DEIM Forum 2014 A9-4

データ分析におけるランク付集合ラベルの利用
葛西

正裕†

古川

哲也††

† 愛知学院大学経済学部 〒 470–0195 愛知県日進市岩崎町阿良池 12†† 九州大学大学院経済学研究院 〒 812–8581 福岡県福岡市東区箱崎 6–19–1
E-mail: †kuzunisi@dpc.agu.ac.jp, ††furukawa@econ.kyushu-u.ac.jp
あらまし

データに対する階層的分類は，多様化したデータを一元的に分析に供するのに有用である．データの多様性は分類時にデータの不均一性となって現れ，1 件のデータに複数のカテゴリのラベルが付され，各カテゴリとデータの関連性の強さは異なる場合が多い．関連性の程度を示すランクを与えたラベルの集合（ランク付集合ラベル）をデータに付すことにより，関連性の強弱を反映させて分析の対象となるデータを指定できるが，ランク付集合ラベルに応じたデータの指定が問題となる．本稿は，ランク付集合ラベルを利用したデータの指定に関する理論的枠組みを明らかにする．さらに，ラベル集合の順序を用いることでデータの指定を平易に表し，指定法の十分性を検討する．
キーワード

階層的分類，ランク付集合ラベル，ラベル集合の順序，データの指定

1. は じ め に

データの構成法と利用法は提案されているが [4]，ランク付集合
ラベルのデータを分析することにまで言及していない．

今日では，数値データのみならず，テキスト，画像，音声，動画

分類後のデータにはランク付集合ラベルが付されているの等の多様なデータが収集され分析に利用されている [2] [13] [14]．

で，ラベル集合を与えることにより分析の対象となるデータを

データの種類を問わず一元的に分析に供するためのデータの指定できる．その際，与えられたラベル集合がどのようなデー構成法として，データを階層的に分類しておくことが有用であタを記述するかが不明瞭であり，ラベル集合とランク付集合ラる [8] [12]．

ベルの関係を明確にしておく必要がある．そこで，本稿は，ラ

データの分類は，業種や地域といった属性ごとに行われ，デーベル集合とランク付集合ラベルの関係からラベル集合が記述す

タには分類階層で該当するカテゴリのラベルが付される [1]．そるデータを議論したのち，データを指定する上で有用な意味をの際，データの多様性はデータの不均一性となって現れる．

持つ記述に集約することで，分析の対象となるデータの指定法

1 件のデータには複数のカテゴリのラベル (集合ラベル) が付を明らかにする．

され [7] [9]，各カテゴリとデータの関連性の強さは異なること

本稿は以下のように構成される．2 章は，ラベル集合の要素が多い．関連性の強さを考慮せずにラベルを付すと，データのが単数の場合を考え，ラベルが記述するデータを導出し，3 章

カテゴリに対する関連性の強弱という不均一性を反映させた分で，分析の対象となるデータを指定する上で有用な記述に集約

析ができない．例えば，経済データを業種で分析する際，主とする．4 章は，ラベル集合に議論を拡張し，ラベル集合が指定

して自動車に関するデータであるが電気機器についても事業展するデータを明らかにする．5 章では，ラベル集合が指定する開をしているようなデータに対して，単純に自動車と電気機器

データは，ラベル集合とランク付集合ラベルの関係にラベル集という 2 つのラベルを付すと，主として電気機器に関するデー合の順序を用いることで，平易に表せることを示す．同時に，タとの区別ができない．

順序を用いて表したデータが分析の対象として考えるべきデー

カテゴリに対する関連性の強弱を反映させた分析を行うためには，関連性の程度を示すランクをラベルに対して導入する必要がある．ランクを与えたラベルの集合（ランク付集合ラベル）
をデータに付すことにより，関連性の強弱を反映させて分析の対象となるデータを指定できるが，ランク付集合ラベルに応じたデータの指定が問題となる．

タに対応することを示して指定法の十分性を検討する．6 章はまとめである．

2. ランクを有するオブジェクトのラベル
データの分類は，分類に用いる属性に基づいて階層的に行われる．例えば，業種という属性では，製造業，輸送機器，四輪データの分類におけるランクに関しては，主に情報検索の分自動車といった分類が行われる．自動車産業において東海地域

野で研究されているが，検索結果の順位付けを目的としたものを取り上げているような複数の属性に関するデータの分類では，が中心であり，ランク付けの正確性や効率性を評価するものが属性ごとに分類した複数の分類階層を組み合わせて利用すれば多い [6] [10] [11]．関連研究の多くは情報検索に重点が置かれ，よいので [3]，本稿は単一属性における分類を想定する．

分析という視点からの検討が行われておらず，ランクが複数で1 件のデータをオブジェクト o，オブジェクトの分類に用いあることや関連性の強弱を用いた精緻な分析が行えない．分類られるラベルを L とする．o が分類に用いられる属性に対して階層のカテゴリに属する関連性の程度をランクとして与えた持つ意味に応じて，o は予め与えられた分類階層において o の意味に対応する最も下位のカテゴリに分類される．o が複数の

C: L(o) に L 以下のラベルを含む．

カテゴリに分類されるとき，ラベル集合が o に付される．ゆえ

D: L(o) に L 以下の主ラベルと副ラベルの両方を含む．

に，o のラベル集合は分類に用いられる属性に対する o の意味

E: L(o) に L 以下の主ラベルを含むが，を表している．

L 以下の副ラベルを含まない．

オブジェクトに複数のカテゴリのラベルを付す際，オブジェ

F : L(o) に L 以下の副ラベルを含むが，クトが持つ意味とカテゴリとの関連性の強さを与えることで詳

L 以下の主ラベルを含まない．
ラベルの概念の上下関係を ≺ とする．ラベル Li と Lj に対細な分類が可能になる．本稿では，オブジェクトのカテゴリに対する関連性の強さを 2 段階の区分を持つランクとして与え，

して，Lj が Li の上位概念のラベルならば，Lj は Li の上位分類されるカテゴリに対して，オブジェクトが主たる関連を有（Li は Lj の下位）であり，Li ≺ Lj である．例えば，2 つのラする場合は主 (Primary) ラベル，副次的な関連を持つ場合は副ベル “輸送機器” と “製造業” に対して，“輸送機器 ≺ 製造業”

(Secondary) ラベルとする．ランクの区分が多いほど関連性のとなる．また，Li と Lj が等しい概念のラベルならば，Li と程度を詳細に表現することが可能になるが，本稿の議論はラン

Lj は同位であり，Lj が Li の上位概念または等しい概念のラベルならば，Lj は Li 以上（Li は Lj 以下）であり，Li ≼ Lj

クの区分を増やした場合にも拡張できる．
ランクが与えられたラベル集合をランク付ラベル集合と呼び，
Rn
1
LR = {LR
1 , · · · , Ln } (R1 , · · · , Rn ∈ {P, S}) で表す．ランクRRで表す．すなわち，≺ は分類階層におけるラベルの半順序関係を示している．

付ラベル集合 L に対して，L の主ラベルで構成されるラベル［定義 1］ A から F の考え方で，ラベル L が記述するオブジェ

集合を P (LR ) = {Li i | Li i ∈ LR , Ri = P }，LR の副ラベルでクト集合は，

R

R

A

i
i
) = {LR| LR∈ LR , Ri = S}iiP
L = {o | ∃LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L}，で表す．オブジェクト o に付されたランク付ラベル集合を L(o)S
L = {o | ∃LSi ∈ S(L(o)), Li ≼ L}，で表し，集合ラベルと呼ぶ．

ii∈ L(o), LR≼ L}，
L = {o | ∃LRiiR

構成されるラベル集合を S(LBC

D［例 1］ 業種という属性の分類階層を用いて，企業に関するP
S= {o | ∃LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L ∧ ∃Lk ∈ S(L(o)),

LLSk ≼ L}，

データを分類した場合を考える．四輪自動車と二輪自動車を主E

PS
L = {o | ∃LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L ∧ ∀Lk ∈ S(L(o)),

業種としている企業のデータ o1 は，2 つの業種の主ラベルが付され，L(o1 ) = { 四輪 P , 二輪 P } となる．一方，四輪自動車をLS
k ̸≼ L}，FS
P
L = {o | ∃LSi ∈ S(L(o)), Li ≼ L ∧ ∀Lk ∈ P (L(o)),

主たる業種とし関連事業として二輪自動車も展開している企業のデータ o2 は，L(o2 ) = { 四輪 P , 二輪 S } となる．

LPk ̸≼ L}

オブジェクトのカテゴリに対する関連性の強さの評価やそれである．
Aに応じたランクの強弱の判断基準が問題となるが，本稿は分類

ラ ベ ル L が 記 述 す る オ ブ ジェク ト 集 合 を L
BS

C

後のオブジェクトの利用を対象としており，集合ラベルは所与Lのものとする．

対して L(o) = P (L(o)) ∪ S(L(o)) なので，L= L とする．Lは，性質 1 より，オブジェクト o にCオブジェクト o の L(o) のラベルは，主ラベルもしくは副ラi= {o | ∃LR
∈
i

P
S
i
L(o), LR≼ L} = {o | ∃LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L ∨ ∃Lk ∈i
C

ベルであり，1 つのラベルが主ラベルかつ副ラベルとなること

S(L(o)), LSk ≼ L} となり，Lはない．また，o は特定の分類階層において分類されているの

義 1 より，Lで，o はいずれかのラベルの意味を主として有していることにである．

なり，L(o) に少なくとも 1 つの主ラベルが存在する．

P

= L ，

D

P

S

E

P

S

P

S

= L ∪ L である．また，定FSP= L ∩ L ，L = L − L ，L = L − L

これまで議論したラベル L によって記述されるオブジェクト［性質 1］ オブジェクト o に対して，L(o) = P (L(o))∪S(L(o))

o は，L と L(o) の関係において，L(o) のいずれかのラベルがである．

L に対して順序があるものと考えてきた．一方，L(o) のすべて

［性質 2］

オブジェクト o とラベル Li に対して，LPi∈ L(o)PS
かつ LS
i ∈ L(o) とはならない (Li ∈ L(o) ならば Li ̸∈ L(o))．

［性質 3］ オブジェクト o に対して，P (L(o)) ̸= ϕ である．

のラベルが L に対して順序があるという考え方もある．

A′ : L(o) のすべての主ラベルは L 以下である．
B ′ : L(o) のすべての副ラベルは L 以下である．

分類後のオブジェクトを分析するには，一般にラベル集合を

C ′ : L(o) のすべてのラベルは L 以下である．

与えて，分析の対象となるオブジェクト集合を指定する．本章

D′ : L(o) に主ラベルと副ラベルの両方を含み，では，ラベル集合の要素が単数の場合を考え，ラベルがどのようなオブジェクト集合を記述するかについて検討する．

それらはすべて L 以下である．

E ′ : L(o) のすべての主ラベルは L 以下であり，

ラベル L が記述するオブジェクト集合を L で表す. オブジェ

すべての副ラベルが L 以下ではない．
′

クト o が L の要素であることは，L に対して同位または下位概

F : L(o) のすべての副ラベルで L 以下であり，念のラベル（L 以下のラベル）が L(o) に含まれることであり，すべての主ラベルが L 以下ではない．

次のような考え方がある．

［定義 2］ A′ から F ′ の考え方で，ラベル L が記述するオブ

A: L(o) に L 以下の主ラベルを含む．

ジェクト集合は，

B: L(o) に L 以下の副ラベルを含む．

A′

L

P
= {o | ∀LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L}，

B′

L

S
= {o | ∀LSi ∈ S(L(o)), Li ≼ L}，

変わる．例えば，“製造業” というラベルに対して，集合ラベルLii= {o | ∀LR∈ L(o), LR
≼ L}，
i
i

に “電気機器” という副ラベルを含んでいても，主ラベルで “輸L= {o | P (L(o)) ̸= ϕ, S(L(o)) ̸= ϕ,

送機器” といった製造業のラベルがあれば，そのオブジェクト

C′
D′

E′

は主な業種として製造業に関連しており，強い関連があるといii∀LR∈ L(o), LR
≼ L}，
i
i

S
P
= {o | ∀LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L ∧ ∀Lk ∈ S(L(o)),

える．よって，L と弱い関連があるオブジェクト集合を指定すLSk ̸≼ L}，′FS
P
L = {o | ∀LSi ∈ S(L(o)), Li ≼ L ∧ ∀Lk ∈ P (L(o)),

る場合は，集合ラベルの主ラベルについて以下の性質を満たす

L必要がある．
［性質 5］ ラベル L に対して弱い関連があるオブジェクト集合LPk ̸≼ L}を指定する際，指定されるオブジェクトの集合ラベルには L 以である．

下の主ラベルは存在しない．

3. ラベルが指定するオブジェクト集合

ラベル L に対して弱い関連があるオブジェクトを指定する
B

本章は，2 章で明らかにしたラベルが記述するオブジェクト

B′

際，L と L

では，集合ラベルに L 以下の副ラベルを含むが集合に対して，分析の対象を指定する上で有用な意味を持つ記L 以下の主ラベルも含まれるオブジェクトについても分析の対述に集約し，それらが分析の対象となるオブジェクト集合を指象となる．よって，L定する上で十分であることを示す．

い関連があるオブジェクト集合を指定する上で有用な意味を持

ラベル L によって記述されるオブジェクト o に対して，L(o)

B

B′

とL

は性質 5 に反するので，L と弱

つ記述とは言えない．

に L 以下の主ラベルがあれば，o は L と強い関連があると考えこれまで，ラベル L とオブジェクト o の関連性について述られる．例えば，“製造業” というラベルを与えたとき，主ラベ

べてきたが，L 以外のラベルと o の関連性，すなわち，L とはルで “輸送機器” や “電気機器” といった下位概念のラベルを含上下関係のない無関係なラベルと o の関連性から解釈すると，

むオブジェクトは，主たる業種として製造業に関連しているので，製造業に対して強い関連がある．
次に，L に対して強い関連がある o における L(o) の副ラベルについて考えると，副ラベルの有無によって関連性の強弱が変わることはない．よって，L に対して強い関連があるオブジェ
クト集合を指定する場合は，集合ラベルの副ラベルについて以X

L (X ∈ {A′ , B ′ , C ′ , D′ , E ′ , F ′ }) には以下の補題が成り立つ．
X［補題 1］ ラベル L に対する L (X ∈ {A′ , B ′ , C ′ , D ′ , E ′ , F ′ })において，L が記述するオブジェクト集合は，L 以外のラベルと o の関係から以下が成り立つ．

A′ : o は L 以外のラベルに強い関連はないが，弱い関連はあってもよい．
′

B : o は L 以外のラベルに弱い関連はないが，下の性質が成り立つ．
［性質 4］ ラベル L に対して強い関連があるオブジェクト集合を指定する際，指定されるオブジェクトの集合ラベルでは L 以
下の副ラベルの有無を問わない．
ラベル L が記述するオブジェクト集合のうち，L と強い関連

強い関連はあってもよい．

C ′ : o は L 以外のラベルに関連がない．
D′ : o は L 以外のラベルに強い関連と弱い関連がない．
E ′ : o は L 以外のラベルに強い関連はないが弱い関連がある．

があるオブジェクト集合の指定を考えると，性質 4 から集合ラ

F ′ : o は L 以外のラベルに弱い関連はないが強い関連がある．

ベルの副ラベルについて条件を設定することは適当ではない．

（証明）

D

L

D′

とL

では，集合ラベルに L 以下の主ラベルが含まれていても L 以下の副ラベルがないようなオブジェクトは分析の対E′E

象外となる．また，L と L

A′

ラベル L に対して，定義 2 より，L′A
P (L(o)), LPi ≼ L} である．ゆえに，L= {o | ∀LPi ∈の要素であるオブジェ

クト o について，L(o) のすべての主ラベルは L 以下なので，oでは，L 以下の主ラベルがあっは L 以外のラベルに対して強い関連がない．また，L(o) の副ても L の副ラベルがあるようなオブジェクトは分析の対象外

ラベルについては定義されていないので，L 以外のラベルに対DD′となる．ゆえに，L ，L

E

E′

，L ，L

は性質 4 に反するので，して弱い関連がある場合がある．よって，L(o) のラベルは L 以

L に対して強い関連があるオブジェクト集合を指定する上で有外のラベルに強い関連はないが弱い関連があってもよいと解釈

用な意味を持つ記述とは言えない．

できる．同様に，L次に，ラベル L に対して弱い関連があるオブジェクト o を考

B′

，L

D′

E′

，L

2 から導ける．

F′，L

についても定義（証明終）える．L(o) に L 以下の主ラベルが含まれず，かつ L 以下の副ラベルが含まれていれば，o は L と弱い関連があると考えられ

C′

，L

B

ラベル L を与えたとき，L

′

F

とL

′

は，L 以外のラベルにる．例えば，“製造業” というラベルを与えたとき，主ラベルは対して弱い関連はないとしながらも強い関連があるようなオブ“情報サービス業” といった製造業ではない業種であり，副ラベ

ジェクトを分析の対象に含めることになり，L 以外のラベルとルで “電気機器” といった製造業に関連するラベルを含むようの関連性について弱い関連を制限しながら強い関連を許すことなオブジェクトは，副次的な業種として製造業に関連しているになる．ゆえに，L 以外のラベルとオブジェクトの関連性を考ので製造業に対して弱い関連がある．

えると，新たに L

L に対して弱い関連がある o における L(o) の主ラベルについて考えると，L 以下の主ラベルが含まれると関連性の強弱がF′が除外される．

これまでの議論の結果，ラベル L が指定するオブジェクト集
合は次の通りである．
［定義 3］ ラベル L が指定するオブジェクト集合は，

α

A

β

A′

γ

C′

P
L (= L ) = {o | ∃LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L}，

ラベル L

P
L (= L ) = {o | ∀LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L}，ii
L (= L ) = {o | ∀LR∈ L(o), LR
≼ L}，
i
i
δ
F
S
S
L (= L ) = {o | ∃Li ∈ S(L(o)), Li ≼ L ∧P∀LPk ∈ P (L(o)), Lk ̸≼ L}，ϵ

L 以外のラベルとの関連性

との関連性

関連無し

強い関連有りαβγ

弱い関連有り

δ

—

—

関連有り

ϵ

—

—

図1

C

i
i
L (= L ) = {o | ∃LR∈ L(o), LR
≼ L}
i
i

関連を許す 強い関連無し

ラベル L/L 以外のラベルとの関連性と順序の対応関係である．

α から ϵ までのラベル L が指定するオブジェクト集合に対応
して，ラベルとランク付ラベル集合の順序を定義すると，ラベを持つ記述に集約することで，ラベル集合が指定するオブジェ
クト集合を示す．
ラベル集合 L = {L1 , · · · , Ln } が記述するオブジェクト集

ルが指定するオブジェクト集合は補題 2 となる．
［定義 4］ ラベル L とランク付ラベル集合 LR に対して，RP
LR ≼α L ⇐⇒ ∃LPi ∈ P (L ), Li ≼ L，

L の各ラベルが順序 ≼X (X ∈ {α, β, γ, δ, ϵ}) で表すオブジェRPLR ≼β L ⇐⇒ ∀LPi ∈ P (L ), Li ≼ L，

X·U

クト集合の和集合を LiiLR ≼γ L ⇐⇒ ∀LR∈ LR , LR
≼ L，
i
i

L

R
S
LR ≼δ L ⇐⇒ ∃LSi ∈ S(L ), Li ≼ L ∧= {o | L(o) ≼X L}(X ∈{α, β, γ, δ, ϵ} である．
定義 3 と 4 より明らか．

X·I{o | L(o) ≼X L}，L
L∈L=

で示す．すなわち，∩L∈L{o | L(o) ≼X

L(o) には，強い関連，弱い関連，強弱を問わない関連の 3 通

である．

（証明）

=

X·I

，積集合を L

ラベル集合 L のラベル L と L が記述するオブジェクト o のiiLR ≼ϵ L ⇐⇒ ∃LR∈ LR , LR
≼L
i
i

X

X·U

∪

L} である.

RP∀LPk ∈ P (L ), Lk ̸≼ L，［補題 2］ ラベル L に対して，L

合は，L 中の各ラベルが記述するオブジェクト集合の和集合(Union) もしくは積集合 (Intersection) の 2 通りが考え得る．

りがある．これより，L のラベルは互いに排他な概念であるとし，関連の種類ごとにラベル集合が指定するオブジェクト集合
を示す．

（証明終）

4. 1 ラベル集合と強い関連があるオブジェクト集合
ラベル集合 L のラベル L に対して強い関連があるオブジェ

これより，補題 2 のラベルが指定するオブジェクト集合について，分析の対象として考えるべきオブジェクト集合に対応す

クトを指定する場合，順序 ≼α ，≼β ，≼γ を用いる．L

るかを検討する．分析の対象となるオブジェクト集合をラベル

L

X·I

と

(X = {α, β, γ}) は，

α·U= {o | ∃L ∈ L, L(o) ≼α L}，

L を用いて指定する場合，オブジェクトが L に対して，強い関

L連，弱い関連，強弱に関わらず関連があるという 3 通りの選択Lが考え得る．また，L 以外のラベルに対しては，L と無関係なL関連を持つオブジェクトを含めるか含めないかの選択があり，L含めない場合には，強い関連がなければよい，弱い関連も含め

Lて関連がないという選択が考え得る．よって，分析の対象となLるオブジェクト集合は，2 つの側面の組合せで指定すればよい．

となる.

β·U

= {o | ∃L ∈ L, L(o) ≼β L}，

γ·U= {o | ∃L ∈ L, L(o) ≼γ L}，

α·I= {o | ∀L ∈ L, L(o) ≼α L}，

β·I= {o | ∀L ∈ L, L(o) ≼β L}，

γ·I= {o | ∀L ∈ L, L(o) ≼γ L}

これより，ラベル集合 L に対する L

ただし，L に弱い関連があるオブジェクト集合を指定する場合，

X·U

X·U

X·I

とL

によって記

オブジェクトは性質 3 より L とは上下関係のない主ラベルを述されるオブジェクト集合が有用な意味を有するかについて検含む，すなわち，オブジェクトは L 以外のラベルに強い関連が

討する．
β·I

ラベル集合 L に対する Lあるため，L 以外のラベルに強い関連がない指定や関連がないの要素であるオブジェクト o は，指定は対象となるオブジェクトが存在しない．また，L に関連

定義 4 の順序 ≼β の定義より，P (L(o)) のすべてのラベルが Lがあるオブジェクト集合を指定する場合，L と弱い関連があるのすべてのラベルに対して順序を有しなければならないが，L

オブジェクトが指定されれば対象となるオブジェクトが存在せのラベルは互いに排他な概念なのでそのような o は存在せず，ず，L と強い関連があるオブジェクトであれば強い関連がある

L

β·I
β·I

= ϕ である．L
γ·IとL= ϕ についても同様である．よって，は対象となるオブジェクトが存在しないため意味

場合の指定と同じ対象となるので，新たに意味を持つ指定とは

L

ならない．

をなさない．

分析の対象として考えるべきオブジェクト集合に対して，定γ·I

また，ラベル集合 L に対する L

β·Uでは，順序 ≼β の定義か

義 4 の順序を用いてラベル L が指定するオブジェクト集合は図ら，L のいずれかのラベルに対して P (L(o)) のすべてのラベル

1 のように対応している．よって，L を用いてオブジェクト集

が順序を有するが，L のラベルは互いに排他な概念なので，L合を指定する際，補題 2 で示した指定で十分である．

のラベル Li , Lj (i ̸= j) に対して，Li
すなわち，L

4. ラベル集合が指定するオブジェクト集合

β·U

分析の対象となるオブジェクト集合を指定する上で有用な意味

∩ Lj

β·U

= ϕ となる．

は，L の各ラベルで指定されるオブジェクト集

合の直和になるので，L の各ラベルを単独に扱えばよく，L
γ·U

本章は，ラベル集合が記述するオブジェクト集合を導出し，β·Uは考慮する必要はない．L

γ·Uについても同様に，L

β·U

はLの

各ラベルで指定されるオブジェクト集合の直和になるので考慮P∀LPk ∈ P (L(o)), ∀L ∈ L, Lk ̸≼ L}

する必要はない．
α·U= {o |

これまでは，例えば，ラベル集合 L に対する L

である.
δ·U

∃L ∈ L, L(o) ≼α L} についていえば，定義 4 の順序 ≼α を展
α·UP= {o | ∃L ∈ L, ∃LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L} とな

開すると L

ラベル集合 L に対して，定義 4 の順序 ≼δ を L
δ·U

ると，L

に適用す

S
P
= {o | ∃L ∈ L, (∃LSi ∈ S(L(o)), Li ≼ L ∧ ∀Lk ∈
U ·δ

U ·δ

り，L のラベルから集合ラベルのラベルを比較してきた．一方，P (L(o)), LPk ̸≼ L)} と展開でき，L

集合ラベルのラベルから先に比較する考え方もあり，次のようはLに拡張できる．

に意味を持つ記述ではないため考慮する必要はない．

U ·δ

δ·U

と同じオブジェクト集合である．よって，LI·δ

ラベル集合 L に対して，

ラベル集合 L に対する L

排他な概念なので，L(o) のある 1 つラベルが L のすべてのラU ·βP= {o | ∀LPi ∈ P (L(o)), ∃L∈ L, Li ≼ L}，

ベルに対して順序があるようなオブジェクト o は存在しないたii= {o | ∀LR∈ L(o), ∃L ∈ L, LR
≼ L}，
i
i

め，L

U ·γ

L

I·δ

I·α

P
= {o | ∃LPi ∈ P (L(o)), ∀L ∈ L, Li ≼ L}，

I·β

P= {o | ∀LPi ∈ P (L(o)), ∀L ∈ L, Li ≼ L}，

I·γ

i
i
= {o | ∀LR∈ L(o), ∀L ∈ L, LR
≼ L}
i
i

L
L
L

(X)·(Y )(δ·U )·(δ·I)

ては，L

U ·α

る．ラベル集合 L に対して，L
α·U

L, LP
i ≼ L} と L

δ·I

=L

は意味をなさない．

(X = δ · U, Y = δ · I) についなので，新たにオブジェクト集合を指

δ·U

U ·α

よって，L

= {o | ∃LPi ∈ P (L(o)), ∃L ∈ϵ·U

する場合，順序 ≼ϵ を用いる．L

I·α

ϵ·U

= {o | ∃L ∈ L, L(o) ≼ϵ L}，

ϵ·I= {o | ∀L ∈ L, L(o) ≼ϵ L}

L
Lにおいて，L のラベルは互いに排他な概念なので，L(o) のある 1 つラベルが L のすべてのラI·β= ϕ である．同様に，L

I·γ

=ϕとL

適用すると，U ·ϵii= {o | ∃LR∈ L(o), ∃L ∈ L, LR
≼ L}，
i
i

L

I·ϵ

= ϕ である．

よって，これらの記述も有用な意味を持たない．

ii= {o | ∃LR∈ L(o), ∀L ∈ L, LR
≼ L}
i
i

L

である．
ϵ·U

ラベル集合 L に対して，順序 ≼ϵ を L

次に，これまでの議論で有用な意味を持つラベル集合 L に対Xする L (X ∈ {α · U, α · I, U · β, U · γ}) について，それらで記

L

ϵ·U
U ·ϵ

= {o | ∃L ∈i
L, ∃LRi

述されるオブジェクト集合の組合せを考えることで，オブジェL

クト集合を指定する上で他に必要な記述がないかを検討する．

ト集合である．よって，LY= L ∩L(X, Y ∈ {α · U, α · I, U · β, U · γ}) とする．

(X)·(Y )X = α · U のとき L(α·I)·(U ·β)

X= L となり，X = U · β, Y = U · γ

Y= L となって新たな記述は生じない．よって，(α·I)·(U ·γ)とL

のみがオブジェクト集合を指定する

α·U

オブジェクト集合は，L

U ·ϵ

α·I

，L

U ·β

，L

U ·γ

，L

(α·I)·(U ·β)

，L

，

である．

はL

に適用すると，

L} と展開でき，と同じオブジェクは新たに意味を持つ記述ではないため考慮する必要はない．
ラベル集合 L に対する L

I·ϵにおいて，L のラベルは互いに排他な概念なので，L(o) のある 1 つラベルが L のすべてのラベルに対して順序があるようなオブジェクト o は存在しないため，L［定義 5］ ラ ベ ル 集 合 L が 指 定 す る L と 強 い 関 連 が あ る∈

iL(o), LR
≼
i
U ·ϵ
ϵ·U

の定義と同義になるので，LI·ϵ上で必要な記述である．

(α·I)·(U ·γ)

は，集合ラベルのラベルから先にラベル集合と比較する考え方をベルに対して順序があるようなオブジェクト o は存在しないた(X)·(Y )

ϵ·I

とL

となる．

ラベル集合 L に対する L

のとき L

である．

ラベル集合 L のラベル L に対して関連があるオブジェクト

は新たな意味を持つような記述ではないため考XとL

4. 3 ラベル集合と関連があるオブジェクト集合P= {o | ∃L ∈ L, ∃LPi ∈ P (L(o)), Li ≼ L}

慮する必要はない．

δ·Iるオブジェクト集合は，L先に比較しても同じオブジェクト集合を記述することになる．

(X)·(Y )Y∩L

定する上で必要な記述はない．

は，ラベル集合のラベルと集合ラベルのラベルをどちらから

I·α

X

=L

I·δ

［定義 6］ ラベル集合 L が指定する L に対して弱い関連があ

これより，拡張した記述が有用な意味を持つかについて検討すめ，L= ϕ である．よって，L

最後に，L

とする．

L

において，L のラベルは互いにP= {o | ∃LPi ∈ P (L(o)), ∃L ∈ L, Li ≼ L}，

L

L

は新た

U ·α

L

L

と同一になるので，LI·ϵ= ϕ である．よって，L(X)·(Y )最後に，L(ϵ·U )·(ϵ·I)

ては L

=L
ϵ·I

=L

X

Y

∩L

は意味をなさない．

(X = ϵ · U, Y = ϵ · I) についなので，新たにオブジェクト集合を指定する上で必要な記述はない．

4. 2 ラベル集合と弱い関連があるオブジェクト集合［定義 7］ ラベル集合 L が指定する L に対して関連があるオ

ラベル集合 L のラベル L に対して弱い関連があるオブジェ

ブジェクト集合は，Lδ·U

クトを指定する場合，順序 ≼δ を用いる．Lδ·U= {o | ∃L ∈ L, L(o) ≼δ L}，

δ·I= {o | ∀L ∈ L, L(o) ≼δ L}

L
L

δ·I

とL

は，

となる．
集合ラベルのラベルから先にラベル集合と比較する考え方を適用すると，U ·δLS= {o | ∃L ∈ L, (∃LSi ∈ S(L(o)), Li ≼ L ∧P∀LPk ∈ P (L(o)), Lk ̸≼ L)}，I·δS
L = {o | ∃Li ∈ S(L(o)), ∀L ∈ L, LS
i ≼ L∧

ϵ·U

とL

ϵ·I

である．

4. 4 ラベル集合が指定するオブジェクト集合と順序
これまでに明らかにしたラベル集合が指定するオブジェクト
集合は，定義 5，6，7 であり，それらは順序を用いて表してきた．これより，分析の対象として考えるべきオブジェクト集合の指定を考え，順序を用いて表したオブジェクト集合との対応関係について検討する．
ラベル集合 L を用いて分析の対象となるオブジェクト集合を指定する場合，L のいずれかのラベルに対して強い関連，弱い関連，関連があるという選択があり，L 以外のラベルに対し

L2 :{L1 , L2 }ては，無関係な関連を持つオブジェクトを含める，強い関連は

A
AAU

≼RN

含めない，関連があれば含めないという選択が考え得る．L のすべてのラベルに対しても同様である．これらの考え方に対して，順序を用いて表したオブジェクト集合との対応関係は図 2

L2 :{L1 , L2 }≼RU

A A
AAU AAU

L1 :{L1 , L2 }L1 :{L1 , L2 , L3 }L2 :{L1 , L2 , L3 }L2 :{L1 , L2 }となる．
L のいずれかのラベル集合 L 以外のラベルとの関連性

ラベルとの関連性 関連を許す 強い関連無し

≼RL

関連無し

強い関連有り

α·U

U ·β

U ·γ

弱い関連有り

δ·U

—

—

関連有り

ϵ·U

—

—

A A
AAU AAU?

≼RB

L1 :{L1 , L2 , L3 }? ?

L1 :{L1 , L2 }

図 3 ラベル集合の順序(a)
L のすべてのト集合を指定する場合，まず，L のいずれかのラベルに対して

ラベル L 以外のラベルとの関連性

ラベルとの関連性 関連を許す

強い関連無し関連があるという選択がある．この場合，L のいずれかのラベ

関連無し

強い関連有りα·I(α · I) · (U · β) (α · I) · (U · γ)

弱い関連有りδ·I——が成り立つので，順序 ≼RN が対応する．一方，L のすべての

関連有り

ϵ·I

—

—

ラベルに対して関連があるという選択をした場合，L のすべてルに対して L(o) のいずれかのラベルで関連があるという関係のラベルに対して L(o) のいずれかのラベルで関連があるとい(b)う関係が成り立つので，順序 ≼RU が対応する．
次に，ラベル集合 L 以外のラベルとの関連性について検討す

図 2 ラベル集合 L/L 以外のラベルとの関連性と順序の対応関係

ると，L 以外のラベルに関連がないオブジェクト集合を指定するという選択をした場合，L(o) に L と無関係なラベルが含ま

5. ラベル集合の順序を用いた指定れてはならない．よって，L(o) のすべてのラベルに対して L の本章は，ラベル集合が指定するオブジェクト集合は，ラベル集合の順序を新たに用いることで平易に表せることを示す．その上で，その他に必要な指定を議論し，ラベル集合を用いたオ
ブジェクト集合の指定法の十分性を検討する．

まれず，かつ L のすべてのラベルに対して関連があるオブジェ
クト集合を指定する場合には，順序 ≼RL と ≼RU の両方が成り
オブジェクト o がラベル集合 L に対して，強い関連であれば［定義 8］ ラベル集合 L1 と L2 に対して，

P (L(o)) と L，弱い関連であれば S(L(o)) と L，強弱を意識し

L1 ≼RN L2 ⇐⇒ ∃L1 ∈ L1 , ∃L2 ∈ L2 , L1 ≼ L2 ，ない関連であれば L(o) と L の関係について，ラベル集合の順

L1 ≼RU L2 ⇐⇒ ∀L2 ∈ L2 , ∃L1 ∈ L1 , L1 ≼ L2 ，序を適用していくことで関連性の種類に応じた指定ができる．

L1 ≼RL L2 ⇐⇒ ∀L1 ∈ L1 , ∃L2 ∈ L2 , L1 ≼ L2 ，よって，これまでに明らかにした定義 5，6，7 で示したラベル

L1 ≼RB L2 ⇐⇒ ∀L2 ∈ L2 , ∃L1 ∈ L1 , L1 ≼ L2 ∧集合が指定するオブジェクト集合は，ラベル集合の順序を用い∀L1 ∈ L1 , ∃L2 ∈ L2 , L1 ≼ L2

て表せる．

である．

≼X

序 ≼RL が対応する．最後に，L(o) に L と無関係なラベルが含立つ必要があるので，順序 ≼RB が対応する．

ラベル集合の順序を次のように定義する [5]．

ラ ベ ル 集 合 L1 と L2 に 対 し て ，L1

いずれかのラベルで関連があるという関係が成り立つので，順

L2 (X

∈

{RN, RU, RL, RB}) とする．順序 ≼RN では，L2 のいずれかのラベルに対して L1 のいずれかのラベルで順序があると考える．次に，順序 ≼RU では，L2 のすべてのラベルに対して

L1 のいずれかのラベルで順序があると考えるものであり，上位となるラベル集合に対してすべてのラベルで順序があるという制限を設けている．反対に，順序 ≼RL は，L1 のすべてのラベルに対して L2 のいずれかのラベルで順序があると考えるものであり，下位となるラベル集合に対してすべてのラベルで順［補題 3］ ラベル集合 L に対して，

L が指定する L と強い関連があるオブジェクト集合は，
α·U= {o | P (L(o)) ≼RN L}，

α·I= {o | P (L(o)) ≼RU L}，

U ·β= {o | P (L(o)) ≼RL L}，

U ·γ= {o | L(o) ≼RL L}，

L
L
L
L

(α·I)·(U ·β)

L= {o | P (L(o)) ≼RU L ∧ P (L(o)) ≼RL L}(= {o | P (L(o)) ≼RB L})，(α·I)·(U ·γ)

L= {o | P (L(o)) ≼RU L ∧ L(o) ≼RL L}，

序があるという制限を設けている．最後に，順序 ≼RB は，順

L が指定する L と弱い関連があるオブジェクト集合は，

序 ≼RU と順序 ≼RL の両方の考え方を組合せたものであり，上L位と下位の両方のラベル集合に対してすべてのラベルで順序が

δ·U= {o | ∃L ∈ L, (S(L(o)) ≼RN L ∧ P (L(o)) ̸≼RN L)}，δ·I

= {o | S(L(o)) ≼RU L ∧ P (L(o)) ̸≼RN L}，

L

あるという制限を設けている．図 3 は，定義 8 の例である．
ラベル集合 L によって指定されるオブジェクト o に対して，

L と L(o) の関係について考える．L と関連があるオブジェク

L が指定する L と関連があるオブジェクト集合は，
ϵ·UL= {o | L(o) ≼RN L}，

ϵ·I

L

ありかつ L 以外のラベルに強い関連がないもしくは関連がな= {o | L(o) ≼RU L}

いオブジェクト集合について考える．L に弱い関連があるオブ

である．
U ·α

（証明）

= {o | ∃LPi ∈ラ ベ ル 集 合 L に 対 し て ，LP (L(o)), ∃L ∈ L, LP
i ≼ L} である．ここで，定義 8 より，∃L1 ∈ L1 , ∃L2 ∈ L2 , L1 ≼ L2 ⇐⇒ L1 ≼RN L2 なので，P∃LPi ∈ P (L(o)), ∃L ∈ L, Li ≼ L ⇐⇒ P (L(o)) ≼RN L とな
α·U

= {o | P (L(o)) ≼RN L} が成り立つ．定義 5 におけり，Lるその他に L が指定するオブジェクト集合や，定義 6，7 において L が指定するオブジェクト集合についても，定義 8 を適用することで同様に成り立つ．

（証明終）

=L
L =L

U ·γ

δ·U

(= {o | P (L(o)) ≼RB L})，L=L(= {o | L(o) ≼RB L})，

L =L

ϵ·I

=L

は {o | (L(o) ≼RU L) ∧ (P (L(o)) ≼RL L)}，は {o | (L(o) ≼RU L) ∧ (L(o) ≼RL L)} =これまでの議論の結果，ラベル集合 L が指定するオブジェク(= {o | ∃L ∈ L, (S(L(o)) ≼RN L ∧ト集合は，補題 3 に定義 9 と 10 を加えた定理 1 である．
［定理 1］ ラベル集合 L に対して，L が指定する L と強い関連(= {o | S(L(o)) ≼RU L ∧ P (L(o)) ̸≼RN L})，ϵ·U

ϵ(ϵ·I)·(U ·γ){L(o) ≼RB L} である．

P (L(o)) ̸≼RN L)})
δ·I

ありかつ L1 以外のラベルに関連がないオブジェクトについて

合の L(= {o | L(o) ≼RL L})=Lδ

L(o3 ) = { 四輪自動車 P , 民生用電気機器 P , 農業用器具 S } の(ϵ·I)·(U ·β)(= {o | P (L(o)) ≼RL L})(α·I)·(U ·γ)

L =L

は存在する．例えば，L1 = { 輸送機器 , 電気機器 } に対して，［定義 10］ ラベル集合 L に対して関連があるオブジェクト集(α·I)·(U ·β)γ連がありかつ L 以外のラベルに強い関連がないオブジェクト(= {o | P (L(o)) ≼RU L})，

=L

L =L

最後に，図 2 (b) において，L のすべてのラベルに対して関が該当する．

U ·β

β在しないので考慮する必要はない．

(= {o | P (L(o)) ≼RN L})

L =L

α·I

連がない指定や関連がない指定は対象となるオブジェクトが存

も，L(o4 ) = { 四輪自動車 P , 民生用電気機器 P } のような o4

題 3 は補題 2 に対応する．
α·U

以外のラベルに強い関連があるため，L 以外のラベルに強い関ような o3 である．また，L1 のすべてのラベルに対して関連がラベル集合 L が単数のラベル L で構成される場合には，補α

ジェクト集合を指定する場合，オブジェクトは性質 3 より，Lがあるオブジェクト集合は，(= {o | L(o) ≼RN L})

α·U= {o | P (L(o)) ≼RN L}，

α·I= {o | P (L(o)) ≼RU L}，

U ·β= {o | P (L(o)) ≼RL L}，

U ·γ= {o | L(o) ≼RL L}，

L(= {o | L(o) ≼RU L})

L
L

である．
ラベル集合 L が単数のラベルで構成される場合，図 1 で示しL(α·I)·(U ·β)= {o | P (L(o)) ≼RB L})，(α·I)·(U ·γ)= {o | P (L(o)) ≼RU L ∧ L(o) ≼RL L}，

たように，オブジェクトに対するラベル L との関連性と L 以

L

外のラベルとの関連性の組合せによっては，オブジェクトが存L

在しないなど意味を持たない指定になる．一方，L が 2 つ以上のラベルで構成される場合は，図 2 (a) において，L のいずれかのラベルに対して弱い関連がありかつ L 以外のラベルに強い関連がないようなオブジェクトは存在する．例えば，L1 = { 輸送機器 , 電気機器 } に対して，L(o1 ) = { 四輪自動車 P , 民生用
電気機器 S , 農業用器具 S } のような o1 である．また，L1 のい
ずれかのラベルに対して弱い関連がありかつ L1 以外のラベル

L が指定する L と弱い関連があるオブジェクト集合は，
δ·U= {o | ∃L ∈ L, (S(L(o)) ≼RN L ∧ P (L(o)) ̸≼RN L)}，δ·I

= {o | S(L(o)) ≼RU L ∧ P (L(o)) ̸≼RN L}，

L
L(δ·U )·(U ·β)= {o | (∃L ∈ L, (S(L(o)) ≼RN L ∧(δ·U )·(U ·γ)= {o | (∃L ∈ L, (S(L(o)) ≼RN L ∧L

P (L(o)) ̸≼RN L)) ∧ (P (L(o)) ≼RL L)}，LP (L(o)) ̸≼RN L)) ∧ (L(o) ≼RL L)}，に関連がないようなオブジェクトについても，L(o2 ) = { 四輪自動車 P , 民生用電気機器 S } のような o2 が該当する．

L が指定する L と関連があるオブジェクト集合は，［定義 9］ ラベル 集 合 L に対し て 弱い関連があるオブジェL(δ·U )·(U ·β)

は {o | (∃L ∈ L, (S(L(o)) ≼RN

クト集合の L(δ·U )·(U ·γ)

L∧P (L(o)) ̸≼RN L))∧(P (L(o)) ≼RL L)}，L

ϵ·U= {o | L(o) ≼RN L}，

ϵ·I= {o | L(o) ≼RU L}，

L

は {o |

L(∃L ∈ L, (S(L(o)) ≼RN L ∧ P (L(o)) ̸≼RN L)) ∧ (L(o) ≼RLLL)} である．

(ϵ·I)·(U ·β)= {o | (L(o) ≼RU L) ∧ (P (L(o)) ≼RL L)}，(ϵ·I)·(U ·γ)= {L(o) ≼RB L}である．

図 2 (a) に お い て ，L の い ず れ か の ラ ベ ル に 対 し て 関連がありかつ L 以外のラベルに強い関連がないもしくは関 連 が な い オ ブ ジェク ト 集 合 に つ い て 考 え る ．そ れ ぞ れ ，(ϵ·U )·(U ·β)

U ·β

ϵ·U

∩L

ϵ·U

∩L

(ϵ·U )·(U ·γ)

U ·γ

∩L

補題 3，定義 9，10 より明らか．

（証明終）

図 4 は，分析の対象として考えるべきオブジェクト集合にラとベル集合の順序を用いて表したオブジェクト集合が対応していでることを示している．すなわち，定理 1 のラベル集合の順序をあって，L のいずれかのラベルに対して強い関連がある指定と用いて表したオブジェクト集合は分析の対象として考えるべき同義になり，新たな意味を持たない．

オブジェクト集合に対応するため，ラベル集合を用いて分析のL= L

定義されるが，L

U ·β

とL

ϵ·U

（証明）

=L

U ·β

，L

ϵ·U

= L

U ·γ

∩L

U ·γ

=L

図 2 (b) において，L のすべてのラベルに対して弱い関連が対象となるオブジェクト集合を指定する際，定理 1 の指定法で十分である．

いった包含関係のある場合や製造業に対して強い関連と弱い関連を同時に持つような場合についても考慮していく必要がある．

L のいずれかのラベル集合 L 以外のラベルとの関連性

ラベルとの関連性 関連を許す

強い関連無し関連無し

強い関連有りRN (P )

RL(P )

RL(P S)

弱い関連有りRN (S)∗RN (S)∗ · RL(P )RN (S)∗ · RL(P S)

関連有り

RN (P S)——(a)
L のすべてのラベル集合 L 以外のラベルとの関連性

ラベルとの関連性 関連を許す

強い関連無し関連無し
RU (P ) · RL(P S)

強い関連有りRU (P )

RB(P )

弱い関連有りRU (S)∗

—

—

関連有り

RU (P S)RU (P S) · RL(P )RB(P S)(b)
注 1:順序の後の (P )，(S)，(P S) については，指定されるオブジェク
ト o の P (L(o))，S(L(o))，L(o) に対して順序を比較することを意味している．
注 2:RN (S)∗ と RU (S)∗ については，オブジェクト o の P (L(o)) に対して，定理 1 で示したように順序を比較する必要がある．
図4

ラベル集合によるオブジェクト集合の指定と順序の対応関係

6. お わ り に
本稿は，ラベル集合と集合ラベルの関係を議論し，分析の対象となるオブジェクト集合の指定法を明らかにした．分析の対象となるオブジェクト集合をラベル集合 L を用いて指定する場
合，L のいずれかもしくはすべてのラベルを対象にするかという選択，関連性の種類には，強い関連，弱い関連，強弱に関わらず関連があるという選択，さらに，L 以外のラベルに対して，
無関係な関連を持つオブジェクトを含める，強い関連は含めな
い，関連があれば含めないという選択という 3 つの選択の組合
せでオブジェクト集合を指定すればよい．ただし，L のすべてのラベルに対して弱い関連を設定した場合，L 以外のラベルに対して強い関連を持たないオブジェクトは存在しないといったように，すべての組合せの指定が有意になるわけではない．
これらの考え方に対応するオブジェクト集合は，ラベル集合の順序 ≼RN ，≼RU ，≼RL ，≼RB を用いて平易に表すことができる．また，ラベル集合の順序を用いて表したオブジェクト集
合は分析の対象として考えるべきオブジェクト集合に対応する
ので，本稿の指定法はランク付集合ラベルのオブジェクト集合を分析に供する際に十分といえる．
本稿では，ラベル集合とオブジェクトの集合ラベルの比較に同じ順序を用いており，同じ関連性で指定を考えてきた．一方，異なる関連性を反映させて分析の対象となるオブジェクト集合を指定することもある．例えば，輸送機器に対しては強い関連を，電気機器に対しては弱い関連を持つオブジェクト集合を指定する場合である．さらに，本稿ではラベル集合の要素は互いに排他な概念を持つ一般的な指定を想定したが，詳細な分析を行うためには，例えば，製造業全体と輸送機器を比較すると

今後は，こうした課題に本稿の理論的枠組みを拡張していくことで，より高度な指定法を検討していく予定である．
文

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