S 行列

散乱計算で現れる S 行列を見ていきます。ここでは形式的な話だけをします。

粒子が標的に向かって行き散乱するとします。それを記述するハミルトニアン演算子 H は、自由粒子のハミルトニアン演算子 H0 と相互作用項 (ポテンシャル項)V に分解できるとします。散乱は V によって表現されます。
シュレーディンガー方程式iℏ∂|ψ; t⟩ = H|ψ; t⟩∂tから、状態の変化は時間 t0 の状態を |ψ; t0 ⟩ として(U (t, t0 ) = e−iH(t−t0 )/ℏ )|ψ; t⟩ = U (t, t0 )|ψ; t0 ⟩と表せます。つまり、U (t, t0 )|ψ; t0 ⟩ が古典論で言うところの粒子の軌道に対応します。
ここから t0 = 0 とし、|ψ⟩ = |ψ; t0 = 0⟩ と表記します。|ψ; t⟩ は散乱による状態を表すので、散乱が起きる前に巻き戻せば、散乱を起こす相互作用がない H0 による状態になると考えられます。それを H0 のシュレーディンガー方程式から(U0 (t) = e−iH0 t/ℏ )|ψin ; t⟩ = U0 (t)|ψin ⟩として、t → −∞ で

lim |ψ; t⟩ = lim U (t)|ψ⟩ ⇔t→−∞t→−∞

lim U0 (t)|ψin ⟩t→−∞(U0 (t) = e−iH0 t/ℏ )と対応させます。|ψin ⟩ は時間独立な任意の状態です。同様に、散乱後も自由粒子の状態になるとして

lim |ψ; t⟩ = lim U (t)|ψ⟩ ⇔t→+∞t→+∞

lim U0 (t)|ψout ⟩t→+∞

このように、散乱を起こす状態 |ψ; t⟩ の漸近的な状態として |ψin ⟩, |ψout ⟩ を与えます。つまり、漸近的条件としてlim (|ψ; t⟩ − |ψin ; t⟩) = 0 ,t→−∞lim (|ψ; t⟩ − |ψout ; t⟩) = 0t→+∞が与えられています。古典的に言えば、|ψ; t⟩ は散乱による軌道、|ψin ; t⟩, |ψout ; t⟩ は散乱のない軌道で、|ψ; t⟩ は

t → ±∞ で漸近的に |ψin ; t⟩, |ψout ; t⟩ の軌道に近づくということです。
これらの極限において|ψ⟩ = lim U † (t)U0 (t)|ψin ⟩ = Ω+ |ψin ⟩t→−∞|ψ⟩ = lim U † (t)U0 (t)|ψout ⟩ = Ω− |ψout ⟩t→+∞1(1)演算子 Ω± を Mo/ller wave operator と呼びます (極限が存在する例を下の補足で示しています)。そして、散乱を含む |ψ⟩ はどちらでも同じになるとして|ψ⟩ = Ω+ |ψin ⟩ = Ω− |ψout ⟩(2)とします。Ω± はユニタリー演算子ではないことに注意してください。
古典的な場合もそうであるように、V が空間全てにそれなりの大きさで存在していると、|ψ; t⟩ は V のない場
合に漸近的に近づきません。このため、漸近的に近づくためには V に制限が入ります。そんな制限に触れても面倒なだけなので、V は距離 r の増加に対して急激に減少すると仮定してしまいます。細かく言うと、r → ∞ では

r−3 より早く 0 に近づき、r → 0 では r−3/2 より遅く発散すればいいです。さらに言えば、(2) を満たす V でなければいけないですが、ここら辺は数学の話なので無視します (漸近完全性, asymptotic completeness)。

Ω± は定義から Ω†± Ω± = 1 なので|ψout ⟩ = Ω†− Ω+ |ψin ⟩ = S|ψin ⟩これから、入射粒子の状態を |ψin ⟩、散乱後の終状態を |ψout ⟩ とすれば、演算子 S が散乱の情報を全て持ちます。

S を S 行列演算子と呼び、次に見るように「相互作用描像」での S 行列と同じものです。また、S = 1 なら等号になるので、何も起きていないことになります。
相互作用のない入射粒子の始状態を |ψin ⟩、散乱後の終状態を |ϕout ⟩ とします。散乱を含む状態とは|ψ+ ⟩ = Ω+ |ψin ⟩ , |ϕ− ⟩ = Ω− |ϕout ⟩|ψ± ⟩ は適当な時間 (今は t = t0 = 0) での状態です。なので、入射粒子の始状態 |ψin ⟩ から発展した |ψ+ ⟩ が、設定した終状態から発展した |ϕ− ⟩ になる確率が知りたい量です (散乱のない始状態から散乱を受ける状態へ発展させたものと、散乱のない終状態から散乱を受ける状態へ巻き戻していったものとが対応する確率)。その確率は|⟨ϕ− |ψ+ ⟩|2 = |⟨ϕout |Ω†− Ω+ |ψin ⟩|2 = |⟨ϕout |S|ψin ⟩|2となり、S 行列演算子の成分そのものです。

Ω± とハミルトニアン演算子の関係を求めます。eiHt/ℏ Ω± は′′eiHt /ℏ Ω± = eiHt /ℏ lim eiHt/ℏ e−iH0 t/ℏt→∓∞=′lim eiH(t+t )/ℏ e−iH0 t/ℏt→∓∞′′′= ( lim eiH(t+t )/ℏ e−iH0 (t+t )/ℏ )eiH0 t /ℏt→∓∞′= Ω± eiH0 t /ℏ
t′ で微分すれば

2′′iiHeiHt /ℏ Ω± = Ω± H0 eiH0 t /ℏℏℏ′′HeiHt /ℏ Ω± = Ω± H0 eiH0 t /ℏt′ = 0 で、HΩ± = Ω± H0 となりΩ†± HΩ± = H0(3)という関係になります。

S 行列の定義は相互作用描像での時間発展演算子の極限に対応します。それを見るために、Ω± と |ψin ⟩, |ψout ⟩を相互作用描像で書きます。まず、時間発展演算子 UI は

UI (0, t) = Û0† (0, t0 )Û (0, t)U0 (t, t0 )なので、Ω± はΩ+ = lim U † (t)U0 (t) = lim U0† (0, 0)U (0, t)U0 (t, 0) = UI (0, −∞)
t→−∞

t→−∞

Ω− = lim U † (t)U0 (t) = UI (0, +∞)t→+∞となります。シュレーディンガー描像の状態 |ψin ; t⟩S の相互作用描像は|ψin ; t⟩I = eiH0 t/ℏ |ψin ; t⟩S = eiH0 t/ℏ e−iH0 t/ℏ |ψin ⟩ = |ψin ⟩時間独立なので、t → −∞ として

lim |ψ; t⟩I = |ψin ⟩t→−∞|ψout ⟩ でも同様に

lim |ψ; t⟩I = |ψout ⟩t→+∞

そうすると、始状態からの t = 0 の状態 |ψ+ ⟩ と終状態からの t = 0 での状態 |ϕ− ⟩ は⟨ϕ− |ψ+ ⟩ = ⟨ϕout |Ω†− Ω+ |ψin ⟩= I ⟨ϕ; +∞|UI† (0, ∞)UI (0, −∞)|ψ; −∞⟩I= I ⟨ϕ; +∞|UI (+∞, 0)UI (0, −∞)|ψ; −∞⟩I3と書けるので、S 行列演算子は、相互作用描像の時間発展演算子によってS = UI (+∞, 0)UI (0, −∞) = UI (+∞, −∞)となります。
「相互作用描像」で求めた UI を使えば

S = 1+∞
∑

S (n)

n=1

∫∫ ∞
∫ ∞∞
∑
1 −i n ∞= 1+( )
dt1
dt2 · · ·dtn T[VI (t1 )VI (t2 ) · · · VI (tn )]n! ℏ−∞−∞−∞
n=1[i= T exp[−ℏ∫ ∞−∞]
ds VI (s)]1 は散乱が起きない場合に対応します。これを運動量の固有状態で挟めば⟨p2 |S|p1 ⟩ = δ 3 (p2 − p1 ) + ⟨p2 |S (1) |p1 ⟩ + ⟨p2 |S (2) |p1 ⟩ + · · ·(⟨p2 |p1 ⟩ = δ 3 (p2 − p1 ))= δ 3 (p2 − p1 )+−iℏ

∫ ∞1 −idt1 ⟨p2 |VI (t1 )|p1 ⟩ + ( )22 ℏ−∞

∫ ∞−∞

∫ ∞
dt1−∞

dt2 ⟨p2 |T[VI (t1 )VI (t2 )]|p1 ⟩ + · · ·= δ 3 (p2 − p1 )+−i
ℏ

∫ ∞−∞

dt1 ⟨p2 |VI (t1 )|p1 ⟩ + (−i 2)
ℏ

∫ ∞−∞

∫ t1
dt1−∞

dt2 ⟨p2 |VI (t1 )VI (t2 )|p1 ⟩ + · · ·(4)運動量で挟むのは、始状態 |ψin ⟩ と散乱後の状態 |ψout ⟩ の関係において∫ψout (p2 ) = ⟨p2 |S|ψin ⟩ =∫d p1 ⟨p2 |S|p1 ⟩⟨p1 |ψin ⟩ =3d3 p1 ⟨p2 |S|p1 ⟩ψin (p)と現れるからです。後は具体的な相互作用 V を使って計算します。S (1) までを計算することをボルン (Born) 近似と呼びます。

S (1) は、E1,2 = p21,2 /2m として、デルタ関数を使えば

4

⟨p2 |S(1)−i|p1 ⟩ =
ℏ=

==−iℏ
−iℏ

∫ ∞

dt1 ⟨p2 |VI (t1 )|p1 ⟩−∞∫ ∞dt1 ⟨p2 |eiH0 t1 /ℏ V e−iH0 t1 /ℏ |p1 ⟩−∞∫ ∞dt1 ei(E2 −E1 )t1 /ℏ ⟨p2 |V |p1 ⟩−∞−iE2 − E12πδ()⟨p2 |V |p1 ⟩ℏℏ= − i2πδ(E2 − E1 )⟨p2 |V |p1 ⟩(δ(ax) =1δ(x))|a|(5)

V は V (x) とし位置演算子が位置 x になるだけとして、位置の完全性を挟めば∫⟨p2 |S(1)|p1 ⟩ = − i2πδ(E2 − E1 )d3 x⟨p2 |V |x⟩⟨x|p1 ⟩∫= − i2πδ(E2 − E1 )∫= − i2πδ(E2 − E1 )d3 x V (x)e−ip2 ·x/ℏ eip1 ·x/ℏ(⟨x|p⟩ = eip·x/ℏ )d3 x V (x)e−i(p2 −p1 )·x/ℏ

例えば、V (x) が V (r) (r = |x|) となっているなら∫d3 x V (r)e−iq·x/ℏ = 2π

∫ ∞

∫ π
dr V (r)0dθ r2 e−i|q|r cos θ sin θ0(q =p2 − p1)ℏ∫ ∞∫ −i|q|r1r −sdr V (r)dse(s = i|q|r cos θ, ds = −i|q|r sin θdθ)
i 0|q|i|q|r∫1 ∞
rii= 2πdr V (r) (exp[ |q|r] − exp[− |q|r])i 0|q|ℏℏ∫ ∞r= 4π
dr V (r)sin(|q|r)|q|0= − 2πとなります。
また、(4),(5) のようになることは、(3) から求められます。運動量の固有状態 |p1 ⟩, |p2 ⟩ に対して、(3) を使うと

⟨p2 |[H0 , S]|p1 ⟩ = ⟨p2 |(H0 S − SH0 )|p1 ⟩ = ⟨p2 |(E2 S − SE1 )|p1 ⟩ = (E2 − E1 )⟨p2 |S|p1 ⟩E1 , E2 は運動量 p1 , p2 に対応する H0 のエネルギーです。H0 と S は交換するので、これは 0 です。なので、⟨p2 |S|p1 ⟩ ̸= 0 となるのは E2 = E1 のときで、これはエネルギー保存です。このことをデルタ関数で表すことにし、適当な関数 f によって⟨p2 |S|p1 ⟩ = δ 3 (p2 − p1 ) − 2πiδ(E1 − E2 )f (p2 ; p1 )5と書けます。第二項の −2πi は (5) のように出てくるからです。
実験結果との比較は散乱断面積によって与えられるので、運動量表示での S 行列と散乱断面積との関係を求めます。運動量 p を持つ始状態を ψin (p) = ⟨p|ψin ⟩ とし、これはガウス分布のようにある運動量付近で大きな値を持つ波束とします (運動量を十分決められる程に鋭い)。この粒子を標的に向かわせて散乱させます。しかし、実験では完全に同じ状態を使い続けることはできないので、この状態に対して衝突パラメータ b の範囲にいる状態を入射粒子とします。b は粒子の進行方向に対して垂直なので、進行方向に直交する 2 次元面のベクトルです。位置のズレは運動量演算子 p̂ で与えられるので、ϕ(p) = ⟨p|ϕ⟩ から b だけズレている状態はϕb (p) = e−ip·x/ℏ ψin (p)となります。
また、平面波でも同様の関係が導けるので、波束としないことも多いです。実験との対応を考えるなら波束を使ったほうが良いですし、数学の面からも波束のほうが便利ですある衝突パラメータ b0 の入射粒子が散乱して観測したい状態になる確率を P (b0 ) とします。単位面積あたりに粒子数 (面積密度)n で微小な面 ∆s を通っていく入射粒子を散乱させたとき、観測される散乱の回数は n∆sP (b0 )です。今は衝突パラメータによる 2 次元面を通過する粒子を扱うので、全体の散乱回数 N は∫d2 b P (b)N =n

入射粒子は衝突パラメータに依存せずに一様に分布するとして（粒子分布に偏りがないとする）、n は積分の外に出しています。
散乱断面積 σ は n によってσ=Nnと定義されます。ただし、標的は 1 個としています。この定義の意味を簡単に言っておきます。体積密度 ρ の入射粒子が、時間 T の間に面積 s の幅で標的に向かって行くとします (v は標的と入射粒子の相対速度)。このとき、散乱を起こす可能性がある粒子の個数は ρvT s 個です (標的に対して vT 内の距離にいる粒子)。なので、標的によって 1 回散乱される確率を σ ′ とすれば、ρvT sσ ′ 回散乱が起きます。よって、面積の次元を持つ σ = sσ ′ として、全体の散乱回数 N は

N = σρvT=σρVs(V = vT s)= σnσ=Nnとなります。このように、散乱断面積は入射粒子が散乱される断面積における確率です。

P は散乱後に運動量 k の状態 ψout (k) = ⟨k|ψout ⟩ になる確率と言えます。この状態が存在する確率は|ψout (k)|2 d3 k6

どの運動量で散乱されてくるかは考えずに、散乱してくる角度を見ます。つまり、散乱されてくる運動量の大きさ |k| は全て足し合わせて、散乱していくる 3 次元角度 (立体角)dΩ を残します (運動量の角度であることに注意)。
そうすると、3 次元運動量積分として∫ ∞P = dΩdk |k||ψout (k)|20

ψout は S 行列を使うと∫d3 p⟨k|S|p⟩ψin (p)ψout (k) =∫∫d3 pδ 3 (k − p)ψin (p) − 2πi=d3 pδ(Ep − Ek )f (k; p)ψin (p)∫= ψin (k) − 2πid3 pδ(Ep − Ek )f (k; p)ψin (p)波束 ψin は十分鋭いとしているので、散乱後の運動量 k は鋭い地点からズレるはずなので (入射粒子の運動量は散乱によって変化する)、ψin (k) はほぼ 0 になるとして

P = (2π)2 dΩ∫ ∞∫dk |k|

d3 pδ(Ep − Ek )f (k; p)ψin (p)0∫×∗d3 p′ δ(Ep′ − Ek )f ∗ (k; p′ )ψin(p′ )ψin (p) に衝突パラメータによる e−ip·b を加えて

2

∫ ∞P (b) = (2π) dΩ∫dk |k|

d3 pδ(Ep − Ek )f (k; p)ϕb (p)0∫×d3 p′ δ(Ep′ − Ek )f ∗ (k; p′ )ϕ∗b (p′ )よって∫
N = (2π)2 ndΩ

d2 b

∫ ∞

∫dk |k|d3 pδ(Ep − Ek )f (k; p)ϕb (p)0∫×d3 p′ δ(Ep′ − Ek )f ∗ (k; p′ )ϕ∗b (p′ )積分を実行していきます。

b 積分は∫′d2 be−i(p−p )·b7

これは 2 次元のデルタ関数の定義そのもので、b は粒子の進行方向に直交しているので∫′d2 be−i(p−p )·b = (2π)2 δ 2 (p⊥ − p′⊥ )「⊥」は進行方向に直交する成分を表します。例えば、進行方向が x 軸方向なら、p⊥ は y, z 成分です。
エネルギーのデルタ関数は δ(Ep − Ek )δ(Ep′ − Ek ) なので、片方を δ(Ep − Ep′ ) に出来ます。そして、エネル
ギーは自由粒子に対応しているので

δ(Ep − Ep′ ) = δ(p2p′2−) = 2mδ(p2 − p′2 )2m 2m(δ(ax) =1δ(x))|a|

垂直成分は p⊥ = p′⊥ なので、残りの平行な成分を p/ とすれば (2 次元の垂直成分と 1 次元の平行成分に分解する)、デルタ関数は f (α) = 0 となる α = αi (i = 1, 2, , . . . , n) に対して

δ(f (α)) =n∑1
δ(α − αi )|df /dα|α=αii=1となることを使って′22′2′′
δ(p2 − p′2 ) = δ(p2⊥ + p2/ − (p′2⊥ + p/ )) = δ(p/ − p/ ) = δ((|p/ | − |p/ |)(|p/ | + |p/ |))=1(δ(|p/ | − |p′/ |) + δ(|p/ | + |p′/ |))2|p/ |

ψin (p) は十分鋭い波束としているので、|p/ | = −|p′/ | では例えば |p′/ | = +c で最大値となるなら、|p/ | < 0 はほぼ0 の領域のみになります。なので、第二項は無視します。というわけで、デルタ関数は

δ 2 (p⊥ − p′⊥ )δ(Ep − Ep′ ) = 2mδ 2 (p⊥ − p′⊥ )δ(p2 − p′2 ) =m 3
δ (p − p′ )|p/ |となるので

N = (2π)4 ndΩ∫ ∞∫dk |k|∫
d3 p0d3 p′ δ 2 (p⊥ − p′⊥ )δ(Ep − Ek )δ(Ep′ − Ek )∗× f (k; p)ψin (p)f ∗ (k; p′ )ψin(p′ )4∫ ∞= (2π) ndΩ∫
dk |k|∫
3d p

d3 p ′0m 3
δ (p − p′ )δ(Ep − Ek )|p/ |∗× f (k; p)ψin (p)f ∗ (k; p′ )ψin(p′ )4∫ ∞= (2π) ndΩ0∫
dk |k|2d3 pm
δ(Ep − Ek )|f (k; p)ψin (p)|2|p/ |k 積分は8δ(Ep − Ek ) = 2mδ(p2 − k2 ) =m
(δ(|p| − |k|) + δ(|p| + |k|))|p|なので∫
N = ndΩ

d3 p|p||(2π)2 mf (k; p)ψin (p)|2|p/ |d3 p|p||F (k; p)ψin (p)|2|p/ |

∫
= ndΩ

(F (k; p) = (2π)2 mf (k; p))

最後の F (k; p) での k, p は |k| = |p| です。さらに、波束は最大値となる p = p0 付近だけで大きな値を持つので(p/ は衝突パラメータに垂直な成分なので粒子の進行方向、波束の最大値となる p0 は粒子の進行方向)。
|p|⇒ 1 , F (k; p) ⇒ F (k; p0 )|p/ |として∫N = n|F (k; p0 )|2 dΩ

d3 p|ψin (p)|2 = n|F (k; p0 )|2 dΩ

波動関数の規格化を使っています。よって、散乱断面積はσ=

N= |F (k; p0 )|2 dΩn微小な立体角 dΩ との割合とすれば

dσ= |F (k; p0 )|2dΩ
これは微分断面積です。この結果は、波束は十分鋭く、|F (k; p)|2 を定数と出来る場合です。

・補足(1) の例を示します。U † U0 の微分は

d †ii
(U (t)U0 (t)) = HU † U0 − U † H0 U0dtℏℏ=ii †U HU0 − U † H0 U0ℏℏ=i †U (H − H0 )U0ℏ=i †U V U0ℏ

0 から t で両辺を積分して9U † (t)U0 (t) − U † (0)U0 (0) =iℏ∫ ti
U (t)U0 (t) = 1 +ℏ†dt′ U † (t′ )V U0 (t′ )0∫ tdt′ U † (t′ )V U0 (t′ )(U (t, t) = U0 (t, t) = 1)0

これを |ψin ⟩ に作用させれば

U † (t)U0 (t)|ψin ⟩ = |ψin ⟩ +iℏ

∫ tdt′ U † (t′ )V U0 (t′ )|ψin ⟩0

右辺第二項の積分が t → −∞ で収束していれば、左辺の t → −∞ の極限が存在します。

⟨x|ψin ; t⟩ をガウス型の波束として (「波束」参照。3 次元なので 3 個分の積を取っている)⟨x|ψin ; t⟩ = ⟨x|U0 (t)|ψin ⟩ = (1 + iℏt −3/2x2)
exp[ 2]2ma
2a (1 + iℏt/ma2 )

規格化定数は省いています。これの絶対値は|⟨x|U0 (t)|ψin ⟩|2 = (1 += (1 +ℏ2 t2 −3/2x211)
exp[ 2 (+)]
242m a2a 1 + iℏt/ma
1 − iℏt/ma2ℏ2 t2 −3/2x2)exp[−]
m2 a4
a2 + ℏ2 t2 /m2 a2

そして|U † V U0 |ϕ⟩|2 = ⟨ϕ|(U † V U0 )† U † V U0 |ϕ⟩ = ⟨ϕ|U0† V U U † V U0 |ϕ⟩ = ⟨ϕ|U0 V V U0 |ϕ⟩ = |V U0 |ϕ⟩|2となるので、(6) の第二項において|V U0 |ψin ⟩|2 = ⟨ψin |U0 V V U0 |ψin ⟩∫=d3 x⟨ψin |U0 V V |x⟩⟨x|U0 |ψin ⟩∫d3 x|V (x)|2 ⟨ψin |U0 |x⟩⟨x|U0 |ψin ⟩=∫=

d3 x|V (x)|2 |⟨x|U0 |ψin ⟩|2ℏ2 t 2= (1 + 2 4 )−3/2m a∫x2
d3 x|V (x)|2 exp[− 2]a + ℏ2 t2 /m2 a2exp 部分は 1 以下なので10(6)|V U0 |ψ⟩in |2 ≤ (1 +ℏ2 t2 −3/2)
m2 a4∫d3 x|V (x)|2V (x) は ±∞ で十分早く 0 に近づくとすれば∫ 0−∞dt′ |V U0 (t′ )|ψ⟩in | ≤√ ∫ 0ℏ2 t′2
Idt′ (1 + 2 4 )−3/2
m a−∞

I は |V (x)|2 積分部分です。右辺の t′ 積分は発散しないので、左辺の積分は収束します。よって、

lim U † (t)U0 (t)|ψ⟩in = |ψ⟩in +t→−∞ilimℏ t→−∞∫ tdt′ U † (t′ )V U0 (t′ )|ψin ⟩ < ∞0となり、左辺はどこかに収束します。それを |ψ⟩ とすれば|ψ⟩ = lim U † (t)U0 (t)|ψin ⟩ = Ω+ |ψin ⟩t→−∞|ψout ⟩ でも同様です。

11