経路積分〜クライン・ゴルドン場〜

経路積分を使って実数クライン・ゴルドン場での計算をしていきます。ここでするのは Z[J] からクライン・ゴルドン場での n 点相関関数を求めることです。

Z[J] は∫Z[J] = N[ ∫]1Dϕ exp i d4 x(L(ϕ, ϕ̇) + J(x)ϕ(x) + iϵϕ2 )2

利便性のために減衰項を (1/2)iϵϕ2 としています。ラグランジアン密度としてL=

11∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ222

これを代入して∫
Z0 [J] = N[ ∫(1))]
Dϕ exp i d4 x (∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 + iϵϕ2 + Jϕ2

この積分を計算していきます (Z0 は相互作用がない場合という意味です)。まず、∂µ ϕ∂ µ ϕ の部分は∫∫∫d x∂µ ϕ∂ ϕ =d x∂µ (ϕ∂ ϕ) −∫∫4µ4µd4 xϕ□ϕ(1)第一項はガウスの定理によって

d4 x∂µ (ϕ∂ µ ϕ) =dSµ ϕ∂ µ ϕSという 4 次元空間上での表面積分になります。無限遠での面 S 上で ϕ は 0 になるとして (もしくは表面積分は境界の条件で決まる定数なので、オイラー・ラグランジュ方程式に寄与しないことから無視する)、この項は消します。よって∫[ ∫(1)]
Dϕ exp i d4 x (−ϕ□ϕ − m2 ϕ2 + iϵϕ2 ) + Jϕ2∫∫[(1)]
4= N Dϕ exp − i d x ϕ(□ + m2 − iϵ)ϕ − Jϕ2Z0 [J] =N場 ϕ(x) を ϕ(x) + ϕ′ (x) というように変数変換をします（この変数変換で測度 Dϕ は変化しません）。

1(2)

∫
Z0 [J] = N∫[(1)]
Dϕ exp − i d4 x (ϕ + ϕ′ )(□ + m2 − iϵ)(ϕ + ϕ′ ) − J(ϕ + ϕ′ )
2

∫
=N[∫

Dϕ exp − i(11d4 x ϕ(□ + m2 − iϵ)ϕ + ϕ′ (□ + m2 − iϵ)ϕ′22)]
1
1+ ϕ(□ + m2 − iϵ)ϕ′ + ϕ′ (□ + m2 − iϵ)ϕ − J(ϕ + ϕ′ )
22

∫
=N[∫

Dϕ exp − i(1)]1d4 x ϕ(□ + m2 − iϵ)ϕ + ϕ′ (□ + m2 − iϵ)ϕ′ + ϕ(□ + m2 − iϵ)ϕ′ − J(ϕ + ϕ′ )22最後の部分で∫()
d4 xϕ □ + m2 − iϵ ϕ′ =∫()d4 xϕ′ □ + m2 − iϵ ϕを使っています。この関係を求めるには∫′4∫′µd4 x(∂µ ϕ∂ µ ϕ + ∂µ ϕ′ ∂ µ ϕ + ∂µ ϕ∂ µ ϕ′ + ∂µ ϕ′ ∂ µ ϕ′ )d x∂µ (ϕ + ϕ )∂ (ϕ + ϕ ) =これの各項に対して (1) と同じことをやっていけば、∂µ ϕ′ ∂ µ ϕ, ∂µ ϕ∂ µ ϕ′ の部分は等しいことから∫d4 xϕ′ □ϕ =∫d4 xϕ□ϕ′となります。ϕ′ が方程式として(□ + m2 − iϵ)ϕ′ (x) = J(x)このように外場があるときのクライン・ゴルドン方程式を満たしているとすれば∫[(∫)
11 (ϕ □ + m2 − iϵ ϕ + ϕ′ J + ϕJ − J(ϕ + ϕ′ )Z0 [J] = N Dϕ exp −i d x
22[ ∫()]∫)
1 (1 ′42= N Dϕ exp −i d x
ϕ □ + m − iϵ ϕ − Jϕ22)]

4

また、ϕ′ がその方程式に従うなら解はグリーン関数によって

ϕ′ = −∫d4 y∆F (x − y)J(y)(□ + m2 − iϵ)∆F (x − y) = −δ 4 (x − y)と書け (右辺に i をつけて定義する場合もあります)、これは式を見て分かるようにクライン・ゴルドン場の伝播関数です。

2[ ∫()]∫)
1 (1Dϕ exp −i d4 xϕ □ + m2 − iϵ ϕ +d4 y J(x)∆F (x − y)J(y)22[][]∫∫∫()
ii= N Dϕ exp −d4 xϕ □ + m2 − iϵ ϕ exp −d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)22∫Z0 [J]= N

そうすると始めの exp 部分だけが Dϕ の積分に引っかかり何かしらの定数になってしまうのはすぐにわかるので、N の中にいれてしまって[]∫i
Z0 [J] = N ′ exp −d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)2N ′ を決定させてすっきりさせます。規格化の条件はZ0 [0] = 1
なので、(2) に戻って∫Z0 [J] = N[ ∫()])
1 (Dϕ exp −i d4 xϕ □ + m2 − iϵ ϕ − Jϕ2∫⇒ Z0 [0] = N[]∫()iDϕ exp −d4 xϕ □ + m2 − iϵ ϕ = 12より

∫Z0 [J] =[][]∫∫Dϕ exp − 2i d4 xϕ(□ + m2 − iϵ)ϕ exp − 2i d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)[]∫∫Dϕ exp − 2i d4 xϕ(□ + m2 − iϵ)ϕ
[i= exp −2∫]d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)

結局この伝播関数部分のみが生き残ります。この結果からも分かるように規格化 Z0 [0] = 1 を踏まえた Z0 [J] は∫Z0 [J] =[ ∫]Dϕ exp i d4 x(L + Jϕ)[ ∫]∫Dϕ exp i d4 xLとなっています。
∆F (x − y) はクライン・ゴルドン場の伝播関数なのでフーリエ変換によって∫∆F (x − y)=∫=d4 p −ip(x−y)
e∆F (p)(2π)4d4 p e−ip(x−y)(2π)4 p2 − m2 + iϵ3

見て分かるように、「クライン・ゴルドン場〜伝播関数〜」で使っていた伝播関数とは i があるかないかの違いになっています。「クライン・ゴルドン場〜伝播関数〜のところでは(□ + m2 )D(x − y) = −iδ 4 (x − y)∫D(x − y) = id4 p e−ip(x−y)(2π)4 p2 − m2 + iϵとしていたんですが、ここでは i を外に出して i∆F (x − y) = D(x − y) となっています。これから見ていくと分かりますが、Z[J] から導かれるのは i が含まれたものなので、今までどおり i∆F を伝播関数とします。また、分母に収束させるために入れた iϵ が、そのまま極をずらすものとして自動的に入ってきています。これは時間軸を√回転させる iδ でも同様のことです。結局今の iϵ も時間軸を回転させる iδ も、極である p0 = ± p2 + m2 が軸上にいるかズラすのかという動きに関係してきます。なので、収束させようとしたことがそのまま積分経路の極に対する振る舞い (境界条件) に繋がっていたという重要な結果が分かったことになります。
ここでユークリッド化について触れておきます。「経路積分」でも触れていましたが、ユークリッド化の方法においては

p4 = −ip0

p2E = p21 + p22 + p23 + p24 = −p20 + p21 + p22 + p23 = −p2

d4 pE = d3 pdp4 = −id3 pdp0 = −id4 p
このように、運動量の虚軸への回転を定義します。x0 は x4 = ix0 とするので、この定義でのユークリッド空間での内積 pE · xE は

pE · xE = p4 x4 + pE · xEとなっているのに対して、今の選びかただと (ix0 = x4 , −ip0 = p4 )p · x = p0 x0 − p · x = p4 x4 − pE · xEとなっており、ユークリッド空間の内積にはなりません。その代わり、フーリエ変換を行うときに、通常通りの形の平面波によるものを使用できます。もし、ユークリッド空間での pE · xE に合わせるならix0 = x4 , ip0 = p4のように、両方とも同じ方向で虚軸に向かって回転させます。ここでのユークリッド化と言ったときには ix0 =x4 , −ip0 = p4 を選んで行います。
ユークリッド化は積分変数の変数変換ではないということを再度注意しておきます。これはユークリッド化は複素平面上での実軸を虚軸に回転させるという作業だからです。つまり、x0 の実軸が虚軸に回転させられたものが x4 の複素平面上での実軸と対応するようになっています。そのため、積分範囲は −∞ ∼ +∞ のままです。x0と p0 で回転させる方向 (符号) が変わっているので積分範囲も逆になりそうですが、x4 と p4 の実軸の方向は同じで、違うのは虚軸側なので (虚軸の向きが逆になる)、p4 も −∞ ∼ +∞ です。
この状況での伝播関数のフーリエ変換は4∫d4 pE e−i(p4 x4 −pE ·xE )(2π)4 −p2E − m2
∫ 4d pE e−i(p4 x4 +pE ·xE )= −i(2π)4p2E + m2
∫ 4d pE e−ipE xE= −i(2π)4 p2E + m2

∆F (x) =i

二行目にいくときに、pE → −pE とすることで、ユークリッド空間での内積で書くことができます。ユークリッ√
ド座標にすることで分母に iϵ の項を含めなくても、極は p4 = ±i p2 + m2 と最初から虚数となり実軸上にはいません。そして、さらに上手いことできていて、ユークリッド空間での伝播関数をミンコフスキー空間へ接続すると、iϵ を含んだ伝播関数が導かれます。つまり、極を避けるような境界条件が自然と出てきます。
このことは、ユークリッド空間からミンコフスキー空間へ解析接続することで現われる p0 積分の積分経路が−i∞ から +i∞ であることから分かります。そして、ミンコフスキー空間の伝播関数の分母はp2 − m2 となって√22いるために、p0 = ± p + m で極を持っています。そのため、この −i∞ から +i∞ の経路を実軸に移そうとするときに (時計周りに)、この極に当たらないように実軸に移す必要性が自動的に出てきます。当たらないよう√√にするためには、p0 = + p2 + m2 の上側を、p0 = − p2 + m2 の下側を通るようにすればいいです。これは明らかにファインマンによって与えられた伝播関数に対する積分経路であり、極を避けるというのは分母に iϵ を加えることにそのまま対応します (分かりづらいのでそのうち経路の図を載せます)。
ユークリッド化 (ウィック回転) は物理ではかなり多用されているんですが、数学的には十分に証明されていません。ユークリッド化は数学での解析接続に当たり、真面目に解析接続を使ってユークリッド化を行うのはかなり複雑な問題のようです。それでもユークリッド化によって問題なく話を進められるので細かいことには突っ込まずに使いましょうということみたいです。
ユークリッド化の話は終わりにして伝播関数部分についてさらに見ていきます。Z0 [J] を展開してみると[]∫i44
Z0 [J] = exp −d xd y J(x)∆F (x − y)J(y)2()(∫)2∫i
1i=
1−d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y) + ( )2d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y) + · · ·22! 2J(x) はフーリエ変換によって∫J(x) =

d4 p J(p)e−ipx

これを使い、一次の項は−i2∫d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)∫i 1e−ip(x−y)
d4 xd4 yd4 pd4 k1 d4 k2 J(k1 )e−ik1 x 2J(k2 )e−ik2 y42 (2π)
p − m2 + iϵ∫i 11= −d4 xd4 yd4 pd4 k1 d4 k2 J(k1 )J(k2 )e−i(k1 +p)x e−i(k2 −p)y 242 (2π)
p − m2 + iϵ∫1i
= − (2π)4 d4 pd4 k1 d4 k2 J(k1 )J(k2 )δ 4 (k1 + p)δ 4 (k2 − p) 22p − m2 + iϵ
∫1iJ(p)= − (2π)4 d4 pJ(−p) 22p − m2 + iϵ=−ここで図との対応として、
伝播関数

51i=(2π)4 p2 − m2 + iϵ
外線i(2π)4 J(p) =こうすることで、図としてこのように書くことができます ( 正確には 1/2 の係数がつきます )。これは一つの粒子の源 J から源 J への伝播を表しています。Z0 [J] を図で書けばつまり、それぞれの項で一つの粒子から多粒子にいたる源から源への伝播によって構成されているということです。このように Z0 の中に伝播関数 (グリーン関数) が含まれており、こういったことから Z のことをグリーン関数（相関関数）の生成汎関数 (generating functional) と呼びます。
すでに n 点相関関数と Z0 [J] の関係はわかっているので、その n 点相関関数を取り出します。

1
δ n Z[J]⟨0|T (ϕ(x1 ) · · · ϕ(xn )|0⟩ = ( )ni δJ(x1 ) · · · δJ(xn ) J=0
まずは 1 個の場合

1 δZ[J]i δJ(x1 )[]∫1 δ exp − 2i d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)=iδJ(x1 )[∫∫
1i4444= −d xd y (δ (x − x1 )∆F (x − y)J(y) + J(x)∆F (x − y)δ (y − x1 )) exp −d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J22(∫)
[]
∫∫
1i444
4= −d y∆F (x1 − y)J(y) + d xJ(x)∆F (x − x1 ) exp −d xd y J(x)∆F (x − y)J(y)22∆F (x − y) = ∆F (y − x) から、第一項と第二項は同じ積分になっているので一つにしてしまって

1 δZ[J]i δJ(x1 ) J=0∫=−][∫id4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)d4 xJ(x)∆F (x − x1 ) exp −2J=0= 0
つまり 1 点相関関数は 0 です。2 点相関関数では

6

1δ 2 Z[J]i2 δJ(x1 )δJ(x2 ) J=0[]∫∫1 δi444d xJ(x)∆F (x − x2 ) exp −d xd y J(x)∆F (x − y)J(y)= −i δJ(x1 )2J=0[]∫∫
i= i d4 xδ 4 (x − x1 )∆F (x − x2 ) exp −d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)2J=0= i∆F (x1 − x2 ) = D(x1 − x2 )これで 2 点相関関数としてクライン・ゴルドン場の伝播関数がちゃんと出てくることが確かめられました。面倒なので途中計算を書きませんが 3 点相関関数は 0 です。4 点では1
δ 2 Z[J]i4 δJ(x1 ) · · · δJ(x4 ) J=0= −∆F (x1 − x2 )∆F (x3 − x4 ) − ∆F (x1 − x3 )∆F (x2 − x4 ) − ∆F (x1 − x4 )∆F (x2 − x3 )= D(x1 − x2 )D(x3 − x4 ) + D(x1 − x3 )D(x2 − x4 ) + D(x1 − x4 )D(x2 − x3 )ここから出てくる相関関数のファインマン則については正準量子化でのファインマン則のところをみてください。

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