放射光第 5 巻第 4 号

11.

(1992 年)

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高輝度光の条件 (2) 回折限界

L‑~

前号においては，高輝度光の満すべき条件のうち，ボーズ、縮退度についてのべた。今回は，もう~---・?

一つの条件すなわち「回折限界」について説明し1で〉くよう。ボーズ縮退度との関係でいうと，回折限界-----→『----みZにあるビームとは，与えられた空胴内の電磁場の可能なモードのうち，光の進行方向と垂直な横方向のモードがただ一つになっている状態に対応す

図 11 ‑1

る。また別な観点で言えば，光の横方向の干渉性(transversecoherence) が最大になっている状態に道の集合を Z 軸上のある点 z=z。のところで注目対応する。このように，結論から先にのべてしましてみる。このとき，一本の軌道について二つのうと，かえって理解が難しくなる場合もあり得る量が定義されることがわかる。その一つは，ので，以下に多少正確さを犠牲にして説明してみからの変位 X であり，よう。

傾き dx/ dz=どである。本来これら二つの量は zz軸

もう一つは Z 軸にたいするの関数であるから x (z) および、 x' (z) と書くべきであ11‑1

るが，簡単のため，特に必要がない限り，位相空間におけるビームの記述

加速器内をまわる粒子ビームにしろ，光ビームにしろ，x および x' と書くことにする。

ビームと呼ばれるものは，何らかの中心このようにして，一本の軌道に対して一つの点軸があって，そのまわりに粒子線(または光線)(x, x') が定義される。この点は X 軸および X' 軸が分布しているという状態にある，ということがをそれぞれ座標軸とする位相空間内の一点にプロできる。ビームはその包絡線がその中心軸とほぼットすることができる。このようなフ。ロットを多平行である。またビームをその進行方向に垂直な数の軌道にたいして行った結果は，たとえば図 11断面で見ると，一般に中心ほど密度が大きくなっ-2 のようになるであろう。ここでビーム断面の軌ており，また多くの場合その密度分布はガウス分道の分布がガウス分布であると仮定しよう。この布になっている。このようなビームの状態は位相場合，点の密度は原点が最大でこれから離れるに空間における点の集合であると考えると都合がよつれて密度が低下する。そこで，ガウス分布の分い。図 11-1 は，ビームを多数の軌道の集合として散 (σ) に相当する境界線を楕円で表すことにす描いたもので，z 軸はビームの進行方向である。

る。図 11-2 では，たまたま右に傾いた楕円になっZ 軸に垂直な二軸のうち，x 軸に投影したものがているが，描かれていると理解して頂きたい。さて，この軌これは発散しつつあるビームを表している。なぜなら，右に傾いた楕円では，x が正のウI

qu(C) 1992 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research

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放射光第 5 巻第 4 号(1992 年)スと Y 軸についてのエミッタンスをこみにした保X'存則を考えることができる。すなわち，それぞれ
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ぞれ独立な保存則を考えることができるのであ.
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11‑2 エミッタンスの保存則
図 11 ‑2

ビームが単に直進したり，収束したり発散したりする場合，見かけ上の包絡線の大きさすなわちときどが正であるという相関があり，これを実空ビームサイズは変化する。このときでもエミッタ間の包絡線で考えると，ンスの大きさは保存されるというのが，z の増加とともに増大すビームのる包絡線が描けるからである。まったく同様にし振まいについての重要な法則である。このエミッて，左に傾いた楕円は，収束しつつあるビームをタンスの保存則を光ビームの場合について考察し表すことがわかる。てみよう。

円を定義することができる。この楕円を用いてxxnu、，， rF'

面積を A とすると，エミッタンス W は，ハU，，ビームのエミッタンスを定義しよう。この楕円の‘、.
‘ BEE-EEEBEEa'''x') として行列でこの関係を表すと，，1111111の点、を (x ，、‘ EB'EEEEBEEて，粒子ビームでも光ビームでも位相空間内で楕F
xO x+..e x'o , x'o) に変換される。変換後
nub‑ｭx'o) は (xotiも，幾何光学で扱う限り可能である。したがっ，，，
S，
EE--E・EE・-‘‘、.

直進距離を 2 としたとき，位相空間内の点 (xo ，一一ビームを表現することは，光のビームであって、‘EEEEEaEEE

まず，光ビームが直進する場合を考えてみる。

JIl‑‑Baal‑‑

以上のように，位相空間内における点の集合で(58)となる。つぎに，光ビームが集束される場合はど

W =A/7r(57)

うなるか。収束の場合 Z 軸上の同じ場所で x'。が不連続な変化をうける。この変化量は x 。に比例するで与えられる。位相空間をみればわかるように，とともに収束系の焦点距離に反比例する。この関エミッタンスは係を行列で表わすと長さの次元をもつが，軌道の傾・ E ・ -aa

ハUF

IEal--E1、、BEBEE----z、‘ EBEE,,xx

ハU1i(59)

f，F，

ハHV一噌 lよPTi‑‑ri

一一

π をつけて，1iのをエミッタンスとする場合もあるので，単位にIt--EEl--・1 、・E・--、rad という単位を用いることが多い。また A そのも、‘‘.1・1・ 111f，，tEE--Em.

xx

きにも関係していることを明かにするために，となる。ただし f は収束系の焦点距離で発散の場合

πm ・ rad という単位を用いることもは負の値をとる。また，鏡面反射を伴っている場あるが，ここでは (57) の定義を採用する。

エミッタンスは Z 軸に直交するこつの軸，すな合，座標軸の定義によっては，(59) 式の行列の各要素の符号を反転させる必要がある。

わち X 軸と Y 軸の両方にたいして定義することが(x , x' , y , y') とさて，光ビームを輸送する場合，直進，収束まいう 4 次元位相空間内の体積を用いて表現するこたは発散のための光学系を通過していく。これらとができる。この場合 X 軸についてのエミッタンの全体の効果は，それぞれ対応する行列の積で表できる。したがって一般には，

Aせ門i放射光第 5 巻第 4 号(1992 年)

わすことができる。ところで，391(58) 式および (59)で与えられ，したがって最小のエミッタンスは，式の行列式は 1 であるから，それらの積でつくれWmin =え 1(4π)

らた行列式も 1 である。このような行列によっ(63)て，ある位相空間内の楕円は別の楕円に変換されるが，楕円の面積は不変である。このことから，で与えられる。したがって (61) よりエミッタンスも不変であることが結論される。

(64)

ac‑b2=(4π 1 ì,_) 2

電子ビームの場合は光ビームと異り，直進距離がゼ、ロでどが有限な変化をするような収束系または発散系はない。すなわち，収束・発散系はゼ、ロという関係が得られる。

でない有限な厚さを持つ。この場合でも，微少なさて，いよいよ回折限界によるエミッタンスの厚さについて微少などの変化が生ずると考え，そ下限を見積ってみよう。このためには，実際に回のような効果の積み重ねで収束・発散がおきると折をおこすようなスリットを考えねばならない。

考えれば，その効果を表す行列の行列式は 1 であところで通常のスリットは矩形的な透過特性を持る。よって電子ビームについても，エミッタンスっており，このスリットによる回折の計算も容易は保存されるのである。

であるが，ここでは仮想的なスリットを用いる。

すなわち光ビーム中の光線密度がガウス分布にな

11‑3 光の最小エミッタンスと回折限界
今までの議論では，ることを考慮し，x 軸方向にガウス分布をもっ透ビームを構成する粒子の軌過特性をもっスリッ卜を考えるのである。一様な道を幾何光学的にとりあつかってきた。しかし光分布をもっ光ビームがこの仮想的なスリットを通ビームについては，その波動性を考慮しなければった直後では，ならない。波動性はまず回折効果として現れる。

ンになるので，このようなビームは「ガウシアすなわち光ビームのサイズを小さくしようとする

ン・ビーム」とよばれる。

x 軸にそった強度分布はガウシアと回折により，光線の方向に傾きがついてしまう計算の都合上，まず強度ではなく振幅についてのである。このことから，光ビームの場合，位相考え，あとで、強度について考えることにする。振空間内の楕円の面積をゼロにすることはできない

幅については重ね合せの原理が成立するので計算のである。いま，楕円の式をは容易である。ここで，上記の仮想スリットのガウス分布の分散を 20 とし，ax2+2bxx'+cx'2=1(60)z 軸にたいして θ だけ

傾いた光線の強度を計算する。まず X 軸上の x=0 および x=x をとおる 2 本の光線の位相差を φ とで表わすと，この面積 A は

A=π 1 (ac‑b2)Y2すると(61)

ゆ= (2π/え) x
sin8~ (2π 1 À) θx(65)で与えられる。この面積は回折効果によって，あとなる。ここで 2n8/え =0 とおいて，電場の振幅 Eる最小値をもつがこの最小値は波長えに比例するをスリットを通るすべての光に対して重ね合わせはずである。後に示すように，この最小値 A min はると

Amin =え 14(62)‑75‑E=fexp(‑x21(202))exp(‑iox)dx∞ exp (‑0202/2)(66)

放射光第 5 巻第 4 号

392となる。上式は，(1992 年)E の分布が δ についてもガウスでこの包絡線を観察すると，これは直線では近似分布であることを示している。この分布の分散はできず双曲線になる。以上のことを，位相空間内の楕円を用いて定量的に記述してみよう。

=110 =(2π/ え)(8 ) Y2(2)y2(67)2

まず，仮想的スリットの部分を Z=Q として，この場所における楕円をとなるが，(θ2) y2は，位相空間内におけるどの広aoX20+CoX'i=1がりを表わす量 Ox' と等しいとみなすことができ(69)る。ここで 0= Ox と書きなおすと (67) よりとかこう。 Z=Q は，ビームのくびれ部分であるので包絡線の傾きはゼロである。したがって楕円

σxUJ= え 1(2π)

も傾いていない。また (69) においてという関係が得られる。ここで，振幅の分布から強度の分布へ書き換えねばならない。強度は振幅(70)ao=1/uf , co=1/o; ,の 2乗で表わされるが，ガウシアンを 2 乗すると分散が泌%倍になることは容易にわかる。したがっである。さて Z=Q における位相空間内の点 (Xo ，て，強度についての分布ではX'O) が Z=l で点 (Xl' X'J) に変換されたとしよう。このとき (XJ ， X'J) は傾いた楕円となるであ(V2 Y2 ) 0x

Ox •0, • (V2Y2)0ろう。逆にいえば，(Xt , X'J) を -f だけ進んで(Xo , X'0) にもどすと， この点、は式 (69) を満足する,はずである。そこで-r・ E ・、・ E ・ -EEE，，F、、E，，FElla--1、、、 EBEBEE--axxnub‑‑ハU

一一xに注意して，(69) より

Ox および、 UJ を2 軸とする楕円の面積は π Ox O x ， であるから，より，(71)(68)

Ox O , = え 1(4π)という関係が得られるのである。

.，
JElli--,

1iハυF,o.
.

、、‘ BIli--・‘、ttEE ・E・-EEE，xxとおきかえる必要があり最終的にao(XJ‑fX'J)
2+COX?= 1(68)(62) が得られるのである。
すなわち

11‑4ガウシアン・ビーム

仮想スリットを用いた回折限界ビームでは，実際にビームの幅を制限しているものは，

aOxJ
2‑2ao
fx
JXJ'+(aOf2+CO)X?=1(72)

この仮想スリットそのものである。それにもかかわらず，という傾いた楕円が得られる。これから XJ の最大

この制限の影響は遠方まできいており，値 X max を求めるとビームの有限な発散角を生みだしているのである。したが

hx=(5+ 土)Y2って十分に遠方から観測すると，スリットから放出された球面波の包絡線は，ほとんど直線となり，幾何光学的光線とかわらないように見えるでとなるがこれは z=f なるすべての Z について成立あろう。逆に，スリットからあまり遠くない距離するから‑76‑

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393(1992年〕

れており.

したがって波動光乍的効3裂が!立躍であることがわかる。 (73) 式で表わされる包絡線の犠子を図 JJ - 3 に示す。十分 z が大きいところでは，X咽= zl ばという漸近線に近づいていくことがわ
国 1 ト3

かるであろう。

以上のことからz が十分に大きければ‘いつでも幾何jU学でよいと 4・えるのは甲・ ill-である。 ïéxv15? 土)凶(73)

学系が何らかのl収束系をもっている場合は.その収*点近跨でふたたびガウシアン ・ ビームが情成が得られる oX rru (ま{!l絡線を表すが， (73)式は句される。たとえば分光訟の入射スリット上で倒折それが双曲線であることを表わしている。このこ

限界ビームが収束されるときは， O. の小さいガウとからシアン ・ ヒームとなるであろう。このときスリ γ

ト帽をを 2σ，以ドの偏にしても強度を損するだけ

z:S(Co / a~)'->""a，， 1 σ.

(14)で，ピームにたいして何の性質 liJJ 1: ももたらさない。このような珂!思的な場合は.人射ス 1) ットは

fJn交の範 1mでは，~絡線は，脱線からかなりはず不要である。

-・ -・ -e‑

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