土木学会論文集B1(水工学)水工学論文集,第60巻,2016年2月
Vol.72, No.4, I̲859-I̲864, 2016.

土石流水路実験結果を用いた
数値移動床水路による高濃度粒子群と水流の力学的相互作用の検討
INVESTIGATION OF DYNAMIC INTERACTION OF HIGHLY CONCENTRATEDPARTICLES AND FLOW WITH A NUMERICAL MOVABLE-BED CHANNELUSING RESULTS OF A FLUME EXPERIMENT ON DEBRIS FLOW
福田朝生1・福岡捷二2
Tomoo FUKUDA and Shoji FUKUOKA
1正会員

博（工） 中央大学研究開発機構准教授（〒112-8551 東京都文京区春日 1-13-27）
2フェロー 工博 Ph.D. 中央大学研究開発機構教授（同上）This paper presents the applicability of a numerical movable-bed channel as a prediction tool for
dynamic interactions of flow and particle motions. Motions of flow and particles represented in the
numerical movable-bed channel provided a good explanation for vertical distributions of particle velocity
and concentration measured in a flume experiment on debris flow. We investigated effects of particle shapes
and coefficients of contact forces (coefficients of restitutions and resistant friction angles) in the DEM
method on simulated motions of flow and particles. Simulated motions of flows and spheres in the
numerical movable-bed channel by using different coefficients of contact forces were not able to represent
simulated motions of flow and gravel particles. We also studied forces exerted on flow and particles.
Streamwise fluid forces on particles predicted negative values in upper parts and positive values in lower
parts of the debris flow due to variation of magnitude of streamwise buoyancy and drag over the depth.
Key Words : Numerical movable-bed channel, debris flow, volume concentration,buoyancy, drag, gravel shape, solid-liquid multi-phase flow

１． 序論

土石流や洪水時の激しい土砂輸送現象等では，鉛直方向に変化する粒子濃度や水と粒子の速度差の影響を正しく理解することが求められている．主に土石流を対象とした研究において，粒子濃度と粒子群のひずみ速度と粒子間の応力等構成則1)が調べられ，粒子濃度と粒子速度について鉛直二次元の枠組みの中でかなりの程度まで粒子群の挙動を説明できるようになっている．しかし，この枠組みで扱われている現在の土石流の構成則では，水と土砂を同一の速度として取り扱う一流体モデルが用いられている．この考え方は，実用的ではあるが，水と粒子の速度差を取り込むことは難しい状況にある．そのため，水と粒子の運動量と相互作用としての流体力を取り扱える二相流モデルの枠組みで，水流と土砂の相互作用を考慮する必要性が指摘されている2)．しかし，実験では，水と粒子に作用する力や，これらの運動を正しく計測することは困難であり，水流と粒子運動の理解は十分進んでいないのが現状である．
近年，計算機の演算性能の向上を背景に，物体より小さな計算格子を用いた大規模な計算により，物体周りの流れを Euler 的に詳細に解き，解かれた流れ場から物体に作用する流体力を直接求め，物体の運動を個別要素法
を用いて Lagrange 的に解析する固液混相流場の解析法が開発されている3)．固液混相流場の解析法は，実験では計測が困難な水と粒子に作用する力を推定することを可能にするため，この解析法を用いた数値移動床水路4),5)によって，水と粒子の相互作用の力学機構を明らかにすることが期待されている．水と粒子の相互作用を計算
力学的アプローチにより考察するためには，実現象に対する解析結果の適合性の確認，および解析に用いる定数が解析結果に及ぼす感度の把握が必要である．しかし，高濃度で水と土砂がともに流下する場において，粒子速度や局所的な粒子濃度の鉛直分布等粒子群の基本的な運動について，計測値を用いた固液混相流解析法の適合性は確認されていない．
これまでに数値移動床水路を用いた研究では，ほとん

I_859

x3 ( m )濃度
粒子速度
どが球で粒子をモデル化している．しかし，個別要素法
土砂輸送濃度サンプラー0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5による内部摩擦角の検討では，個々の粒子間の摩擦角を0.015
水位▽ h = 0.0139
いくら大きくしても球を用いた解析では，砂の高い内部
d50 = 2.18mm
ϕ = 38.7°0.010
摩擦角は得ることが出来ないことが指摘されている6)．
比重 2.62
qw = 0.0117 m2/s
これらの結果は，粒子が常に接触しながら，かつ比較的
0.005
qs = 0.00284 m2/s
静的に運動している結果であると解釈される．今後，水cf = 0.196
流と粒子運動の相互作用を数値移動床水路を用いて考察
0.000
サンプラーの吞み口の厚さを棒の長さで示し
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
は吞み口の図心を示す．
していくには，高濃度の粒子群と水が激しく作用を及ぼ
速度 ( m/s )し合う場において，水と粒子の運動に接触力の定数がど
図-1 粒子速度，土砂輸送濃度，水深の計測結果のような影響を及ぼすか正しく理解する必要がある．
対象に，実験と同一条件で数値移動床水路を用いた解析
本研究では，最初に伊藤ら1)により固定床土石流水路を行った．Run001 の計測結果を図-1に示す．なお，数実験によって計測された粒子速度と粒子の体積濃度の鉛値移動床は，1ケースに少なくとも数週間を要する大規
直分布の結果を数値移動床水路で解析する．まず，球を模な解析となる．本研究では，Run001の1ケースを解析用いて解析し，接触力に関係する定数として反発係数と対象としたが，今後は，種々の土砂輸送濃度に対する数
粒子間摩擦角を選び，これらの値を変化させた解析を行
値移動床の適合性を検討していくことが重要である．
う．次に，礫形状の粒子のモデルを用いた解析を行う．
解析結果の比較から，接触力に関する定数の変化が，球粒子の解析結果に及ぼす影響を明らかにするとともに，３．数値移動床水路の解析方法
球粒子の解析でこれらの定数を変化させることによって非球形の礫粒子の運動を説明できるかどうかについて検(1) 水の運動の解析法
討する．また，伊藤らの実験結果と解析結果の比較から，
水の運動の解析には，石礫部分を密度の異なる流体と高濃度粒子群と水の相互作用場における水と粒子運動にして取り扱い，固液混相流場の一流体モデルを用いて非対する数値移動床水路の適合性を確認する．最後に実験
圧縮性流れとして解析する．水の運動の解析に用いる連では計測できない粒子間の応力，水と水の応力，粒子に続式，運動方程式は，以下のとおりであり，乱流モデル
作用する流体力を，解析結果を用いて推定し，水流と粒として Smagorinsky モデルを用いている．
子運動の相互作用の力学を考察する．
u i
0
(1)
x i
●

Du i
1 p

 gi 

2    t S ij
Dt x i
x j

２．土石流水路実験の内容

 (2) t  C s   2 S kl S kl
(3)
伊藤ら 1) は，水路長 12 m ，水路幅 0.1 m ，勾配i
ここに u は，流体計算格子内で質量平均した流速であ19°の固定床矩形水路を用いて，水と土砂を定常供給し，り，上付きの指標は，各方向成分を示す，ρ は，格子内土砂輸送濃度 cf が 0.141 から 0.444 まで変化する実験
で体積平均した密度，gi は重力加速度，p は，圧力とを行い，土石流の運動に関する貴重なデータを得ている．
SGS応力の等方成分の和，ν は動粘性係数，S ij は，ひ実験に用いた粒子は一様であり，d50 = 2.18 mm ，内部摩ずみ速度テンソル，Cs は Smagorinsky 定数である．粒
擦角 ϕ = 38.7°，静止堆積層の体積濃度 c* = 0.512，礫粒子に作用する流体力は，混相流体に作用する式(2)の右辺子の比重 2.62 である．水路底面には，実験に用いた礫
第 2 項と第 3 項で評価される応力項に密度 ρ を乗じ，を張り付けている．上流端から定常給水し，水路下流端
粒子部分について体積積分することにより求めている．
から 6 m 地点で土砂を供給している．下流端で採水し，解析法の詳細は，文献5)を参照されたい．
水の単位幅流出量 qw と土砂の単位幅流出量 qs を計測している．下流端付近の流れがほぼ等流となる地点で側(2) 粒子群の運動の解析法
壁からビデオ撮影し，画像解析によって粒子速度の鉛直
数値移動床水路では，小球を隙間がないように連結さ分布を得ている．また，各高さで水と土砂を採水できるせた粒子のモデルを用い，粒子の並進と回転運動は，剛サンプラーを用いて，局所土砂輸送濃度を計測し，土砂体として解析される5)．粒子間の接触力は，粒子を形成
輸送濃度の鉛直分布を計測している．なお，高濃度の実する個々の小球において，バネ，ダッシュポット，摩擦験ケースでは，サンプラーが目詰まりを起こし，局所土
スライダーを用いて解析される．接触する２球間のロー砂輸送濃度は計測されていない．本研究では，土砂輸送
カル座標系で定義される法線方向 (n 方向) と，接平面
濃度の鉛直分布の実験結果と解析結果の比較が重要と考上の直交する２方向（s 方向）のそれぞれでまず，バネ
え，局所土砂輸送濃度が計測されている Run001 (下流とダッシュポットを並列に配置した Voigt モデルによ端で計測された土砂輸送濃度( cf = 0.196 = qs /( qs + qw ) )を

I_860

る力を算定する．バネ定数 k は， Heltz の弾性接触理論に基づき見かけ上，変位と力の関係を線形的に表示した式7)を用いる．ダッシュポットの定数 c は，減衰振動を想定し，反発係数 b と関連づけた式8)を用いる．
1

2
3
 4  r r  
 n Ek    1 2  e2  9  r1  r2   1  pos s1ks0  n 
2 1  pos kn

c n  2hcs  cnh  

m1 m 2kn
m1  m 2

4 
5 

6 
7 

s0

ln b

表-1 解析に用いた定数∆x,∆y,∆z : 流体計算格子サイズ∆t : 流体運動計算時間ステップ∆t’ : 粒子運動計算時間ステップ
ρw : 水の密度
ρs : 粒子密度μw : 粘性係数
CS : Smagorinsky 定数
E : 弾性係数
pos : ポアソン比
ϕp : 粒子間摩擦角
粒子間摩擦角(Case-2)
b : 反発係数
反発係数 (Case-3)
d : 粒径流体計算格子数
粒子数0.545 mm
1.0×10−5s
2.0×10−7s
1,000 kg/m3
2,620 kg/m3
8.9×10−4 Pa·s
0.173
5.0×1010 Pa
0.33
26.6
°
38.7
°
0.70
0.85
2.18 mm101,851,750
304,748※Case-2，Case-3と記載のある項目は，当該ケースのみに使用した値を示す．

8 

 2  ln b 2

d = 2.18mm
d = 2.18mm
ここに上付き添え字の n と s は，それぞれの方向の成Case-4 礫 ϕ = 38.9°, c* = 0.62
Case-1 球 ϕ = 29.7°, c* = 0.60
長径 a a/d = 1.49 Shape Factor
分であることを示し， E は弾性係数，r1, r2 は接触する
Case-2 球 ϕ = 31.2°, c* = 0.61
中径 b b/d = 1.00⁄√
= 0.590
Case-3 球 ϕ = 30.2°, c* = 0.61
２球の半径，pos はポアソン比，m1, m2 は接触する２球
短径 c c/d = 0.72sの質量である．また，接平面上の接触力 f については，
図-2 解析に用いた粒子
Voigt モデルによって算定された力 fv s と法線方向の接まず，著者らの研究5) において用いられた接触力に関
触力 f n および粒子間摩擦係数 μp = tan( ϕp ) を用い，次する定数（表-1参照）と同じ定数を用いた球の解析をの様に摩擦スライダーが作用する条件を考慮する．
行った (Case-1)．次に，同じく球を用い，Case-1 の定数
f s  sign  f vs min f v s ,  p f n(9 )に対し，粒子間摩擦角を 38.7° に増加させた場合
ここに sign(A) は A の符号を示すものとし，min(A, B)(Case-2) ，及び反発係数を 0.85 に増加させた場合は A と B の小さい方の値をとるものとする．
(Case-3)のそれぞれについて解析を行った．粒子間摩擦角の 38.7° は伊藤らの実験に用いた粒子の内部摩擦角と同一の値であり，反発係数の 0.85 は，伊藤ら1)が江頭，
４．土石流水路実験の解析
宮本，伊藤の土石流の構成則を用いて実験結果を説明す(1) 解析条件
る際に用いた値である．また，Case-1 と同じ定数を用
本研究では，伊藤ら1)によって実施された土石流水路
い，球とは異なる礫形状の粒子モデルを用いて数値移動実験を対象に，高濃度の粒子と水が激しく相互作用を及
床解析を行った (Case-4)．
ぼす場に対する数値移動床水路の適合性について検討しCase-4 で用いる礫粒子の形状は，一面せん断試験のた．また，球を用い，粒子間の接触力に関する定数を変解析を行い，内部摩擦角 ϕ の解析結果が実験において化させたケースと，礫形状粒子を用いたケースについて計測された内部摩擦角 38.7° にできるだけ一致するよう解析を行った．接触力に関する変化させた定数として，に９つの小球の配置を調整し，決定した．なお，礫粒子
法線方向の力に対する接平面上の方向の力の限界値を既の体積は，直径 2.18 mm の球の体積と等しく設定した．
定する粒子間摩擦角 ϕp と，エネルギー減衰を既定する
図-2 に本研究で用いた粒子モデルと一面せん断試験の反発係数 b を選定した．これらの解析結果と実験結果解析によって得られた内部摩擦角 ϕ の値を示す．球のの比較から，球を用い接触力に関する定数を変化させる
内部摩擦角は，粒子間摩擦角，反発係数を変化させてもことで，非球形の礫群の運動の解析可能性を調べた．
30° 程度の値となる．静的な粒子運動においては，球の解析に用いる水路の水路長は，実験において土砂が流場合，粒子間摩擦角を増加させても内部摩擦角は 30°
下した区間の 6 m とし，水路幅は実験と同様に 0.1 m程度に収束するというMaeda6) らの結果と一致している．
とした．実験水路底面には，実験に用いた粒子を張り付けている．解析においても同様に水路底面に粒径 2.18
(2) 解析結果と実験結果の比較
mm の球を張り付けた．解析では，流下方向に周期境界解析結果の各ケースについて粒子速度，体積濃度，流条件を与えることにより等流状態をつくり，等流の土石
速の鉛直分布と，実験結果の粒子速度と体積濃度の鉛直流の運動が計測されている実験結果と解析結果の比較を分布の比較を図-3 に示す．これらは，水路中央線沿い行った．解析の初期水深は，実験水深 0.0139 m を与えの縦断距離
6 m の解析平均値であり，粒子と水の速度た．初期に計算領域内に投入する粒子は，解析領域内のおよび粒子の濃度分布がほぼ変化しなくなった値を示し粒子の体積濃度が実験土砂輸送濃度 cf = 0.196 に一致すている．図-4 は球を用いた解析結果の代表としてるようにランダムに投入された．





I_861

0

0.1

濃度
0.2 0.3

0.4

0.5 0

0.1

濃度
0.2 0.3

0.4

0.5 0

0.1

濃度
0.2 0.3

0.4

0.5

0

濃度
0.2 0.3

0.1

0.4

0.5

0.015

0.010
x3 ( m )x3 ( m )

0.015

0.005

0.000

粒子速度（実験）
粒子速度（解析）
土砂輸送濃度サンプラー（実験）
土砂輸送濃度サンプラー（解析）
土砂濃度分布（解析）
水位（実験）
水位（解析）
流速（解析）

0.010

0.005

0.000

0.0

0.5

1.0 1.5 2.0
速度 ( m/s )Case-1 球

2.5 0.0

0.5

1.0 1.5 2.0
速度 ( m/s )2.5 0.0

Case-2 球 粒子間摩擦角 38.7°

0.5

1.0 1.5 2.0
速度 ( m/s )Case-3 球2.5

反発係数 0.85

0.0

0.5

1.0 1.5 2.0
速度 ( m/s )2.5

Case-4 礫

図-3 粒子速度，粒子濃度，水速度の鉛直分布

流出量 ( m3/s )Case-1 と礫の解析結果として Case-4 の粒子の移動と水面の状況を示す．図には，本研究の座標軸の定義も示されている．粒子間摩擦角が異なる Case-1 と Case-2 のx3
x32
結果はほぼ同様の結果を示している．粒子が静的にせん
x2x
断変形する場では，球の場合，粒子間摩擦角を増加させ（礫 Case-4）
x1
x1 （球 Case-1）ても回転に対する抵抗は増加しないことが指摘されてい図-4 解析結果の粒子と水面の状況
る6)が，離散的に衝突し合う場でも，同様の状態になっ0.0015水粒子ていると考えられる．また，反発係数が異なる Case-1
0.0010と Case-3 の結果もほとんど変わらなかったことから，
0.0005対象とした実験条件では，粒子間の衝突よりも，流れに0.0000よるエネルギーの散逸が支配的となっていることが推定
case1
case2
case3
case4
実験
図
5
水と土砂の流出量される．一方，礫を用いた Case-4 の解析結果は，球を用いた解析と比較すると，水と粒子の速度と粒子濃度の値移動床水路は，土砂輸送濃度が 0.2 程度の高濃度の3
鉛直分布が異なっている．x = 0.002 m の底面の粒子濃粒子群と水が相互作用する場において，上述の課題もあ度に着目すると，礫の方が球よりも小さくなっている．
るものの，水と粒子の運動を概ね説明できることが確認
これは，図-4 に示す様に，礫の場合は，下流の粒子のできた．今後は，異なる土砂輸送濃度条件に対しても数回転が，接触する上流の粒子を持ち上げる効果等があり， 値移動床水路の適合性を検討することが重要である．
礫は球の様に底面で水平に移動できず，球ほど密集できないためである．これより，礫粒子の水流中の運動は，
５．水と粒子群の応力と流体力の鉛直分布
球粒子間の反発係数や，粒子間摩擦角を変化させただけ
では，説明できないことがわかる．
本章では，前章までの数値移動床水路の解析結果を用実験値との比較で見ると，解析粒子速度は，球の場
いて，実験では計測することが困難な水と粒子に作用す
合，実験結果に対しやや小さく，礫の場合大きくなってる力を推定し，水と粒子の相互作用について考察する．
いる．粒子濃度は，実験値に対し下層でやや大きめに解従来の土石流の構成則例えば1)は，混相流として一流体の析されている．これは，計算に用いた球と礫の静止堆積枠組みで検討されており，水と粒子の相互作用としての層の体積濃度 c* はどちらも 0.6 程度と，実験の c* =流体力は式上表れず，粒子に作用する流体力について十0.512 に対し，大きいことが要因として考えられる．ま分な検討がなされていない．水と粒子の相互作用を説明た，粒子速度は球と礫で異なるが，体積濃度の鉛直分布するためには，流体力を考察し，水と粒子の個々の相のは球と礫である程度近い分布形となっている．体積濃度速度を取り扱う二相流モデルの構築が重要である．本研
は，c* に密接に関係すると考えられるが，解析では，c*
究では Euler 型の二相流モデル構築の基礎段階として，が球と礫で近い値であり，また c* は実験値に設定でき
二相流モデルの構成則で必要となる流体力および，水とていない．粒子運動に及ぼす c* の影響について，今後
水，粒子と粒子の応力の鉛直分布を，数値移動床解析結さらに調べる必要がある．
果を基に調べ，水と粒子がどのような力を受け運動して図-5 には，実験において下流端で計測された水と粒いるのかを明らかにする．ここでは，実際の粒子形状に子の流出量と，解析の流出量の比較を示す．球の場合，近い礫粒子の結果 (Case-4) を用いて検討する．
水と土砂の流出量は，ともに実験に対し小さめに，礫の場合は，大きめに算定されているも．しかし，両解析結(1) 水と粒子の応力の鉛直分布
果ともに実験値に近い値を示している．これらの解析結
Euler 的表記における水と粒子のそれぞれの連続式と，運動方程式は，次の様に表される2)．
果は，球も礫も概ね実験値を捉えている．これより，数I_862

0.010

0.005

0.000
0

50

100
( Pa )

150

図-6 応力の鉛直分布σ33

200

0.015

0.015

σg31
σw31
σm31

0.010

0.005

20

40
( Pa )

60

0.000

80

-2,000

図-7 応力の鉛直分布σ31   u

 0
t
x i

fb1 式 (15)

0.005

0.000
0

fg1

0.010

x3 ( m )

σg33
σw33
σm33

x3 ( m )x3 ( m )

0.015

0

2,000
( N/m3 )4,000

1

図-8 x 方向流体力の鉛直分布

i

(10 )

σw31up σ 31粒子     u i     u i u j
  ji    g i  f i (11 )
j
t
x
x j

w up

水

σw31down

ここに β は，水と粒子の相区別を示し，水の相の場合
は w ，粒子の相の場合は g である．α は体積割合，ui
は i 方向平均速度，σji は応力テンソルで応力と平均速度 ui による移流では表すことが出来ない乱れによる運動量交換も含む．f i は粒子と水の相互作用を表す流体力
であり，fgi = − fwi の関係にある．伊藤ら1)の実験はほぼ等流状態で行われたことから，等流と仮定し左辺項をゼロと置く．この仮定のもと，式(11)を，応力を求める位置から水面 ( x3 = x3s )まで積分し，次式により各高さ x3の粒子群に作用する応力を解析結果から算出した．

σw31down
σw31up − σw31down < 0 のとき
fb1 < 01x3
σw31upσw31down
x1, σw31

図-9 x 方向の拡張浮力の模式図

体力を考察する．図-8 には，解析結果より得られた単位空間の粒子に作用する流体力 fg1 の鉛直分布を示す．
図-3 に示す Case-4 の x3 = 0.007 m 付近の流下方向の粒子速度と流速の関係を見ると，ほぼ同一かやや水の方が大きな速度を示している．しかし，図-8 に示す当該地点の粒子に作用する流体力は，下流向きではなく，上流向きを示している．このことより，水と粒子の速度差だ
けでは，水流中の粒子に作用する流体力を見積もることx 33       g 3  f 3 dx 3(12 )が出来ない場合がある．
x
x
Armanini2)らは，流体力 fgi を構成する力のうち，粒子31113        g  f  dx(13 )xと同一体積の水塊が水の応力によって受ける力が粒子になお，数値移動床水路において体積割合と相互作用力は，も作用するとし，その力を以下の式で表している．
それぞれ各計算格子と各粒子で求められ5)既知量であり，
  wji
f bi   g(14 )αβ，fβi には同一 x3 の空間平均値を用いた．水と粒子のx j
応力の算出結果を図-6 および図-7 に示す．水と粒子を
上式は，清水中の静止粒子に対しては，等方応力の効
区別せず混相流と考えた場合の応力 σmji ( = σgji + σwji )も図
果のみとなり，浮力に一致するが，運動中では，偏差応に示した．水路に垂直方向の水の直応力 σw33 分布は，力の効果も含む．ここでは，等方応力だけでなく偏差応
ほぼ直線であり，底面圧力は静水圧と仮定した場合の水力にまで拡張したものとして，拡張浮力と呼ぶ．
圧 129 Pa ( = ρw g h cos(19°) )に近い値を示しているた本研究で対象とする流れは等流状態にあるため， x3
め，水の圧力分布は，ほぼ静水圧分布となっているこ
方向のみの差分を考えれば式(15)となる．
とがわかる．一方，せん断応力を見ると，水のせん断応  w311
f(1 5 )bg
x3
力 σw31 は，底面に向かって x3 = 0.005 m 付近で減少に
上式によって，得られた拡張浮力の分布を図-8 に示す．
転じている．これは，次節で示す様に，水はこの地点で式(15)は，図-9 に示す様に，水と同様に粒子が下面と上x1 の負の方向に粒子群から大きな流体力の反力を受け
31
面で水からせん断力を受け，その差が拡張浮力として粒ている．そのため，当該地点の水には，せん断応力 σw子に作用することを表している．図-8 の傾向を見ると，の x3 方向の差と重力が流下方向に作用し，上流向きの
x3 = 0.005 m から 上部では，ほぼ式(15)によって見積も大きな流体力の反力と釣り合っている．また，固定床上られる拡張浮力と粒子に作用している流体力は一致しての土石流の場合，下部の方が濃度が低くなる濃度の逆転いる．これらの考察より，粒子の濃度が比較的小さな現象が起こることが知られている1)．本研究でも x3 =x3 = 0.005 m から上部では，拡張浮力により粒子は上流
0.003 m 以下で同様の傾向を示している（図-3 Case-4
方向に力を受けながら流下しているといえる．また，濃参照）．そのような地点では，底面に向かって粒子のせ度が高い x3 = 0.005 m 以下の領域では，式(15)の拡張浮ん断応力の増加は鈍くなり，それを補うように水のせん
力では表現できない速度差による抗力等により，粒子は断応力は増加する傾向があることがわかった．
流下方向に力を受けていると考えられる．これらの考察
より，水と粒子が混合して流れる場合，鉛直位置に応じ(2) 粒子に作用する流下方向の流体力と拡張浮力の鉛直て粒子に作用する流下方向の流体力の向きが変化する複分布
1
雑な場が現れることが示された．
本節では，粒子に作用する流下方向（x 方向）の流
3
s

3

3
s

3

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0.0152) 球を用い，個別要素法の粒子間摩擦角（ 26.6° と38.7° ）および反発係数（ 0.7 と 0.85 ）を変更させ0.010
水
た解析，および礫形状の粒子（粒子間摩擦角 26.6°，
混相流
0.005
反発係数 0.7 ）を用いて解析を行った．この結果，球では，反発係数と粒子間摩擦角を変化させても解析結
0.000
0
10
20
30
40
50
60
arctan( σ / σ ) ( ° )果に大きな差は見られず，球と礫では，粒子と水の速図-10 直応力σ33とせん断応力σ31 の関係
度や濃度について異なる傾向を示した．これより，数値移動床水路を用いて，非球形の実際の礫群の水流中(3) 粒子の直応力とせん断応力の比率の鉛直分布（運動の運動を説明するためには，球群を用い，粒子間摩擦
中の摩擦角の鉛直分布）
ji1),2)
角や反発係数を調整するだけでは不十分で，礫形状を土石流の構成則 では，粒子間応力 σg は，クーロ
正しくモデル化することが重要である．
ンの破壊基準に従う応力（クーロン応力と呼ぶ）と，衝
3) 粒子に作用する流下方向（x1 方向）の流体力の鉛直突により生じる応力（衝突応力と呼ぶ）の合計として推分布を数値移動床解析結果から推定した．粒子と同一定される．クーロン応力と衝突応力の比は，粒子濃度と体積の水塊が水から受ける力を拡張浮力とすると，粒ひずみ速度等を用いて決定され，せん断応力と直応力の子の濃度が小さい上部では，粒子は，水のせん断力差
関係を示す運動中の摩擦角 θf ＝arctan( σ31/σ33 )もこれらによる拡張浮力によって上流向きに流体力を受けていの変数で決まる．土石流の構成則では，直応力およびせた．また，濃度が大きい水路底面付近では，拡張浮力ん断応力自体がモデル化の対象であり，運動中の摩擦角では説明できない水と粒子の速度差に起因する抗力等は構成則から求まるものの，濃度やひずみ速度との関係
によって，粒子は下流向きに力を受けており，粒子にについて十分な検討がなされていない．しかし，鉛直方
向に濃度が変化する中の粒子運動の特長を捉える上では， 作用する流下方向の流体力は，鉛直位置によって向きを変える複雑な分布となることが明かとなった．
運動中の摩擦角に及ぼす粒子濃度の影響を理解することは重要である．図-10 には，解析より得られた運謝辞：本研究を行うにあたり，ICHARMの江頭進治先生，
動中の摩擦角 θf の鉛直分布を示す．参考に水の摩擦角
日本工営株式会社の伊藤隆郭氏に貴重な土石流水路実験も示した． x3 = 0.07 m より下部の濃度が高い底面付近
データをご提供いただいた．ここに記して謝意を表する．
では，粒子の運動中の摩擦角 θf は，45° 程度であり，一面せん断試験の摩擦角 ϕ =38.9° よりも大きな値を示
参考文献
しているもののほぼ一定であり，クーロンの関係に近い
31) 伊藤隆郭，江頭進治，宮本邦明，竹内宏隆：土石流の固定床状態である．一方，x = 0.07 m より上部で粒子の濃度がから移動床流れへの遷移過程に関する研究，水工学論文集，
0.25 を下回ると（図-3， Case-4 参照）運動中の摩擦角
第43巻，pp.635-640, 1999.
θf はさらに増加し，50° 付近まで増加している．これよ2) Armanini, A., Larcher, M., Nucci, E. and Dumbser, M.: Submerged
り，粒子の運動中の摩擦角 θf は，粒子の濃度が高い場
granular channel flows driven by gravity, Advances in Water
所ではクーロンの法則に従い概ね一定となり，濃度が小, 63, pp.1-10, 2014.
Resources
さくなると増加する傾向が明かとなった．
本章では，高濃度粒子群と水流の相互作用場において， 3) 牛島省，福谷彰，牧野統師 : 3次元自由水面流中の接触を伴う任意形状物体運動に対する数値解法，土木学会論文集B,
粒子と水の応力と流体力の鉛直分布形を数値移動床水路
Vol.64, No.2, pp.128-138, 2008.
の解析結果から推定した．今後は，種々の流れ場で水と
4) 原田英治, 鶴田修己, 後藤仁志 : 混合粒径シートフロー漂砂
粒子の応力と流体力を調べ，水流と粒子運動の関係を検の鉛直分級過程の固液混相型LES, 土木学会論文集（海岸工討し，二相流の枠組みで構成則を構築する必要がある．
x3 ( m )

粒子

31

33

学）, Vol. 67, No. 2, pp.I_471-I_475, 2011.

5) 福田朝生, 福岡捷二, 内田龍彦 : 移動床数値実験水路を流下

６．結論する石礫粒子群の三次元運動, 土木学会論文集 B1（水工学）, Vol.69, No.4, pp.I_10151- I_1056, 2013.
1)6) Maeda, K. and Hirabayashi, H.: Influence of grain properties on
本研究では，伊藤ら によって実施された土石流水路
macro mechanical behaviors of granular media by DEM, Journal of
実験を対象とした数値移動床水路の解析とその考察より，Applied Mechanics, Vol. 9, pp. 623-630, 2006.
以下の主要な結論を得た．
7) 後藤仁志 : 数値流砂水理学, pp. 160-163, 森北出版, 2004.
1) 数値移動床水路により，球と礫形状の粒子を用い，
8) 川口寿裕, 田中敏嗣, 辻裕 : 離散要素法による流動層の数値
土砂輸送濃度が 0.2 程度の高濃度の土石流水路実験をシミュレーション（噴流層の場合）, 日本機械学会論文集,
対象に解析した結果，両解析結果は，実験結果の粒子
Vol.58, No.551 B, pp.2119-2125, 1992.
速度と局所土砂輸送濃度の鉛直分布および水と土砂の（2015.9.30受付）
輸送量を概ね説明出来ることを示した．

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