株式会社シグナルアナリシス技術資料

Recursive Null Steering (RENS) beamformer

株式会社シグナルアナリシス
関原 謙介

本文書の著作権は株式会社シグナルアナリシス社に帰属します．

Typical non-adaptive spatial filters—Minimum-norm-based methods•空間分解能が低い•3次元再構成の場合にソースバイアスが大きい•データのタイムサンプルが少ない場合でも適用可能．シングル
タイムポイントのデータにも用いることができる．

Typical adaptive spatial filters—Minimum-variance-based methods•空間分解能は高い．
•ソースバイアスは一般的に小さい．
•多数のタイムサンプルデータが必要．（精度の良い共分散行列を得るため）•ソースの相関の影響を受ける.
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Minimum-norm spatial filterrj

Measurement equation

Minimum-norm solution

This solution is equivalent to spatial filter formulation:

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ミニマムノルムフィルターの別の導出w(r ) arg min ∫ [ w(r )l(r ′) − δ (r − r ′)] d r ′=2w( r )

−1 T==w(r ) Gl (r ), where G ∫ l (r )l T (r )drw(r )l(r ′)はビームレスポンスと呼ばれ, フィルター重みw(r )がr ′ に存在するソースからの信号をどの位通過させるかを表す．

ウエイトw(r )にとっては，r以外の位置から来る信号は「望まない」信号で「もれこみ」と呼ばれる．
2

積分 ∫  w(r )l(r ′) − δ (r − r ′) d r ′ は，全ての位置からの「もれこみ」の総量を表す．これを最小にすることでミニマムノルムフィルターが求まる．
本文書の著作権は株式会社シグナルアナリシス社に帰属します．Minimum-norm filter with unit-gain constraint
leakage minimizationの定式化を小変更することでいろいろなミニマムノルムフィルターを導出できる．
ユニットゲイン制約を付加すると
w(r )

2

arg min ∫  w(r )l(r ′) − δ (r − r ′) d r ′w(r )subject to w(r )l(r ) = 1
↑gain constraint

G −1lT (r )Tw(r ) = T,
G=lrl
whe
re()
(r )d r∫−1l (r )G l (r )本文書の著作権は株式会社シグナルアナリシス社に帰属します．

Weighted minimum-norm filter with unit-gain constraint
さらに，正の重み関数を付加し，重み付積分とすれば
w(r )

2

arg min ∫ p(r ')  w(r )l(r ′) − δ (r − r ′) d r ′w( r )

subject to w(r )l(r ) = 1

positive weighting function

G −1lT (r )Tw(r ) = T,
whereG=p(r)l(r)
l(r )d r∫−1l (r )G l (r )本文書の著作権は株式会社シグナルアナリシス社に帰属します．

Weighted minimum-norm filter with array-gain constraint

もし，ゲイン制約がアレイゲイン制約なら．

w(r )2arg min ∫ p(r ')  w(r )l(r ′) − δ (r − r ′) d r ′w( r )

subject to w(r )l(r ) = l(r )w(r )G −1lT (r )Twhere()(r )d r=,
G(r)
lrlp
∫
l T (r )G −1l (r )l(r ) = l(r ) / l(r )本文書の著作権は株式会社シグナルアナリシス社に帰属します．

Similarity with adaptive spatial filter
Weighted minimum-norm filter with unit-gain constraintw(r )G −1lT (r )T=,whereGp(r)l(r)
l(r )d r∫T−1l (r )G l (r )Minimum-variance spatial filter with unit-gain constraintw(r )R −1 l(r )T2where=Rsrtlrl(,)()(r )d r∫T−1l (r ) R l (r )もしp(r ) として s(r, t )2 に近いものを用いればweighted minimum-norm filterは，ノンアダプティブフィルターとしての利点を保持したままminimum-variance filterに近い性能を持つフィルターになるはず．
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再帰的な手順によりp(r) に推定したソース分布を用いる
set p(r ) = const

compute G−1G
l (r )
Tp(r )l (r )l (r )d r and w(r ) T∫=l (r )G −1l (r )compute sˆ(r, t ) = wT (r )b(t )set p(r )=sˆ(r, t )2 or p(r ) sˆ(r, t )2 for single-time-point data

標本共分散行列を用いずにminimum variance filterに近い性
能のフィルターを実現できる．
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RENSフィルター バリエーション
scalar-RENSGTT
2
ˆ(()()()(r )] d rst+rlrlrlrl,)[∫xxyydiagonal-RENSG∫ sˆx (r, t ) lx (r )lx (r ) + sˆy (r, t ) ly (r )ly (r ) d r
2

T2

T

matrix-RENSG2TTˆˆˆ
[s(r,t)l(r)l(r)+s(r,t)
s(r,t)l(r)l(r )∫ xxxxyxy+sˆy (r, t )sˆx (r, t )ly (r )lxT (r ) + sˆy (r, t )2 ly (r )lyT (r )] d r

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Reconstruction results

sLORETA

Proposed method

An MRI slice containing the maximum source intensity is selected.

sLORETA gives significantly blurred reconstruction. However, the proposed
method reconstructs a localized source near the right atrium.
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