令和４年度

後期

物理基礎・物理解答例

問題１（１） 小球についての力学的エネルギー保存則より1𝑚𝑔ℎ − 𝜇′𝑚𝑔 cos 𝛼 ∙ 𝑙 = 𝑚𝑣1 2∴ 𝑣1 = √2𝑔(ℎ − 𝜇 ′ 𝑙 cos 𝛼)2（２） 衝突後の小物体の速さを𝑣1 ′ とすると
𝑣 ′ −𝑣2

1=− 1反発係数の式より

𝑚𝑣1 + 0 = 𝑚𝑣1 ′ + 𝑀𝑣2∴ 𝑣2 =

𝑣12𝑚𝑣
𝑀+𝑚 1

（３） 点 P から離れるとき，壁面からの垂直抗力が0になるので，
𝑣 2

𝑀 3 − 𝑀𝑔 sin 𝜃 = 0𝑟

∴ 𝑣3 = √𝑔𝑟 sin 𝜃（４） 点 O を原点として水平方向右側に x 軸，OD 方向に y 軸を導入する。小球の軌跡は，時間 tを用いて
1𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 − 𝑣3 sin 𝜃 𝑡， 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 + 𝑣3 cos 𝜃 ∙ 𝑡 − 𝑔𝑡 2 と表せる。t を消去すると，
2𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 + 𝑣3 cos 𝜃 ∙ (𝑟 cos 𝜃−𝑥𝑣3 sin 𝜃1𝑟 cos 𝜃−𝑥 22𝑣3 sin 𝜃)− 𝑔()

小球は点 O を通過することから，𝑥 = 𝑦 = 0 を代入する。また，𝑣3 = √𝑔𝑟 sin 𝜃0 = 𝑟 sin 𝜃 +𝑟 cos2 𝜃sin 𝜃1𝑟 2 cos2 𝜃2𝑔𝑟 sin 𝜃∙sin2 𝜃− 𝑔∴ sin2 𝜃 =13∴ sin 𝜃 =なので，

1√3（５） 点 P から角度90 − 𝜃に速さ𝑣3 で射出する問題に置き換えられるので，𝑣3 の鉛直方向の速度は，𝑣3 sin(90 − 𝜃) = 𝑣3 cos 𝜃𝑣3 が最高点に達するまでの時間を𝑡1 とすると， 𝑣3 cos 𝜃 − 𝑔𝑡1 = 0𝑣 cos 𝜃∴ 𝑡1 = 3𝑔

𝑣3 が最高点に達してから運動は，最高点から水平方向に速さ𝑣3 sin 𝜃で射出する問題に置き換えられる。最高点から水平面に落下するまでの時間を𝑡2 とすると，最高点の水平面からの高さは
111222𝑟 + 𝑟 sin 𝜃 + 𝑣3 cos 𝜃 𝑡1 − 𝑔𝑡1 2 なので， 𝑔𝑡2 2 = 𝑟 + 𝑟 sin 𝜃 + 𝑣3 cos 𝜃 𝑡1 − 𝑔𝑡1 2
12𝑣 2 cos2 𝜃𝑔𝑡2 2 = 𝑟(1 + sin 𝜃) + 3𝑔𝑣 2 cos2 𝜃− 32𝑔∴ 𝑡2 =√2𝑔𝑟(1+sin 𝜃)+𝑣3 2 cos2 𝜃𝑔となり，

問題２(1) スイッチ S を A 側に閉じて十分に時間が経過したとき，C2 に蓄えられる電気量 [C] を求めよ。
（計算など）直列回路なので，C 1 と C 2 に蓄えられる電荷は同じである。
𝑄より，両端の電位差は電気容量の逆数に比例する。両端の電位差を V1 ，V2 とすると，
𝑉=
𝐶
1 1
1 1
𝑉1 : 𝑉2 = : =:= 3.0: 2.0 = 12 V: 8.0 V
𝐶1 𝐶2 2.0 3.0である。よって，Q = C2V2 = 3.0×10-6 × 8.0 = 24×10-6 Cである。
答

2.4×10-5 Cor

24 C(2) C 1 の極板間を比誘電率 6.0 の誘電体で満たした後，スイッチ S を A 側に閉じて十分に時間が経過したとき，C 1 に蓄えられる静電エネルギー [J] を求めよ｡（計算など）新たな両端の電位差および電気容量を V1’ ，V2’ ，C1’ ，C2 とすると，
𝑉1′ : 𝑉2′ =1 1
1 1: =:= 1.0: 4.0 = 4.0 V: 16 V
𝐶1 ′ 𝐶2 12 3.0

11𝑊1′ = 𝐶1′ (𝑉1′ )2 = ∙ 12 × 10−6 ∙ 4.02 = 96 × 10−6 J
22である。
答

9.6×10-5 J

or96 J(3) 誘電体を取り除き，(1)の状態に戻した後，スイッチ S を B 側に閉じて十分に時間が経過したとき，C 3 両端の電位差 [V] を求めよ。
（計算など）C 2 と C 3 は並列接続なので合成容量 C23 は 12.0 F である。電荷 Q は保存される。よって，両端の電位差 V は，
𝑉=𝑄
24 × 10−6== 2.0 V
𝐶23 12.0 × 10−6である。
答2.0 V1倍に減少させた。C 3 に蓄えられる静電エネルギーは，極板9面積を減少させる前の何倍か求めよ。

(4) (3)の状態のまま，C 3 の極板面積を（計算など）初めに C 3 に蓄えられた静電エネルギーは，
𝑊3 =11𝐶 𝑉 2 = ∙ 9.0 × 10−6 ∙ 2.02 = 18 × 10−6 J
2 32である。
新たな電気容量 C3’ は 1.0 F になるので，合成容量 C23’ は 4.0 F である。よって，両端の電位差は，
𝑉′ =𝑄
24 × 10−6== 6.0 V′
𝐶234.0 × 10−6である。C 3’ に蓄えられた静電エネルギーは、
11𝑊3′ = 𝐶3′ 𝑉 ′2 = ∙ 1.0 × 10−6 ∙ 6.02 = 18 × 10−6 J22であるので，
𝑊3′ 18 × 10−6== 1.0
𝑊3 18 × 10−6である。
答

1.0 倍(5) (4)の状態のまま，A と B を導線でつなぎ十分に時間が経過したとき，C 3 に蓄えられる静電エネ
ルギー [J] を求めよ。
（計算など）つないだ後の C 3’ 両端の電位差 V23 を求める。
𝑉1 : 𝑉23 =

1 1
1 140
20:
=:
= 2.0: 1.0 =V:V
𝐶1 𝐶23 2.0 4.0
3.0 3.0

つなぐことで，C 3’ に蓄えられる静電エネルギーは，
𝑊3′′ =

1 ′ 2
120 2
𝐶3 𝑉23 = ∙ 1.0 × 10−6 ∙ ( ) = 22.22 ⋯ × 10−6 J223.0である。有効数字 2 桁にする。
答

2.2×10-5 Jor22 J

問題３(1) G の内部エネルギーは，A で CVTA，D で CVTD であるから，内部エネルギーの変化量はCV(TA－TD)である。
答CV(TA－TD)(2) G は定積変化では仕事をしない。断熱変化では内部エネルギーの減少量だけ外部に仕事をする。
A→B：G が外部にする仕事(正) ＝内部エネルギーの変化量の絶対値＝ CV (TA－TB)

C→D：G が外部にする仕事(負) ＝－ 内部エネルギーの変化量の絶対値＝ CV (TC－TD)
G がおこなう仕事の総和はこれらを加えてCV(TA－TB＋TC－TD)
答CV(TA－TB＋TC－TD)(3) B→C で内部エネルギーは大きさ CV(TB－TC)だけ減少している。B→C で G は外に仕事しないので，熱力学の第一法則により，この内部エネルギーの減少分が熱として放出される。
答

吸収したか放出したか：

放出した

熱量の大きさ：CV(TB－TC)

(4) 熱効率＝外部にした正味の仕事÷加えた熱＝CV(TA－TB＋TC－TD) ÷ CV(TA－TD)＝(TA－TB＋TC－TD)/(TA－TD)

A の体積を VA とすると B の体積は kVA と表せ，与条件 TAVAm＝TB(kVA)m より関係式 TA＝TBkmを得る。同様に関係式 TD＝TCkm を得る。これらの関係式を熱効率の式に代入し，(TBkm－TB＋TC－TCkm) / (TBkm－TCkm )＝1－1/km

答

1－1/km問題４(1)(2) y1 と y2 が逆位相となる条件を求める。n を整数とし，次式を満たす条件のうち n = 0 の場合が，最小の角度  を与える。

よって(3) 右図は，一例として  = L の場合に，「強め合う点が通過する線」の概略を太線で示している。そのうちの直線は，線分 S1S2 の垂直二等分線であり，いかなる波長であっても O2 を通る。そこで，O1 が「波が強め合う点」となる条件を求めればよい。n を整数とし，次式を満たす条件のうち n = 1 の場合が，最大の波長 を与える。

（参考：O2 は両波源からの距離が等しく，「波が強め合う点」となる条件において n = 0 の場合に相当する。）