逆問題研究って何？

 ２０１４年９月１日

融合科学センター発足記念式典

	  数学が諸科学の中で果たす役割を考えるいい機会 「狭くとも深く」が研究の原則だけど、「浅くとも広い視野を」という部分も頭のどこかになきゃいけないと思うんだ。	  
 両方知っているから一点に集中できる、ということだね。	  
 それを考えながら数学をやっている姿を紹介したいんです。	  日本国内で定期的に年１回

×２	  アジア地区（日中韓）で２年に１回

今、どれくらい逆問題のコンファレンスがあるのか？

Applied	  Inverse	  Problemに一回	  ×２	  （International	  Conference）

２年

ここ数年２年に一度の割で長期  workshop	  	  	  Newton	  Institute	  (Cambridge),	  Fields	  Institute	  (Toronto),	  	  	  Mittag-­‐LefEler	  Institute	  (Stockholm),	  Henri	  Poincare	  Institute	  (Paris)	  他にもいろいろ	  例えば  2014年に,	  Marseille,	  Madrid,	  Helsinki,	  St.	  Petersburg,	  Bristol,	  Taipei	  2015年に  Nantes,	  Paris,	  Helsinki,	  Beijin,…	  	  どんな話題が話されているの？

 逆スペクトル問題、Electrical	  Impedance	  Tomography、  電磁波の散乱の逆問題、ラドン変換、	  Tensor	  Tomograhy、Wavelet、これらに付随した数値計算例などなんですが。	  
 そう専門用語を並べられても困る。もっとかみ砕いてくれんかな。

 Ambarzumyan

逆問題に関して印象的な仕事(1929)	  	  	  	  天体物理学,	  球状星団の分布	   Gelfand-­‐Levitan	  ,	  	  	  On	  the	  determination	  of	  a	  differential	  equation	  from	  its	  spectral	  function,	  Izv.	  Akad.	  Nauk	  USSR.	  Ser.	  
Mat.	  (1951),	  309-­‐360	  	   M.	  Kac,	  “Can	  one	  hear	  the	  shape	  of	  a	  drum?”	  Amer.	  Math.	  
Monthly	  ,	  73	  (1966),	  1-­‐23	   A.P.Calderon,	  	  On	  an	  inverse	  boundary	  value	  problem,	  	  Seminar	  on	  a	  Numerical	  Analysis	  and	  its	  Applications	  to	  Continuum	  Physics,	  Soc.	  Brasilia	  de	  Matematica,	  Rio	  de	  Janeiro	  (1980),	  65-­‐73	  	   Electrical	  Impedance	  Tomography	  私の仕事をお話ししますと 光学模型

（原子核物理における逆散乱）	   リーマン多様体上での逆散乱理論	   摂動された格子模型上での逆散乱 物体に電流を流し、表面での電圧を測定します。表面での観測値から物体内の電気伝導度を調べよう、というものです。	  
 これはいろいろ応用があります。たとえば人体内の腫瘍は正常な部分との電気伝導度が４倍くらい違います。	  

ＥＩＴとは

 あるいは物体内部の亀裂を推定することもできます。	  
 数学としては、ある種の偏微分方程式の解の境界部分での値から、方程式の係数を定める問題になります。	  
 ちょっと  movie	  をご覧ください。

 ラザフォードの実験を思い出しましょう。標的に原子、分子のビームをあてます。反射粒子を観測して標的を知ろうというのが逆散乱問題です。	  

逆散乱問題とは 数学としてはシュレーディンガー方程式の解の無限遠方での挙動からいわゆるＳ行列を考え、このＳ行列から標的のシュレーディンガー作用素の係数を調べる問題です。	  
 古典物理学の電磁気学でも同じようなことが考えられます。

 光学模型というと、電磁波を扱ったのかな？	  

光学模型とは いえ、これはちょっと特殊で多体シュレーディンガー方程式を複素ポテンシャルで近似しようとするものです。原子核物理では基本的なアイディアとされているようなんですが、数学的裏付けはなかったように思います。

 ようするに遠方から波を送って反射してきた波から物理系を知ろうということやな。リーマン多様体とか格子とかいうのは何かな？	  

多様体って何？

 少し大風呂敷になりますが、宇宙の彼方から波を送って反射してきた波を宇宙の彼方で観測します。観測データから有限部分の世界がすべて再現できるか、という問題です。	  
 宇宙の彼方なんて誰も行ったことがないし、紙の上だけのことだろう。	  
 シュワルツシルドが計算したことによればアインシュタインの方程式の解で片方の無限遠方はユークリッド的、もう一方の無限遠方は双曲空間的というものがあります。この辺は否定も肯定もできないところでしょう。

 格子の方は何？	  
 物質は（多くの場合）原子が周期的に並んで構成されています。その構造を理解するための基本的モデルです。	  

格子って何？

 やはりシュレーディンガー方程式を考えるのかな？	  
 格子上のラプラシアンを考えるんですが、それは偏微分方程式ではなくて、いわば偏差分方程式になります。これもなかなか大変です。

六角格子

カゴメ格子ダイヤモンド格子（六角格子の３次元版）

ダイヤモンド
格子を別の角度から見ますとグラファイト逆問題研究推進室の人たちは 磯崎（シュレーディンガー方程式）、千原（多様体上の偏微分方程式・幾何解析）、金子（数論）	   青嶋（統計解析）、秋山（エルゴ―ド理論）、田崎（積分幾何）お互いの仕事にこんな関係があります 秋山先生、金子先生の仕事は物理とこう関係します	   秋山先生

準結晶	   金子先生

数論－

準結晶の背後にある力学系と関連

準結晶

ペンローズのタイル

タイルをつないでいくと

青嶋先生は統計解析をやっておられるんですが データから元の集団を推定するのがまさに逆問題です。	  
 高次元小標本統計に関する画期的な仕事で日本統計学会賞を受賞しておられます。	  
 ビッグデータを扱う統計理論が現在、求められています。

高次元現象を解明する統計数理モデルの創生  （青嶋  誠、矢田和善）
1.	  大規模複雑データの数理統計学を土台から構築	    （データの幾何学的表現に基づく新たな漸近理論の創生）	  2.	  大規模複雑データの高精度可視化（次元圧縮）法を開発	      （ビッグデータを含む多様な高次元データに適用できる手法の開発）	  3.	  大規模複雑データの統計的な信頼性保証付きモデリング	  	  	  	  	  （最適性と信頼性保証の両面からモデル評価法を開発）	  4.	  大規模複雑データを高速に処理するソフトウエアの開発	  	  	  	  	  （データの可視化・モデル化・評価を高速に処理するソフトを開発）	  5.	  生命・自然・社会現象における数理モデルの導出と統計的評価	  	  	  	  	  	  	  （遺伝子、医学、生体、環境、年金、金融、経済などの大規模複雑データに0潜む	  潜在モデルを高速で推定し、高精度な統計的推測を実現するパッケージを提供）
世界最先端の研究を行う。国内外のトップ研究者を招聘して国際ワークショップを開催し	  討議を重ねる。本年度は、11月10日～12日に下記ワークショップを筑波大学で開催する。	  
(詳細サイト：

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~aoshima-­‐lab/jp/symposium.html	  )	   渦糸に対する数学というのがあります。	  
 それを扱うのに好適な幾何学的背景をもった連立偏微分方程式系の理論をうちたてられました。	  

千原先生は幾何に関連した解析学です もっと詳しくいえばシュレーディンガー写像等の分散型偏微分方程式系にしたがうある種の多様体の間の写像流の初期値問題です。	  
 フーリエ積分作用素とよばれる積分変換が、数学分野の超局所解析のみならず工学系分野である信号処理等においてもわかりやすくて強力な手法になりつつあります。ユークリッド空間上でのさらなる発展やある種の非ユークリッド空間での新展開を考えています。

 現実の対象の量等を測定するときに、求めたいものそのものを測定できることは稀です。
 逆問題ではしばしば空間の中に曲線を考え、その曲線上での積分値から空間内のいろいろな量の分布を知ろうとします。	  

田崎先生は積分幾何学ですが その重要な例がコンピュータ断層撮影の基礎になっているRadon	  変換です。
 地震波の伝播時間から地球内部を知ろうとする  travel	  time	  tomography  も古典的な問題です.	  
 このような問題で積分幾何学の考え方や手法が重要な役割を果します。	  
 ここで道具として幾何解析が有用なのです。

	   小さなヒントが長い間のテーマになることがあります。	  

連携サロンというのを考えています。

 数学とその他の二分野の講師が  30分程度話題提供を行うという合同講演会を企画しています。	  
 各講演後はささやかなティーパーティーで少しゆっくり話をしたいのですが。

 定理を生産できる大学院生を作り出すのが大学院の役割だったが、それだけでは難しい。	  

大学院教育にも影響あり 社会でそのまま使える数学はめったにない。	  
 むしろ、「なんとかする能力」をもった学生を作り出せるようにできないか。	  
 そのような学問の姿を見せられないか。

 Ｄ.	  Mumford	  and	  J.	  Shah,	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  Optimal	  approximation	  by	  piecewise	  smooth	  functions	  学生とともに読みたい論文（例えば）	  	  	  	  	  	  	  	  and	  associated	  variational	  problems,	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  CPAM.	  42	  (1989),	  577-­‐685	   E.	  J.	  Candes	  and	  T.	  Tao,	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  Robust	  uncertainty	  principles	  :	  exact	  signal	  reconstruction	  	  	  	  	  	  from	  highly	  incomplete	  frequency	  information,	  	  	  	  	  	  	  IEEE	  Tarns.	  Inform.	  Theory	  52	  (2006),	  	  489-­‐509