（令和 6 年度前期日程）

物理120

注意事分項

1．試験開始の合図までこの冊子を開かないこと。
2．問題冊子は 20 ページ，答案用紙は 3 ページである。
3．各答案用紙の上の枠内には，受験番号を記入し，下の枠内には，受験番号の下 2 桁の数字を忘れずに記入すること。
4．解答はすべて各答案用紙の所定欄に明瞭に記入すること。
5．各答案用紙の中で導出過程欄のある設問については，答に加えて導出過程を必ず記入すること。必要があれば，図を用いてもよい。
6．問題冊子および答案用紙は切りはなさないこと。
7．答案用紙に記入する受験番号の数字の字体は，下記の例にならい，明瞭に記入すること。

試験問題は，つぎのページより始まります。

1（50 点）図 1 のような，一辺の長さが l の立方体である 4 つのブロック A，A' ，B 1，B 2 のうちいくつかと，質量の無視できる伸び縮みしない糸を用いて実験を行う。
A と A' は質量の無視できる立方体の一辺の中点に質量 m の小球が取り付けられたものである。A はすべての面が滑らかであるのに対して，A' は小球に接する 2 つの面の片方が滑らかではない。B 1 と B 2 はいずれも質量 m' の均質な立方体である。重力加速度の大きさを g とする。必要であれば以下の公式を用いてよい。
sin（2i）= 2 sin i cos icos（2i）= cos 2 i - sin 2 il

滑らかでない面l

質量 m の小球

質量 m の小球A'Allm'm'

B1B2
図11

〔Ａ〕 図 2 のように，水平な床の上に B 1 と B 2 を間隔 l をあけて置き，互いにたるみなく糸で水平につないだ。B 1 と B 2 の上に，小球を下にした A を左右対称になるように静かに置いた。図 2 において 3 つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また，糸は 3 つのブロックの中心を含む鉛直面内にある。ブロックどうし及びブロックと床の間に摩擦ははたらかない。B 1 と B 2はいずれも傾くことはないとして，以下の問いに答えよ。

gA

小球

B1B2Tl
図2

糸の張力の大きさ T を求めよ。

⒜

糸を静かに切ると，B 1 と B 2 の間隔が広がっていくとともに，A が向きを保ったまま下がっていき，B 1 と B 2 の間隔が2 l を超えたところで A は B 1と B 2 から離れて落下した。運動中，切断された糸はブロックの運動を妨げないものとする。

⒝

糸を切ったときから，A が B 1 と B 2 から離れるまでの間の A の移動距離を求めよ。

⒞

A が床に接触する直前の A の速さ vA と B 1 の速さ v B を，g，l，m，m'を用いて表せ。
2〔Ｂ〕 図 3 のように，水平な床の上に B 1 と B 2 を間隔 l をあけて置き，互いにたるみなく糸で水平につないだ。B 1 と B 2 の上に，小球を下にして滑らかでない面が B 2 の辺に接するように A' を傾けて静かに置いた。図 3 において
3 つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また，糸は 3 つのブロックの中心を含む鉛直面内にある。この鉛直面による A' の断面において，初めに A' が置かれたときに小球を含む対角線と鉛直線のなす角を i 0 とする。
ri0 1の場合のみを考える。図 3 のように小球が B 1 よりも B 2 に近いと4き，i 0 は正とする。i 0 がある範囲内 i 0 E i max にあるとき，A' は静止し続け， i 0 2 i max である場合には A' は滑って向きを変化させた。A' と B 2 の間の静止摩擦係数は n であり，床と B 1，床と B 2，B 1 と A' の間には摩擦ははたらかない。B 1 と B 2 はいずれも傾くことはないとして，以下の問いに答えよ。

i0gr
- i04

A'nB1小球l
図33

滑らかでない面r+ i04B2⒟i 0 E i max のとき，A' が B 2 に及ぼす垂直抗力の大きさ N 2 を，g，m，i 0 を用いて表せ。

i 0 E i max のとき，A' が B 1 に及ぼす垂直抗力の大きさ N 1 を，i 0，N 2⒠を用いて表せ。

i 0 E i max のとき，B 2 が A' に及ぼす摩擦力の大きさ F を，g，m，i 0⒡を用いて表せ。

⒢

n を i max を用いて表せ。

4〔Ｃ〕 図 4 のように，水平な床の上に B 1 と B 2 を間隔 l をあけて置き，互いにたるみなく糸で水平につないだ。加えて，B 2 と壁を糸でたるみなく水平につなぎ，B 1 は滑らかな滑車を通して質量 M のおもりと糸でつないだ。滑車と B 1 の間の糸は水平である。小球を下にした A を B 1 と B 2 の上に傾けて置き，静かに放す。M が十分大きく，B 1 と B 2 がいずれも静止したままである
場合には，小球は床からの高さ l の点 P を中心として単振り子と同じ運動をする。図 4 において 3 つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また，点 P 及びすべての糸は 3 つのブロックの中心を含む鉛直面内にある。
この鉛直面による A の断面において，小球を含む対角線と鉛直線のなす角を i とする。図 4 のように小球が B 1 よりも B 2 に近いとき，i は正とする。
点 P と小球を通る直線と鉛直線のなす角は 2i である。ブロックどうし及びブロックと床の間に摩擦ははたらかない。B 1 と B 2 はいずれも傾くことはなrいとする。初めに A が置かれたときの i を i 0 とし， i 0 1の場合のみ4を考える。以下の問いに答えよ。

igr-i4

A
P
2iB1
滑車

小球T'lM
図45r+i4
壁B2T''

まず，M が十分大きく，A の運動中，B 1 と B 2 がいずれも静止したままである場合を考える。

⒣ 単振り子と同じ運動をする小球の速さ v を，g，l，i，i 0 を用いて表せ。
また，B 1 が A に及ぼす力と B 2 が A に及ぼす力の合力の大きさ G を，g，m，i，i 0 を用いて表せ。

⒤

B 1 と B 2 をつなぐ糸の張力の大きさ T' ，及び B 2 と壁をつなぐ糸の張力の大きさ T'' を，G，g，M，i を用いて表せ。

次に，いろいろな質量 M のおもりを用いて実験すると，M がある値 M minr
よりも大きい場合には運動開始時の角 i 0 を i 0 1の範囲でどのように4選んでも B 1 と B 2 は動かないが，M min よりも小さい場合には i 0 の値によっては A の運動中 B 1 と B 2 の両方またはいずれかが動いた。

⒥

M min を m を用いて表せ。

6

（下書き7用紙）

（下書き8用紙）

2（50 点）図 1 の よ う に， 長 さ r の 導 線 ab，cd と 長 さ l の 導 線 bc を 直 角 に つ な い で作ったコの字形の導線 X を，水平に固定された直線状の導線 Y につり下げて作った長方形の回路 abcd を考える。Y の区間 ad の一部は電池，抵抗器，コイル，スイッチで作った装置 Z で置き換えることができ，Y の両端は絶縁されている。X は Y を軸に滑らかに回転できるが，平行移動や変形をしないものとする。なお，Y と Z は動かない。ab，cd の質量は無視でき，bc の質量は m であり，重力加速度の大きさを g とする。また，磁束密度の大きさが B である鉛直上向きの磁場が一様に存在している。導線の太さと電気抵抗，コイル以外の自己インダクタンス，電池の内部抵抗，空気抵抗はすべて無視できるものとする。
回路を流れる電流の正の向きを a → b → c → d と定める。また，a を通る鉛直方向の直線と ab がなす角を i とし，a から b に向かう向きが鉛直下向きのときに i = 0 であり，a → b → c → d の向きに回る右ねじが進む向きを i の正の向きと定める。さらに，X の角速度を ~ とし，微小な時間 Dt の間に i が Di だけ変Diである。
化するとき，~ =DtYdB

Zarlimgb
図19cX

〔Ａ〕 図 2 のように，電圧 V の電池，抵抗値 R の抵抗器，スイッチ S を使ってZ を作り，ad の一部を置き換える。スイッチを p 側に入れると抵抗器のみを通して，q 側に入れると抵抗器と電池を通して回路が閉じる。電池は正の向きに電流を流そうとする向きに設置されている。以下の問いに答えよ。
ZpRaSdYqVcbIX

図2rの位置まで2bc をゆっくり持ち上げた。回路に電流が流れていないことを確認してか⒜ まずスイッチを p 側に入れ，X が水平になるように i =ら bc を静かに放したところ，X は Y を軸に運動をした。ある時刻において回路を流れる電流 I を，r，l，B，R，i，~ のうち必要な記号を用いて表せ。
問 ⒜ において ab，bc，cd が磁場から受ける力の大きさ F ab，F bc，F cd⒝を，それぞれ r，l，B， I ， i のうち必要な記号を用いて表せ。
⒞

十分に長い時間が経つと，i = 0 の位置で X は静止した。bc を放してから i = 0 の位置で X が静止するまでの間に抵抗で発生したジュール熱
Q を，r，l，m，g，B，R のうち必要な記号を用いて表せ。
i = 0 の位置で X が静止した状態でスイッチを q 側に入れたところ，X⒟は Y を軸に運動をし，十分に長い時間が経つと i = i 1 の位置で X は静止した。このとき tan i 1 を，r，l，m，g，B，V，R のうち必要な記号を用いて表せ。
10

〔Ｂ〕 図 3 のように，自己インダクタンス L のコイルとスイッチ S を使って Zを作り，ad の一部を置き換える。スイッチを入れるとコイルを通して回路rの位置が閉じる。スイッチを切った状態で X が水平になるように i =2まで bc をゆっくり持ち上げた。その後，スイッチを入れてから bc を静かrに放したところ，X は Y を軸に i = i 2 との間を往復する周期的な運動2をした。以下の問いに答えよ。
ZLadY

ScbXI
図3i = i 2 となる瞬間に回路を流れる電流 I 2 の大きさをエネルギー保存則⒠から求め，r，l，m，g，L，i 2 のうち必要な記号を用いて表せ。
⒡

以下の文章中の空欄
だし，〜にあてはまる数式または数値を答えよ。たは r，l，B，L，i，Di，〜は r，l，B，L のうち必要な記号を用いて表せ。
ある時刻から微小な時間 Dt の間に i が Di だけ変化するとき，電流 I の変化 DI は DI =と求まる。i が Di だけ変化するときの sin i の変化は Di cos i であることを用いると，I の変化と# sin i の変化は等しいことがわかる。よって，両者の差である C = I #r
sin i は 時 刻 に よ ら な い 定 数 と な る。 特 に i =のとき I =2で あ る こ と か ら，C =と 定 ま る の で， 任 意 の 時 刻 に お い てI=# sin i +が成り立つ。
11⒢i 2 = 0 となるような磁束密度の大きさ B 0 を，r，l，m，g，L のうち必要な記号を用いて表せ。ただし，解が複数ある場合にはすべての解を列挙し，解がない場合には「B 0 = 解なし」と解答せよ。
また，i 2 を B の関数として表したグラフの概形として最も適切なものを図 4 の選択肢 ①〜⑧ から選び，番号で答えよ。
r2①i2r2r2③i2r2⑤i2r2⑦O-⑥r2i2⑧O

図412Br2r2r2i2O-

BBr2r2Bi2O-

O-④r2Br2r2Bi2O-

O-

②BO-

r2r2i2B

（下書き13用紙）

（下書き14用紙）3（50 点）図 1 のようにシリンダーとピストン及び温度調節機からなる装置に理想気体
1 mol が封入されている。必要に応じて温度調節機により気体を加熱あるいは冷0 ）とする。状態却するものとする。初期状態を体積 V 0，圧力 p 0，温度 T（状態00 から図 2 に示す体積 V（Vの状態への以下の 3 通りの変化を考える。
ee 2 V 0）・定圧変化：変化後の体積 V e，圧力 p 1，温度 T（状態1）1・等温変化：変化後の体積 V e，圧力 p 2，温度 T（状態2）2・断熱変化：変化後の体積 V e，圧力 p 3，温度 T（状態3）3Cp
ここで，定圧モル比熱を C p，定積モル比熱を C V とし，比熱比を c =，体CVVe
積比を a =とする。なお，シリンダーとピストンの間には摩擦はないもの
V0とする。さらに，気体はシリンダー及びピストンと熱のやり取りをしないものとする。

シリンダー
温度調節機

状態 0：
V 0，p 0，T 0
ピストン

図1

シリンダー
温度調節機

状態 1：V e，p 1，T 1
状態 2：V e，p 2，T 2
状態 3：V e，p 3，T 3

図215

ピストン

〔Ａ〕 定圧変化，等温変化，断熱変化において気体が外部にする仕事をそれぞれW p，W T，W A とし，定圧変化及び等温変化において気体に加える熱量をそれぞれ Q p，Q T とする。以下の問いに答えよ。

定圧変化，等温変化，断熱変化の概略を解答欄に p V 図として描け。

⒜

そして W p，W T，W A の大小関係を不等式で表せ。
Wp
WT
及びを C p，C V を用いた数式，あるいは数値で表せ。
Qp
QT

⒝

〔Ｂ〕 状態 0 から状態 3 への断熱変化を用いた熱機関を考える。状態 0 から状態3 への断熱変化の後，圧力を p 3 に保ちながら，体積を V e から V 0 に戻す。
ここで，圧力 p 3，体積 V 0 の状態を状態 4 とし，その温度を T 4 とする。その後，体積を V 0 に保ちながら気体に熱量 Q を加え，状態 4 から状態 0 に戻す。以下の問いに答えよ。
WAを a と c を用いて表せ。
Q⒞

問〔Ａ〕の W A と Q の比⒟この熱機関の熱効率 e A は a と c を用いると以下のように表される。空欄にあてはまる数式を答えよ。

eA = 1 -16

ac - 1

〔Ｃ〕 状態 0 から状態 2 への等温変化を用いた熱機関を考える。ここで状態 0 から状態 2 への等温変化において気体が外部にする仕事は p 0V 0 log e a（e は自然対数の底）と表される。この等温変化後の状態 2（圧力 p 2）から，体積をV e に保ちながら状態 3（圧力 p 3）まで変化させ，その後圧力を p 3 に保ちながら体積を V e から V 0 に戻す。すなわち問〔Ｂ〕と同様に温度 T 4 の状態 4 まで変化させる。その後，体積を V 0 に保ちながら気体に熱量 Q を加え，状態 4から状態 0 に戻す。以下の問いに答えよ。

状態 2 から状態 3 への変化において気体が放出する熱量 Q 1 を p 0，V 0，⒠c，a を用いて表せ。ただし，気体が熱を吸収する場合には熱量は負とする。

⒡

この熱機関の熱効率 e T は a と c を用いると以下のように表される。空欄とにあてはまる数式を答えよ。

eT =a c log e a +17

〔Ｄ〕 状態 0 から状態 1 への定圧変化を用いた熱機関を考える。この定圧変化後の状態 1（圧力 p 1）から，体積を V e に保ちながら状態 3（圧力 p 3）まで変化させ，その後圧力を p 3 に保ちながら体積を V e から V 0 に戻す。すなわち，
問〔Ｂ〕及び問〔Ｃ〕と同様に温度 T 4 の状態 4 まで変化させる。その後，体積を V 0 に保ちながら気体に熱量 Q を加え，状態 4 から状態 0 に戻す。以下の問いに答えよ。

⒢

この熱機関の熱効率 e p は a と c を用いると以下のように表される。空欄にあてはまる数式を答えよ。
ep =⒣（c - 1）（a - 1）（a c - 1）

5として，この熱機関の熱効率 e p と，問〔Ｂ〕及び3問〔Ｃ〕における熱機関の熱効率 e A と e T の 3 つの大小関係を不等式で表a = 10 及び c =せ。必要に応じて，5510 3 ] 46，0．
1 3 ] 0．
022，log e 10 ] 2．3であることを用いてよい。

18

（下書き19用紙）

（下書き20用紙）