６．二次関数と動点に関する問題【問１】
図で，放物線①はy＝－

1 2
x のグラフであり，点Pはこの放物線上を動いている。放物線①と直線②の交点をA，B9とし，それぞれのx座標は－3，6である。直線③は点Aを通り，切片は４である。直線②，③とy 軸との交点をそれぞれC，Dとする。次の(1)～(4)に答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さを1 cmとする。
（青森県 2002 年度）(1) 点 B の y 座標を求めなさい。

(2) 直線③の式を求めなさい。

(3) 線分 AB の長さを求めなさい。

(4) △OAC と△OPD の面積比が 2：1 のとき，点 P の座標をすべて求めなさい。

(1)
(2)
(3)
(4)

cm

【問２】
図Ⅰの長方形 ABCD において，辺 AD の中点を E とする。点 P は E を出発して，毎秒 1 cm の速さで辺上を動き，頂点 A，B を通って頂点 C に到着したところで停止する。
図Ⅱは，P が E を出発してから x 秒後の三角形 EPC の面積を y cm2 として，P が A に到着するまでの x と y の関係をグラフに表したものである。次の(1)～(4)の問いに答えなさい。
（群馬県 2002 年度）(1) P が A から B を通り C に到着するまでの x と y の

図Ⅰ

図Ⅱ
y

関係を表すグラフを，解答欄の図にかきなさい。

(2) y＝7 となるときの x の値を，すべて求めなさい。

(3) 三角形 EPC が二等辺三角形となるときの y の値を，すべて求めなさい。

(4) P が AB 上にあって，三角形 EPC の周の長さが最小となるときの x の値を求めなさい。

(1)

(2)
(3)
(4)

【問３】
図１のように直角をはさむ２辺の長さが 4cm の，合同な２つの直角二等辺三角形△ABC と△DEF がある。４つの頂点 B，C，F，E は直線ℓ上にあって２つの頂点 C，F は重なっている。この△ABC を頂点 C が頂点 E に重なるまで，
直線ℓに沿って矢印の向きに移動させる。図２は，２つの三角形が一部分重なった状態を表し，辺 AC と DF の交点をH としたものである。２点 F，C の距離を x cm とし，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（新潟県 2002 年度）
図１

図２(1) x＝1 のとき，線分 FH の長さを求めなさい。

(2) 0≦x≦4 のとき，重なっている部分の面積を y cm2 とする。このとき，x と y の関係を式で表し，解答用紙のの中に書きなさい。また，その関数のグラフをかきなさい。

(3) 0＜x≦4 のとき，２点 A，F を直線で結び，△AFH をつくる。この三角形の面積が△ABC の面積の3となるとき，
8x の値を求めなさい。

(1)

cm
式

(2)

(3)

x＝

【問４】
図のように，AB＝BC＝4 cm の直角二等辺三角形がある。点 P は A をスタートし，辺 AB，BC 上を，B を通って C まで，一定の速さで動く。点 Q
は，点 P と同時に B をスタートし，辺 BC 上を C まで，点 P と同じ速さで動く。このとき，点 P が動いた長さ x cm と△APQ の面積 y cm2 の関係を表すグラフはどれか。下のア～エから１つ選んで記号で答えなさい。ただし，曲線は放物線の一部とする。
（富山県 2002 年度）
ア

イ

ウ

エ

【問５】
図のような，AB＝50 cm，BC＝40 cm，CA＝30 cm の直角三角形 ABC がある。点 P，Q が同時に A を出発して，P は分速 5 cm で△ABC の辺上を B を通って C まで動き，Q は分速 3 cm で辺 AC 上を C まで動く。ただし，
Q は C で止まってその後は動かないものとする。P，Q が A を出発して x 分後の△APQ の面積を y cm2 とする。
次の(1)～(4)の問いに答えなさい。
（岐阜県 2002 年度）(1) 0≦x≦10 のとき，(ア) PQ の長さを x を用いて表しなさい。

(イ) x と y との関係を式で表しなさい。

(2) P，Q が A を出発してから 14 分後の△APQ の面積を求めなさい。

(3) x と y との関係を表すグラフをかきなさい。(0≦x≦18)(4) △APQ の面積が 150 cm2 以上であるのは，P，Q が A を出発して何分後から何分後までであるかを求めなさい。

(ア)

cm

(1)
(イ)

y＝

(2)

cm2

(3)

(4)

分後から

分後まで

【問６】
図１のように，点 O を原点とする座標平面上に３点 A(6，0)，B(6，4)，C(0，4)がある。いま，点 P は，A を出発し，AB，BC 上を C まで毎秒１cm の速さで動くものとする。また，y 軸の正の方向に OP を一辺とする正方形 OPQR をつくる。ただし，座標軸の単位の長さは１cm とする。このとき，後の(1)～(4)の問いに答えなさい。
（滋賀県 2002 年度）(1) 点 P が A を動き始めてから，３秒後の点 P の座標を求めなさい。

図１

y

図２

y

(2) 点 P が B の位置にあるとき，２点 O，Q を通る直線の式を求めなさい。

(3) 図２のように，点 P が B から C まで動くとき，点 R の座標を(x，y)とする。
x と y の関係のグラフを図３に表しなさい。

(4) 図２のように点 P が BC 上にあるとき，次の①，②の問いに答えなさい。
① 点 P が A を動き始めてから，t 秒後の PB の長さを t を用いて表しなさい。

② 正方形 OPQR と四角形 OABP の面積が等しくなるのは，点 P が A を動き始めてから，何秒後か。求めなさ
い。

(1)

（

，

）

(2)
y

図３

(3)

(4)

①

cm

②

秒後

【問７】
Ⅰ図のように，AB＝3 cm，BC＝6 cm の長方形 ABCD がある。点 P は，B から出発して毎秒 1 cm の速さで，辺 BC 上を C まで進む。また，点 Q は，点 P が出発すると同時に，C から出発して毎秒 0.5 cm の速さで，辺 CD
上を D まで進む。このとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。
（京都府 2002 年度）(1) 点 P が，B を出発してから x 秒後の△ABP の面積を y cm2Ⅰ図とするとき，x と y の関係をグラフに表せ。ただし，x の変域は，0≦x≦6 とする。

Ⅱ図(2) Ⅱ図のように，線分 AP，BQ の交点を E とするとき，点 P，Q が，それぞれ B，C を出発してから４秒後の△EBP の面積と長方形 ABCD の面積の比を最も簡単な整数の比で答
えよ。

(1)

(2)

：

【問８】
図１で，四角形 ABCD は BC＝7 cm，CD＝2 cm，DA＝3 cm，∠C＝∠D＝90°の台形であり，四角形 PQRS
は PQ＝3 cm，PS＝6 cm の長方形である。また，頂点 B，C，Q，R は直線ℓ 上にあり，B と R は重なっている。いま，この台形を直線ℓ にそって矢印の向きに，頂点 B が頂点 Q に重なるまで移動させる。図２は，この途中のようすを表している。台形 ABCD の周のうち辺 BC，CD を除いた部分と辺 SR との交点を M として，各問いに答えよ。
（奈良県 2002 年度）(1) 線分 BR の長さが x cm のときの，台形 ABCD と長方形
PQRS の重なった部分の面積を y cm2 とする。

図１

① x＝4 のときの y の値を求めよ。
② x の変域が 0≦x≦4 のとき，y を x の式で表し，そのグラ

図２

フをかけ。

③ x の変域が 4≦x≦6 のとき，y を x の式で表せ。
(2) 右のグラフは，線分 BR の長さが x cm のときの，ある線分の長さを y cm として，yx と y の関係を表したものである。ある線分とはどの線分か。次のア～オから１つ選び，その記号を書け。ただし，x＝0 のときは，点 M は頂点 R の位置にあるもの
とする。
ア BQ

イ MA

ウ MR

エ MS

オ CR

(3) ３点 S，A，C が一直線上にあるときの線分 BR の長さを求めよ。

①

y＝
式

(1)

②

グ
ラ
フ

③

y＝

y＝

(2)
(3)

cm

【問９】
図の①は，関数 y＝ax2 のグラフである。②は，①上の点 A(4，8)と y 軸上の点 B(0，4)を通る直線である。このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，原点 O と点(1，0)，点(0，1)との距離をそれぞれ 1 cm とする。
（鳥取県 2002 年度）
図問１．a の値を求めなさい。

問２．点Pは，原点Oを出発して，①のグラフ上を矢印の方向に進むものとする。
(1) ①の関数について x の値が 0 から t まで増加するときの変化の割合を，t を用いて表しなさい。

(2) 直線 OP が直線②と平行になるとき，点 P の x 座標を求めなさい。

問３．x 軸を軸として，△OABを１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。

問１

a＝
(1)

問２
(2)
問３

x＝
cm3

【問 10】
AB＝6 cm，AD＝8 cm の長方形 ABCD がある。点 P は辺 AB 上を A から B に向かって動き，点 Q は辺 AD
上を A から D に向かって，また点 R も辺 CD 上を C から D に向かって動く。３点 P，Q，R は同時に出発して，すべて毎秒 2 cm の速さで動き，点 P が B に達したときに同時に停止するものとする。図１～３は，３点 P，Q，R が出発してから x 秒後のようすであり，AP＝AQ＝CR＝2x cm である。次の問１～問３に答えなさい。
（島根県 2002 年度）
問１．図１で，△APQ の面積を y cm2 とする。次の１～３に答えなさい。

図１

１．３点 P，Q，R が停止するのは，出発してから何秒後か，答えなさい。

２．y を x の式で表しなさい。

３．x と y の関係をグラフに表しなさい。

問２．図２で，△CDQ の面積を y cm2 とする。次の１～３に答えなさい。
１．点 Q が A を出発して２秒後の，y の値を求めなさい。

図２

２．y は x の一次関数となる。y を x の式で表しなさい。

３．点 A，B，C，D および P，Q，R のうちの３点を頂点とする直角三角形で，面積が x の一次関数となるものを，△CDQ 以外で１つ答えなさい。

問３．図３で，台形 APRD の面積を y cm2 とするとき，x と y はどのような関係にあるか。次のア～エから１つ選んで記号で答えなさい。
図３
ア y は x に比例する。
イ y は x に反比例する。
ウ y は x が変化しても一定である。
エ y は x の２乗に比例する。

１

秒後

２

問１
３

１
問２

２
３

問３

△

【問 11】図のような，直角三角形 ABC があり，∠ABC＝90°，AB＝4 cm，BC＝8 cm で，点 D は，辺 BC の中点である。
点 P は，線分 BD 上を点 B から点 D まで動く点である。点 P が，２点 B，D と異なる点であるとき，点 P を通り，辺AB に平行な直線をひき，線分 AD との交点を Q とする。また，点 Q を通り，辺 BC に平行な直線をひき，辺 AB との交点を R，辺 AC との交点を S とする。点 P が，２点 B，D と異なる点であるとき，線分 BP の長さを x cm，そのときの△ARS の面積を y cm2 として，次のア～ウの問いに答えよ。
（香川県 2002 年度）
ア x の変域を求めよ。

イ y を x の式で表せ。

ウ △ARS の面積が，台形 PCSQ の面積の9倍になるのは，x の値がいくらのときか。x の値を求める過程も，式と4計算を含めて書け。

アイy＝x の値を求める過程

ウ

答 x の値【問 12】
図１のように，点 O(0，0)，A(8，0)，B(8，3)，C(6，3)を頂点とする台形 OABC がある。点 P は辺 OC，CB 上を点
O から点 B まで動く点である。点 P から辺 OA に垂線をひき，その交点を H とし，線分 PH を１辺とする正方形 PHQR
を，直線 PH について点 O と反対側につくる。このとき，次の問いに答えなさい。
（愛媛県 2002 年度）
１．直線 OC の式を求めよ。

図１

２．点 P の x 座標を t とするとき，台形 OABC を直線 PH で分けたと
きの点 O をふくむ方の図形に，正方形 PHQR をくっつけた図形の面積(図２のをつけた台形の面積)を S とする。ただし，t＝0 の
図２

とき，S ＝0 とする。
(1) 次のそれぞれの場合について，S を t の式で表し，そのグラフをかけ。
ア 0≦t≦6 のとき

イ 6≦t≦8 のとき(2) 面積 S が 12 となるときの t の値を求めよ。

１
ア S＝

(1)
２

(2)

イ S＝

【問 13】
図は，関数 y＝x2 のグラフと，このグラフ上の２点 A，B を通る直線ℓ および y 軸に平行な直線 m を示したものである。直線 m は，放物線，直線ℓ ，x 軸とそれぞれ C，D，E で交わっている。２点 A，B の x 座標はそれぞれ－1，2
で，点 O は原点である。このとき，次の１～４の問いに答えなさい。
（鹿児島県 2002 年度）
１．関数 y＝x2 について，x の値が－1 から 2 まで増加するときの変化の割合を求めよ。

２．直線ℓ の式を求めよ。

３．３点 O，A，B を結んでできる△OAB の内部および周上には，x 座標，
y 座標がともに整数である点は全部で何個あるか。

４．線分 CE 上を C から E に向かって動く点を P とする。いま，C を出発した点 P が，線分 CD 上を毎秒 2 cm，線
分 DE 上を毎秒 1 cm の速さで動いたところ，５秒間で E に到達した。このとき，直線 m の式を x＝t とし，t の値を求めよ。なお，t＞2 とし，t についての方程式と計算過程も書くこと。ただし，座標の１目もりを 1 cm とする。

１
２
３

個
式と計算

４

答

【問 14】
図は１辺の長さが 6 cm の正方形 ABCD である。２点 P，Q はそれぞれ辺上を動く点であり，２点は同時に動き始
め，P は，A を出発して毎秒 1 cm の速さで A→B→C の順に進み D に向かい，Q は，B を出発して毎秒 2 cm の速さで B→C→D→A→D の順に進み C に向かう。そして P，Q が初めて出合ったとき停止するものとする。P，Q が出発してから x 秒後の三角形 APQ の面積を y cm2 とするとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（群馬県 2003 年度）(1) P，Q が出発してから停止するまでの，① x の変域を求めなさい。

② x と y との関係を表すグラフをかきなさい。

(2) y＝9 となるときの x の値を，すべて求めなさい。

(3) P が動き始めてから停止するまでに，三角形 APQ が直角三角形となるときがある。これらの直角三角形のうちで，面積が最小である直角三角形の y の値を求めなさい。

①

(1)
②

(2)
(3)

≦x≦

【問 15】図のように，点 A を通る直線ℓ がある。いま，A を通り，左上から右下へひかれる２つの直線 m，n を考える。m はℓと 45°の角度で交わり，n はℓ と 30°の角度で交わるとして，次の問いに答えなさい。
（富山県 2003 年度）
A を出発し，ℓ 上を右へ動いていく点 P があり，P を通りℓ に垂直な直線と m との交点を Q とする。直線 PQ の右側に，PQ を１辺とする正方形 PQRS をつくる。
① AP＝x cm のときの四角形 AQRS の面積を y cm2 とする。このとき，x と y の関係をグラフに表したい。
x＝0 のとき y＝0 として，0≦x≦4 の範囲でグラフをかきなさい。

② 直線 n と辺 QR との交点を B とする。△SAB の面積が 125 cm2のとき SB を１辺とする正方形の面積を求めなさい。

①

②

cm2

【問 16】
１辺の長さが２の正方形 ABCD がある。２点 P，Q は頂点 A から同時にスタートし，P は B を通り C へ毎秒２の速さ
で，Q は D へ毎秒１の速さで，この正方形の辺上を動く。P と Q はゴムひもで結ばれていて，つねに，ぴんと張られているものとする。また，この正方形の対角線の交点 O には，くぎが出ていて，ゴムひもは越えられない。スタートしてから x 秒後までにゴムひもの通過した部分の面積を y とするとき，次の各問いに答えなさい。ただし，くぎとゴムひもの太さは考えないものとする。
（長野県 2003 年度）［ゴムひもがくぎにかかっていない場合］［ゴムひもがくぎにかかった場合］(1) 0≦x≦1 のとき，y を x の式で表しなさい。

(2) 点 P が頂点 B を通り過ぎてから，ゴムひもがくぎに触れるまでの間の y を x の式で表しなさい。ただし，変域は書
かなくてよい。

(3) ゴムひもがくぎに触れるのは，スタートしてから何秒後か求めなさい。

(4) 0≦x≦2 のとき，x と y の関係をグラフに表しなさい。

(1)

y＝

(2)

y＝

(3)

(4)

秒後

【問 17】
図Ⅰにおいて，ℓ は直線であり，O はℓ 上の点である。P は，O を出発し，ℓ 上を毎秒 0.5 cm の速さで向きを変えることなく移動する点である。Q は，点 P が移動し始めてから１秒後に O を出発し，ℓ 上を毎秒 a cm の速さで点 P と反対の方向に移動する点である。O を基準とし，点 P の移動する方向を正の方向とする。a は 0＜a＜3 をみたす定数であるとして，次の問いに答えなさい。
（大阪府 後期 2003 年度）(1) 点 P が移動し始めてから x 秒後には，点 P は O から何 cm

図Ⅰ

離れた地点にありますか。x≧0 として，x を用いて表しなさい。

(2) a＝2 の場合，点 P が移動し始めてから２秒後の点 Q の位置は－2 cm の地点である。次の表は，a＝2 の場合について，点 P が移動し始めてから x 秒後の点 Q の位置が y cm の地点であるとして，x と y との関係を示した表の一部である。(ア)～(ウ)にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
x

1

2

3

…

（イ）

…

21

…

y

0

－2

(ア)

…

－12

…

(ウ)

…

(3) R を，点 P が移動し始めてから３秒後に O を出発し，ℓ 上を毎秒 3 cm の速さで移動する点とする。点 R は最初負の方向に移動し，点 Q に追いついた後ただちに向きを変え，正の方向に移動するものとする。
① a＝1 の場合を考える。図Ⅱにおいて，m は，点 P が移動し始めてから x 秒後の点 P の位置が y cm の地点であるとし，x≧0 として，x と y との関係を表すグラフである。n は，点 P が移動し始めてから x 秒後の点 Q の
位置が y cm の地点であるとし，x≧1 として，x と y との関係を表すグラフである。
図Ⅱ㋐ 点 P が移動し始めてから x 秒後の点 R の位置が y cm の地点であるとする。点 R が移動し始めてから点 P に追いつくまでの x と y との関係を表すグラフを解答欄の図中にかき加えなさい。

㋑ 点 R が点 P に追いついたときの２点 P，Q 間の距離を求めなさい。

② 点 P が移動し始めてから 10 秒後に点 R は点 P に追いついた。このときの aの値を求めなさい。求め方も書くこと。

(1)

cm
(ア)

(2)

(イ)
(ウ)

㋐
①

㋑

cm

求め方
(3)

②

a＝

【問 18】図のように，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，AB＝4 cm，BC＝6 cm，CD＝5 cmの台形ABCDがある。また，辺
ADの延長線上に点EをAE＝15 cmとなるようにとる。２点P，QはAを同時に出発し，それぞれ毎秒1 cmの速さで，点PはAからB，Cを通ってDまで台形の辺上を，点QはAからDを通ってEまで半直線AE上を動く。また２点P，QがAを出発してからx 秒後の△APQの面積をy cm2とする。ただし，0≦x≦15とする。このとき，次の問１～問４に答えな
さい。
（和歌山県 2003年度）

問１．AD の長さを求めなさい。

問２．点 P が辺 AB 上にあるとき次の(ア)～(ウ)にあてはまる数または x の式を求めなさい。
点 P が辺 AB 上にあるとき，x の変域は 0≦x≦(ア)である。
また，AP＝(イ)，AQ＝(イ) だから △APQ の面積 y は y＝

1
×AQ×AP＝(ウ)2

問３．点 P が辺 BC 上にあるとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) x の変域を求めなさい。

(2) △APQ の面積 y を x の式で表しなさい。

問４．２点 P，Q が A を出発してから 12 秒後の△APQ の面積を求めなさい。

cm

問１
(ア)

(イ)

問２
(1)
問３
(2)
問４

cm2

(ウ)

【問 19】図１のように半直線 OA，OB が垂直に交わっている。さらに半直線 OA，OB 上にそれぞれ点 C，点 E をとり，長方形 OCDE をつくる。２点 P，Q は点 O を同時に出発し，点 P は A に向かって毎秒 3 cm の速さで動き，点 Q は Bに向かって毎秒 1 cm の速さで動く。また，点 R は２点 P，Q が点 O を出発するのと同時に D を出発して，辺 DC 上
を C まで動く。図１は３点 P，Q，R が同時に出発してから x 秒後のようすである。次の問１，問２に答えなさい。
（島根県 2003 年度）
問１．△OPQ について次の１，２に答えなさい。

図１

１．２点 P，Q が点 O を同時に出発してから２秒後の△OPQ の面積を求めなさい。

２．２点 P，Q が点 O を同時に出発してから x 秒後の△OPQ の面積を
y cm2 とするとき，次の(1)～(3)に答えなさい。
(1) y を x の式で表しなさい。

(2) x と y の関係をグラフに表しなさい。

(3) (1)の関数について，x の値が 0 から 2 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

問２．OC＝3 cm，OE＝9 cm で，点 R は毎秒 1 cm の速さで動くとき，次の１，２に答えなさい。
１．点 R が点 C に達するまでの，x 秒後の線分 CR の長さを求めなさい。ただし，0＜x＜9 とする。

２．図２のように，３点 P，Q，R が一直線上に並ぶのは出発してから何秒後か，求めなさい。

図２

cm2

１
(1)

問１
２

(2)

(3)
１

cm

２

秒後

問２

【問 20】
まゆみさんは，三角定規とものさしを動かしていたときに，重なった部分の図形の面積の変化に興味をもち，次のの中のことについて調べることにした。
図１のように，平面上で，AB＝4 cm，BC＝10 cm の長方形 ABCD を固定し，EF＝FG＝10 cm，∠EFG＝90°の直角二等辺三角形 EFG を，直線ℓ にそって矢印()の方向に毎秒 1 cm の速さで動かす。

点 G が点 B の位置にきたときから x 秒後の，直角二等辺三角形 EFG と長方形 ABCD の重なった部分の図形の面積を y cm2 とする。下の図２は，動かしている途中のようすを表しており，斜線部分が，直角二等辺三角形 EFG と長方形 ABCD の重なった部分の図形を示している。
点 G が点 B から点 C まで動くときの，x と y の関係について調べる。
図１

図２

上の

の中の x と y の関係について，次の(1)，(3)はの中にあてはまる最も簡単な数，または式を記入し，(2)はグラフをかけ。
（福岡県 2003 年度）(1) x＝3 のとき，y＝である。

(2) x の変域が 0≦x≦4 のとき，x と y の関係を表すグラフを右の図にかけ。

(3) xの変域が4≦x≦10のとき，yをxの式で表すと，y＝る。

(4≦x≦10)であ【問 21】
図１のように，直線ℓ 上に２点 A，B があり，AB＝50 cm である。点 P は，直線ℓ 上を左から右へ動く点であり，点A を出発してから 10 秒後に点 B を通過し，その後は毎秒 10 cm の速さで動く。点 P が点 A を出発してから x 秒間に進む距離を y cm とすると，0≦x≦10 のとき，y は x の２乗に比例し，x と y の関係は y＝ax2 で表される。
また，x≧10 のときは，y は x の１次関数である。このような点 P の動きを示すグラフは図２のようになった。このとき，
次の問いに答えなさい。
（長崎県 2003 年度）
図１

問１．a の値を求めよ。

図２

問２．x≧10 のとき，y を x の式で表せ。

問３．点 Q は，直線ℓ 上を左から右へ動く点であり，点 A から点 B までは毎秒 b cmの一定の速さで動き，点 B から先は毎秒 4 cm の速さで動く。点 Q は，点 P が
点 A を出発してから３秒後に点 A を出発し，その１秒後に点 P に追いつき，点B を通り過ぎた後に点 P に追いつかれた。このとき次の(1)，(2)に答えよ。
(1) b の値を求めよ。

(2) 点 Q が点 P に追いつかれたのは，点 A から何 cm 進んだ位置か。

問１

a＝

問２

y＝
(1)

b＝

問３
(2)

cm

【問 22】
図１は，直角をはさむ２辺の長さがそれぞれ 4 cm の△ABC と，直角をはさむ２辺の長さがそれぞれ 8 cm の△DEF を示したものである。頂点 B，C，F，E は直線ℓ 上にあり，頂点 C，F は重なっている。図１の状態から，△DEFを固定し，△ABC を直線ℓ にそって矢印()の方向に毎秒 1 cm の速さで頂点 C が頂点 E に重なるまで移動させる。図２はその途中のようすを表したものである。△ABC を移動させ始めてから，x 秒後の△ABC と△DEF の重なった部分の面積を y cm2 とする。このとき，次の１～４の問いに答えなさい。
（鹿児島県 2003 年度）
１．頂点 B が頂点 F に重なるのは△ABC を移動させ始めてから何秒後か。

図１

２．x＝2 のときの y の値を求めよ。
３．x の変域が 0≦x≦4 のとき，y を x の式で表せ。また，このときの x と y の関係を表すグラフをかけ。
図２
４．x の変域が 4＜x≦8 のとき，y＝7 となる x の値を求めよ。なお，x についての方程式と計算過程も書くこと。

１

秒後

２
式

y＝

３

式と計算

４

答

【問 23】
図１のように，平面上の点 O で垂直に交わる２本の直線ℓ ，m と，縦 3 cm，横 7 cm の長方形 A，縦 4 cm，横 2
cm の長方形 B がある。いま，図１の状態から，A はℓ に沿って右に，B は m に沿って上に，それぞれ毎秒 1 cm の速さで同時に動き始め，図２のような状態を経て，A，B が図３の状態になるまで移動する。動き始めてから x 秒後に Aと B が重なった部分の面積を y cm2 とする。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（福島県 2005 年度）(1) 0≦x≦2 のとき y を x の式で表しなさい。

(2) 動き始めてから図３の状態になるまでの間で，y の値が一定であるような x の変域を求めなさい。

(3) 動き始めてから図３の状態になるまでの x と y の関係を表すグ
ラフをかきなさい。

(1)
(2)

(3)

y＝

【問 24】図のような，AB＝8 cm，BC＝4 cmの長方形ABCDがあり，２点M，Nはそれぞれ辺AB，CDの中点である。
点 P は A を出発し，正方形 ADNM の辺上を A→D→N→M→A の順に毎秒 1 cm の速さで進み，A に着いたら停止する。また，点 Q は点 P が出発すると同時に A を出発し，長方形 ABCD の辺上を A→M→B→C→N の順に毎秒 1 cm の速さで進み，N に着いたら停止する。このとき，次の１，２の問いに答えなさい。
（栃木県 2005 年度）
１．３点 A，P，Q をそれぞれ直線で結び，その直線で囲まれた図
形を T とする。２点 P，Q が A を出発してから x 秒後の図形 Tの面積を y cm2 として，次の(1)，(2)，(3)の問いに答えなさい。

4 cm(1) 点 P が A を出発してから２秒後の図形 T の面積を求めな
さい。

(2) 点 P が A を出発してから N に着くまでの x と y の関係を表すグラフをかきなさい。

(3) 点 P が辺 MA 上にあり，図形 T の面積が 5 cm2 になるのは，点 P が A を出発してから何秒後か。ただし，途中の計算も書くこと。

２．点 P が A を出発してから A にもどるまでの間で，３点 A，P，Q が一直線上に並ぶのは点 P が A を出発してから
何秒後か。

(1)

cm2

(2)

１
途中の計算

(3)

答
２

秒後

秒後

【問 25】図のように，１辺の長さが 3 cm の正方形 ABCD がある。点 P は頂点 A を出発し，毎秒 1cm の速さで辺 AB 上を
頂点 B の方向に移動し，頂点 B に到達したら，同じ速さで辺 BA 上を移動し，頂点 A までもどる。また，点 Q は点 Pと同時に頂点 A を出発し，点 P と同じ速さで辺 AD，DC 上を通って頂点 C まで移動する。このとき，２点 P，Q は途
中止まることなく移動するものとする。点 P，Q が頂点 A を出発してから x 秒後の３点 A，P，Q を結んでできる△APQの面積を y cm2 とするとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。ただし，点 P が頂点 A にあるときは y＝0 とする。
（新潟県 2005 年度）(1) 次の①，②について，y を x の式で表しなさい。
① 0≦x≦3 のとき② 3≦x≦6 のとき(2) 0≦x≦6 のときの x と y の関係を表すグラフをかきなさい。

(3) 点 P，Q が頂点 A を出発してから６秒後までの間で，△APQ の面積が 2 cm2 以上になるのは何秒間か求めなさ
い。

①
(1)
②

(2)

(3)

秒間

【問 26】
図で，∠XOY＝60°，半直線 OZ は∠XOY の二等分線である。点 A，B，C は，点 O を同時に出発して，それぞれ OX，OY，OZ 上を動く点である。このとき，次の問いに答えなさい。
（富山県 2005 年度）(1) 点 A，B，C がそれぞれ毎秒 1cm で動くとき，① 線分 AB と OC が垂直であることを説明しなさい。

② 点 A，O，B，C を結んで四角形をつくる。四角形 AOBC の各辺の中点を結んでできる四角形は，どのような四角形になるか，下のア～エの中から最も適切なものを選び，その記号を書きなさい。
ア 正方形

イ ひし形

ウ 長方形

エ 平行四辺形③ x 秒後の四角形 AOBC の面積を y cm2 とするとき x と y の関係をグラフにかきなさい。
(2) 点 A が毎秒 1cm，B が毎秒 2cm，C が毎秒 3cm で動いている。また，点 D は，
A，B，C と同時に O を出発し，OY 上を，四角形 AOBC の面積と△AOD の面積が等しくなるように，一定の速さで動いている。このとき，D の速さは毎秒何 cm か求めなさい。

①

②

(1)

③

(2)

毎秒

cm

【問 27】図のような，１辺が 4 cm の正方形 ABCD があり，辺 AD の中点を M とする。点 P は，A を出発して A→B→C→
B→A の順に AC 間を何回も往復する。また，点 Q は最初 M の位置にあり，P が出発した２秒後に M を出発して Dまで動き，D で２秒間停止したあと M に戻る。M で２秒間停止したあと，再び M を出発し，同じ動きをくり返しながらMD 上を何回も往復する。ただし，点 P，Q の動く速さは毎秒 1 cm とする。点 P が A を出発してから x 秒後の△APQの面積を y cm2 とするとき，次の問いに答えよ。
（福井県 2005 年度）(1) 点 P が A を出発してから３秒後の△APQ の面積を求めよ。

(2) 次の各場合について，y を表す式をつくれ。
ア 0≦x≦2 のとき

イ 2≦x≦4 のとき

ウ 4≦x≦6 のとき

エ 6≦x≦8 のとき(3) (2)で求めたア～エの各場合について，x と y の関係をグラフに表せ。

(4) 点 P が A を出発してから 50 秒後の△APQ の面積を求めよ。また，求め方を説明せよ。

(1)

cm2
ア

y＝

イ

y＝

ウ

y＝

エ

y＝

⑵

(3)

△APQ の面積
説明

(4)

cm2

【問 28】図のように，AB＝8cm，AD＝18cmの長方形ABCDがあり，点Eは辺ABの中点である。また，２点P，Qは同時に出発し，次の条件（ア），（イ）で動く。このとき，下の各問いに答えなさい。ただし，辺AD，BC上の１目もりは1cmとする。
（長野県 2005年度）(ア) 点 P は，点 A を出発し，毎秒 2cm の速さで辺 AD 上を動き，点 D に到着した後は動かない。
(イ) 点 Q は，点 C を出発し，毎秒 3cm の速さで辺 CB 上を動き，点 B に到着した後は動かない。

(1) 出発してから２秒後の点 P，Q の位置を示し，△PEQ を図にかきなさい。（P，Q の記号も書き入れなさい。）また，そのときの△PEQ の面積を求めなさい。

(2) 出発してから x 秒後の△PEQ の面積を y cm2 とする。
① 0≦x≦6 のとき，y を x の式で表しなさい。

② 0≦x≦9 のとき，x と y の関係を表すグラフをかきなさい。

(3) △PEQ が EP＝EQ の二等辺三角形になるとき，その面積を求めなさい。

図

(1)

面積
①

cm2

y＝

(2)
②

(3)

cm2

【問 29】図１のように，BC＝8cm，∠C＝∠D＝90°の台形 ABCD がある。点 P は D を出発して，毎秒 1cm の速さで，台形の辺上を A，B を通って C まで動く。点 P が D を出発してから x 秒後の△CDP の面積を y cm2 とする。点 Pが D を出発して５秒後に A を通過した。図２は，点 P が D を出発してから５秒間の x と y の関係を表すグラフである。次の問いに答えなさい。
（兵庫県 2005 年度）(1) 辺 CD の長さを求めなさい。

(2) 点 P が辺 AB，BC 上を動くとき，x と y の関係を表すグラフを解答欄にかきなさい。

(3) △CDP の面積が，台形 ABCD の面積の1になるのは，点 P が D
2を出発してから何秒後か，すべて求めなさい。

(1)

cm

(2)

(3)

秒後

【問 30】
図で，点 O は原点，２点 A，B の座標は，それぞれ（6，0），（9，2）である。また，点 P は y 軸上を動く点で，そのy 座標は正の数である。線分 AB，AP を２辺とする平行四辺形 ABQP をつくるとき，各問いに答えよ。
（奈良県 2005 年度）(1) 点 P の座標が（0，8）のとき，次の①，②の問いに答えよ。
① 線分 BP の長さを求めよ。

② ２点 B，Q を通る直線の式を求めよ。

(2) 四角形 OABP の面積と平行四辺形 ABQP の面積が等しくなるとき，点 P の y 座標を求めよ。

①
(1)
②
(2)

【問 31】
AB＝AC である二等辺三角形 ABC の底辺 BC の中点を M とし，BM＝CM＝4cm，AM＝2cm とする。点 P は線分 BM，MA 上を B から A まで動き，点 Q は辺 BC 上を C から B まで動く。２点 P，Q はそれぞれ B，C を同時に出発して，ともに毎秒 1cm の速さで動くものとする。図１～図３は２点 P，Q が出発してから x 秒後のようすである。
次の問１～問３に答えなさい。
（島根県 2005 年度）
問１．0≦x≦4 のとき，点 P は線分 BM 上にある。図１のように，BP⊥PR となるよう辺 AB 上に点 R をとり，△BPRの面積を y cm2 とする。次の１～３に答えなさい。
１．点 P が B を出発してから２秒後の y の値を求めな
さい。

２．y を x の式で表しなさい。

３．x の変域を 0≦x≦4 とするとき，x と y の関係をグラフに表しなさい。

問２．4≦x≦6 のとき，点 P は線分 AM 上にある。図２で，△ABP の面積を y cm2 とするとき，次の１，２に答えなさい。
１．線分 PM の長さを x を用いて表しなさい。

２．y を x の式で表しなさい。

問３．4≦x≦6 のとき，図３のように，BQ⊥QS となるよう辺AB 上に点 S をとる。△ABP の面積の２倍が△BQS の
面積と等しくなるときの x の値を求めなさい。

１
２

問１
３

１
問２
２
問３

cm

【問 32】
図の△ABC は，AB＝BC＝6 cm の直角二等辺三角形である。点 P は A を出発し，毎秒 3 cm の速さで辺 AB，BC 上を C まで動き，C に到着したら停止する。また，点 Q は点 P と同時に B を出発し，毎秒 2 cm の速さで辺 BC
上を C まで動き，C に到着したら停止する。２点 P，Q が出発してから x 秒後の△APQ の面積を y cm2 とするとき，
次の１～４の問いに答えなさい。
（鹿児島県 2005 年度）
１．２秒後の PQ の長さは何 cm か。

２．x の変域が 0≦x≦2 のとき，y を x の式で表せ。

３．下の表は，x と y の対応を表している。ア，イにあてはまる数を求めよ。また，x の変域が 0≦x≦4 のとき，x と y の関係を表すグラフをかけ。
x

0

2

3

4

y

0

ア

イ

0

1

４．２点 P，Q が出発してから t 秒後に△APQ の面積が△ABC の面積の 3 になった。
このとき t の値をすべて求めよ。

cm

１
２

y＝
ア

３

４

t＝

イ

【問 33】図のように，AB＝8 cm，BC＝16 cm の長方形 ABCD がある。辺 AD の中点を M とし，点 M から辺 BC に垂線
をひき，辺 BC との交点を N とする。2 点 P，Q は点 M を同時に出発し，点 P は線分 MN，NB 上を秒速 2 cm で点
B まで動き，点 Q は線分 MD 上を秒速 1 cm で点 D まで動く。このとき，次の１，２の問いに答えなさい。

（茨城県 2007 年度）
問１．線分 PQ の長さが 3 5 cm となるのは，出発してから何秒後か求めなさい。

問２．点 P が線分 NB 上にあるとき，△ABP の面積と△MPQ の面積の比が 1：2 になるのは，出発してから何秒後か求めなさい。

問１

秒後

問２

秒後

【問 34】図のように，AB＝6cm，AC＝4cm，∠CAB＝90°の直角三角形 ABC がある。点 P，Q は頂点 A を同時に出発
し，P は AB 上を，Q は AC 上を，ともに毎秒 1cm の速さで，それぞれ矢印の向きに動き，点 P，Q は，それぞれ頂点 B，C に到着したら止まるものとする。点 P，Q が頂点 A を出発してから x 秒後の 3 点 A，P，Q を結んでできる△APQ の面積を y cm2 とするとき，次の１～３の問いに答えなさい。ただし，点 P，Q が頂点 A にあるときは y＝0 とする。
（新潟県 2007 年度）
問１．3 秒後の△APQ の面積を答えなさい。

問２．次の(1)，(2)について，y を x の式で表しなさい。
(1) 0≦x≦4 のとき(2) 4≦x≦6 のとき

問３．0≦x≦6 のとき，x と y の関係を表すグラフをかきなさい。

cm2

問１
(1)
問２
(2)

問３

【問 35】図のように，AB＝2cm，BC＝5cm，CD＝5cm，DA＝4cm，∠A＝∠D＝90°の四角形 ABCD がある。点 P
は，四角形 ABCD の辺上を点 A から B，C を通って D まで動く。点 P が点 A から x cm 動いたときの△APD の面
積を y cm2 とするとき，次の問に答えなさい。
（富山県 2007 年度）
問１．点 P が辺 AB 上を動くとき，y を x の式で表しなさい。

問２．点 P が四角形 ABCD の辺上を点 A から B，C を通って D まで動くときの，△APD の面積の変化のようすを表すグラフをかきなさい。

問３．△APD の面積が四角形 ABCD の面積の1になるときの x の値をすべて求めなさい。
2

問１

問２

問３

y＝

【問 36】
図 1 のような台形 ABCD があり，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝6cm である。点 P は辺 AB 上を動く点で，A を出発し毎秒 1 cm の速さで B まで進み，同じ速さで A にもどってくる。点 Q は辺 AD 上を動く点で，点 P と同時に A を出発し毎秒 1 cm の速さで D まで進み，D で止まる。下の各問いに答えなさい。
（長野県 2007 年度）
問１．点 P が A を出発してから 4 秒後の△APQ の面積を求めなさい。
問２．点 P が A を出発してから x 秒後の△APQ の面積を y cm2 とする。
(1) 0≦x≦6 のとき，y を x の式で表しなさい。
(2) 6≦x≦12 のとき，y を x の式で表しなさい。
(3) 0≦x≦12 のとき，x と y の関係を表すグラフをかきなさい。
(4) 図 2 は，点 P が A を出発してからの時間と△PBC の面積の関係を表したグラフである。
① BC の長さを求めなさい。

② 6≦x≦12 のとき，△PBC と△APQ の面積が等しくなる x の値を求
めなさい。

cm2

問１

問２

(1)

y＝

(2)

y＝

(3)

cm

①
(4)
②

x＝

【問 37】図のように，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝5 cm，CD＝4 cm，DA＝1 cm の台形 ABCD がある。いま，点 P
は台形 ABCD の辺上を，点 B から出発して毎秒 1 cm の速さで点 C を通って点 D まで進むものとする。点 P が点
B を出発してから x 秒後の△PAB の面積を y cm2 とする。このとき，次の問い１・２に答えよ。
（京都府 2007 年度）
問１．BC の長さを求めよ。また，点 P が辺 CD 上にあるとき，y を x の式で表せ。

問２．点 P が点 B を出発して点 D に着くまでの x と y の関係を表すグラフを答案用紙の図にかけ。ただし，点 P が点 B にあるときは，y＝0 とする。

問１

問２

BC＝

cm

y＝

【問 38】
図 1 のように，AB＝4 cm，BC＝12 cm の長方形 ABCD がある。2 点 P，Q はそれぞれ点 A，C を同時に出発し，
P は AD 上を毎秒 2 cm の速さで，Q は CB 上を毎秒 1 cm の速さで往復するものとする。図 2 は，P が A を出発して x 秒後の A からの距離を y cm として，x の変域が 0≦x≦24 の範囲における x，y の関係を表すグラフをかいたものである。図 3 は，図 2 に，Q が C を出発して x 秒後の B からの距離を y cm として，x，y の関係を表すグラフをかき入れたものである。x の変域を 0≦x≦24 として，次の問１～問４に答えなさい。
（和歌山県 2007 年度）
問１．P，Q が出発してから 2 秒後の線分 PQ の長さを求めなさい。

問２．PQ が AB と重なるのは，P，Q が出発してから何秒後か，求めなさい。

問３．P，Q が出発してから，四角形 ABQP の面積と四角形 PQCD の面積の比がはじめて 5：3 になるとき，線分 AP の長さと線分 BQ の長さの比を求め，最も簡単な整数の比で表しなさい。

問４．図 3 から，PQ∥AB ( PQ と AB が重なるときを含まない。) となる回数が読みとれる。Q の速さを変えることで，PQ∥AB となる回数を 3 回にしたい。Q の速さを毎秒何 cm にすればよいか，1 つ答えなさい。

問１

PQ＝

cm

問２
問３
問４

秒後
AP：BQ＝：

Q の速さを毎秒 () cm にする【問 39】図において，三角形 ABC は l 辺の長さが 12 cm の正三角形であり，2 点 P，Q は，それぞれ辺上を動く点である。
点 P は，A を出発して，B，C を適って A まで毎秒 6 cm の速さで動く。点 Q は，点 P が A を出発するのと同時に Bを出発して，C を通って A まで毎秒 4 cm の速さで動く。2 点 P，Q が出発してからの時間を x 秒とするとき，次の１～３の問いに答えなさい。
（高知県 2007 年度）
問１．0＜x＜2 のとき，線分 PB の長さを，x の式で表せ。

問２．x＝1 のとき，三角形 ABC の面積は，三角形 PBQ の面積の何倍か。

問３．0＜x＜6 のとき，線分 PQ が辺 AB に平行となる x の値を求めよ。

問１

cm

問２

倍

問３

x＝

【問 40】
図 1 において，放物線①は原点を頂点とし，点 A( －2，1)を通るグラフである。また，点 B は放物線①上の，x 座標
が 4 となる点であり，直線②は 2 点 A，B を通るグラフである。このとき，次の問いに答えなさい。
（愛媛県 2007 年度）
問１．放物線①，直線②の式を，それぞれ求めよ。

問２．放物線①と直線②で囲まれた図形の周上にあって，x 座標，y 座標がともに整数である点の個数を求めよ。

問３．図 2 のように x 軸上を動く点を P とし，その x 座標を t とする。t の変域が－2≦t≦4 のとき，△ABP の面積をS として，S を t の式で表し，そのグラフをかけ。

放物線①
問１
直 線②
問２
式

問３

S＝

【問 41】
図 1 のように長方形 ABCD があり，AB＝8 cm，BC＝3 cm である。ここで，2 点 P，Q が点 A を同時に出発し，次の規則にしたがって動く。

規則・点 P は点 A を出発し，毎秒 1 cm の速さで辺 AD，DC 上を点 C まで動き，点 C に到達したあとは動かないものとする。
・点 Q は点 A を出発し，毎秒 2 cm の速さで辺 AB 上を点 B まで動き，点 B に到達したあと 3 秒間だけ停止する。その後，点 B を出発し，毎秒 2cm の速さで辺 AB 上を点 A まで動き，点 A に到達したあとは動かないものとする。
2 点 P，Q が点 A を同時に出発してから x 秒後の三角形 APQ の面積を y cm2 とする。このとき，次の問いに答えな
さい。ただし，x＝0 のとき y＝0 とする。
（長崎県 2007 年度）
問１．x＝2 のとき，y の値を求めよ。

問２．点 P が点 A から点 D まで動くときの x と y の関係を表すグラフを解答用紙の図 2 にかけ。

問３．点 P が点 D から点 C まで動くときの x と y の関係を表すグラフは図 3 のようになり，このグラフは，x の値の範囲が a≦x≦b のときだけ x 軸と平行になっている。このとき，a，b の値をそれぞれ求めよ。

問４．点 Q が点 B から点 A まで動くとき，y を x の式で表せ。

問５．三角形 APQ の面積が 7cm2 となるときの x の値をすべて求めよ。

問１

y＝

問２

問３

a＝

問４

y＝

問５

，b＝

【問 42】
図は，点 A を通る関数 y＝ax2…①のグラフと，点 B を通る関数 y＝－

1 2
x …②のグラフを示したものである。
3

点 A の座標は(3，9)，点 B の x 座標は－3，点 O は原点である。このとき，次の１～３の問いに答えなさい。
（鹿児島県 2007 年度）
問１．a の値を求めよ。

問２．関数②について，x の変域が－6≦x≦2 のとき，y の変域を求めよ。

問３．点 A を通り，直線 OB に平行な直線をℓとする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。
(1) 直線ℓの式を求めよ。

(2) 点 P は x 軸上を動く。P の x 座標を t とし，t＞3 とする。P を通り，y 軸に平行な直線が，関数①のグラフ，
直線ℓ ，関数②のグラフと交わる点をそれぞれ Q，R，S とする。このとき，QR＝RS となるような t の値を求めよ。ただし，t についての方程式と計算過程も書くこと。

問１

a＝

問２
(1)
方程式と計算過程

問３
(2)

答 t＝

【問 43】図のように，関数 y＝x2 のグラフと直線ℓ が 2 点 A，B で交わっていて，A の x 座標は 1，B の x 座標は 3 です。
このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（岩手県 2008 年度）
問１．B の y 座標を求めなさい。

問２．直線ℓ の式を求めなさい。

問３．関数 y＝x2 のグラフ上を動く点 P と，直線ℓ 上を動く点 Qがあります。P と Q の x 座標が等しく，PQ＝8 であるとき，
P の x 座標を求めなさい。

問１
問２
問３

【問 44】
図Ⅰのような，AB＝3 cm，BC＝4 cm の長方形 ABCD があります。点 P は A を出発し，毎秒 1 cm の速さで，辺 AB 上を A から B に，辺 BC 上を B から C に，辺 CD 上を C から D に向かって動きます。点 P はそれぞれの辺上をもどることなく動き，D に着いたときに止まります。このときの点 P と辺 AD との距離を，点 P の高さとします。ただし，点 P が A，D 上にあるときは，点 P の高さを 0 cm とします。図Ⅱは，点 P が A を出発してから D に着くまでの，
時間と点 P の高さとの関係を表したグラフです。あとの問１～問３に答えなさい。
（宮城県 2008 年度）
問１．点 P が A を出発してから 8 秒後の点 P の高さは何cm ですか。

問２．点 P が A を出発してから x 秒後の点 P の高さを y
cm とします。点 P が辺 CD 上を動くとき，y を x の式で表しなさい。

問３．図Ⅲは，図Ⅰにおいて，対角線 AC と DB をひいたものです。点 Q は A を出発し，毎秒 1 cm の速さ
で，対角線 AC 上を A から C に，辺 CD 上を C から D に，対角線 DB 上を D から B に向かって動きます。点 Q はそれぞれの対角線と辺上をもどることなく動き，B に着いたときに止まります。このときの点 Q と辺 AD との距離を，点 Q の高さとします。ただし，点 Q が A，D 上にあるときは，点 Q の高さを0 cm とします。2 つの点 P，Q が A を同時に出発するとき，あとの(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1) 点 Q が対角線 AC 上を動くとき，点 Q の高さ
は 1 秒間に何 cm ずつ増えますか。

(2) 点 Q が A を出発してから B に着くまでの，時間と点 Q の高さとの関係を表すグラフを，解答用紙の図にかき入れなさい。

(3) 点 Q が対角線 DB 上を動くとき，2 つの点 P，Q が同時に同じ高さになるのは，2 つの点 P，Q が A を出発してから何秒後ですか。

cm

問１
問２
(1)

問３

cm

(2)

(3)

秒後

【問 45】図のように，AB＝8 cm，BC＝6 cm，∠B＝90°の直角三角形 ABC がある。点 P は頂点 A を出発し，辺 AC，
CB，BA 上を秒速 3 cm で動いて頂点 A まで戻る。また，点 Q は頂点 A を出発し，辺 AB 上を秒速 1 cm で頂点 Bまで動く。2 点 P，Q は頂点 A を同時に出発する。このとき，次の問１，問２に答えなさい。
（茨城県 2008 年度）
問１．2 点 P，Q が出会うのは，出発してから何秒後か求めなさい。

問２．辺 AC と線分 QP が平行になるのは，出発してから何秒後か求めなさい。

問１

秒後

問２

秒後

【問 46】図の直方体 ABCD－EFGH は，AB＝AD＝3 cm，AE＝6 cm である。2 点 P，Q は同時に H を出発し，P は毎秒 1 cm の速さで辺上を H→D→A→B の順に動き，Q は毎秒 1 cm の速さで辺上を H→G→C→B の順に動き，P，Q は同時に B で停止する。P，Q が出発してから x 秒後の四面体 EHPQ の体積を y cm3 とするとき，次の問１～問３に答えなさい。
（群馬県 2008 年度）
問１．0＜x≦3 のとき，y を x の式で表しなさい。また，x＝5 のときの y の値を求めなさい。

問２．P，Q が出発してから停止するまでの間で，x の値が変化しても，y の値が一定となる場合がある。次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) y の値が一定となる x の値の範囲を求めなさい。

(2) y の値が一定となる理由を，P，Q の位置に着目して説明しなさい。

問３．x＝10 のときの y の値を求めなさい。

問１

0＜x≦3 のとき y＝
(1)

≦x≦
説明

問２
(2)

問３

x＝5 のとき y＝【問 47】図で，曲線は関数 y＝x2 のグラフです。曲線上の点 A(－2，4)を通り，
傾きが－1，1 の直線と曲線との交点をそれぞれ B，C とします。点 P，Q
は点 A を同時に出発して，点 P は線分 AB 上を，点 Q は線分 AC 上を，それぞれ一定の速さで進み，点 P は点 B に，点 Q は点 C に同時に到着しました。このとき，次の各問に答えなさい。
（埼玉県 2008 年度）
問１．点 P が y 軸上にきたとき，点 Q の座標を求めなさい。

問２．点 P， Q がそれぞれ点 B， C に同時に到着した後，点 P， Q は線分 BC 上をそれぞれの速さを変えずに進み，線分 BC 上の点 R
で出会いました。このとき，△ABR の面積を求めなさい。ただし，座標軸の単位の長さを 1 cm とします。

問１
問２

cm2

【問 48】図のように関数 y＝ax2 と関数 y＝

1 2
x のグラフがあり，x 軸上を動く 2 点 P，Q がある。点 P と点 Q は原点 O を
2

同時に出発して，点 P は正の方向に毎秒 2 cm，点 Q は負の方向に毎秒 1 cm の速さで動く。点 P を通り y 軸に平行な直線と y＝ax2 のグラフとの交点を A とし，点 Q を通り y 軸に平行な直線と y＝

1 2
x のグラフとの交点を B とす
2る。点 P，Q が原点 O を出発して 2 秒後に，点 A の y 座標が 2 になった。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
ただし，原点 O から点 (1，0) までの距離及び原点 O から点 (0，1) までの距離をそれぞれ 1 cm とする。
（千葉県 2008 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．点 P，Q が原点 O を出発して 4 秒後の線分 AB の長さを求めなさい。

問３．4 点 A，B，Q，P を結んで四角形を作る。点 P，Q が原点 O を出発して 4 秒後にできる四角形を S とするとき，4 秒後よりあとにできる四角形が，四角形 S と相似になるのは，点 P，Q が原点 Oを出発して何秒後か求めなさい。

問１

a＝

問２

cm

問３

秒後

【問 49】図 1 のように，AB＝6 cm の長方形 ABCD と，∠RPQ＝90°の直角三角形 PQR がある。4 つの頂点 A，B，P，
Q は直線ℓ上にあり，2 つの頂点 A，Q は重なっている。図 2 のように，直角三角形 PQR を，直線ℓに沿って，頂点 Q
が頂点 B に重なるまで，矢印の向きに移動させる。2 点 A，Q の距離を x cm としたとき，長方形 ABCD と直角三角
形 PQR の重なっている部分の面積を y cm2 とする。このとき，次の問１，問２に答えなさい。ただし，頂点 A と頂点 Qが重なっているときは y＝0 とする。
（新潟県 2008 年度）

問１．図 1 において，BC＝4 cm，PQ＝6 cm，PR＝6 cm とするとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1) x＝2，x＝5 のときの y の値を，それぞれ答えなさい。

(2) 次の①，②について， y を x の式で表しなさい。
① 0≦x≦4 のとき② 4≦x≦6 のとき(3) 0≦x≦6 のとき， x と y の関係を表すグラフをかきなさい。

問２．図 1 で，辺 BC，PQ，PR の長さを問１の場合と変えた長方形 ABCD と直角三角形 PQR を，図 2 のように移動させる。グラフは，このときの x と y の関係を表したものである。このグラフは，0≦x≦3 では放物線，3≦x≦5 では直線，5≦x≦6 では x 軸に平行な直線になっている。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) 辺 BC の長さを求めなさい。

(2) 直角三角形 PQR の面積を求めなさい。

(1)

問１

x＝2 のとき y＝
①

y＝

②

y＝

，x＝5 のとき y＝

(2)

(3)
(1)

cm

(2)

cm2

問２

【問 50】
図 5 の立体は，AB＝AD＝6 cm，AE＝10 cm の直方体である。このとき，次の問いに答えなさい。
（静岡県 2008 年度）
2 点 P，Q はそれぞれ頂点 A，G を同時に出発し，点 P は毎秒 1 cm の速さ
で辺 AB 上を，点 Q は毎秒 2 cm の速さで辺 GH 上を，くり返し往復する。
図 6 のグラフは，点 P が頂点 A を出発してから x 秒後の，点 P と平面 AEHDとの距離を y cm として，点 P が AB 間を 1 往復する間の，x と y の関係を表したものである。
(1) 点 Q が頂点 G を出発してから x 秒後の，点 Q と平面 AEHD との距離をy cm として，x と y の関係を表すグラフを，図 6 にかきなさい。ただし，xの変域を 0≦x≦12 とする。

(2) 2 点 P，Q がそれぞれ頂点 A，G を同時に出発した後，線分 PQ が平面
AEHD と 5 回目に平行になるのは，2 点 P，Q が出発してから何秒後か，答えなさい。

(1)

(2)

秒後

【問 51】
エスカレーターをモデルにした問題である。図Ⅰ，図Ⅱにおいて，四角形 ABCD は AB＝2000cm，AD＝1000cm の長方形である。E は辺 AD の中点であり，F は辺 BC の中点である。E と F とを結ぶ。P は，A を出発しB に向かって辺 AB 上を毎秒 30 cm の速さで移動する点である。Q は，F を出発し E に向かって線分 FE 上を毎秒30 cm の速さで移動する点である。R は，C を出発し D に向かって辺 CD 上を毎秒 40 cm の速さで移動する点である。3 点 P，Q，R は，それぞれ A，F，C を同時に出発する。3 点 P，Q，R がそれぞれ A，F，C を同時に出発してから x 秒後の 3 点 P，Q，R の位置について考える。ただし，0≦x≦50 とする。次の問いに答えなさい。
（大阪府 前期 2008 年度）
問１．図Ⅰにおいて，P が A を出発してから x 秒後の線分 BP の長さを y cm とする。
(1) 次の表は，x と y との関係を示した表の一部である。表中の(ア)，(イ)にあてはまる
数を書きなさい。
x

…

2

…

4

…

(イ)

…

y

…

1940

…

(ア)

…

1730

…

(2) 0≦x≦50 のときの x と y との関係を表すグラフを解答欄の図中にかきなさい。

問２．P と R とを結んでできる線分 PR が辺 BC と平行になるときの x の値を求めなさい。求め方も書くこと。

問３．図Ⅱは，3 点 P，Q，R が一直線上に並んだ状態を示している。3 点 P，Q，R が一直線上に並ぶときの x の値を求めなさい。

(1)

(ア)

(イ)

問１
(2)

求め方

問２

x の値
問３

【問 52】図のように，1 辺 6 cm の正方形 ABCD があり，点 P が正方形の辺上を(ア)，(イ)のように動くものとする。

(ア) 点 P は，頂点 A を出発してから，頂点 D，C を通り，頂点 B まで移動する。
(イ) 点 P は，辺 AD 上では毎秒 3 cm，辺 DC 上では毎秒 2 cm，辺 CB
上では毎秒 1 cm の速さで移動する。
点 P が頂点 A を出発してから x 秒後の△APB の面積を y cm2 とするとき，次の各問いに答えなさい。
（鳥取県 2008 年度）
問１．x，y の関係を表すと次のようになる。次の ① ～ ⑤ にあてはまる数または式を答えなさい。
0≦x≦2 のとき，y＝

③

2≦x≦

①

のとき，y＝

①

≦x≦

②

④

のとき，y＝⑤

問２．△APB が二等辺三角形となるときの，x の値をすべて求めなさい。

問３．y＝12 となるときの，x の値をすべて求めなさい。

①
②
問１

③

y＝

④

y＝

⑤

y＝

問２

x＝

問３

x＝

【問 53】
図 1 のように，AB＝2 cm，AD＝9 cm の長方形 ABCD と，EF＝GF＝9 cm の直角二等辺三角形 EFG がある。辺 AB と辺 EF は，ともに直線ℓ 上にあり，点 A と点 E は重なっている。図 1 の状態から，
長方形 ABCD を固定して，△EFG を，直線ℓ にそって，矢印の向きに点 F が点 B に重なるまで移動させる。
図 2 は，移動の途中の状態を示したものである。点 E が点 A と，点F が点 B と，それぞれ異なる点であるとき，辺 EG と辺 AD，辺 BC との交点をそれぞれ P，Q とする。点 E が点 A と，点 F が点 B と，それぞれ異なる点であるとき，EA＝x cm として，次の(1)～(3)の問いに答えよ。
（香川県 2008 年度）(1) x の変域を求めよ。
(2) 線分 BQ の長さは何 cm か。x を使った式で表せ。

(3) △EAP の面積と台形 CDPQ の面積が等しくなるのは，x の値がいくらのときか。x の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

(1)
(2)

cm
x の値を求める過程(3)

答 x の値【問 54】
図 1 のように，AB＝4 cm，AD＝12 cm の長方形 ABCD があり，点 P，点 Q は頂点 A を同時に出発し，点 P は毎秒 1 cm の速さで，点 Q は毎秒

1cm の速さで，長方形 ABCD の辺上を動く。点 P は，頂点 A を出発して，
4

頂点 D，頂点 C を通り，頂点 B へ向かって動く。点 Q は，頂点 A を出発して，頂点 B を通り，頂点 C へ向かって動く。点 P，点 Q は，辺 BC 上で重なると止まる。図 2 は，点 P，点 Q が頂点 A を同時に出発してから x 秒後の△PAQの面積を y cm2 とするとき，点 P，点 Q が頂点 A を同時に出発してから辺 BC 上で重なるまでの x と y の関係をグラフに表したものである。

次の問１～問３のの中にあてはまる最も簡単な数または式を記入せよ。
（福岡県 2008 年度）

問１．点 P が，頂点 A を出発してから 8 秒後の△PAQ の面積は

問２．x の変域が 12≦x≦16 のとき，y を x の式で表すと，y＝

cm2

である。

(12≦x≦16) である。

問３．点 P，点 Q が辺 BC 上を動くとき，△PAQ の面積が 18 cm2 になるのは点 P，点 Q が頂点 A を同時に出発し
てから

秒後

である。

問１
問２
問３

【問 55】図のように，AB∥DC で高さが 4 cm の台形 ABCD の辺上を動く点 P があり，点 A から出発し，B，C を通って Dまで動くものとする。また，点 P が点 A から x cm 動いたときの△APD の面積を y cm2 とする。次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（大分県 2008 年度）(1) 点 P が辺 AB 上を動くとき，y を x の式で表しなさい。ただし，x の変域は書かなくてよい。

(2) 点 P が A から D まで動くときの△APD の面積の変化のようすをグラフに表しなさい。

(3) △APD の面積が，台形 ABCD の面積の半分になるときの x の値をすべて求めなさい。

(1)

(2)

(3)

x＝

【問 56】図のように，AB＝4 cm，BC＝6 cm，CD＝8 cm，∠B＝∠C＝90°の四角形 ABCD がある。点 P は A を出発
して毎秒 1 cm の速さで四角形 ABCD の周上を反時計回りに動く。また，点 Q は P が A を出発するのと同時に Dを出発し，毎秒 2 cm の速さで四角形 ABCD の周上を時計回りに動く。P，Q は出会ったところで停止するものとする。このとき，次の各問いに答えなさい。
（熊本県 2008 年度）
問１．P，Q が停止するのは，出発してから何秒後か答えなさい。

問２．P，Q が，それぞれ A，D を出発してから x 秒後の，△APQ の面
積を y cm2 とする。
(1) P が辺 AB 上を動くときの，x と y の関係をグラフに表しなさい。

(2) P，Q が停止するまでに y＝6 となる x の値が 2 つある。その 2 つの値を求めなさい。

問１

秒後

(1)
問２

(2)

【問 57】
図は，関数 y＝1
x のグラフである直線ℓ と，x 軸上の点 A (12，0) から y 軸に平行な直線をひき，直線ℓ との2交点を B とし，原点 O，点 A，点 B を結んで△OAB をつくったものである。点 P は，原点 O を出発して，毎秒 1 cmの速さで辺 OA 上を点 A まで動く。点 P から y 軸に平行な直線をひき，直線ℓ との交点を Q とし，線分 PQ を 1 辺とする正方形 PQCD をつくる。ただし，点 D，C の x 座標は，点 P，Q の x 座標よりそれぞれ大きいものとする。このとき，次の問１～問４に答えなさい。なお，座標の 1 目もりは 1 cm とする。
（鹿児島県 2008 年度）
問１．直線ℓ 上の点で，原点 O 以外の点を 1 つ選び，その座標を書け。
問２．点 P が原点 O を出発して，t 秒後の正方形 PQCD の面積を S cm2とする。S を t の式で表せ。また，t の変域が 0≦t≦6 のとき，t と S の関係を表すグラフをかけ。ただし，t＝0 のとき，S＝0 とする。

問３．点 D が点 A に重なったとき，正方形 PQCD の面積は何 cm2 か。

問４．点 D の x 座標が，点 A の x 座標より大きくなり，正方形 PQCD と△OAB の重なった部分の面積が

27
cm2
2

になるのは，点 P が原点 O を出発してから何秒後か。点 P が原点 O を出発してから p 秒後のこととして，p の値を求めよ。p についての方程式と計算過程も書くこと。

問１

(

，

)

式 S＝

問２

cm2

問３
式と計算過程問４

答 p＝

【問 58】
図 1 のように，4 点 A (4，0)，B (4，3)，C (0，3)，D (1，1) がある。点 P は原点 O を出発し，線分 OA，AB 上を
秒速 1 cm で点 B まで動く。点 C と点 P はゴムひもで結ばれていて，ゴムひもは常にぴんと張られた状態になっている。また，点 D にはクギが出ていて，ゴムひもはクギにふれた後，図 2 のように，点 C と点 D，点 D と点 P の間にぴんと張られた状態になる。このとき，次の問１，問２に答えなさい。ただし，ゴムひもやクギの太さは考えない。O は原点，座標の目盛りの単位は cm とする。
（茨城県 2009 年度）
図 1 クギにふれる前

図 2 クギにふれた後問１．ゴムひもが点 D のクギに初めてふれるのは，点 P が原点 O を出発してから何秒後か求めなさい。

問２．点 P が原点 O を出発してから t 秒後までに，ゴムひもが動いた跡にできる図形の面積を S cm2 とする。点 P が線分 AB 上にあるとき，S を t の式で表しなさい。

問１
問２

秒後
S＝

【問 59】図のような，五角形 ABCDE があり，AB＝BC＝DE＝EA＝5 cm，CD＝8 cm とする。点 P，Q は，頂点 A を同時に出発して，それぞれ五角形の辺上を矢印の方向に，毎秒 1 cm の速さで動くものとする。点 P，Q が，頂点 A を出発してから x 秒後の△APQ の面積を y cm2 とするとき，次の問いに答えよ。
（福井県 2009 年度）
問１．5 秒後の△APQ の面積を求めよ。

問２．次の各場合について y を表す式をつくれ。
(1) 0≦x≦5 のとき(2) 5≦x≦10 のとき(3) 10≦x≦14 のとき

問３．問２で求めた(1)～(3)の各場合について，x と y の関係をグラフに表せ。

cm2

問１

問２

問３

(1)

y＝

(2)

y＝

(3)

y＝

【問 60】
問１．図 1 のように，1 辺 3 cm の正方形 4 個でできた正方形 PQRS と，正方形 PQRS から 1 つの正方形を切り取った図形(あ)の 2 つの図形を，直線ℓ 上に置く。図 2 のように，直線ℓ にそって点 R が点 A を出発して点 B に重なるまで，正方形 PQRS を矢印の方向に動かす。AR の長さを x (cm)，2 つの図形の重なる部分の面積を y(cm2)とする。
（長野県 2009 年度）
図1

図2(1) x＝2 のとき，y の値を求めなさい。
(2) x と y の関係を表すグラフを，次のア～エから 1 つ選び，記号を書きなさい。

問２．図 1 の正方形 PQRS から直角三角形を切り取った台形 TQRS が，図 3 のように直線ℓ 上にある。図形カ～ケ
は，1 辺 3 cm の正方形 6 個でできた長方形のいくつかの部分を切り取った図形である。図形カ～ケから 1 つ選び，辺 AB が直線ℓ 上にくるように置き，直線ℓ にそって点 R が点 A を出発して点 B と重なるまで，台形
TQRS を矢印の方向に動かした。
図3

図 4 は，AR の長さ x (cm)と 2 つの図形の重なる部分の面積 y (cm2)の関係を表したグラフである。0≦x≦3 では原点を頂点とする放物線，3≦x≦6，
6≦x≦9 ではそれぞれ直線となった。

図4(1) 3≦x≦6 のとき，y を x の式で表しなさい。

(2) 2 つの図形の重なる部分の面積が 5 cm2 になるときの AR の長さを求めなさい。

(3) グラフをもとに直線ℓ 上に置いた図形を上のカ～ケから 1 つ選び，記号を書きなさい。

(1)

y＝

問１
(2)
(1)
問２

(2)
(3)

y＝
cm

【問 61】
図で，△ABC は∠ACB＝90°の直角三角形で，AC＝16 cm，BC＝8 cm である。また，D は辺 AB 上の点で，AD＝3
AB である。点 P は，頂点 B から出発して，毎秒 1 cm の速さで△ABC の辺上を頂点 C を通って頂点
4

A まで移動する。点 P が頂点 B を出発してから x 秒後の△DBP の面積を y cm2 とするとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。
（愛知県Ａ 2009 年度）(1) x の変域が 2≦x≦14 のとき x，y の関係をグラフに表せ。

(2) △DBP の面積が 14 cm2 以上となる時間は何秒間か。

(1)

(2)

秒間

【問 62】図のように，AC＝6 cm，BC＝8 cm，∠C＝90°の直角三角形 ABC がある。点 P，Q は，点 C を同時に出発し，
点 P は毎秒 l cm の速さで辺 CA，AB 上を点 A を通って点 B まで動き，点 Q は毎秒 2 cm の速さで辺 CB 上を点
B まで動く。また，P，Q どちらの点も点 B に到達したあとは動かないものとする。点 P，Q が点 C を出発してから，x
秒後の△CPQ の面積を y cm2 とする。ただし，x＝0 のとき，y＝0 とする。このとき，次の問いに答えなさい。
（愛媛県 2009 年度）
問１．辺 AB の長さを求めよ。

問２．次のそれぞれの場合について，y を x の式で表し，そのグラフをかけ。
(1) 0≦x≦4 のとき(2) 4≦x≦6 のとき

問３．y＝9 となるときの x の値をすべて求めよ。

cm

問１
(1)

y＝

(2)

y＝

問２

問３

x＝

【問 63】
図 1 のような，縦 8 cm，横 6 cm の長方形 ABCD があり，2 点 P，Q が次の［規則］に従って長方形の辺上を進む。
規則○ 点 P は A を出発し，辺 AB 上を B まで毎秒 1 cm の速さで進み，B に着くと停止する。
○ 点 Q は B を出発し，辺 BC，CD，DA 上を C，D を通って A まで，毎秒 2 cm の速さで進む。
2 点 P，Q が同時に出発してから x 秒後の△APQ の面積を y cm2 とするとき，下の問１～問３に答えなさい。
ただし，0≦x≦11 とする。
（佐賀県 前期 2009 年度）
図1

問１．次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) x＝1 のときの y の値を求めなさい。

(2) x＝4 のときの y の値を求めなさい。

問２．点 Q が辺 CD 上にあり，CQ＝5 cm のとき，y の値を求めなさい。

問３．点 Q が B を出発し，A に到着するまでの x，y の関係は次の [1]～[4] で表され，それをグラフに表したものが
図 2 である。このとき，下の(1)～(3)に答えなさい。
[1]0≦x≦4 のとき，x，y の関係を表す式は y＝

[2]

4≦x≦

[3]

ⓑ

[4]

ⓑ

ⓐ

である。

のとき，x，y の関係を表す式は y＝≦x≦7 のとき，y の値は一定であり， y＝

7≦x≦11 のとき，x，y の関係を表す式は y＝

ⓒ
ⓓ

ⓔ

である。
である。

である。

(1) 上の [1]～[4] について，ⓑ，ⓓにあてはまる数を書きなさい。また，ⓐ，ⓒ，ⓔにあてはまる式を x を使って表しなさい。

(2) [2] のとき，△APQ が直角三角形になる x の値を求めなさい。

(3) y＝9 となる x の値をすべて求めなさい。

図2

(1)
問１
(2)
問２
ⓐ
ⓑ
(1)
問３

ⓒ
ⓓ
ⓔ

(2)
(3)

【問 64】
図１，図２のア，イは，合同な直角三角形であり，AB＝DE＝8 cm，BC＝EF＝4 cm，∠ABC＝∠DEF＝90°である。図１，図２のように，B，C を直線  上におき，アを固定し，次の操作 1，操作 2 を行った。後の問１～問３に答えなさい。
（群馬県 2010 年度）
操作 1： 図１のように，E，F を  上におき，イを  にそって矢印の向きに毎図１

秒 1 cm の速さで動かし，F が B と重なったとき停止させる。

操作 2： 図２のように，D，E を  上におき，イを  にそって矢印の向きに毎図２

秒 1 cm の速さで動かし，D が B と重なったとき停止させる。

問１ 操作 1 において，F が C と重なってから x 秒後のアとイの重なりの部分の面積を y cm2 とするとき，F が C と重なってから停止するまでの，x と y の関係を表すグラフをかきなさい。

問２ 操作 2 において，D が C と重なってから x 秒後のアとイの重なりの部分の面積を y cm2 とするとき，D が C と重なってから停止するまでの y を，x の式で表しなさい。

問３ 次の

①

～

③

に適する式や数値を，それぞれ入れなさい。

問１と問２における x 秒後のアとイの重なりの部分の面積は，どちらもぞれの重なりの部分の面積の比は，最も簡単な整数比で表すと

①

② ： ③

に比例し，x 秒後のそれ
となる。

問１

問２
①
問３

②
③

【問 65】図のような AB＝6 cm，AD＝8 cm，BC＝10 cm，∠DAB＝∠ABC＝90°の四角形 ABCD があります。点 P，
Q は点 A を同時に出発して，点 P は辺 AB，BC 上を点 C まで毎秒 2 cm で，点 Q は辺 AD 上を点 D まで毎秒 1 cm
でそれぞれ一定の速さで動き，点 C，D に同時に到着しました。点 P，Q が点 A を出発してから x 秒後の△APQ の
面積を y cm2 とするとき，次の各問に答えなさい。
（埼玉県 前期 2010 年度）
問１ 点 P が点 A を出発してから，点 B に達するまでの y を xの式で表しなさい。また，そのときの x の変域を求めなさい。

問２ 点 P が点 B を通過した後の△APQ において，AP＝PQ となるときの x，y の値を求めます。途中の説明も書いて答えを求めなさい。

y＝
問１
x の変域
〔説明〕

問２

答 x＝

，y＝

【問 66】図のように，AB＝4 cm，BC＝6 cm の長方形 ABCD があり，辺 BC の中点を E とする。点 P は頂点 A を出発し，毎秒 1 cm の速さで線分 AE，辺 EC，辺 CD 上を通って，頂点 D まで移動する。このとき，点 P は途中で止まることなく移動するものとする。点 P から辺 AB に引いた垂線と辺 AB との交点を Q とし，点 P が頂点 A を出発してから x
秒後の 3 点 A，P，Q を結んでできる△APQ の面積を y cm2 とするとき，次の問１～問３に答えなさい。ただし，点 P
が頂点 A，D にあるときは，y＝0 とする。
（新潟県 2010 年度）
問１ 5 秒後の△APQ の面積を求めなさい。

問２ 次の(1)～(3)について，y を x の式で表しなさい。
(1) 0≦x≦5 のとき(2) 5≦x≦8 のとき(3) 8≦x≦12 のとき
問３ △APQ の面積が 9 cm2 となるのは，点 P が頂点 A を出発してから何秒
後か，すべて求めなさい。

問１

(1)

問２

cm2

答

(2)

(3)

答 y＝

答 y＝

答 y＝

〔求め方〕

問３

答

秒後

【問 67】
1 目もりが 1 cm の方眼紙の上で，一定の条件で長方形を動かしたとき，2 つの長方形の重なった部分の面積がどのように変化するか観察する。長方形を動かし始めてから x 秒後の重なった部分の面積を y cm2 として，後の問１，問２に答えなさい。
（滋賀県 2010 年度）
問１ 図１のように，2 つの長方形を置いた状態から，長方形アは動かさ

図１

ないで，長方形イを毎秒 1 cm の速さで上 ( ) の方向へ動かす。
このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) y の値が最も大きくなるとき，その y の値を求めなさい。

(2) 1≦x≦5 のとき，y を x の式で表しなさい。

問２ 次に，問１と同じ長方形を，図２のように置いた状態から，長方形ア

図２

は毎秒 0.5 cm の速さで右 ( ) の方向へ，長方形イは毎秒 1 cmの速さで上 ( ) の方向へ，同時に動かす。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) y の値がはじめて 5 となるときの，x の値を求めなさい。

図３(2) 図３は，0≦x≦4 のときの x と y の関係を表したグラフである。
x＞4 において，y＝0 となるまでの x と y の関係をグラフに表し
なさい。

(1)

y＝

問１
(2)
(1)

問２
(2)

x＝

【問 68】2 つの直角二等辺三角形 ABC と DEF がある。△ABC の直角をはさむ 2 辺の長さはそれぞれ 6 cm であり，△DEF の直角をはさむ 2 辺の長さはそれぞれ 8 cm である。辺 AB と辺 DE は同じ直線  上にあり，図１のように，はじめは頂点 B と頂点 D が重なっている。このあと，△DEF を固定し，△ABC を直線  に沿って右向きに，頂点 B が頂
点 E に重なるまで動かすものとする。
図１

図２

このとき，次の各問いに答えなさい。
（鳥取県 2010 年度）
問１ 図２は，△ABC が，図１の状態から右向きに 2 cm 動いた状態である。このとき，次の(1)，(2)について答えな
さい。
(1) △ABC と△DEF が重なっている部分 (図２で色のついている部分) の面積を求めなさい。
(2) △ABC と△DEF のうち，重なっていない部分 (図２で色のついていない部分) の面積の和を求めなさい。

問２ △ABC が図１の状態から右向きに x cm 動いたとき，△ABC と△DEF が重なっている部分の面積を y cm2 とする。x と y の関係について，次の
0≦x≦
①

①

≦x≦

のとき，y＝③①～④にあてはまる数または式を答えなさい。

②のとき，y＝④

問３ △ABC と△DEF のうち，重なっていない部分の面積の和が，重なっている部分の面積の 8 倍となるときの，DBの長さを求めなさい。

(1)

cm2

(2)

cm2

問１

①
②
問２
③
④
問３

cm

【問 69】8で，x が正の値をxとるときのグラフである。①と②は点 A(2，4) で交わっており，また，②上の点 (4，2) を B とする。点 P は，原点 O を図において，直線①は比例の関係 y＝ax のグラフである。また，曲線②は，反比例の関係 y＝

出発して直線①上を点 A まで動き，点 A からは曲線②上を点 B まで動く。点 P から x 軸，y 軸にひいた垂線と x 軸，
y 軸との交点をそれぞれ C，D とし，点 P の x 座標を t，長方形 OCPD の面積を S とする。ただし，t＝0 のとき，S＝0とする。このとき，次の問いに答えなさい。
（愛媛県 2010 年度）
問１ a の値を求めよ。

問２ 次のそれぞれの場合について，t と S の関係を式に表せ。また，
t と S の関係を表すグラフをかけ。
(1) 0≦t≦2 のとき(2) 2≦t≦4 のとき

問３ 0＜t＜2 のとき，直線 DP と②との交点を E とする。このとき，△OPE の面積が

問１16となるような t の値を求めよ。
9

a＝
(1)
(2)

問２

問３

t＝

【問 70】
図１～図３のように，平面上に直角三角形 ABC と 4 点 P，Q，R，S および直線  があり，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4 cm で，辺 BC と 2 点 P，Q は直線  上にある。4 点 P，Q，R，S は，最初，図１のように，∠SRQ＝∠RQP＝90°，SR＝RQ＝2 cm，PQ＝8 cm をみたす点で，点 Q は頂点 B と重なっており，次の規則にしたがって動く。
規 則○4 点 P，Q，R，S は，図１の位置から同時に動き始めて，図２のように，2 点 P，Q は直線  上を矢印(

) の向きに 6 秒間動き，2 点 R，S は直線  に平行に矢印 () の向きに 6 秒間動く。

○点 P は毎秒 2 cm の速さで動き，3 点 Q，R，S は毎秒 1 cm の速さで動く。
ここで，図３のように，4 点 P，Q，R，S が動き始めてから x 秒後の，この 4 点を頂点とする四角形 PQRS と直角三角形 ABC が重なった部分 (図３の斜線部分) の面積を y cm2 とする。このとき，次の問いに答えなさい。
（長崎県 2010 年度）
問１ x＝1 のとき，y の値を求めよ。

図１

問２ 点 R が辺 AB 上に到達したときの x の値を a とする。次の(1)，(2)に答えよ。
(1) a の値を求めよ。

図２(2) 0≦x≦a のとき，y を x の式で表せ。

問３ x＝4 のときの，四角形 PQRS と直角三角形

図３

ABC が重なった部分を解答用紙の図４にかき入れ，斜線で示せ。ただし，図４の方眼の 1 目もりは
1 cm とする。
図４
問４ a を問２で求めた値とする。a≦x≦4 のとき，y を xの式で表せ。

問５ 4≦x≦6 のとき，y を x の式で表せ。

問６ y＝

3
となるときの x の値をすべて求めよ。
2

問１

y＝
(1)

a＝

(2)

y＝

問２

図４

問３

問４

y＝

問５

y＝

問６

【問 71】
1 2
x …①のグラフと，このグラフ上の 2 点 A，B を通る直線  を示したものであり，直線  と x 軸との3交点を C とする。2 点 A，B の x 座標はそれぞれ－6，3 で，点 O は原点である。このとき，次の問１～問３に答えなさ

図は，関数 y＝い。
（鹿児島県 2010 年度）
問１ 点 A の y 座標はいくらか。

問２ 直線  の傾きを求めよ。

問３ 点 P は点 O を出発して，毎秒 1 cm の速さで x 軸上を点 C まで動く。P を通り y 軸に平行な直線と関数①のグ
ラフ，直線  との交点のうち，y 座標が小さい方の点を Q とする。ただし，P を通り y 軸に平行な直線が点 B を通るときは，B を Q とする。また，Q を通り x 軸に平行な直線と y 軸との交点を R とする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。なお，座標の 1 目もりは 1 cm とする。
(1) 点 P が点 O を出発してから t 秒後の△OCR の面積を S cm2 とする。t の変域が 0≦t≦6 のとき，t と S の関係を表すグラフをかけ。ただし，点 P が点 O，点 C にあるときは，S＝0 とする。

(2) 点 Q が直線  上にあり，△OCR の面積が△CQR の面積より 2 cm2 大きくなるのは，点 P が点 O を出発
してから何秒後か。ただし，点 P が点 O を出発してから p 秒後のこととして，p についての方程式と計算過
程も書くこと。

問１
問２

(1)

問３

〔式と計算〕(2)

答秒後

【問 72】図のように，4 点 O (0，0)，A (12，0)，B (12，4)，C (4，4) を頂点とする台形 OABC がある。2 点 P，Q は原点
O を同時に出発し，P は x 軸上を，Q は y 軸上をそれぞれ矢印の向きに毎秒 l cm の速さで動く。ただし，座標の 1
目もりを 1 cm とする。

次の問１～問３に答えなさい。
（和歌山県 2011 年度）
問１ 3 点 P，B，Q が一直線上に並ぶのは，2 点 P，Q が原点 O を出発してから何秒後か，求めなさい。

問２ 2 点 P，Q が原点 O を出発してから x 秒後に，台形 OABC を線分 PQ で分ける図形のうち，原点 O を含む図形の面積を y cm2 とする。ただし，x＝0 のとき，y＝0 とする。このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) x の変域が 0≦x≦8 のとき，y を x の式で表し，そのグラフをかきなさい。

(2) x の変域が 8≦x≦12 のとき，y を x の式で表しなさい。

問３ 線分 PQ が台形 OABC の面積を 2 等分するのは，2 点 P，Q が原点 O を出発してから何秒後か，求めなさい。

問１

秒後
〔式〕
〔グラフ〕

(1)
問２

(2)
問３

秒後

【問 73】図のように，AB＝4 cm，BC＝6 cm の長方形 ABCD と，EF＝4 cm，∠EFG＝90°の直角二等辺三角形 EFGがある。辺 BC と辺 FG は直線  上にあり，2 つの頂点 B と G は重なっている。いま，この状態から，長方形 ABCDを固定し，直角二等辺三角形 EFG を直線  に沿って，頂点 C を通過するように，矢印の向きに毎秒 1 cm の速さで動かす。直角二等辺三角形 EFG を動かしはじめてから x 秒後に，長方形 ABCD と直角二等辺三角形 EFG が重なる部分の面積を y cm2 とする。このとき，次の問１～問３に答えなさい。ただし，長方形 ABCD と直角二等辺三角形
EFG と直線  は同じ平面上にあるものとし，x＝0 のとき，y＝0 とする。
（高知県 前期 2011 年度）
問１ 頂点 F が辺 BC 上にあるときの，x の変域を求めよ。

図

問２ x＝3 のときの y の値を求めよ。

問３ y＝

15
となる x の値をすべて求めよ。
2

問１
問２

y＝

問３

x＝

【問 74】四角形 ABCD と四角形 PQRS がある。四角形 ABCD は，AB＝2 cm，BC＝7 cm，DA＝3 cm，∠ABC＝∠
DAB＝90°の台形である。また，四角形 PQRS は，PQ＝3 cm，QR＝9 cm の長方形である。図１のように平面上において，四角形 ABCD と四角形 PQRS が頂点 C と頂点 Q が重なるように直線  上に並んでいる。四角形 PQRS を固定し，四角形 ABCD を直線  にそって，図２のように矢印 (→) の方向に毎秒 1 cm の速さで，頂点 C と頂点 Rが垂なるまで移動させる。その後ただちに，図３のように矢印 (←) の方向に毎秒 1 cm の速さで，点 D が辺 PQ 上に来るまで移動させる。図１の四角形 ABCD を矢印 (→) の方向に移動させ始めてから x 秒後の四角形 ABCD と
四角形 PQRS の重なりの部分 (斜線部分) の面積を y cm2 とする。

図１

図２

図３

このとき，あとの問１～問６に答えなさい。
（佐賀県 前期 2011 年度）
問１ 頂点 C が頂点 R に重なるのは，図１の四角形 ABCD を矢印 (→) の方向に移動させ始めてから何秒後か，求めなさい。

問２ x の変域が 0≦x≦4 のとき，次の(1)～(3)の各問いに答えなさい。
(1) 辺 CD と辺 PQ の交点を H とすると，x，HQ の長さおよび面積 y の関係は次の［表］のようになった。［表］の中のａにあてはまる数を求めなさい。
［表］
x (秒)

0

HQ の長さ (cm)0

面 積 y (cm2)

0

1
1
2
1
4

2

3

4

1

ａ

2

1

…

…

(2) x，y の関係を式に表しなさい。

(3) y＝3 のときの x の値を求めなさい。

問３ x の変域が 4≦x≦7 のとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) 点 D から辺 BC にひいた垂線と，辺 BC との交点を I とする。IQ の長さを x を使って表しなさい。

(2) x，y の関係を式に表しなさい。

問４ x の変域が 11≦x≦14 のとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) CR の長さを x を使って表しなさい。

(2) x，y の関係を式に表しなさい。

問５ x の変域が 0≦x≦14 のとき，x，y の関係を表すグラフをかきなさい。

問６ 面積 y が四角形 ABCD の面積の半分となるのは，図１の四角形 ABCD を矢印 (→) の方向に移動させ始めてから何秒後か。すべて求めなさい。

問１

秒後
(1)

問２

(2)
(3)
(1)

問３
(2)
(1)
問４
(2)

問５

問６

秒後

【問 75】
図は，関数 y＝x2…①のグラフと，このグラフ上の 2 点 A，B を通る直線  を示したものであり，直線  は y 軸と点 Cで交わっている。2 点 A，B の x 座標はそれぞれ－3，4 で，点 O は原点である。このとき，次の問１～問３に答えなさい。
（鹿児島県 2011 年度）
問１ 関数①について，x の変域が 0≦x≦4 のとき，y の変域を求めよ。

問２ 点 C の座標を求めよ。

問３ 点 P は，点 C を出発して，y 軸上を矢印 () の方向に毎秒 1 cmの速さで動く。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。ただし，座標の 1 目もりは 1 cm とする。
(1) 線分 BP の長さが 2 13 cm になるのは，点 P が点 C を出発
してから何秒後か。ただし，点 P が点 C を出発してから t 秒後のこととして，t についての方程式と計算過程も書くこと。

(2) 関数①のグラフ上に点 Q (1，1) をとるとき，BP＋PQ の長さがもっとも短くなるのは，点 P が点 C を出発
してから何秒後か。

問１
問２

C(

，

)

〔式と計算〕

(1)
問３

答
(2)

秒後

秒後