コンピュータ実験科学研究部門
Computer Assisted Science Division
1 部門スタッフ

理学部とが協力して、数値計算法基礎を開講している。

教授

小田中紳二

略歴：1978年3月京都大学工学部数理工学科卒業、

１． 共通教育・情報処理教育科目

1980年3月京都大学大学院工学研究科博士前期課

線形代数学 A (小田中)程数理工学専攻修了。2000年4月より、大阪大学

サイバーサイエンスの世界 (降旗)サイバーメディアセンターコンピュータ実験科

線形代数学 B(降旗)学研究部門教授。大阪大学大学院情報科学研究科、

２． 理学部専門科目

理学部及び理学研究科兼任。IEEE(Fellow)、電子数値計算法基礎 (理学部共通，小田中)情報通信学会、応用物理学会各会員、日本数学会。

応用数理学 4, 応用数理学 8, 実験数学 3, 数学

工学博士（京都大学）

研究 a,b(数学科，降旗),
課題研究 a,b (数学科、降旗)准教授

数学への道程と私たち(小田中)

降旗大介

３． 大学院理学研究科科目

略歴：1990 年 3 月東京大学工学部物理工学科卒
業，1992 年 3 月東京大学大学院工学系研究科物

応用数理学特論 II (数学専攻, 降旗)

理工学専攻修士課程修了。同年 4 月東京大学工実験数学特論(数学専攻, 降旗)
４． 大学院情報科学研究科科目

学部物理工学科助手を経て，1997 年 4 月より京都大学数理解析研究所助手、2001 年 4 月より大阪大コンピュータ実験数学(情報基礎数学専攻，降学サイバーメディアセンターコンピュータ実験科旗)学研究部門講師。2002 年 4 月より同部門助教授。

計算数学基礎 II (情報基礎数学専攻，降旗)

大阪大学大学院情報科学研究科、理学研究科兼任。

情報基礎数学研究 Ia,Ib, IIa,IIb(情報基礎数学専

日本数学会，日本応用数理学会(理事)，日本計算数攻，降旗)

理工学会各会員。博士(工学)(東京大学)。

3 研究概要招聘教員・研究員
招聘研究員 島田知子（大阪成蹊大学）

地球環境、情報、生命、ナノテクノロジーなどの科学技術分野において、様々な数理モデルが展開し、2 教育および教育支援業績

コンピュータシミュレーションを通して、その理解を深め、新たな知見を得る試みが大きく進展してい本年度は、以下の学内講義を担当した。教育及る。このため、数学的に基礎付けられた計算モデル

び教育支援活動の中で、授業支援システム WebCTの構築や数学的手法によるモデル階層を明らかにすや計算機を利用した科学技術計算教育を進めている。

ることが益々重要になっている。また、このような共通教育においては、サイバーメディアセンターが過程は、新たな数学モデルを構成し、数学・数値解提供する情報処理教育科目に協力している。理学部

析と共に数値計算手法やアルゴリズムを構築する機

共通科目においては、サイバーメディアセンターと会でもあり、いわゆる“応用数学”を発展させる機29

境界条件におけるドリフト-拡散方程式系の自由エ会でもある。
コンピュータ実験科学研究部門は、非線形偏微分ネルギーの離散形式を Scharfetter-Gummel スキーム

方程式に基づく数理モデルや計算モデルの構成を中によって定義し、離散化された自由エネルギーが心にして、コンピュータシミュレーションの理論的Lyapunov 性を示すことを証明した。これによって、基礎を築く計算数学・数値解析の研究、その応用とScharfetter-Gummel スキームがエントロピー散逸性して大規模コンピュータシミュレーション技術に関も再現する数値スキームであることを証明した。

する研究を体系的に進めている研究部門である。
4.2 不完全ＨＶ分解の研究

現在の主な研究テーマは、半導体輸送の数理モデルに関する研究、量子流体方程式の数値解析・数値スキームに関する研究、半導体シミュレーション手

不完全分解を伴った大型行列の反復解法について法とその応用に関する研究、偏微分方程式の保存・の研究を進めた。現在、大規模連立一次方程式の反散逸則を再現する数値計算法に関する研究，変分原復解法として、行列を不完全分解し、ＣＧ加速する理に基づく蛇行流問題の数理モデルに関する研究，反復解法が一般的である。このとき、不完全分解と数値計算法の安定性を生かした数理アルゴリズムやして代表的な手法は、対称行列に対しては、不完全並列計算に関するアルゴリズムの開発である。

コレスキー分解が、非対称行列に対しては、不完全LU 分解が一般的であるが、これによる逆行列の計

4 2009 年度研究業績

算は、シリアル計算となる。このため、シリアル計算を高速に行うためにベクトル化を図るか、あるいは、並列計算を実行しようとすれば、なんらかの行

4.1 ドリフト-拡散系の数値解析に関する研究

列の分割が必要となる。
この行列分割として作用素分割を導入し、その不ドリフト-拡散方程式の数値解析に関する研究を完全分解を扱う手法が、不完全ＨＶ分解（あるいは、進めた。
半導体ドリフト-拡散方程式は、Boltzmann 方程式ＴＦ法）と呼ばれている手法である。今後、並列計から導出される流体モデルの一つであり、その数値算のためには並列化に適した不完全分解の研究が重解は半導体素子設計に広く用いられている。従来、要になると考えられる。本研究では、この不完全 HV電子分布が Boltzmann 統計に従うものとして数学解分解が収束することをペロン-フロベニウスの定理

析が進められてきたが、Fermi-Dirac 統計における解を基に、5 重対角行列に対して証明した。

析を進めた。

Fermi-Dirac 統計に基づくドリフト-拡散方程式系の Gummel 写像を構成し、定常解の存4.3 偏微分方程式の保存・散逸則を再現する数値計在を示し、Gummel 写像が縮小写像となることを証算法に関する研究明した。これによって、Fermi-Dirac 統計を仮定しても、Poisson 方程式と連立した半導体ドリフト-拡散応用数理学，社会学，生命学等の様々な研究分野方程式の反復解法が成立する。

において，非線形問題に対する数値計算の重要性はドリフト-拡散方程式の数値解析に関するもう一いうまでもなく， 本研究では特に非線型性が重要でつの研究として、Scharfetter-Gummel スキームの性質あるような偏微分方程式の数値解法の構成アルゴリを調べた。この数値スキームは非線形保存スキーム

ズムについて開発を進めてきた.

であり、高精度化が図られている。このため、密度非線型偏微分方程式の多くはエネルギー保存性やがポテンシャルの指数依存性をもつキャリア輸送の組成保存性などの保存則や散逸則を要請されるものシミュレーションを実現し、半導体素子のＣＡＤをが多いことに着目し，それらを厳密に満たすように可能とした数値スキームである。本研究では、no-flux計算手法を構成する方法論をとる。同様の方法論に

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Energy method や TotalVolume，Symplectic スキームなどが知られているが，適用範囲は限られており，4.5 枝挿入によるグラフ上伝達経路長の改善に関す新しい方法論が常に必要とされている.そこで，偏微る研究

分方程式解に対する Lyapunov 関数を離散的に構成

各種組織において，情報やエネルギーなどの伝達するアイディアに基づいて離散変分導関数法という経路について，経路長や冗長度，全コスト等着目すスキーム構成法を提案した。

べき様々な重要な性質がある。その中でまずは最も離散変分導関数法の適用範囲を広げる研究を勧め

シンプルな対象である平均経路長に着目し，これをてきた結果，Hamilton 系を含むエネルギー保存系や短くする方法を考える。

Fujita-type 爆 発 問 題 系 ， 粘 菌 の 挙 動 を 記 述 す る

社会や生物種でみられる木構造に似た組織を対象とKeller-Segel 系などの連立偏微分方程式系，非線形することを考え，枝を追加することで平均経路長をSchroedinger 問題などの複素問題等をはじめ，非線最適化するため，どの個所に枝を追加するべきか型長波長近似方程式として近年提唱されたについて研究した。

Bao-Feng Feng 方程式，regularized long wave 方程式

やや繁雑な場合分けを通じ，バイナリツリーについや Camassa-Holm 方程式，パターン形成問題のモデては枝を一本追加する場合については追加すべき個ル方程式として知られる Swift-Hohenberg 方程式や所が特定できた。バイナリツリー以外にも同等の解

非 線 型

extended析手法が適用できる場合が多いと考えられ，この結

Fisher-Kolmorov 方程式，エルゴード性を調べるため果により組織中の伝達経路長等についての改善に数に用いられた Fermi-Pasta-Ulam 方程式など，多岐に学的な指針を与えることが可能となると考えられる。

Klein-Gordon

方 程 式 ,渡る問題が本方法論の対象となっている. これらに

5 社会貢献に関する業績

対し，一つずつ丁寧に数値解法を構築し，数値実験にてその性能を確認した．

5.1. 教育面における社会貢献
5.1.1 学内活動

4.4 Voronoi分割を用いた空間分割法による構造保存解法の構成に関する研究

大阪大学いちょう祭部門公開,(2008.05.03)

5.2. 研究面における社会貢献

前項に述べた方法論をより柔軟な空間領域で自由に適用するために，通常の空間だけではなく，グラ5.2.1 学会活動

フ上の問題や任意格子点から形成する Voronoi 領域IEEE SISPAD, Chair, Steering Committeeを用いた差分作用素を用いて任意形状領域を対象と

IEDM, Member, Technical Program Committeeする研究をすすめ，これらの新しく開発した手法がIEEE EDS Kansai Chapter, Committee member

離散変分導関数法に適用できることを見いだした.

応用物理学会シリコンテクノロジー分科会モデリング研究委員会 委員長

これにより，実用上は直交格子的な格子形状に強く（以上 小田中）

制限されていた差分法をベースにして離散変分導関数法を適用することが可能となり，構造保存性，自由格子，差分法という理論的にも実用的にも好まし

日本応用数理学会 理事，ネットワーク委員長,2009 年度年会実行委員

い手法を組み合わせた数値解法が構成できることが（以上、降旗）示された. また，この方法論を用いて非長方領域上で実際に Cahn-Hilliard 方程式や熱拡散方程式などの数値求解を行ない，理論的に予想される解が実際5.3 産学連携煮えられることを確認した。

(1) 該当なし

31金沢大学, 2009 年 6 月 19 日
(4) 降旗 大介, “自由形状領域上におけるボロノイ差

5.4 研究プロジェクト活動分を用いた離散変分導関数法”, 日本応用数理学

現在、以下の研究プロジェクトに参画している。

会 2009 年度年会, 大阪大学, 2009 年 9 月 30 日
基礎研究(B)(5) 降旗 大介, “ボロノイ格子を用いた，自由形状領“保存則系の粘性及び緩和モデルの時間大域解と域での離散変分導関数法”, 北海道大学大学院理その漸近挙動に関する研究”(平成 19～22 年度)

学研究科数学専攻 21 世紀 COE プログラム偏微分分担

方程式セミナー, 北海道大学, 2009 年 12 月 7 日(1) 文部科学省

科学研究費補助金（以上、小田中）(6) 降旗 大介, “グラフ格子上ないしはボロノイ格子上の差分による離散変分導関数法”, 応用数学合(2)文部科学省

科学研究費補助金 基盤研究(B) “平同研究集会, 龍谷大学, 2009 年 12 月 18 日

均場方程式で記述される非線形臨界現象の解析的(7) Daisuke Furihata, “Simple and handy mathematics :研究” (平成 20～21 年度) 連携

cellular automata, life game”, Workshop and(以上 降旗)

Symposium on "Mathematics in the Real World", 首都大学東京, 2010 年 2 月 19 日

5.5 その他の活動

2009 年度特別研究報告・修士論文・博士論文

5.5.1 会議運営
(1) Second Workshop on Computer-Assisted Science、博士論文

2009 年 11 月 6 日（なし）
2009 年度研究発表論文一覧

修士論文

学会論文誌

(1) 高重尚平, 不完全 HV 分解を伴った大型行列の反復解法(1) 無(2) 梅谷英生, フェルミ-ディラック統計に基づいた国際会議会議録

半導体方程式の定常解の存在と反復解法(1) 無(3) 村上健太, 半導体ドリフト－拡散方程式に対す
る Sharfetter-Gummel スキームの数値解析

口頭発表（国内研究会など）(4) 正木宏明, 完全２分木に対する任意コストの辺追加による平均経路の短縮(1) 小田中紳二, “集積回路プロセス・デバイスモデリングの現状と展望,” 第 70 回応用物理学会学術講演会, シンポジウム「シリコンテクノロジーの挑戦- 材料・プロセス・デバイスの新展開」2009
年 9 月.
(2) 小田中紳二, “半導体輸送の流体モデル,” フォーラム「エネルギー科学における多階層連結コンピューティング」第２回フォーラム, 国際高等研究所, 2009 年 10 月 3 日(3) 降旗 大介, “格子点を自由配置できる Voronoi 差分を用いた部分変分導関数法”, HMC セミナー,

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