エネルギー・運動量テンソル

エネルギーと運動量を表現するテンソルを導入します。ここでは、非相対論的極限で保存則となるように作っていきます。
エネルギー・運動量テンソルの求め方としてラグランジアンを使った方法もあって、そっちのほうが直接的です。

ここではエネルギー・運動量テンソルには質量密度の次元を持たせますが、c2 をかけたエネルギー密度の次元で定義されていることが多いので気をつけてください。
「真空でのアインシュタイン方程式」で、物質が分布していないときの重力の場の方程式をリッチテンソルによってRµν = 0と与えました。これによって、重力を空間の幾何学として記述しています。これを物質が分布する空間に一般化します。
そのための仮定が、幾何学 = 空間のエネルギーというものです。左辺はリーマンテンソルによる式です。右辺は空間に分布している重力を発生させるであろうもののことです。力学において、重力の引力ポテンシャル ϕ(x) は、空間に分布する物質の質量密度 ρ(x) によって∫d3 x′

ϕ(x) = −κρ(x′ )|x − x′ |と与えられます (κ は重力定数)。なので、右辺は空間のエネルギーでなく、空間に分布している物質の質量となりそうですが、一般相対性理論では事情が異なります。
空間のエネルギーという言い回しになっているのは、アインシュタインが主張した質量とエネルギーは等価という関係 (E = mc2 ) のためです。つまり、空間に分布している物質の質量だけでなく、その物質間の相互作用等も全て含めたものが、右辺の空間のエネルギーです。この空間のエネルギーを表すものがエネルギー・運動量テンソルです。ただし、重力のエネルギーは含めません。
この仮定から、エネルギー・運動量テンソルには、対称な 2 階テンソルとなることを要求します。

• 完全流体
まずは、単純な場合として、相互作用も外力もない物質の集まりを考え、流体として扱います。なので、作るのは質量密度を含むテンソルです。
ある４元速度 uµ (x) で流れている流体 (場) を用意し、その質量密度を ρ0 (x)（スカラー）とします。質量密度 ρ0 (x) は、流体の速度と同じ速度で動いて観測したときの密度とします。ようは静止質量に対応するものです。ある点 xµ (s) での物質の 4 元速度は uµ = dxµ /ds で与えられます (s は線素 ds の s なので、4 元速度は無次元量)。s を固有時間 τ と考えれば、速度の次元を持つので次元解析は分かりやすくなります。また、今の設定では圧力も無視するので、完全流体の結果にはなりません。

2 階テンソルとしてT µν = ρ0 uµ uν
1というのを作ります。物質が速度 v = (vx , vy , vz ) で動いているとして、ミンコフスキー空間での線素は

ds2 = c2 dt2 − (dx2 + dy 2 + dz 2 )なのでds2 = c2 dt2 (1 −dx2 + dy 2 + dz 2v2) = c2 dt2 (1 − 2 )22c dtcv = |v| としています。変形させてdsv2 1= c(1 − 2 ) 2dtc
そして、これを T µν の 00 成分

T 00 = ρ0 u0 u0 = ρ0dx0 dx0dt= c2 ρ0 ( )2ds dsdsに入れればT 00 = ρ0 (1 −v 2 −1) = γ 2 ρ0c2

(γ = (1 −v2 − 1) 2 ≥ 1)c2

γ は特殊相対論で出てくるローレンツ因子と同じです。なので、特殊相対論の話から、速度 v を持つ質量密度 ρ は (止まっている観測者から見た質量密度)ρ = γ 2 ρ0となります。というわけで、T 00 は特殊相対論での質量密度となり、c2 をかければエネルギー密度となります。
他の成分も同様に求められて、T 0i (i = 1, 2, 3) はT 0i = ρ0dx0 dxi
dt dxi dtvivi= cρ0= ρ0 γ 2 = ρds ds
ds dt dscc

T ik はT ik = ρ0vi vkdxi dxk
dxi dxk dt 2vi vk= ρ0( ) = ρ0 γ 2 2 = ρ 2
ds ds
dt dt dscc

これらを行列で書けば

2


1

 vx
 c
µν
T = ρ
 vy
 c
 v
z

cvx
c
vx2
c2v y vx
c2
vz vx
c2vy
cvx vyc2vy2
c2vz v yc2vz c vx vz c2 vy vz c22 vzc2v i を vx , vy , vz と書いています。これが今の場合でのエネルギー・運動量テンソルです。非相対論的極限 v i ≪ cを取ればT 00 ≃ ρ0「真空でのアインシュタイン方程式」で求めたように、弱い重力場において計量は g00 ≃ 1 + 2ϕ/c2 と出てきており、T 00 ≃ ρ0 はそれに対応しています。

T 0ν の発散をとってみると

T|ν0ν =

∂ρvx
∂ρvy
∂ρvz
∂ρ
+++c∂tc∂xc∂yc∂z=

1 ∂ρ ∂ρvx
∂ρvy
∂ρvz
(+++)
c ∂t
∂x
∂y∂z

=

1 ∂ρ
(+ ∇ · ρv)
c ∂t(v = (vx , vy , vz ))( ) 部分は連続の方程式∂ρ+ ∇ · ρv = 0∂tの左辺になっています。このため、T 0ν によって質量の保存 (c2 をかければエネルギーの保存) を表すことができT|ν0ν = 0
によって、連続の方程式 (保存則) になります。
他の成分での発散は3

T|ν1ν =

∂ρvx
∂ρvx2
∂ρvx vy∂ρvx vz++ 2+ 2c2 ∂t
c2 ∂x
c ∂yc ∂z=

1 ∂ρvx∂vx (ρvx ) ∂vx (ρvy ) ∂vx (ρvz )
(+++)
2c∂t
∂x
∂y∂z

=

1 ( ∂vx∂ρ∂vx∂(ρvx )
∂vx∂(ρvy )∂vx∂(ρvz ) )ρ++(ρv+)+(ρv+)+(ρv+)vvvvxxxyxzx
c2∂t∂t∂x∂x∂y∂y∂z
∂z

=

ρ ∂vx
∂vx
∂vx
∂vxvx ∂ρ ∂(ρvx ) ∂(ρvy ) ∂(ρvz )+ vx+ vy+ vz)+ 2(+++)(c2 ∂t∂x∂y∂z
c ∂t
∂x
∂y∂z

=

ρ ∂vxvx ∂ρ(+ v · ∇vx ) + 2 (+ ∇ · ρv)
c2 ∂t
c ∂t

第二項は連続の方程式なので、連続の方程式が成立しているとしてT|ν1ν =

ρ ∂vx(+ v · ∇vx )c2 ∂t

T|νiν =

ρ ∂v i(+ v · ∇v i )c2 ∂t

これは T 2ν , T 3ν でも同様なので(1)

これは流体力学での運動量方程式で、運動量保存の式です（流体力学の「流体の運動」参照）。もし、圧力P と外力 F i があるならρ(∂∂v i+ v · ∇v i ) = −P + Fi∂t∂xiとなります。今は圧力も外力もないとしているので、右辺は 0 です。よって

T|νiν = 0
まとめると、エネルギー・運動量テンソルの発散は、流体力学の方程式から

T|νµν = 0となり、今考えている流体のエネルギーと運動量の保存を表します。なので、T µν をエネルギー・運動量テンソルと呼ぶことができます。そして、エネルギー・運動量テンソルには、発散を取ることで保存則になることを要求します。
今は特殊相対論なので平坦な空間ですが、保存則の曲がった空間への一般化はµνT||ν
=04とすることで出来ます。こう出来ることの説明は省きます。
圧力 P があるとして、完全流体にします。今求めたエネルギー・運動量テンソルを M µν と書くことにしてM µν = ρ0 uµ uνとします。これに対して、非相対論的極限を使うことで、連続の方程式

M 0ν
|ν =1 ∂ρ0(+ ∇ · (ρ0 v)) = 0c ∂tが出てきます (γ = 1)。しかし、圧力 P がいるときの運動量方程式では

ρ0 (∂∂v i+ v · ∇v i ) = −P∂t∂xiとなってるので

M iν|ν =ρ0 ∂v i1 ∂(+ v · ∇v i ) = − 2P ̸= 0
c2 ∂tc ∂xiµνと出てくることになります。このため、M|ν
は完全流体では保存則となりません。エネルギー・運動量テンソルは保存則になるように作るので、修正します。
修正のための対称な 2 階テンソルを S µν とします。対称であることから、今の設定から作れる 2 階テンソルとして

S µν = Auµ uν + Bg µνという形が考えられます。g µν は計量です。そして、運動量方程式が 0 になるようにしたいので

S ij|j =1 ∂Pc2 ∂xi

これは単純に積分すれば

S ij =となります。δij はクロネッカーデルタです。

4 元速度 uµ は5P
δijc2(2)uµ =dxµdt
dx dy dz
dt
1 dx 1 dy 1 dz=
(c, , , ) = c (1,,,)dsds
dt dt dt
dsc dt c dt c dt
=cdt
vx vy vz
(1, , , )ds
c c c=cv
dt(1, )dsc(dtv2 1γ= c−1 (1 − 2 )− 2 = )dsccv ≪ c では uµ = (1, 0, 0, 0) なので、uµ uν は µ = ν = 0 のときに 1 で他は 0 です。そうすると、A = 1, B = −1として、P/c2 を係数につければ、S µν は S 00 = 0、S ij は (2) にできるので

S µν =P µ ν(u u − g µν )c2

これを M µν に足せば非相対論的極限で質量保存と運動量保存が成立させられます。よって、完全流体でのエネルギー・運動量テンソル T µν はT µν = M µν + S µν = ρ0 uµ uν +P µ ν(u u − g µν )c2となります。

• 電磁場
電荷を持った物質を流体 (電荷をもった流体) として、電磁場のエネルギー・運動量テンソルを求めます。
今度は物質間に相互作用があります。
マクスウェル方程式の電磁場テンソル F µν によって

F|νµν = sµ , {Fµν|λ } = 0{ } は反対称化です。F µν は
0 −ExF µν = 
 −Ey
−Ez

Ex

Ey0Bz−Bz0

By−BxEz0−By  , Fµν =  Ex
 EBx  yEz
0−Ex−Ey0

Bz−Bz

0

By−Bx−Ez−By 
Bx 

0

４元電流密度ベクトル sµ は

jsµ = (σ, )c
σ を電荷密度、j を三次元電流密度とします。
流体と一緒に動いている観測者による質量密度を ρ0 、電荷密度を σ0 とし、4 元速度を uµ とします。4 元速度 uµ の関係は流体のときと同じなので

6vuµ = (γ, γ )c
これに σ0 をかけるとvσ0 uµ = (γσ0 , γσ0 )cなので、電荷密度は質量密度と同じように、速度 v で動いていると

σ = γσ0
また、電流密度は σ0 v なので sµ = σ0 uµ から、マクスウェル方程式は

F|νµν = σ0 uµ , {Fµν|λ } = 0となります。
完全流体の場合と同じように考えます。まず、物質の質量密度だけが寄与しているとし、非相対論的極限で考えます。電荷を無視するなら、最初の流体の場合と同じになるので、非相対論的極限で連続の方程式∂ρ0+ ∇ · (ρ0 v) = 0∂tが成立しているとします。なので、この場合のエネルギー・運動量テンソルを M µν として、質量保存は0νM|ν=0(3)で与えます。一方で、ローレンツ力 f i がいるために運動量方程式は

ρ0 (∂v i+ v · ∇v i ) = f i∂t(f i = σ(E +v× B)i )cとなります。f i は、例えば f 1 では

f 1 = σ0 γ(Ex +vyvzvyvz
Bz − By ) ≃ σ0 (−F 10 + F 12 + F 13 )cccc

これは 4 元速度 uν = γ(1, −v/c) を使えば

σ0 (−F 10 +vy 12 vz 13vxvyvz
F + F ) = − σ0 (F 10 , F 11 , F 12 , F 13 ) · (1, − , − , − )ccccc= − σ0 F 1ν uν7と書けます。他の成分も同様なので

f i = −σ0 F iν uν
これによって、運動量方程式は

ρ0 (∂v i+ v · ∇v i ) = −σ0 F iν uν∂t

これの両辺を c2 で割れば、(1) と同じになるのでσ0iν
M|ν
= − 2 F iν uνc(4)として、M iν を与えます。というわけで、M µν を最初の流体と同じとして

M µν = ρ0 uµ uνµνと与えます。(3),(4) から M|ν= 0 になっていなく、保存則が満たされていないので修正します。

保存則を満たすには (4) からiνS|ν=σ0 iν
F uν
c2µνとしたものを加えればいいです。これで、(4) の右辺が 0 になるので、保存則が成立します。これを S|νと

すると

µνS|ν
=σ0 µν
F uν
c20ν0ν
これだと M|ν
+ S|ν
̸= 0 となってしまいます。しかし、F 0ν uν = F 01 u1 + F 02 u2 + F 03 u30νなので、v ≪ c では S|νは十分無視できる寄与です。

S µν を求めます。4 元ベクトル uν は電磁場テンソルによってuν =ν
なので、Sµ|ν
は81 λFσ ′ ν |λν
λc2 Sµ|ν= Fµν Fν|λ右辺にいるテンソルは F µν と内積で出てくる g µν なので、微分してこれになる形としては

c2 Sµν = AFµα F αν + Bgµν F αβ Fαβが考えられます。係数 A, B は微分を作用させて元の形になるように決めればいいので

νc2 Sµ|ν= AFµα|ν F αν + AFµα F|ναν + Bgµν F|ναβ Fαβ + Bgµν F αβ Fαβ|ν

= AFµα F|ναν + AFµα|ν F αν + 2Bgµν F αβ Fαβ|ν
λ= AFµν Fν|λ+ F αβ (AFµα|β + 2BFαβ|µ )2 行目から 3 行目に行くときに添え字の付け替えをしています。これから、A = 1 とすれば、第二項は 0 になる必要があるので

0 = F αβ Fµα|β + 2BF αβ Fαβ|µ ==1 αβ
1F Fµα|β + F βα Fµβ|α + 2BF αβ Fαβ|µ2
21 αβF (Fµα|β − Fµβ|α + 4BFαβ|µ )2(F αβ = −F βα )B = 1/4 とすれば

(Fµα|β − Fµβ|α + Fαβ|µ ) =1(F− Fαµ|β + Fβµ|α − Fµβ|α + Fαβ|µ − Fβα|µ )2 µα|βこれに 1/3 をかければ11(F− Fαµ|β + Fβµ|α − Fµβ|α + Fαβ|µ − Fβα|µ ) = {Fµα|β }3 2 µα|βとなって、反対称化されます。これはマクスウェル方程式 {Fµα|β } = 0 から 0 になるので、A = 1, B = 1/4となります。
よって、Sµν は

1c2 Sµν = Fµα F αν + gµν F αβ Fαβ4と求まり、電磁場のエネルギー・運動量テンソル T µν は9T µν = M µν + S µν = ρ0 uµ uν +11 µ(F α F αν + g µν F αβ Fαβ )c24となります。

c2 S 00 がどうなっているのか見ておくと

1
c2 S 00 = (Ex2 + Ey2 + Ez2 ) + g 00 (−2Ex2 − 2Ey2 − 2Ez2 + 2Bx2 + 2By2 + 2Bz2 )4=|E|2 + |B|22

これは電磁気での電磁場のエネルギー密度です。なので、質量密度に電磁場のエネルギー密度が加わったものが T 00 に対応しています。よって、質量密度だけでなく、場（今は電磁場）のエネルギー密度も重力を作り出すという相対論の性質を反映したものになっています。
また、c2 S 0i は

c2 S 0i = (E × B)i
から、ポインティングベクトルを c で割ったものに対応します。このことから、エネルギー・運動量テンソ
ルにはエネルギーの流れが含まれているのが分かります。
このような S µν の構造から

T µν = S µν
であるときは真空での（物質のない）電磁場に対応します。これは M µν が質量密度部分としていることから当たり前の結果です。

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