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域で最大点を探すかによって推定される生成源が異なったものになってしまうわけだ。
（意外と気付かれていないような気がするが）実はこの一見して矛盾した現象は，確率ではなく確率密度関数の最大点を求めようとしていたことに起因する。確点推定における意外な落とし穴
亀岡弘和（東大/NTT）

率密度関数は値自体には確率としての意味はなく，今回，せっかく本誌のエッセイを書く機会を与いう意味はないのである。事実，もし θ が離散量えられたので，以前ふと気になり出して今なおモであれば上記のような不具合は起こらない。それヤモヤしていることについて書きつづってみたいは p(θ|X) が確率密度関数ではなく確率になるからと思う。

だ。また，最小平均二乗誤差（MMSE）推定もよく積分したときに初めて確率としての意味を持つものである。従って，その最大点には「最大確率」と統計推定には点推定というクラスがある。最尤

知られる点推定の一種であるが，MMSE 推定にお推定や最大事後確率推定がこれに該当し，広く使いても上述のような不具合は起こらない。MMSEわれている未知量の推定方法である。具体的には，推定量は条件つき期待値 E[θ|X] で与えられ，確所与のデータ X の確率的な生成源のモデル p(x|θ)

率密度関数を積分して得られる量だからだ（詳細を立て，X を最もよく説明する生成源モデルのパラは省略するが E[θ|X] = E[ α|X] が言える）。

√メータ θ の値を推定することをいう。特に，p(θ|X)θ が連続量の場合の最大事後確率推定又は最尤が最大になる θ を推定することを最大事後確率推推定は広く用いられているが，上述の問題は必ず定という。p(X|θ) が最大になる θ を推定するこ

しも意識されてこなかったように思う。私もあるとを最尤推定というが，p(θ|X) ∝ p(X|θ)p(θ) な

ときにふと気付くまでは意識したことすらなかっので，最大事後確率推定において p(θ) を一様分布たが，今では無性に気になってモヤモヤしている。とした場合の特殊ケースに相当する。

皆様はどうだろうか。本エッセイを通して，点推さて，本題に入ろう。θ が連続量の場合，p(θ|X)

定に関して一考するきっかけとなれば幸いである。

は確率密度関数になるが，θ の最大事後確率推定値はその最大点 θ̂ になる。このことは，教科書にはごくごく当たり前のことのように書かれていて，あるときまで私も疑いなくそういうものだと受け入れてきたが，θ を変数変換してみると実はおかしなことになることに気付く。今，簡単のため 1 変数の場

「ブラックジャック」，手塚治虫著，秋田書店
鈴木久晴（日本エヴィクサー）合を考え，例えば，α = θ 2 と変数変換してみよう。

先日，友人の息子さんが中学生になりました。

単に変数 θ を α に置き換えただけで，生成源のモ小さい頃から私をとても慕ってくれて，今でも直デルとしては本質的には何も変わっていないはず

接 LINE をくれるような仲だったので，何かお祝いであるから，θ の推定値を θ̂ とすると，α の推定値でもと悩んでいました。私が子供の頃は読書が大α̂ はその平方根となると考えるのが自然であろう。

嫌いで，お祝いに児童文学の文庫本とかいただい

しかし，実際にはそうならないのである。例えばても当時はあまり喜べなかったのを思い出し（名もし p(θ) ∝ 1（一様分布）のとき，dα = 2θdθ より作を読んでおくのはもちろん後でとても役に立つ

1√p(α) ∝ 2 α となる。つまり p(α) は一様分布ではなく α = 0 に近いほど大きい値をとる分布になる。
√
一方，p(X|α) は p(X|θ) において θ を α に置き換えたものになるので，p(α|X) ∝ p(X|α)p(α) を最大にする α は，p(θ|X) ∝ p(X|θ)p(θ) を最大にする θ の平方根に比べ，α = 0 に寄った値になる。のですが），「そうだ漫画だ」と思っていろいろ悩仮定しているのは同じモデルのはずなのにどの領いブラックジャックのキャラ設定になんとも言えんで贈ったのが手塚治虫先生の「ブラックジャック」です。とても有名な作品なので今更という感じもありますが，凄腕の外科医ブラックジャックと登場人物が織りなす様々な人間ドラマが見所の作品で，夏でも黒いコート，一見冷徹だが心温か672

日本音響学会誌 70 巻 12 号（2014）

ない魅力があります。

いる電波は，導電率のある媒質中を伝搬すれば損私が一番好きなエピソードが「助け合い」という失を受けることになるので，距離と共に徐々に減エピソードです。海外で，ブラックジャックが殺人衰します。導電率が大きいほど減衰が大きいので，容疑をかけられる危機に陥ってしまいます。その水よりも海水の方が減衰は大きくなります。水中

窮地を救うのが日本から出張に来ていた会社員で，や海中の減衰は，空中の電波の減衰と比較すると帰国の飛行機をドタキャンしてまで警察に行って格段に大きいので，その比較から「水中では電波証言し，ブラックジャックの無実を証明するのでが伝搬しない」と強調して説明されることがありす。「あなたに何かあったら，私は必ず助けます」

ます。しかし，まったく伝搬しないわけではない

そう約束してブラックジャックと会社員は空港でので，距離が短ければ水中でも電波の伝搬を検出別れるのです。ほどなくして，彼が会社の紛争にすることができます。

巻き込まれて自殺を強要されてしまい，瀕死の状

海水は淡水に比べ導電率が大きいので，減衰も態に陥ってしまいます。それをテレビのニュース

大きく，伝搬はより困難となります。減衰は導電で聞いたブラックジャックが，すごい勢いで彼を率だけではなく，周波数にも依存し，周波数が大き助けに行くのです。レンタカー屋に飛び込んで車いほど，減衰も大きくなります。100 MHz 程度まを札束で購入，途中でモーターボートに乗り換えでの電波では，減衰は周波数の 1/2 乗に比例するて病院に向かう。もちろんモーターボートなんてので，周波数を 1/100 にすれば，伝搬距離は 10 倍いきなり買えないのですが，スーツケースいっぱ大きくなります。例えば，10 kHz の電波では海面いの現金で購入。病院について，ブラックジャッから 5m の深度で，海面から入射したエネルギークの執刀を渋る院長，そこも現金一括 20 億円で病は 1%程度に減少してしまいますが，100 Hz では院を購入，自分で執刀して見事に彼を救ってしまう

エネルギーが 1%程度に減少する距離は 50 m とのです。更に粋な計らいもあるのですが割愛して，増加します。周波数が低くなれば波長が長くなる

なぜここまでしてくださったんですかという彼のため，アンテナの長さも大きくする必要はありま

最後の一言に「お互い様でさぁ，あなたに助けられすが，深度に応じて適当な周波数を選べば，あるたときはもっとうれしかった」の一言。小学生だっ程度の深さまでは受信が可能と考えられます。海た私に，大切なことを教えてくれた一話でした。

水中のみの通信であれば音波を利用した方が減衰

最近になって，友人の息子さんと LINE で感想

は小さく長距離の伝搬が可能ですが，電波を空中を聞いてみました。
「今までとなんか違う面白さだを長距離伝搬させ，海中の航走体など海中の機器よ！」と。僕の伝えたかったことは，なんとなくまで届かせようとすれば，周波数の低い電波を用伝わっているのかも知れません。彼がもう少し大いることが必要となります。
（蜂屋弘之：東工大）

人になったらまた話してみたいと思います。

—原稿募集—「コーヒーブレーク」
欄は会員の情報交換の場として，より親しく利用していただこうという欄です。内容は問いま

水中では電波が伝搬しないのはなぜでしょせん。自由なご意見，提言や反論，質問や回答など何でも結構です。

うか？ 一方，潜水艦などでは，電波による通信投稿要領がなされていますがなぜ可能なのでしょうか？

番号，コーヒーブレーク欄への投稿であることを明記。本

10 字程度の表題，氏名，勤務先，部課名，電話文は 22 字×40 行以内。原稿は編集委員会で検討の上順次

真空中では導電率が 0 ですが，水や海水では，約 5 S/mそれぞれ 5.5 µS/m（理論純水，25°C）と値を持つことになります。通常の水は，わずかですが様々な物質が溶け込んでいるので水道水で10 mS/m 程度と導電率は純水より大きな値となります。3 THz 以下の電磁波と電波法で定義されて掲載。編集委員会で手直しすることもあります。掲載は無料。投稿はなるべく e-mail でお願いします。
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