平成 25 年度 岐阜工業高等専門学校シラバス
教科目名
応用数学特論担当教員
森口博文，渡邉尚彦
学年学科
1 年次 建設工学専攻
前期
必修 2 単位学習・教育目標 （Ｄ－１）1００％
JABEE 基準１（１）：（ｃ）
授業の目標と期待される効果：
成績評価の方法：
高専出身学科の応用数学(関連)の科目で学ん 期末試験 100 点＋平常試験・課題等 116 点
だ内容を基にして，多くの工学的分野や他の応 とし，総得点率（％）によって成績評価を行なう．
用数学に応用されるフーリエ変換や偏微分方 課題等には、授業中の演習や質疑応答等が大きく反映される．
程式や特殊関数を理解し，これらに関する偏微 達成度評価の基準：分方程式などの問題を解く計算を身につける． 教科書の練習問題と同レベルの問題を試験で出題し，6 割以上の正答レベルまで達していること．なお成績評価への重みは①～⑥でほ物理や工学の関連問題を解く際に必要となるぼ同じである．
数学的技法も理解することが期待できる．以下①フーリエ級数・積分・変換に関する計算問題をほぼ正確に(6 割の項目が具体的な目標である．
以上)解くことができる．
①フーリエ級数・積分・変換による計算②双曲型・楕円型・放物型の線形 2 階偏微分方程式の境界値問題に②双曲型・楕円型・放物型の線形 2 階偏微分関する計算問題をほぼ正確に(6 割以上)解くことができる．
方程式の境界値問題を解く③特殊関数のベッセル関数を利用して，線形 2 階偏微分方程式の境界値問題(円筒座標)に関する計算問題をほぼ正確に(6 割以上)
③特殊関数のベッセル関数を利用し，線形 2解くことができる．
階偏微分方程式の境界値問題(円筒座標)を解く④特殊関数のルジャンドル関数を利用して，線形 2 階偏微分方程式④特殊関数のルジャンドル関数を利用し，線の境界値問題(球座標)に関する計算問題をほぼ正確に(6 割以上)
形 2 階偏微分方程式の境界値問題(球座標) を解くことができる．
解く
授業の進め方とアドバイス：授業では教科書，板書とプリントを利用する．(例題等を参考に)多くの演習問題を自分の手で解いて，自然科学特有の思考の流れをつかみ他に適用できるように努めてもらいたい．また単に公式適用の練習で済ませるのではなく，本質にある不可欠な概念とそれらの関係を考えてもらいたい．授業と演習を通じて自分の数学の知識を確認して，復習や予習の自宅学習も必要である．本科の数学の教科書を持参して利用すると良い．
教科書および参考書：技術者のための高等数学３．フーリエ解析と偏微分方程式(原書第 8 版)（E. クライツィグ，倍風館，2004）を教科書とする．Advanced Engineering Mathematics 8th ed. (E. Kreyszig, John Wiley & Sons. Inc. ，1999) ，基礎解析学（改訂版）（矢野・石原，裳華房），電気・電子・情報系の基礎数学Ⅲ複素関数と偏微分方程式（安藤・中野，東京電機大学，1996）を参考書として活用するとよい．
授業の概要と予定：前期
教室外学修

第 １回：応用数学特論の概要，フーリエ級数の復習（周期，周期関数，フーリエ級数，フーリエ係数）

第 ２回：フーリエ積分（非周期関数，絶対積分可能，フーリエ積分）自然現象や工学的応用に周期現象は頻繁に現れる．
フーリエ級数は，これらの周期現象を簡単な周期関数，すなわち正弦関数と余弦関数で表して，実用上有用である．フーリエ級数，任意の周期をもつ関数に対するフーリエ級数，偶関数および奇関数のフーリエ級数の課題問題を解いて復習する．
フーリエ積分は，フーリエ級数の考え方と手法を非周期関数に対して適用したものである．フーリエ積
分，フーリエ正弦積分，フーリエ余弦積分の課題問
題を計算する．

第 ３回：フーリエ変換（複素形式のフーリエ積分，フーリエ変換，フーリエ逆変換）

フーリエ変換は，複素形式のフーリエ積分を使って得られる．フーリエ変換の課題問題を解く．

第 ４回：フーリエ変換演習

フーリエ変換に関する物理的解釈(スペクトル表示)，線形性,導関数のフーリエ変換，たたみ込み定理についての課題を理解する．

第 ５回：フーリエ積分・フーリエ変換のまとめ講義で採りあげなかった，強制振動，RLC 回路，最小 2 乗誤差，パーセバルの恒等式などに関する課題問題を解く．

第 ６回：偏微分方程式と，その分類（偏微分方程式，階数，線形，同次・非同次，解，重ね合わせ，楕円型，双曲型，放物型）

偏微分方程式は，複数の独立変数に関する関数とその偏導関数を含む方程式であり，流体力学，弾性学，熱流，電磁学理論，量子力学，そして他の分野のほとんどの物理的および幾何学的問題で現れるといってよい．解の概念や２階線形偏微分方程式の分類を理解する課題問題を解く．
1 次元波動方程式は，双曲型である．弾性弦の振動

第 ７回：2 階線形偏微分方程式（双曲型）と境界値問題などを記述している．変数分離法とフーリエ級数に（境界条件，初期条件，境界値問題，初期値問題，1 次元波動方程式，より，弦の変位や変数分離法に関する課題問題を解変数分離法，フーリエ級数の利用）
く．またダランベールの解について理解する．

第 ８回： フーリエ解析と 2 階線形偏微分方程式に関する演習

ここまでの範囲で復習し，理解した内容を確認しておく．

第 ９回： 2 階線形偏微分方程式（放物型）と境界値問題（1 次元熱方程式）

第１０回：2 階線形偏微分方程式（楕円型）と境界値問題（2 次元ラプラスの方程式，境界値問題，ディリクレの問題，ノイマンの問題，混合問題）

1 次元熱方程式は，放物型である．熱拡散，熱伝導，熱流などを記述している．変数分離法とフーリエ級数により，断熱状態の棒の課題問題を解く．
２次元ラプラスの方程式は，楕円型である．2 次元平面での定常熱流や静電ポテンシャルや長方形の弾性膜の問題などを記述している．変数分離法とフーリエ級数により，定常な平板の中の熱流の課題問
題を解く．
無限長の棒の温度についての熱方程式である放物

第１１回：2 階線形偏微分方程式と境界値問題（熱方程式：フーリエ積分とフーリエ変換の利用）

型方程式に関する課題問題を、変数分離法とフーリエ積分やフーリエ変換を利用して、積分形の解として解く。2 次元波動方程式で表せる振動膜の課題問
題を、変数分離法と 2 重フーリエ級数を利用して求める。

第１２回：特殊関数：座標変換（極座標と円筒座標と球座標でのラプラシアン）

偏微分方程式の境界値問題を解くときに，境界が簡単に表せるように最適な座標変換をする．極座標や円筒座標や球座標でのラプラシアンに変換する詳しい計算をする．

第１３回：特殊関数：ベッセル関数（極座標・円筒座標，ベッセルの方程式，ベッセル級数）

円形膜の振動などを表す極座標や円筒座標での偏微分方程式を解くには，変数分離法を使い，ベッセル関数が必要になる．ベッセルの方程式やベッセル級数を整理して，それを用いて円形膜の振動の課題問題を解く．

第１４回：特殊関数：ルジャンドル関数（球座標，ルジャンドルの方程式，ルジャンドル級数）

重力，静電学，定常熱流，流体の理論に現れるラプラスの方程式を球座標で解くには，変数分離法を使い，ルジャンドル関数が必要になる．ルジャンドルの方程式やルジャンドル級数を整理して，球面コンデンサのポテンシャルの課題問題を解く．

第１５回：特殊関数：ガンマ関数，ベータ関数（定積分への応用）

ガンマ関数やベータ関数を利用して，定積分の課題問題を解く．

期末試験
第１６回：フォローアップ（期末試験の解答の解説など）－－