岐阜経済大学論集30巻2号（1996年）

多期間収益率の時間依存型
ボラティリティの導出
多変量VAR−GARCHモデルのケース

中

川

裕

司

1はじめに
2

3

4

n変量VAR（1）−GARCH（1，1）モデル

7期間条件付期待収益率
3．1

期間t＋sの期待収益率の導出

3．2

期間t＋sの第々ファクターの収益率の導出

3．3

期間t＋sの収益率の導出

T期間収益率の条件付分散4．1

期間t＋vのGARCHモデルの誤差項の条件付分散の導出

4．2

期間t＋sの第々ファクターの収益率の条件付分散の導出

5おわりにAppendices1．はじめに
現在のファイナンスの中で，リスクとその測定はかなり重要である。その一例として，現時点をt，t＋Tをオプションの満期時点，

Xを行使価格，rを無危険利子率，σを本源的証券の収益率の瞬間ボラティリティ，N（・）を正規分布関数とするとき，周知のBlack−Scholes（BS）公式のヨーロピァン・コール・オプションの理論価値C，が次式で与えられる。
141

C，−P，N（・〉・一・Xe−Black

・N（・・一・・VT）

，

d−

嘲X）

蒜＋σ2T！2・

andScholes（1973）によれば，本源的証券の価格が幾何ブラウン運動（geometricBr・wnian・moti・n）するという仮定の下で上式が導かれているが，現在では本源的証券の価格が二項過程など他の確率過程の下でも上式が得られることが知られている。その中でMerton（1976）は本源的証券のオプ

ション満期時点t＋Tの価格が対数正規分布するという仮定の下では，σ2Tの代わりにオプションの満期時点t＋Tまでの本源的証券の収益率の分散を代入すればよいことを述べている。

実際にリスクを測定するために，いくつかの方法が存在しているが，その中でAkgiray（1989）は1変量GARCH（1，1）モデルを使って，20日間収益率の条件付分散を予測し，中川（1993）1）は1日の収益率を日中収益率と夜間収益率に分けて，それぞれの収益率と収益率モデルの誤差項がその直前の収益率と誤差項の条件付分散から影響を受けるようなGARCHモデルを設定して，現在の情報を条件とした将来のn日間の収益率の分散を導いている。さらに中川（1996）は2変量VAR（1）−GARCH（1，1）モデルでのn日間の収益率の分散を求めている。これらの方法は収益率の時系列モデルを設定して，推定されたパラメータをもとに現在の情報（収益率モデルの残差）を条件として将来のリスクを測定しようというものである。

こうした時系列モデルに基づくリスクの測定はそのモデルの設定に大きく依存し，設定されたモデルが簡単であれば，リスクの測定も容易である
が，たとえば1日24時間の通貨（外国為替）取引を考えるときには，多数の市場で一部同時あるいは順次に取引が続いていくことを考慮すれば，その通貨の1市場での変化率は多数の市場から影響を受けて，モデルの設定も多少複雑にならざるを得ない。たとえば，Engle，Engle，

and

Ito，

and

Lin（1990）2）とIto，Lin（1992）3）は東京市場とニューヨーク市場とヨーロッパ市場の3市場間の米国ドルに対する日次為替レートの変化率をGARCHモデルで
ワ匂42

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）分析している。また，Ballie

andBollerslev（1990）は米国ドルに対する主要欧州4通貨の週次リスク・プレミアム4）を，Bollerslev（1990）は米国ドルに対する主要欧州4通貨のspot

rateの変化率5）を分析している。

さらに通貨オプションの価値を考えるときには問題がより複雑になる。

たとえば先のBS公式より通貨オプションの価値を求めようとするとき，オプション満期までの取引期間というフローがより多数の市場間の影響を複雑にし，使用されるべきリスク尺度も将来の予測に基づく分散でなければならない。また通貨オプション取引まで複雑でなくとも，日経オプ
ション取引の場合でも海外市場で取引されていることを考えれば，本論文で想定する多変量VAR−GARCHモデルでの条件1寸分散の導出が有用となるであろう。本論文では，1期間を多数の時間帯で取引される多種類の資産の価格が相互に影響する（たとえば，国内外の貴金属先物取引の）場合，または多数の市場で取引される1種類の資産の価格が相互に影響する（たとえば，国内外の日経オプション取引の）場合の収益率とそのボラティリティを考慮して多変量VAR（1）−GARCH（1，1）モデルを設定した。このとき後者を考える場合，n個の市場で期間t中に取引される時間帯の最小公倍数がm個であると考える。次節ではまず多変量VAR（1）−GARCH（1，1）モデルを設定し，続く第3節では多期間収益率を導き，第4節では第3節で求めた多期間収益率のリスクを求める。

2．n変量VAR（1）−GARCH（1，1）モデル
1期間をm個の時間帯に区分して，任意の時間帯に取引されるn種類の資産の価格が相互に影響する，またはn個の市場で任意の時間帯に取引される1種類の資産の価格が相互に影響する，と想定するとき，1期間tを区分して第le−1時点から第le時点の第i資産の対数相対価格rik．，を以下では第kファクターの収益率とよび，次式で与えることにする。このとき，
−

3−

43

任意の1期間中に取引される時間帯の最小公倍数がm個であると考え，1資産が取引される時間帯は複数であってもかまわない。
r、1，tニln（P、1，，／P、M，t−1），for

ここで，Pih．

r、k，t＝ln（P。．t／P，、．1，，）・

i＝1，2，…，n，

k＝2，3，…

，m．

（1）

tは期間tの第i資産の第k時点の価格を表す。各収益率の多変量VAR（1）−GARCH（1，1）モデルは次式で与えられる。
ril，t＝Cil＋Σa，jir」．，t−、＋ε，1．t・

j＝1
r、k，

（2）

カ
t＝Cih＋Σa，」kr，・h−、，t＋εik．t・
J

εil，∫

E［εil，

E［E，i，［＝1

V．．、一、〜N（O，tεil，tEih．t1h，1．t），

t．s

1

IYM．

iUm，

t．、］ニPi1．、ih

εik，

t

l

t−1］＝E［ε幻ε〃．s

h，1

hik．

t，

lUk．1．t−−N（0・hik．

lt）・tUk−1．t］＝0・E［εik．，εip．

tl

uμ々．1．t］ニρ，々．，q

hik

hig，，

カ
カ
h，1，t≡Var（ξ1．，1鞠．H）＝α、1＋Σ鳥1εん，，．1＋Σ1 ijlhim，t．1・

ノ＝1

ノ＝1

（3）
h、k，t≡Var（s；，．，

1

灯

n

Vt、．Lt）＝α、、＋Σβ，、ε5．1，t＋Σγ，，・，h，、．Lt・

ノ＝1

for

ノ＝1

i，∫＝1，2，…

n1＝1，2，一・，m，

s＝1，2，・・㍉

k，4＝2，3，…，m，（k＜q）．
ここで，
lff々，

＝｛εi々，t，εik．

t＿1，εi々．

t＿2ヂ・・｝

for

i＝1，2・・一一・n，

k＝1，2ヂ・・，m，（4）であり，期間tでの第k時点の情報集合を表し，期間tの第々ファクターの各収益率を観測し（leニ1，2，…，m−1），期間tの第k＋1ファクターの各収益率はまだ観測していない時点に現在がある場合の情報集合が昨，とな
44

−

4

一

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）る。言い換えれば，現時点は期間tの第le時点から第le＋1時点の間にあることを意味している6｝。Cilとαitは定数項，αり，とβり∫と1・ijtは回帰係数，

εit，tは誤差項である。第ゴ資産の第leファクターの期待収益率モデルを表す（2）式をVARモデルとよび，（3）式をGARCHモデルとよぶ。ρ々1（le，1＝1，2，…，m，

le≠1）は第leファクターと第1ファクターのそれぞれの

VARモデルの誤差項の相関係数を表し，

E［・1

Yf，，，］は期間tの第々ファク

ターの情報集合敗∫の下での条件付期待値を表し，ノV（0，転1）は平均ゼロ，
分散がhilt．

tである正規分布関数を表す。

hil．t≡E［㌶，1iUm、t．1］は期間t−1の情報集合！ffm，t−1の下での第i資産の第1ファクターのVARモデルの誤差項の条件f寸分散（heteroskedastic
varyingvariance）を表し，梶々，variance），言い換えると時間依存型分散（time−t≡E［㌶，IW1．，］（k＝2，

3，…，m）は期間tの情報

集合Utk−1，tの下での第i資産の第kファクターのVARモデルの誤差項の条
件付分散を表す。

3．T期間条件付期待収益率
次の小節では，情報集合Vμt，，の下での（1ニ1，2，…，m），期間t＋s（s≧0）の第i資産の第feファクターの条件付期待収益率E［タikl，，＋5

く3．2節では情報集合Uti．

1Ψノ，，t］を求め，続tの下での期間t＋sの第i資産の第kファクターの条件付収益率元．，．、1ψ，，，を求める。3．3節では，前小節で求めた期間t＋sの各条件付収益率をファクターkについて合計した期間t＋sの1期間中の第i資産の条件付収益率元．、1，yt．tを導出する。

3．1期間t＋sの期待収益率の導出

以下の議論では，1期間をm個の時間帯に区分して，n種類の資産が任意の時間帯に取引されるケースを想定する。仮りに，1種類の資産が任意の時間帯にn個の市場で取引されるケースを考えるならば，以下で出現す
nt

45

る第i資産（i＝1，2，…，n）を第i市場と読み替えるべきである。

まず（2）式から期間t＋s（s≧0）までの各資産の各ファクター収益率を求め，情報集合ψ，．，を条件とした期待値を求めると，すべての式の誤差項はゼロとなる。次に期間t＋sまでの条件付期待収益率E［環．f．、1

lu，、，］から無条

件期待収益率Mhを差し引いて，繰り返し代入して，最後に両辺からm々を差し引くことにより（5）式のE［㌃，．、11μ㍑］を求めることができる。ここ

で，Mkは第1資産から第n資産までの第kファクターの無条件期待収益率の列ベクトルを表し，無条件期待収益率とは無限に遠い将来に期待される収益率を意味する。留意すべきはs＝0で同じ期間t内に現時点があろうとも，第leファクターの収益率を未だ観測していない時点に現在があれば，第kファクターの収益率は情報集合Ilft．，の下での条件付期待収益率を求めることになる。（導出の詳細はAppendix

Aを参照されたい。）［三：1：：1：1：：］

卜〔輌輌1月叫・〔輌買輪プ、h細［量幅町r罰幅斗
if

1≦々≦t≦m，（5）

卜〔1A…1買々A…・1〕5］叫・〔！輪買輪｝［ 量輪乾・＋頴輪輪］
if

ここで，
46

6

1

≦

1

＜

k

≦

m．

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）r々．t≡［rl

k，

t

…

r，th，

t］T，

Ch≡［Clk…

Crk】T，

Ak≡［a，Jle］，

Ao≡Am，

o輪一典与1−〔自輪買輪1・1・〔自唖・＿ブー〔4・一買・＿プ…

叫（・）

十一転買輪r［顯輪脇・自ぶ害典輪叫
fori＝1，2，…，n，であり，上付き添え字Tは転置行列であり，上付き添え字一1は逆行列を表し，Inはn×n単位行列である。（5）式について留意すべき点は，現時点でE［元，，llμ，，」が既知であるか未知であるかに依存することであり，第1式は既知であるケースであり（E［Z，1．，

1／lpt，．，］＝rik．

t），第2式は未知である

ケースである。言い換えれば，現時点の第kファクターの収益率に関して，第1式はすでに観測しているケースであり，第2式は未だ観測していないケースである。このことは以下の内容にも通用する。さらにk＝tのときに限り，（5）式は無条件期待収益率の列ベクトルmtと現時点の収益率の列ベクトルrl，tの線型結合の形で導ける7）。

3．2期間t＋sの第kファクターの収益率の導出
次に，情報集合Vft．，の下での（＝1，2，…，m），期間t＋∫（s≧0）の第i資産の第kファクターの条件付収益率履，，．、1叫tを求める。そこで，まず（5）式の条件付期待収益率から条件付収益率を差し引いて，誤差項だけからなる式を求め，最終的にすべての誤差項の係数を再帰的に代入することにより求めると，（7）式となる。（導出の詳細はAppendix

イt

Bを参照されたい。）

47

［こ：：：：1：1：］

・〔lii・一買・…洞一［算A−1妄甦・一・…］・ξ［［Σ輸A一藁・一・顯・ぷ一西輪刺馴
if］1≦々≦1≦m，

（7）

卜伽胸］叫
・〔A・ぷA…」∫恒・k−・・1rl．t・顯・k−t・1c・−w］

網輌輌r転・顯唖・一西輪蜘⇒if1≦／＜ん≦〃z．

ここで，F．．、．山．、≡［Zl［．．，．，1y（、．t…9nu．t．．1

v・、．

t】T，

ρ・仁．1111：ll㍑一・ば1：だ1：：，

48

−

8一

（8）

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）である。ここでもuと1との関係は前小節のleと1との関係と同様に，現時点で監、1防tが既知であるか未知であるかに依存する。

3．3

期間t＋sの収益率の導出

次に，期間t＋s（s≧0）の1期間中の各資産の収益率を求める。前小節で導いた情報集合Yμt．tの下での期間t＋Sの第i資産の第々ファクターの条件付収益率》5∫．，1［Vt．

tをk（k＝1，2，…，m）について加えた収益率が，（9）式の期間t＋sの1期間中の第i資産の条件付収益率元．sliUt，tである。期間t＋s（s≧0）の1期間中の各資産の期待収益率は（9）式の両辺の期待値をとる

ことにより得られる。その結果，（9）式の右辺第4項の期待収益率の誤差項の列ベクトル叉．，．，1vri．

tがゼロ列ベクトルとなる。

［∴
zl，［lll：1：1：］
・

斗一〔転買刷］叫・

顯輪買叫みぱ輪虞輪町「頴輪司・顯輪買輪」［liA繭＋頴輪司・ξ［顯遮輪ゾ［〔輌輌〕顯輪・

顯唖輪］・・…v叫
9

（9）

49

収益率に関する最後のものは，現時点から将来の任意の期間までの多期間の収益率を導くことである。これには（9）式の期間t＋sの1期間中の第i
資産の条件付収益率τ，．sllμi，tをsについて加えることにより，T期間の収益率を導くことができる。

4．T期間収益率の条件付分散
次の小節では，情報集合IPft．，の下での（1＝1，2，…，m），期間t＋s（s≧0）の第i資産の第kファクターのVARモデルの誤差項の条件付分散を求め，続く4．2節では情報集合llfLtの下での期間t＋sの第i資産の第々ファクターの収益率の条件付分散を求める。

4．1

期間t＋vのGARCHモデルの誤差項の条件付分散の導出

期間t＋vまでのVARモデルの誤差項の条件付分散Var（DI。．t．．1｛Vi，t）から誤差項の無条件分散鴫を差し引いて，繰り返し代入して，最後に両辺からs：を差し引くことにより（10）式のVar（ξ。，，．v

l

Uti．

t）を求めることができる。ここで，sZは第1資産から第n資産までの第uファクターのVARモ
デルの誤差項の無条件分散の列ベクトルを表し，無条件分散とは無限に遠い将来に予測される分散を意味する。留意すべきはv＝0で同じ期間t内に現時点があろうとも，第uファクターの収益率を未だ観測していない時点に現在があれば，第uファクターの誤差項の分散は情報集合戦tの下での条件付分散を求めることになる。（導出の詳細はAppendix

Cを参照されたい．）（5）式と同様に（10）式について留意すべき点は，現時点でVar信。．，．，1yti，t）が既知であるか未知であるかに依存することであり，第1式は既知であるケースであり（Var信。．，．，1vri．，）＝0），第2式は未知であるケースである、

言い換えれば，第1式はすでに第uファクターの収益率を観測しているケースであり，第2式は未だ観測していないケースである。さらにu＝1
50

一

10一

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）のときに限り，（10）式は誤差項の無条件分散の列ベクトルslと誤差項の条
件付分散h，．1．tの線型結合の形で導ける8）。
［こ：：：1：：：：lji：：1

卜〔口⊇∋ト・〔典輪買・司肖叫び副・…一鷹1自・⑭・叫
if＝1≦u≦1≦m，

卜一〔亘⊇∋｝：（10）・〔亘鴫輪〕↑越・1h・・1，・＋烈恥⇒
if

1≦1＜u≦m．

ここで，hm，Lt≡hl．，．1であり，

h、．t≡［九t…h。k，t］T，［1：：1：1：：a、≡［α、ゼ・α。．、］T，

1∴1・

B・・

典輪一典Bm−・・1−〔自・一買輪11・1。・

・2・

（・1）

〔碑⇒輪lr閲一・自輪烈輪⇒
for

−11−

le＝1，2，…

，〃1，

5ユ

である。

4．2期間t＋sの第kファクターの収益率の条件付分散の導出
期間t＋sの第kファクターの収益率の条件付分散（12）式は（7）式の両辺の条件付分散をとり，（10）式を代入すると得られる。この条件付分散により，現在の情報の下での将来の任意の時点の収益率のリスクが測定可能となる。これまでのリスク測定とは異なり，モデルのパラメータが大きな役割をはたすことになる。
期間t＋sの第i資産の収益率の条件付分散は（12）式をk（k＝1，2，…，m）について加えたものである。さらにT期間収益率の条件付分散は期間t＋sの第i資産の収益率の条件付分散をs（s＝1，

2，…，T）について加えたものである。

5．おわりに
本論文では，1期間をm個の時間帯に区分して，任意の時間帯に取引されるn種類の資産の価格，または1期間中にm個の市場で取引される1種類の資産の価格が，相互に影響する場合の収益率とそのボラティリティを考慮して多変量VAR（1）−GARCH（1，1）モデルを設定した。

そのとき将来にわたる多期間の各収益率は第3節で求め，現在の情報に基づく多期間収益率の分散は第4節で導いた。残された問題は実際に実証分析を行うとともに，多変量VAR（1）−GARCH（1，1）モデルの定常性の条
件を厳密にすることである。これらはのちの機会に譲りたい。

52

一

12一

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）「1：：：lll：ll：］＊［〔自耐輪ぱ・一［［［1・一〔亘輪買∋］s：

輌刺遮［楓1輪・＋蕊1自・…・a」］
棚碩・一西輪螂［［1・一〔典⊇・一月・1
底刺−1n・一［がコトロバロユ

ぽnB用一1．th、．1，，＋

ΣnB．．、・．、a．．wノ＝l

to＝m−

−1ノ＝1

］］

・

細・一買・一西輪司［［1・艇一胸］sl・〔輌買舖随Lい烈に輪］］］・1…

・臥
（12）

ξ箇〔輌買㌧ぱ輪1［［い〔輌買∋｝：・・〔自・一胸v

嵐［〔自輪買輪ぱ輪1［［1・垣輪騨」1㍉

撫一胸
・

1輌恥1輪「：元無1a…］］

臨い烈ぷ…］］

ξ［〔陣訂nAk−，・T螂卜

輌刺随L一烈⇒］］・f1…一
一13−

53

Appendices

Appendix

A

情報集合Vμt．tの下での（1＝1，2，…，〃z），期間t＋∫（∫≧0）の第i資産の第leファクターの期待収益率を求める前に，無条件期待収益率を定義しておく。無条件期待収益率とは無限に遠い将来に期待される収益率を意味し，（6）式と（a1）式と（a2）式で定義される。

R聖・［rl，t・・1・t］−Cl・A1［Rtm・［緬1刈一CI＋Alm・・

ml≡
m・・

R璽・劇¶］…＋吐璽E［…1−1．…1司一・・＋A・Mh−lfor

ここで，ψpllmは確率極限（limit
V2，，，…，lffm，

E［i，，t＋、1Ψ

in々＝2，3ヂ・・，〃t．

（a1）

pr・bability）を表し，情報集合Ψ、は｛Vrl．t，t｝の任意の要素とし，］≡［E［7Yk，t．、1妬，］…

E［7．，t．siVti，t］］Tforh，1ニ1，2，…，m，（a2）である。（a1）式を順次繰り返し代入して整理すると，（a3）式が得られる。

〔吋輪買輪〕叫・顯輪輌・白輪烈輪㌦
for々＝1，2，…

，〃z．

（a3）

（a3）式から第々ファクターの無条件期待収益率の列ベクトルMkを求めると，（a4）式となる。

Mk−〔鴫輪買輪『虞ぷ肺輪署典輪⇒
for

54

−14一

k＝1，2，…

，m．

（a4）

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）次に，情報集合uμt．tの下での期間t＋∫の条件付期待収益率E［亙，t．sltμi．t］（k，1＝1，2，…，mk＞1）から無条件期待収益率を差し引いて行列表示したものをW々，、で表し，繰り返し代入していくことにより，（a5）式が得られる。（a5）式中のE［冨，

1

iyi．

t］は条件le＞1より，条件帖tと収益率耳，，が同じ

期間内tであっても未知数であり，最終的に（2）式を使って導くことになる。

w々．、≡E［7，．，．，1yi．t］−m々＝c々＋A々E［7，一，．，．51ψ／．，］−m々ニc々＋A々c々．1＋A々A向．，E「Fk−2．t．51ψ，．f］一叫
んヰ

リ

を

れ

たヨ

リ

＝ΣrlA々．、．lc々−w＋rlA々一，．1ΣnA−．i＋ICm7w
w＝【，ヒ11＝th

nAm，J．，E「ζ．r．、−11ψt．t］−mk

＝1

ノ＝1

セ

m＿h

＝1

ノ＝1

m＿lt

＋nA々．、．1＝nA々．、＋1

w＝O

nA．一ノ．1（E［元．，．、．1

1Vtl．，］−Mk）

ノ＝1

自ぷ・m−・・1w・．・−1−〔貞唖∋れ一〔hm−hnA々−1．1nA励一ノ．1t＝1

ノ＝1〕5（・…．，［・・．・］−Mk・・

一〔A・一買・一順ぷ顯輪・k−w一叫］・f1≦1・・≦m・（a5）

同様に，情報集合tUl．，の下での期間t＋sの条件付期待収益率
E［元lf．、1

Vt，，］（le，1ニ1，2，…，mfe≦のから無条件期待収益率を差し引いて，列ベクトルWk．sで表すと（a6）式となる。ここで，条件々≦1より
E［耳，IUμt、，］ニrle．tであるから，（a5）式を参考にしてs＝1まで求めてから，（2）式を使って（a6）式を導く。

一

15一

55

トエ
w・．・≡・・i・．，…1・v，，1］一叫一〔輌買・一）w∫k＝nA々−t．l
1＝l

n

m−k

s−1

Am−J．1（E［irk．t．11ψt．，］−mlt）

J＝1−〔自唖・一順一・輌客自・一・直鴫・m＿・・1

rl．・

一・mh］

一〔o唖・一ぱ幅閲㌧ぺ薯1自・mv＋tCm−w
一買・m−・・IM・］

・f

1・le・

・m・（・6）（a5）式と（a6）式のそれぞれの両辺から無条件期待収益率の列ベクトルm々を差し引いて，まとめたものが（5）式である。

Appendix

Q．E．D．

B

情報集合IUt．

tの下での（／＝1，2，…，m），期間t＋s（s≧0）の第ゴ資産の第kファクターの収益率モデルの全誤差項の係数を求めるために，まず条件付収益率から条件付期待収益率を差し引いた（b1）式を定義する。
［1：：：：1：：：叢：：：：1：：1］

調叢1北：：1：1：：1］
・

鴫：1］［：：11：：1・ξ［茎［覧自［1：ll：二：：11
・・ξ［覧11：：］［1：：：1｝：1：：：l

56

−16一

f・・一…1・・2・・…m・（b1）多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）GARCHモデルである（3）式を使って，繰り返し代入した結果は（b2）式である。

［霞；自自輪1買・＿ド〔直輪1買A＿ ）・f・≦…≦m・

齢一騨斗（恥1〕iffor1≦u＜カ≦m，v＝1，2，…

，s． （b2）（b1）式に（b2）式を代入すると，（b3）式が得られる。

［IIIk，t＋、1Vtt．t−E［ii

k．t＋s

1

Vt，，，］石，，＋、｜Vfl．t−E［㌃．r＋slYft．t］］

一ξ［［Σ〔輌輌西輪・ξ繭輪西輪嗣⇒（b3）
最後に，（b3）式の両辺から条件付期待収益率を引いて，（5）式を代入すると（7）式が得られる。

Q．E．D．

一

17一

57

AppendixC

まず情報集合IUt．

tの下での（1＝1，2，…，m），期間t＋s（s≧0）の第i資産の第kファクターのVARモデルの誤差項の無条件分散を（11）式と（c1）式と（c2）式で定義しておく。ここで，誤差項の無条件分散とは無限に遠い将来に予測される誤差項の分散を意味する。
sl≡plim［Var（亘，t．slΨt）］ニal＋Bl

Plim［Var（Fm，t＋s−11Ψt）］＝al＋Bls三，∫一→oosl≡plim5→oe［Var（e、，，．、伴）］＝ak＋B々

plim［Var（亘．1，t．s

s→oo

lΨ

）］＝a々＋B々s；．1

s→eo

for

ん＝2，3，…

，m．

Var（9．

t．，1ψt，t）］T

for

（c1）

ここで，

Var（己t．51tp，）≡［Var（gikt．、1ψt，t）．．．

k，1＝1，2，…，m，

（c2）

︹

である。次に（c1）式を順次繰り返し代入すると，（c3）式を得る。
m−kIn−n k B々一，＋lHBm一ノ＋1

t＝lJ；1〕・1一ξ庄・転・自輪罰輪編

for々＝1，2，…

，m．

（c3）（c3）式からVARモデルの誤差項の無条件分散の列ベクトルslを求めると，（c4）式となる。

パー

ト自輪買輪『［顯輪輪・自輪顯輪・叫
forkニ1，2，・一，m．

（c4）

次に，情報集合IUt，tの下での期間t＋∫のVARモデルの誤差項の条件付
分散Var（乙．，．，

58

l

tUt．

t）（u，1＝1，2，…，m−18一u＞1）から無条件分散を差し引いた

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）

ものを列ベクトルG。，vで表し，式に繰り返し代入していくことにより，（c5）式を得る。（c5）式中のVar（亘，fl防，）は条件u＞1より，条件Vtl，tと誤差

項己．rが同じ期間tであっても未知数であり，最終的に（3）式を使って導くことになる。

G。．

≡Var（i。．、．，

1v、．t）−sZ＝a況＋B，、（Var（蔦一1，，＋．1ψ，．t）−sZ）＝a．＋Buau−1＋BuBロ−l

Var（Fu−2．，＋び1ψ，、，）−s：

リ

ば

り

ロ

ぴ

＝au＋ΣnB。−1．la。．。＋nB。．1．1ΣnB−．，．la．．脚
w；0に1

‡＝l

w＝0

・〔自⊇輪1〕・・…u．一〔lt・u・＋1買況B・。」（・ar（・・．…一・

ノ＝1

・一・；
1…．t・一・；・一〔自・u−1＋1買

B・一，・1〕・・．品

一〔自ぷ・…JG・，・・〔自・一輌11・・ar・叉・1朽・）−sZ・
一

一〔自・一輌1匝輌＋頴輪・…一司
if

1≦1＜z∠≦〃t．

（c5）

同様に，情報集合1μ1．，の下での期間t＋sのVARモデルの誤差項の条
件付分散Var（ξ。．，．v

1

Vμt，

t）（

，

1＝1，2，…，mu＞1）から無条件分散を差し引いたものを列ベクトルGu，vで表すと（c6）式となる。ここで，条件u≦1よりVar（F，．，1Vt、、，）ニ0，言い換えれば誤差項は確定値であるから，（c5）式を参考にしてs＝1まで求めてから，（3）式を使って（c6）式を導く。ここで，0はすべての要素がゼロのn×n行列を表す。

一

19一

59

G。．v≡Var（Fu．t．vl防，）−sl

じヨ・〔恥鮮斗・Var（叉．山叫・）一・6・

一〔撫ぴ斗［顯輪輪・亘輪顯輪輪
・亘輪買㎏1w・・，・，．

1・・，．，）−sl］

一〔恥鮮斗［顯輪輪・自輪顯輪輌
・曹輪買輪1h−一司

一〔恥櫛…箇⇒砥一輪「：顯・一輪
一算⊇］・一≦1・m・（・6）

ここで，現時点（期間tの第1時点）でhl．Ltは直接観測不可能であるが，（3）式のGARCHモデルから期間tの第1ファクターの収益率の残差亘，と誤差項の条件付分散ht，tはすでに既知であるから，その結果，

ht．Ltは計測可能となる。

（c5）式と（c6）式のそれぞれの両辺から無条件期待収益率を差し引いて，まとめたものが（10）式である。

Q．ED．

〔注〕

1）

第1（夜間）収益率をrlt，第2（日中）収益率rttとして，次のGARCHモデルを設定する。
rl，ニCl＋al

rtt．1＋ε1，ε、11Vt，H〜2V（0，∪，）E［ε、、εlt．、

ち，＝c，＋鮪＋ε、，ε、，1v，，

一一IUt，目］＝E［ε、ε、，．，．，I

V、、−1】＝0，N（0，㌧）E［ε、tε1、．、1v、、］＝E［ε、，ε、、．、1v・u］＝o，（s＝1，2，…

60

−20一

）

多期間収益率の時間依存型ボラティリティの導出（中川）ら，≡Var（εuI

V／2t−1）；α1＋β1ε；、＿1＋γth2，−i，h2，≡Var（ε2tlVμ，，）＝α2＋β2ε『，＋γ2妬，
ここで，Vtlt2）＝｛ε1t，εm．1，εlt−1，…｝，ぬ＝｛ε2t，εlt，ε2t−1，

elt．1，…｝である。

彼らは1985年10月3日から1986年9月26日の東京市場とニューヨーク市場とヨーロッパ市場の3市場間の日次￥／＄為替レートの変化率をGARCHモデルで分析している。ここで，heatwave仮説として，為替変動がその国固有の変動として説明できるか，またはmeteor

shower仮説として，為替変動が各国市場間に影響して行くか，を検証している。
εit1

V，一，〜2V（O，

h、、），

トユ

h、t＝α，。＋Σα、，

る

sl，＋Σα，弓．1＋β。ん一1・ノ＝1
ここで，Vt，＝｛ε

J＝tj、，εht．1，εht−L、，・一｝（i≧」，i，∫沸＝1，2，3，4）であり，太平洋，東京，欧州，ニューヨークを意味する。
3）

彼らはEngle，

lto，

and

Lin（1990）の分析を1979年2月1日から1988年12月23

日に延長して，次のモデルで再分析している。
キ

εttl輪一r〜ノV（O，h、，），h，t＝α，。＋Σα，ε算．1＋13、，h、、−1・

ノ＝1

ここで使用された記号は注2）の記号と同じである。

4）米国ドルに対する主要欧州4通貨（英ポンド，独マルク，スイスフラン，仏フラン）の週次リスク・フ゜レミアム（spotrateと30日forward

rateの差）を次式で分析している。
るs、、．、−f，，＝c。＋Σa、−e、，．、＿，＋ε、t．、，

ε、t1

μ、t−1〜N（O，

h。i、

），

J＝l
h，tt＝α，o＋α，1ε妾．1＋βilh，lt．i，hiJt＝ρ，j（hilthllt）v2・

ここで，ψ、t＝｛εノt，ε々t−1，εkt−2，…｝（i≧ノ，

第i通貨のspot

rate，i，∫，々＝1，2，3，4）であり，

f，は時点tでの第↓通貨の30日forward

Stは時点tでのrateであり，

iと∫は英ポンド，独マルク，スイスフラン，仏フランを意味する。

5）

米国ドルに対する主要欧州4通貨（英ポンド，独マルク，スイスフラン，仏フラン，伊リラ）のspot

rateの変化率を次式で分析している。

1001n（St／s、，−1）＝ら＋ε、，，ε、，1

ら戸α，。＋αilεi，−1＋6，lh、，，．1，

ここで，Vt、t＝｛εit，εit．t，…｝であり，−21−

Vt，t．i−−N（O，ん＝ρ，妬傷、）

hiit），

ノ2・s、tは時点tでの第i通貨のspotrateであり，

61

i，j＝英ポンド，独マルク，スイスフラン，仏フラン，伊リラを表す。

6）時点tの第mファクターの各収益率を観測し，時点t＋1の第1ファクターの各
収益率はまだ観測していない時点に現在がある場合の情報集合はV．．tとなる。

言い換えれば，現在が時点tの第m区分から時点t＋1の第1区分にあるときの情報集合がIU．．

7）

tである。

無条件期待収益率と現時点の収益率との線型結合の形で表されることは，

Akgiray（1989）と拙稿（1993，1996）と同様である。

8）

誤差項の無条件分散と誤差項の条件付分散との線型結合の形で表されることは，Akgiray（1989）と拙稿（1993，1996）と同様である。

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