パウリ方程式

パウリ方程式をシュレーディンガー方程式から導出します。
面倒な計算をしているだけです。

電荷 Q での質量 m の粒子に対するパウリ方程式はiℏ∂
1QQℏψ=((p̂ − A)2 −σ · B + QA0 )ψ
∂t2mβb2mβb

B は磁束密度、A0 はスカラーポテンシャル、A はベクトルポテンシャル、σ はパウリ行列です。右辺の括弧部分は 2 × 2 行列、ψ は 2 × 1 行列です。スカラーポテンシャルを Φ とすると波動関数の ϕ と紛らわしいので A0 としています。
パウリ方程式は元々は経験的に作られた方程式ですが、理論的に導けます。方法は 2 つあり、ディラック方程式から導出するか、シュレーディンガー方程式を変形するかです。ディラック方程式は相対論的量子力学の範囲なので、シュレーディンガー方程式を変形する方法をここでは示します。この方法はディラック方程式の導出方法と同じですが、それより面倒です (相対論的に扱ったほうが時間と空間がセットになるので表記が簡単になる)。
することは、シュレーディンガー方程式は運動量が 2 次で、エネルギーが 1 次の方程式なので、両方とも 1 次になるように変形させます (線形化)。
まず、自由粒子のシュレーディンガー方程式の演算子をまとめてÔ = Ê −p̂22m(Ê = iℏ∂)∂tとして、シュレーディンガー方程式はÔψ = 0Ô には p̂2 がいるので、p̂ を含む 2 つの演算子に分離させるためにÂ = aÊ +∑bi p̂i + g , B̂ = a′ Ê +i∑b′i p̂i + g ′iと仮定し、Â と B̂ は交換できるとします。i の範囲は i = 1, 2, 3 とし、a, bi , g, a′ , b′i , g ′ は定数です。これによって、演算子 Ô はÔ = ÂB̂
そうすると、a, bi , g, a′ , b′i , g ′ ̸= 0 の関係は

E−p2= AB2m= aa′ E 2 +∑i,jbi b′j pi pj +∑jab′j Epj +∑i

1bi a′ pi E + (ag ′ + ga′ )E +∑k(gb′i + bi g ′ )pk + gg ′

煩わしいので演算子のハットを省いていきます。これから

aa′ = ab′i = bi a′ = gb′i + bi g ′ = gg ′ = 0bi b′j = −δij
δij⇒ bi b′j + bj b′i = −2mmag ′ + ga′ = 1(1a)
(1b)
(1c)

2 番目のは、和の添え字を変えられることと、運動量演算子同士は交換することから∑bi b′j pi pj =i,j

1∑
1∑
(bi b′j pi pj + bj b′i pj pi ) =(bi b′j + bj b′i )pi pj
2 i,j2 i,jとできるからです。こんな関係になっているものを導ければいいです。と言っても、こんなものが簡単に求まるわ
けがなく、これらを満たすものは行列という面倒なことになります。
実際に求めてきます。a, g と a′ , g ′ の組み合わせを

h = i(ac +g′g) , h′ = i(a′ c +)2mc
2mc(2)と与えます。c は特に示しませんが光速です。(1a) と (1c) を使うと hh′ は

ag ′ga′gg ′1++)=−2m 2m (2mc)22m(3)√gg′) , M −1 = 2mi(a′ c −)2mc2mc(4)hh′ = −(aa′ c2 +さらにM=√2mi(ac −と定義します。M −1 としているように

M M −1 = 2m(ag ′ga′+)=12m 2m

なので、M M −1 を使うと (1b) から

bi b′i = −1
M M −12m

これから bi と b′i を

bi = − √11
αi M , b′i = √ M −1 αi2m2m

これは (1b) と (3) から分かるように h, h′ でも2(αi2 = 1)

h = −√

11
λM , h′ = √ M −1 λ2m2m(λ2 = 1)

このように同様の関係になります。

(1b) の関係から αi は−δijαi αj
αj αi= bi b′j + bj b′i = −−= ⇒ αi αj + αj αi = 2δijm2m2m

また (1a) の関係を使った結果と αi , λ による形がhb′i + bi h′ = i(ac +hb′i + bi h′ = −gg′i)b′i + ibi (a′ c +) = i(ab′i + bi a′ )c +(gb′ + bi g ′ ) = 02mc
2mc2mc i111
λαi −αi λ = −(λαi + αi λ)2m2m2mとなっているので、αi と λ はαi λ + λαi = 0
このような反交換関係になっています。
まとめると αi , λ に対する条件はαi2 = λ2 = 1αi αj + αj αi = 2δij , αi λ + λαi = 0
これで bi , b′i に関する準備はできました。まず、M は M M −1 = 1 という条件があるだけなので行列として

0 0M = 010001100010 
 = M −10 0というのを選んでみます。なぜ 4 × 4 行列なのかというと、αi と λ の条件に当てはまる行列として(αi =(σ1 =0 10σiσi0)1 0(, σ2 =()
, λ=0−ii0I00−I))(, σ3 =100−1)

このようなものを選べるからです。αi と λ での I は 2 × 2 単位行列、0 は 2 × 2 行列の 0 です。σi (i = 1, 2, 3) はパウリ行列です。パウリ行列は性質として3σi σj + σj σi = 2δijを持っています (「スピン 1/2」参照)。δij はクロネッカーデルタです。例えば(α1 α1 + α1 α1 = 20σ1σ10)(0σ1σ10)= σ1 σ1 + σ1 σ1 = 2となります。このように αi , λ は 4 × 4 行列になるので、それに合わせて M も 4 × 4 行列にしています。この行列を使うことで bi は11bi = − √ αi M = − √2m2m1b′i = √2m

M−11αi = √2m((0σiσi00II0)()(0II00σiσi0))1= −√2m1=√2m((σi00σiσi00σi)(5))(6)

h, h′ は

11h = − √ λM = − √2m2m
11h = √ M −1 λ = √2m2m((′I00−I0II0)(0I)()

I0I00−I)

1= −√2m
1= −√2m((0I−I00I−I0))

これから h = h′ になっていることが分かります。
次に a, g は (2) と (4) から√√√gg) + 2mi(ac −) = 2ic 2ma2mc2mc√√√√ggg2mh − M = 2mi(ac +) − 2mi(ac −) = i 2m2mc2mc
mc
2mh + M =√2mi(ac +となることから√a=(2mh + M1√√=−2ic 2m
2ic 2m√(2mh − Mmc (√g = mc= √−i 2mi 2m(0−II0I−I00a′ , g ′ は4)(+)(−0II0II0))0)i= − √c 2m)

2imc
= √2m

((0I

000I00)
(7))
(8)

√
√√

2mh′ + M −1 =√2mh′ − M −1 =2mi(a′ c +√√g′g′) + 2mi(a′ c −) = 2ic 2ma′2mc2mc

2mi(a′ c +√√g′g′g′) − 2mi(a′ c −) = i 2m2mc2mcmc

そして、行列の形は M = M −1 , h = h′ となっているので、a = a′ , g = g ′ になります。というわけで、(5)〜(8) を A, B に入れるとi 1
A=− √c 2m(i 1B=− √c 2m(00I000I0))

1 ∑E−√2m i1 ∑E+√2m i((σi00σiσi00σi))

1pi + 2imc √2m1pi + 2imc √2m((0I000I00))

ハットを省いていますが、E, pi は演算子です。A, B は第二項の符号が異なるだけなので、シュレーディンガー方程式は大まかには(∂∂∂∂−+ C)( ++ C)ψ = 0∂t ∂x∂t ∂xという形になっています。これの解は(∂∂∂∂−+ C)ψ = 0 , ( ++ C)ψ = 0∂t ∂x∂t ∂xから求められます。このように見ると、線形化でどういう形にしたかったのかが分かりやすいです。なので、A, Bはそれぞれ単独で波動関数 ψ にAψ = 0 , Bψ = 0というように作用します。この波動関数 ψ も行列に合わせるために 4 成分持たせてϕ1)
 ( ϕ2 ϕ
ψ= χ =χ 1 χ2というわけで、シュレーディンガー方程式は例えば A のほうを使ってi−c(00I0)(EϕEχ)−∑i(σi00σi)(pi ϕpi χ()+ 2imc

このようになります。行列を計算して上の成分と下の成分に分離させて書けば50I00)(ϕχ)=0−∑σi pi ϕ + 2imcχ = 0i∑i− Eϕ −σi pi χ = 0ciという 2 つの方程式にすることもできます。Σσi pi のようなものは内積をとっているだけなので、これ以降 σi piとして書きます。分かりづらかったらベクトルの表記 σi pi = σ · p に直せばいいです。
シュレーディンガー方程式の変形が終わったので、これを電磁場がある場合にします。電磁場への変更は

E = iℏ∂Q⇒ E − QA0 , p̂ = −iℏ∇ ⇒ p̂ − A∂tβbで行えるので、i−c(00I0)()(E − QA0 )ϕ(−(E − QA0 )χ

σi00σi)((pi − βQb Ai )ϕ)(pi − βQb Ai )χ

(+ 2imc0I00)(ϕχ)=0

ここでも演算子 E, pi のハットは省き Σσi (pi − QAi /c) を σi (pi − QAi /c) としています。2 つの式に分離してQAi )ϕ + 2imcχ = 0βb(9)Qi− (E − QA0 )ϕ − σi (pi − Ai )χ = 0cβb(10)− σi (pi −そうすると (10) からの

ϕ=−cσi (pi − QAi /βb )χ
i(E − QA0 )を (9) に入れて

0 = σi (pi −Q
cσj (pj − QAj /βb )χ
Ai )+ 2imcχ
βbi(E − QA0 )= − iσi (pi −= (pi −QQAi )σj (pj − Aj )χ + 2im(E − QA0 )χ
βbβbQ
QAi )2 χ − i σ · (p × A + A × p)χ − 2m(E − QA0 )χ
βbβb(11)

添え字を外して σ, p, A のように太字で書いているのはベクトルで (A = (A1 , A2 , A3 )、最後の行への変形には(σi Ai )(σj Bj ) = A · B + iσ · (A × B)というのを使っています (パウリ行列の性質)。第二項部分は p が演算子であることを踏まえて展開すると (p は微分演算子として A, χ に作用する)

6

(p × A + A × p)χ = (p × A)χ + (pχ) × A + A × (pχ) = (p × A)χ
これはベクトル積の関係

V ×W +W ×V =0によります。磁場 B を使えば

(p × A)χ = (−iℏ∇ × A)χ = −iℏBχ(B = ∇ × A)

これを (11) に入れれば(pi −QQAi )2 χ − ℏσi Bi χ − 2m(E − QA0 )χ = 0βbβb1QQℏ(pi − Ai )2 χ −σi Bi χ + QA0 χ = Eχ2mβb2mβb(E = iℏ∂)∂t

このようにパウリ方程式が導かれます。見やすく書けばiℏ( 1)∂QQℏ
χ=(p̂ − A)2 −σ · B + QA0 χ∂t2mβb2mβbとなります。
ここで行ったシュレーディンガー方程式の変形は、相対論的量子力学でのクライン・ゴルドン方程式からディラック方程式を求める方法と方針は同じです。そのため、ここで出てきた αi , λ はディラック方程式でも出てきます。2 つの方法の流れを示すとクライン・ゴルドン方程式⇒

ディラック方程式↘

シュレーディンガー方程式⇒

1 次のみのシュレーディンガー方程式⇒

パウリ方程式

上が相対論的に拡張された方程式、下が非相対論的な方程式です。相対論的な方の流れを言うと、2 階微分方程式であるクライン・ゴルドン方程式を 1 階微分方程式であるディラック方程式へ変換し、電磁場中のディラック方
程式の非相対論的極限を取るとパウリ方程式になります。こっちの方が素直にパウリ方程式までいけます。このように 2 階微分方程式を 1 階に変換すると、なぜかスピンを相対論的だろうと非相対論的だろうと理論的に含まれたものが導かれます。
ちなみにクライン・ゴルドン方程式は非相対論的極限でシュレーディンガー方程式と一致するので、スピン 0 の粒子を記述します。

7