B ULLETIN DE LA S. M. F.

P IERRE B ERTHELOT
Systèmes de Honda des schémas en Fq -vectoriels
Bulletin de la S. M. F., tome 105 (1977), p. 225-239<http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1977__105__225_0>© Bulletin de la S. M. F., 1977, tous droits réservés.
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Bull. Soc. math. France,
105, 1977, p. 225-239.

SYSTÈMES DE HONDA DES SCHÉMAS EN ^-VECTORIELSpar

PIERRE BERTHELOT[E.R.A. n° 451 du C.N.R.S., Rennes]

RÉSUMÉ. — Utilisant la classification des schémas en groupes commutatifs, finis etplats sur l'anneau W des vecteurs de Witt d'un corps parfait de caractéristique p par
le système de Honda associé, on étudie d'abord la structure du système de Honda d'unschéma en Fg-vectoriels G de rang q. On utilise ensuite ce résultat pour calculer explicitement à partir du système de Honda le caractère du groupe d'inertie donnant la représentation galoisienne définie par les points de G à valeurs dans une clôture algébriquedu corps des fractions de W.

Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, W l'anneau desvecteurs de Witt à coefficients dans k, K son corps des fractions. Généralisant les résultats de GROTHENDIECK [5] sur la classification des groupes/^-divisibles, FONTAINE a montré [4] que la classification des schémasen groupes commutatifs, finis et plats sur W, peut se faire au moyen du« système de Honda » d'un tel schéma en groupes G, système formé dumodule de Dieudonné M de la réduction G^ de G sur k, et d'un sousF^-module L <=. M vérifiant des conditions rappelées plus bas. De plus,
la théorie de FONTAINE permet de répondre, dans le cas fini comme dansle cas /^-divisible, à la question posée par GROTHENDIECK dans [5] :comment construire la représentation de Gai ( K / K ) fournie par la fibre
générique de G, à partir du couple (M, L) classifiant G?
Nous donnons ici un exemple indiquant comment cette construction
peut être utilisée pour obtenir des informations sur la représentation
galoisienne définie par G. Supposons k algébriquement clos, et soit H
un prolongement fini et plat sur ^d'un quotient de Jordan-Hôlder de G^ :il existe alors un corps fini F et une structure de schéma en F-vectoriels
sur H, de rang 1 sur F, telle que la représentation galoisienne définie
par H se fasse par un caractère ^F : 7—^F*, où / = Gai ( K / K ) (cf. [6]).
Répondant à une question de SERRE, RAYNAUD a montré [6] que lecaractère ^F peut s'écrire comme produit des caractères fondamentaux
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de 7, chaque caractère ayant pour exposant 0 ou 1 (fêtant ici absolument
non ramifié). A partir des résultats de FONTAINE, on obtient une autre
démonstration de ce résultat, ainsi qu'une description très simple ducaractère ^ à partir du système de Honda de H, et de l'action de F surce système (th. 3.8). On peut d'autre part espérer que cette méthode se
généraliserait au cas où l'on remplace le groupe G par l'homologie étale
H^ (X^, Z/p Z) de la fibre générique d'un schéma ^propre et lisse sur W(comme le demande SERRE dans [7]), si l'on disposait d'une construction
analogue à celle de FONTAINE, reliant la cohomologie cristalline de Xj,,
munie de la filtration de Hodge définie par X, à la cohomologie étale
.p-adique de X^ (voir l'introduction de [1]).
1. Représentation galoisienne associée à un système fini de Honda
Rappelons brièvement la classification des schémas en groupes commutatifs finis et plats sur l'anneau des vecteurs de Witt d'un corps parfait,d'après FONTAINE ([2], [4]).
1.1. Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, W = W{k)l'anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans k. Pour toute ^-algèbre
artinienne R, on note CW{R) l'ensemble des suites
X = ( . . . , X _ f , . . ., Xo) = (^-;)(6N5

telles que, pour presque tout /, ^_i appartienne au radical de R. Les applications W^ (R) —> CW(R) qui associent si y = Cy^o^y^n-i la suite (^'-1)1^,
définie parx_i=^-i-i

pour O^i^n—1,

x-i=0

si

i ^ ?î,définissent une injection
W(R) = îimind^ W^(R) ç C W(R\identifiant W (R) à l'ensemble des suites (^-i) telles que ^_» = 0 pourpresque tout f.
Les formules universelles définissant la somme dans W(K) gardent
un sens pour les éléments de CW(R), munissant cet ensemble d'une
structure de groupe abélien. On définit d'autre part des opérateurs F,
F prolongeant ceux de W(R) par^((^eN)=(^)ieN,^((fl-,),gN)=(û-,-l),eN-

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Enfin, on vérifie qu'il existe sur CW (R) une unique structure de ^F-module
telle que, pour a = (û?o, 0, ..., 0, ...) e W(k\ on ait^•(^-f)»eN=(^5 ^-fX-eN»et les compatibilités usuelles avec les opérateurs F et K Si Z)^ est l'anneau
de Dieudonné de k, CWesi ainsi un foncteur sur la catégorie des Â:-algèbres
artiniennes, à valeurs dans la catégorie des Démodules.
Soit G un schéma en groupes (commutatif de ^-torsion) fini sur k.
Le module de Dieudonné de G est alors le Z^-module M (G) = Hom (G, CW),où Hom désigne l'ensemble des morphismes de foncteurs en groupes
abéliens. Si R est l'algèbre de G, M (G) s'identifie naturellement à unsous-Z)fe-module de CW(R).
THÉORÈME 1.2 (cf. [2]). - Le foncteur qui à G associe M (G), est uneéquivalence de catégories de la catégorie des k-schémas en groupes finis
commutatifs de p-torsion dans la catégorie des Démodules qui sont delongueur finie comme W-modules.
Un foncteur quasi inverse peut se décrire comme suit : soit A une^-algèbre artinienne; si M = M(G\ alors
G (A) = Hom^(M, C W(A)).
1.3. Soit maintenant A une ^-algèbre libre finie. On définit une
applicationw.:

CW(A-}-.A0WK,\pA}
Aoù K = Frac (W), en posant, pour a_, e A/p A, et b_, relevant a_, dans A.
^((^-^eN)=E^=oP~ l - l ^.

La série obtenue converge pour la topologie /7-adique de A ® K, etsa somme ne dépend pas modulo A du choix des relèvements b_i. De plus,w^ est un homomorphisme ^-linéaire, fonctoriel en A.
Soient G un schéma en groupe commutatif, de ^-torsion, fini et plat sur W
R son algèbre, G^ sa fibre spéciale, d'algèbre R/pR. On considère l'homomorphisme composé
M(G^CW(^R®WK,

\pR]

R

et on note L (G) son noyau, qui est donc un sous- ^-module de M (G,,).
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P. BERTHELOT

Le couple (M, L) = (M [Gj,), L(G)) vérifie alors les propriétés suivantes :THÉORÈME 1.4 [4] :(a) F(M)r^L = p L;(b) M = F(M)+L;(c) la restriction de V à L est injective.
Un couple formé d'un Z^-module M de longueur finie sur W et d'un
sous- ^P-module L de M vérifiant les conditions de 1.4 est appelé systèmefini de Honda. Les conditions de 1.4 sont encore équivalentes aux conditions
suivantes :(i) F ( M ) n L = p L ;(ii) Ker (p) = Ker (p \^) ® Ker (F);(iii) Ker (F) c Im(F).
En particulier, si p . M = 0, Fo V = V Q F = 0, de sorte que la condition (iii) équivaut à Ker (F) = Im(F), ou encore Ker (F) = Im(F).
THÉORÈME 1.5 [4]. — (i) Supposons p + 2. Alors le fondeur qui à G
associe (M (Gy, L (G)), est une équivalence de catégories de la catégorie
des W-schémas en groupes commutatifs, de p-torsion, finis et plats sur lacatégorie des systèmes finis de Honda.
(ii) Supposons p = 2. Alors le même énoncé reste vrai si on se restreint
à la catégorie des schémas en groupes unipotents (resp. à celle des systèmes
finis de Honda tels que V soit niipotent sur M).
Un foncteur quasi inverse peut se décrire de la façon suivante : soient G
un schéma en groupes fini et plat sur W, de système de Honda (M, L),
et A une ^-algèbre finie et libre. Posons
L^K^Cwf-^^Y\ \PA)A )Alors :
G(A) = Hom^Y(M, L ) , f C w ( A \ L,V),
\
\
\PA}
))
où Hom^ fin désigne le groupe des homomorphismes Z^-linéaires(p : M-> CW(Alp A) tels que (p (L) c L^.
1.6. Soient en particulier K' une extension finie de K, A' la clôture
intégrale de W dans K ' ; on a donc, si G^ = G ^^ K,
G^K') = G(A') ^ Hom^/(M, L), (cw(^\L^\.
\\ \pA )))TOME 105 - 1977 - N° 3

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L'action de ^ = Gai ( K ' / K ) sur G^ ( K ' ) se fait par l'intermédiaire deson action sur A\ donc sur le couple (CWÇA'lp A'), L^). Posons^^ = lim md^K Cw( A-\\PA )^ = lim ind^^ L^,(on notera l'injectivité des flèches de transition), de sorte qu'il existe une
action naturelle de ^ = Gai ( K / K ) sur le couple C^^, o^)- Par passage
à la limite, on obtient l'expression du module galoisien G^ (K) à partir
du système de Honda de G :G^(K) ^ Hom^,^((M, L), (W^^)).
2. Structure du système de Honda d^un schéma en F^-vectoriels
2.1. Soit F^ un corps fini à q = // éléments. On appellera schéma en
Fq-vectoriels sur un schéma S, la donnée d'un 5'-schéma en groupes
commutatifs G, fini et plat sur S, et d'un homomorphisme d'anneaux
F'q—^ End^ (G). Pour tout À,eF^, on notera [?i] l'endomorphisme de G
correspondant.
Soit G un schéma en F^-vectoriels sur W, qu'on suppose unipotent
si p == 2. Si (M, L) est le système de Honda de G, Tq opère sur (M, L)
par fonctorialité, et on notera encore [À] l'endomorphisme de (M, L)défini par X e F^. Comme G est annulé par j?, il en est de même de M,
qui est donc un A-espace vectoriel. Pour tout X e F ^ , [?i] est donc un
endomorphisme ^-linéaire de M, commutant à F et F, pour lequel L est
stable.
On suppose qu'il existe un plongement de Fg dans k. Pour tout caractère % '.f^ —> /;*, soit M^ le sous-espace de M sur lequel F^ agit par l'intermédiaire de 5C. Rappelons que ^ est ^fondamental si l'application ^ : Fg —> kprolongeant 7 par ^ (0) = 0 est additive; il existe r caractères fondamentaux,
induits par les r plongements du corps F^ dans le corps k, et qu'on peutnoter ^i, î e Z / r , en choisissant un plongement particulier Xo : F^ ^ ^et en imposant ^;+i == ^f. On posera M^ = M^.
LEMME 2.2. — Avec les notations précédentes,
M^QieZ/r^i'

Un argument classique montre que si l'on pose^-^L^xW-1^],
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P. BERTHELOT

l'image de ^ est M^, et les ^ constituent une famille d'idempotents
orthogonaux, de somme l'identité. Par suite,M=©X:FS-^A^,et i isuffit de voir que si M^ 0, ^ est un caractère fondamental. Soient À/\i e Fg, et x e M^ x ^ 0. La relation [X+ ^i] = [X] + [^] dans End (M, L)
donne[^+n](x)=[^(x)+M(x),soit

x(X+^)x=Oc(A)+xOi))^d'où l'additivité de /.
LEMME 2.3. - Po^r tout i,
F (M,) c M,+i,

7 (M,) c A^._,.

Puisque l'action de F^ commute à F et F, on a, pour x e M,,[^](F(x)) = F([X](x)) = F(x^)x) = x,(^.F(x) = ^+iW.F(x),de sorte que F(x)eM,+i; de même, F(^)eM,._i.
COROLLAIRE 2.4. — Supposons que G soit de rang q sur k. Alors, pour
tout f, dim^ Mi = 1.
Supposons que M, = 0. D'après 2.3, F est nul sur M,_i. Si x e M , _ i ,x est donc de la forme V(y), d'après 1.4 (iii). Quitte à remplacer y parsa composante sur Af,, on peut, d'après 2.3, supposer que y e M,,
donc ^ = 0, x = 0, et par suite M,_^ = 0. Par récurrence, on en déduit
que M = 0, ce qui est absurde. Donc, pour tout f, dim^ M, ^ 1. Or ladimension de M sur /; est égale à r, et il y a r caractères fondamentaux,d'où le résultat.
On suppose désormais que G est de rang q sur k.
LEMME 2.5. — Supposons k algébriquement clos. Alors M possède unebase (^);ez/r» telle que(a) ëi engendre M^;(b) soit F(e,) = e^^ soit V(e^^ == e,.
Choisissons pour tout ; un générateur e\ de M,. Deux cas sont possibles :(i) si F(e\) ^ 0, on a F(^') == a,é^, avec a.e^;(ii) si F(e\) = 0, e\ est de la forme V(y\ pour yç=M,+^ et il existe
un unique a;e/:* tel que V^e'^^) = 6?;..
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Posant Ci = s,^, avec £;eÂ:*, on voit que les ^ vérifieront la condition (é), si, et seulement si, soit :^+1 = F(e,) = F (8,<) = 8fF(0 = 8fo^+i = sfo^ ^,soit :
Ci= V(e^,)= 7(8^^i)= 8^ V(e^ 0 = 8^? oc,-l!p e\ = 8,^ a,-l/p 8^,,c'est-à-dire si, et seulement si, pour tout i, 8,+i = a,8f.
Par suite, s; doit être racine de l'équationp— f ^ " 104+1^ " 2 ' ' ' ^i+r-l)
fY^P8, ^—W°t»qui possède des solutions non triviales puisque k est supposé algébriquement
clos. L'un des 8, étant choisi de la sorte, les relations précédentes déterminent
alors les 8, pour tout L
LEMME 2.6. — Avec les notations précédentes, il existe une suited'indices z\, . . . , ^ telle que e^ , . . . , e^ forment une base de L, et les e^,pour i ' ^ fi, ..., ^, une base de F(M).
Puisque L est stable sous l'action de F^, il admet une décomposition
L •= © L , avec L c: M. Comme dim M ^ 1, on a L — 0 ou L — M .
Lorsque % = Xi es^ un caractère fondamental, on notera L^ = L ;soient z\, . . . , ^ les indices tels que L^ ^ 0; alors L == ©^Z^.., desorte que e^, . . . , ^ forment une base de L.
D'après 1.4, M = L © F (M). Comme F (M) est engendré par les F(e^et que les F(^) non nuls sont une partie des e^ les ^, pour i -^ z\, ..., ^»forment une base de F (M).
2.7. Supposons d'abord que L 7^ 0 et L ^ M. On note a,, y e Z/5',
les indices tels que Z^. 7^ 0, ^.+i = 0, l'indexation par Z/5- étant définie
par l'unique application Z / s —> Z/r, j \-> a^., telle que l'application composée[1, s~\ —> Z/s—^ Z/r—> [1, r~\ soit strictement croissante. Pour tout j e Z / s ,on note /^-, nj les entiers ^ r définis par( 7^-(L,,)^0,

F^-^CL^^O,(F^L^O,F^1 (L^.)=0.

On remarquera que mj ^ 1, car F est injectif sur Z/; de même, nj ^ 1,
car ^a.+i = 0, donc e^.+^eF(M) d'après le lemme précédent, doncF(e^) = ^ + i ? d'où F(Z^.) 7e 0. En particulier, on peut encore caractériser les indices a, comme étant ceux pour lesquels F (e^.) 7^ 0, F (e^.) 7^ 0.
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P. BERTHELOT

On étend ces définitions aux cas L = 0 et L = M en posant alors s = 1,
et en prenant pour o^ un indice arbitraire dans Z/r. On a alors, si L = 0,^j=^n^)=o,

puisque F (M) = M, donc F est un isomorphisme ; on pose donc m^ == 0,n^ = r. De même, si L = M,

F(^)=O,r(^)=^,et on pose m^ = r, n^ = 0. On remarquera que ces deux cas se produisentsi, et seulement si, la réduction G^ de G modulo p est étale (resp. de typemultiplicatif).
PROPOSITION 2.8 :(i) Avec les notations précédentes, M est le Démodule engendré pardes générateurs O^iez/s? soumis aux relations(a) px, = 0,(b) Fni(x,)= V^1^,).
(ii) L est engendré par les V 3 (x^) pour ie Zi/s, 0 s$ y < m^
Si Gj, est étale ou de type multiplicatif, on prend pour x^ l'un quelconquedes e^ et l'assertion est claire. Sinon, on pose x^ == e^. Pour prouver
la relation (b\ observons que
F"1^.)^^,

F^O^-O,donc ^^i)=F^).
Si F(^+^) =0, alors :^{.^i+fti+z) = ^i+rii+l 5

donc V2 (^+^+2) === Fni{e^)'•> comme F -^ 0, on obtient en itérant m\
tel queF(e^^ ^ 0, r1^^^) = F"1^,) ^ 0.

Ceci caractérisant les indices o^, on a donc ^-\-n^m\ == oc^i,
et m^' = m^^. D'où (&), et les relationsa»+1 - a; = m, + m,+1,^, (m, + n,) = r.

On voit aussi que chacun des ej est image par un itéré de F ou V del'un des x^ de sorte que les je, engendrent M comme -Démodule.
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SYSTÈMES DE HONDA

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Soit ^\OTS M' le Z^-module engendré par des générateurs x^' soumis
aux relations (a) et (6); on peut écrireM'-j^- ^/(FF?1VFrs}^(^-r^ ^) yoù /; [F, V^\ est l'anneau de polynômes non commutatif tel que Fa = aP F,
aP V = ^a. Le Z^-module M est de façon naturelle un quotient de M\
Or M' est engendré sur k par les Fj (x;), 0 ^7 ^ ^, et les ^J C^'),0 ^y ^ ^, de sorte que
dinife (M') ^ J^i (m. + ^) = r îcomme M est de dimension r sur /;, M' = M.
D'autre part, L est engendré par les ej^F(M), et, d'après ce qui précède,
ce sont exactement les vecteurs ^, V(e^, . . . , V"11-1 (^), d'où l'assertion (ii).
3. La représentation galoisienne définie par un schéma en F^-vectoriels
On suppose k algébriquement clos. Soit G un schéma en F^-vectoriels
sur W, qu'on suppose de rang q = //, et unipotent dans le cas p = 2.
On va calculer explicitement le groupe G^ (K) des points de G^ à valeursdans la clôture algébrique K de K, qui est donc un F^-vectoriel dedimension 1, ainsi que l'action sur celui-ci du groupe de Galois ^ = Gai ( K / K )Cette action, étant compatible à la structure F^-vectorielle, se fait parl'intermédiaire d'un caractère ^F : ^ —> F^ que l'on cherche à expliciterà partir du système de Honda associé à (7.
3.1. $oit (M, L) le système de Honda de G'. D'après 1.6,
G^ (K) == Hom^, ^ ((M, L), (^^, J^))^(peHom^M.^^lî^li^O},où w est l'homomorphisme défini en 1.3. D'après 2.8, un tel (p est déterminépar sa pâleur y^ sur les x,, f e Z/5-, et l'on obtient
Hom^(M, ^^) ^ {(^ez/,; v.e^^x, W, = 0,
Fni(y,)= V^C^+i)}.

Posons ^; = (^-j^jeN» ou ^es a-J•,ie ^/P ^^ ^ étant l'anneau desentiers d'une extension finie K ' de K. Les conditions précédentes s'écrivent :(3.1.1)(3.1.2)^,=0 o V 7 ^ 1 , ( a _ , , ^ = 0 ;ni

F (y,)=Vmi+l(y^,) o Vj ^ 0, (a-,,,/11 = a_,_^,,,^ .

BULLETliST DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

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p. BERTHELOT

La condition (p (L) c j^ s'écrit, d'après 2.8,
V f,

Vy < m,,(p ( F-7 (x,)) = F7 ((p (x,)) e ^.

Choisissant pour tous i, j un relèvement b_^, de a.^ dans A\ cetterelation s'écrit
(3.1.3)Vf,

V7<m,,Z^o^-^^.eA'.

LEMME 3.2. - 5o^ fcy hypothèses précédentes, G^ (K) s'identifie à
l'ensemble des classes de congruence modulo p de familles d'éléments^-j,i)iez/s,o^j^mi' où ^es ^-j,ison^ des entiers d'une extension finie de Ket vérifient les relations(3-2-1)vf(3.2.2)Vf,'(b^^b.^^modp,&-y,.+^- l (&_,_^,) p ^0modp.

Vj<m,,Les relations (3.1.2) entraînent les relations (3.2.1). Montrons lesrelations (3.2.2). D'après (3.1.1), on peut écrire, pour j > 1,
^7,»= Pc-j,i.

avec c_y^eA'.

Donc, pour n ^ 1,
p--1^.^^-1-"-^,,

Or,^si /? ^ 2, ^-1-^-1 ^ o si n ^ 2, de sorte que, dans ce cas,
^ n~lbp^._^^ est entier pour ^ ^ 2. Les relations (3.1.3) se réduisentalors àVf,

V7<m,,^ - l fc-,,,+^~ 2 fc p ,_l^eA',

c'est-à-dire (3.2.2). Si ^ = 2, on a seulement 2n-l-n-\ ^ 0 pour ^ ^ 3,
et les relations (3.1.3) se réduisent à
V^,

V7<m,

P- l &-y,.+^- 2 6 p ,_^,+^- 3 ^ 2 ,_,^eA / ,V7<m,,^,,+p-1 & p ,_^,+p- 2 ^-.^epA'.

soit encore(3.2.3)

Vf,

Mais pour p == 2, G est unipotent par hypothèse, de sorte que F est
niipotent, et, pour tout f, V"1^1 (y,) = 0, c'est-à-dire û_^._^ = 0
pour ^ ^ 1. On peut donc supposer ^,_^, == 0 pour n ^V'et on
obtient, pour j == m;-l,^-•n.+i.i+^'^^m^i^Omodp.
TOME 105 - 1977 - N° 3

SYSTÈMES DE HONDA

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Procédant par récurrence descendante, on suppose (3.2.2) vraie pour 7.
Les deux termes étant entiers, on obtient par élévation à lapuissance p-ième^^(-Pr^-i^modp 2 ,soitp^b^^^-Ç-pr^'b^.^.modp.
En substituant dans (3.2.3), p o u r y - l , on obtientb.^^^(p-2-(-prp~l)bp2,.,^==0modp.
donc { - p ) ' 1 ' ' 1 ((-T^"1-!) ^-1,1 est entier, donc (-p)"^ 1 6^_i ^
aussi, ei p ~ 2 b^^^^ep A ' . Par suite, la congruence (3.2.3) pour 7-1
se réduit à la congruence (3.2.2) pour y-1, ce qui établit la récurrence.
Réciproquement, si on se donne une famille (&-y, i) vérifiant (3.2.1)
et (3.2.2), on prend pour a_^ ^ la réduction module p de b_^ ^ si j ^ m^
et 0 si j > m ^ sauf dans le cas où G est de type multiplicatif, où l'onpose a_^ i = a_j^ i, où j ' est le reste de la division de j par r. On vérifie
alors sans difficulté les relations (3.1.1) à (3.1.3).
LEMME 3.3. — Soit (^-y,i)iez/s,o^j<wf une /û^»/fe d'éléments de A'
vérifiant (3.2.1) et (3.2.2). Supposons qu'il existe des indices (i,j) et ( i \ j ' )et des entiers a, P, tels que(-p)-P^. ^b.^,^modp.
Alors :(a) Si j 1 7e 0, les b_^i vérifient la congruence(-pY^^b^^b.^^modp.
(b) Si j " = 0, les b_j^ vérifient la congruence(-p)-^'^:J=&_,,^,^modp.
(a) Élevant la congruence à la puissance p, on obtient(-pr^^^^modp2.
d'où(-p)-^-1 b^= (-p)-1 fc^ ,,= &_,^^modp,
d'après (3.2.2).
(b) La congruence donnée entraîne
(-p)-^b^' = b^ = b.^^^modp
d'après (3.2.1).
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

236

P. BERTHELOTLEMME 3.4. - Soit (6-y,^gz/s,o^m, une famille d'éléments de A'
vérifiant (3.2.1) et (3.2.2). Pour tout {ij\ posons
U—V-/r/""-!- V^'+^+^i+i r/""^•,7 —Z.n=lP+ 2-n=j+nf+l ^r
i \^J+"i+Wi+i+ni+i+mf+2 r - n ,i V1'-"• Z^n=j'+ni+wi+i+nf+i+l F~r • • • -+- Z^n=r-mi+j+ 1 P

Alors b_j i vérifie la congruence^^(-Pr'^-y^modp1^-.

Il suffit de partir de la relation (3.2.2) si j ^ 0 [resp. (3.2.1) si / = O],et d'appliquer le lemme précédent jusqu'à ce qu'on obtienne {i^j") = (i,j).
Fixons (i,j), et posons a = a^..
LEMME 3.5. - Soit x e A tel que ^ = (~pY x modp^1. Alors il existe
un unique x ' e A tel que x^ = (-pY x ' et x ' == xmodp (A désignant
Panneau des entiers d'une clôture algébrique K de K).
Posons P (X) == X^-Ç-pY x. Par hypothèse, P (x) = a, avec v (^a+1,
où v est la valuation ^-adique normalisée par v ( p ) == 1. Si x ' = x+py,
il faut montrer qu'il existe un unique y e A tel que P {x+py) == 0. Le développement de Taylor de P(x-\-py) donne
P ( x + p y ) = ^oÇpyWP^Çx),de sorte que y doit être racine du polynôme unitaire
Q(y)=T.<î=o(Pq~i^^lP(i\x)yi=^^yi.

Tout d'abord, le terme constant o^ est p ' ' 1 ? ^ ) = p~qa, d'oùy(o^) = v (a)—q, donc :v(^q)^-q+\Ji+\.
1

Le terme o^_i est q-^ P ' (x\ et P ' (x) = qx^-^Ç-pY.
Comme x^Ç-pY x-a = 0, ^(x)^^-!)- 1 ^ d'où ^ (^-1) ^ u,
et i; ( P ' (x)) = n. Donc :î;(o^_i)=-^+u-+l,etî;(a,_i)^i;(a,).

Observons que a est une somme de puissances de p, toutes distinctes
et d'exposant strictement inférieur à r, de sorte que a < q == //; si p = 2,
G est unipotent, donc m, < r, et a est somme d'au plus r-1 puissancesde p, si bien qu'on a, pour tout p, l'inégalité u+1 < q, d'où^(oc,_i)<0.
TOME 105 - 1977 - N° 3

SYSTÈMES DE HONDA

237

Enfin, pour i ^ 2,v^)=v((pq-i.nrlp(i\x)\=v(p-q+i(nrl(q)\(q^i)^lxq-\= -q+i+v^ q y\ +(q-i)v(x\^vtt^-q+i+Çq-i)^^!)-1^^v((^}Y'q+q(q-l)-l^(q-lrl(q-l-^L^r v { ( ' }} ^ ^ 5 ^(^~~1)~ 1 ^ > ^ ^""l"^ > 0? de sorte que
V f ^2,

î;(a^)>î;(oc,-i).

Le polygone de Newton de Q montre alors que Q possède une uniqueracine entière.
3.6. Rappelons (cf. [7]) qu'on définit un caractère
6,_ i : ^ = Gai ( K I K ) -> H,_ i (2C) = H,_ i (A),en choisissant Ç e K tel que Ç3"1 = p, et en posant, pour g e ^,g(0=e,-ife).ç.
On notera 0g _i le composé de 9^_i et de l'isomorphisme^q-i (^) "^ H^-i (^)- Pour tout caractère fondamental %^ : F^ -^ ^_i (k),on notera \|/, : u^_i (/;)-^F^ son inverse; on a doncv|/f=^-i.

PROPOSITION 3.7. — Soit (^i-ez/s une famille d'éléments de ^^^ vérifiant
les conditions (3.1.1) à (3.1.3). Alors, pour tout g e ^,g(^)=e,-ifer'0.^.
Montrons d'abord que, pour tout i et tout j s$ w,,(3.7.1)g(a.,,,)==9,.,(g)^-.a-.,,,.

D'après 3.5, il existe une unique racine Ç de l'équation Xe1 - ( —7?)^ 1 ' j X = 0
dont la réduction modulo 7? est a.^,. Si Ç 7^ 0, Ç est de la forme M Ç 41 ' 7 ,où u est une racine (^-l)-ième de (-1)^^. Comme ^ est algébriquement
clos, u e W, donc est invariant par ^, d'où l'assertion.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

238

P. BERTHELOT

Observons alors que, pour tout j s$ r,P^i,, = ^o+E^Q^"-^) = ^o+^-lKE^P").
Comme (64-1)4"1 = 1, on en déduit que (9^-i)^° = (e^i)^^', d'où :(^-ir'^^-ir1'0^
La relation (3.7.1) s'écrit donc
(3.7.2)V^, V^m,,g(a_,,,) = ^-^T10^ M.^,.

Si j > m^ a_^ ; = 0, sauf dans le cas où G est de type multiplicatif,où û?-y,i = û-y,;? 7" étant le reste de la division de j par r; comme(84-i)4 = Qq-i, la relation (3.7.2) est donc vraie pour tout /.
On obtient alors :g(y,) = g((a_,,)) = (ô^^gr'0^.,^=e,-i(gr'°.^-y,i),car 6^_i (g) est le vecteur (9^_i (g), 0, . . . , 0, . . . ) de W{k).
THÉORÈME 3.8.- Avec les notations de 3.6, Faction de ^ sur le fq-vectorieî
de rang 1 G^(K) se fait par le caractère v|/ o 9^_i : ^ —> F*, OM
v|/ : u^_i (À:) —> F^ ^? donné parv|/=v|^...v|/,,,/^ indices 4, . . . , ^ ^^a^^ C^MX pour lesquels L . ^ 0.
En particulier, les exposants des caractères fondamentaux sont égaux
à 0 ou 1 (cf. [6], th. 3.4.3).
Reprenant les notations de 3.1^ la proposition précédente montre quepour g e^, (peG,(^),

vfez/5, g((p(x,)) = e^fey11'0^) = (pœ^^gr-x,).
Rappelons que F^ agit sur x, = e^ par le caractère fondamental ^.
Ecrivant :\-1 (g)" ° == Xa. ° ^ (ô,-1 (g)^'0) == ^ W ° e,-1 (g)),
on obtient, en notant (g, (p) -^ g. (p l'action de ^ sur G^ (^), et (K, (p) -^ [?i] (pcelle de F^,fe. ÎP) (^») = g (ç (x.)) = ç (Xa. (^J 0 ° e,-1 (g)). x,)=(p([^;.°_o9,_,(g)](x,))=(W^ooe.-lfe)](p)(x,).
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Or
il
—V^+Wf+ir-n.
j_V 1 '
r/"""
P'i, 0 ~ Z^M==n»+l F' ' • ' IZL"=r-w^+l P?

d'où^•°= (n^i <"")>< • • • xdT^-^i^r).
= (nsvK+^x... xdï—^ivk^).

D'après 2.8 (ii), les indicesa,+^+l, . . . , oc,+n,+m,+i = a,+i, . . . , a;-m,+l, . . . , a,sont précisément les indices ?i, . . . , ^ tels que L^ ^ 0. Posant\)/ = \|/^, . . . , v|/^, on obtient donc :Vge G,V(pe G^(K\^ieZ/s,(g.(p)(x,) = ([^o9,_i(g)].(p)(^).

Les Xi engendrant M comme Démodule, g.(ç = [^°0g-i(g)] (p,et ^ agit par le caractère v|/°6g-i.
BIBLIOGRAPHIE[1] BERTHELOT (P.). — Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p > 0. —Berlin, Springer-Verlag (Lecture Notes in Mathematics, 407).
[2] FONTAINE (J.-M.). — Sur la construction du module de Dieudonné d'un groupe
formel, C.R. Acad. Se. Paris, t. 280, série A, 1975, p. 1273-1276.
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[41 FONTAINE (J.-M.). — Groupes finis commutatifs sur les vecteurs de Witt, C.R. Acad.
Se. Paris, t. 280, série A, 1975, p. 1423-1425.
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[6] RAYNAUD (M.). — Schémas en groupes de type ( p , .. .,p), Bull. Soc. math. France,t. 102, 1974, p. 241-280.
[7] SERRE (J.-P.). — Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques,
Invent. Math., t. 15, 1972, p. 259-331.
(Texte reçu le 21 juillet 1976.)
Pierre BERTHELOT,
Département de Mathématiques
et Informatique,
Université de Rennes-I,
B.P. n° 25 A,
35031 Rennes Cedex.

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