Sei.Rep.Ii.anaz品 "'~va U:
niv.
VoL23No.2，pp.65~ 詰8December1臼78噌

A NoteontheFunctionaICεntr:
alLimitTheor:emfor:LacunaryWalshS田 i
倒KatsuhiroOHASHI*)

Departmentj(，ω1Clzawa(R日C日iv
edOctOD日r
30，1978)

Abstr
act. L日tXn (月二 L 2，・.
.
)ber
andoTI1 functionsdefinedbypartialsumsof!
acunaryWalshserieswithgaps1'1剖 1/1'1.>1十 ck‑a (c>0，O~玉 α 壬 1/2). Thenwes
haIlshowthatin(C，仇 Xn COl1v
erge
sindistr
ibutiont
ot
heWienerprocessW.

1. Introduction.

0，1Jand let，ぜ be theσ‑fieldgenerated
Let C=C[a11 opensεtsofC. TheunderIyin
gprobabilityspaceonwhichwes
ha11disCllSSis(Q，史 ，P)whereQ=
istheclassofallBor
ε1subsetso
fQ andP istheL日besguemea8ureon
wingsystem j
rnf i
scalledtheRademachersystem:ro(ω，)=1 i
f0孟 ω<1/2，ro{ω十 1)=ro(ωand1]，
Thefollo
国‑1 i
f1/2豆 ωく 1，ω，)=η=1，2.
.
.
.
)
.

九1ls
hsystem 1UInfi
sdefinedThentheVIwo(ω)= 1andW n(ω)，=rωω)00'ω，)，

whereη/8ar
euniquelydeterminedi
ntegers 刀 2ト1く niand:n=2"，十 2n2+..・トInthelet{:nkf beasequenceo
fp
ositivesucht
hat(1.1)，'
1'
よれ，/勾 k >1
十ck‑a (k=l，2，.
.
.
)，wherec>0and0豆 α五
三1/2andlet jad b
ε asequenceo
fr
ealnumberss
atisfying(1.2)

Ao=O，An={2': 0，0112̲>=andan=o(Aasn→∞.

k~lThenV'，氾 putfor臼 ξQ and0 三五 t~五 1*)

Pres巴ntaddress:DepartmentofMathematics，Fukushi
maUniversi
ty，10‑
4，Mori‑
ai，Fukushi
macity，Fukushi
mapre，.
f]apan.
65KatsuhiroOHASHI

66[So(ω~=O， Sk(ω)=2GJWh(ω(1.3)~J~l(k=1，2，一…
)，I1，̲tA;‑A.AjAjlX(t)=+lSiω，)+a 叫
ω(ト一一一一 f，if‑‑‑‑.
一語t，;‑ ".
J;'(j=0，1，… ，k‑1).
J+1AJ+1‑AJ'A;AhV

11¥̲

IC' I ¥号I ¥kj+lk ‑ n

THEOREM. F
orrandomβmctio
附Xn(t)(n=l，2，…)definedin(1.3)，XnconvergesindistributiontoW in(C，γ)，whereW denotestheWienerρrocess.

Theconditions(1.2)ofou
rtheoremarebestpossible，sincewec
anshows
imilarlyin[5]thatXn(1)doesnotconv
ergei
ndistribut
iontoW(l)，asn→∞.
In[1]1.Berkesshowedt
hea.e.inv
arianceprincipleundertheconditions(1.1)for<1/2andan=l(n=l，2，…).
O孟αFor theproofofthetheorem we usethefunctionalcentrallimittheoremfor. M.Brown.
martingaleofB
Theorem01B.M.Bro仰 z(cf.[2]，Theorem3).Foramartingaledifferencesequen‑
mce1Yn，
3""nf，letso=O，sJ，=iEY]<∞ (m=1，2，…)and，:，T Tts~ ‑s~s~ ~，~ si

Sk+l‑Sk

S五ら(t)=τ~ 1，L Yj+ Yk+1ー で ー ー で‑f， if""::τ一三五 t 豆一→~oJnTT'j=Oぷ
品(k=O，l，… ，n‑1).

I
frandomf
unctionscn(t)(n=1，2，…)satisfythefollow
ingconditions:(1.4)

す21E(打 ￨ 九 ) →1， 川 帥asn→∞，andforanyc>O，
(1.5)

n

す JZlE[Y3I(iYj片 山 )]→o asn→∞，【thenCnconvergesindist
ribut
iont
oW in(C，'d')asn→∞.
2. Proofo
ftheTheorem.
Letusput:nj<2kf (k=1，2，…).
(2.1)ρ(0)=0， ρ(k)=max Uk+1)，thenby(1.1)，
Thenifρ (k)+l<ρ(t(k+l)‑
lnρ(k+l)
1 (1+cjα)> 1+~ρ (k+1)一 α(ρ (k+1) 一 ρ (k)-l).
2>一一一一一一>
nt(k)+ij ρ(k)+l竺Hencewehave(2.2)ρ (k+1)‑ρ(k)=O(ρ(k)α a sk→∞.
Nextputting(2.3)

ムk(ω)=，

ρ(k+J)，Lj~þ(k)+lajωn;(ω(k=O，1，2，…
)，ANoie0持 tlzeFz
mctio
日alCentralLi
mitTheoreJ
月 forLacunaryWalshSeries2)ir
nply(1.2)and(2.4)

67supIムk(UJ) 三(<JEQ

ρ{hト1)

三Fρ

(k)+1aJ 豆;1=o(Aρ(kト1))max1)t{h)く p孟 T(!
l+1aJ11ρ (k+l) ρ(k)
f

副長→∞.

and(2.5)

ask→∞.

A剖 k+1)/A同 k)=l十 0(1)Hereweshalldescribealernrnao
fS.Takahashiwhichplaysanessentialrolei
ntheproof.
LEMMA(2.
6)

1.([4]，Lernrna3). Undert
heconditionsofthetheorem，ωe/uweE(1A;~nll) さム 2 ‑1 12)→0 a‑→00.
sn

LEMMAefWn(t)(n=1，2，.
.
.
)be 伽 domfun.c
抑制 dφ;
nedasfollow
s:letム 12. L=0 and(2.7)

Wn(t)= A~lA，，，=1ムトム k tA~(n\-A~(b\122ρ (n)
Þ~I.
f.
.
JLA

ρ(n)

zf

A之竺L; 三三 t 壬.n. P:k~A~( η)j:::';‑J ~"A~(k+l)-A;(k)' 'A~(n)(k=O，1，…，n‑1). Thenconv
ergesindistributi・ontoW in(C，asn→∞。

g;，。
ニ lo，Qf ，九 +1工口付 0，r1，…，rk)(k=O，1，.
.
.
)and Y ニム)‑1 (j=1，2，Pu.
tPROOF.

jIisarnartin
galedifferencesequ.
enceandE(ムk .
3':)=
心 (k=O，1，…). C!
early(2.6)irnplies(1.4)，
and(2.6)and(2.4)irnply 5) Thusbvt
heTheoremofB. M.Brown，theproofi
scornplete.

Yj，…
). Then 11圃Nowforanygiv
enN，wecanfin
danintegerM=M(N)sucht
hatp(M)<N豆ρ(M+1)anddefinetherandornfu.
nction WN(t)by(2.8)…

tAι A;i

山 、WI¥
T(t)=ーす‑ 1
5Nk1+ムk ，.
iAN\ 円~" A~(k+ 1) -A~(k) ，
N

川

J! 2

LiN

LJ..Niti
ssu.
fficienttoshowt
hatforanyε>0，(k=U，l，… ，M). Thent
oprov
ethetheore叩(2.9)

A 2if弓宇一壬 t孟 J 弓子LP Irnax1
XN (t)‑W M 1(t)1
主 d →0
十asN→∞固O$t三三1

Wehavernax1 XN (t)‑W M十点)1

O三五 i~玉 1

AhfH

rnax1
XM (t)‑ W 7¥T(t)1+max1W N (t) 一‑‑‑/1‑ニム‑ W M +1(t)山三o豆 t~玉 1

一一O三 t三l+(ムド‑1)‑‑1)max""‑N1

三五 t壬 1

1"'‑NWM+l(t) =Il.N+lz.N十 1N， say.
13.

，l(jAi，)(ん=0，1，… ，M)，wehaveby(2.
4)
SinceXN(Aん)/Aが=5ρ(k)/AN ニ WN(AtK
atsuhiroOHASHI68

I"N 孟'!la~0;;;
吋註M

A~ ，.

N

"'N

L"
1.

守子)孟 t孟三号字L
r 1N

L"
1.

r 1N

ρ(k+1)

asN→∞.

E
五 max (
22: lail /AN)→ O0主玉 h孟 M

I^A2IXN(t)‑XN(~持L) I十」子Lmax
A~ ，"，j=ρ (k)+'ー

By Lemma 2，9n=PW‑;;'(n=1，2，…) arerelativelycompact，andbythewell‑known
Prohorov'stheorem，j久 1istight. Thereforebytheequivalentproposition(cf.[3]，p.
214)，
forevery7)>0andeverye:>0thereexisto>Oandanintegernosuchthat(2.10)

P jmaxIWn(t)‑Wn(s)Iミす￨ <甲It‑sIく Sifn主 η0・t，
S. [0，1JOntheotherhand，(2.5)impliesthatI
A MA~(M +1)‑1I<ぶ ifN ミNo・ Hencewehaveーr 1t(M よ日t(M "、官A乙maxIWN(t)一一ι 7
一一 W M+，(t)I=ニι了一一 maxI
W M+'( τ二‑'‑t)‑W M+，
(t)I
百O三五t
三五s.Ns.NI

I

話 2maxW M+'(S)‑W M+，(t)Is‑tIく Ss，tε[0，1J三五t
孟lr 1ρ
(M+1)

i
fN ミN。

and，by(2.10)

寸 i<平P(I12，NI孟ε)壬P jmax I
WM+，(t)‑WM+'(S) I
It‑sIく S.
ifN ミmaxρ((no)，No)t，
s.[0，1J

SincemaxI
W M+，(t)I豆; max(IS帥 ) I+Iムパ )/A州 M l‑ll> we have，by (2.4) andtheo
孟h孟 M+1O孟 t
孟submartingaleinequality，P(I13，NI~d 孟 P jmax I丸山) I計 九 + 1 )(生と~-1)一'1。
=玉 k孟 M+1~Nr1

A一一一 1)2ES川+1)ー)2(--"~'一一一2D C'2
̲ (2¥2 (A削 M+1) 1)2孟 (~A 川+， ))-2 (ー7一一白I 1NifN 孟 N"

1~NwhichtendstozeroasN→∞， by(2.5). Henceweobtain(2.9).
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