大学院入試徹底対策テキスト

泰親 著

コロナ

森社

制御工学コロナ社

ままえがえがきi

き

大学院を受験しようと入試課に問い合わせると，過去 2，3 年分の試験問題を入手できることがある。その過去問は，いままでに見たこともない姿をしており，驚きと不安が襲ってくる。
これまで，学部の授業で制御工学を履修したときは，小テストがあり，期末社試験があった。小テストは，直近の 3 週間に習ったごく限られた範囲から出題され，問題はきわめてシンプルである。また，期末試験では，ブロック線図の等価変換，定常偏差の計算，ラウス・フルビッツの安定判別，対角正準形へのロナ変換など，テーマごとの問題が数題出される。すなわち，おたがいが完全に独立した問題であり，著者は 7 問中 5 問を選択して解答する方式を取っていた。
よい点を取ってもらうための策である。

しかし，大学院入試問題はそうではない。テーマを融合した出し方をする。
また，一つの問題の中に小問が数題あり関連しているので，早い段階で間違うコとそれ以降の苦労が無駄になってしまう。例えば，システムの動特性を式表現し，それをラプラス変換して制御系全体のブロック線図を構成したのち，等価変換して伝達関数を見つけ，ステップ応答と定常偏差，安定度を計算するといった具合である。
それぞれのテーマをしっかりと身に付けておけば恐れることはない。ただ，そのような問題に取り組んだ経験がないために焦ってしまうのである。ならば，経験を積むためにと生まれたのが本書である。
本書は，「実際の過去問」をわかりやすく丁寧に解いている。また，必要に応じて「さらに詳しく」のコーナーを設けて詳しい解説をしている。多くの本が，詳しい解説のあとに章末問題を解いて理解度のチェックをするのとまった
く逆の構成である。大学院を目指す受験生のために書かれた本ではあるが，社

まii

えがき

会人になって制御工学を復習したい人，力試しをしたい人にも重宝される一冊に仕上がっている。
なお，本書の執筆にあたり，過去の大学院入試問題の転載をご許諾いただいた，北海道大学，東京工業大学，電気通信大学，名古屋工業大学，大阪大学，徳島大学（掲載順）の各大学院に改めて御礼申し上げます。
2021 年 10 月

コロ
ナ

社

森泰親

目

目

次iii

次

北海道大学大学院 工学院 修士課程

機械宇宙工学専攻 機械・宇宙航空工学系研究室群
令和 2 年度入試

試験問題

1

解答

2

□

平成 31 年度入試

試験問題

8

解答

社

□10ロナ

東京工業大学大学院課程（修士課程）
工学院 機械系・システム制御系
平成 30 年度入試

試験問題

23

解答

26

□

平成 29 年度入試

試験問題

43

解答

45

コ

□

電気通信大学大学院 情報理工学研究科 博士前期課程
機械知能システム学専攻□

令和 2 年度入試

試験問題

58

解答

60

名古屋工業大学大学院 工学研究科 博士前期課程
工学専攻 電気・機械工学系プログラム□□

令和 3 年度入試
令和 2 年度入試

試験問題

67

解答

70

試験問題

80

解答

82

目iv
□

平成 31 年度入試

次試験問題

91

解答

93

大阪大学大学院 工学研究科 博士前期課程
電気電子情報通信工学専攻 電気工学コース
令和 2 年度入試

試験問題

102

解答

104

□

平成 31 年度入試

試験問題

115

解答

118

□

平成 30 年度入試

試験問題

130

解答

133

□

平成 29 年度入試

試験問題

143

□

平成 28 年度入試

試験問題

解答

ロ
ナ

解答社

□145
157
159

徳島大学大学院 先端技術科学教育部 博士前期課程

知的力学システム工学専攻 機械創造システム工学コース
平成 31 年度入試

試験問題

168

解答

168

□

平成 30 年度入試

試験問題

177

解答

177

平成 29 年度入試

試験問題

184

解答

185

□参コ

□

考

文献

193

令和 2 年度入試 （令和元年 8 月実施問題抜粋）

1

北海道大学大学院 工学院 修士課程
機械宇宙工学専攻
機械・宇宙航空工学系研究室群社■ 令和 2 年度入試 （令和元年 8 月実施問題 抜粋）
試験問題 （機械力学・制御工学）
問2次式の伝達関数で表されるシステムについて考える．

ロ
ナ

Y(s)
s＋5＝
U(s) s2＋2s＋401(i)

ここで，s はラプラス演算子，Y(s) は出力 y(t) のラプラス変換，U(s) は入力 u(t) のラプラス変換である．以下の設問に答えなさい．
（ 1 ） 式(i) の系の極を求め，系の安定性について述べなさい．そして，系が安定の場合，その極配置から出力の応答性について説明しなさコい．

（ 2 ） u(t) が単位インパルス入力のとき，出力 y(t) を求めなさい．
（ 3 ） 式(i) を状態方程式で記述することを考える．そこで，時間関数
w(t) のラプラス変換 W(s) を導入し，Y(s)/U(s) を次式のように分解する．
Y(s) W(s) Y(s)＝U(s) U(s) W(s)(ii)

ここで，W(s)/U(s) と Y(s)/W(s) は次式で与えられ，このとき式(i)が成り立つ．
W(s)1＝U(s) s2＋2s＋401(iii)北海道大学大学院 工学院 修士課程

2Y(s)＝s＋5W(s)(iv)

式(iii) から w(t) と u(t) の関係式，式(iv) から y(t) と w(t) の関係式を求めなさい．
（ 4 ） 状態ベクトルを x1＝w(t)，x2＝w(t) で構成し，式(iii) および式(iv)●をそれぞれ状態方程式，出力方程式として表しなさい．ただし，w(t) は w(t) の時間微分を表す．また，ここで得られた状態方程式は●可制御正準形と呼ばれる．
（ 5 ） 上問（ 4 ）で求められた状態方程式に対し，状態フィードバック
f 2]

x1

{ x (t)(t)} を適用する．閉ループ系の極を (−30＋ j50)
2社

u(t)＝−[ f1と (−30− j50) に配置するフィードバックゲイン [ f1さい．

f2] を求めなロナ（6） 上問（ 5 ）の状態フィードバックにより，系の特性がどのように変化したか，説明しなさい．

問2解答

（1）

コ伝達関数

(A1.1)

s2＋2s＋401＝0(A1.2)

Y(s)
s＋5＝
U(s) s2＋2s＋401で表される系の極はを解いて，λ1，2＝－1± j20 と得られる。
系は安定ではあるが，出力は振動が激しく収束の悪い応答となる。
さらに詳しく
二次遅れ要素の標準形は
ωn2G(s)＝ 2s ＋2ζωn s＋ωn2(A1.3)

令和 2 年度入試 （令和元年 8 月実施問題抜粋） 問 2 解答

3で与えられる。ここで，ωn＞0 を固有角周波数，ζ≥ 0 を減衰係数という。特性方程式は
s2＋2ζωn s＋ωn2＝0(A1.4)

であり，その判別式
D＝(2ζωn)2－4ωn2＝4ωn2(ζ2－1)(A1.5)

から，0＜ζ＜1 のとき特性根は共役複素数
λ1，2＝－ζωn±jωn 1－ζ2(A1.6)となる。
また，単位ステップ応答 y(t) は
1e－ζωnt sin(ωn 1－ζ2 t＋ϕ)1－ζ2(A1.7)

1－ζ2ζ(A1.8)

ϕ＝tan－1ロナとなる。ここで社

y(t)＝1－である。このとき，特性根を式(A1.6) に代えて
λ1，2＝－α±jβ(A1.9)とおけば，式(A1.7) は

1e－αt sin(βt＋ϕ)1－ζ2(A1.10)

コy(t)＝1－となる。すなわち，特性根の実部は収束項 e－αt，虚部は振動項 sin βt にそれぞれ別々に寄与していることがわかる。
極の複素平面上での位置とステップ応答の関係を図 A.1 に示す。虚軸上は持続振動する安定限界となり，左半平面が安定，右半平面が不安定となる。左半平面において虚軸から遠くになるほど収束がよくなる。また，実軸上は振動せずに単調に増加し，実軸から離れると振動する。実軸から遠くになるほど振動が激しくなる。

北海道大学大学院 工学院 修士課程

4ImRe社

0ロナ

図 A.1（2）入力が単位インパルスなので，出力 Y(s) はs＋5s＋5U(s)＝ 2Y(s)＝ 2・1
s ＋2s＋401s ＋2s＋401(A1.11)

コで与えられる。式(A1.11) はつぎのように変形することができる。
s＋5(s＋1)＋4Y(s)＝ 2＝s ＋2s＋401 (s＋1)2＋202＝

420(s＋1)＋ ×(s＋1)2＋202 20 (s＋1)2＋202(A1.12)式(A1.12) を逆ラプラス変換して
y(t)＝L－1 [Y(s)]＝L－1

120(s＋1)＋ ×[ (s＋1)5 (s＋1) ＋20 ]＋202＝e－t cos 20t＋となる。

21 －t
e sin 20t
522(A1.13)

令和 2 年度入試 （令和元年 8 月実施問題抜粋） 問 2 解答

5（3）
与式
W(s)
1＝
U(s) s2＋2s＋401(A1.14)の分母を払うと(s2＋2s＋401)W(s)＝U(s)(A1.15)となる。式(A1.15) を逆ラプラス変換してrw(t)＋2w(t)＋401w(t)＝u(t)(A1.16)●Y(s)＝s＋5W(s)を逆ラプラス変換すると次式となる。
y(t)＝w(t)＋5w(t)●ロナ（4）

社を得る。同様に与式(A1.17)(A1.18)w(t)＝x1(t)(A1.19)w(t)＝x2(t)(A1.20)rw(t)＝x (t)(A1.21)x1(t)＝x2(t)(A1.22)

●

からコ

●

2●

であることがすぐわかる。式(A1.19) から式(A1.21) を式(A1.16) に代入する。
x2(t)＋2x2(t)＋401x1(t)＝u(t)●∴x2(t)＝－401x1(t)－2x2(t)＋u(t)●(A1.23)









●

x1(t)
00
1 x1(t)＝＋ u(t)1x2(t)－401 －2 x2(t)

式(A1.22) と式(A1.23) をまとめて，状態方程式はつぎのようになる。
●（A1.24）同様に，式(A1.18) はy(t)＝x2(t)＋5x1(t)と書くことができるので，出力方程式は次式となる。

(A1.25)

―著 者 略 歴―1976 年 早稲田大学理工学部電気工学科卒業
1981 年 早稲田大学大学院理工学研究科博士課程修了（電気工学専攻）
工学博士
1981 年 株式会社東芝総合研究所勤務
1988 年 埼玉大学助教授
1992 年 防衛大学校助教授
1999 年 防衛大学校教授
2003 年 東京都立科学技術大学教授
2005 年 首都大学東京教授（校名変更）
2018 年 首都大学東京（現 東京都立大学）名誉教授
2018 年 交通システム電機株式会社 取締役副社長
現在に至る
電気学会上級会員（2005 年）
計測自動制御学会フェロ一（2010 年）
書

制御理論の基礎と応用（共著，産業図書，1995）
大学講義シリーズ 制御工学（コロナ社，2001）
演習で学ぶ現代制御理論（森北出版，2003）
演習で学ぶ基礎制御工学（森北出版，2004）
演習で学ぶ PID 制御（森北出版，2009）
演習で学ぶディジタル制御（森北出版，2012）
わかりやすい現代制御理論（森北出版，2013）
大学講義テキスト 古典制御（コロナ社，2020）
大学講義テキスト 現代制御（コロナ社，2020）
演習で学ぶ基礎制御工学 実践編（森北出版，2021）

社

著

制御工学ロナ

大学院入試徹底対策テキスト

Workbook for Graduate School Entrance Examination, Control EngineeringⒸ Yasuchika Mori 2021
2021 年 12 月 17 日著
者
発 行 者

コ検印省略

初版第 1 刷発行

印 刷 所
製 本 所

もり★
やすちか森
泰
親株式会社
コ ロ ナ 社
代 表 者
牛 来 真 也
美研プリンティング株式会社
有限会社
愛千製本所

112 0011 東京都文京区千石 4 46 10発 行 所 株式会社 コ ロ ナ 社
CORONA PUBLISHING CO., LTD.
Tokyo Japan
振替00140 8 14844・電話（03）
3941 3131（代）
ホームページ https://www.coronasha.co.jp

ISBN 978 4 339 03236 9

C3053

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