土木学会論文集B1(水工学) Vol.**, No.**I_**-I_**, 2013.

HLLとHLLC法を用いた
平面２次元自由表面流モデルの構築と複雑な地形起伏を有する場での流れへの適用
DEVELOPMENT OF NUMERICAL MODEL FOR FREE SURFACE FLOWSUSING HLL AND HLLC METHOD AND IT APPLICATION TO FREE SURFACEFLOWS OVER DRYING AND WETING TOPOGRAPHY
重枝未玲1・秋山壽一郎2・坂本 洋3・野村心平4
Mirei SHIGE-EDA, Juichiro AKIYAMA, Hiroshi SAKAMOTO and Shinpei NOMURA
1正会員

博士(工)

九州工業大学大学院准教授 工学研究院建設社会工学研究系（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町1-1）

2フェロー会員

Ph.D. 九州工業大学大学院教授 工学研究院建設社会工学研究系（同上）3正会員（株）建設技術研究所 九州支社河川部 (〒810-0041 福岡市中央区大名2-4-12 CTI福岡ビル)
九州工業大学大学院 工学研究科建設社会工学専攻博士後期課程
4学生会員 九州工業大学大学院 工学府建設社会工学専攻博士前期課程（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町1-1）

A numerical model for 2D free-surface flows over a drying and wetting topography is developed. The
model is based on finite volume method using HLL (Harten, Lax and van Leer(1983)) and HLLC (Harten,
Lax and van Leer and Contact (2004)) numerical flux, which were based on approximate Riemann solver,
and the treatment of source term such as bed slope term were also incorporated. The model is verified
against two experimental data of unsteady flow over wetting /drying topography. It shows that the model
can reproduce the complex behavior of the flows with reasonable accuracy.
Key Words : Numerical model, free flows, dry/wet complicated topography, approximate Riemann
Solver
１． はじめに

近年，想定を超えた自然外力による水害が頻発している．2012年7月の九州北部豪雨災害の局地的集中豪雨や2011年3月の東日本大震災での津波などはその一例である．現在，このような想定を超えた外力に対する防災や減災対策の検討が急務となっている．
人命や資産の集中する都市域では，構造物や地形起伏などの都市域特性により流れが影響を受けるため，防災や減災対策を講じる上で，これらの要素を適切に考慮する必要がある．一般に，数値モデルによる流れの予測に基づき防災や減災対策を検討することから，上記のような都市域特性を適切に取り扱うことが，数値モデルに求められる．
このような都市域特性を考慮した数値モデルとして，
構造物1),2),3),4),5)やドライ・ウェット状態6)となる地形起伏などの要素を取り扱うことを可能とした様々なモデルが構築されている．中でも，非構造格子，有限体積法，近似リーマン解法の一つである流束差分離法(FDS法)7)を用いたモデルは，構造物や地形起伏6) が流れに及ぼす影響だけでなく，構造物に作用する流体力4)さらには河道の洪水流8)なども十分な精度で予測できるモデルの一つであることが明らかになっている．このようにFDS法は十分な精度を有した手法であるが，数値流束を求める際に流束ヤコビアンの固有ベクトルを求める必要7)があるた
め，平面2次元モデルを準3次元モデルに拡張する場合や流れによる物質輸送を取り扱う際に必要な移流拡散方程式などを追加する場合には非常に複雑な計算が求められる．その一方で，FDS法7)のような固有ベクトルを必要とせず，より簡易的に数値流束を求めることが可能な
HLL(Harten-Lax-van Leer)法9)やHLLC(Harten-Lax-van Leerand Contact)法10)などの近似リーマン解法も開発されているが，複雑な地形起伏がある場での流れを予測する上で不可欠な河床勾配などの発生項の取り扱いについて十分に検討されているわけではない．
本研究は，以上のような背景を踏まえ，FDS法と同等な精度を有しかつより簡易的数値流束を持つ新たな平面
2次元モデルの開発を目的としている．ここでは，HLL
法9)とHLLC法10)に基づき，浅水流方程式に固有の河床勾Ûy程式が得られる．
U d   E  nx  F  n y dL    S1  S 2 d  0
t 



Û nj

Û in

xn

xn=0

kth cell faceAi
i
Cell ixn

ここに，∂検査体積の境界線，L=∂の長さ，n=(nx，ny)=外向き単位法線ベクトルである．
式(1)の2次元浅水流方程式は，図-1に示すセル境界線の法線方向xnに回転させることで xnに対する１次元浅水方程式として式(3)のように表される．
Uˆ Eˆ
(3)
 Sˆ1  Sˆ 2  0t xnUˆ  T  U  h, un h, ut h  ；nkCell jLRx

図-1 検査体積
t

t
SL

Û *
Eˆ * Uˆ L , Uˆ R

Ê L Û
L



SR
Û R

0

Ê R

SL
xn

Eˆ L*

Uˆ R*

Uˆ L*

Ê L Û
L

SR

Eˆ R*
Û R

0

Ê R

(2)

xn

Ŝ1

図-2 HLLと河床勾配を考慮したHLLの数値流束(左：HLL，右：河床勾配を考慮したHLL)配の項などの発生項の適切な取り扱いを組み込んだ新たな平面2次元モデルを構築し，同モデルの予測精度の検証をドライ・ウェット状態が混在する地形起伏がある場
での1次元ダム破壊流れ11)と津波12)の実験結果に基づき行
うとともに，予測精度や計算効率についてFDS法8)との比較を行った．

２．HLL・HLLC法を用いた平面2次元洪水流モデルの概要
本研究では，(1) FUHLLS-2DFモデル(A Finite volume
method on Unstructured grid using HLL numerical flux with
Source term for 2D Free-surface flows)と(2) FUHLLCS-2DF
モデル (Finite volume method on Unstructured grid using
HLLC numerical flux with Source term for 2D Free-surface
flows)の二つのモデルを開発した．以下では，その概要について述べる．

  Eˆ  Eˆ Uˆ  un h, un2 h  1 / 2 gh 2 , un ut h  T  E  nx  F  n y  ；Sˆ1  T  S1  0, gh zb xn ,0 ；Sˆ  T  S  0, ghS n  S n ,0
2

2

fx

x

fx

y

ここに，un=xn方向の流速(=unx+vny)，ut=xnに垂直な方向の流速(=-uny+vnx))，T=式(4)の回転行列，T-1=Tの逆行列
である．
1
1 0
0
0
0 

 1 (4)T   0 nx n y , T   0 nx  n y 
0  n n 
0 n
n x 
yx
y(2) 数値解法a) 有限体積法
計算領域を分割した微小領域セルiの検査体積とし，式(2)を有限体積法に基づき離散化すると式(5)が得られる．なお，時間積分にはEulerの陽解法を用いた．









 t t N e 1 ˆ *t U i   T  E dLk   T 1  Sˆ1 dV  tS2i 
k


Ai V
Ai k 1

U it 1  t
1  1  t S2i U i(5)
ここに，Ui = セル i でのUの平均値，Vi=セル i の面積，
t = 時間に対する添字，k = セル i を構成するセル境界(1) 基礎方程式
線に対する添字，Ne=セルを構成するセル境界線の総数，
FUHLLS-2DF，FUHLLCS-2DFモデルの基礎方程式は， t = 時間の刻み幅，Lk = k番目のセル境界線の長さ，
T 1  Ê * k = k番目のセル境界線を流入出する数値流束，式(1)の2次元浅水流方程式である．
S2i=セル i でのS2の平均値，=重み係数であり，=0～1
U E F(1)

 S1  S 2  0である．重み係数=0の場合は陰解法，=1の場合は陽t x yTT
解法となる．式(5)中の数値流束 T 1  Ê * k は，式(3)より求2
2U  h, uh, vh  ； E  uh, u h  1 / 2 gh , uvh  ;まるxn方向の一次元の数値流束 Ê * をTの逆行列T-1で変換
TF  vh, uvh, v 2 h  1 / 2 gh 2  ；することで算定する．
T
S1  0, gh z b x , gh z b y  ； S 2  0, ghS fx , ghS fy Tb) HLL法に基づく数値流束
FUHLLS-2DF モデルに用いた HLL 法に基づく数値流
ここに，U=保存量ベクトル，E，F=x，y方向の流束ベク
束 Ê * 9) は，式(6)に示す通りである．図-2 に示すように，
トル，S1=河床勾配ベクトル，S2=摩擦勾配ベクトル，h
流れが常流の場合には，セル境界線の L 側と R 側の特= 水深，u，v = x，y方向の流速，g＝重力加速度，zb =河性速度 SL(=un-c)と SR(=un+c)に囲まれた領域，0 と SL あ
床高，Sfx，Sfy = x，y方向の摩擦勾配である．摩擦勾配は
るいは SR に囲まれた領域での時空間の保存則と， SL とManning の公式を用いて計算される．
*
S
図-1に示す任意の検査体積で，式(1)を積分した後，R に囲まれた領域での保存量ベクトル U を一定値 U と仮定することで得られる．ここに，c=波速(=(gh)0.5)であ
ガウスの発散定理を適用すると，式(2)の積分型の浅水方

③SL<0<SR の場合：
S  Eˆ  S L  Eˆ R  S R S L Uˆ R  Uˆ L
Eˆ *  R L
SR  SL

しかし，式(6)の数値流束では，静水状態(u=v=0)で河床高が任意に変化する(hR≠hL)場合，連続の式には(SRSL)/(SR-SL)(hR-hL)の数値拡散が生じるため，静水状態を維持することができない．これを避けるために，発生項の離散化を次のように行った．
c) HLL 法での河床勾配の取り使い
発生項の離散化は式(7)のように行う．
tt N
  T 1  Sˆ1 dV    Tk1  Sˆ1*L k dLk(7)
Ai k 1
Ai V
ここに， Sˆ * =それぞれ，L，R 側の発生項ベクトルに









1L , R

対応する数値流束である．以下ではこの発生項ベクトルに対応する数値流束を Murillo and Garcia-Navvaro13)に準じた方法で求める．
図-2 に示すように，セル境界線の L 側と R 側の特性
速度 SL と SR に囲まれた領域を t=0 を境界として 2 つに分ける．0 と SL で囲まれた領域でのÛ をUˆ L* ，0 と SR に囲まれた領域でのÛ をUˆ R* とし，二つの領域内の数値流
束を Eˆ L*  Eˆ *  Sˆ1*L と Eˆ R*  Eˆ *  Sˆ1*R とし，空間微分を含む発生項ベクトル S1 は xn=0，t=0 でのみ作用すると仮定
する．さらに，求める数値流束は，定常状態で式(8)の関係を満たすものとする．
~(8)
Eˆ R*  Eˆ L*  Sˆ1  J Uˆ R*  Uˆ L*   Sˆ1  0x~~ˆ
ここに， S1  x S1 0,0dxn  gh zbR  zbL  ， J =近似ヤコビアンであり，式(9)で表される．
nR

nL

0

0
u~n 

01

~~ Eˆ  ~ 2J   un  gh 2u~nUˆ  ~ ~u~t
 u n ut(9)

式中の~は，式(10)の Roe の平均を用いた諸量であることを表している．
u nR hR  u nL hL
utR hR  utL hL~ h  hLh R
(10)，u~n 
，u~t 
2hR  hL
hR  hL

従って，セル境界線の L 側と R 側の特性速度 SL と SR に囲まれた領域での時空間の保存則から式(11)， SL と 0と，0 と SR に囲まれた領域での時空間の保存則から式~(12)，式(13)，式(8)と J の逆行列から式(14)の関係がそれぞれ得られる．
S R  Uˆ R*  S L  Uˆ L*  S R  Uˆ R  S LUˆ L  Eˆ R  Eˆ L  Sˆ1  0 (11)SL  Uˆ L  SL  Uˆ L*  Eˆ L*  Eˆ L  0(12)SR  Uˆ R  S R  Uˆ R*  Eˆ R  Eˆ R*  0(13)~ 1 ˆ
**ˆˆ
(14)
U R  U L  J  S1  0

ここに， ~ L  u~n  gh~ ， ~ R  u~n  gh~ である．これらから，数値流束 Eˆ L* と Eˆ R* は，式(15)のような数値流束とな
る．







S Sˆ  S R  Gˆ ， ˆ * ˆ * S R Sˆ1  S L  GˆEˆ L*  Eˆ k*  L 1
E R  Ek 
SR  SLSR  SL



1L

L

(6)





~
~ ~
~
T
Gˆ  J 1 Sˆ1  gh  zbR  zbL   L  R 1,0, ut 
*
*
*
*
*
*
従って， Eˆ  Eˆ  Sˆ ， Eˆ  Eˆ  Sˆ であるので，発る．なお，射流の場合には風上側の諸量を用いる．
**①SL≧0 の場合: Eˆ  Eˆ L ，②SR≦0 の場合: Eˆ  Eˆ R

(15)

1R

R

生項ベクトルに対応する数値流束は，式(16)で表される．
なお，数値流束と同様に，射流の場合には風上側の諸量を用いる．
① SL≧0 の場合： Sˆ *  0 ， Sˆ *  Sˆ
1L

1R

1

② SR≦0 の場合： Sˆ1*L  Sˆ1 ， Sˆ1*R  0(16)③ SL<0<SR の場合：
Sˆ1*L  

S L  Sˆ1  S R  Gˆ 
S  Sˆ  S L  Gˆ  ， Sˆ *  R  1

1R
SR  SLSR  SLd) HLLC法に基づく数値流束
FUHLLS-2DFモデルで用いたHLL法では，浅水流方程式の特性速度の中で最小および最大となるSL=un-cとSR=un+cの二つを考慮しているが．中間の特性速度SM=unは考慮されていない．そこで，FUHLLCS-2DFモデルの数値流束 Ê * HLLC には，特性速度SM を考慮したHLLC法に基づく数値流束を用いた．
HLLC法の数値流束 Ê * HLLC は，HLL法の数値流束を用いて式(17)のように表すことができる．
* HLLC Eˆ *①SL≧0，②SR≦0 の場合： Eˆ
③SL<0<SR の場合 ： Eˆ 1*,HLLC
 Eˆ 1*, 2
2(17)

SM+>0 の場合： Eˆ 3*HLLC  utL Eˆ L*1
SM-≦0 の場合: Eˆ 3* HLLC  utR Eˆ L*1
ここに，フラックスの下添え字の1~3は，それぞれunh，
un2h+1/2gh，unuthに対応する数値流束であることを示している．また，発生項に関する数値流束については，式(18)で表される．
①SL≧0，②SR≦0 の場合：
Sˆ1*LHLLC  Sˆ1*L ， Sˆ1*RHLLC  Sˆ1*R(18)③SL<0<SR の場合：
* HLLC** HLLC*ˆˆˆˆ
S1L1, 2  S1L1, 2 ， S1R1, 2  S1R1, 2
0Sˆ1*LHLLC
 0 ， Sˆ1*RHLLC
3
3

ここに，SM＝中間波の特性速度で，上付の+，-はそれぞれ正負の速度であることを表している．
e) 特性速度
FUHLLS-2DF，FUHLLCS-2DFモデルのいずれの数値
流束についても，計算を行うためには特性速度SLとSRお
よびSM±が必要となる．SLとSRについては，次式でエントロピー補正を考慮した式(19)より求めた．
~~
if  L   L 2
LSL  ~  ~min  L ,  L ,  R if  L   L 2
~
~

R
if  R   R 2(19)
SR  ~  ~max  R ,  L ,  R if  R   R 2
 L  max0,4R  L ，  R  max0,4R  L 









ここに， L  unL  ghL ， R  unR  ghR である．
また，FUHLLCS-2DFモデルに必要な中間波の特性速度は，それぞれ式(20)で算定した．


S M 

S L hR U nR  S R   S R hL U nL  S L   S R S L Gˆ 1hR U nR  S R   hL U nL  S L   S L Gˆ 1

0.75m

(20)



S M 

S L hR U nR  S R   S R hL U nL  S L   S R S L Gˆ 1

15.5m

6m

G20
6.5m

図-3 1次元ダム破壊流れの実験装置11)の概要
0.8

解析結果(FUHLLS-2DF)
解析結果(FUHLLCS-2DF)
解析結果(PSA-FUF-2DF)

t=3s

WL,zb(m)0.6

Water Level
t=30s

0.4

t=15s

0.2

0

BedHeight

0

5

10

15

20

distance(m)

25

30

35

図-4 水面形状の経時変化の解析結果と各モデルの比較
0.8
0.7

G4

0.6
Depth(m)ドライ・ウェット状態が混在する地形起伏がある場での1次元ダム破壊流れ11)と津波12)の実験結果に基づき，本モデルの検証とFDS法7)との比較を行った．なお，FDS法に基づくモデルには著者らのPSA-FUF-2DFモデル8)を用いた．ダム破壊流れの実験についてはLaboratoire deRecherches Hydrauliques of the Universite Libre deBruxelles11)で，津波の実験については電力中央研究所12)で行われている．なお，いずれの解析においても，水深がhv=0.0001mよりも小さい場合にドライベッド状態とした．また，クーラン数は0.95とした．

G16

38m

~
~


gh  z  z 
gh  z  z TT
ここに，Gˆ 1  ~bR~ bL 1,0, utL  , Gˆ 1  ~bR~ bL 1,0, utR  である．
L R
L R

３．モデルの検証と比較

G13

G8 G10 G1210m

hR U nR  S R   hL U nL  S L   S R Gˆ 1

G11

0.4m
G2 G4

○

実験値
G10
解析結果(FUHLLS-2DF)
解析結果(FUHLLCS-2DF)
解析結果(PSA-FUF-2DF)

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.00
0.8
0.7

G13

G20

Depth(m)0.6
0.5(1) 1次元ダム破壊流れの実験結果11)に基づく検証
0.4a) 実験の概要
0.3
0.2
実験装置の概要は，図-3に示す水路(幅1.75m)であり，0.1
0
氾濫部には地形起伏をモデル化した三角形の障害物(長05 10 15 20 25 30 35 40
00
5
10 15 20 25 30 35 40
time(s)
さ6m，高さ0.4m)が設けられている．ダム上流の貯水槽
図-5 水深の経時変化の比較には0.75mの水が溜められており，瞬間的にダムを取り
表-1 質量エラーと解析時間の比較(1次元ダム破壊流れ)除くことでダム破壊流れを発生させている．下流端は自FUHLLS-2DF FUHLLCS-2DF PSA-FUF-2DF
質量エラー(%)
0.000628
0.000232
0
由流出となっている．また，水路の粗度係数は定常実験
CPU Time(秒)727092よりn=0.0125と算定されている．図-3に示すG2〜G20の
図-5は，測定点G4，10，13，20の解析結果と実験値
測定点で水深が測定されている．
との比較を行ったものである．これらより，いずれのモb) 解析条件
デルも，(1) G13でのドライ→ウェット→ドライ状態へと
解析対象領域を8,858個のメッシュで分割した．計算
状態が遷移するプロセスを， (2) 若干のずれが認められに用いたManningの粗度係数は，実験より求められた
るものの，実験値を再現していることが確認できる．まn=0.0125とした．初期条件としては貯水部の水深には0.75m，氾濫部の水深にはドライベッド水深hvを与えた． た，各モデルの結果を比較すると，各モデルの差異は大きくなく，いずれも概ね一致していることが確認できる．
境界条件としては下流端に自由流出条件を，その他の境
表-1は，解析時間内の各モデルの質量エラーと解析時
界には閉境界条件を与えた．
間を示したものである．質量エラーについては，c) 結果と考察
FUHLLS-2DF，FUHLLCS-2DF，PSA-FUF-2DFモデルの図-4は，FUHLLS-2DF，FUHLLCS-2DF，PSA-FUF順で大きく，FUHLLS-2DF，FUHLLCS-2DFモデルでは
2DFモデルより得られた水面形状の経時変化を示したも若干の質量エラーが生じるのに対して，PSA-FUF-2DFモのである．いずれのモデルについても，ダムを取り除く
デルでは0%であった．これは，PSA-FUF-2DFモデルでことにより発生したダム破壊流れが，①ダム破壊3秒後は，水際でのドライ状態の地盤から水の移動が生じないには三角形の障害物に到達，②15秒後にはドライ状態にように，流れに応じた特別な処理6)を施しているが，あった障害物をウェット状態としながら乗り越え，③30
FUHLLS-2DF，FUHLLCS-2DFモデルではそのような処
秒後には三角形の障害物が再びドライ状態になる様子が理を行っておらず，若干ではあるが，ドライ状態の地盤確認できる．また，各モデルの結果を比較すると，HLL
では他のモデルに比べ，若干拡散する傾向にあるものの， から水が供給される非物理的な現象が生じているためである．この処理の方法について今後検討する必要がある．
いずれも概ね一致していることが確認できる．

0.05

入射波

0.04

WL(m)

0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02

0

5

10
t(s)

15

20

図-6 津波実験12)の概要

図-7 初期条件

図-8 水面形状の経時変化の解析結果(FUHLLCS-2DFモデル：左からt=12秒，17秒，19秒，20秒)

図-9 t=17秒での流速ベクトルの解析結果の比較(左：FUHLLS-2DF，中：FUHLLCS-2DF，右：PSA-FUF-2DF)

ま た ， 解 析 時 間 に つ い て は ， FUHLLS-2DF ，
FUHLLCS-2DFモデルは同程度あり，PSA-FUF-2DFモデ
ルに比べ1.3倍程度高速であった．

の反射が生じている様子，③19秒後には反射波によって島全体が水没する様子，④その後，22秒後には島が再び水面上に現れる様子などが確認できる．
図-9は，t=17秒での流速ベクトルの解析結果について，
12)(2) 津波の実験結果 に基づく検証
各モデルの比較を行ったものである．これより，いずれa) 実験の概要のモデルについてもベクトル図は概ね一致しているが，実験は長さ205m，幅3.4m，深さ6.0mの大型造波水路
水路中央部の島周辺ではFUHLLCS-2DFとPSA-FUF-2DFで行われており，水路中に図-6に示すような地形起伏をモデルでは同様な値となっているが，FUHLLS-2DFモデ設置している．x=0での入射波形は，図-6に示す通りで
ルでは減速した結果が得られている．これは，中間波をあり，図-6中のSta.1~3の測定点で水位が測定されている． 考慮していないFUHLLS-2DFモデルでは数値拡散が大き地形の形状，入射波の波形，実験データ等は，参考文献
くなる傾向あるためであり，このような場合には，
12）のURLより入手した．
FUHLLS-2DFモデルとFUHLLCS-2DF，PSA-FUF-2DFモb) 解析条件
デルとの間には差異が生じる．
解析対象領域を17,620個のメッシュで分割した．計算
図-10は，各観測所での水位の解析結果と実験値とのに用いたManningの粗度係数は，水路の材質に基づき比較を行ったものである．これらより，いずれのモデル
n=0.015とした．初期条件としては図-7に示すように水についても，各観測所の実験値を再現していることが確
位0mを与え，ドライ状態のセルには水深hvを与えた．境認できる．また，各モデルを比較すると，FUHLLCS界条件としては，上流端に図-6の入射波形に応じた水位
2DF，PSA-FUF-2DFモデルの精度は同程度であり，を，その他の境界には閉境界条件を与えた．
FUHLLS-2DFモデルは若干拡散する傾向にある．
c) 結果と考察
表-2は，解析時間内の各モデルの質量エラーと解析時
図-8は，FUHLLCS-2DFモデルより得られた水面形状
間を示したものである．質量エラーについては，の経時変化を示したものである．いずれのモデルについ
FUHLLS-2DF，FUHLLCS-2DF，PSA-FUF-2DFモデルのても同様な結果であった．これらから，水路上流端から順で大きく，FUHLLS-2DF，FUHLLCS-2DFモデルではの津波が，①12秒~17秒で水路中央の島を回りこむとと若干の質量エラーが生じるのに対して，PSA-FUF-2DFモ
もに乗りあがる様子，②17秒後には左端の陸地部分からデルでは0%であった．質量エラーの生じる理由は前述

0.05
0.04

WL(m)

0.03

謝辞：本研究を遂行するに当り，本学学部4年生の丹生捺貴さん，石川知弘君には，データ整理等で協力を得た．
ここに記して感謝の意を表します．

実験値
解析結果(FUHLLS-2DF)
解析結果(FUHLLCS-2DF)
解析結果(PSA-FUF-2DF)

0.02
0.01

参考文献

0

1)

-0.01
-0.02
10

12

14

16

18

20

濫シミュレーションモデルの開発と洪水被害軽減対策の研

22

t(s)

究，土木学会論文集，No.600/II-44，pp.23-36，1998．

(a) Sta.1
0.05
0.04

WL(m)

0.03

2)

実験値
解析結果(FUHLLS-2DF)
解析結果(FUHLLCS-2DF)
解析結果(PSA-FUF-2DF)

pp.577-582，2005．
3)

0.01

pp.799-804，2006．

-0.01

4)

-0.02
10

12

14

16

18

20

22

WL(m)

集，46巻，pp.833-838，2002．

実験値
解析結果(FUHLLS-2DF)
解析結果(FUHLLCS-2DF)
解析結果(PSA-FUF-2DF)

5)

大薗政志，椿 涼太，藤田一郎，川谷 健：2004年10月出石
川氾濫を対象とした現地調査に基づく高解像度氾濫解析，
水工学論文集，第50巻，pp.685-690，2006．

0.02

6)

0.01

重枝未玲，秋山壽一郎，重岡広美：ドライ・ウェット状態となる地形起伏がある場での氾濫流の数値シミュレーショ

0
-0.01
-0.02
10

重枝未玲，秋山壽一郎，浦 勝，小林俊彦：洪水氾濫流と構造物に働く流体力の数値シミュレーション，水工学論文

t(s)(b) Sta.2

0.03

内田龍彦，河原能久：任意の境界形状を有する二次元浅水流の高精度解法手法の開発，水工学論文集，第50巻，

0

0.04

川口広司，末次忠司，福留康智：2004年7月刈谷田川洪水・破堤氾濫流に関する研究，水工学論文集，第49巻，

0.02

0.05

福岡捷二，川島幹雄，横山洋，水口雅教：密集市街地の氾

ン，水工学論文集，第51巻，pp.781-786，2007．
12

14

16

18

20

22

7)

t(s)

Roe, P. L.: Approximate Riemann solvers, parameter vectors anddifference schemes, Journal of Computational Physics, Vol.43,(c) Sta.3
図-10 水位の経時変化の比較

pp.357-372, 1981.

表-2 質量エラーと解析時間の比較(津波)
FUHLLS-2DF FUHLLCS-2DF PSA-FUF-2DF
質量エラー(%)
0.0172040.001923
0
CPU Time(秒)
41
42
49

8)

の通りである．また，解析時間については，FUHLLS2DF，FUHLLCS-2DFモデルは同程度あり，PSA-FUF2DFモデルに比べ1.2倍程度高速であった．

9)

重枝未玲，秋山壽一郎，草野浩之，野村心平：高解像度風上解法を用いた遠賀川流域の分布型流出・平面2次元洪水追跡と改修効果の評価，土木学会論文集B1(水工学)，
Vol.68，No.4，pp.I_1429-I_1434 ，2012．
Hatern, A., Lax, P.D. and van Leer, B.: On upstream differencing
and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws,
SIAM Review, Vol.25, No.1, pp.35-61, 1983.

10) Toro, E. F., Spruce, M. and Speares, W.: Restoration of the

４．おわりに
本研究では，HLL法9)とHLLC法10)に河床勾配の項などの発生項の適切な取り扱いを組み込んだ①FUHLLS-2DF
モデルと②FUHLLCS-2DFモデルの二つの平面2次元モデルを新たに構築し，ドライ・ウェット状態が混在する地
形起伏がある場での1次元ダム破壊流れ11)と津波12)の実験
結果に基づく検証と予測精度や計算効率についてFDS法
8)との比較を行った．その結果，(1) FUHLLS-2DF・
FUHLLCS-2DFモデルのいずれもFDS法と同様な予測精度を有していること，(2) FUHLLS-2DFが若干拡散する傾向にあること，(3) FUHLLS-2DF・FUHLLCS-2DFモデルのいずれもFDS法に比べ1.2~1.3倍程度計算速度が速い
ことなどが確認された．今後は，水際の地盤高の取り扱いについて検討したいと考えている．

contact surface in the HLL Riemann solver, Shock Waves, Vol.4,
pp.25-34, 2004.
、、、
11) Chacon, T. , Fernandez, D. and Gomez, M.: A flux-splitting solver
for shallow water equations with source terms, International
Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol.42, pp.23-55, 2003.
12) Matsuyama, M.: The Third International Workshop on Longwave Runup Models, Wrigley Marine Science Center: CatalinaIsland, CA, 2004.
http://isec.nacse.org/workshop/2004_cornell/bmark2.html
13) Murillo J. and Garcia-Navarro, P.: Augmented versions of the
HLL and HLLC Riemann solvers including source terms in one
and two dimensions for shallow flow applications, Journal ofComputational Physics, Vol.231, pp.6861-6906, 2012.
（2012.9.30受付）