É

遅延リスクを考慮した公共事業の事前・再評価

ÉPre- and Re-Evaluation System of Public Projects Incorporating Demand Risk and Delay Risk

É
長谷川専ÉÉ・織田澤利守ÉÉ・
小林潔司 ÉÉÉÉ
ÉÉ

by Atsushi HASEGAWA ，Toshimori OTAZAWAÉÉÉ and Kiyoshi KOBAYASHIÉÉÉÉ

1. はじめに

2. 本研究の基本的な考え方(1) 従来の研究概要

公共事業の事業期間は長期にわたり，その間に事業を取り巻く経済環境や国民の価値観が変化することが少な

不確実性下における投資意思決定問題に関しては膨大

くない．その結果，公共事業の社会的必要性や社会的便益は不可避的に変動する．このため，事業採択の時点でな研究の蓄積があり2)Ä 8)，土木計画学の分野でも研究の蓄積がある9) ．さらに，Merton 等はプロジェクトの不確予測した事業便益と実現した事業便益が大きく乖離する

実性，不可逆性を明示的に考慮した意思決定理論である

可能性がある．また，公共事業では，事業関係者間の合意形成が遅れるなどにより，事業の実施が長期化する事例

リアルオプション理論を開発し，プロジェクトの投資機
会をcall option と解釈できることを示した10) Ä 12) ．リア

も少なくない．事業の遅延が生じれば，直接的な事業費がルオプション理論に基づけば，プロジェクトに内在する増加するだけでなく，事業便益の発現時期が遅れることによって事業の効率性が著しく阻害されることもある．

多様なオプションの価値を計量的に評価できる枠組みを提供することができる13) Ä 17) ．

現在，公共事業の効率性やアカウンタビリティの向上

公共事業の事前・再評価問題において，織田澤らは事
前評価・再評価の見直し機能（事業の延期を含む）の導入を目的とした体系的な公共事業評価システムの構築が進められており，国土交通省では，公共事業の新規事業採がもたらすオプション価値を明示的に考慮した事業評価

択時評価（事前評価），再評価制度の見直しおよび事後評

モデルをリアルオプション理論を用いて構築している18) ．
さらに，評価費用を明示的に考慮することにより，事業の1)価制度の導入が行われている ．このうち，再評価制度は不確実性の存在を前提として，ひとたび着手した事業の再評価の最適回数を内生的に決定する事業評価モデルを継続の可否を投資効率性の観点から検討し，投資の継続構築している19)．しかし，リアルオプション理論をはじめとする投資意思決定モデルでは，事業便益リスク等にが不適当な事業を中止もしくは休止することによりムダの拡大を回避するという重要な役割がある．従って，合代表される単一のリスクを対象とした研究は数多く報告

理的な投資意思決定のためには，将来の再評価によってされているものの，複数のリスクを同時に対象とした投資意思決定理論はそれほど進展していないのが実情であ事業が中止される可能性を事前評価において適切に織り込んだ統合的な事前・再評価手法の開発が望まれる．

る．公共事業に関わる意思決定問題では，事業便益リス

本研究では，公共事業の主なリスクである１）遅延リ
スクと２）事業便益リスクに着目し，事業の中止オプショ

クと同時に，遅延リスクも大きなリスク要因である．公
共事業は，その計画策定・事業執行プロセスを通じて，遅ンならびに休止オプションを明示的に考慮に入れた公共事

延リスクに晒されており，計画決定の時点で想定した工事業の事前・再評価モデルを開発するとともに，これらのオプションの経済価値を計測する方法論を提案することを目

完了年度に供用できるとは限らない．当初想定した工事着工及び完了予定年度から遅延している事業が，再評価の結的とする．以下，２．では本研究の基本的な考え方を説明

果，社会経済情勢の変化によって中止され，既投資額が便益を生み出さない埋没コストと化してしまう場合もある．

する．３．では，事業の事前・再評価モデルを定式化し，４．でモデルの拡張方法について議論する．５．でモデル

近年，事業遅延による社会的損失を評価しようとする試みの解法を示し，６．で数値計算事例について紹介する．

がある20) Ä 23) ．しかし，これらは，事業遅延による社会的損失を事後的に評価しているものであり，遅延リスクの下での事前の投資問題を分析しているわけではない．一方，

Éキーワーズ：事業評価，遅延リスク，リアルオプション

工修（株）三菱総合研究所 政策科学システム研究部(〒 100-8141 東京都千代田区大手町 2-3-6 TEL 03-3277-0712

織田澤らは公共事業の遅延リスクに着目し，事業遅延がもたらす経済損失を明示的に考慮した事業評価モデルを/FAX 03-3277-3462)

構築している24)．しかし，そこでは事業便益リスクを取

ÉÉ正会員

ÉÉÉ正会員 博 ( 工学) 東北大学大学院情報科学研究科人間社会情報

り扱っていない．現実の公共事業の事前・再評価システム
では公共事業の遅延リスクと事業便益リスクの双方を同科学専攻 (〒 980-8579 仙台市青葉区荒巻字青葉 06 TEL022-217-7502，FAX 022-217-7500)
ÉÉÉÉフェロー会員 工博 京都大学大学院工学研究科都市社会工学専攻(〒 606-8501 京都市左京区吉田本町 TEL・FAX 075-753-5071)

時に考慮する必要があり，これら複数のリスクを同時に1考慮した事業評価の枠組みを構築することが求められる．
さらに，事業評価の結果に基づいて，事業の継続，中止，あるいは休止等を合理的に決定できる方法論を構築する

事前評価

採択

再評価

継続

事業完成

ことが必要となる．
本研究は，事業便益に関するリスクと事業の遅延リス

破棄

クという２種類のリスクを同時に考慮して，事業の事前評価時点における事業の採択，不採択と再評価時点にお中止

図−１ 基本モデルの構造ける事業の継続，中止，および休止等を合理的かつ整合事業の継続，中止オプションを合理的に評価することを的に決定しうる公共事業の事前・再評価モデルを構築する点を特徴としている．

目的とした公共事業の事前・再評価モデル（基本モデル）(2) 国土交通省の公共事業の事前・再評価制度
国土交通省における公共事業評価の実施要領25) ; 26) では，個別事業の評価は，「事業費の予算化段階における評価」（新規事業採択時評価），および「事業採択後 5 年間経過後未着工か，事業採択後 10 年間経過後継続中，着工
準備段階で 5 年間経過，再評価後5 年経過後継続中または未着工という状況にある事業に対する評価」（再評価）で構成される．なお，新規事業採択時評価および再評価は，
平成 10 年度に導入された．
新規事業採択時評価は，事業の投資効率性を評価する
ことに重点がある．一方，再評価では，その時点における事業の投資効率性が改めて確認されるとともに，新規事業採択時における投資効率性の評価結果との差異が発生した理由や事業の進捗見込みが評価される．再評価の結果，事業の中止が決定されれば，当該の事業は廃棄され，再評価時点までに実施された投資の一部または全ては便益を生み出さない埋没コストになってしまう．さらに，原状復旧など中止に伴う追加的コストが必要になる場合もある．現行の再評価制度においては，事業の継続，中止というオプションしかないが，これら以外に事業の休止というオプションも考えることができる．事業の休止とは，事業の継続が一時的に中断されるものの，一定期間が経過した後に改めて再評価され，事業をとりまく社会経済状況等に応じて，再び事業が再開されたり，休止が継続されたり，中止が決定されることを意味する．かつては，休止オプションも旧建設省27)，旧運輸省28)の再評価制度に位置づけられていたが，平成 13 年度に国土交通省への統合に伴う制度改定の際に廃止された．
そこで，本研究では平成10 年度の再評価制度の導入による効果（継続・休止・中止オプションの導入効果）および平成 13 年度の休止オプションの廃止による影響を定量的に計測しうる方法論を構築する．これは，本研究で構築した事前・再評価モデルの，公共事業評価の制度設計への適用可能性を示す試みでもある．
(3) 問題設定を開発する．つぎに，再評価時点において事業の休止オ
プションを意思決定の選択肢として追加したような拡張モデルを開発する．
本研究で取り上げる意思決定プロセスの構造を図−１に示す．事前評価時点においては，１）事業を採択するか，
２）事業を採択しないかを選択する．本研究では休止オプ
ションの有無など再評価制度の変更が及ぼす影響を分析することに焦点を絞るため，事前評価時点における意思決定は「now-or-never 原則」に基づいて行われるものとし，「意思決定を留保する」という延期オプションはとりあげない．また，事業はそれが完成するまで一定の期間を要する．しかし，事業には，その完成が遅延するという遅延リスクが存在する．事前評価において事業が採択された
後，一定期間を経過した時点で事業が完成していない場
合，事業の再評価が実施される．３．の基本モデルでは，再評価においては，当該時点における事業の進捗状態とその時点で評価された事業価値に基づいて，１）事業を継続するか，２）事業を中止するかが決定される．事業が完成した場合，直ちに供用が開始され事業便益が発生する．一方，再評価時点よりさらに一定期間を経過した
時点で事業が完成していない場合，改めて再評価が実施される．事業を中止する場合は，中止費用が必要となる．
なお，４．ではモデルを拡張し，再評価時点における休止
オプションを考慮した事前・再評価モデル（拡張モデル）を定式化する．
3. 基本モデルの定式化(1) モデル化の前提条件
意思決定者は事前評価時点 t0 で，「事業を採択するか」，
あるいは「事業を採択しないか」を決定する．事業が採択された場合，事業への投資が開始される．事業の進捗状態を (N + 1) 段階の離散的な状態変数 ht = j (j =0; 1; ÅÅÅ; N ) を用いて記述する．任意の時点 t における事業の進捗率ãtは状態変数 ht を用いてãt = hNt と表される．
事業の進捗率は，着目している時点までに投資された累積投資額が事業の投資総額に占める割合を用いて定義する．すなわち，ãt = 0 は事業が進捗ゼロの状態を，ãt =1 は完成状態を表す．なお，投資総額は固定されており，

本研究では事業便益リスク，遅延リスクという２種類のリスクが存在する事業の実施環境の下で，まず新規事

当初想定よりも増大するリスク（コスト超過リスク）はないと仮定する．ある評価時点t からつぎの評価時点 t0 の業採択時における事業の事前評価，再評価時点における間に事業の進捗状態がãt からãt0 へ進展した場合，投資額

C Å(ãt0 Ä ãt ) は時点 t0 で支出される．ただし，Cは事業の投資総額を表す．事業の進捗プロセスにはリスクが存Ö = P úに従う．推移確率の非後退性より，推移確率行列
Ö の (j; k) (j > k) 要素についてôjk = 0 が成立する．ま在し，事業が完成していない段階で「事業がいつ完成す

た，ひとたび事業が完成（状態がN に到達）すれば，マル

るか」は不確実である．事業採択後，一定期間úが経過した時点 t1 = t0 + úで事業が完成していない場合，第１回

コフ連鎖の吸収状態となり，ôNN = 1 が成立する．

目の再評価が実施される．再評価時点で観測された事業^の進捗状態 ht と事業価値Bに基づいて「事業を継続する
1か」，あるいは「事業を中止するか」のいずれかが選択さ(3) 事業価値リスクの定式化
いま，任意の時点t における事業価値 B(t) を，その時れる．継続中の事業では，時点 t1 から完成するまでの間，

点で仮に事業が完成し供用が開始されたと想定した場合の，当該時点から将来にわたって発生するであろう期待総一定期間ú毎に再評価が実施される．第i 回目の再評価の実施時点は ti = t0 + iúと表される．ただし，再評価の実便益（当該時点における現在価値）と定義する．事業価値は通常の費用便益分析の方法を用いて評価される．事業価

施には再評価費用 Ce が必要となる．一方，再評価により値にはリスクが内在し，ある確率分布に従うものとする．

事業の中止が決定された場合，事業は廃棄され，中止費用
Ca を要する．その場合，事業への既投資額は完全に埋没

つまり，供用開始時点において実現する値を前もって正確^ = B(t)に知ることはできない．時点t において事業価値Bすると仮定する．また，簡単のために，事業は部分供用やが観測された場合，かりに供用開始時点が T になった場合暫定供用は行われず，完成後はじめて便益を発生するものと仮定する．

に実現する事業価値 B(T ) は，供用開始までの残事業期間^ T Ä t) にT Ä t に依存する条件付き確率密度関数f (BjB;
従って分布すると仮定する．

(2) 遅延リスクの定式化
事業採択時点から初回の再評価時点までの期間および再評価時点間の期間はいずれもúであり，ú個のステップ（１ステップは，例えば１年などの単位期間）により構成
される．いま，S = f0; 1; 2; ÅÅÅ; N g を離散的な N +1(ï 2)個の状態で定義される状態空間とし，事業の進捗状態 ht
はS上で定義されるマルコフ連鎖に従うと仮定する．１ス

テップで進捗状態
jから kに推移する確率を
hiProb ht+ 1 = kjh t = j = pjk(1)と定義する．さらに，推移確率 p jk を (j; k) 要素とする推移
確率行列をP で表現する．推移確率は外生的に与えられ，いずれの主体もその値を制御できないと仮定する．ある時点で状態 jであれば，つぎの時点では取りうる状態のう
ちどれかには必ず推移するため，NX
pjk = 1; ; p jk ï 0; j; k 2 S^ i) と表そう．Bi+ 1 の確率密度関数 f (Bi+1 jB^i )F (Bi+1 jB

は各時点 ti (i = 0; 1; ÅÅÅ) で定義できるが，その形式は時^ i のみに依存すると仮定する．
点ti に依存せず，事業価値B
さらに，任意の自然数 n に対して同時確率密度関数^ i)f n (Bi+n ; ÅÅÅ; Bi+1 jB^ i)= f (Bi+n jBi+nÄ 1 ) Ç ÅÅÅÇ f (Bi+1 jB(5)を定義する．ここで，i 回目の再評価時点に観測された事^ iに基づき，それからn 回目の再評価時点で観測
業価値Bされる事業価値Bi+n の確率分布を表す確率密度関数を
Z 1
Z 1^ i) =^i )fn (Bi+n jB
ÅÅÅ
f n (Bi+n ; ÅÅÅ; B i+1 jB
0

(2)

k=0

を満足する．また，事業の進捗はひとたびある状態が実現すれば，その後に手戻り等の発生により後ろ向きに推移することはない（以下，非後退性と呼ぶ）と仮定する．
したがって，
p jk = 0 (j > k)

^ i=B(ti ) を観測しここで，再評価時点 ti で事業価値Bた下で，つぎの再評価時点 ti+ 1で観測される事業価値
Bi+1 の分布を表す確率密度関数 f (Bi+1 jB^ i; ú) を，表記の簡便化のために f (Bi+1 jB^ i) と表し，累積分布関数を(3)が成立する．つぎに，状態 jから出発したマルコフ連鎖
fh t g が吸収状態N に到達するステップ数を表す確率変数をT j と表そう．Thj の確率分布は，i
òj (s) = Prob Tj = shi= Prob h t+s = N ; ht+l < N ; l < sjht = j (4)と表せる．òj (s) (s = 1; 2; ÅÅÅ) は h tが状態 jから s ステッ
プ後に初めて吸収状態N に到達する確率を表す．本研究では事業採択から完成までに要する標準的な最短ステップ
数T 0 を基準として，事業期間がこれを超えた場合を遅延P1と定義し，その確率 s=T 0+1 ò0 (s) を遅延リスクと呼ぶ．
評価期間úにおける進捗状態 h tの推移は，推移確率行列

dBi+nÄ1 ÅÅÅdBi+10(6)^ i ) は以下のと定義する．この時，確率密度関数f (Bi+ 1 jB
条件を満足すると仮定する．

1) 任意の nに対して
max
jfn (B i+n jB^i )j î M < 1
Bi+n2(0;1)^i > B~ iと Bi+1 2 (0; 1) に対して
2) 任意のB^~ i)
F (Bi+1 jBi ) î F (Bi+1 jB

(7a)

(7b)

^ i ) が上方に有界であ条件 (7a) は確率密度関数f n (Bi+n jB^ iの値が大きいほど，ることを意味する．条件 (7b) は，B^ i) が一様に右へシフトす
Bi+1 の累積分布関数F (Bi+1 jBることを意味する．すなわち，この条件は現在においてより高い事業価値が観測されるほど，将来により高い事
業価値が実現する可能性が大きくなることを要求する．
５．で言及するように，事業の進捗状態を離散化すれば，モデルの最適解を求める手順を進捗率の非後退性という性質を用いて積分方程式に帰着させることができる．

本研究では，数値計算における議論の見通しをよくする
ため，進捗状態 ht を離散変数，事業価値B(t) を連続変数で表現する．なお，進捗状態を連続変数（事業価値を離散変数）としてモデル化することも可能である．
(4) 再評価問題の定式化
再評価時点ti = t0 + iúまで事業が継続され，かつ当該時点までに事業が完成していない場合において，事業の進捗状態がh ti = j (j < N ) であり，事業価値B(ti ) = B^iが観測された際に，当該時点で事業を「継続する」か「中止する」かを決定する問題を考える．以後，表記の簡便化^ iの添え字 i を省略する．当該時点において事のために，B
業を継続し，それ以降最適に意思決定を実施した時に獲得^ と表そう．事業をできる期待純事業価値の最大値をäj (B)
継続した場合，１）つぎの再評価時点 ti+1 = ti + úまでに事業が完成する，２）時点 ti+1 において，再度事業の再評
価が実施される，という２つの場合が考えられる．
まず，１）の場合に着目しよう．時点 tiにおいて事業の進捗状態が jであるときに，時点 t0i = ti + s (1 î s î ú) に事業が完成する確率òj (s) は式 (4) で表される．残投資額
C Å(1 Äj=N ) は事業完成時に一括して支出されると仮定しよう．時点t0i で事業が完成した場合に獲得される追加的純事業価値（当該時点での現在価値）はë(B(t0i )) = B(t0i) ÄC Å(1 Ä j=N ) である．ただし，時点 ti において事業価値
B(t0i )（以下，Bと略記する）は確定的に把握することはで^ s) に従うことのみが把握でききず，確率密度関数 f (BjB;^る．時点 tiに事業の進捗状態j，事業価値Bが観測された下で，時点 t0i に事業が完成した場合に獲得できる期待追加^ j; s] は的純事業価値の当該時点での現在価値 E [ë(B)jB;

次式で表される．
hi^ j; sE ë(B)jB;
í
ìõ
Z 1ö
j
^ s)dB=B ÄC 1Äf (BjB;(8)
N
0
つぎの再評価時点までに事業が完成して獲得できる期待^ は，
純事業価値（時点 tiでの現在価値）Wj (B)
ú
h
i
X
^ =
^ j; s (1 + r)Ä s (9)W j ( B)òj (s)E ë(B)jB;
s =1^ j; s]となる．ただし，rは社会的割引率である．E[ë(B)jB;^ も既知関数である．
は既知関数であり，関数 Wj (B)つぎに，２）の場合に着目する．つぎの再評価時点
ti+1 = ti +úまでに事業が完成せずに，進捗状態が h ti+1 =k (j î k < N ) となる推移確率はôjk である．この時点^で進捗状態k，観測された事業価値がBである事業に対して，それ以降最適に意思決定を実施した時に獲得できる^ と表
期待純事業価値の最大値を表す最適値関数をâ k (B)す．時点tiから時点 ti+1 までの投資額は一括して時点ti+1に支出されると仮定する．事業がつぎの再評価時点までに完成しない場合，時点 ti で評価した当該事業の期待純事業^ は，
価値 Rj (B)
nZ 1
o
^
^
^
Rj (B) = Rj (B) + ïjâj (B)f (BjB)dB
Ä C e (10)0^ =ïRj (B)

NÄ1
X

ôjk

nZ 1

^
âk (B)f (BjB)dB

o
k Äj
ÄC Å
Ä Ce
N
と表される．ただし，ï= (1+r) Äúは割引因子，ïj = ïôjj^ は，後述の式（15a）-(15b) においである．なお，R j (B)
k=j+1

0

て，事業の最適値関数â j (B) を再帰的に定式化する上で，便宜的に式 (10) をâ j (B) を含む項とそうでない項の２項に分けるために導入したものである．
したがって，時点 ti において，事業を継続した場合に^ は獲得できる期待純事業価値の最大値äj (B)^ = W j ( B)
^ + Rj ( B)^äj ( B)(11)と表される．一方，時点 ti で事業を中止した場合，中止費
用C a が必要となる．また，その事業が再開されることはありえず，事業便益は発生しない．したがって，この場合の純事業価値はÄCa となる．
(5) 最適化条件^2
再評価時点ti で，事業の進捗状態j 2 S，事業価値B(0; 1) が観測された時，この時点における事業の最適値^ を再帰的に定義すれば
関数â j (B)öõ
^ = max äj (B);^ ÄCaâ j (B)(12)^を得る．事業価値Bが十分に大きく，事業を継続すること^ = äj (B)^ が成立する．一方，事業が最適であればâ j ( B)^
価値Bが小さい場合は，事業を中止することが最適選択と^ = ÄCa が成立する．いま，進捗状態が jの時なりâ j ( B)に，事業を継続しても中止しても，互いに無差別となるよ
うな臨界事業価値 BjÉが存在し，(^^ ï B Éの時
äj (B)Bj^ =â j (B)(13)^ÄCa
B É > Bの時
jが成立すると考えよう．進捗状態 jのもとで再評価が行わ^れた時に，事業が継続される事業価値Bの集合を継続集合
É^^と呼び，これをCj = fBjB ï B g と定義しよう．この時，
j^ 2 Cj に対して
任意のB
^ = äj (B)^â j (B)(14)
Z 1が成立する．式(11) より，^ = Ñj ( B)
^ + ïjâ j (B)

BÉj^âj (B)H(B; B)dB
(15a)

^ = Wj (B)^ + Rj (B)^ Ä ïj C e
Ñj (B)Z BjÉ^
Äïj CaH(B; B)dB

(15b)

0

^ = f (BjB)^
H(B; B)(15c)が成立する．式(15a) は，未知関数â j (B) に関する積分方
程式となっている．積分方程式 (15a) には解が一意に存在する19) ．積分方程式 (15a) の解をâ É
j (B) と表そう．最適値
関数â É
(B)
に関して境界条件jÉâÉj (Bj ) = ÄCa(16)が成立する．再評価問題は，各進捗状態 jに関して式 (15a)と境界条件 (16) を満足する未知関数â É
j (B) と臨界事業価
値B É
j を求める問題に帰着する．ただし，式 (15a) を構成

~ (B)
^ =ï
R
j

継続・再開

事前評価

採択

再評価

破棄

図−２

事業完成

中止

休止

雑な入れ子構造をしている．その解法は５．で考察する．
(6) 事前評価問題の定式化
事前評価時点 t0 では，「事業を採択するか」，あるいは「事業を採択しないか」を決定する．当該時点において事^業価値Bが観測されたとする．
この時点では事業は進捗しておらず，ht0 = 0 が成立する．式(11) より，事業を採択
(17)

(18)

と表される．
4. 休止オプションと事業価値(1) 拡張モデルの定式化
再評価時点における意思決定問題において，
「事業を継
続する」，
「事業を中止する」というオプションの他に「事業を休止する」というオプションを新しく加えた拡張モデルを考えよう．拡張モデルの構造を図−２に示している．
なお，拡張モデルにおいても，事前評価時点の延期オプ
ションは考慮しない．再評価時点で「事業を休止する」というオプションが行使された場合，事業への投資は中断され，一定期間úが経過するまで事業は進捗しない．そして，つぎの再評価時点において「事業を再開するか」，「休止を継続するか」，「事業を中止するか」が決定されるものとする．事業の休止が決定された場合，将来時点で事業を再開するオプション価値を獲得できるが，休止期間 (ú) 中の維持費用として総額 Cm を支払う必要がある．いま，時点^ 2 (0; 1)
ti において，事業の進捗状態 j 2 S，事業価値B~ j (B)^が観測された時，拡張モデルにおける最適値関数をâと表す．このとき，時点ti において事業を継続した場合に~ j (B)^ は，基本モデルの場合と獲得できる期待純事業価値ä
(19)と表される．ただし， Z
n 1
o
~ (B)
~ j (B)^ =R^ + ïj~ j (B)f (BjB)dB^RâÄ C e (20)
j
0

o
kÄj
ÄC Å
Ä Ce
N
が成立する．一方，時点 ti で事業を休止した場合に，時点^ は，
ti+ 1で獲得できる期待純事業価値の最大値
Qj (B)Z 1^ =~ j (B)f (BjB)dB^
Q j ( B)
â
Ä Ce
(21)
k=j+1

ことにより獲得できる期待純事業価値（当該時点の現在価^ Ä C m である．また，時点 ti において事業
値）はïQj (B)を中止したときの純事業価値はÄCa である．したがって，~ j (B)^ を再帰的に最適値関数âöõ~ j (B)^ = max ä~ j (B);^ ïQj (B)^ Ä C m ; ÄCa (22)âと定義できる．いま，~ j (B)^^dädQj (B)
ïï
ï0
(23)
^
^
dB
dB
が成立する（付録 I 参照）ことに留意しよう．この時，再評価問題 (22) の解として以下の３つの場合が考えられる．
(Case 1)
~ j (B)^ =â

と表され，不採択の場合の純事業価値はゼロとなる．した^ は，がって，事前評価時点 t0 における最適値関数à(B)同様に~ j (B)^ = W j (B)^ +R~ j (B)^ä~ k (B)f (BjB)dB
^
â

0

0

^ に進捗状態k = j + 1; ÅÅÅ; N Ä 1 に関する最する項Rj (B)
適値関数â k (B) が含まれる．このように再評価問題は複^ = maxfä0( B);
^ 0g
à(B)

ôjk

nZ 1

と表される．したがって，時点ti において事業を休止した

拡張モデルの構造した場合に獲得できる期待純事業価値の最大値は,^ = W0 (B)^ + R0 ( B)^
ä0 (B)NÄ1X(~ j (B)^^ ï BÉ
ä
B
j の時
É
^
ÄCa
B j > Bの時

(24)

8
~ ^
^ ï BÉ>B
j の時< äj (B)É~^^ Ä Cm Bj > B^ ï BÉâ j (B) =ïQ j ( B)j の時 (25)
>
:
É
^
ÄCa
Bj > Bの時(Case 3) (É
~ j (B)^ä
B^ ï B j の時
~ j (B)^ =â
(26)^ Ä Cm B É > Bの時^ïQ j (B)j^Case 1 では，任意のBに対して，常にhi^ Ä C m î max ä~ j (B);^ ÄC aïQ j (B)(27)(Case 2)が成立し，事業の休止領域が消滅する．Case 1 が成立するための条件は，~ j(B^ É) = ÄCaä(28)^ Éに対して，を満足する臨界的な事業価値B^ j (B^ É) Ä Cm î ÄC a
ïQが成立することである（付録 I 参照）．ただし，
Z B^ É^^^
Q j ( B) =ÄCa f (BjB)dB
Z 01~ j (B)f (BjB)dB
^
+
ä
Ä Ce
^É
B

(29)

(30)

である．条件 (29) は，式(28) を満足する臨界的な事業価^ Éにおいて，今期に事業を休止し，次期に必ず実施し値Bた場合に獲得できる次期以降の期待純事業価値が，中止した場合の純事業価値ÄCa より小さくなることを意味している．進捗状態 j (< N ) において事業を継続することが正当化されるような事業価値を示す継続集合Cj を^ B^ ï B Ég
Cj = fBj(31)jと定義しよう．この時，基本モデルの場合と同様に，任意^ 2 Cj に対して，式 (19)-(22) より，のB~ j (B)^ = Éj (B)^ + ïj
ä

Z 1
É

Bj

~ j (B)H(B; B)dB
^
ä
(32a)

~ (B)^ = W j (B)^ +R^ Ä ïj Ce
Éj (B)jZ B Éj^Äïj CaH(B; B)dB~ j (B É) = ÄCa
ä
j

0

0

(32b)

が成立する．すなわち，積分方程式 (32a) を境界条件~ É(B)，臨^(32b) の下で解く問題となる．この問題の解をä
jÉ
界事業価値をB j と表そう．

Case 2 に着目しよう．Case 2 では事業の継続と休止がÉ
互いに無差別となる臨界事業価値B j ，および事業の休止と中止が無差別となる臨界事業価値B É
j が存在する．いま，進捗状態 j (< N ) において事業を休止することが正当化される事業価値を示す休止集合 Sj を
^ É> B^ ï BÉg
Sj = fBjBj

最後に，Case 3 の場合，積分方程式(36) を
Z BÉ
~
^
^
~ j (B)f (BjB)dB^
â j (B) = Çj (B) + ï
â
(41)

(33)

j

^ 2 Sj に対して，と定義しよう．この時，任意のB~ j (B)^ = ïQj (B)^ Ä Cmâが成立する．式 (21) を展開することにより，
Z BÉ
j
^
^
Q j (B) =ÄCa Åf (BjB)dB0
Z B Éj~ j (B)f (BjB)dB
^
+
â
BÉ
j
Z 1
~ j (B)f (BjB)dB
^
+
ä
Ä Ce

と修正し，境界条件 (40a) のみを考慮すればいい．

事前評価時点 t0においては，「事業を採択するか」，あるいは「事業を採択しないか」を決定する．当該時点では事業は進捗しておらず，ht0 = 0 が成立する．この時点で^観測された事業価値をBと表記すれば，事業を採択した場合に獲得できる期待純事業価値の最大値は,~ 0 (B)^ = W0 (B)^ +R~ 0( B)
^
ä
(42)
^ R
~ 0 (B)^ は式 (19) で定義と表される．ただし，関数 W0 (B),される．また，不採択の場合の純事業価値はゼロである．
~ B)
^ は，
したがって，事前評価時点 t0 における最適値関数à(~ B)^ = maxf ä~ 0 (B);
^ 0g
à(
(43)
と表される．

(34)(2) 休止オプション価値
事業の休止オプションの導入が事業の採択ルールや期待純事業価値に及ぼす影響を分析しよう．いま，再評価時^
点で進捗状態j ，事業価値Bが観測されたとしよう．事業(35)の休止オプションの経済価値を，拡張モデルの最適値関数~ É(B)^ と基本モデルの最適値関数âÉ(B)^ の差âと表せる．式(34) より，休止集合 Sj 内においてZ B Éj~^^~ j (B)H(B; B)dB^
â j (B) = Çj (B) + ïâ
(36)が常に成立する（付録 II 参照）．すなわち，休止オプショ

É

Bj

Z BÉ

BÉ
j

j

^ = ÄïCa
^Ç j (B)
H(B; B)dB
Z 1 0~ j (B)H(B; B)dB^+ïäÄ ïCe Ä C m(37)ÉBj~ j (B)^ に関する積分方程が成立する．式 (36) は未知関数â
~ É(B)^ と表そう．
式となっている．積分方程式 (36) の解をâ
^ 2 Cj に対して，さらに，任意のBZ~ j ( B)
^ = Éj (B)^ + ïjä1Éj~ j (B)H(B; B)dB
^
ä
(38)

Bj

~ (B)
^ = Wj (B)^ +R^ Ä ïj Ce
Éj (B)jZ B Éj^Äïj CaH(B; B)dB0
Z B Éj~É^+ïjâ
j (B)H(B; B)dB

j

j

^ =â
~ É(B)^ Ä âÉ( B)
^
Å( B)
(44)
j
j
^ 2 (0; 1) に対して
で定義しよう．この時，任意のB^
Å( B) ï 0(45)
ンを導入することにより，期待純事業価値は必ず同じか増加する．また，再評価時点において事業の進捗状態j の場
合の基本モデルの臨界事業価値 BjÉと拡張モデルの臨界事
業価値B Éj との間には
BjÉ ï B É
(46)jという関係が成立する (付録I I 参照)．事業を一度中止す
れば，事業を供用する機会は永遠に失われる．しかし，事業を休止している限り，社会経済状況等の改善に伴ってふたたび事業を再開し，供用できる可能性がある．このように休止オプションには，事業から便益が発生する可能性(39)を残しておくリアルオプション価値が存在するため，拡張モデルの臨界事業価値BÉ
j は（休止集合 Sj が存在する場~ É(B)^ を得る．最適値が成立する．積分方程式 (38) よりä
jÉÉ~ (B)，^~ (B)^ に対して境界条件
関数â
ä
j
j

方，このBjÉと拡張モデルの臨界事業価値B j の間の大小関係に関する一般的な結論は導けない．以上の議論を次の命Bj合）基本モデルの臨界事業価値 BjÉよりも小さくなる．一É

題としてまとめる．
É
~É
~É É
â
j (B j ) = äj (Bj )~ É(B É) = ÄC a
â
j

j

(40a)
(40b)

^
~ É(B);^ âÉ(B)^ の
任意のBに対して，最適値関数
âjj~ É(B)^ ï âÉ(B)^ という関係が常に成立する．また，
間にâ
命題

j

が成立しなければならない．すなわち，再評価問題は積分
方程式 (36), (38) と境界条件 (40a), (40b) を満足するようÉ~ É(B), ä~ É(B) と臨界事業価値B É
な未知関数â
B j を求めるj，jj

積分方程式問題に帰着する．ただし，積分方程式 (36),(38)~ j ( B),^ ä
~ j (B)^ を含んでおり，単純なには互いに未知関数â
積分方程式問題ではない．その解法は５．で考察する．

jÉ

拡張モデルの再評価における臨界事業価値B É
j ; B j と基本
É
É
モデルの再評価における臨界事業価値 Bj の間に BÉ
j ï Bjが成立する．

２）Step 2: 初期臨界事業価値Bj(0)を設定する．

5. モデルの解法(l)３）Step 3: â É
k (B) (j < k î N Ä 1)，Bj を与件とし，(1) 基本モデルの解法(l)

関数方程式 (15a),(15b),(16) を解くことにより，進捗状
態j (j = 0; 1; ÅÅÅ; N Ä 1) に関する最適値関数âÉ
j (B) およÉ
び臨界事業価値 Bj を求めよう．基本モデルにおける再評
価問題を再掲しよう．
^ = Ñj (B)^ + ïjâj (B)Z 1
BjÉ^
âj (B)H(B; B)dB
(47a)

^ = W j ( B)
^ + Rj ( B)^ Ä ïj C eÑj ( B)Z BÉj^
Äïj C aH(B; B)dB^ =ï
Rj (B)

0
N
Ä1
X

ôjk

nZ 1

o
kÄj
ÄC Å
Ä Ce
N
âj (BjÉ) = ÄC a

(47b)

(47c)
(47d)

界付き第２種フレドホルム積分方程式29)となっている．
しかし，式(47c) 内に未知関数âk (B) (k > j) が含まれており，単純な積分方程式ではない．ここで，式 (47c) がâk (B) に関して階層的な構造となっていることに留意しよう．すなわち，進捗状態 N Ä 1 に関する積分方程式から逐次後ろ向きに解いていくことにより，例えば進捗状
態j の積分方程式を解く際には最適値関数â k (B) (k =j + 1; ÅÅÅ; N Ä 1) を既知関数として取り扱うことができる．ただし，積分区間を定義するB É
j は未知数である．こ
こで，ひとまず BjÉを既知と仮定しよう．さらに，^ =Hn (B; B)^ =Ä(B; B)

1

1
X

BÉ
j

^
Hn (B; B)(2) 拡張モデルの解法
関数方程式(32a),(38),(40a),(40b) を解くことにより，
É~ É(B),ä
~ É(B) および臨界事業価値B É
最適値関数â
j ; Bj を求jj
めよう．いま，拡張モデルにおける再評価問題を再掲す
ると，

Z BÉj
~
^
^
~ j (B)H(B; B)dB^
âj (B) = Ç j (B) + ï
â
(51a)
BÉ
Z j1
~ j (B)^ = Éj ( B)
^ + ïj~ j (B)H(B; B)dB
^
ä
ä
(51b)
~ É(B É) = ä~ É(B É)
â
j
j
j
j
É
~É
â
(B
)
=
ÄC
a
j
j

BÉ
j

(51c)

(51d)

ただし，
(48a)

^
HnÄ1 (ò; B)H(B;ò)dò

へ進む．そうでない場合は，l = l + 1 とし，一次元探索(l+ 1)
により Bjを更新した後，Step 3 に戻る．
j = j Ä 1; l = 0 として Step 2 へ戻る．

式(47a) は形式的には最適値関数â j (B) に関する自由境^ = H(B; B)^
H1 (B; B)
Z

j
(l)
Bj
(l) ^
( l)
の解âj (B: Bj ) を求める．
(l) ^
(l)
５) Step 5: jâ j (B: Bj ) + Ca j < èが成立する場合，
(l)
(l)
(l)
É
BjÉ = Bj , âÉj (B : Bj ) = â j (B : Bj ) としてStep 6６）Step 6: j = 0 の場合は計算終了．j 6= 0 の場合は，^
âk (B)f (BjB)dB0

k= j+ 1

Ñj (B) を算出する．
(l)４）Step 4: Ñj (B) を所与とし，積分方程式
(l) ^
(l)
(l) ^
â j (B: Bj ) = Ñj (B)
Z 1
(l)
^
+ïj
â (B)H(B; B)dB

(48b)
(48c)

n=1

とすれば，積分方程式 (47a) の解は，
É
^
^
âÉ
(B)
j (B : Bj ) = Ñ
Z j1^ j (B)dB+ïj
Ä(B; B)Ñ

Z BÉj^ = ÄïC a^Çj (B)
H(B; B)dB0
Z 1~ j (B)H(B; B)dB^+ïäÄ ïC e Ä Cm (52a)
É

Bj

~ (B)
^ = W j ( B)^ +R
^ Ä ïj C e
Éj ( B)j
Z BÉj^Äïj C aH(B; B)dB
Z BÉj

0

(49)

BjÉ

+ïj

Bj

~ É(B)H(B; B)dB
^
â
j

(52b)

と表される（付録 I 参照）．上式では積分方程式の解がである．式(51a) は，基本モデルと同じ構造を持っている

積分区間を定義する BjÉに依存することを明示的に示すたÉ^
め，最適値関数をâÉj (B : Bj ) と表している．したがって，が，式 (51a),(51b) がそれぞれの積分方程式における未知~ j (B),ä
~ j (B) を含みあうという相互作用を持ってい関数â

再評価問題はる点が異なる．さらに，基本モデルと同様に，積分方程~ k (B), ä~ k (B) (j <式(51a),(51b) は，それぞれ未知関数â

É
^
^
âÉ
(B)
j (B : Bj ) = Ñ
Z j1^ j (B)dB+ïj
Ä(B; B)Ñ

(50a)

BjÉ

k î N ) を含む階層的な入れ子構造になっている．そこで，本研究では，１）事業進捗状態の非後退性を利用し(50b)

た，進捗状態に関する後ろ向き逐次計算プロセスと，２）
第２種フレドホルム積分方程式の解法を応用し，ある進を満足する境界値 BÉ
j を求める問題に帰着する．以上の数

捗状態 jに対応する２つの積分方程式(51a), (51b) を同時値計算過程は以下のように整理することができる．
１）Step 1: j = N Ä 1; l = 0 とし，収束判定パラメータに反復的に解く計算プロセスを複合的に組み合わせることにより，関数方程式問題 (51a)-(51d) を解く方法を提案

ÉÉâÉ
j (Bj : Bj ) = ÄCa(0)èを設定する．初期最適値関数â j (B) を設定する．

する．以上の２つの計算プロセスのうち，後ろ向き逐次

Bj

Z

P 200

ため，ここでは最適値関数の微分係数に関する情報を必要としない簡便な方法を用いる．パス P1 は任意のB j に対éé
~ É(B é~É éして，âj : Bj ; B j ) = ä (B j : Bj ) が成立するよう

P20

Y

j

É

j

é

なBj (Bj ) = Bj のグラフとして求まる．臨界事業価値を~ É(B);^ ä~ É( B)^ を求める必要求めるためには，最適値関数â

P1

j

X

Bj

O

注：ただし，P 0 2 は Case 1 における P2 を,P 00 2は Case 2 における P 2を例示している．
図−３ パス追跡の方法

計算プロセスに関しては基本モデルの解法と共通しており，ここでは２つの積分方程式 (51a), (51b) を同時に求める計算プロセスを説明しよう．
いま，進捗状態jの場合を考えよう．問題(51a)-(51d)É~ j (B), ä~ j (B); BÉ
における未知関数はâ
j ; B j である．さら~ É(B); ä~ É(B) (k = j + 1; ÅÅÅ; N Ä 1) は後ろ向き逐次
に，â
k

j

がある．積分方程式 (53a),(53b) を解くために以下のよう~ j (B : B)
な手順をとる．すなわち，任意の Bに対してä

k

計算の結果，進捗状態 jの問題においては既知である．さらに，半空間 u j = f(B j ;B j )jBj ï B j ; Bj ï 0; B j ï 0gを定義し，任意の (B j ; B j ) 2 uj に対して積分方程式~ j (B :を所与として，積分方程式 (53a) より最適関数値â
~ j (B : B j ; B) を所与として積B j ; B) を求める．求めたâ~ j (B : B) を求める．以上
分方程式 (53b) より最適関数値ä
の方法を反復することにより，任意の Bに対して積分方程~É~É
式(53a),(53b) を同時に満足する解âj (B : B j ; B), äj (B :B) を求めることができる．以上の手順に基づいて，任意~ É(B é : B ; Bé) = ä~ É(B é : Bé) が成立のBj に対して，â
j
j
j
j
j
j
j
É

é

するようなB j (B j ) = B j を１次元探索手法により求めることができる．一方，パス P2 に関しても任意のB j に対し~ É(B é : B é; B j ) = ÄC a を満足するB É(B j ) = Béを１
てâ
j
j
j
j
j
次元探索により求めることができる．なお，パスP1 とパスP 2 が半空間 u j 上で交点を持たない場合には，４．
（１）で議論したように，それぞれのケースにおける関数解，臨

Z Bj
~
^
^
~ j (B)H(B; B)dB^
âj (B) = Ç j ( B) + ï
â
(53a)
Bj
Z 1
~ j (B)^ = Éj (B)^ + ïj~ j (B)H (B; B)dB
^
ä
ä
(53b)

界事業価値を求めることとなる．反復的計算方法は以下の~ É(B^ : B ; B j ), ä
~ É( B^ : B j ) と表そを定義し，その解をâ
j
j
j

É
(B É
j (B j );Bj (Bj )) が存在する場合，Step 5 ヘ進む．パス
P1 ; P2 が 45 度線と交点を持つが２つのパスが半空間 u j 上

Bjう．ここで，半空間 uj において２つのパス P1 ; P 2 を~ É(B j : B ; B j ) = ä~ É(B j : B j )g(54a)P1 = f(B j ; B j )jâjjj~ÉP2 = f(B j ; B j )jâ
(B
:
B
;
B
)
=
ÄC
(54b)
j
ag
j
j
j
を定義する．４．
（１）で考察した３つの場合のそれぞれを，図−３を用いて次のように対応づけることができる．
(Case 1)P1 ; P2（図−３では P20 ）が 45 度線と交点を持

つが，半空間 uj で交点を持たない．この場合，積分方程式問題 (32a),(32b) を解くことになる．その解は図−３に示す 45 度線上の点（例えば点X）で表される．
(Case 2)É

P 1 ; P 2 （図−３では P200 ）は半空間u j で交点(B É
j ; Bj )（図−３上の点 Y ）を持つ．
(Case 3)ステップとしてとりまとめることができる．
１）Step 1: j = N Ä 1, 収束パラメータèを設置する．
É２）Step 2: １次元探索によりB j (B j ) を求める．

３）Step 3: １次元探索によりB É
j (B j ) を求める．
４）Step 4: 半空間 uj 上のパスP 1 とパス P2 の交点
É

É

で交点を持たない場合，Step 6 へ進む．パス P2 が u j 上に存在しない場合，Step 7 へ進む．
É５）Step 5: B É
j ，B j に基づいて，第２種フレドホルム
É~ É(B)^ = â~ É(B^ : BÉ~ ^型積分方程式の解âj ; B j ), äj (B)=jjÉ
~ É( B^ : B ) を求める．Step 8 へ進む．
äjj６) Step 6: Case 1 の問題である積分方程式 (32a) を境
界条件 (32b) の下で解く．Step 8 へ進む．
７) Step 7: Case 3 の問題である積分方程式 (41) を境界条件(40a) の下で解く．Step 8 へ進む．
８）Step 8: j = 0 の場合は計算終了．j 6= 0 の場合，
j = j Ä 1 として Step 2 へ戻る．

境界条件 (51d) を満足するような積分方程式(51b) の解が存在しない．言い換えれば，P2 が u j 上に存在
せず，積分方程式(41) を解くことになる．この場合，臨界事業価値は図−３の点 Zで表される．

6. 数値計算事例(1) 数値計算事例の想定

拡張モデルの解としては，以上の３つの場合が起こり仮想的な道路事業を数値計算事例として想定し，本研

うる．半空間 uj 上で２つのパスを追跡することにより，いずれのケースが生じるかが判定できる．そこで，u j でパ

究で構築した事前・再評価モデルを適用した評価結果を考察する．この道路事業について，表−１に示すベンチ

スP 1 ; P 2 の交点が存在する場合をとりあげ計算過程を説

マーク（BM）ケースを設定する．なお，評価間隔ú＝ 5 年

明する．まず，パスP 1を追跡する問題を考える．パスを追跡する方法に関しては不動点問題の分野で研究の蓄積とする．さらに，モデルの単位期間（１ステップの期間）を１年に設定するとともに，事業の進捗を８つの状態変がある31) ．最適値関数の関数形を求めることが不可能な

数h t = 0; ÅÅÅ; 7 で表す．また，推移確率行列P の要素 p jk

総投資額
評価費用

表−１ 数値計算事例（BM ケース）C = 100 億円
C e = 0:1 億円
C a = 0:0 億円

維持費用

C m = 5:0 Ç ãt 億円

トレンド
ボラティリティ
推移確率

ñ = 0:0

õ = 0:38>< 0:7
p jk =
0:3
>
:
0:0

最適値関数

中止費用

(億円 )
100

(k = j)~ É(B^ )
â
0

40

0

50

100

150
^
事業価値 B

基 本モデル
図−４

一方，事業価値が幾何ブラウン過程に従うと仮定し，時^点ti における事業価値の観測値Bの下で再評価時点t
i+1 に

200

250
(億円)

拡張 モデル

再評価による事業価値と最適値関数値

(億円)
250
臨界事業価値

200

É

Bj

150

BjÉ

100

BÉ
j

50
0
0

1

図−５

事業の進捗状態と臨界事業価値(2) 分析結果の考察
状態が h t = 0 となる場合を想定し，再評価時に観測され^た事業価値Bと，基本モデルおよび拡張モデルのそれぞれ^における期待純事業価値の最大値（最適値関数値）â É
0 (B)É~ (B)（実線）の関係を表す．図−４から，休止オ
^
およびâ

^
âÉ
0 (B )

CA

を表−１に示すとおりに設定する．従って，最短事業期間
T 0 = 7(年)，平均事業期間 10 年となる．

図−４は BM ケースで，かつ再評価時点に事業の進捗

B

0(k < j; k > j + 1)

密度関数のパラメータ値を表−１に示すように設定する．

60

20(k = j + 1)

おける事業価値Bの確率分布に関する条件付き確率密度^ は対数正規分布30)
関数 f (BjB)öõ(ln B Ä ê) 2
^ = p 1f (BjB)
exp Ä
(55)
2õ2ú
í 2ôúõB2 ì^ + ñÄ õ ú
ê= ln B2で表される．以上の仮定は事業価値分布に関する条件(7a),(7b) を満足する．なお，数値計算にあたっては確率

80

2

3
4
進捗状態 ht

56Éる臨界事業価値B j ，B É
j との関係を示している．命題に示Éすように，任意の h tに対して，BÉ
j î Bj が成立している．
É
É
さらに，本ケースの場合，B É
j < Bj î B j が成立する．しプションの有無が事業評価にもたらす影響を把握できる．

かし，再評価時点で事業が進捗するほど，臨界事業価値É
BjÉ, B j は小さい値をとり，事業が継続される可能性が大

まず，休止オプションがない場合（基本モデル），事業のきくなる．また，事業が進捗するほど事業の維持費用は大継続・中止を決定する臨界事業価値は110 億円である (点A)．再評価時点で観測した事業価値がこの臨界事業価値

きくなり，事業が中止される臨界事業価値B É
j は大きくな
るが，進捗状態がh t = 4 以上になれば事業の遂行に必要を上回れば，事業は継続され，下回れば事業が中止されな追加費用が減少するためBÉ
j は小さくなる．さらに，進る．一方，休止オプションが存在する場合（拡張モデル）~ É(B)^ は，常に基本モデルの最適値関数の最適値関数値â
0
É ^
É ^
~É
^
値â 0 (B) よりも大きい値をとり，両者の差â
0 (B)Äâ 0 (B)^ である．すなわち，休止オプ
が休止オプション価値Å(B)捗状態が h t = 6 になると休止集合が消滅する．
図−６は BM ケースでh t = 4 の場合に，事業を休止し0た場合に要する休止期間中の維持費用 C m と再評価時点でÉションの存在は，常に期待純事業価値を増大させること事業を継続，もしくは中止する臨界事業価値B É
4 , B4 の関係を分析した結果を示している．事業の維持費用が大きがわかる．事業価値が臨界事業価値 211 億円(点 B) を上

くなれば，事業の中止が決定される臨界事業価値は大き

回れば事業が継続され，これを下回れば，事業は休止される．さらに，事業価値がもう一方の臨界事業価値 5 億円

くなる．一方，事業が継続される臨界事業価値は小さくなる．維持費用が 15 億円以下の領域では，事業の休止集(点 C) を下回れば事業が中止される．すなわち，命題に示合S 4は存在する．つまり，この領域内では休止オプショ

したように，再評価制度に休止オプションを導入することにより，事業の継続が正当化される臨界事業価値は休止オンを導入することで事業の効率性を向上させることが可能であることを意味する．

プションを導入しない場合よりも増加し，事業の中止が決

つぎに，再評価制度の経済効果を分析するために，再定される臨界事業価値は逆に小さくなる．
図−５は再評価時点における事業の進捗状態 h t = jと評価がない場合に達成可能な事業価値を定式化しよう．基
本モデル，拡張モデルと同様に，投資額は期間úごとに支

基本モデルにおける臨界事業価値 BÉ
j と拡張モデルにおけ出される．事業が完成した場合には，残投資額は事業完成

（
億円）
60

(億円)
80

B4*
最適値関数

臨界事業価値

60

S4

40
20

50
40

û(150)
à(150)~(150)
à

30
20

*

B4

10

0
0

5

10

15

維持費用 Cm
図−６

20
(億円)

0
σ=0.1

維持費用と臨界事業価値時に支出されると仮定しよう．３．
（４）で議論したよう

s=1^ 0 は事業採択時にと表せることに留意しよう．ただし，Bおける事業価値の評価結果を表す．一方，再評価時点 t0iで

80
60
40

事業を継続することにより獲得可能な事業の当該期価値

20

j

^ =ï
†j (B)

N
Ä1
X

nZ 1

^
†k (B)H (B; B)dB

k Ä joÄC ÅNを満足する†Éj (B) で表される．したがって，事業採択時の^ 0 の下で実現可能な期待純事業価値は事業価値B^ 0 ) = w(B^ 0 ) + †0É(B
^0 )
û(B
(58)
k=j+1

0

~É
^
â
0 (B )^
âÉ0 (B )
0

50

0

ôjk

0

と表される．
図−７は BM ケースに対して，事業便益リスクの程度を表すボラティリティõを変化させ，事前評価時点での最^ 0 )，再評価
適値関数の値について，再評価がない場合û(B^ 0 )(基本モデル)，
で継続・中止のみを決定できる場合à( B~ B^0 )および再評価で継続・休止・中止を決定できる場合à(^ 0 = 150 とする．
を比較した結果を表している．なお，B
事業便益リスクが小さい場合（õ = 0:1 の場合），３つの場合の評価結果はほぼ変わらない．再評価がない場合は，再評価費用を必要としないので，その分だけ事業採択時における期待純事業価値は大きくなる．つまり，再評価の導入効果は小さい．しかし，一般に大きな事業便益リスクが存在する公共事業においては，再評価（継続・中止）の導入により期待純事業価値は必ず増加する．また，休止オプ
ションを導入すれば，期待純価値は更に大幅に増加し，事事業リスクと最適値関数値

100^
事業の進捗状態が j，事業価値の再評価結果がBの場合には積分方程式Z 1^ = † (B)^ + ïj^†j ( B)†j (B)H(B; B)dB
(57)

σ=0.5

(億円)
120

最適値関数

に，事業採択時から最初の再評価時点までに事業が完成^ 0 ) は，した場合に獲得できる期待純事業価値 w(BúhiX^0 ) =^ j; s (1 + r)Ä s (56)w(Bòj (s)E ë(B)jB;

図−７

σ=0.3

100
150
事業価値

ケースb（基本モデル）
ケースb（拡張モデル）
図−８

200

250
(億円)

ケースf（基本モデル）
ケースf（拡張モデル）

遅延リスクと最適値関数値によって再評価の導入効果の大半が失われたといえる．
最後に，遅延リスクが最適値関数および休止オプショ
ン価値に及ぼす影響について分析を行った．ここでは，平均事業期間を一定に保ちつつ，事業進捗が滞る段階(ボトルネック) の位置が異なる事業遅延リスクとして，ボトル
ネックが初期にあるケースf8>
0:75(j = k = 0)>>>
< 0:25(j = 0; k = 1)
pjk =
>
1:0
(k = j + 1; 0 < j î 6; j = k = 7)
>
>
>
: 0:0
(それ以外)
ボトルネックが終盤にあるケース
b
8
>
1:0
(k = j + 1; 0 î j < 6 j = k = 7)>>>
< 0:75(j = k = 6)
pjk =
>
0:25
(j = 6; k = 7)
>
>
>
: 0:0
(それ以外)の２ケースを設定した．図−８には，各ケースにおける基本モデルと拡張モデルの結果を示した．いずれのモデルにおいても，ボトルネックが終盤にあるケースb の方が業の効率性は著しく向上する．図−７に示す分析ケースに

ケース f に比べ期待純事業価値が低いことがわかる．ケー

おいては，再評価（継続・休止・中止）の導入効果に占める休止オプションの割合は，õ = 0:3 のとき 54%，õ = 0:5

スb では，ボトルネックの直前の段階まで確実に事業が進捗し，投資が段階的に実施されるものの，終盤に遅延がのとき 82%にものぼる．すなわち，休止オプションの廃止

発生した場合に結果的に投資費用と事業便益の発生タイ

ミングの差が大きくなる可能性があるためである．次に，ケース f とb の最適値関数の差に着目すれば，基本モデル

や休止の領域に入った時に，確実に中止，休止されることが担保されるよう制度設計を適切に検討する必要もある．

に比べ拡張モデルの方が小さくなっている．すなわち，休最後に，本研究の実施にあたっては，（株）三菱総合研究

止オプションには，遅延リスクの発現タイミングの違いが期待純事業価値へ及ぼす影響を緩和する効果があるこ

所の多大な支援を受けた．ここに謝意を記す．

とがわかる．なお，本論文で提案した推移確率行列を用いた遅延リスクの定式化では，パラメータ設定の自由度が大きく，実務的に操作性が高いという利点がある一方
で，個別の遅延リスク要因が期待純事業価値やオプショ
ン価値へ及ぼす影響について分析を行うことは困難である．本数値計算事例に際して，遅延リスクを特徴付ける要因として平均事業期間，事業期間の分散，事業進捗が滞る段階 (ボトルネック) の位置に着目して分析を行った．
分析の結果，平均事業期間の増加に伴い，期待純事業価値が低下することが示された．一方，事業期間の分散に関しては，結果に顕著な違いが認められなかった．これは，事業遅延リスクが時間に沿って変動せず(定常的)，またオプション行使の有無に応じて変化しない(外性的) というモデルの仮定に依存した結果である．なお，紙面の都合上，上述の分析結果に関する図表は割愛する．
7. おわりに本研究では，事業便益リスクと事業遅延リスクを同時に考慮した事前・再評価モデルを構築した．事業の進捗状
態がマルコフ過程に従って推移するものと仮定し，意思決定者が事業価値と進捗率という２種類の状態変数に関する情報に基づいて，事前評価時点における事業の採択，再評価時点における事業の継続・中止を合理的に決定できるような事前・再評価モデルを構築した．さらに，再評価における休止オプションを追加した事前・再評価モデルを定式化し，休止オプションの価値を計測する方法を構築した．さらに，数値計算事例により，事業をとりまくリスク
が事業の事前評価における採択基準，および再評価におけ

付録I

継続集合 Cj の存在条件^ はBに関する単調^条件 (7b) が成立することよりQ j ( B)
~ j (B^ É) + Ca î 0 が成立する領域B^ î
増加関数である．ä
É^ において式 (22) を次式のように書き換える．
B~ j (B)^ = max[ÄCa ; ïQ j (B)^ Ä Cm]
â
î
ö Z 1
õ
ï
~
^
= max Ä C a ; ïâj (B)f (BjB)dB Ä C e Ä C m
0^ が 条 件 (7b) を 満 足 す る 場 合 ，
確 率 密 度 関 数 f(BjB)~ j (B)=d^^ ï 0 が成立することは明らかである．一方，dâB^ Éにおいて，á(B)^ を領域B^ ï B^ =â
~ ^ Ää~ ^á(B)î j ( B)
ö Z 1 j (B)^= max 0; ïá(B)f (BjB)dB
0
õ
ï
Z 1
~ j (B)f (BjB)dB^~ j ( B)
^
+
ä
Ää
0

^ が条件(7b) を満たすと定義しよう．確率密度関数 f (BjB)^^
とき，dá(B)=dB î 0 が成立する．以上の結果より，式^ É) Ä C m = ÄCa が成立(23) が成り立つ．つぎに，ïQ j ( B~ j(B^ É) = ÄCa = ïQ j (B^ É)Äすると仮定する．この場合，ä
É^É^É
Cm が成立し，B É
j = B = B j となる．ïQ j (B ) Ä Cm <^ É) Ä Cm < ä~ j (B^ É) が成立ÄC a が成立する場合，ïQ j ( B^ Ä C m は領域B
^ ï B
^ Éにおいする．条件 (23) よりïQj (B)j~ j (B)^ と交点をもたない．よって，休止領域は存在しなてä^ É) Ä C m > ÄCa が成立する場合，B^ Éにい．一方，ïQj (B~ j (B^ É) ï ïQ j ( B^ É)Ä Cm > ÄC a が成立する．最適
対してâ

~ j (B)^ に関して条件(23) が成立することより，B^É
値関数â
は休止領域に含まれる．よって，意思決定の休止領域が存在することがわかる．以上より，条件 (29) は休止領域が存在しないための十分条件である．一方，意思決定の休止領域が存在しない場合，条件(29) が成立することはる継続，休止，中止の基準に及ぼす影響を分析するとともに，休止オプションの経済価値を計測し，本モデルの公共自明．したがって，条件(29) は休止領域が存在しないための必要十分条件である．

事業評価制度の制度設計への適用可能性を示した．

付録I I

証明に関する補足説明^ ï 0：最適値関数âÉ
1) Å( B)^ ~É^NÄ 1 (B); âNÄ 1 (B) の定義

本研究で構築した方法論の実用化に向けて，今後に残されたいくつかの研究課題が存在する．第１に，本研究では事業遅延リスクを定常とし，外生的に与えた．事業者努力により，事業遅延リスクを部分的には制御することが可能である．事業評価の段階で事業遅延リスクの制御可能性を考慮すべきか否かに関しては議論の余地があろう．
しかし，遅延リスク回避の経済効果を分析するためには，
この種の拡張モデルを開発することが必要となる．第２に，現在のところ，事業便益リスク，事業遅延リスクに関する情報は十分に蓄積されているわけではない．今後，事業の再評価，事後評価の結果を収集，分析，蓄積することにより，これらのリスク情報を蓄積することが不可欠である．また，実務的には，再評価時において事業価値が中止(12),(22) より，基本モデルで選択可能なオプションは常に^拡張モデルにおいても選択が可能であり，任意のBに対し
É
É
É
^
~
^
^ î
てâNÄ 1 (B) î â NÄ1 ( B) が成立する．また，äN Ä1 (B)~ É (B)^ が成立する．推移状態 jの問題において，任意の
ä
N Ä1
~ (B)
^
^ î R
^ が成立し，ä (B)^ î ä~ (B)．
^
Bに対してR
(B)
j

j

j

j

~ É(B)^ > maxf ä~ É( B);^ ÄCa g ï maxfäÉ( B);^ ÄCa g をâjjj
^ 2 (0; 1) に対してÅ(B)^ ï 0
満たすことより，任意のBが常に成立する．2) BjÉ ï BÉ：背理法を用いる．いま，
É
É~ É(B É
~É É
B É < B Éならば，â
j ) = ÄCa = ä (B j ) < ä (B ) =
j

j

j

É

j

j

É
É
âÉ
j (Bj ) となる．しかし，これはB î B î B において
É
É
~É
âÉ
j (B) î â j (B) に矛盾する．したがって，Bj ï B j で

ある．

参考文献
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遅延リスクを考慮した公共事業の事前・再評価É
長谷川専ÉÉ，織田澤利守ÉÉÉ，小林潔司ÉÉÉÉ
本研究では，事業便益に関するリスクと事業遅延のリスクを同時に考慮した事前・再評価モデルを構築する．
具体的には，意思決定者が事業価値と進捗率という２つの状態変数に関する情報に基づいて，事前評価における事業の採択，再評価時点における事業の継続・中止を合理的かつ整合的に決定できる事前・再評価モデルを構築する．また，再評価時点における休止オプションを追加した事前・再評価モデルを定式化する．さらに，数値計算事例により，事業をとりまくリスクが事前評価における事業採択基準，および再評価における事業継続基
準に及ぼす影響を分析するとともに，休止オプションの経済価値を計測し，制度設計への適用可能性を示す．

Pre- and Re-Evaluation System of Public Projects Incorporating Demand Risk and Delay Risk É

By Atsushi HASEGAWAÉÉ，Toshimori OTAZAWAÉÉÉ and Kiyoshi KOBAYASHIÉÉÉÉIn this paper, a pre- and re-evaluation model, in which the beneåts risk and the project delay risk
are simultaneously incorporated, is formulated to evaluate the eé ciency of delayed projects at regularintervals. The model provides decision makers with information on the optimal decisions of whether thedelayed projects should be continued or scrapped at each re-evaluation timing in inånite time horizon.
The model is extended to discuss the beneåts derived from reserving decisions at the next re-evaluation
timing. This paper illustrates numerical examples to analyze how the evaluation results are controlled by
the project characteristics.