離散化チャネル結合法を軸とする原子核反応研究の進展と応用(自主)特別講義@RCNP
おがた かずゆき

緒方 一介
大阪大学 核物理研究センター 核物理理論研究部門(阪大RCNP)0.はじめに講義のアウトライン
1. 核反応研究と模型空間(導入)2. 連続状態離散化チャネル結合法(CDCC)
2a. 概観および理論的基盤
2b. 離散化の方法と物理量の平滑化
3. 微視的反応論(QCDから核物理へ)
4. 反応計算の基礎 (アイコナール近似・チャネル結合法・波束の理論)
5. アイコナールCDCCとその天体核反応への応用
6. アイコナール反応理論と中性子除去反応 → そして(p,pN)反応へ
7. CDCCを用いた核データ研究

講義についての注意点(あるいは釈明)
1. ある程度の反応論の基礎を前提としています。
ただし断面積～遷移確率～遷移強度くらいの捉え方でも理解できるように配慮したつもりです。
2. 説明を簡単化しています。
「実は…である」「例外として…」といったことは、なるべく話しません。ただし、この講義の内容が限定的なものであること
は、必ず認識しておいてください。理解の足場と捉えてもらえればと思います。
3. 散乱の形式論は(ほとんど)やりません。

反応に興味を持ったら、適当な教科書で(必ず)勉強してください。

1. 核反応研究と模型空間(導入)原子核反応研究とは?
原子核に(同種または別種の)原子核を入射したときに起きる現象を記述・理解することを目指すもの。反応に関与する原子核の構造を理解することはその目的のひとつ。

注: 原子核はこんな“形”
はしていません。

核反応は核構造を調べる道具であるが、それだけではない。

原子核反応研究とは?
原子核に(同種または別種の)原子核を入射したときに起きる現象を記述・理解することを目指すもの。反応に関与する原子核の構造を理解することはその目的のひとつ。

注: 原子核はこんな“形”
はしていません。
ボーア・モッテルソンの教科書の表紙(参考: 松柳氏の講義)

核反応は核構造を調べる道具であるが、それだけではない。

多彩な核反応・入射原子核が励起する反応(非弾性散乱)

・核子が入射原子核から標的核に移行する反応(核子移行反応)

N1Z

P*
P

n

NZ

T
・入射原子核が複数の粒子に分解する反応(分解反応)

n

N2Z

T→T+n

・入射原子核が標的核に吸収される反応(融合反応)(P+T)*

n
NZ

P
T

T

原子核反応の描述ある反応が起きる確率は、次の遷移行列が得られれば、その絶対値自乗(の定数倍)によって与えられる。

: 終状態の構成粒子の波動関数と、それらの間の自由波の積: 終状態の構成粒子間の相互作用: 始状態(≠入射状態)の正確な波動関数
系の基本構成要素(核子)の間の相互作用はよくわかっているのに、何が難しいのか?
A. 多体系(多自由度)だから。

K. Sekiguchi et al., Phys. Rev. C 65, 034003 (2002).

3粒子系の豊かさ

基礎相互作用がわかっても…
ボロミアン核(6He)

原子核反応の多自由度性の象徴
光学ポテンシャル ＝ 弾性散乱を記述する複素一体ポテンシャル

エネルギー・粒子の移行なし

・弾性散乱のような簡単な反応の記述に、どうしてそのような得体の知れないものが必要なのか?
・W(R) は入射流束の吸収をもたらす。この吸収とは何か?

多彩な核反応・入射原子核が励起する反応(非弾性散乱)

・核子が入射原子核から標的核に移行する反応(核子移行反応)

N1Z

P*
P

n

NZ

T

T→T+n

全ての反応が“吸収”として扱われる(吸収 ≠ 融合)
・入射原子核が複数の粒子に分解する反応(分解反応)

n

N2Z

・入射原子核が標的核に吸収される反応(融合反応)(P+T)*

n
NZ

P
T

T

模型空間の設定(核反応論の“神髄”)
弾性チャネル以外の(視ない)チャネル(追跡不可能)流束の還元

弾性(視る)チャネル(チャネル: 反応系の指標)

流束の還元

吸収 ＝ 流束の消失
cf. 全反応断面積

注意: 弾性(視る)チャネル以外に逃げる流束の総量は記述可能。

核反応研究と模型空間のまとめ
・核反応研究の目的は、核子多体系の動的な振る舞いを理解することである。
・核反応は極めて多彩な現象であり、入射・標的核(反応系)の組み合わせ、入射エネルギーによって様々な反応が起きる。
・弾性散乱を記述する複素ポテンシャルは、弾性散乱の背後で関与しているプロセス(自由度)の多さを端的に示している。
・直接反応研究の(ある見方をしたときの)神髄は、模型空間の設定(視るチャネルの規定)にある。
・近年では核反応の第一原理計算も発達しており、非常に重要(ただしその価値観はこの講義の思想とは異なる)。

2. 連続状態離散化チャネル結合法
Continuum-Discretized CoupledChannels method; CDCC

2a. 概観および理論的基盤

弱結合系が入射・分解する反応の記述

NZ

n

このチャネルは陽に扱う必要あり

NZ

T

弾性チャネル以外の特定のチャネルにどのように流束が逃げるか(反応系が遷移するか)を記述しなければならない。

分解反応に対する模型空間の設定
視ていないチャネル(追跡不可能)流束の還元

陽に視ているチャネル＝ 弾性・分解チャネル(状態の推移を追跡可)流束の還元

吸収 ＝ 流束の消失

吸収の意味は「視ているチャネル」の実体に依存する。

分解反応を記述するひとつの(適切な)モデル
n

n

c
c

Pbu

Pgs
基底状態

分解状態
T

・分解チャネルはいくつ必要か?
・分解チャネルをどのように用意するか?
・一体ポテンシャルはどのようにして与えるか?

分解状態間の結合ポテンシャル(定性的理解)
k
r
c

k
n

k : 漸近領域における相対波数ベクトル

: 相対(分解)エネルギー

・c-n の相対波動関数を自由平面波(のs波成分)とする
・Un を接触型のポテンシャルで近似
・c は n と比べて無限に重いと仮定
P-Tの相対座標

異なる分解状態同士を結合させる相互作用

分解状態間の結合は強い
超ロングレンジ(continuum-continuum coupling)分解反応(多段階過程)のイメージ

入射エネルギー

c

n

0
0 c

1

1



2

n

1


非摂動計算

2

Ei + i = E

2(エネルギー保存)0T問題
・R に関する漸近領域の設定ができない。
・連続無限個の状態を扱わなければならない。

相互作用が切れない配位の例(n-channel)
c

漸近解
Rc

r

R
n
Rn
T

※このチャネルの存在が、 Lippmann-Schwinger Eq.の非一意性をもたらす(disconnected diagramに起因) 。

The -truncation
Un (Rn) は Rn ～ | R + r | について有限レンジ
R がいくら大きくても、P の分解状態は r について
無限の広がりを持つため、 Un を 0 とみなせない。
-truncation (離散化チャネル結合法の最重要近似)
P (分解状態)の  はある上限値 max までしか関与しないと想定(軌道角運動量)

射影演算子:

-truncationの役割
中性子の束縛状態をガウス関数で表現。

lmax = 0 の射影演算子を作用※組み替えチャネルの漸近状態は生成されない。
(このことがCDCC解に及ぼす影響はここでは未検討)-truncationの直観的理解
crlmax → ∞ なら、r の角度に関するデルタ関数

RnT

は、1/lmax 程度の幅で r の角度をぼかす。

組み替えチャネルの漸近解は、r と Rc を極めて良く揃えなければ表現できないため、によって著しく抑制される。
cf. c から見た n の立体角は1/Rc2 に比例。角度平均の範囲がこれと同程度なら変化なし。lmax= 0 は全角度平均なので1/Rc2 が出る。

相互作用に対する -truncation の影響[多重極展開]ガウス型相互作用の多重極子(= 1)
=0

=2

r

r

R

R

=4

=8

r

R

r

R

相互作用に対する -truncation の影響[多重極展開]ポテンシャルが R2 で減衰する領域が存在 → 漸近領域

k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 R (K) 0 (k0)

 0 (k0)




 


 (r , R )  0 (k0 , r )  0 ( K 0 , R )    (k , r )  ( K , R )dk
0

A

^i

k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 R (K) 0 (k0)

 0 (k0)




 


 (r , R )  0 (k0 , r )  0 ( K 0 , R )    (k , r )  ( K , R )dk
0

A

^i

k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 R (K) 0 (k0)

 0 (k0)




 


 (r , R )  0 (k0 , r )  0 ( K 0 , R )    (k , r )  ( K , R )dk
0

A

^i

k-truncation

k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 R (K) 0 (k0)

 0 (k0)
k m ax  (r , R )  0 (k0 , r )  0 ( K 0 , R )   (k , r )  ( K , R )dk
0

A

^i

k-truncation

k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 R (K) 0 (k0)^i 0 (k0)

i m ax


ki
 


 (r , R )  0 (k0 , r )  0 ( K 0 , R )     (k , r )  ( K , R )dki 1Ak i 1

k-truncation

k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 R (K) 0 (k0)^i 0 (k0)

i m ax

 ki
 


ˆ
 ( r , R )   0 ( k 0 , r )  0 ( K 0 , R )   ˆ ( K i , R )   ( k , r ) d ki 1Ak i 1

k-truncation and discretization

k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 0 (k0)

 R (K)^i 0 (k0)

i m ax

 ki
 


ˆ
 ( r , R )   0 ( k 0 , r )  0 ( K 0 , R )   ˆ ( K i , R )   ( k , r ) d ki 1Ak i 1

i m axk-truncation and discretization C D C C ( r , R )   ˆi ( r ) ˆ i ( Kˆ i , R )i0k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 0 (k0)

 R (K)^i 0 (k0)

i m ax

 ki
 


ˆ
 ( r , R )   0 ( k 0 , r )  0 ( K 0 , R )   ˆ ( K i , R )   ( k , r ) d ki 1Ai m ax




CDCC
ˆ
ˆ
( r , R )    i ( r ) ˆ i ( K i , R )i0k i 1k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c

 (k)
x

 0 (k0)

 R (K)^i 0 (k0)


 
 

CDCC 
 T R  U xA ( r , R )  U cA ( r , R )  h a  r   E  ( r , R )  0,
i m ax




CDCC
ˆ
ˆ
( r , R )    i ( r ) ˆ i ( K i , R ).


A

i0

ˆ i  U i(  )  i 0 

K 0 / K i S i 0U i(  ) (通常の境界条件)

k-truncation と連続状態の離散化の例(after -truncation)



a
r (k)
c



 (k)
x

 0 (k0)

 R (K)^i 0 (k0)


 
 

CDCC 
 T R  U xA ( r , R )  U cA ( r , R )  h a  r   E  ( r , R )  0,
i m ax




CDCC
ˆ
ˆ
( r , R )    i ( r ) ˆ i ( K i , R ). S 行列要素:


A

i0

ˆ i  U i(  )  i 0 

i チャネルへ遷移する度合い

K 0 / K i S i 0U i(  ) (通常の境界条件)

CDCCの理論的基礎付け(苦闘の歴史)
・分解状態を取り扱う際に問題となる、漸近領域の設定の問題(LS Eq. の非一意性の問題)は、-truncation により解決できた。
→ 最も本質的な近似。
・次の問題は、反応計算の結果が max, kmax, imax について収束するかどうか。→ 数値的に収束を確認。
M. Yahiro, Nakano, Iseri, Kamimura, Prog. Theor. Phys. 67, 1464 (1982).
R.A.D. Piyadasa, Yahiro, Kamimura, Kawai, Prog. Theor. Phys. 81, 910 (1989).
R.A.D. Piyadasa, Kawai, Kamimura, Yahiro, Phys. Rev. C 60, 044611 (1999).

・最後の問題は、収束した結果が正しいか否か。
→ 歪曲波 Faddeev 理論との対応(-truncation で補正項～0)
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989).
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C53, 314 (1996).

・2007年、Faddeev と CDCC の数値計算の比較が発表。
A. Deltuva, Moro, Cravo, Nunes, Fonseca, Phys. Rev. C 76, 064602 (2007).

Theoretical Foundation of CDCC
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C53, 314 (1996).

 E  K  Vnp  d  Vnp  p  n  , E  K  U p  p  U p d  U p n , E  K  U n  n  U n d  U n p .

Theoretical Foundation of CDCC
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C53, 314 (1996).

not pair int. but 3-body int.

 E  K  Vnp  P U p  U n  P  d  Vnp  p  n  , E  K  U p  p  U p  PU p P  d  U p n , E  K  U n  n  U n  PU n P  d  U n p .

Theoretical Foundation of CDCC
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C53, 314 (1996).

not pair int. but 3-body int.

 E  K  Vnp  P U p  U n  P  d  Vnp  p  n  ,→ 0 (in very good E  K  U p  p  U p  PU p P  d  U p n , approximation) E  K  U n  n  U n  PU n P  d  U n p .

d/dE (mb/MeV)

120

CDCC

Faddeevd/d (mb/sr)

100
80
60

10
8
6
4
2
0
0

40

4

6

8

10 12 14

Epn (MeV)
open channel only

full

20

2

0
0

20

40

60

80

 (degrees)

CDCC cannot describe breakup
reactions at around 20 MeV!?

(Probably) Yes!

100

120

CDCCの基本思想(模型空間近似)
散乱観測量が必要な精度で得られる“正確な” 波動関数を求める:

これは、CDCCの模型空間が散乱観測量の記述に必要な有限の空間で完全系をなすとみなすということ(近似的完全系):

近似的完全系は反応の種類や必要な計算精度に依存する。

CDCCの“汎用”コード
CDCC のコード(重陽子入射版)はhttp://www.nt.phys.kyushu-u.ac.jp/CDCC/index.html
で公開中。
・計算の骨格は汎用的。少し書き換えれば一般の2クラスター系の反応に適用可能。
・公開されているマニュアルは、実はCDCCの基礎勉強の良いテキスト(通常省略されることが多い角運動量の足が正確に扱われている)。
・青木保夫氏(理研)が開発した ctak, hctak や Ian Thompson氏(Lawrence Livermore)が開発したFrescoがwebから入手可能。

CDCCの概観および理論的基盤のまとめ
CDCC は・分解反応を非摂動的に記述する反応模型である。
・exact な反応理論である(歪曲波) Faddeev 理論の第0近似であり、高次の補正は極めて小さい。
・適切に限定された模型空間の中で構築された反応論である。
・弱束縛系の分解を取り扱う、実効的かつ高精度の反応模型として高い成功を収めている。
Review papers
M. Kamimura, Yahiro, Iseri, Sakuragi, Kameyama, Kawai, Prog. Theor. Phys. Suppl. 89 (1986), 1.
N. Austern, Iseri, Kamimura, Kawai, Rawitscher, Yahiro, Phys. Rep. 154 (1987), 125.
M. Yahiro, O, Matsumoto, Minomo, Prog. Theor. Exp. Phys. 2012, 01A206 (2012).

CDCCの理論的基盤に関する補足
・3体のSchrödinger方程式を解いているので、その解は、組み替えチャネルの成分も含む
ものでなければ正解とは言えない。
・1つのLS Eq. (w/ P-channelのb.c.)で正解を得ることは不可能。
 組み替えチャネル(w/ 束縛状態)を生成できない。
 別チャネルに入射波がある散乱波も解となってしまう。
→ 問題の根幹はdisconnected diagramの存在にあり、正しい計算には3つのLS Eq.が必要。

※P-channelの遷移相互作用はUcとUn. n-channelとUnの組み合わせは、cに関するdisconnected diagramを生む。

・これらの問題を「P-channelのb.c.を設定できる漸近領域が存在しない」と表現する。
・組み替えチャネルが出て来ないtruncationをすれば、上記の問題は全てクリアされる。それが l-truncation.
※分解チャネルでc-nが無限に拡がっていると組み替えと同様の問題が起きるが、これもl-truncationで抑制される。

・Truncateした空間で得た解がP-channelおよび分解状態を記述する上で正解とみなせるかどうかは非自明。その証明を与えるのがdistorted Faddeevとの対応。

2b. 離散化の方法と物理量の平滑化

分解反応を記述するひとつの(適切な)モデル
n

n

c
c

Pbu

Pgs
基底状態

分解状態
T

・分解チャネルはいくつ必要か?
・分解チャネルをどのように用意するか?
・一体ポテンシャルはどのようにして与えるか?

連続状態の離散化の方法I (average法)
散乱波動関数を波数幅 Δk にわたって積分する。自由波の場合は減衰因子

付加的な振動因子

離散化された連続状態のふるまい

l = 1, ki = 1.0 fm1, k = 0.5 fm1

1.2

Wave function

0.8
0.4
0

は有限の領域に分布
し、2/k ごとに節を持つ。

-0.4
-0.8
-1.2

0

20

40

60 r (fm)連続状態の離散化の方法II (midpoint法)
k = ki + k/2 における散乱波動関数をそのまま採用する。
l = 1, ki = 1.0 fm1, k = 0.5 fm1

1.2

Wave function

0.8
0.4
0

無限の広がりを持つが、truncation の恩恵で反応計
算は収束する(ただし遅い)。

-0.4
-0.8
-1.2

0

20

40

60 r (fm)連続状態の離散化の方法III (pseudostate法)
入射粒子の内部ハミルトニアンを基底関数で対角化し、得られた擬状態(閾値よりも上の状態)を離散化された連続状態とみなす。
p-n, l = 0, 1-range Gaussian pot.

Wave function

0.5

束縛状態(deuteron)

基底関数の広がりに応じた有限の空間に分布する。

0

-0.5

0

20

40

60 r (fm)離散化の手法の比較
・3つの手法は、弾性散乱断面積・全分解断面積について完全に同じ結果を与えることが確認されている。
※全分解断面積: i = 1imax のチャネルに遷移(分解)する断面積の和・Mid法はCDCCの正当性にとっては重要だが、実際の計算では、収束が速く、状態のコントロールが容易なAv法が便利。
→ 標準的な手法として広く普及
・PS法は最も初期に開発されたが、CDCCで得られる離散的な結果を連続化する処方がなく、長く利用されていなかった。
※Av法では、幅 Δk の連続状態を等重で束ねた状態への遷移を考えているので、とすれば良い。

離散的な結果の連続化(平滑化)
簡単のため、kの大きさのみを指定した観測量を考える:

CDCCで求めた i チャネルへの遷移行列

離散状態と連続状態のoverlap(平滑化関数): fi (k)この考え方は、PS法にも適用可能。

平滑化関数(Av法の場合)
規格化係数

通常の処方と同じ答(ki < k < ki + Δk)(それ以外)

平滑化関数(PS法)k = 0.75

k = 0.26

Smoothing function

3
2
1
0
-1
-2
-3

0

0.5

1

1.5

k (fm1)

固有値に対応する k にピークを持つが、有意の拡がりを持つ。

平滑化の実例(Av法 vs PS法)
T. Matsumoto, Kamizato, O, Iseri, Hiyama, Kamimura, Yahiro, Phys. Rev. C 68, 064607 (2003).

d+58Ni at 80 MeV

6Li+40Ca at 156 MeV

平滑化した遷移強度は両者で極めて良く一致。

離散化の方法と物理量の平滑化のまとめ
・Average法, midpoint法, pseudostate法という3つの離散化の方法について紹介した。
・Av法は収束が早くコントロールが容易なため、もっとも広く普及しているが、入射粒子が3体系以上をなす場合、適用が困難。
・PS法は入射粒子の構成に関する制限がない。3体系の入射粒子と標的核からなる4体反応系を記述する4体CDCCが活躍中。
・離散的な結果を平滑化する方法が開発され、PS法の本質的な問題は克服されている(4体CDCCについては複素スケーリング法を用いた平滑化法が最近開発された)。
T. Matsumoto, Hiyama, O, Iseri, Kamimura, Chiba, Yahiro, PRC70, 061601(R) (2004).
T. Matsumoto, Kato, Yahiro, PRC82, 051602(R) (2010).

4体CDCCの計算例
T. Matsumoto, Kato, Yahiro, PRC82, 051602(R) (2010).

6He+12C at 240MeV/nucleon

6He+208Pb at 240MeV/nucleon

2c. 補足

Up+Unの畳み込みでdの弾性散乱は描けるか?
CCなしでは駄目

n
p
d
p

p

CDCCはOKT

M. Yahiro, Iseri, Kameyama, Kamimura, and Kawai, PTP Suppl. 89, 32 (1986).

スピン偏極量の研究例

M. Yahiro, Iseri, Kameyama, Kamimura, and Kawai, PTP Suppl. 89, 32 (1986).

平滑化についてCourtesy of Matsumoto (Kyushu)

3. 微視的反応論(QCDから核物理へ)

分解反応を記述するひとつの(適切な)モデル
n

n

c
c

Pbu

Pgs

分解状態

基底状態
T

・分解チャネルはいくつ必要か?
・分解チャネルをどのように用意するか?
・一体ポテンシャルはどのようにして与えるか?

微視的反応論 Multiple-scattering theory for nucleus-nucleus scattering
P

vij
T

P

i th
j th

+

j th

+ … +

i th

…
j th

= ij
Effective
Interaction

T

T
One-stepP

i th

Two-step

Multistep
Projectile

 Schrödinger equation

ij

TargetM. Yahiro, Minomo, O, Kawai, PTP120, 767 (2008).

微視的反応論 Multiple-scattering theory for nucleus-nucleus scattering
P

vij
T

P

i th
j th

P

i th

+

j th

+ … +

…
j th

= ij
Effective
Interaction

T

T
One-stepi th

Two-step

Multistep
Projectile

 Schrödinger equation with resummation

ij

TargetM. Yahiro, Minomo, O, Kawai, PTP120, 767 (2008).

2重畳み込みポテンシャル
2核子間有効相互作用の“期待値”を核間相互作用とする。
入射核内
の核子 r

P

OP

r

OT

rT

標的核内
の核子

原子核の密度分布 ρP(rP), ρT(rT) は、核構造計算で求められる。
2核子間有効相互作用をどのようにして求めるかが(ここでの)問題。

核力による2核子散乱の記述
2核子間にはたらく生の核力 v は非常に良くわかっているとする。
(例えばQCDから決定した v が使える)r
シュレディンガー方程式

N. Ishii, S. Aoki, and T. Hatsuda, PRL99, 022001 (2007).

これを解けば、2核子間の相対波動関数が得られる。
 は核力の斥力芯を適切に扱えるほどに正確。
しかし、その正確さを核子多体計算で実現するのは困難。

2核子散乱を記述する有効相互作用
2核子間有効相互作用の定義

自由波(平面波)に核力が無限次作用して正確な波動関数となるプロセスを、1回の相互作用で表現したもの。
(参考)
もとのシュレディンガー方程式と等価で、散乱の境界条件を取り入れた
リップマン-シュウインガー方程式

有効核力の性質と多体補正

生の核力と有効核力の比較例

v (r)v (r) or veff (r)・有効相互作用は斥力芯を持たず、扱いが容易(多体計算向き)。
・エネルギーに依存する複素ポテン
シャル。

Re veff (r)Im veff (r)M. Yahiro, Minomo, O, Kawai, PTP120, 767 (2008).

r・原子核-原子核散乱に対応する有効相互作用の厳密計算は極めて困難であるが、g 行列理論を用いることで、原子核(有限密度系)の多体効果を近似的に取り入れる事が可能。

g行列
無限に拡がった核物質(密度)の中での2核子間相互作用を、次のベーテ-ゴールドストン方程式を解いて求める。
パウリの排他演算子

一体ポテンシャルフェルミ波数(∝  1/3 )微視的反応計算の成功例
p scattering at 65 MeV

 scattering at 72 A MeV

全て、調整パラメータなし

M. Toyokawa, Yahiro, Matsumoto, Minomo, O, Kohno,
PRC 92, 024618 (2015).

カイラル3核子力効果

M. Kohno, PRC88, 064005 (2013).

K. Minomo, Toyokawa, Kohno, Yahiro, PRC90, 051601 (2015).
[see also T. Furumoto, Sakuragi, Yamamoto, PRC80, 044614 (2009)]

3核子力効果のプローブとしての(p,2p)反応

Spin observables?

Phenomenology to Microscopic Theory

Projectile

ijTargetM. Yahiro, Minomo, O, Kawai, PTP 120, 767 (2008).

Microscopic Effective Reaction Theory
Inelastic Scattering

Transfer Reaction
N+1Z

P*
We must select essential degrees ofNZ
freedomfor describing a direct process dTof interest with a desired accuracy
Breakup Reaction
Photodisintegration

P

p

c
c

n

n

NZ*

NZ

T

NZ

Microscopic CDCC
c-n breakup
treated explicitly

Microscopic Pot.

c
n

c
n

Microscopic Pot.

T

Microscopic Effective Reaction Theory (MERT)
1. Degrees of freedom selected (= setting model space)
2. Distorting (“Mean-field”) potential generated microscopically
3. Direct process due to residual interaction calculated with 1. and 2.

微視的反応論のまとめ
・原子核-原子核散乱を記述する多重散乱理論を紹介した。
・多重散乱理論の主要構成要素は、2核子間の相互作用を無限次くり込んだ有効相互作用である。
・核内における有効相互作用は、近似的にg行列理論によって求めることができ、高い成功を収めている。
・核物質の密度の飽和性を再現するという意味での3体力効果が注目され、原子核反応での観測の可能性が示唆されている。
・(近似の範囲で)核力に正しく立脚した核反応論が構築され、微視的核反応研究は大きな潮流となっている。Lattice QCD によって得られた核力や3体力に基づく反応研究の萌芽が期待される。

4. 反応計算の基礎(アイコナール近似・チャネル結合法・波束の理論)

アイコナール近似による散乱問題の解法(1/3)
シュレディンガー方程式は、ポテンシャルを U として、
TR は運動エネルギー演算子、E は散乱のエネルギー。
yzRx
左図のような座標系(円筒座標系)bで反応を記述する。
zOアイコナール近似による散乱問題の解法(2/3)
散乱波に、以下の関数形を用いる。

シュレディンガー方程式に代入し、“速さ”を導入すると、これを解けば良い。

と近似する。

アイコナール近似による散乱問題の解法(3/3)
変数分離形の微分方程式なので、容易に解くことができる。

反応の初期条件(波動関数 → 平面波) → C = 1.
波動関数と S 行列

アイコナール近似による断面積の解析
10dσ/dΩ (mb/sr)

10
10
10
10
10

5

n+12C at 65 MeV
n+40Ca at 65 MeV
n+208Pb at 65 MeV

4

3

2

1

0

0

10

20

30

θ (deg)4050

チャネルの結合
弾性チャネルと1つの非弾性チャネルとの結合を考える。
入射核子の運動エネルギー＋

原子核の状態

エネルギー: E0

基底状態
エネルギー: ε0

エネルギー: E1

励起状態
エネルギー: ε1＝

チャネル
弾性チャネル

全エネルギー
が同じなら結合非弾性チャネル反応系の波動関数

シュレディンガー方程式
核内核子の数系の全エネルギー

核内核子
中性子 R

O

r

チャネル結合方程式

左から

を掛ける。

h を固有値に置き換える。

ただしチャネル結合方程式(つづき)r について積分すると
対角ポテンシャル(の弾性チャネル成分)

結合ポテンシャルチャネル結合方程式(さらにつづき)全く同様にしてチャネル結合(Coupled-Channel; CC)方程式※ χ0 を解くには χ1 が必要、χ1 を解くには χ0 が必要、…

アイコナールCC方程式

アイコナールCC方程式の解

非斉次項
反応の初期条件:ひと

斉次解 (※斉: 整然と並んだ、揃った、斉しい)アイコナールCC方程式の解(つづき)z で偏微分すると、CC方程式の右辺 ÷→は非斉次解。

アイコナールCC方程式の解(さらにつづき)
一般解 ＝ 斉次方程式の一般解 ＋ 非斉次方程式の特解
非弾性チャネルの波動関数も同様に求めると、初期条件を満たす
CC方程式の解は、

ただし、これらはあくまで形式解。

反復法による解法
CC方程式の形式解を、以下のように表記する。

初期解から始めて、徐々に真の解を得るのが、反復法。

…
最終的に、以下の条件を満たす、自己無撞着解を求める。

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数0 (初期解)
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数1
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数2
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数3
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数4
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数5
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数6
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数7
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数8
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数9
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数10 (収束解)
1

Re0
Im0
Re1
Im1

0.5



0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8

-4

0

z (fm)

48

光学ポテンシャルの“起源”
弾性チャネルの波動関数が満たすシュレディンガー方程式
Folding

非斉次項に、

Dynamical Polarization

動的偏極
ポテンシャル(演算子)の形式解を代入。

畳み込みポテンシャル

動的偏極ポテンシャルの解釈
整理すると:z’ から z まで、ポテンシャル v11 の中を伝播

z において、ポテンシャル v01
により弾性チャネルに戻る。

(グリーン関数と同等であることが証明可能)z = z’ において、弾性チャネルの散乱波が v10 によって非弾性チャネルに遷移

エネルギー依存する、非局所型の複素ポテンシャル

Reaction calc. with the cPVC method
K. Mizuyama and O, Phys. Rev. C 86, 041603 (2012).
v

cg.s.

+
v

c*
Self energy
HF mean field potential (real)+…

Reaction calc. with the cPVC method
K. Mizuyama and O, Phys. Rev. C 86, 041603 (2012).

n-16O

v

cg.s.

+
v

c*

+
…

Application to 24O(p,p’)@62 A MeV
K. Mizuyama and O, Phys. Rev. C 89, 034620 (2014).

アイコナール近似・チャネル結合法のまとめ

・散乱問題を近似的に解く手法として、アイコナール近似を紹介した。この近似は、比較的エネルギーが高いときに有効である。
・アイコナール近似の結果、散乱問題は、z 軸方向についての微分方程式に帰着する。
・微分断面積の計算も容易に可能。その結果は、中性子の弾性散乱角分布(～65 MeV)を、後方までかなり良く再現する。
・アイコナール近似を用いたチャネル結合方程式の導出と、その解法(反復法)について学んだ。
・理想化されたチャネル結合問題は、光学ポテンシャルの起源を理解するために有用。

4b. 波束の理論と定常散乱波の理論

定常散乱波の理論に対する心理的抵抗
漸近領域における散乱波動関数

入射波数ベクトル
この波動関数は・時間依存性が切り離されている。
・無限に拡がった入射平面波が扱われている。
という点で、実験条件(および直観的な描像)と合致しない。
今回の目的
直観と合致する波束の理論と定常散乱波の理論
がどのような関係にあるのかを明らかにする。

波束状態
反応の初期状態(初期波束):

波束中心
波束の運動量(波数)(←初期時刻の定義)
換算質量

G はエンベロープ関数で、波束の形状を表す。ここではその具体形は問わない。
任意の時刻における波束状態:
系のハミルトニアン

3つのスケール
反応領域の大きさ
fm のスケール。換算ド・ブロイ波長 1/K0 に相当。
※波数 K0 の波は位置変化 Δx / K0 を位相変化 1 として “検出” する。

波束の拡がり典型的には cm のスケール。長さ w0 として表現する。このとき運動量(波数)は幅 1/w0 (～1013 1/fm)に集中している。
漸近領域の距離
典型的には m のスケール。粒子を撃ち込んだり検出器で測定したりする領域。波動関数の漸近形が利用できる。| Z0 | に相当。

初期波束のフーリエ展開

G のフーリエ変換(～ 1/w0 の極めて狭い幅に分布)
逆変換:
初期波束は P ～ K0 に集中

初期波束の定常波動関数による表現
R ～ Z0 に局在
運動量 K

R ～ Z0 で運動量 ～ K

逆変換

測定がなされる時刻での波束と定常波動関数

は H の固有状態(固有値 E)

幅 ～ 1/w0

方針:

測定領域では漸近系が利用可とし、E と K を q の1次までで評価する。

定常散乱波の波数・エネルギー～ 1011 MeV

積分変数を K から q に変更

波束の平面波成分

Trivialな時間依存性

中心が速度 で運動する波束(入射波束の形を保持)

波束の拡散は?
波束の拡散を扱うには、q の高次項が必要。ただし今の場合、その効果は無視して良い。
1次元の自由ガウス波束の確率分布幅(時間変化):(～ 200 [MeV・fm],～ 1015 fm,
検出器の距離～ 103 MeV,

～ 1013 fm )

波束の散乱波成分

積分に関与する q の範囲内では f の K 依存性は無視できる。

Trivialな時間依存性

中心が速さ で動径外向きに運動する波束

エンベロープ関数の性質(平面波成分)

・中心は速さ で z 軸方向に運動。
・cm 程度の拡がりを持つので、散乱領域付近では、G の X, Y
依存性は無視して良い(正確には X, Y 方向の拡がりは Z 方向の拡がりよりも狭いが、それでも巨視的なスケール)。
・散乱領域の単位面積あたりに流れ込む確率の総量は、X = Y = 0
として、G の Z 分布の積分を取ることで求まる。

エンベロープ関数の性質(散乱波成分)

・中心は速さ で動径外向きに運動。
・動径方向についての分布は初期波束の Z 方向の分布と同じ。
・巨視的なスケールで考えるとであり、R > 0 であるから、t は正であることが示唆される。すなわち散乱波成分は t ～ 0で発生したとみなせる(因果律)。
・ 方向に出ていく確率の総量は、十分時間が経ったところで求めた G の R 分布の積分と、散乱振幅の絶対値自乗の積:[]
巨視的な距離波束の伝播の様子
v0t = 30 (cm)

20
15

20

10

15

5
10
0
5

30
20
10

0
0

-10

10

20

30

0

-20
-10
-20

-30
-30
-40

-40

y=0

波束の伝播の様子
v0t = 10 (cm)

20
15

20

10

15

5
10
0
5

30
20
10

0
0

-10

10

20

30

0

-20
-10
-20

-30
-30
-40

-40

y=0

波束の伝播の様子
v0t = 10 (cm)

20
15

20

10

15

5
10
0
5

30
20
10

0
0

-10

10

20

30

0

-20
-10
-20

-30
-30
-40

-40

y=0

波束の伝播の様子
v0t = 20 (cm)

20
15

20

10

15

5
10
0
5

30
20
10

0
0

-10

10

20

30

0

-20
-10
-20

-30
-30
-40

-40

y=0

波束の伝播の様子
v0t = 30 (cm)

20
15

20

10

15

5
10
0
5

30
20
10

0
0

-10

10

20

30

0

-20
-10
-20

-30
-30
-40

-40

y=0

微分断面積
散乱領域の単位面積あたりに流れ込む確率の総量:

方向に出ていく確率の総量:

微分断面積

定常散乱波の理論の結論と完全に一致!

波束の理論と定常散乱波の理論のまとめ
・現実の実験条件や直観的描像と合致する波束の理論と、これまでに学んだ定常散乱波の理論との関係を議論した。
・運動量に(非常に狭い)幅を持たせる事によって、散乱現象を、直観と合致する波束の運動として描くことができる。
・そのようにして求めた微分断面積の表式は、定常散乱波の理論の結論と完全に一致する。これは本質的には、散乱領域の大きさと比べ、波束の拡がりが無限に大きいと見なせるからである。
※より詳しい議論については、以下を参照(ただしAusternは絶版)。
N. Austern, “Direct Nuclear Reaction Theories” (John Wiley & Sons) [Chap. 1]
笹川辰弥『散乱理論 (物理学選書20)』(裳華房) [第2章]
M. L. Goldberger and K. M. Watson, “Collision Theory” (Dover) [Chap. 3]

5. アイコナールCDCCとその天体核反応への応用
K. Ogata, S. Hashimoto, Y. Iseri, M. Kamimura, M. Yahiro,
PRC73, 024605 (2006).

天体核物理学の重要課題: S17の精密決定
・8B太陽ニュートリノは、ニュートリノ
振動パラメータの重要な情報源。
・その流量は、7Be(p,γ)8Bの天体核物理因子 S17 に比例。

要請: S17 (0)を誤差5%以下で決定せよ。

S17の年表
8B分解反応による“間接測定”

7Be(p,)8Bの間接測定

・微細平衡の原理を利用すれば、8B分解反応を測定することで、逆反応である7Be(p,γ)8Bの断面積を間接的に決定できる。

・この間接測定の結果は、仮定した反応機構が正しいときに限り、正確である。

7Be(p,)8B 天体核物理因子SS17 (E) [eV b]

30

17の“測定”結果

この食い違いの理由を解明することは、
原子核物理の(他分野に対する)責務
Junghans (direct):S17(0) = 22.1 +/ 0.85 eV b

25

20

Kikuchi (RIKEN):
S17(0) = 18.9 +/ 1.8 eV b

15

10

Descouvemont-Baye
Junghans
Kikuchi(RIKEN)
Iwasa (GSI)Davids (MSU)
Schuemann (GSI2)

0

200

400

600

800

p-7Be 間のエネルギー [keV]1000実際の分解反応のメカニズム

間接測定を妨害する要因
・核力(強い相互作用)による分解
・多段階の分解過程(チャネル結合効果)
・E1以外の多重極光子による分解
正確な反応模型による分解反応の記述が不可欠!

アイコナールCDCC (E-CDCC)
p

7Be

U7

Up
208Pb

,

※1/R のクーロン力の影響は表記から省略。

反応解析の目的
p7Be

・p+7Beの低エネルギー分解状態
部分平面波(正確にはクーロン入りの波)とみなせる。
・8Bの基底状態
低エネルギーへの分解断面積に寄与するのは波動関数のテイル(pと7Beが十分離れた領域)のみ。関数形は既知。
ただしその振幅は不明。
テイルの振幅 C (漸近係数)を反応解析によって決める。

E-CDCC方程式
左からを掛けて r で積分し、散乱の初期条件反復法等によって求めることが可能。

とするとを満たす解は、

取り入れられている自由度は?

1. チャネル結合計算なので、Fji は無限次まで入っている。
2. Up と U7 は、核力ポテンシャルとクーロンポテンシャルの和。
よって核力とクーロン力は区別なく扱われている(干渉も入る)。
3. クーロンの多重極度は全て含まれる(核力も) 。
※クーロン双極子遷移のみ取り入れ、摂動の1次で止めれば、先行研究の計算に対応する。

点電荷分布クーロンの多重極子

v

r
c
P

R

T

R>r

[単極子]

PT重心間のクーロン力(分解なし)

PのE1有効電荷

超ロングレンジ[双極子][4重極子]
PのE2有効電荷

分解反応の遷移行列
8Bの分解エネルギー(7Be-p 間のエネルギー)をある区間で束ねた状態が、波数ベクトル K’j で散乱される反応の断面積が観測されるものとする。

(∵)

移行運動量前方散乱近似を適用すると、qij の垂直成分と平行成分は、下図のようになる。
x

x
y
O

K’j

θ

qij

Ki

よって、qij と R の内積は、

zyOq⊥= 2Kj sin(θ/2)
K’j
Ki

z
q∥= Ki － Kj

分解反応の遷移行列(つづき)

分解断面積
の角度分布

∵

(純)量子力学計算との対応
遷移行列の積分要素

Kj b = L+1/2 とすることで、量子力学的な表式が得られる。

※小さい L の S 行列のみ量子力学的に計算すれば、より正確。

ルジャンドル関数とベッセル関数

J0 or PL

1

P0
J0 (L=0)P10
J0 (L=10)P20
J0 (L=20)

0.5

0

-0.5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

 (deg)・散乱振幅の角度依存性は、J0(bK) でほぼ表現できている。
・前方散乱近似をやめると、余分な(強すぎる)角度依存性が出る。

量子力学計算との対応(分解反応)
208Pbによる 8B分解反応(at 核子あたり 250 MeV)の遷移振幅(実部)Breakup amplitude

1

Quantum
Eikonal

0.5
0
-0.5
-1
10

100

1000

L

10000

8B 分解断面積の角分布
1000

208Pb(8B, 7Be+p)d/d (mb/deg)

at 52A MeV

= 500 – 750 keV
100

0

1

2

3

4

5

6

7

8



実験値と理論計算値の“比”から、8B波動関数の漸近係数 Cを得ることができる。C が得られれば、S17(E)が描ける。

7Be(p,)8B 天体核物理因子S

17
以前の結果
直接測定:
S17(0) = 22.1 ± 0.85 eV b

S17 (E) [eV b]

30

赤: 直接測定の結果
青: 間接測定の結果

25

間接測定:
S17(0) = 18.9 ± 1.8 eV b

20

今回の解析結果
15

10

0

100

200

300

400

500

p-7Be 間のエネルギー [keV]

600

7Be(p,)8B 天体核物理因子S

17
以前の結果
直接測定:
S17(0) = 22.1 ± 0.85 eV b

S17 (E) [eV b]

30

赤: 直接測定の結果
青: 間接測定の結果

25

間接測定:
S17(0) = 18.9 ± 1.8 eV b

20

今回の解析結果
15

10“完全”計算:+2.0
S17(0) = 20.9 1.9
0

100

200

300

400

500

p-7Be 間のエネルギー [keV]

600

eV b

7Be(p,)8B 天体核物理因子S

17
以前の結果
直接測定: updated
S17(0) = 20.9
22.1 ± 0.92
0.85 eV b

S17 (E) [eV b]

30

赤: 直接測定の結果
青: 間接測定の結果

25

間接測定:
S17(0) = 18.9 ± 1.8 eV b

20

今回の解析結果
15

10“完全”計算:+2.0
S17(0) = 20.9 1.9
0

100

200

300

400

500

p-7Be 間のエネルギー [keV]

600

eV b

間接測定(簡易計算):+1.9
S17(0) = 19.0 1.7 eV b

間接測定法は、正確な反応理論と組み合わせれば機能する。

E-CDCCとその天体核反応への応用のまとめ
・天体核物理学上の重大な課題である S17問題を紹介した。
・不安定核8Bの分解反応を、7Be+p+標的核の3体反応模型に基づいて記述した。
・CDCCとアイコナール近似を組み合わせたアイコナールCDCC(E-CDCC)を紹介した。
・E-CDCCに対する量子力学的補正は最小の手間で実行可能。
・反応解析により、S17問題を解決することに成功した。

6. アイコナール反応理論と中性子除去反応 → そして(p,pN)反応へ
M. Yahiro, K. Ogata, K. Minomo, PTP126, 167 (2011).

中性子除去(removal)反応nA(P,cx)特徴(定義)
・コア核のみを観測する。
・多数の自由度が関与する包括的過程。
・弾性分解(elastic breakup; EB)と(広義の)剥ぎ取り過程(stripping; STR)からなる。

c
P

A

c

???

要点(ストリッピング)
・コア核は“弾性チャネル”に生き残り、
中性子(群)だけが吸収されると考える。
・入射粒子の構成粒子によって“運命”が異なる。これをどう記述するか?

弾性分解とストリッピングnA(P,c+n)A

弾性分解(EB)・反応後の標的核は基底状態。
・通常のCDCCで記述可能。

c
P

A
A(P,c+n)A*c

A*(or A+n)

ストリッピング(STR)
・標的核は励起される(移行反応の寄与は中間エネルギー領域では無視できる)。
・その励起は剥ぎ取られる中性子に起因。
・通常のチャネル結合法では記述不可能。
・グラウバー模型が成功。ただし問題も。

アイコナール反応理論
Eikonal Reaction Theory (ERT)
チャネル結合計算に基づいてストリッピング過程を記述する模型。
n
Un
c
P

Uc

: 換算質量A

アイコナール近似の演算子表現

アイコナール反応理論(つづき)Φの2階微分を落とすと方程式の形式解:

時間順序積

アイコナール反応理論(さらにつづき)Un に対してのみ断熱近似を適用:

Pの基底状態のエネルギー固有値で置き換える。

右の式の形式解が!

アイコナール反応理論(まとめ)アイコナール近似とUn に対する断熱近似によりS行列を分割可能。

S行列とその“成分” は以下の方程式を解くことで得られる。

・3体分解のダイナミクスが入っている。
・クーロン力を含むUc に断熱近似を適用すると発散の問題が起きる。

各種断面積
反応断面積:※ブラケットはPの状態を表す(cおよびAは基底状態)。

弾性分解断面積:

近似的完全系

全融合断面積:何らかの吸収(追跡していないチャネルへの流束の逃げ)が起きる“確率”。

電気双極子(E1)遷移の発散問題
遷移相互作用:

n
r

c

位相差:
遷移確率分布( 0 は実数とする):

分散電気双極子(E1)遷移の発散問題(つづき)E1分解断面積:

対数発散※この発散を引き起こす項のみを、摂動計算(断熱近似なし)の結果で置き換える方法もある(Coulomb-Corrected Eikonal model)。
P. Capel, D. Baye, Y. Suzuki, PRC78, 054602 (2008).

全融合断面積の分割

中性子剥離(吸収)断面積:

コア核剥離(吸収)断面積:

完全融合断面積:

中性子は何らかの吸収を起こす。

コア核は吸収を起こさない。

中性子剥離・除去断面積(計算法)※(c)はUc のみを取り入れて計算した値。

価中性子の分布を測る手段

中性子除去断面積

31Neの1中性子除去反応への適用
31Ne を 30Ne + n の簡単な模型で表し(相対軌道角運動量は1とする)、その配位の割合 S (分光学的因子)を決定する。
12C

S

ERT
Glauber*
90 [109]96
24
114 [133]96
0.69 [0.59] 0.82
※[

]は

208Pb

ERT
Glauber*
244 [367] 330
800
810 (摂動)
1044 [1167] 1140
0.68 [0.61] 0.62と近似して計算した結果

・12C標的でも弾性分解が効く。
・中性子剥離断面積には分解断面積の差の項が重要。
・大雑把に見れば、ERTとGlauberの一致は良い。
*W. Horiuchi, Y. Suzuki, P. Capel, D. Baye, PRC81, 024606 (2010).

Extraction of the E1 breakup X-sec.
In many cases, 1n removal X-sec.’s with 12C and 208Pb targets are measured.
e.g., T. Nakamura et al., PRL103, 262501 (2009).

c
n

n
P

208Pb (or 12C)

Then, the E1 cross section is extracted by.

Question: 1) What is the accuracy of this formula?
95% for 1n halo nuclei2) How do we determine the scaling factor ?
withThe scaling factor 
K. Yoshida, Fukui, Minomo, O, PTEP2014, 053D03 (2014).

Key points  is larger than in the prev. study
for very weak binding nuclei.
 For 31Ne, the E1 cross section
may decrease by 13-20%.
  is well fitted by

Red bars: used in the previous study (Nakamura et al.)

6Heの1, 2中性子剥離(除去)反応への適用

調整パラメータなしで実験データと良く一致。
未知の2中性子ハロー核の分析へ!
K. Minomo, Matsumoto, Egashira, O, Yahiro, PRC90, 027601 (2014).

アイコナール反応理論とその中性子除去反応への応用のまとめ
・価中性子の分布を抽出する手段として注目されている、中性子除去反応について学んだ。
・離散化チャネル結合法の枠組みに基づき、包括的反応を記述す
る新しい「アイコナール反応理論(ERT)」を提案した。

・ERTは 31Ne や 6He 等の不安定核の中性子除去反応に適用され、成功を収めている。
・強束縛系からの核子の剥ぎ取りを記述するためには、断熱近似を捨てる必要あり。→ Gade plot の再検討

Missing Correlations (the Gade plot)

Understanding level

A. Gade et al., PRC77, 044306 (2008) [updated in Tostevin and Gade, PRC90, 057602 (2014)].

100% understanding

600% missing
correlations!

Separation energy of struck nucleon

Some counterarguments
J. Lee, private communication*

F. Flavigny et al., PRL110, 122503 (2013).

1/2-

1/2-

3/2-

*A compilation of A. Gade et al., PRC77, 044306 (2008),
F. Flavigny et al., PRL108, 252501 (2012), and
F. Flavigny et al., PRL110, 122503 (2013).

3/2-

(d,t)

Asymmetry in P// (PMD)d/P// [mb/(20 MeV/c)]

F. Flavigny et al., PRL 108, 252501 (2012).

12C(31Ne,30Ne+X) at 230 A MeV
T. Nakamura et al., PRL112, 142501 (2014).

9Be(14O,13O+X) at 53 A MeV

Sn = 23.2 MeV

Sn = 0.15 +0.16
0.10 MeV

c

c
n

P//
n

P// (MeV/c)

 The Glauber model is usually adopted that gives inevitably a symmetric P//
because of the ADiabatic (sudden) approximation.
 For non weak-binding nuclei, P// is asymmetric, which is not understood well.

Possible strategy
・It is still difficult to describe stripping processes non-adiabatically.
→ We cannot discuss the Gade plot directly.
cf. Transfer to continuum model by Bonaccorso and Brink, PRC 38, 1776 (1988).
Revival of the Ichimura-Austern-Vincent model by J. Lei and Moro, PRC 92, 044616 (2015).

・We focus on the KO processes with a proton target and aim at finding themechanism that generates the asymmetry in the PMD, with clarifying why the
Glauber model cannot explain it (for EB/diffraction process).
→ If the mechanism exists also in stripping processes, we may regard it as apossible source of the strong quenching of the reduction factor.
・We will use DWIA, which is “equivalent” (and can be superior) to CDCC insome cases.

CDCC and DWIA
k
c

c
K0

K
n

n
A

p

k

1. Weak coupling to the BU channels

2. Only

breaks up A.

p-A elastic wave function

n-c DW (w/ E-dep. complex pot. and/or large l)DWIA vs. CDCC
KO, Matsumoto, Yahiro, in preparation.

p(19C,18C+n)p at 68 A MeV
120d / dPz [mb/(GeV/c)]

100

CDCC
1step (DWIA)
vpn breakup only

80
60
40
20
0
6.3

6.4

6.5

Pz (GeV/c)

6.6

6.7

Comparison with data for stable target
12C(p,2p)11B at 392 MeV
gs

S determined by(e,e’p) is used.

2 = 75 deg.
2 = 25.5 deg.

E1 = 250 MeV

1 = 32.5 deg.

Exp. data: T. Noro, private communication (2014).

Asymmetry in the PMD of 14O(p,pn)13O
KO, Yoshida, Minomo, PRC 92, 034616 (2015).

Glauber-like

This workd/P// [b/(MeV/c)]d/P// [b/(MeV/c)]

Energy-momentum
conservation

Attraction b/w
p/n and 13O

 The Glauber-like calc. overshoots both the integrated X-sec. and the peakheight, possibly resulting in overestimation of the missing correlation.
 PV and distortion effects exist also in nucleon removal processes with anucleus target, and will affect the reduction factor.
 Studies on the reduction factor with a proton target are going on (collaboration with Uesaka-san’s group).

Courtesy of K. Yoshida (RCNP)

6He(p,pn)

Courtesy of Y. Kikuchi (RNC)

7. CDCCを用いた核データ研究

77-1. n(p)+ Li による t 生成率
スライド提供: 渡辺幸信氏(九大総理工)7-2. 中性子源としてのLi(d,nx)反応
スライド提供: 渡辺幸信氏(九大総理工)7-3. 核変換プロジェクトの紹介

Nuclear Transmutation studies
Impulsing Paradigm Change through Disruptive Technologies Program・Launched FY2014 and 12 programs approved.
・will end at Dec. 31, 2018.
・Keyword: high risk and high impact

Reduction and Resource Recycle of High Level Radioactive Wastes
with Nuclear Transmutation (PM: Reiko Fujita)Extraction genuine data w/ MERTMicroscopic Effective Reaction Theory
・Model space is determined by analysis of alternative reaction data.
・Structural information is given by Tsukuba group (or others).
・MERT generates the objective reaction data.

B

A(d,p)B
A+n → BAnp

A(p,pn)B

B
n

n
B

d

from neutron pickup
to neutron captureApfrom (p,pn)ppto (n,2n)A(n,2n)B

B

B
n

n

A

n

n

137Cs(p,Nn)反応解析の現状
2

MERT
10

1

12個! 124

Wang et al.,
PLB754, 104(2016).
126

128

130

132

134

Mass number of Cs

136

2s1/2

-5

1p1/2

-10

0d3/2

-25 0p1/2

1d5/2

0g9/2

0f7/2

-15
-20

0g7/2

1p3/2

0f5/2

0h11/2

1d3/2

1s1/2
0d5/2
0p3/2

-30
-35

Sn (136Cs)

136Cs

135,134,133,…Cs等の種

PHITS

s.p. energy of 137Cs (MeV)0Xn (mb)

10

0s1/2
-5

0

5

10

15

20

25

30

n (mb)

・直接過程で描けると期待される136Csの生成断面積を再現(PHITSの改良)
・その他のCs生成断面積は、直接過程の結果(種)を崩壊モデルに接続― JAEAのグループや渡辺氏(九大総理工)との議論を開始― 多段階過程の結果も種に追加する必要あり(残留核の励起エネルギー分布が鍵)CDCCを用いた核データ研究のまとめ
・模型空間の中で正確かつ実効的に反応計算を行うというCDCCの思想は、周辺領域の研究開拓に適している。
・CDCCはこれまで多くの核データ研究に適用され、成功を収めている。
・核データ研究は、定量的反応論が活躍できる重要な(そしてシビアな)舞台である。

おわりに

この講義で伝えたかったこと
・模型空間の中での反応論(反応計算)という考え方の価値。
・多くの批判に耐えて抜いたCDCCの歴史とその靱軟性。
※離散化ではなく l の制限がCDCCの本質。
・素粒子物理学と原子核物理学の架け橋としての微視的反応論。
・適切な自由度を取り入れた定量的反応解析の重要性(S17の話)。
・星が輝く仕組みの解明に関われる素晴らしさ(天との架け橋)。
・核データ研究(社会との架け橋)に参画する重要性。