５－２．空間図形の求積（長さ・面積・体積・角度ほか） 【２００３年度出題】【問１】
図のように，台形 ABCD を底面とする立体があります。面 MADN は正方形で，∠MAB=90°です。この立体の体積が 4 cm3 のとき，a の値を求めなさい。
（北海道 2003 年度）
図

解答欄
計算

答

a＝

【問２】
図の直方体の表面積を S cm2 とするとき，S を a の式で表しなさい。
（青森県 2003 年度）

解答欄

【問３】
図の正四角すいは，OH＝12 cm，OA＝13 cm である。この正四角すいの体積を求めなさい。
（青森県 2003 年度）

解答欄
cm3

【問４】
図１のような，底面が DE＝EF＝6 cm の直角二等辺三角形で，高さが 6 cm の三角柱がある。辺 AC の中点をM とし，辺 AB 上に，MP＋PE がもっとも短くなるように点 P をとる。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（福島県 2003 年度）(1) MP＋PE の長さを求めなさい。

図１(2) 図２のように，この三角柱の辺 BC 上に AP＝BQ となる点 Q をとる。PE と BD の交点を R，QF と CE の交点を S とするとき，次の線分の長さを求めなさい。
① 線分 RS② 線分 MR

解答欄
(1)

cm
①

cm

②

cm

(2)

図２

【問５】
図１のような，１辺 6 cm の正方形 ABCD を底面とし，高さが 9 cm の正四角錐 OABCD の容器がある。この容器に 70 cm3 の水を入れて密閉し，水平な台の上に置いた。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（栃木県 2003 年度）(1) OA の長さを求めなさい。

(2) この容器を，辺 AD を台につけたままゆっくり傾け，図２のように水面が三角形になったところで止めた。辺 AB と水面との交点
図１

を E とするとき，AE の長さを求めなさい。

図２

解答欄

(1)

OA＝

cm

(2)

AE＝

cm

【問６】
底面が，縦 5 cm，横 9 cm の長方形で，深さが 4 cm の直方体の容器に水が満たしてあります。図のように，この容器を傾けて，水面が頂点 A，B，C を通る平面になるように，水をこぼしました。このとき，容器に残った水の体積を求めなさい。ただし，容器の厚さは考えないものとします。
（埼玉県 2003 年度）

解答欄
cm3

【問７】
高さ 8 cm の円柱がある。この円柱の体積は，図のような∠ABC＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm の△ABC を，
辺 AB を軸として１回転させてできる立体の体積と等しくなる。このとき，次のア～工のうちから，この円柱の底面の半径として正しいものを，１つ選び符号で答えなさい。
（千葉県 2003 年度）
3

ア 5 cm

解答欄

5

イ 4 cm3

ウ 2 cm8

エ 5 cm【問８】図１のように，AB＝6 cm，BC＝10 cm の△ABC がある。辺 AC の中点を D とし，A と D から辺 BC に引いた垂15線と辺 BC との交点をそれぞれ E，F とすると，△ABE の面積は，△ABC の面積の であった。次に，△ABC を
B と C が重なるように，線分 AE と線分 DF をそれぞれ折り目として折り，図２のように，△BDA と△BFE の各面を平面でおおって，四角すい B－AEFD をつくる。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（新潟県 2003 年度）(1) 線分 BE と線分 AE の長さをそれぞれ求めなさい。

図１(2) 四角形 AEFD の面積を求めなさい。

図２(3) 四角すい B－AEFD の体積を求めなさい。

解答欄
(1)

BE＝

cm， AE＝

(2)

cm2

(3)

cm3

cm

【問９】
図のように，縦 3 cm，横 4 cm，高さ 5 cm の直方体がある。直方体の面 ABCD 上に点 P があるとき，P と頂点 E，F，G，H をそれぞれ結んでできる四角錐の体積を求めなさい。
（富山県 2003 年度）

解答欄

cm3

【問 10】図のような，底面が直角二等辺三角形で，AB＝AC＝4cm，AD＝6cm の三角柱がある。点 P は頂点 B を出発して辺 BE，EF 上を矢印の方向に動くものとする。このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。なお，途中の計算も書くこと。
（石川県 2003 年度）(1) 点 P が辺 BE 上で，∠APC＝30°となるとき，BP の長さを求めなさい。

(2) 点 P が辺 EF の中点にきたとき，△APC の面積を求めなさい。

解答欄
計算

(1)

答
計算

(2)

答

【問 11】図のように，底面の半径が 4 cm，高さが 16 cm の円柱から，底面の半径が 4 cm，高さが 12 cm の円すいを取り除いてできた残りの立体の体積を求めよ。
（福井県 2003 年度）

解答欄
cm3

【問 12】
S さんは，下の図１のように，底面の直径が 4cm の円柱の側面を一回りして，母線の両端の点 A と B を結ぶ線があることに気が付いた。図２のように，この線に沿って側面を切り開いていったところ，図３のような，∠A′＝60°の平行四辺形 AB′BA′になった。このとき，次の問いに答えなさい。
（山梨県 2003 年度）
図１

図２

図３

１．図１の円柱の高さを求めなさい。

２．平行四辺形 AB′BA′の辺 AA′と B′B が重なるように丸めたところ，右の図４のような別の円柱ができた。図４の中の母線 AC を，図３に定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておき，C も書き入れること。

３．図１の円柱と図４の円柱の底面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

図４

解答欄

１

２

３

cm

【問 13】
図 1 の立体は，AB＝10cm，AO＝8cm，∠AOB＝90°の直角三角形 AOB を，辺 OB を軸として一回転させてできた立体である。また，点 C は円 O の円周上の点であり，∠AOC＝120°である。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。ただし，円周率はπとする。
（静岡県 2003 年度）(1) 円 O を底面とするときの，図１の立体の高さを求めなさい。また，この立体の
図１体積を求めなさい。

図２(2) 図２の立体は，図１の立体を３等分してできた，中心角 120°のおうぎ形
AOC を底面とする立体であり，側面の２つの三角形 AOB と COB は合同である。また，図３は，図２の立体の展開図の一部を示したものである。
ア． 図８に線をかき加えて，展開図を完成しなさい。ただし，作図には定規とコンパスを使用し，作図に用いた線は残しておくこと。

イ． 図８において，おうぎ形 ABC の中心角∠ABC の大きさを求めなさい。
求める過程も書きなさい。

図３

解答欄

高さ

cm

体積

cm3

(1)

ア

求める過程
(2)

イ

答

度

【問 14】
図は，円すいの展開図で，側面の部分は，半径 5cm，中心角 216°のおうぎ形である。これを組み立ててできる
円すいの体積は何 cm3 か。ただし，円周率はπとする。
（愛知県 Ａ 2003 年度）

解答欄

cm3

【問 15】
図は，底面が１辺 3 cm の正六角形で，他の辺の長さがすべて 7 cm の正六角すいである。この正六角すいの体積は何 cm3 か。ただし，答えは，根号をつけたままでよい。
（愛知県 Ｂ 2003 年度）

解答欄

cm3

【問 16】
図１のように，２つの円すい A，B がある。円すい A の底面の半径は 2 cm で，円すい B の底面の半径は 4 cm である。それぞれの円すいの側面の展開図を，同じ平面上で重ならないようにして合わせると，図２のように半径 r cmの円ができる。このとき，次の各問いに答えなさい。なお，答えにがふくまれるときは，を用いて最も簡単な形で書きなさい。
（三重県 2003 年度）① 円の半径 r の値を求めなさい。

図１

図２② 円すい A の高さは，円すい B の高さの何倍になるか，
求めなさい。

解答欄

①
②

r＝

cm
倍

【問 17】図のような三角柱 ABC－DEF があり，∠ABC＝90°，AD＝6 cm，DE＝3 cm，EF＝6 cm である。いま，辺 EFの中点を M とし，点 M と点 A，点 M と点 C，点 M と点 D をそれぞれ結ぶ。このときできる四角すい M－ADFC を考えるとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。
（京都府 2003 年度）(1) MA の長さを求めよ。

(2) 四角すい M－ADFC の体積を求めよ。

解答欄
(1)
(2)

MA＝

cm
cm3

【問 18】図の立体 PQ－ABCD は，写真に示した「寄棟屋根」と呼ばれる屋根の形をモデルにしてつくったものである。図Ⅰにおいて，四角形 ABCD は AB＝6 m，BC＝10 m の長方形である。M，N は，それぞれ辺 AB，CD の中点である。H，K は M と N とを結ぶ線分上にあって MH＝NK となる点であり，４点 M，H，K，N はこの順に並んでいる。P，
Q は平面 ABCD について同じ側にある点であり，PH，QK はともに平面 ABCD に垂直であって PH＝QK である。
このとき，PA＝PB＝QC＝QD となる。L は P から BC にひいた垂線と BC との交点である。P と M とを結ぶ。PH＝3m として，次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ数になるときは，根号の中の数をできるだけ小さい自然数で表すこと。
（大阪府 前期 2003 年度）(1) PQ＝4 m のとき，
① 線分 BL の長さを求めなさい。

図② 線分 PM の長さを求めなさい。

③ 立体 PQ－ABCD の底面 ABCD を除いた四つの面の面積の和を求めなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。

(2) PQ＝x m のときの立体 PQ－ABCD の体積を y m3 とする。0＜x＜10 として，y を x の式で表しなさい。

解答欄

①

m

②

m
求め方

(1)
③

m2
(2)

y＝

【問 19】縦 10 cm，横 20 cm，高さ 10 cm の直方体 ABCD－EFGH があり，EF，GH の中点をそれぞれ I，J とする。この直方体を４点 A，I，J，D を通る平面と４点 B，I，J，C を通る平面で切って図のような容器を作り，水を入れたときに水面が面 ABCD と平行になるように容器を固定しておく。点 I から水面に垂直にひいた線分 IO の長さを水の深さとし，次の問いに答えなさい。ただし，容器の厚さは考えないものとする。
（兵庫県 2003 年度）(1) この容器の容積を求めなさい。

(2) 水の深さが x cm になったときの水の体積を y cm3 として，y を x の式で表しなさい。ただし，0≦x≦10 である。

(3) 水の体積が 500 cm3 になったときの水の深さを求めなさい。ただし，答えが無理数になるときは，根号を含んだ数で答えなさい。

解答欄

(1)
(2)
(3)

cm3
y＝
cm

【問 20】図のように，立方体の底面の各辺の中点と，この面と向かい合う面の対角線の交点を結ぶと正四角錐ができる。このとき，正四角錐の体積は，立方体の体積の何倍になるかを求めなさい。
（鳥取県 2003 年度）

解答欄

倍【問 21】
図のような，AB＝3 cm，BC＝4 cm，CD＝6 cm，∠B＝∠C＝90°の台形 ABCD がある。この台形を辺 AB を軸として１回転させてできる立体の体積は，cm3 である。
（岡山県 2003 年度）

解答欄

【問 22】図のような AB＝5 cm，BC＝4 cm，∠C＝90°の直角三角形 ABC がある。この三角形を辺 AC を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
（佐賀県 2003 年度）

解答欄

cm3

【問 23】
底面が１辺 2 cm の正方形で，高さが 4 cm の直方体がある。図のように，この直方体の側面を１周して，頂点 A から頂点 B に長さが最も短くなるようにひもをかけたとき，そのひもの長さを求めなさい。
（佐賀県 2003 年度）

解答欄

cm

【問 24】図のように，底面の半径が 5 cm の円すいを，水平な平面上におき，頂点 O を中心として転がしたところ，最初の位置に戻るまでに，ちょうど２回転し，点線で示した円の上を１周した。次の①，②の問いに答えなさい。
（大分県 2003 年度）① この円すいの母線の長さを求めなさい。

② この円すいの体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。

解答欄
①

cm

②

cm3

【問 25】
図は，AB＝AD＝6 cm，AE＝8 cm の直方体 ABCD－EFGH であり，点 P は底面 EFGH の２つの対角線 EG，
FH の交点である。点 Q は辺 AE 上にあって，線分 QG と線分 CP とは垂直である。また，点 R は線分 QG 上にあって，線分 RP と線分 EG とは垂直である。このとき，次の各問いに答えなさい。
（熊本県 2003 年度）(1) 線分 PG の長さを求めなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

(2) 正四角すい REFGH の体積を求めなさい。

解答欄
(1)

cm

(2)

cm3

【問 26】
図Ⅰのような直方体の紙袋がある。点 M，N，S，T はそれぞれ，辺 AE，BF，CG，DH の中点であり，点 P は線分
EN，FM の交点である。AE＝20 cm，EF＝10 cm，FG＝20 cm として，次の(1)～(4)の問いに答えなさい。ただし，
紙の厚さは考えないものとする。
（宮崎県 2003 年度）(1) 図Ⅰにおいて，線分 EN の長さを求めなさい。
図Ⅰ(2) 図Ⅱのように，辺 AD と BC，線分 AP と BP が重なるように折って，図Ⅲのような立体をつくる。このとき，図Ⅰの長方形 AEFB から，図Ⅲの△AEF を底面とする三角錐 PAEF の側面ができる。この側面の面積を求めなさい。
図Ⅱ(3) 図Ⅲにおいて，△AEF の面積を求めなさい。

図Ⅲ(4) 図Ⅳは，図Ⅰの紙袋の四角形 MNST より上の部分を切り取ったものである。これを図Ⅴのように辺 MT と NS，線分 MP と NP が重なるように折って，図Ⅵのよ
うな立体をつくる。このとき，点 P，M，E，F を頂点とする三角錐の体積を求め
なさい。
図Ⅳ

図Ⅴ

図Ⅵ

解答欄

(1)

EN＝

cm

(2)

cm2

(3)

cm2

(4)

cm3