2022年度
１ (1) 2 －渋谷教育学園渋谷中学校<帰国生受験>算数

くわしい解説すぐる学習会12＋1÷ 5.7
73ア
イ
ウ

1231417 38＋1 ＝ ＋1 ＝1 ＝
7321
21
21 21
38
3857 38 10 20
イ ＝ ア÷5.7 ＝ ÷ 5.7 ＝ ÷ ＝ × ＝
21
21
10 21 57 63
2043
ウ ＝ 2－イ ＝ 2 － ＝ 163
63
ア＝(2)

ある品物 1 個の仕入れ値を 1 とします。
100 個仕入れたので，仕入れ値全体は， 1 ×100＝ 100 です。…(☆)
仕入れ値の 4 割の利益を見込んで定価をつけたので，1 個の定価は 1.4 です。
100 個の 40 ％の，100×0.4＝ 40 (個)を定価で売ったので，定価で売った品物全体は， 1.4 ×40＝ 56 です。
売れなかった 100－40＝ 60 (個)は，定価の半額である 1.4 ÷2＝0.7で売ったのですから， 0.7 ×60＝ 42 です。
したがって，売り上げ全体は， 56 ＋ 42 ＝ 98 です。…(★)(☆)と(★)から，問題に書いてある1000円の損というのが， 100 － 98 ＝ 2 にあたることがわかります。
1 あたり，1000÷2＝ 500 (円)です。
求めたいのはこの品物 1 個の仕入れ値なので 1 ですから，答えも 500 円です。

-1-(3)

Ａの逆数は1Ａで，Ｂの逆数は1Ｂです。

1111ですから， ＋ ＝ です。
10Ａ Ｂ 1011111
たとえばＡが 1 だと， ＋ ＝ となりますが， － は引けないのでダメ
1Ｂ 10101です。
Ａの逆数とＢの逆数の和が同じようにして，Ａが 10 以下だと，すべてダメです。
111111
Ａが 11 だと， ＋ ＝ となりますが， － ＝ ですから，Ｂ＝ 110 です。
11 Ｂ 1010 11 110
よって，Ａ，Ｂの組として考えられるものの中でＡが最も小さい組は，(Ａ，Ｂ)＝ (11，110) であることがわかりました。
Ａが 12 だと，

111111＋ ＝ となりますが， － ＝ ですから，Ｂ＝ 60 です。
12 Ｂ 1010 12 60

よって，Ａ，Ｂの組として考えられるものの中でＡが 2 番目に小さい組は，(Ａ，Ｂ)＝ (12，60) であることがわかりました。

(4)

アメを 5 個ずつ配ると 6 個余るのですから，アメの個数は ( 5×人数＋6 ) 個です。

チョコを 7 個ずつ配ると 4 個余るのですから，チョコの個数は ( 7×人数＋4 ) 個です。
アメとチョコの個数の比は 8：11 ですから，右の表のようにすることができます。

5×人数＋6 ＝ 8

8 と 11 の最小公倍数は 88 なので， 8 の方の式を 11 倍，11 の方の式を 8 倍して，シカクをそろえます。

55×人数＋66 ＝ 88

7×人数＋4 ＝ 11

56×人数＋32 ＝ 88

すると，「 55×人数＋66 」と「 56×人数＋32 」が等しいことになるので，(56－55)×人数＝ 66－32 となり，人数は (66－32)÷(56－55)＝ 34 (人)です。
アメの個数は ( 5×人数＋6 ) 個ですから，5×34＋6＝ 176 (個)です。

-2-(5)

右の図のように，正六角形の対角線を結んで，かげの部分のような小さい正六角形を作ります。
かげの部分の正六角形の面積は，大きい正六角形の面積の，何分の何になるでしょうか。

右の図のように線を書くと，右の図の〇をつけた三角形の面積はすべて同じです。
かげの部分の正六角形は〇が 6 個ぶん，大きい正六角形の面積は〇が 18 個ぶんですから，61＝ になります。
183

同じように考えると，右の図の斜線をつけた正六1角形も，太線の正六角形の です。
3
よって，斜線をつけた正六角形は，全体の正六角111形の， × ＝ です。
339
この問題では，全体の正六角形は斜線をつけた正六角形の面積の何倍かという問題ですから，答えは 9 倍です。

-3-

(6)

おうぎ形は，まず下の図のように回転します。

45°6cm
このときまでにおうぎ形が通過した部分は，下の図の斜線部分のようになります。

45°6cm
次に，おうぎ形は，下の図のように回転します。

このときにおうぎ形が通過した部分は，下の図の斜線部分のようになります。

次に，おうぎ形は，下の図のように回転します。

-4-

このときにおうぎ形が通過した部分は，下の図の斜線部分のようになります。

次に，おうぎ形は，下の図のように回転します。

このときにおうぎ形が通過した部分は，下の図の斜線部分のようになります。

まとめると，おうぎ形が通過した部分は，下の図の斜線部分のようになります。

45°6cm
下の図のア～オのように，5 つの部分に分けます。

イアエ

オ

45°
6cm-5-ウオは 3 つの辺の長さがどれも 6 cmなので正三角形です。
ア，イ，ウは，どれも半径が 6 cmのおうぎ形です。
アの中心角は 180－60＝ 120 (度)です。
イの中心角は 90－60＝ 30 (度)です。
ウの中心角は 90 度です。
ア，イ，ウを合わせた中心角は，120＋30＋90＝ 240 (度)です。
240
よって，ア，イ，ウの面積の合計は，6×6×3.14×＝ 24×3.14 (cm2)です。
360
エは長方形で，たての長さは 6 cmです。
エの横の長さは，右の図の太線の長さと同じですから，456×2×3.14×＝ 1.5×3.14 (cm)です。
360
よってエの面積は，たて×横＝ 6×1.5×3.14＝ 9×3.14(cm2)です。

エ
横の長さオは，1 辺が 6 cmの正三角形です。
問題によると，1 辺が 1 cmの正三角形の面積は 0.43 cm2です。
1 辺の長さが 6 倍ですから，面積は 6×6＝ 36 (倍)になって，0.43×36＝ 15.48 (cm2)になります。
ア，イ，ウの面積の合計は 24×3.14 (cm2)で，エの面積は 9×3.14 (cm2)，オの面積は15.48 cm2ですから，ア～オの面積の合計は，24×3.14＋9×3.14＋15.48＝ (24＋9)×3.14＋15.48＝ 33×3.14＋15.48＝ 103.62＋15.48＝ 119.1 (cm2)です。

-6-２ (1)はひっくり返すとになり，はひっくり返すとになりますから，2 と 5 は異なる数字を表すことができます。
また，は回転させるとになり，は回転させるとになりますから，6 と 9 は異なる数字を表すことができます。
よって，解答欄に丸をつけるのは 2，5，6，9 です。
(2)

中間発表では，玉入れの点数が出ます。

玉入れは，1 試合あたり 5 点で，8 試合あったのですから，全部で 5×8＝ 40 (点)です。
よって，（紅，白）は，次の組み合わせがありえます。
（0，40）… 0 は 2 枚ありますから，表すことができます。
（5，35）… 5 は 2 枚ありませんが，2 のプレートを 5 にすれば表すことができます。
（10，30）… 0 は 2 枚ありますから，表すことができます。
（15，25）… 5 が 2 枚と 2 が 1 枚必要ですから，表すことができません。
（20，20）… 2 は 2 枚ありませんが，5 のプレートを 2 にすれば表すことができます。
0 は 2 枚ありますから，表すことができます。
よって，表せないのは，（紅，白）＝（15，25）と，その逆である（25，15）です。
(3) 中間発表での玉入れの得点では，白組の方が高く，また，プレートを使って表すことのできる得点なので，（紅，白）＝（0，40），（5，35），（10，30）が考えられます。
綱引きでは，1 試合あたり 6 点で，4 試合あったのですから，全部で 6×4＝ 24 (点)です。
よって，綱引きでの（紅，白）は，次の組み合わせがありえます。
（0，24），（6，18），（12，12），（18，6），（24，0）
結果発表での得点は，右の表のようになります。この中で，プレートで表せられないものを答えればよいことになります。

-7-

玉入れ

(0, 40)(5, 35)(10, 30)(0, 24)(0, 64)(5, 59)(10, 54)(6, 18)(6, 58)(11, 53)(16, 48)(12, 12)(12, 52)(17, 47)(22, 42)(18, 6)(18, 46)(23, 41)(28, 36)(24, 0)(24, 40)(29, 35)(34, 30)

綱引き右の表の〇をつけたものは，ちがう
数字のプレートを使っているので，表すことができます。

綱引き

玉入れ

(0, 24)(6, 18)(12, 12)△をつけた（5，59）は，5 を 2 枚使っていますが，2 のプレートをひっくり返して 5 にして使えば表すことができます。

(18, 6)(24, 0)(0, 40)(5, 35)(10, 30)〇 (0, 64) △ (5, 59) 〇 (10, 54)〇 (6, 58)
(11, 53) 〇 (16, 48)(12, 52)(17, 47)(22, 42)〇(18, 46) 〇(23, 41) 〇 (28, 36)(24, 40) 〇(29, 35)(34, 30)

よって，表せられないのは，（紅，白）＝（11，53），（12，52），（17，47），（22，42），（24，40），（34，30）です。

-8-

３ (1) すい体の体積＝底面積×高さ÷3＝ 4×4×3.14×12÷3＝ 64×3.14＝ 200.96 (cm3)

(2)

＝－－

＝－×2

＝ 4×4×3.14×12÷3－(2×2×3.14×6÷3)×2＝ 64×3.14－16×3.14＝ (64－16)×3.14＝ 48×3.14＝ 150.72 (cm3)4cm(3) 全体の円すいの，(高さ)：(底面の半径)は，12：4＝ 3：1です。
12cm

Ｏ-9-4cm
よって，頂点Ｏから 9 cmのところで切ったときの，切り口よりも下の部分の円すいも，(高さ)：(底面の半径)は，やはり 3：1 です。

9cm 12cm

右の図のアの長さは，9÷3＝ 3 (cm)です。

イア
＝

ア ＝－－

＝ 4×4×3.14×12÷3 － 3×3×3.14×9÷3＝ 64×3.14－ 27×3.14＝ (64－27)×3.14＝ 37×3.14- 10 -アＯ

イ ＝－＝ 3×3×3.14×9÷3 － 2×2×3.14×6÷3＝ 27×3.14－ 8×3.14＝ (27－8)×3.14＝ 19×3.14＝

ア－イ＝ 37×3.14－19×3.14＝ (37－19)×3.14＝ 18×3.14＝ 56.52 (cm3)- 11 -

４ (1) 3 点Ｐ，Ｑ，Ｒを結んでできる三角形が正三角形となるためには，ＰからＱまで，ＱからＲまで，ＲからＰまでの長さが，60÷3＝ 20 (cm)になることが必要です。

20÷(2＋2)＝ 5 (秒後)に，ＱとＲは右の図のようになって，ＱからＲまでの長さが 20 cmになり，ＲＱ20cm
Ｐ

Ｐが右の図の位置にくれば，三角形ＰＱＲは正三角形になります。

20cm

20cm

ＲＱ
20cm

Ｒ40÷(2＋2)＝ 10 (秒後)に，ＱとＲは右の図のようになって，ＱからＲまでの長さが 60－40＝ 20 (cm)になり，Ｑ40cm

Ｐが右の図の位置にくれば，三角形ＰＱＲは正三角形になります。

ＲＱ

Ｐ40cm

- 12 -

ＱＲ
60÷(2＋2)＝ 15 (秒後)は，ＱとＲは右の図のように重なってしまい，ＱからＲまでの長さは 20 cmではないので，正三角形はできません。

60cm

80÷(2＋2)＝ 20 (秒後)に，ＱとＲは右の図のようになって，ＱからＲまでの長さが 80－60＝ 20 (cm)になり，ＱＲ

ＱＲ

Ｐが右の図の位置にくれば，三角形ＰＱＲは正三角形になります。

Ｐ
Ｐ同じように考えて，100÷(2＋2)＝ 25 (秒後)も，正三角形ＰＱＲを作ることができます。
Ｑ120÷(2＋2)＝ 30 (秒後)以降は，ＱやＲが 1 周してしまうのでダメです。
よって答えは，5，10，20，25 秒後です。

- 13 -Ｒ

(2) Ｑが 1 周する間に，ＰがＱよりも 3 周より多く進めば，つまり，Ｐが 1＋3＝ 4 (周)より多く進めば，ＰはＱを 3 回以上追いこすことができます。
Ｑは秒速 2 cmですから，Ｐは秒速 2×4＝ 8 (cm)より速く動けばよいことになります。

(3) 3 点Ｐ，Ｑ，Ｒを結んでできる三角形が正三角形になるのは，5, 10, 20, 25 秒であることが(1)でわかっています。
また，ＱやＲは秒速 2 cmですから，60÷2＝ 30 (秒)で 1 周します。
①Ｐ

5 秒後のとき … 残り時間は 30－5＝ 25 (秒) ← (ア)20cm

右の図のようになっています。
この図の状態のとき，ＰはＱよりも，20＋20＝40 (cm)だけ後ろにいると考えます。
よって，ＰがＱよりも 40 cmだけよけいに進んだとき，1 回目に追いこします。

20cm

ＲＱ20cm

さらに，ＰがＱよりも 1 周よけいに進んで，40＋60＝ 100 (cm)だけよけいに進んだとき，2 回目に追いこします。
ＰがＱを 2 回追いこすためには，(ア)を利用して 100÷(□－2)＝ 25 として，Ｐの秒速は，□＝ 6 (cm)よりも速くないといけません。
さらに，ＰがＱよりも 1 周よけいに進んで，100＋60＝ 160 (cm)だけよけいに進んだとき，3 回目に追いこします。
ＰがＱを 3 回追いこすためには，(ア)を利用して 160÷(□－2)＝ 25 として，Ｐの秒速は，□＝ 8.4 (cm)よりも速くないといけません。
よって，ＰがＱをちょうど 2 回追いこすためには，Ｐの秒速は 6 cmよりも速く，8.4 cm以下である必要があります。… (イ)ところで，0.5 周進んでＰが図の位置にきたならば，Ｐは 5 秒で 60÷2＝ 30 (cm)進んだので，Ｐの秒速は，30÷5＝ 6 (cm)です。
1.5 周進んでＰが図の位置にきたならば，Ｐは 5 秒で 30＋60＝ 90 (cm)進んだので，Ｐの秒速は，90÷5＝ 18 (cm)です。
このように考えると，Ｐの秒速として考えられるのは，6 cm，18 cm，30 cm，…となります。
これらの秒速のうち(イ)を満たすものはないので，答えはありません。

- 14 -

②

10 秒後のとき … 残り時間は 30－10＝ 20 (秒) ← (ウ)Ｒ

Ｑ

右の図のようになっています。
この図の状態のとき，ＰはＱよりも，20 cmだけ後ろにいると考えます。
よって，ＰがＱよりも 20 cmだけよけいに進んだ
とき，1 回目に追いこします。

Ｐ40cm

さらに，ＰがＱよりも 1 周よけいに進んで，20＋60＝ 80 (cm)だけよけいに進んだとき，2 回目に追いこします。
ＰがＱを 2 回追いこすためには，(ウ)を利用して 80÷(□－2)＝ 20 として，Ｐの秒速は，□＝ 6 (cm)よりも速くないといけません。
さらに，ＰがＱよりも 1 周よけいに進んで，80＋60＝ 140 (cm)だけよけいに進んだとき，3 回目に追いこします。
ＰがＱを 3 回追いこすためには，(ウ)を利用して 140÷(□－2)＝ 20 として，Ｐの秒速は，□＝ 9 (cm)よりも速くないといけません。
よって，ＰがＱをちょうど 2 回追いこすためには，Ｐの秒速は 6 cmよりも速く，9 cm以下である必要があります。… (エ)ところで，1 周進んでＰが図の位置にきたならば，Ｐは 10 秒で 60 cm進んだので，Ｐの秒速は，60÷10＝ 6 (cm)です。
2 周進んでＰが図の位置にきたならば，Ｐは 10 秒で 60×2＝ 120 (cm)進んだので，Ｐの秒速は，120÷10＝ 12 (cm)です。
このように考えると，Ｐの秒速として考えられるのは，6 cm，12 cm，18 cm，…となります。
これらの秒速のうち(エ)を満たすものはないので，答えはありません。

- 15 -

③20 秒後のとき … 残り時間は 30－20＝ 10 (秒) ← (オ)ＲＱ

右の図のようになっています。
この図の状態のとき，ＰはＱよりも，40 cmだけ後ろにいると考えます。
よって，ＰがＱよりも 40 cmだけよけいに進んだとき，1 回目に追いこします。

Ｐ

さらに，ＰがＱよりも 1 周よけいに進んで，40＋60＝ 100 (cm)だけよけいに進んだとき，2 回目に追いこします。
ＰがＱを 2 回追いこすためには，(オ)を利用して 100÷(□－2)＝ 10 として，Ｐの秒速は，□＝ 12 (cm)よりも速くないといけません。
さらに，ＰがＱよりも 1 周よけいに進んで，100＋60＝ 160 (cm)だけよけいに進んだとき，3 回目に追いこします。
ＰがＱを 3 回追いこすためには，(オ)を利用して 160÷(□－2)＝ 10 として，Ｐの秒速は，□＝ 18 (cm)よりも速くないといけません。
よって，ＰがＱをちょうど 2 回追いこすためには，Ｐの秒速は 12 cmよりも速く，18 cm以下である必要があります。… (カ)ところで，Ｐが図の位置にくるのは，②と同じようにして，Ｐの秒速が，60÷20＝ 3 (cm)，60×2÷20＝ 6 (cm)，60×3÷20＝ 9 (cm)，…の場合です。
これらの秒速のうち(カ)を満たすものは，秒速 15 cmと，秒速 18 cmです。
ところで，Ｐ，Ｑ，Ｒの 3 点は，「同じ位置で止まる」という条件が必要です。
ＱやＲは，30 秒で 1 周して止まります。
Ｐの秒速が 15 cmなら，30 秒で 15×30＝ 450 (cm)進みます。
450÷60＝ 7 あまり 30 ですから，30 秒後にはＰだけはＱやＲと違う位置で止まってしまうので，秒速 15 cmは答えとしてはいけません。
Ｐの秒速が 18 cmなら，30 秒で 18×30＝ 540 (cm)進みます。
540÷60＝ 9 ですから，30 秒後にはＰはＱやＲと同じ位置で止まるのでＯＫです。
よって，答えとしてＯＫなのは，秒速 18 cmのみです。

- 16 -

Ｐ④25 秒後のとき … 残り時間は 30－25＝ 5 (秒) ← (キ)
右の図のようになっています。
この図の状態のとき，ＰはＱよりも 20 cmだけ後ろにいると考えます。

ＱＲ

よって，ＰがＱよりも 20 cmだけよけいに進んだとき，1 回目に追いこします。
さらに，ＰがＱよりも 1 周よけいに進んで，20＋60＝ 80 (cm)だけよけいに進んだとき，2 回目に追いこします。
ＰがＱを 2 回追いこすためには，(キ)を利用して 80÷(□－2)＝ 5 として，Ｐの秒速は，□＝ 18 (cm)よりも速くないといけません。
さらに，ＰがＱよりも 1 周よけいに進んで，80＋60＝ 140 (cm)だけよけいに進んだとき，3 回目に追いこします。
ＰがＱを 3 回追いこすためには，(キ)を利用して 140÷(□－2)＝ 5 として，Ｐの秒速は，□＝ 30 (cm)よりも速くないといけません。
よって，ＰがＱをちょうど 2 回追いこすためには，Ｐの秒速は 18 cmよりも速く，30 cm以下である必要があります。… (ク)
ところで，Ｐが図の位置にくるのは，①と同じようにして，Ｐの秒速が，30÷5＝ 6 (cm)，90÷5＝ 18 (cm)，150÷5＝ 30 (cm)，…の場合です。
これらの秒速のうち(ク)を満たすものは，秒速 30 cmのみです。
ところで，Ｐ，Ｑ，Ｒの 3 点は，「同じ位置で止まる」という条件が必要です。
ＱやＲは，30 秒で 1 周して止まります。
Ｐの秒速が 30 cmなら，30 秒で 30×30＝ 900 (cm)進みます。
900÷60＝ 15 ですから，30 秒後にはＰはＱやＲと同じ位置で止まるのでＯＫです。
よって，秒速 30 cmは，答えとしてＯＫです。

①，②，③，④によって，Ｐの秒速として考えられるのは，秒速 18 cmと，秒速 30 cmであることがわかりました。

- 17 -