３．二次関数の座標・グラフ・式【問１】
図において，m は y＝ax2 のグラフを表す。aは定数である。A，B は m 上の点であり，その x 座標はそれぞれ－1，5 である。ℓ は２点 A，B を通る直線を表し，C はℓ と y 軸との交点である。
（大阪府 一般 2002 年度）
2関数 y＝ax について，x の値が－1 から 5 まで増加するときの変化の割合が 1 であるとき，① a の値を求めなさい。

② C の y 座標を求めなさい。

①
②

【問２】
次の(1)，(2)に答えなさい。
（山口県 2002 年度）(1)

図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に，２点 A，B があり，線分 AB は x 軸に平行で，AB＝6 である。
このとき，線分 AB と y 軸との交点 P の座標を求めなさい。

(2) 関数 y＝ax2 で，x の値が 1 から 4 まで増加するとき，変化の割合が 10 であった。
a の値を求めなさい。

(1)

（(2)

a＝，）

【問３】
図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に，２点 A(－2，2)，B(4，8)がある。
次の各問いに答えなさい。
（沖縄県 2002 年度）
y

問１．a の値を求めなさい。

y問２．２点 A，B を通る直線の式を求めなさい。

問１a＝

問２y＝

【問４】
図で，㋐は関数 y＝ax2，㋑は関数 y＝

1 2x のグラフである。
4（秋田県 2003 年度）① ２点 A(3，7)，B(3，5)を結ぶ線分 AB がある。a の値を次のア～エとするとき，この中で，㋐が線分 AB と交わるのはどれか。その記号を１つ書きなさい。
ア a＝－1ウ a＝231

イ a＝ 3エ a＝1② ㋑上にある点 C，D は，x 座標が正で y 座標がそれぞれ 1，4 である。
このとき，２点 C，D を通る直線の傾きを求めなさい。

①②

【問５】
図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に２点 A，B があり，点 A の座標は(2，2)，点 B の x 座標は－4 である。
（福島県 2003 年度）① a の値を求めなさい。

② 点 B を通り，OA に平行な直線の式を求めなさい。

①②

【問６】
1

図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に点 A があり，関数 y＝ 3 x2 のグラフ上に２点 B，D がある。また，２点 A，Bを通る直線が x 軸と交わる点を C とする。
点 B，D の x 座標はそれぞれ－3，3 であり，点 C の座標は(－6，0)であるとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。ただし，a＞0 とする。
（千葉県 2003 年度）(1) ２点 A，B を通る直線の式を求めなさい。
y＝ax2(2) ２点 A，D を通る直線の切片が 18 であるとき，関数 y＝ax2 の a の値を求めなさい。

(1)
(2)

a＝y＝13x2

【問７】図において，曲線①は関数 y＝x2 のグラフであり，曲線②は関数 y＝ax2 のグラフである。点 A は曲線①上の点で，その x 座標は 2 である。点 B は曲線②上の点で，線分 AB は y 軸に平行である。また，点 C は曲線①上の点で，線分 BC は x 軸に平行であり，点 C の x 座標は－1 である。さらに，点 D は y 軸上の点で，線分 AD は x 軸に平行である。原点を O とするとき，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2003 年度）(ア) 曲線②の式 y＝ax2 の a の値を求めなさい。

(イ) 直線 CD の式を y＝mx＋n とするとき，m，n の値を求めなさい。

(ウ) 直線 BD と直線 OA との交点 E の座標を求めなさい。

(ア)

a＝(イ)

m＝(ウ)

（，n＝，）【問８】ある中学校では，生活委員会で，交通安全を呼びかけるポスターと旗を作ることになった。そこで，生活委員全員が，ポスター班と旗班のどちらか一方の班に入って活動を始めた。このとき，次の問いに答えなさい。
（静岡県 2003 年度）
時速 x km で走っている自動車が，ブレーキをかけてから止まるまでに進む距離を y m とすると，y は x の２乗に比例するという。ポスター班に入った A さんは，このことに注目し，ポスターに x と y の関係を表すグラフをかくことにした。x と y の関係が y＝0≦x≦60 とする。

1 2x であるとして，x と y の関係を表すグラフを，解答欄にかきなさい。ただし，x の変域を100【問９】図において，m は y＝ax2 のグラフを表す。a は定数である。A，B は m 上の点であり，A の座標は(－4，8)，B のx 座標は 2 である。
（大阪府 前期 2003 年度）① a の値を求めなさい。

② 直線 AB の傾きを求めなさい。

①②【問 10】
関数 y＝－2x2 について，次の(1)～(3)に答えなさい。
（和歌山県 2003 年度）(1) この関数のグラフをかきなさい。
(2) x の変域が－3≦x≦2 のときの y の変域を求めなさい。
(3) x の値が 1 から 6 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

(1)

(2)
(3)

【問 11】
図のア～エは，y＝ax2 の形で表される４つの関数のグラフを，y＝x2 のグラフと同じ座標軸を使ってかいたものである。次の(1)，(2)に答えなさい。
（山口県 2003 年度）

1(1) ア～エのうちの１つが，関数 y＝ x2 のグラフである。そのグラフを選び，3記号で答えなさい。

(2) 関数 y＝x2 のグラフ上に，y 座標が 4 である点が２つある。その２つの点の座標を求めなさい。

(1)
(2)

（，4），（，4）

【問 12】
図のように，２つの放物線 y＝x2 と y＝ax2 があって，y＝x2 は点 A を通る。点 A の x 座標が 4 のとき，次の各問いに答えなさい。
（沖縄県 2003 年度）
y＝x2

１．点 A の y 座標を求めなさい。
問２．y＝x2 について，x の値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

問３．y＝ax2 について，x の値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合が 2 のとき，a の値を求めなさい。

問１
問２
問３y＝ax2

【問 13】図のように，関数 y＝2x2 と関数 y＝aのグラフが点 A で交わっている。交点 A の x 座標は正の数で，y 座標が 8xであるとき，a の値を求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。
（栃木県 2005 年度）

答 a＝【問 14】
図で，曲線は関数 y＝x2 と y＝－
原点 O を通る直線が関数 y＝－

1 2x のグラフです。関数 y＝x2 上に x 座標が 1 となる点 A をとり，点 A と2

1 2x と交わる点で，原点以外の点を B とします。このとき，点 B の座標を求めなさ2い。
（埼玉県 2005 年度）（，）

【問 15】図のように，関数 y＝ax2（a＞0）のグラフと直線ℓ が２点 A，B で交わっており，点 A，B の x 座標はそれぞれ－2，4 である。
次の(1)～(4)の場合について，問いに答えなさい。
（富山県 2005 年度）(1) 点 B の y 座標が８のとき，a の値を求めなさい。

(2) 直線ℓ の傾きが３であるとき，a の値を求めなさい。

(3) 関数 y＝ax2 について，x の変域が－2≦x≦4 のとき，y の変域は，0≦y≦4 であった。このとき，a の値を求めなさい。

(4) a＝2 のとき，直線ℓ と y 軸について対称な直線の式を求めなさい。

(1)

a＝(2)

a＝(3)

a＝(4)

y＝

【問 16】関数 y＝ax2 …㋐ のグラフが点（2，－8）を通るとき，次の各問いに答えなさい。
（三重県 2005 年度）① a の値を求めなさい。

② 関数㋐のグラフをかきなさい。

③ x の変域が－2≦x≦1 のとき，y の変域を求めなさい。

a＝①②③≦y≦【問 17】
図において，m は y＝2 2x のグラフを表す。O は原点である。P は m 上にあって O と異なる点である。
3（大阪府 後期 2005 年度）① P の x 座標が 3 のとき，P を通り y 軸との交点の y 座標が 5 となる直線の式を求めなさい。

② P の x 座標と y 座標とが等しくなるときの P の座標を求めなさい。

①y＝②P（，）

【問 18】図において，点 A の座標は（－2，1）である。
（大阪府 後期 2005 年度）① 関数 y＝ax2 のグラフが A を通るとき，a の値はいくらですか。aを定数として求めなさい。

② 次のア～エで示した点のうち，A を通り傾きが1の直線上にあるものはどれですか。一つ選び，記号を書きなさ2い。
ア（－4，2）イ（－1，3）ウ（2，3）エ（5，4）①②【問 19】
図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に，x 座標がそれぞれ 2，6 となる 2 点 A，B をとります。直線 AB の傾きが 4のとき，a の値を求めなさい。
（宮城県 2007 年度）

a＝【問 20】2

図のように，2 点 A(2，10)，B(3，10)がある。また，曲線アは関数 y＝ax のグラフであり，曲線イは関数 y 

1 2x2のグラフである。このとき，次の１，２の問いに答えなさい。ただし，a＞0 で，O は原点とする。
（茨城県 2007 年度）

問１．a が自然数で，曲線アが線分 AB と交わるとき，a の値を求めなさい。

問２．関数 y＝

1 2x において，x の変域が －6≦x≦m のとき y の変域は 2≦y≦n となる。m と n の値を求めなさ2い。
問１a＝

問２

m＝，n＝

【問 21】
図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に 2 点 A，B，y 軸上に点 C を，次の条件ア～ウをみたすようにとる。このとき，次の問いに答えなさい。
（富山県 2007 年度）条件
ア

2 点 A，B の x 座標は正である。

イ

2 点 B，C の y 座標は等しい。

ウ

線分 AB，AC の長さは等しい。

(1) 点 C の座標が(0，4)のとき，点 A の座標を求めなさい。
(2) 点 A の座標が(2，4)のとき，2 点 A，B を通る直線の式を求めなさい。
(1)((2)y＝，)

【問 22】
図で，O は原点，A は y 軸上の点，B，C は関数 y＝ －4 2x のグラフ上の点であり，D は関数 y＝ax2（a は定数，3a＞0）のグラフ上の点である。また，四角形 ABCD は平行四辺形で，辺 BC は x 軸に平行である。点 D の座標が(3，5) のとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。
（愛知県Ａ 2007 年度）(1) a の値を求めよ。

(2) 直線 AC の式を求めよ。

(1)a＝(2)y＝【問 23】
図において，m は y＝1 25x のグラフを表し，n は y＝ x2 のグラフを表す。AB は m 上の点であり，C，D は n 上59の点である。B，C の x 座標はともに 2 であり，A，D の x 座標はともに正である。A の y 座標と C の y 座標とは等しく，
B の y 座標と D の y 座標とは等しい。
（大阪府前期 2007 年度）(1) A，D の座標をそれぞれ求めなさい。

(2) 2 点 A，D を通る直線の式を求めなさい。

(1)
(2)

A(，y＝)，D(，)

【問 24】図において，m は y＝

1 2x のグラフを表す。A，B は m 上の点であり，その x 座標はそれぞれ－2，1 である。ℓ3は，点 B を通り傾きが－2 の直線である。
（大阪府後期 2007 年度）(1) A の y 座標を求めなさい。

(2) 直線ℓ の式を求めなさい。

(1)
(2)

y＝

【問 25】
関数 y＝ax2 において，x の変域が－1≦x≦3 のとき，y の変域は 0≦y≦18 である。a の値を求めよ。また，x の変域が－1≦x≦3 のときのこの関数のグラフをかけ。
（愛媛県 2007 年度）

a＝【問 26】
図で，O は原点，A は y 軸上の点，B は関数 y＝1 2x のグラフ上の点，C，D は関数 y＝ax2 (a は定数，a＜0) の3グラフ上の点である。点 A の y 座標は 5，点 B，C の x 座標は，それぞれ－3，－2 であり，四角形 ABCD は平行四辺形である。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。
（愛知県Ａ 2008 年度）(1) 直線 AB の式を求めよ。

(2) a の値を求めよ。

(1)

y＝(2)

a＝

【問 27】
図において，m は関数 y＝x2 のグラフを表す。A，B，C は m 上の点である。B の x 座標は A の x 座標より 1 小さ
く，C の x 座標は A の x 座標より 1 大きい。直線 BC の傾きが 3 となるときの A の x 座標を求めなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。
（大阪府 後期 2008 年度）

求め方

A の x 座標

【問 28】関数 y＝1 2x について，次の(1)～(3)に答えよ。
2（長崎県 2008 年度）(1) x＝4 のときの y の値を求めよ。

(2) グラフを解答用紙の図 1 にかけ。
(3) x が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合を求めよ。

(1)

y＝(2)

(3)
【問 29】
図のように，関数 y＝2 2x のグラフ上に y 座標が等しい 2 点 A，B があります。AB＝4 のとき，点 A の x 座標と y3座標をそれぞれ求めなさい。ただし点 B の x 座標は正とします。
（宮城県 2009 年度）

x 座標y 座標

【問 30】図のように，2 つの関数 y＝a…㋐ y＝bx2…㋑ のグラフがある。関数㋐のグラフと関数㋑のグラフの交点 A のx

座標が (2，4) のとき，次のア～ウにあてはまる数を書きなさい。
（秋田県 2009 年度）(1) 関数㋐について，a の値はアである。

また，点 A を通り，傾きが－2 の直線と関数㋑のグラフの交点のうち点 A 以外の交点を B としたとき，点 B の x 座標は イ である。

(2) 関数㋑について，x の変域 を n≦x≦3 (n は整数) とするとき，y の変域が0≦y≦9 となる。このような整数 n は全部で ウ 個ある。

ア(1)
イ(2)

ウ

【問 31】
図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に 2 点 A，B がある。B の x 座標は A の x 座標より 6 大きく，B の y 座標は Aの y 座標より 8 大きい。このとき，A の x 座標を求めなさい。
（栃木県 2009 年度）

【問 32】図のように，原点 O を通る直線ℓ と，点 A (5，0) を通る直線 m が，点 B (2，4) で交わっている。
このとき，次の問１，問２に答えなさい。
（千葉県 2009 年度）
問１．直線ℓ の式を求めなさい。

問２．直線ℓ 上に点 C，直線 m 上に点 D があり，点 C と点 Dは y 軸について線対称である。関数 y＝ax2 のグラフが，2点 C，D を通るとき，a の値を求めなさい。ただし，a＞0 とする。

問１
問２a＝

【問 33】図において，m は y＝ax2 (a は定数) のグラフを表す。A は m 上の点であり，その座標は (－3，4) である。B はy 軸上の点であり，その y 座標は 6 である。ℓ は，2 点 A，B を通る直線である。
（大阪府 前期 2009 年度）(1)a の値を求めなさい。

(2)

直線ℓの式を求めなさい。

(1)
(2)

y＝

【問 34】
図において，m は y＝ax2 (a は定数) のグラフを表す。A は m 上の点であって，その座標は (3，2) である。a の値を求めなさい。
（大阪府 後期 2009 年度）

【問 35】図において，m は y＝1 2x のグラフを表す。A，B は m 上の点であり，A の x 座標は－2，B の x 座標は 5 である。
3 は，2 点 A，B を通る直線である。

（大阪府 前期 2010 年度）(1) B の y 座標を求めなさい。

(2) 直線  の式を求めなさい。求め方も書くこと。

(1)
〔求め方〕

(2)

y＝

【問 36】図において m は関数 y＝1 2x のグラフを表す。A は m 上の点であり，その x 座標を t (t は正の定数) とする。
8B は y 軸上の点であり，その y 座標は 2 である。C は x 座標が A の x 座標と等しく，y 座標が－2 の点である。  は 2点 B，C を通る直線であり，D は  と x 軸との交点である。E は m と  との交点であり，B について C と反対側にある。
（大阪府 後期 2010 年度）(1) A の y 座標と D の x 座標をそれぞれ t を用いて表しなさい。

(2) E の y 座標が 8 であるときの t の値を求めなさい。求め方も書くこと。

A の y 座標
(1)
D の x 座標
〔求め方〕

(2)

t の値

【問 37】図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に点 A(－4，4) があるとき，a の値を求めなさい。
（島根県 2010 年度）

a＝【問 38】
関数 y＝1 2x のグラフをかきなさい。
2（島根県 2010 年度）【問 39】
図は，関数 y＝x2 のグラフと関数 y＝ax2 のグラフを，同じ座標軸を使ってかいたものである。
次の問１，問２に答えなさい。
（山口県 2010 年度）
問１ 関数 y＝x2 のグラフ上に，y 座標が 9 である点が 2 つある。その 2つの点の座標を求めなさい。

問２ 関数 y＝ax2 について，x の変域が－1≦x≦4 のとき，y の変域が0≦y≦8 である。a の値を求めなさい。

問１
問２(， 9 ) ，(a＝，9 )【問 40】図において，①は関数 y＝1 2x ，②は関数 y＝－x2 のグラフである。点 A は，①のグラフ上にあり，2 点 B，C は，3②のグラフ上にある。点 A，B の x 座標はともに－3 であり，点 C の x 座標は 1 である。このとき，次の問１，問２に答えなさい。
（高知県 後期 2010 年度）
問１ 点 A の y 座標を求めよ。

問２ 2 点 B，C を通る直線の式を求めよ。

問１
問２【問 41】
図のような，関数 y＝ax2 のグラフと直線  があり，点 A(2，8) で交わっている。また，直線  の切片は 6 である。
このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（佐賀県 前期 2010 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 直線  の式を求めなさい。

(1)
(2)

【問 42】図において，曲線アは関数 y＝ax2 のグラフであり，曲線イは関数 y＝6のグラフである。曲線アとイの交点をxA とし，曲線ア上の点で y 座標が点 A と等しく，x 座標が負である点を B とする。さらに，線分 AB と y 軸との交点をC とする。また，曲線イ上の点で x 座標が点 B と等しい点を D とする。このとき，次の問１，問２に答えなさい。ただし，a＞0 で，O は原点とする。
（茨城県 2011 年度）
問１ 点 A の x 座標が 2 であるとき，2 点 C，D を通る直線の式を求めなさい。

問２ 直線 AD の傾きが8であるとき，a の値を求めなさい。
3

問１
問２a＝

【問 43】
図のように，2 点 (0，10)，(10，0) を通る直線  と，関数 y＝3x＋5 のグラフの交点を P とする。関数 y＝ax2 のグ2ラフが点 P を通るとき，a の値を求めなさい。
（千葉県 前期 2011 年度）

a＝【問 44】図において，m は y＝ax2 (a は定数) のグラフを表す。A，B は m 上の点であって，A の座標は (－3，4) であり，B の x 座標は 2 である。  は，2 点 A，B を通る直線である。
（大阪府 前期 2011 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 直線  の式を求めなさい。求め方も書くこと。

(1)
〔求め方〕

(2)

y＝
【問 45】
図において，m は y＝1 2x のグラフを表す。A は m 上の点であり，その x 座標は－3 である。  は，点 A を通り傾き4が 1 の直線である。
（大阪府 後期 2011 年度）(1) A の y 座標を求めなさい。

(2) 直線  の式を求めなさい。

(1)
(2)y＝

【問 46】関数 y＝－x2 のグラフをかきなさい。
（島根県 2011 年度）