一般社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
社団法人 電子情報通信学会
INFORMATIONAND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
IEICE Technical Report
NLP2019-51(2019-09)

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

リング構造を含んだラダー系カオスネットワークにおける同期状態のスイッチング現象
半井勝也†

上手 洋子†

西尾 芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{nakabai,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では、結合カオス回路で構成されたネットワークにおける同期現象の調査を行う。ネットワーク構造は 5 個のリング構造を含むラダー結合で構成される。ラダー部分のカオス回路はカオス解が発生しリング箇所は周期解が発生するようにパラメータを設定する。回路シミュレーションから、分岐パラメータを変化させることにより各部において同期現象のスイッチングが発生することを観測する。
キーワード

カオス回路、ネットワークトポロジー、同期現象

Switching Eﬀect of Synchronization in Ladder-Coupled
Chaotic Network Including Ring Structure
Katsuya NAKABAI† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{nakabai,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract
In this study, we investigate synchronization phenomena in coupled chaotic including a ladder and five ring structures. We set the bifurcation parameter of the circuits to generate periodic solutions or chaotic solutions. The
ladder position is chaotic state and five ring positions are stable state. By the computer simulations, we confirm
that synchronization state is switching in the model by changing bifurcation parameter.
Key words Chaotic Circuit, Network Topology, Synchronization.

1. ま え が き
ネットワーク内における同期現象は科学的観点において非常象の調査は重要な課題となる。カオス回路を用いたネットワー
クは、自然界や社会的ネットワークのモデリング化などへの応用が期待されている [6],[7]。に興味深い分野の一つである。同期現象の調査は自然界での非以前、我々の研究グループでは、リング構造を含んだラダー線形現象を鮮明にするための重要な研究となっており、これは結合系でみられる同期現象の調査を行い、各ネットワークのト工学や生物学、社会学等の様々な分野で観測が認められている。

ポロジーの違いにおける完全同期やカオス同期を確認した [8]。

また、ネットワークには異なったトポロジーからなる特性が存本研究では、以前のネットワークモデルを更に大規模化したも在する。従って、ネットワークの構造の違いによるダイナミクのにおける同期現象を調査する。我々はラダー構造とリング構スの調査は重要になっており、各トポロジーを解析するための造を結合しているブリッジとなる部分に特に焦点を当てる。そ研究が進められている [1]〜[5]。

れぞれの結合カオス回路はカオス解、あるいは周期解が発生す一方で、結合されたカオスシステムでの同期は様々な高次元るパラメータを設定する。回路シミュレーションから、カオス非線形現象を記述するのに非常に適したモデルである。特に近ネットワークにおける分岐パラメータを変化させることにより年、結合カオス回路を用いたカオス現象の研究が多く行われて各部において同期現象の調査、またネットワークの各部におけいる。単純な構成からなるカオス回路の回路実験やコンピューる同期状態の安定性のスイッチングが発生することを観測する。

タシミュレーションは、再現性の高さから非常に適していると考えられる。今後の工学においてカオス現象に関する非線形現- 83 —1—
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される 5 箇所のリング部分は周期解が発生するようにパラメー

2. 回路モデル

タを設定する。

本研究で使用する回路モデルを図 1 に示す。この回路は西尾・稲葉回路と呼ばれるカオス回路であり、負性抵抗、2 つのインダクタ、キャパシタ、ダイオードにより構成されている [9]。
この回路方程式を式 (1) に示す。

図 1 回路モデル.
di1

=v+ri
L11
dt


di2L2= v − vddt

図2
 C dv = −i1 − i2 .
 dt

これらのネットワークモデルの正規化方程式は式 (6) のように表すことができる。

dxi dτ = αxi + zidyi
= zi − f (y)非線形抵抗の I − V 特性を式 (2) に示す。

vd =(rd2i2 +VV− i2 −rdrd)
.

(2)

dτN
∑dzi


=−x−βy−γij (zi − zj )
ii
dτ

i,j=1

また、式 (1) 中の各変数を以下のように置き換えると、√√
CL1 C
i1 =V xn , i 2 =V yn , v = V z nLL12√√CLL C

11, β=, δ = rd,α=r
L1L2L2 γ = 1 , t = √L C τ.
1R

ネットワークモデル.

(1)

(6)

(i, j = 1, 2, · · ·, N ).

式 (6) において、N は結合回路数を表し、γ は回路間の結合強(3)度、α はカオス度を示すパラメータである。本研究ではパラメータを β = 3.0、 δ = 470.0、とする。パラメータ α につい2ては、ラダー箇所を α = 0.430、リング箇所を α = 0.412 に設

この回路の正規化された式 (4) が得られる。

定する。また、分岐パラメータとして結合強度 γ を今回は用dxi
 dτ = αx + z dyいる。ラダー箇所とリング箇所の結合強度はそれぞれ γ = 0.2iとする。本研究でははラダー構造とリング構造の２つのトポロジータイプの結合による調査を行うため、２つの構造のブリッ= z − f (y)(4)dτ
dzi
= −x − βy.
ジとなる箇所 (例えば、CC1 と CC6 を結合する抵抗) の結合強度を変更した際の同期現象を調査する。

dτ

本稿において周期解とカオス解の判定はアトラクタによって行う。3 周期解とカオス解が発生するようにパラメータを設定

また、 f (yn ) を以下に示す。

f (yn ) =12(yn +11− yn −δδ)

した場合のそれぞれのアトラクタを図 3 に示す。

.

(5)

3. システムモデル
本研究では、ラダー結合されたカオス回路とリング結合されたカオス回路を組み合わせたネットワークモデルを提案する。
それぞれのカオス回路は抵抗で結合する。図 2 に提案するネッ(a) 3 周期アトラクタ.

(b) カオスアトラクタ.

図 3 回路モデルにおけるアトラクタ

トワークモデルを示す。

CC1 から CC5 により構成されるラダー部分はカオス解が発生するようにパラメータを設定し、CC6 から CC20 により構成—2—- 84 -続いて、ブリッジ箇所の結合強度を γ = 0.1 の場合の結果を4. シミュレーション結果

図 5 に示す。この場合は、先程よりも結合強度が強くなったこ

コンピュータシミュレーションにより、同期状態の調査を行とで、ラダー箇所からリング箇所へのカオス伝搬が発生し、全う。本研究では、ブリッジ箇所の結合強度を γ = 0.01、γ = 0.1、リング間においてカオス同期と呼ばれる現象が発生しているこ

γ = 0.2 の 3 パターンに分けてシミュレーションを行う。同期とを確認した。またこの時、3 周期アトラクタが発生するはず状態の確認方法として各回路間の電圧差分波形を用いる。電圧のリング箇所におけるカオス回路が、カオス伝搬の影響でカオの差分が小さい場合は、それぞれの回路が同様の出力を行ってスアトラクタになっていることも同時に確認したいると考え同期が発生しているとみなし、電圧の差分が大きい
場合はそれぞれの回路が異なった出力を行っていると考え非同期とみなす。
まずはじめに、ブリッジ箇所の結合強度を γ = 0.01 と他の結合強度より非常に弱い場合の結果を図 4 に示す。この場合は
図 4 に示すように、完全同期、あるいは非同期が起きている各リング箇所が、時間経過により他のリング箇所へ非同期が推移するという、各リングごとの変化。今回の場合は、初めにリング 3 において同期状態が非同期になっていたが、時間経過により、リング 1 やリング 5 へと非同期箇所が移っていく現象を確認した。

図5

ブリッジ箇所 γ = 0.1 の電圧差分波形.

最後にブリッジ箇所の結合強度を γ = 0.2 の場合の結果を図6 に示す。この場合は、ラダー箇所とリング箇所の結合が強くなりネットワーク全体で再び完全同期に近いものを観測した。
ところが、先ほど完全同期を観測できた γ = 0.01 の場合とは異なり、γ = 0.2 の場合は各リング内で完全同期するタイミングがスイッチングするという、ネットワーク内の各部分における現象を確認した。図 6 を例に挙げると、リング 1 の場合は初めCC6 、CC7 間で完全同期に近い状態が観測されていたが、時間(a) 時間経過 τ = 50000 − 100000

経過することで CC6 、CC8 間で同様の状態が切り替わり、さらに時間が経過すると CC7 、CC8 間に切り替わり、この挙動が繰り返し行われていくという結果が得られた。これと同様の挙動がそれぞれのリング間においても各タイミングで発生していることを確認した。
これらの結果により分岐パラメータであるブリッジ箇所の結合強度を変化することにより、ネットワーク内の各所における同期状態がスイッチングしていくことを確認した。しかし、

γ = 0.01 の場合のスイッチングについて、本研究では非同期状態が推移していくリング部分の順番の規則性を確認することはできなかった。電圧差が伝搬すると考慮した場合は本結果の場
合リング 3 から隣接しいているリング 2、リング 4 が続いて不安定状態になると考えられたが、異なる結果となったので今後調査を行う必要がある。

(a) 時間経過 τ = 150000 − 200000
図4

ブリッジ箇所 γ = 0.01 の電圧差分波形.

—3—- 85 -(NOLTA’14), pp. 811-814, Sep. 2014.
[7] N. F. Rullckov and M. M. Sushchik, “Robustness ofSynchronized Chaotic Oscillations” Int.J.Bifurcation andChaos, vol. 7, no. 3, pp. 625-643, 1997.
[8] K. Nakabai, Y. uwate and Y. Nishio “Synchronization in Ladder-Coupled Chaotic Circuits Including Ring Structure” Proceedings of IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS’19),
DOI:10.1109/ISCAS.2019.8702350 , May 2019.
[9] Y. Nishio, N. Inaba, S. Mori and T. Saito, “Rigorous Analyses of Windows in a Symmetric Circuits” IEEE Transactions
on Circuits and Systems“, vol. 37, no. 4, pp. 473-487, Apr.
1990.

図6

ブリッジ箇所 γ = 0.2 の電圧差分波形.

5. ま と め
本研究では、結合カオス回路で構成されたネットワークにおける同期現象の調査を行った。ネットワークトポロジーとしては、リング構造を含むラダー結合の系を対象とした。コンピュータシミュレーションによる調査の結果、ブリッジ箇所の結合強度を変化させることでカオス同期や完全同期といった同期状態を観測した。また、ブリッジ箇所の結合強度を大きくすることで同期状態のスイッチングが起こることを確認した。ス
イッチング現象において、分岐パラメータの変化により、ネットワーク全体における現象あるいはネットワーク内の一箇所による現象が見られるといった差異があるという結果を得た。
今後の課題として、γ = 0.01 の場合リング部分が非同期になるタイミングの順番の調査、またネットワークを大規模化した場合の同期現象の挙動を調査することが挙げられる。
文

献[1] P. M. Gade, “Synchronization in coupled map lattices withrandom nonlocal connectivity” Phys. Rev. E, vol. 54, no. 1,pp. 64-70, 1996.
[2] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Synchronization and graph topology” Int. J. Bifurcation and Chaos,vol.15, no.11, pp. 3423-3433, Nov. 2005.
[3] D. Malagarriga, A. E. P. Villa, J. GarcÃŋa-Ojalvo and A. J.
Pons, “Consistency of heterogeneous synchronization patterns in complex weighted networks” Chaos 27, 031102,2017.
[4] S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez and D.U. Hwang, “Complex networks: structure and dynamics.”
Phys. Rep. 424, pp. 175-308 2006.
[5] J. W. Wang and Y. B. Zhang, “Network synchronization ina population of star-coupled fractional nonlinear oscillators”
Phys. Lett, A 374, pp. 1464-1468 2010.
[6] T. Nishiumi, Y. Uwate and Y. Nishio, “Synchronization Phenomena of Chaotic Circuits with StochasticallyChanged Network Topology”, Proceedings of International
Symposium on Nonlinear Theory and its Applications—4—- 86 -