A NNALES SCIENTIFIQUES DE L’É.N.S.

P IERRE B ERTHELOT
D -modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau finiAnnales scientifiques de l’É.N.S. 4e série, tome 29, no 2 (1996), p. 185-272<http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1996_4_29_2_185_0>© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1996, tous droits réservés.
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Ann. scient. Ec. Norm. Sup.,4e série, t. 29, 1996, p. 185 à 272.

P-MODULES ARITHMÉTIQUES I.
OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS DE NIVEAU FINIPAR PIERRE BERTHELOT

ABSTRACT. - Let p be a prime number, S a Z(p)-scheme, X -^ S a smooth morphism of schemes. Using aweaker form of thé classical notion of divided powers on an idéal, we construct on X an inductive System ofsheaves of differential operators P^ , which are locally generated by divided powers of dérivations up to orderp^, and therefore hâve better finiteness than thé usual sheaf of differential operators. On a smooth p-adic formai
scheme X, we aiso introduce thé p-adic completion T>^ of V^ , and thé sheaf T>\ = lim^n T>^ . We provethat thé sheaves "D^ and T>^ g = T) ^ 0 Q are cohérent, and that theorems A and B hold for cohérent modules
on thèse rings. Finally, we construct analogous sheaves of differential operators with overconvergent singularities
along a divisor, and show that overconvergent isocrystals can be viewed as cohérent modules over thèse rings.

Introduction
Cet article est le premier d'une série consacrée au problème des six opérations deGrothendieck pour la cohomologie j)-adique des variétés algébriques sur un corps k decaractéristique p.
Grâce à la cohomologie rigide ([2], [5]), on peut définir, pour tout fc-schéma séparé
de type fini X, des groupes de cohomologie j?-adique qui généralisent d'une part lacohomologie cristalline lorsque X est propre et lisse sur k, d'autre part la cohomologie deDwork-Monsky-Washnitzer lorsque X est affine et lisse sur k. Par contre, on ne disposait
pas jusqu'ici, dans le cas p-adique, d'une catégorie de coefficients suffisamment stable
par les opérations usuelles (et en particulier par image directe) pour pouvoir utiliser avec
toute leur puissance les méthodes géométriques standard en cohomologie complexe ou en
cohomologie ^-adique. Les seuls coefficients étudiés jusqu'à présent sont les isocristaux,qui constituent une extension aux variétés de caractéristique p de la notion de fibre àconnexion intégrable, et ne sont donc pas stables par image directe par un morphisme
quelconque, notamment par une immersion. Rappelons néanmoins que, dans certaines
situations géométriques favorables comme la réduction semi-stable, l'introduction desschémas logarithmiques ([18], [25], [28], etc.) permet d'étendre les résultats dont on disposeclassiquement dans le cas de morphismes propres et lisses. Par contre, dans des situations
plus générales, des phénomènes spécifiques à la caractéristique p et plus difficilement
accessibles par les techniques logarithmiques peuvent se produire. Par exemple, dans le casde revêtements sauvagement ramifiés, des singularités irrégulières peuvent apparaître : les
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p. BERTHELOT

isocristaux de Dwork, fournis par le revêtement d'Artin-Schreier ([17], [3]), en constituent
un exemple. Il est alors intéressant de disposer de coefficients plus généraux.
Pour essayer de construire une catégorie de coefficients stable par les six opérations,la démarche que nous entreprenons s'inspire de la théorie algébrique des « coefficientsde de Rham » en caractéristique 0. Cette théorie, dont l'existence avait été conjecturéepar Grothendieck vers le milieu des années soixante (elle est notamment sous-jacente aux
questions posées dans [21] sur l'algébricité de la suite spéciale de Leray - voir aussi[22, 1.5]), résulte des travaux de Deligne sur les fibres à connexion régulière [16], etdu développement de l'analyse algébrique, grâce aux travaux de Sato-Kashiwara-Kawai,Bernstein, Mebkhout, etc. La correspondance de Riemann-Hilbert, établie par Kashiwara([26], [27]) et Mebkhout ([32], [33]), fournit le lien entre la théorie algébrique des systèmes
différentiels, et la théorie topologique des faisceaux constructibles : rappelons qu'on peut
associer, à toute variété algébrique lisse X sur C, la catégorie dérivée bornée D^ (Px)des complexes à cohomologie holonome ; c'est une sous-catégorie pleine de la catégorie
dérivée des modules à gauche sur le faisceau T>x des opérateurs différentiels de X, qui
vérifie les propriétés suivantes (voir [11], [34]) :a) Pour X variable, D^ (Dx) est stable par les quatre opérations de base de la théorie
des Vx -modules : dualité interne, produit tensoriel externe, image directe ordinaire, image
inverse exceptionnelle ;b) Si D\ (C_x) désigne la catégorie dérivée bornée des complexes de C-espaces vectoriels
à cohomologie constructible sur l'espace analytique X^ associé à X, il existe un foncteur
DR : D^(Vx) -^ D^(Cx\ et une sous-catégorie pleine D^ (Vx) de D\ (Dx\ lacatégorie dérivée bornée des complexes à cohomologie holonome régulière, tels que larestriction de DR à D^ (Dx) soit une équivalence de catégories, et commute aux quatre
foncteurs précédents.
Rappelons de plus que les six opérations cohomologiques de Grothendieck sur D\ (C_x)(à savoir (g), T^om, /*, /„, /', /i) peuvent être reconstruites à partir des quatre foncteursprécédents (voir [34,119.3.1]).
Soient maintenant k un corps parfait de caractéristique p, W = W(k) l'anneau desvecteurs de Witt à coefficients dans k, et X une variété lisse sur k. La méthode que nous
commençons à développer ici consiste à supposer dans un premier temps X relevable en
un schéma formel X lisse sur W, et à construire sur X une famille de faisceaux d'anneauxd'opérateurs différentiels T>y\ ayant pour limite inductive un faisceau T)\ qui opère
naturellement sur divers Ox -modules liés à la construction de la cohomologie rigide de X.
L'idée de base consiste à remplacer le faisceau des opérateurs différentiels usuels 2^,
engendré par la famille de tous les opérateurs de la forme 9^/p^!, où les Qi sont lesdérivées partielles par rapport à un système de coordonnées locales, par une famille defaisceaux d'opérateurs différentiels V^ engendrés par un nombre fini de tels opérateurs;
un exemple classique en cohomologie cristalline en est le faisceau engendré par les seules
dérivations, noté ici Py, dont l'action équivaut à la donnée d'une connexion intégrable.
Il est alors frappant de constater que la description du faisceau P^ obtenu par complétion
et passage à la limite inductive à partir des faisceaux V^ fait apparaître les conditions
de convergence de Monsky-Washnitzer. Il semble donc naturel d'espérer que les propriétés
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de finitude de la cohomologie de Monsky-Washnitzer - et, plus généralement, de lacohomologie rigide - proviennent de propriétés de finitude sur le faisceau T>\ q := PJ^Q,de même que la finitude de la cohomologie de de Rham d'une variété X sur uncorps de caractéristique 0 résulte de la préservation de l'holonomie par les opérations
cohomologiques sur les T^-modules. On peut en tous cas montrer que T>\ g est un
faisceau d'aneaux cohérent (quoique non nœthérien), et définir pour les T^ o-modules
à gauche cohérents (éventuellement munis d'une action de Frobenius) des opérations
cohomologiques et une notion d'holonomie prolongeant celles dont on dispose pour les
Vx -modules holonomes en caractéristique 0. On peut alors raisonnablement conjecturerque, pour X propre et lisse, la catégorie dérivée D^ (T^ q,) est stable pour ces opérations.
De plus, la catégorie D^ (V\ q) et 1e8 opérations cohomologiques correspondantes nedépendent, à isomorphisme canonique près, que de la réduction modulo p des schémasconsidérés, et on espère pouvoir étendre leur définition au cas d'un fc-schéma de type finiarbitraire par plongement dans un schéma propre et lisse.
Les premiers résultats dans cette direction ont été annoncés dans [4], où nous avons
aussi montré comment, lorsque X est propre sur fc, la cohomologie rigide d'un ouvert Y de
X peut être calculée comme cohomologie de de Rham d'un complexe de T)\ g-modules.
Dans le présent article, consacré à la construction et aux propriétés de cohérence desanneaux d'opérateurs différentiels considérés, nous donnons la démonstration complète deces résultats, en les généralisant au cas des opérateurs à singularités surconvergentes lelong d'un diviseur. La définition et les propriétés des opérations cohomologiques sur les
T>\ o-modules, ainsi que leur caractère intrinsèque par rapport à X, seront l'objet desarticles suivants.
La construction des faisceaux d'opérateurs P^ , qui s'applique à tout schéma lisse surune base où les entiers premiers à un nombre premier p donné sont inversibles, repose
de manière essentielle sur un affaiblissement de la notion d'idéal à puissances divisées :pour un entier m fixé, et un idéal 1 donné, on requiert seulement de pouvoir définir
les puissances divisées des éléments x^, avec x G 1 (cf. 1.3.1 pour une définition en
forme de cette structure, que nous appellerons PD-structure partielle de niveau m sur /).
La première partie de cet article est consacrée à l'étude de cette notion, qui redonne lanotion usuelle pour m = 0 ; pour la commodité des références ultérieures, nous y avons
regroupé des définitions et résultats dont certains ne seront utilisés que dans les articles
suivants. Mentionnons ici qu'une telle structure permet encore de définir pour tout k > 1
des applications de puissances divisées partielles de / dans /, notées x i—> x^\ qui satisfont
des relations analogues aux relations habituelles entre puissances divisées, voir 1.3.5 ; enparticulier, elles vérifient les relations q\x^ == rc^, avec k = p^ q + r, 0 < r < ^ m .
Partant d'un idéal 1 arbitraire, on dispose encore d'une construction universelle fournissantune « enveloppe à puissances divisées partielles de niveau m » de I. Appliquée à l'idéal
d'augmentation d'une algèbre de polynômes A[t], elle définit une algèbre de polynômesà puissances divisées partielles de niveau m, qui est un A-module libre ayant pour baseles « monômes » t^.
Signalons au passage que l'idéal maximal d'un anneau de valuation discrète d'inégales
caractéristiques peut toujours être muni d'une PD-structure partielle de niveau m si m est
assez grand. On peut alors utiliser les PD-structures partielles pour construire des variantes
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188

P. BERTHELOT« de niveau m » du site cristallin usuel, qui permettent dans certains cas d'obtenir desrésultats lorsque la base est un anneau de valuation discrète de ramification arbitraire :par exemple, on peut de la sorte donner une démonstration du théorème de comparaison(à isogénie près) entre cohomologie cristalline de X et cohomologie de de Rham de X
identique à celle dont on dispose pour e < p — 1, et ne faisant donc pas appel à l'action
du Frobenius comme dans [10]. De même, combinant ces techniques avec les résultats dela dernière partie du présent article, il est possible de donner une construction de nature
cristalline de la cohomologie rigide. Ces questions ne seront pas abordées ici, mais nous
y reviendrons dans un article ultérieur.
Suivant la méthode utilisée par Grothendieck dans [EGA IV], nous définissons dansla deuxième partie les faisceaux V^ en dualisant les enveloppes à puissances divisées
partielles mlpotentes P^ ç ^ de l'idéal de la diagonale. Le résultat essentiel 1.5.3, qui étend
aux enveloppes à puissances divisées de certains idéaux réguliers la description donnée
plus haut pour une algèbre de polynômes, fournit le théorème de structure des faisceauxV^ /^ grâce auquel on peut décrire explicitement les faisceaux d'opérateurs différentiels
obtenus. On montre ainsi que les î ^ 7 sont engendrés par les opérateurs de la forme
9f / p 3 !, avec j ^ m. Par exemple, si V est un anneau de valuation discrète d'inégales
caractéristiques (0, p), de corps des fractions K et si X = A^, est la droite affine sur V,
on dispose d'homomorphismes injectifsr(ft^ p^)) ^ r(A^ Px) - r(A^ PxJ = K[t^ ô],où t est une coordonnée sur A^ et 9 la dérivation correspondante. Cette injection identifie
alors r(A^, T^) à la sous-V-algèbre V[t, <9, (9^!,..., ô^/^!] de K[t, <9], qu'on
peut encore décrire comme étant le sous-V [t]-module libre ayant pour base les opérateursq\ 9k|k\, où k = p^ q + r, 0 < r < j^.
Si V est complet, et si X est un V-schéma formel lisse, nous introduisons ensuitele complété p-adique T^ de V\ \ et nous donnons alors la description en termes deconditions de Monsky-Washnitzer du faisceau PJ^, défini comme limite inductive desfaisceaux V\ \ Ainsi, si l'on considère le cas où X == SpfV{^} est la droite affine
formelle sur V, on vérifie que T{X^ PJ^) peut être décrit parr ( ^ 2 ^ ) = { ^ a^f^/fc!
U,A;>0o^fc ^ V; Vfc, a^k -^ 0 pour i —^ +00;
3c, r] ç R, T] < 1, tels que V%, fe, a^k\ < cr]1^

Dans la troisième partie, nous étudions les propriétés de cohérence des faisceaux î^
et V\ p. A la différence du faisceau V^ des opérateurs différentiels usuels, les faisceaux
Vy sont des faisceaux d'anneaux nœthériens. Pour la commodité des références, nous
rappelons d'abord brièvement comment s'étendent au cas non commutatif les résultats
classiques sur les complétés d'anneaux nœthériens. Nous en déduisons la cohérence desfaisceaux P^, et les théorèmes A et B pour les V^ -modules cohérents, ainsi que lesrésultats analogues pour î^q = T^ 0 Q. Le résultat le plus important de cette partie
est alors le théorème 3.5.3, établissant la platitude de V^^ sur î^o. La cohérence du
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faisceau T>^ ^ en résulte, de même que les théorèmes A et B pour les 2^ q-modules
cohérents.
Les résultats précédents sont en fait prouvés dans un contexte plus général, permettant
de les appliquer aux opérateurs différentiels à coefficients dans une 0^ -algèbre B munie
d'une action de V\ . Dans la dernière partie, nous considérons une immersion ouverte
j : y <-^ X, de réduction Y ^ X sur fc, telle que le complémentaire de Y soit le support
d'un diviseur Z C X. Nous montrons alors comment associer de manière canonique à ces
données des faisceaux de 0^-algèbres B^ (Z), munis d'une action de V\ , qui sontdes modèles entiers de certaines algèbres de fonctions « surconvergentes » le long de Z
(au sens de la cohomologie rigide [2]). En passant à la limite inductive sur m, on obtientle faisceau, noté 0^ ^Z), des fonctions sur y à singularités surconvergentes le long de Z,
grâce auquel on définit un faisceau d'opérateurs différentiels sur X, noté PJ^ ( ^ Z ) , dont lescoefficients appartiennent à 0^ ( ^ Z ) . Si l'on reprend l'exemple de la droite affine formelle
sur V considéré plus haut, avec pour diviseur Z = {0}, on obtient ainsi pour sections
globales de PJ^ ( + Z)q; l'anneau d'opérateurs différentielsr(^p^(tz)Q)

E '

ai k

iç.1
k>0

^fc/U

'

a^k
Vfc,
0 pouri —>" • i , fÇc K;t^
V A ; , a^k
Q ; ^ f c—^-^U
pULLI •i-^ +00;-hW,
3c, r] ç R,r] < 1, tels que V%, k, \a^k\ < C^+^P^-^

dont les coefficients convergent hors d'un disque de rayon <1 à l'origine. L'introduction dufaisceau P1^ (^Z), qui est un sous-faisceau du faisceau image directe usuel j^ P^, permet
de donner un sens à la notion de « Vq -module sur Y à singularités surconvergentes lelong de Z ». Par une extension du théorème de platitude 3.5.3, nous montrons la cohérence
du faisceau V\ ( ^ Z ) q ' Nous montrons également la fidèle platitude sur T>\ (^^ dufaisceau j^ "Dy o. Enfin, nous terminons ce premier article en montrant que les isoscristaux
sur Y, surconvergents le long de Z, peuvent s'interpréter comme des 2^ (+Z)Q-modules,
cohérents sur Ox (^(Q et sur T)\ (^Q, (théorèmes 4.4.5 et 4.4.12), étendant ainsi lesrésultats obtenus dans [4] pour les isoscristaux convergents. Le lecteur pourra se reporterà [4] ou à [20] pour différents exemples de T>^ ^-modules cohérents en liaison avec lacohomologie rigide.
Rappelons pour finir que Mebkhout et Narvaez ont également entrepris l'étude descoefficients p-adiques [35], par des méthodes voisines, mais quelque peu différentes desnôtres, reposant sur la notion de schéma faiblement formel introduite par Meredith [36]plutôt que sur les schémas formels classiques utilisés dans le présent article. L'avantage
du point de vue que nous adoptons ici est de permettre de travailler module j?\ et de biense prêter aux comparaisons avec la cohomologie cristalline et la cohomologie rigide. Pour
pouvoir prendre en compte les conditions de surconvergence à l'infini dans le cas d'unevariété ouverte, nous serons alors amenés à introduire une compactification de celle-ci, età utiliser les techniques que nous commençons à développer dans la quatrième partie decet article pour l'étude de la surconvergence à l'infini.
Dans les articles suivants de cette série ([6], [7]), nous commencerons l'étude desfoncteurs image inverse et image directe. En particulier, nous montrerons la conservation
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

190

P. BERTHELOTde la cohérence par image inverse par un morphisme lisse, et par image directe par un
morphisme propre, ainsi qu'un théorème de descente par Frobenius qui joue un rôle crucial
dans la théorie des V\ g-modules. Dans un article ultérieur, nous construirons la variété
caractéristique d'un V\ g-module muni d'une action de Frobenius (que nous appellerons
F-V^ g-module), et nous prouverons l'inégalité de Bemstein, ainsi qu'un théorème del'indice analogue à celui de Dubson (cf. [15], [31]) pour les F-T)\ ^ -modules holonomes
sur un schéma propre et lisse.
La gestation de cette théorie a beaucoup bénéficié des discussions que j'ai pu avoir avec
G. Laumon et Z. Mebkhout, à qui je tiens à exprimer toute ma gratitude. La rédaction duprésent article a été achevée lors de séjours effectués en 1993 au Mathematical Sciences
Research Institute, Berkeley, et à l'Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences,
Cambridge : qu'ils soient aussi remerciés pour l'excellente ambiance de travail que j'ai
pu y trouver.

Conventions générales
Dans tout cet article, on fixe un nombre premier p, et on note Z(p) le localisé de Z parrapport à l'idéal (p). Pour tout anneau de valuation discrète d'inégales caractéristiques(0, p), la valuation p-adique est normalisée par Vp (p) = 1, et la valeur absolue
correspondante définie par |a| = p""^^).
Nous adopterons les conventions usuelles de l'analyse concernant les multi-indices ;nous noterons 1^ le multi-indice dont tous les termes sont 0 sauf le %-ième, égal à 1.
Si k = (fci,..., kd), nous poserons |fc| = fci + ... + kd (en espérant que le soulignement
permettra de ne pas confondre cette notation avec celle de la valeur absolue, archimédienne
ou p-adique, d'un entier k).

1. Puissances divisées partielles
Nous introduisons ici, pour tout m ç. N, la notion de structure partielle d'idéal à
puissances divisées de niveau m sur un idéal 1 d'une Z(p)-algèbre A. Il s'agit d'une
généralisation de la notion usuelle de PD-structure, qu'on retrouve pour m = 0, et qui
consiste essentiellement à se donner un idéal à puissances divisées (^,7) C 1 tel que,pour tout x ç. J, on ait ^pm ç J. Une telle structure permet notamment de définir sur /des applications de puissances divisées partielles x \—> x^ (dépendant de m), qui vérifient
des relations du même type que celles des opérations de puissances divisées usuelles (voir
1.3.5-1.3.6). Ces relations font intervenir certaines variantes des coefficients binômiaux,que nous définirons et dont nous étudierons la valuation p-adique dans la section 1.1.
Dans la section 1.2, nous donnerons quelques compléments à [1] sur les conditions decompatibilité entre puissances divisées. Celles-ci jouent un rôle important dans la théorie
des PD-structures partielles, car c'est en imposant des conditions de compatibilité aux
puissances divisées naturelles de p que l'on peut obtenir de bonnes propriétés d'additivité.
La section 1.3 sera consacrée à la définition et aux propriétés de base de la notion de
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P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

191

m-PD-idéal. Nous y définirons en particulier les opérations x^, ainsi que la filtration
m-PD-adique qui s'en déduit, et qui, comme la filtration PD-adique habituelle, généralise
la filtration J-adique. L'outil essentiel dans l'utilisation des m-PD-idéaux est la construction
de l'enveloppe à puissances divisées d'un idéal, qui sera l'objet de 1.4. Le résultat principal
de ce chapitre est alors le théorème 1.5.3, qui fournit pour certains idéaux réguliers une
description explicite des enveloppes à puissances divisées correspondantes et de leurfiltration m-PD-adique, montrant que leur structure est essentiellement celle d'une algèbrede polynômes à puissances divisées partielles, explicitée en 1.5.1.
1.1. Coefficients binômiaux modifiés
La théorie des puissances divisées partielles amène à définir des coefficients binômiauxmodifiés. Rappelons que, pour tout k ç N, la valuation p-adique Vp (k\) est donnée par(1.1.0.1)

Vp(k\)=(k-a(k))/(p-l),où l'on pose k == V^ ai p\ avec 0 < a^ < p — 1, et a (k) = V^ o^. Pour k = kf + fc", aveciiA/, k" ç. N, on en déduit la valuation p-adique des coefficients binômiaux(1.1.0.2)

y ^ f c ^ ^ = ^ ( f c / ) + aÇk^-a (fc))/(p - 1).
\\K / /

LEMME 1.1.1. - Soient k = kf + k " , avec k1\ k" ç N, et soientk = ^ a,p\kf = ^ a[p\k1' = ^ <p\

i

i

i

les développements en base p de fc, fc', k " . Alors on a

(1.1.1.1)

a(k) ^ ( A Q + a ^ " ) ,avec égalité si et seulement si ai = a[ + a^ pour tout i.
L'inégalité résulte de (1.1.0.2); il est clair qu'il y a égalité lorsque a, = a[ + a'{ pour
tout i. Si ce n'est pas le cas, soient %o le plus petit indice tel que û^ ^ a^ + a^, et %i leplus petit indice supérieur à io tel que a[-\- a'{ < p — 1. On a alors^o = < + < - ? < < + < - ! .
ai = a\ + a'[ — p -\-1 < a\ + o'[pour^i = <+<+!.

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

io < i < ii^192

P. BERTHELOTd'où l'inégalité

E ai < E < + E <î<îl

î<îl

î^îl

dont l'assertion résulte aussitôt.
1.1.2. Fixons un entier m ç N. Pour fc = k' + fc", avec fc', fc" ç N, soient fc •== p^ q + r,
kf = p^ qf + r', fc" = ^ ç" + r" les divisions euclidiennes de k, kf et fc" par p771. On
introduit alors les coefficients

L-L^
f k 1

ç!

G) -(^-r
X - / (m)V^ /l^ J (m)Lorsqu'aucune confusion n'en résultera, nous omettrons l'indice (m). Pour m = 0, on
a simplement pour tout km _(k\
M(O) W/k\ _W(o)alors que, pour m quelconque et k < p^, on am _t^Jw" '

/fc\ _ ( k \Y^/w"^^'

LEMME 1.1.3. - (i) Quels que soient les entiers positifs m, k, k!, on a
(k}

,,

GNÎ
U'
l
) (m)
K

/k\

ez(p)>
(fc')
\
/ (m)
n;

(h) Soient j, et q' < q trois entiers positifs. Si j > m, 6»M 57 q < p, on a
/P3^

-y

\ N-^
p ^ q- '// (m)
, e

(p)

1

-

3

(iii) ôuefa çMe soient les entiers positifs j, r < p et q, on a/pjq+r\
(py
\
\
^ P^
i
1 À
(m) ^
La première assertion résulte de ce que q > q' + ^ // . Comme a Çk) = a (ç) + o- (r)(resp. ^(fc'), ^(fc")), on déduit de (1.1.0.1) l'égalité(1.1.3.1)

yp (( k}]= (ç' + ^ - q - a (r) + a (rQ + a ^ / ( p - 1).

V ^ /(m)/Si ç = ç' + ç", alors r = r' + r", et la seconde assertion résulte du lemme 1.1.1. Sinon,
on a q = ^ + q" + 1, r + p^ = r ' + r". Comme r < p^, on a a (r + ^ m ) = a (r) + 1,
et le lemme 1.1.1 entraîne que a (r) + 1 < a (r') + a (r"), d'où (i).
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

193

Les assertions (ii) et (iii) sont des conséquences immédiates de (1.1.3.1).
1.1.4. Soient m, fc', k1' e N. On pose k' = p^ ç'+r', k" = p^ g / / +r", k1 k" = p^ ç+r,
avec 0 < r, r', r" < ^ m , et
^(m)

._

^'^ t

g'

Çq^k" qn\'

On observera que, pour m = 0, le coefficient.(0).

(fc^)!

.TT^+l^-nC^/ - Gfc//,,/ - ^, ^ ~ LL \

kf

-1

)

est l'entier naturel qui intervient dans la composition des puissances divisées.
LEMME 1.1.5. - Quels que soient les entiers m, fe7, fe", on aC^ ê N.

Avec les notations de 1.1.4, posons r ' r 1 ' = p^ s +1, avec 0 < t < p^, de sorte que
q = p^ q' q" + q' r" + q" r1 + s. On vérifie immédiatement la relation(1.1.5.1)

C^\. = r"\ (ç'V + .)! (p771!)9" O//,,/ C^,/ (C^,,/)^_______ç!________
x{pmq'ql!}\{qlr")\{q'lrl +5)! 5d'où résulte le lemme.
1.2. Puissances divisées compatibles à (p)Rappelons que, si A est une Z(p) -algèbre, la PD-structure canonique de l'idéal (p) C Z(p)s'étend àA [1, 1 2.1.1] ; nous la noterons p^ = j^/n!. Si (J, 7) C A est un PD-idéal, nous
dirons que 7 est compatible à (p) si 7 est compatible aux puissances divisées canoniquesde (p) [1, 1 2.2.1], L^. si J D p A est un sous-PD-idéal dans 1 et dans pA, et si 7 coïncide
sur J npA avec la PD-structure canonique ; il revient au même de demander qu'il existe
sur 1 + pA une PD-structure (nécessairement unique) induisant 7 sur / et la PD-structure
canonique sur pA. Nous aurons besoin de conditions assurant que certaines opérations surles idéaux à puissances divisées conservent la compatibilité à (p) ; pour la commodité desréférences ultérieures, nous les énonçons ici sous des hypothèses plus générales.
LEMME 1.2.1. - Soient (R, a, a) un anneau muni d'un PD-idéal, A une R-algèbre,( I , 7) C A, (J', 7') C A deux idéaux munis de puissances divisées compatibles à celles dea. On note A = J + a A, J^ = J' + a A ; soient a la PD-structure sur a A étendant a, et
6 (resp. 6 ' ) la PD-structure sur Ji (resp. I[) prolongeant 7 (resp. 7') et a. Les conditions
suivantes sont alors équivalentes :(i) Les PD-structures ê et 6f coïncident sur Ji D I[ ;(ii) Les PD-structures 8 et 7' coïncident sur Ji H I ' ;(ii') Les PD-structures 7 et 6' coïncident sur I H I[ ;ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

194P. BERTHELOT(iii) // existe sur 1 + I ' + ci A MH^ PD-structure induisant 7, ^ ' et~a \(iv) 7Z ^.m^ ^Mr 1 -\- I f une PD-structure compatible à a induisant 7 et 7'.
Les équivalences (ii) <^> (iii) (resp. (ii') <^> (iii)) et (i) <^ (iii) résultent de [1, 1 1.6.4],
et l'équivalence (iii) <=> (iv) résulte des définitions.
Lorsque les conditions du lemme sont remplies, les PD-structures de (iii) et (iv) sontuniques.
DÉFINITIONS 1.2.2. - (i) Soient (R, a, a) un anneau muni d'un PD-idéal, A une Ralgèbre, (J, 7) C A un idéal muni de puissances divisées compatibles à celles de a, a la
PD-structure sur a A étendant a, A' une A-algèbre. On dit que 7 est strictement extensibleà A (relativement à (a, a)) si 7 s'étend à A', et si la PD-structure 7 sur I A étendant
7 est compatible à a.
D'après [1, I 2.2], il revient au même de demander que la PD-structure 6 sur I + a A
prolongeant 7 et a s'étende à A'. Cette condition est donc toujours satisfaite lorsqueI + a A est localement principal [1, I 2.1.l], ou lorsque A est plat sur A [1, I 2.7.4].
(ii) Soient (Jî, a, a) un anneau muni d'un PD-idéal, (p : A —^ A un homomorphismede 7^-algèbres, (J, 7) C A et (J', 7') C A deux idéaux munis de puissances diviséescompatibles à celles de a. On dit que (J, 7) et (J', 7') sont strictement compatibles(relativement à (a, a)) si (J, 7) est strictement extensible à A', et, en notant 7 la PDstructure de IA étendant 7, si les PD-idéaux (JA', 7) et (77, 7') vérifient les conditionséquivalentes du lemme 1.2.1. Cette définition s'applique en particulier au cas où (J, 7)
et (7', 77) sont deux PD-idéaux d'un même anneau A, ^ étant l'identité. La conditionde compatibilité stricte est automatiquement vérifiée si A est une A-algèbre augmentée,et I ' le noyau de l'homomorphisme d'augmentation, car 7' est alors compatible à toutePD-structure sur un idéal de A [1, 2.2.3].
Remarques 1.2.3. - Les exemples suivant montrent que des opérations telles qu'étendre
des puissances divisées, ou prendre le PD-idéal somme de deux PD-idéaux compatibles
entre eux, ne conservent pas nécessairement la compatibilité avec un PD-idéal donné surla base. Des exemples similaires ont été construits par W. Messing.
(i) Pour un entier k fixé, considérons R = Z/(^), avec le PD-idéal a = (p), muni deses puissances divisées canoniques, et prenons pour A l'algèbre de polynômes à puissances
divisées R {t). Soit I = (t) le PD-idéal engendré par t, muni de sa PD-structure canonique
7, qui est compatible à (p) parce que A ^ R 9 I [1, 2.2.3]. Soit d'autre part f3 une
PD-structure non canonique sur pR [1, 1.2.6]. Pour la même raison, les puissances divisées
canoniques de 7 sont compatibles à /3, de sorte qu'il existe sur I + pA une unique PDstructure 8 prolongeant 7 et l'extension /? de (3 à A. Soit alors V = (t-^-p) le sous-PD-idéal
de I + pA engendré par t + p, et notons 7' la PD-structure induite par 6 sur T ' . Par
construction, les PD-structures 7 et 7' coïncident sur I D I ' . Enfin, la PD-structure 7' est
compatible à (p) : en effet, la propriété universelle de l'algèbre de polynômes à puissances
divisées entraîne qu'il existe un unique PD-morphisme^:(^),j,7)^(m^y)
tel que ( p ( t ) = t + p, et on vérifie aisément que y? est un isomorphisme ; par suite, on a
aussi A c^ R 9 77, d'où l'assertion. Par contre, la PD-structure sur J + J' prolongeant 7
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

195

et 7', qui n'est autre que 6, n'est pas compatible à (p), car on a 8n (p) = Ai (p) ^ P^ en
général. On voit donc que, sous les hypothèses de 1.2.2 (ii), la compatibilité de 7 et 7'
n'entraîne pas nécessairement la compatibilité stricte de 7 et 7'.
(ii) De même, sous les hypothèses de 1.2.2 (i), 7 peut s'étendre à A' sans être strictement
extensible à A'. En effet, dans l'exemple précédent, l'homomorphisme d'augmentation
71- : A —^ .R a pour noyau le sous-PD-idéal I de (J + pA, 8). Puisque son noyau est
un sous-PD-idéal, la PD-structure 8 passe au quotient, donnant sur p R = F R une PDstructure qui étend ÇF, 8), et qui n'est autre que (3. Elle n'est donc pas compatible à (p)bien que (F\ 8) le soit.
Sous les hypothèses de 1.2.2, on observera que, lorsque A' est le quotient de A par un
idéal K, la PD-structure 7 est strictement extensible à A' si et seulement si K H (J 4- a A)
est un sous-PD-idéal de J + a A (muni de la PD-structure 8 prolongeant 7 et a).
Le lemme suivant permet d'assurer que certaines conditions de compatibilité sonttoujours vérifiées pour l'idéal (p).
LEMME 1.2.4. - Soient A un anneau, I C A un idéal, (a, a} un PD-idéal de A. On
suppose que a est un idéal localement principal. Alors :(i) U idéal an I est un sous-PD-idéal de a ;(ii) Si (J, 7) C I est un idéal muni de puissances divisées compatibles à (a, a), etsi Ji = J + a, muni des puissances divisées prolongeant a et 7, alors 3\ H I est un
sous-PD-idéal de J\.
L'assertion étant locale sur Spec A, on peut supposer a principal; soit t un générateurde a. Si n > 1, il existe a,n e A tel que On (t) = dn t. Par suite, si x = yt e a H J,
on peut écrire an (x) = y " On (t) = an ^/n-1 x G a H J, d'où (i). L'assertion (ii) résultealors de ce que J\ H I = J + a n J .
1.3. PD-structures partielles de niveau m sur un idéal
Lorsqu'on considérera dans la suite de cet article une PD-structure sur un idéal d'une
Z(p)-algèbre, on supposera toujours qu'elle est compatible à celle de (p). Pour tout entierm > 0, et tout idéal I d'un anneau A, on notera 1^ l'idéal engendré par les x^
pour x G J.
DÉFINITION 1.3.1. - Soient A une Z(p)-algèbre, J C A un idéal, m > 0 un entier. On
appelle structure partielle d'idéal à puissances divisées de niveau m sur I (en abrégé,m-PD-structure) la donnée d'un PD-idéal (J, 7) C J tel que(1.3.1.1)

I^+pl C J.

On dira que (J, J, 7) est un m-PD-idéal de A. Si (A, I , J, 7) et (A', F , J ' , 7') sontdes Z(p)-algèbres munies de m-PD-idéaux, un m-PD-morphisme de (A, J, J, 7) dans(A', F , J ' , 7') est un homomorphisme d'anneaux (p : A —^ A' tel que (p (J) C F , et que
ÇA, J, 7) -^ (A', J1\ 7') soit un PD-morphisme. Si ^ est l'identité de A, on dira que(J, J, 7) est un sous-m-PD-idéal de (J', 3 ' , 7') ; si de plus F == J, on dira que (J, 7)
est une sous-m-PD-structure de (J', 7') sur J.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

196

P. BERTHELOT

Lorsque m = 0, la condition (1.3.1.1) entraîne que J = J, de sorte qu'on retrouve lesnotions usuelles de PD-idéal (avec compatibilité aux puissances divisées de (j?)), et dePD-morphisme. De même, si A est de caractéristique 0, on a J = I , et il existe une uniquem-PD-structure sur 7, donnée par les opérations x^ /n\
Si (J, J, 7) et (J', J7, 77) sont deux m-PD-idéaux de A, et si les puissances divisées 7
et 7' coïncident sur J H J'\ alors J D J7 munit J H J' d'une m-PD-structure.
Nous utiliserons souvent la remarque suivante : pour vérifier la condition (1.3.1.1), il
suffit d'après la formule du binôme de vérifier que pi C J, et que, pour une famille^^XCL ^e générateurs de 7, on a x\ G J pour tout À. Par exemple, si, dans la situation
de l'alinéa précédent, 7 et 7' sont strictement compatibles (relativement à (p)), J + J7,
muni des puissances divisées 7" prolongeant 7 et 7', munit 1 + I ' d'une m-PD-structure.
Exemples. - (i) Soient V un anneau de valuation discrète d'inégales caractéristiques(0, p), m son idéal maximal, e son indice de ramification absolu, et TT une uniformisantede V. Si l'on fixe un entier fc, l'idéal m^ possède une PD-structure si et seulementsi Ti-^/n! G m^ pour tout n > 1, soit encore, d'après (1.1.0.1), si et seulement si
e / ( p — 1) < k. En explicitant la condition (1.3.1.1), on voit alors que m^, muni de cettePD-structure, définit une m-PD-structure sur m si et seulement si on a de plus k < e + 1
et m > logp (fe). En particulier, m peut être muni d'une m-PD-structure si et seulementsi p^ > e / ( p - 1).
(ii) Soient A une Z(p) -algèbre, J C A un idéal. Si (Jo? 7) C I est un PD-idéal tel que,pour tout x e J, on ait x^ e Jo, il résulte de 1.2.4 que l'idéal J = (Jo+ pA) H J, muni
de la PD-structure induite, définit une m-PD-structure sur 7.
En particulier, si I est tel que, pour tout x G J, on ait ^pm ç ;?A, l'idéal J = pA n J,
muni de sa PD-structure canonique, définit une m-PD-structure sur / qui sera dite triviale.
Par exemple, l'idéal maximal m C V considéré en (i) peut être muni de la m-PD-structure
triviale si et seulement si ^m > e.
(iii) Soit (J, 7) une m-PD-structure sur un idéal /. Alors, pour tout m' > m, (J, 7)
est une m'-PD-structure sur /.
DÉFINITIONS 1.3.2. - Précisons les conditions de compatibilités pour les m-PD-structures.
(i) Soient R —> A un homomorphisme, (a, b, a) un m-PD-idéal de R. On dira quela m-PD-structure (b, a) s'étend a A si la PD-structure a est strictement extensible à A(relativement à (p)). Cette propriété est en particulier vérifiée lorsque l'une des conditions
suivantes est satisfaite :a) bA = 0 ;b) bi = b -\-pR est un idéal localement principal ;c) A est plat sur R.
Si on note a les puissances divisées sur bA étendant celles de b, (bA, a) est alors
une m-PD-structure sur a A.
(ii) Soient R —^ A un homomorphisme, (a, b, a) (resp. (J, J, 7)) un m-PD-idéal de R
(resp. A), (3 la PD-structure sur bi = b + pR prolongeant a et la PD-structure canoniquede pR. On dira que la m-PD-structure (J, 7) est compatible à (b, a) si les conditions
suivantes sont satisfaites :4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

2^-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

197(1.3.2.1) Les PD-structures a et 7 sont strictement compatibles (relativement à (p)).
(1.3.2.2) Si on munit biA de la PD-structure (3 prolongeant /?, alors biA D 1 est un
sous-PD-idéal de biA.
Dans ce cas, l'idéal J + bA, muni des puissances divisées 7' prolongeant 7 et a,
est une m-PD-structure sur 1 + a A. Celle-ci est compatible à (b, a), car un élément
x e b i A n ( J + c i A ) s'écrit sous la forme a; = y-^-z, avec?/ e bA C a A, ^ ç j?An(J+aA),
et on a alors d'une part f3^ (y) ç bA pour i > 1, d'autre part /3 (^) ç (J + a A) pourj > 1 d'après 1.2.4, de sorte que (3^ (x) G bi A H (J + ci A) pour n > 1.
On notera que si une m-PD-structure est compatible à (b, a), elle le reste lorsqu'on laconsidère comme m' -PD-structure pour m' > m.
La condition (1.3.2.2). sera utilisée en 1.3.7 pour définir la filtration m-PD-adique. Pourm = 0, elle résulte de (1.3.2.1), si bien que la condition de compatibilité introduite ici
se réduit alors à celle de 1.2.2 (ii).
PROPOSITION 1.3.3. - Les notations étant celles de 1.3.2 (ii), supposons que l'on soit dans
Vun des cas suivants :a) bA = 0;b) bi est un idéal localement principal, et Torf(.R/bi, A / J ) = 0;c) A est plat sur R, et Tor^ (R/b^, A / J ) = Tor^ (Jî/bi, A/J) = 0.
Alors la m-PD-structure (J, 7) est compatible à (b, a).
D'après 1.3.2 (i), la PD-structure f3 s'étend alors en une PD-structure f3 sur biA danschacun des trois cas considérés. De plus, f3 et 7 coïncident sur biA Fl J, car 7 est
compatible à (p) dans le cas a), et biA H J = biJ est un sous-PD-idéal de biA etde J dans les cas b) et c). La condition (1.3.2.1) est donc vérifiée; il en est de mêmede (1.3.2.2) d'après 1.2.4 dans les cas a) et b\ et parce que biA H I == b i J est un
sous-PD-idéal de biA dans le cas c).
1.3.4. Soient (J, J, 7) un m-PD-idéal de A, et K un idéal de A. Pour qu'il existe sur
I Ç A / K ) une m-PD-structure telle que l'homomorphisme de passage au quotient soit un mPD-morphisme, il faut et suffit que (J + pA)r\K soit un sous-PD-idéal de J-^-pA. L'idéal
J ( A / K ) , muni de la PD-structure quotient, définit alors la plus petite m-PD-structure sur
I ( A / K ) telle que l'homomorphisme de passage au quotient soit un m-PD-morphisme.
Supposons que A soit une Jî-algèbre, où R est munie d'un m-PD-idéal (a, b, a), etsoit bi = b -{- pR, muni de la PD-structure (S prolongeant a et la PD-structure canoniquede (p). Si la m-PD-structure (J, 7) est compatible à (b, a), la m-PD structure quotient
sur I Ç A / K ) est compatible à (b, a) si et seulement si les deux conditions suivantessont vérifiées :(1.3.4.1) L'idéal (J + biA) H K est un sous-PD-idéal de J + biA (ce qui entraîne qu'ilen est de même pour (J + p A ) H K ) ' ,(1.3.4.2) L'idéal bi A H (J + K) est un sous-PD-idéal de biA.
1.3.5. Soient A une Z(p)-algèbre, (J, J, 7) C A un m-PD-idéal. On peut alors définir
sur I des opérations de puissances divisées partielles analogues aux puissances divisées
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

198

P. BERTHELOT

usuelles. Pour tout k ç. N, on note k = p^ q + r la division euclidienne de fc par ^ m ,et on pose, pour x ç 1 :(1.3.5.1)^(^ ^^(.z^)),ce qui a un sens grâce à (1.3.1.1). Lorsqu'aucune confusion n'en résultera, nous noterons
simplement x^ := ^^( m ). Lorsque m = 0, on a donc x^w = ^ (x), de sorte que l'on
retrouve les puissances divisées habituelles ; nous les noterons souvent x^. On observera
que la relation q\^fq (y) = y' 1 entraîne
q^.x^w = xk.

(1.3.5.2)

Si (p : (A, J, J, 7) —^ (A 7 , J', J', 7') est un m-PD-morphisme, il est clair que, pour
tout x G I et tout k G N, on a (^(^ { f c } ) = ^(a;)^.
Soit d'autre part mf > m, ce qui permet de considérer (J, 7) comme définissant une
m'-PD-strucuture sur I . Soit k ç N ; posons k = p^ q-^-r = p^' ^ + r', avec 0 < r < p^,
0 < r ' < p ^ ' . On a alors(1.3.5.3)a^W) ^(g!/^!)^-).

En effet, posons r' = p171 s + r, de sorte que q = p^ ' ~ r n q' + s. On a alors^ { A - }^ ^ / )> ——_ X r 7 7g/ \JL( p^\) ——_ Jb r \Jbf p^Y('n^'171
^
i
(r^}}
)
7ç/ \P. 7pm -m {X
) )
/

X

— Jb^
——

rÀt. 7s ^(T^^fn^^^C'^ïpm'-mqf\^
'
(X^)}
) \P
.)
^ql^pm'-m) )=(q\/q/\)xww.
En particulier, considérant 3 lui-même comme un m-PD-idéal, on voit que, pour x ç J,
on a
(1.3.5.4)x^^^ =(k\/q\)^k(x).

Les opérations x^ vérifient des relations analogues à celles des puissances divisées
usuelles :PROPOSITION 1.3.6. - Soient A une îçpyalgèbre, (J, J, 7) un idéal de A muni d'une
PD-structure de niveau m. Les opérations x i—^ x^ vérifient les propriétés suivantes :fV.rçJ,
(1)

(h)

(iii)

rrW=l,

f v f c > i , a^ez;
V^eJ,

V^^/eJ,

VaçA,

VfcçN,x^ = x ^Vfe^^, ^^eJ;

VfceN,^+?/)w=(ax^ = ak x^',^k'^k"=k

4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2/Â;\x^/}^//};m

1 ( )P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1(iv)

Vo-eJ,

VA^eN,x^x^^^^"}l

Vrr e J,

(V)

199

Vfc^ &" G N,

k

^W;

J (m)

(rc<^)<^ = G^, ^ / f c ^.

Les propriétés (i) et (ii) sont des conséquences immédiates des propriétés analogues despuissances divisées usuelles. Compte tenu de (1.1.5.1), les propriétés (iv) et (v) peuventégalement s'en déduire par un calcul semblable à celui qui a été fait pour prouver (1.3.5.3).
Nous montrerons en 1.5.2 la propriété (iii) par réduction à une situation universelle (lelecteur s'assurera que cette propriété n'est pas utilisée dans la démonstration de 1.5.2).
1,3.7. Les opérations précédentes permettent de définir sur un m-PD-idéal une filtration
canonique. Nous allons la construire dans une situation générale avec conditions decompatibilité. Soient R une Z(p)-algèbre, (a, b, a) un m-PD-idéal de R, A une Jî-algèbre,I C A un idéal muni d'une m-PD-structure (J, 7) compatible à (b, a). Notons f3 la
PD-structure d e b i = = b + p - R prolongeant a et la PD-structure canonique de (p), et 6 cellede Ji = J + bi A prolongeant 7 et l'extension /3 de f3 à bi A. Soient n ç N, et In l'idéal
de A engendré par les produits de la forme x[ .. .:r", avec Xi G I pour tout %, etV^ ni > n. On note1 1^ l'idéal de A engendré par les produits de la forme(1.3.7.1)^^...^^^(^i)...^^),

avec Xi e J, yj e Ji D Ikj, et
HI + ... + rir + ^i ^i + . • • + ks hs > n.

Grâce à la condition (1.3.2.2), les 1^ forment une suite décroissante de sous-idéaux deJ, telle que JW := A, J<1} == J. Ils vérifient les relations J<^ J<7^ C J^^} quels que
soient n et n', de sorte qu'on obtient ainsi une filtration d'anneau sur A.
DÉFINITIONS. - On dira que la filtration par les 1^ est la filtration m-PD-adique définie
par I . Un m-PD-idéal (J, J, 7) sera dit m-PD-nUpotent s'il existe un entier n tel que/{ n } = 0, et topologiquement m-PD-nHpotent (pour la topologie j)-adique) si la topologie
définie par la filtration m-PD-adique est plus fine que la topologie p-adique sur A.
La filtration m-PD-adique est fonctorielle par rapport aux m-PD-morphismes entre Ralgèbres munies d'un m-PD-idéal compatible à (b, a). En général, elle dépend de l'entierm : si m < m', et si l'on considère (J, 7) comme définissant une m'-PD-structure sur J,
il résulte de (1.3.5.3) que la filtration m'-PD-adique est plus fine que la filtration m-PDadique. Lorsque m = 0, on retrouve simplement la filtration PD-adique de A. Lorsque A
est de caractéristique 0, on retrouve la filtration J-adique de A.
Exemple. - Dans l'exemple (i) de 1.3.1, où m^ définit une m-PD-structure sur l'idéal
maximal m d'un anneau de valuation discrète V d'inégales caractéristiques, on vérifie( 1 ) Cette définition et les résultats qui en découlent se substituent à ceux de [4, (l.L3)-(LL4)].
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

200P. BERTHELOT

facilement que celle-ci est topologiquement niipotente si et seulement si k > e / ( p — 1).
En particulier, m peut être muni d'une m-PD-structure topologiquement niipotente si etseulement si ^m > e / ( p — 1).
PROPOSITION 1.3.8. - Avec les notations et les hypothèses de 1.3.7, la filtration m-PDadique de A vérifie les propriétés suivantes :(i) Quels que soient n e N, h > 1 et x e Ji H 1^, on a 6 h (x) e Ji D 1^^.
En particulier, Ji H 1^ est un sous-PD-idéal de Ji, et J H 1^ définit sur 1^ une
m-PD-structure compatible à (b, a).
(ii) Quels que soient h, k G N, x ç JW, ^ û ^ {/l} G J^.
(iii) Soient À = A / I ^ , TT : A —^ À l'homomorphisme canonique, I = IA, J = JÀ,
7 la PD-structure quotient sur J . Alors (J, 7) définit sur I une m-PD-structure compatibleà (b, a), TT est un morphisme strict pour les filtrations m-PD-adiques, et TT est universel
pour les m-PD-morphisme s de (A, J, J, 7) dans une R-algèbre A' munie d'un m-PD-idéal{ ! ' , J 1 , Y) compatible à (b, a) et tel que l'W = 0.
(iv) Soient A —> A' un homomorphisme plat, I ' = I A ' , muni de la m-PD-structure{ J ' = J A ! , 7') étendant celle de I [cf. 1.3.2 (i)]. La filtration m-PD-adique de A' est
donnée par 1'^ = I ^ A ' .
Soit z ç. Ji H J^. Alors z est somme d'un élément de In et d'une combinaison linéaire
d'éléments (1.3.7.1) pour lesquels s et l'un des hi sont non nuls. Un tel élément est dansJi, et on voit immédiatement que sa puissance divisée 6 h est dans Ji DJ"^^. Cela ramène
au cas où z e Ji H In ; on a alors 6^ (z) e 1^ par définition, donc 6h (z) e Ji n 1^^
si h > 1. Par suite, Ji H 1^ est un sous-PD-idéal de Ji ; a fortiori, J H J^ est un
sous-PD-idéal de J, qui munit alors 1^ d'une m-PD-structure, et biA H 1^ est un
sous-PD-idéal de bi A, ce qui entraîne que cette structure est compatible à (b, a).
Soit z G JW. En posant h = p^ q + r, 0 < r < p^, on a alors ;z^ = ^r ^ (^ pm ), avec^r ç_ j{kr}^ ^m ç j n J^^, donc 8q (^m ) e J^^"^ d'après (i), et (ii) en résulte.
Puisque Ji D 1^ est un sous-PD-idéal de Ji, il résulte de 1.3.4 que l'idéal I C A
peut être muni de la m-PD-structure quotient, définie par J = J/(JD J^) muni de la
PD-structure quotient 7, et que celle-ci est encore compatible à (b, a) ; TT est alors un
m-PD-morphisme. Pour tout &, on a J^ = TT (J^), et en particulier îk = 0 pour k > n.
Soient Ji = J + b i A = 7 r ( J i ) , e t < 5 1 a PD-structure quotient sur Ji. Pour prouver que
TT est strict, il suffit de prouver que si x ç. Ijç H Ji, alors ^ (x) ç TT^^). On peut
supposer que k < n et écrire x = TT (a/) = TT (^/), avec xf ç: Ik, y ç Ji, x ' — y ç J^^,d'où î/ ç J^^ n Ji. D'après (i), on a alors <^ {y) ç J^^), d'où l'assertion. En particulier,on voit que 1^ = 0, et la propriété universelle de A/I^ est alors claire.
Soit enfin A' une A-algèbre plate. Les relations 1.3.6 entraînent que 1'^ = I ^ A ' . Si
J[ = J ' + biA' = JiA', on a alors par platitude J[ H J^ = (Ji n Ik)Af pour tout fc, etla dernière assertion en résulte.
Remarque. - II est clair que la filtration m-PD-adique est la filtration d'anneau la plus
fine sur A qui soit égale à J en degré 1, et vérifie la propriété (i) de la proposition.
L'exemple suivant montre qu'en général, les idéaux Jr\In ne sont pas des sous-PD-idéaux
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

201

de J, de sorte qu'il y a bien lieu d'introduire la famille des éléments (1.3.7.1) commegénérateurs de J^.
Soient k un corps de caractéristique 2, R = k [rc, y}/(x2^ y2), AQ = R(z) l'algèbre depolynômes à puissances divisées en z, à coefficients dans R, considérée comme algèbre
graduée en affectant le degré 1 à x et y , et le degré 2 à z. L'idéal (xy — z) est alors un idéal
homogène, et, si {z) désigne le PD-idéal engendré par z, on vérifie que (xy — z) H (z) est
un sous-PD-idéal de (z). Soient A = Ao/(xy — z) l'anneau gradué quotient, J le PD-idéal
image de {z), 1 = (x^ y ) + J. Alors 1 est un idéal dont tout élément est de carré nul,
et J munit 1 d'une 1-PD-structure pour laquelle on a a^ = 0 pour tout a ç 1 et toutk > 2. Par suite, il n'existe pas dans 1^ d'élément homogène de degré 4 autre que 0.
Dans A, l'élément xy = z appartient à J H 1^ ; par contre, on vérifie que z^ ^ 0 dansA, si bien que z^ ^ 1^.
1.4. Enveloppes à puissances divisées partielles
La proposition suivante montre qu'on dispose encore pour les PD-structures partielles
d'une notion d'enveloppe à puissances divisées d'un idéal. Si (Jî, a, a) est un anneau
muni d'un PD-idéal, A une Jî-algèbre, et 1 C A un idéal, nous noterons Pa ( I ) l'enveloppeà puissances divisées compatibles à a de J ([l], 2.4.2).
PROPOSITION 1.4.1. - Soient m > 0 un entier, R une 'Z.(p)- algèbre, (a, b, a) un idéal de R
muni d'une m-PD-structure, A une R-algèbre, 1 C A un idéal. Il existe un homomorphismed'anneaux (p : A —> Ai, un idéal I\ C Ai tel que (p CI) C I\, et une m-PD-structure(Ji, ^ 1) sur Ji compatible à (b, a) tels que, pour tout R-homomorphisme f : A —> A1
envoyant 1 dans un idéal V muni d'une m-PD-structure (J7, 7') compatible à (b, a), il
existe un unique m-PD-morphismeg : (Ai, A, Ji, ^)^(A',r, j',y)tel que g o {p = f.

Soient bi = b + pR, et /? la PD-structure sur bi prolongeant a et la PD-structure
canonique de pR. On pose J =- J^) + biA, et on note Ai == Pp (J) l'enveloppe à
puissances divisées compatibles à (3 de J, y? : A —^ Ai l'homomorphisme canonique,
J le PD-idéal canonique de Ai (engendré en tant que PD-idéal par <^(J)), et x^ lespuissances divisées d'un élément x ç J. Pour tout idéal K C J , soit K le sous-PD-idéal
de J engendré par K\ on pose
Jo = JAi+^^+j^Ai,

Jo = (J(^)+pJ)Ai.

D'après la formule du binôme, Jo définit une m-PD-structure sur Jo- Pour assurer lacompatibilité à f3, on pose ensuite(1.4.1.1)

Ji=Jo+(biAinJo).

On a alorsI^^ph = J^P+^iAif-Uo)^ +^Jo+^(biAinJo) C Jo+(biAinJo),
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

202

P. BERTHELOTet Jo + (b^Ai HJo) est un sous-PD-idéal de J contenu dans Ji. On définit donc un
PD-idéal Ji C Ji en posant(1.4.1.2)

Ji^J^+pJi).

Il est clair que J\ munit Ji d'une m-PD-structure. Par construction, la PD-structure deJi est compatible à celle de bi, donc strictement compatible à celle de b. De plus, ona biAi H Ji == (biAi H Jo), de sorte que la condition (1.3.2.2) est bien satisfaite, ce qui
entraîne que Ji définit sur ï\ une m-PD-structure compatible à (b, a). On observera deplus que J = Ji + bi Ai.
Soit alors / : A —^ A' un .R-homomorphisme envoyant J dans un idéal I ' muni d'une mPD-structure (J7, 7') compatible à (b, a). Puisque J'^") c J7, on a /(J) C J ' + biA'.
Puisque 7' est strictement compatible à a, J7 + biA' est muni d'une PD-structure ^/prolongeant 7' et f3. Il existe donc une unique factorisation de / par un PD-morphismeg : (Ai, J, [ ] ) -^ (A 7 , J' + biA', ^). On a alors g ( J o ) C J\ donc ^(Jo) C F .
Comme la m-PD-structure (J7, 7') est compatible à (b, a), biA' D I1 est un sous-PDidéal de biA', qui contient ^ ( b i A i H Jo). Par suite, g { I i ) C Z7, d'où il résulte queg ( J i ) C J ' . Comme J = Ji + biAi, et que les puissances divisées considérées sontcompatibles à (bi, /3), un Jî-homomorphisme g : Ai —> A' tel que g ( J i ) C J r est un
PD-morphisme (Ai, J, ^) —^ (A', J'+biA', 6 ' ) si et seulement si c'est un PD-morphisme(Ai, Ji, ^) —f (A', J7, 7'), ce qui entraîne que (Ai, Ji, Ji, ^) satisfait la propriété
universelle voulue.
DÉFINITION. - Sous les hypothèses de la proposition, nous dirons que Ai, muni dum-PD-idéal (Ji, Ji, ^), est l'enveloppe à puissances divisées partielles de niveau m{compatibles à (b, a)) de (A, J), et nous la noterons P(m),û; (1)^ ou simplement P(m) ( I )si aucune confusion n'est possible; le m-PD-idéal universel Ji sera noté J, et le PD-idéal
Ji définissant sa m-PD-structure sera noté I . Lorsque m = 0, P(Q) ( I ) est l'enveloppe à
puissances divisées usuelle P (J), et 1 == î le PD-idéal engendré par I .
COROLLAIRE 1.4.2. - Sous les hypothèses de la proposition précédente, il existe pour
tout entier n ç. N une R-algèbre P?^\ ^ W munie d'un m-PD-idéal (J, J, ^) compatiblea (b, a) et tel que J^^ = 0, ^ M/Î R-homomorphisme (pn ' A —^ P . ^ ^ (J) ^/ ^^n ( I ) C J, universels pour les R-homomorphismes A —^ (A', J', J', 7') ^M; envoient
1 dans un m-PD-idéal I ' compatible à (b, a) ^ tel que J'^^ = 0.
D'après 1.3.8, il suffit de prendre P^^ ( I ) = P(m),a ( I ) / î ^ ^ , muni du m-PD-idéal
quotient.
Remarques 1.4.3. - Gardons les hypothèses et les notations de 1.4.1. Les propriétés qui
suivent étendent aux enveloppes à puissances divisées partielles des résultats standards surles enveloppes à puissances divisées usuelles.
(i) Grâce à leur propriété universelle, les enveloppes à puissances divisées partielles
commutent aux limites inductives.
(ii) Si l'homomorphisme R —» A se factorise par une P-algèbre R' telle que la m-PDstructure (b, a} s'étende à R\ en une m-PD-structure (b' = b R\ a ' ) sur af = aR\
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

203

alors la compatibilité à (b, a) équivaut à la compatibilité à (b', a'), de sorte qu'on a desm-PD-isomorphismes canoniques, compatibles aux filtrations m-PD-adiques,
PW,a W ^ PÇm^a' W.

P^a W ^ P^ a ' W •(iii) Soit I ' = 1 + a A. L'homomorphisme de fonctorialité(1.4.3.1)

P(m),a (1) -^ PÇm^a (-0est alors un isomorphisme. En effet, d'après 1.3.2 (ii), la condition de compatibilité à (b, a)
entraîne que le PD-idéal î + b P(^),a GO munit 1 + aP(nz),a (-0 d'une m-PD-structurecompatible à (b, a), de sorte qu'il existe un m-PD-morphisme
P(m),a (n -^ (-P(m),a (-0, ^+ ClP(^ (J), J + b P^),, (J)),

fournissant un inverse à (1.4.3.1).
(iv) Soit K C A un idéal d'image nulle dans P(m),a(-0 I^P- ^"m),^7)]L'homomorphisme canoniqueP^a(I)-PÇm^a(I/(I^K))[resp. PT1(J) -^ P?^\ a ( I / ( I n JFf))] est alors un ^-PD-isomorphisme, compatible
aux filtrations m-PD-adiqœs ; son inverse est défini par la propriété universelle deP(m), a ( I / ( I H K)) [resp. P^ ^ ( I / ( I H X))], grâce à la factorisation de A -> Pçm), a { I )[resp'. P^),,(^)] par A / K .
En particulier, on a P^1 C T^1^, si bien qu'on obtient un m-PD-isomorphisme(1.4.3.2)

P^aW^^^W^ 1 ).

De même, supposons qu'il existe un entier i tel que p1 A == 0. La relation (1.3.5.2) entraîne
alors que î est un nilidéal. Si l'on suppose que I est de type fini, il existe une puissanceJ^ de I d'image nulle dans P(m),a (I). d'où un m-PD-isomorphisme
PW^W^PW^ÇI/I^
PROPOSITION 1.4.4. -Avec les notations de 1.4.1, soit (rr^AeL une famillejde générateursde I. En tant que A-algèbre, Pçm^aW est engendrée par les éléments (x^)^ = x^ q ,pour A G L et q G N. Supposons de plus que l'une des conditions suivantes soit satisfaite :a) bA = 0;b) L'idéal bi = b -^- p R est localement principal',c) Les puissances divisées (3 s'étendent strictement à A / I , etTorf(.R/bi,A/J)=0.
Alors l'idéal I est engendré par les éléments x\ et x^
engendré par les éléments px\ et x^ q}, avec q > 1.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

q}, avec q > 1, et l'idéal î est

204

P. BERTHELOT

Reprenons les notations de 1.4.1. Comme J = 1^^ + biA, la A-algèbre P(m),a (-0 =Ai = P^ (J) est engendrée par les puissances divisées des éléments de J^"^, donc parles (^ )^ = rc^ 9 J . Si l'on suppose de plus l'une des conditions de l'énoncé satisfaite,
l'idéal biAi D IQ est un sous-PD-idéal de bi Ai. Dans le cas a) et b), cela résulte de
1.2.4. Dans le cas c), l'hypothèse que /3 s'étend strictement à A / I entraîne que l'idéal
J ( A / I ) = bi ( A / I ) est muni d'une PD-structure canonique compatible à (bi, /?). Il existe
donc un PD-morphisme naturel Ai —> A / I , dont la factorisation fournit un inverse à gauchede l'homomorphisme canonique A / I —^ Ai/Jo. Comme ce dernier est surjectif d'après cequ'on a vu plus haut, c'est un isomorphisme. La nullité de Torf(JÎ/bi, A / I ) entraîne
alors que biAi H Jo = bi Io, de sorte que l'idéal biAi n IQ est encore un sous-PD-idéal
de biAi. Sous chacune de ces trois hypothèses, on a donc 1 := 7i = IQ. Comme Jo est
engendré par 1 et par les puissances divisées des éléments de Jo. î est engendré par les
x\ et les x]^ qj. On vérifie de même que î := J\ = JQ, de sorte que î est engendré
par les px\ et les x^ qf.
PROPOSITION 1.4.5. - Avec les notations de 1.4.1 et 1.4.2, soit n < p171. Supposons lesconditions suivantes vérifiées :a) La m-PD-structure (b, a) s'étend à A/P1"^1;b) Pour tout k < n, biA H ^ C b^ + P^-1.
Alors l'homomorphismed-4.5.1)^: A/P^-.P^OO

factorisant (pn est un isomorphisme, et identifie la filtration I-adique de A/P1"^1 et lafiltration m-PD-adique de P/^ ^ (I)- En particulier, si la m-PD-structure (b, a) s'étend
à A / I , les homomorphismes canoniques(1-4.5.2)

A / I -. P^),, ( I ) / I ^ P^ ( I ) / I

sont des isomorphismes pour tout r.
Observons d'abord que, d'après 1.4.4, (pn est surjectif. D'autre part, puisque n < p^, onpeut munir l'idéal I ' == I / I ^ 1 c A/P^1 de la m-PD-structure triviale. Or la condition b)
entraîne que bi (A/P'+^HJ 7 = bi7 7 . Puisque (b, a) s'étend à A/P^, la m-PD-structure
triviale sur F est donc compatible à (b, a). La filtration correspondante vérifie F^ = 1^
pour tout k < n, et P^^ = 0, car, pour x G P, on a x^ = xk pour k < n < p^,et l'hypothèse b) signifie que bi (A/P1-^) n 1^ = bi J'^; avec les notations de 1.3.7,
on en déduit que, pour x G bi (A/P^) n J'^, on a 8h (x) e F^. On obtient alors unerétraction P?. ^ ( I ) —^ A/P1"^1, montrant que f>n est un isomorphisme.
PROPOSITION 1.4.6. - Sous les hypothèses de 1.4.1, soit A' une A-algèbre plate. Alorsles homomorphismes canoniques(1.4.6.1)P{m^a(I) 0A A' -. P^),, (JA'),

d.4.6.2)

P^ ( I ) ^ A' - P^),, (JAQ,

sont des m-PD-isomorphisme s, compatibles aux filtrations m-PD-adiques.
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

205

Comme A' est plat sur A, les puissances divisées de î s'étendent à l'idéal î 0A A',
qui munit alors î (g) A A' d'une m-PD-structure. Il est immédiat de vérifier que celleci est compatible à (b, a), et il en résulte que, via l'homomorphisme canoniqueA' -^ P^ , (J) 0A A', (?(„),, ( I ) 0A A', J 0A A', J 0A A') possède la propriété
universelle caractérisant P(m),a (^AQ. De plus, on obtient par 1.3.8 (iv) les isomorphismes(1.4.6.3)

J^AA'^r^d'où l'on déduit les m-PD-isomorphismes (1.4.6.2).
Remarques. - L'énoncé qui précède entraîne les conséquences suivantes :(i) Comme il existe une unique m-PD-structure sur un idéal 1 d'un anneau decaractéristique 0, et que la filtration m-PD-adique coïncide alors avec la filtration Iadique, les homomorphismes canoniques A —^ P(m),a ( I ) et A/J714'1 —^ ^m^a W sontdes isomorphismes modulo torsion.
(ii) Si S est un schéma muni d'un m-PD-idéal quasi-cohérent (a, b, a), X un Sschéma et I C Ox un idéal quasi-cohérent, les préfaisceaux qui associent à un ouvert
U C X les enveloppes P^a (W ï)), %,, (W î)) sont des faisceaux de Oxalgèbres quasi-cohérents, qu'on notera Pç^a (î) et P^ (î). De même, le m-PD-idéal
canonique î de Pçm),a (î), son sous-PD-idéal î, et les idéaux 1^ définissant la filtration
m-PD-adique sont quasi-cohérents.
1.4.7. Pour m < m', il existe un homomorphisme canonique(1.4.7.1)

V^m 7 : PÇm'},a ( I ) -^ -P(m),a {I) ^défini en considérant la m-PD-structure canonique de Pçm),a(I) comme une m'-PDstructure. D'après (1.3.5.3), on a donc, pour tout x e I et tout k G N,

(1.4.7.2)^m' (^m/)) = (W) ^ {fc}(m) .

en posant k = ^m q + r = ^ q' + r', 0 < r < p^ 0 < r ' < p ^ ' . Il en résulte que les^^ sont des homomorphismes d'algèbres filtrées, définissant par passage au quotientdes homomorphismes(1.4.7.3)

C.,m/ ' P^c. W ^ P^a W-

Pour m < m' < m", on a la formule de transitivité ^r^m' ° ^m^m" = '0m, m7' [resp.
^m m/ ° ^ ^ m / / = ^,m"] c^i fait de la famille des Jp ( m )' a ( Jr ) ^P- p(n^)^ ^] unsystème projectif d'algèbres filtrées.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

206

P. BERTHELOT

1.5. Enveloppe d'un idéal régulier
Précisons d'abord la structure des enveloppes à puissances divisées partielles d'algèbres
de polynômes.
PROPOSITION 1.5.1. - Soient R une Içpyalgèbre, (a, b, a) un m-PD-idéal de R,
A = R [^i, . . . , td} une algèbre de polynômes à coefficients dans R, 1 = (^i, . . . , td).
(i) Pour tout m ç N, l'enveloppe à puissances divisées P(m),a ( I ) est indépendante de(a, b, a), et est un R-module libre de base les produits ^ 1 J . . . t^ , avec (&i, . . . , kd) êN^. Le m-PD-idéal î est le sous-R-module libre de base les produits n11 . . . ^ d J , avec
Y ki > 1, et le PD-idéal I le sous-R-module engendré par les produits t\ . . . t\ d , où
ki > p^ pour au moins un i, et par les produits pt\... t\ d , avec Y^ ki > 1.

(ii) Le n-ième cran î^ de lafiltration m-PD-adique de P(m),a ( I ) est indépendant de(a, b, a), et est le sous-R-module libre de base les produits H 1 ' ... t j , avec V^ > n.
L'enveloppe à puissances divisées niipotentes P / x ^ (J) est indépendante de (a, b, a), et
est un R-module libre de base les produits t[. . . t\ , avec y ^ ki < n, le PD-idéal î etlafiltration m-PD-adique de P?^\ ^ ( I ) ayant la même description que dans P(m),a {I\Soient Ao = R[x^^ . . . , x^] une algèbre de polynômes en d variables, / : Ao —> Arhomomorphisme défini par / (x^ == i\ , Io = (rci, . . . , Xd\ et I 1 = (^ , . . . , t^ ) =Io A. Soient bi = b +pP, et (3 la PD-structure sur bi prolongeant a et la PD-structure
canonique de (p). La platitude de / entraîne que rhomomorphisme canonique(1.5.1.1)

P^W^A^P^F)

est un isomorphisme. Par construction, on a Pçm),a ( I ) = P(3 (I^^ + biA) == Pp (J').
D'après [1, 2.6.l], P/sÇlo) est indépendante du PD-idéal de compatibilité choisi sur
R, et est l'algèbre de polynômes à puissances divisées en ti, . . . , td. Par conséquent,P(m),a(^) est indépendante de a. De plus, A est libre sur Ao de base les monômest\1 ...Ç, avec 0 < ri < p^, et P^ (7"o) est un P-module libre de base les produitsx' ' " ^ l ' 1 ' avec (^i? • • • î ^d) ^ N^. Comme les images de ceux-ci dans P(m),a ( I )sont les (^ m )^ ...(^ m )^, il en résulte que P(nz),a(^) est libre sur R de base les
produits ^ f e l } . ..^ A>( ^, avec (fci, . . . , kd) G N^. Compte tenu de 1.3.6 (iv), les assertions
concernant I et I résultent alors du cas c) de 1.4.4.
Pour prouver l'assertion sur les idéaux J^, observons d'abord que, grâce à la description
donnée de I et à 1.3.6, In est engendré comme iî-module par les produits n11 .. . ^ ,avec V^ ki > n. Il suffit donc de prouver que si x çz (î + biA) H J^, alors 6 h (x) ç J^
(en notant 8 la PD-structure sur I + biA prolongeant f3 et la PD-structure canonique).
D'après ce qui précède, x peut s'écrire sous la forme
.._

Y^

—

/ ^

Jb

]>>>fc4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2.

a. Aki}

kl...kd ^1.W' ' -^dîP-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

207

avec dk,...kd ^ ^ A si ^ < P^ P0^ tout î- si x est de la forme at{lkl} ' "^ d}î avec
a G biA, on obtient
8h(x)=(3H(a)(t[kl}...t{,kd})hçI^et si ^ est de la forme at^ ... ^ fed} , avec ^ > ^m, on pose ^ = j^ ç + r, et on obtient^(^^(a^ 1 1 ...^-^)'^)^=(a^l}...^_r})'^((^m)M)[']F(n+^
Akd-l}\h .rh AP" ^}= ^/i,g (A. . .t^_i) ^d ^'

de sorte qu'on a encore 6h (x) G Jfc/,. La description obtenue montre alors que la filtration
par les 1^ est indépendante de (a, b, a). Compte tenu de 1.3.8 (iii), la description
du PD-idéal canonique et de la filtration m-PD-adique de P^ ( I ) résultent de celles dePçm) W par passage au quotient.
DÉFINITION. - Sous les hypothèses de la proposition, nous dirons que Pçm) ( I ) est
l'algèbre de polynômes à puissances divisées de niveau m en d variables, à coefficientsdans R, et nous la noterons -R(^i, . . . , ^)(m)«COROLLAIRE 1.5.2. - La relation (iii) de 1.3.6 est vraie.
Soient A une Z(p)-algèbre, (J, J, 7) un m-PD-idéal de A,x,y deux éléments de I . Il
existe alors un homomorphisme / : Z(p) [ti, ^] -^ A tel que / (^i) = x, f (^2) = y. et il
se factorise de manière unique en un m-PD-morphisme g : Z(p) (ti, t2)(m) -^ A. Pour toutélément z du m-PD-idéal canonique de Z(p) (ti, ^)(m), on a ^ (^ fc} ) = ^ (^) { f c } , de sortequ'on est ramené à prouver 1.3.6 (iii) pour les éléments t^ t^ G Z(p) (ti, ^(m). Comme,d'après 1.5.1 (i), cet anneau est sans torsion, il suffit de prouver la relation voulue dans2(p) (ti. ^)(m) 0 Q = Q [ti. t^ où elle résulte de la formule du binôme.
Avec certaines hypothèses de platitude et de régularité, il est possible de généraliser
les résultats précédents :PROPOSITION 1.5.3. - Soient m G N, R une Içpyalgèbre, (a, b, a) un m-PD-idéal deR, A une R-algèbre, 1 C A un idéal. On suppose que A / I est plat sur R, et que 1 est
un idéal régulier. Alors :(i) Pour tout n G N, l'enveloppe à puissances divisées P^n^a ( J ) est P1^ sur R>
indépendante du m-PD-idéal de compatibilité (a, b, a), et sa formation commute à toutchangement de base R -> R'. Si l'on suppose de plus quil existe un entier i tel quepi A = 0, les mêmes conclusions s'appliquent à P(m),a ( I ) '(ii) S ' i l existe une section R-linéaire On : A / I -^ A/J^, et si t^ . . . , ^ est une suite
régulière de générateurs de I , a n fait de l'enveloppe P^^(I) un (A/I)-module libre debase les produits t^ .. .t^ avec ^ fc, < n. Dans cette base, les idéaux I , I et lafiltration m-PD-adique admettent la même description qu'en 1.5.1.
(iii) S'il existe une telle section On pour tout n > 0, et s ' i l existe de plus un entier i tel que
p1 A = 0, alors, pour n assez grand, (7n fait que l'enveloppe P(m),a (^) un (A/I)-module
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

208

P. BERTHELOT

libre de base les produits t^ .. .^M avec ( f c i , . . . , kd) G N^ les idéaux J, J, et lafiltration m-PD-adique ayant encore la même description.
La démonstration est analogue à celle de [8, 2.3.3 et 2.3.4]. Grâce à 1.4.6 (ii), il suffitde prouver l'énoncé localement sur Spec A, de sorte qu'on peut supposer 1 engendré
par une suite régulière (^i, . . . , td). Soient Ao = R [x^, . . . , Xd\, IQ = (a:i, . . . , Xd\
f : Ao —^ A rhomomorphisme défini par / (xi) = ii. Comme la suite des ^ est régulière,
on a Tor^0 (R, A) = 0 pour tout % > 1. Il en résulte que, pour tout n > 0, A/P'+1 est
plat sur Ao/I^1. On déduit alors de (1.4.3.2) et 1.4.6 que rhomomorphisme(1.5.3.1)

P^a W ^Ao A -. P^, (J)est un m-PD-isomorphisme, de sorte que P / ^ ^ (J) est plat sur P?^\ c, (^o). D'après
1.5.1, P?. ^ (Jo) est libre sur R et indépendant de a. Par suite, P?. ^ ( I ) est plat sur
R et indépendant de a.
Si Rf est une Jî-algèbre, soient AQ = R' [x-^, . . . , Xd\, IQ = IQ A'o, A' = R' <^R A ^Ao 0Ao A, J' = I A ' = IQ A'. On a alors
J'/T-'n+l ^ /I' /r'n+1 (0.
A/l_ AQ/IO^Ao/Jo1

1.t/rn+1
/

'

714 1

de sorte que A / F ^ est plat sur Ao/^o ' . On en déduit un m-PD-isomorphisme(1.5.3.2)

P^.W ^ A' ^ P^),, (JQ.

Comme Ao et AQ sont des algèbres de polynômes, il résulte de 1.5.1 que rhomomorphisme(1.5.3.3)

P^, (Jo) 0Ao Ao - P^aW

est un m-PD-isomorphisme. Par conséquent, rhomomorphisme(1.5.3.4)

P^ ( I ) ^ R1 ^ P^ (J) 0A A' -. P^^F)

est lui-même un m-PD-isomorphisme.
Supposons enfin qu'il existe une section -R-linéaire o-n : A / I —^ A/P14'1, ce qui munit
P?rn\ o, ( I ) d'une structure de (A/J)-module. On en déduit un isomorphisme(A/J^^Ao/Jo^-^A/P^ 1 .
Par suite, l'isomorphisme (1.5.3.1) peut encore s'écrire%,a(^o)^(A/J)^P^,(J),et l'on déduit alors de 1.5.1 que P . x ^ (J) possède la base annoncée, avec la description
voulue pour les idéaux J et J, et pour la filtration m-PD-adique.
Lorqu'il existe un entier i tel que p^ A = 0, il existe une puissance J^ de 1 d'image
nulle dans Pçm} (I), ce qui permet d'appliquer les raisonnements précédents à P(^) (J)en remplaçant P1"^1 par J^.
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

D-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

209

COROLLAIRE 1.5.4. - Sous les hypothèses précédentes, supposons que n < p171^1, Alorsl 'homomorphisme canoniqueA/r^-P^W
est un isomorphisme.
En effet, l'isomorphisme (1.5.3.1) montre qu'il suffit de prouver l'assertion pour l'idéal
IQ de l'algèbre de polynômes Ao. Elle résulte alors de ce que, pour ki < p7"4'1, on ak, = p171 qi + r,, avec q, < p, 0 < r, < p771, ce qui, dans P(^)^ (I), donne t^ = q,\ t^avec qi\ inversible.

2. Opérateurs différentiels de niveau finiRappelons d'abord brièvement comment, dans [EGA, IV 16.8.4], la construction dufaisceau des opérateurs différentiels sur un S'-schéma lisse X de dimension relative dse déduit par dualité de celle des faisceaux de parties principales. Si î est l'idéal del'immersion diagonale X ^ X Xs X^ on note P^/g = Oxxx/I71^1 le faisceau desparties principales. On le considère comme Ox -module par la structure correspondant àla première projection po : X Xs X —^ X, donnée par a i—^ a 0 1 sur F (î/, Ox) lorsque
U est un ouvert affine de X, et on pose
Vx/s = [JHomo^ (P^, Ox).
n

Nous renvoyons à [EGA, IV, 16.8.9] pour la définition de la structure d'anneau de ' D X / S - ,que nous généraliserons plus bas, et nous expliciterons simplement ici sa description locale.
A tout système de coordonnées au voisinage d'un point, définissant une base <9i, . . . , Qd
du faisceau des dérivations, est associé une base de Vx/s en tant que Ox -module, quenous noterons 9^, k G N^ (cf. [EGA, IV 16.11.2], où elle est notée û^). Dans cette base,la règle de multiplication est donnée par(2.0.1)

Q^}Q^}^(^^^\Q\H^1}\k)(ce qui entraîne que k\Q^ = c^-), et la règle de commutation aux scalaires par(2.0.2)Q^f= Y^ a^Cf)^.
k'+k'^k

Lorsque S est un Z(p)-schéma, on déduit de (1.1.0.2) que, si l'on écrit k sous la forme
k = V a ^ - p ^ , avec 0 < Oj; < p, alors

Qp^^Tl^r3.
j>0

où u est une unité p-adique. On voit ainsi que V x / s est engendré par les opérateurs^ , 1 < % < cî, j G N. Par contre, il résulte de (2.0.1) qu'aucune sous-famille finie de
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

210

P. BERTHELOT

la famille des <9" J n'engendre V x / s - , et que les sections de " D x / s ^e sont pas en généraldes anneaux nœthériens, même si X est localement nœthérien.
Supposant toujours que S est un Z(p)-schéma, notre objectif est ici de construire
une famille de faisceaux d'opérateurs différentiels ^ ' g ^ pour m > 0, tels quelim^ T ^ x / s 2^ ^ x / s - Comme dans le cas de V x / s ^ les faisceaux ^ ' g sont obtenus en
dualisant des faisceaux de parties principales, que nous construisons en 2.1 en appliquantla théorie des m-PD-enveloppes du chapitre précédent à l'idéal de l'immersion diagonale.
On dispose alors d'un homomorphisme V ' ç —> Vx/s induisant un isomorphisme entre
les sous-faisceaux des opérateurs d'ordre < p171 par rapport à chacune des dérivations Qi(mais non injectif si X n'est pas plat sur Z(p)). Pour tout m, V ' g admet pour base une
famille d'opérateurs 9^^ tels que Q ^ ' ^ = Q^ pour k < ^ m , et vérifiant des relations
analogues à (2.0.1) et (2.0.2) faisant intervenir les coefficients binômiaux modifiés définisen 1.1. Ces relations entraînent que V"g est engendré par les 9^ i pour j < m, et,lorsque X est localement nœthérien, que ses sections sur les ouverts affines sont desanneaux nœthériens.
En 2.3, nous donnons une interprétation de la structure de P'^-module à gauche entermes de stratifications au sens de Grothendieck (cf. [22] ou [1]). Cette interprétation revêt
ici une importance particulière du fait que les anneaux V ^ / g ne sont pas engendrés par lesdérivations dès que m > 1, de sorte qu'elle constitue souvent le seul moyen pratique demunir un Ox -module d'une structure de V^ ^-module. Nous en déduisons en particulier
l'existence d'une structure de faisceau d'anneaux naturelle sur B (S)0x ^x l01^^ B est
une Ox -algèbre sur laquelle V^ opère de manière compatible à sa structure d'algèbre ;cela nous servira de manière essentielle au chapitre 4 pour la construction des faisceauxd'opérateurs différentiels à singularités surconvergentes. Enfin, nous nous plaçons en 2.4
sur un schéma formel X^ et nous étudions alors le complété î^ de "D\ \ et la limite
inductive V\ des faisceaux V\ \ dont nous donnons en 2.4.4 la description locale faisant
apparaître des conditions de type Monsky-Washnitzer.
2.1. Faisceaux de parties principales
Nous commençons donc par appliquer les résultats du chapitre 1 à la construction defaisceaux de parties principales avec des PD-structures partielles.
DÉFINITIONS 2.1.1. - Soient S un Z(p)-schéma, muni d'un m-PD-idéal quasi-cohérente(a, b, a), et X ^ Y une ^-immersion. Si U C Y est un ouvert tel que X soit fermé dansU, défini par un idéal quasi-cohérent T C Ou-, l'algèbre P?^\ ^ (î)^ qui est quasi-cohérented'après la remarque (ii) de 1.4.6, est à support dans X, et est donc indépendante du choix
de l'ouvert U. Il en est de même de Pçm^a (î) lorsque p est localement niipotent sur
Y. Nous utiliserons les notations^,W,a (Y) = SpecT^, (ï),

Px,çm)^ {Y) = Spec P^ (Z).

Si la m-PD-structure (b, a) s'étend à X, le sous-schéma fermé de P^ /^ ^ (Y)(resp. Px,(m),a (Y)) défini par î s'identifie à X, d'après 1.4.5. Nous dirons dans ce casque -Px,(m),a (Y) (resp. P^ ç ^ ^ (Y)) est le voisinage à puissances divisées partielles de
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

211

niveau m (resp. et d'ordre n\ compatibles à (b, a), de X dans Y. Lorsqu'aucune confusionn'en résultera, nous omettrons l'indice a. D'après 1.5.3, c'est notamment possible lorsque
X est un 5'-schéma plat, et l'idéal 1 un idéal régulier (par exemple si X et Y sont lisses
sur 5), puisqu'alors les P^ ^ ^ (Y) (resp. Px,(m),a (Y) si p est localement niipotent
sur Y) sont indépendants de (a, b, a).
Les voisinages P^ . ^ ^ (Y) sont munis de morphismes naturels P^ . ^ ^ (Y) —^ Y.
Ils possèdent la propriété universelle suivante, conséquence de celle des enveloppes à
puissances divisées partielles : si ï1 : X' ^ Y ' est une ^-immersion dont l'idéal 1' est
muni d'une m-PD-structure (Z', 7') compatible à (b, a) et vérifiant jT^7^1} = 0, et si/ : Y' —> Y est un S'-morphisme dont la restriction à X' se factorise par X, il existe ununique m-PD-morphisme V —^ P^ / ^ ^ (Y) tel que le diagrammex'-——————— y

^ i

JL

^ - ^W,aW - Ysoit commutatif. Lorsque 7) est localement niipotent sur Y, Px, (m), a (îQ vérifie la propriété
analogue sans condition de niipotence sur 27.
2.1.2. Ce qui précède s'applique aux immersions diagonales X ^-> X^. Nous poserons
alors^1/s, w M= ^, (m) (^/T),^x/s, M (r) = Px, w (X/^1).

Si [/ est un ouvert de X1,^1 dans lequel X est fermé, et si T (r) est l'idéal de X dans (7,nous emploierons des notations analogues à celles de [EGA, IV § 16], en posant^/5,M M - ^n) (W),^x/s,(nz) (r) = PW (î(r)).

Lorsque r = 1, nous utiliserons simplement les notations ^ ^ / g ^y ^x/5,(m)? P ^ x / s (m)'Vx/s^m}' Si la base S' ou le niveau m sont clairs d'après le contexte, nous les omettrons
aussi les notations précédentes. Rappelons enfin que, lorsque X est lisse sur 5, les " P ^ / g ^\(resp. Px/s,Çm) si p est localement niipotent sur X) sont indépendants de la donnée d'unm-PD-idéal de compatibilité sur 5. En particulier, si m = 0, l'hypothèse que S soit unZ(p)-schéma n'est pas nécessaire pour les définir (cf. [1, I, 4.3.1]).
Nous dirons que le faisceau T^^/g (^\ est le faisceau des parties principales de niveau
m et d'ordre n de X relativement à S. Pour m < m', les faisceaux P^/g (^\ sontreliés par les homomorphismes ^ ^/ : P^/g ^,\ —^ P^x/s (m) définis en (1.4.7.1), quien font un système projectif pour m variable. On dispose également pour tout m d'unhomomorphisme canonique ^ : P^/g —^ P^x/s (m^ ou ^"x/s est ^e f^sceau des parties
principales usuel ; si X est lisse sur S, et que n < j?77^1, le corollaire 1.5.4 montre quec'est un isomorphisme. On obtient ainsi pour tout n un isomorphisme(2.1.2.1)^/5^1™m^/5,(rn)-Notations. - Les notations suivantes seront reprises systématiquement lorsque nous
aurons à faire des calculs en coordonnées locales.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

212

P. BERTHELOT

Les projections pi : X7,^1 —> X, 0 < i < r, définissent r + 1 homomorphismes
di : Ox —> P^/s (yn) ( r )? dont chacun munit P^/g ^ Çr) d'une stmcture de Ojc-algèbre.
Si X est lisse sur S, et muni de coordonnées locales ^i, . . . , ^, on pose
(2.1.2.2)

T. = p\ (t,) - p^ (t.} G Oxxx;

nous commettrons souvent les abus de notation consistant à écrire ^ 0 1 (resp. 10^) aulieu de do (ti) (resp. di (t,)), et à noter encore T, = 1 0 ^ - ^ 0 1 les images des TÎ dansles P^/g ^y Nous appellerons structure gauche (resp. droite) sur T^/^ /y^ celle qui est
définie par l'homomorphisme do tel que do (oQ = a 0 1 (resp. di tel que d\ (a) = 1 0 a).
Comme la suite des T^ est une suite régulière de générateurs de l'idéal de la diagonale, ilrésulte de 1.5.3 que, pour chacune des deux structures de Ox -algèbre, P^/g ç^\ est un
Ojc-ir^dule libre de base les éléments r_^ = ry 1J ... TJ d - , avec V^ ki < n.
PROPOSITION 2.1.3. - Avec les notations précédentes, supposons X lisse sur S.
(i) Soient r, r1\ n, n' e N, et î (r) C P^/s,Çm) ( r ). W) C rç/5,(m) ( r/ ) les m-PDidéaux canoniques. Il existe sur l'idéal I (r) Ç^ox ^/s (m) ( r / ) + ^/5, (m) ( r ) ^^x ^' ( r/ )MH^ m-PD-structure (nécessairement unique) telle que les homomorphismes^X/S.W M ^ ^/^(m) (^ ^Ox ^/5,W (^).
^/5, (m) (^) -^ ^î/5, (m) (^) ^Ox ^ (m) (^ / ).

soient des m-PD-morphismes.
(ii) Soient n, n1 ç. N. 7Z existe un unique m-PD-morphisme
cn,n
^(m)

. /Dn+n'_^ /r^n,<-x• ^X/S, (m) ^ ^X/S, (m) ®0x'D71'
I^X/S, (m)^MÏ rende commutatif le diagramme^pn+n/X/S, (m)

(m)
——^

'pn
o,
'pn7
X/5, (m) ^^x ^X/S, (m)/(2.1.3.1)
î

%'

,

^

î

^/5^x^OM Vhomomorphisme du bas est l'homomorphisme (16.8.9.2) de [EGA, IV], caractérisé
par la condition ^ n l n / (a 0 b) = (a 0 1) 0 (1 0 b) pour a, b e Ox. -P^r m < m', /^homomorphismes 8^^ vérifient la relation de commutation(2.1.3.2)

8^ o ^ = (€^ 0 <^) o ^;.

L'assertion (i) est valable quelle que soient les structures de Ox -modules choisies surP^/s ^\ (r) et P^/g ^\ (^ / ) parmi celles que définissent les di', on supposera par exemple
qu'on prend celle que définit dr sur P^/g ^\ (r) et celle que définit do sur P^/g r^\ ( r ' ) .
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

213

On peut supposer S et X affines, et X muni de coordonnées locales ^i, . . . , td au-dessus
de S ; soient S = Spec_R, X = SpecA. Pour tout r, soit J(r) = Ke^(A c ^ r + l ) -^ A),
et, pour tout n, soit J(r) le m-PD-idéal canonique de P . ^ ( J ( r ) ) . D'après 1.5.3,
P?^\ (I (r)) est plat sur A quels que soient n et r, donc les idéaux P?^\ (I (r)) (g) A î ( r ' }et J(r) (g) A P^ (1^)) de P^ (J(r)) 0A -P(^) (-T(^)) sont munis de m-PD-structuresétendant celles de J(r') et 1 (r). Si TI, . . . , r^r est une suite régulière de générateurs deJ(r), soit Ï ' (r) C J(r) l'idéal engendré par les produits r{ 1J .. - r ^ ^ , où l'un des fc,
est au moins égal à p171. D'après 1.5.3 et 1.5.1, l'idéal A (r) = î\r) -\-pP?^ (I (r)) peuts'écrire Ji (r) = J' (r) + p P . . CI (r)), et F (r) est facteur direct de P?^ (I (r)) comme
A-module. Il en résulte qu'on peut écrire(A (r) 0A PM (-r (r'))) n (P^ (I (r)) 0^ A (r'))= F (r) 0A î ' (r') + ^ (P^) (J (r)) 0^ % (-r (r'))).

On en déduit que les PD-structures de P r . {I (r)) 0A ^ (r') et î (r) 0A -P(^) (-r (V)) sontstrictement compatibles, d'où (i).
Soit Z l'idéal de la diagonale dans X Xs X, Comme on a ^ n 5 n / (r^) = 1 0 r^ + n (g) 1,
l'homomorphisme composé/r^n+n', /T->n,<->.
I^X/S ~' I^X/S ^Ox^r>n. /r->n,<->,T)^'^X/S -^ ^X/S^m) ^Ox 1-X/S, (m)envoie T/ï7^71^1 c P^' dans le m-PD-idéal Î^P^/s^ (m) +^75, (m) (g)î - La propriété
universelle de V^f^ ^\ fournit alors le m-PD-morphisme 8?^ , et les commutations
annoncées.
Remarque. - Lorsque p est localement niipotent sur S, on montre de même qu'il existe
une m-PD-structure canonique sur Ï(r) 0 Vx/s^m) (^ / ) + ^x/5,(m) ( r ) ^ î{r'\ On en
déduit d'ailleurs, grâce à la propriété universelle des enveloppes à puissances divisées,l'existence d'un m-PD-isomorphisme^X/S, (m) Çr) (^Ox ^X/5, (m) (^) ^ ^X/5, (m) (^ + T'}.

De même, on voit qu'il existe un m-PD-morphisme 6 : PX/S, (m) —^ ^x/s, (m) ^ ^x/5, (m)qui rend commutatif le diagramme analogue à (2.1.3.1).
2.1.4. Supposons qu'on ait un diagramme commutatifX'(2.1.4.1)-^^(5', a', b', a')

X
^

-.

(5, a, b, a),où la ligne du bas est un m-PD-morphisme. La propriété universelle énoncée en 2.1.1
entraîne que l'homomorphisme composé
An(^\ _, y'r+1 _^ 'Yrr+l^ X ' / S 1 (m), a' V ) ~^ ^/S1~^ ^/S

ANNALES SCIENTinQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

214P. BERTHELOT

se factorise de manière unique par un m-PD-morphisme(2.1.4.2)

A^ ^^ (r) ^ A^ ^, (r).

Les diagrammes^/ - ^/s,^,,(r)^[X^A^^(r)

"i
^

X'
[f
X

induits par les immersions diagonales et les projections sont alors commutatifs. On en tireen particulier des homomorphismes canoniques Ox' "linéaires(2.1.4.3)

rrç/S,(m),aM^^/S/,(m),^M.

les structures de Ox -module (resp. Ox' -module) étant définies à partir d'une quelconquedes projections pi (resp. ;/J.
Supposons que le carré (2.1.4.1) soit cartésien, et que de plus X soit lisse sur S.
L'énoncé de commutation au changement de base donné en 1.5.3 pour les enveloppes à
puissances divisées entraîne alors que (2.1.4.3) est un isomorphisme.
2.1.5. Soit encore m € N entier fixé, et soit V un anneau de valuadon discrète complet,d'idéal maximal m; si m > 1, on suppose que la caractéristique résiduelle de V est p.
Lorsque nous parlerons, dans la suite de cet article, d'un V-schéma formel X^ il sera
toujours sous-entendu que m0^ en est un idéal de définition, et que X est localementnœthérien.
Les définitions précédentes peuvent s'étendre aux V-schémas formels. Soit X —r S un
morphisme lisse de V-schémas formels (i.e. dont la réduction modulo m1 est lisse pour
tout %). Si X et S sont affines, Y{X, 0^) est plat sur r(5, Os}. De plus, l'idéal del'immersion diagonale de X dans ATJ"1 est régulier. On peut donc encore appliquer ici
les résultats de 1.5.3. On dispose ainsi de faisceaux de parties principales P ^ / s ( m ) ( r )'qui sont des 0^ -modules localement libres pour chacune des structures définies par les
projections pi : X^1 —> X\ si ti, . . . , td sont des coordonnées locales de X sur <?, etn = p\ (ti) - p^ (ti), les produits r^ .. .TJ^, avec Y^kj <_ n, forment encore unebase de P^/g (m) sur ^x P0^ chacune des deux structures naturelles. De même, lesrésultats de 2.1.3 et 2.1.4 se généralisent dans ce contexte.
2.2. Faisceaux d'opérateurs différentiels
Soient m G N, et 5" un schéma (resp. un schéma formel au sens de 2.1.5) ; lorsquem > 1, on suppose que S est un Z(p)-schéma. Dans le reste du chapitre 2, on désignera
par X un ^-schéma lisse (resp. un 5'-schéma formel lisse).
Pour m, n G N, nous considérerons sauf mention expresse du contraire le faisceau desparties principales P^/g ^\ comme muni de sa structure gauche de Ojy-algèbre (cf. 2.1.2).
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

^-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

215

2.2.1. Soient m, n ç. N. On définit le faisceau des opérateurs différentiels de niveau
m et d'ordre < n sur X relativement à S comme étant le dual Ox -linéaire du faisceau
des parties principales P^/s, (m) :(2.2.1.1)

P% , = ^Homo. (^/5, ^ Ox).

Pour n variable, les surjections P^ ^ -^ P^ ^ fournissent des injectionsT)(w)
c . DO71)^X/^, n ^ ^X/5, n' •Le faisceau des opérateurs différentiels de niveau m est alors défini parT)(^) _ | | T)^)
^X/S ~ U
X/5, nnçNOn munit P^ d'une structure de faisceau d'anneaux grâce aux accouplements(^ o i ^(2.2.1.2)-n^
Y -X/5,
D07^ n' ^—). ^X/^,D^ n+n'^X/5, nx

définis comme suit : si P e Uomo^ {P^/s, (m). °x), -P' ^ ^omo^ (P^/^^ ^, Ox),
alors PP' est l'homomorphisme composé(2.2.1.3)

P^ ^ ^ P^ ^ ^p^ W ïd^p' p^ (-) ^ °^Les V^
munissent ainsi le faisceau V^ d'une filtration naturelle de faisceaud'anneaux, appelée comme d'habitude filtration par l'ordre. Si P est une section deV^ au voisinage d'un point x e X, nous noterons orda; (P) le plus petit entier n tel quey\. f 3, Ti

•— 1

_

.

.

P, e 2)^ ^ ^; pour tout ouvert U C X, et tout P e F (£7, P%), nous poseronsord(P) =sup ord.,(P).
xç.uComme les faisceaux ^/^ ^ les faisceaux P^^ ^ sont munis de deux structuresde Ox-module, correspondant à la multiplication à gauche ou à droite par une section de
Ox' Nous les appellerons encore structure gauche et structure droite. Par construction,
la structure gauche est duale de la structure gauche de P^/s, (m)^ et la structure droite
provient par fonctorialité de l'action de Ox sur P^/s^ (m) définie P^ sa structure droite.
Les faisceaux P^ opèrent sur Ox, l'action de P e T-iomo^ (PX/S, (m) 5 Ox) étant
donnée par le composé(2.2.1.4)

Ox^P^(m)^Ox.

Le faisceau Ox est muni d'une structure naturelle de V^g -module à gauche. Pourf ç Ox, P e ^^ nous noterons souvent P (/) pour P • / := P o di (/). On prendra
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

216

P. BERTHELOT

garde que, contrairement au cas des opérateurs différentiels usuels, l'opération de V x / s
sur Ox n'est pas fidèle en général (voir 2.2.7).
Pour m' > m, les homomorphismes '0^^/ : P^x/s ( m ' ) ~~^ ^ï/s (m) fournissent
par dualité des homomorphismes Ox -linéaires V - ' g ^ —^ ^ x / s n-> compatibles aux
accouplements (2.2.1.2) d'après (2.1.3.2). Par passage à la limite inductive, on en tire donc
des homomorphismes canoniques de faisceaux d'anneaux filtrés(111 ^^Z.Z.l.J;n ,'' T)^Pm',m^X/S—^ D^'^
X/S 1

non injectifs en général d'après les formules qui suivent. De même, en dualisant les
homomorphismes P^/g —> P^/s (m) et en Passant à la limite, on obtient encore deshomomorphismes de faisceaux d'anneaux filtrés pm ' T ^ x / s ~' ^ x / s ' II résulte alors de
1.5.4 que les homomorphismes(2.2.1.6)Î^-Î^L^^,»sont des isomorphismes pour n < p171'^1. C'est en particulier le cas quel que soit m sin < 1, de sorte que V x / s i est 1e fâ1^^11 habituel des opérateurs différentiels d'ordre< 1. En outre, l'homomorphisme(2.2.1.7)

Hm^P^^Px/5

est un isomorphisme.
2.2.2. Considérons un carré commutatif de la forme (2.1.4.1), dans lequel on suppose X
lisse sur S et X' lisse sur S ' . En dualisant les homomorphismes (2.1.4.3) et en passant àla limite, on obtient des homomorphismes canoniques^(m)^X'/S', nn ? ? 9^^L.L.L.L)/.* ^(m)J
X/S, n 'DM. f* DM^X'/S' ^ J^X/S-Lorsque le carré (2.1.4.1) est cartésien, de sorte que (2.1.4.3) est un isomorphisme, il enest de même de (2.2.2.1) et (2.2.2.2).
2.2.3. Notations. - Dans la suite, nous omettrons en général l'indice S, le schéma (ouschéma formel) de base étant supposé fixé.
Supposons données des coordonnées locales ^i, . . . , td sur X relativement à 5, et notons
comme précédemment ri = P^(ti) — P^ (^). Les dérivations de Ox correspondant à labase duale de la base dti de Û^ç seront notées 9i. A la base de P^ / x formée des r_^
pour \k < n, correspond la base duale de V^\, dont les éléments seront notés 9^;
pour k = 1^ on a donc œ^ = 9i. Pour n variable, les 9_^ forment une base de P^ 77 . Si
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

217

nécessaire, nous préciserons le niveau m par la notation ô^^. De même, nous noterons
9^ la base de Pjc, n duale de la base r^ de 7^; pour n variable, les 9^ forment unebase de Vx (notée Dj, dans [EGA, IV, 16.11.2]).
Soient m' > m, et posons fc^ = ^m Çi+y, = j/^ ^+r^ avec 0 < r^ < p171, 0 < r[ < p ^ ' .
Il résulte de (1.4.7.2) et (1.3.5.2) que l'on a pour tout k(2.2.3.1)pm^m (ô^) = W/^9^^^(2.2.3.2)^(ô^Q^rf.

En particulier, si l'on a fc^ < ^m pour tout î, on obtient pm ÇQ^^) = 9^; dans ce cas,nous utiliserons indifféremment les notations œ^ ou cr^ dans V ^ ' .
PROPOSITION 2.2.4. - Soient U C X un ouvert, ti, . . . , td des coordonnées locales sur U
relativement à S, r^ = 10^— ti0l. Avec les notations de2.2.3, on a les relations suivantes :(i)

V / e Ox, Vn e N, rii (/) = ^ a^ (/)r{à} e V^w\k\<n(formule de Taylor).
(ii)

(iii)

(iv)

Vfc, z e N^

VA/, fc" G N^

9^ (^) = g! f ' } ^-k G Ox.
\^/

Q^ 9^ = / k f + fKc / / \ 9^^ e T>y.
\ .
/VfceN^ v/eo^, ^/= ^L./il,//—!,
fc'+fc'^fc{^l^œ^eP^.
L—J

La formule de Taylor résulte de (2.2.1.4) et de la définition des 9^ comme base dualedes r_^. La relation (ii) en résulte d'après (1.3.5.2), puisqu'on a^(^^^œ—^ofâ+r)1.
D'autre part, les relations 8^ (r,) = r, (g) 1 + 1 0 r^ entraînent que l'on a
QW g { k " } ç^ ^ ^)^Td^ô< f c / / ))o^ / (^) = ^^(Id^ô^^) ((r^l+l^r)^),de sorte que (iii) résulte de 1.3.6 (iii). Enfin, pour prouver (iv), on observe que 5^° = Id,de sorte que l'on a grâce à (i)ÇQ(b} y) (^{i}) ^ ^} ((i ^ j-) ^i}) ^ ^} (( ^ gW (y) ^ / }) ^{1})^Ifc'l^net la formule résulte de 1.3.6 (iv).
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

218

P. BERTHELOT

Remarque. - Les relations 2.2.4 (iii) entraînent que 9^ ") 9^ "^ = 9^' " } 9^^. Lorsque k
est de la forme k = (0, . . . , fc, . . . , 0), où k est à la %-ième place, nous noterons 9^ aulieu de 9^. Pour tout k e N^ on peut ainsi écrire sans ambiguïté

(2.2.4.1)

9^ = J J 9^.
i==l

COROLLAIRE 2.2.5. - (i) Sous les hypothèses de 2.2.4, le faisceau d'anneaux V^ est
engendré par Ox et par les opérateurs 9^^ = 9^^ avec 0 < j < m, ces derniers
commutant deux à deux.
(ii) Supposons que S soit un schéma (resp. schéma formel) localement nœthérien. Pour
tout ouvert affine U C X (resp. tout x e X), Vanneau D^ = F (U, V^) (resp. Vanneau^ X x ) est nœthérien à gauche et à droite.
m-i
Pour k ç N, posons k = ^ d j p 3 + ap^ avec 0 < a ^ < p pour tout j. On déduit
j=oalors de 2.2.4 (ii) et 1.1.3 quem-l(2.2.5.1)

9^ =u

(

v

J] (âf^•) (9?)°,/j=oavec u e Z^,^ (resp. 2^ = 1 si m = 0), d'où (i). Si [/ est un ouvert affine de X, il est
séparé et quasi-compact, de sorte que le foncteur F (?7, —) commute aux limites inductives[SGA 4, VI, 5.2]. L'anneau D^ est alors muni de la filtration par l'ordre, et son gradué
associé est commutatif d'après 2.2.4 (iv). Comme ce dernier est nœthérien, car engendré
par les gr,!?^ = F (U, gr,?^) pour i < p171 d'après 2.2.5, un argument classiquemontre que D^ est nœthérien (cf. [11, II, 5.3] ou [34, I, 2.5.1]), et de même pour TD^\.
Remarques. - (i) Pour m = 0, on voit donc que l'anneau P^ est engendré par Ox etles dérivations (cet anneau est noté PD -Viffx/s (Px^ Ox) dans [1] ou [9]).
(ii) II résulte par contre de 1.1.1 que, si p n'est pas inversible sur X, et si j < m,
9^ n'appartient pas au sous-anneau engendré par Ox et les 9^ ^ pour j ' < j. Le mêmeargument montre que l'anneau Vx des opérateurs différentiels usuels ne peut être engendré
par Ox et une famille finie d'opérateurs (9^, et également que l'idéal à gauche de T>xengendré par les Q^\ pour j e M, n'est pas un idéal de type fini, de sorte que, même si
X est localement nœthérien, T> n'est pas en général un faisceau d'anneaux nœthériens.
PROPOSITION 2.2.6. - Supposons que S soit un schéma de caractéristique p, et, pour toutr G N, soit X^ := S Xs X le schéma déduit de X par changement de base par lapuissance r-ième du Frobenius absolu de S. Alors le Frobenius relatif
7 1
J77'm+l . y _^ yC ^ )-x/s ' ^4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2^

'D-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

219

envoie O^çm+i) dans le centre de V^ ; ce dernier s'identifie localement à l'algèbre despolynômes à coefficients dans Oj^m+i) en les opérateurs 9^mm)= Um (<9" ^p, avecl

Um = j9!(j9 !)^/J9 + ! ç Z^.

Pour montrer que 0^(m+i) est contenu dans le centre de T^ \ il suffit d'après 2.2.4(iv) de vérifier que, pour tout k -^ Q, et tout / e Ojc, on a 9^ (/ p m + l ) = 0, et, compte
tenu de 2.2.4 (i), cela résulte de ce que, dans P^ ^-p on adi (/ p m + l ) = ( / 0 1 + ( 1 0 / - / ^ l))^1= / pm+l 0 1 + ^! ((1 0 / - / 0 1)^)^= ^ m+l ^ l.
Pour montrer que les opérateurs <9"appartiennent aussi au centre de V^ , on appliqueencore 2.2.4 (iv) en observant que, si l'on pose k' = p^ q' + r^ p77^1 — fc' = p^ q" 4- r"',avec 0 < r', r " < p171^ d'une partF î3m+l 1plK-pW^O,J(m)est divisible par p pour A/ / 0, j?77^1^ d'autre part 9"= j?! <9"J

s'annule sur Ox'

Réciproquement, prouvons que le centre de T>y est engendré par 0^(m+i) et les<9"\ Pour cela, on note d'abord que, localement, tout opérateur P de P ^ 7 peuts'écrire de manière unique sous la forme P = y ^ Pn (0.
')"-, où les opérateurs
21P^_ ç T>y sont d'ordre < p77^1 par rapport à chacun des Qi. Si P appartient au centre de2 ^ ' , il en résulte que, pour tout / ç Ox^ et tout n, on a [P^, /] = 0. Fixons n, et posons
P^_ = ^ . ^ ô ^ , avec a^ ç Ox^ et fc^ < ^ m+l pour tout î. Pour montrer que a^ = 0
fepour k / 0, on ordonne l'ensemble des multi-indices k selon l'ordre lexicographique, eton note h le plus grand multi-indice k_ tel que a/c 7^ 0. Si /i 7^ Q, soit z minimum telque hi ^ 0. On forme alors

1^]=

E

o^à^p77"4'1-!

{^W^où 1^ désigne le multi-indice dont les composantes sont nulles sauf celle d'indice i, qui estégale à 1. Si ki = p^ q + r, ki - 1 = p^ q' + r' avec 0 < r, r7 < ^ m , on a ^ ' ^ = q\lq'\( k 1
f fc 1si fct > 1, et ^> == 0 sinon, de sorte que ^> est inversible sauf si ki = 0. Comme[P^_, ti] == 0, il s'ensuit que h •= 0, donc que P est de la forme P == V^ a^(9^ ^î2-,zi
avec a^_ ç 0^. On peut alors écrire a^_ de manière unique sous la forme a^_ = Y^ b^ ^ É^î

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

220

P. BERTHELOT

avec b^r_ ^ 0^(rrz+i), et ri < j/7^1 pour tout %. Soit s un multi-indice tel que Si < p171^1
pour tout i. Le crochet [9^, P] est donné par< > 2: )m+l> 2L[^\P}=^(
(E
)
Z^ E
2^
^ {^}^^ ^ a )^ ))(^
mn<7'<-n"z+i-1
0<^<p-^l-JL

n
n_

v

'»<s
J_<s^

"- }

ce qui s'écrit encore d'après 2.2.4

1^.^^{^("""r^.,-,n\. J_ )

\

J_

I

—

(<^_

x
x

(
[

V^
2^
£-;7<î:<Pm+l-l( L \bf^-^\ ^p^^j}[ s - .]o^r-t~)°-

où q _ . désigne le quotient de s_ — j par ^ m . Pour n, j, et r_ variables, avec 0 < j < s_ et
5— 3_ < L < ^ m+l — 1, les sections t^8-^3-^ n+:L) sont linéairement indépendantes sur
0^(m+i), de sorte que leurs coefficients dans l'expression précédente sont nuls. Si s_ / 0,on peut prendre —j = 0, r = 5, et on en déduit que —s
q ! bns = 0- Comme —s
q ! est inversible,— —les b^ s_ sont nuls pour s_ / Q, ce qui montre que les opérateurs appartenant au centre deP J 5 7 ont bien la forme annoncée.
5

PROPOSITION 2.2.7. - Sous les hypothèses de 2.2.6, F image de l'homomorphisme canoniquep^ : Vy - Px — ^ndos {Ox)est Vanneau des endomorphismes 0^(m+i) -linéaires de Ox^ et son noyau 1C est l'idéal
bilatère de T)^

engendré localement par les opérateurs 9^(m). De plus, pour tout

est aussl
m' > m, le noyau de Vhomomorphisme canonique pm',m ' V^ ^ ^x^8^ à/C, et, si V^ ^ Vy/JC est l'image de P^ dans V^ \ ce dernier est localement libre

sur î>^(à droite et à gauche), de base les opérateurs de la forme 9"i±)(m') ^ ^ ç p^dD'après la proposition précédente, l'endomorphisme de Ox induit par un opérateur deV ^ ' est 0^(m+i)-linéaire. Inversement, pour prouver que tout endomorphisme 0^(m+i)linéaire de Ox appartient à l'image de V^ \ il suffit d'observer grâce à 2.2.4 (ii) que,pour k = p^ q + r < j?^1, et tout %, les opérateurs Q^ vérifient 9^ (^) = q ! e Z^,
tandis que ôj ; (^) = 0 pour h < k ; on en déduit aisément que, si k est tel que ki < p m + lpour tout 2, il existe un opérateur P^_ e P^ tel que PkÇt^) = 1, et P^(^) = 0 pourh -^ k, hi < j/7^1, d'où l'assertion.
Soit maintenant P = Y Û ^ ^ Ç T)'^ un opérateur annulant Ox' La relationkg{b} (^ = q\, avec q\ ç î^ lorsque fc, < p^1 pour tout î, entraîne alors que a^ = 0
lorsque ki < p77^1 pour tout i. La description du noyau en résulte grâce à (2.2.5.1).
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

^-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

221

Soit k un multi-indice, et posons ki = p171 qi + r^ = J)m+l ^ + r'^ avec 0 < r^ < p171,
0 < ^ < j^1. D'après (2.2.3.1), l'homomorphisme pm+i,m : î^ -^ T^^ envoie^(^(m) gm. ^ ;yç/ ;^(à)(m+i) Comme on a ç = pq' + 5, avec 0 < Si < p, on voit que
/7

ff

=

^

W) = E (9* - ^) - ^ + <^))/(p-1) E ^Vp(q\/q \) = ^[qi-a{qi
t==l

î=l

de sorte que l'image de 9^^ dans î)^'^ est nulle si et seulement s'il existe i tel queki > p77^1. Utilisant encore (2.2.5.1), on voit donc que le noyau de pm+i,m est égal à /C.
Il en est alors de même pour celui de pm'.mi car on aKeï(pm^m) C KeT(pm',m) C Ker(p^).

Par contre, si ki < j/"^1 pour tout %, g! est inversible dans Z(p), et on a pm',m (9^^) =ç!^)(nz/) Le fait que P^^ soit libre sur P^ avec pour base les 9{prn+ln-}(rn^ résultealors de (2.2.5.1).
Remarque. - Dans [35], une confusion malheureuse entre î ^ ^ et son image dansendos (Ox) (P. 279, 1. 9-111) invalide les résultats des sections (1.2.5)-(1.2.8). En
particulier, nous montrerons dans un article ultérieur que, lorsque X est affine, la dimension
cohomologique de r(X, D^} est égale à 2 dim (X). De même, si X est un schéma(ou un schéma formel) affine et lisse sur un anneau de valuation discrète d'inégales
caractéristiques, la dimension cohomologique de r(<Y, T>\ )) est égale à 2dim(X) + 1,
ainsi que celle de son complété p-adique.
2.3. PD-stratifications de niveau mNous allons expliciter ici l'interprétation d'une structure de V^ -module à gauche sur
un Ojc-module £ en termes de stratifications, au sens de [1, II 1.3.1]. Cette interprétation
sera particulièrement utile dans ce contexte parce que, pour m > 1, il ne suffit plus despécifier l'action des dérivations pour définir une structure de T>^ ^-module à gauche sur<f, contrairement au cas des Vy -modules, ou des Vx -modules en caractéristique 0.
Le schéma (resp. schéma formel) de base S étant fixé, nous omettrons de préciser
l'indice S dans ce qui suit. Si m = 0, les résultats qui suivent sont valables sans supposerque S soit un Z(p)-schéma.
DÉFINITION 2.3.1. - Soient X —^ S un morphisme lisse de Z(p)-schémas (resp. schémas
formels), £ un Ox -module. Une m-PD-stratification (ou PD-stratification de niveaum) e sur £ relativement à S est la donnée d'une famille compatible d'isomorphismes^(m)-1111^11^^ ' ^,(m) ^0^^£ ^ Pï,^où les produits tensoriels sont respectivement pris pour les structures droite et gauche deP^ ^, ces isomorphismes étant astreints aux conditions suivantes :(i) £o = Idé- ;ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

222

P. BERTHELOT(il) Pour tous n, n1\ le diagramme^(^n/)

T>n(^\ T>^/o\ ^' X , (m) çs) / X, (m) w ^__________.
————^————^

C /o T>nx-^ T>n' (^ / X, (m) (û) / X, (m)c^ ' ^ ( ^ n + r ^ ) \^^^^'^^n+n')^pn/ç^ C /<^ T)n/
X, (m) (^ ^ w ' X , (m)dont les flèches sont obtenues par extension des scalaires grâce à l'homomorphisme 6^^
défini en 2.1.3 et aux homomorphismes naturels
n,n^0. /pn+n'
-pn
'pn
^ ^pn
• / X, (m) "^ / X, (m) "^ / X, (m) (^ / X, (m)?

n,n'
^1

. ^pn+n' _^ /pn'_^ /pn^ -pn7• / X, (m) ~^ / X, (m) -^ / X, (m) (^ / X, (m)?

est commutatif.
Si q^j : rç^m) —> ^,(m) (^) est l'homomorphisme correspondant à la projection de
X sur X2 définie par les facteurs d'indices i, j, il est facile de voir que cette dernière
condition (condition de cocycle) équivaut à3(2.3.1.2)

Vn,q^(en)=q^(en)oq^(en).

Un homomorphisme Ox-linéaire (p : £ —^ T entre modules munis de m-PD-stratifications
est dit horizontal s'il commute aux isomorphismes en pour £ et T en un sens évident.
PROPOSITION 2.3.2. - Soit £ un Ox-module. Il y a équivalence entre les données suivantes :a) Une structure de V'^-module à gauche sur £ prolongeant sa structure de Ox-module ;b) Une famille compatible d''homomorphismes Ox-linéaires
6^•.£-^£^Vnx^^(ce dernier étant considéré comme Ox-module par l'intermédiaire de la structure droite deP7^ fyn))? telle que 60 = Id^:, et que pour tous n, n', le diagrammeIdfg)^'^^^n)<2-3-2-1)————^^^,W^(m)

e^,]

]e^
ô

Ç
^

'

_______.
^y (^ T>n^ (<s) ' X , (m)soit commutatif;c) Une m-PD-stratification e = (en} sur £.
De plus, un homomorphisme Ox-linéaire (p : £ —> T entre deux T ^ ) -modules àgauche est T)^ -linéaire si et seulement s'il commute aux homomorphismes On (resp. aux
isomorphismes En\ i.e. s'il est horizontal.
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

^-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

223

La méthode est standard [1, II 4.1-4.2], et due à Grothendieck dans le cas des opérateurs
différentiels usuels. Rappelons brièvement comment on passe d'une structure à l'autre.
Une structure de V^ ^-module à gauche sur un Ox -module 8 fournit une famillecompatible d'homomorphismes /^ : î ^ ^ ^Ox <? —^ <?, où le produit tensoriel est
pris pour la structure droite de 0\ -module de î ^ ^ ^ , f^n étant lui-même Ox -linéaire
pour la structure gauche. Cette donnée équivaut par adjonction à celle d'une famille
d'homomorphismes Ox -linéaires
0n : £ - Horno^ (V^\ £) ^ £ 0 P^ ^où le faisceau l-tomox est pri8 P0111' ^a structure gauche de V'^ , et est considéré commeOx -module par la structure droite de V^ ; la commutativité des diagrammes (2.3.2.1)
traduit alors l'associativité de l'action de V^ sur £. Les isomorphismes en sont les
factorisations P^ . ^-linéaires des 6n-> et la commutativité de (2.3.2.1) correspond à lacondition de cocycle (2.3.1.1).
En coordonnées locales, et avec les notations de 2.2.3, l'application On est celle qui
associe à une section x ç £ son « développement de Taylor » :(2.3.2.2)

0n (x) = ^ 9^ x 0 r^.
|fe|<nL'expression de £n s'en déduit aussitôt par linéarité, et on vérifie que c'est un isomorphismeen observant que son inverse est donné par(2.3.2.3)£n1 CT 0 1) = ^ (-1)^ r,^ ^ 0^ x.
\k\<n

On déduit de ces formules le corollaire suivant :COROLLAIRE 2.3.3. - Soient £, F deux T ) ' ^ ' -modules à gauche.

(i) II existe sur le produit tensoriel £ ^Ox ^ une M^^ structure de Vy-module àgauche telle que, pour tout fc, et toutes sections x de <?, y de JF, on ait(2.3.3.1)

9^ • {x (S) y) = V { k} Q^ x 0 9^ y.
i<k 1 1 J(ii) // existe sur le faisceau Tiomo^ {£^ J1') une unique structure de u^-module àgauche telle que, pour tout fc, tout morphisme (p : £ —^ ^~, et toute section x de <?, on ait(2.3.3.2)\9^ ^ (x) = ^ (-1)1^1 { f c } ^ WQ^ x)).
<k

^L.

l ^ J

DÉFINITION 2.3.4. - Soit B une Ojc-algèbre commutative. On dira qu'une structure deP^ ^-module à gauche sur B est compatible à sa structure d'algèbre, si la structure deOx -module sous-jacente à la structure de P^-module est celle qu'induit la structure
de Ox -algèbre, et si les isomorphismes e^ : P^ ^ 0 B ^ B 0 P^ ^ de lam-PD-stratification correspondante sont des isomorphismes de P^ /^-algèbres.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

224

P. BERTHELOT

II résulte de (2.3.2.2) que cette condition s'exprime en coordonnées locales par laformule de Leibnitz(2.3.4.1)\/f^g ç Z?,

Vfc ç N^9^ (fg) = ^ ( k } 9^ (/) B^ (^).
i<fc 1 % J

Exemples. - (i) Soient Y C X un sous-schéma fermé défini par un idéal J C Ox? etÔ^/y = lim, Ox/J1 le complété formel de X le long de Y. D'après (2.0.2), l'action
de T>x sur Ox vérifie la formule de Leibnitz. Par récurrence sur n, puis sur fc, il enrésulte qu'elle définit des accouplements 'DX\ x J^ —> J ' k ~ n ^ d'où une structure de
Pjc -module à gauche sur Ox/y qui est compatible à sa structure de Ox -algèbre. Par
composition avec pm '- "D^ —> PX; on obtient donc sur ÔX/Y une structure compatiblede V^ -module à gauche.
(ii) Sous les hypothèses précédentes, soit P{m) ( J ) la m-PD-enveloppe de J ' . On
munit Pçm) {J) d'une m-PD-stratification de la manière suivante. Soient î C P^ ^le m-PD-idéal canonique, et a sa m-PD-structure. Posons^-^•^W+^=Ker(^^-Ox/J)=rç,M^+î.
On dispose alors d'un homomorphisme canonique(2.3.4.2)

P(^) (J)00^Çm) -^ ^(m),a (^/),

qui est un isomorphisme. Pour le voir, il suffit de montrer qu'il existe sur l'idéal^^Ox^^x (m) + ^W (^) ^Ox ^ une ^-PD-structure prolongeant celles de J et î,car elle fournit alors un m-PD-morphisme inverse de (2.3.4.2). Or P^ . ^ est localement
isomorphe au quotient d'une algèbre de polynômes à puissances divisées de niveau m, à
coefficients dans Ox, par le n-ième cran de sa filtration m-PD-adique, et, par extension desscalaires, Pç-m) {^)^0x ^)1x (m) gâ^e la même structure. De plus, d'après 1.5.1 (iii), la mPD-structure canonique de Pçrn) [ J ) ^Ox Ï est compatible à toute m-PD-structure sur unidéal de l'anneau de coefficients P{m) {J), ce qui entraîne l'existence de la m-PD-structure
cherchée. Comme le même argument fournit un isomorphisme canonique^,(m) ®0x ^(m) (J') ^ ^(m),a (^/),

on en déduit la m-PD-stratification (en) cherchée.
Soient ^i, . . . , td des coordonnées locales sur X. Par construction, on aen(l^t_^)=(t_^l+r_)^-\d'où l'on déduit la relation(2.3.4.3)\/k, i e N^9^^^ = 1%\^ i - f c } .

Xb/'(iii) Soit Z C X un diviseur. Nous construisons en 4.2.3 des Ojc-algèbres commutatives
Bx {Z, r), munies d'une action compatible de î^. Lorsque X est un schéma formel,
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

225

leurs complétées p-adiques fourniront des modèles entiers pour les algèbres de fonctions
analytiques sur certains voisinages stricts du tube du complémentaire de Z. Les anneauxd'opérateurs différentiels qu'on en déduit grâce à la proposition suivante jouent un rôle
fondamental dans la théorie des coefficients pour les variétés non propres.
La condition de compatibilité introduite plus haut permet en effet de munir le produit
tensoriel B ç^Ox ^\ d'une structure canonique de faisceau d'anneaux, auquel s'étend
naturellement la filtration par l'ordre de V ^ ' :PROPOSITION 2.3.5. - Soit B une Ox-algèbre commutative, munie d'une structure de^x -module à gauche compatible avec sa structure de Ox-algèbre. Il existe alors sur leproduit tensoriel B ®0x T^x une unl(lue structure de faisceau d'anneaux telle que lesmorphismes B -^ B ®0x T)(^ b ^ b (^ 1, et V^ -^ B (g)<^ T>^\ P ^ 1 0 P, soientdes homomorphismes d'anneaux, que (h 0 1) (1 0 P) = b 0 P pour tous b ç. B, P ç: T)y\et que, pour tout système de coordonnées locales sur X, tout fc, et tout b ç: B, on ait(1 0 9^)^ 0 1) = ^ { k \ 0^-^ b 0 Q^.
i_<k l ti )(2.3.5.1)

Si B' est une B-algèbre commutative munie d'une structure compatible de V^ -module,
telle que B -> B' soit V^-linéaire, le morphisme B ^ox v^ -> B' ^Ox ^^ est un
homomorphisme d'anneaux.
L'unicité est claire. Pour définir la multiplication sur B Ç^Ox ^x ^ on ecnt
B^ox^^Uornox^x^mY^'

On définit alors le produit PP' de P : P^ ^ -> B et de P' : P^ ^ -^ B commele composé
en, n/pn+n7/X, (m)

(m)
~^

/pn
^ ^n'
Id^P' /pn
^ K? ^ n ^ -pn' X , (m) ^) ^X, (m)~^1 X , (m) ^ u ~^ D y9 ' X , (m)Ï^P n o n J1 K?
~^ D^! D -^ D,où On est la m-PD-stratification définie par la structure de 2^ -module de B, et JJL
la multiplication de B. La seule vérification nécessaire est celle de l'associativité del'opération ainsi définie : elle résulte d'un diagramme commutatif qu'on laisse au lecteur
le soin d'expliciter, et où interviennent le triangle (2.3.1.1) exprimant la condition de cocycle
pour les En, et la compatibilité des En avec /^. La formule (2.3.5.1) résulte immédiatement
de cette définition, et des formules précédentes. La dernière assertion résulte de ce qu'unhomomorphisme V^ -linéaire est horizontal.
Remarques. - (i) L'homomorphisme P^ -^ B ^ox ^^ munit B ^Ox ^^ dedeux structures de P^ ^-module. La structure de P^ ^-module à droite est définie par lamultiplication à droite par les opérateurs de P^ , et la structure de T^ ^-module à gauchecoïncide avec la structure produit tensoriel définie en 2.3.3.
(ii) On voit comme en 2.3.2 que la donnée d'une structure de (B 0ox î^^)-module àgauche sur un B-module £ est équivalente à la donnée d'une m-PD-stratification dont les
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

226

P. BERTHELOT

isomorphismes £n ' ^^ çrn) ^Ox S ^ £ ^Ox ^ (m) sont semi-linéaires par rapport aux
isomorphismes P^ r . Ç^ox B ^ B <^ox ^ (m) ^e ^a ^-PD-stratification de 0.
(iii) Soient B —^ B' un homomorphisme d'algèbres vérifiant les propriétés de l'énoncé,et £ un {B <^)ox 2^ )-module à gauche. Grâce à la remarque précédente, B' 0^ £ est
muni d'une structure naturelle de (B' Ç^Ox î^^)-module. On vérifie alors aisément que
F homomorphisme canonique
B' ^ £ -^ {B' (^Ox 2^) ^p^) £(2.3.5.2)

est un isomorphisme de {B1 ®0x ^x ) -modules.
PROPOSITION 2.3.6.- Soient X —> S un morphisme lisse de schémas (resp. schémas
formels), B une Ox-algèbre commutative munie d'une structure compatible de V^-moduleà gauche. Pour tout ouvert affine U C X, l'homomorphisme canonique(2.3.6.1)r((7, Ê00ra7,Ox)W 2^) ^ W B^ox^)

est un isomorphisme. Si F (î7, B) (resp. si la fibre B^ en un point x ç. X) est un anneaunœthérien, F (U, B Ç^ox î^) (resp. (B 0ox î^^) est nœthérien à gauche et à droite.
Pour tout n, le faisceau T^un est un ^u -module localement libre, donc facteur direct d'unOu -module libre de type fini. Comme F homomorphisme (2.3.6.1) est un isomorphisme
lorsque T ) ^ ' est remplacé par un tel module, il l'est encore pour 2^^. Comme U est
quasi-compact et séparé, le foncteur F (?7, —) commute aux limites inductives, et l'assertion
pour Vy en résulte. La dernière assertion se démontre alors comme 2.2.5 (ii).
Nous terminerons cette section en introduisant pour les P^ -modules une notion de
niipotence analogue à celle de connexion niipotente [29].
PROPOSITION 2.3.7. - Soient X —^ S un morphisme lisse de schémas, £ un V^-moduleà gauche. On suppose que p est localement niipotent sur S, et qu'il existe sur X un systèmede coordonnées locales ^i, . . . , td. Les conditions suivantes sont équivalentes :(i) Pour toute section e de £ , il existe localement un entier N tel que Q^^ e = 0
pour \k\ > N.
(ii) La condition (i) est satisfaite pour tout système de coordonnées locales sur un ouvert
de X.
(iii) // existe un isomorphisme^' ^X,(m) ^0^ £ ^ <?^O^X,(m)vérifiant la condition de cocycle, et induisant par réduction sur les P^ / ^ lam-PD-stratification de £. De plus, cet isomorphisme est alors unique.
Gardons les notations de 2.2.3. Comme p est localement niipotent sur 5', il résulte de
1.5.3 que Px,(m) est libre sur Ox de base les T^^, avec k ç. Nd. Si la condition (i)est satisfaite, on peut encore définir une application 0 : £ —^ £ ®0x ^x, (m) en posante (e) = ^ 1 9 < f c ; e0T^^ pour toute section e de £ ; on vérifie qu'elle est 0^-linéaire pourkla structure droite de Px, (m), de sorte qu'on obtient par factorisation l'homomorphisme e.
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^-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

227

II est clair qu'il induit les isomorphismes En donnant la m-PD- stratification de <?, etla condition de cocycle en découle. Pour voir que e est un isomorphisme, on construit
Fisomorphisme inverse par factorisation de l'application 0 ' : £ —> Px^m) ^Ox ^ définie
par Q' (e) = V^ (-1) l f c l r_ ^ 0 ô^ e. Inversement, si la condition (iii) est satisfaite,kon déduit de (2.3.2.2). que les composantes de e(l 0 e) dans la base formée des r^
sont les 0,^ e (ce qui montre l'unicité de e lorsque la m-PD-stratification est donnée).
Comme les sections sur les ouverts affines commutent aux sommes directes, il existe donc
pour chaque point de X un voisinage sur lequel les (^{k} e sont nuls sauf un nombre fini.
La condition (iii) étant indépendante du choix d'un système de coordonnées locales, lacondition (ii) en résulte.
DÉFINITIONS. - Soit X un 5-schéma lisse, sur lequel p est localement niipotent. Nous
dirons que £ est un D^ -module quasi-niipotent s'il vérifie les conditions de la proposition
au voisinage de tout point de X ; nous dirons qu'il est niipotent si l'entier N peut être prisindépendamment de la section e. De même, nous dirons qu'une m-PD-stratification sur un
Ox -module £ est quasi-niipotente si elle vérifie la condition (iii) de la proposition. Si X
est un schéma formel, de réduction Xi module p\ nous dirons qu'un V^ -module £ est
topologiquement quasi-niipotent (resp. topologiquement niipotent) si sa réduction modp1
est un V^ -module quasi-niipotent (resp. niipotent).
C'est le cas par exemple si la structure de V^ -module de £ est induite par une
structure de V^^ -module, car, pour tout %, on a alors ^ k ) ( m ) e = (q \ l q ' !) ^ k > ( m + l ) e,
avec k = p^q+r = p^1 q' + r', 0 < r < ^ m , 0 < r ' < j/7^1, et q \ l q ' ! -> 0 pourla topologie p-adique. Cette condition est vérifiée par Ox. qui est donc un V^ -module
niipotent lorsque p est niipotent sur X, et il en résulte alors que tout V^ -module detype fini quasi-niipotent est niipotent.
2.4. Passages à la limite
Comme en 2.1.5, on désigne par V un anneau de valuation discrète complet, d'inégales
caractéristiques (0, p), d'idéal maximal m, de corps résiduel fc, de corps des fractions K,
d'indice de ramification absolue e. On fixe un V-schéma formel S (dont m0^ est par
hypothèse un idéal de définition), et, pour tout i > 0, on note Si la réduction de S modulom^. Si X est un 5-schéma formel, on pose de même X, = X Xs Si ; pour i = 0, on
note simplement X la réduction de X sur k. Les opérateurs différentiels considérés sur
X (resp. Xi) sont relatifs à S (resp. Si}. On rappelle que les schémas formels considéréssont toujours supposés localement nœthériens.
2.4.1. Soit X un 5-schéma formel lisse. On notera î>x le faisceau d'anneaux obtenu
par complétion p-adique du faisceau des opérateurs différentiels usuels (relativement à 5),et, pour tout entier m > 0, on notera de même V^ le complété p-adique du faisceau
D^. Compte tenu de 2.2.2, on a donc
(2.4.1.1)^ = lim, V^/m^y ^ lim, V^\

On ne dispose plus sur les faisceaux P^ et î>x de la filtration par l'ordre. Localement,
leurs sections peuvent être décrites comme des opérateurs différentiels d'ordre infini : si
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

228

P. BERTHELOTU C X est un ouvert affine sur lequel il existe des coordonnées locales ^i, . . . , t^, toutesection P ç r (Z^, P^ ) ) (resp. P ç F (Z^, î^v)) peut s'écrire de manière uniquep=(2.4.1.2)£ ^9<fc>
fc(^P- p = £ ûfc 9 ^)fc

où les a^ G r(Z^, Ox) tendent vers 0 pour la topologie j?-adique.
Pour m variable, les faisceaux Vy forment un système inductif de faisceaux d'anneaux,et on pose
(2.4.1.3)

2^=lin^ V^\

Par passage à la limite, on dispose donc d'un homomorphisme canonique de faisceauxd'anneaux V\ —> V^. Enfin, pour tout faisceau abélien E, nous noterons Eq le faisceau
E (g) Q. On introduit ainsi les faisceauxf^77'1) — T)^) <y/o) (TD<V,Q —
X^î

0 4 1 à\^z.^-.l.^T)+— -ni (% 0^Q —^ - ^*

Comme A' est localement nœthérien, son idéal de ^-torsion est localement annulé parune puissance fixe de p. Il résulte donc de 2.2.3 et (2.4.1.2) que, pour tous m < m\F homomorphisme canonique V^Q —^ T^xo. (^^P- ^ X Q —> ^'v,^) est iiïjecti^ de sorte
que l'on obtient les injections(2.4.1.5)% ^% ^ ... ^ P^q ^ ... ^ P^Q ^ ^,Q.

Lorsque 0^ est sans ^-torsion (ce qui est le cas par exemple si S = SpfV), on a deplus les inclusionsW^ ^?Q.

^ - ^X^^ ^ ^,Q.

ainsi que(2.4.1.6)

V\ = \J î>^ ^ V^.
m>0

Par passage à la limite, le faisceau T)^ opère sur O^v, de sorte qu'il en est de mêmedes faisceaux T>^ et 2^. De même, les faisceaux V\ Q et PJ^ ^ opèrent sur le faisceauO^Q = O.V0Q.
•^~ ( \
j. -^^
Nous dirons que V\ (resp.P^, V^) est le faisceau des opérateurs différentiels d'ordre
infini et de niveau m (resp. de niveau fini, de niveau infini) sur X.
2.4.2. Pour donner une description analogue à (2.4.1.2) pour les sections de V^ sur
un ouvert affine U, il peut être commode d'utiliser une norme sur A = F (U^ 0^}. Poursimplifier, on supposera ici que S = SpfV. Comme 0^ est alors sans ^-torsion, A s'injecte
dans AK = A 0y K, qui est une AT-algèbre de Tate. On dispose donc sur celle-ci desnormes quotients associées aux présentations AK ^ K {îi, . . . , Tr } / I de AK commequotient d'une algèbre de séries formelles restreintes sur K, et à la norme standard de
A T { T i , . . . , Tr }. Ces normes, qui font de AK une A^-algèbre de Banach, sont touteséquivalentes et sont appelées normes de Banach sur AK ; comme AK est réduit, elles sont
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P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

229

aussi équivalentes à la norme spectrale sur le spectre maximal SpmA^ (cf. [12, 6.2.4,
th. 1]). On observera d'autre part que, pour la norme spectrale sur AK, la condition bk G Aéquivaut à \\bk\\ < 1 : en effet, si b <E AK vérifie ||6|| < 1, b est entier sur A [12, "6.3.5,
th. 1 et 5.1.4, cor. 6] ; écrivant b = V ' / T T ' ' , où TT est une uniformisante de A et &' e A - TT A,
le fait que A/TT A soit lisse sur fc, donc réduit, entraîne que r < 0.
Nous noterons par || - || l'une quelconque des normes considérées ici, les conditions
de décroissance qui suivent étant indépendantes de la norme choisie.
LEMME 2.4.3. - Pour m, k (E N, posons k = p^ q^ + r^\ avec 0 < r^ < p^.
(i) Pour tout m ç N, il existe r]1 < 1, c' ç. R tels que ^^ !| < c' T]^ pour tout k.
(ii) Pour tout T] < 1, il existe m ç. N, c ç R ^ ^ y^ < clç^ !| po^r tout k.
Pour m fixé, et k G N, posons q = ^m), d'où (fc - p771)/^771 < ç < fc/^. Rappelons
que Vp (q !) = (q - a (q))/(p - 1) ; compte tenu de la majoration
Vç > 0,a (q) < (p - 1) (log^ (q + 1) + 1),

on en tire l'estimation(2.4.3.1)

fc/^ (p - 1) - log^ (fc + 1) - jVQ9 - 1) < ^ (ç !) < fc/^ (j) - 1).

Le lemme en résulte.
PROPOSITION 2.4.4. - Soient X un V-schéma formel lisse, U un ouvert affine de X, munide coordonnées locales ti, . . . , t^, A = F (U, 0^), || - || une norme de Banach sur
AK. Pour tout opérateur(2.4.4.1)

P = ^ a, 0^ = ^ a^^/fc! e r (^, P^),fc

ksoit Pi çr{Ui, Vxi} la réduction de P modulo m^1. Les conditions suivantes sont alorséquivalentes :(i) L'opérateur P appartient à T(U, V^) ;(ii) // existe des constantes a, /3 ç R, a > 0, ^^.s' ^M^(2.4.4.2)

ord(P,) < a z + / 3 .

(iii) 7^ ^^^ des constantes c, 77 ç R, av^c 77 < 1, telles que, quel que soit k,(2.4.4.3)

Ha^ll <c^l.

Comme ^ est quasi-compact et séparé, le foncteur T{U, -) commute aux limites
inductives, de sorte que T(IA, P^) = |jr(^, P^). Soient A = T(U, 0^),înP e r(^, î)^}. On peut écrire P sous la forme

P^E^-EÎ'^fc

koù les coefficients 6fc e A tendent vers 0 pour \k\ —^ oo, et où, pour tout k e N, on
pose k = p^ q + r, 0 < r < ^ m . Si ^ désigne la valuation de V, le lemme précédent
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

230

P. BERTHELOT

entraîne qu'il existe des constantes a > 0, b ç. R, telles que, pour tout k ç N, on aitv^ (q \) = evp (q !) > ak + b. Par suite, q\bk_ e m^1 A dès que \k\ > (i - b + l)/a,d'où (2.4.4.2).
Pour montrer que (ii) =^ (iii), on peut prendre pour || — || la norme spectrale deAK, de sorte que ||&|| < 1 pour tout b ç A. La condition (2.4.4.2) entraîne alors que
H&ll < j9-(^+i)/e pour tout % tel que i < (\k\ - /3)/a. On obtient donc \\bk\\ < j?-^!-^/^,d'où la condition (2.4.4.3).
Soit enfin P = V a ^ 9 ^ e Y (U^ T>x) un opérateur dont les coefficients a^ vérifientk

une condition de la forme (2.4.4.3), et prenons encore pour norme la norme spectrale. Il fautalors montrer que, pour m assez grand, les coefficients bj^ e AK définis par bk_ = o^/ç !
(où on a posé k = p^ q + r avec 0 < TI < p1^ pour tout %), sont dans A pour tout
fc, et tendent vers 0 pour la topologie m-adique. Si l'on pose Vp (a^) == —logp ||a^||, larelation ||a^|| < CT^I peut être écrite sous la forme Vp (a^) > À|fc| + AA, avec À > 0. On
obtient alors d'après le lemmeVp (bk) = Vp (a,) - y? (q\) > (À - l/p^ (p - l))\k\ + ^ce qui montre qu'en choisissant m assez grand, on assure que b^ —^ 0 pour |fc| ^ oo.
D'après 2.4.2, la condition b^ ç A équivaut à ||^|| < 1. Or on voit que Vp (bk) > 0
dès que |fc| > —IJL (A — \|'prn (p — 1))~1. Il reste donc à observer que, lorsque ^ < 0, on
peut prendre m assez grand pour avoir q = 0 tant que \k\ < -^ (À - l/p771 (p - 1))~1 :en effet, il suffit de choisir m tel que l'on ait p^ > —/^(A — \|pYn (p — 1))~1, i.e.
^ > À-1 (-AA + l / ( p - 1)).
Remarque. - On voit donc apparaître de la sorte, pour caractériser les opérateurs
P G r(Z^, Î^Jv), des conditions de décroissance sur les coefficients analogues à celles deMonsky-Washnitzer (cf. [37] ou [41]). Si / G A est tel que V (/) soit une hypersurface
lisse, ou une intersection d'hypersurfaces lisses se coupant transversalement, la Aq-algèbreA^ g, où A^ est la complétée faible de l'anneau de fractions Aj, est engendrée sous
l'action de T(U, T>\ o) par 1/f [4, 4.2.2 et 4.3.2]. On conjecture que, sans hypothèse
sur /, il existe encore un nombre fini d'éléments de A^. engendrant A^ q, en tant que
F ( U , T)^ ^) -module.

3. Théorèmes de cohérence
Nous allons examiner maintenant les propriétés de finitude des complétés d'anneauxd'opérateurs différentiels construits précédemment, et prouver pour les modules cohérents
sur ceux-ci les analogues des théorèmes A et B pour les modules Ox -cohérents. Pour lacommodité des références, nous regrouperons dans les premières sections divers rappels etgénéralisations simples de résultats classiques.
Rappelons tout d'abord (cf. [40] ou [23, (Oi, 5.3)]) que, si P est un faisceau d'anneaux
sur un espace topologique X quelconque, et M. un P-module à gauche, on dit que M.
est cohérent s'il est de type fini sur V, et si, pour tout ouvert U C X et tout morphismey : (V\uY —^ M\u, le noyau de (p est de type fini sur V. On dit que V est un
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P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

231

faisceau d'anneaux cohérent s'il est cohérent en tant que P-module à gauche. Lorsque V
est cohérent, un P-module à gauche est cohérent si et seulement s'il est localement deprésentation finie. Quel que soit P, la catégorie des P-modules cohérents est abélienne.
Dans la section 3.1, nous traitons d'abord le cas des faisceaux d'opérateurs d'ordre
fini, pour lesquels la cohérence résulte simplement de la quasi-cohérence sur Ox et dela nœthérianité. Après avoir fait en 3.2 quelques rappels sur les complétions dans lecas des anneaux nœthériens non nécessairement commutatifs, nous étudions en 3.3 lesmodules cohérents sur des anneaux tels que T^ , lorsque X est un V-schéma formel ;les techniques de limites projectives mises en œuvre reprennent celles qui sont utiliséesdans [EGA] pour l'étude des 0^ -modules cohérents. La section 3.4 permet de passer au
cas des modules cohérents sur les anneaux Î^Q, grâce à la proposition 3.4.5 qui fournit
des modèles entiers pour ceux-ci. Dans la section 3.5, nous établissons la platitude deshomomorphismes canoniques Vyq —^ Î ^ Q . C'est le résultat-clé dont nous déduisonsen 3.6 la cohérence du faisceau T>^ q,, et, par passage à la limite inductive, les théorèmes
A et B pour les T^ ^-modules cohérents. Pour finir, mentionnons que ces résultats serontétablis dans un cadre suffisamment général pour couvrir le cas des faisceaux d'opérateurs
différentiels à coefficients dans une 0^ -algèbre sur laquelle ils opèrent, afin notammentde pouvoir les appliquer aux opérateurs à singularités surconvergentes construits dans lechapitre suivant.
3.1. Cas des opérateurs d'ordre fini
Nous considérons d'abord le cas des faisceaux non complétés T>^\ Rappelons l'énoncé
général suivant :PROPOSITION 3.1.1. - Soient X un espace topologique, T> un faisceau d'anneaux sur X,% une base d'ouverts de X. On suppose vérifiées les conditions suivantes :a) Pour tout U ç 23, Vanneau F (i7, V) est nœthérien à gauche (resp. à droite) ;b) Pour tous U, V e ®, avec V C U, l'homomorphisme F (U, V) -^ F (U, D) est
plat à droite (resp. à gauche).
Alors V est un faisceau d'anneaux cohérent à gauche (resp. à droite).

Il suffit de montrer que, pour tout U ç 5$, et tout u : (T>\uY —> V\u^ ^V = Ker Çu) est
un P-module à gauche de type fini. Si D = r (U, P) le ^-module N = Y (U, AT) est de
type fini, de sorte qu'on achève en observant que le foncteur qui associe à un û-module àgauche M le T)\ [/-module à gauche V\u ^D M est exact grâce à b).
COROLLAIRE 3.1.2. - Soient X —> S un morphisme lisse de schémas (resp. schémas
formels), m ç. N, et B une 0 ^-algèbre commutative munie d'une structure compatible deT^xmodule à gauche, vérifiant les conditions a) et b) de 3.1.1 pour la famille des ouverts
affines de X. Alors le faisceau B ^>0x Vxcohérent à gauche.

défini en 2.3.5 est un faisceau d'anneauxCompte tenu de 2.3.6, il suffit de prouver que pour V C U affines, l'homomorphisme
canonique F (U, B ®ox ^w) ->T{V,B ®ox V^) est plat à droite. Observons d'abord
que l'homomorphisme(3.1.2.1)r(V, Ox)^r(u,o^T{U, V^-^r^ P^)

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

232

P. BERTHELOT

est un isomorphisme, car V^ est limite inductive des Ox -modules cohérents î^^. En
appliquant Y isomorphisme (2.3.6.1), on en déduit que l'homomorphisme(3.1.2.2)

F (Y, 6 ) 0 r ( ^ ^ r ( E 7 , B ^ V^) -^ F (Y, B^ox^)

est un isomorphisme F(î7, B Ç^ox 2^^ )-linéaire à droite, et l'assertion résulte de laplatitude de F (Y, B} sur Y(U, B).
Remarque. — On peut également montrer que B Ç^ox T^xes^ cohérent à droite.

Supposons maintenant que X soit un schéma, et B une Ox -algèbre commutative quasicohérente, à sections nœthériennes sur les ouverts affines. Compte tenu de ce qui précède
et de 2.3.6, on peut appliquer à V == B <S>ox Vx l'énoncé général suivant, dont ladémonstration est standard (et dans lequel on peut remplacer gauche par droite) :PROPOSITION 3.1.3. - Soient Xun schéma, P un faisceau d'anneaux sur X tel que, pour
tout ouvert affine U C X, F (C7, T>) soit un anneau nœthérien. On suppose donné unhomomorphisme Ox —^ V tel que la multiplication à gauche par les sections de Ox fassede 1) un Ox-module quasi-cohérent.
(i) Le faisceau V est un faisceau d'anneaux cohérent à gauche.
(ii) Pour qu 'un V-module à gauche M. soit cohérent, il faut et il suffit qu 'il soit quasicohérent en tant que Ox-module, et que, pour tout ouvert U d'un recouvrement affine deX, F (î7, A4) soit un F(?7, V) -module à gauche de type fini.
(iii) Supposons X affine, et soit D = F (X, P). Alors les foncteurs M. i—^ F (X, M) et
M \—> T> (g)p M sont des équivalences de catégories quasi-inverses entre la catégorie des
V-modules à gauche cohérents et la catégorie des D-modules à gauche de type fini.

3.2. Rappels sur le complété J-adique d'un anneau non commutatif
Pour la commodité des références, nous rappelons ici comment les résultats classiques
sur la complétion des modules de type fini sur un anneau commutatif s'énoncent dansle cas non commutatif (voir aussi par exemple [38, Ch. D]). Sauf mention explicite ducontraire, les modules considérés sont des modules à gauche, les résultats restant valables
lorsqu'on échange gauche et droite. Nous emploierons le terme « complété » dans le sensde « séparé complété ».
3.2.1. Soient D un anneau non nécessairement commutatif, I C D un idéal bilatère,et M un û-module à gauche. La topologie J-adique sur D (resp. M) est définie par lafamille d'idéaux bilatères I71 (resp. de sous-modules P1 M). Le complété D = lim^ Dfï^de D est muni d'une structure d'anneau, et le complété M = lim^ M/P1 M de M d'une
structure de I^-module à gauche.
Nous dirons que I est un idéal central de D s'il est engendré par une famille d'éléments
appartenant au centre de D. Lorsque I est de type fini comme idéal à gauche (ou à droite),il est engendré par une famille finie d'éléments du centre, à la fois comme idéal à gauche
et comme idéal à droite.
Nous aurons à utiliser le lemme élémentaire suivant (cf. [8, 1.2.6]) :4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

'P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

233

LEMME 3.2.2. - Soient D un anneau non nécessairement commutatif, 1 C D un idéal
central de type fini, D{ = -D/P4"1, (M^)^N un système projectif de Di-modules à gauche,
tel que, pour tout i > 1, les homomorphismes canoniques Mi/P Mi —> A^_i soient desisomorphismes. On pose M = lim^ Mi.
(i) Pour tout n > 0, les homomorphismes canoniques(3.2.2.1)^M-^lim, F M,,(3.2.2.2)

M/I^M -^ Mn,

sont des isomorphismes.
(ii) Si Mo est de type fini sur Do, alors M est de type fini sur D = lim^ Di, toute famille
relevant une famille finie de générateurs de Mo engendrant M.
(iii) Si Do est nœthérien à gauche (resp. à droite), D est nœthérien à gauche (resp. àdroite).
Comme les topologies J-adique et i^-adique coïncident, il suffit de prouver l'assertion(i) pour n = 1. Soient ti, . . . , tr une famille de générateurs de I appartenant au centre
de D, et x = (xi)iç^ un élément de lim^ IMi. Chaque xi peut s'écrire sous la former

Xi = Y ^ t k y k , i avec yk,i G Mi, et on va montrer qu'il existe des suites d'élémentsk=ly^ ç. Mi telles que, pour tous fc, %, y^ ^ ait y^ ^_^ pour image dans M^-i, et quer

xi = V^ tk y'k i pour tout i. Pour cela, on construit par récurrence sur % les élémentsy^k=lcherchés, pour 0 < j < i, et des éléments y^ ^ d'image ^^_i dans M^_i, tels quer

Xi = ^ ^ t k V ' k i' Si i = 0, on pose y^Q = y k , o ' Supposant la construction faite pourfc=il'indice i, posons Zk,i = Vk,w - y^i. où yk,w est l'image de yk,i+i dans Mi. On ar'rdonc ^tkZk^i = 0, et, si ^,z+i ê M^+i relève ^,z, on a ^4^,z+i ê P +l M,+l.
Â;=l

r

r

fc=l

On peut donc écrire V t f c ^ f c , î + i = ^^^^^,1+1 où z^i+i e PM^+i. On achève alors
k=l

fc=l

la récurrence en posant y^ i = y^ i + ^fc^, où Uk,i est l'image de n^z+i dans M^
et ^/ ^i = ^/fc,î+i — ^fc,î+i + ^fc,i+i. ce qui prouve l'isomorphisme (3.2.2.1). Commel'homomorphisme canonique M == lim^ M^ —^ Mn est surjectif, la suite0 ^ lim, J'1-^1 M, -^ M ^ Mn -^ 0
est exacte, d'où l'isomorphisme (3.2.2.2). L'assertion (ii) est alors standard.
D'après (i), D est séparé et complet pour la topologie J-adique. Le gradué associé est
quotient de l'anneau de polynômes Do [Ti, . . . , Tr}, où les Ti commutent aux éléments de-Do. Si Do est nœthérien, il en est de même de Do [Ti, ... ,Ty,], donc de gr£), et D est
alors nœthérien d'après [13, III, § 2, n° 9, cor. 2 à la prop. 12].
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

234

P. BERTHELOT

3.2.3. Supposons que D soit un anneau nœthérien à gauche, et 1 C D un idéal central.
On montre essentiellement comme dans le cas commutatif les propriétés suivantes, où l'on
peut échanger gauche et droite :(i) Si M est un .D-module à gauche de type fini, et N C M un sous .D-module, il existe
un entier no tel que, pour tout n > no, on ait

r N c r M n N c r-^ N.
L'hypothèse que I est central permet d'employer la même démonstration que dans lecas commutatif : l'anneau D* = ff^^ est alors nœthérien car quotient d'un anneau den>0polynômes D [Ti, . . . , Tr] (où les Ti commutent aux éléments de D).
(ii) Le foncteur M i-^ M est exact sur la sous-catégorie des D-modules à gauche detype fini.
(iii) Pour tout D-module à gauche de type fini M, l'homomorphisme canonique
D(^D M ^ M
est un isomorphisme.
(iv) L'homomorphisme canonique D -^ D fait de D un D-module à droite plat.
(v) Tout D-module à gauche de type fini est séparé et complet.
(vi) L'anneau D est nœthérien à gauche.
(vit) Soit D —> E un homomorphisme d'anneaux tel que E soit nœthérien à gauche, etque IE soit un idéal central de E. Pour que E soit plat à droite sur D, il faut et suffitque, pour tout n, l'anneau E / ^ E soit plat à droite sur D / I ^ D.
Remarque. - L'hypothèse que I est central, qui suffira ici, peut en fait être remplacéepar l'hypothèse plus faible que I est engendré par une suite centralisante d'éléments deD, i.e. une suite (^i, . . . , td) telle que, pour tout %, l'image de ti appartienne au centre
de D /(ti, . . . , ^-i) [38, D, ch. V]. Par exemple, sous les hypothèses de 2.2.1, soit(^2 -, « • • i td) une suite quelconque de sections de Ox \ alors la suite (p, t^, . . . , t^)
est une suite centralisante dans T>^\ d'après 2.2.4 (ii).
Nous utiliserons également le résultat suivant (cf. [9, p. B5]) :PROPOSITION 3.2.4. - Soient D un anneau nœthérien à gauche, I un idéal central, E un
D-module à droite tel que, pour tout n, E / E J71 soit un Djï^ D-module plat. Alors E est un
D-module à droite plat, et, pour tout D-module à gauche de type fini M, le groupe abélien
E Cx)^) M est séparé et complet pour la topologie définie par les sous-groupes E 0^ P1 M.
Soit 0 —» M' -^ M -^ M" — 0 une suite exacte de D-modules à gauche de type fini.
La platitude de E / E I71 sur D/P" D entraîne que, pour tout n, on a la suite exacte
0 -^ Ê 0^ {M' IF M H M'} -. Ê 0p Mfr M -> Ê 0^ M" f^ M11 -. 0.
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

235

Par Mittag-Leffler, la suite obtenue par passage à la limite projective reste exacte. Comme,d'après 3.2.3 (i), il existe no tel que I " M' C J71 M H M' C J71"710 M' pour tout n > no,on obtient ainsi la suite exacte
0 -^ (Ê 0p M'Y -^ (Ê 0^ Mf -^ (Ê 0p MT -^ 0,

ce qui montre l'exactitude du foncteur M ^ (E (g)p M)^ sur la catégorie des P-modules
à gauche de type fini. En prenant une présentation finie de M sur D, et en remarquantque la deuxième assertion est vraie lorsque M est libre de type fini, on en déduit querhomomorphisme E (g)p M —> (E (g)^ M)^ est un isomorphisme, d'où l'énoncé.
3.3. Modules cohérents sur u ^ 'Comme pour les 0^ -modules cohérents, les propriétés de cohérence sur T)\' résultent
des propriétés des complétés d'anneaux nœthériens, étendues ici au cas non commutatif.
Elles sont valables sous des hypothèses plus générales, sur un schéma formel localementnœthérien, et c'est le cadre que nous adopterons dans cette section pour les énoncer.
Dans cette section, nous désignerons donc par X un schéma formel localement nœthérien,et par î C Ox un idéal de définition. Nous noterons Xi le schéma usuel {\X\, 0^/T^1).
LEMME 3.3.1. - Soient (Mi)iç^ un système projectif de Oxi-modules quasi-cohérents, et
M = lim^ Mi. On suppose que les homomorphismes A^^+i/T^ 1 A^+i —> Mi sont desisomorphismes. Alors, pour tout n > 0, les homomorphismes canoniques(3.3.1.1)

î" M -^iïmi^Mi,(3.3.1.2)

M/I^M-^Mn,sont des isomorphismes.

Soit U C X un ouvert affine. Posons I = T{U, Z), M, = Y (U, Mi), M = Y (Vi, M).
Comme les Mi sont quasi-cohérents, on a M,/P Mi -^ M^-i, et M = lim^ Mi pardéfinition. Le lemme résulte donc de 3.2.2.
LEMME 3.3.2. - Supposons X affine, et soit I = F (X, Z).
(i) Soit M un 0^-module tel que M -^ limiM/I' M, et que les M/I' M soient
0 Xi-quasi-cohérents. Alors :(3.3.2.1)

VneN,

V ç > 1,

^ (X, î" M) = 0,

(3.3.2.2)

Vn G N,F {X, Z" M) = F F { X , M}.

(ii) Soit M un 0 ^-module limite inductive filtrante d'une famille (M\)\^L de 0^modules vérifiant les conditions de (i). Alors M vérifie encore les propriétés précédentes.
Déplus, si M = lim^ M/I1 M, et si l'on munit T {X, M} de la topologie I-adique, on a
(3.3.2.3)

F (X^M) ^ F {X, M).

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

236

P. BERTHELOT

Pour tout n, on a encore f M -^ lim^Z71 M/TM. Comme les T71 A-l/Z' .M sontOx, -quasi cohérents, la nullité des ff 9 (A\ Z" A^) pour q > 1 résulte de [EGA, Om 13.3.1].
Pour q == 0, on en déduit également, compte tenu de 3.2.2 :1r (x, -r M) ^ iim, r (x, r M/r M) ^ hm, r r (x, M/T M)^riimiYÇX, MIT M),

d'où (i). Comme les foncteurs M. i—^ JP {X, T^ M) commutent aux limites inductives,
les relations (3.3.2.1) et (3.3.2.2) restent valables sous les hypothèses de (ii). Comme elles
entraînent les isomorphismes(3.3.2.4)

r (x, M)/r r (A\ M) ^ r (x, M/r M\

la relation (3.3.2.3) en découle.
3.3.3. Dans la suite de la section 3.3, on désigne par V un faisceau d'anneaux (nonnécessairement commutatifs) sur X, muni d'un homomorphisme 0^ —> T). On supposeque, sur tout ouvert affine de X, I est engendré par une famille de sections dont l'image
est dans le centre de P ; on pose 2^ = 'D/P+1 P, et on note î> == lim^ P, le complété
Z-adique de P. On suppoose de plus que P vérifie les conditions suivantes :a) En tant que 0^ -module par la multiplication à gauche, P est limite inductive filtranted'une famille de 0^ -modules V\ tels que les V\|InV\ soient 0^ -quasi-cohérents, etque PA ^ ImizPA/Î^A;b) Pour tout ouvert affine U C X, l'anneau F (U, P) est nœthérien à gauche.
On observera que la condition a) entraîne que, pour tout %, î^ est quasi-cohérent sur
Ox^ de sorte que T>i est un faisceau d'anneaux cohérent à gauche d'après 3.1.3.
Soit B une 0^ -algèbre commutative, à sections nœthériennes sur les ouverts affines deX, telle que les BIT B soient Ox -quasi-cohérentes, et que B ^ lim^ B/T B. Supposons
que X soit un V-schéma formel lisse, et que B soit munie d'une structure compatiblede 2^ ^module à gauche. Grâce à l'existence de la filtration par l'ordre, et à 2.3.6, leshypothèses a) et b) sont alors vérifiées par les faisceaux B Ç^ox ^^ ' Dans ce cas, nous
noterons le complété V par(3.3.3.1)B^o^y := lim, fî/ï^1 B 0o^ V^\

Sauf mention explicite du contraire, les modules considérés par la suite sont des modules
à gauche. Une variante consiste à remplacer gauche par droite dans l'énoncé des conditionsa) et b). Les énoncés qui suivent restent alors valables en échangeant gauche et droite.
PROPOSITION 3.3.4. - Soit V un faisceau d'anneaux sur X, muni d'un homomorphisme0^ —> P, et vérifiant les hypothèses de 3.3.3.
(i) Pour tout ouvert affine U C X, Vanneau F (U, P) est nœthérien à gauche.
(ii) Pour tout couple d'ouverts affines U' C U, V homomorphisme
T(U, V}->T{U1, P)
est plat à droite.
. 4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

237(iii) Le faisceau D est cohérent à gauche.
(iv) Si T> est plat à droite sur Ox. il en est de même de V.
Soient 1 = T (U, î), D = F (U, P), et munissons D de la topologie J-adique. Grâce à(3.3.2.3), on a D ^ T{U, V), si bien que la première assertion résulte de 3.2.3 (vi). La
seconde résulte de même de 3.2.3 (vit), grâce à la quasi-cohérence des Vi. La troisième
est alors conséquence de 3.1.1. Enfin, l'assertion (iv) résulte aussi de 3.2.3 (vit).
LEMME 3.3.5. - Soient A —> B un homomorphisme d'anneaux tel que B soit plat à droite
sur A. Pour que B soit fidèlement plat sur A, il faut et suffit que, pour tout A-module àgauche M monogène de présentation finie, la relation B (g) A M = 0 entraîne M = 0.
Soit M un A-module à gauche tel que B 0A M = 0. Si x G M, et si l'on pose
M' = A • x C M, alors B (g) A M' = 0 par platitude. Pour prouver que M = 0, il suffit deprouver que M' = 0 pour tout x. On peut donc supposer M de la forme A/J, où J est
un idéal à gauche. En écrivant J = |j Ja où les Ja sont les sous-idéaux à gauche de typea^

fini de J, et en posant Ma = A / J a , on obtient risomorphisme Imia Ma -^ M, où les
Ma sont monogènes de présentation finie, et où, pour /3 > a, les morphismes Ma -^ M^sont surjectifs. On a alors lim^ B (S) A Ma = 0. Comme Ma est monogène, il existe (S > atel que l'homomorphisme ~B (g) A Ma -> B 0A M^ soit nul. Cet homomorphisme étant
surjectif, B (g) A M^ est nul, donc M^ = M = 0.
PROPOSITION 3.3.6. - Sous les hypothèses de 3.3.3, supposons déplus que la fibre V^ en
un point de X soit un anneau nœthérien à gauche. Alors :(i) Soit (P,F le complété 1^-adique de la fibre P,. Alors (P,F est un Démodule àdroite fidèlement plat.
(ii) U anneau T>x est nœthérien à gauche.
Comme l'homomorphisme (RxT-^ (PrF est un isomorphisme, (P,F est un anneaunœthérien d'après 3.2.3 (vi). L'assertion (ii) résulte alors de (i).
Pour tout ouvert affine U 3 x, et tout %, l'homomorphisme Y (U, Vi) —^ Vi^x est platà droite, puisque T>i est Ox, -quasi-cohérent pour la multiplication à gauche. Les anneauxY(U, P) et Vx étant nœthériens par hypothèse, (P,F est plat à droite sur Y(U, V)
d'après 3.2.3 (vit). Par passage à la limite inductive, il est donc plat sur 2^.
Pour prouver la fidèle platitude de (2^ F sur v^ il suffit d'après le lemme demontrer que si M est un 2^ -module à gauche monogène de présentation finie tel c^ue
(T>xT®^ M = 0, alors M = 0. Il existe dans ce cas un ouvert affine U, et un F (U, V)module monogène de présentation finie Mu tel que 2^ ^r(^,P) Mu ^ M' Modu10 ^on a P,/Z, P. ^ (^r/Z. (P.r. Par suite, M/T, M = 0, d'où Pô,. ^r(^P) Mu = 0II existe donc un ouvert affine U' C U, avec x G U ' , tel que F { U ' , Pô) ^r(^,P) Mu = °Soient I = r(Z^Z), et Mu' = Y {U', P)^r(^) M^' comme- ^P^ 3t3t2î on a
T ( U ' , Pô) ^ r(^ P)/jr(^, P), on en déduit que M u ' I I Mu' = 0. Or M^/ est de
type fini sur r\U'\ P), donc séparé et complet pour la topologie J-adique. Il en résulteque Mu' = 0, d'où la nullité de M.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

238

P. BERTHELOT

Remarque. - D'après 2.3.6, les faisceaux de la forme B^ox ^M vérifient l'hypothèsede l'énoncé lorsque les fibres Bx sont nœthériennes.
3.3.7. Supposons maintenant que X soit affine, et notons D = F (X, P), 1 = F (X, Z),
D, = r(^ V,) ^ D / P ^ D (d'après (3.3.2.4)), D = T^V) ^ r(^ P) (d'après(3.3.2.3)). On peut alors étendre la construction de [23, 1 10.10.1] aux D-modules en
associant à un tel module M le 2^-moduleM^ = lim, M/r+1 M,(3.3.7.1)

où M/P+1 M désigne le Ox, -module quasi-cohérent défini par M/P+1 M, muni de sa
structure canonique de 2^-module définie grâce à 3.1.3.
On dispose alors d'un homomorphisme naturel M^ —^ M A , où M^ est le préfaisceau
constant de valeur M, d'où un homomorphisme canonique(3.3.7.2)

Î ) ^ ^ M ->M^.

PROPOSITION 3.3.8. - Avec les notations de 3.3.7, le foncteur M \—^ M^ possède les
propriétés suivantes :(i) L'homomorphisme canonique V —^ T>^ est un isomorphisme.
(ii) Le foncteur M \—> M^ est exact sur la catégorie des D-modules de type fini.
(iii) Quel que soit le D-module de type fini M, l'homomorphisme M —^ F (/Y, M^)
est un isomorphisme.
(iv) Quels que soient les D-modules de type fini M, 7V, l'homomorphisme

Homg (M, 7V) ^ Hom^ (M^, N^)
est un isomorphisme.

Par construction, on a D^ = lim^ (D/P^1 DY. Comme î^ est Ox, -quasi-cohérent, etT) = ïïmi Vi, il suffit pour prouver (i) de prouver que l'homomorphisme canoniquer(;v, T),) -^ D / P ^ D
est un isomorphisme, ce qui résulte de (3.3.2.4). Grâce à 3.2.3 (i), les autres assertions
se montrent comme dans [23, I 10.10.2].
L'énoncé suivant n'est qu'une variante de [23, I 10.10.2.9].
PROPOSITION 3.3.9 ("Théorème A"). - Sous les hypothèses de 3.3.3, supposons X affine,et soit D = F (A', P). Si M. est un 'D-module, les propriétés suivantes sont équivalentes :(i) Pour tout i, le Vi-module A^/Z^1 M. est cohérent, et l 'homomorphisme canoniqueA4 —)• lirn^ .A/t/Z^1 M. est un isomorphisme.
(ii) // existe un isomorphisme M. ^ lim^A^, où (A^) est un système projectif de 'Démodules cohérents dont les morphismes de transition se factorisent par des isomorphismes

M./rM^Mz-i.
(iii) // existe un D-module de type fini M, et un isomorphisme M. ^ M^.
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

239(iv) Le D-module F (/Y, M) est de type fini, et V homomorphisme canonique(3.3.9.1)

P0gr(^, .M) ^ ^est un isomorphisme.
(v) .M est un V-module cohérent,

L'implication (i) => (ii) est claire ; Posons Di == F (X^, î^). Pour vérifier l'implication(ii) => (iii), on observe que, Mi étant cohérent sur Vi et ce dernier quasi-cohérent sur Ox^
le ^-module M^ = F (A', .Mz) est de type fini d'après 3.1.3. De plus, les homomorphismes
canoniques 2?i-i 0D, Mi —^ M^-i sont des isomorphismes. Comme ID est un idéal central
de type fini, il résulte de 3.2.2 que le û-module M = lim^ Mi est de type fini, et que
M/P^M -^ M,. On obtient alors___M ^ lïmi Mi -^ lim. M, ^ lim, M/F+1 M = M A .
Pour prouver que (iii) => (iv), on peut remplacer M par M^ dans (3.3.9.1). Une
présentation de M sur .D fournit alors un diagramme commutatifp(g)gir -^ v^^D8 -^ p(g)gM -^ o
i
i
i
(JY)A

_^

(5.)A

^

^fA

_^

o

dans lequel les deux premières flèches verticales sont des isomorphismes d'après 3.3.8 (i),d'où l'assertion, compte tenu de 3.3.8 (iii).
Si (iv) est vérifiée, une présentation de F (A\ M) sur D fournit une présentation deî) 0g r(^V, M) ^ M sur P, d'où (v) grâce à 3.3.4 (iii).
Montrons enfin que (v) =^ (i). D'après (3.3.1.2), une présentation locale de M sur V
fournit une présentation sur T>i de M/T^1 M, qui est donc î^-cohérent grâce à 3.3.3.
Prouver que M —^ lim^.M/Z^1 M. est un isomorphisme est une question locale sur X,
de sorte qu'on peut supposer que M est le conoyau d'un homomorphisme de la formeu : V —^ V8. Mais u est alors de la forme ^ A , avec v : Û7' —» £)8, d'où un isomorphisme
M c^. (Coker (i^))^ d'après 3.3.8 (ii). On est ainsi ramené au cas où M = M^, avec M
de type fini sur D. Il suffit alors de vérifier que, pour tout %, l'homomorphisme canonique
M/1^1 M —> M^ JT^ A^ est un isomorphisme, et il suffit encore de vérifier que, pour
tout / e r(^, 0^), l'application(M/r^M)f -^ (lim, (M/J'M^/J;4-1 (lim, (M/F M)f)
est un isomorphisme, ce qui résulte de (3.2.2.2) appliqué au système projectif de^-modules formés des (M/InM)f.
COROLLAIRE 3.3.10. - Supposons X affine. Les fondeurs F {X, -) et M ^ 714^ sontdes équivalences quasi-inverses entre la catégorie des 'D-modules cohérents et celle desD-modules de type fini.

On déduit aussi de 3.3.9 (i) et (3.3.2.1) le corollaire :COROLLAIRE 3.3.11 (« Théorème B »). - Supposons X affine, et soit M un V-module
cohérent. Alors, pour tout q >_ 1, on a H ' 1 (X\ M) = 0.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

240

P. BERTHELOT

COROLLAIRE 3.3.12. - Sous les hypothèses de 3.3.3, soit M, un V-module. Pour que M.
soit cohérent, il faut et suffit que, pour tout couple d'ouverts affines U' C U, F (U, M) soit
un F ( U , D) -module de type fini, et l'homomorphisme

T(U^ D) 0^^ r(^ M) - r(^, M)
un isomorphisme.
3.4. Modules cohérents sur P^^
Pour tout faisceau abélien E, nous noterons Eq le faisceau E 0 Q. Rappelons que, si
X est un espace topologique nœthérien, et E un faisceau abélien sur X, le préfaisceau
qui associe à un ouvert U le produit tensoriel T (U, E) 0 Q est un faisceau. Il en résulteque, pour tout q > 0, on a alors(3.4.0.1)

fl^ (X, E ) ^ q ^ H q (X, £Q).

Nous garderons dans cette section les hypothèses et les notations de 3.3, et nous
supposerons de plus que l'idéal de définition T de X est tel que p0^ C 1.
3.4.1. Comme en 3.3.3, on se donne un faisceau d'anneaux non nécessairement
commutatifs T> sur X, muni d'un homomorphisme 0^ —^ 2), tel que, sur tout ouvert
affine de X, î soit engendré par une famille de sections dont l'image est dans le centre deV. On suppose maintenant que V vérifie les hypothèses suivantes :a) Pour tout 2, 2^ = V/T^T) est un Ox, -module quasi-cohérent pour la structure
définie par la multiplication à gauche, et l'homomorphisme V —^ lim^ est un
isomorphisme.
b) Pour tout ouvert affine U C X, l'anneau F (U, V) est nœthérien à gauche.
Lorsque X est lisse sur V, et que B est un 0^ -algèbre commutative vérifiant lesconditions a) et &), munie d'une action compatible de V^\ le faisceau B^o^V^ vérifie
encore ces conditions.
On suppose dans la suite que les modules considérés sont des modules à gauche. En
remplaçant gauche par droite dans les conditions a) et b), on pourra encore échanger droite
et gauche dans les résultats de cette section.
D'après 3.3.4, les conditions a) et b) entraînent que T) est un faisceau d'anneaux cohérent
à gauche. Puisque, pour tout ouvert affine U C X, on a F (U, Vq) = F (U, P)q>, on en
déduit aussitôt le lemme suivant :LEMME 3.4.2. - Sous les hypothèses précédentes, le faisceau Vq est un faisceau d'anneauxcohérent à gauche.
LEMME 3.4.3 (cf. [39, 7.4]). - Supposons X nœthérien, et soient X = X' U X" unrecouvrement ouvert de X, M' (resp. M") un V\^i-module (resp. V\x"-module) cohérent
sans p-torsion, e : Mq ^ Mq un isomorphisme défini sur X' H X". Il existe alors
un V-module cohérent sans p-torsion M sur X prolongeant X ' , et un isomorphisme
A^QI^// —>• -M-Q prolongeant e.

Comme Xf H X" est quasi-compact, on peut, en multipliant e par une puissanceconvenable de p, supposer que e (M1 \x'^x"^ C M"\x'ç\x"- II existe alors un entiers
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

241

tel que ^+1 {M" \ x ' ^ x " j e {M1 |^/ru-)) = 0. Soient alors M'{ = M" JT^ A41', et ~M[l'image de .M' \x'^\x" dans A4^ j^/n^- Comme 2^ est Ox, -quasi-cohérent, il en est demême de A4t( et A4[, et ce dernier est réunion de ses sous Ox'^x" -modules cohérents.
Puisque M.\ est T>i -cohérent, il existe alors un sous Ox'r\x" -module cohérent £ de M.[qui engendre M. \ en tant que T^-module. Soient T un sous Ox" -module cohérent de M.'[
prolongeant £ et Af\ = Vi • T le sous-2^ -module (cohérent) de A4'{ engendré par T'. Si
M C M" est l'image réciproque de A/^, M est un sous-P-module cohérent de A4" telque ^+1 M" C A/", et coïncidant avec A4' sur A" Fl A"'. Le P-module M. sur <V obtenu
par recollement de .M' et Af a donc les propriétés voulues.
LEMME 3.4.4. - Sous les hypothèses de 3.4.1, soient M. un V-module cohérent, et A4t lesous-faisceau des sections de p-torsion de A4. Alors A4t et A4/A4t sont V-cohérents.

Pour tout n, le noyau M. (n) de la multiplication par ^n sur M. est P-cohérent. Il suffit
donc de montrer que sur tout ouvert affine U de X, on a A4t = -M ( n ) pour n assez grand,
ce qui résulte de 3.3.10 et de ce que T(U^ T>) est nœthérien.
PROPOSITION 3.4.5. - Sous les hypothèses de 3.4.1, supposons X nœthérien, et soient
Coh (P) (resp. Coh (Vq)) la catégorie des V-modules (resp. Vq-modules) cohérents,
Coh (V)q la catégorie des V-modules cohérents à isogénie près. Alors le fondeur
A4 \—> A^Q induit une équivalence de catégories entre Col^î^Q et Cot^î^).

Rappelons que Cot^î^Q pour objets ceux de Coh(P), l'ensemble des morphismes
dans Coh (P)q entre deux P-modules cohérents M., J\f étant Hom^ (A'(, A/') 0 Q.
Lorsque M. est cohérent, l'homomorphisme canonique
Hom-p (M, AT) 0 Q -^ Uom^ (Mq, A/q)

est un isomorphisme pour tout Af, car l'existence locale de présentations de M. sur P
permet de se ramener au cas où M. = V. Grâce à (3.4.0.1), la pleine fidélité en résulte en
prenant les sections sur X. D'autre part, si AA' est un Vq -module cohérent, il existe un
P-module cohérent sans torsion M., et un isomorphisme .Mq -^ M.'. En effet, s'il existe
sur X une présentation Vq -"^ Pq —^ AA' —> 0, on peut, grâce à (3.4.0.1), multiplier u'
par une puissance de p, et supposer qu'il existe u : T^ —^ P5 tel que u' = u (g) Idq ; si
M. = Coker('u)/Coker('^)t, M. est cohérent d'après 3.4.4, et on a M,' ^ M.q. Dans lecas général, il existe un recouvrement fini de X par des ouverts sur lesquels M.' possède
une telle présentation, et le lemme 3.4.3 permet d'achever la démonstration par récurrence
sur le nombre d'ouverts du recouvrement.
DÉFINITION. - Soit A4 un Vq -module cohérent. Nous appelerons modèle entier de A4
tout P-module cohérent A4 pour lequel il existe un isomorphisme A4q -^ A4. On dira que
A4 est un réseau dans A4 si A4 est un sous-P-module cohérent de A4 tel que l'inclusion
induise un tel isomorphisme.
Les théorèmes A et B pour les P-modules cohérents entraînent alors immédiatement lesthéorèmes analogues pour les Pô-modules cohérents :
0

0

0

0

COROLLAIRE 3.4.6. - Supposons X affine, et soient D = T{X^ V), Dq = D (g) Q ^F(^PQ).
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

242

p. BERTHELOT(i) Pour qu'un Vq-module M soit cohérent, il faut et suffit que T {X, M) soit un
Dq-module de type fini, et Uhomomorphisme canonique(3.4.6.1)

PQ 0^ r(X, M) -^ M

un isomorphisme.

(ii) Soit M un Vq-module cohérent. Pour tout q > 1, on a H ' 1 {X, M) = 0.
Comme Dq est nœthérien, et Vq cohérent, les conditions de (i) entraînent que M est
cohérent. Inversement, si M est cohérent, il existe d'après 3.4.5 un P-module cohérent
00

M et un isomorphisme Mq ^ M. Compte tenu de (3.4.0.1), les assertions (i) et (ii)résultent alors de 3.3.9 et 3.3.11.
On notera qu'il en résulte encore qu'un Pq-module M sur un schéma formel X (nonnécessairement affine) est cohérent si et seulement s'il satisfait les conditions de 3.3.12(en remplaçant V par Vq).
3.4.7. Sous les hypothèses du corollaire précédent, on peut étendre la définition dufoncteur M^ aux Do-modules de type fini en posant
MA=V^(S)D^M.

(3.4.7.1)

Le foncteur ainsi défini est encore exact, car Vq est plat sur Dq grâce à 3.3.4 (ii). Comme00il existe un ^-module de type fini M et un isomorphisme M ^ Mq, et que(3.4.7.2)(M )^^M^d'après 3.3.9, il résulte de 3.3.8 et 3.4.5 que les homomorphismes(3.4.7.3)

M^T{X,M^\(3.4.7.4)

Hom^ (M, N) -^ Hom^ (M^ N^)

sont des isomorphismes. Les foncteurs F {X, -) et M ^ M^ sont donc des équivalences
quasi-inverses entre la catégorie des Vq -modules cohérents et celle des Dq -modules detype fini.

3.5. Théorèmes de platitude I
Le résultat le plus important de cette section est le théorème de platitude de V^^ sur\"-1 HT)^ Q. Il joue en effet un rôle essentiel non seulement pour prouver la cohérence de V\ g,,mais aussi dans beaucoup de problèmes de passage de P^n, à P^ <o.
^/A

3.5.1. Soient m ç N, X un V-schéma formel lisse, et B une 0^-algèbre commutative

munie d'une structure compatible de PJ^ -module à gauche, à sections nœthériennes
sur les ouverts affines de X, telle que les 0/m'+1 B soient Ox, -quasi-cohérentes, et que
B ^ lim, B/m^1 B. On définit comme en 3.3.3 les faisceaux d'anneaux B êo^^. Si B
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

243

est munie d'une telle structure pour tout m ç N, ces structures étant compatibles entre
elles (ce qui équivaut à dire que B est muni d'une structure de T^ -module compatible
à sa structure de 0^ -algèbre), on obtient par passage à la limite inductive un faisceaud'anneaux noté B ®^ PJ^.
On observera que, sous ces hypothèses, B 0o^ T^x est un faisceau d'anneaux cohérent
(à gauche et à droite). En effet, quels que soient les ouverts affines U' C U, F (U^ B) est
plat sur F(U, B) d'après 3.3.4, et il suffit d'appliquer 3.1.2.
PROPOSITION 3.5.2. - Soit B un faisceau de 0^-algèbres vérifiant les hypothèses de 3.5.1
pour un entier m ç. N (resp. tout m G N). Alors le faisceau B^ox^x sst plat à droiteet à gauche sur B et sur B Ç^ox ^x {r^?. B 0^ PJ^ est plat à droite et à gauche sur
B et sur B 0o^ ^x}'
D'après 2.3.6, T(U,B^ox V^) est un anneau nœthérien à gauche et à droite
pour tout ouvert affine U C X. L'anneau T (Li^B^o^x} s'identifie au complétéF(U, B (g)o^ P^f d'après 3.3.2, de sorte qu'il est plat sur T(U, B 0c^ T^). La
proposition en résulte.
THÉORÈME 3.5.3. - Soient m ç. N, et B un faisceau de 0^-algèbres vérifiant les hypothèsesde 3.5.1 pour l'entier m + 1. Alors l'homomorphisme canonique(3.5.3.1)(B êoA^Q - (fîêoA^Q

est plat à droite et à gauche.
Nous montrerons que (3.5.3.1) est plat à droite, l'argument étant identique pour laplatitude à gauche. Il suffit de prouver que, pour tout ouvert affine U C X sur lequel X
possède un système de coordonnées locales t i , . . . , t^, l'homomorphisme
1r(^, (BêoA^) -^m (sêoA^ ^)est plat. Nous poserons A = T (U^ Ox)-> B = F (U^ B), et, pour i = m, m + 1,^)=r(^00^P^),

D^=T{U^B^o^\^^(^(Bêo^)^.

Rappelons que B 0A T{U, 2^) ^ D^ d'après (2.3.6.1), que D^ est le complété^-adique de D^ d'après (3.3.2.3), et que D^ (g) Q -^ D^ d'après (3.4.0.1).
Les hypothèses faites sur B entraînent que B est un faisceau d'anneaux cohérent. Soit
Bf l'idéal de B formé des sections de p-torsion. D'après 3.4.4, B' = B/Bf est un Bmodule cohérent, ce qui entraîne par 3.3.9 qu'il vérifie les mêmes hypothèses que B.
De plus, l'action de 'D^7^ passe au quotient et munit B' d'une structure compatible deT ) ^ ^ ' -module. Pour tout i < m + 1, l'homomorphisme canonique(fîêo^Q - (fi'êo^Q
est alors un isomorphisme. D'après 3.4.4, il existe en effet sur tout ouvert affine U un entier
N tel que pN Bf = 0. Par suite, Bt 0 V^ est quasi-cohérent sur Ox^v. d'où la suite exacte
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

244

p. BERTHELOTo ^ r(z^ Bt^v^) ^ r(^ ff0p^) ^ r(^ B ' ^ V ^ ) -^ o.
Comme £? (g) P^ est à sections nœthériennes sur les ouverts affines, on obtient encore une
suite exacte après complétion, ce qui entraîne l'assertion. On peut donc supposer que B
est sans p-torsion.
Tout élément P e D^ (resp. ^ (m) ) s'écrit de manière unique comme une somme finie(resp. la somme d'une série convergente)(Tesp.P=^bk^9{k}(rn)),

P= ^ bk^Q^^
\k\^d

k

où les bk sont dans B (resp. et tendent vers 0). Par conséquent, les homomorphismesD^ -^ Ô( m )^ D^\ D^ -^ Ô^1) sont injectifs. Soit Df le sous-anneau de D^
engendré par D^ et D^^ :On peut décrire D' comme l'ensemble des sommes de la forme P + Q, avec P e D^,
et Q e £)( m + l ). En effet, il suffit de vérifier que l'ensemble de ces sommes est stable parmultiplication, et il suffit pour cela que, pour P ç. D^, Q G D^^, on ait PQ ç D'
(resp. QP ç. D'). Comme Q est d'ordre fini, il existe un entier r >_ 0 tel que ^ Q G D^.
On peut alors écrire P = Pi + p ' ' P^ où Pi e D^ est d'ordre fini, et P^ e D^\ On en
déduit que PQ = Pi Q + P^ (^ Ç), avec Pi Q e £)( m + l ), et ?2 (^ Ç) e Ô^^
Pour tout %, l'homomorphisme D^^/p^ D( m + l ) —^ D1 |pi D1 est un isomorphisme.
En effet, sa surjectivité résulte de ce qu'on peut écrire comme précédemment un opérateur
P + Q G D' sous la forme Pi + p1 P^ + Ç, avec Pi + Q G û^1). Pour prouver qu'il
est injectif, considérons un opérateur P G .D^"^ np1 D ' . On peut donc écrire P sous laforme P =p^{R+ 5), avec P e D^\ S e û^1). Comme P et 5 sont d'ordre fini,il existe un entier d tel qu'on puisse écrire dans D^77^1)
P= ^ a^^^1),\k\<d

5 = ^ ^(g)^7^1),\k\^d

R=Y^ bk^Q^^ = ^(ç w !/^ m + l ) !)&fc^9 < f c > ( T T ^ + l ).
|fc|

|fc|

Comme ff est sans p-torsion, on voit que bk = 0 pour \k\ > d, de sorte que R ç. D^,
et P G p'D^^.
Il en résulte que l'homomorphisme Z^7714'1^ —)• D' est un isomorphisme, de sorte que^_m+i) ^ ^ ^.^^ p^^ ^ ^ ^+i) ^ ^^) ^ ^)^ ^ ^^ ^^ l'inclusionD^ ^ D^ est une égalité. Pour achever la démonstration, il suffit donc de prouver que
D' est nœthérien à gauche, puisqu'alors D' sera plat à droite sur D ' ' .
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

245

D'après 2.2.5, D1 est engendré en tant que D^-module à gauche par les éléments dela forme (ô^11)9, pour q G N< Les éléments 9^m+l} = 9^pm+l^m+^ commutent avec
les éléments 9^^, tandis que, pour tout b e B, on a dans D^^ :

^
m

m+l]

1 11

^ E (^r - ^îi<y,n+i V^

1

Si l'on pose i =p q+r, avec r < p" , on a q < p pour tout i < p^1. On peut alorsécrire 9^ = (ç!)~1 ô^'"1, d'où [ô^"14^11, (»] £ D^. En passant à la limite, on voit doncque, pour tout P € P^, on a [ô^11, P] 6 ^ (m) . Par itération, on en déduit alors que,pour tout k ç. N et tout P G D^, on a

(3.5.3.2)[((?fl+ll)^P]e^(m)(ô^+l])t•
î<fc

Pour ^' = 0 , . . . , d, soit ^ le sous-anneau de D' engendré par D^ et par les âjf ]pour k < j. Montrons par récurrence sur j que D'j est nœthérien. Posons Q' = af
, etsoit I C D'y un idéal à gauche. Tout élément P e I peut s'écrire (de manière non unique)
P=^A^\
i<ravec A, e I5'_i. Soit J C D^_^ l'ensemble des éléments A tels qu'il existe P ç. I qui
puisse s'écrire sous la forme
P=A9fr^^Ai9f^,
i<ravec Ai e D^_i. Alors J est stable par somme : si P ' ç I s'écrit P' = A' 9'^ + ^ A', Q11,
i<r'avec r < r', l'élément y7"'' P + P ' appartient à J, et on peut écrire grâce à (3.5.3.2)
gr-r p + ?' = (^ + A') Q'^ + ^ A'/ Ô' 1 .
i<r'Par suite, J est un idéal à gauche de -D^-i, et possède une famille finie de générateurs A^,
1 < k < s. Soient Pi,..., P. (E I tels que Pj, = Ak 9'^ + ^ Afc,, a'\ avec Afc,, e ^_i,
î<7'fcet r = supfc rfc. Si M C D'y est le sous-D^_i-module à gauche engendré par 1, < 9 ' , . . . , ô^,M est nœthérien à gauche, et J H M en est un sous-module de type fini. Si C i , . . . , Qt est
une famille de générateurs de J H M comme £^_i -module à gauche, on vérifie aisément
à l'aide de (3.5.3.2) que la famille (Pi,..., P., C i , . . . , Qt) engendre I .
Par passage à la limite inductive, on en déduit le corollaire :COROLLAIRE 3.5.4. - Pour tout m E N, l'homomorphisme canonique P^Q —^ T)\ q est
plat à droite et à gauche.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

246

P. BERTHELOT

3.6. Modules cohérents sur 2)^ q
Grâce au théorème de platitude prouvé dans la section précédente, nous allons maintenantétendre par passage à la limite inductive les résultats prouvés pour les T^o-modules
cohérents aux T)\ q-modules cohérents.
Nous énoncerons ici aussi les résultats sous des hypothèses plus générales. Nousdésignerons par X un schéma formel localement nœthérien (ou un schéma usuel),
et nous supposerons donné sur X un système inductif (2>\) de faisceaux d'anneauxcohérents à gauche (resp. à droite), indexé par un esemble ordonné filtrant. Nous noteronsî^ = }im\V\. Si M.\ est un PA-module à gauche (resp. à droite), et si p, > À, nous
poserons M^ = î^ 0^ M\, et M^ = ïim^>\Mfj, ^ î^ 0p^ M\.

On dispose d'abord du résultat général suivant, dont la démonstration est immédiate :PROPOSITION 3.6.1. - Soient X un espace topologique, et (T^\) un système inductif filtrant
de faisceaux d'anneaux cohérents à gauche (resp. à droite) sur X, tel que, quels que soientX < fi, les homomorphismes V\ —>- T>p, soient plats à droite (resp. à gauche). Alors lefaisceau V^ = lim^ V\ est un faisceau d'anneaux cohérent à gauche (resp. à droite).
Remarques. - (i) Le théorème de platitude 3.5.3 entraîne donc que, lorsque X est un
V-schéma formel lisse, et î^ le faisceau défini en (2.4.1.6), le faisceau 'DJ^ ^ = U ^ ^ omest cohérent à gauche et à droite. J'ignore par contre si T^ lui-même est cohérent.
(ii) Lorsque les morphismes T>\ —> V^ sont plats, la proposition précédente permetde remplacer dans les énoncés de cette section « î^ -module localement de présentation
finie » par « 2^ -module cohérent ».
La démonstration de l'énoncé suivant est classique.
PROPOSITION 3.6.2. - Supposons X quasi-compact et quasi-séparé.
(i) Soient M.\, J\f\ deux "Démodules localement de présentation finie. Uhomomorphisme
canonique(3.6.2.1)

lim^ Hom^ (M^ A/^) ^ Homp+ (M\ Af^

est un isomorphisme.
(ii) Si M. est un V^-module localement de présentation finie, il existe un indice \, un"Démodule cohérent M.\, et un isomorphisme e : M^ ^ M.. Si (A 7 , M!\ e'} vérifient lamême propriété, il existe fi > À, À7 et e^, : M.^ ^ M,^ tel que e o e^ = e ' .
3.6.3. Supposons maintenant X affine. Comme précédemment, nous considérons dansce qui suit les V\ -modules à gauche, les résultats s'étendant aux modules à droite enéchangeant droite et gauche. Nous supposerons que les V\ -modules cohérents vérifientles théorèmes A et B, i.e. :A) Pour qu'un V\ -module «MA soit cohérent, il faut et suffit que r(^V, M.\) soit unr(<Y, T)\) -module de présentation finie, et que l'homomorphisme

î>À®r(^,^) T{X,M^)-^Mx
soit un isomorphisme ;4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

247B) Pour tout PA-module cohérent M\, et tout q > 1, on si Hq {X, M\) = 0.
Ces hypothèses sont donc satisfaites lorsque les V\ vérifient les hypothèses de 3.4.1, ou
bien sont de la forme 'PA,Q où les /D\ vérifient les hypothèses de 3.4.1. Elles permettent
d'assurer que les théorèmes A et B sont encore valables sur 2^ = lim\V\ :00

PROPOSITION 3,6.4. - Sous les hypothèses de 3.6.3, soient D\ = r(A\ T)\), D^ =F (A\ T^). En remplaçant fT)\ et D\ par T>^ et D\ et « cohérent » par « localement
de présentation finie », les propriétés A) et B) de 3.6.3 sont encore valables pour les
P1-modules.
Il est clair que si M, vérifie les conditions de 3.6.3 A), M. est un î^-modulede présentation finie sur X. Pour prouver la réciproque, notons d'abord que, X étant
quasi-compact et quasi-séparé, les foncteurs Hq (X, —) commutent aux limites inductives
filtrantes pour tout q > 0, de sorte que lim \D\ -^ D^, Si M. est localement de présentation
finie, il existe d'après 3.6.2 un indice À, un 2)^-module cohérent M.\, et un isomorphisme
2^ 0p^ M. \ -^ Al. La condition A) de 3.6.3 entraîne que M.\ possède globalement sur
X une présentation î>^ —> T)\ —r M.\ —^ 0. Comme le foncteur F (X^ —) est exact pourles V\ -modules cohérents, on en déduit une présentation finie du Démodule r(A', A^^).
De plus, rhomomorphisme(3.6.4.1)

D^D.r(X,M^^r(X,M^,

est un isomorphisme pour tout fi > À, car l'exactitude de F (<Y, —) pour les T)\ -modules(resp, P^-modules) cohérents, appliquée à la présentation précédente, ramène au cas où.A/(^ = T>\. Par passage à la limite inductive, on en déduit que rhomomorphisme(3.6.4.2)

D^^r(X,Mx)^T{X,M)^

est un isomorphisme, de sorte que M. vérifie bien les conditions de A). Enfin, grâce à lacommutation de la cohomologie aux limites inductives filtrantes, la propriété B) pour M.
résulte de la propriété B) pour les .M^.
On vérifie de même par passage à la limite inductive qu'un î^ -module M sur unschéma formel X (non nécessairement affine) est cohérent si et seulement s'il satisfait lesconditions de 3.3.12 (en remplaçant V par T^).
COROLLAIRE 3.6.5. - Sous les hypothèses précédentes, les foncteurs F (A\ —) et P^®p+ sont des équivalences quasi-inverses entre la catégorie des T>^'-modules localement deprésentation finie, et la catégorie des D^-modules de présentation finie.

Il suffit de montrer que, pour tout Démodule de présentation finie M, rhomomorphisme
M —^ r(<y, î^ 0^+ M) est un isomorphisme. Il existe un indice À, un D^-module deprésentation finie M\, et un isomorphisme D^ 0^ M\ ^ M. Si M^ = D^ 0j^ M^, ona donc lim^ M^ ^ M, et lim^ P^ 0^ M^ ^ 2^ 0pt M. On est ainsi ramené à vérifier
que les homomorphismes M^ —^ T{X, T^ 0p^ M^) sont des isomorphismes. Utilisant une
présentation de M^ sur 23^, et l'exactitude de T(X, -) pour les P^i-modules cohérents,on déduit alors l'assertion du cas où My, = D^.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

248

P. BERTHELOT

Remarque. - Supposons que les V\ vérifient les hypothèses de 3.4.1. Alors, d'après
3.3.4, V\ est plat sur D\. Par suite, P1' est plat sur D\ et le foncteur qui associe à un^-module (resp. Dq -module) M de présentation finie le î^-module (resp. Pq-module)
de présentation finie M^ := P1' (g)^+ M est un foncteur exact. C'est donc le cas, si X
est lisse sur V, pour 2^ = U^^ (^P- ^Q^

4. Relations avec les isocristaux surconvergentsOn désigne toujours par X un V-schéma formel lisse, de réduction X sur fc, et on
suppose donné un diviseur Z C X, de complémentaire Y. On note Y le V-schéma formeld'espace sous-jacent Y, j : Y c-^ X l'immersion ouverte correspondante, XK la fibre
générique de X, qui est un AT-espace analytique rigide, et sp : XK —^ X le morphisme despécialisation. Par des constructions de géométrie analytique rigide sur XK, on peut définirla catégorie des isocristaux sur Y, surconvergents le long de Z, qui constitue une catégoriede coefficients pour la cohomologie rigide de Y (cf. [2], [5]). On se propose ici de donner
une interprétation de cette catégorie du point de vue de la théorie des T)\ ^-modules qui
complète les résultats de [4].
Dans la section 4.1, nous précisons d'abord les résultats de [4] sur l'interprétation desisocristaux convergents comme P^ q -modules cohérents. Pour les étendre aux isocristauxsurconvergents le long d'un diviseur, l'étape essentielle est la construction en 4.2 d'un
sous-faisceau noté V\ ( 1 Z)q du faisceau image directe j^ î^q. le faisceau des opérateurs
différentiels « à singularités surconvergentes le long de Z » ; cette construction, essentielle
pour l'étude de la cohomologie des variétés non propres, sera résumée dans l'introduction
de 4.2. La section 4.3 est alors consacrée à étendre aux faisceaux à partir desquelson contrsuit PJ^ (^Z)q les théorèmes de platitude de 3.5. Les propriétés de cohérencequi en résultent permettent enfin de donner dans 4.4 une interprétation des isocristauxsurconvergents analogue à 4.1.
4.1. Cas des isocristaux convergents
Nous complétons ici les résultats de [4, 3.1] sur l'interprétation des isocristaux
convergents sur X comme PJ^ ^-modules cohérents.
4.1.1 Soit U = SpfA C X un ouvert affine. Pour tout m, l'anneau D^ = F (U, P^)
est muni de la topologie ^-adique, qui s'étend naturellement à D ^ ^ ^ T(U^ 2^o)Supposons que U soit muni de coordonnées locales ^ i , . . . , td. Tout opérateur P ç. V^qs'écrit alors de manière unique P = ^ aj^Q<fc/, avec a^_ —^ 0 pour \k\ —^ oo. Si || — ||kdésigne une norme de Banach sur Aq = T(U^ C^q), on étend cette norme à - D ^ ' en
posant ||P|| = sup^. ||a^||. Puisque toutes les normes de Banach sur AK sont équivalentes,
il en est de même pour celles qu'on obtient ainsi sur -D^Q. La topologie définie par une
telle norme sur D ^ ^ est la topologie p-adique, car il en est ainsi sur AQ. Notons aussique si l'on change de coordonnées locales, l'extension de la norme de AQ à D ^ ^ est
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

249

remplacée par une norme équivalente, car, si ô^ est la base de -D^ correspondant aux
nouvelles coordonnées, le changement de base dans D^ s'effectue par une matrice à
coefficients dans A, donc de norme bornée. Si la norme de Aq est la norme spectrale, desorte que d'après 2.4.2 A est l'ensemble des éléments de norme < 1, l'extension de cettenorme à D ^ ^ est alors indépendante du choix des coordonnées locales, l'ensemble deséléments de norme < 1 n'étant autre que D^ \La AT-algèbre D ^ ^ étant munie ainsi d'une structure d'algèbre de Banach nœthérienne,
on peut également munir le module r (U^ £) des sections d'un P^Q-module cohérent £d'une structure de 25^ ) -module de Banach. En effet, r (^/, £) est un D ^ ^ -module detype fini d'après 3.4.6. Si D ^ ' -^ T (U^ £) est un homomorphisme surjectif, son noyau
est un sous- D ^ ^ -module de type fini de D ^ ' donc fermé, et la semi-norme quotient
sur F (Z^, £) est une norme qui en fait un D^,^-module de Banach. Les normes obtenus
pour deux présentations différentes sont alors équivalentes [12, 3.7.3, prop. 3].
Le lemme suivant montre que l'on peut parfois changer l'algèbre de Banach utilisée
pour munir un module d'une norme sans changer sa topologie :LEMME 4.1.2. - Soient p : A —^ B un homomorphisme continu entre K-algèbres deBanach nœthériennes, et E un B-module à gauche qui est de type fini sur A. Alors lesnormes de Banach définies sur E par sa structure de A-module et par sa structure de Bmodule sont équivalentes. En particulier. Faction de B sur E est continue pour la topologiede B et la topologie de A-module de E.

Soient || — \\A et || — \\B les normes de A et B. Comme p est continue, il existe c G R
tel que, pour tout a G A, on ait ||p(a)|[B < c||a||A. Fixons une application surjectiveu : A7' —^ E ; on en déduit une norme quotient || — ||i sur E. Soit u' : B1' —^ E lafactorisation B-linéaire de u ; comme u' est surjective, on obtient une autre norme quotient|| - [|2 sur E. Grâce à la relation précédente, on voit que ||a;||2 < c\\x\\^ pour tout x G E,
de sorte que l'application Id^ : (2?, || — ||i) —> (E, [| — Ha) est continue. Ces deux normes
faisant de E un espace de Banach sur K, le théorème de Banach [14, ch. I, § 3, th. 1]
entraîne qu'elles définissent la même topologie sur E. La dernière assertion en découle.
4.1.3. Nous renvoyons à [5, 2.3.2] pour la définition générale de la catégorie desisocristaux convergents sur X, et nous rappelerons simplement ici qu'elle peut s'interpréter
comme la catégorie des 0^^ -modules E localement libres de type fini sur l'espace
analytique rigide XK, munis d'une connexion V : E —> E 0 îî^ qui vérifie la conditionde convergence suivante [5, 2.2.14] : pour tout ouvert affine U C X, de fibre générique
UK. muni de coordonnées locales t i , . . . , td, définissant des dérivations Qi, toute section
e e T{UK, E} et tout r] < 1, on a
(4.1.3.1)\\Q^ e\\r]^ -^ 0 pour \k\ -^ oo,où 9^ e est défini par l'action des dérivations 9i fournie par la connexion V, et || — [| est
une norme de Banach quelconque sur F(UK^ E).
Pour tout 0^^ -module cohérent (resp. localement libre de type fini) £', le 0^ ^-modulesp^ E est cohérent (resp. localement projectif de type fini), et il résulte des théorèmes de
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

250

P. BERTHELOT

Kiehl [30] et de 3.4.6 que les foncteurs sp* et sp* induisent des équivalences de catégories
quasi-inverses entre la catégorie des 0^ -modules cohérents et celle des O^q-modules
cohérents. Cette équivalence s'étend aux modules cohérents munis d'une connexion
intégrable, et si (£\ V) correspond à un isocristal convergent sur X, la condition (4.1.3.1)
entraîne que la structure de Î^Q-module définie par la connexion sp* V sur sp* E s'étend
par continuité en une structure de P^Q-module [4, 3.1.1]. De même, tout morphisme
horizontal (E, V) -^ {E1\ V) définit un morphisme V^ ^ -linéaire sp* E -^ sp* E\ car,pour tout ouvert affine U C X, le morphisme F (UK, E)-^ F (UK, £") est continu pourles topologies d'espaces de Banach de F (UK, E) et F (UK, E ' ) . On obtient alors :PROPOSITION 4.1.4. - Le fondeur sp* induit un foncteur pleinement fidèle de la catégorie
des isocristaux convergents sur X dans la catégorie des V\ ^-modules, dont l'image
essentielle est la sous-catégorie des V\ ^-modules 0^ ^-cohérents. De plus, ceux-ci sontV\ ^-cohérents.
Comme les morphismes entre isocristaux sont les morphismes 0^ -linéaires commutant
aux connexions, donc, en coordonnées locales, à l'action des dérivations 9,, la pleine
fidélité est claire. Soit £ un 2^ ^ -module O^Q -cohérent. D'après ce qui précède, il existe
un 0^ -module cohérent E, muni d'une connexion intégrable V, et un isomorphisme£ ^ sp*(Jç, V). Il suffit donc de vérifier que V vérifie la condition (4.1.3.1). Soientrj < 1, et U = SpîA un ouvert affine de X, possédant des coordonnées locales donnant
une base de dérivations < 9 i , . . . , 9^. D'après 2.4.3, il existe m ç N tel que 77^! < c^q^^avec cj, -^ 0, et k == p771 ^m) + ^m), 0 < ^m) < pm. Comme q^O^ = 9^, il
suffit de montrer que, pour tout m, et tout e ç F {U, £\ les éléments 9^^ e, k ç N^,
forment une famille bornée dans M = F {U, £) pour sa topologie naturelle de Aq-modulede type fini.
Soit î)^ = F (U, î>y^). Comme on l'a vu en 4.1.1, on peut munir D^ d'une norme
prolongeant celle de AQ. Le lemme 4.1.2 entraîne que la topologie de Aq -module de typefini de M coïncide avec sa topologie de D^ -module de type fini. Les éléments Ô^M,
k e N^ formant une famille bornée dans D^, il en est de même de leurs images parl'application D^^ -^ M qui envoie un opérateur P sur Pe.
La cohérence sur T)\ ^ des isocristaux convergents a été prouvée en [4, 3.1.4].
4.2. Opérateurs différentiels à singularités surconvergentes
Reprenant les notations introduites au début de ce chapitre, nous allons construire ici
un sous-faisceau PJ^ (^Q du faisceau image directe j^y^ dont les sections peuvent
s'interpréter comme des opérateurs différentiels de ^ ^ dont les coefficients ont dessingularités satisfaisant des conditions de surconvergence le long de Z. Son intérêt vientde ce qu'il permet de décrire, parmi les T>y^ -modules cohérents, ceux qui vérifient lesconditions de surconvergence qui en font des coefficients pour la cohomologie rigide de Y
(lorsque X est propre sur V). Il jouera ainsi dans la présente théorie le même rôle que lefaisceau « image directe à singularités méromorphes de T)y » dans la théorie analytiquecomplexe.
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

251

La méthode de construction de 2^ ( + Z)q utilisée ici est parallèle à celle que nous avons
employée en 2.4.1 pour construire T>^ ^ : pour un entier m fixé, nous construirons d'abord
une famille de faisceaux d'opérateurs modulo p1 pour tout %, puis nous passerons à lalimite projective pour i variable, d'où une famille de faisceaux d'opérateurs sur X, dont
nous prendrons la limite inductive pour m variable. Quant aux faisceaux modulo p\ nous
les construirons en montrant que, pour A convenablement choisi, l'algèbre des fonctions
analytiques sur le voisinage strict VA = XK-}Z[X,\= [x G XK\\Î (x)\ > X} de }Y[x(cf. [2, 2.5] ou [5, 1.2]) possède un modèle entier canonique muni d'une opération deP^, et en appliquant 2.3.5 à sa réduction modulo p1 : le point clé est que, si À = Ij?!"^où r est multiple de j/^, un tel modèle est fourni par la complétée B^ (/, r) del'algèbre Ox b/.TL et ^ celle-ci est stable par l'action de DJ^. Par construction,les coefficients de î^ {^Z) sont dans l'algèbre B\ (/) = Hm^ Bx (/, P7^1) ; commeB\ (f)q ^ {Ox [l/^^Q. où Ox [l//]1' est la complétion faible de l'algèbre de fractions
0^ [l//], les constructions qui suivent fournissent une méthode pour étudier par réduction
modulo p1 les propriétés liées à la surconvergence.
PROPOSITION 4.2.1. - Soient m, r e N deux entiers tels que r soit multiple dep^^, et X —^ S un morphisme lisse de î^-schémas (resp. schémas formels). On fixe
f çT (X, Ox\ et on pose B (/, r) = Ox [T}/{r T - p).
(i) II existe sur B(f, r) une structure canonique de V^-module compatible avec sasructure de Ox-algèbre.
(ii) Si g G F(X, Ox), et f = gf, rhomomorphisme^ : B 0 r) = Ox [T}/(r T - p) -. B (/ / , r) = Ox [^/(r Tf - p)
tel que pg (T) = ^T' est V^-linéaire.
(iii) Si r est multiple de j^1, avec m' > m, la structure de V^-module de B (/, r)
est induite par sa structure de u^ )-module.
Pour munir B(f, r) d'une structure de T^ -module compatible avec sa structure deOx -algèbre, il suffit d'après 2.3.4 de définir une m-PD-stratification^ : P^Çm) ^Ox W r) ^ B(f. r) 00x ^(m)telle que les En soient des isomorphismes d'algèbres. Par fonctorialité, il suffit de le faire
lorsque S = SpecZ(p), X = SpecZ(p) [t], f = t. Posons alors ti = t (g) 1, t2 = 1 ^ ^de sorte que, d'après 1.5.1, on a (|X|, P^)) = Spec(Z(p) [ti] {t^ - t^ç^/I^^). où
J = (t^ - ti) est le m-PD-idéal engendré par t^ - ti. Soit r = ^ m+l ç. Comme l'anneau
Z( ) [ti\ (^2 - ^i)(m) est sans torsion, on peut définir un polynôme à puissances divisées(^m) (t^ t^) e I C Z(p) [ti] (t2 - ^i)(m), homogène de degré r, par la relation(4.2.1.1)€, - i\ = ((ti + (^2 - ti))^ 1 ) 9 - t[
= ((tf1 + ^ ^ ( ^ 1 , ^2) +^2 - ^l)^"^)9 - < ï^^^(tl,^).

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

252

P. BERTHELOT

Posons alors
Ti = T0 1 e Ox [T] 0o. ^,(^

Î2 = 1 0T e rç^ 0o, C^ [T].

On définit un homomorphisme de P^ /^-algèbres
^ : rç, („) 0o. (Ox [W T - P)) - (Ox [T]/^ T - p)) 0o, 7^ ^en posant(4.2.1.2)£, (Ta) = îi (1 + Ti ^m) (ti, tz))- 1 ,ce qui a un sens car ( ^ v ) (ti, ^2) est niipotent dans P^ . y C'est un isomorphisme, dont
l'inverse envoie îi sur T^ (1 - Ï2 ^m) (ti, ^)) - l • Comme ^m) {t^ t^) e J, £n induit
l'identité par réduction modulo J, et la condition de cocycle résulte de ce que, d'après(4.2.1.1), on a
(4.2.1.3)^m) (^ t2) + ^m) (^ ts) = ^m) (^i, t,)dans Z(p) [ti] (^ - ^1^3 - ^)(m).
Si / / = gf, soient A = / 0 1, /{ = / / 0 1, ^i = ^ 0 1, f^ = 1 0 /, ^ = 1 0 A^ 2 = 1 0 ^ . Prouver que p^ est î^ -linéaire revient à prouver qu'il est horizontal. Si
T[ = T ' 0 1, il faut montrer que^^(i+r^M^^^-^^Tl'O+^r^^ai,^))-1dans (Ox [T'V^r - p)) 0 P^^^y Compte tenu de l'homogénéité de ^m) (^i, ^2),
il suffit de vérifier que^ (1 + T[ ^m) (/{, g, /2)) = ^ (1 + Ti' ^m) (/L /2)),
soit encore, grâce à (4.2.1.3),^ - 9Ï = T[ (^m) (^ ^ g, f,) - ^m) (g, f^ g, f,))=T[^(g,f^g,f[)^^rn)^^

ce qui est clair.
Enfin, si r est multiple de p^"^, avec m' > m, il suffit pour prouver l'assertion (iii)de montrer que la m-PD-stratification (en) se déduit de la m'-PD-stratification (^) par
extension des scalaires de ^(m') à ^ (m)' et cela résulte de ce que, d'après (4.2.1.1),
yr est l'image de ^m+ par l'homomorphisme canoniqueï{p) [tl] {t2 - tl){m') —^ î{p) [tl] {t2 - ^ l ) ( m ) .
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

253

Remarque. - Lorsque X est la droite affine A^, on peut expliciter l'action des opérateurs
9^ sur une section de la forme T^ e B(t, r). Soient en effet fc, n e N deux entiers
fixés, (/i, a) l'unique couple d'entiers tel que k -^- h = ar, avec 0 < h < r, et posons
fc = J) m ç^ m) + r^, avec 0 < rj^ < p^. On se ramène d'abord par changement debase au cas où S = SpecZ(p). On observe alors que B{t^ r) est sans p-torsion, de sorte
que l'on peut faire le calcul après tensorisation par Q. Cela permet d'écrire T = p / f ,^(m^ (t^ ^2) = (^ — t\)/p, et on est simplement ramené au calcul en caractéristique 0 de
QW (yv^). On obtient ainsi la relation(4.2.1.4)

9^ T71 = (-1)^ ^ m)!(nr+fc ^t" l)! th Tn+ak\(nr - 1)!^dans laquelle le coefficient numérique est en fait entier d'après ce qui précède.
PROPOSITION 4.2.2. - Sous les hypothèses de 4.2.1, soient î C Os un m-PD-idéal
quasi-cohérent, g ç. T (X, Ox\ h ç T(X, 10 x\ et f = gf + h. Supposons que 1
soit m-PD-nHpotent sur S. Il existe alors un homomorphisme canonique de Ox-algèbres,V^-linéaires^:B{f^}^B{f'^\vérifiant les propriétés suivantes :(i) Si g' G F (X, Ox\ ^ C F (X, 10 x\ et j " = g' f + /î', g" = g' g, h" = g' h + h',alors(4.2.2.1)^//,^ = 7^,^ OT^ : B(/, r) ^B(f, r).

(ii) 7^0 = Pg. ^1,0 = Id(iii) Si f est non diviseur de 0 dans Ox/IOx, r]g^ ne dépend que de f et f.
(iv) Si r est multiple de p ^ ' ^ , avec m' > m, rfg^h est indépendant de m < m'.
Posons B (/ / , r) = Ox [T^/Çf^T' -p\ et supposons d'abord que g = 1. On considère
les deux morphismes X —^ SpecZ(p)[t] envoyant respectivement t sur / et sur f ;comme h = f1 - f appartient au m-PD-idéal TOx. m-PD-niIpotent d'après 3.1.8 (iv),le morphisme produit se factorise par SpecZ(p) [ti] {t^ - ti)/!^71'^ pour n assez grand.
On en déduit un isomorphisme d'algèbres e^ : B(f, r) ^ B { f ' , r) en prenant l'image
inverse de la m-PD-stratification £n ; on a donc
(4.2.2.2)

6, (T) = F' (1 + F' ^m) (/ + h^ /))- 1 .

Le fait que CH soit horizontal, donc V^ -linéaire, résulte de la condition de cocycle; sih' G r (X, 10 x), on déduit aussi de celle-ci la relation e^ o £/i = ^h'-^hDans le cas général, où /' = gf + h, on pose
(4.2.2.3)

r ] g ^ = e H o p g : B(f, r) -^ B {gf, r) -^ B{f1, r).

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

254

P. BERTHELOT

L'assertion (ii) est claire. Pour prouver (i), ce qui précède ramène à vérifier que, si
g e F(X, Ox\ h e r(X, I0x). le diagrammeff(/,r)(4.2.2.4)

-^

^
W,r)

B(/+^r)
^

-^

W+^r)

est commutatif, et cela résulte de l'homogénéité de ^p" (^i, t^).
Supposons que / / = gf-\- h = g ' f-\-h', avec h, h' e F (X, ÎOx). Si / est non diviseurde 0 modulo Z, on en déduit que g ' = g + u, avec u ç. Y (X, 10 x), ^ h -= uf -\- h'.
Pour prouver que r]g^ = T i g ^ h ' , il faut alors montrer que
P 9 ' = e n f 0 p g : B (/, r ) ^ B (gf, r) -. B {g' /, r).
Si 6 (^ /, r) = Ox [TI'W f T[ - p), il suffit de vérifier que/

gfr(l^T[^{gff^f))=gr.

Comme gf - g = u ç T{X, 10 x), ^m) { g ' , g) est défini, et l'assertion résulte de cequ'on ag'r T[ f ^ (^ g)=p ^ (g^ g ) = g r - g'r.

Si on suppose enfin que r est multiple de p^/+1, avec m' > m, il est clair que pg
de dépend pas de m < m\ et il en est de même de e^ d'après 4.2.1 (iii), si bien que
rfg^h est indépendant de m.
Lorsque / est non diviseur de 0 modulo î, et / / = gf + h, on notera 77 (/', /, r) au
lieu de %,/i. La relation (4.2.2.1) s'écrit alors(4.2.2.5)

rj (F, /, r) = r] (/", f, r) o ^ (/ / , /, r).

Si ^ est inversible, i.e. si / et / / engendrent le même idéal modulo Z, on obtient ainsi unisomorphisme canonique de P^ ^-modules rj{f^ /, r) : B(/, r) -^ 0(/ / , r ) .
4.2.3. Soient m, r ç N deux entiers tels que r soit multiple de p"^1, X —» S un
morphisme lisse de Z(p)-schémas (resp. schéma formels), I C Os un m-PD-idéal quasicohérent (resp. cohérent), m-PD-niIpotent, XQ = V (10 x) C X, et Z C XQ un diviseurde Xo. Si U est un ouvert de X, et / e r(?7, 0^-) une section relevant une équation
locale de Z dans Xo, il résulte de la section précédente que, en tant que Ou -algèbre munie
d'une action compatible de P^ , B(f^ r) est indépendante à isomorphisme canoniqueprès du choix de la section /. En recollant les algèbres ainsi définies sur un recouvrement
affine de X sur lequel Z possède une équation locale, on associe donc canoniquement à Z
un faisceau de Ojc-algèbres Bx (Z^ r), muni d'une structure compatible de P^ -module.
De plus, si Z ' D Z est un second diviseur, et si /, /' relèvent des équations locales de Z,
Z ' , les homomorphismes r] (/ / , /, r) sont compatibles aux isomorphismes de recollementd'après (4.2.2.5), de sorte qu'on dispose d'un homomorphisme canonique P^ ^-linéaire
rj (Z\ Z , r ) : Bx (^ r) ^ Bx (Z', r),
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

255

tel que, lorsque Z" D Z ' est un troisième diviseur, on ait(4.2.3.1)

T] (Z", Z, r) = r] (Z", Z'\ r) o r] (Z', Z, r).

Soit maintenant r ' = ar un multiple de r. D'après ce qui précède il existe unhomomorphisme canonique de V^ ^-modules rj(aZ^ Z, r) : Bx (Z, r) —> Bx (aZ, r).
Si / relève une équation locale de Z dans Xo, f0' relève une équation locale de aZ, eton a par définition B Ç f 0 ' , r) = B(f^ ar). Cette égalité s'étend aux structures de Démodules, car il résulte de (4.2.1.1) que l'on a i p ' r ' (t^ t^) = (^m (^i, t^), si bien que lesm-PD-stratifications de B (/ a , r) et B (/, ar) coïncident. Si /' = gf + /i, on a également
rf (/ /a , / a , r) = y/ (/', /, ar), car il suffit de le vérifier pour p g , ce qui est clair, et pour£/i, ce qui résulte de la relation précédente. On a donc une égalité de V^ ^-modules
Bx(aZ^r)=Bx(Z^ar)^ce qui permet d'écrire l'homomorphisme T) (a Z, Z, r) sous la former y ( Z , r ' , r ) : Bx (Z, r) -> Bx (^ ^avec la relation(4.2.3.2)^ (Z, r", r) = r? (Z, r", r') o r] (Z, r', r)pour r" = a'r'.
Lorsque r (resp. r') est multiple de p7"^1, avec m' > m, la structure de V^ ^-modulede Z?x (^ r) est induite par sa structure de V^1 ^-module, et les homomorphismes
77 (Z', Z, r) (resp. rj (Z, r', r)) sont indépendants de m < m'.

Remarque. - Plus généralement, on peut définir pour tout r ' > r, avec p771"^1!^, unhomomorphisme V^ ^-linéaire rj(Z^ r', r) : Bx (Z, r) —^ Bx (Z, r'), en recollant les
homomorphismes définis localement par^^rKr^r-^la I>^ ^-linéarité résultant de la relation(4.2.3.3)^m) {t^ t,) = <- ^m) (ti, ^2) + ^ï ^m), (ti, t2)

qu'on déduit de (4.2.1.1). La relation (4.2.3.2) reste encore valable, de sorte que les
faisceaux Bx (Z, p772^1) forment une famille cofinale dans la famille des Bx (Z, r)
pour r variant dans l'ensemble des multiples de j/"^1.
4.2.4. Soient maintenant X un V-schéma formel lisse, de réduction Xi sur V/m14'1(resp. X sur fc), Z C X un diviseur, m un entier tel que m soit muni d'une m-PD-structure
topologiquement m-PD-niIpotente, et r un multiple de p77^1. En appliquant ce qui précède
aux faisceaux Bx, (Z, r), et en observant que Bx, (Z, r) 0 V/m 1 ^ ^x,_i (^ ^ onvoit que le faisceau B^ (Z, r) = lim^ 23jc, (Z, r) est muni d'une structure canonique de
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

256

P. BERTHELOT

î>y-module. On observera que, si U C X est un ouvert tel qu'il existe / e F [X, Ox)
relevant une équation locale de Z dans X, on a sur U(4.2.4.1)

Bx (Z, r) ^ Ox {T}l{f T - p)^grâce au théorème A appliquée à Ox {T} = 0^[T].
Dans le cas où r = p171^'1^ nous poserons^m) (Z) = Z?x (^ P^),

B^ (Z) = ^ (Z, j/7^1).

Pour m' > m, l'homomorphisme canonique^m) ^ ^ ^ ^n'+l^ ^n+1^ ^ gW ^ ^ ^/) ^^est semi-linéaire par rapport à î^ -^ P^^. Par passage à la limite inductive, on obtient
donc un faisceau de 0^-algèbres0^ (1Z) = lim^ ^m) (Z),(4.2.4.2)

muni d'une structure de P^-module compatible à sa structure de 0^ -module.
Nous dirons que 0^ ^X) est le faisceau des fonctions sur X à singularités surconvergentes le long de Z.
4.2.5. Soit r un multiple de j/7^1. Sous les hypothèses de 4.2.3, on peut grâce à 2.3.5
utiliser l'action de P^ sur Bx (Z, r) pour munir Bx (Z, r)0c^ P^ d'une structure defaisceau d'anneaux. Sous les hypothèses de 4.2.4, on peut ainsi définir, pour tout V-schéma
formel lisse X, et tout diviseur Z C X, le faisceau d'anneaux B^ (Z, r) 0^ ^ w , etson complété j?-adique(4.2.5.1)

B^ (Z, r) êo, P^ = lim. B^ (Z, r) ^ V^\

Le faisceau B ^ ( Z , r) ^o^ V^ vérifie les hypothèses de 3.3.3. Par suite, les faisceaux
B^ (Z, r)0o^ P^ et Bx (Z, r)0o;v ^^Q sont cohérents, et les modules cohérents surces faisceaux vérifient les théorèmes A et B.
Si m' > m, et si r ' est multiple de r et de j?771^1, on dispose par passage à la limited'un homomorphisme canonique de faisceaux d'anneaux(4.2.5.2)

Bx (Z, r) §o. ^m) -^ ^ (Z, r') ê^ P^.

Par passage à la limite inductive, on définit alors le faisceau d'anneaux(4.2.5.3)

2^ (tZ) = lim^ ^m) (Z) 0^ ^m).

Il est muni d'un homomorphisme canonique 2^ —^ V^ ( t Z).
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

257

Nous dirons que T)\ ( ^ Z ) est ^faisceau des opérateurs différentiels de niveau fini, àsingularités surconvergentes le long de Z. Ses sections sur les ouverts affines possèdent
une description analogue à celle de 2.4.4 pour V\ (voir par exemple dans l'introduction
le cas où Z est l'origine dans la droite affine). Lorsque Z est un diviseur ample dans unevariété projective, ses sections globales fournissent également des anneaux d'opérateurs
différentiels importants, dont les coefficients sont dans une algèbre faiblement complèterelevant l'anneau de coordonnées de X\Z : ainsi, l'exemple suivant, dû à C. Huyghe,
fournit une interprétation de la « complétion faible » de l'algèbre de Weyl sur K = Frac (V)en termes des faisceaux P^ (^Z)q :Exemple [24]. - Supposons que X soit la droite projective formelle sur SpfV, et Z lepoint à l'infini de X. On a alorsr(A\ /D^^Z}^)^{^aJ^tjQk|h\\^k^K, et3c, r] < 1 tels que \a^k\ < crf^}
k4.3. Théorèmes de platitude II
Les principaux résultats de cette section sont d'une part la cohérence du faisceau
V^^Z)q construit dans la section précédente, grâce au théorème de platitude 4.3.5
généralisant 3.5.3, d'autre part la fidèle platitude sur V\ (^Z)q du faisceau j^y^q'
Nous commencerons par l'étude du faisceau des fonctions à singularités surconvergentes.
4.3.1. Restant sous les hypothèses de 4.2.4, nous noterons j : Y c-^ X l'inclusion
du complémentaire de Z dans X, XK l'espace analytique rigide fibre générique de X,
sp ; ^ _^ ^ le morphisme de spécialisation. Rappelons que sur XK, on définit le faisceauj^ O^K des germes de fonctions surconvergentes le long de Z de la manière suivante. Si
f e F (U, Ox} est une section de 0^ relevant une équation locale de Z dans X, et si,
pour À < 1, on note U^ l'ensemble des points de UK = sp-1 (U) tels que \f(x)\ > À,l'ouvert U\ ne dépend pas du choix de / dès que À > H (où TT est une uniformisantede V), ce qui permet de recoller les U\ pour U variable en un ouvert de XK encore noté
U\ ; si j\ : U\ ^ XK est l'immersion canonique, et E un faisceau sur XK, on définit
jl E par j1' E = lim A-^i j\* f\ E.
PROPOSITION 4.3.2. - Pour tout r > 0, posons \r = P"1^.
(i) Avec les notations de 4.2.4, il existe des isomorphismes canoniques de 0^-algèbres
(4.3.2.1)

Bx {Z, r)q ^ sp^ j\^ j^ 0^,(4.3.2.2)(^(^Q^sp^O^

ce dernier étant î>^ ^-linéaire pour la structure de P^ ^-module définie en [4, 4.1.4].
(ii) Pour tout ouvert affine U C^V, T(U, Bx {Z, r)) et T{U, Bx {Z, r)q) sont desanneaux nœthériens. Les faisceaux B^ {Z, r)q et Ox C^Q sont plats sur O^Q et sur les
faisceaux Bx {Z, r^q pourp^ | r' | r. Les faisceaux Bx {Z, r), Bx (Z, r)q et Ox (^Z)qsont cohérents, et les modules cohérents sur ces faisceaux vérifient les théorèmes A et B.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

258

P. BERTHELOT

Soient U = SpfA c X un ouvert affine sur lequel il existe f ç F ( U , 0^) relevant
une équation locale de Z, et UK = sp~1 {U) = Spm (A (g) K) sa fibre générique. D'après(3.4.0.1) et (4.2.4.2), on a
F (^ B^ (Z, r)^) ^ (A {T}/(r T - p)) 0 K^T(UK^U^ 0^)^rçu^spj^j^o^).
L'identification ainsi obtenue est indépendante du choix de /, car l'homomorphisme
canonique A (g) K -^ (A {T}/^ T - p)) ^ K est un épimorphisme dans la catégorie desK-algèbres de Tate. Par recollement, on obtient donc un isomorphisme de faisceaux de0^-algèbres Bx (Z, r)q -^ sp^ j\^ j^ O^K » nécessairement continu. Par passage à lalimite, on en déduit l'isomorphisme (4.3.2.2), car l'image inverse par sp d'un ouvert affinede X est un ouvert affinoïde de XK, ce qui entraîne que sp^ commute aux limites inductives
filtrantes. Comme l'opération de P^ sur B^ (Z) est continue par construction, et quecelle de Î^Q sur sp^j 1 ' O^K l'ost aussl pou1' la topologie limite inductive des topologies
des SP^JÂ,*J^ OXK (c/ [4. 4.1.4]), il suffit pour prouver la linéarité sur V\ ^ de cet
isomorphisme de vérifier sa compatibilité à l'action des dérivations 9i associées à unsystème de coordonnées locales. Or on a T = p / f dans (A^/Ç^T - p)) 0 K, etl'action de 9i sur T est ainsi déterminée de manière unique.
Comme 0^ [T}/(^T - p) vérifie les hypothèses de 3.3.3, il résulte de 3.3.4 et 3.4.2
que B^ (Z, r) et B^ (Z, r)q sont cohérents. Si U est un ouvert affine de X, on ar(Z^ fî^(Z, r)) = lim,r(^ Bx^ (Z, r)), avecr(^, ^ (^ ^î/m-r^, B^ (z, r)) ^ r(^, B^_, (z, r)).
Or les anneaux F (ZY, ^3^ (-^5 ^)) sont nœthériens : c'est clair si Z possède une équation
globale sur U, et le cas général en résulte car les Bx, (Z, r) sont Ox, -quasi-cohérents.
D'après 3.2.2 (iii), F {U, B^ (Z, r)) est donc nœthérien. Les faisceaux B^ (Z, r) satisfontainsi les hypothèses de 3.3.3 et 3.4.1, de sorte que les B^ (Z, r)-modules cohérents
vérifient les théorèmes A et B.
Par ailleurs, la démonstration de (i) montre que, pour tout ouvert affine U assez petit,
et tout r'jr, les homomorphismes
F (U^ O^^^Y (^ B^ (Z, r\) -. F (U^ B^ (Z, r)^)s'identifient à des homomorphismes d'algèbres de Tate induits par l'inclusion d'un ouvert
affinoïde. Comme de tels homomorphismes sont plats [12, 7.3.2, cor. 6], la platitude sur
O^,Q et sur B^ (Z, r')q des faisceaux Bx (Z, r)q et 0^ (^Q en résulte. On en déduit
également, grâce à 3.6.1, que 0^ (^Z)q est un faisceau d'anneaux cohérent. De plus, lesOx (^Q-modules cohérents vérifient les théorèmes A et B d'après 3.6.4. Si U = SpfA
est un ouvert affine où / e A relève une équation locale de Z, il est facile de vérifier
que l'anneau F ( U , 0^ (+Z)^) s'identifie à (A;)^, où (A;)t est le complété faible de
Af. Comme le complété faible d'une algèbre de type fini sur un anneau nœthérien estnœthérien [19], l'anneau T{U, Ox (^Z)q) est nœthérien sous cette hypothèse, et le cas
général en résulte grâce au théorème A.
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

259

Remarque. — II n'est pas vrai par contre en général que 0^ (^ Z) soit plat sur 0^, ni quer (U^ 0^ ( + ^)) soit nœthérien lorsque U est un ouvert affine de X. En effet, s'il en était
ainsi, l'algèbre lim rn ^x (^) seralt plate sur Ox et à sections nœthériennes sur les ouverts
affines. Or on a localement B^ (Z) ^ Ox [T}|{fprn+l T) ^ S (C^A/^ 1 )), d'oùlml^B^\Z)^\^^S(Ox/(fpm+l))^S(ïmi^Ox/(fpm+l^algèbre qui n'est ni nœthérienne, ni plate sur Ox, puisque 'H\ (Ox) est un module de/-torsion qui n'est pas de type fini.
Pour étudier la platitude des faisceaux B^ (Z, r) Ç^ox ^ x ^ nous a111'0!^ besoin deslemmes suivants.
LEMME 4.3.3. - Soient r ç N, A une V-algèbre séparée et complète, topologiquement
de type fini, sans p-torsion, f G A, Asf\ le complété de l'anneau de fractions Af,
B = A \T}|{fr T — p}. On suppose que f n'est pas diviseur de 0 module m.
(i) L'anneau B est sans p-torsion et p-adiquement séparé.
(ii) L'homomorphisme B —> A{^} envoyant T sur p / /r est injectif.

(iii) Si de plus A 0y k est intègre, B l'est aussi.
Les hypothèses entraînent que les suites (/) et (p, /) sont régulières dans A. Il en est
alors de même pour les suites (/ r T — p) et (p, / r T — p) dans A [T]. Il en résulte quela suite (/ r T — p, p) est régulière dans A [T], donc B sans p-torsion. Pour montrer que
B est p-adiquement séparé, il suffit de montrer que si x ç B est tel qu'il existe b G B
tel que (1 — pb)x = 0, alors x = 0. Or A s'envoie injectivement dans B, car / est non
diviseur de 0 dans A. De plus, B / A est de /-torsion, et / est non diviseur de 0 dans B,
puisque B est sans p-torsion. Il suffit donc de montrer que si x ç A est tel qu'il existea ç A, s ç N tels que (f8 —pa) x = 0, alors x = 0. Cela résulte de ce que la suite (p, f8)
est régulière dans A, et A p-adiquement séparé.
Comme B est un anneau nœthérien, on en déduit par platitude que B est aussi sansp-torsion, et par conséquent sans /-torsion ni T-torsion. Par suite, B s'injecte dans l'anneau
de fractions Bf, et, puisque {Bf)^ ^ A{y}, il suffit pour prouver (ii) de montrer que Bf
est p-adiquement - ou T-adiquement - séparé.
On est ainsi ramené à montrer que si x G Bf est tel qu'il existe b ç Bf tel que(1 — bT)x = 0, alors x = 0. Il revient au même de montrer que si x G B est tel
qu'il existe b G B et s G N tels que (/s — bT)x = 0, alors x = 0. Observons que
B/(T) ^ A{r}/(T, fT - p) ^ A/pA. Puisque / est non diviseur de 0 modulo p, ilen résulte que x ç (T). Comme B est sans T-torsion, on en déduit que x ç. Ç\ T1 B, donciqu'il existe c e B tel que (1 - cT) x = 0.
Soient x, c les images de x, c dans B / p B, et P, C ç ( A/p A) [T] des éléments d'images
x, c. On a donc (1 - CT) P e (/^T), d'où P ç (T). Si P = TP\ on obtient doncque (1 - cT) F ' e (/ r ), d'où l'on déduit que P ' ç (/ r ), et P G (/ r T). Par conséquent,x = 0, et x ç pB. Comme B est sans p-torsion, on voit que x çz Ç} p^ B, ce qui entraîne
ique rc = 0 puisque B est séparé.
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P. BERTHELOTSi A est sans ^-torsion et A/m A intègre, A est intègre, et il en est de même de A{^},qui vérifie les mêmes hypothèses que A. Par suite, (ii) entraîne (iii).
LEMME 4.3.4. - Soient m ç N, r un multiple de p77^1, rf un multiple de r,
X —^ S un morphisme lisse de î^-schémas (ou schéma formels), f ç F (X, Ox). etr] : B (/, r) = Ox [ T ] / ( r T - p) -^ B (/, r1) = Ox [T']/^ T1 - p ) rhomomorphisme
défini en 4.2.3. Pour tout entier fc, le sous-B (J, r)-module de B (/, r') engendré par les
T ' 1 pour i < k est un sous-V^-module à gauche.
Compte tenu de la construction de la structure de T^ ^-module en termes de m-PDstratifications donnée en 4.2.1, il suffit de le prouver dans la situation universelle où
X = SpecZ^], f = t.
Soit r' = ar. On observe d'abord que les polynômes à puissances divisées (p" définisen (4.2.1.1) vérifient la relation^m) (^ t,) = ^ ^-1 ( a ) ^-3}r^ (^ t,Y.

(4.3.4.1)

VJ/

l<J<a

En effet, comme Z(p) [^i] (t^ — ^i)(yn) est sans torsion, il suffit de le prouver après
multiplication par p. On a alorsP^ (t^ t,) = < - i\ = (t[ + (^ - W - i\ = (t\^p^ (ti, ^))a -1^

d'où l'assertion.
Fixons n ç. N. Comme l'isomorphisme En ' P^ (m) ^ ^(^ r ) ^ ^(^ r ) ^ ^î (m)est un isomorphisme d'algèbres, il suffit de prouver l'énoncé pour k == 1. Reprenons lesnotations de 4.2.1. Compte tenu de ce que p = t\T^ et t^"1^^ = Ti, la relation
précédente permet d'écrire..

( r p l \ _ rpf /-,, r p f^n \-l-î) — -t-i V-l- -r -AI

V^

/ ^

^-lf^(a-•7)r^(m)^

P

Kj<a

1

. 1 îi^i-V}~1^l, Î2^ ;VJ/=^,/(l+ ^; (^rf^)^,^)- 1
l<J<a

VJ/

^r^i+ri^)^,^))-',d'où le lemme.
THÉORÈME 4.3.5. - Soient mf > m, r un multiple de j/7^1, r 1 un multiple commun dep-m +1 et de r, Z C X un diviseur. Les homomorphismes canoniques(4.3.5.1)

B^ (Z, r) êo, P^ -. ^ (^ r ) 0o, V^

sont plats à droite et à gauche.

Comme les algèbres B^ (Z^ r) vérifient les hypothèses de 3.5.1, le théorème de platitude
3.5.3 entraîne que l'homomorphisme
B^ (Z, r') 0o, ^ - B^ (Z, r') êo, P^
est plat à droite et à gauche. Il suffit donc de prouver l'énoncé lorsque m = m'.
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^-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

261

L'argument est analogue à celui de 3.5.3. Soit U = Spî A c X un ouvert affine
connexe tel qu'il existe / G r(^/, 0^) relevant une équation de Z, et un système decoordonnées relatives pour U. Soient B = A [T]/^ T - p), B' = A [T^/Çf^ T ' - p\
D = F ( U , P^), B, P', D les complétés p-adiques de B, B', A r/ : B -^ B'
l'homomorphisme tel que r ] ( T ) = j - r ' - r r p / ^ ^ , B 0 D —^ B ' 0 D l'homomorphisme
induit par rj. Il suffit de prouver que B'ç^Dq est plat sur B 0 Dq. Observons d'abord que,/ étant non diviseur de 0 modulo p, les anneaux B et B ' sont sans p-torsion d'après 4.3.3,
et il en est de même de B et B' par platitude ; de même, B 0 D, B' (g) D, B <S> D et
B ' 0 D sont sans ^-torsion. De plus, l'existence de coordonnées locales sur U permet dedéduire de 4.3.3 que les homomorphismes B ^ D — ^ B ' ^ D ^ B ' ^ D - ^ B ' ^ D sontinjectifs. Considérons le sous-anneau(4.3.5.1)

D' = B ê D + B' 0 D C B' 0 D.

C'est bien un sous-anneau de B^D, car il suffit de vérifier que si P G BÇ^D, Q ç B' 0 D,
alors PQ et QP sont dans D1'. Or il existe a e N tel que / a Q G B (g) û, donc b ç N
tel que j^ Q G B (g) J9. Écrivant P sous la forme P = Pi + p6 ?2, avec Pi ç B ^ D,
?2 GP0-D, on en tire l'assertion.
L'homomorphisme D' —^ B'Ç^D est alors un isomorphisme. En effet, l'homomorphismeDVj)1 2?' ^ (B'êÔ)/^ (B'êD) est surjectif puisque B' 0 û C P'. Il est injectif, car si
un opérateur appartient à D' H j?1 (B'(^D), il s'écrit sous la forme P + Q = p1 P', avec
P (E B (g) Û, Q G B7 0 û, P' G ê'êÔ, et P s'écrit P == Pi + p1 P2, avec Pi e B 0 û,
?2 eB§Û. On a alors
PI + Ç e B' (g) jD H ^ (B' 0 Û) = ^ B' 0 û,d'où P + Ç e j/P'.
Comme BQ ^ PQ, on a (B(^D)q = J3ç. Pour achever la démonstration, il suffit donc
de montrer que l'homomorphisme D' —> D' est plat, et pour cela que D' est nœthérien.
Pour tout fc, soit
^ = Œ Ttïç)i 1^ e JBêJD ^ c Dl%
i<kPar passage aux complétés, il résulte de 4.3.4 que D^ est un sous-(P 0 D)-module àgauche de D'\ de sorte que D^ ' D^ C D'^^. On obtient ainsi une filtration d'anneau
croissante sur D ' , discrète et exhaustive. Pour prouver que D' est nœthérien, il suffit alorsde prouver que gr D' est nœthérien. Or on a / r T ' = p ç B 0 D, de sorte que, pour toutk > 1, on a / r/ gr^ D' = 0. Comme p = f T, il en résulte que j90 gr^. û' = 0 pour fc > 1.
Considérons alors la suite exacte
Q ^ p ^ g ^ D ' ^ gr p' _, gr D'/p0 gr IV -^ 0.
Comme p0' gr D' = p" gro P' = p0 B0D, et que sa structure de grD'-module provient
via l'homomorphisme d'augmentation de sa structure de P0-D-module, pa gr D' est un
grû'-module nœthérien. Il suffit alors de montrer que g ï D ' | p a g T D ' est nœthérien.
Mais, sur grû'/J^g1'^ ^a filtration par l'ordre par rapport aux opérateurs Q^ est une
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P. BERTHELOT

filtration d'anneau exhaustive, dont le gradué associé est commutatif et nœthérien, carengendré comme B-algèbre par les classes des Q [ ' , k < p^, et par celle de T ' . Par suite,g ï D ' / p a g 1 [ • D / est lui-même nœthérien, ainsi donc que g ï D ' .
On déduit alors de 3.6.1 et 3.6.4 :COROLLAIRE 4.3.6. - Sous les hypothèses de 4.2.5, le faisceau V^ (^Z)q est un faisceaud'anneaux cohérent à gauche et à droite. Les V\ (^ Z)q-modules cohérents vérifient lesthorèmes A et B.

4.3.7. Sous les hypothèses de 4.2.3, les homomorphismes Ox —^ Bx (Z^ r) sontdes isomorphismes en dehors de Z. Il en est donc de même des homomorphismesT^y -^ Bx{Z, r) (g) T>y pour p^^r, et, sous les hypothèses de 4.2.4, deshomomorphismes Ox -> B ^ ( Z , r), Ox -^ Ox ( + ^), V^ -^ B^ (Z, r)èî)^\T)\ —> V\ ( ^ Z ) . Par adjonction, on en déduit notamment des homomorphismes canoniques(4.3.7.1)

Ox^Z)^^Oy,(4.3.7.2)

V\,^Z)^j^V^

Nous allons montrer que, après tensorisation par Q, ils sont fidèlement plats.
LEMME 4.3.8. - Soient X un espace topologique, A—^Bun homomorphisme de faisceauxd'anneaux sur X. On suppose qu'il existe une base 33 d'ouverts de X telle que, pour tout
U ç 23, F (U, B) soit un F (U, A)-module à droite fidèlement plat. Alors, pour tout x e X,
Bx est un Ax-module à droite fidèlement plat.
D'après le lemme 3.3.5, il suffit de montrer que, si M est un Ac-module à gauche
monogène de présentation finie tel que Bx <^A^ M = 0, alors M = 0. Il existe un
ouvert U e %, et un F (U^ A) -module monogène de présentation finie Mjj tels que
M ^ Ax ^rçu,A) Mu. Comme l i m ^ ^ r ^ , B) <^rçu,A) Mu = 0, et que Mu est
monogène, il existe U' e 03, avec x e U\ tel que F {U1\ B)<^r (u. A) Mu = 0. L'hypothèse
entraîne alors que r(L 77 , A) 0r(£/,A) Mu = 0, d'où M = 0.
Nous dirons que A —^ B est fidèlement plat à droite si, pour tout x ç X, Bx est
fidèlement plat à droite sur Ar. Il est équivalent de demander que B soit plat à droite surA, et que pour tout ^4-module à gauche .M, la relation BÇ^A -^ = 0 entraîne que A4 = 0.
LEMME 4.3.9. - Soient X —^ S un morphisme lisse entre schémas de caractéristique p,
et f ç F (X, Ox). Si r est multiple de j/^2, et si B (/, r) = Ox P1/(.T T) est muni
de la structure de V^ -module définie en 4.2.1, la section T ^ 1 appartient au centre dufaisceau d'anneaux B(f, r) 0 P^ .

D'après (2.3.5.1), il suffit de montrer que, pour tout fc, on a 9^ T = 0. Grâce à ladéfinition de la structure de V^ -module de 0(/, r) en termes de m-PD-stratification,il est équivalent de montrer (avec les notations de 4.2.1) que En (^2) = Ti, soit encore
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P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

263

que (^m) (ti, ^2) est divisible par p lorsque r = ap^2. Dans ce cas, on peut écriredans Z(p) [ti] (^2 - ^i)(m) '•^m) (tl, t2) = t'2 - t[ = ((ff^T - tï = ((^m+l +P^l (^ ^2))T - t[
= (tf^ +^^1. t^-t^p^^ t2),d'où le résultat puisque Z(p) [^i] (t2 - ^i)(m) est sans ^-torsion.
THÉORÈME 4.3.10. - Avec les notations de 4.3.7, on a :(i) Les homomorphismes (4.3.7.1) et (4.3.7.2) sont injectifs et plats à droite et à gauche.
(ii) Les homomorphismes(4.3.10.1)

Ox^Z^-^j.Oy^(4.3.10.2)

Pt,(tZ)Q-.j*^Q,sont fidèlement plats à droite et à gauche.
L'injectivité de (4.3.7.1) résulte de 4.3.3 (ii), et celle de (4.3.7.2) s'en déduit en
utilisant des coordonnées locales. Si U = Spî A est un ouvert affine, rhomomorphisme
F (U, B^ (Z))f -^ Af est un isomorphisme, de sorte que Af est plat sur
F {U, B^ (Z)). Ces anneaux étant nœthériens, il en résulte en passant aux complémentés
que A{f} est plat sur F {U, B^ (Z)). On en déduit la platitude de (4.3.7.1) par passage
à la limite inductive pour m variable. Celle de (4.3.7.2) se voit par le même argument.
Montrons la fidèle platitude de (4.3.10.2), celle de (4.3.10.1) pouvant se prouver
par le même argument, ou en invoquant les résultats sur les complétions faibles. Par
3.3.5 et 4.3.8, il suffit de montrer que si U est un ouvert affine sur lequel il existef ç T(U, Ox) relevant une équation locale de Z, et M un Y(U, V^ (^ Z)q)-module
monogène de présentation finie tel que F {U H Y, P^ ^) (g) M = 0, alors M = 0. Comme
T(U, V\ (tZ)^) = lim^^W ^ m/) (Z)êP^Q), on peut trouver m' > m, et un
F {U, B^^ (Z) ê P^îp-module monogène de présentation finie M' tel que M proviennede M' par extension' des scalaires. De même, quitte à augmenter m et m', on peut
supposer que F {U H Y, V^) 0 M' = 0.
Posons Dm' = r(Z^ êy\Z)§V^\ D' = r ( U F } y ^ P^), et choisissons un
Dm' -module monogène sans torsion E tel que M^ Eq. Par le même argument que
précédemment, D' est plat sur Dm', de sorte que î)' (g) E est également sans torsion, etpar conséquent est nul. Si Eo = E / p E , on voit ainsi que (Eo)/ = 0. Soit e un générateurde E. Il existe alors s G N et R elL/ tels que (f8 - p R) e = 0. Quitte à augmenter m',on peut supposer s < p771^1, de sorte que, en notant B^ (Z) = Ox {T}/^ +1 T -P}^cette relation peut se mettre sous la forme /s (1 -TR') e = 0. Puisque E est sans p-torsion,il est a fortiori sans /-torsion, si bien que l'on a en fait (1 - TR'} e = 0. On en déduit
que (1 - TR'Ye = 0. L'opérateur (1 - TR'Y est de la forme 1 + p S + {-TR'Y.
On peut supposer que m' > m + 1, ce qui d'après 4.3.9 assure que, modulo p,
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264

P. BERTHELOT

T appartient au centre de D ^ / p D m ' , et permet d'écrire (1 - TR'Y sous la forme
1 + p S ' + T P R " . L'homomorphisme Dm' ->Ôm/+i envoie T sur /(P-1)^4"1 T\ donc
TP sur f^-^P^T'P = p/(p-2)p m + 2 ^^-l. par conséquent, l'opérateur (1 - T^s'écrit sous la forme 1 -\- pQ dans Dm'-^-i- Comme cet anneau est j?-adiquement complet,(1 — TR'Y y est inversible, ce qui entraîne que Dm'^i ^ E = 0, donc que M = 0.
COROLLAIRE 4.3.11. - L'homomorphisme T)\ ^ —> T)\ (^Z)q est plat à droite et à gauche.
Il résulte de 3.3.4 (ii) par passage à la limite sur m que l'homomorphismeî^q, -^ J*^,q> est P^1 à droite et à gauche. La fidélité platitude de j* T)y g sur
PJ^ ( + Z)(Q entraîne alors l'énoncé.
PROPOSITION 4.3.12. - (i) Pour tout î>^ (^Z)q-module cohérent M, l'homomorphisme
canonique(4.3.12.1)^^,Q^(tz), M^j.fM

est un isomorphisme.
(ii) Pour qu'un î^ ( + Z)q-module cohérent soit nul, il faut et suffit que sa restriction
à Y soit nulle.
La première assertion est locale, et claire si M. est un PJ^ (+.Z)q>-module libre de typefini. Si A4 est un T)\ ^Z^q-module cohérent, il possède sur tout ouvert affine U une
présentation de la forme(^ CZ)^ - (^ (tZ)^ - M\u - 0.

Comme U H Y est affine, et que les "D\ (^Q-modules cohérents vérifient le théorème B,
le foncteur j'^j* préserve l'exactitude de cette suite, d'où l'assertion dans le cas général.
La deuxième assertion en résulte grâce à la pleine fidélité de j^ "D'y ç, sur T>\ (^Z)q.
4.4. Cas des isocristaux surconvergents
Nous allons maintenant utiliser les résultats des sections précédentes pour donnerune description de la catégorie des isocristaux surconvergents sur Y en termes deT)\ ( ^ Z ) q -modules analogue à 4.1.4.
4.4.1. Nous gardons les hypothèses et les notations de 4.2.4 et 4.3.1. Rappelons que, si
E est un j^ O^K -module cohérent (resp. localement libre de rang fini), il existe Ao < 1.
et un O^K -module cohérent (resp. localement libre de rang fini) EQ sur U\^, tel que
E ^ j^ EQ. De même, si E est muni d'une connexion intégrable V, il existe (en augmentantéventuellement Ào) une connexion intégrable Vo sur EQ telle que V = j^ (Vo). On dit que(E, V) est surconvergente le long de Z si elle vérifie la condition suivante [5, 2.2.13] :pour tout ouvert affine U C X tel qu'il existe / ç F (ZY, 0^} relevant une équation deZ, et muni de coordonnées locales ^i, . . . , td définissant une base de dérivations <9^, ettout T] < 1, il existe A^ < 1 tel que l'on ait, pour tout À tel que Ay, < À < 1, et toute G r ( Z 4 n ^ Eo),

(4.4.1.1)H^ e ||^1 -^ 0

4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

pour|fc| -^ oo,

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

265

en désignant par || — || une norme de Banach sur T (UK H U\^ Eo) ; par continuité, ilrésulte de la formule de Leibnitz que la propriété (4.4.1.1) est alors satisfaite avec la mêmeconstante Ay, pour toute section e ç F(^ H L^, Eo), lorsque U' est un ouvert affine
contenu dans U. La catégorie des isocristaux sur Y, surconvergents le long de Z, peutalors être décrite comme la catégorie des j^ 0^^ -modules localement libres de rang fini,munis d'une connexion intégrable, et surconvergente le long de Z.
PROPOSITION 4.4.2. - Pour tout m > 0, soient \m = p'1/^ , Um = U\^, jral'inclusion de Um dans XK' Le fondeur sp^ o j^ (resp. sp^) induit une équivalence entre
la catégorie des Ou^-modules (resp. j ^ 0^^-modules) cohérents et celle des B^ (Z)qmodules (resp. 0^ (^ Z)q-modules) cohérents. Cette équivalence fait correspondre lesmodules localement libres de type fini aux modules localement projectifs de type fini, ets'étend aux modules munis d'une connexion intégrable.

D'après 4.3.2, on a sp^ o jm^Ou^ ^^\ (^)<Q- Vérifier que, si E est cohérent
sur Ou^, sp^ o jm^E l'est sur B^ÇZ)^ et qu'on obtient ainsi une équivalence decatégories, est une question locale sur X, de sorte qu'on peut supposer X affine, etZ défini par / e r(^t\ 0 ^ ) ' Comme, pour tout ouvert affinoïde V de XK, l'ouvert
V H Um = {x £ V\ \f (x)\ > \m} est affinoïde, on déduit des théorèmes de Kiehl que
Jm* ^Urrz est un faisceau d'anneaux cohérent, que jrn^ établit une équivalence entre lacatégorie des 0\j^ -modules cohérents et celle des jm^ ^Urrz -modules cohérents, et que, surtout ouvert affinoïde de XK, les théorèmes A et B sont valables pour les jm^ ^Urrz -modules
cohérents. Comme, pour tout ouvert affine U C X, sp~1 (U} == UK est affinoïde, onvoit que le foncteur sp^ est exact sur la catégorie des jm^ Ou^ -modules cohérents, eton déduit alors du théorème A l'assertion de l'énoncé pour les modules sans connexion,
ainsi que l'assertion relative aux modules localement libres de rang fini. Pour étendre
cette équivalence aux modules à connexion intégrable, il suffit d'observer qu'elle s'étend
aux jm^ 0^-algèbres commutatives qui sont cohérentes en tant que jrn* 0^-modules,
ainsi qu'aux modules cohérents sur celles-ci, et d'utiliser la description des connexions
intégrables en termes de stratifications.
Puisque XK est quasi-compact et séparé, on peut appliquer les résultats de 3.6 au faisceauj^ O^K = I1111 m Jm* ^Urrz sur ^K- De plus, le foncteur sp^ commute aux limites inductives
filtrantes, car l'image inverse par sp d'un ouvert affine est un ouvert affinoïde. On peutalors déduire par passage à la limite l'énoncé relatif aux 0^ (^Z)q-modules cohérents del'énoncé relatif aux B\- (Z)Q-modules cohérents.
PROPOSITION 4.4.3. - Soient E un isocristal sur Y, surconvergent le long de Z, et£ = sp^ E. Il existe sur £ une structure canonique de T>\ (^Z)q-module, induisant lastructure de T)\ ^-module définie en [4, 4.1.5], et fonctorielle en E.
Par recollement, il suffit de considérer les sections sur un ouvert affine U C X, muni
d'un système de coordonnées locales définissant des dérivations <9i, . . . , c^, et tel que
Z nU soit défini par / ç T{U, 0^). Notons V la connexion de E, \m = p"17^1,
Um = U\^, et soit mo tel qu'il existe un 0^ -module cohérent Eo sur U^o, muni d'uneconnexion intégrable et surconvergente Vo, et un isomorphisme (E, V) ^ j^ ÇEo, Vo).
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266

P. BERTHELOT

Pour tout m, posons

B^ = F(^ n^, o^) ^ r(^ B^ (z)q),M^) = Y(Um n^, ^o) ^ B^ 0^0) M^0),de sorte que F (^, sp^ £;) ^ lim^ M^). Soit P ç F (U, 2^) (^o) ; il existe m > mo
tel que P s'écrive P = ^ a^c?^^, où a^ ç ^ m ), et a^ ^ 0 pour |fc| -^ oo. Avec les
fc

notations de 2.4.3, choisissons T] < 1 tel qu'il existe c G IR pour lequel Iç^!] < cr^l pour
tout k. La condition de surconvergence de V entraîne qu'il existe no > m tel que l'onait 119^ e||^l -» 0 pour tout n > no et tout e e M^, la norme étant prise dans M^.
On obtient alorsKÔ^ e|| = K^!^ e|| ^ c||a,|| ||^ e|| ^^1 ^ 0,

et on peut définir P • e comme l'image dans F (U^ sp^ E) de la somme de la série de terme
général a^Q_^ e, qui converge dans M^\ II est clair que cela ne dépend pas des (Aoix
faits, et munit F (U, sp^ E) d'une structure de Y (U, P^ (^o) -module qui induit la
structure de F (^, P^^)-module de [4, 4.1.5]. Tout morphisme horizontal E —> E ' induit
un morphisme F (U, B^ (Z)q) -linéaire F (U, sp^ E) —> F (ZY, sp^ £') qui commute auxdérivations c^, et la construction précédente permet d'en déduire par continuité qu'il est
T(U, V^ (IZ^-linéaire.
4.4.4. Pour caractériser les V^ (+^)Q-modules qui proviennent d'un isocristal
surconvergent, nous aurons besoin d'étendre les définitions de 4.1.1 sur la topologie
du module des sections d'un P^o-module cohérent. Soit U un ouvert affine de X.
Pour tout n G N, l'algèbre B = T(U, B^ (Z)) est naturellement munie de la
topologie p-adique, qui définit la topologie p-adique de T(U, B^ (Z)q) ^ Bq. La
topologie obtenue sur cette algèbre est une topologie de Banach, car B est une algèbre
topologiquement de type fini, et Bq peut donc être munie d'une norme de Banach qui
définit sa topologie. De même, s'il existe un système de coordonnées locales sur U, tout
opérateur P G F (U, B^ (Z) 0^^), avec n > m, peut s'écrire de manière unique
P = ^^bf^O^, où les bk G Bq tendent vers 0 pour |fc| -^ oo, et, une fois choisie uneknorme de Banach sur BQ, on munit l'algèbre D = F (U, B^ (Z)êP^q) (rune "ormede Banach définissant sa topologie p-adique en posant ||P|| = sup^, ||6/c||- Enfin, si £ est
un êy (Z)q-module (resp. un B^ (Z) 0 î)^ -module) cohérent, E = F (U, £) est un
module de type fini sur Bq (resp. Dq) d'après le théorème A, et on munit E d'une norme
de Banach en prenant la norme quotient définie par une présentation finie quelconque ;comme Bq (resp. Dq) est une algèbre de Banach nœthérienne, les normes définies pardeux présentations sont équivalentes. On vérifie encore comme en 4.1.1 qu'un changement
de coordonnées locales remplace les normes considérées par des normes équivalentes.
THÉORÈME 4.4.5. - Lefoncteur sp^ induit un fondeur pleinement fidèle de la catégorie desisocristaux sur Y, surconvergents le long de Z, dans la catégorie des PJ^ ( t ' Z) ^-modules.
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

267

Son image essentielle est formée des T>\ (^ Z)q-modules £ pour lesquels il existe un entier
no, et un B'^ (Z)q-module cohérent £o, muni d'un isomorphisme(4.4.5.1)

limn>no ^) (z) ^ <?o ^ <?,et vérifiant la condition suivante :(4.4.5.2) Pour tout m G N, il existe un entier rira > niax (nyn-i? ^). et une structure de(^m) (Z) (^V^^-module sur B^ (Z) (g) £o, telle que les homomorphismesy?(^m) / 7\ ^ e'K^m+l) ( '7\ ^ Ç1
U^
\ / J ) W CQ ——> D^\ / J ) Ç9 CQ

soient (B^ (Z) ê V^^-linéaires, et l 'isomorphisme (4.4.5.1) î^ ( t Z)q-linéaire.
Gardons les notations de 4.4.2 et 4.4.3. Grâce à 4.4.2, le foncteur sp^ est pleinement fidèle,
car tout morphisme V]v(^Z)q-\mésnre est a fortiori horizontal. Si (£, V) est un isocristal
sur Y, surconvergent le long de Z, il existe no. et un 0^^ -module cohérent EQ sur Uno,muni d'une connexion intégrable et surconvergente Vo, tel que (E, V) ^ j^ (EQ^ Vo).
Si l'on pose <?o = sp^ o JQ^ EQ, le B'^ (Z)Q-module £0 est cohérent grâce à 4.4.2. Soit
U C X un ouvert affine sur lequel il existe des coordonnées locales. La démonstration
de 4.4.3 montre que, pour tout m, il existe n > m tel que r (U^ By (Z) 0 £o) possède
une structure canonique de T(U^ B^ (Z) (g) V ^ o ) -module. De plus, d'après 4.4.1, on
peut garder le même entier n lorsqu'on remplace U par un ouvert affine U' C U. La
condition (4.4.5.2) en résulte.
Réciproquement, si £ vérifie les conditions de l'énoncé, il existe sur Uno un moduleà connexion intégrable £'0 tel que £o ^ sp^ £'0. Soit U un ouvert affine de X. D'après
4.1.2, l'action de F (U, B^ (Z) § P^) sur M^ = F (U, B^ (Z) 0<?o) est continue
pour sa topologie de B^^ -module de type fini. Par suite, pour toute section e e M^^,
l'ensemble des éléments c^^) 0 e est borné dans M^"^, ce qui entraîne comme en
4.1.4 la surconvergence de la connexion de Eo.
En général, nous identifierons implicitement la catégorie des isocristaux surconvergentsle long de Z à son image esssentielle dans la catégorie des V\ (^^ -modules. Nous
terminerons en montrant qu'un isocristal surconvergent le long de Z est cohérent surT)\ (^^«Oi- Pour cela, nous aurons besoin de quelques préliminaires.
DÉFINITION 4.4.6. - Soient U un ouvert affine de X sur lequel il existe un système decoordonnées locales, n > m deux entiers, P^ = T{U, B^ (Z) ê?^^), E un Démodule de type fini. On dira que E est topologiquement niipotent si, pour tout e G £',9^ e —^ 0 pour la topologie de Banach définie en 4.4.4. Si E est un modèle entier de E,00

et si Ei est la réduction de E module m^1, il revient au même de dire que, pour tout0%, Ei est quasi-niipotent, donc niipotent d'après 2.3.7 ; on voit ainsi que cette condition
ne dépend pas des coordonnées.
Si la structure de ^ vn) -module de E est induite par une structure de D ' ~ ^ 1 ^-module(avec n > m + 1), alors E est topologiquement niipotent. En effet, E est aussi de type fini
sur D ' ^ ' . Le lemme 4.1.2 entraîne que les topologies définies par ces deux structuresde modules sont les mêmes. Or les éléments 9^k^m+l) forment une famille bornée de
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

268

P. BERTHELOT\ donc les c? u ( m + l ) e forment une famille bornée de E. L'assertion découle alors

D^

(k}

(k}

de ce que 9, (m) = (çi/ç 7 !) 9, (m+l), avec k = p^ q + r = j/7^1) g' 4- r', 0 < r < j^,0 ^ r' < j/^1, et g!/V! -^ 0.

Soit £ un ^ ) (Z) 0 Î^Q-module. On dira que £ est topologiquement niipotent s'il
existe une base d'ouverts affines possédant un système de coordonnées locales, telleque pour tout U e 23, F(^, <?) soit de type fini sur T{U, ^) (Z) ê-D^), et soit
topologiquement niipotent.
La condition de niipotence permet d'améliorer les résultats de [39, 7.3] et [4, 3.1.2]
sur l'existence de modèles entiers 0^-cohérents et stables sous l'action de D^ pourles isocristaux convergents.
PROPOSITION 4.4.7. - Soient m < n deux entiers, V = ^^(Z)^?^, et £ un
'Dq-module, cohérent sur Ky (Z)q, et topologiquement niipotent. Il existe alors un
V-module £, cohérent sur B'^ (Z) et sans p-torsion, et un isomorphisme V-linéaire
0^<?Q——^<?.

On suppose d'abord que X est un ouvert affine, muni de coordonnées locales,
sur lequel la condition de niipotence de 4.4.6 est remplie ; soient A = F (^ 0^),X, = SpecA/m^A, P, = F (X^ Px,(m)), B = T{X, B^ (Z)), D = F(^, P),
E = r(A\ S). On pose
P'=lim,B0APz.

^^/ \Comme £ est cohérent sur D y 7 (Z)q, E est un Bq-module de type fini ; soit E ' C E un
sous-B-module de type fini tel que E^ = E. Par ailleurs, P^ est libre sur A/m^ 1 A, debase les sections r^^. Il résulte alors de 3.2.4 que Ef 0a Pf est séparé et complet pourla topologie p-adique. L'hypothèse de niipotence entraîne que, pour tout e ç E, la famille(œ^ e)^ tend vers 0 pour la topologie de D^ -module de E, donc pour sa topologie de
Bq-module d'après 4.1.2. Comme celle-ci n'est autre que celle que définit la topologie
p-adique de E ' , la famille (0^ e^r,^)^ tend vers 0 dans E 0a P1 • On peut donc définir
une application 0 : E —> E (g) a Pf en posant0(e)=^9<fc)e0r{fe}.
kGrâce à la m-PD-stratification des B^ (Z), on a P' c^ lim.P, (g)A J3, ce qui donne
une seconde structure de B-module sur P ' par multiplication à droite. On vérifie alors
facilement que 0 est 5-linéaire pour cette structure de B-module sur P ' .
00

On pose alors E = 0~1 {E' 0^ P'), et on voit comme en [4, 3.1.2] que E est un
0

sous-B-module de type fini de E, stable sous l'action de D, et tel que Eq c^ E. Le
^/

\

0

0

By (Z)-module cohérent £ défini par E possède alors les propriétés requises.
Enfin, on passe du cas affine au cas général en raisonnant comme en 3.4.3.
COROLLAIRE 4.4.8. - Supposons vérifiées les hypothèses de 4.4.7. Alors :(i) £ est cohérent sur B^ (Z) §2%^ ;4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

269(il) Pour tout n' > n, Vhoniomorphisme canonique(4.4.8.1)^\Z}^^£^{^\Z^Vy^®^^^ £est un isomorphisme.
L'assertion (ii) entraîne donc que B^ ^ (Z) 0^n)
/ ^ £ possède une structure canonique0x \^)de (^/) (Z) §P^Q)-module compatible à sa structure de B^ (Z)Q-module, etprolongeant la structure de (0^ (Z) 0 V^ y-module de £.
Pour tout ouvert affine U C X, posons Bu = F (U, B^ (Z)), B'u = F (U, B^'^ (Z)),
Du = F (U, êy (Z) § P^), Du = F (^, B^ (Z) § P^). Comme <? est cohérent sur
B^ (Z)q, r {U^ £) est de type fini sur Bu, q> donc sur Du, <Q. Pour montrer (i), il suffit donc
d'après le théorème A de montrer que, pour tout ouvert affine U' C U, l'homomorphisme
canonique Du' ®Du r(^/, £) —^ ^(Z^ / , £) est un isomorphisme. D'après 4.4.7, il existe
un êy (Z)-module cohérent £ muni d'une structure compatible de (B^ (^êî^)0module tel que £ c^ £q, si bien qu'il suffit de prouver que l'homomorphisme analogue0
pour £ est un isomorphisme. La source et le but étant de type fini sur Du, ils sont00complets, ce qui ramène à montrer la même assertion pour les £ /m^+l£. II résulte alorsde 2.3.6 et de la remarque (iii) de 2.3.5 que les homomorphismes
BU^ 0a^ r(^, £/m^1 £) -^ Du^ 0D^ T(U^ ^/m^1 £),où les indices Ui et V[ désignent les sections des réductions module m1'^1, sont desisomorphismes, d'où l'assertion.
On voit de même que les homomorphismes
B'^ 0a^ r(^ f/m^ 1 £) -^ D'^ 0^ T(U^ ê/m^1 £)sont des isomorphismes, ce qui entraîne l'assertion (ii).
PROPOSITION 4.4.9. - Soit £ un ^ (Z) ^V^-module, cohérent sur B^ (Z). Alorsl'homomorphisme canonique(4.4.9.1)£ -. (^") (Z)®?^) ^^^y £est un isomorphisme.
Il suffit de reprendre la démonstration de [4, 3.1.3] en remplaçant 0^ par B\ (Z).
COROLLAIRE 4.4.10. - Sous les hypothèses de 4.4.7, l'homomorphisme canonique(4.4.10.1)£ -. (é^ (Z) ® -D^) 0^, (z)^', £est un isomorphisme pour tout m' < m.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

270

P. BERTHELOT

Pour tout m' < m, posons P'^ =8^ (Z) (g)?^, ^ m/ ) = B^ (Z) êP^.
D'après 4.4.7, <f possède un modèle entier f qui est un P'^-module fî^ (Z)-cohérent. En
tensorisant par Q les isomorphismes (4.4.9.1) pour m' < m, on obtient les isomorphismesc~;^^f{'m'} ^>^ -> ^Qc ~ ^r^C772') ^^p^) £ -^^q<-•^p(-) <^

dont le corollaire résulte puisque Pg^ ) = V^.
COROLLAIRE 4.4.11. - Sous les hypothèses de 4.4.5, soient E un isocristal sur Y,
surconvergent le long de Z, £ = sp^ E le T)\ (^Z)q-module correspondant, £o un
By (Z)q-module cohérent vérifiant la condition (4.4.5.2) pour une suite d'entiers (n^),^(m) ^ B^171) ÇZ) 0g<^o)£o. Pour tout m, l'homomorphisme canonique^TO+1) -. (^m+l) (z)®^"1)) 0^)^g^) ew(4.4.H.D
est un isomorphisme.

La condition (4.4.5.2) entraîne que, pour tout m > 0, le (B^^0 (Z) êV^q) -module^(m+i) çg^ topologiquement niipotent. On en déduit successivement grâce à 4.4.10 et 4.4.8
que les homomorphismes
6(rÏ^^^ ( 7\(9)T)^\ (<^^,
c(m+l)b^(m+l) ^(^W^^x ^ 0 ê<;-+l)(z)§p^c(m+l)0/ ^ ( n ^ + i ) / y x „ ^(0)\-> ^X\L}^UX )^^\Z^Î^^(i)csont des isomorphismes, d'où le corollaire.
THÉORÈME 4.4.12. - Soient E un isocristal sur Y, surconvergent le long de Z, et£ = sp^ E. Alors £ est cohérent sur V\ ( + ^)(Q.
Soient <?o un B^^ (Z)q,-module cohérent vérifiant la condition (4.4.5.2) pour <?,(rim) une suite d'entiers correspondante, ^ (m) = Z?^770 (Z) (g)g<no) ^^ fo. Comme^(1) est un (B^^ (Z)§T>^Q)-module topologiquement niipotent, il est cohérent sur^(^êP^Q d'après 4.4.8. Si(^nl) (Z) 0 P^Q)5 -. (^1) (Z) g %^) ^ £( 1 ) ^ 0

est une présentation locale de £çl\ on en déduit grâce au corollaire précédent lesprésentations(^nm+l) (z) ê vp^Y -^ (^nm+l) (z) § vp^Y -. f(m+l) ^ o,qui fournissent une présentation analogue de £ sur "D\ (^Z)q par passage à la limite
inductive pour m variable.
Remarque. - Sous les hypothèses du théorème, il n'est par contre pas toujours vraique £ soit cohérent sur V\^. En effet, nous montrerons dans [7] que, lorsque X est
4e SÉRIE - TOME 29 - 1996 - N° 2

P-MODULES ARITHMÉTIQUES 1

271

propre, la cohomologie de de Rham d'un V\ g-module cohérent est de type fini sur K.
Or, si £ = sp^ E, la cohomologie de de Rham de £ s'identifie à la cohomologie rigide
de E, d'après [4, 3.2.3 et 4.1.7]. Si l'on prend V = Z(p), X = P^;, Y = Grnk, et si
E est F isocristal surconvergent sur Y défini par j^0^^, muni de la connexion V telleque V (1) = (o^) ai, où a ç Z(p) est un nombre de Liouville, la cohomologie rigide deE est donnée par l'action de V sur l'espace des fonctions analytiques sur une couronne
de la forme 1 — e < \t\ < 1 + £, avec e > 0 variable, et il est classique que son H1
est de dimension infinie.
Il y a donc lieu de considérer que la cohérence sur î^ q est une condition de finitude
supplémentaire à imposer aux isocristaux surconvergents. Par contre, il semble raisonnablede conjecturer que tout F-isocristal surconvergent est cohérent sur V\ g, l'existence d'une
action de Frobenius éliminant les difficultés liées aux nombres de Liouville.

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Pierre BERTHELOT
IRMAR, Université de Rennes

Campus de Beaulieu,
35042 Rennes Cedex, France

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