20140417 ver.01
2013年のJST CREST数理道場での石原さんの発表を改訂	

力のベイズ推定石原 秀至 (明治大学 理工)
杉村 薫 (京都大学 iCeMS)

個体発生とは① 体の空間情報をもとに② 細胞が増殖•分化しファイルサイズが大きくなるので削除	

③ 組織が変形する
アフリカツメガエルの初期発生 (David Shook)

力は細胞に作用し、細胞と組織の変形を引き起こす

個体発生とは① 体の空間情報をもとに② 細胞が増殖•分化しファイルサイズが大きくなるので削除	

③ 組織が変形する
アフリカツメガエルの初期発生 (David Shook)

機械的な力がどのようにして正確で頑健な生き物の形づくりを支えているのか？	

4. 組織形態形成

3. 組織応力の時空間マップ

2. 細胞の動態と物性

1. 分子の活性、局在Model system: Epithelial sheet (上皮シート)

アクトミオシンカドヘリン(接着分子)	

•	  シート状の組織(２次元的)	  •	  アクトミオシンと細胞接着分子を介して	  細胞が接着	  キイロショウジョウバエ	Model system: Epithelial sheet (上皮シート)

アクトミオシンカドヘリン(接着分子)	

アクトミオシンのレーザー切断実験“収縮的”	

張力

圧力

アクトミオシンカドヘリン	

細胞質

5	  µm

細胞のおしあいへしあい

アクトミオシンカドヘリン(接着分子)	

h)p://www.houseo3apan.com/	

張力

圧力

アクトミオシンカドヘリン	

細胞質

細胞組織内の力場
レーザー切断法
細胞接着面の張力 頂点が離れる速度
cut!	

欠点: 侵襲的, 局所的	
上皮組織	

アクチン
ミオシン
細胞接着分子Force？
張力	

圧力	

力の時空間マップの定量化手法がなかった	I. ベイズによる力推定手法(Ishihara and Sugimura, JTB 2012, Ishihara et al. EPJE 2013, Sugimura et al. IEEE
EMBC 2013)	
T1
P3

P1
T2

T3

P2

Tension Pressure

An image of cells-0.2

ΔPressure0.150.4Tension

1.6

F 1	
F 2	

F1cosθ1+F2cosθ2+F3cosθ3=0F1sinθ1+ F2sinθ2+F3sinθ3 =0	F 3	h)p://kids.wanpug.com/	

F2/F1 F3/F1

Force balance equations

Tij ΔPi組織の力推定(アウトライン)	
Input: 細胞の画像		

20 µm	点の位置	v1(x1, y1),v2(x2, y2), 	
F 1	

各点での力の釣り合い方程式	  α 1x T1 + α x2T2 + α x3T3 + β 1x P1 + β x2 P2 + β x3 P3 = γX˙ 0
α 1y T1 + α y2T2 + α y3T3 + β 1y P1 + β y2 P2 + β y3 P3 = γY˙0x −x
T1x = 1  0 × T1x1 − x 0

Ap =€ γV€€P1x =pressure & tension	

・ 張力 T1 によるx方向の力	

drag	€∂U ∂ 01x −x
T =−= 1  0 × T1 = α 1x T1∂ 01 ∂x 0x1 − x 0x
1€cosθ1	F 2	θ1	y 2 − y1
× P12

p = (T1 ,TM ,P1,,PN ) 
V = x˙

F 3	

F1cosθ1+F2cosθ2+F3cosθ3=0F1sinθ1+ F2sinθ2+F3sinθ3 =0	

・ 圧力 P1 によるx方向の力	

∂U ∂A1 y 2 − y1
P =−=× P1 = β1x P1∂A1 ∂x 02x1

組織の力推定(アウトライン)	
Input: 細胞の画像		

20 µm	点の位置	v1(x1, y1),v2(x2, y2), 	各点での力の釣り合い方程式	  α 1x T1 + α x2T2 + α x3T3 + β 1x P1 + β x2 P2 + β x3 P3 = γX˙ 0
α 1y T1 + α y2T2 + α y3T3 + β 1y P1 + β y2 P2 + β y3 P3 = γY˙0x −x
T1x = 1  0 × T1x1 − x 0€€

P1x =
Ap =€ γVpressure & tension	

drag	y 2 − y1× P12
p = (T1 ,TM ,P1,,PN ) 
V = x˙AApp == γγVV ≅ 0€

係数行列細胞の形態から決定可能	€未知数
張力(T) & 圧力(P)ドラッグ

準定常状態近似細胞は釣り合いの位置の近くをゆっくりと動く組織の力推定(アウトライン)	
Input: 細胞の画像		

20 µm	点の位置	v1(x1, y1),v2(x2, y2), 	

条件数
2 x (# of vertices)	

各点での力の釣り合い方程式	  x −x
T1x = 1  0 × T1
x1 − x 0

€
€

P1x =


Ap =€ γVpressure & tension	

drag	y 2 − y1
× P12

p = (T1 ,TM ,P1,,PN ) V = x˙
Ap = γ V€€N	  x	  M行列	  A	  は正則ではない;	  N	  <	  M	<	α 1x T1 + α x2T2 + α x3T3 + β 1x P1 + β x2 P2 + β x3 P3 = γX˙ 0
α 1y T1 + α y2T2 + α y3T3 + β 1y P1 + β y2 P2 + β y3 P3 = γY˙0

未知数(# of cells) (P)+(# of edges) (T)	

不定性の数
R1■ 細胞数(C), 点の数 (V), 接着面(線)数(E)C = N + R, V = v + R, E = e + 2R

2 3
1 2 3

■ トポロジーによる拘束: オイラーの関係式
v–e+N=1N■ 点の数と接着面の数の関係
e = 3(v-f)/2 + 2f (f:	  4連結点の数)	

未知数 (C + E) = 4N – f + 3R – 3
条件数(2V)= 4N – 2f + 2R – 4

R + f +1 の不定性	

不定性の物理的解釈
R

12 3
1 2 3

R + f +1 の不定性
Nn	  1:	   静水圧	圧力の相対値を推定	Apiso = 0, piso = ( 0,,0,1,,1)0固有ベクトル	T = 0	Pi = cpi + phs,T j = ct j

P = 0	n	  R:	  境界条件
Less significant as N increases	 €n	  f	  :	  4連結点逆問題による定式化	

逆問題■出力から入力を推定	  ■様々な分野で現れる	  □	  EEG	  (脳波測定)	  	  	  □	  表面波からの物体内部構造推定	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  (例:	  地震波からの地球内部構造の推定)	  □	  物体表面温度からの熱源推定問題	  	  	  	  	  	  	  □	  “Vision”:	  	  ２次元画像からの３次元構造構築	  ■多くの問題が“ill-­‐deﬁned”	  	  	  	  	  	  □	  条件が足らず、解が一意的に決まらない 	
ベイズの定理が逆問題の理論的基盤を提供する	  ベイズ推定■	  ベイズの定理	  事後分布	

尤度関数	  事前分布	  P(B|A) ∝ P(A|B)π(B) 	
A:	  観測データ B:	  推定する物理量,パラメータ	

P(力|形) ∝ P(形|力)π(力) 	
形: 細胞形態 力:	  圧力(P),	  張力 (T)ベイズ推定事後分布	

尤度関数	  事前分布	  P(力|形) ∝ P(形|力)π(力) 	

ベイズ推定事後分布	

事前分布	  尤度関数	  P(力|形) ∝ P(形|力)π(力) 	
 2⎞
⎛ 1
P(S | F) ∝ exp ⎜ − 2 Ap − γ V ⎟尤度関数	 P(形|力)	
⎝ 2σ⎠
p

事前分布	

力の釣り合いAp = γ V + ξ 	noise/error	

' 1*  2π ( p) ∝ exp)) − 2 ∑ (Ti − T0 ) ,,δ ( p • piso )( 2ω edge+正の張力

静水圧効果を無視	するための因子	

レーザー切断実験	

€0 sec	15 sec	

30 sec	

T0 > 0	正則化最小二乗法(1/ω2=λ/σ2)

事後分布関数	⎡ 1 ⎧⎪   22⎫⎪⎤  exp ⎢ − 2 ⎨ Ap − V + λ ∑ (Ti − T0 ) ⎬⎥ δ ( p • piso )P(力 |形) ∝ 	p⎪⎭⎥⎦edge⎢⎣ 2σ ⎪⎩

事後分布P(力|形)が最大となる力(張力•圧力)の値を推定値とする(事後確率最大推定,MAP推定)= Minimization of

22F(p) = Ap − V + λ ∑ (Ti − T0 )edge

フィッティング	

正則化項：系に対する期待	

正則化最小二乗法	→ 解が一意的に決定	ウェイトの決定

F(p) = Ap − v + λ ∑ (Ti − T0 )
22

edge

フィッティング	

正則化項:	  系に対する期待	■ハイパーパラメータ	⎡ 1 ⎧⎪   22⎫⎪⎤  P(F | S) ∝ exp ⎢ − 2 ⎨ Ap − V + λ ∑ (Ti − T0 ) ⎬⎥ δ ( p • piso )P(力|形)	
⎪⎭⎥⎦edge⎢⎣ 2σ ⎪⎩■	  σ2,	  μ	  を辺尤度最大化により決定する (ベイズの利点!)	()LII σ 2 , λ = ∫ P(S | F)π (F) dF□	  ‘フィッティング’	  と	  ‘正則化’	  のバランスをとる	  □	  経験ベイズ	  組織の力推定(アウトライン)	
Input: 細胞の画像		

C1 2 320 µm	

1
R 1 23点の位置	
v1(x1, y1),v2(x2, y2), 	

C1 2 3

N + R cells
e + 2R edges
e = 3(v + f )/2 - f
v-e+N=1

1
R 1 23P(p|b)
R + 1 + f P(b|p)
indefinitenessT(p) eN

α 1x T1 + α x2T2 + α x3T3 + β 1x P1 + β x2 P2 + β x3 P3 = γX˙ 0
C2 Inverse problem
α 1y T1 + α y2T2 + α y3T3 + β 1y P1 + β y2 P2 + β y3 P3 = γY˙0€€P(p|b)y − yP(b|p)
Px =1Posterior
distributionAp =€ γVpressure & tension	

drag	212×P

1
LikelihoodT€(boundary + Phs + four-way j)
Prior
Likelihood
Posterior
distribution(p) exp 2 1 Ap bPriorp = (T1 ,TM ,P1,,PN ) 
V = x˙

Output:	  	  圧力、張力の相対値	
€ΔPressure	v +NR vertices
f four-way junctions
equality for e,v, and f
topological constraint

C2 Inverse problem各点での力の釣り合い方程式	  x −x
T1x = 1  0 × T1
x1 − x 0

N+Re+2e = 3(v-e+Tension	

22

exp

Force balance
0”	

2

1

2

[ij ](TijTc)

2

Positive tension
15”	30”	Test using artificial data

人工データによるテスト
数値計算: 	

U = ∑U e (Ai ) + ∑U a (l j ) + ∑U c (Li )Cell:iContact: j

Cell:iArea
elasticity

Cell adhesion, CorticalContraction
elasticity

圧力•張力の真値を計算	

力推定:	  真値を隠して形態	のみから逆推定 	

推定値	

ランダム係数	圧力
張力	真値	

ショウジョウバエ翅の力場パターン
張力の推定値	
Anterior(前)	
Proximal(近位)Distal(遠位)Posterior(後)	

Anterior	
ProximalPosterior	

Distal•	  よく調べられているモデルシステム	  •	  かたちづくりの様々なコンセプトを提供	

0.4	

1.6	

張力	

Developmental stage: 18 h APF	A	P	D	P	

推定した張力とミオシン局在パターンの相関
ミオシン

張力の推定値	

(sqhp-sqhGFP)	

細胞形態マーカー(Dαcatenin::TagRFP)		  20 µm	

0.4	

1.6	

張力	

Developmental stage: 18 h APF	A	P	D	P	

レーザー切断実験との比較

0.3

III

0.2

3π/8IIπ/8I
000.1

246Edge length [µm]80IV

相関係数 0.86	

0.2

5π/80.1

3π/8IIπ/8I
001.40.05

2 Vmax [µm/sec]
468(レーザー切断への応答速度)	
Edge length [µm]25.5-27.5 hr APF
相関係数 0.80	IIV5π/8III

3π/8IIπ/8I00E21.41.21.2

1.00.81.00.80.60.40.00E1 π
7π/80.15IIID2(左)	  切断直前の画像データから力推定を行う。	  
(右)	  切断後の応答。	

n = 210.25Angle [rad]5π/8I

25.5-27.5 hr APF
16.5-18.5 hr APF	Inferred tension

00.4

IV

7π/8

張力推定値
Inferredtension

8n = 25D1 πAngle [rad]張力推定値

0.1I0.5Vmax [µm/sec]

0.221-23 hr APF

Vmax [µm/sec]

0.3

Vmax [µm/sec]

0.4

7π/8Angle [rad]6C1 π0.50.60.1

Vmax [µm/sec]

0.20.40.0

応力テンソル
Bachelor	  tensor	

応力楕円	A	P	

stress ellipse

D	P	

ローカルな最大応力方向	

大域的な細胞切除実験との比較
細胞切除後の細胞集団の異方的な応答	
Adult fly
wing
notum

scutellum

Ant

Bonnet et al.
JRSI 2012	

Post

STP

張力	0.08r = 0.64
0.06

STP

圧力	

Ishihara推定値
Sugimura(σ6((Y-σ yy)/2-Yxx)/2)
xx yy

Scale-calibrated, STP

0.040.02YMO

0.00-0.00200.002 0.004 0.006 0.008 0.01Bonnet et al. (Yyy-Yxx)/2
Vmax_x - Vmax_y [µm/sec](レーザー応答の早さ)	

Ishihara	  et	  al.	  
EPJE	  2013	

形態形成の力学制御を階層横断的、定量的に解析することが可能に①

単一細胞解像度＞1000細胞

分子・細胞動態との対応
組織の応力を定量
力のゆらぎも含めて推定②

非侵襲的力の時間変化③

モデルフリー

細胞の物理特性の推定

ベイズ統計学の参考文献	
東京大学教養学部統計学教室 「自然科学の統計学」 東京大学出版会	  (1992)	  松原望 「入門ベイズ統計―意思決定の理論と発展」 東京図書	  (2008)	  C.M.	  ビショップ 「パターン認識と機械学習」 シュプリンガージャパン	  (2007)	  石黒•松本•乾•田邉 「階層ベイズモデルとその周辺」岩波書店	  (2004) 特に1,4章	  紹介した研究について	
Ishihara and Sugimura, J. Theor. Biol. (2012)
Ishihara et al., EPJE (2013)
Sugimura et al., IEEE Eng Med Biol Soc (2013)
Sugimura and Ishihara, Development (2013)
石原 & 杉村, 実験医学 (2013)