論 文
周波数応答の近似を用いた伝送線路回路網の一解析手法
丹治 裕一†

西尾 芳文††

島本隆††

牛田 明夫††A Method for Analysis of Trasmission Line Neworks Using Frequency Response
Approximation
Yuichi TANJI† , Yoshifumi NISHIO†† , Takashi SHIMAMOTO†† , and Akio USHIDA††

あらまし 伝送線路回路網の離散フーリエ変換に基づく方法では，考慮すべき周波数成分の数は回路網の有効周波数と入力電源が制限される時間に依存する．したがって，解析される回路網の有効周波数が同じ場合でも入力電源が長時間にわたる場合には，多くの周波数成分を必要とし演算効率が悪くなるという欠点をもつ．これは，各周波数での応答を求めるために回路方程式をそのたびごとに求解しなければならないことが原因である．本論
文では，回路方程式の求解を最小限にとどめ，代わりに周波数応答を近似する方法を提案する．近似法としては，
3 次スプライン関数による方法と離散フーリエ変換・逆変換による方法を用いており，数値計算例を通して，比較的小規模な問題に対しては高速シミュレーション手法として知られているモーメント・マッチング法と比較して演算効率が優れていることを示す．
キーワード

伝送線路回路網解析，離散フーリエ変換・逆変換，周波数応答の近似，周波数領域における解法

演算効率に優れている [1]．この方法によれば 伝達関

1. ま え が き

数は数回の回路方程式の求解によって構成できるた

近年，取り扱われる情報の量は膨大となり，これら

め，大規模な回路に対しても効率良くその応答を求めを瞬時に処理する高機能なシ ステムの開発が 盛んでることができる．しかしながら，得られた応答の解析ある．これらのシステムは高速信号処理回路の存在な精度は十分とはいえない．伝送線路回路網の正確な解

しでは達成されず，これに伴う回路設計技術の発展が析が 必要である場合には ，離散フーリエ変換の使用急務となっている．集積回路，プ リント基板上の電子を前提とした周波数領域における解法 [4] が有効であ回路の高速動作は，半導体デバイスのスイッチング速る．この方法は ，電磁界解析の結果を取り扱える [5]度よりむし ろ集積回路内やプ リント 基板上の配線のなど 柔軟性をもった解析手法である．また，数値ラプ

伝送線路としての影響（ 遅延，反射，クロストーク ）ラス変換・逆変換の一手法としても離散フーリエ変換

によって制限される．一方，これらの回路の開発で用は利用でき，伝送線路回路網の解析にも適用されていいられる汎用回路シミュレータでは伝送線路は離散化

る [6]〜 [8]．離散フーリエ変換による方法は，定常解モデルとして取り扱われ，素子数が膨大となって実用

析における手法に基づいている [9]．すなわち，入力波

的とはいえない．そこで ，伝送線路のモデルである

形を時間制限し ，周期関数によって表す．これを離散Telegraph の方程式を直接求解することが有利となる．

フーリエ変換し ，伝達関数との積から得られる周波数

伝送線路回路網の解析手法として，伝達関数の有理応答を離散フーリエ逆変換によって時間領域に戻す．

関数近似に基づくモーメント・マッチング法は非常に考慮すべき周波数成分の数は入力電源が制限される時間と回路網の有効周波数に依存する．それゆえ，回路† 上智大学電気電子工学科，東京都

網の有効周波数が同じ 場合でも入力電源が長時間にわ

Department of Electrical & Electronics Engineering, Sophia
University, 7–1, Kioi-cho, Chiyoda-ku, Tokyo, 102–8554

が極端に悪くなる．それは，各周波数での伝達関数のJapan†† 徳島大学電気電子工学科，徳島市
Department

ofElectricalたる場合には，多くの周波数成分を必要とし演算効率&

Electronics

Engineering,

Tokushima University, 2–1, Minami-Josanjima, Tokushima-

値を得るために，回路方程式をそのたびごとに求解しなければならないことが原因である．

shi, 770–8506 Japan

電子情報通信学会論文誌 A Vol. J82–A

No. 1 pp. 47–55 1999 年 1 月

47電子情報通信学会論文誌 ’99/1 Vol. J82–A No. 1

本論文では，周波数応答を近似することによって回

こで，表記を簡潔にするために，回路内には一つの電路方程式の求解を必要最小限にとどめ，入力電源が長源 E(jω) ≡ E1 (jω) のみ含まれるとし，式 (5) を次の時間にわたる場合にも演算効率の低下を回避できる方

ように書き直す．

法を提案する．近似法として，周波数応答を 3 次スプライン関数 [10] によって補間する方法と離散フーリエ= H(jω)E(jω)

変換・逆変換を用いる方法が与えられる．数値計算例
では，比較的小規模な問題に対してはモーメント・マッ
チング法よりも演算効率が優れていることを確認した．

ここで，



である（注 1 ） ．

SPICE を代表とする汎用回路シミュレータでは，回定義を行う．

こで，周波数領域における伝送線路回路網の修正節点
方程式を次のように記述する．

Y(jω)X(jω) = E(jω)(1)

節点アド ミタンス行列，節点電圧及び枝電流（ インダクタ，独立電圧源，特に指定された枝の電流），外部入力である．伝送線路回路網内に M 個の外部入力を仮定すると，E(jω) は次のように表される．



時間領域における応答を求めるために以下のようなX(jω) ↔ x(t), H(jω) ↔ h(t), E(jω) ↔ e(t)大文字は周波数応答を小文字は時間応答を表している．
ける応答 x(t) は，畳込み積分

 ∞x(t) =

h(t − τ )e(τ )dτ

(7)

−∞

によって与えられる [11]．しかしながら，式 (7) の直接的な離散化によって時間応答を求めることは過度な計算となるので，これを回避するために離散フーリエ変換を導入する．本論文では入力電源として，パルスM

Ck Ek (jω)



ここで，h(t) はインパルス応答である．時間領域におここで，Y(jω)，X(jω)，E(jω) は，それぞれ，修正E(jω) =

(6)

H(jω) = Y(jω)−1 C1 i−th row

2. 周波数領域におけ る伝送線路回路網の解析
路網は修正節点方程式 [12] によって定式化される．そX(jω) = Y(jω)−1 C1 i−th row E1 (jω)

(2)

k=1

波形のように時間制限可能なものを考える．そこで，入力電源 e(t) に関する制限を 0 ∼ tm であるとする．
一方，損失のある（ lossy ）伝送線路を対象にする場合

ここで，Ck は外部入力 Ek (jω) の接続を表すベクトには，損失のない（ lossless ）伝送線路とは異なり，イルである．回路内の伝送線路の方程式

ンパルス応答は早く零に減衰し ，その後は零状態を保P(jω)V(jω) + Q(jω)I(jω) = 0(3)は，枝特性として式 (1) に含まれる [1]．ここで，V(jω)，I(jω) は伝送線路のポート電圧，電流である．
式 (1) の解は式 (2) を用いて次のように表される．
X(jω) =MY(jω)−1 Ck Ek (jω)(4)

指定された出力変数 X(jω) ≡ Xi (jω) （式 (4) の i 行目）は，

数 hp1 (t)，ep1 (t) を定義する．

hp1 (t) = h(t),(0 <= t < tm )(8a)ep1 (t) = e(t),(0 <= t < tm )

(8b)



N−1

x(kT ) =hp1 [(k − i)T ]ep1 (iT )

i=0
M


k=1



(k = 0, 1, . . . , N − 1)Y(jω)−1 Ck i−th row Ek (jω)(9)

は式 (7) の近似を与える．ここで N T = tm（ N : 分割

(5)によって与えられる．したがって，回路内に複数の電源が含まれる場合には解の重ね合せが必要である．こ48

パルス応答 h(t) 及び入力電源 e(t) に一致する周期関

この場合には，離散畳込み積分

k=1

X(jω) =

ちつづける．そこで，インパルス応答も同様に時刻 tm
によって制限できると仮定し ，0 ∼ tm の区間で イン

数，T : 時間刻み幅）である．
（ 注 1）：H(jω) は，式 (6) において E(jω) を 1 で置き換えた場合の周波数応答 X(jω) に等しい．すなわち，H(jω) を時間領域に変換した
場合にはインパルス応答となる．

論文／周波数応答の近似を用いた伝送線路回路網の一解析手法

(0 <= t < NT )(N T <= t < 2NT )e(t)0ep2 (t) =(10b)

この場合には，図 1 (b) と同様に不必要な部分（ 図1 (c) の hp2 [(k − i)T ] の網掛けされた部分）が生じる
がこれと積を取られる入力 ep2 (iT ) の部分は零である
ので重なり合いは生じない．この場合，時間応答は次式によって与えられる．



2N−1

x(kT ) =hp2 [(k − i)T ]ep2 (iT )i=0(k = 0, 1, . . . , N − 1)

(11)

式 (11) が離散フーリエ逆変換によって与えられることを示す．hp2 [(k − i)T ] 及び ep2 (iT ) が離散フーリエ逆変換によって与えられたものであるとすると，

1 
mπ j m(k−i)πN
Hp2 (j
)e
2N
NT
2N−1

hp2 [(k − i)T ] =

m=0

(12a)
1 
nπ j niπ
Ep2 (j
)e N
2N
NT
2N−1

ep2 (iT ) =

(12b)

n=0

のように表される．式 (12a)，(12b) を式 (11) に代入すると，x(kT ) =2N−1 2N−1
1  
mπ
nπ
)Ep2 (j)
Hp2 (j
2N
NT
NT
n=0

×e

図 1 離散フーリエ逆変換による畳込み積分
Fig. 1 Convolution Integral by inverse discrete
Fourier transform.

j mkπ
N

m=0

1
2N

2N−1

 j niπ −j miπ
e

N

e

N

i=0

1 
nπ
nπ j nkπ)Ep2 (j)e N
Hp2 (j
2N
NT
NT
2N−1

=
しかしながら，式 (9) によって応答を求めた場合には不正確な結果となる場合がある．離散畳込み積分 (9)では，インパルス応答を周期関数化したことによって，畳込み積分（ 図 1 (a) ）では本来ない部分（ 図 1 (b) のhp1 [(k − i)T ] の網掛けされた部分）と入力 ep1 (iT ) との積が取られる．この重なり合いによって不正確な結果となる．これを回避するためには，図 1 (c) のように h(t) 及び e(t) を周期 2NT の関数とみなし ，後半部分の N T を零入力とすればよい（注 2 ）．



hp2 (t) =

h(t)
0

(0 <
= t < NT )(N T <= t < 2NT )

(10a)

n=0

(k = 0, 1, . . . , N − 1)(13)が得られる [11]．すなわち，修正節点方程式 (1) の求nπnπ解によって得られた H(j NT) を Hp2 (j NT
) に等し

nπ
いとし（ 注 3 ），入力電源の離散フーリエ変換 Ep2 (j NT)と の 積を 離 散フ ー リエ 逆変 換す るこ とに より 時 間
領 域に おけ る 応 答 x(kT ) が 求めら れ る ．ただし ，（ 注 2）：h(t) 及び e(t) は，本来 t > NT において零であるから，式(10a)，(10b) には矛盾はない．
1（ 注 3）：基本周波数をにとったことは，時間領域において周期2NT
2NT の関数を作成したことを意味する [11]．

49電子情報通信学会論文誌 ’99/1 Vol. J82–A No. 1

離 散フ ー リエ 変 換の 周 期 性に よって 有 効な 範 囲はしは 256 の周波数成分で十分その概形を表現できる．

n/2NT (n = 0, 1, . . . , N ) である．し たがって，式

これはモーメント・マッチング法が形成する複素数 snπnπ(13) の周波数応答 Hp2 (j NT)Ep2 (j NT) はこの範囲

に関する有理関数が [30/30] − [50/50] の次数（ [分子/で求めれば よい．n/2NT (n = N + 1, . . . , 2N − 1)分母] ）であることに対応する．そこで，前章で与えらnπnπについては Hp2 (j NT)Ep2 (j NT) (n = 0, . . . , N − 1)

れた修正節点方程式の求解は FFT が利用できる低いの複素共役（記号 ∗ は複素共役）を取ることによって

回数 (2γ + 1) のみとし ，必要とされる残りの部分は得る．

補間によって求めることを考える．補間の方法として，

Hp2 (j

3 次スプライン関数を用いる方法と離散フーリエ変換・nπnπ)Ep2 (j
)
NT
NT

= Hp2

j

(N − n)π
NT

Ep2

j

(N − n)πNT(n = N + 1, . . . , 2N − 1)

∗

(14)

解析手法の要約は，以下のとおりである．

逆変換を用いる方法を提案する．

3. 1 方法 1: 3 次スプライン関数による近似
式 (13) に おいて ，入力電源の 離 散フー リエ 変換nπ
Ep2 (j NT) は FFT の導入によって効率よく計算でき
nπる．一方，Hp2 (j NT) を求めるためには修正節点方程式の求解が必要であり，考慮される周波数成分の増加

STEP1: 出力波形呈示時間時間 tm ≡ N T (N : 分
割数，T : 時間刻み幅）を定義する．
STEP2: 後半部分 N T に零入力を付加した入力電源
e(t) を基本周波数 1/2NT で離散フーリエ変換する．

nπによって演算効率が悪くなる．そこで，Hp2 (j NT)に

STEP3: 修正節点方程式 (1) の求解によって，周波nπ数領域における伝送線路回路網の応答 Hp2 (j NT)を
求解によって，Hp2 (j Nnπ T ) (n = 0, 1, . . . , N ) を求めついての近似を検討する．
式 (13) の 基 本 周 波 数 1/2NT を 整 数 倍 し た
1/2N  T (N  : 2γ ) に変更する．修正節点方程式 (1) のる．次に，求める．この場合，対象となる周波数は基本周波数の整数倍 n/2NT (n = 0, 1, . . . , N ) である．また ，n/2NT (n = N + 1, . . . , 2N − 1) については式 (14)によって求める．

STEP4: 離散フーリエ逆変換 (13) を実行し ，0 <=t < N T までの波形が解析結果を与える．
ただし，離散畳込み積分 (11) によって正確な結果を得るためには，インパルス応答が時刻 tm で制限できることを前提とする．

3. 周波数応答の近似
離散フーリエ変換による解析では考慮すべき周波数
成分は，入力電源が制限される時間と回路網の有効周

Hp2 (jnπnπnπ) = R(j  ) + jX(j  )
N T
N T
NT
(n = 0, 1, . . . , N  )(15)の よ うに 実 数 部 Rn ≡ R(j Nnπ T ) と 虚 数 部 Xn ≡X(j Nnπ T ) に分け，それぞれを 3 次スプライン関数 [10]によって補間する．以下に Rn の補間法を与える．また，Xn も同様に補間される．
Rn の補間関数 S(x) は，次の補間条件を満たす．
S(xn ) = Rn(n = 0, 1, . . . , N  )(16)

ここで，xn = n である．3 次スプライン関数 S(x) は
区分 3 次多項式であり，S(x) の区間 [xk−1 , xk ] (k =波数に依存する．例えば 応答の有効周波数を 10 GHzに選択し，0 ∼ 10 ns で入力電源が制限される場合を考えよう．前章で示したように解析時間は 20 ns まで延長する必要がある．したがって，基本周波数は 50 MHzとなり，200 個の周波数成分を求める必要がある．しかしながら，制限される時間が長くなると，多くの周波数成分を求めなければならない．例えば 0 ∼ 50 nsの場合には，考慮すべき周波数成分は 1000 となる．し
たがって，離散フーリエ変換を用いる方法では，入力電源が制限される時間の増大に応じて演算効率が悪くなるという欠点をもつ．一方，周波数応答は 128 ない50

図 2 3 次スプライン関数による周波数応答の近似
Fig. 2 Frequency response approximation by cubic
spline function.

論文／周波数応答の近似を用いた伝送線路回路網の一解析手法

Fig. 3図 3 離散フーリエ変換・逆変換による周波数応答の近似
Frequency response approximation by discrete Fourier and discrete inverse
Fourier transforms.

1, 2, . . . , N  ) における 2 次導関数

行列にもつ連立方程式を解くことによって得られる．

S  (x) = Mk−1 (xk − x) + Mk (x − xk−1 ) (17)は区分線形となる．ここで，xk − xk−1 = 1 が用いられている．式 (17) を 2 回積分し ，区間 [xk−1 , xk ] における式 (16) の条件 S(xk−1 ) = Rk−1 ，S(xk ) = Rk









2
1
2

λ0
2
..
.

0

1
2

..

.

1
2

 





0  M   d 

0

0

0

  d1
  .
  .
= .
  .
  .
  .

dN 

2

1
2

 M1

 ..
 .

 .
 ..

λN 

2

MN 

..

.









(19)

を用いることによって，S(x) は次のように表される．
ここで，(xk − x)3 − (xk − x)6(x − xk−1 )3 − (x − xk−1 )+Mk
6+(xk − x)Rk−1 + (x − xk−1 )Rk

dk = 3(Rk+1 − 2Rk + Rk−1 )S(x) = Mk−1

(k = 2, 3, . . . , N  − 1)
(18)

であ る．x < x0 ，x > xN  に おいては 補間曲線は存 在し な いた め ，1 次 導 関 数の 連 続 性を 利 用す ることはできない．そこで ，P-スプ ライン [10] の条件

3 次スプライン関数では 2 次導関数までの連続性が保証され，1 次導関数の連続性を用いることによって式(18) の係数 Mk を決定することができる [10]．係数
Mk (k = 0, 1, 2, . . . , N  ) は次の 3 重対角行列を係数

λ0 = λN  = −2,

d0 = dN  = 0 を用いる．

式 (18) を 用 い るこ と に よって ，R(j Nnπ T ) (n =0, 1, . . . , N  ) 以外の残りの 必要な周波数成分を得る
ことができる（ 図 2 ）．
51電子情報通信学会論文誌 ’99/1 Vol. J82–A No. 1

3. 2 方法 2: 離散フーリエ変換・逆変換による近似
式 (15) の Hp2 (j Nnπ T ) (n = 0, 1, . . . , N ) を式 (14)を用いて (n = 0, 1, . . . , 2N  − 1) まで拡大し ，離散フーリエ逆変換すると，


hp3 (kT ) =

2N −1

nkπ
1
nπ
Hp2 (j  )ej N  T

2N T
N T
n=0

(k = 0, 1, . . . , 2N  − 1)

(20)

Fig. 4図 4 解析回路例
The analyzed example circuit.

が得られる．周波数領域で基本周波数を 2N1 T に選んだことは，時間領域では近似的に周期 2N  T の関数を得たことに等価である．すなわち，hp2 (kT ) の近似

h̃p2 (kT ) (k = 0, 1, . . . , 2N − 1) を得るには，(1) (n = 0, 1, . . . , 2N  − 1) : h̃p2 (kT ) = hp3 (kT )(2) (n = 2N  , 2N  + 1, . . . , 2N − 1) : h̃p2 (kT ) = 0のようにすればよい（図 3 ）．(2) は回路網のインパル
ス応答の性質を利用したものである．lossy 伝送線路
では インパルス応答は早く零に減衰し（注 4 ），その後は零状態を保ち続ける．そこで，2NT  <= t < 2NT における応答を強制的に零と置くことによって hp2 (kT )を近似的に得る．したがって，本手法を適用するため
には hp2 (kT ) が 0 <= t < 2N T の範囲内で過渡現象

が完全に終了し，零に減衰していることが前提となる．

h̃p2 (kT ) を離散フーリエ変換することによって必要nπとされるすべての周波数成分 H̃p2 (j NT) を近似的に求めることができる．

用いた近似による誤差を図 7，図 8 に示す．図 7 では，
図 6 の 3 次スプライン関数を用いた方法と同様に 128

k=0

(21)

4. 数値計算例
図 4 に示された伝送線路回路網の解析を行った．この回路に含まれる伝送線路は周波数依存性を有し ，そのパラメータは文献 [3] の表 II, III にデータとして与えられている．各周波数成分に対応するパラ メータ
値はこのデ ータを補間することによって得た ．伝送
線路の終端における周波数応答の絶対値（ 式 (15) のnπ
Hp2 (j NT) ）を図 5 に示す．図 5 では 128 個の標本点（ 周波数成分 ）を修正節点方程式（ 回路の変数は 25 ）の求解によって求め，これを 3 次スプライン関数で近似した場合 Hs（ Spline ）と 1024 回修正節点方程式を求解した場合 He（ Exact ）を比較した．また，応答の52

誤差 |(Hs − He )/He | を図 6 に示す．誤差は最大 3%程度であった．同様に，離散フーリエ変換・逆変換を

2N−1

nkπ
nπ
H̃p2 (jh̃p2 (kT )e−j N T) =NT(n = 0, 1, . . . , 2N − 1)

図 5 3 次スプライン関数による近似（ Spline: 標本点 128 ）を用いた場合の周波数応答
Fig. 5 Frequency response provided by cubic splineinterpolation (Spline: 128 sample points).

の標本点によって（ DFT1 ），図 8 では 64 の周波数成nπ分によって（ DFT2 ）式 (15) の Hp2 (j NT) を近似した結果である．離散フーリエ変換・逆変換による近似
では，低周波成分に対しては 3 次スプライン関数を用いた近似と同様に有効な精度によって近似できるが高周波成分では誤差が大きい．しかし ，高周波成分の応答はその絶対値が小さいため，誤差の影響は相殺されると考えられる．一方，図 9 に示されるように標本点
64 のスプライン関数による近似では，低周波成分に対する誤差が大きく，また，応答の絶対値も同様に大きいためその影響は相殺されない．したがって，2. のア
ルゴ リズムを適用した場合には不正確な結果となる．
（ 注 4）：lossy 伝送線路は lossless 伝送線路とは異なり線路自身が損失をもつため，線路上においても応答は減衰する．

論文／周波数応答の近似を用いた伝送線路回路網の一解析手法

図6

3 次スプライン関数による近似（ Spline: 標本点 128 ）を用いた場合の誤差
Fig. 6 Error of frequency response provided by cubic spline interpolation (Spline: 128 sample
points).

図 7 離散フーリエ変換・逆変換による近似（ DFT1: 標本
点 128 ）を用いた場合の誤差
Fig. 7 Error of frequency response provided by theapproximation using discrete Fourier and discrete inverse Fourier transforms (DFT1: 128
sample points).

図 8 離散フーリエ変換・逆変換による近似（ DFT2: 標本
点 64 ）を用いた場合の誤差
Fig. 8 Error of frequency response provided by theapproximation using discrete Fourier and discrete inverse Fourier transforms (DFT2: 64
sample points).

図 9 3 次スプライン関数による近似（ 標本点 64 ）を用いた場合の誤差Fig. 9 Error of frequency response provided by cubic
spline interpolation (64 sample points).

で近似されている [13]．Sun Spark Station 5 による
図 4 に示された回路の過渡応答を標本点 64 の離散計算時間を表 1 に示す．周波数応答の近似を用いる場

フーリエ変換・逆変換による近似を用いて（ DFT2 ）合では，修正節点方程式の演算回数が少ないために計求めた結果を図 10 に示す．考慮される最高周波数が算時間が短縮されていることがわかる．離散フーリエ

7 GHz，出力波形呈示時間が 60 ns とすると 840 個の周波数成分を求める必要がある．更に FFT を用いる
ため 1024 個の周波数成分が必要となる．比較のために 1024 回修正節点法を求解し ，2. のアルゴ リズムを用いた場合（ Exact ）とモーメント・マッチング法

変換・逆変換による方法では 64 の標本点によって応（ CFH ）[2], [13] によって得られた結果を同図に示す．

項式の根の求解）に計算時間を必要とした．

答を近似できるため，最も演算効率に優れている．一方，モーメント・マッチング法では 9 回のみの求解で有理関数を構成することができるが，連立方程式の解法以外の演算（ Taylor 展開，行列指数関数の導出，多モーメント・マッチング法では 9 回の修正節点方程式の求解によってインパルス応答は [25/26] の有理関数53電子情報通信学会論文誌 ’99/1 Vol. J82–A No. 1

文
[1]

献

T.K. Tang and M.S. Nakhla, “Analysis of high-speed
VLSI interconnects using the asymptotic waveform
evaluation technique,” IEEE Trans. Comput.-Aided
Design, vol.11, no.3, pp.341–352, March 1992.

[2]

E. Chiprout and M.S. Nakhla, “Analysis of interconnect networks using complex frequency hopping(CFH),” IEEE Trans. Comput.-Aided Design, vol.14,
no.2, pp.186–200, Feb. 1995.

[3]

M. Celik and A.C. Cangellaris “Eﬃcient transient
simulation of lossy packaging interconnects using
moment-matching techniques,” IEEE Trans. Comps.,
Pack., & Manuf. Technol., Part-B, vol.19, no.1,
pp.64–73, Feb. 1996.

[4]
Fig. 10

図 10 過渡解析結果（ DFT2 ）The results of transient analysis (DFT2).

Table 1

表 1 計算時間の比較
Comparison of CPU time.

A.R. Djordjević and T.K. Sarpkar, “Analysis of time
response of lossy multiconductor transmission line
networks,” IEEE Trans. Microwave Theory & Tech.,
vol.MTT-35, no.10, pp.898–908, Oct. 1987.

[5]

J. Zhao and Z.-F. Li, “A time-domain full wave
extraction method of frequency-dependent equiva-

方法

修正節点方程式の演算回数

計算時間 [sec.]

lent circuit parameters of multiconductor interconnection lines,” IEEE Trans. Microwave Theory &提案方法
Spline

128

1.96

DFT1

128

2.16

DFT2

64

1.34

Tech., vol.45, no.1, pp.23–31, Jan. 1997.
[6]

[7]

no.2, pp.107–114, Feb. 1985.
市川 哲，“分布電源のある伝送線路の解析，” 信学論[8]，vol.J68-A, no.2, pp.166–172, Feb. 1985.
（ A）
市川 哲，岡本英二，“ラプラス変換対の数値処理に関する

従来法
Exact

1024

13.05

CFH

9

3.09

奥村浩士，木嶋 昭，所 節夫，“伝送線路の過渡現象の数，vol.J68-A,
値ラプラス変換による一解法，” 信学論（ A ），vol.J77-A, no.8, pp.1192–1195,
一考察，” 信学論（ A ）Aug. 1994.
[9]

Y. Tanji, L. Jiang, and A. Ushida, “Analysis of pulse
responses of multi-conductor transmission lines by

5. む

す び

伝送線路回路網の離散フーリエ変換に基づく方法に

a partitioning technique,” IEICE Trans. Fundamen[10]tals, vol.E77-A, no.12, pp.2017–2027, Dec. 1994.
市田浩三，吉本富士一，“スプライン関数とその応用，
”教

[11]

E.O.

育出版，1985.

対して，演算効率を改善する方法を提案した．これは，周波数応答を求めるために必要な回路方程式の求解を必要最小限にとどめ，代わりに近似によって必要とさ

Brigham,“The

Fourier Transformations,”

Prentice-Hall, Englewood Cliﬀs, 1974.
[12]

C.W. Ho, A.E. Ruehli, and P.A. Brennan, “Theれるすべての周波数成分を得るというものである．数

modiﬁed nodal approach to network analysis,” IEEE

値解析例を通して，高速シミュレーション手法として

Trans. Circuits & Syst., vol.CAS-22, pp.504–509,

知られているモーメント・マッチング法と比較して演算効率が優れていることが確認できた．
本手法では，インパルス応答が時間領域において制限されることを前提としている．ゆえに，応答が線路上においても減衰し ，過渡現象が早く終了する lossy
伝送線路の解析に有効である．また，周波数領域における緩和法 [9] を用いることによって非線形端末をもつ場合にも適用可能であると考えられる．
謝辞
します．
54

貴重な御意見を賜わりました査読者に感謝致

June 1975.
[13]

Y. Tanji, Y. Nishio, and A. Ushida, “A new curve
ﬁtting technique for analysis of frequency-dependenttransmission lines,” Proc. ISCAS’98, vol.6, pp.346–
349, May 1998.

（ 平成 10 年 3 月 16 日受付，7 月 9 日再受付）

論文／周波数応答の近似を用いた伝送線路回路網の一解析手法

丹治

裕一 （ 正員）

平 5 徳島大・工・電気電子卒．平 10 同大大学院博士課程了．現在，上智大・理工・
電気電子助手．回路網解析，CAD アルゴ
リズムの研究に従事．工博．IEEE 会員．

西尾

芳文 （ 正員）

昭 63 慶大・理工・電気卒．平 5 同大大学院博士課程了．同年，徳島大・工・電気
電子勤務．現在，同大・工・電気電子助教
授．非線形回路におけるカオス，同期現象の研究に従事．工博．IEEE 会員．

島本

隆 （ 正員）昭 57 徳島大・工・電気卒．昭 59 同大大学院修士課程了．同年徳島大・工短・電子助手．現在，同大・工・電気電子助教授．LSI
設計の CAD に関するアルゴ リズムや最適化問題の解法の研究に従事．工博．情報処
理学会，IEEE 各会員．

牛田明夫 （ 正員）

昭 36 徳島大・工・電気卒．横河電機製作所勤務．昭 41 徳島大大学院修士課程了．
昭 41 同大助手．現在，同大・工・電気電子教授．平 8–9 IEEE Associate Editor．
非線形回路の数値解析の研究に従事．著書「非線形回路の数値解析法」．工博．電気学会，IEEE 各会員．

55