幾何光学との関係

ハミルトン・ヤコビ方程式と幾何光学のアイコナール方程式との対応を見ます。
幾何光学の話は大雑把にしかしていません。
波に関係する単語は説明なしで使っています。

ハミルトン・ヤコビ方程式とアイコナール方程式の関係は「ハミルトン・ヤコビ方程式」の最後に簡単に触れましたが、ここではもう少し詳しく見ていきます。
アイコナール方程式を波動方程式から導出します。電磁場の話を省いて、光は波動方程式に従う波とし、その関数を ϕ(x, t) とします。そうすると、真空における光の波の波動方程式は∇2 ϕ(x, t) =1 ∂ 2 ϕ(x, t)c2∂t2c は光速です。これの解は平面波として

ϕ(x, t) = exp[i(kc · x − ωt)]kc は波数ベクトル、ω = ckc (kc = |kc |) は角振動数です。一方で、物質中での光の速度は c でなくcn(x)u=と与えられます (全ての物質で有効ではない)。n は物質に依存する量で、屈折率 (refraction index) と呼ばれます。
物質中でも波動方程式に従っているとして∇2 ϕ =

1 ∂2ϕu2 ∂t2(1)さらに、物質中でも同じ ω での平面波になっているなら、e を k の単位ベクトルとして

k · x − ωt = ke · x − ωt = kc ne · x − ωt(k = |k| =ωω= n = nkc )uc

これを一般化して、(1) の解として

ϕ(x, t) = A(x) exp[i(kc F (x) − ωt)] = A(x) exp[i(F ′ (x) − ωt)]という形を仮定します。A(x) は波の振幅を与えます。F ′ を F としていきます。∇2 を作用させると

1(2)∇2 (A(x)eiF (x)−iωt ) = ∇ · (∇A + iA∇F )eiF (x)−iωt= (∇2 A + i∇A · ∇F + iA∇2 F + i∇A · ∇F − A(∇F )2 )eiF (x)−iωt= (∇2 A − A(∇F )2 + 2i∇A · ∇F + iA∇2 F )eiF (x)−iωt

時間微分では∂2A(x)eiF (x)−iωt = −ω 2 AeiF (x)−iωt∂t2波動方程式にこれらを入れれば(∇2 A − A(∇F )2 + 2i∇A · ∇F + iA∇2 F ) = −k 2 A
実部と虚部に分けると∇2 A − A(∇F )2 = −k 2 A , 2∇A · ∇F + A∇2 F = 0
実部を変形すると∇2 A − A(∇F )2 = − n2 kc2 A(∇F )2 = n2 kc2 +(1 2∇ AA11 1∇F )2 = n2 + 2 ∇2 Akckc A

F は kc F なので(∇F )2 = n2 +1 1 2
∇ Akc2 A

真空での光の波長 λc = 2π/kc から、右辺第 2 項は

λc 1
1 1 2
∇ A = ( )2 ∇2 Akc2 A
2π A
波長が無視できるほど短ければこの項を無視できて2(∇F (x))2 = n2 (x)(3)

これをアイコナール方程式 (eikonal equation) と言います (eikonal はギリシャ語の像が由来)。このように波長が無視できる状況を扱うのが幾何光学です。幾何とついているように、光の性質を幾何学的に記述できます。幾何学的に記述できることは粒子的に扱えるとも言えるので、解析力学の方法と関係します。
今度は光を粒子のように扱うことにして、光の軌道を点の位置と速度で与えます。2 つの点 P1 , P2 があるとして、それらを結ぶ適当な曲線 γ を選び、その曲線に沿った時間積分を∫l(γ) = cdtγと作ります。時間の範囲は γ に沿って光が P1 から P2 へ進むのにかかる時間です。これは光学的距離 (optical path)と呼ばれます。物質中での屈折率 n を使うと、曲線の微小な長さ ∆s は

∆s = v∆t =c∆tn(x)と書けるので∫l(γ) =ds n(x)γここで、現実の光の軌道は光学的距離の極値によって与えられるとします。これはフェルマー (Fermat) の原理と呼ばれます。

l を作用と見れば、最小作用の原理と同じ状況なので、オイラー・ラグランジュ方程式を使います。「オイラー・ラグランジュ方程式」では時間 t の積分として求めているので、s を任意のパラメータ λ に変えます。曲線の微小な長さ ∆s は x = (x1 , x2 , x3 ) の微小変化の長さなので√√∆s =∆x21 + ∆x22 + ∆x23 =(∆x1 2∆x2 2∆x3 2) +() +() ∆λ∆λ∆λ∆λとして、λ に変えれば∫l(γ) =

√dλ n(x(λ)) (γ(λ)

dx2 2dx3 2dx1 2) +() +()dλdλdλγ(λ) は曲線のパラメータが λ であることを表しています。積分部分をラグランジアン√dx
dx1 2dx2 2dx3 2ds
L(x,) = n(x) () +() +() = n(x)dλdλdλdλdλ3と見れば∂L
∂n ds=∂xi∂xi dλ(i = 1, 2, 3)とvu 33u∑ dxj∂L∂dxi ( ∑ dxj 2 )−1/22t(=n) =n()∂(dxi /dλ)(dxi /dλ) j=1 dλdλ j=1 dλ= n(x)dxi dλdλ ds= n(x)

dxidsから、オイラー・ラグランジュ方程式は

0=

∂L
∂L
d−
∂xi
dλ ∂(dxi /dλ)=ds ∂ndxid(n)−dλ ∂xi
dλ ds=ds ∂nds d dxi(n)−dλ ∂xi
dλ ds dsd dxi∂n(n)=ds ds∂xi(4)

これが光の軌道を与える式です。
式を分かりやすくするために

vu 3u∑ dxj∆σ = n−1 (x)t ()2 ∆λdλ
j=1となるパラメータ σ に置き換えると

3∑dλdλdxj 2 −1/2= n(x)( () )=ndσdλds
j=1からdxi (σ)
dxi (λ) dλdxi (λ) dλ==ndσdλ dσ
dλ ds4

もう 1 回微分すると

d2 xi (σ)
d dxi (λ) dλ=(n)2dσdσdλ ds=dλ d dxi (λ)
(n)
dσ dλ
ds=ndλ ds d dxi (λ)(n)
ds dλ dsds=n∂n∂xi=1 ∂n22 ∂xiσ による 2 階微分方程式になるので、これは運動方程式の形です。というわけで、光の軌道の式は、ポテンシャル−n2 /2 での質量が 1 の粒子の運動方程式の形で書けます。
ハミルトン・ヤコビ方程式を求めます。運動エネルギーの形にすると3331 2 ∑ dxj 2 −1 ∑ dxi (λ) 211 ∑ dxi (σ) 2() = n ( () )() = n22 i=1 dσ2dλdλ2
j=1i=1なので、粒子としての力学的エネルギーは 0 で、粒子としてのハミルトニアンは

Hray =p2
1− n2 (x)22p は dx/dσ で与えています。ハミルトニアンに時間依存がないので (ポテンシャル V (x) での粒子と同じハミルトニアン)、母関数 Sray はSray (x, α, t) = Gray (x, α) − Et
pi =(E = H)

∂Sray∂Gray=∂xi∂xi

α は定数です。これから、ハミルトン・ヤコビ方程式は(∇Gray )2 = n2 (x)として、アイコナール方程式の形になります。このように、粒子的な扱いをした光のハミルトン・ヤコビ方程式は幾何光学の式と対応します。そして、この対応から、波と粒子の量に関係を与えられると予想できます。
ここから、波と粒子の関係を与え、それが量子力学に対応させられることを見ます。そのために、曲面の話を持ち込みます。
粒子では質量を m、時間に依存しないポテンシャルを V (x) として、ハミルトニアンを5

H=p2+ V (x)2mp は運動量です。ハミルトニアンに時間依存がないので母関数 S とハミルトン・ヤコビ方程式はS(x, α, t) = G(x, α) − Et
pi =(E = H)

(5a)

∂S
∂G=∂xi∂xi(5b)(∇G)2 = |p|2 = 2m(E − V )((∇G)2 = (∂G 2∂G 2∂G 2) +() +() )∂x1∂x2∂x3(5c)

ここで、ある固定された α に対して G(R) = 定数となる曲面を作ります。曲面では 2 つのパラメータが必要ですが、1 つのパラメータは固定されているとし、残りのパラメータを τ とします。このとき、曲面のベクトルをR(τ ) = (X(τ ), Y (τ ), Z(τ )) とすれば

dGdX ∂G dY ∂G dZ ∂GdRdR=++=· ∇G =·pdτdτ ∂xdτ ∂ydτ ∂zdτdτ
dR/dτ は曲面上でのベクトルの変化なので、曲面の接ベクトルです。そして、G = 定数から微分すれば 0 なので、p は曲面の接ベクトルと直交します。このため、粒子の軌道はこの曲面と直交し、運動方程式に従います (下の補足参照)。

G が定数になる曲面としましたが、時間 t = 0 のときはS(t = 0) = G(x0 , α0 (x0 , p0 ))(α0 = α(x0 , p0 ))(6)

t = 0 での位置と運動量を x0 , p0 とし、α は x, p を変換したものなので x0 , p0 を変数として書いています。このように S = G になるので、S を定数と見ることにします。そうすると、t = 0 で (6) と一致する時間 t での G はG(R, α) = S0 + Et

(7)

S0 は (6) です。p = ∇G = ∇S なので、この曲面とも運動量は直交します。
波で作れる曲面として、波面があります。波面は位相をある定数として作る曲面なので、(1) では定数 C によってkc F (x) − ωt = C(8)と与えられ、(7) の曲面と同じ形です。
ちなみに、この対応から (4) の光は波面と直交して進みます。波面に直交して進む軌道の光は光線 (ray, lightray) と呼ばれ、幾何光学での光は光線です。また、光線を集めたものは光束 (pencil) と呼ばれます
G, F の対応から、エネルギーと角振動数の関係が作れます。(7) と (8) には定数倍の任意性があるために、ℏ を定数として6

E = ℏωとすれば、G と F はG = ℏkc F
そして、アイコナール方程式 (3) とハミルトン・ヤコビ方程式 (5c) の対応から

n=

1 √2m(E − V )ℏkcn = c/u なので

u=cℏckcℏωEE=√=√=√=n|p|2m(E − V )2m(E − V )2m(E − V )このように、波と粒子の量が関係づけられます。また、(7) の時間微分は

0=dGdRdS0=−E =· ∇W − EdtdtdtdR/dt は曲面上のある点の時間変化なので、曲面の速度 V と言えて

V =E=u|p|

このように粒子の速度 v = p/m ではなく、波の速度（位相速度）が出てくることからも、波面と対応するのが分かります。
エネルギー E と角振動数 ω の関係は、ℏ をプランク定数 h = 2πℏ とすれば量子力学での関係そのものです。平
面波をϕ(x, t) = χ(x)e−iωt = χ(x)e−iEt/ℏとして、波動方程式に入れてみると

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∇2 ϕ(x, t) =1 ∂ 2 ϕ(x, t)u2∂t2
E2 1χ(x)ℏ2 u 2∇2 χ(x) = −(−= −E 2 2m(E − V )χ(x)ℏ2E2= −2m(E − V )χ(x)ℏ2ℏ2 2∇ + V )χ(x) = Eχ(x)2m

これは時間に依存しないシュレーディンガー方程式です。

・補足

G を定数とする曲面から運動方程式が出てくることを示します。曲面に直交する曲線があり、そのパラメータを曲線の長さ s で与えたとします。その曲線上の位置ベクトルを r とすれば、曲線の単位接ベクトルは dr(s)/dsです。そうすると、運動量は

p = |p|drds

G は曲線のパラメータの微小な変化 ∆s に対してG(s + ∆s) ≃ G(r) +dG∆sds

これは曲線の位置ベクトルの微小な変化 ∆r としても同じなのでG(r + ∆r) ≃ G(r) + ∇G · ∆r = G(r) + ∇G ·よって、(5b) から

dG
dr= ∇G ·dsds= |p|∇dG= ∇|p|dsとなり

dp= ∇|p|ds8dGdr∆s = G(r) +∆sdsds

s を時間 t にするために∆s =√√∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 =

∆x 2
∆y 2
∆z 2() +() +() ∆t =∆t∆t∆t√dr dr·∆t = |v|∆t
dt dt

これによって、s 微分はdpddr
dt ddt dr
1 d |p|v
m dv=|p|=(|p|)=
=ds
ds ds
ds dt
ds dt
|v| dt |v||v| dtとなりdp= ∇|p|
dsm

dv= |v|∇|p|dt

右辺は (5c) から|v|∇|p| =|p||p| √∇ 2m(E − V ) = − √∇V = −∇Vm2m(E − V )なのでmdv= −∇Vdtとして、運動方程式が出てきます。
曲面のことを気にしなければ、運動方程式はもっと単純に求められます。(5b) を時間 t で微分すると、α は定数なので9dpid ∂=G(x, α)dt
dt ∂ximd2 xid ∂=G2dt
dt ∂xi=3∑dxj ∂ ∂G
dt ∂xj ∂xi
j=1=1 ∑ ∂G ∂ ∂G
m j=1 ∂xj ∂xi ∂xj=

1 ∑ ∂ ∂G 2()2m j=1 ∂xi ∂xj

=

∂G 2
∂G 2
∂G 2
1 ∂(() +() +() )2m ∂xi ∂x1∂x2∂x3=1 ∂(2m(E − V ))2m ∂xi33= −∂V∂xi

なので

md2 x= −∇Vdt2として、運動方程式になります。

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