J OURNAL DE T HÉORIE DES N OMBRES DE B ORDEAUX

M ARC D ELÉGLISEJ EAN -L OUIS N ICOLAS
Sur les entiers inférieurs à x ayant plus de log(x) diviseurs
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 6, no 2 (1994), p. 327357.
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327

Sur les entiers inférieurs à xayant plus de log(x) diviseurs.

par MARC DELÉGLISE &#x26; JEAN-LOUIS NICOLAS
ABSTRACT. - Let 03C4(n) be the number of divisors of n; let us define$$S03BB (x)=Card{n~ x; 03C4(n) ~ (log x)03BB log 2}Card{n ~ x; 03C4(n) (log x)03BBlog 2}

if 03BB ~ 1
if 03BB 1.

It has been shown that, if we set$$f(03BB,x) =x (log x)03BB log 03BB-03BB+1~log log x

the quotient S03BB(x)/f(03BB,x) is bounded for 03BB fixed.
The aim of this paper is to give an explicit value for the inferior andsuperior limits of this quotient when 03BB 2. For instance, when 03BB = 1/ log 2,
we prove

lim inf$ S03B (x)/f(03B ,x)=0.938 278 681143 ...
andlim sup$ S03B (x)/f(03B ,x) = 1.148126 773 469...

1. Introduction

Soit T(n) le nombre de diviseurs de n. On sait depuis Hardy et Ramanujan (cf. [9],chap. 18) que l’ordre de grandeur normal de T(n) est
ce qui est nettement inférieur à la valeur moyenne

Il parait donc naturel d’évaluer

Manuscrit reçu le 18 février 1993.

328

Le cas particulier À
1/ log 2, S(x) = Card{nsoulevé par Steinig (cf. [10], p.684).
=

x; T(n) &#x3E; log z) a été

Lorsque À 1, il résulte des inégalités 2W~~~ T(n) 2~~’~~ (ou w(n)et S2(n) désignent le nombre de facteurs premiers de n sans et avec multi=

plicité), et du théorème de Erdôs et Kac (cf. [6], ch. 12) que Si (x) - x/2.
Lorsque ~ ~ 1, on trouvera dans [1], accompagné d’un historique dusujet le théorème suivant:
THÉORÈME 1. Soit P={2, 3, 5 ... } l’ensemble des nombres premiers,et q(~) _ ÀlogÀ - À + 1. On désigne par X(d) la fonctions caractéristiquedes nombres quadratiquement saturés (c’est à dire la fonction multiplicative
définies par X(p) 0 et X(Pa) 1 pour a &#x3E; 2). On désigne par Lt], {t}, [t]respectivement, la partie entière, la partie fractionnaire, et le plafond dunombre réel t.
Soit Ào et ÀI vérifiant 1À1ÀoÀ1 (resp. 0Bo1); on a&#x3E;
uniformément pour x 3 et,B E ~~o, Ai]==où l’on a posé

PosonsLa série ci dessus se met sous forme de produit eulerien (cf. (36)), qui
montre qu’elle converge pour tout À positif, et tout s réel. Il est facile demontrer, en utilisant l’inégalité t - 1
Lt] t, que l’on a :329

qui prouve que la série (1) est uniformément convergente pour 0 8 1.
Comme il a été observé dans [1], il s’ensuit que K(O) est continue en tout
point B flog k/ log 2}. En ces derniers points elle est continue à gauchemais pas à droite, et vérifie K(B+)
K(O) (lorsque À &#x3E; 1). Par ailleurs,
K est périodique, de période 1. Nous avons :ceNous nous proposons dans cet article de préciser les bornes supérieures
et inférieures de K(O) en démontrant :THÉORÈME 2. Pour 1

Pour 0~~2, on a :1, on a :Des théorèmes 1 et 2, nous déduisons :COROLLAIRE 3.
supérieures deet, pour 0À

Désignons par £1(À) et ~2(~~ les limites inférieures et
On a, pour 1 .~ 2,

1,

En particulier, lorsque ~ = 1/log2, en posant

330

on obtient :L’idée de la démonstration du théorème 2 est d’écrire (1) sous la forme
K = K, + K2 où la fonction Kl n’a qu’un nombre fini de points de discontinuité sur [0, 1] et atteint nettement son maximum en 0 et son infimum
en 0+ ( lorsque À &#x3E; 1). Il reste à vérifier que l’ajout des termes de K2 ne
pertube pas cette situation. Une première idée était de regrouper dans KI
les termes de (1) correspondant à 1 d D. Mais la convergence de lasérie (1) est lente et il faut prendre une valeur de D grande ( au moins 109
pour pouvoir conclure.
La méthode présentée consiste à regrouper dans la série (1) tous lestermes pour lesquels le nombre des diviseurs de d prend une même valeurT(d) = j; on obtient ainsi une autre expression de K:

avec(Les ej pour j impair

75 figurent dans la table 3.)

On écrit alors :Pour À &#x3E; 1 et j fixés, la fonction fj est continue à gauche et ne dépend
que de la partie impaire de j. f i est maximum en 0 et croît de 0+ à 1. Si
la partie impaire de j est plus grande que 1 la fonction f ~ a un seul point
de discontinuité en e~ . Elle atteint son maximum en ej et son infimum en

ei .

»

331

La première partie de la démonstration, c’est à dire l’étude de Kl, seramène essentiellement au calcul des uj pour 1
j jo. Le calcul deuj (qui se généralise au calcul def (d) où f est une fonction muluneest
fait
méthodecombinatoire expliquée
tiplicative quelconque)parau §3. Dans la deuxième partie, pour montrer que l’influence de K2 est
négligeable, on majore
par la méthode de Rankin.
Dans les deux parties on a besoin de calculer avec une bonne précisioncertains produits eulériens. On rappelle dans le §2 une technique de calcul
de sommes eulériennes. Le §4 étudie les fonctions f définies et bornées de(0,1~ dans R telles que inf f f (0+) et sup f f (0). Dans le §5, nous introduisons les notations, et démontrons la proposition (5-4) qui est la partie
théorique de la preuve du théorème 2. Dans le §6, on fixe les paramètres
introduits au paragraphe précédent, et on expose les calculs numériques
2. Le §7 contient des lemmes techprouvant le théorème 2 lorsque Àniques nécessaires pour l’extension du résultat prouvé pour À 2, à toutes
les valeurs de l’intervalle [0,2]. Le §8 présente les résultats numériques qui
terminent la preuve. Le §9 donne des précisions sur la manière dont sontconduits les calculs numériques. Dans le §10 on montre que le calcul desuj permet aussi de calculer les valeurs K(0) et K(0+) avec une meilleureprécision que l’évaluation des séries (3). Finalement, dans le §11, nous
envisageons le cas À &#x3E; 2. La situation change sensiblement, puisque leminimum et le maximum de K, ne sont plus atteints en 0+ et en 0. Il nenous a pas paru possible d’établir une conjecture.
=

=

=

=

Nous remercions très vivement J.P. Massias dont les premiers calculs
permis de voir que cette méthode aboutissait.

nous ont

2. Calcul de sommes et produits eulériens

Soit P{2,3,5,... } l’ensemble des nombres premiers. On veut calculer
des sommes (ou des produits) portant sur p E P. La méthode de calcul
présentée ici est décrite dans [11] p.69 (cf. aussi [7]). La formule (7) était
connue de Glaisher (cf. ~8~ ) .
=On a d’abord :PROPOSITION 2.1. Soit s réel, s &#x3E; 2 et po E P. On Pose :On a alors:

332

où J.L est la fonction de Môbius, et ( la fonction de Riemann, et de plus:

Démonstration. La fonction

est décroissante pour s &#x3E; 1. Par conséquent, pour s &#x3E; 2 on a

On a ensuite, par la formule d’Euleret par la formule d’inversion de Mbbius, on obtient la troisième partie de(7).
On déduit aussi de la formule ci-dessus que P(s) log(~(s)) et comme2SP(s) est une fonction décroissante de s, on a pour s &#x3E; 2

De pluscequi achève la preuve de (7). Il vient enfin par (8)333

PROPOSITION 2.2. Soit f (z) _anzn une fonction holomorphe dans
un ouvert contenant le disque de centre 0 et de rayon r.

Soit A = sUPlzl=r
Alors on aet soit po un norrzbre premier tel que por &#x3E; 2.

où la série en n converge géométriquement; plus précisement:

Démonstration. On ala série ci-dessus est absolument sommable. En effet, par la formule
de Cauchy,
Il vient
Ar-n, et par (7), Ppo(n) ::; 1/((n ensuite:car1)P?"~’

1/por. Comme u 1/2, il s’ensuit :enposant ucequi achève la preuve de (9).

=Il résulte de (9) que
approchée de la somme eulérienne
à+

anPpo(n) est une valeur¿PEP f(l/p) avec

une erreur inférieure334

3. Calcul des uj par une formule combinatoire

Pour éclairer la suite montrons sur un exemple la méthode utilisée pourle calcul des uj . Prenons le calcul de u30 :Les nombres ayant 30 diviseurs s’obtiennent à partir des factorisationsde 30 en entiers &#x3E; 2. Ce sont les nombres de la forme:

Parmi ces nombres, seuls ceux de la forme plp2 , plp2, p2g sont quadratiquement saturés, c’est à dire vérifient X(d) = 1. En utilisant la multiplicativitéde h et la relationh ( p, ~) . il vient :=D’où

et le calcul de U30 est ramené à des calculs de sommes eulériennes.

Pour traiter le cas général il faut utiliser une généralisation à k facteursde la formule

335

utilisée ci dessus dans le cas de 2 facteurs. Introduisons quelques notations
pour cela.

Soit D une partie de N, et soit a une fonction réelle ou complexe définie
On dira que a est sommable si la série ¿xEV a(x) est absolument

sur D.

convergente et on notera

Si al, ... , ak sont fonctions sommables sur D, on poseoù la somme porte sur les k-uplets d’éléments distincts de V. Si D =fdi, d2, dq~ est un ensemble fini de cardinal q, une autre définition de
0 {al , ... , ak ) est le permanent à l~ colonnes, dont la i-ème ligne est...

al (dZ), a2 (dZ), ... , ak (di) (cf. [2], t.2, p.29) .
Avec ces notations la formule utilisée ci dessus correspondant à deux
facteurs est :
.

1-

1

1

r

w
1

Cette formule donne une somme avec autant de termes qu’il y a de partitions de l’ensemble { 1, 2} - Pour 6 facteurs on obtient :C’est une somme composée de 203 termes correspondant aux 203 partitions de l’ensemble {a, b, c, d, e, f }. Chaque classe de la partition est
précédée d’un coefficient numérique qui est (- 1)~’~~ (k - 1)! si k est le cardinal de cette classe. La formule générale est :PROPOSITION 3.1 (Crapo [3], cf. aussi [5]). Soit D c N et a = (ai, ’ " ak)un k-uplet de fonctions sommables sur D. Soit Q C {1, 2, ... , k}. On noteua la fonctions définie sur D parIlie, ai(x). On a :336

où la somme porte sur les partitions ensemblistes P =U2 - - -de~1,2,... ,1~~ etNous sommes maintenant en mesure de donner la formule générale pourle calcul des uj. Pour calculer uj on énumère toutes les factorisations de j dela forme j = (al + 1) ... (cxk + 1) avec 2 a1
Q2 ::; ... ::;Chaque tellefactorisation fournit une famille d’entiers quadratiquement saturés ayant javec a2 &#x3E;
diviseurs, à savoir la famille des entiers de la forme d pi
2, et tous les pi distincts. Les aZ ne sont pas nécessairement distincts. S’ils
prennent q valeurs distinctes (1 q I~), soit nl, ... , nq le nombre des ai
prenant respectivement chacune de ces q valeurs, et posons C(al, ... , ak) _pour les d de la forme
nl ! n2 !C,... nq ! Ctk. Alors la somme desdtest= Pl ...pk,
=

...

avec

quantité qui est calculée au moyen de la proposition (3-1):

avec

Finalement, on a :On verra au §9 que ces formules permettent de calculer les uj avec unebonne précision, malgré le grand nombre de termes impliqués et les alternances de signe.

337

4. Les propriétés P+ et P-

Si f est une fonction d’une variable réelle x on notera

DÉFINITION 4.1. On dit que la fonction f définie et bornée sur [0, 1] vérifie
la propriété P+ (resp. P-) si f (0+) et f (0-) existent, et si l’on a :LEMME 4.2.
.

La somme de deux fonctions vérifiant P+(resp. P-) vérifie P+(resp. P-).
.

Soit fin une suite de fonctions convergeant uniformément vers f etvérifiant P+ (resp. P-). Alors f vérife P+ (resp. P-).

0

Soit un le terme général d’une série de fonctions uniformément
convergente sur [0, 1] et vérifiant chacune P+ (resp. P-). Alorsu= E Un vérifie P+ (resp. P-).

Démonstration. Considérons le cas de la propriété P+.
Le premier point est évident, et le dernier point résulte immédiatement
des deux premiers. Démontrons donc le deuxième point. Classiquement laconvergence uniforme entraine l’existence de f (0+) et f (1-) et les égalités:Il suffit donc de démontrer que pour tout x on a f (0+) f(x)qui résulte de fn(0+)
par passage à la limite.

f (1-), ce

LEMME 4.3. Soient f et g deux fonctions définies sur ~0,1~ et
une suite finie de points tels que 0
el G ...
En = 1. On suppose
Eo
=

que

338

.

f est strictement croissante ( resp. décroissante) et continue sur]0, 1], 9 est strictement croissante (resp. décroissante) sur chaque

1 ’Ek,

(0

k

n -

1).

Alors il existe un plus petit réel positif a tel que a f + g vérifie P+ (resp.
P-). Il est donné par a 0 si g vérifie P+ (resp. P-) et sinon par=

Démonstration. Supposons f et g croissantes (pour l’autre cas il suffira deconsidérer - f et -g). Soit u &#x3E; 0, posons F pf + g et=

Par hypothèse F est croissante sur chacun des intervalles Ek, ’Ek+ll, et lemaximum de F sur l’intervalle [Ek,est atteint en l’une des extrémitésde cet intervalle, tandis que la borne inférieure de F sur cet intervalle est
atteinte en
On a donc :Et.

Par (14) pour que F vérifie la propriété P+ il faut et il suffit que F(0+) = m
et F(1) = M. Autrement dit que l’on ait :c’est àa.

5. Démonstration du théorème 2 pour À fixé

On part de la proposition évidente qui suit:

PROPOSITION 5.1. La fonction fi et les fonctions fj vérifient:fj=

fi chaque fois que j est une puissance de 2.

339

PROPOSITION 5.2. On poseet, pour ,j différent d’une puissance de 2

Alors 7j/i + fj Possède la propriété P+ si À &#x3E; 1 et la propriété P- siÀ1.
Dérnonstration. Il suffit dans le lemme (4-3) de prendre f
n =

2, el

=

ej, en=fl, gremarquant que quand j est une puissance de 2,

fj

=
=

fj,
fl.

Contribution de
On remarque que fj (0) ne dépend que de la partie impaire de j. Dans laqui donne Ki (0) on regroupe les termes pour lesquels j prend unemême partie impaire k; on pose donc

somme(où le signe ’ derrière le signe E indique que la sommation ne porte que
sur les entiers impairs). On peut alors écrire:

PROPOSITION 5.3. On pose

Alors la fonction a: fI (0) + g(8) vérifie la propriété P+ ou P- (selon que À
est plus grand ou plus petit que 1). Et
est le plus petit réel ayant cettea:~propriété.
Démonstration. C’est une application du lemme (4-3) appliqué au couple
fl, g, en choisissant la suite (ek) égale à la suite des éléments ek rangés dansl’ordre croissant.

340

PROPOSITION 5.4. Posons

Si la majoration
est vérifiée, alors K(B) possède la propriété P+ si A &#x3E; 1, et la propriété
P- si a G 1.

Démonstration. On a successivement par (19) et (18)est convergente pour À &#x3E; 1, car elle est ma-

La série2

dont la somme est
log 2) elle est convergente car majorée par1"..

2 . La série ..
.

Par hy3 13 est convergente parpothèse. Comme les fk sont uniformément majorées pour 0 _ 9 _ 1 parmax(A , 1), la série de fonctions de 0

est normalement convergente, et par le lemme (4-2) sa somme possède la

propriété P+ (resp. P-). Ainsi K s’écrit comme une somme de trois
fonctions qui vérifient chacune la propriété P+ (resp. P-), et le lemme(4-2) achève la démonstration.
Majoration de Z
DÉFINITION 5.5. On pose ~/On a alors le lemme :341

LEMME 5.6. On a pour tout À &#x3E; 0,

Soit a un entier

et j

2a+1. On a, si À ~ 2

Remarque. La table 3 présente les valeurs deet 8j pour j impair
75. On observera que la majoration (23) n’est très bonne que lorsque j
est voisin d’une puissance de 2.
Démonstration. (22) provient de (17) et de ce que, pour À &#x3E; 1, la fonction
est décroissante pour 1x À. Pour À
1, cette fonction est
croissante
1.
z -

x-1

Il suffit de démontrer (23) pour 2a j
2a+l et, par (16), pour 2~ jOn
1/2. pose j = 2a + r, avec 1 r 2a -1,
on a alors

2a+1. Supposons d’abord ej,enposant u

=

-

-

,

r2-a . On a 0

u-

1. Il vient ensuite,

et comme on ale théorème des accroissements finis donne, puisque ,~3 &#x3E; 1 :et (43) implique

2

342

Supposons maintenant ej &#x3E; 1 / 2, et écrivons j=

2a+l_s avec 1 s

2~.

Par (22), on a

Mais, 1 -=

1 - (1 -et la concavité de la fonction

lorsque ~3 &#x3E; 1 montre qu’elle est positive pour 0de (26)ce~t 2. On déduit alors.

qui avec (25) achève la preuve de (22).

PROPOSITION 5.7. Soit a &#x3E; 2 et Z défini dans la proposition (5-l~) par:En posanton a, pour tout réel splus grand que /3 + 1, lorsque jo

Démonstration. Par la définition (5-3) Z s’écrit

=2ao, la majoration@

343

et, par (23), on a

Nous majorons
par la méthode de Rankin: soit s &#x3E; {3, nous avons
pour tout k tel que k &#x3E; j

et cela donneR~(/3) j/3-s Rj(s). En particulier, pour tout j &#x3E; jo, on aura

La majoration (30) entraine alors ,entraine (28).
6. Résultats numériques prouvant le théorème 2 pour a = 2

Calcul de a

Explicitons un peu plus précisément la détermination de a. Il résulte de laformule (15) que si l’on pose pour k impair :ona:

La formule (20) donne alors :344

On choisit ao
11, c’est à dire jo
donne
alors
/3 1.
(5-5)
=

=

2048. On fixe À = 2, et la définition=

On calcule les uj pour j jo, par la méthode exposée au §3. On calcule
ensuite successivement les coefficients ck par (18), puis Ak et Bk par (31),ak et par (32) et a par (21). On obtient lorsque .~ 2,a~=a = 1.24486 ...

ci = 1.45243 ...

La table 5 donne les ck qui dépassent 10-5, pour 1

ci - a &#x3E; 0.207

k

100.

Majoration de Z
On choisit s
3,~ + 2; la majoration de Z dans (28) se simplifie etdonne Z Rjo (3) 121o.
==

Il faut calculer Rjo(3). On écrit pour cela :La somme se déduit des valeurs des uj. Elle est égale à 1258.7351....
Le calcul de L(3) est expliqué au §9. On obtient L(3) = 1317.56758 ...
= 0.058 ...
Cette valeur est inférieure à 0.207
pour À 2. d’où Z
Cl - a et, par la proposition (5-4) cela achève la démonstration du théorème
2 dans le cas À
2.

~ 4

=

=

7. Propriétés de monotonie

LEMME 7.1. Les nombres ck, Ak, Bk, introduits en (18) et (81), sont desfonctions croissantes de a, pour,B &#x3E; 0, ainsi que les fonctionsUjÀLlogj/log2J

où uj est définit par (5).
Démonstration. Par définition de ck, (18), de Ak et Bk, (31), il sufht demontrer que pour tout entier j la fonction A -est une fonction
croissante de À. Par définition de uj , (5) il sufht de montrer que, pour tout

entier d, la fonction
cette fonction est égale à:

est une fonction croissante de À. Or

qui est un produit de fonctions croissantes de À.

345

priorinondéfinies=

â~ ~1,

à
1. La fonctions y(A) : .~ --&#x3E;
encontinuité
unefonction
1, se prolonge par

LEMME 7.2. Soit e vérifiant 0econtinue et croissante de A sur l’intervalle [0, +oo[.

La fonction A - A est concave

Démonstration. On a y(A) = -1 +est la pente de la droite joignant les points (., AI) et

pour A &#x3E; 0, et(1,1).
introduit en (17), à priori

LEMME 7.3. Pour tout entier j lenondéfini pour A

=

1,

se

Prolongeen unefonction continue et croissantede A sur l’intervalle [0, +oo[.
Démonstration. La démonstration résulte de (22), et du lemme (7-2).
8. Fin de la démonstration du théorème 2

Par la proposition (5-4) le théorème 2 est vrai pour une valeur de A si,
pour une valeur de jo, on a :Le premier membre de cette inégalité est une fonction croissante de A parles lemmes (7-1) et (7-3). Si on démontrait que ci - a est une fonction
décroissante de A, la validité de l’inégalité ci dessus pour À = Ào entrainerait
donc sa validité pour toute valeur de À inférieure à Ào.

Nous ne savons pas démontrer que cl - a est une fonction décroissantede À. Cependant, sur un intervalle donné (~1, A2] nous pouvons minorerci (a) - a(À) en utilisant le
LEMME 8.1.

Définissons pour A,À2 :Alors, pour tout A de l’intervalle Al, À2, on a :346

Démonstration. Le lemme découle des lemmes (7-1) et (7-2), et de (32) et(21).
Dans le §6, pour À=

2, et jo=2048 nous avons obtenu la majoration

Par les lemmes (7-1) et (7-2), la même majoration vaut pour A 2. Compte
tenu de la proposition (5-4) il sufht pour démontrer le théorème 2, d’exhiber
une subdivision Ao = 0,Â2)...À~ = 2 de l’intervalle ~0, 2~, telle que, surcl - a soit minoré par 0.058. Le tableau ci
chaque intervalle
dessous présente une telle subdivision. Par le lemme (7-1), on minore
sur l’intervalle
Pour majorer a sur l’intervalleparon calculeetpar la méthode exposée au §6. on en déduit
par (33) et (34), et la majoration de a est fournie par (35).

9. Les calculs numériques

Tous les produits eulériens sont calculés en utilisant la proposition (2-2).
On a choisi une fois pour toutes po
229 (le 50e’"’’e nombre premier), et
12.
Les
sont
alors
très petites. Comme elles sontnoquantitéscalculées en soustrayant de P(n), calculé par (7), la somme Ep,,P. p-n, il
faut effectuer ce calcul avec une grande précision. Il a été effectué à l’aide
de MAPLE, avec 80 chiffres significatifs. La table 1 donne les résultats.
Signalons que les tables de Davis (cf. [4], p. 249) donnent les sommes E p-n,pour n 80, avec une précision de 10-ZO.
==

Calculs de L(s)Comme les fonctions x, h et T sont multiplicatives, L(s) est égal au
produit eulérien convergent pour tout s réel

347

avec

LEMME 9.1. Pour 0A
2 et 0s
est
3, la fonction
dans
le
z
et
0.1
en
rrLOdule3
dansce
holomorphe
disque1 1 ~majorée
pardisque.
Démonstration. Posons u

avec

.

=

0.1. On a pour Izi G u

On en déduit :est donc holomorphe, et enfin

Pour calculer L(s), on calcule log

Pour s3, on applique la proposition (2-2) avec r 0.1, A 3, no229.
Les coefficients an du développement en série de12, posont déterminés par Maple. On prend pour log(L(3)) la valeur approchée:
=

=

=

=

=

348

10-15. On obtient

L’erreur donnée par (9) est inférieure a 5(22.9)-12
ainsi L(3)1317.56758...
=

Calcul de H(a) et de la constante C’

Rappelons que C’ et H(A) sont définis par:Ce calcul est effectué pour ÀSur le cercle de rayon r==

1.5 . On calcule

1/2, f (z) est majoré en module par 1.5 log 2 +Hog(0.25)~=3.51og23.
Par la formule (9) on a alors à lO-24 près :Le calcul des T(a, b)

Ces sommes définies par (12) servent au calcul des uj (cf. §3). Nous
utiliserons ces sommes pour 1 a 8 et 2 b 50. Lorsque b &#x3E; 9, on
calcule la somme directement, en utilisant la proposition (2.1) pour majorer
le reste, car h(p, A) 1.
Pour b 9, on utilise la majoration (9), avec f (z)zb/(1 + AZ)a , r=0.1. Comme ~ 2 et a 8, A est majoré par rb(8/10)-$ 6rb. Le membrede droite dans la formule (9) est donc majoré par (22)-1210-6+1. T(a, b)étant minoré par h(2,À)a2-b, donc par 2-b-s,@ l’erreur relative commisedans le calcul de T(a, b) est donc majorée par 2S+b(22)-1210-b+l
lo-14
pour b &#x3E; 2. Lorsque A
2, les résultats sont dans la table 2.
==

Le calcul des uj
La somme (11) donnantak) est une somme de termes positifs
et négatifs. Il est donc important de s’assurer que la précision obtenue restebonne.

349

Remarquons d’abord que lorsque al + ... + a~ est grand ~-l(al, ... , ak)
est très petit. Précisons ceci : par (12) et (7), on sait que T(a, b)
Dans la formule (11) ~ est majoré par k et P! est majoré par (k - 1)!.

1/2 b-1

Appelons Bk le k-ième nombre de Bell, c’est à dire le nombre de partitions ensemblistes de f 1, 2, ... , k}. Les premiers Bk sont(cf. [2] vol. 2):

n a a
alors
ors laOn
a maJoratIon
II.. al,... , ak majoration ’lJ(
2cx1-f-...+ak·

Lorsque ai +...+ak &#x3E; 50 on ne prendra pas la peine d’évaluer la somme(11) et on assimillera ~-~C (a 1, ... , ctk ) à 0, avec une erreur absolue inférieureà i‘’~(Cxl, ... , Cx~ ) =l)!2~i20132013~.

Cela accélère les calculs , et cela permet d’utiliser une table des valeursde T(a, b) limitée à 2 b 50.

Chaque produit dans la formule (11) étant composé de 1 facteurs, etl’erreur relative sur chaque facteur T(a, b) étant majorée par 10-~4, l’erreur
relative sur le produit est donc majorée par l10-14. On en déduit un majorant de l’erreur absolue sur chaque terme de la somme, puis un majorantde l’erreur absolue sur la somme. Ce calcul est fait en même temps quele calcul de uj. La précision obtenue est tout à fait suffisante. La table 4
donne, pour A 2, les valeurs des uj les plus significatives.
=

10. Calcul numérique de K(0+) et K(0)Pour le calcul dedonnentetK ( 0+ ) on part des formules (2) et (3) qui

Le reste d’ordre n des deux premières séries est majoré par le rested’ordre n de la troisième. On calcule donc les sommes partielles de ces
trois séries jusquà une valeur jrrcax
20000. On calcule L(j3) (cf. §9); on=350

série, qui fournit un majorant de l’erreur
commise en attribuant à K(0) et K(0+) les sommes partielles d’ordre 20000
des séries (38) et (39). Lorsque À 1/ log 2 on obtient:en déduit le reste de la troisième=

ce

qui donne les valeurs annoncées dans le corollaire 3 de l’introduction :Il=

C’ K(0+ )=0.938 278 681143 ...

12

=

=

1.148126 773 469 ...

avec une erreur inférieure à 10-12. Les séries (38) et (39) donnent une
meilleure précision pour le calcul numérique de K(0) et K(0+) que lesséries (3). En effet, définissons

avec

(3

=

(log a)/ log 2. H. Delange nous a communiqué une démonstrationde-pour À fixé-oo, et la constante C vaut

La relation (41) donne une assez bonne estimation de p(x, A). En effet,
si l’on définit-on obtientpour À

=--1/ log 2 les valeurs

Et la valeur de C donnée par (42) est C=

0.86 ...

351

Nous avons calculé

D’après la formule (42), pour obtenir la même précision par le calcul direct des sommes des séries

(3), en s’arrétant à d = x, il faudrait avoir

6.10-13, donc x de l’ordre de 5.1022. Cela nécessiteraitl’énumération de tous les entiers quadratiquement saturésx, dont lenombre est de l’ordre de 2.1011.
Le cas À &#x3E; 2.

Lorsque À prend de plus grandes valeurs il n’est plus vrai que le minimum
et le maximum de K(9) sont atteints en 0 et 0+. Soit ekmax le point où Ki (8)atteint son maximum; les calculs montrent que, selon les valeurs de À, lessont 1,3,9; de même pour kmin tel que
principaux concurrents pourK(0) atteint son infimum en ermin. La méthode exposée pour ~ 2 permet
dévaluer les bornes supérieures et inférieures depour des valeurs de A
mais
elle
de
au
plus grandes que 2,
manqueprécisionvoisinage des valeursde À où
ou kmin change. Il ne nous a pas paru possible de faire une
conjecture lorsque A - oo.

*

352

TABLE 1TABLE DES VALEURS DE P(229,n)

353

TABLE 2
Tables des T(a,b) pour À=

2cf. (12).

354

TABLE 3
Pour À

=2.0, les Ek, bk, ’Yk

cf. (5), (22) et définition (5.5).

355

TABLE 4
Pour À = 2 et 1

= j = 2048, les uj plus grands que 10 - 5 .

356

TABLE 5
Pour À
Les ck vérifiant 1=

2.

= k = 100 et 0.00001

ck

357

RÉFÉRENCES[1] M. Balazard, J.-L. Nicolas, C. Pomerance, G. Tenenbaum, Grandes déviations pourcertaines fonctions arithmétiques, J. Number Theory 40 (1992), 146-164.

[2] L. Comtet, Analyse combinatoire, Tomes 1 et 2. Presses universitaires de France,
1970.

[3] H. H. Crapo, Permanent by Möbius inversion, Journal of Combinatorial Theory 4(1968), 198-200.
[4] H. T. Davis, Table of the higher mathematical functions, The principia Press, Bloomington, Indiana, 1935, vol. 2.

[5] M. Deléglise, Applications des ordinateurs à la théorie des nombres, Thèse Université de Lyon 1, 1991.

[6] P.D.T.A. Elliot, Probabilistic number theory, vol I and II, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 239-240, Springer-Verlag, 1979.

[7]

P. Flageolet, I. Vardi, Numerical evaluation of Euler products, Prepublication.

[8] W. L. Glaisher, On the sums of the inverse powers of the prime numbers, Quartely
Journal of Math 25 (1891), 347-362.
[9]

G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford at
the Clarendon Press 1962.

[10] K.K. Norton, On the number of restricted prime factors of an integer, Illinois J.
Math 20 (1976), 681-705.
[11] H. Riesel, Prime numbers and computer methods for factorization, Birkhaüser, 1985.

M. Deléglise et J.-L. Nicolas
Mathématiques, Bat. 101
Université Claude Bernard, Lyon 1

F-69622 Villeurbanne Cedex