〈一般研究課題〉 次世代切削加工を実現する革新的モデルベース
サイバーフィジカルシステムの基盤となる高精度モデルの探求
助 成 研 究 者

名古屋大学

鈴木教和

次世代切削加工を実現する革新的モデルベース
サイバーフィジカルシステムの基盤となる高精度モデルの探求
鈴木 教和（名古屋大学）

Development of high-accuracy model for the basis of innovative modelbased Cyber-Physical-System to realize next-generation cutting process
Norikazu Suzuki(Nagoya University)

Abstract：
A new approach to predict chatter stability in cutting considering process damping is proposed.
Traditional chatter stability analysis methods enable to predict stable or unstable conditions.
Under unstable conditions, the chatter vibration can increase theoretically infinitely. However,chatter vibration is damped at a certain amplitude in real process due to process damping, i.e., thecutting process stabilizes by means of tool flank face contact against the machined surface. To
consider the influence of the process damping, a simple process damping force model is developed.
The process damping force is assumed to be proportional to the structural displacement andprocess damping coefficients which are the function of the vibration amplitude and the wavelength.
To identify the coefficients, a series of finite element analysis is conducted in the present study.
Identified coefficients are introduced into the conventional zero-order-solution in frequency
domain. The proposed model calculates chatter stability limit assuming process damping with finite
amplitude. Hence, this analysis enables to estimate the amplitude-dependent quasi-stable conditions.
Analytical results for thee face turning operation demonstrated influence of process damping effecton resultant vibration amplitude quantitatively.

－ 23 －

1．はじめにびびり振動は切削工程における生産効率を制限するためたびたび問題となる．高い効率を得るには，この不安定現象を生じない安定条件を適切に設定する必要がある．びびり安定性の予測技術を用いた主軸回転数や他の加工条件等の最適化手法[1,2]など，様々な手法が生産現場においては試行錯誤的に適用される．びびり振動を回避する主要な手段の一つとして，プロセスダンピングが系の安定性改善に寄与することが知られている[3]．プロセスダンピングとは，工具の逃げ面が工作物の仕上げ面に接触することで減衰効果を発現する現象である．プロセスダンピングは主に低切削速度条件で発現するため，生産性の低下を伴う．このため，他の手法では十分な効果が得られない場合の最後の手段としてよく使用される．一方，切削速度が比較的遅い難削材の加工においては有効に積極活用できる可能性がある[4]．プロセスダンピングを有効に活用するには，プロセスダンピングの影響を定量的に推定するシミュレーション技術が必要となる．この現象を考慮したびびり安定性予測を達成するため，多くの従来研究で数理モデルが利用されてきた．Altintasらは，振動速度と振動加速度に比例するプロセスダンピング力をモデル化[5]した．この単純なモデル化により，低切削速度条件下でのびびり安定性の向上効果を推定することができる．Budakらは，機械構造伝達関数に対する付加減衰としてプロセスダンピング効果をモデル化した[6]．減衰係数は，逃げ面の接触の運動学的シミュレーションに基づいてモデル化される．びびり安定性を正確に推定するには，これらのモデルに対して適切なパラメータを同定する必要がある．Altintasらは，高速工具サーボを利用してプロセスダンピング力を実験的に分析した[5]．Budak[6]とKurata[7]は，逆解析に基づく実験的分析アプローチを提案した．ただし，従来のアプローチでは，プロセスダンピングの影響を受ける現象を評価するために専用に設計された実験を実行する必要がある．この現象を精度よく推定する上で把握すべき最も重要な特性は，構造変位とプロセスダンピング力の関係である．しかし，実験的アプローチによってプロセスダンピングを伴う実際の切削現象を分析するのは容易ではなく，これが技術開発を妨げてきた．動的切削力を実験的に計測するのは不可能ではないが，プロセスダンピング力を区別して求めることは困難である．
本研究では，有限要素解析を用いた計算実験によりプロセスダンピング現象を解析するための基本的な手法を提案する[8]．相対振動とプロセスダンピング力の関係は，市販の有限要素解析ソフトウェアを利用した一連のシミュレーションを通じて推定する．シミュレーション結果に基づいて，力と振動の関係を周波数領域でモデル化し，プロセスモデルの係数を同定する．次に，単純な端面旋削を対象とした安定性限界解析手法を考案し，解析モデルを定式化する．提案手法を利用することにより，プロセスダンピングの特性を分析する．同時に検証実験を通じて有効性を確認す
る．
2．プロセスダンピングの解析手法
低切削速度と高切削速度での同一振幅のびびり振動を伴う切削プロセスの模式図を図1に示す．
図に示すように，低切削速度条件では逃げ面が仕上げ面に干渉しやすいことが分かる．ここでは，周波数ωcで切込み方向のみにびびり振動が発生すると仮定している．従って，見かけの切削送りとびびり振動を組み合わせた刃先の相対運動軌跡は正弦波状になる．見かけの切削方向に対して工具の運動軌道がなす角度，すなわち軌道角度が逃げ角より大きくなると逃げ面が加工面に接触する．

－ 24 －

Figure 1

この逃げ面接触が動的なプロセスダンピング力を引き起こす．下向きの振動速度が最大の瞬間に軌道角が最大になる．従って，プロセスダンピング力は振動速度に概ね同期して生じると考えられる．この性質を考慮して，従来の研究においては振動速度と切削速度の関係に着目してモデル化が行われている．一方で，実際の切削現象において生じるプロセスダンピング力を緻密に分析した研究はなく，その現象はほとんど明らかにされていない．

[Low cutting speed]
𝑣𝑣
Chatter𝑢𝑢
vibration
FrankTool
Cutting
Trajectory face
direction
Flank
angle
angle

[High cutting speed]
𝑣𝑣
Chatter𝑢𝑢
vibration
Frank
Tool
Cutting
Trajectory face
direction
Flank
angle
angle

Workpiece

Workpiece
図１ プロセスダンピングに対する切削速度の影響を示す模式図

本研究においては，プロセスダンピングの影響を詳細に考慮するため，2次元切削を仮定した有限要素解析を実施した．ここでは，市販の切削プロセス解析ソフトウェアAdvantEdge FEMを利用して計算を実施した．2次元切削シミュレーションにおいては，切込み方向に生じる単一周波数のびびり振動を考慮して動的な計算を実施する．びびり振動を伴う2次元切削シミュレーションの例

Figure 2を図2に示す．切削速度は40m/min，びびり周波数は800Hz，切削幅は1mm，逃げ角は7度とし，被削材は真鍮（JIS：C3772）を仮定した．計算結果から，逃げ面に生じる圧縮およびせん断応力成分σ，τを抽出する．これらの応力を線積分することによりプロセスダンピング力Fpdが得られる．

Input vibration
Tool

Workpiece

FEM simulation

Process damping force

図２ FEMシミュレーションとプロセスダンピング力の動的変動

図に示すように，逃げ面が加工面に接触するとプロセスダンピング力が発生する．このプロセスダンピング力の周期的な変動について周波数領域で考える．周波数領域において複素関数として表されるプロセスダンピング力Fpdを変位uに比例する関数としてモデル化する．比例係数をプロセスダンピング係数Kpdとする．簡単のため，切込み深さ方向の1自由度振動を考慮すると，次の関係式が得られる．

－ 25 －ダンピング係数𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝 とする．簡単のため，切込み深さ方向の 1 自由度振動を考慮すると，次の関係ダンピング係数𝐾𝐾
1 自由度振動を考慮すると，次の関係ダンピング係数𝐾𝐾とする．簡単のため，切込み深さ方向の1 自由度振動を考慮すると，次の関係
𝑝𝑝𝑝𝑝 とする．簡単のため，切込み深さ方向の式が得られる． 𝑝𝑝𝑝𝑝
式が得られる．
式が得られる．
𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢 = (𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 )𝑢𝑢(1)
𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝 =𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝
𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝=𝑢𝑢𝐾𝐾=𝑝𝑝𝑝𝑝(𝐾𝐾+𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑖𝑖𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝)𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 )𝑢𝑢 
𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝= (𝐾𝐾+ 𝑖𝑖𝐾𝐾
(1) (1)⑴
ここで，𝐾𝐾 と𝐾𝐾 は，複素プロセスダンピング係数𝐾𝐾 の実部と虚部である．
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

ここで，𝐾𝐾と𝐾𝐾
は，複素プロセスダンピング係数𝐾𝐾
ここで，KとK
ここで，𝐾𝐾と𝐾𝐾
pdk
pdcは，複素プロセスダンピング係数Kpdの実部と虚部である．
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 の実部と虚部である．
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 は，複素プロセスダンピング係数𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝 の実部と虚部である．
この 2 次元切削シミュレーションをびびり周波数と振動振幅を変更して繰り返すことで，振幅𝑢𝑢
この この2 次元切削シミュレーションをびびり周波数と振動振幅を変更して繰り返すことで，振幅𝑢𝑢
この2次元切削シミュレーションをびびり周波数と振動振幅を変更して繰り返すことで，振幅u2 次元切削シミュレーションをびびり周波数と振動振幅を変更して繰り返すことで，振幅𝑢𝑢と振動波長𝜆𝜆(= 2𝜋𝜋𝑣𝑣𝐶𝐶 /𝜔𝜔𝐶𝐶 )の影響を調査した．被削材は炭素鋼（JIS：S45C）とした．図 3 に計算さと振動波長𝜆𝜆(=2𝜋𝜋𝑣𝑣𝐶𝐶2𝜋𝜋𝑣𝑣/𝜔𝜔𝐶𝐶𝐶𝐶)の影響を調査した．被削材は炭素鋼（JIS：S45C）とした．図3 に計算さと振動波長𝜆𝜆(=/𝜔𝜔
3 に計算さと振動波長の影響を調査した．被削材は炭素鋼（JIS：S45C）とした．図3に計算さ𝐶𝐶 )の影響を調査した．被削材は炭素鋼（JIS：S45C）とした．図れたプロセスダンピング係数を示す．図から波長𝜆𝜆が短いほど，プロセスダンピングの影響が大きれたプロセスダンピング係数を示す．図から波長𝜆𝜆が短いほど，プロセスダンピングの影響が大きれたプロセスダンピング係数を示す．図から波長𝜆𝜆が短いほど，プロセスダンピングの影響が大きれたプロセスダンピング係数を示す．図から波長λが短いほど，プロセスダンピングの影響が大きくなることが分かる．
くなることが分かる．
くなることが分かる．
くなることが分かる．

Figure 3

図３
図３プロセスダンピング係数の計算結果
プロセスダンピング係数の計算結果
図３ 図３
プロセスダンピング係数の計算結果
プロセスダンピング係数の計算結果

ここで，軌道角と逃げ角が一致する振動振幅を臨界振幅と定義する．幾何学的な関係に基づいて，ここで，軌道角と逃げ角が一致する振動振幅を臨界振幅と定義する．幾何学的な関係に基づいて，ここで，軌道角と逃げ角が一致する振動振幅を臨界振幅と定義する．幾何学的な関係に基づいて，臨界振幅u
ここで，軌道角と逃げ角が一致する振動振幅を臨界振幅と定義する．幾何学的な関係に基づいて，crはおおよそ次の式で推定される．
臨界振幅𝑢𝑢𝑐𝑐𝑐𝑐 はおおよそ次の式で推定される．
臨界振幅𝑢𝑢𝑣𝑣𝐶𝐶 tan 𝛾𝛾 𝜆𝜆 tan 𝛾𝛾
臨界振幅𝑢𝑢𝑐𝑐𝑐𝑐 はおおよそ次の式で推定される．
𝑐𝑐𝑐𝑐 はおおよそ次の式で推定される．
⑵
𝑢𝑢𝑣𝑣= 𝜆𝜆𝛾𝛾 tan 𝛾𝛾
𝑐𝑐𝑐𝑐𝐶𝐶 =tan𝑣𝑣𝐶𝐶𝛾𝛾𝜔𝜔𝜆𝜆𝛾𝛾tan(2)tan
2𝜋𝜋𝑢𝑢𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑢𝑢𝑐𝑐𝑐𝑐 ==𝐶𝐶 =(2) (2)𝜔𝜔𝐶𝐶 𝜔𝜔𝐶𝐶 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋式（２）を満たす条件を図中に赤い破線でしめす．図から，破線を境に上側の領域で𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝 が増加し式（２）を満たす条件を図中に赤い破線でしめす．図から，破線を境に上側の領域でKpdが増加して式（２）を満たす条件を図中に赤い破線でしめす．図から，破線を境に上側の領域で𝐾𝐾式（２）を満たす条件を図中に赤い破線でしめす．図から，破線を境に上側の領域で𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝 が増加し𝑝𝑝𝑝𝑝 が増加しており，臨界振幅はプロセスダンピングが発現する境界条件に一致することが分かる．この特性かおり，臨界振幅はプロセスダンピングが発現する境界条件に一致することが分かる．この特性かており，臨界振幅はプロセスダンピングが発現する境界条件に一致することが分かる．この特性かており，臨界振幅はプロセスダンピングが発現する境界条件に一致することが分かる．この特性から，プロセスダンピング現象は境界線の上部領域で発現すると考えられる．工具形状や工作物の情ら，プロセスダンピング現象は境界線の上部領域で発現すると考えられる．工具形状や工作物の情ら，プロセスダンピング現象は境界線の上部領域で発現すると考えられる．工具形状や工作物の情ら，プロセスダンピング現象は境界線の上部領域で発現すると考えられる．工具形状や工作物の情報に応じて図 3 に示すプロセスダンピング係数のデータベースを予め算出することで，任意の振動報に応じて図3に示すプロセスダンピング係数のデータベースを予め算出することで，任意の振動報に応じて図3 に示すプロセスダンピング係数のデータベースを予め算出することで，任意の振動報に応じて図3 に示すプロセスダンピング係数のデータベースを予め算出することで，任意の振動波長𝜆𝜆と振動振幅𝑢𝑢に対する係数を内挿して推定することが可能である．すなわち，この領域におけ波長λと振動振幅uに対する係数を内挿して推定することが可能である．すなわち，この領域にお波長𝜆𝜆と振動振幅𝑢𝑢に対する係数を内挿して推定することが可能である．
すなわち，この領域におけ波長𝜆𝜆と振動振幅𝑢𝑢に対する係数を内挿して推定することが可能である．
すなわち，この領域における係数を定量的に推定することにより，プロセスダンピングを考慮した安定限界解析を実行するこける係数を定量的に推定することにより，プロセスダンピングを考慮した安定限界解析を実行する
る係数を定量的に推定することにより，プロセスダンピングを考慮した安定限界解析を実行するこる係数を定量的に推定することにより，プロセスダンピングを考慮した安定限界解析を実行することができる．なお，従来のプロセスダンピングの解析手法においては，プロセスダンピング係数のことができる．なお，従来のプロセスダンピングの解析手法においては，プロセスダンピング係数とができる．なお，従来のプロセスダンピングの解析手法においては，プロセスダンピング係数のとができる．なお，従来のプロセスダンピングの解析手法においては，プロセスダンピング係数の振幅依存性を無視して固定値を仮定する点で，提案手法と大きく異なる性質を持つ．の振幅依存性を無視して固定値を仮定する点で，提案手法と大きく異なる性質を持つ．
振幅依存性を無視して固定値を仮定する点で，提案手法と大きく異なる性質を持つ．
振幅依存性を無視して固定値を仮定する点で，提案手法と大きく異なる性質を持つ．
3．端面旋削のびびり安定限界解析

4
端面旋削プロセス用のびびり安定性シミュレーションモデルを構築する．図4に，旋削プロセス
44の概略図を示す．

－ 26 －

4 に，旋削プロセス3. 端面旋削プロセス用のびびり安定性シミュレーションモデルを構築する．図
端面旋削のびびり安定限界解析の概略図を示す．
端面旋削プロセス用のびびり安定性シミュレーションモデルを構築する．図 4 に，旋削プロセス
3. 端面旋削のびびり安定限界解析の概略図を示す．
端面旋削プロセス用のびびり安定性シミュレーションモデルを構築する．図 4 に，旋削プロセス

Figure 4の概略図を示す．

𝑓𝑓1 tan 𝜃𝜃2 = 𝑓𝑓2 tan 𝜃𝜃1𝑦𝑦
𝑓𝑓2
𝑓𝑓1𝑥𝑥𝑧𝑧

Chip flow
direction
𝜃𝜃2
𝜃𝜃1

𝑎𝑎𝑝𝑝

𝜂𝜂

𝑏𝑏𝑑𝑑
𝑓𝑓𝑑𝑑

𝑏𝑏

Rake face
Workpiece

Cutting cross-section of face turning
図４
図４ つの直線切れ刃で構成された工具による旋削加工プロセスの模式図と加工装置
2つの直線切れ刃で構成された工具による旋削加工プロセスの模式図と加工装置
図４  つの直線切れ刃で構成された工具による旋削加工プロセスの模式図と加工装置
工具刃先は，傾斜角度がθ1 とθ2 の前切れ刃と横切れ刃の2本の直線で構成されることを前提とす
工具刃先は，傾斜角度が𝜃𝜃1 と𝜃𝜃2 の前切れ刃と横切れ刃の 2 本の直線で構成されることを前提とす
図４  つの直線切れ刃で構成された工具による旋削加工プロセスの模式図と加工装置
る．横切れ刃の逃げ角は，前切れ刃の逃げ角に比べて低く設定される．このため，プロセスダンピ
る．横切れ刃の逃げ角は，前切れ刃の逃げ角に比べて低く設定される．このため，プロセスダンピ
工具刃先は，傾斜角度が𝜃𝜃1 と𝜃𝜃2 の前切れ刃と横切れ刃の 2 本の直線で構成されることを前提とす
ングは，横切れ刃でのみ発現する．初期条件として，切込みapと送り速度 fdを与えると，切削幅bとングは，横切れ刃でのみ発現する．初期条件として，切込み𝑎𝑎
る．横切れ刃の逃げ角は，前切れ刃の逃げ角に比べて低く設定される．このため，プロセスダンピ
𝑝𝑝 と送り速度𝑓𝑓𝑑𝑑 を与えると，切削幅𝑏𝑏と工具刃先は，傾斜角度が𝜃𝜃1 と𝜃𝜃2 の前切れ刃と横切れ刃の 2 本の直線で構成されることを前提とす
再生幅bdは，次式で計算される．
再生幅𝑏𝑏
ングは，横切れ刃でのみ発現する．初期条件として，切込み𝑎𝑎𝑑𝑑 は，次式で計算される．
𝑝𝑝 と送り速度𝑓𝑓𝑑𝑑 を与えると，切削幅𝑏𝑏とる．横切れ刃の逃げ角は，前切れ刃の逃げ角に比べて低く設定される．このため，プロセスダンピ
𝑎𝑎𝑝𝑝tan 𝜃𝜃1
再生幅𝑏𝑏𝑑𝑑 は，次式で計算される．
𝑏𝑏 =+𝑓𝑓𝑑𝑑⑶(3)ングは，横切れ刃でのみ発現する．初期条件として，切込み𝑎𝑎
tan
𝜃𝜃
tan
𝜃𝜃
+tan
𝜃𝜃
𝑝𝑝 と送り速度𝑓𝑓𝑑𝑑 を与えると，切削幅𝑏𝑏と
1
12
𝑎𝑎𝑝𝑝
tan 𝜃𝜃1𝑏𝑏 =+𝑓𝑓𝑑𝑑(3)
再生幅𝑏𝑏𝑑𝑑 は，次式で計算される．
𝑏𝑏 −
(4)
⑷
tan 𝜃𝜃1𝑏𝑏𝑑𝑑 =tan𝜃𝜃1𝑓𝑓+𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃2𝑎𝑎tan
𝜃𝜃𝑝𝑝
Colwell の法則[9]を仮定すると，切りくず流出角
η は近似的に式（6）で推定される．
𝑏𝑏𝑑𝑑+= 𝑏𝑏 − 𝑓𝑓𝑑𝑑 1(4)𝑏𝑏 =𝑓𝑓𝑑𝑑(3)
Colwellの法則[9]を仮定すると，切りくず流出角ηは近似的に式⑹で推定される．
tan 𝜃𝜃1 tan𝜃𝜃1𝜃𝜃+tan𝜃𝜃tantan𝜃𝜃212Colwell の法則[9]を仮定すると，切りくず流出角
ηは近似的に式（6）で推定される．
𝑎𝑎𝑝𝑝 −
𝑓𝑓𝑑𝑑tan 𝜃𝜃1 + tan 𝜃𝜃2(5)− 𝜃𝜃𝑓𝑓𝑑𝑑1 tan 𝜃𝜃2(4)𝜂𝜂 = atan 𝑏𝑏𝑑𝑑 = 𝑏𝑏tan
𝑏𝑏𝑎𝑎𝑝𝑝 −
𝑓𝑓𝑑𝑑tan 𝜃𝜃1 + tan 𝜃𝜃2Colwell の法則[9]を仮定すると，切りくず流出角η は近似的に式（6）で推定される．
(5)𝜂𝜂 = atan⑸
切削方向と切込み方向の比切削抵抗𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 および𝐾𝐾𝑡𝑡 (= 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐾𝐾𝑟𝑟 )を使用して，x，y，z 軸方向の比切削抵
tan 𝜃𝜃𝑏𝑏1 tan 𝜃𝜃2𝑎𝑎𝑝𝑝 −𝑓𝑓
抗は，次の式で定式化される．
切削方向と切込み方向の比切削抵抗𝐾𝐾軸方向の比切削抵
tan 𝜃𝜃1 𝑐𝑐𝑐𝑐+および𝐾𝐾tan 𝜃𝜃2 𝑑𝑑𝑡𝑡 (= 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐾𝐾𝑟𝑟 )を使用して，x，y，z(5)𝜂𝜂 = atan
K𝑏𝑏およびK(=K)を使用して，x，y，z軸方向の比切削抵抗
切削方向と切込み方向の比切削抵抗K
ctctr
𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐sin 𝜂𝜂 t
抗は，次の式で定式化される．
切削方向と切込み方向の比切削抵抗𝐾𝐾軸方向の比切削抵𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 } = 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 {1/𝐾𝐾{}
𝑐𝑐𝑐𝑐 および𝐾𝐾𝑡𝑡 (= 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐾𝐾𝑟𝑟 )を使用して，x，y，z𝑟𝑟(6)は，次の式で定式化される． 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐
sin 𝜂𝜂
cos 𝜂𝜂
𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐
抗は，次の式で定式化される．
{𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 } = 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 {1/𝐾𝐾𝑟𝑟 }(6)
ここで，𝐾𝐾𝑟𝑟 は主分力方向と背分力方向の成分比（分力比）を表す．本研究では，構造はz 軸方向のcos
𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐sin 𝜂𝜂𝜂𝜂

⑹{𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 } = 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 {1/𝐾𝐾𝑟𝑟 }ここで，𝐾𝐾𝑟𝑟 は主分力方向と背分力方向の成分比（分力比）を表す．本研究では，構造はz 軸方向の(6)cos 𝜂𝜂
𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐
ここで，𝐾𝐾𝑟𝑟 は主分力方向と背分力方向の成分比（分力比）を表す．本研究では，構造は z 軸方向のここで，Krは主分力方向と背分力方向の成分比（分力比）
5 を表す．本研究では，構造はz軸方向のみに柔軟であると仮定する．従って，z軸方向の変位と力の影響のみを考慮する．z軸方向に生じる力
5Fzは，切りくず生成に要する力Fcとプロセスダンピング力Fpdの合成成分として次のように定式化す
5ることができる．

－ 27 －

みに柔軟であると仮定する．従って，z 軸方向の変位と力の影響のみを考慮する．z 軸方向に生じみに柔軟であると仮定する．従って，z 軸方向の変位と力の影響のみを考慮する．z 軸方向に生じる力𝐹𝐹𝑧𝑧𝑧𝑧 は，切りくず生成に要する力𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐 とプロセスダンピング力𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝 の合成成分として次のように定式る力𝐹𝐹𝑧𝑧 は，切りくず生成に要する力𝐹𝐹𝑐𝑐 とプロセスダンピング力𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝 の合成成分として次のように定式化することができる．
化することができる．
𝐹𝐹𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (7)⑺𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(7)(𝑖𝑖𝜔𝜔)は，周波数応答関数𝑔𝑔(𝑖𝑖𝜔𝜔)によって次に，びびり周波数𝜔𝜔を仮定すると，z軸の振動変位𝑢𝑢𝑐𝑐
𝑧𝑧𝑐𝑐
𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑧𝑧𝑐𝑐𝑧𝑧𝑐𝑐
次に，びびり周波数ωcを仮定すると，z軸の振動変位uz (iωc)は，周波数応答関数gz (iωc)によって次次に，びびり周波数𝜔𝜔𝑐𝑐 を仮定すると，z 軸の振動変位𝑢𝑢𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 )は，周波数応答関数𝑔𝑔𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 )によって次のように計算される．のように計算される．
次のように計算される．
𝑢𝑢𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐𝑐𝑐 ) = 𝑔𝑔𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐𝑐𝑐 )𝐹𝐹𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐𝑐𝑐 ) (8)⑻𝑢𝑢𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 ) = 𝑔𝑔𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 )𝐹𝐹𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 )(8)以上の定式化によって得られた切削力モデルとダイナミクスモデルの関係式に基づいて，次の特性以上の定式化によって得られた切削力モデルとダイナミクスモデルの関係式に基づいて，次の特性以上の定式化によって得られた切削力モデルとダイナミクスモデルの関係式に基づいて，次の特性方程式が導出される．
方程式が導出される．
方程式が導出される．
−𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐𝑐𝑐−𝑖𝑖𝜔𝜔)
𝐹𝐹𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐𝑐𝑐 ) = − {𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 cos 𝜂𝜂 (𝑏𝑏 − 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒
𝐹𝐹𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 ) = − {𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐 cos 𝜂𝜂 (𝑏𝑏 − 𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 )𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝 cos 𝜃𝜃11(9) (9)⑻+ 𝑎𝑎𝑝𝑝 cos 𝜃𝜃1 (𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 )} 𝑔𝑔𝑧𝑧
𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐𝑐𝑐 )𝐹𝐹𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐𝑐𝑐 )+ tan 𝜃𝜃11 (𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 )} 𝑔𝑔𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 )𝐹𝐹𝑧𝑧 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑐𝑐 )tan 𝜃𝜃1
この特性方程式を解くことにより安定限界を推定することができる．
安定限界推定のためのフロー
この特性方程式を解くことにより安定限界を推定することができる．
安定限界推定のためのフロー
この特性方程式を解くことにより安定限界を推定することができる．安定限界推定のためのフロー
チャートを図 5 に示します．まず，工具形状や加工条件から得られる各種パラメータを設定する．
チャートを図 5 に示します．まず，工具形状や加工条件から得られる各種パラメータを設定する．
チャートを図5に示します．まず，工具形状や加工条件から得られる各種パラメータを設定する．
また，回転半径𝑟𝑟と回転数𝑛𝑛を仮定し，切削速度𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐 を計算する．次に，切込み𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝 を設定し，式（３）また，回転半径𝑟𝑟と回転数𝑛𝑛を仮定し，切削速度𝑣𝑣𝑐𝑐 を計算する．次に，切込み𝑎𝑎𝑝𝑝 を設定し，式（３）また，回転半径rと回転数nを仮定し，切削速度vcを計算する．次に，切込みapを設定し，式⑶−⑸―（５）を用いてプロセスパラメータを計算する．
さらに，びびり周波数𝜔𝜔𝑐𝑐𝑐𝑐 と振動振幅𝑢𝑢を走査し，―（５）を用いてプロセスパラメータを計算する．さらに，びびり周波数𝜔𝜔𝑐𝑐 と振動振幅𝑢𝑢を走査し，を用いてプロセスパラメータを計算する．さらに，びびり周波数ω
cと振動振幅uを走査し，対応す対応するプロセス振幅係数𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 と𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 を用いて，式（９）に示す特性方程式を計算する．𝜔𝜔
𝑐𝑐 と𝑢𝑢の𝑐𝑐対応するプロセス振幅係数𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 と𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 を用いて，式（９）に示す特性方程式を計算する．𝜔𝜔𝑐𝑐 と𝑢𝑢のるプロセス振幅係数K
pdkとKpdcを用いて，式⑼に示す特性方程式を計算する．ωcとuの適切な組み合適切な組み合わせにおいて特性方程式が成立する．
この条件を探索的に繰り返し計算によって求め適切な組み合わせにおいて特性方程式が成立する．この条件を探索的に繰り返し計算によって求めわせにおいて特性方程式が成立する．この条件を探索的に繰り返し計算によって求める．
る．
る．

Figure 5Start[Input parameters] depth of cut 𝑎𝑎𝑝𝑝 , feed rate 𝑓𝑓𝑑𝑑 , tool angle𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , specific cutting force 𝐾𝐾𝑝𝑝 , 𝐾𝐾𝑡𝑡 , spindle speed 𝑛𝑛, modalparameters 𝑚𝑚, 𝑐𝑐, 𝑘𝑘,
Assuming rotation radius 𝑟𝑟 anddepth of cut 𝑎𝑎𝑝𝑝Assuming amplitude 𝑢𝑢 andchatter frequency 𝜔𝜔𝑐𝑐

Is Eq. 9
satisfied?
11No

Yes

Modificationof 𝑢𝑢 and 𝜔𝜔𝑐𝑐End
図５ 提案する安定限界解析手法のフローチャート
図５ 提案する安定限界解析手法のフローチャート
図５ 提案する安定限界解析手法のフローチャート

提案手法を用いて切削速度と切込みが系に及ぼす影響について，安定性解析を行った事例を図666に示す．赤い実線は，プロセスダンピングを考慮しない場合の安定限界切込みを示しており，系は赤い線の下側の条件では完全に安定化する．したがって，赤い実線の上側の切込み領域を対象とし－ 28 －て解析を実施している．特性方程式を満たすびびり振動の振幅，周波数，および波長の解析結果をカラーマップで示している．提案手法では，準安定状態として生じるびびり振動の振幅や周波数を予測することができる．図6に示すように，切削速度の増加に伴い，対応するびびり振動の波長が増加する．図3に示すように，波長が増加すると，Kpdは減少する．したがって，高速切削条件では，びびり振動の振幅が大きくなる傾向がみられる．
検証実験の結果の一例を図7に示す．形状の違う2種類の工具を用いて端面切削を実施し，その際に検出された切削力の変動と切削速度の関係を示している．臨界切削速度を超えると，切削力変動が生じ，速度が高いほどその変動が大きいことが分かる．びびり安定性の切削速度依存性について，プロセスダンピングモデルを使用した従来の解析手法においても大まかに見積もることができるが，最終的に生じる有限振幅を周波数領域シミュレーションで見積もることはできない．また，
臨界切削速度を正確に予測するのは，正確なパラメータを特定しない従来の方法では本質的に困難

Figure 6である．提案方法は，プロセスダンピングシミュレーションに有限要素解析を利用する．これにより，プロセスダンピング係数の信頼性の高い同定が可能になる．また，工具形状の影響についても精度よく推定することができるため，従来の方法と比較して，予測精度を向上することができる．

stableStability limit when 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝 = 0(a) Chatter vibration amplitude(b) Chatter frequency(c) Wavelength

図６ 提案手法による安定限界解析の結果－ 29 －

Figure 7

図７ 検証実験において計測された切削速度と切削力変動の関係

4．まとめ
本研究では，プロセスダンピング現象を考慮して有限振幅のびびり振動が生じる際の安定性を予測する手法を開発した．有限要素法解析を使用して，推定プロセスダンピング力に対するプロセスダンピング係数を計算する．計算された係数を使用して，びびり安定性を周波数領域で推定する解析モデルを開発した．提案手法は，準安定状態でのびびり振動の周波数及び振幅の予測を可能とする．解析結果は，びびり振動の安定性の削速度依存性を示し，検証実験を同様の傾向を示すことを確認した．本手法を応用することで，プロセスダンピングの影響を精度よく推定することが可能となり，切削シミュレーションの高精度化に寄与することが期待できる．
参考文献［1］Tlusty J, Manufacturing Process and Equipment, Prentice Hall, 1999
［2］Altintas Y, Manufacturing Automation, Cambridge Univ. Press., 2012［3］Munoa J, Beudaert X, Dombovari Z, Altintas Y, Budak E, Brecher C, Stepan G, Chatter
suppression techniques in metal cutting, CIRP Annals, 65, 2(2016), 785-808.
［4］Tuysuz O, Altintas Y, Analytical modeling of process damping in machining, J. Manuf. Sci.
Eng. 2019, 141(6): 061006［5］Altintas Y, Eynian M, Onozuka H, Identification of dynamic cutting force coefficients andchatter stability with process damping, CIRP Annals, 57, 1(2008), 371-374.
［6］Budak E, Tunc LT, Identification and modeling of process damping in turning and millingusing a new approach, CIRP Annals, 59, 1(2010), 403-408.
［7］Kurata Y, Merdol SD, Altintas Y, Suzuki N, Shamoto E, Chatter stability in turning andmilling with in process identified process damping, JAMDSM, 4, 6(2010), 1107-1118.
［8］Suzuki N, Nakanomiya T, Shamoto E, Chatter stability prediction of cutting process withprocess damping utilizing finite element analysis, Proceedings of Leading Edge
Manufacturing/Material Processing (LEMP2020), (2020) LEMP2020-8556.
［9］Colwell LV Predicting the angle of chip flow for singlepoint cutting tools. Trans ASME 76,2(1954), 199–204.

－ 30 －