プロジェクトの事前評価と再評価
織田澤利守1・小林潔司2
1学生会員

工修 京都大学大学院博士後期課程 工学研究科都市社会工学専攻 (〒 606-8501 京都市左京区吉田本町)
E-mail:ota@psa2.kuciv.kyoto-u.ac.jp
2フェロー会員 工博 京都大学教授 大学院工学研究科都市社会工学専攻 (〒 606-8501 京都市左京区吉田本町)
E-mail:kkoba@psa2.kuciv.kyoto-u.ac.jp

本研究ではプロジェクトの事前評価問題と再評価問題の相互作用を考慮したプロジェクト評価の方法論を開発する．その際，プロジェクトの再評価によりプロジェクトの実施による不可逆性を部分的に回避できることに着目する．プロジェクトの事前評価問題と再評価問題を同時に考慮した総合的な評価体系とするためには，事前評価の時点においてプロジェクト再評価により生じる損失回避便益（中止オプション価値）とプロジェクト廃棄に伴って既投資費用が無駄になることを回避する便益（タイミングオプション価値）を同時に考慮する必要がある．本研究では，リアルオプション理論を用いて以上の要件を満足しうる事前・再評価システムを提案する．

Key Words ：real options, cost-benefit analysis, preevaluation, reevaluation, irreversibility, sunk cost

１．はじめに以外にはできない（その時点でプロジェクト実施が棄却されれば，未来永劫プロジェクトは実施されない）とい

近年，公共事業の効率性やアカウンタビリティの向う now-or-never 原則に基づいている．now-or-never 原

上を目的とした体系的な公共事業評価システムの構築則に基づく費用便益分析では，プロジェクトの再評価が進められおり，公共事業の事前・再・事後評価制度のや実施タイミングの決定を十分に検討できず，事前評導入が検討されている1) ．時間軸上に沿って実施される

価・再評価の動的な関連性を考慮した評価システムを評価制度が相互に有機的に連携し，公共事業の動的な開発することが必要となる．

評価システムとして効果的に機能するためには，各評

本研究ではリアルオプション理論を用いて，事前・再価制度間の整合性を担保しうる総合的な評価フレーム

評価の相互作用を考慮したプロジェクト評価の方法論

ワークを確立する必要がある．

を開発する．その際，プロジェクトがもたらす便益のプロジェクトの事前・再評価問題では，プロジェク

観測やプロジェクトの実施が時間軸上の限られた時点

トがもたらす不可逆性を明示的に考慮することが必要においてのみ実施可能であると考える．このような現となる．ひとたび，プロジェクトを実施すれば，投資費

実的な評価問題の設定のもとで，事前・再評価問題を

用は埋没し，他の用途へ転用することは不可能となる．

統一的に取り扱うことができるような評価フレームをこの意味でプロジェクトの実施は不可逆的な変化であ開発することとする．以下，２．で本研究の基本的なる．プロジェクト実施に再評価機能を導入することに考え方を明らかにする．３．で事前・再評価モデルを定より，事前評価の時点に決定した結果を再評価時点で式化し，４．で事前・再評価問題の論理的な構造に関獲得した新しい情報に基づいて変更することが可能として考察する．５．では，拡張モデルについて考察し，なる．再評価時点でプロジェクトを中止すれば，過去６．で数値計算事例を紹介する．

に投資した費用を回収できないが，プロジェクト継続に伴う追加的な損失の発生を防ぐことができる．この２．本研究の基本的な考え方

ように再評価機能の導入により，プロジェクトの不可逆性を部分的に回避することが可能となる．

（１）従来の研究概要

プロジェクトの実施に関する意思決定は複数の時点

不確実性下における多段階意思決定問題に関してはで実施することが可能である．しかも，事前・再評価を膨大な研究の蓄積があり2) ，土木計画学の分野でも研導入した場合，将来の再評価の時点でプロジェクトが中究が進展している3) ．また，プロジェクトの不可逆性を止される可能性があることを考慮しながら，プロジェク

明示的に考慮したような意思決定モデルに関しても研トの実施のタイミングを決定する必要がある．しかし，究の蓄積がある4) , 5) ．将来のプロジェクト価値に不確

伝統的な費用便益分析はプロジェクトの選択を現時点

実性が存在する場合，意思決定を保留することにより

1

「追加的な情報に基づいて合理的な意思決定を行うこともに獲得される新しい情報をもとにその後のプロジェができる」という準オプション価値を獲得することがクトのあり方について見直すことであり，プロジェク

できる6) , 7) ．準オプション価値を考慮した多段階意思トに関する意思決定の柔軟性を確保するという役割を決定モデルに関しても研究が蓄積された8) , 9) ．中でも，担う．さかのぼって，事前評価の時点においても，将Schmutzler は計画過程における意思決定手続きを準オ
プション価値の観点から分類し，計画プロセスの効率性

来時点においてプロジェクトの再評価が実施されプロを比較検討している9) ．多々納も計画プロセスにおけるることを考慮しておくことが必要である．

ジェクトが変更（中止）されるという可能性がありう

情報の価値，柔軟性の価値を定義し，計画プロセスの効

伝統的な費用便益分析は，プロジェクト評価に関し

率性比較を行っている10) ．一方，Merton 等はリアルオて暗黙のうちに非常に強い前提を設けている．１つにプション理論を開発し，プロジェクトの投資機会を call

は，公共プロジェクトへの投資が不可逆性を有するも

option と解釈できることを示した11) − 13) ．準オプショのであることを無視している点である．一般に，公共

ン価値は，プロジェクト実施のタイミングを合理的にプロジェクトへ投入した財やサービスは他の用途への決定することにより得られるタイミングオプションと転用が困難となり，プロジェクトの投資費用はサンク

解釈できる．リアルオプション理論に基づけば，タイ

費用（回収不可能な費用）となる．このため，再評価

ミングオプションだけでなく多様なオプションの価値

時点における意思決定は，初期費用がすでにサンク (埋を計量的に評価できる枠組みを提供できる14) − 18) ．事

没）している下で行われる．したがって，事前評価時

前・再評価問題に着目した場合，１）プロジェクトの途

点における意思決定では，再評価時点での意思決定の中段階における再評価で，プロジェクトの中止を決定

結果に関する予想やサンク費用の存在を考慮する必要

することができる中止オプションと，２）プロジェクがある．事前・再評価システムを構築する場合，両者トの実施時点を合理的に決定することができるタイミの間の動学的な関連性に着目する必要がある．いま１

ングオプションの双方を同時に考慮することが必要で

つは，「プロジェクトを今実施するか，もしくは２度とある．事前・再評価問題に関しては，上田19) がいくつ実施しないか」という now-or-never 原則に基づき，評

かの評価モデルを提案している．そこでは，現行の事

価が行われるという点である．このため，プロジェク

前，再，事後評価システムが，１）計画段階で想定しトの実施時期に関する評価やプロジェクトをとりまくた経済状況が事後的に実現したそれと乖離するというリスクに対するプレミアムを考慮できないという限界

リスクを考慮していないこと，２）事業進行中に獲得がある．したがって，伝統的な費用便益分析の枠組み

される新たな情報に基づいて計画内容を適切に見直すの中だけでは，事前・再評価の問題を合理的に取り扱ことが許容されていないという問題点を指摘した上で，うことが困難となる．

事業進行中における最適スケジューリングを明示した
事業評価モデルが検討されている．筆者等の問題意識
も上田19) と同じであるが，本研究では事前・再評価シ
ステムを事前評価・再評価の見直し機能の導入がもた
らすオプション価値を明示的に考慮したような多段階
評価モデルとして定式化しようとする点に特徴がある．
本研究で提案する事前・再評価モデルは，準オプション
価値を考慮した多段階意思決定モデル9) に，再評価の過程を付加したにすぎない．しかし，このような簡単なモデルの修正により，プロジェクトの事前評価，再評価の見直し機能の導入がもたらす経済価値をプロジェク
トの中止オプション価値とタイミングオプション価値として明示的に考慮することが可能となる．

時間軸上で展開されるプロジェクト評価では，事前・再評価間の動学的な関連性を明示的に考慮しなければならない．再評価機能を導入することにより，プロジェ
クト環境が変化した場合にプロジェクトを中止（変更）することが可能となる．プロジェクト評価に再評価による中止オプションを導入することにより，プロジェク
トに関わる意思決定に柔軟性を持たせることが可能となる．また，プロジェクト価値にリスクが存在する場
合，プロジェクト実施を一時保留し，プロジェクト環
境に関する追加的情報を獲得する機会（タイミングオ
プション）を与えることも意思決定の柔軟性を増加させる効果がある．このような中止オプションとタイミ
ングオプションは互いに密接に関連しており，双方を同時に考慮したような事前・再評価システムを開発す（２）事前・再評価問題とオプション価値ることが重要となる．本研究では再評価過程を導入し大規模なプロジェクトの実施には長い時間を要する．

たような多段階意思決定モデルを定式化し，２つのオ

その間，プロジェクトを取り巻く経済環境は絶え間な

プション価値を考慮したプロジェクト評価の方法を提く変化しており，プロジェクト採択時に行った事前評価

案する．さらに，事前評価の見直し機能や再評価機能

が，時間が経過しても常に適切なものであるという保の導入がプロジェクトの採択に関する意思決定に及ぼ証はどこにもない．再評価の実施は，時間の経過ととす影響を分析する．

表−１

事前評
価の見
直し

なし
１回
複数回

事前・再評価問題の分類

なし
４．
（１）
４．
（３）
−

再評価
１回
４．
（２）
基本モデル
−

複数回
−
−
５．

（３）事前・再評価問題のプロトタイプ
本研究では，公共プロジェクトの評価問題を初期投資及び追加的投資の２段階投資に関する意思決定問題として扱う．意思決定主体はある時点において事前評
価を行い，プロジェクトへ初期投資を実施するか否かを決定する．その後，一定期間が経過した時点に実現する状況のもとで再評価を行い，プロジェクトを継続するか中止するかを決定する．事前評価も１回だけ行われるのではなく，ある事前評価においてプロジェク
トが採択されない場合，一定期間が経過したのちに事前評価の見直しが行われる．事前評価の見直しの段階
でプロジェクトが採択されれば，この場合も一定期間後に再評価が行われる．本研究において提案する評価【評価プロセスの概要】時点 t0 の事前評価での最適値関数は
Ψ0 = max{P0 , Q0 }．採択される (P0 ≥ Q0 ) 場合は，投資費
用 C1 が支払われ，時点 t1 で再評価．このときの最適値関数は
Φ1 = max{B1 −C2 , 0}．ここで，継続される (B1 −C2 ≥ 0)場合は，残りの投資費用 C2 が支払われ，プロジェクトが完成．そうでなければ，プロジェクトは中止．一方，時点 t0の事前評価で留保される (P0 < Q0 ) 場合は，時点 t1 で事前評価の見直し．このときの最適値関数はΨ1 = max{P1 , 0}．
採択される (P1 ≥ 0) 場合は時点 t2 で再評価．そうでなければ (P1 < 0)，プロジェクトは破棄．
図−１ プロジェクト評価の構造（問題０）モデルでは，事前・再評価間の動学的な関連性を考慮した上で，プロジェクトをとりまくリスクの大きさをプロジェクトの採択基準に反映することが可能となる．

は２つの時点 t0 , t1 で実施される．まず，時点 t0 でプロ

基本モデルでは，事前評価の見直しが最大１回，開始

ジェクトの事前評価を行い，プロジェクトを開始するされたプロジェクトの見直し（再評価）も最大１回行かどうかを決定する．プロジェクトが実施されることうことが許されている場合を想定する．事前評価の見が決定された場合，プロジェクトは２段階にわけて実直し，および再評価の反復回数に着目すれば，多様な行される．すなわち，時点 t0 において第１段階のプロ

事前・再評価システムのタイプを考えることができる．

ジェクトが実施され，費用 C1 = κC (0 ≤ κ ≤ 1) が投本研究では表−１に示すような事前・再評価問題を取入される．ここに，C はプロジェクト投資費用であり，り上げる．同表にはそれぞれのモデルが取り上げられめに，本研究では事前・再評価費用を考慮せず，事前・

κは第１段階と第２段階における投資の費用配分比を表すパラメータである．さらに，時点 t1 においてプロジェ
クトの再評価が実施されプロジェクトの継続が決定さ

再評価の反復回数の上限値を外生的に与えている．事れれば，第２段階の投資費用 C2 = (1 − κ)C が投入さ

前・再評価費用を無視できない場合，プロジェクトのれ，プロジェクトが直ちに完成する．プロジェクトが便実施，あるいは中止を延期することに費用が発生する．

益を発生するためには，２段階目のプロジェクトが完

この場合，事前・再評価の最適な反復回数を内生的に成しなければならない．再評価においてプロジェクト

求めることが必要となる．評価費用を考慮したプロジェの中止が決定されればプロジェクトは放棄される．し

クト評価の問題は，無限的視野を持つ最適評価停止問

たがって，第１段階の投資 C1 は完全に無駄な投資とな題として定式化することが可能である．本研究では事る．つぎに，時点 t0 でプロジェクトの実施が見送られた

前・再評価問題の構造を分析することを目的としてお場合，時点 t1 において再度事前評価が試みられる．時り，最適評価停止問題に関しては別稿で発表する．

点 t1 の事前評価においてプロジェクト実施が決定されている箇所を示している．また，議論を簡単にするた

た場合，直ちに第１段階のプロジェクトが実施される．

３．基本モデルの定式化

時点 t2 においてプロジェクトの再評価が実施され，第２段階の投資を行うかどうかを決定する．時点 t1 でプ（１）モデル化の前提条件
プロジェクトの事前・再評価問題の本質的な構造をロジェクトが実施されなかった場合，当該のプロジェク
ト計画は破棄される．問題を簡略化するために，プロ分析するために，図−１に示すようなプロジェクト評

ジェクトの投資費用 C ，費用配分比κは時間を通じて一価問題（問題０）を考えよう．プロジェクトの事前評価定と仮定する．また，事前評価，再評価のための費用

は 0 であり，プロジェクトの廃棄費用は無視できると考える．
（２）プロジェクト価値とリスク
時点 t0 と t1 ，t1 と t2 の間の時間間隔がともにτ であるの継続が正当化されるためには，再評価時点においてB̂1 − C2 ≥ 0(1)が成立しなければならない．すなわち，再評価時点において観測される期待純価値B̂1 − C2 が正となる場合，追加的投資が正当化されプロジェクトは継続される．一と考える．モデルの記述をできるだけ簡単にするため

方，期待純価値が負となる場合，プロジェクトは廃棄に，プロジェクトは第２段階の投資実施後，直ちに完される．この時，再評価時点 t1 においてプロジェクト

成すると仮定する．建設期間などのプロジェクトの所

価値B̂1 が観測された場合に獲得できるプロジェクトの要時間を考慮しても，以下の議論は本質的に変化しな

追加期待純価値の当該期価値Φ1 (B̂1 ) は{}
Φ1 (B̂1 ) = max B̂1 − C2 , 0

い．いま，時点 t0 ，t1 ，t2 におけるプロジェクト価値をB0 ，B1 ，B2 と表す．プロジェクト価値は，仮にその時点にプロジェクトが完成した場合に当該時点から将来にわたって発生する期待総便益の当該期価値を意味す(2)と表すことができる．同様に，時点 t1 でプロジェクト
実施を見送り，再評価時点 t2 においてプロジェクト価

る．ただし，プロジェクトが完成して，はじめてプロ

値B̂2 が観測された場合に獲得できるプロジェクトの追ジェクト価値が発生する．時点 t0 もしくは時点 t1 にお加期待純価値の当該期価値Φ2 (B̂2 ) は次式で表される．
{}
Φ2 (B̂2 ) = max B̂2 − C2 , 0(3)

いて事前評価を行う場合，当該時点においてともにプ
ロジェクトが完成することはなく，実際にはプロジェク
トによる価値は発生し得ない．この場合，その時点に（４）事前評価問題のモデル化

おける経済環境の下で，仮想的にプロジェクトが完成

仮定より，事前評価は２つの時点 t0 ，t1 で行われる．

したとするときに獲得される (潜在的な) プロジェクト

まず，時点 t1 における事前評価問題を定式化する．時

価値を表すとする．意思決定主体は，各時点に実現す

点 t1 で観測されたプロジェクト価値をB̂1 と表そう．時る (潜在的な) プロジェクト価値を観測し，プロジェク

点 t1 において，再評価時点 t2 で実現するプロジェクト

トに関する決定を行う．プロジェクト価値にはリスク

価値 B2 は不確実である．再評価時点 t2 で観測されるプが存在し，時点によって観測されるプロジェクト価値

ロジェクト価値が確率密度関数 g(B2 |B̂1 ) に従って分布は変動する．いま，時点 t0 において，時点 t1 に実現するする．この時，時点 t1 でプロジェクト価値B̂1 を観測しプロジェクト価値を確定的に把握することができないた時，再評価時点 t2 で実現されるプロジェクト価値のが，時点 t1 で実現するプロジェクト価値の確率分布は

当該期価値の条件付き期待値 E[Φ2 (B2 )|B̂1 ] は∫ ∞E[Φ2 (B2 )|B̂1 ] =(B2 − C2 )g(B2 |B̂1 )dB2 (4)既知である．時点 t0 で観測したプロジェクト価値をB̂0で表そう．記号「 ˆ 」は確定値であることを表す．時点

C2

t1 におけるプロジェクト価値 B1 は条件付き確率密度関と表せる．第１期のプロジェクトの投資費用 C1 は時点

数 g(B1 |B̂0 ) に従って分布する．また，時点 t1 で観測し

t1 において支払われる．時点 t1 においてB̂1 が観測され，さらにプロジェクトを開始したことによるプロジェク
トの期待純価値の当該期価値 P1 (B̂1 ) はたプロジェクト価値をB̂1 で表そう．時点 t2 におけるプ
ロジェクト価値 B2 の確率分布を条件付き確率密度関数

g(B2 |B̂1 ) で表現する．

P1 (B̂1 ) = ηE[Φ2 (B2 )|B̂1 ] − C1(5)と表される．ただし，η = exp(−ρτ ) は割引係数であり，（３）再評価問題のモデル化

ρは瞬間的割引率である．つぎに，時点 t1 においてプロ

時点 t0 の事前評価においてプロジェクトが採択され，ジェクトの採択を見送った場合を考えよう．この場合，

時点 t1 において再評価が行われると考えよう．再評価

プロジェクト計画は廃止され，プロジェクト価値は 0 と問題は，再評価時点 t1 におけるプロジェクト価値の観なる．時点 t1 でプロジェクトが採択される基準は測値B̂1 のもとで「プロジェクトを継続する」か，あるいは「中止するか」を決定する問題として定式化でき
る．第２段階目の追加的投資によりプロジェクトを完成した場合に獲得できるプロジェクトの期待総純便益

P1 (B̂1 ) > 0(6)と表される．さらに，時点 t1 でプロジェクト価値B̂1 が観測された場合，時点 t1 以降最適なプロジェクト投資ある．一方，プロジェクトを中止する場合は，価値 0 をを実施したことによって得られる期待純価値Ψ1 (B̂1 ) は{}(7)
Ψ1 (B̂1 ) = max P1 (B̂1 ), 0

獲得する．問題を簡略化するために，プロジェクトのと表せる．つぎに，時点 t0 における事前評価問題を考スクラップ費用を考えない．

える．時点 t0 で，１）すぐにプロジェクトを実施する，の当該期価値（以下，期待純価値と呼ぶ）はB̂1 − C2 でプロジェクトの再評価時点 t1 においてプロジェクト

２）プロジェクトの実施を保留する，という２つの選択肢が利用可能である．プロジェクトを実施した場合，
時点 t1 で再評価が行われる．この場合，時点 t0 におけるプロジェクトの期待純価値はP0 (B̂0 ) = ηE[Φ1 (B1 )|B̂0 ] − C1
(8a)
∫ ∞E[Φ1 (B1 )|B̂0 ] =(B1 − C2 )g(B1 |B̂0 )dB1 (8b)C2と表せる．一方，プロジェクト実施を保留した場合，時点 t1 でプロジェクトの事前評価が再び実施される．時
点 t0 でプロジェクト価値B̂0 が観測された場合，時点 t1で実現するプロジェクト価値が条件付き確率密度関数

g(B1 |B̂0 ) に従う．さらに，時点 t1 でプロジェクト価値を観測したことにより獲得できる最適プロジェクト期
待純価値Ψ1 (B̂1 ) が式 (7) で定義されることに留意しよう．したがって，時点 t0 でプロジェクト実施を保留したことにより獲得できる最適期待純価値 Q0 (B̂0 ) は

Q0 (B̂0 ) = ηE[Ψ1 (B1 )|B̂0 ]
{∫ ∞
}
=η
Ψ1 (B1 )g(B1 |B̂0 )dB1

(9)0

し，now-or-never 原則に基づく費用便益分析では，こと表される．したがって，時点 t0 でプロジェクトが採択されるための条件は

P0 (B̂0 ) ≥ Q0 (B̂0 )【評価プロセスの概要】時点 t0 の事前評価での最適値関数はΨ◦0 = max{P0◦ , 0}．採択される (P0◦ ≥ 0) 場合は，時点 t0
で投資費用 C1 が支払われる．続く時点 t1 では再評価は実施されず，自動的に継続．残りの投資費用 C2 が支払われ，プ
ロジェクトは完成．一方，時点 t0 の事前評価で棄却される(P0◦ < Q0 ) 場合，事前評価の見直しは実施されず，プロジェ
クトは破棄．
図−２ now-or-never 原則と評価構造（問題１）のような評価の見直し機能を考慮できない．
いま，事前評価時点 t0 において now-or-never 原則に(10)基づいてプロジェクト評価を実施する問題（問題１）をと表される．また，上式の両辺が等号で成立するよう定式化しよう．この問題では評価の見直しが実施されなB̂0 を B0∗ と表そう．プロジェクト価値 B0∗ は時点 t0 にないため，プロジェクト評価構造は図−２に示すよう

おいてプロジェクトの実施が採択されるようなプロジェに表される．時点 t0 においてプロジェクト価値B̂0 が観

クト価値B̂0 の最小値であり，以下では臨界価値と呼ぶ

測され，かつ時点 t0 でプロジェクトを開始した場合にこととする．さらに，時点 t0 でプロジェクト価値B̂0 を着目しよう．問題設定より，プロジェクトは２期間を通観測した下で，プロジェクトの最適選択を実施した場

じて実施され，時点 t0 で費用 C1 が，時点 t1 で C2 が投資合の最適値関数Ψ0 (B̂0 ) は次式で定式化される．

され，時点 t1 に完成する．事前評価の時点 t0 では，時点

Ψ0 (B̂0 ) = max{P0 (B̂0 ), Q0 (B̂0 )}(11)

なお，Q0 (B̂0 ) ≥ 0 が必ず成立するため，第０期ではプ
ロジェクト計画案を破棄する必要はない．このことは事前・再評価費用を無視していることの理論的帰結であり，プロジェクト計画案の破棄のタイミングを決定するためには事前・再評価費用を考慮する必要が生じる．

４．事前・再評価とプロジェクト価値

t1 に実現するプロジェクト価値は確定的に把握できない．また，時点 t1 において，プロジェクトの再評価を行わないため，再評価時点においてプロジェクト価値B̂1
が式 (1) を満足しなくてもプロジェクトは継続される．
したがって，時点 t0 でプロジェクトを開始した場合に獲得できる期待純価値 P ◦ (B̂0 ) は(12a)
P0◦ (B̂0 ) = ηE[Φ◦1 (B1 )|B̂0 ] − C1
∫ ∞E[Φ◦1 (B1 )|B̂0 ] =(B1 − C2 )g(B1 |B̂0 )dB1(12b)0（１）now-or-never 原則とプロジェクト価値と表される．ここに，ηE[Φ◦1 (B1 )|B̂0 ] は時点 t0 で観測

伝統的な費用便益分析は「プロジェクト評価を現時

値B̂0 を獲得した下での条件付き期待プロジェクト価値

点のみで実施し，一度出た結論の見直しは２度と行わの当該期価値を表す．ここで，式 (8b) と積分区間が異ない」という now-or-never 原則に基づいている．現実

なっていることに留意して欲しい．プロジェクト価値には，ある時点における費用便益分析による評価の結もにプロジェクト環境が好転し，改めて費用便益分析

P0◦ (B̂0 ) は，伝統的な費用便益分析で用いられる時点 t0で評価したプロジェクトの期待純価値に他ならない．一方，時点 t = 0 でプロジェクトを開始しなかった場合をを実施する可能性がある．あるいは，プロジェクトの考えよう．now-or-never 原則に基づけば，その時点で途中でプロジェクト環境が悪化し，再評価によりプロ

プロジェクト計画案は廃棄され，プロジェクト価値 0 を

ジェクトが途中段階で破棄される可能性もある．しか獲得する．したがって，now-or-never 原則に基づいた

果，プロジェクトが採択されなくても，時間の経過とと【評価プロセスの概要】時点 t0 の事前評価での最適値関数はΨ◦◦
0 = max{P0 , 0}．採択される (P0 ≥ 0) 場合は，投資
費用 C1 が支払われ，時点 t1 で再評価．このときの最適値関数はΦ1 = max{B1 − C2 , 0}．一方，時点 t0 の事前評価で棄却される (P0 < 0) 場合は，事前評価の見直しは実施されず，
プロジェクトは破棄．
図−３ 再評価と評価構造（問題２）場合のプロジェクト採択基準は

P0◦ (B̂0 ) ≥ 0(13)と表される．上式の両辺が等号で成立するような臨界価値を B0α と表そう．また，時点 t0 で観測値B̂0 を得た時の最適値関数Ψ◦0 (B̂0 ) は次式で表される．

Ψ◦0 (B̂0 ) = max{P0◦ (B̂0 ), 0}(14)【評価プロセスの概要】時点 t0 の事前評価での最適値関数はΨ◦◦◦= max{P0◦ , Q◦0 }．採択される (P0◦ ≥ Q◦0 ) 場合は，投資0
費用 C1 が支払われる．続く時点 t1 で再評価は実施されずに，残りの費用 C2 が投下され，プロジェクトは完成．一方，時点
t0 の事前評価で留保される (P0◦ < Q◦0 ) 場合は，時点 t1 で事前評価の見直し．このときの最適値関数はΨ◦◦◦= max{P1◦ , 0}．
1◦
採択される (P1 ≥ 0) 場合も時点 t2 で再評価は実施されない．
図−４ 事前評価の見直しと評価構造（問題３） ∆P0 (B̂0 )=P0 (B̂0 )
0B̂0 ≥ B0α の時
B0α > B̂0 ≥ B0β の時
B̂0 < B0β の時(18)として評価される．ただし，∫ C2∆P0 (B̂0 ) = −(B1 − C2 )g(B1 |B̂0 )dB10である．∆P0 (B̂0 ) は時点 t0 でプロジェクトを開始した
後に，再評価時点で追加期待純価値B̂1 − C2 が負になっ（２）再評価機能とプロジェクト価値
プロジェクト評価に再評価機能を導入する経済効果

た場合，プロジェクトを中止することにより回避されを分析する問題（問題２）に着目する．図−３に示す

る損失（中止オプション価値）であり非負の値をとる．

ように事前評価の見直しは考えない．時点 t1 でプロジェ

また，B0α > B̂0 ≥ B0β の場合，通常の費用便益分析をクトを継続することにより獲得できる追加期待純価値

用いた時にはプロジェクトは採択されないが，再評価

B̂1 − C2 が負になった場合，プロジェクトは中止される．
時点 t0 におけるプロジェクトの採択条件はを獲得できる．B̂0 < B0β が成立する場合，いずれの方

P0 (B̂0 ) ≥ 0(15)と表せる．上式が等号で成立する臨界価値を B0β と表そ式でもプロジェクトは採択されない．式 (18) より∆1 ≥ 0(19)が成立する．すなわち，再評価機能を導入することにう．この時，臨界価値 B0α と B0β の間にB0α ≥ B0βを導入した場合には採択され期待純価値 P0 (B̂0 )(≥ 0)(16)が成立する（付録 I 参照）．また，時点 t0 で観測値B̂0 をより，事前評価時点におけるリスクを軽減することが可能となり，時点 t0 で評価したプロジェクト価値は必ず増加することが保証される．

得た時に獲得できる期待純価値の最大値を表す最適関数Ψ◦◦ (B̂0 ) は（３）事前評価の見直し機能とプロジェクト価値Ψ◦◦0 (B̂0 ) = max{P0 (B̂0 ), 0}(17)と表せる．再評価の導入効果∆1 は，再評価を実施した
時の最適値関数Ψ◦◦0 (B̂0 ) と実施しない場合の最適値関数Ψ◦0 (B̂0 ) の差◦
∆1 = Ψ◦◦0 (B̂0 ) − Ψ0 (B̂0 )基本モデルでとりあげた事前・再評価システムのい
ま１つの特徴は，時点 t1 において事前評価の見直しの機会が与えられている点にある．時点 t0 の事前評価において，プロジェクトの採択を時点 t1 まで順延し，プ
ロジェクト環境の動向を確認するチャンスが与えられる．この場合，プロジェクトの採択後に，１）再評価を

実施しない，２）再評価を実施する場合という２つのと仮定すれば，臨界価値 B0α と B0γ の間にはケースが考えられる．後者の場合が基本モデルでとりあげたケースに他ならない．本節では，前者の場合（再評価機能がない場合）をとりあげ，事前評価の見直しの経済効果について考察する（以下，問題３と呼ぶ）．
いま，時点 t1 において事前評価の見直しを実施する
場合を考えよう．時点 t1 でプロジェクトを開始した場
合，プロジェクト価値は時点 t2 で発生する．時点 t2 で再評価を実施しないことを考慮すれば，時点 t1 でプロジェクトを開始した場合に獲得できる期待純価値 P1◦ (B̂1 ) はP1◦ (B̂1 ) = ηE[Φ◦2 (B2 )|B̂1 ] − C1
(20a)
∫ ∞
E[Φ◦2 (B2 )|B̂1 ] =(B2 − C2 )g(B2 |B̂1 )dB2 (20b)0と表される．ここに，E[Φ◦2 (B2 )|B̂1 ] は時点 t1 の当該期価値で評価した期待純価値を表す．一方，時点 t1 でプ
ロジェクトを採用しない場合，プロジェクト計画案がB0α ≤ B0γ(25)が成立する（付録 I 参照）．ここで，プロジェクト採択を保留することの期待純価値（タイミングオプション価値）をδ0 (B̂0 ) = Q◦0 (B̂0 ) − P0◦ (B̂0 ) と定義しよう．多々
納10) に基づいて，タイミングオプション価値δ0 (B̂0 ) の分解を試みる．まず，時点 t0 においてプロジェクトの採択に関する意思決定の機会を残しておくことの期待純価値（留保価値）を定義する．留保価値を１）プロジェ
クト価値に関する情報B̂1 が獲得できない場合に，時点

t0 でプロジェクトの選択の機会を残したことの価値と２）時点 t1 で追加情報を獲得できることにより得られる価値に分解しよう．ここで，時点 t1 にプロジェクトを開始することを時点 t0 で決定する価値を∫ ∞P̄0◦ (B̂0 ) = η 2(B2 − C2 )f (B2 |B̂0 )dB2
0

−ηC1

廃棄される．時点 t1 でプロジェクト価値B̂1 が観測され，(26)

時点 t1 以降最適なプロジェクト投資を実施したことにと表そう．ただし，f (B2 |B̂0 ) は時点 t0 において観測値

よって得られる最適期待純価値Ψ◦◦◦1 (B̂1 ) は
}
{
◦
Ψ◦◦◦
1 (B̂1 ) = max P1 (B̂1 ), 0B̂0 を獲得した時に時点 t2 で実現するプロジェクト価値と表せる．つぎに，時点 t0 における事前評価問題を考B2 の確率分布を表す確率密度関数であり∫ ∞f (B2 |B̂0 ) =g(B2 |B1 )g(B1 |B̂0 )dB1

えよう．時点 t0 においては，１）すぐにプロジェクトをと表せる．したがって，この選択肢の価値は(21)実施する，２）プロジェクトの実施を保留する，といV F (B̂0 ) = max{P̄0◦ (B̂0 ), 0}

う２つの選択肢が利用可能である．プロジェクトを実という新しく追加された選択肢の価値であり多様性の(22)を獲得できる．一方，プロジェクト実施を保留した場

価値10) と呼ぼう．つぎに，時点 t1 で追加的情報B̂1 を利用して，より適切な行為を選択できる価値をV I(B̂0 ) = Q◦0 (B̂0 ) − max{P̄0◦ (B̂0 ), 0}

合，時点 t1 でプロジェクトの事前評価が再び実施される．時点 t0 でプロジェクト価値B̂0 が観測された場合，時点 t1 で実現するプロジェクト価値が条件付き確率密度関数 g(B1 |B̂0 ) に従うことに着目しよう．さらに，時点

t1 でプロジェクト価値を観測したことにより獲得できる最適期待純価値Ψ◦◦◦1 (B̂1 ) が式 (21) で定義される．し
たがって，時点 t0 でプロジェクト実施を保留したことにより獲得できる最適期待純価値 Q◦0 (B̂0 ) はQ◦0 (B̂0 ) = ηE[Ψ◦◦◦(B1 )|B̂0 ]
{∫ 1
}
∞
=η
P1◦ (B1 )g(B1 |B̂0 )dB1
B1α

(29)

と表そう．第１項は時点 t1 でプロジェクト価値 B1 を観測してプロジェクト選択を行うことよって獲得できる期待
純価値を時点 t0 での当該期価値で評価した値である．第２項は時点 t1 の追加情報が利用可能でないときの期待純価値である．V I(B̂0 ) は時点 t1 における追加情報がもた
らす経済価値であり，情報の価値と考えることができる．
したがって，時点 t0 で意思決定を留保することにより得られる期待純価値 P V (B̂0 ) は多様性の価値 V F (B̂0 ) と(23)となる．ただし，B1α は P1◦ (B1α ) = 0 が成立するような臨界価値を表す．式 (23) の積分区間を考慮すれば任意のB̂0 ≥ 0 に対して常に Q◦0 (B̂0 ) ≥ 0 が成立する．時点

t0 でプロジェクトが採択されるための条件は
P0◦ (B̂0 ) ≥ Q◦0 (B̂0 )(28)と表される．V F (B̂0 ) は時点 t1 での実施を t0 で決定する

施した場合，期待純価値

P0◦ (B̂0 ) = ηE[Φ◦1 (B1 )|B̂0 ] − C1

(27)

0

情報の価値 V I(B̂0 ) の和 P V (B̂0 ) = V F (B̂0 ) + V I(B̂0 )で表現できる．一方，now-or-never 原則の下での期待純価値は

Ψ◦0 (B̂0 ) = {P0◦ (B̂0 ), 0}と表される．タイミングオプション価値δ0 (B̂0 ) は

δ0 (B̂0 ) = V F (B̂0 ) + V I(B̂0 ) − Ψ◦0 (B̂0 )
(24)

(30)

(31)

と分解できる．定義より，第１項と第２項は非負であと表される．上式が等号で成立するような臨界価値をり，第３項は非正となる．タイミングオプション価値B0γ と定義しよう．このような臨界価値 B0γ が存在する

は時点 t0 でプロジェクトの実施を留保することにより

得られる期待純価値 V F (B̂0 )+V I(B̂0 ) と now-or-neverと分割しよう．ただし，原則による期待純価値Ψ◦0 (B̂0 ) の差で表される．前者の効果が卓越する場合，タイミングオプション価値は正の値をとり，後者の効果が卓越する場合には負の値をとる．

∆3 = Ψ0 (B̂0 ) − Ψ◦◦
0 (B̂0 )(36a)∆4 = Ψ0 (B̂0 ) − Ψ◦◦◦0 (B̂0 )(36b)である．ここで，∆3 は再評価システムに事前評価の見時点 t0 でプロジェクト価値B̂0 の下で最適な投資戦略によって獲得できる最適期待純価値Ψ◦◦◦0 (B̂0 ) は◦◦Ψ◦◦◦
0 (B̂0 ) = max{P0 (B̂0 ), Q0 (B̂0 )}前評価の見直し機能に再評価機能を付加したことによる(32)と表すことができる．この時，事前評価の見直し機能◦の導入による経済効果はΨ◦◦◦0 (B̂0 ) とΨ0 (B̂0 ) の差∆2

追加的効果を表す．Ψ0 (B̂0 ) は事前評価の見直しと再評価を導入した時の最適値関数であり，∆3 ≥ 0，∆4 ≥ 0
が常に成立する（付録 I 参照）．ただし，∆3 と∆4 の大小関係は問題によって異なり定性的に評価できない．また，基本モデルにおける臨界価値 B0∗ と臨界価値 B0β の間◦∆2 = Ψ◦◦◦0 (B̂0 ) − Ψ0 (B̂0 )



 0
=
Q◦0 (B̂0 ) − P0◦ (B̂0 ) ◦Q0 (B̂0 )直し機能を導入したことによる追加的効果を，∆4 は事には B0∗ ≥ B0β という関係が成立する（付録 I 参照）．しB̂0 ≥ B0γ の時
B0γ > B̂0 ≥ B0α の時
B0α > B̂0 の時(33)として評価される．プロジェクト価値がB̂0 ≥ B0γ の場
合，いずれの評価方式を用いても時点 t0 でプロジェク
トが実施され，ともに期待純価値 P0◦ (B̂0 ) を獲得する．

B0γ > B̂0 ≥ B0α の場合，now-or-never 原則に基づく費用便益分析の場合にはプロジェクトは採択されるが，事前評価の見直しの機会を導入した場合には採択されない．一方，B0α > B̂0 の場合，いずれの方式でもプロジェ
クトは採択されない．しかし，プロジェクトが採択されない場合でも，事前評価の見直しによりプロジェク

かし，臨界価値 B0∗ と B0α ，B0∗ と B0γ の大小関係は確率密度関数 g(B1 |B̂0 )，g(B2 |B̂0 ) に依存し，一意的に決定できない．以上の議論を以下の命題としてとりまとめる．
命題 プロジェクトが採択される臨界価値 B0∗ および B0αと B0β ，B0γ の間に

1) B0γ ≥ B0α ≥ B0β
2) B0∗ ≥ B0β
が 成 立 す る ．ま た ，最 適 値 関 数Ψ0 (B̂0 )，Ψ◦0 (B̂0 )，◦◦◦Ψ◦◦0 (B̂0 )，Ψ0 (B̂0 ) の間に◦
3) Ψ0 (B̂0 ) ≥ Ψ◦◦
0 (B̂0 ) ≥ Ψ0 (B̂0 )◦4) Ψ0 (B̂0 ) ≥ Ψ◦◦◦0 (B̂0 ) ≥ Ψ0 (B̂0 )が成立する．

トが復活される可能性があるため，最適値関数値はゼロとならない．式 (33) より∆2 ≥ 0

すなわち，命題より本研究で提案したような事前・再(34)が常に成立することが保証される（付録 I 参照）．

評価システムの下では，事前評価の見直し機能・再評
価機能を導入することによりプロジェクト実施の効率性を常に増加することが可能であることが理解できる．

（４）事前・再評価問題の構造以上で分析したように，now-or-never 原則による費５．モデルの拡張

用便益分析に再評価機能を導入することにより，プロジェクトが採択される臨界価値は小さくなる．一方，事（１）モデルの拡張方針

前評価の見直し機能を導入すれば臨界価値は大きくな

基本モデルでは事前評価の見直し，および再評価をる．また，再評価機能，事前評価の見直し機能のいず

最大限１回のみ許していた．この仮定は，事前・再評れを導入した場合も，最適値関数で表される評価シス

価問題の構造をできる限り簡単にするために設けたもテムの効率性は必ず増加することが保証される．つぎのである．このような評価の見直しの機会を導入するに，再評価機能と事前評価の見直し機能の双方を導入ことにより，事前評価の時点において獲得できるプロ

した基本モデルと now-or-never 原則に基づく費用便益

ジェクトの期待純価値を増加させることが可能になる．

分析を比較し，事前・再評価機能の導入の経済効果をしかし，事前評価の見直し評価，及び再評価において分析しよう．基本モデルの最適値関数Ψ0 (B̂0 ) と最適値

は now-or-never 原則に基づいた費用便益分析を採用し関数Ψ◦0 (B̂0 ) の差∆をている．見直し評価，再評価の機会が増加すれば，プロ
ジェクトの期待純価値がさらに増加する可能性がある．

∆ = Ψ0 (B̂0 ) − Ψ◦0 (B̂0 )そこで，基本モデルを図−５に示すように拡張し，事= ∆1 + ∆3(35a)

前評価・再評価の見直しを反復できるような評価シス= ∆2 + ∆4(35b)

テムを提案する．なお，事前評価，再評価の見直しを図−５ 拡張モデルの評価構造

何度反復しようとも，反復回数が有限である限り，最可能である．基本モデルの場合と同様に，プロジェク

後の見直し評価は now-or-never 原則で実施されること

ト費用は時間を通じて不変であり，事前・再評価費用はになり，プロジェクトの不可逆性の問題が解消できる

無視できるものとする．

わけではない．この問題を抜本的に解決するためには，評価費用を導入し，無限回の反復を許容した事前・再（３）再評価問題のモデル化

評価システムを提案する必要があるが，本稿の域を越時点 ti (i = 0, · · · , M ) においてプロジェクトが採択えており，ここでは取り上げない．以下では見直し評され，時点 ti+k まで再評価が繰り返され，k (N − 1 ≥価の反復回数の上限値の変化が基本モデルの評価結果

k ≥ 1) 回目の再評価が行われる問題を考える．再評価
により，プロジェクト価値の当該期価値B̂i+k を観測しに及ぼす影響について分析する．

たと考える．ここで，観測値B̂i+k の下で，時点 ti+k 以（２）モデルの前提条件
意思決定主体は初期時点より一定期間τ 毎にプロジェ
クトの事前評価を行い，当該プロジェクトを開始するかどうかを決定する．事前評価の見直し回数の上限値
を M とする．いま，i (i = 1, · · · , M ) 回目の事前評価の見直しを行う時点を ti = t0 + iτ と表そう．最初の事前

降最適に再評価を実施した時に獲得できるプロジェク
ト期待純価値の最大値を表す最適値関数ΦN
i+k (B̂i+k ) を{ΦN
i+k (B̂i+k ) = max B̂i+k − C2 ,
}
(37)
ηE[ΦN
i+k+1 (Bi+k+1 )|B̂i+k ]と定義しよう．ただし，ΦN
i+k+1 (Bi+k+1 ) は i + k + 1 期
でプロジェクト価値 Bi+k+1 の下で定義される i + k + 1

評価を実施する初期時点を t0 と表す．基本モデルと同期の最適値関数である．上付き添え字 N は再評価の反様に，プロジェクトは２段階にわけて実行され，第１段

復回数の上限が N であることを表す．また，階の投資費用を C1 で，第２期の投資費用を C2 と表す．
時点 ti にプロジェクトを開始した場合，時点 ti+1 において第１回目の再評価を行う．再評価の反復回数の上限
値を N とする．基本モデルの場合とは異なり，第 N 回目の再評価の場合を除いて，１）プロジェクトを継続

E[ΦN
i+k+1 (Bi+k+1 )|B̂i+k ]∫ ∞=ΦN
i+k+1 (Bi+k+1 )g(Bi+k+1 |B̂i+k )dBi+k+1 (38)0である．最終再評価時点 ti+N で観測値B̂i+N を得た時の最適値関数ΦNi+N (B̂i+N ) はという選択肢が存在する．のちに言及するように，再{}ΦN
i+N (B̂i+N ) = max B̂i+N − C2 , 0

評価費用を無視しているために，最終段階以外でプロと表せる．なお，各期の最適値関数は最終期の最適値

ジェクトを破棄するという選択肢を考える必要はない．

関数 (39) を境界条件として再帰的に求めればいい．最第 N 回目の再評価では，１）プロジェクトを継続する，適値関数 (37),(39) の定義より，最適値関数ΦN
i+k (B̂i+k )２）プロジェクトを廃止するという選択肢のみが利用が負になることはなく，最終再評価時点以前にプロジェ

する，２）プロジェクトを凍結し，改めて再評価を行う(39)

クトを破棄する必要はない．この結果は，再評価費用をゼロと仮定していることにより生じている．

（５）事前・再評価の経済効果
初期時点 t0 でプロジェクト価値B̂0 を観測したとしよう．この時点で M 回の事前評価の見直し，N 回の再評

（４）事前評価問題のモデル化

価を導入した事前・評価システムの下で達成可能な最事前評価時点 ti (i = 0, · · · , M − 1) に着目しよう．当

適期待純価値はΨ̃M,N(B̂0 ) で表される．また，now-or0

該時点でプロジェクトを実施した場合，時点 ti+1 で１

never 原則に基づく費用便益分析により獲得される最適回目の再評価が行われる．第１回目の再評価時点での期待純価値はΨ◦0 (B̂0 ) で表される．したがって，事前評

プロジェクト価値が Bi+1 の場合，第１回目の再評価時

価，再評価の見直し機能を導入することにより獲得で点における最適値関数はΦN
i+1 (Bi+1 ) と表される．した

きる経済価値∆(M, N ) はがって，プロジェクト価値B̂i の時，再評価時点 ti+1 で獲得できる最適期待純価値 E[ΦN
i+1 (Bi+1 )|B̂i ] は

E[ΦN
i+1 (Bi+1 )|B̂i ]∫ ∞=ΦNi+1 (Bi+1 )g(Bi+1 |B̂i )dBi+1(45)と表される．なお，基本モデルは以上で定式化した拡張モデルの特殊ケースに他ならず，４．
（４）で定義した(40)0と表せる．この時，事前評価時点 ti においてプロジェク
トを実施したことによる期待純価値 PiN (B̂i ) は

PiN (B̂i ) = ηE[ΦN
i+1 (Bi+1 )|B̂i ] − C1∆(M, N ) = Ψ̃M,N(B̂0 ) − Ψ◦0 (B̂0 )0(41)と表される．つぎに，時点 ti でプロジェクト採択を見送

経済評価指標∆1 ，∆2 は，それぞれ∆(0, 1)，∆(1, 0) に一致する．また，任意の M, N と M 0 ≥ M 00 ，N 0 ≥ N 00となる任意の M 0 , M 00 ，N 0 , N 00 に対して∆(M 0 , N ) ≥ ∆(M 00 , N )
0

(46a)

00

∆(M, N ) ≥ ∆(M, N )
0

(46b)
00

り期間τ 後に改めて事前評価の見直しを行う場合を考えが成立する．一方，臨界価値 B0M ,N ，B0M ,N に関しては

よう．時点 ti でプロジェクト価値B̂i が観測され，時点 ti

B0M ,N ≥ B0M ,N以降に最適なプロジェクト選択を行った場合に獲得できる最適期待純価値をΨM,N(B̂i ) と表そう．上付き添えi
字 M, N は事前評価，再評価の見直しをそれぞれ M ，N

0

00

(47)
0

が成立する（付録 I 参照）．しかし， B0M,N ，B0M,N

00の大小関係は確率密度関数 g(Bi+1 |B̂i ) に依存し，一意的に決定できない．ここに，つぎの系を得る．

回反復することを意味する．時点 ti でプロジェクトを留保したときの期待純価値の当該期価値は系 事前・再評価費用が無視できる時，事前評価・再評

ηE[ΨM,N
i+1 (Bi+1 )|B̂i ]
{∫ ∞
}
M,N
=η
Ψi+1 (Bi+1 )g(Bi+1 |B̂i )dBi+1 (42)0価の見直し回数の上限値を増加させるほど評価システ
ムの経済価値は増加する．また，事前評価の見直し回数を増加させるほど，初期時点における臨界価値は増と表される．最適値関数ΨM,N
i+1 (B̂i ) は時点 ti+1 以降，最加する．一方，再評価の見直し回数と臨界価値の関係

適なプロジェクト選択を実施した場合に定義できる関は定性的に判断できない．

数である．そこで，事前評価時点 ti における最適値関数
を再帰的に定義すれば，事前評価問題は
{
ΨM,N
(
B̂
)
=
max
PiN (B̂i ),ii

ηE[ΨM,N
i+1 (Bi+1 )|B̂i ]６．数値計算事例}（１）数値計算の方針(43a)(i = 1, · · · , M − 1)NΨM,NM (B̂M ) = max{PM (B̂M ), 0}

数値計算事例の目的は，読者の便宜を図るため，以上で証明した命題，系の内容を数値計算事例を通じて(43b)

説明することにある．また，プロジェクト価値のリスと定式化される．最適値関数ΨM,N(B̂i ) はプロジェクト
i

クの多寡が事前・再評価結果に及ぼす影響を解析的に

価値B̂i に関する未知関数であり，事前評価問題は関数
方程式 (43a) を満足するような未知関数ΨM,N(B̂i ) を求iめる問題に帰着される．いま，関数方程式 (43a) の解Ψ̃M,N(B̂i ) が既知であるとしよう．この時，事前評価時
i
点 ti においてプロジェクトが採択される条件はPiN (B̂i ) ≥ ηE[Ψ̃M,N
i+1 (Bi+1 )|B̂i ]評価することは困難であるので，数値計算事例を通じてその影響を分析することとする．以下では，仮想的な計算事例を通じて事前・再評価モデルの特性を分析することとするが，適用事例に関しては今後の課題としたい．いま，時間軸上で刻々と変化するプロジェク
ト価値が幾何ブラウン運動に従うと仮定すれば，事前・(44)

再評価時点 ti におけるプロジェクト価値の観測値B̂i のと表される．上式が等号で成立するような臨界価値を下での時点 ti+1（プロジェクトが完成していない場合）

BiM,N (i = 1, · · · , M − 1) と表すこととする．

におけるプロジェクト価値 Bi+1 の条件付き確率密度関図−６ プロジェクト価値と期待純価値

図−７ σ と臨界価値数 g(Bi+1 |B̂i ) は対数正規分布

g(Bi+1 |B̂i ){ (ln B2}
1
i+1 − ψi )
(48)
=√
exp −
2σ 2 τ
2πτ σBi+1(σ2 )ψi = ln B̂i + µ −τ2で表される（付録 II 参照）．数値計算にあたっては，プロジェクトの投資費用を C = 1.0 に設定する．事前評
価・再評価は 5 年ごとに実施すると考えτ = 5 とする．
割引率を年率 4%とすれば割引係数はη = 0.82 となる．
ここで，対数正規分布 (48) のパラメータµ，σ を変化させ，時点 t0 におけるプロジェクト評価の結果に及ぼす影響を分析する．

図−８

M ，N と臨界価値（２）計算結果の考察
以上の理論的分析より，事前・再評価モデルに関して以下の特性が明らかになっている．すなわち，事前κ = 0.5 と設定した．この図より，命題に示した臨界価
値の大小関係を読み取れる．ただし，B0∗ と B0◦ , B0γ と視できる限り，プロジェクトの期待純価値は増加する．

B0∗ の大小関係に関しては確率密度関数 g(B1 |B̂0 ) に依存し，一般的な大小関係を一意的に決定できない．最適

しかし，事前評価・再評価の見直しが臨界価値に及ぼす値関数の定義より，問題０の最適値関数Ψ0 は関数 P0 と影響は複雑である．再評価の導入によりプロジェクト過程においてプロジェクトの中止を実施することが可能

Q0 の中でより大きな値をもつ関数を用いて定義されて◦◦いる．問題３の最適値関数Ψ◦◦◦0 は関数 P0 と Q0 に対しとなる．このような中止オプションを考慮することによて同様に定義される． 図−７は，プロジェクトのリスク

り，プロジェクトの不可逆性がもたらす損失を部分的に軽減できる．したがって，事前評価を now-or-never 原σ と臨界価値の関係を分析した結果を示している．なお，µ = 0.02，κ = 0.5 と設定した．now-or-never 原則に基則による費用便益分析で実施する場合，再評価を導入

づいた問題１の場合，σ を変化させても臨界価値 B0α はすることにより，プロジェクトが採択される臨界価値

変化せず，プロジェクト評価においてリスクを考慮できは小さくなる．一方，事前評価の見直しの導入により，ないことが理解できる．再評価のみを考慮した問題２でプロジェクトを正当化できる臨界価値は大きくなる．こは，σ が大きくなるほど臨界価値 B0β が小さくなる．再のような特性を数値計算により再確認してみよう．

評価において期待純価値が負になればプロジェクトを中評価・再評価の見直しを行うことにより，評価費用が無

図−６は時点 t0 での選択行動がもたらす期待純価値

止することができる．一方，σ が大きくなれば，より大P0 ，P0◦ ，Q0 ，Q◦0 と最適臨界水準 B0∗ ，B0α , B β ，B0γ のきな価値を獲得できる可能性が生じる．そのため，σ が関係を表したものである．ここで，µ = 0.02，σ = 0.7，

大きくなれば臨界価値 B0β が小さくなる．now-or-never原則に基づいて事前評価を行う場合，再評価の導入に値がプロジェクトの採択基準を「どの程度上回っていより，よりリスクが大きいプロジェクトが採択される傾

ればいいのか」を判断するための１つの基準を与える

向が現れる．事前評価の見直しの機会を導入した問題ことができる．いま，プロジェクト価値の条件付確率（問題０，および問題３）では，σ が大きくなればタイ分布が既知であると想定しよう．プロジェクトの感度

ミングオプション価値も大きくなり，臨界価値も大きく分析において，たとえば初期時点 t0 において時点 t1 になる．換言すれば，プロジェクトの実施により慎重な対おけるプロジェクト価値の予測値に関して楽観的予想

応が必要となる．また，σ がそれほど大きくない場合，

値B 1 ，中央値 E[B1 ]，悲観的予想値B 1 を 1 − G(B 1 |B̂0 ) = ε
G(E[B1 ]|B̂0 ) = 0.5

G(B 1 |B̂0 ) = ε

臨界水準 B0∗ と B0γ の大小関係がリスクσ に依存して逆転するケースが存在している．当然のことながら，この結果は数値計算で用いた確率密度関数に依存しており，
以上から一般的な結論を導くことはできない．最後に，
図−８は，パラメータをそれぞれµ = 0.02，σ = 0.3，

κ = 0.5 に設定し，拡張モデルの M あるいは N のみを単独に変化させ，時点 t0 における臨界価値がどのように変化するかを示したものである．ただし，変化させない方の M あるいは N の値を 1 に固定している．本計
算事例の場合，事前評価の回数 M を増加させることにより臨界価値は単調に増加する．一方，再評価の回数

N を増加させることにより，臨界価値は単調に減少するという関係が見出せる．しかし，再評価が臨界価値に及ぼす影響はプロジェクトリスクの内容に依存し，再評価の回数と臨界価値の関係はプロジェクト環境に応(49)と想定したとしよう．ここに，関数 G(B1 |B̂0 ) は観測値

B̂0 の下での B1 に関する条件付確率分布関数であり，たとえば対数正規分布 (48) の分布関数を考えることができる．また，εはパラメータであり，たとえば 0.1，ある
いは 0.05 という値を想定することができる．現時点でのプロジェクト価値B̂0 ，予想値B 1 ，E[B1 ]，B 1 が得られれば，対数正規分布のパラメータµ，σ 2 は式 (49) より求めることができる．プロジェクトリスクの確率分布の推計に関しては今後のデータの蓄積や研究成果を待たざるを得ないが，確率分布の関数形をたとえば対数正規分布 (48) に特定化すれば感度分析の成果を事前・再評価システムに組み入れることが可能となる．

じて判断せざるを得ない．なお，以上の結果は，評価費用を無視した場合に成立する事項である．

（４）今後の課題
本研究では，事前・再評価システムの論理的な構造（３）実用化への示唆を理論的に分析することを目的としており，事前・評価

公共プロジェクトの費用便益分析では，プロジェク

システムをできる限り簡単なプロトタイプモデルとしトの採択基準としてプロジェクトのタイプに関わらずて表現した．一方，現実の事前・再評価において考慮す

一律の費用便益比を用いることが多い．採択基準の一べき多くの要因を無視していることも事実である．プ

律化を図ることにより，採択基準の設定に恣意性が介

ロトタイプモデルで無視された事項として，１）事前・在することを防ぐことが可能となる．一方，プロジェ

再評価の費用，２）事業完成が遅延することにより発クト価値の変化トレンドµ，リスクの大きさσ が異なれ生する直接的な費用，３）スクラップ費用などがあげばプロジェクトの合理的な採択基準は異なる．タイミ

られる．また，本来モデルにおいて内生的に決定されングオプション価値が大きい場合，プロジェクト採択

るべき変数であるにも関わらず，外生的に与えているの臨界価値は大きくなる．タイミングオプションが無パラメータとして４）評価間隔τ ，５）再評価回数 N ，視できないプロジェクトでは，プロジェクトの採択基

６）事前評価の見直し回数 M ，７）プロジェクトの段準である B/C 比に対してリスクプレミアムの相当する

階的分割方法（プロジェクト分割比率κや分割方法）な

マークアップを実施する（採択基準である B/C 比を大どがあげられる．これらの要因のうち，１，）２），３）きくする）ことが必要となる．

および５），６）に関しては，前述のような無限的視野

費用便益分析の実務ではプロジェクト価値のリスクを持つ最適評価停止モデルを定式化することにより克に関して感度分析が実施される場合が多い．しかし，感服できる．基本モデルに３），４）を反映することは容度分析の結果は１つの参照情報としての意義を持つも易であり，これらの要因を考慮してもモデルの本質的のの，その結果をプロジェクト採択基準にどのようにな構造は変化しない．７）の問題を考慮するためには，反映させるべきかに関して明確な考え方が存在していプロジェクトの効率的な分割と部分プロジェクトの優ない．本研究で提案した事前・評価システムを用いれ先順位を決定するための方法論を開発する必要がある．

ば，感度分析の結果を採択基準のマークアップ率に反本研究ではプロジェクトが２つの部分プロジェクトに映させることが可能となる．あるいは，プロジェクトにあらかじめ分割されており，２つのプロジェクトが完リスクが存在する場合，プロジェクトの平均的な B/C成してはじめてプロジェクト便益が発生する場合をとりあげた．プロジェクトによれば，第１期のプロジェク

存在するためプロジェクトを最適タイミングで実施でトが完成した段階で，プロジェクト便益が発生する場

きるとは限らない．予算制約の中で複数プロジェクト

合もあろう．このようなプロジェクトでは，プロジェクを採択するという現実的な問題設定の中で事前・再評

トの分割方法や初期投資の内容を合理的に決定するこ

価をどのようにシステム化すべきかという問題が残さとにより，プロジェクトをより効率的に実施することれている．最後に，プロジェクト価値のリスクを定量が可能となる．プロジェクトの分割と優先順位の決定

的に計測する方法論を開発することが必要である．特問題に対しては，本研究で提案した事前・評価システムに，プロジェクトの事後評価による知見を今後のプロを部分システムとして包含するような最適プロジェク

ジェクト評価に反映させていくためには，この種の計

ト分割モデルを開発することが必要となる．

量経済学的発展が不可欠である．

７．おわりに

付録 I

命題の証明

本研究では，プロジェクトの事前・再評価問題にリ
アルオプション理論を導入し，事前・再評価間の動学的

１）B0α ≥ B0β の証明 ∆P0 (B̂0 ) = P0 (B̂0 )−P0◦ (B̂0 )．

な関連性とプロジェクトの不可逆性を考慮に入れた動式 (18) より任意のB̂0 に対して∆P0 (B̂0 ) ≥ 0 は自明．

学的なプロジェクト評価手法を提案した．さらに，事したがって，任意のB̂0 ≥ 0 に対して常に P0 (B̂0 ) ≥前評価，再評価の見直しを導入することによる経済効P0◦ (B̂0 ) が成立する．よって，P0◦ (B0α ) = 0 となる B0α

果を評価する指標を提案した．その結果，１）再評価をに対して P0 (B0α ) ≥ P0◦ (B0α ) が成立．P0 (B̂0 )，P0◦ (B̂0 )

導入することによりプロジェクトの不可逆性に伴うリはB̂0 に関して単調増加．よって，B0α ≥ B0β が成立．２）

スクを緩和することが可能となり，事前評価で採択さ前評価の見直しを導入することにより，サンク費用のB0α ≤ B0γ および∆2 ≥ 0 の証明 定義より，任意のB̂0に対して常に Q◦0 (B̂0 ) ≥ 0 が成立．P0◦ (B̂0 ), Q◦0 (B̂0 ) は
定義よりB̂0 に関して単調増加関数である．B̂0α ≥ B̂0 と損失を回避するために追加的情報を獲得するまでプロなる任意のB̂0 に対して P0◦ (B̂0 ) ≤ 0 が成立．したがっジェクト採択を延期することが可能となるため，プロて，そのようなB̂0 に対して常に P0◦ (B̂0 ) ≤ Q◦0 (B̂0 ) がジェクト採択の臨界価値は増加することが明らかとなっ成立．Q◦0 = P0◦ となる B0γ が存在すれば，B0γ ≥ B0α

た．また，事前・再評価費用が無視できる場合，評価となることは明らか．３）∆3 ≥ 0, ∆4 ≥ 0 の証の見直し回数の上限を増加させるほど，事前・再評価

明システムの経済価値は増加することが明らかとなった．

の最大値を表している．一方，∆1 ≥ 0，∆2 ≥ 0 が

以上は，本研究の前提条件が成立する範囲の中で成立成立することより，∆3 ≥ 0, ∆4 ≥ 0 は自明．４）

する事項であるが，事前評価と再評価の関係に関するれるプロジェクトの臨界価値は減少すること，２）事

Ψ0 (B̂0 ) ≥ 0 はB̂0 の下で達成可能な期待純価値

本研究ではもっとも単純な事前・再評価システムを

B0∗ ≥ B0β の証明 ２）の証明において P0◦ (B̂0 )，Q◦0 (B̂0 )を P0 (B̂0 )，Q0 (B̂0 ) に置換すればいい．５）系の証明
再評価の回数の上限値を変化させた場合に着目す

とりあげ，事前・再評価問題の構造を分析したものであ+1
る．ΨM,N(B̂i )≥ΨM,N(B̂i ) を証明する．ΨM,N(B̂i )ii
iる．もとより，プロジェクトの事前・再評価システムは+1≥ ΨM,N(B̂i ) の 場 合 はΨM,N(B̂i ) ≥ ΨM,N
(B̂i )
i
i
i

本研究でとりあげたシステム以外にも多様なタイプが+1
を 繰 り 返 し 適 用 す れ ば 証 明 で き る ．Φ N
i+N (B̂i+N )存在し，それぞれのタイプに応じた問題構造の分析が+1= max{B̂i+N −C2 , E[ΦN
i+N +1 (B̂i+N +1 )|B̂i+N ]}．一方，ΦN
i+N (B̂i+N ) = max{B̂i+N −C2 , 0}．定義より，有用な知見を得ることができたと考える．

必要となることは言うまでもない．今後の課題に関し

000

ロトタイプに関しても，以下のような研究課題が残さ

+1
N +1
E[ΦN
i+N +1 (B̂i+N +1 )|B̂i+N ]}≥ 0．したがって，Φi+N(B̂i+N )≥ ΦNi+N (B̂i+N ) が成立．以上の評価を再帰的れている．第１に，評価費用を無視できない場合，事+1Nに繰り返すことにより，ΦN
i+1 (B̂i+1 ) ≥ Φi+1 (B̂i+1 )前評価，再評価の最適な見直し回数が存在する．この+1
Nが成立．よって，E[ΦN
i+1 (B̂i+1 )|B̂i ]≥ E[Φi+1 (B̂i+1 )|問題を分析するためには評価費用を考慮した無限的視+1B̂i ]．これより，ΦN(B̂i )≥ΦNi (B̂i ) が成立．すなわち，i野を持つ多段階意思決定モデルを開発することが必要となる．第２に，プロジェクトの最適分割の問題があ

PiN +1 (B̂i ) ≥ PiN (B̂i )．さらに，ΨM,N(B̂i ) に関して同i+1M,N様の手順を踏めばΨM,N(B̂
)≥Ψ(B̂i )．したがっiii

る．特に，プロジェクトの部分的供用により便益が発て，∆(M, N + 1)≥ ∆(M, N )．事前再評価の上限値を生する場合，事前・再評価問題の枠組みの中でプロジェ変化させた場合も２）および５）のこれまでの手続き

クトの望ましい分割方法や着工区間の優先順位を決定と同様の方法でΨiM +1,N (B̂i )≥ ΨM,N
(B̂i )，B0M +1,N ≥iすることが必要となる．第３に，現実には予算制約が

B0M,N を示すことができる．証明略．

ては６．
（４）でとりまとめたが，本研究で着目したプ付録 II

プロジェクトリスク

任意の時点 t におけるプロジェクトの期待価値の当該期価値 B(t) が幾何ブラウン過程

dB(t) = µB(t)dt + σB(t)dW (t)(50)に従うと仮定する．ただし，µ, σ はプロジェクト価値の増加率およびボラティリティーを表し，定数であるとする．また，W (t) はウィナー過程であり，1) W (t) は連続であり W (0) = 0 である，2) W (t) は正規分布 N (0, t)に従う，3) 増分 W (s + t) − W (s) は正規分布 N (0, t) に従い，時刻 s までの W (t0 ) の履歴とは独立である，という３つの性質を満足する20) と仮定する．プロジェクトの期待価値はある所与の手続きにより測定することができるが，その値は測定しない限り知ることはできな
い．したがって，プロジェクトの期待価値過程 (50) は，
事前評価時点 t0 , t1 , t2 においてのみ観測可能である．
この時，時点 t0 で価値B̂0 を観測した場合，将来時点 t1
おける価値は対数正規分布 (48) に従うことになる．
参考文献
1) 公共事業評価システム研究会：公共事業評価の基本的考
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18) Schwartz, E. S. and Trigeorgis, L. (eds.): Real Options and Investment Under Uncertainty: ClassicalReadings and Contributions, MIT Press, 2001.
19) 上田孝行: 事前・事中・事後評価の共通フレームに向けて，土木学会第 55 回年次学術講演会・講演概要集，2000．
20) たとえば, Baxter, M. and Rennie, A.: Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing, Cambridge University Press，1996．
(2002.9.20 受付)

PREEVALUATION AND REEVALUATION OF PROJECTS
Toshimori OTAZAWA and Kiyoshi KOBAYASHIIn this paper, an evaluation methodology of projects is presented, which explicitly incorporates interactions bewteen preevaluation and reevaluation. The benefits of reevaluation is to reduce the irrevesibility
issues caused by the projects. The benefits of revising the foregoing decision making given the additional
information which can be obtained as time goes by can be formulated as two types of real options: exiting
options and timing options. The real option theory provides the basic scheme to integrate the evaluation
results obtained in deferent points in time.