JEMEA Bulletin Vol.3 No.2 (2017.12)

研究トピックス
導電性材料の測定で誘電率が負に見える理由
The reason why the permittivity seems to be a negative at themeasurement of the conductive material
国立研究開発法人 産業技術総合研究所 杉山 順一〒305-8565 茨城県つくば市東 1-1-1 中央第 5e-mail: sugiyama-j@aist.go.jp
し、80℃以上で負の値と算出される。同時にεr”は非常

1. はじめに電磁波に対する物性値の１つに誘電率がある。誘電に大きな値と算出される[2]。

率の測定にはいろいろな手法が知られているが、どのような物理現象を前提とした測定方法であるかを理解

表 1

再処理溶液モデルの複素比誘電率評価a)

した上で測定値を議論しなければ、正しい意味をなさ温度（℃）

水道水

硝酸銅水溶液ない。本報では誘電率の原義、測定方法、およびその2575.1 -j8.7

19.5 -j103.4

5068.9 -j5.5

7.5 -j152.2

8063.0 -j3.7-12.6 -j2 16.0

10059.1 -j3.1-30.6 -j2 57.3

測定値について述べると共に、ある現象で生じる「誘電率実部が負に見える」理由について考察する[1]。
2. 誘電率が負に見える現象例１a)

実部は比誘電率を、虚部は比誘電損率を表す

b)

Cu 濃度 250g/L 、硝酸濃度 3mol/ Lb)

誘電率の評価として摂動法がある。空洞共振器の共振周波数fcとQ値を測定し、ここに微小体積の試料を入3. 誘電率が負に見える現象例２れた時の共振周波数fsとQ値の変化量より、周波数fcに同じく摂動法を用い、室温にて種々の酸および塩基おける複素誘電率を求める方法である(図１)。

水溶液を測定すると、別測定で求めた導電率σが大きくなるにつれてεr’が減少する傾向が見られる(図 2)。

図１ 摂動法複素比誘電率εr*の実部を比誘電率εr’、虚部を比誘電損率εr”とする。水道水のεr*を測定すると、25℃から100℃までの範囲では温度上昇と共にεr’、εr”が減少する(表１)。これは緩和時間τの減少および周波数 0 における比誘電率εr’(0)の減少に基づく、デバイ緩和型誘電体の典型的な挙動である。同様な測定および算定を硝酸酸性の硝酸銅水溶液に対して行うと、εr’は極端に減少

図２ 導電率の高い試料の評価

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例として塩酸の場合、3mol/L以上の高濃度では値が様に伝搬速度が遅くなる。その速度変化は誘電率に基負となる[3]。導電率σを有する試料の場合、表皮厚δがづく。したがって中央部に装荷された物質の内部を伝小さいために試料内を電界が伝搬しないのではないか

搬する波動の速度が遅くなれば、波動にとって側壁かとの疑いは、より高濃度である 5mol/Lの塩酸においてら中心まで伝搬する時間が長くなるため、距離が「大0.5測定されたσ=62.7[S/m]から得られる表皮厚δ=1/(πfμσ)

きくなった」と感じられる。これは物理的な長さは変を 1.28[mm]と算定し、試料径である 0.29[mm]より十分わらないが、電気的な長さが長くなったことを意味し大きいことから試料内へ十分浸透していると見なしてている。共振器が電気的に大きくなったならば、低周いる。

波数側にシフトしなければ共振状態とならない。試料
装荷前後の共振周波数の差分を測定することによって4. 測定結果が「負の誘電率」を示す過程

物質内の伝搬速度が得られ、これよりεr’が求めるのが前項にて、ある程度の導電率 σ を有する試料におい摂動法による算定の原理である(式 1)。同時に、物質内て誘電率が負の値を示すように計測される例を示した。

で波動のエネルギーが損失された場合、損失エネルギ

そこでどのような測定がなされた時にどのような計測ー/蓄積エネルギーはεr”/εr’=tanδとなり、tanδ=1/Qより求値となり、それがどのように「負の誘電率」として算められる。したがって試料装荷前後のtanδまたはQ値の出されるかの過程を精査する。

差分を測定することによって物質内の損失速度が得られることからεr”が得られる(式 2)。ここでαnは共振器の共振器のポート 1 にループアンテナを設置してTM0n0モードを磁界励振すると、円筒空洞共振器内にはモードによる定数である。

電界の波面が同心円状に発生する。無負荷では、半径方向の電界最大振幅は第１種０次ベッセル関数に、磁ε r' =πrc2  f c − f s  +1
α n S s  f c (1)ε r" =πrc2  11  − 2α n S s  Qs Qc (2)界最大振幅は第１種１次ベッセル関数に従う。側壁は金属でできており、電界は０となるため、相当する共振器半径が第１種０次ベッセル関数の根となる大きさであれば、共振が成立する。
EH

H = J 1 ( x ) cos(ωt )0.60.0-3-2-1012

誘電体に交流電界を印加した時、誘電体分子が持つE = J 0 ( x )sin (ωt )1.23

双極子モーメントはその時々の電界の方向に配向しようとする。これは誘電体内を荷電粒子が移動するので円筒空洞共振器内の電磁界強度
E：第１種０次Bessel関数
H：第１種１次Bessel関数

はなく、双極子が一様の方向に配向することによって系全体が分極する現象である。双極子を固定長を持っ-0.6た複数の電荷点と見るならば、配向もまた微視的な電図３ 電界と磁界のベッセル関数荷の移動と考えてもよい。
共振器内の波動は装荷試料の内部情報を反映して多対して、物質内を荷電粒子（単電荷）が移動できる重反射し定在波を作り出している。これは円周方向に電気的導体（導電体）に交流電界を印加した時では、対称であり、ポート 1 の信号をポート 2 にて計測する

その物質に対して外部から電荷の授受が行われないとことで装荷試料を透過した共振周波数を測定している。

した場合、荷電粒子の運動に基づいた系全体の電荷偏定在波は半径rcに沿って「側壁から中心に向かう波」在が起こる。この状態は、誘電体における配向と変わと「中心から側壁に向かう波」の合波である。この時りない。言い換えれば、共振器内に電気的に孤立したの波とは円筒の中心軸と平行の成分を持つ電界の伝搬状態にある棒状試料に電界を印加することは、誘電体である。中心軸に断面積Ssの試料を装荷すると、試料であっても導電体であっても、棒状試料全体では同じ界面は電界と平行であるから、試料内部に入射されたく長軸方向に電荷の分離が生じている状態となる。

「側壁から中心に向かう波」は試料外部に比較して一ここで誘電体と導電体における表記物性値の違いを18

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考える。電気的導体の尺度である導電率 σ[S/m]は角周5. 誘電率が示す物質の性質

波数 ω[1/s]と誘電率 ε[F/m]の積と同単位次元である。よ

誘電率の正負を議論する前に、そもそも誘電率が何って評価対象が両性質を兼ね備えている場合、電気双の物理現象を示しているかを改めて考える。誘電率極子による ε に加えて単電荷による σ/ω も含まれる。

ε[F/m]とは、電界強度E[V/m]と電束密度D[C/m2]の関

液体試料では ε は ω の関数であって一定の定数ではな係における比例定数とも解釈できる(式 3)。真空を広義いように、σ/ω は σ が定数であっても ω が大きくなるの「物質」と捉えるなら、真空の誘電率をε0[F/m]としほど小さくなる。これは周波数が大きくなるほど荷電て表現できる。汎用される誘電率とはこのε0に対する粒子の往復移動距離が短くなり、電界に対する応答量比を示していることが多いが、狭義では比誘電率εr[nd]が小さくなるためと説明できる。したがって図１の空と記述した方が良い。誘電率の単位は[F/m]だが、比誘洞共振器の摂動法によって物質の「誘電率」を評価し電率の単位は無次元(no dimension)である。

ようとした場合、応答は棒状試料の電荷の分離度合い

D = εE = ε 0ε r E (3)を測定しているのであって、電気双極子に基づく ε のみではなく、単電荷に基づく σ/ω を加算した(σ/ω)+ε を確かに誘電率は電界強度と電束密度を変換するための比例定数であるが、それだけでは意味を持たない。

計測している事になる。
一般的な誘電体を装荷した場合、無負荷時よりも長そこで他の物理定数との関係を見てみよう。真空中をい波長、すなわち低い周波数でなければ共振条件が成伝搬する電磁波の速度、すなわち光速 c[m/s]は定義値立しない。一方で、例えば 1mol/L 塩酸では共振周波数であって人為的に定めた値であり、誤差を含まない。

は低周波側にあるが、5mol/L 塩酸では高周波側となる。

現時点では 299,792,458[m/s]であり、定義が変わるまでは変わらない。逆に言えば定義が変れば値も変わる

1013[dB]-30

2.448/-35.4

ブランク
-40

1002[dB]-30が、自然界において速度自体が変わるわけでなく、そ2.448/-33.0

ブランク
-40

Q=8,304-50

Q=10,616

れをどう数値表現するかが変わるだけである。

-50
Ch1_S21-60

S21_MIN
S21_MAX-70

Ch1_S21-60

S21_MIN

同様に、真空の透磁率μ0も定義値である。光速cが 3S21_MAX-70-80-80-902.430

2.4402.4502.460-902.430

2.470 [GHz]1014[dB]-30

2.448/-65.31mol/L HClaq-40

Q=270-502.440

2.4502.4601003

変遷してきたのに対し、透磁率は歴史的に大きく変わ

2.450/-72.75mol/L HClaq-40

Q=114っている。これは電磁気に関する物理量が、長さ、質-50
Ch1_S21-60

S21_MIN
S21_MAX-70-80-90
2.430×108[m/s]近傍から外れることなく、有効数字だけが2.470 [GHz][dB]-30

Ch1_S21-60

S21_MIN

量、時間だけのcgs単位系[cm, g, s]では表現できないこ

S21_MAX-70-802.440

2.4502.4602.470 [GHz]-902.430

2.4402.4502.460とに気づき、如何に表現すべきかとの思考の変遷でも2.470 [GHz]ある。現在使用されるMKSA単位系[m, kg, s, A]は長さ、図４ 塩酸のTM020共振状態

質量、時間に加えて電流量を基本単位としている。透1mol/L塩酸から 5mol/L塩酸への変化は連続的であり、磁率μ[H/m]とは磁界強度H[A/m]と磁束密度B[Wb/m2]モードの変化が起こったとは考えにくい。これに式 1の関係における比例定数である(式 4)。この関係は電界を当てはめると、fc-fsが負となるため、算定上は「負のにおける関係式 3 を磁界に対応させたものと言える。

誘電率」を示すことになる。

B = µH = µ 0 µ r H

この応答は(σ/ω)+ε を計測しているのであるから、(4)(σ/ω)+ε が負であるためには少なくとも σ/ω と ε の何れ

MKSA単位系における真空の透磁率μ0の定義値は 4πかが負でなければならない。これは物質の性質の解釈×10-7[H/m]である。光速cと異なり観測で得られた値でとして正しいのであろうか。応答が棒状試料の電荷のはなく、理論(4π)と実用性(10-7)から導かれる。無理数

分離度合いを測定しており、電気双極子も単電荷も外であるπを含むことから小数表記では有限の数字で記場（クーロン力）に対して同じ方向の電気的応答をし載できないが、定義としては誤差を含まない。
MKSA単位系によって誘電率、透磁率が電磁気系単ている以上、この値は負になりえないはずである。

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位内の単なる比例定数ではなく、物理的な意味を持つことを明確にすることができる。真空という「物質」

ε r* = (n − jk )2を伝搬する電磁波の速度cは、電界における比例定数で式 9 を展開し実部と虚部に分けると、実部はn2-k2とある真空の誘電率ε0、磁界における比例定数である真なる。よって実部が負になる、すなわち共振器に装荷空の透磁率μ0に対して式 5 の関係を持つ。ここでcとμ0した時に高周波側にシフトする現象は、n<kの時に起は定義値であるため、ε0はこの２つから誘導された値こりうる。実際に図４で示した例では装荷試料のQ値として組み立てられるが、μ0 が無理数であるため、が極端に減少しており、kが大きいことが伺える。

8.854 187 817…×10-12[F/m]という表記となる。

ε 0 µ0 =1c2(9)

一方で、k が大きいことと、共振周波数がブランクより高周波数側にシフトすること、すなわち共振器が(5)電気的に小さくなるように見えることは、どのように式 5 が示す意味は、「真空の透磁率と誘電率の積は、一致させればよいだろうか。今回の試料はいずれも導真空中の電磁波の速度の逆二乗」である。したがって電性が高い。印加される外部電界への応答で発生する

これを真空以外の物質に置き換えれば、「物質の透磁率電流は、装荷試料の外側に磁界を作り出す。発生したと誘電率の積は、物質中の電磁波の速度の逆二乗」と磁界は、共振器内の外部磁界を排斥するため、共振条なる。物質中の電磁波の速度 v[m/s]は n=c/v で示され件のための磁界を示すベッセル関数は外に膨らむ。とる屈折率 n を用いれば c で表現できる(式 6)。

ころが共振器の大きさは不変であるため、共振条件をεµ =21 n=v2 c2保つためには波長を短く、すなわちより高周波数でな(6)ければ共振が成立しない。これにより共振周波数が高これをさらに損失を含む一般物質に拡張するならば、周波側にシフトする理由が説明できる。

「一般物質の複素誘電率と一般物質の複素透磁率の積6. まとめは、一般物質中の光速度の逆二乗」と表現される。損失は複素誘電率、複素透磁率の虚数項に含まれる。屈

導電性材料は、誘電体よりも大きな電流を残存させ折率は複素屈折率n*となるが、これは実数項の屈折率n、るため、磁界の発生が無視できない。外部電界エネル虚数項の吸収率kからなる(式 7)。

ギーを磁界エネルギーに変換してしまう分だけ、電界ε *µ * =(n − jk )1n= 2 =*2v
cc2エネルギーは損失となることから、吸収率kが大きい材

2*2(7)料とみなされる。吸収率kが大きいことによりn<kとな

式 7 に式 5 を代入してcを消せば、ε*、μ*はそれぞれ「εr’が負のように見る条件では、n2-k2が負となるため、複素比誘電率εr*、複素比透磁率μr*となる(式 8)。

ε r* µ r* = (n − jk )2える」と考えられる。外部電界エネルギーを磁界エネルギーに変換する「電界の損失」は「磁界への変換」(8)であって「熱的損失」とは限らない。本測定で「εr’が式 8 は、複素比誘電率と複素比透磁率の積が複素屈負のように見える」のは磁界の影響を考慮していない折率の二乗であることを示している。すなわち、誘電ため、と考えるべきである。

率を持った材料を装荷することによって生じた伝搬速度の減衰を、共振器が電気的にどれだけ大きくなった

参考文献

かとして共振周波数測定により関連付けている。

1)第 5 回誘電率透磁率データベース化 WG 研究会資料、杉山

ただし、式(1,2)の算定には大きな仮定的前提が導入

順一、2016.

されていることに注意しなければならない。磁気双極2)“水溶液のマイクロ波迅速濃縮における円筒型オーブンの子を持たない物質は磁界に対して真空と同じ応答をす検討”るものとし、μr =1-j0 を式 8 に代入してμr を消す(式 9)。

3)“導電率 σ を持つ液体のマイクロ波特性の測定”**杉山他、信学技報, MW2010-161, pp.51-56, 2011.

他、信学技報 MW2011-40, pp.47-52, 2011.

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杉山