［問題１］力学
図のように，初速を与えられて，右向きに一定速度で走っている二輪の台車がある．
前輪または後輪の軸に内蔵されているモーターでトルク（力のモーメント）を与えて加速させることを考える．台車の重心の位置はGとする．車輪とモーターを含む台車の質量は𝑀𝑀，地面から重心までの高さはℎ，前輪と後輪の半径はいずれも𝑟𝑟，重心から前輪と後輪の中心までの距離はそれぞれ𝑑𝑑 (> 0)と𝑑𝑑′ (> 0)とする．前輪と後輪が地面から受ける垂直抗力の大きさはそれぞれ𝑁𝑁と𝑁𝑁′，前輪と後輪が地面から受ける摩擦力の大きさはそれぞれ𝐹𝐹と𝐹𝐹′とする．地面に対する車輪の静止摩擦係数を𝜇𝜇とする．𝐹𝐹が𝜇𝜇𝜇𝜇を越えると前輪がスリップし，𝐹𝐹′が𝜇𝜇𝜇𝜇′を越えると後輪がスリップする．台車の加速度は𝑎𝑎，重力加速度は𝑔𝑔とする．ただし，𝑎𝑎は右向きを正とする．
（１）水平方向の重心の運動方程式と，台車にかかる垂直方向の力のつり合いの式を書け．

gN’d’ GhF’（２）台車の重心周りには，大きさが𝐹𝐹ℎ，r
𝐹𝐹 ′ ℎ，𝑁𝑁𝑁𝑁，𝑁𝑁′𝑑𝑑′のトルクがかかる．
これら４つのトルクの間のつり合いの式を書け．

dNrF（３）前輪にトルク𝑇𝑇を与えて加速させる．前輪と後輪の慣性モーメントはいずれも𝐼𝐼，角速度はいずれも𝜔𝜔とする．
a) 前輪と後輪それぞれについて，回転の運動方程式を書け．
b) 車輪の慣性モーメントは無視できるとする（𝐼𝐼 = 0）．𝑇𝑇を大きくしていった
ときに車輪がスリップしない限界で，最大の加速度が得られる．その最大加速度をℎ，𝑑𝑑，𝑑𝑑′，𝜇𝜇，𝑔𝑔を用いて答えよ．
（４）後輪にトルク𝑇𝑇を与えたときの最大加速度を，（３）の b と同様にして答えよ．
（５）𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 ′ であるとき，前輪駆動と後輪駆動のどちらのほうがより大きい最大加速度を与えられるか．（３）と（４）の結果をもとに答えよ．
（６）後輪駆動の場合で，前輪の垂直抗力がゼロになるときのトルク𝑇𝑇を求めよ。𝐼𝐼 =0とせよ．また，𝜇𝜇は十分に大きく，スリップは起こらないとする．

［問題２］電磁気学
図に示すように，電磁波が真空領域(透磁率µ0，誘電率e0)から金属(透磁率µ0，誘電率e，電気伝導率s)に入射する場合を考える．金属表面は(x-y)面に平行とし，電磁波は波数 k および周波数wを持つ直線偏光の平面波であり，金属表面に垂直に入射する．
真空領域と金属の境界での入射波，反射波，透過波の電場振幅をそれぞれ A，R，T とすると，真空領域での電場成分は入射波と反射波の重ね合わせとして E(z, t) ={A𝑒 !(#$%&') + R𝑒 !(%#$%&') } ex となる．なお， ex は x 軸方向の単位ベクトルである．また，マックスウェル方程式は以下で与えられる．
div𝑫 = 𝜌)div𝑩 = 0
rot𝑯 = 𝒊) +rot𝑬 = −𝜕𝑫𝜕𝑡𝜕𝑩𝜕𝑡

図

ただし，D は電束密度，B は磁束密度，H は磁場，E は電場，re は電荷密度，ie は伝導電流密度とする．以下の設問に答えよ．
（１） 真空領域の B(z, t)を求めよ．
（２） 真空領域ならびに金属中の E(z, t)の波動方程式をそれぞれ求めよ．
（３） s /ew >> 1 の時，金属中での電磁波の波数 k1 は k1 @ (1 + i) /d と表される．d を求めよ．なお，必要であれば√𝑖 = (1 + i) /√2を用いても良い．
（４） 設問（３）で求めたd の物理的な意味を説明せよ．さらに金属中での電場成分の z 軸方向に対する挙動の概略を図示せよ．
（５） 設問（３）と同様にs /ew >> 1 の時，真空領域と金属の境界での電磁波の反射率 r が次式で与えられることを示せ．なお，kd << 1 とする．
r = 1 - 2kd

［問題３]

量子力学

質 量 𝑚𝑚の 粒 子 が 𝑥𝑥軸 上 で 一 次 元 ポ テ ン シ ャ ル に 束 縛 さ れ て い る ． 以 下 の 設 問（ １ ） お よ び （ ２ ） に 答 え よ ． た だ し ， 換 算 プ ラ ン ク 定 数 を ℏと す る ．
（１） 一次元ポテンシャルを⎧ 𝑉𝑉1⎪
𝑉𝑉(𝑥𝑥) =0⎨⎪⎩ 𝑉𝑉3(𝑥𝑥 < 0)

�領域 I�

(𝑎𝑎 < 𝑥𝑥)

�領域 III�(0 ≦ 𝑥𝑥 ≦ 𝑎𝑎)

�領域 II�と す る ． こ こ で ， 𝑎𝑎は 正 の 定 数 で あ る ．

a) 粒 子 の 波 動 関 数 を 𝜓𝜓， エ ネ ル ギ ー を 𝐸𝐸と し て ， 𝜓𝜓に 対 す る エ ネ ル ギ ー
固有値方程式（時間に依存しないシュレーディンガー方程式）を，それぞれの領域について書け．
b) 𝑉𝑉1 = 𝑉𝑉3 = +∞の 場 合 に つ い て a)で 求 め た 方 程 式 を 解 き ， 規 格 化 し た固 有 関 数 𝜓𝜓𝑛𝑛 と エ ネ ル ギ ー 固 有 値 𝐸𝐸𝑛𝑛 を 求 め よ ． た だ し ， 𝑛𝑛は 自 然 数 と する．
c) 次 に ， 𝑉𝑉1 = +∞， 𝑉𝑉3 が正 で 有 限 の 場 合 に つ い て 考 え る ． 領 域 I， II，
III に お け る エ ネ ル ギ ー 固 有 値 方 程 式 の 一 般 解 𝜓𝜓I (𝑥𝑥), 𝜓𝜓II (𝑥𝑥), 𝜓𝜓III (𝑥𝑥)をそ れ ぞ れ 求 め よ ． た だ し ， 𝑘𝑘 = √2𝑚𝑚𝑚𝑚/ℏお よ び 𝑞𝑞 = �2𝑚𝑚(𝑉𝑉3 − 𝐸𝐸)/ℏを 用いて答えよ．

d) 上 の c)の 場 合 に 𝜓𝜓I (𝑥𝑥), 𝜓𝜓II (𝑥𝑥), 𝜓𝜓III (𝑥𝑥)が 𝑥𝑥 = 0お よ び 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎に お い て 満 た
すべき境界条件をそれぞれ書け．
e) 上 の c)， d)の 場 合 に 束 縛 状 態 が 存 在 す る た め に は 𝑉𝑉3 が 𝑉𝑉minよ り も 大 き
い 必 要 が あ る ． 𝑉𝑉min の 値 を 求 め よ ．
＊＊＊＊＊＊

次頁に続く＊＊＊＊＊＊

（２）一次元ポテンシャルを𝑉𝑉(𝑥𝑥) =

⎧⎪

⎨
⎪
⎩

𝑉𝑉00

(|𝑥𝑥| < 𝐿𝐿)(𝐿𝐿 ≦ |𝑥𝑥| ≦ 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)+∞ ( 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎 < |𝑥𝑥|)と す る ． た だ し ， 𝑎𝑎， 𝐿𝐿は 正 の 定 数 で ， 𝑉𝑉0は 十 分 に 大 き く 束 縛 状 態 が 存 在するものとする．
このポテンシャルでのエネルギー固有値方程式の固有関数は𝑢𝑢± (𝑥𝑥) = 𝜑𝜑(𝑥𝑥 + 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) ± 𝜑𝜑(−𝑥𝑥 + 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)の 形 で あ ら わ せ る ． 𝐿𝐿 → +∞の 場 合 に ， 𝜑𝜑(𝑥𝑥)は（ １ ）で 考 え た ポ テ ン シ ャ
ル に お い て 𝑉𝑉1 = +∞， 𝑉𝑉3 = 𝑉𝑉0 と し た 場 合 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 方 程 式 の 固

有 関 数 と 規 格 化 因 子 を 除 い て 一 致 す る ．𝐿𝐿 を 有 限 の 値 か ら +∞へ と 変 化 させ た 場 合 に ， 𝑢𝑢+ (𝑥𝑥)と𝑢𝑢 − (𝑥𝑥)の 二 つ の 関 数 に 対 応 す る エ ネ ル ギ ー 固 有 値 の差がどのように変化するかを定性的に述べよ．

[ 問題 4 ] 統計力学
温度 T の熱浴と接した真空の金属箱の中の光子気体を考える．いま，この金属箱の中における光子のエネルギー準位 εj は基底エネルギー ε0 と第一励起状態のエネルギーε1 のみが他のエネルギー準位 εj (j ≥ 2) と大きなエネルギーギャップで隔絶されており，熱浴が与える温度領域では，εj (j ≥ 2) の熱力学量への寄与は無視できるものとする．
したがって金属箱の中の量子状態は，二つのエネルギー準位 ε0 と ε1 を占める光子の数N0 と N1 を与えることで指定される．∆ = ε1 − ε0 ，β = 1/kB T とし，光子気体を理想ボース気体とみなして，以下の設問に答えよ．
（１）

まず，金属箱の中の光子数 N が保存されるものと仮定する．このとき光子気体の量子状態は N1 のみで決まり，N1 = 0, 1, · · · , N の N + 1 個の量子状態をとり得る．

a) 光子気体の全エネルギー E を N, N1 , ε0 , ∆ を用いて表せ．

b) 光子気体の量子状態が N + 1 個あることに注意して，その分配関数 ZN を求めよ．

c) 準位 ε1 を占める光子数が N1 であるような確率 p(N1 ) を求めよ．

d) N # 1 のとき，N1 の期待値 $N1 % を求めよ．

＊＊＊＊＊＊ 次頁に続く ＊＊＊＊＊＊

（２）次に，金属箱の中の光子数 N が変動しうるものとして，光子気体をグランドカノニカル分布で考える．

a) ある系の分配関数 ZN が分かっているとき，その系の大分配関数 Ξ はΞ=∞!

ZN exp(βµN )N =0で与えられる．これをもとに，（１）の b) で得られた ZN を用いて，光子気体の大分配関数がΞ=11 − eβ(µ−ε0 )·11 − eβ(µ−ε1 )(1)となることを示せ．ここで µ は系の化学ポテンシャルである．

b) グランドカノニカル分布においては，全粒子数の期待値は$N % =1 ∂ln Ξβ ∂µで与えられる．これをもとに，式 (1)から $N % を求めて β, µ, ε0 , ε1 を用いて表せ．

c) $N % # 1 であるとき，化学ポテンシャル µ がµ & ε0 −kB T$N %と近似的に表されることを示せ．また，このときに得られる $N1 % を（１）の d) で得られた結果と比較し，その差異について考察した結果を 25 字程度で記せ．

[問題５]

物性物理図に示す, 格子定数 a および c の単純六方格子について, 以下の設問に答えよ．
（１） 基本並進ベクトルは以下のように選ぶことができる．基本単位格子の体積を求めよ．
a1 = a (√3/2, 1/2, 0),a2 = a (－√3/2, 1/2, 0),

a3 = c (0, 0, 1)（２） 2 個の価電子を持つ原子（以下，2 価原子と略す）を格子点に配置した場合の電子密度を求めよ．
（３） 逆格子の基本並進ベクトル b1, b2, b3，および，第一ブリルアン・ゾーンの k 空間での体積を求めよ．
（４） 格子点に配置した原子の原子形状因子を f とし，構造因子 SG を求めよ．
（５） 2 価原子を格子点に配置した場合，第一ブリルアン・ゾーンを電子がすべて占有可能であることを示せ．ただし，スピンを考慮し，第一ブリルアン・ゾーン内の各 k 点に対して 2 個の電子が占有する．
（６） 2 価原子を六方格子点に配置した物質が，絶縁体となる条件を述べよ．

図 単純六方格子（左：立体図, 右：上面図）