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日本建築学会大会学術講演梗概集（東海） 2021 年 9 月

剛性マトリクスの固有値操作の提案

その2：例証ありさ*
堀 昭夫**

準会員 ○江島正会員
剛性マトリクス 固有値 操作
１．序弾塑性

不安定釣合経路

前報(その 1)に続いて解析結果を述べる。

作の対象となり，その結果，循環剛性選択過程を経ずに，固有値操作を慣用の試行修正過程 1)により図中左下(- y,- z 方向)のばFig. 1 のモデルに対する解析に適用して，その効果を調ねが除荷された(A 点)。なおこの 2 つの負固有値は，少べる。同モデルは，剛体棒の脚部に 4 つのバイリニアばなくとも有効数字 7 桁が一致して多重固有値に近かっねを持つ片持柱立体モデルで，圧縮降伏軸力( 6N)に達た。

２．単純な弾塑性柱モデルでの解析結果した瞬間に，塑性座屈軸力(強軸弱軸がなく 2 方向ともiii)その降伏状態がしばらく続いたが(A- B 間)，その4.8N)を超過するモデルとなっている。もし固有値操作間の固有値は 1 つだけ負であり，固有値操作によってそをしない場合には，整合剛性下で不安定釣合経路をたどの固有ベクトル方向の不釣合力が拡大を続けて， 44 スる可能性があるモデルである。なおモデルは特定の柱材テップ後に右下のばね(+y,- z 方向)も除荷された(B 点)。

を想定したものではなく，形状変化をあまり大きくしな

但し 244 ≒ 1013.2 を考えると，倍精度の数値計算誤差がいように降伏変位を小さめに設定している。

発端となって初期不整のない方向に座屈方向が変化した

このモデルに対し，軸方向(- x 方向)に変位制御して100 ステップの解析を行った。なお変位制御増分は圧縮と推察できよう。 iv) 2 つのばねが除荷された後は， 2つの固有値とも正になっている。

降伏変位の 1/12.5 とした。頂部の水平 2 方向(+y,+z 方固有ベクトルの方向を fig.( e)に示す。固有ベクトル向)には，それぞれ 4.8･ 10-4N の荷重不整を与えた。この方向は 45° 方向(荷重不整と同方向)が続いたが，2 つの不整は，塑性剛性下では y,z 方向とも頂部変位 0.1mmめの除荷発生(B 点)以後は方向が変化している。なお Aの増加に対応し，弾性剛性下では y,z 方向ともばね降伏力の± 0.4%だけばね力を増減させる曲げに対応する。
解析結果を Fig. 2 に示す。まず圧縮力―圧縮変位関係

A( fig.( a))は図中 A 点で降伏するバイリニアとなっていBBAる。次に，ばね降伏後(A 点以降)は横変位の増加が見られ(fig.( b))，塑性座屈した事がわかる。ところが fig.( c)の横変位方向(座屈方向)を見ると，初期には 45° 方向(a) axial force(b) lateral disp.

(+y,+z 方向)であったものが，途中の B 点で 90° 方向(+z方向)に変化している。剛性マトリクス固有値の操作前の値を fig.( d)に示す。但し fig.( d)の菱形内の e および pは，各ばねが弾性(除荷)剛性か塑性剛性かを示し，Fig. 1pp
ep

eeeepppp

A(a)の 4 つのばね位置と対応するように描いてある。推ばねが降伏すると 2 つの固有値とも負になって固有値操x, Δxz, F zy, F y

L(e y, e z)

Pykp
kedy(b) bi-linear spring(a) model

L = 1000[mm]e y = ±20[mm]e z = ±20[mm]k e = 300[N/mm]
k p = 3[N/mm]
P y = 1.5[N]d y = 5･10-3[mm]F y = F z = 4.8･10-4[N]Δx = -4･10-4[mm]Bppee(λ2 negative)(d) eigenvalues

移を以下にまとめる。
i)初期には固有値が 2 つとも正であるが，ii) 4 つの(c) y,z disp.

+zB

A+y(e) angle of eigenvector(f) each spring(c) in analysis

Fig. 2 Results of spring column modelFig. 1 Spring column model
Manipulation of Eigenvalues of a Stiffness Matrix, Part 2: Examples

EJIMA Arisa, HORI Akio

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点では負固有値が多重に近いが， fig.( e)を見る限り， A

以後は 4 つのばねが塑性継続で 2 つの固有値が負のまま点の前後で固有ベクトルの方向は変化していない。

で，剛性仮定と変形増分の方向が整合する釣合経路をたfig.( f)に各ばねの力と変位の関係を重ね書きして示す。なお Fig. 1( a)の各ばね位置に合わせて，それぞれどっている。しかしこれは，固有値の符号から考えて，2方向に不安定な釣合経路である。

初期位置をずらして描いた。座屈発生後も左下のばねはfig.( e)に各ばねの力と変位の関係を重ね書きして示

ほとんど塑性変形していない(初期位置が原点の曲線)。

す。 4 つのばねが塑性を継続しているが， fig. 2( f)とは３．固有値操作をしない場合の解析結果異なり，左下のばねの塑性変形が最も大きい。

Fig. 2 の解析に対し，もしも固有値操作をしない場合以上のように，固有値操作をしない本節の解析結果での結果を Fig. 3 に示す。最初に，図は省略するが，圧縮は，①本来とは逆方向に座屈した後に，② 2 方向に不安力―圧縮変位関係は Fig. 2( a)と全く同様であった。但定な釣合経路をたどる，という結果に陥った。

し，座屈後の横変位は 45° 方向の負値(-y,-z 方向)に限４．降伏力を10倍または75倍にした場合の解析結果定されていて，固有ベクトル方向も 45° 方向から変化し略のみを記す。 Fig. 2 の解析に対し，ばねの降伏力･降なかった。fig.( a)に 45° 方向変位を示すが，ばね降伏後伏変位および変位制御増分 Δx をいずれも 10 倍にした(A 点以降)の横変位は荷重不整と逆向きで，かつ C 点解析の結果を Fig.4( a),(b)に，75 倍にした解析の結果を以降は座屈変位が減少をしている。fig.( b)に圧縮力－ 45°Fig.4( c) ,(d)に示す。圧縮力―圧縮変位関係(fig.( a) ,(c))

方向変位の関係を示すが，C 点以降では圧縮力が増加しでは，座屈後の耐力低下が見られる。75 倍の解析では，つつ座屈変位が減少するという，森迫ら1)が詳述した不変位制御した方向に(不整 0 の)釣合解がないため，数ス安定釣合経路に陥ったと判断される。fig.( c)に剛性マトテップをかけて不釣合力が成長した後に荷重低下してリクスの固有値を示す。推移は以下のようであった。

(F- G 間)，不整 0 の釣合曲線に近づいた事が判明して

概i) 4 つのばねが降伏した直後に循環剛性選択過程にいる。また除荷載荷仮定が異なる複数の不整 0 の釣合曲陥った。1 つの剛性仮定は，4 つのばねとも塑性継続(固線が密集した領域を数ステップ過ぎた後に，再度荷重低有値が 2 つとも負)，もう 1 つの剛性仮定は，右上のば下した(H-I 間)事も判明した。固有値は両ケースとも，ねだけが除荷発生(固有値の 1 つが負)，となっていた(A最初の降伏(A 点)から数ステップの間は，2 つの固有値点)。このため本例では，後者の剛性仮定を採用して解が負のままで推移している(fig.( b),(d))。

析を続行した(なお前者の仮定を採用すると解析結果が５．まとめ発散的になった)。

した。参考文献：その 1 にまとめて示した。

解析例を通じて固有値操作の有効性を例証ii)この循環剛性選択過程が C 点まで続いたが，C 点
A DA

AEAFGCHIC(c) axial force [streng. 75](a) axial force [streng. 10](a) +y+z disp.

(b) axi. force vs +y+z disp.

pepp (λ1 positive?, negative? )eeeeACpppp( λ2 negative)

eeeepppp

epepppep

DE(λ2 negative)Apppp(λ1, λ2 negative)(b) eigenvalues [streng. 10 times](c) eigenvalues

GApp
pp

Fpp
ep

epee Hep
peIpppp(d) eigenvalues [streng. 75 times](d) each spring

Fig. 3 Results without eigenvalue manipulation

Fig. 4 Results using strengthened springs* 小山工業高等専門学校 専攻科生

* Grad. Student, Oyama College, National Inst. of Tech.

**小山工業高等専門学校** Prof., Oyama College, National Inst. of Tech. Dr. Eng.

教授･博(工)― 290 ―