数学Ⅰ・数学Ａ問

題

選択

方法

第１問

必答

第２問

必答

第３問
第４問
第５問

!
%% いずれか!問を選択し，"#解答しなさい。
%%$― ２５ ―（２２０４―２５）

数学Ⅰ・数学Ａ （注）この科目には，選択問題があります。（２５ページ参照。）

第１問 （必答問題）（配点 ３０）〔!〕 次の等式  と  を同時に満たす実数 x，y について考える。

２５０（ x２ ＋ y２）＝（ x ＋$y ）………………………… −#!" x ＋ y ＝!

…………………………  の左辺から右辺を引くと

２ %５０（ x２ ＋ y２）−（ x ＋$y ）＝&ア

２x − y'(となる。よって， よりy＝アxである。したがって

x＝イ＋ウ!"となり，y ＝ア%&イ＋ウ'!"(となる。
（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ２６ ―（２２０４―２６）

数学Ⅰ・数学Ａ
また"x２ ＋ y２ −５０＝４００#エオ＋カ$!!%となる。
（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ２７ ―（２２０４―２７）

数学Ⅰ・数学Ａ〔$〕 地点 A と地点 B が一般道路 !（以下，道路 !）と高速道路 "（以下，道路 "）で つ な が っ て い る。車 の 制 限 速 度 は，道 路 ! が 時 速３０km で，道 路 " が時 速８０km で あ る。道 路 ! に お け る A か ら B ま で の 道 の り は７５km で あり，道路 " における A から B までの道のりは４８km である。
道 路 ! 上 に 地 点 P が あ り，道 路 ! に お け る P か ら A ま で の 道 の り は１０km である。また，地点 Q は道路 ! において P と B の間にある。ただし，Q は，P，B のいずれとも異なる地点である。
太郎さんは，P から Q に車で行くことになった。P から Q に行くには，P から道路 ! だけを通って Q に行く経路#と，P から道路 ! を通って A に行き，A から道路 " を通って B に行き，B から道路 ! を通って Q に行く経路$がある。

経路１
経路２
道路
道路QP

BA

参考図

道路 ! における P から Q までの道のりがどれくらいであれば，経路$を選ぶ方が経路#を選ぶより短い時間で Q に到着できるかを考えたい。ただし，車はつねに制限速度で走るものとする。

― ２８ ―（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）（２２０４―２８）

数学Ⅰ・数学Ａ
道路 # において，P から Q までの道のりを x km とすると，P から A までの道のりが１０km であり，P と B の間に Q があることから x ＜６５である。
経 路%を 選 ぶ と き，道 路 # を 通 っ て い る 時 間 は

キク−x

時間

ケコと な る の で，経 路% を 選 ん だ 場 合 の P か ら Q ま で の 所 要 時 間 は& キク − x ＋' ケコ

サシ(時間となる。よって，経路%を選ぶ方が経路$を)選ぶより短い時間で Q に到着できることを表す不等式は

キク−xサ＋xス

ケコ

シセソとなる。これを解くとx ＞ タチ．

ツと な る。し た が っ て，道 路 # に お け る P か ら Q ま で の 道 の り がタチ．

ツkm より長ければ，経路%を選ぶ方が経路$を選ぶより短い時間で Q に到着することができる。

ス!の解答群"＜＞（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ２９ ―（２２０４―２９）

数学Ⅰ・数学Ａ〔)〕 三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。

,ABC において，BC ＝*であり，,ABC の外接円の半径は４ !)であ)るとする。このとき，∠BAC の大きさについて二つの場合を考えることが で き，そ の う ち の 小 さ い 方 はテ

で あ り，大 き い 方 はで あ る。さ ら に，,ABC の 面 積 は３ !)で あ る と す る。こ の と き，*AB・AC ＝ナである。

∠BAC ＝テの と き，余 弦 定 理 よ り AB２ ＋ AC２ ＝２（AB ＋ AC）＝

AB ＝

ネノヒである。よって，AC ＝±ハニヌ

トなので− AB より! フヘ(である。
また，∠BAC ＝トのとき，同様に考えると AB ＝

１９± !+!
であ(ることがわかる。

テ，!

３０°

% １２０°

トの解答群"４５°& １３５°

#６０°

$ ９０°

' １５０°（数学Ⅰ・数学Ａ第１問は次ページに続く。）― ３０ ―（２２０４―３０）数学Ⅰ・数学Ａ

次の命題 ， の真偽の組合せとして正しいものはホである。

二つの三角形において，一組の辺，面積，外接円の半径がそれぞれ等しいならば，その二つの三角形は合同である。



二つの三角形において，一組の角，面積，外接円の半径がそれぞれ等しいならば，その二つの三角形は合同である。

ホの解答群!

"#$



真真偽偽



真偽真

偽― ３１ ―

（２２０４―３１）

数学Ⅰ・数学Ａ

第２問 （必答問題）（配点 ３０）〔"〕 花子さんと太郎さんは，絶対値を含む関数のグラフを考えている。
関数

y＝

" ２"
"x ＋#x −８!＋ （ x２ −%x ） ………………………… &&のグラフを考える。
'#次不等式 x２ ＋#x −&＜!の解はアイ＜x＜ウである。のとき，x２ ＋#x −&の値は負となるので，

アイ＜x＜ウy ＝−" ２"（ x ＋#x −&）＋ （ x２ −%x ）＝− x ＋"&&はと変形できる。
x≦

アイ

y＝，ウ

≦ x のとき， は" ２"" ２"（ x ＋#x −&）＋ （ x２ −%x ）＝x −x −"&&$#と変形できる。
(#次関数

y＝

" ２"
x −x −"$#*+のグラフの頂点の座標は)

 のグラフは

クオカエ，キ,である。
-である。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３２ ―（２２０４―３２）

数学Ⅰ・数学Ａク

については，最も適当なものを，次の!〜"のうちから一つ選べ。

なお，x 軸と y 軸は省略しているが，x 軸は右方向，y 軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

ǎǏ

ǐ

Ǒ

ǒ

Ǔ

ǔ

Ǖ

ǖ

Ǘ

（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３３ ―（２２０４―３３）

数学Ⅰ・数学Ａ


花子さんと太郎さんは， を振り返って，グラフのおおよその形をより簡単に知る手順を，関数" ２" ２"x −９x ＋x!−%%y ＝−………………………… を例にして考えている。

花子： の関数のグラフを考えるのは大変だったね。おおよその形でよいから，あまり計算せずに簡単に知ることはできないかな。
太郎： の関数も  の関数と同じように x２ の項が消えて"次関数となるような x の値の範囲があるね。具体的には，x２ −&＜!となる x の値の範囲で x の係数が正の"次関数になっているよ。
花子：逆に x２ −&＞!となる x の値の範囲では，x２ の係数が負の#次関数になっているよ。
太郎：それらを合わせると， の関数のグラフは，真ん中が右上がりの直線の一部，両側が上に凸の放物線の一部になっているよ。
花子：このように考えていけば，あまり計算をしなくても，おおよその形は簡単にわかるね。

関数 y ＝−" ２" ２"x −９!−x ＋ x のグラフは%%ケである。

次の関数のグラフについても考えてみよう。
●

関数 y ＝" ２" ２"x −９!−x ＋ x のグラフは%%●関数 y ＝" ２""x ＋#!$ x −４!＋ （ x２ ＋#!$ x ）のグラフは%%サコである。

である。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３４ ―（２２０４―３４）

数学Ⅰ・数学Ａ
ケ〜サについては，最も適当なものを，次の!〜"のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。なお，x 軸とy 軸は省略しているが，x 軸は右方向，y 軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

ǎǏǐǑ

ǒǓǔǕ

ǖ

Ǘ

（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３５ ―（２２０４―３５）

数学Ⅰ・数学Ａ〔"〕 演技などの採点において，複数の審査員による採点結果の評点のうち，最小値と最大値をそれぞれ!個ずつ除外した評点によって評価が行われることがある。
以下では，審査員がそれぞれ１，２，３，４，５のいずれかの評点をつけるものとする。
n は#以上の自然数とする。n 人の審査員による採点結果の評点を小さい方から順に並べたものを

x１，x２，……，x nと表し，これを「元の評点」と呼ぶこととし，「元の評点」の平均値を x，分散を「元の評点」から最小値 x１ と最大値 x n を除外した評点を並べs２ で表す。また，たもの

x２，x３，……，x n −１

を「調整後の評点」と呼ぶこととし，「調整後の評点」の平均値を y，分散を t２ で表す。さらに，除外した"個の評点 x１，x n の平均値を z で表す。
５，３，３，２であったとする。
例えば，$人の審査員による採点結果の評点が２，このとき「元の評点」は２，２，３，３，５となり，「調整後の評点」は２，３，３となる。
（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３６ ―（２２０４―３６）

数学Ⅰ・数学Ａ
n ＝１０とする。「元の評点」が１，２，２，３，３，３，３，４，４，５であったとする。このとき
x ＝+，y ＝，s２ ＝１．
２，t２ ＝

シス．

セである。

n ≧,とする。A ＝ x１ ＋ x n，B ＝ x２ ＋ x３ ＋……＋ x n −１ とおくと，

x＝A＋BABとなり，z ＝とy＝を用いると
n*n −２x＝

ソz＋タyと表すことができる。x ≦ y が成り立つための必要十分条件として，後の!〜&のうち，正しいものはソ，タチである。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

!

)
*")
n −２

#

*

$ （ n −*）%

)
n&

*
n'

n −２n(チn −１nの解答群
n −２y*!

z≦#z≦y%z≦

n −２
yn −１

n −２
y
*

"z≧

$z≧y&z≧

n −２
yn −１

（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３７ ―（２２０４―３７）

数学Ⅰ・数学Ａ
n ＝１０とする。

+ 「調 整 後 の 評 点」
が m 個 の a と（*− m ）個 の b で あ っ た と す る。た だし，a ＜ b，)＜ m ＜*とする。このとき，y は m と a，b を用いてma ＋（*− m ）b*y＝と表せる。また，t２ は m と a，b を用いて，t２ ＝ツと表すことができる。

ツの解答群!

２m（*− m ）（a − b）*"２m（*− m ）（a ＋ b）*#２m（１０− m ）（a − b）１０$２m（１０− m ）（a ＋ b）
１０%

２m（*− m ）（a − b）
６４&２m（*− m ）
（a ＋ b）
６４'２m（１０− m ）（a − b）
１００(２m（１０− m ）（a ＋ b）
１００（数学Ⅰ・数学Ａ第２問は次ページに続く。）― ３８ ―（２２０４―３８）

数学Ⅰ・数学Ａ+

ある演技において，*人の選手 %〜( の「元の評点」が，表)の結果であった場合を考える。

表)

選手「元の評点」%

１，４，４，４，４，５，５，５，５，５&

１，３，３，４，４，４，４，４，４，５'

１，２，２，２，２，４，４，４，４，
４(

１，１，１，１，１，１，１，３，３，４

表)の*人の選手のうち，t２ が最も大きい選手は

テ!

テである。

$

(の解答群%"&#― ３９ ―'（２２０４―３９）

数学Ⅰ・数学Ａ

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第３問 （選択問題）（配点 ２０）!辺の長さが!である正方形のタイルが%枚ある。これらのタイルを!枚ずつ互いに重ならないように，!辺の長さが$である正方形の壁に貼っていくことを考える。ただし，新しく貼るタイルは，その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように，詰めて貼られるものとする。また，新しく貼るタイルの位置の候補が全部で n 箇所あるとき，そのうちのどの位置についてもタイルを貼る確率は!
であるものとする。
nこのとき，!枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また，"枚目のタイルを貼る位置の候補は，!枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の"箇所となる。
同様に考えると，$枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は，図!のようになる。ただし，図!における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお，#枚目から$枚目の間の矢印は省略している。

BE

A

C

FD

図!

― ４０ ―（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）（２２０４―４０）数学Ⅰ・数学Ａ
以下，タイルの配置を，単に配置という。

"枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
"枚目のタイルを貼った時点での配置が図!の A となる確率はアであイる。

#枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
#枚目のタイルを貼った時点での配置が図!の B となる確率はアウ×イオ＝エである。
カま た，#枚 目 の タ イ ル を 貼 っ た 時 点 で の 配 置 が 図!の C と な る 確 率 はキである。
ク（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）― ４１ ―（２２０４―４１）

数学Ⅰ・数学Ａ#枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。ここで，図!を再掲してお

く。

BEACF

D

図!（再掲）$#枚目のタイルを貼った時点での配置が図!の E となるとき，"枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は，図!の B，C，D のうちケである。したがって，#枚目のタイルを貼った時点での配置が図!の E となる確コ率はである。
サシ#枚目のタイルを貼った時点での配置が図!の F となるとき，"枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は，図!の B，C，D のうちスである。したがって，#枚目のタイルを貼った時点での配置が図!の F となる確
セである。

率は
ソ

（数学Ⅰ・数学Ａ第３問は次ページに続く。）― ４２ ―（２２０４―４２）

数学Ⅰ・数学Ａ,ケ，スの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

!

B だけ

"

C だけ

#D だけ

$

B と C だけ%B と D だけ&C と D だけ'B と C と D のすべて*枚目のタイルを貼った時点での配置が図(の E であったとき，)枚目のタイルを貼った時点での配置が図(の A である条件付き確率はタであチる。

+枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
+枚目のタイルを貼った時点での配置が図)となる確率は図ツである。
テト

２― ４３ ―

（２２０４―４３）

数学Ⅰ・数学Ａ

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第４問 （選択問題）（配点 ２０）
〔"〕



等式

#xy −%x −$y ＝!

………………………… を満たす整数 x，y の組を考えよう。
 を変形すると&#x −'&y −()'

ア(＝)

イウとなる。よって， を満たす整数 x，y の組はエ個ある。それらの組の中で xy の値が最大になるのは（ x，y ）＝&'オ，カ()のときである。

（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ４４ ―（２２０４―４４）

数学Ⅰ・数学Ａ
a を!以上の整数とする。等式"xy −$x −#y ＝#aを満たす整数 x，y の組がちょうど%個になるような最小の a はある。

キで（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ４５ ―（２２０４―４５）

数学Ⅰ・数学Ａ〔#〕 a，b，c は$≦ a ≦&，!≦ b ≦&，"≦ c ≦%を 満 た す 整 数 で，さ ら にc ＋"＜ a を 満 た す と す る。M を'進 法 で abc（７）と 表 さ れ る 自 然 数 と し，abc（７）の a と c を 入 れ 替 え て cba（７）と 表 さ れ る 自 然 数 を N と す る。
X ＝ M − N とおくとX ＝()ク*×７２ ＋+ケとなる。この式はX ＝()ク２−"*+×７ ＋コ×'＋'＋ケと変形できる。したがって，X を'進法でX ＝ def（７）と表すと

d＝

ク−"，

e＝コ，

f ＝'＋ケとなる。
次に，def（７）の d と f を入れ替えて fed（７）と表される自然数を Y とする。
X ＋ Y を'進法でX ＋ Y ＝ pqrs（７）と表すと

p＝サ，q＝シ，となる。

r＝ス，

s＝セ

（数学Ⅰ・数学Ａ第４問は次ページに続く。）― ４６ ―（２２０４―４６）

数学Ⅰ・数学Ａ
ク，ケの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

!

a−b"

b−c

#

c−a$

b−a%

c−b&

a−c'

0− a(0− b)

0− c

サ〜セの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

!

+"

,

#-$a−c%a − c −,&.

'/(b)0− a ＋ c*/− b― ４７ ―（２２０４―４７）

数学Ⅰ・数学Ａ

第３問〜第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

第５問 （選択問題）（配点 ２０）三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした三つの垂線は)点で交わることが知られている。この点を三角形の垂心という。
*ABC の外心を O，垂心を H，内心を I とする。点 O に関して，点 A，B，Cと対称な点を，それぞれ P，Q，R とする。直線 AH と直線 BC との交点を D，直線 BH と直線 AC との交点を E とする。

*ABC を三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。

+

直線 AC は，三つの直線 AR，CP，た，直線 BC は，三つの直線 AH，BR，イアのそれぞれと垂直である。まイのそれぞれと垂直である。

ア，の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

!

AO"

AQ

#BH

$BO%CH&CO'CQ(HOABOC

参考図（数学Ⅰ・数学Ａ第５問は次ページに続く。）― ４８ ―（２２０４―４８）

数学Ⅰ・数学Ａ'

BD：DC ＝$：!お よ び AE：EC ＝"：#で あ る と す る。%ADC と 直 線
BE に着目するとAH＝HDウエで あ る。よ っ て，こ の こ と と & か ら，%ARB の 面 積 は%ABC の 面 積 のオ倍であることがわかる。
カキ（数学Ⅰ・数学Ａ第５問は次ページに続く。）― ４９ ―（２２０４―４９）

数学Ⅰ・数学Ａ%ABC を 三 つ の 辺 の 長 さ が す べ て 異 な る 鋭 角 三 角 形 と す る。こ の と き，

%ABP とクは相似である。なぜならば，%ABP と角三角形であり，また，∠APB ＝ケクはいずれも直が成り立つからである。

このことから，外心 O，垂心 H，内心 I についての次の命題 ， の真偽の組合せとして正しいものはコであることがわかる。

直線 AO と直線 AH は直線 AI に関して対称である。

 外心 O と垂心 H は直線 AI に関して対称である。

ク!の解答群
%ACP

ケ!

"%ADC

#%BPC

$%PHC

"

∠BHC

#

∠CAP

$

∠CBPの解答群
∠ACD

コの解答群
!

"

#$

真真偽偽

真偽真偽（数学Ⅰ・数学Ａ第５問は次ページに続く。）― ５０ ―（２２０４―５０）

数学Ⅰ・数学Ａ%ABC を三つの辺の長さがすべて異なる鈍角三角形で，∠BAC が鈍角であるものとする。このとき∠BAP ＝サ∠OAI ＋シおよび＝１８０°がつねに成り立つ。なお，角の大きさはすべて０°より大きく１８０°以下で考えるものとする。

サ!

シ!の解答群
∠ACH"

∠ADC

#

∠CAD

$

∠CAI"

∠HAC

#

∠HAI$

∠HAOの解答群∠HAB― ５１ ―（２２０４―５１）