き35TheScienceReportsoftheKanazawaUniversity，Vol.VII，No.
2，pp.35‑39，August，1961.

TheLawoftheIteratedLogarithms
By
NoboruMATSUYAMA andShigeru'D
A託 AH:
ASHI*，CReceivedJanuay10，1961)

1. Introduction. Thepurposeo
fthisnotei
stoprovet
hefollowingTheorem. Letげf肘f>

ea加fmu
町叩加m1
江即肌n加
1犯削c
叫t
刷
凶i
… 崎戸'2(;悦=1 andfo
rsome α>0，(1.1):
f(f(t)‑
S.
.
(t))
2dt
J九仰‑，，)(as n→十∞， whereS.
.
(t) denotes th
en‑
t
hp
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rser
ie
so
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.
Theni
fasequenceo
fposi
tiv
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nteg巴rs {n"，}sati
sfi.
es

毛 並 ミ 4[logC(k+2)J，(1.2)"'kwherecisapositiv
enumbersuchthat2
α c>1，(1.
3)
wehave，for almostallt，(1.4)

一
一
一一一

N

" =1.
、回12NlogzN t.='f(n，り‑~HN‑+1In [lJM.Weissprovedt
hatthelawoft
heiteratedlogar
ithmsholdsfora lacu
nar
ytr
igonometr
icseries. However(1.
4) does not hold even forthecase where f(t)isa，}sati
sfi.
esthe Hadamard'sgapc
ondition.
trigonometri
cpolynomialand {n"2. SomeLemma. Forsimplici
tyweput
円bv

πAa︐''tgFLWODOCv∞h24J'd¥︒ノfI︐︑︑(2.
1)
thenwehave(2.1う
whereg"，(t)=f(t)‑Sv‑l
くの‑‑~ Clcos2nltl>l‑tiつ(2.
1'ρ"，=[logC(k+2)J.

Lemma1. Wehave，foralmostallt，lim
∞
保1 ，!
.

(f(n"，t)‑Sv‑.
(n"，t))=0.
vN"訂''‑;;;
1DepartmentofMathematicsKanazawaUniv
ersity.

36N， l¥
在ATSUYAMAa
ndS. TAKAHASI王I)，weh ve
A will denotean absoluteconstant. From(L2Proof. Inth巴証F1.
1:+1 nk+l十 lー ミ4(2.
2)>4.

Pk飽k(1図1)，(1.2) andn"t)}Is asystem of orthogonal functions andHence {S!， ~(n"t) -S!，-， (宮︑︑(1.3)，wehave

く、 00

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¥﹄ノ27umku'んfLυ

︑︑ 'm︑円f'l

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一
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一
一

Thisimpl
iesthatth巴 senes(23)︐ybvd(f(t)‑‑S!
，‑， (t))
2dt五
三111

4(‑=ci
1 Y量一グ!
，‑，¥ノ'Tb( 孟 仰 の ‑Sisth己 Fourierseriesofasquareintegrablefunction. Therefore byand a theoremofA.N. Kolmogorov，theseries(2.3)converges almostev巴rywher巴 lnforalmosta
llt
，lim

(2.

00，

1!
i. f~，，‑
一宮!
'lt)‑Sf'h (nl' t))=0
Y三N二"'‑;;;;
1!
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J~""h V"" ".
/jYfor almostallムInthesamewaywe¥J/ip‑
L全仏;
Y N，f;!

5)

Hencewehave，

固=0。

1¥.

oFor anyintegers k andk'sucht
hat2N <kくグ;孟 2N十wehave
f1jh

一
一d4'v

払必/i'uv

︑}ノbw/(¥nprb¥}ノ︐︐g1C!

wher巴←‑‑/ 幻μdl(k，1.
by((Lifn"I¥0ifotherw
ise.

nd(1.3)，

呂A一
伊N
一

して一
一BEg r¥Pノ/t¥(A4)
弘(ふK

l1(k，k')三I Cl

1 nk︐︑ 7H

Hencewe=itfollow
sthatfor 2N 三 m く:m/<2N 十1FromtheaboveJ:(急g"仙 の)

dt=f;
4(付同T il.
.

1"，/'¥~

2j I(k，kつ三五kl>kBythewell known dev
iceofD.Mencho
妊， wehav
εj;
22r
ELHl
託子A
Ng M川必Sinceα2 c>1，wehaveAN2‑m)

百fi
j
一五1¥
1

TheLaUJ01theIterate
dLogarithms

37

手f;J2NH(寸子hSNg M t日)〕dtく∞，
andthisimplies，for almostallt，JKJ5HJ子 kSAr品 (n"の=0Hencewehave，foralmostallt，lim

(2.
6)

1N

一二2J g，， (nk t)=0.

∞ Y Hf;;!
1(2.
4)，(2.5)and(2.6)provet
he lemma.
ork= 1，2，・
3. FundamentalI
nequalities. wep
ut，f¥Pノι'hv

JU︐rbffL

n'm2"pcu

p‑J'o

一一2kk

B'%
=:
E b~.

andThenwehave，forall k~ N，1/~tJ.kもろ1S[.
!
.，(nkt)1
三 211ct!40bZPKY4(2fω(3.
1).beapositiv
enumb巴rand1beanyinervalin [0，1] sucht
hatLemma 2. Let A

もろ1(2μN〉A 4 ÷ ，(3.
2)(3.2うlf￨〉

77then，foranyi
l1terv
al 1c
Ol1tainedin [0，1]，wehave
ω 1~L exp

(ザ(円))豆fJEEP(A21Sh(nht〉)dt

寸111叫(平日wher巴ザ isaconstantsatisfying0三五平三五 12À.1)~~(3.4)

Proof. Th巴 proofi
sbasedontheinequality:ード)‑zI~ 21Z ，Ilog (l+Z+for 1z1
く 1/3.

31Wehave，by(3.1)，(
3.
2)andtheabovei
neqality，
(3.5)

12

exp0 S!
，‑.(nkt)) (1+).S，‑，!(nk t)+-~ S~ ρ% かがパり，口and，by (3.
1)，
N(
3.
5う52A
3三訂 1Qk(t) 1三 2 2J I.
)S[.
!
.，(nk t)1j.
，.(2.f1~2)/二 ).2 B'~1k~lN.MATSUYAMAandS.TAKAHASI江38Nowifwew
rite.
6)

す川 )=(1 十与~，)刊のt)+ ̲;'2

1十 A SI'.のisth
巴 sumofnor constantterms andwehavethen

ト九 (t)=。

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S 2

and，by(3.2)，
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J.
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I+ニ豆こ空 +Tω )，N}2 h~iP.N(t)= [!
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回+=十会~II(
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fweputfP.N(t)dt 111:f2叫)/!
，( Aτ)+R.
N'
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and(3.2う(38) (3.
園ヲA(1+fp+T?の )dtI!
豆丘(1‑ト」子){孟 l 〔OZ¥
JT t+似I}2
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十2idzml)j(i) 1)TheLaω01theIteratedLogarithms39正去五(1寸ベ判長{孟(4}‑了)(芸)ケ十)
豆上UA(IJF)
Hencewehave(3.9)

fPN〔tdt4‑T
31fi N，( f b A 3 1 I ￨ / A 2ん)
互い+ 2 ‑‑2 3(2)〉3.2)
and，by(う(3.9jIPN(t〕dt47211¥￨IIR/ 」
111Il(N AE砧fi. .
<4b，i十 2~)孟7 向日1-2 - tJ 1 4

3.
5う， (3.9)and(3.10)weobtainthesecondhalfof(3.
3)andfrom(3.
5ラコ
From(3.5)，(，つ (3.9)and(3.10')thefirsthalfof(3.3).

(3.5. Using this lemma and thefact
This lemma corresponds tothe Lemma 1of [1Jthat

月一N=O(込‑)

asN → ト ∞ ，wecanprovet
hat，int
hesamewaya
sthatof [1J，(3.11)

Nm 一三二三三士一2JSI'. (nkt)= 1
1ノ2Nlog
2N ，，j'";;;lN

今回holdsfor almostall.
t By(3.11)anclLemma 1wecanprovet
hetheorem.
日Referenc[lJ M.Weiss，Onthelawoftheiteratedlogar
ithmsforlacunarytr
igonometricseries，Trans.Amer.

Math.Soc.，vol.91(1959)pp.4
44‑469.