Sci.Rep.Kanazaw晶 Univ.
.
Vo.
l19.No.l，pp.9‑12June1974

A ProblemofMonotoneApproximation

Ryozi SAKAIDeρartment0
1Mathematics，Facu
lty01Sc
的zce，Kanazai
ωaUniv
ersity(Receiv
edApri
l10，1974)
Let1三 h[三 . . . 三 kq
ethepositiv
eintegersandletε;=:tl，iニ l ，.q. We三n bhese
tofallalgebraicpolynomialsρofdegreen orless，andthenwedenot
ebyHn tdefinethesets
ド固Hn(~:，...，
ニ iρ EHn; ε，.
， ~q)
cql

(x) 三 ofora三x三 b，i=l，.
.
， qf，

F
(1;:::?
:)=i/
G.G.Lorentza
凶 K.L.制
Ze制ller口C
1Jap伊p肝r
印
仰'oXlmathepol
ynOl
calledmonotonea
pproximationproblem，indetail.
In[1]theyprovedthefollowing.
合)， ρEHAi;;::::?J)aM f吋then the 制A仰 ) =Let IEF(七jXE[a，b];I/(x)‑ρ(x)1= 11/‑
ρ11f is compact and thefunctiono(x) SJGN‑P(x)JiscontinuousonA，j(ρ)..
Conversely，ifapolynomialρEHn{ . T Lacompact[，bJand a continuoussign functionσon A aregiven，thenthereexistsaset AC αfunctionIEC[a，bJforwhichA = A，/(ρ)ando(x)=SJG
Nぴ(x)ρ(x)].
Howevertheylef
twhether one cantake1hereto becontinuouslydifferεntiable;)(X)>0，a三x三 b，i=l，.
， q・ Wecangiv
easolutionforthiswiththepropertiesε♂hproblem.

むontinuou
ssignTheorem. Given a non‑empty compact set A c[a，bJand a cfunction 0;出enfora
可 hHn(i;:::::'fJ
L kq三 DEGP，thereexistsaIEC(2n‑1)[ゆ ]forj(ρ)，o(X)=SIGN[;牝)‑ρ(X)JonA andf.
J<k;)(x);三ofora三広三 b，i=l，.
， q・whichA =A，二First，wegiv
ealemma. Leto>0，n=1，2，，…thent
hefunction人じピ)=;I(o， x)=;IαC，sJ(o，x)a(x α，)
2n(xー α)2十 (X̲s)2n1lhasthefollowln
gp
roper
ties;
‑ 9α三 X三 β

10RyoziSAKAI(a) .
1.
(a)=α .
1.
(s)=8;0<.
.
1.(x)<ofor
α <x<β，(b)λ(k)(a)=).
.
<k)(s)=Ofor1<k<2n‑1，(c) ifεiP(ki)(X)>0 fora
1
1α<x<β，i=l q，thereexis
tO1>0 and O2>0forwhich
I.
1.
(ki)
(ぬ，x)I< Iρ(ki)ωI forall α三X ご;'s，i=l，…，q，or I.
1.
(ki)(O2，‑X+α+s)I三:IP(ki)(X)Ifora
11α三x三β，i=l，…，q.
川A
lso，lety>0，thenthefunction
α+βr.
.
1.
〆 α+β (y，x)，μ似 = 仰 が =μ Ca，sJ (y，x)= ~Ca，‑~ "'J吋l.
1. α+β(，y‑x+‑~I'-' +βU，、 C‑=‑;，ーβ〕

α三:::
x三 2

α+
β2一<xく βhasthefo
11owingp
roperties;(a')μ(a)=μ(β=α 0 <μ(x)<yforα<x<β(b') 内~=川 (=μ{ ザ))=0 for1山 2n‑1，xi
sts y>0 f(c') ifeiP(ki)ω > 0 fora
1
1 α<x<β i=l q，thereeor which￨μ(ki)(y，X)I三 ￨ρ(ki)(X) Ifora
11α三X 三β i=l，…，q.

…

Thuswegetthefo1
1ow
inglemma.
Lemma. LetεiP(ki)(X)>0 fora
1
1 α<X<s，i=l，…，q， and let λ〔α，sJ (O，X) andU Ca，sJ(μ)bethefunctionsdefinedasabove. Thenwehavethefo11ow
ingfunctions.

(1) Let/1(X)=州+す ‑λ(o，X)，由 en/1hasthef
o11ow
ingproperties;(a) /1(α~= 州計会.f1(ß) =仰)ーす，lf1(x)‑ρωl:J1(kil(X);三oforα三X 三;
s，
(b) r

くを

forα<X<βi=1，…，q，(c) n ki )( α~=ρ (k;)(a) ， /1(ki)(β=ρ (ki)(s)

fori=1，…，q.

(ω幻2) Let
げ/2ω
欣J=ρ
仲β仰
ω
j一を+村叫刈λ(o似，糾刈Z)
，出th臼
en/2h
羽asth
詑ef
白0
110
例仰w
明叫 仰pr叩ope
巾 s;(叫ん (a)=ρ(a)，/2ω=ρ(β+会， Iん似一例￨くす forα<X<βand/2satis
fiestheaboveconditions(1)，(b)and(c).
(ω3幻) Let/3ω
欣J=ρ
抑β仰ωj十寸す μり(川γμ刈'.
x
刈札X，) 0 <γ
κ<8;t
出刊
hen/羽asth児
ef
白o釧
llowi
碍ngp
仰r
o叩p
肘町e
阿:r
出3h叫)んf~(ωa)=
吋ρ(ωa)+す÷，んωz
寸ρ(ωβ+す， Iん似一 ρωlくす forα <X<βand/
3回 t
is
fies
(ωatheabov
econditions(1)(b)and(c).の)
et/
4β
ωJ=ρ
仲仰
ω欣
j すわ+付μ刈(川μy，刈x凡，) O<yκ<8;伽(ω4 Lfん
4'凶h1
冶asthef
白0
制
110
州wi
昭n
gp
肝r
仰叩ope町剖
r
此
凶訓ti
悶e
白s

伺
ω(叫a)んf4(ωa)=ρ
(ωd一す，ん(ωβ寸=ρ
(ωβ す， Iんω‑ρω￨くす forα<X<βand/4satisfies1)，(b)and(c).
theabov
ec
on
di
t
i
ons(henwec
anf
in
dt
hefinitesetsofp
oints;
ProofofTheorem. GivenA and 0'， t
三{ajfJと1> {bjfj~1 CA suchthat a:'Sa12三b2<・・・ <α 間三 bm b，A=v'f=JAj，
三b1<α

AP
roblern0/Mo刀 otoneAβかoximation

1
1

Aj=Ca，jbj
JハA j=l，…，
rn，andσisconst
antoneachA，;.butσchangesi
t
ssig
nont
hesu
ccessive Ajand Aj. H+1
ere we will assume that a:EA and b伊 A ，though we canconsiderfourcasessuchthat(1) a:
EA andbεAヲ (2) a:
EA andb!
iEA ，(3) α吾A al
1d b:
EA，
(4)
σE
fA andb~ A. Then

ご[a，bJ¥A=u 1 (bj，aj+j)u(b，/nb)uUi~l (ci，di)Wedef
inethesetsfJ.
=I[bj，aj十=1，…， m‑11，J.
?
，= lCcj，cl;
J;i=1，2，…1，Z=lx:
E[a，bJ¥A;
P'k;)(X)=0forsomei=l，.
， q1，=1ヂJ1E:fJ;!
ハ Zヰ
1>1，fJ.l=lIcyt);!iiZ=件1，1&'
1= 11EJ?
，;!
ハ Zヰ土砂 1，ts
l=Ih，&;IiiZ=>
11
HereZ isf
inite，becausekq三 DEG P.I
f1=[bj， aj+lJ
E:凶]， wehavebj<zj=MIN(1ハZ)::;z/= M A X(lハ Z)<aj+l・Thenwede
finethesets.
，42ニ 1[bj， Zム[zムαJ l];[bj，aj Jεyt)ll，同2 ‑ 1[Zj，z/J;[bj，aj+1JEyt)II.
トムSimilarlywedefinea
sfollowing;
C;<Z/'=MIN(IiiZ)<Z;'''=MAX(1ハ Z)<diforI=[c;，dJElsl>&'2= I[C;， Zn ， [z/u， d;];[ci， d;]d~11 ，つ&'2= I[z/"z/ ;[C，;d;]
E&'ll.

Wealsodefinea
sfollowing;
ハ=~ MIN([bm，bJiiZ)

Z¥bif(bm，bJハzヰムif[bm，bJハzニ件@=l[bm，zoJt ，c= l[zo，bJ
ITodecidether
equiredfunctionfwew
illgiv
efone
achi
nterv
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f
ine
da
sa
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Jlo fJ.2，&'2and@ isfini
te，wecantake
Sincethetot
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nter
v
alsi
nfu
c
has(1)or(2)inLemmaw
ithaconstant 8">O. OnA wetakefsuchthefunctio
nfst
hatルj，ニρ(x)+σ(x)0*. Oneachintervali
nfJ.lwetakefsuchthatiti
scontinuouslyconnecte
dwit
hfdefine
don同 anditisgiv
enby(1)or(2)inLemmawit
h0*. On回 chs1wetakefsucht
hati
ti
scont
i
nuouslyconnecte
dwit
hfdefine
donA andinterv
alinrRyoziSAK.
i¥l12giv
enby(3)or i
nLermnawitho":'8.nd0<γ<o'. Oneachi
nterv
alinand(Q wetakefsu
cht h a t ρ 0 1 1eachi
nterv
ali
n同2， and (Q wetakefsuc
ht
hati
ti
scont
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slyconnectedwithfd
efinedasaboveandi
ttoon
e'oftheitfunctions;斤'x)i}*ートー，/O'，2 '" 2Itisdearforthisfunctionfto所ノ}二附‑4+theconditionsintheorem.
固)Reference[lJ G.
GLorentzandK L.Zeller，MonotoneApproximationbyAlg
巴braicPolyn01τuals，Trans.Am思乙lVlath.SoCo， 14，9[1970J1‑
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