東急建設技術研究所報 No. 46

U.D.C 624.131.53

地震動を受ける盛土斜面の信頼性評価に関する研究
佐竹

要

約：

亮一郎 ＊

本報では，地盤工学分野における信頼性設計の導入のための基礎的な検討として，材料物性値の不均質性が地盤構造物の耐久性指標の不確実性に与える影響を評価している。震度法に基づく斜面安定解析および動的弾塑性
FEM に基づく動的応答解析を各試行としたモンテカルロシミュレーション（MCS）を実施し，地震動を受ける斜面の全体安全率，天端の残留沈下量 δ が不確実性を伴う場合の両者の相関性について，定性的な傾向について考察した。その結果， ‑δ 間には既往の研究同様負の相関が認められるが，任意の値，標準偏差はに対して δ の平均より δ を推定する際には，δ はの低下に伴い増加する傾向を示した。この傾向より，を変数とした確率変数として記述されるのが妥当であることがわかった。
キーワード：

信頼性解析，FEM，MCS，斜面安定解析，動的応答解析

目

1．はじめに

3．解析結果2．検討概要4．まとめ

次：

1．はじめにれぞれを各試行とする MCS を実施した。不均質性を規定

現在，土木分野の多くの設計基準は，耐久指標を確率論するパラメータとして文献 3）では物性値の変動（ばらつに基づいて評価する信頼性設計法を前提とした性能照査型き）の程度を示す変動係数，空間内の物性値の相関性の強設計法への書き換えが進められており 1)，地盤工学分野でさを示す自己相関距離など複数の因子を挙げ，各因子を変2)も信頼性設計法の導入が求められている 。著者らはこれ数として，解析値の不確実性の増減に及ぼす影響を検討しまで，材料の不均質性が地盤構造物の耐久性指標の不確かた。本報では特に，文献 3）で最も解析値の不確実性に与さに及ぼす影響の評価を目的に，不均質な材料を有する仮える影響が大きかった変動係数を変数とした解析について

想盛土斜面の常時の安定性を対象に乱数解析の一種である述べる。また本報で実施する動的応答解析では，入力波のモンテカルロ・シミュレーション（MCS）に基づく信頼性差異により，物性値の不均質性が解析値に与える影響が変解析を実施し，安定性指標の一つである斜面の全体安全率化することが考えられたため，2 種類の波形を用いた。解の信頼性を評価してきた 3)。上記の研究では，斜面を不析結果より，不確実性を伴う安定化させる要因を物性値の不均質性を支配する因子に限，δ の相関性について傾向を確認し， ‑δ の関係式の記述形式について考察した。

定し，自重以外の外力の影響は考慮していない。これを踏まえ，本報では地震動を受ける斜面を対象に検討を行う。

2．検討概要地震動を受ける斜面の安定性の評価手法としては，震度2.1

解析対象地盤と材料定数法に基づく安定解析（極限平衡法）から求めた安全率

図 1 に解析対象地盤の有限要素モデルを示す。法勾配による評価，Newmark 法や動的弾塑性 FEM に基づく動1：2 の斜面を有する盛土構造物を仮定した。解析の際に的応答解析などにより残留変位量 δ を直接求めて評価する

は，物性値の不均質性を有限要素モデルに反映する必要が手法がある。後者は近年の性能設計への要求の高まりかある。不均質性を考慮する物性値については確率変数としら，信頼性手法という観点から確率論的な評価も進められて表現し，本地盤モデルの各要素に個別の値を割り当てる4)こととした。文献 3）を参考に要素サイズは 1.0 m×1.0 mている 。
上記の地震時の斜面の安全率と残留変位量 δ の間には一定の相関があることが知られており 4)5)，経験的なδ の関係式から任意の（8 節点アイソパラメトリック要素）を標準としている。

‑値に対する δ の値を簡易に推定することが行われてきた 5)。一方，δ が不確実性を有すると仮定した上で両者の相関についての議論をした例は乏しい。
そこで本報では，地震動を受ける斜面において，物性値の不均質性が，δ の不確実性に与える影響を評価することを目的とし，震度法に基づく安定解析，動的応答解析そ＊技術研究所

図1

土木構造グループ101解析対象地盤

東急建設技術研究所報 No. 46

表 1 に材料定数を示す。砂質土系の地盤を想定し，各物性成する。文献 3）では共分散マトリクスに乱数ベクトルを値を決定した。動的応答解析の際に用いる動的変形特性に乗じて確率場を生成するプログラム 6)を採用しており，本ついては後で図示する。解析では，不均質性を考慮する物報でも同一のプログラムを使用した。プログラム内では，性値は，簡単化のため内部摩擦角 ϕ のみを確率変数とし設定した確率変数の平均値，変動係数，自己相関距離，要て扱うこととした。表 1 に示した ϕ の値は確率変数の平素の重心間距離に基づき確率場が生成される。前記手順に均値である。ϕ を選定した理由としては，せん断強さを規基づき作成した不均質な有限要素モデルの一例が図 2 であ定するパラメータであり，また文献 3）からも，ϕ が安全る。この生成されたモデル 1 個に対し，安定解析，動的応率

答解析を各々行う。これがそれぞれの MCS の 1 回の試行の不確実性に与える影響は，砂質土系地盤の場合にとなる。

は粘着力 と比較して大きいという結果が得られているた本報では，材料物性の変動係数が解析値の不確実性へ及めである。

ぼす影響を検討することとし，平均値，自己相関距離については固定値を与えた。平均値は表 1 に示す ϕ の平均値，
表1

材料定数

水平方向の相関性

1=5 m，鉛直方向の相関性

2=1 mと設定した。

図22.2

不均質性を反映した地盤モデルの生成

2.3

不均質な有限要素モデル（tan ϕ の分布）

数値解析手法

上述したように，物性値の不均質性を図 1 に示す地盤モ

2.2 で示した手順によって生成された不均質な地盤モデデルに反映する。本報では，文献 3）と同様の手法を採用

ルに対し，安定解析，動的応答解析を実施した。紙面の都した。ここでは概要を示す。

合上，ここでは両解析手法の概略を述べる。解析で使用した数式の詳細等は本節で示す文献 7)8)9)を参照されたい。

まず物性値の不均質性をモデル化する。不均質性を伴う物性値は確率変数として表現し，以下のような確率場の和2.3.1として記述する。

本解析では，道路土工―盛土工指針 7)を参考に，震度法

Z (x)=μ(x)+W (x)()

安定解析に基づく Fellenius 法によって地震時の斜面の全体安全率

ここで，Z(x) は確率変数，x は位置ベクトルである。μ(x)を求めた。解析対象地盤（図 1）は左右対称であるたは 確 率 変 数 の 平 均 値 の 空 間 的 変 化 を 表 す 平 均 値 関 数，め，均質地盤を仮定すれば，すべり面が左右いずれに生じW (x) は確率変数の変動および変数同士の相関性の程度ても，最小となる（自己相関性）を規定するランダム成分である。本報では，純化するため，対象とする現象を向かって左方向に土塊がの値は変化しない。そこで検討を単μ(x) を一定値，W (x) を標準正規分布と仮定し，確率変数移動するすべりに限定した。なお，すべり面が法面の表層

Z (x) の平均値およびばらつきの程度は空間内で一定とみ付近を通過する，表層崩壊様の破壊を考慮しないようにすなした。相関性を規定する自己相関関数については以下のるため，文献 7）を参考に，最小安全率を得るすべり円弧

指数型の関数を採用した。

は天端左端から向かって右方向 4 m 以降を通過するよう    

ρ(Δ)=exp − ∑  Δ L

(設定した。また，地震力を規定する設計水平震度)については，本報ではレベルⅠ地震動相当の値として一律

ρ は自己相関係数であり，相関性の強さを表す。Δ は地=0.2 と設定した。

盤内の任意の 2 点間の距離である。本式では，自己相関係

2.3.2

数 ρ は空間内の任意の 2 点間の距離にのみ依存し，距離本解析では土の構成則に Wakai and Ugai による繰返しの増加に伴い 0 に漸近する。 は次元であり，本報では 2載荷モデル（以下 UW モデルと略）を適用したプログラ次元問題を考えるため =2 となる。Δ

は 2 点間の軸方ム 8)を使用し，全応力解析を実施した。UW モデルは双曲は各軸に対応する自己相関距線型の骨格曲線と固有の履歴ループ曲線を採用し，実地盤離である。自己相関距離が極限まで低下すると，空間的なの挙動に近い動的変形特性を表現できることが特長であ相関性が無い状態となり，ある一定面積における平均値がる。ここで，図 3 に解析で仮定した動的変形特性を示す。

全体の平均値と一致することになるため，実質的に均質状解析の対象地質は砂質土であるため，文献 9) を参考に G/態を仮定していることになる。

G 0‑γ および ‑γ 関係を仮定し，特性を表現するよう UW向に対する距離である。

上記のモデル化に基づき，不均質な有限要素モデルを作動的弾塑性 FEM による動的応答解析モデルで使用する特性値を設定した。

102

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本報では，斜面安定解析の結果と併せ，両者の相関につ行回数は確率分布の妥当性と計算時間を考慮し 500 回といて議論する。斜面安定解析では土塊が移動する方向を対した。

象地盤（図 1）向かって左側と規定したため，動的応答解

表 2 に設定した検討ケースを示す。斜面安定解析，動的析では斜面左側の変位に着目する。本報では天端左端の沈応答解析共通の変数である変動係数下量を着目量とした。境界条件は対象地盤（図 1）におけ3）を参考に

る左右端は水平方向のみ，底部は水平，鉛直方向の変位を用する入力波については 2.3 で示した A，B の 2 種の入力拘束している。この条件では，基礎地盤の側方流動は発生波を使用する。その組み合わせにより case 1〜4 を設定ししないため，天端の沈下はすべり土塊の移動によってのみた。斜面安定解析において使用した設計水平震度発生する。

で固定としたため，解析値の不確実性は変動係数にのみ依については文献=0.3，0.5 と設定した。動的応答解析で使は 0.2

図 4 に使用した入力波を示す。入力波は検討の簡単化の存する。従って安定解析では，実質的に case 1 と 3，caseため正弦波としている。入力波の周期 T を決定するため，2 と 4 は同一の解析条件となる。また比較用に，現行設計予備解析として図 1 に示した解析対象地盤に対し振幅法で仮定されるような，均質地盤（2A=0.1（m/s ）の正弦波 20 波を使用した動的応答解析を=0）での解析（以後均質ケースと呼称）を実施した。

実施し，盛土天端の応答加速度を求めている。この解析を，周期 T を 0.1 s〜1.0 s の範囲で変化させながら実施
表2

し，周期 T と応答加速度の関係から，応答加速度が最大検討ケースとなる周期を一次固有周期とみなし，本解析での周期を設定した。予備解析より，T=0.8 s 付近で応答加速度が最大となったため，T=0.8 s を標準の周期として設定した。本報では固有周期 T=0.8 s を用いた標準の入力波を波形 Aとし，比較用に T=0.4 s と固有周期帯から外れた周期を持つ波形 B を設定した。10 波入力後，地盤の振動を収束させるため 2 秒間の無加振時間を設けている。
2.4

検討の流れとケース設定

2.2，2.3 で示した手順が，動的応答解析，安定解析の各MCS の 1 回の試行の流れである。この試行を多数回反復する事によって安全率および残留沈下量 δ の確率分布

3．解析結果を求め，整理，考察を行った。本報では，各 MCS の試以下に解析結果をまとめ，考察する。
まず均質ケースの解析結果について，斜面安定解析から得られた安全率は=1.07，動的応答解析から得られた天端左端の残留沈下量は，波形 A（T=0.8 s）では δ=0.62m，波形 B（T=0.4 s）では δ=0.11 m であった。慣性力のみを考慮する斜面安定解析上は＞1 となり，未崩壊という判定であるが，時刻歴応答の累積により変位を得る動的解析上は，波形周期によっては非常に大きい変位が発生する構造物であると言える。
上の結果を踏まえ，MCS から得られた確率分布の傾向
図3について整理する。図 5 に斜面安定解析および動的応答解

G/G 0‑γ および ‑γ 関係

析の MCS より得られた斜面の全体安全率，天端左端の残留沈下量 δ の確率分布をそれぞれ示す。各ケースの分布の平均値 μ，変動係数を併せて示している。

では左側へ，δ では右側の，すなわち斜面の安定性が低下する方向の裾が緩やかに 0 に漸近する分布である。また，各分布の平均値は均質ケースと比較して設計照査上安全側に位置している。この傾向については文献 3）でも確認されている。物性値の不均質性を反映した場合，地盤内に必ず他にせん断強さが小さい力学的な弱部が存在する。
弱部は斜面の不安定化をもたらすため，不均質な地盤を仮定すると均質ケースの値より設計照査上安全側の値となる確率が高くなる。
図4

次に，物性値変動係数

入力波

103の影響について，文献 3）同東急建設技術研究所報 No. 46

図5様，の増加に伴い結果の変動係数

MCS から得られた確率分布が増加し，平均値上： ，下：δのを図 6 に示す。図 6 より，いずれのケースもの低下μ が設計照査上安全側に移動する結果となった。入力物性に伴い残留沈下量 δ は増加する傾向にある。これは既往のの変動の増加が，せん断強さの乏しい局所的弱部の影響を研究の傾向 2)3)と一致する。一方で，任意の強調するためである。逆に入力物性の不確実性が低下すれる残留沈下量には幅があり，帯状に分布している。加えてば弱部の影響は弱まり，より均質に近い分布を得る。この残留沈下量の分布幅は，結果を実施工に当てはめれば，材料物性値のばらつきを減増加するに従い低減する傾向が見受けられる。の値におけが低下するほど拡大し，がじることが出来れば，供用時の不確実性を小さく出来るとこの傾向が得られた要因について，まず同程度の安全率考えられる。その点を考慮すると，物性値の変動係数が解であっても，材料物性の空間的な分布は各試行で異なるた

析値の不確実性に与える影響は大きく，常時，地震時を問め，支配的な崩壊機構および変位量に差異が生まれるのはわず優先的に考慮すべき事項であるといえる。

明白である。加えて，地盤内では複数の破壊が同時に進行次に，入力波の影響について，動的応答解析の結果を考するため，その影響による変位量の差異も発生する。例と察する。周期の差異により，均質ケース同様，固有周期帯して case 2 内で同程度の安全率でありながら，残留沈下に近い周期を有する波形 A を入力した Case 1，2 の分布量が大きく異なる 2 つの試行の結果を示す。図 7 は tan ϕと比較して，波形 B を入力した Case 3，4 の分布の方がの確率場に対し，斜面安定解析より最小安全率を得たすべ平均値は小さくなっている。一方で，分布の変動係数につり円弧（赤線）を加筆したもの，下図は動的解析から得た

いては Case 3，4 の方が Case1，2 よりも大きい。Case 4
では，解析の範囲内で得られた最高値は μ の約 6 倍となる 1.22 m である。それ以外にも μ から大きく外れた値が得られており，これらが変動係数の増加の要因となっている。上記のような結果が発生する原因としては，力学的な弱部が，斜面の表層付近や法尻の周辺など，均質材料を仮定した場合にもすべりの起点になりやすい，構造的な弱部に配置されていることが考えられる。Case 3，4 の場合，入力波の周期の影響によって分布の平均値自体が小さく，上記のような外れ値に分布の性質が左右されやすいため，変動係数が増加したものと考えられる。
次に全体安全率と残留沈下量 δ の相関について，傾向を整理する。横軸に，縦軸に残留沈下量をとったも

図6104‑δ 関係

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加振終了後の八面体せん断ひずみ分布である。どちらもすべり円弧は tan ϕ が小さい局所的な弱部を選択的に通過しているが，すべり円弧の深さ，半径などは異なっている。
δ=2.33 m となった例は，法尻付近から 2 つの明瞭なすべり面が進展しており，複合的な破壊形態を呈している。天端の左端直下では土塊のはらみ出しに伴う引張破壊が発生している。一方 δ=1.09 m となった例は，明瞭なすべり面は 1 つであり，天端付近での引張破壊が発生した領域も小さいことが分かる。上記のような傾向を考慮すると，任意のの値において発生しうる残留沈下量を推定する際，推定値を一意に求めることは困難であると言える。ここで，図 6 の‑δ 関係について，のレベルに応じて解析値を複数の群に分類し，整理した。各群の残留沈下量の平均値，標準偏差，最大・最小値を求め，それぞれ示したものが図 8 である。各群の中心は=(0.4，0.5，0.6，…1.3）

であり，中心から ±0.05 の範囲の値をその中心の値に代表させている。
残留沈下量 δ の平均値，標準偏差はの減少に伴い増加傾向にあり，特に標準偏差は，平均値と比較すると急速に増加している。上記の結果を踏まえると，ある斜面において全体安全率から残留変位量およびその変動を推定するにあたっては，平均値，標準偏差がともにに依存

図7する確率変数として表現するのが妥当と思われる。

tan ϕ の確率場および加振終了後の八面体せん断ひずみ分
布の例

上記議論について，各群における標本数には差異があり，確率分布の最頻値付近では数が多く，端部に向かって

図8‑δ 関係のレベルに応じた δ の平均値，標準偏差，最大・最小値

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東急建設技術研究所報 No. 46減少する。そのため各群の統計量は統一的な基準で比較で分布について，いずれも危険側に裾が伸びる形状を呈きていないが，試行回数が増えたとしても δ の平均値，標する。また分布の平均値は，均質ケースと比較して設準偏差が計照査上安全側にある。の低下に従い増加するという傾向自体に変化は無いものと推察している。

2)

なお，本報で実施した解析は，2 章で述べたように，検と δ には負の相関が認められ，物性値の不均質性により，任意の討の対象をすべり土塊が左側に移動する崩壊に限定している。

る。構造物全体としての崩壊形態の不確実性も含めた検討に対して δ はばらつきを有していの減少に伴い，に対する δ の平均値，標準偏差は増加傾向にある。

については今後の課題とする。

3)2)より，から残留沈下量およびその変動を推定するにあたってはひとつの近似曲線で表現するよりも，4．まとめむしろ平均値成分とランダム成分ともに検討で得られた主な知見を以下に示す。
1)

MCS より求めた全体安全率
謝の値に依存する確率変数として記述するのが自然と考えら，残留沈下量 δ の確率れる。

辞本報の執筆にあたっては群馬大学 若井明彦教授，地層科学研究所 山本優介氏に多くのご指導，ご協力を頂きました。ここに記して謝意を表します。
参考文献
1) EN 1990 : Eurocode 0, Basis of sructural design, 2002.
2) CEN : EN1997‑1 Eurocode 7 Geotechnical Design‑Part 1 : General Rules, 2004.
3) 佐竹亮一郎・若井明彦：材料の不均質性が斜面の安定性に及ぼす影響に関する解析的検討，地盤工学ジャーナル，Vol. 14, No. 2,pp. 95‑109, 2019.
4) 田中博文・山下典彦：地盤強度の不均質性が盛土の耐震安定性指標に与える影響，土木学会地震工学論文集，Vol. 28, p. 5 2005.
5) 建設省河川局治水課：河川堤防耐震点検マニュアル・解説，1995．
6) 星谷勝・石井清：構造物の信頼性設計法，鹿島出版会，1986．
7) 日本道路協会：道路土工盛土工指針（平成 22 年度版），丸善，pp. 119‑127, 2010.
8) Wakai, A. and Ugai, K. : A simple constitutive model for the seismic analysis of slopes and its applications, Soils and foundations,Vol. 40, No. 4, pp. 83‑97, 2004.
9) 石原研而：土質動力学の基礎，鹿島出版会，p. 175, 1976.

STUDY ON THE RELIABILITY EVALUATION
OF THE SLOPE EMBANKMENT SUBJECTED TO EARTHQUAKE
R. SatakeIn this study, as a fundamental study for the introduction of reliability design in the geotechnical engineering, the effect ofthe heterogeneity of the geomaterials on the uncertainty of the durability index of the soil structure was evaluated. Some
Monte Carlo Simulations（MCS), with a slope stability analysis based on the seismic intensity method and a seismicresponse analysis based on the dynamic elasto‑plastic FEM, was performed to evaluate the uncertainty of factor of safety, residual displacement δ, and the correlation of those two. As a result, a negative correlation was found between
as in previous studies, but δ for anyand δ,

was not uniquely determined because it included variations. In addition, means andstandard deviations of δ tended to increase with decreasing. From this fact, it is reasonable to support that δ is a randomvariable described by the sum of the mean component and the random component, and both those components arefunctions withas a variable.

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