扇状地河川における河岸侵食プロセスに関する研究
扇状地河川の河岸侵食

サクション

非静水圧準三次元解析

中央大学研究開発機構

正会員

中央大学研究開発機構

フェロー会員

○竹村吉晴

福岡捷二

1.序論
扇状地河川は，侵食力が大きく，豪雨時における侵食破堤の危険が常に存在している．扇状地河川の河岸は粒径の大きな石礫で構成されるが，図-1に示すように河岸上部は切り立っていることが多い．これは，自然状態の河岸には，細砂やシルトも多く含まれており，サクションが発生することで河岸の強度が増すことが主な理由と考えられる．その結果，洪水時には，河岸際の洗掘，河岸崩落の発生，崩落土砂の堆積・流送が起こり，河図-1 常願川現地実験の通水後の河岸岸侵食が間欠的に生じることになる 1)．このような河岸侵食プロセスは，砂州の移動・変形や流路変動，水衝部の変化等と密接に関係するため，洪水時の河川の安全性を評価する上で重要と考えられるが，河岸の土質構造等が関係し現象が複雑なことから十分に検討されてきていない．
本論文では，サクションを見かけの粘着力と捉え，河岸の自立高さを考慮することで，石礫河岸が間欠的に崩落し，崩落土砂が川底に堆積する過程を剛塑性連続体の変形問題として解析する．そして，堆積した崩落土砂が河岸近傍の三次元流れと石礫の非平衡運動によって流送される過程を解析する．このような枠組みで，扇状地河川の河岸侵食プロセスを定式化し，常願寺川で実施された石礫河岸の侵食実験を対象に解析法の妥当性を検証する．
2.石礫河岸の侵食プロセスの解析法
図-2 に示すように，Q3D-FEBS2)と修正長田・福岡モデル 3)に基づき，河岸近傍の三次元流れと石礫の非平衡運動を考慮した河床変動解析を行い，一定の時間間隔で河岸崩落の発生の有無を判定する．河岸崩落が発生する場合は，後述する連続体の方程式に基づき崩落土砂が川底に堆積するまでの過程を解析する．この結果を河岸・河床高と河床の粒度分布に反映し，河床変動解析を再開する．この手順を繰り返すことで，河岸侵食が間欠的に進行するプロセスを解析する．
①

サクションによる見かけの粘着力を考慮した河岸の自立高さの算定式

サクションを見かけの粘着力と捉えれば，不飽和土のせん断強度式は式(1)のようになる．
𝜏𝑐𝜎𝑢 𝑡𝑎𝑛𝜙(1)ここに， 𝜎：全応力，𝑢 ：間隙空気圧，𝑢 ：間隙水圧，𝜙 ：内部摩擦角，𝑐 ：不飽和土の見かけの粘着力である．不飽和土の見かけの粘着力は，Fredlund et al.4)の研究から式(2)のように与えることにした．
𝑐𝑐𝑢𝑢𝑡𝑎𝑛𝜙(2)ここに，𝑐 ：粘着力，𝜙 ：サクションによるせん断強度の上昇を表すパラメータである．右辺第二項は，サクションによるせん断強度の上昇を表している．ランキン土圧を仮定し，式(1)から主働土圧を求めると式(3)のようになる．
𝜎2𝑐 ⋅ 𝑡𝑎𝑛𝜋4𝜙2

𝜎 ⋅ 𝑡𝑎𝑛𝜋4𝜙2(3)ここに，𝜎 ：鉛直土圧，𝜎 ：主働土圧である．ここでは非粘着性の材料を考えることから，式(2)の粘着力𝑐 をゼロとし，間隙空気圧を大気圧（𝑢 =0），間隙水圧と鉛直土圧をそれぞれ静水圧と静止土圧で与えれば，式(3)から河岸内部の主働土圧は図-3 のようになる．右辺第一項の見かけの粘着力の影響により，主働土圧は地表面付近で負となり引張力が生じる．図-3 の主働土圧を地表面から鉛直下向きに積分し，その値がゼロとなる高さを求めれば，自立高さは次式になる．
河岸近傍の三次元流れと⾮平衡流砂運動の解析（Q3D-FEBS + 修正⻑⽥・福岡モデル）• 川底に堆積した崩落⼟砂の流送• 河岸際での洗掘の進⾏

No

河岸崩落の判定
⼤気圧

Yes
崩落⼟砂が川底に堆積する過程を解析• 河岸崩落に伴う河岸の低下(河岸侵⾷)• 崩落⼟砂の堆積による河床⾼，河床粒度分布の変化：間隙⽔圧

図-2 河岸侵食プロセスを解析する枠組み
Study on riverbank erosion processes inalluvial fans：鉛直⼟圧：主動⼟圧（破壊限界時の⽔平⼟圧）

図-3 崩落前の河岸内部の間隙水圧と土圧の鉛直分布
Y. Takemura Research and Development Initiative, Chuo University
S. Fukuoka Research and Development Initiative, Chuo University─ 79 ─

𝜋 𝜙
4𝐻 𝛾 𝑡𝑎𝑛𝜙 ⋅ 𝑡𝑎𝑛
4 2(4)𝑧𝜋 𝜙
𝛾2𝛾 𝑡𝑎𝑛𝜙 ⋅ 𝑡𝑎𝑛
4 2
ここに，𝑧 ：河岸の自立高さ，𝛾 ：水の単位体積重量，𝑧 ：河岸内部の地下水面高，𝛾 ：土塊の湿潤単位体積重量，
𝐻 ：河岸高（河岸の地表面高と地下水面高の差）である．
②

河岸崩落の判定:河岸計算格⼦:陸域の計算格⼦:⽔域の計算格⼦:河岸崩落が発⽣すると判定された河岸計算格⼦

図-4 に示す水域と隣接する陸域の計算格子（河岸計算格河岸⾼子と呼ぶ）を対象に河岸崩落の発生の有無を判定する．石
礫河岸の場合，河岸内部の地下水面高𝑧 は河道内の水位に追随するものと考え，河岸計算格子の地盤高と隣接する水域の計算格子の水位との差から河岸高𝐻 を求め，これを式(4)に与えることで自立高さを求める．そして，河岸計算格子を縦断方向および横断方向に横切る鉛直断面に対し，図-

図-4 河岸計算格子の説明図5(a)のように自立高さを考慮したすべり面を設定し，すべり面より上にある土塊に作用する力のつり合いを式(5)のように考え，河岸崩落の発生を判定する（𝐹<1 で崩落発生）．
𝐹𝑊𝛾𝐵

𝐵 𝑧𝐵2𝐵2𝑊𝑐𝑜𝑠𝛽ℎ

𝑈 𝑃𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛𝜙𝑊𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑃𝑐𝑜𝑠𝛽

𝛾2

ここに，𝑊：すべり面より上にある土塊の重量，𝛾𝛾

𝐵 ℎ ，𝑈𝑆𝑡𝑎𝑛𝜙

1ℎ 𝐵2，𝑆𝑐𝑜𝑠𝛽(5)𝛾1𝐻𝑧 𝐵2，𝑃𝑐𝑜𝑠𝛽

𝛾1ℎ2(6)：土塊の飽和単位体積重量，𝑈：すべり面に作用する揚圧力，𝑆：すべり面に作用するサクション，𝑃：土塊に作用する静水圧，ℎ：隣接する水域の計算格子の水深，ℎ ：𝑧 と隣接する水域の計算格子の地盤高の差， 𝐵：河岸計算格子の縦断方向および横断方向の幅である．
B :河岸計算格⼦の縦断⽅向，横断⽅向の幅

崩落⼟砂の移動を解析中の河岸と河床⾼崩落後の河岸と河床⾼崩落前の河岸と河床⾼崩落前の河岸と河床⾼

河岸⾼

河岸の低下

崩落⼟砂
崩落⼟砂の移動を解析

すべり⾯

河床粒度分布の変化

崩落⼟砂
河床の上昇

(c) 河岸・河床高・粒度分布の更新(b) 崩落土砂の移動を解析(a) 河岸崩落の判定
図-5 河岸崩落の判定と崩落土砂が川底に堆積する過程の解析手順③:陸域の計算格⼦

崩落土砂が川底に堆積する過程の解析法:⽔域の計算格⼦:河岸計算格⼦:河岸崩落が発⽣すると判定された河岸計算格⼦

図-5(b)に示すように，式(5)から河岸崩落が発生:する（𝐹<1）と判定された河岸計算格子において，:隣接する水域の計算格子の中で最も低い河床高よ崩落⼟砂の移動りも高い位置にある土砂を崩落土砂と定義し，崩:落土砂の厚さℎ と平均移動速度𝑈 の評価点を図6(a)のように配置し，崩落土砂が川底に堆積するま(b) 側面図(a) 平面図
図-6 崩落土砂の移動の解析方法

での過程を連続体の方程式に基づいて解析する．
式(7)は，崩落土砂の連続式である．
𝜕ℎ𝜕𝑡𝜕ℎ 𝑈
𝜕𝑥0(7)

添え字の𝑖は 1, 2 の値をとり，𝑥方向と𝑦方向をそれぞれ表す．地すべりの解析では，土塊の層厚に対して十分に長い距離にわたって土塊が移動することから，土塊の層厚で平均した運動方程式を用いて平均移動速度𝑈 が計算されることが多い 5)．これに対し河岸崩落の場合，土塊の移動は土塊の層厚程度の範囲で生じることから，崩落土砂の移動速度が鉛直方向に異なることを考慮する必要があるものと考えられる．このため，鉛直座標を式(8)および図-6(b)のように定義し，式(9)に示す鉛直座標変換した水平方向の土塊の運動方程式を用いて，崩落土砂の移動を解析することにした．
𝜁𝑧 𝑧 ⁄ℎ 𝑎𝑡 𝑧𝑧 𝑧ℎ─ 80 ─(8)𝜕𝑢𝜕𝑡𝑢𝜕𝑢𝜕𝑥𝑤

1 𝜕𝑢ℎ 𝜕𝜁1𝜌 ℎ𝑤

𝜕𝜕𝑥

𝜕ℎ 𝜎𝜕𝑥𝜕𝜎𝜕𝜁𝑢 𝑑𝜁𝜁ℎ𝜕𝑧𝜕𝑥

𝜁

𝜕ℎ𝜕𝑥

𝜕𝜏̂
𝜕𝜁

(9)

𝜕ℎ𝜕𝑡(10)

𝑢 𝑑𝜁

𝑈(11)

ここに，𝑢 ：𝜁の高さでの崩落土砂の𝑖方向の移動速度，𝑤 ：𝜁の高さでの崩落土砂の𝜁方向の移動速度，𝜌
崩落土砂の密度，𝜎𝐾 (1𝑢𝜎 ：鉛直方向の全応力，𝜎𝑢

𝛾/𝑔 ：𝐾 𝜎 ：水平方向の全応力，𝜎 ：鉛直方向の有効応力，

𝑠𝑖𝑛𝜙 )：静止土圧係数，𝜏̂ ：崩落土砂に作用する𝑖方向のせん断応力である．土塊の運動方程式の定式化においては，内部逸散応力の評価が問題となる．本研究では，Sassa 6)と同様に静止土圧係数を用いることにした．間隙水圧
𝑢 および有効応力𝜎 ，鉛直面に作用するせん断応力𝜏̂ は，それぞれ式(12)で与える．
𝑢𝛾 ℎ𝛾 ℎ 𝜁,𝜎𝛾𝛾 ℎ 𝜁,∆𝑢𝜏̂∆𝑢𝜎 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝜙𝜕𝑧𝜕𝑥1∙𝜁𝜕ℎ𝜕𝑥(12)ここに，∆𝑢 ：鉛直方向に分割した計算格子間での崩落土砂の𝑖方向の移動速度の差である．式(7)～(12)を用いて，崩落土砂の移動を計算し，崩落土砂の平均移動速度𝑈 が全計算地点で 10-4m/s 以下になれば，崩落土砂が停止したものとみなして計算を終了する．そして，図-5(c)に示すように，各計算格子の崩落土砂の厚さに応じて，河岸・河床高および河床の粒度分布を更新し，河床変動解析を再開する．
3. 2006 年常願寺川現地実験への適用
図-7 は，常願寺川現地実験水路の平面形と観測体制である．実験では，はじめに約 10m3/s の流量を通水し，一度通水を停止して図-7 の各側線で横断測量を行った．その後，約 15m3/s の流量を通水し，通水後に横断測量および河床材料等の調査を行った．通水時には，図-7 に示す地点で水面形と流量が観測されている．
計算格子には一般座標系を用いた．通水前の横断測量結果を基に，縦断幅 30～50cm，横断幅 30cm 程度の大きさで計算格子を分割した．図-2 に示した河岸崩落の判定は，2 分間毎に行うことにした．崩落土砂の堆積過程の解析では，計算格子をさらに鉛直方向に 5 分割した．上下流端の境界条件には，W22 地点と W01 地点の観測水位ハイドログラフを与え，河床変動解析では，通水後に実施されたふるい分け試験を基に計算初期の河床と河岸の粒度分布を図-8 の赤の実線で与えた．河岸崩落の判定および崩落土砂の移動解析では，粘着力𝑐 をゼロ，内部摩擦角𝜙 を 35 度に設定した．𝜙 は，10～20 度の値をとるものとされている 4)．本論文では，通水後に撮影された河岸の写真から自立高さを調べ，これと式(4)から計算される自立高さが最も整合する値として，𝜙 =20 度を用いることにした．
礫砂
1009080706050403020100w2Rw5L
W10C
W14L
W19C

通過百分率(%)

常願寺川

護岸設置区間：水位：流量0.1w2L
W8L
W10L
W16R
W19L

1

⽯w5R
W10R
W14R
W16L
解析

10100

1000

粒径(mm)

図-8
図-7 常願寺川現地実験水路の平面図と観測体制

通水後のふるい分け試験の結果と計算初期に与えた河岸と河床の粒度分布

図-9 と図-10 に示すように，解析は実測の水面形および流量を良好に説明できている．図-9 の黒の実線は通水前の平均河床高であり，黒のプロットは，通水後の実測平均河床高である．蛇行部区間では，河岸侵食に伴う土砂供給により，通水前後で平均河床高が上昇している．黒の点線は，通水後の解析平均河床高であり，全体的には実測と良く一致している．図-11(a)は，本解析法による W15 地点の解析横断面形状と実測の比較である．図-11(b)は，従来の安息角モデル（河岸勾配が安息角(内部摩擦角)より急にならないように，地盤高を修正する方法）を用いて，河岸侵食を解析した場合の解析結果である．実験では，現地高水敷を掘削し作成された水路に大流量が通水され，湾曲部の両岸が大きく侵食される大規模な実験が行われた．このため外岸だけでなく内側も著しい侵食を受けている．本解析法は，このような現象を適切に再現出来ており，実測の横断面形状をほぼ説明出来ていることが分かる．これに対し，安息角モデルを用いた場合は，流量 10m3/s を通水した段階で河岸が大きく侵食されており，実測を説明出来ていない．図-11 には，流量10m3/s，15m3/s 通水時の観測最大水位を示している．本解析法では，水面と河岸の高さに差がある程，サクションの影
響（自立高さが高くなること）により，河岸崩落が発生しにくくなる．安息角モデルでは，このような機構が考慮され─ 81 ─

観測平均河床⾼(通⽔前)

解析平均河床⾼(通⽔後)

観測平均河床⾼(通⽔後)観測⽔位(50分)

観測⽔位(92分)

観測⽔位(112分)

観測⽔位(178分)

解析⽔位 (50分)

解析⽔位(92分)

解析⽔位 (112分)

解析⽔位(178分)

河岸⾼(右岸)河岸⾼(左岸)n=0.018

n=0.026n=0.0360.5

蛇⾏部(⾃然河岸)

18

蛇⾏部(護岸)1459.512流量(m3/s)

標⾼(T.P.m)

解析流量
観測流量(上流端)
観測流量(下流端)

16

60.0

59.0
58.5
58.0

1086457.5

通⽔を約⼆時間半停⽌し，

2W2257.0‐20‐100W20
1020W153040W105060
縦断距離(m)

70W05
80W0290100

11012015m3/s通⽔後(解析)20406080 100 120 140 160 180 200 220

60.5

60.0

60.0

59.5

59.5

59.0
58.5
35度

58.0

図-10 実測と解析の流量ハイドログラフの比較
通⽔前
10m3/s通⽔後(解析)15m3/s通⽔後(実測)60.5

標⾼(T.P.m)

標⾼(T.P.m)

10m3/s通⽔後(実測)10m3/s通⽔後(解析)0

通⽔時間(分)図-9 実測と解析の水面形時系列および通水後平均河床高の比較
通⽔前

横断測量を実施

010m3/s通⽔後(実測)15m3/s通⽔後(解析)15m3/s通⽔後(実測)

59.0
58.5
35度

58.0
57.5

57.5
‐4.0‐3.0‐2.0‐1.00.01.0

2.0

3.0

4.0

5.0

‐4.0

‐3.0

‐2.0

横断距離(m)

‐1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

横断距離(m)(a) 本解析法(b) 安息角モデル
図-11 W15 地点における実測と解析の横断面形状の比較ないため，水面に比べて河岸が十分高い場合に，河岸侵食を過大評価する傾向がある．
図-12 は，河岸崩落の発生地点と発生時間の解析結果を平面的に示したものである．コンターで示す通水時間は，図-11 の横軸と対流れの向き通水時間（分）応している．図-12 から，河岸全体の侵食が間欠的に進んでいく様子が確認できる．このように，本解析法では，崩落土砂の流送，河岸際の洗掘，河岸崩落の発生という一連のプロセスを経て，河：通水後の実測河岸位置

岸侵食が計算されることになる．
4.結論
サクションによる河岸の自立高さと連続体の運動方程式に基づき，間欠的な河岸崩落現象を解析すると同時に，Q3D-FEBS と修正

図-12 河岸崩落の発生地点・時間の解析結果

長田・福岡モデルを用いて，河岸近傍の三次元流れと石礫の非平衡運動を解析し，河岸際の洗掘と崩落土砂の流送過程を計算することにより，常願寺川現地実験における通水前後の横断面形状の変化等を良好に説明できることを明らかにした．今後，扇状地河川を対象に本解析法の適用性や課題について確認していく予定である．
参考文献
1)

福岡捷二，木暮陽一，佐藤健二，大東道郎：自然堆積河岸の侵食過程，水工学論文集，第 37 巻，pp.643-648，1993．

2)

竹村吉晴，福岡捷二：波状跳水・完全跳水及びその減勢区間における境界面（水面・底面）上の流れの方程式を用いた非静水圧準三次元解析（Q3D-FEBS），土木学会論文集 B1(水工学)，Vol.75，No.1，pp.61-80，2019.

3)

竹村吉晴，久保宜之，岡田将治，福岡捷二：洪水流による物部川河口礫州の開口と変形機構に関する研究，河川技術論文集，第 26 巻，pp.669-674，2020.

4)

Fredlund, D.G., Morgenstern, N.R. and Widger, R.A.: The shear strength of unsaturated soils, Canadian Geotechnical Journal,
Vol.15, No.3, pp.313-321, 1978.

5)

若井明彦，吉松弘行：すべりを再現するための数値解析手法の現状，日本地すべり学会誌，50 巻，1 号，pp.7-17，
2013．

6)

Sassa, K.: Geotechnical model for the motion of landslides, Proc., 5th International Symposium on Landslides, vol.1, pp.37–56,
1988.

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