Astrophysical tides and planet–star interactions
Gordon Ogilvie

DAMTP, University of Cambridge
FDEPS, Kyoto 02.12.11
2011年12月2日金曜日

NASAOutline● Introduction● Linear tides in uniformly rotating unstratified fluids(with Doug Lin, UC Santa Cruz / KIAA, Beijing)● Breaking internal gravity waves at the centre of a star(with Adrian Barker, DAMTP / Northwestern)● Effective viscosity of turbulent convection and other flows(with Geoffroy Lesur, DAMTP / IPAG, Grenoble)● Conclusions

2011年12月2日金曜日

Introduction

2011年12月2日金曜日

Tidal interactions

solar-type binary star, P ≈ 10 days

jovian satellite, P ≈ 3 days

hot Jupiter, P ≈ 3 days
synchronization – circularization – orbital migration – tidal heating ➜2011年12月2日金曜日

NASA
2011年12月2日金曜日

http://www2.astro.psu.edu/mrichards/research/binarypict.gif
2011年12月2日金曜日

Hot Jupiters● Gravitational, thermal and magnetic interactions
http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/2008/07/solar-maximum-september-1-20011.gif
http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/2008/07/solar-maximum-september-1-20011.gif

http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/
http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/2008/07/solar-ma
2008/07/solar-maximum-september-1-20011.gif
2008/07/solar-maximum-september-1-20011.gif

2011年12月2日金曜日

Tidal forcing● Tidal potential experienced by body 1
� �l
l
∞ �
�
r
Ψ=
Ψl,m (t)Yl,m (θ,φ )R1
l=2 m=−l

2011年12月2日金曜日

2

R
1

Φ

Tidal forcing● Tidal potential experienced by body 1
� �l
l
∞ �
�
r
Ψ=
Ψl,m (t)Yl,m (θ,φ )R1
l=2 m=−l� �−(l+1)
GM2 R
Ψl,m = −Cl,m
e−imΦ
R1
R1

2011年12月2日金曜日

2

R
1

Φ

Tidal forcing● Tidal potential experienced by body 1
� �l
l
∞ �
�
r
Ψ=
Ψl,m (t)Yl,m (θ,φ )R1
l=2 m=−l� �−(l+1)
GM2 R
Ψl,m = −Cl,m
e−imΦ
R1
R1
e = 0.1

2011年12月2日金曜日

2

R
1

Φ

e = 0.5

Tidal forcing● Tidal potential experienced by body 1
� �l
l
∞ �
�
r
Ψ=
Ψl,m (t)Yl,m (θ,φ )R1
l=2 m=−l� �−(l+1)
GM2 R
Ψl,m = −Cl,m
e−imΦ
R1
R1
e = 0.1|Ψ2,m |

2RΦ1

e = 0.5|Ψ2,m |
8

1.4
1.2

6

1.0
0.8

4

0.6
0.4

2

0.2
0

2

4

6

8

10

12

time
2011年12月2日金曜日

0

2

4

6

8

10

12

time

Fourier analysis|Ψ̃2,0 ||Ψ̃2,2 |
6

6

5

5

e = 0.1

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

7

e = 0.5

8

6
5

6
4
3

4

2
2
1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

frequency
2011年12月2日金曜日

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

frequency

Love number and “tidal Q”● Consider each potential component experienced by body 1� �lr
Ψ = Ψ̃l,m
Yl,m (θ,φ ) e−iωt
R1

2011年12月2日金曜日

Love number and “tidal Q”● Consider each potential component experienced by body 1� �lr
Ψ = Ψ̃l,m
Yl,m (θ,φ ) e−iωt
R1● Body 1 is deformed and generates an external potential� �−(l+1)r�Φ = kl,m (ω) Ψ̃l,m
Yl,m (θ,φ ) e−iωt
R1( + orthogonal terms )● Potential Love number (linear response function)

2011年12月2日金曜日

Love number and “tidal Q”● Consider each potential component experienced by body 1� �lr
Ψ = Ψ̃l,m
Yl,m (θ,φ ) e−iωt
R1● Body 1 is deformed and generates an external potential� �−(l+1)r�Φ = kl,m (ω) Ψ̃l,m
Yl,m (θ,φ ) e−iωt
R1( + orthogonal terms )● Potential Love number (linear response function)
2
∝
ω
Im(k
)
|
Ψ̃
|
● Energy transfer to orbit
l,m
l,m
2
∝
m
Im(k
)
|
Ψ̃
|
● Angular momentum transferl,ml,m

2011年12月2日金曜日

Love number and “tidal Q”● Consider each potential component experienced by body 1� �lr
Ψ = Ψ̃l,m
Yl,m (θ,φ ) e−iωt
R1● Body 1 is deformed and generates an external potential� �−(l+1)r�Φ = kl,m (ω) Ψ̃l,m
Yl,m (θ,φ ) e−iωt
R1( + orthogonal terms )● Potential Love number (linear response function)
2
∝
ω
Im(k
)
|
Ψ̃
|
● Energy transfer to orbit
l,m
l,m
2
∝
m
Im(k
)
|
Ψ̃
|
● Angular momentum transfer
l,m
l,m

1
k
≈ � � 1 depends on ω, l, m (usually l = m = 2 )● Im(k) ≈Q
Q
2011年12月2日金曜日

Analogy: forced harmonic oscillatorẍ + 2γ ẋ + ω02 x = f e−iωt

http://www.webassign.net/hrw/hrw7̲15-15.gif
2011年12月2日金曜日

Analogy: forced harmonic oscillatorẍ + 2γ ẋ + ω02 x = f e−iωtf −iωtx=k 2e
ω0
�
�
2 −1
2iωγ
ω
k =
1− 2 − 2
ω0
ω0
�
�
−1
≈ 1 + iQ

[ ω,γ � ω0 ]2π × maximum potential energy
ω02
=
�1
Q=
2ωγ
energy dissipated per cycle

http://www.webassign.net/hrw/hrw7̲15-15.gif
2011年12月2日金曜日

Analogy: forced harmonic oscillatorẍ + 2γ ẋ + ω02 x = f e−iωtlog Im(k)1f −iωtx=k 2e
ω0
�
�
2 −1
2iωγ
ω
k =
1− 2 − 2
ω0
ω0
�
�
−1
≈ 1 + iQ

0
�1
�2
�3
�4
�1.5

�1.0

[ ω,γ � ω0 ]2π × maximum potential energy
ω02
=
�1
Q=
2ωγ
energy dissipated per cycle

2011年12月2日金曜日

�0.5

0.0

0.5

1.0

log ω

Spin and orbital evolution
Ω1

Ω2
M2

M1

a
e
n
h
e

h
e

2011年12月2日金曜日

semimajor axis
eccentricity
mean motion
specific angular momentum
eccentricity vector

Parametrized models● Tidal timescale T� =2Q�� M�

9n Mp

�

�5

a
R�

● Planet pseudosynchronized: Ωp =● Magnetic braking of star
�

�

�

�

�

etc.

2f4
f2 + f3

�

n
n

dn
3n
f2 + f3 Ω�
=
cos i
f4 −
dt
T�
2
n
�
�
�
�
��
de
9e
9e
2f2 f411 Ω�
11=−
cos i −
f1 − f2
f1 −
dt
T�
18 n
Tp
18 f2 + f3
�
�
2
µna
Ω�
dΩ�
=
(f2 + f3 cos2 i) − αΩ3�f4 cos i −
dt
I� T�
2n
�
�
2
Ω�
µna
Ω�
di
=−
f3 cos i sin i
f2 sin i −
f4 −
dt
2nT�
I� Ω� T�2n
2011年12月2日金曜日Ω�iParametrized models● e.g. Barker & Ogilvie (2009)

1 M⊙
1 MJ

�
6
Q� = 10�
6
Qp = 10P�0 = 1 day
α = 1.5 × 10

−14

2011年12月2日金曜日

yrInitial stellar obliquity 0°

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

Initial stellar obliquity 45°

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

Initial stellar obliquity 90°

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

No tide in planet

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

Timescales (for small e)● Circularization (using tide in planet)
� Mp
3 Qp
MJ

�

Rp
RJ

�−5 �

�2/3 �

M�
M⊙

�

ρ̄
ρ̄⊙

�5/3 �ρ̄ρ̄⊙

�5/3 �

P
day

�13/3

yr

● Orbital decay (inspiral)� M∗
0.02 Q�Mp● Spin-orbit alignment� M∗
0.07 Q�
Mp

�

P
day

�13/3

yr

P
day

�13/3

yr

(but reduced if orbit has more angular momentum than stellar spin)
2011年12月2日金曜日

Tidal dissipation in rotating stars and giant planets
J-P Zahn’s categorization :● “Equilibrium tide”
Dissipation associated with large-scale tidal bulge

r Y2,m (θ,φ ) e
2

ν

−iωt

● “Dynamical tide”
Dissipation associated with low-frequency waves

2011年12月2日金曜日

Analogy: forced harmonic oscillatorẍ + 2γ ẋ + ω02 x = f e−iωtf −iωtx=k 2e
ω0
�
�
2 −1
2iωγ
ω
k =
1− 2 − 2
ω0
ω0
�
�
−1
≈ 1 + iQ

[ ω,γ � ω0 ]2π × maximum potential energy
ω02
=
�1
Q=
2ωγ
energy dissipated per cycle

http://www.webassign.net/hrw/hrw7̲15-15.gif
2011年12月2日金曜日

Analogy: forced harmonic oscillatorẍ + 2γ ẋ + ω02 x = f e−iωtlog Im(k)1f −iωtx=k 2e
ω0
�
�
2 −1
2iωγ
ω
k =
1− 2 − 2
ω0
ω0
�
�
−1
≈ 1 + iQ

0
�1
�2
�3
�4
�1.5

�1.0

[ ω,γ � ω0 ]2π × maximum potential energy
ω02
=
�1
Q=
2ωγ
energy dissipated per cycle

2011年12月2日金曜日

�0.5

0.0

0.5

1.0

log ω

Normal modes and tidal overlap integrals● Assume the body has a complete
orthogonal set of ideal oscillation modes● Calculate weak damping rates● Project tidal forcing on to normal modes● Each responds as a forced damped
harmonic oscillator

Christensen-Dalsgaard (2003)2011年12月2日金曜日

Normal modes and tidal overlap integrals● Assume the body has a complete
orthogonal set of ideal oscillation modes● Calculate weak damping rates● Project tidal forcing on to normal modes● Each responds as a forced damped
harmonic oscillator
Cowling (1941): non-rotating star● f, p and g modes● most frequencies too high● high-order g modes
Christensen-Dalsgaard (2003)2011年12月2日金曜日

Normal modes observed in the Sun

http://www.mps.mpg.de/projects/sun-climate/image/mdi005̲s.gif
2011年12月2日金曜日

Oscillations with rotation● No complete theory!
● Helioseismology:
fast modes
Ω → small correction

Thompson et al. (1996)● Tides:slow modes
Ω → radical alterationand new modes / waves

2011年12月2日金曜日

Normal modes and tidal overlap integrals● Assume the body has a complete
orthogonal set of ideal oscillation modes● Calculate weak damping rates● Project tidal forcing on to normal modes● Each responds as a forced damped
harmonic oscillator
Rotating stars and planets:
Approach may fail if waves don’t
reflect to form standing modes,
or if normal modes can’t bedefined because of singularities
Christensen-Dalsgaard (2003)2011年12月2日金曜日

Tidal forcing problem
Viscous uniformly rotating fluid
Tidal potential Ψ and linear response proportional to e−iωt
�
1
ρ
1
�
�
−iωui + 2�ijk Ωj uk = −∂i Φ − ∂i Ψ − ∂i p + 2 ∂i p + ∂j Tijρρρ−iωρ� + ui ∂i ρ = −ρ∂i ui−iωp� + ui ∂i p = −Γ1 p∂i ui

Tij = 2µSij + µb (∂k uk )δij

Sij = ∂i uj + ∂j ui − 23 (∂k uk )δij
∂ii Φ� = 4πGρ�Given Ψ =find

2011年12月2日金曜日

� r �lRΦ� = kl,m

Yl,m (θ,φ )� r �−(l+1)
R

Yl,m (θ,φ ) + · · ·(r > R)Tidal forcing problem
Energy dissipation rate
�
�
1 �
∗
2
2µSij Sij + µb |∂i ui | dV
D=
2

Energy input rate�
1
(2l + 1)R� ∗=D
− ω Im ρ Ψ dV = Im(kl,m )2
8πGTidal torque
m
T = D
ω

T, D ⇔ rate of tidal evolution

Complications:differential rotation, thermal diffusion, convection,
magnetic fields, nonlinearity, ...
2011年12月2日金曜日

From Goldreich (1963)////

2011年12月2日金曜日

http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/2008/07/solar-ma

http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/
http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/
http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/
2008/07/solar-maximum-september-1-20011.gif

http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/2008/07/solar-maximum-september-1-20011.gif

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

Nonlinearity of tides in fluid bodies● Equilibrium tidal amplitude� �3
M 2 R1
ξ
∼
R1
M1
a

∼1

for

R1 ∼

�

M1
M2

�1/3

a

● Nonlinear breakdown through secondary instabilities when
�1/2
�
ξ
ν
ν
ξ
∼
�1 ?
∼ 2
or
?
2
R1
R1 ω
R1
R1 ω
● Internal wave nonlinearity
ξwave
∼
λ

2011年12月2日金曜日➜

http://www2.astro.psu.edu/mrichards/research/binarypict.gif
2011年12月2日金曜日

Nonlinearity of tides in fluid bodies● Equilibrium tidal amplitude� �3
M 2 R1
ξ
∼
R1
M1
a

∼1

for

R1 ∼

�

M1
M2

�1/3

a

● Nonlinear breakdown through secondary instabilities when
�1/2
�
ξ
ν
ν
ξ
∼
�1 ?
∼ 2
or
?
2
R1
R1 ω
R1
R1 ω
● Internal wave nonlinearity
ξwave
∼
λ

2011年12月2日金曜日

Galilean moons of Jupiter

Io

Callisto

2:1
periodratio
EuropaGanymede

2:1 period ratio
http://starryskies.com/The̲sky/events/lunar-2003/planets.moons.jpg
2011年12月2日金曜日

NASA
2011年12月2日金曜日

Galilean moons of Jupiter
Assembly and maintenance of Laplace resonance:● 2 × 10

2011年12月2日金曜日

5�
6< QJ < 8 × 10

(Goldreich 1965,
Yoder & Peale 1981)Naive backward tidal evolution of Galilean satellites● Q�J = 106
3

Callisto2

Ganymede

1

Europa
�5

t/Gyr

�4

�3

�2

�1
�1

Io

�2
�3

2011年12月2日金曜日

log2 (P/PIo,0 )Galilean moons of Jupiter
Lainey et al. (2009)

�
5
QJ,Io,now = 1.4 × 10

2011年12月2日金曜日

Inner moons of Saturn

Mimas

Enceladus

2:1
periodratio

2:1
periodratio

TethysDione

http://www.panglosstech.com/images/saturn̲moons̲sm.jpg
2011年12月2日金曜日

Naive backward tidal evolution of inner moons of Saturn
�
5
Q
=
10
● S

1.5

Dione
1.0

Tethys0.5

Enceladus
�5

t/Gyr

�4

Mimas

2011年12月2日金曜日

�3

�2

�1
�0.5

log2 (P/PMimas,0 )Solar-type binary stars

http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/
http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/2
http://bellerophonchimera.files.wordpr
2008/07/solar-maximum-september-1-20011.gif
http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/2008/07/solar-m

2011年12月2日金曜日

NASA
2011年12月2日金曜日

Solar-type binary stars
Meibom & Mathieu (2005)

orbital eccentricity

M35, 150 Myr

log10 (orbital period in days)
2011年12月2日金曜日

Solar-type binary stars
Meibom & Mathieu (2005)2011年12月2日金曜日

Solar-type binary stars
Meibom & Mathieu (2005)2011年12月2日金曜日

Hot Jupiters

http://bellerophonchimera.files.wordpress.com/

2008/07/solar-maximum-september-1-20011.gif
2011年12月2日金曜日

Short-period extrasolar planets

2011年12月2日金曜日

Short-period extrasolar planets

2011年12月2日金曜日

Short-period extrasolar planets

2011年12月2日金曜日

SOME KEY OBSERVATIONS
Very short orbital periods● why do planets not spiral in?
Some eccentric orbits among these● why are orbits not circularized?
(Mis)alignment of stellar spin and orbit● clue to origin of hot Jupiters?
Radii of planets● internal structure and heating

2011年12月2日金曜日

WASP-19 b

Hebb& 10

P = 0.789 day
a = 0.0163 AU

e = 0.005 ± 0.004
λ = 5 ± 5°

MP = 1.11 ± 0.04 MJ
RP = 1.39 ± 0.03 RJ
RP = 0.56 RH

MS = 0.93 ± 0.02 M⊙ (G8V)
RS = 0.99 ± 0.02 R⊙
PS = 10.5 ± 0.2 day
t = 0.5−0.6 Gyr ?

te = 0.0003 (Q’P/106) Gyrta = 0.0076 (Q’S/106) Gyr

2011年12月2日金曜日

WASP-18 b

Hellier& 09

P = 0.941 day
a = 0.020 AU

e = 0.009 ± 0.003
λ = 4 ± 5°

MP = 10.1 ± 0.3 MJ
RP = 1.11 ± 0.06 RJ

MS = 1.22 ± 0.03 M⊙ (F6V)
RS = 1.22 ± 0.06 R⊙
PS ≈ 6 day ?
t = 0.5−1.5 Gyr

te = 0.017 (Q’P/106) Gyr or 0.0019 (Q’S/106) Gyrta = 0.0010 (Q’S/106) Gyr

2011年12月2日金曜日

WASP-12 b

Hebb& 09

P = 1.091 day
a = 0.023 AU

e = 0.049 ± 0.015

MP = 1.35 ± 0.05 MJ
RP = 1.79 ± 0.09 RJ
RP = 0.53 RH(See Li et al. 2010)

MS = 1.28 ± 0.05 M⊙ (F6V)
RS = 1.63 ± 0.08 R⊙
PS > 20 day ?
t ≈ 2 Gyrte = 0.0004 (Q’P/106) Gyrta = 0.0050 (Q’S/106) Gyr

2011年12月2日金曜日

OGLE-TR-56 b

Konacki& 03, Torres& 08

P = 1.212 day
a = 0.024 AU

e=0

MP = 1.39 ± 0.18 MJ
RP = 1.36 ± 0.09 RJ

MS = 1.23 ± 0.07 M⊙
RS = 1.36 ± 0.09 R⊙
t = 1.9−4.2 Gyrte = 0.002 (Q’P/106) Gyrta = 0.013 (Q’S/106) Gyr

2011年12月2日金曜日

HD 41004 B b

Zucker& 04

P = 1.328 day
a = 0.018 AU

e = 0.08 ± 0.01

MP sin i = 18 ± 1 MJ

MS = 0.4 ± 0.04 M⊙ (M2.5V)

te ≈ 0.1 (Q’P/106) Gyr or 0.1 (Q’S/106) Gyrta ≈ 0.05 (Q’S/106) Gyr

2011年12月2日金曜日

GJ 436 b

Butler& 04, Torres& 08

P = 2.644 day
a = 0.029 AU

e = 0.16 ± 0.05

MP = 0.073 ± 0.003 MJ
RP = 0.377 ± 0.009 RJ

MS = 0.45 ± 0.01 M⊙ (G8V)
RS = 0.46 ± 0.01 R⊙
t = 1−10 Gyr

te = 1.2 (Q’P/106) Gyrta = 110 (Q’S/106) Gyr

2011年12月2日金曜日

XO-3 bJohns-Krull& 08, Winn& 09

P = 3.192 day
a = 0.048 AU

e = 0.288 ± 0.004
λ = 37.3 ± 3.7°

MP = 13.3 ± 0.6 MJ
RP = 1.22 RJ

MS = 1.41 ± 0.08 M⊙ (F5V)
RS = 2.13 ± 0.21 R⊙
PS < 3.73 ± 0.23 day ?

te = 0.025 (Q’S/106) Gyrta = 0.014 (Q’S/106) Gyr

2011年12月2日金曜日

Tidal dissipation in rotating stars and giant planets
J-P Zahn’s categorization :● “Equilibrium tide”
Dissipation associated with large-scale tidal bulge

r Y2,m (θ,φ ) e
2

ν

−iωt

● “Dynamical tide”
Dissipation associated with low-frequency waves

2011年12月2日金曜日

Tidal Q of solar-type stars and giant planets
No simple answer!
● Q (or kl,m (ω)) is a response function, not a simple number● Fluid dynamical calculations are still exploratory● Planetary interior models are uncertain

http://poorrichard.files.wordpress.com/2010/03/minefield1.jpg
2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

radiative
core

convective
core

convective
envelope

radiative
envelope

late-type star

early-type star

SaturnJupiter

Chaisson and McMillan, 2005

Tidal dissipation in rotating stars and giant planets“Equilibrium tide”● solid regions (viscoelastic, etc.)● convective regions (turbulent “viscosity”)● other physics (phase transitions, helium separation)● nonlinear breakdown (elliptical instability, etc.) ➜“Dynamical tide”● inertial waves in convective regions● inertia-gravity waves in radiative regions

2011年12月2日金曜日

Elliptical instability in a deformed rotating sphereLacaze, Le Gal & Le Dizès (2004)2011年12月2日金曜日

Tidal dissipation in rotating stars and giant planets“Equilibrium tide”● solid regions (viscoelastic, etc.)● convective regions (turbulent “viscosity”)● other physics (phase transitions, helium separation)● nonlinear breakdown (elliptical instability, etc.)“Dynamical tide”● inertial waves in convective regions● inertia-gravity waves in radiative regions

2011年12月2日金曜日

Low-frequency waves in rotating stars and giant planetsω = 4Ω (k̂ · Ω̂) + N (k̂ × ĝ)
2

2

2

2

2

● Convective regions: inertial waves(Savonije et al.; Ogilvie & Lin; Wu; Ivanov & Papaloizou;
Goodman & Lackner; Rieutord & Valdettaro)● Radiative regions: inertia-gravity waves(Zahn; Savonije & Papaloizou; Goldreich & Nicholson;
Savonije & Witte)
Excitation, propagation, reflection, dissipation
Eigenvalue problem for normal modes is generally non-separable
and ill-posed, so modes may not exist without diffusion

2011年12月2日金曜日

Internal gravity waves
Buoyancy (Brunt-Väisälä) frequency
N2g

2011年12月2日金曜日

��
g dρ ��dρ=−�ρ dz ad dz
��
1 d ln p d ln ρ
= g
−
Γ1 dz
dz
�

Internal gravity waves
Buoyancy (Brunt-Väisälä) frequency
N2g

Plane gravity wave��g dρ ��dρ=−�ρ dz ad dz
��
1 d ln p d ln ρ
= g
−
Γ1 dz
dz
�

ω = N cos θkω 2 = N 2 |k̂ × ĝ|2θg

2011年12月2日金曜日

Inertial waves
Horizontal oscillation
⊙
Ω

u̇x

=

2Ω uy

u̇y

= −2Ω ux

(centrifugal force balanced by pressure)

2011年12月2日金曜日

�ω = 2Ω

Inertial waves
Horizontal oscillation
⊙
Ω

u̇x

=

2Ω uy

u̇y

= −2Ω ux�

ω = 2Ω(centrifugal force balanced by pressure)
Plane inertial wavek

ω = 2Ω cos θΩθ

2011年12月2日金曜日

ω 2 = 4Ω2 (k̂ · Ω̂)2Inertial waves
Horizontal oscillation
⊙
Ω

u̇x

=

2Ω uy

u̇y

= −2Ω ux�

ω = 2Ω(centrifugal force balanced by pressure)
Plane inertial wavek

ω = 2Ω cos θΩθ

2011年12月2日金曜日

ω 2 = 4Ω2 (k̂ · Ω̂)2Linear tides in
uniformly rotating
unstratified fluids
2011年12月2日金曜日

Tides in convective regions of planets and stars
late-type star

early-type star

giant planet

radiative

convective

convective

radiative(?)
heavy elements(?)● Turbulent viscosity acting on tidal bulge?
● Excitation and dissipation of inertial waves?

2011年12月2日金曜日

Linear tides in barotropic fluid bodies● Barotropic : no stable stratification or internal gravity waves● Low-frequency tides in slowly rotating bodies :
�
�1/2
GM
ω∼Ω∼�
, ��1
3
R
● Systematic theory based on expansion in powers of �2● Displacement ξ = ξnw + ξw
● Non-wavelike part :response of spherical body to tidal potential neglecting Coriolis(easily computed but different from classical equilibrium tide)● Wavelike part :residual response (inertial waves)
known body force from Coriolis force on non-wavelike part2011年12月2日金曜日

Inertial waves
Horizontal oscillation
⊙
Ω

u̇x

=

2Ω uy

u̇y

= −2Ω ux�

ω = 2Ω(centrifugal force balanced by pressure)
Plane inertial wavek

ω = 2Ω cos θΩθ

2011年12月2日金曜日

ω 2 = 4Ω2 (k̂ · Ω̂)2Peculiarities of low-frequency waves
Wave frequency depends only on direction of wavevector
Ω

k

k

k

k

Group velocity perpendicular to wavevector
Focusing of beams at sloping boundaries

Reflection from interfaces...
2011年12月2日金曜日

Inertial waves in convective regions
Solar-type star

[Savonije & Witte 2002]
Ogilvie & Lin 2007

[Irradiated] giant planet
Ogilvie & Lin 2004
Wu 2005
Papaloizou & Ivanov 2005
Ivanov & Papaloizou 2007
Goodman & Lackner 2009
Ogilvie 2009
Rieutord & Valdettaro 20102011年12月2日金曜日

Inertial wave frequency range

synchronized

rapidly spinningtidal frequency / spin frequency

For a uniformly rotating body, −2Ω < ω̂ < 2Ω

orbital frequency / spin frequency
2011年12月2日金曜日

Inertial waves : modes or beams?
Dense or continuous spectrum, −2Ω < ω̂ < 2Ω
● Tidal forcing excites normal modes (Wu; Papaloizou & Ivanov)● Tidal forcing excites narrow beams (Ogilvie & Lin; Goodman &Lackner; Rieutord & Valdettaro)

2011年12月2日金曜日

MODES / RESONANCE ?
Full sphere (Bryan 1889) :● two-index set of smooth modes for each m● discrete spectrum, dense in (−2Ω, 2Ω)● no resonant excitation by
2011年12月2日金曜日

2
Y2(homogeneous body)INERTIAL WAVES IN A SHELL
Spherical shell (Bretherton 1964, Stewartson 1972)● no separation of variables, no smooth modes● numerical calculations including viscosity(Rieutord et al. 2001)2011年12月2日金曜日

RAY PROPAGATION
convergence to a wave attractor

2011年12月2日金曜日

Attractive simplicity: inertial waves in a box
Ω
or

Ω
√

ω=Ω 2

2011年12月2日金曜日

total dissipation rate

Wave attractors versus normal modes

tilted rotation axis
untilted rotation axis

forcing frequency
2011年12月2日金曜日

Attractor asymptotics
Ogilvie (2005)

total dissipation∂2ψ2i− #∇ ψ = f∂x∂yfriction coefficient
2011年12月2日金曜日

Attractor asymptotics

numerical

asymptotic

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.01

Ek = 10−3

Ek = 10−4
Ek = 10−5
Ek = 10−6�
2011年12月2日金曜日

ν
Ek =
2ΩR2

�

Inertial waves : modes or beams?
Dense or continuous spectrum, −2Ω < ω̂ < 2Ω
● Tidal forcing excites normal modes (Wu; Papaloizou & Ivanov)● Tidal forcing excites narrow beams (Ogilvie & Lin; Goodman &Lackner; Rieutord & Valdettaro)

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.01

Ek = 10−3

Ek = 10−4
Ek = 10−5
Ek = 10−6�
2011年12月2日金曜日

ν
Ek =
2ΩR2

�

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.1

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.2

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.3

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.4

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.5

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.6

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.7

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.8

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core, fractional radius 0.9

2011年12月2日金曜日

with friction

with friction
1.05
1.10

1.15

with viscositywith viscosity
1.05

1.10

1.15

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

critical latitude
singularity

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

wave attractors

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

Mixed metaphors

2011年12月2日金曜日

Mixed metaphorswave attractor

2011年12月2日金曜日

black hole [M. Rieutord]

Mixed metaphors

2011年12月2日金曜日

wave attractor

black hole [M. Rieutord]

critical latitude

Hawking radiation [J. Goodman]2011年12月2日金曜日

experiment

theory(cf. Hurley)

Gostiaux & Dauxois (2007)2011年12月2日金曜日

frequency-averaged dissipation
above viscous baseline

Dependence on core size

fractional core size
2011年12月2日金曜日

frequency-averaged dissipation
above viscous baseline

Dependence on core size

∝ fifth power of core size(cf. Goodman & Lackner)from overlap with(quasi) normal modes(cf. Wu; Pap. & Ivanov)fractional core size
2011年12月2日金曜日

Rigid versus fluid core
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Rigid core

2011年12月2日金曜日

Rigid versus fluid core
Idealized problem : isentropic rotating fluid in spherical geometry● Fluid core, density jump by factor 2

2011年12月2日金曜日

Responses of spheres and shells● Full spheres with smooth density profiles support normal modes● Some tidal overlap with normal modes occurs, leading to resonantpeaks in the response, if the density is non-uniform● Presence of a core and/or density jumps enhances tidal response
but concepts of normal modes and resonance are less relevant● Enhanced dissipation for tidal frequencies (in rotating frame)−2Ω < ω < 2Ω relevant for synchronization and circularization● Frequency-averaged Q strongly dependent on internal stucture
but not on viscosity; for intermediate core sizes,� �5 �
� �
�2
Rc
1
Ω
≈
�
Q ω
Rp
Ωdyn
● Strong frequency dependence in cases of low viscosity
2011年12月2日金曜日

INERTIAL WAVES IN SATURN

2011年12月2日金曜日

STELLAR APPLICATION
inertial-wave
response of
convective zone
tidal frequency
equal tospin frequency
relevant to binary
circularization but
not planet hosts

2011年12月2日金曜日

Inertial waves in a solar-type starOgilvie & Lin (2007)● solar model, but spin period 10 days
● dissipation in convective zone only

-log Q’

Goldreich & Nicholson viscosity

tidal period 0.5 d

tidal period 10 d

tidal frequency
2011年12月2日金曜日

Impulsive forcing of inertial waves● Consider inertial waves driven by body force ∝ δ(t)● Impulsive response is smooth and readily computable (ODEs)● Will subsequently resolve into complicated pattern of inertial waves
which may dissipate through linear or nonlinear processes● (Kinetic) energy of impulsive response gives a broad frequency
average of the response function

1● Equivalent to frequency-average of tidal time lag, or
ωQ● Robust result, dependent only on gross structure● Also more directly applicable to highly eccentric orbits

2011年12月2日金曜日

Impulsive energy transfer / frequency-averaged dissipation● Homogeneous fluid body with rigid core
● Sectoral harmonics m = l
α2l+1
Ê ∝
1 − α2l+1

rin
α=
R

● Tesseral harmonics m < l
1Ê ∝1 − α2l+1(+ term as above)

but beware trivial inertial modes with l = 2

2011年12月2日金曜日

Impulsive energy transfer / frequency-averaged dissipation● Homogeneous fluid body with rigid core
● Sectoral harmonics m = l
α2l+1
Ê ∝
1 − α2l+1

rin
α=
R

● Tesseral harmonics m < l
1Ê ∝1 − α2l+1(+ term as above)

but beware trivial inertial modes with l = 2● Two homogeneous fluids● Similar but weaker result● Strengthened if densities differ greatly

2011年12月2日金曜日

ρ1
ρ2

Impulsive energy transfer / frequency-averaged dissipation● Polytrope with rigid corep ∝ ρ1+1/n

l=m=2

n=1

Ê

n=3
n = 0.3
n = 0.1

5∝ rin

n = 0 (homogeneous)

2011年12月2日金曜日

Processes affecting inertial waves at small scales
Viscous dissipation
Effective viscous dissipation by turbulent convection
Deflection by meridional circulation
Deflection (scattering) by turbulent convection (random medium)
Interaction with magnetic fields, and Ohmic dissipation
Wave breaking / parametric instability
Imperfect reflection from boundaries / interfaces

2011年12月2日金曜日

Viscous and Ohmic dissipation
Local dispersion relation in incompressible MHD(ων ωη − ωa2 )2 = 4(k̂ · Ω)2 ωη2ων = ω − k · u + iνk 2ωη = ω − k · u + iηkωa = k · va

va = (µ0 ρ)−1/2 B

2011年12月2日金曜日

2

1
η=
µ0 σ

Viscous and Ohmic dissipation(ων ωη − ωa2 )2 = 4(k̂ · Ω)2 ωη2Magnetic Prandtl numberν
Pm = � 1
ηElsasser numberva2= O(1)
Λ=2Ωη

Magnetic coupling scale

2Ω
ka =
va

Resistive scale

Viscous scale

2011年12月2日金曜日

kη =

�

kν =

�

2Ω
η

�1/2

= Λ1/2 ka

2Ω
ν

�1/2

= Pm−1/2 kηViscous and Ohmic dissipation

damping rate

Pm = 10−6
Λ=1

2

ω

=
i

ηk

2

ωi

=

νk

wavenumber
2011年12月2日金曜日

Breaking internal
gravity waves atthe centre of a star
2011年12月2日金曜日

Inertia-gravity waves in radiative regions
Solar-type star
Goodman & Dickson 1998
Terquem et al. 1998
Savonije & Witte 2002
Ogilvie & Lin 2007
Barker & Ogilvie 2010

Irradiated giant planet[Ioannou & Lindzen 1993]
Lubow et al. 1997
Ogilvie & Lin 2004
[Gu & Ogilvie 2009][Arras & Socrates 2010]2011年12月2日金曜日

Inertia-gravity waves in radiative regions
launched
gravity wave

2011年12月2日金曜日

ω2 > N 2

ω2 < N 2

N2 ≈ 0N2 ↑Goldreich & Nicholson 1989

Inertia-gravity waves: resonant modes or breaking waves?

2011年12月2日金曜日

Inertia-gravity waves in radiative regions
Savonije & Witte 2002
● linear tidal response of 1-solar mass star● realistic stellar model and evolution● Coriolis force (traditional approximation)● radiative diffusion● turbulent viscosity [large?]

2011年12月2日金曜日

Inertia-gravity waves in radiative regions (star)
Savonije & Witte 2002 (cf. Terquem et al. 1998)

log (tidal torque)● resonant excitation of normal modesQ� ≈ 102Q� ≈ 107[largeturbulentviscosity?]tidal frequency
2011年12月2日金曜日

Inertia-gravity waves in radiative regions (star)Ogilvie & Lin 2007 (cf. Goodman & Dickson 1998)-log Q’● assumes waves do not reflect from stellar centre

tidal frequency

2011年12月2日金曜日

BREAKING GRAVITY WAVES
Near stellar centre :ρ = ρ0 + ρ2 r + · · ·2

p = p0 + p2 r + · · ·2

g = g1 r + g3 r + · · ·3Brunt-Väisälä frequency :��
1 d ln p d ln ρ
2
−
N =g
Γ1 dr
dr
N = N1 r + N 3 r 3 + · · ·launch site
( Bφ may interfere)N1 generally increases with stellar mass and age
2011年12月2日金曜日

N1 versus age for the Sun
7
6

C/C!

5
4
3
2
1
0
0

2011年12月2日金曜日

2

4

t/Gyr

6

8

10

BREAKING GRAVITY WAVES
Quasi-Boussinesq system :∂u+ u · ∇u = −∇p + b r∂t∂b2+ u · ∇b + N1 u · r = 0
∂t
∇·u=0

Exact solution in cylindrical geometry (2D “star”) :ψ ∝ b ∝ Jm (kr) exp[im(φ − Ωp t)]uφ> ΩpWave overturns ifr
2011年12月2日金曜日

k = N1 /Ωp

BREAKING GRAVITY WAVES

radial displacement

Barker & Ogilvie (2010)
cf. Goodman & Dickson (1998)

typicalwavelength
0.001-0.01
RSundistance from centre
2011年12月2日金曜日

Stability analysis of gravity waves
Barker & Ogilvie (2011)
Primary wave is a steady non-axisymmetric flow in a rotating frame

ψ
1

0.02
0.015

0.8

0.01
0.005

0.6

r

0
−0.0050.4−0.01−0.015

0.2

−0.02
0
0

2011年12月2日金曜日

1

2

3

φ

4

5

6

Stability analysis of gravity waves
Contains convectively unstable regions if A > 1
A = 1.1√
log10 Re[ N 2 ]

1

−2

−2.5

0.6

−3

r

0.8

0.4

−3.5

0.2
−4
0
0

2011年12月2日金曜日

1

2

3

φ

4

5

6

Barker & Ogilvie (2011)

Stability analysis of gravity waves
Contains convectively unstable regions if A > 1
A = 10√log10 Re[ N 2 ]

1

−0.5
−1

0.8

−1.5
0.6

r

−2

0.4

−2.5
−3

0.2

0
0

2011年12月2日金曜日

−3.5
1

2

3

φ

4

5

6

Barker & Ogilvie (2011)

Stability analysis of gravity waves
Stability analysis by spectral (Galerkin) method
ψ=
b=

∞
∞
�
�

m=−∞ n=0∞∞��ψmn Jm (kkn r) eimφ−iωtbmn Jm (kkn r) eimφ−iωtm=−∞ n=0

Include hyperdiffusion to smooth smallest scales

2011年12月2日金曜日

Stability analysis of gravity waves
Results for A > 1 : initial stages of wave breaking
Growth rate vs primary amplitude3

Im [ω] /ωp

2.5

1e−13
1e−14

2
1.5
1
0.5
0
0

2011年12月2日金曜日

5

10
A

15

20

Barker & Ogilvie (2011)

Stability analysis of gravity waves
Results for A > 1 : initial stages of wave breaking
Unstable mode for A = 10

Barker & Ogilvie (2011)2011年12月2日金曜日

Stability analysis of gravity waves
Results for A > 1 : initial stages of wave breaking
Unstable mode for A = 10

Barker & Ogilvie (2011)2011年12月2日金曜日

Stability analysis of gravity waves
Results for A > 1 : initial stages of wave breaking
Unstable mode for A = 10√
log10 Re[ N 2 ]

1

−1
−1.5

0.8

−2

r

0.6

−2.5

0.4
−3
0.2
−3.5
0
0

2011年12月2日金曜日

1

2

3

φ

4

5

6

Barker & Ogilvie (2011)

Stability analysis of gravity waves
Results for A > 1 : initial stages of wave breaking
Growth rate independent of size of domain

log10 {Im [ω] /ωp }

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8
0

2011年12月2日金曜日

1e-13
1e-14

0.2

0.4

0.6
0.8
log10 np

1

1.2

1.4

Barker & Ogilvie (2011)

Stability analysis of gravity waves
Results for A < 1 : weak parametric instabilities
Growth rate vs primary amplitude
0

1e−13
1e−14

log10 {Im [ω] /ωp }

−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−1

2011年12月2日金曜日

−0.8

−0.6

−0.4
log10 A

−0.2

0Barker & Ogilvie (2011)

Stability analysis of gravity waves
Results for A < 1 : weak parametric instabilities
Growth rate ∝ (size of domain)

−1

−1

1e-13
1e-14

log10 {Im [ω] /ωp }

−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
−4
0

2011年12月2日金曜日

0.2

0.4

0.6
0.8
log10 np

1

1.2

1.4

Barker & Ogilvie (2011)

2D numerical simulations
Barker & Ogilvie 2010
Standing wave

2011年12月2日金曜日

2D numerical simulations
Barker & Ogilvie 2010
Breaking wave

2011年12月2日金曜日

3D numerical simulations
Barker & Ogilvie 2011
Standing wave

2011年12月2日金曜日

3D numerical simulations
Barker & Ogilvie 2011
Standing wave

2011年12月2日金曜日

3D numerical simulations
Barker & Ogilvie 2011
Breaking wave

2011年12月2日金曜日

3D numerical simulations
Barker & Ogilvie 2011
Breaking wave

2011年12月2日金曜日

3D numerical simulations
Barker & Ogilvie 2011
Breaking wave

2011年12月2日金曜日

3D numerical simulations
Barker & Ogilvie 2011
Breaking wave

2011年12月2日金曜日

Implications● Waves break at centre if
�−1/6
�
Mp
Porb
> 3.6
MJ
day
or more easily in older or slightly more massive stars
�14/5
�
Porb
�
4
● If this occurs, then Q∗ ≈ 9 × 10
day
�7.1
�
�−1 �
Mp
Porb
and planet is devoured within 1.4 Myr
MJ
day● For solar-type binary stars, eccentricity tides are likely to break
for any observable eccentricity
For smaller forcing amplitudes, resonant locking (Savonije & Witte)
may need to be reexamined allowing for wave breaking
2011年12月2日金曜日

Short-period extrasolar planets

2011年12月2日金曜日

Effective viscosity of
turbulent convection
and other flows
2011年12月2日金曜日

Tides in convective regions of planets and stars
late-type star

early-type star

giant planet

radiative

convective

convective

radiative(?)
heavy elements(?)● Turbulent viscosity acting on tidal bulge?
● Excitation and dissipation of inertial waves?

2011年12月2日金曜日

Effective viscosity of turbulent convection● How does a convecting fluid respond to periodic distortion?
● Oscillatory shearing box

a sin(ωt)

2011年12月2日金曜日

Effective viscosity of turbulent convection● Compute convective or other flow in OSB● Measure Reynolds stress at
frequency ωa sin(ωt)

2011年12月2日金曜日

Previous hypotheses and results−1∝ω● Zahn (1966) : viscosity(large eddies)● Goldreich & Nicholson (1977) : viscosity ∝ ω −2 (small eddies)● Goodman & Oh (1997) : viscosity ∝ ω −5/3 (small eddies)● Penev et al. (2009) : viscosity ∝ ω −1
0.3

0
K1212

0.2

0.1

0

2011年12月2日金曜日

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Forcing Period/Convective Turnover Time

Convection in an oscillatory shearing box (Geoffroy Lesur)

2011年12月2日金曜日

Convection in an oscillatory shearing box (Geoffroy Lesur)● Time series of Reynolds stress (shear stress)
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2011年12月2日金曜日

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Convection in an oscillatory shearing box (Geoffroy Lesur)● Fourier transform of Reynolds stress (shear stress)!)!"*++,-./01*23

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2011年12月2日金曜日#!"

Convection in an oscillatory shearing box (Geoffroy Lesur)● Real part of effective viscosity versus tidal frequency!!

numerical simulation
closure model!"!&∝ ω −2*'()" +

!"

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uncertainty
due to noise(dashed : negative)

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2011年12月2日金曜日

Convection in an oscillatory shearing box (Geoffroy Lesur)● Imaginary part of effective viscosity versus tidal frequency(!%&'" )

numerical simulation
closure model!$!"∝ ω −1

!#

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!

2011年12月2日金曜日

Analytical approach● Shearing coordinatesx� = x,y � = y − a(t)x,z � = z,t� = t● Shear a(t) , shear rate ȧ(t)● Derivatives��∂x = ∂x − a∂y ,�
∂y = ∂y ,�
∂z = ∂z ,● Absolute and relative velocitiesux = vx ,uy = vy + ȧx,��∂t = ∂t − ȧx∂yuz = vz● Navier–Stokes equations in sheared coordinates
�
�
�
�
�
[∂t + vj (∂j − aδj1 ∂y )]vi + ȧvx δi2 = −(∂i − aδi1 ∂y )p��
(∂i − aδi1 ∂y )vi = 0+ν(∂j� − aδj1 ∂y� )(∂j� − aδj1 ∂y� )vi + fi

● Additional body force äx� δi2 is required to maintain shear● Remaining equations are spatially homogeneous
2011年12月2日金曜日

Analytical approach● Linearize in the shear amplitude, assuming |a| � 1● Zeroth order: basic flow satisfying

����(∂t + vj ∂j )vi = −∂i p + ν∆ vi + fi∂i� vi = 0(may be decaying or (quasi-)stationary, laminar or turbulent● First order:(∂t� + vj ∂j� )δvi + (δvj ∂j� − avx ∂y� )vi + ȧvx δi2��
∂i δvi − a∂y vx = 0= −∂i� δp + aδi1 ∂y� p + ν(∆� δvi − 2a∂x� ∂y� vi )● Aim to calculate linearized shear stress −δRxy = −�vx δvy + vy δvx �● Could solve numerically (but not useful for chaotic flows)● Asymptotic approach for high-frequency shear

2011年12月2日金曜日

Analytical approach● Asymptotic approach for high-frequency shear● Method of multiple scales● Fast time variable for shear: T � = t� /�,�a �→ a(T � ),● Expandȧ �→ �−1 ȧδvi = δvi0 + � δ vi1 + · · ·�1( ȧ now means da/dT � )quantities depending on

δp = �−1 (δp0 + � δ p1 + · · · )(x� , t� , T � )● Leading order∂T� δvi0 + ȧvx δi2 = −∂i� δp0∂i� δvi0 − a∂y� vx = 0● Rough argument:

δvy0 ≈ −avx ⇒2011年12月2日金曜日

2−�vx δvy0 � ≈ a�vx �elastic stressAnalytical approach● Leading order∂T� δvi0 + ȧvx δi2 = −∂i� δp0∂i� δvi0 − a∂y� vx = 0● More precise argument∆� δp0 = −2ȧ∂y� vx∂T� δvi0 = 2ȧ∂i� ∂y� ∆�−1 vx − ȧvx δi2● Linearized shear stress −δRxy0 = −�vx δvy0 + vy δvx0 � satisfies∂T� (−δRxy0 ) = ȧ�vx2 − 2(vx ∂y� + vy ∂x� )∂y� ∆�−1 vx �= ȧ(A1jj1 − 2A1221 − 2A2121 )in terms of the tensor

Aijkl = �vi ∂j� ∂k� ∆�−1 vl �

2011年12月2日金曜日

Analytical approach● Next order can be treated in a similar way∂T�2 (−δRxy1 ) = −ȧ(B1jj1 − B1221 − B1122 − C1221 + C1jj1 + 3C1122−2D1jj221 − 2D2jj121 − 3D1jj221 − 3D1jj212−Dijij1221 − Dijij1212 + Dijij22 + 4E2121 + 4E2112 )in terms of the tensors

Bijkl = �(∂t� vi )∂j� ∂k� ∆�−1 vl �
Cijkl = −ν�vi ∂j� ∂k� vl �
Dijkl = �vi vj ∂k� vl ��
Dijklmn = �vi vj ∂k� ∂l� ∂m∆�−1 vn ��Dijklmnpq = �vi vj ∂k� ∂l� ∂m∂n� ∂p� ∆�−2 vq �
�
�
�−1 �
�
�−1 �
Eijkl = �vm (∂m ∂n ∆ ∂i vj )∂n ∆ ∂k vl �
2011年12月2日金曜日

Analytical approach● Interpretation∂T� (−δRxy0 ) = ȧG0

∂T�2 (−δRxy1 ) = −ȧG1● For a shear a ∝ exp(−iωt) with ω = O(�−1 ) , deduce that�
�iG1
+ O(�2 )−δRxy = a G0 −ω
idealelastic
response

imperfection
associated with
dissipation● Compare with elastic stress Ga or viscous stress ν ȧ = −iωνa● Effective elastic (shear) modulus G0 (+, – or 0)● Effective viscosity at high frequencies G1 /ω 2 (+, – or 0)
2011年12月2日金曜日

Analytical approach● Evaluation in special cases● Statistically isotropic flows in d dimensions2(d − 2)(d + 1)KG0 =d(d − 1)(d + 2)

(d − 2)K̇ + (d − 6)DG1 =d(d − 1)(d + 2)2

2

K = � 12 vi vi �K̇ = �(∂t� vi )vi �

D = −ν�vi ∆� vi �

● Thus effective elasticity > 0 in 3D but = 0 in 2D● Effective viscosity > 0 in 3D but < 0 in 2D if flow maintained
but < 0 in 3D or 2D if flow decays freely

2011年12月2日金曜日

Analytical approach● Evaluation in special cases● ABC flows (Arnol’d–Beltrami–Childress)��A sin kz + C cos ky
v = B sin kx� + A cos kz � C sin ky � + B cos kx�
in a period cube of length 2π/k

● Nonlinearity absent because of Beltrami property ∇� × v = kv
● If unforced, A, B, C ∝ exp(−νk2 t)● Or maintain flow with body force f = νk 2 v● FindG0 = 12 (A2 − C 2 )G1 = 12 A(Ȧ + νk 2 A)

(depends on anisotropy)(vanishes if freely decaying)● These analytical examples lack genuine nonlinearity / irreversibility
2011年12月2日金曜日

Analytical results for high-frequency shear
General flow (laminar, turbulent, convective, ... )Tidal period � flow timescales (relevant for large eddies)● Dominant response is elastic● Next effect is viscosity ∝ ω −2

● Coefficients may be positive, negative or zero depending on
flow statistics, anisotropy, etc.
● Incompatible with Zahn (1966)● Different from Goldreich & Nicholson (1977), Goodman & Oh (1997)● Different from Penev et al. (2009)● Raises the possibility of tidal anti-dissipation

2011年12月2日金曜日

Conclusions

2011年12月2日金曜日

Conclusions● Tidal evolution probably determines the fate of short-period
extrasolar planets● Idealized linear inertial waves give an intricate frequency
dependence of Q’, still only partly understood● Frequency-averaged dissipation is robust and readily calculated● For l = m = 2 dissipation is most efficient for :● larger, more rigid or denser cores● greater density stratification (larger polytropic index)● Other (tesseral) harmonics excite richer response and may be
important even though intrinsically weaker● Better models of planetary (and stellar) interiors are needed
and more understanding of the interaction of tides withconvection, magnetic fields, etc.
2011年12月2日金曜日

Conclusions● Nonlinear aspects (wave breaking, mode coupling, etc.) can beimportant even for “weak” tides. Extrasolar planets may bein a different regime from solar-system planets● Wave breaking can lead to the destruction of sufficiently massive
planets orbiting close to solar-type stars at a critical age● Effective viscosity of convection is strongly suppressed at tidal
frequencies higher than the convective turnover rate
● Thermal and magnetic tides also require further investigation
as well as waves in extrasolar planetary atmospheres● Extrasolar systems are diverse and can reveal much when
examined on an individual basis

2011年12月2日金曜日

2011年12月2日金曜日

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