Non-Abelian T-/U-duality
京都府⽴医科⼤学

酒⾕ 雄峰
Based onYS, 1903.12175
YS, 1911.06320
Malek, YS, Thompson, 2007.08510
YS, 2009.04454
Musaev, YS, 2012.13263
Fernandez-Melgarejo, YS, 2104.00007

京⼤素粒⼦論研究室セミナー

話の流れ
通常の T-duality
Double Field Theory

研究の背景
詳細

DFT概要

NATD
PLTD

Poisson-Lie T-duality(Drinfel’d double)

通常の U-duality
Exceptional Field Theory
Nambu-Lie U-duality(Exceptional Drinfel’d Algebra)

50ページ程50ページ程EFTご希望があれば40ページ程メイン⼀周⽬研究の背景

よく知られた T-duality[Kikkawa,Yamasaki ‘84; …]

巻き付き数

S コンパクト化された時空上のclosed string 理論

運動量

2乗質量

対称性
運動量

巻き付き数

Left/rightの数演算⼦

よく知られた T-duality[Kikkawa,Yamasaki ‘84; …]

D 次元トーラス

TD コンパクト化された時空上のclosed string 理論と書く

定数

⼀般化運動量

⼀般化計量 (の逆⾏列)よく知られた T-duality条件

Level-matching 条件

⼀般化運動量逆⾏列
D個
O(D,D) metric
以下, この計量で添え字の上げ下げをします.

D個

O(D,D)変換
⼀般化運動量

混ぜ合わせるのが T-duality

Level-matching 条件は保たれる:

2乗質量
同時に, ⼀般化計量も O(D,D) 変換すれば mass が不変.の⼀般化.

O(D,D)変換

O(D,D)

1. GL(D)変換

2. B-shift(factorized)

3. T-duality

i-i 成分のみ 1

Buscher 則O(D,D)変換
β変換(TsT変換)GL(D)B-shiftβ変換

O(D,D)代数

O(D,D) T-duality
質量スペクトルの不変性だけではない.
O(D,D)

これらのトーラス上で定義された string 理論が互いに等価であることが知られている (e.g. 分配関数)

O(D,D) T-duality
さらに, O(D,D)は SUGRA の運動⽅程式の対称性にもなっている.
O(D,D)SUGRA の解SUGRA の解

少なくとも, SUGRAのレベルではトーラスでコンパクト化しなくても時空に並進対称性さえあれば O(D,D) 対称性はある.
T-duality で重要なのは並進対称性の存在.

D 個の互いに交換するKillingベクトル場.

Abelian T-duality と呼ばれる.

並進対称性を持つ時空の例:(勝⼿に作った Ricci flat 時空)

z⽅向にT-dual

x, y, z ⽅向に並進対称性

Ricci曲率がゼロでない新たな SUGRA 解
T-duality はSUGRA解の⽣成⼿法として使える.

並進対称性を持つ時空の例:(勝⼿に作った Ricci flat 時空)

z⽅向にT-dual

x, y, z ⽅向に並進対称性

x,y⽅向にもT-dualをとればまた新たなSUGRA解が得られる.
[ O(3,3) T-duality ]GL(D) B-shift β変換

ここまで

Abelian O(D,D) T-duality の復習O(D,D)対称性を明⽩にするSUGRAの定式化

Double Field Theory のレビュー(DFT) [Siegel ’93;

Hull, Zwiebach ‘09]

通常のSUGRA: O(D,D)対称性は⾒えない

特別なO(D,D)

D次元の並進対称性を仮定しない限り,SUGRA action は O(D,D)不変でない.
⼀⽅, DFT ではO(D,D)不変なactionを作る.

Double Field Theory
通常, D次元のSUGRA[Siegel ’93;
Hull, Zwiebach ‘09]を記述するためD次元時空の座標
T-dualString理論
共役

共役
T-dualT-dual不変ではないを導⼊.

dual座標Double Field Theory
通常, D次元のSUGRA[Siegel ’93;
Hull, Zwiebach ‘09]を記述するためD次元時空の座標を導⼊.

2D次元
⼀般化座標
(ダブル座標)2D次元のダブル空間上の重⼒理論 = DFTDouble Field Theory[Siegel ’93; Hull, Zwiebach ‘09]
⼀般化計量 = ダブル空間上の計量

T-duality 不変
R-R場O(D,D) spinor[Fukuma, Oota, Tanaka, ‘00]

ダブル空間上の”⼀般座標変換不変”な action
⼀般化Ricci scalarDouble Field Theory[Hull, Hohm, Zwiebach ‘10]
(トーラスコンパクト化する前から)O(D,D) 変換の下で不変

ただし section condition を課す必要がある.
座標依存性の半分を消す!

(理論の整合性より)

Double Field Theory

通常のSUGRA = DFT でとしたもの.

dilaton が dual 座標に依存 [坂本, YS, 吉⽥ ‘17]
Generalized SUGRA
R-R 1-form が dual 座標に依存
massive type IIA SUGRA [Hohm, Kwak ‘11]

補⾜: Generalized SUGRA[Arutyunov-Frolov-Hoare-Roiban-Tseytlin, ’15;
Tseytlin, Wulff, ‘16]

(RR場無視)E.O.M.とするとSUGRAに帰着

Killingベクトル場(non-dynamical)

うまい座標系で定数

DFTの E.O.M.

[坂本, YS, 吉⽥ ‘17]

Double Field Theory

O(D,D)対称性

3次元空間のダブルDFTの解(SUGRAの解)Buscher則

z⽅向へ
T-duality

DFTの解
時空に並進対称性がなくても必ずDFTの解になる

しかし, この DFT の解はdual 座標に依存しており,通常の SUGRA では解釈が不明.
(実は gen. SUGRA の解)

3次元空間のダブルDFTの解Buscher則

z⽅向へ
T-duality

DFTの解
時空に並進対称性がなくても必ずDFTの解になる

⼀⽅, 時空に並進対称性がある場合
D

DFTの解(SUGRAの解)nO(n,n)変換

DFTの解への依存性は出ない
SUGRAの解O(n,n)対称性を得るには n 次元の並進対称性が必要
dual座標への依存性を⽣み出さない条件

ここまでのまとめ
n次元の並進対称性があればstring理論にはO(n,n)対称性がある.

Abelian T-duality

Double Field Theory
を使えば, SUGRA のO(n,n)対称性が manifest!

Dual座標が⾒えても気にしなければ並進対称性がなくてもO(D,D)対称性がある.

コメント
Non-Abelian T-duality や(⇨ 後で説明)
Yang-Baxter変形

SUGRAの解

generalized
SUGRAの解DFTの⾔葉で⾔うと:⾮⾃明な変換Dual座標が⾒えている解O(n,n)変換

SUGRAの解’

変な解ではないAbelian T-duality

Non-Abelian T-duality(雰囲気だけ)

p.28

S𝟑

計量

Killingベクトル場
SU(2) 代数:
3次元の並進対称性
O(3,3)対称性
しかし, 交換しないKillingベクトルを利⽤した
Non-Abelian T-duality という対称性がある.
[de la Ossa, Quevedo ’92]

Non-Abelian T-duality
S𝟑

NATD (詳細は⼆周⽬)
3次元空間
NATD がstring理論の対称性かは分からないが少なくともSUGRAの対称性になっている.
(新たなSUGRA解の⽣成⼿法)

[Sfetsos, Thompson ’10]

IIB SUGRA の解AdS𝟑

S𝟑T𝟒(R-R field strength)

NATD(massive) IIA SUGRA の解になる.

S𝟑NATD

SU(2) isometry

Isometry??

NATD
Poisson-LieT-duality[Klimcik, Severa ’95]

⼀般化された”isometry”
があれば解の⽣成が実⾏できる(Killingベクトルは必ずしもなくても良い)Poisson-Lie T-duality[Hassler, 1707.08624;
Demulder, Hassler, Thompson, 1810.11446;
YS, 1903.12175]

Poisson-Lie T-duality はDouble Field Theory (DFT)の運動⽅程式の対称性.

DFTの解(SUGRAの解)PLTD(⇨ 三周⽬)

DFTの解(SUGRAの解/generalized SUGRAの解/
massive type IIA SUGRAの解)ここまでのまとめ
Killingベクトル場が⾮可換な代数をなす場合
NATD という対称性がある.
不完全 (⼀⽅通⾏)
Poisson-Lie T-duality へと拡張

DFT の対称性(DFT の解を常に DFT の解へと移す)Non-Abelian/Poisson-Lie T-duality
はよく理解されてきた.
String理論において, T-duality はU-duality の部分群
M理論(11次元SUGRA)/ T𝒏
S コンパクト化

Type IIA SUGRA
on T𝑫(𝑫=n-1)O(D,D)
T-duality
今⽇考える理論

Type IIB SUGRA
on T𝑫

S-duality
M理論(11次元SUGRA)/ T𝒏
S コンパクト化

Type IIA SUGRA
on T𝑫

O(D,D)
T-duality

Type IIB SUGRA
on T𝑫
SL(2)
S-duality

Type IIB SUGRA
dilaton/R-R 0-form

Einstein-frame metricR-R 4-form

B場/R-R 2-form

SL(2) S-duality
SL(2) triplet

SL(2) singlet
SL(2) singlet

SL(2) doublet

IIB 理論から出発…
Type IIA SUGRA
on T𝑫

O(D,D)
T-duality

Type IIB SUGRA
on T𝑫
SL(2)
S-duality

解

IIB S-duality T-duality𝒏 𝒏S-duality … IIB

U-duality変換(n=D+1)解'代数 (𝒏O(D,D)

RR 4-form
potential

SL(2)8) (type IIBの⾔葉で)[Tumanov, West ’14;
YS, Uehara ‘17]

M理論から出発…

M

S コンパクト化 T-duality

𝒏 𝒏U-duality変換(n=D+1)…

M代数 (𝒏GL(n)トーラス上の座標変換

8) (M理論の⾔葉で)
M理論/T𝒏C のgauge変換
C のgauge変換[Berman, Godazgar, Perry, West ‘11]

再定義で type IIB の generator にできる. [YS, Uehara ‘17]

ここまでのまとめ
Abelian U-duality

T-duality と S-duality は𝒏 𝒏 U-duality の部分群
M理論/T𝒏Type IIB SUGRA/T(𝑫=n-1)

p.43

Exceptional Field Theory
コンパクト化する前から[Berman, Hohm, Godazgar,Perry, Samtleben, West,…]𝐄𝒏 𝒏 対称性を明⽩にした SUGRA
DFT

正準共役

P F1EFT

⼀般化計量
P M2

M5

KKM

exoticbranes(11-n)次元n次元

Exceptional Space
P

例外群

M2

M5

KKMのベクトル表現の次元を持つ空間

Exceptional Field Theory[Hohm, Samtleben ’13; ….]の Ricci scalarExceptional Field Theory[Berman, Godazgar,Perry, West, ’12]

EFT は 11D SUGRAを再現
exoticbranes

Type IIB の⾔葉でも記述できる
P F1/D1
D次元

D3

D5/NS5KKM

7-braneType IIB SUGRA[Blair, Malek, Park, ’13;
Lee, Rey, YS, ‘16]

Exceptional Field Theory
𝐄𝒏 𝒏 U-duality共変な
11D SUGRAとType IIB SUGRAの両⽅を統⼀する枠組み.
Section condition
𝒏個の座標を残す選択

𝑫𝒏

𝟏 個の座標を残す選択
次元の異なる2つの理論を統⼀的に記述.

Abelian U-dualitymanifest!
11D SUGRAの解Type IIB SUGRAの解Non-Abelian T-duality があるならNon-Abelian U-duality もある?
今回のメインNon-Abelian U-duality
先⾏研究は皆無(あったとしても PL T-duality + S-duality 程度)

Poisson-Lie T-duality の⼀般化
Nambu-Lie U-duality を提案!
[YS,1911.06320;
Malek, Thompson, 1911.07833]
より⼀般的なSUGRA解の⽣成⼿法!
(まだ予想の段階)

⾮⾃明な具体例 [Musaev, YS, 2012.13263]

ここまでのまとめ
トーラスコンパクト化する前から
𝐄𝒏 𝒏 U-duality 対称性を明⽩にするSUGRA= Exceptional Field Theory

11D SUGRA と type IIB SUGRA を統⼀

ここまでのまとめ
Exceptional space
M理論

PM2

M5

KKMP F1/D1

D3

D5/NS5KKM

7-braneType IIB

Abelian U-duality をNambu-Lie U-duality へと⼀般化した.
予想: これは EFT の対称性

p.52

⼆周⽬
Non-Abelian T-duality (レビュー)
Poisson-Lie T-duality (レビュー)
Nambu-Lie U-dualityNon-Abelian T-duality[de la Ossa, Quevedo ’92]

設定

話を簡単にするため,D次元時空がD個のKillingベクトルを持つ場合に限定.
さらに, T-dual 変換前の時空では B場=0 とする.
D個のKillingベクトルがLie代数をなす:

例: 群多様体

S𝟑: 構造定数: 左不変ベクトル場

Non-Abelian T-duality
Gauged action[de la Ossa, Quevedo ’92,Alvarez, Alvarez-Gaume, Lozano ’94; …]
簡単のため

補助場

補助場の運動⽅程式

消去

通常のString 作⽤Non-Abelian T-duality

Gauge 対称性
定数というgauge固定ができれば作⽤からという変数が消せる.

Non-Abelian T-dualityの運動⽅程式を使ってだけを変数とする作⽤が得られる.

も消去

Dual model
補助場を座標とみなす

Dual 時空:上で定義された string 理論

簡単なまとめ: 伝統的なNATD
補助場を先に消去

Gaugedaction

NATD
をゲージ固定[de la Ossa, Quevedo ’92,Alvarez, Alvarez-Gaume, Lozano ’94; …]

p.59

Poisson-Lie T-duality[Klimcik, Severa ’95]

NATD

PLTD
なぜこんな補正を加えたのか?
(気持ちだけ説明)

String の運動⽅程式

Abelian のとき(Bianch id.)
(E.O.M.)

⼊れ替える対称性が T-duality

String の運動⽅程式の non-Abelian 版

⼊れ替える対称性
が Poisson-Lie T-duality

右不変1-form

こんな条件を満たす時空を作れるか

微分⽅程式
解:
積分定数

Poisson-Liestructure

Poisson tensor

こんな条件を満たす時空を作れるか

Drinfel’d double

2D次元Lie代数

左/右不変ベクトル場

こんな条件を満たす時空を作れるか

Drinfel’d double

話を逆にすると,
Drinfel’d double

逆⾏列

定数

Poisson-LieT-duality
が実⾏できるPoisson-Lie T-duality とは?
Drinfel’d double

2D次元Lie代数
O(D,D)
変換

PL T-duality

Drinfel’d double

2D次元Lie代数

Poisson-Lie T-duality
O(D,D)変換

定数定数
Abelian O(D,D)

PL T-duality具体例: Abelian T-duality
O(D,D)変換定数定数
Abelian O(D,D)

具体例: Non-Abelian T-duality
⾚↔⻘

定数定数
Abelian O(D,D)

具体例: Yang-Baxter 変形

具体例: Yang-Baxter 変形

Classical Yang-Baxter Equations

具体例: Yang-Baxter 変形

定数classicalr-matrix

YB 変形
SUGRA解の⽣成⼿法 [吉⽥さん達]Poisson-Lie T-plurality
Drinfel’d double
2D次元のLie群
YB変形
2つの代数への分解が複数通り存在
PLTD

NATD

Poisson-Lie T-plurality と呼ぶ. [Unge ’02]
(単に PL T-duality とも呼ぶ)

Poisson-Lie T-plurality
Drinfel’d double
2D次元のLie群

1つのSUGRA解から⼀連のSUGRA解を⽣成できる.

コメント: Jacobi-Lie T-plurality
Drinfel’d double
DD

Lie代数ではない⇨ Leibniz 代数[Fernandez-Melgarejo, YS, 2104.00007]
Jacobi-Lie bialgebra
1対1に対応Jacobi Leibniz 恒等式を満たす

コメント: Jacobi-Lie T-plurality[Fernandez-Melgarejo, YS, 2104.00007]

Jacobi-Liestructure定数

コメント: Jacobi-Lie T-plurality[Fernandez-Melgarejo, YS, 2104.00007]

O(D,D)変換DD

DD 'Jacobi-Lie T-plurality
DFT (RR場込み) の対称性
例: Yang-Baxter変形CYBEの解Non-Abelian T-duality

Non-Abelian U-dualityp.79

Non-Abelian U-duality
⽅針1: [YS, 1903.12175]
伝統的な NATD のときと同様,membrane 理論をゲージ化.
2+1次元のgauged action は作れる

[Duff, Lu, ‘90;
Hull, Spence, ‘91] を参考に

String 座標

membrane 座標

補助場

補助場
数が合わない,ゲージ場が消去できない…

dual action をどう作るのかよくわからない.

Non-Abelian U-duality
⽅針2: [YS, 1911.06320]
Drinfel’d double の⼀般化を探るのが⾃然?
O(D,D):𝒏 𝒏:

F1M2(Drinfel’d double)

M5

ベクトル表現

ダブルではなく⾚い generator を沢⼭導⼊.

Non-Abelian U-duality𝒏 𝒏:

ある⽅針から代数を決定.
(⇨ 三周⽬)具体例: SL(5) EDA= SL(5)[YS, 1911.06320;
Malek, Thompson, 1911.07833]

Exceptional Drinfel’d Algebra (EDA)
Lie代数ではなくLeibniz代数

“代数”

EDA

Leibniz恒等式(Jacobi恒等式)(コサイクル条件)(Fundamental identity)(c.f. Lie 3-algebra で出てきた条件)

Drinfel’d doubleはPoisson-Lie structure を与えた.

Poisson tensor

bi-vector

同様に,Exceptional Drinfel’d Algebra (EDA)は以下の tri-vector field を与える! [YS, 1911.06320]
Nambu-Poisson tensor

tri-vector

Nambu-Lie structure(Weitzenböck接続:)

複雑ですが, SUGRA場の構成⽅法はPoisson-Lie T-duality の場合と同様.
(DFT, EFTを知っていれば素直 ⇨ 三周⽬)

p.86

Non-Abelian U-duality(Nambu-Lie U-duality)
EDA

Nambu-Liestructure
SUGRA の場

SUGRA の場'EDA’

Non-Abelian U-duality(Nambu-Lie U-duality)

予想
Nambu-Lie U-duality はSUGRA解をSUGRA解に移す(EFTの対称性)

SUGRA の場

N-L U-duality[Musaev, YS, 2012.13263]
⾮⾃明な具体例を数多く⾒つけた

SUGRA の場'

[YS, 1911.06320;

EDA(10次元Leibniz代数) Malek, Thompson, 1911.07833]

EDA(27次元Leibniz代数)[Malek, YS, Thompson, 2007.08510]

embedding tensor formalism

EDA(248次元Leibniz代数)[YS, 2009.04454]

Type IIB 理論の⾔葉で書いたEDAも作った.
F1/D1

D3

D5/NS5𝐄𝟕 𝟕 EDA(M理論)𝐄
EDA(Type IIB)

M理論の解𝐄

type IIBの解EDANLUD

11D flat Minkowski

Type IIB* SUGRAの解Non-Abelian U-duality を使って新たなSUGRA解を沢⼭⽣成できる!
[Musaev, YS, 2012.13263]

𝐄
EDA
(M理論)

⼀般化されたCYBE

r-matrixのM理論版

𝐄
EDA
(M理論)

r-matrix の従うべき式…

⼀般化されたCYBE

generalized CYBEEDAに特有の条件

これを満たす “classical r-matrix” を使って⼀般化されたYang-Baxter変形ができる.

Yang-Baxter 変形の例
𝟔 𝟔EDA

11次元 SUGRA の解Yang-Baxter 変形の例
𝟔 𝟔EDA[Malek, YS, Thompson, 2007.08510]

Yang-Baxter 変形の例
[Musaev, YS, 2012.13263]

計量, Nambu-Lie structure を計算し,11D SUGRAの場に翻訳

11次元 SUGRA の解まとめPoisson-Lie T-duality
Drinfel’d double の generator の再定義
Poisson-Lie structure

SUGRA解Nambu-Lie U-duality
Exceptional Drinfel’d Algebraの generator の再定義
Nambu-Lie structure

SUGRA解

p.98

展望
NLUD

EFT の解を必ず EFT の解に移すのかは未確認.
EDA は Leibniz代数
Lie群のように多様体の構造を持つのか?
EDAからNambu-Lie structureを系統的に作れる.

南部括弧
応⽤?

展望
今回, maximal SUGRA のみ扱った
Duality 群 = 𝐄

Exceptional Drinfel’d Algebra
Half-maximal SUGRADuality 群 = R+O(D,D+n)(5次元以上)= SL(2) O(6,6+n)(4次元 N=4)

Half-maximal Extended Drinfel’d Algebra[YS, arXiv:2105.xxxxx]

Heterotic SUGRA/ TNon-Abelian
duality…

Type I SUGRA/ T

p.100

三周⽬
PLTD は DFT の対称性
[Hassler, 1707.08624;
Demulder, Hassler, Thompson, 1810.11446;
YS, 1903.12175]

どうやって EDA を決定したのか(発⾒法的に説明)

Nambu-Lie structure からSUGRAの場をどう決定するのかPoisson-Lie T-duality
はDFT の対称性[Hassler, 1707.08624;
Demulder, Hassler, Thompson, 1810.11446;
YS, 1903.12175]

Lie 微分⼀般相対論では,無限⼩の座標変換はLie 微分で⽣成される:

⼀般座標変換不変な理論:

Einstein gravity

⼀般化 Lie 微分
ダブル空間の場合,無限⼩の座標変換は ⼀般化 Lie 微分で⽣成される.

ここが違う

導出
string 理論の Hamiltonian形式: [Siegel ‘93]
Closed SFT のゲージ対称性: [Hull, Zwiebach 0904.4664]

⼀般化 Lie 微分の意味

⼀般化 Lie微分は通常のLie微分(座標変換)とB場のゲージ変換の組み合わせ.

Einstein 重⼒定数geometric flux

曲率を flux とその微分で表せる.

Double Field Theory
Generalized vielbein

2種類のフラックスを定義:

定数

⼀般化 flux

dilaton flux

DFT の Flux Formulation[Geissbuhler, Marques, Nunez, Penas, arXiv:1304.1472]

Dilaton の E.O.M.

⼀般化計量の E.O.M.

フラックスとその微分と projection だけ定数

Poisson-Lie T-duality の設定
定数

Poisson-Liestructure

右不変ベクトル場

逆⾏列定数

Poisson-Lie symmetric な時空

Poisson-Lie symmetricな時空
Frame場を計算定数になる!
しかも, Drinfel’d double の構造定数[Hassler, 1707.08624;
Demulder, Hassler, Thompson, 1810.11446]

次⾴

Drinfel’d double の構造定数まとめるdilaton flux

Dilatonを適切に選べばの場合とできる.

[YS, 1903.12175]

DFTの運動⽅程式

代数⽅程式

DFTの運動⽅程式
もう少し具体的に書くとこれを満たす定数⾏列が⾒つかればPL symmetric な時空は DFT の解.

PL T-plurality

DFT の運動⽅程式はこの変換の下でmanifest に covariant.

DFT の解は DFT の別の解へと map される.

Dilatonはどう作るか?

[Unge ‘02]

定数

左不変1-form※ ただし, dual algebra の構造定数のトレースがゼロでない場合[Demulder, Hassler, Thompson, 1810.11446]

この場合, 時空は generalized SUGRA の解になる.

ここまでのまとめ
Einstein重⼒と同様,DFT の運動⽅程式は flux とその微分の⽅程式.
Poisson-Lie symmetric な時空ではflux が定数になり, DFT の e.o.m. は代数⽅程式

O(D,D)
対称性

ここまでのまとめ

O(D,D)DFTの解

DFTの解'

どうやって EDA を決定したのか(発⾒法的に説明)

もっと形式的な説明[YS, 2009.04454]

⼤事な関係式

Drinfel’d double のLie代数と同じ代数を満たすframe 場を構築できるというのがポイント.

U-duality 版の拡張

EFTの⼀般化Lie微分定数となる frame 場を探せばExceptional Drinfel’d Algebra が⾒つかるはず!

U-duality 版の拡張

Leibniz恒等式

Leibniz 代数

⼀般化 Lie 微分
DFTの場合EFTの場合⼀般化 Lie 微分
以下, n≦4 の場合に制限

diffeo. parameterC のgauge変換

Frame 場
GL(D)

β変換
GL(n)

どうやって代数を作るか?

⼀般化Lie微分の代数を計算!

結果

⼀般化 flux

定数ではないをうまく選んで定数に.

PL T-duality の場合

単位元

必ず

では,となる場所が存在する.となる場所があるだろう.

結果

EDA

Lie代数ではない逆に, 代数からNambu-Lie structure を作る
Group element を作る:

“Adjoint action” を計算:

いくつかの恒等式
Leibniz恒等式:

いくつかの恒等式
微分恒等式:

Nambu-Lie structure(Weitzenböck接続:)

構造定数
構造定数になることが確認できた!

FluxをEDAの構造定数とするframe場の作り⽅は分った.

予想
EFT のe.o.m.もfluxとその微分でかけるはず.
もしそうならは EFT の対称性.

Nambu-Lie structure からSUGRAの場をどう決定するのか

DFTの場合
B変換

EFTの場合

E EFT

EFTの場合

EFTの場合
上三⾓

下三⾓

下三⾓上三⾓と表すのは難しいが具体例で解くことはできる.

おわり