５－２．空間図形の求積（長さ・面積・体積・角度ほか） 【２００５年度実施】【問１】
図のように，∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝6 cm，AD＝2 cm，BC＝4 cm の台形 ABCD がある。この台形を辺DC を軸として一回転させてできる立体の表面積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。
（秋田県 2005 年度）

解答欄

cm2

【問２】
底面の半径が 6 cm の円柱の形をした容器に，底面の半径が 6 cm で高さが h cm の円錐を，それぞれの底面が重なり合うように置く。図１は，円柱の形をした容器に水を入れたときの様子である。
（秋田県 2005 年度）① 底面から水面までの高さが h cm より低いとき，水面は上から見ると，図２のように大小２つの円に囲まれた形となっている。水面の２つの円の半径の差が 4 cm のとき，底面から水面までの高さを h を用いて表しなさい。

② 底面から水面までの高さが h cm になったとき，入れた水の体積を h を用いて表しなさい。ただし，円周率はπとする。

解答欄①cm②cm3【問３】図は，AB＝3 cm，BC＝5 cm，CA＝4 cm の直角三角形を底面とする三角柱の展開図である。この展開図において，線分 DE をひいたところ，DE＝15 cm であった。もとの三角柱の体積を求めなさい。
（山形県 2005 年度）

解答欄

cm3

【問４】
図のように，底面の半径が 4 cm の円すいを，頂点 O を中心として平面上で転がしたところ，太線で示した円の上を１周してもとの場所にかえるまでに，ちょうど３回転した。
（福島県 2005 年度）① 太線で示した円の周の長さを求めなさい。

② 転がした円すいの表面積を求めなさい。

解答欄①cm②cm2【問５】図のように，底面が１辺 4 cm の正方形で，高さが 5 cm の直方体がある。この直方体の辺 EH 上に GR＝5 cm となるように点 R をとる。R から直方体の面に沿って，辺 EF と辺 BF に交わるようにして頂点 C まで最短で結ぶ線をひき，ひいた線が EF と交わる点を S，BF と交わる点を T とする。また，点 P は，このようにして R から C までひいた線上にある点とする。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（福島県 2005 年度）(1) AR の長さを求めなさい。

(2) 点 P が ST の中点であるとき△ABP の面積を求めな
さい。

(3) △ABP の面積が最小になるように点 P をとるとき，AP の長さを求めなさい。

解答欄
(1)cm

(2)

cm2

(3)cm

【問６】
図のように，AB＝3 cm，BC＝4 cm，BF＝5 cm の直方体 ABCDEFGH がある。線分 FH の中点を M とし，線分 DM と線分 BH との交点を N とする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（茨城県 2005 年度）(1) 線分 DM の長さを求めなさい。

(2) △BMN の面積を求めなさい。

解答欄
(1)

cm

(2)cm2

【問７】図のように，１辺が 10 cm の正方形の紙から，この正方形の各辺を底辺とする４つの合同な二等辺三角形を切りとると，正四角錐の展開図となる。切りとる二等辺三角形の底辺に対する高さを a cm とするとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（栃木県 2005 年度）(1) 展開図を組み立ててできる正四角錐の表面積が 50 cm2 になるとき，a の値を求めなさい。

(2) a＝2 のとき，展開図を組み立ててできる正四角錐の高さを求めなさい。

解答欄
(1)

a＝(2)

cm

【問８】
図は，各辺の長さがすべて 2 cm の四角すいの展開図である。この四角すいの体積を求めなさい。
（群馬県 2005 年度）

解答欄

cm3

【問９】
図で，△ABC は，AB＝10 cm，BC＝6 cm，∠BCA＝90°の直角三角形です。△ABC を，辺 AC を軸として，１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとします。
（埼玉県 2005 年度）

解答欄

cm3

【問 10】
図のように，∠BCA＝90°，BC＝ 5 cm の直角三角形 ABC があり，辺 AC 上に点 D がある。AD＝5 cm，BD＝3 cm であるとき，△ABD を辺 AD を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率はπを用いることとする。
（千葉県 2005 年度）

解答欄

cm3

【問 11】
図１のような長方形の紙 ABCD があり，辺 AD の中点を E とする。この紙を図２のように，底面の半径が 3 cm である円柱の側面に，紙が重ならないようにすき間なく，辺 AD と辺 BC の一部分が接するように斜めに巻きつけたところ，紙は円柱の側面を１周し，２点 A，D は円柱の同じ母線上にきてその間の距離は 6 cm となった。このとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率はπとする。
（神奈川県 2005 年度）
図２

図１(ア) 図２の円柱において，２点 A，E 間の距離を求めなさい。

(イ) 長方形の紙 ABCD の面積を求めなさい。

解答欄
(ア)cm

(イ)

cm2

【問 12】図のように，AB＝30 cm，AD＝20 cm，AE＝5 cm の直方体 ABCD－EFGH がある。辺 AB，HG の中点をそれぞれ M，N とし，頂点 A から線分 DM に引いた垂線と線分 DM の交点を P とする。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（新潟県 2005 年度）(1) 線分 DM と線分 AP の長さを，それぞれ求めなさい。

(2) 三角すい P－AHD の体積を求めなさい。

(3) 平行四辺形 MFND の面積を求めなさい。

解答欄

(1)

DM＝cm， AP＝cm(2)cm3(3)cm2

【問 13】図のような直角三角形 ABC がある。この三角形を辺 AB を軸として１回転させてできる立体の体積を求めよ。
（福井県 2005 年度）

解答欄

cm3

【問 14】
図の線分 AB，BC を，直線 CD を軸として１回転させてできたコップについて考える。この図において，BC⊥CD，
AD⊥CD，AD＝5 cm，AB＝14 cm，BC＝3 cm とし，コップの厚みは考えないものとする。このとき，次の１～３に答えなさい。
（山梨県 2005 年度）
１．このコップの高さは何 cm か求めなさい。

２．このコップに水をいっぱいに入れ，ストローをさしたとき，水の中に入っている部分のストローの長さを a cm とする。a が最も大きくなるときの a の値を求めなさい。ただし，ストローは，まっすぐなものであり，折ったり曲げたりしないものとし，太さは考えないものとする。

３．このコップに，コップの高さの半分の高さまで水が入っているとき，入っている水の体積は何 cm3 か求めなさい。

解答欄
cm１２３a＝cm3

【問 15】
図で，A は側面の展開図が半径 10 cm で中心角が 216°のおうぎ形となる円すい形の容器，B は容器 A と底面の半径が等しい円柱形の容器である。容器 A を底面が水平になるようにしていっぱいに満たした水を容器 B に入れたところ，容器 B の高さの５分の１まで水が入ったという。容器 B の高さは何 cm か。ただし，容器の厚さは考えないものとする。
（愛知県 Ａ 2005 年度）

解答欄

cm

【問 16】たろうさんは，図２のような図形を作図し，一辺の長さが 10 cm の正方形を底面とし，合同な４つの二等辺三角形が側面となる正四角すい OABCD をつくることにしました。側面となる三角形 OAB の頂点 O から辺 AB へひいた垂線を OE とするとき，次の各問いに答えなさい。
（三重県 2005 年度）① たろうさんは，次のことに注意して作図しました。次の(ア)にあてはまる値を求めなさい。

【たろうさんが注意したこと】
OE の長さが， (ア)cm 以下のときは正四角すいをつくることができないから，OE の長さは， (ア)cm より長くなければいけない。

② たろうさんがつくった正四角すいの体積は，500 cm3 でした。このとき，OE の長さを求めなさい。なお，答えにがふくまれるときは，を用いて最も簡単な形で書きなさい。

解答欄

①②

OE＝cm

【問 17】
図２は，底面の半径が 4 cm で，高さが 7 cm の円柱である。円周率をπとして，この円柱の表面積を求めよ。
（奈良県 2005 年度）

解答欄

cm2

【問 18】
図は円錐の展開図で，側面のおうぎ形の中心角は 216°であり，底面の円の半径は 3 cm である。この展開図を組み立てたときにできる円錐の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。
（和歌山県 2005 年度）

解答欄

【問 19】図の四角すい OABCD は底面が１辺 8 cm の正方形であり，側面はすべて二等辺三角形で，その等しい辺は 9cm である。この四角すいの高さを求めなさい。
（鳥取県 2005 年度）

解答欄
cm【問 20】
図３の直角三角形を，直線ℓ を軸として１回転させてできる立体の体積を求めると，cm3 である。
（島根県 2005 年度）

解答欄
cm3

【問 21】図のように，底面が正方形 ABCD で，高さが 6 cm の四角すいがあります。この四角すいの高さを変えないで，辺AD，BC を 1 cm 長く，辺 AB，CD を 1 cm 短くした長方形を底面とする四角すいをつくります。このときできる四角すいの体積は，もとの四角すいの体積より 2 cm3 小さくなります。このわけを正方形 ABCD の１辺の長さを a cm として，a を使った式を用いて説明しなさい。ただし a＞1 とします。
（広島県 2005 年度）

解答欄
説明【問 22】
図は，底面の円の半径が 3 cm の円すいの展開図である。⌒
AB 上に点 P をとり，点 O と点 P を結ぶ。∠AOP＝80°，∠BOP＝40°であるとき，次のア，イの問いに答えよ。なお，円周率にはπをそのまま用いよ。
（香川県 2005 年度）
ア ⌒AB の長さは⌒AP の長さの何倍か。

イ この展開図を組み立てたときにできる円すいの体積は何 cm3 か。

解答欄

ア倍

イcm3

【問 23】
図は，１辺の長さが 4 cm の正方形を底面とし，正三角形を側面とする四角すいの展開図である。これを組み立ててできる四角すいの体積を求めよ。
（愛媛県 2005 年度）

解答欄
cm3

【問 24】図のように，A，B，C，D，E，F，G，H を頂点とする直方体がある。AB＝5 cm，AD＝3 cm，AE＝4 cm のとき，対角線 DF の長さを求めよ。
（高知県 2005 年度）

解答欄
cm【問 25】
図のような AB＝9 cm，∠C＝90°である直角三角形 ABC を，辺 AC を軸として１回転させてできる立体の底面積が 16πcm2 のとき，この立体の側面積を求めよ。ただし，πは円周率であり，そのまま用いること。
（高知県 2005 年度）

解答欄

cm2

【問 26】
図１は，AC＝8 cm，BC＝6 cm，∠ACB＝90°の直角三角形 ABC に，辺 AB の中点 D，辺 AC の中点 E をとり，点 D と点 E を結んだものである。図２は，図１の直角三角形 ABC を，辺 AC を軸として１回転させてできた回転体を表しており，点 B と点 C を通る直線と，円 C の円周との交点のうち，点 B と異なる点を F としたものである。
また，円 C に平行で，点 E を中心とし，線分 ED を半径とする円を円 E とする。次の(1)～(3)のの中にあてはまる最も簡単な数を記入せよ。ただし，πは円周率を表す。
（福岡県 2005 年度）
図１

図２(1) 図１に示す図形で，線分 AB の長さはcm である。

(2) 図２に示す回転体において，円 C を底面とし，線分 AC を高さとする円すいの体積はπcm3 である。

(3) 図２に示す回転体において，円 E の円周上に点 P を，△BPF の面積が最も大きくなるようにとる。
このとき，△BPF の面積は解答欄⑴⑵⑶

cm2 である。

【問 27】図のような１辺の長さが 4 cm の正四面体 ABCD がある。辺 AB の中点を M とするとき，△MCD の面積を求めなさい。
（佐賀県 2005 年度）

解答欄cm2

【問 28】図のような１辺の長さが 6 cm の立方体がある。正方形 AEFB の対角線 AF 上に AP＝PQ＝QF となるように２点P，Q をとる。このとき，次の(ア)～(ウ)の各問いに答えなさい。
（佐賀県 2005 年度）(ア) PD の長さを求めなさい。

(イ) ４点 A，D，E，P を結んでできる三角すいの体積を求めなさい。

(ウ) 四角形 PQGD を直線 PQ を軸として１回転させてできる回転体の体積を求めなさい。

解答欄
(ア)cm

(イ)

cm3(ウ)cm3

【問 29】図のように，AC＝a cm（a は定数），BC＝5 cm，∠C＝90°の直角三角形 ABC がある。△ABC を AC を軸として１回転させてできる立体の体積が，△ABC を BC を軸として１回転させてできる立体の体積の３倍であるとき，a の値を求めなさい。
（熊本県 2005 年度）

解答欄

a＝

【問 30】
図のように，AB＝8 cm，BC＝4 cm の直方体 ABCD－EFGH がある。底面 ABCD の対角線 AC 上に AP：PC＝3：5 となる点 P をとり，辺 AE 上に AQ：QE＝1：2 となる点 Q をとると，∠QPG＝90°となる。このとき，次の各問いに答えなさい。
（熊本県 2005 年度）(1) 線分 AP の長さを求めなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

8 cm(2) 直方体 ABCD－EFGH の表面積を求めなさい。

解答欄
(1)

cm

(2)

cm24 cm

【問 31】
図Ⅰのような長方形 ABCD の折り紙がある。AB＝6 cm，AD＝12 cm として，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
ただし，紙の厚さは考えないものとする。
（宮崎県 2005 年度）(1) 図Ⅰにおいて，対角線 BD の長さを求めなさい。

(2) 図Ⅰの折り紙を裏返して，図Ⅱのように置き，BD を折り目として折ると図Ⅲのようになる。線分 BC と AD との交点を E として，次のア，イの問いに答えなさい。
図Ⅱ

図Ⅲ

図Ⅳ ①②

EB，EDを折り目として折る。

③

点Eから線分BDにひいた垂線をEFとする。
EFを折り目として折り，点BとDを重ねる。

④

線分AEとCEを重ねたまま点BとDを遠ざけ，点B，A(C)，Dが一直線上に並ぶようにする。
ア． △AEB の周の長さを求めなさい。

イ． △BED の面積を求めなさい。

⑤

できあがり

(3) 図Ⅲのように折った折り紙で，図Ⅳのような形をつくる。図 IV の①～⑤は，その手順を示したものである。
図 IV の⑤において，４点 F，E，B，D を頂点とする三角錐の体積を求めなさい。

解答欄

(1)

BD＝cm

アcm

イcm2(2)(3)

cm3

【問 32】
図Ⅰのような台形 ABCD がある。頂点 A から辺 BC に垂線 AE をひく。台形 ABCD を直線ℓ を軸として１回転させて図Ⅱのような回転体をつくるとき，次の各問いに答えなさい。(ただし，円周率はπのまま計算すること。)（沖縄県 2005 年度）

問１．AE の長さを求めなさい。

問２．回転体の内側にできる円すいの体積を求めなさい。

問３．回転体の体積を求めなさい。

解答欄
問１AE＝cm

問２cm3

問３cm3