放射光源の基礎
山本樹

高エネルギー加速器研究機構物質構造科学研究所〒3050801 茨城県つくば市大穂 11

E-mail: shigeru.yamamoto＠kek.jp

.

はじめに

動（例えばアンジュレータ中の周期運動）とその結果生成光速に近い速度で加速度運動する電子（または陽電子）

される放射との相互作用がバンチ内電子に集団的に生じ，が発する放射光（シンクロトロン放射）は，相対論的効果

式(1)の右辺第 2 項を通して放射の波長のスケールでの電によって速度方向に鋭く集中することから，非常に指向性

子の粗密を生成させる。この効果は，結果として発生されが高くかつ高い輝度を持つ。このような電子を光源としてる放射がさらに強い粗密をバンチに生ぜしめるという過程

積極的に利用する研究はますます盛んに行われており，そを通して，最終的にはレーザーによく似た位相のそろったれが本学会の存立基盤でもある。本シリーズでは，放射光コヒーレント放射の発振をもたらす。このような光源は，源に関する解説をなるべく平易に行うことを目的として，

自由電子レーザーと呼ばれ次世代の放射光源としてその開これまでは高品位の相対論的電子ビームを生成する道具と発に強い期待が持たれている。

しての加速器に関する解説を行ってきた。本稿をはじめとしかし，一方でいわゆる第三世代までの放射光源加速器

するいくつかの記事では，偏向電磁石挿入光源（アンジでは真空紫外より短波長領域の放射に対しては，この集団ュレータウィグラ）等の放射光源の諸特性について述べ運動の際のバラツキは実効的に大きく電子が加速器内を平ることになる。

行に通過するという状況は成立しない。この場合，ある電

電子（陽電子）が発する放射の性質を調べるためには，

子とそれ以外の電子による放射の相互作用は存在するが，バンチ全体では互いに打ち消しあい，電子の粗密を生ぜし電子の運動方程式（電子の場合）めるには至らない。個々の電子は互いに独立に特定の位相

d …p＝－eb• ×H
• －eE• ,
dt

(1)

dW
＝－ecE• ･b• ,dt(2)

関係を持たないインコヒーレントな放射を生成することになる。
次に上で述べた放射の特性と放射強度の関連について極
一般的に考えてみよう。電子の集団からの放射 E• R は，各
電子からの放射の重ねあわせとして記述される。

および，電磁場の Maxwell 方程式
n

E• ＝－

E• R＝∑ E• 0 cos (kz－vt－di)

1 &A•－grad q,c &t

H
• ＝rot A• ,(4)2

(D－ c1 &&t )A• ＝－4cp J• ,
2

(5)

2

(6)

i＝1

(3)

ここで E0 は各電子の放射振幅であり di は i 番目電子の位相， k と v は各々放射の波数および周波数である。強度は放射電場の 2 乗平均として与えられるが，結果は放射の特性がコヒーレントであるかインコヒーレントであるかを連立させて考えることが必要になる。ここで， …p, b• , W

によって大きく異なる。通常の放射光源（インコヒーレン

および e は，それぞれ電子の運動量，相対論的速度（＝n… /ト光源）の場合，a＝kz－vt として，c  n… は電子の速度），エネルギーおよび電荷であり， c は
真空中の光の速さである。また， E• および H• は電場と磁場を表し， A• と q はそれぞれ電磁場のベクトルおよびス
カラポテンシャルを，J• は電流密度を表している。
ここで，放射の特性を決める上で注目すべきなのは電子のエネルギー変化率を表す式(2)の存在である。加速器内の電子は集団（バンチ）で運動している。この集団運動のバラツキが極限まで小さくなり個々の電子がともに平行に運動していると見なせるような極限的状況では，電子の運{＝ ∑ E• cos d{}{∑E• cos d }cos a＋ ∑ E• sin d{}{∑E• sin d }sin a＋2 ∑∑E cos d sin d cos a sin a{}n|E• R|2＝ ∑ E• 0 cos (a－di)i＝ 1n}{∑E• cos (a－d )}
n

0

j

j＝ 1

n

0

0

i

i＝ 1

2

j

j＝ 1

n

n

0

i＝ 1

n

0

i

j

2

j＝1

n

2
0

i

j

(7 )

i＝ 1 j＝ 1

228 ● July 2004 Vol.17 No.4
(C) 2004 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research

特別企画 ■放射光源シリーズ

したがって，一周期当たりの平均では，第 3 項は消えて〈|E• R|2〉＝

1
2

n

n

〈∑E cos d ＋∑E cos d cos d 〉

＋

2
0

2

i＝ 1

1
2

2
0

i

i

j

i≠ j

n

n

〈∑E sin d ＋∑E sin d sin d 〉 (8)
2
0

2

2
0

i

i＝ 1

i

j

i≠ j

di および dj は乱雑であるとして平均すると，式( 8 )〈 〉の中の第 2 項がゼロとなるので，〈|E• R|2〉＝

1
2

E 20

n

〈∑E 〉＝n 2
2
0

(9)

i＝ 1

Figure 1.

Radiation from a relativistic electron.

この結果は放射強度がバンチ内の電子の数または電流値に比例することを意味する。一方コヒーレントな放射に対し

ここで， …n(t ′)＝R• (t ′)/R(t ′
) は観測ベクトル，u は …n と b•ては全ての電子について di が等しいので（di＝0 として一がなす角であり，g＝1/ 1－b2 は Lorentz 因子である。こ

般性を失わない），のことから観測方向が電子の軌道の接線方向と一致した時＝ 1 /( 2g2 ））が起こることがには著しい時間圧縮（ dt / dt ′
2

2

わかる。

〈(∑E ) cos a〉＝(∑E )〈cos a〉
n〈|E• R|2〉＝

0

n

2

i＝1

2

nE
＝
2

0

2

同様に重要な，もう一つの効果は放射の空間的集中であ

i＝ 1

2
0

(10)

る。このことおよび相対論的電子からの放射の問題一般をを 独立 変数 とす る
考 える ため には ，放 射の 発信 時刻 t ′Lienard-Wiechert のポテンシャルとなり放射強度は式(8 )の n 倍になってバンチ内電子数または電流値の 2 乗に比例することがわかる。
挿入光源から得られるインコヒーレントな放射光および
自由電子レーザーから得られるコヒーレント放射の特性に)
eb• (t ′A• ＝(1－ …n(t ′)･b• (t ′))R(t ′)

(13)e
(1－n… (t ′)･b• (t ′))R(t ′
)

(14)

q＝

ついては，本稿に続くそれぞれの専門家の解説（式( 1 )(5 )の数理的取り扱いを含めて）に待つことにして，ここ
では相対論的状況下での電子からのインコヒーレントな放を使うのが便利である。これらを Maxwell 方程式(3)に代射（式( 2 )および式( 1 )右辺第 2 項を無視できる場合）の入し，式( 11 )に注意して微分を行うと，電子の放射する一般的性質を概観して，偏向電磁石からの円軌道放射の特電磁場として，性について述べることにする。
.

E• R＝e放射光生成における相対論的効果
放射光の生成には，電子の運動に関する相対論的効果が( ′)×{( ( ′)－ ( ′))× _ ( ′)}[ …n t c(1－n… …n(tt′)･b• (b• t ′t)) R(tb• ′)t ]3)×E• RH• R＝ …n(t ′

(15)
(16)

非常に顕著に現れる。第一に注目すべきは時間圧縮の効果である。これは光の速さ c が有限であるために放射の発信

時空間の一点（r… 0, t）にいる観測者が単位時間単位面積と観測時刻 t との間に時間遅れが生じることが原因
時刻 t ′

当たり受けるエネルギーは， Poyinting ベクトルを •S ( r… 0,である（Fig. 1 参照）。

)/4p として，DW ＝ •S(r… 0, t)・ …n(t ′)) でt)＝cE• R(r… 0, t)2 …n(t ′与えられるので発信時刻 t ′1 と t′
2 の間に電子に生じる加速

＋
t＝t ′

)
R(t ′
c

(11)

したがって放射発信時の時間間隔と観測時の時間間隔は次度運動の結果として観測者が受けるエネルギーは＋t＝ t 2′R( t ′
2)c＋
t＝ t 1′

R( t ′
1)
c

f
f

DW ＝

t 2′

式によって関係付けられる。

＝)•S(r… 0, t )･ …n(t ′

t 1′

dt
1
＝1－ …n･b• ＝1－b cos u 2 (1＋u2g2)
2g
dt ′

)dt
•S(r… 0, t )･ …n(t ′

(12)

dt
dt ′
dt ′

(17)

したがって，放射源から立体角 dV に放出されるパワーはJuly 2004 Vol.17 No.4 ● 229

Figure 2.

Spatial pattern of the radiated power from an electron in case of b_• ⊥b• .

Figure 3.

Spatial pattern of the radiated power from an electron in case of b_• //b• .

面積 R2dV を乗じてFig. 3 である。電子の速さが光速に近づくにつれ，放射の角分布が前方に鋭く集中し強度も著しく増加することが

dW 2
dt 2
)＝
)
dP(t ′
R dV＝ •S(r… 0, t )･ …n(t ′
R dV
dt ′
dt ′

(18)

見て取れる。このことは式( 19 )の分母が b  1 かつ u ≪ 1の 場 合 に ゼ ロ に 近 づ く こ と に よ る 。 こ こ で （ 1 － b cosu)－1 が二分の一になる u を uSR とすれば放射パワーの空間分布に関する一般的表式として次式を得
る。

uSR＝

)
dP(t ′
dt 2＝ •S(r… 0, t )･ …n(t ′
)
R
dt ′
dV
)×{( …n(t ′)－b• (t ′))×b_• (t ′)}]e [ …n(t ′(1－ …n(t ′)･b• (t ′
))5
4pc
2



2

( 1b －1) 1g(22)となり，放射パワーの大半はこの角度（1/g）の中に投入
2(19)

されることになる。
.

ここで，電子の加速度 b_• が速度 •b に( 1 )垂直な場合と( 2 )円軌道放射
一様な磁場中で相対論的電子が Lorentz 力を受けて円運平行な場合について結果を書き下すと，動を行う際に発する放射は，元来 Synchrotron 放射（放射垂直な場合

光）と呼ばれる軌道面内に鋭く集中した高い輝度と指向性を持つ。ここでは，通常の放射光源としての電子リングか)
dP(t ′
e 2b_ 2
＝
dV
4pc

( )

(1－b cos u)2－(1－b2) sin2 u(1－b cos u)5(20)

ら生じる円軌道放射について概観する。
一般に，無限の過去から無限の未来の間に一個の電子が加速度運動を行う際に放出するエネルギー I の（周波数）スペクトルは1)，平行な場合
)dP(t ′
e 2b_ 2
＝
dV
4pc

( )

sin2 u(1－b cos u)5(21)

上記の結果を b＝0.9 について図示したのが Fig. 2 および

230 ● July 2004 Vol.17 No.4

d 2I
c
＝
F• (v)F• (v)dvdV 4p2(23)

ここで，F• (v) は“電場（ f• ＝R(t ′)E• R(t ′））”の Fourier 変特別企画 ■放射光源シリーズ

換として与えられる。
∞

fF• (v)＝f• (t ) exp(－ivt )dt

(24)

－∞

観測点が電子から十分に離れた遠方場では，運動による電子の変位が無視でき観測者から見た電子の方向を示す観測ベクトル …n はほぼ一定と近似することができる。
)r0－ …n･r… (t ′
)
R(t ′

(25)

この時，上記の Fourier 変換は次のように簡略化される。

F• (v)＝

Figure 4. Observation angle (gC) dependence of s- and p- polarization components of the bending radiation.

∞

f
{ (

ev
c

)
…n×( …n×b• (t ′

－∞

×exp

－iv t ′－)})
…n･r… (t ′
c

dt ′

(26)

vc＝

3 g3 c2r(33)

このように準備をした上で，円軌道上を運動する電子か式( 30 )と( 31 )より放射電場 E// (F// ) と E⊥ ( F⊥) の間の位らの放射スペクトルを求めるために，動径ベクトルと速度相差は p / 2 である。このことは，円軌道放射は一般に楕について書き下す（t ′＝0 における電子の位ベクトルを t ′円偏光（角度 C からの観測に対して）であることを示し

置を原点として）。

ている。両偏光成分の観測角度依存性を Fig. 4 に示した。
電子の円軌道のうち遠方からの観測にかかるのは，軌道( { ( )}
( )))＝ b sinb• (t ′( (bctr ′), 0, b cos (bctr ′))bct ′)＝ r 1－cosr… (t ′
, 0, r sin
r

bct ′
r

(27)
(28)

面内接線方向のおよそ± 1 / g の角度範囲のもののみであり，この部分の円弧のみが式( 26 )の積分に寄与する。式( 29 )は，この円弧部分を電子が一回通過する際に放出するエネルギー角分布の周波数スペクトルを示している。実際の電子リング内では毎秒 IB ( A )/ e 個の電子がこのようここで，r は軌道半径であり，実用的単位を使うと（偏向な運動を行っていることを考慮すると，式( 29 )は（両辺電磁石の磁束密度を B ( T ），電子ビームのエネルギーをを v で割ることによって）放出される光子数角分布の周EB( GeV ) として） r (m )＝ 3.333EB( GeV )/ B( T ）。これら

波数スペクトルとして次のように書き直すことができる

を上記の一般論に適用して Fourier 変換を実行すると偏向（自然光束密度）。

電磁石からの放射エネルギースペクトルを得ることができ

d 3Nphoton
d 2 I 1 IB＝
(dv/v)dtdV dvdV  e

る。

d 2I
3 e 2g 2＝ 2 [F//F
//＋F⊥ F⊥]dvdV 4p c
F//＝v(1＋g2C 2)K2/3(h)∝E//
vc

(30)

gCv
1＋g2C 2K1/3(h)∝E⊥
vc

(31)

F⊥ ＝ ih＝(29)v(1 ＋ g 2 C 2 ) 3 / 2
2 vc

(32)

(34)

ただし，単位は photons/s/rad2/100bandwidth である。
式( 34 )を用いて描いた円軌道放射のスペクトルを Fig.

5 に 示 す 。 こ こ で ， IB ＝ 500 mA, EB ＝ 1, 2.5 お よ び 6.5
GeV とした（C＝0）。
次に円軌道放射の time domain の構造を調べることにしよう。このために，観測にかかる円弧を 1 電子が通過する時に発する電場を式( 15 )を用いて直接求めた（ Fig.

6 ）。この図の重要な点は，電場波形が観測時間軸の方向
ここで， C は軌道面から観測点を見上げるまたは見下ろに著しく圧縮され歪むことである。上述のように，その程す角度であり， E// および E⊥ は電場の s- および p- 偏光＝1 /(2g2)＝ 2 ×
度は g＝ 4892 （ EB＝ 2.5 GeV ）の時 dt/ dt ′成分を表す。また，K1/3 と K2/3 は各々1/3 次と2 /3 次の変

10－8 であり，電場パルスの半値幅の比に良く現れている

形 Bessel 関数であり，vc は臨界周波数（周波数空間で放 0.5 × 10－11 s に 対 し て Dt  1 × 10－19（ Fig. 6 よ り Dt ′射エネルギーを二分する点として定義される）である。

s ）。 ま た ， こ の 電 場 パ ル ス を Fourier 変 換 し た も の がJuly 2004 Vol.17 No.4 ● 231

は電子リング内の場所に依存する量であるが，それらの積は次の関係によってエミッタンス（ ex, ey ）と呼ばれる重要な物理量（電子リング内の場所に依存しない不変量）と結び付けられている2)。厳密には，エミッタンスとは位相空間における楕円の面積と関係する量であるが，ある特定の場所ではビームサイズと角度発散の積と一致する。

ex, y＝sx, ysx′, y′(35)

以下に見るように，放射の性質, 特に放射強度はこれらに大きく依存している。電子ビームエミッタンスをできる
限り小さくして，極小のビームサイズとビームの平行性を
Figure 5. Natural photon ‰ux density of the radiation from thebending magnet in case of IB＝500 mA, EB＝1, 2.5 and 6.5 GeV.

追求することによって放射の高輝度化を目指すのが第三世
代放射光源の基本的考え方である。
放射光科学の分野では，光束（ photon ‰ux, & ），光束密度（photon ‰ux density, $），ブリルアンス（brilliance,"）の三つが放射の強度を示す物理量として用いられる。
光束は全方位に放射される光子数の総和として次のように定義される。

d 2Nphoton
d 3Nphoton&＝(dv/v)dt＝ (dv/v)dtdV dV

f

(36)

放射の角分布はガウス型であるので上式を次のように近似することができる。挿入光源のような線状の光源については，

Figure 6. A wave form of the bending radiation (in-plane observation). The wave form as a function of the observation time t isdenoted by a solid curve, and that as a function of the retarded timet ′is denoted by a broken curve.

d 3Nphoton2&2psp′(dv/v)dtdV

|

(37a)
u＝ 0

面状光源である円軌道放射については，取り込み角を DUとしてFig. 5 のスペクトルになる。この事情は，パルス幅の逆

d 3Nphoton&DU 2psp′(dv/v)dtdV

数として与えられるスペクトルの代表的周波数 vSR  1 /Dt＝1×1019 s－1 が，式(33)から得られる臨界周波数 vc

|

(37b)
u＝ 0

6 × 1018 s－1 とほぼ一致するところにも矛盾なく現れていここで， U は軌道面内接線方向からの隔たりを表す角変る。

数，また， sp′は光子固有の角度広がりである。電子ビー
.

放射強度について前節までは放射光発生の原理を見るために電子一個の放ムが，角度広がりをもつ場合，式( 34 )に示した自然光束
密度は次の実効的光速密度に置き換えられる。

射または複数の電子が同一軌道上を運動する場合の放射の性質を調べた。しかし，加速器内では電子は集団で運動しており，実際には有限のビームサイズおよび角度発散をもつ。一般に，ビームサイズは実空間における電子の位置分
布の標準偏差（sx, sy），角度発散は角度空間における電子

d 3Nphoon(U, C)(dv/v)dtdV[](U－U, C－C)d N＝
fdUfdCh(U, C ) (dv/v)dtdV

$＝

∞

∞

－∞

－∞

eff

3

photonの角度分布の標準偏差（sx′, sy′）として定義される（理想(38)

的な電子リングでは，電子の分布は放射減衰と放射励起の過程を通してガウス型になる）。 x および y は実空間におここで， h ( U, C ) は電子の分布を表す確率密度関数であける水平および鉛直方向である。ビームサイズと角度発散る。また（U, C）は観測方向である。

232 ● July 2004 Vol.17 No.4

特別企画 ■放射光源シリーズ

上式に見るように " は，実用的には，光源の単位面積当

1h(U, C)＝exp
2psx′sy′

2

2

2
x′

2
y′

{－2Us －2Cs }(39)

たり，単位立体角当たり，単位時間当たり，単位相対バン
ド幅当たりに放出される光子数として定義される。第三世
代光源の性能はこの量を測度として表記することによっ

この一見複雑な式の意味は，電子の存在する角度空間におて，よく特徴付けられる。しかし，より動力学的に，光源ける光束の角密度を求めることであり，より直感的な次の)空間）におけるの 4 次元位相空間（横方向（ x, x ′, y, y ′式で近似することができる（挿入光源軸上）。

光束密度，または 6 次元位相空間（上記に縦方向（t, v)
空間を加えた）における光子密度と考えるほうが一般的な

2
p′

3

s
d Nphoton&$0, eff2pS S ＝S S (dv/v)dtdV
x′ y′
x′ y ′
u＝ 0

|

(40a)

光源の議論においては理解しやすい。
上の議論において光源の実効サイズを求めるには光子の実空間および角度空間における固有広がりを知らなければ

円軌道放射については軌道面内で一様であることを考慮しならない。最後に，円軌道放射の場合についてこのことにて（面内放射について），

ふれて本稿を閉じることにする。
円軌道放射は軌道面内では一様なので鉛直面内の分布の3sp′ d Nphoton&$0, eff 2pS DU＝ S (dv/v)dtdV
y′

′

|

(40b)
u＝ 0

みを考える。この分布をガウス型と仮定すると，式( 34 )を鉛直方向に積分して，次の等式を得る。
p/2
d 3Nphoton
d 3Nphoton＝
2p s p′dC(dv/v)dtdV C＝0(dv/v)dtdV－ p/ 2

ここで， Sx′と Sy′は角度空間における実効的光源サイズ

| f

である。

Sx′, y′＝ s 2x′, y′＋s 2p′

(41)

(45)

次のようなに sp′対する漸近解を得る3)。

さらに，電子ビームの実空間における広がりを考慮して，－ 1/ 3(vv ) ; v≪v
0.58 vs ; v≫v
g (v )sp′

ブリルアンス，"を定義する。

1.07
g

c

(46)

c

(47)

c

－ 1/ 2p′$&"＝2pS S ＝4p2S S S S
x yx′ y′ x y＝1
d 2Nphoton
4p Sx′Sy′SxSy (dv/v)dt
2

c

(42)

実空間における固有広がりは，回折限界に対する次の条件より求めることができる。

ここで，Sx と Sy は実空間における実効的光源サイズであspsp′＝ep＝り，光子固有の空間広がり sp を用いて

Sx, y＝ s2x, y＋s2p

(43)

l
4p

(48)

ここで ep は光子のエミッタンスである。
参考文献

光束密度と同じく近似的には

1)
2)

$0
"0＝2pS Sx(44)y

J. D. Jackson: Classical Electrodynamics, Wiley (1965).
H. Wiedemann: Particle Accelerator Physics, Springer-Verlag(1993).
3) K-J. Kim: American Institute of Physics Conf. Proc. 184, 565(1989).

July 2004 Vol.17 No.4 ● 233