2021年10月27日 京大理学部セミナー

数値Bootstrap法を用いた量子力学と行列模型の解析
森田 健 (静岡大学)

Ref.
2109.08033, 2109.02701, on going work

相川 優 (静岡大学), 吉村 恒太 (University of Notre Dame, USA)との共同研究

数値Bootstrap法:✓✓✓

Anderson-Kruczenski (2016): GWW model, Lattice gauge theroy
Lin (2020), Kazakov-Zheng (2021): 0dim matrix models
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020): 1dim QM, Matrix quantum mechanics

近年提唱された新しい数値解析の手法.
これまで0次元や1次元の行列模型や量子力学に適応.
Schwinger-Dyson方程式/Heisenberg方程式 + 確率分布の正定値性 を解く

Monte-Carloとの比較 → MCと相補的な関係
Monte Carlo

Bootstrap

厳密解NG広い意味でOK

N=∞

NG

OK

finite-N

OK

Hard

カノニカル分布

OKNG

ミクロカノニカルNG

Partially OK

基底状態(T=0)

HardOKθ-termVery Hard

Partially OK

数値Bootstrap法:✓✓✓

Anderson-Kruczenski (2016): GWW model, Lattice gauge theroy
Lin (2020), Kazakov-Zheng (2021): 0dim matrix models
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020): 1dim QM, Matrix quantum mechanics

近年提唱された新しい数値解析の手法.
これまで0次元や1次元の行列模型や量子力学に適応.
Schwinger-Dyson方程式/Heisenberg方程式 + 確率分布の正定値性 を解く

Monte-Carloとの比較 → MCと相補的な関係
Monte Carlo

Bootstrap

厳密解NG

広い意味でOK

N=∞

NGOK

finite-N

OKHardカノニカル分布OKNG

ミクロカノニカル

NG

Partially OK

基底状態(T=0)

Hard

OK

θ-termVery Hard

Partially OK

Sec.1

Sec.2
Sec.3

1. Review of Bootstrap Approach1. Review of Bootstrap Approach

目標: VやHの情報からAnderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)を求めたい.

主に考える系: 量子力学, 行列量子力学, 行列模型(0dim)•

0次元模型(行列模型)の場合は, 単なる期待値.

•

量子力学の場合はエネルギー固有状態における物理量の期待値.
(熱平衡状態などに関してはあとで議論)•

量子力学は経路積分でなくハミルトン形式を考える.

1. Review of Bootstrap ApproachIfis satisfied forAnderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020), we obtain the following relation:

Mの固有値は全て非負･･･

M は 半正定値行列(positive-semidefinite matrix)
･･･

･･･

･･･

is highly constrained!

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach

Additional constraints:•････････････････

•(QM)

•(QM)

• Schwinger-Dyson equation(0dim)• Symmetries•

If K is sufficiently large, possible values ofexample)(QM)

are highly constrained.

1dim QM
Uncertainty relation

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach

Additional constraints:•････････････････

•

(QM)

•(QM)

• Schwinger-Dyson equation(0dim)• Symmetries•

If K is sufficiently large, possible values ofexample) 1dim QM:energy eigenstate(QM)

are highly constrained.

制約付き最小値問題に帰着
Forbiddenex)
allowed region
for a fixed K

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach

Additional constraints:•････････････････

•

(QM)

•(QM)

• Schwinger-Dyson equation(0dim)• Symmetries•

If K is sufficiently large, possible values ofexample) 1dim QM:energy eigenstate(QM)

are highly constrained.

制約付き最小値問題に帰着
allowed region
forForbiddena larger Kex)
allowed region
for a fixed K

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach

Additional constraints:•････････････････

•

(QM)

•(QM)

• Schwinger-Dyson equation(0dim)• Symmetries•

If K is sufficiently large, possible values ofexample) 1dim QM:energy eigenstate(QM)

are highly constrained.

制約付き最小値問題に帰着
allowed region
forForbidden
a larger Kex)

The values are almost fixed
at a sufficiently large K.

allowed region
for a fixed K

1. Review of Bootstrap Approach

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

example) 1dim QM

Figures in Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach
example) 1dim Harmonic Oscillator････････････

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)
Aikawa-Morita-Yoshimura (2021)････Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approachexample) 1dim Harmonic Oscillator

Aikawa-Morita-Yoshimura (2021)

Mが半正定値行列 = 固有値が全て非負･････→ 厳密解を与える.

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach
コメント1: 一般のポテンシャル

y=固有値1y=固有値2

Kを増やし, 固有値が増えると可能な領域が狭くなって行く.

コメント2: 変数空間の2変数を考えた.
allowed region
forForbidden
a larger K

allowed region
for a fixed K

numerical search

すべての演算子できまる.
(が独立変数)がHの形により, 独立変数の数が決まる.
独立変数の数が多すぎる場合はEなど興味のある物理量の範囲のみ注目する.
(あとで重要)Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach
コメント3: 厳密性

一旦排除された領域は,量子力学とinconsistent→ 決して許されない.

allowed region
forForbidden
a larger K

allowed region
for a fixed K

境界は数値の精度を上げればかなり精緻に決まる.
→ 乱数に依存しないと言う意味で｢厳密｣な結果

numerical search
コメント4: 厳密解
調和振動子は数値bootstrapで解いても0.499999999… ≦ E ≦ 0.500000000…
→ ｢厳密｣にE=1/2とみなせる. 他の固有値も同様.
他にも水素原子や行列量子力学は厳密解を再現する.
→数値Bootstrapで未知の厳密解を発見できる可能性があるかもしれない.

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach
コメント5: 2次元以上の量子力学

一般にAikawa-Morita-Yoshimura on going work

は他の量で書けるが, 独立変数の数が一定でない.

････

････
････････････････
A個の････････が独立

A'個のが独立

典型的に A < A' → Kを大きくとっても解の制限が強くなるか不明(数値的には強くなりそう.)→ 実用上, 基底状態以外を数値bootstrap法で求めるのは難しそう.

1. Review of Bootstrap Approach

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

Large-N matrix models:例:

量子力学とほぼ同じ条件

出てくる演算子の種類が量子力学と桁違い•••(QM)•(QM)• Schwinger-Dyson equation(0dim)• Symmetries•(QM)

数値コスト大1. Review of Bootstrap Approach

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

Large-N matrix models:例:

量子力学とほぼ同じ条件

出てくる演算子の種類が量子力学と桁違い

•
•

•

(QM)

•(QM)

• Schwinger-Dyson equation(0dim)

数値コスト大Large-N factorization(注 MQMでは基底状態のみ満たす.)• Symmetries•(QM)

数値Bootstrapの制限がLarge-Nでずっと強くなる.

1. Review of Bootstrap Approach

Anderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

example) 0dim Matrix Model

厳密解
K=6でほぼ厳密解と一致

Lin (2020)

example) 1dim Matrix Quantum Mechanics: 基底エネルギー

AllowedAllowedForbidden

Figures in Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

ForbiddenAnderson-Kruczenski (2016), Lin (2020)
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)

1. Review of Bootstrap Approach
コメント1: 数値コスト→ Kを大きくしても精度が上がる保証がない.

Single Matrix model (0dim) < 1 dim QM << 2 dim QM << Multi Matrix Models, MQM
K=O(10)

K=O(10)

K=O(10)

K=O(100)～

コメント2: 数値アルゴリズム
を満たす最小のEは?
Positive Semi-definite Matrix problem (半正定値計画問題)
実は｢最適化問題｣で重要な1分野→ 結構早いアルゴリズムが多い
Mathematicaでもver12から"SemidefiniteOptimization"を使用可能.
FindMinimumで1時間かかる問題が数十秒で終わったりする.

数値Bootstrap法:✓✓✓

Anderson-Kruczenski (2016): GWW model, Lattice gauge theroy
Lin (2020), Kazakov-Zheng (2021): 0dim matrix models
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020): 1dim QM, Matrix quantum mechanics

近年提唱された新しい数値解析の手法.
これまで0次元や1次元の行列模型や量子力学に適応.
Schwinger-Dyson方程式/Heisenberg方程式 + 確率分布の正定値性 を解く

Monte-Carloとの比較 → MCと相補的な関係
Monte Carlo

Bootstrap

厳密解NG

広い意味でOK

N=∞NGOK

finite-NOKHard

カノニカル分布

OKNG

ミクロカノニカルNG

Partially OK基底状態(T=0)

HardOKθ-termVery Hard

Partially OK

Sec.1

Sec.2
Sec.3

Sec.2 熱平衡状態

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

(グランド)カノニカルアンサンブル
Q. この期待値の満たす条件は?
熱平衡状態

エネルギー固有状態
••

•

•

•

•

(Finite N)••• Symmetries• Symmetries

•

•

•

(large-N,基底)•
中心極限定理(?)• New!

微分方程式は不等式と相性が悪くほぼ使えない.
｢温度｣の情報をBootstrapに入れられない.

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

(グランド)カノニカルアンサンブル
Q. この期待値の満たす条件は?
cf. Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH)
熱平衡状態

エネルギー固有状態
量子多体系:••••••canonicalensemble(Finite N)•Micro-canonicalensemble •Any energy eigenstate• Symmetries• Symmetries

•

•

•

｢エネルギー固有状態｣と｢熱平衡状態｣はほぼ等価.
(large-N,基底) •→ 物理量の期待値から両者を区別できないのは自然.
中心極限定理(?)• New!
微分方程式は不等式と相性が悪くほぼ使えない.
｢温度｣の情報をBootstrapに入れられない.

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

(グランド)カノニカルアンサンブル
Q. この期待値の満たす条件は?
熱平衡状態

エネルギー固有状態
••

•

•

•

•

(Finite N)••• Symmetries• Symmetries

•

•

•

(large-N,基底)観測量に温度依存性があらわに出現しないのは自然•
中心極限定理(?)• New!

微分方程式は不等式と相性が悪くほぼ使えない.
｢温度｣の情報をBootstrapに入れられない.

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

(グランド)カノニカルアンサンブル
Q. この期待値の満たす条件は?
熱平衡状態

温度依存性はあきらめ,••••という条件を課し,micro-canonicalアンサンブルとして熱平衡状態を評価する.
観測量に温度依存性があらわに出現しないのは自然• Symmetries••
中心極限定理(?)• New!
微分方程式は不等式と相性が悪くほぼ使えない.
｢温度｣の情報をBootstrapに入れられない.

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

(グランド)カノニカルアンサンブル
Q. この期待値の満たす条件は?
熱平衡状態

温度依存性はあきらめ,
•

具体例
••
• 自由粒子(量子力学)•という条件を課し,micro-canonicalアンサンブルとして熱平衡状態を評価する.
観測量に温度依存性があらわに出現しないのは自然• BosonicBFSS at J=0• Symmetries• Bosonic
BFSS at J≠0•
(符号問題)•中心極限定理(?)• New!
微分方程式は不等式と相性が悪くほぼ使えない.
｢温度｣の情報をBootstrapに入れられない.

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

例1) 1次元自由ボーズ粒子
注: この系は無限個の保存量数値的に固有値を求めμを固定し, Tを変化させた解析

暗に, β, μ 以外の無限個の化学ポテンシャルを全て0にしている.

Bootstrapの解析

粒子1個あたりの期待値に規格化

Forbidden

無限個の保存量のうち3個だけ固定した

Forbidden→ 数値解析と良い一致が見られる.

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

Banks-Fischler-Shenker-Susskind (1996)
例2) 有限温度 Bosonic BFSS matrix modelHan-Hartnoll-Kruthoff (2020)(Large-N reduction of D+1-dim YM to 1dim.)Preliminary result at D=2
K=341

K=21

モンテ･カルロ (N=32)(東氏(摂南大)提供)
Aharony-Marsano-Minwalla-Wiseman 2002
Kawahara-Nishimura-Takeuchi 2007
Azuma-Morita-Takeuchi 2014

K=85
• 収束性がまだ悪い• T=0はよく収束

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

Banks-Fischler-Shenker-Susskind (1996)
例2) 有限温度 Bosonic BFSS matrix model
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020)(Large-N reduction of D+1-dim YM to 1dim.)Preliminary result at D=2

モンテ･カルロ (N=32)

K=341

K=21

一次相転移

K=85

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

Boostrap法の利点:
Micro-canonicalアンサンブルが調べられる(かも)モンテ･カルロ (N=32)

Preliminary result at D=2K=341

K=21

一次相転移

K=85
MCでは観測不可能

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

"Small black hole"(負の比熱状態)
Bootstrapでは原理的に観測可能→ 数値が収束すれば興味深い物理が見えるかも.

モンテ･カルロ (N=32)

Preliminary result at D=2
K=341

K=21

一次相転移

K=85
MCでは観測不可能

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

例3) 有限温度 Bosonic BFSS matrix model with finite J

Angular momentum

Preliminary results at D=2

Allowed Region
cf. rotating black hole注) chemical potential→ 符号問題K=85Forbidden

2. 熱平衡状態

Aikawa-Morita-Yoshimura on going work

○ その他の量
Entropy, Temperature, Free energy?

Bootstrap only determines the values of→ ??

.

Polyakov loop?
→ ??
Real time evolution?

Heisenberg equation:“Time” enters only through derivatives.
→ Difficult…

数値Bootstrap法:✓✓✓

Anderson-Kruczenski (2016): GWW model, Lattice gauge theroy
Lin (2020), Kazakov-Zheng (2021): 0dim matrix models
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020): 1dim QM, Matrix quantum mechanics

近年提唱された新しい数値解析の手法.
これまで0次元や1次元の行列模型や量子力学に適応.
Schwinger-Dyson方程式/Heisenberg方程式 + 確率分布の正定値性 を解く

Monte-Carloとの比較 → MCと相補的な関係
Monte Carlo

Bootstrap

厳密解NG

広い意味でOK

N=∞

NGOK

finite-NOK

Hard

カノニカル分布

OKNG

ミクロカノニカルNG

Partially OK

基底状態(T=0)

Hard

OK

θ-termVery Hard

Partially OK

Sec.1

Sec.2
Sec.3

3. θ-term3. θ-term

Aikawa-Morita-Yoshimura (2021)

θ-term ?
ユークリッド化で純虚数→ sign problem in MC

4次元YMはまだきついので量子力学のtoy model (S1上の量子力学):

cf. AB効果

ユークリッド化で純虚数→ sign problem in MC

磁場ゲージポテンシャル

Bootstrap法が適応できる.

3. θ-termAikawa-Morita-Yoshimura (2021)

数値Bootstrapの結果:• Bootstrapの結果が｢線｣に収束→ 固有状態なら｢点｣に収束するはず?
• なぜか結果がθにほとんど依らない.

3. θ-term

Aikawa-Morita-Yoshimura (2021)

数値Bootstrapの結果:

シュレディンガー方程式を直接解いた結果:• Bootstrapの結果が｢線｣に収束→ 固有状態なら｢点｣に収束するはず?
• なぜか結果がθにほとんど依らない.
全てのθの結果が, Bootstrapでは各θに対して一度に得られてしまった. (ちょっと悪い結果)

3. θ-term

Aikawa-Morita-Yoshimura (2021)

何が起きたのか?

gauge equivalent→ 波動関数の周期性を決めなければ,ハミルトニアンのθの値は定まらない.
(ゲージ固定が必要)
Bootstrap法では,,と言った観測量の取り得る値の範囲を調べた.
→ 波動関数の周期性の情報が入っていない.
→ 全てのθに対応した結果が得られた.

3. θ-term

Aikawa-Morita-Yoshimura (2021)→ これはあまりうれしくない結果
数値Bootstrapの結果:• Bootstrapでは
• ただし

•

シュレディンガー方程式を直接解いた結果:などは計算できない.などの物理量の相関は求まる.

は特別で対称性からなど求まる.

注) Bootstrapで波動関数の周期性を求める試みもある.
: 周期性を読み取る演算子

Tchoumakov-Florens (2021)

Summary数値Bootstrap法:✓✓✓

Anderson-Kruczenski (2016): GWW model, Lattice gauge theroy
Lin (2020), Kazakov-Zheng (2021): 0dim matrix models
Han-Hartnoll-Kruthoff (2020): 1dim QM, Matrix quantum mechanics

近年提唱された新しい数値解析の手法.
これまで0次元や1次元の行列模型や量子力学に適応.
Schwinger-Dyson方程式/Heisenberg方程式 + 確率分布の正定値性 を解く

Monte-Carloとの比較 → MCと相補的な関係
Monte Carlo

Bootstrap

厳密解NG

広い意味でOK

N=∞

NGOK

finite-NOKHard

カノニカル分布

OKNG

ミクロカノニカルNG

Partially OK

基底状態(T=0)

HardOKθ-termVery Hard

Partially OKSummary• Bootstrap法は, かなりクセのある数値解析• 示強性の量が苦手. (温度,化学ポテンシャル,θ)• 示量性の量は得意.

Future Direction• Improve Numerical Analysis Kazakov-Zheng (2021)• Canonical-ensemble, real time → Need some breakthrough• Many applications:✓ Small black holes, Rotating black holes, (black rings?)Anagnostopoulos-Hanada✓ BFSS matrix theory (符号問題)-Nishimura-Takeuchi (2008)✓ IKKT matrix model (符号問題)
Kim-Nishimura-Tsuchiya (2012)✓ Higher dimensions? Lattice gauge theories?
Anderson-Kruczenski (2016)