地盤工学会四国支部第 8 回技術・研究発表会 1999 年 9 月

落石の落下速度と跳躍量に関する一考察㈱第一コンサルタンツ 国際会員 右城 猛

式(3)と式(4)より並進速度と角速度は式(5)となる．
ただし，

1. まえがき

K=a/b としている．

質点系モデルを用いた落石シミュレーションでは，落石を一般に球と仮定している．球の運動形態は，斜面が一様勾配である場合，転がりか滑りを伴った転がりのいずれかになる．このため，角速度が大きくなると跳躍へ移行する
3(1 −  )(K + 1) 2+ V0 2 222

( K + 1) +  ( K + 1)
 ············(5)2 gH (1 −  )2
+04b( K + 1) 4b 2 ( K 2 + 1)
+3
2

V = 2 gH

=現象を説明することができない．
そこで，六面体の落石が滑ることなく回転しながら落下する場合について，落下速度，跳躍運動へ移行する速度，最大跳躍量について検討したので発表する．

2. 落下速度2b2abdVcdcadx=

1.5 g (1 −  )( K + 1) 2sin   t 2 + V0  t ········· (7)( K + 1) 2 +  2 ( K 2 + 1)

V0=0 の場合，式(5)は速度残存係数V を用いて式(8)の)+b4(ab aて式(7)のように求められる．
arGc


3g (1 −  )(K + 1) 2sin  t + V0222( K + 1) +  ( K + 1)
 ···· (6)g (1 −  )=sin  t +  0 
4b( K + 1) 4b 2 ( K 2 + 1)
+3
2V=

時刻 t 後の斜面方向の落下距離 x は，式(6)を t で積分しba

式(5)は，式(6)のようにも表される．

ように表される．
 ············ (8)3(1 −  )
 V = ( K + 1)222( K + 1) +  ( K + 1) V =  V 2 gH
図 1 六面体が回転しながら落下する場合

短辺長 2a，長辺長 2b の六面体をした落石が n 回転したエネルギー散逸率=0 として，各種形状の落石の速度ときの並進速度 V は式(1)，角速度は式(2)で求められる．ま

残存係数を算定すると表 1 となる．六面体の場合，短辺た，角速度と並進速度の関係は式(3)で与えられると長辺の比が小さいほど速度残存係数は大きくなり，正V=

4n(a + b )(1)t

=2 n
(2)t


V=


2( a + b )(3)並進速度 V0，角速度0 の初速度を持つ落石が回転しな
がら H だけ落下したとすれば，力学的エネルギー保存則より式(4)が得られる．なお，回転によって斜面に衝突した際に，地盤の塑性変形などによってエネルギーが散逸されることを考慮しエネルギー散逸率を導入する．

()

()

11
M V 2 − V0 2 + I  2 −  0 2 = (1 −  )MgH
22

ここに， I = I G + M  rG 2 =(4M a2 + b23)······· (4)六面体が最大となる．また，正六面体の速度残存係数は球体の 73%である．
表 1 落石の形状と速度残存係数の関係

落石の形状
質点の自由落下運動
六面体a/b=1.0(E=1.0) a/b=2.0a/b=3.0
球 体円 柱速度残存係数V1.000
0.615
0.595
0.572
0.845
0.816

3. 跳躍運動に移行する速度と飛び出し角
落石が転がりながら落下すれば式(9)の遠心力 R が発生

A Consideration on Velocity and Jumping Height of A Falling RockTakeshi Ushiro (Daiichi Consultants Co.,Ltd.)地盤工学会四国支部第 8 回技術・研究発表会 1999 年 9 月
水平距離x(m)する．これが斜面抗力 N を越えると跳躍運動へ移行する．
504030R = MrG ········································ (9)2201000V0このため，角速度が式(10)の条件を満たすと跳躍運動へ

h100-10-10-20-20合速度V(m/s)
102030g cosrG cos ·····································(10)

h2-30

ここに，
 = tan−1rG = a 2 + b 2ba

落差y(m)移行する．
-30-40-40-50-50

図 3 一様斜面での跳躍量と速度の変化

落石のある角を中心に回転するとき，運動エネルギーがV0
跳躍①

最も大きいのは斜面と落石が接触した状態から回転を開h1

始する瞬間である．したがって，跳躍に移行するのもある
角を中心に回転を開始するときであるので落石が飛び出すのは，水平から−の角度の方向である．

斜面②

跳躍③

V = rG   ········································ (11)

2h2
斜面③

遠心力RV0(見 h ’掛 2けの跳躍量)
図 4 斜面傾斜角が変化した斜面での跳躍量

−


斜面①

跳躍②

落石が飛び出す速度 V は式(11)となる．

飛び出しの方向V

1h2の変化や凹凸の存在で衝突後の飛び出し角が変化する．このため，跳躍量は図 4 のようになり，跳躍を繰り返す毎に回転中心
FMgN減少することにはならない．
ところで，跳躍量の定義は明確にされていない．過去の落石実験では，図 4 の斜面②のような場合，h2’を跳躍量とMgh1

してデータ整理を行っているケースが多い．h2’は斜面の形
状によって異なる見掛けの跳躍量である．跳躍を開始した斜面に対する h2 を跳躍量と定義すべきと思われる．
図 2 跳躍運動への移行

4. 跳躍量5. あとがき
本論文では，落石を六面体あるいは質点，斜面を直線あ最大跳躍量 h1 は，飛び出し開始時の速度の斜面垂直方向

るいは折れ線に仮定した上で落下速度と跳躍量について

成分 v0=V0sinと斜面傾斜角 だけによって決定され，式考察した．実際の落石や斜面は形状が複雑な上，地質や植()で求められる．ただし，落石は質点と見なす．

生の影響も受ける．このため，単純な運動方程式で落石の

2

h1 =

v0······································ (12)2 g cos

跳躍を開始した落石が斜面へ衝突し，その後も跳躍運動を繰り返す場合，n 番目の最大跳躍量 hn は式(13)となる．

挙動を予測することはできない．しかしながら，斜面や落石形状などの解析パラメータを確率密度関数とみなしモンテカルロ法を適用することで，斜面や落石のラフネスを解析に取り込むことは可能と思われる．

ここに，e は反発係数である．

今後は，理想化された落石，斜面での模型実験や実斜面(e n−1v0 ) 2
2 g cos

での現場実験データと理論解析の対比を行い，運動方程式

hn =·····································(13)e<1.0 であるので，衝突を繰り返す毎に図 3 のように跳躍量は減少する．しかし，実際の斜面では，斜面傾斜角の改良や解析パラメータの決定法について研究する必要がある．