研究ノート

パティンキン・マクロモデルの安定性について

佐久間

敬

序

安定性の概念には大別すれば局所的安定性（10cal stability）と大域的安定性（910bal stability）カsある。大域的安定性とは変数が初期値に関係なく時間がたつとともに均衡点のいずれかの一つに収束する場合をいい，局所的安定性とは変数の初期値がある均衡点に十分近いときのみ均衡点に収束する場合をいうω。

この小論の目的は，パティンキンのマクロモデルの局所的安定性を完全雇用の仮定のもとで吟味することである。
注 （1）この定義の説明は根岸〔2〕「pp．123‑124による。

1 パティンキン・マクロ毛デル
パティンキンの基本的マクロモデルでは次のような仮定がなされているω。

（1）経済主体は家計，企業および政府からなり，それらの経済行動は次のように規定されている。

家計：家計は生産用役を企業に提供することにより収入を得る。その収入でもって租税を支払い，消費財を購入する。残りは債券および現金の保有に当てられる。

一一 43 一

第7号企業：企業は消費財を家計と政府に，債券を家計に販売する。その売上げは，賃金・利子の支払い，消費財の購入，発行した債券の償還，現金残高の追加に当てられる。

政府：政府は家計より租税を受け取り，その全額を消費財の購入に当てる。
そして，その消費財は経済に無償で提供される。政府は債券および現金を保有しない。

（2）貨幣錯覚は存在しない。

（3）価格の予想弾力性は1である。
（4＞分配効果は存在しない。

（5）価格および賃金は伸縮的である。

労働，商晶，債券および貨幣に対する総需要関数および総供給関数は次のようにあらわされる（2）。労働に対する総需要量Ndはく』Q㈲・鞠〈oであり，総供給量！＞Sは
Ns＝：R（Ilst）， 一lj！（tlo．）＞oである。ただしWは貨幣賃金率，Pは商品の価格水準である。
商品に対する総需要は，家計による消費支出と企業による投資支出，それに政府支出の合計である。消費財に対する実質需要量CはC＝＝g（yo， r，M‑poH）

で，投資財に対する実質需要量1は・＝： k （Y・・パ写）

で，そして一一定額の政府支出GはG ＝Goで表わされるので，総需要関数は

一44一

パティンキン・マクロモデルの安定性について
F（yo， r， ll；！tL）1ig（yo， fA， 1！1；ttitii）＋h（yo， r， tTti）＋Go

gtll＜o・善う＞oである。ただしrは利子率，Moは総貨幣量， Mo

は家計の初期名目貨幣保有．：量，MoFは企業の初期名目貨幣保有量， Goは定数である。商品に対する総供給関数は，完全雇用の仮定から
Y＝＝Yoで示される。ここでYoは定数である。
債券に対する実質需要量はr， tt'）
Bd rvtv ．． ＝＝H（Yo，Mopt P 'k rr 一・ 一． pであり，実質供給量は男並一小・r・聖）である。したがって債券に対する実質超過需要関数はB（Yo， r， ！II；k'L）1EH（yo，r， M‑po）一H（y・・r・り一ノ（Y・…撃）罪〉・・∂藷。〉・
o〈ut｛！tlZgLlo）

pである。

貨幣に対する名目需要量MdはMd ＝＝ p ． L （Yo， r ， 一Zli：9'一）

g一／一〈o，i＞一s；（lt＆si'｝L一，一s＞Oで示され，貨幣の名目供給量は一定と仮定されているのでMs＝＝Moである。ここでMoは定i数である。

一45一

第7号
以上より労働，商品，債券および貨幣市場における均衡条件は次の通りである。

Q㈲一R（望p）

労働市場

F（｝も… 世一Y・

商品市場

B（Yo， r， 一Zli19'一）＝o

債券市場

か乙（Y・… ￥'）一躍・貨幣市場

注 （1）Patinkin〔3〕PP、199〜202，邦訳書PP．185〜188を参照。

（2）Patinkin〔3〕pp．202〜227，邦訳書pp．188〜210を参照。

皿 安定分析
パティキン・モデルの動学分析はワルラスの法則により3市場について検討すればよい。単純化のために，労働市場の均衡状態が概乱されずに維持されると仮定すれば2市場（ここでは商品市場と債券市場）に限定しうる（1）。

利子率の時間的変化率は証券の需要と供給の差に反比例し，価格水準の時間的変化率は商品の需要と供給の差に正比例すると仮定する。このことは次のような微分方程式で示される（2｝。

震一一々・B（Y・… 傷。）（2・1）
f？＝k2（F（Yo， r， i￥Yt）一Yo） 'ここでle・1， fe・2は正の常数である。 （2・1）式を均衡点（Po， ro）の近傍でテーラー展開し，2次以上の項を無視すれば
髪＝一瓠圃1タニ（Mo aBp‑po）

po2 o（一Zll：ilt）〕（2・2）
一46一パティンキン・マクロモデルの安定性について岬薄）〕多←々・〔（グーノ。）∂F、一（ρ一ρ・）溜0∂ノとなる。ここでaB

OF MoOB＝＝ a） ＝ろ，∂グ0r

Mo OF＝＝一cp∂（Mo）

P 02

po2@o（一Zll：Lt）＝一 рﾆすれば， （2・2）式は
rSi‑ll一 ＝一 k i（（ r 一 r o） a ＋（p‑po） c）〈2・3）
f？ ＝＝ le 2（（ pt 一ro） b＋（P‑Po）d）となる。 （2・3）式の固有方程式は一kla‑x 一一 klc＝ok2 le 2 d 一Xである。これはx2＋（kia一 le 2d）x＋ le rk2b c‑kik2ad ＝＝ Oである。

体系が局所的安定であるためには，固有方程式のすべての根の実部が負でなければならない。そのための必要十分条件は
fe i a一 le 2 d＞O

le ik2b c‑kik2a d＞Oとなることである（3）。 a＞0，b〈0， c＜0， d〈0から上記の条件は満たされ，体系は安定である。
注 （1）Patinkin〔3〕P．23Q，邦訳書P．212を参照。

（2）Patinkin〔3〕p．260，邦訳書p．240を参照。
（3）この条件は「ルーース＝フルビッツの条件」と呼ばれている。この証明はSamuelson〔4〕pp．430〜431，邦訳書pp．447〜448を参照。

一47一

第7号
』1 解の動学径路（2・1）式を満たす（P，T）の動学径路を調べてみよう。商品市場の均．衡条件
F（Yo， 7， 一Zli：9t一）＝＝Yoを満たす利子率と価格水準の値の軌跡をCC曲線とする（1）。いまE（yo， r， 一Zli3Lt）＝＝F（yo， r， 一llilLt）一yo （2e4）として， （2・4）式の全微分を求めれば
Z｛blldr＋一sil．igaskri，）d（一Z￥L'）一〇となる。これよりOE5多一劇∂！筆）
Orとなる。

善）＝薄）＞o
罪一1穿く・であるから

一￠t〈odPとなり，CC曲線は第3図のような右下りの曲線であ。
債券市場の均衡条件

B（Yo， r， t‑llillO）＝o （2 e s）
を満たす利子率と価格水準の値の軌跡をBB曲線とする（2｝。 （2・5）式を全一48一

パティンキン・マクロモデルの安定性について微分すれば

1タ＋善）d（麺p）＝oとなる。これより
・∂β

葺多一（MoP2）∂窪）∂グとなる・P）＞o・1タ＞oより
dr＞OdPとなり，BB曲線は第3図のような右上りの曲線である。

CC曲線とBB曲線による4個の領域におけるρおよびrの変化の方向を調べてみよう・まずρの変化の方向から始めるづ穿をうであらわせば
ラー々・〔F（yo， r， ！IZL' ）．一Yo〕

であり，この式をρで微分すれば∂ρ ∂F＝le 2∂ρ ∂カとなる・9itl一く・から1多く・となり・CC曲線の上方の領域ではうは負・下方の領域ではPは正である（第1図参照）（3）。

一49一

第7号
．P十po

第1図

次に・の変化の方向について考えてみよう・髪響とすれば
i ＝一 le・B（Ye・…￥'）であり，この式をrで微分すれば∂ノ ∂β＝一々1．∂ノ ∂7となる・霧〉・から1；＜・となり・BB曲線の上方の領域では；は負であり，下方の領域ではTは正である（第2図参照）。

以上より，ρおよびrの変化の方向を矢印で示せば第3図のようになる。かくて（P，r）の動学径路は，点eあるいはhで始まる径路のようにCC曲線とBB曲線の交点に近ずくように描かれる（4）。

一50一パティンキン・マクロモデルの安定性について
・7十ro第2図
rcp〈op ＝＝o／

Bdi 〈on一e一 T ＝＝o！んp＞oJtst・テく。

rく∠．

︑'しoかB、︐

叙p〈oJを〉。

吏書olLアー11111一竃醒一1露8ーーーーー・

rop＞oヂ＞oPo

第3図
注 （1）

Patinkin〔3〕p．232，邦訳書p．215を参照。

（2）

Patinkin〔3〕p．233，邦訳書p．216を参照。

（3）

この図は佐藤〔5〕p．82を参考にした。

（4）

Patinkin〔3〕p。233，邦訳書p．215を参照。

一51一cp第7号
参考文献〔1〕 岩根達雄他「パティンキンの完全雇用モデル（1）」『経済学論叢』（同志社大学）18巻5・6号．
〔2〕 根岸 隆『価格と配分の理論』東洋経済，1965．
（3） Patinkin， D．， Money， lnteres and Prices （2nd edition）， Harper ＆ Rowe，1965．〔貞木展生訳『貨幣・利子および価格』勤草書房，1971〕．
〔4〕 Samuelson， P．A．， Foundations of Economic。肋⑳sゴs， Cambridge， Mass．，

1947．〔佐藤隆三訳『経済分析の基礎』勤草書房，1967〕．
〔5〕 佐藤隆三『経済成長の理論』勤草書房，1968．

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