土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

洪水流の流量と水位ハイドログラフの変形・伝播に及ぼす河道構造の影響―山間狭隘河道を対象として
竹村
1学生会員

中央大学大学院
2フェロー

吉晴1・福岡捷二2

理工学研究科 土木工学専攻（〒112-8551 東京都文京区春日1-13-27）
E-mail: yoshiharu@civil.chuo-u.ac.jp

中央大学理工学部特任教授，中央大学研究開発機構教授（同上）E-mail: sfuku@tamacc.chuo-u.ac.jp

本文では，最初に，洪水流の非定常一次元基礎式に基づき，水位・流量の伝播の物理的解釈について論
じ，流量ハイドログラフの変形・伝播には，流量が断面平均流速で移動するとともに低減する時間帯の洪水貯留量で定義される洪水遊水量が重要な役割を果たすことを示している．次に，北上川と江の川山間狭隘河道における洪水流の非定常平面二次元解析から，水位は流量に比べ河道構造の影響を受けやすく，水
位ハイドログラフの伝播は全体的に流量ハイドログラフに遅れること，洪水貯留量に占める洪水遊水量の割合が大きい程流量ハイドログラフと河道内の水塊の移動速度の比が小さくなり，河道区間によっては流量ハイドログラフの伝播が河道内の水塊の移動速度に遅れることを示した．最後に，本研究結果の河道計
画・河川管理への適用について述べている．

Key Words : flood flow propagation, river morphology, storage volume, discharge hydrograph, waterlevelhydrograph, river valley

1. 序論

れる．山間狭隘河道における洪水流の伝播特性について，
1970 年代に山田・高橋 4),5)は，複数の河川の観測水位・
地球温暖化による気候変化により，降雨流出特性が変流量データから河道形状や支川群からの流入流量が，本1)化し，洪水流量の増大が予想されている ．我が国では， 川の洪水流の変形，到達時間に与える影響を検討している．しかし，その議論は定性的な段階に留まっている．
河道や洪水調節施設等の整備を段階的に行うことで特に福岡らは，河道漸縮部および漸拡部を想定した不規則な流域の治水安全度を向上させてきたが，未だ整備水準が断面形の河道を流下する洪水流の変形について，非定常
十分でない河川は多い．流下能力不足による氾濫の危険
平面二次元解析による水位縦断形結果を非定常一次元運性の増大，樹林化による河道の流下能力低下，みお筋の動方程式で再現するように求めた逆算等価粗度係数の時固定化による二極化した河床高による河道洗掘災害の増間・空間的変化を調べ河道構造の影響を検討している 6)．
大等治水上の多くの問題が生じる中で，河道改修や河川の管理を適切に行ってくことが求められている．そのたその中では，特に，横断方向に粗度分布を持つ河道の場
めには，上流から河口まで連続する河川の各区間におけ合に，等価粗度係数の時間的変化が空間的変化と同程度る，洪水流の水位・流量ハイドログラフの変形・伝播機の大きさを持つことが示されており，このことは，河道構を，河道の平面形や縦横断面形状等との関係から十分断面形の変化が，河道貯留による洪水流の変形を大きく理解し，河道の有する貯留機能2),3)を適切に評価し，これすることを示している．しかし，実河川での検討には至っていない．Mishra ら 7),8)は，洪水流の履歴（H-Q 曲線のを生かした計画・管理とすることが重要と考える．
山間部を流れる河川では，川幅の狭い渓谷の間に，河ループの幅）の影響をパラメータ化し，Teton dam (USA),
岸段丘や谷底低地の発達した区間があり，これらの区間
Machhu dam (India)，Panganga dam (India)，Vaigai dam (India)
では，出水時に水面幅，流速等が急激に大きく変化し，下流の山間狭隘河道を対象としたダム破壊流れの数値解
洪水流の挙動は，低地河川と異なるようになると考えら析結果から，洪水流の履歴が大きいほど，水位と流速の35土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

位相差，最大流量の低減率，エネルギー損失が大きくなり，その結果，洪水ピークの伝播速度は小さくなるという関係を見出している．この結果は山間狭隘河道の洪水の特徴を説明する研究として注目に値するが，河道構造との関係が不明なままである．著者らは，小規模発電ダ
ム群を含む阿賀野川の山間狭隘河道における洪水流の数値解析からその伝播機構について説明を行っている 9)．
しかし，研究の主眼が，洪水流の伝播に及ぼす発電ダム群のゲート操作の影響を見積もる点にあり，さらに，非定常一次元解析による解析であったことから，洪水伝播に及ぼす河道の平面形や断面形等の河道形状や支川流入の影響については十分検討できていない．
近年では，河道中下流域を対象として洪水データが蓄積され，さらに，観測技術・計算技術の向上により，洪水現象の解明とその解析手法についての研究が急速に進
み，河川管理に用いられるようになった．福岡らは，観測された洪水流の水面形の時間変化を解として非定常平面二次元解析10)，非定常準二次元解析11)を多くの大河川に適用することにより，任意断面における流れおよび流量ハイドログラフを実用上十分な精度で算出可能である
ことを示している．また，内田ら12)は，福岡らの水面形の時間変化を用いた洪水解析方法を応用し，本川水位観測データを用い，観測データのない支川流域からの本川への流入流量を推定する実用的な方法を提示している．
この解析法の利点は，比較的容易に直接的に支川からの流入流量ハイドログラフを推定可能である点にあり，特に，既往洪水を対象とした実態分析や洪水被害の原因分析に対して有効な手法となり得るものである．
このように河川における洪水流の定量的な分析が可能となってきたが，山間狭隘河道における洪水流の流量と水位の伝播については，緩流河川の洪水流に比較して，治水上の要請が少ないこと，技術・学術両面での関心が必ずしも高くないこと等から，調査・研究対象とされることが少なく，理解が不十分な状態に留まっている．
著者らは，これまで，北上川と江の川山間狭隘河道を対象に洪水時の観測水位データおよび非定常平面二次元解析から，洪水流の伝播機構を検討し，水位・流量ハイドログラフの伝播速度は，従来から良く知られる
Kinematic waveの伝播速度に比べ小さい値となることを明

変形・伝播を規定することを考察している．3章，4章では，北上川と江の川山間狭隘河道の洪水流に内田らの非定常平面二次元解析方法を適用することで，支川流入流
量ハイドログラフの推算と，これを用いた解析結果の改善を図っている．さらに，水位ハイドログラフ，流量ハ
イドログラフの伝播と変形について考察している．5章
では，2章～4章での考察を踏まえ，北上川と江の川山間狭隘河道における洪水流量ハイドログラフのピーク部分の伝播機構を河道構造，河道における洪水貯留量，および支川からの流入流量との関係から明らかにしている．
6章では，これらの研究結果の河道計画・河川管理へのらかにしてきた13),14)．しかし，支川からの流入流量の考慮，水位・流量ハイドログラフの変形と河道構造，河道の洪水貯留量の関係については，十分な考察が出来ていなかった．
本論文では，2章において，河道構造（河道の平面形
や縦横断面形状等とそれらの組み合わせ）が変化する河川における洪水流の水位・流量の伝播の物理的な解釈について論じ，河道の洪水貯留量が対象としている区間の流速の時間変化に関係し，それが流量ハイドログラフので水位・流量の伝播速度式を式(2)，式(3)のように導いている．

適用について述べている．

2. 洪水流の伝播に関する考察(1) 洪水流の伝播に関する既往研究
最も単純な断面形である一様幅の矩形断面における洪水流の伝播については，1900～1960年代にかけて数多くの研究論文が発表されている．式(1)は洪水流の第一近似として知られるKinematic waveの基礎式で，流水断面積
Aおよび流量Qが変化せずに，式(1c)で定義される
Kinematic waveの伝播速度Ckで伝播することを示す．ここで，Uは断面平均流速である．
A
A
(1a)
 Ck
0
t
x
Q
Q
(1b)
 Ck
0
t
x
dU
(1c)
Ck  U  A
dA
この概念はLighthill and Whitham15)により詳細に説明され，洪水流を準定常流・擬似等流と仮定し，さらに断面平均流速にマニング式等の等流公式を用いる場合，水位・流量ハイドログラフは，河道内の水塊の移動速度よりも速い速度で伝播し，ハイドログラフの変形により，最大水位・最大流量の発生時間が相対的に早まることを考察している．速水16)は，運動方程式の水面勾配項を考慮する
ことにより，Kinematic waveで無視される洪水流の減衰性を考慮しDiffusion waveの基礎式を導出している．木村17)，
Henderson18)は，基礎式の省略を行わず，より一般的な形

A
A
 CA
0
t
x

U A
x x
Q
Q
 CQ
0
t
x

CA  U  A

36

(2a)
(2b)
(3a)

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U A
(3b)
t t
ここに，CAは流水断面積の伝播速度，CQは流量の伝播

a) 基礎式の導出とその物理的意味
式(4)，式(5)は，非定常一次元の連続式と運動方程式
である．

CQ  U  A

速度である．流水断面積および流量の最大値は低減する
A Q
(4)

0
ことから，その伝播速度は式(2a)および式(3a)の形（大きtx
さの変わらない形）で表現することは出来ない．木村17)，
1 U U U
H U 2
(5)



18)
Henderson は，最大水位・最大流量の伝播速度を，水
g t
g x
x C 2 R
位・流量の変曲点(∂A/∂x=0および∂Q/∂x=0)の伝播速度とす
ここに，Q：流量，A：流水断面積，H：水位，g：重力ることで，Kinematic waveの伝播速度とそれからの補正項
加速度，R：径深，C：Chezy 係数である．ここで，という形で理論式を導いている．木村は，実河川における観測データを用いて，Henderssonは，水面形を放物線で近似することで補正項のオーダーを調べ，最大水位および最大流量の伝播速度は，ほぼKinematic waveの伝播速∂H/∂x = ∂(A/B) / ∂x - i0（B：水面幅，i0：河床勾配）とし，方程式中の水理量をそれぞれ代表値を用いて以下のように表し，A = A0A*，B = B0B*，R = (A0/B0) R*，U = U0U*，x =A0 / (B0i0)x*，t = A0 / (B0i0U0)t*，Q = (A0U0) Q*，これらを式(4)，式(5)に代入することで，式(6)，式(7)に示す無次元化された連続式および運動方程式が得られる．

度で近似できることを示している．しかし，これらの検討は，一様な矩形断面を対象に得られたもので，河道構造の変化する実河川の洪水流への適合性には問題がある
A* Q*0(6)
ことが知られている．
t * x*
実河川では，特に河道狭窄部や複断面河道において，*
U *1  A*
A* B* F02 g U *2 
* U
洪水伝播速度が一様な単断面河道に比べ遅くなる19),20),21)． t *  U x*   F 2  B*x*  B*2 x*  i C 2 R*  1 (7)0 0福岡ら3)は，複断面河道の洪水流の伝播機構，貯留機構
ここで，添え字 0 は代表値，上付き文字*は無次元量をに着目し，複断面河道では，高水敷と低水路間での運動表す．また，F0  U 0 g A0 B0 である．無次元流量 Q*
量交換に伴う抵抗増大から，単断面河道に比べ洪水流のの全微分は式(8)で表される．
河道内貯留量が増大し，最大流量の低減量や洪水継続時
Q*
Q* *
dQ*  * dt * dx
間の延長が顕著になること，流量ハイドログラフの変形
x*tにより最大流量発生時間が相対的に遅れることを示して(8a)
 U * dA*  A* dU *いる．また，複断面河道における洪水位伝播速度につい A* * A* *  U * * U * * dt dx   A* 
dt 
dx 
 U* 
て，福岡ら11)は，Kinematic waveの考えを準用し，最大水 t *
 t *

*
x
x*




位の伝播速度の理論式を導き，これを江戸川の既往洪水** *式(8a)は，dx = U dt の関係を代入すると式(8b)となる．
に適用し観測値との比較を行った．樹木群の存在や断面*dQ* Q*形の変化等から，実測値に比べ理論値は若干大きい値と
* Q
U


dt *
t *
x*
なったが断面形の影響が考慮された評価式となっている．
(8b)
*
*
*
*
このように，実河川における洪水流の変形・伝播は，*  A* A *  U* U 
 U  * U  A  *  U tx* 
x* 
一様な矩形断面水路で考えらるものと異なることが明ら tかにされているが，複雑な河道断面構造が，洪水流の変
さらに，式(6)の無次元化された連続式を式(6)’のように
形・伝播に及ぼす影響についての理解は十分ではない．
変形後，式(8b)の右辺に代入し，整理することで，最終これを明らかにするためには，河道構造と洪水流の水的に式(9)に示す無次元化された洪水流量の伝播の基礎
位・流量の変形・伝播の関係およびそれらに対する河道式が得られる．
貯留の役割をより明確にする必要がある．
*
*
A*
* A
* U
(6)’

U


A
t *
x*
x*
(2) 河道構造が変化する河川における洪水流の伝播機
dQ *
U *
(9a)
 A*
構の物理的解釈*dtt *ここでは，まず，無次元化した洪水流の一次元基礎式
Q *
Q *
U *
(9b)
U*
 A*
*
*
を基に，河道構造が変化する河川における水位と流量ハ
t
x
t *
イドログラフの変形・伝播について論じる．次に，流量流量の変化は，式(9)に示すように，断面平均流速の時
ハイドログラフの変形・伝播と河道貯留の関係について間に関する偏微分により表され，運動方程式を介して力考察する．その上で，複雑な河道構造の実河川における学的に決定されることが分かる．また，無次元化された
流量ハイドログラフの変形・伝播に及ぼす河道の洪水貯
洪水位（流水断面積）の伝播の基礎式は，式(6)’の無次留量，洪水遊水量の新しい考え方を示す．

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x

x

1 dU
x
g dt
 ha  0 
ha 

U2
2g

hl

h f  I e x

ha 

U2
2g

hl

U2
2g

H

H

X0+X

X0

(a) 流れが時間的に加速する場合  dU dt  0
（流量が流下により増大する場合）

h f  I e x
U2
2g

H

H

X0

1 dU
x
g dt

 ha  0 

X0+X(b) 流れが時間的に減速する場合  dU dt  0 （流量が流下により低減する場合）

図-1 単純化した非定常流における断面平均の水頭変化の模式図元化された連続式そのものである．ここで，式(6)’と式(9)の比較のため，式(7)の無次元化された運動方程式を用い，式(6)’を変形すると次のようになる．

b) 流量ハイドログラフの変形・伝播と洪水貯留量・洪水遊水量の関係
任意の検討区間における単位時間当たりの洪水貯留量（貯留率）は，次式で定義される．

A*
A*
U* *
*
t
x
(10)
* 

A U *
1  A*
A* B* F02 g U *2
 *  *  2  * *  *2 * 
 1 
U  t
F0  B x B x
i0C 2 R* dS
 Qin  Qout
dt

(11)

ここに，S：河道貯留量，Qin：検討区間への流入流量，

Qout：検討区間からの流出流量である．洪水貯留量は式(11)を積分することによって得られる．河道貯留が生じ流量の変化は，式(9)から，断面平均流速の時間に関する偏微分に関係することを示した．流水断面積の変化は， れば，下流河道での流量低減および洪水到達時間の遅延が考えられるが，式(11)では，運動学的に表現した河道式(10)から，右辺括弧内第一項の断面平均流速の時間に貯留は，増水期であれば常に生じ，洪水貯留量は時間と関する偏微分に加え，第二項～第五項が影響する．流れともに増大していくことになる．一方，式(9)では，断が常流であれば，前者に比べ後者が卓越すると考えられ
面平均流速で移動する座標系から見た場合，流量変化は，る．一様な矩形断面を想定し，洪水流を準定常流・擬似
断面平均流速 U の時間に関する偏微分に規定され，等流と仮定し，断面平均流速が流水断面積に関して常微∂U/∂t が正の場合に流量は大きく，負の場合に小さくな分可能とすると，式(6)’，式(9b)から式(1a)～式(1c)で示す
る．このように，ダム貯水池や遊水地に流入する洪水のKinematic wave の基礎式が得られる．Kinematic wave を仮ように流量収支で考慮できる場合と異なり，河道では洪定した場合と断面平均流速が時空間的に変化しない場合
水貯留量の増大が必ずしも下流河道への流量低減や洪水のみ，水位（流水断面積）と流量ハイドログラフの変到達時間の遅延に結び付かない場合が考えられ，ここに，形・伝播は一致することになる．しかし，複雑な河道構河道貯留の評価の難しさがある．
造の河川では，河道の断面形は縦断的に変化し，その程X0 断面とその下流に位置する X0 +δX 断面の間を検討
度は洪水の各流量段階毎で異なる．式(10)右辺項が示し区間とした時，X0 断面における時刻 t0 の流量が，X0 +δX
たように，水位（流水断面積）は流量に比べ縦断的な断断面に到達するまでに生じる流量変化量 δQ は，式(9a)面形の変化の影響を受けやすいことから，水位・流量ハの積分から次のように表せる．
イドログラフの変形・伝播特性は異なることになる．
水位は，流量に比べ直感的にわかりやすい量で，観測が容易であり，水防活動や避難の指標等として河川管理
上重要なことから，洪水流の伝播は，観測水位を基に議論されることが多い．しかし，河道形状が縦横断的に変化する河川においては，準定常流・擬似等流の仮定は，適切でなく，流量の変化は必ずしも水位の変化と対応しない．また，洪水流は流域に降った雨が河道を流下し水と土砂を運ぶ物質輸送現象であることから，流量の伝播についても議論することが必要である．

Q 



t0  tA  X (t ; X 0 , t0 ), t U  X (t ; X 0 , t0 ), t 

dt (12)t
ここに，X(t; X0,t0)：時刻 t0 に X0 断面にある流体の時刻 t
における存在位置である．また，t は時刻 t=t0に X0 断面にある流体が検討区間を流下する時間である．そこで，検討区間における増水期の洪水貯留量のうち，式(12)で定義する流量変化量 δQ が負となる(すなわち，検討区間で流量が低減する)時間帯の貯留量を洪水遊水量 Rs と呼ぶこととし式(13)で定義する．
t038

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
0.00

b/B=1.1～1.5

b/B=0.9～0.5

‐0.05

0.9

1 1 I e ‐0.10
2 I e Q ‐0.15
2 1 h ‐0.20
3 h Q

0.8
0.7
0.6

‐0.25
‐0.30

図-2 想定した河道漸縮部および漸拡部の模式図

川幅変化区間

‐0.35
0.0

Rs 

   dt dt
dS

D

(13a)

1 2




0.35




0
dU dt  0
(13b)
2  
 1 dU dt  0
ここに，Rs：洪水遊水量，D：任意の時間帯，U：検討
区間で平均した断面平均流速，1,2：応答関数である．
ここで，応答関数2 は，厳密には式(11)で定義するQ の正負で判断すべきところであるが，一般に，流量が対象区間を流下する時間t に対して洪水中の水理量の変化は緩やかであると考えられることから，簡単のため検討区間で平均した断面平均流速の時間変化 dU/dt の正負より判断する．
次に，洪水遊水量の物理的な意味について考察を加える．図-1(a),(b)は，X0 断面と X0+X 断面間における，単純化した非定常流の断面平均の水頭変化の模式図である．それぞれ検討区間で平均した断面平均流速が増大する場合(図-1(a))と減少する場合(図-1(b))に対応する．
非定常流では，二断面間での流量差からも，検討区間における各水頭は変化するが，簡単には，同区間における全エネルギー水頭の差は式(14)で表せる 22)．
0
1  
1

 dS dt  0 dS dt  0 



U2 
U2 
H 
 H    h f  ha
2g 
2 g 

X 0  x 
X0

h f  I e x , ha 

1 dU
x
g dt

0.30

1 1 I e
0.25
2 I e Q
2 1 h 0.20
3 h Q 0.15

0.5

b/B=0.5

1.0

1.5
2.0
x/L
(a) 河道漸縮部

2.5

3.0

川幅変化区間
b/B=1.5

1.4
1.3
1.2

0.10

1.1

0.05
0.00
0.0

0.5

1.0

1.5
2.0
2.5
3.0
x/L
(b) 河道漸拡部
図-3 河道漸縮部および漸拡部における式(17)右辺括弧
内の第二項の第一項に対する比擦損失水頭が減少し，その分水位が増大する．式(13)から，洪水遊水量は，増水期において加速度水頭 ha が負(dU/dt < 0)の時の洪水貯留量と定義されるため，速度水頭の減少とともに，同区間を流下する流量は低減し，速度水頭と摩擦損失水頭の減少分が水位上昇分として，同区間に現れると解釈できる．
次に，導入した洪水遊水量がどのような場合に生じるかについて考察する．一次元非定常流れの運動方程式から，断面平均流速はマニング式を用いて次のように表せ
る．
1
(15a)
U  R 2 / 3 I e1/ 2
n

(14a)

(14b)

I e  i0 

h 1 U  U 2
x g t x 2 g(15b)
ここに，H：水位，U：断面平均流速，U：検討区間で平均した断面平均流速，g：重力加速度，Ie：検討区間でここに，g：重力加速度，n：粗度係数，R：径深，Ie：
平均したエネルギー勾配，hf：検討区間での摩擦損失水エネルギー勾配である．粗度係数を一定と仮定すると，
頭，ha：検討区間での加速度水頭である．非定常流では， 式(15a)から断面平均流速 U の時間に関する偏微分は以検討区間の流体を加速させるためにもエネルギーが必要
下のようになる．
となるため，二断面間での全エネルギー水頭の差は，摩U  2 1 R 1 1 I e 


(16)
U
擦損失水頭 hf と加速度水頭 ha の和となる．そのため，
t  3 R t 2 I e t 
定常流とは異なり図-1 に示す X0+x 断面において，エネ
式(16)右辺括弧内の各項は，それぞれ径深，エネルギー
ルギー線の高さと全エネルギー水頭に加速度水頭 ha 分
勾配が，断面平均流速の時間変化に与える影響を表しての差が生じる．加速度水頭 ha が正の時(dU/dt > 0)は，図いる．第一項は主に河道の断面形，第二項は主にその縦1(a)のように，検討区間において，時間とともに速度水断変化の影響を反映する．式(13)の定義から，増水期に頭および摩擦損失水頭が増大し，その分水位は減少する．
おいて式(16)右辺括弧内の各項の和が検討区間で平均し反対に，加速度水頭 ha が負の時(dU/dt < 0)は，図-1(b)のて負となる時間帯の洪水貯留量が洪水遊水量と定義されように，検討区間において，時間とともに速度水頭と摩39

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

大きくなるほど顕著に傾向が表れるようになる．検討は
洪水遊水量単純化した条件で行ったものであるが，式(17)右辺括弧
内の第一項が最も大きくなる川幅の広い矩形断面水路においても，第二項は第一項と比べ無視できない大きさとなることが分かる．一般に，河川の任意の断面において，エネルギー勾配，断面平均流速，流量，水位の順に最大値が生じる 23),24)．そのため，水位ピーク付近では，式(16)右辺括弧内の第一項がほぼ 0 となり，第二項が負の値を持つことから，この時間帯で括弧内の各項の総和が負となるが，単純な断面の河道では僅かな時間に限られ，式(13)で定義する洪水遊水量は小さいものと考えられる．
しかし，河道構造の変化する河川では，式(16)右辺括弧
図-4 洪水遊水量の大きい河道区間での流量ハイドログ
ラフの変形・伝播の模式図
内の各項の組み合わせおよびここでは簡単のため無視した河道貯留や横断方向の流れに起因する粗度係数の時間変化の影響により，比較的長い時間帯において，その総る．第一項は，複断面河道において，高水敷に水が乗り和が負となる河道区間も存在し得る 2),6)．
上げ始めた時間帯等の特別な場合を除き，増水期では正次に，縦断的に流水断面積の変化する河道において，の値となる．以下では，単純化した条件で，第二項の影
洪水遊水量が流量ハイドログラフの変形・伝播に与える響を検討する．川幅の広い矩形断面を考え，準定常流を
影響ついて考察する．福岡らの複断面蛇行水路実験 3)で仮定すると，式(16)右辺は，流量に関する偏微分を用いは，高水敷への洪水の乗り上げ後に，増水期において低て次のように変形できる．
水路平均流速が時間的に減少し，減水期において低水路
U  2 1 h 1 1 I e  dQ
U


(17)

平均流速が増大することが確認されている．図-4 は，t  3 h Q 2 I e Q  dt
上述した福岡らの複断面蛇行水路実験の結果を参考に洪図-2 のような，河道漸縮部および漸拡部を想定し，河水遊水量の大きい河道区間における，二断面間での流量
床勾配を一定かつ流れを常流とし，川幅変化区間から上ハイドログラフの変形・伝播を示したものである．流量
流側および下流側に十分離れた断面では等流とする．与
ハイドログラフは基底流量分を差し引いて描いており，えられた流量 Q に対する各断面の水深 h およびエネル
色の塗られた部分の面積は洪水貯留量を表す．また，黒ギー勾配 Ie は，下流端境界条件に等流水深を与え式(18)の点線は，検討区間における流入流量 Qin が大きさを変を解くことで得られる．
えずに断面平均流速で下流断面に移動した場合の流量ハq 2 dB n2 q 2
 10/3i0  2
イドログラフを表す．図-4 に示すように，増水期におdh
gh B dx h(18)
いて式(12)で定義する流量変化量Q が負となる（検討区dx
1  Fr 2間で流量が低減する）と，その分二断面間での洪水貯留
ここに，q：単位幅流量，B：川幅，Fr：フルード数であ量が増す．洪水の総ボリュームは保存されるから，増水る．また，簡単のため径深 R は水深 h としている．ここ
期の洪水貯留量は減水期に下流河道に放出される．そのでは，次章以降で議論の対象となる江の川山間狭隘河道
際，増水期の洪水貯留量が大きい場合には，図-4 に示(21.0～24.4km 区間)を想定し，i0=1/1000，粗度係数 n=0.03
すように，検討区間で断面平均流速が平均的に増大するとし，図-2 の川幅変化区間より上流側に十分離れた断こともあり，式(9)から流量は流下により増大する．結面の Fr を 0.44，水深川幅比を 20 として流量(約 3000
果として，図-4 に示すように，流量ハイドログラフのm3/s)を与える．川幅変化角度は両ケースともに 3 度とし， 変形により，最大流量の発生時刻が相対的に遅れること
川幅比 b/B を 0.9～0.5，1.1～1.5 と変化させて Runge-Kuttaになる．洪水遊水量は，図-4 の赤点線の部分に相当し，法から式(18)を解く．図-3(a),(b)に，河道漸縮部および洪水貯留量に占める洪水遊水量の割合が大きくなるほど漸拡部における川幅比 b / B の変化に対する，式(17)右辺
この傾向は顕著に表れることになる．
括弧内の第二項の第一項に対する比を示す．漸縮部では，ここまで，複雑な河道構造の河川における洪水流の水式(17)右辺括弧内の第二項は負（式(9)から流量を低減さ
位・流量ハイドログラフの変形・伝播と洪水貯留量につせる方向に働く）となり，漸拡部では反対に正（式(9)いて考察してきた．一様な断面形の河道において，準定から流量を増大させる方向に働く）となる．なお，減水
常流・擬似等流の仮定から導かれる Kinematic wave では，期では，dQ/dt が負となることから，増水期と反対の効
水位と流量ハイドログラフの変形・伝播特性は一致する．
果を持つことになる．両者ともに川幅比 b / B の変化がしかし，(a)において，式(9)と式(10)の比較から示したよ
流量変化量：洪水貯留量：洪水放出量40

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
相川(76.0km)：水位・流量観測所

大泉(48.9km)(7800 km2)

川平(9.2km)(3807 km2)

75km

諏訪前(67.6km)(7509 km2)

七日町 (60.2km)

10km

支川八戸川
(303 km2)

支川砂鉄川(375 km2)

60km

35km

航 空

65km

50km

川本(36.3km)(3229 km2)

谷住郷(14.8km)(3799 km2)

70km
55km

：水位・流量観測所

15km

25km

20km

30km

図-6 江の川航空写真と観測所位置

図-5 北上川航空写真と観測所位置

(12
(4)
(1)

(2) (3)(11)(6) (10)
(7)

(6)

(1)
砂鉄川流域

(2) (3)
(5)

(5)

(9)

(8)

(9)

(10)
(11)

(7)

八戸川流域

(8)

(4)
原山雨量観測所

分割流域(a)
総雨量(m3)

総雨量(m3)(a)8.0E+07
6.0E+07
4.0E+072.0E+07
0.0E+00
1

2

3

4

5

6

7

流域番号

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9 10 11

流域番号(b) 北上川平成 14 年 7月洪水
8.0E+07
6.0E+07
4.0E+072.0E+07
0.0E+00

総雨量(m3)

総雨量(m3)分割流域

8.0E+07
6.0E+07
4.0E+072.0E+07
0.0E+00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

8.0E+07
6.0E+07
4.0E+072.0E+07
0.0E+00(b) 江の川平成 7 年 7月洪水

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

流域番号

流域番号

(c) 江の川平成 11 年 6 月洪水
図-8 江の川対象流域における総雨量分布(c) 北上川平成 19 年 9月洪水
図-7 北上川対象流域における総雨量分布

うに，水位は流量に比べ流水断面積や水面幅の縦断変化
Kinematic wave の伝播速度の差は小さく無視できる程度の影響を受けやすい．複雑な河道構造の河川では，水位であることが示されている 17),18)が，河道構造が複雑となと流量ハイドログラフの変形・伝播機構は，対象とする
り，洪水遊水量が大きく，流量低減量の顕著な場合では，区間の河道構造毎に異なることになる．
その差は無視できなくなることが予想される．
式(3)で定義される流量の伝播速度との関係から考え4 章，5 章では，北上川，江の川山間狭隘河道の実測
ると，増水期の洪水貯留量が洪水遊水量となる時間帯でデータに基づいた非定常平面二次元解析から，水位・流は，式(13)の定義から，断面平均流速が時間的に減少す量ハイドログラフの変形・伝播特性の違い，洪水遊水量と洪水貯留量の大きさの時空間変化を調べ，洪水流量ハるため，流量の伝播速度が断面平均流速に対して遅れる
イドログラフのピーク部分の伝播との関係を検討する．
ことになる．また，最大流量は，下流に向かい低減することから，その伝播速度は式(3a)のような形（流量が大きさを変えずに伝播する）で，表現することは出来ない．
さらに，最大流量の低減は，洪水ピーク付近において，3. 北上川・江の川の山間狭隘河道を流下する洪Kinematic wave で無視される式(16)右辺括弧内の第二項
水流の挙動（洪水ピーク付近で負の値を持つ）が，相対的に大きくなることで生じる 23),24)．上記 2 つの主要な理由から，最(1) 北上川と江の川山間狭隘河道
北上川は岩手県と宮城県を流れ太平洋へ注ぐ一級河大流量の伝播速度に Kinematic wave の伝播速度を準用す
18)
川であり，県境の約28km区間が山間狭隘河道となってることに問題がある ．すなわち，最大流量の低減の小さい一様な矩形断面水路では，最大流量の伝播速度といる．一般に，山間狭隘河道の河床勾配は上流区間に比41土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
25

水位(T.P.m)

水位(T.P.m)

25
2015
相川 (76.0km)
諏訪前(67.6km)
七日町(60.2km)
大泉 (48.9km)

10
5

20
15

5
0

0
0

10

30
40
時間(hour)

50

0

60

10

20

30
40
時間(hour)

50

60(H－H mid)/（H max－H mid)(a) 平成 14 年 7 月洪水(b) 平成 19 年 9 月洪水
図-9 北上川対象洪水における観測水位ハイドログラフ
1

1(H－H mid)/（H max－H mid)20

相川 (76.0km)
諏訪前(67.6km)
七日町(60.2km)
大泉 (48.9km)

10

0.8
0.6
0.4

相川 (76.0km)
諏訪前(67.6km)
七日町(60.2km)
大泉 (48.9km)

0.2
0
0

0.2
0.4
0.6
0.8
時間/洪水中の平均水位を超える時間(a) 平成 14 年 7 月洪水

0.8
0.6
0.4
相川 (76.0km)
諏訪前(67.6km)
大泉 (48.9km)

0.2
0
0

1

0.2
0.4
0.6
0.8
時間/洪水中の平均水位を超える時間(b) 平成 19 年 9 月洪水

1

図-10 北上川対象洪水における無次元水位ハイドログラフ
谷住郷(14.8km)

川平 (9.2km)

川本(36.3km)

水位(T.P.m)

35
30
25
20
15
10
5
0

(H－H mid)/（H max－Hmid)

0

10

20
時間(hour)30

谷住郷(14.8km)

川平 (9.2km)

35
30
25
20
15
10
5
0

40

0

10

20
時間(hour)3040(a) 平成 7 年 7月洪水(b) 平成 11 年 6 月洪水
図-11 江の川対象洪水における観測水位ハイドログラフ
1

1
0.8
0.6
0.4

川本 (36.3km)
谷住郷(14.8km)
川平 (9.2km)

0.2
0
0

(H－H mid)/（Hmax－H mid)

水位(T.P.m)

川本(36.3km)

0.8
0.6
0.4
0.2
0

川本 (36.3km)
谷住郷(14.8km)
川平 (9.2km)

0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
時間/洪水中の平均水位を超える時間
時間/洪水中の平均水位を超える時間(a) 平成 7 年 7 月洪水(b) 平成 11年 6 月洪水
図-12 江の川対象洪水における無次元水位ハイドログラフ

べ急になると考えられるが，北上川では山間狭隘河道からその下流河道かけて河床勾配が緩やかにとなるところに特徴があり，河床勾配は1/2000～1/5000程度と比較的緩やかな河道区間である．図-5は，北上川の航空写真と水位・流量観測所の位置を示している．北上川山間狭隘
河道では，諏訪前観測所(67.6km)の直上流で支川砂鉄川（流域面積375km2）が合流している．砂鉄川合流点上流

1では，川幅の狭い単断面河道区間となっている．それに対し，砂鉄川合流点下流は複断面河道区間となっており，
大出水時には水面幅が大きく広がり，洪水流の貯留効果が大きくなることが予想される．
江の川は広島県に発し，島根県で日本海へ流れ出る一級河川であり，三次盆地の下流から河口付近まで山間狭
隘河道となっている．研究対象としたのは江の川9.2～

42土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

36.3kmの区間であり，対象区間の河床勾配は，1/1000程
ドログラフの変形が大きくなっていることが分かる．こ度と縦断的にほぼ一様で，山間狭隘河道の下流区間からの区間では，支川砂鉄川が合流しており，砂鉄川からの河口にかけては，河床勾配が急激に緩やかになる特徴を
流入流量が本川の流量ハイドログラフを変形させたもの
有する．図-6に対象区間の航空写真を示す．江の川では， と考えられる．それに対し，諏訪前観測所(67.6km)～大江の川山間狭隘河道では，谷住郷観測所(14.8km)の直上
泉観測所(48.9km)では両洪水ともに無次元水位ハイドロ
2流で支川八戸川（流域面積303km ）が合流している．
グラフの変形が極めて小さいことが分かる．図-9に引か
21.0～30.0 kmの区間には複断面河道区間が点在し，特に， れた4本の直線は，各観測所における観測最大水位の発21.0～24.4km付近は，その上下流に比べ川幅の広い区間
生時刻を示している．無次元水位ハイドログラフの変形が大きかった平成 14 年 7 月洪水において相川観測所となっている．21.0kmから下流は基本的に川幅の狭い単(76.0km)と諏訪前観測所(67.6km)間での最大水位発生時刻
断面河道からなり，大出水時には21.0km付近は狭窄部となる．
の差が平成19年9月洪水に比べ小さくなっている．これは，支川砂鉄川からの流入流量により最大水位の発生時
刻が早まったためである．
(2)対象洪水の概要
a) 対象流域の総雨量分布
江の川においては，平成7年7月，平成11年6月洪水と
図-7，図-8は，北上川平成14年7月，平成19年9月洪水
もに対象流域での総雨量分布は大きく変わらないものの，
図-12(a),(b)に示すように，平成11年6月洪水では，支時と江の川平成7年7月，平成11年6月洪水時のそれぞれの対象流域における二日間の総雨量分布である．図川八戸川が合流する川本観測所(36.3km)～谷住郷観測所(14.8km)において無次元水位ハイドログラフが大きく変7(b),(c)，図-8(b),(c)の流域番号は，図-7(a)，図-8(a)に示す分割流域にそれぞれ対応する．各分割流域の総雨形するのに対し，平成7年7月洪水では大きな変形が見ら
量は，分割流域の平均時間雨量をその流域に含まれるレ
れない．谷住郷観測所(14.8km)～川平観測所(9.2km)では
25)
ーダー・アメダス解析雨量データ の格子点データの単
両洪水ともに無次元水位ハイドログラフの変形は小さい．
また，図-11(a),(b)に示すように，平成11年6月洪水で純平均値として求め，それと流域面積の積を時間積分したものである．なお，各分割流域の流域界は国土数値情
無次元水位ハイドログラフの変形が大きかった川本観測報（昭和52年版）と数値地図(50mメッシュ)を参考に定所（36.3km）と谷住郷観測所（14.8km）間での最大水位
めている．
発生時刻の差には，平成7年7月洪水と平成11年6月洪水で変化が見られなかった．この理由については4章(3)で図-7(b)に示すように，北上川では，平成14年7月洪水において支川砂鉄川流域における総雨量が他の分割流域議論する．
に比べ十分大きい．一方，平成19年9月洪水では，図7(c)に示すように対象流域においてほとんど雨が降っていないことが分かる．江の川では，図-8(b),(c)に示す
4. 洪水の解析方法・条件および結果の考察
ように総雨量分布は平成7年7月洪水と平成11年6月洪水で大きく変わらず，支川八戸川流域において総雨量が最(1) 解析方法・条件も大きくなっている．
北上川平成 19 年 9 月洪水の相川観測所(76.0km)～大泉観測所(48.9km)区間（図-5）と江の川平成 7 年 7 月，平b) 無次元水位ハイドログラフの変形
図-9，図-10, 図-11，図-12は，北上川と江の川対象
成 11 年 6 月洪水の川本観測所(36.3km)～川平郷観測所
区間における各観測所での対象洪水時の観測水位ハイド(9.2km)区間（図-6）を対象に非定常平面二次元解析 25)をログラフと各観測所の観測水位ハイドログラフを無次元行った．北上川では，図-5 に示したように諏訪前観測化し形状を比較したものである．観測水位の無次元化は所(67.6km)の直上流で比較的大きい支川である砂鉄川が以下に示す方法で行っている．ピーク付近での水位ハイ合流するため，上流端の境界条件には，相川観測所
ドログラフの変形を検討するため，観測水位が，平水位(76.0km)及び支川砂鉄川の妻神観測所(3.6km)における観H0 と最大観測水位 Hmax の中間値 Hmid = (H0 + Hmax) / 2より測水位の時系列データを与え，下流側の境界条件には大泉観測所(48.9 km)での観測水位時系列データを用いる．
も高い時間帯の水位に着目する．ここでは，観測水位ハ
江の川では，図-6 の川本観測所(36.3 km)と川平観測所
イドログラフの無次元化は観測水位 H の Hmidからの上昇量(H - Hmid)をその最大上昇量( Hmax - Hmid )で除し，時間に(9.2 km)における観測水位の時系列データを上流側と下ついては，観測水位が洪水中の平均水位を超える時間で流側の境界条件として与えている．また，対象区間では，除すことで行っている．図-10(a),(b)から，平成14年715.8km 地点付近で比較的大きな支川として八戸川が流入している．江の川では，支川の水位，流量観測データが月洪水では，平成 19 年 9 月洪水に比べ，相川観測所(76.0km)～諏訪前観測所(67.6km)において無次元水位ハイないことから，内田らの解析方法 12)を用い支川からの流43土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
25

大泉観測水位(48.9km)

大泉解析水位(48.9km)

30
25
20

標高(T.P.m)

水位(T.P.m)

20

痕跡水位(H19)
解析最大水位(H19)

15
10

観測水位
相川 (76.0km)
諏訪前(67.6km)
七日町(60.2km)
大泉 (48.9km)

5解析水位
相川 (76.0km)
諏訪前(67.6km)
七日町(60.2km)
大泉 (48.9km)

10

20

30
40
時間(hour)

50

10
0
‐5

‐15

60

平均河床高

5

‐10

0
0

15

最深河床高
河床勾配：1/2000～1/5000
49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75
縦断距離 (km)図-13 北上川平成 19 年 9 月洪水の観測水位と解析水位の比較()()

図-14 北上川平成 19 年 9月洪水の痕跡水位と解析最大水位の比較

6000

流量(m3/s)

5000

る観測水位・流量と痕跡水位の縦断形状を概ね説明する
ように決定した．北上川では，低水路の粗度係数は，砂鉄川合流点より上流区間では，n = 0.038，下流区間ではn= 0.032，高水敷の粗度係数は全区間で n = 0.045 を用いている．樹木群透過係数の値には，K = 30～50の値を与えている．江の川では，低水路の粗度係数は，n = 0.030 高
水敷の粗度係数は全区間で n = 0.045 を用いている．樹木
群透過係数の値には，K = 30～50の値を与えている．

4000
3000
観測流量
相川 (76.0km)
諏訪前(67.6km)
七日町(60.2km)
大泉 (48.9km)

2000
1000

解析流量
相川 (76.0km)
諏訪前(67.6km)
七日町(60.2km)
大泉 (48.9km)

0
0

10

20

30
40
時間(hour)50

60

図-15 北上川平成 19 年 9 月洪水の観測流量と解析流量の比較(2) 解析結果
入流量を推定している．この方法は，支川流入地点下流
図-13は，北上川平成19年9月洪水時に観測された各観の本川水位観測地点において解析水位と観測水位が一致
測所地点における観測水位と解析水位の比較である．まするように支川からの流入流量を与えることで，本川おた，図-14は，洪水後に観測された対象区間における痕
よび支川の流量ハイドログラフを得るという方法である． 跡水位の縦断形と解析最大水位の比較であり，黒線と青
本解析では，谷住郷観測所(14.8km)における解析水位が線はそれぞれ平均河床高と最深河床高の縦断分布を示し
観測水位と一致するように八戸川からの流入流量を調節ている．図-13，図-14に示すように，実線の解析水位は，し，推算している．そのため，その他小支川からの流入
各観測所における観測水位および痕跡水位の傾向を概ね
流量も全て八戸川からの流入流量として扱われることに再現することが出来ている．図-15は，各観測所におけなるが，図-8(b),(c)に示すように，八戸川流域における浮子観測流量と解析流量の比較を示す．流量観測は洪る総雨量が他の支川流域に比べ圧倒的に大きいことから， 水ピーク付近でのみで行われており，流量ハイドログラ
検討結果に大きな影響はないものと考えている．また，
フの形状について比較することは出来ないが，解析ピー
北上川に関しては，平成 19 年 9 月洪水では図-7(b)に示
ク流量と観測ピーク流量はほぼ対応していることから概すように対象流域においてほとんど降雨がなく，小支川
ね説明できているといえる．
からの流入流量の影響は無視できるものと考えられる．
図-16は，江の川平成7年7月, 平成11年6月洪水の各観
江の川，北上川ともに高水敷には，樹木が縦断的に繁測所における観測水位と解析水位の比較である．解析水茂することから非定常平面二次元運動方程式の抵抗項は
位はほぼ観測水位を説明することが出来ている．図-17式(19)で与え，樹木群の抵抗は樹木群透過係数 K を用いは，各観測所における解析流量とH-Q 概算流量の比較，て評価している 2),27),28)．
八戸川からの推定流入量を示す．図中のハイエトグラフ
は，図-8(a)の原山雨量観測所のものである．解析区間
最上流の川本観測所(36.3km)において解析流量とH-Q 概
算流量は，両洪水ともにほぼ一致している．八戸川合流
ここに，ha：樹木高さ，：水の密度，xy：x 方向とy点(15.8km)の下流に位置する谷住郷観測所(14.8km)，川平
方向のせん断応力，u, v：x 方向とy 方向の水深平均流速， 観測所(9.2km)では，両洪水ともに減水期において， H-Q
n：マニングの粗度係数，K：樹木群透過係数である．
換算流量に比べ若干小さくなるが，解析流量は，ほぼH粗度係数及び樹木群透過係数は，解析が対象区間におけQ 換算流量を説明できている．図-18は，解析区間にお x    gn 2 gha  22  u     
 y    h1 / 3  K 2  u  v  v   

 

(19)

44

35

35

30

30

25

25

水位(T.P.m)

水位(T.P.m)

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

20
15

20
15

10

10

5

5

0

観測水位
川本 (36.3km)
谷住郷(14.8km)
川平 (9.2km)
解析水位
川本 (36.3km)
谷住郷(14.8km)
川平 (9.2km)

0
0

10

20
時間(hour)

30

40

0

10

(a) 平成 7 年 7月洪水

20
時間(hour)3040(b) 平成 11 年 6 月洪水

図-16 江の川対象洪水における観測水位と解析水位の比較

3000
2000
1000
0
0

10

20
時間(hour)30

流量(m /s)

4000

3

流量(m3/s)

5000

6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0

40

10

20
30
時間(hour)

降水量(mm/hour)

6000

0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50

7000

降水量(mm/hour)

0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50

7000

H-Q概算流量
川本 (36.3km)
谷住郷(14.8km)
川平 (9.2km)
解析流量
川本 (36.3km)
谷住郷(14.8km)
川平 (9.2km)
八戸川流入量40(b) 平成 11年 6 月洪水(a) 平成 7 年 7 月洪水
図-17 江の川対象洪水における観測流量と解析流量の比較
3530

標高(T.P.m)

25
20

痕跡水位(H7)
解析最大水位(H7)
痕跡水位(H11)
解析最大水位(H11)検討区間下流

平均河床高

15
10
5
0

最深河床高

‐5

河床勾配：約 1/1000‐10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
縦断距離(km)

図-18 江の川平成 7 年 7 月洪水，平成 11 年 6 月
洪水の痕跡水位と解析最大水位の比較

図-19 非定常平面二次元解析における計算点とける痕跡水位の縦断形状と解析最大水位の縦断形状の比
各断面における流量，流水断面積の算出
較であり，図中の黒線と青線はそれぞれ平均河床高と最深河床高の縦断分布を示している．平成7年7月洪水では，
元水位ハイドログラフの差について考察する．図-12に
解析最大水位は痕跡水位の傾向を概ね捉えられている．
示した江の川の無次元水位ハイドログラフは，水位が洪平成11年6月洪水では，31.0～33.0kmの区間で解析水位と水中の平均水位を超える時間帯での水位ハイドログラフ
痕跡水位が大きくずれているが，山間狭隘河道では，痕の変形を比較したものである．図-12に示すように平成7跡水位測定に誤差があることも考えられることから，解年7月洪水での無次元水位ハイドログラフの変形が小さ析最大水位は全体的に痕跡水位の傾向を捉えていると考かったのは八戸川からの流入流量が小さく，一方，無次
元水位ハイドログラフの変形が大きかった平成11年6月
洪水では，図-17に示すように八戸川から相当量の流入があったためであることが分かる．図-8に示すように，
平成7年7月洪水と平成11年6月洪水では，検討区間における総雨量分布に大きな違いは認められず，この違いはえてよいであろう．
(3) 江の川山間狭隘河道における無次元水位ハイドロ
グラフの変形と支川流入流量の関係
図-17に示す八戸川からの流入流量に着目して，図-12に示した平成7年7月と平成11年6月の江の川洪水の無次45土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
水位（流水断面積）の検討範囲

te(i0)

Qmid(i0)

流量 Q

流量 Q

V
ts(i0)A(i0,t)Q(i0,t)Qmid(i0)(i0断面)

Amid(i0)V(i0断面)時間 T
tQ2(i0) tA2(i0)tA1(i0) tQ1(i0)Q(i,t)

時間 T

流量 Q

水位（流水断面積）の検討範囲

(i断面)
ts(i)

ts(i0)

te(i)

時間 T

図-20 注目する水塊の追跡方法の模式図（検討区間の最上流断面（i0 断面(上)）と各下流断面(i 断面(下))の流量ハイドログラフ）
CQ
3.07
2.90
3.66

CA
1.67
1.72
1.24

U ave
2.43
2.20
2.33

C Q /U ave
1.26
1.31
1.57

Amid(i)V(i断面)tQ2(i)tA2(i) 時間 T

図-21 水位（流水断面積）・流量ハイドログラフの各流下断面における検討範囲の模式図

C A /U ave
0.69
0.78
0.53

検討区間
36.3-24.4km
24.4-21.0km
21.0-16.0km
15.0-9.2km

水位（流水断面積）ハイドログラフの到達時間：TA
5.0

CA
3.77
6.98

CQ
3.97
2.85
4.86
4.67

1.75

U ave
3.54
2.89
3.66
3.93

C Q /U ave
1.12
0.98
1.33
1.19

C A /U ave
1.06
2.41
0.45

3.0

注目する水塊の到達時間：TW

時間(hour)Qmid(i)tA1(i) tQ1(i)

7.0
検討区間
76.0-69.0km
67.0-58.0km
58.0-48.9km

A(i,t)

流量 Q

V

流水断面積 A

流量の検討範囲
Q(i,t)Vs(i)6.0: 注目する水塊

流量の検討範囲

流水断面積 A

: 注目する水塊
Q(i0,t)

水位（流水断面積）ハイドログラフの到達時間：TA
注目する水塊の到達時間：TW

2.5

時間(hour)

4.0

3.0

2.0
1.5
1.0

2.0

0.5

流量ハイドログラフの到達時間：TQ

1.0
0.0

流量ハイドログラフの到達時間：TQ

9

0.0
49

51

53

55

57

59

61

63

65

67

69

71

73

75

11

13

15

17

19

21

23

25

八戸川合流点 距離(km)

27

29

31

33

35

37

図-23 江の川平成 11 年 6 月洪水における注目する
水塊と水位（流水断断面積）・流量ハイド
ログラフの各断面への到達時間の縦断図

距離(km)

図-22 北上川平成 19 年 9 月洪水における注目する
水塊と水位（流水断面積）・流量ハイドロ
グラフの各断面への到達時間の縦断図

方法を以下に示す．まず，大きな支川合流のない図-5に示した北上川山間狭隘河道76.0～69.0km，67.0～48.9kmと図-6に示した江の川山間狭隘河道36.3～16.0km，15.0～
9.2kmを検討区間とする．水位の高い時間帯を対象とするため，図-20(a)上に示すi0断面のように，各検討区間の最上流断面（北上川：76.0kmと67.0km断面，江の川：
36.3kmと15.0km断面）の流量ハイドログラフにおいて，流量が洪水中の平均流量よりも大きい時間ts(i0)からte(i0)

八戸川流域におけるハイエトグラフの差から生じたものと考えられる．
(4) 河道内の洪水流水塊の平均移動速度と水位・流量
ハイドログラフの伝播速度の関係
北上川平成19年9月洪水と江の川平成11年6月洪水を対象として，河道内の洪水流水塊の平均移動速度と水位（流水断面積）・流量ハイドログラフの伝播速度の関係を検討する．検討に用いる流水断面積および流量は，非定常平面二次元解析から，図-19に示す計算点で得られた単位幅流量および水深を，横断方向にそれぞれ単純積
分することで求める．また，スタッガード格子を用いたことから，単位幅流量と水深の評価点が異なるため，図-19に示す横断方向の格子線での流水断面積および格子
中央線での流量は，それぞれ線形補間から求めた．検討の範囲の水塊に注目し，その平均的な移動を追跡する．
洪水中の平均流量Qmidとは，平水時の流量とそれから最大に上昇した流量の平均値としている．注目する水塊が，検討区間の各下流断面（i 断面）を通過し始める時間ts(i)は，時間ts(i0)にi0断面からi 断面間の河道に貯まっている
水のボリュームVs(i )が，全てi 断面から流出した時間とし，図-20下に示すi 断面における流量ハイドログラフの時間ts(i0)からts(i)までの積分値がVs(i)と一致するように
式(20)から定める．

46

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
ts  i 

動が大きい．これは，2章で述べたように，水位は河道や洪水流の状況を流量よりも直接的に反映しやすい量であることを示している．また，各下流断面での水位（流注目する水塊がi 断面を通過し終わる時間te(i)は，注目す水断面積）ハイドログラフの到達時間は，流量ハイドロ
る水のボリュームVを保存するように，図-20下に示すi
グラフの到達時間に対して遅れる傾向にあり，図-22に断面における流量ハイドログラフの時間 ts(i)からte(i)の積示すように下流に進むほどその差が大きくなっている．
分値がVと一致するように式(21)から定める．
te  i 
洪水流の非線形性から，任意断面において，水位と流量(21)V
Q  i, t dt
ts  i の関係はループを描く．同一の水位に対する流量は，増水期に比べ減水期の方が小さいため，式(23a)，式(23b)の注目する水塊の各下流断面(i 断面)での到達時間は，流量定義から，各断面における水位（流水断面積）ハイドロ
ハイドログラフの時間ts(i)とte(i)間の図心で評価すること
グラフの到達時間は，流量ハイドログラフの到達時間にとし，次式から算出する．
te  i 
te  i 
対し遅れることになる．北上川山間狭隘河道では，下流
TW  i  
Q  i, t    t  ts  i   dt
Q  i, t dt (22)ts  i 
ts  i に向かい河床勾配が緩やかになることで，ループ幅が大きくなり，水位ハイドログラフと流量ハイドログラフの
ここに，TW：注目する水塊の各下流断面（i 断面）での到達時間の差が，下流断面程大きくなったと考えられる．
到達時間である．到達時間Tw(i)の計算では，流量ハイド
その結果，図-22中の表のように，注目する水塊の平均
ログラフの変形を考慮するため，式(22)の検討範囲（積移動速度と流量ハイドログラフの伝播速度の比CQ/Uaveは，
分範囲）は，各断面で異なることになる．水位（流水断1.57～1.26程度の値をとるのに対し，注目する水塊の平面積）・流量ハイドログラフのi 断面での到達時間は，
均移動速度と水位（流水断面積）ハイドログラフの伝播
水位（流水断面積）と流量がそれぞれ洪水中の平均水位
速度の比CA/Uaveは，全ての検討区間において1.00を下回（流水断面積）Amidおよび平均流量Qmidより大きい時間
り，両者の値は異なる．図-23の江の川山間狭隘河道で帯での図心で評価することとし，図-21において，式は，36.3～24.4km区間において，各断面での水位（流水(23a)，式(23b)から求めることとする．Amidは，Qmidと同様
断面積）ハイドログラフと流量ハイドログラフの到達時に，平水時の水位（流水断面積）とそれから最大に上昇間の差は，大きく変わらない．それに対し， 24.4 ～した水位（流水断面積）の中間値としている．
t A2  i t A2  i 
21.0km区間は狭窄部上流区間であり水面形がほぼ水平にTA  i  A i, t    t  t A1  i   dt
A i, t dt (23a)t A1  i 
t A1  i 
変化することから，水位（流水断面積）ハイドログラフ
tQ 2  i 
tQ 2  i の到達時間が縦断的にほぼ一様となる．16.0～21.0km区
TQ  i  
Q  i, t   t  tQ1  i  dt
Q  i, t dt (23b)間は，支川八戸川合流点の直上流にあたり，合流点に近tQ1  i 
tQ1  i 
づくほど，水位（流水断面積）と流量ハイドログラフの
ここに，TA：各下流断面（i 断面）での水位（流水断面
到達時間の差が小さくなっている．これは，図-17(b)に積）ハイドログラフの到達時間，TQ：各下流断面（i 断
示したように，平成11年6月洪水において八戸川からの面）での流量ハイドログラフの到達時間である．各到達
流入流量は増水期にピークを迎えることから，合流点の時間TA(i)，TQ(i)の計算では，水位ハイドログラフ，流量
ハイドログラフの河道における変形を考慮しているため， 上流区間では，その影響で水位が高くなり，水位ハイド
ログラフの図心が相対的に早い時間帯に生じるためであ式(23a)，(23b)の検討範囲（積分範囲）が異なっている．
る．合流点下流の15.0～9.2km区間では，12.0kmから下流
図-22，図-23は，北上川平成19年9月洪水，江の川平において，北上川で見られたように下流に向かうほど水成11年6月洪水における各下流断面での注目する水塊と位（流水断面積）と流量ハイドログラフの到達時間の差
水位（流水断面積）・流量ハイドログラフの到達時間が大きくなっている．江の川では，図-18に示すように，TW, TA, TQを示す．縦軸は，検討区間最上流断面（北上6.0km付近が河床勾配の変曲点となっており，北上川同川：76.0km，江の川：36.3km）での流量ハイドログラフ
様，下流の断面程，河床勾配が緩やかになっていること，の到達時間を基準とし，それからの経過時間とした．ま平成11年6月洪水における検討区間下流の痕跡水位を見た，図中の表は，各区間での注目する水塊の平均移動速
ると，平成7年7月洪水に比べ水面形が堰上がっており，度と水位(流水断面積)・流量ハイドログラフの伝播速度
減水期での水位の低下が流量の低下に比べ緩やかとなるの区間平均値Uave,CA,CQを示している．Uave,CA,CQは，図ことが主な原因として考えられる．図-23中の表に示す
より最小二乗法から各区間のTW, TA, TQの傾きを求め，そように，CQ/Uaveの値は，狭窄部上流区間にあたる24.4～の逆数とした．図-22，図-23から，黒の点で示す水位（流水断面積）ハイドログラフの各断面での到達時間は， 21.0km区間を除き1.12～1.33程度となり，洪水貯留量の大きい24.4～21.0km区間では1.00を下回る．それに対し，
青の実線で示す流量ハイドログラフの到達時間に比べ変CA/Uaveの値は36.3～24.4km区間でほぼCQ/Uaveの値と同様と
Vs  i     Q i, t dt

(20)

ts i0



















47

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
相川(76.0km)：低水路満杯流量時の水面幅：最大流量時の水面幅：水位・流量観測所

FLOW
諏訪前(67.6km)(7509 km2)

七日町 (60.2km)
大泉(48.9km)(7800 km2)

71.4k

70k

支川砂鉄川流入点(375 km2)50k
平面二次元解析による北上川平成19 年 9 月洪水の低水路満杯流量時と最大流量時の水面幅分布(U-U0 )/(Umax-U0 )(A-A0 )/(Amax-A0 )

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

Dp

Df

100m

水位

標高(m)

標高(m)

(U-U0 )/(Umax-U0 )(A-A0 )/(Amax-A0 )

図-24
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
25
20
15
10
5
0
‐5

63.8k

75k

0

10

20

30

40

50

60

Dp

Df

30
25
20
15
10
5
0

70

水位

0

10

20

30

時間(hour)

100m

40

50

60

70

時間(hour)(a) 北上川 71.4km 断面(b) 北上川 63.8km 断面
図-25 北上川 71.4km 断面，63.8km 断面における断面平均流速と流水断面積の時間変化の関係
検討区間
76.0-69.0km
67.0-58.0km
58.0-48.9km

3.5

時間(hour)

3.0
2.5

Cp
3.32
2.15
2.59

U pave
2.68
2.52
2.54

相対貯留量・遊水量

4.0
C p /U pave
1.24
0.85
1.02

注目する水塊の到達時間：TpW

2.0
1.5

5

相対貯留量
相対遊水量

4
3
2
1
0
49

1.0

51

53

55

57

59

61

63

65

67

69

71

73

75

距離(km)

図-27 北上川平成 19 年 9 月洪水における時間帯 Dp にでの単位距離当たりの相対貯留量と相対遊水量の縦断分布（Dp：76.0km および 67.0km 断面の流量ハイドログラフのピーク部分の水（注目する水）が通過している時間帯）

流量ハイドログラフの到達時間：TpQ

0.5
0.0
49

51

53

55

57

59

61

63

65

67

69

71

73

75

距離(km)

図-26

北上川平成 19 年 9 月洪水における注目する
水と流量ハイドログラフのピーク部分の各断面への到達時間の縦断図

留量を洪水遊水量と定義し，これが最大流量の伝播の遅れを示す指標として重要であることを述べた．本章では，なるが，水面形がほぼ水平に変化する狭窄部上流区間
北上川と江の川 山間狭隘河道の洪水貯留量と洪水遊水（24.4～21.0km）では2.41となり，CQ/Uaveに比べ大きくな量を調べ，これらと流量ハイドログラフのピーク部分のる．北上川と同様の傾向が見られた15.0～9.2km区間では
CA/Uaveの値は0.45となり，CQ/Uaveに比べ小さくなる．なお， 変形・伝播，河道構造との関係を考察する．
八戸川合流点上流区間にあたる16.0～21.0km区間では，CAの値を決定出来なかったため斜線としている．

(1) 北上川山間狭隘河道における洪水流の変形・伝播機構a) 低水路満杯流量時と最大流量時の水面幅分布および断面形状と断面平均流速・流水断面積の時間変化の関係
図-24は，北上川山間狭隘河道における平成19年9月洪水の非定常平面二次元解析から求めた低水路満杯流量時と最大流量時における水面幅の分布である．最大流量時には，砂鉄川合流点より下流区間では，高水敷に洪水流

5. 北上川・江の川山間狭隘河道における流量ハ
イドログラフの変形・伝播機構
2章では，洪水流の一次元基礎方程式に基づいて，河道構造の変化する区間で，増水期において，対象とする区間で平均した断面平均流速が低減する時間帯の洪水貯48土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

が乗り，水面幅が低水路満杯流量時に比べ大きくなる．
区間の点在する砂鉄川合流点から下流区間（ 67.0 ～58.0km，58.0～48.9km）では，主に単断面からなるその一方，諏訪前観測所より上流区間は，河道が主に単断面であることから，最大流量時においても水面幅は低水路
上流区間(76.0～69.0km)に比べ小さくなっている．
満杯流量時とそれほど変わらない．
次に，流量ハイドログラフのピーク部分の伝播速度Cp
図-25は，北上川71.4km，63.8km断面における，断面平と注目する水塊の平均移動速度Upaveの比Cp /Upaveについて
均流速と流水断面積の変化を各時刻の水位と河道断面形検討する．Cp /Upaveの値は，主に単断面からなる76.0～
69.0km区間では，1.24となるのに対し，複断面区間の点の関係とともに示したものである．断面平均流速Uおよび流水断面積Aは，平水時の値U0, A0からの増加量をその在する67.0～58.0km，58.0～48.9km区間では，それよりも最大増加量で除すことでそれぞれ無次元化している．図
小さい値となり，67.0～58.0km区間では1.00を下回る．検-25(a)の71.4km断面は，単断面区間にあることから断面
討区間の複断面河道区間におけるKinematic waveの伝播速
平均流速と流水断面積はほぼ同様の変化パターンを示し度10)は，相対水深および低水路幅と水面幅との関係から，
1.00～1.20程度となるが，これよりも小さい値となってている．一方で，図-25(b)の63.8km断面は複断面区間に位置し，平成19年9月洪水では，高水敷水深が低水路水いる．
深に比べ小さいこと，河道線形が複雑であること等から，
図-27は，注目する水塊が各下流断面を通過する時間
高水敷へ洪水流が乗り上げた後は流水断面積の変化に対帯における単位距離当たりの相対貯留量と相対遊水量のする断面平均流速の変化量は小さく，断面平均流速は常縦断分布を示している．これらの算定方法で求めている．
に減少傾向にある．
まず，注目する水塊が各下流断面（i 断面）とその直上b) 流量ハイドログラフのピーク部分の変形・伝播の相流断面（i-1 断面）間を通過する時間帯Dp (tps(i-1) ～tpe(i))で対貯留量・相対遊水量からの考察の単位距離当たりの洪水貯留量Spと洪水遊水量Rspを式(26)から求める．
本研究では，平水時からの増加流量が最大流量の9割より大きい部分をピーク部分と定めた．ピーク部分としdS  i  1 2, t  1 1(26a)
Sp i   dt
1て，流量のより大きい範囲を選んでも検討結果がほとんdt
 2   x Dp
ど変わらないことを確認している．図-26に流量ハイド
dS  i  1 2, t  1 1(26b)
Rsp  i   dt
1 2
ログラフのピーク部分および注目する水塊の各下流断面dt
 2   x Dp
での到達時間を示す．これらは4.(4)で述べた方法と同
0 dS  i  1 2, t  dt  0
じ方法で求めている．図-5に示した76.0～69.0km，67.0～
1  
48.9km を検討区間とし，各検討区間の最上流断面
1 dS  i  1 2, t  dt  0(26c)（76.0km，69.0km断面）における流量ハイドログラフの














0 dU  i  1 2, t  dt  02  
 1 dU  i  1 2, t  dt  0

ピーク部分の水塊に着目し，その平均的な移動を追跡す
る．注目する水塊が，各下流断面を通過し始める時間
tps(i)と各下流断面を通過し終わる時間tpe(i)を求め，注目する水塊の各下流断面での到達時間TpWは，流量ハイド
ログラフの時間tps(i)とtpe(i)間の図心で評価し，次式から算出する．
t pe  i t pe  i 
TpW  i  
Q  i, t    t  t ps  i   dt
Q  i, t dt (24)t ps  i t ps  i 

ここに，Sp : 時間帯Dpにおける単位距離当たりの洪水貯留量，Rsp, ： 時間帯Dpにおける単位距離当たりの洪水遊
水量，1,2：応答関数，U：i 断面とi-1 断面間で平均した
断面平均流速，S：i 断面とi-1 断面間の貯留量，x: i 断面とi-1 断面間の距離である．次に，これらの値を単断面区間にある図-25(a)の71.4km断面の単位距離当たりの洪

同様に，流量ハイドログラフのピーク部分の各下流断面での到達時間TpQは，各断面の流量が最大流量の9割より大きい時間での図心で評価し，次式より求めている．

水貯留量で除すことで相対貯留量，相対遊水量を定義す
る．
さて，時間帯Dpでは，図-26の表でCp/Upaveの値が1.23とt pQ 2 (i )t pQ 2  i (25)
TpQ  i  
Q  i, t   t  t pQ 2  i  dt
Q  i, t  dt
なった砂鉄川合流点より上流の76.0 ～ 69.0km区間に比べ，t pQ1 ( i )t pQ1  i 
合流点下流の67.0 ～ 58.0km，58.0 ～48.9km区間で，図-27
ここに，TpQ：流量ハイドログラフのピーク部分の各流のように相対貯留量が大きくなっていることが確認でき
下断面における到達時刻である．また，図-26中の表は，る．また，相対遊水量の大きさは，76.0 ～67.0km区間で各区間での注目する水塊の平均移動速度と流量ハイドロは，平均的に相対貯留量の半分程度となるのに対し，グラフのピーク部分の伝播速度の区間平均値Upave,Cpを
Cp/Upaveが1.00を下回った67.0 ～ 59.0km区間では，相対貯示している．各区間でのUpave,Cpの値は，図より最小二留量のほとんどを相対遊水量が占める．
乗法から求めている．
一般に，流量ハイドログラフのピーク部分の伝播速度
図-26の表に示すピーク部分の伝播速度Cpは，複断面





 

49

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

35.6km：低水路満杯流量時の水面幅：最大流量時の水面幅（平成 7年 7月洪水）：最大流量時の水面幅（平成 11年 6月洪水）：水位・流量観測所

川平(9.2km)(3807 km2)

川本(36.3km)(3229 km2)

FLOW

35k

10k
谷住郷(14.8km)(3799 km2) 14.6km

21.8km

支川八戸川流入点(303km2)

Dp

100m

35

標高(m)

(U-U0 )/(Umax-U0 )(A-A0 )/(Amax-A0 )

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
40

水位

30

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
30

Dp

100m

25

標高(m)

(U-U0 )/(Umax-U0 )(A-A0 )/(Amax-A0 )図-28 平面二次元解析による江の川平成 7 年 7 月，平成 11 年 6 月洪水の低水路満杯流量時と最大流量時の水面幅分布

25
20

水位

20
15
10
5

15
0

10

20

30

40

0

50

10

20

30

40

50

時間(hour)

時間(hour)(a) 江の川 35.6km 断面(b) 江の川 21.8km 断面
図-29 江の川平成 11 年 6 月洪水における 35.6km 断面，21.8km 断面における断面平均流速と流水断面積の時間変化の関係

waveとしての特徴が強く現れたものと考えられる．このは，洪水貯留量が大きい区間ほど小さくなる．北上川での検討結果から，さらに，2章で考察したように，洪水
ように，流量ハイドログラフの伝播に及ぼす河道構造の貯留量に占める洪水遊水量の割合が大きい河道区間では， 影響は，各流量段階によって異なり，このことが流量ハ
イドログラフの変形を大きくする．
その伝播速度はKinematic waveの伝播速度より遅れることが分かる．
次に，各流量段階における流量ハイドログラフの伝播(2) 江の川山間狭隘河道における洪水流の変形・伝播に及ぼす河道構造の影響の違いを調べるため，洪水流が機構
低水路のみで流れる時間帯に着目し，増水期における流a) 低水路満杯流量時と最大流量時の水面幅分布および
3量ハイドログラフの1000～2500m /sまでの部分（以下，
断面形状と断面平均流速・流水断面積の時間変化の関係
フロント部分と呼ぶ）の変形・伝播を，上述した流量ハ
図-28は江の川山間狭隘河道における平成7年7月，平イドログラフのピーク部分と同様の方法から検討した．
フロント部分が検討区間の各断面を通過する時間帯Dfに
成11年6月洪水の非定常平面二次元解析から求めた，低おいて，断面平均流速は図-25に示すように常に増大し
水路満杯流量時および最大流量時の水面幅分布を示してており，検討区間において洪水遊水量はほとんど確認でいる．対象区間では，特に，21.0～24.4km区間においてきなかった．図-24の76.0～69.0km, 67.0～58.0km, 58.0～
最大流量時における水面幅が低水路満杯流量時に比べ大48.9km区間において，注目する水塊（検討区間(76.0～
きくなっている．また，その上流区間では，平成7年7月，
69.0km, 67.0～48.9km)の最上流断面（76.0km, 67.0km)にお
平成11年6月洪水ともに，点在する複断面区間においてける流量ハイドログラフのフロント部分の水塊）の平均
高水敷に洪水流が乗っている．21.0kmから下流区間は，
移動速度は1.87～2.03m/sとなり，流量ハイドログラフの
主に単断面河道となるため水面幅が比較的小さい．
図-29は，江の川平成11年6月洪水時の35.6km，21.8km
フロント部分の伝播速度は2.71～2.87 m/sとなった．また，両者の比は1.33～1.50となり，Kinematic waveの値（単断断面における断面平均流速と流水断面積の変化を各時刻
面：1.67～1.33）程度となる．フロント部分の伝播速度の水位と断面形の関係とともに示したものである．北上川と同じく，単断面区間である図-29(a)の35.6km断面では，一様な矩形断面においてはDynamic waveの伝播速度15),19)( gh )となると考えられている が，本研究では，流量は，断面平均流速と流水断面積はほぼ同様の変化パターンを示す．一方，複断面区間では，図-29(b)のように高水敷への洪水流の乗り上げとともに，断面平均流速が減の比較的大きい範囲を対象としていること，洪水貯留量に占める洪水遊水量がほとんどないことから，Kinematic50土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
3.0

3.0

時間(hour)

2.5
2.0

Cp
5.08
2.01
6.05
5.19

U pave
3.89
3.25
4.23
4.01

C p /U pave
1.31
0.62
1.43
1.29

注目する水塊の到達時間：TpW

1.5

検討区間
36.3-24.4km
24.4-21.0km
21.0-16.0km
15.0-9.2km

2.5

時間(hour)

検討区間
36.3-24.4km
24.4-21.0km
21.0-16.0km
15.0-9.2km

1.0

2.0

U pave
3.94
3.22
4.15
4.33

Cp
4.64
2.33
6.62
5.60

C p /U pave
1.18
0.72
1.60
1.29

注目する水塊の到達時間：TpW

1.5
1.0

0.5

0.5

流量ハイドログラフの到達時間：TpQ

0.0

流量ハイドログラフの到達時間：TpQ

0.0

9

11

13

15

17

19

21

八戸川合流点23

25

距離(km)

27

29

31

33

35

37

9

11

13

15

17

19

八戸川合流点

21

23

25

27

29

31

33

35

37

距離(km)(b) 江の川平成 11 年 6 月洪水ピーク部分(a) 江の川平成 7 年 7 月洪水ピーク部分
図-30 江の川平成 7 年 7 月，平成 11 年 6 月洪水での追跡する洪水の水塊と流量ハイドログラフのピーク部分の各断面への到達時間の縦断図
7000

5000
4000
3000

ピーク部分

八戸川流入流量

5000
4000
3000

2000

2000

1000

1000
0

0
4

図-31

8

12

16 20 24時間(hour)

28

32

36

0

40

4

8

12

16 20 24時間(hour)

28

32

36

40

(a) 江の川平成 7 年 7 月洪水(b) 江の川平成 11 年 6 月洪水
江の川平成 7 年 7 月，平成 11 年 6 月洪水における八戸川合流点前後での流量ハイドログラフの変形

5

相対貯留量・遊水量0

相対貯留量・遊水量

15.8km
15.6km

6000

ピーク部分

八戸川流入流量

流量(m 3 /s)

流量(m 3 /s)

7000

15.8km
15.6km

6000

相対貯留量
相対遊水量

4
3
2
1
0

5

相対貯留量
相対遊水量

4
3
2
1
0

9

11

13

15

17

19

21

23

25

距離(km)

27

29

31

33

35

37

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

距離(km)(a) 平成 7 年 7 月洪水(Dp：36.3km および 15.0km 断面の流量 (b) 平成 11 年 6 月洪水（Dp：36.3km および 15.0km 断面の流量
ハイドログラフのピーク部分の水塊が通過する時間帯)
ハイドログラフのピーク部分の水塊が通過する時間帯）
図-32 江の川平成 7 年 7 月，平成 11 年 6 月洪水における時間帯 Dp での単位距離当たりの相対貯留量と相対遊水量の縦断分布

少し流水断面積が増大する．特に，高水敷幅の大きい
21.0～24.4km区間では，高水敷へ洪水流が乗り上げる時
間帯と高水敷から低水路へと洪水流が流れ込む時間帯で2度ピークを迎え，複断面河道の典型的な断面平均流速の変化パターンを示す2)．
b) 流量ハイドログラフの変形・伝播の相対貯留量・相対遊水量からの考察
図-30は，江の川平成7年7月，平成11年6月洪水における注目する水塊と流量ハイドログラフのピーク部分の各下流断面での到達時間の縦断図である．図-28に示す
15.8km地点直下流で八戸川が合流している．注目する水塊および流量ハイドログラフのピーク部の各下流断面での到達時間の算出方法は北上川と同様である．4.(4)において，流量ハイドログラフの洪水時の平均流量よりも大きい部分に着目した場合は，支川八戸川からの流入流量の大部分は，増水期に生じることから，図-23に示したように，合流点下流区間への到達時間が早まった．一方，ピーク部分に着目した場合では，図-31(a),(b)に示
すように，両洪水ともに，洪水ピーク後に八戸川からの流入流量が増大することで，ピーク部分の範囲が合流点
下流断面(15.6km)において，合流点上流断面(15.8km)よりも長くなることで，図-30(a),(b)のように合流点下流区間への到達時間が遅れている．
次に，流量ハイドログラフのピーク部分の伝播について各区間で見ることにする．図-30(a),(b)の表に示す流量ハイドログラフのピーク部分の伝播速度Cpの値は，特に，24.4～21.0km区間で小さく，八戸川合流点上流の21.0～16.0km区間で大きくなる．Cp/Upaveの値は，複断面河道の点在する36.3～24.4km区間では，平成7年7月洪水で1.31となり，より洪水規模の大きい平成11年6月洪水では1.18となっている．水面幅がその上下流に比べ大きくなる
24.4～21.0km区間(図-28参照)では，両洪水ともにCp/Upaveの値は1.00よりも小さい．また，主に単断面からなる
21.0kmから下流区間では，八戸川合流点上流の21.0～51土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

16.0km区間におけるCp/Upaveの値は平成7年7月洪水で1.43， 現象である．
平成11年6月洪水で1.60と他の区間に比べ大きく，合流点
このように，山間狭隘河道における本川水位・流量ハ
下流の15.0～9.2km区間におけるCp/Upaveの値は，両洪水とイドログラフの形成には，支川からの流出特性が大きく影響する．これは山間狭隘河道のみならず，その下流河もに1.29程度となる．
道にも影響することから重要なことである．本研究では，
図-32は，江の川対象区間における，注目する水塊が水位観測点の制限から，観測所間での流入流量は，その各断面を通過する時間帯Dpでの各断面の相対貯留量・相区間で最大の流域面積を占める支川からのみ生じるもの
対遊水量を縦断距離について示している．算出方法は北と仮定しているが，今後は，流域面積の比較的大きい支上川の場合と同様である．八戸川合流点の上流区間では川の合流点下流には簡易水位計を設置する等によって，単断面区間にある35.6km断面（図-29(a)），合流点下流
それぞれの支川からの流入流量の推定精度を向上させ，区間では単断面区間にある14.6km断面の単位距離当たり
これらの流入流量が本川の流量ハイドログラフに対しどの洪水貯留量に対する相対値でそれぞれ示す．
図-30の表において，Cp/Upaveが平成7年7月洪水に比べ， の程度影響を与えるかを明らかにする必要がある．山間狭隘河道における洪水流の伝播の解明と予測法の確立に
規模の大きい平成11年6月洪水で小さい値となった36.3～
24.4km区間では，図-32のように両洪水ともに相対貯留
対しこのような水位計の設置は，重要であることを強調しておきたい．
量は29.0～30.0km区間で若干大きくなるが，縦断的に大きく変わらず，洪水規模による違いもほとんど見られない．一方，相対遊水量は，平成7年7月洪水に比べ，平成11年6月洪水の方が大きく，相対貯留量の大きさに達す
6. 本研究結果の河道計画・河川管理への適用る区間も見られ，洪水貯留量に占める洪水遊水量の割合が大きくなるほど，Cp/Upaveの大きさが小さくなることが序論で述べたように山間狭隘河道においては，洪水流の調査，研究が少ない．気候変化により，洪水流量の分かる． Cp が Upave より十分小さい値となった 24.4 ～21.0km区間では，相対貯留量が大きく，平成11年6月洪増大が予想されている中で，山間狭隘河道における河道の貯留機能を発揮させた安全かつ自然性豊かな河道の平水では最大5に達する．また，相対貯留量のほとんどは面形や縦横断面形のあり方，治水施設の効率的な配置，
相対遊水量となっている．この区間は，図-28に示すよ
操作・運用についての技術的検討が求められている．本
うに，21.0kmがちょうど狭窄部となり，洪水ピーク時には，図-29(b)に示すように断面平均流速が急激に低減し， 研究結果の河道計画，河川管理への適用について以下にまとめる．
減水期では断面平均流速が増大傾向にある．
支川八戸川合流点上流の21.0～16.0km区間及び支川八(1) 水位と流量の両方を考慮した観測体制の整備とそ
戸川合流点下流の15.0～9.2km区間は，主に単断面からなれを活用した河川管理の重要性
り，両洪水ともに，相対貯留量・相対遊水量は他の区間
4.(4)で議論したように，水位ハイドログラフと流量に比べ小さくなっている．21.0～16.0km区間では，支川ハイドログラフの伝播特性は，河道の平面形や縦横断面
八戸川からの流入流量の影響も若干含まれるが，一般的形等の河道構造の影響の受け方の違いから異なることがには，21.0～16.0km区間や15.0～9.2km区間のように相対明らかになった．4.(4)の解析によれば，各断面での水貯留量の縦断変化が小さく，相対貯留量に占める相対遊位ハイドログラフの到達時間は，北上川山間狭隘河道
水量が小さい区間では，Cp/Upaveの値は， Kinematic waveの値（単断面：1.67～1.33）に近づくものと考えられる． （相川観測所(76.0km)～大泉観測所(48.9km)区間）の平
成19年9月洪水で1時間～3時間30分程度，江の川山間狭c) 支川からの流入流量が本川洪水流の伝播に及ぼす影響隘河道（川本観測所(36.3km)～川平観測所(9.2km)区間）
江の川平成 7 年 7 月，平成 11 年 6 月洪水では，図の平成11年6月洪水で30分～1時間程度，流量ハイドログ
30(a),(b)に示すように合流点下流区間における流量ハ
ラフの到達時間に遅れることになる．この事実は，通常，
イドログラフのピーク部分の各下流断面での到達時間は， 水位を参考に行われる上流域の洪水貯留施設や中下流域
八戸川流入流量の影響を受け，遅れる現象となっている． の分流施設等の既存施設の操作・運用，水防活動や住民
一方，3.で示した北上川平成14年7月洪水では，支川砂への避難指示のタイミング等と関係する．特に，河川管理上重要となる区間では，水面形の時間的な観測値に基鉄川からの流入する大きな流量の影響で，その下流区間
づき，本解析法を用いて流量ハイドログラフ，水位ハイでは観測水位のピーク発生時間が早まっていることが確
29)
ドログラフの到達時間や変形特性について，検討してお認された．これは，谷岡ら が神田川の洪水ピークの発くことが重要と考える．
生時間が下水道幹線からの大量の雨水流出によって上流よりも下流でピーク水位が早く発生していることと同じ

52

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.

(2) 山間狭隘河道を含めた河川の各区間における洪水
貯留量と洪水伝播に及ぼす河道構造の影響の評価
上流から河口まで河川の貯留機能と河道構造の関係を理解し，河川管理を適切に行うことは必要である．山間狭隘河道は，各所に存在しているが，十分な議論がされていない．しかし，5.で示したように，点在する複断面
区間や狭窄部の存在は，流量ハイドログラフの伝播を遅らせることになる．山間狭隘河道においても，その貯留効果，遊水効果の精度の高い評価のため，簡易水位計の設置が求められる．
2.(3)では，流量ハイドログラフの伝播の遅れを表す(3) 北上川平成19年9月洪水，江の川平成7年7月，平成11年6月洪水における非定常平面二次元解析の結果から，

る有力な方法を与える．具体的には，河道内樹木群のある河道において，非定常平面二次元解析を行うことによって，樹木群の生育範囲や平面的な配置等が流量ハイド
ログラフ，水位ハイドログラフの変形・伝播に及ぼす影響を調べ，洪水貯留量と洪水遊水量の関係から，適切な河道の平面形や縦横断面形，河道内樹木群の伐採・保存の判断を検討することになる．

本川流量ハイドログラフと支川からの流入流量ハイドロ
グラフを推定し，本川の洪水流の水位・流量の伝播に及ぼす影響を考察した．また，この結果から，本川観測水位データに基づいた本解析法は，観測データの不足する支川群からの流入流量を精度良く見積もることができ，支川流入の影響が顕著な山間狭隘河道における洪水流解
析に有効であることを示した．
(6) 水位ハイドログラフと流量ハイドログラフの変形を考慮に入れた観測体制の整備とその活用が，既存施設の操作・運用，水防活動や住民への避難指示を効率的に行う上で重要であること，また，山間狭隘河道を含めた河川の各区間での洪水貯留量および洪水伝播に及ぼす河道構造の評価が河川の計画，管理にとって重要であることを述べた．

河道内の水塊の平均移動速度と流量ハイドログラフのピーク部分の伝播速度との関係について，洪水貯留量と洪水遊水量との関係から検討し，洪水流量ハイドログラフの変形・伝播機構を明らかにした．
流量ピーク部分の伝播速度と河道内の水塊の平均移動速度との比は，洪水貯留量に占める洪水遊水量の割合が大きい程小さくなり，洪水貯留量のほとんどを洪水遊水量が占めるような河道区間では，1.00を下回ることを示した．
(4) 北上川平成14年7月，平成19年9月洪水，江の川平成指標として，洪水遊水量を定義した．5.において，洪水貯留量に占める洪水遊水量の割合が大きい河道区間ほど， 7年7月，平成11年6月洪水での，対象区間における各観流量ハイドログラフのピーク部分の伝播速度と河道内の測所での観測水位ハイドログラフを無次元化して示すこ
水塊の平均移動速度の比が小さくなることを見出していとによって，流下に伴う水位ハイドログラフの変形と最る．この知見は，河川の河道断面形のつくり方に重要な大水位発生時刻に及ぼす支川流入量の影響を示した．
(5) 本川の観測水位データに基づき，北上川平成19年9示唆を与える．例えば，河川中下流域で河道断面の阻害
要因のひとつとなっている河道内樹木群の管理を検討す
月洪水，江の川平成7年7月，平成11年6月洪水における7. 結論

北上川と江の川山間狭隘河道における複数の洪水デー
タの分析とそれらの非定常平面二次元解析結果から洪水流の変形・伝播機構について検討を行った．以下に本研究で得られた主な結論を示す．
(1) 洪水流の非定常一次元基礎方程式を無次元化し，謝辞：国土交通省東北地方整備局岩手河川国道事務所お断面変化のある河川における水位・流量ハイドログラフ
よび中国地方整備局三次河川国道事務所から，洪水流との変形・伝播と洪水貯留量の関係について論じた．また， 河道に関する資料の提供を頂いた．記して謝意を表する．
対象とした区間で平均した断面平均流速が，増水期において減少する時間帯の洪水貯留量を洪水遊水量と定義し， 参考文献
1) 気候変動に適応した治水対策検討小委員会：水災害
この値が流量ハイドログラフの変形・伝播の程度を表す
分野における地球温暖化に伴う気候変化への適応策指標として重要であることを示した．
のあり方について（答申），社会資本整備審議会河(2) 北上川平成19年9月洪水，江の川平成11年6月洪水に川分科会，2008.
おける非定常平面二次元解析の結果から，水位ハイドロ
2) 福岡捷二：洪水の水理と河道の設計法，森北出版，
pp. 60-83，2005.
グラフと流量ハイドログラフの変形・伝播の関係につい3) 福岡捷二，渡邊明英，關浩太郎，栗栖大輔，時岡利て検討した．水位は流量に比べ，河道形状の影響を受け
和：河道における洪水流の貯留機能とその評価，土やすく，水位ハイドログラフの各下流断面への到達時間
木学会論文集，No. 740/II-64，pp.31-44，2003.
は，流量ハイドログラフに比べ変動が大きいこと，また， 4) 山田啓一，高橋 裕：渓谷部での洪水波の不連続現象について，水理講演会論文集，第 22 巻，pp. 227-232，
全体的に流量ハイドログラフの伝播に遅れる傾向にある
1978.
ことを示した．

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土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 68, No. 1, 35-54, 2012.
山田啓一，高橋 裕：洪水波の不連続現象とその発生機構について，水理講演会論文集，第 24 巻，pp.375380，1980.
6) 福岡捷二，角田 学，鈴木研司，半沢敏彦：変断面河道における洪水流の水理解析と等価粗度係数，土木学会論文集，No. 363/II-4，pp. 125-134，1985.
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ハイドログラフと貯留量の高精度推算，土木学会論
文集，No.761/II-67，pp. 45-56，2004.
11) 福岡捷二，佐藤宏明，出口桂輔：洪水流の非定常準二次元解析法の研究，土木学会論文集 B ， Vol.65 ，No.2，pp. 95-105，2009.
12) 内田龍彦，福岡捷二，工藤美紀男：河川上流域における本川・支川流量ハイドログラフの合理的推定法，
河川技術論文集，第 15 巻，pp. 309-314，2009.
13) 竹村吉晴，福岡捷二，若公 崇敏：北上川山間狭隘区間における洪水流の伝播に関する研究，第 37 回土木学会関東支部技術研究発表会講演， CD-ROM ， II-38 ，
2010.
14) 竹村吉晴，福岡捷二，若公崇敏，大賀祥一：河道構
造の異なる江の川と北上川山間狭隘区間における洪水流の伝播機構，河川技術論文集，第 16 回，pp. 425430，2010.
15) Lighthill, M. J. and Whitham, G. B.: On kinematic waves.
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5)16) 速水頌一郎：洪水流の理論について，土木学会水工学論文集，水工学の最近の進歩，pp.25-48，1953.
17) 木村俊晃：広短形一様水路における洪水流の頂点，鞍点の伝播速度と水深，流量変化に関する理論的考
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20) Price, R. K. : Flood routing methods for British rivers,
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(2011. 4. 28 受付)

EFFECTS OF RIVER MORPHOLOGY ON PROPAGATION AND
TRANSFORMATION OF DISCHARGE AND WATER LEVEL HYDROGRAPHSOF FLOOD FLOWS THROUGH RIVER VALLEY
Yoshiharu TAKEMURA and Shoji FUKUOKA
In this paper, first, we discuss the physical interpretation of propagation and transformation of waterlevel hydrographs and discharge hydrographs by one dimensional equations for flood flows. And, relationships between storage volume of flood flows and propagation and transformation of discharge hydrographs are discussed for rivers with longitudinal changes in cross sections. From above discussions, wedefine “retarding storage volume of flood” which is the storage volume of flood when average velocities
are decreasing during rising period of water levels.
By using unsteady two dimensional flow analysis, we estimate water level hydrographs and dischargehydrographs of large floods through the valleys of the Kitakami River and the Go River. From this analysis, propagation and transformation characteristics of water level hydrographs and discharge hydrographs
are explained with relation to river morphology, storage volume and retarding storage volume of flood in
the river valleys. Finally, we discuss the application of this study for river planning and river management.

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