23 二次方程式(中3)まとめ2ABCDE次の二次方程式を解きなさい。
①x2－16＝0② 3x2－15＝0x2＝163x2＝15x＝3ABCDE次の二次方程式を解きなさい。
①(x－4)2＝9② (x＋1)2－64＝0A2＝64

A＝±3A＝±8A をもとにもどすと，
x－4＝±3A をもとにもどすと，

x＝4±3x＋1＝±8x＝4
ABCDE

7，1x＝±8－1

次の二次方程式を解きなさい。
①5(x＋1)2＝50②4(x－1)2＝202(x＋1) ＝104(x－1)2 20＝44x＋1＝±A をもとにもどすと，

10－1±BCDE4(x－1)2－20＝05(x＋1)2 50＝55

10x＝6± 5

次の二次方程式を(x＋m)2＝n の形にして解きなさい。
①x2＋4x－16＝0② x2＋10x＋7＝0x2＋4x＝16x2＋10x＝－7x＋2＝±20x＋5＝±18x＋2＝±25x＋5＝±32－2±2 5x＝x＝－5±3 2Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【23 二次方程式(中3)まとめ】

8ABCDE

次の二次方程式を解の公式を使って解きなさい。
①3x2－9 x＋5＝0② 4x2－x－2＝0＝21x＝＝9ABCDE＝339± 212 ×3x＝9± 216＝ABCDE①8x2－2 x－3＝0② 4x 2＋2x－5＝0x＝2± 1002× 8－2± 84
x＝2 ×4＝－82±1012,)， (161616－2±2＝8①－1± 21＝4x2－13x＋12＝0

よって，x＝ABCDE② x2－6x－7＝0x－1＝012，1x－7＝0－1, 7次の二次方程式を解きなさい。
①3x2＝－5xx＝0 または② x2－5x＝－6(x－2)(x－3)＝0x－2＝0 または

3x＋5＝05
よって，x＝0，－3ABCDEx＋1＝0 または
よって，x＝x(3x＋5)＝01321

次の二次方程式を解きなさい。

x－12＝0 または

121± 33
8次の二次方程式を解の公式を使って解きなさい。

31＝，－42111± 33
2 ×4

よって，x＝x－3＝02 ，3次の二次方程式を解きなさい①x2＝10x－25② x2＋6＝7x(x－5)2＝0(x－1)(x－6)＝0x－5＝0x－1＝0 または

よって，x＝5

よって，x＝x－6＝0

1，6Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【23 二次方程式(中3)まとめ】

15ABCDE次の二次方程式を解きなさい。
①② (x－5)2＝－2(3x－15)(x＋3)(x－5)＝20
x2－2x－35＝0x2－4x－5＝0(x＋5) (x－7)＝0(x＋1)(x－5)＝0

x＝－5，716

次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①4(x2＋2)＝(x＋1)(x＋5)② (3x－2)(x＋4)＝5x2＋4－2x2＋10x－12＝0x2－2x＋1＝0x2－5x＋6＝0(x－1)2＝0(x－2)( x－3)＝0

1

x＝17

次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①② 0.01x2－0.06x＋0.09＝0x2＋5x＋6＝0x2－6x＋9＝0(x＋2)( x＋3)＝0(x－3)2＝0ABCDE－2，－3x＝3

次の二次方程式を解きなさい。
①1 2 3x － x＋1＝022②

1 2x －8＝08x2－3x＋2＝0x2－64＝0(x－1)( x－2)＝0(x＋8)( x－8)＝0

x＝
192，3

0.1x2＋0.5x＋0.6＝0x＝BCDE－1，53x2－6x＋3＝0x＝18

x＝1，2±8x＝次の二次方程式を解きなさい。
①x2＋2x－8＝0②

6x2－5x－1＝0(x－2)＝0 より x＝2

x＝5±712(x＋4)＝0 より x＝－4

x＝122，－1212

x＝2，－4x＝1，－③ (x＋2)(5x－1)＝0(5x－1)＝01
6x＝

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より x＝－2，151
5P4 【23 二次方程式(中3)まとめ】

20ABCDE

次の二次方程式を解きなさい。
①x2＝－8x② 9x2＝4x(x＋8)＝0x＝③4±x＝(3x＋2)(3x－2)＝00，－8x＝±x2＝4x－2

2
34±2 2x＝2x＝21

次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①7x2＋3＝4(x＋1)
4±x＝
x＝16－822± 2② 2(x＋1)2＝6－x2

16＋28
14

3x2＋4x－4＝04±2 11
14－4±x＝

x＝42－4×3×(－4)
2×3－4± 64
6x＝22次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①x2＋36x＋324＝02，－23② (x－2)2＋(x－2)－30＝0

x－2＝A とおく

(x＋18)2＝0(x－2－5)(x－2＋6)＝0(x－7)(x＋4)＝0
x＝
23

次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①(x－4)2＝25
x＝9，－1②(x－1)2＋4(x－1)＋3＝0 ③

7，－42x2＋32x＋128＝0(A＋1)(A＋3)＝0(x＋8)2＝0(x－1＋1)(x－1＋3)＝0

x＝x(x＋2)＝00，－2

x＝

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－8

P5 【23 二次方程式(中3)まとめ】

25BCDE

縦 120cm，横 160cm の長方形の紙がある。この紙に次のように決めて絵をかく。

(ア)絵のまわりに，等しい幅で白地の部分を残す。

(イ)

絵の面積は，紙の面積の半分とする。

このとき，白地の部分の幅は何 cm になるか，求めなさい。

160cmx cm120cm

白地の部分の幅を x cm とすると，これを解くと，x2－140x＋2400＝0(x－20)(x－120)＝0x＝20，120x＝120 のとき，問題にあわない。
x＝20 のとき，絵の縦は 80cm，横は 120cm となり，これは問題にあっている。

20cm
26

正方形の土地がある。図のように，縦，横の辺に平行に幅 1m のCDE

通路をとって，残りの部分を花だんにしたら，花だんの面積が1m25m2 になった。正方形の土地の 1 辺の長さは何 m か。
(x－1)2＝25
x－1＝±51m

x＝1±5x＝6、－46mx＞0 より，x＝－4 は不適
28

連続する 3 つの正の数があり，最大の数の平方は他の 2 つの数をそれぞれ 2 乗した数の和にBCDE等しい。これら 3 つの正の数を求めなさい。

x2＋4x＋4＝x2＋x2＋2x＋1－x2＋2x＋3＝0x2－2x－3＝0(x－3)(x＋1)＝0
x＝3，－1x は正の整数だからx＝33，4，529ある自然数 x を 2 乗すべきところを間違って 2 倍したため，結果は 80 小さくなった。このときCDEの x を求めなさい。
x2―2x―80＝0(x＋8)( x―10)＝0
x＝－8，10x は自然数なので，x＝－8 は不適合，よって x＝10x＝10

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P6 【23 二次方程式(中3)まとめ】

30

2 けたの整数がある。十の位の数は一の位の数より 1 小さく，それぞれの位の数の積はそのCDE整数より 10 小さい。この整数を求めなさい
x(x－1)＝10(x－1)＋x－10
x2－x＝10x－10＋x－10
x2－x＝11x－20
x2－12x＋20＝0(x－2)(x－10)＝0
x＝2、10x＜10 なので，x＝10 は不適当よって，x＝21231

縦の長さが横より 3cm 短い長方形の厚紙の 4 すみから，1 辺が 2cm の正方形を切り取り，CDE残りを折り曲げて容積が 20cm3 の直方体の箱を作る。長方形の厚紙の縦と横は何 cm で2cmあればよいか求めなさい。
2cm

長方形の厚紙の縦の長さを x cm とすると，横の長さは，(x＋3)cm
容積は，2(x－4)(x＋3－4)＝202(x－4)(x－1)＝20(x－4)(x－1)＝10
横の長さは，6＋3＝9
縦6cm

横9cm32

右の図のように正方形 ABCD の中に正方形 EFGH をつくる。このとき，AE の長さを求めな

CDE

さい。ただし正方形 EFGH の面積を 68cm2，AE＞AH とする。

AHD

正方形 ABCD の面積は，10×10＝100
4 つの直角三角形の面積の合計は，100－68＝32
AE＝x とおくと
AH＝10－x1x(10－x)×4＝322G10cmEB2x(10－x)＝32x＝2，8AE＞AH より x＝2 は不適当，よって，AE＝88cm

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FCP7 【23 二次方程式(中3)まとめ】

34

右の図のような直角三角形 ABC で，点 P は A を出発してBCDE

AB 上を B まで動く。また，点 Q は点 P が A を出発するとA

同時に B を出発し C まで動く。点 P,Q が出発してから2 秒後に△PBQ の面積は何 cm2 になるか求めなさい。
ただし点 P の速さは，秒速 2cm，点 Q の速さは秒速 1cmとする。

出発してから 2 秒後

P8cm

PB＝4cm，BQ＝2cm だから，
△PBQ の面積は，1×2×4＝4(cm2)
2B4cm2Q6cmC35

右の図のように，AB＝BC＝6cm の直角二等辺三角形 ABC がある。点 P は辺 AB 上を A からCDEB まで，点 Q は辺 CB 上を C から B まで，同時に出発して，どちらも毎秒 1cm の速さで進む。

このとき，四角形 APQC の面積が 10cm2 になるのは，出発してから何秒後か。
△ABC－△PBQ＝四角形 APQC なので18－1(6－x)2＝102

これを解くと，(6－x)2＝166－x＝±4x＝2，102 秒後

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P8 【23 二次方程式(中3)まとめ】

36

下の図のように，DC＝10cm，BC＝20cm の長方形 ABCD がある。2 点 P，Q は点 A を同時DEに出発し，点 P は毎秒 5cm，点 Q は毎秒 2cm の速さで，それぞれ下の図の矢印の向きにAB，BC，CD，DA の順に，長方形の辺上を 1 周する。このとき，次の問いに答えなさい。
① 点 P が辺 DA 上にあり，AP＝5cm になるのは，点 P が点 A を出発してから何秒後であるか求めなさい。

AD
QP

出発してから x 秒後とおくとAP＝5 であるから

B

10 ㎝
20 ㎝

C

11 秒後
② 点 P が辺 BC 上，点 Q が辺 AB 上にあり，△QBP の面積が 10cm2 になるのは，2 点P，Q が頂点 A を出発してから何秒後であるか求めなさい。
x2－7x＋12＝0(x－3)(x－4)＝0x＝3，4点 P が辺 BC 上にあるのは，10≦5x≦30 より，2≦x≦6…①点 Q が辺 AB 上にあるのは，0≦2x≦10 より，0≦x≦5…②x＝3，4 は①②のどちらも満たす

3 秒後，4 秒後
37

右の図のようにマッチ棒でマス目をつくる。144 本のマッチ棒を使うとき正方形の 1 辺のDEマッチ棒の数を求めなさい。
例えば， 3×3 の正方形のマッチ棒の数は図から縦に並んだマッチ棒は 3 本×4 列
横に並んだマッチ棒は 3 本×4 列になり，(3 本×4 列) ×2＝243×3 の正方形ということを考慮した式に直すと 3×(3＋1)×2＝24 となる
n＝8，－9n＝－9 は答えとして適当でないから，n＝88本

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P9 【23 二次方程式(中3)まとめ】

39二次方程式 x2＋ax＋b＝0 の解が 3 と 4 のとき，a と b の値をそれぞれ求めなさい。

BCDE

16＋4a＋b＝0 …②－）16＋4a＋b＝0－7－a＝0a＝－7a＝－7 を①に代入

9－21＋b＝0－12＋b＝0

b＝12a＝－7，b＝1240

次の問いに答えなさい。

DEn(n－3)① 正 n 角形の対角線の本数は，で求めることができる。
2正六角形の対角線の本数を答えなさい。

6(6－3)＝92②9本54 本の対角線が引ける正多角形を答えなさい。
n(n－3)＝108n2－3n－108＝0(n－12)(n＋9)＝0
n＝12 , －9n は自然数だから，n＝－9 は答えとして適当でない。n＝12正十二角形
42

右の図で，y＝－x＋9 のグラフと y 軸，x 軸との交点をDEそれぞれ A，B とし，線分 AB 上に点 C をとる。
点 C から x 軸に垂線をひき，x 軸との交点を D とした。
台形 AODC の面積が 28cm2 のとき，点 C の座標をyA
y＝－x＋9求めなさい。ただし，座標の 1 メモリを 1cm とする。
lCOD

点 A の座標は，( 0 , 9)

点 C の x 座標を a とすると，C，D の座標は，それぞれ C( a, －a＋9 )，D( a , 0 )台形 AODC の面積が 28cm だから，{9＋(－a＋9)}×a×

1＝282

両辺×2
{9＋(－a＋9 )}×a＝56
a＜8 だから，a＝4 したがって，C 座標は ( 4, 5 )(4,5)

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Bx