応用力学論文集Vol.10,(2007 年8 月)

土木学会

台形断面水路に設置された横越流堰の流量式および流量係数
Discharge formula and discharge coefficients of side-weirs constructed beside of trapezoidal open-channel flows
鬼束幸樹*・秋山壽一郎**・井田千尋***・俣賀円****Kouki ONITSUKA, Juichiro AKIYAMA , Chihiro IDA and Madoka MATAGA*博（工） 九州工業大学准教授，工学部建設社会工学科（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町 1-1）**Ph.D 九州工業大学教授，工学部建設社会工学科***学（工） 下松市総務課（〒744-8585 山口県下松市大手町 3-3-3）****修（工） 山口県土木建築部 柳井土木建築事務所（〒742-0031 山口県柳井市南町 3-9-3）
The discharge formula of side-weir constructed beside of a rectangular open-channel flow
was obtained by De Marchi. However, such a formula which is able to apply in trapezoidal
open-channel flows has not been suggested as yet. In this study, the discharge formula ofside-weir constructed beside of a rectangular open-channel flow can be obtained under thecondition that the specific energy is constant in the flow direction and also that the friction
and bed slope are negligible small. Further, the discharge coefficients were obtained fromthe present experiments, in which the Froude number, relative flow depth, relative weirheight, relative weir length and side-wall slope were changed. A new discharge formula
was suggested. It was conformed that the accuracy of the suggested formula is high ascompared with that of previous one.
Key Words: discharge coefficient, side-weir, trapezoidal open-channel flows

キーワード：流量係数，横越流堰，台形断面開水路流1．はじめに近年，我が国のいくつもの河川で既往最大洪水を上回る
規模の洪水が多発し，生命および財産が失われている．こうした洪水被害を食い止める方法は，基本高水の見直しに伴う堤防の嵩上げが基本である．ただし，立地条件が整えば地下調節地あるいは遊水池を用いて計画高水流量を低減させるという選択肢もある．地下調節地への越流量を求めるには，横越流堰の流量式および流量係数を解明する必要がある．
De Marchi1)は矩形断面水路において，比エネルギーが一定で，かつ摩擦勾配および河床勾配が微小との仮定に基づ
き，運動量の式および比エネルギーの式を連立させた．さらに，この連立式を堰長方向に積分することで流量式を理論的に導き出した．その後，Subramanya & Awasthy2)は次元解析を用いて矩形断面水路における流量係数が，フルー
ド数，相対水深(=流入水深/堰長)，相対堰長(=堰長/水面幅)
および相対堰高(=堰高/流入水深)の4つのパラメータに支配されていることを指摘した．Subramanya & Awasthy2)を始め，様々な研究者によって矩形断面水路の流量係数が定量的に解明された3-5),7)-11)．
ところが河川の横断面形状は必ずしも矩形ではない．都
市部ではのり面勾配の急なコンクリート製の台形断面水路がしばしば見受けられる．市街化の進んでいない地域では，のり面勾配の緩やかな盛土堤防で形成される台形断面
水路が多く見られる．Cheong6)は台形断面水路においてDe Marchi1)と同様な方法で流量式を求めた．しかし，相対堰高がゼロという条件を用いているため，有限な相対堰高の場合には適用困難となる．浦ら12)も台形断面水路における流量式の導出を試みているが，運動量の式を用いる際に矩形の条件を用いており，のり面勾配が急な場合には適用困難と考えられる．また，台形断面水路の流量係数に関しては，Cheong6)が定式化しているが，上述のような条件下で求められたものである．そのため，現在の所，台形断面
水路における流量式および流量係数は解明されていないのが現状である．

本研究では，台形断面水路から横越流する流れの流量式の導出に成功した．
さらに，接近流が常流の場合において，
フルード数，相対水深，相対堰長，相対堰高および側壁勾配を変化させた実験を行い，流量係数の定式化を行った．

1
m

y

x

z

Flow

B

z

T

L

2．理論的考察
2.1 流量式の導出
図-1 に台形断面水路に設置された横越流堰の模式図を示す．水路床と平行な流下方向に x 軸，x 軸に直角上向きに y 軸，横断方向に z 軸をとる．ここに，L は堰長，B は
水路底面幅，T は水面幅， S は堰高， h は水深，m は側壁勾配である．section 1 および section 2 はそれぞれ横越流
区間の始端および終端の断面であり，これ以降，断面位置を表示する添字として使用する．水路床勾配および摩擦勾配を無視し，比エネルギー E が流下方向に一定と仮定し，静水圧近似を仮定すると次式が得られる．
E =h+hsection 1dxa ≡(B + mh ) ⋅ h ⋅ dh
3 1
⋅
⋅
4 CM
E − h ⋅ (h − S )33 1 (B + 2mh ) ⋅ (E − h )dxb ≡ − ⋅
⋅
⋅ dh
2 CM
E − h ⋅ (h − S )3

E−h
h−S

t≡

ここに， Q は主流量， g は重力加速度，α はエネルギー
補正係数， A は横断面積である．
運動量の釣り合い式において，水路床勾配および摩擦勾配を無視すると，次式が得られる．
βQq* Adh(2)=
dx gA3 − β Q 2T

式(11)を h で微分する．

本研究では簡単のため，α = β =1 とおく．
単位幅越流量 q* は次式で与えられる．
2
q* = C M 2 g (h − S )3 / 2(5)
3式(1)および(4)より流量 Q
ここに，CM は流量係数である．
は次式のように表現できる．
Q= (B + mh )h ⋅ 2 g ( E − h)(6)

(E − h )⋅ (h − S )3
dh 4
= ⋅ CM ⋅dx 3(B + mh) ⋅ h − 2 ⋅ (B + 2mh )⋅ (E − h )

(7)

1

(12)

式(12)を整理すると次式となる．
(E − h)(h − S )3 = 1 (S − E ) dh
(13)
2
dt
次に，式(9)および(10)より， xa および xb をそれぞれ求める．
(1)xa についての式展開

式(13)を式(9)に代入すると次式が得られる．
dxa =

3 B
3 1
h
mh 2
⋅
⋅
⋅ dt + ⋅⋅⋅ dt
2 CM S − E
2 CM S − E(14)

積分を容易にするために，式(14)の右辺第 1 項と第 2 項を分割して記述する．
3 B
hdxaa ≡ ⋅
⋅
⋅ dt
(15)
2 CM S − E
3 1
mh 2
⋅
⋅
⋅ dt
2 CM S − E(16)

式(11)より h = (t 2 S + E ) /(t 2 + 1) なので，式(15)は次のよ
dxaa =

M

式(8)の右辺第 1 項と第 2 項を分割して記述する．

−

うに展開できる．

式(7)は次式に変形できる．
(B + mh )h3
dx = ⋅⋅ dh
4 C
E − h ⋅ (h − S )33 1 (B + 2mh ) ⋅ (E − h )
− ⋅
⋅
⋅ dh
2 CM
E − h ⋅ (h − S )3

(10)

(11)

dt 1  E − h  2 − (h − S ) − (E − h )=  ⋅dh 2  h − S (h − S )2

dxab ≡

式(3)～(6)を式(2)に代入すると，次式が得られる．

(9)

ここで， t を次式のように定義する．

(1)

ここに，β は運動量補正係数，q* は単位幅越流量である．
幾何学条件は以下のようである．
T = B + 2mh(3)
A = (B + mh ) ⋅ h(4)section 2

図-1 台形断面に設置された横越流堰の概要

2αQ= const.
2 gA2

S

3 B
t 2S + E⋅⋅⋅ dt
2 C M (S − E ) t 2 + 1( )3 B (t + 1)S + E − S
= ⋅
⋅
⋅ dt
2 C
(S − E )(t + 1)

(17)

2

(8)

M

dxaa =

2

3 B  S1 ⋅⋅− ⋅ dt2 CM  S − E t 2 + 1 式(18)を t で積分すると xaa が得られる．

(18)

xaa =

3 B  S⋅⋅t − tan −1 t  + const.
2 CM  S − E


式(16)についても式(11)を利用すると次のように展開できる．
m  2S − E (S − E )2 
3 1⋅⋅ S − 2S 2dxab = ⋅+⋅ dt (20)2 
22 CM S − E 
+
t
1
t
+
1



(

)

S − E 3 m  S 2
2S
dxab = ⋅
⋅ dt
⋅
− 2
+
2 CM  S − E t + 1 t 2 + 1 2 
式(21)を t で積分すると xab が得られる．

(

xab =

)

(2)

(21)

3 m  S 2
t − 2S tan −1 t⋅⋅
2 C M  S − E
S−E  t+⋅+ tan −1 t   + const.
2  t2 +1(22)

式(13)を式(10)に代入すると次のように式展開できる．
3 (B + 2mh ) ⋅ (E − h )(23)⋅dxb = −
⋅ dt
CM
S−E
=−


 
3
1
t 2S + E
t 2 S + E ⋅⋅  2m 2+ B  ⋅  E − 2⋅ dt
CM S − E 
t +1
t + 1 
 

=−

  E
3 
t 2S + ES1 ⋅  2m 2+ B  ⋅ −+ 2
 ⋅ dt
CM 
−
−
S
E
S
E
t +1
t
+1



=−

  1
3 
t S+E

⋅  2m 2+ B  ⋅  2− 1 ⋅ dt
CM 
1
t +1
t
+



2

  1
3 
E 
 t 2 S⋅  2m ⋅  2+ 2− 1 ⋅ dt
 + B ⋅  2
C M 
 t + 1 t + 1   t + 1 

=−

  1

3 
1 
E 

⋅ 2m ⋅ 1 − 2− 1 ⋅ dt
S + 2
 + B ⋅  2
CM 
+
1
1
1
+
t
t
t
+




 

=−

 1

3 
1
⋅ − 2mS ⋅ 
− 2
+ 1
2
2
CM 
t + 1  t + 1


(

+

)

2mE  1
 
−
+
−
1

 B  ⋅ dt
2
t 2 + 1  t 2 + 1  
t2 +1

(

2mE

)

(24)

式(24)を t で積分すると xb が得られる．
 t

3 
3
xb = −⋅ − 2mS ⋅  2− tan −1 t + t 
C M 
2 t +1 2


(

)


 t

1
+ 2mE ⋅  2− tan−1 t  + B ⋅ tan−1 t − t  + const. (25)
2 t +1 2



(

)

(

)

(3) x についての式展開
式(19)，(22)および(25)を加算することで x が求められる．
この式において，側壁勾配 m を含む項 xm と側壁勾配 m を含まない項 x B で整理すると次のようになる．

(26)

xB =

3 B  S⋅⋅t − 3 tan −1 t + 2t 
2 CM  S − Exm =3 m  S 2
3
t + (E − 5S ) tan −1 t⋅⋅
2 CM  S − E
2

(27)

5
(S − E ) 2 t + 4St 
(28)
2
t +1

式(11)を用いて t を消去すると式(26)および(27)は次式となる．
3 B  3S − 2 E E − h
E − h (29)
xB = ⋅⋅− 3 tan −1
2 CM  S − E
h−S
h − S 
+

xm =

+

xb についての式展開=−

x = x B + xm + const .

(19)

3 m  5S 2 − 4 SE⋅
⋅
2 CM  S − E

5 S−E
⋅
2 E−S

E−h 3
+ (E − 5S ) tan −1
h−S 2

E−h
h−S

(E − h )(h − S ) (30)
式(26)，(29)および(30)において，堰始端( x = x1 )および堰終端( x = x2 )の値をそれぞれ代入し，両式の差を求めると，
式(26)中の定数項がキャンセルされる．その結果，次式に示される台形断面水路における流量式の導出に初めて成功した．
3 B
x2 − x1 = L = ⋅⋅ {(φa 2 − φa1 ) + m ⋅ (φb 2 − φb1 )} (31)2 CM

φai (hi , Ei , S ) =3S − 2Ei
Ei − hiEi − hi(32)⋅− 3 tan −1
S − Eihi − Shi − Sφbi (hi , Ei , S , B ) =S (5S − 4 Ei ) Ei − hi⋅
B(S − Ei )hi − S−3⋅ (Ei − 5S ) ⋅ tan −1
2B

Ei − hihi − S(33)

ここに， i =1，2 とする．側壁勾配の効果は式(31)右辺の括弧内の第 2 項である．側壁勾配 m がゼロ，すなわち矩形断面の条件を与えると，De Marchi1)の式に帰着する．
計測によって得られる水深 h1 ， h2 ， E1 ， E2 および既知量 S ，B ，m を式(31)～(33)に代入すると，流量係数 CMを算出することができる．
2.2 既往の流量係数
Cheong6)は台形断面水路から流出する流れの流量係数を次式のように提案した．
CM = −0.22 F12 + 0.45(34)

ただし，相対堰高 S / h1 がゼロという条件で得られている
ため，有限な相対堰高の場合では適用困難と考えられる．
したがって，現在のところ台形断面水路に設置された横越流堰の流量係数は解明されていないのが現状である．
3．実験装置および実験条件

Control valve

Electromagnetic current meter
P oint gauge

Flow

T ail gate

P ump

Controller ofwave gauge

Reserved tank

図-2 実験水路および実験装置
表-1 実験条件
変化パラメータ
フルード数 Fr1

変化の範囲
0.2～0.8

相対堰長 L / T
相対堰高 S / h1

0.68～1.74
0.6～0.8

相対水深 h1 / L

0.13～0.33

側壁勾配 m

0.3～0.7

実験に用いた水路は，
図-2に示した全長 5.0m，高さ 0.3m，
水路幅 0.4m の矩形断面を有するアクリル製可変勾配型循
環式水路である．横越流堰の区間は水路始端 3.0m 下流から始まる．横越流堰頂部の形状は刃形である．
矩形断面水路に設置された横越流堰の流量係数を決定しているパラメータは，フルード数 Fr1 ，相対堰長 L / T ，
相対堰高 S / h1 および相対水深 h1 / L の 4 つであることがSubramanya & Awasthy2)の次元解析によって解明された．
台形断面水路に設置された横越流堰の流量係数に関しては，上記の 4 つのパラメータ以外に側壁勾配 m もパラメータとして挙げられる．なぜなら，台形断面水路内の主流
速分布および 2 次流構造が側壁勾配 m によって変化する
ことが冨永ら 13)によって解明されており，したがって，側
壁勾配 m が変化することで接近流の流れの状態が矩形断面と異なるからである．
流量係数を実験的に求める場合，支配パラメータを系
統的に変化させる必要がある．矩形断面においては，相対堰高 S / h1 をゼロとしてパラメータを 1 つ減らし，フルー
ド数 Fr1 ，相対堰長 L / T および相対水深 h1 / L の 3 つのパラメータを系統的に変化させ，相対水深 h1 / L の流量係数に及ぼす影響がその他 2 つのパラメータのものよりも微小であることを解明した研究例 14)がある．しかし，台形断面のようにパラメータが 5 つある場合では，同様に相対堰
高 S / h1 をゼロとしてパラメータを 1 つ減らしても，残り4 つもパラメータがあり，それらのパラメータを系統的に変化させた実験を行うことは極めて困難である．そのため，

複数のパラメータが同時に変化する条件で実験をせざるを得ない．
表-1 に示す範囲でフルード数 Fr1 ，相対堰長 L / T ，相対堰高 S / h1 ，相対水深 h1 / L および側壁勾配 m をランダ
ムに変化させ，合計 72 ケースの実験を行った．
測定項目は流量測定および水深測定である．流量 Q1 は流入パイプに設置されている誤差 0.5%以下の電磁流量計で計測した．また，横越流堰を越えた水および水路下流端から落下した水を，それぞれタンクに一時的に貯留し，波高計で水位上昇速度を計測することにより，流量 Qw および Q2 を算出した．なお，電磁流量計との流量比較によって，流量 Qw および Q2 の計測誤差が 3%以下であることを確認した．
水路中央断面の x / L =0 および 1.0 において，ディジタ
ル式ポイントゲージを用いて水深を計測した．
4．実験結果および考察
4.1 データの検定
本実験では5つのパラメータを系統的に変化させていな
いため，流量係数 CM とパラメータとの関係を定式化するには統計解析などの手法に頼らざるを得ない．本研究では，
重回帰分析を用いることとする．重回帰分析を用いる場合，検定が必要となるが，最も一般的なステップワイズ法を採用する．なお，浦ら12)も本実験と同様な実験を行っているため，彼らのデータに基づき再計算した得られた流量係数
も解析の対象とした．検定値を F=1.0, 2.0および3.0で行った結果，いずれの検定においても相対堰高 S / h1 が説明変数として不適とされた．そのため，説明変数をフルード数
Fr1 ，相対堰長 L / T ，相対水深 h1 / L および側壁勾配 m の4つとして，目的変数である流量係数 CM の重回帰分析を行う．
4.2 パラメータ数と精度の関係

0.8

0.8

C M calC M = f (Fr1 )CCM
M (this study)

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0
0.2

0.4

C
CM
M (this study)

0.6

C
CM
M (Ura et al.)0

C M = f (Fr1 , L / T )C M cal0.6 C M exp 0.8

CCM
M (Ura et al.)

0
0

0.2

図-3(a) 説明変数が Fr1 の場合の CM
0.8

C M calC M calCCM
M (this study)

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0
0

0.2

0.4

C M = f (Fr1 , L / T , h1 / L, m )CM
C M (this study)

0.6

C
CM
M (Ura et al.)0.6 C M exp 0.8

図-3(c) 説明変数が Fr1 ，L / T ，h1 / L の場合の CM
矩形断面に設置された横越流堰の流量係数 CM に関しては，Subramanya & Awasthy2)，Ranga Raju et al.7)およびJames & Mitri8)はフルード数 Fr1 の一価関数として表示した．Hager9) および Singh et al.10)はフルード数 Fr1 だけでな

0.6 C M exp 0.8

図-3(b) 説明変数が Fr1 ， L / T の場合の CM
0.8

C M = f (Fr1 , L / T , h1 / L )0.4

C M (Ura et al.)
CM

0
0

0.2

0.4

0.6 C M exp 0.8

図-3(d) 説明変数が Fr1 ，L / T ，h1 / L ，m の場合の CM
0.8

CM cal0.6

く相対堰高 S / h1 も流量係数 CM に影響を与えると考えた．
一方，Borghei et al.11)は，フルード数 Fr1 ，相対堰高 S / h1 お
よび相対堰長 L / T が流量係数 CM を決定していると考えた．その後，フルード数 Fr1 ，相対堰長 L / T および相対
水深 h1 / L を系統的に変化させた実験によって，相対水深h1 / L の影響が相対的に小さいことが解明された．一方，
台形断面に設置された横越流堰の流量係数 CM について
は，Cheong6)がフルード数 Fr1 の一価関数として定式化しているものの，その他のパラメータの流量係数への影響を評価していない．そのため，各パラメータの流量係数 CMへの寄与率が不明であり，したがって，Cheong6)式の妥当

0.4

0.2

0
0

0.2

0.4

0.6 CM calC 0.8

図-4 提案式と Cheong 式で算出される C M の差違6,000C M = f (Fr1 )6,000

C M = f (Fr1 , L / T )Qwcal

this study

Qwcal

this study(cc/s)Ura et al.

(cc/s)Ura et al.

4,000

4,000

2,000

2,000

0

0

2,000

Qw4,000
exp (cc/s)

6,000

0

0

図-5(a) 式(35)を用いて算出した越流量

6,000
Qwcal
(cc/s)

Qwcal

this study

Ura et al.

(cc/s)Ura et al.

4,000

2,000

2,000

0

2,000

Qw4,000
exp (cc/s)

6,000

図-5(c) 式(37)を用いて算出した越流量性も証明されていない．
説明変数をフルード数 Fr1 の1つとした場合，フルード
数 Fr1 および相対堰長 L / T の2つとした場合，フルード数
Fr1 ，相対堰長 L / T および相対水深 h1 / L の3つとした場
合，フルード数 Fr1 ，相対堰長 L / T ，相対水深 h1 / L および側壁勾配 m の4つとした場合に重回帰分析から得られた流量係数はそれぞれ次のようである．
a) CM = f ( Fr1 ) とした場合(35)
C M = 0.398 − 0.214 Fr1b)

CM = f ( Fr1 , L / T ) とした場合

6,000

C M = f (Fr1 , L / T , h1 / L, m )this study

4,000

0

Qw4,000
exp (cc/s)

図-5(b) 式(36)を用いて算出した越流量6,000CM = f (Fr1 , L / T , h1 / L )

2,000

0

0

2,000

Qw4,000
exp (cc/s)

6,000

図-5(d) 式(38)を用いて算出した越流量表-2 式(34)～(38)を用いて算出した予測越流量の誤差

C M =f (Fr 1)
C M =f (Fr 1,L /T )C M =f (Fr 1,L /T ,h 1/L )C M =f (Fr 1,L /T ,h 1/L ,m )Q w calerror(%)
41.6
35.0
23.3
16.2

+0.089 L T + 0.120 h1 L

(38)

(0.2 ≤ Fr1 ≤ 0.8, 0.45 ≤ L T ≤ 1.74,(36)

0.125 ≤ h1 L ≤ 0.905, 0 ≤ m ≤ 0.7 )実験で得られた実測流量係数 C M exp と式(35)～(38)で算出

CM = −0.015 − 0.335 Fr1 + 0.291 L T + 0.430 h1 L (37)d) CM = f ( Fr1 , L / T , h1 / L, m) とした場合された予測流量係数 CMcal の関係をそれぞれ図-3(a)～(d)に示す．説明変数の増加に伴い予測流量係数 CMcal の実測流量係数 C M exp からのばらつきが小さくなっている

CM = 0.275 − 0.279 Fr1 + 0.149 L Tc) CM = f ( Fr1 , L / T , h1 / L) とした場合

CM = 0.479 − 0.351m − 0.360 Fr1

の方が精度が高いと判断される．

6,000

5．おわりにQw cal(cc/s)

4,000

2,000

0
0

2,000

Qw4,000
calC (cc/s)

6,000

図-6 提案式と Cheong 式で算出される越流量の差違ことが理解される．また，側壁勾配 m も説明変数に加えた方がばらつきが小さくなっていることが確認される．
相対堰高がゼロの場合の流量係数は Cheong6)によって式(34)のように提案された．この流量式が有限の相対堰高に有効かどうかを検討する．図-4は本実験データに基づき，式(34)から算出された流量係数 CMcalC と式(38)で得られた流量係数 CMcal との関係を示したものである．Cheong6)の式(34)で算出された流量係数 CMcalC は式(38)で算出された流量係数 CMcal と比べて過小評価する傾向にあり，式(34)が有限の堰高には適用困難であることを示唆している．
続いて，越流量の予測精度について検討する．実験で得られた実測越流量 Qw exp と式(35)～(38)で得られた流量係数に基づき算出された予測越流量 Qwcal との関係を図-5(a)～(d)にそれぞれ示す．説明変数の増加に伴い，予測
越流量 Qwcal の実測越流量 Qw exp からのばらつきが減少している．表-2に式(35)～(38)に基づく予測越流量 Qwcal の
実測越流量 Qw exp に対する誤差を示す．説明変数の増加に伴い，誤差が減少していることから，説明変数が多いほど越流量の予測精度が向上することおよび式(38)が精度の高い流量式であることが示された．
図-6に本研究で提案した式(38)に基づき算出される越流量 Qwcal と Cheong 式に基づいて算出される越流量
QwcalC との関係を示す．越流量 QwcalC は越流量 Qwcal に比べて過小評価となっている．これは，図-4に示されたよ
うに，Cheong6)の提案式(34)によって算出される流量係数が過小評価となっているためである．したがって，台形断面水路に設置された有限の相対堰高を有する越流堰の越流量を予測するには，Cheong 式よりも本研究の提案式(38)台形断面に設置された横越流堰の流量式および流量係数に関して理論的，実験的な検討を行った．その結果，以下のような結論を得た．
(1) 水路床勾配，摩擦勾配が無視でき，静水圧近似および比エネルギーが一定との仮定に基づき，連続の式，運動量の釣り合い式およびエネルギー式を連立させ，台形断面に設置された横越流堰の流量式の導出に初めて成功した．
(2) フルード数，相対堰長，相対水深および側壁勾配を説明変数とし，流量係数を目的変数として検定を行うと，相対堰高が説明変数として不適とされた．そのため，相対堰高以外のパラメータの流量係数への寄与率を考察した
ところ，全てのパラメータが流量係数に影響を与えていることおよび説明変数を増加させるに従い，流量係数の予測精度が向上することが確認された．

(3) (2)の結果に基づき式(38)のように流量式を提案した．
この提案式の流量係数および越流量の予測精度は，Cheong 式のものよりも高いことが証明された．
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（2007 年 4 月 12 日 受付）