算数 ３

図形を構成する要素やそれらの位置関係に着目し立体図形について考察すること（見取図・展開図）

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出題の趣旨立体図形について、図形を構成する要素やそれらの位置関係に着目し、図形の構成の仕方や図形の性質について考察できるかどうかをみる。
・直方体の見取図について理解し、かくこと。
・円周率について理解していること。
・球の直径に着目し、立方体の体積の求め方を式に表すこと。
・角柱の底面や側面に着目し、面の数とその理由を表現すること。
図形の学習では、観察や構成などの活動を通して、図形を構成する要素やそれらの位置関係に着目し、図形の構成の仕方や図形の性質について筋道を立てて考察することで、実感を伴いながら図形についての理解を深めることが重要である。
そのために、例えば、図形を構成する要素である面と面、辺と辺等の位置関係に着目しながら、立体図形を見取図や展開図で表したり、逆に、見取図や展開図から立体図形を構成したりすることができるようにすることが大切である。また、図形を構成する要素に着目し、図形の体積の求め方を考えたり、図形の性質について考察したりすることができるようにすることも大切である。
そこで、本問では、立体図形について学習してきたことを振り返り、見取図や展開図をかいたり、ボールがぴったり入る箱の体積を調べたり、底面と側面に着目して角柱の面の数について考察したりする文脈を設定した。

－39－-39-タၥ ㊃᪨┤᪉యࡢぢྲྀᅗ࡟ࡘ࠸࡚⌮ゎࡋࠊ࠿ࡃࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿ࠿࡝࠺࠿ࢆࡳࡿࠋ‫ڦ‬Ꮫ⩦ᣦᑟせ㡿࡟࠾ࡅࡿ㡿ᇦ࣭ෆᐜࠝ➨㸲Ꮫᖺࠞ 㹀 ᅗᙧ ❧యᅗᙧ࡟㛵ࢃࡿᩘᏛⓗάືࢆ㏻ࡋ࡚ࠊḟࡢ஦㡯ࢆ㌟࡟௜ࡅࡿࡇ࡜ࡀ࡛ࡁࡿࡼ࠺ᣦᑟ
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指導に当たっては、例えば、本設問のように、方眼紙に途中までかかれた直方体の見取図の続きのかき方を考える活動が考えられる。その際、 直方体の対応する辺の長さや平行といった位置関係に着目し、見取図の頂点の位置や辺について考える ことができるようにすることが大切である。また、平行な直線をかく際には、二つの三角定規を組み合わせて平行移動させたり、方眼のマスの数に着目したりすることができるようにすることも大切である。
さらに、下の図のように、 見取図が正しくかけているかについて、頂点の位置や辺の長さ、平行といった位置関係について振り返り、必要に応じて修正することができるようにすることが大切である。

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２．分析結果と課題○

解答類型３について、このように解答した児童は、球の直径の長さと立方体の一辺の長さの関係を捉えることはできているが、立方体の一つの面の面積の求め方を式に表していると考えられる。

○

解答類型７の中には、「22×3.14」という解答がある。このように解答した児童は、球の直径の長さと円周率から体積を求めることができると誤って捉えていると考えられる。

○解答類型99の中には、「22×６」という解答がある。このように解答した児童は、球の直径の長さと立方体の面の数から体積を求めることができると誤って捉えていると考えられる。

３．学習指導に当たって図形を構成する要素を見いだし、それらを活用して体積を求めることができるようにする〇 身の回りの形から図形を捉え、図形を構成する要素を見いだし、体積を求めるために必要な情報を判断できるようにすることが重要である。
指導に当たっては、例えば、本設問のように、球の形をしたボールがぴったり入る立方体の形をした紙の箱の体積を調べる活動が考えられる。その際、立方体を真上や真横から観察するなどして、球はどこから見ても同じ円であることや、その円の直径の長さは球の直径の長さと等しく、立方体の一辺の長さと等しいことを理解できるようにすることが大切である。
また、立方体の体積は、一辺の長さを測ることによって、（一辺）×（一辺）×（一辺）の式で求められることを理解できるようにすることも大切である。
さらに、下のように、平成21年度【小学校】算数Ｂ１(3)のような長方形の横の長さが円の直径の長さの三つ分と等しいことを捉え、円の半径の長さを求める活動も考えられる。
平成21年度調査問題【小学校】Ｂ１(3)－45－-45-

設問(4)
趣旨
角柱の底面や側面に着目し、五角柱の面の数とその理由を言葉と数を用いて記述できるかどうかをみる。

■学習指導要領における領域・内容〔第５学年〕 Ｂ 図形
(2) 立体図形に関わる数学的活動を通して、次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
(ア) 基本的な角柱や円柱について知ること。
イ 次のような思考力、判断力、表現力等を身に付けること。
(ア) 図形を構成する要素に着目し、図形の性質を見いだすとともに、その性質を基に既習の図形を捉え直すこと。
〔用語・記号〕 底面 側面－46－-46-㸯㸬ゎ⟅㢮ᆺ࡜཯ᛂ⋡ၥ㢟␒ྕ㸱ゎ⟅㢮ᆺ཯ᛂ⋡㸦㸣㸧ṇ⟅㸦ṇ⟅ࡢ᮲௳㸧
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－47－‫۔‬２．分析結果と課題○

本設問の正答率は、72.1％である。なお、五角柱の面について７と解答できている解答類
型１～９の反応率の合計は89.6％である。

○

解答類型３について、このように解答した児童は、五角柱の面について７と解答しており、底面が二つあることも記述できているが、側面が五つあることは記述できていない。

○

解答類型９の中の、具体的な例としては、以下のようなものがある。

(例)・ 【五角柱の面】 ７（つ）
【わけ】 三角柱から面が一つずつ増えるから。
このように解答した児童は、五角柱の底面と側面に着目して記述することができていないと考えられる。

３．学習指導に当たって図形を観察するなどの活動を通して図形を構成する要素に着目し、角柱について考察できるようにする○ 図形を構成する要素に着目し、底面や側面という用語を用いて角柱の性質について説明できるようにすることが重要である。
指導に当たっては、例えば、いくつかの種類の角柱を観察し分類する活動が考えられる。
その際、底面の形の違いに着目し、底面が三角形の場合は三角柱、四角形の場合は四角柱、五角形の場合は五角柱となることや、側面の形は全て正方形や長方形であることに気付くことができるようにすることが大切である。

－48－
-48-

本問題全体の学習指導に当たって大切にしたいこと「立体図形の性質を理解し、筋道を立てて考察する」〇 観察や構成などの活動を通して、立体図形について共通点を見いだし、立体図形の性質を理解できるようにする
立体図形を観察や構成する活動を通して、立体図形の性質を実感を伴って理解できるようにすることが大切である。
例えば、角柱の学習では、図形を構成する要素に着目し、角柱を分類したり、下のような表に表したりして、底面や側面の形、頂点や辺や面の数について整理し、角柱の性質を理解できるようにすることが大切である。
三角柱

四角柱

五角柱

六角柱

底面の形

三角形

四角形

五角形

六角形

側面の形

長方形
正方形

長方形
正方形

長方形
正方形

長方形
正方形

底面の数

２２２２

側面の数

３４５６

辺の数

９121518

頂点の数

６８1012

なお、第４学年で学習した立方体や直方体を四角柱の仲間として解釈し直したり、下の図のように、底面が正方形や長方形でない四角形であっても、四角柱と判断したり、角柱の向きによらず底面を見いだすことで、底面の形から角柱を判断したりすることができるようにすることも大切である。

四角柱

五角柱

また、例えば、円柱の展開図をかいて、実際に円柱を組み立てる活動を通して、側面に当たる長方形の横の長さが、底面となる円の円周の長さであることを確認するなどして立体図形と平面図形を関連付けて考えることができるようにすることも大切である。

－49－-49-○

図形の意味や性質を基に、問題を解決できるようにする（※授業アイディア例を参照）

図形を構成する要素に着目して、見いだした図形の意味や性質を基に、必要な情報を判断し問題を解決できるようにすることが大切である。
例えば、直径の長さが示されている球の形をしたボールが六つぴったり入る、辺の長さが示されていない直方体の形をした箱の体積を求める活動が考えられる。その際、ボールが箱にぴったり入っていることから、球の直径の長さを用いて、直方体の辺の長さを見いだすことができるようにすることが大切である。

【コラム①】図形を構成する要素を見いだし、活用すること
令和６年度【小学校】算数３(3)（正答率36.9％）と、令和５年度【小学校】算数２(4)（正答率21.1％）の結果から、図形の体積や面積を求めるために、必要な情報を自ら選び出すことに課題があることが分かる。必要な情報を自ら選び出すためには、図形の意味や性質の理解を深め、図形を構成する要素を見いだし、活用できるようにすることが大切である。

令和６年度【小学校】算数３(3)

令和５年度【小学校】算数２(4)図形の学習では、例えば、下の表のような図形の意味や性質、体積や面積の求め方について理解を深め、問題解決に活用できるようにすることが大切である。
各調査問題において理解を深める図形について
・球の直径の長さについて、球を直方球直径体などの立体ではさむなどの活動によって調べること
令和６年度【小学校】
・立方体について、体積を計算によっ算数３(3)て求めること
立方体 立方体の体積・体積の単位や立方体を構成する要素に着目して体積の求め方を考えること
底辺・三角形の底辺や高さの関係の理解を
令和５年度【小学校】
高さ確実にすること
三角形
算数２(4)
・三角形について、面積を計算によっ三角形の面積て求めること－50－-50-

授業アイディア例「ボールが入った箱の体積を求めよう」〈実施対象学年〉～球や直方体の性質を基に、直方体の縦と横の長さと第５学年高さを見いだし、問題を解決する～①

問題場面を把握し、体積の意味を確認する。
直方体の形をした箱の体積を求めましょう。

箱を直⽅体とみて、体積を求めましょう。

教師

直⽅体の体積を求めるには何が分かればいいのでしょうか。

辺の⻑さが分かればいいですね。
縦と横の⻑さが分かればいいのかな。
⾼さも必要だと思います。
⾼さも必要なのでしょうか。
必要です。

必要なのかな。

縦と横の⻑さだけだと⻑⽅形の⾯積しか求められません。
この箱は直⽅体だから、体積を求めるときには⾼さが必要です。
そうでした。直⽅体の体積は縦×横×⾼さで求められるのでしたね。

では、この直⽅体で説明してください。
４cm
この直⽅体の体積は１cm の⽴⽅体が縦に三つ、横に⼆つ、それが四段積み重なっています。
だから、体積は、３×２×４＝24で24cｍ３になります。
３ポイント

２cm

３cm体積の公式とその意味について、振り返ることができるようにすることが⼤切である。

－51－

②

直方体の辺の長さと、球の直径の長さの関係を捉える。
直⽅体のそれぞれの辺の⻑さは何cmですか。

それぞれの辺の⻑さは分かりませんが、この直⽅体の中には直径８cmの球の形をしたボールが六つぴったり並んで⼊っています。

球の直径の⻑さを使うと、辺の⻑さが分かりそうですね。

球の直径は、どこだったでしょうか。

直方体の形をした箱の体積を求めましょう。
箱の中には、直径８ｃｍの球の形をしたボールがたてに３つと横に２つぴったり入っています。
高さはボール１つ分です。

球について３年⽣で学習したことを確認しましょう。

直径
半径
中⼼測る⻑さ(Ａ)

球を半分に切った時、切り⼝の円はいちばん⼤きくなります。

球にも中⼼と半径と直径がありました。

球の直径の⻑さを調べる
ときはこの部分（Ａ）を測っていました。

球について学習したことを確認しましたね。では、球の直径の⻑さを使うと直⽅体の横の⻑さは求めることができますか。

求めることができます。
横にボールが⼆つぴったり⼊っています。
だから、横の⻑さは球の直径の⻑さの⼆つ分と同じになります。

横の⻑さを式で表せますか。

横

横の⻑さは、球の直径の⻑さの⼆つ分なので、８×２＝16で16cmになります。

－52－

ポイント

③

球の直径とその測り⽅について振り返り、直⽅体の体積を求めるために必要な⻑さと球の直径の⻑さが関係していることに気付き、球の直径の⻑さを⽤いて直⽅体の辺の⻑さを⾒いだすことができるようにすることが⼤切である。

見いだした辺の長さを用いて、直方体の体積を求める。

同じように考えて直⽅体の縦の⻑さと⾼さは求められますか。
高さ
横

たて

縦の⻑さはどうして、８×３＝24で求めることができるのですか。

縦の⻑さは、８×３＝24で24cmになります。

８cmは球の直径の⻑さで、縦の⻑さは球の直径の⻑さの三つ分だからです。

⾼さは、球の直径の⻑さの⼀つ分なので８cmになります。

縦と横の⻑さと⾼さが分かったら、体積を求めることができます。

直⽅体の体積は24×16×８＝3072で答えは3072cm３です。

今⽇の学習を振り返りましょう。

球や直⽅体の性質を使うと、直⽅体の辺の⻑さをものさしで測らなくても、求めることができました。

図形をしっかり観察して、球や直⽅体の性質について確認することが⼤切だと思いました。

ポイント

図形を構成する要素や図形どうしの関係に着⽬し、筋道を⽴てて問題を解決できるようにすることが⼤切である。

－53－