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平行双極子列磁気トラップとその地震計・火山センサーへの応用
イントロダクション

図よく知られた災害を示したインドネシアの図
地震を検出する基本的な地震計するための傾斜検出器（）

火山をモニタリング

インドネシアは世界最大の群島であり、約の島々が熱帯に点在していることから、しばしば「赤道の宝石」と呼ばれる。残念ながら地震や火山の爆発的噴火といった自然の脅威を多く抱えている。スマトラ アンダマ
ン地震及び津波（）やクラカタウ火山（）やタンボラ火山（）の爆発的噴火等の巨大な壊滅的な出来事 図が世界の歴史上最も致命的な災害として記録されている。地震を検出するためには、通常振り子を利用して地面の変位や加速度を測定する地震計が用いられている 図 。火山を監視するためには、地下のマグマの運動による地面の傾きの変化を検出するための傾斜検出器（チルトメーター）が用いられている 図 。この問題で、地震の検出や火山の監視をおこなうための新しい種類の磁気的なトラップ及びセンサー（平行な直線状
双極子トラップシステム）に関する物理と応用を調べてみよう。
平行直線状双極子システムは、図 に示されたように、 本の直線状に分布した磁気双極子（直線状双極子と呼ぶ）を配列させたものである。最近 人のインドネシア人の物理学者がこのシステムにおいて非常に面白い現象を発見した。それは直線状双極子の長さがあるしきい値よりも長くなると、中心部よりも端の磁場が強くなり、図に示されたような「らくだの背ポテンシャル」を作るというものである。この「らくだの背効果」は平行直線状双極子トラップと呼ばれる新しい形の磁気トラップを可能にしてくれるという点で重要である。 対の径

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向磁石、すなわち図 に示されているように、 極と 極が円筒の端面ではなくて曲がった側面にあるような円筒磁石、を用いることによりこのトラップは実験的に実現される。

図

軸に沿ったらくだの背ポテンシャル

径向磁石を用いた実験の配置を持つ平行直線状双極子トラップのモデル
断面図

トラップの概略図

このトラップにグラファイト棒（普通のシャープペンシルの芯）を落としてやると、それは空中に浮いて、ある安定な状態に捕えられる。このようなことが起こるのは、グラファイト棒は x方向では両方の磁石からの反発力を受け、垂直方向（y 方向）では磁気反発力と重力が釣り合うことによって高さ y 0 に浮上するためである（図２）。長手方向（ z方向）では、「ラクダの背」ポテンシャルがグラファイト棒を安定な位置に保持する。

この磁気トラップの「ラクダの背」ポテンシャルは 次元の振動子として働く。グラファイト棒をz 軸方向に少し押してやると、図３ に示したような減衰振動を行う。このトラップは高感度の地震計として使うことができる。地面が揺れてもグラファイト棒はそのままの位置に留まろうとするので、相対的変位（図３ ）は「地震」の信号となる。この磁気トラップはまた、高感度の傾斜計としても使うことができる。このトラップを少し傾けただけで、グラファイト棒は摩擦なしにかなり動くことになる。

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E2ExperimentJapan図「ラクダの背」ポテンシャルに平行な方向のグラファイト棒の減衰振動。
る地面の振動の検出。

次に、この地震計としての応用。

トラップの物理と応用を以下の２つの節に分けて調べることにしよう。

基本的特性
磁石の磁化M の決定
磁気浮上と磁化率 χ「ラクダの背」ポテンシャルによる振動と磁化率 χ振動子のQ 値と、空気の粘性 μ A の決定
応用
トラップを用いた地震計
PDLトラップを用いた傾斜検出器

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トラップによE2

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実験装置

図

実験器具の一覧。右上は一個の径向磁石、右下は磁気トラップ。

1. 単一の径向磁石。磁化方向を示すように黄色のシールを貼る。

2.

磁気トラップ 浮上したグラファイトが写真で示されている 。組み上がったセットから磁石を外さな
いこと。

3.

つのネジを備えたプラットフォーム

4. 底に敷く板
5. 磁場測定器（）。電池は磁気測定器に電力を供給するするため。ケーブルはホールセンサーと磁場測定器をつなぐためのもの。
6. 磁場測定器のホールセンサー
7.

つの直径（）のグラファイト棒（シャーペンの芯）。ここで、数字はおおよその直径を表す。たとえばの直径はおおよそである。正確な直径は「定数とデータ」を参照せよ。グラファイト棒は適宜求められた長さに切る必要がある。

8. ストップウォッチ
9. 虫眼鏡page 4 of 11

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10. ピンセット 静電防止型
11. 黄色くて丸いステッカー：単一の磁石の磁化の方向を示すため
12. グラファイトの浮上している高さをはかるために挿入する定規
13. グラファイト棒を動かすためのつまようじ
14. 単一の磁石をプラットフォームに固定するための弱い粘着パテ
15. 定規指示と注意：
1. 単一の磁石とトラップ（２個の磁石を組みあげたもの）はお互いに近づけないこと。互いに衝突して割れることがある。
2. 電池を節約するため、使用しない時はテスラメーターの電源を切ること。
3. 底に敷く板（部品 ）から注意して部品に敷く板の上に置け。

を取り外しなさい。そしてプラットフォーム（部品 ）を底

4. プラットフォームの水平度を つのねじを使って調節することができる。

定数とデータ
径向磁石の半径
径向磁石の長さ
トラップのすき間

RLgM

グラファイトの質量密度グラファイト棒「」の直径グラファイト棒「」の直径
グラファイト棒「」の直径
グラファイト棒「」の直径

ρdddd

室温
真空の透磁率ボルツマン定数重力加速度の大きさ

Tμ0kBgpage 5 of 113×2−6×−23

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実験と問題
トラップの基本的特性
磁石の磁化 M の決定

図
磁場の測定
磁場の距離依存性 両対数プロット 近距離（）と遠距離（存性が異なるセットアップ。磁場センサーは磁石の中央から測定をはじめる （））で距離依

磁気トラップの強度は磁石の全磁気双極子モーメントm に依存する。全磁気双極子モーメントは磁化M に依存する。磁化 M は単位体積当たりの磁気双極子の大きさであって、磁性体固有の性質である。径向磁石については、

M = π Rm2 Lである。ここで、R は磁石の半径、L は磁石の長さである（「定数及びデータ」を参照）。本実験問題において、全ての磁石のM の値は同じと考える。ここでは磁場の空間分布のグラフを描き、トラップに用いられている径向磁石の M を決定する。
一個の径向磁石を用い、実験装置を図のように配置する。磁石の磁化の向きは（図 に示されたように）ホール（磁場）センサーの方に向くようにする。テスラメーターを用いて x軸に沿った磁場の強度を測定せよ。 xに対する磁場B のグラフは つの領域からなる。近接場すなわち、およそx ≤の「直線状双極子」極限で磁場は下記の距離依存性をもつ。
μ m

BI (x) = 2π0x P L
x 軸は図のように径向磁石の磁化の軸に沿ってとり、x は径向磁石の中心軸から磁気センサーのチップ内にあるホール素子センサーまでの距離を表す。 xの値のオフセットの問題については図を参照せよ。

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ここでは、「近接場」の領域でのみ測定をおこなう。

近くに磁石がない場合のテスラメーターのゼロオフセットB0を記録しなさい。これ以降の磁場の測定ではこの値を差し引くこと.

「近接場」の領域≤x≤において、 に対する磁場 を測定せよ x は磁石の中心から測った距離とすること。解答用紙に結果を記録しグラフを書きなさい。下の「ヒントと指示」に従うこと。

指数p の値を決定するため、実験データを使いなさい
磁石の磁化 M を求めよ。

ヒントと指針図

磁場の測定

磁場が最大になるよう調整する（）

オフセット（）の図1. 使用していない時はテスラメーターの電源を切り、電池を節約すること
2. テスラメーターでは各データ点に対し約 秒待ってから数値を読むこと。
3. x は磁石の中心から測った距離であることに注意。磁石の半径は Rである。
4. 図の配置での測定を推奨する。
5. 図を見て磁石の回転の向きを調整し、磁場がホールセンサーの方を向くようにすること。それにより磁場が最大となる。磁石の磁場の向きに印を付けるのに黄色の丸いシールを用いるとよい。
6. ホールセンサーが磁石に接触しているとき、磁石の中心と実際のホールセンサー素子の距離はオフセッ
ト値 x OFFSETとなる。
7. ホールセンサーでの測定は xから始めること！センサーが磁石に接触している時 xのデータは使用しないこと。センサーの指示が飽和していたり接触の間にプローブが曲っていたりする場合がある。

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磁気浮上効果と磁化率 χ

図トラップ上での磁気浮上効果

浮上している高さ y0 を図るための定規トラップによって磁気浮上効果も実現させることができる。図 に示すようにグラファイトは高さ y0 の位置のトラップの中央で浮上する。グラファイトは磁石から力 FM (y0 )の反発力を受ける。この力は磁化率χ と棒の高さ y 0 に依存する。磁化率はある物質が印加磁場に対してどれだけ磁化するかを表す量であり、次の式を満たす。
μ = (1 + χ)μ0 。ここで、μ は物質の透磁率である。
トラップ上のグラファイト棒に作用する磁気反発力は次の式で与えられる。
μ M 2 χ V r R4
y0a5 f ( a )FM (y0 ) = − 0 2

F M (y 0 ) が正のとき、力は上向きであり式には負符号がついていることに注意せよ。ここで、V r はグラファイト棒の体積であり、M は（問題１で得た）磁石の磁化であり、 aは次のように与えられる磁石中心の位置である。
a = R + gM /2 図 を参照。 gM = 1.5はマグネット間のギャップを表す。 f (u) は次で与えられる、トラップ上の磁気反発力を表すための無次元量を与える関数である。

f (u) =

4u(3−u2 )(1−u2 )(1+u2 ) 5

長さのグラファイト棒をトラップ上に丁寧に置け。その時の棒の浮上している高さy 0 を測定しなさい。（図を参照。） ヒント：図に示されている定規を使いなさい。グラファイト棒の位置を読むために磁石に定規を押し付けて測りなさい。
での結果を使ってグラファイト棒の磁化率χ を決定せよ。
グラファイトは以下のどの磁気的性質を持った物質か？一つ選びなさい。 強磁性磁性 反磁性

page 8 of 11常E2ExperimentJapan「ラクダの背」ポテンシャル中の振動と磁化率 χ (1 pts)

図

高さ y0 におけるグラファイトの振動。

トラップの「ラクダの背」ポテンシャル放物線近似（と、その）。

図８に示したトラップの「ラクダの背」磁気ポテンシャル中の振動を利用して磁化率 χ をより精密に決定することにする。振動振幅が小さい（ z ＜ ㎜）範囲では、磁気ポテンシャルを放物線で近似することができる（図８では点線で示してある）。

UM = 12 kz z2
ここで、k z はポテンシャルのバネ定数であり、 zはグラファイト棒の重心の変位である。このバネ定数 k z は磁石の磁化M （問１で求めた）と磁化率 χ によってkz = −C1 μ0 χ M 2 Vrと表される。ここでμ 0 は透磁率、V r はグラファイト棒の体積、C1である。

2はこの磁気トラップに固有の定数

グラファイト棒を磁気トラップの中央にそっと置きなさい。ネジのツマミを回して装置台の水平度を調整しなさい。爪楊枝でグラファイト棒を横にずらせてやることによって、「ラクダの背」ポテンシャルに平行な振動を誘起しなさい。

「」のグラファイトを長さl ＝にしたものを振動させてみなさい。振動振幅は小さい範囲（A ＜）に留めなさい。振動周期を決定しなさい（振動は時間が経つにつれて減衰するが、減衰効果は無視しなさい）。
この振動を用いて、グラファイトの磁化率χ を計算しなさい

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E2ExperimentJapan振動子の Q値と空気の粘性の見積もり
空気抵抗によるグラファイト棒の振動の減衰を観測し、グラファイト棒のサイズ 直径と長さ および空気の粘性

μ A によって空気抵抗がどのように変化するかを理解したい。棒の運動は図 に示すように減衰振動z(t) = A e−t/τ sin ωt によってモデル化することができる。ここで A は初期振幅、 ω = 2πf は角振動数、 tは時刻である。振幅は時間とともに減衰し、−t/τ の因子がかかる。ここで τは減衰の時定数である。ここで振動の値を Q = ω0 τ/2 と定義する。のときは減衰振動、Qのときは臨界減衰、Qのときは過減衰がそれぞれ生じる。 値はトラップを使った地震計や傾斜測定器の設計に重要である。

円柱棒を長い回転楕円体で近似することによって、減衰の時定数τ を計算することができ、ストークス粘性力を計算することができる。減衰の時定数 τは次のように与えられる

τ = 23 μ A ln (0.607 × rl )
ρr 2

ここでρ r l はそれぞれ、グラファイト棒の質量密度、半径、長さを表し、μ A は空気の粘性である。このモデルを用いて空気の粘性を見積もりたい。

減衰振動の時定数 τを決める必要がある。どのようにしたら、簡単な方法でτを測ることができるか。その概略を述べよ
棒の長さをに固定し、全ての直径の棒を使って、減衰振動の実験を実行せよ。それぞれの棒に対して、減衰の時定数τ を決定せよ。
空気の粘性 μA を決定せよ。

測定器への応用
トラップ地震計
このトラップを使って地震計を設計することを考えよう。地震計に応用するために、非常に高い感受率、つまりは非常に低いレベルの「ノイズ・フロア」が求められる。ここでいうノイズ・フロアとは、地震計が検出で20.5きる最低の加速度のことであり、（の単位で）次のように与えられる。
4kB Tω‾
a n = √‾‾‾‾‾
Qm R
ここで、k B はボルツマン定数であり、T は温度 定数とデータをみよ 、m R は棒の質量である。全て 単位系である。問題 では、いくつかの直径のグラファイトについてτを求めた。地震計として一番良いと考えられるものを一つ選びなさい。

どの直径の棒を選ぶのが良いか？

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選んだ棒について、地震計のノイズ・フロア a n を計算せよ。

トラップを利用した傾斜測定器

図

傾斜測定器としてのトラップシステム ネジによって傾斜を調節する。

トラップを、火山をモニターするための高感度傾斜測定器として利用することを考える。地面の傾斜の変化を、模擬的にネジ（）の回転によって再現することとし、ネジのピッチS を決定する。ここでS はネジを１回転した時の高さの変化を表す。トラップ中のグラファイト棒の位置変化によって傾斜角を精密に測定できることを示す。
この実験には、長さ lのグラファイト棒を用い、トラップの中央位置から始めなさい。問３と同様、「ラクダの背」ポテンシャルは放物線で近似できるものとしなさい。

位置変化Δz と、ネジのピッチ S およびネジの回転数 N との関係の理論式を導きなさい。
ネジをそっと回転させて、回転数 N とグラファイト棒の位置変化Δz とのグラフを求め、そこからネジのピッチS の値を決定しなさい。
地面の傾斜が変化した際にそれを楽に読み取れるためには、グラファイト棒が新たな平衡位置にできるだけ速やかに落ち着く（長時間にわたって振動が持続するのではなく）ことが望ましい。そのために最適な傾斜測定器の 値はいくらか。

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