クーロンの土圧理論に関する考察

Takeshi Ushiro㈱第一コンサルタンツ専務取締役

右城

猛

工学博士

1. はじめにx

クーロン（Coulomb）は，電磁気分野の研究で有名であるが，生涯の大部分は土木，特に土質に関係する仕事で活Ca躍したと言われている。1764 年，27 才のときにはブルボ

g g’

W

ン要塞で高さ 8m の擁壁の構築を担当している 1)。

A

a

e

クーロンが「建築に関するいくつかの静力学的問題に

e’

最大・最小の原理を適用することについてのエッセイ」
B(Essais sur une application des règles de maximis et minimis à
quelque problèmes de statique relatifs à l’architecture)という論文を発表したのは 1773 年である 1)。当時，西欧ではオ

図 1 クーロンの土圧理論 1)

イラー(Euler)，ラグランジュ(Lagrange)ら多くの数学者に

A = ma2 − cla ····························· (2)よって「最小原理」に関する研究が活発に行われていた 2)ので，クーロンもその影響を受けたようである。

ここに，1/n は摩擦係数である。

クーロンが土圧理論を発表してからおよそ 230 年経つ。

クーロンの式を近代的な記号によって書き改めると次理論的に優れていることから，現在においても実用的土圧のようになる 1)。

計算法として世界中で用いられており，我が国の土質力学






 ······················· (3)

 
2 
m = tan  − 2
 4 2   
l = 2 tan −  
 4 2 1= tan nx  
= tan − a 4 2

の教科書にも紹介されている。しかし，最近，この内容に疑問を抱くようになった。クーロン土圧理論に対して誤解を招く表現になっているように思えるのである。
本稿では，クーロン土圧理論について筆者が日頃考えていることを述べる。

2. クーロンの土圧理論
クーロンは下記の仮定に基づいて，主働・受働土圧の算

クーロン土圧公式は，後に粉体力学の立場からランキン定式を誘導している。
①(Rankine，1857)が導いた式(4)と全く同じである。

土塊とすべり面との間の抵抗力は，粘着力と摩擦力の土圧公式の中で，唯一正解と言われているのが式(4)であ和として表される。
②

極限土圧には主働土圧と受働土圧が存在する。

③

考えられるあらゆるすべり面の中で，擁壁を押す力がるので，クーロンの土圧公式も正解を与えていることになる。

最も大きく（小さく）与えられるすべり面が主働（受働）

主働・受働土圧の説明にクーロンが用いたのは図 1 であ1
H 2 K A − 2c K A 2 ··················· (4)




2

K A = tan  − 
 4 2る。主働土圧合力 A を x の関数として表し，A が最大にな

クーロンの土圧理論はその後ウォルトマン(Waltman，るような x を式(1)のように，主働土圧合力 A を式(2)のよ1794)，フランシス（Francais，1820），ポンスレ（Poncelet，

うに求めている 1)。

1840）など多くの後継者によって拡張された。現在，我々

PA =すべり面であり，その時に与えられる土圧が主働（受働）土圧である。

が一般にクーロンの土圧公式と呼んでいるのは，ミュラa1x = − + a 1 + 2 ························ (1)nnー・ブレスロー(Müller-Breslau，1906)によって誘導されたものである 3)。

1

N=
W

co
s

W
sin

の下端をヒンジとしたモデルを用いて土圧の説明がなされている。壁が下端を中心に回転すると，裏込め土の歪みWは  =  l =  tan になり，壁全体にわたり一定となる。



PA

co
s







R

N



F=
W

co
s

tan



多くの教科書では，土圧の章の冒頭で，図 2 のように壁F

3.壁の変位と土圧

WW

壁面土圧は裏込め土の歪ε，つまり，壁の変位δに応じて
PA

変化する。

F
F

-δ l


すべ
り面

P
P:小
ヒンジ

−

−

h

(a)不安定状態(b)主働状態(b) 主働状態

R

N

N

受働土圧

l

W

N

N



(a) 静止状態

R




W

P

+δ

P0

+

す
べ
り
面

PP

P:大



(c) 受働状態

主働土圧
h
PA
-δ

PP
F

静止土圧
P0

δA

0

δP



+δ



W

(d) 壁の変位と土圧の関係

F

図 2 壁の変位と土圧 4)

PPP0

変位が 0 の状態の土圧が静止土圧，壁が前方へ回転し地盤



N

N

W



R

が破壊する直前の土圧が主働土圧，壁が後方へ回転し地盤が破壊する直前の土圧が受働土圧という訳である。

(c)静止状態

壁の変位によって壁面土圧が図 2(d)のように変化する

W



W

(d)受働状態

図 3 斜面上の剛体ブロックの安定問題

ことは，多くの研究者が実験的に確認している。しかしながら，クーロンやランキン土圧理論の説明に図 2 を用いるのは適切でない。クーロンやランキン土圧理論では，壁の移動P

回転は全く考慮されていない。水平変位のみを前提としてPいるのである。むしろ，斜面上に置かれた剛体ブロックの安定問題によって説明するのが適切である。



4. 斜面上のブロックの安定問題と土圧W

土圧理論を理解するには斜面上に置かれた剛体ブロッ



R

W

−
R

(a)すべり面と土楔に作用する力(b)力の多角形

クの安定問題を考えるのがよい。図 3(a)のように斜面の傾斜角ωがブロック底面と斜面間の摩擦角φより大きいと，P

ブロックは不安定状態にあり，すべり運動をする。すべりPAを防ぐには図 3(b)のように前方から P の力で押せばよい。

dP
=0
d

最低 PA=Wtan(−)の力で押せばすべりを止めることができる。この PA が主働土圧に相当する。
A

押す力を PA より大きくすると，その力に応じてブロッ
ク底面の摩擦力が減少し，P0=Wtanになるとブロック底

(c)すべり角と土圧の関係

面に摩擦は働かなくなる。このときの P0 が静止土圧であ

図 4 クーロン土圧理論の説明る。
更に力を増加させると摩擦 F は下向きに作用しブロッ擁壁が前方へ微小移動すると，背後にくさびが形成されクが斜面をすべり上がるのに抵抗する。ブロックがすべりる。このくさびに作用する力のつり合いを考えれば土圧が上がりはじめる限界状態の力 PP=Wtan(+)が受働土圧にP=Wtan(−)として求められる。斜面の場合には，すべり相当する。

面ωを特定することができたが，擁壁の場合には無数にすクーロンが主働土圧を説明したのは，図 4 に示すようべり面が考えられる。クーロンの土圧理論とは，P を最大に壁面が鉛直で滑らか，かつ，地表面が水平の場合である。

化するすべり面ωが主働すべり面であり，そのときの土圧が主働土圧というものである。

2

近くて，すべり面の一つが壁面に沿って発生する場合であ

仮想変位
-u

る。つまり，土圧の作用方向を限定できる場合に限られる

+
S1

のである。

P

6. すべり面に対する誤解

S2
W




R



P



W

クーロンの土圧理論ではすべり面を直線と仮定してい−る。この仮定が成り立つのは，図 4 に示したように壁面がなめらか(壁面摩擦係数角δ=0)で壁面が鉛直(α=0)の場合

Rに限られる。クーロンが主働・受働土圧を求めたのはδ=0，
α=0 の場合であるので，すべり面を直線と仮定したこと

図 5 クーロン土圧の説明は正しいといえる。
現在，我々が一般にクーロンの土圧公式と呼んでいるミ

5. P の最大値が主働土圧という誤解ュラー・ブレスローの式では，砂質土(c=0，φ>β)を対象

クーロン土圧の説明をより一般的な形で示すと図 5 とに，壁面傾斜角αおよび地表面傾斜角βを考慮したものになり，壁面土圧は式(5)で表される。αは壁面傾斜角，δはなっている。この場合もすべり面を直線と仮定しているが，壁面摩擦角である。

実際には図 5(a)に示すような曲線になる。主働土圧の場合P=には直線と仮定してもそれによる誤差は少ない。しかし，sin ( −  )W ·················· ( 5)cos( −  −  −  )受働土圧では土圧を過大に算定することになるので注意が必要である。

土質力学の教科書や専門書では，P を最大化するすべり

最小仕事の原理によれば，曲線をも含め，運動学的に発角ωが主働すべり面であり，そのときの P が主働土圧と説生し得るすべり面の中で，最も土圧による仕事が小さくな

明されている。つまり，式(5)の P が主働土圧であるためるすべり面がより正解に近いということになる。

の必要・十分条件は，式(6)で表されるというのである。

また，教科書では，図 6(a)に示す ab をすべり面と表現
dP
= 0,
d

2

d P
d 2

しているが，くさびが形成されるには S1 と S2 の２本のす 0 ······················· (6)べり面が発生しなければならない。図 6(a)に示す ac もす式(6)がクーロンの土圧理論を誤解させる元凶になってべり面である。このことを説明した教科書は少ない。

いる。また，この式では，主働土圧の物理的意味がよくわ

壁面の傾斜角αが大きいと，すべり面は図 6(b)のようにからない。筆者は，土圧理論を勉強しはじめた頃，P を最ab，ac’になる。壁面摩擦角δは一般に裏込め土の内部摩擦大化すると主働土圧になり，最小化すれば受働土圧になる

角φより小さい。このため壁面傾斜角αが小さいと，すべという教科書の意味を理解することができなかった。そのり面はエネルギー消費が少なくなるよう壁面に沿って発ような折り，当時愛媛大学の助教授であった榎明潔先生か生する。しかし，壁面傾斜角が大きいと盛土内部を通るほら，土圧理論にも仮想仕事の原理と最小仕事の定理が適用

うがよりエネルギー消費が少なくなるためである。

できることを学び，目から鱗が落ちる思いがした。

逆Ｔ型擁壁や L 型擁壁などかかと版を有する擁壁の場

擁壁が前方へ u だけ仮想変位するとすれば，土圧による
仕事は E = −uP = −uP cos( +  ) となる。主働土圧の場合に合も同じように２種類のすべり面が発生する。ところが，は，土圧の方向と変位の方向が逆であるため，負の仕事を型擁壁などでは，擁壁が前方へ移動すると，図 7(a)に示すする。受働土圧の場合は，土圧の方向と変位の方向が同じようにかかと版上の土は擁壁と一体的に挙動し，擁壁後端であるため仕事は正である。自然界は最小仕事の原理にしに鉛直の壁面（仮想背面）が形成される。

道路土工指針や道路橋示方書では，「かかと版が長い逆Ｔたがって振る舞うので，主働，受働に関わらず土圧のするb

仕事を最小化すれは良い。式(6)は，正しくは式(7)と表現b

すべきである。
dE
= 0,
d

c

d 2E
d

 0 ······················· (7)
2

c’
c

S1

S1
S2
W

S2





ところで，すべり面 S2 が図 4，図 5 のように壁面に沿って発生すれば，− u cos( +  ) はωに関係なく一定にな










P
R

る。E を最小化することと P を最大化することは同じになaり，式(6)でも結果的には間違いではないということになる。

(a) α≠ 0，δ >0 の場合

Wa(b) αが大きい場合

図 6 主働すべり面

しかし，式(6)を適用できるのは図 5 のように壁面が鉛直に

3



すべり面

移動

仮
想
背
面

(a) かかと版上の土が擁壁と一体的に挙動
溝壁

り面
べ
す

すべ
り面

仮
想
背
面

移動

(b)溝壁が形成されすべり面は２本出現

図 7 仮想背面とすべり面(a)FEMによる解析(田中・今田，2001)

したがって，この面を重力式擁壁の壁面と同じように見0.15

なして土圧を計算できる」と説明している。もしも，かかと版上の土と擁壁が一体となって前方へ移動するとすれ
ば，鉛直の溝壁が形成される。そうすると溝壁は自立できないので，前後の土砂が滑落し，図 7(b)のように２種類の

φ=40゜

すべり面が出現することになる。道路土工指針や道路橋示

2.0

方書に示されているように背後のみにすべり面が出現するという考えは間違っている。

7. 仮想背面をすべり面と見なす誤解

0.50

道路橋示方書では，逆Ｔ式橋台の土圧算定において，底(b)改良試行くさび法による解析版のかかとから鉛直の仮想背面を立てて，この面を重力式

図 8 田中・今田による FEM 解析結果との比較

橋台の壁面と同じように考え土圧を計算するものとしている。これは，仮想背面をすべり面と勘違いしていること

仮想背面は，内力である土圧を算定するための便宜的なになる。仮想背面での土圧傾斜角を壁面摩擦角と称するこ基準線にすぎない。任意の角度で設定してもよいが，安定とからしておかしい。

計算を容易にするため鉛直に設定しているにすぎないの

2001 年 6 月に，徳島で地盤工学会の研究発表会があっである。今田さんが FEM 解析された L 型擁壁はかかと版た。「土圧」のセッションで明治大学大学院の今田美幸さが短かったため，前述した S2 すべり面がたて壁に当たりんが「L 型擁壁と背面地盤の挙動に関する実験と有限要素

折れ曲がったのである。私の提案する改良試行くさび法 6)

解析」と題して発表された 5)。図 8(a)の L 型擁壁に FEMで計算すると，図 8(b)となり FEM による解析結果と全く解析を適用した結果，クーロン土圧理論と同様にω=56゜

同じすべり面が表れる。

の主働すべり面が現れた，という内容の発表であった。こ8. 改良試行くさび法と最小仕事の原理の発表に対して，「かかとから“く”の字形のすべり面が発生している。これは仮想背面が曲がったのでしょうか」

逆Ｔ型擁壁や L 型擁壁などの仮想背面に作用する主働という趣旨の質問があった。仮想背面をすべり面の一つと土圧は，盛土面が一様勾配であればランキン式によって算勘違いされたのであろう。

定することができる。しかしながら，図 9 に示すような場
合には，ランキン式は適用できない。このような場合の主働土圧合力 PA と土圧の傾斜角δは式(8)～式(10)で計算す
4

ることができる。


R2 sin(2 −  ) = 0 1 ···················· (12)R2 sin(2 −  ) = 02

この計算法の詳細は，拙著「続・擁壁間設計法と計算例」
等 6)～8)に詳述してあるので参照されたい。
PA =W1 + R1 sin( −  )····················· (8)
cos 



R1 sin(1 −  ) = 0 1 ····················· (13)R1 sin(1 −  ) = 02

W sin(2 −  ) sin(1 + 2 − 2 ) 
 ····················· (9)W sin(1 −  ) R2 =sin(1 + 2 − 2 ) 

R1 =

 = tan(−1 W1 − R1 cos 1 − 

R1 sin(1 −  )改良試行くさび法を用いると，土圧作用方向δを仮定す
る必要はない。理論的に求めることができるのである。

) ················ (10)9. 物部・岡部式が実態と合わない理由

PAcosδを最大化するω1，ω2 を探索すれば，それが主働

1924 年になって，ミューラー・ブレスローの式を地震すべり角であり，そのときの PA が主働土圧である。試行

時土圧に拡張した２つの論文が土木学会誌に掲載された。

くさび法の場合はω1 のみ探索すればよいが，改良試行く

物部氏による「地震上下動に関する考察並びに振動雑論」

さび法はω1，ω2 の両方を探索しなければならない。一見

9) と岡部氏による「General

Theory on Earth Pressure andSesmic Stability of Retaining Wall and Dam」10)である。

仮想変位
-u

二編の論文とも震度法に基づいたもので，誘導過程は図
仮
W2 想
背
面
PA

2−
W1

ことから，物部・岡部式という名前で世界的に知られてい
る。

PA




PA

10 のように両者で若干異なるものの全く同じ式であった
W2

R2

R1

物部・岡部式を実際の地震被害例に適用すると整合性がW1

よくない。地震加速度は動的であるにもかかわらず，物1−

部・岡部式では地震力を静的荷重として取り扱っているた




R2

2

1

R1

めである。

力の多角形

図 9 改良試行くさび法 6)

複雑そうであるが，表計算ソフト Excel などのソルバー機

kHW

能を用いれば簡単に探索できる。

Wse
c



改良試行くさび法を提案した当初，土木学会の研究発表の会場で，数人の研究者から「主働土圧を求めるのであれ

W



P

ないか」という質問を受けた。R2 あるいは PA を最大化するという発想はクーロン土圧理論の誤った解釈による。前


W

R





ば，PAcosδをなぜ最大化するのか，R2 を最大化すべきで

P
Wse
c

−(−−−)

−+
kHW

R

(a)岡部の方法

述したように，土圧合力を最大化するのではなく，土圧による仕事を最小化すべきなのである。擁壁の仮想変位を uとすれば，R2 による仕事は−uR2sin(2-)である。PA による
仕事は−uPAcosである。図 9 のくさび土塊に作用する力の

P

k HW



かである。主働すべり角1，2 を求めるには，次式のいずれを用いてもよいことが容易に理解されよう。


PA cos  = 0 1 ························ (11)
PA cos  = 0

 2



W

R

−+

R

P


(b)物部の方法

図 10 震度法による地震時土圧

5



W





Wsec

も PA による仕事も R１による仕事も同じになることは明ら−(−−−)

Wsec

つり合い状態を示した力の多角形を見れば，R2 による仕事

k HW

1999 年に台湾集集地震被害を視察したのをきっかけに

0.45m

地震時土圧に興味を持つようになり，剛体運動力学で簡単に動土圧を求めることができるのでないかと考えていた。
peak=41゜r=35゜2=30゜

9.0m

2001 年 5 月に鳥取大学と鳥取県技術士会が主催する講習会があり，講師として招かれた。そのときに鳥取大学のM=51.4t/m(Case1)
M=41.9t/m(Case6)

1.8m

榎明潔教授 11)が，私が考えていたのとほぼ同じ理論ですでに定式化されていることを知り驚いた。

1=25゜2001 年 12 月に国土交通省国土技術政策総合研究所危機

Case1 3.75m
Case6 3.00m

管理技術研究センタ－地震災害研究官の松尾修氏から地震時土圧に関する講演をしていただいた。建設省土木研究

背面土圧合力(水平成分)PAcosδ2(kN/m)

350

所(現・独立行政法人土木研究所)動土質研究室では，すでに図 11 のような地盤・裏込め土・擁壁からなる剛体モデ
ルを用いて動土圧算定式を導き，その妥当性を動的遠心模型実験で確認していることを聞き，再び驚かされた。
式(14)は松尾氏らによって導かれた動土圧公式である
12)。クーロン土圧同様にすべり面の角度ωを変化させて計算し，P の最大値を求めればそれが地震時主働土圧になる。

実験値
300

Case1
Case6

250

物部・岡部
peak=41゜

物部・岡部res=35゜
計算値
Case1

200

計算値
Case6

150

100
0.0

0.1

0.2

地震時土圧は，裏込め土の内部摩擦角φ，壁面摩擦角δ，

0.3

0.4

0.5

震度

 だけでなく，すべり土塊質量 m，地盤の地震時加速度 X

図 12 建設省土木研究所による動的遠心模型実験 12)

擁壁の質量 M，擁壁底面と地盤の摩擦係数μの影響も受け

10. あとがきる。地震加速度が小さいと，擁壁は地盤と一体的に運動す
るが，加速度が大きくなると擁壁はすべり出す。このためクーロン理論は，クーロンが用いた解析モデルに対して土圧はある一定以上に増えない。むしろ若干ではあるが減は力学的な矛盾がない。しかし，それを拡張する過程で工少する。

学的判断に基づいた種々の仮定が導入されたため，力学的厳密性を欠いたものになっている。したがって，クーロン

H

(

)

Pv = P sin(

M X + x

系土圧式を適用する場合には，それが誘導された前提条件
を十分理解した上で活用する必要がある。

Rh = R sin ( −  )Ph = P cos F =  (Mg + P sin  ))m X + x

Mg

参考文献

Rv = R cos ( −  )Xm (g + y)1)

福岡正巳編：新しい土圧入門，近代図書，1982

2)

山本義隆：古典力学の形成，日本評論社，1997.

3)

John N. Cernica ：Foundation Design

Handbook，John Wiley & Sons，

pp.288，1995.

y
N = Mg + P sin 4)

右城猛：新・擁壁の設計法と計算例，理工図書，1999.

5)田中忠次，今田美幸：L 型擁壁と背面地盤の挙動に関する実験と有限X,x要素解析，第 36 回地盤工学研究発表会(徳島)2001.6

図 11 動土圧の解析モデル 12)6)

右城猛：続・擁壁の設計法と計算例，理工図書，1998.

7)

右城猛，八木則男，矢田部龍一，筒井秀樹：かかと版付き擁壁の合理的な土圧評価法，土木学会論文集，No.567/Ⅵ-35，1997.

物部・岡部式は，水平震度が小さくて擁壁が地盤と一緒8)に運動するような場合に適用できるものであり，水平震度

土木技術，Vol.54，No.8，1999.

が大きくなる大地震に適用すると過大な土圧を与えると
9)

言える。

物部長穂：地震上下動に関する考察並びに振動雑論，土木学会誌，
Vol.10-5，1924.

(sin  +  )g − tan  sin X mM P=
M cos( −  ) + m(cos  −  sin  )

 = cos  + tan  sin  =  −

右城猛，筒井秀樹：片持ばり式擁壁の合理的な土圧計算法の一試案，

10)

Okabe.S.：General Theory on Earth Pressure and Seismic Stability of
Retaining Wall and Dam. 土木学会誌，Vol.10-6，1924.


 ··· (14)




11)

榎明潔，岡田順三：地震時の土圧に関する研究，第 37 回地盤工学研究発表会(大阪)，2002.7

12)

松尾修，斉藤由紀子，岡村未対：擁壁に作用する地震時主働土圧に関する考察および比較計算，第 26 回地震工学研究発表会，2001.8

6