いまさら聞けないガラス講座

ガラスの普遍的励起ボゾンピーク：不均一弾性体理論
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東京大学 大学院総合文化研究科
筑波大学 数理物質系 物質工学域

水野英如1，森龍也2

Universal excitation boson peak of glass: Heterogeneous elasticity theory
Hideyuki Mizuno1, Tatsuya Mori2
1

はじめに結晶の振動状態密度

Graduate School of Arts and Sciences, The University of Tokyo
2
Department of Materials Science, University of Tsukuba

結晶のデバイ理論（均一弾性体理論）
は，周波数の 2 乗

最初に結晶のデバイ理論を復習して，デバイで増加する。これはデバイ則と呼ばれる［1］。

則を導出しよう［1］。デバイ理論では，結晶をこれに対して，ガラスはデバイ則よりも大きい均一な弾性体と考えて振動状態密度を予言す振動状態密度を示す。この現象は「ボゾンピーる。なお，結晶は格子定数よりも長いスケールク」と呼ばれ［2］，これまでに多くの実験によ

では均一な弾性体に収束することが示せる［1］。って普遍的に観測されてきた［3-5］。ボゾンピ

弾性体の運動方程式は，ークは，ガラスの弾性率が空間的に不均一であることに起因する。結晶が均一な弾性体であることからデバイ則を導けたように，ガラスが不均一な弾性体であることから（デバイ則に比べて）過剰な振動状態密度が生じることを説明で（1）きる。弾性率の不均一性がガラス特有の物性をとかける（時間 を周波数 にフーリエ変換し生み出す点については，過去の記事で紹介させている）［8］。ていただいた［6,7］。本稿では，不均一な弾性質量あたりの）外力場を表す。また， はせん

体の運動方程式を直接的に扱い，解析的にボゾ

断弾性率， は体積弾性率， は質量密度を表ンピークを示そう。

す。利便性のため，以下では弾性率に対して，，は変位場，などの記号を導入する。

方程式（1）のグリーン関数〒 153-8902
東京都目黒区駒場 3-8-1
TEL 03-5454-4376
E-mail：hideyuki.mizuno@phys.c.u-tokyo.ac.jp

は（単位（3 × 3の行列）は，31

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であり， （2）はデバイレベルである。以上の計算から，振動状態密度が周波数で増加するという，デバイ則を導くことができと定義される［9］。 は（3 × 3 の）単位行列でた。均一な弾性体の振動状態密度はデバイ則にあり，従う。

はディラックのデルタ関数である。位置ベクトル を波数ベクトル にフーリエ変換をして，方程式（2）を解くと，ガラスの不均一弾性体理論
では，ガラスの不均一弾性体理論を説明しよ（3）う。基本的な考え方は，結晶のデバイ理論（均一弾性体理論）と同じであり，計算も並行してとおいた。弾性行うことができる。唯一の違いは弾性率が空間体に外力を与えると弾性波が伝搬するが，式（3）

中を揺らぐ点である。以下では，せん断弾性率の右辺の第 1 項は横波を表し，第 2 項は縦波をが位置 の関数として揺らぐ場合を考えよが得られる。

，表す。式（3）をへとフーリエ逆変換をすう。体積弾性率 K は均一であるとする。
ガラスを長さ w（体積 w 3）の微小領域に細かは，ると，グリーン関数く分けて考えて，各領域で局所弾性率を定義するものとする。長さスケール w は弾性率が（4）局所的に定義できて，かつ局所弾性率の空間相関が無くなるくらい大きくとるものとする。こと求めることができる。ここで，波数ベクトルのとき，せん断弾性率の確率分布関数をの積分領域をデバイ波数として，その平均値をでカットオフする［1］。物質には，例えば格子定としせん断弾性率が揺らぐ不均一弾性体の運動方数や分子径などの最小の長さスケール，つまり最大の波数スケールが存在するので，それを考，標準偏差をよう。
程式は，慮してカットオフを導入する。
振動状態密度の情報は，グリーン関数のトレースと虚部をとる操作によって得ることができて［10］，とかけて，グリーン関数（6）（3 × 3 の行列）は，（5）と計算できる。ここで，N は分子数，V は体積を 表 す。

，

（7）と定義される［9］。

はそれぞ式（7）のグリーン関数を厳密に計算することれ， 横 波 の 速 度，縦波の速度を表す。また，はできない。物性値（今の場合は弾性率）が不はデバイ周波数

均一に揺らぐ系のグリーン関数を近似的に計算する手法として，「有効媒質近似」が確立されて

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いる［10］。この近似の骨子は，不均一な弾性体を「複素数の弾性率」をもった均一な弾性体にマップすることにある（図 1）。すなわち，弾性率のゆらぎの効果を，複素数の有効弾性率に押し込めるのである。有効媒質近似では，有効グリーン関数として均一な弾性体の式

図1 効媒質近似：弾性率が不均一に分布する弾性有体（左図）を，複素弾性率をもつ均一な弾性体（右図）にマップする。

（4）を採用して，せん断弾性率 を有効弾性率に置き換えたものを扱う。

する。このとき， が揺らいだときのグリーン関数の平均値と，有効グリーン関数は一致すべきである。すなわち，

（8）は周波数 に依存する形で導有効弾性率

（11）という方程式が成り立つべきであり，これを満入する。
「複素数の弾性率」が物理的に意味する

たすように有効弾性率ことは，弾性体の変位場が「非弾性波」である

以上のように有効媒質近似は，ある一箇所の弾ことである。実際に，ガラスの振動状態は強く性率の揺らぎを使って近似的な解析を行うの乱れたものであることが分かっている［11］。

で，平均場近似と言える。

さて，有効弾性率ン関数（および有効グリーを決めればよい。

式（11）を解析するのだが，弾性率が）は次のように決める［10］。まで異なる値をとるので，波数空間に移行せずにをもつ均一な弾性体を考実空間のまま進むのがよい。そこで，局所弾性ず有効弾性率率を定義する際に導入した長さスケール w をえると，グリーン関数は，単位とした「単純立方格子」を設定する。これによって，微分操作が差分化できて，実空間上の解析が容易になる。式（11）を変形すると，
（9）以下の式（12）のように整理できる［12-16］。
（紙面数の関係から式（12）を導出することはせとかける（式（2）参照）。次に，任意の場所の弾性率って揺らぐとする。場所が確率分布に従の弾性率がのときず，文献［12-16］を参照とする。）のグリーン関数は，


（12）

（10）
は自己エネルギー関数と呼ばれ，弾性率のとかける。添字の“ｌ”は場所がことを意味し，性率をからは場所である

揺らぎによって有効弾性率が減少する効果を表における弾す。これはガラスの非アフィン性として知られに置き換える操作に対応ている［17］。方程式（12）はを決める
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ための自己無撞着方程式になっている。
さらに，方程式（12）を無次元化して整理すると，
（13）の３つのパラメータが存在することが分かる。
は不均一性の度合いを表すパラメータである。不均一性が大きくなると，系の安定性が失われる。すなわち，ある限界値依存する）が存在して，安定に存在するが，（はにの領域では系はになるとたがって有効弾性率，し方程式（12）と（14）を数値的に解いて得た振動状態密度の結果例。に虚部が出現し，系は不安定化する［12-14］。に虚部が出現し，この虚部のために振動状態密最後に式（5）と同様にして，有効グリーン関数

図2から振動状態密度を求めると，度が過剰になることが分かる。
式（12）と（14）を数値的に解いて振動状態密度を計算する手順は，以下のようになる。
（ⅰ）式（13）で定義される３つのパラメータを決める。
（ⅱ）自己無撞着方程式（12）を解いて，有効弾（14）性率を計算する。

（ⅲ）計算した動状態密度が得られる。ここで，自己エネルギー関数を式（14）に代入して，振を計算する。に つ い て 虚 部 が 実 部 に 比 べ て 小 さ い，数値計算の結果を図 2 に示す。振動状態密度のという条件を仮定すると，値がデバイレベルよりも過剰になる，「ボゾンピーク」が予言できる。したがって，弾性率の不近似をして計算を進めることができて，均一性がボゾンピークの起源になっていることが示された。
なお，として不均一性をゼロにすると，式（12）から弾性率が実数値で均一になるので，これを式（14）に代入すればデ（15）が得られる［18］。デバイレベル
弾性率は，せん断，体積弾性率から定義されるものである。なお，系が安定な場
合（式（12）と（14）は均一な弾性体理論も含むものになっている。

おわりには必ず実数で，本稿では不均一弾性体理論を用いてボゾンピより小さい値になる。式（15）から明らかなークを説明したが，最新の研究［19,20］では，ように，の場合）は，バイ則が得られる（式（5）参照）。したがって，に対して（正不均一弾性体理論は振動の局在化［11］や強いの）過剰な項が足されたものになっている。し音波散乱［18］も説明できることが実証された。

たがって，弾性率の揺らぎによって有効弾性率

また，不均一弾性体理論以外にも，近年ではラ34

はデバイレベル

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ンダム行列理論［21-23］を用いてガラスの振動特性を説明する試みが活発である。
最後に，この不均一弾性体理論の応用例を一つ述べる。この理論によって不均一な弾性率がボゾンピークを発現させることを説明したが，このことは，逆にボゾンピークの情報があればガラスの局所的な弾性率を評価し得ることを意味する。そのため，分光（非弾性中性子散乱，ラマン散乱，テラヘルツ分光）などによって実験的に得られるボゾンピークの情報［3-5］と，不均一弾性体理論を組み合わせることにより，ガラスのナノスケール弾性特性の情報を抽出できるだろう。今後，そのような応用がガラスの微視的な力学特性の理解や制御に繋がることを期待したい。
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