①②

ラージNゲージ理論の部分閉じ込め
渡辺展正(物理学専攻D3)
MainlyHanada, Ishiki, HW, [JHEP 03 (2019) 145]

HW, Bergner, Bodendorfer, Funai, Hanada, Rinaldi, Schafer, Vranas, [JHEP 02 (2021) 004]

2021年度 第2回 宇宙史研究センター 成果報告会

準備)

場の量子論, ゲージ理論

場の量子論 = 特殊相対論 + 量子力学
時空の各点に「場」を定義
対称性などに基づいて理論(Lagrangian/Hamiltonian)を構築• Lorentz 対称性, 他の大域的な対称性• スピンと統計性• ユニタリティ• …
ゲージ理論 = ゲージ対称性を持つ理論(局所的な対称性)

自然界の相互作用を記述することに成功• 電磁気力、弱い力、強い力→ ゲージ場の量子論として記述• 重力2 / 13→ 量子論は未完成だが、一般相対論(ゲージ理論)で記述

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①, ラージNゲージ理論とは？
QED(量子電磁力学) : U(1)ゲージ理論,

ψgauge ﬁeld (photon)

electron/positronAμ11 Aμ12 Aμ13Aμ31Aμ32Aμ33

gauge ﬁeld (gluon)

SU(Nc) ゲージ理論,: Nc colorse

3色の色荷(:colors)

q1q2q3Aμ21 Aμ22 Aμ23e−e−Aμ = (ϕ, Ai)
QCD(量子色力学) : SU(3)ゲージ理論,

3 / 131つの電荷(磁荷)−Aμq3

Aμ23q2Aμ12q1quark

Aμ11

⋯

Aμ1N

⋮
AμN1⋱⋯⋮
AμNNe−Ψ11⋯

Ψ1N⋮
ΨN1⋱⋯⋮ΨNNAμ31Φ1⋮ΦN

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②, 閉じ込めと非閉じ込め相転移例) 有限温度系でのQCD
QCD相構造の予言

低温ハドロン相：閉じ込め相Confined

ある温度以上で、自由度が爆発的に増える

From [Fukushima, Hatsuda, (2011)]• 格子QCDの計算• 高エネルギー重イオン衝突実験•…
高温

4 / 13

QGP相：非閉じ込め相

Deconfined

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ラージN理論での非閉じ込め非閉じ込め相転移のメカニズムを理解したい →large N SU(N) ゲージ理論へ• キネマティカルに判定可能[Witten, (1998)]

自由エネルギーが相を区別する秩序変数となる

F ∼ O(N 0) : Confined← color singletsが効く (e.g. glueball)F ∼ O(N 2) : Deconfined← 全てのcolor dof が効く (e.g. QGP)

• Large N 極限では、鞍点近似(≈平均場近似)が厳密な結果となる• 有限体積 / 弱結合な理論 (1/R ≫ ΛQCD)でも起こる[Sundborg, (1998)/Aharony, Marsano, Minwalla, Papadodimas, V.Raamsdonk, (2003)]• Large N 極限が熱力学極限の役割 (相転移は「無限自由度の協働現象」)• 相互作用が強いことが閉じ込めの本質ではない•超弦理論との関係性
5 / 132021年度 第2回 宇宙史研究センター 成果報告会

ホログラフィー, ゲージ/重力対応
超弦理論の異なる記述から得られる双対性

場の量子論

重力理論

(ゲージ理論)(一般相対論)

時空の次元：等価

高次元

低次元：低次元理論に高次元の情報が「ホログラム」のごとく埋め込まれているe.g.)

非閉じ込め相転移

ブラックホールの生成/蒸発(ゲージ理論の統計力学)(ブラックホールの熱力学)

𝒩 = 4 Super Yang-Mills theory on S3IIB SUGRA on AdS5 × S5

[Maldacena, (1997)/Aharony, Gubser, Maldacena, Ooguri, Oz, (1999)]

6 / 132021年度 第2回 宇宙史研究センター 成果報告会

重力理論側の解析では、(IIB superstring on AdS5 × S5)[Maldacena, (1997)/Aharony, Gubser, Maldacena, Ooguri, Oz, (1999)]

状態方程式

zE(T )

cLarge BH(wrapped on S5)

String (graviton) gas: 非閉じ込め相

T2

T1

T

Small BH
(localized on S5): 閉じ込め相c
Hagedorn string（c.f. 常圧, 0℃付近の水/氷）Q, ゲージ理論側での「中間領域」の対応物は？
Q, 健全な場の量子論で、負の比熱を扱うことが可能なのか？
small black hole は負の比熱を持つ→ A(の1つ),7 / 13部分閉じ込め

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部分閉じ込め (Partial Conﬁnement)
相転移点(付近)で、閉じ込め/非閉じ込め 領域が共存する現象
解析計算:[Hanada, Ishiki, HW, (2018)/Hanada, Jevicki, Peng, Wintergerst, (2019)/Hanada, Robinson, (2019)]
数値計算:[HW, Bergner, Bodendorfer, Funai, Hanada, Rinaldi, Schäfer, Vranas, (2020)]

直観的説明 : c.f.) [Hanada, Maltz, (2016)]• 場(N × N 行列)の各成分 ≈ 調和振動子)(M : 共存の割合)

非閉じ込め相: 励起状態

M

M{

N−M {

N−M{

(部分閉じ込め相では一部が励起{(閉じ込め相) : 基底状態(零点振動)()• 温度 ≈ 単位自由度あたりのエネルギー((8 / 13))

T ∼ E/N 2,T′ ∼ E′/N 2ET∼ 2M (E)N 2 を固定、E′ < E ならば常に T′ < T
自由度の数 M 2 が変化すると温度減少時にエネルギーは増加しうる

比熱 ∂Eが負になりうる∂T
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「部分閉じ込め」の見方(例)(P)
PolyakovloopとPolyakovlinephaseの分布関数
ρ(θ)•(θi : ゲージ場の固有値)

β1
1 N iθj
P = Tr 𝒫 exp i dt At =e ≈ dθ ρ (P)(θ) eiθ∫N[ ∫0] N∑
j=1

ρ(θ)

P=0

ρ(θ)

P≠0ρ(θ)Hagedorntransition−πconﬁnedπGWWtransition−ππ−ππ“completely-deconﬁned”“partially-deconﬁned”

Gross-Witten-Wadia相転移[Gross, Witten, (1980) / Wadia, (1980)]

M{N−M {

(N−M

{9 / 13M{M
M (P)
(P)
(P)
ρ (θ) = 1 −ρcon(θ) + ρdec(θ)(N)N)

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行列模型での検証[HW, Bergner, Bodendorfer, Funai, Hanada, Rinaldi, Schäfer, Vranas, (2020)]

Gaussian matrix model (I = 1,2) : シンプルだが部分閉じ込めを起こす模型

E /N 2 & | P |11 22S = N dt Tr (Dt XI ) + XI
[2∫02 ] ( XI : N × N エルミート行列 )β(P)Polyakovloopと分布関数
ρ(θ)•Tc = T1 = T2

[Hanada, Jevicki, Peng, Wintergerst, (2019)]

1M 11M(1 + 2P cos θ) = 1 −⋅+⋅ (1 + cos θ)ρ (θ) |T =c)(2πN
2π N 2π

T

(P)

(P)
= ρcon(θ)

M
P =0+2N

M
M(X)
(X)
(X)
ρ (x; M )= 1−
ρdec(x)ρcon (x) +(N) ](N)
T=Tc[⟨x ⟩□ = ∫ dx x ρ□ (x),22 (X)2: variance(赤点)での分布:Hagedorn相転移点(青点)での分布• スカラー場の自由度の分布関数による期待値と接続2(P)(θ) :GWW相転移点= ρdec(解析的に得られる結果)(x ≡ { NXI,ii,)
2NReXI,ij,2NImXI,ij}(i > j)分布の形は解析的に求まらないため、モンテカルロシミュレーションより求める

10 / 132021年度 第2回 宇宙史研究センター 成果報告会

0.8

(X)
ρcon
(x)

0.6

0.8

ρ(X)con(x), (M,M')=(16,24)

0.6(M,M')=(24,30)

0.4

0.4

0.2

0.2

00.05
00

-0.05

-0.05
-2-1

01

x

2

3

L=24, ρ(M,M')=(16,30)(X)

ρ(M,M')=(24,30)

con

(X)

dec

0.6

0.4

00.05

(X)
(X)
con(16,24)-ρ con(24,30)

ρ-3(X)
ρdec(x)(M,M')=(16,30)

0.8

ρ(X)dec(x), (M,M')=(16,24)(X)(X)
dec(16,24)-ρ dec(24,30)

0.2ρ

-3-2-1(N=32, L=24 @ T=Tc)

01x

20-33-2-10

1

x

2

3varianceの値は解析結果と一致+α) Yang-Mills matrix model (I = 1,⋯,9) : 強結合な理論/超弦理論の文脈で重要

1
122
S = N dt Tr (Dt XI ) − [XI, XJ]][2∫04β(N=64, L=24 @ T=0.885)
0.6(X)
ρcon
(x)

(X)

con(x), M = 160.8

M = 32M = 48

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

11 / 13-10x12-0.01-20.03(X)dec(x), M = 16

M = 32

0.02

M = 480.01
0-0.01

ρ(X)dec(M=16)-ρ(X)dec(M=32)
ρ(X)dec(M=16)-ρ(X)dec(M=48)00-0.005
-2(X)
ρdec
(x)

00.01

ρ(X)con(M=16)-ρ(X)con(M=32)
ρ(X)con(M=16)-ρ(X)con(M=48)

0.005

ρ

ρ(X)dec(x)-ρ(X)con(x)

0.8

ρ

-1

0x

1

M = 16-0.02

2-0.03-2

M = 32
M = 48-10x

12

2021年度 第2回 宇宙史研究センター 成果報告会まとめ•Large N ゲージ理論の非閉じ込め相転移が研究されてきた• 閉じ込め機構に対する理論的な興味

E(T )• 非閉じ込め相転移は超弦理論の文脈でc

高次元ブラックホールの転移に対応• 相転移の過程で部分閉じ込めが起こる

T•部分閉じ込めが起こる模型を解析的/数値的に調べた• 2つの相転移により隔てれられた相として存在• GWW相転移の物理的意味を強調• 負の比熱を表現するポテンシャルを持つ• 強結合な理論でも発生する
12 / 13()2021年度 第2回 宇宙史研究センター 成果報告会

今後の展望•これまで扱ってきた模型は「一次相転移」を示す• カノニカル分布の取り扱いでは、準安定相にあたる• 主に行列場のみを含む理論を考察→ベクトルスカラー場を導入し、理論の相構造を変化させた模型を調べる[HW in progress]•超弦理論の文脈で物理的意味が明確な行列模型での解析[Bergner, Bodendorfer, Hanada, Pateloudis, Rinaldi, Schäfer, Vranas, HW, (2020)]• 格子モンテカルロ計算により、“閉じ込め相” を発見• 超弦理論/M理論の対応関係に迫れる？

•4次元QCDなど現実世界での現象への適用は？
13 / 132021年度 第2回 宇宙史研究センター 成果報告会