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デカルト座標系からバイポーラ座標系への推移
ダワァ

ガンバット ＊

Transition From the Cartesian Coordinate System
to the Bipolar Coordinate System
Ganbat DAVAA＊
Abstract
One of the ways we recognize the physical matters around us during our daily life is to simply
notice their existence by perceiving their size and location. In order to describe or model the sizeand location of matters, coordinate systems are widely used. Among the many coordinate systems
such as cylindrical, spherical, polar, generalized and oblique coordinate systems, the most commonly
applied coordinate system is the Cartesian or rectangular coordinate system. It is because the size andlocation of matters can usually be noted by 3 dimensions which are mutually perpendicular. However
depending on the need or the conﬁguration of the matters, the other coordinate systems may be moresuitable than the Cartesian coordinate system to describe the size and locations. Therefore transitions
between the coordinate systems are widely applied in practice. The present paper deals with a methodof the coordinate transition from the Cartesian system to the bipolar system that is extensively used inresearch works related with material processing, ﬂuid ﬂow, heat transfer, transistors and conductors.
Keywords: Bipolar coordinate system, Transition method between coordinate systems
キーワード：バイポーラ座標系，座標系間の推移方法

1. 緒 言人間は物体を認識する場合まず頭の中で 3 次元をイメージし，それが何であるかを理解する。そのイメージに必要なものは座標系である。我々が広く利用している座標系は直交座標系である。しかし，直交座標系以外に斜交座標系，極座標系，一般化座標系，球座標系，円筒座標系，バイポーラ座標系など様々な座標系があり応用分野によって使い分けられている。
本稿では材料や熱流体，トランジスタやコンダク
タに関する研究などに良く利用されている直交座標系からバイポーラ座標系への変換方法について紹介

標系が与えられれば，点は一つに定まる。原点や座標軸などを定めれば，任意の座標は，ただ一つの点を指し示す。このように定めれば座標が作れるシス
テムのことを座標系 (system of coordinates) と呼ぶ。座標系の種類としては：直交座標系，斜交座標系，極座標系，一般化座標系，球座標系，円筒座標系などがある。
数学における直交座標系（rectangular coordinatesystem）とは，互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる 2 つの実数の組によって点の位置が指定される。同様にして空間上の直交座標系では 3 つの実数の組にする。

よって座標が与えられる。座標の概念を確立したル

2. 座標系
座標（coordinate）とは，点の位置を明確にする

ネ・デカルトの名を採ってデカルト座標系 (Cartesiancoordinate system) とも呼ぶ。

ために与えられる数の組のことである。座標と座＊ 電子機械工学科

平成 22 年 9 月 30 日受理

弓削商船高等専門学校

紀要

変換は次式で与えられる。
µ¶
ξ + iη
x + iy = ic cot24ξ=π/

η=06π/=
ξ55

直行座標系 (x, y) とバイポーラ座標系 (ξ, η) の間のy(1)η-0.5

第 33 号（平成 23 年）

==
η50.

ξ = π/2
η=1

η = -1
η = -2η=2(-c, 0)(c, 0)xξ = 3π/27π/4なり，また式 (2) に ic を掛けると，µ¶ξ+i ηic cot
2c sinh ηc sin ξ=+i(3)
cosh η − cos ξcosh η − cos ξ6=ξ=11π/ξ

式 (1) の右辺の部分 cot( ) を変換すると [3]µ¶ξηsin ξ − i sinh ηcot+i=22cosh η − cos ξsin ξsinh η−i(2)=cosh η − cos ξcosh η − cos ξ

図 1．一般バイポーラ座標系
図 1 にバイポーラ座標系を示す [1] 。バイポーラの座標は (±c, 0) に対する Apollonios[2] の円とも呼ばれる。2 つの焦点 (-c, 0) と (c, 0) はデカルト座になるので，式 (1) から直行座標系とバイポーラ座標系の間の変換に関して次の関係式を得る。
c sinh η x = cosh η − cos ξ標系の X 軸の上で存在する。


 y =3. 座標系の式変換(4)c sin ξcosh η − cos ξよって表される。今回は、バイポーラ座標から直交式 (1) を以下のように変換し，µ¶ξ+i η
x + iycot=2ic

座標への式変換を行い，デカルト座標系の X 軸上式 (5) に以下式 (6) と式 (7) を使い，整理すると式の整数部分での（図 1 の右側）偏心円について考え，(8) になる。

後変換した式を使いプログラムを作成した。これかcoth−1 (ix) = −i cot−1 x(6)µ¶1x+1coth−1 x = lnx > 1 or x < −1 (7)2x−1µ¶
ξ+i ηx + iy−1
= coth2ic"#·¸x+iy+1ii(x + c) + iyc= ln x+iy= ln22(x − c) + iy−1c

バイポーラ座標系で偏心円は２つ座標 (η, ξ) にら議論する部分を図 2 に示す。e は偏心量 (内管と外管の中心のずれ)，η は一定，ξ は (0 ≦ ξ ≦ 2π)で表されている。作成したプログラムに，条件として偏心率と半径比を与え，シミュレーションし，その結果を解析した。

yc Cothηiηoηi{ln [(x + c) + iy] − ln [(x − c) + iy]}2µ¶12cy
= tan−12x2 + y 2 − c2si
(x + c)2 + y 2(8)+ ln2(x − c)2 + y 2=

ηiexRi(5)(付録 (1) 参照)

Rocc Cothηo
図 2．バイポーラ座標系

式 (8) の両辺に 2 を掛けるとµ¶2cy
ξ + iη = tan−1x2 + y 2 − c2s+ i ln(x + c)2 + y 2(x − c)2 + y 2(9)

デカルト座標系からバイポーラ座標系への推移（ダワァ）56(付録 (3) 参照)

形になり，式 (9) からバイポーラ座標系と直行座標系の間の変換に関して次の関係式を得る。
µ¶
2cy

−1
ξ = tanx2 + y 2 − c2s22 η = ln (x + c) + y(x − c)2 + y 22η

上の式の ee2η = cosh 2η + sinh 2η =(10)

(11)

2cy
x2 + y 2 − c22x2 + (y − c cot ξ)2 = c2 + c2 cot2 ξµx2 + (y − c cot ξ)2 = c2 (1 + cot2 ξ) =µx + (y − c cot ξ) =2x2 − 2xc coth η + c2 coth2 η − c2 coth2 ηcsin ξcsin ξ¶2¶2系の座標関係式をもう一度書く。
s(x + c)2 + y 2
η = ln(x − c)2 + y 2(x + c)2 + y 2 = e2η [(x − c)2 + y 2 ](x − c coth η) + y =2csinh η¶2(14)（式 15 から式 18）を得た。

c = Ri sinh ηi = Ro sinh ηo(15)c(coth ηo − coth ηi ) = ε (1 − α)Ro(16)ε ≡ e/(Ro − Ri )(0 ≤ ε < 1)(17)

α = Ri /Ro(0 < α ≤ 1)

(18)

(12)

(13)

式 (13) を以下のように変換すると式 (14) になる。
s(x + c)2 + y 2
1 (x + c)2 + y 2
η = ln=ln(x − c)2 + y 2
2 (x − c)2 + y 2(x + c)2 + y 2=(x − c)2 + y 2µ2

図の中で観察された幾何学的な考察から，次の関係

式 (10) からバイポーラ座標系の座標 η と直行座標ex2 + c2 + y 2 − 2xc coth η = 0(x − c coth η)2 + y 2 = c2 (coth2 η − 1)µ¶2c=sinh η2x2 + y 2 − 2cy cot ξ + c2 cot2 ξ − c2 cot2 ξ = c22η2(x2 + c2 + y 2 )sinh η − 4xc cosh η = 0+c2 + y 2 = 0

上式の左辺に (c2 cot2 ξ − c2 cot2 ξ) を足すと

2cosh η + sinh η[(x − c)2 + y 2 ]cosh η − sinh ηx2 + y 2 − c22cyx + y − 2cy cot ξ = c2=

上の式に (c2 coth2 ξ − c2 coth2 ξ) と入れると(付録 (2) 参照)
cot ξ =

この式を上の式に代入するとこの式に (cosh η − sinh η) を掛けて整理すると

式 (11) を以下のように変換すると式 (12) になる。

tan ξ =cosh η + sinh ηcosh η − sinh η(x + c)2 + y 2

式 (10) からバイポーラ座標系の座標 ξ と直行座標系の座標関係式をもう一度書く。
µ¶2cy
ξ = tan−1x2 + y 2 − c2はc/Ro ≡ S とすると式 (15) から以下の関係式を書くことができる。
S
 sinh ηi =α(19)sinh ηo = Ssµ ¶
2



SS

 ηi = ln++1
αα√©
ª
ηo = ln S + S 2 + 1(20)弓削商船高等専門学校(付録 (4) 参照)sµ ¶2S cosh ηi =+1α√cosh ηo = S 2 + 1

紀要

第 33 号（平成 23 年）

57

式 (29) を式 (24) に代入すると

p(1 − α2 ) + α2 cosh2 ηi − α cosh ηi(21)= ε (1 − α)

(30)

2(31)

(1 − α2 ) + α2 cosh2 ηi(付録 (5) 参照)= [ε (1 − α) + α cosh ηi ]

式 (18) を使って式 (15) を変換すると式 (31) を cosh ηi について解くと

α sinh ηi = sinh ηo(22)cosh ηi =式 (16) の c に (c = Ro sinh ηo ) を代入すると¶µcosh ηocosh ηi
Ro sinh ηo−sinh ηosinh ηi= ε(1 − α)Roµ ¶2 ·¸2S(1 + α) − ε2 (1 − α)1+=α2αε(23)式 (22) を使って式 (23) を変換するとsinh ηocosh ηocosh ηi− α sinh ηi= ε(1 − α)sinh ηosinh ηicosh ηo − α cosh ηi = ε (1 − α)(24)

式 (21) の cosh ηi に式 (19) の sinh ηi を代入すると
sµ ¶2pS
cosh ηi =+ 1 = 1 + sinh2 ηi
αr1+=

sinh2 η0=α2p(α2 − 1) + cosh2 ηo(25)α(付録 (5) 参照)
この式を式 (24) に代入し，変換するとcosh ηo − ε (1 − α) =(1 + α) − ε2 (1 − α)2αε(32)(33)

式 (16) から c と Ro の比について解くと

cε(1 − α)=Rocoth ηo − coth ηiα ε(1 − α) sinh ηi=cosh ηo − α cosh ηi(34)

式 (34) に式 (24) を代入すると

pc= α sinh ηi = α cosh2 ηi − 1Ros·¸2(1 + α) − ε2 (1 − α)=α−12αε(35)式 (34) を整理すると最後に以下の形になる。
v(uµ¶2 )c
1 + αu1−αt(1 − ε2 ) 1 −=ε2(36)Ro2ε1+αp(α2 − 1) + cosh2 ηo (26)
4. 計算結果

式 (26) を cosh ηo について解くと(1 + α) + ε2 (1 − α)cosh ηo =2εプログラムに２つの初期値として偏心率 (ε)，半(27)ミュレーションした結果をグラフとして描いた。εと α を与え e = ε(Ro − Ri ) より，偏心量 e を求め式 (27) を式 (21) に代入すると·
1 + S2 =(1 + α) + ε2 (1 − α)2ε

径比 (α) を与えて，それらの初期値をもとにし，シ¸2る。計算結果を以下に示す。

(28)

半径比 α = 0.3 として偏心率 ε を変えて計算を式 (21) の cosh ηo に式 (19) の sinh ηo を代入す

0.8 の場合のグラフを示す。
半径比 α = 0.5 として偏心率 ε を変えて計算を行った。結果を例として，図 6〜8 に ε = 0.3, 0.5,行った。結果を例として，図 3〜5 に ε = 0.3, 0.5,になる。
るとcosh ηo ==ppp
S 2 + 1 = 1 + sinh2 ηo

1 + α2 sinh2 ηi =p
1 − α2 + α2 cosh2 ηi (29)0.8 の場合のグラフを示す。
半径比 α = 0.8 として偏心率 ε を変えて計算を行った。

デカルト座標系からバイポーラ座標系への推移（ダワァ）1100−158−1232

図 3．α = 0.3, ε = 0.3

図 6．α = 0.5, ε = 0.3

1100−1−1121

図 4．α = 0.3, ε = 0.5100−1−11

図 5．α = 0.3, ε = 0.82

図 7．α = 0.5, ε = 0.5103201

図 8．α = 0.5, ε = 0.82

弓削商船高等専門学校

紀要

第 33 号（平成 23 年）

1100−159−12340

図 9．α = 0.8, ε = 0.312

図 12．α = 0.3, ε = 0.81

100−1−11230

図 10．α = 0.8, ε = 0.512

図 13．α = 0.5, ε = 0.8

1100−1−11

図 11．α = 0.8, ε = 0.821

図 14．α = 0.8, ε = 0.82

デカルト座標系からバイポーラ座標系への推移（ダワァ）

60

付

録

Coth−1 (ix)=Coth−1 x=−iCot−1 xµ¶x+11ln2x−1

結果を例として，図 9〜11 に ε = 0.3, 0.5, 0.8 の場合のグラフを示す。
図 12〜14 は，偏心率 ε = 0.8，半径比 α = 0.3,0.5, 0.8 のときのグラフである。

5. 結 言x > 1 or(A-1)

x < −1(参考文献 [1] を参照)

材料や熱流体に関する研究では，特に偏心環状流路内の解析にバイポーラ座標が一般的に使われている。そのためバイポーラ座標から直交座標に式変換をするために数学的解析を行った。そして，変換しtan x = ax = tan−1 a + πkた式からプログラムを作成した。次に，作成したプcot A =ログラムに初期条件として偏心率と外管と内管の半径比を与えてシミュレーションを行った。そしてそ1tan A(A-2)(参考文献 [1] を参照)のシミュレーションによって計算された数値を使い偏心環状流路の図を平面上に表示させた。
今後の目標については，今回の研究により行った数学的解析を更に深く理解すると共に，求めた結果を偏心環状流路内の流体と伝熱数値解析に応用できるように今後発展させていきたい。

e±x = cosh x ± sinh x¡ ¢¡ ¢¡ ¢cosh x2 ± sinh x2
1 ± tanh x2
¡
¡ ¢¢
¡
¢
==
cosh x2 ∓ sinh x2
1 ∓ tanh x2(A-3)(参考文献 [3] を参照)

参考文献

[1] Murray R. Spiegel and John Liu, Mathematical handbook of formulas and tables, Schaum’sOutline Series, McGRAW-HILL pp.8, 41, 53,56, 58, 128-129 (1999)

x = sinh y⇒

y = sinh−1 x√¡¢sinh−1 x = ln x + x2 + 1(A-4)(参考文献 [1] を参照)
[2] 森口繁一・宇田川 久・一松信 共著，数学公式
I，岩波書店 pp.26-27 (1992-3)[3] 森口繁一・宇田川 久・一松信 共著，数学公式
II，岩波書店 pp.205, 220, 221 (1992-3)[4] T.L.Guckes, ”Laminar ﬂow of non-Newtonain
ﬂuids in an eccentric annulus”, Transactions ofthe ASME, pp.498-499 (1975-5)[5] J.F.Heyda, ”A Green’s function solution for thecase of laminar incompressible ﬂow between
non-concentric circular cylinders”, Journal ofFranklin Institute, Vol.267, pp.25-28 (1959)[6] L.M.Milne-Thomson, ”Coaxal coordinates”,
Theoretical hydrodynamics, 5th edition M,
pp.176-177 (1968)

cosh2 x − sinh2 x = 1(A-5)
sinh2 x = cosh2 x − 1(参考文献 [1] を参照)