Proceedings of the 11th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 9-11, 2014, Aomori, Japan

PASJ2014-SAP017

あいち SR における LOCO
LINEAR OPTICS FROM CLOSED ORBITS FOR AICHI-SR STORAGE RING
高野琢#, A), 山本尚人 A), 保坂将人 A), 真野篤志 A), 高嶋圭史 A), 加藤政博 B)
Takumi Takano #, A), Naoto YamamotoA), Masahito HosakaA), Atsushi ManoA), Yoshihumi TakashimaA), Masahiro
KatohB)A)
Nagoya University Synchrotron Radiation Research CenterB)UVSOR Facility, Institute for Molecular Science

Abstract

The lattice parameters of Aichi-SR storage ring was determined experimentally by means of a LOCO (Linear Optics
from Closed Orbits) program corded by LabVIEW. The orbital response matrix for 16 corrector magnets was measured
and fitted by the LOCO model well within the BPM noise level. The validity of the analysis was confirmed bycomparing the values of the tune and the beta function at BPM positions. The LOCO analysis resolved the twiss
parameters and the statistical information concerning errors of such as the quadrupole gradient, the skew component,
the momentum compaction factor, and the strength of steering magnets. As a result, it turned out that the gradient error
and the skew component of the quadrupole magnets (QMs) are increased in inverse proportion to the distance from thesuperconducting 5T magnet (SCM), which indicates that the leak magnetic field from SCM contributes as a skew
source.

1.

はじめにあいちシンクロトロン光センター（以下，あいちSR と略す）は 2013 年 3 月よりユーザ供用が開始さ
れ [1]，これまで致命的なトラブルを経験することな
く 300mA トップアップ運転でのユーザ利用が現在行われている。ブースターシンクロトロンから輸送路を介して蓄積リングまで（Fig.1：加速器配置図を参照）のビーム入射効率は平均で 50%程度であり，今後改善の余地は有るものの設計時の想定に近いパフォーマンスを発揮している [2]。一方，放射光モニターによるビーム形状の観測の結果，ビーム進行方向に垂直な面内で鉛直方向にビームサイズが膨らんでおり（水平 500µm，鉛直 350 µm），さらに常伝導偏向電磁石位置（Fig.1）において 6 度程度ビームが傾いていることが判明しており，スキュー補正電磁石の導入が検討されている[3]。
この様な状況から本研究では，現状の蓄積リングラティスパラメータエラーについての知見を得ること，またスキュー源の特定を行うことを目的としてLOCO によるラティスパラメータ較正を行った。さらに，ベータ関数を測定し，蓄積リングの現状把握と LOCO 較正結果との比較検証を行った。
LOCO によるパラメータ解析の結果， 4 極電磁石の磁場勾配 k の設計値からのずれおよび 4 極のスキュー成分がいずれも超伝導電磁石からの距離に反比例する形で相関しており，漏れ磁場の影響が無視できないことが明らかとなった。また本論文では，オリジナルに作製した LOCO プログラムの詳細についてもあわせて紹介したい。

Figure 1: Layout of Aichi-SR accelerators.

2.

LOCO プログラムの詳細

2.1

LOCO の概要LOCO とは，蓄積リング周上のステアリング電磁石強度を微小変化させた時の BPM で観測されるビーム軌道レスポンスから加速器パラメータを推定する手段であり，これまで世界各地の放射光施設において研究開発が進められてきた[4] [5]。LOCO プロ
グラムにおいては，ラティスパラメータのセットを少しずつ変化させながらその都度計算される軌道レスポンス𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 と実測のレスポンス𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 との残差が最小となるようにパラメータの最適化を行う。
2.2

計算式

モデルと実測のレスポンスの残差𝜒𝜒 2 は(1)式の様に表される。

___________________________________________# t.takano@nusr.nagoya-u.ac.jp- 487 -

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𝜒𝜒 2 = ∑𝑖𝑖,𝑗𝑗2

�𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝜎𝜎𝑖𝑖2(1)

式(1)中の i および j はそれぞれ BPM 番号およびステアリングの番号をそれぞれ表している。また，σは BPM のノイズレベルであり，フィッティングを行う際の重みづけの役割を担っている。
ビームの軌道変位量が十分小さく，レスポンスが線形で近似されると仮定できる場合，水平方向のレスポンス𝑅𝑅𝑥𝑥 は(2)式の様にベータ関数に比例する項と分散関数に比例する項の和として表される[4]。
𝑅𝑅𝑥𝑥 =Δ𝜃𝜃𝑥𝑥,𝑗𝑗 �𝛽𝛽𝑥𝑥,𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑥𝑥,𝑖𝑖 cos�𝜙𝜙𝑥𝑥,𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝜋𝜋𝜈𝜈𝑥𝑥 �2 sin 𝜋𝜋𝜈𝜈𝑥𝑥+Δ𝜃𝜃𝑥𝑥,𝑗𝑗𝜂𝜂𝑥𝑥,𝑗𝑗𝛼𝛼𝑐𝑐 𝐿𝐿𝜂𝜂𝑥𝑥,𝑖𝑖 (2)値が 0 になるようにすればよい。即ち，パラメータセット𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 , … , 𝑝𝑝𝑛𝑛 に対して，
𝜕𝜕𝜒𝜒2
𝜕𝜕𝑝𝑝1= 0,𝜕𝜕𝜒𝜒2
𝜕𝜕𝑝𝑝2= 0, … ,𝜕𝜕𝜒𝜒2𝜕𝜕𝜒𝜒2𝜕𝜕𝜒𝜒2𝜕𝜕𝑝𝑝𝑛𝑛=0(3)を満足するようにパラメータを調整する。一方，非独立変数に対しては，本 LOCO では最もシンプルな最急降下法を採用している。即ち，𝜒𝜒 2 曲面における各パラメータに対する勾配が最も大きくなる方向に向かって𝜒𝜒 2 の極小値を探索する手法である。具体的には， 𝜒𝜒 2 に対する各パラメータの偏微分値を成分として持つ下記ベクトル𝑢𝑢�⃑ = �−𝜕𝜕𝑝𝑝1,−𝜕𝜕𝑝𝑝2,…,−𝜕𝜕𝜒𝜒2𝜕𝜕𝑝𝑝𝑛𝑛

�(4)

式(2)中の∆θx,j は j 番目のステアリング強度の変化，
βx,j およびβx,i は j 番目のステアリングおよび i 番目の の方向に向かってパラメータを振っていく。ベクト
BPM 位置におけるベータ関数，ηx,j およびηx,i は j 番 ルの大きさ|𝑢𝑢�⃑|の決定方法については，実際に𝜒𝜒 2 曲面目のステアリングおよび i 番目の BPM 位置におけ をこのベクトル𝑢𝑢�⃑に沿ってスキャンしていき，最もる分散関数，φx,ij は j 番目のステアリングから i 番目 𝜒𝜒 2 が小さくなる量として定めている。そのため，計の BPM 位置までの位相進み，νx はチューン，αc は 算の iteration 毎に|𝑢𝑢�⃑|は変化することになる。
モーメンタムコンパクションファクター，L はリン2.4 プログラミング
グ周長をそれぞれ表している。各種ツイスパラメー
タについては 3×3 の輸送行列を用いて導出を行い， 本 LOCO プログラムは全て LabVIEW を用いて記述している。次節で述べる軌道レスポンスの自動取水平方向と鉛直方向は独立に計算を行っている。
また本 LOCO 解析においては，4 極磁場に回転成 得から行列計算およびパラメータフィッティング，分を導入することによってスキューパラメータとし さらにベータ関数の測定と LOCO によるベータ関数との比較などの評価解析まで一貫して行えるようにている。
なっている。ラティスの設定ファイルはシミュレー
2.3 パラメータ最適化方法
ションソフト WinAgile の設定ファイル（*.lat）と互LOCO で用いた全パラメータ（計 97 個）を Table 換性を持ち，そのまま読み込むことができるように1 にまとめた。
なっている。
Table 1: LOCO Parameter List
名称

略号

単位

個数

3.

軌道レスポンスマトリクスの取得

ステアリング強度（電流値で規格化）

Δ𝜃𝜃

mrad/A 16×2

3.1

取得条件

レスポンス取得にあたっては，なるべく非線形な効果を排除するためにステアリングの強度を最小限
コンパクションファクター
𝛼𝛼𝑐𝑐−1に抑えて測定を行った。具体的には，リング全周のCOD が 100µm 以内程度に収まるように調整し，ス4 極スキュー成分
φmrad 8×4
テアリングの蹴り角は 3µrad（50mA の励起）程度とした。6 極電磁石・バンプキッカー・入射セプタム
ここで，他の LOCO 研究[4] [5]において取り入れらは全て OFF するとともに，これまでのスタディで漏れている BPM 感度係数は本研究では除外している。
れ磁場の存在が明らかとなっているブースターシン
理由は，BPM 感度係数は式(2)全体にかかる係数とクロトロン・輸送路についても完全に電磁石の励磁して導入されることになるが，同じく式(2)全体にかを止めた状態でレスポンス測定を行った。BPM からかるステアリング強度Δ𝜃𝜃と競合し一意な解が定まらの読み取りは 10 回の平均値を用いている。蓄積リなくなるためである。
ング周上に BPM が 32 個，ステアリング電磁石が 16
Table 1 で挙げたパラメータのうち，Δ𝜃𝜃およびコ個設置されているため，マトリクスの要素は 16×32
ンパクションファクター𝛼𝛼𝑐𝑐 はそれぞれ式(2)において×2=1024 となるが，3 個の BPM が読み取り不良と独立変数として振舞う。一方，ベータ関数・分散関なっているため，実際には 928 の要素数となってい数・チューン・位相進みは 4 極磁場強度 k およびそる。のスキュー成分𝜙𝜙の多変数関数となっており，これらは非独立変数として振舞う。
3.2 測定結果
LOCO でパラメータ最適化を行うにあたっては，実測のレスポンス，設計上のレスポンス，および独立変数に対しては単純に式(1)の𝜒𝜒 2 に対する偏微分 それらのマトリクスの差分を Fig.2 に示した。
4 極磁場強度(QF1,QD1,QF2,QD2)

𝑘𝑘

𝑚𝑚−2

8×4

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Figure 2: The response matrices for all horizontal (a-c) and vertical (d-f) corrector magnets are displayed. The matrices ofthe measured by BPMs, the calculated from the designed lattice parameters, and the differences of them are plotted in thefigure (a, d), (b, e), and (c, f), respectively. The orbital responses are normalized by the steering excitation current.
あいち SR では蓄積リングのラティスとして 4 回
約 3000 回程度の iteration を経て、実測レスポンス対称セルの構造（Fig. 1）を採用しており、これを反 およびモデル計算によるレスポンスの誤差の標準偏映して測定された軌道レスポンス（Fig. 2 (a)(d)）も 差は水平方向および鉛直方向とも BPM ノイズレベ対称的な構造を有している。設計ラティスを基に算 ル以下の 7.6µm までフィッティングが収束した。こ出したマトリクス（Fig. 2 (b)(e)）と比較したとき， の時のフィッティングの例として，あるステアリン
両者の構造に見た目上の顕著な差異が認められない グに対する水平方向のレスポンスにおける収束の様ことから、あいち SR 蓄積リングの現状の運転動作 子を Fig. 4 に示した。
点は設計パラメータから大きくは離れていない事がこの時点で推察される。また、実測および設計レスポンスの差分を Fig. 2 (c)および(f)にプロットしたが、この差分構造にも対称性が現れた。これは、現状ラティスパラメータと設計上のそれとの差分がリング周上において対称的に分布していることを示唆する。

4.

LOCO 実行結果

4.1

パラメータ収束過程

Table 1 に挙げたパラメータについて、2 節で述べた計算式と最急降下法に従って最適化を行った。当然ながら、最初から全てのパラメータを振るとフィッティングが発散してしまうので、Fig. 3 に示す順序に従ってパラメータを段階的に増やしながら解析を進め、徐々にフィッティングを収束させた。

Figure 3: The decreasing process of χ2 . The numbers (1)– (4) shown in the figure mean which parameter is to be
included into the LOCO analysis; (1) before fittingstarted, (2) Δ𝜃𝜃 and 𝑘𝑘 are firstly optimized, (3) 𝜙𝜙 isincluded with them, and (4) αc is finally included withall other parameters.

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はおそらく，超伝導電磁石からの漏れ磁場が 4 極磁場分布もしくは 4 極電磁石に隣接して設置されている 6 極電磁石の磁場分布に影響している可能性が考えられる。詳細な検討のためには実際の磁場分布をシミュレーションして考察する必要があるが，磁場解析ソフトによる概算では，例えば QD2 の位置において約 5 ガウス程度の磁場がビーム進行方向に対して垂直な面内の鉛直方向に漏れていることが示されている。また，これまで超伝導偏向電磁石のスタディ結果からそれ自身が 6 極磁場成分を有する事が明らかとなっており [6]，複雑な磁場分布形状が与えるビーム光学系への影響は単純ではないと考えられる。
Figure 4: Orbit shift at horizontal BPMs for one
horizontal steering magnet. The orbital response isnormalized by the steering excitation current.
収束後の LOCO モデルによるチューン値は水平方向に対して 4.695（実測値：4.699），鉛直方向に対して 3.192（実測値：3.193）となり，ほぼ実測の値を再現した。
4.2

パラメータ詳細

Table 2 に，LOCO 解析により得られたパラメータの詳細を示す。
Table 2: The Results of the LOCO Analysis

まず 4 極磁場においては，QD2 の系列において0.5%以上の比較的大きなばらつきと設計値からの差異が認められる。さらに，スキュー成分においても同じ QD2 の系列において比較的大きな値（5mrad）が見られる。これら結果についての考察として，あいち SR 蓄積リングでは Fig. 5(a)に示すように磁場強度 5T の超伝導電磁石を中心に対称的に配置したTriple Bend のセル構造を採用しており，4 極電磁石のうち QD2 ファミリーは位置的に最も超伝導電磁石に近接していることがわかり，その距離はおよそ1.3m 程度である。ここで 4 極電磁石の各系列において，設計値からのずれ量Δ𝑘𝑘およびスキュー成分の大きさ𝜙𝜙を超伝導電磁石からの距離に対してプロットした（Fig. 5(b)および(c)）。これらの図から明らかなように，超伝導電磁石からの距離に反比例する形で∆𝑘𝑘および𝜙𝜙が相関していることが分かった。これ

Figure 5: (a) The triple bend cell structure. The magnets
in the cell are symmetrically arranged about the SCM.
The shift of the quadrupole gradients ∆𝑘𝑘 from thedesigned value and the skew angles 𝜙𝜙 of the QMs areplotted in the figure (b) and (c), respectively, as afunction of distance from the SCM to each QM families.

5.

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ベータ関数の測定と LOCO との比較
あいち SR においてこれまで観測されていなかっProceedings of the 11th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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たベータ関数の測定を行い，さらに LOCO モデルと 最大 9%，鉛直方向で最大 5%程度の誤差があった。の比較検証を行った。
これは，あいち SR 蓄積リングでは BPM 感度係数を
あいち SR においては，ステアリング用 2 極磁場 LOCO のパラメータとすることが原理的に不可能では 6 極電磁石に内蔵された補助コイルにより制御さ あることが要因のひとつとして考えられる。
れ，また 6 極電磁石からかなり近接した位置（6cm） 以上の LOCO による結果を元に，今後は超伝導電に BPM が設置されている。したがって，ステアリ磁石付近の 4 極電磁石系列に補正コイルを導入するングから BPM までの位相進みをチューン値によっことによりスキュー成分の相殺を試み，エミッタンてほとんど近似できることを利用して，下記式からス減少などビーム性能向上につなげたいと考えてい[7]
ベータ関数を導くことができる 。
る。
𝛽𝛽𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵/𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≈ 2 tan 𝜋𝜋𝜋𝜋Δ𝑥𝑥𝑐𝑐.𝑜𝑜.
Δ𝜃𝜃(5)

式(5)中のΔ𝑥𝑥𝐶𝐶.𝑂𝑂. は Fig. 2 で示したレスポンスマトリクスに含まれているので，改めて測定を行う必要はない。Δ𝜃𝜃については全てのステアリングについて同じ値をとるものと仮定して測定を行った結果をFig. 6 に示す。

Figure 6: Measured horizontal (red) and vertical (blue)
beta functions were plotted as filled circles, comparing
with LOCO predictions (solid lines) and with thedesigned functions (dotted lines).

6.

参考文献
[1] N. Yamamoto, M. Hosaka, K. Takami, T. Takano, A. Mano,
H. Morimoto, Y. Takashima, and M. Katoh, “BeamCommissioning of Central Japan Synchrotron Radiation
Facility”, 加速器, 9(4), pp. 223-228 (2012).
[2] N. Yamamoto, M. Hosaka, T. Takano, A. Mano, Y.
Takashima, and M. Katoh, “Present Status of Top-up
Operation at Aichi-SR Storage Ring”, Proceedings of the10th Annual Meeting of Particle Accelerator Society ofJapan, pp. 465-467 ( 2013).
[3] R. Kawakami, A. Mano, M. Hosaka, N. Yamamoto, M.
Katoh, Y. Takashima, and T. Takano, “Measurement ofEmittance in Aichi synchrotron Radiation Center”,
Proceedings of the 10th Annual Meeting of Particle
Accelerator Society of Japan, pp. 693-696 (2013).
[4] J. Safranek, “Experimental Determination of Storage Ring
Optics Using Orbit Response Measurements”, Nuclear Inst.
and Methods in Phys. Res. A, 388, pp. 27-36 (1997).
[5] Y. Iwasaki, Y. Takabayashi, S. Koda, K. Yoshida, T.
Tomimasu, and H. Ohgaki, “Model Calibration of theSAGA Light Source Electron Storage Ring Using Orbit
Response Matrix”, Proceedings of the 4th Annual Meetingof Particle Accelerator Society of Japan, pp. 652-654 (2007).
[6] M. Hosaka, N. Yamamoto, T. Takano, A. Mano, Y.
Takashima, and M. Katoh, “Present Status of SuperConductive Bending Magnets at Aichi SR”, Proceedings ofthe 10th Annual Meeting of Particle Accelerator Society ofJapan, pp. 461-464 (2013).
[7] F. Zimmermann, “Measurement and Correction ofAccelerator Optics”, Beam Measurement, pp. 21-107(1998).

まとめ

ステアリングに対する軌道レスポンスマトリクスを測定し，作成した LOCO プログラムによってあい
ち SR 蓄積リングのパラメータ最適化を行った。その結果，フィッティング残差の標準偏差は BPM ノイズレベル以下程度まで減少し，LOCO モデルによるチューン値は実測の値をほぼ再現した。また，各パラメータのばらつきを評価したところ，4 極電磁石磁場強度の設計値からのずれ及びスキュー成分の大きさがいずれも超伝導電磁石からの距離に反比例する形で相関していることが明らかとなった。これは，超伝導電磁石からの漏れ磁場に起因するものと考えられる。
LOCO モデルに基づくベータ関数とステアリングレスポンスから求めたベータ関数を比較した結果，両者の傾向はほぼ一致しているものの，水平方向で- 491 -