クォーク・ハドロン連続性と高次形式対称性
with 谷崎佑弥
PRL’19 [1811.10608]
JHEP’19 [1904.08570]

広野雄士

物質相の分類• ギンツブルグ・ランダウ理論• 対称性の破れのパターンによる分類• Ex) 水• 液相、気相: 連続的な並進対称性• 固体: 離散的な並進対称性

2

水の相図
P固体

液体気体

T3

QCD相図T

初期宇宙

高エネルギー重イオン衝突

クォーク・グルーオン・プラズマ

カラー超伝導ハドロン

中性子星

低エネルギー原子核衝突
バリオンケミカルポテンシャル

5“クォーク・ハドロン連続性”[Schafer, Wilczek, PRL '99]

カラー超伝導核子超流動“CFL相”
6

カラー超伝導• SU(3) ゲージ理論• light quarks: up, down, strange• 秩序変数: diquark 凝縮T
Φαi = ϵαβγϵijk⟨qβjCγ5qγk⟩colorα = r, g, bi = u, d, sC ≡ iγ2γ0flavor• カラー・フレーバー・U(1)B 変換の下で、

7Color-Flavor-Locked (CFL)相Φαi = Δδαi
• 高密度では最も安定なpairing patternusd sud• 全てのグルーオンは質量を獲得: カラー超伝導• U(1)B 対称性の自発的破れ: 超流動

8

“クォーク・ハドロン連続性”• 対称性の破れのパターン

核子超流動[Schafer, Wilczek '99]

CFL 相
9

“クォーク・ハドロン連続性”[Fukushima, Hatsuda '10]
[Yamamoto, Tachibana, Hatsuda, Baym '07]……

U(1)B phonons

U(1)B phonons

Pions

CFL pions

Baryons

QuarksVector mesons

Gluons10“クォーク・ハドロン連続性”
Ginzburg-Landau理論による解析[Hatsuda-Tachibana-Yamamoto-Baym, PRL ’06]

軸性量子異常に由来する項の効果で critical point が生じる

11

“対称性”だけでは分類できない相• 分数量子ホール効果• 対称性の変化を伴わないが、異なる相がある• 「トポロジカル秩序」[X. G. Wen ’89]

• トポロジカル秩序のある相• 分数統計・非可換統計 (anyons)• 空間のトポロジーに依存した基底状態の縮退• 低エネルギー理論: topological QFT
12

s波超伝導• トポロジカル秩序を持つ• 粒子と量子渦を交換したときに分数量子化された位相ℤ2 braiding phase

Wilson loop

=Vortex
14

CFL相の渦[Balachandran, Digal, Matsuura '06]

• 量子化(1/3)された循環• カラーの磁束• 回転する中性子星のコアで存在？

[http://cua.mit.edu/ketterle_group/Nice_pics.htm]

15

渦と色荷を持つ粒子の分数統計 in CFL相[Cherman, Sen, Yaffe PRD’19]ℤ3 braiding phasecolor Wilson loop

=Vortex16

渦と色荷を持つ粒子の分数統計 in CFL相[Cherman, Sen, Yaffe PRD’19]ℤ3 braiding phase

カラー超伝導核子超流動“CFL相”
17

トポロジカル秩序の特徴付け• 高次対称性 (higher-form symmetry) [Gaiotto, Kapustin, Seiberg, Willett ’15]• 対称性で変換するオブジェクトが高次元• “p-form 対称性”

• (離散的) 高次対称性の SSB→トポロジカル秩序• s-wave SC: ℤ2 one-form 対称性の SSB18

s波超伝導体の低エネルギー理論

2+1次元を考える
低エネルギー極限(massive励起を落とす)で、有効理論はBF 理論 (at level 2)

k=2

a = aμdx μb = bμdx μb ∧ da = d3x ϵ μνρbμ∂νaρ∫∫19

s波超伝導体の低エネルギー理論• Abelian Higgs model• EOM for:20

物理的観測量
Wilson loop

W(C) = exp i∫CVortex operator

aV(C) = exp i∫Cb

粒子・反粒子/渦・反渦の対生成・対消滅プロセスに対応

21

２つの ℤk 1-form 対称性
2πik

W(C) ↦ e W(C)

2πik

V(C) ↦ e V(C)• 両方とも自発的に破れている=W(C)=1V(C)
22

分数統計性=eV(C) W(C)

2πik
W(C)

V(C)

23

基底状態の縮退• 二次元トーラス• 以下の関係を満たす:

24

基底状態の縮退• 基底状態• Wx の固有状態として取る:• 以下の状態を考える:

25

基底状態の縮退•はとは異なる状態

26

s波超伝導体のトポロジカル秩序ℤk 1-form
対称性

SSBℤk 分数統計ℤk 1-form
対称性

トポロジカル
秩序

SSB
27

CFL相の低エネルギー有効理論• u, d, s の質量が同じ場合を考える• CFL相で質量ゼロの自由度:
U(1)B phonons: U(1)B のSSBに伴うNG boson28

CFL相の低エネルギー有効理論• GL Lagrangianℒ=• スカラー場の振幅モード・ゲージ場のkinetic termを落とす• ゲージを fix して1ℒ = 2 ( | dϕ1 + a1 |2 + | dϕ2 − a1 + a2 |2 + | dϕ3 − a2 |2 )2g0

1
• dualな自由度へ: ϕi ↦ bi = (bi)μνdx μ ∧ dx ν2i = 1,2,329

CFL相の低エネルギー有効理論i
S = Sphonon[bi] + KiA bi ∧ daA∫2πPhonon運動項

b0 := b1 + b2 + b3

BF termi = 1,2,3A = 1,21b0 ∧ ⋆b0として、 Sphonon[bi] =2c ∫10• 非正方行列
K = −1 1( 0 −1) • dim (coker K ) = (# of massless phonons)
30

CFL相の低エネルギー有効理論i
S = Sphonon[bi] + KiA bi ∧ daA∫2π• 物理的観測量Wq(C) = exp i qAVp(S) = exp i pi
U(1)B NG mode

∫C∫SaAcolor Wilson loops

bivortex operators
S : worldsheet of a vortex
31

CFL相の低エネルギー有効理論•ℤ3 2-form 対称性
2πi3Vp(S) ↦ e Vp(S)•Wilson loop の位相を回す対称性はない

32

CFL相の低エネルギー有効理論• ℤ3 2-form対称性の作用: 粒子と渦の統計性⟨Wq(C)Vp(S)⟩ = e+2πi qAKAipi link(C,S)⟨Vp(S)⟩+: Moore-Penrose inverse of KiA
KAi10
K = −1 1( 0 −1)

K+ =231−3− 13 − 131−32333

CFL相の低エネルギー有効理論• ℤ3 2-form対称性の作用: 粒子と渦の統計性⟨Wq(C)Vp(S)⟩ = e+2πi qAKAi
pi link(C,S)⟨Vp(S)⟩+: Moore-Penrose inverse of KiA
KAi=34

CFL相の低エネルギー有効理論• ℤ3 2-form 対称性は自発的に破れていない• vortex/anti-vortexの閉じ込めに相当• ℤ3 2-form 対称性 ⊂ U(1) 2-form 対称性• 連続的な 2-form 対称性は4Dでは破れない(Coleman-Mermin-Wagner theorem)• ( D − p ≤ 2 だと対称性は破れない)35

結論• CFL相の分数統計: 創発的な ℤ3 2-form 対称性の帰結• この対称性は自発的に破れていない• CFL相はトポロジカル秩序を持たない• 高次対称性も含めて、核子超流動相とCFL相は同じ対称性を持つ→クォーク・ハドロン連続性は consistent36