模型空間における３体反応の理論
2017年度 原子核三者若手夏の学校
原子核パート講義1
おがた かずゆき

緒方 一介
大阪大学 核物理研究センター(RCNP)
I. 波束の理論と +iη の意味 ～定常散乱理論の基礎付け～
II. 3体反応理論の難点とその克服 ～Faddeev, CDCC, DWIA～
III.「秩序の崩れをもたらす秩序の理解」に向けた取り組み

I. 波束の理論と +iη の意味～定常散乱理論の基礎付け～

散乱理論の教科書によれば…
適切な境界条件を満足する散乱波は、無限遠方においてとなる。このとき、微分散乱断面積は以下のように与えられる。
クーロンなし・スピンなし

外向き球面波

入射平面波

O※断面積: 入射流束で“規格化”した単位時間あたりの反応確率z疑問・突然「適切な境界条件」と言われても…。
・仮にそういう形で散乱波を表現しただけだとしても、が観測される断面積になるというのはどうにも腑に落ちない。
・波動関数の時間依存性はどこに?
・入射平面波って、宇宙の彼方まで広がっているよね?
散乱理論は、実験条件(および直観的な描像)と合致しない。
Part I. の目的
直観と合致する波束の理論と定常散乱波の理論がどのような関係にあるのかを明らかにする。

波束状態
反応の初期状態(初期波束):

波束中心波束の運動量(波数)(←初期時刻の定義)
換算質量はエンベロープ関数で、波束の形状を表す(たとえばガウス型)。
ここではその具体形は問わない。
任意の時刻における波束状態:
系のハミルトニアン

初期波束の例(イメージ)
v0t = 20 (cm)101150.50.5020000-5-20-20-10-30-40 -40

y=0-25-20-15-10z (cm)
※現実の波束のx, y方向の広がりはもっと狭い。

3つのスケール
反応領域の大きさ
fm のスケール。換算ド・ブロイ波長 1/K0 に相当。
※波数 K0 の波は位置変化 1/ K0 を位相変化 1 として “検出” する。

波束の拡がり典型的には cm のスケール。長さ w として表現する。このとき運動量(波数)は幅 1/w (～1013 1/fm)に集中している。
漸近領域の距離
典型的には m のスケール。粒子を撃ち込んだり検出器で測定したりする領域。波動関数の漸近形が利用できる。| Z0 | に相当。

初期波束のフーリエ展開のフーリエ変換(～ 1/w の極めて狭い幅に分布)
逆変換:
初期波束は P ～ K0 に集中

初期波束の定常波動関数による表現
R ～ Z0 に局在
運動量 K

逆変換

R ～ Z0 で運動量 ～ K測定がなされる時刻での波束と定常波動関数

は H の固有状態(固有値 E)

幅 ～ 1/w

方針:

測定領域では漸近系が利用可とし、E と K を Q の1次までで評価する。

定常散乱波の波数・エネルギー～ 1011 MeV

積分変数を K から Q に変更

波束の平面波成分

Trivialな時間依存性

中心が速度 で運動する波束(入射波束の形を保持)

波束の拡散は?
波束の拡散を扱うには、Q の高次項が必要。ただし今の場合、その効果は無視して良い。
1次元の自由ガウス波束の確率分布幅(時間変化):(～ 200 [MeV・fm],～ 1015 fm,
検出器の距離～ 103 MeV,～ 1013 fm )

波束の球面波成分

積分に関与する Q の範囲内では f の K 依存性は無視できる。

Trivialな時間依存性

中心が速さ で動径外向きに運動する波束

エンベロープ関数について(補足)・平面波成分・球面波成分エンベロープ関数の性質(平面波成分)

・中心は速さ で z 軸方向に運動。
・cm 程度の拡がりを持つので、散乱領域付近では、G の x, y
依存性は無視して良い(正確には x, y 方向の拡がりは z 方向の拡がりよりも狭いが、それでも巨視的なスケール)。
・散乱領域の単位面積あたりに流れ込む確率の総量は、x = y = 0として、G の z 分布の積分を取ることで求まる。

エンベロープ関数の性質(球面波成分)

・中心は速さ で動径外向きに運動。
・動径方向についての分布は初期波束の z 方向の分布と同じ。
・巨視的なスケールで考えるとであり(∵波束幅 ～ cm)、R > 0 であるから、t は正であることが示唆される。すなわち球面波成分は t ～ 0 で発生したとみなせる(因果律)。
・ 方向に出ていく確率の総量は、十分時間が経ったところで求めた G の R 分布の積分と、散乱振幅の絶対値二乗の積:[]
巨視的な距離微分断面積
散乱領域の単位面積あたりに流れ込む確率の総量:

方向に出ていく、単位立体角あたりの確率の総量:

微分断面積

定常散乱波の理論の結論と完全に一致!

波束の伝播の様子
v0t = 20 (cm)2020101002000200-20-20y=0-40 -40n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 10 (cm)2020101002000200-20-20y=0-40 -40n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 10 (cm)2020101002000200-20-20y=0-40 -40n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 20 (cm)2020101002000200-20-20y=0-40 -40n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 30 (cm)2020101002000200-20-20y=0-40 -40n-59Co at 5.44 MeV

波束の伝播の様子
v0t = 30 (cm)n-59Co at 5.44 MeV

4101001010-110-2102010020-10310210-21100-20-20-40 -40010020406080 100 120 140 160 180

 (deg)前半のまとめ
・現実の実験条件や直観的描像と合致する波束の理論と、これまでに学んだ定常散乱波の理論との関係を議論した。
・運動量に(非常に狭い)幅を持たせる事によって、散乱現象を、直観と合致する波束の運動として描くことができる。
・そのようにして求めた微分断面積の表式は、定常散乱波の理論の結論と完全に一致する。これは本質的には、散乱領域の大きさと比べ、波束の拡がりが無限に大きいと見なせるからである。
※より詳しい議論については、以下を参照(ただしAusternは絶版)。
N. Austern, “Direct Nuclear Reaction Theories” (John Wiley & Sons) [Chap. 1]
笹川辰弥『散乱理論 (物理学選書20)』(裳華房) [第2章]
M. L. Goldberger and K. M. Watson, “Collision Theory” (Dover) [Chap. 3]

後半の話
・巨視的な空間に広がった波動関数を用いた時間依存散乱理論を概観する。
・波束の理論で得られた知見を援用し、時間に依存しない散乱波に、その波が本来有していた時間依存性の名残 +i を与える。
・散乱の基礎方程式である Lippmann-Schwinger (LS)方程式を導出する。

時間依存シュレディンガー方程式

巨視的空間( : 1辺の長さ L の立方体)で規格化された平面波によって展開:

時間依存シュレディンガー方程式の摂動解

無摂動解:( は入射チャネルのラベル)

1次の摂動解:
入射時刻
2次の摂動解:(の方程式)

2次の摂動解

積分を以下のように処理:

で相互作用消失

微小な相互作用変化(極限は最後に取る)+i は、現実の散乱が波束の時間発展で表されることを簡便に表現するもの(+ は無限の過去で自由状態という意味)。

2次の摂動解(つづき)lim は省略(以下も同様)。1次の摂動解とまとめて1次の摂動入り散乱波グリーン関数のスペクトル展開

Lippmann-Schwinger方程式
同様にして摂動の高次まで取り入れる。

Lippmann-Schwinger (LS)方程式

LS方程式は、適切な境界条件を満たす散乱波の形式解を与える。
+i を含む式は、無限の過去で平面波状態であったことと、それが相互作用によって平面波+外向波となることの双方を保証する。

後半のまとめ・波束の理論が定常散乱波の理論と等価である事実に基づき、波束による散乱現象を模倣する処理を行うことで、適切な境界条件を満たす定常散乱波の形式解が得られる。これがLippmannSchwinger (LS)方程式である。

・LS 方程式に現れる +i は、散乱現象が、無限の過去において相互作用を受けていない自由な状態(平面波状態)から始まり、きわめてゆっくりと相互作用がはたらいて、平面波+外向波という漸近条件をもつ状態に推移するものであることを保証している。
これが、2体散乱における適切な境界条件の実体である。
・3体反応では、上記のものだけでは境界条件として不足である(II.に続く)。

II. 3体反応理論の難点とその克服～Faddeev, CDCC, DWIA～

はじめに
ここで議論したい問題は、よく指摘される「3体問題は解けない」というものではありません。つまり、解が解析的に表されるかどうかを、ここでは問いません。そして、3体の束縛問題は解けているという立場を取ります(たとえば量子力学的3体系の束縛状態については、変分法を用いることにより、厳密解と同等とみなせる解が得られています)。
では何が問題か。それは「3体の散乱問題の解を与える方程式は何か?」です。Part IIの前半では、この問題とその解答であるFaddeev理論を紹介します。

準備1
LS方程式
左からを作用

Moller の波動行列を用いた散乱波の表現

波動行列

準備2グリーン関数

両辺足す

3体系の散乱問題
Channel 1

Channel 2

Channel 3

Channel 0111132323232

ハミルトニアン
チャネル1に入射波が存在する場合の散乱波
23の束縛状態
入射チャネルのラベル

無限の過去は指定されているが、具体的な終状態が未指定

LS方程式の解の非一意性
チャネル1に入射波が存在する場合の散乱波※

終状態は、V31 + V12で生成される散乱状態のみ(3つばらばらの状態も含む)。31および12の束縛状態は生成されない。
(「そういう終状態は見ない」と宣言するだけで済めばよいが…)

LS方程式の解の非一意性(つづき)チャネル2に入射波が存在する場合の散乱波

チャネル1に入射波が存在する場合の散乱波は上の方程式を満たす(は任意の定数)。すなわち単一のLS方程式は、異なるチャネルに入射波をもつ成分の混在を防げない。これをLS方程式の解の非一意性とよぶ。

Disconnected Diagram
摂動展開

1231+231+23

素通りする粒子が存在すると、運動量が等しい平面波のノルム積が表れ、発散が生じる。このような、粒子の素通りを含むダイアグラムを disconnected diagram とよぶ(諸悪の根源)。

一意な解を与えるLS方程式のセット※チャネル2に入射波をもつ波の混入は、2つ目のLS方程式によって防がれている。

Faddeev分解

Faddeev方程式(1/3)

Faddeev方程式(2/3)

Faddeev方程式(3/3)

チャネル1に入射波をもつ散乱波・解の一意性が保証。
・全ての組み替えチャネルが生成される。
・Disconnected diagram は存在しない。

ここからの話
・重陽子(陽子と中性子の2体系)と原子核の反応を考える。
・3体反応理論の困難を認識した上で、Faddeev 方程式を解かずに済む方法を考える。
✓厳密解法を用いる計算は大変(最近はそれが流行?)。
✓議論できる物理が制限される。
✓問題が解けることと問題を理解することは異なる(cf. 実験)。

・連続状態離散化チャネル結合法(Continuum-Discretized CoupledChannels method; CDCC)の理論的基盤を示す。

(p+n)+A three-body scattering problemnnppdA

Assumptions for simplicity:・No spins
・No Coulomb
・No absorption (imaginary pot.)
・2-body problem solved

Schrödinger Equation(channel Hamiltonian)Lippmann-Schwinger (LS) equation

Problems of the LS equation

1. Absence of the rearrangement channels
2. Divergence problem due to the disconnected diagram
3. Nonuniqueness of the solution

The b.c. of the LS Eq. is not appropriate.
nr
RAppnRAr

The Faddeev theory
L. D. Faddeev, Zh. Eksp. Theor. Fiz. 39, 1459 (1960) [Sov. Phys. JETP 12, 1014 (1961)].

nnpp
dDistorted Faddeev Eqs.

A

Three-body theory in a model space
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C 53, 314 (1996).

Distorted Faddeev Eqs.

not pair int. but 3-body int.

nR  r/2rpRA

Problems of the LS equation

1. Absence of the rearrangement channels
2. Divergence problem due to the disconnected diagram✓
3. Nonuniqueness of the solution✓The b.c. of the LS Eq. is not appropriate.
nrRA

ppn

RAr

l-truncation, the center of CDCC
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C 53, 314 (1996).

pn

RAr

smears out ^r w/ the resolution of 1/lmax.
[If lmax → ∞, it means (r’ r).]・We have no rearrangement-like channel in the asymptotic region
because of.
・As lmax increases, the coupling between the 1st Eq. and the othertwo becomes weaker.

Three-body theory in a model space
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C 53, 314 (1996).

Distorted Faddeev Eqs.

not pair int. but 3-body int.

→0nR  r/2rp

R
A

CDCC, as an alternative to the Faddeev theory
N. Austern, M. Yahiro, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 63, 2649 (1989);
N. Austern, M. Kawai, and M. Yahiro, Phys. Rev. C 53, 314 (1996).

CDCC solves the following LS eq.:

CDCC gives a proper solution to a three-body scattering problem
if the solution converges w/ respect to l.
・Continuum-Discretization has nothing to do w/ the justification of CDCC.
・l-truncation allows one to truncate also r and k.
・Convergence for other quantities (rmax, kmax, and k, etc.) must be confirmed
to obtain a proper solution to the LS Eq.

The Continuum-Discretized Coupled-Channels
method: CDCC (after l-truncation)r (k)np (k)d R (K)00  0  0   k  k dk0A

^iimax

 CDCC   ˆi ˆ ii

cf. M. Kamimura, Yahiro, Iseri, Sakuragi, Kameyama, and Kawai, PTP Suppl. 89, 1 (1986);
N. Austern, Iseri, Kamimura, Kawai, Rawitscher, and Yahiro, Phys. Rep. 154 (1987) 126;
M. Yahiro, Ogata, Matsumoto, and Minomo, PTEP 2012, 01A206 (2012).

Faddeev-AGS vs. CDCC
N. J. Upadhyay, A. Deltuva, F. M. Nunes, PRC 85, 054621 (2012).

Description of deuteron breakup process by CDCC
Incident energyn00p11cn22Ei +  i = E

1
2(Energy Cons.)

0A・Open channels (Ei > 0): directly connected to observables
・Closed channels (Ei < 0): virtual breakup channels
Neglected in the preceding study

Applicability of CDCC to low energy BU process
N. J. Upadhyay et al., PRC 85, 054621 (2012).
12C(d,pn)12C

KO and K. Yoshida, PRC 94, 051603(R) (2016).

gs at Ed = 12 MeV

coupling w/ closed channels

CDCC

FAGS

CDCC severely overshoots the result ofFAGS,FAGS. if closed-channels are neglected.
cf. triple-alpha study

CDCC to DWIA
kccK0Kn

陽子による入射核分解反応

nPpk

1. Weak coupling to the BU channels

2. Only

breaks up P.

p-P の散乱波

陽子による中性子ノックアウト反応

n-c DW (w/ E-dep. complex pot. and/or large l)Test of the two assumptions
p(19C,18C+n)p at 68 A MeV
120d / dPz [mb/(GeV/c)]

100

CDCC
1step
vpn breakup only

8060

Validation of DWIA

40
200
6.3

6.4

6.5Pz (GeV/c)

6.6

6.7

まとめ CDCCは模型空間中での “厳密” 3体反応理論である。
 一般には単一のLS方程式を用いることは許されず、Faddeev方程式を解いてはじめて3体系の正しい散乱波が求まる(計算は大変)。
 l-truncation を施した模型空間の中では、単一のLS方程式を用いることが許され得る。
 有限の lmax で解が収束する場合には、CDCCはFaddeev理論と等価であるとみなしてよい。

 分解状態との結合が弱いとき、CDCCはDWIAに簡略化可能。
 エネルギー移行が大きいときには、むしろDWIAの方が優れている。

私見
近似こそ物理の神髄。厳密理論は往々にして直観的理解を許さない。
また、現象を厳密に解ける問題に簡略化することも。それって厳密??

III. 「秩序の崩れをもたらす秩序の理解」に向けた取り組み

How far does the indep.-part. picture hold?

T. Wakasa, KO, and T. Noro, PPNP 96, 32 (2017).
40Ca(p,2p)39K at 392 MeV (RCNP data)(a naïve Shell Model)

The (p,2p) reaction
K1K0

K2

A “snapshot” of proton in a s.p.
orbit in momentum space(Thanks to DWIA!)

40Ca(p,2p)39K at 392 MeV (RCNP data)Ay

TDX [b/(MeV sr2)]

KN = K1 + K2  K0

T. Wakasa, KO, and T. Noro, PPNP 96, 32 (2017).

2 (deg)2 (deg)

103Data: T. Noro et al., J. Phys. Conf. Ser. 20, 101 (2005);
T. Noro, private communication (2014).

10102

10

10-300-200-1000100

KN (MeV/c)

200300一粒子波動関数 [fm3/2]

断面積 [mb/(MeV・sr)]

一粒子構造の抽出
0.4

殻模型極限
12C 中で残存している分

0.30.2多体相関による殻構造の崩れ

0.100246810R (fm)・原子核と陽子の相互作用の影響を(理論的に)除去し、逆フーリエ変換を行えば、一粒子波動関数の分布が得られる。
・また、断面積の絶対値から、一粒子構造の残存度がわかる。
= S因子

Missing correlations in shell model
Stable nuclei

Unstable nuclei

600% missing
correlation!

G. J. Kramer, H. P. Blok, L. Lapikas, NPA 679, 267 (2001).

J. Tostevin and A. Gade, PRC 90, 057602 (2014).

Order behind the breakdown of “order”
秩序の崩れをもたらす秩序の理解
1. Systematics of the S factors via (p,pN) reactions・RCNP data for stable nuclei (Aoi)/ RIBF data for unstable nuclei (Uesaka)・Shell model (Utsuno and Shimizu) + mean field (Yoshida)+ cluster (Kanada-En’yo)
・Off-shell NN transition matrix in nuclear medium w/ Ch-EFT (Kohno)

2. Many-body correlations underlying the melt of the (naïve) shell structure・(p,pNN’) for NN correlation (multi-nucleon knockout)・(p,pn) for 2n halo nuclei followed by neutron decay to probe di-neutron correlation
・(p,pd) for pn (deuteron-like) correlation
・(p,pN) for deeply-bound nucleon for studying 3N-force effect・(p,p) for  correlation-clustering in 120Sn studied via (p,p)392 MeVK. Yoshida, K. Minomo, and KO, PRC 94, 044604 (2016).

Triple Diff. X-sec. (TDX)

・A 4s Pot. Model W. Fn. is adopted.
・Distortion is extremely important(widen the width of the TDX).
・Factorization approxn is verified.

(p,p) as a probe of surface K. Yoshida, K. Minomo, and KO, PRC 94, 044604 (2016).

Proving 2n correlation in 6He via (p,pn) process
Y. Kikuchi, KO, Y. Kubota, M. Sasano, and T. Uesaka, PTEP 2016, 103D03 (2016).

250 A MeV

6Hep

(p,2p) as a probe of Ch-3NF effect
K. Minomo, M. Kohno, K. Yoshida, and KO, PRC 96, 024609 (2017).

0p3/2

Order behind the breakdown of “order”
秩序の崩れをもたらす秩序の理解
1. Systematics of the S factors via (p,pN) reactions
・RCNP data for stable nuclei (Aoi)/ RIBF data for unstable nuclei (Uesaka)・Shell model (Utsuno and Shimizu) + mean field (Yoshida)+ cluster (Kanada-En’yo)
・Off-shell NN transition matrix in nuclear medium w/ Ch-EFT (Kohno)

2. Many-body correlations underlying the melt of the (naïve) shell structure・(p,pNN’) for NN correlation (multi-nucleon knockout)・(p,pn) for 2n halo nuclei followed by neutron decay to probe di-neutron correlation
・(p,pd) for pn (deuteron-like) correlation
・(p,pN) for deeply-bound nucleon for studying 3N-force effect・(p,p) for  correlationこの講義で伝えたかったこと
・定常散乱波を用いた散乱理論が気持ち悪いのは自然なこと。
ただし、波束の理論を用いれば定常散乱波の理論は正当化可能。+i の物理的な意味も明確。
・3体の散乱理論は、解を正しく与える方程式を見出すこと自体が困難。これに対する解答が Faddeev 理論。
・模型空間の中での “厳密” 3体反応理論という考え方。有限のl で記述できる反応については、1つのLS方程式を解けばよい。
それがCDCCの理論的基盤(連続状態の離散化はまた別の話)。
・DWIAは、ノックアウト反応の直観的な解釈を許す強力な3体反応模型(CDCCによる基礎付けも可能)。現実の原子核に発現する殻構造とその背後にある多核子相関の研究が進行中。
・研究対象の拡大と物理の理解をもたらす近似(模型)は偉大。
(ただし近似の基盤と適用限界は把握しておく必要あり。)