2024年版

高柳の研究室紹介「超弦理論、ホログラフィー原理、量子情報」
高柳 匡
京都大学基礎物理学研究所
重力量子情報研究センター

我々の研究グループの紹介

京大基礎物理学研究所(基研)

基研素粒子論グループ(元気な大学院生を毎年募集)

当研究所開催の国際会議
Quantum Information, Quantum Matterand Quantum Gravity(2023年9月)

高柳のグループの勉強会

基研素粒子論グループの構成(2023年度)
Webpage: https://www.yukawa.kyoto-u.ac.jp/contents/labs/highenergy
教員：9名 （教授3＋准教授4＋助教2）
特定教員：１名 （特定准教授）
格子ゲージ理論(hep-lat)：青木,伊藤
素粒子現象論(hep-ph): 高山
場の理論・弦理論(hep-th): 他の全員

ポスドク研究員：7名
大学院生：１9名(博士課程12名、修士課程7名)
正式名：京都大学大学院理学研究科物理・宇宙物理専攻
物理学第二分野 基礎物理学研究所 素粒子論グループ

量子情報

数学重力的数理的國友
宮地
寺嶋 高柳

hep-lat (格子QCD）青木

hep-th (超弦理論・場の理論）

中山

疋田

宇宙論

計算物理

物性物理
統計物理

笹倉

高山
hep-ph (素粒子現象論）

伊藤
原子核

内容
① はじめに⇒我々の研究分野「超弦理論」の簡単な紹介② ブラックホールの物理(1970~)⇒ブラックホールのエントロピー③ 超弦理論で探るブラックホール(1995~)⇒超弦理論が正しい証拠、AdS/CFT対応④ 量子エンタングルメントとホログラフィー⇒最近、超弦理論で最もホットな話題の一つ⑤ おわりに

①はじめにひも理論（超弦理論, Superstring Theory）とは？

物質を細かく分けて行って、最小単位を探求する
学問が、素粒子物理。
クォーク電子物質

原子＝電子＋原子核

陽子

この素粒子の考え方は、物質間に働く(1) 電磁気力 （静電気、磁石の力）(2) 強い力（核力、QCD）(3) 弱い力（ベーター崩壊、ニュートリノ）という３種類の力を考えた場合は、うまくいく。
これらの力を統一的に説明する理論は、標準模型と呼ばれており、現在では、ほぼ確立している。

しかし、４つ目の力である、重力（万有引力）をミクロな立場で理解しようとすると問題が生じる。[非常にミクロ：]「ミクロ ＝ 高エネルギー」の極限⇒

重力の相互作用だけは、急速に大きくなり物理量が発散してしまう。
（繰り込みが不可能）⇒ サイズがゼロの粒子ではなく、有限の大きさの物体が物質の最小単位であればよい。

この問題を解決するために、「物質の最小単位は粒子ではなく、ひも（弦）である」という大前提に立った理論がひも理論である。

高周波数
(短波長)

低周波数
(長波長)

:
重い粒子

軽い粒子

さらに驚くべきことは、ひも理論は、４つの力が自然に統一される、-の電荷開いた弦+の電荷

電磁力、強い力、弱い力（ゲージ理論）

閉じた弦という大変魅力的な理論である。

重力

ひもの双対性：「閉じた弦＝開いた弦」
閉弦

開弦

ゲージ理論と重力理論は同じルーツ？

でも、ひも理論は本当に正しいのだろうか？
正しい物理理論 ⇒ 物理現象を正しく解明する
そこで、ひも理論を用いて初めて説明できるような物理現象（重力のミクロな性質）を探そう！
ブラックホールの物理に着目する！
（ひも理論の良い「(思考)実験室」）

②ブラックホールの物理(2-1) ブラックホールとは？
半径が小さく、非常に重い天体。強い重力で引き付けるため、光ですら出てくることができない。

アインシュタインの一般相対論に従うと、ブラックホールの半径 の中では、すべて物質が内部に吸い込まれる。
ブラックホールの中は見えない！

光すら抜け出せない！

一般相対論に従い時空が曲がる！

ブラックホール(質量m)(2-2) ブラックホールのエントロピーと熱力学
ブラックホールに、いったん物体が入ってしまうと、その物体の情報（粒子数、スピンなど）は分からなくなってしまう。

統計物理では、そのような「見えなくなった情報」の量をエントロピー (Sと書く)と呼ぶ：

W=識別できない(量子)状態の数
密度行列 を用いると、とフォンノイマン・エントロピーの形にかける。

ブラックホールのエントロピー (Bekenstein-Hawking公式)[1972-1976]
3kB ⋅ con).
⋅ Area(HorizS BH =ABH
⇒ブラックホールの熱力学
4G N ⋅ 
ABH=ブラックホールの面積 ⇒ 幾何学
GN=重力定数 ⇒ 重力ℏ＝プランク定数 ⇒ 量子力学
kB=ボルツマン定数 ⇒統計物理・量子情報

量子重力の理論が必要！

BHエントロピーは体積ではなく面積に比例する！
重力理論の自由度は面積に比例する！

つまりブラックホールのエントロピーは、体積ではなく、面積に比例する！
通常の物質の熱力学では、エントロピーやエネルギーは、常に体積に比例するので、とても不思議である！
ブラックホールの持っている自由度は、見た目よりも一次元低い！
「ホログラフィー原理」へと発展する。

物体

サイズを圧縮ブラックホール

ブラックホールの情報は、すべて表面蓄えられている。

２次元面から、３次元立体画像を再現する「ホログラム」と似ている（しかし原理は異なる）

このように重力理論では、自由度が１次元低く見える。この現象を重力の本質と捉えて、原理とみなしたものをホログラフィー原理と呼ぶ。

ホログラフィー原理
重力理論=境界上の量子多体系
量子多体系

重力理論

＝

③超弦理論で探るブラックホール(3-1) ブラックホールエントロピーのミクロな解釈
ブラックホールを生成するには、とても重い物質が必要になるが、ひも理論においてそのような物質の良い候補が「Ｄブレイン」と呼ばれるものである。
Ｄブレイン＝開いたひもが張り付く物体≒閉じたひもの凝縮したもの

ブラックホール??

＝Ｄブレイン＋ひもの集合体

ホーキング輻射

観測者

ブラック
ホール

=
開いたひも
Ｄブレイン

ひもの状態数は、予想されるエントロピーと一致する！

ひも理論は、ブラックホールを1996 ストロミンジャー、ヴァッファ拡大する顕微鏡の＋その後の多数の研究成果役割を果たしている。

(3-2)超弦理論のホログラフィー原理
Ｄブレインの考察から超弦理論のホログラフィー原理が理解できる。これをAdS/CFT対応と呼ぶ。
（1997 マルダセナ)

曲がった時空の重力理論 ＝ 物質(Dブレイン)を記述するミクロな理論[(d+1)次元][ｄ次元]
閉じたひもの理論＝

開いたひもの理論

閉じたひもの理論＝AdS空間の重力理論

開いたひも等価AdS/CFT対応
多数のDブレーン(ゲージ理論、CFT)
等価
ブラックホールの熱力学[幾何学的]

物質の熱力学[量子論的]

Ｎ枚のDブレイン
N×N 行列Φ ab・・・・・

Φ 23
123N

λ

Dブレインの理論λ(1)Φ≈λ( 2 )(N ) λ ⇒ 行列場Φ ab ( x)の理論（ゲージ理論）

AdS/CFT対応(ゲージ重力対応）
AdS空間（反ドジッター空間)
負の宇宙定数を持ち、最大の対称性を持つ空間＝双曲面(Hyperbolic space)の一方向を時間にしたもの

zCFT(共形場理論)
長さのスケールに依存しない理論。質量がゼロの粒子の量子論。
簡単な例を挙げると、４次元の電磁気場(マックスウェル理論）など。
AdS/CFT対応では、いわゆる(非可換)ゲージ理論であることが多い。

AdS/CFT対応の原理[GKPW関係式]

重力理論の分配関数

ゲージ理論(CFT)の分配関数

ホログラフィーの本質の１つ：ふるいの仕掛け

粗い細かいz

長さのスケール（粗視化）④量子エンタングルメントとホログラフィー
量子エンタングルメントとは？
ミクロな物理 ⇒ 量子力学
量子力学の基本的なアイデア：
粒子 ＝ 波

例：電磁波＝光子量子状態＝ヒルベルト空間におけるベクトル

波は「重ね合わせ」できる。
ある状態

Ψ

＝

↑
スピンが上＋↓
スピンが下

このような状態では、スピンが上である確率も下である確率も50パーセントずつで、どちらかとは断言できない。
一方、古典力学（ニュートン力学）では、どちらかの状態しか許さない。

量子エンタングルメント（量子もつれ合い）
２つのスピン(AとBとする)があると、次のように様々な状態を考えることができる。
[例１] 古典的な状態(直積状態)Ψ = ↑A⊗↓

B

Aは必ず上向きで、Ｂは必ず下向きであり、両者に相関なし。(量子エンタングルメントなし。)

[例２] 量子論的状態(エンタングルした状態)(1Ψ =↑ ⊗↓ ±↓ ⊗↑ABAB2)

二つの反対の状態が半々の確率で混じっている。
この時、Ａスピンを観測して上向であれば、Ｂスピンは必ず下向であることになる（逆も成り立つ）。
このようなＡとＢの相関が量子エンタングルメント。
ＡとＢの対を1ビットのエンタングルメント対と言う。
(ＥＰＲ対）

エンタングルメント・エントロピー
この量子エンタングルメントという考え方は、とても抽象的。物理学で利用するには、定量的にあらわすことが必要。
⇒ 量子エンタングルメントの強さを測る量がエンタングルメント・エントロピー。
エンタングルメント・エントロピー= AとBの間のエンタングルメント対の数= Bを観測しない時に識別不可なAの状態の数

エンタングルメント・エントロピーの定義
多体系の量子力学において、全体系を部分系AとBに二分割する。それに応じて、ヒルベルト空間は、二つの直積に分かれる。

H tot = H A ⊗ H B
具体例：(1)スピン鎖を二分割する。

(2)場の理論の空間を二分割する。

BABこのときＡに制限された密度行列をＢに関してトレースをとることで、次のように定義する：

ρ A = TrB [ ρ tot ].
（例：純粋状態では、 ρ tot = Ψ Ψと波動関数で書ける。）

ρ

エンタングルメント・エントロピーは、Aに関するフォンノイマン・エントロピーとして

S A = −Tr[ ρ Alogρ A ] と定義される。

エンタングルメント・エントロピーの計算公式[笠-高柳 2006]
我々の研究で、ミクロな情報量に相当するエンタングルメント・エントロピーが、ホログラフィー原理(AdS/CFT対応)を用いて ΓA𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀(Γ𝑨𝑨 )𝑺𝑺(𝝆𝝆𝑨𝑨 ) = 𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦
𝟒𝟒𝑮𝑮𝑵𝑵と幾何学的に計算できることが分かった!

ここでΓ𝑨𝑨 は、領域Aの境界∂Aに端を持つ、面積最小曲面（極小曲面）。

日経サイエンス2021年6月号

コメント：この公式はBHエントロピー公式の一般化と思える。

hep-th論文(超弦理論・場の理論）の1年間
被引用数ランキング(2019年)
AdS/CFTの原著論文⇒[Maldacena 1997]

AdS/CFTの対応原理⇒[Witten 1998]

AdS/CFTの対応原理⇒[Gubser-Klebanov-Polyakov 1998]

ホログラフィック
エンタングルメント⇒[笠-高柳 2006]

アインシュタイン方程式とエンタングルメント∆S A ≅ ∆H A エンタングルメント・エントロピーの第一法則
HA=-logρA: モジュラーハミルトニアン[Blanco-Casini-Hung-Myers 2013,
Prudenziati-沼澤-野崎-高柳 2013]

 22
 = O O3  ∆S (t, x,l)

∂
−
∂
−
∂
−lx
 lA2l Al(t,x)第一法則はアインシュタイン方程式の一次摂動と一致！
[Lashkari-McDermott-Raamsdonk 2013,… , Sarosi-宇賀神 2017,…]⇒重力理論の時空に「エンタングルメント対」が満ちているという描像を示唆している。

境界プランクスケール

重力理論の時空A

ΣA

B

エンタングルメント対

Σ Aの面積SA =2[プランク長]= [Σ Aと交差するエンタングルメント対の数].

さらに発展させると以下の予想に到達する：[2009~現在、複数の研究者]

重力理論の「宇宙」＝ 量子エンタングルメントのネットワーク
ミクロな宇宙プランクスケール

マクロな宇宙

いわば、時空の「素粒子」＝量子エンタングルメント。

AdS/CFTとテンソルネットワーク
テンソルネットワーク＝量子状態を幾何学的に記述する手法
量子多体系の数値計算で、変分法のansatzとして考案された。
量子エンタングルメントのネットワーク

双曲面のタイル張り（エッシャー「天使と悪魔」）

𝚪𝚪𝐀𝐀?

テンソルネットワーク=[Swingle 2009,..]AdS空間の重力理論
宇宙は、量子エンタングルメントのブロックで作られている！
“It from Qubit”

𝚪𝚪𝐀𝐀

量子多体系

経路積分の効率化[Caputa-Kundu-宮地-渡邊-高柳 2017,..]テンソルネットワーク → 量子多体系の基底状態を変分法で求める。
(これだと実際の連続的な場の理論を記述するのが難しい）

基底状態を求める方法⇒経路積分：虚時間経路積分

lim β →∞ e− βHψ = ψ0Ψ[ϕ (x)]= ∫ ∏ Dφ (x,τ ) e −SCFT (φ ) ⋅ δ (ϕ (x) − φ (x,τ = 0) )[時間 τ Ψ ϕ (x)τ=0

τ=-∞] 効率化

ΨMinを
Ψ最小化

ΨMin [ϕ (x)]0 MERA0 0 0 00 0 0 0 0≈=AdS空間の時間一定面

空間 x

高い波数:k>1/τの 情報は必要がない

経路積分の効率化を具体的にどうやるか？
離散化の格子間隔の局所的な変化を計量で表す：

ds 2 = e 2ω ( x , z ) (dx 2 + dz 2 ).
CFTの性質より波動関数は次の性質を持つ：

Ψ 𝜙𝜙, 𝜔𝜔 = 𝑒𝑒 𝑁𝑁[𝜔𝜔] � Ψ[𝜙𝜙, 𝜔𝜔 = 0]Ｎ[ω]を最小とする計量が最も効率的な経路積分。
(Ｎ=「量子計算の複雑性」の一種[Cf. Susskind 2014-] ）2次元CFTでは、N[ω]はリュービル作用と等しい。

[]

c222ω
N 2 D [ω ] =dxdz
(ω)
(ω)
e.
∂+∂+xz∫24π
Nが最小となるのは、𝑒𝑒 2𝜔𝜔(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 −2 つまりAdSの計量の時！

経路積分の途中で演算子を挿入して 励起す る と ：

時間効率化

局所的励起（エネルギー源）

離散化を細かくする必要がある＝計量が大きくなる

まさに一般相対性理論！
CFTの量子情報から重力理論の時空が創発！

Wikipedia

日経サイエンス2021年6月号

最近の研究• 余次元２のゲージ重力対応の発見• AdS/BCFT対応の研究• Moving Mirror模型によるBHの蒸発とページ曲線の導出• 擬エントロピーの様々な量子多体系における解析• ドジッター宇宙のホログラフィー：

宇宙の３つのタイプ[1] 宇宙定数＝０ (曲率=0)➔ 平坦な宇宙 (ミンコフスキー時空）
現在の宇宙は、ほぼ平坦。超弦理論で量子重力を記述可。

AdS[2] 宇宙定数＜０ （曲率<0）➔ 反ドジッター宇宙(Anti de-Sitter Space)
今紹介したゲージ重力対応が適用される！

CFT
空間座標が創発[3] 宇宙定数＞０ （曲率>0)

時間座標が創発？

➔ ドジッター宇宙(de-Sitter Space)
宇宙創成を記述。ホログラフィーが成立するか？

加速膨張dSドジッター宇宙のホログラフィー：dS/CFT対応 [Stromimger 2001]
境界(d次元球面 ）にCFTがある
dS/CFTで等価となる！
ドジッター宇宙の重力理論(d+1)次元dS宇宙
しかし、これまでdS宇宙に対応するCFTの具体例に関して理解が乏しかった。
一般相対論のdSに対応するCFTも未知だった。
我々の最新成果：
左記論文をViewpointとして3次元dS宇宙に対応するCFTの具体例を発見！ 紹介した米国物理学会の雑誌[西岡-疋田-瀧-高柳 (Phys.Rev.Lett. 129 (2022) 4, 041601)] Physicsの記事(2022年7月)

⑤おわりに量子多体系や場の量子論
幾何（量子）重力理論
経路積分 ホログラフィー原理
この背後にあるのは、「量子系のエンタングルメント」＝「量子系の幾何学」

物理学の発展における位置づけ
力学 18世紀

電磁気学 19世紀

一般相対論 1915年

ゲージ重力対応（ホログラフィー原理）
1997年

情報科学

量子力学 1925年

場の量子論

量子統計力学

量子情報MERA
テンソルネットワーク
2005年

エンタングルメント

量子重力理論

量子物質の理論（素粒子・宇宙）(物性物理）

量子計算機
Google2019年

重力理論（一般相対論）は、最速の“量子コンピューター”？
重力理論の計算（「宇宙」の解析）＝
ホログラフィー

場の理論の計算（「物質」の解析）

重力理論の時空は量子ビットの集合体？
しかし、ホログラフィー原理は、現在のところ「宇宙」が宇宙定数が負である反ドジッター時空の場合しか扱えない。
現実の宇宙ではむしろ宇宙定数は非負であると考えられており、従来のゲージ重力対応を、例えばドジッター宇宙やビックバン宇宙などへ大きく拡張することが求められる。
その際、「重力理論を量子ビットの幾何学」という新しいアプローチは重要な鍵となるだろう。

また、高柳は、学術変革領域研究A「極限宇宙」というプロジェクトの代表を務めています。 Webpage: https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~extremeuniverse/
従来の物理学：「空間」「時間」「物質」の観点で自然法則を記述。
しかし、ミクロな世界では、量子性による「波の重ね合わせ」が大きい極限的状況では、従来の考え方では困難に直面する。
時空の座標の値が揺らぎ、従来の幾何学が適用不可！
量子物質のとりうる自由度が増大し、数値解析が困難！
この極限的状況を「極限宇宙」と呼ぶ！
極限宇宙＝自然界における基本的な３つの極限。
①空間の極限 ②時間の極限 ③物質の極限

これらは「物理学の究極の問題」と言える。

極限宇宙の研究の広がり
どちらも量子スピン系
量子情報

物性物理
超弦理論・場の量子論
量子計算の活用テンソルネットワーク

量子エンタングルメント
Newton別冊2020年「次元のすべて」

時空創発

ゲージ重力対応
量子計算
ブラックホール
エネルギー条件

物性モデル
冷却原子実験
同じ理論体系

宇宙論・相対論
物性モデル
ブレインワールド宇宙論

量子ホール実験

極限宇宙の概念図

対象のスケールは大きく異なるが、量子情報の視点に立つと全て量子ビットの集合体として物理法則が統一的に理解できる！

参考文献（2-1) 拙著 「ホログラフィー原理と量子エンタングルメント」
臨時別冊・数理科学 SGC106 (SDB Digital Books 25)
サイエンス社 2014年(2-2) 拙著 「量子エンタングルメントから創発する宇宙」(基本法則から読み解く物理学最前線 23)
共立出版 2020年(2-3) M. Rangamani and T. Takayanagi,``Holographic Entanglement Entropy''
Lecture Notes in Physics, Springer, 2017 (axiv:1609.04645)

以上が高柳の研究室紹介です。
ご清聴ありがとうございました。