４．二次関数と図形（面積・長さ）関連の複合問題 【２００５年度出題】【問１】
図のように，関数 y＝ax2（a は正の定数）…①のグラフ上に点 A，B があります。点 A の x 座標は－2，点 B の x座標は 6 とします。点 O は原点とします。次の問いに答えなさい。
（北海道 2005 年度）
問１．①について，x の変域が 0≦x≦3 のとき，y の変域が 0≦y≦27 となります。このとき，定数 a の値を求めなさい。

問２．a＝１とします。２点 A，B を通る直線が x 軸と交わる点を P，y 軸と交わる点を Q とするとき，線分 PA と線分 AQ の長さの比を，もっとも簡単な整数の比で求めなさい。

1

問３．a＝ で，①のグラフ上に△AOB と△ARB の面積が等しくなるように点 R をとります。このとき，点 R の座標を2求めなさい。ただし，点 R の x 座標は 0＜x＜6 とします。

問１

a＝

問２

PA：AQ ＝：

計算

問３

答 R（，）

【問２】図で，直線①は２点 A（－4，3），B（2，1）を通る。直線②は傾きが正で，点 B と y 軸上の点 C を通る。点 P は x軸上の点である。次の(1)～(4)に答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さを 1 cm とする。
（青森県 2005 年度）(1) 点 B と原点について対称な点の座標を求めなさい。

(2) 直線①の傾きを求めなさい。

(3) AB＝BC となるときの直線②の式を求めなさい。

(4) AP＋PB の長さが最も短くなるときの点 P の座標を求めなさい。

(1)
(2)
(3)
(4)

【問３】
図のように，関数 y＝

1 2
x のグラフ上に２点 A，B があり，x 軸上に２点 C，D があります。点 A の x 座標は正で，３2点 B，C，D の x 座標はそれぞれ－2，－2，3 です。 点 A の x 座標を a とするとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（岩手県 2005 年度）(1) △OBC の面積を求めなさい。ただし，座標の１目もりを 1 cm とします。

(2) △OBC と△OAD の面積の比が 3：10 のとき，a の値を求めなさい。

(1)
(2)

cm2
a＝

【問４】
a を正の数とします。図のように，y 軸に平行な直線ℓ が，関数 y＝x2 のグラフ，関数 y＝ax2 のグラフ，x 軸と交わる点をそれぞれ A，B，C とします。AB＝2BC のとき，a の値を求めなさい。
（宮城県 2005 年度）

【問５】a と b を正の数とします。図のように，x 軸に平行な直線ℓ が，y 軸，関数 y＝ax2 のグラフ，関数 y＝bx2 のグラフと交わる点をそれぞれ A，B，C とします。AB＝BC のとき，a と b の比を求めなさい。ただし，点 B と点 C の x 座標はともに正の数とします。
（宮城県 2005 年度）

A ： b ＝：

【問６】
図で，①は１次関数 y＝2x＋12 のグラフ，②は関数 y＝ax2 のグラフである。①と x 軸，y 軸との交点を，それぞれA，B とする。②上に点 C をとり，平行四辺形 BAOC をつくることができるとき，a の値を求めなさい。
（山形県 2005 年度）

【問７】図において，曲線アは関数 y＝x2 のグラフであり，曲線イは関数 y＝ax2 のグラフである。直線ウは，y 軸上の y座標が正である点 A を通り，x 軸に平行な直線である。曲線アと直線ウとの２つの交点を x 座標が小さい方から順にB，C とする。曲線イと直線ウとの２つの交点を x 座標が小さい方から順に D，E とする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。ただし，a＞0 で，O は原点，座標の目盛りの単位は cm とする。
（茨城県 2005 年度）(1) 点 A の y 座標が 2 のとき，△OCB の面積を求めなさい。

(2) DE＝2BC のとき，a の値を求めなさい。

(1)
(2)

cm2
a＝

【問８】
図で，点 P，Q は関数 y＝ax2 のグラフと直線ℓ との交点である。点 R は直線ℓ とy 軸との交点であり，y 軸の正の部分で交わっている。P（2，8）であり，三角形 OPRと三角形 OQR との面積の比は 2：1 である。座標軸の一目盛りを 1 cm として，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（群馬県 2005 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) この関数について，x の値が－1 から 2 まで増加するときの変化の割合を求めな
さい。

(3) 三角形 OPQ の面積を求めなさい。

(1)
(2)
(3)

cm2

【問９】
図のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に２点 A，B がある。点 A は２つの関数 y＝－2x＋16 と y＝2x のグラフが交わる点であり，点B は x 座標が－2 である。また，関数 y＝－2x＋16 のグラフと y軸が交わる点を C とする。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（千葉県 2005 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 関数 y＝2x のグラフ上に点 P をとり，△BAC と△BAP の面積が等しくなるとき，点 P の座標を求めなさい。ただし，点 P の x座標は点 A の x 座標より大きいものとする。

(1)

a＝(2)

（，）

【問 10】1

図で，点 O は原点，点 A の座標は（0，6）であり，曲線ℓ は関数 y＝ 2 x2 のグラフを表している。点 B は曲線ℓ 上にあり，x 座標は－2 である。 曲線ℓ 上にある点を P とする。座標軸の１目盛りを 1 cm として，次の各問に答えよ。
（東京都 2005 年度）
問１．点 P が点 B と一致するとき，２点 A，P を通る直線の式を求めよ。

問２．点 P の x 座標を a，y 座標を b とする。a のとる値の範囲が－2≦a≦6のとき，b のとる値の範囲を不等号を使って表せ。
≦b≦

問３．点 P の x 座標が 6 より小さい正の数であるとき，点 O と点 B，点 B と点 A，点 O と点 P，点 A と点 P をそれぞれ結んでできる四角形 OPABを考える。四角形 OPAB の面積が 18 cm2 のとき，点 P の座標を求めよ。

問１y＝問２
問３≦b≦（，）

【問 11】図において，曲線①は関数 y＝x2 のグラフであり，曲線②は関数 y＝ax2 のグラフである。ただし，a＜0 とする。
２点 A，B はともに曲線①上の点で，点 A の x 座標は－2 であり，線分 AB は x 軸に平行である。また，点 C は曲線②上の点で，線分 BC は y 軸に平行である。点 D は線分 BC と x 軸との交点であり，BD：DC＝4：1 である。
原点を O とするとき，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2005 年度）(ア) 曲線②の式 y＝ax2 の a の値を求めなさい。

(イ) 直線 AD の式を求め，y＝mx＋n の形で答えなさい。

(ウ) 点 E は y 軸上の点で，その y 座標は正である。三角形ABC と三角形 AEC の面積が等しくなるとき，点 E の座標を求めなさい。

(ｱ)

a＝(ｲ)

y＝(ｳ)

E（，）

【問 12】図のように，関数 y＝－

1 2x のグラフ上に２点 A，B があり，それぞれの x 座標は－2，3 である。このとき，次の(1)2～(3)に答えなさい。
（石川県 2005 年度）(1) 関数 y＝－

1 2x について，x の変域が－1≦x≦4 のときの y の2変域を求めなさい。

(2) 原点を通り，２点 A，B を通る直線に平行な直線の式を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

(3) 線分 AB と y 軸の交点を E とするとき，△OAB の面積は△OAE の面積の何倍になるか，求めなさい。

(1)

≦y≦
計算

(2)

答
(3)倍

【問 13】図において，①は関数 y＝ax2 のグラフであり，②は１次関①数 y＝x－4 のグラフである。点 A，B は①上の点であり，点 Cは②上の点である。ただし，a＞0 とする。このとき，次の１，２に答えなさい。
（山梨県 2005 年度）
１．点 A の座標が（－2，2）のとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) a の値を求めなさい。

②(2) 点 B の x 座標が 2 で点 C が②と y 軸との交点にあると
き，△ABC の面積を求めなさい。

２．点 A の x 座標を－3，点 B の x 座標を 6 とする。点 C が②上のどこにあっても△ABC の面積が変わらないとき，関数 y＝ax2 について，x が－3 から 6 まで増加するときの変化の割合を書きなさい。また，そのときの a の値を求めなさい。

１(1)

２変化の割合a＝(2)a＝【問 14】図において，①は関数 y＝ax2（a＞0）のグラフであり，点 A の座標は（0，4）である。また，x 軸上の２点 B，C の座標は，それぞれ（－2，0），（1，0）である。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（静岡県 2005 年度）(1) x 座標が 3 である放物線①上の点から，y 軸に垂線をひく。
その延長が再び放物線①と交わる点の座標を，a を用いて表しなさい。

(2) 点 B を通り y 軸に平行な直線と，放物線①との交点を D，
点 C を通り y 軸に平行な直線と，放物線①との交点を E とする。また，直線 DA と直線 CE との交点を F とする。四角形
DBEF が平行四辺形となるときの，a の値と点 F の座標を求めなさい。求める過程も書きなさい。

(1)

（，）

求める過程

(2)

答 a＝，F（，）

【問 15】
図で，O は原点，A，B は関数 y＝ax2（a は定数）のグラフ上の点，C は y 軸上の点で，その y 座標は正，D は直線 AB と y 軸との交点である。A の座標は（4，5），B の x 座標は－2 であり，△ABO の面積と△CDA の面積が等しいとき，次の①，②の問いに答えよ。
（愛知県Ａ 2005 年度）① a の値を求めよ。

② 点 C の座標を求めよ。

①a＝②（，）【問 16】
図２のように，関数 y＝2x2 のグラフ上の点 P から x 軸，y 軸に垂直な直線をひき，それぞれの軸と交わる点を A，Bとする。原点を O として，四角形 OAPB が正方形になるときの点 P の座標を求めなさい。ただし，点 P の x 座標は正とする。
（滋賀県 2005 年度）

【問 17】図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に２点 A（2，4），B（4，16）がある。このとき，次の問い(1)(2)に答えよ。
（京都府 2005 年度）(1) 原点 O と点 A を通る直線の傾きを求めよ。また，この直線と平行で，点 B を通る直線の式を求めよ。

(2) x 軸上に，２点 C，D をとり，△OAB＝△OAC，△OAB＝△OAD となるとき，点 C，点 D の座標をそれぞれ求めよ。ただし，点 C の x 座標は点 D の x 座標より小さいものとする。

(1)
(2)

直線の式 y＝傾き
C（，）

D（，）

【問 18】図のような，３つの関数 y＝2x2 …① y＝x2 …② y＝ax2（0＜a＜１） …③ のグラフがある。点 A（0，4）を通り，x 軸に平行な直線と，②との交点のうち，x 座標が正の数である点を B とする。また，この直線と③との交点を C，D とする。次の問１～問４に答えなさい。
（和歌山県 2005 年度）
問１．関数 y＝2x2 について，x の値が１から３まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

問２．関数①，②，③に共通している特徴として，どのようなことがありますか。次の例(1)，(2)以外の特徴を２つかきなさい。
例(1) グラフは，原点を通る。
(2) y の値は，x＝0 のとき最小になる。

問３．BD＝2 になるとき，a の値を求めなさい。

問４．△OCD が正三角形になるとき，a の値を求めなさい。

問１

問２

問３a＝問４a＝【問 19】1

図Ⅰの①は，関数 y＝ 2 x2 のグラフである。点 A， B は，①上の点で，x 座標がそれぞれ－1，2 である。また，点B から x 軸に垂線 BC をひく。このとき，次の各問いに答えなさい。
（鳥取県 2005 年度）
1

問 1．関数 y＝ 2 x2 について，x の変域が－1≦x≦2 のときの y の変域を求めなさい。

問２．２点 A，B を通る直線の式を求めなさい。

問３．図Ⅱのように，線分 AB 上を動く点を P とする。ただし，点 P は x 座標が 0 から 2 までの範囲で動くものとする。
(1) 点 P の x 座標を t として，△OAP と△BCP の面積を，それぞれ t を用いて表しなさい。

(2) △OAP の面積が，△BCP の面積の２倍となるとき，点 P の座標を求めなさい。

問１
問２

≦y≦
y＝(1)

△OAP＝(2)

P（

△BCP＝

問３，）

【問 20】図のような，関数 y＝ax2 のグラフと関数 y＝bx2 のグラフがある。関数 y＝ax2 のグラフ上に２点 A（6，12），B（3，3）をとり，また x 軸上に点 C をその x 座標が点 B の x 座標より大きくなるようにとって，線分 BA，線分 BC を２辺とする平行四辺形 ABCD をつくる。点 D の座標が（12，9）であるとき次の①～③のに適当な数を書き入れなさい。
（岡山県 2005 年度）① 関数 y＝ax2 について，a の値は(イ)(ア)であり，x の値が３から６まで増加するときの変化の割合はである。

② 点 C の x 座標はである。

③ 関数 y＝bx2 のグラフが線分 BC と交わる点を P とする。三角形 ABP の面積が平行四辺形 ABCD の面積の倍となるとき，b の値はである。

①②③(ｱ)(ｲ)16

【問 21】図のように，点 A（－2，1），関数 y＝x2 のグラフ上に点 B（3，9），y 軸上に点 C（0，a）があります。点 C を通り x軸に平行な直線と，関数 y＝x2 のグラフとの２つの交点のうち，x 座標が小さい方を D，大きい方を E とします。ただし，1＜a＜9 とします。これについて，次の(1)～(3)に答えなさい。
（広島県 2005 年度）(1) a＝3 のとき，点 E の x 座標を求めなさい。

(2) △ACD と△BCE の面積が等しくなるとき，a の値を求めな
さい。

(3) AC∥OB となるとき，点 C と直線 AB との距離は，点 O と直線 AB との距離の何倍になりますか。

(1)
(2)
(3)倍

【問 22】図のように，２つの関数 y＝x2 と y＝ax2（a＜0）のグラフがある。関数 y＝x2 のグラフ上には３点 A，B，C があり，関数 y＝ax2（a＜0）のグラフ上には点 D がある。また，２点 A，B を通る直線と y 軸との交点を P とする。点 A の x
座標は－3，2 点 C，D の x 座標は 4 である。なお，点 B の x 座標は正の数とする。次の(1)～(4)に答えなさい。
（徳島県 2005 年度）(1) 点 C の座標を求めなさい。

(2) AP：PB＝3：2 のとき，２点 A，B を通る直線の式を求めなさい。

(3) 関数 y＝x2 について，x の値が 1 から 5 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

(4) △OAC と△OCD の面積の比が 7：6 のとき，関数 y＝ax2（a＜0）の a の値を求めなさい。

(1)
(2)
(3)
(4)

（，）

【問 23】図において，放物線①，②はそれぞれ関数 y＝x2，y＝ax2 のグラフである。また，直線③は２点 A（－2，4），B（3，0）を通る。このとき，次の問いに答えなさい。
（愛媛県 2005 年度）
１．②のグラフから，x，y の対応する値を読んで，a の値を求めよ。ただし，a は整数とする。

２．関数 y＝x2 について，x の変域が－5≦x≦4 のとき，y の変域を求めよ。

３．線分 AB の中点を M とするとき，点 B を通り，直線 OM に平行な直線の式を求めよ。

４．点 P が y 軸上にあって，△OAB＝△PAB となるとき，点 P の y 座標を求めよ。ただし，点 P は原点 O と異なる点とする。

１２３４a＝

【問 24】図のように，原点を O とし，y＝ax2 のグラフ上に３点 A，B，P がある。３点 A，B，P の x 座標はそれぞれ－2，4，tであり，点 B の y 座標は 4 である。原点 O から直線 AB に垂線 OH をひく。このとき，次の(1)～(5)の各問いに答えなさい。 ただし，0＜t＜4 とする。
（佐賀県 2005 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 直線 AB の式を求めなさい。

(3) 線分 AB の長さを求めなさい。

(4) 線分 OH の長さを求めなさい。

(5) 点 P から直線 AB に垂線をひき，その交点を Q とする。このとき，PQ＝OH となる t の値を求めなさい。

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

【問 25】
図１，図２のように，関数 y＝ax2 のグラフ上に２点 A（6，12），B（－3，3）がある。原点を O として，次の問いに答えなさい。
（長崎県 2005 年度）
問１．a の値を求めよ。

問２．直線 AB の式を求めよ。

問３．関数 y＝ax2 について，x の変域が n≦x≦6 のとき，y の変域が 0≦y≦12 となるような整数 n は全部で何個あるか。

問４．図２のように，原点 O を対称の中心とする点対称な四角形 ABCD をつくるとき，次の(1)，(2)に答えよ。
(1) 点 C の座標を求めよ。

(2) 四角形 ABCD の面積を求めよ。

問１a＝問２y＝問３個
(1)

問４
(2)

C(，)【問 26】1

図のように，関数 y＝ 4 x2 のグラフ上に，x 座標が－4，2 である２点 A，B をとる。また，直線 AB と x 軸との交点をC とする。次の①，②の問いに答えなさい。
（大分県 2005 年度）① 点 A の座標を求めなさい。

② 点 C を通り，△AOC の面積を二等分する直線の式を求めなさい。

①②（，）

【問 27】図のように，３つの関数 y＝ax2（a は定数）…①，y＝4x＋b（b は定数）…②，3

5y＝－ 3 x＋11 …③ のグラフがある。点 A は関数①のグラフ上にあり，A の x 座標は３である。また，関数②，③のグラフは A で交わっている。このとき，次の各問いに答えなさい。
（熊本県 2005 年度）(1) a，b の値を求めなさい。

(2) 関数①のグラフ上に点 B を，関数②のグラフ上に点 C を，関数③のグラフ上に点D を，３点 B，C，D の x 座標がすべて等しくて，３より大きくなるようにとる。

㋐ BC：CD＝4：3 となるときの３点 B，C，D の x 座標を求めたい。B，C，D の x座標の求め方について，次のア， イには式を， ウ， エには数を入れて，文章を完成しなさい。

まず，３点 B，C，D の x 座標を t として，２つの線分 BC，CD の長さをそれぞれ t を使った式で表すと，BC の長さはアという二次式で表され，CD の長さはイ という一次式で表される。

次に，BC：CD＝4：3という条件を利用して，tについての方程式をつくると，t2－ ウいう二次方程式が得られ，この二次方程式を解くことによってtの値が求められる。

㋑ BC：CD＝4：3 となるとき，線分 BD の長さを求めなさい。

(1)a＝，b＝アイウエ㋐(2)㋑t＋ エ ＝0と【問 28】図のように，関数 y＝ax2 のグラフと直線ℓ が，２点 A，B で交わっている。点 A の座標は（2，2），点 B の x 座標は4 である。y 軸上の正の部分に点 P をとるとき，次の(1)～(4)の問いに答えなさい。
（宮崎県 2005 年度）(1) a の値を求めなさい。

(2) 直線ℓ の式を求めなさい。

(3) 点 P の座標が（0，5）であるとき，△ABP の面積を求めなさい。

(4) △ABP の面積が△OAP の面積の４倍になるように点 P の位置を決めるとき，点 P の y 座標を求めなさい。

(1)
(2)
(3)
(4)

a＝

【問 29】図のように，２点 O（0，0），A（1，3）を通る放物線 y＝ax2 と，３点 O，B（－2，b），C（4，－8）を通る放物線
y＝cx2 がある。このとき，次の各問いに答えなさい。
（沖縄県 2005 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．b の値を求めなさい。

問３．２点 A，B の間の距離を求めなさい。

問１

a＝問２

b＝問３