東海大学紀要情報通信学部
Vol.14,No.1,2021,pp.10-16
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx, 20xx, pp.xxx-xxx

トピックス

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大学初年次における数学教材の提案（その 35）～ 数論的関数 ～貴田 研司*1

A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.35~ Number-Theoretic Function ~byKenshi KIDA*1( received on May. 28, 2021 & accepted on Aug. 3, 2021 )あらまし（整）数論的関数，その中でも特にオイラーの関数とメービウスの関数を取り上げる．この 2 つの関数の基本的な性質と，それらの応用として導かれる整数論の定理について述べる．

Abstract
In this paper, we give explanation of number-theoretic functions. We present specially the Euler function and the Möbius function.
Furthermore, we present several applications to number theory.
キーワード：数論的関数，オイラー関数，フェルマーの定理，メービウスの関数，ウイルソンの定理，メービウスの反転公式
Keywords: Number-Theoretic Function, Euler Function, Fermat’s Theorem, Möbius Function, Wilson’s Theorem, Möbius Inversion Formula

1. はじめに整数全体からなる集合ℤの部分集合の上で定義された実数値，または複素数値の関数を（整）数論的関数という．本論文においては，オイラーの関数とメービウスの関数について述べる．さらに，フェルマーの定理，オイラーの定理，ウイルソンの定理についても言及する．オイラーの関数𝜑𝜑(𝑛𝑛)の特徴を証明するにあたって
メービウス（Möbius）の反転公式

𝐹𝐹 (𝑛𝑛) � � 𝑓𝑓(𝑑𝑑 )であるならば���𝑓𝑓(𝑛𝑛) � � � ����𝑛𝑛𝑛� 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 .
𝑑𝑑𝑑が重要な役割を演じることにも注目されたい．
本論文の執筆にあたって，高木貞二「初等整数論講義

第 2 版」1)と増田真郎「応用のための代数系入門」2)が大いに役に立った．その他にも多くの好著を参考にさせていただいた 3)4)5)6)7)．

*1 スチューデントアチーブメントセンター（高輪教養教育センター） 教授
Student Achievement Center(Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus)，Professor―
1 −―− 10

貴田研司

ヘッダー

2 . オ イ ラ ーの 関 数
今、整数𝑛𝑛で割ったときの余りが𝑟𝑟 であるような整数の全体を𝐶𝐶� で表せば

ℤ = 𝐶𝐶� ∪ 𝐶𝐶� ∪ ⋯ ∪ 𝐶𝐶��� ,となる．各𝐶𝐶� を𝑛𝑛 を法とする剰余類と呼ぶ．

𝐶𝐶� ∩ 𝐶𝐶� = 𝜙𝜙𝜙𝜙(𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖)ℤにおいて，𝑚𝑚 を法とする剰余類𝐶𝐶� , 𝐶𝐶� , ⋯ , 𝐶𝐶��� のうち(𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘) = 1となる𝐶𝐶� を既約剰余類と呼び，その個数を𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑 で表して，これをオイラー（Euler）の関数という．
次のことが知られている．

定理 2.1𝑝𝑝を素数とする．

(1) 𝑒𝑒を正の整数とすると，𝜑𝜑(𝑝𝑝� ) = 𝑝𝑝� − 𝑝𝑝��� = 𝑝𝑝��� (𝑝𝑝 𝑝𝑝).
特に，𝑒𝑒 𝑒𝑒のとき𝜑𝜑(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝(2) (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) = 1のとき，𝜑𝜑(𝑚𝑚𝑚𝑚) = 𝜑𝜑(𝑚𝑚)𝜑𝜑 (𝑛𝑛).

(3) 正の整数𝑛𝑛の素因子分解が𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛� �� 𝑝𝑝� �� ⋯ 𝑝𝑝� �� ならば𝜑𝜑(𝑛𝑛) = 𝑛𝑛 �1 −（(3)の証明）111� �1 −� ⋯ �1 −
�.
𝑝𝑝�
𝑝𝑝�
𝑝𝑝�

𝑝𝑝� �� , 𝑝𝑝� �� , ⋯ , 𝑝𝑝� �� はどの 2 つをとっても互いに素だから，(2)により𝜑𝜑(𝑛𝑛) = 𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� 𝑝𝑝� �� ⋯ 𝑝𝑝� �� )= 𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� )𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� ⋯ 𝑝𝑝� �� )= 𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� )𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� )𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� ⋯ 𝑝𝑝� �� )= ⋯⋯⋯= 𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� )𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� ) ⋯ 𝜑𝜑(𝑝𝑝� �� )さらに(1)を用いると= (𝑝𝑝� �� − 𝑝𝑝� �� �� )(𝑝𝑝� �� − 𝑝𝑝� �� �� ) ⋯ (𝑝𝑝� �� − 𝑝𝑝� �� �� )= 𝑝𝑝� �� 𝑝𝑝� �� ⋯ 𝑝𝑝� �� �1 −= 𝑛𝑛 �1 −111
� �1 −� ⋯ �1 −
�𝑝𝑝�
𝑝𝑝�
𝑝𝑝�

111
� �1 −� ⋯ �1 −�𝑝𝑝�
𝑝𝑝�
𝑝𝑝�

ところで，既約剰余類の集合は乗法を演算として群をなし，𝑚𝑚を法とする既約剰余類群と呼ばれる．
例（既約剰余類群）

𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚のとき，の中で12と互いに素な整数は1,5,7,11 の 4 つだから、12を法とする既約剰余類は𝐶𝐶� , 𝐶𝐶� , 𝐶𝐶� , 𝐶𝐶��

―2 −―− 11（証明終）大学初年次における数学教材の提案（その 35）〜数論的関数〜

ヘッダー

� , 5�, 7�, 11�����と表すことにすれば，乗積表は次のようになる．
である．そこで，12を法とする既約剰余類群を�15�1�7����
�111�����
117�7�

5�1�

1�5�7�7����
�115����
�115����
�117�����
111�5�1�そして，𝑚𝑚を法とする既約剰余類群に次の定理を適用する．
定理 2.2（一般のフェルマー（Fermat）の定理）
有限群𝐺𝐺 の元𝜎𝜎 の位数は𝐺𝐺 の位数|𝐺𝐺|の約数であり𝜎𝜎 � = 1が成り立つ．

(𝑔𝑔 𝑔 |𝐺𝐺|)

位数は𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑であるから
定理 2.3（オイラーの定理）

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎を正の整数，(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) = 1とすれば
𝑎𝑎�(�) ≡ 1 (mod 𝑚𝑚)が成り立つ．

が得られる．特に，𝑚𝑚が素数 𝑝𝑝の場合を考えると𝜑𝜑(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝 𝑝 𝑝 だから
定理 2.4（フェルマーの定理）
正の整数𝑎𝑎 と素数𝑝𝑝について，(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) = 1すなわち 𝑝𝑝 𝑝 𝑝𝑝 であれば

𝑎𝑎��� ≡ 1 (mod 𝑝𝑝)が成り立つ．となる．

定理 2.4 の系（ウイルソンの定理）
素数𝑝𝑝について(𝑝𝑝 𝑝 𝑝) ! ≡ −1 (mod 𝑝𝑝)が成り立つ．
（証明）

𝑝𝑝が奇素数のとき，フェルマーの定理により，ℤ� の0�以外の元はすべて𝑥𝑥 ��� − 1�の根になる．したがって
―3 −
―− 12

貴田研司

ヘッダー

𝑥𝑥 ��� − 1� = (𝑥𝑥 𝑥𝑥�)(𝑥𝑥 𝑥 𝑥�) ⋯ (𝑥𝑥 𝑥 �������𝑥𝑥 𝑥𝑥)

� を代入すればと素因子分解される．ここで，𝑥𝑥 𝑥 𝑥�������)−1� = (−1�)(−2�) ⋯ (−𝑝𝑝𝑝𝑝−1� = (−1)��� ∙ 1� ∙ 2� ∙ ⋯ ∙ �������
𝑝𝑝𝑝𝑝−1� = 1� ∙ 2� ∙ ⋯ ∙ �������𝑝𝑝𝑝𝑝
���� = �����������(𝑝𝑝𝑝𝑝) !
−1

すなわち(𝑝𝑝𝑝𝑝) ! ≡ −1 (mod 𝑝𝑝)が得られる．

𝑝𝑝𝑝𝑝のとき，1 ≡ −1 (mod 2) は明らかに成り立つ．

（証明終）一方，𝑛𝑛の任意の約数を𝑑𝑑 とするとき，𝑛𝑛個の数1,2,3, ⋯ , 𝑛𝑛の中に(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑑𝑑 である𝑥𝑥 はいくつあるかを考える．

例えば，𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛のすべての約数𝑑𝑑 は1,3,5,15であり，15個の数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15の中に(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑑𝑑 である𝑥𝑥 はいくつあるかを考えると，次のようになる．

𝑑𝑑個数1

𝑥𝑥1,2,4,7,8,11,13,148

33,6,9,12455,10215151𝜑𝜑 �𝜑𝜑 �𝜑𝜑 �𝜑𝜑 �𝜑𝜑 �𝑛𝑛�
𝑑𝑑15
� = 𝜑𝜑(15) = 𝜑𝜑(3 ∙ 5) = 𝜑𝜑(3)𝜑𝜑(5) = (3 − 1)(5 − 1) = 8115
� = 𝜑𝜑(5) = 5 − 1 = 4315
� = 𝜑𝜑(3) = 3 − 1 = 2515
� = 𝜑𝜑(1) = 115

これについて𝜑𝜑 �15151515
� + 𝜑𝜑 �� + 𝜑𝜑 �� + 𝜑𝜑 �� = 𝜑𝜑(15) + 𝜑𝜑(5) + 𝜑𝜑(3) + 𝜑𝜑(1) = 8 + 4 + 2 + 1 = 1513515が成り立つことがわかる．

𝑛𝑛のすべての正の約数を1, 𝑑𝑑� , 𝑑𝑑� , ⋯ , 𝑑𝑑� , 𝑛𝑛とするとき
𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛,,,⋯,,𝑑𝑑� 𝑛𝑛
1 𝑑𝑑� 𝑑𝑑�

も，𝑛𝑛のすべての正の約数であることに留意して，上記のことを一般化すると，次の結果が得られる．

―4 −―− 13大学初年次における数学教材の提案（その 35）〜数論的関数〜

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定理 2.5正の整数 𝑛𝑛に対して

� �(𝑑𝑑 ) = 𝑛𝑛�|�が成り立つ．ただし，和は𝑛𝑛 のすべての正の約数𝑑𝑑 にわたることを意味する．

3. メービウスの関数

正の整数 𝑚𝑚に対して1𝜇𝜇 (𝑚𝑚) = �(−10)�

⋯⋯⋯𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚 𝑚𝑚� 𝑝𝑝� ⋯ 𝑝𝑝� (𝑝𝑝� は𝑚𝑚の相異なる素因子)𝑝𝑝� |𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑝𝑝𝑝は𝑚𝑚の素因子)によって定義される数論的関数 𝜇𝜇 (𝑚𝑚)を，メービウス（Möbius）の関数という．
例
(1)
(2)
(3)𝜇𝜇(12870) = 𝜇𝜇 (2 ∙ 3� ∙ 5 ∙ 11 ∙ 13) = 0𝜇𝜇(4641) = 𝜇𝜇(3 ∙ 7 ∙ 13 ∙ 17) = (−1)� = 1𝜇𝜇(33915) = 𝜇𝜇 (3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 17 ∙ 19) = (−1)� = −1

また，次のことが知られている．

定理 3.1(1)(2)(3)(𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚) = 1のとき，𝜇𝜇 (𝑚𝑚𝑚𝑚) = 𝜇𝜇(𝑚𝑚)𝜇𝜇 (𝑛𝑛).

𝜇𝜇 (1) = 1.

正の整数 𝑛𝑛に対して

� 𝜇𝜇(𝑑𝑑 ) = 0.
�|�定理 3.2（メービウス（Möbius）の反転公式）

𝑓𝑓(𝑛𝑛)，𝐹𝐹 (𝑛𝑛) が，正の整数に関する関数で，これらの間に関係式
𝐹𝐹 (𝑛𝑛) = � 𝑓𝑓(𝑑𝑑)�|�が成り立つならば

𝑓𝑓(𝑛𝑛) = � 𝜇𝜇 ��|�𝑛𝑛𝑛
� 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑑𝑑𝑑―5 −―− 14貴田研司

ヘッダーが成り立つ．

4. オイラーの関数𝝋𝝋(𝒏𝒏)の特徴

第 2 章で述べた定理 2.5 は，オイラーの関数𝜑𝜑(𝑛𝑛)の特徴である．𝜑𝜑(𝑛𝑛)の他には定理 2.5 の性質をもつ数論的関数は存在しない．言い換えると，数論的関数𝜓𝜓(𝑛𝑛)について，すべての正の整数に𝑛𝑛対して� 𝜓𝜓(𝑑𝑑 ) = 𝑛𝑛���であるならば，𝜓𝜓(𝑛𝑛) = 𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑である．これを証明するためにはから� 𝜓𝜓(𝑑𝑑 ) = 𝑛𝑛���𝜓𝜓(𝑛𝑛) = 𝑛𝑛 �1 −111� �1 −
� ⋯ �1 −� = 𝜑𝜑(𝑛𝑛)𝑝𝑝�𝑝𝑝�𝑝𝑝�となることを導けばよい．

ただし，𝑛𝑛の素因子分解が𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛� �� 𝑝𝑝� �� ⋯ 𝑝𝑝� ��

第 3 章で述べた，定理 3.2（メービウス（Möbius）の反転公式）において𝐹𝐹 (𝑛𝑛) = � 𝜑𝜑(𝑑𝑑)���とおけば，𝐹𝐹 (𝑛𝑛) = 𝑛𝑛であるから𝜑𝜑(𝑛𝑛) = � 𝜇𝜇 ����が成り立つ．ここで

𝑛𝑛𝑛
� 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑

𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛
= 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑とおけば，𝑛𝑛のすべての正の約数を1, 𝑑𝑑� , 𝑑𝑑� , ⋯ , 𝑑𝑑� , 𝑛𝑛とするとき

𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛,,,⋯,,𝑑𝑑� 𝑛𝑛
1 𝑑𝑑� 𝑑𝑑�

も，𝑛𝑛のすべての正の約数である．よって，変数の置き換えを行うと𝜑𝜑(𝑛𝑛) = � 𝜇𝜇 (𝑘𝑘)���𝑝𝑝� �� ⋯ 𝑝𝑝� �� とすれば，𝜇𝜇(𝑘𝑘) = 0となるものを除いて表記すれば
𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛
𝜑𝜑(𝑛𝑛) = 𝜇𝜇 (1) ∙ + 𝜇𝜇(𝑝𝑝� ) ∙+ 𝜇𝜇 (𝑝𝑝� ) ∙+ ⋯ + 𝜇𝜇 (𝑝𝑝� ) ∙𝑝𝑝�
𝑝𝑝�
𝑝𝑝�
1
𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑛+𝜇𝜇(𝑝𝑝� 𝑝𝑝� ) ∙+ 𝜇𝜇 (𝑝𝑝� 𝑝𝑝� ) ∙+ ⋯ + 𝜇𝜇(𝑝𝑝��� 𝑝𝑝� ) ∙𝑝𝑝� 𝑝𝑝�
𝑝𝑝� 𝑝𝑝�
𝑝𝑝��� 𝑝𝑝�となる．𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛�

��

𝑛𝑛𝑛
𝑘𝑘𝑘

⋯⋯⋯

+𝜇𝜇 (𝑝𝑝� 𝑝𝑝� ⋯ 𝑝𝑝� ) ∙𝑛𝑛𝑝𝑝� 𝑝𝑝� ⋯ 𝑝𝑝�

―6 −―− 15

大学初年次における数学教材の提案（その 35）〜数論的関数〜ヘッダー= 𝑛𝑛 𝑛 𝑛𝑛 �⋯⋯⋯111111
� + 𝑛𝑛 ��++ ⋯+++ ⋯+𝑝𝑝�
𝑝𝑝�
𝑝𝑝�
𝑝𝑝� 𝑝𝑝�
𝑝𝑝��� 𝑝𝑝�𝑝𝑝� 𝑝𝑝�+(−1)� ∙ 𝑛𝑛 𝑛= 𝑛𝑛 �1 −が得られる．

1𝑝𝑝� 𝑝𝑝� ⋯ 𝑝𝑝�

111
� �1 −� ⋯ �1 −
�
𝑝𝑝�
𝑝𝑝�
𝑝𝑝�

これにより次の結果が得られる．

定理 4.1
すべての正の整数𝑛𝑛の上で定義された数論的関数𝜓𝜓(𝑛𝑛)について

𝜓𝜓(𝑛𝑛) = 𝜑𝜑(𝑛𝑛)，𝑛𝑛 𝑛 𝑛であることと，任意の正の整数 𝑛𝑛に対して，𝑑𝑑 が 𝑛𝑛のすべての正の約数を動くとき� 𝜓𝜓(𝑑𝑑 ) = 𝑛𝑛
���が成り立つこととは同値である．

参考文献
1) 高木貞二「初等整数論講義第2版」共立出版，1971

2) 増田真郎「応用のための代数系入門」サイエンス社，1981
3) 服部昭「現代代数学」朝倉書店，1968
4) 横井英夫，硲野敏博共著「代数演習[新訂版]」サイエンス社，2003
5) 永尾汎「代数学」朝倉書店，1983
6) 服部昭「現代代数学演習」朝倉書店，1969
7) 浅野重初「代数学I

基礎概念・環・加群」森北出版，1973―
7 −―− 16