Cumulants of net baryon-number fluctuations
from lattice QCD
HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502

大野浩史
筑波大学計算科学研究センター

宇宙史研究センター2021年度
第1回構成員会議・成果報告&交流会
2021年6月25日

自己紹介
• 略歴
– 2011年3月
筑波大学大学院博士後期課程物理学専攻 修了– 2011年4月-2012年3月 学振特別研究員
米国 Brookhaven国立研究所（BNL）、独国 Bielefelde大学に滞在– 2012年4月-2013年8月 Bielefeld大学ポスドク研究員– 2013年8月-2014年3月 BNLポスドク研究員– 2014年4月筑波大学計算科学研究センター助教• 研究– 格子QCDに基づく数値シミュレーションを用いた有限温度・密度QCDの研究– 特に、QCD相構造やQGP中のクォーコニウムの性質について– HotQCD Collaboration のメンバーとしてBNLやBielefeld、CCNUの研究者と共同研究
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Cumulants of net baryon-number fluctuations from lattice QCD1

量子色力学（Quantum Chromodynamics/QCD）• 強い相互作用（力）とクォーク・グルーオンに関する理論• SU(3)非可換ゲージ理論– グルーオンの自己相互作用がある• 特徴的な性質– クォークの閉じ込め– 漸近的自由性– カイラル対称性の自発的破れ
G. M. Prosperi, M. Raciti, C. Simolo, Prog.
Part. Nucl. Phys. 58, 387-438 (2007)

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Cumulants of net baryon-number fluctuations from lattice QCD

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QCD相図• 超高温・高密度– 初期宇宙、中性子星内部– クォーク・グルーオンが自由に振る舞う→ 新しい物質の状態：
Quark-Gluon-Plasma（QGP）• 相転移– 高温低密度（格子QCD計算が可能）→ クロスオーバー– 低温高密度（有効理論を適用）→ 1次相転移– 中間領域
→ 2次相転移点（臨界点）があるはず！
→ 理論的・実験的に検証が必要：格子QCD計算、RHIC Beam Energy Scan (BES)
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H. Caines, Quark Matter 2017

Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC)@BNL

Cumulants of net baryon-number fluctuations from lattice QCD3

保存量の揺らぎ• 圧力

バリオン数、電荷、ストレンジネス

𝑃(𝑇, 𝜇)Ԧ1=ln 𝑍 𝑇, 𝜇Ԧ ,43
𝑇
𝑉𝑇

化学ポテンシャル𝜇Ԧ = (𝜇𝐵 , 𝜇𝑄 , 𝜇𝑆 )• キュムラント𝑛1
𝜕𝜒𝑛𝑋 𝑇, 𝜇Ԧ ≡
Ԧ ,𝑛 ln 𝑍 𝑇, 𝜇3𝑉𝑇 𝜕𝜇Ƹ 𝑋𝑋𝜒Ԧ𝑀𝑋
1 𝑇, 𝜇𝑋
𝑅12 𝑇, 𝜇Ԧ ≡ 𝑋= 2
𝜒2 𝑇, 𝜇Ԧ𝜎𝑋

クォーク化学ポテンシャル
12𝜇𝑢 = 𝜇𝐵 + 𝜇𝑄
3311𝜇𝑑 = 𝜇𝐵 − 𝜇𝑄
3311𝜇𝑠 = 𝜇𝐵 − 𝜇𝑄 − 𝜇𝑆
33𝜇𝑋
𝜇Ƹ 𝑋 ≡,𝑇

𝑋 = 𝐵, 𝑄, 𝑆

3𝑋
𝑋
𝜒𝑇,𝜇Ԧ
𝑆𝜎
𝜒
𝑇, 𝜇Ԧ
𝑋
3𝑋
4𝑋
𝑋
𝑅31 𝑇, 𝜇Ԧ ≡ 𝑋=
𝑅42 𝑇, 𝜇Ԧ ≡ 𝑋= 𝜅𝑋 𝜎𝐵2𝑀𝑋
𝜒1 𝑇, 𝜇Ԧ
𝜒2 𝑇, 𝜇Ԧ

𝑀𝑋 ：平均（保存量𝑋の密度） 𝜎𝑋 ：分散

𝑆𝑋 ：歪度𝜅𝑋 ：尖度より高次のキュムラント程、より相関長の変化に敏感 = 臨界点の周りで大きく変化
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Cumulants of net baryon-number fluctuations from lattice QCD

4格子QCDに基づく数値計算• QCD: 低エネルギースケールでは非摂動的• 格子QCD:時空間を格子状に離散化– QCDの第一原理に基づく非摂動計算が可能– 大規模なモンテカルロシミュレーション
物理量 O の期待値

M: フェルミオン行列←大規模粗行列
4次元体積×内部自由度= 数億次元の積分
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第1回構成員会議・成果報告&交流会の確率でゲージ配位を生成

Cumulants of net baryon-number fluctuations from lattice QCD

多くのM-1 の計算（CG法等）が必要→ 計算のボトルネック
5有限密度格子QCD• クォーク化学ポテンシャルμqを導入 → 符号問題
– フェルミオン行列式が複素数になる– そのままでは確率解釈できない– フェルミオン行列の値は配位ごとに振動してしまい、平均を計算することが困難• 符号問題への対策– μqのTaylor展開、純虚数μqからの解析接続、再重み付け等– 複素Langevin法、Lefschetz thimble法、テンソルネットワーク法等
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Taylor展開• 圧力 𝑃 を 𝜇Ԧ = 0 の周りで展開する∞𝑃(𝑇, 𝜇)
Ԧ1
𝐵𝑄𝑆𝑖 𝑗 𝑘=෍𝜒𝑇𝜇Ƹ
𝐵 𝜇Ƹ 𝑄 𝜇Ƹ 𝑆𝑖𝑗𝑘
4
𝑇𝑖! 𝑗! 𝑘!
𝑖,𝑗,𝑘=0

𝐵𝑄𝑆
𝜒𝑖𝑗𝑘 𝑇𝜕 𝑖+𝑗+𝑘

𝑃 𝑇, 𝜇Ԧ≡ቚ←フェルミオン行列の逆行列と𝜇微分の様々な積のトレースで書ける
4𝑗𝑖𝑘𝜇=0𝜕𝜇Ƹ 𝐵 𝜕𝜇Ƹ 𝜕𝜇Ƹ 𝑆 𝑇𝑄

拘束条件

• ストレンジネス中性条件

𝜇Ƹ 𝑄 𝑇, 𝜇𝐵 = 𝑞1 𝑇 𝜇Ƹ 𝐵 + 𝑞3 𝑇 𝜇Ƹ 𝐵3 + 𝑂(𝜇Ƹ 𝐵5 )𝑛𝑆 ≡ 𝜒1𝑆 𝑇, 𝜇Ԧ = 0• バリオン数密度と電荷密度に対する条件
𝑛𝑄 𝜒1𝑄 𝑇, 𝜇Ԧ𝑁𝑃
≡ 𝐵=𝑛𝑆 𝜒1 𝑇, 𝜇Ԧ𝑁𝑃 + 𝑁𝑁
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Au原子の場合 0.4

𝜇Ƹ 𝑆 𝑇, 𝜇𝐵 = 𝑠1 𝑇 𝜇Ƹ 𝐵 + 𝑠3 𝑇 𝜇Ƹ 𝐵3 + 𝑂(𝜇Ƹ 𝐵5 )𝜒𝑛𝐵 𝑇, 𝜇𝐵 = ෍ 𝜒෤𝑛𝐵,𝑘 𝑇 𝜇Ƹ 𝐵𝑘
𝑘=0

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展開係数
• ゼロ密度での展開係数の例

HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502– Highly Improved Staggered Quark作用を用いて計算– 𝑁𝜏 = 6, 8, 12 （格子間隔の違い）– 𝑇pc ：クロスオーバー温度– バンド：連続極限、またはスプライン• HRG = Hadron Resonance Gas モデル– 相互作用しないハドロンを用いたモデル– PDG-HRG:
Particle Date Book に載っているハドロンのみ– QM-HRG:
Quarkモデルの予言も含める

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8𝑹𝟏𝟐
HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502

連続極限• 展開の収束性がよい• 温度依存性は小さい• 化学ポテンシャルに対して単調増加
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𝑋
𝜒
𝑇, 𝜇Ԧ
𝑀𝑋1𝑋
𝑅12 𝑇, 𝜇Ԧ ≡ 𝑋= 2
𝜒2 𝑇, 𝜇Ԧ𝜎𝑋

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𝑹𝟑𝟏 , 𝑹𝟒𝟐
HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502• LOでは𝑅31 と𝑅42 はほぼ同じ
𝑋
𝑋
3𝜒𝑇, 𝜇Ԧ
𝜒
𝑇,𝜇Ԧ
𝑆𝜎4𝑋
3𝑋
• 高次補正は𝑅42 の方が約3倍大きい 𝑅 𝑋 𝑇, 𝜇Ԧ ≡𝑋
2𝑅𝑇,𝜇Ԧ
≡
=
𝜅𝜎=𝑋
42𝐵
31𝑀𝑋
𝜒2𝑋 𝑇, 𝜇Ԧ𝜒1𝑋 𝑇, 𝜇Ԧ• 𝑅21 の補正よりはるかに大きい
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𝑹𝟑𝟏 , 𝑹𝟒𝟐 （連続極限）
HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502• T = 155 – 158 MeV：ゼロ密度におけるクロスオーバー温度の誤差
𝑋
3𝜒𝑇,𝜇Ԧ
𝑆𝜎𝑋
3𝑋
𝑋
𝑅31𝑇, 𝜇Ԧ ≡ 𝑋=𝑀𝑋𝜒1 𝑇, 𝜇Ԧ
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𝑋
𝑅42𝑇, 𝜇Ԧ

𝜒4𝑋 𝑇, 𝜇Ԧ≡ 𝑋= 𝜅𝑋 𝜎𝐵2
𝜒2 𝑇, 𝜇Ԧ11

𝑹𝟓𝟏 , 𝑹𝟔𝟐
HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502

•
•
•
•

T = 155 – 158 MeV：ゼロ密度におけるクロスオーバー温度の誤差
𝑁𝜏 = 8 のデータのみ（連続極限はとらない）
化学ポテンシャルの小さい領域で次の関係が成り立ちそう
ぼぼ𝑅31 、𝑅42 と同様の振る舞い
𝑅62 < 𝑅51 < 𝑅42 < 𝑅31
収束がさらに遅い
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12HRGモデルと𝑹𝟏𝟐 の比較• クロスオーバーライン上のHRGの結果とQCDの結果が𝜇𝐵 /𝑇 ≤ 1でよく一致

HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502• HRGモデル– 実験でchemical freeze-out のパラメータを決める
際に用いられる– 𝜇𝐵 /𝑇 ≤ 1 → 𝑠𝑁𝑁 ≥ 27 GeV• 𝑅12 は化学ポテンシャルについて単調増加→ 𝜇𝐵 の代わりに 𝑅12 を用いて実験と比較𝑋𝜒Ԧ𝑀𝑋
1 𝑇, 𝜇𝑋
𝑅12 𝑇, 𝜇Ԧ ≡ 𝑋= 2
𝜒2 𝑇, 𝜇Ԧ𝜎𝑋
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STAR実験との比較： 𝑹𝟑𝟏 , 𝑹𝟒𝟐• 実験で観測されるのはバリオン数密度ではなく、陽子数密度

HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502• 𝑅31 は実験と格子QCDの結果両方とも𝑅12 （つまり、𝜇𝐵 ）依存性が少ない→ 𝑅12 の比較はあまり意味をなさない• 𝑅31 、𝑅42 ともに実験と格子QCDの結果は同様の振る舞いをしている• 𝑅31 、𝑅42 の値は実験の方が常に少し大きい→ freeze-out温度はクロスオーバー温度より若干小さい可能性がある
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J. Adam et al. (STAR Collaboration), arXiv:2001.02852
T. Nonaka (STAR Collaboration), arXiv:2002.12505
A. Pandav (STAR Collaboration), arXiv:2003.12503.

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実験との比較： 𝑹𝟓𝟏 , 𝑹𝟔𝟐• 実験結果と格子QCDの結果は大きく異なる

HotQCD Collaboration, Phys.Rev.D 101 (2020) 7, 074502• 実験結果の2点を同時に満たすためには、Taylor展開のより高次の寄与（𝜒𝐵10 等）が必要

J. Adam et al. (STAR Collaboration), arXiv:2001.02852
T. Nonaka (STAR Collaboration), arXiv:2002.12505
A. Pandav (STAR Collaboration), arXiv:2003.12503.
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まとめ• Taylor展開の方法を用いて、バリオン数密度について様々なキュムラントの比を格子QCDシミュレーションにより計算した• 𝑅31 、𝑅42 については、実験と格子QCD計算で同様の振る舞いが見られた– 常に実験結果の方が若干大きいことから、freeze-out温度はクロスオーバー温度より若干小さいことが示唆される• 𝑅51 、𝑅62 については、実験と格子QCD計算で大きく異なる結果が得られた– Taylor展開のより高次の補正が必要

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