Configurazioni, regole e inferenze
Achille C. Varzi (Columbia University, New York)[Versione finale pubblicata in Atti dell’Accademia roveretana degli Agiati, Classe di Scienze matematiche, fisiche e naturali, 262:B (2012), 5-24.]

1. Introduzione

Alcune parti del nostro ragionare sono strettamente deduttive: l’evidenza di cui si
dispone consente di pervenire a una determinata conclusione con assoluta certezza.
Per esempio, il seguente ragionamento è deduttivo, giacché non è possibile che laconclusione sia falsa se entrambe le premesse sono vere.
(1)

Ogni F è G, e x è F. Pertanto, x è G.

Spesso, tuttavia, non siamo nella posizione di produrre un argomento deduttivo;
possiamo solo determinare che l’evidenza supporta la conclusione con un elevato
grado di probabilità. In tal caso si parla di ragionamento induttivo, che a sua volta è suddivisibile in due tipologie differenti a seconda che si presuma o meno chel’universo, o un suo aspetto rilevante, sia governato da leggi o regole. I ragionamenti che non richiedono questo presupposto sono classificati come statistici, dato
che l’evidenza descritta dalle premesse supporta la probabilità della conclusione perragioni strettamente matematiche. Per esempio, il seguente ragionamento induttivo
è statistico:(2)

Quasi ogni F è G, e x è F. Pertanto, x è G.

Qui è ragionevole raggiungere la conclusione anche se questa non segue per necessità logica, poiché la probabilità che x sia G è, dati i fatti (e a parità di condizioni),
molto maggiore della probabilità che x non sia G. Il secondo tipo di ragionamento
induttivo è generalmente classificato come humiano, dal nome del filosofo che perprimo lo studiò in modo esaustivo, e corrisponde a quelle argomentazioni che dipendono dal presupposto che l’universo sia regolato da leggi. Ecco un esempio:(3)

Ogni F sinora osservato era G, e x (che stiamo osservando) è F. Pertanto, x è G.

Titolo originale: Patters, Rules, and Inferences – apparso in Jonhatan E. Adler and Lance J. Rips
(eds.) Reasoning: Studies of Human Inference and Its Foundations, Cambridge: Cambridge University Press, 2008, pp. 282–290. Traduzione di Maurizio Dapor.

1Anche in questo caso la conclusione non segue per necessità logica, cosicché l’argomento non è deduttivo. Tuttavia l’evidenza disponibile fornisce eccellenti ragioni
per credere nella verità della conclusione piuttosto che nella sua falsità. A meno chela relazione tra essere F e essere G sia del tutto casuale, l’evidenza suggerisce conuna certa forza l’esistenza di una legge secondo la quale ogni F è G.
Le argomentazioni humiane sono di grande utilità pratica, perché spesso abbiamo la necessità di raggiungere conclusioni e prendere decisioni sulla base di dati
che non sono né conclusivi (come richiesto dal ragionamento deduttivo) né completi (come richiesto dal ragionamento induttivo di tipo statistico). Il presupposto di ununiverso regolato da leggi, tuttavia, è tanto cruciale quanto controverso, e coglierne
esattamente la portata non è semplice.
2. Il gioco della regola

Consideriamo il gioco seguente. X pensa a una certa sequenza (per esempio, una
successione di numeri) e Y deve indovinare di quale sequenza si tratti. Per cominciare, X fornisce un segmento iniziale della sequenza. Y deve osservare questo
segmento attentamente e, sulla base di quanto vede, tentare di indovinare come prosegua la sequenza. In altri termini, Y deve capire quale sia la configurazione soggiacente, scoprire la regola che determina lo sviluppo dell’intera sequenza (potenzialmente infinita).
A titolo esemplificativo, supponiamo che si tratti di sequenze numeriche (infinite). Se il segmento iniziale proposto da X fosse:(A)

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

è probabile che Y arriverebbe senza molte esitazioni alla seguente ipotesi: la sequenza deve essere costituita dagli interi dispari positivi, nel loro ordine naturale.
Analogamente, se la sequenza originale fosse:(B)

1, 2, 3, 5, 7, 11, …

allora Y potrebbe facilmente indovinarne il seguito, e quindi la regola per mezzodella quale la sequenza è generata: si tratta della sequenza ordinata dei numeri primi, cioè degli interi positivi che non hanno altri divisori interi eccetto 1 e se stessi.
Se Y indovina la regola nel tempo concesso, vince il gioco. Altrimenti vince X.
Ora, naturalmente alcuni casi sono più difficili di altri, ed è qui che il gioco si
fa interessante. Consideriamo, per esempio, il segmento:(C)

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …

Si tratta dell’inizio della sequenza dei cosiddetti numeri triangolari, cioè quei numeri che sono uguali a una somma di interi consecutivi, partendo da 1. Più precisa2

mente, la regola che soggiace a questa sequenza è quella secondo la quale l’n-esimo
elemento, Sn, è la somma dei primi n interi positivi:(C*)

Sn = 1 + 2 + 3 +… + n.

(Per esempio, il quarto numero triangolare è 10 = 1 + 2 + 3 + 4.) Sarebbe interessante fare qualche test sperimentale per vedere come la gente si comporta davvero,
ma c’è da aspettarsi che in questo terzo caso Y dovrà pensarci un po’ più a lungo
prima di trovare la soluzione. Y potrebbe perfino obiettare di non aver mai sentito
parlare di numeri triangolari, mentre aveva sentito parlare di interi pari e di interi
primi; come si può pretendere che individui la regola? Dinanzi a quest’obiezione.
però, X potrebbe semplicemente rispondere che non è necessario sapere cosa sia unnumero triangolare per riconoscere la configurazione in esame: con un po’ di pazienza, Y potrebbe comunque capire che la sequenza obbedisce alla regola definita
in (C*). Oppure potrebbe scoprire la regola sotto una descrizione differente e più
intuitiva. Per esempio, Y potrebbe rendersi conto che i numeri della sequenza corrispondono ai diversi modi in cui si può costruire una configurazione di punti, di birilli, o di palle da biliardo, come nel diagramma seguente:

1

3

6

10

15

21

28

In tal modo Y potrebbe descrivere la sequenza nei termini di questa intuizione:(C**) Sn = il numero di punti (birilli, palle) che sono necessari per formare una configurazione triangolare equilatera di lato n, posto S1 = 1.

(Questa è realmente la ragione per cui questi numeri sono chiamati triangolari, in
analogia con i numeri quadrati, che corrispondono ai differenti modi con cui possiamo costruire una configurazione quadrata di punti.) Come una persona riesca aindividuare la regola e come la descriva – X potrebbe insistere – non è importante
per vincere il gioco. È importante soltanto in senso derivato, cioè in quanto rende il
gioco indipendente dai background culturali dei giocatori. Il gioco è interessante
proprio perché il processo mentale che conduce alla scoperta della regola può coinvolgere processi cognitivi diversi da un giocatore all’altro.
In effetti, è degno di nota che sebbene in questi esempi la regola che genera lasequenza è determinata essenzialmente dalle sue proprietà numerico-teoriche, non è
detto che debba essere così in generale, anche se la sequenza consiste di numeri.
Per esempio, supponiamo che X offra il seguente segmento:(D)

1, 22, 333, 4444, 55555, …

3

Questo è l’inizio di una sequenza ovvia, ed esiste una chiave matematica ben precisa che ne coglie lo sviluppo, corrispondente all’equazione(D*)

Sn = n (10n – 1)/9

Ma naturalmente è più probabile che Y descriva la sequenza sulla base di un criterio differente, che legge la regola direttamente dalla configurazione visiva esibita
dai suoi elementi:
1
22
333
4444
55555
M

Un 1
Due 2
Tre 3
Quattro 4
Cinque 5M

In tal caso, la regola di Y non sarebbe la (D*) ma piuttosto qualcosa del tipo:(D**) Sn = la stringa consistente nel numero n ripetuto n volte.

Lo stesso X, nel proporre il segmento iniziale (D), potrebbe aver pensato alla sequenza in termini di (D**), anziché di (D*), cosicché il fatto che esista una descrizione numerico-teorica di questa sequenza è del tutto irrilevante. E in alcuni casi
non c’è descrizione numerico-teorica che tenga, come in(E)

1, 2, 6, 7, 8, 9, 15, 18, 20, 22, …

Qui X potrebbe avere in mente una regola definita con riferimento a una proprietà
linguistica e che riguarda i numerali, non i numeri:(E*)

Sn = l’n-esimo intero positivo il cui nome in italiano contiene un numero pari divocali.

Un esempio classico, in questo genere di sequenze, è quello del matematico
americano John Conway, che non dipende né da considerazioni puramente linguistiche, né da considerazioni strettamente aritmetiche:1(F)

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, …

C’è una regola dietro questa sequenza? Se ne cerchiamo una puramente aritmetica olinguistica, non la troveremo. Dobbiamo guardare alla sequenza da una diversa prospettiva. Quale sia la prospettiva giusta è, naturalmente, difficile da dire. Ma se iniziamo a leggere la sequenza ad alta voce, possiamo ottenere un indizio. Non leggiamola così:1

J.H. Conway, ‘The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay’, Eureka 46 (1986): 5-16.

4

1
11
21
1211
111221
31221113112221
M

Uno
Undici
VentunoMilleduecentoundici
Centoundicimila duecentoventuno
Trecentododicimila duecentoundici
Tredici milioni centododicimila duecentoventuno
M

Leggiamola così:
1
11
21
1211
111221
31221113112221
M

1
Un 1
Due 1
Un 2 e un 1
Un 1, un 2 e due 1
Tre 1, due 2 e un 1
Un 3, un 1, due 2 e due 1
MAllora ci rendiamo conto immediatamente di che cosa stia succedendo: si tratta di
una sequenza “auto-descrivente”. Inizia con 1 e poi prosegue descrivendo se stessa,
nel senso che ogni termine successivo fornisce una descrizione “audio-attiva” delsuo predecessore. La regola può allora essere quella che segue, dove “ci|ri” designa
la stringa ottenuta ripetendo ri volte la cifra ci:(F*)

Se Sn è la stringa c1|r1 … ck|rk (ci ≠ ci+1 per ogni i < k), allora Sn+1 è la stringa r1c1
… rkck iniziando con S1 = 1.

3. Le regole del gioco

Tanto basti per questo gioco familiare. Basta solo un momento, ora, per rendersiconto che il gioco è un buon modello di quanto succede quando ci cimentiamo in unragionamento induttivo di tipo humiano. Perché il gioco della regola è familiare nonsolo in quanto è spesso praticato per divertimento, o per scopi pedagogici (gli insegnanti delle scuole elementari fanno sovente affidamento su di esso per spiegare,per esempio, certi basilari concetti aritmetici ed operazioni): è familiare anche perché ci troviamo a praticarlo in continuazione nelle nostre quotidiane interazioni con
il mondo esterno. Siamo costantemente alla ricerca delle regole o leggi che governano il mondo naturale, la società, o il mercato. Guardiamo ai fatti e tentiamo discoprire quali siano le configurazioni soggiacenti in modo da predire che cosa accadrà dopo, esattamente come tentiamo di scoprire la configurazione di una sequenza di numeri sulla base di un segmento iniziale. Guardiamo alla nostra storia sino ad
5ora – questo è il segmento iniziale – e cerchiamo di estrarne il razionale sottostante,
in modo da sapere che cosa ci aspetta nel futuro. Può suonare metaforico, ma nonsarebbe un’esagerazione affermare che l’intera scienza è impegnata in un gioco diquesto tipo. Ogni F osservato finora è G (ogni numero nella porzione visibile dellasequenza è primo, per esempio) e pensiamo che debba sussistere un nesso legiforme
tra essere F e essere G: pensiamo che essere F vada di pari passo con essere G econcludiamo che anche il prossimo F nella sequenza debba essere G. Questa è precisamente l’idea su cui riposa il ragionamento induttivo humiano. E ci sono ricercatori che dichiarerebbero che essere capaci di ragionare in questo modo – di cimentarsi in un gioco così – sia un tratto distintivo del comportamento razionale. Douglas Hofstadter e il suo gruppo di ricerca, per esempio, credono che questo tratto sia
vicino al nucleo – se non che sia il nucleo – dell’intelligenza umana, e che progettare programmi per computer in grado di giocare al gioco della regola costituisca lasfida più profonda e affascinante che la cosiddetta “intelligenza artificiale” deve
affrontare.2
Per apprezzare pienamente la portata di queste dichiarazioni, tuttavia, è importante essere espliciti attorno ad alcuni aspetti che abbiamo sinora dato per scontati.
Ci sono, infatti, due importanti assunzioni implicite che devono essere soddisfatteaffinché il gioco possa svolgersi correttamente – due tacite Regole (con la ‘R’ maiuscola) che i giocatori devono osservare.
La prima Regola tacita è che il segmento iniziale mediante il quale X introduce
la sequenza dovrebbe fornire informazioni sufficienti perché Y possa scoprire lasoluzione. Per esempio, se X ha in mente la serie di Conway, non può limitarsi afornire il segmento(G)

1, 11, …

al posto di (F), perché questo inizio è compatibile con molte altre soluzioni, alcunedelle quali ben più plausibili. La sequenza potrebbe infatti proseguire in svariati
modi, ciascuno dei quali corrisponde a una differente soluzione che “si adatta aidati” altrettanto bene nella misura in cui i dati sono stabiliti da (G). Per esempio,
potrebbe continuare in ciascuno dei tre modi seguenti:
(Ga)
(Gb)
(Gc)

1, 11, 121, 1331, 14641, 161051, …
1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, …
1, 11, 1, 11, 1, 11, 1, 11, 1, 11, …

e ogni modo corrisponderebbe a una regola completamente differente:2

Il punto di vista di Hofstadter e alcuni risultati preliminari sono documentati nel suo libro Fluid
Concepts and Creative Analogies, Basic Books, New York, 1995; tr. it. di M. Corbò, I. Giberti e M.
Codogno: Concetti fluidi e analogie creative, Adelphi, Milano, 1996.

6

(Ga*)(Gb*)(Gc*)

Sn = 11(n–1)
Sn = 1|nSn = 1 se n è dispari e Sn = 11 se n è pari.

Ci sono ovviamente tantissime possibilità, e per questa ragione Y avrebbe il diritto
di lamentarsi se X le desse come solo indizio l‘informazione contenuta in (G). Perché il problema non è soltanto che si possono dare risposte diverse: abbiamo già
visto che qualche volta la stessa sequenza può essere generata o descritta in conformità a più di una regola, come per (D*) e (D**). Il problema è che nel caso inesame le diverse risposte non sarebbero equivalenti: descriverebbero sequenze differenti, non la stessa sequenza in modi differenti.
Questa dunque è la prima Regola del gioco, che possiamo formulare approssimativamente come segue:
R1

Il segmento iniziale deve identificare la sequenza in modo univoco.

La questione interessante, naturalmente, è se questa Regola possa essere implementata con successo, o anche solo se possa essere implementata in qualche modo. Torneremo su questa questione fra breve. Prima vediamo qual è la seconda Regola tacita, che è altrettanto importante. Questa seconda Regola dice che la sequenza in questione non può essere una sequenza casuale. Per esempio, sarebbe strano se X asserisse che la sequenza in (G) continua così:(Gd)

1, 11, 3, 4, 5, 10, 7, 8, 9, 9, 10, 12, 12, …

Sarebbe strano perché questa sequenza appare proseguire in un modo totalmente
arbitrario: non sembra esservi alcun modo per sussumerla sotto una qualche legge, equindi alcun modo per Y – o per chiunque altro – di descrivere la sequenza, salvo
elencare uno dopo l’altro ogni termine che la compone. Per la stessa ragione, naturalmente, sarebbe strano se Y insistesse nel dire che (Gd) è sullo stesso piano di(Ga)–(Gc). Perché (Ga)–(Gc) esibiscono una configurazione, o così sembra, mentre(Gd) no. In prima approssimazione, quindi, la seconda Regola del gioco può essere
formulata come segue:
R2 La sequenza non deve essere casuale, cioè deve essere riconducibile a una regola.

In un certo senso, R2 segue da R1. Perché se una sequenza fosse casuale, nessun
segmento iniziale potrebbe identificarla in modo univoco. Quindi, per contrapposizione, se esiste un segmento iniziale che identifica tutta la sequenza in modo univoco, in accordo con R1, la sequenza non può essere casuale. In effetti è proprio cosìche si è soliti definire la casualità, almeno a partire dai lavori pionieristici di Ray
Solomonoff, Andrei Kolmogorov e Gregory Chaitin della metà degli anni 1960:
una sequenza è casuale se non vi è modo più efficace di descriverla che elencarla7

nella sua interezza.3 Tuttavia, come abbiamo osservato, non è detto che R1 sia deltutto a posto nei termini in cui l’abbiamo formulata, per cui è conveniente enunciare
R2 in modo indipendente. E anche a riguardo di quest’ultima regola torneremo fra
breve sull’importante questione della sua implementabilità, o se possa essere data
per scontata. Al momento il punto è semplicemente che R1 e R2 vengono assunte inmodo implicito ogniqualvolta due giocatori si cimentano in un gioco del tipo che
stiamo considerando, perché altrimenti sarebbe impossibile indovinare la sequenza.
4. Troppo bello per essere vero

Veniamo dunque al punto: R1 e R2 sono a posto così? Purtroppo no, non del tutto.
Iniziamo con R1. A un esame più attento, questa regola risulta essere tanto crucialequanto insoddisfacibile, per quanto possa suonare irritante per i partecipanti al gioco. Cominceremo illustrando questo risultato negativo con riferimento ai casi considerati finora; vedremo in seguito come passare al caso generale.
Consideriamo ancora l’esempio con cui abbiamo iniziato, la sequenza corrispondente al segmento(A)

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

Non c’è dubbio che riusciamo tutti a vedere l’ovvia configurazione: i numeri dispari. Ma come facciamo a sapere che proprio quella è la configurazione? Come fa Y asapere che X aveva in mente proprio la sequenza dei numeri dispari? Non può saperlo. Y vede che ogni numero in (A) è dispari, e vede che nessun numero dispari èassente, e poiché sta assumendo che questo segmento iniziale caratterizzi l’intera
sequenza in modo univoco, conclude che i puntini vadano riempiti con i numeri dispari rimanenti. In altre parole, Y conclude che la regola soggiacente deve essere:(A*)

Sn = 2n–1.

In senso stretto, tuttavia, Y non sa che questa è la regola più di quanto si possa conoscere la verità di una qualunque generalizzazione basata su una quantità limitata
di dati. La generalizzazione in (A*) è giustificata solo se si assume che R1 è pienamente soddisfatta. E come si fa ad assumere una cosa del genere? Come può ilsegmento iniziale per mezzo del quale X ha introdotto la sequenza fornire informazioni sufficienti affinché qualcuno possa scoprire la soluzione e continuare la se-3

I lavori classici sono: R. J. Solomonoff, ‘A Formal Theory of Inductive Inference. Part I’, Information and Control 7 (1964): 224–254; A. Kolmogorov, ‘Three Approaches to the Quantitative Definition of Information’, Problems of Information Transmission 1 (1965): 1–17; G. J. Chaitin, ‘On the
Length of Programs for Computing Finite Binary Sequences: Statistical Considerations’, Journalof the ACM 16 (1969): 145–159.

8

quenza riempendo opportunamente i puntini? Come scriveva Wittgenstein, “da dove spunta l’idea secondo cui l’inizio di una serie è un tratto visibile di un binario
che si prolunga invisibilmente all’infinito?”4
Supponiamo che Y dica che la sequenza in questione consista dei numeri dispari e X risponda: “No, mi dispiace. La sequenza consiste delle cifre dispari ripetute una volta, quindi ripetute due volte, quindi ripetute tre volte, e così via. Ecco come sarebbe apparsa se avessi continuato per un altro po’:(A')

1, 3, 5, 7, 9, 11, 33, 55, 77, 99, 111, …

Se desideri che sia più preciso, posso perfino esprimere la regola in termini matematici:(A**) Sn = 2n–1 mod 10, ripetuto (2n div 10) + 1 volte,

dove mod è la funzione che restituisce il resto della divisione (del primo argomento
per il secondo) e div la funzione che restituisce la divisione senza resto.” Y avrebbe
diritto di lamentarsi?
In un certo senso sì: se quella è la regola che X aveva in mente, allora X non harispettato R1 perché (A) non costituisce un segmento identificato in modo univoco.
In particolare, non identifica univocamente la sequenza descritta in (A**), perché ipuntini possono essere riempiti in conformità a quella regola così come alla regolasuggerita da Y, (A*). Naturalmente questo significa anche che (A) non identifica inmodo univoco la sequenza dei numeri dispari, cosicché la lamentela di Y è autolesiva. Ma non preoccupiamoci di questo. È un fatto che in relazione ad (A**) – laregola che X aveva in mente e che Y avrebbe dovuto scoprire – il segmento (A) nonè sufficientemente informativo, proprio come il breve segmento in (G) non sarebbe
stato abbastanza informativo per identificare la regola della sequenza di Conway,(F*). Quindi la lamentela di Y è perfettamente legittima.
D’altra parte, che cosa può farsene X di questa lamentela? C’è forse un modo
per identificare univocamente la regola che aveva in mente attraverso un opportuno
segmento iniziale? Supponiamo che X fornisca il segmento più lungo, (A'), al postodi (A). Sarebbe sufficiente? No. Sarebbe abbastanza per escludere l’ipotesi che lasequenza consista degli interi dispari, ma molte altre sequenze sarebbero ancoracompatibili con quel segmento iniziale. La sequenza potrebbe continuare in conformità alla configurazione che X aveva effettivamente in mente, ma potrebbe anche proseguire in accordo con una configurazione differente. Per esempio, potrebbe
consistere dei dispari palindromi perfetti, cioè quei numeri che consistono esclusi4

L. Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, a cura di G. E. M. Anscombe e R. Rhees, BasilBlackwell, Oxford, 1953; trad. it. a cura di R. Piovesan e M. Trinchero: Ricerche filosofiche, Einaudi, Torino, 1967, § 218.

9

vamente di cifre dispari e che restano gli stessi se scritti in avanti oppure all’indietro. Tutti i numeri in (A') sono dispari palindromi perfetti. Ma mentre la sequenza di X continuerebbe così:(A'a )…, 333, 555, 777, 999, 1111, …

il resto della sequenza dei dispari palindromi conterrebbe anche degli elementi intermedi:(A'b)…, 131, 151, 171, 191, 313, 333, …

A questo punto è evidente che perfino (A'a ) sarebbe un input ambiguo per scoprire
la regola di X, perché si possono ancora pensare modi differenti per continuare laserie. Più si va avanti – più si allunga il segmento iniziale – più le alternative possono apparire convolute e, in qualche modo, “innaturali”. Ma proprio questo è il
punto. Non è R1 a imporre un vincolo sul gioco, perché di per sé R1 non può maiessere soddisfatta: ogni segmento finito può proseguire in un’infinità di modi diversi, proprio come qualunque tratto di inchiostro su un foglio di carta può essere prolungato in un’infinità di modi. Piuttosto, il vincolo deriva da R1 unitamente al presupposto aggiuntivo che la sequenza in questione sia una sequenza “naturale”. E
purtroppo è un fatto che ciò che sembra “naturale” a X potrebbe non sembrare “naturale” a Y, e viceversa.
Basta un momento adesso per capire quanto tutto questo sia importante quando
si gioca sul serio, cioè quando il giocatore X che propone il segmento iniziale non è
qualcuno come noi ma il mondo stesso. Una sequenza di eventi osservati può suggerire una certa configurazione e noi – giocando nel ruolo di Y – finiamo col convincerci che quella configurazione corrisponda a una legge di natura. Ma questo
non equivale a dire che gli eventi osservati identificano quella legge in modo univoco. E se il prossimo evento osservato non è quello che ci aspettavamo, non possiamo lamentarci e accusare la natura di essere “innaturale”. Dobbiamo semplicemente ammettere che ci eravamo sbagliati e imparare a convivere con la possibilità
che anche la nostra prossima predizione non vada a segno. Proprio questo è il limite
delle nostre pratiche induttive, quando non sono meramente statistiche ma humianein senso stretto.5
Diamo ora uno sguardo alla nostra seconda meta-Regola, R2. In effetti si potrebbe pensare che sia proprio a questo punto che entra in ballo R2. Questa seconda

5

D. Hume, Ricerca sull'intelletto umano, Sez. IV. La connessione tra il punto di vista di Wittgenstein sul seguire la regola e lo scetticismo di Hume è stata esplicitata da S. A. Kripke nel suo libro,
Wittgenstein on Rules and Private Language, Harvard University Press, Cambridge (MA), 1982;
trad. it di Marco Santambrogio: Wittgenstein su regole e linguaggio privato, Bollati Boringhieri,
Torino, 2000.

10

Regola afferma che la sequenza da indovinare non deve essere casuale, cioè deveessere governata da una legge. E stando a quanto si è detto sinora, il fatto che ogni
segmento iniziale possa essere continuato in molti modi diversi non significa che
possa essere continuato in molti modi legiformi, cioè corrispondenti a una regola. Èeffettivamente così nel caso di (A), come anche nel caso del segmento più lungo in(A'). Ma forse potrebbe esserci un segmento ancora più lungo tale da ammetteresolo una estensione legiforme. Se così fosse, allora l’impasse in cui ci siamo imbattuti in relazione a R1 potrebbe dissolversi non appena entra in gioco R2: potrebbe
esserci un segmento iniziale (sufficientemente esteso) che identifica una sequenza
in modo univoco in considerazione del fatto che ogni altro modo per continuare lasequenza potrebbe risultare casuale, quindi inaccettabile in virtù di R2. In effetti èesattamente questo il ruolo che si intendeva assegnare alla seconda Regola: avevamo detto che R2 segue da R1, ma ora vediamo che R1 risulta vuota a meno di non
aggiungere qualche vincolo supplementare, e R2 ci dà proprio questo.
Sfortunatamente, R2 si rivela tanto inutile quanto R1. Ci sono due modi per
stabilire questo punto. Il primo risale almeno a Leibniz, il quale nei Discorso di metafisica si chiese se e come si possa discriminare un mondo a cui si applichi lascienza da uno a cui non si applichi.6 Immaginiamo – osservava Leibniz – che qualcuno produca in modo del tutto arbitrario delle macchie di inchiostro su un foglio di
carta (“come coloro che esercitano la ridicola arte della Geomanzia”). Indipendentemente dalla particolare configurazione ottenuta, Leibniz dichiarò che ci sarà sempre una funzione continua il cui grafo passa per quell’insieme finito di punti, una“linea geometrica il cui concetto sarà uniforme e costante, cioè in accordo con una
certa formula”. Per quanto possiamo dire, l’esistenza di tale funzione fu puramente
congetturata da Leibniz, ma oggi sappiamo che egli aveva assolutamente ragione.
Oggi conosciamo diversi metodi per costruire una funzione che si comporti esattamente nel modo indicato. Un buon esempio è rappresentato dalla cosiddetta interpolazione polinomiale di Lagrange.7 È il genere di funzione di cui si servono buonaparte dei programmi di grafica per computer: si clicca con il mouse su ogni punto, ela funzione restituisce una curva normalizzata che li collega tutti, come nella figura:ink d’inchiostro
spots
macchie

Lagrangian
curve
curva
di Lagrange

6 G. W. Leibniz, Discorso di metafisica, Sez. VI.
7

Si veda, per esempio, H. Jeffreys and B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, Cambridge
University Press, Cambridge, 1983, §9.011. (Il nome viene dal matematico italiano Joseph-Louis
Lagrange, che scoprì il metodo oltre un secolo dopo la congettura di Leibniz.)11

Ora, se ammettiamo che l’esistenza di un’opportuna funzione sia un’indicazione delfatto che la configurazione non è casuale, allora ne segue che nessuna configurazione di questo tipo è casuale. E siccome è plausibile supporre che ogni sequenza finita
possa essere rappresentata da una corrispondente configurazione di macchie d’inchiostro, ne segue che nessuna sequenza finita qualsivoglia è casuale. Ecco dunqueil problema: cimentandosi nel gioco della regola, X non sarà mai nelle condizioni difornire un segmento iniziale che sia “sufficientemente esteso” da ammettere un’unica estensione legiforme. Ogni estensione finita di qualsiasi segmento iniziale, indipendentemente dalla sua lunghezza, sarà non-casuale. Il che equivale a dire che R2
non impone alcuna restrizione del tipo desiderato, lasciando R1 nella pattumiera.
Il secondo modo per stabilire questo punto è il seguente. Supponiamo di basarci su una definizione più austera di casualità. Per esempio, supponiamo di aderirealla definizione di casualità menzionata sopra, che è oggi ampiamente accettata:una sequenza è casuale se (e solo se) non vi è modo più efficace di descriverla che
elencandone tutti gli elementi. In altre parole, per quanto ogni sequenza possa essere descritta da qualche funzione – come notato da Leibniz – in alcuni casi la funzione in questione è troppo complessa per essere efficace, e possiamo considerare
questa circostanza come un segno di casualità. Se aderiamo a questa definizione,
allora possiamo essere certi che ci siano sequenze casuali, e quindi il problema
summenzionato non sorge. Questo è ovvio nel caso delle sequenze infinite, dal
momento che il loro numero totale non è denumerabile, mentre le descrizioni finite(ed efficienti) sono in numero denumerabile. Ma è facile dimostrare che esiste anche un’infinità di sequenze casuali di lunghezza finita, almeno se il linguaggio in
cui le sequenze sono codificate è lo stesso linguaggio che si usa per descriverle.
(Indipendentemente dall’alfabeto, il numero delle sequenze consistenti di n simboli
è sempre più grande del numero di tutte le sequenze consistenti di un numero minore di simboli, quindi più grande del numero di tutte le descrizioni di lunghezzainferiore a n.8) Problema risolto?
Sfortunatamente no. Il problema non è che questa definizione più austera di casualità dipende dalla nozione di descrizione “efficiente”, che appare piuttosto vaga.
Potremmo renderla più precisa. Piuttosto, il problema è che questa nozione più austera di casualità risulta indecidibile. Si può cioè dimostrare che non esiste alcuna
procedura di decisione effettiva (intuitivamente: nessuna procedura che possa essere implementata su un programma per computer) in grado di restituire sempre una

8

Se l’alfabeto contiene k > 1 simboli, il numero di tutte le sequenza consistenti di n simboli dell’alfabeto è kn, che è maggiore di k1 + k2 + … + kn–1 per ogni n ≥ 1. Naturalmente, se permettiamo solo
certe sequenze, cioè se le sequenze sono codificate in un linguaggio (i numerali, diciamo) con un
minor potere espressivo del linguaggio disponibile per descriverle (l’italiano, diciamo, più il linguaggio della teoria dei numeri), allora il risultato può non essere valido.

12risposta definita a ogni domanda della forma: questa è una sequenza casuale?9
Qualche volta possiamo ottenere una risposta negativa. La sequenza dei numeri dispari, per esempio, o perfino un suo segmento iniziale finito ragionevolmente esteso, non è casuale perché possiamo descriverlo in maniera efficiente per mezzo di
una regola come la (A*). Lo stesso vale per la sequenza dei numeri dispari ripetuti, per quella dei numeri dispari palindromi, e per molte altre sequenze considerate sopra. Tuttavia, in generale possiamo non trovarci in condizione di determinare se una data sequenza (finita o infinita) sia casuale. Tutto quello che possiamo dire, se non riusciamo a individuare la regola corrispondente, è che la sequenza è casuale al meglio della nostra conoscenza, e questo non è abbastanza. Per esempio, a
un primo sguardo il segmento iniziale della sequenza di Conway sembra decisamente casuale:(F)

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, …

Y potrebbe aver tentato di trovare un algoritmo per descriverla a potrebbe aver fallito. Quindi Y potrebbe essere incline a concludere che il segmento sia l’inizio di una
sequenza casuale. In realtà sappiamo che non lo è. Analogamente per (Gd): abbiamo
detto che la serie(Gd)

1, 11, 3, 4, 5, 10, 7, 8, 9, 9, 10, 12, 12, …

sembra casuale, ma chi lo sa, c’è sempre la possibilità che qualcuno riesca a trovare
un modo efficace per descriverla. Questo è particolarmente pressante in vista delfatto che ci sono molti modi per descrivere una sequenza: come abbiamo visto, ladescrizione non deve necessariamente essere numerico-teorica, e non è detto che il
suo formato debba essere quello che ci sembra più naturale. Proprio questa è la lezione della sequenza di Conway. (In effetti, ripensandoci, anche (Gd) potrebbe essere l’inizio di una sequenza non-casuale. La regola(Gd*)

Sn = n se il nome in inglese di questo intero ha un numero pari di vocali, altrimenti Sn = (n mod 5) + 9

si adatta perfettamente ai dati…)
Ora, perché dico che questo è un problema? Dopo tutto, Y sa che X non sta
pensando a una sequenza casuale, almeno se X sta giocando in accordo con R2,
quindi Y sa che la sequenza che deve indovinare ammette una descrizione adeguata. Ebbene, il problema è che Y non può farsene molto di questa conoscenza. Y sa
che X non sta pensando ad una sequenza casuale, ma non sa che cosa ciò comporti.
Y non sa quali sequenze sono escluse perché non possiede alcuna procedura effetti9

Si veda, per esempio, G. J. Chaitin, Information, Randomness and Incompleteness, World Scientific, Singapore, 1987.

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va per dire quali siano i candidati accettabili. Potrebbe credere che un certo modo dicontinuare il segmento iniziale sia scorretto perché potrebbe non essere capace diricondurlo a una regola, ma potrebbe semplicemente sbagliarsi. Y potrebbe semplicemente essere incapace di vedere la configurazione soggiacente, quindi potrebbe
trattare la sequenza come casuale quando di fatto non lo è. Quel modo di continuare
il segmento iniziale potrebbe essere esattamente quello a cui sta pensando X.
Riassumendo, ecco dunque il quadro che emerge da queste considerazioni. Se
aderiamo a una nozione generica di casualità come assenza di regole, allora nessuna
sequenza è casuale e R2 è perfettamente inutile. Se, d’altra parte, aderiamo alla più
austera definizione di casualità come incompressibilità, allora ci sono sequenze casuali e R2 ha una sua utilità in linea di principio. Sul piano pratico, tuttavia, resta
perfettamente inutile. Possiamo convincerci che una data sequenza ottemperi al requisito della non-casualità. Ma possiamo non essere nelle condizioni di determinare
con certezza se una data sequenza ottemperi a quel requisito.
5. Giocare sul serio

Che cosa ci resta? Il “gioco della regola” – abbiamo scoperto – non può essere giocato senza rischi. Ma per quale motivo dovremmo preoccuparcene? Dopo tutto cisono molti altri giochi a cui possiamo partecipare; perché darsi tanta pena?
Ebbene, ci sono effettivamente un sacco di altri giochi a cui possiamo partecipare senza alcun pericolo, ma come già abbiamo avuto modo di osservare, questo è
un gioco che non possiamo ignorare tanto facilmente. Il gioco della regola è un gioco che pratichiamo sempre, ogni volta che ci impegniamo in un ragionamento induttivo di stampo humiano. Lo pratichiamo ogni volta che cerchiamo di portare alla
luce i meccanismi del mondo in cui viviamo, le leggi della natura e le leggi dellasocietà. Non ci cimentiamo con banali sequenze di numeri ma con le sequenze dieventi che costituiscono la nostra storia, nel tentativo di dare loro un senso e di capire dove ci stanno conducendo. E dire che questo è un gioco che non si può praticare in modo sicuro non equivale ad asserire che possiamo smettere completamente
di praticarlo.
A questo punto il cerchio si chiude e la nostra storia diventa una storia familiare per la filosofia della scienza. Alcuni pensano che il tipo di scetticismo che abbiamo illustrato debba essere preso molto sul serio. Per quanto ne sappiamo, ilmondo potrebbe non tentare nemmeno di giocare in accordo con R1 e R2, nel qualcaso le nostre pratiche induttive humiane riposerebbero semplicemente su un falso
presupposto. Ma anche se il mondo stesse tentando di giocare nel rispetto delle regole – anche se gli eventi con cui abbiamo a che fare fossero in completo accordo
con il presupposto di un mondo governato da leggi – il fatto che i fenomeni noncasuali non siano identificabili in modo efficace sarebbe sufficiente per giustificare14un atteggiamento meramente pragmatico nei confronti dell’impresa in cui è impegnata la scienza. Non avrebbe cioè alcun senso sperare di “svelare il codice”; potremmo solo sperare di partecipare al gioco in modo tale da trarre soddisfazione perle leggi che noi riusciamo a concepire, esattamente come traiamo soddisfazione dalle leggi sociali e politiche con cui tentiamo di disciplinare le interazioni quotidiane
con i nostri pari. Altri la pensano diversamente. Non solo ritengono che dovremmo
cimentarci nel gioco assumendo che il mondo lanci le sue sfide in ottemperanza alleregole R1 e R2; pensano anche che non dovremmo desistere dalla speranza di cogliere le cose nel segno. Dopo tutto, quando partecipiamo al gioco per divertimento,
spesso vinciamo. Spesso riusciamo davvero a scoprire le configurazioni nascoste
nonostante le difficoltà che abbiamo menzionato. Anche se il segmento iniziale che
ci viene proposto non identifica la sequenza voluta in modo univoco, e anche se non
siamo nella posizione di tenere sotto controllo i fattori casuali, spesso riusciamo
davvero ad azzeccare la regola corretta perché le altre opzioni sono semplicemente
troppo stravaganti per essere prese in considerazione. Perché non supporre che lo
stesso possa accadere quando pratichiamo il gioco con il mondo naturale? Tutto
quello che dobbiamo fare è assicurarci che noi e il mondo siamo sulla stessa lunghezza d’onda, per così dire: che ciò che appare naturale o astruso a noi sia in effetti naturale o astruso simpliciter. La storia della scienza dimostra che qualche volta
facciamo degli errori, ma questo non ha mai trattenuto gli scienziati dal perseguirela loro ricerca con accresciuta determinazione. Al contrario, l’idea generale è statache dagli errori si può sempre imparare qualcosa, e che siamo sempre più vicini avincere il gioco al prossimo tentativo.
Non è questo il luogo per addentrarsi in questa controversa dialettica. Ognuno èlibero di scegliere da che parte stare. Ma forse il dilemma che ci sta dietro si riesce
ad apprezzare meglio una volta che iniziamo a vedere questa dialettica dal punto divista qui suggerito. Perché, da un lato, non dobbiamo lasciarci sfuggire che praticare il gioco con il mondo della natura può essere più facile che giocare inter nos.
Quando X e Y sono persone come noi, ognuna tenterà di vincere la partita; in particolare, X tenterà di lanciare la sua sfida in modo da rendere difficile per Y indovinare la risposta corretta, cioè farà ogni sforzo per escogitare una regola che sia molto difficile, se non impossibile, da scoprire nel tempo disponibile. Per contro, nonc’è ragione di supporre che sia così che il mondo là fuori lancia le sue sfide. Il
mondo non è un agente intenzionale e non gli importa di “vincere” al gioco, o almeno così possiamo supporre. In questo senso, la pratica dell’induzione scientifica
non è necessariamente così difficile come partecipare al gioco della regola contro
un avversario intelligente che cerca di essere più astuto di noi, e il pensiero che si
debba tentare di essere sulla stessa lunghezza d’onda del mondo è tutt‘altro che irragionevole. (Proprio questa era la logica su cui si reggeva il principio di Keynes di“varietà limitata”, un principio le cui radici possono essere fatte risalire alla filoso15

fia di Francis Bacon:10 un oggetto di inferenza induttiva non dovrebbe essere infinitamente complesso, né determinato da un numero infinito di generatori, e se assumiamo che il mondo stia giocando secondo le Regole possiamo ben supporre che
stia anche giocando in accordo con questo principio aggiuntivo.) D’altra parte, c’èanche un senso importante in cui partecipare al gioco delle regole con il mondo naturale non sia tanto facile quanto giocare inter nos. Quando giochiamo tra di noi, un
giocatore fornisce l’inizio della sequenza e l’altro deve scoprirne il resto. Può essere
difficile, per le ragioni che abbiamo visto, ma almeno l’input è chiaro: il primo giocatore lo fornisce in modo esplicito. Quando giochiamo con il mondo, invece, dobbiamo stare attenti. Non tutte le serie di eventi vanno considerate alla stessa stregua.
Possiamo assistere al sorgere del sole ogni mattina e assumere questa informazione
come input per una legge che possiamo ragionevolmente formulare come una generalizzazione induttiva humiana. Potremmo anche pensare che valga la pena studiareattentamente la serie di eventi che otteniamo lanciando una moneta, perché in fondo
potrebbe non essere affatto una sequenza casuale. Ma quando cambiamo compulsivamente i canali durante un’interruzione commerciale, la serie di eventi che si susseguono sul nostro schermo TV non merita di essere studiata. Quando controlliamo
il cielo ogni volta che singhiozziamo, la serie di eventi che otteniamo non è degna
di alcuna considerazione. Ciò non equivale a dire che si tratta di serie casuali: potrebbe benissimo esserci una qualche configurazione nascosta, per quanto ciò possa
apparire sorprendente. (“Ogni volta che guardo gli Yankees, quelli perdono.”) Èsolo che queste serie di eventi non sono interessanti. Non contano, per così dire. E
non contano perché continuerebbero ad esserci anche se si scoprisse che viviamo in
un mondo totalmente deterministico, un mondo in cui nulla fosse casuale e tutto
accadesse per una ragione. Per dirla in breve, quando giochiamo con il mondo dobbiamo scoprire quali siano le sequenze da considerare prima di iniziare a scoprirecome siano fatte, perché il mondo non ce lo dice. Il mondo non lancia le sue sfide
nello stesso modo esplicito in cui lo fanno le persone che giocano tra di loro.
Ora, proprio questa è la difficoltà principale del ragionamento induttivo humiano. Possiamo convivere con la casualità e possiamo convivere con il fatto che lacasualità sia indecidibile. La scienza ha imparato a far fronte a queste difficoltà, in
un modo o nell’altro. Possiamo perfino assumere che il mondo – a differenza dei
giocatori umani più abili – non abbia alcun interesse a batterci. Ma dobbiamo stare
attenti, perché la nostra conformazione cognitiva è tale da indurci a cercare costantemente configurazioni e tendenze anche quando non ve ne sono. E possono nonessercene, non perché le sequenze con cui abbiamo a che fare possono essere casua10

Si veda J. M. Keynes, A Treatise on Probability, Macmillan, New York, 1921, cap. 22; tr. it. acura di A. Pasquinelli e S. Marzetti: Trattato sulla probabilità, Clueb, Bologna, 1994. Lo si confronti con la Magna Instauratio di Bacone e con il Libro II del suo New Organon.

16li, ma perché è possibile che non si abbia affatto a che fare con delle sequenze. Forse stiamo semplicemente esercitando “la ridicola arte della Geomanzia”, come diceva Leibniz, e quello non è un modo per partecipare al gioco. Perché alla fine,quando si tratta di giocare sul serio, la tacita Regola sulla quale non possiamo faremai affidamento è anche la più ovvia e importante di tutte:
R3

Il segmento iniziale della sequenza deve essere dato in modo esplicito.

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