J. Plasma Fusion Res. Vol.94, No.4 (2018)１
８３‐１９０

解説

プラズマ回転による抵抗性壁モード安定化に関する理論・シミュレーション研究の進展
Progress of Theoretical and Simulation Studies
on Resistive Wall Mode Stabilization by Plasma Rotation
白石淳也
SHIRAISHI Junya
量子科学技術研究開発機構（原稿受付日：２
０
１
８年１月１
９日）

本解説では，抵抗性壁モード（RWM : Resistive Wall Mode）と呼ばれる不安定性について，プラズマ回転による安定化機構の解明に向けた理論研究の進展について紹介する．本課題に関する理論は，磁気流体力学（MHD : Magnetohydrodynamic）方程式を用いた研究から始まり，実験の進展とともに運動論的 MHD 方程式が広く用いられるようになった．運動論的 MHD 理論による解析では，MHD 揺動（ここでは RWM）と運動論効果（粒子運動の効果）との相互作用が重要な役割を果たす．運動論的 MHD 理論では，運動論効果を総圧力テンソルの揺動に埋め込んでいる．古くから用いられてきた理論モデルであるが，回転がある場合の拡張について，最近の進展について述べる．また，これら理論は実験研究とともに発展してきたため，一部実験研究の成果についても触れる．
Keywords:
resistive wall mode, MHD, hybrid kinetic MHD, plasma rotation, advanced tokamak

１．はじめに果を持つ理想壁を考えたとしても，更にベータ値を上げて本解説で取り上げる抵抗性壁モード（RWM : Resistive

いくと，やはりあるベータ値で不安定になる．これを「理Wall Mode）は，標語的には「安定化しきれなかった外部キ

想壁限界ベータ値」などと呼ぶ．原理上，これ以上のベーンクモード」とも言える．外部キンクモードとは，プラズ

タ値を期待することはできない．以上の描像では，理想壁

マ表面の変形を伴うキンクモードのことである．外部キン限界以下かつ壁なし限界以上のベータ値でつねに外部キン

クモードはプラズマ表面の変形を有するため，その安定性

クモードが安定に思えるが，現実にはそうではない．実際

はプラズマ内部の物理量（圧力や電流など）の分布だけでには，壁は理想的ではなく有限な抵抗をもっているためなく，プラズマ外部の真空領域およびプラズマを取り囲ん（有限時定数をもつ電流しか流すことができない），完全にでいる外部の壁（たとえば真空容器）の性質によって特徴は外部キンクモード安定化しきれずに，壁の時定数程度のづけられる．まず極端な状況として，プラズマを取り囲む

時間スケールで成長する RWM として現れる．このように壁がない場合を考える．そのような状況でも安定な低い

述べると，RWM は特殊な状況で起こる不安定性のようにベータ値をもつプラズマを考える．その状態から徐々に思えるが，実際には，核融合炉の設計を考える際には非常ベータ値を上げていくと，壁による安定化効果が存在しなに重要なものとなる．核融合炉の出力はベータ値の２乗にいため，あるベータ値で外部キンクモードが不安定にな比例するため，核融合炉の経済的成立性を高めるためにる．このときのベータ値を「壁なし限界ベータ値」などとは，ベータが高い領域での運転が望まれる．壁なし限界を呼ぶ．ここで，壁による安定化効果とは，プラズマ表面の超えるベータ値の領域での原型炉の設計が可能になれば，変形によって誘起される磁場の摂動を打ち消すような電流

他の重要なパラメータ（装置サイズ，楕円度等）の設計尤

パターンを壁が流せることを意味している．次に，もう少度が極めて大きくなる．したがって，RWM を安定化する

し現実に近い状況を考える．プラズマを取り囲む壁は存在

手法の研究開発は，核融合研究にとって非常に大事な課題

するが，壁が理想的な場合，すなわち抵抗がゼロである場である．

合を考える．物理的には，無限に短い時間スケールで，磁RWM を安定化することを考えると，素朴には，抵抗性場摂動を打ち消すような電流パターンを生成することがで壁では打ち消すことができなかった磁場摂動を外部コイル

きることを意味する．この時，理想壁の安定化効果によりによって与える"active"な安定化手法が考えられる．この外部キンクモードは安定化される．しかし，強い安定化効

ような手法は，フィードバックをかけて RWM を安定化す

National Institutes for Quantum and Radiological Science and Technology, Naka, IBARAKI 311-0193, Japanauthor’s e-mail: shiraishi.junya@qst.go.jp

１８３!2018 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.4 April 2018

る実験によりその効果が検証されている．一方で，原型炉の困難が多くあらわれることはよく知られている．このよや核融合炉の設計を考えると，そのような外部コイルを取う な 方 向 の 研 究 に お い て 嚆 矢 と な っ た の は１９９４年 のり付けること は 非常 に 困 難 な こ と が 推 測 さ れ る．特にBondeson らの論文［７］である．この論文では，線形化されRWM の場合，可能な限りコイルをプラズマに近づけたい

た抵抗性 MHD 方程式に平衡のプラズマ回転の効果を含めが（例えば真空容器の内側），そのような環境ではプラズて，トカマク配位で数値的に解いている（この論文ではマからくる熱負荷や中性子負荷が大きく，メンテナンス性

コーディング上プラズマは静止し壁が回転している＝プラや寿命を考えると，炉内にコイルを置くことが非現実的でズマは剛体回転している）．このコードは MARS-F と呼ばある．以上のような理由から，"passive"な安定化手法の一れ，次のような線形化された非理想 MHD 方程式系を解いつである，プラズマ回転（特にトロイダル回転）が注目をている．

集めている．回転は加熱等によりプラズマ中に遍在するか$%#"#!""##
!!'#
$
((
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#
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，

ら，これにより RWM が安定化されれば，外部コイルによ

!%'#(
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")
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#
#
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!#'$，
(
"(
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る安定化については考えなくてよくなる．そのため，プラ

!"
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$$
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#
&!!&'$#(')

ズマ回転による RWM 安定化機構の解明については古くから研究されており，現在でも活発に研究が行われている．

（２）

$$
$．
%"$
%")
#
(%!(
#
(!('$
#
(
')

RWM の実験及び理論については，解説［１］やレビュー論
文［２］にまとめられている．

ここで，(，"，!，"，&は平衡の質量密度，トロイダル"，#$，#
回 転 周 波 数，磁 場，電 流，圧 力，#
(，#
&
!，#

次節からは，プラズマ回転による RWM 安定化に関する理論研究の進展の流れについて述べる．

は質量密度，磁場，電流，速度，圧力の揺動である．また，%はトロイダルモード数，# は対流項に起因する項，&は抵

２．MHD 理論による RWM安定化機構解明への取組

抗，!は大半径，$はトロイダル角，及び !は比熱比であ

１９７１年に出版された Pfirsch & Tasso の論文［３］から始まる．（２）式を見ると，#(に関する方程式は独立しているたる，「理想」MHD 理論に基づいた RWM 安定性研究につい

め，他の方程式を解けばよいことがわかる．また，方程式て紹介する．この論文では，壁が有限抵抗をもつ場合のエ（２）は非自己共役性を持つため，もはや固有値が実数或いネルギー原理を考察している．その結果，壁なし限界よりは純虚数であることは保証されないため，%は複素数をと高いベータ値のときに，抵抗性壁によっては完全に外部キる．RWM 解析では，プラズマだけでなく，プラズマを取りンクモードを安定化できないということが結論されてい囲む壁における磁場の拡散，壁内外の真空磁場をまとめてる．これはまさに RWM の描像であり，先駆的な研究であつじつまのあった形で解いていく必要がある．真空領域おるといえる（およそ４７年前の論文で２ページしかない）．

に詳しい
よび抵抗性壁における計算法については［８］や［９］その後，漸近接続法を用いたRWM解析［４］など理論的な進記載がある．境界条件としては，プラズマ表面及び抵抗性

展が続いていたが，１９８９年に Haney により重要な論文が出

壁上において磁場揺動の法線成分が真空領域と連続である版された（現在でも良く引用され，解析の基礎となっていことを課す．これによりプラズマ‐真空‐抵抗性壁システムる）．［５］では，Pfirsch&Tasso の定式化をより一般的に考においてつじつまのあった解析が可能となる．RWM は回察し，非理想効果などを取り入れる試みがなされている．

転周波数が極めて小さいため，ほとんど壁に固定されていこの論文で導かれた重要な表式はる．仮にプラズマが音速程度で回転すれば，プラズマに

#
"&
%
)
$ %!
#
"#

のった座標系でみれば RWM は音波のように見え減衰を受ける．このような理論的描像に基づいて数値計算行い，（１）［７］では RWM 安定化にはアルフベン速度の数％程度の回であ る．こ こ で %は RWM の 成 長 率，)$ は 壁 の 時定数，

転速度が必要であると見積もられた．

#"& は壁がないとき（無限遠にあるときの）ポテンシャル

この論文が重要であるのは，実験結果を良く説明するこエネルギー，#"# は壁が '%#にあるときのポテンシャルとができたためである．DIII-D 実験においては，壁なし限エネルギーを表す（'は適切に定義された径方向座標）．こ界ベータを超えたプラズマが実現されていた．これは，

こで #"& 及び #"# を評価するときの MHD 変位 !は試行

RWM が安定化されていると考えられるが，その機構は不関数である．通常のエネルギー原理と異なりプラズマの慣明であった．そこで，DIII-D において，プラズマ回転によ性が現れないのは RWM の時定数（成長率，振動数）が壁るRWM安定化実験が盛んに行われた［１０］．重要な研究課の時定数程度であり非常にゆっくりとした運動であるため

題は，どのくらいの回転があればRWMが安定化されるか，である．このように，MHD 理論の根幹をなすエネルギーという「回転閾値」の同定である．その後 DIII-D では誤差原理を拡張することにより RWM を記述するというのは直磁場をわざとかけてプラズマ回転を減衰させて（magnetic

感的にわかりやすく，Freidberg の教科書にもその導出がbraking），回転閾値が調べられた．その結果が，Bondeson

記されている［６］．

らの予測とよく合うため，さきに述べた RWM 安定化機構

これまでに述べたのは，「理想」MHD で記述され，しか（音波の減衰）により，高ベータプラズマの維持が可能でも（平衡の）回転がない場合の理論である．回転や非理想あったと当時は結論づけられた．同様の機構（音波との効果が加わると理想 MHD の世界では縮退していた理論上カップリング）は理論的にも Betti らによって研究され
１８４

Commentary

Progress of Theoretical and Simulation Studies on Resistive Wall Mode Stabilization by Plasma Rotation

J. Shiraishi［１１］，トロイディシティは重要でないということが明らか

MARS（MARS-K と呼ばれる）［２４‐２６］，及び著者らが開発になった．他にも捩れアルフベン波との共鳴による減衰もした MINERVA/RWMaC［２７，２８］がある．これらのコード考えられた［１２］．このような波との共鳴による散逸ではな

においてどのような問題が解かれているのかを紹介する．

く，単純にプラズマの粘性や抵抗といった非理想効果によ%)$ の導出については最も直感的に理解しやすい Porcelli

る散逸を考 慮 す る こ と も で き る［１３，１４］．例 え ば，Fitz-

に従う［２９］．運動論効果は案内中心の運動に起因するた

patrick［１４］は，プラズマ表面の回転とプラズマ中の散逸をめ，そのラグランジアンから出発する．［３０］によれば，考慮している．この場合トロイディシティも圧縮性も必要##"速度（あるいはプラズマの巨視的流れ）が粒子の熱がない．本章で紹介した理論ではいずれも MHD 方程式に速度に対し無視できるほど小さい場合は，案内中心のラグ

基づいている．いずれの解析結果も，RWM 安定化にはア

ランジアンはルフベン周波数の数％の回転速度が必要であることを示し

.
" #
*
)
*
$
$&+
'!"%--*
! %-,
%
" $
!.!'"
#&
#

ていた．このオーダーの回転速度は大体積トカマクでは実現が難しいと考えられる．そのため，プラズマ回転に頼ら（４）ずに RWM を安定化させるため，外部コイルによるフィーと 書 け る．こ こ で '+，%,は 案 内 中 心 の 電 荷（質 量）ドバック制御などの研究も盛んに行われた［８，１５］．この方向の研究では，実際の壁形状を考慮することが重要であ!+",はベクトル（スカラー）ポテンシャル，--は案内中心)
速度の（磁場に対する）平行成分，*"，$ は案内中心&"!

り，ポート等複雑な３次元的な構造をもった抵抗性壁にお#
座標，.&("&%-(!
#は案内中心速度の垂直成分による運

ける渦電流を解析可能なコード開発などが行われた（著名動エネルギー（(は磁気モーメント，-( は案内中心速度磁なものとして VALEN があげられる［１６］）．

場に対する垂直成分），$はジャイロ角，#&はサイクロト
ロン周波数，及びドットは時間微分である．ラグランジア

３．低プラズマ回転による RWM 安定化実験と運動論的 MHD 理論

ン（４）から直ちに Euler-Lagrange 方程式が計算できる．
)*--，.
，$に関してはそれぞれ - &*（平行方向の運動），(%

今から約１０年前に，RWM の安定化に必要な回転閾値に

*&#&
*&!
（ジャイロ運動），(（磁気モーメント保存）を得$

ついて，重要な成果が発表された［１７‐１９］．一つは JT-60U

る．$ に関しては少し計算が必要だが結果だけ記すと，-における実験結果についてである．JT-60U の特徴の一つ$*&-"$! "$*)$'#$!()",#+"- '"-に中性粒子ビーム（NB: Neutral Beam）のジオメトリーが極めて多彩であることが挙げられる．これらを駆使し，回（５）と な る．こ こ で "$&!#!$及 び #$&!*,!$!*"$は)
修 正 さ れ た ポ テ ン シ ャ ル !$&!"%-*!
'及 び

転の大きさ・分布を制御することが可能である．例えば，
JT-60U ではバランス入射することにより，ゆっくりとし-た（２節で考えた回転速度より一桁も小さい）回転を実現#!
',により定義される修正された電磁場で"$&""%-#+

することができた．これにより，回転閾値のさらなる解明ある．ラグランジアン（４）により記述される運動に関するに向けた実験的研究が進められた．その結果，低回転（ア

保存量としてまず磁気モーメントがある．これを使って次ルフベン速度の１％以下）においても RWM が安定化されの関係式を得る．

ることが示された［１７，１８］．同時期に DIII-D においても NB

* . *
%
.
"
' %
$%
! %
)"&( ! "" "#', "入射をバランス入射が可能なように改良し，不整磁場の効
果を除くことで同様の結果を得た［１９］．これらの成果は，（６）#
もう一つの保存量は総エネルギー #(&%-!
#"."'"で速い（アルフベン速度の数％）回転が望めない大体積トカ
マク（例えば原型炉）における RWM 安定な運転への見通（５）を用いある．'#(!
',&!*,$と Euler-Lagrange 方程式

しをたてたという意味で画期的な成果である．

ると，理論的には，実はこれより以前に（２００４年），Hu らによ#-" % '%
*
*
$
'%
.
--"%
$!' '%%)""%--%!
&!*,%', # ',（７）

り運 動 論 的 MHD 理 論 に 基 づ い て 低 回 転 プ ラ ズ マ で のRWM 安定化機構の存在が議論されていた［２０］．運動論的効果によって第２章で紹介した分散関係（１）は以下のようを得る．加えて，平衡が軸対称であると仮定すると正準角に修正される［２１］．
%
)' "%
)$
'
)
% &!
)$
%
)*"%

運動量 && &'(!&"%--("&!
" が保存する．'&&!
',&*($
を用いると，

（３）

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*
&& *
%
$ '%
*
*
$
%
%
)&& &"%
&
!
*
&
*
-',

（１）式と比べると，分子と分母に %)$ という項が現れている．これは運動論効果によるエネルギー変化を表している．後で見るように，この表式で重要な点は，%)$ が複素（８）を得る．一方，線形化されたドリフト運動論方程式は数を取りうるということである．

*
&&
+ *
+ *
'%
*
(%
"
)&&"%
!%
"
&&
*
-', *

運動論的 MHD 理論に基づいた数値解析コードとして，
MISK
［２０，
２２，
２３］，運動論効果を含む よ う に 拡 張 された
１８５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.4 April 2018

+
/
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0
5."$
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*
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7
+
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*%
*!"&!
" ! ! #$
+
' ! !

"
"" "+
",
$
(
+
*#",
#$
*#$
#"!*%
'!
'!
と書ける．圧力テンソルの揺動は

（９）

"#$ /
#/
/
/
$
(&' %.$5
$
/5
" 5)
+!,
#.
$
#

と書ける． /は平衡の分布関数を表す．（９）式において，（６）‐（８）式を用いると，と仮定した（非等方の場合，非等方性に起因するポテン
シャルエネルギーがある）．（１６）式と（１８）式を組み合わせ，を得る．ここで $0は非断熱成分と呼ばれるもので，

以下のように断熱成分と非断熱成分に分離する．
"#$ /
#/
/
/
5.
$
(% &' %#
" 5)
+!,
$
#

（１１）

+
/ $
))"κ%
)), $
. 5（１９）
*/
"'+
*%
!))%
#
+
'

で定義され，$,& の導出に重要な役割を果たす．
（１１）式を見ると，非断熱成分は案内中心ラグランジアン

"#$ /
#/
/
/
$
(& &' %#
5.
" 5)
+!,
$
#

の揺動と平衡の分布関数で特徴づけられていることがわかる．案内中心ラグランジアンの揺動は電磁場の揺動と関連

+
/
+
/
' !(
3
.$5（２０）
)
!1
#
"$
$
+
"+
(%

づけることができて，
0
!%
$
$
&&)$
!!)$
"
!'$

（１８）

と書ける．ただし簡単のため 2.&2) と平衡圧力は等方的

+
/
+
/
/
$
!+
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0
$
/
(%
5#" !'
"!)$
"$
&$
（１０）
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(%
'
# . +

/+
/+
$
& +
$
&
0 +
'$
&
!
"- +
(% +
4 +
%
'4 +

（１７）

（１２）

断熱成分は流体的なポテンシャルエネルギーと関係づけらとなる．運動論的 MHD 理論の定式化のポイントは，電磁れ，非断熱成分は $,& に対応する．本解説とは関係しない場の揺動とプラズマ変位を理想 MHD 方程式により結びつため詳細は省くが，（１９）式を用いると，かなり長い計算

ける点にある．具体的には，磁場の揺動を $
"&*#+
!
)#",

の後

と表す．!
) は垂直方向の変位である．適当なゲージ条件の$$,% & "%
"!$
##",
!$%
$
(%,
.$6
/
+
!##$
"!
+
*%
0
)%
# )

（１２）
もと，これより $!&!
)#"が従う．以上を用いると，
は

#

#
)%
$
&&!'5.
!
κ"'!+
!
!
*%
)"κ%
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$
! - !#
" #
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*%
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#

（１３）

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$
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（２１）
!
$
!
!
.$6
,
%
+
*2,
!%
κ%
$
)%
.+
)#),

となる．但しκは磁場曲率である．
以上により，$/の非断熱成分が平衡の分布関数及び案内と，通常の流体的なポテンシャルエネルギーを得る．

中心ラグランジアンの揺動により特徴付けられること，また案内中心ラグランジアンの揺動が MHD 揺動と特徴付け$,& を計算するために，速度空間の変数として運動エネ

られることがわかった．次は圧力テンソルの揺動を計算し##ル ギ ー "*&'+
5.
!
#及 び ピ ッ チ 角 変 数
"5)
,
#
#
#
#&+
!!!
!,
5)
!
5)
"5.
,を導入すると，+て み る．$&( (.++(4
1%,と 仮 定 す る と
(.++
!)
,
!)
（(&&")(,，(,は実周波数），（１１）式は
+
/
+
/
3
$
0&)
' !(
!1
，
"$
+
(%
+
"-

$
,& & "%!
$
(&,
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# )

（１４）

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$
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$ #!#"κ%&! %"*# #*%
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#

4

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3&% !!$
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'
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（１５）

+
/
+
/
.$5（２２）
' !(
3
.$6
)
!1
"$
+
"4
+
(%

と解くことができる．ただし（１５）式における時間積分は摂動を受けていない軌道に沿ってとっている．正準角運動量,& の表式のなかに，案内中心ラグランとなる．ここで，$の揺動は $(% &)!
**と近似できるから（*はポロイダ)%

ジアンの揺動ル磁束），（１０），（１４）式より最終的に分布関数の揺動は

!
!
$
$
κ%
$
&&#!+&"*# #*%!
!
$ #!#"
３）
)"!
)$ （２
!!
!!

+
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*/
"'+
*%
!
)%
)"κ%
),
+
'

が現れていることがわかる．ここで + は温度である．した

+
/
+
/
（１６）
' !(
3
")
!1
"$
+
"+
(%

がって，
+
/
+
/
$
# +,
.$5
$
,& &!"%
' !(
3
.$6
)
+
!1
（２４）
"$
+
"+
(%
# !

と書くことができる．（２）式で運動方程式において圧力をスカラーからテンソルに置き換えると，慣性以外の項は
１８６

Commentary

Progress of Theoretical and Simulation Studies on Resistive Wall Mode Stabilization by Plasma Rotationと書くことができる．次に，軌道積分 %8について考える．

.
0.
0,!5,&- " 5,.
#+ ' .
(3&
3,%"5,("5,&!,
,
!5$6-

9

$ )%
8&! "% ,(+% !' !

（２５）

J. Shiraishi

（３２）

2&(
2&(
2
2
2
2
案内中心の運動方程式は 7
%
+*，&
%
+&
&(
%
+7，*

となる．（３２）で ,& がバウンス周波数や歳差ドリフト周波である（*はポロイダル角）．ポロイダル面におけるバウン2で定義する．"はポロイダル面
ス時間を +
+&"(*
"
*
% &"(

%
*'は複素になることがわかる．（３１）式と（３２）式から明らにおいて，補足粒子と通過粒子両方に対して閉じた軌道をかなように，%*' は案内中心ラグランジアンと平衡分布関!"表す．バウンス平均を.
"+,+/+(+と定義する．これ&+%数で特徴づけられる．

数と共鳴（分母がゼロ）になると，（３１）の積分を行うと%*' が計算できたとして，安定性をどう評価するかを考らを用いてトロイダル方向の運動のうち周期的な運動を取1,
2
り出すと &．これらを用いてラグランジア
+
+
&
+
&&,
!.
/

える．%
*' は (,に ,を含んでいるため，安定性を決める分
散関係（３）式は ,に関して非線形になっている．そのため

ンを
!

1

実際には反復法などの数値計算に頼らざるを得ない．この

2

+
$!),
-&,
,
$!)7
+
!
*,
+
/!*,+/!*5&,+-/!*5.&/
,
,
2
〜
*
/
5.
,+ !*
&
（２６）
+
/ /
$!),
&,

ような解法は自己無撞着なアプローチと呼ばれ，MARS-K［２４‐２６］に実装されている．しかし，RWM に関して言え〜 は 周 期 + の 周 期 関 数 で あ る．よ っ てと 表 すと，,$!)%〜
Fourier 級数展開することができ，,+$!),&#",3!/23, +ば，,がほかの周波数に比べて十分小さいため，次のような近似を考えることができる．MHD 方程式のうち流体成%とかける．これを用いると最終的に案内中心ラグランジア

分を解いて !
*' の中では ,&!とおく．すなわ( を求め，%

ンの揺動（２６）は

ち運動論効果によってモード構造は変化を受けないと仮定

2
$!)+
,
,
&# 3,3!/*,3,%!,!5.&/-+

する．このような解法は摂動的なアプローチと呼ばれ，（２７）

MARS-K［２４‐２７］，MISK［２０，２２，２３］，MINERVA/RWMaC

2と書ける．.
（２７）式を（２５）&/は歳差ドリフト運動を表す．

［２７，２８］に実装されている．摂動的アプローチの場合，分散式に代入し軌道積分し（２４）式に代入すると関係（３）の解析はかなり簡単になる．流体のポテンシャル%*' &# 3!4 "%,4!$,3!(3/*,3!4-, 9.$;.$:#%エネルギーは既知かつ実数であるから，簡単な計算によ
#
#
り，2
*'"
*'"
%
*' %
*' ),
!%
!!3
"2
*,
!%
3
&7
( と変形

（２８）

で きる．ここ で !&,
"
%
*' %
*-"
"
%
*-"!,
"
#"",
,
",
,
2
%
*' '
+
"
+
%
*-"
%
*' "
""'
"!,
,
,
-お よ び 7,00(&,と書ける．(3は共鳴項を表していて，

#
+
#,
""'
,
0--である．よって摂動的アプローチの場合，流

.
0
.
0
,
!5
.
#/
.
&&
(3&
2
3
, !5.
&/
!,

体ポテンシャルエネルギーが与えられた場合，'の等高線（２９）は円になる．図１はその一例である．%*' の値が小さく臨%界安定の円内にとどまれば不安定であるし，%*' の値が大である．ポロイダル角 *を Jacobian 41&7(#"(!で定義すきく円外に出れば運動論効果で安定化されることになる．
（３２）式から明らかなように，運動論的 MHD 理論の枠組

れば%*' &#.*)-,: -# 3!4
1

みでは，バウンス周波数や歳差ドリフト周波数といった比)##(!"!% #

較的ゆっくりとした（アルフベン周波数の１％よりも小さい）回転でも共鳴がおき，RWM を安定化する可能性があ#%,4!$,3!(37#+( " /*,3!4-,%9(7(*(#+(#（３０）:100る．実験解析にも広く用いられており，実験結果を一部説!" # *を 得 る．*に 関 す る 積 分 は $:10( "/,3!4-, 9(*&
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!［通 過（補 足）粒 子 に 対 し］となるからバウンス成分に関しては 3&4
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とすることができ，最終的に#)%*' &#.*)-,: -# 3 #1(!"!% #
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6 +を得る．共鳴項 (3については，有限軌道幅効果を無視する
2と，.
,% と書けるため（,& は ##"周波&/&!,&!,("$6数，,( は歳差ドリフト周波数，$は補足粒子の場合０，通図１

過粒子の場合１となるパラメータ），

１８７

流体ポテンシャルエネルギーが与えられた場合の，%WKの実部‐虚部平面における RWM 成長率の等高線の例．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.4 April 2018

明できるようになってきている．ただし回転シアの効果やば，それらの項が有意であれば安定性に影響を与えるはず高エネルギー粒子の効果など未解明な点も多い．

である．MINERVA/RWMaC［２７］には拡張された運動論
的 MHD 理論が実装されて い る．以 下 で は MINERVA/

４．回転の効果を含めた運動論的 MHD理論の拡張

RWMaC による解析例を紹介する．

３節では &*& の導出について述べた．もともとの動機と回転シアの効果に着目した数値解析［２７］について紹介すしては，プラズマ回転による RWM 安定化効果を調べるたる．［２７］では JT-60U の放電を解析対象としている．解析

めに運動論的 MHD 理論を用いているわけだが，回転の効している放電では，回転分布だけが変化していき，その他

果はどこで考慮されているのだろうか？ ［２０，２２‐２６］などの物理量（電流分布等）はほとんど変化していない．図２

では，回転の効果は "#! 周波数 )% の中で考慮される．

は，RWM 成長率を -&#面における回転シアと回転の関数)% は イ オ ン 流 体 の 力 の つ り 合 い か ら 決 ま る と 考 え，としたマップであり，従来理論と拡張された理論の計算結$$と回転周波数 $ と関連付ける．ここで)% &!$!)&!))

果の比較を示している．回転周波数が低いところの安定領++$
は密度（温度）勾配に関する反磁性周波数である．３
)&)
)*
+

域は歳差ドリフト周波数との共鳴による安定化を表してい節で述べたように，&*& は案内中心ラグランジアンの摂動

る．従来理論の計算結果と比較して，拡張された理論ではと平衡の分布関数によって特徴づけられる．しかし，これ臨界安定に近い領域で回転シアの効果が大きくなり，安定までの研究では，（４）式に見られるように回転が無い場合領域が広くなっていることがわかる．$&35 krad/s の場合のものを用いている．回転がある場合，案内中心ラグランに着目する．このときの &*& の実部と虚部の振舞を見る

ジアンや平衡分布関数が影響を受けるため，&*& が修正をと，図３のようになる．矢印は回転シアが大きくなってい受けると考えられる．このような発想に基づいた最近の研ることを示す．図３より &*& の虚部が重要であることがわ

究［２７］について紹介する．

かる．このときの各 &*& の虚部の大きさを比べると図４のまず案内中心ラグランジアンを拡張する．巨視的なプラようになる．図４（左）は従来の &*& と修正された &*&!

ズマの流れが粒子の熱速度に対し無視できない場合，（４）の虚部の比較，図４（右）は拡張された &
*&"，&
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は

の内訳を示している．&*& と修正された &*&!の違いは歳
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差ドリフト周波数の修正に起因する．この効果は通過粒子となる［３１］．" がプラズマの流れ場を表す．３節と同様のており，安定性を変化させる．以上拡張された運動論的計算を行っていくと，（１３）式はMHD 理論を用いて，現在回転シア効果に関する実験結果&$&#!)"#")"##)にのみ現れる．また図４（右）より，回転に伴う効果のなかで，通過粒子，補足粒子ともにコリオリ力の効果が大きい
ことがわかる．遠心力，回転シアの効果も有意な値をもっの定量的な比較が試みられている．

（３４）と拡張されることがわかる．ここで
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（３５）

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"のようにコリオリ力と遠心力を表す．次に平衡!*#)の分布関数について考えよう．回転がある場合，バルクイ
オンに関しては遠心力の効果により，$!
#"% $# #%,**(,)/.! + +! + " )/.!! ,"
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（３６）
となる．（３２）式から明らかなように，,は *によって微分されるため，自然と回転シアの効果が入ることがわかる．
以上より，&
*& は
*&!"&
*&""&
*&#"&
*&$
&
*& &&

（３７）

のように，従来項，コリオリ力に関する項，遠心力に係る項，回転シアに係る項といったように拡張されることがわ

図２

かる．それぞれ，回転の大きさに 対 し，０次，１次，２次，１次のオーダーとなる．
（３）式および（３７）式をみれ
１８８

RWM 成長率を q ＝ 2 面における回転シアと回転の大きさの関数としたマップ．従来理論と拡張された理論の比較．黒の実線は臨界安定を表す（参考文献［２７］の図４を引用）．

Commentary

図３

Progress of Theoretical and Simulation Studies on Resistive Wall Mode Stabilization by Plasma Rotation

J. Shiraishi

図２において !＝ 35 krad/s のときの "WK の実部‐虚部平面上における "WK の軌跡．矢印は回転シアの増加を表す（参考文献［２７］の図５を引用）．

図５

RWM 成長率を NBI 入射エネルギーと入射ピッチ角の関数としたマップ．上が従来理論，下が拡張された理論の結果を表す．黒実線は臨界安定を表す（参考文献［２
８］
の図９を
引用）
．

５．まとめ

図４ （左）
図３における従来の "WK と修正された "WK0 の虚部の比較．（右）
図３における拡張された "WK1，"WK2，"WK3の内訳（参考文献［２７］の図６を引用）．

プラズマ回転による RWM 安定化に関する理論研究の進展について，理想 MHD から始め，拡張 MHD，最後に運動論的 MHD 理論に基づいた研究について概観してきた．こ更に，高エネルギー粒子の効果に着目し理論の拡張をれらは新しいアイディアを取り入れて徐々に物理的描像の行っ た［２７］．NBI 加 熱 に よ る 高 エ ネ ル ギ ー 粒 子 を 考 え

精度を上げて発展している．これまでたびたび触れてきたる．平衡分布関数として定常な slowing-down 分布を考えように理論研究の進展といっても，新たな実験結果の発見る必要がある．標準的なslowing-down分布の導出を見ればに駆動されている面もある．今後も，理論と実験がともに［３２］，この分布はバルク粒子の回転にのった系における速協調して進展していくと思われる．本解説ではすべて線形度で表現されることがわかる．この点に注意し（３２）により理論について述べてきたため，非線形 MHD シミュレー

共鳴条件を計算するとともに，高エネルギー粒子の回転効

ションについて触れられなかったが，RWM 飽和レベルの果によって拡張された "（３７）式を計算した．計算対象と!"解明など重要な研究課題もある．また，ここで紹介した詳して JT-60SA を取り上げる．co-passing と counter-passing

細な定式化から簡約化モデルを構築し，ディスラプションの接線 NBI モ デ ル を 用 い た．図５は RWM 成 長 率 を co-予測に用いるという挑戦的な試みも最近行われている．こpassing NBI の入射エネルギー及び入射ピッチ角の関数とれらも今後の高性能トカマク研究においては重要な研究課

したマップである．上が従来理論，下が拡張された理論に題であり，更に研究を進めていく必要がある．

対応している．実線は臨界安定を表している．図より明ら

６．謝かなように，拡張されたモデルではRWM成長率が減少し，

辞

安定な領域が 大 きく な っ て い る こ と が わ か る．同様に本原稿を書くにあたり，量子科学技術研究開発機構の松counter-passing の NBI モデルでも，図の軸の値の範囲で全永剛博士，武智学博士，宮戸直亮博士，相羽信行博士，鈴て不安定な状態であったところに安定な領域が現れる．こ木隆博博士との議論に感謝します．

れは高エネルギー粒子の回転に伴う非共鳴的な "!" が増加することに起因している．またこの効果は，固有モード

参考文献の振幅が大きくなる "!!面及びプラズマ表面付近で特に［１］武智 学 他：プラズマ・核融合学会誌 85, 147 (2009).
［２］M.S. Chu and M. Okabayashi, Plasma Phys. Control. Fusion 52, 123001 (2010).
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［４］C.G. Gimblett, Nucl. Fusion 26, 617 (1986).
［５］S.W. Haney and J.P. Freidberg, Phys. Fluids B 1, 1637
(1989).

顕著になることが明らかになっている．
現在，バルクプラズマの回転シア効果および高エネル
ギ ー 粒 子 の 回 転 効 果 を 両 方 取 り 入 れ た MINERVA/RWMaC コードにより実験解析が行われている．

１８９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.94, No.4 April 2018［６］J.P. Freidberg, Ideal Magnetohydrodynamics (Plenum, New
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［８］M.S. Chu et al., Nucl. Fusion 43, 441 (2005).
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［１０］E.J. Strait et al., Phys. Rev. Lett. 74, 2483 (1995).
［１１］R. Betti and J.P. Freidberg, Phys. Rev. Lett. 74, 2949 (1995).
［１２］L.-J. Zheng et al., Phys. Rev. Lett. 95, 255003 (2005).
［１３］J.M. Finn, Phys. Plasmas 2, 3782 (1995).
［１４］R. Fitzpatrick and A.Y. Aydemir, Nucl. Fusion 36, 11(1996).
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［２４］Y.Q. Liu et al., Phys. Plasmas 15, 112503 (2008).
［２５］Y.Q. Liu et al., Nucl. Fusion 49, 035004 (2009).
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［３２］J.D. Gaffey, Jr., J. Plasma Phys. 16, 149 (1976).

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しらいし じゅんや

白 石 淳 也２
０
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７年東京大学大学院新領域創成科学研究科先端エネルギー工学専攻修了，現在は量子科学技術研究開発機構主幹研究員．主な研究分野はプラズマの安定性理論．最近は制御についても興味があります．趣味はサッカー，読書，娘や猫と遊ぶこと．

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