１ ＜ 1＞
【ルール】☆と△と□と○と◎の 5 種類の記号があります。
☆☆☆☆⇔△△△△△⇔□

そう ご□□□□⇔○○○○○⇔◎こ うかん

このように相互で交換ができるものとします。
例えば， A☆ 22 個をできるだけ少ない個数の記号に交換すると，□△☆☆となります。

また，B□△△☆をすべて☆にすると，☆ 25 個に交換できます。
したがこのルールに 従 って，次の問いに答えなさい。
( 1 ) A を参考にして，☆ 100 個をできるだけ少ない個数の記号に交換しなさい。

( 2 ) B を参考にして，◎□□☆をすべて☆に交換したとき，☆は何個できますか。

＜ 2＞

た ろう

じ ろう

こう かまい太郎君と次郎君の家では，お手伝いをした日は， 100 円硬貨 1 枚をもらいます。お手伝いができなかった日は， 50 円硬貨 1 枚と 10 円硬貨 1 枚をもらいます。
このとき，次の問いに答えなさい。
( 1 ) 太郎君が， 2 週間後に合計金額を確かめると 1200 円ありました。何日お手伝いをしましたか。

( 2 ) 次郎君がある日，合計金額を確かめると 1600 円ありました。何日お手伝いをしましたか。考えられるすべての日数を少ない日数の順に答えなさい。

ドラゴンⅡ算- 1

のう ど

２ A ， B の容器に重さのわからない 2 種類の食塩水があります。その濃度は A が 8 ％で，B が 2 ％です。これについて，次の問いに答えなさい。
( 1 ) A の容器の食塩の重さが 60g のとき，食塩水の重さは何 g ですか。

( 2 ) A と B の容器から食塩水をそれぞれ何 g かずつ取り出して混ぜると 6 ％の食塩水になかんた んりました。取り出した A と B の食塩水の重さを最も簡単な整数の比で答えなさい。

( 3 ) A と B の容器から同じ重さの食塩水を取り出し，それに水を 400 ｇ加えて混ぜると3 ％の食塩水になりました。 3 ％の食塩水の重さは何 g ですか。

ドラゴンⅡ算- 2問題は，次のページに続きます。

ドラゴンⅡ算- 3

だん

３ 1 辺の長さが， 1cm の正三角形を下の【図 1 】のように 6 段積み上げました。このとき，図の中の上を向いている三角形がいくつあるかを数えます。
A

【図1】

【図2】

BCE

DHG

1段目
2段目

FI

J

【図3】
合計4個
6段目
小3個

大1個

【数え方】
【図 2 】のような向きの三角形を上を向いている三角形とします。また ，【図 3 】のよちがうに，大きさが違ったり，重なっていても，それぞれを 1 個と数えます 。【図 3 】であれば，三角形は 4 個となります。
以下は，先生と A さんがどのように数えたのかについて話をしています。また，会話文，問題文の三角形は，すべて上を向いている三角形を意味します。
く ふう

先生： A さんはどのようにして三角形を数えたのかな？工夫しましたか？
わ たしA： 私 は，三角形の大きさに分けて数えました。 1 辺の長さが 1cm の三角形は，1 段目に 1 個 ， 2 段目は （ ア ） 個となり ， 3 段目は （ イ ） 個となります 。 あとは ，同じように数えると，全部で（ウ）個となります。次は 1 辺の長さが 2cm の三角形… 1 段目だと出来ないから， 2 段目から数えていくと…， 1 辺 2cm の三角形は全部で（ エ ）個となります 。順番に数えていると ，増え方に規則があることに気付いたので，式に表して計算しました！

先生：なるほどね！ちゃんと式に表して計算したんだね。重ならないように気をつけて数えられていますね。
A：でも答えはあっているのかなぁ…。全部で（オ）個で正しいですか？

先生：そうですね，あっていますよ。
ほかA：良かった～。でも，他にも数え方があるのかなぁ…。
むずか

先生：考えてみますか？少し 難 しいかもしれませんが，別の方法もありますよ。
A：よし，考えてみます！先生！
がん ば先生：頑張りましょう！実はね ，【図 1 】において，辺を 1 つ決めると，三角形は必ず１個に決まるのです。例えば，辺 BC を使ってできる三角形は，三角形 ABCしかありませんよね。他にも，辺 DE だと三角形 BDE ができ，辺 DF だと三角形
A①ができます。

：本当だ！と言うことは…辺がいくつできるか考えるんですね。

先生：そうですね。ただし，辺 BC を使ってできる三角形と辺 AB を使ってできる三ドラゴンⅡ算- 4角形は同じですよね 。重複して数えてしまわないように注意しないといけません。そこで，辺 BC や辺 DF のような，上を向いている三角形の底辺となる辺だけを数えていきます。
ちょう てんA：分かりました！辺は 2 つの 頂 点を結ぶと出来るから， 2 つの頂点の選び方を考えるんじゃないですか？

先生：…と言うと？
だん

A： 2 段目の底辺 DF だと， 3 個の頂点 D ， E ， F から 2 個の選び方が何通りあるかを考えるんです！そうすると ，【図 4 】のように頂点の結び方は全部で 3 通りになります。だから， 2 段目の底辺からは， 3 個の三角形ができるってことです。さらに， 3 段目の底辺 GJ だと， 4 個の頂点 G ， H ， I ， J から 2 個選ぶのは…
【図 5 】のような結び方になって，三角形が 6 個できるんです。

先生： A さん，すごいですね！
A：そうすると，残りは… 4 段目は（カ）個の頂点から 2 個を選ぶから…三角形は②個ですね。同じように数えると… 5 段目では，三角形が 15 個， 6 段目は21 個ですね。
先生：そうですね。そしたら， A さんの方法で数えた三角形の個数と同じ個数になりましたね。
A：それぞれの考え方を知るのって，新たな発見があるし楽しいですね。
【図4】
DE

【図5】
FHGI↓
DEEFDJ↓
GH HFIJI H

G

3通りIG

J

6通り

J

会話文について，次の問いに答えなさい。
( 1 ) （ア）～（カ）に当てはまる数を求めなさい。

(2)①に入る三角形を答えなさい。

( 3 ) 『 4 段目は（カ）個の頂点から 2 個を選ぶから…三角形は【図 4 】や【図 5 】の考え方を利用し，②②個』とありますが，に当てはまる数を求めなさい。

( 4 ) 7 段に増やしたとき，三角形の個数は全部で何個ですか。

ドラゴンⅡ算- 5い ちまい

４ A くんは，算数の参考書の中にあった一枚の写真に出会いました。
よえど

これは「 和算 」と呼ばれる ，江戸時代に発達した日本独自の数学であり ，江戸時代に大ベストセラーじん こう きのになった本『塵劫記』に載っている一問のようです 。大ベストセラーになる本の中身が気になり ，調べることにしました 。するとその中身は ，次のような問題でした。
．．
．．と おけとしょう
斗桶に油が 1 斗(＝ 10 升 )ある 。これを二人で分けるが ，7 升ますと 3 升ますしかない 。
これらを使い， 5 升ずつ等分してほしい。

※升：体積の単位， 1 升＝約 1.8L
めもA くんは，この問題を考えてみることにしました。この斗桶には目盛りがついてそう さ

いっ ぱいからいないので，一回の操作で ，油を移す先の容器を一杯にするか ，移している容器を空にするしかありません 。
A くんは， 1 斗( 10 升)ます， 7 升ます， 3 升ますがあると考え，油を移動する過程を表にしながら考えてみました。そうすると， ① 何度か油を移動させるとちょうど 5 升ちがずつになりました。また， ② 違う移動の仕方でも，何度か移動させると 5 升ずつになりました。
次の問いに答えなさい。
( 1 ) 下の【表 1 】は，波線部①のとき， A くんが油を移動させた回数と，そのときのそれぞれのますに入っている油の量を表にしたものです。また ，【図 1 】は， 0 ～ 3 回までの【表 1 】に表された移動を具体的に表しています 。【図 1 】を参考に ，【表 1 】の ㋐ ～ ㋕ に入る数を求めなさい。
【表 1 】【図 1 】

回数

10升ます

7升ます

3升ます

0(最初)

1000

1703273034334㋐605163617㋑7㋒㋓㋔

8㋕20952310550

最初

10升ます

7升ます

3升ます

10
1回目 「10升ます」から「3升ます」に入れると
3

7

2回目 「3升ます」から「7升ます」へ入れると
7

3

3回目 「10升ます」から「3升ます」へ入れると4

ドラゴンⅡ算- 633

( 2 ) 波線部②のとき， A くんが油を移動させた過程を表したのが【表 2 】です 。【表 2 】の ㋖ ～ ㋞ に入る数を求めなさい。
【表 2 】
回数10升ます7升ます

3升ます0(最初)

1000

1370

2343364

㋖461

㋗

59㋘

㋙

6㋚㋛㋜

7㋝

7㋞82539550( 3 ) 右の【図 2 】は ，【表 1 】で表した油の移動を図で表していま【図2】

しょ うす。これは， 3 升 ますと 7 升ますに入っている油の量を図で表しています。例えば， ⓐ の○印は 3 升ます， 7 升ますともに0 （空）の状態です。 ⓑ の矢印は， 3 升ますに油が 3 升入ったということを意味します。次の ⓒ の矢印は 3 升ますの中身ⓓを 7 升ますへ移したため， 7 升ます中に油が 3 升入り， 3 升ます
し たがが 0 になったことを意味します 。【表 1 】に 従 って順に矢印
とう た つ3 升ますが 0 である●印の ⓓ に矢印が到達します。同じようにして ，【表 2 】の移動を矢印を用いて解答用紙に書きなさい。

7升ますを書いていくと，最後は， 7 升ますに油が 5 升入っていて，ⓐドラゴンⅡ算- 7ⓒ3升ますⓑご いしなら

５ 3 個以上の碁石を，次の条件㋐，㋑の順に並べます。
㋐ 正三角形の形に並べる。ただし，並べた碁石の内側には碁石を並べない。
㋑ ㋐で並べた個数の碁石を正三角形の形になるように上から順に並べていだんく。そのとき，上から 1 段目， 2 段目…と数えていき，最後の碁石が並べらよれた段を「最後の段」と呼ぶ。
例えば ，下の図のように ，㋐の条件で 1 辺に 4 個ずつ並べると 9 個の碁石を使い ，ならその個数の碁石で㋑の条件で並べると「最後の段」は 4 段目になります。
㋐の条件で並べる㋑の条件で並べる

1123429856477… 1段目

658… 2段目

39… 3段目…「最後の段」＝4段目

数字は並べる順番です。
次の問いに答えなさい。
( 1 ) ㋐の条件で 1 辺に 5 個ずつ並べると使った碁石は何個ですか。また，その個数の碁
なん だん

石で㋑の条件で並べると「最後の段」は何段目ですか。

( 2 ) ㋐の条件で 1 辺に 10 個ずつ並べると使った碁石は何個ですか。また，その個数の碁石で㋑の条件で並べると「最後の段」は何段目ですか。

( 3 ) A くんと B くんは合計 39 個の碁石を使い，それぞれが㋐の条件で碁石を並べると，B くんの方がたくさんの碁石を並べました。次に，それぞれが並べた碁石を使って㋑の条件で並べると 2 人の「最後の段」は同じでした。このとき， B くんが㋐の条件で並べた正三角形の 1 辺あたりの碁石は何個ですか。

( 4 ) A くんと B くんと C くんは合計 51 個の碁石を使い，それぞれが㋐の条件で碁石を並べました。 A くんより B くんの方が， B くんより C くんの方がたくさんの碁石を並べました。次に，それぞれが並べた碁石を使って㋑の条件で並べると， 3 人の「最後の段」の合計が 15 段でした。このとき， 3 人の並べた碁石の個数の組合せは何通り考えられますか。

問題はこれで終わりです。

ドラゴンⅡ算- 8