23 二次方程式(中3)まとめ
1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

二次方程式とその解き方に じ ほうていしき★二次方程式…移項して整理すると，(x の二次式)＝0 という形になる方程式を，x についての二次方程式という。

(x2 がある式)

x2－1＝0，x2＋5x＋3＝0，x2＋3x＝2
かい★二次方程式の解…二次方程式を成り立たせる x の値を，その方程式の解といい，解をとすべて求めることを二次方程式を解くという。
次の二次方程式を解きなさい。

(1) 2x 2－100＝0(2) 2x 2－24＝0(3) 4x 2－7＝0

2x2＝100

2x2＝244x2＝7x2＝50

x2＝12x2＝x＝±50

x＝±12

x＝±x＝±52x＝±2 3x＝±(4) (x－3)2＝4
[解き方]

(5)

(x＋2)2－27＝0x－3＝A とおくと，(x＋2)2＝27A2＝4x＋2＝A とおくと，A2＝27A＝±2
A をもとにもどすと，
x－3＝±2

A＝±3 3
A をもとにもどすと，

x＝3±2x＋2＝±3 3x－3＝2 から，x＝5x＝－2±3 3x－3＝－2 から，x＝1
よって，x＝5，12ABCDE

次の二次方程式を解きなさい。
①74x2－16＝0② 3x2－15＝0x2＝16

3x2＝15x＝± 5Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

7472

P2 【23 二次方程式(中3)まとめ】

3ABCDE

次の二次方程式を解きなさい。
①(x－4)2＝9② (x＋1)2－64＝0A2＝64

A＝±3

A＝±8A をもとにもどすと，
x－4＝±3A をもとにもどすと，x＝4±3x＋1＝±8x＝4ABCDE

7，1x＝±8－1

次の二次方程式を解きなさい。
①5(x＋1)2＝50②5(x＋1)2 50＝554(x－1)2＝20(x＋1)2＝104(x－1)2 20＝44x＋1＝±A をもとにもどすと，

10－1±10x＝54(x－1)2－20＝0

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE(x＋m)2＝n の形にして方程式を解く
次の二次方程式を解きなさい。
x2＋6x＋4＝0

4 を移項

x2＋6x＝－4x2＋6x＋32＝－4＋32(x＋3)2＝5x＋3＝± 5x2＋6x＝－4x の係数の半分の 2 乗を両辺に加える

半分の 2 乗左辺を因数分解

3 を移項x2＋6x＋32＝－4＋32(x＋3)2x＝－3± 56BCDE

次の二次方程式を(x＋m)2＝n の形にして解きなさい。
①x2＋4x－16＝0② x2＋10x＋7＝0x2＋4x＝16x2＋10x＝－7x＋2＝±20x＋5＝±18x＋2＝±2

5x＋5＝±32－2±2 5x＝x＝－5±3 2

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P3 【23 二次方程式(中3)まとめ】

7次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

解の公式を使って二次方程式を解く★二次方程式 ax 2＋bx＋c＝0 の解は，x＝－b±b2－4ac
2a次の二次方程式を解きなさい。

(1) 4x 2＋5x＋1＝0a＝9，b＝－12，c＝4 だから

b2－4ac＝52－4×4×1b2－4ac＝(－12)2－4×9×4＝9＝0－5± 9x＝2×412± 0x＝2×9－5± 3＝
8＝－5＋3x＝8－5－3， x＝8－2
8＝＝－1，4よって，x＝－ABCDE

9x 2－12x＋4＝0

a＝4，b＝5，c＝1 だから＝8(2)◎二次方程式では，上の(2)のように，解が 1 つになることもある。

－88＝－１1，－１4 ,次の二次方程式を解の公式を使って解きなさい。
①3x2－9 x＋5＝0② 4x2－x－2＝0＝21x＝＝33

9± 21
2 ×3x＝9± 21＝69ABCDE231± 33
2 ×41± 33＝8次の二次方程式を解の公式を使って解きなさい。
①8x2－2 x－3＝0② 4x 2＋2x－5＝0x＝2± 1002× 8－2± 84
x＝2 ×4＝2±10－812， (,)
161616－2±2＝83
1＝，－4221－1± 21
＝4Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P4 【23 二次方程式(中3)まとめ】

10

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDEx2＋(a＋b)x＋ab＝0 , ax2＋bx＝0 , x2＋2ax＋a2＝0★二次方程式 ax2＋bx＋c＝0，その左辺が因数分解できれば，右のことを使って解くことができる。

A＝0 または次の二次方程式を解きなさい。

(1) x2－2x－15＝0

A×B＝0 ならば、

(2)x2＋3x＝0(x＋3)(x－5)＝0x(x＋3)＝0

x＋3＝0 または x－5＝0x＝0 または x＋3＝0

よって，x＝－3，5

よって，x＝0，－3

22(3) x ＝4x(4) x ＋6x＋9＝0x2－4x＝0(x＋3)2＝0x(x－4)＝0x＋3＝0

x＝0 または

x－4＝0

よって，x＝－3

よって，x＝0，411ABCDE次の二次方程式を解きなさい。
①x2－13x＋12＝0
x－12＝0 または
よって，x＝12ABCDE② x2－6x－7＝0x－1＝012，1

よって，x＝ABCDE

x－7＝0－1, 7

次の二次方程式を解きなさい。
①

3x2＝－5x② x2－5x＝－6x(3x＋5)＝013x＋1＝0 または(x－2)(x－3)＝0x＝0 または

3x＋5＝0

よって，x＝0，－x－2＝0 または53

よって，x＝x－3＝02 ，3次の二次方程式を解きなさい①x2＝10x－25② x2＋6＝7x(x－5)2＝0(x－1)(x－6)＝0

x－5＝0

x－1＝0 または

よって，x＝5

よって，x＝x－6＝0

1，6Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

B＝0

P5 【23 二次方程式(中3)まとめ】

14

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE二次方程式の解き方(因数分解を使って)次の二次方程式を解きなさい。
(1) (x＋1)(x＋3)＝3(x＋1)
x2＋4x＋3＝3x＋3(2)2x2－11＝(x－1)(x＋3)
2x2－11＝x2＋2x－3

x2＋4x－3x＋3－3＝0

2x2－x2－2x－11＋3＝0

x2＋x＝0x2－2x－8＝0

x(x＋1)＝0(x＋2)(x－4)＝0

x＝0，－1(3)2x＝－2，422(x ＋2)＝6x(4) －3x －3x＋36＝0

両辺を 2 でわる

両辺を－3 でわる

x2＋2＝3xx2＋x－12＝0x2－3x＋2＝0(x－3)(x＋4)＝0(x－1)(x－2)＝0

x＝3, －4x＝1, 215
ABCDE

次の二次方程式を解きなさい。
①② (x－5)2＝－2(3x－15)(x＋3)(x－5)＝20
x2－2x－35＝0x2－4x－5＝0(x＋5) (x－7)＝0(x＋1)(x－5)＝0

x＝－5，716

次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①4(x2＋2)＝(x＋1)(x＋5)

x＝－1，5② (3x－2)(x＋4)＝5x2＋4

3x2－6x＋3＝0－2x2＋10x－12＝0x2－2x＋1＝0x2－5x＋6＝0(x－1)2＝0(x－2)( x－3)＝0x＝1x＝17

次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①2，30.1x2＋0.5x＋0.6＝0② 0.01x2－0.06x＋0.09＝0x2＋5x＋6＝0x2－6x＋9＝0(x＋2)( x＋3)＝0(x－3)2＝0

x＝－2，－3x＝

3Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P6 【23 二次方程式(中3)まとめ】

18BCDE

次の二次方程式を解きなさい。
①

1 2 3x － x＋1＝022ABCDEx2－64＝0(x－1)( x－2)＝0(x＋8)( x－8)＝0ABCDE1，2±8x＝次の二次方程式を解きなさい。
①x2＋2x－8＝0②6x2－5x－1＝0(x－2)＝0 より x＝2x＝5±712(x＋4)＝0 より x＝－4x＝122，－1212x＝20

1 2x －8＝08x2－3x＋2＝0x＝19②2，－4x＝③ (x＋2)(5x－1)＝0(5x－1)＝01，－1
6x＝

より x＝－2，次の二次方程式を解きなさい。
①x2＝－8x② 9x2＝4x(x＋8)＝0x＝③4±x＝(3x＋2)(3x－2)＝00，－8x＝±x2＝4x－2

2
34±2 2x＝2x＝21

次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①7x2＋3＝4(x＋1)
4±x＝x＝16－822± 2② 2(x＋1)2＝6－x2

16＋28
144±2 11143x2＋4x－4＝0－4±x＝x＝

42－4×3×(－4)
2×3－4± 64
6x＝2，－23

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1515P7 【23 二次方程式(中3)まとめ】

22次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①x2＋36x＋324＝0② (x－2)2＋(x－2)－30＝0

x－2＝A とおく(x＋18)2＝0(x－2－5)(x－2＋6)＝0(x－7)(x＋4)＝0
x＝
23

次の二次方程式を解きなさい。

BCDE①(x－4)2＝25
x＝②

9，－1(x－1)2＋4(x－1)＋3＝0 ③

7，－4

2x2＋32x＋128＝0(A＋1)(A＋3)＝0(x＋8)2＝0(x－1＋1)(x－1＋3)＝0

x＝－8x(x＋2)＝00，－2x＝24

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE二次方程式の利用
右の図は、ある住宅地の地図を縦 6cm，横 10cm の長方形に切り取ったものです。
灰色の住宅部分の面積が 32cm2 だとすると白色の道路幅は，何 cm か。
10cm[解き方] 道路幅を x cm とすると，右下の図より
灰色の住宅部分の面積を求める式は(10－x)(6－x)＝326cm

60－16x＋x2－32＝0x2－16x＋28＝0(x－14)( x－2)＝0x＝14, 2長方形の縦の長さが 6cm だから，(10－x)cmx＝14 は，問題に合わない。
x＝2 は，問題に合っている。
[答] 2cm◎方程式の解であっても，問題の条件にあてはまらないものがある。条件にあうかどうかを確かめた結果も解答の中に示しておく。

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(6－x)cm

P8 【23 二次方程式(中3)まとめ】

25BCDE

縦 120cm，横 160cm の長方形の紙がある。この紙に次のように決めて絵をかく。

(ア)

絵のまわりに，等しい幅で白地の部分を残す。

(イ)

絵の面積は，紙の面積の半分とする。

160cm

このとき，白地の部分の幅は何 cm になるか，求めなさい。

x cm

120cm

白地の部分の幅を x cm とすると，これを解くと，x2－140x＋2400＝0(x－20)(x－120)＝0

x＝20，120x＝120 のとき，問題にあわない。
x＝20 のとき，絵の縦は 80cm，横は 120cm となり，これは問題にあっている。

20cm
26

正方形の土地がある。図のように，縦，横の辺に平行に幅 1m のCDE

通路をとって，残りの部分を花だんにしたら，花だんの面積が1m25m2 になった。正方形の土地の 1 辺の長さは何 m か。
(x－1)2＝25x－1＝±51mx＝1±5x＝6、－46mx＞0 より，x＝－4 は不適
27

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE整数の問題連続した 2 つの正の整数がある。それぞれを 2 乗した数の和が 145 になるとき，これら 2 つの整数を求めなさい。
[解き方]

2 つの正の整数のうち，小さい方を x，大きい方は x＋1 とする。

それぞれの 2 乗の和は，x2＋(x＋1)2＝145
2x2＋2x－144＝0x2＋x－72＝0(x＋9)(x－8)＝0x＝－9，8x は正の整数だから，x＝8x＝－9 は問題にあわない。
x＝8 のとき、2 数は 8、9 となり、これは問題にあっている。

[答] 2 つの整数は，8 と 9Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【23 二次方程式(中3)まとめ】

28

連続する 3 つの正の数があり，最大の数の平方は他の 2 つの数をそれぞれ 2 乗した数の和にBCDE等しい。これら 3 つの正の数を求めなさい。

x2＋4x＋4＝x2＋x2＋2x＋1－x2＋2x＋3＝0x2－2x－3＝0(x－3)(x＋1)＝0
x＝3，－1x は正の整数だから

x＝33，4，529ある自然数 x を 2 乗すべきところを間違って 2 倍したため，結果は 80 小さくなった。このときCDEの x を求めなさい。
x2―2x―80＝0(x＋8)( x―10)＝0x＝－8，10x は自然数なので，x＝－8 は不適合，よって x＝10x＝10302 けたの整数がある。十の位の数は一の位の数より 1 小さく，それぞれの位の数の積はそのCDE

整数より 10 小さい。この整数を求めなさい
x(x－1)＝10(x－1)＋x－10
x2－x＝10x－10＋x－10
x2－x＝11x－20
x2－12x＋20＝0(x－2)(x－10)＝0
x＝2、10x＜10 なので，x＝10 は不適当よって，x＝21231

縦の長さが横より 3cm 短い長方形の厚紙の 4 すみから，1 辺が 2cm の正方形を切り取り，CDE残りを折り曲げて容積が 20cm3 の直方体の箱を作る。長方形の厚紙の縦と横は何 cm で2cmあればよいか求めなさい。
2cm

長方形の厚紙の縦の長さを x cm とすると，横の長さは，(x＋3)cm
容積は，2(x－4)(x＋3－4)＝202(x－4)(x－1)＝20(x－4)(x－1)＝10
横の長さは，6＋3＝9
縦6cm

横Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

9cm

P10 【23 二次方程式(中3)まとめ】

32

右の図のように正方形 ABCD の中に正方形 EFGH をつくる。このとき，AE の長さを求めな

CDE

さい。ただし正方形 EFGH の面積を 68cm2，AE＞AH とする。

AH

D

正方形 ABCD の面積は，10×10＝100
4 つの直角三角形の面積の合計は，100－68＝32G10cm

AE＝x とおくとE

AH＝10－x1x(10－x)×4＝322B

F

C2x(10－x)＝32x＝2，8AE＞AH より x＝2 は不適当，よって，AE＝88cm
33

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

動く点の問題
下の図のような長方形 ABCD がある。点 P は辺 AB 上を A から B まで，点 Q は辺 BC 上を B から C まで，同時に出発して，点 P は毎秒 1cm，点 Q は毎秒 2cm の速さで進む。このとき，△PBQ の面積が 5cm2 になるのは，出発してから何秒後か。
[解き方] 出発してからかかった時間を x 秒とすると，

AP＝x cm，PB＝6－x(cm)

12cm

A

BQ＝2x cm だから，
1×2x(6－x)＝52DP
6cm

6x－x2＝5x2－6x＋5＝0(x－1)(x－5)＝0B

x＝1，50＜x＜6 だから，どちらも問題にあっている。

CQ[答] 1 秒後，5 秒後

34

右の図のような直角三角形 ABC で，点 P は A を出発してBCDE

AB 上を B まで動く。また，点 Q は点 P が A を出発するとA同時に B を出発し C まで動く。点 P,Q が出発してから2 秒後に△PBQ の面積は何 cm2 になるか求めなさい。
ただし点 P の速さは，秒速 2cm，点 Q の速さは秒速 1cmとする。

出発してから 2 秒後

P8cm

PB＝4cm，BQ＝2cm だから，
△PBQ の面積は，1×2×4＝4(cm2)2

B4cm2Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

Q
6cmC

P11 【23 二次方程式(中3)まとめ】

35

右の図のように，AB＝BC＝6cm の直角二等辺三角形 ABC がある。点 P は辺 AB 上を A からCDEB まで，点 Q は辺 CB 上を C から B まで，同時に出発して，どちらも毎秒 1cm の速さで進む。

このとき，四角形 APQC の面積が 10cm2 になるのは，出発してから何秒後か。
△ABC－△PBQ＝四角形 APQC なので18－1(6－x)2＝102

これを解くと，(6－x)2＝166－x＝±4x＝2，102 秒後
36

下の図のように，DC＝10cm，BC＝20cm の長方形 ABCD がある。2 点 P，Q は点 A を同時DEに出発し，点 P は毎秒 5cm，点 Q は毎秒 2cm の速さで，それぞれ下の図の矢印の向きにAB，BC，CD，DA の順に，長方形の辺上を 1 周する。このとき，次の問いに答えなさい。
① 点 P が辺 DA 上にあり，AP＝5cm になるのは，点 P が点 A を出発してから何秒後であるか求めなさい。

A

出発してから x 秒後とおくとAP＝5 であるから

DQ
P

B

10 ㎝
20 ㎝

C

11 秒後
② 点 P が辺 BC 上，点 Q が辺 AB 上にあり，△QBP の面積が 10cm2 になるのは，2 点P，Q が頂点 A を出発してから何秒後であるか求めなさい。
x2－7x＋12＝0(x－3)(x－4)＝0x＝3，4点 P が辺 BC 上にあるのは，10≦5x≦30 より，2≦x≦6…①点 Q が辺 AB 上にあるのは，0≦2x≦10 より，0≦x≦5…②x＝3，4 は①②のどちらも満たす

3 秒後，4 秒後

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P12 【23 二次方程式(中3)まとめ】

37

右の図のようにマッチ棒でマス目をつくる。144 本のマッチ棒を使うとき正方形の 1 辺のDEマッチ棒の数を求めなさい。
例えば， 3×3 の正方形のマッチ棒の数は図から縦に並んだマッチ棒は 3 本×4 列
横に並んだマッチ棒は 3 本×4 列になり，(3 本×4 列) ×2＝243×3 の正方形ということを考慮した式に直すと 3×(3＋1)×2＝24 となる
n＝8，－9n＝－9 は答えとして適当でないから，n＝88本38

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

応用（１）
二次方程式 x2＋ax－3＝0 の解の 1 つは－3 である。次の問いに答えなさい。
(1) a の値を求めなさい。

[解き方]

二次方程式に x＝－3 を代入すると，9－3a－3＝0a＝2

これを解いて，[答] a＝2(2) 他の解を求めなさい。

[解き方]

二次方程式は x2＋2x－3＝0
これを解くと， (x＋3)(x－1)＝0x＝－3, 1

よって，他の解は x＝139[答] x＝1二次方程式 x2＋ax＋b＝0 の解が 3 と 4 のとき，a と b の値をそれぞれ求めなさい。

BCDE

16＋4a＋b＝0 …②－）16＋4a＋b＝0－7－a＝0a＝－7a＝－7 を①に代入

9－21＋b＝0－12＋b＝0b＝12a＝－7，b＝12

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P13 【23 二次方程式(中3)まとめ】

40

次の問いに答えなさい。

DEn(n－3)① 正 n 角形の対角線の本数は，で求めることができる。
2正六角形の対角線の本数を答えなさい。

6(6－3)＝92②9本

54 本の対角線が引ける正多角形を答えなさい。
n(n－3)＝108n2－3n－108＝0(n－12)(n＋9)＝0
n＝12 , －9n は自然数だから，n＝－9 は答えとして適当でない。n＝12正十二角形
41CDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

応用（２）右の図で，y＝x＋2 のグラフと y 軸との交点を B，

yy＝x＋2y＝x＋2 上の x＞0 の部分に点 A を取り，点 A からA (a, a＋2)x 軸に垂線をひき，x 軸との交点を C とした。
△ABC の面積が 24cm2 のとき，点 A の座標を求めなさい。ただし，座標の 1 メモリを 1cm とする。
[解き方] 点 A の x 座標を a とすると，A，C の座標
は，それぞれ A (a, a＋2)，C (a, 0)△ABC の面積が 24cm2 だから，aB

1a×(a＋2)＝2420a＋2l

C (a, 0)a(a＋2)＝48

両辺×2

a2＋2a－48＝0(a－6)(a＋8)＝0
a＝6, －8
したがって，A 座標は ( 6 , 8 )a＞0 だから，a＝6[答] ( 6 , 8 )Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

xP14 【23 二次方程式(中3)まとめ】

42

右の図で，y＝－x＋9 のグラフと y 軸，x 軸との交点を

DEそれぞれ A，B とし，線分 AB 上に点 C をとる。
点 C から x 軸に垂線をひき，x 軸との交点を D とした。
台形 AODC の面積が 28cm2 のとき，点 C の座標をyA
y＝－x＋9

求めなさい。ただし，座標の 1 メモリを 1cm とする。
lCOD

点 A の座標は，( 0 , 9)

点 C の x 座標を a とすると，C，D の座標は，それぞれ C( a, －a＋9 )，D( a , 0 )台形 AODC の面積が 28cm だから，{9＋(－a＋9)}×a×1＝282

両辺×2{9＋(－a＋9 )}×a＝56
a＜8 だから，a＝4 したがって，C 座標は ( 4, 5 )(4,5)

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Bx