まえがき

大学 3 年生のとき，ある本をきっかけに機械系と電気系のアナロジーに興味をもち，勉強した。機械システムの動的挙動を等価な電気回路に置き換えて解析するというもので，当時はアナログ計算機なるものもあった。3 年生の後期に卒業研究テーマが発表され，その中の「油圧回路の…」というテーマの「回社路」しか目に入らずに所属した研究室が，精密工学の研究室であった。このテーマの課題の一つは，可変油圧ピストンポンプの斜板の位置制御を行うために借りていたサーボアンプを自作することで，回路は回路でも，予想外のこと

ロナであった。秋葉原で必要部品を買い集め，15 kW の油圧モータの速度制御ができるようにした。このモータは平面研削盤の主軸駆動用であった。当時，高速研削の研究が世界的に行われ始めており，この研究室では，主軸回転とテーブル送りを高速化した研削実験の準備のために，高パワーのモータに加えて，この研削盤の主軸軸受およびテーブル案内面が，すべて油の静圧軸受につくり変コえられていた。これが，静圧軸受との出会いである。1972 年のことであった。
これから，高速研削から高切込み・極低速送りのクリープフィード研削へと研究内容は変わったものの，学位を取得するまでは研削の研究に従事してきた。しかし同時に，研削加工精度との関係から静圧軸受の動特性についての研究も行い，その過程で静圧軸受の勉強もした。1970 年前後は，学会でも静圧軸受が注目されていた。1970 年代後半には，有限要素法（FEM）を用いて研削温度の解析（熱伝導問題）も行うようになったが，当時は大学の大型計算機
でも節点数 1 500 程度の計算しかできなかった。
1989 年，縁あって現在の大学にお世話になることになり，1 年目に実験室の整備のための特別な予算をいただいた。大型の防振台とワークステーションを購入したら予算はほとんどなくなってしまったが，そのころのワークステー

ii

まえがきション（HP‑UX）のメモリはなんと 8 MB だったと記憶している。
機械加工関係の研究室ではあるが，新しい研究テーマとして空気軸受の解析プログラム，具体的には，FEM を用いてレイノルズ方程式およびエネルギー方程式を解くプログラムの開発を始めた。まずは，これら支配方程式の定式化である。ここで改めて数学を勉強し直し，学生時代にはまったくわからなかった定理の数学的意味が実際と結び付いた。幸いなことに，1 年目の卒業研究生に UNIX もある程度わかりプログラミングも得意な学生がいた。卒業後も連絡をとってロジックやプログラムの誤りを修正し，これが本書でいくつか紹介しているプログラムのもととなっている。彼には大いに感謝する次第である。

社

FEM を用いたプログラムの構成は，問題によらずほとんど同じであるので，支配方程式の定式化さえ間違えなければ，構造解析や場の問題に応用するのは，それほど難しくはない。筆者は，静圧軸受の圧力分布解析に加えて，静圧

ロナ

軸受主軸ユニットの熱変形解析，熱源の移動と冷却そして研削の進行に伴う工作物の形状変化を考慮した研削中の工作物温度解析にも，FEM を利用している。
本書執筆の動機の一つとなったのは，ある学会で論文の校閲委員をしていた
とき，FEM を用いて空気静圧軸受の圧力分布を求めようとしているにもかかわらず，圧力分布がわからないと決まらない絞り出口圧力を簡単な圧力分布のコ仮定から定めて境界条件とし，レイノルズ方程式のみを解くという論理的に矛盾した論文に出くわしたことである。そこで，浅学非才であることも顧みず，筆者が作成したプログラムを一般に公開しようと考えた次第である。
したがって，本書の前半は，筆者の洗練されていないプログラムであるが，これがすぐに使えるように，4 章以降はもっと素晴らしいプログラムを作成する手助けができるように，という思いで書かせていただいた。
最後に，仕事に専念できるよういつも気を配ってくれている愛する家族，妻の幸子そして息子の剛と悟，に深く感謝いたします。また本書の出版を快諾していただいたコロナ社に感謝申し上げます。
2011 年 3 月

大石進

目

1.

滑り軸受と軸受理論の基礎

滑り軸受の原理と種類

1.1.1

潤滑と滑り軸受

1.1.2

動圧軸受の原理と種類

1.1.3

静圧軸受の原理と種類

滑り軸受理論の要約

ロ
ナ1.2

1.2.1

一般化レイノルズ方程式

1.2.2

非圧縮性レイノルズ方程式

1.2.3

圧縮性レイノルズ方程式

1.2.4

潤滑膜の境界条件

1.2.5

絞り

コ
2.

2.1

社

1.1

次

数値解析のための準備と有限要素法の利用

フォートランコンパイラと数値計算ライブラリ

2.1.1

フォートランコンパイラ

2.1.2

数値計算ライブラリ

2.1.3

コンパイラコマンドとコマンドオプション

2.2

有限要素法の長所と短所

2.2.1

近似の方法と有限要素法の長所

2.2.2

有限要素法の利用における短所

2.3

プリプロセッシングとポストプロセッシング

2.3.1

プリプロセッシング

iv

目

2.3.2

ポストプロセッシング

次3.

各種軸受用プログラムとその使い方

3.1

解析モデルの設計

3.2

プログラムの基本的なフローチャート
圧縮性流体・自成 / オリフィス絞り型静圧軸受
圧縮性流体・多孔質絞り型静圧軸受

3.2.3

圧縮性流体・動圧軸受

3.2.4

非圧縮性流体・オリフィス / キャピラリ絞り型静圧軸受

3.2.5

非圧縮性流体・動圧軸受

3.3

社

3.2.1
3.2.2

ジャーナル軸受解析のための入力データと出力

圧縮性流体・真円形・静圧ジャーナル軸受（GAS‑STAT）
非圧縮性流体・真円形・静圧ジャーナル軸受（HYDRO‑STAT）

3.3.3

非圧縮性流体・真円形・動圧ジャーナル軸受（HYDRO‑DYN）

3.3.4

解析結果の見方

3.4

ロ
ナ

3.3.1
3.3.2

スラスト軸受解析のための入力データと出力
圧縮性流体・矩形・静圧スラスト軸受（GS‑RECT）
非圧縮性流体・矩形・静圧スラスト軸受（HS‑RECT）

3.4.3

圧縮性流体・矩形・動圧スラスト軸受（GD‑RECT）

3.4.4

非圧縮性流体・矩形・動圧スラスト軸受（HD‑RECT）

3.4.5

圧縮性流体・環状 / 矩形・静圧スラスト軸受（GS‑ANNULAR）

コ

3.4.1
3.4.2

3.4.6圧縮性流体・円形 / 矩形・静圧スラスト軸受（GS‑CIRCULAR）

3.4.7

圧縮性流体・環状 / 矩形・表面絞り型静圧スラスト軸受（GS‑SURFACE）

3.4.8

解析結果の見方

3.5

圧縮性流体・環状 / 矩形・多孔質絞り型静圧スラスト軸受解析のための入力データと出力

3.5.1

圧縮性流体・環状 / 矩形・多孔質絞り型静圧スラスト軸受（GS‑POROUS）

3.5.2

解析結果の見方

目

4.
4.1

プログラミングの要点とプログラムの検証

有限要素法と定式化の方法

4.1.1

圧縮性流体レイノルズ方程式

4.1.2

非圧縮性流体レイノルズ方程式

4.1.3

多孔質体内の流れとレイノルズ方程式

要素および局部座標系と全体座標系

4.2.1

2 次の四角形要素

4.2.2

1 次の三角形要素

4.2.3

2 次の六面体要素

4.3

数積分

4.4

プログラムの構成

4.5

剛性マトリックスと負荷ベクトル4.6境界条件とその処理

ロ
ナ

値

社

4.2

4.7 流 量 の 算 出
4.8

負荷容量と剛性の算出

4.9 軸 受 す き ま
4 . 10プログラムの検証
圧縮性流体軸受

4 . 10 . 2

非圧縮性流体軸受

コ4 . 10 . 15.

軸受設計のさらなる高度化に向けて

5.1

エネルギー方程式

5.2

潤滑膜に適用したエネルギー方程式の有限要素定式化

5.3

熱流体潤滑問題へ引用・参考文献
索次引v

滑り軸受と軸受理論の基 礎

1

滑り軸受（slider bearing）とはなにか，動圧（hydrodynamic pressure，aerodynamic pressure） と は な に か， 静 圧（hydrostatic pressure，aerostatic pressure）とはなにか，またその圧力を利用した軸受（bearing）と社はどのようなものであるかを，本書で解析の対象としているものを中心に説明する。軸受という日本語は回転軸を支持するものを連想させるが，bear という英語はなにかを保持する，支持するという広い意味をもってロナ

おり，ベアリングは回転運動のみならず並進運動する物体の自重および外力を支持して円滑な運動を実現させる。

このような軸受の理論，いわゆる潤滑理論の基礎は 1886 年にレイノルズによって確立された。ここでは，Dowson によって示された一般化レイノルズ方程式を紹介し，次いで本書で用いているレイノルズ方程式を説明する。特に，それぞれの式に付帯する前提条件や仮定に注意して，理解していただきたい。

コ

動圧軸受および表面絞り軸受における軸受すきま内の圧力は，レイノルズ方程式のみによって決定される。しかし，静圧軸受には軸受すきまに加圧流体を供給する孔などの一般的にいえば絞りが必須であり，軸受すきま内の圧力は，絞りの特性とレイノルズ方程式によって決定される。したがって，静圧軸受に必須の絞りについても説明する。

1.1
1.1.1

滑り軸受の原理と種類

潤滑と滑り軸受

物体をある決められた方向に並進運動あるいは回転運動させるためには，必ずガイド（案内面）が必要である。図 1 . 1 は並進運動の場合であるが，案内面21.

滑り軸受と軸受理論の基礎
滑り接触（無潤滑） 滑り接触（潤滑）

転がり接触

案内面

動圧の利用

図 1.1

浮上（非接触）静圧の利用

円滑な運動の実現（並進運動の場合）（guideway，slideway）に沿って物体を移動させるとき，固体同士が接触して社いる無潤滑の滑り接触では摩擦（friction）の影響が大きく，円滑な運動は望めない。動きやすくするためには，水や油を注いだり，ころを入れたりすればよいことを人類は古くから知っていた。これが，後述するような実験的およびロナ

理論的な研究成果を基に，現在の機械要素としての滑り軸受や転がり軸受（rolling bearing，rolling‑contact bearing）となってきているわけである。
水や油を注ぐのは，摩擦を減らして動きやすくするためであり，同時に摩耗（wear）などを減らすことである。すなわち，水や油を潤滑剤（lubricant）とする潤滑（lubrication）である。図 1 . 1 の滑り接触（潤滑）のように潤滑を行コうと，摩擦係数は，潤滑剤の粘っこさや滑り速度の大きさなどによって変化することが知られており，摩擦係数は軸受特性数（粘性係数と滑り速度の積を荷重または面圧で割ったもの）によって整理できることを，1902 年にドイツのシュトリベック（R. Stribeck）が広範な実験から明らかにしている 1），2）†。これをシュトリベック線図またはストライベック線図といい，図 1 . 2 のようなものである。図に示すように，軸受特性数に応じて摩擦係数の異なる三つの潤滑状態，すなわち境界潤滑（boundary lubrication），混合潤滑（mixed lubrication，thin film lubrication），そして流体潤滑（hydrodynamic lubrication，thickfilm lubrication）が存在する。
†肩付数字は，巻末の引用・参考文献の番号を表す。

1.1

滑り軸受の原理と種類

3

境界潤滑

流体潤滑

摩擦係数混合潤滑

図 1.2シュトリベック線図

社

軸受特性数

流体潤滑とは，二つの固体間に存在する潤滑剤の膜（潤滑膜，lubricationfilm）によって固体同士が接触することのない状態であり，この場合の摩擦力

ロナは潤滑膜の粘性によるものとなる。したがって，ニュートンの粘性則より，摩擦力は潤滑膜のせん断速度，すなわち固体の滑り速度に比例する。固体同士の直接接触がないから摩耗はほとんど起こらず，粘性の小さい潤滑剤を用いれば摩擦係数も非常に小さい理想の潤滑状態である。流体潤滑状態では，潤滑膜が固体を支持しているわけであるから，潤滑膜には固体を支持するだけの圧力がコ発生していることになる。

潤滑膜が，1 . 1 . 2 項で述べる動圧あるいは 1 . 1 . 3 項で述べる静圧によって負荷を支持するのであれば，これはもはや潤滑ではなく，図 1 . 1 の転がり接触におけるころや玉が潤滑膜に置き換わったベアリング，滑り軸受，と見ることができる。すなわち，潤滑膜に積極的に圧力が存在するようにして物体を支持する滑り軸受である。
滑り軸受では，転がり軸受のころや玉の役割をするものとして，油と空気が広く用いられている。軸受の性能に及ぼす両者の違いは，主に以下のものが挙げられる。
（1） 油の粘性係数は空気の約 1 000 倍あり，摩擦が大きい。
（2） 油の粘性係数が大きいことは，せん断による発熱が大きい。

41.

滑り軸受と軸受理論の基礎（3） 発熱によって油の粘性係数は低下し，軸受特性が大きく変化する。
（4） 油の発熱は周囲の熱変形を引き起こす。
（5） 油は圧力に対して非圧縮とみなされるが，空気は圧縮される。
なお，滑り軸受と同様に固体接触のない軸受として実用に供されているものに，磁力を利用した磁気軸受（magnetic bearing）がある。

1.1.2

動圧軸受の原理と種類

動圧については，1883 年から 1884 年にかけて，イギリスの鉄道技師 B.
Tower が，鉄道における軸受摩擦に関する一連の実験の中でこれを発見し，そ社の測定を行っている 3），4）。

この動圧が発生する原理を定性的に説明する。まず，図 1 . 3 は，流体力学で学ぶところの 2 種類の流れ，すなわちクェット流れ（Couette flow）とポアズロ
ナイユ流れ（Poiseuille flow）である。前者は，一対の平行な壁の一方が静止していてもう一方が動いている場合で，壁に接している流体は粘性のために壁とコ

入口

出口

入口質量流量＝出口質量流量
入口流速 ＜ 出口流速

入口流速

出口流速
圧力分布

壁が移動
クェット流れ

クェット流れ高圧

低圧
ポアズイユ流れポアズイユ流れ図 1.3 流 れ の 種 類

図 1.4

動圧発生の原理

1.1

滑り軸受の原理と種類5同じ速度で動くため，流れは紙面内のみの 1 次元流れとすると，図のような速度分布となる。壁の移動速度が大きいほど流量は増す。後者は，二つの壁は静止しているが圧力勾配が存在する場合で，圧力の高いほうから低いほうへ流れが生じ，同じく 1 次元流れとすると，図のような速度分布となる。圧力勾配が大きいほど流量は増す。
これを踏まえて図 1 . 4 を見ると，これはくさび状のすきまを形成する一対の壁があり，かつ一方の壁が動いている場合である。一方の壁が動いているので，流れはクェット流れと思われるが，そうではない。なぜなら，1 次元流れとすると，クェット流れだけでは入口側も出口側も平均流速は等しいが，入口社と出口の幅（すきま）が異なるため，それぞれの断面を横切る質量流量が等しくならなくなってしまうからである。したがって，質量流量が等しくなるためには，入口側の流速が低く出口側の流速が高くならなければならず，このため

ロ
ナにはくさび状のすきま内に周囲よりも高い圧力が発生し，左下がりと右下がりの圧力勾配が生じなければならない。

理論的には 1 . 1 . 3 項で説明するが，動圧が発生する条件は，くさび状のすきまの先細り部分に向かって，壁の動きにつられて流体が引き込まれていくことである。これをくさび効果（wedge effect）と呼ぶが，自動車を運転する者でコあれば誰でも知っていなければならない，水たまりを走行中に氷上を滑走するようにコントロール不能となるハイドロプレーニング現象（aquaplaning）は，これが原因である。タイヤと地面とで形成されるくさび状のすきまに，タイヤの回転によって水が引き込まれ，その結果発生する動圧によって，1 トン以上の車が浮き上がってしまう。
ちなみに，潤滑問題の理論的および実験的な基礎は 1883 年から 1886 年の間に，ロシアの N.P. Petrov 5），イギリスの B. Tower，同じくイギリスのレイノルズ（O. Reynolds）6）によって，3 人がたがいを知ることなく，確立された 7）。
Petrov は，滑り軸受の摩擦損失は潤滑油の粘性とせん断によるものとして摩擦力を定式化し，レイノルズは，潤滑油の動圧特性を表す微分方程式を示している。

61.

滑り軸受と軸受理論の基礎

さて，物体に特定の運動を行わせるためには，直交座標系で考えれば，そこに存在する並進と回転あわせて六つの自由度のうち五つを拘束しなければならない。図 1 . 5 に示すように，ある軸まわりの回転，ある軸に沿った並進それぞれの運動を行わせるためには，図中の矢印の方向の動きを拘束することになる。拘束したうえで円滑な運動を実現するために，ベアリングが必要となり，荷重方向から分類すれば，以下の二つになる。
（1） ジャーナル軸受（journal bearing）またはラジアル軸受（radial bearing）（2） スラスト軸受（thrust bearing）またはアキシャル軸受（axial bearing）
一般に，回転運動においてはジャーナル軸受とスラスト軸受が必要であり，並（ a ） 回転運動

（ b ） 並進運動

コロナ社

進運動においてはスラスト軸受が必要である。

図 1.5

回転運動および並進運動における拘束すべき運動の方向

本書で対象としている，動圧を利用したジャーナル軸受形態を図 1 . 6 に示す。図（ a ）の真円軸受は軸受面の直角断面が円となっている。動圧が発生するのにくさび状のすきまが必要であるが，真円軸受の場合は，これを水平に設置すれば軸受内の軸は自らの重み（自重）によって下方へ偏心するため，回転始動時にはくさび状のすきまが形成されている。図（ b ）は，図（ c ）のマッケンゼン（Mackensen）軸受のようにして構造的に初めからくさび状のすきまが形成されているもので，複数の円弧の組合せからなる一般には多円弧軸受

索

索

【こ】

アイソパラメトリック要素

コ
【き】

,

【く】
クェット流れ
くさび効果

,

【さ】
差分法
三角形要素

軸受数
軸受すきま
軸受特性数
軸受負荷容量
自成絞り
自然座標系
絞 り
絞り抵抗
絞り出口圧力ジャーナル軸受
シュトリベック線図
真円軸受
浸透率,

,静圧軸受
積分公式
,
接合点
線積分
,
全体剛性マトリックス
全体座標系
全体節点番号全体負荷ベクトル【そ】

ソースファイル,
ゾンマーフェルトの条件

【た】

,

【す】

【け】
形状関数

【せ】

【し】

解析モデルの設計
ガウスの定理ガウス・ルジャンドル求積法
拡張子
ガラーキン法

キャビテーション
ギュンベルの条件
境界潤滑
境界条件
局部座標系

剛 性
コマンドオプション
混合潤滑
コンパイラ
コンパイルコマンドロナ

アキシャル軸受
圧力‑流量特性案内面
一般化レイノルズ方程式
エッケルト数エネルギー方程式
オリフィス絞り

【か】

引社

【あ行】

213

引

スウィフト・スティーバーの条件
数値計算ライブラリ,
すきま抵抗
ストライベック線図
滑り軸受
スラスト軸受対称マトリックス
多孔質軸受
多孔質絞り
ダルシーの法則,,,単位法線ベクトル
弾性流体潤滑理論

【ち〜と】
チョーク
通気率
点 源
伝導率
動 圧
透過率

,

,

【ね】
熱弾性流体潤滑理論
熱伝導方程式

214

索引

熱流体潤滑問題

プリプロセッシング
フローチャート, ,【は】ハーフ・ゾンマーフェルト条件
バンド幅,
バンドマトリックス

【へ】
,

【ぽ】
,

【ふ】

【ま行】
摩 擦
摩擦係数
マッケンゼン軸受
摩 耗
面絞り

ロ
ナ

ファイル転送負荷ベクトル
負荷容量富士通 Fortran & C Package 64
部分積分法
プラントル数フーリエの法則
プリプロセッサ

ポアズイユ流れ方向余弦
ポケット
ポストプロセッサ
ポリトロープ変化【B, D, F】

コ

BLAS
dos2unix コマンド
FTP クライアントプログ
ラム,ヤコビアン
有限要素法
要素剛性マトリックス,,,
要素節点番号要素負荷ベクトル,,Graph‑R
HP FortranIMSLIntel Fortran Compiler
for Linux
Intel Visual Fortran【G, H, I】【L, M】LAPACK
MKL

,,,,,

【ら行】
ラインの番号
ラジアル軸受
リセス
流出境界辺
流体潤滑
レイノルズの条件

社

表面絞り

,

【や行】

閉 塞
偏心角

【ひ】

G95
GNU Fortran

,

面積座標
面積積分
毛細管絞り

,

【S, U】
smartGRAPH
SSL Ⅱ
unix2dos コマンド【数字】
2 次元アイソパラメトリッ
ク要素
2 次元シンプレックス要素,
2 次の四角形要素,

―― 著 者 略 歴 ――
東京都立大学工学部機械工学科卒業
東京都立大学大学院修士課程修了（機械工学専攻）
東京都立大学助手
工学博士（東京都立大学）
東京都立大学助教授
青山学院大学助教授
青山学院大学教授
現在に至る

実践 気体軸受の設計と解析社

1973 年
1975 年
1975 年
1984 年
1986 年
1989 年
1994 年

─ 有限要素法による動圧・静圧気体軸受解析 ─ロナ

Practical Design and Analysis of Gas Bearings
─ Finite Element Analysis of Aerodynamic and Aerostatic Bearings ─2011 年 5 月 25 日

初版第 1 刷発行

著大石株式会社

印 刷 所
112 0011

発行所

★

進コロナ社
代 表 者
牛来真也
新日本印刷株式会社

者

発 行 者

コ

検印省略

Ⓒ Susumu Ohishi 2011

東京都文京区千石 4 46 10株式会社

コロ

ナ

社

CORONA PUBLISHING CO., LTD.
TokyoJapan

振替 00140 8 14844・電話（03）3941 3131（代）（金） （製本：愛千製本所）
ISBN 978 4 339 04613 7
本書のコピー，スキャン，デジタル化等のPrinted in Japan
無断複製・転載は著作権法上での例外を除き禁じられております。購入者以外の第三者による本書の電子データ化及び電子書籍化は，いかなる場合も認めておりません。
落丁・乱丁本はお取替えいたします