土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

片持ばり式擁壁の合理的な土圧計算法の一試案

Takeshi Ushiro

右城

猛*

Hideki Tsutsui

筒井

秀樹**

1. はじめに
d

c

すべ
り面
S

1

道路擁壁の設計では，クーロンの土圧理論に基づいた「試行くさび法」が用いられている．
b

クーロンの土圧理論は，本来，重力式擁壁ののであるが，実務上は工学的判断に基づいたい

PS

つくかの便宜的な仮定を設けることによって逆Ｔ型擁壁，L 型擁壁などの片持ばり式擁壁にもPN

試行くさび法が適用されている．

S2
り面
すべ

ようにかかと版を有しない擁壁を対象にしたも

W
RS
RN

2

1
a

しかしながら，この方法を用いて安定計算を行うと，嵩上げ盛土高さがある値の時に極端に図 1 重力式擁壁

小さな安全率が出現するといった極めて不合理な結果が得られる．また，かかと版の長さを考り面 S2 とが発生する．この 2 つのすべり面によ慮した土圧計算ができないなどの問題点もある．

って形成されるくさび状の土塊 abcd に作用する

そこで，従来の試行くさび法を改良し，背後力は，土塊の自重 W，
すべり面 S1 からの反力 RN，の盛土形状やかかと版の長さの影響も考慮でき

RS，すべり面 S2 からの反力 PN，PS である．

る合理的な土圧計算法（改良試行くさび法）を

２つのすべり面の角度をそれぞれ1，とす考案したので紹介する．

れば，式(1)，式(2)の水平方向と鉛直方向に関する力の釣り合い式がたてられる．
水平方向の力の釣り合い式

2. 試行くさび法とその問題点

PN sin2 − PS cos2 − RN sin1 + RS cos1 = 0

2.1.試行くさび法が片持ばり式擁壁に適用できない·················································· ( 1)理由

鉛直方向の力の釣り合い式
PN cos2 + PS sin2 + RN cos1 + RS sin1 = W

まず，重力式擁壁の土圧計算に試行くさび法·················································· ( 2)を適用することについて考えてみる．

また，すべり面 S1，S2 ではクーロンの破壊基

擁壁が前方へ少し移動すれば，図 1 のように準が適用できる．

盛土内部を通るすべり面 S1 と壁面に沿うすべ

すべり面 S1 の破壊条件式
RS = RN tan  ······································· ( 3)*(株)第一コンサルタンツ常務取締役・工学博士

すべり面 S2 の破壊条件式**(株)第一コンサルタンツ技術部構造課長補佐

1

土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

仮
想
背
面
PS

すべ
り面
S

1

b

W

‘



β

仮
想
背
面

h

PA

仮
想
背
面

RS

PN

/2

h

=

e

d

PA

=‘

y=h/3

1

RN


1

b c

すべ
り面
S

d

c

y=h/3

a

1

(a) 盛土一様勾配の場合(b) 嵩上げ盛土がある場合

図 3 土圧の作用方向と作用位置（道路土工指針）

a

図 2 片持ばり式擁壁
Case3(H0=∞)

PS = PN tan  ········································( 4).5
1:1
q=10kN/m2
H0=1.767

ここで，は土の内部摩擦角，は壁面摩擦角．
さらに，壁面土圧は主働土圧であるので，式0.35

Case2(H0=1.767m)

β=33.69ﾟ

Case1(H0=0.000m)

である．は壁面傾斜角であるので既知量であ

2.50

0.60
0.50

図 1 で未知量は，PN，PS，RN，RS，の 5 個

4.50

H=5.00 m(5)の最大化条件式がたてられる．

dPN= 0 ···············································( 5)
d1

仮
想
背
面

0.50
B=3.60 m

る．W はが決まれば幾何学的に決定されるのq=10kN/m2

計算条件
=20kN/m3，=35ﾟ，c=0
c=24.5kN/m3
=0.6，qd=900kN/m2

図 4 試行くさび法による試計算断面で未知量にはならない．これに対して 5 つの方
程式をたてることができたので，これらの式を面傾斜角と見なすことしている．

連立させて解けば全ての未知量が決定される．

擁壁を設計するためには，土圧合力の大きさ，片持ばり式擁壁の場合は，
図 2 のようになり，

作用方向，合力の作用位置を算定する必要があ

未知量は PN，PS，RN，RS，の 5 個である．方る．しかし，クーロンの土圧理論ではモーメン

程式も重力式擁壁と同様にたてることができる．

トの釣り合いを考慮していないため，合力の作

しかし，仮想背面 ab はすべり面でないため，式

用位置を算定することができない．こうしたこ(4)の破壊条件式をたてることができない．したとから，道路土工指針では土圧を三角形分布とがって，方程式は式(4)を除く 4 個になる．未知仮定し，仮想背面の高さの 1/3 点に合力が作用す

量 5 個に対し方程式は 4 個であるので，この問るものとしている．

題は不静定であり，解けないことになる．

2.3.試行くさび法の問題点

2.2.道路土工指針における仮定

試行くさび法を用いて図 4 に示す片持ばり式

道路土工指針では，図 3(a)に示すように，=

擁壁の安定計算を行った結果を表 1 に示す．

と（：地表面傾斜角）することで問題の静定化

転倒の安定性の照査は，一般に，荷重の合力を図っている．これは，ランキンの土圧理論にが底面の中央 1/3 に存在するかどうかで判定さ基づいたものである．ところが，ランキンの土

れているが，
ここでは無次元化するため底版幅 B

圧理論は地表面が一様勾配である場合に限ってを荷重の偏心量 e の 2 倍で割った値を安定係数適用できるものであるので，嵩上げ盛土があっ

Ft と定義し，Ft でもって評価している．

て地表面が折れ曲がっている場合には適用でき

図 4 の場合，常識的に考えれば Case1，Case2，

ない．このため，便宜的に図 3(b)の’を地表

Case3 の順に安定性が低下するはずであるが，

2

土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

しているので，土塊①が仮想背面に及ぼす力と，

Ft
表 1 試行くさび法による安定計算結果
照査項目

Case1

B
転倒Ft =
 3.02e
V
滑動Fs =
  12.
H
q
支持Fb = d  3.0
q max

Case2

9.14

3.23

Case3



7.78

②

②

①

S2

2.40

1.56

1.40

7.52

4.53

4.50

S2

S1

PA0

20

①
P A

S1

=

P A

PA0

10

 2

(a) 水平 1(b) 一様勾配
の値は Case2 が最も小さくなっている．このよ②

うな不合理な結果を生じる原因は，試行くさび法を嵩上げ盛土のある擁壁に適用するために設

①
PA

S2

S1



PA

けた便宜的な仮定にある．
2(1)主働すべり角と土圧合力の作用方向

1(c) 嵩上げ盛土あり

嵩上げ盛土のある擁壁で，土圧の作用方向を
図 3(b)のように仮定したことに対する問題点は，

図 5 主働すべり面

図 5 で説明できる．
片持ばり式擁壁が前方へわずかに移動し，盛仮想背面から土塊②が受ける力は釣り合ってい土が主働塑性状態になれば，底版のかかとからなければならない．すなわち，仮想背面に作用

２つの主働すべり面 S1，S2 が発生する．図 5(a)，する左向きの土圧と右向きの土圧は，作用・反(b)は地表面が一様勾配であるのでランキンの土作用の関係にあり，その大きさは等しく，向き

圧理論が適用でき，主働すべり角は式(6)，式(7)は反対でなければならない．

で表される．

10 =  20 =
1 =
2 =

ランキンの土圧理論より，地表面が一様勾配


4

+


2

である場合には，土圧の作用方向は地表面に平·································( 6)行となることが明らかである．したがって，図5(a)の場合は=0，(b)の場合は=である．(c)は1
sin  +   +  − sin −14 2
sin  

41sin  +   −  + sin −12
sin  (a)と(b)の中間にあるので 0     となるはず·······( 7)である．ところが，図 3(b)のような仮定を行うと，(c)の場合=0 と見なされるので，=0 となり明らかに不合理である．

図 5(c)の場合はランキンの土圧理論が適用で(2)土圧合力の作用位置きないので定式化できないが，図 5(a)と(b)の中

道路土工指針では，便宜的に土圧を三角形分間にあり，式(8)の条件を満たすであろうことは布と仮定しているが，嵩上げ盛土があれば三角

容易に想像される．

形分布と見なすことができない．このことは，

10  1  1
 20   2   2 

図 6 に示すように①盛土が水平，②の角度で一·······························( 8)様勾配，③台形状の各ケースについて考えて見ところが，図 3(b)のような仮定を行うと，(c)れば容易に理解される．なお，説明を簡単にすの場合=0 と見なされるので，1=10 となり明るため，擁壁は壁面が鉛直で滑らかな重力式とらかに不合理である．

する．

次に，２つのすべり面と仮想背面で挟まれた

まず，①との盛土について考えてみる．Case

土塊①と②に注目してみる．両者の土塊は安定①の主働土圧係数を KA0，Case②の主働土圧係数3土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

を KAとすれば，KA0<KAなる関係が成立する．

片持ばり式擁壁の土圧問題を解決するため著
d

c

Case②

d

c

Case①
yA

QS

hA

(a) 土圧分布

RN
1

a

H=hA

RS

PN

1

a

(a) 土塊全体に作用する力

H0

W1

PS
RN

2

H/3
(1) (3) (2)

仮
想
背
面

RS

QN

PA(③)
PA(①,②)

H

W

すべ
り面
S

S2
り面
すべ



すべ
り面
S

b

Case③

A

H0

1

1

e

(b) 後方の土塊に作用する力

図 7 改良試行くさび法の考え方(b) 土圧合力の作用高者らが着目したのは，ランキンの土圧理論と同図 6 盛土の形状と土圧分布様に主働塑性状態ではすべり面が 2 つ出現する
また，KA0，KAとも擁壁高 H に無関係である．

という点である．

このことは，Case①と②の土圧は三角形分布で，嵩上げ盛土がある場合，後述するようにすべそれぞれ図 6(a)の(1)および(2)となることを意味

り面は直線とはならないが，その影響は無視でし，土圧合力の作用位置は H/3 になる．

きる程度であるので，ここでは直線と見なす．

Case③の土圧合力は，Case①と②の中間の大

図 7(a)の 2 つのすべり面で挟まれたすべり土

きさになるであろうことは容易に想像される．

塊 abcd に関する力の釣り合いと，図 7(b)の仮想

したがって，この場合の主働土圧係数を KA とす

背面 ae とすべり面 ad で挟まれた土塊 aecd に関れば，KA0<KA<KAとなる．

する力の釣り合いを考えれば，未知量は QN，QS，また，Case②の主働すべり角をA とし，盛土

RN，RS，PN，PS，，の 8 個になり，試行くの法肩からA の角度で降ろした線が交わる点まさび法に比べ一挙に 3 個増えることになる．

での高さを hA とすれば，この区間に作用する土ところが，方程式は，土塊 abcd に関する力の圧は Case②も③も同じである．したがって，Case

釣り合い条件式が 2 個，土塊 aecd に関する力の③の土圧分布は，図 6(a)の(3)のようにならざる釣り合い条件式が 2 個，破壊条件式が 2 個，そを得ない．つまり，hA の区間は三角形分布で土れに最大化条件式が式(9)のように 2 個たてるこ

圧強度も Case②と同じであるが，それより下部とができる．

では非線形分布となり，土圧合力の作用位置は

PN
= 0,
 1

yA>H/3 とならなければならない．そして，土圧合力の作用位置は，嵩上げ盛土高さ H0 によって

PN
= 0 ······························ ( 9) 2

方程式が未知量と同じ 8 個たてられるので，

図 6(b)ように変化することになる．

これらの方程式を連立させて解けば，全ての未以上のことより，道路土工指針の仮定では，知量を求められることになる．

土圧合力と作用方向，作用位置を適切に評価でこの新しい土圧計算法は，試行くさび法を改きないことが明らかである．このことが，嵩上良したものであることから「改良試行くさび法」

げ盛土を持つ片持ばり式擁壁の安定性を適切にと呼んでいる．この式を発展させれば，かかと評価できない原因になっているといえる．

版の短い片持ばり式擁壁や，すべり面の非線形性を考慮した土圧なども，力学的に曖昧な仮定

3.改良試行くさび法を設けることなく計算することが可能となる．

3.1.基本的な考え方

3.2.かかと版が長い場合の土圧合力と傾斜角

4

土木技術 54 巻 8 号(1999.8)となる1，2 を求めればそれが主働すべり角でかかとが長い場合とは，すべり面 S2 がたて壁あり，その時の P が主働土圧合力 PA となる．

q

L
c


P cos = 0
1

P cos = 0
 2

d

h0
e

H0
b



kH･W1
kH･W2

W1

W2

h

P



常時（=0）において主働すべり角の取り得る

P

H



R2 2

1

R1

範囲は，式(8)で表される．この範囲で1，2 を



変化させ試行錯誤的に Pcosの最大値を探索することも可能であるが，例えば Microsoft Excelaなどの表計算ソフトに組み込まれている Solver

0+
R2

機能を利用すれば式(14)の条件を満たす 1， 2

W2

2−

および P の値を瞬時に求めることができる．

P



kH･W2

3.3.かかと版が短い場合の土圧合力と傾斜角

W1

１−
R1

···························· ( 14)

すべり面 S2 がたて壁に当たれば，かかと版の

kH･W1

長さを考慮した土圧計算が必要になる．

図 8 かかと版が長い場合

この場合は，図 9 のようにすべり線がたて壁に当たらない場合である．地表面が傾斜していに当たった点 b と壁上端 c の間に壁面反力 R0 がれば，水平なときに比べて S2 のすべり角2 が大発生すると考えればよく，
仮想背面の土圧合力 P，きくなる．このため，かかと版がかなり短くて傾斜角は，式(15)，式(16)で表される．

もすべり面はたて壁に当たらない．その場合はP=

W1 tan  + R1 sin(1 −  )cos 

かかと版が長いと見なす．

 W1 − R1 cos(1 −  )  ······· ( 16)
R
sin

−

+
W
tan

(
)


1
1
 1


かかとが長い場合の仮想背面に作用する土圧

 = tan −1 

合力 P とその傾斜角は，式(10)～式(13)のように導くことができる．

P=

sin(2 −  −  )cos( +  )


ここに，

R2 ························ ( 10)
R1 =R2 cos( 2 −  ) − W2
 ····· ( 11) R2 sin( 2 −  ) − W2 tan  

 = tan −1 

R2 =·················· ( 15)W (T − tan  ) + R0 cos( +  0 ) 1 − tan( +  0 ) Tsin(1 +  2 − 2 ) cos············································· ( 17)T = tan( 2 −  )sin(1 −  −  )(W1 + W2 ) ··· ( 12)sin(1 +  2 − 2 ) cos

W = W1 + W2······························· ( 18)·································· ( 19)

R0 は，壁面の bc 区間に作用する主働土圧合力 = tan −1 k H ······································ ( 13)であり，重力式擁壁の土圧計算と同様にクーロ

地表面に上載荷重 q がある場合には，土塊ン式あるいは試行くさび法によって計算するこ

abcd 上の上載荷重を土塊重量に加算する必要がとができる．なお，P が主働土圧合力であるたある．

めの必要条件は式(14)で表される．

式(10)で与えられる P が主働土圧合力である
必要条件は，式(14)で与えられる．Pcosが最大

5土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

L


H

R0



P

h

h





R1

a

遷移場Ⅲ

仮
想
背
面

S
り面
すべ

2

0

p1

p
yA≧h/3p2a

図 9 かかと版が短い場合

z
PA

2

R2

1

2

h

f
1

g

ランキン場Ⅱ

P



0

b

W1

W2

b

e

k H ･W 1

1

k H ･W 2

d
ランキン場Ⅰ

S



c

β

す
べ
り
面

H0

d

c

f

e

h0

図 10 すべり面と土圧分布

3.4. 土圧分布および土圧合力の作用位置
嵩上げ盛土がある場合，擁壁背後の 2 つのすz

べり面で挟まれた部分には，図 10 に示すように

p(z)ランキン場Ⅰとランキン場Ⅱ，それに遷移場ⅢhΔz

ΔPA(z)の 3 種類の主働塑性場が出現する．ランキン場

yには直線のすべり面網が形成されるが，遷移場は応力の回転が生じるため曲線のすべり面群と図 11 逐次計算法

なる．ランキン場では土圧が深さ方向に直線的

4.試計算に変化するが，遷移場では曲線分布になる．このため，土圧分布および合力の作用点は逐次計

4.1.かかと版が長い場合算法によって求める必要がある．

(1)試計算断面と計算の方法

仮想背面の高さを h，仮想背面上端から任意の深さ z までの間に作用する土圧合力を PA(z)，仮

かかと版が十分長いと見なされる図 12 の片持

想背面上端から(z-Δz)までの間に作用する土圧

ばり式擁壁について，嵩上げ高さ H0 を 0 から盛合力を PA(z-Δz)とすれば，z の位置の土圧強度は式

土が一様勾配と見なされる 24m まで変化させて(20)で与えられる．

仮想背面に作用する土圧を，試行くさび法p( z ) =PA( z ) − PA( z − z )z=PA( z )z（TWM）と改良試行くさび法（ITWM）で計算················ ( 20)

した．
(2)嵩上げ盛土高と仮想背面の土圧の関係

PA(z)および PA(z-Δz)は式(10)または，式(15)によ計算結果を図 13 に示す．
図中の実線が ITWM，って計算する．擁壁下端から土圧合力の作用点

破線が TWM の計算結果である．

までの高さ yA は式(21)で求められる．



yA =



 PA( z )  h − z +PAz  
2 

いずれの土圧計算法でも H0=0m，21.6m では
それぞれ=0 のランキン解，=33.69 ﾟのランキ············· ( 21)ン解に一致する．
しかし，ITWM の計算結果は，H0=0m の解か

ただし，PA は仮想背面全体に作用する土圧合

ら H0=21.6m の解へとスムーズに変化するのに力である．

対し，TWM の結果は，H0=1.707m で不連続点が現れる．そして，主働すべり角１は H0=2m，壁面摩擦角は H0=21m，主働土圧合力は H0=2m 付
近でそれぞれ ITWM の結果に収れんする．

6

土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

0.35

1，2(゜)H01.707m100.51:1

β=33.69゜

260

ランキン解62.5ﾟ

40

ITWM
TWM

20

0.50

2.50

B=3.60 m

裏込め土=20 kN/m3
=35ﾟ
底面の摩擦係数
=0.6
極限支持力度
qd=900 kN/m2

PA(kN/m)

1:0.02

4.50m

0.60
0.50m

H=5.00 m

計算条件
鉄筋コンクリート
c=25 kN/m3

図 12 試計算断面

0

300
250
200
150
100
50
0

5

(ﾟ)

盛土面の傾斜角'すなわち土圧合力の傾斜角の

10
15
20
H0(m)
(a) 主働すべり角ランキン解
PA=6.775tf/m
0

5

10
15
20
H0(m)
(b) 主働土圧合力

ランキン解==33.69ﾟ

ITWM
TWM

10

主働土圧合力 PA に関して ITWM と TWM の計

0

算結果を比較すれば，両者に大きな差異は見ら05

れない．しかし，H0<6m の範囲での値が異なっているので土圧合力の分力 PAH（=PAcos），PAV

25

30
20

仮定に問題があるといえる．

25

ITWM
TWM

40

から，TWM で不連続点が出現する原因は，換算

41.7ﾟ

1

ランキン解 PA=26.256tf/m

不連続点の現れる H0=1.707m は，底版のかかと直上に盛土の肩がくるときである．このこと

83.3ﾟ

80

10
15
20
H0(m)
(c) 土圧合力の傾斜角

25

3.0
yA(m)

（=PAsin）で比較すれば H0<6m の範囲で異なった結果が現れるはずである．

2.0

h/3=2.236m
H/3=1.667m

土圧合力の作用高さについては，TWM では，
1.0

仮想背面高 h の 1/3 と仮定しているため，仮想背0

面高が盛土高に応じて変化する 0≦H0≦1.707mの間では直線的に増加し，仮想背面高が盛土高と無関係になる H0≧1.707m で一定値となる．こ

5

ITWM
TWM

10
15
20
25
H0(m)
(d) 土圧合力の作用高

図 13 仮想背面の土圧の計算結果

れに対して，ITWM では，H0=0 および盛土が一様と見なせる H0≧21.6m で yA=h/3 となるが，0m<H0<21.6m では yA>h/3 になっている．土圧分
布が非線形になるためである．

転倒

Ft =

B
 3.0
2e

滑動

Fs =

V   15
.
H

支持

Fb =

qd
 3.0
q max

(3)盛土の嵩上げ高さと安定解析結果との関係
前述の計算で得られた仮想背面での主働土圧を用い，安定解析を行った．その結果を図 14 に示す．ただし，擁壁の安定性は式(22)で評価してい··············· ( 22)

ここに，B は擁壁の底版幅，e は擁壁底面でのる．

荷重の偏心量，∑V は鉛直荷重，∑H は水平荷
重，μは底面の摩擦係数，qd は地盤の極限支持
力度，qmax は最大地盤反力度である．

7

土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

20
Ft 10

L

L

ITWM
TWM

15
5
0
0

5

10
15
H0(m)

20

(a) 転倒の安定性

Fb

計算条件
=20kN/m3
=35ﾟ
c=00=2/3(b) Type2

図 15 試計算断面
ITWM
TWM

1

9
8
7
6
5
4
3

δ

(a) Type1

2

0

PA

h

δ

25

3
Fs

PA

h

=30゜

0

5

様な曲線が得られることが確認されている．
10
15
H0(m)

20

25

4.2.かかと版が短い場合(b) 滑動の安定性

図 15 に示すように地表面が水平な場合と 30 ﾟ

ITWM
TWM

で傾斜した場合の２タイプの片持ばり式擁壁について，かかと版の長さ L を変化させ仮想背面

0

5

10
15
H0(m)

20

位置での主働土圧合力 PA を改良試行くさび法に25

よって計算した．そして，式(23)で主働土圧係数(c) 支持の安定性

KA を算定した．
ただし，裏込め土の内部摩擦角は=35 ﾟ，コ

図 14 安定計算結果

ンクリート壁面の摩擦角は=2/3とした．
ランキンの土圧理論が適用できる H0=0m，H0KA =≧21.6m ではいずれの土圧計算法でも Ft，Fs，

2 PA

  h2······································ ( 23)

Fb は同じ値を示している．ただし，ITWM によ

計算結果を図 16 に示す．かかと版の長さが 0る計算結果は，H0=0m の解から H0=21.6m の解（L/h=0）のときの土圧は=2/3としたクーロン

へとスムーズに変化するが，TWM の計算結果は，解に一致し，かかと版が長くなるに従い土圧係

H0=1.707m で不連続点が現れる．特に，Ft の値

数もスムーズに増加する．そして，盛土が水平

は，H0=1.707m で極端に小さい値を示す．

の場合には L/h=0.5 付近において，=30 度で一様勾配の場合には L/h=0.2 付近において=とし盛土を高くすれば，それに伴って擁壁の安定たクーロン解にそれぞれ一致する．

性は低下し，最終的にはある値に収れんするは

試行くさび法ではかかと版の長さを考慮したずであるが，TWM では，このような結果を得る

土圧を計算することができない．このため，かことができない．
この主たる原因は壁面摩擦角 と土圧分布のかと版を無視し壁面に直接土圧が作用するもの

仮定にある．ITWM においても，土圧を三角形と仮定したクーロン解か，仮想背面に土圧が作分布と仮定すれば H0=1.707m で Ft が極端に小さ用するものと仮定したクーロン解かいずれかをくなることが確認されている．

採択しなければならなかった．

ITWM の計算結果でも，1.707mH021.6m の

しかしながら，改良試行くさび法を適用すれ間で H0<21.6m の Ft よりも小さな値を示していば，二者択一的な議論は全く必要なく，かかとる．これは，転倒の安定性を式(22)で評価したこ

版の長さの影響を考慮し合理的に土圧を算定すとが原因と考えられる．転倒の安定性を安全率ることができるといえる．

（つま先における抵抗モーメントと転倒モーメ
ントの比）で評価すれば，滑動の安全率と同8土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

主働土圧係数 KA

0.28

Q0

クーロン解(=0)
0.27



び法
くさ
行
試
改良

0.26
0.25

2
b

0.2
0.3
かかと版長比L /H

0.4

g

i

0.24
0.1

d

1

クーロン解(=)
0

q

c

n

0.5

y



(a)Type1(=0)n

変化させる線
固定する線
変化させる点
固定する点

Pna

クーロン解(=)
び法
くさ
試行
良
改

0.44

x

図 17すべり土塊の分割

0.43
クーロン解(=)xui-1,yui-1

0.1
0.15
かかと版長比L /H

i-1

i

kH･Wi

i-1

xui,yui

0.2



Pi

Q0

i+
Wi

ri

(b)Type2(=30ﾟ)Pi

図 16 かかと版長比と主働土圧係数の関係

y



i

Wi



xli,ylikH･Wi

xli-1,yli-1

Q0

Ri

i-1

0.05

P

0

r i-1

0.42

P

主働土圧係数 KA

0.45

/2-i+lix

5.すべり面の非線形性を考慮した解析
これまで説明してきた改良試行くさび法では，

i-1+

Ri(a) i番目のブロックに作用する力

i-1(b) 力の多角形

図 18 任意のブロックに作用する力計算の簡便化を図るためすべり面を直線と仮定してきた．しかし，この仮定が理論上に認めら向かうすべり面 afb はほぼ直線となる．このため，れるのは，盛土が水平か一様勾配である場合にすべり面は図 17 のように仮定する．すなわち，限られる．嵩上げ盛土があり，地表面が折れ曲

すべり面 afb は 1 個の直線，すべり面 agd は n

がっている場合には図 10 のように３種類の主働

個の直線よりなる折れ線と仮定する．そして，塑性場が形成される．ランキン場はⅠ，Ⅱともすべり土塊を(n-1)個の任意の四角形と 1 個の三直線のすべり線網が形成されるが，遷移場は曲角形ブロックに分割する．

線のすべり線網となる．このため，嵩上げ盛

任意のブロックに作用する力は，図 18(a)のよ

土がある場合のすべり面は，bf と dg は直線となうになる．ただし，Q0 は地表面載荷重を意味し，るが af と ag は曲線になる．

1 番目のブロックのみに作用する．

そこで，すべり面を折れ線で近似させ，主働ブロックの底面および側面はいずれもすべり

塑性場を任意の四辺形または三角形のブロック面であるので，反力 P および R は作用面の垂線に分割し，各ブロックの極限平衡条件から，片に対してだけ傾斜する．

持ばり式擁壁の仮想背面に作用する主働土圧を各ブロックの形状が特定されているとすれば，算定する方法を示した上で，ブロック数が解析

ブロック頂点の各座標値は既知であるので ri，

結果に及ぼす影響について考察する．

ri-1，li，i，i-1，i はいずれも決定される．ま5.1.すべり面を折れ線で近似した解析法

た，ブロックに作用する荷重のうち，物体力 Wi，
kH･Wi も既知量であり，未知量は Pi，Ri のみで

図 10 のすべり面のうち，かかとから前方へ

9

土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

d

c


仮想背面

b



.5
1:1

H0

e

PA

β=33.69ﾟ

PA

n
W2



W2



PH

H=4.00m

kH･W2Pn

k H ･W 2

B=4.00m

ブロックACEに作用する力
a

Pn

計算条件
=35ﾟ
c =0
=20kN/m3

図20 試計算断面

図 19 仮想背面に作用する土圧Pn sin( +  n ) − W2
 ········ (27) Pn cos( +  n ) − W2 tan  

 = tan -1 

ある．これに対して各ブロック毎に水平方向と鉛直方向の力のつり合い条件式をそれぞれ立て式(24)～(27)でi，ri を変化させて（図 17 参照）

ることができる．したがって，この問題は静定

計算し，Pcosの最大値を探索すれば，P が仮想である．
i 番目のブロックに作用する力のつり合い状

背面に作用する主働土圧合力 PA である．

態は図 18(b)のように表され，これよりブロック

本解析で分割ブロック数を n=1 とすれば，す

側面反力 Pi は式(24)のように求められる．

べり面を直線と仮定した改良試行くさび法のかPi = {Wi sec sin( i +  ) + Q0 cos( i −1 −  i )+ Pi −1 cos( i −1 +  −  i )}かと版が長いと見なされる場合と同一である．
5.2.試計算1cos( i +  −  i )ブロック分割数が解析結果に及ぼす影響を調べるため，図 20 に示す高さ H=4m，底版幅 B=4m·························································· ( 24)の片持ばり式擁壁について仮想背面に作用する

 = tan −1 k H
 i = i −  , ただし，i   i-1

主働土圧合力を算定する．ただし，盛土の傾斜······ ( 25)角=33.69 ﾟ，内部摩擦角=35 ﾟ,粘着力 c=0，盛土の単位体積重量=20kN/m3 とした．

1 番目のブロックから順次計算を進めて行けば，
n 番目ブロックの Pn を求めることができる．

図 21 は，嵩上げ盛土高さ H0=4m の場合につ次に，図 19 に示すように擁壁のかかと後端からいて，分割ブロック数 n=1，n=5 のそれぞれで求鉛直に立てた仮想背面 ae と，すべり面 ab に囲められた主働すべり面を示している．n=1 のす

まれた土塊 abe に作用する力のつり合いについべり面は直線である．ブロック数を増やして計て考える．この土塊に作用するのは，土塊 abe

算すると，遷移場では曲線のすべり面が出現すの自重 W2 と慣性力 kH･W2，すべり面 ab からのる．ブロック数を 5 以上に増やしてもすべり面

反力 Pn それに仮想背面に作用する内力 P である．

の形状にはほとんど差異が見られない．

Pn は既に求まっているので未知量は P とだけ

図 22 は分割数が解析結果に及ぼす影響を調べである．したがって，P とは力のつり合い条件

るため，分割数 n=1，3，5，10，20，50 の 6 ケのみで次のように求めることができる．

ースについてそれぞれ仮想背面での主働土圧のPn cos( +  n ) − W2 tan 

合力 PA を計算した結果である．ただし，嵩上げ

P=

cos 

·············· (26)

盛土高さは H0=4m，上載荷重 q=0，設計水平震度 kH=0 として計算してある．図中に示してある
数値は，分割ブロック数を n=50 とした解10

土木技術 54 巻 8 号(1999.8)

8

8

6

6

4

4

2

2

0

0

2

4

6

8

0
0

10

定値に収れんする．分割数 n=1 と n=50 の解析誤

q=1.0 tf/m2

差は 0.9%とわずかである．
図 23 は，分割ブロック数を n=1 と n=10 とした場合について，嵩上げ盛土高さ H0 を 0m から
20m まで変化させて主働土圧の合力 PA を計算し
2

4

6

8

10

た結果である．

(b) q=10 kN/m2, kH=0(a) q=0, kH=0

分割数に関係なく H0=0 では PA=43kN/m であ

8り，地表面が水平の場合のランキン解に完全に一致する．H0=20m では地表面が=33.69 ﾟで一様

6
分割数 n=1
分割数 n=54勾配のランキン解 PA=210.1kN/m に収れんする．

2

0m<H0<20m の間でも分割数の違いが主働土圧

0

0

2

4

6

8

10

に及ぼす影響は非常に少ない．分割数 n=1 と(c) q=0, kH=0.2

n=10 による解析値の差は H0 が 5m～8m の間が合の Rankine 解に完全に一致する．また， 最も

図21 分割ブロック数とすべり面の形状大きくなるが，それでも 1.2%以下である．

PA (kN/m)

ブロック分割数を増やすほど最適解を探索す
135るのは難しくなる．片持ばり式擁壁に関しては，

134

分割数が解析結果に及ぼす影響は微小であるの
0.999
0.999

133
132

1.000

で，すべり面を直線と仮定した改良試行くさび

1.000

法を適用したとしても工学的に問題ないといえ

0.997

131

る．

0.991

130
0

10

20

30

40

6.上載荷重があるときの土圧計算

ブロック分割数 n

盛土面が一様勾配の場合，かかと版が長い片図 22 分割数と主働土圧の関係(q=0，kH=0)

持ばり式擁壁の仮想背面に作用する主働土圧は，ランキン式，試行くさび法のいずれでもで計算できる．しかしながら，図 24 に示すように上載主働土圧合力 PA (kN/m)

250

荷重 q が仮想背面の後方のみ載荷される場合は，ランキン解(=33.69ﾟ)200

仮想背面の前後で応力状態が異なり主働すべり
面は左右対称にはならないためランキンの土圧

150

分割数n=1
分割数n=10理論やそれに基づいた試行くさび法を適用する

100

ことができない．
けれども，式(10)，式(11)を用いれば簡単に土ランキン解(=0ﾟ)50

圧合力とその傾斜角を計算することができる．
図 25 は，改良試行くさび法による計算結果であ

0
0

5

10

15

20

る．上載荷重 q が大きくなると図 24 中で定義す

嵩上げ盛土高 H0(m)る主働土圧係数 KA は小さくなり，一定値に収れ

図 23 嵩上げ盛土高と主働土圧の関係(q=0，kH=0)

んする．一方，土圧の傾斜角は q が大きくなれば増加し，内部摩擦角に収れんすることが分か析値に対する比を表している．

る．

ブロック数を 10 程度以上とすれば解析値は一11

土木技術 54 巻 8 号(1999.8)線形となるが，すべり面を直線と見なしてもそqの誤差は 1%程度以下である．
b

d

S1

S2

②

c

①

H



 A2

PA =

参考文献


1
2q 
  H 2 K A 1 +

2
 H


1) 右城猛，八木則男，矢田部龍一，筒井秀樹：かかと A1   A 2

版付き擁壁の合理的な土圧評価法，土木学会論文集，aNo.567/Ⅵ-35,1997.6
2) 右城猛，小椋正澄，筒井秀樹，長山学史：改良試行

図 24 上載荷重があるときの主働すべり面

くさび法（ITWM）の非線形すべり問題への拡張，
土木学会論文集，No.602/Ⅵ-40,1998.9

KA

0.34
0.32
0.30
0.28
0.26
0.24
0.22
0.20

3) 右城猛：続・擁壁の設計法と計算例，理工図書，

 =35ﾟ

1998.10

 =30ﾟ

4) 右城猛：新・擁壁の設計法と計算例，理工図書，
0.0

0.5

1.0

1.5

1998.122.05) 日本道路協会：道路土工－擁壁・カルバート・仮設

2q
 H

構造物工指針，1987.

(a) 主働土圧係数3530 (ﾟ) 25
20
15
10
5
0
0.0

 =35ﾟ
 =30ﾟ

0.5

1.0

1.5

2.0

2q
 H

(b) 土圧の傾斜角

図 25 主働土圧係数と土圧の傾斜角

7.あとがき
本論文で提案した改良試行くさび法は，主働すべり面がかかとから前方と後方へ出現するということに着目したもので，これらの２つのすべり面によって挟まれた土塊の極限釣り合い条
件から仮想背面位置での主働土圧合力と土圧の傾斜角を合理的に求める方法である．
改良試行くさび法を適用すれば，嵩上げ盛土がある場合，仮想背面の後方のみに上載荷重が載荷される場合，かかと版が短い場合などの土圧を力学的に曖昧な仮定を設けるこなく算定することが可能である．
嵩上げ盛土があれば，厳密にはすべり面は非12