7/11/01（7/19/01 改訂）

2001 年度 エコノメトリックス
ケース： 夏季の電力需要関数の推定
右の表は、各年８月における関西電力管内の電力需要（「電灯・電力販売量」）、大阪市の平均気温、実質 GDP（旧 68SNA 系列、1990 年基準）を 1963 年から 1999 年の 37 年間にわたって表したものである。
（出典：電気事業連合会ホームページ「電力統計」http://www.fepc.or.jp/、国立天文台編『理科年表』、内閣府経済社会総合研究所『国民経済計算』）○問題意識
よく知られているように、エアコン使用が高まるために、夏季は毎年電力需要がピークとなる時期である。（停電を起こさないように）電力を安定供給するためにも、夏季の電力需要関数を知ることは必要である。
○電力需要のモデル
いま、このデータを基に、８月の電力需要関数を推定したい。電力需要（消費）については所得（実質 GDP）の線形関数であるというケインズ型の消費関数を考えるが、エアコン使用による電力需要を考慮に入れ、気温データにも依存するモデルを考える。また、電力需要(epwr)、実質 GDP(gdp)の指数的な成長を考慮に入れて、それぞれの自然対数値(lepwr, lgdp)を変数として用いることにする。すなわち、(lepwr) t = β 0 + β 1 ( temp) t + β 2 (lgdp) t + ε tというモデル（モデル①）を推定モデルとする。
また、電力需要に慣性がある可能性を考慮し、前年の電力需要(lepwer1)にも依存するモデル、(lepwr) t = β 0 + β 1 ( temp) t + β 2 (lgdp) t

β 3 (lepwr) t −1 + ε t（モデル②）も推定することにしよう。なお、(lepwr1) t ≡ (lepwr) t −1

年 平均気温（℃）
ｔｅｍｐ
1963
27.7
196429.6
196528.3
196628.7
196729.2
196826.81969
28.1
1970
28.2
1971
27.4
1972
27.0
1973
28.8
1974
28.1
1975
27.7
1976
27.4
1977
27.8
1978
29.6
1979
29.1
1980
26.6
1981
27.4
1982
27.2
1983
29.4
1984
29.4
1985
29.2
1986
28.2
1987
28.7
1988
27.9
1989
28.0
1990
29.5
1991
28.1
1992
28.2
1993
26.6
1994
30.2
1995
30.3
1996
28.3
1997
28.5
1998
29.4
1999
29.1

電力需要
（MWh）
epwr
2,040,232
2,311,383
2,435,208
2,803,528
3,256,401
3,648,915
4,174,350
4,869,602
5,154,637
5,637,904
6,431,758
6,137,769
6,389,734
6,861,159
7,275,438
7,985,345
7,944,478
7,503,925
8,274,886
7,757,989
8,721,052
9,410,314
9,966,056
9,739,775
10,383,080
9,874,761
10,805,938
12,622,070
12,509,973
12,305,040
11,580,175
13,836,826
13,820,544
14,261,048
13,484,291
13,994,349
13,735,475

実質 GDP（10 億円）gdp
94,724.0
105,319.5
111,294.3
122,700.2
136,300.2
152,532.1
170,764.5
188,323.1
196,588.9
213,129.0
230,248.8
227,427.7
234,458.7
243,778.5
254,481.2
267,897.5
282,588.9
290,551.1
299,762.6
308,927.2316,100.7
328,483.5
342,950.3
352,879.9
367,555.7
390,325.3
409,183.5
429,985.5
446,315.1
450,876.5
452,281.5
455,197.3
461,893.5
485,219.0
492,954.2
480,586.8
481,561.8である。また想定される係数の符号は、

β 1 , β 2 > 0 である。
1/8

7/11/01（7/19/01 改訂）

2001 年度 エコノメトリックス○分析１
モデル①を Minitab という統計ソフトで推定した結果は以下の通り。
Output-1—————

01/07/14 17:49:32————————————————————

Welcome to Minitab, press F1 for help.
Regression Analysis: lepwr versus temp, lgdp
The regression equation islepwr = 0.874 + 0.0211 temp + 1.14 lgdp
Predictor
Constant
temp
lgdp

Coef
0.87400.021146
1.14458

S = 0.05164

SE Coef0.30990.008990
0.01821

R‑Sq = 99.2%

T
2.82
2.35
62.86

P
0.008
0.025
0.000

R‑Sq(adj) = 99.1%

Analysis of Variance
SourceRegression
Residual Error
Total
Source
temp
lgdp

DF
11DF
2
3436

SS
11.06020.0907
11.1509MS
5.53010.0027F2073.95

P0.000Seq SS0.5226
10.5376

Durbin‑Watson statistic = 0.71

これより、まず係数の符号条件は満たしていることがわかる。次に、係数に関する検定を行なうことにしよう。自由度 34 (= 37 − 3) のｔ分布の上側 2.5％臨界点は 2.032 である。したがって、| t |> 2.032 であれば（両側検定で）帰無仮説が有意水準 5%で棄却できる。上の結果から、全ての係数について帰無仮説 β i = 0 を棄却。また、決定係数は 0.99 と１に近く、あてはまりの良いモデルであることがわかる。しかし、Durbin=Watson 統計量から、攪乱項に自己相関があることが窺える。というのも、数表より、標本数 37、定数項を除く説明変数の数が 2 の場合におけるDurbin=Watson 統計量の 5%臨界値から 0.71 = d < d L = 1.36 となるので、有意水準 5%で、1 次の自己相関がないという帰無仮説が棄却される。
そこで、Cochrane=Orcutt 法で修正推定したのが、以下の結果である。（TSP による）OUTPUT-2Equation
3============FIRST‑ORDER SERIAL CORRELATION OF THE ERROR
Objective function: GLS2 (drop first obs.; conditional SSR)
Grid search for starting value(s)Working space used: 1269
STARTING VALUESVALUEC
1.06708

F=
F=
F=

FNEW=
FNEW=
FNEW=

‑68.433‑68.434‑68.434

TEMP
0.031798‑68.434‑68.434‑68.434

CONVERGENCE ACHIEVED AFTER

ISQZ=
ISQZ=
ISQZ=

LGDP
1.10556
0 STEP= 1.0000
0 STEP= 1.0000
1 STEP= 0.50000

RHO
0.70000
CRIT= 0.45784E‑03
CRIT= 0.97160E‑08
CRIT= 0.23099E‑16

3 ITERATIONS

2/8

7/11/01（7/19/01 改訂）

2001 年度 エコノメトリックス
6 FUNCTION EVALUATIONS.
Dependent variable: LEPWR
Current sample: 1964 to 1999
Number of observations: 36
Mean of dep. var. = 15.8480
Std. dev. of dep. var. = .519811
Sum of squared residuals = .047065
Variance of residuals = .147079E‑02
Std. error of regression = .038351
R‑squared = .995023
Parameter
C
TEMP
LGDP
RHO

Estimate
1.06227.0317811.10597.697419

StandardError.694448.545818E‑02.054445.120629Standard Errors computed from(Newton)

Adjusted R‑squared = .994557
Durbin‑Watson = 2.16671
Rho (autocorrelation coef.) = .697419
Schwarz B.I.C. = ‑61.2665
Log likelihood = 68.4335

t‑statistic
1.52966
5.82269
20.31375.78150

P‑value[.126][.000][.000][.000]

analytic second derivatives

これより、攪乱項に AR(1)モデル ε t = φε t −1 + η t を仮定したとき、係数は φ = 0.70 と推定される。
モデル②の推定結果は次の通り。
OUTPUT-3
Regression Analysis: lepwr versus temp, lgdp, lepwr1
The regression equation islepwr = 0.658 + 0.0255 temp + 0.631 lgdp + 0.414 lepwr1
36 cases used 1 cases contain missing values
Predictor
Constant
temp
lgdp
lepwr1

Coef
0.65770.025454
0.63090.4144

S = 0.04515

SE Coef
0.30120.008000
0.15240.1238

R‑Sq = 99.3%

T
2.18
3.18
4.14
3.35

P
0.036
0.003
0.000
0.002

R‑Sq(adj) = 99.2%

Analysis of Variance
SourceRegression
Residual Error
TotalSource
temp
lgdp
lepwr1

DF111DF33235

SS
9.39190.06529.4571MS
3.13060.0020

F1535.86

P0.000Seq SS
0.3311
9.03790.0228Durbin‑Watson statistic = 1.59

モデル①同様、モデル②についても符号条件は合致しているし、有意水準 5%で係数は全て有意である。攪乱項の自己相関について、Durbin の h 統計量を計算すると、

n36 d 1.59 = 1 −= 1.8371
h = 1 − 2  1 − 36 × 0.1238 2 2  1 − n var( β 3 ) 
標準正規分布の上側 5%臨界値は 1.64、上側 2.5%臨界値は 1.96。よって有意水準 5%で、片側検定では帰無仮説 H 0 : φ = 0 を棄却できないが、両側検定では対立仮説 H 1 : φ ≠ 0 を採択してしまうことになる。いま、 φ に関しては、その符号についての情報がないので、両側検定を行なうこと
3/8

7/11/01（7/19/01 改訂）

2001 年度 エコノメトリックスにする。
修正推定は、操作変数法を用いる。以下は、TSP による操作変数推定の例である。
OUTPUT-4Equation
4============FIRST‑ORDER SERIAL CORRELATION OF THE ERROR
Objective function: GLS2 (drop first obs.; conditional SSR)
INSTRUMENTS: C TEMP LGDP LEPWR(‑1) TEMP(‑1) LGDP(‑1) LEPWR(‑2)
NOTE:

Lagged dependent variable(s) present
Grid search for starting value(s)*** WARNING in line 9 Procedure AR1: Missing values for series ====>LEPWR(‑1): 1, LEPWR(‑1): 1, TEMP(‑1): 1, LGDP(‑1): 1, LEPWR(‑2): 2
Working space used: 2577

VALUE
F=
F=
F=
F=

STARTING VALUES

C
2.018130.13258E‑02 FNEW=0.12734E‑02 FNEW=0.12725E‑02 FNEW=0.12725E‑02 FNEW=

TEMP
0.034224

LGDP
1.147420.12734E‑02 ISQZ=0.12725E‑02 ISQZ=0.12725E‑02 ISQZ=0.12725E‑02 ISQZ=CONVERGENCE ACHIEVED AFTER

0 STEP=
0 STEP=
0 STEP=
0 STEP=LEPWR(‑1)‑0.096533
1.00001.00001.00001.0000RHO
0.70000

CRIT= 0.47329E‑01
CRIT= 0.76887E‑03
CRIT= 0.52278E‑07
CRIT= 0.31143E‑15

4 ITERATIONS

8 FUNCTION EVALUATIONS.
Dependent variable: LEPWR
Current sample: 1966 to 1999
Number of observations: 34
Mean of dep. var. = 15.9167
Std. dev. of dep. var. = .445997
Sum of squared residuals = .037207
Variance of residuals = .128300E‑02
Std. error of regression = .035819
R‑squared = .994334
Adjusted R‑squared = .993552
Durbin‑Watson = 2.22323
Rho (autocorrelation coef.) = .671301
E'PZ*E = .127253E‑02Parameter
CTEMP
LGDP
LEPWR(‑1)
RHO

Estimate
1.88675.034306
1.14072‑.083231.671301

StandardError.853587.540329E‑02.138734.120781.131985

Standard Errors computed from(Newton)t‑statistic
2.21037
6.34909
8.22235‑.6891095.08618

P‑value[.027][.000][.000][.491][.000]

analytic second derivatives

以上より、有意水準 5％で lepwr の１期ラグの係数が有意に 0 とは異ならないという結果が得られるので、モデル②は採用せず、最終的には、攪乱項の自己相関を考慮したモデル①(OUTPUT-2)を採用する。
○分析２
分析１では、1963 年から 1999 年までの 37 年について分析を行なった。しかし、エアコンが4/87/11/01（7/19/01 改訂）

2001 年度 エコノメトリックス
それほど普及していない 1960 年代をそのまま分析しているなど、データの吟味を欠いたままになっている。そこで、ここではもう少しデータを眺めてみることにしよう。下の図は、平均気温と対数電力需要をプロットした散布図である。

Electric Power Demand (KEPCO Area) 1963-1999

lepwr

16.5

15.5

1996
19991998
1997
1990
1991
1992
1993
1989
19871985
19881986
1984
1983
1981
1978
1979
1982
1980
19771976
1973
1975 1974
1972
1971
1970
1969
1968
1967
1966
1965
1964
1963

1994
1995

14.5
26.5

27.5

28.5

29.5

30.5

temp
これより、1963 年から 1967 年までのデータはそれ以降のデータとビヘイビアが異なる可能性があることがわかる。また下の図は、上の図に対数実質 GDP を加えた 3 次元プロット図である。

Electric Power Demand (KEPCO Area)

16.515.5

lepwr
13.0
14.5
26.5

12.5
12.0
27.5

temp

28.5

29.5

lgdp

11.5
30.5

これより、やはり 1963〜1967 年の 5 年間のデータは同一平面状にないことがわかる。そこで、1968 年から 1999 年について、電力需要関数を推定することにしよう。
5/8

7/11/01（7/19/01 改訂）

2001 年度 エコノメトリックス
モデル①を推定した結果は以下の通り。
Output-5
Results for: Subset ofWorksheet 1

Regression Analysis: lepwr versus temp, lgdp
The regression equation islepwr = 1.64 + 0.0396 temp + 1.04 lgdp
Predictor
Constant
temp
lgdp

Coef
1.63760.039581
1.04375

S = 0.03761

SE Coef0.2662
0.007431
0.02174

R‑Sq = 99.1%

T
6.15
5.33
48.02

P
0.000
0.000
0.000

R‑Sq(adj) = 99.0%

Analysis of Variance
SourceRegression
Residual Error
Total
Sourcetemp
lgdp

DF11DF
22931

SS
4.4061
0.04104.4472MS
2.20310.0014F
1557.09

P0.000Seq SS
1.14363.2625

Unusual Observations
Obs
temp
lepwr
2
28.1
15.2445
21
27.9
16.1055Fit
15.3249
16.1798

SE Fit0.01450.0093

Residual‑0.0804‑0.0744

St Resid‑2.32R‑2.04RR denotes an observation with a large standardized residual
Durbin‑Watson statistic = 1.11係数の符号条件および、係数に関する検定の結果、有意水準 5%で全ての係数に関して帰無仮説

β i = 0 を棄却。（自由度 29 (= 32 − 3) のｔ分布の上側 2.5％臨界点は 2.045 である。）決定係数は0.99 と１に近く、あてはまりの良いモデルであることがわかる。しかし、分析１と同様にDurbin=Watson 統計量から、攪乱項に自己相関があることが窺える。というのも、数表より、標本数 32、定数項を除く説明変数の数が 2 の場合における Durbin=Watson 統計量の 5%臨界値か
ら 1.11 = d < d L = 1.309 となるので、有意水準 5%で、1 次の自己相関がないという帰無仮説が棄却される。
そこで、Cochrane=Orcutt 法で修正推定したのが、以下の結果である。（TSP による）OUTPUT-6Equation7============FIRST‑ORDER SERIAL CORRELATION OF THE ERROR
Objective function: GLS2 (drop first obs.; conditional SSR)
Grid search for starting value(s)Working space used: 1149
STARTING VALUESVALUEC
1.92169

F=
F=
F=

FNEW=
FNEW=
FNEW=

‑63.004‑63.015‑63.015TEMP
0.038405‑63.015‑63.015‑63.015

CONVERGENCE ACHIEVED AFTER

ISQZ=
ISQZ=
ISQZ=

LGDP
1.02420
0 STEP=
0 STEP=
0 STEP=

RHO
0.40000
1.00001.00001.0000

CRIT= 0.21934E‑01
CRIT= 0.25218E‑05
CRIT= 0.64669E‑123 ITERATIONS

6/8

7/11/01（7/19/01 改訂）

2001 年度 エコノメトリックス
6 FUNCTION EVALUATIONS.
Dependent variable: LEPWR
Current sample: 1969 to 1999
Number of observations: 31
Mean of dep. var. = 16.0070
Std. dev. of dep. var. = .349650
Sum of squared residuals = .031137
Variance of residuals = .115320E‑02
Std. error of regression = .033959
R‑squared = .991512
Parameter
CTEMP
LGDP
RHO

StandardError.433072.592011E‑02.033854.157024

Estimate
1.93472.038425
1.02314.423263

Standard Errors computed from(Newton)

Adjusted R‑squared = .990569
Durbin‑Watson = 1.96879
Rho (autocorrelation coef.) = .423263
Schwarz B.I.C. = ‑56.1470
Log likelihood = 63.0150

t‑statistic
4.467446.4905430.22222.69553

P‑value[.000][.000][.000][.007]

analytic second derivatives

これより、攪乱項に AR(1)モデル ε t = φε t −1 + η t を仮定したとき、係数は φ = 0.42 と推定される。
モデル②の推定結果は次の通り。
OUTPUT-7
Regression Analysis: lepwr versus temp, lgdp, lepwr1
The regression equation islepwr = 1.34 + 0.0398 temp + 0.729 lgdp + 0.268 lepwr1
Predictor
Constant
temp
lgdp
lepwr1Coef
1.34310.039806
0.72880.26841

S = 0.03409

SE Coef
0.26480.006736
0.11820.09934

R‑Sq = 99.3%

T
5.07
5.91
6.17
2.70

P
0.000
0.000
0.000
0.012

R‑Sq(adj) = 99.2%

Analysis of Variance
SourceRegression
Residual Error
TotalSource
temp
lgdp
lepwr1DF111DF
32831SS
4.41460.03254.4472MS
1.47150.0012

F
1266.04

P
0.000

Seq SS
1.14363.26250.0085

Unusual Observations
Obstemp
lepwr
2127.916.1055Fit
16.1736

SE Fit0.0087

Residual‑0.0682

St Resid‑2.07R

R denotes an observation with a large standardized residual
Durbin‑Watson statistic = 1.98

モデル①同様、モデル②についても符号条件は合致しているし、有意水準 5%で係数は全て有意である。攪乱項の自己相関について、Durbin の h 統計量を計算すると、

n32
 d
 1.98 
h = 1 − = 1 −= 0.06838
2  1 − 32 × 0.09934 2 2  1 − n var( β 3 ) 7/8

7/11/01（7/19/01 改訂）

2001 年度 エコノメトリックス
標準正規分布の上側 5%臨界値は 1.64、上側 2.5%臨界値は 1.96。よって有意水準 5%で、片側検定でも、両側検定でも帰無仮説 H 0 : φ = 0 を棄却できない。
以上の推定結果から、モデル①とモデル②のどちらを選択するかが問題となるが、モデルの単純化基準（パラメータの少ない方がよいとする基準）から、撹乱項の自己相関を考慮したモデル①（OUTPUT６６）を採用する。

8/8