講 座Lecture
地すべり解析における有限要素法の利用 第５回 Finite element method for landslide analysis No.５
２．FEMによる地すべり解析の基礎理論
Fundamental theories of FEM for landslide analysis
西田憲司／ 大林組技術研究所

蒋Kenji NISHIDA／Technical Research Institute, Obayashi Corporation

Jing-Cai JIANG／Faculty of Engineering, The University ofTokushima

景彩／徳島大学工学部

山上拓男／徳島大学工学部
Takuo YAMAGAMI／Faculty of Engineering, The University ofTokushima
キーワード：有限要素法，地すべり，浸透，降雨，基礎理論
Key words：finite element method, landslide, seepage, rainfall, fundamental theory

は排水工効果の定量的評価を行うためには，地盤内の浸，０のとき
，０，０………………………………………
あるいは，次式に示すように，不飽和領域内の体積含水率を初期条件とすることもできる。
，０，０………………………………………
 境界条件水頭が既知の境界透挙動を的確に把握することが極めて重要である。有限外水位と接している面においては，水頭既知の境界

２．
３ 降雨・地下水浸透の解析
２．
３ Analysis of groundwater flow during rainfall
２．
３．
１ はじめに斜面崩壊や地すべりは降雨などの影響で斜面内の間隙水圧が上昇し，土のせん断強度が低下することに起因して発生する場合が少なくない。それゆえ，斜面の安定化対策として排水工がよく利用されている。こうした水の作用による斜面崩壊や地すべりのメカニズム解明，或い
の水頭値が，のとき
，，………………………………………

要素法に基づく浸透流解析はそのための非常に有効な条件を与えることができる。すなわち，座標値 におツールといってよい。解析理論と計算機の進歩に伴い，ける時刻

有限要素法によれば今日では不飽和，三次元，広域流れなど浸透に関するあらゆる問題に対応可能となっている。
本講座では，飽和・不飽和浸透流の支配方程式と有限流量が既知の境界要素法による定式化の大略を述べ，解析例をあげている。

降雨がある場合や井戸の揚水量が既知の場合は，流なお，講座の趣旨に従い式の誘導は割愛した。詳細は参量既知の境界条件を与えることができる。座標値 に考文献を参照されたい。

おける時刻

２．
３．
２ 飽和・不飽和浸透流の支配方程式
地盤内における飽和領域および不飽和領域を一体とし     




， ，， ……………………………………
：相対透水係数，：圧力
：座標値，
ここに，
：比水分容量，：＝水頭， ：飽和透水係数，１（≧０）， ＝０（＜０）， ：比貯留係数，：時間。
た浸透流の支配方程式は式式で表される１）。

を解くためには，解析領域内での初期条件およびの流量が，のとき     ，………………………
ここに，：境界面の垂直ベクトル。

解析領域の基盤が不透水層であれば，基盤面は流量ゼロとなり，流量既知の条件となる。こうした条件は不透水境界と呼ばれ，多くの解析ソフトにおいては特に何も入力する必要はなく，自動的に満たされる。
２．
３．
３ 有限要素法による定式化
浸透問題の有限要素法による定式化には大別して二つの方法がある。一つは変分法に基づくもので，支配方程式と等価な汎関数を求め，それを最小にすることによっ境界条件を設定する必要がある。

 初期条件て近似解を得る手法である。もう一つの方法は，重みつ飽和・不飽和浸透流は，土の体積含水率 によって挙き残差法によるもので，支配方程式から直接有限要素近動が大きく異なる。体積含水率は圧力水頭に依存するた似を数学的に導く手法であり，汎関数の存在しない問題

め，解析領域内の初期水頭分布が既知でなければならなにまで拡張できる利点がある。有限要素法による浸透解い。すなわち，座標値 における時刻 ＝０の水頭値が析発展の初期の段階においては前者が用いられたが，近８６

J. of the Jpn. Landslide Soc., Vol.40, No.4344 (2003)

いては，年ではもっぱら後者が採用されている。
Galerkin法に基づく重みつき残差法２），３）を用いれば，
１）

最終的に式のような定式化に到達する 。

!
 "! ## $%
，!，， &&&，'…………………………! !

  1 2 ………………………………とする。
２．
３．
４ 降雨時における斜面の解析例
解析条件

ここに，降雨時の斜面内間隙水圧変化を解析した例を示す。斜!

面の形状と有限要素メッシュ分割を図−１に示す。この() *+,)-* -&-! #, …………………
"! () +,)*-*- - #, ……………………
( . ,-#/ …………………………………))$() * +,)-* -#, ……………………………
%( + -#, ……………………………………
),)' ：節点数，*：要素における各節点番号，-*：節点*における形状関数，)：要素数，,：体積，%：解析領域内の吸水および湧水量。
ただし，問題は鉛直断面内の二次元問題である。斜面の土質は均質とし，高さは１０m，勾配は１：１．
５である。初期地下水面は斜面法尻高さ（z＝５m）に存在する。土の物性
および斜面法肩高さにおける初期水分特性は表−１に示したとおりである。地盤の不飽和浸透特性は図−２に示すとおりである。斜面内の初期相対飽和度は，斜面法肩高さで表−１に示す値をとり，深さ方向に直線的に増加して初期地下水位高さで飽和度１００％になるよう設定した。
この斜面全体に降雨強度１０mm／hour，継続時間７２時間（総降雨量７２０mm）の降雨を与えたときの非定常解析を行った。解析にあたっては，モデル左端（下流側）

２．
３．
４ 時間項の取り扱い
式はある特定の時間状態に対して式を有限要素法により定式化したものである。そこで時間項を取り扱うため，問題を適当な漸化式に書き下し，逐次計算を行うこととなる。漸化式として差分法を直接用いる方法と，Galerkinの重みつき残差法を各時間区分に対して用いるなどの方法があるが，以下では時間項の取り扱いが明確な差分法を用いる。差分法による漸化式としては中央差分，後退差分があり，式の漸化式は以下のようになる。

 中央差分       !  "!  !
0
  %   $ 
 ! 0 "!  !
，!，， ，&&&，' ……………………
 後退差分       !  "!  !
0 "! !
 $ %  0，!，， ，&&&，' ……………………
，0 ここにはある時間段階を表し，

図−１ モデル斜面と有限要素メッシュ分割
表−１ 土の物性と斜面法肩高さでの初期水分特性であり，各時間区間において以下のようになる。

 10  0 2……………………
式，より逐次計算の解 をGaussの消去法 を２）用いて求めることができる。
目下の浸透問題は非線形問題であるため，解の精度を良くする目的で反復計算を導入するが，各反復過程におJ. of the Jpn. Landslide Soc., Vol.40, No.4345 (2003)

図−２ 地盤の不飽和浸透特性

８７講 座における地下水面が斜面法尻高さ（z＝５m）で一定と場合の解析を行なった。排水ボーリングがない場合は，した。また，モデル右端（上流側）および下端は不透水

先述のとおり断面二次元解析が可能であったが，排水境界とした。

ボーリングを設置した場合には，斜面内に三次元的な流 斜面内の圧力水頭分布
図−３には２，２４，７２時間後の圧力水頭の等高線を示れが生じるために三次元解析が必要である。
排水ボーリングは，図−５に示すとおり斜面法尻からした。圧力水頭ゼロのラインが地下水位を表すことにな

斜面内へ水平に長さ１５m，そしてy方向に２S ＝１０m間隔るが，降雨の浸透により斜面内の水位が上昇していく様で配置されている。そのため，図−５に示す有限要素子がわかる。また，２４時間後の等高線と７２時間後のそれメッシュは，三次元的な対称性を利用して分割されていは，ほぼ同じ形状をしているため，２４時間後にほぼ定常る。このように検討対象領域の全てを解析モデルにする状態の地下水流れになったことがわかる。地下水位が２４必要はなく，対称性をうまく考慮することで相対的に小時間以降上昇しない理由は，降雨が斜面内に浸透して下さなモデルで検討できる。

流側へ流動し，解析モデルへの降雨流入量とモデル左端からの流出量がほぼ釣合うためと考えられる。

有限要素法に基づく排水ボーリングのモデル化にあたっては，排水ボーリングを圧力水頭ゼロの節点として図−４には斜面内節点A，B，Cにおける圧力水頭の取り扱う手法４）−６）と排水ボーリングを透水係数を有する時間変化を示した。降雨が斜面に浸透することにより圧一次元有限要素として表現する手法がある７）。ここでは，力水頭が上昇し，その後ほぼ一定になることがわかる。

後者の手法を用いることとし，排水ボーリングの飽和透２．
３．
５ 排水ボーリングが設置された斜面の解析例
解析条件



水係数を $＝４００cm／secとし，排水ボーリング出口部における節点の圧力水頭をゼロに規定した。排水ボーリン

２．
３．
４節で取上げた斜面に排水ボーリングを設置した

グの不飽和浸透特性は図−６に示すものを用いた。



ここで，排水ボーリングの飽和透水係数 $を決定する一方法論を述べておきたい。排水ボーリングとして設置されるパイプには，大きさ，開孔率の違いなど様々なタイプがあり，それらに応じて適切な $を設定する必

 ２時間後要がある。その手段として，模型実験と逆解析を用いた設定法が考えられる７）。すなわち，当該排水パイプを適当に敷設した手ごろな模型地盤について精度の高いモデル実験を行い，得られた結果から逆解析手法で実現象を

最も良く説明できる透水係数 $を同定するのである。



こうして逆解析された透水係数 $は，そのパイプ固有 ２４時間後

 ７２時間後図−３ 斜面内の圧力水頭の等高線

図−５ モデル斜面と有限要素メッシュ分割

図−４ 斜面内節点A〜Cの圧力水頭の時間変化

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図−６ 排水ボーリングの不飽和浸透特性

J. of the Jpn. Landslide Soc., Vol.40, No.4346 (2003)排水ボーリングをボーリング径を大の普遍的な値と見なしてよく，以後当該パイプが如何な頭を低下させねばならない場合は，る現場で用いられる場合でも，その値を採用することが長くする，できる。

 斜面内の圧力水頭分布きくする，などの検討が必要になる。こうした検討にお

図−７に排水ボーリングを含む断面（y＝０m）およれる。また，斜面が多層地盤から成る場合においても有設置間隔を短くする，いても，有限要素浸透流解析を用いれば容易に解が得ら

びボーリングから５m離れた断面（y＝５m）における７２時間後の圧力水頭の等高線を示した。図−８には斜面限要素浸透流解析は有効である。
２．
３．
６ おわりに内節点A，B，Cにおける圧力水頭の時間変化を示した。

本講座では二つの例を通して，降雨に伴う斜面内の水両図とも排水ボーリングを設置しない場合の結果も併記

位（水圧）変化や排水ボーリング工の定量的評価が可能している。排水ボーリングを設置することにより斜面内であることを示した。有限要素浸透流解析に際しては，の圧力水頭は低下しており，排水ボーリングの効果は明

個別の問題ごとに解析領域，透水係数，流入流出境界条瞭である。なお，
７
２時間後までの排水ボーリング１本か件等を適切に設定する必要があるが，こうした点についらの合計流出流量は２９８．
４m３であった。ては，紙面の関係上関連文献８）−１０）等を参照されたい。

ここでは長さ１０mの排水ボーリングをy方向に１０m間

実際の地すべり斜面は均質ではなく成層構造や水みち隔で設置した場合を検討したが，さらに斜面内の圧力水等を有する複雑な地盤構成をとる場合が大半を占めている。こうした状況のもとで信頼性の高い解析結果を得るには，何よりもまず，地盤の浸透特性を的確に表現しなければならない。しかし，現況では自然地山の成層構造や水みち等を明らかにするのは技術的・経済的に見て大 y＝０m断面変困難であり，今後浸透特性に関わる地盤構成を適切に評価するための技術（調査法や逆解析法）の開発が強く望まれる。
参考文献

 y＝５m断面

図−７ ７
２時間後における斜面内圧力水頭の等高線

１）赤井浩一・大西有三・西垣 誠（１９７７）：有限要素法による飽和−不飽和浸透流の解析，土木学会論文報告集，第２６４号，pp．
８７−９６．
２）Zienkiewicz, O. C.（１９７１）：The Finite Element Method inEngineering Science, McGraw-Hill, New York.
３）Finlayson, B. A.（１９７２）：The Method of Weighted Residuals
and Variational Principles, Academic Press, New York.
４）駒田広也・宮口友延（１９８０）：湛水池地山内浸透流に対する遮水および排水に関する考察，電力中央研究所報告３８００１２６．
５）駒田広也・北原義浩（１９８１）：層状を成す岩盤における切取斜面の浸透流解析，電力中央研究所報告３８１０１６．
６）Cai, F., Ugai, K., Wakai, A. and Li, Q.（１９９８）：Effects of horizontal drains on slope stability under rainfall by threedimensional finite element analysis, Computers and Geotechnics, Vol．
２３，pp．
２５５−２７５．
７）西田憲司・山上拓男・蒋景彩（２０００）：排水ボーリング効果の定量的評価法，地すべり，Vol．
３７，No．
３（通巻第１４３号），pp．
１−９．
８）浅野志穂・朴 三奎・松浦純生・岡本 隆（２０００）：大規模地
すべり地における融雪期の地下水流動解析，地すべり，Vol．
３６，No．
４（通巻第１４０号），pp．
７０−７７．
９）綱木亮介（２０００）：貯水池周辺の地すべり地における残留間隙
水圧の実態と解析事例，ダム工学，Vol．
１０，No．
１，pp．
３３−４１．
１０）井良沢道也・南雲政博・大川 滋（２００２）：三次元シミュレー
ション解析を用いた地下水排除工の定量的効果判定，地すべり，Vol．
３９，No．
２（通巻第１５０号）
，pp．
３４−４
４．
（原稿受付２００
３年８月２０日，原稿受理２００３年９月２２日）

図−８ 斜面内節点A〜Cの圧力水頭の時間変化

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