音波の共鳴現象を利用した砂の連続空気量と通気係数の測定
深田耕太郎 1 · 三野

徹 2 · 中村公人 1

Measurement of continuous air content and air conductivity for sand using sound resonance
Kotaro FUKADA1 , Toru MITSUNO2 and Kimihito NAKAMURA1

Abstract: At present, acoustic method for evaluation of
the continuity between the atmosphere and soil air has
not been fully investigated. We evaluated impedance ata sample surface using sound resonance, and estimated theamount of sample air affected by the resonance and the
conductivity of the sample. Sand and glass beads wereused for a comparison of the air conductivity estimatedusing the acoustic method and the conventional method
based on Darcy’s law for air flow. Our results show that the
impedance measurement provided good estimations of thecontinuous air content. We can more precisely determine
the proportion of continuous air in the sample by combining the acoustic method with typical bulk and particle density measurements. Our calculation procedure was valid
until the amount of air in the sample was less than 20 cm3 .
Comparison with results of the conductivity tests show thatthe impedance measurement provided the air conductivity
for sample air connected to the atmosphere through one
side of the sample.
Key Words : sound wave, sand, air content, air conductivity, continuity

1. はじめにtrapped air）が存在することが認識された．以下では，封入空気以外の空気を連続空気と呼ぶことにする．Fischer
et al.（1997）は，Stonestrom and Rubin（1989a, b）の実
験結果に空気飽和度と通気性の関係を表すモデルを適用
して，空気飽和度を，通気性を持つ空気（permeable air）の飽和度と通気性を持たない空気（trapped air + locallyaccessible air）の飽和度に分離しようとした．以上の研究は，土壌の気相の量と通気の関係を理解する上で，通気に寄与する空気と寄与しない空気を区別する重要性を示している．しかし，実験によって両者（細かくいえば三者）を区別することは難しく，まとめてひとつの気相として扱われることが多い．一般的な気相率の測定においても，はじめに固相と液相の体積を求め，全体積のう
ち残りの体積を気相の体積とする（重量法）．このように，土壌空気を連続空気とそれ以外に分離して測定し，さらに通気係数を同時に計測することは，土壌空気を扱う上で重要な課題である．
連続空気量の従来の測定方法を概観すると，まず，Debacker（1967）， Stonestrom and Rubin（1989a, b）は，
空気が圧縮膨張するときの体積と圧力の関係（ボイルの法則）を利用して，連続空気量を測定した（air pycnometer

土壌中に存在する空気は水分によって封入されるこ

method）．この方法では，土壌試料を密閉容器に入れ，ピとがある．そのような空気は，周囲の封入空気や大気とストンなどを用いて容器の体積を変化させる．そして，

連続していないため通気性をもたない．Stonestrom and

体積変化にともなう圧力の変化を測定する．圧力を加Rubin（1989a, b）は，砂充填試料の水分飽和度を変化さえたとき，封入空気が体積変化しないならば，体積変化せたときに試料の通気性が発現，または消失する臨界飽

した空気は試料の連続空気とそれ以外の容器の空気で和度の存在を実験で示した．このように封入空気の存在ある．上記の研究では，封入空気の体積変化は十分小さと通気性は関係している．上記の研究におけるもう一つ

く，測定誤差の範囲内に収まるとされた．air pycnometerの重要な発見は，大気と連続しているが，試料の端と端

method は，連続空気量を測定するためには，圧縮のよをつないでいない，したがって試料の途中で途切れた空

うに空気に直接作用する測定方法が有効であることを気（locally accessible air）の存在である．このような空示している．しかしこの方法には，封入空気の圧縮膨張

気も封入空気と同様に，試料の端から端への通気に寄与を避けるために，なるべく小さな体積変化とそれにともしない．しかし，入口と出口を同じにするような移動な

なう圧力変化の測定が要求される点や，温度や大気圧のらば可能である．このように，気相の中にも通気の自由影響を考慮しなければならない点などの難点がある．ま

度に応じた三相（permeable air, locally accessible air,

た，この方法で求めた連続空気には，locally accessible

1 Graduate school of agriculture, Kyoto University, Kitashirakawa Oiwake-cho, Sakyo ward, Kyoto, 606-8502, Japan. Corresponding author: 深田
耕太郎，京都大学農学研究科
2 Tottori University of Environmental Studies, 1-1-1, Wakabadai north,Tottori city, Tottori, 689-1111, Japan
2010 年 1 月 12 日受稿 2010 年 6 月 9 日受理
土壌の物理性 115 号, 3–13 (2010)

air が含まれるため，通気試験と組み合わせて連続空気量と通気係数の関係を議論するのは，少なくとも locallyaccessible air が存在する範囲においては正確ではない．
音波を用いた測定方法も提案されている．音波は空気の圧縮膨張が一秒間に何十 ∼ 何万回と繰り返される振動現象である．音波における体積と圧力の変化は，静的

4

土壌の物理性第 115 号

(2010)に圧縮あるいは膨張させる場合の体積と圧力の変化にされている（free field method，例えば，Ingard and Bolt,

比べて小さいが，air pycnometer method と同じ原理で連

1951; Legouis and Nicolas, 1987）．本研究では，共鳴法

続空気量を測定できると考えられる．また音波を用いると呼ばれる方法を用いる．これは，スピーカーとマイクと，試料中で振動している空気に働く，振動の速度に比によってパイプ内空気の固有振動を調べる方法で，定在例した抵抗の強さを評価できる．これは，通気係数に相波管法の一つである．スピーカーが音を出すことによっ当するものである． locally accessible air が存在するとて系が共鳴を起こし，マイクの録音データから共鳴曲線

き，振動する空気は音波を当てた側の試料の一端から試を得る．どの周波数で，どれくらい強く共鳴が起きたの料内に出入りできる空気，つまり locally accessible air

かを調べることで，インピーダンスを測定できる．共鳴と permeable air となる．したがって，音響測定によっ

法は，連続空気量と通気性が共鳴曲線の位置と形状として封入空気以外の連続空気の量とその通気性（出入りて現れるため，直感的に理解しやすい．また，パイプ内口を一つとするような移動を含めた通気性）を同時に部や端における音波の減衰の影響が共鳴時に最も強く出評価できることになる．屈曲度に関する情報が得られることも共鳴法を用いる利点である．共鳴現象を利用しることも，音響測定の利点である（例えば，Moore andた測定方法の有効性は，Paris（1927），Beranek（1940），

Attenborough, 1992）．
過去の研究では，現場の砂，シルト質壌土，シルト質埴

Mills and Spiekermann（1992a, b）などによって示されているが，本研究では，Pierce（1981）が導出した，より壌土に対して土壌の気相率と通気性，屈曲度を非破壊的明解な共鳴周波数，共鳴幅，インピーダンの関係式を参にかつ簡便に測定することを目的として音波が用いられ考にした．本研究用に境界条件を変えて導出しなおし，たことがある（Moore and Attenborough, 1992; Sabatier

さらに，パイプ内部の音波の減衰を考慮する項を付加す

et al., 1990）．しかしこれらの研究では，土壌空気の連続ることで，実際の測定に使えるものにした．

性（封入空気の存在や存在量の変化）への注目はなく，音響学的に推定された気相率と重量法による気相率の違

2. 材料と方法

いは誤差として扱われた．その理由として，これらの研2.1 試料と実験装置

究で用いられた測定法では，音響測定と重量法の結果の2.1.1 ガラスビーズ充填試料差に対して連続性の議論ができるほど十分な測定精度が得られていないことが考えられる．また，音響学において興味ある研究材料は土壌物理学が対象とする土壌とは異なり，水分を含まない多孔質体（吸音材料）であるこ
とも理由の一つであろう．このように，音響測定を利用して，水分を含んだ土壌中の空気を封入空気と連続空気に区別した研究は行われていない．
以上のような背景から，本研究では，音響学の考え方

平均粒径 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 mm のガラスビーズを乾燥状態で，それぞれ，内径 5 cm，長さ 2.5，5.0，7.5，

10.0 cm（容積 50, 100, 150, 200 cm3 ）のステンレス製円筒容器に充填した．充填方法は，円筒容器をステンレス製のふたで閉じて，試料を入れて締め固める操作を 2 ∼4 回繰り返し，最後に表面を平らに整形するという方法を用いた．ガラスビーズ充填試料は水分を含まないため
空気は全て大気と連続している（全空気量と連続空気量と測定方法をもとに air pycnometer method の原理を振動する系に拡張することによって，水分を含む土壌試料に対し，連続空気の量とその通気性を測定するための簡単な方法を開発することを目的とする．
音響，波動，振動の学問では，振動する媒質（この場合，土壌の連続空気）を特徴づける量として，インピー
ダンスと呼ばれる量を用いる．これは，振動する媒質が受ける抵抗力の比例定数である．したがって，まずイン
ピーダンスを測定し，測定したインピーダンスから連続空気量と通気性を推定するという手順をとる．
インピーダンス測定では，音源（スピーカー）によって試料に音波を当て，マイクによって反射波を捉える．
標準的な方法は，定在波管（インピーダンス管）とよばれる細長いパイプの端に試料を埋め込み，もう片方の端にスピーカーを置いて音を流しながら，パイプ内に置いたマイクによって，パイプ内の音の場を測定するというものである（impedance tube method，定在波管法）．
この方法には，パイプ内を移動するマイクによって波形を調べる方法（定在波比法，ASTM C384-04）, および 2 つの固定マイクを用いる方法（伝達関数法，ASTM

E1050-08）がある．他に，パイプを用いない方法も提案

Fig. 1 インピーダンス測定装置．
Impedance measurement system.

論文：音波の共鳴現象を利用した砂の連続空気量と通気係数の測定

5は等しい）．したがって，これらの試料はインピーダン

差）と一致する．上記のように定義したのは，実際に得スからの推定方法の精度と推定可能な範囲を求めるためられる共鳴曲線が左右非対称であり，非対称な共鳴曲線に用いた．

も対称なものと近似して扱えるようにすると，計算が単

2.1.2 砂充填試料

純になるためである．共鳴筒の一端を閉じた状態は基準

鳥取砂丘砂（主に粒径 0.2 ∼ 0.4 mm），および相馬硅であり，試料のインピーダンスを計算するとき必要とな砂（平均粒径 0.6 mm）を，含水比 1 ∼ 15 % の間で 20 種

る（2.3 節，式（4）における F0 ）．基準の測定を行った類の水分状態に調整し，それぞれ，内径 5 cm，長さ 2.5

後，Fig. 1 のように共鳴筒と試料をつないで同様の測定

cm，容積 50 cm3 のステンレス製円筒容器に充填した．

を行い，各試料の共鳴周波数と共鳴幅を得た．測定時，充填方法はガラスビーズ充填試料の場合と同様である．

試料の下端はステンレス製のふたで閉じたままである．

これらの試料は，水分を含む試料に対してインピーダン

2.2.2 通気試験およびその他の測定スからの推定値を検証するために用いた．

砂充填試料および容積 200 cm3 のガラスビーズ充填試

2.1.3 インピーダンス測定装置

料は，インピーダンス測定後，共鳴筒から離脱し，試料

定在波を利用したインピーダンス測定法を用いた．内の上端に通気用の管をつなぎ，下端のふたをとって開放

径 2.5 cm，長さ 100 cm の塩化ビニルパイプ（共鳴筒）

し通気試験を行った．ガラスビーズは通気性が非常に高の側面に穴を 2 つ開け，共鳴筒内に音を入れるためのいため，土壌試料用の通気試験器を用いるのが困難であスピーカー（Microspeaker 334495，Foster）と共鳴筒内る．そこで今回は，他の容積の充填試料に対して通気試の音を録音するためのマイク（ECM-44B，Sony）をそ験を行わず，容積 200 cm3 の試料に対して得た通気係数

れぞれ取り付けた（Fig. 1）．また，共鳴筒と試料をつなをその粒径における通気係数とした．砂充填試料は通気いだときに空気が接合部から漏れないように，O リング

試験後，炉乾燥させ，乾燥質量，水分量を求めた．また，を用いたコネクタを取り付けた．入力波形，出力波形，

ガラスビーズ，鳥取砂丘砂，相馬硅砂の土粒子密度試験

音量の制御を行うため，スピーカーとマイクをアンプを行い，試料の土粒子密度と乾燥質量から間隙体積を求（KU-5EA-CA，株式会社エクレア）につなぎ，アンプをめた．このようにして気相や間隙の体積を求める従来のパソコンにつないだ．

方法をここでは重量法と呼ぶことにする．

2.1.4 通気試験器

2.3 計算方法
共鳴時，共鳴筒内には共鳴筒の両端付近に節と腹を持DIK 土壌通気性測定器（大起理化工業株式会社）を用いた．これは，Grover（1955）の方法を室内試験に応用

つ楔形の定在波が励起される．共鳴法による連続空気量したもので，水に浮かべた浮きが自重で沈むことを利用

測定の単純なイメージは，共鳴筒につないだ試料の連続して，試料に空気を流す．浮きの沈む速度，および，マ

空気によって共鳴筒が少し延長されたと考えることでノメーターによる浮き内部の空気圧を求め，ダルシーのある．つまり，延長された共鳴筒の固有振動数（共鳴周法則から通気係数を求めることができる．

波数）は低くなる（定在波の波長が伸びる）ため，共鳴2.2 実験方法

周波数の低下から共鳴筒がどれくらい伸びたのかを計

2.2.1 共鳴法によるインピーダンス測定

算できるということである．しかし一般的にはさらに複はじめに，直径 5 cm，厚さ 1 cm の塩化ビニル製の円板をコネクタに取り付けて共鳴筒の一端を完全に閉じ雑であり，試料の存在は，共鳴周波数だけでなく共鳴幅も変化させる．共鳴幅は音のエネルギー損失の尺度であた．そして，スピーカーの振動周波数を 5 秒間で 5 ∼り，試料の存在は共鳴時のエネルギー損失を増やし，共200 Hz まで増加させた（スウィープ波）．同時にマイクで共鳴筒内の音を録音した．長さ 100 cm の共鳴筒は，の増加を定量的に扱うためにインピーダンスという量を鳴幅を広げる．よって，共鳴筒の延長やエネルギー損失

この周波数帯に最低の共鳴周波数（固有振動数）を持つ．

air pycnometer method が周波数ゼロの極限の場合に相当するため，共鳴周波数の中で最低のものを選んだ．録音
データ（時間 – 音圧の関係）をフーリエ変換して，共鳴曲線（周波数 – 音圧の二乗の関係，Fig. 2）を得た．上記の操作を 5 回繰り返し，5 つの共鳴曲線の平均値にSavitzky and Golay（1964）の重みつき移動平均を適用して平滑化した．共鳴曲線から，共鳴周波数 f （音圧の二乗がピークとなる周波数），および，左半値点 fLeft （音圧の二乗がピーク値の半分となる 2 つの周波数のうち，共鳴周波数の左側にあるもの）を求めた（Fig. 2）．本研
究では，共鳴周波数 f と左半値点 fLeft の差を 2 倍したものを共鳴幅 ∆ f と定義する（∆ f /2 = f − fLeft ）．この定義は共鳴曲線が左右対称の場合，一般的な共鳴幅の定義（音圧の二乗がピーク値の半分となる 2 つの周波数のFig. 2 共鳴曲線．
Resonance curve.

6

土壌の物理性第 115 号

(2010)

用いる．そこでまず，共鳴周波数と共鳴幅からインピー料の接合部を塩化ビニル製の円盤で完全に閉じたときのダンスを計算するための式を，以下のように Crawford

F の値である．F0 の実部は共鳴筒内部における音波の減衰の程度を表している．式（4）を用いると，測定値 f ，∆ f からインピーダンス Z を求めることができる．

（1968），Pierce（1981）を参考にして導出する．
以下では計算を簡単にするために複素数を用いる．出
発点は，任意の周波数 f （Hz）で駆動されている定在波を表す式，

次に，インピーダンスから試料の連続空気量と通気係数を計算するための式を導出する．そのために，試料のψ (x,t) = [A cos kx + B sin kx] exp(−iω t)

連続空気を質点で表し，質点に振動の復元力を与えるば(1)料のモデルとする（Fig. 3）．質点についての運動方程および，音の分散関係を表す式，

ω = ck

ねと振動を減衰させるダッシュポットをつけたものを試
式は，

(2)

M(∂ 2 ψ /∂ t 2 ) + MΓ (∂ ψ /∂ t) + K ψ = T0 (∂ ψ /∂ x)(5)である（例えば，Crawford, 1968）．ここで，ψ (x,t) はであり，x = 0 における ψ (x,t) の境界条件 T0 (∂ ψ /∂ x) =共鳴筒内の任意の場所 x（m）と時刻 t （s）における−Z(∂ ψ /∂ t) と合わせて，以下の関係を得る．

空気の振動の変位（m），k は波数（m−1 ），ω は角振動数（rad s−1 ），c は音速（m s−1 ），A と B は複素数の定数（m），i は −1 の平方根である．また，角振動数と周波数の間には ω = 2π f の関係がある．ψ (x,t) の境界条件として，共鳴筒と試料の境界（x = 0）において，T0 (∂ ψ /∂ x) = −Z(∂ ψ /∂ t)，共鳴筒と大気の境界（x = L）
において，∂ ψ /∂ x = D0 exp(−iω t) を与える．ここで，T0は平衡状態での大気の張力（N），Z はインピーダンス（N（m s−1 ）−1 ），D0 は実数の定数（無次元）である．また，T0 = γ p0 a である（γ は定圧比熱と定積比熱の比（無次元）， p0 は大気圧（Pa），a は共鳴筒の断面積（m2 ））．
これらの境界条件により，複素定数 A と B が決まり，イ
ンピーダンス Z を境界条件に持つ定在波の形 ψ (x,t) が決まる．共鳴筒内の任意の場所 x と時刻 t における空気の張力 T (x,t) は，−T0 (∂ ψ /∂ x) であり，以下のようになる．

−Z = MΓ + i(K/ω − M ω )(6)

ここで，M は連続空気の質量（kg），K はばね定数（Nm−1 ），Γ はダッシュポットの定数（s−1 ）である．式（6）はインピーダンスを 3 つの成分 M ，K ，Γ で書いたものである．M ，K ，Γ から試料の連続空気量と通気係数を推定するために以下の式を用いた．

M = ρ0V0(7)

K = p0 a2 /V0(8)

Γ = a2 ρw gl/(AMka ) = a2 ρw g/(A2 ρ0 ka )(9)

ここで，ρ0 は空気の密度（kg m−3 ），V0 は連続空気の体iZ cos kx − (T0 /c) sin kx
exp(−iω t) (3)iZ cos kL − (T0 /c) sin kL

積（m3 ），ρw は水の密度（kg m−3 ），g は重力加速度（m共鳴曲線は，T 2 を周波数の関数として表したものであs−2 ），A は試料の断面積（m2 ），ka は通気係数（m s−1 ）る．式（3）から，T 2 が最大となる周波数（共鳴周波数），である．最終的に計算で求めるものは V0 と ka であり，T (x,t) = −T0 D0

および，最大値の半分となる周波数（半値点）をインピー
ダンス Z の関数として直接書き下すことは難しい．ここで，|Z| ≫ T0 /c（試料のインピーダンスは大気のインピーダンスに比べて十分大きい）を仮定する．これは，共鳴筒に試料を取り付けたときの共鳴周波数が基準における共鳴周波数に近いことを意味している．これより，
式（3）の分子において T0 /c を無視し，波数 k を固定値

k0（基準における k）にする．ここで，k0 L = π /2 であり，最低の固有振動数をもつ楔形の定在波を表している．そして k が k0 に近いという理由から，分母において sin kL
を 1，cos kL を k0 L − kL とする（Pierce, 1981）．このよ
うにして，共鳴曲線は左右対称な形に近似され，共鳴周
波数 f ，共鳴幅 ∆ f ，インピーダンス Z の単純な関係を得る．

F − F0 = T0 /(2π LZ)(4)

ここで，F = ∆ f /2 − i f である．また，F0 は共鳴筒と試Fig. 3 試料の質点モデル．
Mass point model of the sample.

論文：音波の共鳴現象を利用した砂の連続空気量と通気係数の測定

7

これらをインピーダンス測定による連続空気量と通気係の最初の項は K/ω に等しくなる．一方，式（11）の実数の推定値とする．式（7）∼（9）はいずれも静的，ある部は，式（9）において，V0 /A を d/3 で置き換えたもの

いは定常状態において成り立っている関係から導いたもに等しい．Beranek は実験によって式（10）の有効性をのである．例えば，式（8）は体積 V0 の空気が等温変化示している．したがって式（11）は，試料の長さ d が分で圧縮（膨張）したときに，空気が示す復元力を表す式

かっているとき有効といえる．しかし，ここでの試料のであり，ここに air pycnometer method の考え方，すなわ

長さとは，音波が試料内を反射されるまでに進む距離の

ちボイルの法則が含まれている．また，式（9）は，長さことである．水分を含む試料では，locally accessible airl = V0 /A（連続空気量の推定値を試料の断面積で除したの存在によって通気性があっても試料の途中で音波が反もの）の試料に抵抗 Γ で空気が流れる場合の通気係数を射することがあるかもしれない．そこで本研究では，d表すものであり，ダルシーの法則から導出した．モデル

は未知であるとし，V0 /A を用いて通気性を推定すること

では連続空気を質点で表したために試料の長さに関するにした．

情報が失われているため，すでにモデルの中で用いた量以上に示した方法を本研究における共鳴法と呼ぶこと（連続空気量 V0 ）によって表現でき，長さの次元を持つにする．共鳴法により，各試料の共鳴周波数 f と共鳴幅

ものとして V0 /A を用いることにした．

∆ f から，V0 と ka を計算し，それぞれ，重量法によって音響学的な観点から多孔質体をモデル化しても同じよ
うな結論を得る．Beranek（1942）は，空気のブロックと求めた全空気量，および通気試験から求めた通気係数の値と比較した．

固体のブロックからなる多孔質体のモデルを考えた．モ

砂充填試料において上記の仮定 |Z| ≫ T0 /c が成り立つ

デルでは固相の振動が考慮され，多孔質体は密度と振動ことをインピーダンスの質点モデル（式（6）∼（9））を用

抵抗を増した有効な密度と動的な抵抗によって表された

いて確認する．通気係数は気相率と共に増加するため，

空気のように表現される．それは以下のように書ける．

気相率が最大のとき，インピーダンスは最も小さくなる．
連続空気量 V0 = 25 cm3 （気相率 50 %），通気係数 ka =Zd =(

ρ1 c 1
R1
√
1−i
ρ1 ω
P

√ (
)1 ]
2
(10)
ω P
R1 2
coth i
d
1−i
c1
ρ1 ω

)1

[

ここで，Zd は音響インピーダンス（Pa（m s−1 ）−1 ），ρ1
1は空気の有効密度（kg m−3 ），c1 = (p0 /ρ1 ) 2 （m s−1 ），P

は間隙率（無次元），R1 は動的摩擦抵抗（kg m−3 s−1 ），d は試料の長さ（m）である（本研究とインピーダンスの定義が違うため，両者を対応させるためには，式（6）∼（9）を a2 /A で割る）．d あるいは ω が小さいとき，式30 cm s−1 とすると，共鳴周波数 f はおよそ 80 Hz とな
り，砂充填試料で想定される最小のインピーダンスとして，−Z ≈ 0.05 + 2i（N（m s−1 ））−1 ）を得る．したがって，|Z| ≈ 2N（m s−1 ）−1 ．一方，γ = 1.4，p0 = 1013 hPa，−1
a = 4.9 cm2 ，c = 340 m s−1より，T0 /c ≈ 0.2 N（m s−1 ）であり，試料のインピーダンスは大気のインピーダンス
より 1 オーダー大きい．水分を含む砂充填試料のインピーダンスはさらに大きくなるから，仮定 |Z| ≫ T0 /c は十分成り立っている．

3. 実験結果と考察（10）の coth を展開し（coth x ≈ 1/x + x/3）
，以下の近似式を得る．

Zd = R1 d/3 − i(ρ1 c1 2 /(ω Pd) − ω d ρ1 /3)

3.1 ガラスビーズ充填試料を用いた共鳴法の有効性の(11)

検討
ガラスビーズ充填試料の乾燥密度は，1.55 ∼ 1.62 Mg

有効密度，動的摩擦抵抗には固相の振動の影響が含ま

m−3 ，粒子密度は 2.58 Mg m−3 ，長さ 2.5，5.0，7.5，10.0

れているため，空気の密度，流れの摩擦抵抗よりわずかcm（容積 50，100，150，200 cm3 ）の試料の連続空気量に大きい．しかし Beranek は，固体の密度が空気の密度

は，それぞれ，約 20，40，60，80 cm3 ，間隙率は 37 ∼に比べてとても大きいため，固相の振動は無視できるも40 % となった．この結果から，試料の連続空気量の増のとして扱っている（水分が存在する場合でも，水の密加を試料の長さの増加と読み替えることができる．

度は空気の密度より固体の密度に近いため，同じ理由にFig. 4 に基準の共鳴曲線と粒径 0.6 mm，容積 50，200

よって水分の振動を無視できる）．したがって，ρ1 = ρ0 ，

cm3 のガラスビーズ充填試料の共鳴曲線を示す．縦軸

c1 = c，R1 = ρw g/ka となる．すると，式（11）の虚部

は基準のピーク値を用いて正規化した音圧の二乗値を

8

土壌の物理性第 115 号

(2010)

Table 1 ガラスビーズ充填試料と砂充填試料の音響測定データと計算結果．
Acoustical data and calculation results for glass bead and sand-filled samples.
通気係数 ka
ばね定数 K
共鳴周波数 f 共鳴幅 ∆ f インピーダンス-Z 連続空気量 V0(式 (4) より) (式 (6)∼(9)より) (式 (6)∼(9)より) (式 (8)より)
(測定値)
(測定値)

ガラスビーズ充填試料① （粒径 0.6 mm，減衰定数 Γ
エネルギー比(式 (9)より)

Hz

Hz

N (m s−1 )−1

cm3

cm s−1

N m−1

s−1

無次元

78.7

6.2

0.4 + 3.0i

16.2

2.3

1500

21000

3.7

71.6

11.6

0.3 + 0.9i

56.0

11.4

410

4300

1.6

81.9

4.8

7.5 +19.8i

2.4

0.02

10180

2600000

1.3

77.7

5.2

0.2 + 2.5i

20.3

5.2

1190

9400

5.3

81.6

5.2

7.1 + 9.5i

5.0

0.04

4880

1200000

0.7

78.3

4.8

0.03+ 2.5i

19.5

39.9

1240

1300

容積 50 cm3 ）ガラスビーズ充填試料② （粒径 0.6 mm，
容積 200 cm3 ）

③

鳥取砂丘砂
（気相率 13 %）

④

鳥取砂丘砂
（気相率 40 %）⑤相馬硅砂（気相率 17 %）

⑥

相馬硅砂

44

（気相率 40 %）表している．試料の存在によって共鳴周波数が左側に移Fig. 5 に，ガラスビーズの質量と粒子密度から計算し動し，ピーク音圧が下がり，共鳴幅が増加した．試料がた連続空気量（重量法）と共鳴法による連続空気量の推長くなるとこの傾向は強まり，共鳴曲線の特定が困難に定値の関係を示す．全ての試料について推定値は小さくなった．また曲線が左右非対称であり，本研究で定義しなった．これらの中で最もよい推定値を与えたのは容積

た共鳴幅は実際の共鳴幅より小さくなった．

50 cm3（連続空気量 20 cm3 ）で，推定値はおよそ 17 cm3

Table 1 にこれらの試料における共鳴周波数と共鳴幅であった．連続空気量の大きい（長い）試料ほど両者のの測定値，インピーダンス，連続空気量，通気係数，ば差は大きくなった．また，粒径が小さい試料ほど差が大

ね定数，減衰定数の計算値を示す．容積の増加によってきくなった．連続空気量の過小評価は，試料内に生じて試料のインピーダンス推定値が大気のインピーダンス

いる圧力の分布を無視したためと考えられる．実際の試（0.2N（m s−1 ）−1 ）の 4 倍程度にまで近づいたことが分料では，表面から深くなるにつれ圧力の振動が減衰し，かり，2 章で用いた仮定 |Z| ≫ T0 /c が成立していないと試料が十分長ければある深さで消滅する．しかし連続空考えられる．したがって，粒径 0.6 mm のガラスビーズ

気を質点で表したことによって，試料の表面から推定さに対して容積 200 cm3 （長さ 10 cm）は共鳴法が適用できない容積（長さ）であり，測定ではこれより十分小さ
な（短い）容積を用いることが望ましい．

Fig. 5 重量法によるガラスビーズ充填試料の連続空気量と共鳴法による推定値の比較．

Fig. 4 ガラスビーズ充填試料の共鳴曲線の測定例．
Measurement example of resonance curve for glass bead samples.

Comparison of continuous air content estimates for glass beadsamples obtained by the gravimetric method and those obtained
employing the resonance method.

論文：音波の共鳴現象を利用した砂の連続空気量と通気係数の測定

9れる体積全体にわたって一様な圧力の分布を仮定したこことがわかる．つまり，連続空気量の増加によって試料とになり，試料表面のインピーダンスをもたらした連続内で失われるエネルギーが増加しエネルギー比が低下す

空気を小さく推定した．実験結果は，試料が長く粒径がる．MΓ < ψ 2 > ω より，粒径が小さい（Γ が大きい）ほ

小さいほど，一様な音圧の分布と実際の分布の違いが大ど，そして周波数が大きいほど減衰の程度は大きくなり，

きかったことを示している．

エネルギー比が低下する．このように，試料の容積（長粒径 0.2 mm の場合，容積 150 および 200 cm3 （連続さ）が増加するほど，粒径が小さいほど，エネルギー比

空気量 60 および 80 cm3 ）の試料の推定値はほとんど同が低下して，試料内の全ての連続空気量が測定されないじであった．この結果から，試料の長さの延長分が共鳴ことがわかる．今回の実験では，粒径 0.2 mm においてに寄与しなかった，つまり，試料長が音波の侵入範囲を

容積が 150，200 cm3 の場合以外は，試料内の全ての連超えていたことが分かる．試料内の連続空気量を全て測続空気が振動していたことが示唆される．

定するためには，音波の侵入範囲に比べて十分短い円筒

ただし，先に考察した質点近似によって，共鳴法の推容器の底を閉じて，音波が自然に消滅する前に音波の侵定値が全体的に過小評価されたが，連続空気量が 20 cm3

入を遮る必要がある．音波が全ての連続空気を測定したより少ない範囲においては，質点近似による誤差は小さことを確認するには，音波の強さと減衰の強さを評価でくなるものと考えられる．

きればよい．減衰を考慮した波動方程式から，試料が十次に，通気試験の測定値と共鳴法による推定値の比較分に長く，試料内で音波が減衰し消滅していくとき，イを Fig. 6 に示す．容積 200 cm3 のガラスビーズ充填試料

ンピーダンスの実部と虚部がおよそ等しくなることが分（連続空気量 80 cm3 ）に対する推定値は測定値とよく一かっている（Meyer and Neumann, 1972）．多孔質体のモ致したが，容積 50 cm3 のガラスビーズ充填試料に対す

デルに対しても同様である（Attenborough, 1985）．これ

る推定値は，およそ，1.0 ∼ 2.8 cm s−1 の値をとり，特は試料内の全ての連続空気を測っていないことを意味しに，粒径 0.6，0.8，1.0 mm に対して正しい推定値を与えている．そうではないとき，つまり音波が試料内の全てなかった．容積が小さく，粒径（通気係数）の大きな試の連続空気に伝わったと考えられるときは，測定した空料は，試料内部での音波の減衰が小さく，共鳴幅が基準

気量が測定可能な最大値より小さいから，インピーダン

値と大きく違わなかったことが原因と考えられる．これスの虚部が実部より大きくなる（式（6）の虚部と式（8）らの結果は，大きい通気係数を正しく推定するためには，

における K と V0 の関係より）．そこで，インピーダンス

大きな連続空気量が必要であることを示している．実際の実部と虚部の比 (K/ω − M ω )/(MΓ ) に注目する．実に興味のある試料（本研究では水分を含む砂）は，乾燥験結果より，インピーダンスの虚部の最後の項 M ω が虚部のもう一つの項 K/ω の 0.02 ∼ 0.3 倍程度であるので，上記の比はおよそ (K/ω )/(MΓ ) となる．これは，ダッシュポットによって熱に変わる振動エネルギーの平均値（MΓ < ψ 2 > ω ）とばねのポテンシャルエネルギーの平均値（(1/2)K < ψ 2 >）の比，(1/2)K/(MΓ ω ) の 2 倍と解釈できる．ここで，括弧 <> は平均操作を表す．したがってエネルギー比がおよそ 0.5 のとき試料内の連続空気量の内，測定可能な連続空気量のみが測定され，0.5より大きいとき試料内の全ての連続空気が測定されているといえる．実際に計算された粒径 0.2 mm，容積 150，

200 cm3 のガラスビーズ充填試料のエネルギー比は約0.2 となり，0.5 より小さいが，全てのガラスビーズ充填
試料の中（0.2 ∼ 6.0）で最も小さかった．よって，エネ
ルギー比に注目することで，試料の連続空気量がすべて測定されたかどうか判断できると考えられる．

Table 1 から，粒径 0.6 mm のガラスビーズ充填試料の場合に，容積の増加によってエネルギー比が減少した

Fig. 6 通気試験によるガラスビーズ充填試料の通気係数と共鳴法による推定値の関係．

Relationship between air conductivity obtained by measurement,
and that obtained employing the resonance method for glass beadsamples.

10

土壌の物理性第 115 号

(2010)

したガラスビーズほどの通気性はない．これは，比較的比較的大きな間隙が連続空気相の形成に寄与したと考え

小さな容積を用いても大きな共鳴幅の変化を測定できるられる．

ことを意味している．

Fig. 9 は，砂充填試料の連続空気量の飽和度とエネル

3.2 水分を含む砂の連続空気量と封入空気量の評価

ギー比の関係である．また，Table 1 にもエネルギー比の

砂充填試料の乾燥密度は 1.50 ∼ 1.59 Mg m−3（鳥取砂

値を示す．すべての試料でエネルギー比は 0.5 より大き丘砂），1.51 ∼ 1.55 Mg m−3 （相馬硅砂），土粒子密度は

く，各空気飽和度において試料中の全ての連続空気が振2.66 Mg m−3 （鳥取砂丘砂），2.64 Mg m−3 （相馬硅砂），

動したと考えられる．したがって，全空気飽和度 0.5 以間隙率は 40 ∼ 42 %（鳥取砂丘砂），41 ∼ 43 %（相馬硅

下でも連続空気量の推定値は正しいといえる．全空気飽砂），体積含水率はどちらも 1 ∼ 29 % となった．

和度は試料の全ての空気を反映したものであるから，1：

Fig. 7 に，極端な乾燥状態と湿潤状態の砂充填試料の1 の直線からのずれは封入空気の飽和度を表している．

共鳴曲線の測定例を示す．鳥取砂丘砂の場合，気相率のこのように，試料の三相分布を求めるための従来の方法増加とともに共鳴周波数は減少し，共鳴幅は増加した．
相馬硅砂の場合，気相率の増加とともに共鳴周波数は減少し，共鳴幅も減少した．したがって，鳥取砂丘砂は乾燥によって音をよく吸収するようになるが，相馬硅砂は乾燥によって音を反射するようになったことが分かる．
これは，乾燥した相馬硅砂の通気係数が大きく，試料の下端まで音波があまり減衰されないまま到達したことを示している．共鳴曲線はおよそ左右対称であり，共鳴法が適用できる適切な条件であった．

Table 1 に，Fig. 7 に示した試料の共鳴周波数と共鳴幅の測定値，インピーダンス，連続空気量，通気係数，ばね定数，減衰定数の計算値を示す．気相率が小さいもの
はインピーダンスが大きい．このとき，連続空気量が小
さいものはばね定数が大きい，そして，通気係数が小さ
いものは減衰定数が大きいという関係がよく分かる．

Fig. 7 砂充填試料の共鳴曲線の測定例．
Measurement example of resonance curve for the sand-filled
sample.

Fig. 8 に，炉乾燥質量の測定から求めた全空気飽和度（全空気量（重量法）/ 間隙体積（重量法））に対する連続空気の飽和度（連続空気量（共鳴法）/ 間隙体積（重量法））の関係を示す．鳥取砂丘砂，相馬硅砂のどちらも，全空気飽和度が 0.5 以上で連続空気の飽和度と一致した．乾燥に近い状態では空気の連続性が十分にあると考えられるので，この結果は水分を含む試料に対して，共鳴法による連続空気量推定の有効性を示すものである．また，乾燥状態において精度良く推定できていることから，少なくとも間隙に相当する体積 20 cm3 程度までの空気量に対して質点近似が有効であることも確認できる．全空気飽和度が約 0.5 以下では，連続空気の飽和度は全空気飽和度よりも小さく，その変化の仕方は，二つの砂試料で若干異なり，全空気飽和度が 0.4 ∼ 0.5 の範囲では，鳥取砂丘砂の方が大きかった．鳥取砂丘砂は
相馬硅砂に比べて平均粒径が小さく，粒径分布に幅がある．したがって，試料内の水分が小さな間隙に捉えられ，

Fig. 8 砂充填試料の全空気飽和度と連続空気飽和度の推定値の関係．

Relationship between degree of saturation for total air space andestimated degree of saturation for continuous air space for the
sand-filled sample.

論文：音波の共鳴現象を利用した砂の連続空気量と通気係数の測定

11

10 に通気試験から求めた通気係数と共鳴法から推定した値の関係を示す．対数軸を用いているため，通気係数 0は表示されない．鳥取砂丘砂，相馬硅砂とも，1：1 の直線よりやや上側にばらついたが，実際の通気係数に対する推定値の増加傾向は同じであった．鳥取砂丘砂の充填
試料の中で最も通気係数が小さかった試料の推定値は，
実際の通気係数より約 60 倍大きく，他の結果と大きく異なった（Fig. 10 の矢印付〇）．
計算に用いた試料の長さ（V0 /A）は連続空気量 V0 に
よって変化する量である．連続空気の体積割合を P，試料の長さを d で表すと，V0 = APd であり，V0 /A = Pdとなる．第 2 章で述べたように，Beranek（1942）は多孔質体のインピーダンスモデルを質点で近似する際に，Fig. 9 インピーダンス測定値から求めた砂充填試料の損失エ

試料長として d/3 を得た．V0 /A = Pd と d/3 の比較か

ネルギーとポテンシャルエネルギーの比と連続空気飽和度の関係．

ら，P = 1/3，つまり連続空気の体積割合が 33 % 以上

Relationship between the ratios of dissipation energy to potential energy obtained from impedance measurements and degreeof saturation for continuous air space for the sand-filled sample.

のとき本研究のモデルが通気係数を過大評価する可能性が高い．しかしながらいくつかの試料では連続空気量が33 % 以下であるにもかかわらず，通気係数の推定値は過大評価された．さて，共鳴周波数と共鳴幅の測定誤差は大きく見積もっても 0.5 Hz 程度である．式（3）∼（9）より，長さ 100 cm の共鳴筒の場合に 0.5 Hz の測定誤差によって連続空気量の推定値は約 2.5 cm3 ，通気係数の推定値は約 3 倍変化する．これらの値と実際を比較すると，通気係数の推定値の中には，矢印で示したものも含
めて，湿潤側に誤差より大きな値を示したものがある．
以上より，試料の上端と下端が連続しているような試料においても， locally accessible air の存在によって連続空
気量の通気性が通気試験によって求まるものより大きくなる可能性がうかがえる．乾燥側の試料では，想定される誤差を超えるばらつきは見られなかったため，locallyaccessible air が permeable air になることによって，連続空気の通気性が通気試験によって求まるものに等しくな
Fig. 10 通気試験による砂充填試料の通気係数と共鳴法による推定値の関係．

Relationship between air conductivity obtained by measurement,
and that obtained employing the resonance method for the sandfilled sample.

ると考えられる．

4. まとめインピーダンス測定による連続空気量と通気係数の推（重量法）と共鳴法を組み合わせることで，試料空気を大定を目的として，砂，ガラスビーズを用いた音響試験お気と連続しているものと封入されているものに分けるこ

よび通気試験を行った．その結果，インピーダンス測定とができる．

によって湿潤試料の連続空気量を推定でき，重量法の結3.3 砂充填試料の連続空気の通気性の評価

果と比較することで封入空気と連続空気を分離できる通気試験の結果，いくつかの砂充填試料は通気しなことが明らかになった．連続空気を質点で近似することかった．そのような試料においても，共鳴法による推によって推定値は過小評価されるが，およそ 20 cm3 ま

定値は，0.003 ∼ 0.2 cm s−1 となった．これは，locally

での連続空気量に対して質点近似は有効であることが分

accessible air の存在が影響していると考えられる．Fig.

かった．また，インピーダンスは通気係数の良い推定値

12

土壌の物理性を与えることが示された．湿潤状態で推定値が測定値より大きく出る場合，試料の両端をつないでいない連続空気（locally accessible air）の影響が考えられる．
質点近似は air pycnometer method の原理を変更なし

第 115 号

(2010)

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に振動系に拡張したものである．したがって，air pyc-Fischer, U., Dury, O., Fluhler,Ḣ. and van Genuchten, M.T. (1997):

nometer method は音響測定の持つ簡便さと，通気性の同Modeling nonwetting–phase relative permeability accounting
for a discontinuous nonwetting phase. Soil Sci. Soc. Am. J.,

時測定という価値を付加されたことでより強力な方法になったといえる．また先にも述べたように，質点近似が有効な連続空気体積 20 cm3 は容積 50 cm3 円筒容器に充填した土壌試料の間隙体積に相当しているため，一般的な砂質土壌であれば，これは水分の含む試料を調べると61:1348–1354.
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き十分な量である．音響測定は，土壌の気相の構造を空Legouis, T. and Nicolas, J. (1987): Phase gradient method of mea-

気の連続性という視点で調べることに向いている．このsuring the acoustic impedance. J. Acoust. Soc. Am., 81: 44–

視点は空気飽和度と通気係数の関係を論じたこれまでの研究をさらに発展させるものである．また，音響測定は50.
Meyer, E. and Neumann, E.G. (1972): Physical and applied acoustics: An introduction. p.16, Academic press, New York.

現場における気相率や通気係数の測定に対しても貢献でMills, C.A. and Spiekermann, C.E. (1992a): Evaluating acoustical

きる．このような発展のために，現場土壌への適用を図

absorption coefficients by comparative analysis: Theory part.

ることは今後の課題である．

J. Acoust. Soc. Am., 91: 696–703.
Mills, C.A. and Spiekermann, C.E. (1992b): Evaluating acoustical

謝辞
本研究は，鳥取大学乾燥地研究センター共同利用研究（自由研究）に基づき実施された．実験装置の作成に関して，西津貴久准教授（岐阜大学），井上光弘教授（鳥取大学乾燥地研究センター）にご協力いただいた．ここにabsorption coefficients by comparative analysis: Experimental
part. J. Acoust. Soc. Am., 91: 704–712.
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感謝する．

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論文：音波の共鳴現象を利用した砂の連続空気量と通気係数の測定

要旨

音波を用いた大気と土壌空気の連続性の評価は十分に検討されていない．本研究では，共鳴を利用して試料表面のインピーダンスを測定し，試料を質点で近似して試料の連続空気量と通気係数を推定した．砂，ガラスビーズを用い，音響試験とあわせて通気試験を行い，推定値と比較した．その結果，インピーダンス測定によって砂充填試料の連続空気量を精度よく推定できること，従来の三相分布を求める方法と組み合わせることで，連続空気と封入空気を分離できることが分かった．また，連続空気を質点で近似する方法は 20 cm3 程度の連続空気量に対して有効であることが分かった．通気係数に関して，通気試験の結果との比較から，インピーダンス測定によって試料の片面を通じて大気と連続した気相の通気係数を求めることができることが分かった．
キーワード：音波，砂，空気量，通気係数，連続性

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