Experiment

Q2-1
Japanese (Japan)

ヴィーデマン-フランツの法則
⾦属では，熱は主に電⼦によって運ばれる．このため，熱伝導度と電気伝導度は関連している．これはヴィーデマン-フランツの法則として知られている．
この実験の到達⽬標は，いくつかの⾦属の熱的及び電気的性質を⼗分に⾼い精度に測定することである．パート A では，銅，真鍮及びアルミニウムの電気伝導度を測定する．パート B では，銅の熱伝導度を測定する．
パート C では，銅の⽐熱を測定する．パート D では，真鍮とアルミニウムの熱伝導度を測定する．最後にパート E では，測定した⾦属の物理的な性質の間の普遍的な関係を確認する．
この実験では，不確かさの値の⾒積りをおこなう必要はない．
パート B とパート D では待ち時間が 15 分存在する．それを考慮して実験を計画すること．

安全対策
全てのリード線や許可されていない機器は，220V/25A のコンセントに直接接続しないこと．コンセントに接続して良いのは何の変更も加えていない与えられた電源（AC アダプター）のみである．

実験装置のリスト

Figure 1
1. 中空の銅 (Copper) の円筒パイプ（⻑さ 200.0 mm, 内側の直径（内径）6.0 mm，外がわの直径（外径）20.0 mm）
2. 中空の真鍮 (Brass) の円筒パイプ（⻑さ 200.0 mm, 内径 6.0 mm，外径 19.0 mm）
3. 中空のアルミニウム (Aluminum) の円筒パイプ（⻑さ 200.0 mm, 内径 6.0 mm，外径 20.0 mm）
4. 質量 1.2 g の⼩さな永久磁⽯．
5. ⽔の容器．容器の蓋には内側に熱交換器，外側上部には熱交換器と繋がったオスネジが取り付けられている．容器を満たすための 4 リットルの⽔（2 リットル容器 2 本）が供給される．

Experiment

Q2-2Japanese (Japan)

6. Rod #1 - 直径 20.0 mm の銅のロッド．ケーブルソケット端⼦は内蔵された８つの温度センサーに接続されており，⾚いリード線は内蔵されたヒーターに繋がれている (ﬁgure 2.a)．⾚いリード線は，回路を通して直流電源（部品 15 番の AC アダプター）に接続されることを想定したものである．ロッドは黒い断熱材で覆われている．
7. Rod #2 - 直径 20.0 mm の複合材のロッド．ケーブルソケット端⼦は内蔵された８つの温度センサーに接続されており，⾚いリード線は内蔵されたヒーターに繋がれている (ﬁgure 2.b)．⾚いリード線は，回路を通して直流電源（部品 15 番の AC アダプター）に接続されることを想定したものである．ロッドは黒い断熱材で覆われている．
8. ロッドの端⾯を断熱するためのキャップ．
9. デジタル表⽰器のための 12 V の直流電源（AC アダプター）．
10. デジタル表⽰器．これはロッドに内蔵された 8 つの温度センサーの読み及び時間を表⽰する（下の説明を読むこと）．また，ストップウォッチとしても⽤いる．
11. ロッドの８つの温度センサーとデジタル表⽰器とを接続するケーブル．
12. 電圧計（電圧計のセレクターは 20 V DC にセットすること．（Figure 3））
13. 電流計（電流計のセレクターは 10 A DC にセットすること．（Figure 3））
14. 電線
15. 9 V の AC アダプター（バナナプラグでヒーターに接続して電源として⽤いる．）
注意: 1. 供給されている（通常の AC プラグの付いた）電源（AC アダプター）だけを 200V の電源タップに接続すること．個別のリード線や他の機器を電源タップに接続することは，⼤変危険なので，決してしないこと．
2. ロッドを⽔の中に漬さないこと．

Figure 2.a - Rod #1 の構造図
距離は 0.1 mm の精度で，mm の単位で⽰されている．
(A) ⾚いリード線に接続されたヒーター，(B) 銅のロッド，(C) 8 個の温度センサー（１つだけ⽮印で⽰されているが，全て同じ形状の切込みで描かれている．），(D) ⽔の容器の蓋のオスネジに取り付けるためのメスネジ．

Experiment

Q2-3Japanese (Japan)

Figure 2.b - Rod #2 の構造図
距離は 0.1 mm の精度で，mm の単位で⽰されている．
(A) ⾚いリード線に接続されたヒーター，(B) 銅のロッド，(C) 8 個の温度センサー（１つだけ⽮印で⽰されているが，全て同じ形状の切込みで描かれている．），(D) ⽔の容器の蓋のオスネジに取り付けるためのメスネジ．
(E) 真鍮のロッド，(F) アルミニウムのロッド．

Figure 3 ‒電流計と電圧計(1) ‒実験では，セレクターを 10A にすること．(2) 電流測定⽤の⼊⼒端⼦を⽤いること．
(3) ‒実験では，セレクターを 20V にすること．(4) 電圧測定⽤の⼊⼒端⼦を⽤いること．

デジタル表⽰器の使⽤⽅法
デジタル表⽰器を 12 V の直流電源（AC アダプター）に接続せよ．
デジタル表⽰器には，ストップウォッチと温度表⽰器の２つの動作モードがある．センサーからのケーブルが表⽰器に取り付けられると，表⽰器は⾃動的に温度センサーの読み取り値を表⽰する．ケーブルが取り外されると⾃動的にストップウォッチモードに変わり，画⾯に「Timer mode」と⽰される．
温度表⽰モードにおいて：• ⾚いボタンを 3 秒間押し続けると，時間がリセットされる．
• ⾚いボタンを短く押すと，表⽰がホールドされる（その間，表⽰器は最後にリセットされてからの時間を計測し続けているが，それは表⽰されない．）• ⾚いボタンをもう⼀度短く押すと，現在の温度と時間の表⽰に戻る．
ストップウォッチモードにおいて：• ⾚いボタンを押すと，ストップウォッチの計測がスタートする．
• ⾚いボタンをもう⼀度押すと，ストップウォッチの計測がストップする．
• ⾚いボタンをさらにもう⼀度押すと，ストップウォッチがゼロにリセットされる．

Experiment

Q2-4
Japanese (Japan)

デジタル表⽰器は，それぞれのロッドについて，最初に使⽤する前に校正する必要がある． 実験で⽤いられている８つの温度センサーは厳密に同じものではない．従ってロッドが熱平衡にあるとき，８つ全ての温度センサーで同じ温度が表⽰されるように校正したい．そのため次の⼿順をおこなう．まず，温度センサー接続⽤ケーブルの⼀端をロッドに接続する．次に，⾚いボタンを押しながら温度センサー接続⽤ケーブルのもう⼀端をデジタル表⽰器に接続する．表⽰器を電源とセンサーケーブルの両⽅から切り離してもこの校正は消去されない．
注意: 校正はロッドを熱浴の⽔容器に接続する前およびヒーターを電源に接続する前におこなうこと．これによってロッドの温度が校正の間⼀様であることが保証される．
デジタル表⽰器に何らかの問題が⽣じた場合，デジタル表⽰器から直流電源（AC アダプター）を⼀旦取り外し，再び繋げると清浄になる場合がある．デジタル表⽰器は最後の校正を記憶している．

Figure 4 - デジタル表⽰器(A) 12 V の直流電源（AC アダプター）のケーブル．(B) 多機能の⾚いボタン．
(C) 温度センサー接続⽤ケーブル．(1-8) ロッドの図の上に⽰された番号の順に並んでいる温度センサーの温度（℃）が，表⽰器の図の順番で表⽰される．

Part A: 銅，アルミニウム及び真鍮の電気伝導度 (1.5 points)
理論
永久磁⽯が中空の導電性パイプの中を落下するとき，誘導される渦電流に起因する摩擦⼒を受ける．それにより，磁⽯は終端速度に達する．今の場合，終端速度は次の式で表される．
𝑣𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =8𝜋𝑚𝑔𝑎2.
2 𝑀 )2 𝜎𝑤𝑓 𝑑𝜇20 (𝜋𝑟𝑚(𝑎)(1)

ここで 𝑚 は磁⽯の質量，𝜎 はパイプの材料の電気伝導度，𝑎 はパイプの内側の孔の半径，𝑟𝑚 および 𝑑 は，それぞれ，磁⽯の半径および⻑さである．𝑀 は磁⽯の残留磁化，𝑤 はパイプの壁の厚さ，𝑓 ( 𝑎𝑑 ) はスケール⽐によって決まる数である．ここでは，𝑎 ≈ 𝑟𝑚 , 𝑑 = 2𝑟𝑚 ≈ 2𝑎 ，𝑓 (2) ≈ 1.75 とする．従って，磁⽯がパイプを通過するのにかかる時間は近似的に次の式で表される：

𝑡 = 0.222𝜋𝑟𝑚(𝜇0 𝑀 )2 𝑤𝐿0𝜎.
𝑚𝑔(2)Experiment

Q2-5Japanese (Japan)

ここで，𝐿0 = 0.2 m は，パイプの⻑さであり，磁⽯は落下し始めてすぐに終端速度に達すると仮定する．
計算に必要なパイプと磁⽯の特性値は次のようになる：
𝜇0 𝑀 = 0.65 T, 𝑤Aluminum = 𝑤Copper = 7.0×10−3 m, 𝑤Brass = 6.5×10−3 m, 𝑚 = 1.2×10−3 kg , 𝑟𝑚 = 3.0×10−3 m,
𝑔 = 9.8 m/s2

Experiment

Q2-6Japanese (Japan)

実験
A.1

ストップウォッチモードでデジタル表⽰器を⽤い，磁⽯がアルミニウム (Aluminum)，銅 (copper)，真鍮 (brass) でできた中空のパイプを通り抜けて落ちるのにかかる時間を測定せよ．テーブル A1 に測定結果を書け．

1.0pt

A.2

上の式を⽤いて，３つの材質それぞれの電気伝導度 𝜎Aluminum , 𝜎Copper , 𝜎Brass を求めよ．

0.5pt

Part B: 銅の熱伝導度 (3.0 points)
このセクションの到達⽬標は定常状態に近いときの銅の熱伝導度を求めることである．

理論(𝑥)
熱伝導度 𝜅 は 𝑃 (𝑥) = −𝜅𝐴 ⋅ ∆𝑇で定義される．この式は，材質の断⾯を通って流れる局所的な熱が，局所∆𝑥的な温度勾配に⽐例することを⽰す．ここで，𝑃 (𝑥) は，座標 𝑥 において，断⾯を通って流れる熱，𝐴 はロッドの断⾯積，Δ𝑇 (𝑥) /Δ𝑥 は座標 𝑥 における温度勾配である．

実験
デジタル表⽰器を直流電源（AC アダプター）に接続し，Rod #1 を校正せよ．4 リットル（ボトル 2 本分）の⽔を容器に⼊れ，熱交換器を完全に⽔に浸して蓋を閉じよ．
B.1

テーブル上に置いたときの Rod #1 の初期温度を解答⽤紙に書け．

0.1pt

Rod #1 からデジタル表⽰器のケーブルを外せ．断熱⽤のキャップを取り除き，熱浴の⽔容器の蓋のオスネジに Rod #1 のメスネジをねじ込んで取り付けよ．その後，Figure 5 に⽰されているように，デジタル表⽰器にケーブルを再接続せよ．ねじ込む際にトルクをかけ過ぎないように注意すること．

Figure 5Experiment

Q2-7Japanese (Japan)

B.2

ヒーターに電⼒を供給して電⼒を測定するための回路を描け．回路には次のものが必要である：9 V の電源，ヒーター（既にロッドに接続されている），電圧計，電流計および配線．配線を，回路を開いたり閉じたりするスイッチとして⽤いて良い．

0.5pt

熱伝導度は，ロッドの⼀端を⽔の熱浴と同じほぼ⼀定の温度に保ちながら，もう⼀端に熱を供給することで測定する．
８つ全ての温度センサーが定常状態に近くなることを⽬指す．セクション B2 で描いた回路を接続し，ヒーターに電⼒を供給せよ．
B.3

ヒーターに供給される電⼒ 𝑃 を計算する適切な測定をおこない，解答⽤紙に書き下せ．

0.1pt

電⼒を供給しながら 15 分待て．（この時間を利⽤して実験の計画を⽴てよ．）
B.4

約 15 分，約 17.5 分，約 20 分における 8 つ全ての温度センサーでの測定温度を解
答⽤紙の表に書け．

0.5pt

B.5

グラフ⽤紙の⼀つに，３つの測定時間における温度のグラフを，それぞれ場所の関数として描け．これらのグラフはパート D でも⽤いられる．

1.0pt

B.6

時間約 17.5 分でのデータを⽤い，グラフから銅の熱伝導度 𝜅0 を求めよ．ここでは，熱の逃げについては考えなくて良い．時間 17.5 分でのロッドの温度変化の平均的な割合 ∆𝑇を⾒積もれ．
∆𝑡

0.5pt

B.7

実際の 𝜅 の値に⽐べて，𝜅0 の値は，⾼い/低い/等しい
しいものを丸で囲め．

0.3ptのどれが期待されるか，正Part C：銅の熱損失と熱容量の⾒積もり (4.0 points)
理論
熱容量 𝐶 は次のいずれかの式で定義される：
Δ𝑄 = 𝐶Δ𝑇 ,Δ𝑄
Δ𝑇=𝐶().
Δ𝑡Δ𝑡(3)

ここで，Δ𝑄/Δ𝑡 は，物質に伝えられる単位時間あたりの正味の熱であり，Δ𝑇 /Δ𝑡 は温度の変化率である．⽐熱 𝑐𝑝 は単位質量あたりの熱容量である．銅ロッドの質量は 0.58 kg とせよ.
実験
ヒーターの電源を切れ．回路を取り外し，ねじをゆるめて Rod # 1 をテーブル上に置け．先の実験で外した，ロッドの端⾯を断熱するためのキャップをロッドに再び取り付けよ．ヒーター回路を再接続し，ヒーター電Experiment

Q2-8
Japanese (Japan)

源はオフにしたままで，ロッドをデジタル表⽰器に再接続せよ．
注意: この Part では，温度変化の様⼦を確認せずにヒーターを⻑時間つけたままにはしないこと．
⼀連の冷却，加熱，再冷却の過程を利⽤して，物質における熱の逃げと熱容量の両⽅を求めることができる．
加熱の段階では，平均温度を約 2.5∘ C 変化させよ．この段階で必要な精度は，全体として 10-15 分かかる⼀連の冷却-加熱-再冷却の過程で得られる．
ここでは，Part B においてほぼ定常状態となった際の平均温度付近で実験を⾏うことを⽬指す．
ロッドに蓄えられる全ての熱的なエネルギーを説明するために，ロッドの平均温度の変化を追いたい．ロッドの中⼼の温度は，平均温度の良い近似となる．
C.1

平均温度を求めるため，⼀連の冷却-加熱-冷却を⾏って Table C1 に測定値を記録せよ．

1.0pt

C.2

グラフ⽤紙に，平均温度を時間に対してプロットせよ．

1.0pt

C.3

グラフを利⽤して，Part B の平均温度付近での⽐熱 𝑐𝑝 と単位時間あたりの熱の逃げ 𝑃loss を計算せよ．図と式を⽤いて，計算した⽅法を説明せよ．

1.0pt

Part B で求めた熱伝導度の精度を向上させるために，考慮すべきメカニズムが主に２つある．
• 断熱材を通して動径⽅向に熱が逃げている．
• 測定時に系が定常状態に達していなかった．
⼀次の近似では，これらの機構に起因する，ロッドに沿った熱流の単位⻑さあたりの変化 Δ𝑃 (𝑥) /Δ𝑥 は⼀定としてよい．
C.4

両⽅のメカニズムを考慮して，Part B で得た熱伝導度に⼀次の補正を⼊れた式 を 書 き 下 せ． 補 正 さ れ た 熱 伝 導 度 𝜅Copper を，Part B と Part C で 出 て き た
𝜅0 , 𝑃 , 𝑐𝑝 , 𝑚, 𝑃loss , ∆𝑇で表し，その値も計算せよ．
∆𝑡

1.0pt

Part D: 真鍮 (brass) とアルミニウム (aluminum) の熱伝導度 (1.0 points)
熱的に絶縁された Rod #2 をデジタル表⽰器に接続し，このロッドの温度センサーの校正を，パート B の最初に⽰されているようにおこなえ．
D.1

テーブル上に設置したときの Rod #2 の初期温度を解答⽤紙に書け．

0.1pt

Rod #2 からデジタル表⽰器のケーブルを外せ．Figure 5 のように熱浴の⽔容器の蓋のオスネジにロッド 2 のメスネジをねじ込んで取り付けよ．その後，デジタル表⽰器にケーブルを再接続せよ．
Part B で⽤いた⼿順を繰り返し，加熱しながら定常状態に近い状態とせよ．
測定を始める前にヒーターには少なくとも 15 分間電⼒を供給せよ．
このパートで要求されている精度では，ロッドが定常状態にあると仮定して良い．加えて，ロッドに沿った単位⻑さ当たりの熱の逃げは⼀定であると仮定して良い．
D.2

Rod #2 の８つ全ての温度センサーの温度を解答⽤紙に書け．さらに，各セクションにおける温度勾配 Δ𝑇 /Δ𝑥 を書け．

0.2pt

Experiment

Q2-9
Japanese (Japan)

１次の近似としては，問題 C.4 での仮定と同じ仮定を⽤いて良い．つまり Δ𝑃 (𝑥) /Δ𝑥 は⼀定として良い．
D.3

こ れ ま で の 測 定 を ⽤ い て 真 鍮 の 熱 伝 導 度 𝜅Brass と ア ル ミ ニ ウ ム の 熱 伝 導 度
𝜅Aluminum を表し，数値的に⾒積もれ．

0.7pt

Part E: ヴィーデマン-フランツの法則（0.5 points）
ヴィーデマン-フランツの法則は，熱伝導が伝導電⼦に⽀配されている⾦属において，熱伝導度と電気伝導度
𝜅 （ローレンツ係数と呼の⽐が絶対温度に線形に⽐例すると主張する．さらに，この関係における傾き 𝐿 = 𝜎𝑇ばれる）がほとんどの⾦属で同じであり，⾃然界の普遍定数で書けることも主張する．現実には，この法則は室温の⾦属に対して約 10% の精度で成り⽴つ．
E.1

Table E1 に，熱伝導度と電気伝導度 ( 𝜅, 𝜎) について実験で得られた結果を書け．熱伝導度が⼀次までの近似では温度に依存しないことを仮定し，それぞれの物質に対して 𝐿 の値を計算して同じ table E1 に書け．

0.5pt