ཎᏊ⾪✺◊✲༠఍㈶ຓ఍ဨ(஬༑㡢㡰)䜰䜲䜸䞊䝢䞊䞉䝟䝤䝸䝑䝅䞁䜾䞉䝸䝭䝔䝑䝗䠄IOPⱥᅜ≀⌮Ꮫ఍ฟ∧ᒁ䠅࢔ࢫࢸࢵࢡᰴᘧ఍♫http://journals.iop.org/

http://www.astechcorp.co.jp/᭷㝈఍♫䜲䞊䜸䞊䜰䞊䝹

http://www.eor.jp/

Electronics Optics Research Ltd.
ᰴᘧ఍♫࢜ࣉࢸ࢕࣐

http://www.optimacorp.co.jp/ࢡ࣒ࣜࢰࣥ ࢖ࣥࢱࣛࢡࢸ࢕ࣈ ࣉࣛ࢖࣮࣋ࢺ ࣑ࣜࢸࢵࢻ

ᰴᘧ఍♫ࢧ࢖࢚ࣥࢫ ࣛ࣎ࣛࢺ࣮ࣜࢬ

http://www.enago.jp/
http://www.ulatus.jp/
http://www.voxtab.jp/

http://www.scilab.co.jp/┿✵ගᏛᰴᘧ఍♫http://www.shinku-kogaku.co.jp/ࢫ࣌ࢡࢺ࣭ࣛࣇ࢕ࢪࢵࢡࢫᰴᘧ఍♫http://www.spectra-physics.jp/ࢯ࣮ࣛ࣎ࢪࣕࣃࣥᰴᘧ఍♫http://www.thorlabs.jp/1ࢶࢪ㟁Ꮚᰴᘧ఍♫http://www.tsujicon.jp/ᰴᘧ఍♫ᮾி࢖ࣥࢫࢶ࣓ࣝࣥࢶ

http://www.tokyoinst.co.jp/ᰴᘧ఍♫ᮾ࿴ィ

http://www.touwakeisoku.ecnet.jp/ᰴᘧ఍♫ࢺ࣐ࣖ

http://www.toyama-jp.com/

ᰴᘧ఍♫ࢼࣂࢸࢵࢡ

http://www.navatec.co.jp/ோᮌᕤⱁᰴᘧ఍♫http://www.nikiglass.co.jp/఑ᮾᰴᘧ఍♫

http://www.g5-hakuto.jp/ᰴᘧ఍♫ࣃࢫ࢝ࣝ

http://www.pascal-co-ltd.co.jp/2୸⳻ᐇᴗᰴᘧ఍♫http://www.ec-marubishi.co.jp/ᰴᘧ఍♫࣓ࢹ࢕࢔◊✲ᡤ

http://mediken.jp/ᰴᘧ఍♫ࣛ࣎ࣛࢺ࣭ࣜ࢖ࢡ࢖ࢵࣉ࣓ࣥࢺ࣭ࢥ࣮࣏࣮ࣞࢩࣙࣥ

3

http://www.labo-eq.co.jp/

しょうとつ
第8巻 第2号
目 次（解説） 原子分子衝突のための量子計算手法とその応用（数納広哉）（シリーズ） 衝突論ノート VI. 複素散乱振幅の位相が断面積を変える－似た者同士の衝突はややこしい－
（島村勲）

…

5

… 15

（談話室） ドイツはなぜ原子爆弾をつくらなかったか－ハイゼンベルクの戦い（俵 博之）… 20

追悼 宅間宏先生，思い出話とともに（大谷俊介）… 26

原子衝突の新しい風（井上洋子）… 31

第 59 回日本質量分析総合討論会(2011)のお知らせ… 322010 年第 4 回運営委員会報告（庶務幹事）… 32

国際会議発表奨励事業に関するお知らせ（庶務幹事）… 32「しょうとつ」原稿募集（編集委員会）… 33

今月のユーザー名とパスワード

… 33

4

ᚐᛟ

Ҿ‫܇‬Ў‫܇‬ᘔᆳƷƨǊƷ᣽‫܇‬ᚘም৖ඥƱƦƷࣖဇᢙ⚊ᐢ຦ suno@jamstec.go.jp
ᶏᵗ⎇ⓥ㐿⊒ᯏ᭴ ࿾⃿ࠪࡒࡘ࡟࡯࠲࠮ࡦ࠲࡯
ᐔᚑ 23 ᐕ 2 ᦬ 15 ᣣේⓂฃઃ

࿕᦭୯໧㗴ࠍ⸃ߊߎߣߦઁߥࠅ߹ߖࠎ. ㊂ሶൻ

1. ƸơǊƴ

ቇ⸘▚࠰ࡈ࠻࠙ࠚࠕࠍ↪޿ࠆߎߣ߽޽ࠆߢߒࠂ
߁߇, ⸘▚㊂, ࡔࡕ࡝౒ߦᄢⷙᮨߥ⸘▚ߣߥࠆน╩⠪ߪㆊ෰ 10 ᐕએ਄ߦࠊߚࠅ, ේሶಽሶⴣ⓭⢻ᕈ߇޽ࠅ߹ߔ. ߒ߆ߒ, ⃻࿷ߢߪਗ೉ဳࠬ࡯

߅ࠃ߮㑐ㅪߔࠆಽ㊁ߢℂ⺰⎇ⓥࠍⴕߞߡ߈߹ߒ

ࡄ࡯ࠦࡦࡇࡘ࡯࠲߿ PC ࠢ࡜ࠬ࠲࡯ߩ⊒㆐ߦ઻

ߚ. ᧄ⸥੐ߪਥߦ⸘▚ᯏ਄ߢߩᢙ୯⸘▚ߦ㑐ߔ޿, ᤄߣߪᲧセߢ߈ߥ޿ߊࠄ޿ᄢⷙᮨߥᢙ୯⸘

ࠆ⎇ⓥߦߟ޿ߡ⸃⺑ߒ߹ߔ߇, ╩⠪ߪᩭⲢวࡊ

▚߇ߢ߈ࠆࠃ߁ߦߥߞߡ߈߹ߒߚ. ㊂ሶൻቇ⸘࡜࠭ࡑਛߦ߅ߌࠆේሶಽሶ⚛ㆊ⒟ߩᢿ㕙Ⓧ࠺࡯

▚࠰ࡈ࠻ߢ޽ࠆ Gaussian ߿ GAMESS ߢߪᣢߦ࠲ߦ㑐ߔࠆ⎇ⓥ, ᤨ㑆ଐሽኒᐲ᳢㑐ᢙᴺࠍ↪޿ಽᢔࡔࡕ࡝ဳਗ೉ࡃ࡯࡚ࠫࡦ, ౒᦭ࡔࡕ࡝ဳਗ

ߚ‛⾰ߩ⊒శㆊ⒟ߦ㑐ߔࠆ⎇ⓥ, ߘߒߡಽሶേ

೉ࡃ࡯࡚ࠫࡦߥߤ߇ቢᚑߒߡ޿߹ߔ. ߹ߚ, ⑳ജቇࠪࡒࡘ࡟࡯࡚ࠪࡦࠍ↪޿ߚ㜞ಽሶ᧚ᢱߦ㑐ߪ LAPACK ࡜ࠗࡉ࡜࡝ࠍ↪޿ࠆᯏળ߇㕖Ᏹߦߔࠆ⎇ⓥ߽ⴕߞߡ߈߹ߒߚ. ߎߎߦߘࠇߙࠇෳ

ᄙ޿ߢߔ߇, ᦨㄭࠗࡦ࠹࡞࡮ࡑࠬ࡮ࠞ࡯ࡀ࡞࡮࡜

⠨ᢥ₂ [1, 2, 3] ߣߒߡ⚫੺ߐߖߡ㗂߈߹ߔ.

ࠗࡉ࡜࡝ (LAPACK ࠍ฽߻) ߢߪ౒᦭ࡔࡕ࡝ဳ
ਗ೉⸘▚ߩᯏ⢻ࠍታⵝߒ, ⅣႺᄌᢙࠍ⸳ቯߔࠆ

2. ૝ʏբ᫆ǛᚐƘૠ͌ᚘም৖ඥ

ߛߌߢ, ࡊࡠࠣ࡜ࡓߩᦠ߈឵߃ߥߒߦ⸘▚ࠍ㜞ㅦߦਗ೉ታⴕߔࠆߎߣ߇ߢ߈߹ߔ. ߹ߚ, ࡊࡠ৻⥸⊛ߦㅀߴࠆߣ, ේሶಽሶⴣ⓭ߩ㊂ሶജቇࠣ࡜ࡓߩᦠ߈឵߃߇ᔅⷐߣߥࠅ߹ߔ߇, ಽᢔࡔ⊛ᢙ୯⸘▚ߪ 2 ߟߩࠬ࠹࠶ࡊߢⴕࠊࠇ߹ߔ. 1

ࡕ࡝ဳਗ೉ࡃ࡯࡚ࠫࡦߢ޽ࠆ ScaLAPACK ࡜ࠗߟ⋡ߩࠬ࠹࠶ࡊߪᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞߅ࠃ߮㕖ᢿࡉ࡜࡝߽޽ࠅ߹ߔ. ߎࠇࠄߩߎߣ߆ࠄ, ᢿᾲࡐᾲࠞ࠶ࡊ࡝ࡦࠣ㧔㕖ᢿᾲ⚿ว㧕ߩ⸘▚ߢߔ. ⴣ࠹ࡦࠪࡖ࡞࡮㕖ᢿᾲࠞ࠶ࡊ࡝ࡦࠣߩ⸘▚ߪᲧセ⓭ㆊ⒟ߩᆎ⁁ᘒ, ⚳⁁ᘒߢή㒢ᄢߦߥࠆߴ߈ᐳ

⊛ኈᤃߦߥߞߡ߈ߡࠆߣ޿߃߹ߔ.

ᮡ㧔േᓘᐳᮡ㧕߇޽ࠅ߹ߔ. ߎߩേᓘᐳᮡࠍ࿕ቯ

ේሶಽሶⴣ⓭ߩ㊂ሶജቇ⊛ᢙ୯⸘▚ߩ 2 ߟ⋡ߒߡᱷࠅߩోߡߩ⥄↱ᐲߦߟ޿ߡࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖ

ߩࠬ࠹࠶ࡊߪ, ᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞߅ࠃ߮㕖ᢿᾲ

ࡦࠟ࡯ᣇ⒟ᑼ㧔ᢿᾲᣇ⒟ᑼ㧕ࠍ⸃ߊߎߣߦࠃߞ

ࠞ࠶ࡊ࡝ࡦࠣࠍขࠅㄟࠎߛേᓘᣇะߩ⚿วᣇ⒟ߡ, ࿕᦭୯ߣߒߡᢿᾲ࿕᦭ࠛࡀ࡞ࠡ࡯߇, ࿕᦭㑐ᑼࠍ⸃ߊߎߣߢߔ. ᢙ୯⸘▚ᚻᴺߣߒߡߪ R ⴕᢙߣߒߡ࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙ߇ᓧࠄࠇ߹ߔ. േᓘᐳ

೉ᴺߥߤ߇޽ࠅ߹ߔ. ᧄ┨ߢߪᦨ߽⚛ᧉߣᕁࠊᮡ਄ߩᄙᢙߩὐࠍขߞߡห᭽ߩ⸘▚ࠍ➅ࠅ㄰ߔࠇࠆᄙ࠴ࡖࡦࡀ࡞ኻᢙᓸಽᴺ [4], ࠃࠅⶄ㔀ߥ Rߎߣߦࠃࠅᓧࠄࠇࠆ, േᓘᐳᮡߩ㑐ᢙߣߒߡߩ

ⴕ೉ᴺ [5], ⶄ⚛ๆ෼ࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᴺ [6] ࠍ⚫੺ᢿᾲ࿕᦭ࠛࡀ࡞ࠡ࡯, ߎࠇ߇ᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞

ߒ߹ߔ. ߤߩᚻᴺࠍ↪޿ࠆߦߒߡ߽, ⚿วᣇ⒟ߢߔ. 㕖ᢿᾲࠞ࠶ࡊ࡝ࡦࠣߣߪ࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙᑼ߆ࠄᢿ㕙Ⓧࠍ⸘▚ߔࠆߎߩࠬ࠹࠶ࡊߪ, 㧔ࠃߣߘߩേᓘᣇะᓸಽߩౝⓍ, ߣ⸒߁ߎߣ߇ߢ߈

߶ߤᄙߊߩ࠴ࡖࡦࡀ࡞ࠍᛒࠊߥ޿㒢ࠅ㧕ᄢⷙᮨ

߹ߔ. േᓘᐳᮡએᄖߩ⥄↱ᐲߦߟ޿ߡࠪࡘ࡟࡯

⸘▚ߦߪߥࠅ߹ߖࠎ߇, ߘߩઍࠊࠅቯᑼൻ߇㕖࠺ࠖࡦࠟ࡯ᣇ⒟ᑼࠍ⸃ߊߣ޿߁ߎߩࠬ࠹࠶ࡊߪ,Ᏹߦ㔍⸃ߢ޽ࠆߣ޿߃߹ߔ. એਅߢߪ, ᓟ⠪ߩ

5

ߒ߹ߔ:

⚿วᣇ⒟ᑼ߆ࠄᢿ㕙Ⓧ㧔߹ߚߪ࡟࡯࠻㧕ࠍ⸘▚

F(R) = C(R)Fd (R).

ߔࠆᚻ㗅ߦߟ޿ߡ޿ߊߟ߆ߩᣇᴺࠍ⚫੺ߒ߹ߔ.

ߎߎߢ, ⴕ೉ C ߪ৻⥸⊛ߦ⸒ߞߡ, ♽ߩࡂࡒ࡞࠻࠾ࠕࡦߪᰴߩ
ᒻߢᦠ߆ࠇ߹ߔ㧔ᧄ⸃⺑ߢߪේሶන૏♽ࠍ↪޿

dC+ PC = 0
dR

߹ߔ㧕:
H=−

1 ∂2
+ Had (R; Ω).
2μ ∂R2(7)(8)ߩ㑐ଥࠍḩߚߒ߹ߔ. ߎߩᄌ឵ߦࠃࠅ, േᓘ⚿(1)วᣇ⒟ᑼߪ, ᰴߩࠃ߁ߦߥࠅ߹ߔ㧦



1 d2
d
−
+
U
−
EI
Fd (R) = 0.
2μ dR2ߎߎߢ μ ߪ឵▚⾰㊂, R ߪേᓘᐳᮡ, Ω ߪേᓘᐳᮡએᄖߩోߡߩᐳᮡࠍ⴫ߒ߹ߔ. 1 ߟ߼ߩࠬ࠹࠶

(9)ࡊߪᰴߩࠃ߁ߥᢿᾲᣇ⒟ᑼࠍ⸃ߊߎߣߢߔ:ߎߎߢ I ߪන૏ⴕ೉ߢߔ. Ud ߪㅘᾲ⴫␜ߦ߅

Had (R; Ω)Φν (R; Ω) = Uν (R)Φν (R; Ω). (2)ߌࠆࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ߢ޽ࠅ, ᰴߩᑼߦࠃࠅᓧࠄࠇ

ߎߎߢ Uν (R) ߪᢿᾲ࿕᦭ࠛࡀ࡞ࠡ࡯㧔ᢿᾲࡐ࠹߹ߔ:ࡦࠪࡖ࡞㧕, Φν (R; Ω) ߪ࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙࠍ⴫ߒ

Ud (R) = C−1 (R)U(R)C(R).

߹ߔ. ᚒ‫ߩ♽ߪޘ‬ᵄേ㑐ᢙࠍ࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙࠍᄌ឵ⴕ೉ C ߪኈᤃߦᢙ୯⸘▚ߢᓧࠆߎߣ߇ߢ߈

ၮᐩߣߒߡዷ㐿ߒ߹ߔ:߹ߔ [7]. േᓘ඙㑆 [R0 , RN ] ࠍ [Rn , Rn−1 ] ߩ඙㑆ψ(R, Ω) =(10)ߦಽഀߒ, ඙㑆ߩ㐳ߐࠍ ΔRn = Rn − Rn−1 ߣFν (R)Φν (R; Ω) = F · Φ. (3)ቯ⟵ߔࠆߥࠄ߫, ᄌ឵ⴕ೉ߪᰴߩࠃ߁ߦ⴫ߐࠇ

νߎߎߢ, F ߪ Fν (R)(ν = 0, 1, 2, ...) ࠍⷐ⚛ߣߔࠆ߹ߔ:ࡌࠢ࠻࡞, Φ ߪ Φν (R; Ω)(ν = 0, 1, 2, ...) ࠍⷐ⚛ߣC(Rn ) ≈ e−P(Rn )ΔRn e−P(Rn−1 )ΔRn−1ߔࠆࡌࠢ࠻࡞ߢߔ. ᑼ (3) ࠍࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖࡦࠟ࡯

× · · · e−P(R1 )ΔR1 Q.

(11)

ᣇ⒟ᑼߦઍ౉ߔࠆߣ, ᰴߩࠃ߁ߥേᓘ⚿วᣇ⒟ቯᢙ Q ߪᄌ឵ⴕ೉߇ᰴߩႺ⇇᧦ઙࠍḩߚߔࠃ߁ᑼࠍᓧ߹ߔ:

ߦ᳿ቯߐࠇ߹ߔ:




1 d2
1
d
−
+U−
2P
+ Q F = EF.
2μ dR22μdR

lim C(R) = I.

(12)

R→∞

଀߃߫ 2 ࠴ࡖࡦࡀ࡞໧㗴ߩ႐วߪ, ᄌ឵ⴕ೉ߪ

(4)ᰴߩࠃ߁ߦߥࠅ߹ߔ:⎞⎛ߎߎߢ, U ߪኻⷺⴕ೉ߢ, Uν (R)(ν = 0, 1, 2, ...) ࠍC(R) = ⎝ߘߩⷐ⚛ߣߒ߹ߔ. P ߣ Q ߪߘࠇߙࠇ৻ᰴᓸಽ,ੑᰴᓸಽߦ㑐ߔࠆ㕖ᢿᾲ⚿วߢᰴߩࠃ߁ߦਈ߃

cos ζ(R)sin ζ(R)− sin ζ(R) cos ζ(R)

⎠ . (13)

ߎߎߢ,

ࠄࠇ߹ߔ:

∞

[P]νν  = Φν |

dΦν 
,
dR

(5)

[Q]νν  = Φν |d2 Φν 
.
dR2

(6)

[P]01 (R )dR

(14)

V(R) = 2μ[EI − Ud (R)](15)

ζ(R) =Rߢߔ.
ߎߎߢ

2.1 ‫ٶ‬ȁȣȳȍȫ‫ݣ‬ૠࣇЎඥേᓘ⚿วᣇ⒟ᑼ (4) ߆ࠄᢿ㕙Ⓧߥߤߩ᷹ⷰ㊂ߣᦠ޿ߡ, േᓘ⚿วᣇ⒟ᑼࠍᰴߩᒻߢ⴫ߒ߹ߔ:ࠍ⸘▚ߔࠆߚ߼ߩᦨ߽⚛ᧉߥᣇᴺߩ৻ߟߪ, ㅘ[d2 /dR2 + V(R)]Fd (R) = 0.

(16)ᾲ⴫␜߳ߩᄌ឵ᓟ, Johnson ߦࠃࠆኻᢙᓸಽࠕ

ߎߩᣇ⒟ᑼࠍᢙ୯⊛ߦ⸃ߊߚ߼ߦ, Johnson ߩ࡞ࠧ࡝࠭ࡓ [4] ࠍ↪޿ߡ㆙〒㔌ߢᵄേ㑐ᢙߩẋࠕ࡞ࠧ࡝࠭ࡓߦၮߠ޿ߚᄙ࠴ࡖࡦࡀ࡞ኻᢙᓸಽ

ㄭᒻߦធ⛯ߔࠆߎߣߢߔ. ㅘᾲ⴫␜߳ᄌ឵ߩߚ

ᴺ [4] ࠍ↪޿߹ߔ. ኻᢙᓸಽߪᰴߩࠃ߁ߦቯ⟵ߐ߼ߦ, ᣂߚߦേᓘᵄേ㑐ᢙ Fd ࠍᰴߩࠃ߁ߦቯ⟵

ࠇ߹ߔ:

6


dFd (R)[Fd (R)]−1 .
y(R) =dR
[J(R)]ij = δij (kj R)−1/2 Ilj +1/2 (kj R), (26)(17)

[N(R)]ij = δij (kj R)−1/2 Klj +1/2 (kj R), (27)R ߇ᄢߣߥࠆẋㄭ㗔ၞߢߩኻᢙᓸಽࠍᢙ୯⸘▚ߣᦠ߆ࠇ߹ߔ. kj ߪߘߩ࠴ࡖࡦࡀ࡞ߩᵄᢙࠍ

ߔࠆߚ߼ߦ, 㑆㓒 h ߩ╬㑆㓒ᩰሶὐ R0 , R1 , ..., RN

⴫ߒ, ߘߩή㒢㆙ߢߩࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢ߩ୯ Ejࠍ↪ᗧߒ㧔ߎࠇࠄߩᩰሶὐߪ਄⸥ߩᄌ឵ⴕ೉ࠍ᳞

ࠍ↪޿ߡ, 㐿޿ߚ࠴ࡖࡦࡀ࡞ߦኻߒߡߪ kj =߼ࠆߚ߼ߦ↪޿ߚ߽ߩߣหߓߢߪ޽ࠅ߹ߖࠎ㧕,[2μ(E − Ej )]1/2 , 㐽ߓߚ࠴ࡖࡦࡀ࡞ߦኻߒߡߪ

ᰴߩࠃ߁ߥẋൻᑼࠍ⠨߃߹ߔ:kj = [2μ(Ej − E)]1/2 ߣߥࠅ߹ߔ. R = RN ߦ

zn = (I + zn−1 )−1 zn−1 − (h2 /3)wn un . (18)߅ߌࠆᑼ (17) ߣᑼ (23) ࠍ↪޿ࠆߎߣߦࠃࠅ, ᰴߩᑼ߇ᓧࠄࠇ߹ߔ:

ߎߎߢ,
⎧
⎪
⎪
⎨ V(Rn ), n = 0, 2, .., Nun =[I + (h2 /6)V(Rn )]−1 V(Rn ), (19)⎪⎪⎩n = 1, 3, ..., N − 1,

K = −[y(RN )N(RN ) − N (RN )]−1×[y(RN )J(RN ) − J (RN )]. (28)K ⴕ೉ߪ㐽ߓߚ (closed=c) ࠴ࡖࡦࡀ࡞ߣ㐿޿ߚ
(open=o) ࠴ࡖࡦࡀ࡞ߩ㑆ߩⷐ⚛ࠍᜬߞߡ߅ࠅ,ᰴߩᒻߢᦠߊߎߣ߇ߢ߈߹ߔ:ߢߔ. wn ߪ㊀ߺߢ޽ࠅ, ࠪࡦࡊ࠰ࡦߩⓍಽ౏ᑼ⎛ߣหߓࠃ߁ߦ,⎧⎪⎪⎨ 1 n = 0, N,
wn =4 n = 1, 3, 5, ..., N − 1,⎪⎪⎩
2 n = 2, 4, 6, ..., N − 2,

K=⎝
(20)

Koo

Koc

Kco

Kcc

⎞
⎠.

(29)

ߎߎߢ Koo , Koc , Kco , Kcc ߪߘࠇߙࠇ, 㐿࠴ࡖࡦࡀ࡞-㐿࠴ࡖࡦࡀ࡞㑆, 㐿࠴ࡖࡦࡀ࡞-㐽࠴ࡖࡦࡀ࡞㑆, 㐽࠴ࡖࡦࡀ࡞-㐿࠴ࡖࡦࡀ࡞㑆, 㐽࠴ࡖߢਈ߃ࠄࠇ߹ߔ. ẋൻᑼ (18) ߩೋᦼ᧦ઙߦߪ㕖Ᏹߦᄢ߈޿୯ (ߚߣ߃߫ 10 ) ࠍⷐ⚛ߦᜬߟኻⷺ

ࡦࡀ࡞-㐽࠴ࡖࡦࡀ࡞㑆ߩ K ⴕ೉ߩㇱಽⴕ೉ࠍⴕ೉ࠍ⸳ቯߒ߹ߔ:⴫ߒ߹ߔ. ᢔੂⴕ೉ S ߪ Koo ࠍ↪޿ߡᰴߩࠃ߁

20z0 = 1020 I.

ߦ⴫ߐࠇ߹ߔ

(21)ẋൻᑼ (18) ߦᓥߞߡ R ߇ዊߩ㗔ၞ߆ࠄᄢߩ㗔S = (I + iKoo )−1 (I − iKoo )ၞ߹ߢ෻ᓳ⸘▚ࠍⴕ߁ߎߣߦࠃࠅ, ẋㄭ㗔ၞߢ㐽ߓߚ࠴ࡖࡦࡀ࡞ߩᑼ (26) ߢ⴫ߐࠇࠆ㑐ᢙߪᜰߩኻᢙᓸಽߪᰴߩࠃ߁ߦㄭૃߢ߈ࠆࠃ߁ߦߥࠅ

ᢙ㑐ᢙ⊛ߦჇടߒ, ᑼ (27) ߪᜰᢙ㑐ᢙ⊛ߦᷫዋ߹ߔ:ߒ߹ߔ. ߎࠇߪᢙ୯⸘▚਄ߩ࿎㔍ߥὐߣߥࠆน
y(RN ) ≈ h−1 zN .

⢻ᕈ߇޽ࠅ߹ߔߩߢ, ߘߩࠃ߁ߥ႐วߦߪ, ᰴߩ(22)

৻ᣇ, K ⴕ೉ߪᵄേ㑐ᢙߩή㒢㆙ߢߩẋㄭ⊛ᝄࠃ߁ߦᦠ߈⋥ߒ߹ߔ:[J(RN )]ii → 1,

(31)

[J (RN )]ii → [J (RN )]ii [J(RN )]−1
ii .

(32)

ࠆ⥰޿ߦࠃࠅᰴߩᑼߢ᳿ቯߐࠇ߹ߔ㧦F (R) ≈ J(R) + N(R)K.
d

(30)



(23)



ߎߎߢ, J(R) ߣ N(R) ߪኻⷺⴕ೉ߢߔ. 㐿޿ߚ߹ߚ, N ߦ㑐ߒߡ߽หߓࠃ߁ߦᦠ߈⋥ߒ߹ߔ. ߎ࠴ࡖࡦࡀ࡞㧔ᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢ߩ R → ∞ߩᢙ୯⸘▚ᚻᴺߩᔕ↪଀ߣߒߡ, ૐ keV ࠛࡀ࡞ߢߩ୯߇ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ E ࠃࠅዊߐ޿࠴ࡖࡦࡀ࡞㧕ࠡ࡯ߢߩ H+ -CH2 ⴣ⓭ߦ߅ߌࠆ㔚ሶ᝝₪ㆊ⒟ߦ

ߦߟ޿ߡߪ Riccati-Bessel 㑐ᢙࠍ↪޿ߡ㑐ߔࠆ⸘▚ [9] ࠍ╙ 3 ┨ߢ⚫੺ߒ߹ߔ. ߹ߚ, ߎ−1/2[J(R)]ij = δij kj
ĵlj (kj R),−1/2[N(R)]ij = δij kj
n̂lj (kj R),(24)

ߩᚻᴺࠍ H+ -NH2 ⴣ⓭ߦ߅ߌࠆ㔚ሶ᝝₪ㆊ⒟ߦ

(25)

߽ᔕ↪ߒ߹ߒߚ߇, ߎߎߢߪෳ⠨ᢥ₂ [10] ࠍ⚫

ߣᦠ߆ࠇ, 㐽ߓߚ࠴ࡖࡦࡀ࡞㧔ᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ

੺ߔࠆߦ⇐߼ߡ⟎߈߹ߔ.

࡞ᦛ✢ߩ R → ∞ ߢߩ୯߇ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ E ࠃࠅᄢ

2.2 R ᘍЗඥǍƦƷ˂Ʒૠ͌ᚘም৖ඥ

߈޿࠴ࡖࡦࡀ࡞㧕ߦߟ޿ߡߪ╙৻⒳, ╙ਃ⒳⃿਄⸥ߩᄙ࠴ࡖࡦࡀ࡞ኻᢙᓸಽᴺߪࠪࡦࡊ࠰ࡦ

㕙 Bessel 㑐ᢙࠍ↪޿ߡ7ߩࠃ߁ߦቯ⟵ߐࠇࠆ R ⴕ೉ߦ฽߹ࠇ߹ߔ:᳞Ⓧᴺߦૃߚ⚛ᧉߥᚻᴺߢߒߚ߇, ߽ߞߣᵞ✵
ߐࠇߚᣇᴺ߽޽ࠅ߹ߔ. ߎߎߢߪ᦭㒢ⷐ⚛ᴺ[R]νν  = −(FEM) ߣ R ⴕ೉ᴺࠍ⚵ߺวࠊߖߚ, FEM-R ⴕ[Z]νβ bβ [Z−1 ]βν  .

(37)

β

ߎߎߢ, ⴕ೉ Z ߩ೉ࡌࠢ࠻࡞ߪ࿕᦭ࡌࠢ࠻࡞ co೉ᴺ [8] ࠍ◲නߦ⚫੺ߒ߹ߔ.
R ⴕ೉ᴺߦߪ⦡‫߇ࡦ࡚ࠫ࡯ࡃߥޘ‬ሽ࿷ߒ߹ߔ

ߢ᭴ᚑߐࠇ߹ߔ. β ߪ✢ᒻ⁛┙ߥ⸃ࠍ␜ߔᷝ߃

߇, ߎߎߢ⚫੺ߔࠆߩߪᱜ⏕ߦߪ‫ޟ‬㕖෻ᓳ࿕᦭

ሼߢߔ. K ⴕ೉ߪ R ⴕ೉ࠍ↪޿ߡᰴߩᑼߢਈ߃

࠴ࡖࡦࡀ࡞ R ⴕ೉ᴺ‫ߣޠ‬๭߫ࠇࠆ, ࡝࠶࠷ߩᄌ

ࠄࠇ߹ߔ:

ಽᴺߦၮߠߊᚻᴺ [5] ߢߔ. R ⴕ೉ᴺߪ, ૕Ⓧ Ω

K = [J(R)−J (R)R][N(R)−N (R)R]−1 .(38)ߩታⓨ㑆ߢ, ߘߩ⴫㕙 Σ ߩᴺ✢ᣇะߩᵄേ㑐ᢙߎߎߢ, J(R) ߅ࠃ߮ N(R) ߪᄙ࠴ࡖࡦࡀ࡞ኻᢙ

ߩኻᢙᓸಽ b = −(∂ψ/∂n)ψ ߇৻ቯߢ޽ࠆ, ߣ޿ᓸಽᴺߩᤨߣห᭽ߦᑼ (24) ߆ࠄ (27) ߢਈ߃ࠄ߁Ⴚ⇇᧦ઙߢࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖࡦࠟ࡯ᣇ⒟ᑼࠍ⸃ߊ

ࠇ߹ߔ. ߹ߚ, S ⴕ೉߽ห᭽ߦᑼ (30) ߢᓧࠆߎᚻᴺߢߔ. ౕ૕⊛ߦߪ, Σ ߪ R=৻ቯߢቯ⟵ߐࠇߣ߇ߢ߈߹ߔ.
࠮ࠢ࠲࡯ߩᢙ߇ᄙ޿ᤨߦߪ, ⷐ᳞ߐࠇࠆࡔࡕ

ࠆ⴫㕙ࠍᜰߒ߹ߔ. ࡝࠶࠷ߩᄌಽᴺࠍ೑↪ߒߡ,࡝߿ CPU ᤨ㑆ߩὐߢᢙ୯⸘▚ߪ࿎㔍ߣߥߞߡኻᢙᓸಽߪᰴߩࠃ߁ߦᦠ߆ࠇ߹ߔ㧦


b=

Ω

2μψ ∗ (E − H)ψdw −ψ ∗ ψdSΣψ ∗ ∂ψ
∂n dS
Σ߈߹ߔ. ߘߩ᭽ߥ႐วߦߪ, േᓘᐳᮡ㗔ၞࠍ޿ߊ.(33)ߟ߆ߩࡏ࠶ࠢࠬߦಽߌߡߘࠇߙࠇߩࡏ࠶ࠢࠬߩ

৻ᣇ, ᦭㒢ⷐ⚛ᴺߪേᓘ㗔ၞࠍᄙᢙߩ࠮ࠢ࠲࡯

ਛߢ R ⴕ೉࿕᦭ᣇ⒟ᑼ (34) ࠍ⸃ߊߣ޿߁ᣇᴺߦಽഀߒ, ฦ࠮ࠢ࠲࡯ౝߢዪᚲ⊛ߥၮᐩ㑐ᢙࠍ߽޽ࠅ߹ߔ. ߎࠇߪ, R ⴕ೉વ᠞ᴺߣ߽๭߫ࠇࠆ

ቯ⟵ߔࠆᚻᴺߢߔ. ฦ࠮ࠢ࠲࡯ߢߪ 5 ᰴߩࠛ࡞ᚻᴺߢߔ. ฦࡏ࠶ࠢࠬߢᓧࠄࠇߚ⸃ࠍ⚵ߺวࠊࡒ࡯࠻ᄙ㗄ᑼࠍࠬࠤ࡯࡞ᄌ឵ߐߖߡᓧࠄࠇߚၮ

ߖࠆߎߣߦࠃࠅ, 1 ߟߩࡏ࠶ࠢࠬߢో㗔ၞࠍ⸃޿ᐩ㑐ᢙ߇ 6 ߟቯ⟵ߐࠇ߹ߔ. ⹦ߒ޿ቯ⟵ߦߟ߈ߚᤨߣหߓ⸃߇ᓧࠄࠇ߹ߔ. R ⴕ೉વ᠞ᴺߩᔕ

߹ߒߡߪෳ⠨ᢥ₂ [8] ࠍෳᾖߒߡߊߛߐ޿. ߎࠇ↪଀ߣߒߡ, μK ߆ࠄ mK ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ߦ߅ߌࠆࡋ

ࠄߩၮᐩ㑐ᢙࠍ૶ߞߡേᓘᵄേ㑐ᢙ߇ዷ㐿ߐࠇ࡝࠙ࡓේሶߩ 3 ૕ౣ⚿ว₸ߩ⸘▚ [11] ࠍ╙ 4 ┨߹ߔ. ߘߩ⚿ᨐ, ᰴߩ᭽ߥ৻⥸ൻ࿕᦭୯໧㗴ߢߢ⚫੺ߒ߹ߔ. ߹ߚ, ╩⠪ߪࡋ࡝࠙ࡓේሶ 2 ߟߣ޽ࠆ R ⴕ೉࿕᦭ᣇ⒟ᑼߦߚߤࠅ⌕߈߹ߔ㧦

ࠕ࡞ࠞ࡝㊄ዻේሶ 1 ߟߢ᭴ᚑߐࠇࠆᷙว♽ߦ߅Γc = bΛc.

ߌࠆ 3 ૕ౣ⚿ว₸ߩ⸘▚߽ⴕ޿߹ߒߚ. ߎߎߢ(34)ฦၮᐩ㑐ᢙ߇⴫㕙 Σ ߢ࠯ࡠߦߥࠄߥ޿߆

ෳ⠨ᢥ₂ [12] ߣߒߡ⚫੺ߐߖߡ޿ߚߛ߈߹ߔ.

(open=o) ߆, ࠯ࡠߦߥࠆ߆ (closed=c) ߢ਄ᑼߘߩઁߩᢙ୯⸘▚ᚻᴺߣߒߡⶄ⚛ๆ෼ࡐ࠹ࡦ

ߩⴕ೉ⷐ⚛ࠍਗߴᄌ߃ࠆߎߣߦࠃࠅ, ᰴߩᑼ߇

ࠪࡖ࡞ᴺ [6] ߇޽ࠅ߹ߔ. ߎߩᚻᴺߪ, ᢿᾲࡐᓧࠄࠇ߹ߔ:

࠹ࡦࠪࡖ࡞ U ߹ߚߪㅘᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ Ud ߦⶄ

⎛
⎝

Γcc

Γco

⎞⎛
⎠⎝

cc

⎞

⚛ๆ෼ࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ −iW ࠍㅊടߔࠆᣇᴺߢߔ.

⎠

ߎߎߢ W ߪ Wν (R) ࠍߘߩⷐ⚛ߣߔࠆኻⷺⴕ೉

coΓoc Γoo
⎞
⎞⎛
⎛
cc
0
0
⎠ . (35)
⎠⎝
= b⎝
co
0 Λoo

ߢ, Wν (R) ߪẋㄭ㗔ၞߢߩߺ㕖࠯ࡠߣߥࠅ, R ߣߣ߽ߦჇടߔࠆࠃ߁ߥ㑐ᢙߢߔ. ߎߩ㑐ᢙߦߟ޿ߡߪ᭽‫ߥޘ‬ᒻ߇ឭ᩺ߐࠇߡ޿߹ߔ [6]. ߎߩᄌ਄ᑼߪᦝߦᰴߩࠃ߁ߦᦠ߈឵߃ࠆߎߣ߇ߢ߈߹

឵ߦࠃࠅേᓘ⚿วᣇ⒟ᑼߪⶄ⚛ᢙߩ࿕᦭ࠛࡀ࡞

ߔ:ࠡ࡯ࠍᜬߟࠃ߁ߦߥࠅ߹ߔ. 㔌ᢔ⁁ᘒߦኻᔕߔ
[Γoo − Γoc Γ−1
cc Γco ]co = bΛoo co .

ࠆ࿕᦭ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ߪታᢙߩ߹߹ߢߔ߇, ㅪ⛯⁁(36)

ߎߩᣇ⒟ᑼࠍ⸃ߊߎߣߦࠃࠅᓧࠄࠇࠆ࿕᦭୯ bᘒߦኻᔕߔࠆ࿕᦭ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ߪⶄ⚛ᐔ㕙਄ߢਅߣ࿕᦭㑐ᢙ co ߇ Σ ߦ߅ߌࠆࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖࡦࠟ࡯

ᣇߦࠪࡈ࠻ߒ߹ߔ. ․ߦ౒㡆⁁ᘒߦኻᔕߔࠆ࿕

ᣇ⒟ᑼߩ⸃ࠍ⴫ࠊߒߡ޿߹ߔ. ోߡߩᖱႎߪᰴ

᦭ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ߪᰴߩࠃ߁ߦߥࠅ߹ߔ㧦8

En = n − iΓn.
2ߎߩಽሶߪⅣႺᳪᨴࠟࠬߩ೽↥‛ߢ޽ࠆߣ⏕⹺(39)ߐࠇߡ޿߹ߔߒ, ቝቮⓨ㑆ߢߪߐ߹ߑ߹ߥ὇⚛

ߎߎߢ n ߪ౒㡆૏⟎, Γn ߪ౒㡆᏷ߢߔ. ߘߒߡࠍ฽߻ಽሶ෻ᔕߩࠠ࡯ࠍីߞߡ޿ࠆߣ⠨߃ࠄࠇᢔੂⴕ೉ⷐ⚛ߪᰴߩࠃ߁ߦ⸘▚ߐࠇ߹ߔ:ߡ޿߹ߔ. ᩭⲢว࠳ࠗࡃ࡯࠲ࡊ࡜࠭ࡑߢߪ H+ -Sνν  = δνν  − i−i὇ൻ᳓⚛ಽሶⴣ⓭ߢߩ㔚⩄੤឵ㆊ⒟ߪ὇ൻ᳓⚛

Φν Ud Φν  dRャㅍߦ㑐ߒߡ㊀ⷐߥᓎഀࠍᨐߚߒߡ߅ࠅ, ࡕ࠺Φν Ud G+ Ud Φν  dR.(40)࡝ࡦࠣߢߪߎࠇࠄߩㆊ⒟ߦߟ޿ߡߩ⍮⷗߇ᔅⷐߎߎߢ, Φν (R) ߪᆎ⁁ᘒ߹ߚߪ⚳⁁ᘒߩ⥄↱ᢔߣߐࠇߡ޿߹ߔ. H+ -CH2 ⴣ⓭ߦ㑐ߒߡߪ᭽‫ޘ‬ੂᵄࠍ⴫ߒ߹ߔ:ߥ⚳⁁ᘒ߇޽ࠅ߹ߔ߇, 㔚ሶ᝝₪ߦ㑐ߒߡᡰ㈩2[Φν ]ν  (R) = δνν  √ sin kν R.
kν⊛ߥㆊ⒟ߪᰴߩㅢࠅߢߔ:(41)

2
H+ + CH2 (3 B1 ) → CH+
2 ( B1 ) + H. (44)߹ߚ, G+ ߪᰴᑼߢਈ߃ࠄࠇ߹ߔ:ߎߎߢ, ᆎ⁁ᘒߩ CH2 ߪၮᐩ⁁ᘒߦ, ⚳⁁ᘒߩ
(42)

CH+
2 ߪ╙ 1 ബ⿠⁁ᘒߦ޽ࠅ, ߎߩㆊ⒟ߪ⊒ᾲ෻ߎߎߢ, H ߪേᓘᣇะߩࡂࡒ࡞࠻࠾ࠕࡦߢߔ:ᔕߢߔ. ᚒ‫ߪޘ‬㊂ሶജቇߦၮߠ޿ߚಽሶ゠㆏ዷ

+G = (EI + iW − H)

H=−

−1

.

2

1 d
I + Ud .
2μ dR2

㐿ᴺߦࠃࠆᢙ୯⸘▚ࠍⴕ޿߹ߔ. ࿑ 1 ߦ␜ߔࠃ(43)

߁ߦ 4 ߟߩಽሶ㈩⟎ࠍ⠨ᘦߒ߹ߔ㧦(I)H+ ߇ H-

C-H ߩߥߔⷺߩੑ╬ಽ✢ߦߘߞߡౝ஥߆ࠄ C ߦ
3. ˯ keV ǨȍȫǮȸưƷǤǪȳ-Ў‫܇‬ᘔᆳƴ౉኿ߔࠆ႐ว, (II)(I) ߣหߓ✢਄ߛ߇ᱜ෻ኻߩ

Ɠƚǔᩓ‫ྒ਺܇‬ᢅᆉᣇะ߆ࠄ౉኿ߔࠆ႐ว, (III)H+ ߇ H-C-H ࠍ฽߻㕙ߢ, H-C-H ⷺߩੑ╬ಽ✢ߦ⋥ⷺߦ C ߦ౉኿ૐ keV ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ߢߩࠗࠝࡦ-ේሶⴣ⓭ߦ߅ߌߔࠆ႐ว, (IV)H+ ߇ H-C-H ࠍ฽߻㕙ߦု⋥ߦࠆ㔚ሶ᝝₪ㆊ⒟ߦ㑐ߔࠆℂ⺰⎇ⓥ߅ࠃ߮ታ㛎⎇C ߦ౉኿ߔࠆ႐ว. ߎࠇࠄ 4 ߟߩಽሶ㈩⟎ࠍ⠨ⓥ߇, ㆊ෰ᢙචᐕߦᷰࠅᵴ⊒ߦⴕࠊࠇߡ߈߹ߒ

ᘦߔࠆߎߣߪᝄേ᭴ㅧ߿ᐞ૗ቇ⊛✭๺ߦߟ޿ߡ

ߚ. 㔚ሶ᝝₪ㆊ⒟ߪ, ේሶಽሶಽశቇ߅ࠃ߮ᄙ

⍮ࠆߚ߼ߦߪචಽߢߪߥ޿߽ߩߩ, keV 㗔ၞߩ૕ⴣ⓭࠳ࠗ࠽ࡒࠢࠬߥߤߩၮ␆⎇ⓥߩߺߥࠄߕ,ᒢᕈ࡮㕖ᒢᕈㆊ⒟ߩᢿ㕙Ⓧߩ⷗Ⓧ߽ࠅߦߪචಽ

ቝቮ‛ℂቇ߿ᩭⲢว⑼ቇߥߤߩᔕ↪⎇ⓥߢ߽㊀ߢ޽ࠆߣ⸒߃߹ߔ.

ⷐߥᓎഀࠍᨐߚߒߡ޿߹ߔ. ࠗࠝࡦ-ේሶⴣ⓭ߦᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢ߪ, MRD-CI ᴺ [14] ߦ㑐ߒߡߪߐ߹ߑ߹ߥ⒳㘃ߩ౉኿ࠗࠝࡦ߅ࠃ߮ᮡ

ၮߠߊ㊂ሶൻቇ⸘▚ߦࠃࠅᓧࠄࠇ߹ߔ. ታ㓙ߩ⊛ේሶࠍᛒߞߚ⎇ⓥ߇ߥߐࠇߡ߈ߡ߅ࠅ [13], ᄙ⸘▚ߢߪ CH2 ಽሶߦ㑐ߔࠆోߡߩᐳᮡߪߘߩᐔ

ߊߩ㔚ሶ᝝₪ᢿ㕙Ⓧ࠺࡯࠲߇↢ᚑߐࠇߡ߈߹ߒ

ⴧේሶ㑆〒㔌 rC−H = 1.0753Å, ΘH−C−H = 134◦ߚ. ේሶᮡ⊛ࠍᛒߞߚℂ⺰⎇ⓥ, ታ㛎⎇ⓥߪᄙߊ

ߢ࿕ቯߐࠇߡ߅ࠅ, C ߆ࠄ⷗ߚ H+ ߩᐳᮡ R ߛߌሽ࿷ߒ߹ߔ߇, ߎࠇߣᲧセߒߡಽሶᮡ⊛ࠍᛒߞ߇ᄌൻߒ߹ߔ. ߹ߚ, 㔚ሶ᝝₪ᓟߩ CH+
2 ಽሶࠗ

ߚ⎇ⓥߪ, ߘߩ㊀ⷐᕈߦ߆߆ࠊࠄߕ޽߹ࠅᄙߊ

ࠝࡦߦ㑐ߒߡ߽ೋᦼ㈩⟎ߣหߓේሶ㑆〒㔌ߢ࿕޽ࠅ߹ߖࠎ. ℂ⺰⎇ⓥߢߩಽሶߩขᛒ޿ߩⶄ㔀ቯߐࠇߡ޿߹ߔ. ㊂ሶൻቇ⸘▚ߩ⹦⚦ߦߟ߈߹ߐ߇ߘߩℂ↱ߢߔ.

ߒߡߪෳ⠨ᢥ₂ [9, 14] ࠍෳᾖߒߡߊߛߐ޿. ߎ+ ࠗࠝࡦߣࡔ࠴࡟ࡦ

(CH2 ) ಽሶ㑆ߩ MRD-CI ⸘▚ߪ R ࠍ࿕ቯߒߡࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖ

ߩⴣ⓭ߦ߅ߌࠆ 1.5keV એਅߢߩ㔚ሶ᝝₪ㆊ⒟ࡦࠟ࡯ᣇ⒟ᑼࠍ⸃ߊߎߣߦ╬ߒߊ, ᢿᾲࡐ࠹ࡦ

ߩ⎇ⓥࠍ⚫੺ߒ߹ߔ. CH2 ߪ࡜ࠫࠞ࡞ಽሶߢ޽

ࠪࡖ࡞ Uν (R) ߅ࠃ߮࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙ Φν (R; r) (rࠅ, 㕖Ᏹߦਇ቟ቯߢ⚛ᣧߊઁߩේሶಽሶߣ෻ᔕ

ߪ㔚ሶߩᐳᮡࠍ⴫ߒ߹ߔ㧕ࠍਈ߃߹ߔ. ోᵄേ

ߒ߹ߔ. ㅢᏱߩⅣႺਅߢߪ CH2 ಽሶߪሽ࿷ߢ߈㑐ᢙ ψ(R, r) ߪ࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙࠍၮᐩߣߒߡᰴ

߹ߖࠎ߇, ᄢ᳇࿤߿ቝቮⓨ㑆ߦߪሽ࿷ߢ߈߹ߔ.

ߩࠃ߁ߦዷ㐿ߐࠇ߹ߔ:ߎߎߢߪ H

9

Case I

Case III

H

H

H+

C

ࠅ┙ߚߥ޿ߎߣߦᵈᗧ߇ᔅⷐߢߔ. ᆎ⁁ᘒ i, ⚳H+⁁ᘒ f ߩᓸಽᢿ㕙Ⓧߪᰴߩࠃ߁ߦᦠߊߎߣ߇ߢ
߈߹ߔ:


2

dσif
1 

= 2  (2J + 1)(δif − SJif )PJ (cos θ) .

dΩ
4k 

C

H

H

J

(49)

Case IV

Case IIHߎߎߢ θ ߪ⾰㊂ਛᔃ♽ߢߩᢔੂⷺࠍ⴫ߒ߹ߔ.

H+

ᧄ⸘▚ߢߪ J = 5000 ߹ߢߩㇱಽᵄࠍ⠨ᘦߔࠆᔅⷐ߇޽ࠅ߹ߒߚ. ᓸಽᣇ⒟ᑼࠍⷺᐲߦߟ޿ߡⓍ

H+ H CCಽߔࠆߎߣߦࠃࠅᢿ㕙Ⓧࠍᓧࠆߎߣ߇ߢ߈߹ߔ.
ߎߩ⸘▚ࠍ਄ߦ␜ߒߚ I ߆ࠄ IV ߹ߢߩಽሶ㈩⟎Hߦ㑐ߒߡ➅ࠅ㄰ߒⴕ޿߹ߔ. ታ㛎ߢᓧࠄࠇࠆᢿ

࿑ 1: H+ -CH2 ⴣ⓭ߢ⠨ᘦߔࠆ 4 ߟߩಽሶ㈩⟎. I ߆ࠄ
III ߩࠤ࡯ࠬߢߪ CH2 ಽሶߪ⚕㕙ߦᴪߞߡ૏⟎ߒߡ߅ࠅ, IV ߢߪ CH2 ಽሶࠍ 2 ߟߩ H ේሶࠍ⚿߱✢ߦᴪߞߡ⷗ߡ޿ࠆ.

ψ(R, r) =㕙ⓍߣᲧセߔࠆ㓙ߦߪ, ߘࠇߙࠇߩಽሶ㈩⟎ߢᓧࠄࠇߚᢙ୯ࠍᐔဋൻߒ߹ߔ. ޿ߊߟ߆ߩᐔဋ
ൻߔࠆᣇᴺ߇޽ࠅ߹ߔ߇޽߹ࠅ⚿ᨐߪ㆑ࠊߥ޿

Fν (R)Φν (R; r).

ߚ߼, ᚒ‫ߪޘ‬ᢔੂᝄ᏷ߦߟ޿ߡ⿷ߒวࠊߖߡߘ

(45)ߩੑਸ਼ࠍขࠆ, ߣ޿߁ᣇᴺࠍขࠅ߹ߔ. ߎߩ᭽νߎࠇࠍࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖࡦࠟ࡯ᣇ⒟ᑼߦઍ౉ߒ, ߐߦ 4 ߟߩ․ቯߩಽሶ㈩⟎߆ࠄᓧࠄࠇߚᢿ㕙Ⓧߪ

ࠄߦᢿᾲ⴫␜߆ࠄㅘᾲ⴫␜ߦᄌ឵ߔࠆߎߣߢᰴ

෩ኒߦߪቯ㊂⊛⚿ᨐߣ๭ߴߥ޿ߎߣߦᵈᗧ߇ᔅ

ߩᣇ⒟ᑼࠍᓧ߹ߔ:ⷐߢߔ. ᧄ᧪ߪน⢻ߥ޽ࠄࠁࠆಽሶ㈩⟎ࠍ⠨ᘦ1d− ∇R I + U − EI Fd (R) = 0. (46)2μߔࠆᔅⷐ߇޽ࠆ߆ࠄߢߔ.
࿑ 2 ߦᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢ࠍ⴫ߒ߹ߔ. ਄਄ᑼࠍ⸃ߊ৻⥸⊛ߥᣇᴺߪ, Fd (R) ࠍ࠙ࠖࠣ࠽࡯

ߩ H+ +CH2 (3 B1 ) ߣ⸥ߒߚᦛ✢ߪೋᦼ⁁ᘒ࠴ࡖJ㑐ᢙ DΛM(R̂) ࠍၮᐩߣߒߡዷ㐿ߔࠆߎߣߢߔ.

3
ࡦࡀ࡞, ਅߩ H+CH+
2 ( B1 ) ߣ⸥ߒߚ࠴ࡖࡦࡀ࡞

ߎߎߢ J ߪోⷺㆇേ㊂, M ߪߘߩ኿ᓇ, Λ ߪ㔚ߪ⚳⁁ᘒ࠴ࡖࡦࡀ࡞ߢߔ. ಽሶ㈩⟎ߩ㆑޿ߦࠃ

++ሶⷺㆇേ㊂ߩ H -C ゲ߳ߩ኿ᓇ, R̂ ߪ H -C ゲࠅㄭ〒㔌ߢߩࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢߇㗼⪺ߦ⇣ߥࠅ,ߩᣇะࠍ␜ߔන૏ࡌࠢ࠻࡞ߢߔ. ߎࠇߦࠃࠅ, ᰴ㈩ะലᨐࠍ␜ߒߡ޿ࠆߎߣ߇ಽ߆ࠅ߹ߔ. ߹ߚ,ߩࠃ߁ߦᦠߌ߹ߔ:㆙〒㔌ߢߪ⇣ߥࠆಽሶ㈩⟎ߩࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢Fd (R) =




(−1)J

2J + 1
4π

J
×DΛM
(R̂)

f J (R)
.
R

JM

1/2

ߪ߅੕޿ߦㄭߠ޿ߡ޿ߊߎߣ߇ಽ߆ࠅ߹ߔ.
ో㔚ሶ᝝₪ᢿ㕙Ⓧߩ⸘▚⚿ᨐߪ࿑ 3 ߦ␜ߔㅢࠅߢߔ. ࿑ 3 ߪ I ߆ࠄ IV ߩಽሶ㈩⟎ߦኻᔕߔࠆ

(47)ో㔚ሶ᝝₪ᢿ㕙Ⓧ߅ࠃ߮, ಽሶ㈩⟎ߦ㑐ߒߡᐔߎߎߢ f J (R) ߪᰴߩᣇ⒟ᑼࠍḩߚߒ߹ߔ:ဋൻߒߚో㔚ሶ᝝₪ᢿ㕙Ⓧࠍ␜ߒߡ޿߹ߔ. ᢿ




1 d2
J(J + 1) − Λ2d−+
−E I+U
2μ dR22μR2×f (R) = 0.
Jᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢߇㗼⪺ߦ⇣ߥࠆߎߣ߆ࠄ߽
ኈᤃߦ㘃ផߢ߈ࠆࠃ߁ߦ, ో㔚ሶ᝝₪ᢿ㕙Ⓧ߽㗼⪺ߦ H+ ߩ౉኿ᣇะߦଐሽߒ, ㈩ะലᨐࠍ␜ߒ

(48)

ታ㓙ߩ⸘▚ߢߪ Λ = 0 ߣߒ߹ߔ. ᄙ࠴ࡖࡦࡀ࡞

ߡ޿߹ߔ. ․ߦ, 㜞ࠛࡀ࡞ࠡ࡯஥ߢߪ H-C-H ߩ

ኻᢙᓸಽᴺࠍ↪޿ߡᣇ⒟ᑼ (48) ࠍ⸃ߊߎߣߦࠃ

ߥߔⷺߩੑ╬ಽ✢਄ߦᴪߞߡ౉኿ߔࠆ 2 ᣇะ (ಽࠅ, ㇱಽᵄᲤߦᢔੂⴕ೉ S

J ࠍᓧࠆߎߣ߇ߢ߈߹

ሶ㈩⟎ I ߣ II) ߆ࠄߩ㔚ሶ᝝₪߇ᡰ㈩⊛ߢ޽ࠅ,ߔ. ᑼ (47) ߦࠃࠆᣇ⒟ᑼ (48) ߩዉ಴ߪ╬ᣇ⊛ߥ

ߘߩઁ 2 ߟߩᣇะ߆ࠄ౉኿ߔࠆ႐วߩᢿ㕙Ⓧߪ

ᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ࠍ઒ቯߒߡ߅ࠅ, ෩ኒߦߪᚑ

ࠝ࡯࠳࡯߇ 1 ߆ߘࠇએ਄ዊߐߊߥࠅ߹ߔ. Janev

10

-38.6-38.8
E (a.u.)4. μK Ɣǒ mK ǨȍȫǮȸƴƓƚǔȘȪǦȠ

Case I
Case II
Case III
Case IV-38.7

Ҿ‫܇‬Ʒ 3 ˳ϐኽӳ-38.9ᧄ┨ߢߪ R ⴕ೉વ᠞ᴺߩᔕ↪ߣߒߡ, ⿥಄ࡋ-39+࡝࠙ࡓේሶߩ 3 ૕ౣ⚿วߦ㑐ߔࠆ⎇ⓥࠍ⚫੺ߒ

3

H +CH2( B1)

-39.1
-39.2

߹ߔ. 3 ૕☸ሶ♽ߪࠛࡈࠖ࡯ࡕࡈ (Eﬁmov) ‛ℂ[16] ߣ๭߫ࠇࠆ㕙⊕޿ᕈ⾰ࠍ␜ߔน⢻ᕈ߇޽ࠆ+ 2

H+CH2 ( B1)2

4

6
R (a.u.)8ߚ߼ᵈ⋡ߐࠇߡ޿߹ߔ. ࠛࡈࠖ࡯ࡕࡈ‛ℂߦࠃ

10ࠆ੍᷹ߦࠃࠆߣ, ౒㡆⊛ߥ⋧੕૞↪ࠍᜬߟ☸ሶ
ߩ 3 ૕♽ߩ᧤❈⁁ᘒ߇ή㒢୘⃻ࠇࠆߣ޿߁น⢻࿑ 2: CH+3 ♽ߩේሶ㈩⟎ I ߆ࠄ IV ߹ߢߩೋᦼ⁁ᘒ࠴ࡖࡦࡀ࡞߅ࠃ߮⚳⁁ᘒ࠴ࡖࡦࡀ࡞ߦ㑐ߔࠆᢿᾲࡐ࠹
ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢. H+ (H)-C 㑆ߩ〒㔌 R ߩ㑐ᢙߣߒߡ⴫ߒߡ޿ࠆ.

ᕈ߇޽ࠅ߹ߔ. ౒㡆⊛ߣߪ, 2 ૕ߩᢔੂ㐳 a ߇ࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ߩ․ᕈ㐳 r0 ߦᲧߴ㕖Ᏹߦᄢ߈ߊߥ
ࠆߎߣࠍᗧ๧ߒ߹ߔ. ࠛࡈࠖ࡯ࡕࡈ‛ℂߩℂ⺰ߪ 1970 ᐕߦឭ໒ߐࠇ߹ߒߚ߇ [16], ࡈࠚ࠶ࠪࡘ
ࡃ࠶ࡂ౒㡆ࠍ೑↪ߒߡ⿥಄࠮ࠪ࠙ࡓේሶ᳇૕ਛ

10

-13

2

σ (cm )

-1410ߢᢔੂ㐳ࠍ⺞▵ߔࠆߎߣߦࠃࠅೋ߼ߡ 2006 ᐕ
Average
Case I
Case II
Case III
Case IV
Janev and Reiterߦታ㛎᷹ⷰߐࠇ߹ߒߚ [17]. ߎߩታ㛎ߪ᧤❈⁁ᘒߩ⋥ធ᷹ⷰߢߪߥߊ, 3 ૕ౣ⚿วㅦᐲቯᢙࠍ⸘
᷹ߔࠆߎߣߦࠃࠅⴕࠊࠇ߹ߒߚ. ᓥߞߡ 3 ૕ౣ⚿วߪࠛࡈࠖ࡯ࡕࡈ‛ℂߩ᷹ⷰߦ㊀ⷐߥᓎഀࠍ

10ᨐߚߒߡ޿ࠆߣ⸒߁ߎߣ߇ߢ߈߹ߔ.

-15ࡋ࡝࠙ࡓේሶߪᄢ߈޿ᢔੂ㐳ࠍᜬߟߚ߼, ࡋ࡝࠙ࡓ 3 ේሶ♽ߪࠛࡈࠖ࡯ࡕࡈ‛ℂࠍ᷹ⷰߔࠆߚ
-16

10߼ߩ᦭ജߥ୥⵬ߩ 1 ߟߣߥߞߡ߈߹ߒߚ. ታ㓙,1

0.1

E (keV)ࡋ࡝࠙ࡓ 3 ේሶ♽ߦ㑐ߒߡᄙߊߩ⎇ⓥ߇ߥߐࠇ࿑ 3: 4 ߟߩේሶ㈩⟎ߦኻᔕߔࠆో㔚ሶ᝝₪ᢿ㕙Ⓧ߅ࠃ
߮ߘࠇࠄࠍᐔဋൻߒߚᢿ㕙Ⓧ. 㤥ਣ, ⊕ਣ, 㤥྾ⷺ,⊕྾ⷺߪߘࠇߙࠇಽሶ㈩⟎ I, II, III, IV ߩ⚿ᨐ,⊕࠳ࠗࡗࡕࡦ࠼ߪᐔဋൻߒߚ⚿ᨐࠍ⴫ߔ. Janev
ߣ Reiter[15] ߩℂ⺰⚿ᨐࠍታ✢ߢ␜ߒߡ޽ࠆ.

ߡ޿߹ߔ [18]. ߎߩ⎇ⓥߢߪ⿥಄ࡋ࡝࠙ࡓේሶ
ߩ 3 ૕ౣ⚿ว 4 He +4 He +3,4 He →4 He2 +3,4 He
ࠍᛒ޿, ߎࠇࠄߩㆊ⒟ߩㅦᐲቯᢙࠍ⸘▚ߒ߹ߔ.
ߎߩ⸘▚ߢߪ⿥⃿ᐳᮡ♽ࠍ↪޿߹ߔ. ᢿᾲ⴫␜ᴺߦၮߠ߈, ╙ 2 ┨ߢㅀߴߚ R ⴕ೉વ᠞ᴺࠍ↪
޿ߡᢔੂⴕ೉ S ࠍ⸘▚ߔࠆߎߣߦࠃࠅ, 3 ૕ౣ⚿วߩㅦᐲቯᢙࠍᓧ߹ߔ.

ߣ Reiter[15] ߪ, ᦨᣂߩታ㛎⚿ᨐߣᢿ㕙Ⓧࠬࠤ࡯࡞ೣߦၮߠ߈, CHy ಽሶ߅ࠃ߮ CH+y ಽሶࠗࠝ

޽ࠄࠁࠆ 3 ૕☸ሶ♽ߪ 6 ߟߩᐳᮡߢ⸥ㅀߔࠆ

ࡦ (y = 1 − 4) ߩోߡߩ㔚ሶⴣ⓭࡮㓁ሶⴣ⓭ㆊ⒟ߎߣ߇ߢ߈߹ߔ. ߎߎߢߪ Whitten-Smith ⿥⃿ߩᢿ㕙Ⓧ࠺࡯࠲ࠍឭ␜ߒߡ޿߹ߔ. Demkov ࡕᐳᮡ♽ (R, Ω) ≡ (R, θ, ϕ, α, β, γ)[19] ࠍ↪޿߹ߔ.

࠺࡞ߦၮߠߊᓐࠄߩ⷗Ⓧ߽ࠅ߽࿑ 3 ߦ␜ߒߡ޿

R ߪ⿥ඨᓘߢ 3 ૕ේሶ♽ߩᄢ߈ߐࠍ⴫ߒ߹ߔ. ᱷ

߹ߔ. ᓐࠄߩ⚿ᨐߪ᭽‫ߥޘ‬઒ቯߦၮߠ޿ߡ޿ࠆ

ࠅߩ 5 ߟߩᐳᮡߪ⿥ⷺᐲߢ, (θ, ϕ) ߪ 3 ේሶಽሶߎߣࠍ⠨ᘦߦ౉ࠇࠇ߫, ᚒ‫ߩޘ‬ᐔဋൻߒߚో㔚♽ߩᒻ, (α, β, γ) ߪ♽ߩ೰૕ㆇേࠍ⴫ߒ߹ߔ. ߎሶ᝝₪ᢿ㕙Ⓧߣᓐࠄߩ⚿ᨐߪ߆ߥࠅࠃߊ৻⥌ߒߩᐳᮡ♽ߩ⹦ߒ޿ቯ⟵ߪෳ⠨ᢥ₂ [11] ߦタߞߡߡ޿ࠆߣ⸒߁ߎߣ߇ߢ߈߹ߔ.

޿߹ߔߩߢෳ⠨ߦߒߡߊߛߐ޿. ߎߩᐳᮡ♽ࠍ11↪޿ࠆߣ, ♽ߩࡂࡒ࡞࠻࠾ࠕࡦߪᰴߩࠃ߁ߦᦠ
8

Uν(R) (10 a.u.)߆ࠇ߹ߔ:ߎߎߢ, μ ߪ 3 ૕឵▚⾰㊂, Λ̂

2 ߪᄢᱜḰⷺㆇേ㊂

4
0

8

Uν(R) (10 a.u.)ࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ߣ 3 ૕⋧੕૞↪ࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ߩ๺

+He3, J =020

40
R (a.u.)

(b)

80

60

ν=8

4

-6

ߣߒߡ⴫ߐࠇ߹ߔ:Π

40ߒ߹ߔ. ⋧੕૞↪ࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ߪ 2 ૕⋧੕૞↪



ν=0

-4
-8

Ṷ▚ሶ, V (R, θ, ϕ) ߪ⋧੕૞↪ࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ࠍ⴫

V (R, θ, ϕ) =

ν=5

-6

Λ̂2 + 15
1 ∂2
4
H=−
+
+ V (R, θ, ϕ).(50)
2
2μ ∂R
2μR2

(a)

v(rij )+w(r12 , r23 , r13 ).(51)

i<j

0
ν=0
-4

4

Π

3

+

He2 He, J =0

2 ૕⋧੕૞↪ߦߪ Jeziorska ࠄߦࠃࠆࡐ࠹ࡦࠪࡖ

-80࡞ [20], 3 ૕⋧੕૞↪ߦߪ Cencek ࠄߦࠃࠆࡐ࠹
࿑ 4:ࡦࠪࡖ࡞ [21] ࠍ↪޿߹ߔ. ߎߩ♽ߩ଻ሽ㊂ߪో
ⷺㆇേ㊂ J ߣߘߩ኿ᓇ M 㧘߅ࠃ߮ේሶᩭᐳᮡߩ

20

40
R (a.u.)60

80ૐࠛࡀ࡞ࠡ࡯஥ߩ J Π = 0+ ⁁ᘒߩᢿᾲࡐ࠹ࡦ
ࠪࡖ࡞ᦛ✢㧚(a) ߪ 4 He2 ࠍ, (b) ߪ 4 He32 He ࠍ␜ߔ.

෻ォߦ㑐ߔࠆࡄ࡝࠹ࠖ Π ߢߔ. ࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖࡦ
ࠟ࡯ᣇ⒟ᑼߪ M ߦߪ޽ࠄࠊߦଐሽߒߥ޿ߚ߼,࿑ 4 ߪ J Π = 0+ ⁁ᘒߩ 4 He3 ߣ 4 He32 He ߩૐ

3 ૕♽ߩ㊂ሶ⁁ᘒߪ J ߣ Π ߛߌߢߢ࡜ࡌ࡞ઃߌ

ࠛࡀ࡞ࠡ࡯஥ߩࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞ᦛ✢ࠍ⴫ߒߡ޿߹

ߔࠆߎߣ߇ߢ߈߹ߔ. ╙৻ࠬ࠹࠶ࡊߪ R ࠍ࿕ቯ

ߔ. ࿑ 4(a) ߣ (b) ߩߘࠇߙࠇߢ, ৻⇟ૐ޿ᦛ✢ߒߡᰴߩࠃ߁ߥⷺᐲㇱಽߩࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖࡦࠟ࡯

ߪ 1 ૕ 2 ૕࠴ࡖࡦࡀ࡞ࠍ⴫ߒߡ߅ࠅ, R → ∞ᣇ⒟ᑼࠍ⸃ߊߎߣߢߔ:ߩ㗔ၞߢ 4 He2 ಽሶߣ 4,3 He ේሶ߇㔌ࠇߡ޿ࠆΛ̂2 + 154
+ V Φν (R; Ω) = Uν (R)Φν (R; Ω).
2μR2

ᦛ✢ߪ 3 ૕ㅪ⛯⁁ᘒߦኻᔕߒߡ޿ࠆ࠴ࡖࡦࡀ࡞

(52)

ߢߔ. ߹ߚ, J Π = 1− , 2+ , 3− , ... ߢߩࡐ࠹ࡦࠪࡖ

㈩⟎ߦኻᔕߒߡ޿߹ߔ. ߘߩઁߩ਄ߦ૏⟎ߔࠆߎߎߢ, ࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙߪ࠙ࠖࠣ࠽࡯࿁ォⴕ೉࡞ᦛ✢߽ૃߚᒻࠍߒߡ޿߹ߔ. ኻ⒓ᕈߩ㑐ଥߢJ
DKM(α, β, γ) ࠍၮᐩߣߒߡዷ㐿ߐࠇ߹ߔ (K ߪోJ Π = 1+ , 2− , 3+ , ... ߢߩ 3 ૕ౣ⚿วߪ⑌೙ߢߔߩ

ⷺㆇേ㊂ߩಽሶ࿕ቯⓨ㑆ߢߩ኿ᓇࠍ⴫ߒ߹ߔ).

ߢ, ⠨ᘦߦ౉ࠇࠆᔅⷐߪ޽ࠅ߹ߖࠎߢߒߚ.

ᱷࠅߩ⥄↱ᐲ θ, ϕ ߦߟ޿ߡߪ 5 ᰴߩၮᧄࠬࡊ࡜

╙ 2 ┨ߢ⚫੺ߒߚ᦭㒢ⷐ⚛ᴺ (FEM)-R ⴕ

ࠗࡦ㑐ᢙ [22] ࠍၮᐩߣߒߡዷ㐿ߔࠆߎߣߦࠃࠅ೉ વ ᠞ ᴺ ࠍ ↪ ޿ ࠆ ߎ ߣ ߦ ࠃ ࠅ, ᢔ ੂ ⴕ ೉ Sขࠅᛒࠊࠇ߹ߔ. ߹ߚ, ᣇ⒟ᑼ (52) ࠍ⸃ߊ㓙ߦ߇⸘▚ߐࠇ߹ߔ.
૕ౣ⚿ว 4ߘߩᢔੂⴕ೉ⷐ⚛ࠍ↪޿
4

He + He +4 He →4 He2 +4 He ߣ

ߪ ARPACK ࡜ࠗࡉ࡜࡝ [23] ߅ࠃ߮ LAPACKߡ, 3࡜ࠗࡉ࡜࡝ [24] ߩ౒᦭ࡔࡕ࡝ਗ೉ ࠍ↪޿߹ߒ

4

ߚ. Itanium 2 ߩ 8CPU ࠦࠕࠍ↪޿ߡ, න૕ ࠃࠇߙࠇᰴߩࠃ߁ߦᦠߊߎߣ߇ߢ߈߹ߔ:He +4 He +3 He →4 He2 +3 He ߩㅦᐲቯᢙߪߘ

ࠅ߽ 4,5 ୚ㅦߊ⸘▚ߔࠆߎߣ߇ߢ߈߹ߒߚ. ᣇ

K3 = 3!

⒟ᑼ (52) ࠍ⸃ߊߎߣߦࠃࠅ, ᢿᾲࡐ࠹ࡦࠪࡖ࡞

  32(2J + 1)π 2
J,Π i,fUν (R) ߣ࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙ Φν (R; Ω) ߇ᓧࠄࠇ߹ߔ.

μk4

2
|SJΠ
(53)
if |

ߣ

ᚒ‫ߪޘ‬, ᑼ (3) ߢ␜ߒߚࠃ߁ߦ, ోᵄേ㑐ᢙࠍߎ

K3 = 2!

ࠇࠄߩ࠴ࡖࡦࡀ࡞㑐ᢙࠍၮᐩߣߒߡዷ㐿ߒ, ߎ  32(2J + 1)π 2
J,Π i,f

μk4

2
|SJΠ
if | . (54)ࠇࠍࠪࡘ࡟࡯࠺ࠖࡦࠟ࡯ᣇ⒟ᑼߦઍ౉ߔࠆߎߣ

਄ᑼߦ߅޿ߡో 3 ૕ౣ⚿ว₸ K3 ߪߘࠇߙࠇߩ

ߦࠃࠅ, ᑼ (4) ߦ␜ߒߚࠃ߁ߥ⚿วᣇ⒟ᑼࠍᓧ

ኻ⒓ᕈ J Π ߦ㑐ߔࠆㇱಽౣ⚿ว₸ࠍ⿷ߒวࠊߖ

߹ߔ.

ߚᒻߦߥߞߡ޿߹ߔ. ᑼ (53) ߣᑼ (54) ߦ߅ߌ

12ࠆฝㄝߩଥᢙ (3! ߣ 2!) ߪ♽ߦሽ࿷ߔࠆห⒳ේሶ

10ߩᢙࠍ෻ᤋߒߡ޿߹ߔ.

10

-24

K3 (cm /s)

5(a)

4

4

4

6

3 ૕ౣ⚿ว₸ߩ⸘▚⚿ᨐࠍ࿑ 5 ߦ␜ߒ߹ߔ. ࿑ߪౣ⚿วㆊ⒟ 4

(a)
-25

4

He+ He+ He→ He2 + He

ߦ 㑐 ߔ ࠆ ో ⚿ ว ₸ ߅ ࠃ ߮ ኻ ⒓ ᕈ JΠ

-26

10

Total
-27

10

-28

Π

10

=

J =0

-29

10

0+ , 1− , ..., 7− ߩ ㇱ ಽ ⚿ ว ₸ ࠍ ␜ ߒ ߡ ޿ ߹ ߔ.

2
-3

10

ૐࠛࡀ࡞ࠡ࡯஥ߢߪㇱಽ⚿ว₸ߪ৻⥸ൻߒ

10ߚ࠙ࠖࠣ࠽࡯ߒ߈޿ೣߦᓥ޿߹ߔ.

10

-

+

-

3 1

-2

+

-1

10

- +

4

56
0

10

-

7

1

10

2

10

10

-23

(b)

-24

ߎߎߢ

-25

6

K3 (cm /s)

J Π = 0+ , 1− , 2+ , 3− , 4+ , ... ߦኻߒߡ, ㇱಽ⚿ว₸ߪߘࠇߙࠇ K3JΠ ∝ E 0 , E 3 , E 2 , E 3 , E 4 , ... ߩࠃ߁

10

-26

Total

10

Π

-27

J =0

10

-28

1

10

ߦᝄࠆ⥰޿߹ߔ. ૐࠛࡀ࡞ࠡ࡯஥ߢ J Π = 0+ ߩ

+

-

2

-29

10

ㇱಽ⚿ว₸߇ᡰ㈩⊛ߦߥࠅ, ో⚿ว₸ߪࠛࡀ࡞

+

-

3

-30

10

-3

10

ࠡ࡯ߩ㑐ᢙߣߒߡߪ৻ቯߣߥࠅ߹ߔ. E = 1μK
ߢߪ K3 = 9.93 × 10−28 cm6 /s ߢߔ.

+

࿑ 5:

࿑ 5(b)ߪ ౣ ⚿ ว ㆊ ⒟ 4 He+4 He+3 He→4 He2 +3 He ߩ

-2

10

-1

10
E (mK)

0

10

1

10

⿥ ಄ ࡋ ࡝ ࠙ ࡓ ේ ሶ ߩ 3 ૕ ౣ ⚿ ว ₸.
(a)
ߪ 4 He +4 He +4 He →4 He2 +4 He ࠍ, (b) ߪ
4 He +4 He +3 He →4 He +3 He ࠍ⴫ߔ.
2ో⚿ว₸߅ࠃ߮ኻ⒓ᕈ J Π = 0+ , 1− , 2+ , 3− ߩㇱಽ⚿ว₸ࠍ␜ߒߡ޿߹ߔ. ߎߎߢ߽หߓࠃ

ߩᚻᴺߣߒߡߪ, ฎౖ⊛ಽሶേജቇࠪࡒࡘ࡟࡯

߁ߦ৻⥸ൻߒߚ࠙ࠖࠣ࠽࡯ߒ߈޿ೣ߇ᚑࠅ┙࡚ࠪࡦ߿ኒᐲ᳢㑐ᢙᴺߥߤࠍ᜼ߍࠆߎߣ߇ߢ߈

ߜ, J Π = 0+ , 1− , 2+ , 3− ߦኻߒߡㇱಽ⚿ว₸

߹ߔ. ዋᢙේሶ♽ಽሶߣᄙේሶ♽ಽሶਔᣇߩࠪ

0

1

2

3

∝ E , E, , E , E ߩࠃ߁ߦᝄࠆ⥰޿߹ࡒࡘ࡟࡯࡚ࠪࡦᚻᴺߩ⊒ዷߦࠃࠅ, ේሶಽሶⴣ

ߔ. ో⚿ว₸ߪૐࠛࡀ࡞ࠡ࡯஥ߢ৻ቯߣߥࠅ,⓭ߦߟ޿ߡߩℂ⸃߇ࠃࠅㅴ߻ߣᦼᓙߐࠇ߹ߔ.

ߪ K3JΠ

−27

E = 1μK ߢߪ K3 = 9.83 × 10

6

cm /s ߣߥࠅ߹ߔ. ᧄ⸘▚ߢߪ 10-100mK ࠛࡀ࡞ࠡ࡯߹ߢࠍ⠨Ӌᎋ૨ྂᘦߒ߹ߒߚ߇, ࠃࠅ㜞ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ߩ⚿ว₸ߩ⸘▚ߦߪࠃࠅ㜞޿ㇱಽᵄ (ࠃࠅᄢ߈ߥ J ߩ୯) ࠍ[1]‫ ޓ‬H. Suno and T. Kato, Atomic Data andขࠅᛒ߁ᔅⷐ߇޽ࠅ߹ߔ.

Nucl. Data Tables 92, 407 (2006)[2]‫ޓ‬⍹↰߶߆, ᐔᚑ 21 ᐕᐲ‫ޟ‬࿾⃿ࠪࡒࡘ࡟࡯࠲

5. ǇƱǊ↥ᬺᚢ⇛೑↪ࡊࡠࠣ࡜ࡓ‫ޠ‬೑↪ᚑᨐႎ๔ᦠ, 29(2010).
ᧄ⸥੐ߢߪ, ේሶⴣ⓭ߩߚ߼ߩ㊂ሶജቇ⊛ᢙ[3]‫ޓ‬ጯᧄ߶߆, ห਄, 39 (2010).

୯⸘▚ᚻᴺߣߒߡᄙ࠴ࡖࡦࡀ࡞ኻᢙᓸಽᴺߣ R[4]‫ ޓ‬B. R. Johnson, J. Comp. Phys. 13, 445

ⴕ೉ᴺߦߟ޿ߡㅀߴ, ߎࠇࠄߩᚻᴺߩᔕ↪଀ߣ

(1973).

ߒߡ, ૐ keV ࠛࡀ࡞ࠡ࡯ߢߩ H+ -CH2 ⴣ⓭ߦ߅[5]‫ ޓ‬M. Aymar, C. H. Greene, and E. Luc-ߌࠆ㔚ሶ᝝₪ᢿ㕙Ⓧߩ⸘▚߅ࠃ߮ μK-mK ࠛࡀ

Koenig, Rev. Mod. Phys. 68, 1015 (1996).

࡞ࠡ࡯ߢߩࡋ࡝࠙ࡓේሶߩ 3 ૕ౣ⚿ว₸ߩ⸘▚[6]‫ ޓ‬U. V. Riss and H.-D. Meyer, J. Phys. Bࠍ⚫੺ߒ߹ߒߚ. ߎࠇࠄߩᚻᴺߪ㕖Ᏹߦ♖ኒߥ

26, 4503 (1993).

ᚻᴺߢߪ޽ࠅ߹ߔ߇, ߘߩ♖ኒߐࠁ߃ߦᔕ↪▸[7]‫ ޓ‬T. G. Heil, S. E. Butler, and A. Dalgarno,࿐ߪዊߐߥಽሶߦ㒢ࠄࠇߡ޿߹ߔ. ╩⠪ߪߎߩ

Phys. Rev. A 23, 1100 (1981).

ࠃ߁ߥዊߐߥಽሶࠍᛒ߁ᚻᴺࠍߐࠄߦ♖✺ൻߔ

[8]‫ ޓ‬J.P. Burke, Jr., Ph.D. thesis (Uni-ࠆߣߣ߽ߦ, ᄢ߈ߥಽሶࠍᛒ߁ᢙ୯⸘▚ᚻᴺߩ

versity of Colorado, 1999), Chapter 3 ߣ⊒ዷߐߖࠆߎߣߦ߽⥝๧ࠍᜬߞߡ޿߹ߔ. ᓟ⠪

Appendix A, ᰴߩ Web ࠨࠗ࠻ߢ㑛ⷩน⢻㧦

13

https://jilawww.colorado.edu/pubs/thesis/burke/ [18]‫ᦨޓ‬ㄭߩ⺰ᢥߢߪ D. Blume et al., J. Chem.
[9]‫ ޓ‬H. Suno, S. N. Rai, H.-P. Libermann, R. J.

Phys. 113, 2145 (2000); R. Lazauskas and J.

Buenker, M. Kimura, and R. K. Janev, Phys.

Carbonell, Phys. Rev. A 73, 062717 (2006); V.

Rev. A 70, 032703 (2004).

Roudnev, Chem. Phys. Lett. 367, 95 (2003);[10]‫ ޓ‬H. Suno, S. N. Rai, H.-P. Libermann, R.

A. K. Motovilov et al., Eur. Phys. J. D 13, 33

J. Buenker, M. Kimura, and L. Pichl, Phys.

(2001); W. Sandhas et al., Few-Body Syst. 34,

Rev. A 74, 012701 (2006).

137 (2004).

[11]‫ ޓ‬H. Suno and B.D. Esry, Phys. Rev. A 78,[19]‫ ޓ‬R. C. Whitten and F. T. Smith, J. Math.

062701 (2008).

Phys. 9, 1103 (1968).

[12]‫ ޓ‬H. Suno and B.D. Esry, Phys. Rev. A 80,[20]‫ ޓ‬M. Jeziorska et al., J. Chem. Phys. 127,

062702 (2009).

124303 (2007).

[13]‫ ޓ‬M. Kimura and N. F. Lane, Advances[21]‫ ޓ‬W. Cencek et al., J. Phys. Chem. A 111,

in Atomic, Molecular, and Optical Physics,

11311 (2007).

edited by D. R. Bates and B. Bederson (Aca-[22]‫ ޓ‬C. de Boor, A Practical Guide to Splines

demic, New York, 1989), Vol. 26, p. 79.

(Springer, New York, 1978).

[14]‫ ޓ‬R.J. Buenker and S. D. Peyerimhoﬀ,[23]‫ ޓ‬P. B. Lehoucq, D. C. Sorensen, and C.

Theor. Chim. Acta 35, 33 (1974); 39, 271

Yang,(1976); R. J. Buenker, Int. J. Quantum Chem.

http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/29, 435 (1986).

[24]‫ ޓ‬E. Anderson, Z. Bai, C. Bischof, S.

[15]‫ ޓ‬R. K. Janev and D. Reiter, Phys. Plasmas

Blackford,

7, 4071 (2002).

Du Croz, A. Greenbaum, S. Hammarling,[16]‫ ޓ‬V. Eﬁmov, Phys. Lett. 33B, 563 (1970);

A. McKenney, and D. Sorensen, LAPACK

V. Eﬁmov, Nucl. Phys. A 210, 157 (1973).

Users Guide, (SIAM, Philadelphia, 1999),[17]‫ ޓ‬T. Kraemer et al., Nature (London) 440,

http://www.netlib.org/lapack/.

315 (2006).

14

J.

Demmel,J.

Dongarra,

J.

シリーズ

衝突論ノートVI．複素散乱振幅の位相が断面積を変える− 似た者同士の衝突はややこしい −島村 勲
理化学研究所原子物理研究室
shimamur@ribf.riken.jp
平成 23 年 2 月 7 日 原稿受付

1

クーロン散乱に量子論は必要か

素電荷 e の z 倍と Z 倍の点電荷二つが相対運動エネルギー E で衝突するとき，クーロン散乱振幅 fC (θ)（付録参照）により重心系微分断面積は()

dσR(θ)
C 2 −4= |fC (θ)|2 =
sin Θ
dω
4E

(

θ
Θ=
2

)

(1)

と表せます．ここで C =zZe2 で，相互作用ポテ
ンシャルは V (r) = C/r です．これはエネルギーの次元をもつので，それに r/E を掛けた C/E は
長さの次元，式 (1) は面積の次元をもちます．
式 (1) は複素散乱振幅 fC (θ) の位相因子 eiΦ に無関係で，位相（偏角）が間違っていても絶対値はB
正しいボルン近似 fC (θ)（付録）を使っても全く同じです．一般に，散乱振幅の位相なんて所詮，理論屋のお遊び，現実の物理現象を表す断面積
にとり何の意味も無いと思いませんか ? ところがどうして，この位相がクーロン散乱の角分布を全く変えてしまうことがあるのです（第 3 節）．
式 (1) は量子力学の確立以前，1910 年代初頭にはすでに金属箔内の何らかの点電荷（実は原子核）によるアルファ線の散乱を説明するため，
ラザフォードが古典力学により導き，弟子ガイ
ガーとマルスデンがさらに実験的に確認し，ラザフォード公式として知られています [1]．歴史的業績ですが，ラザフォードには運も味方してくれました．それは，古典論でも量子論でも同じ
角分布 (1) が導ける特殊性のため，彼の解析には量子論の知識が表面上不要だったことです．
実はもう一つ，物理学史上恐らく語られない
幸運がありました．もしも当時，アルファ粒子
ビーム同士の交差実験ができたなら，その結果

15に彼は頭を抱えたことでしょう．金属原子核による散乱とは異なり，アルファ-アルファ衝突の散乱角分布は式 (1) に合わず，振動するはずだからです（第 3 節）
．陽子ビーム同士の衝突でも同じです．そんな高度な実験技術が無くてラザフォードは幸せだったと言えるかも知れません．
アルファ粒子同士，陽子同士と言っても，各粒子の電荷分布や強い相互作用が関わるような高エネルギー衝突のことではありません．私が話すのですから，粒子を点電荷と見なせるような単純な原子衝突の世界を想定しています．
陽子（アルファ粒子）がもう一つの陽子（アルファ粒子）からかなり遠くを通り過ぎるのなら，あいつも荷電粒子か，と少しだけ脇へそれ，遠方
衝突（小角散乱）は単純なラザフォード公式で表せます．しかし，近づいて相手も自分と同じ顔と知ると複雑な思いが起き，ふつうの衝突では済まなくなります．点電荷同士のぶつかり合い
ぐらい昔ながらの論法で解決できると思えば大間違い，量子論にそそのかされ，ややこしい粒
子関係 ? を反映して近接衝突（大角散乱）は異様になり，式 (1)より もっと 面倒なモット公式

dσM (θ)
=
dω

(

)

C 2
[sin−4 Θ + cos−4 Θ
4E+2γ sin−2 Θ cos−2 Θ cos{(C/E)k log(tan Θ)}] (2)に従うようになります（第 3 節）[2–4]．もちろん，相互作用は C/r だけとしての話です．アルファ粒子同士の衝突では γ は 1，陽子同士なら −1/2，
また k は相対運動の波数です．遠方衝突なら θ が小さく，大括弧内で第 1 項だけが他よりはるかに大きく，モットはラザフォードに近づきます．

金属核による散乱と何が違うのでしょう．衝突相手が同じ顔ならどうだと言うのでしょう．実は，そこにこそ，式 (1) は再現できる古典論やボルン近似が説明できない量子論の物理が隠されているのです．その物理が今回のテーマです．

2

も同じシュレーディンガー方程式を満たします．
また粒子の交換 r → −r に対し ψ+ (r) は対称，
ψ− (r) は反対称で我々の望み通りです [2–7]．

散乱振幅と断面積の関係を正す

束縛状態でも散乱状態でも，量子論では同種粒子は見分けられません．同種荷電粒子間の純粋クーロン散乱に限らず，内部構造をもつ同種
イオン同士，同種中性粒子同士の衝突 A + A でも，入射粒子と標的粒子の識別不能性を考慮した同種粒子衝突論が必要です．ただ，同じ原子同士でも量子状態が違えば区別でき，異種粒子と見なせます．衝突異種粒子同士が同種構成粒子
を含めばまた別の配慮が必要です（第 5 節）．
同種 2 粒子（1, 2）の重心上で眺めると，両者が反対方向から対称に近づき，衝突後は反対方向に対称に離れて行きます．空間座標の波動関数
ψ(r1 , r2 ) とスピン波動関数 χS (1, 2) の積である
全衝突波動関数は，同種ボーズ粒子同士なら互いの交換に対し対称，不変です．同種フェルミ粒
子同士なら反対称で，全体の符号だけ変えます．
二つの粒子を交換すれば相対距離ベクトルr = r1 − r2 = (x, y, z) = (r, θ, ϕ) は逆向きになり，−r = (−x, −y, −z) = (r, π − θ, ϕ + π) となりますから，χS (1, 2) の対称性に応じ，ψ(r) は反転
r → −r に対し対称か反対称かどちらかです．ところが，常識的な弾性衝突波動関数の漸近形

φ(r) r→∞−→ eikz + f (θ, ϕ)eikr/r(3)は対称でも反対称でもありません．こんな漸近形では同種粒子間衝突なぞ表せません．
「常識」の前提条件を吟味する必要性の再登場です．
同種粒子を交換してもハミルトニアン H(r) は変わらず，H(−r)=H(r) です．φ(r) がすべての
r で H(r)φ(r)=Eφ(r) を満たすなら r→−r としても満たしますから H(−r)φ(−r) = Eφ(−r) です．
左辺が H(r)φ(−r) に等しいので φ(r) と φ(−r) は共通のシュレーディンガー方程式を満たし，

式 (4) の意味は，重心系で z 軸の正負方向から等しい振幅で同種粒子の二つの平面波が入射し（対称または反対称な定在波 cos kz ，sin kz とも言えます），互いに相互作用し合うと，散乱球面波が 2 成分の重ね合わせの振幅をもって出て行くということです．第 1 の振幅を直接項，第 2の振幅を反跳項と便宜上呼びましょう．それぞれの物理的な意味は図 1 のように示すことができます．以下，いちいち ϕ を書くのは煩わしいので，ϕ 依存性がない場合を扱います．

図 1. 重心系での同種粒子衝突．a) 直接項．b)反跳項．古典同種粒子なら両方の微分断面積の和が検出器に捕えられる．原理的に区別できない量子論粒子なら，両散乱振幅の干渉が起こる．

仮に，古典論のように入射粒子 1 と標的粒子
2 の運動を別々に追うことが原理的に可能だとします．これを識別可能（distinguishable）と言います．すると，直接項（図 1a ）は入射粒子の角度 θ の散乱を表し，その方向に置いた検出器に捕えられます．反跳項（図 1b ）は入射粒子の角度
π − θ の散乱を表しますが，これは両粒子の重心
系運動量ベクトルが逆向きなことから，跳ね返された（反跳を受けた）標的粒子が先ほどと同じ検出器に入ることを意味します．つまり，ある
方向に出てくる散乱粒子と反跳標的粒子を共通の検出器で一緒に捕えることになり，断面積dσdis (θ)= |f (θ)|2 + |f (π −θ)|2dω(5)が測定されるはずです．

ψ± (r) = φ(r) ± φ(−r)一方，式 (4) によれば，原理的に両粒子を識別できない（indistinguishable）量子論では散乱振幅の段階で直接項と反跳項が重ね合わされる−→ eikz ± e−ikzr→∞+ [f (θ, ϕ) ± f (π −θ, ϕ+π)]eikr/r (4)16ので 2 項の間に干渉が起こり，微分断面積は

dσ± (θ)= |f (θ) ± f (π −θ)|2dω
dσdis (θ) dσind (θ)
±
,
(6)
=
dω
dω
dσind (θ)= f (θ)f ∗(π −θ)+f ∗(θ)f (π −θ) (7)dωと書けます．正にこの干渉断面積 (7) が，通常の異種粒子衝突と違い，本稿の表題通り散乱振幅
f (θ) の位相に依存するのです．干渉効果には位相の重要な役割がつきものです．長距離力のために小角散乱の断面積が急に立ち上がるとき，そ
こでは |f (θ)| ≫ |f (π− θ)| ですから，干渉項 (7)は |f (θ)|2 に比べて小さいことが分かります．遠方衝突では識別不能効果が弱いということです．
式 (5)〜(7) には θ と π − θ が対等に入っています．ξ = θ − π/2 と置くと，すべての微分断面積表式に θ = π/2 + ξ と π − θ = π/2 − ξ が対等に入っているので ξ の偶関数で，角分布は重心系の θ = π/2 の左右で対称です．ただ，これは識別不能性によるわけではありません．衝突粒子
同士が「原理的」に識別できるとした dσdis (θ)/dωも θ = π/2 の左右で対称です．単に「検出器」が両粒子を一緒に捕まえているだけの効果です．
同種粒子衝突の境界条件 (4) には入射波が二つあります．衝突の数え方も異種粒子衝突と違い散乱粒子と反跳粒子の両方を数えるので，衝突回数に対し積分断面積は通常の倍になります．
そこで，積分断面積からレート定数を求め，衝突頻度を出す際，最後に半減する必要があり，平均自由行程は 2 倍する必要があります [5]．これを避けるため，積分断面積を 0 ≤ θ ≤ π/2 だけの積分で定義する流儀もありますが [2, 8]，本稿では教科書 [3–5] に従い，0≤ θ ≤π を採用します．

3

スピン 0 同士，1/2 同士

干渉項 (7) は現実の断面積にどう効くのでしょうか．以下，簡単のため，相互作用は球対称でスピンに依らないとします．まず，ヘリウム原子4 He(1s2 ) やアルファ粒子などのようなスピン 0の同種ボーズ粒子同士の弾性衝突を扱います．
スピン 0 ならスピン波動関数 χS (1, 2) を考える必要もなく，またボーズ粒子なので 2 粒子の交換に対し ψ(r) は対称ですから，式 (6) で + 符号を採用すべきで，dσ/dω = dσ+/dω です．

17

スピン 0 の核同士の散乱なら [9]，付録のクー
ロン散乱振幅 fC (θ) を式 (6) に代入して + 符号を採れば γ = 1 としたモット公式 (2) が得られ
ます [2 – 4]．式 (2) の大括弧内第 1，2 項は「識別可能」微分断面積 (5) の直接項，反跳項に相当し，
第 3 項が式 (7) の「識別不能」項に相当します．

2 粒子がスピン s をもてばその合成スピン S の波動関数 χS (1, 2) が関わります．まず，電子，陽子，ヘリウム原子同位体 3 He(1s2 ) やその原子核のような s = 1/2 のフェルミ粒子系を扱います．
ヘリウム原子の電子スピン状態の例を思い出しましょう．2 電子とも上向きスピンの波動関
数 χS (1, 2) = ↑↑，両方とも下向きスピンの ↓↓，逆向きスピンの ↑↓ + ↓↑ は 2 電子の交換に対し対称な 3 重項 (S = 1，オルソヘリウム) を成し，
χS (1, 2) = ↑↓ − ↓↑ は反対称な 1 重項 (S = 0，パラヘリウム) を成します．他のどんな s = 1/2 の粒子 2 個でも合成スピン状態は同じです．
フェルミ粒子なので ψ(r)χS (1, 2) は互いの交換に対し反対称で，χS (1, 2) とは逆に ψ(r) は 1
重項では対称，3 重項では反対称です．1 重項なら
式 (4) で ψ+ ，式 (6) で dσ+/dω ，3 重項なら ψ− ，
dσ−/dω を採用すべきです [9]（次節表 1 参照）．
100%偏極した気体中では 3 重項散乱しか起きず，dσ/dω = dσ−/dω です．スピン偏極がなければ 1 重項と 3 重項の実現確率（統計重率）はスピ
ン多重度 2S + 1 の比 1 : 3 なので，重み付き平均
1 dσ+ (θ) 3 dσ− (θ)
dσ(θ)
=
+
dω
4 dω
4 dω
dσdis (θ) 1 dσind (θ)
−
=
dω
2 dω

(8)

が得られます．第二の等号の右辺を式 (6) から出すとき，1 重項と 3 重項の散乱振幅 f (θ) が等しいとしました．これは一般には正しくありませんが，第 3 節冒頭の仮定のもとに成り立ちます．
式 (8) は s = 0 のときに比べ，干渉項の係数に−1/2 が掛かります．クーロン散乱なら γ = −1/2としたモット断面積 (2) になります．

s = 0 のボーズ粒子と s = 1/2 のフェルミ粒子につき，式 (2) での識別不能効果 γ dσind (θ)/dω と識
別可能断面積 dσdis (θ)/dω の比を図 2 に示します．
式 (2) の (C/E)k が干渉効果による顕著な振動の周期を決めますが，図では 12 C 原子核（s = 0）同士の 5 MeV での衝突を想定した (C/E)k を使っています．質量が 12 C の c 倍，電荷 ze の粒子ならE = 5c(z/6)4 MeV で同じ曲線になります．

γ = (−1)2s /(2s + 1)となります．クーロン散乱振幅を式 (5)，(7) に代入して式 (10) に使うとモット公式 (2) が出ます．
式 (9) の係数の計算は等核 2 原子分子の核ス
ピン状態を数えるのと同じです．この場合も核同士の交換で核間距離ベクトル r は反転します．
分子の回転角運動量量子数 j が偶数の状態はこの反転に対し対称，奇数なら反対称なので，ボーズ粒子核では合成核スピン波動関数が対称（オルソ）なら j は偶数，反対称（パラ）なら j は奇数，フェルミ粒子核ならその逆です（表 1）．オ
ルソ-パラ統計重率比は核スピン I で I +1 : I と書け，式 (9) の係数比 s+1 : s と同じです．
偶数（奇数）角運動量状態が対称（反対称）なのですから，対称な f (θ)+f (π−θ) は偶数部分波
l だけ，反対称な f (θ)−f (π−θ) は奇数部分波だけで展開されます（表 1）．低エネルギー衝突では s 波，つまり対称な ψ+ (r) だけ散乱が起こり，
dσ−/dω ≃ 0 なので，同種ボーズ粒子なら対称スピン関数 χS (1, 2)，同種フェルミ粒子なら反対称
スピンの衝突だけ起こります．例えば，陽子同士のスピン依存 3 重項相互作用は低エネルギー衝
突では断面積が小さく，調べられません [4]．
小さい s ほど式 (11) の γ が大きく，干渉効果は強いですが f (θ)と f (π− θ) の関係にも依ります．
角分布の対称中心 π/2 では f (θ) = f (π− θ) で

図 2. クーロン散乱での同種粒子効果．モット断
面積 (2) 中の識別可能断面積に対する相対的識
別不能補正 γ [dσind (θ)/dω]/[dσdis (θ)/dω]．用いたパラメータは 12 C(s = 0) 核同士の 5 MeV での衝突に相当．s = 0 につきこの効果をボルン近似のクーロン散乱振幅で計算したものも示す．

正しいクーロン散乱振幅の替りにボルン近似（付録）を式 (6) で使っても，その絶対値は正しいので dσdis (θ)/dω は再現されます．しかし，本来 θに依存する位相が無いため，式 (2) の干渉項で
cos{(C/E)k log(tan Θ)} が 1 に置き変わり，図 2
でも明らかですが，角分布は振動の無い滑らかな曲線になってしまいます．これが第 1 節で触れたクーロン散乱振幅の位相の重要性です．

4

一般のスピン s

スピン s の値に拘わらず，完全な偏極気体中の2 体衝突ではスピン波動関数 χS (1, 2) は必ず対称ですから，ボーズ気体なら dσ/dω = dσ+/dω ，フェルミ気体なら dσ/dω = dσ−/dω です（表 1）．
スピン偏極がなければ 2s+1 個の合成スピン
状態 S = 0, 1, · · ·, 2s を対称状態と反対称状態に分け，それぞれの統計重率を使えば平均断面積
s + 1 dσ± (θ)
s dσ∓ (θ)
dσ(θ)
=
+
(9)
dω
2s + 1 dω
2s + 1 dω
を得ます．複号は上がボーズ粒子用で，対称（反対称）な χS (1, 2) に対称（反対称）な ψ(r) を対応させたもの，下がフェルミ粒子用でその逆に対応させたものです（表 1）．式 (6) を使い，2s が偶数ならボーズ粒子，奇数ならフェルミ粒子であることと第 3 節冒頭の仮定によりまとめれば

dσind (θ)dσ(θ) dσdis (θ)
=
+γ
,
dω
dω
dω

(11)

dσind (π/2)
dσdis (π/2)== 2|f (π/2)|2 (12)dωdωとなります．識別可能断面積 dσdis (π/2)/dω は散乱粒子，反跳粒子を一緒に測るので通常の断面積の 2 倍で，s = 0 ならさらに識別不能効果による干渉項がこれを倍増，s = 1/2 の dσ/dω なら半減させて |f (π/2)|2 に戻します．小さな s では重心系の直角方向の干渉効果は強いと言えます．
表 1． 同種ボーズ粒子，同種フェルミ粒子の性質

2s

ボーズ粒子

フェルミ粒子偶数

奇数

χS (1, 2)
対称 反対称
統計重率 s + 1 ： s
ψ(r)対称 反対称
l, j
偶数
奇数
dσ/dω
dσ+/dω dσ−/dω

(10)

18

対称 反対称
s+1 ： s
反対称 対称奇数
偶数
dσ−/dω dσ+/dω低エネルギーでは s 波だけが効く等方散乱にか弾性散乱かを区別できません．これらの過程
なり，π/2 でのこの関係がどの θ でも，また積分でも同種核を二つ含み，その交換に対する核ス
断面積 σ でも成立します．干渉項も等方的です． ピン波動関数の対称性と，核間距離ベクトルのE → 0 では |f (θ)|2 の全立体角に亘る積分は散乱反転に対する核間相対運動と電子運動の波動関
22
長 A で 4πA と表せるので，σ+ = 16πA （σ の定数の対称性を扱う必要があります．また，電子2
義が半分なら 8πA ；第 2 節最後）
，σ− = 0 です． 原子衝突では入射電子と原子内電子との識別不標的が始め静止している実験室系では同種能性を衝突系全体の電子スピン状態に応じて適粒子弾性散乱の散乱角 θ0 は重心系の θ の 1/2 な
切に考慮しなければなりません．これらにつき，
ので，0≤θ0 ≤π/2 です．単位立体角当りの実験
詳しくは教科書 [4, 12] 等をご覧ください．
室系微分断面積 dσ(θ0 )/dω0 は一般式から重心
付録：クーロン散乱振幅
系の dσ(θ)/dω の 4 cos θ0 倍と計算され，θ0 = π/4
クーロン散乱振幅 fC とそのボルン近似 fCB はの左右に非対称です．しかし，単位散乱角当りの微分断面積 dσ(θ0 )/dθ0 = 2π sin θ0 [dσ(θ0 )/dω0 ]fC (θ) = fCB (θ) exp{i Φ(θ)},(A.1)= 4π sin(2θ0 )[dσ(θ)/dω] なら明らかに対称です．
fCB (θ) = −(C/4E) sin−2 Θ,
(A.2)
2
4
4
He(1s ) 同士の弾性散乱で同位体を He+ He，
Φ(θ) = −k(C/E) log(sin Θ) + η (A.3)
3 He+ 3 He と選べばボーズ粒子同士，フェルミ粒
子同士で符号が逆の干渉効果が角分布に見え， と書けます [3 – 7]． Θ = θ/2, k は波数，η は C/v
により決まるある定数です．
また 4 He+3 He とすれば異種粒子衝突で干渉が （v は初期相対速度）
消えるはずです．ただ，他の効果に埋もれずに[1] 市川行和, しょうとつ，第 3 巻第 1 号 (2006).
これがはっきり見える条件を整えて現実に測る
ミスプリ： 式 (1) の括弧付き係数は 2 乗すべき．
のは難しいようです．積分断面積のエネルギー[2] 砂川重信，散乱の量子論 (岩波書店, 1977).
依存性には干渉効果が確認されています [10]．
[3] B. H. Bransden and C. J. Joachain, Physics
of Atoms and Molecules, 2nd ed. (Pearson Ed5 同種粒子： 古くて新しい話
ucation, Harlow, 2003).
1930年代に確立されたこの同種粒子衝突論は， [4] N. F. Mott and H. S. W. Massey, The The原子衝突よりもむしろ原子核衝突分野で多用さ
ory of Atomic Collisions (Oxford Univ. Press,
れました [4]．ところが最近，ボーズ-アインシュ
1965) [高柳和夫，市川行和，島村 勲 訳「衝突のタイン凝縮に関連して同種原子衝突の話題が増理論」上 II (吉岡書店, 1975)].
えてきました [11]．そこで興味があるのは低温衝[5] 高柳和夫，電子・原子・分子の衝突 (培風館,
突なので等方散乱で，角分布に干渉振動が現れ
1972, 改訂版 1996).
るわけではなく，その意味ではそう楽しくもあ[6] L. I. Schiﬀ, Quantum Mechanics, 3rd ed.
りません．しかし，同種粒子 3 体衝突や，同種フェ(McGraw-Hill, N.Y., 1968) [井上 健 訳「量子力
ルミ粒子の 2 量体であるボーズ粒子二つの衝突学」(吉岡書店, 1970)].
など，より複雑な系が現実に問題となります．
[7] 小谷正雄, 梅沢博臣 編, 大学演習 量子力学∗
基底状態の原子 A と励起 A 原子の衝突で(裳華房, 1959), 第 8 章 (江沢洋).
∗∗
A+A →A +A(13)[8] ただ，[2]では入射流束まで他の文献の半分にしてある．そうしない理由は [4, 6, 7] 等に詳しい．
と励起エネルギーがそっくり衝突相手に移り，同[9] 荷電粒子同士の衝突では入射波は平面波でなじ励起状態ができる過程を共鳴（または対称）励く，少し変形されたいわゆるクーロン波になる．
起移動過程と言います．同様に[10] R. Feltgen et al., J. Chem. Phys. 76, 2360
A+ + A → A + A+
(14)
(1982).
を共鳴または対称電荷移行（移動）過程と呼び[11] 例えば，E. Braaten and H.-W. Hammer,
ます．同種粒子衝突 A+A では一つの過程の終Phys. Rep. 428, 259 (2006).
チャネルで散乱粒子と反跳粒子が識別不能でし[12] 高柳和夫, 原子衝突 (朝倉書店, 2007).
たが，異種粒子衝突過程 (13), (14) では反応した

19