軸方向の従動力を受けた片持ち梁の不安定横振動

軸方向の従動力を受けた片持ち梁の不安定横振動
有末宏明*

Unstable Transverse Oscillation of a Cantilever Beamunder the Follower Force along the Longitudinal Axis
Hiroaki ARISUE*
要旨
片持ち梁の自由端に軸方向に大きさ一定の従動力を加え続けたときの現実的な初期条件の下での横方向の振動について，梁の線形の運動方程式の厳密解を用いて解析した．
従動力が小さいときは梁の振動の振幅は初期変位の大きさからわずかに揺らぐだけであるが，従動力がその臨界値に近づくにつれて，梁の振動にはうなりの現象が見られるようになる．このうなりの振幅と周期は従動力とその臨界値の差の平方根に反比例して大きくなる．従動力が小さい方から臨界値に近づく極限では，うなりの振幅と周期が無限に大きくなる結果，梁の振動の振幅が時間に比例して直線的に増加し続ける現象として表れる．
また，従動力が臨界値を超えてかつ臨界値に近いときは，従動力とその臨界値の差の平方根に反比例するある時間までは，梁の振動の振幅が時間に比例して直線的に増加し続け，その時間を超えると振動の振幅は時間とともに指数関数的に増加する．その指数関数的増加率は従動力とその臨界値の差の平方根に比例して大きくなる．従動力が大きい方から臨界値に近づく極限では，梁の振動の振幅が時間に比例して直線的に増加し続け，その振舞いは従
動力が小さい方から臨界値に近づく極限での振舞いと一致することも示した．
キーワード: 片持ち梁，従動力，運動方程式，厳密解，初期条件，うなり，不安定振動
１．はじめに

図 1 軸方向に従動力を受ける片持ち梁

片持ち梁の軸方向に常に一定の従動力を加え続けたときの梁の横方向の振動について，変位が梁の長さに比べて十分小さいときの梁の線形の運動方程式の境界条件を満たす厳密解が知られている [1][2]．その固有振動数は，

P0

従動力を大きくするにつれて最低振動数と 2 番目の振動数が互いに接近する．その結果として，うなりの現象が生じることが予想される．従動力の臨界値においては，両者が一致する．従動力をこの臨界値よりも大きくすると，この一致した 2 つの固有振動数は今度は 1 つの複素なっていく事が観測される．従動力に応じたうなりの周数となり，実数解の振動の振幅は時間とともに指数関数期の変化から従動力の臨界値が予測できるが，従動力を的に発散する．

その予測値にある程度以上近づけると，うなりの現象は実際に，片持ち梁を模擬するトラス状の簡単な力学模

振動の振幅が時間に比例して直線的に増加し続ける現象

型に軸方向に従動力を加えた場合について微小な初期変に遷移する．

位を与えて運動方程式の数値シミュレーション [2][3] を実施してみると，従動力を大きくしていくにつれて，確また，このトラス状力学模型の数値シュミレーション

かにうなりの現象が生じ，うなりの振幅と周期が大きくで従動力を臨界値より十分大きくとると，振動の振幅は——————————————————————

時間とともに指数関数的に増加する現象が確かに観測さ

2021 年 8 月 27 日 受理れる．従動力の値を臨界値に向けて下げていくと，指数* 総合工学システム学科 機械システムコース

関数的増加率は従動力の値とともに減少し，その様子か(Dept. of Industrial Systems Engineering : Mechanical

ら指数関数的増加率が 0 となる従動力の臨界値を予測でSystems Course)

きる．この臨界値は前述のうなりの周期の変化から求め-1-

大阪府立大学高専研究紀要 第 55 巻

有末宏明

た臨界値とよく一致する．ところが従動力を大きい方か境界条件は x = 0 を固定端，x = 1 を自由端とすると，

らこの臨界値にある程度以上近づけると，振動の振幅がdf=0
dx x=0指数関数的増加するという振舞いから，この場合も，振f (0) = 0,動の振幅が時間に比例して直線的に増加し続ける現象に

d2 f
= 0,
dx2 x=1
ここで，遷移する．従動力の臨界値の近傍で振動の振幅が直線的に増加するその増加率は，臨界値を臨界値に小さい方か

d3 f=0
dx3 x=1(5)(6)

ら近づけた場合と大きい方から近づけた場合とで同じで

f (x) = exp (sx)あった．
本研究では，軸方向に常に一定の従動力を受ける片持(7)とおくと，式 (4) より，

ち梁について，梁の線形の運動方程式の厳密解を用いて，現実的な初期変位 (初期波形) を採用した場合に，以後の時刻での振動の振舞いを詳細に調べた．具体的には，梁の変位は一連の固有振動数に対応する固有振動の線形結s4 − 2p′ s2 − ω 2 = 0
(8)
qp
qp
s=±
p′2 + ω 2 + p′ , s = ±ip′2 + ω 2 − p′ (9)臨界値に近づくにつれてまずうなりの現象が表れ，臨界

したがって，
qp
qp
ξ+ =p′2 + ω 2 + p′ , ξ− =p′2 + ω 2 − p′ (10)従動力を挟んでその近傍では，振動の振幅が時間に比例とおくと，f (x) の一般解は，D1 〜D4 を任意定数として合で与えられるが，その係数を初期波形から決定した．
その結果，従動力を 0 から大きくしていくと，従動力がして直線的に増加し続ける象に変わり，さらに従動力をf (x) = D1 cosh ξ+ x + D2 cos ξ− x

大きくすると振動の振幅が指数関数的に増加する現象と+D3 sinh ξ+ x + D4 sin ξ− xなることを，そのメカニズムを含めて，明確に示すことができた．

これが境界条件 (5) を満たすには，α を任意定数としてnf (x) = D1 (cosh ξ+ x − cos ξ− x)
o
1
1
+α(
sinh ξ+ x −sin ξ− x)
(12)
ξ+
ξ−

２．軸方向に従動力を受ける片持ち梁の運動方程式の固有振動数
一様材質の片持ち梁の軸方向に大きさ一定の従動力

P0 (圧縮力のとき P0 > 0) を自由端にかけ続けたとき，梁の横方向の変位 u(x, t) が満たす運動方程式は，変位が十分小さいとき，梁の曲げ剛性率を EI ，梁の材質の密度を ρ，梁の断面積を A として，以下のとおりである．
EI

∂4u
∂2u
∂2u
+
P
+
ρA
=0
0
∂x4
∂x2
∂t2
r

2

2
cos ξ−
ξ 2 cosh ξ+ + ξ−
α1 (p′ , ω) ≡ − +,ξ+ sinh ξ+ + ξ− sin ξ−3ξ 3 sinh ξ+ − ξ−sin ξ−
α2 (p′ , ω) ≡ − 2+,2
ξ+ cosh ξ+ + ξ− cos ξ−χ(p′ , ω) = 0

ここで後のために，式 (12) の α を式 (13 ) の α1 (p′ , ω)
で置き換えたものを以下のように定義しておく．(任意(2)

定数 D1 は 1 とおいた．)nf (x, ω) ≡ (cosh ξ+ x − cos ξ− x)

(3)

o
1
1
sinh ξ+ x −sin ξ− x) (15)
ξ+
ξ−

(4)

p′ に対して，式 (14) を満たす ω を求めると，図 2，図3 のように，p′c = 10.0254(臨界従動力) として，p′ ≤ p′c
では，一連の実数値の振動数 (固有振動数) が存在する．
固有振動数を小さい順に ωn (n = 1, 2, 3, · · · ) とする．

+α1 (ω)(を求めると，f (x) についての方程式は，2d4 f (x)′ d f (x)+2p
− ω 2 f (x) = 0
dx4
dx2

(14)

を満たす必要がある．

2EI
ただし，P0 = 2 p′ とした．
L
この運動方程式の変数分離型の解u(x, t) = f (x) cos(ωt + ϕ)(13)として，ω は2

∂ u
∂ u ∂ u+ 2p′ 2 + 2 = 0
∂x4
∂x
∂t

さらに境界条件 (6) を満たすには，

χ(p′ , ω) ≡ α1 (p′ , ω) − α2 (p′ , ω)(1)

ρA
梁の長さを L とする．L と τ = L2をそれぞれ長EI
さと時間の単位にとるように，t → τ t, x → Lx の無次元化を行うと，
4

(11)

-2-

軸方向の従動力を受けた片持ち梁の不安定横振動

p′ が p′c に近づくにつれて最も小さい振動数 ω1 と２番目に小さい振動数 ω2 が接近して，p′ = p′c で両者は一致する．p′ = p′c で一致した振動数の値を ωc = 11.0156(臨界振動数) とする．

図 2 固有振動数 ω の実部

他方，p′ > p′c では，p′ ≤ p′c での n ≥ 3 に対応する ωn に接続する実数値の固有振動数が存在するのに対して，ω1 ，ω2 に接続する固有振動数 ω は図 2，図 3に示すとおり，複素数となる．この複素固有振動数を

ω12 = ωR + iωI と記す．
p′ = p′c 近傍での固有振動数 ω の p′ 依存性を調べておこう．ω の固有値を決定する式 (14) において χ(p′c ，ωc ) = 0 を考慮すると，式 (14) の両辺の p′ = p′c ，ω = ωc
でのテーラー展開は∂χ ′∂χ
1 ∂2χ ′
(p − p′c ) +(ω − ωc ) +(p − p′c )2′∂p∂ω
2 ∂p′2∂2χ
1 ∂2g+ ′ (p′ − p′c )(ω − ωc ) +(ω − ωc )2 = 0 (16)∂p ∂ω
2 ∂ω 2
これが，ω について p′ > p′c でのみ複素数解をもつとい∂χう条件から，= 0 の条件が付き，式 (16)∂ω p′ =p′c , ω=ωcすなわち式 (14) の p′ = p′c 近傍での解は以下のとおりとなる．

ω = ωc ± kpp′c − p′(17)
図 3 固有振動数 ω の虚部

ただし

k=2

∂χ . ∂ 2 χ∂p′ ∂ω 2 p′ =p′ , ω=ωc

(18)

c

p′c と ωc の値を代入すると，k = 3.076 である．
ωn (n = 1, 2, 3, · · · ) に対応する波形 (式 (15)) を固有波形 (固有関数) と呼び，正規化 (規格化) したものを fn (x)と書くことにする．
fn (x) = Nn f (x, ωn )(19)

正規化定数 Nn は以下で定義される．

Z 1{fn (x)}2 dx = 1

(20)

0

(以降で登場する他の正規化定数も同様に定義したものとする．)
固有波形 fn (x) を，p′ = 0 と p′ = 0.9p′c について，それぞれ図 4，図 5 に示す．

-3-

大阪府立大学高専研究紀要 第 55 巻

有末宏明

図 4 固有波形 (p′ = 0)

動モードに注目する．本研究では，式 (3) の初期位相は

ϕ = 0 の場合に限って考察する．この解は以下の初期条件を満たす．
∂u(x, t)
=0
∂t
t=0

(21)

ω = ω12 = ωR + iωI とおいた波形 (15) の実部と虚部をf (x, ω12 ) = fA (x) + ifB (x)

(22)

とおくと，

f (x, ω12 ) cos(ω12 t)
= fA (x) cosh(ωI t) cos(ωR t)

+fB (x) sinh(ωI t) sin(ωR t)


+i fB (x) cosh(ωI t) cos(ωR t)−fA (x) sinh(ωI t) sin(ωR t)



(23)

より，独立な実数解はRe [ f (x, ω12 ) cos(ω12 t) ] = fA (x) cosh(ωI t) cos(ωR t)

図 5 固有波形 (p′ = 0.99p′c )+fB (x) sinh(ωI t) sin(ωR t) ,Im [ f (x, ω12 ) cos(ω12 t) ] = fB (x) cosh(ωI t) cos(ωR t)−fA (x) sinh(ωI t) sin(ωR t)(24)

Re [ f (x, ω12 ) cos(ω12 t) ] と Im [ f (x, ω12 ) cos(ω12 t) ] の
t = 0 での初期値は fA (x) と fB (x) である．図 6 と図7 にそれぞれ p′ = 1.01p′c と p′ = 1.001p′c のときの波形
fA (x) と fB (x) を示す (それぞれの p′ について，波形の相対的な大きさを示している)．

図 6 固有波形 (p′ = 1.01p′c )p′ = 0 では n 番目の振動の波形 fn (x) は n − 1 個のノー
ド (ゼロ点) をもっているが，p′ の値が大きくなるにしたがって，最小振動数 ω1 と 2 番目の振動数 ω2 が接近する事に対応して，固有波形 f1 (x) と f2 (x) が互いに近づく．このとき，f2 (x) のノード数は 1 のままで，f1 (x)の方にノードが１つ生じる．3 番目以降の振動数 ωn の
波形 fn (x) (n ≥ 3) については，ノードの数は n − 1 のままである．
次に，p′ > p′c のときの複素固有振動数に対応する振-4-軸方向の従動力を受けた片持ち梁の不安定横振動

図 7 固有波形 (p′ = 1.001p′c )式 (27) は左辺で部分積分を複数回繰り返すことで以下のように変形できる．

d3 fn (x) dfm (x) d2 fn (x)fm (x)
−
dx3
dx
dx2

1
d2 fm (x) dfn (x) d3 fm (x)
−
f
(x)
n
dx2
dx
dx3
0

1
df
(x)
df
(x)
n
m
+2p′ fm (x)−fn (x)
dx
dx
0
Z 1
2
= (ωm
− ωn2 )
fm (x)fn (x)dx (28)+0

境界条件 (5)(6) により，式 (28) の左辺の第 1 項は 0 となるが，p′ に比例する第 2 項は x = 1 での値が 0 でな
い．したがって，p′ = 0 の場合に限り，m ̸= n のとき，

Z 1
fm (x)fn (x)dx = 0，0

すなわち，p′ = 0 の場合に限り，固有関数列 {fn (x)} は直交関数系を成す．p′ ̸= 0 の場合は，固有関数列は直交
関数系にはならない．
さて，初期条件を
この波形の特徴は，fB (x) がノードを持たないのに対して，fA (x) はノードを 1 つ持つことである．そして，

fB (x) の最大値が fA (x) の最大値に比べて大きいことである．fB (x) の最大値と fA (x) の最大値の比は p′ の値が p′c に近いほど ωI に反比例して大きくなる．

u(x, 0) = g(x),∂u(x, t)
=0
∂t
t=0

(29)

として，その後の梁の変位の時間的変化を考察する．
まず p′ < p′c の場合は，g(x) を固有関数列 {fn (x)} でg(x) =

3．固有波形の直交性と固有波形による初期波形の展開∞
X

an fn (x)

(30)

n=1

と展開することができれば，その後の梁の変位は

この節ではまず，p′ = 0 の場合に限り，固有値 ωn に対応する固有波形 fn (x) が直交関数系を成すことを示す．
固有値が ωm と ωn に対応する固有波形はそれぞれ以u(x, t) =∞X

an fn (x) cos(ωn t)

(31)

n=1

下の固有値方程式を満たす．

で与えられる．すなわち初期波形における各固有振動のd4 fm (x)d2 fm (x)
2
+ 2p′
= ωm
fm (x)
4
dx
dx2

(25)

2
d4 fn (x)′ d fn (x)+2p= ωn2 fn (x)
dx4
dx2

(26)

成分を振幅とする単振動の重ね合わせである．
そのうち p′ = 0 の場合には，展開係数 an は正規直交
関数列 {fn (x)} を用いて以下のように得られる．

Z 1
an =

式 (25) に fn (x)，式 (26) に fm (x) をそれぞれかけて

fn (x)g(x)dx

(32)

0

積分し，差をとると

Z 1 4d fm (x)d4 fn (x)fn (x) − fm (x)
dx
dx4
dx4
0

Z 1 2d fm (x)d2 fn (x)′+2pfn (x) − fm (x)
dx
dx2
dx2
0
Z 1
2
= (ωm
− ωn2 )
fm (x)fn (x)dx
(27)
0

-5-

これに対して 0 < p′ < p′c の場合は，まず，Schmit の直交化法を用いて，固有関数列 {fn (x)} の線形結合により正規直交関数列 {hn (x)} を構成し，それを用いて g(x)を展開することで，固有関数列 {fn (x)} による g(x) の展開 (30) を得る事ができる．
次に p′ > p′c の場合は，式 (22) の fA (x) ，fB (x) を含む正規関数列 {NB fB (x), NA fA (x), f3 (x), f4 (x), · · · } を大阪府立大学高専研究紀要 第 55 巻

有末宏明

用いて，初期波形 f (x) を以下のように展開する．(NB ，間的な振舞いを図 9〜図 16 に示す．p′ < p′c についてはNA はそれぞれ正規化係数である．また fn (x) (n ≥ 3)についてもすべて正規化されているとする．)
g(x) = b1 NB fB (x) + b2 NA fA (x) +∞X

式 (30) の展開係数 an を，p′ > p′c については式 (33) の展開係数 bn をそれぞれ前節に述べた手順で求め，梁のbn fn (x) (33)

変位の時間的な振舞いはそれぞれ式 (31) または式 (34)n=3により求めた．

ここで fB (x) を第 1 項，fA (x) を第 2 項にしたのは，前節図 6，図 7 で見たように fB (x) がノードを 1 つも持たないのに対して，fA (x) がノードを 1 つ持つからである．
すると，その後の梁の変位は以下で与えられる．

u(x, t)h= b1 NB fB (x) cosh(ωI t) cos(ωR t)i−fA (x) sinh(ωI t) sin(ωR t)h+b2 NA fA (x) cosh(ωI t) cos(ωR t)i+fB (x) sinh(ωI t) sin(ωR t)+∞
X

以下 p′ の値毎に，梁の自由端の変位 u(x, t) x=1 の時

bn fn (x) cos(ωn t)

(34)

n=3

係数 b1 と b2 に比例する最初の 2 項はともに ωI t ≳ 1 の時刻では振動の振幅が指数関数的に増大する．その指数関数的増加率は ωI である．

4．現実的な初期条件のもとでの解の振舞い現実的な初期条件として本研究では，片持ち梁の自由
端 (x = 1) に横方向に一定の力を加えたときの「たわみp′ = 0 の場合には，展開係数 an は表 2 のとおり，|a1 | ≫ |a2 |, |a3 |, · · · となっており，これに対応して振動の様子は図 9 のように n = 1 の最低振動数の単振動が主要部分を占めていて，そこに n = 2 を主とする高い振動数の成分による微小な揺らぎが加わっている．
0 < p′ < p′c の場合は，p′ が大きくなると，表 2 のとおり展開係数 a2 が徐々に大きくなり，p′ = 0.9p′c では無視できない大きさとなる．図 10 のように n = 1 の最低振動数の単振動を基本にしながら主として n = 2 による振幅の揺らぎが目立ってきている．
これが，p′ = 0.99p′c では表 2 のとおり a2 が a1 に匹敵する大きさとなり，また表 1 のとおり n = 1 と n = 2の振動数が互いにかなり近づいて，対応する固有波形
f1 (x) と f2 (x) も近づいている．その結果として振動の様子には図 11 のようにうなりの現象が現れている．
従動力がさらに臨界値 p′c に近づくにつれて表 1 と表
2 のように振動数 ω1 と ω2 ，固有波形 f1 (x) と f2 (x)(図示は省略している) がそれぞれ互いに近づき，係数 a1 とa2 も互いに近づいている．その結果として図 12，図 13，
図 14 のように，うなりの現象はより明確になっている．
従動力 p′ が臨界値 p′c に近づくにつれてうなりの周期と振幅はともに ω2 と ω1 の差に反比例して増大している．

曲線」を採用する (図 8)．

g(x) = (3x2 − x3 )/2

表 1 固有振動数 (p′ < p′c )

(35)

p′

ω1

ω2

ω2 − ω1

実際の初期波形には任意定数を右辺全体にかけることが

0

3.52

22.03

18.51

できるが，ここでは便宜的に g(x) x=1 = 1 となるよう

0.99p′c0.999p′c0.9999p′c0.99999p′c

10.06

12.01

1.95

10.71
10.91811.32
11.1130.61
0.195

10.98511.046

0.061

にとった．
図 8 初期波形 (たわみ曲線) (p′ = ０)

表 2 初期波形の展開係数 (p′ < p′c )

-6-

p′

a1

a2

a3

a4

0

0.4853−0.01240.0016−0.0004

0.9p′c−0.6260

0.16870.0062−0.0030.99p′c0.999p′c0.9999p′c0.99999p′c−1.34850.89420.00680.0004−3.7263.276

0.00690.0004−11.29−35.32

10.84
34.87

0.00690.00690.00040.0004軸方向の従動力を受けた片持ち梁の不安定横振動

図 9 振動の様子 (p′ = ０)

図 12 振動の様子 (p′ = 0999p′c )図 10 振動の様子 (p′ = 0.9p′c )図 13 振動の様子 (p′ = 0.9999p′c )図 11 振動の様子 (p′ = 0.99p′c )図 14 振動の様子 (p′ = 0.9999p′c )-7-大阪府立大学高専研究紀要 第 55 巻

有末宏明

p′ > p′c の場合は，最低固有振動数 ω が複素数になることに対応して前節の式 (34) のように梁の振動の振幅
は時間の経過とともに指数関数的に増大する．指数関数的な増加率は複素固有振動数 ω の虚数部 ωI に等しいが，その値は表 3 のように p′ が大きくなるほど大きくなる．
p(p′ が p′c の近傍では式 (17) のとおり p′ − p′c に比例して大きくなる．)図 16 振動の様子 (p′ = 1.001p′c )実際，p′ = 1.001p′c では固有振動数の実数部と虚数部は ωR = 11.01，ωI = 0.308 となり，図 16 のように

ωI t ∼ 1 すなわち t ∼ 3 辺り以降の時刻で振動の振幅の指数関数的増大が顕著に見られる．
他方，p′ = 1.00001p′c では ωR = 11.02，ωI = 0.0308
であり，振動の振幅の指数関数的増大が顕著に見られるのは t ∼ 30 の時刻以降のはずだと思われるが，実際には図 15 のように振動の振幅は最初の時刻から直線的に増大している．
この節の以降では，p′ > p′c で，かつ p′ が p′c に極め
表 3 固有振動数 (p′ > p′c )て近いときは，このように振動の振幅が最初の時刻から直線的に増大する理由を述べる．

′

p

ωR

ωI

1.00001p′c

11.02

0.0308p
まず，表 3 のように p′ が p′c に近いほど ωI は p′ − p′cに比例して小さくなる 式 (17) 参照 ．式 (34) の展開係

1.0001p′c

11.02

0.0974

数 bn については表 4 のように，b2 は b1 の 1/6 程度であ1.001p′c
1.01p′c

11.01

0.308

り，また bn (n ≥ 3) は b1 ，b2 に比べてはるかに小さい．

11.01

0.974

さらに，式 (34) の b1 に比例する第 1 項と b2 に比例する
第 2 項について，fB (x) と fA (x) の大きさを比べると，2節で説明したように (図 6，図 7 参照)，p′ が p′c に近いほど fA (x) の方が fB (x) より大きくなるので，第 1 項と第2 項を合わせた中では振動の振幅が b1 NB fA (x) sinh(ωI t)の項が主要な項である．( 注：NB fB (x) と NA fA (x) はそれぞれ正規化されているので 1 の程度の大きさである．)

図 15 振動の様子 (p′ = 1.00001p′c )表 4 初期波形の展開係数 (p′ > p′c )

-8-

p′

b1

b2

b3

b4

1.00001p′c

0.577

0.098

0.00690.00041.0001p′c

0.577

0.098

0.00690.00041.001p′c
1.01p′c

0.576

0.097

0.00690.0004

0.569

0.090

0.00700.0004軸方向の従動力を受けた片持ち梁の不安定横振動

実際，表 5 のように，p′ が p′c の近傍では b1 NB fA (x)図 17 波形関数 (p′ = 0.99p′c )が他の振幅より圧倒的に大きく，その値は ωI に反比例
して大きくなっている．
表 5 変位の主要項の x = 1 での振幅 (p′ > p′c )p′b1 NB fB (x)1.00001p′c

1.23

189.3

−0.25

0.002

1.0001p′c
1.001p′c
1.01p′c

1.23
1.23

57.3
19.0

−0.25
−0.25

0.005
0.019

1.22

5.6

−0.23

0.050

そして，0 < t ≲b N f (x)b1 NB fA (x) 2 A A
b2 NA fB (x)

1
の時刻では
ωI

b1 NB fA (x) sinh(ωI t) ≃ b1 NB fA (x)ωI t(36)と，振動の振幅が時刻 t に比例して増大する．その時
1
間は p′ → p′c の極限では無限に長くなる．(注：ωIp′ → p′c の極限で fA (x)) は ωI にほぼ反比例して大きく

図 18 波形関数 (p′ = 0.9999p′c )なるので，ωI の減少と合わさって式 (36) の右辺の係数

b1 NB fA (x)ωI は p′ が変化してもほぼ一定である．
5．臨界従動力近傍での解の振舞い
この節では，臨界従動力近傍での解の振舞いを調べる．
とくに p′ < p′c の側から p′ → p′c の極限をとったときと，

p′ > p′c の側から p′ → p′c の極限をとったときとで，現実的な初期波形を採った梁の変位の時間的な振動の振舞
いが一致することを示す．
まず p′ = p′c 近傍で p′ < p′c について調べる．

p′ が p′c に近づくとき，2 つの固有値 ω1 と ω2 は互いに近づくので，対応する固有波形 f (x, ω1 ) と f (x, ω2 ) も互いに近づく．そこで，以下の正規化された波形関数を導入する．
f1∗ (x) = N1∗ f (x, ω2 ) − f (x, ω1 )
f2∗ (x) = N2∗ f (x, ω2 ) + f (x, ω1 )(37)

そこで，初期波形 g(x) を式 (30) のように固有関数列{f1 (x), f2 (x), f3 (x), · · · } で展開する代わりに，以下のように関数列 {f1∗ (x), f2∗ (x), f3 (x), · · · } で展開した方が，p′c 近傍での解の時間的な振舞いをより良く理解することができる．

N1∗ ，N2∗ は正規化定数である．例として図 17 と図 18 に
p′ = 0.99 と p′ = 0.9999 での f1∗ (x) と f2∗ (x) を示す．
f1∗ (x) はノードを持たないだけでなく，f1∗ ′ (x) と f1∗ ′′ (x)も符号を変えないという意味で，現実的な初期波形の例として採用した「たわみ曲線」(35) (図 8) と波形が類似している．他方，f2∗ (x) はノードを 1 つ持つ．

-9-g(x) = a∗1 f1∗ (x) + a∗2 f2∗ (x) +

∞
X
n=3

a∗n fn (x)

(38)

有末宏明

p′ = p′c 近傍では表 6 のように
|a∗1 | ≫ |a∗2 |, |a∗3 |, |a∗4 |, · · · となっており．f1∗ (x) が初期
波形 g(x) の主要な成分である．

大阪府立大学高専研究紀要 第 55 巻

図 19 f (x, ω2 ) − f (x, ω1 ) と f (x, ω2 ) + f (x, ω1 )の比較 (p′ = 0.99p′c )表 6 初期波形の展開係数 a∗n (p′ < p′c )

p′

a∗1

a∗2

a∗3

a∗4

0.99p′c0.58640.10730.00680.00040.9999p′c

0.57740.09830.00690.0004

初期波形の成分分解 (38) の主要項であるこの第 1 項の
時刻 t における波形は以下のとおりである．

u(x, t) ∼=∗ ∗= a1 N1 f (x, ω2 ) cos(ω2 t) − f (x, ω1 ) cos(ω1 t)cos(ω2 t) + cos(ω1 t)∗ ∗= a1 N1 f (x, ω2 ) − f (x, ω1 )2
cos(ω2 t) − cos(ω1 t)+ f (x, ω2 ) + f (x, ω1 )2
= a∗1 N1∗ f (x, ω2 ) − f (x, ω1 )
ω − ω ω + ω 
2
1
2
1
× cos
t cos
t
2
2

− f (x, ω2 ) + f (x, ω1 )
ω − ω  ω + ω 
2
1
2
1
× sin
t sin
t
2
2
(39)

図 20 f (x, ω2 ) − f (x, ω1 ) と f (x, ω2 ) + f (x, ω1 )の比較 (p′ = 0.999p′c )式 (39) の最終式の第 1 項と第 2 項はともに「うなり」の式である．式 (39) の t = 0 での波形は第 1 項のうなりの振幅 a∗1 N1∗ f (x, ω2 ) − f (x, ω1 ) = a∗1 f1∗ (x) である
が，これは上述のとおり梁の初期波形 g(x) にほぼ等しい．これに対して，p′ が p′c に近づくとき，f (x, ω2 ) とf (x, ω1 ) が互いに接近する結果，第 2 項のうなりの振幅 a∗1 N1∗ f (x, ω2 ) + f (x, ω1 ) は，第 1 項の振幅に比べて (したがって初期波形 g(x) に比べて)，ω2 − ω1 に反比例して増大するのである．(p′ が p′c に近づくときのf (x, ω2 ) − f (x, ω1 ) と f (x, ω2 ) + f (x, ω1 ) の相対的な大きさの変化を図 19 と図 20 に示しておく．)-10-軸方向の従動力を受けた片持ち梁の不安定横振動

p′ が p′c に近づく極限で，式 (17) に従って ω1 =ωc − ∆ω ，ω2 = ωc + ∆ω とおいて，式 (39) の ∆ω について 1 次までの展開を示しておく．

6．まとめと考察
片持ち梁の自由端に梁の軸方向に大きさ一定の従動力を加え続けたときの現実的な初期条件の下での横方向のu(x, t) ∼=∗ ∗= a1 N1 f (x, ω2 ) cos(ω2 t) − f (x, ω1 ) cos(ω1 t)

振動について，梁の線形の運動方程式の厳密解を用いて解析した．

= 2a∗1 N1∗


×

∆ω

従動力が小さいときには梁の振動の振幅が初期変位の大きさからわずかに揺らぐだけであるが，従動力 p′ が

∂f (x, ω)cos(∆ωt) cos(ωc t)
∂ω
ω=ωc

−f (x, ωc ) sin(∆ωt) sin(ωc t)

臨界値 p′c に近づくにつれて，梁の振動にはうなりの現象が見られるようになる．このうなりの振幅と周期は
pp′c − p′ に反比例して大きくなる．従動力が小さい方(40)から臨界値に近づく極限では，うなりの振幅と周期が無限に大きくなる結果，梁の振動の振幅が時間に比例して次に p′ = p′c 近傍のうち p′ > p′c について調べる．

直線的に増加し続ける現象として表れる．1 回の振動毎複素固有振動数を ω = ωc + i∆ω とおくと，

f (x, ω) = f (x, ωc ) + i∆ω∂f (x, ω)∂ω
ω=ωcの振幅の増加は初期変位の約 2.6 倍ずつである．
他方，従動力が臨界値を超えてかつ臨界値に近いとき
pは， p′ − p′c の逆数に比例するある時間までは，梁の(41)振動の振幅が時間に比例して直線的に増加し続け，そのより，式 (22) に従って，fA (x) = f (x, ωc )，∂f (x, ω)fB (x) = ∆ω
，これを，式 (34) において
∂ωω=ωcp′ = p′c 近傍での主要項である第 1 項に代入して，∆ω

時間を超えると振動の振幅は時間とともに指数関数的にp増加する．その指数関数的増加率は p′ − p′c に比例して大きくなる．

について 1 次まで展開すると，以下のとおりとなる．

従動力が大きい方から臨界値に近づく極限では，梁の振動の振幅が時間に比例して直線的に増加し続け，そのu(x, t) ∼=∂f (x, ω)
b1 NB ∆ωcosh(∆ωt) cos(ωc t)
∂ω
ω=ωc

−f (x, ωc ) sinh(∆ωt) sin(ωc t) (42)

振舞いは従動力が小さい方から臨界値に近づく極限での振舞いと完全に一致する．
今回は初期波形として片持ち梁の自由端 (x = 1) に横方向に一定の力を加えたときに生じる「たわみ曲線」を採用して解析した．これ以外に初期波形として g(x) = x2

解 (40) (p′ < p′c ) と解 (42) (p′ > p′c ) を比較すると，
1t≪の時刻では，互いに極めて近く，∆ω → 0 の∆ω
極限で，正規化定数について 2N1∗ = NB ，さらにそれに基づく展開係数について a∗1 = b1 の関係があるので，両者は正確に一致する．

という波形を採用した解析も行ったが，従動力の大きさに応じた梁の変位の振舞いの変化に関する上述の結論は変わらない．一般的に初期波形 g(x) について少なくとも，傾き g ′ (x) と曲率 g ′′ (x) の符号がそれぞれ梁の固定
端から自由端までのどの位置でも符号を変えない (したがって波形がノードを持たない) 場合には，4 節と 5 節

これらの臨界従動力近傍での解 (40) と解 (42) に共通の考察から，梁の変位の振舞いについての上述の結論はの重要な特徴は，t = 0 では第 2 項が 0 であるが，∆ω

変わらないと考えられる．

が十分小さいとき，

最後に，今回解析した従動力を受けた片持ち梁の横方.
∂f (x, ω)0.187t=f (x, ωc ) == 0.22 (43)
∂ω
8.4
ω=ωc

向の変位についての線形運動方程式は，梁の横方向の変位が梁の長さに比べて十分小さいときにのみ成り立つことを付け加えておく．初期変位が梁の長さに比べて十分の時刻には第 2 項が第 1 項とほぼ同じ振幅になり，最初2πの振動の周期に相当する時刻 t == 0.57 には第 2ωc0.57項の振幅が第 1 項の振幅の= 2.6 倍になる．以降
0.22
1
t∼
程度の時刻までは t にほぼ比例して振動の振2∆ω
幅が増大する．

小さいとして，従動力が臨界値に近いとき，あるいは臨界値を超えるとき，振動の振幅は時間とともに初期値から増大する．時間の経過とともに梁の変位が梁の長さに比べて 10%程度を超えた時点から非線形効果が効き始め，梁の変位は上述の線形運動方程式の厳密解に基づく振舞いからはずれてくる．トラス状の力学模型の数値シ
ミュレーションによると，増加した梁の変位は梁の長さ

-11-

有末宏明

の 10%〜数 10%程度を上限として折り返してくる．そ大阪府立大学高専研究紀要 第 55 巻

[2] 亀岡翔太，有末宏明， 従動力を受けたトラス構造
物の不安定振動の解析 大阪府立高専研究紀要，第 41巻，p.1〜10，2007 年 6 月の後はカオス的な振幅の増減を繰り返す様子が観測さ
れる．
参考文献

[1] Bolotin, V. V., Nonconservative Problems of the
Theory of Elastic Stabilities, Pergamon press (1963)，「ウラジミール・バシレヴィッチ・ボロティン弾性系の動的安定」近藤誠治・中田和夫 訳，コロナ社，1972 年-12-[3] 中谷 敬子，杉山 吉彦， 従動力を受けるトラス構
造物の振動特性の分子動力学シミュレーション ，日本
材料学会第 11 回分子動力学シンポジウム proceedings，
2006 年５月 (長岡技術科学大学)