電磁気学における単位系§0 疑問の発生
電磁気学の理解において意外に高い障壁がその単位系の理解である。単位はそもそも人間が共通の"言葉"で量の大きさを伝達し合うために考案したものであるが，電磁気現象の記述において多くの単位(系)が存在するためにかえって混乱を導き，現象の定式化そのものよりも，単位系という人為的な約束ごとの理解にエネルギーを使わざるを得ないという本末転倒ともいえる状態に陥ることが多い1。地球上には膨大な数の言語が存在するが，英語を"共通語"と認識することで，混乱が避けられている。電磁気学にも
MKSA 系という"標準語"が存在するが，分野によっては"昔の標準語"である別の単位系が依然として使われている(新刊書でも，分野によってはごく自然に使われているものもある)。名著あるいは古典と呼ばれる成書をひもといて，基本的な事項を勉強しようとすると，多くの場合，式の形や単位系が自分の(最新の SI 単位系で)受けた教育における単位系と異なるために混乱してしまうことになる。単位系をきちんと理解しなければ，ある式にいろいろな物理量の値を代入して計算することもできなくなる。あるいは，ある単位系で書かれた式を別の単位系の式として変換するためにも単位系の理解は必須である。本書は，(特に電磁気学)単位系を自由に行き来できるような"ワザ"を習得するために書かれた monograph である。
§1 単位系の種類とその設定
電磁気量の単位設定は，電磁気量と力学量の関係を表す物理法則式から始める。
電気量(電荷)に対するクーロンの法則
F =1 qq '
α r2

(1)

F =

1 mm '
β r2

(2)

1 mi
γ r

(3)

磁気量(磁荷)に対するクーロンの法則

電流と磁荷の相互作用2F =F は力，q は電荷，m は磁荷(磁気量)，i は電流[q = it (t は時間)]，r は距離である。また，α, β, γは比例定数であり，単位系ごとに定められる。式(1)〜(3)より次式が成立する。

1

少なくとも筆者は大学教養時代の「電磁気学」の講義の時点からその"罠"に陥った一人である

2 ビオ・サバールの法則を積分した結果としての磁場[∝ (電流)/(距離)]と磁荷 m の相互作用。

-1-

2

γ2  r =   = c 02
αβ  t (4)

ここで，c0は真空中の光速である(このことから，α, β, γはすべて独立ではないことがわかるであろう)。
電気系の量に誘電率を考え，磁気系の量に透磁率を考えて1，α, β, γをそれぞれ
α = k1ε 0(5)

β = k 2µ 0(6)

γ = k3K(7)

とおく(状態は真空を想定)。真空でない場合，誘電率も透磁率も物質に依存する。Kは
媒体には無関係な連結因子と呼ばれる定数であり，次の関係を満たす。
K 2 = ε0µ 0c 02(8)

k 32 = k1k 2(9)

従って，常にが成立しなければならない。
電磁気学における単位系は，上記の関係に対して，[1] 基本単位(CGS か MKSA か)[2] 独立量(MKSA か esu か emu か Gauss か)[3] 定数値(有理か非有理か)の各選定をどのように行うかによって決まることになる。
[1]は，単位を cm, g, sec で統一するのか，m, kg, sec, A(C)で統一するかということであり，(3元，4元という違いはあるものの)数値の大きさに関わることなので大きな問題とはならない。
一方，[2]は非常に重要であり，電気的量にかかわるもの(例えばε0)をまず定義してからその他のものを決めていくのか(esu 単位系; Electrostatic system of units)，あるいは逆に，磁気量にかかわるもの(例えばµ0)を定義してから他のものを決めていくのか(emu 単位系; Electromagnetic system of units)，あるいは両方(ε0とµ0)とも定義してから進めるのか(Gauss 系)，はたまた電流のような量を独立量に選んで，ε0とµ0を与えていくのか(MKSA 単位系)というような様々なバリエーションがあり，それに応じて物
理量の単位(次元)だけでなく，理論式の形も変わってくることになる。
[3]の定数値というのは，式(5)〜(7)に現れた各定数 k の決め方を意味している。k =1 現段階では，誘電率も透磁率もその単位と大きさは未定としてよい。

-2-

4πとする場合を有理系といい，k = 1とする場合を非有理系という。これらは，理論式の見かけの美しさに関わる問題で本質的な問題ではないが，本を読むときや式を実際に扱うときに(特に数値を代入して物理量の大きさを求めようとするとき)，どちらの系で書かれたものかを知っておかないと正しい値を得ることができなくなる。有理系では，クーロンの法則や，ビオ・サバールの法則に1/(4π)が現れて一見煩わしいようであるが，逆にマクスウェル方程式に4πが現れず，見かけがきれいになる。非有理系はこの逆で，クーロンの法則はスッキリしているが，マクスウェル方程式に4πが現れる。通常，esu,
emu, Gauss 系は非有理，MKSA 系は有理系で書かれる。
次に，独立量の取り方による単位系の組み立て方の違いを見ていく。
1) MKSA(MKSQ ともいう)単位系
・基本単位は m, kg, sec，A(または C)である。
・通常は有理系として，k1 = k2 = k3 = 4πにとる。つまり，α = 4πε0, β = 4πµ0, γ = 4πKである。
・独立量は電流(または電荷)であり，誘電率は
ε0 =

107
4πc '20=1011
4πc 02N −1 C2 m − 2(10)と定義される。ここで c'0は m s−1単位の真空中光速の"数値"2.99792458×108(無次元！)であり，c0は cm s−1単位の光速の"数値"2.99792458×1010(無次元！)である1。
また，この単位系での連結因子は K = 1にとられるから，透磁率は，µ 0 = 4π × 10 −7 N A −2 = 4π × 10 −7 kg m C −2

(11)と な る 。 従 っ て ， 式 (8) よ り ， (ε0µ0)−1/2 が 光 速 に 等 し く ， そ の 大 き さ は
2.99792458×108 m s−1となる。

2) CGS esu(CGS 静電単位系)
・基本単位は cm, g, sec である。
・通常は非有理系として，k1 = k2 = k3 = 1にとる。つまり，α = ε0, β = µ0, γ = K である。
・独立量として真空誘電率をとり，ε0 = 1(無次元)とする。連結因子は K = 1である。
従って，式(8)よりµ0は，µ 0 = c 0−2(12)となる。なお，ここの c0は真空中の光速(2.99792458×1010 cm s−1, 次元あり)である。
1

光速が速度という時限をもつ物理量ではなく，無次元の数字として扱われることに注意が必要である。

-3-

このように，透磁率µ0は cm−2 s2という単位をもつ物理量となる。
3) CGS emu(CGS 電磁単位系)
・基本単位は cm, g, sec である。
・通常は非有理系として，k1 = k2 = k3 = 1にとる。つまり，α = ε0, β = µ0, γ = K である。(ここまでは CGS esu と同じ)。
・独立量として真空透磁率をとり，µ0 = 1(無次元)とする。連結因子は K = 1である。
これよりε0は，ε0 = c 0−2(13)となる。なお，ここの c0は真空中の光速(2.99792458×1010 cm s−1, 次元あり)である。
CGS emu の場合とは逆に誘電率ε0が cm−2 s2という単位をもつ物理量となる。

4) Gauss 単位系
・基本単位は cm, g, sec である。
・通常は非有理系として，k1 = k2 = k3 = 1にとる。つまり，α = ε0, β = µ0, γ = K である(ここまでは ems や esu と同じ)。
・独立量として，真空誘電率ε0と真空透磁率µ0をいずれも1(無次元)にとる。このため連結因子は自動的に K = c0 = 2.99792458×1010 cm s−1(次元あり)となる。
次に単位系の歴史的経緯を見ておく。
・MKSA 単位系
1930年代に，CGS 単位系にまさる単位系として確立されて以来，最も実用的な単位系として認められるようになった。
・Gauss 単位系
Planck の著書以来，しばしば使われるようになり，最近では MKSA 系に次いで用いられている。
・ローレンツ−ヘビサイド単位系
Gauss 単位系的に電気的な量には CGS esu を，磁気的な量には CGS emu を使う
が，有理系になっている。ヘビサイド(O. Heaviside)が1882−83年に有理単位系を提案し(1883年著書「電磁論」)，ローレンツ(H. A. Lorentz)が再編成したもので，有理単位系の元祖的単位系である。一時期広く使われたが，(G. Giorgi による)MKSA
単位系に主流が移行した。
・一般化 CGS 静電単位系(一般化 CGS esu)
CGS esu を MKSA 系にならって4元系としたもの。cm, g, sec, Fr を基本単位として採用する(Fr はフランクリン)。CGS esu から MKSA 系への移行の過渡的措置として，SUN 委員会(国際記号単位述語委員会)が採択したもの。それまで esu 電荷単-4-位には名称はなかったが，esu 電荷にだけ Fr(フランクリン)という単位が与えられた。
・一般化 CGS 電磁単位系(一般化 CGS emu)
CGS emu を MKSA 系にならって4元系としたもの。cm, g, sec, Bi を基本単位として採用する(Bi はビオ)。それまで emu には特定名称の単位はなかったが，emu の電流にだけ Bi(ビオ)という単位が与えられた。
§2 電場と磁場の対応(E−H 対応と E−B 対応)
電磁気学の単位に関するもう1つ重要な点として，電気的な量と磁気的な量の対応の問題がある。電気量としての電荷に対応するものとして，磁気量として"磁荷"を考え，"磁荷"に対するクーロンの法則を基本とする立場が E−H 対応と呼ばれるものである。
しかし，磁荷は電荷と違って，単独の磁荷のみ(つまり単独の N 極あるいは S 極のみ)を取り出すことはできない。従って，現実には"磁荷"は存在しない。しかし，理論的扱いにおいては，q ↔ qm, ε0 ↔ µ0, E ↔ H(さらには D ↔ B)という対応をつけると，電気と磁気を同じ形式で表現できることからこの立場(E−H 対応)が存在する。別の言い方をすれば，E−H 対応は磁石が作る磁場を出発点とした立場ということもできる。E−H
対応での磁気に関するクーロンの法則はF =1 qm q 'm
4πµ 0 r 2(13)と表され，電荷のクーロンの法則との比較から，qm(Wb)1と q'm(Wb)という磁荷間に力F が働くということができる。このとき磁荷 q'm に基づく磁場 H が(電場 E と同様のセンスで)導入され，H =1 q 'm4πµ 0 r 2

(14)という形になる。つまり，
F = qm H(15)である。磁束密度 B はµ0を介して H と結ばれ，
B = µ0H(16)となる。
一方の E−B 対応の立場は，磁石の基本が磁荷ではなく(円)電流であるとし，磁荷というものを考えない。力を与える基本法則は，クーロンの法則ではなく，アンペールの力であり，磁場(正確には磁束密度)がビオ・サバールの法則により与えられる。つまり
E−B 対応は，電流が作る磁場を出発点とした立場である2。アンペールの力は次式で表12Wb(ウェーバー) = N A−1 m
もちろん，磁石が作る磁場も電流が作る磁場も本質は同じものである。

-5-

される。
F = I ∆s × B(17)

ここで I は電流，∆s は電流の方向に沿う方向の素片の長さ，B は磁束密度である1。こE−B 対応では，の式は E−H 対応での F = qmH に対応する式と見ることもできるから，
電流素片 I∆s を一種の磁荷，B を磁場と考えていることになる2。また，B はビオ・サ
バールの法則により，µ I ds × R µ 0 I ds × e R
dB = 0=4π R 34πR2(18)で表される。R は電流素片 I ds から距離 R 離れた場所の位置ベクトルである。具体的に B を計算すると，素片 ds に関する積分の結果，スカラー量としての B が R−1の依存性をもつことが多い。B = µ0H より，dH =I ds × R
4π R 3(19)として磁場を定義することはできるが，この H が作用して力 F がはたらく対象として磁荷を考えなくてはならず，それでは E−H 対応の立場になってしまうので，ここで書いたような H を作ることは，E−B 対応という立場をとる場合は consistent ではない。
そこで，E−B 対応で磁気のクーロンの法則を示すことを考えてみよう。E−H 対応で書かれたクーロンの法則
F = qm H(20)に同形の式として，E−B 対応でのクーロンの法則の式を，F = ξB(21)という形にとって，新しい磁荷ξを形式的に導入すると，真空中では B = µ0H であるから，F = µ0ξH となり，E−B 対応の磁荷ξは E−H 対応の磁荷 qm とは(µ0の分だけ)次元も値も異なるものになる。つまり，
q
ξ= m
µ0

(22)

であり，ξの単位は A m，一方，qm の単位は N A−1 m (= Wb)となる。そもそも磁荷というものを考えない E−B 対応において，あえて磁荷というものを考えてみたが次元も値も異なってしまったということであるから当然といえば当然であり，むしろ，磁荷というものにこれだけの違いを設けたことによって，E と B が E−B 対応でも E−H 対応
1

この式は有名な「フレミングの左手の法則」を表したものである。中指 = ∆s，人差し指 = B，親指 = Fという対応であるが，外積を習得していれば「フレミング」を持ち出す必要はない。∆s と B のなす角が鈍角になると，指が痛いので，やはり外積で考える方がよい。
2 E−B 対応では B を単に磁場と呼ぶことが多い。正しくは，H を「磁場の強さ」，B を「磁束密度」と呼ぶべきである。

-6-

でも同じ次元と値をもつことができていると考えるべきである1。
仮想的な磁荷とは異なり，一般の物理量でも E−B 対応と E−H 対応とで定義が変わるものがあるということに注意する必要がある2。その典型例が磁化である。E−H 対応
での磁化 Pm は，次式で与えられる。
B = µ 0H + Pm

(23)

D = ε0 E + P(24)

これは，電気(静電)系の関係式

における分極 P と磁気系の磁化 Pm が対応していることを表している(D は電束密度，Eは電場，P は分極)。
一方，E−B 対応の場合は，H を次式で導入し，
H =

1
B −M
µ0

(25)

この式中の M を磁化と呼ぶ。つまり，
B = µ 0 (H + M ) = µ 0 H + µ 0M

(26)であり，式(23)と式(26)から，
P
M = m
µ0

(27)

という関係が得られ，同じ磁化と呼ばれる物理量でも，E−H 対応と E−B 対応とで同じものにはならず，µ0倍の違いが生じることになる(µ0は4π×10−7 N A−2というような数値であるからこの差は大きい)。どちらの対応で定義された式かということを認識して式を扱わなければ，大きい間違いを引き起こす危険がある。当然ながら，式(27)は式(22)の関係と同形になっている。
§3 単位の換算係数の決定
以下では，実際にいろいろな単位系での式や単位間の変換を行ってみる。まず，最も基本的な，MKSA 系の C(クーロン)と CGS esu 系の esu との変換を行う3。この場
合，基本になるのはやはりクーロンの法則である。つまり，MKSA 系では，
F =1 q1q 24πε0 r 2(28)

であり，CGS esu では，

1

単位系ごとに電場や磁場が異なる値をもってしまうと大混乱を招くであろう。
前述のように仮想的な磁荷というものの表現が異なるということではなく，実際の(観測)物理量の定式化の問題である。
3 電荷の単位としての esu をフランクリン(Fr)と呼ぶ場合がある(1961年 SUN 委員会採択)。
2

-7-

qq
F = 1 2r2

(29)となる。両者は現象としてはまったく同じ状態を表しているが，基本となる単位が異なるために，両左辺の F の値が異なる尺度で測られているという違いがある。身近な例で説明すると，同じ長さを表現するためにメートル(m)を使った場合とセンチメートル(cm)を使った場合とでは，x m = x' cm となるが，数値部分の x と x'の関係は，m = 100
cm より
x = x'

cm
x'
=
m 100

(30)

つまり，100x = x'となっている。当然ながら，物理量を表現する単位のサイズが大きいほど数値(測定値)は小さくなるのである1。一見当たり前のことであるが，ここで重要なことは，物理法則式を数値(測定値)間の関係式と見なすとき，cm の単位をもつ物理量として x'で書かれた部分を100x と置き換えれば，m 単位で測られる物理量 x で書かれた式に変換できるということである。
さて，上記のクーロンの法則式を数値方程式と見なすために，MKSA で書かれた(つまり N で測られた力 F)と CGS esu で書かれた(dyn で測られた力 F)を区別するために後者にプライム記号( ' )を付けて，
F'=

q '1 q '2

(31)

r '2

と書くことにする。MKSA の式(28)を既知の単位間の換算関係を用いて変形し，CGS
esu の式を抜き取ることで，未知の C と esu の単位としての大きさの比を求めることができる。まず，式(28)に現れた物理量に関して，
dyn
N

(32)

q C = q ' esu → q = q '

esu
C

(33)

r m = r ' cm → r = r '

cm
m

(34)

F N = F ' dyn → F = F 'という置き換えを行う。また，式(10)より ε0 = 1011 (4πc 02 ) であるから，これらを式(28)に代入して次式を得る。

1

これを単位と測定値の反傾的関係と呼ぶ。

-8- esu 
2 q '1 q '2 
1 4πc 0C  dyn F '
=2 N  4π 1011
 cm 
r '2 

 m 

2

(35)

変形しようとしている式が数値関係式であるから，変換後[つまり，( ' )が付いた文字ばかりに変形したとき]残す文字以外は完全に数値として扱ってよい。例えば，ε0は目標とする式には残らないから，その次元(単位)は気にする必要がない。ただし，ここでのc0は cm s−1単位での光速の速度の"数値"である。従って，
q '1 q '2  esu 
c 02
 1 
=
F ' 



−4
5
11
r '2  C 
 10  10 × 10

2

(36)

さらに変形して，F'=

2

105 c 02

q '1 q '2  esu 
c 02 q '1 q '2  esu 
=




102 r '2  C 1011 × 10 − 4 r '2  C 

2

(37)

この式から，CGS esu のクーロンの式を抜き取ると(言い換えると， F ' = q1' q 2 ' r '2 を代入すると)，
2102
 esu 

 = 2
 C 
c0

(38)

esu 10
=
C
c0

(39)

つまり，

従って，

(電荷)

esu =

c
10
C または C = 0 esu
c0
10

(40)

が得られる。当然ながら，m s−1単位で表した光速の"数値"c'0を用いれば，
esu =1C または C = 10 c '0 esu
10 c '0(41)となるが，いずれの光速値を用いた表現も C と esu の関係という意味ではまったく同じことを表しており，どちらかが誤りというわけではない。
ここで最も重要なことは，単位換算表などに，1 C = 2.99792458×109 esu などと-9-

書かれているのは，単なる約束ごと，つまり1 m = 100 cm というような変換とは意味が異なるという点である。
上記の C と esu の変換はあまりにも有名であり，換算表を見ても知ることができる
関係なので，以下ではやや特殊なケースを扱うことにする。MKSA 系の C と CGS emu
系での電荷の単位の関係はどのようになるであろうか。emu 系での電荷の単位には名前がないので，ここでは単に「emu 電荷」と書くことにする。まず，MKSA 系では，クーロンの法則は，
F =1 q1q 24πε0 r 2(42)

一方，CGS emu 系でのクーロンの法則は，
F'=

1 q '1 q '2
ε'0 r '2(43)である。前回のケースと同様に変形していくと，
 emu電荷 
2 q '1 q '2 
1 4πc 0C dyn 


F '
=

11
2
π
N
4


10
 cm 
r '2 

 m 

2

(44)

式(13)にあるように， ε'0 = c 0−2 であることを考慮して，
q '1 q '2  emu電荷  1 
1F ' 
 = 11


−4
5
C

r '2 
 10  10 × ε'0 ×10

2

(45)

つまり，
F'=

2

105

q '1 q '2  emu電荷 
1 1 q '1 q '2  emu電荷 
=




C
C


1011 × ε'0 ×10 − 4 r '2 102 ε'0 r '2 

2

(46)

こ の 式 か ら ， CGS emu の ク ー ロ ン の 式 を 抜 き 取 る と ( つ ま り ， 式 (43)F ' = (1 ε'0 )(q1' q 2 ' r '2 ) を代入すると)，

2

 emu電荷 2 = 10
C



(47)

emu電荷
= 10
C

(48)

つまり，

- 10 -

従って，

emu電荷 = 10 C または C =

(電荷)

emu電荷
10

(49)

となる。このようなあまり見かけない換算も，上記の方法で簡単に行うことができる。
ここまでは電気量の方を中心に扱ってきたので，次に，MKSA 系の磁気量 Wb(= NA−1m)と CGS emu の磁気量(emu)の間の変換を行ってみる。単位換算の問題は E−H

対応か E−B 対応かということにはよらないので，比較的理解しやすい E−H 対応で考えることにする。MKSA 系の磁気のクーロンの法則は，
F =1 qm1qm 2
4πµ 0
r2

(50)

であり，CGS emu 系では，
F'=

q 'm1 q 'm 2

(51)

r '2

である。これまでと同様に変形を進めると，

11
 dyn F '=
 N  4π 4π × 10 − 7

 emu q 'm1 q 'm 2  Wb 
2  cm 

2

(52)

2

r' 

 m 

となる。ここで，µ0には4π × 10−7を代入した。変形を続けて，
q 'm1 q 'm 2  emu 
 1 
1
1
F ' 
=


−
−
5
7
4
 Wb 
r '2
 10  4π 4π × 10 × 10

2

(53)

さらに，
F'=

2

105

q 'm1 q 'm 2  emu 1016 q 'm1 q 'm 2  emu 
=




(4π )2 × 10 − 7 × 10 − 4 r '2  Wb  (4π )2 r '2  Wb 

2

(54)

となり，この式から，CGS emu でのクーロンの式[式(51)]を抜き出すと，(4π )2 emu  = Wb 
1016
2が残る。つまり- 11 -

(55)

emu
4π
=
Wb 108(56)であるから，

(磁荷)

emu =

4π
108

Wb または Wb =

108
emu
4π

(57)

が得られる。これは，磁気量に関する MKSA 系と CGS emu の間の換算である。
CGS emu の磁束には Mx(マクスウェル)という名前が付いた単位があり，これとMKSA 系の磁束の単位である Wb の間の換算は換算表にも掲載されているので，現在の方法で確認しておくことにする。磁束は，磁束密度を面積積分したものであるから，まず磁束密度から考える。磁束密度は，MKSA 系においては磁場 H と透磁率から
B = µ0H(58)と書ける。一方，CGS emu での関係式はµ0 = 1であるから
B'= H '

(59)

である。これらの間の換算を行うには，それぞれの磁場 H と H'の関の換算関係が必要になるが，それはまだ得ていない。そこで，先に磁場の単位の換算を行う。MKSA 系
のHは
H =

1 qm
4πµ 0 r 2(60)と書け，単位は A m−1である。一方，CGS emu での磁場 H'は
H'=

q 'm

(61)

r '2

であり，単位は dyn emu−1 = dyn1/2 cm−1である。これには名称が与えられており，
Oe(エルステッド)と呼ばれる。これらの間の換算には qm と q'm つまり Wb と emu の換算が必要であるが，これは直前の例で換算を行ったのでその結果(emu = 4π×10−8Wb)を使えばよい。式(60)の変形を行って，
11 Oe 
H '
=−1
 A m  4π 4π × 10 − 7- 12 -

 emu q 'm 
 Wb 
2  cm 

r' 

 m 

2

(62)

q 'm
4π × 10 −8
 Oe 
H '=
 A m −1  (4π )2 × 10 − 7 × 10 − 4 r '2

(63)

従って，
4π × 10 −8

103
4π

(64)

103
4π
A m −1 または A m −1 =
Oe
4π
103

(65)

Oe
A m −1=(4π )2 × 10 − 7 × 10 − 4

=

これより，

(磁場の強さ)Oe =を得る。これを用いて磁束密度の換算を行う。磁束密度には MKSA 系，CGS emu い
ずれにおいても単位に名称が与えてあり，前者では T(テスラ)，後者では G(ガウス)である。従って，式(58)から
 Oe 
G
B '   = 4π × 10 − 7 H ' T  A m-1 (66)となり，直前の H に関する換算の結果[式(65)]を利用して，
103G
B '   = 4π × 10 − 7 ×
H ' = 10 − 4 H '
4π
T

(67)

CGS emu 系の式 B ' = H ' を抜き出せば，G= 10 − 4
T

(68)

従って，
(磁束密度)

G = 10 − 4 T または T = 10 4 G(69)となり，電磁気学の単位換算表で見かける G と T の関係が得られる。
いよいよ当初の目的であった磁束の換算を考えよう。磁束を表す式は系によらず
Φ=∫B ⋅ n dSであるから，MKSA 系の Wb と CGS emu の Mx の間の換算は- 13 -(70) Mx Φ' = Wb 

∫ cm 2 G
B '   ⋅ n dS ' m2 
T



(71)

となり，G と T の換算が上で示したように，G = 10−4 T であるから，
 Mx 
−4−4
Φ' 
 = 10 × 10
 Wb 

∫B '⋅n dS '

(72)

これより，
Mx
= 10 − 8
Wb(73)

Mx = 10 − 8 Wb または Wb = 108 Mx

(74)

つまり，
(磁束)

が得られる。
以上の換算で注意すべき点は，MKSA 系では，次元が同じである磁気量と磁束が両方とも Wb という名称で呼ばれるにもかかわらず，CGS emu では磁束に Mx という単位名称があるだけで，磁気量には名称がない点である。MKSA 系と同様に，CGS emuの磁気量にも Mx という名称をあててもよいと思いがちであるが，磁気量間の換算と磁束間の換算係数は同じにならない。上で見たように，磁気量間の換算は，
108
emu
4π

(75)

Wb = 108 Mx

(76)

Wb =

であり，磁束間の換算は，であるから，4π分だけ換算係数に違いがある。

§4 単位系間の式の関係
以上では，単位間の換算ということを扱ったが，単位系間での式変換を行うにはど
うすればいいのであろうか，例えば，Maxewell の方程式は MKSA 系では，
∇×E = −

∂B
∂t

(77)

と表されるが，これを Gauss 単位系の表記にするにはどうすればいいであろうか。実は，このような場合でも，基本的には上述したような単位換算の原理に従えばよいのである。 ∇ も E も B も最終的に式に残るものであるから，これらの間の単位系間の換算- 14 -

をつかんでおく必要がある。Gauss 単位系では，電気に関する量は CGS esu 単位で扱
うから，これまでに行ったのと同様の方法で，MKSA の電場(E)と Gauss 系の電場(E')に付く単位の間の換算関係を求めると(ここでは細かく示さないが)，
esu電場(dyn1 2 cm −1 ) =

c0

10

6

MKSA電場(N C −1 )(78)

単位と数値(観測値)は反傾性があるから E と E'の置き換え関係は，
E=

c0

106

(79)

E'

となる。また，B に関しても，上の例で見たように，B の単位である T と B'の単位である G の間には，
G = 10 −4 T

(80)の関係[式(69)]があるから，B と B'の置き換えの式は，
B = 10 −4 B '(81)である。最後に， ∇ について考える。 ∇ は
∇=

∂
∂
∂
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z

(82)

という形であるから， ∇ は m−1単位であり， ∇' が cm−1単位であることを考慮すると，
cm−1 = 102 m−1より，∇ = 102 ∇'(83)となる。これらを MKSA の式に代入すると，
102 ∇'×c0
10

6

E ' = −10 − 4∇'×E ' = −1 ∂B '
c 0 ∂t

∂B '
∂t

(84)

(85)

これで，Gauss 単位系で表した Maxwell の方程式(のうちの一つ)の変換ができたことになる。ここで示した一例だけでも，MKSA と Gauss 系のクーロンの法則の式だけを比較して，「MKSA で書かれた式を Gauss 系で書かれた式に書き換えるには，MKSAの式に現れる4πε0の部分を1に置き換えればよい」というような対処療法がいかに危険かわかるであろう(式(77)には4πε0がない)。
式変形への応用問題の最後の例として，MKSA 系の磁気モーメントを Gauss 系で表すことを考える。
負電荷の軌道角運動量 p に基づく古典的磁気モーメントμm は MKSA
系の場合，次のような表記になる。

- 15 -

µ e
μm = − 0 p
2m

(86)

式中のµ0は真空の透磁率で4π×10−7 N A−2であり，μm の単位は N A−1 m2(= Wb m)である。なお，この表記は E−H 対応の式であり，E−B 対応では
μm (E − B 対応 ) = −

e
p
2m

(87)

となり，単位が A m2となるので注意する。つまり，E−H 対応の"磁荷"が1 µ 0 されたことに対応して，μm が1 µ 0 された形になっている[式(22), (27)参照]。磁気モーメントのMKSA 系での単位は Wb m であり，
これを Gauss 系に変換するには，Wb が emu cm(=
dyn1/2 cm−1)に変換できればよい。Wb と emu の変換は先に示したように式(57)の関係があるから，emu cm =4π
108Wb × 10 − 2 m =

4π
1010

Wb m

(88)

となり，
μm =

4π
1010

(89)

μ'm

が得られる。Gauss 単位系は e という電気量については CGS esu を用いるので，
10
C
c0

(90)

10
e'
c0

(91)

esu =

より
e=

質量 m は MKSA 系が kg，Gauss 単位系が g であるから，g = 10−3 kg より，
m = 10 −3 m '(92)

角運動量 p は MKSA 系が kg m2 s−1，Gauss 単位系が g cm2 s−1であるから，g cm2 s−1= 10−7 kg m s−1となり，
p = 10 −7 p'(93)を得る。µ0は Gauss 単位系では1となり式の上からは消えるので，そのままの数値を代入する。すべての代入を行うと，
4π
10

10

μ'm = −

4π × 102−7- 16 -

10
e'
c0
10

−3

m'

10 − 7 p'(94)

Gauss 系では c0は物理量として残り1，式を整理すると，
μ'm = −e'p'
2m ' c 0(95)が得られる。これが，Gauss 系での磁気モーメントの式である。

1

逆に，Gauss 単位系の式を MSKA 単位系に変換する際には，Gauss 単位系の式に現れた c0を無次元量(cm s−1単位の光速の大きさ)としてそのまま残して変形すればよい。

- 17 -

【参考文献】
1) 鈴木範人，小塩高文著「応用光学 II」(朝倉書店) pp.152〜156
同書 p.153 表4.1(p.154の表4.2と合わせて使用する)は，本プリントで行った単位系間の式の変換の結果をまとめたものであり，あらゆる単位系での電磁気学物理量の式をすばやく入手したいときには非常に便利がいいものである。また，E−H 対応，
E−B 対応に関しても記述がある。さらに，「MKSA が他のものよりも隔絶してすぐれているかと思い込まれると，それは誤りである。
」という立場をとり，新しい MKSPという単位系(＝MKSA 系と Gauss 系のよいところを組み合わせた単位系)を提唱している(が，残念ながら MKSP はほとんど普及してない)。
2) 広瀬立成著「E と H，D と B」(共立出版) pp.23〜36
基本として E−H 対応をとった本である(同書の p.23にあるように，電気的な量と磁気的な量の対応のよさを第一に考えて，という部分にそのポリシーが現れており，そもそも本の題名がそうである)。しかし，E−H 対応と E−B 対応の関係も丁寧に説明されている。
3) 世界大百科事典(平凡社)「単位」
専門書ではないものの，電磁気単位系の話が驚くほど正確にかつ丁寧に解説されている圧巻もの。上記文献1と同じ表(第2表)も掲載され(同一執筆者か？)，それぞれの単位系での基本量や定義が正確に記述されている。また，単位系間の単位の数値的な比をまとめた表(第4表)は，他に掲載例を見ない貴重なもので，本プリントで行ったような単位系間の式変換を自分で行う場合には，有効なものである。逆にこの第4表を作成することは極めてよい演習問題となる。
4) ゾンマーフェルト著「理論物理学講座III 電磁気学」伊藤大介訳(講談社) pp.433〜
441 (付録：初学者のための準備)
測定値と単位の"反傾的"関係の一般論を解説し，電磁気系の理論式を各単位系に合わせて方法が紹介されている。説明の中での式変形の方向性を決める際の「単純性の要請」はやや必然性を欠くような印象を受ける(Gauss単位系は，もともと誘電率と透磁率を無次元としたので，そのしわ寄せとして式変換の際出てくる光速を物理量として残なければならない，あるいは逆に，Gauss単位系から変換するときには，光速は数値化されて残す変数以外の定数部分に含めてしまうということがはっきり説明されていないことによる) 。

- 18 -MKSA 単位系(通常は有理系)

E−H 対応

物理量

記号

名称

電荷

q

ｸｰﾛﾝ(C)単位C
C2 m−2

kg−1 m−3 C2 s2

−

N C−1

kg m C−1 s−2

V m−1

D

−

C m−2

双極子ﾓｰﾒﾝﾄµ※Cm

磁荷(磁気量)qm

ｳｪｰﾊﾞｰ(Wb)

N A−1 mkg m2 C−1 s−1Vs

ｳｪｰﾊﾞｰ(Wb)

−1

誘電率

ε

−

電場

E

電束密度

Φ

磁束

−1

N

NA

2

m

−1

kg m C−2kg m C

透磁率

µ

−

NA

磁場

H

−

A m−1

N Wb−1

磁束密度B

ﾃｽﾗ(T)

N A−1 m−1

Wb m−2磁気ﾓｰﾒﾝﾄµm−

N A−1 m2

7

2

11

2

−1

・真空誘電率(ε0)：10 /(4πc'0 ) = 10 /(4πc0 ) N

s

−2

−1

HA

Vs
2

−1

Wb N

HA
−2

m

H m−1

Wb m
2

C m

−2

−1

c'0は m s 単位での真空中光速の数値(無次元)，c0は cm s−1単位での真空中光速の数値(無次元)・真空透磁率(µ0)：4π×10−7 N A−2・c'0 = (ε0µ0)−1/2

・ｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ単位 H(ﾍﾝﾘｰ) = N m A−2 = kg m2 C−2 = V A−1 s = Wb A−1
・E−H 対応と E−B 対応の最大の違いは，E−H 対応が B = µ0H + Pm とし，E−B 対応が H = B/µ0 − M とすること(Pm，M はそれぞれ E−H 対応と E−B 対応における磁化)。
・E−B 対応での磁荷はξ = qm/µ0であり，単位としては A m である。E−B 対応では磁束密度を磁場とする。

・磁気モーメントも E−B 対応的に m = µm/µ0で定義されることがあるが，この場合の単位は A m2。
-----------------------------------------------・電荷：C(ｸｰﾛﾝ) = (c0/10) esu = (c0/10) Fr(ﾌﾗﾝｸﾘﾝ) = 10c'0 Fr
・磁束：Wb(ｳｪｰﾊﾞｰ) = 108 Mx(ﾏｸｽｳｪﾙ)

・磁場：A m−1 = (4π/103) Oe(ｴﾙｽﾃｯﾄﾞ)・磁束密度：T(ﾃｽﾗ) = 104 G(ｶﾞｳｽ)※ 双極子ﾓｰﾒﾝﾄに対して D(ﾃﾞﾊﾞｲ)という単位が使われることがあるが，D = C m ではない。D(ﾃﾞﾊﾞｲ)はもともと CGS esu の双極子モーメントの単位(esu cm)に対して D = 10−18 esu cm として定義されたものであり，SI 単位系には含まれない。D = 10−18 esu cm = (10−18)(10/c0)(10−2)C m = (10−19/c0) C m =3.335640...×10−30 C m であり，D = C m ではないことに注意(つまり，D は C m の呼び名ではない)。

- 19 -CGS esu(CGS 静電単位系)(通常は非有理系)
物理量

記号

名称

単位

電荷

q

ﾌﾗﾝｸﾘﾝ(Fr)esudyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

誘電率

ε

−

-

-

-

電場

E

−

dyn esu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

電束密度

D

−

dyn esu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

双極子ﾓｰﾒﾝﾄµ−esu cmdyn1/2 cm2

g1/2 cm5/2 s−1

磁荷(磁気量)qm−

dyn1/2 s

g1/2 cm1/2

磁束

Φ

−

dyn1/2 s

g1/2 cm1/2

透磁率

µ

−

磁場

H

−

dyn1/2 s−1

g1/2 cm1/2 s−2

磁束密度

B

−

dyn1/2 cm−2 s

g1/2 cm−3/2

磁気ﾓｰﾒﾝﾄµm−

dyn1/2 cm s

g1/2 cm3/2

cm−2 s2

・原則として単位名称なし。Fr(ﾌﾗﾝｸﾘﾝ)はCGS esuからMKSAへの移行の過渡的措置として，国際記号単位述語委員会(SUN委員会)が1961年にcm, g, s, Frを基本単位とする「一般化CGS静電単位系」を設定した際に採択された名称。
・真空誘電率(ε0)：1 (無次元)・真空透磁率(µ0)：1/c02 このc0は真空中光速2.99792458×1010 cm s−1(次元あり)- 20 -CGS emu(CGS電磁単位系)(通常は非有理系)
物理量

記号

名称

単位

電荷

q

−

dyn1/2 s

g1/2 cm1/2

誘電率

ε

−

電場

E

−

dyn1/2 s−1

g1/2 cm1/2 s−2

電束密度

D

−

dyn1/2 cm−2 s

g1/2 cm−3/2

双極子ﾓｰﾒﾝﾄµ−dyn1/2 cm s

g1/2 cm3/2

磁荷(磁気量)

qm

−

emu

dyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

磁束Φ

ﾏｯｸｽｳｪﾙ(Mx)emudyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

透磁率

µ

−

-

-

-

磁場

H

ｴﾙｽﾃｯﾄﾞ(Oe)dyn emu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

磁束密度

B

ｶﾞｳｽ(G)dyn emu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

磁気ﾓｰﾒﾝﾄµm−

emu cmdyn1/2 cm2

g1/2 cm5/2 s−1

cm−2 s2・真空誘電率(ε0)：1/c02 このc0は真空中光速2.99792458×1010 cm s−1(次元あり)
・真空透磁率(µ0)：1 (無次元)・G(ｶﾞｳｽ) = Mx cm−2

・原則として単位名称なし。電流にBi(ﾋﾞｵ)という名称の単位があるが，これは，国際記号単位述語委
員会(SUN委員会)が1961年にcm, g, s, Biを基本単位とする「一般化CGS電磁単位系」を設定した際に採択された名称。Bi(ﾋﾞｵ) = 10 A

- 21 -

Gauss単位系(通常は非有理系)
物理量

記号

名称

単位

電荷

q

ﾌﾗﾝｸﾘﾝ(Fr)

esu

誘電率

ε

−

-

dyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

−1

1/2

−1

cm

g

1/2

cm−1/2 s−1

電場

E

−

dyn esu

dyn

電束密度

D

−

dyn esu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

双極子ﾓｰﾒﾝﾄµ−esu cmdyn1/2 cm2

g1/2 cm5/2 s−1

磁荷(磁気量)

qm

−

emu

dyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

磁束Φ

ﾏｸｽｳｪﾙ(Mx)emudyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

透磁率

µ

−

-

−1

1/2

dyn

−1

cm

g

1/2

cm−1/2 s−1

磁場H

ｴﾙｽﾃｯﾄﾞ(Oe)dyn emu

磁束密度B

ｶﾞｳｽ(G)dyn emu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

磁気ﾓｰﾒﾝﾄµm−

emu cmdyn1/2 cm2

g1/2 cm5/2 s−1・真空誘電率(ε0)：1 (無次元)・真空透磁率(µ0)：1 (無次元)・誘電率にも透磁率にも次元を持たせないかわりに，電気的量と磁気的量を結びつける式に光速c0[ = 2.99792458×1010 cm s−1(次元あり)]が入ってくる。例えば，ビオ・サバールの法則の式の分母に書かれる比例定数がc0 = 2.99792458×1010 cm s−1(次元あり)となる。

- 22 -

電磁気学における単位系
1983年10月 3日 初版
1991年 8月22日 第2版第1刷
1993年 6月20日 第3版第1刷
1999年 2月 7日 第4版第2刷
2005年 7月31日 第5版第6刷
著者 山﨑勝義
発行 漁火書店

検印

印刷 ブルーコピー
製本 ホッチキス- 23 -

分子科学アーカイブス
AC0003

電磁気学における単位系

公開日

2007 年

山崎勝義

著

6月

29 日

第１版

分子科学会編集委員会は、優れたテキストを分子科学アーカイブスとして公開しますが、その内容の一切の責任は著者にあります。読者からの貴重なご意見は、（edit-office@j-molsci.jp）で随時受け付けております。ご意見は編集委員会から著者にお伝えし、テキストの内容に反映していきます。
著者紹介
山崎勝義（やまさきかつよし）
所属：広島大学大学院理学研究科化学専攻
専門分野：反応物理化学

電磁気学における単位系§0 はじめに電磁気学の学習の中で意外に高い障壁が単位系の理解である。単位は，物理量の大きさを共通の言葉 で伝達し合うために人間が考案したものであるが，電磁気現象の記述において多くの単位(系)が存在するために混乱が生じやすく，現象の定式化よりも単位系という人為的な約束ごとの理解に時間とエネルギーを費やさざるをえない事態に陥ることがある1。地
球上には多くの言語が存在するが，英語をる。電磁気学にも MKSA 単位系という共通語と認識することで混乱が避けられてい標準語 が存在するが2，分野によってはいまだに

昔の標準語 である別の単位系が使われることがある(新刊書であっても非 SI の単位系が使われている場合もある)3。名著や古典と呼ばれるような由緒ある成書をひもといて基本事
項を学習しようとしても，古い書物の大半が MKSA 単位系で書かれていないので，単位系の相違が原因で難解さが増すことがある4。とはいえ，単位系を正しく理解しなければ，理論式に数値を代入して計算をすることもできないし，ある単位系で書かれた式を別の単位系の式に変換することもできない。本書は，電磁気学に関する単位系の混乱を解消し，異なる単位系のあいだを自由に行き来するための ワザ の習得をめざして書かれた monograph である。
§1 単位系の種類
電磁気量を記述する単位系を考える基本は，電気系と磁気系の物理量およびそれらの相互作用(力)を表す法則式である。電荷(電気量)間にはたらく力を表すクーロン(Coulomb)の法則
F =1 q1q 2
er
α r2

(1)

磁荷(磁気量)間にはたらく力を表すクーロンの法則5F =1 q m1q m2
er
β
r2

(2)

電流と磁場の相互作用を表すアンペール(Ampère)の力

筆者は，大学教養時代にこの状況に陥った。同じ現象を表す式の形が成書ごとに異なっていると，論理展開よりも単位系を理解することの方が先決問題になってしまうことがある。
2 英語が最も合理的で使いやすい言語とは限らないのと同様に，MKSA 単位系が電磁気学の単位系の中で最も合理的で使いやすいとはいえない。
3 理論物理学系の分野(量子力学など)では，現在でも Gauss 単位系が用いられていることが多い。
4 時代が遡るほど，SI 単位系で記述されている確率は低くなる。
5 あとで述べるように，磁気の本質は磁荷ではなく電流であり，単極の磁荷は仮想的なものでしかないが，単位系を考える上では，磁荷を想定しても問題は生じない。
1

-1-

F =

1
I dl × Bγ(3)が電磁気学において重要な力の式である。ここで，F は力，r は電荷間や磁荷間の距離，er はr に沿う単位ベクトル(= r r )，q は電荷，q m は磁荷，I は電流，dl は電流に沿う素片のベク
トル( I dl が電流素片ベクトル)，B は磁束密度であり，α, β, γ(の逆数)は比例定数である。ここで，電気系には誘電率ε，磁気系には透磁率µと呼ばれる物理量を設定し1，α, βをそれぞれ
α = kε(4)

β = kµ(5)と書くと，マクスウェル(Maxwell)の方程式は次の 4 式で表されることになる2。
∇⋅D =

4π
ρ
k

∇×E = −

1 ∂B
γ ∂t∇⋅B = 0
∇×H =

4π
1 ∂D
j+
γk
γ ∂t

(6)

(7)
(8)
(9)

ここで，D は電束密度，ρは電荷密度，H は磁場の強さ，j は電流密度3である。なお，D と EのあいだにはD = εE(10)

B = µH(11)

B と H のあいだにはの関係がある。いま，真空を想定すると(電荷や電流が存在しない状態：ρ = 0, j = 0)，ε = ε0,µ = µ0 とおけるから(ε0, µ0 はそれぞれ真空誘電率と真空透磁率)，式(6)〜(9)に対応するマク
スウェルの方程式は∇⋅E = 0(12)

現段階ではその単位(次元)も大きさも未定である。誘電率も透磁率も物質に依存する。
マクスウェルの方程式の導出は電磁気学のテキストを参照のこと。(マクスウェルの方程式が解説されていない
電磁気学のテキストを見つけるのは難しいくらいである。)
3 単位時間あたり単位面積を通過する電気量(電荷量)である。言い換えると，電荷のフラックス(flux)である。
1
2

-2-

∇×E = −

1 ∂B
γ ∂t

(13)

∇⋅B = 0(14)

ε µ ∂E∇×B = 0 0
γ ∂t

(15)

の形となる。
式(13)の両辺の rot(≡ ∇ ×)をとると1，(左辺) → ∇ × (∇ × E )(16)

 1 ∂B 
∂B 
1
1 ∂
 = −  ∇ ×(右辺) → ∇ ×  −(∇ × B )
=−
γ
∂t 
γ ∂t
 γ ∂t (17)となる。式(16)は，ベクトルの代数公式を使って，∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E(18)と変形できるが，式(12)により右辺第 1 項が消えて，∇ × (∇ × E ) = −∇ 2 E(19)の形になる。一方，式(17)の ∇ × B に式(15)を代入すると，−

ε µ ∂  ∂E ε µ ∂ 2E
1 ∂(∇ × B ) = − 0 0=− 0 0γ ∂tγ 2 ∂t  ∂t 
γ 2 ∂t 2(20)となり，式(19)と式(20)が等しいことから，
ε µ ∂ 2E
∇2E = 0 0
γ 2 ∂t 2(21)が成立する。これは波動を表す方程式であり，速さv =γ
ε 0µ 0(22)で進行する波動を表している(たとえば，波長λ, 速さ v で伝搬する波の式 e 2πi ( x −vt ) λ が式(21)を満足することは容易に確認することができる)。つまり，電場は速さ v で伝搬する波として
1

rot は「回転」に由来しており curl とも記す。∇ × A = rot A = curl A である。

-3-

存在しうることになる。
一方，式(15)の両辺の rot をとると，左辺からは，∇ × (∇ × B ) = ∇(∇ ⋅ B ) − ∇ 2 B = −∇2 B(23)が得られ(式(14)を適用)，式(15)の右辺からは，
ε µ ∂ 2B
 ε µ ∂E  ε 0µ 0 ∂ =∇ ×  0 0(∇ × E ) = − 0 0γ ∂tγ 2 ∂t 2 γ ∂t (24)が得られるから(式(13)を適用)，
ε µ ∂2B∇2B = 0 0
γ 2 ∂t 2が成立する。この式は式(21)とまったく同型であるから，磁場も電場と同じ速さ γ(25)

ε 0µ 0 で伝搬する波として存在しうることがわかる。速さ v は真空中の光速 2.99792458 × 108 m
s−1 に対応しており1，以後，これを c0 と記すことにする2。従って，c0 =γ
ε 0µ 0(26)が常に成立する(式(13), (15)あるいは式(26)からわかるように，定数γは電気的な現象と磁気的な現象をつなぐ役割を果たしており，その意味で「連結因子」と呼ばれることがある。式(26)の関係は単位系にかかわらず常に成立しなければならないから，3 つの定数α, β, γのう
ち独立に与えうるもの(独立量)は 2 つだけである。従って，定数α, β, γのとり方(言い換えると，ε0, µ0, γ, k の与え方)にもとづいて，いくつかの単位系が構成されることになる。
[1] ε0, µ0, γのとり方 → 独立量の相違[2] k のとり方

→ 定数値の相違[3] 単位のとり方→ 基本単位の相違[1]は非常に重要であり，電気量にかかわるもの(たとえばε0)を定義してからその他の定数を決める(静電単位系; Electrostatic system of units＝esu 単位系)，磁気量にかかわるもの(たとえばµ0)を定義してから他の定数を決める(電磁単位系; Electromagnetic system ofunits＝emu 単位系)，ε0 とµ0 両方に定義を与える(Gauss 系)などの単位系があり，それぞ12

この数値は測定値ではなく，定義された値(exact)である。
従って，本書では，c0 = 2.99792458 × 108 m s−1 = 2.99792458 × 1010 cm s−1 である。

-4-

れの単位系ごとに物理量の単位(次元)だけでなく理論式の(見かけの)形も変わることになる。
[2]に関して，k = 4πとする場合を有理系といい，k = 1 とする場合を非有理系という1。
これらは，理論式の見かけの形にかかわる問題であり本質的な点ではないが，いくつかの成書に書かれた式同士を比較したり，式に数値を代入して計算したりするときには，どちらの系で書かれたものかを把握しておかなければ正しい値を得ることができない。有理系では，クーロンの法則やビオ・サバール(Biot-Savart)の法則に 4πが現れて複雑に見えるが，逆に，マクスウェル方程式に 4πが現れなくなるため見かけがきれいになる。非有理系はこの逆で，クーロンの法則は見かけがすっきりするが，マクスウェル方程式の随所に 4πが現れる。
[3]は，物理量の大きさを表す単位を cm, g, s で統一するか，m, kg, s, A(または C)で統一
するかという区別である。前者を 3 元系，後者を 4 元系と呼ぶ。
以下に，主な単位系の定義と特徴を記す。
1) CGS esu(CGS 静電単位系)
・基本単位は cm, g, s である(3 元系)。
・k = 1(非有理系)とする。
・真空誘電率ε0 と連結因子γを独立量にとり，ε0 = 1 およびγ = 1(いずれも無次元)と定義する。
従って，真空透磁率µ0 は式(26)より，
µ0 =

1
c 02

= 1.11265 K × 10 − 21 cm − 2 s 2

(27)

となる。
2) CGS emu(CGS 電磁単位系)
・基本単位は cm, g, s である(3 元系)。
・k = 1(非有理系)とする。
・真空透磁率µ0 と連結因子γを独立量にとり，µ0 = 1 およびγ = 1(いずれも無次元)と定義する。従って，真空誘電率ε0 は式(26)より，
ε0 =

1
c 02

= 1.11265 K × 10 − 21 cm − 2 s 2

(28)

となる。
3) Gauss 単位系
・基本単位は cm, g, s である(3 元系)。
・k = 1(非有理系)とする。
・真空誘電率ε0 と真空透磁率µ0 を独立量とし，両方を 1(無次元)と定義する。従って，連結因子がγ = c0 = 2.99792458 × 1010 cm s−1 となる。

14πは全球の立体角に由来している。

-5-

4) MKSA 単位系1・基本単位は m, kg, s，A(または C)である(4 元系)。
・k = 4π(有理系)とする。
・真空透磁率µ0 と連結因子γを独立量にとる。真空透磁率はµ 0 = 4π × 10 −7 N A −2 = 4π × 10 −7 kg m C −2(29)と定義(exact 値を設定)し2，連結因子をγ = 1(無次元)とするから，式(26)より真空誘電率は
ε0 =1µ 0 c 02

= 8.854187817 K × 10 −12 N −1 C 2 m − 2(30)となる。µ0 も c0 も定義された値(exact)であるからε0 も定義値となるが3，µ0 が数値で与えられ，ε0 の中に光速が入っていることから電磁単位系列の単位系である。1901 年に G.
Giorgi が提案し，1954 年の第 10 回国際度量衡総会の決議により国際単位系(SI)として採択された。
以下では，各単位系を，CGS esu 系，CGS emu 系，Gauss 系，MKSA 系と呼ぶ。これらの代表的 4 単位系の設定をまとめたものが表 1 である。

表 1. 代表的な 4 単位系の設定
単位系

基本単位

独立量

k

ε0

µ0

γ

CGS esu

cm, g, s

ε0, γ

1

1

1 c 02

1

CGS emu

cm, g, sµ0, γ1

1 c 02

1

1

Gauss

cm, g, sε0, µ0

1

1

1

c0

MKSA

m, kg, s, A

µ0, γ

4π

1 (µ 0c 02 )4π × 10−7

1(注) c0 は真空中の光速であり，その大きさは各単位系の基本単位を用いて表す。従って，MKSA 系では，
c0 = 2.99792458 × 108 m s−1 であり，それ以外の単位系については c0 = 2.99792458 × 1010 cm s−1
である。

MKSQ 単位系ともいう。
定義される数値であるから単に 1 でもよいはずであるが，とても思い付きようがない値に設定されている(電磁気学の単位系に対する戸惑いはこの不思議な数値から始まるといっても過言ではない)。この値は，昔から電気工学分野で使われていた V(ボルト)，A(アンペア)，Ω(オーム)，W(ワット)などの単位の大きさを変えないように単位系を構築したことのしわよせであり，基本量としての透磁率や誘電率を(定義値らしくない)定数として与えざるをえなかったという経緯である。(値を自由に決めていいといわれて 4π × 10−7 にとる人は，まず，いないであろう。)
3 ε もµ も定義値であるからどちらを先に与えても結果は同じであるが，通常は，µ を独立量する。
0
0
0
1
2

-6-

5) その他の単位系○ローレンツ−ヘビサイド単位系
Gauss 系同様に，電気的な量には CGS esu を，磁気的な量には CGS emu を使うが，有理系の単位系である。ヘビサイド(O. Heaviside)が 1882−83 年に提案しローレンツ(H. A.
Lorentz)が再編成したもので，有理系の元祖といえる単位系である。一時期広く使われたが MKSA 系へと移行した。
○一般化 CGS 静電単位系(一般化 CGS esu)
CGS esu を 4 元系にしたもの。cm, g, sec, Fr を基本単位とする。
CGS esu 系から MKSA系へ移行する過渡的措置として，国際記号単位述語委員会(SUN 委員会)が採択したもの。
基本単位である CGS esu 系の電荷に Fr(フランクリン)という名称が与えられた。
○一般化 CGS 電磁単位系(一般化 CGS emu)
CGS emu 系を 4 元系にしたもの。cm, g, sec, Bi を基本単位とする。基本単位である
CGS emu 系の電流に Bi(ビオ)という名称が与えられた。
○MKSP 単位系
鈴木範人，小塩高文「応用光学 II」(朝倉書店，1982)の中で紹介されている単位系。MKSPの P は Physical を意味する。有理 3 元系(MKS)であり，ε0 = µ0 = 1, γ = c0 とする。従ってローレンツ-ヘビサイド単位系の MKS 版ということもできる。電気系と磁気系に対する
Gauss 系の対称性のよさを活かしつつ，非有理系という Gauss 系の欠点1を解消するために考案されたが広く普及はしていない。
§2 電場と磁場の対応(E−H 対応と E−B 対応)
電磁気学の単位に関する重要な点として，電気的な量と磁気的な量の対応の問題がある。
電気量である電荷に対応するものとして，磁気量として磁荷 を考え，磁荷に対するクーロンの法則を基本とする立場が E−H 対応と呼ばれるものである。つまり，E−H 対応は磁石が作る磁場を出発点とする立場である。しかし，電荷と違って，これまでに単独の磁荷のみ(つまり単独の N 極あるいは S 極のみ)が取り出されたことはなく，磁荷は存在しないとされている。しかし，理論的な取り扱いにおいて，q ↔ qm, ε0 ↔ µ0, E ↔ H, D ↔ B という対応
により，電気現象と磁気現象がまったく同じ形式で扱えるというメリットがあるためこの立場(E−H 対応)が存在する。E−H 対応での磁気に関するクーロンの法則はF =1

1 q m1q m2
er
4πµ 0
r2

(31)

鈴木，小塩両氏が彼らの著書で述べているように，非有理系では 1 次元問題の式中に係数 4πが現れ，球対称問
題では逆に 4πが消えるという(イメージとは逆の)違和感が生じる。これは，非有理系では単位電荷から電気力
線が 4π本出ているとするのに対して，有理系では単位電荷から電気力線が 1 本出ているとする前提(設定)の違いが原因である。また，両氏は，「MKSA 系が純理的にも他に隔絶してすぐれているかに思い込まれると，それは誤りである。
」「MKSA 系では，非対称の電磁単位系統であるため，電磁波らしくないところに c が現れ(例：ε0)，かえってマックスウェルの方程式のように電磁波と直接関連するところにそれが現れず，積εµの中に埋没してくる。これも MKSA 系の欠点の一つである」と述べている。(筆者もその通りであると思う。)-7-

で表され，電荷のクーロンの法則との比較から，q m1 と q m2 という磁荷間に力 F がはたらくことを意味している。電荷のクーロンの法則
F =1 q1q 2er
4πε0 r 2

(32)

1 q2
er
4πε0 r 2(33)から，電荷 q 2 が作る電場 E がE =で与えられ，力が F = q1E で表されるのと同様に，磁荷 q m2 が作る磁場 H を，
1 q m2er
4πµ 0 r 2

(34)

F = q m1H

(35)

H =

と書くことができ，磁荷間の力をと表すことができる。
一方，E−B 対応の立場では，磁石の基本は磁荷ではなく(円)電流であるとして磁荷というものを考えない。磁気的な力の基本法則はクーロンの法則ではなくアンペールの力(式(3))
F = I dl × B(36)であり，ビオ・サバールの法則が表す磁場(正確には磁束密度)と電流の相互作用で力が生じる1。つまり，E−B 対応は，電流が作る磁場を出発点とする立場である2。磁束密度 B はµ0
によって H と結ばれ，真空中では
B = µ0H(37)の関係がある。式(36)を E−H 対応での F = qm1H(式(35))に対応する式と見なすことができるから，E−B 対応では，電流素片 I dl を(一種の)磁荷，B を磁場と考えていることになる3。
しかし，式(36), (37)より，F = µ 0 I dl × H の形にして磁場をあらわに示し，この H が作用して力 F がはたらく対象として磁荷に相当するものを考えてしまうと，磁場を(B ではなく)Hとする E−H 対応と同じ立場になってしまうので，あくまで E−B 対応の立場で磁気のクーロンの法則を表す必要がある。そこで，E−H 対応で書かれたクーロンの法則(たとえば式(35))

この式は有名な「フレミングの左手の法則」を表したものであり，親指 = F，人差し指 = B，中指 = Idl という対応になるが，外積を習得していれば(＝大学生は)「フレミング」を使う必要はない。Idl と B のなす角が鈍角になると(指が痛いので)外積で考える方がよい。旧国鉄吹田教習所の電気工学の講義では「親指 = F =うごき，
人差し指 = B = じば，中指 = Idl = でんりゅう」を略して(フレミングの右手法則も左手法則も)「うじでん =宇治電 (現 山陽鉄道)」と呼んでいたというエピソードがある。
2 もちろん，磁石が作る磁場も電流が作る磁場も本質は同じである。
3 E−B 対応では B を単に磁場と呼ぶことが多いが，正しくは，H を「磁場の強さ」，B を「磁束密度」と呼ぶべ
きである。
1

-8-

F = q mH(38)の形に合わせて，E−B 対応でのクーロンの法則の式を，F = ξB(39)の形に書き， 新しい 磁荷ξを形式的に導入すると，真空中では B = µ0H であるから，F =µ0ξH となり，E−B 対応での磁荷ξは E−H 対応の磁荷 qm と(µ0 の分だけ)次元も値も異なることになる。つまり，
ξ=

qm
µ0

(40)

であり，ξの単位は A m，qm の単位は N A−1 m (= Wb; ウェーバ1)である。同じ磁荷であるにもかかわらず単位も大きさも異なるのは，そもそも磁荷というものを考えない E−B 対応の立場において，あえて磁荷というものを考えた結果である。言い換えると，磁荷という物理量に違いを設けたことによって，E−B 対応でも E−H 対応でも E, B, µ0 が同じ次元と値をもつことができているのである2。
仮想的な磁荷とは別に，測定される物理量の中にも E−B 対応と E−H 対応とで定義が変わるものがあることに注意しておく必要がある。その典型例は磁化である。E−H 対応での磁化
M H (添字の H は E−H 対応を意味する)は次式で与えられる。
B = µH = µ 0 H +

4π
MH
k

(41)

D = εE = ε 0 E +

4π
P
k

(42)

これは，電気(静電)系の関係式(D は電束密度，E は電場，P は分極)における分極 P と磁気系の磁化 M H が対応していることを表している。
一方，E−B 対応の場合，H を次式により導入する。
H =

1
4π
B−
MB
µ0
k

(43)

この式中の M B が E−B 対応の磁化である。つまり，
B = µ0 H +

4πµ 0
MB
k

であり，式(41)と式(44)の比較から，

1
2

名称はドイツの物理学者 W. H. Weber(ウェーバー)に由来するが，単位名としては「ウェーバ」と書く。
電場や磁場が E−H 対応と E−B 対応とで異なる値をもつことになると大混乱を招くであろう。

-9-

(44)

MB =

MH
µ0

(45)

という関係が得られ，同じ磁化と呼ばれる物理量でも，E−H 対応と E−B 対応とでは同一ではなくなり，式(40)の磁荷と同様にµ0 倍の違いが生じることになる(µ0 は 4π × 10−7 N A−2という数値であるから差は非常に大きい)。このように，E−H 対応と E−B 対応のいずれの対応で定義されている式であるかを認識した上で式や数値を扱わなければ，桁違いの誤りを引き起こす危険性がある。
§3 単位の換算
以下では，いろいろな単位系のあいだでの単位の換算を行う。まず，最も基本的な MKSA
系の C(クーロン)と CGS esu 系の電荷単位 esu との変換を行う1。この場合，基本になるのはクーロンの法則であり，MKSA 系では，
1 q1q 24πε0 r 2(46)

qq
F = 1 2
r2

(47)

F =

CGS esu 系では，と表される2。両者がまったく同じ現象を表している場合でも，基本単位の違いを反映して，両左辺の F の値は異なる尺度(N(ニュートン)と dyn(ダイン)は 105 倍異なる)で測られる。単純な例を示すと，ある式の中で長さを表現する変数 x がメートル(m)単位で測られるとき，その式の x をセンチメートル(cm)単位で測られる変数 x ' に置き換えるには，x m = x ' cmに対して m = 100 cm を適用して得られる
x = x'

cm
x'
=
m 100

(48)

という関係をもとの式の x に代入すればよい。以下に示す単位の換算はすべてこの(単純な)原理を利用する。式(48)の x も x ' も物理量ではなく数値を表している。このような数値間の関係式を「数値方程式」と呼ぶ。数値方程式100x = x ' は，単位間の関係 m = 100 cm と逆の関係になっており3，(当然ながら)物理量を表現する単位のサイズが大きい文字ほど数値は小さくなる。
C と esu の換算を行うために，クーロンの法則の数値方程式を変形する。MKSA 系で書かれた式(つまり N で測られた力)と CGS esu 系で書かれた式(dyn で測られた力)を区別する
ために，後者の文字にプライム記号( ' )を付けて，電荷の単位としての esu をフランクリン(Fr)と呼ぶ場合がある。
単位の換算を考える場合はベクトル量で考える必要がないので，スカラーで表した式を用いることにする。
3 これを単位と測定値の「反傾的関係」と呼ぶ。
1
2- 10 -

F'=

q '1 q '2

(49)

r '2

と書くことにする。MKSA 系の式(46)を数値方程式とみなし，既知の単位間の換算関係を利用して変形したのち CGS esu 系の式を 抜き取る ことで，未知の C と esu の単位としての大きさの比を求めるという手順で進める。まず，式(46)に現れた文字を，F N = F ' dyn → F = F '

(50)

esu
C

(51)

cm
m

(52)

q C = q ' esu → q = q 'r m = r ' cm → r = r 'dyn
Nの関係を用いて置き換えると，

1
 dyn F'=
 N  4πε 0 esu q '1 q '2  C 
 cm 
r '2 

 m 

2

2

(53)

が得られる。式(53)は(物理量の方程式ではなく)数値方程式であるから，変換後，「 ' 」が付いた文字の関係式が得られたとき， F ' や q '1 などの文字以外はすべて数値になっていなければならない。従って，式(53)のε0 を(次元がない)数値として置き換える必要がある。式(46)の中のε0 は式(30)で示したように 8.854187817… × 10−12 という大きさであるが，この数

値表記をそのまま式(53)に代入すると式が見にくくなるので，ε0 の大きさを
ε0 →

1011
4πζ 2

(54)

と表す(当然ながら，式(54)の値は 8.854187817… × 10−12 である)。ここで，ζは cm s−1
単位で表した真空中光速の数値(2.99792458 × 1010)である1。(1011 4π )という因子の中の(107 4π )は，式(29), (30)からわかるようにµ0 に由来しているが，104 倍の違いは m 2 s −2 とcm 2 s −2 の比を反映している。式(54)のε0 を式(53)に代入して次式を得る。

1

物理量ではなく無次元の数値であることに注意する。IUPAC 発行の，I. Mills, T. Cvitaš, K. Homann, N.
Kallay, and K. Kuchitsu, Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry, 2nd ed., Blackwell
Science, Oxford, 1993. (同書は，表紙の色にちなんで「Green Book」と呼ばれている)の p. 110 に記されている The constant ζ which occurs in some of the electromagnetic conversion factors in the (exact)
pure number 2.99792458 × 1010 = c0/(cm s−1) という記述に従って，本書でも「ζ」を用いる。

- 11 -

 esu 
2 q '1 q '2 
dyn
1
4
πζ


 C 
F'
=
2
 N  4π 1011
 cm 
r '2 

 m 

2

(55)

従って，
q '1 q '2  esu  1 ζ2F ' 
 =


−4
5
11
r '2  C 
 10  10 × 10

2

(56)

さらに変形して，F'=

105 ζ 2

q '1 q '2  esu −1011 × 10 4 r '2  C 2=

ζ 2 q '1 q '2  esu 102 r '2  C 

2

(57)

この式から，CGS esu 系のクーロンの法則式(式(49))を抜き取ると(言い換えると， F ' =q '1 q '2 r '2 を代入すると)，

ζ 2  esu 1=102  C 

2(58)であるから，
 esu 


 C 

2

=

102
ζ2

(59)

つまり，
esu 10=Cζ(60)となり，単位間の換算として，

(電荷)

esu =

ζ
10
C または C =
esu
ζ
10

(61)

が得られる。繰り返しになるが，ζが 2.99792458 × 1010 という大きさの無次元数であることに注意する。また，単位換算表などに，1 esu = 3.335641 × 10−10 C あるいは 1 C =2.99792458×109 esu と書かれていることがあるが，これらの換算には物理法則が関係しているという意味で，1 m = 100 cm のような換算とは異なる換算である。
上記の C と esu の変換はあまりにも有名であり，換算表に頻繁に登場するものなので，- 12 -

以下では，通常，あまり見かけない特殊なケースを扱うことにする。MKSA 系の C と CGS
emu 系の電荷の単位の換算はどのようになるであろうか。CGS emu 系の電荷の単位には名前がないので，ここでは単に「emu 電荷」と書くことにする。まず，MKSA 系でのクーロンの法則は，
F =1 q1q 24πε 0 r 2

(62)

一方，CGS emu 系でのクーロンの法則は，
F'=

1 q '1 q '2
ε'0 r '2(63)である。前回のケースと同様に式(62)を数値方程式として変形していくと，
 emu電荷 
2 q '1 q '2 
1 4πζC dyn 


F'
=
11
2
π
N
4


10
 cm 
r '2 

 m 

2

(64)

となる。式(28)にもとづいて， ε'0 の大きさが1 ζ 2 であることを考慮すると，
q '1 q '2  emu電荷  1 
1F ' 
 =C 105  1011 × ε'0 ×10 − 4 r '2 

2

(65)

つまり，
F'=

105

q '1 q '2  emu電荷 


−4
11
C

r '2 
10 × ε'0 ×10

2=

1 q '1 q '2  emu電荷 


2
2 ε'
C


10
0 r'
1

2

(66)

この式から，CGS emu 系のクーロンの法則の数値方程式(式(63))を抜き取ると，
1=1  emu電荷 C
10 2 

2(67)であるから，
 emu電荷 


C



2

つまり，

- 13 -= 10 2(68)

emu電荷
= 10
C

(69)

となり，単位の換算として，

emu電荷 = 10 C または C =

(電荷)

emu電荷
10

(70)

が得られる。このように，あまり見かけない単位の換算でも簡単に行うことができる。
ここまで電気量の方を中心に扱ってきたので，次は，MKSA 系の磁気量 Wb(= N A−1 m)と CGS emu 系の磁気量(emu)のあいだの換算を行ってみる。単位換算の問題は E−H 対応か
E−B 対応かにはよらないので，比較的理解しやすい E−H 対応で考えることにする。MKSA
系の磁気のクーロンの法則は，
F =1 q m1q m2
4πµ 0
r2

(71)

であり，CGS emu 系では，
F'=

q 'm1 q 'm2

(72)

r '2

である。これまでと同様の手順で変形を進めると，

11
 dyn F'=
 N  4π 4π × 10 − 7

 emu q 'm1 q 'm 2  Wb 
 cm 
r '2 

 m 

2

(73)

2

となる。ここで，µ0 には 4π × 10−7(数値)を代入した。変形を続けると，
q 'm1 q 'm 2  emu 
 1 
1
1
F ' 
=


−
−
5
7
4
 Wb 
r '2
 10  4π 4π × 10 × 10

2

(74)

さらに，
F'=

105

q 'm1 q 'm 2  emu 


−7
−4
2
 Wb 
r '2(4π) × 10 × 10

2=1016 q 'm1 q 'm 2  emu  Wb 
r '2(4π)2となり，この式から，CGS emu 系でのクーロンの式(式(72))を抜き取ると，- 14 -

2

(75)

2

(4π)2
 emu  =
 Wb 
1016

(76)

emu
4π
=
Wb
10 8

(77)

が残る。従って，であるから，

(磁荷)

emu =

4π
108

Wb または Wb =

108
emu
4π

(78)

が得られる。これが，磁気量に関する MKSA 系と CGS emu 系のあいだの換算である。
次に，CGS emu 系の磁束の単位 Mx(マクスウェル)と MKSA 系の磁束の単位 Wb のあい
だの換算を考えてみよう。磁束Φは，磁束密度 B を面積分したものであり，
Φ=∫ B ⋅ n dS

(79)の関係があるから1，まず，磁束密度の単位換算から考える。MKSA 系での磁束密度 B は，
真空中の場合，磁場 H と
B = µ0H(80)で結ばれる。一方，CGS emu 系ではµ0 = 1 であるから
B' = H '(81)である。これらのあいだの換算を行うために必要な，磁場 H と H ' の単位換算をまだ行っていないので，先に磁場の単位換算を行うことにする。MKSA 系の磁場 H は式(34)より
H =

1 qm
4πµ 0 r 2(82)と書け，単位は A m−1 である。一方，CGS emu 系での磁場 H ' は
H'=

q 'm
r '2

(83)

であり，単位は dyn emu −1 = dyn1 2 cm −1 である(これには Oe(エルステッド)という名称が与えられている)。A m−1 と Oe の換算には qm と q 'm つまり Wb と emu の換算が必要であるが，すでに式(78)で得たからその結果(emu = 4π × 10−8 Wb)を利用すればよい。式(82)1dS は面要素，n は面要素の単位法線ベクトル。

- 15 -

を変形すると，
 Oe 
1
1
H ' 
=−1 
4π
4π × 10 − 7
A m 

 emu q 'm 
 Wb 
 cm 
r '2 

 m 

2

(84)

となり，既知の単位換算を利用すると，
q 'm
4π × 10 −8
 Oe 
H ' 
 =
−1
2
−7
−4
r '2
 A m  (4π) × 10 × 10

(85)

従って，
103
4π

(86)

10 3
4π
A m −1 または A m −1 =
Oe
4π
10 3

(87)

Oe
A m −1=

つまり，(磁場の強さ)Oe =を得る。これで，磁場の単位換算ができたので，次は，磁束密度の換算を行う。磁束密度には MKSA 系，CGS emu 系いずれにおいても単位に名称が与えられており，前者は T(テスラ)，後者は G(ガウス)である。従って，式(80)は Oe 
G
B '   = 4π × 10 − 7 H ' T 
 A m −1 

(88)と変形され，直前の H に関する換算の結果(式(87))を適用した
10 3
G
B '   = 4π × 10 − 7 ×
H ' = 10 − 4 H '
4π
T

(89)

から CGS emu 系の式 B ' = H ' (式(81))を抜き取れば，G= 10 − 4
T(90)

G = 10 − 4 T または T = 10 4 G(91)

従って，G と T の関係(磁束密度)- 16 -

が得られる。以上で，当初の目的であった磁束の換算を行う準備がすべて整った。
磁束を表す式は式(79)に示したΦ=∫ B ⋅ n dS

(92)であるから，MKSA 系の磁束の単位 Wb と CGS emu 系の磁束の単位 Mx の換算を行うために式(92)を変形すると，
 Mx Φ' = Wb 

∫ cm 2 G
B '   ⋅ n dS ' m2 
T



(93)

となる。G と T の換算は式(91)より G = 10−4 T であるから，
 Mx 
−4−4
Φ' B '⋅n dS '
 = 10 × 10
 Wb 

(94)

Mx= 10 − 8Wb(95)

Mx = 10 − 8 Wb または Wb = 10 8 Mx

(96)

∫

これより，

つまり，
(磁束)

が得られる。ここで，MKSA 系では，次元が同じである磁気量と磁束が両方とも Wb という名称で呼ばれるが，CGS emu 系では磁束にのみ Mx という単位名称があるだけで磁気量には名称がないことに注意する。MKSA 系と同様に，CGS emu 系の磁気量にも Mx という名称を付けてもよいと考えるかもしれないが，磁気量間の換算は，
108
emu
4π

(97)

Wb = 10 8 Mx

(98)

Wb =

であり，磁束間の換算は，であるから，磁気量間の換算と磁束間の換算係数は同じにならず，4π分の違いがある。
§4 異なる単位系での式表現
前節では，単位の換算を扱ったが，単位系間で式の変換を行うにはどうすればいいであろうか，たとえば，§1 で示したマクスウェルの方程式の 1 つである式(13)は，MKSA 系では，

- 17 -

∇×E = −

∂B
∂t

(99)

と表されるが，この式を Gauss 系の表記にする方法を考えてみよう。この式の場合は，あらゆる単位系に対応できる式(7)と表 1 を使えば，任意の単位系での形を知ることができるが，ここでは式(7)のような一般形が与えられていないとして考える。実は，式の変換に関して新
しい方法を考案する必要はなく，すでに述べた単位換算の原理を使えばよいのであるが1，以下でその手順を具体的に見ていくことにする。
式(99)の中の ∇ も E も B も最終的に式の中に残すものであるから，これらの単位換算を把握しておく必要がある。Gauss 系では，電気に関する量を CGS esu 単位で扱うから(表 1)，
電場については，これまでと同様の方法で，MKSA 系の電場 (E ) と Gauss 系の電場 (E ' ) の単位換算を行えばよい。MKSA 系の電場 E は(式(33)の形を参考にして)E =1 q
4πε 0 r 2

(100)

であり，Gauss 系の電場 E ' は
E' =

q'

(101)

r '2

である。ここで，E の単位を「MKSA 電場」， E ' の単位を「esu 電場」と書いて，式(100)を変形すると，
 esu電荷 C

2 q' 

1 4πζ
 esu電場 
E' = MKSA電場  4π 1011

2  cm 

2

(102)

r' 

 m 

となり，式(61)を利用して
q'ζ q'
4πζ 2 × 10
 esu電場 
E' 
=
=
11
−
4
2
 MKSA電場  4π × 10 × ζ × 10 r '10 6 r '2(103)と変形できるから，これより式(101)を抜き取ると
MKSA電場 (N C −1 ) =10 6
esu電場 (dyn1 2 cm −1 )ζが得られる。単位と数値(観測値)には反傾性があることから E と E ' の関係として，

1

単位と数値(観測値)の反傾的関係を利用する。

- 18 -

(104)

E =

ζ
10 6

(105)

E'

が得られる(プライム記号( ' )を付けたものが CGS esu 系の電場である)。また，磁場に関しても，B の単位である T と B ' の単位である G のあいだには，
T = 10 4 G(106)の関係(式(91))があるから，B と B ' の関係は，
B = 10 −4 B '(107)となる。最後に， ∇ をあらわに書くと，
∇=

∂
∂
∂
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z

(108)

∇ の単位が m−1， ∇' の単位が cm−1 であることがわかり，m−1 = 10 −2 cm −1 より，∇ = 10 2 ∇'(109)となる。これら(式(105), (107), (109))を MKSA 系の式(式(99))に代入すると，
102 ∇'×ζ
10

6

E ' = −10 − 4∇'×E ' = −

∂B '
∂t

1 ∂B '
ζ ∂t

(110)

(111)

が得られる。この数値方程式の各文字に Gauss 系として付ける単位は， ∇' が cm−1, E ' が
g1 2cm −1 2s −1 , B ' は g1 2cm −1 2s −1 , t は s であるから，ζには cm s−1 という単位が付くことになる。ζは 2.99792458 × 1010 という数値であるが，これに cm s−1 という単位を付けると真空中の光速になるから，式(111)を物理量の関係式にするには，ζを c0 と書けばよい。
従って，Gauss 系で表した Maxwell の方程式(のうちの式(13)にあたるもの)として，∇'×E ' = −1 ∂B '
c 0 ∂t(112)が得られる。この結果は，表 1 を利用して式(7)を Gauss 系の式として表したものと一致している。
MKSA 系と Gauss 系のクーロンの法則式の比較から，「MKSA 系で書かれた式を Gauss
系で書かれた式に書き換えるには，MKSA 系の式に現れる 4πε0 の部分を 1 に置き換えればよい」というような対処療法

的方法を記した解説を目にすることがあるが，この方法がいかに危険であるかがわかるであろう(そもそも，式(99)には 4πε0 がないので対処療法が使えない)。逆に，式の中に埋もれている「1」を見つけることは到底不可能であるから，単なる文字や数字の置き換えだけで式変形ができると考えてはならない。

- 19 -

次に，単位系間の式の変換の例として，MKSA 系の磁気モーメントを Gauss 系で表すことを考えてみる。電子の軌道角運動量 l にもとづく磁気モーメントは，MKSA 系で E−H 対応の場合，次のような表記になる。
mH = −

µ 0e
l
2m e

(E−H 対応)(113)

ここで，e は電気素量(電子の電荷の大きさで，ここでは e > 0 にとる)，me は電子の質量であり，右辺の負号は電子の電荷が負であることに対応している。式中のµ0 は真空透磁率(4π ×10−7 N A−2)であり， m H の単位は N A−1 m2(= Wb m)である。なお，E−B 対応の磁気モーメントを m B と記すと
mB = −el2m(E−B 対応)(114)となり，単位が E−H 対応とはまったく異なる A m2 となることに注意する。つまり，E−H
対応の磁荷に1 µ 0 が掛けられたことに対応して， m H に 1 µ 0 が掛けられた形になっている(式(40)および式(45)参照)。MKSA 系での磁気モーメントの単位は Wb m であり，これをGauss 系に変換するには，Wb を emu cm(= dyn1 2 cm −1 )に変換すればよい。Wb と emuの変換はすでに式(78)で得たから，
Wb m =

10 8
1010
emu m =
emu cm
4π
4π

(115)

となり，
mH =

4π
1010

m 'H

(116)

が得られる。Gauss 系は電荷については esu を用いるので，式(61)の
C=

ζ
esu
10

(117)

10
e'
ζ

(118)

より
e =

となる。質量 me は MKSA 系では kg，Gauss 系では g であるから，kg = 103 g より，
m e = 10 −3 m 'e

(119)となる。さらに，角運動量 l は MKSA 系では kg m2 s−1，Gauss 系では g cm2 s−1 であるから，kg m2 s−1 = 107 g cm2 s−1 より，- 20 -

l = 10 −7l '(120)を得る。式(116), (118), (119), (120)を式(113)に代入すると，
4π
10

10

m' = −

4π × 10
2

−7

10
e'
ζ
10

−3

m 'e

10 − 7l '(121)となり，これを整理して，
m 'H = −e'l'2m ' ζ

(122)を得る。それぞれの文字に単位を付けて考えると，ζは真空中の光速 c0 に置き換えられるから，最終的に，Gauss 系での磁気モーメントを表す式としてm 'H = −e'l'2m ' c 0(123)が得られる。式(123)は式(113)とまったく同じ物理量を表しているが，一見しただけでは同じ物理量とは思えないくらい異なった形をしている。
以上のように，単位と数値の反傾性を利用して，希望する単位系で書かれた式表現を得る
ことができる。最後に，代表的 4 単位系の単位をまとめたものを表 2 から表 5 に示す。

- 21 -

表 2. MKSA 単位系(有理 4 元系) (E−H 対応)
物理量

記号

名称

単位

電荷

q

ｸｰﾛﾝ(C)

C

誘電率

ε

−

N−1 C2 m−2

kg−1 m−3 C2 s2

電場

E

−

N C−1

kg m C−1 s−2

V m−1

電束密度

D

−

C m−2

双極子ﾓｰﾒﾝﾄµ※Cm

磁荷(磁気量)qm

ｳｪｰﾊﾞ(Wb)

N A−1 mkg m2 C−1 s−1

Vs

HA

磁束

Φ

ｳｪｰﾊﾞ(Wb)

N A−1 mkg m2 C−1 s−1

Vs

HA

透磁率

µ

−

N A−2

kg m C−2

Wb2 N−1 m−2

H m−1

磁場

H

−

A m−1

N Wb−1

磁束密度B

ﾃｽﾗ(T)

N A−1 m−1

Wb m−2磁気ﾓｰﾒﾝﾄmH−

N A−1 m2Wb m・真空透磁率： µ 0 = 4π × 10 −7 N A−2・真空誘電率： ε 0 = 1 (µ 0c 02 ) = 1011 (4πζ 2 ) N−1 C2 m−2

c 0 は真空中の光速(次元あり)。ζは cm s−1 単位での真空中の光速の値(無次元)。

・ E−H 対応では B = µ 0 H + M H ，E−B 対応では H = B µ 0 − M B ( M H , M B はそれぞれ E−H 対応とE−B 対応での磁化)。
・E−B 対応での磁荷はξ = q m µ 0 であり，単位は A m。
・ m H は E−H 対応の磁気モーメント。E−B 対応の磁気モーメントは m B = m H µ 0 で定義され，単位は
A m2 。

・インダクタンスの単位：H(ヘンリー) = N m A−2 = kg m2 C−2 = V A−1 s = Wb A−1-----------------------------------------------・電荷：C(クーロン) = (ζ 10) esu = (ζ 10) Fr(フランクリン)
・磁束：Wb(ウェーバ) = 108 Mx(マクスウェル)
・磁場：A m−1 = (4π 10 3 ) Oe(エルステッド)・磁束密度：T(テスラ) = 104 G(ガウス)※ 双極子モーメントに対して D(デバイ)という単位が使われることがあるが D = C m ではない。D(デバイ)はもともと CGS esu の双極子モーメントの単位(esu cm)に対して D = 10−18 esu cm として定義されたものであり SI 単位ではない。D = 10−18 esu cm = (10 −18 )(10 ζ)(10 −2 ) C m =(10 −19 ζ) C m = 3.335640...×10−30 C m である。

- 22 -

表 3. CGS esu(CGS 静電単位系)(非有理 3 元系)
物理量

記号

名称

単位

電荷

q

ﾌﾗﾝｸﾘﾝ(Fr)esudyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

誘電率

ε

−

-

-

-

電場

E

−

dyn esu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

電束密度

D

−

dyn esu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

双極子ﾓｰﾒﾝﾄµ−esu cmdyn1/2 cm2

g1/2 cm5/2 s−1

磁荷(磁気量)qm−

dyn1/2 s

g1/2 cm1/2

磁束

Φ

−

dyn1/2 s

g1/2 cm1/2

透磁率

µ

−

磁場

H

−

dyn1/2 s−1

g1/2 cm1/2 s−2

磁束密度

B

−

dyn1/2 cm−2 s

g1/2 cm−3/2

磁気ﾓｰﾒﾝﾄm−

dyn1/2 cm s

g1/2 cm3/2

cm−2 s2・真空誘電率： ε 0 = 1 (無次元)・真空透磁率： µ 0 = 1 c 02 = 1.11265… × 10−21 cm−2 s2- 23 -

表 4. CGS emu(CGS 電磁単位系)(非有理 3 元系)
物理量

記号

名称

単位

電荷

q

−

dyn1/2 s

g1/2 cm1/2

誘電率

ε

−

電場

E

−

dyn1/2 s−1

g1/2 cm1/2 s−2

電束密度

D

−

dyn1/2 cm−2 s

g1/2 cm−3/2

双極子ﾓｰﾒﾝﾄµ−dyn1/2 cm s

g1/2 cm3/2

磁荷(磁気量)

qm

−

emu

dyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

磁束Φ

ﾏｸｽｳｪﾙ(Mx)emudyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

透磁率

µ

−

-

-

-

磁場

H

ｴﾙｽﾃｯﾄﾞ(Oe)dyn emu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

磁束密度

B

ｶﾞｳｽ(G)dyn emu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

磁気ﾓｰﾒﾝﾄm−

emu cmdyn1/2 cm2

g1/2 cm5/2 s−1

cm−2 s2・真空透磁率： µ 0 = 1 (無次元)・真空誘電率： ε 0 = 1 c 02 = 1.11265… × 10−21 cm−2 s2・G(ガウス) = Mx cm−2・電流に Bi(ビオ)という名称の単位がある。Bi(ビオ) = 10 A

- 24 -

表 5. Gauss 単位系(非有理 3 元系)
物理量

記号

名称

単位

電荷

q

ﾌﾗﾝｸﾘﾝ(Fr)esudyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

誘電率

ε

−

-

-

-

電場

E

−

dyn esu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

電束密度

D

−

dyn esu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

双極子ﾓｰﾒﾝﾄµ−esu cmdyn1/2 cm2

g1/2 cm5/2 s−1

磁荷(磁気量)

qm

−

emu

dyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

磁束Φ

ﾏｸｽｳｪﾙ(Mx)emudyn1/2 cm

g1/2 cm3/2 s−1

透磁率

µ

−

-

-

-

磁場

H

ｴﾙｽﾃｯﾄﾞ(Oe)dyn emu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

磁束密度

B

ｶﾞｳｽ(G)dyn emu−1

dyn1/2 cm−1

g1/2 cm−1/2 s−1

磁気ﾓｰﾒﾝﾄm−

emu cmdyn1/2 cm2

g1/2 cm5/2 s−1・真空誘電率： ε 0 =1 (無次元)・真空透磁率： µ 0 = 1 (無次元)- 25 -

参考文献
1. 鈴木範人，小塩高文「応用光学 II」(朝倉書店，1982) pp. 152〜156
同書の表 4.1 および表 4.2 に，単位系のあいだの関係がまとめられている。2 つの表はE−H 対応と E−B 対応にも配慮されており，任意の単位系での電磁気学の理論式を簡単に知ることができる素晴らしい表である。さらに，「(MKSA 系が)どの面からも理想的にできているかというとなかなかそうはいかない」と述べて MKSA 系の欠点を指摘するとともに，新しい MKSP 系という単位系(＝MKSA 系と Gauss 系の長所を組み合わせた単位系)を紹介している。
2. 広瀬立成「E と H，D と B」(共立出版，1981) pp. 23〜36
同書 p. 23 に書かれているように「電気的な量と磁気的な量の対応のよさを第一に考えて」基本的に E−H 対応の立場で書かれており，書名もそれを反映しているが，E−H 対応と E−B 対応の関係に関する丁寧な解説がある。
3. 「世界大百科事典」(平凡社，1972)
見出し「単位」を参照。専門書ではないものの，電磁気単位系の話が丁寧に解説されている。文献 1.と類似の表(第 2 表)が掲載されており，それぞれの単位系での基本量や定義がわかりやすく記述されている。また，単位系の単位同士の数値比をまとめた表(第 4 表)
は，他に例を見ない貴重なもので，本書で示した単位系間の式変換を機械的に行う場合にきわめて有効である。ただし，出版年によっては，該当する表が掲載されていないので注意が必要である1。
4. A. Sommerfeld(伊藤大介 訳)「理論物理学講座 3 電磁気学」(講談社，1982) pp. 433〜
441 (付録：初学者のための準備)
単位と測定値(数値)の反傾的関係の一般論を解説し，電磁気学の理論式を各単位系に合わせて変換するための独創的な方法が紹介されている。ただし，式変形の方向を決める際の「単純性の要請」はやや曖昧で説得力が弱い印象を受ける。(たとえば，Gauss 系は，もともと誘電率と透磁率を無次元としたので，そのしわよせとして式変換の際出てくる光速を物理量として残さなければならないこと，あるいはその逆に，Gauss 系から変換する
ときには，光速は数値化されて残す変数以外の定数部分に含めてしまう必要がある，ということが明確に記述されていない。)

1

筆者自身が掲載を確認したのは，1972 年 4 月 25 日初版のみ。

- 26 -

電磁気学における単位系
1983年 10月 3日
1991年 8月 22日
1993年 6月 20日
1999年 2月 7日
2005年 7月 31日
2007年 5月 20日

初版第1刷
第2版第1刷
第3版第1刷
第4版第2刷
第5版第6刷
第6版第1刷

著者 山﨑 勝義
発行 漁火書店

検印

印刷 ブルーコピー
製本 ホッチキス- 27 -