ファインマン則〜虚時間法〜

今までに虚時間法を使った時のファインマン則はユークリッド空間でのゼロ温度の場の理論と同じだと言ってきましたが、ここでまとめておきます。注意として、ここで言うファインマン則というのは分配関数によるものだということです。
ファインマン則について触れる前に、ユークリッド空間での話を少ししておきます。人による話ですが、有限温度の理論では完全にユークリッド空間へ移したものが絶対に必要というわけではないです。今までの話を見てみれば分かるように、有限温度の理論は、本質的には時間を虚時間に移し、温度に周期的条件を課すというものです。
つまり、座標のみがユークリッド空間化されています。このため、「虚時間法〜ディラック場〜」(他にも「log Zの摂動計算〜QED〜」とか) で行ったように、ガンマ行列やベクトルポテンシャルの代数をミンコフスキー空間と同じにすることができます。しかし、この場合、ミンコフスキー空間とユークリッド空間の性質が混ざってしまう
ために、混乱してしまう可能性があります。実際、ディラック方程式の形が見づらいと言えば、見づらい格好をしてしまいます。これを回避したい人は、完全にユークリッド空間へ移してしまいます。ここら辺は趣味なので、自分に合った方法を選べばいいです。
ミンコフスキー空間からユークリッド空間への置き換えの基本は、4 元ベクトルの時間成分を

x0 = t ⇒ −ix4 = −iτのように虚軸へ解析接続 (ウィック回転) することです。ミンコフスキー空間での内積

xµ xµ = x20 + x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 = x20 − x2(x = (x, y, z))はxµ xµ ⇒ −x24 − x2
このように置き換わります。このとき、ユークリッド空間での内積を
4
∑

E
aE
µ bµ = a4 b4 + a · bµ=1と定義し、ユークリッド空間での計量がクロネッカーデルタ δµν だとします (E はユークリッド空間のベクトルであることを表わしています)。ユークリッド化された 4 元ベクトルは aEµ = (a4 , a) と定義し、ユークリッド空間でも和のシグマ記号は省いて書きますが、添え字は 1 ∼ 4 だとします。ユークリッド空間では計量がクロネッカー
デルタなので、添え字の上付き下付きの区別がなくなります。この定義のもとで、ミンコフスキー空間とユーク
リッド空間の内積の関係は

Exµ xµ = −xEµ xµとなっています。
この変換を作用において実行してみます。例えば実数スカラー場でのミンコフスキー空間での作用は

∫

∫
4

iSM = id xLM = iLM =1d4 x [(∂µ ϕ)2 − m2 ϕ2 ]2

1
1(∂µ ϕ)2 − m2 ϕ22
2

M はミンコフスキー空間を表わしています。これをユークリッド化するには

id4 x = idx0 d3 x ⇒ d4 xE = dx4 d3 x(∂µ ϕ)2 = (

∂ϕ 2
∂ϕ 2
) − (∇ϕ)2 ⇒ −∂µE ϕ∂µE ϕ = −(() + (∇ϕ)2 )
∂x0
∂x4

(

∂
∂
=i
)
∂x0
∂x4

という置き換えをすればいいので∫
SE = −∫
d4 xE LE = −

LE =
(

1
d4 xE [(∂µE ϕ)2 + m2 ϕ2 ]2

1 E 2[(∂ ϕ) + m2 ϕ2 ]2 µ(∂µE ϕ)2 = ()∂ϕ 2) + (∇ϕ)2∂x4

この関係から、当たり前ですが、作用のミンコフスキー空間とユークリッド空間との関係はSE = iSM (x0 ⇒ −ix4 )となっていることが分かります。スカラー場では時間成分の置き換えだけですむんですが、ディラック場やゲージ
場では他の置き換えも必要になります。
ディラック場では 4 元ベクトルとして、座標だけでなくガンマ行列が出てくるので、ガンマ行列を変更する必要があります (「虚時間法〜ディラック場〜」ではミンコフスキー空間の代数を使いたかったので変更しませんでした)。ディラック場の作用は∫
SM = i∫d4 xLM = id4 xψ(iγ µ ∂µ − m)ψ

LM = ψ(iγ µ ∂µ − m)ψ
これの微分部分をユークリッド化すると

(
)
(
)
∂
∂
∂
iγ µ ∂µ = i γ0
+ γ · ∇ ⇒ i iγ0+ γ · ∇ = −γ0+ iγ · ∇
∂x0
∂x4
∂x4
となります。この段階ではまだユークリッド空間の内積の格好になっていないので、ガンマ行列を

γ0 ⇒ γ4 , γ ⇒ iγと置き換えます。そうすると

)
(
)
(
∂
∂
+ γ · ∇ ⇒ −γµE ∂µE = − γ4+γ·∇iγ µ ∂µ = i γ0∂x0∂x4となり、ユークリッド空間の内積になります。このときガンマ行列は{γµE , γνE } = 2δµνという代数に従います。このことはミンコフスキー空間での代数{γµM , γνM } = 2gµνにおいて、上の置き換えを行うことで空間成分が −1 倍されることから簡単に分かります。また、ミンコフスキー
空間では γ0 がエルミートで、γi は反エルミートでしたが、ユークリッド空間では全ての成分がエルミート γµ = γµ†になります。
この置き換えによって、ユークリッド空間でのディラック場の作用は∫
SE = −∫
d4 xLE = −d4 xψ(γµE ∂µE + m)ψ

LE = ψ(γµE ∂µE + m)ψ
(γµE ∂µE = γ4

)
∂
+γ·∇
∂x4

ゲージ場の例として電磁場を使います (非可換ゲージ場では項が増えるだけで基本的に同じ)。ゲージ場が 4 元
ベクトルを構成しているので、ゲージ場を変更します。ミンコフスキー空間でのゲージ固定項を含めた電磁場の作用は∫iSM = i)
( 1
1 µ(∂ Aµ )2
d4 x − Fµν F µν −42αゴースト項は無視しています。このままだと見づらいので、Fµν を展開しますFµν F µν =(∂µ Aν − ∂ν Aµ )(∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )=∂µ Aν ∂ µ Aν − ∂µ Aν ∂ ν Aµ − ∂ν Aµ ∂ µ Aν + ∂ν Aµ ∂ ν Aµ=2(∂0 A0 ∂0 A0 + ∂0 Ai ∂0 Ai + ∂i A0 ∂ i A0 + ∂i Aj ∂ i Aj )− 2(∂0 A0 ∂0 A0 + ∂0 Ai ∂ i A0 + ∂i A0 ∂0 Ai + ∂i Aj ∂ j Ai )=2(∂0 A0 ∂0 A0 − (∂0 A)2 − (∇A0 )2 + ∂i Aj ∂ i Aj )− 2(∂0 A0 ∂0 A0 + (∂0 A) · (∇A0 ) + (∇A0 ) · (∂0 A) + ∂i Aj ∂ j Ai )空間成分は Ai Ai = −A2 , ∂i Ai = ∇ · A , ∂i ∂ i = −∇2 のように書いています。時間微分をユークリッド空間にもっていくと( ∂A0 ∂A0
)
∂A 2
2 −
+(
) − (∇A0 )2 + ∂i Aj ∂ i Aj
∂x4 ∂x4∂x4)( ∂A0 ∂A0
∂A
∂A+i
· ∇A0 + i∇A0 ·+ ∂i Aj ∂ j Ai
−2 −∂x4 ∂x4∂x4∂x4
このときに、A0 ⇒ −iA4 とすれば

( ∂A4 ∂A4)
( ∂A4 ∂A4
)
∂A 2
∂A
∂A
2
+(
) + (∇A4 )2 + ∂i Aj ∂i Aj − 2+· ∇A4 + ∇A4 ·+ ∂i Aj ∂j Ai∂x4 ∂x4∂x4∂x4 ∂x4∂x4∂x4
E E E EE E
= 2∂µE AEν ∂µ Aν − 2∂µ Aν ∂ν Aµ
E E
E E
E E
= (∂µE AE
ν − ∂ν Aµ )(∂µ Aν − ∂ν Aµ )
E E
= Fµν
Fµν

となります。ゲージ固定項は2(∂ µ Aµ )2 = (∂0 A0 + ∇ · A)2 ⇒ (∂µE AE
µ) =

( ∂A4
)2
+∇·A
∂x4

となるだけなので、ユークリッド空間での作用は、ゲージ場の置き換え A0 ⇒ −iA4 を加えることで∫SE = −∫
d4 xE LE = −

LE =

d4 xE

(1 E E
1 E E 2)Fµν Fµν +(∂ A )
42α µ µ

1 E E
1 E E 2F F +(∂ A )
4 µν µν 2α µ µ

ここでは「空洞放射」のときとは符号を反転して置き換えていますが、この符号でないとユークリッド空間の内積になりません。「空洞放射」では内積の性質を特に気にするような状況ではなかったというだけです。

ディラック場とゲージ場のユークリッド化に関して注意があります (特に複数の本を使って勉強するときに)。こ
こではガンマ行列の空間成分を変更しましたが、時間成分を変更する場合もあります。そのときは iγ0 = γ4 とします。この場合では()∂
iγ µ ∂µ ⇒ i γ4+γ·∇∂x4となります。一方で、ゲージ場では空間成分を変更するというのではなく、符号を反転させて定義します。つまり、A0 = iA4 とします。この場合では、共変微分が変更されないという利点があります。ミンコフスキー空間での共変微分をDµ = ∂µ − igAµと定義したとき、A0 = −iA4 では

Dµ = (∂0 − igA0 , ∂i − igAi ) ⇒ DµE = (i∂4 − gA4 , ∂i − igAi ) = (i(∂4 + igA4 ), ∂i − igAi )A0 = iA4 では

Dµ = (∂0 − igA0 , ∂i − igAi ) ⇒ DµE′ = (i∂4 + gA4 , ∂i − igAi ) = (i(∂4 − igA4 ), ∂i − igAi )なので、A0 = iA4 とすれば i がつきますが、D0 の符号が変更されません。
最初に示した γ i = iγ i , A0 = −iA4 での iγ µ Dµ は

iγ µ Dµ = iγ0 (∂0 − igA0 ) + iγ i (∂i − igAi ) = iγ0 (∂0 − igA0 ) + iγ · (∇ + igA)
⇒ iγ4 i(∂4 + igA4 ) + iiγ · (∇ + igA) = −γ4 (∂4 + igA4 ) − γ · (∇ + igA) = −γµE (∂µE + igAEµ)となり式の形が少し変わります。対して、iγ0 = γ4 , A0 = iA4 とした場合では

iγ µ Dµ ⇒ i(−iγ4 i(∂4 − igA4 ) + γ i Di ) = i(γ4 (∂4 − igA4 ) + γ i Di ) = iγµE DµE′となって、式の形が変わりません。このことから分かるように、ガンマ行列とゲージ場のユークリッド化の定義をこのようにすれば単純な置き換えでユークリッド空間に変更できます (どちらにしろ符号を変更すればいいだけですが)。ただ、この場合では有限温度との対応を取るには若干不便です。
求められた状況をまとめておきます。実数スカラー場、ディラック場、電磁場それぞれのユークリッド空間での作用は• 実数スカラー場 (x0 ⇒ −ix4 )∫SE = −

d4 xE LE

LE =

1 E 2
∂ϕ 2
[(∂ ϕ) + m2 ϕ2 ] , (∂µE ϕ)2 = () + (∇ϕ)22 µ∂x4• ディラック場 (x0 ⇒ −ix4 , γ0 ⇒ γ4 , γ ⇒ iγ)∫
SE = −

d4 xLELE = ψ(γµE ∂µE + m)ψ , γµE ∂µE = γ4

∂
+γ·∇
∂x4

• 電磁場 (x0 ⇒ −ix4 , A0 ⇒ −iA4 )∫
SE = −LE =d4 xE LE

1 E E
1 E E 2∂A4Fµν Fµν +(∂µ Aµ ) , ∂µE AE
+∇·A
µ =
4
2α
∂x4

作用の段階での話はこれで終わりにします。後はこれを経路積分

∫
ZE =

∫
Dϕ exp[SE ] =[ ∫]Dϕ exp − d4 xE LE

∫

(
ZM =

Dϕ exp[iSM ])に乗せて、ゼロ温度と同じように計算していくことで、ファインマン則は求まります。
表記上の注意をしておきます。ここではユークリッド空間での作用を −LE の 4 次元積分として定義していますが、通常の作用の定義はラグランジアン密度の 4 次元積分です。しかし、ここではミンコフスキー空間からの置き換えを見やすくするために、マイナスがついた定義をそのまま使いました。なので、作用の通常の定義を使う
ために、マイナスを外すように作用を定義して∫Z=

Dϕ exp[−SE ]∫SE =d4 xE LEのようにしている場合の方が多いと思います (この場合では SE = −SM (x0 = −ix4 ))。
次に、ミンコフスキー空間からユークリッド空間へうつされた時のファインマン則を先に示しておきます。まともにやるのは面倒だし、なんとなく予想できると思うので結果だけを示します。伝播関数、頂点は場の量子論で定義しているものを指します (伝播関数の定義に i を含める)。

• 伝播関数
手続きは、ミンコフスキー空間での運動量 pµ = (p0 , p) をユークリッド化 p4 = −ip0 して、i を取って符号を反転させるだけです (ゲージ場も同様)。例えばボソンでは

i
−1
1
i
= 2
⇒
= 2
p2 − m2p0 − p2 − m2
−p24 − p2 − m2
p 4 + p 2 + m2
• 頂点
単純に i で割ればいいだけで−ig ⇒ −g

• ループ積分
ミンコフスキー空間での 4 次元積分をユークリッド空間へ移せばいいだけなので

∫

d4 p
⇒
(2π)4 i

∫

d4 pE
(2π)4

E はユークリッドを表わします。
ユークリッド空間に移すと i が減るというのは、ユークリッド化することで経路積分の作用に掛かっていた i がな
くなることから予想できる結果だと思います。
また、n 点相関関数では(n)G(n) (p1 , · · · pn ) ⇒ i(−i)n GE (pE1 , · · · pEn )となります。
次に有限温度へ移します。といってもこれも簡単にすみます。まず、伝播関数において、p4 を松原振動数 ωn に変えればいいです。頂点は何も変更されませんが、細かいことを言うと運動量保存の部分が

δ 4 (p − k) ⇒ βδn,m δ 3 (p − k)のように変更されます。そして、ループ積分は時間成分の積分を和に変えて T をつければいいだけです。
というわけで、有限温度での場合をまとめると• 伝播関数
◦ ボソン
1
−1
= 2
ωn2 + p2 + m2
p0 − p2 − m2

(p0 = iωn , ωn = 2πnT )

◦ 光子
(
)
1
pµ pν
g
+
(α
−
1)
µν
p2
p2

(p0 = iωn , ωn = 2πnT )

◦ 電子
−1
−1
=
iωn γ0 − γ · p − m
p0 γ0 − γ · p − m1(p0 = iωn , ωn = 2πT (n + ))2

• 頂点

ゼロ温度の場合から i を取る ( 例えば ig ⇒ g)

( 運動量保存：(2π)3 βδn,m δ 3 (p − k))• ループ積分

T

∞ ∫
∑
n=−∞

d3 p
(2π)3

これが有限温度 (虚時間法) のファインマン則になります。また、ゲージ場での伝播関数も同様の手続きで有限温度まで持っていけます。
また、ミンコフスキー空間でのゼロ温度の場合と比較をすれば、伝播関数、運動量保存 (頂点)、ループ積分はG(p) ⇒ G(p0 = iωn , p)i(2π)4 δ 4 (p − k) ⇒ (2π)3 βδn,m δ 3 (p − k)

1
i

∫

∑
d4 p
⇒ T
4
(2π)
n

∫

d3 p
(2π)3

という置き換えをすることでも、有限温度へ移されることが分かりますが、基本的には上で示したファインマン
則を使うことにします。