土木学会論文集B1(水工学) Vol.**, No.**I_**-I_**, 2015.

圧力流・自由表面流混在流れの準平面２次元数値モデルの構築
QUASI TWO-DIMENSIONAL NUMERICAL MODEL FOR
FREE-SURFACE-PRESSURIZED FLOWS

重枝未玲1・秋山壽一郎2・川上優3
Mirei SHIGE-EDA, Juichiro AKIYAMA and Yu KAWAKAMI
1正会員
2フェロー会員

博士(工)九州工業大学大学院准教授 工学研究院建設社会工学研究系（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町1-1）

Ph.D. 九州工業大学大学院教授 工学研究院建設社会工学研究系（同上）
3学生会員 九州工業大学 工学部建設社会工学科（同上）Quasi two-dimensional numerical model for free-surface-pressurized flows was constructed. The
model was based on two-dimensional shallow water equations. Since this model calculates flux by thenormal direction of the boundary of control volume, it can deal with flow in a sewer network and river
channel like a one-dimensional model. The model was also based on flux-difference splitting scheme
combined with the Preissmann slot to simulate flows in a closed conduit wherein the flow may change
from free-surface to pressurized flow and vice-versa. The model was verified against available
experimental data on free-surface or free-surface-pressurized flow. Thereafter, the model was tested
against some exacting sample problems. It is demonstrated that the model yields very reasonable resultsin all the cases considered.
Key Words : Quasi two-dimensional numerical model, free-surface-pressurized flow, Priessmann slot,
flux-difference splitting, sewer network

各ブランチをノードで接続することで取り扱われる．多くのモデルは，ブランチについては1次元のスロットモ
デルにより，ノードについては各ブランチから流入出す
る流量と質量保存により水深と流速を求めている1),2),3),4)．
近年，局地的な集中豪雨の激化に伴い，東京などの大都市では都市型水害が深刻になっている．都市域での雨
近年では，著者ら6)によって，ノードについて質量保存
水排除は，中小河川や下水道で行われるため，都市部でと運動量保存を考慮し，接続部での水位あるいは圧力上の氾濫を予測するためには，中小河川や下水道網での雨昇を考慮できる数値モデル，圧力流・自由表面流混在流
1),2),3),4)
水の挙動を的確に予測することが不可欠となるれのダイナミックネットワークモデルが構築されている．
．
これらのモデルには，いずれもノード，ブランチ間を接雨水排除システムの一つである下水道網では，流入す続するための，内部あるいは接続条件が必要となる．
る雨水の流量に応じて，自由表面流れから圧力流れへ，
本研究は，以上のような背景を踏まえ，都市域を対象また，その逆に遷移する流れが生じる．一般に，圧力・に内水・外水氾濫を取り扱うことが可能な氾濫解析モデ
自由表面流は，水深をピエゾ水頭と等しいと仮定し，管ルの構築を最終的な目的としている．ここでは，著者ら
路天端に非常に狭いスロットを設け，流積や潤辺を増加の圧力流・自由表面流混在流れのダイナミックネットさせずに水深を上昇させることで，自由表面流れの基礎ワークモデルをさらに発展させ，次の(1)，(2)のような方程式で取り扱えることがわかっている．このようなモ
5)利点を有する圧力流・自由表面流混在流れの準平面2次デルをスロットモデルと呼ぶ ．
元モデルを構築した．(1)下水道や河道を1次元モデルの下水道網を取り扱うためには，このような圧力・自由ように取り扱うことが可能，(2)従来のノード，ブランチ表面流の取扱いに加え，各下水道を接続し，下水道網とによるネットワークモデルのように内部あるいは接続条するための取扱いも必要となる．下水道網は，一般に，下水道をブランチ，下水道の始点と終点をノードとして， 件を必要とせず，平面2次元モデルのように下水道や河１． はじめに２．圧力流・自由表面流混在流れの準平面２次元
数値モデルの概要

下水道網

水位

道の線形，その分合流を一つのモデルで取り扱うことが可能．さらに，参考文献6)で用いた実験結果やテスト問題を含め，既存の自由表面流れあるいは圧力・自由表面流の混在流れの実験結果やテスト問題に基づき，同モデルの予測精度を検証した．

体積・粗度係数

計算セル重心

重心

重心

数値流束
計算セルの境界全てで計算

スロット

水位と体積・粗度係数との関係

計算セル

ピエゾ管

数値流束
横断面で面積分された数値流束を使用

水位と流積・潤辺・水位

圧力流・自由表面流混在流れの準平面2次元数値モデセル境界(横断面) 径深・水面幅・流水断面の図心との関係
ルは，①計算セルを下水道や河道線形に沿って計算セルを配置し，計算セルの境界全てに対して数値流束を計算計算セルすることで，平面2次元数値モデルのように，河道平面流積・潤辺・径深・水面幅・横断面の図心水路形状に沿って配置形状等の河道特性や下水道線形が流れに及ぼす影響を考
平面２次元解析的な扱い
１次元解析的な扱い
慮でき，②セル境界の数値流束には，横断面で面積分さ
図-1 圧力・自由表面流の準平面２次元モデルの概念図れた数値流束を用いることで，1次元モデルのように高水路床勾配は次式で計算される．
い計算効率で圧力流・自由表面流混在流れの解析を行う
z
z
ことを目的としたモデルである．同モデルは，(1) 下水
S0x   b ， S 0 y   b(2)xy
道や河道線形に沿って計算セルを配置し，(2) 計算セルをコントロールボリュームとして，①計算セル境界で水摩擦勾配は，次式のManning の公式で計算される．
位と断面積，潤辺，径深，水路幅，断面積の図心との関n 2u u 2  v 2n 2v u 2  v 2係，②計算セル内で水位と体積，粗度係数との関係を予，(3)
S fx Sfy
R4/3R4/3
め求め，(3) ①と②の関係から，計算セル境界の法線方向に対して，セル境界の横断面で面積分された数値流束
ここにR=径深であり，平面2次元の場合はR=hである．
を算定し，(4) 全てのセル境界線に対して数値流束を線式(1)を任意の検査体積Ω(本研究の場合は，検査面積積分することで，計算セル内の体積，流速と体積との積となる)で積分し，ガウスの発散定理を用いると，式(4)を算定し，圧力流・自由表面流混在流れを予測するモデに示す積分形の浅水流方程式が得られる．
ルである．その概要は図-1に示す通りである．以下では，
Ud    f n  dL   S1  d   0(4)同モデルの基礎方程式と数値解法の概要を示す．

t (1) 基礎方程式
ここに，Ω = 検査体積の境界線，L=Ω の長さである．
基礎方程式は2次元浅水流方程式である．Uを保存量
f・n =境界線Ωの法線方向を通過する流束ベクトルであベクトル，EとFをそれぞれx，y方向の流束ベクトルおり，式(5)で表される．
よびSを発生項・消滅項ベクトルとすると，連続の式とx，f n  E  nx  F  n y(5)y方向の運動量保存の式はそれぞれ式(1)で表される．

U E F
 S1  0t x y(1)uhvhh 1 22uvh
U   uh  ; E   u h  gh  ; F  ;2 vh  21 2 uvh
 v h  gh 20
S1    ghS0 x  ghS fx   ghS0 y  ghS fy 
ここに，h＝水深，u，v＝x，y方向の流速，g＝重力加速度，Sox，Soy＝x，y方向の河床あるいは水路床勾配，zb＝河床あるいは水路床高，Sfx，Sfy＝x，y方向の摩擦勾配である．

ここに，n=(nx，ny)=検査体積の境界線Ω の外向き単位法線ベクトルである．また，流束ベクトル f・nの流束ヤコビアンCnは式(6)で表される．
 f n A  nx  B  n y(6)Cn U
ここに，AとBは流束ベクトルEとFの流束ヤコビアンで，次式で表される．ここに，c(=(gh)0.5)=波速である．
0
 2 2A  u  c  uv


1 00

2u 0 ; B    uv
  v2  c2v u 

0 1v u
0 2v (2) 数値解析法a) 基礎方程式の離散化
計算領域を分割した微小領域をセル i とし，このセルを検査体積iとすると，式(4)のがiとなる．

ここに，A= k番目のセル境界線での流積，Fh=静水圧項，Δ(○)=(○)R− (○)Lで定義されるオペレータ，L，R=セ~ル境界線の左側，右側を示す添字， C nk =k番目のセル境

Pressure head(m)図-2 長方形断面管路での圧力・自由表面流の実験装置9)
上流端
下流端0.2界線における近似ヤコビアンである．近似ヤコビアンは以下に示す流速と波速のRoeの平均値に基づき計算される．〜はRoeの平均に基づき計算された諸量であることを表す．
AkL uL  AkR uR
AkL vL  AkR vRu , v ,AkL  AkR
AkL  AkR

AA c  g  kL  kR  BkL BkR 

0.180.16~
 V  C nk

0.14~

0.1202468101214~    e 3~jjjkj 1~

1  u~n x  v~n y  c~;  2  u~n x  v~n y ;  3  u~n x  v~n y  c~16

 1 
 0 
 1 
~~~~~~
e1   u  c nx ; e2    c n y ; e3   u~  c~nx  ~ ~  ~ 
 ~ ~  v  c ny 
 c nx  v  c ny Time(s)図-3 管路区間上下流の境界条件
0.25

1
 Ak

 ~ uAk n x   vAk n y  u~n x  v~n y Ak 
2c 1   2  
1~~ 2   vAk   v Ak n x   uAk   u Ak n y~  c3
    A1
 k~n  v~n A 
uAnvAnukxkyxyk 

2c~
 2


h(m)

0.2



 



0.15

天端
実験値(Wiggert(1972))
解析結果

0.1

0

2

4

6

8

10

12

14

16ii

ViNe(7)i

 Vi  t   f n  n   t   S1  d t*kk 1Vi (8)i Ud  V u V v V ii ii iT  f   n  12  f   n   f   n   ~  e~   (11)n

式(7)を有限体積法に基づき離散化すると式(8)となる．
その際，流速ui，viをセルiでの空間平均値とし，水深については空間分布を持つこととする．
t 1



これらを用いると式(10)は次式のように変形できる．

time(s)
図-4 測定点②での実験値と解析結果との比較

Ud     f n  dL    S1  d   0
t 

(9)

*k3kRjkLj



jkj 1~ここで，エントロピー補正のために，式(11)中の  j を~  j に置き換える．

  f   n  12  f   n   f   n   ~  e~  n*k3kRkLj 1jjjk

発生項・消滅項ベクトルについては，以下で述べる．なお，時間の刻み幅はクーラン型の安定条件を用い計算している．

i

ここに， Vi=水の体積，t= 時間に対する添字，k = セル
i を構成するセル境界線に対する添字，Ne=セルを構成するセル境界線の総数，t = 時間の刻み幅，(f*n・n)k =k番目のセル境界線を流入出する数値流束である．本研
究では以下の流束差分離法(FDS法)7)を用いた．

 f   n  12  f   n   f   n  C~ V  n*kkRkLnkk(10) n k  E k  n x  Fk  n yfuAkvAk
 Ak  2E k   u Ak  gFhk  , Fk  uvAk
 , Vk   uAk  v 2 A  gF 
 vA uvAkkhk  kb) 水路床勾配と摩擦勾配の離散化
水路床勾配および摩擦勾配の離散化については，
GlaisterやBurmudez and Vazquez8)と同様な方法に基づき，流束ベクトルと同じ方法で風上化を行う．
水路床・摩擦勾配に対応する数値流束S*1kは，風上化を行うことでS*1kはS*1k=S*-1k+ S*+1kに分けられる．式(8)はセルiを対象とした式なので，S*-1kの項のみがセル i に寄与する．従って，式(8)のNe

 S d  1k 1

 S d  は次式で表される．


11~S1k* ， S1*   S1 2 ~ j
j~ j e ~jj 1  
3ここに，Af=満管時の断面積，Pf=満管時の潤辺，hf=満管時の水深 (断面形状が長方形の場合には水路高，円形の場合には直径d)，bs=スロット幅である．
各セルのピエゾ管については，水深は次式で表される．
V Vf(14)h  hf As

流量計
バルブ

C1C2C3C4C5C6C7ポンプ

ここに，V=水の体積，Vf=満管時の水の体積，As=スロットの断面積である．これらを，①コントロールボリュー
ム境界の水位と断面積，潤辺，径深，水路幅，断面積の図心，②コントロールボリューム内の水深と体積に反映させることで，圧力・自由表面流を取り扱う．

PC

図-5 円管内での圧力・自由表面流の実験装置10)0.8pipe top

Piezometric Level(m)

0.75
0.7
t=145s0.65

t=125s0.6

t=105st=85s

３． 結果と考察

t=65s

0.55
t=45s
t=65s
t=85s
t=105st=125st=145s

0.5
0.45
0.4

0t=45spipe bottom

24

6t=25s810

12Distance(m)(a) 0~145秒
0.8
pipe top

Piezometric Level(m)

0.75
0.7

t=161st=165s0.65

以下では，既存の実験結果に基づき，圧力・自由表面流の準平面2次元モデルの検証を行う．はじめに，断面形状が異なる管路内の圧力・自由表面流の実験結果に基づき，横断面形の異なる水路での圧力・自由表面流れの本モデルの再現性について検証する．次に，屈曲部を有するダム破壊流れの実験結果に基づき，本モデルが水路線形を適切に取り扱うことが可能かを検証する．最後に下水道網のテスト問題に適用することで，本モデルの下水道網への適用性について検討する．

t=169s0.6(1) 圧力・自由表面流れの取扱いに関する検証a)長方形断面管路での圧力・自由表面流れ9)0.5t=185s
t=161st=165spipe bottomまず，Wiggert9)が行った長方形断面管路を用いた実験
t=169s0.45t=173st=185sに基づき検証した．実験装置は，図-2に示す長さ30m，0.41200
2
466
81012
幅0.51mの水平水路である．水路上流端から10mの位置
Distance(m)に，長さ10m，高さ0.148mの管路区間が設けられている．
(b) 161~185秒
図-6 円管での圧力・自由表面流れの実験値に基づく検証
水路の粗度係数は0.012m-1/3sである．水路に水深0.128mの水を貯めた後，水路上流端から波を発生させ，管路区
 gA k zb  gA k S fn d n  1 0;    2 1 間に圧力流れを生じさせている．管路区間の上下流，図0 S1   gAk zb nx  gAk S fn d n nx     2c -2中の測定点①~④で水位と圧力が計測されている．
  gA z  gA S d 
3 
 gA z n  gA S d n kbk fn n k fn n y  k b y 
解析は，図-3に示す管路区間上下流の圧力水頭を境界(12)
S fn  S fx nx  S fy n y条件として解析を行った．解析対称領域を21個のセルで分割し，スロット幅及びピエゾ管の面積については，そここに，dn=セル中心間の距離である．
れぞれ水路幅および計算セルの面積の10%とした．図-4
は，測定点②について，実験値と解析結果との比較を(3) 圧力流れの取り扱い行ったものである．これより，本モデルは，(1) 自由表
圧力流れが発生した場合には，図-1に示すように，計面流から圧力流へ遷移する時間，(2) 圧力水頭の波形や算セルの境界については幅の非常に狭いスロットを，計その値，などを再現できることが確認できる．このよう算セルについてはピエゾ管を設け，これらにより，水深を強制的に上昇させ圧力を上昇させる．満管状態の水深， に，本モデルは，自由表面流れから圧力流れへと，さらに圧力流れから自由表面流れへと遷移する複雑なプロセ
静水圧および潤辺は，それぞれ以下のような式で表されスを再現可能であることが確認された．
る．
t=173s0.55h  hf A  Af ；bsP  Pf ；A  A f  A  A f Fh  A f  0.5h f bs 2bs

2(13)b) 円管での圧力・自由表面流れ10)
次に，Capart et al.10)が行った円管での実験に基づき，モデルの検証を行った．実験装置には，水路床勾配が，水深(m)上流端から3.48mまでは0.01954，9.23mまでは0.01704，下流端までは0.01225 と変化させた直径0.145m ，長さ12.74mの円形管路を用いている．図-5に実験装置の概要を示す．上流端から0.0042m3/sの一定流量を流入させ，下流端の堰を上昇させることで強制的に跳水を発生させ，それを水路上流へ伝播させている．また，跳水が上流端付近まで伝播した時に，下流端の堰を下降させることで
図-7屈曲部を有するダム破壊流れの実験装置11)
水位低下を引き起こしている．その際，水位もしくはピ0.25
解析結果(本モデル)
エゾ水頭を，C1～C7の圧力計により測定している．
解析結果(ネットワークモデル)
解析の初期条件には小さな一定水深を，境界条件には解析結果(1次元)
0.2
G6 実験値
Capart et al. 10)の実験条件と同様に，上流端には0.0042m3/s
0.15の一定流量を与え，下流端には水位またはピエゾ水頭を-1/3与えた．Manningの粗度係数n=0.009m sとした．解析対
0.1
象領域を108個の計算セルで分割し，Courant数=0.95とし，スロット幅を変化させた数値実験を行った結果，スロッ0.05
ト幅およびピエゾ水頭の面積は，それぞれ管路直径と管路中心での計算セル面積の0.05%とした場合に，解析値00510 15 20 25 30 35 40と実験結果とが最も一致した．
時間(s)図-6は，解析値と実験結果との比較を行ったものであ
図-8 測定点G6での解析結果と実験値との比較る．これより，(1) 解析結果はすべての地点で圧力・自は，実験値を概ね再現していること，(2) 1次元解析では由表面流れのいずれも高い精度で再現していること，(2)屈曲部の影響を考慮できないために，予測精度が最も低円管内の自由表面流れから圧力流れへの遷移などを再現
いこと，(3) ダイナミックネットワークモデルは，水路していること，などが確認できる．
線形の影響を考慮可能のため1次元モデルに比べ予測精以上のように，本モデルは，単純な断面ではあるが複度は高いこと，(4) 本モデルは，ダイナミックネット数の横断面を有する閉水路内での自由表面・圧力流れをワークモデルに比べ，水位上昇のタイミングなど，より再現可能であることが確認された．
高い精度で予測できること，などがわかる．これは，本モデルが，ブランチ・ノードモデルのように2つのモデ(2) 水路線形の取扱いに関する検証
ルを接続するのではなく，水路線形，その分合流を一つ次に，本モデルが水路の線形の影響を適切に評価でき11)のモデルとして取り扱うことができるためと考えられる．
るかどうかを，Sorares, S. et al. のダム破壊流れの実験結
このように本モデルは，水路の線形等の形状の変化を適果に基づき検証した．実験水路は，図-7に示すように長切に評価できることが確認された．
方形断面の貯水槽(幅2.4m×長さ2.39m)と水路(幅0.495m×長さ8.2m)が接続されており，45度の屈曲部を有して(3) 管路網の取扱いに関する検証いる．貯水槽および水路は水平に設置されており，その最後，本モデルの管路網への適用性について検証する
粗度係数n=0.011m-1/3sである．初期水深は，貯水槽で水目的で，Garcia-Navarro, P et al.12)による管路網のテスト問
深h=0.25m，水路で水深h=0.01mである．図中のG1～G9
題に本モデルを適用した．管路網は，図-9に示す通りでで水深が測定されている．解析対象領域を105個の計算セルで分割し，下流端の境界条件には限界水深を与えた． ある．各管路は1辺が1mの正方形断面で，長さは100mである．管路 1~7 の水路勾配は，それぞれ S01=0.002 ，
図-8は，屈曲部の影響が顕著となる測定点G6での解S02=S03=0.001，S04=0.0，S05=S06=0.001，S07=0.002で，粗度析結果と実験値との比較を行ったものである．水路屈曲係数n=0.01m-1/3sである．この管路網は軸対称であり，当部では，ダム破壊流れのフロントが壁面に衝突し，その然，適切な数値解法であれば，数値振動は発生せず，得影響により段波が発生するため，その上流側では水位上られる結果も軸対象となる．この対称性をチェックする
昇が生じる．図中には，通常の1次元解析，ノード・ブことでモデルの妥当性を検討することができる．
ランチモデルを用いた著者らのダイナミックネットワー
6)
解析対象領域を144個の計算セルで分割し，流量およクモデル の結果もあわせて示している．なお，1次元び水深の初期条件を， Q0=0.1m3/s ， Q1=Q2=0.05m3/s ，
解析では水路の曲りによるエネルギー損失を考慮していQ3=0.0m3/s ， Q4=Q5=0.05m3/s ， Q6=0.1m3/s ，ない．また，ダイナミックネットワークモデルでは屈曲
h0=h1=h2=h3=h4=h5=h6=0.2mとし定常状態を求めた後，上部と同様な形状のブランチを設けることで，本モデルで流端から，最大流量が2.5m3/sの正三角波形の流量ハイドは屈曲部と同様な形状の計算セルを用いることで水路屈ログラフを600秒間隔で与えた．
曲部の形状を考慮している．これより，(1) 本解析結果

４．おわりに

2ｙｘ517436

図-9 テスト問題の管路網12)h1(m)天端h2(m)

天端

h3(m)

1.25
10.75
0.50.25
01.25
10.750.50.25
01.25
10.75
0.50.2501.25
10.75
0.50.2501.25
10.75
0.50.2501.25
10.75
0.50.2501.25
10.75
0.50.250天端

管路1管路2

管路3天端

h4(m)

図-10は，管路1~7の中心における水深の経時変化を示したものである．これより，(1) 管路1では自由表面流れと圧力流れが混在すること，(2) 上下対称の位置にある管路2，3および5，6の解析結果は対称であること，(3)
管路4では周期的な水面変動が生じていること，(4) 管路2~7では自由表面流れのみが生じていることなどが確認できる．このように本モデルは，対称性を維持しているとともに，管路網での自由表面流れから圧力流れへの遷移やその逆のプロセスを解析可能であること，などが確認できる．このように，本モデルは，定性的ではあるが，管路網で生じる圧力・自由表面流れを解析可能であることが確認された．

h5(m)

天端

h6(m)

管路4

天端h7(m)本研究では，平面２次元モデルのように下水道や河道の線形，その分合流を一つのモデルとして取扱え，かつ，下水道や河道を1次元モデルのように取り扱うことが可能な圧力・自由表面流の準平面２次元モデルを構築するとともに，同モデルを既存の自由表面流れあるいは圧力・自由表面流れの実験結果に基づき検証した．その結果，本モデルは，(1) 横断面形状の異なる水路で圧力，自由表面流れ，(2) 水路線形の変化，(3) 管路網内の圧力，自由表面流れを解析可能であることが確認された．
6)
なお，同モデルは，下水道網内に限定されず，河道の洪水解析にも適用可能なモデルである．今後，同モデルの河道への適用性についても検討したいと考えている．

天端

管路5管路6管路70400

800

1200t(s)160020002400

図-10 各管路での水深の経時変化
秋山壽一郎，重枝未玲，田邉武司：自由表面・圧力流れのダイナミックネットワークモデルの構築と都市域下水道網への適用，河川技術論文集，第14巻，pp.241-246，
2008．

7)
謝辞：本研究は，科学研究費補助金若手研究B(課題番号：25820225，研究代表者：重枝未玲)の助成を受けたものである．本研究を遂行するに当り，本学大学院生坂8)
田治義君，和田浩輔君，中上竜吾君には，データ整理等で多大な協力を得た．ここに記して感謝の意を表します．

Roe, P. L.: Approximate Riemann solvers, parameter vectors anddifference schemes, Journal of Computational Physics, Vol.43,
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（2014.9.30受付）