物理チャレンジ 2005
理論問題
2005 年 8 月 13 日（土）理論問題へチャレンジ 8：30〜13：30

理論問題へチャレンジを始める前に下記の＜注意事項＞をよく読むこと。
問題は大問３題である。問題は，一見，難問にみえても，よく読むとわかるようになっている。どの問題から取り組んでもよい。最後まで，あきらめずにチャレンジすること。

＜注意事項＞
1． 開始の合図があるまで，問題冊子，解答用紙の入った封筒を開けてはいけない。封筒の表に，チャレンジ番号，氏名を必ず記入すること。
2． 解答用紙は問題ごとに指定されている。その解答用紙に解答すること。
3． 各問の解答用紙ごとにチャレンジ番号と氏名を必ず記入すること。
4． 解答は，最終的な答のみではなく，解答に至る道筋も詳しく記述すること。
5． チャレンジ開始後から 200 分（3 時間 20 分）経過するまでは，原則として，途中退
出はできない。200 分経過（11:50）後は，解答を提出して，退室可能である。
6． 気分が悪くなったときやトイレに行きたくなったとき，または質問がある場合は手をあげて監督者に知らせること。
7． 他の参加者の迷惑にならないように静粛に解答をすすめること。
8． 解答用紙は封筒にもどして，チャレンジ番号・氏名の記入を確認のうえ提出すること。

9． 問題冊子は持ち帰ること。

1

第１問
アインシュタインは，「力学の法則はあらゆる慣性系で同じ形に表される」という「ガリレイの相対性原理」が，力学だけではなく光学や電磁気学でも成り立つと考えた。これを「特殊相対性原理」という。電磁気学の法則が任意の慣性系で同じ形に表されるならば，
電磁波である光の速さc は任意の慣性系で同じ速さでなければならない。これを「光速不変の原理」という。
いまからちょうど 100 年前の 1905 年，アインシュタインは特殊相対性原理と光速不変の原理を用いて，特殊相対性理論を構築することに成功した。
[Ⅰ]

図１のように，同一の慣性系(慣性の法則の成り立つ座標系)において距離 l だけ離れl

た２点A と B に静止している時計を合わせAる（同期化する)ことを考えよう。
点 A に置かれた時計が時刻 t A を表示し

tA

B

c

tB

図１

ているときに A から光を発する。距離 l だ
け離れた点 B にこの光が到着したとき，点B に置かれた時計が表示する時刻 t B を，
tB = tA +lcと決める。これと同じ方法で，点 B を発する光が点 A に到着する場合も同様にして双方の時計の表示を合わせる。
問１ 点 B に置かれた時計が時刻 t B を表示したときに B から発せられた光が，点 Aに到着した。このとき，点 A の時計は時刻 t A′ を表示していた。時刻 t A′ は，点 Aに置かれた時計で時刻 t A のときに A を発した光が，点 B の鏡で反射されて再びA に戻ってきた時刻 t A′′ と一致することを示せ。
ここで，点 A から発せられた光が点 B に置かれた鏡で反射して点 A に戻るま
での時間を t とすると，
2l = ctの関係式が成り立つことを用いよ。
[Ⅱ]

図２ａのように，一定の速さv で一直線上を動いているの電車の中央の点 O から，電車の進行方向とその逆方向へ同時に光を発する。それぞれの光は電車の先端 A と後端 B に付けられた鏡で反射されて再び点 O に戻る。このことを，
光速不変の原理：相対的に任意の速さで動いているそれぞれの慣性系において，光速は同じc である。
を用いて考えよう。静止した地面に固定された慣性系 S と電車と共に一定の速さv で動いている慣性系 S′ を考える。速さv で動いている電車の長さを慣性系 S に固定された物差しで計ったら 2L であった。ここで動いている電車の長さを慣性系Ｓに固定し2た物差しで測定するとは，物差しの上の各点に，[Ⅰ]で考えた方法で同期化した時計を並べて置き，ある同じ時刻に電車の先端Ａと後端Ｂが通過した点の位置を物差しの目盛りで測定して A と B の距離を求めることである。
また，電車内で中央の点 O に静止している観測者は，時刻 t = 0 に点 O から電車の進行方向とその逆方向に発せられた光が，それぞれ先端Ａおよび後端Ｂで反射されて再び点 O に戻ってきた光を同時に観測する。その時刻を t ′ とすると， 2L ′ = ct ′ は慣性系 S′ に固定された物差しで計った電車の長さを表している。
慣性系 S′

v

Ｏ

Ｂ

Ａ

c

c

L

L

v

慣性系 S

図２ａ

電車の中央の点 O から発せられた光が先端Ａおよび後端Ｂに到達する時刻を，慣性系 S の時計で観測すると，光がＡとＢに達するまでの間に，ＡおよびＢはそれぞれ動いているので，光がＡに達する時刻とＢに達する時刻に差が生じる。
問２ 先端Ａに光が到達するまでの時間を T A ，後端Ｂに光が到達するまでの時間をT B として，その時間差 ∆T = T A − T B を求めよ。

このことから，慣性系 S と S′ に置かれた時計では，時間の進み方が異なることがわかる。
問３ 光が先端 A に達したとき点 A の慣性系 S での位置と，光が後端 B に達したと
き点 B の慣性系 S での位置の差を 2L 0 とする(図２ｂ)。 L 0 を求めよ。
Ｂ

Ｏ

Ａ
v

慣性系 S
2L 0

図２ｂ
このことは，慣性系 S′ に対して速さv で左向きに動いている慣性系Ｓに固定された3

長さ 2L 0 の棒を慣性系 S′ で観測すると，棒の長さは 2L ′ であることも意味している。
問４ 慣性系Ｓから見た慣性系 S′ の運動と， S′ から見たＳの運動は同等であることを用いて，長さ L と L ′ の間に，
L = L′ 1−

v2
c2

…(ⅰ)

の関係式が成り立つことを示せ。
(ⅰ)式は，速さv で動いている物体の速度方向の長さが k = 1 −v2倍に縮むことをc2示している。
問５ 点 O から発せられ，先端 A と後端 B で反射された光が点 O に戻るまでの時間を考えよう。この時間を慣性系Ｓの時計で計ったものを T ，慣性系 S′ の時計で計ったものを T ′ とする。 T と T ′ の間に，
T ′ =T 1−

v2
c2

…(ⅱ)

の関係式が成り立つことを示せ。
(ⅱ)式は，速さv で動いている物体(座標系)では，時間の進み方が k = 1 −

v2
倍に
c2

遅くなることを示している。
[Ⅲ]

図３のように，無重力空間を等速直線運動している宇宙船Ａに対して，

Ｂ

相対的速さ 0.6c (c ：真空中の光速)

0.6c

c

で等速直線運動する宇宙船ＢがＡの

c

すぐ上を通り過ぎる瞬間，ＡとＢのＡ

時計を午前９時に合わせた。宇宙船

図３

Ｂの時計が午前 10 時を指した瞬間，Ｂの乗組員は宇宙船Ａに向かって光信号を発する。宇宙船Ａの乗組員はその光信号を観測するや否や，宇宙船Ｂに向かって光信号を返答する。
問６ 宇宙船Ａの乗組員が宇宙船Ｂからの光信号を観測するとき，Ａの時計は何時を指しているか。また，宇宙船Ｂの乗組員が宇宙船Ａからの返答の信号を観測するのは，Ｂの時計で何時か。

4

[Ⅳ]

慣性系 S において，電場 E (大きさ E )と磁束密度 B (大きさ B )の磁場中を，電荷 qが B に垂直に速度v (速さv )で運動するとき，q には電場の向きに大きさ qE の力，および，v から B の向きに右ねじを回すときねじの進む向きに大きさ qvB のローレンツ力が作用する。これら２つの力を総称して電磁気力と呼ぶ。
この現象を慣性系 S に対して速度v で動く慣性系 S′ で見ると，電荷 q は静止しているから， q に磁場からローレンツ力は作用しない。しかし，慣性系 S′ で電荷 q に電磁気力が作用するとすれば， q の速度が 0 であっても作用する電場が生じていなければならない。この電場はどのようにして生じるのであろうか。[Ⅱ]で考えた「長さの縮み」を考慮して考えてみよう。
以下では，必要であれば，次の a)，b)を用いてよい。
a) 十分長い直線導線に，強さ I の電流を流すと，電流が流れる方向に進む右ねじの回る向きに磁場ができる。導線から距離 r の点にできる磁束密度の大きさは，
µ I
B= 0
2π r
と表される。ここで， µ 0 は，真空の透磁率と呼ばれる定数である。
b) 十分長い直線導線が単位長さあたり ρ (> 0) の電荷を帯びているとき，導線から距
離 r の点に，導線から離れる（ ρ < 0 のとき近づく）向きにできる電場の大きさは，
E=

ρ
2πε 0rと表される。ここで， ε 0 は，真空の誘電率と呼ばれる定数である。
x ， y ， z 軸方向を図４のようにとり，導線に x 軸負方向へ大きさ I の電流を流した状態で，慣性系 S で見ると(図４ａ)，導線は電気的に中性であった。このとき導線
中には，単位長さあたりの電荷 ρ 0 ( > 0 )の１価の正イオンが x 軸方向へ等間隔a で並んで静止し，単位長さあたりの電荷 − ρ 0 の自由電子が，同じ等間隔a で並んで速さv
で x 軸正方向へ運動しているものとする。このとき I = ρ 0v である。いま導線から y 軸
正方向へ距離 r だけ離れた点 P を，正の点電荷 q が導線と平行に，導線中の電子と同じ速さv で x 軸正方向へ動いている。
q

P

Ｐ
x

z

r

− ρ0

y

v

r

y

z

導線

導線

I′

v

I

q

v

ρ0

図４a：慣性系 S：裏から表の向き

図４b：慣性系 S′
5xこの現象を，慣性系 S に対し x 軸正方向へ速さv で等速運動する慣性系 S′ で考える
(図４ｂ)。慣性系 S′ では点電荷 q は静止しており， q に磁場からローレンツ力は作用しない。このとき，導線中の電子は静止し，正イオンのみが x 軸負方向へ速さv で動いており， x 軸負方向へ電流 I ′ が流れている。
問７ 慣性系 S′ では，電子の間隔 a − と正イオンの間隔 a + が異なるため，導線は帯電する。 a − と a + を慣性系Ｓでの間隔a および[Ⅱ]で定義した k を用いて求めよ。また，導線の単位長さあたりの電荷 ρ を， ρ 0 および k を用いて求めよ。
問８ 慣性系 S′ で見るとき，点電荷 q にはたらく力の大きさ f ′ とその向きを求めよ。その際，真空中の光速c は，
c=1
ε 0 µ0と表されることを用いよ。また，慣性系Ｓで点電荷 q にはたらく力の大きさを fとすると， f ′ は， f の何倍か。 k を用いて表せ。
問９ 断面積 A = 1.0 × 10 −6 m2 の Cu でできた直線導線に，慣性系 S で，I = 1 A の電流を流す場合を考える。Cu 原子１個が１個の自由電子を出すとし，下記の物
理定数を用いて，導線中の自由電子の速さv を有効数字２桁で求めよ。
f ′− f
また，慣性系 S から S′ へ移行するときの電磁気力の変化の大きさをf
有効数字１桁で求めよ。その際，近似式「 x が１に比べて十分小さい( x << 1 )とき， (1 + x ) α ≒ 1 + αx （α ：実数）」を用いよ。

・真空中の光速： c = 3.0 × 10 8 m/s

・Cu 原子の原子量：64 (１モルの質量 M = 64 × 10 −3 kg)・Cu の単位体積の質量： σ = 8.9 × 10 3 kg/m3

・アボガドロ数(１モルの原子数)： N A = 6.0 × 10 23

・電子の電荷の大きさ： e = 1.6 × 10 −19 C

6

第２問
水よりも密度が大きく水に溶けない粉末がある。この粉末を水に入れると，粉末は下降していくが，最終的に，全部が底に溜まるのではなく，上部は薄く，下部は濃いという濃度分布となる。これは[Ⅰ]で見るように，微粒子にはたらく力のつり合いで決まっている。
さらに，アインシュタインは，「このような微粒子の最終的な濃度分布は，重力によって下降する微粒子の流れの大きさと，濃度の濃い方から薄い方に拡散する流れの大きさが等しくなることによって決まる」と考えた。
このように，同じ現象を，力のつり合いと見る静的な見方と，２つの流れの大きさが等しくなるという動的な見方を組み合わせることによって，一見静かに見える現象の背後に分子の複雑な運動があることをアインシュタインは見抜き，１つの関係式を提案した。
以下の[Ⅰ]〜[Ⅲ]では，重力を考慮して，[Ⅲ]で定義する水中の微粒子の拡散のはたらきを示す係数，すなわち拡散係数を求める。
重力加速度の大きさを g とする。
[Ⅰ]

水中に薄く拡がっている微粒子は，理想気体の気体分子のように振る舞うことが知られている。気体定数を R とすると，１モルの理想気体について，圧力 p ，体積V ，絶対温度 T との間に状態方程式 pV = RT が成り立つが，同様に水の中の微粒子のみがもたらす圧力(これは浸透圧と呼ばれる)を p ，体積V 中の微粒子の数を N ，アボガ
ドロ数を N A とすると，モル数はNNになるので，状態方程式 pV =RT が成り立NANAつ。ここで， T は水温(絶対温度)である。

問１ 単位体積中の微粒子の数(これは微粒子の濃度である)を n =数を k =

N，ボルツマン定VRとして，上記の微粒子について， p を k , n , T を用いて表せ。
NA

微粒子の濃度と浸透圧は高さによって高さ変化する。そこで，高さ h での濃度はn ，浸透圧は p ，h + ∆h での濃度は，n + ∆n ，

水

浸透圧は p + ∆p と表されるものとする。
また，水温は高さによらず一定値 T であ

( p + ∆p ) A
h + ∆h

るとする。

nA∆h ⋅ mgh

問２ 問 1 で得られた式から，高さ hpAと h + ∆h で の 浸 透 圧 の 圧 力 差∆p を濃度差 ∆n を用いて表せ。
図１
さて，図１のように，この水中に，断7面積 A ，微小な高さ ∆h (下底の高さ h ，上底の高さ h + ∆h )の直方体を考え，直方体
内の微粒子(質量m )にかかる力のつり合いを考える。
この直方体内の微粒子の集団には，重力，上方からの浸透圧による力，下方からの浸透圧による力の３力がはたらいていると考えられる。ここでは，微粒子の密度が十分大きいので，浮力は無視できる。
∆h は微小な高さであるから，この直方体内にある微粒子の濃度n は一定であると考えられ，直方体内の微粒子数は nA∆h となる。こうしてこれらの微粒子にはたらく
重力は nA∆h ⋅ mg と表される。直方体の上方から直方体内の微粒子にかかる浸透圧による力は ( p + ∆p ) A であり，下方から受ける浸透圧による力は pA である。
問３ 直方体内の微粒子にはたらく力のつり合いより， ∆p を ∆h を用いて表せ。

問４ 問２と問３の結果を用いて，濃度勾配∆nを g , k , m , n , T を用いて表せ。
∆h

こうした静的な見方では，実際に存在する微粒子の運動を議論できないが，[Ⅱ]，[Ⅲ]において，それを測定する仕組みを考える。
[Ⅱ]

まず，鉛直に置かれた十分長い容器に水を入れてその中に微粒子を入れる。十分長いので底に溜まる効果は無視できる。このとき，水中で質量m の微粒子が重力によって下降し，水からの抵抗力を受ける。抵抗力 F は速さu に比例するというストークスの法則が知られていて，下降する速さu に対して，F = Cau となる。ここで，C は水の粘性で決まる定数であり，a は微粒子の半径である。このとき，微粒子に初速度を与えてもその速度は急速に一定値になる。一定値になったときの速さu と重力 mg の間には u = Bmg の関係がある。 B を移動度と呼ぶことにする。
問５ 移動度 B をa と C を用いて表せ。
これより，重力と粘性抵抗によって生じる微粒子の一定速度の下降の流れの量(水平な単位面積を単位時間に通過する微粒子の数)は J = nu = nBmg と表される。

[Ⅲ]

さて，一般的に微粒子の濃度

水が，位置 x によって異なる場合
J (x )

について考えよう。
位置 x における濃度を n ，
x + ∆x における濃度を n + ∆nとすると，濃度勾配は

∆n
で表
∆x

される。図２のように，位置 xでの拡散の流れの量 J (x ) (面 x

x
図２
8

x軸

の左側の領域から右側の領域へ，単位時間に単位面積を通過する微粒子の数)は，この濃度勾配に比例し，濃度が大きいところから小さいところに向かって流れるので，J ( x) = − D

∆n
∆x

…(ⅰ)

と表される。この D を拡散係数と呼ぶ。
[Ⅱ]で説明した下降の流れの大きさと，下方から上方へ向かう拡散の流れの大きさとが等しくなり，[Ⅰ]で求めた濃度勾配が生じていると考えられる。
問６

D と B の関係を， k ， T を用いて表せ。

これをアインシュタインの関係式という。

問７ 20℃（絶対温度 293K ）の水中における半径 1.0 µ m = 1.0 × 10 −6 m の微粒子の拡散係数 D 〔m2/s〕を，有効数字２桁で求めよ。
ただし，ボルツマン定数は， k = 1.38 × 10 −23 J/deg，水の粘性で決まる比例定
数は， C = 2.00 × 10 −2 Pa･s (20℃)である。
ここで求めた拡散係数は，微粒子に重力がはたらくかどうかによらない。
次に，微粒子の濃度分布に重ここに粉末を挿入する

水力の効果が現れないように水平な容器に水を入れてその中で微粒子が拡散する様子を観察する。

x軸

その際，微粒子にはたらく重力は無視する。水平方向に x 軸を0
図３

とる(図３)。
[Ⅳ][Ⅲ]で述べたように拡散の流れがなぜ濃度の勾配に比例するのかについて，もう少し考察しよう。
実際には，微粒子は水分子と衝突をしていて運動の方向を変えている。
微粒子の速さの平均値をv とする。時間 t m だけたつと向きが不規則になってしまうと考えられる。l = v t m は平均自由行程

水と呼ばれるもので，この距離の間はまっすぐ進むことができる。
位置 x における断面の単位面積あたり，単位時間に左の領域から右x −l / 2へ飛び込む微粒子の数は，速さv と位置 x − l / 2 での濃度 n (x − l / 2) のx
図４

積に比例すると考えられる(図４)。
9x +l /2

x軸

さらに，微粒子の速度はいろいろな向きを向いているが，単純化して， x , y , z のそれぞれの正負方向に均等に運動していると仮定すると，全体の 1/6 が x 軸正方向に進んで断面を通過すると考えることができる。すると，単位面積あたり，単位時間に左1の領域から右へ飛び込む微粒子の数は， v n (x − l / 2) と表される。同様に，右の領域
6
1から左へ飛び込む微粒子の数は， v n (x + l / 2) と表される。
6すると，位置 x での微粒子の流れの量 J (x ) は，左から右へ移動する微粒子の数と，右から左へ移動する微粒子の数の差と考えることができる。
問８

l が十分に小さいとき，n ( x − l / 2) = n ( x ) −

l ∆n
l ∆n
， n ( x + l / 2) = n ( x ) +
2 ∆x
2 ∆x

と表されることを用いて，拡散係数 D を l ， v で表せ。
[Ⅴ]

実際に１個の微粒子がどんな運動をするのか考えてみよう。時間 t の間に，微粒子tは， N =

tm

回，向きを変える。微粒子がその向きを i 回目に変えてから， (i + 1) 回目に変えるまでの変位の x 方向成分を ∆x i とすると，(N + 1) 回目に衝突をするときの位
置 x は，
Nx = ∆x 1 + ∆x 2 + Λ + ∆x N =

∑ ∆x

i

…(ⅱ)

i =1

と表される。
各変位の方向が不規則であることから，それぞれの変位 ∆x i の平均値は ∆x i = 0 である。すなわち，時間 t たったときの変位は，平均すると 0 になる。そこで，拡散のよ
うすを知るために，変位の平均でなく，変位の２乗を平均したものを考えることにしよう。
(ⅱ)式から，変位の２乗を平均したものは，
N

x =
2

∑ (∆x ) + ∑ ∆x ∆x
2

i

i =1

i

j

…(ⅲ)

i,j
i≠j

となる。ここで，各変位の方向が独立で不規則であることを考えると，(∆x 1 ) 2 = (∆x 2 ) 2 = Λ = (∆x N ) 2 ≠ 0 であり， ∆x i ∆x j = ∆x i ⋅ ∆x j = 0 ( i ≠ j )となる。

10

問９ 時間 t の間の微粒子の変位の回数が N =ttmと書けることを用いて，時間 t だ

けたったときの微粒子の x 方向への２乗平均変位 x 2 を拡散係数 D と時間 t を用いて表せ。
ただし，毎回の変位 ∆x は独立であり，微粒子の速度の x 成分をv x とすると，∆x = v x t m と表される。また，微粒子にはたらく重力を無視するので，その x ，y ， z 方向への運動は同等であり，速度の y 成分をv y ， z 成分をv z とすると，

1
v x2 + v y2 + v z2 = v 2 より， v x2 = v y2 = v z2 = v 2 と表される。また， v ≒ v 2 を用
3いよ。
問 10 これまでの議論から，容器に入れた水中の微粒子は，放っておけば，やがて容器全体に広がると考えられる。
長さ10 cm の容器の端に挿入された半径1.0 µ ｍ = 1.0 × 10 −6 m の微粒子の粉末が容器の大きさ程度に広がるのに要する時間 t を，有効数字２桁で求めよ。
またこの結果から，かき混ぜることなしに，粉末が広がるようすを観察することが現実的であるかどうか述べよ。ただし，水温は 20℃とする。

11

第３問
以下の設問 Ａ，B，C に答えよ。
Ａ
図１のように，等しい抵抗値 r の６本の抵抗線を接続し，正四面体をつくる。点 O と点M の間に電圧V をかけると，点 O から電流 I が流れ込み，点 M から電流 I が流れ出した。
以下の問いに答えよ。ただし，抵抗線の抵抗値はその長さに比例し，接続部の抵抗はすべて無視できる。また，点 M は抵抗線 BC の中点である。
I

Ｏ

Ｃ
Ａ
Ｍ
Ｂ

I

図１

問１ OM 間に電圧V がかけられているとき，OB 間を流れる電流を i とおくと， i は I
を用いてどのように表されるか。また，OC，OA，AB，AC，BM，CM の各区間に流れる電流は， I を用いてどのように表されるか。
問２ OM 間の合成抵抗 R を，γを用いて表せ。

12

Ｂ
光の干渉性を利用して３次元的な立体画像を得る方法をホログラフィー(holography)という。ここでは，ホログラム（実像を干渉像として写した写真ネガフィルム）の形成と実像の再生という，ホログラフィーの原理を考えてみよう。
一般に，時刻 t における光波の振動が，y 0 = A 0 sin(ω 0 t + φ 0 )と表されるとき， ω 0t + φ 0 を位相という。ここで， A 0 を振幅， ω 0 を角振動数という。
図２のように，点光源 O と平面状の写真フィルム F を配置する。O から発せられる球面波の光波(波長 λ )，および，その光波と干渉する光波(平面波で波長 λ )を F に垂直に照射して撮影する。図２の点 C で，光源 O からの球面波と平面波の光波は同位相であり，その振動は共に，
y 1 = A sin ωt…(1)と表される。ここで，振幅 A と角振動数ω は一定値である。
写真フィルム F 上の任意の点 P で平面波の振動は，(1)式で与えられるが，光源 O からの球面波の振動は，点 C 以外では平面波の振動より位相が遅れるので，位相の遅れを φ とすれば，点 P での球面波は，
y 2 = A sin(ωt − φ )となる。
ここで，球面波の振幅の減衰は無視した。
平面波
F

P

O

C

図２
問１ 距離の差(光路差)が λ のとき，位相差は 2π である。このことを用いて，OC 間と OP間の光路差を d とすると，点Ｐでの球面波の位相の遅れ φ を d と λ で表せ。
問２ 点 P で，光源 O からの球面波と平面波の光波の合成波を求めると，その振動は，
y = B sin(ωt − θ )13と表される。振幅 B と位相 θ を，それぞれ A と φ の中で必要な文字を用いて表せ。
ただし，三角関数の和積の式
sin α + sin β = 2 cos

α −β
α +β
sin
2
2

を用いよ。
撮影された写真フィルムは，
強い光のあたったところは強く感光し，それを現像すると，感光した部分は透明になり，ほとんど光のあたらなかったところは不透明になる。
そこで，現像された写真ネガフィルム（ホログラム）に平面波の光波をあてると，点 P での透過光の振幅は，問２で求めた合成波の振幅 B の２乗に比例するものとする。
問３ 図３のように，ホログラム H に H 面での振動が(1)式で与えられる平面波の光波を照射するとき，ホログラム H の透過光の H 面での振動 y t を， φ および振幅として適当な比例定数 K を用いて３種類の光波の和の形で求めよ。その際，下記の三角関数の公式の中で必要なものを用いよ。
sin 2

θ 1 − cos θθ 1 + cos θ=， cos 2 =2
2
2
2

sin A cos B =1{sin(A + B ) + sin(A − B )}
2

平面波
H

P

C

図３
問４ 前問３で求めた３種類の光波は，それぞれどのような光波か説明せよ。
この結果から，図３の右側から H 面を見ると，H 面の左側の奥行きをもった点に，あた
かも光源があるかのように見えることがわかる。こうして，図２の光源 O の位置に置かれた物体を撮影したホログラムに平面波の光波を照射すると，物体が奥行きをもった像として見える。これが，ホログラフィーの原理である。
14

Ｃ
雲は，大気中に浮かぶ微小な水滴の集まりである。その水滴の直径は 3 ~ 10 µ m（1µ m = 1 × 10 −6 m ）程度である。この水滴は微小であるが，密度は水に等しく，大気の密度よりずっと大きい。このため、雲が大気中に浮かぶことは不思議である。
なぜ雲は落ちてこないのだろうか。また，雲の中の水滴がどうなると雨となって落下してくるのだろうか。以下の問いに答えよ。
問１ 地上の大気中に，水蒸気を多く含んだ空気塊ができたとする。この空気塊が上空で雲になるまでの過程を 120 字程度で記述せよ。
問２ 雲はなぜ落ちてこないのか。80 字程度で記述せよ。
問３ 雲の中での水滴と水蒸気を多く含んだ大気の相対的運動を考察して，雨が降り出すまでの過程を 200 字程度で記述せよ。

15