CALCULS DES Ext i D’UN GROUPE ET LE MODULE DE DIEUDONNÉ
YICHAO TIAN

Tous les résultats de cet exposé sont dans les chapitres 1 et 2 du livre [BBM]. Je suis trèsreconnaissant au Prof. Abbes, mon directeur de thèse, pour de nombreuses discussions qui
ont amené beaucoup d’améliorations à cet exposé.
1. Rappels sur les grands topos cristallins
1.1. Soient (Σ, J , γ) un schéma muni d’un idéal quasi-cohérent à puissances divisées, S unschéma sur Σ tel que p est localement nilpotent sur S, et les puissances divisées γ s’étendentà S.
On note CRIS(S/Σ) la catégorie formée par les triples (U, T, δ) (ou simplement noté (U, T ))vérifiant(1) T est un schéma sur Σ tel que p est localement nilpotent,(2) U est un schéma sur S,(3) il existe une immersion U ,→ T fermée définie par un idéal nilpotent sur lequel il existe
une structure de puissances divisées δ compatible avec les puissances divisées γ.
Un morphisme (U 0 , T 0 , δ 0 ) → (U, T, δ) est un couple de morphismes (u, v), où u est un
S-morphisme U 0 → U et v est un Σ morphisme T 0 → T , tel que (u, v) est compatible avec lastructure de puissances divisées au sens évident.
On peut munir CRIS(S/Σ) de la topologie de Zariski (resp. topologie étale, topologiefppf) en considérant comme familles des couvrants les immersions ouvertes surjectives (resp.
les morphismes étales surjectifs, les morphismes fppf surjectifs). On obtient ainsi le grandtopos cristallin de Zariski (resp. étale, fppf). On les notera respectivement (S/Σ)CRIS,zar ,(S/Σ)CRIS,et et (S/Σ)CRIS,f ppf . Notons qu’il existe des morphismes canoniques de topos(S/Σ)CRIS,f ppf → (S/Σ)CRIS,et → (S/Σ)CRIS,zar
pour lesquels le foncteur image inverse est le foncteur “faisceau associé”.
Remarquons que la donnée d’un faisceau F sur CRIS(S/Σ)τ est équivalente aux donéessuivantes :(1) pour chaque objet (U, T, δ), un faisceau F(U,T,δ) sur le petit site Tτ ;(2) pour tout morphisme (u, v) : (U 0 , T 0 , δ 0 ) → (U, T, δ), on dispose d’un morphisme defaisceauxρ(u,v) : v −1 (F(U,T,δ) ) → F(U 0 ,T 0 ,δ0 ) ,tel que des conditions évidentes de compatibilité aux compositions de morphismes soient vérifiées.
Date: 16 Janvier 2006.
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1.2. Soit (Sch/S) la catégorie des schémas sur S. Considérons la sous-catégorie pleine(Sch/S)γ de (Sch/S) formée des S-schéma X tels que les puissances divisées γ s’étendent à
X. Soient τ = zar, et, f ppf , et Sγ,τ le topos des faisceaux sur (Sch/S)γ pour la topologie τ .
Si Y → X est un morphisme plat et X ∈ (Sch/S)γ , alors Y ∈ (Sch/S)γ . On en déduit queles petits sites induits sur X ∈ (Sch/S)γ par (Sch/S)τ et (Sch/S)γ,τ sont égaux.
Pour chaque τ , on a un morphisme canonique de topos iS/Σ : Sγ,τ → (S/Σ)CRIS,τ définipari∗S/Σ F (U ) = F (U, U ) et iS/Σ∗ G(U, T, δ) = G(U ).
Par ailleurs, il est clair qu’on a un diagramme commutatif de morphismes de topos :/ Sγ,etSγ,f ppf


iS/Σ



(S/Σ)CRIS,f ppf/ Sγ,zariS/Σ

/ (S/Σ)CRIS,et



iS/Σ

/ (S/Σ)CRIS,zar .

Notation : Soit X un S-schéma. On notera encore X le faisceau qu’il représente dans Sγ,τ(τ = zar, et, f ppf ), X son image iS/Σ∗ (X) dans (S/Σ)CRIS,τ .
Sur l’exactitude des foncteurs iS/Σ∗ on a
Proposition 1.3. (1) Si τ = zar, et, alors le foncteur iS/Σ∗ est exact sur la catégorie desfaisceaux abéliens sur Sγ,τ .
(2) Soit
0 → G0 → G → G00 → 0
une suite exacte de faisceaux abéliens dans Sγ,f ppf . On suppose que G0 soit représenté par unschéma en groupes affine plat de présentation finie sur S. Alors la suite exacte de faisceauxabéliens sur CRIS(S/Σ)f ppf
0 → G0 → G → G00 → 0
est exacte, soit encore R1 iS/Σ∗ (G0 ) = 0.
(3) Si τ = f ppf et G est un S-schéma en groupes lisse ou un schéma en groupes commutatiffini, alors pour tout k > 1, on a Rk iS/Σ∗ (G) = 0.
1.4. Maintenant on fixe une topologie τ = zar, et, f ppf . Sur CRIS(S/Σ), on note OS/Σ lefaisceau structural donné par
Γ((U, T, δ), OS/Σ ) = Γ(T, OT ),et JS/Σ le l’idéal à puissances divisées canonique de OS/Σ , défini parΓ((U, T, δ), JS/Σ ) = Ker(Γ(T, OT ) → Γ(U, OU )).
Donc par définitions, on a une suite exacte
0 → JS/Σ → OS/Σ → iS/Σ∗ OS → 0,où OS est le faisceau structurel sur (Sch/S)γ .
1.5. On note respectivement τi (i = 1, 2, 3) la topologie zar, et et f ppf . Pour 1 6 i 6 j 6 3,
on considère le morphisme de changement de topologies : α = (α∗ , α∗ ) : (S/Σ)CRIS,τj →CALCULS DES Ext i D’UN GROUPE ET LE MODULE DE DIEUDONNÉ

3(S/Σ)CRIS,τi . Si E est un faisceau sur CRIS(S/Σ)τi , alors α∗ (E) est par définition le faisceau
associé à E considéré comme préfaisceau.
On dit que un faisceau E est un cristal en OS/Σ -modules quasi-cohérents ou simplement
un cristal quasi-cohérent, s’il satisfait aux conditions suivantes :(i) pour tout (U, T, δ) ∈ CRIS(S/Σ)τi , le faisceau zariskien E(U,T,δ) est un OT -module
quasi-cohérent ;(ii) pour tout morphisme (u, v) : (U 0 , T 0 , δ 0 ) → (U, T, δ), l’homomorphisme de OT 0 -modules(1.5.1)v ∗ (E(U,T,δ) ) = OT 0 ⊗v−1 OT v −1 (E(U,T,δ) ) =→ E(U 0 ,T 0 ,δ0 )est un isomorphisme.
On définit de façons analogue un quasi-cristal en OS/Σ -modules quasi-cohérents comme un
faisceau vérifiant la conditon (i) ci-dessus et(ii’) pour tout morphisme (u, v) : (U 0 , T 0 , δ 0 ) → (U, T, δ) avec le diagramme
U0
u



U

i0

i

/ T0


v

/T

cartésien et v fppf, le morphisme (1.5.1) est un isomorphisme.
Remarquons que par définition un cristal en OS/Σ est trivialement un quasi-cristal. Utilisantla théorie de la fpqc descente, on a
Proposition 1.6. Soit E un faisceau pour la topologie τi . Supposons que E soit un quasicristal. Alors E est un faisceau pour la topologie τj (j > i), et pour tout i > 0 on aRi α∗ (E) = 0
Grâce à cette proposition, on peut parler d’un quasi-cristal sans préciser la topologie τ .
1.7. Soit f : X → S un objet dans (Sch/S)γ . Alors f induit un morphisme canonique detopos cristallins
fCRIS : (X/Σ)CRIS,τ −→ (S/Σ)CRIS,τ ,∗admet la descripiton simple suivante. Soient E un
tel que le foncteur image inverse fCRIS
0
00
faisceau sur CRIS(S/Σ), (U , T , δ ) un objet de CRIS(X/Σ). Par composition, on peut consi∗
dérer (U 0 , T 0 , δ 0 ) comme un objet dans CRIS(S/Σ), noté, f! (U 0 , T 0 , δ 0 ). Le faisceau fCRIS(E)
est défini par∗Γ((U 0 , T 0 , δ 0 ), fCRIS
E) = Γ(f! (U 0 , T 0 , δ 0 ), E).
∗∗
Grosso modo, fCRIS
est un foncteur de“réstriction”, et on notera souvent fCRIS
E = E|(X/Σ)CRIS .

1.8. Soit π : S → Σ le morphisme structural. On définit pour chaque τ considérée, unmorphisme de topos, appelé le morphisme de projection,
πS/Σ : (S/Σ)CRIS,τ → (Sch/Σ)τ ,de la manière suivante.
∗ (E) est défini par(1) Si E est un faisceau de Στ , πS/Σ∗Γ((U, T, δ), πS/Σ(E)) = Γ(T, E).

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(2) Si F est un faisceau sur CRIS(S/Σ)τ , πS/Σ∗ (F ) est défini en posant, pour tout Σ-schémaV,∗
Γ(V, πS/Σ∗ (F )) = Hom(S/Σ)CRIS,τ (πS/ΣV, F ),où on a identifié V au faisceau qu’il représente sur (Sch/Σ)τ .
Lorsque V est plat sur Σ, les puissances divisées γ s’étendent à V . Posant SV = S ×Σ V ,alors on peut montrer que
Γ(V, π∗ (F )) = Γ(SV /V, F |(SV /V )CRIS ).
où on a noté F |(SV /V )CRIS l’image inverse de F pour le morphisme naturel (SV /V )CRIS →(S/Σ)CRIS .
1.9. Supposons à nouveau que f : X → S soit un objet dans (Sch/S)S . On va décrire lefoncteur image directe fCRIS∗ : (X/Σ)CRIS,τ → (S/Σ)CRIS,τ .
Soient E un faisceau sur CRIS(X/Σ)τ , (U, T, δ) un objet de CRIS(S/Σ), I d’idéal de U dans
T . Posons I 0 = I + J OT , δ 0 les puissances divisées sur I 0 prolongeant γ et δ, XU = X ×S U ,fXU /T : (XU /T )CRIS,τ → (Sch/T )τ le foncteur de projection défini plus haut. Alors on peutvérifier qu’il existe un isomorphisme de faisceaux sur le petit site Tτ :(1.9.1)

fCRIS∗ (E)(U,T,δ) →f
˜ XU /T ∗ (E|(XU /T )CRIS ),où le terme de droite désigne encore, par abus de notation, la restriction au petit site Tτ de
fXU /T ∗ (E|(XU /T )CRIS ).
La proposition suivante est bien connue :[k]Proposition 1.10 (Lemme de Poincaré crisallin). Supposons τ = zar, E = JS/Σ F , avec
k > 0 et F un crisal quasi-cohérent, et qu’il existe un diagramme commutatif
XU B

i

BB
BB
BB
B

T,

/Y



 g



où g est lisse et i est une immersion fermée. Notons DY (XU ) l’enveloppe à puissances diviséesde XU dans Y , J l’idéal à puissances divisées canoniques de DY (XU ), et F = F(XU ,DY (XU ))sur (XU )zar . Alors on a, pour tout q > 0, un isomorphisme canonique sur le petit site Tzar :Rq fCRIS∗ (E)(U,T,δ) ' Rq fXU /T ∗ (E|(XU /T )CRIS )→R˜ q g∗ (J [k−·] (F ⊗OY Ω·Y /T )).
2. Calculs des extensions
On fixe une topologie τ = zar, et, f ppf . Soit AbS/Σ la catégorie des faisceaux abéliens
sur CRIS(S/Σ). Si E, E 0 sont des objets de AbS/Σ , on notera HomS/Σ (E 0 , E) le groupe deshomomorphismes de E 0 dans E dans AbS/Σ , et Hom S/Σ (E 0 , E) le faisceau des homomorphismes, qui est donc un objet de AbS/Σ . Par passage à la catégorie dérivée, on obtient les
foncteurs dérivés R HomS/Σ ( , ) et R Hom S/Σ ( , ). Leurs objets de cohomologie seront notés
respectivement ExtiS/Σ et Ext iS/Σ .

CALCULS DES Ext i D’UN GROUPE ET LE MODULE DE DIEUDONNÉ

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Proposition 2.1. Soient f : X → S un objet dans (Sch/S)γ , et E un faisceau abélien sur
CRIS(S/Σ). Alors il existe des isomorphismes canoniques∗∗
R HomS/Σ (Z[X], E) ' RΓ(X/Σ, fCRISE); ExtiS/Σ (Z[X], E) ' H i (X/Σ, fCRIS
E);∗∗
R Hom S/Σ (Z[X], E) ' RfCRIS∗ fCRIS
E, Ext iS/Σ (Z[X], E) ' fCRIS∗ fCRIS
E.

En effet, pour tout faisceau abélien E, on a
HomS/Σ (Z[X], E) ' Hom(S/Σ)CRIS,τ (X, E) = Γ(X/Σ, E).
Au niveau de faisceau, on obtient∗
Hom S/Σ (Z[X], E) ' fCRIS∗ (fCRIS
E).

La propositon en résulte donc aussitôt.
2.2. L’objectif de cette section est de donner des moyens pour calculer les
Ext iS/Σ (G, E)(i = 0, 1, 2) lorque G est un schéma en groupes sur S. On va d’abord donner desformules valables lorsque τ = zar, et puis on constate que pour certains E, les Ext iS/Σ (G, E)
ne dépendent pas de τ choisie.
Le principe des calculs est d’utliser une résolution C (G)→G,˜
telle que chaque composanteCp (G) est un produit fini de groupes abéliens libres de la forme Z[Gn ]. On remarque que pourcalculer Ext i (i < 3) il suffit de considérer une résolution partielle de longueur 3, grâce à lapropositon suivante
Proposition 2.3. Soit C (3) (G) → G une réslution partielle de longueur 3. Alors la flècheτ62 R Hom S/Σ (G, E) → τ62 R Hom S/Σ (C (3) (G), E) induite par la résolution  : C (3) (G) → G
est un isomorphisme dans la catégorie dérivée.
Explicitons une telle résolution C (3) (G) → G : c’est le complexe concentré en degrés [−3, 0]
∂

∂

∂

2
1
3
Z[G4 ] × Z[G3 ] × Z[G3 ] × Z[G2 ] × Z[G] −→Z[G2 ] −→Z[G]Z[G3 ] × Z[G2 ] −→augmenté vers G (concentré en degré 0) par l’homorphisme canonique  : Z[G] → G. Les
différentielles sont définies par les formules suivantes :∂1 [x, y] = −[y] + [x + y] − [x];∂2 [x, y, z] = −[y, z] + [x + y, z] − [x, y + z] + [x, y];∂2 [x, y] = [x, y] − [y, x];∂3 [x, y, z, w] = −[y, z, w] + [x + y, z, w] − [x, y + z, w] + [x, y, z + w] − [x, y, z];∂3 [x, y, z] = −[y, z] + [x + y, z] − [x, z] − [x, y, z] + [x, z, y] − [z, x, y]pour le premier facteur Z[G3 ] ;∂3 [x, y, z] = −[x, z] + [x, y + z] − [x, y] + [x, y, z] − [y, x, z] + [y, z, x]
pour le second facteur Z[G3 ] ;∂3 [x, y] = [x, y] + [y, x];∂3 [x] = [x, x].

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(3)

2.4. Nous fixons τ = zar. Soit Cp (G) la composante en degré −p du complexe C (3) (G).
Alors on dispose d’une suite spectrale(3)
E1p,q = Ext qS/Σ (Cp(3) (G), E) =⇒ Ext p+q(G), E).
S/Σ (C(3)

Observons que Cp (G) est une somme de facteurs Z[Gnα ], et d’après la proposition 2.1, on a
Ext qS/Σ (Z[Gnα ], E) ' Rq fnα CRIS∗ (fn∗α CRIS E),
où fnα : Gnα → S est le morphisme structural. Donc cette suite spectrale se réécrit commeM(3)(2.4.1)E1p,q =
Rq fnα CRIS∗ (fn∗α CRIS E) =⇒ Ext p+q(G), E).
S/Σ (Cα[k]

Supposons que E = JS/Σ F , F étant un cristal en OS/Σ -modules, et que pour un objet fixe
(U, T, δ) de CRIS(S/Σ), il existe un T -schéma en groupes commutatif lisse H, de réduction
HU sur U , et un prolongement i : GU ,→ HU , de sorte que GnU s’identifie à un sous-groupe
fermé de HUn . Notons DH n (Gn ) l’enveloppe à puissances divisées (compatible avec γ et δ) de
l’idéal de GnU dans H n , et F le faisceau de Zariski sur T défini par F . Alors en utilisant lelemme de Poincaré cristallin, on obtient(2.4.2)

Rq fnα CRIS∗ (fn∗α CRIS E)(U,T,δ) ' Rq gnα ∗ (J [k−·] (F ⊗ DH nα (Gnα ) ⊗ Ω·H nα /T )),où gnα : H nα → T est le morphisme structural, et Ω·H nα /T est le complexe des différentielles.
Ces considérations nous permettent de ramener les calculs de cohomologies cristallines à ceuxde cohomologies de Zariski.
[k]

2.5. Supposons que G soit un schéma en groupes lisse sur S. On va calculer Ext nS/Σ (G, JS/Σ )(U,U )pour k > 1 et n 6 1. En compte tenu de (2.4.1) et (2.4.2), ces faisceaux coı̈ncident avec les
aboutissements d’une suite spectrale dont les termes initiaux sont de la forme
M
E1p,q =
Rq fnα ∗ (σ>k Ω·Gnα /U ),Uαoù σ>k est la troncation bête. Puisque σ>k Ω·Gnα /U est concentré en degrés > k, on a E1p,q = 0
Upour tout p > 0 et tout q < k. Donc lorque k > 1, les termes initiaux de degré total 6 1 sonttous nuls, et on obtient
[k]

[k]

Hom S/Σ (G, JS/Σ )(U,U ) = Ext 1S/Σ (G, JS/Σ )(U,U ) = 0
Lorsque k = 1, les arguments précédents montrent que E10,0 = E11,0 = 0. Par ailleurs, il
est facile de voir que E10,1 = R1 f∗ (σ>1 Ω·Gnα /U ) (resp. E11,1 = R1 f2∗ (σ>1 Ω·Gnα /U )) s’identifie àUUl’image directe du faisceau Ω1GU /U,d=0 des formes différentielles fermées sur GU (resp. l’image
0,1
1,1
directe du faisceau Ω1G2 /U,d=0 ). La différentielle d0,1
1 : E1 → E1 est donnée parUω 7→ ω(x + y) − ω(x) − ω(y).
Ainsi, Ext 1S/Σ (G, JS/Σ )(U,U ) s’identifie au faisceau des formes différentielles invariantes partranslation de GU . Donc on a prouvé

CALCULS DES Ext i D’UN GROUPE ET LE MODULE DE DIEUDONNÉ

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Proposition 2.6. Soit G est un S-groupe lisse. Alors pour tout S-schéma U ,[k](1) Hom S/Σ (G, JS/Σ )(U,U ) = 0 pour k > 1.
(2) Il existe un isomorphisme canonique ωGU ' Ext 1S/Σ (G, JS/Σ )(U,U ) , où ωGU est le faisceau des formes différentielles invariantes par translation de GU .
[k](3) Ext 1S/Σ (G, JS/Σ )(U,U ) = 0 pour k > 1.
2.7. Les calculs précédents ont été effectués lorsque τ = zar, car le lemme de Poincaré
cristallin a été employé. On va montrer que les Ext i obtenus sont des quasi-cristaux en OS/Σ modules quasi-cohérents, ont donc un sens indépendamment de la topologie τ .
Remarquons qu’on a le théorème de changement de base suivant, qui joue un rôle essentiel
dans la preuve de l’indépendence de la topologie.
Théorème 2.8. Soit
X0
f0



U0


g

u

/X
f



/U


/T
T0
un diagramme commutatif de schémas, où f est quasi-compact et quasi-séparé, et X 0 =X ×U U 0 . On suppose T et T 0 munis de PD-idéaux quasi-cohérents (J , δ) et (J 0 , δ 0 ), telsque v soit un PD-morphisme, et U , U 0 définis par des sous-PD-idéaux de J , J 0 . Soient E∗
un cristal de OX/T -modules quasi-cohérents, E 0 = gCRIS(E). Pour la topologie cristalline deZariski, il existe un morphisme de changement de base
v

[k]

[k]

Lv ∗ (RfX/T ∗ (JX/T E)) → RfX 0 /T 0 ∗ (JX 0 /T 0 E 0 ),et c’est un isomorphisme dans chacun des cas suivants :(1) le morphisme f est plat d’intersection complète relative, E est plat sur OX/T , et k = 0 ;(2) le morphisme f est plat d’intersection complète relative, v est plat et U 0 ' U ×T T 0 ;(3) v est plat, J 0 = J OT 0 , et U 0 ' U ×T T 0 .
Pour la preuve du théorème, on utilise le lemme de Poincaré cristallin, et se ramène à
prouver le fait que la formation de l’enveloppe à puissances divisées commute au changement
de base dans chacun des cas précédents, et dans les cas (2) et (3), la filtration de Hodgecristalline commute aussi au changement de base.
On a aussi le théorème de changement de base pour les Ext i d’un groupe :Proposition 2.9. Soit G un S-groupe quasi-compact et quasi-séparé. Alors pour tout diagramme catésien dans CRIS(S/Σ)
/ T0
U0
u



U



/T

v

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avec v plat, et tout cristal E quasi-cohérent, on a un isomorphisme canonique
[k]

[k]

v ∗ (τ62 R Hom S/Σ,zar (G, JS/Σ E)(U,T,δ) ) = τ62 R Hom S/Σ,zar (G, JS/Σ E)(U 0 ,T 0 ,δ0 ) .
[k]

En particulier les faisceaux Ext iS/Σ,zar (G, JS/Σ E) (i 6 2) sont des quasi-crsitaux au sens de
1.5.
Pour la preuve, on remplace G par C (3) (G) et utilse la suite spectrale (2.4.1), et se ramènedonc à prouver que les flèches de changement de base
[k]

[k]

v ∗ (RfGnU /T ∗ (JGn /T E)) → RfGn 0 /T 0 ∗ (JGn /T 0 E|Gn 0 /T 0 )
U

U0

U

U

sont des isomorphismes. Ceci résulte immédiatement du théorème 2.8.
2.10. Soient τ = et, f ppf et α : CRISS/Σ,τ → CRISS/Σ,zar le morphisme canonique de topos
cristallins. Soient G un S-groupe et F un quasi-cristal sur CRIS(S/Σ) au language de 1.5.
Alors on a un isomorphisme dans la catégorie dérivée de groupes abéliens
˜ HomS/Σ,zar (G, Rα∗ F ) = R HomS/Σ,zar (G, F ),R HomS/Σ,τ (G, F )→Roù on a utilsé la propostion 1.6 pour voir que Rα∗ F ' F .
[k]Soit E un cristal quasi-cohérent. Alors JS/Σ E est un quasi-cristal pour k > 0. Les argu[k][k]ments précédents montrent que les groupes ExtiS/Σ,τ (G, JS/Σ E) coı̈ncident avec ExtiS/Σ,zar (G, JS/Σ E)
pour tout i > 0. Pour un i fixe, les Ext iS/Σ,τ et Ext iS/Σ,zar sont les faisceaux associés, pour les
topologies correspondantes, au même préfaisceau[k](U, T, δ) 7→ ExtiU/T (GU , JU/T E|(U/T )CRIS ).
Lorsque G est quasi-compact quasi-séparé, en vue de la proposition 2.9, on voit que les[k]
Ext iS/Σ,zar (G, JS/Σ E) (i 6 2) sont égaux aux Ext iS/Σ calculés pour la topologie τ . En résumé,on a prouvéProposition 2.11. Soient τ = zar, et, f ppf , E un cristal quasi-cohérent sur CRIS(S/Σ), et
G un schéma en groupes sur S quasi-compact et quasi-séparé. Alors[k](1) pour tout i, les groupes ExtiS/Σ,τ (G, JS/Σ E) sont indépendents de la topologie τ ;[k](2) pour i 6 2, les préfaisceaux sous-jacents aux Ext iS/Σ,τ (G, JS/Σ E) coı̈ncident pour toutes
les topologies différentes.
Les discussions précédentes s’appliquent, de façon analogue et plus élémentaire, aux Ext iSzar,γ (G, M ),où M est un module quasi-cohérent de Szar et commute au changement de base plat. Alorson obtient que pour tout S-schéma U , les Ext iSzar,γ (G, M )U commutent au changement debase plat, et sont donc égaux Ext i calculés pour les topologies et et f ppf .
Proposition 2.12. Soient τ = zar, et, f ppf , G un S-groupe quasi-compact quasi-séparé.
Alors(1) les préfaisceaux sous-jacents aux Ext iSγ,τ (G, Ga ) coı̈ncidnet pour les topologies différentes ;(2) il existe un isomorphisme canonique
Ext iS/Σ,τ (G, Ga )→i
˜ S/Σ∗ (Ext iSγ,τ (G, Ga )).

CALCULS DES Ext i D’UN GROUPE ET LE MODULE DE DIEUDONNÉ

9Pour la preuve de (2), on peut supposer τ = zar, de sorte que RiS/Σ∗ = iS/Σ∗ . Comme∗iS/Σ G = G, l’isomorphisme dans (2) s’identifie à l’isomorphisme d’adjonction entre i∗S/Σ etiS/Σ∗ .
3. Cas des groupes p-divisibles
Les S et Σ sont comme plus haut. Rappelons d’abord le lemme suivant pour passage à lalimite projective de faisceaux.
Lemme 3.1. Soient τ = zar, et, f ppf , et F• un système projectif, indexé par N, de quasicristaux en OS/Σ -modules quasi-cohérents (ref. 1.5). Alors(1) Ri lim F• = 0 pour i > 2, où Ri lim sont les foncteurs dérivés de lim dans la catégorie←−←−←−dérivée de faisceaux abéliens sur (CRIS)S/Σ,τ
(2) si F• satisfait localement à la condition de Mittag-Leffler, alors F• est lim-acyclique.
←−
Considérons maintenant un groupe p-divisible G sur S et notons G(n) le groupe fini localement libre, noyau de pnG .
Lemme 3.2. Fixons τ = f ppf et des entiers k > 1, q > 0. Pour tout faisceau abélien E de(S/Σ)CRIS,τ annulé par pk , le système projectif Ext qS/Σ,τ (G(n), E) indexé par n ∈ N, vérifie
la condition de Mittag-Leffler.
Démonstration. Compte tenu de la proposition 1.3, on a une suite exacte
pn

0 → G(n) → G −→ G → 0.
qui définit une suite exacte longuepnpn→ Ext qS/Σ,τ (G, E) −→ Ext qS/Σ,τ (G, E) → Ext qS/Σ,τ (G(n), E) → Ext q+1
S/Σ,τ (G, E) −→ .
Le faisceau E étant annulé par pk , la flèche pn : Ext qS/Σ,τ (G, E) → Ext qS/Σ,τ (G, E) est nulle
pour tout n > k. On obtient donc pour m, n > k un diagramme de suites exactes(3.2.1)00/ Ext qS/Σ,τ (G, E)/ Ext qS/Σ,τ (G, E)/ Ext qS/Σ,τ (G(n + m), E)/ Ext q/ Ext q+1 (G, E)
S/Σ,τ




pm =0

/ Ext q+1 (G, E)
S/Σ,τ

S/Σ,τ (G(n), E)/0/0induit par le diagramme(3.2.2)00/ G(n)
/ G(n + m)

/G

pn

/G

/0

pm

/G p

n+m


/G

/ 0.

On voit immédiatement que l’image de Ext qS/Σ,τ (G(n + m), E) dans Ext qS/Σ,τ (G(n), E) est
constante pour m, n > k de valeur Ext qS/Σ,τ (G, E).
10

YICHAO TIAN

Proposition 3.3. Soient τ = zar, et, f ppf , E un cristal quasi-cohérent et G un groupe pdivisible sur S. Alors pour tout q 6 2[k](1)les préfaisceaux sous-jacents aux faisceaux Ext qS/Σ,τ (G, JS/Σ E) sont indépendants de la
topologie τ ;[k][k](2) Ext qS/Σ (G, JS/Σ E) = lim Ext qS/Σ (G(n), JS/Σ E) ;←−[k](3) pour un objet (U, T, δ) ∈ CRIS(S/Σ) tel que p` = 0 sur T , les OT -modules Ext qS/Σ (G, JS/Σ E)(U,T,δ)[k]sont quasi-cohérents, et s’envoient injectivement dans les Ext qS/Σ (G(n), JS/Σ E)(U,T,δ) pourn > `.
[k]

Supposons d’abord τ = f ppf . Alors, pour k > 0 et q 6 2, le système projectif Ext qS/Σ,τ (G(n), JS/Σ E)n∈Nvérifie localement la condition de Mittag-Leffler d’après le lemme 3.2, et donc est lim-acyclique←−
en vertu des propositions 2.9, 2.11 et du lemme 3.1. D’autre part, on dispose d’une suite spectrale[k][k]
E2p,q = Rp lim Ext qS/Σ,τ (G(n), JS/Σ E) =⇒ Ext p+q
S/Σ,τ (G, JS/Σ E).
←−
Les nullités des E2p,q pour q 6 2 et p > 1 entrainent
[k]

[k]

Ext qS/Σ,τ (G, JS/Σ E) ' lim Ext qS/Σ,τ (G(n), JS/Σ E),←−
pour q 6 2. Ceci prouve (2) lorsque τ = f ppf .
Soit (U, T, δ) un objet dans CRIS(S/Σ), tel que p` = 0 sur T . D’après la preuve du lemme[k]3.2, on voit que pour tout n, m > ` l’image de Ext qS/Σ,τ (G(n + m), JS/Σ E)(U,T,δ) par le mor[k][k]phisme canonique dans Ext qS/Σ,τ (G(n), JS/Σ E)(U,T,δ) s’identifie à Ext qS/Σ,τ (G, JS/Σ E)(U,T,δ) . Il[k]en résulte rapidement que les Ext qS/Σ,τ (G, JS/Σ E) pour q 6 2 sont des quasi-cristaux au sens[k]de 1.5, comme les Ext qS/Σ,τ (G(n), JS/Σ E)(q 6 2) les sont (ref. 2.9). Appliquant les arguments[k]de 2.9, on voit que les Ext qS/Σ,τ (G, JS/Σ E) sont indépendants de la topologie τ . Ceci prouve(1) de la proposition, et d’où les assertions (2) et (3) suivent d’après ce qui précède.
4. Cristal de Dieudonné d’un schéma abélien
Les S et Σ sont comme plus avant, soit f : A → S un schéma abélien de dimension relativei (A/S) le i-ème faisceau de cohomologie de de Rham Ri f (Ω·n. On notera HdR). La struc∗
LA/S i∗ture de groupe sur A induit des structures d’algères de Hopf sur HdR (A/S) = i>0 HdR (A/S)
L
et R∗ f∗ (OA ) = i>0 Ri f∗ (OA ). On utilisera la notation H∗ (A/S) pour désigner l’une de ces
deux algèbres de Hopf. Par ailleurs on notera ∧(M ), pour tout module M sur un anneau
R, l’algèbre extérieure de M . On remarque qu’il existe une structure canonique d’algèbre deHopf sur ∧(M ), pour laquelle la comultiplication sur M est l’application diagonale.
Rappelons les résultats suivants classiques sur les schémas abéliens :i (A/S) ( resp.
Proposition 4.1. (1) Pour tout i > 0 ( resp. p, q > 0), les faisceaux HdRpq
R f∗ (ΩA/S )) sont localement libres sur S et leur formation commute à tout changement debase sur S.

CALCULS DES Ext i D’UN GROUPE ET LE MODULE DE DIEUDONNÉ

11(2) L’algèbre H∗ (A/S) est alternée, et le morphisme canonique d’algèbres∧H1 (A/S) → H∗ (A/S),défini par la structure multiplicative de H∗ (A/S), est un isomorphisme, et compatible aux
structures d’algèbre de Hopf.
(3) La suite spectrale de Hodge-de Rhamp+q
E1p,q = Rq f∗ (ΩpA/S ) =⇒ HdR(A/S)

dégénère en E1 .
Remarque 4.1.1. Notons ωA = e∗ (Ω1A/S ) = f∗ (Ω1A/S ), où e est la section unité de A. Alorsd’après (3), la filtration de Hodge en degré 1 s’écrit comme(4.1.1)0 → ωA → HdR (A/S) → R1 f∗ OA → 0,

la formation de cette suite exacte commute a tout changement de base.
Au niveau de cohomologie cristalline, le module gradué R∗ fCRIS∗ (OA/Σ ) =est muni d’une structure d’algèbre de Hopf. Plus précisément, on aii>0 R fCRIS∗ (OA/Σ )L

Corollaire 4.2. Soit f : A → S un schéma abélien de dimension relative n. Alors R1 fCRIS∗ (OA/Σ )est un cristal en OS/Σ -modules quasi-cohérents, localement libre de rang 2n. De plus l’algèbre
R∗ fCRIS∗ (OA/Σ ) est alternée, et le morphisme canonique∧R1 fCRIS∗ (OA/Σ ) → R∗ fCRIS∗ (OA/Σ ),est un isomorphisme d’algèbre de Hopf.
Pour la preuve du corollaire, remarquons que pour tout objet (U, T, δ) de CRIS(S/Σ), leschéma abélien AU = A ×S U sur U se relève en un schéma abélien f 0 : A0 → T . Par lelemme cristallin de Poincaré, on a donc∗
(A0 /T ).
R∗ fCRIS∗ (OA/Σ )(U,T,δ) →R
˜ ∗ f∗0 (Ω·A0 /T ) = HdR

Le corollaire se déroule immédiatement de la proposition 4.1.
Le corollaire 4.2 nous permet de calculer les faisceaux Ext q (A, OS/Σ ).
Théorème 4.3. Soit f : A → S un schéma abélien de dimension relative n. Alors(1) Hom S/Σ (A, OS/Σ ) = Ext 2S/Σ (A, OS/Σ ) = 0 ;(2) Ext 1S/Σ (A, OS/Σ ) ' R1 fCRIS∗ (OA/Σ ), et est donc un cristal en OS/Σ -modules localement
libre de rang 2n.
On remplace A par C (3) (A), et utilise la suite spectrale (2.4.1) pour calculer les Ext iS/Σ .
Puisque R0 fCRIS∗ (OA/Σ ) = OS/Σ , il est facile de vérifier que le complexe (E1·,0 , d·,01 ) s’écritcomme suit
Id
dOS/Σ −→ OS/Σ → (OS/Σ )2 −→ (OS/Σ )5 ,où d est défini par d(f, g) = (f, f +g, −f +g, −2g, −g). On en déduit immédiatement E2p,0 = 0
pour p 6 2.
La formule de Künneth entraı̂ne queM
R1 fnα CRIS∗ (OAnα /Σ ) =R1 fCRIS∗ (OA/Σ )nα

12

YICHAO TIAN

et la loi de groupe induit la comultiplication sur l’algèbre de Hopf R∗ fCRIS∗ (OA/Σ ), qui est
l’application diagonale sur M := R1 fCRIS∗ (OA/Σ ) par le corollaire 4.2. Donc le complexe(E1·,1 , d·,11 ) s’écrit(∂ 1 ,∂ 2 )0M→− M 2 −−−−→ M 3 ⊕ M 2 −→ · · · ,où ∂ 1 : M 2 → M 3 est défini par ∂ 1 (m1 , m2 ) = (−m1 , 0, m2 ). Donc on en déduit E20,1 =R1 fCRIS∗ (OA/Σ ) et E21,1 = 0.
Enfin, désignons par pi (resp. µ) la ième projection (resp. la loi de groupe). On vérifie quele morphismep∗ +p∗ −µ∗

1
2
2
1
d0,2
1 : R fCRIS∗ (OA/Σ ) −−−−−−→ R f2CRIS∗ (OA2 /Σ )est injectif, de sorte que E20,2 = 0. Le théorème en résulte tout de suite.
Définition 4.4. Supposons Σ = Spec Zp , J = p · OΣ , muni de la structure canonique àpuissances divisées , et que S soit un schéma de caractéristique p. Soit A un schéma abélien
sur S, le cristal Ext 1S/Σ (A, OS/Σ ) sera noté D(A), et appelé le cristal de Dieudonné de A.
Proposition 4.5. Soit f : A → S un schéma abélien. Alors(1) Ext iS/Σ (A, JS/Σ ) = Ext iS/Σ (A, Ga ) = 0 pour i = 0, 2 ;(2) la suite exacte
0 → JS/Σ → OS/Σ → Ga → 0
induit un diagramme commutatif à lignes exactes0/ Ext 10
/ R1 fCRIS∗ (JA/S )S
O

0

/ ωA

S/Σ (A, JS/Σ )Sφθ/ Ext 1ϕ

/ Ext 1

S/Σ (A, Ga )S/0

/ R1 fCRIS∗ (OA/S )SO/ R1 fCRIS∗ (G )S
aA
O

/0

/ H1 (A/S)/ R1 f∗ (OA )/ 0,

S/Σ (A, OS/Σ )SdRoù les flèches verticales sont des isomorphismes et la ligne en bas est la suite exacte (4.1.1).
Remarquons d’abord que R1 f∗ (OA ) s’identifie au faisceau tangent à Â, le schéma abélien
dual de A, le long de la section unité. Donc la suite exacte (4.1.1) s’écrit encore
0 → ωA → D(A)S → Lie(Â) → 0,où Lie(Â) désigne l’algèbre de Lie de Â.
Prouvons maintenant la propositon 4.5. D’après la propositon 4.1 (2), l’algèbre R∗ f∗ (OA )s’identifie à ∧R1 f∗ (OA ). Par les raisonnements analogues que ceux du théorème 4.3 , onobtient(i) Ext iSγ (A, Ga ) = 0 pour i = 0, 2 ;(ii) Ext 1Sγ (A, Ga ) ' R1 f∗ (OA ).
D’après 2.12, il en résulte donc la nullité des Ext iS/Σ (A, Ga ) pour i = 0, 2, et les isomorphismes
Ext 1S/Σ (A, Ga )S →R
˜ 1 fCRIS∗ (GaA )S ←R
˜ 1 f∗ (OA ).

CALCULS DES Ext i D’UN GROUPE ET LE MODULE DE DIEUDONNÉ

13

Maintenant l’injectivité de φ et la surjectivité de ϕ dans le diagramme de (2) deviennent évidentes d’après ce qui précède et la suite exacte 4.1.1. Par ailleurs, comme R0 fCRIS∗ (OA/S )S →R
˜ 0 fCRIS∗ (GaA )S
OS , il en résulte l’injectivité du morphisme θ. La commutivité du diagramme entraı̂ne alorsque
˜ 1 fCRIS∗ (JA/S )S ←ω˜ A.
Ext 1S/Σ (A, JS/Σ )S →R
Ceci prouve la partie (2) de la propositon 4.5.
La nullité de Hom S/Σ (A, JS/Σ ) étant claire, il reste à prouver Ext 2S/Σ (A, JS/Σ ) = 0. Pour
tout objet (U, T, δ) de CRIS(S/Σ), on a un diagramme commutatif
Ext 1S/Σ (A, OS/Σ )(U,T,δ)α/ Ext 1

S/Σ (A, Ga )(U,T,δ)β1

Ext 1S/Σ (A, OS/Σ )(U,U )β3/ Ext 1β2S/Σ (A, Ga )(U,U ) .

Puisque Ext 1S/Σ (A, OS/Σ ) est un cristal, β1 est surjectif, et la partie (2) de la propositon
entraı̂ne la suijectivité de β3 . Enfin d’après la proposition 2.12, on sait que β2 est un isomorphisme, et il en résulte donc que α est surjectif. Ceci entraı̂ne immédiatement la nullité de
Ext 2S/Σ (A, JS/Σ ).
Références[BBM] , F. Berthelot, L. Breen and W. Messing ; Théorie de Dieudonné Cristalline II, Lecture notes in
Math. 930, Springer-Verlag, 1982.