平成 22 年度

入学者選抜学力試験（前期）数学

注 意 事 項

1．試験開始の合図があるまで，この問題冊子と解答冊子を開かないでください．
2．問題は必須問題と選択問題に分かれています．ページ番号のついていない紙は下書き用紙です．

3．必須問題は 3 問あります（1 ページ）．選択問題は問題範囲ごとにそれぞれ 2 問ずつあります．数学 II・数学 B の問題は 2 ページから 3 ページに，数学 III・数学 C の問題は 4 ページにあります．

4．解答冊子は，必須問題用と選択問題用の 2 冊に分かれています．それぞれの解答冊
子の表紙の所定欄に氏名と受験番号をはっきりと記入してください．

5．選択問題は解答する問題範囲を選び，選択問題用解答冊子の表紙の解答問題欄の選択欄に○印を記入してください．○印を記入していない場合，または複数の問題範囲に○印を記入した場合は，0 点となります．

6．下書き用の計算用紙は解答冊子の中に綴じてあります．
7．試験中に問題冊子の印刷不明瞭，ページの落丁・乱丁および解答用紙の汚れ等に気がついた場合は，静かに手を上げて監督員に知らせてください．

8．試験終了後，問題冊子は持ち帰ってください．
9．解答時間は 120 分です．
10．問題ごとに配点が記されています．

必須問題I 以下の問いに答えよ．（配点 60 点）
問 1 a > 0, b > 0 に対して，次の命題が成り立つことを証明せよ．

a2 − b2 > 0 ならば a − b > 0 である．
問 2 実数 x, y が xy > 0 をみたすとき，不等式 |x + y| > |x − y| を証明せよ．

II a を定数とするとき，関数 f (x) = 22x − (4 + a)2x+1 + 16a について，以下の問いに答えよ．（配点 60 点）

問1 a = −1のとき，f (x) = 0 をみたす x を求めよ．
2

問 2 a > −4 のとき，f (x) の最小値を a で表せ．

1 3 a 2 a3x − x −について，以下の問いに答えよ．ただし，a > 03212とする．（配点 60 点）

III 3 次関数 f (x) =問 1 f (x) の極大値と極小値を求めよ．
問 2 f の導関数 y = f ′ (x) のグラフの接線で，x 軸に平行なものを求めよ．
問 3 問 2 で求めた接線と y = f (x) のグラフが，共有点をちょうど 3 個もつような a の値の範囲を求めよ．

必須問題は，このページで終りである．
— 1 —選択問題 (数学 II・数学 B)
I 以下の問いに答えよ．（配点 60 点）
問 1 三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．

α+βα−βsin
22sin α − sin β = 2 cos

問 2 次の不等式を証明せよ．

|sin α − sin β| ≦ |α − β|
必要ならば，実数 θ に対して成り立つ不等式 | sin θ| ≦ |θ| を用いてよい．
問 3 数列 {an } を，次の条件によって定める．

a1 =π,2

an+1 =1πsin an +22( n = 1, 2, 3, · · · · · · )

このとき，次の不等式を証明せよ．

|an+2 − an+1 | ≦1|an+1 − an | ( n = 1, 2, 3, · · · · · · )2問 4 問 3 の数列 {an } に対して，次の不等式を証明せよ．

|an+1 − an | ≦(12)n( n = 1, 2, 3, · · · · · · )— 2 —II 座標平面上の直線 y = x を ℓ とし，2 点 A (1, 0), B (2, 0) を考える．直線 ℓ 上を動く点を P (p, p) とする．また，PQ は点 P と点 Q の間の距離を表すとする．このとき，以下の問いに答えよ．（配点 60 点）

問 1 直線 ℓ 上のすべての点 P に対して，PA = PC となるような y 軸上の動かない点 C の座標を求めよ．
問 2 PA + PB が最小となるような点 P の座標を求めよ．
問 3 a は実数とする．直線 ℓ 上のすべての点 P に対して，
22a · PA + (1 − a) · PB > 0となるような a の値の範囲を求めよ．

数学 II・数学 B の問題は，このページで終りである．
— 3 —選択問題 (数学 III・数学 C)I 座標平面上の曲線 y = ex − 1 を C とする．曲線 C と 2 直線 y = 0, x = t で囲まれる部分の面積を S1 とし，曲線 C と 2 直線 y = 2, x = t で囲まれる部分の面積を S2 とする．ただし，0 < t < log 3 とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（配点 60 点）

問 1 S1 = S2 となるときの t の値を求めよ．
問 2 S1 + S2 が最小となるときの t の値を求めよ．
II 行列 A = 

1 −1a（配点 60 点）

 について，以下の問いに答えよ．ただし，a > 0 とする．

0

問 1 A の逆行列を求めよ．

1上のある点が，点 (−1, 1)x−1に移されるとする．このとき，a の値を求めよ．

問 2 A の表す 1 次変換によって，双曲線 y =数学 III・数学 C の問題は，このページで終りである．
— 4 —2010 Entrance Exam
平成 22 年度 入学者選抜学力試験 （前期）

English英語注意事項1. 試験開始の合図があるまで，この問題冊子と解答冊子を開かないでください．
2. 問題は 1〜9 ペ−ジにあります．ペ−ジ番号のついていない紙は下書き用紙です．

3. 解答冊子の表紙の所定欄に氏名と受験番号をはっきりと記入してください．
4. 試験中に問題冊子の印刷不明瞭，ペ−ジの落丁・乱丁および解答用紙の汚れ等に気がついた場合は，静かに手を上げて監督員に知らせてください．

5. 試験終了後，問題冊子は持ち帰ってください．
6. 解答時間は 90 分です．
7. 辞書を使用することができます．
8. 問題ごとに配点が記されています．
9.

Part 1 の英文読解の問題の配点は 60 点です．

10. Part 2 から Part 5 の英作文の問題の配点は 140 点です．

Part 1

Reading Comprehension

Read the following article and answer the questions (1)–(6). (配点 60 点)

A library has traditionally been a place for archiving materials such as books, journals
and published records. Recently libraries have been undergoing a remarkable transformation mainly due to the proliferation of digitized information on CD-ROMs, DVDs,
and the World Wide Web.
Many years ago the role of the library was to store hand-written manuscripts andimportant documents. Thomas Frey of the daVinci Institute explains: ⃝1 “In medieval
times, books were valuable possessions far too expensive for most people to own. As aresult, libraries often turned into collections of lecterns with books chained to them.”Throughout history there have been many famous libraries. Alexandria in Egypt had
the largest library in the ancient world with over 500,000 scrolls. Religious and scientiﬁcbooks of the Middle East were archived in Persepolis, Iran. The ﬁrst library classiﬁcation
system for managing scrolls and books was implemented at an ancient library in China.
In order for ordinary people to look at books the government of the Roman Empire
established the ﬁrst public libraries over two thousand years ago. Over many centuries
though, even these public libraries became the possession of the rich and powerful.
However, a dramatic change occurred in the year 1455 when Johann Gutenberg invented
the printing press. By 1500 over 500,000 books had been printed. Once again, thegeneral public had access to information in text and pictures.
A modern transformation of libraries occurred around the end of the nineteenth century.
Andrew Carnegie, an American philanthropist, provided money to build 2,509 libraries,of which 1,689 were built in the USA. As entrance to these libraries was free, books
became more accessible to the general public.
Another remarkable transformation in the history of libraries is happening today. Progressive libraries include cafés, sofas, computers connected to the Internet, access to
expensive databases of academic information, wireless access for personal devices suchas laptops, and play areas for children. Libraries are also recognizing digital online— 1 —media such as audio Podcasts and YouTube videos, along with vast amounts of online
text in Web pages or online journals. The ubiquity of technology in modern society
is also allowing people to access information from computers and mobile phones fromalmost anywhere and at anytime. Consequently, no longer is information only available
within the walls of a library building.
The Internet has certainly made people today much more informed than previous
generations. However, people now complain of information overload. Subsequently,
new skills for searching, managing and evaluating the information are required in thisDigital Age. ⃝2 For example, searching the Internet for the population of Tokyo reveals
not one single answer but many, diﬀerent answers. Which answer is correct? Evaluating
the sources of the information has become very important. One answer may be fromthe Tokyo Metropolitan Government Website, another answer may be from the Website‘citypopulations.com’, and another answer could be from an environmental Website.
The most reliable source, in this case, would be the Tokyo Metropolitan Government
Website. However, you should not dismiss the other Websites as there are various
methods for measuring the population of a city. In other words, the days of the one
single, absolutely correct answer are over.
In conclusion, as technology develops rapidly so will access to information. Libraries ofthe future will therefore be very diﬀerent. They will not only be spaces for quiet reading
but vibrant spaces for active learning, information seeking and social interaction.

— 2 —

(1)

この記事の標題として最も適切なものを，以下の選択肢の中から一つ選び，記号で答えよ．

a. Libraries of the past.
b. Libraries from the future.
c. Libraries transforming with the times.
d. Libraries as changeless institutions.

この記事では，なぜ，正しい答えが一つだけの時代は終わったと述べているの(2)

か．その理由として最も適切なものを，以下の選択肢の中から一つ選び，記号で答えよ．

a. There are over 500,000 books in print.
b. There is now a lot of accessible information available.
c. China, Egypt, Iran and USA are printing diﬀerent books.
d. The Tokyo Metropolitan Government provides the most reliable answers.

この記事で述べられている，いつでも，どこからでも人々が情報にアクセスで(3)

きるようになった理由として，最も適切なものを，以下の選択肢の中から一つ選び，記号で答えよ．

a. Because a lot of information is on DVDs.
b. Because information is contained within the walls of a library.
c. Because many people have portable, networked technologies.
d. Because Tokyo libraries are open seven days a week.

(4)

この記事の内容に合致しないものを，以下の選択肢の中から一つ選び，記号で答えよ．

a. There were more than ﬁve hundred thousand scrolls in Alexandria.
b. There were more than ﬁfty thousand books printed by 1500.
c. Johann Guternberg’s press started printing in fourteen ﬁfty.
d. The Carnegie endowment enabled more than two thousand ﬁve hundred
libraries to be built.

— 3 —

(5)

下線部⃝
2 を日本語に訳せ．
下線部⃝
1 “In medieval times, books were valuable possessions far too expensive(6)

for most people to own. As a result, libraries often turned into collections oflecterns with books chained to them.” の中の ‘As a result’ の原因となったのは何か．以下の選択肢の中から最も適切なものを一つ選び，記号で答えよ．

a. Medieval times.
b. Books people owned.
c. Lecterns with books chained to them.
d. The cost of books.

— 4 —Part 2

Questions about a Japanese text

Read the following article and answer the questions (1) – (3) in English. (配点 30 点)

著作権保護のため問題文（第３章「情報洪水の中で」の「４ インターネット」）は省略してあります（徳田雄洋「デジタル社会はなぜ生きにくいか」，岩波新書より）

— 5 —

(1)

According to the article, what are the characteristics of Internet Website access?

(2)

According to the article, what rule was discovered by the economist Pareto?

(3)

According to the article, describe a case in which access to the Internet becomesdiﬃcult.

— 6 —Part 3Opinions

The article in Part 1 showed that libraries are changing from quiet reading
places to social spaces with cafés and multimedia.

Write one paragraph(between 60 to 90 words) with examples that support your personal opinion
about this change. (Write in English) (配点 40 点)— 7 —Part 4

Explanatory Skills

The article in Part 1 showed that libraries have transformed over many
centuries. Write one paragraph (between 60 to 90 words) explaining one good
point and one bad point of a library you have used. (Write in English) (配点 40 点)— 8 —Part 5

Personal Response

The articles in Part 1 and Part 2 are about libraries and access to information.
Think about your life and write one paragraph (between 60 to 90 words)
describing how a library has helped you learn something. (Write in English)(配点 30 点)— 9 —