基礎化学II

量子力学入門!"#$%&'()*+",-./,%01!"#$%&'()!"#*+,-./0.,12314567#89:;)<%#&'()!p!x > h/4"!"#$!2! !"#$!"#$%&'()*+,-./0*1%2#3456789:;<8=6>1?@AB
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5,6.

イメージ
エネルギー

高Ψ

Ψ2

原子核
ポテンシャル低原子核

電子が一定のとびとびのエネルギーをもつと一定の波が広がる

アメンボがとるとびとびのエネルギーに対し、それぞれ固有の定常波が存在し、その二乗がアメンボの存在確率を表す（固有値問題）

古典波動論᳖波᳗ᶊᶃᵣᶅ学ᶕ
᳖ᴣ᳗単振動᳖調和振動᳗
᳖ᴤ᳗三角関数ᶇ指数関数
᳖ᴥ᳗複素数᳖ᴦ᳗進行波᳖ᴧ᳗波動方程式
᳖ᴨ᳗定常波!"#$%&"#'
yv!"#$%&'()*+,-%./012345
P(x,y)

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0x:0;! = "t + #" [rad/s]<98967 #%&P(x,y) x = acos("t + #)

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[Hz]
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T = 2%" = $v = a"[s]y = asin("t + #)3$45'6789:;0<=>810()?@AB)C0x
P'(x)!"#$%&'()*+,-./0x = acos(!t + ")12v = dx = -a!sin(!t + ")dt2x
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a-a2m d x2 = –m!2x = –kx = F(x)dtkm!2 = k!= mk @AB)D'EF
force constantGH*+,-IJ
d2x = – k xmdt2ord2x = – !2xdt2

一周期tm
T = 2πω = 2π kkm(1)>?3!-5!3!

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'(;<=d2x = – "2x (1)dt2d2f(x)= – a2f(x) (1)@AB=2dx@C9ADEFG

HI'()J3!K,@3!0L@M!NOFJ+@0123!9G&'%$y = cos x

y = sin xdydy= –sin x= cos x
dx
dx
d2y
d2y
= –sin x = –y
= –cos x = –y22dxdx
y = A cos ax + B sin ax()*y = C eiax + D e-iax#$%$+&'%$,-.!%/012d(ex) = exdx

ex = exp x

45!3!6ex = 1 + x + x2/2! + ····+ xn/n! + ···xn=!
n=0 n!
logeex = ln ex = x
7x = ey!"(e = 2.71828183···)
483!9:!3!6

y = ln x

dx = dey dy
dx
dy dx

dyd(ln x)
1
==dx
dx
x

#$%$
y = e-ix

y = eixdy= –ie-ixdxdy= ieixdx
d2y –eix
= –y
=2dx

d2y
= –e-ix = –y2dx(i2 = –1)

進行波（正弦波）
y
振幅 a

伝播速度
波長 λux(0)-ayt=0y = a cos 2π xλt=ty = a cos 2π (x – ut)
λxut

y = a cos ( 2π x – 2πνt)λx(t)y = a cos (kx – ωt)
一次元進行波（正弦波）は以下の式で表される
速度u=λν

振動数
周期波長

λ

ν= u
λ

= ω
2π

[Hz]

T= 1
ν

= 2π
ω

[s]

角振動数

ω = 2π ν角波数k = 2πλψ(x,t) = a cos (kx – ωt)
或はψ(x,t) = a ei(kx – ωt)ω = kuさらに様々な表現が可能

ψ(x,t) = a cos ω( x – t)uψ(x,t) = a sin ω(t – xu )ψ(x,t) = a cos 2π( x – t )T
λψ(x,t) = a sin 2π( t – x )Tλなどなど!"#$%&'()*!"#$%"2"(r,t)"t2"(x,y,z,t) = "(r,t)

2"x2"t22"2 )"++"(r,t)22"y"z= u2 ! "(r,t)"Nabla: ! = "x"(r,t) = a cos (kr – #t)= a cos (kxx + kyy + kzz – #t)#$%&"2"(r,t) "2"(r,t)"2"(r,t))+= u2 (+22"z"y"x2= u2 ( ""2"(r,t)+,-"2"(r,t) = –k 2"(r,t)
x"x2"2"(r,t) = –k 2"(r,t)
y"y2"2"(r,t) = –k 2"(r,t)
z"z2"2"(r,t)
=
"r2

"+"y2
"
Laplacian: ! = ! ="x2
2"2"(r,t) = 2
u !"(r,t)2"tu '()*"+"z2"2"++2"y"z2"2"(r,t) "2"(r,t) + "2"(r,t)+2"x"y2"z2= –(kx2+ky2+kz2)"(r,t)= –k2"(r,t)"2"(r,t) = –#2"(r,t)"t2#2 "2"(r,t) "2"(r,t) + "2"(r,t)"2"(x,t)=(+)
22222"t"x"y"zk

定常波y

伝播速度

腹y1 = a sin 2π (x – ut)
λy2 = a sin 2π (x + ut)
λuu

xy = y1 + y2

節

波長 λ

= 2a sin 2πx cos ωtλ
振幅部分

定常波の波動方程式
ψ(x,t) = 2a sin kx cos ωt = φ(x) cos ωtφ(x) = 2a sin kx∂2ψ(x,t) = –k22a sin kx cos ωt∂x2d2φ(x)= cos ωtdx2
∂2ψ(x,t)= –ω22a sin kx cos ωt2∂t= –ω2cos ωt φ(x)波動方程式
∂2ψ(x,t)∂t2振動部分∂2ψ(x,t)2=u∂x2–ω2cos ωt φ(x) = u2cos ωtd2φ(x)dx22 d2φ(x)ω–ω2φ(x) =dx2k2(ω = ku)

d2φ(x)
dx2+ k2φ(x) = 0(k = 2π )λ定常波の波動方程式は振幅部分のみからなり、時間に依存しないいろいろな定常波
弦の振動
y
高調波

定常波の式
ψ(x,t) = 2a sin 2πx cos ωtλ
振幅部分の式φ(x) = 2a sin 2πxλn=4弦の振動条件

L= n λ2弦の振動の振幅を表す式
n=3φ(x) = A sin n πxL
n=2倍音

一般に、波の動きに制限を加えると、離散的な定常波が発生し、波動関数は以下の様に表され、その振幅部分は以下の波動方程式を満足する
定常波の波動関数

n=1基音xL

ψ(r,t) = φ(r) e–iωt
定常波の波動方程式

Δφ(r) + k2φ(r) = 0᷷᷉᷾᳐ᷙᶵḅᶾ᳐ᶍ波動方程式

Erwin Schrödinger᷷᷉᷾᳐ᷙᶵḅᶾ᳐ᶎᲾ電子ᶍᶧᵥᶉ小ᵴᶉ粒子ᶍ運動ᶱ表現ᵸᶪᶍᶊᲾ主ᶇᵶᶅ波ᶍ考ᵧ方ᶱ基本ᶇᵶᲾᵼᵲᶊᲾ
物質波ᶇᵶᶅᶍ粒子性ᶱ取ᶩ入ᶫᵾᲿ᷷᷉᷾᳐ᷙᶵḅᶾ᳐ᶍ波動方程式ᵫᶈᶍᶧᵥᶊ提案ᵴᶫ
ᵾᶍᵪᲾ説明ᵶᶧᵥᲿ

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0123456789:;!

#= hp

E=p2+ U(x)2m!"#$ !(x)px2
d2!(x)+ 2 !(x) = 02hdx

2md2!(x)+ 2 [E – U(x)]!(x) = 0hdx2

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+U(x)
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2m dx2!"#$%&'(!"#$')*+,

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2 d2!(x)+,-./01 34-./01
px2
567+ U(x) = E 2-./01
2m!"#$!"#p(r)2+ U(r) = E
2m1(px2 + py2 + px2) + U(x,y,z) = E
2m!"#$%&'($)*+,-./
0123'456-7,892:$;–h2m!(r) = !(x,y,z)!2!2h2 [ !2–+]!(r)+2m !x2!y2 !z2+ U(x,y,z)!(r) = E!(r)<=>?
@ABCD)*+EFG@HIJK892:$;LM
NO+EPQR<=>?,STUVWXYZ[XE\]^;_`EFGa@AAHVWXQEiE]^;Hb,]^;EcdY<=>?!(r)i E]^>?@AB!(r)i+ U(x)!(x) = E!(x)h2 d2!(r) + U(r)!(r) = E!(r)–2m dr2
r = (x,y,z)^ !(r) = E!(r)HEi ]^;

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H "(r,t) = E "(r,t)!"K#$LMJDEFG(NOPQRST^
H "(r) = E "(r)!"K#$L8b%&'()*+,(W-./^8R

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eEfgST+,Xhi?*!!i(r)*!j(r)dv = 0“”•˜™P<Qg?u„!(r)8š,<›œ?*"#$%&'()*+,-.&ij456%789:;<45,-=>?3@ABC^ !(r) = E!(r)H.231&'(E)DEFGHI-^ !(r) = !(r) *E!(r)!(r) * H^ !(r)!(r) * = E!(r)!(r) *H^ !(r) *^ !(r) = !(r) H!(r) * H!!(r) *H^ !(r)dv =!!(r) *E!(r)dv= E!!(r) *!(r)dv./01

H1!1(r) = E1!1(r)= E = <E> E!JK(^ !(r)dv<E> = !!(r) * H

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U=0

k=[2mE 1/2]
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56734!"#$%&'()*+,-nx"xa

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次ᶎ原子中ᶍ電子ᶍᶔᶪᶝᵣ