D論研究：「表面張力対流の基礎的研究 」
定常Marangoni
定常Marangoni対流、及び非定常Marangoni対流、及び非定常Marangoni対流、及び非定常Marangoni対流に関する
Marangoni対流に関する実験及び数値解析による検討

Si 単結晶の育成装置
Cz法による法によるSi単結晶育成法による 単結晶育成

FZ法による法によるSi単結晶育成法による 単結晶育成

気液表面

るつぼ
加熱

気液表面

大きな温度差を有す気液表面では表面張力対流（Marangoni対流）が顕著
大きな温度差を有す気液表面では表面張力対流（対流）が顕著
プロセス終了後のウエハCz 法により育成したSi法により育成した 単結晶
大口径

FZ 法により育成したSi法により育成した 単結晶
不純物が少ない背景• Siの結晶品質は、結晶の熱履歴のみならず融液内の流れのパターン温度分布、不純物濃度分布の時間変動の影響を強く受ける。
融液の熱流動を出来る限り正しく理解することが, 高品質, 大口径
半導体単結晶育成装置の設計・改良に必要不可欠である。
• 浮力に基づく自然対流と、表面張力差に基づく対流(Marangoni対流）が重畳しますので両者を分類して考察する必要がある。
• Marangoni対流の非定常的流れに関する理解は未だに十分とは言えず実験的・理論的研究の必要性が高い。

目的
定常Marangoni
定常Marangoni対流、及び非定常
Marangoni対流、及び非定常Marangoni対流、及び非定常Marangoni対流に関する
Marangoni対流に関する実験、数値解析による理解
定常Marangoni
定常Marangoni対流
Marangoni対流･地上で純粋なMarangoni対流を評価する実験方法の確立･数値解析モデル及び解析コードの開発 (Fortran)･微小液柱（φ=3mm, L=3mm)NaNO3内に生じるMarangoni対流の考察･まとめ１･溶融NaOHの最大泡圧法を使用した表面張力測定･微小液柱（φ=3mm, L=3mm)のNaOH内に生じるMarangoni対流の考察･まとめ2
非定常Marangoni
非定常Marangoni対流
Marangoni対流･３次元数値解析モデル及び解析コードの開発 (Fortran)･KCｌ液柱内、溶融Si液柱内に生じる３次元Marangoni対流の考察･まとめ3

定常Marangoni
定常Marangoni対流の検討
Marangoni対流の検討
実験： 地上で純粋なMarangoni対流を評価する方法の確立
浮力の影響を無視できるように、微小液柱（φ=2～3mm, L=3mm)内の熱流動の観察（Hot-thermo-couple法にて実験）

数値解析：コード開発、その計算結果、実験結果との比較

HotHot-thermothermo-couple法
couple法 を使用した実験装置

ＣＣＤカメラによる白金微粒子の観察

プローブ

Hot-thermo-couple法の電気回路構成図

加熱

Ar雰囲気

白金微粒子

熱電対を融着した

Φ 50µm 観察

白金円板プローブ構造

温度測定
各点における電圧波形

液柱内でのMarangoni
液柱内でのMarangoni対流の発生機構
Marangoni対流の発生機構

σ [ N/m ]∂σ<0∂TTc T [ K ] Th
一般的な流体の表面張力の温度依存性

Marangoni効果を表す式
効果を表す式∂w ∂σ ∂σ ∂T−µ==∂x ∂y ∂T ∂y
せん断力

無次元化

∂W
∂Θ
= − Re∂X∂Y
温度勾配

Re=Ma/Pr
Pr = ν / α∂σ ∆TaMa = −∂T µα(T − Tm )Θ=Th + Tc
Tm = (Th + Tc ) / 2

微小液柱NaNO3微小液柱NaNO3内のNaNO3内のMarangoni
内のMarangoni対流のトレーサ観察結果
Marangoni対流のトレーサ観察結果
融点以下

重力加速度
ベクトル方向

620K
620K

640K

640K

640K

下加熱

軸対称流であること

上下等温加熱浮力対流の影響は小さい数値解析モデル： ２次元軸対称モデル

仮定１）液体は非圧縮性流体
２）上下板温度は一定
３）流れは軸対称
４）液表面での変形はないものとする
５）液表面からの輻射及び、周囲気体の自然対流による放熱考慮
６）表面張力の温度係数、粘度及び熱伝導率以外の物性値は一定
７）浮力の効果はBussinesq近似と同等な表現法を使用

２次元軸対称系の基礎方程式
連続の式
エネルギー方程式

運動方程式

境界条件
中心軸側

表面側

下部板

上部板

σ [ N/m ]ＮaNO3の物性値
aNO3の物性値∂σ= −5.6 × 10 −5∂TTc T [ K ] Th

数値解析フロー 及び使用したメッシュSIMPLE法
SIMPLE法
連続の式を満たすまで圧力、速度を補正する

微小液柱NaNO3微小液柱NaNO3内のNaNO3内のMarangoni
内のMarangoni対流の解析結果
Marangoni対流の解析結果
地上環境

無重力環境

地上環境

1G0G1GΦmax =
8.65 mm3/s

Φmax =8.55 mm3/s

620K

640K
流れの温度分布
強さ

下加熱

620K

640K

Φmax =-8.42 mm3/s 640K

620K

上加熱

微小液柱NaNO3微小液柱NaNO3内のNaNO3内のMarangoni内のMarangoni対流の解析結果
Marangoni対流の解析結果
1G

下加熱

上下等温加熱まとめ１
実験法にHot-thermo-couple法を使用し、NaNO3微小液柱内(φ=2～3mm, L=3mm)のMarangoni対流の温度計測・制御、トレーサ観察実験を行った。
今回行った温度制御範囲では流れは軸対称流であることを確認した。
数値解析では、２次元軸対称系のモデルを仮定して、円筒座標系の連続の式、運動方程式、エネルギー方程式、境界条件を使用して解析を行った。
実験、数値解析により、液柱の中心軸が重力方向とが一致する場
合には、微小液柱内の流れは、自然（浮力）の影響のない、ほぼ純粋なMarangoni対流の挙動を示すことを確認した。
また、トレーサ観察により計測した流速と、数値解析により求めた流速が良く一致することを確認した。

微小液柱NaOH
微小液柱NaOH内のNaOH内のMarangoni
内のMarangoni対流のトレーサ観察結果
Marangoni対流のトレーサ観察結果

融点以下

融点以上（近傍）

融点以上

融点以上（近傍）
重力加速度
ベクトル方向ＮaOHの物性値
aOHの物性値
溶融NaOHの表面張力を最大泡圧法で測定しT*=723.1Kで極大値を示す特異な性質を有すこと再確認した∂σ= 2.645 × 10 − 2∂T∂σ= −1.214 ×10 − 2∂T微小液柱NaOH
微小液柱NaOH内のNaOH内のMarangoni
内のMarangoni対流の実験＆解析結果
Marangoni対流の実験＆解析結果 (高温領域）
760K∆T=50K
810K

高温領域
760K

∂σ>0∂T∂σ<0∂T∆T=30K790K

780K
∆T=0K
780K

微小液柱NaOH
微小液柱NaOH内のNaOH内のMarangoni
内のMarangoni対流の実験＆解析結果
Marangoni対流の実験＆解析結果 (低温領域）
630K∆T=50K
680K

低温領域
650K

∂σ>0∂T∂σ<0∂T∆T=30K
680K

660K
∆T=0K
660K

微小液柱NaOH
微小液柱NaOH内のNaOH内のMarangoni
内のMarangoni対流の実験＆解析結果
Marangoni対流の実験＆解析結果 (T*近傍域）∂σ>0∂T∆T=50Kz0σ

表面張力∂σ<0∂T

微小液柱NaOH
微小液柱NaOH内のNaOH内のMarangoni
内のMarangoni対流の実験＆解析結果
Marangoni対流の実験＆解析結果 (T*近傍域）∂σ>0∂T∂σ<0∂T∆T=40Kz0σ表面張力

微小液柱NaOH
微小液柱NaOH内のNaOH内のMarangoni内のMarangoni対流の実験＆解析結果
Marangoni対流の実験＆解析結果(対流の実験＆解析結果(T*近傍域）

∂σ>0
∂T

∆T=0Kz0σ

表面張力

∂σ<0
∂T

まとめ２
溶融NaOHの表面張力を最大法圧法によって測定した。その結果、溶融NaOHの表面張力は、T*=723.1Kで極大値を示し、融点（593K)から∂σT*までの温度領域では ∂T >0、T*以上の温度域では通常流体と同様∂σ<0となることを確認した。
∂T
T>T*におけるMarangoni対流は、 NaNO3などと同様な挙動を示すことを計算および実験的に確認した∂σT<T*におけるMarangoni対流は、∂T >0を反映して通常と逆向きに流れる。
また、通常流体のMarangoni対流に比して、流速が小さいこと実験及び数値解析によって確認した。
T*周辺の温度域において液柱内に3つ以上の複数のロールセルをもつMarangoni対流が生じることを、実験および数値解析によって確認した。

実験、数値解析で検討したのは、自分たちが最初である。

adiabatic
free surface

高Pr流体（流体（KCｌ）、低ｌ）、低Pr流体（溶融流体（ｌ）、低 流体（溶融Si)の液柱内に生じる流体（溶融 の液柱内に生じる
３次元Marangoni対流
対流
３次元σ+∆σColdLσHota

Aspect ratio :As=L/a

非線形３次元数値解析
各々のPr各々のPr 数 (Pr=1.02, 0.01)流体の液柱内３次元流れに及ぼすパラメータの影響0.01)流体の液柱内３次元流れに及ぼすパラメータの影響
３次元Marangoni
３次元Marangoni 対流の特性，温度場，速度場の詳細
遷移挙動
臨界条件

数値解析モデル： ３次元モデル
Continuity equation
U ∂U 1 ∂V ∂W+++=0R ∂R R ∂θ ∂Z

Navier-stokes equation
R:θ:∂U∂U V ∂U V 2∂U+U+−+W∂τ∂R R ∂θ∂ZR∂P ∂  1 ∂ ( RU )  1 ∂ 2U 2 ∂U ∂ 2U=−+−++∂R ∂R  R ∂R  R 2 ∂θ 2 R 2 ∂θ ∂Z 2∂V∂V V ∂V UV∂V+U+++W∂Z∂τ∂R R ∂θ
R1 ∂P ∂  1 ∂ ( RV )  1 ∂ 2V2 ∂V ∂ 2V=−+++
+ 2R ∂θ ∂R  R ∂R  R ∂θ 2 R 2 ∂θ ∂Z 2∂W∂W V ∂W∂W+U++W∂R R ∂θ∂ZZ : ∂τ∂P 1 ∂  ∂W  1 ∂ 2W ∂ 2W=−+++ Gr / ReΘ
+R∂Z R ∂R  ∂R  R 2 ∂θ 2 ∂Z 2Energy equation∂Θ V ∂Θ∂Θ  1 ∂  ∂Θ  1 ∂ 2Θ ∂ 2Θ ∂ΘPr ++U++W+R=∂Z  R ∂R  ∂R  R 2 ∂θ 2 ∂Z 2
∂R R ∂θ ∂τKCｌｌの液柱内に生じる振動型マランゴニ流の臨界条件と波数、モード

m=2

Non-dimensional Surface velocity| Uθ (R=1, θ=θ=ππ / 2, Ζ =0.5) |X(ττ)=FX(R,Z)exp((ββ+iωω)ττ)sin(mθθ) Growth rate constant β and ω as a function of Re.
10010-28000
6000

Re [ - ]10-1

Ma44403000
2400

Pr=1.02 and Bi=0m=3m=4

4000

10-3-4102000

m=3m=2 m=1

1010-60m=2m=2-50.5
1
Non-dimensional Time τ [ − ]1.5

00.6 0.8

11.2 1.4 1.6 1.8

As [ - ]溶融Siの液柱内に生じる３次元定常マランゴニ流の臨界条件と溶融 の液柱内に生じる３次元定常マランゴニ流の臨界条件と波数、モード
8000

Pr=0.01 Rec1
●This work

Pr=0.01 Rec1 Levenstam et al. (1995)
Pr=0.02 Rec1 Chen et al. (1998)

Re [ - ]

6000

4000

2000

2080

2m=2

1960 Re

00.8

10-1
10-2
10-3

1.2

As=1Re=5000
Re=3000
Re=2200
Re=1500

10-40 0.2 0.4 0.6 0.8 1⊿τ [ - ]

2

m=12

1.4

As [ - ]

11.6

1.880
● As=1 (m=2)
Pr=0.0160 ▲ As=1.2 (m=2)
40 □ As=1.4 (m=2)◇ As=1.8 (m=1)
2001005
1580 2080-201255
01000
2000
3000

2

β [−]

Surface Velocity
Uθmax [ - ]1001c1

Re [ - ]

4000

5000

溶融Siの液柱内に生じる３次元振動方マランゴニ流の溶融 の液柱内に生じる３次元振動方マランゴニ流の臨界条件と波数、モード12000Pr=0.01 Re c2

Pr=0.01 Re c2 Levenstam et al. (1995)
T: Torsional convection+m: Wave number of disturbance

Pr=0.01
2+110000

This workRe c2

8000
6000

2+12T
Pr=0.01,As=1.8 and Re=4000
Complex oscillatory flow

4000
2T

2T 1T

1T2T

2000
0.8

Ζ=0.979)100

1As=1Re8000
6500

10-1
10-2
10-30.0 0.05 0.10 0.15 0.20
∆τ [ − ]1.2

1.4

As [ - ]1.640● As=1 ☆ As=1.6
Pr=0.0130 ▲ As=1.2 ◇ As=1.820 □ As=1.4 ○ As=2100-10-20
4628
6650-30 249628653015
2000
4000
6000
8000

1.82

β [−]

101

UR (R=0, θ =9=9π/8,π/8,

Re [ - ]Pr= 0.01 and Re=3250

Re [ - ]Rec2=9710

10000

12000

まとめ３
Pr=1.02(KCl)、、Pr=0.01(溶融溶融Si)の断熱状態の液柱内に生じるマランゴニ対流の３次元溶融 の断熱状態の液柱内に生じるマランゴニ対流の３次元数値解析を実行した。
１． Pr=1.02の液柱内に生じるマランゴニ対流は、Rec（∆Tc)を超えると軸対称流から ３次元振動流へ遷移し、Pr=0.01の液柱では、遷移条件を２つ有し、Rec1 (∆Tc1) を超えると、 流れは軸対称流から３次元定常流へ遷移し、 Rec２(∆Tc２)を超えると、 ３次元振動流へ遷移する ことを確認した。
。
２．マランゴニ対流の３次元微小擾乱成分は、時間に関して指数関数的に成長し、顕在化するまで２．には比較的長い発達期間を必要とする。
３．Pr=1.02の場合の３次元流への不安定化はHydro-thermalinstability によるものであり、Pr=0.01３．の場合はHydro-dynamic instability によるものである。
４．両Prの場合とも振動流の形態が液柱のAsによって変化する。しかし、Pr=1.02とPr=0.01の振動４．
形態は異なる。
５．両Prの場合とも遷移条件は、既往の線形安定論による結果及び、数値解析による結果と良好に５．
一致する。