摩擦のない接触下のトポロジー最適化における Lagrange 双対性について

On Lagrange Duality for Topology Optimization under Frictionless Contact⃝ 寒野 善博 ∗1

Yoshihiro Kanno∗1 東京大学 数理・情報教育研究センター，教授，博士（工学）Mathematics and Informatics Center, The University of Tokyo, Professor, Dr. Eng.

キーワード：トポロジー最適化；片側接触；相補性制約；Lagrange 双対性

Keywords: Topology optimization; unilateral contact; complementarity constraint; Lagrange duality.

1. はじめにく，劣勾配法などを用いる必要がある 17) ．

構造最適化の研究分野において，剛体との摩擦なしの接以上であげた定式化と比べて，もし通常の非線形計画の触を伴う弾性構造物の最適設計問題は，古くから研究が行解法が適用できるような定式化ができれば，その取り扱いわれてきた基本的な問題の一つである 7,8,11,12) ．その初期のの容易さから有用である．本稿では，剛性最大化問題を取頃からの成果は，Hilding et al. 9) にまとめられている．本

り上げ，Lagrange 双対性を用いることでそのような定式化

稿では，微小変形の仮定をおいて，構造物の静的な剛性のが可能であることを示す．

最大化問題における Lagrange 双対性の有用性について考察する．

2. 問題設定

静的な剛性の最大化問題では，多くの場合，コンプライ有限要素に離散化された連続体を考える．その要素数をアンス（柔性の指標）を釣合い状態において構造物に生じm で表し，節点変位の自由度を n で表す．また，節点変位る変位や支点反力の関数として定め，これを最小化する．

ベクトルを u ∈ Rn で表し，節点外力ベクトルを p ∈ Rn で

このため，最適設計問題の定式化としては，釣合い状態を表す．この構造物は，空間内に位置が固定された剛体の表記述する支配方程式を制約にすることが自然に考えられる．

面と，摩擦なしに接触するものと仮定する．接触候補であ

いま，微小変形と線形弾性の仮定の下では，摩擦なしの接る節点の数を c で表し，節点 j ( j = 1, . . . , c) と剛体表面と触問題は線形相補性問題として定式化できる 15,20) ．このの距離（初期ギャップ）を g j (≥ 0) とおく．このとき，構造ため，摩擦なしの接触の下での剛性の最大化問題は，相補物が剛体内にめり込まないという条件（非貫入条件）は性制約付き数理計画問題 (mathematical programming withcomplementarity constraints, MPCC) として定式化すること

g − Cn u ≥ 0が可能である 6,18,19) ．しかし，この MPCC としての定式化の形で書ける．ただし，Cn は定行列であり， g = (g j ) は定は，取り扱いが容易ではない．というのも，MPCC の任意ベクトルである．の実行可能解では，標準的な制約想定が成り立たない 14) ．

次に，有限要素 e (e = 1, . . . , m) の密度を ρe ∈ [0, 1] でこのため，MPCC には，通常の非線形計画問題とは異なる表し，対応する剛性行列を K(ρ) ∈ Rn×n で表す．ただし，特別な取り扱いが必要である．

SIMP (solid isotropic material with penalization) 法 1) を用いまた，MPCC 以外の定式化として，Petersson and Patriks-て剛性行列を構成することを想定している．このとき，コ

son 17) は，設計変数である有限要素の密度を定式化から消ンプライアンスは全ポテンシャルエネルギーに −2 を乗じ去することで，目的関数を釣合い状態における節点変位のた関数の最大値として定められる：みで表すことを提案している．しかし，接触問題の釣合い状態における節点変位は，一般に，設計変数に関して微分可能ではない．このため，通常の非線形計画の解法ではな

日本建築学会情報システム技術委員会
第 42 回情報･システム･利用･技術シンポジウム論文集， 106-109 ， 2019 年 12 月，東京
Proceedings of the 42nd Symposium on Computer Technology of Information ，Systems and Applications ， AIJ ， 106-109 ， Dec. ， 2019 ， Tokyoπ(ρ) = sup {2 p ⊤ u − u ⊤ K(ρ)u | Cn u ≤ g}.
u ∈R n(1)－ 106 －構造最適化の文献では，しばしば，コンプライアンスは外

いま，任意の ρ ∈ X に対して剛性行列 K(ρ) は半正定置力仕事として定められている．しかし，構造物のいくつかであることから，(3) の上限は凹な 2 次関数の最大化問題での節点に（0 ではない）強制変位が課されている場合には，ある．したがって，この上限が達成されるための必要十分

構造物の柔性の指標として外力仕事は適切ではない 16) ．そ条件は，KKT 条件のような場合には，コンプライアンスは，全ポテンシャルエネルギーの最大値として定めるべきであることが知られK(ρ)u = p + Cn⊤ r,(4)ている 13) ．いま，接触問題の釣合い状態が 0 でない接触反g − Cn u ≥ 0,(5)力をもつならば，そのような節点は強制変位を課したのとr ≤ 0,(6)同じ状態である．このため，一般に（ g , 0 である場合にr ⊤ (g − Cn u) = 0(7)は），接触を伴う構造物のコンプライアンスは外力仕事ではなく (1) で定めるべきである．

を満たす r ∈ Rc が存在することである．このことから，問トポロジー最適化における正則化のために密度フィル

題 (3) は次のように書き直すことができる：

ター 2,3) を用いるとすると，ρ はフィルターを作用させる前の密度 x ∈ [0, 1]m を用いてMinimize

2 p ⊤ u − u ⊤ K(ρ)uρ = Hxsubject to(4), (5), (6), (7),ρ, u, rρ ∈ R.の形で表される．ただし，H は定行列である．構造体積の上限値を v で表すと，トポロジー最適化問題は次のように定式化できる：

また，制約 (4) を用いると，目的関数をp ⊤ u − u ⊤ Cn⊤ r

Minimize

π(ρ)

(2a)

subject toρ = H x,(2b)化は，相補性制約 (7) を含むために特別な取り扱いを必要

0 ≤ x ≤ 1,(2c)とする．これに対して，4 節では，相補性制約をもたない

1⊤ ρ ≤ v.

(2d)定式化を示す．

ρ, xと書き直すこともできる．いずれにしても，これらの定式

次の 3 節では，既往の形の定式化として，問題 (2) と等

4. Lagrange 双対性を利用した定式化
関数 f : Rq → R ∪ {+∞} が条件 {x ∈ Rq | f (x) < +∞} ,価な相補性制約付き数理計画問題を示す．これに対して，4節では，Lagrange 双対性を用いることで，相補性制約を含まない等価な定式化を示す．

∅ を満たすことを仮定する．このとき，f ∗ (s ∗ ) = sup {s ⊤ s − f (s)}s ∈R q3. 相補性制約付き数理計画問題としての定式化

で定義される関数 f ∗ : Rq → R ∪ {+∞} のことを， f の共記号の簡単のために， R ⊆ Rm を役関数とよぶ．

R = {ρ ∈ Rm | ∃x ∈ Rm : ρ = H x, 0 ≤ x ≤ 1, 1⊤ ρ ≤ v}

任意の ρ ∈ R に対して，関数 Lρ : Rn × Rc → R ∪ {+∞}

で定義する．そして，各 ρ ∈ R に対して，関数 Φρ : Rn ×Rc → R ∪ {+∞} をΦρ (u; λ) =Lρ (u; λ ∗ ) = sup {λ ⊤ λ ∗ − Φρ (u; λ)} −2 p ⊤ u + u ⊤ K(ρ)uif 2(g − Cn u) ≥ −λ,

 +∞


otherwise

λ ∈R cで定義する．この Lρ は，最適化問題で定義する．ここで，Φρ は閉真凸関数である．この Φρ を用いると，トポロジー最適化問題 (2) はinf sup −Φρ (u; 0)ρ ∈R u ∈R nをsup −Φρ (u; 0)u ∈R nの Lagrange 関数の役割を果たす．実際， Lρ は条件(3)inf Lρ (u; λ ∗ ) = −Φρ (u; 0)λ ∗ ∈R c(8)と書ける．

報告 H06－ 107 －を満たしている．というのも，任意の u ∈ Rn と任意のλ ∈ Rc に対して共役関数の定義より

Φ∗ρ (u ∗ ; λ ∗ ) = sup{u ⊤ u ∗ + λ ⊤ λ ∗ − Φρ (u; λ)}inf {−λ ⊤ λ ∗ + Lρ (u; λ ∗ )}λ ∗ ∈R cu,λ= − sup {λ ⊤ λ ∗ − Lρ (u; λ ∗ )}λ ∗ ∈R c{最後に，問題 (13) の目的関数 Φ∗ρ (0; λ ∗ ) を陽に書き下す．

⊤ ∗⊤ ∗= − sup λ λ − sup {λ λ − Φρ (u; λ)}λ ∗ ∈R cであるから，}Φ∗ρ (0; λ ∗ ) = sup{λ ⊤ λ ∗ − Φρ (u; λ)}λ ∈R cu,λ= −Φρ (u; λ)(9)= sup{λ ⊤ λ ∗ + 2 p ⊤ u − u ⊤ K(ρ)u | 2(g − Cn u) ≥ −λ}u,λが成り立つ（ただし，最後の等式は，閉真凸関数 Φρ (u; · )= sup{(2(g − Cn u) + λ)⊤ λ ∗ + (2Cn u)⊤ λ ∗の共役関数の共役関数は Φρ (u; · ) 自身である 5) ことを用

u,λ+ 2 p ⊤ u − u ⊤ K(ρ)u | 2(g − Cn u) ≥ −λ} − 2g ⊤ λ ∗いている）が，(9) で λ = 0 とおくと (8) が得られるからである．

sup{2( p + Cn⊤ λ ∗ )⊤ u − u ⊤ K(ρ)u} u=− 2g ⊤ λ ∗ +∞Lagrange 双対性理論 4,5) は，等式∗

inf Lρ (u; λ ) = ∗inf

sup∗u ∈R n λ ∈R c∗

sup Lρ (u; λ )λ ∈R c u ∈R n
u ⊤ K(ρ)u − 2g ⊤ λ ∗
が成り立つことを保証する．したがって，トポロジー最適=化問題 (3) は，次のようにも書き直せる：

sup Lρ (u; λ ∗ ).

inf∗

 +∞


(10)(ρ,λ )∈R×R c u ∈R n

if λ ∗ ≤ 0otherwise

if K(ρ)u = p + Cn⊤ λ ∗ ,λ∗ ≤ 0otherwiseが得られる．したがって，問題 (13) は，具体的には次のよ

さらにここで，等式うに書くことができる：sup Lρ (u; λ ∗ ) = Φ∗ρ (0; λ ∗ )(11)Minimize∗u ⊤ K(ρ)u − 2g ⊤ λ ∗(14a)が成り立つを示すことができる．というのも，任意の u ∗ ∈ Rn

subject toK(ρ)u = f + Cn⊤ λ ∗,(14b)λ ∗ ≤ 0,(14c)ρ ∈ R.

(14d)u ∈R nρ, u, λと任意の λ ∗ ∈ Rc に対して

sup {u ⊤ u ∗ + Lρ (u; λ ∗ )}u ∈R n{}= sup u ⊤ u ∗ + sup {λ ⊤ λ ∗ − Φρ (u; λ)}u ∈R n=sup(u,λ)∈R n ×R c

問題 (14) は，相補性制約をもたないので，通常の非線形計画の枠組みで扱うことができる．なお，問題 (14) は，

λ ∈R c⊤ ∗⊤ ∗{u u + λ λ − Φρ (u; λ)}= Φ∗ρ (u ∗ ; λ ∗ )Lagrange 双対性を使って得られる定式化の一例である．文献 10) では，これと等価な，非線形 2 次錐計画問題としての(12)定式化が示されている．

が成り立つ（ただし，最後の等式は，共役関数の定義を用いた）が，(12) で u ∗ = 0 とおくと (11) が得られるからで謝辞ある．

たものである．

本稿の一部は，JSPS 科研費 17K06633 の助成を受け(11) を (10) に代入すると，トポロジー最適化問題 (2) は結局

inf(ρ,λ ∗ )∈R×R nΦ∗ρ (0; λ ∗ )(13)と書き直せることがわかる．なお，ここまでの議論は，凸最適化問題における標準的な双対性理論を適用しているものである．

報告 H06[参考文献］
1) M. P. Bendsøe, O. Sigmund: Material interpolation schemes intopology optimization. Archive of Applied Mechanics, 69, 635–654 (1999).
2) B. Bourdin: Filters in topology optimization. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 50, 2143–2158 (2001).

－ 108 －3) T. E. Bruns, D. A. Tortorelli: Topology optimization of non-linear
elastic structures and compliant mechanisms. Computer Methods
in Applied Mechanics and Engineering, 190, 3443–3459 (2001).
4) P. G. Ciarlet: Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimisation. Cambridge University Press, Cambridge (1989).
5) I. Ekeland, R. Témam: Convex Analysis and Variational Problems. North-Holland, Amsterdam (1976); SIAM, Philadelphia(1999).
6) D. Hilding: A heuristic smoothing procedure for avoiding local optima in optimization of structures subject to unilateral constraints.
Structural and Multidisciplinary Optimization, 20, 29–36 (2000).
7) D. Hilding, A. Klarbring: Optimization of structures in frictional
contact. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 205–208, 83–90 (2012).
8) D. Hilding, A. Klarbring, J.-S. Pang: Minimization of maximumunilateral force. Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering, 177, 215–234 (1999).
9) D. Hilding, A. Klarbring, J. Petersson: Optimization of structuresin unilateral contact. Applied Mechanics Reviews, 52, 139–160(1999).
10) Y. Kanno: Exploiting Lagrange duality for topology optimization with frictionless unilateral contact. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, to appear. DOI:10.1007/
s13160-019-00375-1
11) A. Klarbring, J. Petersson, M. Rönnqvist: Truss topology optimization including unilateral contact. Journal of Optimization
Theory and Applications, 87, 1–31 (1995).

報告 H06

12) A. Klarbring, M. Rönnqvist: Nested approach to structural optimization in nonsmooth mechanics. Structural Optimization, 10,79–86 (1995).
13) A. Klarbring, N. Strömberg: A note on the min-max formulationof stiﬀness optimization including non-zero prescribed displacements. Structural and Multidisciplinary Optimization, 45, 147–
149 (2012).
14) Z.-Q. Luo, J.-S. Pang, D. Ralph: Mathematical Programs withEquilibrium Constraints. Cambridge University Press, Cambridge(1996).
15) J. A. C. Martins, M. Raous (eds.): Friction and Instabilities.
Springer-Verlag, Wien (2002).
16) F. Niu, S. Xu, G. Cheng: A general formulation of structural
topology optimization for maximizing structural stiﬀness. Structural and Multidisciplinary Optimization, 43, 561–572 (2011).
17) J. Petersson, M. Patriksson: Topology optimization of sheets incontact by a subgradient method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40, 1295–1321 (1997).
18) N. Strömberg, A. Klarbring: Topology optimization of structuresin unilateral contact. Structural and Multidisciplinary Optimization, 41, 57–64 (2010).
19) F. Tin-Loi: On the numerical solution of a class of unilateralcontact structural optimization problems. Structural Optimization,
17, 155–161 (1999).
20) P. Wriggers: Computational Contact Mechanics (2nd ed.).
Springer-Verlag, Berlin (2006).

－ 109 －