MWE 2015 WE4B-1

ワイヤレス新時代におけるマイクロ波フィルタの理論・解析・設計入門

Introduction to Theory, Analysis, and Design of Microwave Filters
in New Era of Wireless
大平 昌敬
Masataka OHIRA

埼玉大学 大学院理工学研究科
Graduate School of Science and Engineering, Saitama University
概要
本基礎講座では，マイクロ波フィルタのなかでも帯域通過フィルタの理論・解析・設計方法について，電気回路の知
識から理解できるように解説する．将来，高性能なマイクロ波フィルタの設計への足がかりとなるように，最近の結合共振器フィルタの設計で用いられる結合行列をベースに説明する．具体的には，(1) フィルタ特性の近似に使われる伝達関数，(2) それを実現する結合トポロジー，(3) 結合行列を用いた回路解析，(4) 回路合成，(5) そして結合係数や外部 Q 値に基づくフィルタの物理構造の設計へと展開していく．設計については，電磁界シミュレータを活用したマイクロストリップフィルタの設計例とともに紹介する．
キーワード：マイクロ波フィルタ，帯域通過フィルタ，伝達関数，結合トポロジー，結合行列
前提知識：電気回路（共振回路，キルヒホッフの法則，二端子対回路など），分布定数回路
f1 f0 f2

0

Attenuation (dB)

10

Return loss
Insertion loss
Specifications

結合行列
⎡

LAmax

0

Δf
LRmin
LAtt

20
30
40

⎢
⎢ MS1
⎢
⎢
⎢ MS2
⎢
[M ] = ⎢ .
⎢ ..
⎢
⎢
⎢ MSN
⎣
MSL

50

MS1

MS2

···

MSN

M11

M12

···

M1N

M12
..
.

M22
..
.

···
..
.

M2N
..
.

M1N

M2N

···

MNN

M1L

M2L

···

MNL

Dielectric substratew

図 マイクロ波帯域通過フィルタの設計仕様

2

l0

1

Via hole

⎥
M1L ⎥
⎥
⎥
M2L ⎥
⎥
.. ⎥
⎥
. ⎥
⎥
MNL ⎥
⎦
0

ly2

3

s12
Input

⎤

lx2

s23

60
Frequency (GHz)

MSL

4

s14

ly1

Outputlx1

図 有極帯域通過フィルタ

Abstract
In this tutorial lecture, the basic theory, analysis, and design method of microwave bandpass ﬁlters are described for easy learning from the knowledge acquired through study of electric circuits. For the future step tothe design of advanced microwave ﬁlters, the lecture is based on the coupling matrix used for the designs of recent
coupled resonator ﬁlters. More speciﬁcally, it contains ﬁve parts: (1) typical transfer functions employed forapproximation of ﬁlter responses, (2) examples of coupling topologies to realize the transfer functions, (3) circuit
analysis using the coupling matrix, (4) circuit synthesis, and (5) physical dimension design of microwave ﬁlters
based on coupling coeﬃcients and external Q factors. Design examples are provided to demonstrate microstrip
ﬁlter designs with the eﬀective use of EM simulators.
Keywords：Microwave ﬁlters, bandpass ﬁlters, transfer functions, coupling topology, coupling matrix.
Background knowledge：Electric circuits and distributed circuits.

1. は じ め に

Source

本基礎講座では，マイクロ波フィルタのなかでも帯域通過

Input(port1)

S11

Output(port2)S21

FilterLoad

フィルタについて設計仕様から物理構造の設計まで，電気回路の知識をベースに理解できるように分かりやすく解説する．

フィルタ回路を出発点にした共振器直結形フィルタに関する
フィルタ理論である [1]–[7]．この類のフィルタは，現在，古Passbandfc

0

典的フィルタ（classical ﬁlter）と呼ばれる．古典的フィルタを表現する結合行列を導入した設計 [5], [7]，一般化チェビ
シェフ関数を用いた新たなフィルタ回路合成理論 [7]–[9] などの新規技術が生み出されている．結合行列を用いた結合表
現は古典的フィルタの結合も包含しているため，共振器間のStopbandFrequency (GHz)(b)

Passband

Stopband00

f1

Passband

fc

0

(a)
Insertion loss (dB)

飛越結合を積極的に利用した新たな結合トポロジーや，それ

Stopband0Frequency (GHz)の設計では，急峻な周波数選択特性を実現するのには必要な飛越結合を「特別扱い」してきた．それに対して，近年ではStopband0f2

Insertion loss (dB)

いない．ここでいう基礎理論とは，梯子型の原形低域通過

Insertion loss (dB)

クロ波フィルタの基礎理論はここ 50 年以上大きく変わって

Insertion loss (dB)

図 1 マイクロ波フィルタ

タイトルは「ワイヤレス新時代」と銘打っているが，マイPassband

Stopband

Passband00Frequency (GHz)

(c)

f1

f2

Frequency (GHz)(d)

図 2 マイクロ波フィルタの周波数選択機能による分類とその理想特あらゆる結合を汎用的に取り扱える．
そこで本稿では，マイクロ波フィルタにおける基礎講座の新たな取組みとして，梯子型回路ではなく結合行列を出発点にして結合共振器フィルタを取り扱う．また，今後，高度な性 (a) 低域通過フィルタ, (b) 高域通過フィルタ, (c) 帯域通過フィ
ルタ, (d) 帯域阻止フィルタ

2. 2 周波数選択機能による分類

フィルタ（advanced ﬁlter）の設計に着手する際の足がかり

そもそもマイクロ波フィルタとはどのようなフィルタを指にもなるように，マイクロ波フィルタに関する最近のトピッすのだろうか．フィルタは大別すると，ディジタルフィルタ

クスや技術用語を交えながら説明していく．

とアナログフィルタがある．アナログフィルタのなかでもマ

2. マイクロ波フィルタとは

イクロ波帯で動作するフィルタを総称して「マイクロ波フィ2. 1 マイクロ波フィルタの特性評価

ルタの多くは分布定数回路で構成され，マイクロストリップ

ルタ（microwave ﬁlter）」と呼ぶ．従って，マイクロ波フィフィルタとは特定の信号を通過あるいは遮断させる機能を共振器や同軸共振器等のマイクロ波共振器がフィルタには用持つ回路を指す．図 1 に示すように，マイクロ波フィルタはいられる．図 2 に示すように，マイクロ波フィルタはさらに入力側に電源（信号源）とその内部抵抗，そして出力側にはその周波数選択機能から 4 つに分類される．

負荷抵抗が接続された 2 ポート回路で表現される．従って，回路の透過係数 S21 と反射係数 S11 を用いてフィルタの周波数特性を評価する．あるいは，下記で定義される挿入損
失（insertion loss）と反射損失（return loss）を用いて評価する．

(1) 低域通過フィルタ（lowpass ﬁlter，LPF）：遮断周波数fc 以下の周波数の信号を通し，fc 以上の周波数を遮断するフィルタ．
(2) 高域通過フィルタ（highpass ﬁlter，HPF）：遮断周波数 fc 以上の周波数の信号を通し，fc 以下の周波数を遮挿入損失： LA (ω) = −20 log10 |S21 (ω)| (dB)(1)

反射損失： LR (ω) = −20 log10 |S11 (ω)| (dB)(2)

断するフィルタ．

(3) 帯域通過フィルタ（bandpass ﬁlter，BPF）：特定の周
波数範囲（f1 〜f2 ）の信号のみを通し，それ以外の周

必ず正値をとる．フィルタの理想特性は，通過域（passband）

波数の信号を遮断するフィルタ．
(4) 帯域阻止フィルタ（bandstop ﬁlter，BSF または band-

において挿入損失が 0 dB，阻止域（stopband）においてはrejection ﬁlter，BRF）：特定の周波数範囲（f1 〜f2 ）の挿入損失が ∞ dB である．しかし，実際には材料の損失等

信号のみを遮断し，それ以外の信号を通すフィルタ．

一般にマイクロ波フィルタは受動回路であるため，損失はによって通過域では挿入損失が発生する．また，通過域から阻止域への移行はどうしても緩やかな特性変化となり，阻止域では有限の減衰量しか得られない．よって，如何にして(1) 通過域では低損失

2. 3 帯域幅による帯域通過フィルタの分類
本稿ではフィルタ設計で最もよく扱われる帯域通過フィル
タを取り上げる．帯域通過フィルタはその通過域の帯域幅によってさらに 2 種類に大別できる．

(2) 通過域から阻止域への移行は急峻(3) 阻止域では大きな減衰量を得るかがフィルタ設計の重要な課題である．

(1) 狭帯域フィルタ（narrowband ﬁlter）：次章で説明する
比帯域が 10〜20%程度以下のフィルタ．狭帯域と広帯域の境界の明確な定義はない．

f1 f0 f2

0Attenuation (dB)

10

Return loss
Insertion loss

3. 2 阻止域の設計仕様

LAmax

阻止域での減衰量（attenuation）：図 3 に示すように，阻ΔfSpecifications

LRmin

止域で指定された周波数において，0 dB を基準とした絶対
LAtt

20

減衰量 LAtt で定義される．仕様で与えられた減衰量以上の減衰が得られるように設計する．

30

4. マイクロ波フィルタをブラックボックスにして特性を調べる

40
50

4. 1 ブラックボックスに与えるパラメータ
すぐに構造設計には飛びつかず，図 1 のようにマイクロ波

60
Frequency (GHz)

図 3 帯域通過フィルタの周波数特性の例と設計仕様(2) 広帯域フィルタ（wideband ﬁlter or broadband ﬁlter）：
比帯域が数十%〜100%以上のフィルタ．設計理論上，狭帯域近似が適用できない帯域幅を有するフィルタを広帯域フィルタと考えてもよい．
以降ではマイクロ波フィルタ設計の基本である狭帯域フィルタを取扱い，設計仕様から順を追って解説していく．

3. 帯域通過フィルタの設計仕様
3. 1 通過域の設計仕様

フィルタをブラックボックスとして考え，設計仕様を満足するためにはどのような特性が必要か検討してみる．ここでの目的は，「どのような共振器（= 共振器の無負荷 Q 値）をどれだけ（= 共振器の段数）用いれば，設計仕様を満足できる近似特性（= 伝達関数）が得られるか」である．そこで，ブ
ラックボックスに与えるパラメータを以下の 3 つに限定する．

(1) 共振器段数 N ：フィルタを構成するのに用いる共振器の数である．共振器数が N のとき，N 段フィルタという．後述する特性関数の次数と同じである．

(2) 共振器の無負荷 Q 値 Qu （unloaded quality(Q) factor）：マイクロ波共振器単体の損失を表す指標．無負

具体的なフィルタ回路の中身を解説する前に，設計を念頭

荷 Q 値が大きいほど共振器の損失は小さくなる．つまに置いて帯域通過フィルタの設計仕様（design speciﬁcation）

り高 Q 値は低損失，低 Q 値は高損失である．集中定数について説明する．図 3 に示すように，帯域通過フィルタで共振器は数十程度，マイクロストリップ共振器などのは通過域と阻止域の設計仕様がそれぞれ与えられる．

平面共振器は 100〜300 程度，空洞共振器や誘電体共振(1) 中心周波数（center frequency）f0：通過域の周波数の中心を表す．f1 を通過域の低域端の周波数，f2 を高域(2)端の周波数とすると，中心周波数と通過域の帯域端周√波数は，相乗平均 f0 = f1 f2（または簡単に算術平均
f2 − f1
f0 =）で関係付けられる．
2
通過域の周波数範囲：絶対値を用いる場合と相対値で表現する場合がある．
(a) 周波数帯域幅（frequency bandwidth）Δf = f2 −器などの立体共振器は 1000 以上の無負荷 Q 値を持つ．
無負荷 Q 値を劣化させる要因は，主に材料による損失（導体損失や誘電体損失）や放射損失である．

(3) 伝達関数（transfer function）：帯域通過フィルタの理
想特性は通過域では挿入損失が 0 dB で，阻止域では反射損失が ∞ dB であるが，現実のマイクロ波回路では実現できない．そこで，フィルタの入力から出力までの挿入損失（あるいは反射損失）の周波数特性を実

f1 ：通過域の範囲であり，通過域の低域端と高域現性のある関数で近似する．この近似関数を伝達関数

端の周波数差 f2 −f1 で表される．比帯域と明確にという．実現できる伝達関数は，後述する結合トポロ

区別する場合には絶対帯域幅と呼ぶ場合もある．
Δf(b) 比帯域（fractional bandwidth）FBW =：中f0
心周波数 f0 に対する絶対帯域幅 Δf の比で定義される．通常は比を 100 倍して%表示する．

(3) 通過域内の挿入損失：図 3 に示すように，通過域内に
おいて 0 dB を基準とした最大挿入損失 LAmax で定義

ジーと大きく関係する．

4. 2 伝達関数の例
マイクロ波フィルタ設計でよく用いられる伝達関数の例を紹介する．伝達関数の周波数特性には，通過域内において反射電力がゼロになる周波数点，阻止域において透過電力がゼロになる周波数点が表れる．それぞれ以下のように呼ばれる．

される．仕様で与えられた最大挿入損以下の挿入損失が得られるように設計する．

(4) 通過域内の反射損失：図 3 に示すように，通過域内に
おいて 0 dB を基準とした最小反射損失 LRmin で定義される．仕様で与えられた最小反射損以上の反射損失が得られるように設計する．
以上の他に通過域内の群遅延（group delay）も設計仕様となり得るが，本稿では振幅特性のみに着目する．

(1) 反射零点（reﬂection zero，RZ）：反射電力がゼロとなる周波数点，つまり信号が完全透過する周波数点．減衰零（attenuation zero）ともいう．

(2) 伝送零点（transmission zero，TZ）：透過電力がゼロとなる周波数点，つまり信号が完全反射する周波数点．
減衰極（attenuation pole）ともいう．
この伝送零点の有無でフィルタは大きく 2 つに分類できる．

1

Δf

Δf

を実現する伝達関数として楕円関数特性がよく知られていf0

f0

る．また，近年，任意の有限周波数に伝送零点を配置できる

1

一般化チェビシェフ関数特性も着目されている．以下にそれ
0.8

0.8
2

2

|S11|

|S11|

ぞれの特徴を述べる．

2

2

|S21|

0.6

(B-1) 楕円関数特性（elliptic function response）（注 1）：図2

|S11| , |S21|

2|S11| , |S21|

2

2

|S21|

0.6
0.4

0.4
Reflection zeros

Reflection zero

0.2

0.2

0

0

5(a) に示すように，通過域はチェビシェフ特性のよ
うに等リプルで，阻止域も等レベルのリプル特性を有する伝達関数．阻止域に伝送零点を生成すること

Frequency (GHz)

Frequency (GHz)

(a)

(b)

回路合成や設計は容易ではない．

図 4 無極フィルタの特性例（反射電力 |S11 |2 と透過電力 |S21 |2 で表示） (a) バターワース特性，(b) チェビシェフ特性
1

阻止域で任意の周波数に伝送零点を配置できる伝達
2

|S11|

0.8

2

2

性だけでなく，図 5(b) のように伝送零点を高域の阻
0.6

0.4

Reflection zeros

0.2
0Transmission zeros
Reflection zeros

2|S11| , |S21|

2|S11| , |S21|

2

|S21|

2

2

Tranmission zeros(a)0

止域にのみ配置した非対称な周波数特性，さらには無極フィルタも実現可能である．

0.4
0.2

f0
Frequency (GHz)関数．従って，中心周波数に対して対称な周波数特

|S21|

|S11|

0.6

(B-2) 一般化チェビシェフ関数特性（general Chebyshev
function response）：通過域はチェビシェフ特性で，

1

0.8

で急峻な特性が得られるが，無極フィルタに比べて4. 3 挿入損失と周波数選択性の関係
f0
Frequency (GHz)(b)

図 5 有極フィルタの特性例（反射電力 |S11 |2 と透過電力 |S21 |2 で表示） (a) 楕円関数特性，(b) 一般化チェビシェフ関数特性(A) 無極フィルタ：阻止域で伝送零点を持たないフィルタ（無限周波数においてのみ極を持つフィルタ）(B) 有極フィルタ：通過域近傍の阻止域で伝送零点を持つフィルタ（有限周波数で極を持つフィルタ）

どの伝達関数を設計で選択するかは，共振器段数 N や挿
入損失，そして周波数選択性（注 2）に依存する．そこで，それらの関係について調べてみる [10]．
図 6(a) は，共振器の損失を無視して（無負荷 Q 値 Qu = ∞）比帯域一定のまま共振器段数 N を増やした場合の挿入損失の比較である．段数 N が増えればスカート特性が良くなる
ことが分かる．次に，共振器の損失を考慮する．一例として共振器の無負荷 Q 値 Qu = 200 のときに共振器段数 N を増やした結果が図 6(b) である．挿入損失は共振器段数の増加とともに劣化する．

無極フィルタを実現する代表的な伝達関数がバターワース

さらに，同じ無負荷 Q 値で共振器段数を固定したまま比特性やチェビシェフ特性である．これらは，後述する「共振帯域を変えるとどうなるだろうか．その結果が図 6(c) であ器直結形フィルタ回路」の結合トポロジーで実現できること

る．帯域幅を狭くすると，挿入損失は大きく劣化することがから設計が容易である．それぞれには以下の特徴がある．

分かる．つまり，低損失な狭帯域フィルタを設計するには高(A-1) バターワース特性（Butterworth response）（最平坦特性（maximally ﬂat response）ともいう）：図 4(a)に示すように，通過域内の挿入損失において平坦な周波数特性（リプルが無い特性）が得られる．後半で説明するが，回路合成時，フィルタの帯域幅 Δf
は電力半値幅で規定される．バターワース特性の場
合，反射零点は通過域内に一点しか表れない．

(A-2) チェビシェフ特性（Chebyshev response）（等リプル
特性（equiripple response）ともいう）：図 4(b) に示すように，通過域内の挿入損失において等リプル
な周波数特性が得られる．帯域内で振幅特性にリプルが生じるが，帯域内で一定値以下に反射を抑圧することができる．回路合成時，フィルタの帯域幅 Δf
は等リプルを有する帯域幅で規定される．チェビシェ
フ特性の場合，通過域内の反射零点は共振器段数 Nと同数だけ表れる．

Q 値 Qu を持つマイクロ波共振器が必要であり，できる限り少ない共振器段数 N で通過域を設計する必要がある．しかし，共振器段数が少ないと阻止域での減衰量が不十分で，急峻なスカート特性が得られないおそれがある．
そこで，阻止域に伝送零点を導入し，急峻なスカート特性を実現できる有極フィルタを用いる．無極フィルタと有極フィルタの特性比較を図 6(d) に示す．共振器段数 N は同じであるにも関わらず，阻止域の両側に伝送零点を設けること
によってフィルタの周波数特性が急峻になっていることが分かる．この例の場合，N = 5 の有極フィルタのスカート特性
は共振器段数 N = 8 の無極フィルタとほぼ同じである．よって，共振器数を削減できるため挿入損失の低減につながる．
以上の考察から，設計仕様に応じてどのような伝達関数を与えればよいか指針が得られた．次のステップは，所望の伝（注 1）：完全な楕円関数特性ではないが，阻止域に伝送零点を有する有極フィ
ルタを「擬似楕円関数フィルタ」や「準楕円関数フィルタ（pseudo-elliptic

function filter）」と呼ぶことがある．

次に，有極フィルタの伝達関数の例を示す．有極フィルタ：通過域両側をスカートの裾野に見立ててスカート特性ともいう．
（注 2）

0

Q u =200
FBW=0.05

20
3
40
4
5

60

3

20

2

4

m12

5
6
7

30

f0
Frequency (GHz)

m23

3

S
Source

QeS

1

L
Load

m34
m25
m16

4
m45
5
m56
6

S

QeS

m12
1

2
m13

m23
3

QeL Load0
Q u =200
N=5

10
0.07
0.05
0.03

Insertion loss (dB)FBW=0.1

20

N=5
N=8

N=5
S

m12
QeS

m23

3

6

m67

m34 m56
1

m14

4

m45

5

m58

Source

40

7

mS1

m78
QeL
L
8

S

Load

Source

(d)

Load

N

2
1

mLN
m2L
m1L

mSL

L
Load

(e)

型カノニカル結合フィルタ， (c) CT フィルタ，(d) CQ フィルタ,
80

(c)

f0
Frequency (GHz)(d)(e) 共振器並列結合形フィルタ

回路（電源内部抵抗あるいは負荷抵抗）と共振器との図 6 (a) 共振器段数 N とスカート特性の関係（共振器の無負荷 Q

結合の大きさを表す．正値のみをとる．外部 Q 値が大

値 Qu = ∞）, (b) 共振器段数 N と挿入損失の関係（Qu = 200）,

きいほど結合は小さく，小さいほど結合は大きい．

(c) 比帯域と挿入損失の関係（Qu = 200）, (d) 有極フィルタと無極フィルタのスカート特性の比較（Qu = ∞）達関数をどのような結合トポロジーで実現するかである．

5. マイクロ波フィルタの結合構成を点と線で考える
前章はマイクロ波フィルタをブラックボックスとして扱って議論した．ここではブラックボックスのふたを少し開けて，所望の特性を実現するための結合トポロジーについて考える．まず，結合トポロジーとは何かを簡単に説明する．

•

L

m56

図 7 結合トポロジーの例 (a) 共振器直結形フィルタ，(b) Folded

60

0.01

f0
Frequency (GHz)mS2
2w/ TZs

QeL

4
mSN

Q u=

w/o TZs

5

(c)

(b)

0

m35

m34

SourceL(b)f0Frequency (GHz)(a)

Insertion loss (dB)

QeL
N

(a)

7

30

mN-1,N

2

N=2

10

6

20

m23

m12
1

S
SourceInsertion loss (dB)

Insertion loss (dB)

N=2

80

QeS

0

Q u=

結合トポロジー（coupling topology）：フィルタの共

振器間の複数の結合を点（ノード = 共振器）と線（= 結合）

共振器直結形フィルタでは，共振器段数が少ないと帯域外の減衰特性が緩やかとなる．スカート特性を改善するためには通過域の近傍に伝送零点を設ける（有極化という）必要があ
る．有極フィルタを実現する結合トポロジーの例が図 7(b)〜(e) である．図 7(b) はカノニカルフィルタと呼ばれ，楕円関数特性等が得られる．同図 (c) は CT（cascaded trisection）
フィルタ，同図 (d) は CQ（cascaded quadruplet）フィルタと呼ばれる．これらの特徴は，隣接する 2 つの共振器間の結合だけでなく，飛越結合が加わっていることである．

(3) 飛越結合（nonadjacent coupling）mij （j =| i + 1）：2
つの非隣接共振器間の結合のこと．一般にその大きさは隣接共振器間の主結合の結合係数よりも小さい．

で模式的に表現した回路．
マイクロ波フィルタの設計で最も一般的な結合トポロジー

最後の図 7(e) の結合トポロジーは共振器並列結合形フィが，図 7(a) に示す「共振器直結形フィルタ（direct coupled

ルタ（transversal array ﬁlter）と呼ばれ，一般化チェビシェ

resonator ﬁlter）」である．入力の電源（source）から出力

フ関数特性を実現できる．前者の 4 つの結合トポロジーとのの負荷（load）に向かって共振器（,1 ,·2 · · ,N ）が縦続接大きな違いは，共振器が縦続接続ではなく並列接続で構成さ続された構成である．この結合トポロジーで実現できる伝達れている点である．つまり，隣接共振器どうしが結合してお関数は無極フィルタである．共振器間の結合の大きさや符号

らず，互いに直交している．従って，マルチモードフィルタ

は結合係数あるいは外部 Q 値で評価される．

の設計に適した回路である [11]．また，無極フィルタ，有極フィルタのいずれもこの結合トポロジーで合成可能であり，(1) 結合係数（coupling coeﬃcient）mi,i+1（注 3）：隣接する汎用性が高い（しかしながら，この結合トポロジーのまま

i 番目と (i + 1) 番目の 2 つの共振器間の結合の大きさ

フィルタ設計を行うのは困難とされる）．さらに，以下に説を表す量である（i = 1, 2, · · · , N −1）．結合係数は正負明する入出力直接結合 mSL を導入すれば，合成理論上，最いずれの値もとり得る．結合係数の絶対値が大きいほ

大個数 N の伝送零点を阻止域に生成可能である（注 4）．

ど共振器間の結合は大きい．

(2) 外部 Q 値（external Q factor）QeS または QeL：外部（注 4）：回 路 合 成 で 有 限 周 波 数 に 実 現 可 能 な 伝 送 零 点 の 最 大 個 数 は ，nmax = N − nmin で与えられる [7]．ここで，N は共振器段数，nmin
は入力と出力の間の回路における最短ルート中の共振器数である．入出力直（注 3）：結合係数の記号として k を用いる場合が多い．本稿では結合行列 [M]

接結合がある場合， nmin = 0 であるから，共振器並列結合形フィルタではの要素が結合係数 m であるため，結合係数の記号として m を用いる．

nmax = N である．これを完全カノニカル回路と呼ぶ．

C1
QeS
S

m12
1

QeL
2

Source

RS
L
Load

eS

(a)

L12

i1 L 1

LS1C2
L 2 i2

iS

RS

RL
QeS

S

(b)

図 8 2 段結合共振器フィルタ (a) 結合トポロジー, (b) 等価回路

Source(4) 入出力直接結合（direct source/load coupling または

1
mS2

m12

QeL

2
m1L

L12

i1
L1

LS

eS

C1

L

LSL

(a)

(b)
LS1

と出力が直接結合した場合の結合係数．正負いずれのRS値もとり得る．

eS

iS
LS

以上 5 つの例を挙げたが，結合トポロジーは図 7 だけに限

C

L12

C

i1
L

i2
L

jB1

jB2

LS2

iL
LL

RL

L1L

mSL

input/output coupling）mSL ：共振器を介さずに入力

L2L

i2
L2

LS2

Load

C2

L2L
iL
LL

RL

L1L

らない．共振器間には複数の結合が存在し得る．次章では，LSL共振器間のあらゆる結合係数を考慮してフィルタ特性を求め(c)

図 9 飛越結合及び入出力直接結合も考慮した 2 段結合共振器フィることのできる回路解析法について説明する．

ルタ (a) 結合トポロジー, (b) 等価回路, (c) 虚抵抗の導入

6. マイクロ波フィルタを電気回路で解析する回路を与えて，その周波数特性を求めることを「回路解析（circuit analysis）」という．ここでは，前章の結合トポ
ロジーを表す結合行列を与えて，フィルタの周波数特性を求める方法について説明する．はじめにキルヒホッフの法則より結合共振器フィルタの回路方程式を求め，結合行列を導出する．そして，結合行列がわかれば簡単に S パラメータを求められることを示す．また，結合行列の各行列要素の意味についても解説する．

と表される．なお，T は転置を表す．また，[Z] は 4 × 4 のインピーダンス行列であり，⎡RS−jωLS1−jωLS2−jωLSL−jωLSL−jωL1L−jωL2L

RL

⎤

⎢
⎥
1
⎢ −jωLS1 jωL1 + jωC−jωL12 −jωL1L ⎥
1
⎥ (6)
[Z]=⎢
⎢
⎥
1
⎣ −jωLS2 −jωL12 jωL2 + jωC2 −jωL2L ⎦と表される．ただし，Lij = Lji （相反定理）を用いた．以上により回路方程式が得られた．

6. 1 回路方程式
簡単のため，図 8 に示す 2 段結合共振器フィルタの回路からスタートする．はじめは飛越結合を無視して，同図 (a) のように隣接する共振器間の結合のみを考える．その具体的な回路が図 8(b) である．同図中，i 番目（i = 1, 2）の共振回路のインダクタンスを Li ，キャパシタンスを Ci とし，i 番
目の閉ループに流れる電流を ii とする．そして，2 つの共振回路の相互インダクタンスを L12 とする．なお，電源の内部

6. 2 虚抵抗の導入
上式の対角項である行列要素 z22 と z33 に着目する．これ
らは共振回路のインピーダンスを表す．ここで，L = L1 = L2 ，

C = C1 = C2 とおく．ただし，共振回路の共振周波数は異なるため，新たに虚抵抗 jBi （周波数に依存しない定リアクタ
ンス項（注 5））[7] を導入し，以下のような共振角周波数 ω0 付
近における近似を用いる．

抵抗を RS ，負荷抵抗を RL で表し，電源電圧を eS とする． jωLi+ 1 ≈ jωL+ 1 + 1 = ω0 L FBW (jΩ−jXi ) (7)jωCijωC jBiΩc
よって，キルヒホッフの電圧則より次式が得られる．
√⎡⎤
ただし，FBW は比帯域を表す．また，ω0 = 1/ LC であり，
1R +jωL1 +−jωL12
eS
⎢ S
⎥ i1
jωC1
(3)
⎣
ω
Ωc
ω0
1 ⎦i = 0(8)Ω=−2−jωL12
RL +jωL2 +FBW ω0ωjωC2次に，あらゆる結合を考慮するため，図 9(a) に示すようである．上式は，帯域通過フィルタの角周波数 ω と低域通な 2 段結合共振器フィルタ回路を考える．そこで，同図 (b)過フィルタの角周波数 Ω の周波数変換を表す [1]–[7]．特に，のように新たに電源側にインダクタンス LS ，負荷側にイン規格化遮断周波数 Ωc = 1 で，回路の素子値が電源の内部抵抗

ダクタンス LL を導入し，これらとの結合を全て考慮する．

もしくはコンダクタンスが 1 となるように規格化された低域

ただし，LS と LL は結合を表現するために便宜的に用いて通過フィルタを原形低域通過フィルタ（lowpass prototype

おり，実際は LS = LL = 0 であることに注意されたい．先

ﬁlter）という．いったん原形 LPF の結合行列を求めておけと同様にしてキルヒホッフの電圧則より，

ば，中心周波数や帯域幅が異なる帯域通過フィルタであっても簡単な計算で結合係数や外部 Q 値が得られる．

[Z][i] = [e](4)

そこで，インピーダンス行列 [Z] を以下のようにスケーリが得られる．ここで，[i] は閉ループの未知電流値からなる（注 5）：周波数が変化しても一定のリアクタンス値（あるいはサセプタンス値）

列ベクトル，[e] は電圧ベクトルであり，[i] = [iS , i1 , i2 , iL ]T , [e] = [eS , 0, 0, 0]Tを持つ項のこと．Frequency Invariant Reactance (FIR) ともいう [7]．

(5)共振周波数付近では共振回路のリアクタンス値が線形的に変化することから，共振周波数付近でのみ成立する近似である．

ングする．そして，スケーリング後のインピーダンス行列を
Ωc[Z̄] とおくことにする．簡単のため，Δ =
とおくと，
FBW

× √1
× √1

RS

×

Δ
ω0 L1

×

Δ
ω0 L2

× √1

RL

RS

⎡

RS

×

Δ
ω0 L1

−jωLS1

Δ
ω0 L2

×

× √1

−jωLS2RL−jωLSL−jωL1L−jωL2L

キルヒホッフの電圧則を用いて結合行列を導出したが，並列共振回路でキルヒホッフの電流則を適用しても全く同じ結果が得られる．つまり，結果において，インダクタンス L → キャパシタンス C

⎤

⎢
⎥
1
⎢ −jωLS1 jωL1 + jωC−jωL12 −jωL1L ⎥
1
⎢
⎥
⎢
⎥
1
⎣ −jωLS2 −jωL12 jωL2 + jωC2 −jωL2L ⎦−jωLSLである．以上の導出では共振器として直列共振回路を考え，

RL

抵抗 R → コンダクタンス G
インピーダンス行列 [Z̄] → アドミタンス行列 [Ȳ ]に置き換えればよい．これは，共振回路間の結合が電界結合（C 結合），磁界結合（M 結合）のどちらであるかに関わらず，結合行列を導入すれば統一的に扱えることを意味する．

= [Z̄](9)

なお，結合行列の各要素は以下を表している．

となる．このとき，電流・電圧ベクトルもスケーリングする．

(1) Mii (i = 1, 2, · · · , N )：i 番目の共振器自身の自己

6. 3 原形 LPF の結合行列

結合（self coupling）を表す．より具体的には共得られたインピーダンス行列 [Z̄] において，角周波数 ω が振器の共振周波数を表す．共振時，Ω + Mii = 0

フィルタの中心角周波数 ω0 の近傍であると近似する（狭帯ω域近似），つまり≈ 1 とする [5]．その結果，インピーダ
ω0
ンス行列 [Z̄] は次式のように表される．

[Z̄] = [R] + jΩ[U ] + j[M ]より，原形 LPF における共振器の共振角周波数は Ω0i = −Mii で与えられる．共振器がフィルタの中心周波数で共振する場合は Mii = 0 となる．

(2) Mij (i, j = 1, 2, · · · , N, i =| j)：2 つの共振器間の(10)相互結合（mutual coupling）の結合量を表す．

ここで，[R] = diag[1, 0, 0, 1]，[U ] = diag[0, 1, 1, 0] であり，

⎡

0
⎢M
⎢ S1
[M ] = ⎢
⎣ MS2
MSL

MS1
M11
M12
M1L

MS2
M12
M22
M2L

⎤
MSL
M1L ⎥
⎥
⎥
M2L ⎦
0



(3) MS,i (i = 1, 2, · · · , N )：電源の内部抵抗と i 番目の共振器との結合量を表す．

(4) Mi,L (i = 1, 2, · · · , N )：負荷抵抗と i 番目の共振(11)器との結合量を表す．

(5) MSL ：入力と出力との直接結合量を表す．

である．この行列 [M ] が結合行列（coupling matrix）である．詳細には原形 LPF の結合行列である．
以上の結果は容易に N 段結合共振器フィルタに一般化で必要はなく，S11 と S21 は，



きる．[R] と [U ] は (N +2) × (N +2) の対角行列であり，



結合行列 [M ] が与えられれば回路中の未知電流を求める[R] = diag[1, 0, 0,· · ·, 0, 1], [U ] = diag[0, 1, 1,· · ·, 1, 0] (12)−1S11 (Ω) = 1 − 2 Z̄(Ω) 11−1
S21 (Ω) = 2 Z̄(Ω) N+2,1


(19)
(20)



によって計算できる [5], [7]．ただし，[Z̄]−1 はインピーダンと表され，結合行列 [M ] も (N +2) × (N +2) の行列であり，



⎡

0
⎢
⎢ MS1
⎢
⎢ MS2
⎢
[M ] = ⎢ .
⎢ ..
⎢
⎢
⎣ MSN
MSL

MS1
M11
M12
..
.
M1N
M1L

MS2
M12
M22
..
.
M2N
M2L

· · · MSN
· · · M1N
· · · M2N..
..
.
.
· · · MNN
· · · MNL

⎤
MSL
⎥
M1L ⎥
⎥
M2L ⎥
⎥
.. ⎥
. ⎥
⎥
⎥
MNL ⎦
0

ij

ス行列 [Z̄] の逆行列の要素 (i, j) を意味する．

6. 4 帯域通過フィルタの結合係数・外部 Q 値(13)

前節では，フィルタの基本回路である原形 LPF の結合行列が得られた．それでは，帯域通過フィルタにおける結合係数と外部 Q 値が具体的にどのように表されるか考えよう．

と表される．具体的に結合行列の各要素は，

Mii = Xi (i = 1, 2, · · · , N )ΩcLij(i, j = 1, 2, · · · , N, i =| j)
FBW Li Ljω0 LS,iΩc√MS,i =(i = 1, 2, · · · , N )FBW ω0 Li RSω0 LL,iΩc√(i = 1, 2, · · · , N )Mi,L =FBW ω0 Li RL
ω0 LSLMSL = √
RS RL
Mij =

6. 4. 1 結 合 係 数

図 9(b) に示した帯域通過フィルタにおいて，任意の 2 つの共振器間の結合係数は，mij = Lij /(14)

従って，帯域通過フィルタの共振器間の結合係数 mij は，式(15) より原形 LPF の結合係数 Mij と

(15)
mij =
(16)
(17)
(18)

Li Lj で与えられる．

FBW
Mij
Ωc

(21)

のように関係付けられる．
ところで，2 つの共振回路の結合は，相互インダクタンス

Lij から図 10 のように回路変形できる．まず，相互インダ
クタンスを T 形回路で表現すると図 10(b) となる．同図 (b)における T 形回路の基本行列（F 行列または ABCD 行列）

Ci

Lij
Li

Cj

Ci Li

−Lij

−Lij

Lj Cj

Lij

Lj

RS
eS

(a)

LS

Li Ci

Ci

LS,i

Li Ci

RS

Li

KS,i

eS

(=0)

Rin

Ci Li

(a)

Lj Cj

eS

Rin

(b)
(b)

(c)

図 11 電源の内部抵抗と i 番目の共振器の結合 (a) 相互インダクタ
ンスを用いた回路表示, (b) K インバータを用いた回路表示, (b) 入Kij

力抵抗を用いた回路表示(c)

図 10 i 番目と j 番目の共振器間の結合 (a) 相互インダクタンスにの結合係数 MS,i ，Mi,L を用いて，式 (16) と式 (17) より，よる回路表示, (b) T 形回路, (c) K インバータ

QeS,i =

1
Ωc
=
2
m2S,i
FBW · MS,i

(27)

QeL,i =

1
Ωc
=
2
m2i,L
FBW · Mi,L(28)を求めると，次式のように表される．

[F ] =

A

B

C

D

⎡
=⎣

±j

0

±jωLij

1
ωLij

0

⎤
⎦

(22)
と表される．なお，共振器が並列共振回路で表される場合にここで，Kij = ω0 Lij（これをインバータパラメータという）と定義すると，Kij はインピーダンスの次元を持つ．このような二端子対回路を同図 (c) のように表し，インピーダンス
インバータ（K インバータ）と呼ぶ [1]–[7]．よって，K イ
ンバータを用いて結合係数 mij は次式で表される．

ω0 LijKij=
ω0 Li ω0 Lj
ω0 Li Lj

mij =インバータと基本的な考え方は同じなので，詳細は教科書等を参照されたい [2]．

6. 4. 3 帯域通過フィルタの結合行列
以上の導出結果をまとめる．帯域通過フィルタの角周波数
領域 ω における結合行列 [MBPF ] は，

(23)

6. 4. 2 外 部 Q 値
同様のことが外部回路（電源または負荷）と共振回路との結合（図 11(a)）にも成立する．従って，電源の内部抵抗 RSと i 番目の共振器との結合係数 mS,i は，

ω0 LS,iKS,imS,i = √= √ω0 Li RS
ω0 Li RSは，アドミタンスインバータ（J インバータ）を用いる．K

(24)

⎡

0
⎢
⎢ mS1
⎢
⎢ mS2
⎢
[MBPF ] = ⎢ .
⎢ ..
⎢
⎢
⎣mSN
mSL

mS1
m11
m12
..
.
m1N
m1L

mS2
m12
m22
..
.
m2N
m2L

mSN
m1N
m2N
..
.
mNN
mNL

⎤
mSL
⎥
m1L ⎥
⎥
m2L ⎥
⎥
(29)
.. ⎥
. ⎥
⎥
⎥
mNL ⎦
0

と表され，原形 LPF の角周波数領域 Ω における結合行列[M ] とは以下のように関係付けられる．

で与えられる．図 11(b) のように電源の内部抵抗 RS を K

インバータ KS,i を介して見込んだときの入力抵抗 Rin を求共振器間の結合係数： mij =めてみよう．式 (22) で表される F 行列を実現する最も簡単
な分布定数回路は 1/4 波長線路である．従って，内部抵抗

RS を 1/4 波長線路（ただし，インピーダンスは KS,i ，電気
長 π/2）を介して見込んだときの入力抵抗 Rin は，

π2
2 = KS,iRin = KS,iπ
RS
KS,i + jRS tan
2

···
···
···
..
.
···
···

FBW
Mij
(30)
Ωc
1
Ωc
入力側の外部 Q 値： QeS,i = 2 =(31)
2mS,i FBW·MS,i
出力側の外部 Q 値： QeL,i =

1
Ωc
=
(32)
2
m2i,L FBW·Mi,L

入出力直接結合： mSL = MSL

RS + jKS,i tan

(25)



(33)





さらに，Ω + Mii = 0 のとき各共振回路は共振するので，と求められる．上式の結果は「K インバータを介すと，抵抗mii = Mii = −Ω = −RS （一般的にはインピーダンス）は逆数のコンダクタンス

Ωc
FBW

ω
ω0
−
ω0
ω



(34)

（アドミタンス）に見える」と解釈できる．これがインピー

ダンスインバータと呼ばれる所以である．以上の結果を用いが成り立つ．これを ω について解けば，i 番目の共振回路のると，図 11(b) は図 11(c) のように表すことができる．そし共振角周波数 ω0i が求められる．

て，式 (24) を変形すると，

1
ω0 Li RS
ω0 Li==
= QeS,i
2
m2S,i
KS,i
Rin



フィルタ設計についてこれまでの説明をまとめると，まず，(26)となる．このように入力側の外部 Q 値 QeS,i と結合係数 mS,iが関係付けられた．従って，帯域通過フィルタにおける入力側と出力側の外部 Q 値 QeS,i ，QeL,i は，それぞれ原形 LPF

原形 LPF の周波数領域 Ω で所望の伝達関数を実現するための結合行列を求める．そして，得られた結合行列 [M ] を用いて式 (30)〜式 (33) によって帯域通過フィルタの結合係数及び外部 Q 値を求める．最後に，それを実現する物理構造を設計すれば帯域通過フィルタが得られる．

RS

従って次に考えるべきは，伝達関数によって与えられる特性を実現する結合行列を求める方法である．すなわち，所望の伝達特性から結合行列を求める回路合成である．

7. マイクロ波フィルタを電気回路で合成する「回路合成（circuit synthesis）」とは周波数応答を与えて，回路構成や回路素子値を求めることである．このためには回路網理論の知識が必要であり，設計入門としては敷居が高い．
初学者は結論のみ追って詳細は文献等を参考にされたい．

7. 1 フィルタの伝達関数の定義
図 12 に示すように無損失二端子対回路を考える．ただし，フィルタ回路はインダクタンス L とキャパシタンス C のみからなるリアクタンス回路とし，前章で導入した虚抵抗は含

1ESSource

V1
Zin


2
P2
4RSV2 (s)
|T (s)|2=T (s)T ∗(s)=T (s)T (−s)==(35)
Pmax RL  ES と表される．ただし，∗ は複素共役を表す．一方，電力反射係数 |Γ(s)|2 は，無損失回路なので電力保存則を用いて，|Γ(s)|2 = 1 − |T (s)|2(36)

である．前章までで扱ってきたフィルタの伝達関数とは，定数項 (4RS )/RL を含めた電力透過係数から得られる電圧透

11 + |ΨN (s)|2

Load

(40)

ダンス zin (s) = Zin (s)/RS である．回路網理論より zin (s)は正実関数（positive real function）[12] であるから有理関数で表現できる．従って，電圧反射係数 Γ(s) は，

Γ(s) = ±

F (s)
E(s)

(41)

のように s に関する多項式 F (s) と E(s) を用いて表現でき
る．規格化入力インピーダンス zin (s) もまた，zin (s) =E(s) ± F (s)E(s) ∓ F (s)(42)と表される [6]．これは，複号によって 2 種類の回路構成が存在することを意味する．さらに，電圧透過係数 T (s) もT (s) =

P (s)
E(s)

(43)

のように表される．これらの多項式 E(s)，F (s)，P (s) は特性多項式と呼ばれる．特性多項式にはユニタリ条件より，

E(s)E(−s) − F (s)F (−s) = P (s)P (−s)(44)

の関係が成立する．以下に各特性多項式の性質を説明する．

(1) E(s)：フルビッツの多項式（注 6） である．

過係数 T (s) である．その電力透過係数は，|T (s)|2 =2’と表すこともできる．ただし，zin (s) は規格化入力インピー

能電力は Pmax = |ES |2 /(4RS ) である．また，負荷での消費|T (s)|2 であるから，図 12 の電力透過係数 |T (s)|2 は，

1’

RL





 Zin (s) − RS 2  zin (s) − 1 2
 =|Γ(s)|2 =  zin (s) + 1 Zin (s) + RS 

一般に二端子対回路への入力電圧 v1 (t) と出力電圧 v2 (t)

電力は P2 = |V2 |2 /RL である．これらの比は電力透過係数

V2

LC circuit

図 12 無損失二端子対回路

まれないとする．
のラプラス変換をそれぞれ V1 (s)，V2 (s)（ただし s は複素角
V2 (s)
周波数 s = jΩ）とすると，電圧伝達関数は H(s) =でV1 (s)
定義される [2]．いま，図 12 で電圧源から取り出せる最大有

2

(37)

の形で与えられるとする．ここで，ΨN は特性関数と呼ばれ，(2) F (s)：実係数の多項式で，その零点は虚数軸上にある．
F (s) の零点は電力が完全透過する周波数点を表すため，
この周波数が反射零点である．

特性関数の種類（チェビシェフ関数等）によってフィルタの(3) P (s)：実係数の偶多項式である．その零点は虚数軸上伝送特性が近似される．また，N は関数の次数を表し，原にあるとき，電力が完全反射する周波数点を表すため，

形 LPF の場合は回路素子数 N ，帯域通過フィルタの場合はこの周波数が伝送零点（減衰極）である．

共振器段数 N に等しい．また，特性関数と電力透過・反射
係数には |ΨN (s)|2 = |Γ(s)|2 /|T (s)|2 の関係がある．
本節での電圧透過係数 T (s) と電圧反射係数 Γ(s) とはそれぞれ S21 と S11 であり，本稿の最初に示したフィルタの挿
入損失 LA と反射損失 LR は次式のように表される．


1
LA (s)=10 log 10=10 log10 1+|ΨN (s)|2 (dB) (38)|T (s)|21
LR (s) = 10 log10
(dB)
(39)
|Γ(s)|2
7. 2 透過係数・反射係数の多項式表示
ところで，二端子対回路の電力反射係数 |Γ(s)|2 は，端子以上の動作特性（透過係数や反射係数）を基にした回路
合成では，所望のフィルタ特性を近似する適当な特性関数

ΨN (s) を与え，ΨN (s) から特性多項式を求める問題となる．
7. 3 無極フィルタ（共振器直結形フィルタ）
7. 3. 1 回 路 合 成
無極フィルタ（ただし，原形 LPF）の回路合成の手順は以下である．

(1) 所望の特性を近似する特性関数 ΨN (s) を与える．
（注 6）：(1) s について実係数の多項式，(2) 最高次の項の係数は正，(3)E(s) の零点は複素平面（s 平面）の左半平面（虚数軸を除く）内にのみ存在

1–1’ より負荷側を見込んだ入力インピーダンス Zin (s) を用（受動回路に信号を加えたとき，出力信号は増幅されない）という性質を持つ

いて，伝送線路理論より，

多項式をフルビッツの多項式と呼ぶ．

g2

g1
g0=1



gN

g2

g4

TN (Ω) =

gN-1

Zin

gN+1

gN

N: oddgN+1

gN-1

cosh(N cosh−1 Ω) for |Ω| > 1(49)

これらの特性関数を持つ原形 LPF の g パラメータはすで

N: evenに簡単な公式が導出されており，上記の回路合成手順を踏

(a)

g4

g2

cos(N cos−1 Ω) for 0 <= |Ω| <
=1

まなくても g パラメータが次式を用いて求められる [1]–[7]．

gN(A-1) バターワース特性（最平坦特性）



g0=1

g1

g3

gN

Zin

gN-1

gN+1

N: oddgN+1

g0 = 1.0

図 13 LC 梯子型回路による原形 LPF (a) シリーズ–シャント型
キャパシタンスの場合）(2) E(s)E(−s) = 1+|ΨN (s)|2 = 0 を因数分解する．
（無極

gN+1 = 1.0

g0 = 1.0

求める．

数展開する．式 (42) の複号によって 2 種類ある．

gi =

1

g3 s +(46)

gi−1

ここで，gi （i = 1, 2, · · · , N + 1）は連分数展開によっ化回路素子値（g パラメータと呼ばれる）である．

(6) 入力インピーダンスが連分数で表現される回路は，図13 に示す LC 梯子型回路である．規格化入力インピー
ダンスが 2 種類存在するため，その回路も図 13(a)，(b)のように 2 種類ある．ただし，g0 は規格化内部抵抗で1 であり，gN+1 は負荷抵抗である．従って，式 (45) ま(2i − 1)π2N
γ 2 + sin2

β = ln cothγ = sinhて求まる係数であり，これらが実現すべき回路の規格

4 sin

(54)
(2i − 3)π2N(i − 1)πN
sin

for i = 2, 3, · · · , N⎧⎪⎨ 1.0 for N odd
gN+1 =β2⎪for N even⎩ coth4(45)

1
g4 s + · · ·
1
1
(2)
=
zin (s) = (1)1zin (s) g1 s+
1
g2 s+
g3 s+· · ·

(53)

2
sin
γ
2N

(5) 規格化入力インピーダンス zin (s) を次式のように連分



 π 

g1 =

(4) 実現すべき回路の規格化入力インピーダンス zin (s) を

1

(52)



零点を持つフルビッツの多項式 E(s) を求める．

g2 s +(51)(A-2) チェビシェフ特性（等リプル特性）(3) 実際の回路で実現できるように複素平面の左半平面に

1

for i = 1, 2,· · ·, N

フィルタのため P (s) = 1 とおける．
）(1)(2i−1)π2N

gi = 2 sin(b)zin (s) = g1 s +(50)

N: even（g1 がインダクタンスの場合）, (b) シャント–シリーズ型（g1 が



LAr
17.37

(55)
(56)

(57)

β
2N

(58)

ただし，LAr （dB で与える）は通過域における通過特性のリプル幅を表す．



7. 3. 2 結 合 行 列
前節で示した梯子型回路は集中定数回路のため，そのままではマイクロ波回路で実現するのが困難である．そこで，前章で説明した K インバータ を用いて回路変換を行う．梯たは式 (46) から各枝の規格化素子値 gi が決定される．

子型回路で電源から右側を見込んだ規格化入力インピーダ

無極フィルタの伝達関数として，バターワース特性とチェに，図 14 に示す J インバータや K インバータを用いた原

ンスは，式 (45) や式 (46) のように連分数で表される．同様

ビシェフ特性の特性関数を以下に示す．

形 LPF の規格化入力インピーダンス zin も連分数で表され(A-1) バターワース特性（最平坦特性）

る．図 14(b) のように K インバータを用いた場合は，

ΨN (s) = ΩN

(47)(A-2) チェビシェフ特性（等リプル特性）
ΨN (s) = TN (Ω)
ただし， はリプルを表し， =

10

LAr
10

Zin
1
=
RS
RS

2
K01

jωLa1 +jωLa2 +

(48)
−1（通過域内のリプル幅 LAr ：dB で与える）である．また，TN は N 次の第一種チェビシェフ関数である．

zin =

2
K12

(59)
2
K23

jωLa3 + · · ·と表される．ただし，ω = ΩΩc である．従って，係数比較を行うことによって K インバータは次式のように得られる．
Ωc RS La1
K01 =
(60)
g0 g1

7. 4 有極フィルタ（共振器並列結合形フィルタ）の回路合

CaN

Ca2

Ca1

成と結合行列

RS

J01

J12

J23

JN,N+1RL

有極フィルタの回路合成として，伝達関数に一般化チェビ
シェフ関数を持つ原形 LPF の合成法を簡単に説明する．

Zin
La1

La2

前節までの共振器直結形フィルタ（古典的フィルタ）ではLaN

正実関数をベースにした回路合成であった．この場合，中心

RS

K01

K12

K23

KN,N+1RL

周波数に対称な周波数特性のみ合成可能である．一方，前節で導入した虚抵抗（周波数に依存しない定リアクタンス

Zin項）を導入すると，先の特性多項式の係数はもはや実数で

図 14 (a) J インバータを用いた原形 LPF, (b) K インバータを用はなく複素係数となる．そのような関数を正関数（positive

いた原形 LPF

function）という．結果として，極や零点を複素平面上で非Ki,i+1 = Ωc
KN,N+1 =対称に配置することが可能となり，中心周波数に対して非対La,i La,i+1(i = 1, 2, · · · , N − 1)gi gi+1(61)

Ωc LaN RL
gN gN+1(62)

称な周波数特性を持つ回路を合成できる [7]．
有極フィルタの実現する伝達関数として，ここでは一般化
チェビシェフ関数 CN を取り上げる [6]–[9]．この伝達関数
は，通過域では等リプル特性，阻止域では任意の有限周波数に伝送零点を生成できる関数である．具体的には，伝達関数

J インバータの場合も同様にして導出できる [1]–[7]．
図 7(a) で示したように共振器直結形フィルタの結合トポ
ロジーでは飛越結合は存在せず，隣接する 2 つの共振器間の結合のみである．従って，その原形 LPF の結合行列 [M ] は，⎤
0 MS1 00 ··· 00
⎢ MS1 0 M12 0 · · · 0
0 ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 M12 0 M23 · · · 0
0
⎥
⎢
⎢ 0
0 M23 0 · · · 0
0 ⎥⎥ (63)[M ] = ⎢⎢ .
..
..
.. . .
..
.. ⎥
⎥
⎢ .
⎢ .
.
.
.
.
.
. ⎥
⎥
⎢
⎣ 0
0
0
0 · · · 0 MNL ⎦0000 · · · MNL0は一般化チェビシェフ関数 CN を用いて，T (Ω)T ∗ (Ω) = ⎡

で，一般化チェビシェフ関数 CN は，

CN (Ω) = cosh

1
g0 g1

xi (Ω) =Ω − 1/ΩTZi
1 − Ω/ΩTZi(72)

上記の伝達関数から共振器並列結合形フィルタ回路を合成

(64)
(65)

1
MNL = √
gN gN+1(66)

する簡便な公式はなく，合成過程はやや煩雑となる．そのため詳細は省略し，回路合成の手順のみ以下に紹介する．まず，極と零点の位置から特性多項式 F (s)，P (s) を求め，さらにユニタリ条件を満足しつつフルビッツの多項式となるよう特性多項式 E(s) を求める．得られた特性多項式 E(s)，F (s)，P (s) を用いて二端子対回路の基本行列（ABCD 行列）の各で与えられる．ここで，gi は原形 LPF の規格化回路素子値（g パラメータ）である．
原形 LPF の結合行列より，



Ωc
(67)
g0 g1
FBW
1
FBW
(i = 1, 2,· · ·, N −1) (68)mi,i+1 =√Ωcgi gi+1で求められる．

から共振器並列結合形フィルタ回路の結合行列要素を計算す

る．その結果，結合行列 [M ] は，

QeS =

Ωc
gN gN+1
FBW

行列要素の有理関数を求める．得られた行列要素の分母と分子を部分分数展開し，極と留数を求める．最後に，極と留数

帯域通過フィルタの設計に用いる結合係数と外部 Q 値は，



(71)

と表される．

1
Mi,i+1 = √(i = 1, 2, · · · , N − 1)gi gi+1

QeL =cosh−1 (xi (Ω))

と与えられる．上式の xi (Ω) は NTZ 個の伝送零点周波数< N ）より得られる関数であり，
ΩTZi （i = 1, 2, · · · , NTZ =ワース特性等の無極フィルタを実現する結合行列の各要素

MS1 = √

N
i=1

周波数 f0 で共振するため，対角項は全て 0 となる．バター

1 (70)
 ∗1+j CN(Ω)
Rと表される．ここで， と R は帯域内リプルに関わる変数と表される．共振器直結形フィルタでは全ての共振器は中心

は，式 (60)〜式 (62) より，


1−j CN (Ω)
R

(69)

⎡

0 MS1 MS2 MS3 · · · MSN
⎢M
0 ···
0
⎢ S1 M11 0⎢⎢ MS2
0 M22 0 · · ·0⎢⎢00 M33 · · ·0[M ] = ⎢ MS3
⎢ .
.
.
.
..
.
⎢ .
..
..
..
..
.
⎢ .
⎢

⎣ MSN 000 · · · MNN
MSL M1L M2L M3L · · · MNL

⎤
MSL
M1L ⎥
⎥
⎥
M2L ⎥
⎥
M3L ⎥
⎥ (73)
.. ⎥
⎥
. ⎥
⎥
MNL ⎦
0

QeS
S

m23

m12
1
f0

3
f0

2
f0

Current

QeL
L

Voltage

(a)

l1
Input

s1

s2

l2
s3

w

Dielectric substrate

図 16 マイクロストリップ半波長共振器の電圧・電流分布

l3
s4

l

Input

OutputOutput

2 mm

(b)

(a)

図 15 3 段マイクロストリップ半波長共振器フィルタ (a) 結合トポ

2.1Resonant frequency

ロジー, (b) 物理構造と得られる．図 7(d) に示した結合トポロジーから分かるように共振器間の結合はないため，1 番目と (N + 2) 番目の行
列要素ならびに対角要素を除いて全て 0 となる．
共振器並列結合形フィルタ回路は一般化チェビシェフ関数

2

2.0

51.0

を用いて合成可能なため様々なフィルタ特性を実現できるが，

1.950

通常，並列結合形の結合トポロジーのままでは設計が難しい

50.5

前節までの回路合成手法は，伝達関数を与えてそれを実現する特性多項式を求め，最終的に結合行列を得る方法であった．それ以外に結合行列を求める方法として，伝達関数を与えずに結合行列を直接生成する最適化手法がある [13]．目的関数 K （評価関数ともいう）を適当に定義し，目的関数を用いてフィルタ特性を直接評価する．所望の特性を実現する
結合行列は，目的関数が K = 0 となったときの解 [M ] である．なお，最適化アルゴリズムは準ニュートン法などでよい
が，結合行列の初期値の与え方は注意を要する．
本章までの内容をマスターすれば，所望のフィルタ特性を実現する結合行列（結合係数，外部 Q 値）ならびにその周
波数特性を求めることができる．ただし，それは電気回路上の理想値・理想特性である．最後の課題は，結合行列をどのように物理構造で実現し，物理寸法の設計を行うかである．

8. マイクロ波フィルタをマイクロ波回路（物理構造）で設計する
8. 1 無極フィルタ（共振器直結形フィルタ）の設計
共振器直結形フィルタの一例として，図 15 に示す 3 段マ

52

(b)

ため，別の結合トポロジーの結合行列に変換する [7]．

7. 5 結合行列の最適化手法

51
51.5
Length l (mm)

図 17 共振周波数の設計 (a) 物理構造, (b) 設計チャート(1) 中心周波数：f0 = 2 (GHz)(2) 帯域幅：Δf = 100 (MHz)（比帯域 FBW= 0.05）(3) 伝達関数：共振器段数 N = 3，帯域内リプル幅 LAr =
0.1 (dB) のチェビシェフ特性
上記の設計仕様から g パラメータは，式 (53)〜式 (58) より

g0 = 1.000，g1 = 1.032，g2 = 1.147，g3 = 1.032，g4 = 1.000と求められる．よって原形 LPF の結合行列 [M ] は，式 (63)〜式 (66) より，⎡

0⎢ 0.985⎢⎢[M ] = ⎢ 0
⎢
⎣ 0
0

0.985
0
0.919
0
0

0
0.919
0
0.919
0

0
0
0.919
0
0.985

⎤
0
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥ (74)⎥
0.985 ⎦
0と得られる．帯域通過フィルタの設計に必要な結合係数と外部 Q 値は，式 (30)〜式 (33) を用いて，

QeS =

1
= 20.60.05 × 0.9852(75)

QeL = QeS = 20.6(76)

結合トポロジーおける 3 つの共振器は，図 15(b) のように

m12 = 0.05 × 0.919 = 0.0460(77)

マイクロストリップ半波長共振器で実現する．マイクロスト

m23 = m12 = 0.0460(78)

イクロストリップフィルタを設計する [5], [10]．図 15(a) のリップ半波長共振器の電圧・電流分布を模式的に図示したのが図 16 である．図のように線路長が 1/2 波長のとき共振する．従って，共振周波数はマイクロストリップ共振器の長さ

i（i = 1, 2, 3）で設計する．また，共振器間の結合係数はマイクロストリップ共振器間のギャップ si（i = 1, 2, 3）で，共振器と入出力線路間の外部 Q 値はギャップ si （i = 0, 4）で設計する．

8. 1. 1 設 計 仕 様
伝達関数としてチェビシェフ特性を持つ共振器直結形フィルタを考える．そこで以下のように設計仕様を与える．

と計算される．これらの値をマイクロストリップ構造で実現するための共振周波数，結合係数及び外部 Q 値の評価方法を次に説明する．なお，設計には電磁界シミュレータ Sonnet

em を使用する．また，マイクロストリップ線路の基板には
比誘電率 εr = 2.6，厚み 1.2 mm の誘電体基板を用いる．

8. 1. 2 共振周波数の評価・設計
まず，結合行列の対角項は全て 0 であることから 3 つの共振器の共振周波数は全て中心周波数 f0 = 2 (GHz) となるよ
うに共振器長を設計する．誘電体基板の比誘電率 εr と厚み tから，この誘電体基板におけるマイクロストリップ線路の実

効比誘電率 εeﬀ が計算できる [5]．その値はおよそ εeﬀ = 2.15

51.0 mmである．よって，マイクロストリップ半波長共振器の長さ 

Input

s2
Outputは近似値として，

51.0 mm

(a)

(79)

fp1

-10

波長である．この共振器長  を初期値として，電磁界シミュ-30レータを用いて共振器長  を変化させたときの共振周波数を求める．求めるにあたっては，図 17(a) に示すように入出力

S21 (dB)と得られる．ただし，λ0 は中心周波数 f0 における自由空間-20

線路と共振器は十分な距離をとり，入出力線路と共振器は疎結合とする．その結果，通過特性には共振ピークが現れる．
これが共振周波数である．線路幅 w = 2.0 (mm) のとき共振

fp2

0.1
Coupling coefficient m12

λ0
= √= 51.1 (mm)
2 εeﬀ

-40
-50

Strongercoupling-60-70

Weakercoupling

-80
-90
1.8

器長  に対する共振周波数の変化を示したのが図 17(b) であ

1.9
2
2.1
Frequency (GHz)

0.08
0.06
0.0460
0.04
0.02
2.15
0

2.2

1.6

1.8

(b)

2
2.2
Gap s2 (mm)

2.4

(c)

る．この結果より，共振周波数 f0 = 2 (GHz) となるのは共

図 18 結合係数 m12 (= m23 ) の設計 (a) 物理構造, (b) 結合係数の

振器長  = 51.0 (mm) のときであると分かる．

評価方法, (c) 設計チャート

8. 1. 3 結合係数の評価・設計

s1

Input

物理構造で結合係数を評価するときには図 18(a) の構造をOutput用いる．同図では，中心周波数 f0 と同じ共振周波数を持つ

51.0 mm

2 つの共振器がギャップ s2 を介して結合している．通過特性

(a)
50

-20

S21 を計算するために入力線路と出力線路は設けるが，共振のように同調（synchronize）した 2 つの共振器が結合する

3.01dB

fp1 と fp2 がピーク周波数として通過特性に現れる．この 2

S21 (dB)-25と，図 18(b) のように結合共振器の 2 つの固有共振周波数

Δf

-30

つのピーク周波数 fp1 と fp2 を用いて，2 つの共振器間の結合係数の大きさ m12 は，







結合が強いという関係がある．なお，2 つの共振器が非同調（asynchronize），つまり共振器単体の共振周波数が互いに

1
2

f02 f01+f01 f02

20.6

1.95
2
2.05
Frequency (GHz)

0.47
2.1

10
0.2

0.3

0.4

0.5 0.6 0.7
Gap s1 (mm)

0.8

0.9

1

(c)

図 19 外部 Q 値 QeS (= QeL ) の設計 (a) 物理構造, (b) 外部 Q 値

8. 1. 4 外部 Q 値の評価・設計
外部 Q 値を評価するときには図 19(a) の構造を用いる．この構造において通過特性を電磁界シミュレーションによって求めると，図 19(b) のような特性が得られる．従って，ピー

異なる場合の結合係数は，

m12 =

20

の評価方法, (c) 設計チャート

つのピーク周波数の差が小さいと結合は弱く，差が大きいと

2
1
−fp2
fp2
2
1
fp2 +fp2

30

(b)

(80)

によって評価できる．ただし，fp2 > fp1 である．つまり，2



40

f0

-35
1.9

2
2
fp2
− fp1
m12 = 22
fp2 + fp1

External Q factor QeS

器と入出力線路は疎結合となるように十分な距離をとる．こク周波数 f0 と電力半値幅 Δf を用いて負荷 Q 値（loaded Q
2

−

2
2
−f01
f02
2
2
f02 +f012(81)によって求められる [5]．ここで，f01 と f02 はそれぞれ 1 番

factor）QL が計算できる．このとき負荷 Q 値は，入力側の外部 Q 値 QeS ，無負荷 Q 値 Qu ，出力側の外部 Q 値 QeL の逆数の和として次式で与えられる．

1
Δf
1
1
1
=
=
+
+
QL
f0
QeS
Qu
QeL

目と 2 番目の共振器単体での共振周波数である．式 (81) において f01 = f02 とすると式 (80) が得られることは明らかで(82)ある．ここでは結合係数の大きさのみに着目したが，結合係

ここで，材料損失である導体損失と誘電体損失を無視し，共数の正負の判定法については次節で述べる．

振器を遮蔽して解析すれば共振器の放射損失も無視できる．

フィルタ設計では，与えられた結合係数から物理構造を決定できない（順問題が解けない）．そのため，ギャップ

s2 を変えながら式 (80) を用いて結合係数 m12 を求めて，ギャップ s2 と結合係数 m12 との関係を図示し，それを設計チャートとしてギャップ s2 を決定する．本設計例の場合

よって，Qu → ∞ となる．さらに，出力線路と共振器の距離を十分とり，出力側の外部 Q 値 QeL が入力側のそれ QeS
1
よりも十分大きい場合，も近似的に無視できる．従っQeLて，外部 Q 値は，





QeS =

は，図 18(c) に示した設計チャートから結合係数の理想値

m12 (= m23 ) = 0.0460 は s2 (= s3 ) = 2.15 (mm) のときに得

られることが分かる．

によって評価できる．

f0
Δf

(83)



MS4

51.1

51.0

Input

MS3

51.1

0.47

0.47

2.15
2.15

Output2.00
unit: mmS(a)

Attenuation (dB)

Return loss
Insertion loss

M1L

L

M23

3
M24 M34
M12
MS1
M4L
M14
1
S
L
4

2

m23

3
m34

m12
S

QeS

(b)

1

m14

4

QeL

⎡

60

2
Frequency (GHz)

2.5

3

(b)

図 20 設計した共振器直結形フィルタ (a) 構造, (b) 周波数特性

結合係数の設計時と同様，図 19(b) のようにギャップ s1
に対する外部 Q 値 QeS の変化から設計チャートを作成し，ギャップ s1 を決定する．その結果，s1 (= s4 ) = 0.47 (mm)のとき所望の外部 Q 値 QeS (= QeL ) = 20.6 が得られる．

8. 1. 5 設 計 結 果
以上のようにフィルタの全ての寸法が決定された．設計したフィルタの構造を図 20(a) に，その電磁界シミュレーショ
ン結果と回路合成による周波数特性の比較を図 20(b) に示
す．なお，所望の特性が得られるように 1 段目と 3 段目の共

⎤
0
1.024
0
0
0
0
⎢ 1.024 0.002 0.871
0−0.170 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0
0.871
0.011
0.767
0.024
0 ⎥
⎢
⎥
[M] = ⎢⎥ (85)⎢ 000.767 −0.031 0.870
0 ⎥⎢⎥⎣ 0 −0.170 0.024 0.870 0.002 1.024 ⎦
0
0
0
0
1.024
0
と得られる．結合係数の大きさとしては他より小さいが，飛越結合 M24 = 0.024 が残るため，最後に M24 が強制的に 0となるように，変換後の結合行列を初期値として結合行列の最適化を行った [13]．それによって，

⎡

⎤
0
1.030
0
0
0
0
⎢ 1.030 0.002 0.875 0 −0.173 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0
0.875
0 0.767
0
0 ⎥
⎢
⎥
[M]=⎢
⎥ (86)⎢ 000.767 0
0.875
0 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 −0.173 0 0.875 0.002 1.030 ⎦
0
0
0
0
1.030
0

振器の長さを僅かだが微調整した．図 20(b) から分かるようのように飛越結合 M24 を含まない Folded 型カノニカル結合に，設計仕様通り 3 段チェビシェフ特性が得られている．

（図 21(c)）の結合行列が得られた．上式の結合行列から帯

8. 2 有極フィルタの設計

域通過フィルタの設計に必要な結合係数と外部 Q 値は，式8. 2. 1 設 計 仕 様(30)〜式 (33) を用いて，最後に，有極フィルタの設計例を示す．一例として以下のように設計仕様を与える．
中心周波数：f0 = 1 (GHz)

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

L

(c)

ない Folded 型カノニカル結合

Return loss
Insertion loss

1.5

1

2

M2L

M24 を含む Folded 型カノニカル結合， (c) 飛越結合 M24 を含ま

Synthesized

80
1

2

M3L

図 21 結合トポロジーの変換 (a) 共振器並列形結合, (b) 飛越結合

EM simulated

40

MS1

3

M4L

(a)

0

20

MS2

4

帯域幅：Δf = 50 (MHz)（比帯域 FBW= 0.05）
帯域内の反射損失：LR >= 20 (dB)
共振器段数 N = 4
伝達関数：一般化チェビシェフ関数特性
伝送零点周波数：fTZ1 = 0.95 (GHz)，fTZ2 = 1.05 (GHz)

上記の設計仕様から， 7.4 節の方法で一般化チェビシェフ
関数特性を持つ共振器並列結合形フィルタ回路（図 21(a)）の結合行列 [M ] を合成すると以下が得られる [7]–[9]．

⎡⎤00.375 −0.368 0.619 −0.623 0⎢ 0.375 1.291
0000.375 ⎥⎢⎥
⎢ −0.368 0 −1.284
000.368 ⎥⎢⎥
[M]=⎢
⎥ (84)⎢ 0.61900−0.70200.619 ⎥⎢⎥
⎣ −0.623 0000.679 0.623 ⎦00.375 0.368 0.619 0.623
0

QeS =

1
= 18.85
0.05 × 1.0302(87)

QeL = QeS = 18.85(88)m12 = 0.05 × 0.875 = 0.0438(89)

m23 = 0.05 × 0.767 = 0.0384(90)

m34 = m12 = 0.0438

(91)
−3

m14 = 0.05 × (−0.173) = −8.6 × 10(92)と計算される．結合行列の対角項が 0 ではないが，その値は十分小さいため，共振周波数はいずれの共振器も 1.00 GHzで近似できる．この設計では飛越結合 m14 が存在する．その結合係数の符号は負であるため，負結合の実現と結合係数の符号判別が必要となる．

8. 2. 2 結合係数の正負の実現と符号判別
図 21(c) の結合トポロジーを実現する 4 段マイクロスト
リップ 1/4 波長共振器フィルタの構造を図 22 に示す [5]．
前節が半波長共振器であったのに対して，ここでは一例と以上の共振器並列結合形の結合行列を Folded 型カノニカル

して 1/4 波長共振器を用いる．半波長共振器では共振器の結合（図 21(b)）の結合トポロジーに変換する [7]．なお，こ中央で電圧が 0 となるため，その点で短絡できる（実際にはの変換によってフィルタ特性は一切変わらない．変換の結果，

マイクロストリップ線路を地導体に金属ビアで導通させる）．
その結果，1/4 波長共振器の電圧・電流分布は図 23 となる．

Dielectric substrate

lx2

s23

w

2

Dielectric substrate

ly2

3

s12
Input

1

l0

4

s14

8.25

1.00
0.50

ly1

Output

8.38

Input

lx1

Voltage

15.00

Via hole

図 22 4 段マイクロストリップ 1/4 半波長共振器フィルタ

unit: mm

図 26 設計した有極帯域通過フィルタの構造

Current0
Synthesized
Return loss
Insertion loss

Attenuation (dB)10

図 23 マイクロストリップ 1/4 波長共振器の電圧・電流分布
0.1

0.08

Coupling coefficient m 23

m 12
m 14

0.06
0.0438

0.04
0.02

0.50

0.08
0.06

EM simulated
Return loss
Insertion loss

20
30
40
50

0.04
0.0384

60
0.8

0.9

0.02

1
1.1
Frequency (GHz)

0.8

0
1

1.1

(a)

1.2
1.3
Gap s 23 (mm)

1.2

(a)

1.24

0.40

0.4
0.6
Gap s12 / s14 (mm)

1.4

0

1.5

(b)

図 24 結合係数の設計チャート (a) m12 及び m14 , (b) m23
100
80

Attenuation (dB)-3

8.6x100
0.2

External Q factor Q eS

Coupling coefficients m 12 and m 14

0.1

Output0.40

3.87

Via hole

15.00

1.24

20

Synthesized
Return loss
Insertion loss
EM simulated
Return loss
Insertion loss

40

60
60

80
0

40
20

1
Frequency (GHz)

1.5

2

(b)

18.85

図 27 設計した有極帯域通過フィルタの周波数特性 (a) 通過域特

4.1

0
2

0.5

3
4
Tap position l0 (mm)5

図 25 外部 Q 値 QeS の設計チャート

性, (b) 広帯域特性設計を行っていく．ただし，共振器 1 段目と 4 段目は入出力線路の接続によって共振周波数がシフトすることを予め考

開放端では電圧（電界）が最大となり，短絡端では電流（磁界）が最大となる．すなわち，2 つの 1/4 波長共振器の開放端を対向させると電界結合が得られ，短絡端を対向させると磁界結合が得られる．そこで，磁界結合時の結合係数の符号を正，電界結合時を負と定義する．この 2 つの結合の判別には，2 つの共振器の結合時の位相特性を用いる [14]．S21 の位相が S11 の位相よりも遅れている場合は電界結合であり，その逆の場合は磁界結合であると判別できる．
従って，図 22 に示した物理構造においては，負結合 m14を得るためにギャップ s14 では共振器の開放端を対向させ，正結合 m23 は短絡側を対向させている．なお，結合係数 m12
及び m34 はともに正，ともに負のどちらかであれば，正負いずれであってもフィルタ特性は変わらない．

8. 2. 3 結合係数と外部 Q 値の設計
前節の設計例と同様に，まず，1/4 波長共振器が中心周波数 f0 で共振するように設計した後，結合係数と外部 Q 値の

慮して寸法を決定した．なお，マイクロストリップの基板には比誘電率 εr = 10.2，厚み 0.635 mm の誘電体基板を用い，設計には電磁界シミュレータ ANSYS HFSS を用いた．
結合係数の設計手順としては，結合係数 m14 ，m23 を設計した後，最後に結合係数 m12 を設計すれば 4 つの共振器の位置が決まる．図 24(a)，(b) に結合係数の設計チャートを示す．同図より所望の結合係数を実現する共振器間のギャップが s12 = 0.50 (mm)，s23 = 1.24 (mm)，s14 = 0.40 (mm)と決定される．続いて外部 Q 値 QeS はタップ位置 0 を変えて調整する．図 25 に外部 Q 値の設計チャートを示す．図より所望の外部 Q 値を実現するタップ位置が 0 = 4.10 (mm)と決定される．

8. 2. 4 設 計 結 果
以上の設計によって得られたフィルタ構造について電磁界シミュレーションで特性を求めたところ，通過域内のリター
ンロス特性が理想特性よりも劣化していたため，タップ位置

0 を調整して帯域内のインピーダンスマッチングを改善した．この微調整によって得られたフィルタの構造を図 26 に示し，電磁界シミュレーションによって求めた周波数特性と理想特性の比較を図 27 に示す．通過域の近傍に伝送零点を生成したことによって急峻なスカート特性が得られていることが分かる．

8. 3 共振器の無負荷 Q 値による挿入損失の評価
ここまでの設計では損失（誘電体損失，導体損失，放射損失）を考慮しなかった．しかし，第 4 章で示したように共振器の無負荷 Q 値は挿入損失に大きく影響する．無負荷 Q 値
による挿入損失の劣化は電磁界シミュレーションによってもちろん評価できるが，簡易評価式も有用である．
共振器の縦続接続によって構成される N 段共振器直結形
帯域通過フィルタ（チェビシェフ特性等の無極フィルタ）において，その中心角周波数 ω0 での挿入損失 ΔLA は次式で計算できる [1], [2], [5]．

ω0  gi(dB)Δω i=1 Qu,iN

ΔLA (ω0 ) = 4.343(93)

この公式では，回路合成時に必要な規格化回路素子値 gi ，比帯域 Δω/ω0 ，共振器の無負荷 Q 値 Qu,i が分かれば挿入損失を求めることができるので簡便である．特に，同一の共振器を用いてフィルタを構成する場合は全ての共振器の無負荷

Q 値は同一としてよい．
一方，一般化チェビシェフ関数特性を実現する N 段共振
器並列結合形帯域通過フィルタの挿入損失 ΔLA の公式は文

2011.
[5] J.-S. Hong and M. Lancaster, Microstrip Filters for
RF/Microwave Applications (Second Ed.), Wiley, 2011.
[6] P. Jarry and J. Benneat, Advanced Design Techniques
and Realizations of Microwave and RF Filters, New
York: Wiley, 2011.
[7] R.J. Cameron, C.M. Kudsia, and R.R. Mansour, Microwave Filters for Communication Systems: Fundamentals, Design, and Applications, New York: Wiley, 2007.
[8] R.J. Cameron, “General coupling matrix synthesis methods for Chebyshev filtering functions,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech.,vol.47,no.4,pp.433–442,Apr. 1999.
[9] R.J. Cameron, “Advanced coupling matrix synthesis
techniques for microwave filters,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol.51, no.1, pp.1–10, Jan. 2003.
[10] H. Kayano and M. Ohira, “Fundamentals of microwave
filters: synthesis theory and design techniques,” Tutorial Material in 2013 Thailand-Japan Microwave (TJMW
2013), Dec. 2013.
[11] 青山, 大平, 馬, “共振器並列形回路の合成理論とパラメータ抽出法を併用した有極形多モードフィルタの設計法,” 信学論(C), vol.J96-C, no.12, pp.471–479, Dec. 2013.
[12] 滝, 伝送回路（第 2 版）, 共立出版, 1997.
[13] S. Amari, U. Rosenberg, and J. Bornemann, “Adaptivesynthesis and design of resonator filters with source/loadmultiresonator coupling,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol.50, no.8, pp.1969–1978, Aug. 2002.
[14] 河口, 小林, “Open-loop 共振器間結合係数の磁気結合と静電結合の判別,” 信学総大, C-2-79, p.114, Mar. 2004.
[15] M. Ohira and Z. Ma, “A parameter-extraction method
for microwave transversal resonator array bandpass filters
withdirectsource/loadcoupling,” IEEE Trans.Microwave
Theory and Tech., vol.61, no.5, pp.1801–1811, May 2013.

献 [15] で示されている．第 3 章で述べたフィルタの設計仕様（特に挿入損失）を満足するかどうかは以上の公式を用いて事前に簡易評価できる．

大平 昌敬：埼玉大学大学院理工学研究科，准教授，メールアドレス mohira@mail.saitama-u.ac.jp

9. む す び
本基礎講座では，結合行列をベースにしたマイクロ波帯
域通過フィルタの回路解析，回路合成，設計について解説した．電磁界シミュレータの発展とともにマイクロ波回路設計
もそれへの依存度が増え，より複雑な構造が取り扱えるようになってきたことはマイクロ波フィルタも例外ではない．しかしシミュレーション結果のみにとらわれず，その背景には
回路合成技術・解析技術・設計技術（本稿では扱わなかったが製作技術も）が織り成す素晴らしい世界がマイクロ波フィ
ルタには広がっていることを理解し，本基礎講座がフィルタ技術習得の一助となれば幸いである．
謝辞

著者紹介

日頃，ご議論ならびにご指導いただく埼玉大学 馬哲旺 教授に感謝致します．フィルタの設計に協力いただいた埼玉大学 青山裕之氏（現在，三菱電機株式会社）に感謝
致します．
文

献

[1] G.L. Matthaei, L. Young, and E.M.T. Jones, Microwave
Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling
Structures. New York: McGraw-Hill, 1964.
[2] 小林, 鈴木, 古神, マイクロ波誘電体フィルタ, コロナ社, 2007.
[3] 小西, 実用マイクロ波フィルタの基礎と設計（第 1 版）, ケイ
ラボラトリー, 2009.
[4] 馬, “マイクロ波フィルタ設計の基礎と実践,” 2011 Microwave
Workshops & Exhibition (MWE 2011) 基礎講座 2, Dec.