J. Plasma Fusion Res. Vol.86, No.4 (2010)２
０９‐２１９

解説

流れのある平衡・安定性理論の課題
吉田善章
東京大学大学院新領域創成科学研究科（原稿受付：２
０
１
０年３月６日）流れのあるプラズマに関して，流れが平衡構造に与える効果，安定性に与える効果，乱流輸送に与える効果など，様々なテーマで多くの研究が行われている．この解説は，それらを俯瞰する大ざっぱな論説ではなく，問題の根底にある困難な課題の分析であり，これを通じて核融合プラズマの研究を数理科学の地平に位置づける試論である．
Keywords:
plasma flow, Lagrangian, Hamiltonian, Casimir element, Poisson algebra

１．序論−核融合における流れの問題の重要性

作用によって運動する荷電粒子多体系が主題である．プラ

核融合プラズマの研究において〈流れ〉に対する注目はズマを構成する粒子たちの集団的な運動＝流れをベクトル

新たな一時代を画するまで高まっているといえよう．とく

場 !!
"!
!
"によって表わす（"は空間座標，!は時刻を表すに帯状流の乱流抑制効果はプラズマ閉じ込めの性能向上の独立変数である）．これは，空間の各微小体積において，そために有用であり，そのメカニズムも直観的にはわかりやこに含まれる各粒子がもつ運動量の総和を総質量で除したすいから「人気のテーマ」である［１］．プラズマ回転流と値に相当するのだが，ここではマクロなモデルだけを考え

固定壁（電気抵抗をもつ）との相互作用も，プラズマの安るので，流れを粒子の描像に関連づけることなく，連続体

定条件を評価するうえで重要な影響を与えるとして実験や上の各エレメントが運動する速度を意味するベクトル場と計算が行われている［２］．また，流れの効果を高ベータ閉して流れ!!
"!
!
"をイメージする．振動・波動や不安定性なじ込めに利用しようという先進核融合の挑戦も行われていど，すべての集団運動は!!
"!
!
"によって表されるのである

る［３］．いうまでもなく，プラズマの流れの研究がこれまが，ここで〈流れ〉と呼んで問題にしているのは，こうしでなかったわけではない．核融合プラズマが静止平衡であた〈揺動〉に属する種類の運動ではなく，〈構造〉としてのると考えられてきたわけでもない．しかし，流れの理論的運動である．揺動と構造を分かつ定義は一意的ではない

問題はあまり真剣に（少なくとも大規模に）研究されてきが，とりあえずほぼ定常的な運動を後者の〈流れ〉である

たテーマではない．これが「新時代」を画そうとしているとしよう．たとえば，波や小規模な渦に対して大規模海流，のは，上記のように「効用」が見いだされたことが大きい

局所的な気象に関わる大気の運動に対してジェット気流，のだが，同時にこれまで避けてきた困難な理論に挑戦する

そしてプラズマの波動，不安定性，乱流に対して「帯状流」

機運が高まったからだともいえる［４］．

などが揺動と構造の関係である．構造としての〈流れ〉は

流れの効果を平衡方程式に加味すること，あるいは安定変動しない――このことを数学的にいうと，生成作用素の性の解析に考慮することは，静止プラズマの方程式にいく〈カーネル＝核〉に属するモードである（生成作用素が線形つか項を付け加えて複雑化した問題を頑張って解けばよい

作用素であるならば，その核とは〈ヌル〉あるいは代数のというような事態ではなく，根本的に難しい領域に踏み出〈中心元〉のことであり，いわば生成作用素の「欠陥」を意

すことを意味する．逆にいえば，これまでの理論は〈流れ〉

味する）．

を埒外に追いだして，おおいに縮退した状況に満足してき運動方程式の自明でない定常解＝「欠陥」＝〈流れ〉とたのであって，流れがある場合（もちろんほとんどすべて

はどのような構造なのか？なぜそのような構造が存在し得の場合，プラズマは流れている）の一般論から逃げていたるのか？これを中心的な問題として，第２章と３章で詳しのである．したがって，理論物理の立場からも，流れの問く議論する．次に，〈流れ〉そのものは（つまり単独では）題は重要（重大）なチャレンジである．

定常的であっても，揺動と結合して相互作用する．〈流れ〉

まず何が根本的な問題なのか，雰囲気を述べておきた・・
い．一般に「流れ」とは，ものの集団的な運動を表す概念

が揺動とエネルギーをやり取りしたり（したがって，揺動である．ここでは（通常の）プラズマ，すなわち電磁相互介項にして異なる揺動のモードが相互作用したりするのでの全体でエネルギーが保存しない），あるいは〈流れ〉を媒

Theoretical Problems in the Analysis of Flowing Plasma Equilibrium and Stability
YOSHIDA Zensho

２０９author’s e-mail: yoshida@k.u-tokyo.ac.jp!2010 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.86, No.4 April 2010

ある．このような現象はたいへん複雑であって，線形理論

ンを定式化する必要がある．

の範囲（すなわち小さな振幅の揺動に関して）でも解析がそのための最も素朴な方法は，流体の運動を連続無限個

難しい．本解説では，安定性の問題について，とくに平衡の〈擬粒子〉の運動に見立てて，粒子の軌道 &)&+'を擬粒子の構造と関係づけて第３章で議論する．ふつうの安定性理の軌道＝流線１#&'!!
+'に置き換えるというものである（'!

論は，平衡の力学的な構造にはふれないで，単に揺動のス

は各流線の出発点＝アイデンティティーを与えるパラメタ

ペクトル（分散関係）の計算に議論を集中するのだが，安であり，#&'!!
+'は座標空間内の微分同相写像とする）：

定性を決めているのは平衡の構造であるということを想起
-!$''
"#
#
%( $%)' $"
'!,,
&
!.

するならば，実は安定性の問題は平衡がどのように特徴づ（４）

けられるのかに強く関係しているのである．
'!'は流線の出発点における密度，すなわち初期密度分'!&

２．「プラズマ＝運動＋場」という定式化

布である．粒子運動のラグランジアン（３）と比べると，粒-で置き換えられている．粒子-が擬粒子の速度 #子の速度 &

２．
１ プラズマとは何か
プラズマとは何かという定義（特徴づけ）はいろいろあの数は極めて多いといえども有限個であるが，（４）を構成

るが，ここでは「物体の運動とその運動を支配する（電磁）する擬粒子は連続無限である．数を増やして何も良いこと

場が結合したもの」と定義したい．これを数学的に表現すはないと思われるかもしれないが，トリックは擬粒子がるためには，運動と電磁場を結合させたラグランジアン〈集団運動の表象〉であることにある．本当の粒子は個別的%$%("%&*にほとんどランダムな運動をするので記述不可能である．

（１）

一方，擬粒子は流体エレメントの運動を表すものであるかを定式化しなくてはならない．%(と %&* はそれぞれ運動とら，ランダムな部分は平均化され，マクロな階層に現れる場のラグランジアンである．%( には場が，%&* には運動が集団運動だけを表現する．これに記述可能性を見いだそう

パラメタとして含まれる．%( と %&* を切断して研究するという企てだ．擬粒子のエネルギーは，集団運動の運動量と，運動における場は外的な条件，場における運動（カレ

"&
'!!
+
'に関わる運動エネルギーとポテンシャルエネル

ント）も外的な条件とみなさなくてはならない．両者を#ギ ー の 和 $$&
"!'
!'
"
*'
$に さ ら に 内 部 エ ネ ル#&"'（１）のように結合させることで運動と場の動的結合体であギー（ランダムな運動のマクロな効果を熱エネルギーにるプラズマが定式化されるのである．

よって表現するもの）!&''をドレスして［５］，４
電磁場の項 %&* は，場の古典論が教えるように$' $$"!&''，ファラ デ ー テ ン ソ ルを
元ポテンシャルを !% $&!'$!
#%&$(%!&!(&!% と書くと"%&* $"" &*,,%$"! #%&#%&,,$（５）と与える．ここでは，簡単のために内部エネルギーを流体
密度 'の関数として与えている（($(&'!'"('はエンタル（２）

ピー密度，'%($%#と書くと#が流体の圧力）．ハミルである．運動の項 %( は，運動を粒子のそれに分解して考え（すなわちラグランジュ表現）．また，密度は粒子保存則をれば，形式的には電気力学が教えるとおり［５］満たすようにトニアン $' に含まれる場の量は '$#&'!!
+
'で評価する

''
"&
'!
'!&
'!
'&
+
+
'
$'!&
'
'
# !
''
"&

&

-)!$)'")#&%( $%+ %
$! &
)$"

（３）

（６）

とすればよい（ここでは非相対論の範囲で考える）．ただと与える２．ただし，"&''は微分同相写像 # のヤコ
'!'
"
"&

し )$"
!
& はひとつひとつの粒子の番号，&)&
)!
+
'は粒子
#
-%
の 軌 道（&
は
速
度）
，$
&
"
+
,
$,
")!'
!'"
*'
$
#
&
"'
)
)$&

ビアンである．

はハミルトニアン，")$%)"'!は正準運動量， %)$*&)

プラズマの運動方程式＋場の方程式（マックスウェル方程はメカニカルな運動量である．粒子の電荷を '，質量を *式）が得られる（このことは読者の演習としよう）．しかと書いた．多種の粒子からなるプラズマを考える場合は，し，運動方程式はラグランジュ座標で書かれたもの，場のこれらも )に依存する．いうまでもなく，全粒子について

方程式はオイラー座標で書かれたものになる．これでは使運動を個別に解析することは不可能かつ無意味であるので，（３）は「有効な表現」とはいえない．プラズマのマク

いにくい（時空間の点 &
'!
'!
+
+
'における流速 $&
'を求めよ
-( %
-&
うとすると，$&
'!
'!
#!"&
+
+
!
+
'
$#
$#
'
'と計算しな

ロな運動，すなわち流れを記述できる有効なラグランジア

くてはならない）．

ラグランジアン %$%)'"%&* の変分を計算すると理想'!+

１ 本解説で流線とは流体エレメントの軌道のことであるが，流体力学では，流線（streamline）は時間を固定して流速ベクトルを接ベクトルとする曲線（field line）のことをいう場合が多い．その場合，軌道に相当する曲線は流跡線（streakline）と呼ばれる．
２ 形式的に '!&
&)&
'!'
$!)#&
!'
!'!'とし，!$!とおけば，%)'$%+ となる．流体を有限個の（しかし現実の粒子総数のような巨大な数ではなく，計算機で処理できる程度の大きな数の）離散的擬粒子の集団で近似してシミュレーションを行う方法＝擬粒子法が研究されている．その場合は，擬粒子のハミルトニアンは内部エネルギー!でドレスしておく必要がある．それによって擬粒子は流体圧力を受ける．

２１０

Commentary

Theoretical Problems in the Analysis of Flowing Plasma Equilibrium and Stabilityと書き換えてある）．ラグランジアン %&%&+'"%&* に関す

２．
２ 表現の統一（正準形式へ）［６］．ま
そこで %(をオイラー表現で書くことを試みよう
３

る変分はず，流速を表すベクトル場を &(
(!
.
)として
$%
&!$')
%&' &*'+0(

Z. Yoshida$&'*"%,'(,，

& ⇒
#
（７）

' ⇒
#

'&-&，

（１３）

#
* ⇒

".$'&!，

（１４）

".$(
'%,)
&! ⇒

#
(, ⇒

とおいてみよう．全ての関数（ハミルトニアン $'に含まれ,る関数も含めて）はオイラー座標（観測系）で定義されている．ただし，& を「運動」と連関させないと運動方程式（１２）".%,&!，

（１５）

#
% ⇒

".(,&!，

（１６）

#
' ⇒

，
&!(
".*&$%$"+)（１７）は得られない（単に #& による変分を計算すると $ &!と）そして #!&はマックスウェル 方 程 式（カレント＝(
)
'!
)
'&)

なってしまう）．理論における「運動」とは，軌道（あるいを生じる（場の方程式の側は，ここでは難しいことは何もはそれを連続化した流線の束）という「幾何学的オブジェ

ない）．（１２）はベクトル場 $のクレブシュ表現といわれるクト」である．ラグランジュ表現ではこれを (&%((!!
.
)

ものである［７］．（１４）―（１７）を用いて計算するとと 表 現 し た が，オ イ ラ ー 表 現 で は そ の 逆 像，".$&".('*"%,'(,)(!&%!"(
(!
(!
.
.
)
&((
)を用いる．& と「運動」の連関は，

&#(
&%
!.
)
$"+)
&!'(
")
'#!)
")(
')

次のように定式化できる．
(!
(!
"(
.
.
)
&(!!(
)

電磁場を #!
"で表すと，おなじみの理想プラズマの運動方（８）程式になる：とおくと，これは流体エレメントの〈変位〉をオイラー表#"&#")-".&&!'+")(.

現したものである．
".*
&).*
"&%
'*
，

（９）

&)
".$*
*
&).*
"'%
(

（１０）

（１８）

ラグランジアン（１１）はもう少し見やすい形に書き換えることができる．クレブシュ表現（１２）を %&+'の中に使って簡約するとと書く．流速は &&"."とすればよい ．しかし，恒等式４&&".(に（８）を代入すると &&"."!".(．したがって

-"&,(
%&++
'*
+0
&*#
!'$'*
!
,"
'($
$&'*"(')&"',".!&!を要請しておけば，&&"."は恒等関係となり，

,

（１９）

ておいてよい５．".!&!は !(（すなわち各流線の
(!
.
)
&(!

と書ける．ただし &,&'%,とおいた．このラグランジアンをみ
-"&,(
ると(
'(*"&,+(,)'*(,)の部 分 が 正 準 形 式（つまり+初期位置）が保存量であることを意味する．これは然るべがシンプレクティック２次形式）だと思える．'-*，&,-(,き要請 だ――各 流 線 は その 初 期 位 置 を〈ア イ デ ン テ ィ

（ ,&"
!
!
#
$）を共役変数とし，%&' の中で & を陽に "."と書かないで &((!
.
)のままにしティー〉として記憶＝保存するという意味に他ならない．
もう一つ 'も質量保存則 ".$'&!を要請しておけば，陽に" '&*'$'*0'( +$&'*"(')&",（６）のように書かなくて '((!
.
)のままにしておいてよい．

,

#
!)
&,'*%
'(
"#
'(,
&*'%
'*!)

（,&"
（７）において ".(,&!
!
!
#$）および ".$'&!を要請するためにラグランジュ未定乗数 %,（,&"
!
!
#
$）および

#
&,'(,)"'&"-")'$"'!(')#"((+0*を導入してをハミルトニアンとする正準方程式は$%&!$'!(%&+'&*#".*"%,".(,)'+0$!
-&)*" ''$"-&!)'" '
*
$
#

（１１）

とおこう（)*(
".*)
'+0
"$.')
+0を部分積分 に よ っ て !)(!&,&)(," '
$
"
（,&"
!
!
#
$）（２０）
"'
(
,
,&!)
$
&
#

３ 逆に場の理論をラグランジュ表現で記述して統一をはかることもできよう．そうするには，電場と磁場の代わりに電気力線と磁力線を用いる．すなわちファラデーの立場である．最近，場の量子論ではファラデー描像への回帰があることを付言しておく．
-(
-*
（７）
で &(
４ 変位 "はオイラー場であることが，%((!!
)と違うことに注意しよう．
.
(!
&%
%!")
(
(!
)
&%
)
)とおき，さらに
.
.
.
!
(!
.%
（６）
により与えると %&'はラグランジュ表現の %)'を単にオイラー座標で書き換えただけのものになる．変分を計算す
(!
)は
.
'(
るためには #& から #' を誘導する必要がある．このときオイラー座標とラグランジュ座標を行き来するので〈リー微分〉の技巧+
が 必 要 になる
［６］
：#
%%
')
&，
%!(
%"(
&%
')
&&).#
#
#
)
!%(
(!!
)
*
%+(
(!!
%!"(
(!
%*
)
)
!(で あるから，#
.
.
.
.
!
"
(!
.&!
)
(&%(
(!
.
!
.&% (
%により理想プラズマの運動方程式が得られることの検証は読者に%)と計算される．ここまで述べておけば，変分#
(
#
'&!'%
'#
委ねてよかろう．
５ もちろん &&"."と書いて，%に含まれる関数の値を (&""!で評価するように約束するという定式化も可能である［６］．
６ ただし，汎関数#(/)に対して )/#(/)はその関数微分を表わす．ハミルトニアン" # は正準変数（クレブシュパラメタ）の汎関数として連続汎関数ではないが，凸性があるので〈劣微分〉として関数微分を定義できる［８，９］．なお，本解説を通じて汎関数を構成する場は無限遠で十分早く０になるとする（あるいは境界のないコンパクト多様体上で考える）．境界があるとき，どのような境界条件のもとで境界項がうまく消えるかを明示することは難しい．本解説では，この問題を保留して，関数微分は「形式的」な計算だとする．
!

２１１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.86, No.4 April 2010

を確かめられたい．

%!
#!#)
%!
'
'
*
%$)
*の相対性を用いてクレブシュパラメタ
９$%を誘導した［６］．流線とは運動の通時態であるために，

２．
３ 通時的記述の問題

そのアイデンティティーを全面的に記憶表象＝初期条件と書ける６．これらが，前記の（１４）‐（１７）と等価であること

以上で「プラズマ＝運動＋場」という定義が #%#!
!
&'"#
&(

%"に帰着する．ここでアイデンティティーとは，個別性とによって定式化され，プラズマの運動は正準方程式（２０）でして保持されるもの，すなわち〈保存量〉のことである．初表された．これで理論の骨格は完璧と思いきや，不思議な「欠陥」があることに気づく．正準方程式（２０）は運動量のク

期条件（各流線の出発点 %"）は，各流線上で保存＝記憶さ*（書れなくてはならない．正準方程式のうち $%%!%%! 'レブシュ表現（１２）すなわちき換えると "'$%%"）はこのこと（!!%"の保存）を意味&#

しているのだ．しかし，理論のなすべきことは〈一般的な%"%(&"! "($% （&%%）%%#

保存則〉を発見し，その保存量で運動の秩序を描出するこ（２１）とである［１２］．流線のアイデンティティーは，個別的初期によって構造が与えられている．")%!
'*は３成分を有する

値ではなく，保存則によって構造化（整理しなおし）されベクトル値関数であるが，クレブシュ表現（２１）はこれを７なくてはならない．クレブシュパラメタで描いた正準力学

，$%)
（%%#
個の関数 &)，#%)!
!
$%）によって
%!
%!
'
'
*
*
%!
'
*

は，保存則を初期条件と「混同」することによって，運動

表現（パラメタライズ）している．場（微分形式）の「表が生起する力学空間の構造（欠陥＝非正準性）を見失うの現可能性」は，単純にパラメタの数だけでは判断できないである（そのことが通時的記述を安易にするともいえるののだが ，（２１）は明らかに過剰な表現だ．もし %%#だけと

だが）．

７

る と パ ラ メ タ は ち ょ う ど３個 だ が，そ の よ う な"%(&""($の〈ヘリシティー〉を計算すると

３．位相欠陥と渦構造
３．
１ 一般化したハミルトン力学系!%""$&("#($*)(%"($
)(
)
(#"*
)
.

本節の目標は，プラズマの流体モデルがもつ〈保存則〉（２２）を研究することで，その定常状態＝平衡の構造（保存量ですなわち "$)(#"*は完全３次微分形式である．このよう特徴づけられるはず）を力学空間の構造（保存則を生む原な "は特殊であることが示される［７］．つまり %%#だけ

因があるはず）として記述することである．保存則は二つでは不十分である――このように表現されるベクトル場のの原因で生じる；一つは〈対称性〉，もう一つは〈位相欠集合は線形空間でもない．%%#!
$ととると任意の３次元ベ陥〉である．前者はハミルトニアンの構造，後者はポアッ

クトル場 "をパラメタライズできることが示されるが，そ

ソン代数の構造である．

れぞれのパラメタに独立の境界条件を与えることはできな

まずこれらの意味を抽象力学系（ハミルトン力学系）をい．したがって（１４）は過剰でありながら削減不可能であ

用いて説明しよう［９，１３］．ここでは少なくとも一つの保存る．さらに奇妙なことに，クレブシュ表現（２１）で &を任意

量 !)
（これをハミルトニアンと呼ぶ）をもつ力学系を$*の数にとり（０でもよい），ラグランジアン（１９）にいくつ

考える．$)'*&$は状態ベクトル（状態空間 $は一般に無の #%，$%を取り込んでも，その正準方程式の解は流体運動

限次元の実ベクトル空間とする）であり，!)$*は下に有方程式（１４），（１８）を満足する（これらを（１２）‐（１７）から導界な実汎関数（$+ !）とする．この力学系が〈ハミルトくとき &が３であることを使う必要はなかったことから明ン力学系〉であるとは，ハミルトニアン !)$*が保存するらかであろう）．

ように運動が起こることを意味する．何らかの意味で

この奇妙な数学的事実――任意数 &のクレブシュパラメ!)$*$*の勾配ベクトル %$! が計算できるとしよう．!)

タを共役変数とするハミルトン力学系（２０）は，それぞれ閉が保存するためには運動 %'$)'
*は %$!と直交しなくてはじ た 力 学 系 で あ り８，そ の 運 動 は 流 体 運 動 方 程 式（１４），ならない．したがって，勾配ベクトルをそれに直交する方（１８）を満足する――は，流体運動方程式がもつ「位相的欠向へ曲げる作用素"があって，運動方程式は陥」の存在を示唆している．その隙間が &に係る「自由度」%'$%"%$!)$*を生んでいる．流体力学の位相的欠陥とは何かという問題（２３）

が次節の主題だが，以下の点を指摘してこの節を終わるこの形に書けるはずである．ただしこれが決定論的な運動方とにしよう．

程式であるためには写像"の値は一意的に定まらなくては

この解説ではラグランジアン（１９）を導くために，流線のならない．ここで直交ということを数学的に定義しておく

ラ グ ラ ン ジ ュ 表 現 #)%"!
'*と オ イ ラ ー 表 現

必要がある．そのために，ここではベクトル空間 $に内積

７ たとえば３次元ベクトル場 $が発散をもつとき（($$%' "），３次元のベクトルポテンシャル !をどう選んでも $%(#!と表現することはできない．一般論については教科書［９］参照．
８ たとえば &%"とすると "%(&，すなわち渦のない流体となる．それはそれで閉じた力学系（一般の渦あり運動のサブクラス）をなすのである［１
０］．
９ このために&%%を要することが自然に理解できたはずである．&の必要数と$%の意味づけに関しては学界に混乱がある．（１９）と同型のラグランジアンは，最初にリン［１１］によって定式化されれたが，３つのスカラー場 $%を束縛する理由は，むしろ変分原理の結果に有限な渦度を与えたいという動機によっており，明確な理由が示されていない．そのために，これをエントロピーの保存と結び付けて &%#とする立場や，単に抽象的な場としてヘリシティーの問題から &%$とする立場などがある．

２１２

Commentary

Theoretical Problems in the Analysis of Flowing Plasma Equilibrium and Stability

Z. Yoshida$!
%+を定義する（よって %は実ヒルベルト空間である）*

が線形でも " が２次形式でないときは非線形になる）．本［９］．%で定義された作用素#が〈反対称作用素〉であると節の主題は，まさに # が非線形でしかも「欠陥をもつ」のは場合である――この問題は後で解説することにして，まず
*
#$!
#%+
%+
$!
%!*

波動方程式のプロトタイプ（２４）'12%!#$)2なる反対称関係が#の作用しうるすべての $!
%(%に対し（２８）て成り立つことをいう．このような # はベクトルを直交する

で基本的な構造を見ておこう．ここで位相速度を表す #方 向 へ 曲 げ る――実 際，内 積 の 公 理 よ りは非圧縮ベクトル場（)$#%"）とする．# が 2あるいは2の 微 積 分 に 依 存 す る と き（２８）は 非 線 形 で あ る１０．

#$!
#$+
，一 方 反 対 称 性 に よ り *
#$!
$+
$!
$+
$!
*
%*
%!*
#$+
，したがって*#$+$!
%"．# と内積を用いて〈ポアッ"%*（２８）は（２３）の 形 に な
#$
2!
2+
"
$，#%!*)+と す れ ば

ソン括弧〉をる．('!
1').'.1 ' 2*+%"を仮定して，#が反対称であるこ

/
%*
$*
#'&%*
&+
&+
&+
&+
!
'&$*
!
+
0
%*

とを検証されたい．

（２５）

プラズマのモデル：プラズマの方程式は #$)の形の作と定義する（$*&+と%*&+は何らかの意味で勾配が計算用素を複数含む複合的な非線形波動方程式系である．

できる汎関数とする）．&*３）に従って
1+が運動方程式（２（a）いろいろな階層のモデルがあるが，まず第２．
２項で運動するとき，汎関数（ある物理量）$*&*
1++の時間変化定式化した基本形からスタートしよう．粒子保存則（１４）す

は

なわち
)
$*
&*
&*
1
!
'&$*
1
'1&*
1
+
+
+%*
+
+
+
%1
#'&"*
&+
&+
!
'&$*
+
%*
"*
$*
&+
&+
!
%/
0

#&+
'1&%!)$*（２９）と運動量バランスの式（１８）をハミルトン方程式（２３）の形式（２６）に書く１１．これと場の方程式（マックスウェル方程式）がカ
レント !
（１８）は
*
&!
*
&#+を媒介項として結合している．

と 計 算 さ れ る．ポ ア ッ ソ ン 括 弧 の 反 対 称 性 か ら"!
"0/%"．よって方程式（２３）に従う運動は確かに"を保'1"%##*
)#"+
!)$

存する．

（３０）

上記の基本構造（ハミルトニアンとポアッソン括弧）をと 変 形 で き る．た だ し "%-#"*!は 正 準 運 動 量，もつ力学系を（広い意味で）ハミルトン力学系と呼ぶ．具$%-$$"%はエネルギー密度である．状態ベクト$"+"*

体的な例を見ておこう．

ルを &%1*"+とおくと，&!

古典力学：最も簡単な反対称作用素は
" #
!%!
"
!# "

（２７）

である．ハミルトニアンが共役変数 &%1*/!
.+の滑らかな

$
"!*
!+
*
%"!*
&+
%3
"*
" %'&#
$
$

（３１）

"
!)$
# %%
&
!#
)#"+
#
!) !& *

（３２）関数として "*/!
.+と与えられたとき，（２３）は正準運動方とすればよい．この#が反対称であること，ハミルトン方

程式

程式（２３）が（２９）‐（３０）を与えること確認されたい．なお，電磁場 *!+を０とすれば，これはそのまま中性流体の方程%!

" # '/") &% ) /! "%!
"%&%!'&"，%1%1 .
!# " '."

式である．
（b）電子と陽子からなるプラズマを考えるときは，電子ポアッソン括弧はおなじみの ,
'/'+
'/&+
'.'+
&!
''.&+
*
!*
*
%*

をインデックス )%&，陽子を )%'で表し，それぞれの密度である．

&) と 正 準 運 動 量 ") %-)#)&*!をもって &) %1*")+&)!
とおき，状態変数 &%1*&&!
&'+を定義する．

量子力学：量子論も基本的な構造は同じである．ただし，この場合は状態空間を複素化しておく必要がある（波動関数 2の位相はゲージ理論で重要な手掛かりとなる）．量子"＝"e＋"i，化したハミルトニアン "*3!
,'3+に対して "*
2+
"2!
2+
"
$，
%*

#& "
# %%
&
" #,

#%!,
（これは複素線形空間で最も簡単な反対称作用素）とすればよい．

とおくと（２３）はシュレディンガー方程式に他ならない．

（c）電子とイオンの質量比によって〈スケール階層〉が生じる．電子の正準運動量 "&においてメカニカルな成分

非線形波動方程式：一般に〈波動方程式〉は，広く非線形の場合も含めて（２３）の形式に帰着できる．多くの非線形!となり，電子の運動-&#&を無視しよう．すると "&%!*

波動方程式では # を非線形作用素にする必要がある（#

方程式は場の方程式（!の支配方程式）の顔をしはじめる：!$
１０ たとえば長谷川・三間方程式の場合，一般化渦度を 2%*，ただし &0はイオン音速に対するジャイ(!#+(と定義して（(%&0ロ半径である），$3%'4(!
$4%!'3(である．(%"とすると２次元非圧縮理想流の渦方程式になる．
１
１ ここでは "をクレブシュ表現してクレブシュパラメタに関する正準方程式（２０）
を書くのではなく，"そのものを変数としてハミルトン方程式（２３）の形式に書こうというのである．

２１３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.86, No.4 April 2010は非圧縮条件 (%%&!をみたすための「修正項」に仕立て

curl をとって%'#"*+."&(#)．

る必要がある．これは〈射影作用素〉として定式化される―（３３）―ベクトル場 'を非圧縮ベクトル場 ') へ射影するためには，

これとマックスウェル方程式との重複を避けるためには変'をみたす -を用いて（ノイマン境界条件 &%
#-&(%
(-&!

位電流項を無視して (#""'!&#（電流密度）とする．以を与えれば -は一意的に決まる），')&%'$&'!(-とすれ

下 $(&$，%(&%と書く．イオンと電子の密度は等しいとばよい１２．非圧縮の % に対して%%&% であること，またして (で表す．%'&%!#")(によって電子流速を決めれ任意のベクトル場 'に対して(#)%'*&(#'であること.

ば，状 態 変 数 は '& )$!
"*の み に な る．粒 子 保 存 則(!

に注意しつつ，運動量バランスの式に%を作用させると（２９），運動量バランス（３０）と磁場の式（３３）をハミルトン方($の項が消える．(は力学変数ではなくなり（(&"と規程式の形に書こう．マックスウェル方程式の代わりに（３３）（"の代表値）に対するアルヴェン
格化し，同時に % を !!

を使うので，ハミルトニアンには磁場のエネルギーを加え速度で規格化すればすべての変数が規格化される），*とておく必要がある：の関数関係を失う（よってハミルトニアンから!)(*が脱落する）．代わりに (!"1%と置き換える．MHD 方程式の

#
$!)
!*
)
!#
# &*'
.
&" !)
(*
(!
")
"
"
(&0
-(
'!
#
#

場合について，上記の規格化した変数で非圧縮モデルを書
いておく：

curl の逆作用素（ビオ・サヴァール積分）を curl−1と書くと，
+(#

$
(%

+'# &++$# ,&+
,.
!"
""
'!!%
)
(%*
,+
)
)
+"#

$# !#
# &*# " $&0
.
# #

（３６）

!% )
(#%*
# %)
(#'*
#"
$ &%
&.
!
(#/
'#"0

（３７）

以下を付け加えて本項を終える．ここで述べた一般的なよってハミルトン運動方程式（２３）はラグランジアンによって表現

!
!(%
!
(#$*
#
$ &+!( !(!")
,
""
)
(*
!
!
(#/
)
#)
(#'*
0
!

できるとは限らない．ラグランジアンをもたないハミルト
ン力学系は〈非正準ハミルトン力学系〉と呼ばれる［１３］．
また逆にラグランジアンの変分原理が生じる運動方程式はとおけばハミルトン方程式（２３）は（２９）‐（３０）‐（３３）と等価にそのままでハミルトン運動方程式（２３）の形になるとは限らなる．これを〈ホー ル MHD 方 程 式〉あ る い は〈２流体ない（整理して書きなおすことはできても）――ラグラン

MHD 方程式〉という．

ジアン（１１）の場合を想起しよう．ラグランジアンとハミル（d）MHD 方程式は，正準運動量 $の式（３０）をメカニカ

トン運動方程式が正準なる関係をもつのは反対称作用素$

ル運動量 -% の式に書き換え，磁場の方程式（３３）で %'をが正則なシンプレクティック形式を表現する場合に限られ% で置き換えたも の で あ る（ま た 電 気 的 中 性 の ためにる１３．障害がおこるのは，作用素 $ が欠陥＝特異性をもつ.

&&!とする）．状態変数を '& )
"*とし，
(!
-%!
#
!#
# &*#
，
(*
(!-$ "! )
"
"
$&0
'!
#
#

（正確にいうと同型写像でない）場合であり，これが次項の主題となる．
３．
２ カシミール元とカーネル

（３４）

!

!
!(%
-"
(*
(, （３５）
)
(#%*
# )
(#'*
#""
$ &+!( !)
(0
!
!
(#/
'#""

以下の目的は，ハミルトン力学系の保存量および平衡（定常状態）について，その基本構造（ハミルトニアンとポ
アッソン括弧）との関係を明らかにすることである．非線形波動方程式やプラズマのいくつかの方程式のハミルトン形式をみると，ハミルトニアンはむしろ自明（エネルギーとおけばよい．ハミルトン方程式（２３）がおなじみの MHDの単純な表現）であり，方程式の本質的な構造はポアッソ

方程式になることを確認されたい．

ン括弧の側に押しつけられている――これらの例では$は（e）非圧縮・一定密度モデルの定式化を述べておこう．(*

非線形偏微分作用素である．よって，解析の対象は主に$

１
２ 射影作用素 % は非圧縮ベクトル場の全体集合として定義される部分空間への正射影を与える連続線形写像として定義される．教科書［９］参照．
１
３ $ が線形作用素であれば，正準な関係とは何かを具体的に示すことができる．%は可分なヒルベルト空間，$ は %1 %の線形
全単射と仮定しよう（たとえば（２７）；もし$ がカーネルをもつと，以下の議論には深刻な問題が生じることに注意を喚起しておく）．%にはたかだか加算個の元からなる完全直交基底 +2,&+2,を与えることができ，'&)+/+)+と分解できる
)#!
)
)"!
"!)
#!
$ !"&!$ !"'*と定義すれば，これは完［９］．,2,が定義される．共役空間の内積を &)
&!
'.
,
,
+&$)
+とおくと，共役な基底 +
"!
#!
+
+
全 直 交 基 底 で あ り，'&)+*,+'#*)'#&) +)+と 分 解 し て も よ い．# が 適 当 な 意 味 で 微 分 可 能 で あ れ ば，++，+++- &+/+#（２３）
は共役空 間 で 直 交 分 解 さ れ て /
#)
'*
*
(
*%1 !))"%と書くことができ，運動方程式+'#*&+/#&)
!#)
'"%
)*
,
+
,
-,）．ある（ +&"!
と行列表示する（*#!
2 ）と表される．このラグランジアンは次のように定式化される．$ !"&"&"+
&"+
/
$
+
,
+
,
,
+
+
,
+
+
,
+
-+(.を正準１次形式とするラ&&# によって"&& !&（すなわち " &# !# ）とおき，& &# /, と定義する．)+& /,-&+'#）が得られる．
-+!#の変分原理からハミルトン方程式 "+-&+グランジアン )+&+///+#（すなわち"/
,
+

２１４

Commentary

Theoretical Problems in the Analysis of Flowing Plasma Equilibrium and Stability

Z. Yoshidaとなる．

のレベルセット）が特性曲面である．定義により " は特性（２６）よ り，物 理 量（汎 関 数）%+*,が ハ ミ ル ト ニ ア ン

曲面に接する（つまり"の流線は特性面上にのっている）．

"+
"+
%+
*,と交換する，すなわち1
*,
!
*,
2
%!であるとき，

このような '+
について %%,がみつかると，任意の関数 %
',は
+

%+
*,は保存する．普通，この保存条件はハミルトニアン

１５．
波動方程式（２８）の定常解である． つまり%'(
#,
%
',
+
%+
.

"+
*,に依存しない保存*,に依存して決まるのだが１４，"+%は 不 連 続 で も よ い――"$',*%+%!が（超 関 数 の 意 味

量，すなわちで）成り立つ．よって特性曲面は不連続面を与えるのであ

1
'+
!+
）
*,
!
*,
*,
2
%! （('+る（今の場合，定常解をみているので不 連 続 面 は 定 在（３８）ショックを表す）．" が *と無関係なベクトル場であるな% 定数）が存在するとき，これを〈カシをみたす!+*（,'ら（すなわち（２８）が線形方程式である場合），カシミールミール（Casimir）元〉あるいは〈中心元〉という．!+*,

元は %#,を「積分」して !*%',',&,と与えられ+&%'(++を専ら決定づけているのはポアッソン括弧（２５）の構造を決る．

める反対称作用素 # である．実際，（３８）は
#&*!+
*,
%!

こうしてみると，問題は二つある．まず，流線の可積分性（特性曲面の大域的存在）の問題．" が２次元の非圧縮（３９）流であるときは，流線は常に積分可能である．よく知られ#,#+%!.をと等価である．
（３９）は &)!+
*,
+$
&%'(
+
%-

ているように，２次元非圧縮流はクレブシュパラメタ '意味する．集合 %'(#,を写像#のカーネル（kernel；核）+を用いて "%)+&-'!!&,',と書くことができる［７］．これとい う（一 般 に %'(#,は 線 形 部 分 空 間 と は 限 ら な い+を使うと作用素#%!"$
が定める*は古典力学の関係（２７）が，#が線形作用素であるときは線形部分空間である）．

ポアッソン括弧-!.を用いて#%'!.と書ける１６．したがっ#,をカーネル元と呼ぶことにしよう．あるカー+&%'(+て，+&%'(#,は '!
+.
',と等価+%!と等価，これは +%%+ネル元+を見つけたとしても+%&*!+*,と書ける「原始関であることがわかる（脚注１５参照）．以上は " が２次元非数」!+*,があるとは限らない．

圧縮流の場合であるが，３次元以上では一般の "の流線は運動 &)*は %'(#,に直交する多様体上に制限される．実
+

カオスとなり積分曲面が存在するとは限らない［９］．積分際，運動方程式（２３）より，&)*は# の値域に含まれなくてはなら

曲面が存在する部分領域があると，そこに台をもつ関数がない．"%##+)#,と書けるとき，# が反対称であることから，あ「隙間」%'(#,を発生させるのだが，それは極めて複雑な+

らゆる+&%'(#,に対して+
##
#+,
"!
+,
!
+,
#
!
+
%+
%!+
%!．

構造をもつものになるだろう．

よ っ て#の 値 域 は %'(#,に 直 交 す る．こ う し て み る+

つぎに，%'(#,の「可積分性」の問題．# が非線形作+と，カシミール元とは，運動方程式の〈位相欠陥〉つまり用素である場合，カーネル元の積分＝カシミール元を求め軌道が進入できない隙間を「層構造」として表現する保存ることは一般には困難である．たとえば 'が *に依存して量だといえる．運動は汎関数!+*,のレベルセット上を経!"'%&*と与えられるとしよう（&%+は自己共役作$!#,巡る．!+*,は運動の積分曲面（一般に無限次元空間には用素；脚注１０参照）．このとき#%&*!.は非線形作用素

めこまれている）を与えるのだ．しかし一般には隙間はである．%'(
#,
&*,
（線形）で
%
$
+
%+
.であるが， %+,%"$「可積分」ではない――%'(#,は「層構造」という秩序＝+ある場合は積分できて!+&*!
．しかし一般
*,
""
*,
#,
%+
+
の非線形関数 %&*,$+,と線形作用素 &で合成される %+保存量による表現をもつとは限らないのである．

の「原始関数」を求めることはできない１７．

具 体 的 な 例 でカシミール 元 とはどのようなものかをみよう．
正準運動方程式の（２７）やシュレディンガー方程式の#%!'もう一つ基本的な例を見ておこう．できるだけシンプル#,，に対してはカシミール元は存在しない（つまり %'(!.
+%-にするために非 圧 縮 中 性 流 体 の 運 動 方 程 式 を 考 え る．

したがって（３９）をみたす!は定数のみである）．

（３６）‐（３７）で !%!とすればよい．念のために書き下そう：

波動方程式（２８）の場合，カシミール元は〈特性曲面〉に!#"&)"%!+
#"&,
*#",
#"!*+
.

関連して定められる．ここで特性曲面とはベクトル場 "（４０）の積分曲面のことであり，物理の言葉では不連続面といっこれをハミルトン形式（２３）に書くためには，状態ベクトルてもよい．ある関数 '+*'%!をみたすと%,があって，"$を #%"，ハミルトニアンを"%!!#"，反対称作用素#&,

しよう．このとき '+%,%$（定数）で与えられる曲面（'

を#%!$+#,は*#",# と お け ば よ い．$&%'(+

１
４ これが最初に述べた保存量の第一のカテゴリー，すなわち〈対称性〉によって生じる保存量だ．脚注１３のように，運動方程式
(
*
（２
３）
が共役空間で直交分解されて %#!
3 ）と書けるとしよう．このとき一つの対称性 &*"%!は一つの保存則%&*"（ (%"!
(*．
%!を生む（任意の %によって定義される汎関数 %+
%%
+
/
#!
,は保存量となる）
%
%(,
(
(0
#,は，一つの 'から生成される １
５ 厳密にいうと，"%!の領域があると，そこで *は自由になる．よって %'(
+
+
.では尽く
%
',
されない．このような %'(#,を「積分」してカシミール元で表わすことは難しい．この問題は，非線形の場合，より深刻になる+ことを注意しておく．
１
６ この例は，微分作用素#が定義するポアッソン括弧（２
５）と#を「クレブシュ表現」したポアッソン括弧'!.の双対性を示す．前者はフーリエ空間の代数構造，後者は座標空間の代数構造を表現しているともいえる．
１
７ この定式化では *は渦度，&*はクレブシュパラメタであるから，+
&*!
%+
"!
",
#は流れ " のエネルギーに相当する．一方，*,""%+#はエンストロフィーである．この渦方程式を de-curl して運動方程式に書き直すと，エネルギーとエンストロフィーの*!
*,"役割が反転する（次の例参照）
．
(

(

２１５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.86, No.4 April 2010*)##+#&%)+（(+）を 意 味 す る．最 も 簡 単 な 解 はここに !%*，%'は任意の実定数，! '*
%"!
++はカシ
%&+
.!

（#は定数）．これを「積分」すると（２２）でみ
&%#*
)##+

ミール元（'%"!
&）である．（３９）により，ハミルトン方.!

た〈ヘリシティー〉と呼ばれる保存量

程式（２３）はこの変換に対して不変である：

!*
#+
#&,"
#
%#
*
)##+
$

)*+%#)+$!*.
++++%#)+"*（４１）（４４）

したがって，ハミルトニアン"*++で置き換えて++を$!*
が得られる（自明な定数 #は 1/2 とした）．これは先の例のも，運動は変わらない．ハミルトニアン＝エネルギーとカカシミール元とは異なる性格のものだ．つまり特性曲面のシミール元で構成された$!*++を〈エネルギー・カシミー

存在など関係ない．これ以外のカシミール元あるいはカール関数〉と呼ぶことにしよう．

ネル元を構築する一般的な手立てはない．

変換（４３）によって，平衡点は多様化する．運動方程式

し か し，# が２次元 ベ ク ト ル と な る と 状 況 は 一 変 す（２３）の平衡点は右辺を０とする +であるが，その最も簡単

る．２次元のときはこれを３次元空間の中にはめこみ，垂なものはハミルトニアン "*++の極値点（ふつうは極小点）

直ベクトル $$$),"-!)-",+' を用いて)##%*
' %(
' と書

すなわち )+"*++%!となる点である．しかし，ほとんどの

くとわかりやすい．よって *#%!となるからヘリ)##+$場合それは自明な解である（前項のいろいろな例をみよ）．

シティー（４１）は自明化する．代わりに，２次元の特殊性

しかし，カシミール元で変換されたハミルトニアンすなわ（特性曲面の可積分性）のために無限個のカシミール元がちエネルギー・カシミール関数$!*++の極値点は様々な発生する．クレブシュパラメタで &%)*#$' と書くと，〈構造〉をもつ．まずその理由を直観的に説明しよう．多く#+は ()*%)+*)##+#&%()*．したがって，&&$')*の例で "*++は状態空間 , !の基本的な連続写像（代表的（(+）と等価であり，これは *%%(+と解くことができる*にはエネルギーノルム）であるのに対して，カシミール元（ %は 任 意 関 数 で，+*
(+
(+
(!"%
(+
&(と 計 算 さ れ
%%
*
*

!'*
．
++は微積分を含む汎関数である（前項の例を見よ）

る）．ただし (%!は有限な領域で起こらないと仮定してしたがって，平衡条件＝極値条件 )+$!*++%!は「微積分いる（脚注１５参照）．この非線形解は（先の例とはちがっ方程式」となり，それはパラメタ !を「固有値」として含て）積分できて，カシミール元む（!%!の解は「基底状態」を表わす）．〈構造〉とは微積
分方程式の固有関数である――これが構造を記述する数学

!*
#+
$
(+
&,
&,%#!*
%#!*
)##$
'+

の普遍文法だ．

（４２）

具体的な例を見よう．まず前項で述べた非圧縮中性流体
１８が得られる（ただし !-%%．実際，)#!*
）
#+
(+
%)%*
#$
'

の 方 程 式（４０）の 場 合 を 検 証 し よ う．平 衡 はと計算されることを確かめられたい．

"#"#"&+の解である１９．ハミルトニアン
*
)##+
##%)*

プラズマの方程式は，複合的な波動方程式だと考えるこ"%""#"#&,の極小点は自明な平衡状態#%!．３次元のととができる．前項の定式化では，各モデルの主要部はほとき，ヘリシティー（４１）を用いてハミルトニアンを変換する

んど反対称微分作用素 # が担っている．波の言葉で言うと$% %"#$,""#!%)##+#．この極値点を形式的に計算
*
$

と $')
#+は０周波数モードの集合だといえる．上記のよ*するとうに波（アイコナール）が秩序をもつとき，いろいろな０)#$% %#!%)##%!.

周波数モードが生じて $')#+は大きな集合となる．しか*（４５）

し，アイコナールの秩序に関係ないカシミール元がある．

これは外微分作用素 curl の固有値問題であり，数学的な構

MHD 方程式（３４）‐（３５）の場合，!' %"'&,，!(%"!$"&,

造は詳細に解明されている［１４］．解は〈ベルトラミ（Bel-（磁 気 ヘ リ シ テ ィ ー），!%(%"#$（ク ロ ス ヘ リ シ"&,

trami）流〉と呼ばれ，渦の基本形を与える
［１５］
．もちろ

ティー）の三つがある．これらが保存量であることを確認

ん，これは定常非圧縮流のなかの極めて特別なものであされたい．また，前項で示した他のプラズマモデルについる．しかし，３次元の定常非圧縮流として一般可解性が厳てカシミール元を計算されたい．

密にわかっているのは，方程式（４５）だけである．

３．
３ カシミール元と渦構造

２次元の場合は豊かなカシミール元（４２）をもつ．これを用いて変換したハミルトニアン$% %"!%"!*(+$,の極

保存量のなかでもカシミール元がとりわけ重要であるの値点を形式的に計算すると（ %!-%%と書き）

は，次の理由による．運動方程式を決定づけるハミルトニ
アンを次のように変換してみよう：)#$% %#!)%
.
(+
*
#$
' %!

&

.
$!*
++
++
%"*
++
"! %'! '*
'%"

（４６）

た だ し #%)*#$$'，(%)##$' %!#*で あ る．し た（４３）がって（４６）は非線形楕円型偏微分方程式

１８ とくに !*
７参照．なお，圧縮性中性流体の場合は，ハ%(#とした場合のカシミール元は〈エンストロフィー〉である．脚注１(+
ミルトン形式は
（３
１）
‐
（３
２）
で*
!+
%!と す れ ば よ い．状 態 ベ ク ト ル は %%**$!
(#+で あ る．こ の 場 合 は カ シ ミ ー ル 元 は
'!
!*
%+
%"'!*
&,となる．
("'+（圧力）に置き換えれば，これはおなじみの MHD 平衡方程式である．したがって以下の議論は（流れが１
９ # を "，"#"#"&を )ない）MHD 平衡の理論と思ってもよい．

２１６

Commentary

Theoretical Problems in the Analysis of Flowing Plasma Equilibrium and Stability

(%%
*
!#(+

Z. Yoshida

３．
４ 安定性

（４７）

前項では，エネルギー・カシミール関数"! の極値点をの形に書ける．これを解いて定常渦の様々な構造が得られ

勾配＝０の点として形式的に議論したが，この「微分係数」

る．いうまでもなく %のとり方によっては，（４７）は様々なの計算は数学的には問題がある．関数空間＝無限次元線形

分岐解をもつ．その一般的な数学的構造は楕円型偏微分方空間においては，微分係数を安易に考えてはならない．エ

程式論の未解決問題である．さらに難しいのは，脚注１５でネルギー・カシミール関数の概念は常微分方程式の微分幾述べたように，方程式（４７）がどこまで定常解をカバーでき

何学的方法による研究で開発された概念であるが［２２］，こるかという問題である．この方程式で表せない定常解とはれを偏微分方程式（無限次元の常微分方程式）の理論に移どのようなものか？平衡方程式は非線形双曲・楕円型とい転するときに，まだいろいろ荒っぽいところがある．前項

われる偏微分方程式であり，双曲型の部分はコーシー問題

でも述べたように，ハミルトニアン＝エネルギーは滑らかとして解かなくてはならない．カシミール元とコーシー問な汎関数として定義されるべきであり，したがってその微２０

分係数はいわゆるフレッシェ微分によって定義できる．し題の関係として興味深い未解決問題である ．
プラズマのモデルについても，同様な議論ができる．とかし，既に述べたように，カシミール元は微積分作用素

くに（３次元）非圧縮モデルにおいて様々なヘリシティー!#（とくに %
あるいは %）を含むというのが重要なポイ
*)
'
*)
'

がカシミール元としてみいだされ，それを用いて多様な渦ントであり，微分作用素を含むときは不連続な汎関数とな構造が「固有状態」として求められる．たとえば，非圧縮る．その微分係数という概念は一般には難しいが，凸性がMHD モデルにおいてはあるならば「変分法」によって「弱い意味の微分」を定義
す る こ と が 可 能 で あ る２１．私 た ち は，平 衡 点 を エ ネ ル
ギー・カシミール関数"!*'+の極値点として探そうとし

"!*
"!%$$
%$
""
%!
"+
#$"!$+
&'"
$，
%$!
*
!%#!$

ているのだが，この汎関数が凸汎関数であるときは，平衡点は極小点である（厳密にいうと，後述の〈強圧性〉を要

非圧縮ホール MHD モデルにおいてはする）．平衡点の近傍で運動はエネルギー・カシミール関
$

$

$!
"+
$!!+"! /
%$#
.
*
"!*
"!%$$$
&'"
$
!%#!$
)#$,

数＝一定という多様体の上に束縛されているのだが，その多様体は極小点を取り囲む閉曲面であるはずだ．したがって，凸汎関数の極小点として与えられる平衡は「安定」での極値点を形式的に計算すると，その解は curl の固有関数

ある［９，２３］．つまり，エネルギー・カシミール関数の凸性の線形和で与えられる――なぜ curl かというと，ヘリシがわかると，その変分原理から「安定な平衡点」がみつかティーが curl をもとに構成される汎関 数 だ か ら であるるのである．
凸性がない場合の理論は難しい．そもそも勾配 ''"!*'+［１５］．と く に 興 味 深 い の は ホ ー ル MHD の 場 合 で あ る［１６，１７］：'$"! %"と '""! %"からそれぞれ
!
%!%$%
%"!+
*)
'
*
%"，
$
"
!#
!#
%
"%"
%
*)
'
*
)
'
""!%
!%
#
$
#

の意味づけを慎重に行う必要があり，さらにその値は非線形作用素!の定義域に含まれなくてはならない．厳密な理論はこれからの課題である．具体的な問題としては，ケル（４８）

ヴィン・ヘルムホルツ不安定性と変分原理との関係が興味を得る．ただし，)# を %*)'と書いた．またここでは長さ

深い．２次元流については，前項で述べたように「豊富なスケールをイオンスキン長，磁場と速度をアルヴェン単位

カシミール元」があり，「ほとんどの平衡流」はエネルで規格化している．（４８）をまとめると，

ギー・カシミール関数の変分原理と関係づけられるからである．それらについて，安定性の「必要十分条件」を明ら

%%"
%
*)
'
%
*)
'
*
!$"+
*
!$!+

かにしていくことで，生成作用素（非エルミート作用素）となり，"も同じ方程式をみたす．この一般解はベルトラのスペクトルとエネルギー・カシミール関数（リアプノフ［１４］を用いて
ミ固有関数 *
#& %"
%
*)
'
!$&+

関数といってもよい）の曲率との関係を無限次元空間で議

%*
"+
()
%$"#""$!#!

論することになる．いうまでもなく，流れをもつプラズマ（４９）の安定性を議論するとき，ケルヴィン・ヘルムホルツ系のと与えられる．前記のように，これは極めて特別な平衡解

様々なモードが問題となるが，その振る舞いは極めて複雑であるが，３次元の場合に解析的に得られる唯一の厳密解であり（流れが安定化に効いたり不安定化に効いたりするであり，またその単純な表現（２つの固有関数の線形和）ように見える）［２４，２５］，根底で何が安定性を支配しているにも拘わらず，非常に多様な構造が描出される（たとえばのか未だよくわかっていない．
線形理論について付言しておこう．ハミルトン運動方程［１７‐２１］参照）．

２
０ グラッド・シャフラノフ式の定式化と比べてみよう（脚注１９参照）．%%)(#&
!#(+
&
)#%+
#%%))に代入(，)#%%*( を!
すると *' "のところで）)(-))を意味するから，)%"*!#(+)(%))．これは（&%!#(%(+とおけて，!#(%&*(+なる関の双対的関係が得られる．問題はこれらが単調関数でない場合であり，連続（４７）と比べると &!#%%
係式を得る（"0%&）．これを関数である限り写像度の概念でいけるが［９］，難しいのは不連続な場合（あるいは縮退する場合；脚注１５参照）である．
２
１ 厳密にいうと，下半連続な凸汎関数であれば〈劣微分〉という（一般に多価の）微分係数が定義できる
［８，
９］
．

２１７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.86, No.4 April 2010

式（２３）を一般の平衡点 %#%!の近傍で線形化しよう．微小'と書く．まず形式的に %%")'，
な変動を %
'%&
!"""%
% "%
*

注５にも述べたように，変位ベクトルを使って $を表すのが直観的にもわかりやすい方法であろう．線形理論では流''線の変動を微小ラグランジュ変位 "
#'
(!!
$
(
(で表すと，!

'と書こう．ハミルトニアンの極
#)
#&(%
"'
'&%# !&% !%!

小点にある平衡を考えると &!#!となるが，これはほとん'''（! % はリー微分）と書ける．問題
$
#'
(!!
$
(
(
#%$"
!! "
'$

#!であるがど自明な状態である．一般の平衡解では &!&は「場」の変動であるが，MHD モデルやホール MHD モデ# !&!#!である．平衡条件に注意して（２３）を展開すると，

ルでは，場の方程式は電子の運動方程式が縮退したもので'を表現することがで'を使って "
置き換わっているので，"*'## !""%
%$%
'"'
'
#&!(
%

（５０）

'も同様である（厳密には，すべての変動が記述でき
きる．$と書ける（線形化可能ということは " と # が正則である

るのではなく，平衡点からの変位によって生じる変動のみ'で表現を扱うことになる）．こうして場の変動をすべて "ことを前提としている）．以上の計算においてハミルトニ
アン " をエネルギー・カシミール関数$! で置き換えても'の支配方程式）は "'に関する２すれば，運動方程式（%$$

よい．以下，線形化作用素を "" と書くが，これは$! の線

階時間微分の方程式になる［２７］．これは，ハミルトニアン

形化だとしよう．

の表現を構造化する戦略の一つといえよう．

$! の極小点は &!#!でありながら自明でない平衡解を周期運動を含む場合には作用変数を用いてハミルトニア

与える．&!#!のとき（５０）の右辺第２項＝０となり，安定ンをスケール階層化することが有効である．これについて

性は第１項だけで決まる．# !は反対称線形作用素であるは，廣田・福本［２８，２９］による研究が礎になるだろう．

か ら，揺 動 に 関 す る エ ネ ル ギ ー 保 存 則

非一様流のストレッチ効果をラグランジュ的に表現する

'(
'
'(
'(
" "'
%
%
%
"
!
""%
##一定が成り立つ．２次形式 " "'#'ために「流れにのって時間変形していく基底関数」で場を

""
#
')
'
'(
が揺動のノルム)に対して〈強圧的〉であるな
%
%
%
!
)
)
#'
ら，すなわちある正の定数 #があって
#
')
%
#)
)
)
$" "'
'(
%

分解する，というアイデアを思いつく――最初に考えたのはケルヴィンである［３０］．非エルミート系の過渡現象を理解する（あるいは記述する）ために有効な方法である．

（５１）

MHD 不安定性に対するシヤー流のストレッチ効果に関しが成り立つならば，この平衡は安定である．線形作用素ては，交換型不安定性やキンクモードの振幅の過渡的変化（５１）はスペクトルが"" がスペクトル分解できるならば，を記述する振動方程式が定式化される［３１‐３４］．バルーニ

すべて #'#!(以上であるとを 意 味 す る．こ れ は エネル

ングモードのストレッチ効果に関する解釈でも，アイコ

ギー・カシミール関数が（平衡点の近傍で）「あらゆる方向

ナールにシヤー流の輸送を考慮しておくと，振幅関数の過に正の曲率をもつ」ことを意味する．

渡的な変化が表現できる［３５］．これらはシヤー流が引き起一般の平衡点に関しては，（５０）右辺の第２項を消去する

こす空間的非一様性を時間的非同時性に置き換える変換とことはできない．したがって「揺動のエネルギー」に相当いえる．したがってラグランジアンに陽な時間依存性が生するような保存量は明示的でない．しかし，もとの非線形じる．ストレッチ効果は「抵抗」による減衰として表現で方程式が保存系であるから，変数の選び方を工夫すれば保'## !&'とお存則を作れる可能性がある．一つの方法は，%（波の運動論）位相空間の体積変化を考慮する必要がある

き，作用変数を用いて揺動を「量子化」して扱うためにはいて揺動を制限することである（第１項で述べたように，'は $%&
このような %# !(に直交する部分空間に制限され
'

［３６］．

'
'(
'
'(なる対
#&!(# !'る）．このとき，'#&!(# !&
'
&
!
!
#'
'
'

えるものがあるとするならば，それは運動方程式の難しさ称性が示せる［２６］．したがってをハミルトニアンの中に構造化するか，あるいはポアッソ*

最後にやや遠く展望をひらくと，物理の理論に妙技とい*ン括弧式（反対称作用素）の中に構造化することによって，

*
'(
&
!'
#'
'"'
'
'(
# !""# !&
#&!(
# !&
&
!

数学的秩序へ還元することだといってよい．数学は「代数」

なる汎関数は対称な２次形式である．この時間微分を計算「幾何」「解析」という三つ分野をもつのだが，ここで「秩すると０になることは容易にわかる．この保存量を使って序」といっている内容は，このすべてを柱として構築され同様な安定性の議論を行うことができる．

るものにちがいない．いずれの分野からみても，「流れ」
を理解することこそ中心的で永遠のテーマだといえないだ

４．今後の研究の展望

ろうか．

基礎的な理論を解説することで紙幅が尽きたが，ここで述べた二つの基本戦略（ハミルトニアンの微分形式化によ

参考文献

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で流れ $ を「運動」――すなわち何かの変数の時間微分――に関連付ける仕組みが含まれていなくてはならない．脚
２１８

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