九州大学 工学部地球環境工学科
船舶海洋システム工学コース
海事統計学 第11回 （担当：木村）仮説検定（１）

授業の資料等はhttp://sysplan.nams.kyushu-u.ac.jp/gen/index.html

確率 ｐ で１をとり、それ以外では０をとるような確率変数【復習】 母比率の大標本調べる対象となる全体の集団：
母集団（population）

標本（sample）

xi ベルヌイ分布

x1 , x2,  , xn

期待値 p
分散 p (1  p )標本平均（標本比率）x1  x2   , xnxn
標準化z

１または０の集まり

母数（母比率） p
集団中で１の占める割合xpp (1  p)nの分布は N (0, 1)（標準正規分布）（ただしｎは大きな数）

【問題】
母比率

ある工場で生産される製品の不良率は４％である。
ある日、製品から２４００個を無作為に抽出して検査したところ、１２０個が不良品であった。製造工程に異常が生じたと判断すべきか？

p  0.04

実際に得られた標本平均（標本比率）で、xpはp (1  p)n
標準正規分布 N (0, 1) に従うはず
確率変数

z

x

x1  x2   , xn 120
 0.05
n2400
代入

z



1z01xpp (1  p)
n0.05  0.04
 2.50.04 (1  0.04)2400

正規分布表【問題】母比率ある工場で生産される製品の不良率は４％である。
ある日、製品から２４００個を無作為に抽出して検査したところ、１２０個が不良品であった。製造工程に異常が生じたと判断すべきか？

p  0.04

実際に得られた標本平均（標本比率）で、xpはp (1  p)n
標準正規分布 N (0, 1) に従うはず
確率変数

z

x

x1  x2   , xn 120
 0.05
n2400
代入z


この点より外側で標本平均が得られる
確率 0.64％1z

01xpp (1  p)
n0.05  0.04
 2.50.04 (1  0.04)
2400

めったに起きない事象が起こった？

【問題】
母比率

ある工場で生産される製品の不良率は４％である。
ある日、製品から２４００個を無作為に抽出して検査したところ、１２０個が不良品であった。製造工程に異常が生じたと判断すべきか？

p  0.04

実際に得られた標本平均（標本比率）で、xpはp (1  p)n
標準正規分布 N (0, 1) に従うはず
確率変数z

x

x1  x2   , xn 120
 0.05n2400
代入z
この点より外側で標本平均が得られる
確率 0.64％1z01xpp (1  p)
n0.05  0.04
 2.50.04 (1  0.04)
2400

めったに起きない事象が起こった？

p  0.04 という仮定か正しくない！

→製造工程に異常と診断

検定とは？
Hypothesis Testing

標本から得られる情報に基づき、仮説を否定すべきかどうかを判断する統計的方法（仮説検定）

・母集団に関する仮定 ＝ 統計的仮説

帰無仮説

否定
したい仮説

対立仮説

認めたい仮説不良品の例題
異常なし
母比率p  0.04

異常あり
母比率

p  0.04
または p  0.04

・検定により、仮説が正しくないと判断してこれを否定する ＝ 仮説の棄却
・「めったに起きない事象」として棄却を判断する基準となる確率  ＝ 有意水準（危険率）
αとしては 0.05 や 0.01 をとることが多い・有意水準に対し、仮説のもとでは実現しにくい標本値の範囲 ＝ 有意水準  の 棄却域
片側検定
面積α

対立仮説がp  0.04

対立仮説が両側検定

面積p  0.04のとき



面積2のとき

有意水準αの棄却域

有意水準αの棄却域

2

検定とは？
Hypothesis Testing

標本から得られる情報に基づき、仮説を否定すべきかどうかを判断する統計的方法（仮説検定）

・母集団に関する仮定 ＝ 統計的仮説

帰無仮説

否定
したい仮説

対立仮説

認めたい
仮説

不良品の例題
異常なし
母比率p  0.04

異常あり
母比率p  0.04または p  0.04

・検定により、仮説が正しくないと判断してこれを否定する ＝ 仮説の棄却
・「めったに起きない事象」として棄却を判断する基準となる確率  ＝ 有意水準（危険率）
αとしては 0.05 や 0.01 をとることが多い

・有意水準に対し、仮説のもとでは実現しにくい標本値の範囲 ＝ 有意水準  の 棄却域
片側検定
面積α対立仮説がp  0.04

対立仮説が両側検定

面積p  0.04のとき

面積2のとき

有意水準αの棄却域

有意水準αの棄却域

2

検定における「２種類の誤り」
・本当は仮説が正しいのに、これを棄却してしまう誤り ＝ 第１種の誤り
誤りが生じる確率 ＝ α・本当は仮説が誤っているのにこれを棄却できない誤り ＝ 第２種の誤り
真実（母集団の状態）仮説が正しい検定の結論

仮説を否定できない

仮説が誤り

正仮説を否定正検定における「非対称性」
仮説が偽であることを立証することはできるが、真であることを積極的に立証することはできない

仮説が棄却されなくても、標本数を増やせば棄却される可能性がある

検定における「２種類の誤り」
・本当は仮説が正しいのに、これを棄却してしまう誤り ＝ 第１種の誤り
誤りが生じる確率 ＝ α・本当は仮説が誤っているのにこれを棄却できない誤り ＝ 第２種の誤り
真実（母集団の状態）検定の結論仮説が正しい仮説が誤り仮説を否定できない

正第２種の誤り仮説を否定

第１種の誤り正

検定における「非対称性」
仮説が偽であることを立証することはできるが、真であることを積極的に立証することはできない

仮説が棄却されなくても、標本数を増やせば棄却される可能性がある

検定によってどんなことが判定できるか？
・比率の検定（１） 母比率 p が、ある値 p0 に等しいといえるか？
（２） 比率の差の検定： ２つの異なる母集団の間で、母比率に差があるといえるか？

・平均値の検定（１） 母集団の平均値  が、ある値 0 に等しいといえるか？
（２） 平均値の差の検定： ２つの異なる母集団の間で、母平均に差があるといえるか？

・分散の検定（１） 正規母集団の分散  が、ある値  0 に等しいといえるか？
22（２） 分散の差の検定： ２つの異なる正規母集団の間で、分散に差があるといえるか？

・適合度の検定（１） 観察されたデータが、特定の分布に一致しているといえるか？
（２） ２つの母集団の確率分布が異なるものであるかどうか？

分布の種類を問わない（ノンパラメトリック）
コルモゴロフ・スミルノフ検定

標本 x1 , x2,  , xn

比率の検定
（１） 母比率 p がある値 p0 に等しいといえるかどうか？

標本平均（標本比率）x

母集団x1  x2   , xn
n

標準化

z

１または０の集まり

母比率 p ＝ p0
集団中で１の占める割合p  p0
対立仮説 （または p  p0）
p  p0

帰無仮説
片側検定
両側検定

x  p0の分布は N (0, 1)
p0 (1  p0 ) （標準正規分布）n（ただしｎは大きな数）

標本 x1 , x2,  , xn

比率の検定
（１） 母比率 p がある値 p0 に等しいといえるかどうか？

標本平均（標本比率）

x

母集団

x1  x2   , xnn

標準化

z

x  p0の分布は N (0, 1)
p0 (1  p0 ) （標準正規分布）n（ただしｎは大きな数）

正規分布表からｚの左右の面積を読み取って棄却域に入るかどうか判別
１または０の集まり

母比率 p ＝ p0

帰無仮説？

z

面積α

有意水準αの棄却域集団中で１の占める割合p  p0
対立仮説 （または p  p0）
p  p0

片側検定
両側検定

有意水準αを設定し、標本から得られたｚが正規分布の棄却域に入るかどうか判定
棄却域に入ったら帰無仮説を棄却する

【参考】サンプル数が少ない場合は二項分布を用いて計算

１回の試行で、ある事象の起こる確率が p
この試行を n 回行う
確率変数 x ： 事象の起こった回数
確率分布 P(x) → 二項分布 Ｂ（n,p）（例） ３回サイコロを投げたときの１の目が出る回数  xx

012332P(x) 5  125  
 6  21675
 1  5 3   216
 6  6 

 1   5  153    
 6   6  216

1
1
  
 6  216

一般に、確率

2p を持つ事象が n 回の試行中 x 回おこることを考えると、…

…

このときの確率は3p 1  p xn x

n x回

x回

n 回の試行中に x 回起こるパターンの組合せ（combination）は、
n Cx n!
x! n  x  !

よってP( x) n C x p (1  p)xn xn!
p x (1  p ) n  xx!n  x !

【練習問題】
貨物船による輸送においては、船舶の30％において貨物が水による何らかのダメージを受けるといわれる。 ランダムに抽出した36隻の貨物船において聞き取りを行ったところ、15隻において貨物に水による何らかのダメージが生じたとの回答が得られた。
最初の30％という仮説の数字は修正すべきか？有意水準 5％で検定せよ。
ただし

21  4.58

帰無仮説： p0  0.3
対立仮説： p0  0.3

15
 0.4236として計算せよ。

  0.05

正規分布表【練習問題】
貨物船による輸送においては、船舶の30％において貨物が水による何らかのダメージを受けるといわれる。 ランダムに抽出した36隻の貨物船において聞き取りを行ったところ、15隻において貨物に水による何らかのダメージが生じたとの回答が得られた。
最初の30％という仮説の数字は修正すべきか？有意水準 5％で検定せよ。
ただし

21  4.58

15
 0.4236として計算せよ。

帰無仮説： p0  0.3両側検定  0.05

対立仮説： p0  0.3x  p0z
p0 (1  p0 )n15
 0.336
0.3  (1  0.3)
361.57
面積

面積2

 1.960.42  0.3
 1.573 76  6 10 10

有意水準αの棄却域


21.96
正規分布表
より読み取る【練習問題】
貨物船による輸送においては、船舶の30％において貨物が水による何らかのダメージを受けるといわれる。 ランダムに抽出した36隻の貨物船において聞き取りを行ったところ、15隻において貨物に水による何らかのダメージが生じたとの回答が得られた。
最初の30％という仮説の数字は修正すべきか？有意水準 5％で検定せよ。
ただし

21  4.58

15
 0.4236として計算せよ。

帰無仮説： p0  0.3

両側検定

  0.05

対立仮説： p0  0.3x  p0z
p0 (1  p0 )n15
 0.336
0.3  (1  0.3)
36

1.57
面積


面積2

 1.960.42  0.3
 1.573 76  6 10 10

有意水準αの棄却域


21.96
正規分布表
より読み取る

棄却域に入らないので、仮説は棄却できない＝仮説は修正すべきでない

比率の検定x1 , x2,  , xm

標本X

標本平均（標本比率）x1  x2   , xmx
m（２） 異なる２つの母集団の間で、母比率に差があるといえるかどうか？

母集団X

y1 , y2,  , yn

標本Y

母比率

標本平均（標本比率）px

y1  y2  , ynyn１または０の集まり

このとき x  y は
p x (1  p x ) p y (1  p y )
p
p

期待値 x
分散
ymnの正規分布になる

母集団Y
母比率py

帰無仮説より p x  p y  p を代入して標準化
１または０の集まり

母比率 p x  p y  p
ただし p は未知なので

pmx  ny とする
mnz

帰無仮説

xyの分布は N (0, 1)
 1 1
p (1  p)   （標準正規分布）
 m n  （ただしｍ，ｎは大きな数）

有意水準αを設定し、標本から得られたｚが正規分布の棄却域に入るかどうか判定
棄却域に入ったら帰無仮説を棄却する

比率の検定x1 , x2,  , xm

標本X

標本平均（標本比率）x1  x2   , xmx
m（２） 異なる２つの母集団の間で、母比率に差があるといえるかどうか？

母集団Xy1 , y2,  , yn

標本Y

母比率

標本平均（標本比率）px

y1  y2  , ynyn１または０の集まり

このとき x  y は
p x (1  p x ) p y (1  p y )
p
p

期待値 x
分散
ymnの正規分布になる

母集団Y
母比率

py

帰無仮説より p x  p y  p を代入して標準化
１または０の集まり

母比率 p x  p y  p
ただし p は未知なので

pmx  ny とする
mnz

帰無仮説

xyの分布は N (0, 1)
 1 1
p (1  p)   （標準正規分布）
 m n  （ただしｍ，ｎは大きな数）

有意水準αを設定し、標本から得られたｚが正規分布の棄却域に入るかどうか判定
棄却域に入ったら帰無仮説を棄却する

【練習問題】

43.3%ある貨物船で鋼板を輸送したところ、60回の運行において積荷の鋼板における輸送ダメージのクレームが26件であった。 そのため、ある装置を導入して対策を講じた
ところ、その後の40回の運行において積荷ダメージに対するクレームが14件であった。
対策を講じた効果があったと判断すべきか？有意水準5％で検定せよ。
35%
10
ただし
 0.833 として計算せよ。

12帰無仮説： p x  p y  p（効果が無い）対立仮説：（効果がある）  0.05

【練習問題】
ある貨物船で鋼板を輸送したところ、60回の運行において積荷の鋼板における輸送ダメージのクレームが26件であった。 そのため、ある装置を導入して対策を講じた
ところ、その後の40回の運行において積荷ダメージに対するクレームが14件であった。
対策を講じた効果があったと判断すべきか？有意水準5％で検定せよ。
ただし

10 0.83312として計算せよ。

帰無仮説： p x  p y  p（効果が無い）対立仮説： p x  p y（効果がある）p

26  14
 0.460  40

  0.05

正規分布表【練習問題】
ある貨物船で鋼板を輸送したところ、60回の運行において積荷の鋼板における輸送ダメージのクレームが26件であった。 そのため、ある装置を導入して対策を講じた
ところ、その後の40回の運行において積荷ダメージに対するクレームが14件であった。
対策を講じた効果があったと判断すべきか？有意水準5％で検定せよ。
ただし10
 0.833
12として計算せよ。

帰無仮説： p x  p y  p（効果が無い）対立仮説： p x  p yp

26  14
 0.460  400.833
面積α

片側検定

  0.05（効果がある）zxy 1 1
p (1  p )  m n
26 14
106040 0.833
1  12
 10.4  (1  0.4)   60 40 1.65

有意水準αの棄却域

正規分布表より読み取る【練習問題】
ある貨物船で鋼板を輸送したところ、60回の運行において積荷の鋼板における輸送ダメージのクレームが26件であった。 そのため、ある装置を導入して対策を講じた
ところ、その後の40回の運行において積荷ダメージに対するクレームが14件であった。
対策を講じた効果があったと判断すべきか？有意水準5％で検定せよ。
ただし10
 0.833
12として計算せよ。

帰無仮説： p x  p y  p（効果が無い）対立仮説： p x  p yp

26  14 0.4
60  400.833
面積α

片側検定

  0.05（効果がある）

z

xy

 1 1
p (1  p )  m n26 14
106040 0.833
1  12
 10.4  (1  0.4)   60 40 

1.65

有意水準αの棄却域観測されたデータは帰無仮説の分布の棄却域に入らないので、帰無仮説（効果が無い）は棄却できない＝効果があるとはいえない【レポート課題】

2018.05.15

レポート題目：「変形サイコロの検定」
１） 講義にて各自に配布した変形サイコロを振り、各目の出現回数について集計せよ。
少なくとも100回以上サイコロを振ってデータを取得せよ。
２） 上記変形サイコロの、正方形端面（白い数字）の出る割合について、信頼係数 95% で区間推定せよ。
３） 上記変形サイコロが、立方体サイコロと違うかどうか検定したい。
正方形端面（白い数字）の出る割合 p =1／3 = 0.3333 を帰無仮説として有意水準１％で検定せよ。

【注意事項】
・配布した変形サイコロは別の課題でも使用し、使用後回収するので大切に保管すること。
・10点満点で採点し期末試験の点に加える。試験に自信が無ければ必ず提出すること。
・レポートにはA4用紙片面を使用し、レポートの表題と学籍番号・氏名・サイコロ番号を明記する。
複数枚数で構成される場合はホチキスで留めること。（散逸し採点できないため）
A4用紙でないもの、複数枚がホチキス留めでないものは提出しても0点なので注意

提出期限： 2018年 5月29日（火） 午後4時まで

提出先：Ｗ2-6F 634号室

55.8%【演習問題】
2018.05.15

学籍番号

氏名

ある造船所Aで作業員240名に聞き取り調査を行ったところ、作業中にヒヤリとした経験をした人が134名であった。別の造船所Bにおいて作業員160名に聞き取り調査を行った
ところ、同様の回答をした人が106名であった。
造船所AとBでは安全対策の効果に差があるといえるか？有意水準５％で検定せよ。
66.3%

【演習問題】

学籍番号

氏名ある造船所Aで作業員240名に聞き取り調査を行ったところ、作業中にヒヤリとした経験をした人が134名であった。別の造船所Bにおいて作業員160名に聞き取り調査を行った
ところ、同様の回答をした人が106名であった。
造船所AとBでは安全対策の効果に差があるといえるか？有意水準５％で検定せよ。

帰無仮説： p x  p y  p
対立仮説： p x  p yp

134  106
 0.6240  160

両側検定

  0.05
面積z
面積2xy 1 1
p (1  p)  
m n
134 106
50240160
 2.08
241 
 10.6  (1  0.6)
 240 160 

 1.96
有意水準αの棄却域

1.96


2

【演習問題】

学籍番号

氏名ある造船所Aで作業員240名に聞き取り調査を行ったところ、作業中にヒヤリとした経験をした人が134名であった。別の造船所Bにおいて作業員160名に聞き取り調査を行ったところ、同様の回答をした人が106名であった。
造船所AとBでは安全対策の効果に差があるといえるか？有意水準５％で検定せよ。

帰無仮説： p x  p y  p
対立仮説： p x  p y

134  106p
 0.6240  160

もし片側検定の場合、棄却域は 1.65 < z

両側検定  0.05

 2.08面積z
面積2xy 1 1
p (1  p)  
m n
134 106
50240160
 2.08
241 
 10.6  (1  0.6)
 240 160 

 1.961.96

有意水準αの棄却域棄却域に入るので、仮説は棄却される＝効果に差がある2