応募理論問題

【解答】

第１問
問１ 物体 P にはたらく垂直抗力の大きさを R とすると，最大摩擦力の大きさは µ 0 R である。糸 S1 の張力が T1 のとき，面 AB に平行な方向と垂直な方向の力のつり合いは，πT 0 cos

4T 0 sin= T1 cos

π4π4+ T1 sin+ µ 0Rπ4=Rとなる。これらより， R を消去して，
T1 =cosπ− µ 0 sinπ

4 T = 1 − µ0 Tπ
π 0 1 + µ0 0cos + µ 0 sin
444が得られる。
物体 P，Q に共に最大摩擦力がはたらく。
問２ 糸 S2 に吊るすおもりの質量が最小のとき，重力加速度の大きさを g とすると，糸 S2 の張力 m 2 g は，問１と同様に，m 2g =coscosπ4π4− µ 0 sin+ µ 0 sinπ4Tπ14となるから， T 0 = Mg として，ππ2 cos − µ 0 sin  1 − µ0 44
m2 =M =Mππ
1 + µ 0 +µcossin0442となる。
問３ 右端の糸に吊るすおもりの質量がm のとき，正 2n 角形の各面と各物体の間にはすべて最大摩擦力がはたらくから，nππ − µ 0 sin cos
2n2n  M
m=ππ + µ 0 sin cos
2n2n となる。
問４円柱は正 2n 角形で n → ∞ としたものと考えられるから，前問３の結果より，n →∞のとき，nnππ π n+ µ 0 sin cos
1 + µ02n2n  m ≒ 2n  m ≒ 1 + µ π  m
M =0ππ π n
− µ 0 sin cos
 1 − µ02n2n 2n である。ここで， h =nµ 0πとおくと， n = µ 0π h となるから，
1µ πhnπ
1 01 + µ 0  = 1 + n h→ e µ 0πと書ける。
これより，0 回巻きで円柱にひもをかけただけのとき，質量 M のおもりを支える最小のおもりの質量をm とすると，
M = e µ 0π m…①となる。
ひもを円柱に巻き付けたとき，ひもの質量が無視できるから，円柱の下側のひもの張力も上側のひもと同じように扱える。よって， N 回巻きしたとき，質量 M のおもりを支える最小のおもりの質量を m 0 とすると，
M = e ( 2N +1) µ 0π m 0N=∴M1 1
ln− 1
2  µ 0π m 0となる。
ここで， ln は底がe の自然対数を表す。 µ 0 = 1.0 ， M = 60 kg，m 0 = 10 × 10 −3 kg を代入して，N ≒ 0.88が得られる。
これより，最低１回巻けばよいことがわかる。
問５ おもり W1 が最下点から上昇に転ずる条件は，①式の導出と同様にして，
M0M 0 > e µ0π M 1 ∴> e µ0π = e π ≒ 23M1である。
問６ ひもの質量が無視できるため，ひもが円柱面上を加速度をもって滑っているとき，円柱面上の微小な長さのひもにはたらく力はつり合っている。したがって，おもりW0 にはたらくひもの張力 T 0′ とおもり W1 にはたらくひもの張力 T1′ の関係は，①式の導出と同様に求めることができる。
おもり W1 が下降しているとき，T 0′ と T1′ の関係は， T 0′ = e − µπ T1′ ，W1 が上昇しているとき，

T 0′T1′T 0′ = e µπ T1′ となる。

W1 が下降しているとき(図ａ)，おもりT 0′

W0 と W1 の運動方程式は，W1 の上向きの加速度を α d とすると，

W0(ⅰ)αdT1′M 0α d = M 0 g − e − µπ T1′αdW1M 1α d = T1′ − M 1 g

これらより， T1′ を消去して，M 1g2

図ａαd =

M 0 − M 1e − µπ
M 0 + M 1e − µπg ＝一定となる。
したがって，等加速度運度の式より，点 O からの下降距離 L は，
0 2 − v 02 = 2(−α d )L∴

L=v 02
1  M + M 1e − µπ  v 02=  0
2α d 2  M 0 − M 1e − µπ  gである。
(ⅱ) W1 が上昇しているとき，W1 の上向きの加速度 α u は，α d で e − µπ → e µπ として，

αu =M 0 − M 1e µπ
M 0 + M 1e µπgである。
したがって，点 O を通過するときの W1 の速さv 1 は，α uLv 12 − 0 2 = 2∴ v1 =2α u L = v 0(M 0 − M 1e µπ )(M 0 + M 1e − µπ )(M 0 + M 1e µπ )(M 0 − M 1e − µπ )となる。よって，v0=v1(M 0 + M 1e µπ )(M 0 − M 1e − µπ )(M 0 − M 1e µπ )(M 0 + M 1e − µπ )

M0
 M


+ e µπ  0 − e − µπ M1
 M 1 ≒ 1 .3= M0M− e µπ  0 + e − µπ  M1
 M 1である。
【参考】 エネルギー保存則
円柱からひもにはたらく動摩擦力の仕事を求め，エネルギー保存則について考えてみよう。
おもり W1 が下降しているとき，W1 にはたらくひもの張力の大きさ T1′ は，
T1′ = M 1 (α d + g ) =2M 0

M 0 + M 1e − µπM 1gである。ひもに円柱からはたらく動摩擦力の大きさ Fd は，Fd = T1′ − T 0′ = (1 − e − µπ )T1′ =となる。
32M 0 (1 − e − µπ )M 0 + M 1e − µπM 1g

W1 が上昇しているとき，W1 にはたらくひもの張力の大きさ T1′′ は，
2M 0T1′′ =M 1g
M 0 + M 1e µπとなる。ひもに円柱からはたらく動摩擦力の大きさ Fu は，W0 にはたらくひもの張力の大きさを T 0′′ として，
Fu = T 0′′ − T1′′ = (e µπ − 1)T1′′ =2M 0 (e µπ − 1)

M 0 + M 1e µπM 1gとなる。これより，おもりがはじめの位置に戻るまでの動摩擦力の仕事は，
W = − (F d + F u )L = −(M 0 + M 1 )M 0 M 1 (e µπ − e − µπ )(M 0 + M 1e µπ )(M 0 − M 1e − µπ )v 02である。一方，おもり W1，W2 の運動エネルギーの変化は，∆K =µπ− µπ) 11
 (M − M 1e )(M 0 + M 1e− 1
(M 0 + M 1 )(v 12 − v 02 ) = (M 0 + M 1 ) 0µπ− µπ22 (M 0 + M 1e )(M 0 − M 1e) =−(M 0 + M 1 )M 0 M 1 (e µπ − e − µπ )(M 0 + M 1eµπ)(M 0 − M 1e− µπ)v 02となる。よって， ∆K = W となっていることが確かめられる。

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第２問
問１ 題意より，真空中の光速は， c =1ε 0 µ0と表される。また，波長 λ の光に対するガラスの誘電率を ε ，透磁率を µ ( = µ 0 )とすると，ガラス中の光速は，c G =1εµと書けるから，nG =εµ= εr
ε 0 µ0c=cG∴nG = ε r2である。
問２ コンデンサーの容量 C は，コンデンサーにかける電圧をV ，蓄えられる電荷を Q とするとき，C =Qで定義されるから，同じ電荷 Q を蓄えると，極板間の電圧は，容量Vに反比例する。極板間隔を d とすると，極板間の電場の強さは， E =Vと表されるかd

ら，容量 C 0 のコンデンサーに電荷 Q を蓄えたときの極板間電圧をV 0 として，
CC0EV== 0 =E0 V0
C ε rC 0∴

E=E0εrとなる。
問３ 位置 x での荷電粒子の運動方程式は，
mα = −kx∴

α =−kx = −ω 02 xmより，

ω0 =kmとなる。
問４ 振動電場をかけたときの荷電粒子の運動方程式は，
mα = −kx + qE (t )= −mω 02 x + qE 0 cos ωtと書ける。ここで， x (t ) = A cos ωt とすると，加速度は α = − Aω 2 cos ωt であるから，
A=qE 01⋅ 2m ω0 − ω 2が得られる。
問５ 電磁波により，ガラスに角振動数 ω の外部電場 E ex (t ) がかけられたとき，ガラス板内の電場 E (t ) は，分極電荷による電場 E p (t ) = bx (t ) を用いて，5E (t ) = E ex (t ) − E p (t )と表されるから，ガラスの比誘電率 ε r は，
E p (t )E ex (t )x (t )= 1+= 1+b
E (t )E (t )E (t )

εr ==1+ bq1
A= 1+b ⋅ 2m ω0 − ω 2E0となる。これより，
nG = ε r = 1 + bq1⋅ 2m ω0 − ω 2…①を得る。
ガラスの可視光に対する屈折率n は１より大きいことから，ガラス分子の固有角振動数 ω 0 は可視光の角振動数 ω より大きいことがわかる。可視光の中で波長の長い赤色の光では，その角振動数 ω が固有角振動数 ω 0 から大きく離れるため屈折率は小さくなり，その結果，プリズムによる屈折角も小さくなる。波長が短い紫色の光では，その角振動数 ω が固有角振動数 ω 0 に近いため屈折率は大きくなり，その結果，プリズムによる屈折角も大きくなる。
問６ ①式より，n G2 = 1 +となる。ここで， ω p2 = bω p2
ω 02 − ω 2…②2π cqであり，角振動数 ω は波長 λ を用いて ω =(c ：真空mλ中の光速)と表される。
波長 λ1 ， λ 2 に対する角振動数をそれぞれ ω1 ， ω 2 ，対応するガラスの屈折率を n 1 ，n 2 とすると，②式より，ω p2 = (n 12 − 1)(ω 02 − ω12 )= (n 22 − 1)(ω 02 − ω 22 )となる。これより，

ω 02 =(n 22 − 1)ω 22 − (n 12 − 1)ω12n 22 − n 12…③を得る。また，角振動数が ω 0 に等しい電磁波の波長 λ0 は，

λ0 =2π cω0…④である。③式へ，λ1 = 7.682 × 10 −7 m，n 1 = 1.466 ，および，λ 2 = 5.876 × 10 −7 m，n 2 = 1.471を代入し，④式を用いると，
6

ω 01 = 1.86 × 1016 rad/s， λ01 = 1.01× 10−7 mとなる。
同様に，λ1 = 5.876 × 10 −7 m，n 1 = 1.471 ，λ 2 = 4.047 × 10 −7 m，n 2 = 1.482 とすると，

ω 02 = 2.07 ×1016 rad/s， λ02 = 0.91× 10 −7 mとなる。 λ1 = 7.682 × 10 −7 m， n 1 = 1.466 ， λ 2 = 4.047 × 10 −7 m， n 2 = 1.4823 とすると，

ω 03 = 2.01× 1016 rad/s， λ03 = 0.94 × 10 −7 mとなる。
いま，波長が λ ( > λ0 )の光に対しては，上のような簡単なモデルでプリズムによる光の分散をほぼ説明することができる。

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【応募理論問題・講評】
今回の応募理論問題は，昨年のものに比べてやや難しかったためか，応募者数に対する答案提出者数の割合が低くなったこと，また，提出された答案の中にも，白紙答案が多く含まれていた。問題が難しかったと言っても，問題文の誘導にしたがって行けば，それほどの難問ではなく，順番に解答を得ることができるようになっていたのではないかと思います。実際，優れた答案を書いている応募者も少なからずおり，応募者間の点数差が大きくなりました。最後の電卓を用いた数値計算は，かなり手間がかかったかも知れません。
第１問
摩擦のあるアトウッドの装置に関して，細かく誘導を付けて考察させる問題でした。誘導にしたがえば，それほど難問ではないと思ったのですが，はじめから諦めている応募者が多々見られました。
[Ⅰ] P，Q が静止できる条件は，P，Q にはたらく静止摩擦力が共に最大摩擦力以下になればよいわけです。糸 S2 の端に吊るすおもりの質量が最小のとき，P，Q にはたらく静止摩擦力は共に，最大摩擦力になります。ここまでで力尽きている答案が一定程度見られましたが，もう少し先まで考察してもらえればよかったと思います。
[Ⅱ]，[Ⅲ] 正四角柱を正n 角柱に拡張し，与えられているe の定義式を用いて n → ∞ の極限を考える問題です。わずか１回巻いただけで 60 kg の人を10 g のおもりで支えることができるという問４の結果には，驚きを感じた人も多かったのではないでしょうか。こ
こでは，ひもと円柱面の間の静止摩擦係数を，きれいな数になるように µ 0 = 1.0 としましたが，実際にはもう少し小さいかもしれません。しかし µ 0 = 0.5 としても，ひもを巻く回数が２倍程度増えるだけです。西部劇などで，馬の手綱を棒に２〜３回巻いただけで繋いでおくシーンを見たことがあるかもしれません。この問題の結果を考えれば，そのようなシーンも納得がいくでしょう。
[Ⅳ] ひもの質量が無視できる場合，ひもと円柱面の間の静止摩擦力を考えた上の考察は，ひもが動摩擦力を受けながら加速度をもって円柱面上を滑っている場合にも，静止摩擦係数 µ 0 を動摩擦係数 µ に置き換えるだけでそのまま適用することができます。このことに気付き，最後の問６まで完璧な答案を提出した応募者が一定程度見られたことに勇気付けられました。
この問題は，オイラー(Leonhard Euler，1707-1783)によって考えられた「ベルトの理論」に基づいています。ベルトの理論は普通，円柱のまま扱い，積分して結果を得るのですが，ここでは，円柱を正n 角柱の n → ∞ の極限と考えて，誘導を付けて解いてもらいました。オイラーのベルトの理論を紹介しているインターネットのホームページの URL を記入している答案もありました。
第２問
三角プリズムに白色光をあてたときに見られる光の分散を，光が電磁波であることを考慮して説明させる問題です。光をガラスに照射すると，ガラス分子内の電子が振動電場により振動し，その振動数によって誘電率が決まり屈折率が定まる。こうしてガラスの屈折率と照射する光の角振動数との関係を求めます。詳しい誘導が付けられているので，問１8

〜問４は，比較的よく出来ていました。
問５ 誘電体内の振動する荷電粒子(電子)は，誘電体内に生じる振動電場 E (t ) = E 0 cos ωtから力を受けるのであり，誘電体にかけた外部の振動電場 E ex (t ) から直接力を受けるわけではありません。しかし，荷電粒子が E ex (t ) = E 0 cos ωt から力を受けると考えて解答した答案が多く見受けられました。ただし，第 0 近似として，荷電粒子は外部電場から力を受けると考えても，それほど不適切とは言えません。そこで，そのような答案に対してもある程度の点数を与えることにしました。
この場合，【解答】は次のようになります。

εr =E ex (t )E ex (t )==E (t )E ex (t ) − E p (t )1−1=
E p (t )E ex (t )1x (t )
1−b
E ex (t )ここで，荷電粒子が外部振動電場 E ex (t ) = E 0 cos ωt から力を受けるとすると，問４より，
A=qE 01⋅ 2m ω0 − ω 2となることを用いて，εr =11−bAE01=1−bq1⋅m ω 02 − ω 2【解答】の①式の代わりに，と書けます。これより，ガラスの屈折率 n G は，nG =11q1−b2m ω0 − ω 2①’で与えられます。
問６ 光学ガラス FK1 の波長と屈折率のデータを３つ与えましたが，ガラスの固有振動数 ω 0 と対応する波長 λ0 は，どの２つのデータを用いて求めても構いません。どの２つのデータを用いるかによって３種類の ω 0 と λ0 の値を求めることができるので，これら３種類の値の平均値を求めている優れた答案も多々見られました。
また，①’式を用いた答案は，その後の計算が正しい限り正解としての点数を与えました。
この問題を通して，屈折率の波長依存性がどのようにして決められるのか，その本質的部分を理解してもらえれば有難いと思います。

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