国立防災科学技術セソター研究報告第24号

1980年10月

551．24ブレート間境界付近における運動（1）藤縄幸雄＊

国立防災科学技術セソター

M1otions

intheBoundaryLayers

betweenTow

P1atesBy

Y皿kio

FujimwalVα肋伽1肋8〃肋0刎f〃〃〃舳〃〃舳肋o〃，∫αμ〃Abstmct
Dynamic

areassumed
The

processes

studiedtoin

theinvestigate

gouge

regionmechanisms

betweentwo

p1atesofearthquake

toobeytheconstitutive

equationofsecond−order

Couetteflow

isshown

unstable

in

theto

be＝1，105．1010whereψ，R，and〃arenumberandelastic

intectonical

Rivlin・Ericksen

range∠ρ＜3，R＝1，10

nondimensionalsense

occurrence．Materialpressure

istype．

5，10■10，一〃

gradient，Reynolds

parameter，respectively。

1．はじめに地震は，プレートテクトニクスの言葉でいうプレートの境界部で大部分起きている．ここでの関心は，二つのプレートの境界付近の運動がいかなるものであり，ためにいかなる応力状態が生起し，どのように地震が発生するか，そしてその前兆現象があるとすれぱいかたるものであるかを解明することである1もちろん，このように大きな問題が一挙に解明されるものでなく，ここではその間題のごく一部であるクリーブ状の運動の性質について，その応力状態，クリープ運動の構成方程式に対する依存性，運動の安定性などを論じるもので、ある．

2．問題の定式化

太平洋プレートとアジアプレートが会合し，もぐり込んでいる場所，いわゆる深発地震帯に多くの地震が発生している．

我々は，プレートとプレートとの間の境界付近の地殻，又は上部マソトルの運動を調べようとしているわけであるが，なるべく簡単でかつ地震の問題に関連する状況設定として，深＊第2研究部地殻肇動研究室［101一国立防災科学技術セソター研究報告第24号

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発地震面の近辺を取り上げようと思う．地震の活動の研究結果からすると，深発地震面上で一様に地震が起きているのではなく，深くなるに従ってその活動が減少することが知られているが，ここではそのようなプレートの進行方向の非一様性を考えず深発地震面の走向方向には一様なモデルを採る．

また，地下深部では，様々な化学的な反応を含めた熱力学的反応が重要な役割を果たしていると推測されるが，それも無視し，単に力学的な過程のみを考慮する．将来は，この無視された効果を取り入れることにより，より現実に近いモデルを作りあげることができるであろう．

力学的性質の相異なる二っのプレートが接しているという状況を考える場合には，接触面の法線方向の無限遠ではそれぞれのプレートの固有の速さを与えるという境界条件が与えられる．ここでは，その駆動の原因には立入らず，マソトル対流の可能性をあげるにとどめよう．よって接触面の両側には二つの境界層ができることになる．その境界層の運動あるいは接触面を含めたこれら境界層における不連続な運動（地震）を研究するのが，この論稿の最終的な目的である．

二つの弾性体としてのプレートの問には遷移層（90uge）が存在することが十分考えられる．両プレートが異なる速度で運動しているとき，そのgouge内でどのような運動が発生し，そこでの地震がどのようなときにどのように起きるものであろうか．問題の簡単さから言って，二つの境界層の問題を扱うより後者の方が取り扱い易いので，ここでは，状況設定を平行板（プレート）の運動に駆動される流れ，いわゆるCouetteの流れを考えることにする．たとえぼ，速度σ岨のアジァプレートと速度σ四の太平洋プレートにはさまった幅26の領域を設定するわげである．

境界面内に伽，2軸を取り，伽軸をプレートの運動の方向とし（ここではプレートは同一の方向に進むとしている），域である．

3軸は，12軸は伽軸に垂直にとる（図1）．一6〈2面に垂直にとる．

・≦ろが9ougeの領1軸を適当に座標変換することによって，アジアプレートと太平洋プレートの速さが同じ（σo）で逆向きに進行しているとすることがで月、きる．
流れを物（ゴ＝1，2，3），ストレステソソルを≡︒

十bσ幻（づ，プ＝1，2，3）とすると，場の方程式は，

耳r

ρを密度として，＾I（質量保存）与・（1吻）1一・（1）一uo

ゴ物（運動量保存）ρπ＝σ。〃

b

図1採用した産標系
Fig．1

Coordinates

taken（2）となる．ここに，6／〃は全微分であり，カソマはそれ以後の指数の空間方向での徴分を表わ
一102一

プレート境界付近における運動（1）一藤縄

すのは通常どおりである．外力は我々の採用したモデルでは考えない．

場の方程式を閉じさせるためには，ストレスσ幻を変位に関係づける必要がある．すなわ
ち構成方程式を書き下す必要がある．物体の運動を記述する際，最も間題をはらむものの一つは，構成方程式を決定することにある．構成方程式を決定する方法として魅力的たものに，非可逆統計力学的手法によってミクロな構造・運動から演緯するものが考えられるが，地球物理学的物体に適用するためには，地殻や上部マソトルにおいてすら当のミクロな構造自体がまだまだ不明であるから，そのアプローチは時期尚早としてよいだろう．戦後の高分

子科学の発展は，理想物質からはずれる物体の振舞いについての知識を集積してきた．構成

方程式を求めるためには，物体の運動から理想物体（Newton体，Hooke体，St．Venant体）を組合せて作り上げてくる方法が有力なものとして取り上げられていた．しかし，地殻又はマソトルを構成する物質の場合，サソプルすること（SCa1eを考えた上での）の困難さ，または不可能1性を考えると，構成方程式を決定することはなかなか大変なことである．しかも，実際の運動自体が遅々たるものであって，流れの場を基にして推測することは例外を除いてできない．流れの結果としての運動の痕跡を，しかも地球の表面においてのみ知ることができるだけである．

構成方程式の導き方には，別の方法もある．それはかなり一般的に受け入れられる仮定を基にして求めるものである（RvlinandSawyers，1971）．連続体がsimp1e，incompressib1e

かつisotropicの時には，応カテソソルσ切は，σ1ゴ＝一肋ゴ十μん（1）十叫胎（1）λ止ju）十σん（2）十・一（3）と書ける．ここに，ρは圧力，μは粘性率，βはCrOSS・ViSCOSityに関するバラメーターであり，γは弾性効果に関するバラメーターである．ん（エ）は，1次のRiv1in−Ericksenのテソソルといい，例えぼ，ん（1）＝物，ゴ十物，1ノレゴ（2）＝α也，ゴ十αゴ，せ十2〃肌，｛〃㎜，ゴ（4a）（4b）である．ここに吻は加速度である，∂吻吻＝7r
境界条件としては，プレート面においてnon−s1ipの条件，吻＝0，励伽：±ろ（5）を課す．この条件を採用するに確たる背景があるわけではなく，より一般的な条件を課すべきかも知れない．しかし，その条件は，物体の構成方程式あるいは，それを作り上げているバラメーターの非一様性に依存しているので，一様な物体を考えている本モデルの中では，粘性流体の場合と同じ境界条件を採用した．

一103一

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3．流速の分布
定常平行流について論じる．伽軸方向のみに流れσがあり，しかもそれが伽方向に一様とする，（吻）＝（σ（工。），0，0）

このとき，Riv1in−EricksenのテソソルA（1），λ（2）は，刈｝
州イ1・ケ1〕であり，ストレスσηは，一†ヂサ苛η）㌧となるので，運動方程式は，

∂カ

∂2σ

∂p∂

■砺十μ砺＝0i砺、十砺（β十2σ）σ12−O（6）＿且＿O∂

3となる．ただし，σ1＝∂σ／伽2である．これらの式から，

ρ＝（β十2γ）σ12＋ρ・（62σ1）ψ。

μ砺＝砺＝α（7・）（7b）となる．αが圧力勾配であるので，流れの分布は，e1aStiCity，CrOSS−ViSCOSityに関係なく，粘性流体の場合と同じである．もっともこれは，2次のRiv1in−Ericksen体の場合であり，3次，4次の構成方程式の場合には，粘性流体の場合の流速分布とは違いがでてくる．
流速の分布を無次元化パラメーターσ。，ろを用いて表わすと，
σ＊一σ／い・・一肋／久α・一2島。（一総）σ＊＝・＊十α＊・＊（1一。＊）となるのはよく知られている．

応力の成分は，e1asticity，cross・viscosityのために，Newton体の場合と違ってくるが，そのnOrma1StreSSの差」σ1，∠σ3は，∠σ・＝2γσ2−104一プレート境界付近における運動（1）一藤縄」σ・＝一（β十2γ）σ2となっている．これらの違いが岩石の破壊条件，断層面のslipの条件の違いに反映すると思われる，しかし，ここでは，この点については議論をしない．

4．流れの安定性

粘弾性体の安定性については，Gupta（1967）が論じているので，基本的にはその手法を使う．

〃1＝σ十〃工〃＝〃12
ρ＝葎十力1とし，連続の式，運動量の式から，（÷・σふ）（召芸一祭）・肌一・〃、品・、／（詰灰・一嘉・σ、隻、）；簑一鳴〕∂・ ∂21 ∂∂ ∂伽 ∂〃。
∂〃1（砺・∂。、・）／1脈・丁・・砺1（砺・亙）・2ぴ砺、十σ吻〕（9）が得られる．ここに，

R一肌，〃一γリ卿であり，Rはレイノルズ数，〃は弾性効果のパラメーターの無次元数である．渦度方程式には表われなかったが，この他cross・viscostiyに関するパラメーターN＝2β／（卿）が運動量の式には出てくる．
流れ関数ψを，∂ψ∂ψ・・ 一砺…1＝一砺で導入し，さらに，固有モード
ψ＝φ（2）e倣（1イー）を考える．

Newton流体のCouetteの流れは，レイノルズ数Rの全域にわたって安定であることが知られており（例えぼ，巽・後藤，1977），GuPta（1967）は二次のRiv1in−Ericksen体ではelasticな効果によってPoiseui11eの流れが不安定化するとのべている．しかし，彼の場合は実質的には平均流がゼロのときの安定問題となっている．

Orr−Sommerfe1dの方程式は，（σ一・）（φ・一κ・φ）一σ・φ一／点・岬一・）／（φ（・）一・κ2φ（2）・κ4φ）となる．ここに／は（・・）2に関する徴分である．この方程式に対する境界条件が，φ（土1）＝O，φ∫（土1）＝O（11）となるが，この境界値問題を解いて固有値cの虚数部αが正のときに不安定，αが負のと一105一国立防災科学技術セソター研究報告第24号

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きに安定となり，中立曲線はcF0で与えられる．
固有値問題を直交関数展開法によって解く．φをφ＝Σノしφ冊（12）π；1と展開するのであるが，直交関数としては，元の方程式の固有関数に近いものを採用する．
式（1φでσ＝0とおいた式一批地
φ（4）．2κ2φ（2）・ん4φ一1一、服肌（φLん2φ）一一λ（φ1Lκ2φ）（13）で境界条件⑪を満たす固有関数φηを使う（巽・後藤；1978を参照）．平均流の分布σが偶関数の場合には，軸μ＝0（便宜上2をμとする）に対して，偶なモードが奇なモードに比べてより不安定であることが知られているが，一般のCouetteの流れの場合には，平均流速分布は偶でも奇でもない．固有関数として偶モードφ柵ωと，奇モードφ肌（・）をとり，それぞれの場合に対して，固有値cを求める．
偶モードの固有関数φ冊（ε）は，

φ肌⑫）一…帥一脇・…κμ（・・）であることが容易にわかる．ここにβ帆は固有値であり，
β肌tanβ肌十κtanhκ＝0，〃＝1，2，・・・…

（15）から求まる．奇モードの固有関数φ凧（0）は，

伽⑰）一・・1帆μ一隷…切（1・）であり，δ椛は，

δ冊cotδ冊一κcothκ＝0，〃＝1，2・・・…

を満たす．β肌，δ肌の値は数値計算手法によって上の方程式を解いて求めた．
式⑬にφ冊を代入し，φ㎜を掛けて積分するとφ肌（召）又はφ仰（0）は，次のような直交関係を満たすことが得られる．

lll（燃・κ・φ帆舳一μ帆1一，（・・）ぺll∵答∵
永年式程式は，展開⑫を元のOrr・Sommerfe1dの方程式に適用し，φ机を乗じて積分して，竈。

1一ゴκ1〜ルZo酎冊｛α1パ（・、κRλ㎜）μ一δ帆㎜1−O・刎一1・2（18）となる．ここに伽㎜は，α冊腕＝（1−2ル肌2）＜舳1σ1〃（2）＞一κ2（1＋〃κ2）＜舳1σ1刎＞一＜剛σ1〃＞一＜剛σ1〃（4）＞一106一（19）プレート境界付近における運動（1）一藤縄であり，σ＝砂十〃（1一η2）＜舳1・1・（1）＞一11：φ一・φ募）・吻である．上の1次方程式がtrivia1な解以外の解を持つための条件は，
11

λ仰1（1。〃1冊）（τα・・十淑〜一〇δ1−1＝0（20）となり，この方程式を解くことにより，固有値cが定まる．
圧力傾度ψがゼロのときには，〃が奇となるから，上の行列要素α刑肌＝0となり，方程式⑳がすぐ解けて，

ゴ

λ肌・㎜一一研1。凧

（21）となる．よって

1λ肌I・（6刎）＝恢1＋〃λ伽と与えられる．〃＜0となる（Gupta，1968）が1〃1＜1であっても，λ刎が閉と共に大きくなるので，必ず，I㎜（cjv）＞0とたるwがある．すなわち，この場合には流れは不安定ということになる、この結果は当然ながらGupta（1967）と同じである．
さて〃キ0のときには，matrix要素α㎜は少々複雑であるが，初等関数で表示できる．
用いる固有関数の数〃を増していって，I㎜（c㎜）の最大のものが安定するまで，固有値を求め続げ，そのとき得られるものが固有値0である．表1は圧力勾配，e1asticバラメーター，レイノルズ数R，波数κを与えて求めた固有値の虚数部である．計算の結果∠，22＝十3〜一31〃1＝1，105．1010
1モ＝1，10■5，1010

κ＝0．1〜1．9の範囲では，α＞0であり，流れが不安定であることが推測される．たお，eVenモードとOddモードの場合のαを比較すると，対象としたパラメーター範囲では，やはりeVenモードの方が不安定であることがわかった．

検討

より上でRiv1in−Ericksenの2次の構成方程式を満たす流体のCouetteの流れが不安定であることが示されたわけであるが，その構成方程式について検討を行ってみよう．微小なひず

一107一

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表1固有値計算の例
Tab1e．1

Eigenvalues

forsomecasesofnon■imensionalparameters伽，〃，R、

ψ＝一3

M＝一1010

R＝10−15

1．7

6，6×1096．2×109

κeVen0dd

1．9

5．9x109

5，5×109

0．1

1．O×106

1．O×106〜〜〜

1．9

5．3x104

5．3×104

吻＝一3〃＝一1010R＝10ユo

小＝一3

〃＝一1

R＝1

κ

α（eVen）

cク（odd）

O．1

11

10

0．3

3．4

伽＝一3

〃＝一1RニユO．1o

1．5

3．7
2．2
1．6
1．3
1．2
1．1
1．0

虎α（eVen）

o。（odd）

1．7

0，89

0，680，1

1．1×1011

1．9

0，81

0．71

0．3

3．7×1010

1．1x1011
3．5x1010

0．5

2．2×1010

2．1x1O10

伽＝十3〃＝一1沢＝1015

0．7116x1Oユ0

1．5×1010

κ01（eVen）
1．1×10ユ6

庇c・（e▽en）

0．5

0．1

15．2

0．7

0．3

8，92

0，90，5

7．62

1，1

1．3

0．9

1．2×1010

1，2×1010

O．1

1．1

1．O×1010

9．6x109〜〜

1．3

8．6×1010

8．1x109

1．9

5．9×1014

1．5

7．5×！0g

7．O

2．1

1．5
1．2
1．O
O．86
0，77x1Og

みの場合には，Riv1i阯Ericksenの2次の構成方程式は，偏差応カテソソルσ。1で表わすと，∂σ11一（叶γ研）θ1l（22）となり，微小撹乱の形をe棚のように時間変化をするとしているので，ση＝（η。十γゴω）2むとなる．簡単な考察から
1ω1＜1η。／γ1でなげればならない（Craik，1968）．無次元表示すると，

κlol〃R＜1となる．ところが，数値的に求めた固有値のいずれを使っても，

κlcl〃R≧1となる．すなわち，このような撹乱は現実には存在しないということである．

さてRiv1in−Encksenの構成方程式はいわゆるsimp1ef1uidの内で非線形効果を取りいれたもので，最も簡単なものであり，対称性と平均流によるcheckによって，その有効性が調べられてきた．

一108一

プレート境界付近における運動（1）一藤縄

しかし上に見るように，少なくとも1ψ1＜十3，1〃1＝1〜1010，R＝1〜10−10の範囲では，妥当なものではないということになる．我々はより高次の項を考えに入れるか，あるいは線形の履歴効果を重視した，01droyd，Co1eman

andNo11等の構成方程式を使うべきであろう．

参1）

Craik，A．D．D．（1968）：A！レτθcん．，

2）

33，

Gupta，Al

note

考onthestaticS．（1967）：Stabilityofa

文献stabilityofanelastic−viscousfluid．∫

〃〃〃

33．

visco−e1astic1iquidfilmflowing

down

aninclinedplane．∫．1η〃古♂〃θoん．，28，17，
3）

Rivlin，R．S．and

K．N．Sawyers（1971）：Non1inear

continunm

mechanics

of▽isco−elastic

fluids、λ〃〃〃α11｛θo．F1〃ケ∂〃召o〃．，3，117．
4）

巽友正・後藤金英（1977）：流れの安定性理論，産業図書出版株式会杜．

∠（1980年㌻月27目

一109一

原稿受理）