技術レポート

鳥取県産業技術センター研究報告 No.15 (2012)

MATLAB/Simulink を用いた運動方程式の解法
Solution of an Equation of Motion using MATLAB/Simulink

吉田裕亮
Yusuke Yoshida
機械素材研究所 計測制御科

制御分野におけるシミュレーション技術の活用方法として、制御対象をモデリングし制御ロジックの検証を行うモデルベース開発という手法がある。この手法の考え方やメリットは、製品形状を 3D モデリングして要求仕様の検証を行う構造解析や熱流体解析等と同じである。異なる点は、シミュレーションを行う上で最も重要なモデリング手法において 3DCAD のような簡易的な手段がないこと、要求仕様の検証を行う汎用ソフトが存在しないことにある。今回、当センターに新たに導入された MATLAB/Simulink を用いて、電気自動車の運動予測を例にモデリングを行った。さらに、実験との比較検証によりモデルの妥当性を確認した。

1. はじめに

2. 制御対象のモデリング

従来、開発した制御ロジックの検証は実機を用いて

2.1 モデリング手法の種類
モデリング手法には制御対象の性質に合わせて以下行われてきたが、以下のような問題点がある。の 3 つの方法がある。

① 検証の前倒しが困難② 実機試作時に掛かるコスト大① ホワイトボックスモデリング③ 制御対象の再利用不可② ブラックボックスモデリング④ 全条件下での問題点の洗い出しが困難③ グレーボックスモデリング①では機械設計の完了まで検証を行うことができず、①は運動方程式が既に確立されている場合で、前倒しが困難となり納期調整は制御開発者の負担とな

MATLAB/Simulink を用いて運動方程式の解を求めるる。②、③では当然のことながら製作費用が掛かる上方法であり、最も容易なモデリング手法である。②はに、極限テストや異常時テストにより試作機が破損す

制御対象の予測が困難な場合にステップ応答等の実験ることも考えられ、高コストとなってしまう。④ではデータを用いてモデリングする手法である。モデル化

実験環境や時間的問題、繰り返し精度が得られないな誤差を含みやすいこと、モデリングに実機が必要となど全ての洗い出しが困難な場合も多い。特に自動車業ること等の欠点がある。③は①と②を複合した手法で、界や航空・宇宙業界では上記問題点は顕著に現れ、そ制御対象の多くは③で表現されることが多いとされてのためモデルベース開発というシミュレーション技術いるが、汎用的ではなく最も経験を必要とするモデリが発展してきた。モデルベース開発は既に確立されたング手法である。

手法として上記分野で活発に用いられており、他分野2.2 制御対象の選定への応用が期待されている。

今回、以下の理由から制御対象を電気自動車（EV）

そこで、モデルベース開発を県内の電機業界等へのとした。

普及を目指し、自動車業界等で一般的に使用されてい①

る科学計算ソフト MATLAB/Simulink を昨年度導入し鳥取県ではエコカー関連事業の育成と支援を実た。今回、モデルベース開発において最も重要かつ困施している。特に、電気産業基盤のある県内では難とされるモデリング手法について検討を行ったので電気自動車産業参入を目指す企業の支援と人材育報告する。

成は重要な施策である。
②

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産業技術センターでは、これまで(株)SIM-Drive

にて電気自動車全般の知識習得を行ってきたため、dzb

モデルベース開発の確立された自動車業界ではガソリン自動車への応用例が多く存在し、比較検② ばね下の運動方程式（１～（３Mwf。

討が容易であるMwr

また、今回注目する車両の運動予測は全て運動方程d2 zwfdt2d2 zwr
dt2dzwr�(2)= −Kt f (zwf − zg f ) − Fsf(3)dt+ Lrdθ− Cr ��

この技術を応用することが可能である。
③

Fsr = −Ksr {(zb + Lr θ) − zwr }
dt

�−dt

= −Kt r (zwr − zg r ) − Fsr(4)③ 車輪の回転運動方程式

式で表現することが可能なため、ホワイトボックスモ

Jf

デリングによってモデル化を行う。

Jr2.3 制御対象の運動方程式dωdtdω
dt= Tf − Ff R より、Ff =Tf= Tr − Fr R より、Fr =J dv− f2

RTrRR dt
Jr dv

−R2 dt(5)(6)

ただし、車速 v と車輪回転速度 ω の関係はv = rω．

車両の座標系を図 1 に示す。各記号は以下の通りである。
（添え字 f：フロント、 r：リア）

ここで、T は 1 輪の駆動トルクJf 、 Jr は前後車軸換算の全車両総慣性モーメントで車輪が等質の円盤で近似できる場合、次のように与えられる。
Jf ≅ Mwf

R22、 Jr ≅ Mwr

R22④ 車両重心の x 軸方向運動方程式
Mdvdt= 2(Ff + Fr )1− 2µg(Mbf + Mbr ) − ρACdv 22(7)ここで、M は車両重量、µは転がり抵抗係数、Ra は空気抵抗、ρ は空気密度、A は車両前面投影面積、Cdは空気抵抗係数である。(5)、(6)式を代入して整理する

図１ 車両の座標系と以下の式が得られる。
h ：重心高さ、zb：車体バウンシング量、2(Jf +Jr ) dv

�M +Mb：バネ上重量、Mw：バネ下重量、

R2

zw：車輪バウンシング量、 zg：路面高さ、
L ：ホイールベース、

Lf ：重心点-前輪の長さ

Lr ：重心点-後輪の長さ、C ：ダンパー減衰率、F ：路面 x 軸方向力、

Kt：タイヤばね定数、M
Iy

Fsf = −Ksf {(zb − Lf θ) − zwf }
dθdt

�−1

R− 2µg(Mbf + Mbr )− ρACdv 2
2d2 zbdt2= −Mg + 2(Fsf + Fsr )dzwf
dtd2 θdt2= 2(Fsr Lr − Fsf Lf ) − 2(Ff + Fr )hIy = Mb Lf Lr で与えられる。

① ばね上の運動方程式− Lf

2(Tf +Tr )

(7)′

(8)

�(9)

ここで、Iy は車体ピッチング慣性モーメントであり、これらの座標系における運動方程式を以下に示す。

dt=⑥ 車両重心回りの運動方程式

Fs：サスペンションから車体への力

dzbdt⑤ 車両重心の z 方向運動方程式

Ks：サスペンションばね定数、− Cf ���

(1)41

2.4 運動方程式のブロック線図化
dzbdθ

(1)式からFsfを求めるために、 を(8)式、 を(9)式、(3)式とで求める）これをブロック線図で表現すると図 2 と(4)式

dzwf
dt

dtdt

を(3)式から代入する。
（zb、θ、zwf は積分するこ(1)式なる。

(8)式
(2)式
(5)式
(6)式

図２ (1)式のブロック線図(9)式

図４ EV モデルのブロック線図1

ここで、 は積分を表す。Ksf およびCf は設計データよsり求める。

(7)’式dθ

また、(9)式から を求める場合は、Fsfを(1)式、Fsr をdt(2)式、Fsfを(5)式、Fsr を(6)式から代入する。図 3 にブロック線図を示す。

図５ 運動予測モデルのブロック線図

3. モデルの検証
モデルの検証を行うためには、実験との比較が必要となる。今回、自動車において重要な要素である乗り心地に着目し検証を行った。乗り心地という人の感覚に依存する評価は簡易的な実験で行うことができない。
さらに、サスペンション設計、路面条件、車両速度など起因するパラメータが多く、膨大な実験コストが発

図３ (2)式のブロック線図生する。そのため、シミュレーションにより簡単なパ同様に他式のブロック線図を作成し、これらをサブラメータ変更で乗り心地が予測可能となれば、車両開ブロック化してつなぎ合わせると図 4 の EV モデルと発にとって有効な手段となる。

なる。これにモータに入力したトルクTf 、Tr より(7)′式

3.1 実験内容

から求めた車速v や、路面からの入力zgを代入すると
図 5 の運動予測モデルが完成する。本モデルは、パラ実験車両としてインホイール型電気自動車であるメータを変更することであらゆるタイプの車両を表現

SIM-LEI（SIM-Drive）とオンボード型電気自動車であすることができ、走行時の車両振動や前後の回転運動る LEAF（日産）を採用し、入力条件を統一して乗りであるピッチング運動を予測することが可能となる。

心地に起因する車両振動を計測した。振動計測を行いたい車両部位に加速度ピックアップを取り付けた。計42

測結果の周波数分析を行うことで周波数応答の検証を行った。
実験に用いた NOK 株式会社鳥取事業場が保有するロードシミュレータである 4 軸車両加振試験機による実験風景を図 6 に示す。各車輪を乗せたポストが上下運動することで、ある周波数で車両を加振する。

図８ ばね下位置での比較

4. おわりに
今回、モデル検証に利用した乗り心地実験は数時間を必要とする上、数十万円というコストが発生する。
これをシミュレーションで行えば数分で終了し、大幅なコスト削減につながる。さらに、実験では確認でき

図６ 実験風景

ないようなパラメータ設定や環境設定下での検討を行
3.2 比較検証

うことで、より高度な製品検証が可能となる。また、実験を再現するため、本モデルに SIM-LEI と LEAF

一度モデルが完成すれば、パラメータ変更により他機のパラメータを代入し、タイヤの路面接地点に実験と種への水平展開も可能となる。今回は、ホワイトボッ

同条件の変位を与えた時の各車両部位の加速度を計算

クスモデリングについて検討を行ったが、今後はブラした。比較検証結果を図 7、8 に示す。横軸は加振したックボックスモデリングやグレーボックスモデリング周波数、縦軸は各車両部位の振動値である。青色線がについても検討を行う。

SIM-LEI、緑色線が LEAF、実線が実験結果、破線がシ

謝辞

ミュレーション結果を示している。これらの結果は、パラメータ誤差と実験誤差により完全な一致とはなら

本研究を行うにあたり、SIM-LEI を開発した株式会なかったが、本モデルを用いることで概ね傾向の予測社 SIM-Drive、LEAF の貸し出しをしていただいた株式が可能であることを確認できた。

会社中海テレビ放送、そして 4 軸車両加振試験機による実験を行っていただいた NOK 株式会社鳥取事業場の協力に感謝の意を表します。

参考文献
1) 自動車のモーションコントロール技術入門 山海堂
2) 自動車の運動と制御 安部正人著 東京電機大学
出版局
図７ 重心位置での比較

3)

車両運動性能とシャシーメカニズム 宇野高明著
グランプリ出版

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