佐藤超函数論
佐藤超函数論の数値 Fourier 変換への応用
まとめ

佐藤超函数論と数値解析への応用
電気通信大学オープンキャンパス

緒方秀教
電気通信大学大学院

情報理工学研究科

情報・ネットワーク工学専攻

2020 年 7 月 19 日（日）佐藤超函数論と数値解析への応用
緒方秀教

電気通信大学オープ

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佐藤超函数論の数値 Fourier 変換への応用
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序：佐藤超函数とは…
佐藤超函数：一般化関数を複素解析関数で表現したもの

−1,
δ(x) ≡2πiz
I
Z b−1
δ(x)ϕ(x)dx ≡ −ϕ(z)dz
C 2πiza= ϕ(0).
CabO

複素解析関数：遠くの 2 点における値が密接に結びついている．
佐藤超函数の言葉を使って，この複素解析関数の性質を数値計算に利用したい．
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1. 佐藤超函数論佐藤超函数論（佐藤幹夫，1958 年）
複素関数論に基く一般化関数の理論
超函数 · · · ある解析関数 F (z) の境界値の差

f (x) = [F (z)] ≡ F (x + i0) − F (x − i0).

解析関数 F (z) · · · 超函数 f (x) の定義関数

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1. 佐藤超函数論：超函数の例

Dirac のデルタ関数
1δ(x) = −2πi

11−x + i0 x − i0

.

Heaviside のステップ関数(
1 x >01=−Y (x) ={log(−(x + i0)) − log(−(x − i0))} .
2πi0 x <0log z は主値をとる（x > 0 に対し log x ∈ R なる分枝）．

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1. 佐藤超函数論

Re F(z)0.50.40.30.20.1
Re F(z) 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5

6420-2-4-6-1-0.50Re z

0.5

1 -10-0.5

10.5
Im z

δ(x) の定義関数−1F (z) =2πiz

超函数-2 -1.50-0.5-1 -0.5-10 0.5
1 1.5 -2-1.5
Re z
20.5

11.52Im z

Y (x) の定義関数
F (z) =−1log(−z)
2πif (x) = F (x + i0) − F (x − i0),F (z) : 定義関数.
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1. 佐藤超函数論：超函数の演算
線形演算（和とスカラー倍）：超函数 f (x) = [F (z)], g (x) = [G (z)] と定数 a, b に対して，

af (x) + bg (x) ≡ [aF (z) + bG (z)]= (aF + bG )(x + i0) − (aF + bG )(x − i0).
微分（導関数）：超関数 f (x) = [F (z)] に対して，

f ′ (x) ≡ [F ′ (z)] = F ′ (x + i0) − F ′ (x − i0).
超函数は何回でも微分可能である．

超函数 f (x) = [F (z)] と実解析関数 ϕ(x) との掛け算：

ϕ(x)f (x) ≡ [ϕ(z)F (z)] = (ϕF )(x + i0) − (ϕF )(x − i0).
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1. 佐藤超函数論：超函数の積分
超函数 f (x) = F (x + i0) − F (x − i0) の積分

Z baf (x)dx =Z bF (x + i0) − F (x − i0)dx = −IF (z)dz,

CaabC

以下，複素積分路は被積分関数が解析的である領域を通るものとする．

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佐藤超函数論の数値 Fourier 変換への応用まとめ

1. 佐藤超函数論：Dirac のデルタ関数を含む積分
11,δ(x − x0 ) = −2πi z − x0Z bI1ϕ(z)ϕ(x)δ(x − x0 )dx =dz = ϕ(x0 ).
2πiz− x0aC
delta 関数の定義を再現している．

ax0bC
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2. 佐藤超函数論の数値積分への応用
次の形の積分を考える：

Z bϕ(x)w (x)dx,

aϕ(x) : [a, b] 上の解析関数
w (x) : 重み関数
Z baϕ(x)w (x)dx =Z

χ(a,b) (x) =ϕ(x)χ(a,b) (x)w (x)dx,{z}超函数とみなす

R|(1 x ∈ (a, b)
0 x∈
6 [a, b].

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2. 佐藤超函数論の数値積分への応用
超函数 χ(a,b) (x)w (x) の標準定義関数

1W0 (z) ≡=2πiZ

χ(a,b) (x)w (x)1dx =x −z
2πiR⇓Z baw (x)dx.
x −zϕ(x)χ(a,b) (x)w (x) = [ϕ(z)W0 (z)]考えている積分は超関数積分の定義より，つぎのように複素積分表示できる．

Z bϕ(x)w (x)dx = −aI

ϕ(z)W0 (z)dz,
C

C : [a, b] を正の向きに囲む閉積分路．
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2. 佐藤超函数論の数値積分への応用
超函数を用いて，求める積分を複素積分に変換する：

Z baIϕ(z)W0 (z)dz,ϕ(x)w (x)dx = −CZ bw (x)1dx.
W0 (z) =2πi a x − zabC

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2. 佐藤超函数論の数値積分への応用
超函数を用いて，求める積分を複素積分に変換する：

Z baIϕ(z)W0 (z)dz,ϕ(x)w (x)dx = −CZ bw (x)1dx.
W0 (z) =2πi a x − zabC

超函数法（数値積分） · · · 右辺の複素積分を台形則で近似．
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2. 佐藤超函数論の数値積分への応用
数値積分に対する超函数法
Z baϕ(x)w (x)dx = −Z uperiod≃ −h0N−1X

ϕ(ζ(u))W0 (ζ(u))ζ ′ (u)duϕ(ζ(kh))W0 (ζ(kh))ζ ′ (kh),h=k=0uperiod,N

C : z = ζ(u), 0 ≦ u ≦ uperiod （周期関数）.

Dab
C : z = ζ(u), 0 ≦ u ≦ uperiod
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2. 佐藤超函数論の数値積分への応用
主な重み関数 w (x) と W0 (z)．
区間 (a, b)重み関数 w (x)(−1, 1)1(0, 1)x α−1 (1 − x)β−11z +1log
2πiz −11−1B(α, β)z F (α, 1; α + β; z −1 ) ∗−2πi−( α, β > 0 )∗W0 (z)（連分数を用いて計算できる）

F (a, b; c; x) は超幾何関数：
aba(a + 1)b(b + 1) 2
x+x
1!c2!c(c + 1)
a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2) 3+x + ···3!c(c + 1)(c + 2)

F (a, b; c; x) = 1 +佐藤超函数論と数値解析への応用
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2. 佐藤超函数論の数値積分への応用
理論誤差評価
被積分関数 ϕ(z) が [a, b] 上実解析的で,曲線（積分路）C が解析的ならば,誤差 ≦ const. × exp(−cN)

指数関数的収束

本方法が最初に提案されたのは次の文献である：
平山弘：周回積分変換法による数値積分法，第 44 回数値解析シンポジウム講演予稿集，2015，pp.21–24．
緒方は上記文献に対し佐藤超函数論との関連を指摘した．
H. Ogata and H. Hirayama: Numerical integration method based on
hyperfunction theory, J. Comput. Appl. Math., 327(2018), 243-259.
https://doi.org/10.1016/j.cam.2017.06.018 .
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佐藤超函数論の数値 Fourier 変換への応用まとめ2. 数値積分への応用：数値例
次の積分を超函数法， DE 公式，Gauss-Jacobi 法で計算，誤差の標本点数 N に対する振る舞いを調べた．
Z 1 α−1x(1 − x)β−1dx = B(α, β) Re F (α, 1; α + β; i) ( α, β > 0 ).
1 + x20超函数法の複素積分路

1 1z = ζ(u) = +2 4



1i
1ρ+
cos u +
ρ−sin u,ρ4
ρ0 ≦ u ≦ uperiod = 2π ( ρ = 2 ).

多倍長演算（10 進 100 桁，exflib），C++プログラム．
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00-10-10-20log10(error)log10(error)

2. 数値積分への応用：数値例（数値積分誤差）

hyperfunction
Gauss-Jacobi
DE-30-40-50-20
hyperfunction
Gauss-Jacobi
DE-30-40-50-60-60
020406080

1000200N400600

800

1000

N

(a) α = β = 10−4(b) α = β = 10−50
誤差の減衰率

(a)
(b)

超函数法

DE 公式

Gauss-Jacobi 公式

O(0.25N )O(0.80N )O(0.25N )—O(0.047N )—佐藤超函数論と数値解析への応用
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2. 数値積分への応用：数値例

超函数法は標本点数 N → ∞ で指数関数的収束する．
超函数法は端点特異性を強くしても収束速度はほぼ不変（DE 公式は働かなくなる． Gauss-Jacobi 公式は不安定）．
超函数法は端点特異性に強い数値積分則である．

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3. 佐藤超函数論の数値 Fourier 変換への応用
Fourier 変換
F [f ](ξ) =Z ∞f (x) exp(−2πiξx)dx.

−∞

従来の数値積分公式による数値計算は（f (x) が x → ±∞ で遅く減衰するとき）計算が困難である．
超函数論を応用した数値計算法によって，Fourier 変換が高精度で計算できることを示す．
H. Ogata: Numerical calculation of Fourier transforms based on
hyperfunction theory, J. Comput. Appl. Math., 378(2020) 112921.
https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.112921 .

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3. 佐藤超函数論の数値 Fourier 変換への応用
Fourier 変換を佐藤超函数論ではどのように扱うか？
Z 0Z ∞−2πi(ξ+i0)xf (x)eF [f ](ξ) =f (x)e−2πi(ξ−i0)x dx.
dx +−∞0

もとの Fourier 変換積分が収束しなくても，指数関数的減衰する因子 e−2πǫ|x| のおかげで収束する．
（例）

Z ∞e−2πi(ξ−i0)x dx
e−2πi(ξ+i0)x dx +0−∞
111−= δ(ξ).
= −2πi ξ + i0 ξ − i0

F [1](ξ) =Z 0

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3. 佐藤超函数論の数値 Fourier 変換への応用

佐藤超函数論における Fourier 変換 F [f ](ξ) の定義
下記の定義関数 F± (ζ) をもつ超函数として定義する．

F [f ](ξ) ≡ F+ (ξ + i0) − F− (ξ − i0)
Z 0
f (x)e−2πiζx dx ( Im ζ > 0 ),with F+ (ζ) =−∞Z ∞f (x)e−2πiζx dx ( Im ζ < 0 ).
F− (ζ) = −0佐藤超函数論と数値解析への応用
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3. 佐藤超函数論の数値 Fourier 変換への応用
数値 Fourier 変換：Strategy
佐藤超函数論での Fourier 変換の定義をそのまま数値計算に用いる．
12上／下半平面 { ζ ∈ C | ± Im ζ > 0 } で F± (ζ) を計算する．
解析接続により F [f ](ξ) = F+ (ξ + i0) − F− (ξ − i0) ( ξ ∈ R )を計算する．

F [f ](ξ) =Z ∞f (x)e−2πiξx dx = F+ (ξ + i0) − F− (ξ − i0),−∞where F+ (ζ) =Z 0

f (x)e−2πiζx dx( Im ζ > 0 ),−∞F− (ζ) = −Z ∞f (x)e−2πiζx dx0

緒方秀教( Im ζ < 0 ).

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3. 数値 Fourier 変換への応用: strategy 1/2

1. 上／下半平面 { ζ ∈ C | ± Im ζ > 0 } 上で F± (ζ) を計算する．
F± (ζ) を Taylor 級数の形で求める.
∞X(±)
(±)
cn (ζ − ζ0 )n
F± (ζ) =(±)

( ± Im ζ0> 0 ),n=0(±)cn =1
1 (n) (±)
F± (ζ0 ) = ±n!
n!

Z ∞
0(±)

(±2πix)n f (∓x)e±2πiζ0 x dx.
|{z}
指数関数的減衰Taylor 係数 cm は従来の数値積分公式（DE 公式）で計算できる．

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3. 数値 Fourier 変換: strategy 2/2
2. 解析接続により F [f ](ξ) = F+ (ξ + i0) − F− (ξ − i0) を求める．
F± (ζ) を連分数に変換する．
F± (ζ) =∞X(±)

cn (ζ − ζ0 )nR

n=0=1+(±)a0(±)(±)
a1 (ζ − ζ0 )(±)(±)
a2 (ζ − ζ0 )1+1+..

(±)ζ0R
連分数（Taylor級数）の収束域.

連分数は Taylor 級数より収束域が広い．
連分数への変換 · · · 商差法により計算商差法は数値的に不安定である． → 多倍長演算
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3. 数値 Fourier 変換：数値例（誤差）次の 3 個の Fourier 変換を本方法で計算した（いずれも ξ 6= 0）：(1) F [tanh(πx)](ξ),(2) F [(1+x 2 )−ν−1/2 ](ξ),(3) F [log |x|](ξ).

log10(error)

0-10

縦軸: log10 (誤差)

-20

横軸: ξ
プログラム言語：C++
多倍長演算-30-4010 進 100 桁
exflib

(1)
(2)
(3)

-50-60-4-20xi

24

数値積分（DE 公式）に用いた標本点数：(1) 1330 (2) 1416 (3) 1430.
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3. 数値 Fourier 変換：興味深い事実
Fourier 変換を計算するのに，振動積分を計算する必要がない．
定義関数 ( F [f ](ξ) = F+ (ξ + i0) − F− (ξ − i0) )Z ∞f (∓x)e±2πiζx dx
F± (ζ) = ±0=(±)

cn=±∞
X(±)

cn (ζ ∓ i)n( ± Im ζ > 0 ),

n=0
Z ∞

1(±2πix)n f (∓x) exp(−2πx)dx .
n! 0振動関数を含まない．
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3. 数値 Fourier 変換: 数値例，既存方法との比較
次の Fourier 変換を本方法，既存 2 方法で計算した．

F [tanh(πx)](ξ) = −i cosech(πξ),ξ = 1.

既存 2 方法
DE 公式& Richardson 補外 (M. Sugihara, 1987)
大浦・森の DE 公式 (1991)

多倍長演算 (10 進 100 桁, exflib)(±)

Taylor 級数の中心 ζ0= ±i.
標本点数

誤差

133017156
1892

7.5 × 10−43
7.8 × 10−21
1.5 × 10−46

本方法
DE & Richardson
大浦・森 DE 公式

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3. 数値 Fourier 変換: 数値例，既存方法との比較

本方法 > 大浦・森 DE 公式 > DE & Richardson
本方法は F [f ](ξ) を関数として求める, i.e.,(±)
一旦連分数の係数 an が求められたら, その他の
ξ の値に対する F [f ](ξ) の計算に使いまわしできる．
既存の方法は F [f ](ξ) を積分値（数）として計算する.
ξ が変わったら改めて数値積分しなければならない．

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4. まとめ：考察

解析関数…離れた 2 点の値が結びついている．
⇓超函数

f (x) = F+ (x + i0) − F− (x − i0)( x ∈ R ) 計算が難しい⇑
F (z) ( z ∈ C \ R ) 計算しやすい

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4. まとめ佐藤超函数論
複素関数論に基づく一般化関数論．
超函数＝複素解析関数の実軸における境界値の差．

数値積分求める積分を超関数積分の定義に従って複素積分で表し，それを台形則で近似する．
とくに端点特異性の強い積分に対して有効である．

数値 Fourier 変換
Fourier 変換自体が超函数である．
定義関数を複素平面で計算→実軸上へ解析接続．

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