平成28年8月29日(月）東北大学大学院工学研究科応用物理学専攻『基礎科目」
問題冊子
試験時間10 : OO〜

11 : 30

注意事項
1．試験科目は以下のとおりである。
1）本学応用物理学コースまたはナノサイエンスコース出身者以外の者

量子力学、力学、物理数学の計3問のうちから2問選択すること。
2）本学応用物理学コースまたはナノサイエンスコース卒業（見込）の者

量子力学、力学を選択すること。

2．問題1問につき答案紙1枚を使用すること。
号シ
弔局 戸を記入 すること。
各答案紙の所定欄に 選択したRｺ園
なお、表面に書ききなお、表面に書ききれない場合、 「裏面に続く」と明記してから、裏面に記入すること。

3．本問題冊子は表紙を含めて全5枚である。

（余白を除く）

4．答案紙、問題冊子、草案紙は持ち帰らないこと。

問題冊子は､ 始め"の合図があるまで､絶対に開かないこと。

[問題1］量子力学
1次元井戸型ポテンシャルJ'(x)に対して，エネルギーEで運動する質量腕の粒子の束縛状態を考える． リノ(x)は以下で与えられるものとし， リノb>E>0とする．

肋‑{矛臓以下の設問に答えよ．

(1)x≦−L, ‑L<x<L, L≦xの各領域において，波動関数が以下のように与えられることを示せ．

Ｌｊ︑ノくーくアム

丁しｘ︑ノく一アムン一

邊息帥㈱

ｘく｜くｘ
く'1￨

ここで,4,B,C,Dは定数であり, ",,k2は正の実数である．
（2）

境界条件より,4,B,GDが満たすべき関係式を示せ．

（3）

ポテンシャル雌)は偶関数であるため， この場合の波動関数は偶関数もしくは奇関数のどちらかとなる．波動関数が偶関数および奇関数の場合に，それぞれkl=k2tan(k2L),kl=‑k2COt(k2L)の関係を満たすことを示せ．
（4）〃個の束縛状態が存在するときに， リノbが満たす条件を求めよ．

（5） リノbがEに比べて十分に大きい場合に,波動関数は低￨=L近傍でゼロに近づく．
設問（3）で求めたk,=k2tan("2L),k,=‑k2COt(L2L)の関係を基に，その理由を述べよ．

[問題2］

力学

中心力F=‑加哺7で束縛されて軌道を描いている電子(電荷‑e(e>0),質量畑)に，z軸方向の一様な磁場Bが印加されている． ここで，のoは正の定数である．以下の設問に答えよ．ただし，重力は無視できるものとする．なお， ローレンツカは電荷9に対して一般的に9×Bで与えられる．
（1）以下の設問に答えよ． ここでは固定座標系で考えよ．

a) x,y,zの成分毎の運動方程式を示せ．

b)上間a)の運動方程式が,x=qcos("),y=6sin(のr)という解をもつことを示し，振動数ののとり得る2通りの値を求めよ．ただし， α 6はゼロでな
い実定数， のを正の定数とする．また，それぞれののに対して， αと6の関係を求め， 苑y面内でみた運動を説明せよ．
c)上間a)の運動方程式を解いて, Z軸方向の振動数を求めよ．

**********＊次頁に続く＊*******＊

(2）

図のように，回転座標系が固定座標系に対して, Z軸と原点を共有し, Z軸を中心軸として一定の角速度Q=(0,0,Q)で回転している．ただし,Qは正の定数である．固定座標系と回転座標系おけるにおける位置ベクトルをそれぞれ，

7=x5,+yg2+zgj,ir'=x'a'+J''gi'+z'gj'とする．ここで， 弓,4'(j=1,2,3)はそれぞれ，固定座標系および回転座標系の座標軸上で定義された単位ベクトルである．固定座標系における速度デは，次のように記述することができる．

アーュァー27'="'+Q×7，
伽伽

ただし， 7'は回転座標系でみた位置ベクトルの時間微分であり，

ァ'=生7'=x'gh'+j''弓'+E'Z'
伽を意味する．以下の設問に答えよ．

a)上式の関係を用いて，加速度が以下のような関係にあることを示せ．

ｰ釜(加重×榊×いﾃ'）b)電子の運動方程式を回転座標系で示せ．

c)

Q=eB/2腕で，且つQが恥よりも十分小さい場合，上問b)の運動方程式に磁場を含む項が現れないことを示せ．

y11

[問題3］物理数学
以下の設問（1）および設問（2）に答えよ．

(1）

フーリエ変換に関する以下の設問に答えよ．ただし，区間(一の<x<m)で定義された関数ノ(x)のフーリエ変換風")は次式で与えられるものとする．

剛薑鳳ﾝ(卿(‑"伽a)区間(‑の<x<")で定義された関数ハ(x)=6(x‑α）のフーリエ変換F'(")
を求めよ．ただし， αは正の実定数で, 6(x一α)はデルタ関数である．

b) ㈲数加‑{;臓三翌O)のﾌｰﾘｴ変換剛を求めよただし, Cは正の実定数である．

c)上問b)の喝(")の偏角eと〃の関係を"−8平面上に図示せよ．ただし， βは一〃≦8≦万の範囲で定義されるとする．

(2）

以下の設問に答えよ．

a)/(x,J,,z)=yz+zx+X)′とするとき，原点Oから点A(1,2,4)にいたる線分
OAに関する, f(x,y,z)の線積分の値を求めよ．

b)

平面2x+2y+z=2がx,y,z座標軸と交わる3つの点A,B,Cを結ぶ線分で囲まれた三角形の面をSとするとき, g(x,Jﾉ,z)=x2+2Jﾉ+z‑1のSに関する面積分の値を求めよ．

平成28年8月29日(月）東北大学大学院工学研究科応用物理学専攻｢専門科目」
問題冊子
試験時間

本学応用物理学コースまたはナノサイエンスコース出身者以外の者

13 : OO〜

14: 30

本学応用物理学コースまたはナノサイエンスコース卒業（見込）の者

13 : OO〜

15 : 15

注意事項

1．試験科目は以下のとおりである。
1）本学応用物理学コースまたはナノサイエンスコース出身者以外の者
電磁気学、統計力学、物性物理、物理実験・計測の計4問のうちから2問選択すること。

2）本学応用物理学コースまたはナノサイエンスコース卒業（見込）の者
電磁気学、統計力学、物性物理、物理実験・計測の計4問のうちから物性物理、物理実験・計測を含む3問を選択すること。

2．問題1問につき答案紙1枚を使用すること。
各答案紙の所定欄に 選択した槌一＝エロと ｣,毛ロ::ロを毛 すること。
なお、表面に害ききなお、表面に書ききれない場合、 「裏面に続く」と明記してから、裏面に記入すること。

3．本問題冊子は表紙を含めて全9枚である。 （余白を除く）
4．答案紙、問題冊子、草案紙は持ち帰らないこと。

問題冊子は､ 始め"の合図があるまで､絶対に開かないこと。

[問題4］電磁気学
以下の設問（1）および（2）に答えよ．

(1））
a)

図1のような半径Rの導体球を考える．ただし,真空の誘電率を80とする．
導体球にQの電荷を与えたところ，球表面が一様に帯電した．表面電荷密度ぴをRとQを用いて表せ．

b)b)

導体球内外における電場ベクトルの極座標成分Ei, Ee,易をr., Q, 80を用いて表せ．ただし， 7， 0，は，各々極座標系の動径，極角，方位角とし，また極座標系の原点Oを球の中心とする．

c)

導体球内外における電位〃を導出し, J",R,Q, 80を用いて表せ．また，縦軸をⅨ横軸をrとして図示せよ．ただし，無限遠方で電位〃をゼロとする．
Z

導体球X

図1

＊＊＊＊＊＊

次頁に続く＊＊＊＊＊＊

(2）電荷Qが球表面に一様に帯電した半径Rの導体球を，図2のように中心軸の周りに角速度ので回転させると，球内外に磁場が発生した．導体球は変形しないものとし，のは十分に小さく，発生した磁場が電荷や電流に及ぼす影響は無視できるものとして，次の問いに答えよa)

回転軸をz軸とした極座標系において，導体球表面の極角8と8＋鮒の間の帯状の部分の面積を閲とする．この帯状の部分には，環状電流が発生していると考えることができる．表面電荷密度をぴとすると，その環状電流の大きさIは，の一加州

一一ぴＩと表される上式の物理的意味を簡潔に述べよ．

さらに, Iを8,", の, Qを用いて表せ．

b)

導体球中心における磁場は，回転軸に平行な成分のみを有する．その磁場の大きさHが以下のように与えられることを示せ．
一一

岨一伽

Ｈ

ただし，

Z

照s㎡9〃=4
つ．の関係を用いてよい．

導体球

[問題5］統計力学
互いに独立な質点からなる同種の粒子が，体積Vの箱の中に閉じ込められ，温度Tの熱浴に接し，熱平衡状態にある． 1つの粒子の質量をmとし，粒子の総数をⅣとす
る．粒子の一部は，箱の内壁に吸着することができ， それ以外の粒子は古典理想気体として振るまう．吸着した粒子数を とする．粒子が吸着できるサイト数はMであり，各サイトに2つ以上の粒子は，同時に吸着することはできない.Mは温度によらずに一定で,M> である．箱の熱力学的寄与を無視して，以下の設問に答えよ．ただし，ボルツマン定数をkB,ブランク定数をんとする．

(1)

理想気体の1つの粒子の分配関数zjは，古典統計力学を用いると，､=差か霞庭蜘に岬"(‑卿:鵜卿:）
上与えられる4を計算せよ積分公式庭eXp(‑"2)dZ=痂万((M刈}を用いてよい．

(2) 箱の内壁に吸着した'つの粒子のｴﾈﾙギｰは,=‑e｡+(肝;) ｡と与えられる． ここで, EaとEcは正の定数であり，量子数2は0以上の整数である．吸
着した1つの粒子の分配関数ZCを計算せよ．

（3）

この設問においては， 仰は固定され，温度変化しないと仮定する．全ての粒子の分配関数は，
M!

Z,=と与えられる．

（4）z;v‑"wz!(M‑n)!(Ⅳ− yzW

この系の内部エネルギーを計算せよ．の温度依存性に関して，以下の設問に答えよ．

ここで,M>JV>">1とし，スターリングの公式logL!=LlogL‑L(L>1)を用いてよい．

a)"の熱平衡値冗（温度Tにおける9 7Zの最も確からしい値）をⅣ,M,zg,zt@を用いて表せ．

b)上間a)の結果から, Eq, ec,ABTがどのような関係を満たすときに，Ⅳ＞何が成立するかを示し， その物理的意味を述べよ．

[問題6］物性物理
二次元物質であるグラフェンは,炭素原子(○）
が正六角形の蜂の巣状に並んだ構造をもつ.図のように直交したx軸とy軸をとると，格子定数αの結晶格子の基本並進ベクトルは, a,=(q, 0),

Xa2=(‑α/2, ，/百〃/2)となる．以下の設問に答えよ．
(1）

逆格子の基本並進ベクトルb】とb2を，上述の結晶格子の基本並進ベクトルと同様の形式で表せ.

(2）

設問（1）で求めたb,, b2および第一ブリルアン・ゾーンを図示せよ．

(3）

グラフェンの最近接の2個の原子は，図のXツ平面に垂直な2pz電子を有する．その波動関数をそれぞれ'!と"とする．また,'!と必のそれぞれから作られるブロッホ関数を〃1'蝿とする．フェルミ準位近傍の電子は, 2pz軌道の結合した元軌道を形成する． この〃軌道の波動関数〃は，線形結合近似で"!"i+始蝿と表される． このとき，波動関数〃の固有エネルギーE, "1および"2の関係式として，(M)(M3)=E(M:)
が得られる． ここで, 8は炭素原子の2pz電子のエネルギー， γは甥と蝿との間の結合に寄与するエネルギーに対応する行列要素である．ただし，γ.は〃の複素共役である． 2つの固有エネルギー民と氏(良＞氏）を, 8とyを用いて表せ．

＊＊＊＊＊＊次頁に続く▽＊＊＊＊＊＊

(4）図に示すように, d,, d2およびd3は，原点にある原子から見た最近接原子の位置を示す．設問（3）のγは，

γ＝J'ﾙ[exp(ik･d,)+exp(ik.d2)+exP(ik.d3)]と表される。ここで，〃ま，最近接Zpz電子間の結合に寄与するエネルギーに相当し,負の実数である．また,k=(Af,4)は波数ベクトルである、 この〃の式に，図の座標系に示すd,, d2およびd3を代入して，設問(3)で求めた民と島を, aZ, ", t嘱および心を用いてそれぞれ表せ．
(5）

設問（2）で求めた第一ブリルアン・ゾーンの外周の多角形の頂点の1つにおいて，島一島を求めよ．

(6）

設問（5）の結果を用いて，グラフェンの電気伝導特性を説明せよ．

[問題7］物理実験・計測
設問（1）は必ず答えよ． さらに，設問（2）〜（4） のうちいずれか2 問を選び答えよ．

(1）

物理実験のデータ解析について，以下の設問に答えよ．

a)表1に示す測定結果を得た．回帰関数をy=qx+bとして，最小二乗法によりαと6を求めよ．
表1xI

O.1

0.3

0.6

1.0

つq，q■。−．Q，−句一一一L−−−＝−−−−−．■■q■‐。q■−−−・■−−−−Q■−ロ■・−．−−口−−−−−−−−q■−−q■一一一口−−．−−−−−−Q■−−−yb)

l

2.5

4.0

5．1

12

ある実験を5回試行し，表2に示す測定値を得た．平均値と平均二乗誤差を求めよ．
表2

実験‐‐ ロー･D

￨ロー‐

測定値￨

(2)

12

pqDr−'・ー･･qローーー･‐･‐ ･‐･‐ '‐･‐･‐ '‐･‐ '‐･‐｡p12．5

3
pep･や｡

4｡●‐ ・・ ‐ ･D−

11.3

一一ロー‐‐■q・16.7・‐ ｡□'●q、5ロ・・‐,。‐‐ ロ，ローーローー'‐‐･‐ ・・‐ '‐ー＝'‐･14.8

15．5

X線ディフラクトメーターを用いて粉末試料の回折実験を行いたい．以下の設問に答えよ．

a)

この測定系を模式的に示し，測定原理を簡潔に説明せよ．

b)測定によって得られるプラッグ回折線の①ピーク位置，②線幅，③ピーク強度から得られる試料の情報をそれぞれ述べよ．

c)

立方晶系の試料を測定した結果, {100}面の回折線が2本に分裂した．
この原因を述べよ．さらに，この分裂を避けるための方法を簡潔に説明せよ．

＊＊＊＊＊＊次頁に続く＊＊＊＊＊＊

(3）光吸収スペクトル測定の実験を行う．以下の設問に答えよ．

a)光源にタングステンランプを用いる．その理由を簡潔に説明せよ．

b)分光器の波長較正には,水銀ランプを用いる.その理由を簡潔に説明せよ．
c)暗室内にて測定を開始した． この時，光電子増倍管の取り扱いについて，注意点を述べよ．

(4）

オペアンプについて，以下の設問に答えよ．

a)オペアンプの性質や用途について簡潔に説明せよ．

b)オペアンプと抵抗R】およびR2を用いて，図1の回路を組み立てた． この回路の増幅度Gが一(R2/R,)となることを示せ．ただし，理想オペアンプを用いることにする．

R2

ﾛ■■■■

■■■■■■q■■■■■■■■■■■■ロ■■■

図1＊＊＊＊＊＊次頁に続く＊＊＊＊＊＊c)市販のオペアンプには，入力端子からオペアンプ内部に電流が流れ込むバイアス電流が存在する．図2のように，＋と−の入力端子に流れるバイアス電流を等しくするため，抵抗R3を挿入した． この時,バイアス電流をlb,+端子に発生する電圧をﾘﾉbとする･ R3を, RIとR2を用いて表せ．
R2

一一■q■■■■ー

図2■■■■■q■■■