Proceedings of the 11th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 9-11, 2014, Aomori, Japan

PASJ2014-SUP065

六極電磁石用用に最適化されたハーモニックコイルの製作と磁場測定法
CONSTRUCTION OF HARMONIC COILS OPTIMIZED FOR THE SEXTUPOLEMAGNETS AND ITS FIELD MEASUREMENT METHOD
妻木孝治#, A), 深見健司 A), 満田史織 A)、鍛治本和幸 B)
Koji Tsumaki #, A), Kenji FukamiA) , Chikaori MitsudaA), Kazuyuki Kajimoto B)
A)
JASRI/SPring-8, B) SPring-8 サービス

Abstract
The next generation ultra-low emittance storage rings have large chromaticities and small dispersion, which leads tostronger sextupole magnets. The higher harmonic field components increase with the increment of sextupole field andfurther reduce the small dynamic aperture. Thus we need to measure the higher field components precisely as well as
the sextupole field. But in harmonic coil measurement, spurious fields are generated from rotation and position errors of
the coil, which prevent the precise measurement of magnetic fields. We studied to eliminate the spurious field ofharmonic coil and measure the main sextupole and higher harmonic components, precisely. We made the harmoniccoils that have lower sensitivities to the spurious fields and measure the real field precisely. The procedure to measuremagnetic center and magnetic fields using the coils is also described.

1.

nn
NLr0   r2   r1  
( )   
 C(n) cos  n  n n n   r0   r0  n1

はじめに(1)
次世代の超低エミッタンスリング [1]は、色収差が大きくてエネルギー分散関数が小さいため、色収差  K nC(n) cos  n  n n   Re   K nC(n)ein  n  
補正用の六極電磁石の磁場勾配が従来に比べ一桁以 n1
n1上強くなる[2]。それにつれ高磁場成分も強くなるとここでNはコイルのターン数、Lはコイルの長さ、ともに、磁場の飽和領域近くで使用するためそれによっても高磁場成分が発生する。これらの磁場成分 r0 は任意のレファレンス半径、r1 と r2 はコイル半径、は小さなダイナミックアパーチャをさらに小さくす C(n)とαn は定数、±の−は回転中心の反対側にコイる可能性があるため、六極電磁石の主成分のみなら ル位置がある場合である。また Kn は,ず多極磁場成分も精度よく測定する必要がある。
nn
ハーモニックコイルを用いて磁場測定を行う場合、
NLr0 r2   r1  (2)Kn      
コイルの中心と回転中心がずれていたり、回転が一nrr0 0
様でなかったり、エンコーダが正確でなかったりすると、見かけの磁場が発生する。コイルはみかけの磁場と実磁場が区別できないため、測定結果は誤差 トランスバース方向の振動やねじれ方向の振動があを含んだものとなり[3]、精度の良い磁場測定ができ るとフラックスは次のようになる。
ないと言う問題がある。そこで六極電磁石の高精度n  Re K n e in C(n)e  in n
磁場測定を目的として、見かけの磁場に不感で実磁場のみを測定するコイル配置について検討し、その
結果を前回報告した[4]。
i(n 1)  n 1 D( )in nReKeC(n)e(3)

n 1
今回、前回報告した検討結果に基づき、主成分でr0ある六極磁場測定用と高磁場成分測定用のハーモニックコイルを制作した。さらにこのコイルを用い
Re inK n T( )e in C(n)e in nて磁場中心を出し、磁場測定を実施する方法についても検討した。以下に制作したハーモニックコイルの概要、およびハーモニック成分の求め方、磁場中 ここで D(θ)は位置の誤差、T(θ)は角度の誤差を示す。角度の誤差は実際の角度誤差だけでなく読み出心の求め方、実際の手順について述べる。
し誤差も含む。







2.

ハーモニックコイルの製作

2.2

2.1

フラックス

式（３）から位置の誤差 D(θ)や角度の誤差 T(θ)
があると見かけのフラックスが測定されてしまい、それは感受率 Kn-1 と Kn に比例することがわかる。
逆に位置の誤差に対しては Kn-1 を、角度誤差に対しては Kn を零にすることでみかけのフラックスが零

ハーモニックコイルの出力を積分して得られるフラックスは次のように表される。
___________________________________________# tsumaki@spring8.or.jp- 1162 -高磁場成分測定用コイル

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Figure 1: Harmonic coil for the measurement of higher harmonic components of sextupole magnets.

Figure 2: Cross section of the harmonic coil for themeasurement of higher harmonic components ofsextupole magnets.

図１図２に製作したハーモニックコイルの外形図と断面図を示す。コイルは S／N 比を良くするためできる限り面積が大きく、巻き数も多いほうが良い。
しかしながら、測定する六極電磁石のボア径は２６mm と非常に小さいため、コイルを大きくできない。
コイルをあまりに大きくすると、磁場中心を求める際に電磁石にぶつけてしまう可能性がある。そこで１．５mm の余裕をみてコイルを収納するボビンの外径をφ２３mm（半径 11.5mm）とした。ボビンの中には、２個のコイル、コイル A、コイル B が巻かれている。コイルの基準となるコイル A の位置 r2Aはできるかぎり大きくしたかったが、製作上の限界から 9.5mm とした。
コイルの位置 r1A/r2A は 0.5 から 0.8 程度にすれば良いことが分かっている。このとき r1A と r1B は中心に対して同じ側にくるが接近しすぎると線をまくことができない。r1A/r2A が増えるほど両者の間隔はひらいてコイルを巻きやすくなるため製作メーカーと相談し r1A/r2A は 0.8 近辺にすることにした。実際には座標の値は二桁（0.1mm）の有効数字で決めた
ため r1A/r2A は 0.8105 となった。巻き線はできるかぎり巻き数をかせぎたかったので、外形 0.3mm のホルマール銅線とした。表１にこのようにして決めたコ
イル巻き数、位置 r1A、r2A 、r1B、r2B を,表２にコイルの位置の比と各成分の有効感受率を示す。になり、実磁場だけを測定できる。n が３の六極電磁石の場合、式（３）より位置の誤差および角度の誤差から発生する高磁場ハーモニック成分は、四極成分（n=2）と六極成（n=3）分に対する感受率を零にすることで消え、実磁場成分だけ残る。しかし、そのままでは実磁場の高ハーモニックス成分に対する感受率も小さくなってしまう。そこで２個のコイ
ル、コイル A、コイル B を用いて、四極成分と六極成分の感受率を零に保ったまま、高磁場ハーモニッ Table 1: Number of Coil Winding and Coil Position of
ク成分に対する感受率を最大化するようにコイル位 Harmonic Coils for Higher Harmonic Field Measurement
置 r2A、r1A、r2B、r1B を決めた[4]。すべての高ハーモニック成分の感受率を最適化することは難しいため、
巻き数
位置 r2A,r2B
位置 r1A,r1B
八極（n=4）と十極成分（n=5）のみ最大化するようコイル A
89.5 mm
7.7 mmにした。この時の感受率は次のように表せる。
コイル BKeff2Keff30(4)

  r  4 N  r  4  r  4  eff
K 4  I 4 1  1A   B  2 B    1B    (5)N A  r2 A   r2 A     r2 A 
555 r N  r   r   K 5eff  I 5 1  1A   B  2 B    1B    (6)N A  r2 A   r2 A     r2 A nLN A r2 A(7)In 
nr0n1
ここで、NA,NB はコイル A、コイル B の巻き数である。

167.4 mm

6.3 mmTable 2: Normalized Coil Position and Effective Sensitivity
r1A/r1Br2B/r2Ar1B/r1B

K2eff/I2

K3eff/I3

K4eff/I4

K5eff/I5

0.8105

0.781

0.662

0.9%

0.4%

22%

52%

2.3

主成分測定用コイル

位置ずれに対しては四極成分に対する感受率に比
例して、角度誤差に対しては六極成分に対する感受率に比例して見かけ上の六極磁場成分が発生する。
従って四極成分と六極成分に対する感受率を零にすれば、見かけの六極成分は測定されなくなる。しかし本来測定したい成分が六極成分なので、六極成分- 1163 -Proceedings of the 11th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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Figure 3: Harmonic coil for the measurement of main field component of sextupole magnets.

3.

磁場測定

3.1

積分器の出力と積分磁場実際の積分器ではある角度範囲Δθの積分が出力されるため、出力は次のようになる。
)  (  )
22








  K nC(n) cos  n(  )  n n    K nC(n) cos  n(  )  n n 22n1n1

( nn   2sin()K n Bn sin(n )  2sin()K n An cos(n ) 22(10)n1   Bn0 sin(n )  An0 cos(n )
n1Figure 4: Cross section of the harmonic coil for themeasurement of main field component of sextupolemagnets.
に対する感受率は零にすることはできず、逆に最大化する必要がある。従って、主磁場成分である六極成分を測定するためには、四極成分に対する感受率
K2eff = 0 の条件のもとで、K3eff を最大化するようコイル配置を決めた。この時の感受率は次のようになる。

K 2eff  0K 3eff (8)32A

2N A Lr
3r02

 r  1  1A    r2 A  3(9)図３に主成分測定用のハーモニックコイルの外形図を、図４に断面図を示す。２個のコイルは左右対称で、外側のコイル位置は高ハーモニック成分測定用コイルと同じ 9.5mm で内側のコイル位置は製作上から１mm とした。表 3 にコイル巻き数と位置を示す。
Table 3: Number of Coil Winding and Coil Position ofHarmonic Coils for Main Field Measurement
巻き数

位置 r2A,r2B

位置 r1A,r1B

コイル A

89.5 mm

1.1 mmコイル B

89.5 mm

1.1 mmBn  C(n)cos(n n )An  C(n)sin(n n )n
Bn0  2sin()K n Bn2n
An0  2sin()K n An2(11)(12)(13)(14)

ここで Bn がノーマル成分、An がスキュー成分である。また FFT の出力は Bn0、Ano となる。
3.2

磁場中心

コイル座標系を（x、y）、電磁石座標系を（x’、y’）、コイル座標系から見た電磁石座標系の原点をz0=x0+iy0 とすると電磁石座標系で z’=x’+iy’の位置にある磁場の強さは、n1in n'  z' B(z ')   C '(n)e r  n1 0



(15)

コイル座標系では、k1ik k  z ' z0 B(z)  B(z0  z')   C(k)e r  k1 0n1kn   k  1!  z'   z0   (16)   C(k)eik k n  1! k  n !  r0   r0  n1 kn 

式（１５）（１６）より,- 1164 -Proceedings of the 11th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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kn
 '
 k  1!  z0  C '(n)ein n    C(k)eik k (17)
 n  1! k  n !  r0  kn 

4.3

２n 極の磁石の中心は 2(n-1)極成分が零になるところであるから、

B30 LmLm  By
23
2 x2sin()K 3r22A
2'C '(n  1)ei(n1) n1
 C(n  1)e

i(n1) n1

 (n  1)C(n)ein n z0  r   ........  00(18)C(n  1) i n n (n1) n1 z0 x y
i

e(19)
r0r0r0(n  1)C(n)従ってコイル中心と磁場中心の差は、

x  r0C(n  1)cos  n n  (n  1) n1 (n  1)C(n)r C(n  1)
y   0sin  n n  (n  1) n1 (n  1)C(n)コイルを四極成分が打ち消し合うようにつなぎ直し、積分磁場 BL 積を測定する。BL 積は、
2(20)(21)(28)

ただし LM は電磁石の長さ。
4.3

一次の項だけとると、主成分の測定

高ハーモニック成分の測定

コイルを高ハーモニック成分用（八極、十極）に切り替え、八極成分、十極成分を測定する。八極成分と十極成分の BL 積は、

Lm  By
B40 Lm
34
3! x2sin()K 4 r23A
23

Lm  By
B50 Lm45
4! x2sin()K 5 r24A
2(29)

4(30)

4.

測定手順

5.

4.1

磁場中心の測定

ハーモニックコイルは精度の良い磁場測定の方法であるが、コイルの位置ずれや角度誤差があると見かけの磁場が発生してしまい、測定誤差の原因となる。この見かけの磁場に対して感度が低く、実磁場のみを正確に測定するハーモニックコイルを製作した。製作したコイルは六極電磁石の主成分測定用のものと、高ハーモニック成分測定用の２種類である。
またこのハーモニックコイルを使って磁場中心や磁場成分を求める方法について検討した。
今後実際の六極電磁石を用いて磁場測定を行い有効性を確認する予定である。

主成分測定用のコイルを用いる。そのままでは四極成分が測定できないので２個あるコイルのうち一つのコイルを用いて磁場中心を求める。磁場中心は次の通り。

C(2)r2 A cos(3 3  2 2 )
2C(3)
C(2)
y  
r2 A sin(3 3  2 2 )2C(3)x  (22)
(23)

参考文献

ここで、

C(2)  

B20

2
2sin()K 2 cos(2 2 )2B30C(3)  3
2 sin()K 3 cos(3 3 )21A 2  ark tan( 2 )2B21A 3  ark tan( 3 )3B3まとめ(24)(25)[1] M. Bei et al., “The Potential of an Ultimate Storage Ringfor Future Light Sources”, Nucl. Instr. and Meth. A 622,(2010), 518.
[2] K. Fukami, “SPring-8 upgrade: Strong Magnets for
Ultimate Storage Ring”, ICFA Beam Dynamics Mini
Workshop on Low Emittance Ring 2011, Heraklion, Greece.
[3] A. K. Jain, “Harmonic Coils”, CERN 98-05, 1998, p. 175.
[4] K. Tsumaki et. al., “Optimization of a Harmonic Coil for
the Field Measurement of Sextupole Magnets”, Proc. of the10th Annual Meeting of Particle Accelerator Socity of Japan.

(26)
(27)

この状態ですべてのハーモニック成分を測定しておく。

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