平成  年  月  日

九州大学工学部地球環境工学科船舶海洋システム工学コース

海事統計学 定期試験問題（１／３）
答案には導出過程を記述すること。

問題１
確率 で    、確率 で    となる確率変数  の確率分布は、ベルヌーイ分布と呼ばれている。

このとき以下の問に答えよ。
【 問１１】（  点）
上記のベル ヌーイ分布に従う確率変数  の期待値、および分散を（  点）【 問１２】を用いて示せ。

     と表す。
     を定義すると、ベル ヌーイ分布に従って独立な試行を  回行い、その結果を   
ここで 、この確率変数を全て合計した新たな確率変数   

 は二項分布  に従うことが知られている。二項分布  の期待値、および分散をと  を用いて示せ。

（  点）【 問１３】二項分布  の確率分布を式で表せ。

（  点）【 問１４】
上記の確率変数  の確率分布は 、合計するベル ヌーイ分布の個数  を大きくすると正規分布へ近づく。
この現象について説明した法則または定理の名称を答えよ。
【 問１５】（  点）     を求の  が大きい場合に正規分布で近似できる性質を利用し 、正規分布表から近似的に求確率変数  が二項分布    に従うとき、 が  以上  以下の値をとる確率 めよ。ただし 二項分布  めよ。

問題２
ある確率変数  が以下の確率密度関数に従うとき、 の期待値および 分散を求めよ。ただしパラメータ（  点）

  である。

 

問題３あるメーカーのロープについて、破断にいたる荷重を調べたところ、 回の試行における破断荷重の平均  トン，不偏分散   であった。破断荷重が正規分布に従うと仮定すると、平均値  のとりうる値を信頼係数  ％で区間推定せよ。分布表からの読み取りの有効数字は２桁でよい。
（  点）平成  年  月  日

海事統計学 定期試験問題（ ２／３）

問題４以下の表は 、ある類似船型の貨物船  隻において  年間にバルブの故障が発生した件数を表している。
このとき以下の問いに答えよ。
船の番号

年間故障発生件数

【 問４１】（  点）
１隻あたり１年間で発生するバルブ故障の平均件数を計算せよ。

【 問４２】（  点）

年間に発生する故障の発生件数  の確率   をポアソン分布     のモデルで説明したい。

船の番号  における年間故障発生件数を  と表す。このときポアソン分布によるモデルの対数尤度を  を用いて式で示せ。

【 問４３】（  点）
問４２の対数尤度を最大化するはど のような値か？

 を用いて式で示せ。

【 問４４】（  点）
表に示されたデータを最も尤もらし く説明するポアソン分布モデルのはど のような値か？

表のデ ータから計算して示せ。

【 問４５】（  点）表に示されたデータがポアソン分布に従っているといえるかど うか検定したい。ど のような検定方法が考えられるか検討せよ。また検定方法が使えないなら 、その理由を述べよ。

【 問４６】（  点）
ポアソン分布と指数分布の関係について説明せよ。

平成  年  月  日

海事統計学 定期試験問題（ ３／３）

問題５
以下は   年代の自動車の要目と燃費についてのデ ータである。
車種＼要目 モード 走行 クラウン マーク    カムリ  ソアラ  

セド リック  ローレル  スカイライン レパード

  



カペラ  

ギャラン   



ルーチェ ？



ただし 要目  については 、 車体重量 トン ），：減速比，：幅×高さ  ，：最大出力  ，：最大トルク  ，：圧縮比【 問５−１】（  点）上記のデ ータのうち、ルーチェの  モード 走行の値が不明であるので 、他の車のデータを利用して多重回帰を用いて推定したい。
上記の表データの数字を用いて式を作り、ルーチェの燃費推定の計算手順を説明せよ。

【 問５−２】（  点）多重回帰による推定において問題となる多重共線性とは何か 、ど のようなデ ータを扱うと生じ るかについて説明せよ。

海事統計学 平成  年度定期試験問題（  年  月  日実施）解答
問題１解答【 問１１】（  点） 期待値  分散

【 問１２】（  点） 期待値   分散  【 問１３】（  点）        

【 問１４】（  点） 中心値極限定理
 は標準正  より、   となる標準正規分布    に従う  の確率を正規分布
     
規分布    に従う。よって、     の面積（ 確率）は         の面積（ 確率）は   より、求める確率は表から読み取ると、      （  点）二項分布    の期待値    分散  【 問１５】問題２ 解答【 指数分布の期待値と分散】（  点） 指数分布の期待値は  、分散は  （ 導出は講義資料を参照）

問題３ 解答【 正規分布の区間推定】（  点） データ数    より自由度  の  分布表から面積が  となる区間を読み取らなければならない。しかしデータ数が  以上であれば 、 分布は正規分布で近似できるので、正規分布表から読み取ると、 〜  である。 分布表の自由度  で  自由度   で  なので 、おおよそ  とすると、信頼区間は    すなわち     となる。

問題４解答
【 問４１】（  点）（  点）【 問４２】
【 問４３】（  点）

       

この方程式を【 問４４】（  点） 問４−３より、標本平均に等しいので

   

よって １件／年

 について解くと

 【 問４５】（  点） 正規分布でも比率の分布でもないので 、それらの平均値や分散を検定する方法は使えない。
カイ２乗分布を使ったあてはまりの検定は 、期待度数を５以上にしなけれならないが 、それができないので使えない。
また!" 検定はデータ数が  より大きくないと使えない。よって講義で扱った検定方法はど れも適用できない。

【 問４６】（  点） ポアソン分布における発生時間間隔は 、指数分布に従う。事象の発生時間間隔を  としたとき、指数分布の確率密度関数はラメータ

 で表される。このときの指数分布のパラメータ

 の値はポアソン分布のパと同一になる。

問題５解答【 問５−１】（  点） モード 走行  を  とし 、各要目の値        を変数（ 説明変数）とし て以下の多重回帰によって説明する：
      

ただし         は回帰係数、 は確率変動（ 誤差）である。 ここで 、表のデ ータを用いて、回帰係数

        を求める。行と列を間違えないよう注意しながら表のデータを行列に変換すると、以下のようになる：                                                                                        

【 注意１】行列にルーチェのデ ータを含めないこと【 注意２】行列  の１列目の要素はすべて と表すと 、   とした場合の誤差ベクトル  の平方和を最小にする回帰係数  は以下の式で与えられる：    
ルーチェの要目を          を使って   #

# 

# 

#

#

            へ代入し 、上で求めた回帰係数
#  #  よりルーチェの  モード 走行  の推定値 # を得る。
【 注意３】この推定時の式には誤差 は入れないこと【 問５−２】（  点） 説明変数       について 、任意の定数         を用いて関係式          に近い関係が成り立つとき、データは強い多重共線関係（ 多重共線性）があるという。このとき回帰係数ベクトルを求める逆行列計算が不安定になり、無意味な解が出やすい。

本試験問題および 解答に疑問がある場合は， 月  日（ 火）午後

Ｗ２号館６３４号室の木村まで申し 出ること。

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時までに，



 年度 海事統計学 解答用紙
紙面が足りない場合は裏面も使用すること。

学籍番号＿＿＿＿＿＿＿＿氏名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿