科 学 技 術 計 算 分 科 会

選 出

SS 研 HPC フォーラム 2015 より

AI グランド・チャレンジ「ロボットは東大にはいれるか」が投げかけるもの

穴井 宏和(国立情報学研究所/九州大学/富士通研究所)

SS研HPCフォーラム2015

計算科学の新潮流（2015.08.28）

AIグランドチャレンジ「ロボットは東大に入れるか？」が投げかけるもの
⽳井 宏和

『ロボットは東⼤に⼊れるか』• プロジェクトディレクタ：– 国⽴情報学研究所（NII） 新井紀⼦ 教授• 概要：– NIIを中⼼に、1980年以降細分化された⼈⼯知能分野を再統合することで新たな地平を切り拓くことを⽬的に、若い⼈たちに夢を与えるプロジェクトとして2011年に発⾜。
– これまで蓄積された⼈⼯知能の各要素技術の精度を⾼め、情報技術分野の未来価値創成につなげることを志向し、⼈間の思考に関する包括的な理解を深めることを⽬指す。
– 国内外の研究者とのコラボを想定したオープンプロジェクト。

• ⽬標：– 2016年までに⼤学⼊試センター試験で⾼得点をマーク– 2021年に東京⼤学⼊試を突破• Web: http://21robot.org/

プロジェクト概要
1960年代、⼤きな期待のもとに開始された⼈⼯知能研究は、フレーム問題やグラウンディング問題などの重⼤な課題に直⾯しました。1980年代以降、⼈⼯知能の研究分野は、⾃然⾔語、画像、ロボット等の研究対象ごとに細分化され、現在に⾄ります。
NIIグランドチャレンジ「ロボットは東⼤に⼊れるか」は、コンピュータによる東⼤合格という明確なタスク設定のもと、各分野で独⽴に蓄積されてきた知⾒・技術の再融合を計り、新たな要素技術の確⽴や、⼈間の知能に関するより深い理解を促進する⽬的で開始されました。ハードウェアの性能向上、情報爆発、また機械学習の発達を経た現在、コンピュータはどれほど知的になったのか、また今後どれほど知的になりうるのか。
その答えを、「⼤学⼊試問題を解くコン
ピュータ」を通して考えていきます。

プロジェクト概要• 体制： 教科ごとのチーム
国内の⼤学の研究者を中⼼に企業も参画– 英語チーム：ＮＴＴが昨年度より参加– 数学チーム：• 主要メンバ：– NII– 名古屋⼤学– (株)富⼠通研究所• 協⼒メンバ– 筑波⼤学、東京理科⼤、九⼤など• その他協⼒– 代々⽊ゼミナール、ベネッセ、東京書籍、ジェイシー教育研究所など

「試験問題を解くこと」とは現実世界の理解

形式的に記述できる世界

数学

物理

具体的事例・状況理解 ⾮⾔語情報

意図、観点
歴史、社会

⾔語的に理解する世界

⾃然⾔語

⼈間の認知のしくみ東⼤⼊試の数学の問題を解く
出⼒
⼊⼒

試験問題

解答
解答

⾃動求解

東ロボくんの答案

練習問題(東北大学 理系 2010)

例: 北⼤2011前期理系[3] (2)• 球面 S をとする
球面 S が点 O, A’, B’ を通る
球面 S と直線 l が共有点をもつ• QE により r, t を消去すると形式的に⼀階述語論理式を構築すれば問題を解ける限量記号消去(Quantifier Elimination: QE)
⼀階述語論理式に対して等価な論理式を求める
⼊⼒

出⼒

限量記号がついた論理式

限量記号がない等価な論理式

例

計算技術
基本計算

数式処理
Computer algebra

数値解析
Numerical analysis

記号・代数計算

数値計算

Symbolic & algebraic computation

・整数演算（任意多倍⻑）・多項式演算特徴

・代数的構造における計算・正確な計算, 式の計算 / 低速
・パラメトリックな解法

算法

代数的算法
Algebraic algorithm
・グレブナ基底, 限量記号消去•

Numerical computation

・浮動少数演算・近似計算 / ⾼速
数値的算法
Numerical algorithm
など

・たくさん

その他
– 数値・数式ハイブリッド計算（symbolic-numeric computation）– 精度保証付き数値計算（Guaranteed numerical computation / Validated numerics）

東ロボくん、どう問題を解いているの？
問題文
言語解析
意味合成
論理形式
論理式の書換え
ソルバー入力
数式処理
解答

限量記号消去（ＱＥ）

東ロボくん 数学 処理フロー“面積1の正方形の一辺の長さを求めよ.”の
面積の1 正方形 一辺

の

を
長さ

問題文
言語解析

単語意味 対応表

意味合成(xは)正方形  square(x)(xの)面積  area(x)(xの)半径  radius(x)

求めよ

Find(t)[ ∃S∃s. square(S)∧area(S) = 1 ∧ is‐side‐of(s, S) ∧length(s) = t ]Find(t)[ ∃A. A = t2 ∧ A = 1 ∧ t > 0 ]ZFの式
論理式の書換え

数学知識データベース

実閉体の式

length(s) = t ∧is‐side‐of(s, S)∧ square(S)  t2 = area(S)

数式処理
t=1

解答

数学 ⾃然⾔語処理・ロジック・数式処理の接合• 構文解析
• 照応解析
• 談話構造解析

数学知識ベース

問題文

言語理解
ZFでの意味表現
知識による書き換え
RCFでの意味表現• 限量子消去• グレブナ基底
etc.

数式処理
解答

が実数全体を動くとき,
空間内の点
2, 2, がつくる直線を とする.
3 点 0, 0, 0 , 2, 1, 0 , 1, 2, 0 を通り,中心を
, , とする球面 が と共有点をもつとき, , , の満たす条件を求めよ.
（北大2011前期理系）

限量記号消去(Quantifier Elimination: QE)
⼀階述語論理式に対して等価な論理式を求める
⼊⼒

出⼒

限量記号がついた論理式

限量記号がない等価な論理式

例

QE tools
CAD
RISC‐Linz + etc.
(G.Collins, H.Hong, C.Brown)

VS, CAD,
Univ. Passau(T.Sturm, A.Dolzmann,V.Weispfenning)

10

CAD, VS
Wolfram Research, Inc.
(A.Strzebonski)

CAD, VS, SDC
Fujitsu Laboratories Ltd.
(H.Yanami, H.Iwane, H.Anai)どのくらい対応できるの？
⾼校数学
整数問題
代数 （⽅程式と不等式、2次関数、複素数と⽅程式）
幾何 （図形と計量、平⾯図形、図形と⽅程式）
初等関数 （三⾓関数、指数関数、対数関数）
微分・積分
数列
ベクトル、⾏列
確率・統計
論理と集合

Math Solver System: overview
ProblemLanguage

Compositional
Approach(Grammar representation +Discourse representation )Templatebase

Understanding
template
dictionary

Math
Lexicontemplate

Logical Form

(dictionary)Math

FormulaRewritingknowledgebase

Solver Input

Solver Input

Solveralgorithms
Answer東ロボくん 代ゼミ模試に挑戦！

東⼤⼊試プレ– ⽂系： 100分、 80点 （４問×20点）– 理系： 150分、120点 （6問×20点）

全国センター模試– 数IA： 60分、 100点
– 数IIB： 60分、 100点

東⼤プレ 完答した例• 理系[5]

東ロボくんの解答 理系[5]
問題文
言語解析
意味合成
論理形式
論理式の書換え
ソルバー入力数式処理
解答東ロボくんの解答 理系[5]
問題文
言語解析
意味合成
論理形式
論理式の書換え
ソルバー入力数式処理
解答東⼤プレ模試 結果（2013）
文系
内容
問 平面幾何・最大化
1

理系
結果

内容

結果
計算量
爆発

完答

問
1

平面幾何・不等式の証明・
整数

問 平面幾何・不等式の証明・ 計算量
2 整数
爆発

問
2

数列

問 微積分
3

完答

問
3

ベクトル・三角関数・最小化

問 確率
4

白紙

問
4

空間図形の体積問
5

2変数関数の最小化

問
6

確率

文系 … 4問中2問を完答
理系 … 6問中2問を完答

白紙
白紙
完答
完答
白紙

センター模試 結果（2013）
数学I・A

数学II・B

内容

得点/配点

内容

得点/配点

問1

2次方程式・集合

20/20

問1

対数・指数・三角関数

13/30

問2

2次関数

25/25

問2

3次関数・微積分

11/30

問3

平面幾何

12/30

問3

数列

3/20

問4

確率

0/25

問4

ベクトル

14/20

計

41/100計

57/100

数IA … 約6割を正解
数IIB … 約4割を正解

【数学】 東⼤プレ・センター模試 受験結果
設問番号
東
大
プ
レ

得点

配点

12

20

白紙

20

14

20

計算量

20

10

20

白紙

20

微分の応用・最小化20

IA [1]

有理化・２次関数

IA [2]

理[1],文[3]三角形と最小化理[2],文[2]

確率

理[3]

３次方程式の共通解

理[4]

立体、整数

理[5]

空間での軌跡・体積

理[6],文[4]三角関数、整数

得点

今年

昨年

東大 理

36

40

20

東大 文

32

40

30

30

センター IA4057

三角比、データ

830

IA [4]選択

図形の性質

2

20

センター IIB

55

41

IA [5]選択

整数

白紙

20

IIB [1]

三角、指数・対数

1230

IIB [2]

微分法と積分法

2330

IIB [3]数列

220

IIB [4]

平面ベクトル

18

20

文[1]
IA

IIB

内容

東⼤プレ：昨年度よりも少し悪い
センター ：合計でほぼ同じ

【数学】 東⼤プレ・センター模試 受験結果
設問番号
東
大
プ
レ

得点

配点

12

20

白紙

20

14

20

計算量

20

10

20

白紙

20

微分の応用・最小化20

IA [1]

有理化・２次関数

IA [2]

理[1],文[3]三角形と最小化理[2],文[2]

確率

理[3]

３次方程式の共通解

理[4]

立体、整数

理[5]

空間での軌跡・体積

理[6],文[4]三角関数、整数

今年

昨年

東大 理

55.7

61.2

20

東大 文

54.1

59.4

30

30

センター IA

46.9

51.9

三角比、データ

830

IA [4]選択

図形の性質

2

20

センター IIB

51.9

47.2

IA [5]選択

整数

白紙

20

IIB [1]

三角、指数・対数

1230

IIB [2]

微分法と積分法

2330

IIB [3]数列

220

IIB [4]

平面ベクトル

18

20

文[1]
IA

IIB

内容

偏差値

東⼤プレ：昨年度よりも少し悪い
センター ：合計でほぼ同じ

東大プレ模試 結果

26

センター試験の難しさ
センター模試•東大プレセンター： ⽂章が⻑く複雑、より深い意味解釈が必要– 途中でちょっと躓くとだめになったり・・・– たくさんの⽂と⽂の関係をきちんと理解しないといけない…
– 解き⽅をガイドする問題⽂ ⇒ 単に解く以上のことが求められている…

接合の難しさ
Text

Logical form
Language
Understanding

Computational
Complexity

Answerm 2

Solver (QE)

via CCG

Not in the languageof RCF

Solver Input (first‐order formula)y.((0  y  C3, x .C3,r .(0  C3,r  1

higher order logic
to first-order
order logic

 y 2  C32, x  2C3, x  1  (1  C3,r ) 2
 y 2  C32, x  (C3, r  2) 2 ))  y  m)
 C3, x .C3, y .C3,r .(0  C3,r  1
 C32, x  C32, y  2C3, x  1  (1  C3, r ) 2
 C32, x  C32, y  (C3,r  2) 2
0  C3, y ) C3, x .C3, r .(0  C3,r  1
 m 2  C32, x  2C3, x  1  (1  C3,r ) 2

28

 m 2  C32, x  (C3,r  2) 2 )(find (_x6)(exists (_x C1 _x1 C2 b a C3 t _x3 _x5_xcx _xcy _xr _x1cx _x1cy _x1r
C3cx C3cy C3r)
(and (= 2d.origin (2d.center-of _x))(= 2 (2d.radius-of _x))(= C1 _x)(2d.is-point (2d.point 1 0))(= (2d.point 1 0) (2d.center-of _x1))(= 1 (2d.radius-of _x1))(= C2 _x1)(< 0 b)(real-number b)(2d.is-point (2d.point a b))(= (2d.point a b) (2d.center-of C3))(= t (2d.radius-of C3))(2d.inscribe C1 C3)(2d.circumscribe C2 C3)(= _x3 (range-of t))(elem t (set-by-def _x4))(= _x5(max-of(λx. (exists (_x6 _x C1 _x1 C2 b a C3 t
_x3 _x5 _xcx _xcy _xr_x1cx _x1cy _x1r C3cx C3cy C3r)
(and (= 2d.origin (2d.center-of _x))(= 2 (2d.radius-of _x))(= C1 _x)(2d.is-point (2d.point 1 0))(= (2d.point 1 0) (2d.center-of _x1))(= 1 (2d.radius-of _x1))(= C2 _x1)(< 0 b)(real-number b)(2d.is-point (2d.point a b))(= (2d.point a b) (2d.center-of C3))(= t (2d.radius-of C3))(2d.inscribe C1 C3)(2d.circumscribe C2 C3)(= _x3 (range-of t))(elem t (set-by-def _x4))(= x b)(= _x (2d.circle (2d.point _xcx _xcy) _xr))(< 0 _xr)(= _x1 (2d.circle (2d.point _x1cx _x1cy) _x1r))(< 0 _x1r)(= C3 (2d.circle (2d.point C3cx C3cy) C3r))(< 0 C3r))))))(= _x6 _x5)(= _x (2d.circle (2d.point _xcx _xcy) _xr))(< 0 _xr)(= _x1 (2d.circle (2d.point _x1cx _x1cy) _x1r))(< 0 _x1r)(= C3 (2d.circle (2d.point C3cx C3cy) C3r))

Formularewritingproblem hard to formulate
by NLP only

⾔語処理による解析• 北大の入試問題と等価な ZF+ の式 (Zermelo‐Fraenkel)
直線 l の条件

l と S が共有点を持つ• 知識を利用して一階述語論理式を構築する– line, sphere などの関数・述語記号を消去する– u や (0, 0, 0) などの実数以外のオブジェクトを消去する– 高階の項を消去する

球面 S の条件

東ロボくんが⽣成する⼀階述語論理式
人間

東ロボくん
北大 2011 前期 理 [3](2)

形式表現

一階述語論理式

人間

東ロボくん

変数の数

5

19

束縛変数の数216

原子論理式の数

4

24

1秒

1時間以上

30
計算時間

東⼤プレ数学の出来具合
2013東大文系合格者の人数
東大プレ数学偏差値
35

文系数学
30

Av.=57.425

2013東大理系合格者の人数
東大プレ数学偏差値
45
40
35

東ロボくん=59.4

20

30

理系数学
Av.=59.4
東ロボくん=61.2

25
20

15

15
10
10
5

5
0

0

偏差値

偏差値

東ロボくん 代ゼミ全国センター模試成績
受験番号116-5004E

氏名

東ロボクン イチゴウ

科目

満点

全国
平均点

英
語
国語（現文+古文）
国語（現代文）数学Ⅰ・数学Ａ
数学Ⅱ・数学Ｂ
世 界 史 Ｂ
日 本 史 Ｂ物理
文系7 科目コース
文系3教科偏差値
理系3教科偏差値

200
150
100
100
100
100
100
100
900

93.1
60.2
45.9
47.1
50.4
40.8
47.2
32.7
422.0

本人得点
（2013）
95 (52)69 (62)49 (42)40 (57)55 (41)52 (58)44 (56)31 (39)386 (365)

文系7科目コースは英語、国語、数学2科目、地歴公民2科目、理科1科目の合計点。

本人偏差値（2013）
50.5 (41.0)

54.2
51.9
46.9
51.9
56.1
48.2
49.0
47.3
53.6
49.7

(45.9)(44.7)(51.9)(47.2)(55.2)(56.1)(48.3)(45.1)(47.7)(46.2)

7科⽬型（⽂系）成績の位置
500
450

2013

400

東ロボくん=365（偏差値45.1）

450

文系７科目

400

Av.=432.0

350

350

文系７科目

2014
東ロボくん=386（偏差値47.3）

Av.=422.0

300
300
250

250

得点

得点

900

800

700

600

500

400

300

200

100

900

800

700

0

600

0

500

50
400

50
300

100

200

100

100

150

0

150

0

200

200

東ロボくんが合格できる⼤学は増えたか？
東ロボくんの「全国センター模試」成績による合格判定結果

2013
大学数

全大学・学部数

国公立大学
私 立 大 学
合
計

165大学
579大学
744大学

566学部
1,670学部
2,236学部

合格可能性
80%以上の大学
1大学
2学部
403大学
814学部
404大学
816学部

2014
大学数

全大学・学部数

1,697学部

4大学
472大学

6学部
1,092学部

2,267学部

476大学

1,098学部

国 公立 大学 166大学

570学部

私 立 大 学 581大学
計 747大学

合合格可能性
80%以上の大学

国公立はセンター得点による判定。私立は各大学・入試方式で必要な科目の偏差値による判定。

⼈⼯知能の社会へのインパクト ⼈⼯知能の普及が進む世の中
 データ、アルゴリズムを⾃動的に獲得学習するシステム・マシンの実現
 より⾼度な知的作業（スキル）が機械に代替、ホワイトカラーの⼤半が機械に•今後10年間でスマートマシンが社会の様々な側⾯で普及
 2017年： コンピュータの10%は情報処理ではなく学習するマシンへ 2020年： 知的労働者の⼤半のキャリアパスはスマートマシンが破壊
 2024年： 命に係わる恐れのある活動の10%はスマートマシンの使⽤が義務付け
Gartner Prediction 2014より

 社会への影響
仕事 ⼈のすべき仕事は？
教育 何を学べばよいか？
制度 ｽﾏｰﾄﾏｼﾝの製造責任は？

⼈と機械の協働
在り⽅
社会受容性

社会制度の変⾰・教育制度
・社会保障制度
・法制度

参考⽂献
•

Noriko H. Arai, Takuya Matsuzaki, Hidenao Iwane, Hirokazu Anai,“Mathematics by machine.”、International Symposium on Symbolic andAlgebraic Computation, ISSAC '14, Kobe, Japan, July 23‐25, 2014 pp1‐8 2014•

Takuya Matsuzaki, Hidenao Iwane, Hirokazu Anai, Noriko H. Arai, “The Most
Uncreative Examinee: A First Step toward Wide Coverage Natural Language
Math Problem Solving”, In Proceedings of 28th Conference on Artificial
Intellegence (AAAI 2014) pp1098‐1104 2014.7•

松崎拓也, 岩根秀直, 穴井宏和, 相澤彰子, 新井紀子 「深い言語理解と数式処理の接合による入試数学問題解答システム」 人工知能学会全国大会論文集27th ROMBUNNO.2A4‐1 2013年•

岩根秀直, 松崎拓也, 穴井宏和, 新井紀子 「数式処理による入試数学問題の解法と言語処理との接合における課題」 人工知能学会全国大会論文集
27th ROMBUNNO.2A4‐2 2013年

参考⽂献
•

『ロボットは東⼤に⼊れるか』
新井紀⼦, イースト・プレス （2014）•

⼈⼯知能学会誌 特集「ロボットは東⼤に⼊れるか」 2012年9⽉•『QEの計算アルゴリズムとその応⽤〜 数式処理による最適化』
⽳井宏和・横⼭和弘, 東京⼤学出版会 （2011）•『数理最適化の実践ガイド 』
⽳井宏和, 講談社 (KS理⼯学専⾨書) （2013）

科 学 技 術 計 算 分 科 会

選 出

SS 研 HPC フォーラム 2015 より

Suiren での HPL 及びアプリ性能について（＋Shoubu の話）

似鳥 啓吾(理化学研究所)

SS 研 HPC フォーラム 2015

フロンティア

計算科学の新潮流

Suiren での HPL 及びアプリ性能について（＋Shoubu の話）
国立研究開発法人理化学研究所計算科学研究機構
エクサスケールコンピューティング開発プロジェクト
コデザイン推進チーム
研究員

似鳥啓吾

8 月 1 日に公開された Green 500 リストによると、上位 3 システムが PEZY
社／ExaScaler 社によって占められている。上から順に理化学研究所情報基盤センターの Shoubu（菖蒲）、KEK（高エネルギー加速器研究機構）の Suiren Blue（青睡蓮）、同じく KEK の Suiren（睡蓮）となっている。いずれも、上記 2 社によって開発されたアクセラレータチップ PEZY-SC と液浸冷却システムを用いたものとなっている。このことは、我が国のみならず世界の HPC 業界にとって大きなインパクトであったといっていいだろう。
幸運にも、似鳥は昨年 11 月の Suiren 及び今回の Shoubu における HPL の計測に関わる機会があり、実際に数字が出る瞬間にも立ち会うことができた。そこで、PEZY-SC のプロセッサアーキテクチャ、上記の 3 システム、及び計測にもちいられた HPL コードについて概観を紹介したい。また、昨年 11 月以降、
主に高エネルギー研究のためのアプリの移植とチューニングが行われており、この状況についても簡単に紹介したい。
PEZY-SC は NEDO の助成を受け PEZY 社が開発した数値演算チップで、1024コアという非常に多数のコアを搭載しながらその全てが MIMD 動作するということが著しい特徴である。それぞれのコアがクロック毎に倍精度積和演算が可能なため、733MHz 動作時で倍精度 1.5 TFLOPS、単精度 3.0 TFLOPS の性能となる。
昨年稼働した Suiren は、このチップを dual Xeon の 1U ノードあたり 8 つ搭
載し、システムとしては 32U、256 チップとなっている（ExaScaler-1）。今年稼働した Shoubu 及び Suiren Blue はこのシステムをより高密度化したもので、前者では 960（フル構成では 1280）チップ、後者は 256 チップの構成となる。
Top 500/Green 500 の HPL 計測に用いられたコードは、国立天文台（2009 年当時）の牧野淳一郎が GRAPE-DR 用にスクラッチから書き直したものが元になっている（ホストやネットワークの性能に比べてアクセラレータの比重が高い

システムで十分な効率を得るため書き直しとなった）。PEZY-SC への移植及びチューニングでは、比較的大きなデバスメモリを活かし行列をできるだけデバ
イス側に置くといった工夫がなされている。
Suiren 上ではいくつかのアプリケーションの移植とチューニングが進められている。KEK 石川らによるファインマンループ積分、KEK 松古らによる格子
QCD、会津大の中里らによる多倍長ライブラリの事例をかいつまんで紹介する予定である。

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Gen3	
  x8	

Inﬁniband	
ExaScaler-­‐1.5	
  構想図	

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PEZY-­‐SC	
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Xeon	
  +	
  LP-­‐DIMM	

I/O	
  board	

PSU	
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Carrier	
  board	※実際の寸法を再現するものではありません	

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電力測定器	

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36	
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FDR	
  12	
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hWp://jun.artcompsci.org/ar[cles/on_cs/face.html	

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2.	
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Column2:	
Column3:	

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Playing with the rules
The Green500 rules state that the power measurement interval must at least cover 20% of the middle
80% of the core phase: For instance the period 70%-90%.
GFLOPS/W:
Full measurement:
5296
70%-90%:6010
Short Run:
4907
Short Run, 70%-90%: 6900

2014/11で１位となった	
  L-­‐GSCのBoF発表資料より	
20.11.2014

19

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電力 KW	
  
3	
  

2.5	
  

2	
  

1.5	
  

1	
  

0.5	
  

0	
  
0	
  

500	
  

1000	
  

1500	
  

2000	
  

㊙	

2500	
  

3000	
  

3500	
  

4000	
  

28	

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<   ⦓>

ファインマン・ループ積分	
素粒子物理学では、ファインマン図を使って、素粒子の崩壊や素粒子反応の散乱断面積を計算する。	
  高次の補正を計算する場合には、ループのあるファイマン図を計算する。	  ループのあるファインマン図を計算するには、ループ積分を計算する必要がある。	
  PEZYにおいて、いくつかのファインマン・ループ積分を行った。	

30	

Lattice QCD on Pezyl

開発メンバー	
- 石川健一 (広島大)- 青山龍美 (名古屋大KMI)- 松古栄夫 (KEK)- 鈴木朋浩 (Pezy)l

2015.04 本格的な開発開始	

Lattice QCDlQCD: Quantum Chromodynamics- クォーク間に働く「強い相互作用」を記述	
- 「グルーオン場」が相互作用を媒介	

l

格子QCD: 4次元格子上のQCD- クォーク場: 格子点上の場	
- グルーオン場： リンク上のSU(3)行列の場	
- 経路積分による量子化	→ Monte Carlo法によって数値計算が可能	
- 格子間隔ゼロの極限でQCDに帰着	
- QCDに基づいた一般的な計算が可能な唯一の方法	

Lattice QCDlMonte Carlo 法による高精度の評価のためには、疎行列の線形方程式を多数回解く必要	- Monte Carlo 法でアンサンブルを作る際に必要	
- クォークの伝搬関数(グリーン関数=線形方程式の解)を用いて物理量を評価	
- 反復解法 (CG法など)＋前処理法	
- GPUで用いられた手法がPezyにも適用可	Implementation
1格子点を 1 thread に割り当てるのが標準的	l 疎行列： 隣接する格子点上のデータが必要	l- データ通信が律速： 階層的に処理	
- ノード間通信 (MPI)- CPU - device memory 間のデータ転送	
- Device global memory – core 間のデータ転送	Lattice QCD on acceleratorlMulti-device, multi-node： GPUと同じ手法を適用	
- 線型方程式の前処理にdeviceを使う	
- Mixed precision preconditioner

倍精度ソルバーの前処理に単精度ソルバーを利用	- Domain-decomposition preconditioner
領域分割によってデータ通信を局所化した前処理	- Cf. 石川さんのスライド	Development status(2015.07までの状況)l 代表的な格子作用、アルゴリズムを移植中	
l Mixed precision/domain-decomposition
solver- 移植、動作確認	
l

Pezyのためのチューニング	- 複数のコードを開発しながら経験をためている段階	
- 性能実測値、チューニングのノウハウをまとめ中	
- 実装上の要望等をPezy社にフィードバック	• GPU	  accelera[on	
  LQCD	
  Kernel	
  D[U]	
  • Mixed	  precision	
  solver	
  (strategy)	
  [early	
  proposal	
  by	
  BuWari,	
  	
  	
  
Dongrra,	  Langou,	  Langou,	
  Luszczek,	
  Kurzak	
  (2007)]	
  

• To	
  solve	
  Dx	
  =b.	  (0) [given r and x satisfy r = b − Dx. (double prec.)]

GPU task
CUDA code		  (1) [Solve Dv = r in single precision](2) q = Dv
[doble prec.](3) x = x + v[doble prec.](4) r = r − q[doble prec.][new r and x still satisfy r = b − Dx.]
(5) [Check |r| and goto (1)]

CPU task
HOST code	• The	
  itera0ve	
  reﬁnement	
  technique	
  with	  full	  single	
  precision	
  solver	
  (10^-­‐7)	
  	
  can	
  solve	  	
  full	  double	
  precision	
  (10^-­‐14)	
  solu[on	
  within	
  	
  3-­‐5	
  reﬁnement	
  itera[ons.	
  • Most	  compu[ng	
  [me	  is	
  spent	
  in	
  the	
  S.P.	
  solver.	
  • GPU	  is	
  employed	
  for	
  Full	  single	
  precision	
  solver.	
  .JYFEQSFDJTJPOTPMWFSSFTJEVBMIJTUPSZ FYBNQMF 
32^3x64	
  laice	  	
  Outer	
  solver	
  :	
  BiCGStab	
  (Double	
  precision)	
  	
  Inner	
  solver	
  :	
  BiCGStab	
  (Single	
  precision)	
  	
  Single	  Precision	
  solver	
  is	
  called	
  3	
  [mes	
  in	
  
the	
  outer	  solver	  to	
  obtain	  Double	
  precision	
  solu[on.	
  
	
  
Most	
  of	
  the	
  computa[onal	
  [me	  is	
  spent	
  in	
  
the	
  single	
  precision	
  solver	  =>	
  Accelerator(Pezy).	
  	

Domain	
  decomposi[on	
  Precondi[oner	  =Schwartz	
  Alterna[ng	
  Procedure	  (SAP)	
x = M SAPb ≈ D −1b

Df x = b⎛ DEE⎜⎜⎝ DOE

DEO ⎞⎛ xE ⎞ ⎛ bE ⎞⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟DOO ⎠⎝ xO ⎠ ⎝ bO ⎠⎧ xE = (DEE )−1 (bE − DEO xO )⎧ DEE xE + DEO xO = bE
⇒ ⎨
⎨
−1
D
x
+
D
x
=
b
(
)
(bO − DOE xE )
x
=
D
OE E
O
⎩ OO OOO⎩ O(0) xO(0)=0(1) for k = 0,1, N SAP − 1(2) xE( k +1)(3) xO( k +1)(4) endfor())= (D ) (b − D x
−1

(k )

−1

( k +1)= (DEE ) bE − DEO xO
OO

O

OE E

Alterna[ngly	
  solve	  the	
  equa[on	
  in	
  
each	
  domain	  =	
  Two-­‐color	
  Block	
  Jacobi	  Itera[on	Domain	
  decomposi[on	
  Precondi[oner	  	  Schwartz	  Alterna[ng	
  Procedure	  (SAP)	
⎛ DEE⎜⎜⎝ DOEDf x = b

DEO ⎞⎛ xE ⎞ ⎛ bE ⎞⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟DOO ⎠⎝ xO ⎠ ⎝ bO ⎠⎛1⎜⎜ ( D ) −1 D
OE
⎝ OO

( DEE ) −1 DEOo ⎞⎛ xE ⎞ ⎛ ( DEE ) −1 bE ⎞⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
⎟
−1
⎟
⎜
⎟
1
⎠⎝ xO ⎠ ⎝ ( DOO ) bO ⎠

[1 − ( D ) D ( D ) D ]x = [( D ) b − ( D ) D ( D ) b ]
−1

EE

−1

EO

OO

−1

OE

E

xO = −( DOO ) −1 DOE xE + ( DOO ) −1 bO

EE

−1

E

EE

−1

EO

OO

O

：Equa[on	
  aoer	
  	
  
	
  ˆ	
  	
  EE
	
  	
  	
  	
  	
  x	
  	
  E	
  	
  	
  	
  =
	
  	
  	
  	
  b
	
  ˆ	
  	
  E	
  	
  	
  	
  the	
  Domain-­‐Decomposed	
  
D
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Even/Odd	  	
  precondi[oing	

$VSSFOUTVTUBJOFEQFSGPSNBODF
WFSZQSFMJNJOBSZ • MBUUJDFTJ[F?Y• )84VJSFOBU,&, TJOHMFOPEF TJOHMF
EFWJDF– OPEBUBUSBOTGFSCFUXFFO$16BOEEFWJDF
JODMVEFE

• 8JMTPOGFSNJPONBUSJYNVMUJQMJDBUJPO– EPVCMFQSFDJTJPO('MPQT– TJOHMFQSFDJTJPO('MPQT• ‫؝׃׌׋‬٦‫ُثس‬٦‫ص‬ٝ‫يذأءן⿹ؚ‬圓䧭‫ך‬剑黝⻉‫׶״ח‬䚍腉ぢ♳‫ך‬〳腉䚍剣‫׶‬

4VJSFO‫ךד‬㢳⦓ꞿ礵䏝'1怴皾• 0QFO$-‫ךד‬㢳⦓ꞿ嵤⹛㼭侧挿怴皾㹋鄲‫׾‬獳嗂– 痥㔐)1$灇瑔⠓‫ד‬㜠デ幥‫) ׫‬1$  • 0QFO$-晛‫׾‬1;$-‫ח‬獳嗂‫׷ׅ‬ꥷ‫ך‬䩛꟦– 㣐ֹ‫⥜ז‬姻‫כ‬䗳銲‫⹛ֻז‬⡲‫׷ׅ‬• 0QFO$-晛‫׾‬1;$-‫ח‬獳嗂‫׷ׅ‬ꥷ‫ך‬䩛꟦– 1;$-‫כ‬$ ؎ٝ‫ة‬٦‫ه؟׾أ؎ؑؿ‬٦‫ְזְג׃ز‬– ؕ٦‫ٕط‬欰䧭‫؎ٓؿؔכ‬ٝ‫׫ך‬– ؕ٦‫ٕط‬せ‫ח‬鋉秈֮‫ ׶‬ˑQ[D@9999˒‫׷ׅה‬䗳銲֮‫ ׶‬– ؕ٦‫ٕط‬欽‫"ך‬1*‫ך‬せ獥ָ殯‫׷ז‬– ؕ٦‫דⰻٕط‬剑䖓‫˒ח‬VTI ˒‫׾‬ㄎ‫ע‬䗳銲ָ֮‫׷‬

1&;:4$‫ךד‬䚍腉鐰⣣• .:'1 *OU倯䒭 ‫ך‬䚍腉鐰⣣ .'-014 – ⦓礵䏝ծ453&".涸‫ז‬D<J>B<J>PQC<J>
⸇皾

⛦皾

ꤐ皾 ꤐ皾 ꤐ皾 014

PZCL	
  

144	
  

130	
  

49.3	
  

68.4	
  

60.1	
  

432	
  

R280X	
  

729	
  

1825	
  

22	
  

47	
  

241	
  

461	
  

W9100	
  

942	
  

525	
  

28.6	
  

52.0	
  

28.1	
  

597	
  

W8100	
  

980	
  

450	
  

28.1	
  

52.2	
  

47.1	
  

610	
  

E5-­‐2670	
  

274	
  

189	
  

16.7	
  

35.4	
  

19.2	
  

254	
  

‫‪꧟䠬‬׭הת‬‫⸂‪ꨵ‬׾‪(16‬ך‪ずׄON‬ד‪،‬؝‪٦‬صً‪• .*.%‬‬‫׋׃דֹ‪끅‬ח‪劤䔲‬כך׋׏‪♳㔐‬ד‪⸬桦‬‬‫‪#MVF(FOF1ָ껷⡘ծ‬ה׷‪鋅‬׾زأٔך –‬‫‪4*.%‬ךַ׵‪⡦‬גⰋדת׸ֿדךז‪䖓$FMM‬ך׉‬‫גְאחٔف‪• ،‬‬‫⽩ְֲה׷ֹדה׶ז׿ׅכ‪獳嗂‬ך׵ַ‪– 0QFO$-‬‬‫ׅד‪韋‬‬‫‪劍䖉‬׾ך׷ֻג⳿ה׏׮ָٔف‪،‬׷ֹ‪崞‬ך‪– .*.%‬‬‫ׅת׃‬‫זך׮׷ׅ‪㢳欽‬׾‪侧㷕ꟼ侧‬׷֮ך‪ٕ⿫撑‬ـ‪٦‬ذװ‪• ⴓ䀄‬‬‫ו‬