東急建設技術研究所報 No. 43

U.D.C 624.01/.04 : 531.2

弾性理論解に基づく直接基礎の水平地盤ばねの算定法
古垣内

要

約：

靖＊

川崎健二郎 ＊

一般に直接基礎の設計では基礎の水平地盤ばねの評価を特に必要としないが，異種基礎などの場合には，杭基礎部分と直接基礎部分の水平荷重の分担割合や，当該基礎のねじれの検討で直接基礎の水平地盤ばねを評価する必要が生じる。本報では，半無限弾性体の表層に集中水平荷重が作用した場合の変位解を応用し，直接基礎の水平地盤ばねの算定法を提案し，三次元有限要素解析や弾性理論解と比較を実施し妥当性の確認を行った。この算定法は，単一の基礎だけでなく，隣接する他の直接基礎の影響を考慮することが可能で，直接基礎同士の相互作用を考慮した複数の独立基礎群に対する水平地盤ばねを評価でき，複雑な平面形状の直接基礎に対しても，円形基礎の集合体に離散化することで水平地盤ばねを容易に算定することができる。

キーワード：

直接基礎，異種基礎，水平地盤ばね，半無限弾性体，多層地盤，弾性理論目

1．はじめに

4．基礎形状が水平地盤ばねに与える影響について

2．弾性理論解に基づく直接基礎の水平地盤ばね

5．まとめ

次：

3．隣接する直接基礎の影響を考慮した水平地盤ばね
1．はじめにu=  I

直接基礎の水平地盤ばねの評価方法は，これまで，半無QGa

I (ν, ζ)= 

限弾性体の表面に円形のせん断力を作用させた際の地表面

11−2ν
3+4ζ −2ζ+( 1+ζ  −ζ)
2π 2 1+ζ 2(Ⅰ)等分布荷重 4)水平変位解 1) やコーンモデル 1) による略算法を用いることが多かったが，これらは複雑な基礎形状や隣接する直接基I (ν, ζ)= 

1 1 π1−ζ+tan 2ζ
8π 2 2 

礎の影響を考慮した水平地盤ばねのモデル化に課題があっ2ζ

1

− 1+ζ +(3−2ν)tan  ζ (Ⅱ)等変位荷重 5)

(1)

(2)

た。一方，直接基礎の鉛直地盤ばねの場合，Steinbrennerの近似解と長方形分割法を用いて，基礎の形状や隣接基礎
K=2)

QU

の影響を評価している が，矩形分布荷重による隅角部の水平変位解 3)は煩雑であり基礎の設計手法としては，好ま

U=Q   I  (ν, ζ)−  I  (ν, ζ)∑a G

しいとはいえない。
そこで，本報では，単層地盤だけでなく多層地盤にも対ここに Q：水平力（kN） ζ=za

応した弾性理論解に基づく直接基礎の水平地盤ばねの算定

z：変位の算定深度（m）

方法と複雑な基礎形状や隣接する直接基礎の影響を考慮し

a：荷重作用半径（m） G：地盤のせん断剛性（kN/m 2）

た水平地盤ばねの簡易な評価方法を提案し，三次元有限要

素解析や弾性理論解と比較しその妥当性を検証した。

アソン比K ：直接基礎の水平地盤ばね（kN/m） ν：地盤のポζ=za

G： 層のせん断剛性（kN/m 2） ν： 層のポアソン比

2．弾性理論解に基づく直接基礎の水平地盤ばね(z： 層の下端深度（m），ただし z=0.0（m）)式  u は，深度方向における水平変位の弾性理論解を示している。係数  I  の(Ⅰ)は円形等分布荷重 4)の場合で，(Ⅱ) は 円 形 等 変 位 荷 重 5) の 場 合 で あ る。こ れ ら は，Cerruti の解と呼ばれる半無限弾性体の表面に水平集中荷重を作用させた場合における任意の点の水平変位を積分して得られた載荷面中心位置の水平変位の弾性理論解である。(Ⅰ)等分布荷重は柔な基礎を，(Ⅱ)等変位荷重は剛な基礎の状態を表現している。同式は，深度方向の変位解であることから，弾性沈下量を算定する Steinbrenner の近似解の多層地盤への拡張と同様の方法 2)を用いると多層地盤に拡張した水平変位解  U が得られる（図 1，(＊技術研究所)式）。

図1

多層地盤のモデル化

基礎・構造グループ29

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多層地盤へ拡張した()式の適用性を確認する目的で三次元有限要素解析との比較を行った。図 2 に三次元有限要素解析のモデル図を示す。解析は汎用構造解析コード
DIANA9.6 を使用し対称性を考慮し 1/2 モデルで計算を行った。要素は 20 節点ソリッド要素（CHX60）を使用し，荷重条件は荷重作用半径をとし水平（ ）方向へ設定，境界条件は全周ローラーとし弾性解析を実施した。モデルサイズは，境界条件による影響が無視できるように基盤深度を 200 ，荷重作用中心から短部までの距離を 100 とし，深度 0〜2 の範囲および以深に関してせん断弾性係数を1および2

図2と設定した。

図 3 に 2 層地盤において(三次元有限要素解析のモデル図)式より求めた水平変位と三次元有限要素解析で求めた水平変位の深度分布を比較した
ものを等分布荷重(Ⅰ)の場合と等変位分布荷重(Ⅱ)の場合に分けて示す。縦軸 ζ は深度 を荷重作用半径で基準化し，横軸は水平変位の深度分布  U ， u を等質地盤の等変位荷重(Ⅱ)の表面における水平変位の理論解  u で基準化した。なお，ポアソン比は一律 ν=0.3 とした。これ
よ り，深 度 2 ま で の 層 と 2 以 降 の 層 の せ ん 断 剛 性 比G/G=5 とした場合においても，円形等分布荷重(Ⅰ)，
円形等変位荷重(Ⅱ)による水平変位の深度分布は共に三次元有限要素解析と良い対応を示した。
3．隣接する直接基礎の影響を考慮した水平地盤ばね図3

図 4 に，弾性理論解および三次元有限要素解析（解析モ

2 層地盤における深度方向の水平変位分布

デルは図 2 と同様）により，半無限弾性体の表面において，集中荷重，円形等分布荷重および円形等変位荷重の水平力を作用させた場合の荷重方向 および荷重直交方向の地表面水平変位分布を示す。なお，ポアソン比は全て
ν=0.3 とした。縦軸は地表面変位を前節と同様の  uで基準化した u/  u である。横軸は荷重点からの水平距離 （荷重方向）， （荷重直交方向）を，荷重作用半径および荷重作用面と等価面積にした正方形 1 辺の 1/2 長さで除して基準化したものである。
これによると，荷重作用面中央から 2 までの範囲では各荷重（集中荷重，等分布荷重，等変位荷重）による差異が生じているが，2 以降は荷重方向，荷重直交方向ともに差異がなくなり同様の変位分布になっていることが分か

図4

弾性体表面水平変位分布る。これは，水平変位算出点から 2 以上離れた位置の荷重の影響は図 5 に示すように集中荷重による Cerruti 解で評価しても大きな差異が生じないことを示唆している。なお，2 未満は，隣接基礎が重なることを意味しており，取扱わなくてよいと考える。
()式は載荷点中央位置の変位解のため，周辺への影響を求めることはできない。一方，Cerruti 解は，任意の位置における変位解であり，載荷点より 2 以上離れていれば，周辺への影響を精度よく求めることができる。したがって，基礎に直接作用する水平力については()式を用

い，その他の基礎からの影響については，Cerruti 解を用

図5いることで，隣接する直接基礎の影響を考慮した水平地盤ばねを算出できる。これを式で表すと()式となる。(基礎の大きさと隣接基礎との距離)30

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は 基礎における水平変位であり， U は 基礎自れば L/B=1 の結果に対しの誤差が 5% 程度であることが身の座標表面における弾性理論解を多層地盤に適用した水確認された。したがって，矩形基礎を円形基礎と仮定する平変位であり， U は 基礎以外の 基礎の Cerruti 解を本提案方法の / の適用範囲は同様となるが，荷重方向多層地盤に適用した水平変位である。なお，本算定式は独により適応範囲が異なると煩雑となることを考慮し，適応式の立基礎だけでなく，べた基礎などの連続した基礎形状も碁範囲としては 2/3(0.67)<L/B<3/2(1.5) とするのが好まし盤の目状に離散化することで適用することができる。

いと考える。

4．基礎形状が水平地盤ばねに与える影響について5．まとめ)式の妥当性を検証することを目的とし本報では，弾性理論解に基づく多層地盤に対応した直接て，矩形基礎の辺長比 / をパラメータとして，等分布

ここでは，(

基礎の水平地盤ばねの算定式を示し，隣接基礎の影響を考荷重と等変位荷重の場合の中心位置の水平変位量を算慮した直接基礎の水平地盤ばねの評価方法を提案した。こ定し，三次元有限要素解析と比較した。三次元有限要素解の方法は，基礎を円形状の集合体に置換・離散化し，円形析モデルは図 2 を基本とし荷重作用範囲と等価な面積を有荷重と集中荷重を用いることで簡易に水平地盤ばねを評価する四角形の荷重範囲を設定した。解析に使用した /できることを特徴としている。そして，円形状に置換するは 0.1〜10 の値に関して底が 2 の対数を取った値が等間隔際，離 散 化 し た 基 礎 の 辺 長 比 の 適 応 範 囲 は 2/3<B/Lとなるように設定した。なお， / の影響をみるため載<3/2 であることも示した。また，三次元有限要素解析お荷面積と総荷重は一定とし，円形等変位荷重での地表面水よび弾性理論解との比較で，精度良い評価方法であること

平変位  u で基準化した。図 7 に(が検証できた。

)式での検討モデルの平面図を示す。解析モデルは，L/B=0.13~7.67 とし，矩形を一辺 2 の均等な正方形に分割した。なお， は全てのモデルにおいて載荷面積が同一になるように調整した。算 定 対 象 基 礎（ ）は 円 形 荷 重 と し，そ の 他 の 基 礎（j）は各正方形の中心位置に集中荷重を作用させて算出した。等分布荷重を仮定した場合は，算定対象基礎（ ）は，円形等分布荷重(Ⅰ)とし，すべて同一の荷重を作用させた。一方，等変位荷重を仮定した場合は，算定対象基礎（ ）も，円形等変位荷重(Ⅱ)とし，全ての基礎位置の変位が同一になるように各基礎に水平力を分配した。

図6

他の基礎（j）の影響を考慮した 基礎の水平変位

図 8 に本検討結果として，矩形基礎の辺長比 / と水平変位 U /  u との関係を示した。これによると，()

式による結果は，等分布荷重，等変位荷重いずれの荷重であっても三次元有限要素解析や弾性理論 7)の結果と概ね一致することが確認できた。
また，図 8 は，矩形の辺長比（ / ）が水平変位量に与える影響を示しており，等分布荷重，等変位荷重のいずれであっても，U /  u は 2/3(0.67)<L/B<3.0 の範囲であK =

QUU=  U+ ∑ 


U=Q  ∑I = UI (ν, z)−  I  (ν, z)G 1Δ  1−2νΔ 1+  +R−4πR
R+zR+zR


R= Δ +Δ +z (m)Δ=− (m)Δ=− (m)

図7検討モデルの平面図(3)

ここに，(, )：i 基礎の平面座標(, )：j 基礎の平面座標
K ：i 基礎（算定対象基礎）の水平地盤ばねQ：i基礎（算定対象基礎）に作用する水平力（kN）
Q ：j 基礎（他の基礎）に作用する水平力（kN）
その他の符号は()式を参照

図8

矩形基礎の辺長比が水平変位に与える影響

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謝辞

本論文を作成するにあたり，日本建築学会，異種基礎 WG（主査：佐原守（大林組技術研究所））にて貴重な助言を頂いた。また，(1)―(Ⅱ)式を竹中工務店技術研究所の濱田純次氏より提供頂いた。ここに謝意を表します。
参考文献
1) 日本建築学会：建物と地盤の動的相互作用を考慮した応答解析と耐震設計，pp. 121‑130, 2006.2
2) 日本建築学会：建築基礎構造設計指針，pp. 124‑126, 2001.10
3) 岡村宏一・島田功：3 次元弾性問題の一数値解析とその応用，土木学会論文報告集，No. 199, pp. 33‑43, 1972.3
4) 金井清・田治見宏・他 2 名：建築構造学体系 1

地震工学，彰国社，p. 755) 濱田純次，土屋富男，山下清：地盤の非線形特性を考慮したパイルド，ラフト基礎の地震時杭断面力の算定式，日本建築学会
構造系論文集，第 76 巻，第 660 号，pp. 301‑310, 2011.2.
6) 牟岐鹿楼：表面にせん断荷重を受ける半無限弾性体の三次元応力問題，日本機械学會論文集，22（119), pp. 468‑474, 1956
7) 山原浩：環境保全のための防振設計，彰国社，pp. 119‑128

CALCULATION METHOD OF HORIZONTAL SOIL SPRINGOF SPREAD FOUNDATION USING ELASTICITY THEORY
Y. Furugaichi, and K. Kawasaki
Normally, it is not necessary to assess horizontal ground spring for the design of spread foundation. However, in theinstance of composite foundation, to examine share ratio of horizontal load between pile foundation and spread foundationand torsion of the foundation, it is essential to evaluate the horizontal ground spring of spread foundation. In this paper, thecalculation method of horizontal ground spring for spread foundation is proposed by the displacement equation obtained
through applied concentrated horizontal load on the surface of semi‑infinite elastic body.
Since this calculation method is suitable for a single spread foundation as well as considering the influence on otheradjacent spread foundation, it is able to assess horizontal ground springs of various individual foundation groups withconsidering interactions among spread foundations. In addition, the horizontal ground spring of the spread foundation withcomplex shape can be easily evaluated due to discretizing aggregate of circular foundation. The validity of the calculation
method was confirmed by comparing calculated results against those of three‑dimensional finite element analysis andelastic theory.

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