A NNALES SCIENTIFIQUES DE L’É.N.S.

P IERRE B ERTHELOT
Théorie de Dieudonné sur un anneau de valuation parfait
Annales scientifiques de l’É.N.S. 4e série, tome 13, no 2 (1980), p. 225-268<http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1980_4_13_2_225_0>© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1980, tous droits réservés.
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Ann. scient. Èc. Norm. Sup.
4e série, t. 13, 1980, p. 225 à 268.

THEORIE DE DIEUDONNÉSUR UN ANNEAU DE VALUATION PARFAITPar PIERRE BERTHELOT ( 1 )Soient S un schéma normal connexe, K le corps des fonctions rationnelles sur S, G et H
deux groupes p-divisibles sur S, de fibres génériques G^ et H^. D'après un théorème bien
connu de Tate ([2l], [22]), l'homomorphisme canonique
Hom (G, H) ^ Hom (GK , H^ )est un isomorphisme lorsque K est un corps de caractéristique nulle. Par contre, on ignore s'ilen est toujours de même lorsque S est d'égale caractéristique p > 0; on sait, d'après
Grothendieck ([20], exposé IX), que ce résultat donnerait par exemple, lorsque S est un trait
hensélien et A un schéma abélien sur K, une méthode pour étendre au cas l = p les critères debonne réduction de A obtenus en termes du module de Tate T;(A) pour l ^ p .
Une façon d'aborder ce problème consiste à utiliser des théorèmes du type « classification
par le module de Dieudonné », analogues aux résultats classiques pour les groupes finis ou
p-divisibles sur un corps parfait, afin de réduire le problème étudié à un problème d'algèbrep-linéaire. Un dévissage standard montre qu'on peut se ramener au cas où S est le spectred'un anneau de valuation discrète complet A, à corps résiduel algébriquement clos. Commenous l'observerons plus bas, il suffit alors de disposer sur S d'un « foncteur de Dieudonné »compatible au changement de base, et induisant sur la clôture parfaite A de A uneéquivalence entre la catégorie des groupes p-divisibles sur A et une catégorie convenable demodules de Dieudonné.
Les trois premières parties de ce travail sont donc consacrées à développer la théorie deDieudonné pour les schémas en groupes commutatifs, finis localement libres sur un anneau
de valuation parfait de caractéristique p (en fait sur une base parfaite dont les anneaux locaux
sont des anneaux de valuation ou des corps). Il s'agit ici d'une extension de la théorie
contravariante lorsque la base est un corps parfait {voir par exemple [6], ou [5]). La principale( 1 ) Laboratoire associé au C.N.R.S., n° 305.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. - 001 2-9593/1980/ 225 /$ 5.00

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difficulté provient de ce qu'il n'est plus possible, sur une base non ponctuelle, de considérer
séparément le cas des groupes unipotents et celui des groupes de type multiplicatif, puisqu'unschéma en groupes fini localement libre n'est même pas en général extension de l'un parl'autre. Il faut donc partir d'une définition unifiée du module de Dieudonné pour les schémasen groupes finis. Partant d'une construction de Barsotti [l], Fontaine a introduit une telle
définition sur un corps parfait en montrant que le module de Dieudonné classique d'ungroupe fini G est isomorphe au module Hom (G, CW), où CW est le faisceau des « co vecteursde Witt », et c'est cette définition que nous adoptons ici. L'utilisation des covecteurs de Witt
est une source de difficultés techniques, qui tiennent à ce que ce faisceau abélien n'est pas
représentable, mais seulement limite inductive de sous-faisceaux d'ensembles (et non degroupes) représentables. C'est pourquoi nous avons regroupé, dans la première partie;
quelques résultats qui montrent que des résultats classiques pour les schémas en groupes
restent valables pour des faisceaux tels que CW. Dans la deuxième partie, nous procédons àl'étude des principales propriétés du module de Dieudonné d'un schéma en groupes finilocalement libre. Le point central est l'exactitude du module de Dieudonné par rapport aux
suites exactes courtes de schémas en groupes; la technique employée consiste à exploiterl'hypothèse faite sur la base pour dévisser les groupes considérés en groupes annulés par F
ou V, et à utiliser l'exactitude du module de Dieudonné de la fibre générique. Inversement,nous construisons dans la troisième partie un schéma en groupes fini localement libre à partirde la donnée d'un module de Dieudonné, en adaptant la construction de Grothendieckdans [11], et en utilisant la théorie de Dieudonné classique sur la fibre générique et la fibre
spéciale. On en déduit alors les théorèmes de classification cherchés : si A est un anneau devaluation parfait, etD^=W(AUF, V]/(FV-p, VF-p),l'anneau de Dieudonné de A, la catégorie des schémas en groupes commutatifs, de /^-torsion,
finis localement libres sur A (resp. des groupes ^-divisibles sur A), est anti-équivalente à lacatégorie des D^-modules à gauche, de longueur constante sur Spf (W(A)) au sens de 3.1.3[resp. libres de rang fini sur W(A) (2)].
Dans une quatrième partie, nous appliquons le résultat précédent au problème duthéorème de Tate en égale caractéristique p\ les deux résultats essentiels obtenus sont alors lessuivants :(a) le théorème de Tate pour les groupes jp-divisibles peut être ramené à un théorèmeanalogue (encore conjectural) pour les F-cristaux sur l'anneau k[[t]\, où k est un corps
algébriquement clos;(b) le théorème de Tate est vrai pour les groupes p-divisibles dont le polygone de Newton
est constant sur S.
Pour obtenir (a), il faut relier la définition du module de Dieudonné utilisée ici à ladéfinition générale du cristal de Dieudonné associé à un groupe p-divisible sur une basede caractéristique p, introduite par Grothendieck ([10], [11]) et Messing ([15], [16]), et étendue( 2 ) Après la rédaction de ce travail, Baldassarri m'a signalé que le cas des groupes p-divisibles connexes sur unanneau de valuation parfait a été étudié par Poletti [23].
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aux schémas en groupes finis localement libres dans [3]. C'est pourquoi, après quelquesrappels sur les cristaux, nous montrons qu'il existe un isomorphisme (a-linéaire) entre lemodule de Dieudonné d'un schéma en groupes fini localement libre (resp. d'un groupe
p-divisible) sur un anneau de valuation parfait A, et son cristal de Dieudonné, identifié à un
W(A)-module. Après avoir prouvé (a) (th. 4.3.3), nous déduisons (b) d'un énoncé
analogue pour les F-cristaux. Ce dernier est alors une conséquence facile d'un résultat dû à
Katz [13], grâce auquel la structure à isogénie près d'un F-cristal sur k [[r]], dont le polygone
de Newton est constant sur Spec(k[[t]]) et de pentes entières, peut être à peu près complètement explicitée en passant à la clôture parfaite de k[[t]].
Signalons enfin, bien que ce problème ne soit pas abordé dans le présent article, que lethéorème de classification prouvé ici sur un anneau de valuation parfait peut être utilisé pourobtenir, par des méthodes de descente inséparable, un théorème de pleine fidélité pour lecristal de Dieudonné associé à un schémn en groupes fini localement libre ou à un groupe
p-divisible sur un schéma lisse sur un corps parfait. Cette question sera traitée dans un article
en préparation avec W. Messing.
Je tiens à remercier ici W. Messing, pour les nombreuses discussions que nous avons eues,en particulier sur le théorème de Tate, et qui sont pour une bonne part à l'origine de cet
article, ainsi que L. Breen, et J.-M. Fontaine, avec qui j'ai eu bien des discussions sur lathéorie de Dieudonné; l'influence de chacun apparaîtra dans ce qui suit.
1. Remarques sur certaines extensions
d'un schéma en groupes fini par les covecteurs de Witt
1.1. Rappelons tout d'abord quelques définitions et résultats dus à Fontaine ([8], II).
Soient A un anneau (commutatif unitaire), R une A-algèbre. On note CW (R), ensemble descovecteurs de Witt à coefficients dans R, l'ensemble des familles (û.;)^^, où les a - i e R
vérifient la condition :(*) il existe des entiers r ^ 0, s ^ 1 tels que, si û^ est l'idéal de R engendré par les a -i pourf ^ r , alors (û,)5^.
Pour r, s fixés, on note CW^s(R) l'ensemble des covecteurs tels que (û^^O. Les
ensembles CW(R) et CW^s(R) sont de façon évidente fonctoriels en R, et
CW(R)=JCW^(R).
r,s

Pour tous r, 5, CW,. s est un foncteur représentable sur la catégorie des A-algèbres :CW^,(R)^HomA,lg(A[X_,],^/(D,) s ,R),où D^ est l'idéal engendré par les X _ ^ , i ^ r. On posera
A=A[X_,],^A^=A/(v,r,Â= limA^s,r,s
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

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P. BERTHELOT

et on considérera À comme une A-algèbre topologique, grâce à la topologie limite projective
des topologies discrètes sur les A^. Si on considère R comme muni de la topologie discrète,
on a donc
CW (R) = Hom cont^ (À, R).
On remarquera enfin que CW est un faisceau sur la catégorie des A-algèbres munie de la
topologie fidèlement plate.
Soit p un nombre premier, et, pour tout n ^ 0, soient S JXo, . . . , X^; Yo, .. ., YJ les
polynômes à coefficients entiers définissant l'addition dans l'anneau des vecteurs de Witt(relatifs à p) à coefficients dans un anneau variable. La suite de polynômes SJX _„, . . . , Xo;
Y _ ^ , . . ., Yo) converge dans À ®^ A vers une serle formelle qu'on notera S (X_^; Y_^.),^o,
isobare de poids 1 par rapport à l'ensemble des variables X _ ^ , Y -^ si l'on affecte X _^. et Y _;du poids p ~ 1 . On définit alors une structure de foncteur en groupes abéliens sur CW en
posant, pour (a_,), (^_,)eCW(R), (ûE-,)+(fc_,)=(s_,),(l.l-l)5_,=S(...,a_,_, . . . , a _ , ...,^-,_, ...,^-,).

Si (a _,) e CW,,, (R), (b _,) e CW,, ^ (R), et si r " = Sup (r, r'), s" = s + s', alors (s _,) e CW,,, ^ (R),de sorte que la structure de foncteur en groupes de CW est définie par une structure de bigèbre
topologique sur À, provenant par passage à la limite projective des homomorphismes\".s" ^ ^ ^ A A , ^ ,définissant les accouplements CW^xCW,., s'^CW^,,. Enfin, lorsque R est decaractéristique p, la multiplication par p dans CW(R) est donnée par(1.1.2)

P(...,û_, ...,ao)=(...,a^_i, ...,^-1).

Supposons maintenant que A soit un anneau de caractéristique p . Pour toute A-algèbre R,
FAsoit R(p) l'anneau R muni de la structure de A-algèbre définie par A -> A -> R, où F^ est lefrobenius absolu de A. On définit alors un foncteur en groupes abéliens CW(P/A) parCW (P/A) (R)=CW(R^).
Le frobenius absolu F^ est un homomorphisme A-linéaire R-^R^), et définit donc un
morphisme de foncteurs en groupes (Frobenius) :F : CW-^CW^,
ces définitions étant du reste valables pour tout foncteur sur la catégorie des A-algèbres. De
plus, comme CW est défini sur Fp, il existe un isomorphisme canonique CW^7^ ^ CW. Si on
note encore F l'endomorphisme de CW obtenu par composition, on a par définition(l-l-3)F((a-i))=(^-,),et F est défini par l'endomorphisme A-linéaire continu de À caractérisé par F ( X _ , • ) = X / 7 , .
Notons que, par construction, le morphisme F : CW -> CW^ commute à tout morphismede foncteurs de but ou de source CW.
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THEORIE DE DIEUDONNE

On définit d'autre part un endomorphisme V : CW -> CW (Verschiebung) de la façon
suivante. Pour tout A-schéma X affine et plat, il existe un carré commutatif ([19], VII^ ,4.2)
fonctoriel en X :

x^

A

X

XZ

VD

pX/A

\(P/^)^•x^/s,.

où F^ est le morphisme de Frobenius relatif de X sur A, A l'immersion diagonale, q lemorphisme de passage au quotient par l'action du groupe symétrique Sp. Pour r ^ 0, s ^ 1,
la loi de groupe sur CW induit un morphisme
fCWV^" r,s/V -> CW^"^psî

qui se factorise par (CW^J^/Sp, et donne un diagramme commutatif

d'où

CW,

(CW^-

(CW^)^-(CW^/S,y• r , s =.,"r^ o Q.
.
T'r,s •

.cw.

CW^^
-> CW
^ — r,s^"'r,ps'Pour r, 5 variable, les V^ se recollent et définissent

y ; cw^ ^ cw.
Par construction, V o F = p , et, par fonctorialité de F, F et V commutent, de sorte que
F o V = p . Utilisant de nouveau l'isomorphisme CW^^CW, on considérera encore V
comme un endomorphisme de CW, additif par fonctorialité. Comme les inclusions W^c±CW^ i <= CW^s correspondent à un homomorphisme injectif de A-algèbres
topologiques : À c; A', où A' est le séparé complété de A pour la topologie admettant les D^comme système fondamental de voisinages de 0, la formule habituelle du décalage pour lesvecteurs de Witt et la fonctorialité de la construction précédente montrent que V est défini parl'endomorphisme A-linéaire continu de À caractérisé par V^ ( X _ ^ ) = X _ ^ _ i ; par suite,(1.1.4)

V ( . . . , a - , , . . . , flo)=(- • . , û - , _ i , . . . , a - i ) .

Si G est un schéma en groupes abéliens affine et plat sur A, tout morphisme de foncteurs(p : CW -> G commute à V, car il suffit de le vérifier pour la restriction de (p aux CW,. 5, ce qui
résulte de la fonctorialité des diagrammes précédents. De même, tout morphisme\|/ : G -> CW commute à V, car il résulte du lemme de Yoneda que l'image de \|/ est contenue
dans l'un des CW,,.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

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P. BERTHELOT

Supposons enfin que A soit un anneau parfait. Soient, pour n ^ 0, P^(X(), .. ., X^;
Yo, . . . , YJ les polynômes à coefficients entiers définissant la multiplication dans l'anneau
des vecteurs de Witt. Si À-=(À-o, À-i, .. .)eW(A), la suite de polynômes Pn^o " ^ • • • •> ^îi "»X-^, . . . , Xo) converge dans À vers une série formelle notée P^(X_^)^o, isobare depoids 1 par rapport aux X _ ^ si l'on affecte X _ ^ du poids p ~l. On définit alors une structure defoncteur en W(A)-modules sur CW en posant, pour (a_^)eCW(R) et ?ieW(A),Ha_,Mc_,),(1.1.5)c-,=P^)(...,a_,-,, ...,fl-,),où o est l'automorphisme de Frobenius de W(A). D'après la propriété d'isobarité de P,
l'idéal engendré par les (û,;)^,. contient l'idéal engendré par les (c -i);^,., de sorte que CW,. s
est stable par les opérations de W (A). Si t e A, et si Fe W (A) est le représentant de Teichmùller
de t, alors :(1.1.6)^(a^^'a-,).

Les endomorphismes F et V sont respectivement à-linéaires et o"1-linéaires pour la
structure de W(A)-module.
1.2. Nous aurons à considérer par la suite certaines extensions d'un schéma en groupes
fini par CW, qui seront seulement des foncteurs pro-représentables, et auxquelles nous
aurons besoin d'étendre des constructions classiques pour les schémas en groupes. Fixons unanneau de base A, et munissons la catégorie des A-algèbres de la topologie fidèlement plate;on peut alors identifier un A-schéma affine au faisceau qu'il représente. Supposons donnés
une suite exacte de schémas en groupes commutatifs affines sur A :uv

0->G'^G-^G"-^0,telle que G' soit fini et plat sur A, et un morphisme de foncteurs en groupes (p : G' -> CW. On
en déduit une extension dans la catégorie des faisceaux en groupes abéliens
O-^CW-^E-^G'^O.
PROPOSITION 1.2.1. — Le faisceau E est réunion de sous-faisceaux représentables E^ 5. Pour
tous r, s, r', s\ il existe r"', s" tels que E^s+E,,,. c= E,»,».
Par définition, E=(CW x G)/G', où G' est considéré comme sous-groupe de CW x G parl'homomorphisme ((p, - u). Soit R' l'algèbre de G'. D'après le lemme de Yoneda, (p est défini
par un élément de CW (R/) = [j CW,. s (R'); par suite, il existe FQ, SQ tels que (p se factorise parr,sCW^^. Donc pour tous r, s, il existe r\ s ' tels que l'action de G' sur CW induise un
morphisme de foncteurs^,:

G'xCW^-CW^.

Ceux-ci sont représentables, et \i^sest un morphisme de schémas. Soit CW^ l'image ferméede H,, s dans CW^^ (qui ne dépend pas du choix de r\ s'). Alors [iy,s est défini par unhomomorphisme d'algèbres^%: A ^ ^ R ' ^ A ^ ,4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

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THEORIE DE DIEUDONNÉet si 1 = Ker (^s), CW^ s est le sous-schéma fermé de CW^ ^ défini par I. D'autre part, il exister"', 5" tels que a^ ,. envoie G'xCW^ dans CW^.^. Considérons alors le diagrammecommutatif
R' Î A A , .
A.../
K}'<

R'Çg^A,,,,/!)- ^AV-r.,s / - /Id(X)^,,,(R^AÎ^^A,,;

où la ïïèche horizontale du bas est injective par platitude de R \ Si
J=Ker(u*,,:A,^,,-^ R'®,, A,,),de sorte que \,, ^ / J ^ A , - ,-/I, on voit que
J c = K e r ( u * ^ :A^. • R ' ® A (A,,./!)),d'où une factorisation de u*^ parA^/I^R^AtV,/!),
qui montre que CW,. 5 est stable sous l'action de G'.
Posons alors F ^ s = C W ^ s x G c= CW xG. L'action de G' sur F,. 5 définit une relationd'équivalence sur ¥ y 5, finie et plate puisque G' l'est. Comme G' et F^ s sont affines, lequotient de ¥ y , s P^ G' est représentable et est affine sur A([19], V.4.1); nous le noteronsE^ s. Il est clair que les E^ s sont des sous-faisceaux de E, et que E est réunion des E^ 5.
La dernière assertion résulte de l'assertion analogue pour les F,. 5, conséquence immédiatede leur définition et des propriétés des CW^s.
Supposons que A soit un anneau de caractéristique p . On définit comme plus haut lefoncteur en groupes abéliens E(P/A), et l'homomorphisme Fg : E -> E ( P / A ) , qui commute à tout
morphisme de foncteurs. Comme le foncteur qui à F associe V { P / A ) est exact dans la catégoriedes faisceaux abéliens,g(P/A) ^C^P/^ >< Q(P/A)\/Q'(p/A)

On peut alors définir le Verschiebung V^ : E^^ -> E par passage au quotient de Vçw x VG .
où VG est le Verschiebung de G, et Vçw celui de CW tel qu'il a été défini en 1.1. Il résulteaussitôt de cette définition et de la fonctorialité de V^w que le diagramme
0————————^(^(P/^————————».g(P/A)————————»>Q"(P/A)—————^0(1.2.1)-CW-G"

est commutatif.
1.3. Soient S=Spec(A), e^ : S-^ CW^, la section unité. Pour 5^2, on pose
^W == eCW ("CW, ,/A )?

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

232

P. BERTHELOTqui ne dépend pas de r, s. En effet, CW,^=Spec (Ap^/O?,)5), de sorte que^c*w (ÛCV,/A)^(ÛA\X,]/A/(^X_, . .. X_,),^)
et rhomomorphisme(1.3.1)d : Do/D^cV^wJ,®^ , A,est un isomorphisme. En particulier (ùçw est un A-module libre de base dX _ , , / ^ O .
PROPOSITION 1.3.1. — Soient e^ : S=Spec(A) c^ E^s c E la section unité île E, et
1©E^c-r (Qr , ,).

(i) I I existe r ^ , Si tels que pour r ' ^ r ^ r ^ , s ' ^ s ^ S i , l'homomorphisme naturel(ùp^ r ' ^ s ' —> (ÛF^r.s 50 ft MU isomorphisme.
(ii) Si on pose (ù^ =œg pourr^r^,s^s^,lasuite0-> CW -> E -^ G" ->Q définit une suite
exacteQ -, 0)0,, -> œg -^ ©cw -> 0L'homomorphisme de faisceaux n : E-> G" induit un morphisme de A-schémasKr,s ' Ër^-^G"- Celui-ci donne alors naissance à un triangle de transitivité entre lescomplexes cotangents relatifs ([12], II. 2.1) :
r

^./G-

LTI*(LG,,/A)—————^^../A-

Prenant l'image inverse par c^, on obtient le triangle^E*(LE,,/G")(1.3.2)
L^(L^)———^L^*(LE,,/A)ou
H°(L^(LE^/A))=œE,,,H°(L^(LG^))=(ÙG-.

Pour calculer L^*(LE /ç»), on observe qu'il existe un isomorphisme canonique
C W , , x G ^ E , , , x ^ G,
commutant aux projections sur G et aux sections unités. Notant e ' la section unité deE
r , s x G " G, le diagramme commutatif
Er,.-————.A.XG G-——=——CW^xG

S ^-———G"-———^———— G'
donne les isomorphismes
L^(LH,,/G")^L^*LP*(L^^")^L^*(L^,^,,G)/G),
par platitude de y, soit"-^*(LE,,,/G")^L^*(L(CW,,XG)/G).
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

233

Comme G est plat sur S, on obtient, en notant q la projection de CW, , x G sur CW, ,,^E*(LE.,/G")^^'*L^(LCW,,/A)^L^W(LCW,,/A). 'Le triangle (1.3.2) donne donc la suite exacte(L3-3)
où^cw, -^CÙG»-^CÙE -^cùçw -^0,^cw,, = H 1 (L e^ (Lcw^/A ))•Pour s^2, la suite d'immersions fermées
CWo, 2 <= CWo, 2 ^ CW,,, c CW,,
donne une suite d'homomorphismes surjectifs
oùç^, , —). (ûç^-> cùp.,,—> œ^«,-••r,.s^ vv r..^
^"o.i
^"o.î

Or le composé est un isomorphisme, donc, pour 5^2, cùc^ ^ cùc^.
Observons que, si on pose I, ^(o,.)5, le tronqué à l'ordre un de Lç^ /A P^1 etre
représenté par
K'=T^Lcw,,/A^O-^/I^Q^ ,I/A®A[X,]A.^O([12], III, 1.2.9.1). Par suite, ce complexe étant plat en degré 0, le complexe
T[_I Lé?'*(Lc^/A)^[-l L ^ * ( T [ _ I Lcw,,/A).

peut être représenté par
0 ^ (I^/I?,J ®A,, A ^ QA1[X_,]/A ®A[X.,] A ^ 0[ceci résulte par exemple de la suite spectrale
Eï'^Tor^^K^^^H^K^^A)].
Si maintenant on prend s'^25, I,,, c(I, J 2 , de sorte que l'homomorphisme^cw^•'r,s>^ ^cw~"r,.sest nul. On peut trouver une suite d'immersions fermées
0=CWo. i <= CWo. i c: CW, , c CW, , c: CW,
avec s^^lso. Pour r ^ r i , s^5i, l'homomorphisme composéncw,^ "^ ^cw^ ^ "^ ^w^^ ^ ^cwo.i

est donc nul. Le diagramme commutatif à lignes exactes^CW——————^too"———————»• CO^

'l

1

I"

"CWo , ——————^ ^ ———————- œ Eo.,montre alors que pour r ^ r i , s^s^ la suite
0 -> COQ» -> CÙE -^ œ^, ^Cûcw -^ 0
est exacte, et la proposition en résulte aussitôt.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

234

P. BERTHELOT

1.4. On notera ja^WE le sous-faisceau du faisceau s^utE des automorphismes (nonnécessairement additifs) de E formé des automorphismes/: E -> E tels que pour tous r, -s, il
existe r\ s ' tels que/(E,^) c: E,^.; c'est un sous-faisceau de groupes de ^/utE. D'après. 1.2.1, pour toute A-algèbre B et tout x e E (B), la translation T^ : E^ -> Eg est une section de^ut'E, d'où une inclusion E^^ufE. Par ailleurs, E agit sur ^ut'E par(x, /) [-> T^ 1 o / o T^ et l'inclusion précédente identifie E au faisceau des invariants de séuî" Esous l'action de E.
On définit les faisceaux ^ieE et ^ie .^u^E parJ^E(B)=Ker[E(B[e])-^E(B)],^ie ^ut' E (B) = Ker [^u^c E (B [e]) ^ ^ut' E (B)],où B [s] est l'anneau des nombres duaux sur B, et on pose
Lie(E)=J^E(A)=Ker[E(A[8])->E(A)].
L'inclusion E c^ ^u^E induit une inclusion^ieE^^ie^ut'E.
L'opération de E sur ^ut' E définit une opération de E sur ^ie ^ut' E, et ^ie E s'identifie
au faisceau des invariants sous E.
Posons E,^=Spec (B,^), et notons À- : B,,,, -^^r,s les morphismes de transition. La
donnée d'une section/de ^ie séuî^ au-dessus d'une A-algèbre A' équivaut à la donnée
d'une famille transitive d'homomorphismes/. s 'fr,s''

B^^A'M^B^A'te],se réduisant à ?i modulo s et commutant à la comultiplication. Il revient au même de sedonner une famille transitive de ^-dérivations :D,., : B^^A'^B.^A'.
On en déduit une structure d'algèbre de Lie sur ^ie ^ut'E, et, lorsque A est decaractéristique p, une structure de p-algèbre de Lie. Comme ^ie E est formée des dérivations
invariantes par translation, c'est une sous-j^-algèbre de Lie de ^ie ^u^E.
PROPOSITION 1.4.1. — La suite exacte
0->CW^E^G"^0,définit une suite exacte de p-algèbres de Lie :0 -^ Lie(CW) -> Lie(E) ^ Lie(G") -^ 0.
Un élément de Lie(E) s'identifie à une famille transitive d'homomorphismes
B,^ (g) A [s] -> A [s] se réduisant à l'augmentation T| : B,^ -^ A (définie par la section unité)
modulo s, soit encore à une famille transitive de T|-dérivations B^ 5 -> A, qui correspondent àdes homomorphismes A-linéaires 00^ -> A. Par suite,(1.4.1)Lie (E) ^ HoniA (œg, A).

4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ235

Le même résultat s'appliquant en particulier à CW, la suite exacte de 1.3.1 donne par dualité
une suite exacte
0 -^ Lie(CW) -^ Lie(E) -> Lie (G") -^ 0,
l'exactitude à droite venant de ce que cùçw est un A-module libre.
Comme CW^cE^ il est clair par construction que Lie (CW)-^Lie(E) est un
homomorphisme de p-algèbres de Lie; l'homomorphisme E -> G" est défini par la famille demorphismes de schémas E,. 5 —> G//, donc par un homomorphisme d'algèbres R " —> lim B^ 5,
r. s

et on en déduit immédiatement la compatibilité de Lie (E)-> Lie (G") aux puissancesp-ièmes.
PROPOSITION 1.4.2. - Soient L une p-algèbre de Lie localement libre de rang fini sur A,®p(L) le A-schéma en groupes de hauteur ^ 1 défini par L. Alors U homomorphisme canonique(1.4.2)

HomA(®p(L), E)^Hom^(L, Lie(E)),

où le deuxième terme est l'ensemble des homomorphismes de A-p-algèbres de Lie, est un
isomorphisme.
Remarquons d'abord qu'il suffit de prouver que l'homomorphisme de faisceaux^fom(©p(L), ^ut'E^J^omp^, ^ie^ut'E),où ^ est le faisceau de j?-algèbres de Lie quasi cohérent défini par L, est un isomorphisme. En
effet, prenant les invariants sous E, on en déduit l'isomorphisme^om((5p(L\ E) ^ ^om^, J^E),
qui donne (1.4.2) en prenant les sections globales.
Soient Up(L) l'algèbre enveloppante restreinte de L, D=HomA (Up(L), A) labigèbre duale, de sorte que ©p(L)=Spec(D). Par le lemme de Yoneda, une section de^om{(S p(L), s^ut'E) sur une A-algèbre A' définit une famille transitive de morphismes®,(L)^xE^-^E,,^,soit encore une famille transitive d'homomorphismes de A '-algèbres
B,^®A / -^B,,,(x)D®A / .
On en déduit une famille d'homomorphismes A'-linéaires
B^(x)U^L)(x)A'-^B^(x)A',
soit encore, par passage à la limite
p : Up(L)®A'-^EndcontA-(lim(B,,,®A')),r, s
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

236

P. BERTHELOToù End cont^ est l'ensemble des endomorphismes A'-linéaires de lim (B^ 5 (x) A') tels que ler, scomposé avec la projection sur l'un des B^ (x) A ' se factorise par B^, ^ ® A ' pour r / , s / assez
grands. De plus, on vérifie aisément que p correspond à un homomorphismeG)p(L)^ -> J^M^EA' si et seulement si c'est une représentation d'algèbre telle que pour tous
MeUp(L)(x)A', x, 3;elimB,.,(x)A\( P(^)(4mB,,®A') = = E ( M )•^limB„®A'.
(lt4-3)(

P(u)^y)=^(ui){x).p{v,)(y\où e est l'augmentation de U p t L ^ A ' , et, si A est le morphisme diagonal. A O / ) = ^ ( / , ® r , .
Ces conditions sont vérifiées pour tout u si et seulement si elles le sont lorsque u est dansl'image de L(x)A' ->• U^,(L)(x)A'; de plus, pour un tel u, elles signifient que p(u) est une
A'-dérivation continue de lim (B^®A'), donc que p induit un homomorphisme dep-algèbres de Lie L ® A ' -> ^ie ^/u^EÇA'). Inversement, la donnée d'un tel homomorphisme définit une représentationp : U^^A^U^L^A'^Endcont^hmB.^A'),
vérifiant (1.4.3), d'où la proposition.
1.5. Nous expliciterons maintenant la structure de p-algèbre de Lie de Lie (CW), grâce aulemme général suivant (où G est supposé affine pour simplifier).
LEMME 1.5.1. — Soient S un schéma de caractéristique p>0, G un S-schéma en groupes
affine commutatif et plat. Alors l'opération puissance p-ième symbolique dans Lie (G) est
U homomorphisme induit par fonctorialité sur Lie G par le Verschiebung G^7^ —>• G.
On peut supposer S affine, soit S=SpecA. Notons R l'algèbre affine de G, [i sacomultiplication, E^R l'algèbre des tenseurs symétriques de R^, N ^ R le sous-espace destenseurs symétrisés. Le Verschiebung de G est défini par l'homomorphisme composé
VR : R ^ I ^ R ^ ^ R / N ^ R ^ R ^ ,où TI : R^^ -^ S^ R/N^ R est défini par r| (x) = x ® . . . ® x, et est un isomorphisme pour R
plat. L'homomorphisme qu'il induit sur Lie (G) associe à une A-dérivation d : R -> A ladérivation
V
R^/A)
R-,R(P/A)———^Rtandis que la puissance p-ième symbolique de à est la dérivation\ï,. d® ... <S>dR-,R®P—————^A.

Il suffit donc de vérifier la commutativité du diagrammeS^R———^E^R/N^———^R^

4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

237

qui résulte immédiatement de ce qu'un tenseur symétrique est somme d'un tenseur symétrisé
et de tenseurs de la forme ^ a ® . . . (x) a.
1.5.2. Remplaçant dans la démonstration précédente R par le système projectif des A^ s,
on voit que 1.5.1 reste valable pour CW. Comme cùc^ est muni de la base formée par les
dX_i, on obtient d'après (1.4.1) un isomorphisme naturel(1.5.1)

Lie^W^A^.

Nous noterons un élément x e Lie (CW) sous la forme (x _ ^),^ ; il lui correspond la dérivation
continue d : A->A définie par ^ ( X _ ; ) = x - i . Si (p est l'opération puissance p-ième
symbolique dans Lie(CW), on a d'après ce qui précède

(P^KX-^^V^X-,));
comme V ^ ( X - ^ ) = X - , - i ,^>(d)(X^)=d^{X,,.,)=xp,^^d'où(1.5.2)(p(x-^)=(^-,),

avec j^^x^-i.

2. Le module de Dieudonné d'un schéma en groupes fini localement libre
2.1. Soit A un anneau de caractéristique p > 0, qu'on suppose parfait. On note W(A)l'anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans A, W^(A) l'anneau des vecteurs de Witttronqués de longueur n, qui s'identifie à W(A)/p"W(A) puisque A est parfait, al'automorphisme de Frobenius de W (A). Pour tout x e A, on désigne par x le représentant deTeichmùller (x, 0,0, . . . ) de x dans W (A) [ou W^ (A)], et, pour toute partie S <= A, on désignepar § l'ensemble des représentants de Teichmùller des éléments de S. Enfin, on note
DA=W(AUF, V]/(FV-p, VF-p),l'anneau de Dieudonné de A, l'indice a rappelant les relations de commutation F a = a (a) F,
Va(a)=aV pour tout aeW(A).
Pour tout schéma en groupes (commutatif) fini localement libre sur A, annulé par une
puissance de p, on pose
M (G) = Hoirie (G, CW),où Hom^ désigne l'ensemble des homomorphismes de foncteurs en groupes sur la catégorie
des A-algèbres. Comme CW est muni d'une structure de foncteur à valeurs dans la catégorie
des W(A)-modules, M (G) possède une structure naturelle de W(A)-module. De plus, lesendomorphismes F et V de CW induisent des endomorphismes de M (G), encore notés F et
V, et vérifiant les relations habituelles. On obtient de la sorte une structure de D^-module àgauche sur M (G), fonctorielle en G par construction.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

238

P. BERTHELOTPROPOSITION 2.1.1. — Soient R l'algèbre de G, |LI : R -> R (x)^ ^ ls^ ^'oimilîiplicciîion.
(i) J! existe une injection canonique, fonctorielle en G ^ 6^ A,
M(G)c;CW(R),identifiant M (G) au sous-T)/^-module formé des covecteurs (ûî-i) tels que
Vi, n ( a - , ) = S ( . . . , l(g)â-,-,, . . . , l(g)a-,; . . . , ^ _ , - , ® 1 , . . . , â - , 0 1).
(ii) Soit VR : R -^ R rhomomorphisme p~1-linéaire définissant le Verschiebung de G. 5f lecovecteur (fl_^)eCW(R) appartient à M (G), il vérifie la condition
Vf,a_,=V^(ao).

La première assertion résulte immédiatement du lemme de Yoneda. Pour vérifier laseconde, on observe que tout homomorphisme cp : G -> CW commute au Verschiebung,d'après 1.1, et que dans À on a X _ ^ = = V ^ ( X o ) .
PROPOSITION 2.2.1. — Soient S c A une partie multiplicative telle que A soit sans S-torsion,
A^S" 1 A, G un groupe de p- torsion fini localement libre sur A, G'=G Xspec(A) Spec(A').
Alors r homomorphisme canonique de DA' -modules(2.2.1)

M (G) (g)^) W (A') ^ M (G'),

est un isomorphisme.
Soit n tel que pnG=0. Alors pnM(G)=Q=pn M (G'), de sorte que l'on a
M (G) ®W(A) W (A') ^ M (G) (X)^(A) W, (A') ^ M (G').
De la relation
VxeA,

V(a,.)eW(A),^.(a,)^^,),

on déduit facilement que l'homomorphisme canonique(2.2.2)S^W^A^WJA'),est un isomorphisme, et (2.2.1) s'identifie à
S ~ 1 M(G)^M(G').
Soit me M (G) d'image nulle dans M (G'). Identifiant M (G) à un sous-W (A)-module deCW (R) grâce à 2.1.1, et posant m = (a - ^ on en déduit que a - ^ = 0 dans S ~ 1 R, donc dans R
puisque R est plat sur A. L'homomorphisme (2.2.1) est donc injectif.
Soit d'autre part m'^â'-^elVUG') c= CV^S^R). Il existe seS tel que ao=ao/s, avec
Û O ^ R . Par suite,
a/--V^-^(ao)=V^-^(ao/5)=s-p-•VR(ao).
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

239

Posons a_;=VR(ao). Comme ?~ 1 .(a-^Çs-^1 â-,)=(a'_,), il suffit de vérifier que(a-i)eM(G), donc que pour tout i :u ( a - , ) = S ( . . . , l O O a - , - ^ . . . , l ® a - , ; . . . , a_^(x) 1, . . . , a _ , ® l ) .
Or on as-^u^-^u^'a-^u^= S ( . . . , Kga'-,-,, . . . , l®a'_,; ....a'-,-, ®1, . . . , a'-, (g) 1)= S ( . . . , l ( x ) 5 - p - i - J a - , - „ . . . ; ...,5-^ a-,-, (x)l, . . . )= 5 - p - i S ( . . . , l ® a - i - j , .. .; ..., fl-^-OOl, ...),

d'après l'isobarité de S(X _,; Y-y). On en tire la relation cherchée puisque R (x)^ R est sans
S-torsion.
COROLLAIRE 2.2.2. — Supposons A intègre, de corps des fractions K. Alors Fisomorphisme(2.2.1) identifie M (G) ®W(A) W(K) au module de Dieudonné de la fibre générique G^ de G.
Cela résulte de [8], III, corollaire 3 à la proposition 5.3.
2.3. A partir de maintenant, on suppose, sauf mention expresse du contraire, que A est un
anneau parfait de caractéristique p > 0, intègre et dont les localisés sont des corps ou desanneaux de valuation ( 3 ) (hypothèse satisfaite par exemple si A est la clôture parfaite del'anneau d'une courbe affine non singulière). On note K le corps des fractions de A.
LEMME 2.3.1. — Soient G un schéma en groupes fini localement libre sur A, H c= G^ un
sous-schéma en groupes de la fibre générique de G, G' c= G F adhérence schématique de H. Alors
G' est un sous-schéma en groupes fini localement libre de G.
Soient R l'algèbre de G, Ri celle de H. Si I est le noyau de l'homomorphisme composé
R c^ R 0 K -»• R i, l'algèbre R' de G' est R/I, et est donc sans torsion. Il en est de même deses localisées aux idéaux premiers de A, ce qui entraîne leur platitude, et donc celle de R\
d'après l'hypothèse faite sur A. Comme R' est finie sur A, elle est donc localement libre. Il en
résulte facilement que G' est un sous-schéma en groupes de G.
LEMME 2.3.2. — Soit G un schéma en groupes commutatif, fini localement libre sur A, dep-torsion. Alors G possède une suite de composition par des sous-schémas en groupes finis
localement libres, telle que les quotients soient annulés par F ou V. Si on suppose de plus K
algébriquement clos, on peut supposer les quotients de rang p.
L'assertion est claire lorsque A est un corps, la seconde partie résultant de ce que G possèdealors une suite de composition, tlont les quotients sont isomorphes à Z//;, [ip ou a?. Le cas
général en résulte en prenant l'adhérence schématique d'une suite de composition de la fibre
générique de G.
( 3 ) Un tel anneau est appelé anneau de Prùfer dans BOURBAKI, Algèbre Commutative, chap, 7, § 2, exercice 12.
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240

P. BERTHELOT

2.4. On suppose dans la suite que tous les schémas en groupes considérés sontcommutatifs et de p-torsion, de sorte qu'on omettra en général de rappeler ces hypothèses. Le
but des numéros qui suivent est de prouver l'assertion suivante :PROPOSITION 2.4.1. — SoitO^G'-^G->G"-^0

une suite exacte de schémas en groupes finis localement libres sur A. Alors la suite
0-^ M(G")-^ M(G)-^ M(G')-^ 0
est exacte.
D'après la définition de M (G), il suffit de montrer que M(G)->M(G') est surjectif.
Supposons que G" possède une suite de composition G^ dont les quotients H^ vérifient lapropriété suivante : pour toute suite exacte de schémas en groupes finis localement libres
0->H'-^H-Œ^O,
rhomomorphisme M(H)-^M(H') est surjectif. Si G^ est l'image inverse de G," dans G,
les suites
0-^G,-i-^G,-^H^O
permettent d'en déduire par récurrence la surjectivité de M(G)-^M(G'). On voit donc
d'après 2.3.2 qu'il suffît de prouver le théorème lorsque G" est annulé par F ou V.
Sans hypothèse sur G", observons qu'un élément ^>eM(Gf)=Hom(Gf, CW) définit parfonctorialité une extension de G" par CW dans la catégorie des faisceaux pour la topologie
fidèlement plate (sur la catégorie des A-algèbres), du type étudié dans la première partie :'.mn'.

et qu'on peut relever (p dans M (G) si et seulement si cette extension est scindée. Il suffit donc
de montrer cette dernière propriété avec G" annulé par F ou V.
2.5. DÉMONSTRATION DE 2.4.1 LORSQUE G" EST ANNULÉ PAR F.

LEMME 2.5.1. — Soient A un anneau parfait, et H un schéma en groupes fini localement libre
sur A, annulé par F. Il existe un isomorphisme canonique A-linéaire
(2.5.1) M (H) = Hom (H, CW) ^ Hom^e (Lie (H), Lie (CW)) ^ Hom^ (Lie (H), A).
Le premier isomorphisme ayant été établi en 1.4.2, il reste à construire le second. Soient
L = Lie (H), M = Lie (CW), 0^ et ^M ^es opérations de puissance symbolique p-ième. Utilisantl'isomorphisme canonique (1.5.1)M^A^, un homomorphisme (p : L -> M équivaut à la
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

241

donnée d'une famille d'homomorphismes A-linéaires (p_^ : L-^A, pour tout / e ^J. La
relation de commutation aux puissances symboliques p-ièmes :^M0^^0^s'écrit, d'après (1.5.2) :V f e N , ((p-.-i^cp^o^.

Comme A est parfait, ces relations sont équivalentes aux relations(2.5.2)

Vfe^J,(p.^f^ocpooO^où ÇA est l'automorphisme de Frobenius de A. Par suite, l'application
Hom^e (Lie (H), Lie(CW)) -^ Hom^ (Lie (H), A),
qui à (p associe (po, est un isomorphisme.
2.5.2. Revenons aux hypothèses de 2.4.1. D'après 1.4.1, la suite exacte(2.5.3)O-^CW^E-^G'-^O

donne une suite exacte de p-algèbres de Lie :(2.5.4)0 -^ Lie(CW) -^ Lie(E) ^ Lie (G") -> 0.

Posons encore M = Lie (CW), N = Lie (E), L = Lie (G"), et notons <S>^, 0^ ^ °L ^es puissances
symboliques p-ièmes. Comme G" est fini localement libre de hauteur ^ 1, L est un A-module
localement libre de rang fini, et G" est isomorphe à ©p (L) ([19], VII^ ,7.4). D'après 1.4.2, lasuite (2.5.3) est donc scindée si et seulement si la suite (2.5.4) l'est en tant que suite dep-algèbres de Lie.
Si on se restreint aux fibres génériques, le foncteur M s'identifie au module de Dieudonné
usuel d'après 2.2.2, et par suite M (G K) -> M (G^ ) est surjectif. L'extension (2.5.3) est donc
scindée sur K, et si on pose M^ =Lie(CWK), N^ =Lie (E^), L^ =Lie (GK')=L(X)A K, lasuite de p-algèbres de Lie :(2.5.5)O ^ M ^ ^ N K ' ^ L K ^0

est aussi scindée sur K. Fixons un supplémentaire L' de M dans N comme A-module, et soit
5 : LK -^N^ =MK © LK une section de g^\ on peut écrire s=s^-\-s^. Si : L ^ - > M ^ ,s 2 : L^ -> L^,etsi =((p_f), où (p-festunhomomorphisme K-linéaire de L^ dans K. Il fautalors construire s ' : L^-> M^, qui soit un homomorphisme de p-algèbres de Lie, tel que s + s 'envoie L dans N. Si l'on observe que s 2 est l'inverse de l'isomorphisme L^ ^ L^ induit parg^, donc envoie L dans L', il suffit de vérifier que Si +s' envoie L dans M, c'est-à-dire, en
posant .s'^vl/-,) avec \|/_, : L^ -> K, que (p_^+v|/-, envoie L dans A.
Posons alors \|/o = — (po • Pour que 5' soit un homomorphisme de p-algèbres de Lie, il fautet suffit, d'après (2.5.2), que
vl/.^fK^vj/ood)^,ce qui détermine s ' à partir du choix fait pour \)/o. D'autre part,5o(D^=(D^o5=0^ o(Sl+S2)=<I>MK051+ONK OS2•
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242

P. BERTHELOT

Comme (D^ et s 2 sont définis sur A, 0^ os^ aussi, et on peut le décomposer en somme dedeux homomorphismes 7 : L^ -> M^, a : L^ ^ L^, définis sur A. On peut donc écrire
X=(îC_;), avec X_;(L)c: A. D'où
5io(D^=(D^osi+X,
c'est-à-direVf,(p-fO^L^fK ° < P - i - l + X - < -Commev|/_,o(D^=f^ov|/_^_i,on en déduit
(q)-,•-l+v|/-i-l)=fKlo[((p-f+^-,•)O^LK-X-J.

ce qui montre par récurrence que ((p-i + ^-i)(L) c= A.
2.6. DÉMONSTRATION DE 2.4.1 LORSQUE G" EST ANNULÉ PAR V. - Soit ri tel que p" G = 0,
de sorte que M (G) est un WJA)-module. Les idéaux premiers de WJA) sont de la forme
p ' = { ( ^ . ) | f l , e A , f=0, . . . , n-1, et â o e p } ,où p est un idéal premier fixé de A. Le localisé de W^(A) en p' s'identifie alors à§~ 1 W^(A)=W^(Ap), avec S = A — p . Par suite, il suffit pour prouver la surjectivité deM (G) -> M (G') de la prouver lorsque A est un anneau de valuation parfait, compte tenu de
2.2.1 et de l'hypothèse faite sur A (le cas d'un corps étant classique).
Comme A est parfait, la fonctorialité du Verschiebung (1.2.1) nous fournit le diagrammecommutatif
0———^CW—————-^E—————^G"————^0
vcw

VE
t

VG.
^

t

0 —————^Ç^P"'^)————^glP^/A)————^Q/'(P-'/A)————^o.

Puisque Vç^ est un épimorphisme, et que le noyau de V sur CW est isomorphe au groupe
additif G a, on en tire une extension(2.6.1)O^G^^E'-^G"-^0,où E' est le noyau de V sur R, et il suffit de prouver que cette dernière extension est scindée.
Notons Ext^G", GJ les groupes d'extensions de G" par G a dans la catégorie desfaisceaux abéliens sur la catégorie des A-algèbres. Rappelons (cf. [7]) que pour tout faisceau
abélien H, il existe une suite exacte
O-^C^ZtH^x^tH^^ZtH^^ZtHj^H-^O,
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

243

où ^[X] désigne le faisceau abélien libre engendré par le faisceau d'ensembles X, QQ est
rhomomorphisme naturel, 8^ et 3 2 sont définis par^([^])=M-[x+^]+M,^([^ Y, z])=[y, z]-[x-\-y, z]+[x, ^+z]-[x, y],^(M=b^L
en notant [x] la section de base de Z [X] associée à la section x de X. Comme
Ext{(Z[X], GJ=ï-r(X, G,)=0

pourï > 0,

si X est représentable, Ext^(G", G J s'identifie au groupe de cohomologie du complexe
Hom(Z[G"],G,)—-Hom^G^LG^-^Hom^tG^lxZtG^LG,)
1^
1^
R
R" ———————-R" ®A R'———- (R" ®A R" ®A R " ) x ( R " (g) A R"),où R" est la bigèbre de G". En particulier, pour tout changement de base plat A -> A',l'homomorphisme
ExW,GJ®,,A'-> Ext^(G^, G^),est un isomorphisme, et, si A' est fidèlement plat sur A,
Ext^(G",GJ^E<(G^,G^).
Il suffit donc, pour prouver 2.4.1 dans le cas où G" est annulé par V, de le faire après
extension fidèlement plate de l'anneau de base A.
Il existe une extension K' de K, de degré fini, telle que G^' possède une filtration dont lesquotients successifs soient des groupes de rang p . L'anneau A' des entiers de K' est fidèlement
plat sur A, et vérifie les hypothèses de 2.3 (BOURBAKI, Algèbre Commutative, chap. 6, § 8,
n° 6, prop. 6). D'après 2.3.1, le groupe G^ possède alors une filtration par des sous-groupes
finis localement libres, telle que les quotients successifs soient de rang p sur A'; on est de lasorte ramené au cas où G" est un groupe de rang p sur A.
Dans ce cas, la structure de la bigèbre R" de G" est donnée par le théorème de Oort-Tate([17], th. 2). Comme A est intègre, et G" tué par V, il existe a e A tel que
R^A[X]/(XP-aX\
la comultiplication étant définie par(^(X)=X(x)l+l(g)X.
Si on note encore a l'endomorphisme de G a sur A défini par la multiplication par a. G"
s'identifie donc au noyau de l'endomorphisme F — a de G a; de plus, celui-ci est unépimorphisme pour la topologie fidèlement plate, si bien que l'on a une suite exacte defaisceaux abéliens
O-^G^G^G^O.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

244

P. BERTHELOT

On en déduit la suite exacte
Ext^(G,, G^^Ext^G,, GJ-^ExW.GJ-^Ext^G^GJ.
Or Ext^ (G a, G a) = 0 d'après [4], prop. 2, et Ext^ (G „, G J ^ A(, [F] (avec pour base l'extension
0 -> Ga -> W^ -> G „ -^ 0), de sorte que
Ext^G", GJ^A,[F]/A,[F].(F-a)^A,
et en particulier Ext^ (G", G J est sans torsion sur A. L'extension (2.6.1) est donc scindée sur
A si et seulement si elle l'est sur K, ce qui est le cas d'après 2.2.2 puisque M (G«) ->• M (G^ )est surjectif.
2.7. Nous pouvons maintenant généraliser la commutation de M (G) au changement debase établie en 2.2.1.
PROPOSITION 2.7.1. — Soit A —> A' un homomorphisme d'anneaux vérifiant les conditions de
2.3, G un schéma en groupes fini localement libre sur A. Alors U homomorphisme canonique(2.7.1)
M (G) ®W(A) W (A') -^ M (G^ ),est un isomorphisme.
Supposons d'abord G annulé par F. Alors l'isomorphisme (2.5.1) :M (G) ^ Hom^ (Lie (G), A) ^ (OQ
commute à l'extension des scalaires. Comme dans ce cas cùç est un A-module localement
libre, donc commute au changement de base, l'assertion est vérifiée.
Si maintenant G est annulé par V, tout homomorphisme (p : G -> CW se factorise par lenoyau de V sur CW, qui est isomorphe à G a' On obtient donc
M(G)^Hom(G, GJ,
et ce dernier groupe s'identifie classiquement à Lie (G*), où G* est le dual de Cartier de G.
Comme G* est annulé par F, son algèbre de Lie est encore localement libre sur A, et commute
au changement de base, et l'assertion est aussi vérifiée.
Dans le cas général, G possède une filtration sur A dont les quotients sont annulés par F
ou V. Considérons donc une suite exacte
0 -> G' -. G -> G" -^ 0.
Le diagramme à lignes exactes (d'après 2.4.1) :M(G' / )OOw(A)W(A / )——^M(G)(g)^W(A')———^(G^OO^^A')——^0{2 1 2}

• '
1
1
1
i
t
t
0 —————^ M (GA: ) ——————————^ M ( G^ ) —————————^ M (G;, ) —————^ 0

montre alors que si l'assertion est vraie pour G' et G", l'homomorphisme (2.7.1) est surjectif.
Il suffit donc de prouver son injectivité.
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

245

Reprenant l'argument de localisation de 2.6, on peut supposer que A est un corps ou un
anneau de valuation. Si A est un corps, W (A') est plat sur W (A), la suite exacte supérieure de(2.7.2) peut être complétée par un zéro à gauche, et l'assertion en résulte. Supposons doncque A est un anneau de valuation, et supposons de plus A -> A' injectif. Comme A' est intègre,A' est plat sur A; comme A'^A®^ ^ W^(A'), et que(pWJA^^WJA^pW^A'),
WJA') est plat sur W^(A). Puisque M (G) est annulé par p" pour n assez grand, on peut
encore compléter la ligne du haut de (2.7.2) par un zéro à gauche et en déduire l'assertion.
Supposons enfin que A -> A' se factorise en A -> A" -> A', où A" est un quotient de A et unsous-anneau de A'. Compte tenu de ce qui précède, il suffit de prouver que
M(G)(x)^W(A")^M(G^).
Soit p=Ker(A->A / / ); alors W(A")^W(A)/I, où 1 est l'idéal des vecteurs de Witt à
coefficients dans p. Considérons un élément x e M (G), d'image nulle dans M (G^" )• On peut,par 2.1.1, identifier x à un co vecteur (x - ;) e CW (R), où R est l'algèbre de G, et x est d'image
nulle si et seulement si s _ ; e p R pour tout i. Comme R est libre de type fini sur A, on peut en
choisir une base. Les coordonnées de XQ dans cette base engendrent un idéal de type fini, donc
principal, contenu dans p; soit t un générateur de cet idéal. On peut donc écrire XQ = tx'Q, avect e p. Comme d'après 2.1.1 :_^ri / ^- v -i — v R {^Ohonentlrex-^-V,(xo),posons x ' , , =VR (xo), x ' = ( x ' . i } . On a donc x=îx'; comme R ®^ R est sans torsion, on en
déduit comme en 2.2.1 que x'eM(G). Comme ?el, on a ainsi prouvé que
Ker (M (G) -^ M (G^ )) = I. M (G),ce qui achève la démonstration.
COROLLAIRE 2.7.2. — Soient p un idéal premier de A, k (p) le corps résiduel en}), G un schémaen groupes fini localement libre sur A. Alors M(G)®W(A) ^^(P)) s'identifîe au module deDieudonné usuel de G^ ..
2.8. Indiquons enfin les propriétés de fmitude de M (G).
PROPOSITION 2 . 8 . 1 . — Soit G un schéma en groupes fini localement libre sur A. Alors M (G)est un W(A)-module de présentation finie, sans torsion par rapport à l'ensemble S desreprésentants de Teichmùller de A — { 0 } dans W(A). Si G est de rang p^,
M (G) OOw(A) w (^(?)) est ae longueur d pour tout idéal premier p c A.

Si G est annulé par F ou V, on a respectivement
M (G) ^ CÙQ ,M (G) ^ Lie (G*),

de sorte que M (G) est localement libre de rang fini sur A, et par suite de présentation finie sur
W (A). Comme M (G) est un foncteur exact, et que G possède une filtration dont les quotients
sont annulés par F ou V, la première assertion en résulte.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

246

P. BERTHELOT

Pour vérifier la seconde, on considère l'inclusion M (G) c CW (R) définie en 2.1.1. Si Festle représentant de Teichmùller de t e A, t ^ 0, et si x = (x - J e CW (R), on a F. (x _,) = (t^' x _,).
Par suite, si îx = 0, ^ " x -, = 0 pour tout f. Comme R est sans torsion sur A, x - ^ 0, d'où laseconde assertion. La dernière résulte de 2.7.2 et de la théorie classique.
Nous donnerons des propriétés équivalentes à celles de 2.8.1 au paragraphe suivant.
3. Un foncteur quasi inverse
Nous allons maintenant construire un foncteur quasi inverse du foncteur M (G) étudié dansla section précédente, associant à un W(A)-module satisfaisant les conditions de 2.8.1, etmuni d'opérateurs F et V, un schéma en groupes fini localement libre sur A.
3.1. Donnons d'abord quelques propriétés algébriques des modules considérés.
PROPOSITION 3.1.1. — Soient A un anneau de valuation parfait, K son corps des fractions, k
son corps résiduel, M un W(A)-module de type fini et de p-torsion. On suppose de plus que M
vérifie l'une des deux hypothèses :(i) M est sans S-torsion, S étant l'ensemble des représentants de Teichmùller deS=A- { 0 }dans W(A);(ii) long^K)M(x)^ W(K)=long^) M ®^) WW.
Alors M possède une filtration finie par des sous-W (A)-modules de type fini, telle que lesquotients associés soient libres de rang 1 sur A.
On procède par récurrence sur la longueur de M(x)W(K). Si celle-ci est nulle,
M(x)W(K)=0, ce qui entraîne M==0 sous l'hypothèse (i), puisque M (x) W(K)=§~ 1 M
d'après (2.2.2). Sous l'hypothèse (ii), M (x) W(fe)=0, ce qui entraîne encore M = 0 grâce aulemme de Nakayama, le noyau de W(A)-^W(^) étant contenu dans l'unique maximaldeW(A).
Montrons l'assertion sous l'hypothèse (i) lorsque long M ® W(K)= 1. Alors M (x) W(K)est annulé par p , et il en est de même de M, puisque Mcg^lS^lV^W (K). Par suite, M
est un A-module de type fini, sans torsion, donc libre, et nécessairement de rang 1.
Dans le cas général, M ® W(K) possède un quotient N' de longueur 1. Soient L le noyau
de l'homomorphisme M -> N', et N == M/L. Par construction, N est de type fini sur W (A) etsans Si-torsion; comme N (x) W(K)^§-1 N^N', N est libre de rang 1 sur A d'après ce qui
précède. Considérons alors la suite exacte
Tor^) (N, W (k)) -> L (x)^ W (k) -^ M (x)^ W (k) -^ N ®^ W (k) -^ 0.
Puisque Nc^A, la résolution0->W(A)->W(A)->A->0

montre que Tor^^N, W(fe))=0, et la suite
0 ^ L ®W(A) W(/c) ^ M ®W(A) WW ^ N ®^) W(/c) ^ 0,
est exacte. Par suite, L ®W(A) w W est ^e tyPe ^ml sur W (k); fixons-en des générateurs e\, etsoit x ' e M (x) W(^) relevant un générateur de N ® W(/c). Si on relève les e[ et x ' en deséléments e^eL, x e M , ceux-ci constituent une famille de générateurs de M d'après
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

247

Nakayama; de plus, l'image de x dans N forme une base de N comme A-module. Posons
y==px, de sorte que yeL. Pour tout élément meL, on peut écrire :m =^^+ax,^,aeW(A).

Projetant sur N, on obtient u x = 0 , d'où u==j?v, et
m=^?i^+v^i

ce qui montre que L est engendré par les e^ et y , donc est de type fini sur W(A).
Si M vérifie l'hypothèse (i), L est donc de type fini et sans S-torsion. Si M vérifie
l'hypothèse (ii),long L(x)W(fc)= long M (g) W W - l = l o n g M (g) W(K)-l=long L ® W(K),et L vérifie aussi (ii). Dans les deux cas, on peut donc achever la récurrence.
En revenant aux hypothèses de 2.3 sur l'anneau A, on en déduit par localisation les
corollaires suivants.
COROLLAIRE 3.1.2. — Soit M un W(A)-module de type fini, et de p-torsion. Alors les deux
conditions suivantes sont équivalentes :(i) M est sans S-torsion (avec S = A — {0});(ii) la longueur sur W (k (p)) de M (X)^(A) w (^ (?)) est indépendante de Hdéol premier p c A.
COROLLAIRE 3.1.3. — Sous les mêmes hypothèses, M est de présentation finie et de dimension
projective 1 sur W(A); de plus,
TorY^M.W^p)))^,
pour tout idéal premier pcA.
Pour simplifier le langage, nous dirons désormais qu'un W(A)-module est de longueur
constante s'il satisfait les conditions de 3.1.2; la longueur des M(x)W(^(p)) sera alorsappelée simplement la longueur de M.
Il est intéressant d'observer que ces hypothèses peuvent s'exprimer en termes de dualité.
Soit en effet T\ le W(A)-module W(A) [l/p]/W(A), qui peut encore se décrire comme limite
inductive du système...W^(A)^WJA)^W,^(A)...
PROPOSITION 3.1.4. — (i) Soit M un W(A)-module de longueur constante. Alors
Hom^^ (M, T^) est de longueur constante.
(ii) Soit M un W(A)-module de type fini et de p-torsion. Pour que M soit de longueur
constante, il faut et suffit que rhomomorphisme canonique
M -> Hom^(A) (Hom^(A) (M, TJ, TJ
soit un isomorphisme.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

248

P. BERTHELOT

Le foncteur Mi—^Hom^^JM, T^) induit donc une autodualité sur la catégorie desW(A)-modules de longueur constante.
Le foncteur Hom^)^ T^) commute à la localisation pour les modules de longueur
constante, puisqu'ils sont de présentation finie. Pour montrer (i), on peut donc supposer que
A est un anneau de valuation. On a alors :Ext^(M,TJ=0.
En effet, il suffit grâce à 3.1.1 de le montrer pour M = A . Cela résulte alors de ce que lamultiplication par p sur T^ est un épimorphisme, en utilisant la résolution0-,W(A)-^W(A)-^A-^0.

Comme Hom^^A, T\)^A, on en déduit l'assertion.
Pour prouver (ii), observons d'abord que T"\ est sans S-torsion. En effet, soient xeW(A),te S tels que Fxep'W(A). Si x=(x;), Tx=(tpi x,), et dire que T x e p ' W ^ ) signifie que
tP1 Xi=0 pour f = l , . . ., r, donc x^==0 pour f = l , . . . . r, et x e p r W(A). La condition est
donc suffisante.
Si M est de longueur constante, HOUI^A) (M, TJ est en particulier de présentation finied'après (i), donc le foncteur HOUI^A) (HOUI^A) ( • , T^), TA ) commute à la localisation pour lesmodules de longueur constante. Pour prouver que la condition de (ii) est nécessaire, on peutde nouveau supposer que A est un anneau de valuation, et utiliser 3.1.1 et l'exactitude
prouvée plus haut pour se ramener au cas M=A, qui est clair.
3.2. Dans ce numéro et le suivant, on suppose que A est un anneau parfait quelconque.
Soit M un DA-module à gauche, où D^ est l'anneau de Dieudonné de A (cf. 2.1). Pour
toute A-algèbre B, le groupe CW(B) est muni d'une structure de D^-module à gauche. Si(p : M -^ CW(B) est un homomorphisme D^ -linéaire, nous noterons (p =((p -i);e^, où les (p -isont des applications de M dans B, et J;? l'idéal de B engendré par les éléments (p -i(x) pourx e M et i ^ r. On pose alors, pour r ^ 0, s ^ 1,
EM, . JB) = {(p e Hom^ (M, CW (B)) | (W = 0},
EM (B) = U EM, ,, (B) Œ Hom^ (M, CW (B)).
r, s

Les relations (1.1.1) et (1.1.5) montrent que
EM,,JB)+EM,,,,(B)C=E^,,,,(B),avec r " = Sup (r, r ' ) et s" = s + s ' . Les E^,,, 5 sont des foncteurs de la catégorie des A-algèbres
dans la catégorie des ensembles, et E^ est un foncteur en groupes abéliens. Si M est de typefini sur W(A), on a simplement
EM(B)=Hom^(M,CW(B)).
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

249

En effet, soit (p : M->CW(B), D^ -linéaire. Si (^), oc=l, . . . , m , est un système degénérateurs de M, il existe par définition de CW un entier r tel que l'idéal engendré par les(? -i(^J. î^, oc= 1, . . . , m, soit niipotent. Comment tout élément x de M est combinaison
linéaire des x^ il résulte de (1.1.1) et (1.1.5) que l'idéal engendré par des (p -,(x), i^r, estcontenu dans celui qu'engendrent les (p_,(xj, f ^ r , donc il existe r, 5 tels que (J;?)5^.
Nous allons étudier la représentabilité de E^ en adaptant la construction donnée parGrothendieck lorsque la base est un corps parfait ([11], 11.6).
PROPOSITION 3.2.1. - Pour tous r^O, 5^1, le fondeur E^ , , est représentable par une^-algèbre R, 5; les R^, forment un système projectifà morphismes de transition surjectifs, et
EM(B)^> lim HonrJR,,,, B).
Fixons r^O, s^ 1. Soient R' l'algèbre de polynômes A [TJ^ .îr l'idéal engendré par lesTV,, pour i^r, x e M , et R^R'/P,) 5 . Soit R,,, le quotient de R; , par les relations :(0 T^^C^SC . ., Ty^, . . ., T\; . . ., Ty.^, . . . , T^), pour x, x'eM;(il) T , , = P , ( . . . , TV.,, . . . , TJ, pour ^eW(A), xeM;(iii) TF,=(T^.
On notera que les relations (i) et (ii) ont un sens parce que I, est niipotent dans R; ,.
On définit pour tous r, s une application 6^ : M -> CW(R, J en posant^sM^CTvx)^ •Cette application commute à V par construction, et les relations (i) à (iii) entraînent que 9^
est un homomorphisme de W(A)-modules, commutant à F; 9^ est donc D^-linéaire. De
plus, (J^^O par construction, de sorte que 9^eE^ ^ (R^,s). Par composition, on obtient
donc un homomorphisme
Hom^(R^,,B)^E^^(B)
pour toute A-algèbre B.
Soit alors (p : M -> CW(B) un homomorphisme D^-linéaire appartenant à E^ , , (B), avec(p(x)=((p -f(x))^. Si on définit un homomorphisme v|/ : R' -> B en posant
on a^(TJ=(poM,^(Tv..)=(po(V i x)=(V l ((p(x)))o=(p-,(x),et par suite v|/ se factorise par R^. Comme (p est D^-linéaire, les (p _ , vérifient les relations( p o ^ + x ^ S ^ . . , (p-,(x), . . . , (po(x); . . . , (p-,(x'), . . . , (poM),(po(^x)=PJ. ... (p-,(x), . . ., (po(x)),(po(Fx)=(po(x) p ,et \|/ se factorise par R^ ^ Par construction
cp=CW(^)o(p^,et v|/ est uniquement déterminé par cette relation, d'où l'assertion.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

250

P. BERTHELOTPROPOSITION 3.2.2. - Soit M un Démodule à gauche, tel que le W (A)-module sous-jacentsoit de type fini. Alors chaque R ^ s est une A-algèbre finie.
Fixons r, s. Soient y , y ' eM. Utilisant l'homomorphisme A^,s ®A ^r.s -> ^r.s envoyant
X _ , s u r Ty.^ et Y _ j sur Ty^ , on voit que l'image dans R;,, de la série S(Tv^,; Ty.y) est un
polynôme de degré ^ d i, par rapport aux Ty^, Ty.y pour 1,7 ^ 11, où d i et i i sont des entiers
indépendants de y et / (cf. [8], II, lemme 1.3). Appliquant la formule d'associativité pour S, ilen résulte que pour m fixé et y i, .. ., }^eM,laclassedeT^+ ^ dans R^ s est un polynômede degré ^d^ par rapport aux Tyy pour 1^12, les entiers d^ et 12 étant indépendants deséléments yj considérés. Utilisant maintenant l'homomorphisme A^ -> R^,s envoyant X-;
sur Tyy, et [8], II, lemme 2.1, on voit que l'image dans R;,, de la série PJTyy) est un
polynôme de degré ^3 par rapport aux Tyy , 1 ^ 1 3 , ^ 3 ^ 1 3 étant indépendants de ^ et y .
Écrivons alors un élément x e M sous la formew
X= ^ ' k i X i ,i= 1

où les Xa forment une famille de générateurs de M; par substitution, on obtient dans R^ s :T.=Q^...,,JTv,J,où Q^^ est un polynôme de degré ^ N i par rapport aux Ty. ^, i < N 2, N i et N 2 étant desentiers indépendants de x.
En particulier, R^ s est une A-algèbre de type fini, engendrée par m N2 éléments. Soit fe unentier; si l'on pose
F'C^x)^^.,
i=i
les relations (iii) entraînent dans R^s :(Tv^)pk=Tp.^=^^....^(Tv,,J,avec deg(Q^^ ) < N I . Fixant k tel que p^N^, on en déduit que R^,s est engendrée
comme A-module par les monômes de degré total ^ m N2 ^ par rapport aux Ty.^, donc est
finie sur A.
3.3. Soit A -> A' un homomorphisme d'anneaux parfaits. Rappelons que, si on considère
DA et DA' comme modules sur W(A) et W(A') grâce à la multiplication à gauche,l'homomorphisme canonique W (A')-linéaire
W(A/)(X)w(A)DA-^,est un isomorphisme. Pour tout D^-module à gauche M, le W(A')-module sous-jacent à
D/v ®o M s'identifie donc à W(A') ®W(A) M LEMME 3.3.1. — Soient M un Tï^-module à gauche, ]Vr=D^ ®p M, Ry. 5 et Ry s lesalgèbres représentant respectivement les joncteurs E^ , , sur la catégorie des A-algèbres, etE^, ^. ^ sur la catégorie des A'-algèbres. Alors il existe un isomorphisme canonique deA'-algèbres

Rr.,s®AA'^R;,,.
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

251

Soit B une A'-algèbre; il suffit d'établir un isomorphisme fonctoriel en B :EM,..(B)^E^(B).
Comme
Hom,^ (M, CW(B))^Hom^, (M', CW(B)),
il suffit de montrer que pour tout (p : M -> CW(B) se factorisant en (p' : M' -^ CW(B), lesidéaux J? et J?' sont égaux. Or, d'après (1.1.1) et (1.1.5), l'idéal engendré par les (p'-^x')pour x'eM' et i^r est engendré par les (p'_,(l ®x)=(p_,(x) pour xeM et i^r.
PROPOSITION 3.3.2. - 5o^nr A un anneau parfait n'ayant qu'un nombre fini d'idéauxpremiers minimaux, M un Démodule à gauche, de p-torsion et de type fini sur W (A), tel que lafonctionp -> long^(p)) M ®W(A) W(k(p)),
soit constante de valeur à sur Spec (A). Alors le joncteur E^ est représentable par un schéma engroupes G^, fini localement libre sur A, de rang p ^ .
Si A est un corps, l'assertion est connue d'après la théorie de Dieudonné classique, et laconstruction explicite d'un foncteur quasi inverse ([11], II. 6 dans le cas unipotent, [8], III, § 1,
th. 1 dans le cas général, et avec la définition utilisée ici). Si R est l'algèbre représentant E^ ,on a donc dans ce cas un isomorphismeR^limR,,^et les homomorphismes de transition R,,,, -^ R, ,, étant surjectifs, sont des isomorphismespour (r, s) assez grand, le rang de R^ étant p0.
Dans le cas général, soient q, les idéaux premiers minimaux de A. Comme A est réduit, leslocalisés A^ sont des corps. D'après 3.3.1, et ce qui précède, il existe ro, 5o tels quel'homomorphismeR^AA^R,^®^soit un isomorphisme pour r ^ FQ, s ^ À\), et pour tout i, puisque les q, sont en nombre fini. Soit
alors p un idéal premier de A. Pour la même raison, le rang sur k(p) de R, ,®^ k(p) est au
plus p\ quels que soient r et s. Puisque R, , est finie sur A d'après 3.2.2, son rang en un pointde Spec (A) augmente par spécialisation, d'après Nakayama. Pour r^y-o, S^SQ, le rang deR,, s aux idéaux premiers minimaux est égal à p^ donc il est égal à ^ en tout point de Spec (A).
Comme A est réduit, les R,,, sont des A-algèbres localement libres de rang p\ et les
homomorphismes surjectifs R, , -^ R^ ^ sont des isomorphismes. Posant R = l i m R , , ,<°M = Spec(R) représente E^j, et vérifie les propriétés annoncées.
THÉORÈME 3.4.1.- Soit A un anneau parfait intègre, dont les localisés sont des corps ou desanneaux de valuation. Alors les foncteurs
G ^ M (G) = HoniA (G, CW)et
M ^ G^ ,sont des anti équivalences de catégories quasi inverses l'une de l'autre entre la catégorie desschémas en groupes commutatifs, de p-torsion, finis localement libres sur A, et la catégorie desDémodules à gauche, de longueur constante sur W(A) au sens de 3 A.
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252

P. BERTHELOT

Nous avons vu en 2.8.1 que M (G) est de longueur constante sur W (A), de sorte que lesdeux foncteurs prennent leurs valeurs dans les catégories considérées.
Soit G un schéma en groupes commutatif, de p-torsion, fini localement libre sur A, et soit
M=M(G). Pour toute A-algèbre B, il existe un homomorphisme fonctoriel en G et en B :G(B) -. Hom^ (Hom(G, CW), CW(B));
on obtient donc un homomorphisme de schémas en groupes G —> G^. Si A est un corps, c'est
un isomorphisme d'après [8], III, § 1, prop. 1.2. De plus, les foncteurs G \—> M (G), M \—> G^commutent à la localisation sur A d'après 2.2.1 et 3.3.1. On peut donc supposer que A est
un anneau de valuation; soient K son corps des fractions, k son corps résiduel. D'après 2.7.1,
M (G/,) ^ M (G) ® W (/c), et G^ ® w(/c) ^ ^M x ^P^ W- P^ ^f^ l'homomorphisme G -^ G^
fournit par passage à la fibre spéciale l'homomorphisme^k -> ^MtGfc) ?

qui est un isomorphisme puisque la base est un corps. D'après Nakayama, G est donc un
sous-schéma fermé de G^. Mais
rang (G^ ) = long^^ M ® W (k) = rang (G),d'après 3.3.2 et 2.7.2. Donc G ^ G^.
Réciproquement, soit M un D^-module de longueur constante sur W(A). Si me M, mdéfinit de manière évidente pour toute A-algèbre B un homomorphisme fonctoriel en B :Hom^ (M, CW(B)) -^ CW(B),d'où un homomorphisme, fonctoriel en M, D^-linéaire,M ^ Hom (GM , CW) = M (GM ).
Utilisant de nouveau la commutation des foncteurs M \—> G^ et G \—> M (G) avec le passage
aux fibres sur A, les homomorphismes
M®WW^M(GM)®W(^),
M ® W (K) ^ M (GM ) ® W(K),sont des isomorphismcs d'après la théorie de Dieudonné classique ([8], III, §l,th. 1). CommeM (G^ ) est un W (A)-module de type fini, et M sans S-torsion, ces isomorphismes entraînent
respectivement la surjectivité et l'injectivité de M -> M(G^).
COROLLAIRE 3.4.2. — Sous les hypothèses de 3.4.1, soit
O-^M'^M^M'^O
une suite exacte de D ^-modules de longueur constante sur W(A). Alors la suiteO^GM-^GM^G^O
est exacte.
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

253

D'après la définition du foncteur Ej^, la suite
0 -> GM -^ GM -^ GM
est exacte. Soit H le quotient de G^ par G^", qui s'identifie à un sous-groupe fini localement
libre de G ^ , et soit H' le quotient de G^ par H.
D'après 2.4.1, les suites
0 -> M(H') ^ M(GM ) ^ M(H) -^ 0,O^M(H)^M(GM)^M(GM-)-O,
sont exactes. Mais l'homomorphisme composé M (G^' ) -> M (G^ ) s'identifie à M' —>• M par3.4.1, donc est injectif. Par conséquent, M(H')=0, d'où H'=0, et G^ -> G^ est unépimorphisme.
COROLLAIRE 3.4.3. — Sous les hypothèses de 3.4.1, le foncteur
M(G)=Hom(G, CW)
induit une anti équivalence entre la catégorie des groupes p-divisibles sur A, et la catégorie desD^-modules à gauche, localement libres de rang fini sur le spectre formel de W(A). Si h est la
hauteur de G, M (G) est localement libre de rang h.
Soient G un groupe p-divisible de hauteur h sur A, G^ le noyau de la multiplication par p"
sur G, de sorte que G=limG^, et
M(G)==Hom(limG^, CW)=limHom(G^, CW)=limM(GJ.
D'après 2.8.1, M(Gi) est un A-module de type fini, sans torsion, donc localement libre,
nécessairement de rang h puisqu'il en est ainsi de sa fibre générique. Quitte à localiser sur A,
donc sur Spf(W(A)), on peut supposer M(Gi) libre. Les suites exactesp"O - ^ G ^ G ^ + i -^G^+i,donnent d'après 2.4.1 des suites exactes
M (G^ i) ^ M (G^ i) ^ M (GJ -> 0,d'où l'on déduit par récurrence que M(GJ est libre de rang h sur W^(A), en utilisant lapropriété analogue sur la fibre générique, donc que M (G) est libre sur W(A).
Réciproquement, si M est un D^-module localement libre de rang fini h sur Spf(A), chaque
M/p"M correspond d'après 3.4.1 à un schéma en groupes localement libre G» sur A, derang p^. De plus, les suites exactes
M/p^ 1 M ^ M/p^1 M -^ M/p"M -> 0
donnent les suites exactesr0->G,^G^^G.
\J-^\Jn~^-ïn+l^'<Jn+l^de sorte que les G^ forment un groupe p-divisible.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

254

P. BERTHELOT

Les énoncés 3.4.1 (resp. 3.4.3), 2.2.2 et 2 . 7 . 2 justifient la définition suivante :DÉFINITION 3.4.4. — Soient A un anneau parfait intègre dont les localisés sont des corps ou
des anneaux de valuation, et G un schéma en groupes commutatif, de p-torsion, fini localement
libre sur A (resp. un groupe p-divisible). Le D ^-module M (G) est appelé module de Dieudonnéde G.
4. Applications au théorème de Tate en égale caractéristique p
Soient S un schéma connexe normal de caractéristique p>0, K le corps des fonctions
rationnelles sur S, G, H deux groupes p-divisibles sur S, de fibres génériques G^, H^.
PROBLÈME 4.1 (théorème de Tate en égale caractéristique). — L'homomorphisme canonique(4.1.1)
Homs (G, H) -^ Hom,, (GK , H^ )est-il un isomorphisme ?
Il est bien connu que ce problème peut se ramener à un problème analogue sur un anneau
de séries formelles en une indéterminée, à coefficients dans un corps algébriquement clos. En
effet, soient G^, H^ les noyaux de la multiplication par p " sur G, H. Comme G^ et H^ sontlocalement libres de rang fini sur S, l'homomorphisme (4.1.1) est injectif. Pour montrer qu'il
est surjectif, considérons un homomorphisme / : G^ -> H^, et les homomorphismes
fn '- GnK -)> H^ induits par /. Si Ug est un recouvrement de S tel que les algèbres de G „ et H „soient libres sur chaque U^, il faut montrer que les matrices à coefficients dans K définissant /sont à coefficients dans F (U^, (9^ ) pour tout a. Par suite, on peut supposer S == Spec (A), où A
est un anneau normal. Comme A est l'intersection des Ap pour les idéaux premiersde hauteur 1, et que chaque Ap est un anneau de valuation discrète, on peut supposer
que A est un anneau de valuation discrète. Soit À son complété; comme À n K = A, on peut
supposer A complet, donc de la forme k[[t]] puisque A est d'égales caractéristiques Si /v
est une clôture algébrique de k, k[[t]\ n k((t))=k[[t]], si bien qu'on peut aussi supposer kalgébriquement clos.
4.2. Une approche naturelle du problème 4.1 consiste à essayer d'obtenir pour lesgroupes ^-divisibles sur k[[t]\ un théorème de classification du type «théorie deDieudonné », afin de transformer le problème posé en un problème d'algèbre p-linéaire.
Grothendieck ([10], [11]) et Messing ([15], [16]) ont introduit une construction généralisantcelle du module de Dieudonné sur un corps parfait : le cristal de Dieudonné d'un groupe
p-divisible; cette construction est systématisée pour les schémas en groupes finis dans [3] et[3 bis]. Comme nous l'observons plus loin, il n'est pas en fait nécessaire d'avoir un théorèmede pleine fidélité pour les cristaux associés aux groupes ^-divisibles sur k [[t]] (4) pour ramener
le problème 4.1 à un problème sur les cristaux; il faut néanmoins pouvoir relier laconstruction cristalline à celle de la section 2. Nous allons donc faire ici quelques rappels surles cristaux, en nous limitant à ce qui nous sera nécessaire dans la suite, et en renvoyant à [2],[3] et [3 bis] pour plus de détails.
(4) Bien que ce théorème soit effectivement démontré, voir l'article commun avec W. Messing mentionné dansl'introduction.
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

255

4.2.1. Fixons un nombre premier p, et un schéma Z muni d'un idéal à puissances diviséesquasi cohérent (J^, y) [dans la suite, S sera le spectre de Zp ou Z/p", (^, y) étant l'idéal
engendré par p, muni de ses puissances divisées canoniques]. Si S est un S-schéma sur lequel p
est niipotent, les objets du (gros) site cristallin de S relativement à (S, Js y), noté
CRIS(S/2:, J^, y), ou CRIS(S/Z), sont constitués par la donnée d'un S-schéma U,
d'une Z-immersion de U dans un S-schéma T sur lequel p est niipotent, et d'une structured'idéal à puissances divisées 8, compatible à y, sur l'idéal de U dans T; un tel objet est noté(U, T, ô). Un morphisme de (U', T, ô') dans (U, T, ô) consiste en la donnée d'un £morphisme v : T' -> T commutant aux puissances divisées, et induisant un S-morphismeu : U' -> U. On peut munir CRIS(S/E, J^, y) de différentes topologies, construites à partir
des topologies usuelles sur la catégorie des schémas; nous n'aurons besoin que de la topologiede Zariski, pour laquelle les familles couvrant (U, T, ô) sont les familles(U,, T,, 8)->(U, T, ô) où (T^T) est une famille couvrante d'immersions ouvertes, et
U,.=UnT,
Un faisceau E sur CRIS (S/S) peut alors s'interpréter comme la donnée pour tout objet(U, T, 5) d'un faisceau E^ y ô) sur T P0111' ^a topologie de Zariski, et pour tout morphisme(u, ^) :(U', T, 5') -> (U, T, 8) d'un morphisme de faisceauxPv:v

E(U, T, ô) —> ^(U'. T', ô') •>qui soit un isomorphisme lorsque u et v sont des immersions ouvertes, et tel que, avec(i/,î/): ( U / ' , T / , Ô / ' ) ^ ( U / , T , Ô ' ) ,on ait(4.2.1)

PId=I.

[ Pv.v-=Pv-°V

(P.)-

{

^

On obtient en particulier un faisceau d'anneaux (9^/^ en posantr((u,T,ô),^)=r(T,^).
Nous appellerons ici cristal sur S un (P^-module E tel que pour tout (u, u),l'homomorphisme/.,*c\_,,-i ^(U^S)
p^ ,/n —^ F"
{V
\V,^,6)^-'(^^T' - ^(U',-!"^')
hv>

soit un isomorphisme; nous supposerons de plus les E^ y ^ quasi cohérents.
Soit / : S' -> S un Z-morphisme. On définit un foncteur de changement de base f^^ de lacatégorie des faisceaux sur CRIS(S/Z) dans la catégorie des faisceaux sur CRIS(SVZ) par
restriction, un objet (U\ T', ô') de CRIS(SVS) étant considéré comme un objet deCRIS (S/Z) en considérant U' comme S-schéma grâce à /. Si E est un cristal, il en est de mêmede /<*Ris (E).
Dans certains cas, la catégorie des cristaux possède une description plus terre à terre.
PROPOSITION 4.2.2 (cf. [Il], IV, §4). — Soient A un anneau parfait, S=Spec(A),Z=Spec(Zp). Le foncteur « sections globales » r(CRIS(S/Zp), .) induit une équivalence decatégories entre la catégorie des cristaux sur CRIS (S/Z p), et la catégorie des W{A)-modules
séparés et complets pour la topologie p-adique.
Soient A' une A-algèbre, A" —> A' un homomorphisme surjectif d'anneaux, tel qu'il existe
m tel que ^ A" == 0, et dont le noyau J est muni de puissances divisées ô. Si y e J, l'existence depuissances divisées entraîne
(4.2.2)}^=p!8,(^)epJ.

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

256

P. BERTHELOT

Par suite, si x'eA', et si x'/ et x'^ sont deux relèvements de x ' dans A", on a pour tout i :XI^EEX^' mod p\
et en particulier pour f = 0 , . . . , m, les éléments p1 x" 1 ' 1 " ~ ' ne dépendent pas du choix durelèvement x" de x ' .
Il existe alors un unique homomorphisme d'anneaux ? : W (A) -> A" tel que le diagramme
W(A)———^A"

1

1

A———^—^A'soit commutatif : en effet, tout élément de W^(A) s'écrit de façon uniquem- 1

x= ^ p'af"',
1=0

et on pose

a,eA,

m- 1

P(x)= ^ p1^-,

où a [ ' relève a (fl^) dans A". Considérant les immersions S «^ Spec(W^(A)) comme des objets
de CRIS(S/E) grâce aux puissances divisées canoniques de p, on en déduit que, pour tout
objet (U, T, ô) de CRIS (S/S), il existe pour m assez grand un unique morphisme(U, T, 5) -> (S, Spec W^ (A)) dans CRIS (S/Z). Or une section d'un faisceau E sur CRIS (S/S)
peut s'interpréter comme une famille de sections s^ des faisceaux zariskiens E^ y ô) ? soumise
aux conditions v^(s^)=s^, pour tout morphisme (u, iQ:(U', T, 8') -^(U, T, Ô). Donc
(4.2.3)r(CRIS(S/Z), E)=Hmr(SpecWJA), E(^^).
nposantM,=r(SpecW,(A), E^specwjA))),et M = l i m M ^ , on associe à tout cristal E un W(A)-module M, séparé et complet pour la
topologie p-adique. On peut reconstruire E à partir de M en posant
E(U,T,Ô)=P*(M),où P : T -> Spec W (A) est l'unique morphisme induisant le morphisme U -> S donné, d'oùl'équivalence de catégories annoncée.
Soient maintenant k un corps parfait, A=^c[[r]], K=k((t)), W l'anneau des vecteurs de
Witt à coefficients dans k, W^=W/p"W, et posons
Bn=WJ[î]],B=nmB^W[M],nC»=WJ[t]][l/t],

C=JimC,,;n

4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

257-+- 00C peut être décrit comme l'anneau des séries formelles ^ a^ t " , a^eW, telles que a^ tende— oovers zéro pour la topologie p-adique lorsque n -> — oo . On observera que B / p ^ B ^ B ^ ,C/pnC^C^ de plus, C est un anneau de valuation discrète complet, d'idéal maximal
engendré par p, de corps résiduel K, donc un anneau de Cohen de K. Enfin, on notera
à : B -> B (resp. C -> C) la W-dérivation continue (pour la topologie r-adique) telle que
d(t)=l.
PROPOSITION 4.2.3. — Sous les hypothèses précédentes, la catégorie des cristaux sur A(resp. K) relativement à Zp est équivalente à la catégorie des B-modules M (resp. C-modules)
séparés et complets pour la topologie p-adique, et munis d'une connexion topologiquement quasi
niipotente, i.e. d'un endomorphisme additif^ : M —> M tel que :(i) V a e B (resp. C), V x e M , ^(ax)=a^(x)+d(a)x;(ii) V x e M , la suite des V"(x) tend vers zéro pour la topologie p-adique.
La démonstration est la même sur A et sur K; considérons donc le cas de A.
Fixons un entier m, et, pour tout entier i tel que 0 ^ i ^ m, soit B^ ^ la sous-W-algèbre de B^
définie parlllB.,-w,^ ]]+pw,^- ]]+... +p w,[[^]];

on posera B^=B^ ^. On observera que si xeB^, alors x^eB^-n, et que pceB^ ^ si etseulement si x e B^ ^_ i. Par récurrence sur f, on en déduit que tout élément x e B^ ; s'écrit :x=xpQ-{-pxp^ ' + . . . +p 1 ^,les éléments Xj étant uniquement déterminés modulo p; en particulier, tout élément de B^,s'écrit :x=<+p< -l + . . . + p m - l ^ _ l ;de plus, d'après la remarque initiale de la démonstration de 4.2.2, les éléments pJ x^ J sontuniquement déterminés dans B^. Par ailleurs, B^ est engendrée comme B^ ^-algèbre parl'élément t, qui définit un homomorphisme surjectif
B^TVC?'-^', pT^ -^i-l, ..., ^T-p^B,;

par récurrence sur m, on vérifie que c'est un isomorphisme pour tout i.
Soient alors A ' une A-algèbre, A / / -> A ' un homomorphisme surjectif, tel que j^ A " = 0, et
dont le noyau est muni de puissances divisées. Il existe alors un homomorphisme P :B^ -> A" tel que le diagramme
B.————-B,——^A-

1\

A———^A'soit commutatif, et sa restriction ?' à B^, est uniquement déterminée.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

258

P. BERTHELOT

La construction de ?' se fait comme en 4.2.2, et on rétend à B^ en envoyant T sur unélément î " e A " relevant oc(î); d'après la construction de ?', les relations
pJ^pm-J^p^^)sont alors automatiquement satisfaites.
Pour tout entier v, on note B^^ le produit tensoriel sur B^ de v + 1 facteurs B^, J^ lenoyau de l'homomorphisme canonique B^^ ->• B^, et ^g /g, (v) l'enveloppe à puissances
divisées (compatibles à celle de p) de (B^^ 1 , J^) ([2], 1,2.4.2); la condition de compatibilité
aux puissances divisées de p entraîne que ^g /B' ( v ) est aussi l'enveloppe à puissances divisées(compatibles à celles de p) du noyau de l'homomorphisme composé B^^' - ^ B ^ - ^ A .
On pose S = Spec (A), S, = Spec (BJ, S, = Spec (B,), D^/s;,, (v) = Spec (^ /^ (v)).
Les immersions S-^ S^,S ^ Dg^ (v) sont des objets de CRIS(S/2;i, où S=Spec(Zp). Pourv ^ v ' , les homomorphismes naturels B^1-^ B^^ induisent des homomorphismes^B /B (^"^^B /B' ( v / ) commutant aux puissances divisées; on en déduit en particulierdes" morphismes de CRIS (S/S) :p , : D^(1)-^S,,

i=l,2,^•: D<^(2)^D<^(1),f,;=l,2,3.

Considérons B^®B^ comme B^-algèbre grâce à l'homomorphisme x h-^x(x)l, et montrons
que j^g /g, (1) est alors isomorphe à une algèbre de polynômes à puissances divisées en une
indéterminée sur B^,. On définit un homomorphisme surjectif
B,[X]^B,(g)^B,,
en envoyant X sur l ( x ) T — T ( x ) l ; son noyau est engendré par les élémentsp^X+Ty" ' — p 1 1 ^ ' 1 . On en déduit un homomorphisme surjectif commutant aux puissances
divisées
B,<X>^g^(l),où B^ < X > est l'algèbre des polynômes à puissances divisées en X, à coefficients dans B^.
Pour montrer que c'est un isomorphisme, il suffit, grâce à la propriété universelle desenveloppes à puissances divisées, de montrer que les relations^•(T+xr^p1^-1,
sont vérifiées pour tout i = m dans B^ < X >; mais comme X possède des puissances divisées,pi^+xr~i=pi^"'l=pitpm~\d'où l'assertion.
Soit maintenant E un cristal sur CRIS (S/Z), et posons
M,=r(S,,E^sj),

M=HmM,,
m

4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

259

de sorte que M est un B-module séparé et complet. Comme E est un cristal, il existe desisomorphismes canoniques
P2*(E(s,sJ^E^^^^^^,*(E^sj),d'où un isomorphisme^

P2*(E(s,s,,,))^^*(H(s,sj);

d'après (4.2.1), la restriction de 8 au sous-schéma fermé S^ de D^/s, (1) (par l'immersion
diagonale) est l'identité de E(S sj, et les images inverses ^(e) sur Ds"^(2) vérifient :(4-2-4)^Î3(6)=^Î2(£)^Î3(e).

Compte tenu de ce qui a été vu sur la structure de Q)^ /g, (1), il résulte de [2], II, 4.3.9
que la donnée d'un tel isomorphisme 8 équivaut à la donnée de V^ : M^ -> M^ vérifiant
la relation (i), et tel que pour tout x e M^ on ait V^ (x) = 0 pour q assez grand, d'où la condition (ii) sur M. Ceci définit le foncteur annoncé.
Réciproquement, soit (M, V) vérifiant les conditions (i) et (ii), et posons M^M/^M.
Alors, d'après loc. cit., les opérateurs V^ : M ^ - ^ M ^ induits par V définissent unisomorphisme
8:pf(EJ^p^(E^

vérifiant les conditions énoncées plus haut, E^ étant le faisceau quasi cohérent sur S^ défini
par M^. Pour tout objet (U, T, ô) de CRIS (S/Z), il existe localement sur U un morphisme
P : (U, T, ô) -> (S, S^) d'après ce qui a été vu plus haut; si P i et P^ sont deux tels morphismes,
les composés T -> S^ -> S^ sont égaux, de sorte qu'il existe un morphisme y : T -> S^ Xg, S^
tel que Pi==p; oy; d'après la propriété universelle de l'enveloppe à puissances divisées, y se
factorise par Dg ^<^ (1). Si l'on pose
E(U,T.Ô)=P*(EJ,nealors E(^ T, §) dépend pas, à isomorphisme canonique près, du choix de P : si P i, ?2 sontdeux morphismes (U, T, 8) -> (S, SJ, on en déduit un isomorphismeY*(£):

PÎ(EJ^p,*(EJ,canonique dans le sens où, si l'on a trois morphismes (U, T, 8) -^ (S, SJ le triangle
P3*(EJ- >P*(EJ\ /P2*(EJ

est commutatif grâce à (4.2.4). Ceci permet de définir E^ ^,ô) par recollement lorsque P
n'existe pas globalement sur U; par construction, la famille des E^ ^ §) forme alors un cristal
sur CRIS (S/S), d'où l'équivalence de catégories.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

260

P. BERTHELOT

4.3. Soient S un schéma de caractéristique p , G un schéma en groupes commutatif sur S(ou plus généralement un faisceau abélien sur la catégorie des S-schémas); on pose
Z = Spec (Zp), 2^ = Spec (Z/p"). D'après [3], on peut associer à G un faisceau de ^/^ -modules
sur CRIS (S/S), noté 0(G), contravariant en G et commutant aux changements de baseS' -> S au sens de 2.4.1. Résumons les propriétés de 0 (G) dont nous aurons besoin par lasuite (voir [3], [3 bis]).
4.3.1. Lorsque G est un schéma en groupes fini localement libre sur S, 0 (G) est un cristal,
localement de présentation finie comme (P^-module. Si G est un groupe p-divisible, 0 (G) est
un cristal localement libre, de rang égal à la hauteur de G, et s'identifie naturellement au
cristal associé à G dans [15]; si (U, T, ô) est tel que pn(()^=Q,^(G)(U,T,ô)^(Gn)(U,T,ô)-oùG»=Ker(^).
4.3.2. Soit f§ l'endomorphisme de Frobenius de S, et, pour tout faisceau E sur
CRIS(S/S), posons E^f^cR^E); lorsque E est un cristal, et (U, T, ô) un objet deCRIS (S /Z) tel qu'il existe un morphisme a : T -^ T relevant fy, et commutant aux ô i, il existe
donc un isomorphisme canonique(4.3.1)^*(H(U.T,Ô))^%T,Ô).

Si G est un schéma en groupes commutatif sur S (resp. un groupe p-divisible), on obtientpar fonctorialité des homomorphismes (9^^ -linéaires
F :0 (GY -> 0 (G),V :0 (G) -^ 0 (G)0,ntels que FV=p, VF=p.
4.3.3. Supposons que S = Spec (A), où A est un anneau parfait. Si G est un schéma engroupes commutatif, fini localement libre sur S (resp. un groupe p-di visible), le cristal 0 (G)est défini d'après 4.2.2 par le W(A)-module :(4.3.2)

D(G)=F(CRIS(S/^), 0(G)).

D'après 4.3.2, D (G) est muni d'une structure de D^-module. D'autre part, il existe unhomomorphisme canonique ([3], 4.3) :(4.3.3)

M (G) = Hom^ (G, CW) ^ D (G),semi-linéaire par rapport à l'automorphisme de Frobenius a de W(A), commutant à F et V.
Si S est le spectre d'un corps parfait, on vérifie, par passage à la clôture algébrique et dévissage
en groupes de rang p, que l'on obtient ainsi un isomorphisme(4.3.4)

N^G^^^G),

où M (G)0 est déduit de M (G) par l'extension des sclaires a (cf. [3 bis]).
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ

261

Lorsque A vérifie les hypothèses des sections précédentes, on en déduit l'énoncé suivant :PROPOSITION 4.3'. 4. — Soient A un anneau parfait intègre, dont les localisés sont des corps
ou des anneaux de valuation, S = Spec (A), G un schéma en groupes commutatif,fini localement
libre sur S (resp. un groupe p-divisible). Alors l'homomorphisme canonique(4.3.4)

IV^G^-^G)

est un isomorphisme de D /^-modules.
Supposons d'abord que G soit fini, annulé par p". Soient p un idéal premier de A,
Gp = G x g Spec (Ap), G (p) = G x 5 Spec (k (p)). Comme p " 0 (G) == 0, il résulte de (4.2.3) et(4.3.2) que
D (G) = F (Spec W^ (A), 0 (G(S, specw^ ^la formation du cristal D (G) commutant aux changements de base S'-^S, leshomomorphismes
D(G)®w(A)W(A,)-^Di(i^D(G)(g)^,W(/c(p))^D(G(p)),

sont des isomorphismes. Comme les homomorphismes analogues pour M (G) sont aussi desisomorphismes, on est ramené au cas où A est un anneau de valuation parfait. Comme M (G)est sans torsion, et que (4.3.4) est un isomorphisme au-dessus du point générique de S,(4.3.4) est injectif; puisque D(G) est un W(A)-module de type fini d'après 4.3.1, et que(4.3.4) est un isomorphisme sur k(p), (4.3.4) est aussi surjectif.
Le cas où G est un groupe p-divisible résulte alors du cas où G est fini par passage à lalimite, d'après 3.4.3 et 4.3.1.
4.4. On reprend maintenant les notations de 4.2.3. Si a est l'automorphisme deFrobenius de W, on note encore a l'endomorphisme de B (resp. C) défini par^(E^^ZCT^,)^.
ii

Si E est un cristal sur A (resp. K) relativement à S = Spec (Zp), correspondant par 4.2.3 à un
B-module M (resp. C-module) muni d'une connexion, il résulte de (4.3.1) que le cristal E^
correspond au B-module M" (resp. C-module) déduit de M par l'extension des scalaires a.
DÉFINITION 4.4.1. — Soit S un schéma de caractéristique p. On appelle F-cristal sur S ladonnée d'un cristal E sur S, localement libre de rang fini, et d'un homomorphisme linéaire F :E" -> E tel qu'il existe un entier n et un homomorphisme linéaire V : E -> E 0 vérifiant¥\=p\W=p\
Pour û^ 1, on note E00 le faisceau déduit d'un faisceau E sur CRIS (S/Z) en appliquant afois le foncteur M 0 . Par abus de langage, nous appellerons aussi F-cristal la donnée d'uncristal E localement libre de rang fini, et d'un homomorphisme linéaire F : E^ -> E commeplus haut.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

262

P. BERTHELOTSi G est un groupe p-divisible sur S, 0 (G) est de façon naturelle un F-cristal d'après ce qui
précède. Un F-cristal sur A (resp. K) s'identifie donc à un B-module libre de rang fini M (resp.
C-module), muni d'une connexion V vérifiant les conditions de 4.2.3, et d'unhomomorphisme F : M° -> M, commutant à V, tel qu'il existe n, V : M -> M 0 , avec FV=p",
VF=p". Un homomorphisme de F-cristaux s'identifie à un homomorphisme B-linéaire
(resp. C-linéaire) M -> M', commutant à V et F.
On conjecture que le foncteur qui à un groupe p-divisible G associe le F-cristal D (G) est
pleinement fidèle, pour des bases S assez générales. Il est donc naturel de retranscrire leproblème 4.1 en un problème sur les F-cristaux. Observons que si E est un F-cristal sur A,
défini par un B-module libre de rang fini M muni de V, F, sa restriction E^ à CRIS (K/Z) est
définie par le C-module
N =mn E(sp,^), Spec(CJ) ^lim ^Spec^A), Spec(B,, ®B,, €„ ^ M (g)g C,nn

puisque E est un cristal, libre de rang fini; de plus N est muni des endomorphismes V, F définisde manière évidente par ceux de M.
PROBLÈME 4.4.2. - Soient E, E' deux V-cristaux sur A=/c [[î]]. U homomorphisme
canonique (où Hom est l'ensemble des homomorphisme s de ¥-cris taux) :Hom(E, E')-Œom(E^, E^)
est-il un isomorphisme ?
D'après la description précédente du foncteur qui à E associe E^, cet homomorphisme est
toujours injectif. On ignore par contre s'il est toujours surjectif; nous donnerons plus bas un
exemple où il en est ainsi.
Le lien entre les problèmes 4.4.2 et 4.1 est alors fourni par le résultat suivant.
THÉORÈME 4.4.3. - Soient G, G' deux groupes p-divisibles sur A, E et E' les V-cristaux0(G), O(G'). Si Fhomomorphisme
Hom(E', E) -^ Hom(ËK , E^)
est un isomorphisme, il en est de même de r homomorphisme
Hom (G, G')-^Hom(GK, G^).
On note A, K les clôtures parfaites de A, K; A est un anneau de valuation parfait, de corps
des fractions K.
Soit (p : GK -> GK. Par fonctorialité, (p définit un morphisme de F-cristaux0((p) :

O(GK)-^O(GK).

Si l'on suppose que Hom (E\ E) -> Hom (E^, EJ est surjectif, il existe un morphisme deF-cristauxu:
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?20(G')-^0(G),THÉORIE DE DIEUDONNÉ

263

induisant 0 ((p) par le changement de base A -> K. Par extension des scalaires de A à A, on
obtient un morphisme de F-cristauxu^:G^G^-^G)^et comme la formation de 0 (G) commute aux changements de base, on peut considérer u-^comme un morphismeu-,:

D(G^D(G^).

Identifiant un cristal sur À à un W(A)-module, 0 (G^) et O(GA) s'identifient à M(GA)° etN^G^r d'après (4.3.2) et (4.3.4). De plus, l'homomorphisme u-^ est W(A)-linéaire, etcommute à F; comme M(G^) et M(G^) sont libres sur W(A), donc sans p-torsion, u^
commute aussi à V, et u^ s'identifie à un homomorphisme D^-linéaire M (G^)0 -> M (G^)0.
D'après 3.4.3, il existe alors un homomorphisme \|/ : G^ -> G^ tel que
BW=U^de plus, l'homomorphisme vj/^ : G^ -> G^ induit sur les cristaux l'homomorphismeo(^)=ow^=M^=(^)^=o((p)^=o((p^).
Comme le foncteur 0 s'identifie sur K au foncteur M 0 , il est fidèle, et par suite^K=^PK-

Si Gn, G'n sont les noyaux de la multiplication par p " sur G, G ', et si R^, R,, sont leurs algèbres
sur A, ce sont des A-modules libres de rang fini, et par suite l'homomorphisme (p est défini pardes matrices à coefficients dans K n A =A, ce qui prouve le théorème.
4.5. Avant d'appliquer 4.4.3 à la démonstration d'un cas particulier du « théorème deTate », observons que la réponse au problème 4.4.2 ne dépend que de la classe des cristaux E
et E' à isogénie près.
DÉFINITION 4.5.1. — Un morphisme de Y-cristaux f: E —> E' est une isogénie s'il existe unentier n et un morphisme de Y-cristaux g : E' -> E tels que g of= pn,fog= p " .
Une isogénie entre groupes p-divisibles induit par fonctorialité une isogénie entre lesF-cristaux associés.
Si la base est k [[t]\ [resp. k ((î))], de sorte que E et E' s'identifient à des B-modules M et M'(resp. C-modules) munis de V, F, alors l'homomorphisme M -> M'identifie M à un sousmodule de M', stable par V et F, tel que p"M'<=M.
PROPOSITION 4.5.2. — Soient E, E\ D, D' quatre F-cristaux sur A = k [[?]], u : D —> E,
v : E' —> D' deux isogénies, f : E^ —> E^ un morphisme de ¥-cristaux sur K = k ((t)). Alors f est
défini sur A si et seulement si v^ °f°u^ est défini sur A.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

264-

P. BERTHELOT

Pour que / soit défini sur A, il faut et suffit que, si l'on identifie E, E' à des B-modules libres
de rang fini M, M' munis de F, V, e t / à un homomorphisme M ®i^ C-> M'(x)p C
commutant à V et F, f(x} appartienne à M' pour tout x e M (en identifiant M et M' à desréseaux de M ®g C, M' ®g C).
Le W-module quotient C/B est l'ensemble des séries formelles restreintes de la forme
Z a,t\
i = — ooet est sans p-torsion. Par suite, si M est un B-module libre, et si x e M 00g C est tel que px e M,
alors x e M. Soient N, N' les B-modules (munis de V, F) définissant D, D'; les isogénies u et v
identifient N à un sous-module de M, M'à un sous-module de N\ Supposons alors que v^ofsoit défini sur A; pour tout xe M, on adonc/(x)eN'. Or il existe ntelquep"N'c=]Vr,donc
p " f(x)e M', et f(x)e M' d'après la remarque précédente. On procède de même pour / ou^.
Remarque 4.5.3. - II est facile de vérifier l'analogue de 4.5.2 pour les groupes
p-divisibles, soit par 4.4.3, soit plus simplement directement.
4.6. Rappelons que si k est un corps algébriquement clos, la catégorie des F-cristaux à
isogénie près sur k est semi-simple, et tout F-cristal sur k est isogène à un F-cristal E défini par
un W-module de la forme
M=(X)(WJF]/(F S -p r )^,avec ^ = r / s , ( r , 5 » = l ,'ke<Q>X^O

où (F5 - p 1 ' ) est l'idéal à gauche engendré par F5 -p\ l'endomorphisme F de E étant défini parla multiplication à gauche par F sur M (théorème de Dieudonné-Manin, cf. [14] ou [5], IV,§ 4). Les nombres rationnels À< tels que d^ ^ 0 sont les pentes de M, et permettent de construire
un polygone convexe, dont les côtés ont pour pente À. et une projection horizontale delongueur s ^ d ^ , appelé polygone de Newton du F-cristal. Sa connaissance équivaut donc à laconnaissance du F-cristal à isogénie près.
Si S est un schéma de caractéristique p, et E un F-cristal (resp. G un groupe p-divisible) sur
S, et si k(x) est une clôture algébrique du corps résiduel en un point xeS, les pentes et lepolygone de Newton de E (resp. G) au point x sont par définition ceux du F-cristal déduit deE par le changement de base Spec(fc(x)) -> S [resp. du module de Dieudonné deG X g Spec(fc(5))]. Par ailleurs, les définitions s'étendent au cas plus général d'un cristal E
localement libre de rang fini sur (9^/^, muni d'une isogénie F : E"0 -> E pour un certain
entier a.
Soient de nouveau k un corps parfait, A=fc[[t]], S=Spec(A), B=W[[r]]. Nous allons
considérer dans la suite le cas particulier des F-cristaux sur S dont le polygone de Newton est
constant sur S (rappelons que dans le cas général, le polygone de Newton s'élève parspécialisation, d'après un théorème de Grothendieck [11]). Le résultat suivant, dû à Katz([13], cor. 2.6.3), est la clé de la structure à isogénie près d'un tel F-cristal, les pentes étant ici
supposées entières.
4e SÉRIE - TOME 13 - 1980 - ?2

THÉORIE DE DIEUDONNÉ265

THÉORÈME 4.6.1.- Soit E un ¥-cristal sur S, avec F : W -> E, dont le polygone de Newton
est constant sur S, et dont les pentes sont des entiersr^<r^<. . . <r^
Alors E est isogène sur S à un ¥-cristal Ê possédant une filtration par des sous-V-cristaux0=ÊoC=ÊiC...ŒÊ^==Ê,telle que les Ê ^ / Ê t - i soient libres de rang fini, et que :(i) sur chaque Ë / Ê , _ i , F^-F,, avec F, : (Ê/Ê.-if ^ Ê / Ê , _ i ;(ii) sur chaque Ê ^ / Ê ^ _ i , F; est un isomorphisme.
De plus, cette filtration possède un scindage unique sur la clôture parfaite À de A.
Explicitons le foncteur de changement de base de A à A, en termes des descriptions 4.2.2
et 4.2.3. D'après 4.2.3, la donnée d'un homomorphisme p : B - ^ W ( A ) relevantrhomomorphisme A -> A équivaut à la donnée d'un élément de W(A) relevant l'élément
te A. On définit donc un tel homomorphisme en posantp(r)=F=(r,0, ...).
Si E est un cristal sur A, l'homomorphismeE(A.W,,[[f1]) ® WJ[t]] W ^ ( A ) -> E^ WJA))

est un isomorphisme pour tout n. Le foncteur de changement de base peut donc s'interpréter
comme le foncteur qui à un B-module M, libre de rang fini et muni d'une connexion V,
associe le W(A)-module M 00g W (A), ce dernier ne dépendant pas, à isomorphisme
canonique près, du choix fait pour définir p, grâce à la connexion V sur M.
THÉORÈME 4.7.1. - Soient E, E' deux V-cristaux sur S=Spec(fe[[r]]), avec Fg : E00 -^ E,
FE, : E^" -> E, tels que leurs polygones de Newton soient constants sur S, et soient E^ et E^
leurs fibres génériques. Alors rhomomorphisme canonique
Hom (E, E') -> Hom (E^, EK )est un isomorphisme.
Notons encore p l'homomorphisme

C=hmWJ[r]][l/r]-W(K)envoyant t sur F=(r, 0, . . .); l'homomorphisme canoniqueW»(A)®B,,C^WJK)
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P. BERTHELOT

est alors un isomorphisme. D'autre part, W^(A) est fidèlement plat sur B^ : en effet,
d'une part
WJA)®^(B^BJ^WJA)/pWJA)^A
est plat sur B ^ / p B n = A , puisque sans r-torsion; d'autre part,
Tor^WJA^/pB^O,
comme le montre la résolution...^B^B^B^B^/pB^O,de B^/^B^; par suite WJA) est plat sur B^, donc fidèlement plat puisque p est un
homomorphisme local d'anneaux locaux. Par conséquent, l'homomorphisme
p : C,/B^W,(K)/W,(A)^WJA)0^(C,/BJ
est injectif. Or, pour montrer qu'un homomorphisme E^ -> E^ est défini sur A, il suffit devérifier que pour un choix de bases sur B de E et E', il est défini par une matrice à coefficientsdans B; il suffira donc de faire cette vérification après extension des scalaires à W(K).
Comme il existe un entier b tel que F^ et ¥^ aient des pentes entières, on peut supposer que
E et E' ont des pentes entières. D'après 4.5.2, on peut les remplacer par des F-cristauxisogènes, de sorte qu'on peut supposer qu'ils possèdent une filtration vérifiant les conditions
de 4.6.1. Passant à la clôture parfaite de A, cette filtration est scindée sur A, ce qui nous
ramène au cas de F-cristaux où F est de la forme j^cp, (p étant un isomorphisme E00 ^> E.
Mais si E est de pente r, et E' de pente r', avec r'^r, le théorème de semi-simplicité de lacatégorie des F-cristaux à isogénie près sur un corps algébriquement clos montre que tout
morphisme de E^ dans E^ est nul. On peut donc supposer que la pente r est la mêmepour E et E'.
Notons v la valuation de K; son groupe des ordres est Z[l/p]. On définit une familled'applications
œ, : W ( K ) - ^ Z [ l / p ] u { + 0 0 } ,n^O,en posant, pour x=(xo, . . . , x^, . . . ) :œ,(x)= Inf v ( x , ) / p 1 .
O^i^nCompte tenu de l'isobarité des polynômes S^ et P(, on vérifie facilement les relations(i) x = O ^ V ^ œ^(x)= +00; x e W J A ) o V / î , œ,(x)^0;(ii) œjx+j0^1nf(œjx),œj.y));(iii) ©„ (xy) ^ œ^ (x) + ©„ (}Q; co^ (ax) = v (a) + ©„ (x) pour a G A;(iv) ©Jj?x)=cù^_i(x);(v) œja(x))=pœjx).
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THÉORIE DE DIEUDONNÉ

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Si r=(y^) est une matrice à coefficients dans W(K), on pose
œ,(F)=InfcùJy,,),et les relations précédentes restent vérifiées. Enfin, si E et E' sont des modules libres de rang
fini sur W (A), munis de bases (e,) et (e\ ) sur W (A), et si u : E (x) W (K) -^ E' ® W (K) est une
application linéaire de matrice F dans les bases (e^ et (e[), on pose©j^)=œjr),et cette définition est indépendante du choix des bases sur W(A). En particulier, si v est un
isomorphisme défini sur W(A),œ^ (u) == œ^ (i;~ 1 o v o u) ^ cùn (v~1) + œ^ (v o u) ^ œ^ (r o u) ^ co^ (î;) + o)/, (u) ^ œ» (^),
donc pour tout n et tout u :œJi;on)==œjM);de même,œJuoi?)=œ»(M).

Soit alors M : E^ -^ E^ un morphisme de F-cristaux, où E et E' sont tels que Fg =p r (pg,FE' =?'' (pg', (RE et (pg, étant des isomorphismes. Puisque u commute à Fg et Fg., et que E' estsans p-torsion, le diagrammeE0"—u——^^a
<PE ^

^ ^E'
«

E ————-E'
est commutatif. On en déduit pour tout n :œ„(M)=œJMo(pg)=œJ(pE,o^)=cùJM (CTfl) )=p a œJK),d'où œ^(u)=0 ou œ^(^)= +œ; par suite, œ^(u)^0 pour tout n, et u est défini par un
morphisme de F-cristaux E -> E'.
THÉORÈME 4.7.2. — Soient S un schéma connexe normal de caractéristique j?>0, K
le corps des fonctions rationnelles sur S, G et H deux groupes p-divisibles sur S, de fibres
génériques G^, H^. On suppose que les polygones de Newton de G et H sont constants
sur S. Ators Uhomomorphisme canonique
Homg (G, H) -^ HoniK (GK , H^ )est un isomorphisme.
Le dévissage de 4.1 conservant l'hypothèse sur G et H, on est ramené à S=Spec(A;[[r]]).
L'énoncé résulte alors de 4.7.1 et 4.4.3.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

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(Manuscrit reçu le 4 avril 1979.)
P. BERTHELOT,
Université de Rennes-I,
U.E.R. de Mathématiques et Informatique,
Campus de Beaulieu,
35042 Rennes Cedex.

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