3月１０日 ２０２２年 名古屋大学

非対称・非平衡・相転移― 私の研究経歴と今後の展望 ―名古屋大学名誉教授
杉山雄規 ： 理論物理学･数理物理学

私の研究者系列
朝永振一郎

坂田晶一

伊藤大介

大貫義郎

益川敏英
杉山雄規
格子ゲージ場の理論、くりこみ群（素粒子論）
非対称相互作用、非平衡散逸系（交通流）
2

益川さんと北門さんと私

3

研究活動
Conferences ・ Traffic and Granular Flow 1995～2019～
・ Pedestrian and Evacuation Dynamics 1999～
・ 交通流と自己駆動系シンポジウム 1994～2021（27回）~
アクセス ・ 交通流数理研究会 http://traffic.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/mstf

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-10583-2

Dynamics of Asymmetric
Dissipative Systems（Springer Nature）

非対称散逸系（Asymmetric Dissipative Systems）
数理模型（OV模型）

バネの振動子系から非対称散逸系へ

kn バネ振動子系：

ka : 感応係数

Xn Δxn Xn+1Xn-1n 非線形バネ振動子系：

一般化b

平均粒子間隔作用反作用の法則が成り立つ。
エネルギー･運動量の保存

n 一般非対称非対称化

作用反作用の法則を満たさない。
エネルギー･運動量の非保存
自己駆動粒子n 完全非対称(OVモデル)

W=0

散逸項(エネルギー流出）非平衡開放系 と 自己駆動粒子（Self-driven Particles）
エネルギーの流入・流出

ミクロ（局所的）相互作用する粒子集団

自己駆動力

エネルギーの流入エネルギーの散逸

マクロ現象の発現● 非平衡開放系現象の物理的特徴
I.

ミクロからマクロへのギャップ ： 相転移・分岐現象

II.

マクロな空間スケールの発現 ： パターン形成

III. マクロな時間スケールの発現 ： 固有時間・パターンの律動（リズム）IV. マクロな揺らぎの発現： ベキ乗則非対称相互作用が粒子密度(1/b)による一様運動の不安定性を生む。
V ≠ W (=0)

Fourier変換による粒子の密度波の固有モードを求める。（線形安定解析）

Fourier成分の波数モード k

一様流の不安定条件 :を満たすモードθ が存在すること。

OVモデルの計算結果：

θ → 0 （長波長モードから不安定になる。） a ≦ 2V’(b)： 臨界条件

1/b=粒子数密度 ρ交通流・粉体流
1次元的な粒子集団流の安定性の相転移と形態形成■ OV模型の2つの解■ ：解の安定性の変化
臨界密度： ρｃ 粒子数・ 一様な流れの解 :
すべての粒子は等間隔・等速で走る。
x（⇔自由流）

安定不安定

ρ ＜ρc

ρ ＞ρc

不安定

安定・ クラスタを形成する流れの解 :移動クラスタを持つ流れ。
x（⇔渋滞流）クラスタの運動渋滞の発生

移動クラスタ（渋滞クラスタ）の形成と安定性■ クラスタ流解のprofile ：リミットサイクル（粒子の出入りのバランスを示す。）

個々の構成粒子の運動

xクラスタの運動
固有の時間 τ がクラスタの性質をすべて規定する。

構成分子の非平衡な動的状態による巨視的形態の形成：系に!"#$%&#'された固有の時間 τ 遅れて常に構成分子が入れ替わる。

∝移動クラスタが安定に形成され、固有の運動をする。
“ホメオダイナミックス”（代謝）■円周サーキットによる渋滞形成実験
New Journal of Physics 10 033001 (2008), Best Paper of the year 受賞, Discovery,ScienceNOW Daily News 28 Mar. 2008, NewScientist, YouTube (→shockwave traffic)
300万回ダウンロード

一様流

22台・円周230m
渋滞流
中心に置いた全周ミラーによる撮影

中日本自動車短大の実験現場の空撮

n 円周サーキット上の全ての車の軌跡~20km/h

22台、 円周230m~20km/h

23台、 円周230m

■ 渋滞が発生する車両密度の領域

臨界車両密度曲線
a=2V’(1/ρ)

個々の車の運動（低速）x

個々の車の運動 (高速）一様流xa : 応答係数

一様流

個々の車の運動x
渋滞クラスタの運動-1/ρ：車両密度 1

流量

高速道路実測データと理論の照合
背景： 実測値◆ OV模型による計算値

・ 渋滞流解 ：・ 一様流解臨界車両密度a=2V’(ρｃ)
25台(1/km)

車両密度

Science News 2008.3.28

Yomiuri Online 2008.3.5

毎日新聞 2008.5.2

Telegraph.co.uk 2008.3.4

NewScientist.com 2008.3.4

ナゴヤドームにおける渋滞形成実験（２００９/１２）

②①

Lecture in
Santa Fe Institute

Symmetry Breaking,（対称性の破れ）Phase Transition
（相転移）
and
Non-Equilibrium
Phenomena（非平衡現象）Nature 2013.11.13

実験に参加した共同研究者のみなさん
・福井稔、吉田立（中日本自動車短大）
・菊池誠（大阪大）
・只木進一（佐賀大）・中山章宏（名城大）
・西成活裕（東京大）・湯川諭（大阪大）
・柴田章博（つくば高エネルギー加速器機構）
・石渡龍輔（東北大）
・友枝明保（関西大）

サグ、トンネル、e.t.c.
何もなくても渋滞発生は、車両密度が臨界値を超えるだけで、自然に起こる、物理現象である。
（非平衡系の相転移現象多体系の協同現象）

衝突しないように安全に車が流れる状態に自然に移行する。

高次元系 d≧2の不安定性と形態形成■ 2-次元 OV モデル■ 高次元空間 における 粒子集団のモード● longitudinal mode（縦波）
気体・液体・固体（連続体）● transverse mode（横波）● elliptically polarized mode（楕円偏向波）
粉体（非対称相互作用粒子集団）の特徴

■群れ形成

引力が少しでもあると(c≠-1)一様流形態が不安定

stablec＝-1
一様な流れ（初期状態）

c=0

c=1

クラスタ(群れ）の形成

ランダム (初期状態)

n 発現した巨視的形体の多様性 ＆ 形体のランダムドリフト運動
a=5, c=1, N=100

a=1.5, c=0, N=350

a=5, c=1, N=100

a=3, c=0, N=350

ある範囲内のすべての粒子と相互作用

全方位最近接の粒子のみと相互作用
a=10, c=1, N=300

a=10, c=0, N=100

■ 自己駆動集団の動力学＝非対称相互作用による少数の外部刺激“群れ形成、追従、排除”現象
により制御
・イワシの螺旋回遊
・羊の群れの誘導
外部刺激＝外敵（鮫） 外部刺激＝牧羊犬

著作権の都合により画像を削除しました

秩序制御の数理

著作権の都合により画像を削除しました

・避難者集団流れの制御・誘導

著作権の都合により画像を削除しました•集団秩序を創発するDynamical System•制御機構の解明

n 自然界の集団運動の知的・適応的振る舞い）
を非対称散逸系（OV模型）でシミュレートする。
● 最適経路の発見：

適応的集団運動の例

2d-OV粒子集団による計算●“Trail”のパターン（シュタイナー問題の解）[2]粘菌による実験中垣俊之教授（北海道大電子科学研究所所長）

① マクロ形態（リミットサイクル）は、なぜ粒子数・密度・境界条件、等に依らないか。
（少数自由度で既に無限系）② マクロ形態のフレキシビリティ（変形自由度・速い反応・適応的集団運動）
粒子数自由度が余剰な自由度になる。
→ 高い縮退性を持つ(内部）連続的対称性⇔ゲージ対称性③ OV系を例とする、非平衡定常状態の“熱力学”の構築（集団運動による動的マクロ形態）３つは関連する。

①の答え： 粒子数N がある程度大きければ、同一のLimit Cycle解（渋滞解）へ指数関数的に収束v

L / N = d −ε

L/N =dL / N = d +εN →∞(at 1 - e - Nat1-e- N2 a (t + Dt )(∗aτ = 2 1− e)- N2 a (t - Dt )(−aτ ∗))(Sugiyama, Yamada,- at
P.R.E55,7749(1996))= 2 1- e+e
指数関数的に収束し粒子数Nが数１０2程度で、密度L/Nに依らず、Nが無限大の場合と同一のself-dualのリミットサイクルを与える。 Tsumugi Ｉｓｈｉｄａ, Y.S.
(Nagoya Univ.)

非対称散逸系 → 交通流(自然渋滞との関係は)台数の異なる渋滞で、車両密度に依らず、渋滞クラスタの後退速度などが同一である理由が解析的に示されたことになる。
階段関数OV模型は厳密に解ける!

② 運動クラスタ解の導出における対称化と次元縮約の物理的意味 楕円関数soliton解
特徴的固有時間τ遅れて，相対的に同じ位置に1台次の車が来る。(t – n対称性)

xn (t + t ) = xn +1 (t ) - vct

Vc : 運動クラスタの速度N 粒子の自由度が、渋滞流では特徴的時間の遅れτを介して、実質1 粒子の運動に縮約される。 2N → 2 .
巨視的力学変数(ＯＶ方程式の集団運動により非線形効果で導出された。)
29

③を目指してCoarse Analysis
ミクロ変数の集団運動によるマクロ状態の変化
coarse変数で記述する。
データセット (N個の粒子)
in the phase space (x,v) at t , 2N- 次元 vector⇒ モーメントのセット (N次までの多項式) for x,v
マクロ状態の解 at 各 t in (Ψ１, Ψ2) space（coarse変数による縮約された空間で見る。）••

Diffusion Map ・Eq.-free method
Kantorovich metric spacee.g.） 1-dOVの渋滞クラスタ形成
2-dOVの迷路探索
Optimal Transportation （最適輸送理論）
Wasserstein幾何の適用e.g.) 1-d OVマクロパタンの時間変化 : P(t1) → P(t2) → P(t3) →“Affinity matrix” ２つのパタンの類似度Kr（P, P‘）
B :=Kr( P(t1), P(t1)) Kr( P(t1), P(t2))
Kr( P(t2), P(t1))

Kr( P(t2), P(t2))→ P(tn)・・・・ Kr( P(t1), P(tn))
・・・・ Kr( P(t2), P(tn))
・Kr( P(tn), P(t1))

Kr( P(tn), P(t2))

・・・・ Kr( P(tn), P(tn))“Wasserstein 空間” : eigen vector : { Ψ1, Ψ2, ・・・, Ψr }eigen value : λ1 ＞ λ2＞ ・・・＞ λrr = rank B

マクロパタンの時間変化 :P(t1) → P(t2) → P(t3) →→ P(tn)⇒ Wasserstein 空間の軌道: p1 → p2 → p3 →→ pna pattern P(ti) ⇒ c1Ψ1 + c2Ψ2 + ・・・ : a vector in Wasserstein space↓pi ∈ vector in Euclidean space R^r ~ R^2 (2次元空間）
dimensionality reduction

Bi-stability as sub-critical Hopf 分岐 1-d OV modelby Diffusion map
移動（渋滞）クラスタ流
3-d front view
(安定 Limit cyclesolutions)(Ψ１, Ψ2) space

Macroscopic variables

Ψ2

一様流

Y. Miura, Y.S.
(Nagoya Univ.)

不安定Limit cyclesolutions
粒子の感応度パラメータΨ1

最適な安定パタンの規定するマクロ変数を探る- e.g.) Simple な迷路 - R. Ishiwata , R. Kinukawa, Y.S.

集団運動のパタンの類似度を測ってマクロ形態の変化を調べる。
One point
in Wasserstein metric space

One pattern of particles
in real space

Ψ2

迷路内実空間における２D-OVparticlesの流れ運動形態の変化

Ψ1

類似度空間 （Wasserstein 計量空間）における軌道の変化

③の予想
2D-OV particlesの最適流動形態⇔迷路空間内の最短経路
集団運動形態の連続変形
最適流動形態 ⇔ 低次元 Wasserstein 計量空間の局所ポイント
連続変形自由度＝高い縮退度の基底状態を持つ熱力学ポテンシャル
低次元Wasserstein 計量空間上に構成されている。

少数の巨視的変数（coarse variables) Ψ1, Ψ2 ?
e.g.) 1-dOVの渋滞クラスタ形成
2-d OVの迷路探索を踏まえて

1次元円周上のFlow in Wasserstein 空間(Non-equlibutium steady state)Ψ２

渋滞クラスタ流

Changeparameter
a=1.5 →1.8

Changeparameter
a=1.1 →1.5

Initial condition(random)

一様流

Start
parameter
a=1.1

Ψ１

Ψ1 axis is important !

35

What variable iscorresponding to Ψ1 axis ?

Changing of
the variance of headway σ
Changing of
the coefficient of
Ψ136

37