DE LA RAMIFICATION AUX SOUS-GROUPES CANONIQUESYICHAO TIAN

Soient OK un anneau de valuation discrète complet de corps résidel k de caractéristiquep > 0, π ∈ OK une uniformisante, K son corps des fractions, K une clôture séparable de K,
OK l’anneau des entiers de K. On note v la valuation sur K normalisée par v(π) = 1, et GKle groupe de Galois de K sur K. Pour tout a ∈ Q>0 , on note ma = {x ∈ OK ; v(x) ≥ a}. Si
K est de caractéristique 0, on note e l’indice de ramification absolu de K, et vp la valuation
sur K normalisée par vp (p) = 1, i.e. on a v(x) = evp (x) pour x ∈ K. Pour un schéma engroupes G et un entier n ≥ 1, on note G[n] le noyau de la multiplication par n sur G.
A partir de la section 2, on suppose K de caractéristique 0 et k parfait.
1. Filtration d’Abbes-Saito pour les schémas en groupes finis plats sur OK
1.1. Soient ASFOK la catégorie des OK -algèbres syntomiques (i.e. plates et localementd’intersection complète) finies et génériquement étales, EnsGK la catégories des ensembles
finis munis d’une action continue de GK . On a le foncteur fibre
F : ASFOK −→ EnsGK
qui associe à un objet A de ASFOK l’ensemble (Spec A)(K) muni de l’action naturellede GK . On définit une filtration du foncteur fibre F comme suit. Pour tout objet A de
ASFOK , on choisit un plongementi : Spf(A) ,→ X = Spf(A ),où A = OK < X1 , · · · , Xd >, le complété p-adique de l’anneau des polynômes à d variables
sur OK . Soit I l’idéal de i. Pour tout a = m/n ∈ Q>0 , on pose Xa = Spf(A < I n /π m >).
C’est un schéma formel topologiquement de type fini sur OK dont la fibre générique àla Raynaud XaK est un sous-domaine affinoı̈de du disque unité rigide de dimension d.
On appelle XaK le a-ième voisinage tubulaire de Spf(A) dans XK . On peut montrer quel’ensemble des composantes géométriques connexes de l’espace affinoı̈de XaK pour la Ga ), ne dépend pas du choix du plongement i [AS02, 3.1]. Pour destopologie, noté π0 (XK
nombres rationels b > a > 0, on a Spec(A)(K) ⊂ XbK (K) ⊂ XaK (K). On obtient donc pour
tout a ∈ Q>0 un foncteur
F a : ASFOK −→ EnsGKa ). On a des morphismes nautrels de foncteurs φ : F → F a etdonné par A 7→ π0 (XKaφb,a : F b → F a pour b > a, tels que φa = φb,a ◦ φb et φc,a = φb,a ◦ φc,b pour c > b > a.
Pour tout nombre réel a > 0, on pose
F a− (A) = lim F b (A)←−F a+ (A) = lim F b (A).
−→

0<b<a

b>a

1

2

YICHAO TIAN

Proposition 1.2. ([AS02, 6.2 et 6.4]) Soit A un objet de ASFOK . Alors(i) pour tout a ∈ Q>0 , F (A) → F a (A) est surjectif ;∼(ii) le morphisme naturel F (A) −→ lima∈Q F a (A) est une bijection ;←− >0(iii) pour tout a ∈ Q>0 , on a F (A) = F a− (A), et pour tout nombre irrationel a > 0,
on a F a− (A) = F a+ (A).
1.3. Soient G = Spec(A) un schéma en groupes fini, plat et génériquement étale sur OK ,et a ∈ Q>0 . La structure de groupe sur G induit une structure de groupe sur F a (A),et le morphisme naturel G(K) = F (A) → F a (A) est un homomorphisme de groupes.
Donc le noyau GaAS (K) = Ker(G(K) → F a (A)) est invariant sous l’action de GK , et ildéfinit un sous-schéma en groupes fermé GaAS,K de la fibre générique G ⊗ K. L’adhérenceschématique de GaAS,K dans G, notée GaAS , est un sous-schéma en groupes fermé de G finiet plat sur OK . Posons G0 = G. On obtient donc une filtration décroissante et séparée(GaAS , a ∈ Q≥0 ) de G par des sous-schémas en groupes fermés finis et plats sur OK . OnSbl’appelle filtration d’Abbes-Saito. Pour tout nombre réel a ≥ 0, on pose Ga+b∈Q>a G .
AS =Proposition 1.4. Soit f : G → H un morphisme de schémas en groupes finis, plats etgénériquement étales sur OK .
a . Si f(i) L’homomorphisme f induit un homomorphisme canonique f a : GaAS → HASaaaest plat et surjectif, alors f (K) : GAS (K) → HAS (K) est surjectif.
(ii) Le sous-groupe G0+
AS est la composante connexe neutre de G.
(iii) Soient (GKa , a ∈ Q≥0 ) la filtration de ramification définie par Abbes-Saito dans
[AS02, 3.4]. Alors pour tout a > 0, GKa agit trivialement sur G(K)/GaAS (K). En particulier,le GK -module G(K)/G1+
AS (K) est modéré.
(iv) Soient L/K une extension de corps de valuation discrète complet (pas nécessairement
finie) d’indice de ramification fini eL/K , OL l’anneau des entiers de L, L une clôture
aeL/K' GaAS ⊗OK OL pourséparable de L contenant K, GL = G ⊗OK OL . Alors on a GL,AS
tout a ≥ 0.
Démonstration. L’énoncé (i) est [AM04, 2.3.2]. Pour (ii), voir [AM04, 2.3.5]. L’énoncé(iii) est une conséquence directe de la définition de la filtration d’Abbes-Saito et du fait
que GK /GKa est le groupe de Galois associé au foncteur F a sur une certaine catégoriegaloisienne [AS02, Section 3]. Pour (iv), voir [AM04, 2.1.5].
Remarque 1.5. Si f : G → H est surjectif et plat, l’énoncé (i) de la proposition impliqueaque le morphisme induit sur les fibres générique f a ⊗ K : GaAS,K → HAS,K
est surjectif etaaaplat, mais on fait attention que f : GAS → HAS n’est pas forcément plat en général.
Exemple 1.6. Supposons K de caractéristique 0. Soient E une courbe elliptique sur OK ,Gi = E [pi ] le noyau de la multiplication par pi sur E pour i ≥ 1. D’après [Ka73, 3.6], il
existe un paramètre X du groupe formel associé à E tel que la multiplication par p sur E
soit donnée par[p](X) = pX + αX p +

p
X
m=2

2

cm X m(p−1)+1 + cp+1 X p +

∞
X
m≥p+2

cm X m(p−1)+1 ,DE LA RAMIFICATION AUX SOUS-GROUPES CANONIQUES

3où vp (cp+1 ) = 0 et vp (cm ) ≥ 1 sauf m ≡ 1 mod p. Posons w = vp (α) ≥ 0. En utilisant lepolygone de Newton, on trouve la filtration d’Abbes-Saito de G1 comme suit :(a) Si w ≥ p/(p + 1), alors(0si a > ep2 /(p2 − 1),
Ga1,AS =G1 si a ≤ ep2 /(p2 − 1).
(b) Si 0 ≤ w < p/(p + 1), alors


si
0
a
G1,AS = C
si


G1 si

a > e(p − w)/(p − 1),
epw/(p − 1) < a ≤ e(p − w)/(p − 1),
0 ≤ a ≤ pw/(p − 1),où C est un sous-schéma en groupes fermé de G1 fini et plat sur OK de rang p.
De même pour G2 , on a(a) Si w ≥ p/(p + 1), alors
si a > e + ep2 /(p2 − 1),
0
Ga2,AS = G1 si ep2 /(p2 − 1) < a ≤ e + ep2 /(p2 − 1),
G2 si 0 ≤ a ≤ ep2 /(p2 − 1).
(b) Si 1/(p + 1) ≤ w < p/(p + 1), alors0
si a > e + e(p − w)/(p − 1),





si e + epw/(p − 1) < a ≤ e + e(p − w)/(p − 1),
Ca
G2,AS = G1 si e(p − w)/(p − 1) < a ≤ e + epw/(p − 1),D si epw/(p − 1) < a ≤ e(p − w)/(p − 1),G si 0 ≤ a ≤ epw/(p − 1),2où D est l’image inverse de C par la projection G2 → G1 induite par la multiplication parp.
(c) Si 0 ≤ w < e/(p + 1), alors0
si a > e + e(p − w)/(p − 1),





si e(p − w)/(p − 1) < a ≤ e + e(p − w)/(p − 1),
Ca
G2,AS = C2 si e(p2 + p − 1)w/(p − 1) < a ≤ e(p − w)/(p − 1),D si epw/(p − 1) < a ≤ e(p2 + p − 1)w/(p − 1),G si 0 ≤ a ≤ epw/(p − 1),2où C2 est un sous-groupe fermé de G2 fini plat de rang p2 tel que C2 (K) soit libre de rang 1
sur Z/p2 Z et C2 (K)∩G1 (K) = C(K), D est l’image inverse de C par la projection naturelle
G2 → G1 . Si w > 0 (i.e. dans le cas supersingulier), alors le groupe de Barsotti-Tate associé
2à E ⊗ k est de pente 1/2 ; en particulier, on a FE2 = p, où FE2 : E ⊗ k → (E ⊗ k)(p ) est le
2-ième itéré de Frobenius. On verra plus tard que C2 ⊗ k coı̈ncide avec le noyau de FE2 = p,i.e. G1 ⊗ k. Donc le noyau de la multiplication par p sur C2 n’est pas plat sur OK !

4

YICHAO TIAN

2. Filtration par les groupes de congruence
On suppose désormais K de caractéristique 0 et k parfait.
2.1. Filtration de ramification naı̈ve inférieure. Soient G un schéma en groupes finiet plat sur OK , a ∈ Q>0 . Suivant L. Fargues [Far09, 4.1.1], on pose
Garn (K) = Ker(G(OK ) → G(OK /ma )).
C’est un sous-groupe de G(K) = G(OK ) invariant sous l’action de GK . Il donc correspond àun sous-schéma en groupes de G ⊗ K. On désigne par Garn son adhérence schématique dans
G. Posons G0 = G. On obtient ainsi une filtration décroissante (Garn , a ∈ Q≥0 ) de G pardes sous-schémas en groupes finis et plats sur OK . On l’appelle filtration de ramificationinférieure naı̈ve de G.
Supposons G = Spec(A) et notons GD = Spec(A∗ ) avec A∗ = HomOK −mod (A, OK )son dual de Cartier. On identifie G(K) à un sous-ensemble de A∗ ⊗OK OK par l’inclusion
naturelle
G(K) = HomOK −alg (A, OK ) ,→ HomOK −mod (A, OK ) = A∗ ⊗OK OK .
L’élément neutre e ∈ G(K) s’identifie alors à l’unité de l’algèbre A∗ ⊗OK OK . Soit x ∈G(K). On a alors(2.1.1)x ∈ Garn (K) ⇔ (x − e)(A) ⊂ ma ⇔ x ∈ 1 + ma A∗ .

Proposition 2.2. Pour tout a ≥ 0, on a Garn (K) ⊂ GaAS (K). En particulier, la filtrationde ramification inférieure naı̈ve de G est séparée.
Démonstration. Supposons G = Spec(A). Soienti : Spf(A) ,→ X = Spf(OK < x1 , · · · , xd >)un plongement, XaK le a-ième voisinage tubulaire de Spf(A) dans XK . D’après [AS03,
Lemma 1.9], il existe un morphisme de groupes G(OK /ma ) → π0 (XaK ), tel que le diagramme suivant soit commutatif
G(K)/ G(O /ma ) .
K
KKK
KKK
KKK
K%


π0 (XaK )Cette proposition se déduit immédiatement des définitions de GaAS (K) et Garn (K).



2.3. Filtration par les groupes de congruence. D’après Oort et Suwa, on pose, pour
tout λ ∈ OK vérifiant v(λ) ≤ e/(p − 1),(1 + λT )p − 1∈ OK [T ],λpet Gλ = Spec(OK [T ]/Pλ (T )). On munit Gλ d’une structure de schéma en groupes sur
OK en définissant la comultiplication par T 7→ 1 ⊗ T + T ⊗ 1 + λT ⊗ T et l’application1
coinverse par T 7→ − 1+λT
. Si v(λ) = 0, Gλ est isomorphe au groupe multiplicatif µp ;Pλ (T ) =

DE LA RAMIFICATION AUX SOUS-GROUPES CANONIQUES

5

si v(λ) = e/(p − 1), Gλ est étale sur OK . Suivant Raynaud, on appelle Gλ groupe decongruence de niveau λ. D’après la classification de Tate-Oort, tout schéma en groupes
d’ordre p sur OK est isomorphe à un certain Gλ . Pour tout λ1 , λ2 , on a(0si v(λ1 ) < v(λ2 ),HomOK (Gλ1 , Gλ2 ) =Fp · θλ1 ,λ2 si v(λ1 ) ≥ v(λ2 ),où θλ1 ,λ2 est donné par θλ∗ 1 ,λ2 (T ) = λλ21 T . On a θλ2 ,λ3 ◦ θλ1 ,λ2 = θλ1 ,λ3 pour 0 ≤ v(λ3 ) ≤v(λ2 ) ≤ v(λ1 ) ≤ e/(p − 1). Pour tout λ, on pose θλ = θλ,1 : Gλ → G1 ' µp .
Soient G un schéma en groupes fini plat sur OK tué par p, GD son dual de Cartier.
Pour tout λ ∈ OK vérifiant v(λ) ≤ e/(p − 1), θλ induit un homomorphisme de groupesθλ (G) : HomOK (GD , Gλ ) → HomOK (GD , µp ) = G(K).
Le morphisme θλ (G) est injectif, et son image est un sous-groupe de G(K) invariant sousl’action de GK , qui ne dépend que de v(λ). L’adhérence schématique de cette image estv(λ)
un sous-schéma en groupes fermé de G fini et plat sur OK ; on le note Gcong . On appellea(Gcong , a ∈ [0, e/(p − 1)] ∩ Q) filtration par les groupes de congruence de G.
Proposition 2.4 ([Far09] Prop. 4). Soit G un schéma en groupes fini et plat sur OK tuépar p. On a(0
si a > e/(p − 1);
a
Grn =
a
Gcong si 0 ≤ a ≤ e/(p − 1).
Démonstration. C’est une conséquence immédiate de la description (2.1.1) de Garn (K). 
Proposition 2.5. Soit G un schéma en groupes fini plat sur OK et tué par p. Alors sousl’accouplement parfait
G(K) × GD (K) → µp (K),on a pour tout a ∈ Q≥0(
GD (K)
si a > ep/(p − 1)a+⊥eaGAS (K) =−p−1
p(GD )cong(K) si 0 ≤ a ≤ ep/(p − 1).
Cette proposition a été démontrée d’abord dans [Ti06, Thm. 1.6] en utilisant unerésolution de G par des schémas abéliens et la filtration de Bloch-Kato sur les faisceauxde cycles évanescents p-adiques. Puis L. Fargues a trouvé une démonstration élémentaire[Far09, Prop. 6]. La stratégie de Fargues est de montrer cette proposition d’abord pour
tous les schémas en groupes d’ordre p ; ensuite il utilise la compatibilité aux quotients dela filtration d’Abbes-Saito pour se ramener au cas d’ordre p.
3. Sous-groupe canonique d’un groupe de Barsotti-Tate d’échelon 1
3.1. Problème du sous-groupe canonique. Soit G un groupe de Barsotti-Tate sur
OK . Sur la fibre spéciale G ⊗ k, on a l’homomorphisme de Frobenius dont le noyau est un
schéma en groupes fini sur k. Lorsque G⊗k est ordinaire, il existe un relèvement canonique
du noyau de Frobenius en un sous-schéma en groupes fermé fini et plat sur OK , à savoir,

6

YICHAO TIAN

c’est la composante neutre du noyau de la multiplication par p de G ; ce qui équivaut àdire qu’il existe une façon canonique de relever l’isogénie du Frobenius en caractéristique
0. Le problème de sous-groupe canonique consiste alors à étendre canoniquement cetteconstruction au cas pas nécessairement ordinaire. Plus généralement, pour un entier n ≥ 1,
on peut se demander de relever canoniquement le noyau du n-ième itéré du Frobenius deG ⊗ k en un sous-schéma en groupes fermé de G fini et plat sur OK dont le groupegénérique géométrique est libre sur Z/pn . Si un tel relèvement existe, on l’appelle sousgroupe canonique de niveau n de G.
Comme remarqué par Lubin [Lu79], ce n’est pas toujours possible qu’il existe un choix
canonique des relèvements du noyau de Frobenius. Dans l’exemple 1.6, la fibre spéciale detout sous-groupe d’ordre p de G1 = E [p] connexe et plat sur OK coı̈ncide avec le noyau
du Frobenius de E ⊗ k. Mais si w ≥ ep/(p + 1) et e premier à p2 − 1, le groupe de Galois
GK agit transitivement sur l’ensemble G1 (K)\{0} ; donc il n’y a pas de choix canoniquepour un sous-groupe qui relève le noyau du Frobenius. Par contre, si w est assez petit (i.e.
w < ep/(p + 1)), ce qui signifie intuitivement que la courbe elliptique E est assez proched’être ordinaire, alors le cran C de la filtration d’Abbes-Saito de G1 est distingué desautres sous-groupes d’ordre p de G1 . C’est le sous-groupe canonique qu’on cherchait. Si w
est encore plus petit (i.e. w < e/(p + 1)), le sous-groupe C2 est un relèvement canonique
du noyau du 2-ième itéré de Frobenius de E ⊗ k tel que C2 (K) soit un Z/p2 Z-module librede rang 1, i.e. C2 est un sous-groupe canonique de niveau 2 de E . Dans cette section, oncommerce par introduire, pour un groupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelon 1 sur OK ,un invariant généralisant w ; et puis on explique des résultats généraux sur l’existence dessous-groupes canoniques.
3.2. On note vp : OK /p → [0, 1] la valuation p-adique tronquée (avec vp (0) = 1). Soient
G un sous-groupe de Barsotti-Tate d’échelon 1 non-étale sur OK , G1 = G ⊗OK (OK /p).
Alors l’algèbre de Lie de G1 , notée Lie(G1 ), est un (OK /p)-module libre de rang d ≥ 1.
(p)
L’homomorphisme de Verschiebung VG1 : G1 → G1 induit une application semi-linéaire
ϕG1 : Lie(G1 ) → Lie(G1 ). Soit U une matrice de ϕG1 . On note h(G) = vp (det(U )) et on
l’appelle hauteur de Hodge de G1 . On vérifie facilement que cette définition ne dépend pas
du choix de la matrice U . La hauteur de Hodge est un analogue de l’invariant de Hasseen caractéristiques mixtes. En effet, h(G) = 0 si et seulement si G1 est ordinaire. Dansl’exemple 1.6, on peut montrer que h(E [p]) = min{1, vp (α)}.
Proposition 3.3 ([Far09], Prop. 2). Soit GD le dual de Cartier de G. On a h(G) = h(GD ).
Démonstration. Soient M(G1 ) l’évaluation du cristal de Dieudonné (contra-variant) de G1en PD-immersion triviale Spec(OK /p) ,→ Spec(OK /p) [BBM, 3.3.6], ωG1 le module desdifférentielles invariantes de G1 . Alors on a des suites exactes courtes
0 → ωG1 → M(G1 ) → Lie(GD1 ) → 0,appelée la filtration de Hodge sur M(G1 ) [BBM, 3.3.5], et la filtration conjuguée(p)(p)
0 → Lie(GD→ M(G1 ) → ωG1 → 0
1 )DE LA RAMIFICATION AUX SOUS-GROUPES CANONIQUES

7

qui est obtenue en appliquant le foncteur de Dieudonné à la suite exacte courte de schémas
en groupes finis et plats 0 → Ker(FG1 ) → G1 → Ker(VG1 ) → 0, où FG1 et VG1 signifient
respectivement le Frobenius et le Verschiebung de G1 [BBM, 4.3.1, 4.3.6 et 4.3.11]. De
plus, par fonctorialité des modules de Dieudonné, on a un diagramme commutatifϕe∗G/ ω (p)mm6 6 G1
m
m
m
mmm
mmm
m
m
m
∗



mmm VG∗
FG
1
1/ M(G )(p)
/ M(G1 )/ M(G )(p)
1
1
l6
lll
l
l
l
lll
(  llll ϕeGD1
/ Lie(GD )Lie(GD )(p)Lie(GD )(p)
(p)

ωG1

1

ωG1

1

1

/,

1

où FG∗ 1 et VG∗1 sont respectivement des morphismes induits par FG1 et VG1 , ϕeGD est la
1∗linéarisation de ϕGD , et ϕeG1 est le transposé de ϕeG1 par le foncteur HomOK /p ( , OK /p).
1
Par la définition de h(G), il est facile de voir que




1
1
(p)
(p)
∗
h(G) = min{1, lg Lie(G1 )/ϕeG1 (Lie(G1 ) ) } = min{1, lg ωG1 /ϕeG1 (ωG1 ) },eeoù lg( ) signifie la longueur d’un (OK /p)-module fini. D’autre part, le diagramme commutatif ci-dessus implique que


1
D (p)
h(G) = min{1, lg M(G1 )/(ωG1 + Lie(G1 ) ) }
e


1
D (p)
)/
ϕ
e
(Lie(G))} = h(GD ).
= min{1, lg Lie(GD
D
1
1
G1
e
Cece montre la proposition.

Remarque 3.4. Dans [AM04] et [Ti06], la hauteur de Hodge de G a été définie commeétant h(GD ) ; ce qui est égale à h(G) grâce à 3.3. Dans [Far09], h(G) est noté Ha(G)et appelé l’invariant de Hasse. On note aussi que Conrad a défini l’invariant de Hasse
comme p−h(G) [Co05, 2.3.1], et il a montré la proposition 3.3 lorsque G est le noyau de lamultiplication par p d’un schéma abélien [Co05, 2.3.4]. La preuve de Conrad et celle deFargues sont essentiellement toutes la même que celle présentée ici.
Théorème 3.5 ([Ti06], Thm. 1.4). Soient G un groupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelon
1, d = dimk Lie(G ⊗ k) ≥ 1, j = e/(p − 1). Supposons p ≥ 3 et h(G) < 1/p. Alorsd(i) le cran Gj+
AS est localement libre de rang p sur OK ;j+(ii) la fibre spéciale de GAS coı̈ncide avec le noyau du Frobenius de G ⊗ k.
L’énoncé (i) est déjà montré dans [AM04] pour G égale au noyau de la multiplication
par p d’un schéma abélien sur OK . Dans [Ti06], on généralise leur résultat au cas général
en utilisant une résolution de G par des schémas abéliens comme faisceaux fppf sur OK ,dont l’existence est assurée par un théorème de Raynaud [BBM, 4.1]. Pour la seconde

8

YICHAO TIAN

partie du théorème, on utilise la proposition 2.5 pour montrer que dimk Lie(Gj+AS ⊗ k) ≥ d,puis un argument général sur les schémas en groupes sur k nous permet de conclure. Cetteapproche est inspirée par Andreatta-Gasbarri [AG07], qui ont donné une autre construction des sous-groupes canoniques pour une famille de schémas abéliens paramétrisée parun schéma formel sur OK .
Le théorème 3.5 est maintenant beaucoup amélioré par L. Fargues.
Théorème 3.6 ([Far09] Théo. 4). Soit G un groupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelon 1
sur OK de hauteur h et de dimension d avec 1 < d < h. Supposons que p ≥ 3 et la hauteurde Hodge w = h(G) soit strictement inférieure à 1/2 si p ≥ 5 et w = h(G) strictement
inférieure à 1/3 si p = 3.
ew
a
d
D a
< a ≤ e(1−w)(i) Pour tout p−1
p−1 , le groupe Grn est de rang p et le groupe (G )rn est derang ph−d , indépendant de a.
(ii) Notons C (resp. E) le cran de la filtration de ramification naı̈ve de G (resp. de
GD ) de rang pd (resp. de rang ph−d ). Alors on a E = (G/C)D . En particulier, pour toutep(1−w)epw
aD a
p−1 < a ≤p−1 , on a C = GAS et E = (G )AS .
(iii) Pour tout  ∈ Q>0 , on note OK, le quotient de OK par l’idéal formé des éléments
de OK dont la valuation p-adique est supérieure ou égale à . Alors le groupe C ⊗ OK,1−w(resp. E⊗OK,1−w ) coı̈ncide avec le noyau de l’homomorphisme de Frobenius de G⊗OK,1−w(resp. de GD ⊗ OK,1−w ).
(iv) Soient H est un sous-groupe fermé de G (resp. de GD ) fini et plat sur OK ,  unw
<  ≤ 1 − w. Si le groupe H ⊗ OK, coı̈ncide avec le noyau
nombre rationnel vérifiant p−1
du morphisme de Frobenius de G ⊗ OK, (resp. de GD ⊗ OK, ), alors on a H = C (resp.
H = E).
La démontration de Fargues pour ce théorème utilise le fait que le conoyau de l’appli1
cation de Hodge-Tate d’un schéma en groupes fini plat sur OK est annulé par p p−1 . Cecidépend, d’une façon essentielle, du théorème de comparaison intégrale de Fatlings [Fal99]
pour les groupes de Barsotti-Tate sur OK .
Définition 3.7. Soit G un groupe de Barsotti-Tate troqnué d’échelon 1 sur OK vérifiant
l’hypothèse du théorème 3.6, on appelle sous-groupe canonique de G le groupe C construit
dans le théorème.
Le point (iii) de 3.6 est particulièrement important, puisqu’il nous permet de construire
les sous-groupes canoniques de niveau supérieur. Pour simplifier les notations, si G est ungroupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelon n ≥ 1 ou un groupe de Barsotti-Tate sur OK ,on note encore h(G) la hauteur de Hodge du sous-groupe G[p].
Proposition 3.8 (cf. [Far09] Thm. 5). Soient G un groupe de Barsotti-Tate d’échelonn ≥ 2 sur OK , i un entier vérifiant 1 ≤ i ≤ n − 1, H un sous-groupe fermé de G[pi ] finiet plat sur OK . Alors p−(n−i) H/H est un groupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelon n − i.
1
. Soit C le sous-groupe canonique de G[p] construit
Supposons que p ≥ 3 et h(G) < p+1
dans le théorème 3.6. Alors on a h(p−(n−1) C/C) = ph(G).

DE LA RAMIFICATION AUX SOUS-GROUPES CANONIQUES

9

Démonstration. On choisit un groupe de Barsotti-Tate G sur OK tel que G = G [pn ].
L’existence d’un groupe est assurée par [Il85]. Posons G 0 = G /H. On a un isomorphismep−(n−i) H/H ' G 0 [pn−i ]. Ceci montre que p−(n−i) H/H est un groupe de Barsotti-Tatetronqué d’échelon n − i. Pour la seconde partie de la proposition, notons w = h(G)et G0n−1 = p−(n−1) C/C. Soient G un groupe de Barsotti-Tate tel que G [pn ] = G, et
G 0 = G /C. D’après 3.6(iii), C ⊗ OK,1−w est le noyau du Frobenius de G ⊗ OK,1−w , i.e.
celui de G ⊗ OK,1−w . L’homomorhisme canonique G ⊗ OK,1−w → G 0 ⊗ OK,1−w s’identifie
alors au morphisme de Frobenius de G ⊗ OK,1−w ; en particulier, on a un isomorphisme
G 0 ⊗ OK,1−w ' (G ⊗ OK,1−w )(p) . On a doncLie(G0n−1 ⊗ OK,1−w ) = Lie(G 0 ⊗ OK,1−w ) ' Lie(G ⊗ OK,1−w )(p) .
Par la fonctorialité de la hauteur de Hodge, on amin{1 − w, ph(G1 )} = min{1 − w, h(G01 )}.
On en conclut alors par l’hypothèse que w < 1/(p + 1).

Théorème 3.9 (cf. [Far09] Thm. 6). Soit G un groupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelonn ≥ 1 sur OK de hauteur h et de dimension d. Si p = 3 on suppose que h(G) < 31n , et si
1. Alors il existe un unique sous-groupe fermé Cn de Gp ≥ 5 on suppose que h(G) < 2pn−1
fini et plat sur OK satisfaisant les propriérés suivantes :(i) Le groupe Cn (K) est un Z/pn Z-module libre de rang d.
(ii) Pour tout entier 1 ≤ i ≤ n, soit Ci l’adhérence schématique de Cn (K)[pi ] dans G.
Alors le sous-groupe Ci ⊗ OK,1−pi−1 h(G) coı̈ncide avec le noyau du i-ème itéré du Frobeniusde G ⊗ OK,1−pi−1 h(G) .
Démonstration. On procède par récurrence sur n. Le cas n = 1 est vrai grâce à 3.6.
Supposons donc n ≥ 2 et que le théorème soit vrai pour les groupes de Barsotti-Tategroupes d’échelon n − 1. Soient Gi = G[pi ] pour tout entier 1 ≤ i ≤ n, C le sous-groupecanonique de G1 , et G0n−1 = p−(n−1) C/C. D’après la proposition 3.8, G0n−1 est un groupede Barsotti-Tate tronqué d’échelon n−1 avec h(G0n−1 ) = ph(G). Appliquant l’hypothèse de0
récurrence à G0n−1 , on obtient un unique sous-groupe Cn−1
de G0n−1 tel que les conditions
00(i) et (ii) soient vérifiées pour Cn−1
. Par les unicités de C et de Cn−1
, on voit que le sous0
groupe Cn , s’il existe, ne peut être que l’image réciproque de Cn−1 dans p−(n−1) C ⊂ G.
Il reste donc à vérifier qu’un tel choix de Cn satisfait les conditions (i) et (ii). Pour tout
0
entier 1 ≤ i ≤ n − 1, notons G0i = G0n−1 [pi ] et Ci0 l’adhérence schématique de Cn−1
(K)[pi ]0dans Gn−1 .
0Sous-lemme 3.9.1. Sous les hypothèses précédente, on a Cn−1(K) ∩ (G1 /C)(K) = 00dans Gn−1 (K).

Preuve du sous-lemme. Il suffit de montrer que C10 (K) ∩ (G1 /C)(K) = 0, car G1 /C est
0tué par p. Par l’hypothèse de récurrence pour Cn−1
, C10 est le sous-groupe canonique deeh(G01 )+G01 . Alors le théorème 3.6(i) implique que C10 (K) = (G01 )rnp−1(K). Puisque la filtration

10

YICHAO TIAN

de ramification naı̈ve est compatible aux sous-groupes, on aeh(G0 )

1 +(G1 /C)(K) ∩ C10 (K) = (G1 /C)rnp−1 (K).
eph(G1 )+p−1

D’autre part, le théorème 3.6(ii) implique que C = G1,ASeph(G1 )+(G1 /C)ASp−1. Donc d’après 1.4(i), on a(K) = 0.

Le sous-lemme se déduit alors de la proposition 2.2 et du fait que h(G01 ) = ph(G1 ).



Revenons à la preuve de 3.9. Le morphisme canonique×pp−(n−1) C ,→ G −−→ Gn−1
induit un homomorphisme ψ : G0n−1 → Gn−1 dont le noyau est G1 /C. On a un diagrammecommutatif de suites exactes courtes
00/ C(K)
_/ C (K)
n 
_





/ G (K)
1/ G (K)n/ C0n−1 (K)

×p

/G



/0

ψ|C 0

n−1

n−1 (K)/ 0,

où les deux flèches verticales à gauche sont des inclusions naturelles. Le sous-lemme cidessus implique que la droite flèche verticale est aussi injective ; c’est-à-dire qu’on aCn (K)[p] = Cn (K) ∩ G1 (K) = C(K).
Comme Cn (K) est un Z/pn Z-module fini de longueur nd et Cn (K)[p] de longueur d, on
en conclut que Cn (K) est libre de rang d sur Z/pn . Ceci vérifie la condition (i) pour Cn .
On remarque que C1 = C, donc la condition (ii) pour i = 1 est satisfaite grâce au 3.6(iii).
Comme dans la preuve de 3.8, on choisit un groupe de Barsotti-Tate G sur OK tel que
G [pn ] = G, et on pose G 0 = G /C. On a G0n−1 = G 0 [pn−1 ]. Pour 1 ≤ i ≤ n − 1, il est clair
que Ci+1 est le noyau de l’isogénie surjective composée G → G 0 → G 0 /Ci0 . Par 3.6(iii),
l’isogénie canoniqueG ⊗ OK, → G 0 ⊗ OK,s’identifie au morphisme de Frobenius de G ⊗ OK, pour tout nombre rationnel 0 <  ≤1 − h(G). Par l’hypothèse de récurrence, l’isogénie
G 0 ⊗ OK,1−pi h(G 0 ) → (G 0 /Ci0 ) ⊗ OK,1−pi h(G 0 )s’identifie au i-ème itéré du Frobenius. Comme h(G 0 ) = ph(G), donc l’isogénie composée
G ⊗ OK,1−pi+1 h(G) → G 0 ⊗ OK,1−pi+1 h(G) → (G 0 /Ci0 ) ⊗ OK,1−pi+1 h(G)est le (i + 1)-ème itéré du Frobenius, i.e. Ci+1 ⊗ OK,1−pi+1 h(G) coı̈ncide avec le noyau du(i + 1)-ème itéré du Frobenius de G ⊗ OK,1−pi+1 h(G) .
Par l’unicité du sous-groupe Cn dans ce théorème, on obient facilement le corollairesuivant en appliquant successivement la proposition 3.8.

DE LA RAMIFICATION AUX SOUS-GROUPES CANONIQUES

11

Corollaire 3.10. Sous les notations et hypothèses de 3.9, pour tout entier 1 ≤ i ≤ n,p−(n−i) Ci /Ci est un groupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelon n − i avec la hauteur deHodge égale à pi h(G), et Cn /Ci est l’unique sous-groupe de p−(n−i) Ci /Ci donné par lethéorème 3.9.
Remarque 3.11. Si p ≥ 5, Fargues [Far09, Théo. 6] montre que le sous-groupe Cn est
un cran de la filtration de Harder-Narasimhan de G. Mais j’ignore si Cn est un cran de lafiltration d’Abbes-Saito (ou la filtration de ramification naı̈ve) de G. Par les fonctorialitésdes filtrations et le théorème 3.6, on a des inclusisonseh(G)Grnp−1+ep(1−h(G))⊂ Cn ⊂ GAS p−1.

Une devine naturelle est donc que les trois groupes sont tous égaux.
Références[AM04] A. Abbes et A. Mokrane, Sous-groupes canoniques et cycles évanescents p-adiques pour lesvariétés abéliennes, Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sci. 99 (2004), 117-162.
[AS02]

A. Abbes and T. Saito, Ramification of local fields with imperfect residue fields, Am. J. Math.
124 (2002), 879-920.

[AS03]

A. Abbes and T. Saito, Ramification of local fields with imperfect residue fields II, Documenta
Math. Extra volume dedicated to Kazuya Kato on the occasion of his 50 birthday, (2003), 5-72.

[AG07]

F. Andreatta and C. Gasbarri, The canonical subgroup for families of abelian varieties, Compos. Math. 143 (2007), 566-602.

[BBM]

P. Berthelot, L. Breen and W. Messing, Théorie de Dieudonné Cristalline II, Lecture notes
in Math. 930, Springer-Verlag, (1982).

[Co05]

B. Conrad, Higher-level canonical subgroups in abelian varieties, prépulication (2005).

[Fal99]G. Faltings, Integral crystalline cohomology over very ramified valuation rings, J. Amer. Math.
Soc. 12 (1999), 117-144.

[Far09]L. Fargues (avec la collaboration de Y. Tian), Le sous-groupe canonique des groupes de BarsottiTate tronqués d’échelon quelconque, prépulication (2009).

[Il85]

L. Illusie, Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d’après Grothendieck), in Seminar on
arithmetic bundles : the Mordell Conjecture, Astérisque 127 (1985), 151-198.

[Ka73]

N. Katz, p-adic properties of modular schemes and modular forms, in Modular Functions of One
Variable III, Lecture notes in Math. 350, Springer-Verlag, (1973).

[Lu79]

J. Lubin, Canonical subgroups of formal groups, Tran. Amer. Math. Soc. 251 (1979), 103-127.

[Ti06]

Y. Tian, Canonical subgroups of Barsotti-Tate groups, prépublication (2006), à paraitre dansAnn. Math.