東海大学紀要情報通信学部
Vol.15,No.2,2022,pp.15-20
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx, 20xx, pp.xxx-xxx

トピックス

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大学初年次における数学教材の提案（その 44）～ ハウスホルダー行列 ～貴田 研司*1

A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.44~ Householder Matrix ~byKenshi KIDA*1( received on Nov. 25, 2022 & accepted on Jan. 11, 2023 )あらまし
本論文においては，固有値の計算方法の一つとして知られるハウスホルダー行列を用いての三重対角化について，具体例を交えながら詳しく解説する．

Abstract
In this paper, we give explanation of an item for eigenvalue analysis. We present specially tridiagonalizations by means of Householder
matrices with concrete examples.
キーワード：ハウスホルダー変換, 鏡映，対称行列，直交行列，３重対角化
Keywords: Householder Transformation, Reflection, Symmetric Matrix, Orthogonal Matrix, Tridiagonalization

1. は じ め に
固有値解析の手法の一つとして，ハウスホルダー法（鏡映変換）による行列の三重対角化がある 1)．まず三重対角行列は
以下のように定義される：
定義（三重対角行列）
正方行列において，対角成分とその上下の成分以外はすべて 0 であるようなものを三重対角行列と呼ぶ．

𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��
𝑎𝑎⎛ �� 𝑎𝑎��
𝑎𝑎��
⎜0⋮
⋮
0
⎝00 ⋯0𝑎𝑎�� ⋯0 ⎞𝑎𝑎��⋯ 0 ⎟⋮⋮⋯𝑎𝑎0�� ⎠

与えられた対称行列に行列演算を施し，三重対角行列に変形することを三重対角化と呼ぶ．ここで，任意の対称行列 A に対し，ハウスホルダー行列を用いた変換を繰り返すことにより，A を三重対角化できることが知られている 2)．これをハウスホルダー法と呼ぶ．ハウスホルダー法による行列の三重対角化の一つの例 3)として

1
� ��0
101111�0に対して，ハウスホルダー行列としてを選ぶと1
� ��00*1 理系教育センター

000 −1 �−1 0

教授

STEM Education Center，Professor―1 −―− 15

大学初年次における数学教材の提案（その 44）〜ハウスホルダー行列〜

ヘッダー

1
𝐻𝐻 �� �𝐻𝐻 𝑣 �𝑥−10となることを挙げておく．

−10101𝑥�1

本論文では，ハウスホルダー行列の定義と性質について述べ，ハウスホルダー法による行列の三重対角化を簡単な例をあげることによって解説する．

2. ハ ウ ス ホ ル ダ ー 行 列
長さが等しい２つの次元ベクトル 𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥 𝑥� が与えられたとき， 𝑣𝑣 𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣とおく．このとき

𝐻𝐻 𝐻 𝐻𝐻 𝐻2𝑣𝑣𝑣𝑣 �‖𝑣𝑣‖�を，ハウスホルダー行列という．

定理（１） 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻（２） 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻（３） 𝐻𝐻 は対称行列である．

（４） 𝐻𝐻 は直交行列である．
（５） 𝐻𝐻 は固有値 1をもつ．

（６） 𝐻𝐻 は固有値−1をもつ．

（証明）
（１）

𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻= 𝑥𝑥 𝑥= 𝑥𝑥 𝑥2𝑣𝑣𝑣𝑣 �𝑥𝑥‖𝑣𝑣‖�2�𝑣𝑣 � 𝑥𝑥 �𝑣𝑣𝑣
‖𝑣𝑣‖�2�𝑥𝑥 � − 𝑦𝑦 � �𝑥𝑥 �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
‖𝑣𝑣‖�

2�‖𝑥𝑥‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥��𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
= 𝑥𝑥 𝑥‖𝑣𝑣‖�==‖𝑣𝑣‖� − 2‖𝑥𝑥‖� + 2𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥𝑥2�‖𝑥𝑥‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖� − 2 �‖𝑥𝑥‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
2�‖𝑥𝑥‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�―2 −―− 16

貴田研司

ヘッダー

ここで‖𝑣𝑣‖� = �𝑥𝑥 � − 𝑦𝑦 � ��𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥� = ‖𝑥𝑥‖� + ‖𝑦𝑦‖� − 2𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥

であるが， ‖𝑥𝑥‖ = ‖𝑦𝑦‖だから ‖𝑣𝑣‖� = 2�‖𝑥𝑥‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�と表すことができる．
したがって

𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻が成り立つ．

（２）

𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻= 𝑦𝑦 𝑦= 𝑦𝑦 𝑦= 𝑦𝑦 𝑦==2𝑣𝑣𝑣𝑣 �𝑦𝑦‖𝑣𝑣‖�2�𝑣𝑣 � 𝑦𝑦�𝑣𝑣𝑣‖𝑣𝑣‖�2�𝑥𝑥 � − 𝑦𝑦 � �𝑦𝑦�𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥�‖𝑣𝑣‖�2�𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥𝑥 ‖𝑦𝑦‖� ��𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥�‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖� − 2‖𝑦𝑦‖� + 2𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥𝑥
2�‖𝑦𝑦‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖� − 2 �‖𝑦𝑦‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
2�‖𝑦𝑦‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�ところが‖𝑣𝑣‖� = �𝑥𝑥 � − 𝑦𝑦 � ��𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥� = ‖𝑥𝑥‖� + ‖𝑦𝑦‖� − 2𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥

であるが， ‖𝑥𝑥‖ = ‖𝑦𝑦‖だから ‖𝑣𝑣‖� = 2�‖𝑦𝑦‖� − 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�と表すことができる．
したがって

𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻が成り立つ．
（３）

𝐻𝐻� = �𝐼𝐼 −�2𝑣𝑣𝑣𝑣 �2�𝑣𝑣 � �� 𝑣𝑣 �2𝑣𝑣𝑣𝑣 ���=𝐼𝐼−=𝐼𝐼
𝐼= 𝐻𝐻‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�であるから， 𝐻𝐻 は対称行列である．

（４） 𝐻𝐻 は対称行列であるから 𝐻𝐻 � = 𝐻𝐻 である．すると

𝐻𝐻𝐻𝐻� = 𝐻𝐻�

―3 −―− 17

大学初年次における数学教材の提案（その 44）〜ハウスホルダー行列〜

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�

2𝑣𝑣𝑣𝑣 �= �𝐼𝐼 𝐼
�‖𝑣𝑣‖�= 𝐼𝐼 𝐼= 𝐼𝐼 𝐼= 𝐼𝐼 𝐼= 𝐼𝐼4𝑣𝑣𝑣𝑣 �4𝑣𝑣𝑣𝑣 � 𝑣𝑣𝑣𝑣 �+‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�

4𝑣𝑣𝑣𝑣 �4𝑣𝑣‖𝑣𝑣‖� 𝑣𝑣 �+
‖𝑣𝑣‖�
‖𝑣𝑣‖�
4𝑣𝑣𝑣𝑣 �4𝑣𝑣𝑣𝑣 �+‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�であるから， 𝐻𝐻 は直交行列である．
（５）2𝑣𝑣𝑣𝑣 ��𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
‖𝑣𝑣‖�

𝐻𝐻 �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥� = �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥� −= �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥� −2𝑣𝑣 �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥���𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�‖𝑣𝑣‖�

= �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥� −2𝑣𝑣 �𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 � 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 � 𝑦𝑦�‖𝑣𝑣‖�= �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥� −= �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥� −= �𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�

2𝑣𝑣�𝑥𝑥 � −𝑦𝑦 � ��𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥�
‖𝑣𝑣‖�2𝑣𝑣 �‖𝑥𝑥‖� + 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 ‖𝑦𝑦‖� �‖𝑣𝑣‖�であるから， 𝐻𝐻 は固有値 1をもつ．
（６）

𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻= 𝑣𝑣 𝑣

2𝑣𝑣𝑣𝑣 �𝑣𝑣‖𝑣𝑣‖�2𝑣𝑣𝑣‖𝑣𝑣‖�‖𝑣𝑣‖�= 𝑣𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣= −𝑣𝑣であるから， 𝐻𝐻 は固有値−1をもつ．

（証明終）―4 −―− 18

貴田研司

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3. 三 重 対 角 化

例題
ハウスホルダー行列を用いて5𝐴𝐴 𝑠 � 43を三重対角化せよ．
（解答）44232 �−5

行列 𝐴𝐴の �3,1�成分が 0となるようにしたい．

𝒙𝒙𝒙 𝒙𝒙を

𝑠𝑠 𝑠 �𝑎𝑎�� � + 𝑎𝑎�� � = �4� + 3� = 5,𝑎𝑎��
𝑎𝑎��
55𝒙𝒙 𝑠 � 𝑎𝑎�� � 𝑠 � 4 � , 𝒙𝒙 𝑠 � −𝑠𝑠 � 𝑠 � −5 �𝑎𝑎��
030と定義すると，‖𝒙𝒙‖ = ‖ 𝒚𝒚‖となる．このとき055
� 𝑠 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝑠 � 4 � − � −5 � 𝑠 � 9 � ,330‖𝑣𝑣‖� = ‖𝒙𝒙 𝒙 𝒙𝒙‖� = 0� + 9� + 3� = 90となっている．
変換行列（ハウスホルダー行列）を計算する．

1𝑠�00𝐻𝐻 𝐻 𝐻𝐻 𝐻2𝑣𝑣𝑣𝑣 �‖𝑣𝑣‖�0 0
2 0
1 0 � − � 9 � �0 9 3�900 1
31 0 01 0 0 0𝑠�0 1 0�− �0 9 3�
50 0 1
0 3 1
1

⎛0=⎜

したがって𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
1

⎛0
=⎜
⎝

0

⎝

00
4−
53−
500
43−− ⎞ 5 455 ⎟� 4 4
3 4
3 2−
5 5 ⎠

03− ⎞5 ⎟.
45 ⎠13 ⎛02 �⎜
−50
⎝

―5 −
―− 1904−53−
503− ⎞
5⎟45 ⎠大学初年次における数学教材の提案（その 44）〜ハウスホルダー行列〜

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5

⎛ −5=⎜⎝0−576−
594
5094
⎞
5 ⎟92
−
5 ⎠（解答終）この例題は３次行列であるためにハウスホルダー行列１つの変換で三重対角化を完了できた．４次行列以上の場
合，同様の操作を繰り返していくことになるが，そのアルゴリズムについては他の書物 1)4)を参照されたい．

参考文献
1) 神谷紀生・北栄輔「計算による線形代数」共立出版，1999
2) https://mathwords.net/householder「具体例で学ぶ数学

ハウスホルダー行列とその応用」

3) ギルバート・ストラング著，山口昌哉也哉監訳，井上昭訳「線形代数とその応用」産業図書，19784) 日本計算工学会編集「固有値計算と特異値計算」日本計算工学会，2019―
6 −―− 20