土木学会論文集B1(水工学) Vol.**, No.**, I_**-I_**, 2015.

安定した砂礫河川低水路の無次元掃流力について
ON THE DIMENSIONLESS CRITICAL TRACTIVE FORCE FOR STABLE LOWWATER CHANNEL OF GRAVEL AND SAND BED ALLUVIAL RIVERS

秋山 壽一郎1・重枝 未玲2・和田 浩輔3・伊藤 嘉徳4
野口 聡介5・安武 環5・永谷 恵一6Juichiro AKIYAMA, Mirei SHIGE-EDA, Kosuke WADA, Yoshinori ITO,Sosuke NOGUCHI, Tamaki YASUTAKE and Keiichi NAGATANI
1フェロー会員
2正会員

Ph.D. 九州工業大学大学院教授 工学研究院建設社会工学研究系（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町1-1）

博士（工学） 九州工業大学大学院准教授 工学研究院建設社会工学研究系（同上）
3学生会員 九州工業大学大学院 工学府建設社会工学専攻（同上）4非会員 国土交通省九州地方整備局 河川部水災害予報センター（〒812-0013 福岡市博多区博多駅東2-10-7）

5非会員

国土交通省九州地方整備局

遠賀川河川事務所（〒822-0013 直方市溝堀1-1-1）

6非会員

国土交通省九州地方整備局

筑後川河川事務所（〒830-8567 久留米市高野1-2-1）

This study is concerned with the dimensionless tractive force τ*S for stable low-water channel ofgravel and sand bed alluvial rivers. A non-dimensional parameter α contained in the τ*S -relation, that has
been obtained theoretically by the author, is examined with use of existing data of natural Japanese andoverseas rivers as well as three Japanese A-class rivers in Kyushu, so that such relationship as α=KI-1/2 isidentified and the value of coefficient K is simultaneously estimated. Then, the obtained τ*S-relationcompares with τ*S for the above mentioned field data, and the validity of the τ*S-relation is confirmed. Inaddition, the stability of low-water channel of the Onga River after the flood in 2012, when maximum
past flood has occurred, is examined by means of the τ*S-relation, so that river sections required close
attention for river managements in the Onga River are identified.
Key Words : dimensionless tractive force, stable channel, gravel and sand bed alluvial rivers

経年的に安定した状態にある河道の縦断特性がセグメントであり，h/dRやB/dRなどの横断的に平均された横断特性が河道の平均スケールである．河道形成流量を所与の条件とすれば，セグメントと平均スケールは河床勾配，これまでの河道計画は流下能力確保を主体になされて河床材料の代表粒径，河床の状態(河床波)を含む抵抗則きたが，今日では河積確保だけではなく，河道の維持やなどを介してつながっており，したがって前述した合理経済的設計にとって必要不可欠な河道の安定性を備えた的な計画・設計においては各セグメントにおいて安定し合理的な計画・設計が求められている．
た状態にある河道の平均スケールと無次元掃流力が重要
河川には，流域の地質特性，流量や供給土砂(質と量)となる．の変動といった自然的条件，河川改修などの人為的改変
安定した河道の平均スケールを得る方法には，①経験に適合して河道特性(平面，縦断，横断)を調整し，自ら的な方法(レジーム則)1),2)，②次元解析より支配パラメー
河道を形成する自己形成メカニズムがあるが，わが国の河川の多くは，護岸によって川幅が規定され，平面形もタを決め，国内外の実河川や室内実験資料に基づく方法
3)
ほぼ固定された状態にあるため，自己形成メカニズムは，③安定した河道の河床の無次元掃流力と等流理論と主に縦断特性と川幅以外の横断特性に表れることになる． を組み合わせる方法4),5)，④半理論的な方法6)がある．ま１．はじめにた安定した河道の無次元掃流力を得る方法には，経験的な方法4)，理論的な方法5)，半理論的な方法6)などがある．
筆者は前報7)において，レジーム則を満たす条件と等流理論を組み合わせることで河道の平均スケールを求め，さらにその関係を上記の③の方法で得られた河道の平均スケールとを関係づけることで安定した低水路の無次元掃流力が得られることを示した．
本研究は，河積確保と河道の安定性の両要素を判断する指標として，安定した低水路の無次元掃流力が重要であるとの観点から，①国内の河川に関する山本の資料8)，②九州の3つの一級河川(遠賀川，緑川，白川)の資料(以図‑1 用いた資料の確認下「九州3河川の資料」という)，③Parkerがまとめた海外の河川の資料(以下「海外河川の資料」という)9)の3資としてφを用いれば，等流理論(Q=AU，τ=ρghI，抵抗則)7)料に基づき，データ数の関係から前報 において課題とより，水深粒径比h/dRと川幅粒径比B/dRを含む関係が式して残っていたレジーム則を満たす条件と，その条件を(4)のように得られる．φが(Q/(gIdR5)1/2，B/dR，h/dR，I/s)
用いて得られる安定した無次元掃流力について検討を加に規定されることを考慮すれば，式(3)と整合しているこえるとともに，得られた無次元掃流力の関係を遠賀川にとが確認できる．ここに，Q：河道形成流量(低水路満杯
適用し，2012年7月九州北部豪雨災害時の出水前後にお流量あるいは平均年最大流量)，A：河積である．
ける無次元掃流力の変化とその原因について考察したも
51(4)( B / d R )(h / d R )3 / 2 = φ −・
(Q / gId R )のである．
図‑1は，本研究で用いた資料と式(4)の関係を調べたものである．全資料がこの関係を満足していることが確認
２．無次元量と用いた資料できる．これは，平均水深hがh=(Q/(φB(gI)1/2))3/2から算定されているためである．なお，九州3河川の資料につい移動床流れの状態量は次の変量に規定される．ては，河道が経年的に安定していると判断された箇所であっても，①各セグメントで取るべきdRの範囲から外れ(1)
f1 (U , h, B, I , d R , w0 , ρ , ρS , µ , g ) = 0
た箇所，②洗掘箇所，③湾曲が大きい箇所，④堰の直下，ここに，U：断面平均流速，h：平均水深，B：川幅，堰湛水域のデータは除外した．海外河川の資料について
I：エネルギー勾配(あるいは河床勾配)，dR：河床材料のは河道特性が不明なため，上記①だけを除いて用いた．
代表粒径，w0：粒子の沈降速度，ρ：水の密度，ρS：粒
なお，dRは山本と九州3河川ではd60，海外の河川ではd50子の密度，µ：粘性係数，g：重力加速度である．
である．
次元解析より次の無次元量が得られる．
f 2 (τ * , Re* , h / d R , B / d R , u* / w0 , Fr , I ) = 0(2)

３．安定した低水路の無次元掃流力τ＊S

ここに，τ*：無次元掃流力(≡u*2/(sgdR))，Re*：粒子レイ
ノルズ数(≡u*dR/ν)，h/dR：水深粒径比，B/dR：川幅粒径(1) レジーム則を満たす条件と安定した低水路河床の無1/2比，u*/w0：浮遊パラメータ，u*：摩擦速度(≡(τ/ρ) )，次元掃流力τ＊S
τ：掃流力(=ρghI)，Fr：フルード数(≡U/(gh)1/2)，s：粒子
筆者は，式(4)中のh/dRとB/dRを含むもう一つの関係との水中比重(≡ρS/ρ-1)，ν：動粘性係数(≡µ/ρ)である．
してレジーム則を満たす条件を式(5)のように求め，これ式(2)において，安定した低水路の平均スケールや無次と式(4)を組み合わせることで，低水路の平均スケール
元掃流力τ*はRe*の影響をほとんど受けないこと，u*/w0(h/dR，B/dR，A/dR2，B/h)を導くとともに，前述したようはτ*と同様な物理的意味を持つ無次元パラメータであるな方法で，安定した低水路の無次元掃流力τ*Sに関する関1/2
こと，τ*はτ*=(I/s)(h/dR)と表わせること，Frはu*=(ghI) と係を式(7)のように得た7)．
1/2
流速係数φ(≡U/u*)を用いると，Fr=φI のように書けるこ(5)
α = (h / d R )( B / d R ) −2 / 3と，φはφ=Q/(gIdR5)1/2(B/dR)-1(h/dR)-3/2(I/s)-1/2と表せるので，
3(6)h / dR = α・( B / h) 2
φ=f(Q/(gIdR5)1/2，B/dR，h/dR，I/s)であることを考慮すれば，52
式(2)は式(3)で表される．
(7)
τ = α 1/ ・( s / I ) −1 (φ −1Q / gId )1/ 3*S5

f3 (h / d R , B / d R , Q / gId R , s / I ) = 0(3)

一方，河岸部を無視した低水路を対象として，抵抗則R式(5)のレジーム則を満たす条件は，次のような考え方で得られたものである．まず無次元パラメータ α を22616532-22-111532-22-11

図‑2 τ*S〜d Rの関係(左：九州3河川，右：海外の河川)

図‑3 αとIとの関係(左：九州3河川，右：海外の河川)

α=(h/dR)(B/dR)pのように定義し，B~Q mのように決められるレジーム則を満たす条件を考え，m=0.5前後の値を取ることが広く知られていること1),2)，線形安定理論を用いた安定川幅の解析からもm=0.5が妥当とされていること
10)を踏まえてm=0.5と仮定し，これを満足するようにp=2/3のように定めたものである．一方，h~Q nの関係についてはn=0.3~0.4程度の値を取ることがレジーム則より知られており1),2)，p=-2/3ではn=1/3となるので，式(5)はBと図‑4 B/hとIとの関係（左：九州3河川，右：海外の河川）
hのいずれについてもレジーム則と整合した条件となっグメントを反映したパラメータとなっていることが各セている．式(5)は式(6)のように書け，次元解析と実験資
11)料より得られた砂州の領域区分 で用いられた関係と同グメントのデータの分布から確認できる．それと同時に，一となっていることから，式(5)が水みちの形成条件，つ山本の資料のセグメント1のデータのうち，破線で囲っまりB/hを規定する条件となっていると考えた．
た8データは九州3河川と海外河川のセグメント1のデー
図‑2は前述した3資料を用いてτ*SとdRの関係を調べた
タと傾向が大きく異なることも見て取れる．
ものである．図中の赤い実線は山本の経験則4)である．
これらの傾向の異なる8データは，黒部川(2点)，常願
九州3河川の資料のセグメント2のデータは山本の経験則
寺川，手取川，安倍川，大井川，日野川，富士川のもののまわりに分布しているものの，散らばりが大きいことで，いずれも急流河川のデータである．他のデータと傾がわかる．またセグメント1と3については九州3河川と向が異なるのは，図‑4からわかるようにB/hが数百の複海外の河川の資料のいずれも山本の経験則から大きく外列砂州〜うろこ状砂州の領域のデータとなっており，またこれらの8データの無次元掃流力τ*Sは無次元限界掃流れることが確認できる．
前報7)でも触れたように，式(7)はτ*S~dR-5/6なる関係が力τ*Cと同じかそれに極めて近い値となっていることか
ら，平均年最大流量が必ずしも河道形成流量とはなってあることを示しており，山本の関係は各セグメントに対して成立するτ*S~dR-5/6の関係を連ねたものとなっているいない可能性が推察される．
そこで，これら傾向の異なる8データを除いてαとIとと考えられる(図‑2の各セグメントを示す色付き線参照)．
山本の経験則がよい近似となっているのは，式(7)に含まの関係を推定すれば，図‑3で示したように国内外の河川を問わず，式(8)で表すことができる．ここに，K：セグれる各パラメータのべき乗からわかるようにその他の無次元量に比してdRがτ*Sに対して支配的な物理量となってメントに依存する係数である．各セグメントにおけるα値にはかなり幅があるが，この理由には河道横断測量やおり，また各セグメントにおいてdRとτ*Sが取り得る範囲が限定されているためである．
河床材料の調査が必要十分に密でないことなどが考えられる．
(2) レジーム則を満たす条件αと河床勾配Iおよびセグ(8)
α = KI −1 / 2
メントとの関係
τ*Sの評価では，式(7)に含まれる無次元パラメータαが重要となるが，次元解析から得られる式(3)と等流理論か(3) セグメントグループとK の評価ら得られる式(4)に含まれる無次元パラメータを勘案する
図‑5は，h/dRとIとの関係を示したものである．これよと，αはIに依存すると考えられる．
り，h/dRは理論的に得られるh/dR~I -1なる関係4),7)に従って
8)
そこで，山本の資料 を基本資料として，山本の資料いること，いずれの資料もセグメント1と2-1のグループ，9)と九州3河川の資料，山本の資料と海外河川の資料 につセグメント2-2と3のグループの2つのグループに大きくいてαとIの関係について調べたものが図‑3である．
分かれることが確認できる．そこで以下では，前者のグ同図より，αとIには強い相関が認められ，またαがセループをセグメントグループA，後者をセグメントグ

1

1

1

1

図‑5 h/d R〜Iの関係(左：九州3河川，右：海外の河川)

32

図‑6 d R〜Iの関係（左：九州3河川，右：海外の河川）

31

図‑7 九州3河川(左：α〜h/Bの関係，右：α〜h/d Rの関係)

323
1

図‑8 海外の河川(左：α〜h/Bの関係，右：α〜h/d Rの関係)

表‑1 各資料と各河川のK 値
ループBのように呼ぶこととする．
セグメントグループA セグメントグループB
図‑6はdRとIとの関係を示したものである．図中の黒（セグメント1，2-1） （セグメント2-2，3）
K の平均値の破線で示したように，セグメント2-1と2-2を区別する
山本資料
0.011
0.026
代表粒径(dR=1cm)を概ね境として各セグメントグループ
遠賀川（出水前）
0.029
0.025の河床材料が大きく異なることが確認できる．一方，広
緑川
0.012
0.027
白川
く知られているように，河床材料が掃流で動くのがセグ
0.023
0.044
山本+九州3河川
0.016
0.027
メント1，掃流〜浮遊で動くのがセグメント2，浮遊でし
海外河川資料
0.033
0.040
か動かないのがセグメント3であり，またセグメント2で山本+海外河川資料
0.019
0.036
は掃流が支配的なのがセグメント2-1，浮遊が支配的な
山本+九州3河川
0.018
0.033
+海外河川資料のがセグメント2-2である．したがって，各セグメントグループの代表粒径の違いは土砂の流送形態を反映して(4) 安定した低水路の無次元掃流力τ*Sの予測いると考えられる．なお，国内の河川ではセグメント2式(7)によるτ*Sの予測結果とτ=ρghIから算定された実測
2と3のdRは海外の河川に比べて粒径の幅が広く，また大結果を次の3つの評価法で比較した．①各資料と各河川
きな粒径となっている．これはわが国の河川では河道のを区別し，式(8)のK値として各セグメントの平均値を用自己形成メカニズムが河川改修や横断工作物など，人為的改変の影響を強く受けているためであると考えられる． いたもの(評価法Ⅰ)，②山本と九州3河川の資料について各資料および各河川を区別し，表‑1に示したセグメント
図‑7と図‑8は，式(5)をα=(h/dR)1/3(h/B)2/3のように書きグループのK値を用いたもの(評価法Ⅱ)，③各資料およ直して，九州3河川の資料と海外河川の資料についてび各河川を区別せず，セグメントグループのK値を用い
α~h/Bの関係とα~h/dRの関係についてそれぞれを調べたたもの(評価法Ⅲ)．
ものである．これからも山本のセグメント1の8データは
図‑9，図‑10はそれぞれ山本と九州3河川の資料，山本h/Bとh/dRのいずれも他のデータと大きく傾向が異なってと海外河川の資料について評価法ⅡとⅢを比較したものいることが確認できる．さらに重要な点は，α~h/Bの関である．図‑2と比較すればわかるように，データの散ら係ではαが大きい方から，α~h/dRの関係ではh/dRの大きばりが大幅に減少していることが確認できる．なお，最い方から順にデータがセグメント3，2-2，2-1，1となっも予測精度が高いのは評価法Ⅰであるが，実用上の理由ており，さらにα~h/Bの関係においてαの上下方向に2つと紙面の都合から評価法Ⅰの比較図は割愛した．のセグメントグループAとBとに大きく分かれていることである．このことから，式(5)は各セグメントにおける(5) 安定した低水路の無次元掃流力τ*Sの実用式
B/hとh/dRの関係を規定する条件となっていると考えられ式(7)において，φは平均水深hがわかっている場合にはる．またこのことは式(6)が砂州の領域区分を規定するパ
簡単に求めることができるが12)，式(7)は河道形成流量Qラメータとなっていることの裏付けともなり得る．

図‑9 山本・九州3河川の資料に対するτ*Sの予測式の検証

図‑10 山本・海外河川の資料に対するτ*Sの予測式の検証（左：評価法Ⅱ，右：評価法Ⅲ）（左：評価法Ⅱ，右：評価法Ⅲ）

図‑11 山本・九州3河川の資料に対するτ*Sの実用式の検証

図‑12 山本・海外河川の資料に対するτ*Sの実用式の検証（左：評価法Ⅱ，右：評価法Ⅲ）（左：評価法Ⅱ，右：評価法Ⅲ）で表されているので，この場合はトライアンドエラーよ４．遠賀川における出水前後のτ*の変化
りhを求め，φを推定する必要がある．この理由から河床
遠賀川では1954~2002年に記録された最大の年最大流
波せん断抵抗を考慮した岸・黒木の抵抗則13)(砂堆Ⅰ：量(基準地点で評価)より大きな流量が2003~2012年に3度φ=2.4(h/dR)1/6 ・ τ*-1/3 ， 砂 堆 Ⅱ ： φ=8.9 ， 平 坦 ：発生しており，既往最大流量となったのが2012年7月九
φ=6.9(h/dR)1/6)を用いて式(7)を書き換えると，砂堆〜平坦
州北部豪雨災害時のものである．以下では，2002年と河床の範囲において±5%程度の誤差で式(9)のように近似できる．ただし，遷移Ⅰではこの精度で近似できない． 2012年(以下「出水前後」という)に実施された縦横断測量と河床材料調査に基づき，τ*S を目安として河道の変(9)τ *S ≒ Cα 1/2 I・(Q / gId R 5 )1/ 3化について考察する．
図‑13は，τ*の変化を本川縦断方向に調べたものであ
ここで，係数Cは河床波の状態で異なり，岸・黒木の抵る．図中の●と○は，それぞれτ=ρghIから算定された出抗則の係数とs=1.65を用いれば，砂堆Ⅰでは0.45，砂堆水前後の実測値である．式(7)と式(9)による予測値は河Ⅱでは0.29，平坦では0.32程度となる．
τ*Sの変化を良好に表しており，また両式に道縦断方向の
なお，用いた資料の各セグメントでのFr数は，山本とよる予測値の違いはわずかである．
九州3河川の資料ではセグメント1(Fr≒0.57~0.80)，セグ
出水前後でのτ*の変化については次が確認できる．
メント2-1(0.18~0.67)，セグメント2-2(0.13~0.57)，セグメ・一本木堰近くの35km地点，白門堰付近の37km地点おント3(0.10~0.32)であり，海外河川の資料ではセグメントよび43.8km地点の光代堰より上流付近では，出水による1(0.26~0.95)，セグメント2-1(0.24~0.39)，セグメント2局所洗掘(図中の▲)の進行がみられ，dRが1/2~1/4程度小2(0.14~0.58)，セグメント3(0.13~0.19)であり，ほぼ全さくなっており，出水後のτ*がτ*Sより大きくなっている．
データがLower Regime(Fr=0.8~1.0以下)のものとなって・彦山川合流点下流の15.8~17.6kmにかけては，2012年7いる．
月出水が彦山川流域を中心の降雨であったために，出水
図‑11，図‑12は式(9)において全資料を用いて推定した後のdRが3倍程度大きくなっており，出水後のτ*が小さC≒0.28および式(8)に表‑1に示したセグメントグループくなっている．なお，図‑13中の青線からわかるように，のK値を用いて得られるτ*Sの予測結果とデータを比較し本川と同規模の流量である．
たものである．これから確認できるように，式(7)より若・12.6~15.6kmの区間で河床勾配が大きくなっているの
干予測精度が低下するものの，それぞれ図‑9，図‑10では，出水後に実施された河道掘削による．その影響によ見たものと大きな違いはないことがわかる．
り12.6~15.6kmの区間ではτ*が若干大きくなっている．
以上のように出水による洗掘の進行がみられる箇所で

● 2012年7月出水前（τ*S）○ 2012年7月出水後（τ*）τ*S ,τ*1.5

2012年7月出水▲ 出水後に洗掘が進行した箇所

1

4000

各資料，各河川を区別する各資料，各河川を区別しない
式(7)によるτ*Sの予測値
式(9)によるτ*Sの予測値
τ*S < τ* τ*S > τ*

3000

Q(m3/s)

22000

0.5

1000

0▲ ▲
▲
▲ ▲
I=0.0006 I=0.0004 dR=0.07
dR=0.4→0.0002 →0.0007 →0.2(cm) →0.2(cm)

60

▲▲

▲
▲▲ ▲
dR=0.2→0.3(cm)

50

穂波川

40

西川

笹尾川

犬鳴川

彦山川

庄内川

才田川山田川

建花寺川

江川

尺岳川
湛水区間

洗越堰

南良津川

湛水区間

10‑10鯰田用水堰

一本木堰
湛水区間

中間堰

遠賀川河口堰

0町口堰
光代堰

3020

中河原堰

下用作堰

白門堰
2-224681012141631820

22 24 26 28
距離標(km)30323638

長田堰
セグメント区分12-134上河原堰

一作堰

300▲ ▲▲▲▲ ▲▲▲▲dR=7.0dR=0.6dR=2.1→4.0(cm)→0.3(cm) →0.7(cm)
千手川 茶田川4042444648

図‑13 遠賀川縦断図

はdRが小さくなっており，また彦山川の合流点下流では出水時の同川への流入土砂や河道の堆積土砂の本川への流入により約2kmにわたってdRが大きくなっているためにτ*Sからの変化がみられる．これら以外でτ*が変化した箇所は人為的な改変の影響によるものである．

方 ―治水と環境の調和した多自然川づくりの普遍化に向けて，土木学会論文集，Vol.66, No.4, pp.471-489, 2010.
4) 山本晃一：沖積河川 -構造と動態-，技法堂出版，p.587,
2010.
5) 例えば，池田駿介，Gary Parker, 千代田将明，木村善孝：
直線礫床河川の動的安定横断形状とそのスケール，土木学

５．まとめ

会論文集，第375巻/II-6，pp.117-126, 1986.
6) Julien, P.Y., and Wargadalam, J.：Alluvial Channel Geometry,
Theory and Applications, ASCE, J. Hydraul. Eng., Vol.121, No.4,

本研究より以下のような知見が得られた．
・河積確保と河道の安定性の両要素を判断する指標として安定した低水路の無次元掃流力τ*Sが式(7)あるいは式(9)のように表せ，α値は式(8)と表‑1のK値，式(9)の係数CはC≒0.28で与えられることを示した．
・遠賀川を対象として，以上のようにして得られたτ*Sと2012年の河道とdRから得られるτ*の違いの理由について検討し，τ*Sを用いて河道管理上注意を要する箇所を特定できることを示した．

1995.
7) 秋山壽一郎，重枝未玲，和田浩輔：砂礫河川の平均スケー
ルと動的平衡条件，土木学会論文集B1(水工学)，Vol.70,
No.4, I_1051-I_1056, 2014.
8) 山本晃一：河道特性論，土木研究所資料，第2662号，p.260,
1988.
9) Parker,G. ： 1D SEDIMENT TRANSPORT MORPHODYNAMICS with applications to RIVERS AND TURBIDITY
CURRENTS,http://hydrolab.illinois.edu/people/parkerg/morphodynamics_e-book.htm

謝辞：本学学部4年生池田隼人君の協力を得た．ここに記して謝意を表す．

10) 渡邊康玄，早川 博，清治真人：安定解析に基づく川幅の自律形成機構，水工学論文集，第53巻，pp.739-744, 2009.
11) 村本嘉雄，藤田裕一郎：中規模河床形態に関する研究，京参考文献
1) 例えば，Leopold, L.B and Miller, J.P: Ephemeral streams;
hydraulic factors and their relation to the drainage net, U.S.G.S.
Prof.Paper, p.252-A, I-36, 1956.
2) 例えば，Leopold, L.B and Maddock, T: The hydraulic geometry

大防災研究所年報，第20号，B-2, pp.243-258, 1977.
12) 例えば，国土技術研究センター：河道計画検討の手引き，山海堂，2002.
13) 岸 力，黒木幹男：移動床流における河床形状と流体抵抗(Ⅰ)，北海道大学工学部研究報告，第67号，pp.1-23, 1973.

of stream channels and some physiographic implications, U.S.G.S.
Prof. Paper, (252), I-56 1953.
3) 例えば，福岡捷二：温暖化に対する河川の適応技術のあり（2014.9.30受付）