みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1

非線形材料構成則計算に対する深層学習の適用可能性の検討
賀須井直規i，今井隆太ii

Application of Deep Learning to
Non-Linear Constitutive Equation Calculation
Naoki KASUI, Ryuta IMAI
構造解析の高速化に向け，近年，機械学習関連手法の活用が注目されている．本稿では，構造解析の構成要素のうち特に材料構成則計算に注目し，従来手法であるリターンマッピングの機能を代替するような深層学習モデルを具体的に構築・評価した．その結果，深層学習モデルは概ね高精度に従来手法の結果を再現した．今後，実務レベルの構造解析におけるさらなる精度検証や高速化効果の定量化を経て，構造解析への深層学習の適用に関する研究・取組が発展していくことが期待される．
(キーワード): 構造解析，材料構成則，機械学習，深層学習，代理モデル

1 はじめに

材料構成則計算ひいては構造解析の高速化に向け，近年，機械学習関連手法の活用が注目されている．リ

構造解析は，あらゆる構造物の設計において重要

ターンマッピングで必要となる反復計算や計算負荷なツールとなっている．の高い数値微分に対し，機械学習手法を用いること

特 に 昨 今 で は ， 持 続 可 能 な 開 発 目 標 （ SDGs,でその過程を省略・簡素化することできる見込みがSustainable Development Goals）にも謳われるエネルギあり，これを通じて計算負荷の低減を実現できる可ー・防災分野での課題解決に向け，その重要性はます

能性があると指摘されている．

ます増加している．例えば，二酸化炭素の回収・有効現状，国内においては単軸応力状態を仮定した基利用・貯留（CCUS, Carbon dioxide Capture, Utilization

礎的検討 1, 2)等がなされている段階だが，今後知見のor Storage）や使用済み核燃料を含む放射性物質の地蓄積につれ，さらに実用的な問題において精度との層処分に際して，岩盤を含むバリアの安全性や，水の両立に関する検討が行われることが期待される．

移動や土の変形およびそれらの相互作用を定量的に以上を踏まえ，本稿では，非線形材料構成則計算に予測・評価する必要がある．また，災害に対し強靭関してリターンマッピングの機能を代替するような（resilient）なまちづくりに向け重視される施設の健深層学習モデルをごく簡単ではあるが具体的に構全性の維持・管理においても，材料の定量的な健全性築・評価し，それを通じて，非線形材料構成則計算に評価が求められる．

対する深層学習の適用の可能性について考察する．

しかしながら，このような構造解析，中でも非線形2 手法な材料構成則（力と材料変形の対応付け）の計算は，従来手法（リターンマッピング）では計算負荷が大き2.1 構築するモデル

く，本来必要な精度・条件数の解析を実施することが困難となる場合がある．

非線形材料構成則計算におけるリターンマッピン

iサイエンスソリューション部 社会インフラチーム

コンサルタント 修士（工学）iiサイエンスソリューション部

上席主任コンサルタント

社会インフラチーム

1

博士（数理科学）みずほリサーチ＆テクノロジーズ技報 Vol.2 No.1
グでは，材料構成則（弾性率や単軸引張における降伏入力と出力の関係を直接に予測する．一方，代替モデ応力といった材料固有の挙動特性）が既知であるとル B では，材料構成則を部分的に参照して予め次時の前提の下で，表 1 に示す通り，現時刻における応力 𝝈 と相当塑性歪み 𝜀 ，およびごくわずかに進ん刻が弾性範囲内にあるか塑性範囲内にあるかを判定だ次時刻への歪み増分 ∆𝜺 を入力として，次時刻にお別々に構築された 2 つの深層学習モデルの一方を使することとし，弾性・塑性それぞれに対応するようける応力 𝝈 ，塑性歪み（実際には現時刻からの増分 用して次時刻の状態を予測する．すなわち，2 つの代∆𝜀 ），相当塑性歪み（実際には現時刻からの増分 ∆𝜺 ） 替モデルは，材料構成則の一部を用いて弾性・塑性をを特定する．本検討では，3 軸応力状態におけるリタ事前に判定する（B）か否（A）かに関して違いがあーンマッピングの機能を代替する深層学習モデルをり，したがって適用容易性においては A，精度におい構築・評価する．ては B が優れるものと期待することができる．

具体的には，表 2 に示す 2 通りの代替モデル A, Bを作成する．代替モデル A では，リターンマッピン

2.2 材料構成則

グにおいて既知としている材料構成則を参照せずに，

表 1

入出力

分類

入力

現在の状態（計 13 次元）

状態の変化
出力次の状態（計 13 次元）

本検討では，単純な材料構成則として，von Mises

リターンマッピングおよび代替モデルの入出力データ項目

記号

意味

形式

𝝈
𝜀

現時刻における応力6 次元ベクトル

現時刻における相当塑性歪み

スカラー∆𝜺現時刻から次時刻への歪み増分

6 次元ベクトル𝝈∆𝜀

次時刻における応力6 次元ベクトル

現時刻から次時刻への相当塑性歪み増分

スカラー

∆𝜺

現時刻から次時刻への塑性歪み増分

6 次元ベクトル

表 2

構築対象とする 2 つのモデル

入出力
現在の状態

代替
モデルA

代替モデルA

 応力
 歪み履歴状態の変化
 歪み増分

次の状態
 応力
 歪み
 歪み履歴

全範囲対応
推定モデル

学習の方法

想定する利点

弾性範囲・塑性範囲の材料構成則を使用し標本を区別せずに学ない分，B に比較して習した，全範囲対応モ

汎用性や適用容易性

デルを構築する．

が高い．

弾性範囲の標本のみ

従来手法同様，材料構

材料構成則

材料構成則を使用しない．
を学習したモデルと， 成則を使用する分，A代替
モデルB

塑性範囲の標本のみに比較して精度が高を学習したモデルの 2

くなることが期待さつを別々に構築する． れる．

材料構成則を参照して，次の状態が弾性範囲内か塑性範囲内かを事前判定し，対応するモデルで推定する．

2

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64,000 本を学習用，16,000 本を検証用（学習の終了判

降伏応力 [GPa]0.5定に使用），20,000 本をテスト用に使用した．

0.4
0.3

2.4 学習の条件

0.2

本検討での学習条件を，試行的に表 3 のように設0.1

定した．記載を省略したパラメータは，いずれもライブラリ TensorFlow.Keras 2.6.03,4)のデフォルト値とし000.5た．

1

なお，ごく基礎的なものである本検討ではハイパ

歪み [-]

ーパラメータのチューニングを取り扱うことができ
図 1採用した単軸引張における降伏応力テーブルなかった．この点については，検討の余地が残されている．

モデル，等方硬化則，n 乗硬化則を検討対象とした．
ヤング率は 106.3 GPa，ポアソン比は 0.34，単軸引張

3 結果における降伏応力は図 1 のように設定した．これら
図 2，図 3 に，各標本に関する出力となる 13 項目のデータは，金属を想定して仮想的に設定したものである．

について，真値（リターンマッピングによる計算値）と各代替モデルによる予測値との比較結果を示す．

2.3 データセット

読み取れる第一の結果として，両モデルとも，いずデータセットは，各標本の形式を表 1 に示す 26 次れのデータ項目も従来手法による結果をよく再現し元実数値ベクトルとして，標本数 100,000（弾性範囲た（全項目に関する決定係数 R2 平均値が，モデル A内標本数 36,625，塑性範囲内標本数 63,375）となるよで 0.966，モデル B 弾性範囲用で 0.999 以上，モデルうに作成した．入力となる各データは一様乱数で独B 塑性範囲用で 0.969）．このことから，非線形材料構立に生成（生成範囲は，𝝈 の各次元：-0.4 – 0.4 GPa，𝜀 ：0 – 1，∆𝜺 の各次元：-0.01 – 0.01）し，出力とな成則計算を深層学習モデルで代替することは，精度る各データは従来手法であるリターンマッピングアルゴリズムにより算出した（今回は単純な材料構成読み取れる第二の結果として，モデル A では，モデル B と比較して，歪み増分 ∆𝜺 の各成分や相当塑則を扱っているため，リターンマッピングで大量に性歪み増分 ∆𝜀 が 0 に近い場合（図 2 中の□に含ま標本を生成できる）．

れる標本）において精度が低くなった．このことから，の面で実用的である見込みがあると推察できる．

100,000 本の標本の うち， 無作 為 に 抽出さ れた

表 3

弾性・塑性の事前情報なしに共通した深層学習モデ

学習に関する条件設定

項目

設定内容

モデル構造

全結合ニューラルネットワーク- 層数・ユニット数：層数 6，いずれもユニット数 13

前後処理
学習方法

- 活性化関数：出力層以外は selu，出力層は linear- 前処理：学習用データセットの平均値・標準偏差で標準化- 後処理：学習用データセットの平均値・標準偏差での標準化の逆変換

ミニバッチ学習- バッチサイズ：16,000（学習用データセットの 20%）

- 最適化手法：Adam- 最適化指標：平均 2 乗誤差（MSE）- 終了条件：検証用データの MSE が最小となった時点（結果的に約 20,000 エポック）* 記載を省略したパラメータは，いずれもライブラリ Tensorflow.Keras 2.6.03,4)のデフォルト値とした．

3

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ルで従来手法を代替することは難しい場面があり，判定を行っておくことが精度の向上において重要でしたがって，材料構成則を用いて事前に弾性・塑性のあることが示唆される．

図 2

代替モデル A に関する真値と予測値との比較

図 3

代替モデル B に関する真値と予測値との比較

4

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4 結論への深層学習の適用に関する研究・取組が発展していくことが期待される．

本稿では，非線形材料構成則の計算について，従来手法リターンマッピングを代替する深層学習モデル

引 用 文 献1) 鈴木 琢也，松岡 康友：リカレントニューラルネを試行的に構築し，その精度を評価した．
その結果，以下の結論が導かれた．

ットワークによる材料構成則の構築に関する基- 非線形材料構成則計算を深層学習モデルで代替す礎的研究，日本建築学会構造系論文集，82 巻（2017）

ることは，精度の面で実用的である見込みがある．

543-553 頁- 弾性範囲用・塑性範囲用の深層学習モデルを別々

2) 寺西 正輝：ニューラルネットワークを援用したに構築しておき，推定に際しては事前に弾性・塑性リターンマッピングアルゴリズムによる材料構を判定した上で対応するモデルを使用することで，成則の応力計算法，日本建築学会構造系論文集，
85 巻（2020）1565-1573 頁

精度がさらに向上する．

3) Martín Abadi, Ashish Agarwal, Paul Barham, Eugene
今後，更なる発展に向けた課題としては，以下の点

Brevdo, Zhifeng Chen, Craig Citro, Greg S. Corrado,に関する検討が挙げられる．

Andy Davis, Jeffrey Dean, Matthieu Devin, Sanjay- 精度について，材料構成則計算単体としてではな

Ghemawat, Ian Goodfellow, Andrew Harp, Geoffrey

く，実際の構造解析に適用した際に実用的なレベ

Irving, Michael Isard, Rafal Jozefowicz, Yangqing Jia,

ルにあるか否かを評価する．

Lukasz Kaiser, Manjunath Kudlur, Josh Levenberg,- 代替モデルでは，反復計算が不要となる点や，微分Dan Mané, Mike Schuster, Rajat Monga, Sherry Moore,を数値的なものから解析的なものに置き換えるこDerek Murray, Chris Olah, Jonathon Shlens, Benoitとができる点において，計算負荷の削減が期待で

Steiner, Ilya Sutskever, Kunal Talwar, Paul Tucker,

きる．これによる従来手法に対する高速化の可能

Vincent Vanhoucke, Vijay Vasudevan, Fernanda Viégas,性について，定量的な分析を行う．

Oriol Vinyals, Pete Warden, Martin Wattenberg, Martin
Wicke, Yuan Yu, and Xiaoqiang Zheng：TensorFlow:

本稿での検討はごく簡単なものであったが，構造解析への深層学習の適用の有望性を示唆するものとLarge-scale machine learning on heterogeneoussystems，2015，https://www.tensorflow.org/

なった．今後，実務レベルの構造解析におけるさらな

4) Chollet, François and others ： Keras ， 2015 ，る精度検証や高速化効果の定量化を経て，構造解析

https://keras.io/5