J. Jpn. Soc. Soil Phys.
土壌の物理性No. 131, p.31 ∼ 36 (2015)

地盤の熱伝導率を求める熱応答試験のための多項漸近解を用いた逆解析法
藤縄克之 1

The thermal response test and an inverse analysis method
for identifying thermal conductivity of soil
Katsuyuki FUJINAWA1

Abstract: Thermal response tests (TRTs) have been
widely used to identify thermal conductivity of soils. However, only the first two terms of power-series expansion
for the exponential integral, which appears in Kelvin’s line
source function used for analyzing data of TRTs, have beenused by the conventional method. This method sometimes
leads to inaccurate estimation of parameters and long testing time. A new method, briefly introduced in this paper,
evaluates much higher terms and uses an inverse method
to identify thermal conductivity together with a parametercontaining volumetric heat capacity. This method also enables to identify true thermal conductivities by using earlydata of TRTs and to reduce testing time. Some cases applied to fields with various conditions are also shown inthis paper for further application to soil physics.
Key Words : thermal conductivity, thermal response
test (TRT), Kelvin’s line source function, inverse analysis
method, volumetric heat capacity

1. はじめに異なる 2 タイプの GSHP では，オープンタイプの方が大幅にイニシャルコストを削減できるため，地下水が揚水できる場所ではオープンタイプのシステムが勧められる．
従来，施設園芸では冬期に石油を用いた暖房が用いられてきたが，温室効果気体である二酸化炭素を排出する
化石エネルギーの使用は地球温暖化の元凶となっている
上，第 1 次石油危機以来乱高下を繰り返す石油価格は施設野菜生産現場を翻弄し，安定経営上の大きな支障となってきた．そこで石油使用量削減の手段として，施設園芸分野でもヒートポンプが注目されているが，現在普及しているヒートポンプの大部分は空気を熱源としており，冬期暖房ではデフロスト（除霜）により暖房効率が下がるだけでなく，暖房負荷が大きくなるほど暖房能力が小さくなるといった欠点がある．さらに，空気熱源ヒートポンプは，電気代が高く，燃油と比べてランニングコストが削減できないため，燃油ボイラーとのハイブリッド化が推奨されるなど模索が続いている．このため，冷暖房効率が悪い空気熱源に代わり，1 年をとおして温度近年，浅層地下に賦存する冷熱や温熱を建築物や農業変化が小さく，消費電力の大幅削減で貢献できる地下水施設などの冷暖房に利用する地下熱ヒートポンプシステを熱源とするヒートポンプシステムが開発されてきておム（GSHP）と呼ばれる再生可能エネルギー利用技術がり，オランダなどの先進国ではすでに多くの園芸施設に注目されている．このシステムには，深度 100 m 程度導入されている．のボーリング孔に熱交換パイプを挿入して地中で熱交換

筆者は，H26 · 27 年度の農水省予算により農業 · 食品させるクローズドタイプと，地下水を揚水して地上で採産業技術総合研究機構生物系特定産業技術研究支援セン熱するオープンタイプがある．いずれのタイプでもヒーターが実施している「攻めの農林水産業の実現に向けたトポンプを併設する場合が多いが，ヒートポンプに利革新的技術緊急展開事業（うち産学の英知を結集した革用する熱源は暖房期では高温ほど，冷房期には低温ほど新的な技術体系の確立）」において「施設園芸栽培作物

冷暖房に要する消費エネルギーが少なくなる．したがっの低コスト · 高品質 · 周年安定供給技術の確立」というて，冬期に低温となり，夏期に高温となる大気を熱源とテーマで実証試験を実施中で，地下水熱源ヒートポンプする従来型と比べ，空調管理温度に近い熱源を利用するシステムを導入した施設の H26 年度冬期暖房試験ではGSHP の方が遙かに効率的で，冷暖房に要するランニン灯油ボイラー施設比較で大幅な消費エネルギー削減を実グコストを大幅に削減することができる．なお，性質の現し，H27 年度の夏期冷房試験においても良好な結果を

1 Faculty of Engineering, Shinshu University, 4-17-1 Wakasato, Nagano,380-8553, Japan. Corresponding author：藤縄克之，信州大学工学部
2015 年 8 月 17 日受稿 2015 年 10 月 14 日受理

得ている．
オープンタイプにせよクローズドタイプにせよ，GSHPシステムの設計には採熱量計算が必要である．特に，地土壌の物理性

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第 131 号(2015)

盤との熱交換がシステムの生命線となるクローズドタイ

は，Mogensen（1983）によって初めて熱応答試験データ

プでは，熱応答試験（Thermal Response Tests: TRTs）との評価に適用され，現在では熱応答試験のデータ解析に呼ばれる地盤の熱伝導率を求める試験が必須となってい広く利用されている．

る．地下水の流れがある現場では熱伝導率が過大に評価されるため，求められた熱伝導率は見かけ熱伝導率と呼3. 熱応答試験データの解析

ばれているが，浸透流がない場合には非常に正確に地盤の熱伝導率が計測できる．熱応答試験では，飽和あるいは不飽和の如何によらず試料の熱伝導率が計測されるた
め，土壌物理の分野でも実験室や野外で利用が可能である．そこで本稿では，TRT の原理と得られたデータか
ら簡便に熱伝導率が同定できる逆解析法（上原 · 藤縄，Fig. 1 に示すように，E(X) の漸近解の精度は X に依存し（藤縄，2010），X が十分に小さい場合（X ＜ 0.05で誤差は 2.2 % 以下）は，最初の 2 項のみを用いてE(X) ∼= −γ − ln X で近似できる．したがって，2 項近似法では熱交換井の温度変化を以下の近似解で表現する．

2013）の概要と適用事例を紹介する．
()
QHr2 (ρ c)− ln−γ4π (bλ )4λ t

2. 熱応答試験の原理

Tr ∼=浸透流がなく，均質かつ等方性の無限遠地盤に強度一いま，（4）式を変形すると，(4)定の線源熱負荷を与えた場合，媒体中の熱移動は円筒座

Tr ∼= k ln(t) + m

標を用いた次の熱伝導方程式と初期条件および境界条件(5)で表現できる．

{b(ρ c)} ∂ T∂ 2T 1 ∂ T+=∂ r2r ∂r(bλ ) ∂ tが得られる．ここに，(1)QH，4π (bλ ){ ()}QH
4λm=ln 2−γ4π (bλ )r (ρ c)k=rw ≤ r ≤ ∞初期条件：T (r, 0) = T0 ，t ≥0)∂T
2π r(bλ )= QH ，t > 0∂r

境界条件 1：T (∞,t) = T0 ，(境界条件 2： limr−rw →0である．

2 項近似法を用いた場合，片対数紙の縦軸に Tr を，横軸に ln(t) をとって熱応答試験データをプロットし，直ここに，T は地盤の温度（K），T0 は初期の地盤温度（K），r は熱交換井中心からの半径（m），rw は熱交換井の半径（m），QH は地盤との熱交換量（W），λ は地盤の熱伝導率（W m−1 K−1 ），ρ は地盤の密度（kg m−3 ），c は地盤の比熱（W s kg−1 K−1 ），b は U 字管の埋設深度（m）である．いま，加熱による地盤の温度上昇量を Tr = T − T0とし，（1）式および初期条件 · 境界条件を変形して微分方程式を解くと，以下の式が得られる．

Tr =

QH
4π (bλ )∫ ∞ −ueXu

du =QHE(X)
4π (bλ )(2)

X=

Fig. 1 E(X) の正確解と近似解．

r2 (ρ c)4λ tここに，（2）式はケルビンの線源関数と呼ばれ，E(X) は次の漸近解で展開できる．

E(X) = −γ − ln X + X −(6)

X2X3X4+−+ · · · · · (3)2 · 2! 3 · 3! 4 · 4!

なお，γ (= 0.5772 · ·· ) はオイラー定数である．
ケルビンの線源関数理論（Ingersoll and Plass, 1948）

Fig. 2 2 項近似法による熱伝導率の推定．

解説：地盤の熱伝導率を求める熱応答試験のための多項漸近解を用いた逆解析法
線部分の傾き k を求めると，熱伝導率 λ は33

導率 λ のみであり，一般に体積熱容量 (ρ c) には文献値が用いられる．(ρ c) が正確に決定できない

λ = QH /4π bk

ため，評価された熱伝導率のみでは正確解（2）が(7)再現できず，解析結果と測定結果がどの程度合致で評価できる．この方法が現在熱応答試験のデータ解析しているかを検証することができない．

でもっぱら利用されている地盤の熱伝導率評価法である．Fig. 2 は 2 項近似法による解析事例で，直線区間そこで，2 項近似に伴う精度低下を解消するとともに，の近似式の勾配より熱伝導率 2.46 W m−1 K−1 が求めら

熱伝導率のみならず体積熱容量に係わる係数も自動的れる．に評価できる手法がパウエルの共役傾斜法を用いたパラ2 項近似法による従来法を用いた場合は，「試験開始から十分な時間が経過した区間のデータより k 値を決定することが望ましい」（長野， 2010）とされている．しメータの逆解析法（上原 · 藤縄，2013）である．この方法は室内実験で検証され，現在は解析用ソフト TRT アナラーザー（http://www.shinshu-tlo.com/trt-a）として広たがって、従来法を利用する場合、十分な精度が担保さく一般の用に供されている．ここでは，逆解析法の概要

れ，初期段階で地中熱交換器や充填剤の影響を受けないと適用結果を紹介する．

よう，加熱時間は標準で 60 時間，最短でも 48 時間以奨されており，一般的な試験期間は 1 週間以上必要とな

Fig. 1 より，第 2 項，第 4 項，第 6 項，第 12 項，第16 項，第 30 項と，評価項数を増やすにつれて計算値はE(X) の正確解に漸近することが分かる．したがって，正る．このような従来法の問題点をまとめると以下のよう確解とほぼ一致する高次項まで近似解の評価項を増やせになる．

ば 1/X が小さい初期データの使用が可能となり，熱応答上，精密に行いたい場合には 100 時間程度行うことが推試験の時間短縮と精度の向上を図ることが可能となる．
（1）誤差が許容範囲とされている 2.2 % 以下になる時

そこで，指数積分 E(X) のべき級数展開式を第 30 項ま

間 t が事前には不明のため，傾き k を決定する直で考慮することにより熱応答試験の初期段階のデータも線区間が明確に選定できない．したがって，どの活用すると共に，地盤の熱伝導率と体積熱容量に係わる区間のデータを直線部と定めるかは解析者の経験値が同定できるようにしたものが TRT アナラーザーで的判断に委ねられ，解析結果が人によって異なる．

ある．

（2）初期段階のデータが使用できないため，試験期間を長くとる必要がある．
（3）2 項近似法で得られる地盤の熱応答特性は，熱伝Fig. 3 熱応答試験実験装置．

TRT アナラーザーは，熱応答試験のデータにパウエルの共役傾斜法を用いた逆解析法を適用し，パラメータを同定するものである．Fig. 3 は評価された熱伝導率に

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Fig. 4 熱応答試験結果と同定されたパラメータで計算した値と実測値の比較．

解説：地盤の熱伝導率を求める熱応答試験のための多項漸近解を用いた逆解析法

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Table 1 各ケースにおけるパラメータ同定結果．
項目単位S1S2N

K

SB

λr2 (ρ c)f /NN

W m−1 K−12.33
1559.640.075
43202.51
1707.15
0.056
4320

1.79
650.210.158
4320

3.01873.930.1864320

1.912167.75
0.079
4320

W s m−1 K−1Km

地下水流動が与える影響を調べるための室内実験装置をいる．

示したものである（濱野ら，2014）．熱応答試験におけケース N でケース S2 ほど解析解と実測値との適合性

る温度の計測は熱交換井において行われるため理論上はが高くなかったが，その原因は 60 m 付近以深で地盤のr = 0 であるが，実質的には r = 0 に極めて近い測点の温温度が上昇しており，熱伝導理論の前提条件が満足され度が計測されている．そこで，特定が困難な観測地点のていなかったことによるものである．また，千曲川近傍

半径 r と (ρ c) を一体化した r2 (ρ c) を熱伝導率 λ とともに位置するサイトで実施したケース K の同定結果ではに同定されるようになっている．

熱伝導率が大きく，r2 (ρ c) は小さくなったが，これは地また、最適パラメータの同定においては，次の目的関数

下水流動に伴う移流や分散などの熱伝導以外のメカニズムが働いたためである．唯一、東京都心部で測定された√F=ケース SB では、熱伝導率はやや小さくなったが、これN∑ (Tri − T ri )

2(8)

i=1

は地層の特性（厚い粘土層など）が反映されたものと考えられる．

を最少にする探索過程の結果として同定値が求められ

4. おわりにる．ここに，T ri は計算された i 番目の温度上昇量，Tri は実測された i 番目の温度上昇量である．また，N は逆解析に用いる温度上昇量データの個数であり，データ 1 つあたりの誤差を表す評価尺度には計算値と実測値の絶対値誤差の総和を総データ数で除した

適用して熱伝導率などのパラメータを求めた事例を紹介

N

N

度向上と逆解析を用いたデータ解析法についての概要を述べ，さまざまな場所で実施された熱応答試験に本法を∑ Tri − Trif= i=1
N

本報では，地盤の熱的特性を評価するために広く実施されている熱応答試験に用いられてきた簡易解析法の精した．

(9)が用いられている．

Fig. 4 は，地盤の条件の異なる 4 地点（5 ケース）で実施した熱応答試験で得られたデータに逆解析法を適用し，得られた熱伝導率 λ と r2 (ρ c) を用いて計算した結果を実測値と対比したものである．また，Table 1 は各ケースのパラメータ同定値，および f /N と N を示したもの
で、地下水流速が小さく、地下水位が浅いケース S では，計算値と実測値は非常に良く一致することが分かる．

「はじめに」で述べたように，筆者は現在地下水を熱源としたヒートポンプシステムを導入した園芸施設で実証試験を実施しており，従来の灯油ボイラー暖房施設と比較して圧倒的な省エネ効果を確認しているが，この施設では施設全体を温度管理するのではなく，作物の生育上最も重要な部位を重点的に温度制御する局所冷暖房方式を採用している．特に，イチゴ栽培ハウスでは培地表面に冷温水循環パイプを敷設してクラウン（成長点）部分の温度を制御しているが，この循環パイプが根群域を中心とした培地土壌の温度にどのような影響を与えてい信州大学若里キャンパスで実施した試験（ケース S）でるかを明らかにする必要がある．農業施設でのイチゴ栽は，同一サイトの同一試験井で測定しているにもかかわ培に限らず，作物にとって地温は極めて重要な生育要因

らず，3 月に実施したケース S1 と 11 月に実施したケーである．各作物の最適生育環境が担保されるような管理

ス S2 とでは熱伝導率が 2.33（W m−1 K−1 ）および 2.51
（W m−1 K−1 ），r2 (ρ c) が 1,559.65（W s m−1 K−1 ）および 1,707.15（W s m−1 K−1 ）となり，両パラメータともを実施するためには，根群域形成を含めた作物生理と温度環境との関係を調べる必要があり，土壌熱伝導率の計測も重要な手段となる．本報で述べた手法はこのようなケース S2 の方がやや大きくなったが，その理由は地下応用例も含めて土壌物理学の様々な局面でも何らかのお水面の高さの違いによるものと考えられている．ちなみ役に立てるのではないかと考えている．最後に，本特集に，各試験実施日の現地調査結果より，ケース S2 の地号に執筆の機会を与えて頂いた編集委員会の皆様に心よ

下水面高がケース S1 より約 1.5 m 高いことがわかってり感謝を申し上げたい．

土壌の物理性36

第 131 号(2015)

上原健人, 藤縄克之 (2013): ケルビンの線源関数の高精度漸近解

引用文献とパウエルの共役傾斜法を用いた熱応答試験関連パラメー
タの逆解析法とその適用. 地下水学会誌, 55(3): 253–268.

Ingersoll, L.R. and Plass, H.J. (1948): Theory of the ground pipe

長野克則 (2010): ボアホール型地中熱交換器に対する加熱法による熱応答試験の標準試験方法 Ver. 2.0. p. 16, （財）ヒート

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ポンプ · 蓄熱センター地下熱利用とヒートポンプシステム研

122.
Mogensen, P. (1983): Fluid to duct wall heat transfer in duct system heat storages. Proceedings of the International Conference

究会 IEA ECES （蓄熱実施協定）ANNEX21．
濱野太宏, 冨樫 聡, 上原健人, 藤縄克之 (2014): 水理地質環境が熱応答試験のパラメータ同定に与える影響に関する実験的on Surface Heat Storage in Theory and Practice. pp. Part II.
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研究. 土木学会論文集, C–70(1): 54–66.
藤縄克之 (2010): 環境地下水学. p. 354, 共立出版.

要旨

熱応答試験は地盤の熱伝導率を求める方法として広く用いられてきた．しかし，従来の方法は，熱応答試験データの解析に用いられているケルビン線源関数の指数積分 E(X) のべき級数展開のうち最初の 2項のみを利用しているため，パラメータの同定精度が悪くなることがある上，試験時間を長くとる必要があった．ここでは，より高次項までを評価し，熱伝導率とともに体積熱容量関連パラメータも同時に同定できる逆解析法を紹介する．本法を用いると，TRT の早期データも利用できるため試験時間が短縮できるうえ，正確に熱伝導率が評価できる．そこで，本法の土壌物理分野への応用を念頭に，様々な条件下にあるフィールドに適用された事例を紹介する．
キーワード：熱応答試験（TRT），ケルビンの線源関数，パウエルの最適化法，体積熱容量，真の熱伝導率