地震動（地動） &z& による１自由度系の非減衰運動方程式
m&x&m&x&

防災工学概論

m&z&x

− kx

第７回 地震工学と耐震設計
鈴木 猛康

m&x& + kx = −m&z&&z&
応用物理学の復習（１自由度系の振動）

建物は板ばねと錘の集合体

地震動（地動） &z& による１自由度系のｕ１

減衰運動方程式

p1&x&

ｕ2
p2

m&z&

２

x

− kx

− cx&

ｋ1
ｍ2２モデル化
ｕN-1

ｍN-1

Ｎ－１

pN-1

&z&

1

m&x&m

ｍ１

１

Ｎ－１
ｋN-1

ｕN

m&x& + cx& + kx = − m&z&

応用物理学の復習（１自由度系の振動）

pN

ＮｍN

Ｎ

ｋN

（ａ）Ｎ層ラーメン（ｂ）振動モデル

３質点系の運動方程式()

m1 u&&1 + k1 u1 − u2 = p1,

m2u&&2 − k 1 (u1 − u2 ) + k 2 (u2 − u3 ) = p2,(&x&)

mi u&&i + ki −1 ui −1 − ui + ki (ui − ui +1 ) = pi

(m&x&mP2

ｕ2

P3

m1&z&ｍ１ｋ1

ｍ2ｕ3− kx)

ｕ１

m&z&x

mN u&&N − k N −1 u N −1 − u N + k N u N = p N

P1

ｍ3

m&x& + kx = −m&z&m2 &z&m3 &z&&z&&z&

マトリクスを用いた運動方程式の表示⎡ m1 0 0 ⎤ ⎡u&&1 ⎤ ⎡ k1 -k1 0 ⎤ ⎡u1⎤ ⎡p1⎤⎢ 0 m 0 ⎥ ⎢u&& ⎥ + ⎢⎥ ⎢u ⎥ = ⎢p ⎥+kkkk221122⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2⎥⎢⎣ 0 0 m3 ⎥⎦ ⎢⎣u&&3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 -k2 k2 +k3⎥⎦ ⎢⎣u3 ⎥⎦ ⎢⎣p3⎥⎦
ダランベールの定理を用いると，

P i = −mi &z&

地震動 &z& による３自由度系の非減衰運動方程式は，以下の式となる．

⎡ m1 0 0 ⎤ ⎡u&&1 ⎤ ⎡ k1 -k1 0 ⎤ ⎡u1⎤ ⎡m1⎤
⎢ 0 m 0 ⎥ ⎢u&& ⎥ + ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2⎢⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢-k1 k1 +k2 -k2 ⎥ ⎢u2 ⎥ = −⎢m2⎥⋅&z&⎢⎣ 0 0 m3 ⎥⎦ ⎢⎣u&&3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 -k2 k2 +k3⎥⎦ ⎢⎣u3 ⎥⎦ ⎢⎣m3⎥⎦
数値解析を用いて，各質点（構造物位置）の地震時応答を求めることができる．

応答スペクトル• 応答スペクトルとは、地震の力がいろいろな固有周期を持つ建物に対してどんな揺れ（応答）を生じさせるかを、一見して分かり易いように描いたものを言う。応答スペクトルを作成することにより、建物の固有周期が分かれば、建物に作用する地震力の大きさを知ることができる。

加速度応答スペクトル

異なった固有周期を持つ一自由度系を加振
Ｔ＝Ｔ2

Ｔ＝Ｔ3

Ｔ＝Ｔ4

応答加速度 Ｓa

Ｔ＝Ｔ1ｈy(t)ｈｈｈ

最大応答加速度の崩絡線

Ｓa１
Ｓa２

Ｓa３
Ｓa４Z(t)

Ｔ1

入力加速度

Ｔ2

Ｔ3

Ｔ4

固有周期 Ｔ

応答スペクトルを用いた構造物の最大応答値の評価(Sa）１

加速度、速度、変位 応答スペクトルの関係
加速度

(Sa）２

SASV (Ｔ n,hn )

(Sa）３

Ｔ＝Ｔ1

Ｔ＝Ｔ2

Ｔ＝Ｔ3

Ｔ＝Ｔ4ｔ錘

各錘の加速度応答ｈｈ

板ばねｈｈ

時間 ｔ

地震動入力

･･

加速度 ｙ (ｔ)最大加速度応答

加速度応答スペクトル

応答スペクトル値

変位(Sa）４SD

速度
S D (Ｔn,hn )(Sa)１S A (Ｔn,hn )(Sa)２(Sa)３Ｔn(Sa)４

Ｔ１ Ｔ２ Ｔ３ Ｔ4周期（sec）

周期， Ｔ(Ｓ)SV加速度，速度，変位応答スペクトルの関係

建築基準法の変遷

ここで，
S A (Ｔ n,hn ) = ωn2 S D (Ｔ n,hn )SV (Ｔ n,hn ) = ωn S D (Ｔ n,hn )S A (Ｔ n,hn ) = ωn SV (Ｔ n,hn )ここで，

S A (Ｔ n,hn ) : 加速度応答スペクトル
SV (Ｔ n,hn ) : 速度応答スペクトルS D (Ｔ n,hn ) : 変位応答スペクトル

耐震設計法の変遷１• 着工が1970年12月以前
柱の帯筋の間隔が粗い（30cm以下） → 地震に弱い• 着工が1971年1月～1981年5月
柱の帯筋の間隔を10cm以下に（部分的に15cm以下） → 柱の粘り強さがアップ
第1世代の旧耐震設計基準から、第2世代の旧耐震設計基準への移行。
1968年の十勝沖地震におけるせん断破壊の教訓から、せん断補強筋（柱の帯筋）のピッチを細かくするように規定された。

耐震設計法の変遷２• 着工が1981年6月以降
中地震時には建物の継続使用が可能 大地震時には、建物を倒壊させない設計→新耐震設計法
新耐震設計法では、2段階設計法が採用された。
（第1段階）建物が存在中に必ず遭遇するであろう中地震（震度5強程度）に対しては軽微なひび割れ程度にとどめる。
（第2段階）ひょっとして遭遇するかも知れない大地震（震度6強～7）に対しては、建物を崩壊させない。

耐震設計とはレベル１地震動• 用途，景観，経済性等を評価して，構造物の概略構造を設計する．
• 常時の構造設計を行う．
• 経済性，安全性の確保とともに環境へも配慮した地震対策を行う．
• 地震時の構造物の性能照査（２段階）を行う．

• 構造物の使用期間中に１～２回発生すると考えられる強さの地震動• TD年間にYがyを超えない確率（非超過確率）P
ここでＴＲ＝再現期間

道路橋示方書のレベル１地震動

レベル２地震動

200
L1-b-1cm/s

2

1000-100-200
0102030

40time (s)200
L1-b-1

cm/s

2

100
0-100-200
01020time (s)3040TD⎧
1 ⎫P[Y < y, TD ] = ⎨1 −⎬⎩ TR ( y ) ⎭• 耐用年数５０年→再現期間７５年• 耐用年数１００年→再現期間１５０年• 構造物の耐震設計に用いる地震動で現在から将来に亘って当該地点で考えられる最大級の強さをもつ地震動道路橋示方書のレベル２地震動
内陸活断層型（タイプⅡ

プレート境界型(タイプⅠ）
1000

400
L2-T1-3cm/s

2cm/s

L2-T2-3500
22000

Ａ種の橋：重要度が標準的な橋

0-500-200-1000-400
0102030040

10203040

time (s)time (s)1000

400
L2-T1-2

L2-T2-2500

Ｂ種の橋：とくに重要度が高い橋

cm/s

22200cm/s

Ａ種の橋とＢ種の橋の定義

00-200-500-400

-1000
0

102030040

10203040

time (s)time (s)1000

400
L2-T1-1

L2-T2-1500cm/s

2cm/s

2200

高速道路，一般国道，都道府県道，市町村道のうち地域の防災計画上の位置づけや利用状況からとくに重要な橋

00-500-200-1000-400010203040

010203040

time (s)time (s)設計地震動と橋の要求性能
設計地震動

Ａ種の橋

耐震性能（道路橋示方書）
耐震設計上の安全性

Ｂ種の橋
耐震性能１：レベル１地震動

タイプⅠの地震動

レベル２地震動
タイプⅡの地震動

地震によって橋としての健全性を損なわない性能（耐震性能１）

地震による損傷が橋として致命的とならない性能（耐震性能３）

地震による損傷が限定的なものにとどまり，橋としての機能の回復が速やかに行い得る性能（耐震性能２）橋としての健全性を損なわない

耐震設計上の供用性

短期的修復性長期的修復性

落橋に対する 地震前と同じ 機 能 回 復 の 軽 微 な 修 復
安 全 性 を 確 橋としての機 ための修復を でよい
保能を確保する 必要としない

耐震性能２

落橋に対する 地震後橋とし 機 能 回 復 の 比 較 的 容 易
安 全 性 を 確 ての機能を速 ための修復が に恒久復旧を
保やかに回復で 応 急 復 旧 で 行 う こ と が できる
対応できる
きる

耐震性能３

落橋に対する安全性を確保－－－