九州大学 工学部地球環境工学科
船舶海洋システム工学コース
海事統計学 第13回 （担当：木村）

検定（３）：分散・適合度の検定

授業の資料等はhttp://sysplan.nams.kyushu-u.ac.jp/gen/index.html

検定によってどんなことが判定できるか？
・比率の検定（１） 母比率 p が、ある値 p0 に等しいといえるか？
（２） 比率の差の検定： ２つの異なる母集団の間で、母比率に差があるといえるか？

・平均値の検定（正規母集団）（１） 母集団の平均値  が、ある値 0 に等しいといえるか？
（２） 平均値の差の検定： ２つの異なる母集団の間で、母平均に差があるといえるか？

・分散の検定（１） 正規母集団の分散  が、ある値  0 に等しいといえるか？
22（２） 分散の差の検定： ２つの異なる正規母集団の間で、分散に差があるといえるか？

・適合度の検定（１） 観察されたデータが、特定の分布に一致しているといえるか？
（２） ２つの母集団の確率分布が異なるものであるかどうか？

分布の種類を問わない（ノンパラメトリック）
コルモゴロフ・スミルノフ検定

【復習】 標本からの分散の区間推定

母集団分布に従うｎ個の標本正規分布であることだけは既知

x1 , x2,  , xn

 分散  2 の期待値
正規分布

母集団

標本より、母集団分布の分散  2 のとりうる範囲を推定する

未知x1  x2   , xnxn

標本平均1 n2
標本不偏分散U (xx)in  1 i 1とすると、
2

確率変数

    



221

カイ２乗分布表より値を読み取る n21 1  2
  n 1  2
2

X
は自由度 n-1 の カイ２乗分布に従う
よって真の分散 2 の範囲は、信頼係数 1  のとき

【復習】 標本からの分散の区間推定

母集団分布に従うｎ個の標本正規分布であることだけは既知

x1 , x2,  , xn

 分散  2 の期待値
正規分布

母集団

標本より、母集団分布の分散  2 のとりうる範囲を推定する

未知x1  x2   , xnx
n

標本平均

1 n2
標本不偏分散U (xx)in  1 i 1とすると、
2確率変数

    



221

カイ２乗分布表
より値を読み取る n21 1  2
  n 1  22

X(n  1) U xi  x 2   2i 1  n22は自由度 n-1 の カイ２乗分布に従う
よって真の分散 2 の範囲は、信頼係数 1  のとき(n  1)U 2(n  1)U 22    n21   n21 1   22自由度 n のカイ２乗分布
自由度 n が大きくなると形が正規分布に近づく→ ｎ＞３０ の場合、正規分布表を利用

密度関数が最大値になる値と期待値が異なる

１．分散の検定
母集団が正規分布に従うとき

2

母集団の分散は 0 ← この仮説を検定する【帰無仮説】
正規分布 N (  , 母集団の分散 ) に従う母集団から n 個の標本 x1 , x2,  , xn22 が未知のためその推定値として

2ˆ
xx(1)n 2   i
 2
i 1 2n

統計量

ただし平均値xx1  x2    xnn

実際に得られた標本と仮説からカイ２乗を計算した結果、その値が採択域にあれば有意水準αで仮説が採択される。
対立仮説が

2  0のとき 両側検定2 2   02

対立仮説が  2   2 のとき 片側検定0を得るとき、1 n2を用いる場合、U (xx)in  1 i 12は自由度 n-1 のカイ２乗分布に従う

１．分散の検定
母集団が正規分布に従うとき

2

母集団の分散は 0 ← この仮説を検定する【帰無仮説】
正規分布 N (  , 
母集団の分散 ) に従う母集団から n 個の標本 x1 , x2,  , xn22 が未知のためその推定値として

2 xi  x  (n  1)U2   2i 12n統計量

ただし平均値xx1  x2    xnn

実際に得られた標本と仮説からカイ２乗を計算した結果、その値が採択域にあれば有意水準αで仮説が採択される。
対立仮説が

2  0のとき 両側検定2 2   02

対立仮説が  2   2 のとき 片側検定0を得るとき、1 n2を用いる場合、U (xx)in  1 i 12は自由度 n-1 のカイ２乗分布に従う

【練習問題】
ある製品の製造工程で、製品品質のばらつきはこれまで分散3 で管理されてきた。
この工程に変更を加えたので、ばらつきに変化が生じたかどうかを調べるために20個の標本をとって標本（不偏）分散を計算したところ U 2  4.85 であった。
工程変更によってばらつきが増大したといえるか？有意水準５％で検定せよ。
【帰無仮説】  2   02

【対立仮説】 22 0 2片側検定

  0.05
カイ２乗分布表
より値を読み取る1  n21  2(n  1) U 2

2(20  1)  4.85

 30.73

【練習問題】ある製品の製造工程で、製品品質のばらつきはこれまで分散3 で管理されてきた。
この工程に変更を加えたので、ばらつきに変化が生じたかどうかを調べるために20個の標本をとって標本（不偏）分散を計算したところ U 2  4.85 であった。
工程変更によってばらつきが増大したといえるか？有意水準５％で検定せよ。
【帰無仮説】  2   02

【対立仮説】 22 0 2(n  1) U 2

2(20  1)  4.85

 30.73

片側検定
よって棄却域に入るため、帰無仮説は棄却される：  0.05
カイ２乗分布表
より値を読み取る

1
棄却域

 
 n21    30.1
2

ばらつきは増大したといえる２．分布の適合度の検定 カイ２乗分布の応用： 「あてはまり」の検定観察された標本分布がある特定の分布に一致しているといえるかどうか？
【仮説】 標本分布が特定の分布に一致している → 度数分布が一致例） サイコロを300回投げたとき観察された目の出現回数
目（クラス） k

１

２３４５６

計

出現回数 fk（観測度数）

５１４２

５５４０６７４５３００５０５０５０５０５０

５０

３００

期待度数 f k*

このサイコロが正常かどうかを有意水準５％で検定するには？

期待度数

度数
度数分布の適合度を検定

１２３４５６目

２．分布の適合度の検定「あてはまり」の検定＝カイ２乗検定

観察された標本分布がある特定の分布に一致しているといえるかどうか？
【仮説】 標本分布が特定の分布に一致している → 度数分布が一致
標本分布および仮説による分布が度数分布で表されているとする。
それぞれの第ｋクラスの度数を f k および f * ただし k  1, 2,  , mk
このとき、仮説が正しいならば
観測度数
統計量度数



度数分布
観測度数
期待度数k 1

期待度数

 f f * 2
 2    k *k fk 1kmk 2k 3k 4とする。

は近似的に自由度 m-1 のカイ２乗分布に従う
ただし、おおよそ f k

標本と仮説からカイ２乗を計算した結果、その値が採択域にあれば有意水準αで仮説が採択される。

クラス

データが一致しないなら分子は大きくなりカイ２乗の値は大きくなる*51
 n21   棄却域

適合度検定の場合はカイ２乗の片側検定

２．分布の適合度の検定「あてはまり」の検定＝カイ２乗検定

観察された標本分布がある特定の分布に一致しているといえるかどうか？
【仮説】 標本分布が特定の分布に一致している → 度数分布が一致
標本分布および仮説による分布が度数分布で表されているとする。
それぞれの第ｋクラスの度数を f k および f * ただし k  1, 2,  , mk
このとき、仮説が正しいならば観測度数
統計量度数



度数分布
観測度数
期待度数

k 1期待度数 f f * 2
 2    k *k fk 1kmk 2k 3k 4とする。

は近似的に自由度 m-1 のカイ２乗分布に従う
ただし、おおよそ f k

標本と仮説からカイ２乗を計算した結果、その値が採択域にあれば有意水準αで仮説が採択される。

クラス

データが一致しないなら分子は大きくなりカイ２乗の値は大きくなる*51
 n21   棄却域

適合度検定の場合はカイ２乗の片側検定

例） サイコロを300回投げたとき観察された目の出現回数

目（クラス） k１

２３４５６計

出現回数 fk（観測度数）

５１４２５５４０６７４５３００５０５０５０５０５０５０３００

期待度数 f k* f  f * 2
 2    k *k fkk 1m 51  502   42  502   55  502   40  502   67  502   45  502  

50
50
50
505050     
 10.08
カイ２乗分布表より
自由度６－１＝５
有意水準５％
片側検定の棄却域を読み取る  0.05

0.95
棄却域

例） サイコロを300回投げたとき観察された目の出現回数

目（クラス） k

１

２

３４５６計

出現回数 fk（観測度数）

５１

４２

５５４０

６７

４５３００

５０

５０

５０

５０

５０

５０３００

期待度数 f k* f  f * 2
 2    k *k fkk 1m

 51  502   42  502   55  502   40  502   67  502   45  502 
 




50
5050505050
     
 10.08 2  10.08  11.07
カイ２乗分布表より自由度６－１＝５
有意水準５％
片側検定の棄却域を読み取る  0.05

0.95
棄却域

 n21 0.05  11.07

よって帰無仮説（サイコロの目が正しい＝サイコロの目が期待度数分布に従う）
は棄却されない

適合度の検定（カイ２乗検定）：まとめ
標本分布および仮説による分布が度数分布で表されているとする。
それぞれの第ｋクラスの度数を f k および f * ただし k  1, 2,  , mk
このとき、仮説が正しいならば観測度数統計量 f f * 2
 2    k *k fk 1kmとする。

期待度数は近似的に自由度 m-1 のカイ２乗分布に従う
ただし、期待度数 f k● カイ２乗分布表を使って片側検定● （期待度数＜５） の場合は、クラスを統合して度数を５以上にする

次回の講義にて詳しく説明*

5適合度の検定（カイ２乗検定）：まとめ標本分布および仮説による分布が度数分布で表されているとする。
それぞれの第ｋクラスの度数を f k および f * ただし k  1, 2,  , mk
このとき、仮説が正しいならば観測度数統計量 f f * 2 2    k *k fk 1kmとする。

期待度数は近似的に自由度 m-1 のカイ２乗分布に従う
ただし、期待度数 f k● カイ２乗分布表を使って片側検定● （期待度数＜５） の場合は、クラスを統合して度数を５以上にする

次回の講義にて詳しく説明*5

【演習問題】

2018.05.29

学籍番号

氏名

次のデータは、5枚のコインを320回投げて表の出た枚数を調べたものである。
これらのコインは正しいコイン（表の出る確率が0.5）と言えるか？
有意水準5％で検定せよ。
表の枚数

０１２３４５計観察された回数

６５６８７

１０９４９

１３３２０

期待度数
帰無仮説／対立仮説は？
各クラスの期待度数は？
棄却域の範囲は？
データから計算されるカイ２乗の値は？
帰無仮説は棄却されるか？
結論は？

【演習問題】

学籍番号

氏名

次のデータは、5枚のコインを320回投げて表の出た枚数を調べたものである。
これらのコインは正しいコイン（表の出る確率が0.5）と言えるか？
有意水準5％で検定せよ。
表の枚数

０１２３４５計観察された回数

６５６８７１０９４９１３３２０

期待度数

１０５０１００１００５０１０３２０222222

6  10 56  50 87  100 109  100 49  50 13  10
 




21050

100

1005010?
カイ２乗分布表より
自由度６－１＝５
有意水準５％
片側検定の棄却域を読み取る  0.05

0.95
棄却域

 52 0.05  11.07

【演習問題】

学籍番号

氏名

次のデータは、5枚のコインを320回投げて表の出た枚数を調べたものである。
これらのコインは正しいコイン（表の出る確率が0.5）と言えるか？
有意水準5％で検定せよ。
表の枚数

０１２３４５計観察された回数

６５６８７１０９４９１３３２０

期待度数

１０５０１００１００５０１０３２０222222

6  10 56  50 87  100 109  100 49  50 13  10
 




210
 5.7450 2  5.74  11.07
よって仮説は棄却されない＝正しいコインであることを否定できない

100

100

カイ２乗分布表より
自由度６－１＝５
有意水準５％
片側検定の棄却域を読み取る

50

10  0.05

0.95
棄却域

 52 0.05  11.07