河川技術論文集,第14巻,2008年6月

論文

自由表面・圧力流れのダイナミック
ネットワークモデルの構築と都市域下水道網への適用
DYNAMIC NETWORK MODEL FOR FREE-SURFACE-PRESSURIZED FLOWSAND ITS APPLICABILITY TO SEWER NETWORK IN THE URBAN AREA

秋山 壽一郎1・重枝 未玲2・田邉 武司3
Juichiro AKIYAMA, Mirei SHIGE-EDA and Takeshi TANABE
1フェロー会員
2正会員

博士(工)
3学生会員

Ph.D. 九州工業大学大学院教授 工学研究院建設社会工学研究系（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町1-1）
九州工業大学大学院准教授
九州工業大学大学院

工学研究院建設社会工学研究系（同上）

工学研究科建設社会工学専攻（同上）Dynamic network model for free-surface-pressurized flows was constructed. The model was based on fluxdifference splitting scheme combined with the Preissmann slot to simulate flows in a closed conduit wherein the flow
may change from free-surface to pressurized flow and vice-versa. The model was verified against available
experimental data on free-surface or free-surface-pressurized flow. Thereafter, the model was tested against some
exacting sample problems. It is demonstrated that the model yields very reasonable results in all the cases considered.
The simulation of water movement in the sewer network in the Iizuka-city area, which suffered the greatest damage
in the Onga basin, was conducted to examine the model’s applicability to sewer network in the urban area.

Key Words : free-surface-pressurized flow, dynamic network model, Priessmann slot,
flux-difference splitting, sewer network, urban area

路内を自由表面流れから圧力流れへ遷移する，またその逆に遷移する流れを自由表面・圧力流れと呼ぶ．
一般に，自由表面流れと圧力流れの基礎方程式は異な
近年，集中豪雨の激化に伴い，洪水氾濫が頻発しているため，自由表面圧力流れのシミュレーションには異る．そのため，ハード面での対策のみならず，被害を最なった二つの基礎方程式が必要となる．しかし，自由表
小限に止めるようなソフト面での対策が強く求められて面流れと圧力流れの基礎方程式を比較すると，自由表面
いる．現行の対策は，外水氾濫を主体として体系化され流れの基礎方程式は，水深をピエゾ水頭と等しいと仮定ており1)，内水域が存在する場合が多い都市域では限界することで，圧力流れに適用可能であることがわかってが生じる可能性が高い．特に，避難場所，経路，手段をいる6)．そこで，管路天端に非常に狭いスロットを設け含む避難計画などの危機管理対策を講じる際には，内水ることで，流積や潤辺を増加させず自由表面流れに基礎
氾濫は外水氾濫よりも早期に生じるために内水氾濫に方程式で自由表面流れを予測できるスロットモデルが提よってどの経路が通行不能になるかなどを検討する必要
案されている6)．
がある．
本研究は，以上のような背景を踏まえ，都市域を対象
都市域では，雨水は下水道により排水されるため，に内水・外水氾濫を取り扱うことが可能な氾濫解析モデ
内水氾濫を予測するためには下水道網の解析が不可欠でルの構築を最終的な目的としている．ここでは，まず，2),3),4),5)．下水道では流入する雨水の流量に応じて，ある
圧力・自由表面流れのダイナミックネットワークモデル
自由表面あるいは圧力流れが生じる．圧力流れが生じたを新たに構築した．下水管については１次元のスロット
区間は，地表面からの排水が困難となる区間であるため， モデルを用い，下水管を接続する合流部や湾曲部などで内水氾濫を予測する上で重要となる．下水道のような管は流向の変化が考慮できる平面２次元スロットモデルを

１．はじめに

床勾配と摩擦勾配，Fh=静水圧項，q=単位長さ当りの流入出量である．行列EのヤコビアンJは次式で表される．
ヤコビアンの正負により波の伝播速度が決定される．

ピエゾ管

J

スロット

ノード部
平面2次元
スロットモデル0E U  gA / W h   u 2

1
2u 

(3)

ここに，W(底面から高さの位置での水路あるいは管路幅を表しており，開水路の場合W(hが水面幅となる．
ヤコビアンJ は対角化可能で，その固有値と固有ベクト
ルはそれぞれ式(4)，式(5)で表される．

ブランチ部
1次元スロットモデル
図-1 ダイナミックネットワークモデル

 1 (4) ； 1,2  u  c(5)
e1,2  
導入した．次に，同モデルを自由表面流れあるいは圧
u

c


力・自由表面流れの実験結果に基づき検証した．最後に，同モデルを用いて2003年九州豪雨災害時の飯塚市の下水
ここで，c=波の伝播速度であり，次式で表される．
道網の解析を行うとともに，解析結果とレーザープロgAc
ファイラーによる標高データとを比較することで，排水W h 
不良が生じやすい箇所を推定した．
スキームの保存性を満足させるには，ヤコビアンJの代わりに近似ヤコビアンを用いる必要がある7)．近似ヤ
２．ダイナミックネットワークモデルの概要
コビアンは，以下の平均流速(式(6))と波の伝播速度(式(7))により求められる．
ネットワークモデルでは，下水道をブランチ，下水道
Fh i 1 2 (7)A1 2u  A1 2uui 1 2  i 1 1i21 1i 2 i (6)；ci21 2  gの始点と終点をノードとして，各ブランチをノードで接Ai 1  AiAi 1 2
続することで下水道網を取り扱う．一般に，ブランチでは1次元のスロットモデルにより，ノードでは，各ブラ
ここに，(●)i+1/2=(●)i+1-(●)iである．
ンチから流入出する流量と質量保存により水深と流速が求められる．しかし，このようなモデルは運動量保存をb) 数値解法
考慮しているわけではないので，当然のことながら，接FDS法7)に基づくと，式(1)は次式のように離散化される．
続部での水位あるいは圧力上昇を考慮することはできなt t(8)
Fi1 2  Fit 1 2  Sit t
U it 1  U it 
xい．そこで，ノードに質量保存則に加えて運動量保存則を考慮した平面2次元スロットモデルを導入し，ノード
ここに，i，tはそれぞれ空間および，時間に関する添え部についても運動量保存を考慮できる，図-1に示すよう
字，t：時間刻み幅，x：格子幅である．Fi+1/2，Fi-1/2はなダイナミックネットワークモデルとした．以下ではブ
FDS法に基づく数値流束であり以下の式で表される．
ランチとノードの各モデルの概要について述べる．いずTFi 1/ 2  F1 F2  れのモデルについても，基礎方程式の離散化は流束差分(9)2離法(FDS法)7)に基づき行った．
0.5  Ei + Εi1   0.5 ki 1/ 2  ik1/ 2 eik1/ 2
k =1(1) ブランチ部の数値モデルの概要
a) 基礎方程式ブランチ部での流れの基礎方程式は次式で表される．
U E
(1)

S 0
t
x
ここに，U=保存量ベクトル，E=流束ベクトル，S=発生・消滅項ベクトルである．これらのベクトルは次式によって表される．
U   A uA ；
T





T

E  u A u 2 A  gFh ；S  q - gASo -Sf T(2)

ここで，A=流積，u=流速，g=重力加速度，S0，Sf=水路

ここで，=波の強さであり，以下のように定義される．
1i ,21/ 2  ei11 2 U i 1 2

(10)c) 発生消滅項の取り扱い
水路床勾配と摩擦勾配は，それぞれ次のように処理す
る．摩擦勾配はManningの公式によって計算される．
Q Q n2(11)
S f  2 4/ 3AR
ここに，n=Manningの粗度係数，Q=流量，R=A/Pで表される径深であり，P=潤辺である．
水路床勾配は，Roeの風上解法における数値流束と同様に風上を行う8)．

d) 圧力流れの取り扱い
圧力流れが発生した場合には，図-1に示す幅の非常に狭いスロットにより水深を強制的に上昇させ圧力を上昇させる．水深，静水圧および潤辺は，それぞれ以下のよ
うな式で表される．
A  Af ；P  Pf ；h  hf 
bs

流量計
バルブ

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7
ポンプ

A  A f  A  A f 

(12)
 
Fh  A f  0.5h f 
b
2
b
s
s


ここに，Af=満管時の断面積，Pf=満管時の潤辺，hf=満管時の水深 (断面形状が長方形の場合には水路高，円形の場合には直径d)，bs=スロット幅である．
2

ここに，U=保存量ベクトル，E，F=x，y方向の流束ベク
トル，S=発生・消滅項ベクトルである．下付けのnodeは，node部の諸量であることを示している．これらのベクトルは次式によって表される．



U node  h uh vh  ； E node  u h u h  0.5 gh
T

2

Fnode  v h uvh v h  0.5 gh
2



2

uvh



T

2 T

S node  q  ghS ox  S fx   ghS oy  S fy 

T

(14)

ここに，h=水深，u，v=x，yの流速，g=重力加速度，Sox，
Soy，Sfx，Sfy=x，y方向の水路床勾配と摩擦勾配，q=単位
面積当りの流入出流量である．

図-2 Capart et al. 10)の実験装置
0.80(a) 0～145s

0.75pipe top

Piezometric Level(m)0.70t=145st=125st=105s
t=85s
t=65s

0.65
0.60
0.55

t=45s
t=45s
t=65s
t=85s
t=105st=125st=145s

0.50
0.45
0.40

0

pipe bottom
t=25s

2

4

6

8

10

12

Distance x(m)0.80(b) 161～185s

pipe top

0.75
0.70
Piezometric Level(m)(2) ノード部の数値モデルの概要
a) 基礎方程式
ノード部での流れの基礎方程式は次式で表される．
U node E node Fnode
(13)
S 0


y
x
t

PC

t=161st=165s0.65

t=169s0.60t=173s0.55t=161st=165st=169st=173st=185s

0.50
0.45
0.40

0

pipe bottom

24t=185s

6

8

10

12

Distance(m)

図-3 圧力・自由表面流れの実験結果に基づく検証

数値流束と同様に風上を行う9)．
b) 数値解法
ノードの基礎方程式は，非構造有限体積法に基づくFDS法9)により，次式のように離散化される．
Ak

t 1
t
m
U nodek  U node k  FL j  Ak S node k  0
t
j 1

(15)

ここに，k，tはそれぞれノードおよび時間に関する添え字である．Ak=ノードの面積，FL=ノード境界線の外向
き法線方向を正としたノードの境界線での数値流束であり，ブランチでの数値流束を用いることで，それぞれ次式で表される．
FL j   F1

 F2 n x

 F2 n y Td) 圧力流れの取り扱い
ノード部で圧力流れが生じた場合，図-1に示すような
ピエゾ管を設け水深を強制的に上昇させる．水深は次式で表される．
V Vf(17)h  hf As
ここに，V=水の体積，Vf=満管時の水の体積，As=スロットの断面積， hf=ノード部の最大高さである．

３．モデルの検証(16)

以下では，まず，圧力・自由表面流が混在する流れのなお，ノードが，ブランチの上流端に対応する場合には実験結果に基づきブランチ部のスロットモデルを検証す
正の符号を，下流端に対応する場合には負の符号を用いる．ここに，n=(nx，ny)=外向き法線方向ベクトルである． る．次に湾曲部を有するダム破壊流れの実験結果に基づきブランチ部とノード部を含む本ダイナミックネット
ワークモデルを検証する．最後に下水道網のテスト問題c) 発生消滅項の取り扱いに適用することで，本ダイナミックネットワークモデル
水路床勾配と同様に摩擦勾配について，摩擦勾配はの下水道網への適用性について検討する．
Manningの公式により，水路床勾配は，FDS法に基づく

10.5

水深・ピエゾ水頭(m)

水深・ピエゾ水頭(m)水深(m)(1) 圧力・自由表面流れの実験結果に基づく検証
まず，Capart et al.110)が行った実験に基づき検証した．
node3
実験装置は，図-2に示す直径0.145m，長さ12.74mの円形
br anch2
管路で，水路床勾配が，上流端から3.48mまでは0.01954，
9.23mまでは0.01704，下流端までは0.01225と変化していbr anch1
る．上流端から0.0042m/s3の一定流量を射流で流入させ，nod e2b ranch0
node 0no de111)
下流端の堰を上昇させることで強制的に跳水を発生させ，
図-4 Sorares, S. et al. の実験装置
それを水路上流へ伝播させている．また，跳水が上流端
0.25
解析結果(ネットワークモデル)付近まで伝播した時に，下流端の堰を下降させることで解析結果(1次元モデル)
実験結果(測定点G6)0.2
水位低下を引き起こしている．その際，水位もしくはピエゾ水頭を，C1～C7の圧力計により測定している．
0.15
解析の初期条件には小さな一定水深を，境界条件には
0.1
Capart et al. 10)の実験条件と同様に，上流端には0.0042m/s30.05の一定流量を与え，下流端には水位またはピエゾ水頭を与えた．Manningの粗度係数n=0.009とした．格子サイズ
005 10 15 20 25 30 35 40はx=0.1m，Courant数=0.95とし，スロット幅を変化させ時間(s)た数値実験を行った結果，スロット幅が管路直径の10%図-5 湾曲部を有するダム破壊流れの実験結果に基づく検証の場合に解析値と実験結果とが最も一致した．
図-3は，解析値と実験結果との比較を行ったものである．これより，解析結果はすべての地点で圧力・自由表
面流れのいずれも高い精度で再現していること，また，
自由表面流れから圧力流れへと，さらに圧力流れから自由表面流れへと遷移するプロセスや圧力流れが生じる区
図-6 テスト問題の管路網間も再現していること，などが確認できる．このように，
22本モデルは，自由表面・圧力流れが混在する複雑な流れ
1.5
1.5
管頂
を再現可能であることが確認された．
10.5

水深・ピエゾ水頭(m)

水深・ピエゾ水頭(m)(2) 湾曲部を有するダム破壊流れの実験結果に基づく検
点A
点B
0
0
0
400
800 1200 1600 2000 2400
0400
800 1200 1600 2000 2400
証
時間(s)
時間(s)
2
2
次に，Sorares, S. et al.11)のダム破壊流れの実験結果に基1.5
1.5
づき検証を行った．実験水路は，図-4に示すように貯水1
1槽と水路が接続されており，45度の湾曲部を有している． 0.5
0.5
点C
点D
水路の粗度係数n=0.011である．初期水深は，貯水槽で
0
0
0
400
800 1200 1600 2000 2400
0400
800 1200 1600 2000 2400
時間(s)
時間(s)
水深h=0.25m，水路で水深h=0.01mである．図中のG1～
図-7 解析結果の比較
G9で水深が測定されている．なお，ブランチとノードについては図-4に示すように設定した．
題に本モデルを適用した．管路網は，図-6に示す通りで通常の1次元解析では当然のことながら，このようなある．各branchは1辺が1mの正方形断面で，長さは100m
水路の曲がりを表現することはできない．ここでは，水で あ る ． 各 branch の 河 床 勾 配 は ， S00=0.002 ，
路湾曲部にノードを設け平面2次元的に取り扱うことで， S01=S02=0.001，S03=0.0，S04=S05=0.001，S06=0.002で，粗度その影響を考慮した．図-5は，湾曲の影響が最も大きく
係数n=0.01である．なお，ブランチとノードについてはなると考えられる測定G6での解析結果と実験値との比
図-6に示すように設定した．
較を行ったものである．これより，本解析結果は，実験
管路網は軸対称なので，適切な解析手法を用いれば解値を概ね再現していることがわかる．横断方向の流れが析結果は対称となる．この対称性をチェックすることで顕著となる測定点G1を除き，いずれの区間についてもモデルの妥当性を検討することができる．
概ね同程度の精度であった．このように本ネットワーク
流 量 お よ び 水 深 の 初 期 条 件 を ， Q0=0.1m3/s ，モデルは，水路の曲がりなどの形状の変化を取り扱うこ
Q1=Q2=0.05m3/s ， Q3=0.0m3/s ， Q4=Q5=0.05m3/s ，とが可能であることが確認された．
Q6=0.1m3/s，h0=h1=h2=h3=h4=h5=h6=0.2mとし定常状態を求めた後，上流端から，600秒間隔で最大流量が3m3/sの(3) 管路網のテスト問題に基づく検証
三角波形の流量ハイドログラフを与えた．
12)
最後，Garcia-Navarro, P et al. による管路網のテスト問
図-7は，branch3 のAとB点，branch4 のC点および

水位・ピエゾ水頭(m)

30

解析結果
地盤高
管頂高
管底高
合流点

25
20
15
10
0

500

1000 1500
距離(m)

2000

2500

(a) 西部幹線
水位・ピエゾ水頭(m)

30
25
20
15
10
0

図-8 飯塚市街地の下水道幹線

branch4の上下対称の位置にあるbranch5の点Dにおける水深の経時変化の解析結果を示したものである．これより，両結果は対称であること，自由表面流れから圧力流れへの遷移やその逆のプロセスを解析可能であること，などが確認できる．このように，本モデルは，管路網で生じる圧力・自由表面流れを解析可能であることが確認され
た．

解析結果
地盤高
管頂高
管底高

200 400 600 800 1000 1200 1400
距離(m)(b) 西1号幹線
図-9 飯塚市街地下水道網内の流れの解析結果

４．都市域下水道網への適用
以上のように検証された本ダイナミックネットワーク
モデルを用いて，2003年九州豪雨災害時の飯塚市の下水道網の解析を行った．
飯塚市街地は，2003年7月の遠賀川豪雨災害で甚大な被害を受けた都市である．周囲に比べて標高が低いため，下水道が主な雨水排水手段となっている．
解析に用いた下水道幹線の詳細なデータは飯塚市公共図-10 水位あるいはピエゾ水頭と地盤高との比較
下水道台帳より読み取った．下水道幹線は，図-8に示す通りであり，西部幹線( 幅1400 ～3600× 高さ1120 ～
2160mm×長さ2633m)と円形断面の西1号幹線(直径250～
流量を与えた．なお，今回は，解析を簡略化と計算効率
1650mm×長さ1494m)の二つの幹線がある．2003年7月九を図るために，西1号幹線を断面積の等しい長方形断面
州豪雨災害時の飯塚市におけるハイエトグラフから合成に置き換えている．
合理式に基づき流出流量を求めた．流出流量が排水区の図-9は，西部幹線，西1号幹線の水位あるいはピエゾ
計画排水量を超える場合には流量を計画排水流量に置き
水頭の解析結果を示したものである．西部幹線ではほぼ換えた．この流量を西部幹線，西1号幹線の排水区の面
全域で圧力流れとなっていること，西1号幹線では上流積比に応じてそれぞれの幹線に流入する流量を求めた．
端から600m付近までは自由表面流れ，その後は圧力流
西部幹線，西1号幹線のいずれも，解析対象時間での流れとなっていることなどが確認できる．
3
3
入流量はQ1=7.161(m /s)，Q2=2.965(m /s)の一定値であっ図-10は，これらの解析結果より得られた各管のピエ
ゾ水頭と飯塚市西部排水区の標高を比較したものである．
た．これらから単位長さ当りの流入流量を求め，各標高には構造物などの高さ情報を含むDSM(Digital
branchに与え解析を行った．下流端はポンプ排水によるSurface Model)をベースに，街路を構造物などの高さ情
号：17360237，研究代表者：秋山壽一郎)，科学研究費
報を取り除いたDEM(Digital Elevation Model)に置き換え
補助金若手研究B(課題番号：19760344，研究代表者：重たレーザープロファイラーデータを用いた．データの比枝未玲)の助成を受けるとともに，河川懇談会の活動の較は各排水区で行い，比較する標高の座標から最も近い一環として，国土交通省遠賀川河川事務所と共同で研究
下水道のピエゾ水頭を用いて行った．ピエゾ水頭から標を行ったものである．本研究を実施するに当たり，遠賀高を差し引いた値が大きく白色に近づくほど地表面から川河川事務所の関係各位には現地調査の実施やデータのの雨水が排水できなくなる可能性が高いことを表してい
提供など多大な協力を得た．また，本研究を遂行するにる．同図には2003年7月の九州豪雨災害の飯塚市西部排当り，当時本学学部4年生の山下未貴さんには，データ
水区における実氾濫湛水域を灰色の線で示している．ピ
整理等で多大な協力を得た．ここに記して感謝の意を表エゾ水頭と標高の差は，実際の湛水域と同様な区域で大します．
きくなっていることから，この区域では下水道が排水不良を生じ，湛水が生じたと考えられる．また，西1号線
参考文献
1) 栗城 稔，末次忠司，海野 仁，田中義人，小林裕明：氾の上流端にピエゾ水頭と標高の差が大きくなっている区
濫シミュレーション・マニュアル(案) －シミュレーショ
域がある．図-9に着目すると，この区間の管路は圧力状
ンの手引き及び新モデルの検証－, 土研資料第3400号,
態とはなっておらず，排水不良となることは考えにくく，
1996.
九州豪雨災害時にも湛水した様子はない．これは，標高2) 戸田圭一，井上和也，村瀬 賢，市川 温，横尾英男：豪の座標から最短距離に位置する管路のピエゾ水頭を比較
雨による都市域の洪水氾濫解析，土木学会論文集，したためと考えられる．通常，地表面と下水道への雨水
No.663/II-53，pp.1-10，2000．
のやり取りは，地表面流の水位と下水道内の水位との比
3) 関根正人，中村 敦，中村康朋：河川からの越水を伴う都較により排水されるかが判定されるが，このことは氾濫
市域の内水・外水氾濫過程に関する数値解析，水工学論
原の地形特性を踏まえた上で，地表面の雨水が下水道へ
文集，第52巻，pp.865-870，2008．
排水される区間を検討する必要を示唆している．
4)

５．おわりにpp.529-534，2007．
5)

本研究では，スロットモデルを用いた流束差分離法に基づくスロットモデルと平面2次元スロットモデルを用いたダイナミックネットワークモデルを構築し，その予測精度を既存の実験結果に基づき検証した．その結果，本モデルが，(1) 自由表面流れのみならず，自由表面・
圧力流が混在する複雑な流れや，その遷移プロセス，また圧力流れが生じる区間を再現可能であること，(2) 水路の曲がりなどの形状の変化を取り扱うことが可能であること，(3) 管路網で生じる圧力・自由表面流れを解析可能であること，などが確認された．さらに，(4) 2003
年7月に発生した九州豪雨災害時の飯塚市西部排水区下
水道網内の水の流れの予測結果に基づく水位あるいはピエゾ水頭と地盤高の比較から，雨水の排水先を適切に設定する必要があるが，排水不良が生じやすい区域を特定できることが確認できた．このように，本モデルは，内水氾濫を予測する上で重要な都市河川の暗渠区間や下水道で圧力流れが生じる区間の予測や雨水排水能力が低下
し排水不良となる区間を予測する上で有用なツールであると考えられる．
今後は，地表面流とのリンク方法について検討し，地上と地下の水の流れを一体的に把握できるモデルを開発していく予定である．
謝辞：本研究は，科学研究費補助金基盤研究B(課題番武田 誠，森田 豊，松尾直規:下水道システムを考慮した氾濫解析の治水対策への適用，水工学論文集，第51巻，
川池健司，中川 一，市川 温，丸山寛起：平成18年7月豪雨による松江市内の都市水害に関する数値解析的検討，
水工学論文集，第51巻，pp.535-540，2007．

6)

Chaudhry, M. H.: Applied Hydraulic Transients, Von
Nostrand Reihhold, New York, 1979.

7)

Roe, P. L.: Approximate Riemann solvers, parameter vectors anddifference schemes, Journal of Computational Physics, Vol.43,
pp.357-372, 1981.

8)

Roe, P. L.: Upwind differencing schemes for hyperbolic
conservation laws with source terms, 1st Int. Congress on
Hyperbolic Problems, St. Etienne, pp.41-51, 1986.

9)秋山壽一郎・重枝未玲・浦 勝：非構造格子を用いた有限体積法に基づく1次および2次精度の平面2次元洪水流数
値モデル，土木学会論文集，No.705/II-59，pp.31-43，2002．

10) Capart, H., Sillen, X. and Zech, Y.: Numerical and experimental
water transients in sewer pipes, Journal of Hydraulic Research,
IAHR, Vol.35, No.5, pp.659-672, 1997.
11) Sorares, S. Sillen, X. and Zech, Y.: Dam-break flow throughsharp bends, Physical models and 2d Boltzmann, European
Commission, ISBN 92-828-7108-8, 1999.
12) Garcia-Navarro, P., Priestley, A. and Alcrudo, F.: An implicit
method for water flow modeling in channels and pipes, Journalof Hydraulic Research, IAHR, Vol.32, No.5, pp.721-742, 1994.
（2008.4.3受付）