ファジィ積分を使った評価：講義ノート
高萩栄一郎 (専修大学 E-mail:takahagi@isc.senshu-u.ac.jp)

2011 年 11 月 15 日

1 はじめに2 ファジィ測度・ショケ積分
2.1 作業員の例
2.1.1 2 人の場合
ファジィ測度・ショケ積分モデルを理解するために，次のような問題を考える．


例題 1:作業員の問題ある作業所で，作業員 A,B が働いて，製品を作成している．作業員 A は，1 時間あたり 30kg 作成でき，作業員 B は，1 時間あたり 20kg 作成できる．作業員 A,B が協力して作成すると，1 時間あたり 60kg 作成できる．
ある日，作業員 A は，始業時から 8 時間，B は 6 時間作業をする．その日は，何 kgの製品を作成できるでしょうか？



ただし，作業時間のうち，協力してできるときは，協力して作業をするものとする．



次のように考えれば，簡単に解くことができる．
最初の 6 時間は，作業員 A,B がともにいるので，協力して作業をし，1 時間あたり 60kg
作成する．60kg × 6 時間 = 360kg 作成する．また，B が作業を終えた後の 2 時間は，A
が単独で作業をするので，1 時間あたり 30kg 作成する．30kg × 2 時間 = 60kg 作成する．
合計 360 + 60 = 420kg 作成できる．
実は，この計算がファジィ測度・ショケ積分モデルになっている．それぞれの作業員の

1 時間あたり作成量（含む：協力した場合）がファジィ測度に対応し，8 時間と 6 時間と1

いう作業時間を与えて，420kg という作成量を計算する方法がショケ積分に対応する．

2.1.2 ファジィ測度・入力値・ショケ積分
例題 1 の場合，1 時間あたりの作成可能量がファジィ測度に対応する．A だけ，B だけ，

A と B が協力は，集合を使って表すと便利なので，{A},{B},{A, B} と書き，ファジィ測
度は，その関数として，

g1 ({A}) = 30, g1 ({B}) = 20, g1 ({A, B}) = 60

(1)と書く (g の添え字の 1 は例題 1 の 1 を表す)．
作業時間は，ショケ積分の入力値なっており．A の作業時間を h(A)，B のを h(B) と表す．
図 1 は，ショケ積分の図解である．

作業時間
入力値
h(A)
h(B)

一日の
作成可能量

ショケ積分

出力値

ファジィ測度g({A}),g({B}),g({A,B})
図1

各作業員の組
み合わせの作
成可能量

ショケ積分の図解

2.1.3 優加法性
式 (1) のファジィ測度は，2 人協力したときは，別個に作業したときより生産可能量が増加するので，g1 ({A}) + g1 ({B}) < g1 ({A, B})となる．このファジィ測度の関係を優加法性と呼ぶ．

2.1.4 別個に作業をするとき（加法性）
協力せずに，別個に作業する場合を考える．

2




例題 2:作業員の問題ある作業所で，作業員 A,B が働いて，製品を作成している．作業員 A は，1 時間あたり 30kg 作成でき，作業員 B は，1 時間あたり 20kg 作成できる．作業員 A,B が別々に作成すると，1 時間あたり 50kg 作成できる．



この場合，

g2 ({A}) = 30, g2 ({B}) = 20, g2 ({A, B}) = 50となり，g2 ({A}) + g2 ({B}) = g2 ({A, B})という関係になる．このような関係を加法的（足し算=加法演算）と言う．

2.1.5 非協力的な場合（劣加法性）
2 人が仲が悪く，非協力的で互いのじゃまをする場合を考える．

例題 3:作業員の問題ある作業所で，作業員 A,B が働いて，製品を作成している．作業員 A は，1 時間あたり 30kg 作成でき，作業員 B は，1 時間あたり 20kg 作成できる．作業員 A,B が一

緒に作成すると，1 時間あたり 40kg 作成できる．

となります．この場合，g3 ({A}) = 30, g3 ({B}) = 20, g3 ({A, B}) = 40となり，g3 ({A}) + g3 ({B}) > g3 ({A, B})という関係になる．このような関係を劣加法的と言う．

2.1.6 3 人の場合 (例題 4)
作業員が A,B,C,3 人の場合を考える．

3






例題 4:作業員の問題ある作業所で，作業員 A,B,C が働いて，製品を作成している．作業員 A は，1 時間あたり 30kg 作成でき，作業員 B は，1 時間あたり 20kg 作成でき，作業員 C は，1 時間あたり 40kg 作成できる．作業員 A,B が協力して作成すると，1 時間あたり 60kg
作成でき，作業員 A,C が協力して作成すると，1 時間あたり 80kg 作成でき，作業員

B,C が協力して作成すると，1 時間あたり 70kg 作成でき，作業員 A,B,C が協力して作成すると，1 時間あたり 110kg 作成できる．
ある日，作業員 A は，始業時から 8 時間，B は 6 時間，C は 9 時間作業をする．その日は，何 kg の製品を作成できるでしょうか？ただし，作業時間のうち，協力して

できるときは，協力して作業をするものとする．



ファジィ測度を書くと，

g4 ({A}) = 30, g4 ({B}) = 20, g4 ({C}) = 40, g4 ({A, B}) = 60,
g4 ({A, C}) = 80, g4 ({B, C}) = 70, g4 ({A, B, C}) = 110(2)となる．この場合，どの組み合わせをとっても，ファジィ測度は優加法的になっている．

g4 ({A}) + g4 ({B})(= 50) < g4 ({A, B})(= 60)
g4 ({A, B}) + g4 ({C})(= 100) < g4 ({A, B, C})(= 110)
（他の組み合わせについても確認せよ）
作業員 A は 8 時間，B は 6 時間，C は 9 時間作業する．h(A) = 8, h(B) = 6, h(C) = 9とする．最初の 6 時間（＝一番作業時間の少ない B の作業時間）は，3 人全員作業するので,

g4 ({A, B, C}) × h(B) = 110 × 6 = 660(3)となり，その後 2 時間 (＝ 2 番目に少ない A の作業時間 − B の作業時間) は，A,C が作業するので，

g4 ({A, C}) × {h(A) − h(B)} = 80 × 2 = 160(4)となり，最後の 1 時間 (＝ 1 番作業時間の多い C の作業時間 − A の作業時間) は，C 単独で作業するので，

g4 ({C}) × {h(C) − h(A)} = 40 × 1 = 40となり，合計 860kg 作成可能である．

4(5)

2.1.7 練習問題
(1)

3 人の作業員で，A 単独で毎時 50kg,B 単独で毎時 90kg, C 単独で毎時 40kg 作成できるとする．優加法的になるようになるように，他のファジィ測度の値を定めよ．

(2)(1) のファジィ測度で，始業時から A は 8 時間，B は 9 時間，C は 5 時間作業をするとする．合計の作成可能量を計算せよ．

2.2 表の形で計算，図解
2.2.1 表の形で計算，図解
いままでは，作業員の数は，2 人または，3 人であった．人数が多くなると計算が複雑になる．また，3 人の場合でも多少，面倒になっている．そこで，表の形にまとめて計算することにする．例題 4 のファジィ測度 (式 (2)) で，h(A) = 8, h(B) = 6, h(C) = 9 とする．
表 1 例題 4 の表による計算

順位

作業者

作業時間

差異

作業者 (累積)

作成可能量

積

1

C

9

1

{C}

40

40

2

A

8

2

{A,C}

80

160

3

B

6

6

{A,B,C}

110

660

合計

860

表の作成手順は，次のようにする．

(1)

作業時間の長い順に並べ替え，順位，作業者，作業時間の列を記入する（同順位の場合，記入する順序は任意）(2)

差異の列に，下の行との作業時間の差異を記入していく．最下行は，0 との差異を
記入する．

(3)

作業者（累積）の列は，上から作業者を累積させる．この累積は，その行で作業をしている作業員になる．

(4)(3) のファジィ測度を記入する．たとえば，(3) が {A, C} であれば，g({A, C}) の値を記入する．

(5)

積の列に，差異 × 作成可能量 を計算し記入する．

5

(6)

積の列の合計を計算する．この値がショケ積分値 (その日の作成量) となる．

図 2 は，この計算の図解である．赤の線と軸で囲まれた部分の面積は，3 人が協力して働いた分である．3 人で働いた時間は，6 時間で毎時 110 生産しているので，赤の面積 660kg である．A と C が協力したのは，6〜8 時間目の 2 時間で，毎時 80kg なので，160kg である．これは，赤の上と緑の線と軸で囲まれた長方形の面積になる．C 単独で働いたのは，8〜9 時間目の 1 時間で毎時 40kg，したがって，青と緑の上で囲まれた部分の面積である．したがって，3 つの長方形の合計，各線で囲まれた部分の面積（重複した部
分は 1 回のみ計算）がショケ積分値になる．
Choquet 積分

h(A)
h(B)

10

h(C)

9
8
7
入力値

6
5
4
3
2
1
0
0

20

40

60

80

100

120

ファジィ測度値

図2

n = 3 の場合の図解

2.2.2 練習問題
例題 4 のファジィ測度 (式 (2) を用い，次の作業時間のときの作成量（ショケ積分値）を表を使って作成しなさい．

(1)

A が 8 時間，B が 6 時間，C が 4 時間の場合

6

順位

作業者

作業時間

差異

作業者 (累積)

作成可能量

積

1
2
3
合計

(2)

A が 8 時間，B が 10 時間，C が 8 時間の場合
順位

作業者

作業時間

差異

作業者 (累積)

作成可能量

積

1
2
3
合計

2.3 いろいろな例
これまでは，作業員の例で説明してきた．この場合，入力値が作業員の作業時間

h(A), h(B), h(C) で，出力値を z とする．このとき，作業員の集合 X = {A, B, C} で表す．X は，他の例では，入力値の集合とか評価対象の集合とよぶ．ファジィ測度は，このショケ積分の計算に使う値（パラメータ）である．

2.3.1 ランチ

例題 5:ランチ
あるテクアウトの洋食屋では，昼間，ランチとコーヒーやデザートをセットにしたものを値引きして販売している．価格は，次のようになっている．
ランチ単品 800 円, コーヒー単品 350 円, デザート単品 500 円，A セット (ランチ +コーヒー)1000 円，B セット (ランチ + デザート)1100 円，C セット (ランチ + コー
ヒー + デザート)1250 円，デザートセット (デザート + コーヒー）700 円である．
ランチを 8 個，コーヒーを 5 個，デザートを 6 個注文するとき，うまく組み合わせ

るといくらになるか？



ランチを L，コーヒーを C，デザートを D とすると，入力値の集合は，X = {L, C, D} となる．問題から，ファジィ測度を作ると，

7

g5 ({L}) = 800, g5 ({C}) = 350, g5 ({D}) = 500, g5 ({L, C}) = 1000,
g5 ({L, D}) = 1100, g5 ({C, D}) = 700, g5 ({L, C, D}) = 1250,となる．
入力値は，注文量で，h(L) = 8, h(C) = 5, h(D) = 6 となる．ショケ積分を計算すると
表 2 のようになる．
表 2 例題 5 の表による計算

順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

L

8

2

{L}

800

1600

2

D

6

1

{L,D}

1100

1100

3

C

5

5

{L,C,D}

1250

6250

合計

8950

2.3.2 練習問題
(1)

ランチが 11 個，デザートが 15 個，コーヒーが 1 個の場合を計算せよ．
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1
2
3
合計

(2)

すべてのファジィ測度の関係で，劣加法的になっていることを確かめよ．

2.3.3 ハンバーガーショップ (練習問題)


例題 6:ハンバーガーショップ
あるハンバーガーショップでは，ハンバーガー (B) とコーラ (C) やポテト (P) をセットにしたものを販売している．価格は，次のようになっている．
ハンバーガー単品 250 円, コーラ単品 150 円，ポテト単品 100 円, ドリンクセット(ハンバーガーとコーラ）300 円, ポテトセット (ハンバーガーとポテト）300 円, スペシャルセット (ハンバーガーとコーラ，ポテト）350 円,

8入力値の集合を X = {B, C, P } とする．

(1)

ファジィ測度をすべて記述せよ．ポテトとコーラのセットはないので，単品でコー
ラとポテトを購入した金額がポテトとコーラを合わせて購入した金額になる．

(2)

ハンバーガーを 6 個 (h(B) = 6)，コーラを 8 個 (h(C) = 8)，ポテトを 4 個(h(P ) = 4) を購入した金額をショケ積分を使って求めよ．
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

1
2
3
合計

9

積

3 Excel で計算
本節では，Excel を使って，ショケ積分を学習する．マクロを使って，ショケ積分を計算する関数も用意するが，どのようなしくみで計算されるのかを Excel の表に途中経過を示しながら学習を行う．入力が 3 つ (n = 3) の場合で説明する．入力値の集合は，計算の都合上，A,B,C などを用いず，番号を使い (1 番の人，2 番の人... など)，X = {1, 2, 3} とする．
本演習では，一部分マクロを利用する．マクロ付きのファイル ChoqutIntSP.xls を起動する必要がある．集合番号から集合に変換する関数，検算用のショケ積分の計算を行う関数がマクロを使って定義されている．したがった，これらの機能を使用しなければ，マクロがついたファイルを使用する必要はない．

3.1 概略
図 3 は，ショケ積分を計算するワークシートである．4 つの部分からできている．水色の部分に，数値を入力してショケ積分を計算する．
入力 入力値を記述し，（同順位をゆるさない）順位を求める表
ファジィ測度

ファジィ測度の値を記述する表

計算表

入力とファジィ測度の表からショケ積分を計算する表

グラフ

グラフを書くための表

3.2 入力値
B3〜E6 に入力値を入力し，順位を計算する表を作成する．
C4〜C6 入力値の番号を入力する．キーボードから 1,2,3 と入力する．
D4〜D6 入力値を入力．とりあえず，仮の値を入力する．
E4〜E6 B 列に入力値を計算するが，Excel の順位を計算する関数は，同じ値の場合には同順位を出力する．しかし，本ワークシートでは，同順位を許すとうまく計算できない．そこで，同点を許さないように，小さな値（番号の 10 万分の 1 の値）を加えて，わずかな差異を作り出し，同順位を避けるため D 列の値に番号の 10 万分の 1 の値を加える．正確には，確実に同順位を避けることはできないし，順位をお10

図 3 Excel での計算表

かしくする可能性もある．しかし，同じ値になるのは整数値など人間にとってきりの良い値の場合であり，そのような場合，本方法で同順位を避けることができる．

11

E4: =D4+0.00001*C4
複写元 : E4
複写先 : E5:E6

B4〜B6 E 列の値の順位を計算する．
B4: =RANK(E4,E$4:E$6)
複写元 : B4
複写先 : B5:B6
試しに，D4〜D6 に同順位のデータを入力して，正しく動作するか確かめよう．

3.3 ファジィ測度 (集合) の表現
ファジィ測度を Excel などのコンピュータで扱うしくみを説明する．

3.3.1 空集合
前節までは，空集合 (∅ または，{}) のファジィ測度の値を定義していなかった．これは，誰も作業しなかったときの１時間あたりの作成量に相当する．通常は 0 である．一般的なファジィ測度では 0 と定義されている．

g(∅) = 0(6)

3.3.2 2 進数を使って集合を表す
次に，集合をコンピュータで扱うのに 2 進数を使う．2 進数は，0 と 1 の組み合わせ数を表す．図 4 は，そのしくみの図解である．

３番の要素があるとき1，なしは0２番の要素があるとき1，なしは0
１番の要素があるとき1，なしは0

0 1 0
図 4 2 進数を使っての集合の表現

12

2 進数は，0 と 1 の組み合わせなので，1 となっている部分を要素とする．たとえば，
010 は，右から 2 番目のみ 1 なので，要素 2 だけの集合 {2} を表す．また，110 は，右から 2 番目と 3 番目が 1 なので，要素 2 と 3 の集合 {2, 3} を表し，000 は，空集合 ∅ を
表す．

0 1 0
20 =1の位
21=2の位
22=4の位
図 5 2 進数の位取り

3.3.3 2 進数と 10 進数
2 進数は，右から 1 の位，2 の位，4 の位，8 の位を表すので，2 進数を 10 進数に変換す
ると 010 = 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 2 となり，また，110 = 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 6ととなる (図 5)．n = 3 の場合の対応表を作成すると表 3 のようになる．この集合の 2 進
数表記を 10 進数で表したものを集合番号と呼ぶことにする．
表 3 2 進数と集合の対応 (n = 3 の場合)

集合番号

2 進数表記集合

0000∅ = {}

1

001

{1}

2

010

{2}

3

011

{1, 2}

4

100

{3}

5

101

{1, 3}

6

110{2, 3}

7

111{1, 2, 3}13

3.3.4 ショケ積分での集合の演算
ショケ積分の計算では，各順位の要素を累積した集合を作成し，その集合のファジィ測度の値を使う．そこで，集合に要素を追加していく演算が必要である．要素を追加していくのは，和集合を計算することになる．たとえば，{2, 3} に要素 1 を追加するのは，{2, 3} ∪ {1} = {1, 2, 3} と計算することになる．
3.3.5 シングルトンの集合の 2 進数表現と集合番号
要素が 1 つだけの集合をシングルトンの集合と呼ぶことにする．n = 3 の場合，表 3 によれば，{1} は，001 で 1 = 20 ，{2} は，010 で 2 = 21 ，{3} は，100 で 4 = 22 となっている．したがって，要素 i だけからなるシングルトンの集合の 2 進数表現は，右から i 番
目の桁が 1 で他が 0 の 2 進数となる．これを集合番号 (10 進数) に変換するには，図 5 のように，2 のべき乗を使えばよい．ただし，1 番目の要素の場合，0 乗なので，i − 1 乗すればよい．したがって，

i 番目の要素からなるシングルトンの集合の集合番号 = 2i−1

(7)

となる．

3.3.6 和集合
共通の要素がない 2 つの集合の和集合を求めるとき，表 4 のように，2 つの集合の集合
番号の和演算をとればよい．これは，共通の要素がない（互いに疎な）集合の和集合の計算である．互いに疎ろは限らない集合の和集合は，各ビット間の論理和をとるビット演算を行えばよいが，Excel ではその機能が実装されていないので，算術和を使った．ショケ
積分の計算では，いつでも互いに疎なので，算術和で計算できる．
表 4 {2, 3} と {1} の和集合の計算

+

集合番号

2 進数表記集合

6

110{2, 3}

1
7

+

001
111

14

∪

{1}
{1, 2, 3}

3.4 ファジィ測度の表
ファジィ測度の表にファジィ測度を入力していく．

G4〜G11 集合番号を入力していく．n = 3 のときのファジィ測度の値の数は，23 = 8個なので，0 から 7 番まで用意する．

H4〜H11 G 列に対応する集合を記述する．これは，マクロで定義した関数 vtoset を使用して，表示する．


関数 vtoset(n,v)
入力

n: 入力値（評価対象）の数
v: 集合番号出力

集合番号に対応した集合H4: =vtoset(3,G4)
複写元 : H4
複写先 : H5:H11

I4〜I11 ファジィ測度の値を入力する．

3.5 計算表
順位：K4〜K6

それぞれの行について，何位の部分の計算をするのかを記入する．キー

ボードで 1 2 3 を入力する．
番号：L4〜L6 それぞれの順位の入力値が何番の入力値なのか vlookup 関数を使い，入力表から求める．

L4: =VLOOKUP($K4,$B$4:$D$6,2,FALSE)
複写元 : L4
複写先 : L5:L6

VLOOKUP($K4,$B$4:$D$6,2,FALSE) は，表$B$4:$D$6 から$K4 の値を探し，見15

つかった行の 2 列目（番号の列）を表示する．FALSE を指定することにより，一致する行のみを探す．
値：M4〜M6 それぞれの順位の入力値を入力表から求める．

M4: =VLOOKUP($K4,$B$4:$D$6,3,FALSE)
複写元 : M4
複写先 : M5:M6

VLOOKUP($K4,$B$4:$D$6,2,FALSE) は，表$B$4:$D$6 から$K4 の値を探し，見つかった行の 3 列目（入力値の列）を表示する．
次の差異を計算するため M7 には，0 を入力しておく．
差異：N4〜N6

入力値の下の行との差異を計算する．

N4: =M4−M5
複写元 : N4
複写先 : N5:N6
加算要素：O4〜O6

加算する（番号に対応する）要素のみの集合番号を計算する．

O4: =2ˆ(L4−1)
複写元 : O4
複写先 : O5:O6

L 列に，入力値の番号（要素）が記載されているので，前節より，2入力値の番号−1 が，その入力値のみの集合番号になる．
集合番号：P4〜P6

要素を累積してきた集合．

P4: =O4
P5: =P4+O5
複写元 : P5
複写先 : :P6

P4 は，要素は 1 つだけなので，その行の集合番号 O4 の値とする．
P5 は，1 つ上の行の集合に， O4 を加えるので，P4+O5 とする．
集合：Q4〜Q6

P 列の集合番号を集合で表現する．
Q4: =vtoset(3,P4)
16

複写元 : Q4
複写先 : P5:P6

g(A)：R4〜R6 それぞれの集合番号のファジィ測度をファジィ測度の表から引いてくる．

R4: =VLOOKUP(P4,$G$4:$I$11,3,FALSE)
複写元 : R4
複写先 : R5:R6=VLOOKUP(P4,$G$4:$I$11,3,FALSE) は，表$G$4:$I$11 から P4 の値を探し，見つかった行の 3 列目を表示します．
積：S4〜S6

差異とファジィ測度値の積を計算します．

S4: =N4*R4
複写元 : S4
複写先 : S5:S6
合計：S7

差異とファジィ測度値の積の総和がショケ積分値になる．

S7: =SUM(S4:S6)

3.6 関数を使ったショケ積分の計算
以上では Excel のワークシートに計算表を作成し，ショケ積分を計算したが，マクロでショケ積分を計算する関数も作成した．


関数 ex choquet int(n,FM,Inp)
入力

n: 入力値（評価対象）の数
FM : ファジィ測度の範囲 ファジィ測度の値の順番は，§3.3 で示した 2 進数表記での順番，0 番 (空集合) から始める

Inp : 入力値の範囲，
出力

ショケ積分値17検算のため，ex choquet int を使って，ショケ積分値を計算してみる．

S8

検算用に，（マクロで定義した）関数で計算してみる．

S8: =ex choquet int(3,I4:I11,D4:D6)
各パラメータの説明

3

入力値の数は，3 なので 3 と指定

I4:I11 ファジィ測度の範囲
D4:D6 入力値の範囲
計算表で計算した結果 S7 と検算用に関数で計算した S8 の値が等しいかチェックしよう．

18

4 いろいろな平均演算
4.1 平均計算
4.1.1 単純平均
よく知られている算術平均は，加法的なファジィ測度を割り当てることによりショケ積
分で表現できる．たとえば，国語と数学の平均点を求めるとき，X = {J, M } とし，g({J}) = 0.5, g({M }) = 0.5, g({J, M }) = g({J}) + g({M }) = 1
として，ショケ積分を計算する．たとえば，h(J) = 50, h(M ) = 80 のときは，次の計算
表のように，平均値 65 点となる．
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

80

30

{M }

0.5

15

2

J

50

50

{J, M }

1.0

50

合計

65

4.1.2 重み付き平均
次に，重み付き平均を考える．評価対象は，国語 (J)，数学 (M)，英語 (E) とする(X = {J, M, E})．国語の重みを 50%, 数学の重みを 30%, 英語の重みを 20% とし，国語の得点を h(J), 数学の得点を h(M ), 英語の得点を h(E) とする．通常の重みつき平均の計算式は，0.5 × h(J) + 0.3 × h(M ) + 0.2 × h(E)(8)

となる．ファジィ測度は，加法的に割り当て，g({J}) = 0.5, g({M }) = 0.3, g({E}) = 0.2,g({J, M }) = g({J}) + g({M }) = 0.8,g({J, E}) = g({J}) + g({E}) = 0.7,g({M, E}) = g({M }) + g({E}) = 0.5,g({J, M, E}) = g({J}) + g({M }) + g({E}) = 1とする．このファジィ測度を使って，ショケ積分を計算すれば，式 (8) の重み付き平均に
一致する．

19

たとえば，h(J) = 50, h(M ) = 80, h(E) = 65 の場合，
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

80

15

{M }

0.3

4.5

2

E

65

15

{M, E}

0.5

7.5

3

J

50

50

{J, M, E}

1.0

50

合計

62

となり，重み付き平均に一致する．

4.1.3 平均演算のショケ積分解釈試験の総合評価では，平均点による評価がよく行われてきた．本小節では，平均計算を
ファジィ測度，ショケ積分で解釈してみる．
Choquet 積分

h(J)
h(E)

90

h(M)

80
70

入力値

60
50

イ

40
30

ロ

ハ

20
10
0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ファジィ測度値

図 6 平均値計算の図解 1

前節と同様，J の重みを 50%,M を 30%,E を 20% とし，h(J) = 50, h(M ) = 80, h(E) =65 で，平均を考える．図 6 は，通常の方法での平均点を求めている．（イ）が M，（ロ）がE，（ハ）が J を表している．各色で，高さは得点 (h(∗)，横幅は重みを表しており，その20

面積が各科目の評価値で，すべての面積の和（イ + ロ + ハ）が，平均を表している．
図 7 は，同じ計算をショケ積分で計算したものであり，次のように解釈する．
Choquet 積分

h(J)
h(E)

90

h(M)

80

ニ

70

ホ

入力値

60
50
40
30

ヘ

20
10
0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ファジィ測度値

図 7 平均値計算の図解 2

入力値が 0〜50 の部分

3 科目の能力や効果があるとして，3 科目分のファジィ測度

μ({J, M, E}) = 0.5 + 0.3 + 0.2 = 1 で評価する．(50 − 0) × 1 = 50（ヘの部分の面積）を 3 科目できたことによる評価値とする．
入力値が 50〜65 の部分

M,E の 2 科目の能力や効果があるとして，M,E の 2 科目分のファジィ測度 μ({M, E}) = 0.3 + 0.2 = 0.5 で評価する．(65 − 50) × 0.5 = 7.5（ホの部分の面積）を M,E 科目ができたことによる評価値とする．
入力値が 65〜80 の部分

M の 1 科目の能力や効果があるとして，M,1 科目分のファジィ

測度 μ({M }) = 0.3 で評価する．(80 − 60) × 0.3 = 4.5（ニの部分の面積）を M 科目ができたことによる評価値とする．
ショケ積分値，重み付き平均値

3 つの部分の面積の和（ニ + ホ + へ）が，平均を表して

いる．

21

重み付き平均の場合のファジィ測度は常に重みの和であった．しかし，科目間の相互作用（合わさった効果など）を考慮すると違うファジィ測度の値が考えられる．
たとえば，M と E の両方の得点があることを，M 単独や E 単独の和よりよくすることもできる（優加法性）．すなわち，M と E 両方できれば，補完的な効果（相乗効果）があるとして，より高い重みを付けホの長方形の横を伸ばす．

g({M }) + g({E}) < g({M, E})
この場合，g({M, E}) の長さの増大に対応して，g({J, M, E}) も大きくする．

4.2 ファジィ測度による 優加法的な評価，劣加法的な評価
4.2.1 優加法的な評価
単純平均を拡張して，優加法的な評価を行う．国語と数学の例で，等重み (50%,50% づ
つの重み）とする．これは，国語と数学両方できていることを高く評価する．逆に言うと，片方だけの場合，両方の場合より低く評価する．
ファジィ測度は優加法的に設定するので，

g({J}) + g({M }) < g({J, M })となるようにする．たとえば，

g({J}) = 0.5, g({M }) = 0.5, g({J, M }) = 2.5とする．この場合，国語が 40 と数学が 60 点の場合（ケース 1) と国語が 20 点，数学が80 点の場合（ケース 2) を比べたとき，優加法的にファジィ測度を割り当てるので，2 つの科目がともにあること（２つの科目の作用がより協力すること，２つの科目に補完的な関係があること）が総合評価をよりよくするので，単独の科目が良いことよりより，ケー
ス 1 の場合の総合評価の方が高くなる．計算してみると，ケース 1 の場合，
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

60

20

{M }

0.5

10

2

J

40

40

{J, M }

2.5

100

合計

110

22

となり，ケース 2 の場合，
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

80

60

{M }

0.5

30

2

J

20

20

{J, M }

2.5

50

合計

80

となり，ケース 1 の方が高総合評価値になる．

4.2.2 劣加法的な評価
劣加法的な評価を行う．国語と数学の例では，等重み (50%,50% づつの重み）とし，片方だけでもできていることを高く評価する．逆に言うと，両方できてきてることよりも，片方がよりよくできていることを高く評価する．
ファジィ測度は劣加法的に設定するので，

g({J}) + g({M }) > g({J, M })となるようにする．たとえば，

g({J}) = 0.5, g({M }) = 0.5, g({J, M }) = 0.625とする．この場合，先程のケース 1 とケース 2 を比べたとき，劣加法的にファジィ測度を割り当てるので，2 つの科目がともにあること（２つの科目の作用がより協力すること）が総合評価をよりよくすることより，単独の科目が良いことの方を高く評価するので，ケース 2 の場合の総合評価の方が高くなる．計算してみると，ケース 1 の場合，
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

60

20

{M }

0.5

10

2

J

40

40

{J, M }

0.625

25

合計

35

となり，ケース 2 の場合，
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

80

60

{M }

0.5

30

2

J

20

20

{J, M }

0.625

12.5

合計

42.5

23

となり，ケース 2 の方が高総合評価値になる．

4.2.3 ファジィ測度の正規化
上の優加法的なファジィ測度を使うと，国語，数学がともに 100 点の場合，総合評価値
は，250 点になる．
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

100

0

{M }

0.5

0

2

J

100

100

{J, M }

2.5

250

合計

250

また，上の劣加法的な場合，62.5 点となる．
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

100

0

{M }

0.5

0

2

J

100

100

{J, M }

0.625

62.5

合計

62.5

総合評価値を広義の平均として，100 点満点とするとき，総合評価値を [0, 100] 区間に収めたい．優加法的なファジィ測度が 250 点満点になるのは． g({J, M }) = 2.5 であるこによる (g({J, M }) × 100 = 250)．劣加法的なファジィ測度が 62.5 点満点になるのは．

g({J, M }) = 0.625 であるこによる．そこで，g  ({J, M }) = 1 となるような新しいファジィ測度を作るために，g  (A) = g(A)/g(X)とする．優加法的の例の場合，

gp  ({J}) = g({J})/g({J, M }) = 0.5/2.5 = 0.2
gp  ({M }) = g({M })/g({J, M }) = 0.5/2.5 = 0.2
gp  ({J, M }) = g({J, M })/g({J, M }) = 2.5/2.5 = 1とし，劣加法的の例の場合，

gb  ({J}) = g({J})/g({J, M }) = 0.5/0.625 = 0.8
gb  ({M }) = g({M })/g({J, M }) = 0.5/0.625 = 0.8
gb  ({J, M }) = g({J, M })/g({J, M }) = 0.625/0.625 = 1
24

とする．この優加法的な g  を使った，ケース 1 と 2 の総合評価は，ケース 1 の場合
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値 (g  )

積

1

M

60

20

{M }

0.2

4

2

J

40

40

{J, M }

1

40

合計

44

となり，ケース 2 の場合，
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

M

80

60

{M }

0.2

12

2

J

20

20

{J, M }

1

20

合計

32

となり，ケース 1 の方が高総合評価値になる．
同様に劣加法的な g  を使って，総合評価を行うと，ケース 1 は 56 ，ケース 2 は 68 となり，ケース 2 が高総合評価値なる．
正規化することにより，100 点満点の入力値にでは，0 から 100 の間の出力値を得る（同様に 0 と 1 の間（[0, 1] 区間）の入力値であれば，[0, 1] 区間の出力値になる．

4.3

3 科目以上の場合

前節の 2 科目の科目間の重みが等重みで正規化したファジィ測度の場合 (§4.2.3)，2 科
目があること（２つの科目が合わさった評価）を 1 に正規化した．これは，μ({J, M }) = 1
で表現されている．優加法的なファジィ測度の場合，2 科目あることの効果が，それぞれの科目の効果を合計したものより高いので，1 つの科目の効果は，加法的な場合の 0.5 より低く，g  ({J}) = g  ({M }) = 0.2 となる．逆に劣加法的なファジィ測度の場合，1 つの科目の効果は，2 つの科目合わさった効果の半分より高いので，1 つの科目の効果は，加法的な場合の 0.5 より高く，g  ({J}) = g  ({M }) = 0.8 となる．
優加法的な場合，2 つの科目が合わさった効果をより高くするために，1 つの科目の効果を相対的に小さくする．
劣加法的な場合，2 つの科目が合わさった効果をより小さくするために，1 つの科目の効果を相対的に大きくする．
優加法的な場合，全体のファジィ測度を 1 にするため，個々のファジィ測度の値は小さく

25

なる．
劣加法的な場合，全体のファジィ測度を 1 にするため，個々のファジィ測度の値は大きくなる．

4.4 重みからファジィ測度を求める (φs 変換法)
4.5

4 科目の場合

4 科目 – 国語 (J), 数学 (M), 英語 (E), 理科 (S), X = {J, M, W, S} – 等重みの場合を考える．

4.5.1 加法的な場合
加法的で正規化したファジィ測度（単純平均）の場合，

g  ({J}) = g  ({M }) = g  ({E}) = g  ({S}) = 0.25
g  ({J, M }) = g  ({J, E}) = g  ({J, S}) = g  ({M, E}) = g  ({M, S}) = g  ({E, S}) = 0.5
g  ({J, M, E}) = g  ({J, M, S}) = g  ({J, E, S}) = g  ({M, E, S}) = 0.75
g  ({J, M, E, S}) = 1となる．

4.5.2 優加法的な場合§4.2.3 と同様な程度で，優加法的にファジィ測度を割り当てるには，どうした良いだろうか？ J と M の重みの合計は 0.5 である．§4.2.3 の場合，1 科目の場合 0.5 のとき，ファジィ測度値を 0.2 とした．そこで，2 科目の場合 (重みの合計が 0.5 の場合），ファジィ測
度値を 0.2 にするのが妥当であろう．

g  ({J, M }) = g  ({J, E}) = g  ({J, S}) = g  ({M, E}) = g  ({M, S}) = g  ({E, S}) = 0.2
では，1 科目の場合どうなる取ろうか？加法的な場合の 0.25 より小さく，さらに 2 科目の0.2 より小さいことは想像がつく．そこで，図 8 のようなグラフを作成し，それに当てはめて求めることにする．
図 8 は，φs 変換（ファイエス変換）という関数を使って，重みからファジィ測度の値を求めるのに使う．ちょうど半分 0.5 の重みの時，ファジィ測度値は 0.2 になるように変換している．横軸の u は，重みの合計で，縦軸はその時のファジィ測度を表している．ま

26

1
0.9

ファジィ測度値 φs(u)

0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0

図8

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
u(重みの合計)

0.7

0.8

0.9

1

優加法的な場合，重みからファジィ測度値 (φs 変換,ξ = 0.2)

た，正規化しているので，全部の要素 (X) の場合の重みの合計は 1 であるので，u = 1 のときのファジィ測度の値 (φs 変換値）は，1 になるようにしている．また，重み 0(空集合）の場合，φs 変換値は，0 になるようにしている．そこで，u = 0 のとき 0，u = 0.5 のとき 0.2，u = 1 のとき 1 を通るように曲線を描いている．

φs 変換法では，集合の各要素の重みの和を横軸 (u) の値として，この曲線に当てはめ，縦軸の値 (φs 変換値) をその集合の値としている．
たとえば，g  ({E}) の値は，評価項目 E 単独の重みは，0.25 であるので，0.25 のときの φs 変換値は 0.0667 であるので，g  ({E}) = 0.0667 となる．また，g  ({J, E, S}) は，{J, E, S} の重みの合計が 0.75 であるので，0.75 の φs 変換値は，0.4667 であるので，g  ({J, E, S}) = 0.4667 となる．
等重みのなので，要素の数が同じであれば，同じファジィ測度の値を取り．

27

g  ({J}) = g  ({M }) = g  ({E}) = g  ({S}) = 0.0667
g  ({J, M }) = g  ({J, E}) = g  ({J, S}) = g  ({M, E}) = g  ({M, S}) = g  ({E, S}) = 0.2
g  ({J, M, E}) = g  ({J, M, S}) = g  ({J, E, S}) = g  ({M, E, S}) = 0.4667
g  ({J, M, E, S}) = 1となる．
図 8 の形状からわかるように，ξ < 0.5(s > 1) の場合，u ∈ [0, 1] で（狭義）凸関数になっている．

4.5.3 劣加法的な場合§4.2.3 と同様な程度で，劣加法的にファジィ測度を割り当てるには，半分の重みのファジィ測度の値が図 9 のような，u = 1 のとき 1, u = 0.5 のとき 0.8, u = 1 のとき 1 を通るような曲線を使う．要素が 1 個のとき，u = 0.25 となり φs 変換値は 0.5333，要素が 2個のとき，u = 0.5 となり φs 変換値は 0.8，要素が 3 個のとき，u = 0.75 となり φs 変換
値は 0.9633 となり，g  ({J}) = g  ({M }) = g  ({E}) = g  ({S}) = 0.5333
g  ({J, M }) = g  ({J, E}) = g  ({J, S}) = g  ({M, E}) = g  ({M, S}) = g  ({E, S}) = 0.8
g  ({J, M, E}) = g  ({J, M, S}) = g  ({J, E, S}) = g  ({M, E, S}) = 0.9633
g  ({J, M, E, S}) = 1となる．
図 9 の形状からわかるように，ξ > 0.5(0 < s < 1) の場合，u ∈ [0, 1] で（狭義）凹関数になっている．

4.6 さまざな ξ の φs 変換
図 10 は，さまざな ξ の φs 変換のグラフである．u = 0.5 のときの値が ξ の値である．

ξ = 0.5 の曲線が，加法的な場合の曲線である．ξ < 0.5 のとき，ξ = 0.5 の曲線より下にあり，優加法的なファジィ測度を作り出す．ξ = 0 のとき，u = 1 のときを除いて，φs変換の値は 0 になる．
逆に，ξ > 0.5 のとき，ξ = 0.5 の曲線より上にあり，優加法的なファジィ測度を作り出す．ξ = 1 のとき，u = 0 のときを除いて，φs 変換の値は 1 になる．

28

1
0.9

ファジィ測度値 φs(u)

0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0

図9

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
u(重みの合計)

0.7

0.8

0.9

1

劣加法的な場合，重みからファジィ測度値 (φs 変換,ξ = 0.8)φs 変換は，次の計算式で求める．
0 < ξ < 0.5 または 0.5 < ξ < 1 の場合s=(1 − ξ)2ξ2(9)su − 1s−1(10)で，s を求め，φs (u) =で，ファジィ測度を求める．

ξ = 0.5 の場合
φs (u) = u
ξ = 0 の場合φs (u) =29

0 (u = 1)
1 (u = 1)

(11)

(12)

1.0
0.9
ξ=1
ξ = 0.9
ξ = 0.8
ξ = 0.7
ξ = 0.6
ξ = 0.5
ξ = 0.4
ξ = 0.3
ξ = 0.2
ξ = 0.1
ξ=0

ファジィ測度値(φs(u))

0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
u(重みの合計)

0.7

0.8

0.9

図 10

重みからファジィ測度値を求める関数 (φs 変換)1.0

ξ = 1 の場合φs (u) =0 (u = 0)
1 (u =
 0)(13)

表 5 は，各 ξ と u を与えたときの φs 変換値である．

4.7

φs 変換によるファジィ測度の割り当て方

4.7.1 優加法的な場合
3 科目 X = {J, M, E} の場合で，J の重みが 0.4 (wJ = 0.4)，M の重みが 0.3 (wM =0.3)，E の重みが 0.3 (wE = 0.3) としする．重みの合計は 1 になるようにする．優加法的ξ = 0.3 のファジィ測度を求める．
ξ = 0.3 であるので，図 10 の ξ = 0.3 の曲線，表 5 の ξ = 0.3 の列の値を使う．
各集合のファジィ測度は，その集合の各要素の重みの合計を u とし，φs 変換で求める．
ファジィ測度を求めると，

30

表 5 φs 変換表
u\ξ
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
0.34
0.36
0.38
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
0.50
0.52
0.54
0.56
0.58
0.60
0.62
0.64
0.66
0.68
0.70
0.72
0.74
0.76
0.78
0.80
0.82
0.84
0.86
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1

0.1
0.00000.00110.00240.00380.00530.00690.00870.01060.01280.01510.01760.02040.02340.02670.03030.03420.03850.04320.04830.05390.06000.06670.07390.08190.09050.10000.11030.12160.13390.14740.16210.17810.19560.21480.2356
0.25840.28330.31050.34020.3726
0.40790.4466
0.48870.53480.58510.63990.69990.76530.83680.91481.00000.2
0.00000.00380.00780.01210.01660.02130.02630.0316
0.03720.04310.04940.05600.06300.07040.07820.08650.09520.10450.11420.12450.13540.14700.15910.17200.18560.20000.21520.23130.24830.26620.28520.30530.32650.34890.3726
0.39760.42410.4521
0.48170.51290.54600.58090.61780.65690.69810.74170.78780.83650.88800.94251.00000.3
0.00000.00780.01580.02410.03270.04150.05070.06020.07010.08020.09080.10170.11290.12460.13660.14910.16200.17530.18910.20340.21820.23340.24920.26560.28250.30000.31810.33680.35620.3762
0.39690.41840.4406
0.46350.48720.51180.5372
0.56350.59070.61880.64790.67800.70910.74130.77460.80900.84470.88160.91970.95921.00000.4
0.00000.01310.02640.03990.0536
0.06760.08180.09620.11080.12570.14090.15620.17190.18780.20390.22030.23700.25400.27120.28870.30650.3246
0.34300.36170.38070.40000.41960.43960.45980.48040.50140.52260.54430.56630.5886
0.61130.63440.65780.68170.70590.73050.75550.78100.80680.83310.85980.88690.91450.94250.97101.00000.5
0.00000.02000.04000.06000.08000.10000.12000.14000.16000.18000.20000.22000.24000.26000.28000.30000.32000.34000.36000.38000.40000.42000.44000.46000.48000.50000.52000.54000.56000.58000.60000.62000.64000.66000.68000.70000.72000.74000.76000.78000.80000.82000.84000.86000.88000.90000.92000.94000.96000.98001.000031

0.6
0.00000.02900.05750.08550.11310.14020.16690.19320.21900.24450.26950.29410.31830.34220.3656
0.38870.41140.43370.45570.47740.49860.51960.54020.56040.58040.60000.61930.63830.65700.67540.69350.71130.72880.74600.76300.77970.79610.81220.82810.84380.85910.87430.88920.90380.91820.9324
0.94640.9601
0.9736
0.98691.00000.7
0.00000.04080.08030.11840.15530.19100.22540.25870.29090.32200.3521
0.38120.40930.43650.46280.48820.51280.53650.5594
0.5816
0.60310.62380.64380.66320.68190.70000.71750.73440.75080.7666
0.78180.79660.81090.82470.83800.85090.86340.87540.88710.89830.90920.91980.92990.93980.94930.95850.96730.97590.9842
0.99221.00000.8
0.00000.05750.11200.16350.21220.25830.30190.3431
0.38220.41910.45400.48710.51830.54790.57590.60240.62740.65110.67350.69470.71480.73380.75170.76870.78480.80000.81440.82800.84090.85300.86460.87550.88580.89550.90480.91350.92180.9296
0.93700.94400.9506
0.95690.96280.9684
0.97370.97870.98340.98790.99220.99621.00000.9
0.00000.08520.1632
0.23470.30010.36010.41490.46520.51130.55340.59210.62740.65980.68950.71670.74160.76440.78520.80440.82190.83790.8526
0.86610.87840.88970.90000.90950.91810.92610.93330.94000.9461
0.95170.95680.96150.96580.9697
0.9733
0.9766
0.9796
0.98240.98490.98720.9894
0.99130.9931
0.9947
0.99620.9976
0.99891.0000

1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

g  ({J}) = φs (wJ ) = φs (0.4)= 0.2182

= 0.1491

g ({M }) = φs (wM ) = φs (0.3)
g ({E}) = φs (wE ) = φs (0.3)= 0.1491g  ({J, M }) = φs (wJ + wM ) = φs (0.7)= 0.5118g  ({J, E}) = φs (wJ + wE ) = φs (0.7)= 0.5118g  ({M, E, }) = φs (wM + wE ) = φs (0.6)= 0.3969

g ({J, M, E, }) = φs (wJ + wM + wE ) = φs (1)

=1

となる．

h(J) = 80, h(M ) = 60, h(E) = 20 の例でショケ積分を計算する．
順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1

J

80

20

{J}

0.2182

4.364

2

M

60

40

{J, M }

0.511820.472

3

E

20

20

{J, M, E}

1

20

合計

44.836

優加法的であるので，平均から下方にひっぱらられていて，平均以下の数値になる.

4.7.2 練習問題：劣加法的な場合
ξ = 0.7 として，同様の計算を行ってみよう．
まず，ファジィ測度を求める（ξ = 0.7 のときの φs 変換値を記入)．

g  ({J}) = φs (wJ ) = φs (0.4) =g  ({M }) = φs (wM ) = φs (0.3) =g  ({E}) = φs (wE ) = φs (0.3) =g  ({J, M }) = φs (wJ + wM ) = φs (0.7) =g  ({J, E}) = φs (wJ + wE ) = φs (0.7) =g  ({M, E, }) = φs (wM + wE ) = φs (0.6) =g  ({J, M, E, }) = φs (wJ + wM + wE ) = φs (1) =

32

順位

項目

h(∗)

差異

累積

ファジィ測度値

積

1
2
3
合計

4.8

ξ の意味と決め方

図 11 は，ξ の図解で，ξ = 0.5 で，加法的なファジィ測度になり，そのファジィ測度でショケ積分をすると（重み付き）平均値になる．

ξ に値が 0 に近づけば近づくほど，優加法的なファジィ測度になり，補完的な評価 (すべての入力値がほぼよいことが必要) になる．0 になると，入力値の最小値を出力するよ
うになる．
逆に，ξ に値が 1 に近づけば近づくほど，劣加法的なファジィ測度になり，代替的な評価（１つでもよい入力値があれば高く評価）になる．1 になると，入力値の最大値を出力するようになる．

0
最小値

0.5
平均値
優加法的

1
最大値

劣加法的

図 11 ξ の図解

表 6 は，ξ の意味を書いたものである．λ は，§??で説明する．

4.9

ξ を変化させての感度分析

ξ を変化させて総合評価値がどう変化するかをいくつかの入カ値のパ夕ーンを使って,グラフ化し, 分析をする.
図 12 は，表 7 の入力値と重みを用い，ξ を変化させたグラフ（感度分析）である．
（練習問題 次の２つの値のペアを ξ を変化させて，比較せよ）• 40,50,60 VS 30,50,70
33

表 6 ξ の意味

λλ>0−1 < λ < 0ξ

0.5 より小0.5 より大ファジィ測度

優加法的

劣加法的

一般的な

補完的

代替的

呼び方

相乗効果

相殺効果

その他の

バランス重視

個性重視

呼び方

消極的な

積極的な

(相互作用が

慎重な

大胆な

外部にある

悲観的な

楽観的な

場合)

保守的な

冒険的な

悪い点がないことを評価

よい点があることを評価

確実性重視

可能性重視

極端な場合

ξ=0

ξ=1

(入力の数基準AND

ORの場合のみ)MIN(最小値)

MAX(最大値)

表7

感度分析

h(1)

h(2)

h(3)

重み

0.33

0.33

0.33

入力値１

40

50

60

入力値２

30

50

70

入力値 3

50

50

50

• 50,50,50 VS 30,70,80• 50,50,50 VS 10,20,70

4.10 異なるファジィ測度で評価同じ入力値を異なるファジィ測度でショケ積分した場合，そのショケ積分値を比較でき
ない．

34

80
70
60
50
40

入力値 1
入力値 2
入力値 3

30
20
10
0
0

0.1

図 12

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

感度分析 (ξ を変化させて出力値の変化を見る)

たとえば，ξ = 0.8 のファジィ測度の値は ξ = 0.2 のファジィ測度のファジィ測度より大きくなり，ショケ積分値も大きくなる．

ξ = 0.8 のファジィ測度を g1 ，ξ = 0.2 のファジィ測度を g2 とすると，重みが 0 と 1 の場合を除いて，

g1 (A) > g2 (A)(14)となる．たとえば，§4.2.1 の優加法的な場合と §4.2.2 の劣加法的な場合のショケ積分値を比較したとき，劣加法的なファジィ測度の場合のショケ積分が優加法的な場合のショケ積
分値を上回っている．
したがって，基本的に異なるファジィ測度でのショケ積分値を比較することはできない．

35

5 φs 変換を使ったショケ積分（実習）
本節では，マクロなどを使ったファイル「kando.xls」を利用する．

5.1

φs 変換を使ったショケ積分

別紙は，3 つの部分からなっている．
計算部分

ξ ，各入力項目の重み，入力値を入力すると，ショケ積分を計算する部分

入力した ξ の値による φs 変換のグラフを作成する表
計算部分を図解する部分

図解用のグラフを作成する


関数 Phixi trans(ξ,u)ξ と u を入力して，φs 変換値を計算する．
入力

ξ: 相互作用の度合い ただし，0 ≤ ξ ≤ 1
u ; 集合のすべての要素の重みの合計（μ({1, 3}) を求めるのであれば，u = w1 + w3 ）ただし，0 ≤ u ≤ 1
出力φs 変換値

関数 = c int(ξ, n,Inp,w)φs 変換を使ったショケ積分を計算する (相互作用の度合い ξ と重みからファジィ測度を生成し，入力値のショケ積分値を計算する)．
入力

ξ: 相互作用 ただし，0 ≤ ξ ≤ 1
n: 入力値（評価対象）の数
Inp : 入力値の範囲，
w : 重みの範囲（非負の値，和が 1 になる必要はない（自動で正規化）），出力

ショケ積分値



36




関数 ex choquet int(n,FM,Inp)
ファジィ測度を用いて，ショケ積分値を計算
入力

n: 入力値（評価対象）の数
FM : ファジィ測度の範囲 ファジィ測度の値の順番は，§3.3 で示した 2 進数表記での順番，0 番 (空集合) から始める

Inp : 入力値の範囲，
出力

ショケ積分値5.2



φs 変換を使ってショケ積分を計算する

図 13 は ，φs 変 換 に よ る シ ョ ケ 積 分 の Excel で の 計 算 表 で あ る ．入 力 は 3 入 力(h(1), h(2), h(3)) である．

図 13 φs 変換によるショケ積分の Excel での計算表

37入出力のエリアは，次の通りである．
重みを記述するエリア B3:D3
入力値を記述するエリア B5:D5

重みを非負の数（0 以上の数）で入力する．
入力値を非負の数（0 以上の数）で入力する．

相互作用の指標 ξ を記述するエリア B7

相互作用の指標 ξ を 0 以上 1 以下の値で指定する．
表を利用してショケ積分を計算し，その計算結果を表示するセル B20

c int を使ってショケ積分を計算し，その計算結果を表示するセル B21
計算は，次のように行う．

(1) 正規化した重みを求める 正規化した重みとは，和を 1 にした重みである．
重みの合計を求める．

E3: =SUM(B3:D3)
和が 1 となる重みを求める．

B4: =B3/$E3
複写元: B4
複写先: B4:D4(2) ファジィ測度の表のレイアウト 表頭 (A9:D9) と表側 (A10:A17) を記入
3 入力 (n = 3) なので，23 = 8 個のファジィ測度の値がある，したがって，集合番
号の列は 0 から 7 を記入(3) 集合を記入 関数 vtoset(p. 15 ) を利用して，集合を記入
B10: =vtoset(4,A10)
複写元: B10
複写先: B10:B17(4) u の列，重みを計算 u の列に重みの和を計算する．
C10 は，空集合なので，0 を記入する．
C10: 0C11 は，B11 が {1} なので，入力 1 の重みを記入
C11: =B4
38

C12 は，B12 が {2} なので，入力 2 の重みを記入
C12: =C4
C13 は，B13 が {1, 2} なので，入力 1 と 2 の重みの和を記入
C13: =B4+C4
以下同様に，次のように設定する．

C14: =D4
C15: =B4+D4
C16: =C4+D4
C17: =B4+C4+D4(5) ファジィ測度の列，φs 変換を使って，ファジィ測度を求める マクロで定義されている関数 Phixi trans を使ってファジィ測度値を計算する．ξ は，B7,u は，重みの合計を使う．

D10: =Phixi trans($B$7,C10)
複写元: D10
複写先: D10:D17(6) B20:表を使って計算したファジィ測度を使いショケ積分値を求める B20に，

D10:D17 で 求 め た フ ァ ジ ィ 測 度 を 使 い ，B5:D5 の 3 入 力 値 の シ ョ ケ 積 分 値を求める．

B20: =ex Choquet int(3,D10:D17,B5:D5)(7) B21:検算：c int で計算 (重みと入力値から関数を使って直接ショケ積分値を求める)
B20 に計算過程考えて，表を使って計算してきたが，マクロで定義されている，直接 φs 変換によるショケ積分値を計算する関数 c int を使って，途中の過程が正し
いかチェックをする．

B21: =c int(B7,3,B5:D5,B3:D3)■練習問題

4 入力 (h(1), h(2), h(3), h(4)) の表を作成してみよう．

39

5.3

φs 変換にショケ積分，図解，アニメ

シート「Phis 変換にショケ積分」は，φs 変換を理解するための表である．C2 の値を変更すると相互作用の度合いが変化し，ファジィ測度が変化，ショケ積分値が変わる．また，入力値を変更して，図解を見ることができる．
シート「Phis 変換にショケ積分アニメ」は，シート「Phis 変換にショケ積分」の C2 の値を 0.01 から 0.99 まで，スピンボタンで変化するようにしたものである．スピンボタンを押し続けると，ξ の値が変化し，それに伴い，ファジィ測度が変化し，上２つの領域が細くなったり，太くなったりする．
上三角のボタンを押していくと，ξ の値が大きくなり，最終的 (ξ = 1.0) には，すべての矩形が 1 のところまで伸びる．これにより，一番高い入力値の値の面積になり，その面積は，最大の入力値にする．面積はファジィ積分値をあらわすので，ξ = 1 のときのファジィ積分値は，最大値に一致することがわかる．
逆に下三角のボタンを押していくと，ξ の値が小さくなり，最終的 (ξ = 0.0) には，一番下の矩形を除いて，矩形が 0 のところまで縮む．これにより，一番低い入力値の値の面積になり，その面積は，最小の入力値にする．ξ = 0 のときのファジィ積分値は，最小値に一致することがわかる．

5.4 感度分析
感度分析は，何かの値 (たとえば，ξ ）を変化させたとき，出力値がどう変化するのか分析することである．ξ を変化させたとき，ショケ積分値がどう変化するのかをグラフ化
し，入力値間にどういう性質があるのかを考察する．
図 14 は，ξ を変化させて，ショケ積分値がどう変化するのかを分析したものである．評
価対象は，代替案など，ショケ積分値を計算する対象を表し，ここでは，それぞれ 3 つの入力 h(1), h(2), h(3) を持つ．例題では，評価対象は 1,2,3 の 3 つとしている．
入出力のエリアは，次の通りである．
重みを記述するエリア B4:D4

重みを非負の数（0 以上の数）で入力する（和が 1 になるようにする必要はない）．
入力値を記述するエリア B5:D7

3 つの評価対象の 3 つの入力値を非負の数（0 以上の数）で入力する．
ショケ積分値を計算したエリア (B11:D31)

40

図 14

感度分析の計算表

計算は，次のように行う．

(1) ξ の列の設定 0.05 間隔で計算をする．

A11: 0
A12: =A11+0.0541複写元: A12
複写先: A12:A31(2) 評価対象 1 のショケ積分値の計算 B11 に評価対象 1 の ξ = 0.00 の場合のショケ積分値を計算する．ξ の値は，B11 に記述されている．
入力値の数は，B1 に記述されている．複写してもセルは変更されないので，「$」マークつけておく．
評価対象 1 の入力値は，B5:D5 にあり，下に複写しても変更されないので，「$」マークつけておく．
重みは，B4:D4 であり，複写してもセルは変更されないので，「$」マークつけておく．
※ 下に複写するとき，変化するセルは A11 のみである．

B11: = c int(A11, $B$1,$B$5:$D$5,$B$4:$D$4)
複写元: B12
複写先: B12:B31(2) 評価対象 2,3 のショケ積分値の計算 評価対象のセルは，固定しているので，右に複写することはできない．評価対象 2,3 は，別個に計算式を設定する．

C11: = c int(A11, $B$1,$B$6:$D$6,$B$4:$D$4)
D11: = c int(A11, $B$1,$B$7:$D$7,$B$4:$D$4)
複写元: C11:D11
複写先: C11:D31

A10:D31 をグラフ化（散布図）したものを図 15 に示す．この例を考察すると，• 評価対象 2 は，70 という高評価の入力がある一方，20 という低評価の入力もある．
ξ = 0.5 のとき，最下位であるが，ξ を大きくしていくと，順位を上げ，ξ = 0.65 付
近で 1 位となる．入力値のばらつきが大きいので，1 つでもよい点があることを重視すれば（代替的な評価法），高い順位を得る．

• 評価対象 3 は，すべての入力が 50 という入力である．ξ = 0.5 のとき，2 位であるが，ξ を小さくしていくと，順位を上げ，ξ = 0.35 付近で 1 位となる．すべての入力が同じであるので，すべての入力値がよいことが必要という補完的な評価法を使えば高順位になる．

• 評価対象 1 は，評価対象 2 と 3 の中間の性質を持っている．加重平均値 (ξ = 0.542付近) では，1 位になる．

感度分析
80

70

60

値
分
積50
ケ
ョ
シ

評価対象 1
評価対象 2
評価対象 3

40

30

20
0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ξ
図 15

感度分析のグラフ

6 ショケ積分型 AHP(ファジィ AHP,HFI)
AHP では，各基準について，それぞれの代替案を一対比較で（個別）評価値を求め，基準間の一対比較から求めた重みで加重平均をして総合評価値を求める．
しかし，加重平均だと，各個別評価値間の相互作用を考えていない．例えば，商品選択
では１つでも悪い点があるとそれを気にする人が多く，補完的な評価（すべての入力値がよいことが必要）をする人が多い．
例えば，服の選択で，「価格」，「デザイン」，「サイズ」，「品質」という基準があり，ある
服が，「価格」，「サイズ」，「品質」はとても満足するが，「デザイン」がまったく気に入らない場合，総合評価は低いだろう．逆に，「価格」，「デザイン」，「サイズ」，「品質」について，そこそこ満足する服に高い総合評価を与えるだろう．
このような総合評価を与えるためには，加重平均に代えて，総合評価をショケ積分で計算する必要がある．商品選択では１つでも悪い点があるとそれを気にする人は，低い ξ の43

値（例えば，ξ = 0.2) を与えて総合評価を行う．

ξ = 0.5 として，加法的にすれば，通常の AHP の加重平均値を求めることができる．したがって，ショケ積分型 AHP は，AHP を含んだものとなる．
マーケティングなどでは，1 つでも基準を満たさないとき評価をしない評価法を非補償型の評価という．上の例で，「価格」，「デザイン」，「サイズ」，「品質」のうち，ある商品が「デザイン」が基準を下回われば，その商品の総合評価値は 0 とする評価法である．価格などの良さが，デザインの悪さを補えないので，非補償型評価法と言われる．
逆に AHP での加重平均では，デザインが悪くても，価格がよければ，デザインの悪さを補うことができる．このような評価法を補償型評価法とよばれている．
ショケ積分型評価法は，非補償型と補償型の中間に位置する (厳密には，0 < ξ < 1 のとき，ショケ積分型は補償型の評価法)．ξ = 0.2 など，補完的な総合評価法では，デザインの悪さは価格などの良さで補うことができるが，その程度は小さい．デザインのほんの少しの悪さは，価格での大きな良さではないと補うことはできない評価法である．

ξ = 0.8 では，もっともよい評価値の基準を中心に評価する評価法である．たとえば，
おいしいバイキング形式のレストランの選択で，和食のおいしさ，フレンチのおいしさ，
イタリアンのおいしさ，中華のおいささを基準としたとき，どれか 1 つの基準でおいしいことを重要視するという評価法であるとする．中華のみがおいしいレストランでは，中華のおいしさの低下は，他の種（例えば，イタリアン）のおいしさの上昇ではあまり補えな
い．中華の少しの低下は，イタリアンの大きな上昇でないと補えないだろう．
図 16 は，教科書の AHP の例題 (p.34) をファジィ積分型にしたものである．計算の仕方は，感度分析と同じである．評価対象が代替案，入力値の名称が基準に対応する．図 17は，ξ を変化させた感度分析である．

• 鉄観音は，ほぼすべての評価値である程度の評価を受けている．したがって，悪い
ところがないという評価法すると，高い総合評価値を得る．グラフでは，ξ = 0.4
以下で 1 位になっている．また，ξ = 1 付近で急激に上昇しているのは，色の評価
値が 0.52 と高いが，その重みが 0.06 と低いため，」最大値での評価の ξ = 1 付近
まで，総合評価値にあまり影響を与えないためである．

• 大紅袍は，加法的な場合や代替的な評価の場合（ξ = 0.4 以上）1 位になっている．
大紅袍が高い評価を受けた味，香りの重みが高いので，加法的な評価の場合で高く，また，香りで 0.56 という高い評価を受けており，代替的な総合評価を行った場
合も高い総合評価値を得ている．

• プーアールは，常に大紅袍の下にある．これは，プーアールが高評価の価格の重み
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図 16

ショケ積分型 AHP の計算表

が，味や香りに比べて低いためである．しかし，価格の評価値 0.55 が高く，これは大紅袍の最大値 0.56 に匹敵し，よい点だけをみるという評価法では，大紅袍に匹敵する．

• 龍井は，すべての評価項目で，鉄観音より低い評価値で，また低い値である．そのため，どのような評価法でも 0.1 付近の低い総合評価値である．
通常の AHP(ξ = 0.5) の総合評価値では，大紅袍が 1 位になっている．しかし，大紅袍は

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感度分析
0.6

鉄観音
大紅袍
龍井
プーアール

0.5

0.4

値
分
積0.3
ケ
ョ
シ
0.2

0.1

0
0.0

0.1

0.2

図 17

0.3

0.4

0.5

ξ

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ショケ積分型 AHP の感度分析のグラフ

価格の評価値が低い. データを参照すると，100g あたり大紅袍が 5300 円，鉄観音が 2000
円と 2 倍以上の開きがあり，実感はそれ以上あるだろう．それが，大紅袍の価格の評価
値 0.05 と鉄観音の 0.30 の差異に現れている．実際，購入しようかどうか考えると，価格への重みがある程度低くても気にする．そのような場合，ショケ積分型の補完的な評価(ξ = 0.2 程度）が実感に合うのではないだろうか？
■練習問題

自分が作成した AHP の問題をショケ積分型 AHP で感度分析をし，その考察を考えてみよう．

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7 ファジィ論理関数
7.1 相補律，単調性
7.2 定数係数を持ったファジィ論理関数

8 ファジィルールの計算47