4. 反応計算の基礎(アイコナール近似・チャネル結合法・波束の理論)

アイコナール近似による散乱問題の解法(1/3)
シュレディンガー方程式は、ポテンシャルを U として、TR は運動エネルギー演算子、E は散乱のエネルギー。
yzRx
左図のような座標系(円筒座標系)bで反応を記述する。
zO

アイコナール近似による散乱問題の解法(2/3)
散乱波に、以下の関数形を用いる。

シュレディンガー方程式に代入し、“速さ”を導入すると、これを解けば良い。と近似する。

アイコナール近似による散乱問題の解法(3/3)
変数分離形の微分方程式なので、容易に解くことができる。

反応の初期条件(波動関数 → 平面波) → C = 1.
波動関数と S 行列

アイコナール近似による断面積の解析
10dσ/dΩ (mb/sr)

10101010105n+12C at 65 MeVn+40Ca at 65 MeVn+208Pb at 65 MeV

432100102030

θ (deg)4050

チャネルの結合
弾性チャネルと1つの非弾性チャネルとの結合を考える。
入射核子の運動エネルギー＋原子核の状態

エネルギー: E0

基底状態
エネルギー: ε0

エネルギー: E1励起状態
エネルギー: ε1＝

チャネル
弾性チャネル

全エネルギーが同じなら結合非弾性チャネル

反応系の波動関数

シュレディンガー方程式
核内核子の数系の全エネルギー

核内核子
中性子 R

Or

チャネル結合方程式

左からを掛ける。

h を固有値に置き換える。

ただしチャネル結合方程式(つづき)r について積分すると対角ポテンシャル(の弾性チャネル成分)結合ポテンシャル

チャネル結合方程式(さらにつづき)全く同様にしてチャネル結合(Coupled-Channel; CC)方程式※ χ0 を解くには χ1 が必要、χ1 を解くには χ0 が必要、…

アイコナールCC方程式

アイコナールCC方程式の解

非斉次項
反応の初期条件:ひと斉次解 (※斉: 整然と並んだ、揃った、斉しい)アイコナールCC方程式の解(つづき)z で偏微分すると、CC方程式の右辺 ÷→は非斉次解。

アイコナールCC方程式の解(さらにつづき)
一般解 ＝ 斉次方程式の一般解 ＋ 非斉次方程式の特解
非弾性チャネルの波動関数も同様に求めると、初期条件を満たす
CC方程式の解は、ただし、これらはあくまで形式解。

反復法による解法
CC方程式の形式解を、以下のように表記する。

初期解から始めて、徐々に真の解を得るのが、反復法。

…
最終的に、以下の条件を満たす、自己無撞着解を求める。

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数0 (初期解)1Re0Im0Re1Im10.5

0-0.5-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数11Re0Im0Re1Im10.5



0-0.5
-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数21Re0Im0Re1Im10.5



0-0.5
-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数31Re0Im0Re1Im10.5

0-0.5-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数41Re0Im0Re1Im10.5



0-0.5
-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数51Re0Im0Re1Im10.5



0-0.5
-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数61Re0Im0Re1Im10.5



0-0.5
-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数71Re0Im0Re1Im10.5



0-0.5
-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数81Re0Im0Re1Im10.5



0-0.5
-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数91Re0Im0Re1Im10.5



0-0.5
-1-1.5-2-8-40z (fm)48

解の収束の様子(at b = 0)
n+16X at 100 MeV, = 250 MeV fm3,
0 = 7 MeV, 1 = 5 MeV, r0 = 2 fm
試行回数10 (収束解)1Re0Im0Re1Im10.5

0-0.5-1-1.5-2-8-40z (fm)48光学ポテンシャルの“起源”
弾性チャネルの波動関数が満たすシュレディンガー方程式
Folding

非斉次項に、

Dynamical Polarization

動的偏極ポテンシャル(演算子)の形式解を代入。

畳み込みポテンシャル

動的偏極ポテンシャルの解釈
整理すると:z’ から z まで、ポテンシャル v11 の中を伝播

z において、ポテンシャル v01により弾性チャネルに戻る。

(グリーン関数と同等であることが証明可能)z = z’ において、弾性チャネルの散乱波が v10 によって非弾性チャネルに遷移

エネルギー依存する、非局所型の複素ポテンシャル

Reaction calc. with the cPVC method
K. Mizuyama and O, Phys. Rev. C 86, 041603 (2012).
v

cg.s.

+v

c*
Self energy
HF mean field potential (real)+…

Reaction calc. with the cPVC method
K. Mizuyama and O, Phys. Rev. C 86, 041603 (2012).

n-16O

v

cg.s.

+v

c*+…

Application to 24O(p,p’)@62 A MeV
K. Mizuyama and O, Phys. Rev. C 89, 034620 (2014).

アイコナール近似・チャネル結合法のまとめ

・散乱問題を近似的に解く手法として、アイコナール近似を紹介した。この近似は、比較的エネルギーが高いときに有効である。
・アイコナール近似の結果、散乱問題は、z 軸方向についての微分方程式に帰着する。
・微分断面積の計算も容易に可能。その結果は、中性子の弾性散乱角分布(～65 MeV)を、後方までかなり良く再現する。
・アイコナール近似を用いたチャネル結合方程式の導出と、その解法(反復法)について学んだ。
・理想化されたチャネル結合問題は、光学ポテンシャルの起源を理解するために有用。