落石シミュレーションに用いるパラメータに関する研究(株)第一コンサルタンツ
右城 猛(株)第一コンサルタンツ ○篠原昌二

表 1 DRSPが使う入力データ

1. まえがき
斜面上を落下する落石の運動は，岩塊の寸法や形状，斜面の微地形，硬度，植生などの影響を顕著に受ける．したがって，これらの影響を確率論的に評価した数値シミュレーションを行うのが実際的である．
筆者らは，古典的剛体運動力学にモンテカルロ法を適用した二次元数値シミュレーションプログラム
DRSP(Daiichi-Consultants Rockfall Simulation Program)を開発した．このプログラムの実行には，衝突時における地盤の降伏強度，バネ定数，動的摩擦係数，ラフネスなどの斜面特性パラメータが必要となる．
DRSPでは表 1に示す入力データを用いてシミュレーションを行う．
これらの入力データは，決定方法によって次の３種類に分類される．
1.

斜面に依存しないデータ
落石の密度(一般に2.65t/m3)
計算刻み幅(一般に0.05s)
試行回数(一般に200回)

2.

現地調査・測量によって決定するデータ

入力データのうち，決定が難しいのは落石実験等地形変化点の座標値から求める必要がある8個のデータである．ところが，落石発生位置の座標値

シミュレーションに先立って現場落石実験を実施で解析終了位置きるケースは希であり，ほとんどの場合は，類似斜初期線速度面の実験データを用いるか，簡単な現地試験で推測初期角速度する必要がある．
DRSPを実用化するには，落石実験のデータベー

落石の半径
3.

入力データの種類
記号単位
データ種類
斜面m
地形変化点座標 x, y固定値
形状
衝突点の地盤のkN/m2 固定値
qd
極限支持力度
衝突点の動的地
kkN/m3 固定値
盤反力係数
斜面 除荷時の地盤剛−固定値ε
特性 性硬化率
動的摩擦係数−固定値µ
斜面補正係数正規分布
Ks (m,σ) −kN/m2 固定値
Co
斜面抵抗力
ラフネス係数正規分布
Ro(m,σ)rm固定値
落石 球の半径条件 密度t/m3固定値
ρ落石発生位置のx0, y0m
固定値
初期 座標
条件 初期線速度m/s
u0, v0
固定値
rad/s
初期角速度
固定値
ω0m/s
正規分布
限界線速度(m,σ)
Vlims
固定値
計算時間刻み幅∆t解析xm
条件 解析終了位置
固定値
end
N
試行回数回
固定値
※斜面特性データは斜面のセル毎に設定※データ種類が正規分布であるものは，平均値mと標準偏差σを指定する

落石実験から決定するデータス化を図り，上記８個の入力データについて斜面状衝突時の地盤の降伏強度態に応じたデフォルト値を用意するか，簡単な現場衝突時の地盤反力係数試験法を開発する必要がある．

除荷時の地盤剛性硬化率

本論文では，1980年に建設省土木研究所と四国地動的摩擦係数

方建設局が香川県牟礼町の土取場跡地の切土法面で斜面補正係数実施した落石実験斜面を対象にシミュレーション解斜面抵抗力析を行い，上記パラメータの同定を行ったのでそのラフネス係数結果を発表する．

限界線速度A Study on Parameters of Rockfall simulation
Takeshi Ushiro , Syoji Shinohara (Daiichi Consultants Co., Ltd.)2. 高松の現場落石実験の概要

No.50 109kg

3mhh

10m

30ﾟ60ﾟ

No.52 144kg

コンクリート
奥行き5m

風化花崗岩

(a)実験1(b)実験2
10 m50510 m

図 3 実験３による軌跡の一例(c)実験3

実験１と実験２より得られた跳躍軌跡から落石図 1 高松の落石実験の跳躍開始速度，着地速度を求め，リバウンド地点

落石実験斜面の勾配は約48゜，斜面長は約35m，の入射速度と反射速度から反発係数を算出すると図地質は等高線沿いに凹凸が顕著に発達した風化花崗4，図 5となる．

岩である．投石地点の横断図を図 1に示す．

落石の衝突位置毎に反発係数の平均値を求めれ

実験1と実験2は，斜面上に人工的にコンクリートば，図 4(a)となり，岩盤が最も大きく，次にコンク斜面を構築し，その上に落石を自由落下させている．

リート60度斜面が大きい．落石の形状と反発係数のコンクリート斜面は上部が傾斜角θ=30゜法長3m，関係は図 4(b)となり，形状の影響は見られない．落下部がθ=60゜，法長10mで，コンクリート強度はσc

石質量と反発係数の関係は 図 4(c)となる．質量の2=16〜18N/mm である．実験3は自然斜面上方の法肩k

影響はほとんど見られない．

付近から落石を転がして落下させている．
す．

3. 運動のパラメータ
3.1. 反発係数と斜面補正係数
No.3980kg

No.42410kg

No.70 270kg

No.71306kg

1.2
1.00.80.60.40.20.0θ=60゜1.00
反発係数

反発係数

実験より得られた落石の軌跡の一例を図 2に示0.550.350

塊状反発係数ee=1.0010m

板状塊状板状(b)落石形状と反発係数(コンクリート斜面)(a)衝突位置と反発係数

10m50.4

岩盤

e=0.550θ=30゜0.2
コンクリート コンクリート30度
60度

e=0.3550.61.2
10.80.60.40.20

θ=60゜
θ=30゜0200

400

600800

落石質量M(kg)(c)落石質量と反発係数(コンクリート斜面)

図 2 実験１，実験２による軌跡の一例

図 4 実験１，実験２による反発係数

図 5は入射速度の法線方向成分v1と反発係数eの関係を表している．v1の増加に伴い反発係数は減少する．コンクリート斜面，岩盤斜面ともにばらつきが非常に大きい．この原因は，図6に示すような衝突時の地盤の変形，斜面のラフネス，落石の形状の影響と考えられる．
反発係数eは，軌跡図から測定された入射速度V1と反射速度V2より式(1)で算出される．

V2 cos α 2
V1 cos α17V16V2(1)5v2

量で測定された値よりも∆θだけ緩いとすれば，式(1)で求められた反発係数は見かけの反発係数というこ

反発係数e

ところが，落石衝突点の真の斜面傾斜角が現地測とになる．反発係数のばらつきの原因が全て衝突点

4

塊状30度
板状30度
塊状60度
板状60度

1.2
1

反発係数ee=-v10.8
0.60.40.2

32
100の斜面傾斜角の測定誤差∆θに起因していると見な

5せば，真の反発係数e’は式(2)で与えられることにな

10-v1(m/s)

1500

510-v1(m/s)(a)コンクリート斜面

1520(b)岩盤斜面

図 5 入射速度の斜面法線方向成分と反発係数の関係

る．
反発係数のばらつきの原因が全て衝突点の斜面傾斜角の測定誤差∆θに起因していると見なせば，真V1V1の反発係数e’は式(2)で与えられることになる．

V1(2)

見掛けV cos(α 2 + ∆θ )e' = 2V1 cos(α1 − ∆θ )V2V 2cos α 2 − e'V 1cos α1V2 sin α 2 + e'V1 sin α1

真(a) 衝突時の地盤の変形

(3)

V2

見掛け

真式(2)を変形すれば，測定誤差は次式で表される．

∆θ = tan −1V2(b) 斜面ラフネス

線速度Vを斜面方向成分uと斜面垂直方向成分vで表せば，式(3)は次のようになる．

∆θ = tan−1 v2 − e' v1u2 + e' u1

図 6 地盤の変形とラフネス
V1(4)

α1∆θ

反発係数は，式(5)の双曲線関数で近似できる．

e′ =α2A
1 + Bv12V2(5)A,Bは定数であり，落石実験で求められた見かけθ (見掛け)の反発係数eから最小二乗法を用いて求めれば，図θ’=θ−∆θ 真
図 7 入射角・反射角8となる．ただし，明らかに不合理なe>1のデータは棄却した．
当該斜面の岩質は風化花崗岩である．にも関わら1.2ず回帰式から得られた反発係数は，v1<6.5m/s2の領域1.0でコンクリート斜面よりも岩盤斜面の値が大きくなっている．これはラフネスの影響と考えられる．

e反発係数係数e’と見なせば，式(3)あるいは式(4)でそれぞれの0.2eに対応する∆θを求めることができる．

0.00

斜面補正角∆θと衝突地点の見掛け斜面傾斜角θの510

0.819
2
1 + 0.0148v1

15

斜面垂直方向速度 -v1(m/s)

斜面補正係数∆比∆θ/θを斜面補正係数と定義すれば，θ/θは図 10となる．

[岩盤] e =0.60.4

岩盤双曲線e>1のデータは棄却0.8

双曲線回帰式で求められた反発係数を真の反発con 実験値
con 双曲線岩盤実験値

0.696[con] e =21 + 0.00878v1

図 8

入射速度の斜面垂直方向成分と反発係数との関係

20

実験結果からqd，k，εを逆解析で求めるには，前反発係数

述した双曲線回帰式の反発係数を真の反発係数とみ見掛け

eなし，双曲線回帰式にマッチングするようなqd，k，εを試行錯誤的に決定すればよい．図 12(a)はコンe’
真クリート斜面について，図 12(b)は岩盤斜面につい回帰式てqd，k，εを同定した結果である．
人工斜面のコンクリート圧縮強度は16〜8MN/m2-v1’=V1cos(α1-∆θ) -v1=V1cosα1である．これに対して同定された極限支持力度はqd

衝突速度斜面垂直成分=10MN/m2であり，コンクリート強度の1/1.6〜1/1.8

図 9補正傾斜角m=0.0137,σ=0.206

圧縮強度の約1,000倍であるが，同定された地盤反力

N=26

係数は極限支持力度の120倍でありかなり小さい．こ10頻度となっている．また，コンクリートのヤング係数は8の原因は，実験に用いられた供試落石が現地調達さ6れた花崗岩塊であるので，供試落石の強度および形4状の影響を受けているものと考えられる．
岩盤斜面で同定された値はqd=5MN/m2,k/qd=100で20ある．斜面の岩盤の強度試験が行われていないので‑0.6‑0.4‑0.2

00.20.4

Δθ/θ

検証はできないが，風化花崗岩としては妥当な値と判断した．

(a)コンクリート斜面

3.3. 限界線速度
斜面勾配が一様であったとしても，落石の角速度

m=-0.058,σ=0.269

による遠心力が大きくなれば落石は線運動から跳躍

N=24運動へモードを変える．落石の形状が立方体のよう頻度

108に単純なものであれば理論的に限界速度を算出でき

6る．
しかし，実際には落石のみならず斜面の形状も複4雑であるから実験によって推定する他はない．

20

図 13は実験３から得られた限界線速度のヒスト‑1‑0.8 ‑0.6 ‑0.4 ‑0.2Δθ/θ

00.20.4(b)岩盤斜面
図 10 衝突点の斜面補正係数

3.2. 地盤の極限支持力度，動的地盤反力係数，除荷時の地盤剛性硬化率
DRSPで定式化された反発係数eは，地盤の極限支持力度qd，動的地盤反力係数k，除荷時の剛性硬化率εは落石の半径r(落石質量に関係する)，入射速度の斜面法線方向成分v1の影響を受ける．これらのパラメータに対する反発係数の感度を調べると図 11となる．なお，反発係数の算定式には衝突地点の斜面傾斜角θも現れるが，θの影響は微少であり意識する必要はない．

グラムである．限界線速度の平均値はm≈8m/s，標準偏差はσ≈3.6m/sである．1.0e反発係数

1.0

θ=48度
r=0.25mk/qd=300
ε=1.0qdの影響

0.8qd=50MN/m2

0.6qd=10MN/m2qd=5MN/m2

0.40.2εの影響

e反 0.8
発係 0.6数
0.4

ε=1.0
ε=0.75ε=0.5

必要はなく，通常の構造物設計に用いられている0.

θ=48度
r=0.25m 2
k=10MN/mk/qd=3004〜0.6の値を採用すればよい．高松実験の場合は，斜面が岩盤あるいはコンクリートであるので0.6とした．

0.2

0005

1015200

1.0

θ=48度
r=0.25m 2
qd=10MN/m
ε=1.00.8k/qd=100k/qd=3001520

落石半径の影響

θ=48度
k=10MN/mk/qd=300
ε=1.00.8
e反発 0.6
係数 0.4k/qd=9000.2103.5. ラフネス係数

1.0k/qdの影響

e反0.6
発係 0.4数

5-v1(m/s)
入射速度の斜面法線方向成分-v1(m/s)
入射速度の斜面法線方向成分

現地調査から図16のように求める．ラフネス係数は，

r=0.25m
r=0.5m0.20

ラフネスhrは斜面の凹凸の程度を示す指標であり，2Ro =hr/r (0≤ Ro ≤1.0)として算定する．

r=1.0m

高松の斜面では平均値m=0.3．標準偏差σ=0.01と0051015200-v1(m/s)
入射速度の斜面法線方向成分

5101520-v1(m/s)
入射速度の斜面法線方向成分

した．
2r

図 11 反発係数の感度分析
0.8

θ=60度
r=0.25m
qd=10MN/m2
k/qd=120ε=0.65

反発係数 e反発係数 e0.60.80.4

e=0.200.696

θ=48度
r=0.25m
qd=5MN/m2
k/qd=100ε=0.850.6

e=0.819

3.6. 斜面抵抗係数

1 + 0.0148v12

抵抗係数C0は斜面上の植生などによる抵抗であ0051015200

入射速度の斜面法線方向成分-v1(m/s)

5101520

入射速度の斜面法線方向成分-v1(m/s)(a) コンクリート斜面(σck=16～18N/mm2)

る．高松の実験斜面は裸地であるのでC0=0とした．

(b) 岩盤斜面(風化花崗岩)

図 12 反発係数のパラメータの逆解析

4. シミュレーション結果
シミュレーションの条件を表2に示す．

m=8.05m/s
σ=3.558m/s表 2 シミュレーションに使用した斜面パラメータ

実験１32124681012

限界線速度141618コンクリート斜面

頻度40θ
図 14 ラフネス

0.40.2

1 + 0.00878v12hrrVlim(m/s)

3.4. 動的摩擦係数
動的摩擦は線運動と衝突の際に発揮される．斜面
傾斜角が非常に急勾配であれば，落石の線運動は滑りモードになるため摩擦係数が重要になってくる．
また，衝突の際の入射角が90度に近い場合，衝突時に滑りを伴うため摩擦係数が運動に影響を及ぼす．
しかし，ほとんどの場合一般の斜面では，線運動は転がりモードになる．また，衝突は滑りを伴わない．このため，摩擦係数については細かく検討する

岩盤斜面

図 13 跳躍へ移行する限界線速度

極限支持力度動的地盤反力係数
除荷時の地盤剛性
硬化率
動的摩擦係数
斜面補正係数
斜面抵抗力
ラフネス係数
限界線速度
極限支持力度動的地盤反力係数
除荷時の地盤剛性
硬化率
動的摩擦係数
斜面補正係数斜面抵抗力
ラフネス係数
限界線速度
試行回数

実験２

実験３

10,000 N/m2

1,200,000 kN/m3
0.696
0.6
m=0, σ=0.210m=0.3, σ=0.01
m=8.05, σ=3.558
5,000 N/m2
500,000 kN/m3
0.819
0.6
m=0, σ=0.27
0m=0.3, σ=0.01
m=8.05, σ=3.558
200回

各実験に対する200ケースの軌跡図のうち任意の20ケース分をそれぞれ図15，図18，図21に示す．

落石がバウンドした地点での入射速度，反射速度70と鉛直落下距離との関係を図16，図19，図23に示す．

60

運動エネルギーの変化は任意の1ケースについて
実験１10.00

合計50エネルギー(kJ)のみ図化した．その結果を図17，図20，図23に示す．

位置エネルギー

403020

線速度エネルギー

10回転エネルギー

0.00
01020304000123経過時間(s)45-10.00

図 17 落石のエネルギー変化(実験１)

実験２-20.00

10.00-30.00

図 15 軌跡図(実験１)10200301515

鉛直落下距離 y-y0 (m)2030

4030-10.00-20.00-30.00

20

図 18 軌跡図(実験２)25入射速度 V1(m/s)
303003535

5404010

図 16 速度分布(実験１)1520251020

反射速度 V2(m/s)
30

0

10200

自由落下

510

鉛直落下距離 y-y0 (m)0鉛直落下距離 y-y0 (m)

鉛直落下距離 y-y0 (m)205102510

自由落下

自由落下

1020

100050反射速度 V2(m/s)

入射速度 V1(m/s)
00.00

152025303035354040

図 19 速度分布(実験２)

自由落下

30

7060
合計5050エネルギー(kJ)

エネルギー(kJ)60

位置エネルギー

403020

線速度エネルギー

合計40

位置エネルギー

30201010回転エネルギー

回転エネルギー

線速度エネルギー

000123経過時間(s)450

図 20 落石のエネルギー変化(実験２)123経過時間(s)456

図 23 落石のエネルギー変化(実験３)

実験３
90.00

80.00

70.00

解析軌跡の包絡線(太線)

60.00

解析斜面(太線)

50.00

40.00
01020304050

図 21 軌跡図(実験３)
入射速度 V1(m/s)
01020

図 24 現場実験斜面と軌跡の包絡線(実験２)

図 24は，落石実験より得られた実験２の軌跡図

反射速度 V2(m/s)
3000

1020030

およびシミュレーションで求められた軌跡の包絡線を重ねて描いている．現場実験を十分な精度でシミ5自由落下

5自由落下

ュレートできている．
図25，図26は衝突点の入射速度，反射速度につい

1510
鉛直落下距離 y-y0(m)

鉛直落下距離 y-y0(m)10て，実験値とシミュレーション結果を比較したものである．

15

シミュレーション結果は現場実験に比べてばらつきが少ない．この理由は，両者で表 3のような相202025253030

図 22 速度分布(実験３)違点があるためと考えられる．
表 3 条件の相違点
落石重量
自由落下高

現場実験
29kg〜750kg
4.5m〜12.5m

シミュレーション
173.6kg
9m

不明
不明

0 m/s
0 deg/s(第１衝突点までの落下高)

初期線速度
初期角速度

結果，傾斜角30゜と60゜の人工コンクリート斜面へ

30
実験
シミュレーション
自由落下

入射速度 V1(m/s)

25

自由落下させた実験，自然斜面の頂部から転がした

20

実験のいずれについても実験結果を高い精度でシミ

15ュレートできた．
今後の課題としては，10①高松の実験斜面で同定された運動パラメータが他

5001020落下距離(m)3040の岩盤斜面へそのまま適用できるか確認する必要がある．
②高松とは性状の異なる崖錐斜面，立木のある斜面，

図 25 落下距離と衝突時の入射速度(実験１，２)

斜面傾斜角の緩い斜面，ラフネスの大きい斜面，長大斜面などに適合するパラメータの同定が必要

30
実験
シミュレーション
自由落下

反射速度 V2(m/s)

25である．
③斜面性状に応じたDRSP用のデフォルト値を決定20する必要がある．

15④現地で簡単に地盤特性を評価できる試験方法を開10発する必要がある．

50010

20
落下距離(m)3040

本論文は，社団法人日本道路協会「落石シミュレーション手法検討W.G.」(座長：松尾修建設省土木研

図 26 落下距離と衝突後の反射速度(実験１，２)

究所動土質研究室長) から提供されたデータをもと

図 25，図 26に衝突時の入射速度，反射速度と落に，筆者らが会議用資料として作成した成果を取り下距離との関係を示す．
現場実験とシミュレーション解析とでは落石投下位置や落石の形状が異なることを考慮すると，妥まとめたものである．シミュレーション解析に際しては，松尾座長をはじめメンバー各位より貴重なご助言を賜った．心より感謝申し上げたい．

当な結果が得られたと判断できる．
落石のエネルギーは次式で表される．

1
1ET = mg ( y − y0 ) + mV 2 + Iω 2 + ∆E (6)
2
2
ここに，
E T:
トータルエネルギーm:
落石質量g:
重力加速度
落差
y-y0:
V:
線速度
I:
落石の慣性モーメント
ω:
角速度
∆E:
損失エネルギー
図17，図20，図23に示したエネルギー変化図は，いずれも力学的に矛盾がない．衝突のたびにエネルギーが散逸している様子が表れている．

5. 結論と今後の課題
高松の落石実験斜面を対象に，(株)第一コンサル
タンツが開発したDRSPにより，運動パラメータを同定した上で，数値シミュレーションを試みた．その参考文献
1) 右城猛：落石シミュレーション手法の開発，地すべりと斜面崩壊に関するシンポジウム論文集，地盤工学会四国支部，2000.92) 建設省土木研究所，㈱建設企画コンサルタント：
落石の跳躍量に関する現場実験報告書，1980.