放射光第巻第号

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実験技術

Wavelet 変換を利用した SPring-8 ID23による軌道変動の解析
松下智裕1，安居院あかね2，吉越章隆2，中谷 健1,2
田中 均1，高雄 勝1，青柳秀樹1，竹内政雄1
1高輝度光科学研究センター
，2日本原子力研究所関西研究所放射光科学研究センター

Analysis of the Orbit Distortion Caused by SPring-8 ID23
Using the Wavelet Transformation
Tomohiro MATSUSHITA1, Akane AGUI2, Akitaka YOSHIGOE2, Takeshi NAKATANI1,2,Hitoshi TANAKA1, Masaru TAKAO1, Hideki AOYAGI1 and Masao TAKEUCHI1
1SPring-8/JASRI, 2SPring-8/JAERI
Abstract
We report the analysis of the electron beam position in the SPring-8 storage ring by means of the wavelet transformation. The phase motion of APPLE2 type undulator (ID23) induces the electron beam position shift. In order to suppress
the beam position shift, ID23 has been equipped with the steering magnets. It is important to evaluate the exact amount of
the electron beam position shift to make a correction table of the steering magnets. The electron beam position data measured by the rf-BPM on the storage ring, includes many kinds of noises, such as the high and low frequency terms. Using
the wavelet transformation, we have obtained the actual beam position shift induced by ID23 phase drive.

.

はじめに蓄積リングに設置された挿入光源（Insertion device: ID）の Gap を変化させると， ID 内部の磁場が変化し， ID 内部の電子軌道が変化する。これによって実験者が望む波長の放射光を発生できる。しかし一般に ID の誤差磁場の影響があるため，電子軌道の補正を行わないと，電子軌道はID 内部の変化のみにとどまらず，蓄積リング全体に及び，蓄積リング上の全てのビームラインの光源の位置や角度に変動等を引き起こす。 SPring-8 ではこのような影響を排除するため，各挿入光源の前後に補正電磁石（Steer-ing magnet）を設置し，電子軌道の変動を ID 内部に閉じこめ，外側には影響を及ぼさないようにするシステムが構

Figure 1. The magnetic structure of ID23, which consists of thedouble magnet arrays. Two steering magnets are located in upperstream and down stream of ID. They correct the electron beam
position error caused by ID23.

築されている。

SPring-8 の BL23SU 軟 X 線分光ビームラインの挿入光
源 ID23 は APPLE 2 型の挿入光源である。構造を Fig. 1軌道の変動を引き起こす。に示す。光のエネルギーは Gap 駆動によって選択でき位相駆動中の数秒間に発生する電子軌道のずれを押さえる。更に対向する磁石列を平行に移動することで，偏光を込むには，数ミリ秒間隔で ID23 の前後に設置された補正コントロールできる特徴を有する。この平行移動量を位相電磁石の励磁量を変化させる必要がある。 Gap 及び位相（Phase ）と呼ぶ。特に ID23は高速位相駆動が可能で，数の位置と励磁量の対応表（補正励磁テーブル）は，位相の秒で位相の駆動が完了する。これにより円二色性実験など依存性だけでなく Gap にも依存性があるので 2 次元テーの偏光を逐次変化させて計測する偏光変調計測に威力を発ブルとなる。この補正励磁テーブルを求める為に Fig. 2揮する。これについては本誌 vol. 14 (2001) p17261)で紹のような手順を踏んで求められた。

介されている。この位相の駆動も Gap 駆動と同様に電子軌道変動は蓄積リング上に数ヶ所に設置された rf-BPM

高輝度光科学研究センター 〒6795198 兵庫県佐用郡三日月町光都一丁目 SPring-858
0831 FAX: 0791
58
0830 E-mail: matusita＠spring8.or.jp
TEL: 0791

――(C) 2002 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research

放射光第巻第号()の信号によって測定される。実際に観測された軌道変動の分が少なく，より高周波と低周波の帯域の成分が大きいこ

一例を Fig. 3 に示す。この軌道変動はグラフの上側に示とがフーリエ解析によって分かった。

すような位相のパターン駆動をしたときのデータである。

繰り返し ID23 を動かして，複数回同じ現象を観測し，ID23 が引き起こす軌道変動以外の成分が多く， ID23 によそれを足し合わせることで， ID23 誘起の軌道変動を得るる信号が埋もれている。 ID23 が引き起こす軌道変動以外ことが試みられたが，「雑音」の低周波成分の項が単純にの成分を，ここでは「雑音」と定義しよう。この「雑音」足し合わせることを難しくしている。「雑音」の低周波成成分は ID23 が誘起する軌道変動の周波数帯域は比較的成分はバックグラウンドの変動として影響し，同じ測定を数回行っても原点がずれる為， ID23 が誘起した成分のみを定量的に抽出できない。さらに補正励磁テーブルの精度が向上するにつれて ID23 が引き起こす軌道変動は小さくなり，「雑音」の低周波の成分は ID23が引き起こす軌道変動よりも大きくなってくる。
そこで位相駆動を周期的に行うことにより， FFT （高速フーリエ変換）と逆変換を使った周波数フィルタリングが提案された。しかし電気回路ならば完全な周期駆動は可能であろうが， ID23 の位相駆動は重量構造物の機械的動作であり，完全な周期駆動をする為の仕組を持っていない。よって FFT では位相問題が生じて正確な軌道変動の抽出は難しいと考えられた。そこで，高周波と低周波の「雑音」を除去し FFT の位相問題を解決する為に，wave-let 変換を利用した軌道変動解析を試みた。
.

Wavelet 変換
Wavelet 変換とは信号を周波数に変換する方法の一種である。そもそも wavelet 変換は音や画像を解析する技術として利用されてきた。例えば，歴史的に貴重な SP 録音のオリジナル音楽成分を残したままノイズを劇的に減らしたり，画像の輪郭線を残したままノイズを除去したりすることが行われている。この wavelet の理論と応用が盛んになったのはここ10年ぐらいで，文献も数多くある例えば 24)。
Figure 2.

The ‰ow chart of making the correction table of ID23.

先にも述べたが信号を周波数成分に変換する方法として

Figure 3. ID23 phase motion (a) and the raw data of the electron beam position (b) in the storage ring. The position
shift of the electron beam may be caused by the ID23 phase motion, but this signal is hidden by the many kind of thenoises.

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放射光

第巻第号

()Figure 4. Gabor wavelet (real part). The formula is written as
2c(t )＝Ce－(t/a) cos (t ).

Figure 5.

The upper signal is composed by the lower four wavelets.

FFT が広く知られている。FFT の基底関数は無限に一様

では(4)がパルス成分的であり，この成分を除去すれは，に広がった周期関数であり， FFT によってある時間にど合成されたシグナルから，パルスノイズを除去できることの周波数に強度があるかは，窓関数の利用などの工夫が必は，容易に想像できる。これは FFT にはできない信号処要である。それに対し wavelet 変換では mother wavelet

理であり，wavelet 変換の最大の特徴の一つである。このと呼ばれるコンパクトな波の小片を使って信号を解析すような信号処理が可能なのは mother wavelet が「 1 次微る。これによってどの部分（時間）にどの周波数があるか分までの連続性」と「関数は有限な区間にのみに有限な値を 解 析 で き る 。 Fig. 4 に mother wavelet の 一 つ で あ るがある」という性質を持つように設計されており，その成Gabor wavelet の形状を示す。これは古典的な wavelet で分を取り出して強度を 0 にしたり，定数倍にしても合成あり，これ以外にも色々な形状を持つ mother wavelet がされた関数の滑らかさは保証されているためである。
さて， f(b, a) を求めるには下記の wavelet 変換式(2.2 )存在する。 Mother wavelet は信号解析の目的に合わせて選ばれる。Wavelet 計算をするための数学的な問題としてを利用する。

wavelet の直交性の問題やコンパクトサポートの問題など∞fがあるがこれらの解説は他の文献に譲る2,4)。

f(b, a)＝Wavelet 変換には大きく分けて，積分 wavelet 変換と離[ ta－b]dt－x(t )C c－∞(2.2)散 wavelet 変換の 2 種類がある。積分 wavelet 変換は信号周波数の強度の解析に向いているが，オリジナル信号を加ここで a, b の選び方にいくつかのアルゴリズムがある。

工する用途にはあまり向かないようである。我々の目的は代表的な方法として Multi-Resolution Analysis ( MRA ）オリジナルの信号から「雑音」を除去し， ID23 に起因す（多重解像度解析）というアルゴリズムがある。今回の軌る軌道変動成分を得ることなので，離散 wavelet 変換を利道解析には用いなかったが主流なので簡単に解説する。

用する。離散 wavelet 変換を理解するためには，その逆変MRA は 直 交 wavelet を 利 用 す る 。 ま ず mother wavelet

換の式(2.1)を見ると分かりやすい。

を 1 倍，2 倍，4 倍，8 倍と伸張する（a＝1,2x(t )＝∑f(b, a)Cc

(t a b)－(2.1)|m|－12,4,8…

, m負の整数）。m はちょうど，音楽のオクターブに相当し，m＝－1 ならば 1 オクターブ下という意味になる。よって m＝－1, －2，と値が小さくなるにつれて，低周波になる。この mother wavelet を各オクターブで 1, 2,c(t )Mother wavelet 関数4,f(b, a)係数

下で wavelet の間には直交関係が成立する。直交性を利用

8 の座標間隔（b＝na, n: 整数）に並べると，この条件x(t )再構成された元のシグナル

すると計算量が少なく，比較的高速に計算できる。この計CMother wavelet 規格化定数算法を利用した画像や音声の圧縮，特殊なフィルター処理

パラメーター b は mother wavelet の平行移動量， a はなどが色々な分野で研究されている。

伸縮の量である。この式は mother wavelet を平行移動ししかしながら MRA の処理ではパルスノイズ除去等のフたり引き伸ばしたり強度を変えたりしたものを重ねあわせィルター処理は完全でない場合がある。MRA では wave-ることで，元のシグナルを再構成することを示している。

let は直交するように離れた座標間隔（b＝na）で配置されこの様子を Fig. 5 に示す。一番上のシグナルは，下の 4ている。Wavelet が配置された座標上にたまたまパルスノつのシグナルの重ね合わせで作られている。例えばある f

イズが存在すれば，そのパルスノイズは 1 つの wavelet で(b, a ) がパルスノイズの成分だった場合，その f ( b, a) の表せる。しかし離散的に並べられた wavelet の空隙にパル強度を 0 にすればノイズが除去できるのである。 Fig. 5

スノイズが存在した場合は，その両脇の複数の wavelet に――

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よってパルスノイズは再構成されることになる。しかも空るので，「雑音」の高周波成分と考えられる。－2 ，－3，隙の何処にパルスノイズがあるかによって，再構成する－ 4 オクターブは位相の位置と相関がある成分が見え，wavelet 群の強度が異なる。したがってパルスノイズ特有

ID23 が誘起する軌道変動成分を主に含んでいると考えらの wavelet 構造が見分けにくくなり，完全なノイズ除去はれる。そして低周波成分の Background には ID23 の駆動と相関する成分は含まれていない。 ID23 の駆動と相関の難しくなる。
実際の軌道解析で利用したのは，matching pursuit といない Background と－ 1 オクターブの wavelet をゼロにしう方法である3)。Matching pursuit では直交性を使わず，て，逆 wavelet 変換をすると ID23 のみの軌道変動成分が低周波数域でも緻密に並んだ wavelet を考慮する。すなわ主に残ることになる。実際の計算は精度を上げる必要性か

ち MRA とは異なり，b＝n（n整数）とする。この中から最もオリジナル信号にフィットしたものから順に抽出していく。抽出した後はオリジナル成分からその成分を取り除くと，オリジナル信号は wavelet の信号の抽出が進むに従い，次第にやせ細っていく。これによりオリジナルの信号を少ない wavelet の集合として表現できる。パルスノイズも少ない wavelet で表現でき，その除去も簡単となるのである。反面，直交性を利用しないため計算量が膨大である。しかしながら近年のコンピューターの発達によってこの計算時間は実用に耐えられるレベルになってきた。
.

IDに起因する軌道変動の抽出処理
軌道変動は複数の rf-BPM にて， 100 Hz のサンプリン

グレートで測定された。測定時間は測定条件によって異なるが，おおむね数分間観測される。よってデータ量は数万点程度になる。Matching pursuit によって周波数成分に分離する。今回使用した mother wavelet は直交 wavelet のCoi‰et10 である。この wavelet は Fig. 6 のような形をしており，ホワイトノイズのフィルターなどに適していると云われている。 Wavelet 変換した結果を Fig. 7 ( a )に示す。ここで使ったデータは低周波成分（ Background ）を抽出するために，元のデータを減量して計算している。

Fig. 7 (a)の－1～－4 はオクターブを示し，そのグラフは wavelet の強度 f ( b, a ) をプロットしている。その－ 1,－ 2, － 3, － 4 は そ れ ぞ れ 1.27 sec, 2.54 sec, 5.08 sec,10.16 sec の周期の成分に相当する。図中の Backgroundは－ 1 ～－ 4 オクターブの wavelet では分解されなかった低周波数成分である。－ 1 オクターブは ID の位相の位置（ Phase Position ）と余り相関の少ないシグナル分布であFigure 6.

The shape of Coi‰et10 wavelet.

Figure 7. (a) The wavelet transformation (WT) of the electron
orbital signal. The means of lines are written in the right hand of theˆgure. Background is calculated by WT. The captions －1, , －4
are the octabe of the wavelets.
(b) A part of the ˆltered beam position. The dashed ellipse lines arethe typical orbital shift patterns.

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()合，重心移動が低周波成分に含まれてしまう（ Fig. 8 (a )の最下図）。このまま低周波成分のバックグラウンド成分を差し引くと原点（位相＝ 0 mm ）は正確でなくなる。そこで ID23 の位相駆動パターンを変更して Fig. 8 ( b )の矢印の部分のように位相＝0 mm に戻す処理を加えた。これで低周波成分から重心移動を除去しているのである。

1 回分の軌道変動の計測では，水平方向と垂直方向の測定を蓄積リング上の 3 箇所の rf-BPM で行うので，合計 6つの膨大な軌道変動データが発生する。 1 箇所の Gap で軌道変動が十分小さくなるまでには， 3 ～ 4 回の軌道の計測と補正テーブルの更新を必要とする。したがって軌道変動量をすぐに求めて，次の計測に繋げなくてはならない。

6 箇所の軌道変動データに Pentium III 1 GHz クラスのコンピューターを一台づつ割り当て合計 6 台の PC にて各々の計算させて処理時間を短縮した。1 つのデータ処理にかかった時間は 5 分から 10 分程度である。このデータ処理はコンピューターの速度向上と，各種パラメーターの最適化によって更に高速化が可能であると考えている。
.

結び
最終的に得られた結果は，かなり小さな（ 1 mm 以下）

Figure 8. The phase motion patterns. (a) is simple pattern, but it
includes a problem. (b) was used in the real observation.

電子ビームの軌道変動までを精度良く抽出できることを示した。このように wavelet 変換は計算量が膨大であるけれども，観測者にとって有益な情報を抽出できる。この方法は ID23の高速位相駆動の軌道解析に適用され，その威力ら，前述の Background を減量していない元のデータからを発揮した。現在は ID23の Gap 駆動に対しても適用を試差し引き，そして減量を行わずに再び wavelet 変換して高みている。これにより放射光リングの電子軌道のさらなる周波数成分の「雑音」を除去した。

安定化，ひいては放射光の安定化が期待できる。紙面の都再構成された軌道変動を Fig. 7 ( a )の一番下のグラフ

合上 wavelet 変換の概略の説明のみとなったが， waveletに，その一部の拡大を Fig. 7 (b)に示す。位相が動いてい変換の有用性は紹介できたと思う。今後は利用実験においる最中の領域（例えば Fig. 7 (b)の破線の楕円の領域）にてもこの技術の応用を進めていきたい。

注目すると，特有のパターンがあるのが良く分かる。これが ID23 の位相の駆動に伴う軌道変動であり，原点のシフ.

謝辞

トも小さい。このデータから位相駆動した時間に対応する

日本原子力研究所放射光科学研究センターの方々，部分を切り出して，8 ～10個所を足し合わせることで，精JASRI 加速器部門，制御グループの方々，および SPring8 の多くのスタッフの皆さま方からご助力をいただきまし度の良い軌道の変動量が求められる。
さらにここで工夫を加えてある。 ID23 の位相駆動のパた。ここに改めて感謝いたします。

ターンを Fig. 7 のようにしているのは理由がある。簡単に考えると， Fig. 8 (a )のような駆動パターンで良さそう

参考文献に思われるが，これでは問題があった。 ID23 は位相＝ 01)mm で Gap 駆動する。よって位相＝0 mm が軌道変動の原点になる。 Fig. 8 ( a )の場合，位相が 0 mm になるとき，すなわち軌道変動が「原点」に戻る時は初めと終わり以外は瞬間しかない。 Fig. 8 ( a )の Electron beam position の安居院あかね，et al.放射光学会誌 vol. 14, No. 5, Nov.,(2001) 17: A. Agui, et al. Rev. Sci. Instrum. 72, 3191 (2001).
2) 戸田浩C MAGAZINE, 12 (1998).
3) 戸田浩C MAGAZINE, 1 (2001).
4) Howard L. RenikoŠ, Raymond O. Wells, Jr, WAVELET387
98383X.
ANALYSIS, Springer, ISBN 0

ように誘起される軌道変動の重心が位相＝ 0 と異なる場――