Sparse modeling approach to extract spectral functions
form Euclidean-time correlators of lattice QCD

大野浩史 (筑波大学計算科学研究センター)
共同研究者: 髙橋純一 (気象大学校)、富谷昭夫 (大阪国際工科専門職大学)

宇宙史研究センター2023年度
第2回構成員会議・成果報告&交流会
2023年12月18日

目次
• 背景
• スパースモデリング• スペクトル関数の計算への応用– Mock data テスト– Lattice QCD data

• まとめと今後の展望

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QGPとクォーコニウム• クォーコニウム (ηc, J/Ψ, χc, ηb, Υ, χb …)– 重いクォーク (c, b クォーク) とその反クォークの束縛状態– 重イオン衝突の早い段階で生成 → QGPの生成からハドロンへの再凝縮に至るすべての過程を経験© S.A. Bass

qq-重イオン衝突
QGP
T. Matsui and H. Satz (1986) • 非閉じ込め• 色荷に対するデバイ遮蔽効果→ クォーコニウムが消失

qu-…

qu

– 重イオン衝突実験において生成される QGP の性質を調べる上で重要な粒子
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2高温媒質中のクォーコニウム及び重クォークの性質の理解

CMS Collaboration@QM2018

PHENIX Collaboration, PRL 98 (2007) 172301

クォーコニウムの種類ごとに異なる束縛エネルギー→ 異なる消失温度 → QGP温度計
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重クォークの流体力学的性質 (輸送係数)→ 流体モデルに対する重要なインプット

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相関関数とスペクトル関数
クォーコニウム相関関数 ← 格子QCD計算で計算可能

スペクトル関数 → 高温媒質中のクォーコニウムの情報を含む
ρ(ω,p=0)/ω2

Tc: 相転移温度

T<Tc

基底状態

ρ(ω,p=0)/ω2

ρ(ω,p=0)/ω2

T>Tc

重クォーク拡散係数

T→∞(自由場)

輸送ピーク (V)
輸送ピーク (V)

励起状態状態の消失 (融解)ω
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ωSparse modeling approach to extract spectral functions
form Euclidean-time correlators of lattice QCDωρVii : ベクタースペクトル関数
χ00 : クォーク数感受率4スペクトル関数計算の困難• 典型的な ill-posed 問題– 相関関数からスペクトル関数への逆問題を解く必要がある– （格子QCDで得られる相関関数のデータ点数）<< （スペクトル関数を表現するために必要な自由度の数）– 単純な χ2 フィットはうまくいかない– 何かしら事前にわかっている情報が必要
Ding, O. Kaczmarek, A.-L. Kurse, HO, H. Sandmeyer and H.-T. Shu,
• 摂動論等理論的考察に基づくモデリング H.-T.
Phys. Rev. D 104 (2021) 11, 114508• 最大エントロピー法 (MEM) M. Asakawa, T. Hatsuda and Y. Nakahara, Prog. Part. Nucl. Phys. 46 (2001) 459-508• Stochastic法 H.-T. Ding, O. Kaczmarek, Swagato Mukherjee, HO and H.-T. Shu, PRD 97 (2018) 9, 094503• Backus Gilbert法 B. B. Brandt, A. Francis, H. B. Meyer, and D. Robaina, Phys. Rev. D 92, 094510 (2015)• スパースモデリング E. Itou, Y. Nagai, J. High Energ. Phys. 2020, 7 (2020)• …

様々な手法を比較して系統誤差を見積もることが必要！
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摂動論等理論的考察に基づくモデリング
H.-T. Ding, O. Kaczmarek, A.-L. Kurse, HO, H. Sandmeyer and H.-T. Shu, Phys. Rev. D 104 (2021) 11, 114508

Charm, V••

Bottom, V

チャーモニウムにはピーク構造が必要ない (消失を示唆)
ボトモニウムには相転移温度の1.5倍の温度程度までピーク構造があってもよい (残存を示唆)

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MEM & Stochastic method
J/Ψ@0.75Tc, 1283x96, Quenched

K.S.D. Beach, arXiv:cond-mat/0403055
H.-T. Ding, O. Kaczmarek, Swagato Mukherjee, HO and H.-T. Shu, PRD 97 (2018) 9, 094503

MEM

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Stochastic

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スペクトル関数計算の困難• 典型的な ill-posed 問題– 相関関数からスペクトル関数への逆問題を解く必要がある– （格子QCDで得られる相関関数のデータ点数）<< （スペクトル関数を表現するために必要な自由度の数）– 単純な χ2 フィットはうまくいかない
エネルギー・運動量テンソルの相関関数への応用– 何かしら事前にわかっている情報が必要
Ding, O. Kaczmarek, A.-L. Kurse, HO, H. Sandmeyer and H.-T. Shu,
• 摂動論等理論的考察に基づくモデリング H.-T.
Phys. Rev. D 104 (2021) 11, 114508• 最大エントロピー法 (MEM) M. Asakawa, T. Hatsuda and Y. Nakahara, Prog. Part. Nucl. Phys. 46 (2001) 459-508• Stochastic法 H.-T. Ding, O. Kaczmarek, Swagato Mukherjee, HO and H.-T. Shu, PRD 97 (2018) 9, 094503• Backus Gilbert法 B. B. Brandt, A. Francis, H. B. Meyer, and D. Robaina, Phys. Rev. D 92, 094510 (2015)• スパースモデリング E. Itou, Y. Nagai, J. High Energ. Phys. 2020, 7 (2020)• …

様々な手法を比較して系統誤差を見積もることが必要！
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スパースモデリングの概要• スパースモデリングを用いたスペクトル関数の計算 ← 物性物理学分野で提案
H. Shinaoka, J. Otsuki, M. Ohzeki, K. Yoshimi, Phys. Rev. B 96 (2017) 035147
J. Otsuki, M. Ohzeki, H. Shinaoka, K. Yoshimi, Phys. Rev. E 95 (2017) 061302• MEMと異なる正則化 (デフォルトモデルがない)→ L1正則化 (LASSO回帰)

Cf. 最大エントロピー法 (MEM)

L1 norm:λ > 0: ハイパーパラメータ• カーネルを特異値分解し、小さい特異値の寄与を無視→ スペクトル関数のランクを削減: Shannon-Jaynes エントロピー: デフォルトモデル (事前知識)• Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) により最適化問題を解く
S. Boyd, et al., Foundations and Trends R in Machine Learning 3, 1 (2011)
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L1正則化の幾何学的解釈
簡単のため、2変数の問題を考える
L1正則化

L2正則化

なるべく大きさが小さく、スパースな解を選択
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なるべく大きさの小さい解を選択 (スパースとは限らない)

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スパースモデリングの手順 (1)1. カーネル K(ω,τ) を特異値分解
S: M×N 対角行列、U: M×M 直行行列、V: N×N 直行行列
M: 虚時間 τ の点数、N: 周波数 ω の点数

2. Vt で基底を変換

3.の要素の内、小さい特異値に対応するもの () を削減

S : M×N → L×L
U : M×M → M×L
V : N×N → N×L

L: 使用する特異値の数

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スパースモデリングの手順 (2)4. 損失関数を以下で定義
共分散行列L1正則化

二乗誤差

5. 最適なハイパーパラメータ λ = λopt を χ2 の kink から決定
10210010-210-410-6106105104103102101010- 1510- 1010-510010- 15
1010- 1010-51006. 尤もらしいスペクトル関数を ADMM による最適化問題を解くことで決定スペクトル関数の非負値性を課しながら解く
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Mock data テスト: mock spectral function• Vector channel e+e- annihilation
T. Yamazaki, et al.(CP-PACS Collaboration), Phys. Rev. D 65, 014501 (2002)

peakcontinuum••: threshold ofdecay
0.120.09• パラメータ0.06
0.03
0.00
0

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12345613

Mock data テスト: mock data の作成• 相関関数の中心値
Δτ = 0.5• 相関関数の誤差: 以下で定義される分散 σ(τ) のガウス乱数で生成 (共分散は 0)• 周波数の範囲と点数:、Nω = 601

• 虚時間の点数 (3種類):• 次の再構成誤差を評価:
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Mock data テスト: 結果１Nτ=46Nτ=31Nτ=160.12

0.12

0.12

0.09

0.090.09

r = 0.03968

0.06

r = 0.02611

0.06

0.060.030.03

0.03

0.00

0.00

0.00

012345601234r = 0.01892

560123456• データ点数が大きいほど再構成誤差が小さい。
• 周波数が低い領域で非負値性が満たされていない。
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Mock data テスト: 結果2Nτ = 46
0.12

0.12

Continuum のみ

0.09
0.06

0.06

0.03

0.03

0.00

0.00

01234

Dumped continuum

0.09

560123456• 非負値性も含めよく再現できている→ ピークがない場合は低周波数領域の振動が小さい
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Lattice QCD data: セットアップ• Standard plaquette gauge + O(a) improved Wilson fermion 作用• クエンチ近似 (クォーク真空偏極の効果を無視、計算コスト小)• 格子サイズ (空間、時間方向):• 配位数: 234

Correlation function• 格子間隔:• Charmonium correlator in the vector channel at 0.75Tc

10-310-410-5

10-6

10-7

10203040

H.-T. Ding, A. Francis, O. Kaczmarek, F. Karsch, H. Satz, W. Soeldner, Phys. Rev. D 86, 014509 (2012)
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Lattice QCD data: 規格化とデータの選択• カーネルとスペクトル関数を次のように変形• 相関関数のデータの内、格子化誤差の大きい部分は用いない𝜏0Τ𝑎 ≤ 𝜏Τ𝑎 ≤ 𝑁𝜏ൗ2、𝜏0Τ𝑎 = 4

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Lattice QCD data: 結果• スペクトル関数はおよそω = 2
GeV 辺りから立ち上がっている。
• ω = 4 GeV 付近に幅の広いピークを持つ。
• 先行研究 w/ MEM のピーク位置(約3.48 GeV) とこの格子上でのJ/Ψ 質量 (約3.472 GeV) より若干大きな位置にピークがある。

1.4Our result

1.2
1.00.80.6
0.4
0.20.002468 10

H.-T. Ding, A. Francis, O. Kaczmarek, F. Karsch, H. Satz, W. Soeldner,
Phys. Rev. D 86, 014509 (2012)
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19まとめ• スパースモデリングを用いて、格子QCDのEuclidean-time correlatorからスペクトル関数を計算した。
• Mock data を用いたテストで、本手法の性能を評価した• 実際の Lattice QCD data に対して本手法を適用し、先行研究との比較を行った。
– 先行研究よりも高い周波数の位置により幅の広い J/Ψ ピークが得られた

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今後の展望• より詳細な手法のチェックが必要– スペクトル関数の非負値性– 最適なハイパーパラメータ λ– ADMMの収束性–…

• 格子QCDの他のデータに対する解析– 高温のデータから Transport peak は得られるか？
–…

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