シュウィンガー・ダイソン方程式〜QED〜

QED での光子と電子の厳密な伝播関数に対する表現をシュウィンガー・ダイソン方程式を使って表現します。ここでの話は nucl-th/0601071 の section2 を参考にしています。
「自己エネルギーと頂点関数」の QED での関係を見ておくと分かりやすいかもしれません。
• 光子の自己エネルギー (真空偏極)
QED での作用は∫d4 xL

Saction [Aµ , ψ, ψ] =∫11(∂ µ Aµ )2 ]d4 x[ψ(i∂/ − m0 − e0 A/)ψ − Fµν F µν −42ξ0=ξ0 = 1 のときはファインマンゲージ、ξ0 = 0 のときはランダウゲージ。e0 , m0 , ξ0 のように書いたのはくり込みを考えていないからです。生成汎関数は∫
Z[Jµ , η, η] =[ ∫]DAµ DψDψ exp i d4 x(L + Jµ Aµ + ηψ + ψη)

QED でのシュウィンガー・ダイソン方程式はこの生成汎関数を場 Aµ , ψ, ψ で汎関数微分すれば 0 になるということから導かれます。光子の自己エネルギーを求めたいので、まずは Aµ で汎関数微分しますδZ=0
δAµ (x)∫][ ∫exp i d4 x(L + Jµ Aµ + ηψ + ψη)δAµ (x)∫( δS)[ ∫]action=DAµ DψDψ+ J µ (x) exp i d4 x(L + Jµ Aµ + ηψ + ψη)δAµ (x)=DAµ DψDψδ

経路積分のところでやったように (経路積分〜クライン・ゴルドン場 (相互作用あり)〜参照)、これの exp の前の ( ) 部分は場を汎関数微分に変えることで積分の外に出せるので[ ∫])∫δδδ,−,] + J µ (x)DAµ DψDψ exp i d4 x(L + Jµ Aµ + ηψ + ψη)δAµ (x) iδJiδη iδη( δS)δδδaction=[,−,] + J µ (x) Z[Jµ , η, η]δAµ (x) iδJiδη iδη

0 =( δSaction[作用の汎関数微分は

δ
δϕ(y)

∫d4 xL[ϕ] =∂L∂L− ∂µ∂ϕ(y)∂(∂µ ϕ(y))

このことからわかるように、作用の Aµ による汎関数微分はマクスウェル方程式を導くので

1(1)

()
δSaction
1= ∂ν ∂ ν g µρ − (1 − )∂ µ ∂ ρ Aρ (x) − e0 ψ(x)γ µ ψ(x)δAµ (x)ξ0
これの場を演算子にして (1) に入れれば() δZδδ
10 = ∂ν ∂ ν g µρ − (1 − ∂ µ ∂ ρ )− e0 γ µ Z + J µ Zρξ0iδJδη δη
ここで、Z から conneted な伝播関数を導く W

Z = eiWを導入して−J µ eiW(1 µ ρ ) δeiWδδ∂ ∂ )
− e0 γ µ eiW + J µ eiWρξ0iδJδη δη)(δWδδ
1eiW − e0 γ µ eiW= i ∂ν ∂ ν g µρ − (1 − ∂ µ ∂ ρ )ξ0iδJ ρδη δη0 =∂ν ∂ ν g µρ − (1 −右辺の最後の項はδ
δWexp[iW ]} = iexp[iW ]δηδηiδδWδW δWδδW(γµexp[iW ]) = −γµexp[iW ] + i (γµ) exp[iW ]δηδηδηδηδηδη

なので() δW( δW δW
1δδW )−J µ = ∂ν ∂ ν g µρ − (1 − ∂ µ ∂ ρ )− e0 −
γµ+ i (γµ)ρξ0δJδηδηδηδη
これをワード・高橋恒等式の時と同じように有効作用にルジャンドル変換します∫Γ[Aµ , ψ, ψ] = W [Jµ , η, η] −d4 x(ηψ + ψη + J µ Aµ )δΓδΓδΓ
= −J µ (x) ,= η(x) ,= −η(x)δAµ (x)
δψ(x)
δψ(x)

δW
δW
δW
= Aµ (x) ,= ψ(x) ,= −ψ(x)δJµ (x)
δη(x)
δη(x)
2(2)

これらを (2) 対して使って、η = η = 0 とすることで()( δW δW
1δδΓδW )= ∂ν ∂ ν g µρ − (1 − ∂ µ ∂ ρ ) Aρ (x) − e0 −γµ+ i (γµ) |η=η=0
δAµ (x)ξ0δηδηδηδη
右辺の最後の項は(−( δW δW)
δW δWδδW )δ δγµ+ i (γµ) |η=η=0 = −γµ− itr[γµW ] |η=η=0δηδηδηδηδηδηδη δη(3)tr はスピノールの添え字に対して行うもので、何で出てきたのかというと、スピノールの添え字を i, j としてµµψ i γijψj = −γijψj ψ i = −tr[γ µ ψψ]となっているからです。スピノールの添え字に対してはあまり気にせずに計算をすることが多いですが、スピノールの順番を変える時には今みたいに注意が必要です。というより、ファインマン則でフェルミオンの交換やループに対してトレースが出るのはこの関係によるものです。そうすると (3) の第一項の汎関数微分はフェルミオンの 1 点相関関数なので消え、第二項はフェルミオンの厳密な伝播関数 S になります

iS(x1 , x2 ) =1 δ 2 W [η, η]
1 δ 2 W [η, η]|η=η=0 = −|η=η=0i δη(x2 )δη(x1 )i δη(x1 )δη(x2 )S の定義は伝播関数の中に i がないもので定義しておきます。なので (2) は()δΓ
1= ∂ν ∂ ν g µρ − (1 − ∂ µ ∂ ρ ) Aρ (x) + ie0 tr[γµ S(x, x)]
δAµ (x)ξ0
これをもう１回 Aν で汎関数微分すると()
1δδ2 Γ= ∂ρ ∂ ρ g µν − (1 − ∂ µ ∂ ν ) δ 4 (x − y) + ie0 tr[γµS]δAµ (x)δAν (y)ξ0δAν (y)で、S というのはフェルミオンの伝播関数であって、これは有効作用による 2 点関数との関係∫d4 ziS(x, z)Γ(y, z) = iδ 4 (x − y)を満たすには3(4)∫iδ 4 (x − y)

δψ(z) δη(x)d4 zδη(y) δψ(z)∫δ2 W
δ2 Γ= −i d4 zδη(y)δη(z) δψ(z)δψ(x)∫1
δ2 W
δ2 Γ=d4 zi δη(y)δη(z) δψ(z)δψ(x)∫δ2 Γ=d4 ziS(z, y)δψ(z)δψ(x)=iとなっていればいいことを使えば

δ2 Γ
δ2 W|ψ=ψ=0 = −()−1 = (S(y, x))−1δη(x)δη(z)δψ(x)δψ(y)となっていることが分かります。これを使って、(4) を ψ = ψ = 0 とすることでδ2 Γ1δ
δ2 Γ|ψ=ψ=0 = (∂ρ ∂ ρ g µν − (1 − ∂ µ ∂ ν ))δ 4 (x − y) − ie0 tr[γµ(|)−1 ]δAµ (x)δAν (y)ξ0δAν (y) δψδψ ψ=ψ=0

右辺のトレースの中に対しては、逆行列に対する微分∂M −1∂M −1 (x)= −M −1M∂x∂x( ∂M (x)M −1 (x)∂x=)∂M (x) −1∂M −1 (x) ∂M (x)M −1 (x)M (x) + M (x),= 0 (M M −1 = 1)∂x∂x∂xの汎関数版を使うことで

δ2 Γ)−1δAν (y) δψ(x)δψ(x)∫= − d4 z1 d4 z2 (δ(δ2 Γδδ2 Γδ2 Γ)−1()−1δAν (y) δψ(z2 )δψ(z1 ) δψ(z1 )δψ(x)δψ(x)δψ(z2 )このように変形させられます。そうすると今は ψ = ψ = 0 としているので(δ2 Γ)−1 = −S(z1 , x)|δψ(z1 )δψ(x) ψ=ψ=0

さらに有効作用の三回の汎関数微分は 3 点関数、ようは頂点を作るので

4(5)e0 Γµ (z1 , z2 ; y) =

δ2 Γ
δAµ (y) δψ(z2 )δψ(z1 )δ

ワード・高橋恒等式と同じように、最低次での頂点と対応させるために e0 をつけています (ラグランジアンの相互作用項の符号との対応に注意)。

(5) の左辺は Aµ = 0 と取るようにすれば光子の厳密な伝播関数

δ2 Γ−1|µ = Dµν (x, y)δAµ (x)δAν (y) ψ=ψ=0=A
ここでも Dµν には i を含めない定義を使っています。なので、(5) は−1Dµν(x, y) =∫) 4[](12ρ∂ρ ∂ gµν − (1 − ∂µ ∂ν ) δ (x − y) + ie0 d4 z1 d4 z2 tr γµ S(x, z2 )Γν (z1 , z2 ; y)S(z1 , x)
ξ0()1= ∂ν ∂ ν gµν − (1 − ∂ µ ∂ ρ ) δ 4 (x − y) + Πµν (x, y)ξ0(6)これが光子の伝播関数に対するシュウィンガー・ダイソン方程式です。見て分かるように、第一項が最低次での自由な伝播関数の逆になっていることから、第二項が光子の自己エネルギー (真空偏極) に対応していることになります。真空偏極部分を図にすれば左辺の白丸が真空偏極 Πµν 、右辺の白丸部分が 3 点関数 (頂点)Γ、黒点が最低次の頂点 γ 、γ と Γ の間の塗りつぶされた円が中間にある線が電子の厳密な伝播関数 S です。
また、第一項で自由な伝播関数を D0 として (6) は式変形すれば−1Dµν
−1Dρµ Dµν
−1 νλDρµ Dµν
D0−1= D0µν+ Πµν
−1= Dρµ D0µν+ Dρµ Πµν
−1= Dρµ D0µν
D0νλ + Dρµ Πµν D0νλD0ρλ= Dρλ + Dρµ Πµν D0νλDρλ= D0ρλ − Dρµ Πµν D0νλ

このようになっているので、図にすれば

5式とは並びを変えていますが、右辺の第二項の白丸が真空偏極、そのとなりが厳密な光子の伝播関数です。
真空偏極はゲージ不変性から Π(q 2 ) によってΠµν (q) = (qµ qν − gµν q 2 )Π(q 2 )q µ Πµν (q) = 0(ゲージ不変性)

みたいに書けます。

• 電子の自己エネルギー電子の自己エネルギーも同じ手順によって求めることが出来ます。生成汎関数を今度は ψ で汎関数微分することで

δZ=0
δψ(x)

∫[ ∫]
δ
=DAµ DψDψ
exp i d4 x(L + Jµ Aµ + ηψ + ψη)δψ(x)∫( δS)[ ∫]action=DAµ DψDψ+ η(x) exp i d4 x(L + Jµ Aµ + ηψ + ψη)δψ(x)( δS)∫[ ∫]δδδaction=[,−,] + η(x)DAµ DψDψ exp i d4 x(L + Jµ Aµ + ηψ + ψη)iδη iδηδψ(x) iδJ

作用の汎関数微分は(i∂/ − m0 − e0 A/)ψなので0=((i∂/ − m0 − e0 γ µ)δ ) δ+η ZµiδJ iδη

今度の場合はディラック方程式が出てきます。これを η で汎関数微分し、η = η = 0 とすれば

0=((i∂/ − m0 − e0 γ µ)δδ ) δ4+δ(x−y)
ZiδJ µ δη(y) iδη(x)Z を eiW に変えると、汎関数微分は

6δδeiWδη(y) iδη(x)δiδW iW(e )δη(y) iδη(x)δiδWiδW iδW= ()eiW + ()
δη(y) iδη(x)iδη(x) δη(y)=そして、η = η = 0 なので、第一項は電子の伝播関数 −S(x, y) になり、第二項は 1 点関数なので消えて(0 = − i∂/ − m0 − e0 γ µ)δiδJ µ (x)S(x, y)eiW + δ 4 (x − y)eiW

書いていませんがいませんが S(x, y) は J を変数に持っています。SeiW の J による汎関数微分は上で出てきた
ルジャンドル変換による関係を使ってδS
δeiW+SµiδJiδJ µδSδW= eiW+ SieiWiδJ µiδJ µδS= eiW+ SeiW AµiδJ µδ
SeiWiδJ µ= eiW

よって0=((− i∂/ − m0 − e0 γ µ eiW

δiδJ µ (x)(= − i∂/ − m0 − e0 γ µ Aµ − e0 γ µ+ eiW Aµ))

S(x, y) + δ 4 (x − y)eiW)δS(x, y) + δ 4 (x − y)iδJ µ (x)(7)

S の J による汎関数微分と有効作用との関係は

δiδJ µ (x)

∫
=d4 z

δAν (z)δ=µiδJ (x) δAν (z)

∫d4 z

δW
δ
=
µiδJ (x)δJµ (z) δAν (z)−S(x, y) = (∫d4 ziDµν (x, z)δδAν (z)δ2 Γ)−1δψ(x)δψ(y)このとき、光子の伝播関数 Dµν を出すためには Jµ = 0 とする必要があり、そうすると QED での場合は素直にAµ = 0 となってくれるので e0 γ µ Aµ の項は消えます (自己エネルギーと頂点関数参照)。
これらと、汎関数の逆の汎関数微分の関係から

7∫δiδJ µ (x)δ2 Γ)−1
δAν (z) ψ(x)δψ(y)∫δ2 Γδ
δ2 Γ
δ2 Γ= i d4 zd4 ud4 vDµν (x, z)()−1()−1δAν (z) δψ(u)δψ(v) δψ(v)δψ(y)δψ(x)δψ(u)∫δ
δ2 Γ= i d4 zd4 ud4 vDµν (x, z)S(x, u)S(v, y)δAν (z) δψ(u)δψ(v)∫= ie0 d4 zd4 ud4 vDµν (x, z)S(x, u)Γν (z; u, v)S(v, y)S(x, y) =−iδd4 zDµν (x, z)(これを (７) に入れて∫
δ (x − y) = (i∂/ − m0 )S(x, y) − ie20
4d4 zd4 ud4 vγ µ Dµν (x, z)S(x, u)Γν (z; u, v)S(v, y)

これが電子の伝播関数に対するシュウィンガー・ダイソン方程式になります。光子のときと同じで、第一項が自由な場合での伝播関数の逆になっているので、第二項が自己エネルギーに対応しています。見やすくするために、第一項を少し変形し、第二項の積分の文字を入れ替えれば∫
δ (x − y) =d4 z(i∂/ − m0 )S(z, y)δ(z − x)4∫
− ie20∫=d4 zd4 ud4 vγ µ Dµν (x, v)S(x, u)Γν (v; u, z)S(z, y)()
d4 z (i∂/ − m0 )δ(x − z) − Σ(x, z) S(z, y)(8)∫
Σ(x, z) = ie20

d4 ud4 vγ µ Dµν (x, v)S(x, u)Γν (v; u, z)

これを見れば S(z, y) の前の部分が厳密な伝播関数の逆になっていることがわかります。Σ は右から読むと、zから 3 点関数である頂点部分に入っていき、光子が v から、電子が u から出て行き、x でぶつかるといったものです。右辺の ( ) 内の第一項は明らかに最低次のフェルミオンの伝播関数の逆に対応しており (「ディラック場〜伝播関数〜」参照)、運動量表示でp/ − m0となります。
通常通り伝播関数は位置の差だけに依存しており、頂点では運動量保存が満たされているようにして、自己エネルギー部分を運動量表示にするためにフーリエ変換すると

8∫d4 xd4 zΣ(x, z)eip(x−z)∫= ie20 γ µd4 q1 · · · d4 q5(2π)20∫
d4 xd4 zd4 ud4 v

Dµν (q1 )e−iq1 (x−v) S(q2 )e−iq2 (x−u) e−iq3 v−iq4 u+iq5 z Γν (q3 , q4 , q5 )eip(x−z)∫= ie20 γ µd4 q1 · · · d4 q5(2π)20∫d4 xd4 zd4 ud4 v

e−i(q1 +q2 −p)x e−i(q3 −q1 )v e−i(q4 −q2 )u e−i(p−q5 )z Dµν (q1 )S(q2 )Γν (q3 , q4 , q5 )∫= ie20 γ µ∫= ie20 γ µ∫= ie20 γ µd4 q1 · · · d4 q5
δ(q1 + q2 − p)δ(q3 − q1 )δ(q4 − q2 )δ(p − q5 )Dµν (q1 )S(q2 )Γν (q3 , q4 , q5 )(2π)4d4 q1 d4 q2 d4 q3
δ(q1 + q2 − p)δ(q3 − q1 )Dµν (q1 )S(q2 )Γν (q3 , q2 , p)(2π)4d4 q3Dµν (q3 )S(p − q3 )Γν (q3 , p − q3 , p)
(2π)4

なので、

∫
Σ(p) = ie20

d4 q µγ Dµν (q)S(p − q)Γν (p, q)(2π)4(9)これは図に対してファインマン則を用いて出てくるものと同じです。通常の定義にあわせれば

Σ(p)=i∫d4 q(−ie0 γ µ )iDµν (q)iS(p − q)(−ie0 Γν (p, q))(2π)4Σ の図は塗りつぶされている円を含んでいる部分が厳密な伝播関数 (波線が光子、直線が電子) で、右側の丸が 3 点関数(頂点)Γµ で、左の黒丸が最低次の頂点 γµ です。というわけで、運動量量表示におけるフェルミオンに対するシュウィンガー・ダイソン方程式は9

S −1 (p)p/ − m0 − Σ(p)∫= p/ − m0 − ie20

=d4 q µγ Dµν (q)S(p − q)Γν (p, q)(2π)4となります。よって、厳密な電子の伝播関数は運動量表示でiS(p) =ip/ − m0 − Σと書けます。
ちなみに、(9) はギャップ方程式 (gap equation) とも呼ばれています。このギャップは負のエネルギーを持った電子 (ディラックの海) から、正のエネルギー領域へと移るのに必要な質量の差 (ギャップ)2m のことを指しているらしいです。QED のくり込みのところで触れたように、摂動的な枠組みの中では質量 0 から始めれば、Σ の質量補正部分は常に 0 になるので質量は 0 となり、この質量の差は常に 0 になります。それに対してシュウィンガー・ダイソン方程式による (9) には Σ を 0 としない解が出てくることからそう呼ばれているそうです。

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