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emm134 号用━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

基礎からの周波数分析（6）－「フーリエ変換と畳み込み」
今回は、時間と周波数の間の関係を表現するフーリエ変換の重要な性質の 1 つである「畳み込み」に関してお話しします。
時間信号 x(t)と h(t)との畳み込み（convolution）は 2 つの関数の積和演算で、式（1）で定義されます。また、積分で表現するので、畳み込み積分（convolution integral）とも呼ばれます。

y t   x   h t    d.................................（1） x t  * h t .................................（2）式（2）は、式（1）の積分を簡素化して表現した形です。
畳み込みの具体的な例として、フィルタなどの電気回路のような線形系（図 1）において、x ( t ) を入力時間信号、h ( t ) をその系の特性を表す時間関数とすると、系の出力は式（1）のy ( t ) となります。

/ 405
1 405

2 405+

図 1 線形系. 3*4 6 -,*0 3*4550 3/4. 3/4**+1 3/4

図 2 線形系に信号を入力した場合-1-ここで、系の特性 h ( t ) が図 2 のような関数の系に、ステップ 1 の信号 x ( t ) を入力した場合に、出力 y ( t ) がどうなるか調べてみます。

9 ?A,@
2+3*
8,?D@,9 ?:>A,@
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B0/; ?,@: 7 :5?F@

D GBH,278,;559

J * @>B

B=GOH

図 3 畳み込み積分の手順の説明（上図は、t = t’ のときの図）-2-B畳み込み積分式（1）の手順は、h ( τ ) の時間軸を折り返して（図 a）、それを時間軸の正方向へ推移させて（図 b）、x ( τ ) と乗算をして（図 c）、積分を行うことにより、最終的に図 3 の(d)が出力 y ( t ) となります。
実際に式（1）から計算してみると；y t  t0 x   h t    d   1 e

t   td   e t e  0  1  e t................（3）となることが分かります。
また、説明は省略しますが、式（1）で x ( t ) と h ( t ) を交換した計算式でも同様な結果となります。
すなわち；y t   h   x t    d.................................（4） h t  * x t .................................（5）次に、図 1 の線形系に単位インパルス関数（前回出てきたデルタ関数）を入力した場合を考えます。
式（4）において、x ( t ) にデルタ関数 δ ( t ) を代入して、デルタ関数の性質と偶関数であることを利用して；

y t  h    t    d  h      t  d  h t ................（6）；と、出力信号 y ( t ) は h ( t ) そのものとなります。
図 1 の線形系における h ( t ) は、系に単位インパルス関数を入力した出力ですので、インパルス応答と呼ばれます。

-3-この畳み込みとフーリエ変換との最も重要な関係について述べます。

E KFLG KFL

H KFL

0A KDL

B KDL

@ KDL

図 4 線形系における時間関数とそのフーリエ変換
図 4 のように、時間関数 x ( t ) 、 h ( t ) 、 y ( t ) のフーリエ変換をそれぞれ X ( f ) 、 H ( f ) 、 Y ( f ) とします。時間軸上で畳み込みの関係のある関数は、周波数軸上でどのような関係となるか考えてみましょう。
式（1）の両辺をフーリエ変換すると；

 y t  ej 2 f t

dt  





  x   h t    d  e

 x    h t    ej 2 f t

j 2 f t

dt.................................（7）dt  d.................................（8）時間関数 h ( t ) を－τ だけ時間推移した関数のフーリエ変換は、元の関数のフーリエ変換とe  j 2  f t との積に等しいので、［ ］内は e  j 2  f t H  f  とおけるので、式（8）は；Y f   x   e

 j 2 f tH  f  d  X  f  H  f .................................（9）2 つの関数 x ( t ) と h ( t ) の畳み込み y ( t ) のフーリエ変換は、元の関数のフーリエ変換の積に等しくなります。この関係を畳み込み定理（convolution theorem）と呼びます。逆も成り立ちますので、  でフーリエ変換と逆フーリエ変換を表すとすると、式（10）のようなフーリエ変換対となります。

x t  * h t   X  f  H  f ...............................（10）

後述することになりますが、FFT アナライザではこの関係を利用して、周波数応答関数やインパルス応答などを算出しています。

-4-

全く同様にして、周波数軸上での 2 つの関数の畳み込みの逆フーリエ変換は、元の時間関数の積に等しくなります。式（10）と同じ表記をすると；x t  h t   X  f  * H  f ............................... （11）

これは、フーリエ変換演算の対称性により、明らかでしょう。式（11）を、周波数畳み込み定理（frequency convolution theorem）と呼ぶことがあります。
この関係は、FFT アナライザにおける窓関数などの説明において重要な定理です。
最後に、式（ 11）において、 2 つの時間関数を両方とも x ( t ) とおくと、左側は x 2 ( t ) のフーリエ変換となるので、新変数を k とすると；

x 2 t  e  j 2  k t dt  X  f  X k  f  df
...............................（12）となります。ここで、k = 0 とおくと、結局；

 x t  dt  2X f 2

df...............................（13）の関係が得られます。この関係をパーセバルの定理（Parseval’s theorem）と呼びます。
式（13）の物理的な意味は、時間軸上の全エネルギーは、周波軸上の全エネルギーに等しいという当たり前のことを言っています。その意味で、 X  f と呼ぶことができます。

-5-2はエネルギースペクトル最後に、まとめです。
(1) 2 つの時間関数の畳み込み積分は、式（1）または式（3）で定義されます。
(2) インパルス応答 h ( t ) の線形系に x ( t ) を入力すると、その出力は h ( t ) と x ( t ) との畳み込みとなります。

(3) 2 つの関数 x ( t ) と h ( t ) の畳み込み y ( t ) のフーリエ変換は、元の関数のフーリエ変換の積に等しくなります。
［畳み込み定理（式（10））］(4) 周波数軸上での 2 つの関数の畳み込みの逆フーリエ変換は、元の時間関数の積に等しくなります。［周波数畳み込み定理（式（11））］(5) 時 間 軸 上 の 全 エ ネ ル ギ ー は 、 周 波 軸 上 の 全 エ ネ ル ギ ー に 等 し く な り ま す 。
［パーセバルの定理（式（13））］【キーワード】畳み込み（convolution）、畳み込み積分（convolution integral）、線形系、単位インパルス関数、デルタ関数、インパルス応答、畳み込み定理（convolution theorem）、周波数畳み込み定理（frequency convolution theorem）、パーセバルの定理（Parseval’s theorem）、エネルギ
ースペクトル-----------------------------------------【参考資料】
1.

「スペクトル解析」日野幹雄著

2.

「高速フーリエ変換」E. ORAN BRIGHAM 著

3.

「フーリエ解析」H.P.スウ著

朝倉書店

佐藤平八訳

科学技術出版社

森北出版
以上（Hima）-6-