数値解析とはなにか
電気通信大学 2020 年度オープンキャンパス
緒方 秀教
電気通信大学

大学院情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻

2020 年 11 月

数値解析とはなにか 電気通信大学 2020 年度オープンキャンパス
緒方秀教

数値解析 (numerical computation)

数値解析とは何か？
科学技術研究に現れる数学的問題を（特にコンピュータを用いて）解く方法の研究・開発．
人間は（コンピュータは）基本的には有限桁の数（浮動小数点数）の四則演算しかできない．
その前提でどうやって微積分など数学の問題を解いて，答えを見つけるのか？

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緒方秀教

数値解析 (numerical computation)

数値解析の社会への応用例
自動車などの設計（↔ 風洞実験）
天気予報

新型コロナウイルス感染症の研究（スーパーコンピュータ「富岳」）

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数値解析 (numerical computation)
スーパーコンピュータ「富岳」による新型コロナウイルス感染症の研究．

https://www.r-ccs.riken.jp/jp/fugaku/corona/
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緒方秀教

数値解析 (numerical computation)
数値解析の研究対象
関数近似，数値積分，数値微分．
非線形方程式の解．
線形計算（連立一次方程式，行列固有値計算など）．
常微分方程式・偏微分方程式の数値解法．

high performance computing（HPC，大規模並列計算，スーパーコンピュータ）．
精度保証付き数値計算（区間演算）．
その他いろいろ…

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緒方秀教

数値解析 (numerical computation)
数値解析の研究対象
関数近似，数値積分，数値微分．
非線形方程式の解．
線形計算（連立一次方程式，行列固有値計算など）．
常微分方程式・偏微分方程式の数値解法．

high performance computing（HPC，大規模並列計算，スーパーコンピュータ）．
精度保証付き数値計算（区間演算）．
その他いろいろ…
数値解析はいったいどういうことを学問するのか？
数値積分を例に説明する．
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緒方秀教

数値積分：台形則
数値積分 (numerical integration)
積分を高精度で近似計算する方法．
人間が手計算で計算できる積分はごく限られている．
台形則 (trapezoidal rule)

Z b
aN−1Xhhf (a + kh) + f (b)f (x)dx ≃ f (a) + h
22k=1

b−ah=N

.

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数値積分：台形則
台形則の計算例（倍精度演算）：Z 10dxπ= (= 0.78539 81633 97448 3 . . .).
1 + x24N

計算値

誤差

48163264128
25651210240.78279 41176 47058 90.78474 71236 22772 20.78523 54030 10347 20.78535 74732 93743 80.78538 79908 71413 40.78539 56202 65938 10.78539 75276 14570 40.78539 80044 51730 50.78539 81236 61018 0

3 × 10−38 × 10−42 × 10−4
5 × 10−5
1 × 10−5
3 × 10−6
8 × 10−7
2 × 10−7
5 × 10−8

まあ，こんなものかなぁ…
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数値積分：全無限区間積分に対する台形則
台形則は，全無限区間 (−∞, +∞) 上の解析関数の全無限区間積分に対して有効である．

Z ∞

−∞

f (x)dx ≃ h∞Xk=−∞f (kh) ≃ hN+X

f (kh).

k=−N−

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数値積分：全無限区間積分に対する台形則
台形則は，全無限区間 (−∞, +∞) 上の解析関数の全無限区間積分に対して有効である．

Z ∞

−∞

f (x)dx ≃ h∞
Xk=−∞

f (kh) ≃ hN+Xf (kh).

k=−N−

数値例（倍精度演算）：Z ∞√2e−x dx = π(= 1.77245 38509 05516 . . .).
−∞

h

標本点数

計算値

誤差

1.77263 72048 26653
1.77245 38509 05516

1 × 10−4
1 × 10−16

N+ + N− + 1

1.00.51527

刻み幅 h = 0.5 は相当粗い近似のように思えるが，それでも誤差 ∼ 10−16 という高精度を達成している．

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緒方秀教数値積分：全無限区間積分に対する台形則

無限和の打ち切り．

Z ∞−∞f (x)dx ≃ h∞Xk=−∞f (kh) ≃ hN+X

f (kh).

k=−N−

全無限区間積分に対する台形則は，本来は無限和である．
しかし，コンピュータでは有限和しか計算できない．
十分小さい正数 ε をとり，|f (kh)| < ε となったところで無限和を打ち切る．
（前スライドの数値例では ε = 10−15 ととっている．
）

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数値積分：台形則＆変数変換

台形則は，全無限区間 (−∞, +∞) 上の解析関数の全無限区間積分に対して有効である．

Z ∞

−∞

f (x)dx ≃ h∞Xk=−∞f (kh) ≃ hN+X

f (kh).

k=−N−

これを任意の区間の積分に応用できないか？

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数値解析：台形則＆変数変換
1

変数変換 x = ψ(u) により全無限区間積分に変換する．

2

変換した積分を台形則で近似計算する．

Z baf (x)dx =Z ∞f (ψ(u))ψ ′ (u)du−∞

≃h∞
Xk=−∞

f (ψ(kh))ψ ′ (kh) ≃ hN+Xf (ψ(kh))ψ ′ (kh),k=−N−ψ : (−∞, +∞) → (a, b) 変数変換.
∗ 以降，積分区間は一般性を失うことなく (−1, 1) ととる．
任意の有限区間 (a, b) 上の積分は次で計算できる．
Z
Z bb−a ′b+ab−a 1+x dx ′ .
ff (x)dx =222−1a
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緒方秀教数値積分：台形則＆変数変換
変数変換 x = ψ(u) の例．

eu − e−u.
eu + e−u
Z 1N+∞XXf (ψ(kh))ψ ′ (kh).
f (ψ(kh))ψ ′ (kh) ≃ hf (x)dx ≃ h
x = ψ(u) = tanh u =−1

k=−N−

k=−∞

1psi(u)psi’(u)

0.8
0.6
0.4

ψ ′ (u) = 1/ cosh2 u

0.20≃ 4 exp(−2|u|) ( u → ±∞ ).

-0.2-0.4-0.6被積分関数は u → ±∞ で急減衰．
→ 少ない項数で無限和を打ち切れる．

-0.8-1-4-20u

24

ψ(u), ψ ′ (u) のグラフ．

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数値積分：台形則＆変数変換，数値例
数値例（倍精度演算）：

Z 1πdx= (= 1.57079 63267 94897 . . .).
21+x2−1h

標本点数

計算値

誤差

1.61630 92660 41882
1.57112 13299 67824
1.57079 63436 04226
1.57079 63267 94895

3 × 10−2
2 × 10−4
1 × 10−8
1 × 10−15

N+ + N− + 1

1−1

22−22−33975145285

通常の台形則：標本点数 1024 で誤差 5 × 10−8 ．

直接台形則を適用するのに比べて，収束が断然速くなっている．

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数値積分：DE 公式
もっと速く収束するような変数変換はないか？

DE 公式 (double exponential rule) （高橋秀俊・森正武 1974 年）
x = ψ(u) = tanh
Z 1−1f (x)dx ≃ h∞Xk=−∞

π2sinh uDE 変換,
N+X′f (ψ(kh))ψ (kh) ≃ hf (ψ(kh))ψ ′ (kh).

k=−N−

2
psi(u)psi’(u)1.5
1eu − e−u,sinh u =2eu − e−u,tanh u = u
e + e−u0.5
0-0.5-1-4-20u

24

ψ(u), ψ ′ (u) のグラフ．
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数値積分：DE 公式
もっと速く収束するような変数変換はないか？

DE 公式 (double exponential rule) （高橋秀俊・森正武 1974 年）
x = ψ(u) = tanh
Z 1−1f (x)dx ≃ h∞Xπ2sinh u

DE 変換,N+X′k=−∞f (ψ(kh))ψ (kh) ≃ hf (ψ(kh))ψ ′ (kh).

k=−N−2psi(u)psi’(u)(π/2) cosh u
ψ ′ (u) =cosh2 ((π/2) sinh u)≃ π exp(|u| − (π/2) exp |u|)

1.5
10.50

( u → ±∞ ).

-0.5-1u → ±∞ で二重指数関数的急減衰．
→ 少ない項数で無限和を打ち切れる．

-4-20u24

ψ(u), ψ ′ (u) のグラフ．

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緒方秀教数値積分：DE 公式，数値例
数値例（倍精度演算）：

Z 1πdx= (= 1.57079 63267 94897 . . .).
22−1 1 + xh

標本点数

計算値

誤差1.81254 30575 87415
1.57953 08408 49787
1.57080 84354 07887
1.57079 63268 18231
1.57079 63267 94895

2 × 10−1
6 × 10−3
8 × 10−6
2 × 10−11
7 × 10−16

N+ + N− + 1

1−122−22−32−4

11172955107

変数変換 x = tanh u に比べて，収束がもっと速くなっている．

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数値積分：DE 公式，端点特異性を持つ積分

DE 公式は端点特異性のある積分も計算できる．
Z 1−1dx√= π( = 3.14159 26535 89793 . . . ).
1 − x2h

標本点数
N1 + N2 + 1

積分値

相対誤差

1111935

3.14350 79789 30933
3.14159 26733 05705
3.14159 26535 89794

6 × 10−4
6 × 10−9
1 × 10−16−1

22−2

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数値積分：無限区間積分に対する DE 公式

無限区間積分に対する DE 公式もある．
例えば，

Z ∞

f (x) : x → ∞ で遅く減衰.

f (x)dx,0⇓Z ∞0f (x)dx =Z ∞−∞f (ψ(u))ψ ′ (u)du ≃ hwith

ψ(u) = exp

π
2N+Xf (ψ(kh))ψ ′ (kh),k=−N−
sinh u .

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数値積分：DE 公式の最適性

もっと速く収束するような変数変換はないか？
（三重指数関数的変数変換，…）→ DE 変換（二重指数関数的変換）が最適な変数変換であることが理論的に示されている．
（これ以上速く収束するような変数変換はない）．
（参考文献）

M. Sugihara: Optimality of the double exponential formula — functionalanalysis approach —, Numerische Mathematik, 75, 379–395 (1997).
関数解析的手法により，DE 変換の最適性を証明．

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まとめ
数値積分に対する DE 公式
素朴な道具（台形則）
数学的知識（台形則は解析関数の全無限区間積分に有効）
トンチ（DE 変換で任意区間積分を全無限区間積分に書き直す）
Z b
Z ∞N+Xf (ψ(kh))ψ ′ (kh).
f (x)dx =f (ψ(u))ψ ′ (u)du ≃ ha−∞k=−N−

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まとめ
数値積分に対する DE 公式
素朴な道具（台形則）
数学的知識（台形則は解析関数の全無限区間積分に有効）
トンチ（DE 変換で任意区間積分を全無限区間積分に書き直す）
Z b
Z ∞
N+X
f (ψ(kh))ψ ′ (kh).
f (x)dx =f (ψ(u))ψ ′ (u)du ≃ ha−∞k=−N−

結局，数値解析とは何か…
数学的知識を用いていろんな計算ができる．
数値解析ほど創造的な学問はない！

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