［特集］p.2-7

自校作成問題を探る～岡山朝日高校での実践～
岡山県立岡山朝日高等学校

山川宏史

p.8-10「数学活用」
を利用した
プレゼンテーション授業を実施して
海城高等学校

川崎真澄，原崇泰

授 業 実 践 記 録 p.11-13◆フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案
学校法人富田学園岐阜東高等学校

亀井喜久男

複素数平面の有用性を考える(その２)Focus Gold・Focus Up 編集委員

豊田敏盟

2013 年度入試の気になる 1 問 p.20-23
Focus Gold・Focus Up 編集委員

竹内英人

p.14-19vol.

6

自校作成問題を探る〜岡山朝日高校での実践〜
岡山県立岡山朝日高等学校

山川宏史

明問題もよく出題されている。また，作図問題は，直接計算は厳しい。

ほぼ隔年で出題されている。これは，暗記しておいた作図方法をそのまま使うことが多く，数学力②

や発想力というよりは学習内容の暗記を確認する

１．はじめに３．分野ごとの出題頻度

昭和の時代から永く続いた岡山市内普通科5校

作図しなさいというのではなく，融合的な作図を

®2 +1
のとき，
3
である。

(平成 20 年度

1)

これも指導要領によると，展開の公式のすぐ後らが岡山朝日高等学校が高校入試に自校作成問題

数量関係については，正比例は1次関数に含まを初めてつくったのが，平成16年度の学力検査れるので出題されていない。反比例に関するものであった。爾来今年度で節目の10年目を終えた。

は時々出題されている。1次関数は2次関数と絡

これらは，簡単でしばしば利用される典型

この間，本県や他都道府県の過去問なども研究しめて，数量関係の総合問題としてよく出題されて的なものであり，公式のもつ意味とそれを利ながら，本来の非常に多忙な業務と並行して作問いる。2次関数は毎年出題されている。また，毎用することのよさを理解し，式を能率よく処された。今回栄誉ある機会を与えられたので，本年ではないが，数量関係の問題の中に図形が融合

理することができる

校の数学自校作成問題について振り返ってみる。

されて出題されることもある。確率は実はこの分野に含まれているが，毎年出題されている。中学2

a2-3ab-18b2=

面が強いからである。また，単に角の二等分線を問うようなこともある。

の高校入試総合選抜制度が段階的に消滅し，われa=2-®2 ，b=

２．問題作成の概要

校では，順列・組合せを学習していないので，全事象や該当する事象の数を上手に根気よく数える

中学校学習指導要領に沿い，教科書の内容を逸にとなっている。まず因数分解してから代入，計算をすると計算精度と所要時間に大差がつく。直接
代入では大変。高校生なら常識であるが，意識の高い中学生なら十分できたようだ。

脱することなく，論理的思考力をみることができ

数と式の各分野は，他の領域の問題においても必要があるので，関心・意欲・態度をみるには最るように，十分に練られ工夫された出題が毎年行計算過程で必要になることが多く，当然のことな適な分野といえる。もれなく重複なく数え上げる

われている。オリジナルの問題であるが，学習指がら，ほぼ全分野が毎年出題されている。1元1次技術と根性は高等学校においても必要な学力とい導要領を逸脱した難問・奇問が出題されることは方程式は，単独問題としてではなく，他の分野のえる。

ない。大学入試センター試験や東京大学の個別学問題で立てた方程式を解く場面での出題である。

資料の活用については，新課程の内容で昨年か力検査とは違い，出題範囲の逸脱はない。この点

一方，連立方程式や2次方程式は，文章題あるいらの出題。度数分布表やデータからの読み取り・では，本校の問題が格段に優れている。教科書のは大問の一部で出題されている。式の計算や平方

分析・立式・計算や代表値に関するものである。

約分することにより，計算時間が半減できる。式

基礎基本を問うような問題に始まり，生徒がこれ根の計算は，小問集合で小手調べに出題されるこ

身近な話題をテーマに出題されている。

全体を俯瞰して計算センス・発想力を駆使するか，までの知識を総動員してじっくりと考え，論理的とが多いが，計算技術により計算精度と所要時間

思考力・発想力をみるような問題作成につとめてに大差がつくように工夫された出題が多い。

いる。45分という検査時間は本県の全県学力検査

図形については，空間図形についての考察や三と同一で物足りないが，平均点は毎年約60％程度

平方の定理は毎年出題されている。空間図形には，になることを目標に作題され，実際にそうなって円錐など回転体の体積も含まれている。空間図形

いる。したがって，易しい問題も多数含まれていの総合問題が毎年出題されるというわけではないる。一部の意識の高い生徒諸君には物足りないよが，空間把握力は数学においては重要な力といえうだ。

る。三平方の定理は，中学校での最重要学習内容の1つであるので，これを学力検査で毎年出題しているのは当然といえる。三平方の定理が複数題出題されることが多い。また，証明問題は毎年出題されているが，内容は三角形の相似や角度の相等，三角形の形状など多岐にわたっている。角度の相等を証明するために，その前段階として三角形の合同を証明するなどの融合的な工夫された証(1-®3 )(®3 -3)を計算すると‰12ある。

(平成 25 年度

で
1)

分子の右の括弧から ®3 をくくり出し，分母と地道に展開，分母の有理化をするかは人生の分か

４．特徴的な問題例

れ道であった。第1問目にしては，出来が悪かっ

【数と式】
①

①

た。平素から計算上の工夫に心がけるという気構

938 2
937 2
‘ -“
‘ を計算すると，“
25
25(平成 20 年度

ある。

で
1)

学習指導要領解説（以下，指導要領と略記）によると
乗法公式は，逆に用いると因数分解の公式になる。因数分解は式変形の一つであるが，例

えば，13 -12 =(13+12)(13-12)=25 のよ2

2

うに変形することで，計算が容易になる。

となっているので，これに準拠した出題といえる。

えが必要である。この習慣は，将来必ず身を助けることになる。
【図形】
朝日高校のオープンスクールに参加した朝雄さんは，校門横の大木 (楠) の高さを知りた
いと思いました。当日，次のことがわかりました。
朝雄さんがある地点 P に立って木の先端を見上げると，見上げる角度が 60º であった。また，木の根元と地点 P を結ぶ

3

直線上を地点 P から木より 30 歩だけ遠た垂線の長さの 2 倍と捉えるのではなく，正方形

げると，見上げる角度が 30º であった。

答えは求まる。いろいろな角度から図形を眺め，線，垂線の作図法が指導要領に掲載されている。

直観力により求めるものを見破る典型的な例であ自校作成問題でもこれをそのまま問うこともあっる。

たが，この問題はそれを融合して直角二等辺三角

ざかった地点 Q に立って木の先端を見上

ABFD における対角線の長さと捉えれば，即座に朝雄さんと木は地面に対して垂直に立っていると考え，朝雄さんの歩幅を 0.6 m，目の形を作図させている。偶然この年度の全県問題が高さを 1.6 m，®3 =1.73 として，木の高さを小数第 2 位を四捨五入して求めなさい。ただし，答えだけでなく，答えを求める過程がわかるように，途中の式や計算なども書きな
さい。

(平成 25 年度

3)

朝日ゆかりの問題。身近な話題を素材とし，直接測定不能な木の高さを求めることで数学の実用性，良さが実感できる。木の根元と点 P の距離を未知数に設定して，無理数を含む 1 次方程式を立式して解いたあと，木の高さを求めるのが普通の解答であろうが，図形的センスがあれば，二等辺4三角形に着目して，方形 ABCD があり，AB=®3 cm，AD=5 cm である。辺
AD 上に，AE=4 cm

A

線分の中点の作図であった（ちょうど本校の作図
D

E

B

C

となる点 E をとり，点 A から直線 CE に垂線を引き，直線 CE との交点を H とする。
①

線分 AC の長さは ア cmである。

また，¡DCE の大きさは イ º である。

②

線分 AC の中点を M とすると，¡DMHの長さは イ cm であり，£DHM の面積と一発で解答できる。これに近い解答をした者が数名いて感心した。しかし，未知数の設定のしかたがまずかったり，近似値を早い時期に代入した
りと，生徒は悪戦苦闘していた。センスにより大差がついた問題であった。

は ウ cm である。
2

(平成 22 年度

2)②は，¡D=¡H＝90º であるから，2 点 D，H

は線分 AC を直径とする円周上に存在することに気づくかどうかで差がつく。図に円がないので，自分で円を描いて考える必要があり，案外難しい。

面体について，面B

面 ア である。また，問題の前半部分）ので，格の違いが出た。
右の図のような正方形

ABCD がある。この正方を利用すれば¡DMH＝60º と求まり，DM=HM

E
C

D

F

線分 AF の長さは イ cm である。
(平成 22 年度であるから，£DHM が正三角形と気づけば，解¡AEB=75º となるようにとり，辺 CD 上に点 F

1)

この問題は，空間図形の把握力，対称性の理解力を問うものである。指導要領によると図形を対称性の観点からみる目を養うこと

中点 M を作図しなさい。さらに，線分 AB を斜辺とするような直角二等辺三角形 ABC を

1 つ作図しなさい。ただし，作図には定規とコンパスを使い，作図に使った線は消さない
でおきなさい。

D
F

B

E

C

れ結ぶ。

次の①では指示に従って答えなさい。②ではに適当な式を書き入れなさい。また，③では，答えだけでなく，答えを求める過程がわかるように，途中の式や計算なども書きなさい。
£AEF は正三角形であることを証明し

①

なさい。
②

AE=x cm とする。線分 CE の長さを x
cm である。

を用いて表すと，CE=③

分 AE の長さを求めなさい。

(平成 24 年度

く，このようにいくつか考えられる証明の方針そのものを考えさせたい。②は③のためのヒントで，ない。③を完解できた生徒は，計量面における三平方の定理のよさを再認識できたことであろう。
y右の図のように，原は定数) のグラフがあり，このグラフ上に 2

点 A，B がある。点 Aの x 座標は -2 で点 B

4)

明であるから，3 辺が等しいことを示すのではない。したがって，二等辺三角形で頂角が 60º であ二つの直角三角形について，

A

B

5

D

O

C

x

の座標は (4，8) である。また，点 B から x 軸に垂線をひき，x 軸との交点を C とし，直線
AB と y 軸との交点を D とする。

a= ア であり，x の値が -2 から 4 まで増加するときの関数 y=ax2 の変化の割合は イ である。また，点 D の y 座標はウ であり，台形 OCBD の面積は エ である。
②

直線 y=mx+2 が台形 OCBD の面積を③

直線 AB を軸にして，台形 OCBD を 1 回

2 等分するとき，定数 m の値を求めなさい。

①正三角形の証明は珍しい。辺 EF の長さが不なお，指導要領の3)る。）機械的に合同や相似の証明を問うのではな

辺 AB の長さが ®2 cm であるとき，線するという方針を決定することが求められている。
(平成 23 年度

では漢数字と算用数字の使い方の統一さえできて①

ともに，図形の考察の仕方が鋭くなり，図形とある。線分 AF を点 A から平面 BCDE に引い端角が等しいことを使う判断をする。（指導要領

点 O と関数 y=ax (aることを示すことになる。そのためのステップとBと混同した答案が散見されたが，ここは 1 辺と両2

して，£ABE と£ADF が合同であることを証明
A

合同となる。

A と点 E,点 A と点 F，点 E と点 F をそれぞによって，身の回りの世界の見方が広がるとの見方が豊かになる。

・斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいとき

平均点管理や検査時間の短さを考えるとやむを得を¡AFD=75º となるようにとる。また，点決する。
下の図のような線分 AB がある。線分 AB のA・斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいときいない。誠にお粗末。このような箇所は他にもあ形の辺 BC 上に点 E を①のおかげで，中心角が円周角の 2 倍ということ

Aの長さが 2 cm の正八
ABE と平行な面は，

H

右の図のように，長の大きさは ア º である。また，線分 DH®3
0.6*30*+1.6=9®3 +1.6¢17.2
2⑤ 右の図のような 1 辺

作図問題は，角の二等分線，線分の垂直二等分

転させてできる立体の体積を求めなさい。
(平成 25 年度

5)③に関しては，大学入試では超難関大学において斜軸回転が頻出である。本問は計算上はもちろん無関係であるが，頭の中でイメージを想像することは大切であり，中学生へメッセージを残した。

検査会場で問題用紙を斜めにするなどの機転も試された。計算自体は，大きい円錐の体積の 2 倍から小さい円錐の体積の 2 倍を引くだけなので難し

くはないが，東大文系などの入試問題同様にパズ
ル的な発想力が必要で大差がついた。また，本校

では今年も 2 次関数の問題を大問として出題し，
2 次関数という重要分野の出題が見送られた全県問題とは好対照であった。
右の図のように，原点の正六角形 OABCDEがあり，関数 y=ax2のグラフは 2 点 A，E

を通っている。ただし，a は正の定数である。
6

次の①では

E

O

B
A

値は 12.5 である。ただし，x，y は自然数で，x≤y である。このとき，x= ア ，y= イである。

(平成 25 年度【参考文献】
１

中学校学習指導要領（平成10年12月）
解説－数学編－

平成11年９月文部省

２岡山県立岡山朝日高等学校自校作成問題

３

岡山朝日高等学校自校作成問題・数学を探る

平成16年度～平成25年度

1)


山川

宏史

岡山朝日高校研究紀要 平成24年3月

る者もいて，白紙答案が散見されたのには驚いた。
x

幅広い学習が望まれる。

５．おわりにに適当な数を書き入れな計算なども書きなさい。

これまで，多くの方々の協力を戴き，本校は自7

校作成問題を世に出すことができた。地元紙では毎年取り上げられている。ただし，昨年度については，紙上の本校の問題において，図中の記号が脱落するという信じられぬミスがあった。新聞報¡AOC= ア º であり，点 A の座標はイ である。また，a= ウ である。

道に正確性はない。謝罪文の掲載などの迅速な事
後対応はなかった。関係各位にご心配をおかけし，電話もいただいた。自校作成問題対策のために中正六角形 OABCDE の面積 S を求めなさい。

学生の塾通いが増加し，その延長として，本校生の通塾率が非常に高い。通塾を全面否定はしない
が，学校での勉強との優先順位を間違えている者

原点 O を通り，正六角形 OABCDE の面③

最 頻 値 は 10，中央

10 18 8 13

きあいくださり，多謝。

なった。しかし，受検生の中には学習に偏りがあえを求める過程がわかるように，途中の式や②

さい ひん ちこの分野は内容が少ないので，出題量も少なくさい。また，②，③では答えだけでなく，答①

5 10 16 20 13 18

徒の通学時間であり， x y 13 16 5 10

最頻値，中央値の定義さえ覚えていれば易しい。
C

D

中学校の 16 人の生

通学時間 (単位:分)

新課程の問題である。資料を昇順に並べ直し，yO と，1 辺の長さが 2

右の資料は，ある⑥

積を 3 等分する直線を l，m とする。ただし，直線 l の傾きは正の数である。このとき，直線 l の傾きを求めなさい。

(平成 24 年度

5)正六角形が出題されるのは目新しい。③で面積を 3 等分するのはどのような状況なのかを，図中に自分で直線を描いてみて考えることになる。面も多く，自校作成問題は弊害が多いことが明白となった。このあたりで抜本的な見直しが必要であることは言うまでもない。
また，今年度を最後に，諸問題が多かった普通科の自己推薦入試が廃止された。中学校の先生のお立場からすると「やっと廃止か」のご感触であろう。この間，教育現場は翻弄され続けたが，謝罪はなかった。
自校作成問題はそのときどきの教育課程を考慮

積を 2 等分する問題はよく見られるが，その知識・し，練られた問題を世に出している。正規の業務の問題を出すはずはないので，三角形の面積の 2

他の都道府県でも業務に携わっておられる先生方，経験をどのように活かすかを問うている。範囲外
等分に帰着する発想力をみている。

をこなした上で，昼も夜も身を削るほどの激務。
誠にお疲れさまであります。皆さんにエールを送ることで，拙文を終了いたします。最後までおつ山川 宏史

やまかわ ひろふみ

岡山市中区生まれ。岡山大学大学
院理学研究科数学専攻修了。現在，
岡山朝日高校教諭。専攻は，非可換環論におけるPolynomial
Identity。趣味は，陶磁器蒐集
（備前，伊万里，有田，薩摩切子など），和洋酒。特記事項は，献血500回達成，自転車通勤。座右の銘「一瞥即解」（無理かな）。
根っからの自由人で束縛を嫌う（∴携帯電話は一生涯無理）。

「数学活用」を利用した
プレゼンテーション授業を実施して
海城高等学校

川崎真澄，原崇泰（Ｘ組）
カルダノの公式・成立変遷記，○*ゲームの必勝法，ペンローズタイリング，

ミニマス・フェスタを本校で進学校やSSHから注目される数学活用
現在，数学活用については必修ではないためか，

8

グラフ理論，種々のパラドックス，円周率の求め方，古代ギリシアの数学，ネピアの数（Ｙ組）

本誌Vol.4にて，大阪府立大手前高校の宮城憲博

教科書を刊行している出版社は啓林館と実教出版

先生との共著で“マス・フェスタ”へ参加させての2社に過ぎません。これは，数学活用が，前教頂いた感激をつづりました。そして，その感激は，育課程での「数学基礎」の名称変更では，と思わ“本校版のマス・フェスタ開催を”との思いへとれる節があったためではないか，との声をよく耳昂じ，今年2月25日（月）から3月4日（月）の約にします。

1週間，高校1年生の「数学Ⅰ」の授業にて，今「数学基礎」が進学校で採用された事例は余り

回の新課程で登場した「数学活用」の教科書を利耳にしませんでしたが，この「数学活用」は進学用してプレゼンテーションを行う，名付けて「高校やSSH実施校から注目されているようです。な

プレゼンテーションの様子

1ミニマス・フェスタ」へと結実しました。

るほど，数学学習，ひいては数学研究の意欲向上

１グループの持ち時間は10分としました。プレを図る場合に，この数学活用の利用はこれに十分

ゼンテーションの様子をご覧ください。

高１ミニマス・フェスタ開催とそのねらい

ペンローズタイリング，ゼノンのパラドック
ス，オイラーの多面体定理，

線分を n 等分する方法，経路探索システム，「ペンローズタイリング」

カテナリー曲線に縁の深い「準結晶」（2011年ノーベル化学賞は，

メビウスの立体輪，カーマイケル数について，に資するからでありましょう。

今回，年度末の最後の3回分（内1回は予備日）

が難しいので，高校で行うべきであろうとの前提の授業を，数学活用を利用したプレゼンテーショ

があり，加えて本校の現状を鑑みれば，受験学年ンとしました。実施予告は開催1ヶ月前とし，生である高3で行うことは適当であるとは言い難い

徒は5人で1つのグループとなり，「数学活用」のと思われました。では，なぜ，高2ではなく，高1

教科書収録内容をはじめ，各自が興味深く思ってなのか？

いる数学的素材をテーマとして掘り下げ，プレゼ

例えば理系で行った場合，「理系としての共通言うのですが…」と披露した生徒が出現。あまりにタイムリーな展開に万雷の拍手が巻き起こりまし「カントールと無限」

した。
ただし，その準備は，原則として授業時間は費とできる分，専門性は高くなるかもしれませんが，やさないようにしたので，生徒は放課後や休み時

その分「サークル内発表」の色合いが出てきてし間，そして休日を返上して奮闘したようです。果まい，巧みに比喩などを用いて「どうにかして自たしてその発表は，いずれも興味深いもので，計分たちの主張を平易に伝えよう」という努力を必56のプレゼンテーションとなりました。

文系志向の生徒への（またその逆もしかり）説明「実は丁度昨日，それを作ることに成功したと思「自然界に見られる螺旋」

ンテーションのために準備をすすめることとしま語」を伝え手と受け手で共有していることを前提

要としない可能性があります。理系志向の生徒は介を発表した写真の4人に対して，聴衆の中から開催に至るまでの進行が身についていない中学段階ではこのような試み

それは，仮に（本校で）文理に分かれる高2次の，この結晶の発見に対して授与されています）の紹た。

高校1年生の，とりわけこの時期に開催したことには理由があります。これは，数列などの手法

この発表の質疑応答の際，ペンローズタイリング

以下は，7つあるクラスの中から2クラス（16グループ ）分のタイトルを抜粋したものです：に奮闘することを求めたいのです。

「一般化されたオイラーの多面体定理」

つまり，単なるプレゼンテーションではなく，文理混成の最後の時期の，多様な個性に対しての「カルダノの公式・成立変遷記」

プレゼンテーションを敢行したいことによります。

この発表は劇仕立てで行われました。写真は，タルタリア（左）から甘言を弄して公式を聞き出したカルダノ（右）の場面です。

9

フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案

ミニマス・フェスタを終えてみて
プレゼンテーション終了後，マス・フェスタに

学校法人富田学園岐阜東高等学校

おける報告書を模して，英文による概要を付した報告書を作成させ，約180ページからなる報告集

亀井喜久男

を作成しました。その電子版を本校数学科ホーム
ページに掲載してございます。ご覧いただければ整数辺直角三角形（いわゆるピタゴラス三角形）

幸いです。

の中の 3 つの系列について説明します。

http://www.kaijo.ed.jp/education/subjects

an+2=6an+1-an+2
bn+2=6bn+1-bn-2

直角をはさむ辺の長いほうと斜辺の長さの差が/mathematics/pdf/2012_4math1.pdf

1 の系列があります。ピタゴラスの系列とされています。3，4，5 の次は 5，12，13。奇数が一個

生徒は，「授業を準備時間にあてられないし，発表のためのパワーポイント原稿作りなどで大変りました」とか，「数学も他の学問同様，多くの

cn+2=6cn+1-cn

隣接 3 項の漸化式によって作る an，bn，cn の 3

ありさえすればひとつ出来ます。まず二乗して 1

数の組はフェルマー系列になります。

商と，それに 1 を足した数で 3 つの数の組を作れ立てました。結果は驚くべきものでした。

を引き 2 で割ります。はじめの奇数，2 で割った

だったけれど，報告集も作成でき，よい記念になさらにこの式から線形性を予感し行列方程式をpばそれが原始ピタゴラス三角形となります。7 の先人たちによって作り上げられたことが実感でき“s

場合は二乗して 49，1 を引いて 2 で割り 24，1 をました。そう考えると，問題がすぐに解けなくて10として足して 25。こうして 7，24，25。

も焦らずにじっくり考えてみようという気になり次は直角を挟むひとつの辺と斜辺の差が 2 であました」あるいは，「文理に分かれる前に数学にる系列です。プラトンの系列と呼ばれています。

対する勉強のモチベーションが落ちる感じだった

4 の倍数をひとつ準備します。半分にしてそれをのですが，“楽しい数学”を見聞きできてまた頑

2 乗します。8 のときにはまず 16 が出てきます。

張ってみようと思いました」など，生徒が活き活v

17 とで 3 つ組を作ります。4 の倍数からひとつのた喜びと数学活用を利用した授業に対する“手ご原始ピタゴラス三角形ができます。

たえ”を感じました。
導入後，日の浅いこともあって，まだまだ数学

どちらも証明は容易で，さらに無限個の原始ピ活用の実施に至る高校は少ないと耳にします。本

タゴラス三角形が存在することを示しています。

稿が，数学活用導入を肯定的にとらえて頂く実践

整数の分野が大学入試に入った以上原始ピタゴラ

例としてお取り上げ頂ければ幸いです。

ス三角形関係の話題は多くなります。そのときサ川崎 真澄

かわさき ますみ

東京都生まれ。東京理科大学理工
学部数学科卒業。埼玉大学理工学研究科修了。専攻は代数幾何学。
博士（理学）。現在，私立海城学園
数学科主任。趣味は古典芸能鑑賞。

ンプルが 3，4，5 や 5，12，13 だけでは寂しい

原 崇泰

わない整数辺直角三角形が無限個あると言及しま
はら たかひろ

早稲田大学基幹理工学研究科博士前期課程修了後，私立海城学園に非常勤講師として勤務。現在に至る。趣味は山行とスキー。数学を通じて努力の大切さと尊さを学んで欲しく思います。

した。3，4，5 の次は 20，21，29，次は 119，120，
169 です。さすがにこの系列は簡単な作り方はありませんでした。私は見渡しをしていて，1991
年に面白い漸化式を発見し発表しました。

a0=0，b0=1，c0=1，a1=3，b1=4，c1=5

3

20

1

5

29

5

29

119
120
169

‘

2

1

2

3

20

2

2

3

5

29

“ 1 2 2 ‘“ 4 ‘=“ 21 ‘
出来た縦ベクトルにまたこの行列をかけて下さい。そうすると次々とフェルマー系列の整数辺直角三角形の 3 つ組が生成されます。どんどん巨大化し 12 ステップで斜辺が十億の位の整数辺直角三角形ができます。pn＝Anp0 三次元の等比数列がここにあります。

から証明に入るほうが自然と思うのです。だから

は，直角をはさむ 2 つの辺の長さが 1 だけしか違20

トルに上の行列を左からかけて下さい。

1

新しい話題はフェルマーの系列です。フェルマー

3の数の組を縦ベクトルとして下さい。この縦ベクn

シンプルな作成法は重要です。

0‘“ 1 4 21 ‘=“ 4 21

き次々と出てくる 1，2，3 に仰天しました。3 つでしょう。たとえば必ず 5 の倍数があることを証明せよと問われたとき 7，8 個見渡して実感して

rux

真ん中の行列の逆行列を両辺の右からかけたとこの数から 1 を引いて作る 15，1 を足して作る

きとこの授業に臨んでいたことが分かり，実施し

q
t
w

0
2
3
4
5
6

an

0
3

20

119
696

4，059

23，660

bn

1
4

21

120
697

4，060

23，661

7

137，903137，90494，684，659

4，684，660

8
10
11
12

803，760

27，304，196

159，140，519
927，538，920

803，761

27，304，197

159，140，520

cn

1
5

29

169
985

5，
741

33，461

195，025

1，136，689
6，625，109

38，613，965

225，058，681

927，538，921 1，311，738，121

11

尚横ベクトルに右からこの行列をかけても同様です。これで 2 の平方根の逐次近似が出来ます。
c/b は 12 回で 1.41421356 となります。

上手くいったところで，他の系列に適用してみました。

ピタゴラスの系列（斜辺と 1 辺が 1 の差）で行列を求めてみましょう。
p

“s

v

q
t
w

r
u
x

3

05

07

05

07

09

5

13

25

13

25

41

‘“ 4 12 24 ‘=“ 12 24 40 ‘

ここから得られる行列をピタゴラスの系列の行列と捉えることが出来ます。

“
12

1
2
2

-2
-1
-2

p
s
v

q
t
w

2
2
3

‘

‘“

3
4
5

“
“

-1
-2
-2

2
1
2

2
2
3

35
15
12 = 08
37
17

‘ “

35
12
37

63
16
65

‘

‘

同様にこの行列はプラトンの系列の行列と捉えることが出来ます。統一性をもたせるためにフェルマーの系列の行列も 1 行と 2 行を入れ替えて

“

1
2
2

2
1
2

2
2
3

ラス三角形をすべて規則的に構成していくことに感激しました。今から20年も前のことです。その後中心の幹のフェルマーの系列のものは漸化式も込みで数学検定協会の数学検定4段の問題になりました。
さて実用性へ話は戻ります。フェルマーの系列の 2 番手であるところの 20，21，29 は殆ど注目

実写版20:21:29

されてはいません。ここで 20，21，29 の魅力的な応用例を紹介します。じつは実用性が大変あることに気づきました。2012年夏に本校のハンド
ボール部顧問の牧野先生からハンドボールコート
形を利用することを思いつきました。数学科同僚

15
08
17

オープニングの良い作成法を問われました。そのときこの三角

次はプラトンの系列（斜辺と 1 辺が 2 の差）rux

3，4，5 を出発点している 3 進樹が原始ピタゴ‘としました。

縦ベクトルの 3，4，5 から出発して，この 3 つの行列を左から次々と掛ける時，原始ピタゴラス
三角形が次々に生成します。また先頭が奇数で後尾が斜辺であるところのどの原始ピタゴラス三角

形も 3，4，5 から必ずたどって行けます。これを証明し整数論のH先生に届けました。類似の研究がアメリカにあるようだとのことでショックでした。しかしともかく自分自身の力で「3 進樹の節
点にピタゴラス原始三角形が生成すること」にたどり着いたことに満足しました。数学の研究の面
白さを味わいました。当時 3 進樹になることは多くの日本の高校の先生方に驚きをもって受け入れられました。日本では初見の行列セットでした。

まずはサイドラインの諸先生，ハンド部顧問の先生方の協力を得て，さらに電算機部，放送部，ハンドボール部皆の協

139mライン６ｍライン

力を受けてYOUTUBEの動画が出来上がりました。
http://www.youtube.com/

挨拶

watch?v=V5hMbGmnfYU「ハンドボールコート作成」で検索してください。
または「エジプトひも」で検索してください。
作成法紹介動画が見られます。幾何学の歴史やアイデアが散りばめてあります。数学の凄さや実センターライン用性を生徒諸君に伝えるにも役に立つ動画となったと考えています。2013年春現在3000VIEWを超えて広がりつつあり，また多くの外国でのVIEWを頂いています。英米独仏伊露，マカオ，
デンマーク，シンガポール，チュニジア，ハンガ
リー，アイルランド，マレーシアで閲覧いただきました。このアイデアを授業でご活用下されば幸いです。また実際のハンドボールコートやフット
サルのコートの作成に活用いただければ幸いです。

直角となる根拠

確かに数学は役に立つ。そういってくれる生徒諸君を一人でも増やして数学の応援団を増員させましょう。

補足です。ピタゴラス三角形には必ず 3，4，5の倍数があります。私はかつて背理法の意義をこの証明で納得しました。三平方の定理周辺にはまだまだ謎や面白話が存在するように思います。ともに探しましょう。

エンドライン

亀井 喜久男

カメイ キクオ

岐阜大学教育学部数学科出身，公立学校を経て私立岐阜東高校に勤務，現在に至る。岐阜県高数研数学教育研究委員も務めた。教材開発を重ね，数学史に題材を求めた
エジプト紐，古墳時代の縄の数学を発表。主要論文業績「高次元立方体の表現，数理科学」「微積分学習への提言，数理科学」「平方・平方根図式，数理科学」など。「ハンドボールコート作成の新方式20：21：29の活用」
で注目されている。1955年，多治見北高校出身。

複素数平面の有用性を考える（その２）複素数平面上の原点 O に頂点 A を定め，点 B，C，D，E，F，X，Y，Z を表す複素数をそれぞれ ∫，ª，δ，ε，ζ，x，y，z とする。

豊田 敏盟

Focus Gold・Focus Up
編集委員

ó=cos3@π+isin3@π として，②の「正三角形に関する公式」を利用する F(g)Toshiaki Toyoda

また，ó -1=(ó-1)(ó +ó+1)=0 で，ó≠1
3

１．複素数平面における正三角形の公式
本稿執筆のため，複素数平面に関する題材をあれこれ選んでいましたら，汎用性のありそうな次の正三角形に関する公式が目に留まりました。

2であるから，ó +ó+1=0
2

2

よって，ó+1=-ó ，これを①に代入すると，

å+ó∫+ó ª=0 が導かれる。
2

3 点 A(å)，B(∫)，C(ª) がこの順に反時計回りの位置3@πにあるとき，

B(∫)£ABC が正三角形 ⇔ å+ó∫+ó ª=0 ……②

ó=cos3@π+isin3@π とすると，この②の公式を用いると，正三角形 ABC の 2

つの頂点を示す複素数がわかれば，もう 1 つの頂£ABC が正三角形 ⇔ AC=BC，¡ACB=
である。

π
3

このことから，異なる 3 点 A(å)，B(∫)，C(ª)

がこの順に反時計回りにあり，£ABC が正三角形であるための必要十分条件は，「BC を頂点 B のまわりに 3@π だけ回転すれば，CA に等しい」である。
そこで，3@π だけ回転させる複素数
ó=cos3@π+isin3@π を使うと，ンの定理」が思い出されます。
【ナポレオンの定理】

任意の三角形 ABC について，その外側に，各辺を1 辺とする正三角形 CBD，
ACE，BAF をつくり，それぞれの正三角形の重心を
X，Y，Z とすれば，三角形 XYZ は正三角形である。
(3 つの正三角形を内側に

F

A

Z
B

E

C
X
D

つくる場合でも，£XYZ は正三角形となる。この £XYZ をナポレオンの三角形という)

そこで，各辺を 1 辺とする正三角形を£ABCの 外側に描く場合の「ナポレオンの定理」についつまり，å+ó∫-(ó+1)ª=0 ……①て，FocusGold 数学Ⅲのコラムでの解説とは趣

ここで，ド・モアブルの定理から，を変え，②の「正三角形に関する公式」を用いて3証明してみます。

の順に反時計回りに正三角形の頂点である。

以上，【ナポレオンの定理】を複素数を用いて代数的に証明しました。同様な方法で，ナポレオンの三角形 XYZ の重心と三角形 ABC の重心は一致

することも簡単に証明できます（Focus Gold 数
学Ⅲ のコラム参照）。
さて，ナポレオンの名が付くこの定理ですが，彼が定理の確立にかかわったことを示す資料は発見されていないとのこと。ただ，ナポレオンは数学好きで，フーリエやラグランジュなどの数学者

３．チェバ・メネラウスの定理を利用した「ナ=3!{(1-ó )∫+(1-ó)ª} ……③2正三角形 EAC から，ε+ó･0+ó2ª=0
点 Y は £EAC の重心より，

y=3!(ε+0+ª)=3!(1-ó )ª ……④
2

よって，点ζはζ=-ó∫ と表せる。

Yに関する公式」から，3 点 X(x)，Y(y)，Z(z) はこと交わりながら数学に取り組んだようです。

正三角形 FBA から，ζ+ó∫+ó2･0=0

必要十分条件は，ó(ª-∫)=å-ª，ó3=“cos3@π+isin3@π‘ =1D(d)よって，点εはε=-ó2ª と表せる。

ところで，正三角形といえば，次の「ナポレオ【証明の概要】X(x)x=3!(δ+∫+ª)

点は ó を使って容易に表すことができます。

£ABC は正三角形 ⇔ å+ó∫+ó2ª=0

δ=-(óª+ó2∫) と 表 せ

C(ª)

B(∫)

り，

が成立する。
C(ª)

よって，点δは，

点 X は £DBC の重心よ

2

A(å)

複素数平面上で，異なると，正三角形 DCB から，
δ+óª+ó2∫=0

A(O) E(f)
Y(y)

Z(z)

る。

以上から，

【正三角形に関する公式】

14

２．「ナポレオンの定理」の証明

点 Z は £FBA の重心より，

z=3!(ζ+∫+0)=3!(1-ó)∫ ……⑤
次に，x+óy+ó2z に③，④，⑤を代入して計算すると，

ポレオンの点」の証明

ところで，ナポレオンの名の付くものに，次の「ナポレオンの点」があります。
【ナポレオンの点】

任意の三角形 ABC の外側に，各辺を 1 辺とする正三角形 CBD，ACE，BAF をつくり，それぞれの正三角形の重心を X，Y，Z とすると，3 本の直線 AX，BY，CZ は 1 点で交わる。この点をナポレオンの点という。

また，ナポレオンの点に似た定理として，次の「フェルマーの点」があります。
【フェルマーの点】

任意の三角形 ABC の外側に，各辺を 1 辺とす

x+óy+ó z
2る正三角形 CBD，ACE，BAF をつくり，直線=3!{(1-ó2)∫+(1-ó)ª}+ó･3!(1-ó )ª+ó ･3!(1-ó)∫2

2=3!{(1-ó2+ó2-ó3)∫+(1-ó+ó-ó3)ª}AD，BE，CF を引くと，この 3 本の直線は 1 点

W で交わる。この点 W をフェルマーの点という。
このフェルマーの点 W の存在を，£ABC の内=3!{(1-ó3)∫+(1-ó3)ª}

角がいずれも 3@π より小さい場合（点 W が£ABC

ここで，ド・モアブルの定理から，ó3=1の内部にある場合），幾何を使って証明すると次のよって，x+óy+ó2z=0 となり，②の「正三角形ようになります。

15

【フェルマーの点の証明】£BAF の外接円と£ACE の外接円の交点をW とすると，¡AWF+¡AWC=¡ABF+(π-¡AEC)=π
π+“π- ‘=π
3
3

π
3
F

より，3 点 F，W，C は一

π
3

3@π

A

π
3

W

B

E

=2!ST(QH1+QH2+QH3)
よって，WA+WB+WC=QH1+QH2+QH3

また，QH1+QH2+QH3≤QA+QB+QC であるから，WA+WB+WC≤QA+QB+QC となる。
し た が っ て， £ABC 内 の 任 意 の 点 Q の う ち，

C

QA+QB+QC が最小となる点 Q はフェルマー

直線上にある。同様に，3の点 W である。

点 E，W，B も一直線上にDあることがわかる。

では，本題の「ナポレオンの点」の話に戻りま

次に，¡BWC=2π-(¡AWB+¡AWC)

しょう。私は「ナポレオンの点」の証明を，フェ=2π-“3@π+3@π‘=3@π

ルマーの点と同様，幾何で証明しようと試みましより 4 点 B，D，C，W は同一円周上にあるから，
16正三角形 STU=2!ST(WA+WB+WC)

上と同様に，3 点 D，W，A も一直線上にあることが証明できる。

したがって，直線 AD，BE，CF の 3 直線は，

£BAF，£ACE，£CBD の外接円の交点 W で交わる。この点 W がフェルマーの点である。
なお，£ABC 内の点 Qのうち，QA+QB+QC が最も短くなる点 Q はフェルマーの点 W です。この証明にも簡単に触れておきましょう。

頂点 A を通り線分 WAに垂直な直線を引く。同様

T

3@π
π
3
B

W
H2

Q

π
3

では不可能と判断しました（ナポレオンは，「余の辞書に『不可能』はない」との言葉どおり可能ならしめたのでしょう）。ただし，いろいろな£ABC を描いてナポレオンの点の位置を探ると，その位置は £ABC の内角や辺の長さの比に左右されることを理解しました。

そこで，複素数平面上で「ナポレオンの点」の位

3@π

A H1

たが挫折。これを幾何で解析することは，私の力

π
3

S

C
H3

U

に，頂点 B を通り線分 WB に垂直な直線と，頂点
C を通り線分 WC に垂直な直線を引き，これらの直線の交点を図のように S，T，U とする。

このとき，¡AWB=¡BWC=¡CWA=3@ππとなり，£STU はより，¡S=¡T=¡U=
3
正三角形である。

次に，£ABC 内の任意の点 Q から，正三角形

STU の各辺に垂線 QH1，QH2，QH3 を引くと，置を捉えようと，「ナポレオンの定理」の証明と同様，頂点 A を原点 O に定め，点 B(∫)，C(ª)，X(x)，Y(y)，Z(z) とし，また，ó=cos3@π+isin3@π をはすべて徒労に終わりました。

【ナポレオンの点の解析の考え方】

ただ，これらの試みの中で，前述の「ナポレオンの定理」の証明での③，④，⑤に，ó +ó+1=0
2

を使って，

BY=y-∫=3!(1-ó2)ª-∫=3!{-3∫+(2+ó)ª} ……⑦
CZ=z-ª

した。

さらに，x=n∫+mª (m，n は実数) なら，直線

AX は辺 BC を m:n に内・外分することから，実数 m，n を求めようともしました。でも，これらX(x)す複素数をそれぞれ b，c

x

C(c)

D(d)

（その2）ó=cos3@π+isin3@π=-2!+®3i2を使い，複素数の相等の考え方を利用する。

（その3）AX が 辺 BC を m:n に，BY が 辺 CA

を p:q に，CZ が辺 AB を s:t に内・外分すると
して，

q
n
t
， ，
をそれぞれ a，b，c で表し，msp

=3!(1-ó)∫-ª

それらの積=1 を証明する。ただし，m，n，p，q， 17=3!{(1-ó)∫-3ª} ……⑧【ナポレオンの点の証明の概要】

を導くと AX，BY，CZ は，それぞれ，辺 BC，CA，AB の内・外分に通じますし，仮に，⑥，⑦，⑧∫ の係数の積を計算すると，
の
ª の係数
2+ó
-3
1-ó
･
･
=1
1-ó 2+ó-3となります。このことは，「チェバの定理・メネラ
ウスの定理の逆」を暗示していると考え，その方とから，£ABC の頂点 A を虚軸上の ai(a>0) に，

実数･(z-ª) の成立) の証明にも取り組んでみまPB(b) m O nとする。ただし，a，c は正数，b<c とする。

s:t (m，n，p，q，s，t は実数) に内・外分する点

交点 V(v) を結ぶ直線が点 Z を通ること (v-ª=t R=3!{(2+ó)∫+(1-ó)ª} ……⑥素数の相等「m，n が実数のとき，じような方法ですが，頂点 C と直線 AX，BY のに定め，その位置を表す複=3!{(1-ó )∫+(1-ó)ª}ば，ベクトルの一次独立性の考え方を応用して，

実数 m，n などで表そうと試みました。また，同E(f)軸上に定め，その位置を表2

向でアプローチすることにしました。その際，複が一致すると仮定し，その点を複素数 ∫，ª，ó やy

B，C はこの順に左回りに F(g) A(ai) q Y(y)Z(z) sあるとし，頂点 A を虚軸上Q p
素数を ai，頂点 B，C を実

AX=x-0

用いて幾つかの方法でチャレンジしました。例え
線分 AX を m:n，線分 BY を p:q，線分 CZ を

（その1）£ABC の頂点 A，m+ni=0 ⇔ m=0，n=0」を用いる必要があるこ

頂点 B，C を実軸上の b，c(b<c) に定めました。
それでは，ナポレオンの点の解析に関する私の考え方と証明の概要を述べてみましょう。

s，t は実数で，m+n=p+q=s+t=1 とする。

点 D，E，F，X，Y，Z を表す複素数をそれぞれ δ，ε，ζ，x，y，z とする。

ó=cos3@π+isin3@π と②の「正三角形に関する公式」を利用し，また，式の整理の途中，

ó2=-(ó+1) と置き換え，x，y，z を a，b，c，

ó で表すとする。

正三角形 DCB から，δ+óc+ó2b=0

よって，δ=-(óc+ó2b)

点 X は£DBC の重心より，
x=3!(δ+b+c)=3!{(1-ó2)b+(1-ó)c}=3!{(2+ó)b+(1-ó)c} ……⑨正三角形 EAC から，ε+ó･ai+ó2c=0

よって，ε=-aói-ó2c

点 Y は£EAC の重心より，
y=3!(ε+ai+c)

=3!(-aói-ó2c+ai+c)

虚部は，=3!{-aói+(ó+1)c+ai+c}=3!{(1-ó)ai+(2+ó)c} ……⑩正三角形 FBA から，ζ+ób+ó ･ai=0
2

2

よって，ζ=-ób-ó ･ai

点 Z は £FBA の重心より，=-(p+q)b+qc+pai⑫，⑬から j を消去すると，

q=1-p を代入し，両辺を虚数単位 i で整理す

2{(c-b)m+b}(®3 b-®3 c-6a)+6a(b+c)=0

m で整理すると，(c-b)(b-c-2®3 a)m=(c-b)(b-®3 a)=3!(-ób-ó2･ai+b+ai)b=®3 a とすると，¡ABO=

次に，AX が辺 BC を m:n (m，n は実数，

m+n=1) に分ける点を P とすると，

AP=jAX=nAB+mAC ( j は実数)が成り立つ。

jAX=nAB+mAC は，

j(x-ai)=n(b-ai)+m(c-ai)

3 点 A，B，X および C，B， y
Z がそれぞれ一直線で，点Z が実軸上にくるから，ナ

ポレオンの点は頂点 B であ=n(b-ai)+m(c-ai)®3®3
ここに，2+ó=2#+i，1-ó=2#i
22を代入して，

j
®3
®3
”“2#+
i‘b+“2#i‘c-3ai’
32
2=n(b-ai)+m(c-ai)

両辺を虚数単位 i で整理すると，

jj(b+c)+ (®3 b-®3 c-6a)i2
6=(nb+mc)-(ma+na)ia，b，c，j，m，n は実数より，複素数の相等から，実部は，j(b+c)=nb+mc
2

n=1-m を代入して整理すると，
j(b+c)=2{(c-b)m+b} ……⑫aOπA(ai) 6
b

B(b)
π
6

C(c)
X

x

b≠®3 a とすると，b-c-2®3 a≠0 となり，b-®3 am=
b-c-2®3 a

また，n=1-m=1=
よって，b-®3 ab-c-2®3 a-(c+®3 a)b-c-2®3 an-(c+®3 a)®3 a+c……ⅰ==mb-®3 a®3 a-b

(点 P は，®3 a>b なら辺 BC の内分点，®3 a<bなら外分点である)

BY が 辺 CA を p:q ( p，q は実数，p+q=1) に分ける点を Q とすると，

BQ=kBY=qBC+pBA (k は実数)が成り立つ。

kBY=qBC+pBA は，k( y-b)=q(c-b)+p(ai-b)となる。

⑩を代入すると，k{(1-ó)ai+(2+ó)c-3b}3=q(c-b)+p(ai-b)
ここに，1-ó=2#-

ると，k{(®3 a+3c-6b)+(3a+®3 c) i}
6=(-b+c-pc)+pai

π=¡CBX より，
6

る。

となる。⑨を代入すると，

j･3!{(2+ó)b+(1-ó)c-3ai}k®3®3”“2#i‘ai+“2#+i‘c-3b’3
2
2

j(®3 b-®3 c-6a)=-6a ……⑬c≠b より，(b-c-2®3 a)m=b-®3 a=3!{(2+ó)ai+(1-ó)b} ……⑪を代入して，

m+n=1 を代入して整理すると，

z=3!(ζ+b+ai)=3!{-ób+(ó+1)ai+b+ai}

18

j(®3 b-®3 c-6a)=-(ma+na)
6®3®3
i，2+ó=2#+i22s，t を a，b，c で表すと，s=(c-b)(®3 a-b)a2-2®3 ab+2®3 ac+b2
よって，
t=

t
(c-b)(®3 a-b)
= 2
……ⅲ
s
a -®3 ab+®3 ac+bc

以上，⒤，ⅱ，ⅲから，三角形 ABC において，
q
PC
QA
RB
n
t
・
・
=
・ ・
BP
CQ
AR
m
s
p

以下，前述と同様に，複素数の相等から，実数p，q を a，b，c で表すと，(c-b)(®3 a+c)，p= 2
a -2®3 ab+2®3 ac+c2
a2-®3 ab+®3 ac+bc
q= 2
a -2®3 ab+2®3 ac+c2
よって，
q
a2-®3 ab+®3 ac+bc=p(c-b)(®3 a+c)(c≠b) ……ⅱ

CZ が辺 AB を s:t (s，t は実数，s+t=1) に分ける点を R とすると，

CR=lCZ=tCA+sCB (l は実数)が成り立つ。

lCZ=tCA+sCB は，l(z-c)=t(ai-c)+s(b-c)となる。

⑪を代入すると，

l{(2+ó)ai+(1-ó)b-3c}
3=t(ai-c)+s(b-c)

ここに，2+ó=2#+
を代入して，®3®3i，1-ó=2#i
2
2

l
®3
®3
”“2#+
i‘ai+“2#i‘b-3c’
322=-(s+t)c+sb+tai

t=1-s を代入し，両辺を虚数単位 i で整理す

ると，

l{(-®3 a+3b-6c)+(3a-®3 b)i}6=(-c+sb)+(1-s)ai

以下，前述と同様に，複素数の相等から，実数a2-®3 ab+®3 ac+bc，
a2-2®3 ab+2®3 ac+b2=®3 a+ba2-®3 ab+®3 ac+bc
・・®3 a-b(c-b)(®3 a+c)(c-b)(®3 a-b)=1
a -®3 ab+®3 ac+bc2が成立する。

したがって，チェバの定理の逆から，3 つの直線 AX，BY，CZ は一点 (ナポレオンの点) で交わる。

「ナポレオンの定理」や「ナポレオンの点」は比較的単純な図であっても，幾何で証明するのはなかなか困難です。でも，複素数平面の有用性を活
かすと，高校生でも十分に取り組めるものであり，
科目「数学活用」の教材としていかがでしょうか。

19

2013 年度入試の気になる１問
Focus Gold・Focus Up
編集委員

竹内 英人
Hideto Takeuchi

前回のGold通信では，東大・京大の問題についての講評を通して日々の指導について振り返ってみました。今回も2013年の気になる1問を取り上げ，色々と考えてみたいと思います。今回の問題は次の1題です。

x>0 とし，f (x)=logx100 とおく。

（1）次の不等式を証明せよ。

100
100<f (x+1)-f(x)<x+1x（2）実数 a の整数部分 (k≤a<k+1 となる整数 k) を ¯a˘ で表す。整数 ¯ f (1)˘，¯ f (2)˘，¯ f (3)˘，…，¯ f (1000)˘のうちで異なるものの個数を求めよ。必要ならばlog10=2.3026 として計算せよ。

受験問題に詳しい先生方にとっては，この問題の類題として，以下の1998年の東大理科，1995
年の早稲田の商学部を連想されることと思います。
実数 a に対して k≤a<k+1 をみたす整数 kを ¯a˘ で表す。n を正の整数として，x2(2・33・n-x)
f (x)=
25・33・n2¯ f (0)˘，¯ f (1)˘，¯ f (2)˘，…，¯ f (36n)˘ の

うち相異なるものの個数を n を用いて表せ。

（98.東大.理科）（1）不等式

1995
1995≥1 をみたす最大
nn+1の正の整数 n を求めよ。

·

1995
1995
1995
1995
1995
‚，·
‚，·
‚，…，·
‚，·
‚
1
2
3
1994
1995
(1995早大・商)関わらず，今回この1題を取り上げたのには理由があります。それは，出題者の出題意図が明確に表れている良問だと感じたからです。入試問題の③ ガウス記号の意味そのものに関する問題（ガている必要があります。そこで，先生方にはひとウス記号を含む等式やグラフに関する問題）

まずこの2つのポイントとなる「平均値の定理」とでは本題に戻りましょう。
（1）は典型的な平均「ガウス記号」について，普段の授業において，ど値の定理の②に関する問です。問題は（2）です。

のような点に注意して指導されているか思い出し

この問ではガウス記号について性質（ア），（イ）をた上で以下を読んでいただければと思います。

丸暗記しているだけでは，（1）の結果とどうつな「平均値の定理」はいわゆる「存在定理」で高校がるか見えてきません。そこで，ガウス記号につの教科書では，グラフを用いた直観的な説明が成いてもう少し詳しく見ておきましょう。

されています（FocusGold数学Ⅲ（新課程版）のp.391〜392のコラムでは詳しい証明が載せてあについてはかなりしっかりと目を通しています。
特に，国立の難関大ではその傾向が強いようです。
恐らく名古屋大学の出題者は東大もしくは早大の問題をチェックしていたことでしょう。しかしながら，東大のようにノーヒントでは難しすぎる。
逆に，早大の（1）のようにヒントをつけてしまうと面白くない。そこで，東大と早大の間をとって（1）でヒントを与え，それを用いて（2）を考えるという誘導問題にしました。しかも，いかにも誘導といった形ではなく，いかに（1）を利用するかを見抜かなくてはならない問題となっています。この点で，両校の出題に比べ非常に教育的配
さて，この問題のポイントとなる知識は（Ⅰ）
平均値の定理（Ⅱ）ガウス記号の2つですが，名大レベルを受験する生徒にとっては，上の（Ⅰ），（Ⅱ）については，当然知識として持っていることでしょう。ただ，この問では単に「知識として知っている」というレベルでは不十分です。それ
ぞれの内容がどういう意味を持っていて，どうい（ア）の性質をグラフに表すと次のようになります。

ります）
。

y

平均値の定理の指導のポイントは，その役割（使①関数の増減についての一般論を示す（特に具体的な関数式が与えられていないとき

21-2 -1 Oに有効。例えばグラフの凹凸の一般論を示すと
f (b)-f (a) と b-a，f '(c) の関係の明確化

1
-1

-2

きなどに利用)
②

y=x-1

3

と，典型的な問でしか使えるようになりません。
「平均値の定理」の役割は以下の2つです。

y=x4い道）を正しく理解させることです。これを怠る

出題者は，自分の大学と同等レベルの大学の問題慮が成された一問だと思います。

とおく。36n+1 個の整数

何個あるか。その個数を求めよ。

このように，過去に類題が出されているのにも[名大 理系②]20（2）次の 1995 個の整数の中に異なる整数はう場面で使われるのかということを正しく把握し

2

3

4

5

x

y=¯x˘のグラフ

（入試ではこちらが中心であり，代表的な問とし

つまり，y=¯x˘ のグラフは任意の x で y=x-1 と差 f (b)-f (a) の定量が難しいとき，その導関れは同時に y=¯x˘ のグラフにおいては，x1>x2 のては不等式の証明，または，関数 f (x) について
数 f '(x) を用いて，差を別の表現で表すこと）
続いて，「ガウス記号」についての確認です。

ガウス記号については旧課程においても定義つきで入試に出題されていましたが，新課程で「整数」

y=x の間に挟まれ，（等号は x が整数のとき）ことき，

x1-x2<1 → ¯x1˘-¯x2˘=0 または 1x1-x2≥1 → ¯x1˘-¯x2˘≥1であることが読み取れます。

が入ってきたことにより，今後，出題は増えると予想されます。「ガウス記号」については参考書
等では（ア）x-1<¯x˘≤x，（イ）¯x˘≤x<¯x˘+1が中心に取り上げられていますが，「ガウス記号」
においても，その（入試における）役割について確認しておきましょう。
① 整数問題に関するもの，特に倍数・素因数の個数に関する問題② ガウス記号に関する不等式（上記の（ア），（イ））と「はさみうちの原理」を用いて極限値を求める問題

これを例え話でいえば（よくある例ですが），

y=¯x˘ の横軸を走行距離，縦軸をタクシー料金とすると，走行距離の差が 1km 未満であれば，メー
ターはそのままかワンメーターの違い，走行距離の差が 1km あれば，100％，ワンメーター以上の違いが生じ，代金が上昇するということです。ここまでで本問を解くための準備は整いました。この名古屋大学の問題では，y=f (x)=logx100 という関数について ¯ f (x)˘ を分析してみようというのがテーマです。

21ここでポイントとなるのは ¯ f (x)˘ の具体的な値

1=ではなく，¯ f (1)˘，¯ f (2)˘，……，¯ f (1000)˘ のうとなり， ¯ f (x)˘≠¯ f (x+1)˘ち，異なるものの個数を求めるという点です。要¯ f (1)˘<¯ f (2)˘<f (3)< … <¯ f (99)˘<¯ f (100)˘

は，x1<x2 のとき，¯ f (x1)˘ と ¯ f (x2)˘ の値が等しいか異なるかを問う問題となっています。これは先ほどのガウス記号の話に帰着すれば，y=f (x)=logx100=100logx のグラフを考えたと

100
100
<
<f(x+1)-f(x)
99+1
x+1

よって，100 個

f (x+1)-f (x)<100+(690-460+1)-1=330 (個)⒤となります。

ⅱ¯ f (100)˘ は 2 回数えている。

今回，この問題を2013年の1問として取り上げたのは，先にも述べたように問題の構成に非常に教育的配慮を感じるとともに，単なる知識として丸暗記しているだけでは歯が立たず，日ごろから定理の導かれる過程やその使い道，また，それら

x=100~1000 までは，

ⅱのうち，異なる値となるのは，

100
100
≤
=1
x
100

の知識を有機的に結び付けることができるかどうか，すなわち，日ごろの学習の姿勢が問われる問き，f (x+1) と f (x) の差がどれだけかという話にしたがって，0<f (x+1)-f (x)<1 となり，題だと考えたからです。これは，生徒自身だけのラフは，上に凸の単調増加関数で，x が大きくな

よって，¯ f (x＋1)˘＝¯ f (x)˘ または導が問われる問題でもあります。単に，演習量を

ここで，¯ f (100)˘=460，¯ f (1000)˘=690

定理，公式といった1つ1つの知識をいかに体系化のすべての値をとる。

なカギとなります。

なります．次の図の通り，y=f (x)=logx

100

のグ

るほどその増加はゆるやかになります。つまり，xが大きくなるにつれ，差 f (x+1)-f (x) は小さくなります。

yf(x+1)f(x)22

f(x+1)

小

y=f(x)=logx

100¯ f(x＋1)˘=¯ f(x)˘+1…＊

大

1 x x+1x x+1x

ここで，注意したいのは，すべての値をとるとまた，今回の名大の問題は，東大，早大の問題
教師の作問のヒントにもなります。たとえば，あ同じか 1 増えるとうことで一気に 2 以上増えるこ

レベルのワンランク上の大学と同等もしくはワン

次の図のようになります。

法を変えるという方法です。

＊より，y=¯ f(x)˘ は x が 1 増えたとしても，y はる問題を作るとき，同テーマの問題について設定とはないということです。これは，階段でいえば，ランク下の問題に注目し，問題の設定や誘導の方
特に若い先生方が実力テストの問題などを作る¯ f (x＋1)˘-¯ f (x)˘≥1

1 歩 ジワリ

0<f (x＋1)－f (x)<1に場合分けされます。この場合分けは y＝f (x) のグラフを眺めているだけでは詳しい分析できません。そこで「平均値の定理」の登場です。
つまり，「平均値の定理」はグラフによる直観的な考察をより厳密な式の表現に直し考察する道具です。このあたりは，Focus Gold数学Ⅲ新課程版のp457に掲
載のColumn「中間値の定理・平均値の定理～グラフと式をつなぐもの」をご参考ください。
すると，(1)の結果より，⒤

1歩

x=1~99 までは，…

f (x+1)-f (x)≥1¯ f(x+1)˘-¯ f(x)˘=0 または 1を足して2で割ったような問題ですが，これは我々，いようです。そこで少し例え話で考えてみます。

すなわち，x の範囲によって，ⅱ

増やしたり，丁寧に解説するだけではなく，定義，して有機的に教えることができるかどうかが大き

最上段⒤

問題ではなく，我々教師にとっても，日ごろの指したがって，̄ f (100)˘~¯ f (1000)˘ は 460~690

いうことです。この部分にピンと来ない生徒が多f(x)O¯ f (x＋1)˘－¯ f (x)˘=0 または 1

1歩
ジワリ

最下段

これは，同じ階段上を，ジワリと進むか，一歩ずつ登るかしかないので，結局，最上段まで行くには，すべての階段を踏みしめていかなけばならないということです。よって，¯ f (100)˘=460(最下段) から ¯ f(1000)˘=690 (最上段) まで行くには，460~690 までのすべての階段を踏まなければならないということです。

よって，⒤，ⅱより，¯ f (1)˘，¯ f (2)˘，…，¯ f (1000)˘

とき，初めからオリジナルな問題を作るのは難し
いので，まずはこうしたところから始めるとよいでしょう。おすすめの題材としては，京都大学の問題です。京大の問題は，ほとんど小問がないので，それらを，少しアレンジして小問に分けて出題するというのは，良い作問トレーニングになります。ぜひやってみてください。
（これは生徒自身にも実践させても効果大なのでおすすめです。
）

23

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数学Ⅱ，数学Ⅲ

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