古典を読む

J.-Y. Parlange and D.E. Hill 著「土壌における浸潤前線不安定性の理論的解析」
安中武幸 1
Reviewing classical studies in soil physics

Theoretical analysis of wetting front instability in soils
by J.-Y. Parlange and D.E. Hill
Soil Science, Vol. 122, No. 4, 236–239 (1976)
Takeyuki ANNAKA1

1. はじめにRaats（1973）は不安定化の条件を示すにとどまったが，
Philip（1975）は水の表面張力による安定化作用をも考

土壌中における不均一な水の流れは，マクロポアや傾慮することにより，不安定となる乱れの臨界波長や最も斜した成層など巨視的に不均一な土壌で生じるだけでな

不安定な波長を考察し，フィンガーの大きさに言及した．

く，均一な土壌においても浸潤前線の不安定性によってしかし，彼が考慮したのは「気-水界面が曲率を持つ時生じ得る．本シリーズでは「部分流（フィンガー流）のに，水の表面張力の影響によって界面を挟んで曲率に比発見とその背景」（田渕，2006）において，著者本人によ例する圧力差が生じる」ことであり，土壌特性との関わる，部分流（フィンガー流）発見とその成因の解析研究

りは考慮されなかった．

Philip（1975）が考慮しなかった，土壌特性とフィン
ガーの大きさの関連付けに挑んだのが，Parlange and Hillに始まる，フィンガー流を「浸潤前線不安定性」と捉え（
1976）であった．彼らは，凸に曲がった浸潤前線の移た研究のなかで，フィンガーの大きさ（幅および直径）が紹介されている．本報では，Hill and Parlange（1972）

を水分拡散係数といった土壌水分移動特性（以下、単に動速度がその曲率に比例して遅くなることをモデル化

土壌特性）と関連づけた論文，Parlange and Hill（1976），

する際に水分拡散係数の影響を考慮して，浸潤前線不を紹介する．

安定化の条件やフィンガーの大きさの表式を導いた．こ1950 年代には，石油採掘現場の問題（水を圧入して石の発想はその後のフィンガー流に関する研究に多大な油を追い出す際に界面の移動速度を大きくすると石油に影響を与えており，「古典を読む」に紹介する意義のあ

水が混入すること）に応えて，多孔質体中の混合しない 2

る論文であると考えた．なお，今回取り上げた Parlange

つの液体界面が不安定となる条件が検討された（Saffman

and Hill（1976）は，Klute（1952）に始まる水分量表記のRichards 式に関するそれまでの研究成果が駆使された論and Taylor，1958；Chuoke et al.，1959）．土壌への降下
浸潤現象の研究においても，1960 年代になると細／粗成層での「部分流」（田淵，1961），閉鎖空気存在下の「舌状の流れ」（Peck，1965），さらには撥水性土壌における「フィンガー状の流れ」（Bond，1968）が報告された．し文であり，筆者には十分な理解が及ばない部分があったことをお断りしておく．

2. 曲がった浸潤前線の移動速度

かしながら，その当時，これらの現象が「界面（浸潤前

乾いた土壌への浸潤過程において，背後が飽和してい線）の不安定性」によるものとの認識は生まれなかった．

る浸潤前線の移動を考える．安定な浸潤前線では凹凸

上記の現象を初めて「浸潤前線不安定性」の問題との乱れが生じても前線の移動に伴って解消するが，不捉えて実験的な検討を行なったのが，Hill and Parlange

安定な場合には乱れが増幅しフィンガー流を形成する（1972）であった．その後すぐに，Raats（1973）や Philip（Fig. 1）．乱れによって生じる浸潤前線の凸部が遅くな（1975）によって浸潤前線不安定化の条件が検討された．

り，また凹部が速くなる限り，前線は安定である．Philip（1975）は，「浸潤前線の凸部におけるサクションは，平1 Faculty of Agriculture, Yamagata Univ., 1-23, Wakaba-machi, Tsuruoka,

997-8555, Japan. Corresponding author: 安中武幸, 山形大学農学部
2010 年 1 月 7 日受稿 2010 年 2 月 22 日受理
土壌の物理性 114 号, 81–86 (2010)

らな部分に比べて 2σ (r1 −1 + r2 −1 )ρ −1 g−1 だけ小さい」と仮定した（σ は水の表面張力，r は曲率半径，ρ は水の密度，g は重力加速度）．この結果，凸部の動水勾配が82

土壌の物理性第 114 号

(2010)

ここに，θs , θi は飽和および初期水分量である．
続いて，浸潤前線先端の背後に初期水分から飽和水分に至る水分分布が形成される場合（以下、浸潤前線が厚みを持つ場合），水分拡散係数がこの水分分布に与える影響を検討する（Fig. 2）．ただし，ここでは浸潤前線の厚みが乱れの波長に対して無視できる程小さい場合を対象としている．飽和領域の境界位置を rs とする時，これより大きな r とその位置における含水率 θ との関係は次୙Ᏻᐃ䛺ᾐ₶๓⥺Ᏻᐃ䛺ᾐ₶๓⥺式で近似できる（Parlange，1973）[原著（3）式]．

ln

( )
∫
r
1 θs
Dd θ
=
rs
Q θ

(6)

ここでは (r − rs ) ≪ rs と仮定しているので，ln r/rs は(r − rs )/rs で置き換えられる． ri を浸潤前線先端の位置とすれば，そこでは θ = θi なので，質量保存則から次式が得られる [原著（4）式]．

Fig. 1 浸潤前線不安定性によるフィンガー流発生．
Fingered flow development due to wetting front instability.

小さくなるため前線速度が低下する．しかし，前述の通り，この仮定は土壌特性と関わりを持たないため，土壌の違いによる影響が明示されない．
これに対して，Parlange らが試みたことは，凸型の浸潤前線の速度がその曲率に応じて低下することを（1）式で表わし，式中の µ を水分拡散係数と関連付けることである [原著（1）式]．

(
u = v−µ

1
1
+
r1 r2

)

−1

2π Qt = π ri (θs − θi ) − 2π ri Q
2

2

∫ θs
θi

(θs − θ ) Dd θ (7)（7）式を時間 t で微分すると，

{
}−1
∫ θs
dri
−1
ri
= (θs − θi ) − 2QQ (8)(θs − θ ) Dd θ
dt
θi

(1)

ここに，u は曲がった浸潤前線の速度，ν は平らな浸潤
前線の速度，r1 ，r2 は曲率半径である．

Parlange らは，この（8）式と（5）式との比較により，r0 ,ri , rs がほぼ等しく，これらに差が生じる場面を除けば相互に置き換えが可能であるとしている．

円筒形をした空洞からの水平方向 · 放射状の浸潤過程を対象とする．この場合，流量フラックスは∂θ
Q = −rD
∂r

(2)

r

rs

であり，基礎方程式は

(
)
∂θ
∂θ
1 ∂
=
rD
∂t
r ∂r
∂r

θi

ri
O

(3)

θs

である．そして，単位幅の円筒側面を通過する一定の流量は 2π Q で表される．ここに，θ は体積含水率，r は軸（給水位置）からの距離，D は水分拡散係数（e.g. Philip，

1969）である．浸潤前線が飽和水分から初期水分への不θs

連続な水分分布の境界線となる場合，軸から浸潤前線までの距離を r0 とすると，}d { 2
π r0 (θs − θi ) = 2π Q
(4)dt/である．これより，浸潤前進の速度 dr0 dt は（5）式で表される [原著（2）式]．
r0

dr0
Q
=
dt
(θs − θi )(5)(r, θ)
θi

O

rs ri

Fig. 2 水分拡散の影響を受けた浸潤前線の構造（水分分布）．
Structure of the wetting front affected by water diffusion.

講座：J.-Y. Parlange and D. E. Hill 著「土壌における浸潤前線不安定性の理論的解析」

83（6）式を時間 t で微分すると，（9）式が得られる [原∇2 φ = 0

著（5）式]．

dri drs ∼
1
−
=
dt
dt
ri (θs − θi )

∫ θs
θi

Dd θ

(9)

/

z 方向の流れの速度 qz は，−∂ φ /∂ z ，すなわち「圧力水頭勾配＋１」に比例するので [原著（12）式]，/浸 潤 前 線 が 厚 み を 持 た な け れ ば ，dri dt = drs dt =/dr0 dt である．一方，浸潤前線が厚みを持つ場合には，/（9）式右辺が正であることから，飽和境界の速度 drs dt/
が浸潤前線先端の速度 dri dt より小さいことになる．こ/の場合，飽和境界の速度は浸潤前線先端の曲率 1 ri に比

qz = −Ks (θs − θi )−1/は解消されやすいことを意味している）．（1）式におい//て，v = dri dt, u = drs dt と置き換え，円筒形空洞の形状より r1 = ri , r2 = ∞ とおけることから，µ の表式として次式が導かれる [原著（6）式]．

qz = u +θi Dd θ(10)

(θs − θi )

∂z
∂t

(14)

である．ここで浸潤前線の乱れを表わす（11）式を用い//ると曲率 1 r1 は ∂ 2 z ∂ y2 で近似でき，u は次式で表される [原著（14）式]．

∫ θs

µ=

(13)

いては [原著（13）式]，時（曲率が 0 の時）dri dt = drs dt であり，曲率が大きくなる程遅れが大きくなる（これは，曲率の大きい乱れ∂φ∂z

ここに，Ks は飽和透水係数である．また，浸潤前線にお例した遅れを生じる．すなわち，浸潤前線先端が平らな

/

(12)

u = v + aλ 2 µ exp(iλ y + ω t)

(15)

∂z
= aω exp(iλ y + ω t)
∂t

(16)

また，

この式は水分拡散係数を初期水分と飽和水分の間で平均したものであるが，この値が大きい程浸潤前線の安定化作用が大きいと考えられる．Parlange らは，（1）式の µ

これらのことから，浸潤前線（ z = 0 ）においては次式にこの表式を用い，Saffman and Taylor（1958）にならっが満たされていなければならない．

た，浸潤前線の安定性解析を行なった．

3. 最も不安定な波長：浸潤前線の安定性解析
時刻 t における，乱れのない浸潤前線位置を z = 0
として，それに（11）式で表される乱れを加える [原著（10）式]．

z = a exp (iλ y + ω t)∂φ
= v + a(λ 2 µ + ω ) exp(iλ y + ω t)∂z
(17)
この条件を満たし，かつ， z → −∞ で乱れが減衰するという条件を満たす（12）式の解として，次式が得られる[原著（15）式]．
−Ks (θs − θi )−1(11)

ここに，a は乱れの振幅，λ は乱れの波数，y は水平座
標，ω は乱れの増幅パラメーター， i は虚数単位である（Fig. 3）．φ を飽和境界背後の全水頭とすると，φ は次のラプラス式を満たす [原著（11）式]．

()−Ks (θs − θi )−1 φ = vz+ ωλ −1 + µλ a exp(iλ y+ ω t + λ z)(18)
浸潤前線を挟んで圧力が連続であるとする．浸潤前線に
おいては，

(
)
−Ks (θs − θi )−1 φ = vz + ωλ −1 + µλ a exp(iλ y + ω t)
= vz + (ωλ −1 + µλ )z
(19)
/

y

であり，−∂ φ ∂ z = 1 となることから，（20）式が得られる [原著（16）式]．

0z = a exp(iλ y + ω t )zFig. 3 浸潤前線に加えられた乱れ．
Perturbed wetting front.

Ks (θs − θi )−1 − v = ωλ −1 + µλ(20)乱れの増幅パラメーター ω について解くと，{}
ω = −µλ 2 + Ks (θs − θi )−1 − v λ(21)

波数 λ > 0 および µ > 0 であることから，上に凸の放物

84

土壌の物理性第 114 号ω(2010)

水速度の変化はフィンガーの幅ではなく本数を変えることが観察されていたからである．理論と実験のこの違いを踏まえ，Parlange らは，最も不安定な波長からフィンガー幅を決めるこの方法があくまで定性的なものだとした上で，重要なことは，（25）式がフィンガー幅を土λ壌特性と関連付けていることだと述べている．ここで，Rs = Q/Ks とおいて（25）式を変形すると，

0λ2λ m =λ 2/2

d∼
=

π S2
Ks (θs − θi )(1 − Rs )

(26)

/
/
項であり、 S2 Ks (θs − θi ) が水分拡散と重力の影響を与える土壌特性に関わる項である．Parlange らは，この項Fig. 4 乱れの増幅パラメーター ω の波数 λ 依存性．
Dependence of the disturbance amplitude ω on the wave numberλ.

この式の右辺において，1 (1 − Rs ) は給水条件に関わる線が描け（Fig. 4），とフィンガー幅の比例関係が重要であると指摘し，以下Ks (θs − θi )−1 − vµの説明を行なっている．β̄ = Dd θ /dK という量を θi か

/

(22)

ら θs まで平均して得られる値 β̄ は，S2 Ks (θs − θi ) と同である．λ2 > 0 であることより，Ks > v(θs − θi ) = q が壌水移動における毛管力と重力の相対的重要度を表わし得られるが，これは良く知られた浸潤前線不安定化の条（Philip，1969），細粒土では大きな値を示し，したがって件である（Saffman and Taylor，1958）．最も速く成長すフィンガー幅も大きくなる．一方，粗粒土ではそれらがる乱れ，すなわち，ω を最大にする λ がフィンガーを生小さくなる．また，初期水分の影響について， θi が増大

成すると仮定する． d ω /d λ = 0 を満たす λ を λm とし，すると封入空気の影響で土壌は細粒土であるかのようにµ を（10）式で置き換えると，（23）式が得られる [原著（17）式]．

振舞うため，S2 は減少するが Ks がそれ以上に減少して，

λ2 =

λm =

/
1 2 {Ks − v(θs − θi )}∫ θs

θi Dd θ等の意味を持つので，フィンガー幅と比例する．β̄ は土る．これら 2 つの結果は，フィンガー幅が本質的に粒度(23)Parlange らは，この波数に対応する波長の半分， d =π /λm がフィンガー幅の何らかの指標となると考え，
Philip（1969）の水平浸潤理論における吸水度 S（sorptivity）に関する（24）式を用いて [原著（18）式]（Sawhney
and Parlange，1976），
S2 = 2(θs − θi )

∫ θs
θi

Dd θ

大きなフィンガー幅をもたらすことになると考察していや初期水分と独立であった Philip（1975）の結果と顕著に異なるものである．

5. フィンガーの大きさに関するその後の研究
フィンガー流の研究は，Parlange and Hill（1976）後の10 年間は散見される程度であったが，1980 年代後半から急増した．フィンガーの大きさ（幅あるいは直径）に関わる研究としては，浸入フラックスや初期水分に対する依存性が問題となった（e.g. de Rooij，2000）．

(24)

浸入フラックスとフィンガーの大きさの関係については，Parlange らの表式が Hill and Parlange（1972）のフィンガー幅に対する次の表式を得たのである [原著

実験結果と整合しないことが問題であった．Glass et al.

（19）式]．

（1989a，b）は，次元解析と系統的な実験により Parlange

d∼
=

π S2
(θs − θi ) {Ks − v(θs − θi )}らのものと係数だけがわずかに異なるフィンガー幅の表(25)式を得た．また，Hill and Parlange（1972）とは異なり，
浸入フラックスの増大に伴ってフィンガーの本数はほとなお，（24）式の吸水度 S と水分拡散係数 D の関係につんど変化しないが幅が増大するという実験結果を得た．

いて付録で解説した．

Glass ら（1989b）は，Hill and Parlange（1972）の実験

4. 考察： Hill and Parlange（1972）の実験
結果との対比など
Parlange らは，Hill and Parlange（1972）の実験結果−1と比較して，d と [Ks − v(θs − θi )] との比例関係を示す（25）式がフィンガー幅の表現としては若干難があるとしている．Q = v(θs − θi ) が給水速度を表わすので，（25）式によれば給水速度が増大するとフィンガー幅が大きくなるが，Hill and Parlange（1972）の実験では，給では上層の細粒土が下層の粗粒土層に流れ込んだことや充填時に形成される不均一構造が影響したと判断している．一方，長（1995）は，浸入フラックスが小さい時はフラックス増大によってフィンガーの大きさは変化せず
本数が増えるだけであるが，限界流量を超えるとフィンガーの融合が生じ，大きさの増大と形状の複雑化が起こると指摘した．それから 15 年程経過した現時点でも，この問題については明快な答えは示されていない．

講座：J.-Y. Parlange and D. E. Hill 著「土壌における浸潤前線不安定性の理論的解析」
フィンガーの大きさに対する初期水分の影響は，Diment and Watson（1985）や Liu et al.（1994）によって85は，「分かった」という実感がなかったことを記憶している．今回改めて読み直して，やはり「分かった」という実検討された．前者は乾燥砂層ではフィンガー流が生じて感は得られなかった．しかし，µ が水分拡散係数の平均

も，数 % の初期水分がフィンガー発生を抑制することであることに，いまになって初めて気づいたことは収穫を示した．一方，後者は，Parlange らの表式を拡張して，であった．そして，Philip や Parlange らが 1950 年代か

初期水分が 0 でない時にもフィンガーの大きさを推定でら行なっていた浸潤に関する一連の理論的研究の成果がきる次式を導出した．

フィンガー流研究に応用されていることを確認できた．

(
2πθf
d∼
=

dh
dθ

)

η + 1.5

最後に，フィンガーの大きさや発生間隔を土壌条件との関連で明らかにするためには，多孔質体中の毛管力な(27)

ここに， θf はフィンガー先端の含水率， η は不飽和透( / )( / )η

水係数を K Ks = θ θsと表した時のパラメーターである．（27）式は，フィンガー幅が吸水過程の水分特性

ど界面が関わる現象のモデル化が不可欠な要素であると思われる．初歩的であるにしても，このことにいち早く気づきモデル化を試みた研究として，Parlange and Hill
（1976）はこれからも多くの研究者が参照する論文となることだろう．

/

曲線の勾配 dh d θ に比例することを表している．吸水付録

吸水度 S と水分拡散係数 D の関係

過程の水分特性曲線が初期含水量に依存する（ヒステリ
シスを示す）ことから，フィンガー幅の初期水分量への本文中の（24）式は，Philip の浸潤理論における吸水依存性が評価できる．（27）式で注意すべき点は，給水条

度 S と水分拡散係数 D(θ ) を関連付けている．この式

件の影響を無視しているため，浸入フラックスと飽和透は，Green-Ampt の浸潤理論と Philip の浸潤理論の比較

水係数の比率が 0 に近い場合にしか適用できないことでによって（Jury and Horton，2006），以下の様に導くこと

ある．

ができる．

おわりに

Philip の水平浸潤理論において，積算浸潤量 I は次式で表される [Jury and Horton，2006，（4.24）式]．

浸潤前線が不安定となった時，そこに加えられた乱れ

√
I=S t

の中からある波長成分が成長しフィンガー流を形成す
る．このイメージからすると，浸潤前線に加えられる乱れの性状とそれが成長する過程がフィンガーの大きさを決めていると考えられる．微小な乱れを扱う線形安定

一方，これを Green-Ampt の理論を用いて表わすと [Juryand Horton，2006，（4.12）式]，

性解析では，不安定となる条件と臨界波長 · 最も不安定

I = ∆θ

となる波長は示せても，それがどのような形状のフィンガーに成長するかまでは示し得ない．最も不安定な波長の半分がフィンガー幅となるとすれば，土壌断面におけるフィンガー断面が占める割合は，2 次元の現象であれ
ば常に 0.5 となるはずであるが，実験結果はそれを否定している（例えば，長，1995）．給水条件 · 土壌特性とフィンガーの大きさと間隔（本数）の関係は，現時点でも解明

(A1)

√

2D0t

(A2)

こ こ に ，∆θ は 飽 和 含 水 率 θs と 初 期 含 水 率 θi の 差（∆θ = θs − θi ），D0 は 飽 和 の 水 分 拡 散 係 数 で あ り ，/
D0 = Ks ∆h ∆θ [Jury and Horton，2006，（4.11）式] である（ KS は飽和透水係数，∆h = h0 − hF は流入端と浸潤前線における圧力水頭の差を表わす）．（A1）式と（A2）式の右辺を等しいとおくことにより，されていない問題なのである．この点では，フィンガー流を表現できる新たなモデルの提案（Cueto-Felgueroso

S = ∆θ

and Juanes，2008，2009）に見られる，基礎面での積極

√
2D0

(A3)

的な研究展開が注目される．また応用面でも，土壌流亡

ここで， D0 を本文中の（10）式で与えた水分拡散係数

や土壌浸食の防止を背景にした撥水性土壌における水移D(θ ) の θi から θs までの平均値に置き換えると，（A4）式，すなわち（24）式と同じ関係式が得られる．

動の研究，廃棄物処分場における雨水浸透抑制を目的としたキャピラリーバリアの研究などがみられる．これら
基礎 · 応用両面からの研究により，浸潤前線不安定性についてのより深い理解が期待される．
ここに紹介した Parlange らの論文は，筆者がフィンS = 2(θs − θi )
2

2

∫ θs
θi

/
∫ θs
Dd θ (θs − θi ) = 2(θs − θi )
Dd θ
θi

(A4)

ガー流の研究に取り掛かり，予備実験を行ないながら

引用文献

読んだもののひとつである．論文後半の線形安定性解析
は，Saffman and Taylor（1958）および Philip（1975）とほぼ同じなので一応の理解はできた．しかし，前半部分の曲がった浸潤前線の速度に関する表式の導出について

Bond, R.D. (1968): Water repellent sands. Int. Congr. Soil Sci.
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86
長土壌の物理性裕幸（1995）：フィンガリング流の 3 次元的な形態について―2 成層湛水条件下で発生するフィンガリングに関する研究（I）. 農土論集，179：11–20.

第 114 号

(2010)

弘 · 長裕幸 · 西村拓 · 諸泉利嗣 · 渡辺晋生訳），pp.123–126，
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土壌の物理性，103: 113-118.

旨

浸潤前線不安定性は，均一な土壌において不均一な流れ（フィンガー流）を生じる要因となる。本報では，浸潤前線不安定化条件の研究の中から Parlange and Hill（1976）を紹介した．彼らは，水分拡散の影響によって浸潤前線が曲率に応じて速度低下することをモデル化し，土壌特性として水分拡散係数を考慮した安定性解析を行なった．それ以前に行なわれた安定性解析においては土壌の特性が反映されていなかったため，浸潤前線が不安定となる条件は示せても，フィンガーの大きさ（幅や直径）を土壌の特性と関連付けて議論することができなかった．フィンガーの大きさを対象としたそれ以降の研究はほとんどが彼らの示した表式を前提にしており，この研究の影響が大きかったことを示している．しかしながら，現在に至るまで給水条件，土壌特性とフィンガーの大きさや本数の関連性を明快に示す理論は見当たらない．
キーワード：浸潤前線不安定性，フィンガー流，安定性解析，フィンガーの大きさ，水分拡散係数