Braid group action on aﬃne Yangian
小寺諒介
神戸大学 大学院理学研究科

概要
ヤンギアンへのブレイド群作用を導入しその性質を調べる．アファイン A 型の場合の evaluation 写像への応用についても述べる．

1 ヤンギアンへのブレイド群作用
g を対称化可能 Kac-Moody Lie 代数とし，その Chevalley 生成元を ei , fi , hi (i ∈ I)とする．

Ti = exp ad ei ◦ exp ad(−fi ) ◦ exp ad ei
によって g の自己同型を定義すると，{Ti }i∈I はブレイド群の関係式を満たす．

g の Cartan 行列を (aij )i,j∈I とし，di aij = dj aji を満たす整数列 (di )i∈I を固定する．
−ヤンギアン Y (g) は x+i,r , xi,r , hi,r (i ∈ I, r ∈ Z≥0 ) で生成され次の関係式で定義される C代数である．

[hi,r , hj,s ] = 0,−[x+i,r , xj,s ] = δij hi,r+s ,±[hi,0 , x±j,r ] = ±di aij xj,r ,ℏ±±±[hi,r+1 , x±j,s ] − [hi,r , xj,s+1 ] = ±di aij (hi,r xj,s + xj,s hi,r ),2ℏ ± ±±±±± ±[x±i,r+1 , xj,s ] − [xi,r , xj,s+1 ] = ±di aij (xi,r xj,s + xj,s xi,r ),2∑±±±[x±i,rw(1) , [xi,rw(2) , . . . , [xi,rw(1−a ) , xj,s ] . . . ]] = 0 (i ̸= j)ijw∈S1−aij

ここで ℏ ∈ C はパラメータである．
−1/2 +xi,0 ,

ei := di−1/2 −xi,0 ,fi := diWebsite: http://www2.kobe-u.ac.jp/˜kryosuke/1

hi := [ei , fi ] = d−1
i hi,0とおけば，ei , fi , hi (i ∈ I) は U (g) と同型な部分代数を生成し，Chevalley 生成元と同一視される．これを使って，Y (g) の自己同型 Ti を先と同じ式で定義する．
命題 1.1（[K1] Proposition A.1） {Ti }i∈I はブレイド群の関係式を満たす．
証明は，{Ti }i∈I を g の自己同型と見た場合と全く同じである．これを aij = 0 の場合に説明する．ブレイド関係式は Ti Tj = Tj Ti なので，Ti Tj Ti−1 = Tj を示せばよい．

Ti Tj Ti−1 = exp ad Ti (ej ) ◦ exp ad Ti (−fj ) ◦ exp ad Ti (ej )であり，g の関係式によって Ti (ej ) = ej , Ti (fj ) = fj である．他のブレイド関係式も，gの関係式だけを使って証明される．

2 余積との整合性(1)(2)

g が有限型およびアファイン型（但し A1 , A2 は除く）の場合，Y (g) は余積 ∆ を持つ．
（定義は [GNW] を見よ）
命題 2.1（[K1] Proposition A.4） ∆ ◦ Ti = (Ti ⊗ Ti ) ◦ ∆ が成り立つ．
証明は，∆ の具体形と次を使った計算による．

ℏ
−−−

−xi,1 + 2 (hi,0 xi,0 + xi,0 hi,0 ) (i = j)
−1/2 + (−aij ) +Ti (x+j,1 ) =(ad dixi,0 )(xj,1 )
(aij < 0) +xj,1(aij = 0)

3 evaluation 写像への応用(1)以降，N ≥ 3 とし，(aij )0≤i,j≤N −1 は AN −1 型 Cartan 行列とする．この場合，2 パラ

ˆ N ) が次で定義される．
メータ ε1 , ε2 ∈ C を持つヤンギアン Yε1 ,ε2 (sl[hi,r , hj,s ] = 0,−[x+i,r , xj,s ] = δij hi,r+s ,±[hi,0 , x±j,r ] = ±aij xj,r ,ε1 − ε2ε1 + ε2±(hi,r x±[hi,r , x±j,s + xj,s hi,r ) − mijj,s ],22
ε1 + ε2 ± ±ε1 − ε2 ± ±±±±±[x±(xi,r xj,s + x±
[xi,r , xj,s ],i,r+1 , xj,s ] − [xi,r , xj,s+1 ] = ±aijj,s xi,r ) − mij
22∑±±±[x±i,rw(1) , [xi,rw(2) , . . . , [xi,rw(1−a ) , xj,s ] . . . ]] = 0 (i ̸= j)±[hi,r+1 , x±j,s ] − [hi,r , xj,s+1 ] = ±aijijw∈S1−aij2但し mij = δi,j+1 − δi,j−1 とする．

ˆ N ) の関係
ℏ = ε1 + ε2 とおく．上の関係式で ε1 = ε2 としたものが 1 節で導入した Y (slˆN)式である．2 パラメータの場合にも Ti が同様に定義でき，命題 1.1 と 2.1 が Yε ,ε (sl12に対しても成り立つ．

ĝlN = glN ⊗ C[t, t−1 ] ⊕ Cc を glN に付随するアファイン Lie 代数とする．c は中心元である．ĝlN の元 X ⊗ ts (X ∈ glN ) を X(s) と略記する．また，Ei,j を (i, j) 成分が 1で他が 0 の N × N 行列とし，glN の元と見なす．

Guay によって，次のような代数準同型写像が導入された．
定理 3.1（Guay [G], [K2] Theorem 3.8） K, α を複素数とする．パラメータに関すˆ N ) から U (ĝlN )/(c − K) の完備化へのる条件 Kℏ = −N ε1 の下で，ヤンギアン Yε1 ,ε2 (sl代数準同型写像 ev+α が以下によって定まる．
+ev+
α (xi,0 ) = ei ,+ev+
α (xi,1 ) =−ev+α (xi,1 ) =−ev+
α (xi,0 ) = fi ,ev+α (hi,0 ) = hi ,N∑∑(α − N ε1 )e0 + ℏEN,k (−s)Ek,1 (s + 1) (i = 0),s≥0k=1
(α − iε )e1iiN)∑(∑∑
+ℏEi,k (−s)Ek,i+1 (s) +Ei,k (−s − 1)Ek,i+1 (s + 1)s≥0k=1k=i+1(i ̸= 0),

N
∑∑



(α − N ε1 )f0 + ℏ
E1,k (−s − 1)Ek,N (s) (i = 0),s≥0 k=1(α − iε )f1iiN)∑(∑∑
+ℏE(−s)E(s)+E(−s−1)E(s+1)
i+1,kk,ii+1,kk,is≥0k=1k=i+1(i ̸= 0),3(α − N ε1 )h0 − ℏEN,N (E1,1 − K)


N ()
∑∑

+ℏEN,k (−s)Ek,N (s) − E1,k (−s − 1)Ek,1 (s + 1)
(i = 0),s≥0k=1(α − iε1 )hi − ℏEi,i Ei+1,i+1+evα (hi,1 ) =iN
∑(∑∑



+ℏEi,k (−s)Ek,i (s) +Ei,k (−s − 1)Ek,i (s + 1)s≥0 k=1k=i+1iN)∑∑
−Ei+1,k (−s)Ek,i+1 (s) −Ei+1,k (−s − 1)Ek,i+1 (s + 1)
k=1k=i+1(i ̸= 0)定理 3.2（[K1] Theorem 4.18） ε1 ̸= 0 のとき ev+
α の像は U (ĝlN ) を含む．特に，ĝlNの既約表現を ev+α によって引き戻したものはまた既約である．

ˆev+
α の定義により，その像は U (slN ) を含むので，残りの Heisenberg 代数の部分が像に含まれることを示す．そのために，ブレイド群作用を使って具体的にヤンギアンの元を構成する．詳しくは [K1] を見よ．
注意 3.3[K1] では，ev−α というもう一つの evaluation 写像（の α = 1 の場合）について定理を証明した．二つの写像がある反自己同型で移りあうことから，ev+α についても同じ主張が成り立つ．

参考文献
[G]

Nicolas Guay, Aﬃne Yangians and deformed double current algebras in type
A, Adv. Math. 211 (2007), no. 2, 436–484.

[GNW] Nicolas Guay, Hiraku Nakajima, and Curtis Wendlandt, Coproduct for Yangians of aﬃne Kac-Moody algebras, arXiv:1701.05288.
[K1]

Ryosuke Kodera, Braid group action on aﬃne Yangian, arXiv:1805.01621.

[K2], On Guay’s evaluation map for aﬃne Yangians, arXiv:1806.09884.

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