I trabocchetti della rappresentazione spaziale
Roberto Casati
Centre National de la Recherche Scientifique
Achille C. Varzi
Department of Philosophy, Columbia University, New York

[Pubblicato in Sistemi Intelligenti 11:1 (1999), 7–28]

Molti sistemi cognitivi, tra cui anche alcuni agenti artificiali, devono rappresentare lo spazio e gli oggetti spaziali per muoversi e agire in modo soddisfacente(per evitare un ostacolo, cogliere un frutto, decidere un punto dove atterrare).
Nel caso degli esseri umani, la rappresentazione dello spazio ha anche un aspetto linguistico: sappiamo descrivere le relazioni spaziali o comprendere il
significato di una preposizione come ‘tra’ immaginando una situazione spaziale
cui essa si applichi. La rappresentazione dello spazio è pertanto un soggetto distudio che occupa una posizione centrale nelle scienze cognitive. In questo articolo intendiamo proporne una ricognizione metodologica.
Precisiamo subito che ci occuperemo soltanto delle rappresentazioni “distaccate” (cioè non egocentrice e non prospettiche) dello spazio in cui agisce
un sistema cognitivo, rimandando a Casati e Dokic (1994) per alcuni spunti sugli altri aspetti. Lasceremo inoltre impregiudicate questioni metafisiche complesse quali l’identità tra lo spazio descritto dal senso comune e lo spazio descritto in un trattato di microfisica o di astronomia. Tenendo presenti queste
limitazioni, passeremo in rassegna una serie di problemi metodologici. In alcuni
casi si tratta di problemi effettivamente esemplificati nella letteratura contemporanea; in altri casi si tratta più che altro di tentazioni che hanno tuttavia alle
spalle una lunga storia.
L’interesse di questa ricognizione è per noi eminentemente filosofico. Ci
siamo imbattuti in casi come quelli che descriviamo e che ci sono sembrati metodologicamente sospetti durante lo studio di alcune entità spaziali (buchi, eventi, unità geografiche) che costituiscono un buon banco di prova per la meto1

dologia della rappresentazione spaziale. I buchi, ad esempio (Casati e Varzi
1994), sono interessanti per due ragioni. In primo luogo, si può mostrare che
un modello che li contempla rende conto in modo semplice e intuitivamente
convincente della varietà topologica e morfologica degli oggetti ordinari, dimostrando come un’ontologia ben calibrata possa aumentare il potere descrittivo di
una teoria. In secondo luogo, i buchi sono un esempio semplice e maneggevole
di entità spaziali più povere degli oggetti materiali e più ricche delle regioni dispazio. Nel caso di entità spaziali di questo tipo, l’inadeguatezza di molti modelli per la rappresentazione spaziale ci è sembrata dipendere dalla scarsa attenzione prestata a problemi semantici o metafisici. Tuttavia—e questo ci sembra
travalicare gli interessi del filosofo—una distrazione semantica o metafisica può
avere ripercussioni in settori di una teoria non necessariamente legati alla semantica o alla metafisica. Offriamo pertanto i nostri casi come esempi di unproblema più generale, che non riguarda soltanto la rappresentazione spaziale,
ma in genere ogni teoria della rappresentazione che cerchi di trovare modelli percerte capacità cognitive.
La nostra presentazione avrà dunque la forma di un elenco, ma questo formato nasconde in realtà un’unità di fondo che non fa che riflettere un nostro
pregiudizio. Si tratta di un’ipotesi di prudenza metodologica. La rappresentazione spaziale è interessante non solo perché è un elemento portante nella rappresentazione della conoscenza, ma anche perché sembra sfuggire alle strutture
che normalmente vengono usate per rappresentare la conoscenza, strutture eminentemente proposizionali (o, in senso lato linguistiche; ma preferiamo evitarequest’ultimo termine per non pregiudicare ulteriori questioni, come quella diuna putativa influenza del linguaggio sulla rappresentazione spaziale). L’impressione di una differenza importante dello spazio rispetto ad altri oggetti dirappresentazione suggerirebbe che debbano venir utilizzati nuovi strumenti logici o concettuali per studiare i modi della rappresentazione spaziale. La nostra
ipotesi di prudenza metodologica suggerisce invece che si debbano dapprima
esplorare a fondo le opzioni esistenti. Una giustificazione di quest’ipotesi richiederebbe un esame approfondito delle interazioni tra capacità linguistiche e
capacità di rappresentazione spaziale (possiamo parlare di quel che percepiamo
come organizzato spazialmente, e possiamo immaginare una situazione spaziale
sulla base di una descrizione verbale, per cui è ragionevole aspettarsi che esista
un’interfaccia proposizionale tra le due capacità), ma un tale esame esula dai
limiti di questo articolo. La nostra ipotesi metodologica viene pertanto qui for2

mulata solo per indicare al lettore la direzione in cui ci muoviamo e i trabocchetti che la costellano.
1. L’errore concettuale: non distinguere i tipi della rappresentazione spaziale
Cominciamo con quello che ci sembra il problema più importante, il non riconoscimento di una distinzione. Vi sono vari sensi in cui si può parlare di una
teoria della ‘rappresentazione spaziale’. Le due grandi opzioni sono:(A) una teoria del modo in cui un organismo (un cervello, una mente, ma allimite anche un sotto-sistema cognitivo e, quindi, anche una lingua naturale o unframmento di lingua) rappresenta lo spazio in cui vive ed evolve: la rappresentazione spaziale deve da un lato organizzare l’input percettivo e d’altro lato fornire una base sufficientemente articolata per l’output dell’azione;(B) una teoria formale della rappresentazione geometrica dello spazio, chepermetta di rendere conto della validità di certe inferenze tipiche del ragionamento spaziale: “Se il cucchiaio è nella tazza e la tazza è nella credenza, il cucchiaio è nella credenza”; “Se il tavolo è sul tappeto e il lampadario è sopra altavolo, allora il tappeto è sotto il lampadario”.
In prima approssimazione queste due opzioni riflettono in modo naturale
gli interessi rispettivamente della psicologia e della logica applicata (includendo
in ciò certi settori dell’intelligenza artificiale). E sebbene esista un filo conduttore comune, è bene tenere le cose separate. Una teoria formale nel senso B
non sembra presupporre, né sembra essere presupposta da, una teoria psicologica nel senso A. Pare un dato di fatto che si possano eseguire delle inferenze
sullo spazio o su oggetti spaziali in modo totalmente astratto, senza impiegare
rappresentazioni intuitive di sorta (e lo scopo di una teoria formale nel senso B
è, idealmente, quello di fornire un apparato deduttivo in cui l’interpretazione
intesa non è necessaria all’esecuzione delle inferenze); è d’altronde plausibile
che non solo gli animali inferiori ma anche i primati e gli esseri umani dispongano di un sistema di rappresentazione spaziale che non richiede l’esecuzione
di procedure inferenziali nel senso B.
Naturalmente, questa relativa indipendenza non esclude che lo studio dellarappresentazione spaziale in uno dei due sensi sia utile per lo studio nell’altro
senso. Dopo tutto, i concetti astratti impiegati dallo studioso di geometria derivano dalle nozioni solo apparentemente grossolane del senso comune (‘vertice’,‘punto’, ‘inclusione’, ‘concavità’) e queste ultime presentano elementi idio3

sincratici che sembra ragionevole imputare al funzionamento del sistema cognitivo preposto alla rappresentazione spaziale. Se d’altro canto tali nozioni intuitive non costituiscono un insieme concettuale indifferenziato, ciò potrebbe venir
spiegato dall’esistenza di una struttura mimabile da un sistema formale.
Vi è in effetti tutta una serie di importanti questioni che si situano in una
regione filosofica parzialmente comune a teorie del tipo A come a teorie del tipo
B. Si può riflettere sulle relazioni e le strutture spaziali senza postulare uno spazio metafisicamente indipendente dagli oggetti in esso situati? Qual è la relazione tra un oggetto e il “suo” spazio, lo spazio che esso occupa? Che rapporto sussiste tra le relazioni puramente spaziali (come ‘contenuto in’, ‘situatotra’) e relazioni più propriamente strutturali (per esempio le relazioni mereologiche di parte-tutto)? Quali nozioni possono essere assunte come primitive, nell’uno e nell’altro caso?
Questi quesiti sono certamente a cavallo tra rappresentazione in senso psicologico e rappresentazione in senso formale e prima o poi andranno affrontati
da chi si occupa dell’una come dell’altra. Tuttavia l’esistenza di preoccupazioni
comuni richiede la massima cautela metodologica. Bisogna prima imparare a
distinguere; poi si devono cercare i nessi. Ignorare la differenza tra (A) e (B) è
un errore metodologico che può risolversi in errori di sostanza. (Ne vedremo
alcuni fra breve.)
2. L’errore riduzionista: appiattire le cose identificandole con le “loro” regioni
di spazio
Qualunque sia l’approccio scelto (formale o psicologico), il desiderio condivisibile di semplificare i termini di un problema può dar luogo a una tendenza aprocedere sulla base di un’ontologia molto schematizzata, dimenticando che è
provvisoria. L’idea fuorviante è che si possa fondare una teoria della rappresentazione spaziale su un dominio ristretto costituito per esempio solo da regioni dispazio, senza tener conto di eventuali individui residenti in tali regioni. (Unasituazione analoga si riscontra nel campo del ragionamento temporale, dove si èpiù o meno consapevolmente assunto che tutto quanto possa ridursi a proprietà
di intervalli—e fors’anche di istanti—anziché di eventi e accadimenti veri e propri. Si veda ad esempio la letteratura ispirata ai lavori di Allen 1981, 1984.) Teorie di questo tipo trovano un precursore in Clarke (1981), che riprendendo la
teoria di Whitehead (1929) ha presentato una variante del calcolo degli individui
4basata su relazioni topologiche definite su un dominio di regioni spaziali. Il calcolo di per sé non aveva ambizioni applicative o cognitive, e bisogna anzi dare
atto a Clarke di aver per primo compiuto il passo dalla mereologia (la teoriadella relazione parte–tutto) alla topologia (intesa ampiamente come teoria dellerelazioni di connessione fra individui), un passo sicuramente molto importante
per lo studio della rappresentazione qualitativa dello spazio, sia nel senso A che
nel senso B. Tuttavia gli sviluppi successivi ad opera di vari autori operanti ad
esempio nel campo della modellizzazione del ragionamento qualitativo (Randelle Cohn 1989, Randell et al. 1992b, Davis 1993, Gotts et al. 1996) hanno consolidato questo approccio, sottolineando per l’appunto l’idea che la rappresentazione e il ragionamento spaziale possano in definitiva ricondursi alla rappresentazione delle relazioni che possono sussistere tra le regioni di spazio.
Questa semplificazione può avere implicazioni inaccettabili. Limitarsi a un
mondo così semplificato significa assumere che ogni oggetto può essere rappresentato completamente dalla sua regione di spazio, il che presuppone che ad
oggetti distinti corrispondano regioni distinte. Il filosofo John Locke aveva
molto insistito su questo punto, facendone un principio metafisico da cui scaturisce immediatamente un criterio di identità per gli oggetti materiali: se l’oggetto
x e l’oggetto y si trovano esattamente nella stessa regione di spazio allo stesso
istante di tempo, allora x e y sono lo stesso oggetto (Saggio sull’Intelletto Umano, II-xxvii-1). Tuttavia ecco subito un problema: il principio di Locke riguarda
entità dello stesso tipo; ma entità di tipo diverso possono coabitare nella stessa
regione di spazio. Prendiamo una sfera che ruota su se stessa. La sfera (un oggetto materiale) e il suo ruotare (un evento) occupano esattamente la stessa regione; nondimeno vanno tenuti ben distinti. Se quindi il dominio include entità
eterogenee, non si possono “appiattire” tali entità identificandole con le regioni
da esse abitate. Oppure prendiamo la sfera e il vetro di cui è composta. Una
certa tradizione filosofica distingue queste due entità, per esempio in virtù delleloro diverse proprietà modali: se la mandiamo in frantumi, la sfera non c’è più
mentre il vetro continua ad esistere. Tuttavia è evidente che sfera e vetro occupano lo stesso spazio. (Su questi temi, si vedano ad esempio i lavori ristampati
nella recente raccolta di Rea 1997).
Certamente si può sostenere che la relazione di costituzione non sia altro
che la relazione di identità. (Noi stessi favoriamo un punto di vista secondo cui
spesso abbiamo a che fare con la stessa entità sotto descrizioni diverse; vi ritorneremo fra breve.) Alcuni autori, seguendo Quine (1950), si spingono sino ad5

affermare che la stessa distinzione tra sfera e rotazione (o tra oggetti ed eventi)
sia spuria. Questi punti di vista sono perfettamente coerenti. Ciò non toglie che
assumerli in partenza possa avere effetti disastrosi se lo scopo è quello di fornire una teoria comprensiva della rappresentazione spaziale, soprattutto una teoria
di tipo A. Difficilmente si potrà sostenere, per esempio, che una teoria psicologica del modo in cui il linguaggio o qualche altro sistema cognitivo rappresenta
lo spazio debba basarsi su un’ontologia quineana in cui tanto gli oggetti quanto
gli eventi sono in ultima analisi ricategorizzati come strutture quadrimensionali(spaziotemporali).
Occorre peraltro tener distinto questo tipo di progetto riduzionista da altritipi di riduzionismo che, seppur non necessariamente condivisibili, corrispondono a opzioni metafisiche rispettabili. Per esempio, il dibattito tra assolutisti(che accettano l’esistenza di un’entità, lo spazio, indipendentemente dall’esistenza di oggetti spaziali) e relazionisti (che negano l’esistenza dello spaziocome entità distinta e riducono le proprietà dello spazio a proprietà degli oggetti
spaziali) è una tipica controversia tra antiriduzionisti e riduzionisti, sulla quale
non intendiamo pronunciarci. Ci opponiamo quindi non tanto al riduzionismo
in sé, quanto alla sua applicazione a problemi di rappresentazione ben determinati. Si può accettare il riduzionismo filosofico e opporsi al riduzionismo metodologico.
3. L’errore provincialista: assumere la metafisica di un certo tipo di oggetti eapplicarla incondizionatamente ad altri
Questo errore si collega al precedente. Non solo non si può escludere che entità
di tipo diverso possano essere localizzate nella stessa regione di spazio. Non si
può neanche escludere che vi siano entità che sfuggono al principio di Locke,
che in fondo era stato formulato avendo presente soprattutto la categoria degli
oggetti materiali. Non si può cioè assumere che tutte le entità che sono localizzate nello spazio occupino dello spazio, come se lo spazio fosse un grandeparcheggio in cui ogni posto è riservato a un solo cliente.
La distinzione è particolarmente evidente allorché si considerano azioni oeventi, che pur avendo una localizzazione (un indirizzo: “C’è un incendio
all’Empire State Building”; “C’è una festa all’interno 5B”) non occupano lo
spazio in modo esclusivo (Casati 1995, Casati e Varzi 1996a). Per riprendere
un esempio di Davidson (1980), se una sfera ruota e nel contempo si surri6

scalda, non abbiamo difficoltà a riconoscere due eventi distinti—la rotazione e ilsurriscaldamento—nella medesima regione di spazio. Ma gli eventi sono solo
un caso tra tanti. Già Leibniz nel suo commentario a Locke (Nuovi Saggi, IIxxvii-1) aveva citato le ombre come esempi di oggetti interpenetrabili. Shorter(1977) ha escogitato il caso di due nuvole intersecantisi generate da due distinti“proiettori di nuvole”. Oppure ancora prendiamo le entità immateriali per antonomasia—i buchi. Mettiamo un anello all’interno del buco in una ciambella.
Come descrivere la relazione spaziale tra i due buchi? Certo non si dirà che ilbuco della ciambella si restringe ai lati per lasciar posto a quello nell’anello. Nédiremo che il buco piccolo diventa parte del buco grande. Semplicemente, la regione occupata dal buco piccolo è parte della regione occupata dal buco grande.
Ma tant’è. I buchi sono immateriali, ergo compenetrabili.
Non ci serve quindi scomodare i fantasmi di van Inwagen (1990: 81) o gli
evanescenti cherubini di David Lewis (1991: 75), perennemente danzanti in perfetta sovrapposizione sulla punta di uno spillo. Vi sono varie entità, più o meno
accettabili forse, ma non per questo da scartare a priori, per le quali il principio
di Locke semplicemente non vale. E una teoria che non ne tenga conto non solo
sarà una teoria più povera, ma incorporerà delle semplificazioni concettuali
fuorvianti. (Analogamente, una teoria che appiattisce ogni evento sull’intervallo
o istante di tempo nel quale l’evento ha luogo finirà con l’identificare tra loro
tutti gli eventi contemporanei: ricadiamo così nell’errore riduzionista di cui al
punto 2. Vedi Pianesi e Varzi 1996a, 1996b per un confronto.)
4. L’errore di moltiplicazione e altre trappole semantiche
L’errore riduzionista e quello provincialista corrispondono a una semplificazione dell’ontologia: concentrandosi solo sulle regioni di spazio, o sui principi dilocalizzazione spaziale che caratterizzano entità di un certo tipo ma non altre, ci
si dimentica della complessità del problema. Vi è anche il rischio opposto: è ilrischio di chi si lascia impressionare dalla complessità del linguaggio e finisce
col moltiplicare oltre misura il tipo o il numero di entità da assegnare a un’unica
regione di spazio.
Ecco un esempio che si riaggancia alla mereologia. Consideriamo un panino al prosciutto. Il panino consiste del pane e del prosciutto. Il panino è il panee il prosciutto: non vi sono parti dell’uno (il panino) che non siano parti
dell’altro (la somma mereologica del pane più il prosciutto). Tuttavia ecco la7

tentazione: siccome il panino è stato preparato all’ora di merenda, ma il pane e il
prosciutto c’erano anche questa mattina, se ne conclude che il panino e l’aggregato pane+prosciutto non sono la stessa cosa. Hanno proprietà diverse, e quindi sono distinti. Ergo—così prosegue questo ragionamento—all’ora di merenda, quando il panino è sul tavolo pronto per essere addentato, ci troviamo difronte a due cose che occupano la stessa regione di spazio: il panino el’aggregato pane+prosciutto. (Questo modo di ragionare è abbastanza diffuso erisale addirittura ai filosofi stoici: vedi Sedley 1982 e Sorabji 1988. Recentemente è stato difeso ad esempio da Lowe 1989, Fine 1994 e Thomson 1998.)
Abbiamo un problema del tutto analogo nel caso degli eventi. Come abbiamo visto, si può pensare che gli eventi, a differenza degli oggetti materiali, nonoccupino lo spazio in modo esclusivo. Si può pensare che due o più eventi possono aver luogo esattamente nella stesso posto e nello stesso intervallo di tempo(la rotazione della sfera, il suo surriscaldamento). Resta comunque da vedere
con quanti eventi abbiamo a che fare, e qui è facile cadere nell’errore di moltiplicazione. Prendiamo il caso di Mario che spara a Piero uccidendolo. C’è
uno sparo, c’è un’uccisione. Si tratta dello stesso evento o di due eventi diversi?
La tentazione è di ragionare come segue: l’uccisione non avrebbe potuto averluogo se Piero non fosse morto; ma ovviamente lo sparo avrebbe potuto averluogo comunque (Mario potrebbe avere una pessima mira); ergo—si è tentati diconcludere—lo sparo e l’uccisione hanno proprietà modali diverse, e vanno
quindi distinti per il principio dell’indiscernibilità degli identici. (L’esponente
forse più rappresentativo di questa posizione è Kim, i cui saggi sono raccolti in
Kim 1993. Il punto di vista opposto è stato difeso soprattutto da Davidson
1980 e Bennett 1988. Per un quadro più generale—e per ulteriori riferimenti—rinviamo a Casati e Varzi 1996b.)
Ora, la nostra diagnosi è che in entrambi i casi (il panino e la somma dellesue parti, lo sparo e l’uccisione) si commetta lo stesso errore: si ritiene che descrizioni logicamente distinte denotino entità distinte. Dal semplice fatto che i
predicati ‘x spara a y’ e ‘x uccide y’ hanno estensioni (o almeno intensioni) distinte si conclude a torto che un evento descrivibile mediante il primo predicato(l’evento in cui Mario spara a Piero) debba essere diverso da un evento descrivibile mediante il secondo predicato (l’evento in cui Mario uccide Piero).
Dal semplice fatto che i predicati ‘x è un panino al prosciutto’ e ‘x consiste dipane e prosciutto’ hanno estensioni (o intensioni) distinte si conclude a torto
che un oggetto che soddisfa il primo predicato debba essere diverso da un og8

getto che soddisfa il secondo. Siamo d’accordo che non basta avere del pane edel prosciutto per avere un panino: i due ingredienti devono essere disposti inun certo modo. Ma questo non significa che il panino sia una cosa in più:quando mettete il prosciutto in mezzo al pane, quello stesso oggetto che soddisfava il predicato ‘x consiste di pane e prosciutto’ viene a soddisfare anche il
predicato ‘x è un panino al prosciutto’. (Si confronti: non basta avere un cane
per avere un cane seduto, ma questo non significa che, sedendosi, Fido dia alla
luce una nuova entità: semplicemente Fido stesso viene a soddisfare, oltre al
predicato ‘x è un cane’, anche il predicato più specifico ‘x è un cane seduto’.) Ecosì pure per gli eventi: lo sparo—quell’evento particolare—non è un uccisione sino a quando Piero non muore. Ma Mario compie una e una sola azione
premendo il grilletto.
Si badi bene che l’errore non conduce semplicemente a una duplicazionedelle entità che si trovano nella stessa regione: la moltiplicazione è potenzialmente illimitata. Siccome ‘x spara a Piero’, ‘x spara a Piero con la pistola’,‘x spara a Piero intenzionalmente’, e così via, hanno tutti significato diverso, si
potrebbe concludere che nello stesso preciso istante e nello stesso preciso luogo Mario ha commesso non già due azioni (lo sparo e l’uccisione), bensì unnumero illimitato. Considerazioni analoghe ci porterebbero a concludere che sultavolo all’ora di merenda vi sono non due cose (il panino e la somma mereologica del pane col prosciutto), ma un numero imprecisato. La fallacia è sempre la
stessa: ci si dimentica che nomi o descrizioni diverse possono designare le stesse cose, proprio come nel caso paradigmatico della stella della sera e della stelladel mattino. E il buon senso lascia pochi dubbi: possiamo star certi che Marionon verrà condannato per un numero illimitato di azioni illegali, e che chi fa merenda non si sta abbuffando oltre misura. (Per una discussione più diffusa diquesta fallacia, soprattutto per quanto riguarda gli aspetti mereologici, rimandiamo a Varzi 1998 e Casati e Varzi 1999, capitoli 3 e 6).
Incidentalmente, certi problemi legati alla vaghezza delle relazioni spaziali
presentano caratteristiche simili a quelle del problema appena discusso. È assodato che molto spesso è difficile stabilire con precisione la localizzazione di un
evento. (Dove esattamente ha avuto luogo lo sparo? Dove, esattamente, si è tenuta la gara di sci?) Non ne segue però che gli eventi hanno luogo in regioni
vaghe. Diremo semmai che i nostri nomi o descrizioni di eventi designano vagamente. Allo stesso modo, coloro che sostengono che Milano, il monte Bianco, e la nuvola sopra il campanile sono oggetti vaghi—entità per le quali è og9

gettivamente indeterminato se occupino una certa regione di spazio piuttosto
che una regione leggermente diversa—commettono a nostro avviso una confusione tra semantica e ontologia. È ovvio che non esiste una zona precisa che
corrisponda a ‘il monte Bianco’. Ma questo significa solo che ‘il monte Bianco’ denota vagamente, non che denota un oggetto vago. Prima di lasciarsi sedurre da una metafisica esotica vale la pena di chieder consiglio a una sobria
semantica. (Un filosofo che ha insistito molto sulla vaghezza ontologica è Michael Tye 1990, ma la posizione è abbastanza diffusa anche in altre discipline.
Per degli esempi in campo geografico, si vedano i testi raccolti in Burrough eFrank 1996.)
5. L’errore fondamentalista: cercare a tutti i costi un unico primitivo(o generalizzare a partire da un modulo cognitivo circoscritto)
I riduzionisti di solito si lasciano affascinare da un certo tipo di ente, e cercano
di ricostruire il mondo a partire da oggetti di quest’unico tipo. I fondamentalisti
invece non hanno pregiudizi in favore di una certa entità, ma sono convinti dellanecessità di andare in cerca di strutture fondamentali a partire dalle quali ricostruire il mondo. Questo errore è comune, anche perché la tentazione corrispondente è forte (e in discipline come la fisica ha una legittimità teorica di grande
respiro). Ci limitiamo ad illustrarlo con riferimento a una teoria della rappresentazione spaziale molto nota e abbastanza elegante: quella proposta da Biederman (1987) (peraltro innestandosi sulla consolidata tradizione che si rifà aMarr e Nishihara 1977 e Brooks 1981). Ci situiamo qui inequivocabilmente sul
terreno delle scienze cognitive: a Biederman interessa il problema del riconoscimento delle forme. La teoria (di cui esistono diverse versioni) usa un’unica
nozione primitiva, quella di cilindro normalizzato (o “geone”, dall’inglese geon, per geometric ion), e fornisce una semplice sintassi spaziale per mostrare
come ogni oggetto può venir considerato composto da una o più variazioni sultema del cilindro. La tesi cognitiva annessa è che il sistema di riconoscimentodelle forme degli oggetti utilizza questa capacità di scomporli in cilindri. Per
esempio, intuitivamente, una tazzina da caffé risulterebbe composta di un cilindro semicavo per il corpo contenitore, e di un cilindretto ritorto per il manico,
attaccato per le estremità al cilindro del corpo principale.
In una formulazione più recente (1990), tanto i geoni quanto le relazioni trageoni attaccati tra loro sono definiti in termini di alcuni parametri più primitivi,
10quali la variazione di dimensione della sezione, la dimensione relativa degli assi
di un geone in rapporto alla sezione, la dimensione relativa di due geoni, la posizione verticale di un geone al punto di giunzione con un altro. Il risultato è che
con tre geoni si possono teoricamente descrivere oltre 1,4 miliardi di oggetti
distinti—il che costituisce un chiaro vantaggio della teoria.
Veniamo ai problemi. In primo luogo, non è affatto chiaro perché si debba
avere come primitivo un cono o un cilindro, ovvero, una figura con asimmetrie
importanti e salienti: si potrebbe obiettare che la distanza concettuale tra il cilindro e il parallelepipedo è la stessa che separa la sfera e il cilindro, per cui tantovaleva partire da una sfera (si consideri l’immagine dell’omino della Michelin).
In una teoria puramente formale (B), il problema è meno importante. Ma qui
abbiamo a che fare con una teoria di tipo cognitivo (A), e la scelta dei primitivi
deve essere ben fondata.
Il punto più grave però è un altro, ed è che la teoria non può conformarsi
alla congiunzione dei principi impliciti che la definiscono: (1) ogni oggetto equivale o a un primitivo geometrico oppure a una somma di primitivi geometrici; (2) la scomposizione degli oggetti nelle loro parti deve prodursi nei giunti(cognitivamente) salienti; (3) i cilindri generalizzati sono gli unici primitivi. Abbiamo presentato (Casati e Varzi 1997) un argomento che sembra mostrare abbastanza bene il tipo di difficoltà qui in gioco. Si consideri una ciambella perfettamente uniforme. Non è un cilindro generalizzato, dunque la si deve scomporre (per conformarci a (1)). Ma dove tagliamo per scomporla? Qualsiasi piano normale all’anima della ciambella va bene, dato che la ciambella è uniforme e
non presenta giunture salienti. Quindi non possiamo conformarci al principio(2), a meno che non si rinunci a (3) e si consideri la ciambella stessa come primitivo geometrico, salvando così i due primi principi. Il problema purtroppo si
ripropone per la ciambella doppia, spalancando la porta a una serie illimitata diprimitivi.
Da questa discussione si possono trarre tante morali. Quella che ci sembra
indiscutibile è che insistendo su un unico primitivo si rischia di doverne accettare un numero illimitato, contraddicendo l’obiettivo dell’economia concettuale.
L’origine del problema, nel caso specifico, risiede nella tendenza a generalizzare
a partire da un modulo cognitivo circoscritto. La teoria di Biedermann e le suevariazioni si basano su un’assunzione generale: la capacità di scomposizione
mereologica, guidata forse da un modulo per il ragionamento sulle parti e sugliinteri, sarebbe cruciale per il riconoscimento degli oggetti. Ma questa as11

sunzione è indebita. Per esempio, Cave e Kosslyn (1993) hanno mostrato che
un modulo per la scomposizione in parti non entra in gioco prima del riconoscimento di un oggetto, e non ne è una condizione necessaria. I risultati sperimentali riguardano i tempi di riconoscimento relativi di (immagini di) oggetti(i) smembrati secondo l’organizzazione parte/tutto più naturale (per esempio,
astine, lenti, e montatura degli occhiali), ma le cui parti sono spazialmente disordinate; oppure (ii) rotti in pezzi non naturali, riaffiancati tuttavia in modo abbastanza ordinato. I riconoscimento è più rapido nel secondo caso. I risultati indicano in primo luogo che il riconoscimento di un oggetto dipende dalla sussistenza di buone relazioni spaziali tra le parti. Quando le parti sono in disordine,aumentano i tempi di reazione e gli errori di denominazione. In secondo luogo,
l’analisi mereologica di un oggetto influisce sulla sua identificazione solo in
condizioni di osservazione molto impoverite.
Questi risultati non costituiscono una ragione per rifiutare l’esistenza di un
modulo mereologico autonomo (e in effetti il modo in cui gli oggetti vengono
cognitivamente suddivisi in parti tende ad essere constante in individui diversi).
Tuttavia tale modulo non serve in condizioni normali per il riconoscimento degli
oggetti. Possiamo quindi considerare la struttura di un modulo mereologico
indipendentemente dalle richieste eventualmente avanzate dal modulo per il riconoscimento degli oggetti.
6. L’errore geometrico: non distinguere tra nozioni mereologiche, topologiche, morfologiche
Veniamo così al problema delicato di spiegare il legame concettuale tra il modulo mereologico e le altre componenti di una teoria della rappresentazione spaziale. Oltre alle difficoltà richiamate sopra, esistono vari altri motivi per andare
al di là di una semplice analisi in termini di relazioni parte-tutto. In particolare,
sembra necessario integrare la prospettiva mereologica almeno con qualche nozione di natura topologica. Da un lato, infatti, la pura mereologia può render
conto della nozione relazionale di parte, ma sembra per sua natura inadatta acatturare la nozione di intero (non riesce cioè a distinguere fra individui tutti
d’un pezzo e individui sconnessi, tra eventi contigui ed eventi separati); dall’altro lato, pur rendendo conto di certe relazioni fondamentali tra entità spaziali,
la mereologia risulta inadatta a rappresentare anche le più elementari relazioni
spaziali tra tali entità, per esempio relazioni fondamentali come il contenimento,12

l’esclusione, la tangenza, ecc. In entrambi i casi, il ricorso alla topologia si presenta come un passo necessario e meritevole di indagine approfondita. (Abbiamo esaminato questa questione e le sue ramificazioni in Varzi 1994, 1996a,
1997, Casati e Varzi 1995, 1997, 1999.)
Ora, la distinzione è chiara ma molte teorie che si occupano di rappresentazione spaziale tendono a ignorarla. Per esempio, l’approccio riduzionistico cui
facevamo riferimento nella sezione 2 tende ad andare ben oltre il suggerimento
di considerare le nozioni topologiche come un’addizione alla mereologia, promuovendo invece una vera e propria sussunzione della mereologia nell’ambito
della stessa topologia. In sostanza, una cosa risulterebbe parte di un’altra esattamente quando tutto ciò che è topologicamente connesso alla prima (cioè ha parti
in comune o è in contatto con essa) è topologicamente connessa alla seconda. Il
che significa che la relazione mereologica fondamentale di parte risulterebbe
definibile nei termini della relazione topologica di connessione. Ora, questa definizione sembra adatta se stiamo parlando di connessione tra regioni di spazio(più precisamente, regioni topologicamente regolari). Ne segue che se le regioni
sono le uniche entità spaziali del nostro dominio (affiancate al più da punti, linee, o altri elementi di confine), allora c’è poco da eccepire: la riduzione dellamereologia alla topologia costituisce un’importante semplificazione concettuale.
Se però vogliamo prendere sul serio entità di natura diversa, più vicine al variegato zoo ontologico del senso comune, allora la situazione cambia radicalmentee la definizione di un corretto rapporto tra mereologia e topologia diventa cruciale. Per esempio, si potrebbe sostenere che un oggetto all’interno di un buco èconnesso con tutto ciò che è connesso con la parte del buco da esso occupata;tuttavia ciò non implica che l’oggetto sia parte del buco (come sarebbe invece
implicato dal principio che riduce la mereologia alla topologia). Si noti come ciòsi leghi ancora una volta alla questione discussa al punto 2. Se ci limitassimo
alle regioni, allora è evidente che i buchi perderebbero la loro caratteristica saliente: la riempibilità, e più in generale la compenetrabilità da parte di altri individui. Diventa allora banale eliminarli, o comunque ridurne la complessità concettuale. Il lavoro di Gotts (1994) è indicativo di questo stato di cose. Gotts dimostra che, se il dominio consiste esclusivamente di regioni topologicamente
regolari, è possibile distinguere per esempio tra configurazioni sferiche e configurazioni toroidali (cioè con buchi) utilizzando un repertorio limitato di nozioni
topologiche. Ma è parimenti evidente che il modello è molto semplificato equindi, in ultima analisi, applicabile soltanto entro limiti ben precisi.
13

Né ci si può limitare a questa basilare demarcazione tra mereologia e topologia se non per scopi molto limitati. Per esempio, certe distinzioni tassonomiche fondamentali sfuggono tanto alla mereologia quanto alla topologia.
Quest’ultima consente di distinguere un oggetto forato da un oggetto senza fori, ma rimane assolutamente cieca dinanzi a un oggetto caratterizzato da un buco superficiale (una concavità): non è in grado di distinguerlo dalla sfera. Topologicamente, le deformazioni superficiali sono insignificanti, e occorrerà unvero e proprio salto nella morfologia—nella teoria delle forme—per poter cogliere le differenze rilevanti. Occorrerà poi un salto nella cinematica per poter
render conto anche delle più elementari differenze di comportamento tra oggetti con configurazioni diverse. Occorrerà un salto nella dinamica per poter cominciare davvero a parlare di comportamento nello spazio. E così via. Cercare di fare a meno della demarcazione tra mereologia e topologia all’inizio delviaggio è tanto fuorviante quanto inutile: il viaggio sarà comunque lungo e costoso.
7. L’errore di distrazione: considerare solo i casi facili
A metà strada tra l’errore fondamentalista e l’errore geometrico si situa l’errore
di distrazione. Il trabocchetto minaccia virtualmente qualunque teoria descrittiva,
ma può acquisire sfumature diverse a seconda dei casi.
Consideriamo il seguente suggerimento, che muove dalla considerazione
che un buco in un oggetto è un fattore di disturbo nella convessità dell’oggetto
stesso (il buco introduce una discontinuità concava). Un oggetto è convesso see solo se, dati due punti situati al suo interno, un cammino che li congiunge lungo una retta (o una geodetica) passa interamente all’interno dell’oggetto; altrimenti l’oggetto è concavo. Dato un oggetto concavo x, possiamo invilupparlo in
un’infinità di oggetti convessi. Si consideri l’inviluppo convesso minimo di x
(quello contenuto in tutti gli inviluppi convessi) e se ne sottragga x. Il resto sono buchi. Questa tesi è stata proposta da Banchoff (1994) e riflette l’intuizione
per cui un buco è definibile nei termini di un ‘raffinamento’ o completamentodell’oggetto bucato che ne recuperi la convessità. Si tratta, però, di una tesi falsa: non tutte le differenze tra l’inviluppo di un oggetto e l’oggetto sono buchi.
Pensiamo all’inviluppo convesso di un calice da champagne: la parte corrispondente alla coppa indica effettivamente la presenza di un buco o concavità(l’interno della coppa); ma la parte intorno allo stelo non è affatto un buco.
14

Troviamo quest’errore, per esempio, sullo sfondo di quello che possiamo
chiamare il rompicapo della mosca, ampiamente trattato nella letteratura sul ragionamento spaziale e sulla semantica delle preposizioni spaziali nel linguaggio
naturale. Molti autori (fra cui Herweg 1989 e Randell et al. 1992a) hanno suggerito di analizzare il significato di una preposizione come “in” in termini diinclusione mereologica della regione dell’oggetto contenuto nella regionedell’inviluppo convesso dell’oggetto contenente. In certi casi questa analisi
funziona bene: la mosca è nel barattolo se e solo se la regione da essa occupataè una parte della regione occupata dall’inviluppo convesso del barattolo. È facile però mostrare (come aveva già notato Herskovitz 1986) che un approcciodel genere non riesce a cogliere la specificità di una parte contenente rispetto a
una qualsiasi parte non-convessa: una mosca che cammina sullo stelo non è nel
calice, anche se è inclusa nell’inviluppo convesso del calice. Non solo; non si
potrebbe evitare il problema neanche se ci si limitasse alle parti contenenti, comepure è stato suggerito (Vandeloise 1986). A parte l’ovvia circolarità, è facile
immaginare calici la cui parte contenente (la coppa) presenta caratteristiche morfologiche che generano controesempi per un trattamento de genere. (Si pensi a
un calice con delle rientranze all’esterno della coppa.) Sicuramente ci troviamo
qui dinnanzi a un problema la cui soluzione deve tenere in debita considerazione le proprietà funzionali degli oggetti, che non si riducono a proprietà geometriche e includono una componente causale (Aurnague e Vieu 1993, Vandeloise1994).
8. L’errore capitalista: dimenticare che le teorie hanno una struttura (ovvero
dimenticare che dagli assiomi seguono i teoremi)
Una buona teoria—è pacifico—dovrebbe ambire a un buon rapporto tra il numero degli assiomi e il numero dei teoremi interessanti che se ne possono derivare. La situazione ottimale naturalmente prevede che dal minor numero di assiomi semplici segua il maggior numero di teoremi interessanti. Per contro,
molte teorie si limitano a definire gli oggetti di cui parlano e a postularne una
serie di proprietà giudicate interessanti, un’operazione questa che corrisponde
all’enunciazione di assiomi, senza preoccuparsi di derivarne teoremi o di giudicare se i teoremi che se ne possono derivare sono significativi.
Anche se ciò fosse poco grave per una teoria psicologica della rappresentazione spaziale (tipo A), potrebbe tuttavia avere conseguenze gravi per una teoria
15computazionale (tipo B), per esempio per il modulo di rappresentazione per unsistema artificiale di ragionamento spaziale. Ad esempio, lo studio di Ernie Davis (1987) sul movimento di una biglia lasciata cadere in un imbuto propone
una teoria con ben 90 concetti specifici (“dentro”, “sopra”, “accanto”, “attraverso”, “asse”, “orifizio”, “bordo”, “superficie”, ecc.) governati da quasi
150 assiomi. Ora, può darsi che tale abbondanza sia da attribuirsi a una scelta
mal ponderata delle categorie primitive. Ma ci sembra indiscutibile che si sia qui
imboccato un vicolo cieco.
In effetti, ci pare che questo sia uno dei limiti principali di gran parte dellaricerca sulla rappresentazione spaziale svolta nell’ambito della fisica ingenua
cui Davis fa riferimento. Muovendo dal presupposto che l’intelligenza di un
agente (artificiale o meno) si misura innanzitutto sulla sua capacità di districarsi
nelle faccende quotidiane—muoversi tra ostacoli, spostare oggetti—la fisica
ingenua ha avuto il pregio di mettere in evidenza la necessità di rappresentare leconoscenze necessarie per cavarsela in tali faccende, o almeno un nucleo centrale di credenze e principi generali cui fare riferimento. In particolare, il tipo diteoria fisica richiesta dev’essere molto più simile a quella che noi si usa intuitivamente che non a quella che si conforma, poniamo, ai principi della meccanica razionale. Deve corrispondere all’insieme di credenze con le quali organizziamo la nostra attività quotidiana, per quanto approssimative o in ultima analisi
errate possano rivelarsi. Se però il semplice moto di una biglia che cade attraverso un imbuto richiede 150 assiomi, non c’è dubbio che si superano i termini
inizialmente stimati da Pat Hayes nel suo “Manifesto della Fisica Naive”(1979), per il quale una teoria ragionevolmente completa del mondo ordinariorichiederebbe tra i diecimila e i centomila predicati assiomatizzati. Per questa
strada il programma viene meno a uno dei suoi presupposti principali: la maneggevolezza computazionale, appunto.
Ma non si tratta solo di un problema di maneggevolezza. C’è il rischio
dell’inconsistenza, o della consistenza indesiderata (ossia la consistenza garantita da modelli indesiderati). Se gli assiomi sono in numero esorbitante, la costruzione di un modello della teoria può rivelarsi un’operazione dalla complessità eccessiva, e il rischio è che si finisca col pensare che la teoria descrive unmondo (il modello desiderato) quando in realtà ne descrive un altro (o nessuno). Questo è un problema soprattutto per teorie di tipo B, evidentemente. Ed è
un problema che a dire il vero oggi esiste anche per teorie molto più semplici diquella di Davis. Per esempio, solo da poco si è intrapreso lo studio dei modelli16

delle teorie mereotopologiche di cui si parlava sopra. (Il primo risultato di completezza risale ad Asher e Vieu 1995, che dimostrano la completezza di una versione del calcolo di Clarke, peraltro opportunamente modificato proprio inquanto la formulazione originale risulta inadeguata sotto vari punti di vista; perdegli studi generali, si vedano Lemon 1996 e Cohn e Varzi 1998.)
Può essere utile citare un precedente storico. Nel formulare l’ultima versione della sua teoria detta dell’“astrazione estensiva”, Whitehead (1929) utilizzava una mereologia ristretta in cui due cose possono essere sommate per dar
luogo a una terza soltanto quando sono connesse l’una all’altra, cioè quando
hanno parti in comune o sono almeno in contatto esternamente (si toccano).
Ora, Whitehead lavorava nell’ambito di una teoria puramente mereologica, edefiniva la connessione nel modo seguente: x e y sono connessi se e solo seesiste qualcosa, z, che ha parti in comune sia con x che con y, e solo con x o con
y. Nelle intenzioni, la definizione doveva catturare la nozione intuitiva. Tuttavianon è difficile rendersi conto che questa definizione (come ogni altra ad essa
simile, per chi volesse cimentarsi in questo compito) non funziona a meno che
non si assuma in partenza che z sia tutto d’un pezzo. Altrimenti il riferimento az non serve, e nulla garantisce che due cose x e y che soddisfano il definiens
siano effettivamente connesse l’una all’altra: si pensi a due oggetti x e y separati
tra loro, e sia z la loro somma (Simons 1987). Ne segue che tutta la teoria di
Whitehead in realtà cattura concetti e proprietà spaziali affatto diversi da quelli
che egli aveva in mente. In breve: gli assiomi non avevano il significato inteso.
9. L’errore di formato: proiettare sulla rappresentazione le proprietà delrappresentato
Si è spesso sostenuto che la rappresentazione spaziale utilizza un formato continuo (o analogico) che è di natura completamente distinta dal formato discontinuo (discreto, o digitale) che viene utilizzato dal linguaggio. Quando si vede unquadrato non viene resa disponibile solo l’informazione per cui c’è una forma
quadrata davanti a noi, ma con essa un gran numero di altre informazioni: laforma ha tale e talaltra dimensione, è inclinata in un certo modo, è composta dimolteplici regioni che hanno colori differenti, ecc. Quando invece si comprendela frase ‘C’è un quadrato davanti a me’ si ottiene un’informazione discretizzata,una molecola informazionale non scomponibile più di tanto (non sappiamo se ilquadrato è piccolo, bianco, ecc.). La differenza tra la rappresentazione spaziale e
17

la rappresentazione linguistica sarebbe quindi una irresolubile differenza di tipo. Dopotutto, il linguaggio è discreto e lo spazio è continuo. Se a questa osservazione si aggiunge il fatto che le rappresentazioni digitali sono i veicoli privilegiati dei contenuti proposizionali, si può concludere che la rappresentazione
spaziale è di tipo non-proposizionale. Naturalmente questo è un non sequitur(non tutto ciò che esprime una proposizione dev’essere linguistico) ma il modoin cui vengono interpretati vari esperimenti psicologici lascia intravvedere una
certa resistenza dello stereotipo.
Prendiamo a titolo di esempio l’esperimento di Shepard e Metzler 1970
(sul quale esiste una abbondante letteratura; per una rassegna, vedi Tye 1991).
Si tratta di un esperimento di esplorazione mentale in cui un’immagine mentale
viene ‘spazzata’ da un meccanismo di osservazione interno. Viene presentata ai
soggetti la mappa di un’isola su cui sono localizzati alcune icone (il pozzo, lacapanna, ecc.) e i soggetti memorizzano le posizioni delle icone. In seguito viene loro richiesto di valutare le distanze relative delle icone. I tempi di risposta
crescono al crescere delle distanze da valutare, e questo indica la presenza di un
meccanismo spaziale o simil-spaziale di esame dell’informazione contenuta
nella carta.
Ora, l’uso di una carta mentale, al di là di alcune ambiguità metodologiche(il processo di memorizzazione delle icone richiede per esempio una costanteinterazione linguistica con lo sperimentatore), è particolarmente interessante.
Una carta mentale è una carta, e l’articolazione sintattica e semantica delle carteviene spesso contrastata con quella del linguaggio. Una carta non può dire chela Sicilia è un isola senza dire moltissime altre cose: che è di forma approssimativamente triangolare, che ha un orientamento prevalente sull’asse est-ovest, eccetera. (Per una discussione recente sulle differenze tra carte ed enunciati in
Braddon-Mitchell e Jackson 1997; sulla semantica delle carte, vedi Pratt 1993,
Leong 1994.) Pur essendo veicoli informazionali come gli enunciati, le carte
sarebbero l’esempio paradigmatico della distinzione tra analogico e digitale,
avendo una semantica e una sintassi completamente distinte da quella di una
lingua. È significativo a questo proposito che molti difensori di un’interpretazione proposizionale delle immagini mentali (Pylyshyn 1981) abbiano propostoa loro volta teorie ibride in cui le immagini sono reinterpretate come proposizioni strutturate spazialmente (in effetti, come carte in cui alcuni oggetti sono
segnalati da nomi; non a caso le teorie iconiche e le teorie proposizionali delle
immagini mentali sembrano ridursi a varianti ortografiche le une delle altre).
18

Vorremmo tuttavia ridimensionare i termini e la portata di questa differenza(Casati 1998). L’informazione contenuta in una carta può venir distinta in due
tipi: informazione riguardo alla localizzazione, e informazione riguardo al tipo
di individui e proprietà rappresentati. L’informazione sulla localizzazione è intal caso contenuta in una assegnazione di regioni della carta a regioni dello spazio, assegnazione che deve rispettare certi vincoli. Questi vincoli (per esempio,
la topologia delle regioni della carta deve riflettere quella delle ragioni rappresentate) possono venir espressi da una teoria che assiomatizza le proprietà
dell’assegnazione. L’informazione sulla localizzazione di certi oggetti o proprietà nella realtà viene espressa dalla localizzazione di certi simboli (colori, oicone) sulla carta: una regione colorata della carta è una rappresentazione corretta qualora la regione che essa rappresenta ha la proprietà espressa dal colore.
Ora entrambi i tipi di contenuti sono proposizionali: tanto la teoria dell’assegnazione che la descrizione tramite colori e icone hanno una struttura che non è
radicalmente differente dalla struttura del linguaggio.
La nostra diagnosi del problema, almeno in forma provvisoria, è che quando si insiste su una differenza radicale tra immagini ed enunciati, tra carte e
strutture linguistiche, riconducendola alle particolari proprietà spaziali del medium, si fornisce un esempio della confusione tra ciò che rappresenta e ciò che
viene rappresentato. Succede spesso che si proiettino proprietà del medium
sull’oggetto rappresentato (Casati 1993). Questa volta invece si proiettano certe
proprietà dell’oggetto rappresentato su alcune proprietà del medium rappresentativo. (Si potrebbe obiettare che la mossa è giustificata in quanto l’oggetto che
rappresenta può rappresentare solo se cattura tutte le proprietà dell’oggetto rappresentato, ma si esigerebbe troppo: una foto piatta può rappresentare senza difficoltà un oggetto tridimensionale.)
Per concludere, vorremmo mostrare un altro ambito, più vicino al ragionamento, in cui il pensiero visivo non sembra avere prerogative particolari, e anzi
sembra richiedere che un’articolazione proposizionale sia stata attivata. Si consideri la capacità di scoprire principi generali operando con immagini mentali.
Per esempio, esiste un metodo visivo per determinare l’algoritmo che calcola
l’i-esimo numero triangolare n = (1+2+…+i), corrispondente alla somma dei
numeri interi fino a i (Giaquinto 1998). Si può visualizzare un numero naturale
n come una colonna di n punti, ed allineare in seguito le colonne alla base, in
ordine crescente. La prima colonna ha 1 punto, la seconda ne ha 2, e la i-esima
ne ha i. Un numero triangolare è semplicemente il numero totale di punti
19

nell’immagine che si ottiene, immagine che assomiglia per l’appunto alla rappresentazione di un triangolo. Per determinare l’algoritmo: si copi il triangolo,che supponiamo aver base di z punti, si ruoti la copia di centottanta gradi e la si
sovrapponga al triangolo di partenza in modo che la prima colonna del triangolo
sia allineata sull’ultima della copia, la seconda sulla penultima, … e l’ultima
sulla prima. Si ottiene un rettangolo di z×(z+1) punti. Il numero dei punti nel
triangolo è quindi di (z×(z+1))/2, espressione che ci dà l’algoritmo desiderato.
Abbiamo ora descritto linguisticamente questa euristica, ma è essenziale
che invece si immagini il processo, il che, concediamo, è del tutto possibile. Èanche importante che si possa evitare di usare supporti fisici, come diagrammi
su una lavagna: deve trattarsi di pensiero visivo. Dobbiamo letteralmente immaginare il triangolo sdoppiarsi, immaginare la copia ruotare nello spazio, riallinearsi sul triangolo, eccetera. Ed è qui che nascono i problemi. Che cosa ci garantisce che la copia abbia esattamente lo stesso numero di punti dell’originale?
Che cosa ci garantisce che l’allineamento riesca colonna per colonna? Che cosa
ci garantisce quindi che otteniamo un rettangolo? Il grado di affidabilità
dell’immaginazione sembra qui dipendere completamente da una decisione
affidata a una serie di giudizi d’identità (la copia ha lo stesso numero di puntidell’originale, le colonne della copia vengono disposte sulle stesse linee dellecolonne dell’originale, ecc.). Lasciate a se stesse, le immagini potrebbero anche
perdere punti o colonne di punti nella rotazione. Questo significa che esse nonsvolgono alcun ruolo nel ragionamento: la componente visiva del pensiero visivo è epifenomenica; le immagini sono pure e semplici decorazioni.

Lo spazio è pieno di insidiosi trabbocchetti. Qui ne abbiamo illustrati alcuni,quelli che ci sembrano più comuni, ma sicuramente il terreno merita un esamepiù approfondito. Ci sono anche tentazioni più generali con cui ogni teoricodella rappresentazione deve fare i conti: la creazione di teorie ad hoc, l’introduzione surrettizia di distinzioni di granularità, il ricorso facile a considerazioni
di complessità computazionale, la confusione tra principi logici e principi legati
alla struttura del dominio, l’abbandono affrettato della logica classica. Ma il
settore della rappresentazione spaziale, proprio per la varietà dei problemi metodologici che solleva e per la ricchezza dei territori da esplorare, resta un oggetto
privilegiato per l’indagine filosofica che ha come riferimento le nuove discipline
cognitive.
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— 1929, Process and Reality. An Essay in Cosmology, Cambridge: Cambridge University
Press.
Siamo grati a Massimiliano Carrara e a un lettore di Sistemi Intelligenti per utili osservazioni su una prima versione di questo testo.

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