Proceedings of the 10th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan (August 3-5, 2013, Nagoya, Japan)

六極電磁石用ハーモニックコイルの最適化
OPTIMIZATION OF A HARMONIC COIL FOR THE FIELD MEASUREMENT OFSEXTUPOLE MAGNETS
妻木孝治#, 深見健司, 中西辰郎
Koji Tsumaki #,, Kenji Fukami , Tatsuro Nakanishi
JASRI/SPring-8

Abstract
The magnetic field of sextupole magnets used in the Ultra-low Emittance Storage Ring (UESR) for synchrotron
radiation sources is very strong compared with the conventional one. The absolute values of higher harmonics of such ahigh gradient magnet become large in proportion to the main field. Moreover, the pole pieces of the magnet are
saturated and stronger higher harmonics are generated. As the sextupole magnets control the dynamic aperture and thedynamic aperture of the UESR is very small due to the strong sextupole magnets, we need to measure the higher
harmonics precisely as well as the main field. The optimum coil arrangement of radial harmonic coil to suppress thespurious higher harmonics of the sextupole magnets was studied by the simulation. Assuming the two coils, wedetermined the coil positions of two coils that have no sensitivities to quadrupole and sextupole fields and havemaximum sensitivities to octupole and decapole fields. We also studied the coil position for the measurement of main
field. To reduce the spurious main field, the coils are arranged to have no sensitivity to quadrupole field and maximum
sensitivity to sextupole fields.
れる[4]。

1.

はじめに r  n  r  n ∂Φ ∞= ∑ NLr0ω  2  −  ± 1  C(n)sin(nωt + nδ − nα n )∂t n =1
 r0   r0  (1)現在世界各地で次世代の回折限界を目指した超低エミッタンス蓄積リング UESR がさかんに検討されここで N はコイルのターン数、L はコイルの長さ、ている[1]。UESR の六極電磁石は極めて強く、そのたは任意のレファレンス半径、ωは角速度、rr0
1 と r2めダイナミックアパーチャが従来に比べて極めて小€はコイル半径、C(n)とαは定数、δは角度の初期条
nさい。従って適当な大きさのダイナミックアパーチャをいかに確保するかが UESR 成功の鍵となる。 件、 の−は回転中心の反対側にコイル位置がある
このダイナミックアパーチャを決めているのが六極 場合である。フラックスは電圧出力を積分して、nn∞
電磁石で、その磁場測定は大変重要なものとなる。
NLr0  r2   r1    −  ±  C(n)cos(nϑ − nα n )θ)=−V(t)dt=Φ(∑∫SPring-8 でも回折限界を目指して、次期計画のn  r0   r0  n =1(2)SPring-8-II が検討されており [2]、六極電磁石の磁∞∞[3]in(θ −α )場強度は非常に強くなることが予想される 。高= ∑ K n C(n)cos(nθ − nα n ) = Re ∑ K n C(n)e n =1n =1
ハーモニック磁場成分は、主成分に比例して強くなるだけでなく、鉄の飽和領域で使うためさらに強くなることが予想される。強いハーモニック成分は小 ここで Kn は,€さなダイナミックアパーチャをさらに小さくする可nn能性がある。そのため六極電磁石の磁場成分を主成NLr0  r2   r1  (3)Kn =  − ±  分だけでなく、高ハーモニック成分も精度よく測定
nrr
0
 0
する必要がある。
従来、偏向電磁石や四極電磁石については見かけの磁場成分を含まず、実磁場成分だけ測定するブッキングコイルが使われている。しかしながら、六極 トランスバース方向の振動やねじれ方向の振動があるとフラックスは次のようになる。
電磁石についてはほとんど例がない。そこで本研究€では六極電磁石についてコイルの軸ずれや読み出し誤差に起因する見かけの磁場に対しては不感で実磁
Φn = Re K n e inθ C(n)e −inα n
場だけ感度よく測定する方法について検討したので、
(n −1)D(θ )
その結果について報告する。
+Re K n −1e i(n −1)θC(n)e −inα n (4)V (t) = −n[2.

ハーモニックコイルの出力
ハーモニックコイルの電圧出力は次のように表さ____________________________________________

#]

r0

+Re[inK n T(θ )e inθ C(n)e −inα n ]ここで D(θ)は位置の誤差、T(θ)は角度の誤差を示

tsumaki@spring8.or.jp€- 642 -Proceedings of the 10th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan (August 3-5, 2013, Nagoya, Japan)

す。角度の誤差は実際の角度誤差だけでなく読み出し誤差も含む。

クス成分に対する感受率も小さくなってしまう。そこで四極成分と六極成分の感受率を零に保ったまま、高磁場ハーモニック成分に対する感受率を最大化す
3. 高ハーモニクス成分測定用コイルるようなコイル配置を求める。すべての高ハーモニック成分の感受率を最適化することは難しいため、
3.1 最適化の方法
八極（n=4）と十極成分（n=5）のみ最大化するよう式（４）から位置の誤差 D(θ)および角度の誤差 にした。これは、電子蓄積リングにおいては、低次T(θ)があると見かけのフラックスが測定されてしま のハーモニックスほどビームへの影響が大きく、高い、それは感受率 Kn-1 と Kn に比例することがわかる。 次になるほど影響が小さくなるためである。ちなみ
逆に位置の誤差に対しては Kn-1 を、角度誤差に対し に SPring-8 では八極に起因する４次の共鳴が観測さては Kn を零にすることでみかけのフラックスが零 れ、入射効率を低下させている。になり、実磁場だけを測定できることがわかる。
コイル配置は次の３ケースが考えられる。第１はコイル A、コイル B とも図１のように中心に対して同じ側にある場合（ケース１）、第２はコイル B がコイル A の反対側にある場合（ケース２）、第３は両コイルとも中心をまたいで、r1A、r1B が r2A、r2B の反対側にある場合（ケース３）である。しかし第２のケースは四極成分と六極成分の感受率をともに零にすることはできない。そこで残りの２ケースについて考える。このとき四極から十極までの有効感受率は、次のようになる。

Figure 1: Harmonic coil(◯ : coilA, ● : coil B).
長さ L、ターン数 NA と NB のコイル A とコイル Bを用いて、見かけのフラックスに対して不感となるように Kn-1 と Kn を零にすることを考える。２個のコ
イル感受率の差をとりこれを有効感受率と定義すると、有効感受率は次のようになる。

€K neff = K nA − K nB

LN A nLNnnnr2A − (±r1A ) − n−1B (±r2B ) − (±r1B )nr0n−1nr0(5)nnn n 
LN A r2A rNrr=1− ± 1A  − B ± 2B  − ± 1B  nr0n−1   r2A  N A  r2A   r2A  ][{€{}{}{}
K = A 1− (±x ) − N {(±y ) − (±z ) }eff
5555r(9)
(10)
(11)

5(12)

K2eff = K3eff = 0, x,y,z<1 の条件のもと K4eff と K5eff を数値的に計算し、最適なコイル配置を求めた。
3.2]

結果と検討

巻き数比 Nr が１から１０の場合に対して、ケ―ス１、およびケース３について感受率を計算した。
ケース１、３とも巻き数比が１の場合は解がなかった。図２は巻き数比が２の場合について、八極成分と十極成分の感受率が r2A で規格化されたコイル位置 r1A によりどのように変わるか、およびその時のここで r2A はコイル A の外側の半径、r1A は内側の半 コイル A とコイル B の位置関係がどのようになっ径で、r2B はコイル B の外側の半径、r1B は内側の半 ているかを示したものである。巻き数比が１０の場合の感受率、コイルの位置関係を図３に示す。巻き径である。簡単のため式（５）を次のように表す。
数比が増加すると感受率も増加するが増加率はわず
nnn かである。感受率の最大値と巻き数比の関係をプeff
K n = An 1 − (±x ) − N r (±y ) − (±z ) 
ロットしたものを図４に示す。巻き数比を増しても(6)n
感受率はほとんど増えないことがわかる。図５、図LN A r2ANB
An =,Nr =６にケース３の場合の感受率とコイルの位置関係を
n−1(7)
nr0NA示す。図５は巻き数比が２の場合、図６は１０の場
rrr合である。この場合も同様に巻き数比が増加すると(8)
x = 1A , y = 2B , z = 1Br2Ar2Ar2A
感受率も上がるが全体の傾向は、巻き数比が増加し式（４）より、六極電磁石における位置の誤差お ても変わらない。八極成分の感受率が最大となる r1A
よび角度の誤差から発生する高磁場ハーモニック成 の位置での感受率と巻き数比の関係を図７に示す。
ケース１とケース３を比較してみると、ケース３分は、四極成分（n=2）と六極成（n=3）分に対する感受率を零にすることで消え、実磁場成分だけ残る。 の方がより感受率が高いことがわかる。そこでコイ
しかしながら、そのままでは実磁場の高ハーモニッ ル位置はケース３の配置を採用する。また巻き数比=€[222 K 2eff = A21− (±x ) − N r (±y ) − (±z ) 333 eff
K 3 = A31− (±x ) − N r (±y ) − (±z ) 444K 4eff = A4 1− (±x ) − N r (±y ) − (±z ) }- 643 -

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1K 2eff = K 3eff = 0eff

00

1.5

1n=4
n=5
1

r1B,2B/r2A(14)

(15)

0.500

10.5

0.5

0.5

0

101

1.5(a) Sensitivity(b) Coil position
Figure 2: (a) Effective sensitivities for octupole anddecapole fields for the case of Nr=2. (b) Position relationof two coils. Coil A and B are the same side.

1n=4
n=5

r1B,2B/r2A

1

0.5

00.5

r1A/r2A

1

0.5

r1A/r2A

00.5

11r2B
r1B

0.5

000.5

1

r1A/r2A(a) Sensitivity(b) Coil position
Figure 6: (a) Effective sensitivities for octupole anddecapole fields for the case of Nr=10. (b) Position relationof two coils. r1A,B and r2A,B are the opposite sides of thecenter.

0.5

01

n=4n=5

eff

00

r2B
r1B
00.5

r1A/r2A

0.51eff

Kn /An1.5

0.5

r1A/r2A

r1A/r2A

Kn /An0.51(a) Sensitivity(b) Coil position
Figure 5: (a) Effective sensitivities for octupole anddecapole fields for the case of Nr=2. (b) Psition relationof two coils. r1A,B and r2A,B are the opposite sides of thecenter.

r2B
r1B
0r2B
r1B00

r1B,2B/r2A

r1B,2B/r2Aeff

Kn /An10.5

r1A/r2An=4n=50

10Figure 4: Relation between effective sensitivity and theratio of turn number of two coils.

eff 5  5 5  5LN A r2A
1−  r1A  − 2 r2B  −  r1B  =5r04   r2A  r2A   r2A  

1.5

€

5Nr

Kn /An4 4  4 LN r   r1A rr
K 4eff =1−   − 2 2B  −  1B  4r   r2A rr 2A   2A  K0.5(13)4A 2A
30eff5n=4n=5Kn /Anについては、巻き数比を増しても感受率はそれに比例して増加するわけではない。むしろ巻き数比を増すより、巻き数比は小さいままで両コイルの巻き数を増やしたほうが、出力電圧はより大きくなり得策である。そこで巻き数比は２とした。次にこの時のコイルの位置関係をみると、r1A/r2A が 0.5 近辺より小さいと r1B が r1A より大きくなり、コイル A とコイルB が交差する。そこで r1A/r2A は 0.5 より大きくするものとする。r1A/r2A が増すに従って十極成分の感受率は上がるが、より重要な八極成分の感受率が下がってくる。したがって r1A/r2A をあまり大きくとるのも得策でない。実際はハーモニックコイルの大きさ、コイルの巻き数、コイル線径などに応じて、r1A/r2A が 0.5 から 0.8 位の間で決めるのが良いと思われる。以上の結果から高ハーモニック成分用ハーモニックコイルの有効感受率は、次のように表すことができる。

1

r1A/r2A(a) Sensitivity(b) Coil position
Figure 3: (a) Effective sensitivities for octupole anddecapole fields for the case of Nr=10. (b) Position relationof two coils. Coil A and B are the same side.

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1eff

Kn /Ann=4
n=50.500510Nr
Figure 7: Relation between effective sensitivity and theratio of turn number of two coils.

4.

主成分測定用コイル式（４）より明らかなように位置ずれに対しては四極成分に対する感受率に比例して、角度誤差に対しては六極成分に対する感受率に比例して見かけ上の六極磁場成分が発生する。従って四極成分と六極成分に対する感受率を零にすれば、見かけの六極成分は測定されなくなる。しかし本来測定したい成分が六極成分なので、六極成分に対する感受率は零にすることはできず、逆に最大化する必要がある。
従って、主磁場成分である六極成分を測定するためには、四極成分に対する感受率K2eff = 0の条件のもとで、K3effを最大化する。
２個のコイルの配置はこの場合も、高ハーモニックスの時と同様に３ケースが考えられる。しかしnが２の場合の感受率を零にして、一つ上のnが３の感受率を最大にするコイル配置は、計算するまでもなくケース２の２個のコイルが回転中心に対して反対側にある場合以外考えられない。また巻き数比も同じにするのが最も合理的である。また電圧出力を大きくするためには、２個のコイルは中心に対して対称にとり、外側のコイルは出来る限り外側に、内側のコイルは出来る限り回転中心に近づけるのが良い。このとき感受率は次のようになる。

K 2eff = 0K 3eff =5.
€

3  r 3 
2LN A r2A
1− 1A  
3r02   r2A  

磁場に対して不感の、六極電磁石用ハーモニックコイルについて検討した。検討したのは、高ハーモニック成分測定用のものと主成分測定用のものである。両者とも２個のコイルを仮定し、コイルの位置、コイルの巻き数を変えて、見かけの成分に不感で測定したい成分の感受率は大きくなるようなものを検討した。
高ハーモニック成分測定用のものについては、四極成分と六極成分に対する感受率を零にするコイル配置のもとで、八極成分と十極成分に対する感受率を数値計算で求めた。その結果２個のコイル巻き数比が２で、２個のコイルがそれぞれ回転中心をまたぐような配置が良いことがわかった。コイルの具体的な位置は、ハーモニックコイルの大きさ、コイルの巻き数、コイル線径などに応じて、工学的な最適位置を計算結果から決めれば良い。これにより、コイルの位置ずれや角度誤差があっても見かけの成分は測定しないで、真の高ハーモニック成分（八極成分と十極成分）だけ精度よく測定できる。
主成分測定用のものについては四極成分に対する感受率を零にし、六極成分に対する感受率を最大にするコイル配置を求めた。最適なコイル配置は２個の同じコイルが回転中心に対して、対称に配置するものである。これによりハーモニックコイルの位置ずれがあっても六極成分は正しく測定される。ただし角度の誤差があるとこれに起因する見かけの磁場は含まれてしまう。

参考文献[1] M. Bei et al., “The Potential of an Ultimate Storage Ringfor Future Light Sources”, Nucl. Instr. and Meth. A 622,(2010), 518.
[2] http://www.spring8.or.jp/ja/about_us/whats_sp8/spring8_II/publications/.
[3] K. Fukami, “SPring-8 upgrade: Strong Magnets for
Ultimate Storage Ring”, ICFA Beam Dynamics Mini
Workshop on Low Emittance Ring 2011, Heraklion, Greece.
[4] A. K. Jain, “Harmonic Coils”, CERN 98-05, 1998, p. 175.

(13)
(14)

まとめ

ハーモニックコイルは精度の良い磁場測定の方法であるが、コイルの位置ずれや、角度誤差があると見かけの磁場まで測定されてしまう。この見かけの- 645 -