Beobachtungen zu Zeitstruktur undFormanlage der mehrthematischen
Sätze in Johann Sebastian Bachs‘Kunst der Fuge’
Von YNGVE JAN TREDED

er vorliegende Text ist hervorgegangen aus meinem Versuch einer
Ergänzung der unvollendeten (Quadrupel-)Fuge aus der »Kunst derFuge« (BWV 1080, 19). Er spiegelt einige der Beobachtungen und Überlegungen wider, die sich an diese Arbeit knüpften und deren Voraussetzung bildeten. Es ist hier nicht die Absicht, meinen Ergänzungsversuch (abgedruckt im
Anhang dieses Textes) zu diskutieren oder näher zu analysieren. Dagegen soll der
Versuch unternommen werden, durch analytische Betrachtung der polythematischen Fugensätze der »Kunst der Fuge« zur Schaffung einer Grundlage
beizutragen, auf die sich Annahmen über die hypothetische Gesamtform derunvollendeten Fuge stützen könnten.
Es entspricht diesem Ansatz, daß keine vollständigen Detailanalysen vorgelegt,sondern bestimmte Aspekte der infragestehenden Sätze und ihrer Anordnung im
Gesamtzyklus beleuchtet werden sollen. Diese betreffen vorab die Satzmitte undihre mögliche Bedeutung als Mittel- oder Symmetrieachse, da die Erfahrung im
analytischen Umgang mit größeren Sätzen Bachs lehrt, daß dem Satzzentrum
nicht selten eine besondere Formfunktion zukommt, die sich dann auch in äußeren Gestaltungsmerkmalen desselben kundtut. In Verbindung hiermit soll ebenfalls eine mögliche Bedeutung des Goldenen Schnitts erörtert werden.
Ein weiterer Aspekt betrifft die Tonartenfolge, insbesondere die Stellung der
subdominantischen Tonarten der IV. und VI. Stufe (S und Sp in Moll) in ihrer
Beziehung zum Formganzen. Auch die Möglichkeit der Abfolge mehrerer in sichgeschlossener Tonartverläufe von Tonika zu Tonika – ich nenne sie Tonartzyklen– soll hier untersucht werden.
Im Zusammenhang mit dem Formproblem der Quadrupelfuge muß sodanndie Frage nach der Notwendigkeit einer selbständigen Exposition des Grundthemas berührt werden.

Satzzentrum und Goldener Schnitt – Die Doppelfugen
Im Zuge der Umgestaltung der früheren, autograph überlieferten Fassung1 als
1. Johann Sebastian Bach: Die Kunst der Fuge, BWV 1080. Autograph-Originaldruck. Mit einer

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Yngve Jan Tredeeiner „Kunst des Kontrapunktes in Variationen“ zu einer „gleichsam in Kapitel
gegliederten Fugen- und Kanonlehre“ (Chr. Wolff)2 wurde die für jene so charakteristische Idee verschachtelter Symmetrien gestrafft: Die beiden Paare derDoppel- und Tripelfugen, ursprünglich jeweils für sich Zentrum zweier wiederum symmetrisch zueinander angeordneter Symmetriegruppen (siehe Fig. 1a),wurden nunmehr in der Mitte des Werkes in einer in sich symmetrischen Vierergruppe vereinigt, die Doppelfugen im Zentrum, von den Tripelfugen umrahmt(Fig. 1b). Diese Konfiguration, falls authentisch, deutet eine Achsenorientierungdes gesamten Zyklus an und könnte als Hinweis darauf verstanden werden, daßdie Idee der großformalen Mittel- oder sogar Symmetrieachse auch dem Bachder Spätfassung nicht fremd war.
Figur 1. Vergleich der beiden überlieferten Fassungen der »Kunst der Fuge« (Cp. =Contrapunctus)

Im individuellen Formbereich zumindest der größeren Sätze ist Ähnliches zu
beobachten. Tatsächlich zeigen die Fugen 4 bis 11 alle, wenn auch im einzelnen
Fall in verschiedener Weise, eine Ausrichtung der Form auf die Mitte hin. Nicht
zuletzt in Sätzen mit drei- oder mehrteiliger Anlage zeigt gleichsam die MagnetStudie hg. von Hans Gunter Hoke (Faksimile-Reihe Bachscher Werke und Schriftstücke hg.
vom Bach-Archiv Leipzig, Band 14). Leipzig und Mainz 1979.
2. Johann Sebastian Bach: Die Kunst der Fuge. Bd. II: Spätere Fassung des Originaldrucks. BWV1080. Hg. von Christoph Wolff. Frankfurt u.a. 1986. Vorwort, S. 3.

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nadel auf das formale Zentrum des Satzes, das im Folgenden als Mittelachse
bezeichnet werden soll. Diese ist nicht notwendig mit der exakten Satzmitte
identisch, liegt aber selten mehr als einen oder zwei Takte davon entfernt. Auchkann ein Formteil, wie etwa ein Zwischenspiel, als Ganzes die Funktion der Mittelachse erfüllen. Proportionierung des Satzes in ungleichen Teilen, etwa nachdem Goldenen Schnitt ist nicht selten und typisch gleichzeitig mit der Mittenteilung anzutreffen.
Die numerische Ausrechnung des Goldenen Schnittes ergibt jedoch irrationale, in der Metrik klassischer Musikwerke insgesamt nicht darstellbare Werte.
Falls Bach den Goldenen Schnitt berücksichtigt hat (was nicht im Ernst bestritten werden kann), wird er sich im allgemeinen auf die Zahlen der FibonacciFolge gestützt haben – nicht nur die der bekannten ‘normalen’ Form: 1 1 2 3 5 8
13 21... sondern sicherlich auch sogenannter anomaler Varianten wie 3 4 7 11 18...
oder 4 5 9 14 23 37 60... (jedes Glied der Folge ist die Summe der beiden
vorhergehenden). Die ganzzahligen Werte solcher Folgen geben nach wenigen
Schritten recht gute Näherungen des Goldenen Schnittes und sind ohne Mühein Taktmengen umzusetzen.
Das Gesagte sei hier am Beispiel der ersten Doppelfuge, des Contrapunctus 9verdeutlicht (siehe Schaubild, Fig. 2):
Figur 2. Schaubild Contrapunctus 903

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Dieser Satz ist 130 Takte lang – das Zehnfache der Fibonacci-Zahl 13. Eine
Proportionierung nach den Fibonacci-Zahlen 8:5 ergäbe eine Einteilung derFuge in 80 + 50 Takte. Tatsächlich lassen sich am Übergang von T. 80 zu T. 81
mehrere Besonderheiten erkennen:
1. Hier endet der vierte (mittlere) Einsatz (in a-moll) des zum achttaktigen
choralartigen cantus firmus geweiteten Grundthemas im Tenor (das Kontrasubjekt ist siebentaktig und endet daher in jeder Kombination einen Takt vor dem
Grundthema).
2. In dem nun beginnenden Zwischenspiel tritt zum erstenmal die aufwärtsstrebende Achtelfigur der Takte 3-4 (siehe Notenbeispiel 1a) als Ganzes in Formeiner längeren sequenzierenden Achtelbewegung auf; diese Figur war bisher dem
Kontrasubjekt vorbehalten (mit Ausnahme der Tenorgegenstimme des Taktes 44
und auch der Takte 53-55, die ein steigendes Teilmotiv verwerten). Die Figur ist
später noch einmal in einem Zwischenspiel vertreten (T. 112-115). Allen anderen
Zwischenspieltakten (d. h. der großen Mehrheit derselben) liegt die fallende, dasKontrasubjekt beschließende Figur der Takte 6-7 zugrunde (siehe Notenbeispiel1b), auch bei allgemein steigender Tendenz (wie z.B. in T. 29-30).
Notenbeispiel 1

3. In T. 80 fällt der merkwürdig isolierte Einwurf des Basses auf. Er erhöht die
Stimmenzahl an dieser Stelle kurzzeitig von drei auf vier und endet – auch durchseine tiefe Lage unüberhörbar – beinahe demonstrativ auf dem Punkt des Goldenen Schnittes.
Übrigens hätte die exaktere Ausrechnung des Goldenen Schnittes die Taktzahl
80,34 ergeben. Bei Abrundung auf ganze Takte wäre Bach mit solch zeitraubender Methode (er hatte ja keinen Taschenrechner) ebenfalls auf 80 Takte gekommen.
Ein Blick auf die Satzmitte am Taktstrich 65/66 zeigt auch hier Besonderes:
1. Es endet hier der bei weitem tiefste Einsatz des Kontrasubjekts im Baß (ind-moll; der gleichzeitige Einsatz des Grundthemas kommt natürlich erst einen
Takt später zuende – siehe oben).
2. Anscheinend im Gegensatz zu dem bei Bach (auch in dieser Fuge) sonstÜblichen folgt dem Themaeinsatz eine abrupte Dreiviertelpause, kurzzeitig den
zweistimmigen Oberstimmensatz freigebend. Erst im folgenden Takt setzt der
Baß die Linie fort. Anstatt jedoch dem rhythmischen Impetus des Themas zu
folgen, ergeht der Baß sich nun in einer sechstaktigen reinen Viertelbewegung(der einzigen des ganzen Stückes!), hierbei den bisherigen Tiefpunkt Cis noch03

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mit C unterbietend. Insgesamt sieben Takte vor und sieben Takte nach der Satzmitte bewegt der Baß sich (mit kurzen Unterbrechungen) in tiefer und tiefster
Lage – dort meist in Achtel-, hier in Viertelbewegung.
3. Man sehe in der Oberstimme der Takte 63-65 die intensivierende Verkürzung des Quartsprungmotivs (es ist über den Sopran in T. 31 mit dem Oktavsprungmotiv von T. 1 verwandt). Nach Kulmination auf übergebundenem c“über den Mitten-Taktstrich hinweg folgt (T. 66) überraschend plötzliche Entspannung.
Der negative Goldene Schnitt-Punkt (hiermit sei der Teilungspunkt ‘links’ von– also zeitlich vor der Mittelachse bezeichnet) auf dem Taktstrich 50/51 würde
innerhalb des kombinierten Themeneinsatzes in F-dur fallen und somit nicht
durch einen formalen Einschnitt gekennzeichnet sein. Doch vielleicht ist es kein
Zufall, daß ihm der Rhythmus des Ansprungmotivs (vergl. T. 31) vorausgeht und– einen Takt ‘verspätet’ – der energische Anstieg der Takte 52-54 nachfolgt?
Der erste, 80-taktige Großabschnitt scheint am Taktstrich 30/31 wiederum(negativ) geteilt in 30+50 Takte: Ende der Exposition des Kontrasubjekts mit
ausleitendem und Beginn des Kombinationsteils mit einleitendem Zwischenspiel(signalisiert durch das Aufsprungmotiv T. 31 im Sopran). Das legt den Gedanken
nahe, der zweite Großteil könne ebenfalls – vielleicht in 30+20 oder 20+30 Takte– geteilt sein (der Schnitt am Taktstrich 100/101 ginge allerdings durch den gmoll-Einsatz). Jedoch ist ab T. 101 eine in diesem Satz bislang nicht dagewesene
chromatische und modulatorische Verdichtung festzustellen (beginnend mit
dem übermäßigen Dreiklang auf dem dritten Viertel dieses Takts), die nacheiniger Zeit wieder abklingt.
Zusammenfassend läßt sich sagen, daß sowohl die Mittelachse (hier = Satzmitte) als auch die Teilung nach dem Goldenen Schnitt (bzw. nach dem Verhältnis der Fibonacci-Zahlen 8:5) in dieser Fuge sich eindeutig an Eigenschaftendes musikalischen Satzes nachweisen lassen. Hierbei ist die T-Tonart der Mittelachse, die D-Tonart dem Goldenen Schnitt zugeordnet. Weitere Unterteilungennach dem Goldenen Schnitt, wiederum im Sinne der Fibonacci-Folge (8=3+5;
5=2+3), scheinen sich anzudeuten. Abschließend sei auf den rondoartigen Zug
dieser Fuge hingewiesen, die mit jedem zweiten Einsatz des Grundthemas zur
Tonika zurückkehrt.
Contrapunctus 10, obwohl eine Doppelfuge, zeigt in zweifachem Sinn Tendenz
zur Tripelfuge: Neben Kontrasubjekt und (variiertem) Grundthema in der Umkehrung erscheint eine dritte Gestalt, hier Motiv x genannt (siehe Notenbeispiel2), zunächst als Kontrapunkt des Grundthemas (T. 28-30, Sopran; man bemerke
die motivische Nähe zu T. 3!), im Laufe des Satzes dann immer wieder auftauchend, entweder in Andeutung (T. 43 und 102) oder selbständig eingeführt(T. 50/51), auch fugatoähnlich imitiert (T. 56-65, durch alle Stimmen, sowie T.
107-110) und schließlich mit den thematischen Stimmen andeutungsweise kombiniert (T. 116/117).

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Notenbeispiel 2

Darüber hinaus bedeutet die Erhöhung der thematischen Stimmenzahl der
letzten vier Kombinationen durch Parallelverdopplung jeweils des einen Themas(‘canon sine pausis’) eine kontrapunktische Komplizierung, die ebenfalls diese
Fuge den Tripelfugen näherrückt. Es ist im Übrigen erstaunlich zu sehen, wieerst die spätere Erweiterung des Satzbeginns um 22 Takte den Reichtum an Proportionsbeziehungen schuf, der gerade diese Fuge auszeichnet.
Figur 3. Schaubild Contrapunctus 10

Die Satzmitte liegt nunmehr am Taktstrich 60/61, etwa in der Mitte der zweitaktigen Pause des Basses (hier befand sich in der ersten Fassung der negative
Goldene Schnitt). Die eigentliche Mittelachse wäre vielleicht – zufolge des demonstrativ in die Tiefe zur Tonika kadenzierenden Basses – einen Takt früher,zwischen zweitem und drittem Einsatz des Motivs x anzunehmen. Man beachte
jedoch, daß die gesamte zehntaktige Fugatoepisode (T. 56-65) genau in der Mittedes ganzen Satzes steht, und also mit diesem ebenfalls – inmitten des zweistimmigen Oberstimmensatzes (man erinnere Contrapunctus 9!) – hälftig geteilt wird.
Die oben erwähnte Parallelführung der Themen beginnt am Goldenen Schnitt
nach T. 74. Das Grundthema erscheint dabei nur einmal verdoppelt: in Sexten –auch dies einmalig – eben am Goldenen Schnitt beginnend. Die noch folgenden

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Kombinationen zeigen durchweg das Kontrasubjekt in Terzen verdoppelt.
Jede der beiden Hälften des Satzes ist wiederum nach dem Goldenen Schnitt
geteilt (37+23=60). Dies wird besonders ohrenfällig am Taktstrich nach T. 97, dervon einer seltsamen, fallend chromatischen Wendung des Soprans und gleichzeitigem Wechsel des Zwischenspielmotivs gefolgt wird. Auch hier kadenziert
der Baß zum tiefen D (Halbschluß), die Oberstimmen springen zur hohen Lage.
Die erste Satzhälfte erscheint nach T. 37 geteilt: Hier endet die Exposition desGrundthemas mit Rückgang der Stimmenzahl auf drei; die drei nachfolgenden
Baßtriller (hier einmalig, vergleiche jedoch Contrapunctus 3, T. 27-28!) unterstreichen das Besondere dieses Zwischenspiels, das auf die Folge der sieben Themenkombinationen hinsteuert.
Wie schon bei Contrapunctus 9 bemerkt, brauchte Bach auch hier die Taktanzahlen der vorliegenden Proportionierung nicht erst mühevoll auszurechnen.
Sie ergeben sich mit absolut ausreichender Genauigkeit aus einer der ‘anomalen’
Fibonaccifolgen: (4 5 9) 14 23 37 60 97, wobei die Zahl 14 den Abstand zwischen
Satzmitte und Goldenem Schnitt angibt. Die Zahlen 74 und 46 sind jeweils
Doppelte von 37 bzw. 23 (37+23=60, ‘golden’ geteilt; 74+46=120, ‘golden’ geteilt).
Über die Proportionen der Taktanzahlen hinaus ist noch ein weiterer Sachverhalt bemerkenswert in dieser Fuge: In jeder Satzhälfte kommt Thema 1(Grundthema) je 6 mal, Thema 2 (Kontrasubjekt) je 8 mal vor. Das ergibt fürjede Hälfte 14 Themeneinsätze. Die 14 wird in der (stark umstrittenen) Buchstabenkabbalistik als ‘Bachzahl’ gewertet (B=2, A=1, C=3, H=8; ergibt zusammen
14).
Die Tonartenfolge der sieben Kombinationen (beginnend T. 44) erinnert, bei
aller Verschiedenheit der beiden Fugen im Übrigen, an die des Contrapunctus 9;
dort ebenfalls sieben: T-Tp-T-D-T-S-T, hier T-D-T-Tp-T-Sp-T. Das bedeutet, daßab T. 23 jeder zweite Einsatz des Grundthemas in der Tonika steht. Auffallend
das Fehlen der Subdominante, die hier durch ihre Paralleltonart vertreten ist undauch sonst im Verlauf nur kurz berührt wird. Es ist solche Dominanz der Untermediante (VI. Stufe), die, im Verein mit den häufigen Terz- und Sextparallelgängen, den klanglichen Reiz gerade dieser Fuge begründet.

Die Tripelfugen
Den Tripelfugen Contrapunctus 8 und Contrapunctus 11 ist der Themensatz gemeinsam: Die Fuge 11 übernimmt die Themen der achten prinzipiell in der Umkehrung – wenn auch im Verlauf dann beide Formen vorkommen.
Im Folgenden wird (wie bei den Doppelfugen) das Grundthema als Thema 1
bezeichnet. Es eröffnet die Fuge 11 in der recto-Form, wird in Contrapunctus 8
jedoch erst an dritter Stelle exponiert (ab T. 94, hier – wie überall in dieser Fuge
– inverso). Die zwei weiteren Themen sollen in der Reihenfolge ihres Auftretens
in beiden Fugen Thema 2 bzw. Thema 3 genannt werden.

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Das Thema 3 der Fuge 11 ist allerdings nicht einfach eine Umkehrung dessen
der Fuge 8 (zwar, seine Bewegungsrichtung erscheint umgekehrt), sondern resultiert aus der retrograden (Krebs-)Bewegung desselben:
Notenbeispiel 3

Zwei Motive und ihre Ableitungen spielen in Contrapunctus 8 wechselweiseeine hervortretende Rolle als Träger der Achtelbewegung, sie seien x und ygenannt:
Notenbeispiel 4

Beide Motive hängen über die einleitende Drei-Achtel-Figur mit dem Kontrapunkt vom Beginn der Fuge (T. 5) zusammen und sind überdies über die Sekund-Terz-Figur miteinander verwandt.
Obwohl Thema 3 in gewissem Sinne mehr Bewegungsmodell als Thema ist,wächst es sich im abschließenden Kombinationsteil der Fuge 8 zur Selbständigkeit aus, indem es das Motiv y als seinen Abschluß assimiliert (zuerst T. 125f.,
dann konsequent ab T. 147 bis Schluß):Notenbeispiel 5

Die Zeitstruktur des Contrapunctus 8 ist in folgendem Schaubild dargestellt:

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Figur 4. Schaubild Contrapunctus 8

Die Mittelachse des Satzes erscheint durch den toccatenartig ausgeschmückten Halbschluß zwei Takte vor der exakten Satzmitte kräftig unterstrichen. Hier,
im Zentrum des Satzes, wird – erst nach Exposition und Kombination der Themen 2 und 3 – das Grundthema erstmals in dieser Fuge eingeführt und gesondert
exponiert, begleitet von Motiven der vorausgehenden Satzhälfte, hierunter auch(T. 98-100) sozusagen ‘diatonisierten’ Partikeln des Thema 3. Ich befinde michmit dieser Feststellung im Gegensatz zur Meinung P. Schleunings hinsichtlichder Mehrfachfugen, daß „überall dort, wo das Grundthema nicht als erstes auftritt – wie in Nr. 11 – es später nicht mit einer eigenen Exposition vorgeführt
wird, was auch unnötig wäre“ indem er Contrapunctus 10 als Ausnahme („Diskrepanz“) wertet.3 Ein unvoreingenommener Blick in die Partitur zeigt jedoch
im Gegenteil, daß Bach nur in einer der vier Mehrfachfugen, nämlich in Contrapunctus 9 davon absah, das Grundthema selbständig zu exponieren (dies wohl
aufgrund der langen Notenwerte des Themas, die es hier nur zu cantus firmusartiger Verwendung geeignet erscheinen ließen). Vom zitierten Standpunkt
Schleunings aus müßte die zweifache Exponierung des Grundthemas in Contrapunctus 11 – erst anfangs der Fuge und dann ab T. 71 in Umkehrung – als besonders „unnötig“ erscheinen. (Diese Diskussion ist wichtig, betrifft sie doch inhohem Maße die Art der Einführung des Grundthemas in der Quadrupelfuge.
Es bleibt festzuhalten, daß drei der vier Mehrfachfugen der »Kunst der Fuge« so
komponiert sind, als habe Bach nicht die Hörerfahrung einer zyklischen Aufführung des Werkganzen als notwendig voraussetzen wollen. Mit der begründeten Ausnahme des Contrapunctus 9 können alle übrigen Fugen der späteren
Fassung des Zyklus auch unabhängig für sich selbst bestehen.)

3. Peter Schleuning: Johann Sebastian Bachs »Kunst der Fuge«. Ideologien-Entstehung-Analyse. dtv/
Bärenreiter, Kassel 1993. S. 128 und 168.

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Yngve Jan TredeDie beiden etwas ungleichen Hälften des Satzes können als annähernd spiegelsymmetrisch geteilt gesehen werden: Die erste in 38+54 Takte – der Exposition von Thema 2 (das die Fuge eröffnet) und Thema 3 (konsequent mit Thema 2 kombiniert) zugeordnet, die zweite Hälfte in 54+42 Takte – dem Eintritt
von Thema 1 und dem Beginn des abschließenden Kombinationsteils aller drei
Themen entsprechend.
An der (nur annähernd) ‘goldenen’ Schnittstelle bei ca. 3/5 des Satzes, das
heißt nach T. 113 (3/5 wären genau 112,8) werden Thema 2 und 3 in sequenziertem
kombinierten Scheineinsatz erneut zur Oberfläche gebracht und nach wiederum
toccatenartig belebter Kadenz auf a-moll ab T. 125 in mehrfachem Kontrapunkt
kombiniert vorgeführt. Der einstimmige Einschnitt bei T. 124/125, nach derKadenz, teilt den Satz annähernd bei 2/3 seiner Gesamtlänge. Die Anspielung derTakte 129f. auf den Fugenbeginn (vergl. T. 5/6 und T. 9-11) sowie die Wiederaufnahme der Zwischenspielaktivität der Takte 53-60 bei T. 135f. bestärken
zunächst den Eindruck einer Art kombinierten ‘Reprise’ oder Reminiszenz der
beiden Teile der ersten Fugenhälfte, bis mit dem Eintritt der abschließenden
Folge der Gesamtkombinationen in den Tonarten F-C-g-d-d (fallende Quartfolge) das eigentliche Ziel greifbar wird. (Die Tonarten F-dur und C-dur sind
anfänglich als a-moll bzw. e-moll maskiert; man beachte hier die ‘verzerrte’
Intervallstruktur des Grundthemas. Jede Kombination währt nunmehr 5 Takte,da Thema 1 jeweils später als Thema 2 und 3 einsetzt und somit einen Takt ‘überhängt’.)
Im Schaubild des Contrapunctus 8 (Fig. 4) wird eine Tendenz zu anwachsender Länge der Zwischenspiele (Zw) deutlich, und zwar sowohl hinsichtlich dereinzelnen Teile der Fuge (jeweils beginnend mit 0 oder 1 Takt Länge) wie auch in
Bezug auf die gesamte Form: die längsten Zwischenspiele werden länger (10,8+1, 10+1, 12).
Die Mittelachse fällt mit dem Ende des ersten Tonartzyklus bzw. dem Anfang
des zweiten Zyklus zusammen. Interessant der Vergleich der ‘beinahe’ parallelen
Takte 68f. im ersten Tonartzyklus und 126f. im zweiten (beidemal mit Auftakt):das erste Beispiel eine Kombination Thema 1+2 im subdominantischen B-dur;
im zweiten ein fast identischer Ansatz – hier jedoch energische Verleugnung derTonart B-dur zugunsten der Tonika d-moll. Letztere erfährt nachfolgende
Bestätigung im Quartenfall der Tonarten von F bis d: Der Satz im wahren
Wortsinn fallend von hoher Lage bis zu den letzten Takten der Fuge im tiefen
und tiefsten Bereich.
Contrapunctus 11 durchläuft im Gegensatz zu Contrapunctus 8 bei fast gleicher
Taktanzahl nur einen einzigen Tonartzyklus, wie ein Blick auf die Abfolge der
größeren Kadenzen leicht zeigt (siehe Fig. 5).

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Figur 5. Schaubild Contrapunctus 11

Es ist bemerkenswert, daß dieser zeitweise geradezu expressionistisch anmutende Satz, der mit Grund als rätselhaft, extrem, urwaldartig wildwachsend empfunden wird (P. Schleuning: „...monoman und verwirrend, und es wäre erstaunlich, wenn nicht eine von Bachs Absichten gewesen wäre, solche Verwirrung
wenn nicht Bestürzung hervorzurufen.“),4 – daß von allen hier besprochenen
Fugen gerade diese offensichtlich auf einem sehr regelmäßigen, spiegelsymmetrischen Zeitgrundriß basiert, dessen einzelne Teile in mehrfacher Schachtelungnach dem Goldenen Schnitt proportioniert sind. Das Schaubild zeigt eine überliegende dreiteilige Gliederung nach 70+43+70(+1) Takten (die 1 entspricht dem
Schlußtakt). Die beiden Außenteile dieses Zentralbaus sind wiederum spiegelsymmetrisch in 26+43 bzw. 43+26(+1 Schlußtakt) aufgeteilt, deren äußerste
Glieder aus 16+10 bzw. 10+16(+1) bestehen. Hiernach bleiben im mittleren
Bereich des Satzes drei größere Zeitfelder von 44+43+44 Takten offen, derenzweites und drittes von Bach zusammengefaßt und in offenbar freierer Weise
auskomponiert wurden, wie an den unterteilenden Kadenzen und den zugeordneten Taktanzahlen ersichtlich. Die Großzahl der ‘goldenen’ Teilungspunkte fällt
jedoch mit größeren Kadenzen (hierunter einem Halbschluß) zusammen, so daßüber die Tatsache der spiegelsymmetrischen Grundstruktur kaum Diskussion
sein kann. Deren Bezogenheit auf den Goldenen Schnitt wird deutlich, wenn die

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Gesamttaktzahl 184 mit 8/13 (Fibonacci-Zahlen) multipliziert wird, was 113,2
ergibt (Goldener Schnitt). Dieser Wert wiederum mit 8/13 multipliziert ergibt
den negativen Goldenen Schnitt nach 69,7. Die Fortsetzung dieses Verfahrens(Iteration) führt zu den weiteren Werten, die im Schaubild unter Punkt A abzulesen sind. Unter B findet man die (auf- bzw. abgerundeten) ganzzahligen Werte
derselben. Die noch fehlenden Teilungspunkte auf der rechten Seite des Bildes(unter C) sind Projektionen der vorigen auf der Zeitachse nach rechts undwerden durch einfache Addition der Differenzwerte (D) der linken Seite inspiegelbildlicher Reihenfolge nach rechts gefunden. Ein Vergleich der so erhaltenen Taktanzahlen-Werte (E) mit den faktischen Werten des Schaubildes (unter„...bis“) zeigt vollkommene Übereinstimmung mit den zugeordneten Taktanzahlen.
Die parenthetischen – übrigens spiegelbildlich zusammengehörigen – Teilungspunkte nach T. 43 und T. 140 haben zwar ebenfalls ihr Korrelat im musikalischen
Satz (Baßeinsatz Thema 2 nach Zwischenspiel bzw. Umkehr der allgemeinen
Bewegungsrichtung von fallend zu steigend) – heben sich aber bei der Fülle desGeschehens für den Hörer nicht sonderlich hervor.
Die deutlichste Spiegelbezogenheit der Teilabschnitte zeigt sich in den Außenbereichen der Form: Im einleitenden Fugenteil (T. 1-26/27) wurde Thema 1 im
Laufe der ersten 16 Takte exponiert, die nachfolgenden 10 Takte sind dichtgewebtes Zwischenspiel mit abschließendem Themaeinsatz und Kadenz auf d. Der
Schlußabschnitt nach dem Halbschluß T. 157/158 ist eine Art Reprise des ersten,jedoch auf ganz neuem Niveau: Die Reexposition von Thema 1 in simultaner
Gegenbewegung umfaßt hier nach 10 Takten schon alle vier Stimmen, in den
folgenden 16+1 Takten übernimmt Thema 3 die Führung und der Satz schließt
mit zwei Gesamtkombinationen der drei Themen, deren letzte auch das chromatische Motiv z integriert (T. 181, Alt): Andeutung der Idee der Quadrupelfuge,
gleichzeitig Anspielung auf T. 25/26.
Die Zusammengehörigkeit des zweiten Fugenteils: Exposition von Thema 2
und Motiv z (T. 27-70) mit dem spiegelbildlich zugeordneten Formteil von der
B-dur-Kadenz an (T. 114-157) scheint in Letzterem durch vermehrtes Vorkommen
des chromatischen Motivs (z) unterstrichen. Jedoch bildet der ganze Komplex
von der F-dur-Kadenz bei T. 88/89 an bis zum Halbschluß bei T. 157 eine Einheit,
gewissermaßen wie eine Flut, die über die Ufer der beschriebenen Zeitstruktur
zu gehen droht und erst von den Doppeleinsätzen des Thema 1 (T. 158f.) aufgehalten wird. Dieser zentrale Fugenteil wird zusammengeschlossen nicht zuletzt
durch verschiedene Kongruenzen, von denen hier genannt seien das isolierte,
jeweils einmalige Vorkommen des Thema 1 mit nachfolgendem Thema 2 sowohl
T. 101-109 als auch T. 132-140; ferner die weitgehende Übereinstimmung der Takte
112-117 (B-dur-Kadenz mündet in Kombination Thema 2+3, d-moll) mit T. 144149 (C-molldur-Kadenz mündet in die 1. Gesamtkombination Thema 1+2+3, emoll). Übrigens scheint der ganze Satzteil – vielleicht schon einschließlich der
Umkehrungs-Durchführung des Thema 1 ab T. 71 – die Idee des Haydn-Beethovenschen Durchführungsteils der Sonate vorwegzunehmen.

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Die spiegelsymmetrische Gesamtform impliziert eine Mittelachse. Dochkommt nahe dieser Stelle die F-dur-Kadenz (hörbar und fast erschreckend) ‘zu
früh’, als sei jetzt keine Zeit mehr zu verlieren. So wird das dritte Thema hier(überdies in dramatischem Tonart- und Lagenwechsel) mit höchster Wirkung
eingeführt. Es exponiert in seinem zweiten und dritten Einsatz zum erstenmal indieser Fuge die melodisch ungebrochene Tonfolge ‘BACH’ (in den Takten 91
und 94). Zwischen diesen beiden Takten liegen als Zentrum des Satzes die Takte
92/93 – deren gemeinsamer Taktstrich die exakte Satzmitte darstellt (trotz desEinspruchs P. Schleunings gegen E. Bergels ähnliche Feststellung).5 Unverhüllte
melodische ‘BACH’-Zitate kommen dann nur noch dreimal vor (bemerkenswerter Weise alle im Sopran), wozu noch drei retrograde Formen kommen(ebenfalls im Sopran).

Die Quadrupelfuge
Die Quadrupelfuge (im Originaldruck »Fuga a tre soggetti«) ist nicht nur die
einzige Bachsche Mehrfachfuge mit vier gleichgewichtigen, selbständigen Themen, sie hebt sich auch von allen Tripelfugen Bachs, einschließlich der aus der»Kunst der Fuge« selbst, ab durch die Tatsache, daß das bewegteste Thema (daszweite der Fuge) hier nicht nur als sequenzierendes Bewegungsmodell, sondern
als in sich hochorganisierter melodischer Organismus erfunden ist. Insofern stellt
diese Fuge – und weniger wegen ihres Torso-Charakters sowie der damit verbundenen (ungerechtfertigten) Aura des ‘letzten Werks’6 – einen einzigartigen
Fall innerhalb des Bachschen Oeuvres dar.
Da die vermutete Einführung des 4. Themas (Grundthema) als hypothetischzu gelten hat, sollen im Folgenden die Themen der Fuge in der Reihenfolge ihres
Auftretens als Thema A, Thema B und Thema C bezeichnet werden.
Sucht man nun die Zeitstruktur des Fragments ab auf mögliche Beziehungspunkte, setzt sie einen gewissen Widerstand entgegen. Die Interpretation dieses
Tatbestandes hängt ab von der vermuteten Länge der Fuge: Je größer diese,
desto geringer die Wahrscheinlichkeit, schon realisierte Achsenbeziehungenanzutreffen. Es könnte allerdings auch sein, daß eben keine geplant sind. Immerhin läßt sich Einiges sagen. Die Taktanzahl des großen Doppelabschnitts von T.
1 bis T. 192 ist nicht nur durch die Zahl 8, sondern ebenfalls durch deren Vielfache 16, 24, 32, 48 und 96 teilbar. Die Länge der darauf folgenden Expositiondes ‘BACH’-Themas (Thema C) bis zum Halbschluß nach T. 232 beträgt 40(=5x8) Takte.

5. A.a.O., S. 119.
6. Hans Gunter Hoke: Zu Johann Sebastian Bachs »Die Kunst der Fuge«. Beilage zu Johann Sebastian Bach: Die Kunst der Fuge. Autograph-Originaldruck, 1979 (siehe Anm. 1), S. 7 sowie P.
Schleuning, a.a.O., S. 165f.

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Hiernach könnte der Zahl 8 eine herausgehobene Rolle zukommen. Zwar
liegt das erste Auftreten von Thema B nach dem ungeraden T. 113, wo auch dererste Tonartzyklus endet, sodaß der Großabschnitt von T. 1-192 in 113+79 Takte
geschieden ist. Man beachte jedoch, daß 113 um einen Takt länger ist als 112(=14x8), dagegen 79 einen Takt kürzer als 80 (=10x8). Nicht genug damit, zeigt
das Autograph der Fuge, daß Bach die Exposition des Thema A nachträglich von
112 auf 113 Takte verlängerte (im Wesentlichen durch Hinzufügung des hochbedeutenden Taktes 111 mit Subdominante und gleichzeitigem Hoch- undTiefton in den Außenstimmen). Durch solche (ausgesprochen Bach-typische)zeitweilige Verschiebung der Schwerpunktstakte am Übergang zu Thema B undderen nachfolgenden Ausgleich scheinen die ersten 192 Takte der Fuge als einübergordnetes Ganzes hervorgehoben. Es sei vermerkt, daß die Mitte dieses
Großabschnitts, der Taktstrich 96/97 – Zufall oder nicht – gerade zwischen den
beiden einzigen dreifachen Engführungen von Thema A (T. 89-104) steht, die
die lange Reihe der zweifachen Engführungen desselben krönen.
Wie bewußt Bach die Zeitstruktur handhabte, soll ein Blick auf die Periodik
des 79-taktigen zweiten Teils der Fuge zeigen (T. 114-192; Zwischenspieltakte in
Klammern; die 6-Takt-Perioden entsprechen jeweils Einsätzen von Thema B,
viermal unkombiniert als Exposition und viermal in Kombination mit Thema A;
letzteres blieb in diesem Zusammenhang unberücksichtigt, da weniger für die
Periodik bestimmend):
6 (1) 6 (1) 6 (1) 6 (1)+(5) 6 (3) 6 (5) 6 (7) 6 (7)Auffällig die 7-taktige Periodik der Exposition des (6-taktigen) Thema B wie
auch die konsequent ungeradzahligen (primzahligen) Abstände der Kombinationseinsätze untereinander bei anwachsender Länge der (motivisch streng vereinheitlichten) Zwischenspiele (3, 5, 7, 7 Takte). Im Detail tritt hier keine einzige
8-taktige Periode auf. Entsprechendes gilt für die unregelmäßige Periodik dermehr am ‘stile antico’ orientierten Durchführungsteile von Thema A (mit 5-taktig
periodisierter Exposition bis T. 20) und Thema C.
Zusammenfassend wäre zu sagen, daß die Prägung durch die Zahl 8, wenn
nicht Zufall, so vielleicht den größeren Formteilen der Fuge zugeordnet ist. Daßübrigens Bach bei der Komposition dieser Fuge zumindest zeitweilig in Doppeltakten (4/2) dachte, geht zweifelsfrei aus der Tatsache hervor, daß er im Präsentationsteil des ‘BACH’-Themas (Thema C) vorübergehend in solchen notierte(T. 209-226).
Eine Bezogenheit auf den Goldenen Schnitt ist nicht mit Sicherheit auszumachen, obwohl zwei größere Kadenzen (in C-dur bzw. B-dur) des ersten, 113taktigen Abschnitts nach den Takten 43 bzw. 70, d.h. auf die Punkte des negativen und positiven Goldenen Schnittes fallen (man erinnere die Zahlen 113, 70
und 43 aus Contrapunctus 11). Zum einen sagt diese Beobachtung jedoch nichtsüber den größeren geplanten Formverlauf aus, zum andern finden sich ähnliche

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Kadenzen auch an anderen Punkten desselben Abschnitts (z.B. in d-moll nach T.
36 und in g-moll nach T. 85). Des weiteren sind die existierenden drei großen
Abschnitte mit ihren 113, 79 und 40 Takten jedenfalls nicht nach dem Goldenen
Schnitt proportioniert, sondern allenfalls im Verhältnis (etwa) 14:10:5, die beiden
Teile des Großabschnitts von 192 Takten mithin im Verhältnis 7:5. Letzteres ist
interessant, da, wie erwähnt, Thema A in 5-Takt-Perioden und Thema B in 7-TaktPerioden exponiert wurden.
Thema C, das ‘BACH’-Thema, erscheint fast ausschließlich in Engführungen,deren führender (aber nicht immer erster) Einsatz jedesmal mit den Tönen b-a
beginnt. Der selbständige Umkehrungseinsatz des Basses T. 222f. setzt folgerichtig mit den Tönen A-B ein. Die Motivik dieses ganzen C-Teils greift deutlich
auf die des A-Teils zurück (vergl. T. 198/199 im Alt mit T. 106/107, Sopran –gleichzeitig Hinweis auf Thema B). Etwa in der Mitte des dritten Teils wird
andeutungsweise die Umkehrungsform des Thema A in freier Rhythmisierung
beschworen (T. 211-213), wie zuvor im zweiten schon die des Thema B (T. 134 mit
Auftakt bis 136, Sopran). In T. 219 taucht in den Mittelstimmen eine charakteristische Achtelfigur aus Thema B auf. Die gegen Schluß dieses Abschnitts
zunehmende Bewegung beruht ab T. 228 auf in doppeltem Tempo vorgetragenen
Motiven des A-Teils, hierdurch einen Zusammenhang stiftend zwischen diesem
und dem nun wieder einsetzenden Thema B.
Die Rückgewandtheit des dritten (C-)Themateils auf der einen Seite, und die
besprochene besondere Zusammengehörigkeit der beiden vorhergehenden Teile(Thema A und B) auf der anderen lassen mich an der g-moll-Kadenz bei T. 192/
193, vor dem Eintreten des ‘BACH’-Themas, die eigentliche Hauptachse desganzen Satzes sehen. Ich vermute darüberhinaus, daß an dieser Stelle entwedereine Mittelachsensituation oder eine Teilung nach dem Goldenen Schnitt
vorliegt. Erstere Lösung ergäbe eine Gesamtlänge von 384 Takten, was zeitlicheine selbständige Exposition des Grundthemas zuließe. Letztere würde auf 312
Takte (192x13/8=312), und damit zu einem 80-taktigen Schlußteil etwa nach Art
einer ‘Tripelfuge mit hinzutretendem vierten Thema’ führen. Da, wie anläßlich
des Contrapunctus 8 ausgeführt, Bach in den Mehrfachfugen der »Kunst derFuge« (abgesehen vom Sonderfall des Contrapunctus 9) das Grundthema selbständig exponierte – wenn auch in Contrapunctus 8 teilweise von anderen Stimmen überdeckt –, gebe ich einer entsprechenden Lösung auch in der Quadrupelfuge den Vorzug, sehe also bei T. 192/193 die Mittelachse des Satzes. Daß andieser Stelle in die Subdominante kadenziert wird, muß nicht Zeichen desnahenden Satzschlusses sein, da beispielsweise in den Contrapunctus 5 undContrapunctus 6 die Tonart der S jeweils vor und die der Sp unmittelbar nach derMittelachse ausgespielt werden. In Contrapunctus 7 beginnt der größte S- und
Sp-Komplex des Satzes sogar bereits in T. 13 – bei 61 Takten Gesamtlänge.
Noch ein weiteres Indiz scheint für eine selbständige Exposition auch desGrundthemas zu sprechen: Es ist ein naheliegender Gedanke und oft ausgesprochen worden, daß die Quadrupelfuge eine Widerspiegelung der vier ‘einfachen’

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Fugen vom Anfang der »Kunst der Fuge« darstelle. Jede dieser Fugen beginnt
nicht nur mit jeweils einer anderen Stimme, sondern hat auch ihr jeweils eigenes
Muster der anfänglichen Eintrittsfolge der vier Stimmen:
Figur 6. Schema der Eintrittsfolge der ersten vier Einsätze in den Contrapunctus(Cp.) 1-4
Satz:
Beginnende Stimme:

Cp. 1
Alt

Erste Einsatzfolge:(Sopran:)(Alt:)(Tenor:)(Baß:)x

Quadrupelfuge:
Erste Einsatzfolge
von Thema

Cp. 2
Baß

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A

Cp. 4
Sopran

x

x
x

B

Cp. 3
Tenor

x
x

C

x

H(?)

Von diesen vier Möglichkeiten sind die ersten drei im Fragment der Quadrupelfuge wiederum jeweils bei der Präsentation der drei Themen genutzt, wennauch in anderer Reihenfolge. Somit könnte sich die Frage stellen: unterblieb mit
der nicht (mehr) erfolgten Einführung des ‘Hauptsatzes’ (F.W. Marpurgs Terminologie)7 auch eine etwa geplante Realisierung der vierten Einsatzfolge?

7. Friedrich Wilhelm Marpurg: Analysen von Bachschen Fugenthemen, Fugen und Kanons,
Berlin 1753 und 1754, auszugsw. in Bach-Dokumente. Hg. vom Bach-Archiv Leipzig, Supplement zur NBA (Neue Bach Ausgabe). Bd. III, Dokumente zum Nachwirken Johann SebastianBachs 1750-1800, hg. von Hans-Joachim Schulze, Kassel u.a. 1972. S. 25.

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Summary

Observations on the time structure and formal layout of the polythematic
movements of Johann Sebastian Bach’s ‘Kunst der Fuge’
The article presents the considerations behind the authors attempt to finish theincomplete (quadruple) fugue BWV 1080, 19 from Die Kunst der Fuge (Seeappendix of article). By analysing primarily the polythematic movements of Die
Kunst der Fuge, the author tries to create a basis upon which assumptions
concerning the intended overall form of the fragment may be built. Among the
aspects focused on are the significance of a movements midpoint as main axis or(in certain cases) as the axis of symmetry, and a possible significance of the Golden Section (represented by the integers of the Fibonacci series) for the relative
proportions of the formal sections. Having considered the questions of time
structure, key sequence, and the necessity of a separate exposition of the main
theme, the author concludes that the barline between bars 192 and 193 (justbefore the entry of the BACH-theme) constitutes the central axis of thequadruple fugue.

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