z = z’ において、弾性チャネルの散乱波が v10 によって非弾性チャネルに遷移

エネルギー依存する、非局所型の複素ポテンシャル

動的偏極ポテンシャル(at b = 0)

Potential (MeV)

450
300

Real DPP
Imaginary DPP
Real total

強い斥力

150
0
-150
-300
-8

-4

0

4

8

z (fm)

・複雑なチャネル結合の結果(ただし逐次的にその発達を追跡することは可能)

チャネル結合と光学ポテンシャルのまとめ
・反応系全体の状態を指定する言葉として、チャネルを導入した。
・複数のチャネルを陽に取り入れる場合、吸収は、視ていない
チャネルへの流束の消失として定義される。従って、陽に取り扱うチャネルのみが存在する世界では、吸収は存在しない。
・アイコナール近似を用いたチャネル結合方程式の導出と、その解法(反復法)について学んだ。
・吸収が存在しない場合でも、非弾性チャネルとの結合によって、
弾性チャネルを記述する実数ポテンシャルは変化する。その補正項は、複素ポテンシャルとなる。これが、光学ポテンシャルの虚数部の起源である。

6. 散乱問題の純量子力学的解法

3次元のシュレディンガー方程式
軌道角運動量演算子
ラプラシアンの極座標表示

変数分離角度方向の方程式と解
この解(fR についての周期的境界条件を満たすもの)と固有値は、数学的にわかっている(球面調和関数)。
(軌道)角運動量
球面調和関数は、 の固有関数でもある。 角運動量のz 成分※球面調和関数は、規格直交完全系をなす。
角度方向の方程式は、既に解けている!
(ただしその解は量子化された角運動量を持つ特殊関数)

動径方向の1次元シュレディンガー方程式

角運動量バリアある特定の L を持つ波?

平面波の部分波分解
は、ある特定の L を持つ波ではない。

平面波

レイリーの公式

平面波は、様々な L を持つ波(部分波)の重ね合わせ。
・軌道角運動量 L の部分波:・L は反応を通じて保存
・L ごとに異なるバリア:

アイコナール模型の b
L ≦ Lmax の部分波だけが反応

反応に関与する部分波の数(目安)n + 59Co at 5.44 MeV (K ～ 0.5 fm-1)
L=1
L=2
L=3
L=4
nuclear potential

入射エネルギー

Lmax ～ 4

古典的転回点Rct平面波(実部)の部分波分解の収束性
Lmax = 0

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2
40

20

0
-20

-20
-40

0

20

40

-40
-60 -60y=0平面波(実部)の部分波分解の収束性
Lmax = 2

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2
40

20

0
-20

-20
-40

0

20

40

-40
-60 -60y=0平面波(実部)の部分波分解の収束性
Lmax = 4

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2
40

20

0
-20

-20
-40

0

20

40

-40
-60 -60y=0平面波(実部)の部分波分解の収束性
Lmax = 8

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2
40

20

0
-20

-20
-40

0

20

40

-40
-60 -60y=0平面波(実部)の部分波分解の収束性
Lmax = 16

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2
40

20

0
-20

-20
-40

0

20

40

-40
-60 -60y=0平面波(実部)の部分波分解の収束性
Lmax = 30

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2
40

20

0
-20

-20
-40

平面波を記述したい空間の広さに応じた Lmax が必要

0

20

40

-40
-60 -60y=0

部分平面波の分析
球ハンケル関数を用いて表現:KR を掛けて無限遠方の漸近形を取る:R の遠方から入射してきた進行波が、極座標原点という固定端で反射して、外向きの進行波が生じる。入射波と反射波が重なって、定在波(流れなし)が作り出されている。

実数核力ポテンシャルの影響
外向きの波だけがポテンシャルの影響を受ける。

絶対値1の複素数(dLは実数) ← 吸収なし

量子力学の演習問題(回想)L = 0 の動径散乱波を求める問題として解釈可能。

R = a の境界条件

絶対値1の複素数実数核力ポテンシャルの影響
外向きの波だけがポテンシャルの影響を受ける。

絶対値1の複素数(dLは実数) ← 吸収なし
無限遠(

)での形

Wave function

部分散乱波の正しい漸近形

位相差 dL
波動関数の内側への引き込まれ具合を表す量。
n + 59Co at 5.44 MeV

R (fm)

部分散乱波の数値解(numerical solution)num

n + 59Co at 5.44 MeV

num

内側は非解析的な形

L+1/(2L+1)!!
unum
(ΔR)
=
(ΔR)
L

L=0
L=2
L=4

不定!
uL (R) = cL uLnum(R)cL を決めるには uLの漸近形が必要。
cf. アイコナール波動関数の積分定数C数値解から真の解へ

unum
L (R)

n + 59Co at 5.44 MeV (L = 2)

unum
L (R)
sin (KR – Lp/2)
1. uLnumの振幅を規格化

R (fm)

数値解から真の解へ

unum
L (R)

n + 59Co at 5.35
5.44 MeV (L = 2)

u– numL (R)sin (KR – Lp/2)
1. uLnumの振幅を規格化

R (fm)

数値解から真の解へ
n + 59Co at 5.35
5.44 MeV (L = 2)

u– numL (R)sin (KR – Lp/2)

unum
L (R)

1. uLnumの振幅を規格化
2. 位相差 dL を決定
3. 真の解:dL = 298 deg.
R (fm)
結局、次の式を満たすように cL と dL を決めている。

波動関数の接続条件
無限遠における漸近形を利用(実数ポテンシャル)

R > RN における漸近形を利用
散乱行列 SL・波動関数及びその微分が等しいとおく(滑らかな接続)。
・R > RN における接続条件を利用する方が遙かに楽。
・複素ポテンシャルの場合、位相差は複素数となる。

遷移行列の計算

遷移行列の計算(つづき)K // z 軸遷移行列の部分波展開表示と微分断面積
内側の波動関数のみを利用

実験値との比較
n + 59Co at 5.44 MeV

正確な散乱波が得られた利点を活かす
遷移行列を得るには、もう一度積分計算が必要。

正確な波動関数があれば、断面積は計算できるはず。

正確な散乱波の漸近形
散乱波 cK (R) の漸近形 (R > RN)

平面波

散乱波の漸近形と散乱振幅

散乱振幅の流束 jR微分断面積
巨視的な点で微小立体角 dWR に単位時間あたりに放出される確率

これを入射流束で割ったものが断面積

散乱振幅(の部分波展開表示)と微分断面積

漸近波動関数のみ利用

遷移行列と散乱振幅遷移行列の部分波展開表示と微分断面積
内側の波動関数のみを利用
これら2つの考え方の等価性が散乱の形式論で示される。

散乱振幅(の部分波展開表示)と微分断面積

漸近波動関数のみ利用

散乱問題の純量子力学的解法のまとめ
・極座標系で反応を記述する場合、波動関数の角度成分は既知であり、その解は角運動量 L とその z 成分 M で特徴付けられる。
・平面波は様々な角運動量を持った部分波の重ね合わせであり、反応に実質的に関与するのは少数の部分波。
・部分平面波は内向き進行波と外向き進行波の重ね合わせとみなせる。ポテンシャルの影響は、外向き波にのみ現れる。
・部分散乱波の漸近形を利用することで、正しい散乱波を(数値的に)求めることができる。
・正しい散乱波が得られれば、遷移行列または散乱振幅から
微分断面積を純量子力学的に計算することが可能。

7. 波束の理論

散乱理論の教科書によれば…
適切な境界条件を満足する散乱波は、無限遠方においてとなる。このとき、微分散乱断面積は以下のように与えられる。
クーロンなし・スピンなし

外向き
球面波

入射平面波

O
※断面積: 入射流束で“規格化”した単位時間あたりの反応確率z疑問・突然「適切な境界条件」と言われても…。
・仮にそういう形で散乱波を表現しただけだとしても、が観測される断面積になるというのはどうにも腑に落ちない。
・波動関数の時間依存性はどこに?
・入射平面波って、宇宙の彼方まで広がっているよね?
定常散乱波の理論は、実験条件(および直観的な描像)と合致しない。
本単元の目的直観と合致する波束の理論と定常散乱波の理論
がどのような関係にあるのかを明らかにする。

波束状態
反応の初期状態(初期波束):

波束中心

波束の運動量(波数)

換算質量
初期時刻:

波束中心の速さ:
はエンベロープ関数で、波束の形状を表す(たとえばガウス型)。

3つのスケール
反応領域の大きさ
fm のスケール。換算ド・ブロイ波長 1/K0 に相当。
※波数 K0 の波は位置変化 1/ K0 を位相変化 1 として “検出” する。

波束の拡がり典型的には cm のスケール。長さ w として表現する。このとき運動量(波数)は幅 1/w (～10-13 1/fm)に集中している。
漸近領域の距離
典型的には m のスケール。粒子を撃ち込んだり検出器で測定したりする領域。波動関数の漸近形が利用できる。| Z0 | に相当。

初期波束のフーリエ展開･ ･ ･ (1)のフーリエ変換(～ 1/w の極めて狭い幅に分布)
逆変換:
初期波束は P ～ K0 に集中

初期波束の定常波動関数による表現
R ～ Z0 に局在
R ～ Z0 で運動量 ～ -K

運動量 K

逆変換

↓式(1)

測定がなされる時刻での波束と定常波動関数

は H の固有状態(固有値 E)

幅 ～ 1/w (～10-13 fm-1)

この後の方針:測定領域では漸近系が利用可とし、E と K を Q の1次までで評価する。

定常散乱波の波数・エネルギー～ 10-11 MeV

積分変数を K から Q に変更

波束の平面波成分

Trivialな時間依存性

中心が速度 で運動する波束(入射波束の形を保持)

波束の拡散は?
波束の拡散を扱うには、Q の高次項が必要。ただし今の場合、その効果は無視して良い。
1次元の自由ガウス波束の確率分布幅(時間変化):(～ 200 [MeV・fm],～ 1015 fm,
検出器の距離～ 103 MeV,

～ 1013 fm )

波束の球面波成分

積分に関与する Q の範囲内では f の K 依存性は無視できる。

Trivialな時間依存性

中心が速さ で動径外向きに運動する波束

ガウス型エンベロープ関数の場合
・平面波成分・球面波成分エンベロープ関数の性質(平面波成分)

・中心は速さで z 軸方向に運動。

・cm 程度の拡がりを持つので、散乱領域付近では、Gの x, y 依存性は無視して良い。

・散乱領域の単位面積あたりに流れ込む確率の総量は、
x = y = 0 として、G の z 分布の積分を取ることで求まる。

エンベロープ関数の性質(球面波成分)

・中心は速さで動径外向きに運動。

・動径方向についての分布は初期波束の z 方向の分布と同じ。
・ 方向に出ていく単位立体角あたりの確率の総量は、十分時間が経ったところで求めた の R 分布の積分値と、散乱振幅の絶対値二乗の積:
巨視的な距離[]微分断面積
散乱領域の単位面積あたりに流れ込む確率の総量:

方向に出ていく、単位立体角あたりの確率の総量:

微分断面積

定常散乱波の理論の結論と完全に一致!

波束の伝播の様子
v0t = -20 (cm)

20

20
10
10

0
20

0

0
20
0

-20
-20

y=0

-40 -40

n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = -10 (cm)

20

20
10
10

0
20

0

0
20
0

-20
-20

y=0

-40 -40

n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 10 (cm)
20
20
10
10

0
20

0

0
20
0

-20
-20

y=0

-40 -40

n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 20 (cm)
20
20
10
10

0
20

0

0
20
0

-20
-20

y=0

-40 -40

n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 30 (cm)
20
20
10
10

0
20

0

0
20
0

-20
-20

y=0

-40 -40

n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 30 (cm)n-59Co at 5.44 MeV

4

10
0

10

10

-1

10

-2

10

20

10

0
20

-2

-1

3

0

dσ/dΩ (mb/sr)

10

10

2

10

1

10

0

-20
-20
-40 -40

0

10

0

20

40

60

80 100 120 140 160 180

q (deg)

波束の理論のまとめ
・現実の実験条件や直観的描像と合致する波束の理論と、通常学習する
定常散乱波の理論との関係を議論した。
・運動量に(非常に狭い)幅を持たせる事によって、散乱現象を、直観と合致する波束の運動として描くことができる。
・そのようにして求めた微分断面積の表式は、定常散乱波の理論の結論と完全に一致する。これは本質的には、散乱領域の大きさと比べて、波束の拡がりが無限に大きいと見なせるからである。
※より詳しい議論については、以下を参照(ただしAusternは絶版)。
N. Austern, “Direct Nuclear Reaction Theories” (John Wiley & Sons) [Chap. 1]
笹川辰弥『散乱理論 (物理学選書20)』(裳華房) [第2章]
M. L. Goldberger and K. M. Watson, “Collision Theory” (Dover) [Chap. 3]

8. 多重散乱理論と微視的光学ポテンシャル7

弾性散乱の微分断面積

10n+12C at 65 MeV
n+40Ca at 65 MeV
n+208Pb at 65 MeV

6

10

x102

5

10

x10

4

10

3

10

2

10

1

10

0

10

0

10

20

30

40

中性子の散乱角度

5060

現象論から微視的理論へ

N

vi

A

N
i th

+

i th

…
i th

+ … =

A

A
1 step+ … +N

2 stepN stepA核子-原子核散乱の記述
入射核子-核内核子間の核力の和が散乱を引き起こすと考える。
遷移行列をこの形に限ることは、散乱の境界条件の限定を意味する(たとえば組み替え
チャネルは生成できない)。この段階で一部のチャネルを視ていないことになる。

入射核子

遷移行列

(散乱について)自由なグリーン関数

標的原子核
v は極めて強いので扱いにくい!

運動エネルギー演算子
原子核のハミルトニアン

Resummation (1/3)

最後に核子i と相互作用する遷移行列成分

最後にi 以外の核子と相互作用する遷移行列成分

Resummation (2/3)

2核子間有効相互作用 t で書き下した遷移行列

Resummation (3/3)
遷移行列が作用する波動関数が核子の入れ替えに関して反対称化されていれば、諸量は核子の番号によらない。

核子-原子核散乱を解く際の相互作用として、(扱いにくい)2核子力の和の代わりに(扱いやすい)2核子間有効相互作用の和を用いてよい!

多重散乱理論
N

vi

A

N
i th

+

+ … +

i th

A
1 step

N

…
i th

+ … =

A
2 stepN stepResummation(for all boundary conditions)
左の式では散乱の境界条件を限定していない
ため、波動関数は厳密で、流束は保存する。
右の式は限られた境界条件を前提とした式であるため、一部のチャネルは視ておらず、流束は保存しない。

(for a specific b. c.)

L. L. Foldy, Phys. Rev. 67, 107 (1945); K. M. Watson, Phys. Rev. 89, 115 (1953).
A. K. Kerman, H. McManus, and R. M. Thaler, Ann. Phys. (NY) 8, 551 (1959).
M. Yahiro, K. Minomo, KO, and M. Kawai, PTP 120, 767 (2008).

多重散乱理論に基づく弾性散乱の記述※c = 0: Aの基底状態

畳み込みポテンシャル(エネルギー依存, 複素, 非局所)で膨大な状態の1つに遷移した後、また基底状態に戻る確率は低い。
(集団励起状態を除く)

畳み込みポテンシャル(微視的光学ポテンシャル)
2核子間有効相互作用の“期待値”を核間相互作用とする。

入射核子
r

標的核内
rA の核子O

原子核の密度分布 ρA(rA) は、核構造計算で求められる。
2核子間有効相互作用をどのようにして求めるかが次の問題。

インパルス近似に基づく2核子間有効相互作用
解くのは大変!
(多体問題)

エネルギーが高く、相互作用する2核子以外の粒子群の影響が無視できると考える。ただし2核子の運動エネルギーの和は全体のエネル
ギーに一致せず、一般にエネルギー殻外の有効相互作用が必要。
(往々にしてオンシェル近似が用いられる。)

g行列
無限に拡がった核物質(密度r)の中での2核子間有効相互作用を、次のベーテ-ゴールドストン方程式を解いて求める。
パウリの排他演算子

一体ポテンシャルフェルミ波数(∝ r 1/3 )核子-原子核系の弾性散乱は理論で描け(つつあ)る
proton at 65 MeV
g-matrix
Impulseneutron at 65 MeV
g-matrix
Impulse(x106)(x104)(x10-2)(x102)(x10-5)＋原子核中での核子間有効相互作用の変化が観測。

cf. K. Amos+, Adv. Nucl. Phys. 25, 275 (2000).
T. Furumoto+, PRC 78, 044610 (2008).
M. Toyokawa+, PRC 92, 024618 (2015).

最近の大きな話題: 3体力効果
T. Furumoto, Sakuragi, Yamamoto, Phys. Rev. C 80, 044614 (2009).

Saturation prop. の再現には3体力の効果が重要

原子核-原子核反応でプローブ可能多重散乱理論と微視的光学ポテンシャルのまとめ
・多重散乱理論によれば、2核子間相互作用を無限次くり込んだ有効相互作用の集積として核子-原子核散乱を記述することができる。
・2核子間相互作用を原子核の密度分布で畳み込むことで、エネルギー
依存, 複素, 非局所型一体ポテンシャルが得られる。
・核内での2核子間有効相互作用は、g行列理論によって近似的に得られ、これを用いた微視的光学ポテンシャルは高い成功を収めている。
・核物質の密度の飽和性を再現するという意味での3体力効果が注目され、原子核反応での観測の可能性が示唆されている。
・(近似の範囲で)核力に正しく立脚した核反応論が構築され、微視的核反応研究は大きな潮流となっている。

9. 連続状態離散化チャネル結合法
Continuum-Discretized CoupledChannels method; CDCC

弱結合系が入射・分解する反応の記述

N-1Z

n

このチャネルは陽に扱う必要あり

NZ

T

弾性チャネル以外の特定のチャネルにどのように流束が逃げるか(反応系が遷移するか)を記述しなければならない。

分解反応に対する模型空間の設定
視ていないチャネル(標的核の励起・反応系の組み替えなど)流束の還元

陽に視ているチャネル＝ 弾性・分解チャネル

吸収 ＝ 流束の消失

流束の還元

分解反応を記述するひとつの(適切な)モデル

n

n

c
c

Pbu

Pgs
基底状態

分解状態
T

これ以降、弱束縛の入射粒子として重陽子を考える。

Three-body scattering problem
n

n

p

p
d

Schroedinger Equation

・Solution 1:

A

Assumptions for simplicity:
・No spins
・No Coulomb
・No absorption (imaginary pot.)
・2-body problem solved
boundary condition (b.c.) not specified

Three-body scattering problem
n

n

p

p
d

A

Assumptions for simplicity:
・No spins
・No Coulomb
・No absorption (imaginary pot.)
・2-body problem solved

Schroedinger Equation

・Solution 2:(channel Hamiltonian)Lippmann-Schwinger (LS) equation

Problems of the LS equation

1. Absence of the rearrangement channels
2. Divergence problem due to the disconnected diagram
3. Nonuniqueness of the solution

The b.c. of the LS Eq. is not appropriate.
n
R

A

r
p

p
n

R
A

r

The Faddeev theory
L. D. Faddeev, Zh. Eksp. Theor. Fiz. 39, 1459 (1960) [Sov. Phys. JETP 12, 1014 (1961)].

n

n

p

p
d

Distorted Faddeev Eqs.

A

Three-body theory in a model space
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C 53, 314 (1996).

Distorted Faddeev Eqs.

not pair int. but 3-body int.

n
R - r/2rp

RAProblems of the LS equation

1. Absence of the rearrangement channels
2. Divergence problem due to the disconnected diagram✓
3. Nonuniqueness of the solution✓

The b.c. of the LS Eq. is not appropriate.
n
R

A

r
p

p
n

R
A

r

l-truncation, the center of CDCC
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C 53, 314 (1996).

p
n

R
A

r

smears out ^r w/ the resolution of 1/lmax.
[If lmax → ∞, it means d(r’- r).]・We have no rearrangement-like channel in the asymptotic region
because of.
・As lmax increases, the coupling between the 1st Eq. and the othertwo becomes weaker.

Three-body theory in a model space
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C 53, 314 (1996).

Distorted Faddeev Eqs.

not pair int. but 3-body int.

→0n
R - r/2rp

R
ACDCC, as an alternative to the Faddeev theory
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C 53, 314 (1996).

CDCC solves the following LS eq.:

CDCC gives a proper solution to a three-body scattering problem
if the solution converges w/ respect to l.
・Continuum-Discretization has nothing to do w/ the justification of CDCC.
・l-truncation allows one to truncate also r and k.
・Convergence for other quantities (rmax, kmax, and Dk, etc.) must be confirmed
to obtain a proper solution to the LS Eq.

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)
f0

c R (K)(r , R )

A

f^i

0

(k0 , r )0

(K 0, R)f0

0(k , r ) ( K , R )dk

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)
f0

c R (K)(r , R )

A

f^i

0

(k0 , r )0

(K 0, R)f0

0(k , r ) ( K , R )dk

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)
f0

c R (K)(r , R )

A

f^i

0

(k0 , r )0

(K 0, R)f0

0(k , r ) ( K , R )dk
k-truncation

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)
f0

c R (K)(r , R )

A

f^i

0

(k0 , r )0

(K 0 , R)f0
k m ax0(k , r ) ( K , R )dk
k-truncation

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)
f0

c R (K)(r , R )f^i0(k0 , r )0

(K 0, R)f0
i m ax
i 1

A

ki
ki 1

(k , r ) ( K , R )dk
k-truncation

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)
f0

c R (K)(r , R )f^i0(k0 , r )0

(K 0, R)

f0
im ax
i 1

A

ˆ ( Kˆ i , R )

ki
ki 1

(k , r )dk

k-truncation and discretization

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)

f^i

f0

c R (K)(r , R )0(k0 , r )0

f0

(K 0, R)

im ax
i 1

A

CDCC

(r , R )i m axˆ ( r ) ˆ ( Kˆ , R )
i

i 0

i

i

ˆ ( Kˆ i , R )

ki
ki 1

(k , r )dk

k-truncation and discretization

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)

f^i

f0

c R (K)(r , R )0(k0 , r )0

f0

(K 0, R)im ax

ˆ ( Kˆ i , R )

i 1

A

CDCC

(r , R )i m axˆ ( r ) ˆ ( Kˆ , R )
i

i 0

i

i

ki
ki 1

(k , r )dk

k-truncation and discretization
standard b.c.

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)
f
r (k)
n
p

d

f (k)
f0

c R (K)

0

A

f^i

0

f0

0

k

k dk

CDCC

imax

ˆˆ
i

i

i

cf. M. Kamimura, Yahiro, Iseri, Sakuragi, Kameyama, and Kawai, PTP Suppl. 89, 1 (1986);
N. Austern, Iseri, Kamimura, Kawai, Rawitscher, and Yahiro, Phys. Rep. 154 (1987) 126;
M. Yahiro, Ogata, Matsumoto, and Minomo, PTEP 2012, 01A206 (2012).

Faddeev-AGS vs. CDCC
N. J. Upadhyay, A. Deltuva, F. M. Nunes, PRC 85, 054621 (2012).

Applicability of CDCC to low energy BU process
N. J. Upadhyay et al., PRC 85, 054621 (2012).

KO and K. Yoshida, PRC 94, 051603(R) (2016).

12C(d,pn)12C at E = 12 MeV
gs
d

CDCC

FAGS

CDCC severely overshoots the result of
FAGS.

coupling w/ closed channels

Description of deuteron breakup process by CDCC
Eb

Incident energy
n

e0

p

E0

e1

E1

c

eb

n

e2
E2

Ei + e i = E

e1
eb
e2

(Energy Cons.)e0
A・Open channels (Ei > 0): directly connected to observables
・Closed channels (Ei < 0): virtual breakup channels
Neglected in the preceding study

Applicability of CDCC to low energy BU process
N. J. Upadhyay et al., PRC 85, 054621 (2012).

KO and K. Yoshida, PRC 94, 051603(R) (2016).

12C(d,pn)12C at E = 12 MeV
gsdcoupling w/ closed channels

CDCC

FAGS

CDCC severely overshoots the result of
FAGS,
FAGS. if closed-channels are neglected.
cf. triple-alpha study

連続状態の離散化の方法I (average法)
散乱波動関数を波数幅 Δk にわたって積分する。自由波の場合は減衰因子

付加的な振動因子

離散化された連続状態のふるまい

l = 1, ki = 1.0 fm-1, Dk = 0.5 fm-1

1.2

Wave function

0.8
0.4
0

は有限の領域に分布し、2p/Dk ごとに節を持つ。

-0.4
-0.8
-1.2

0

20

40

60 r (fm)連続状態の離散化の方法II (midpoint法)
k = ki + Dk/2 における散乱波動関数をそのまま採用する。
l = 1, ki = 1.0 fm-1, Dk = 0.5 fm-1

1.2

Wave function

0.8
0.4
0

無限の広がりを持つが、ltruncation の恩恵で反応計
算は収束する(ただし遅い)。

-0.4
-0.8
-1.2

0

20

40

60 r (fm)連続状態の離散化の方法III (pseudostate法)
入射粒子の内部ハミルトニアンを基底関数で対角化し、得られた擬状態(閾値よりも上の状態)を離散化された連続状態とみなす。
p-n, l = 0, 1-range Gaussian pot.

Wave function

0.5

束縛状態(deuteron)

基底関数の広がりに応じた有限の空間に分布する。

0

-0.5

0

20

40

60 r (fm)離散化の手法の比較
・3つの手法は、弾性散乱断面積・全分解断面積について完全に同じ結果を与えることが確認されている。
※全分解断面積: i = 1-imax のチャネルに遷移(分解)する断面積の和・Mid法はCDCCの正当性にとっては重要だが、実際の計算では、収束が速く、状態のコントロールが容易なAv法が便利。
→ 標準的な手法として広く普及
・PS法は最も初期に開発されたが、CDCCで得られる離散的な結果を連続化する処方がなく、長く利用されていなかった。
※Av法では、幅 Δk の連続状態を等重で束ねた状態への遷移を考えているので、とすれば良い。

離散的な結果の連続化(平滑化)
簡単のため、kbの大きさのみを指定した観測量を考える:

CDCCで求めた i チャネルへの遷移行列

離散状態と連続状態のoverlap(平滑化関数): fi (kb)

この考え方は、PS法にも適用可能。

平滑化関数(Av法の場合)
規格化係数

通常の処方と同じ答(ki < k < ki + Δk)(それ以外)

平滑化関数(PS法)k = 0.75

k = 0.26

Smoothing function

3
2
1
0
-1
-2
-3

0

0.5

1

1.5

k (fm-1)固有値に対応する k にピークを持つが、有意の拡がりを持つ。

平滑化の実例(Av法 vs PS法)
T. Matsumoto, Kamizato, O, Iseri, Hiyama, Kamimura, Yahiro, Phys. Rev. C 68, 064607 (2003).

d+58Ni at 80 MeV

6Li+40Ca at 156 MeV

平滑化した遷移強度は両者で極めて良く一致。

CDCCの“汎用”コード
CDCC のコード(重陽子入射版)はhttp://www.nt.phys.kyushu-u.ac.jp/CDCC/index.html
で公開中。
・計算の骨格は汎用的。少し書き換えれば一般の2クラスター系の反応に適用可能。
・公開されているマニュアルは、実はCDCCの基礎勉強の良いテキスト(通常省略されることが多い角運動量の足が正確に扱われている)。
・青木保夫氏(理研)が開発した ctak, hctak や Ian Thompson氏(Lawrence Livermore)が開発したFrescoがwebから入手可能。

CDCCの概観および理論的基盤のまとめ
CDCC は・分解反応を非摂動的に記述する反応模型である。
・exact な反応理論である(歪曲波) Faddeev 理論の第0近似であり、高次の補正は極めて小さい。
・適切に限定された模型空間の中で構築された反応論である。
・弱束縛系の分解を取り扱う、実効的かつ高精度の反応模型として高い成功を収めている。
Review papers
M. Kamimura, Yahiro, Iseri, Sakuragi, Kameyama, Kawai, Prog. Theor. Phys. Suppl. 89 (1986), 1.
N. Austern, Iseri, Kamimura, Kawai, Rawitscher, Yahiro, Phys. Rep. 154 (1987), 125.
M. Yahiro, O, Matsumoto, Minomo, Prog. Theor. Exp. Phys. 2012, 01A206 (2012).

この講義で伝えたかったこと・研究目的に見合った模型空間を設定することの意味と価値。
・反応確率ではなく断面積を使う理由。
・アイコナール近似を使えばごく簡単に散乱問題が解けるということ。
・複素光学ポテンシャルの起源。
・波束の理論を用いた定常散乱波の正当性の証明。
・多重散乱理論に基づく微視的反応理論とその活躍。
・模型空間の中での厳密3体反応理論という考え方。l-truncationの有効性こそがCDCCの理論的基盤(連続状態の離散化はまた別の話)。
・研究対象の拡大と物理の理解をもたらす近似(模型)は偉大。
(ただし近似の基盤と適用限界は把握しておく必要あり。)