第17回全国物理コンテスト

物理チャレンジ2021

第１チャレンジ

実験課題レポートレポート表題ブロワーの風力を用いた運動の第２法則の検証

第１チャレンジ番号

氏名：

２１３８００２： 髙石 叶唯

学校名または学校のある卒業校名： 愛媛県立新居浜南高等学校

学年： 高等学校３年生（中等教育学校６年生、高等専門学校３年生）

実験をした
主な場所

： 学校・施設など（公的な場所）

共同実験者１

氏名

都道府県名 ： 愛媛県

補足（その他の場合）

第１チャレンジ番号

２１３８００３

村上涼紀
共同実験者２：

氏名第１チャレンジ番号

実験課題に取り組んだ感想
思った実験値が得られなかったりと大変なこともありましたが、実験を共同研究者と協力して最後までやりきることが出来ました。レポートも方法を考え始めた時期
４月

思うように書くのに苦労しましたが、何とか仕上げることが出来ました。

実験を始めた時期
５月
実験に取り組んだ期間
約

２０日間

１要約
力の大きさと加速度の関係を明らかにすること、質量と加速度の関係を明らかにすることを目的に実験を行った。まず、力の大きさと加速度の関係を測定するために加速度センサーと風受けを付けた力学台車の後方から風を当て実験を行った。次に、質量と加速度の関係を測定するために、風力を一定にして質量を変え、同様の実験を行った。どちらも動摩擦力の影響を受けることが分かった。そこで、摩擦の影響を消すために滑走路に傾斜をつけ、同様の実験を行った。その結果、力の大きさと加速度の関係に比例関係、質量と加速度の関係に反比例関係がみられた。さらに、実験で得られた質量が実際の質量より大きく出たことから車輪の慣性モーメントを測定した。また、空気抵抗力を加味した運動方程式の式変形を行った。その結果、力学台車の滑走実験結果から得られる質量値は車輪の回転エネルギーや空気抵抗力の影響を受けることが分かった。

-1-

２

実験の目的
物体にはたらく力の大きさと加速度の関係を明らかにすること、物体の質量と加速度の関係を明らかにすることを目的とする。

３ 実験手法3.1 実験装置の検討
２つの物理量の関係を明らかにするためには、それ以外の条件を変化させない必要がある。具体的には、物体にはたらく力の大きさと加速度の関係を調べるためには、物体の質量を一定にする必要があり、物体の質量と加速度の関係を調べるた
図１ 加速度センサー
風受けを載せた
めには、物体に加える力の大きさを一定にする必力学台車
要がある。前者の制御は難しくないが、後者についてはその工夫が難しい。そこで、本実験では、
文献１を参考に、図１のような風受け用の段ボールと加速度センサーを載せた力学台車に図２のブロワーから一定の風力を力学台車の走行中に図２ ブロワー与えることにした。ブロワーから台車に与える風力は図３のように電子天秤に風受け用段ボールを載せて測定した。
[N]

2.70
風2.65

力 2.602.55
200 mm2.50100

図３150200250

300

[mm]
送風口から風受け用段ボールまでの距離
図４ 風力と送風口から風受け用段ボールまでの距離の関係

風力測定の様子

図４より、送風口から風受け用段ボールまでの距離が 200mm 程度であれば、風力は一定であることが分かった。また、ブロワーの風量を変化させても送風口から風受け用段ボールまでの距離が 200mm 程度であれば、一定の風力を得られることを確認した。以上の理由から本装置を用いることにした。
-2-

3.2 準備物
力学台車、ブロワー、電子天秤、おもり、滑走路、加速度センサー
1.0m のピアノ線に銅製円盤を取り付けたねじり振り子、ストップウォッチ

図６
図５

おもり

風受けと電子天秤

図７ 滑走路力学台車の滑走を滑らかにするために、木板の上にプラスチック板を貼り付けた。

図９ ねじり振り子-3-

図８ 加速度センサー
Bluetooth 機能により、測定値をリアルタイムにパソコンに送信できる。

3.3 実験概要
3.3.1 実験１ 力の大きさと加速度の関係 の実験手順(1) 図１の台車の質量を電子天秤で量った。
(2) 図５の装置の上からブロワーの風を垂直に送り、送風口と段ボールの距
離を 200mm にした状態で風力を量るとともに、その距離が 200mm 前後で動いても風力が大きく変化しないことを確認した。
(3) 図 10 のように力学台車とブロワーの距離を 200mm に保ちながら、滑走台上の力学台車を風力によって走行させ、加速度を加速度センサーによって測定した。ジュール熱による影響でブロワーの風力が大きく変化しないよう、(2)を行った直後に実験を手早く行うよう気を付けた。また、滑走開始時に十分な風力が風受け用段ボールに伝わるよう、図 11 のように滑走前にはブロワーの風を力学台車にあてながら、台車を押さえるようにした。また、同じ条件で加速度の測定をそれぞれ３回試行し、その平均値を測定値とした。
(4) ブロワーの風量を変化させ、(2)、(3)を繰り返した。

図 10 力学台車を走行させる様子

図 11 走行させる前にブロワーの風を風受け用段ボールにあて、台車を手で抑える様子
手を離すと、十分な風力が加わった状態で走行が開始される。

-4-

3.3.2 実験２ 質量と加速度の関係 の実験手順(1) 図６のおもりの質量を電子天秤で量った。
(2) 図 12 のように、力学台車の上におもりを載せ、実験１と同様の手順で、ブロワーの風力によって、滑走路上にて力学台車を走行させた。風力が、2.53 N に保たれるよう、毎回、滑走前に電子天秤で風力を確認した。
(3) 力学台車に載せるおもりの個数を変化させ、(2)の操作を繰り返した。
なお、同じ条件で加速度の測定をそれぞれ３回試行し、その平均値を測定値とした。

図 12 おもりを載せた力学台車-5-

3.3.3 実験３ 斜面を利用した台車の滑走実験
3.3.3.1 測定理論

図 13 斜面上を等速直線運動する力学台車にはたらく力

通常、台車を進行させると、進行方向と反対向きに動摩擦力がはたらく。
そこで、図 13 のように、進行方向に傾斜をつけると、重力の分解成分 Mgsinθがはたらくようになる。斜面下方向に力学台車が等速直線運動するとき、慣性の法則により、斜面に平行な方向に対して、力はつり合う。
よって、このとき
Mgsinθ - μ’Mgcosθ = 0(ⅰ)
が成り立つ。
この条件で、実験１や実験２を行えば、台車にはたらく斜面下方向の力は、風力のみになると考えられる。
3.3.3.2 実験手順
(1) 図 13 のように滑走路に傾斜をつけ、ブロワーなしで力学台車を滑走させた。
(2) 傾角 θ を少しずつ変えていき、その度に力学台車を走行させた。その際の加速度を加速度センサーで計測し、加速度が 0 に最も近い角度を検討した。
(3) (2)において等速直線運動をする角度で実験１、実験２と同様の実験を行った。

-6-

3.3.4 実験４ 力学台車の車輪における慣性モーメントの測定
3.3.4.1 測定理論
文献２を参考に力学台車の車輪における慣性モーメントの測定を行う。
図９のように、細いピアノ線の下端に銅製円盤を接続し、長さ 1.0 m となるようにスタンドに固定したねじり振り子装置を作製し、円盤を回転振動させることを考える。
円盤の慣性モーメントを I₀、ねじり角を θ、比例定数を C とすると、振動中の円盤の運動方程式は次のようになる。
d ²θ

𝐼₀ dt ² =‐Cθよって、振動周期を T₀とすると、次のような式が成り立つ。
I₀T₀ = 2πC(ⅱ)

次に、円盤の上に、力学台車の車輪を円盤の中心と車輪の中心を合わせて載せる。車輪の慣性モーメントをＩ、このときの振動周期を T とすると
T = 2πI₀＋I
C(ⅲ)(ⅱ)、(ⅲ)式より、C を消去して I について解くと、次のようになる。
I=

T ²－T₀²T₀²・I₀(ⅳ)

金属製円盤の質量を m 、円盤の半径を r0 とすると、円盤の慣性モー
メント I₀ は、次の式で表される。
1I₀ = 2mr02(ⅴ)

以上の関係を用いると、車輪の慣性モーメント I を求められる。
3.3.4.2 実験手順
(1) 電子天秤を用いて、銅製円盤の質量 m を量った。
(2) 定規により、銅製円盤の半径 r0 、車輪の半径 r を測定した。
(3) 銅製円盤ねじり振り子を振動させ、ストップウォッチにより 50 周期を測定した。その平均値を計算し、周期 T₀を求めた。
(4) 銅製円盤の上に車輪を載せて、(3)と同様の方法で周期 T を求めた。
(5) 車輪を２個載せた場合、３個載せた場合も同様に周期 T を求めた。
(6) ここまでの結果を(ⅳ)式、(ⅴ)式に代入して、車輪を１個載せた場合～３個載せた場合の平均値をとることで車輪の慣性モーメント I を算出した。
-7-

４ 実験結果
4.1 実験１の結果
力学台車＋加速度センサー＋段ボールの重力質量 M ＝ 1.05 kg

[N]
6.0

風5.0
4.0

力F3.0

F = 1.46a + 0.166

2.01.00.00.01.0

加2.0

速度 a3.0

4.0[m/s2]

図 14 実験１ 風力と台車の加速度の関係
点線は、最小二乗法による近似線

4.2

実験２の結果おもりの名称

おもりなし

おもり１おもり２

おもり３

おもり４おもり５544.3

546.5

546.7

530.3

541.3

おもりの質量[g]重力質量 M[kg]

1.05

1.59

2.14

2.69

3.22

3.76

慣性質量 M'[kg]

1.46

2.00

2.55

3.09

3.62

4.17

表１ 実験２ おもりの質量

実験中の風力 F = 2.53 N
[kg]
[kg]
4.0
6.0
重 3.5
慣 5.0
3.0
力性 4.02.5
質 2.0
質 3.0
量 1.5
量 2.01.48
M 1.0m=＋0.231 M ' 1.00.5
a0.00.00.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.52
加速度の逆数 1/a [1/(m/s )]M′=

0.51.0
加 速 度

実験値（慣性質量)

図 15 実験２ 重力質量と台車の加速度の逆数の関係
点線は、最小二乗法による近似線

2.53a+0.176

1.52.0[m/s2]a
理論値（慣性質量）

図 16 実験２ 台車の質量と加速度の関係-8-4.3 実験３の結果
滑走台の傾斜角 θ = 2.00°
[N]
6.0

風 5.0

[kg]
4.5
4.0

2.0

慣
3.5
性
3.0
質
2.5
量

1.0M'

F = 1.46a

4.0

力3.0
F

0.0
0.0

1.02.0
加 速 度

2.0
1.5
1.0

3.0
4.0
a [m/s2]

図 17 実験３ 風力と台車の加速度の関係
点線は、最小二乗法による近似線

4.42.53=a0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.92
加 速 度 a [m/s ]
理論値

実験値（慣性質量)

図 18 実験２ 台車の質量と加速度の関係
点線は、最小二乗法による近似曲線

実験４の結果
物理量名

円盤の質量

円盤の半径

円盤の慣性モーメント

ねじり振り子
周期

記号と単位

m [g]

r0 [m]

I0[kg・m2]

T0[s]

数値

304.0

3.30×10-2

1.66×10-47.72

表２ 実験４ ねじり振り子の実験結果

物理量名

記号と単位

車輪１個車輪２個車輪３個

周期

T [s]

8.16

8.649.12

慣性モーメント

2I [kg・m ]-5

1.94×10-54.18×10

車輪１個当たりの慣性モーメント I ＝ 2.07×10-5 kg・m2
車輪の半径r ＝ 2.30×10-2 m
表３ 実験４ 車輪を載せた場合の実験結果-9-6.55×10-5５ 考察
5.1 力の大きさと加速度の関係について
5.1.1 実験 1 の結果について
実験 1 を考察する。物体にはたらく風力と加速度の関係は図 14 より、おおむね比例関係であることが分かる。これは、運動方程式 ma = F の関係と一致する結果である。しかし、近似線には、切片が 0.166 現れている。本実験装置
において、風力以外に力学台車にはたらく力には動摩擦力や空気抵抗力があると考えられる。そこで、これらの力 図 19 空気抵抗力により時間とともに加速度が減衰する様子（モデル）を考慮して運動方程式を立てることを考える。
動摩擦係数を μ′とおくと、力学台車には進行方向と反対向きに μ´Mg の動摩擦力がはたらく。また、空気抵抗力は、近似的に力学台車の速さに比例すると考えれば、比例定数を k とおくと、大きさ kv の力が進行方向の反対向きにはたらくと考えることが出来る。よって、運動方程式は次のように表される。
Ma＝F - μ´Mg - kv(ⅵ)
また、加速度センサーの値を見ると、図 19 のように滑走時間に対して一定の割合で加速度が減衰している様子が見られた。低速状態では見られないが、特にブロワーの風力が大きいと顕著であった。a-t グラフの面積は、速さを表すので、時刻 t における速さは、次のように表される。
tv = 2 (a + a0)(ⅶ)

さらに、滑走開始時に空気抵抗力 kv はかからないので、運動方程式は、次のようになる。
Ma0 ＝ F - μ´Mg(ⅷ)(ⅶ)式、(ⅷ)式を(ⅵ)式に適用して整理する。
F - μ´Mgkt

Ma ＝ F - μ´Mg - 2 (a＋F ＝ M(2𝑀+kt) a ＋ μ´Mg

2𝑀−ktM)(ⅸ)(ⅹ)

よって、(ⅷ)式より、動摩擦力 μ´Mg が切片として表れることが分かった。

- 10 -また、図 14 のグラフの傾きより求まる慣性質量は 1.46 kg と算出される。
これは重力質量 1.05 kg よりも大きくなる。この理由については、(ⅹ)式の2𝑀+kt

加速度の係数 M (2𝑀−kt)が傾きに現れるからである。空気抵抗力が加わることが影響していると考えられるが、さらに、車輪の回転エネルギーが加わることも影響していると考えられる。詳細については後で述べる。
5.1.2 実験３における力の大きさと加速度の関係
実験３では、運動方程式は次のように表される。
Ma＝F - μ´Mg – kv + Mgsinθ
(ⅰ)式より、重力の分解成分と動摩擦力は互いに打ち消し合う。よって
Ma＝F – kv(ⅺ)となる。また、μ´Mg =0 とし、(ⅶ)式、(ⅷ)式を(ⅺ)式に適用して整理すると次のようになる。
F ＝ M(2𝑀+kt2𝑀−kt) a(ⅻ)(ⅻ)式が正しければ、実験３における風力と加速度の関係は、切片の現れない比例関係が成り立つはずである。実験の結果、図 17 より風力と加速度の関係が切片の現れない比例関係であることを確かめることが出来た。また、
2𝑀+kt(ⅻ)式より、この実験の場合も慣性質量は M (2𝑀−kt) の値が現れると考えられるが、図 17 より 1.46 kg が得られた。これは、実験１と完全に一致した。
5.2 質量と加速度の関係について
5.2.1 実験２の結果について
運動方程式 ma = F によれば、台車にかかる力 F が一定のとき、質量と加速度は反比例関係が成り立つはずである。しかし、図 15 より、質量と加速度の逆数の関係は正比例にはならず、切片が現れてしまう。これは、実験
１の考察と同様に、動摩擦力や空気抵抗力が原因になっていると考える。
この実験では(ⅹ)式を満たすが、この式を質量 M について解くことは難しい。そこで、
M ′=M (2𝑀+kt
2𝑀−kt)(xⅲ)とおき、近似的に、動摩擦力が μ´M’g を満たすとする。すると、(ⅹ)式は次のようになる。

- 11 -M′ =

F(xⅳ)

a＋μ´g

また、動摩擦係数 μ´は次の式で表すことができる。
𝜇´ =1(F- M ′𝑎)

(xⅴ)

M ′g

この式により、動摩擦係数を全データより求め、その平均値を算出すると
𝜇´ = 0.0180(xⅵ)となった。
よって、実験場所である、新居浜南高校物理教室の重力加速度 g=9.79 m/s2、風力 F=2.53 N とともに、(xⅵ)式を(xⅳ)式に代入し、次の理論値を表す式を算出した。
M′ =

2.53

(xⅶ)

a+0.176

なお、本実験におけるM は、台車の慣性質量 1.46 kg におもりの質量を加えた値とした。(xⅶ)式と実験値を比較したグラフを図 16 に示す。実験値と理論値は非常によく一致した。つまり、実験値が反比例とならなかった要因は、動摩擦力の影響によるものであると考えられる。
5.2.2

実験３における質量と加速度の関係について

実験３では、(ⅻ)式 F ＝ M (kt)kta = M ′𝑎が成立する。よって、風力 F = 2.53 N を代入すると、理論値は次のようになる。

M′ =2.53(xⅷ)

a(xⅷ)式と実験値を比較したグラフを図 18 に示す。実験値が理論値によく一致していることが分かる。ただし、質量が大きい場合に、やや誤差が大きくなっている。実験３において、等速直線運動を起こす傾角 θ を決定する際に、低速で台車が走行したことがあった。この際、台車の速さが周期的に増減する様子が観察された。これは、台車の車輪軸にかかる動摩擦力が不均一にかかることが影響していると考えられる。図 18 の誤差が大きくなっている要因は、この現象によるものであると考えた。
以上の結果から、質量と加速度の関係は反比例関係であることが確認できた。

- 12 -

5.3 車輪の回転エネルギーの影響と見かけの慣性質量について
5.3.1 見かけの慣性質量について
文献２によれば、台車の車輪の回転エネルギーが台車の質量値に影響を与えるとある。そこで、車輪の回転エネルギーを求め、台車の質量にどの程度影響するのかを確認した。車輪の角速度を ω、慣性モーメントを I として、力学台車に備わる車輪が３個であることを考慮すると、回転エネルギーは次の式で表される。
13×2 Iω2
台車の速さを v、車輪の半径を r とすると、v=rω が成立するので、
3𝐼𝑣2𝑟と表される。
よって、台車の運動エネルギーと回転エネルギーの和を K とおくと、

K ＝

1𝑀v2 ＋232となる。整理すると、次のようになる。

K ＝12v2 (M＋ )(xix)(ⅹⅸ)式を全て、運動エネルギーとして扱うとすると、質量を表す部分
1が、2 v2 以外の M＋であることが分かる。文献２によれば、台車の運動

3I

は質量 M＋ の物体のように振る舞う。つまり、補正値は3Iである。

以上のことから、空気抵抗力と車輪の回転エネルギーを加味した場合、実験によって求まる慣性質量は、(xⅲ)式より、次のように表される。
3I

M ′= (M＋ ) (2𝑀+𝑘𝑡)
2𝑀−𝑘𝑡

(xx)

ここまで、この式の値を慣性質量と記述してきたが、本来、慣性質量と重力質量は等しくなることが知られている。今回の実験では、重力質量と異なる質量が実験から求まったが、これは、空気抵抗力や車輪の回転エネルギーによる影響であることが分かった。つまり、ここまで述べた慣性質量は、厳密な意味では誤りであり、空気抵抗力や車輪の回転エネルギーによる影響を無視したときに現れる、見かけの質量である。

- 13 -

5.3.2 車輪の回転エネルギーによる質量補正値について実験４の結果より、質量の補正値を求める。
=

×( .

×( .

×))

kg = 0.117 kg(xxi)

台車の質量 M =1.05 kg より、
M＋3I= 1.05 kg + 0.117 kg = 1.17 kg (xxii)となる。
5.3.3

見かけの慣性質量の生じる原因と定量的分析について3I(xx)式 M ′= (M＋ ) (3I)より、実験１におけるM ′＝1.46 kg、M＋= 1.17 kg を適用すると、
1.46 kg ＝ 1.17 kg ×(2𝑀+𝑘𝑡
2𝑀−𝑘𝑡となる。

＝ 1.25

2𝑀+𝑘𝑡)
2𝑀−𝑘𝑡(xxiii)は空気抵抗力によって現れる数値であり、本実験における見かけの慣性質量と重力質量の差の原因が、車輪の回転エネルギーと空気抵抗力のみであるとすれば、空気抵抗力による影響は十分に大きいものであることが分かる。実際には、ブロワーの風力が、台車が運動することによって完全に台車に伝わらないこと等[g]
0.3も影響している可能性がある。
0.25
本来であれば、台車が滑走を始
加 0.2
めた瞬間の加速度を求められれ
速 0.15ば良いが、実際には図 21 のよう0.1度に、明瞭な瞬間値を得ることが0.05
0
出来ないため、加速度の大きい
150
200250300
運動ほど、空気抵抗力の影響の -0.05-0.1大きい値を測定した可能性が高
滑 走 時 間い。今後、この点を改善すること[×1/11520 s]
図 20 力学台車滑走前後ので、より精度の高い実験をする加速度センサーの測定値ことが出来る可能性がある。
測定値は 50 以上のデータを平均して求めている。
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６

結論
物体にはたらく力と加速度の関係は比例関係であり、物体にはたらく力が一定のとき、物体の質量と加速度の関係は反比例関係になることが分かった。
また、実際の実験では、動摩擦力や空気抵抗力の影響を受けるが、動摩擦力の影響は、斜面を傾け、重力の分解成分と動摩擦力をつり合わせることで、動摩擦力の影響を排除することに成功した。さらに、車輪の回転エネルギーによる影響や空気抵抗力による影響については、実験から得られる質量に影響することが確認された。

７

参考資料

[1]ブローで定力を加え続ける ma＝F の実験/渡辺文夫(1988)日本物理教育学会[2]力学台車の車輪の影響の扱い方/田中昭夫(1980)日本物理教育学会[3]改訂版「物理基礎」/國友正和(2016)数研出版[4]改訂版「物理」/國友正和(2017)数研出版

８

謝辞
本レポートを進めるにあたり、愛媛県立新居浜南高等学校の川井亮祐先生からご指導を頂きました。 感謝申し上げます。

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