７．二次方程式の利用 ② 図形関連問題（面積・長さほか）【問１】ある中学校では，図のように，校舎の壁にそった長方形の花だんをつくることにしました。この花だんの壁がわの１辺を除いた３辺の長さの和が 24 m，面積が 72 m2 となるようにします。
このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（岩手県 2002 年度）(1) 花だんの縦の長さを求めるために，その長さを x m として，方程式をつくりなさい。
(2) 花だんの縦の長さを求めなさい。

(1)
(2)

m

【問２】
図のような，高さが 8 cm と 18 cm の２つの円柱 P，Q がある。円

円柱 P

円柱 Q

柱 P，Q の体積は等しく，円柱 Q の底面の半径は円柱 P の底面の半径より 5 cm 短い。円柱 P の底面の半径を x cm として方程式をつくり，円柱 P の底面の半径を求めなさい。
（栃木県 2002 年度）

答

cm

【問３】
ある正方形の縦を 5 cm，横を 10 cm それぞれのばして長方形をつくると，その面積がもとの正方形の面積の６倍になった。このとき，もとの正方形の１辺の長さを求めなさい。
（鳥取県 2002 年度）
cm【問４】
縦が x cm，横が 12 cm の長方形がある。この長方形から１辺が x cm の正方形を１個切り取ったら，残りの面積が 20 cm2 になった。このときの x の値をすべて求めなさい。
（秋田県 2003 年度）【問５】
図のように，１辺の長さが 15 cm の正方形の折り紙を，のりしろの幅をすべて等しくして重ねてはり合わせ，大きな正方形をつくる。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（新潟県 2003 年度）(1) のりしろの幅をすべて 1 cm とするとき，次の①，②の問いに答えなさい。
① ９枚の折り紙をはり合わせたとき，できた大きな正方形の１辺の長さと面積をそれぞれ答えなさい。

② n2 枚の折り紙をはり合わせたとき，できた大きな正方形の面積を n を用いて表しなさい。ただし，n は自然数とする。

(2) のりしろの幅をすべて x cm として，81 枚の折り紙をはり合わせて１辺が 125 cm の正方形をつくった。このとき，x の値を求めなさい。

①

cm

１辺の長さ

(1)
②
(2)

x＝

cm2

面積

cm2

【問６】
図１のような１辺 6 cm の正方形のうすい紙が，４枚ある。この４枚の正方形の紙を図２のようにはりあわせ，面積が100 cm2 の大きな正方形の紙をつくることを，太郎さんと花子さんはそれぞれ考えた。なお，のりしろ（はりあわせる部分）の幅はすべて同じとし，その幅を x cm とする。
次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（岐阜県 2003 年度）(1) 図２の大きな正方形の紙の１辺の長さを，x を用いて表しなさい。

(2) 太郎さんと花子さんはそれぞれ次のように考えた。
ア～ウには文字を使った式を，エには整数を，オには１次方程式を，それぞれあてはまる
ように書きなさい。

図１

図２

太郎さんの考え
図２の大きな正方形の紙の面積が 100 cm2 であることから，x についての２次方程式をつくると，
ア＝100 となる。

左辺を展開して，x2＋bx＋c＝0 の形にすると， イ
この左辺を因数分解することによって， ウ＝0 となり，＝0 となる。

花子さんの考え
図２の大きな正方形の紙の面積が 100 cm2 であることから，２乗して 100 になる数を考えると，大きな正方形の紙の１辺の長さはエcm であることがわかる。

このことから，x についての１次方程式をつくると， オとなる。

(3) このとき，のりしろの幅を何 cm にすればよいかを求めなさい。

(1)

(2)

cm
ア

イ

ウ

エ

オ
(3)

cm

【問７】
縦 8 m，横 12 m の長方形の土地がある。図のように，縦に２本，横に１本の同じ幅の道をつくり，残りの部分を花だんにすることにした。花だんの面積と道の面積が同じになるようにするには，道の幅を何 m にすればよいか。
次の①，②の問いに答えなさい。
（滋賀県 2003 年度）① 道の幅を x m として，x についての方程式をつくりなさい。

② ①の方程式を解いて，道の幅を求めなさい。

①
m

②
【問８】
図のように，２つの長方形 ABCD，EFGH があり，辺 EF 上に辺 AB があります。AB＝6 cm，BC＝8 cm で，頂点 C から辺 GH までの距離は，AE の長さ，BF の長さと同じです。図のの部分の面積が長方形 ABCD の面積の半分になるとき，頂点 C から辺 GH までの距離は何 cm になりますか。 頂点 C
から辺 GH までの距離を x cm として方程式を作り，求めなさい。
（北海道 2005 年度）
方程式

計算

答

cm

【問９】
縦の長さが 10 m，横の長さが 12 m の長方形の土地がある。図のように，縦と横に同じ幅のまっすぐな通路をつくり，通路を除いた土地の面積がちょうど 80
m2 になるようにしたい。このとき通路の幅を x m とする。
次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（岐阜県 2005 年度）(1) 次の A と B の２通りの方法で方程式をつくった。ア～エには x の１次式を，
オには x の２次式を，それぞれあてはまるように書きなさい。

A

通路を除いた土地の面積は，縦の通路と横の通路を右の図のように移しても変わらない。
通路を除いた土地の面積の関係を方程式で表すと，
(

B

ア

)(

イ

)＝80となる。

通路の面積は，縦の通路の面積と横の通路の面積をたして，重なった部分の面積をひくと求めることができる。
通路の面積の関係を方程式で表すと，
ウ ＋ エ － オ ＝10×12－80となる。

(2) (1)の２通りの方法でつくった方程式を，それぞれ変形すると，同じ２次方程式 x2＋bx＋c＝0 となる。この２次方
程式を書きなさい。

(3) 通路の幅を何 m にすればよいかを求めなさい。

ア

イ

(1)

(2)

＝0

(3)

m

ウ

エ

オ

【問 10】次の問題を下ののように解いた。

(ア)

～

(オ)

の中に数または式を書き入れよ。
（長崎県 2005 年度）

問題「図のように，同じ平面上に長方形 ABCD と長方形 EFGH があり，AB＝EF＝5 cm，BC＝FG＝7 cm である。この２つの合同な長方形は，辺 AD と辺
EF，辺 DC と辺 FG がそれぞれ点 I，点 J で垂直に交わり，AI＝EI となっている。このとき，長方形 IFJD の面積が 8 cm2 になるような線分 AI の長さを求めよ。」

AI＝x cm とする。線分 ID，線分 IF の長さは，それぞれ x を用いて表すと，ID＝
IF＝

(イ)

(ウ)

(ア)

cm，

cm である。長方形 IFJD の面積が 8 cm2 であることから方程式をつくると，＝8となる。
となる。ただしこの場合，問題に適するのは x＝

この方程式を解くと，であるから，線分 AI の長さは

(オ)

(オ)

cm である。

ア

イ

エ

オ

ウ

【問 11】
図のように，線分 OA，OB，OC をそれぞれ半径とする 3 つの円があります。点 O，A，B，C は一直線上にあり，AB＝BC＝1 cm とします。図の色のついた部分○
ア の面積が OA を半径とする円の面積と等しくなるとき，OA の長さは何 cm になりますか。
OA の長さを x cm として方程式をつくり，求めなさい。
（北海道 2007 年度）

方程式

答

cm

【問 12】
半径 2 cm の円が 2 個，半径 3 cm の円が 1 個，半径 4 cm の円が 2 個ある。この 5 個の円の面積の和が，半
径 a cm の円の面積と等しくなるとき，a の値を求めよ。
（愛知県Ｂ 2007 年度）
a＝【問 13】
図のような，長方形 ABCD があり，BC＝10 cm，CD＝5 cm である。点 P は，辺AB 上を，点 A から点 B まで動く点である。点 Q は，辺 CD 上を，CQ＝AP となるように動く点であり，点 R は，辺 AD 上を，AR＝2AP となるように動く点である。また，点 Pと点 Q，点 Q と点 R，点 R と点 P をそれぞれ結ぶ。点 P が 2 点 A，B と異なる点であるとき，AP＝x cm として，次の(1)～(3)の問いに答えよ。
（香川県 2007 年度）
2(1) 四角形 PBCQ の面積を y cm とするとき，x と y はどのような関係にあるか。
次の①～④から，正しいものを 1 つ選んで，その番号を書け① y は x に比例する② y は x に反比例する③ y は x の 2 乗に比例する④ y は x が変化しても一定である(2) △DRQ の面積は何 cm2 か。x を使った式で表せ。
(3) △PQR の面積が，△DRQ の面積の 3 倍になるのは，x の値がいくらのときか。x の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

(1)
cm2

(2)
x の値を求める過程(3)

答 x の値【問 14】
縦の長さが 6 m，横の長さが 8 m の長方形の花だんがある。この花だんの縦と横の長さをそれぞれ x m のばして，面積が元の花だんの面積の5倍になるようにする。x の値を求めなさい。
2（徳島県 2007 年度）【問 15】
次の問題を方程式をつくって解け。解答は，解く手順にしたがっての中に完成させ，答えを

の中に記入

せよ。
（福岡県 2007 年度）
A さんの学級では，「花いっぱい運動」に取り組み，図 1 のように，1 辺が 20 cm の立方体のブロックを並べて，長方形の花だんをつくった。図 2 は，長方形の花だんを真上から見た図である。並べたブロックの内側にできた長方形の土地(－で囲まれた部分)
は，横の長さが縦の長さよりも 4 m 長く，面積が 12 m2 であった。
並べたブロックの個数を求めよ。

解答
並べたブロックの内側にできた長方形の土地の縦の長さを x m とする。

【問 16】図のように，横が縦より 7 cm 長い長方形の厚紙がある。この 4 すみから 1 辺が 2 cm の正方形を切り取り，直方体の容器をつくると，容積が 120 cm3 になった。このとき，はじめの厚紙の縦の長さを求めなさい。
ただし，はじめの厚紙の縦の長さを x cm として方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。
（佐賀県後期 2007 年度）【問 17】
図のように，線分 OA を 1 辺とする正方形があります。辺 OA 上に AB＝1
cm，AC＝2 cm となるように 2 点 B，C をとり，OA を 1 辺とする正方形と同じ側に，2 つの線分 OB，OC を 1 辺とする正方形をそれぞれつくります。
で示された部分の面積とで示された部分の面積が等しいとき，OC の長さを求めなさい。
ただし，用いる文字が何を表すかを示して方程式をつくり，それを解く過程も書きなさい。
（岩手県 2008 年度）

答cm

【問 18】
図は，大きさの異なる 3 つの正方形ア，イ，ウを，大きいものから順に重ね，これらの正方形の 2 つの辺をそろえたものであり，1 辺の長さの差が 2 cm ずつとなっている。正方形イの面積が 50 cm2 であるとき，2 つの正方形アとウの面積の差は何 cm2 か，求めなさい。
（山形県 2008 年度）【問 19】
1 辺の長さが x cm の正方形がある。この正方形の縦の辺を 2 cm，横の辺を 3 cm それぞれ伸ばしてできた長方形の面積が，もとの正方形の面積の 2 倍となった。もとの正方形の 1 辺の長さを求めなさい。
（群馬県 2008 年度）
解

答

cm

【問 20】次の問題を方程式をつくって解け。解答は，解く手順にしたがっての中に完成させ，答えを

の中に記入

せよ。
（福岡県 2008 年度）

M 市では，市民の体力づくりのために，右の図のように，長方形
ABCD の土地に，正方形の多目的広場㋐と長方形の多目的広場㋑と
幅 5 m の歩道 (の部分) をつくった。多目的広場㋑は，横の長さ

が縦の長さより 50 m 短く，面積が 15000m2 である。長方形 ABCDの土地の周囲(の部分) に，5 m 間隔で点 A から木を 1 本ずつ植えることにした。ただし，木の大きさは考えないものとする。
長方形 ABCD の土地の周囲に植える木の本数を求めよ。
解答
多目的広場㋑の縦の長さを x m とする。

答 長方形 ABCD の土地の周囲に植える木の本数は本

【問 21】図のように，1 辺の長さが 10 cm の正方形 ABCD がある。AD の中点を E とし，AB 上に点 F，DC 上に点 G，BC
上に点 H，I を，AF＝BH＝IC＝GD となるようにとる。このとき，五角形 EFHIG の面積が 64cm2 となるのは，AF の長さが何 cm のときか，求めなさい。ただし，AF＝x cm (0 ＜ x ＜ 5 ) として方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。
（佐賀県後期 2008 年度）

方程式と過程【問 22】
幅が一定で，長さが 48 m の金網がある。この金網を使って，図のように，周の長さが48 m である囲いをつくり，動物を飼う場所にする。ただし，AF＝CD，FE＝DE となるよ
うにする。このとき，動物を飼う場所の面積が 80 m2 になるようにしたい。
次の問１～問３に答えなさい。
（岐阜県 2009 年度）
問１ AF の長さを x m として，太郎さんと花子さんは，それぞれ次のように考えて方程式をつくった。ア，ウ，エ，カには x の 1 次式を，イには x の 2 次式を，オ，キには数を，それぞれあてはまるように書きなさい。
太郎さんの考え
右の図の斜線部分のような，横の長さが x m で，動物を飼う場所と面積が等しい長方形を考える。この長方形は，周の長さが 48 m だから，縦の長さを x を使った式で表すと，()m となる。この長方形の面積が 80 m2 になればよい

アから，x についての 2 次方程式をつくり，x2＋bx＋c＝0 の形にすると， イ
0 となる。この式の左辺を因数分解すると，(

ウ

)(

エ

＝

)＝0 となる。

花子さんの考え直線 AF と直線 CD との交点を G とする。動物を飼う場所の周の長さは 48 m
だから，AG の長さは オ(

カ) m になる。動物を飼う場所の面積を 80 m2 にするためには，正方形
m2 になればよいから，x についての 2 次方程式をつく

FEDG の面積が キると，(m になり，FG の長さを x を使った式で表すと，

カ

)2＝

キ

となる。

問２ AF の長さを何 m にすればよいかを求めなさい。
問３ 点 F にロープの端を固定し，もう一方の端に動物をつなぐことにする。このとき，点 F と動物の間のロープの長さが 8 m であるとすると，動物が動くことのできる土地の面積は何 m2 になるかを求めなさい。ただし，動物やロープが囲いの外に出ることはなく，動物の大きさは考えないものとする。円周率はπを用いなさい。

問１
ア

イ

ウ

オ

カ

キ

問２

問３

エ

【問 23】
横が縦より 2 m 長い長方形の土地がある。この土地に，図のように同じ幅の道 (図のの部分) をつくり，残った2
4 つの長方形の土地を花だんにする。道幅が 1 m，4 つの花だんの面積の合計が 35 m のとき，この土地の縦の長さは何 m か。
（愛知県Ｂ 2009 年度）

m【問 24】A さんの学校では，花だんを何区画かつくることにした。このとき，どの区画も形と大きさが同じ長方形となるようにする。次の問１，問２に答えなさい。
（山口県 2009 年度）
問１ 1 区画の花だんは，縦を横より 1 m 長くし，面積が 12 m2 となるようにする。図 1 のように横の長さを x m として，2 次方程式をつくり，x の値を求めなさい。
図1
問２ 図 2 のように，n 区画の花だんを横に並べてつくりたい。各区画の花だんの四隅に支柱を立ててロープを張り，となり合う区画の花だんは，境界線上の支柱とロープを共有するものとする。このとき，必要な支柱の本数を n を使った式で表しなさい。
図2

解

問１

答 x＝
問２

本

【問 25】図のように，長方形の土地に，花だん A，花だん B，およびそのまわりに通路をつくることにした。花だん A は長方形，花だん B は正方形とし，花だん B の横の長さは花だん A の横の長さの 2 倍，2 つの花だんの縦の長さは同じとする。また通路の幅はすべて 1 m とする。
花だん A の横の長さを x m とするとき，次の(1)～(3)に答えなさい。
（佐賀県後期 2009 年度）(1) 長方形の土地の横の長さを x を使った式で表しなさい。

(2) 花だん A の面積を 8 m2 とするとき，長方形の土地の横の長さを求めなさい。

(3) 長方形の土地全体の面積を 96 m2 とするとき，花だん A の横の長さを求めなさい。ただし，x についての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

(1)

m

(2)

m

(3)

【問 26】
校庭に同じ大きさのレンガを並べて，長方形の花だんをつくる。レンガの上の面は，縦 10 cm，横 30 cm の長方形である。ただし，レンガの高さは考えないものとする。
次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（大分県 2009 年度）(1) 下の図のように，レンガ 10 個を並べて花だんをつくった。このとき，レンガに囲まれたの部分の面積を求めなさい。

(2) レンガ 36 個を(1)と同じように並べて花だんをつくった。このとき，レンガに囲まれたの部分の面積が64000 cm2 となった。
下の図のように，横に並べたレンガの数を x 個として，x についての方程式をつくりなさい。また，x の値を求めなさい。ただし，花だんの横の長さは縦の長さより長いものとする。

cm2

(1)
方程式
(2)
x＝

【問 27】図のように，BC＝6 cm，CA＝7 cm，∠BCA＝90°の△ABC があります。辺 BC 上に 2 点 P，Q を，辺 CA 上に点 R を，BP＝QC＝RA となるようにとります。△ABP と△RQC の面積の和が△ABC の面積の4となるとき，BP の長さは何 cm になりますか。
7

BP の長さを x cm として方程式をつくり，求めなさい。ただし，BP の長さは，3 cm より短いものとします。
（北海道 2010 年度）
〔方程式〕

〔計 算〕

答

【問 28】
図のように，AB＝x cm，AD＝2x cm の長方形 ABCD の厚紙がある。この厚紙の 4 すみから 1 辺の長さが 2 cm の正方形を切り取り，折り曲げて直方体の容器を作る。ただし，x＞4 とする。次の(1)～(3)に答えなさい。
（青森県 後期 2011 年度）(1) EF の長さを x を用いて表しなさい。

(2) この直方体の容器の体積を x を用いて表しなさい。

(3) この直方体の容器の体積が 96 cm3 になるときの x の値を求めなさい。

(1)
(2)
(3)

x＝

cm

【問 29】図１のような，1 辺の長さが 2 cm の正方形の紙 A と，1 辺の長さが 1 cm の正方形の紙 B がある。A と B をどち
らも 1 枚以上用い，これらをすき間なく重ならないように並べて正方形をつくる。このとき，A と B の並べ方に関係なく，それぞれ並べた枚数について考える。
例えば，1 辺の長さが 4 cm の正方形は，図２のように，A を 3 枚と B を 4 枚並べた場合，A を 2 枚と B を 8 枚並
べた場合，A を 1 枚と B を 12 枚並べた場合がある。
次の問１，問２，問３に答えなさい。
（栃木県 2011 年度）
図１
図２

問１ A を 2 枚用いて，1 辺の長さが 5 cm の正方形をつくるには，B は何枚必要か。

問２ A と B を用いて，1 辺の長さが 6 cm の正方形をつくる。このとき，A と B の枚数の組み合わせは何通りあるか。

問３ A と B を用いて，1 辺の長さが a cm(a は奇数) の正方形をつくる。A を最も多く用いたとき，図３のように，a＝3の正方形を 1 番目の正方形，a＝5 の正方形を 2 番目の正方形，a＝7 の正方形を 3 番目の正方形，…とする。
図３

このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) n 番目の正方形をつくったところ，A と B を用いた枚数の合計が 61 枚であった。このとき，n についての方
程式をつくり，n の値を求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。

(2) A と B をそれぞれ何枚か用いて，m 番目の正方形だけをいくつかつくる。これらをすき間なく重ならないように並べて，縦の長さが 180 cm，横の長さが 270 cm の長方形をつくるとき，考えられる m の値のうち，最も大きい値を求めなさい。

問１

枚

問２

通り

(1)
問３

答え ( n＝(2)

m＝)

【問 30】1 辺が 1 cm の白い立方体がたくさんある。これらの立方体をすき間なく 2 段に積み上げて並べ，縦 n cm，横 (n＋1) cm，高さ 2 cm の直方体をつくり，その側面を黒くぬる。
次に，2 段目に積み上げた立方体のうち，黒くぬられた面のある立方体を取り除く。
このとき，このようにしてつくった立体に用いられている立方体の個数を調べることにする。ただし，n は 3 以上の整数とする。
例
n＝3 のとき，図１のように，縦 3 cm，横 4 cm，高さ 2 cm の直方体をつくり，その側面を黒くぬり，2 段目に積み上げた立方体のうち，黒くぬられた面のある立方体を取り除く。
この結果，このようにしてつくった立体に用いられている立方体の個数は 14 個となる。
図１n＝4 のとき，図２のように，縦 4 cm，横 5 cm，高さ 2 cm の直方体をつくり，その側面を黒くぬり，2 段目に積み上げた立方体のうち，黒くぬられた面のある立方体を取り除く。
この結果，このようにしてつくった立体に用いられている立方体の個数は 26 個となる。
図２

このとき，次の問いに答えなさい。
（神奈川県 2011 年度）
問１ n＝5 のとき，このようにしてつくった立体に用いられている立方体の個数を求めなさい。

問２ このようにしてつくった立体に用いられている立方体の個数が 222 個のとき，n の値を求めなさい。

問１

問２

個

n＝

【問 31】
図１のような，直方体の形をした空の容器があり，AE＝8 cm，EF＝6 cm，FG＝8 cm である。
また，図２のような，三角柱の形をした鉄のおもりがあり，IJ＝8 cm，JK＝6

図１

cm，IK＝10 cm，KN＝8 cm である。図３のように，図１の空の容器の中に図２の鉄のおもりを置き，できた容器を容器①とする。また，図４のような，直方体の形をした空の容器があり，PT＝8 cm，TU＝5 cm，UV＝3 cm である。これを容器②とする。容器はすべて水平に置き，容器の厚さは考えないものとする。
これについて，次の(1)～(3)の問いに答えよ。
（香川県 2011 年度）(1) 図２の三角柱の形をした鉄のおもりの表面積は何 cm2 か。

図２(2) 図５のように，容器①に水を入れた。容器の底面から水面までの高さがx cm であるとき，入れた水の体積は何 cm3 か。x を使った式で表せ。

図３(3) 容器①の水をいったん捨てる。次に，容器①の底面から水面までの高さと，容器②の底面から水面までの高さが同じになるように，両方の容器に水を入れる。容器①に入れた水の体積が，容器②に入れた水の体積

図４より 18 cm3 だけ大きくなるのは，容器の底面から水面までの高さが何cm のときか。容器の底面から水面までの高さを x cm として，x の値を求めよ。x の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

図５

(1)

cm2

(2)

cm3
〔x の値を求める過程〕(3)

答 x の値【問 32】次の問題を方程式をつくって解け。解答は，解く手順にしたがっての中に完成させ，答を

の中に記

入せよ。
（福岡県 2011 年度）

A 中学校では，在校生が卒業生へのメッセージを 2 枚の厚紙にかいて，その厚紙を，右の図のように，縦 60 cm，横 90
cm の長方形の模造紙にはることにした。2 枚の厚紙は合同な長方形で，厚紙 1 枚の面積は 1200 cm2 である。
厚紙の縦と横の辺をそれぞれ模造紙の縦と横の辺に平行にし，厚紙がはられていない模造紙の部分の幅をすべて等しくなるようにする。
厚紙がはられていない模造紙の部分の幅を求めよ。

〔解答〕

答 厚紙がはられていない模造紙の部分の幅はcm