関東森林研究 68‑2(2017)

論 文

多地点・多時期データによる樹高曲線のモデル選択
Height-diameter model selection using multi-site and multi-temporal data
細田和男＊1・西園朋広＊1・山田祐亮＊1・高橋正義＊1・齋藤英樹＊1・佐野真琴＊1
Kazuo HOSODA＊1 , Tomohiro NISHIZONO＊1 , Yusuke YAMADA＊1 , Masayoshi TAKAHASHI＊1 , Hideki SAITO＊1 andMakoto SANO＊1＊１ 森林総合研究所 森林管理研究領域
Department of Forest Management, Forestry and Forest Products Research Institute
要旨：関東森林管理局および中部森林管理局の国有林に所在するスギ，ヒノキまたはカラマツの人工林収穫試験地
毎木調査データ 87 試験区 482 回分を用い，非線形最小二乗法あるいは通常の線形回帰によって，Henricksen 式，Stoffels式，Näslund 式，拡張相対成長式および修正ワイブル式の５種類の樹高曲線モデルへのあてはめを行った。バイアス，平均二乗誤差平方根，赤池の情報量基準に加え，回帰係数の妥当性を考慮して評価した結果，全体としては Näslund式のあてはまりが良好であるという通説の妥当性が確認された。また同時に，樹高曲線モデルによる精度の差はわずかであることも再認識された。非線形最小二乗法ではなく，直線変換後の線形回帰で代用した場合の樹高の推定バイアスは，実用上それほど大きいものではないことが明らかになった。もともと通常の線形回帰であてはめることのできる Henricksen 式は，直線変換した Näslund 式に匹敵する精度を示したことから，非線形最小二乗法が実行できない場合において，第一の選択肢になるものと考えられた。
キーワード：ヘンリクセン式・ネズルンド式・相対成長式・修正ワイブル式
Abstract: As height-diameter model, Henricksen equation, Stoffels equation, Näslund equation, extended allometric equation andmodified Weibull equation were tested using multi-site and multi-temporal data collected from 87 permanent experimental plots innational forests, Kanto and Chubu Regional Forest Offices. The fitness of five models was evaluated by mean error, RMSE andAkaike’s information criterion. The advantage of Näslund equation was acknowledged similar to previous study. And there was aslight difference of accuracy between five height-diameter models. Henricksen equation is a second accurate model after Näslund
equation and is calculable with ordinary least-square method. Thus Henricksen equation is alternative option if nonlinear leastsquares method is not available.
Key-word: Henricksen equation, Näslund equation, allometric equation, modified Weibull equation

Ⅰ はじめに線であるモデルを直線変換する方法であてはめが行われ能率がよく高精度な測高器が比較的安価に入手できるた可能性が高い。また三者とも特定の地域の，比較的少ようになって久しい。しかし実務上の毎木調査において数の事例データから得られた結果である。さらに，比較は全ての立木の樹高を実測することは稀であり，樹高を対象になった樹高曲線モデルには，森林生態学分野で多実測しなかった立木の樹高は，樹高曲線を介して胸高直用される拡張相対成長式が含まれていないなど，再検討径から推定することが多い。測樹学分野では，過去さまの余地が残されているといえる。

ざまな樹高曲線のモデルが用いられ，例えば西沢（５）本研究では，多地点で多時期に収集された同齢単純林には 19 種類，説明変数として林齢を追加したモデルをの毎木調査データを用い，非線形最小二乗法あるいは直含めると実に 25 種類もの樹高曲線式が紹介されている。

線変換によって，いくつかの代表的な樹高曲線モデルへ

これらさまざまな樹高曲線モデルの中では，Näslund 式のあてはめを行う。この結果から，RMSE や AIC などをのあてはまりが相対的にやや良好であることが知られてモデル評価基準として，各樹高曲線モデルやあてはめ方いる（３，６，４）。しかしながら，前二者の先行研究は，法の妥当性を比較検討することを目的とする。

コンピュータが普及する以前の時代のもので，本来は曲−137 −（受理日 2017 年 6 月 20 日）

(2)と(3)は以下に示す一次式それぞれ(2) ´と(3)´に変換し，Ⅱ 資料と方法通常の線形回帰を行う旧来の方法も同時に行った

１．毎木調査データ 樹高曲線のあてはめには，関東log H = log a + b log D森林管理局および中部森林管理局の国有林に所在するス/√

ギ，ヒノキまたはカラマツの人工林収穫試験地（１）の毎木調査データを用いた。収穫試験地では原則として毎(2)´=a+b(3)´

ここで各記号の意味は，式(1)〜(5)と同じである。

回全ての立木の樹高が実測されているが，樹高が抽出測

３．モデル評価基準 得られた樹高曲線の評価基準と定にとどまった調査回もあり，樹高の実測本数率が 95％して，以下の(6)〜(8)式でそれぞれ定義される平均誤差以上の調査回を解析対象とした。目的樹種以外の侵入樹

Bias，平均二乗誤差平方根 RMSE，赤池の情報量基準 AIC

種や枯死木は除外した。一方，試験地内に散見される梢を用いた。

端折れ，幹折れ被害木や被圧木は，そのような被害木やBias = ∑( ℎ − ℎ) /劣勢木が多少とも混在するのが現実の人工林であることから，生立木であれば除外せずに解析に供した。結果と(6)RMSE =∑(ℎ − ℎ) /調査本数の合計は 130,171 本である。採用した試験区のAIC =log ( ∑(ℎ − ℎ) /面積は 0.075〜0.4ha，平均 0.18ha，調査時の林齢は 5〜102

ここで，h は実測樹高，ℎは推定樹高，n は本数，p はして採用したデータセットは 87 試験区の 482 回分で，年，平均 43 年，各調査回の調査本数は 61〜939 本，平均(7))+2(8)モデルのパラメーター数である。

270 本であった。

Bias が正の場合は推定樹高が過大推定，逆に負の場合２．樹高曲線モデル 前述の 482 回分のデータセットは過小推定であることを表す。RMSE は小さいほど推定に対し，以下の５種類の代表的な樹高曲線モデルをあて精度が高いことを示す。AIC はパラメーター数を加味しはめた。

たうえで，相対的に小さいほど良好なモデルであること

H = a + b log D(1)を意味する。なお，モデル(2)´と(3)´については，それぞH=aDb(2)

れ得られた回帰係数を直線変換前のモデル(2)および(3)H = ( D / ( a + b D ) )2(3)に代入し，元の単位での樹高の推定誤差を算出した。

H = 1 / ( 1 / (a D b ) + 1 / c )(4)

H = a ( 1 – exp ( -b D c ) )(5)

Ⅲ 結果と考察
１．あてはめ方法による違い 482 回分のデータセッ

ここで H は樹高(m)，D は胸高直径(cm)，a〜c は回帰トに対し，５種類の代表的な樹高曲線をあてはめたとき係数である。の Bias および RMSE を表−１に示す。

モデル(1)〜(3)はそれぞれ Henricksen 式，Stoffels 式，Näslund 式と呼ばれ，（３，４，６）がいずれも比較検討

まず，非線形最小二乗法と直線変換による線形回帰にの対象とした，測樹学分野での代表的な樹高曲線式であよる違い，すなわちモデル(2)と(2)´，モデル(3)と(3)´の相る。モデル(2)は単純相対成長式でもある。モデル(4)は拡違に着目する。RMSE の平均は，モデル(2)と(3)ともに約張相対成長式と呼ばれ，森林生態学分野で多用されてい1.1m であり，それぞれ対応する直線変換モデル(2)´や(3)´る。モデル(5)は修正ワイブル式（８）と呼ばれる成長曲との間にも大きな違いはなかった。

線の一種であるが，樹高曲線としても用いられる（２）。

一方 Bias は，モデル(2)と(3)がそれぞれ 0.002m，-0.001m

このモデル(5)について Thomas（７）は Von Bertalanffy のと極めてゼロに近いのに対し，モデル(2)´と(3)´はそれぞ式と密接な関係があるモデルとし，モデル(4)との比較をれ-0.041m，-0.062m と，やや過小推定の傾向を示してい行っている。モデル(4)の係数 c およびモデル(5)の係数 aた。これは直線変換に伴う偏りであり，当然ながら非線は樹高の上限を表す係数である。

形最小二乗法によるほうが，データに対して，よりあて３．樹高曲線のあてはめ方法 比較する樹高曲線はいはまりのよい樹高曲線が得られるといえる。もっとも，ずれも曲線であり，モデル(1)以外は通常の線形回帰ではこの偏りは今回検討したデータの範囲では，平均で-0.1mあてはめることができない。モデル(2)〜(5)のあてはめは，以内，最悪のケースでもモデル(2)´で-0.232m，モデル(3)´

統計解析ソフトウェア R の minpack.lm パッケージに含で-0.376m であった。したがって，樹高の測定値自体の不まれる nls.lm 関数を用い，Levenberg-Marquard 法による確実性を考慮すれば，とりわけ実務上の森林調査におい非線形最小二乗法で実行した。また比較のため，モデルては大きな問題ではない，という解釈もありうる。

−138 −

関東森林研究 68‑2(2017)

２．樹高直線モデルによる違い 次に通常の線形回帰100000000であてはめ可能なモデル(1)，および非線形最小二乗法で10000000
拡張相対成長式の係数Cあてはめたモデル(2)〜(5)の差異に着目する（表−１）。
モデル(1)は通常の線形回帰で求めており，Bias はゼロである。またモデル(2)〜(5)の Bias も極めてゼロに近かった。
RMSE の比較では，モデル(4)が 1.073m で最も小さく，次いで(5)，(3)，(1)，最も RMSE が大きいのはモデル(2)で 1.100m であった。モデル(4)と(2)の差は 0.027m に過ぎ1000000
10000010000
1000100
10なかった。高田（６）は樹高曲線モデルによる精度の差1は微小であること，また梶原（３）は Henricksen 式と0Näslund 式の精度の差は極めて小さいことを指摘してい10203040

平均樹高 (m)る。本研究の結果は，多地点・多時期の豊富なデータセ
図−１．平均樹高と拡張相対成長式の係数 c との関係ットから，これらの報告を追認したものといえる。
もう一つの評価基準である AIC については，その平均

Fig.1 Relationship between mean height and parameter c of

値を比較することには意味がないので，482 の各データ

extended allometoric equation

セットにおいて，AIC が小さいほうから各モデルに１〜５位の順位付けを行い，その 482 回分の平均順位を表−Ⅳ まとめ２に示した。全体としては，平均順位が高いのはモデル

前述のように，パラメーター数の違いを加味した場合，(3)〜(5)，次いでモデル(1)，平均順位が最も低いのはモデ

５種類の樹高曲線モデルの中では，全体として Näslund

ル(2)であった。前述のとおり，RMSE の比較ではモデル式，拡張相対成長式および修正ワイブル式の３種類が高(4)や(5)がやや優位であったが，パラメーター数を加味しく評価された。平均樹高が 10m 以下の範囲では，AIC にた AIC ではモデル(3)〜(5)がほぼ同等であると評価されよる Näslund 式の評価が低くなった一方，拡張相対成長た。

式および修正ワイブル式の最大樹高を表すパラメーター

さらに，樹種や平均樹高クラスによって区分して比較が非現実的な値に収束する場合があった。また，樹高のすると（表−２），樹種別では全体と同じ傾向であった。

高い範囲では拡張相対成長式や修正ワイブル式よりも平均樹高クラス別では，10m 未満のクラスではモデル(3)Näslund 式が優位であった。

よりもモデル(4)や(5)が優位，スギの 30m 以上やヒノキ・以上の検討から，多地点・多時期のデータセットと非カラマツの 20m 以上では，モデル(4)や(5)よりもモデル線形最小二乗法の下でも，全体的にみて Näslund 式のあ(1)や(3)のほうが優位といった特徴がみられた。てはまりが良好であるという通説の妥当性が確認された。

３．回帰係数の妥当性 データセット 482 回分のうちまた同時に，高田（６）や梶原（３）が指摘した通り，12 例，本数では 26 本に過ぎないが，モデル(3)は小径木

特に実用上，樹高曲線モデルによる精度の差はわずかでに負の樹高推定値を与えるケースがあった。また，前述あることも再認識された。の通り，モデル(4)と(5)には最大樹高を示すパラメーター

非線形最小二乗法が実行できない環境において，直線があるが，非線形最小二乗法によるあてはめの結果，そ変換で代用した場合の推定バイアスは，同じく実用上そのパラメーターが非現実的な値に収束するケースが散見れほど大きいものではないことも明らかになった。表−された。すなわち，モデル(4)の回帰係数 c が 100 以上で１のモデル(1)と(2) ´との違いに着目すると，RMSE に大あったのが 59 例，モデル(5)の回帰係数 a が 100 以上で差はなく，Bias は Henricksen 式のほうが小さい。もともあったのが 34 例あった。特にモデル(4)は全体の 10%以と通常の線形回帰であてはめることのできる Henricksen

上において回帰係数 c が 50 以上であり，平均樹高が 10m

式は，非線形最小二乗法が実行できない場合において，未満の範囲を中心に c が 10 万以上の値に収束したのが第一の選択肢になるものと考えられた。

29 例あった（図−１）。これは同齢単純林の場合，若齢時は胸高直径と樹高との関係が，上に凸の飽和曲線より引用文献も直線関係に近いためではないかと推察される。

（１）細田和男・家原敏郎・鷹尾元・西園朋広・高橋與
明・石橋聡・高橋正義・古家直行・小谷英司・田中邦宏・−139 −

平田泰雅・光田靖・北原文章・近藤洋史・齋藤英樹・佐す影響．岩大演報 30：97-108

野真琴（2014）平成 18〜22 年度に調査した収穫試験地等（５）西沢正久（1972）森林測定．農林出版，東京：348pp

固定試験地の経年成長データ（収穫試験報告第 25 号）．

（６）高田和彦（1959）樹高曲線式と材積式との関係．

森林総研研報 13：225-254

日林誌 41：275-276（２）HUANG, S., TITUS, S. J. and WIENS, D. P. (1992)（７）THOMAS, S. C. (1996) Asymptotic height as a predictor

Comparison of nonlinear height-diameter functions for majorof growth and allometric characteristics in Malaysian rain forest

Alberta tree species. Can. J. For. Res. 22：1297-1304

trees, American J. Botany 83：556-566（３）梶原幹弘（1966）樹高曲線の誤差に関する実験的（８）YANG, R. C., KOZAK, A. and SMITH, J. H. G. (1978)

考察．京府大演報 10：1-14

The potential of Weibull-type functions as a flexible growth（４）國崎貴嗣・川村かの子・齋藤信人（1999）密度管curves. Can. J. For. Res. 8：424-431

理の違いがスギ人工同齢単純林の樹高曲線の形状に及ぼ
表−１．各樹高曲線モデルにおける Bias と RMSE
Table 1 Biases and RMSEs in five height-diamater models

Bias(m)モデル

RMSE(m)

平均

最大

最小

平均

最大

最小

0.000

0.000

0.000

1.090

3.252

0.041

(2)

0.002

0.032

‑0.003

1.100

3.251

0.113

(3)

‑0.001

0.016‑0.051

1.085

3.257

0.036

(4)

‑0.001

0.006‑0.021

1.073

3.2510.028

(5)

0.000

0.008

‑0.008

1.074

3.251

0.029

(2)′ ‑0.041

0.002‑0.232

1.107

3.254

0.119(3)′ ‑0.062

0.000‑0.376

1.088

3.264

0.036

(1)

(N=482)表−２．AIC のモデル別平均順位
Table 2 Average rank of Akaike's Information Criteria by five models

樹ス

種

ギ

ヒノキ

カラマツ

樹種計

平均樹高 データ
クラス セット数
全 体＜10m＜20m＜30m
≧30m
全 体
＜10m
＜20m
≧20m
全 体
＜10m
＜20m
＜30m
≧30m
クラス計

173
4558
57
13181
42100
39
128
2562
39
2482

−(1)
3.2
4.4
2.7
3.0
1.9
3.1
3.53.1
2.7
3.0
3.4
3.0
2.8
1.5
3.1

140 −

(2)
3.7
3.0
4.0
4.2
2.9
3.8
3.1
4.3
3.3
3.8
3.3
4.0
3.9
3.5
3.8

モデル(3)
2.7
3.6
2.6
2.2
2.5
2.7
4.0
2.2
2.4
2.6
3.9
2.4
2.1
1.5
2.7

(4)
2.5
2.0
2.6
2.6
3.7
2.7
2.2
2.6
3.2
2.8
2.1
2.9
3.1
4.0
2.7

(5)
2.8
2.0
3.1
2.9
3.9
2.8
2.3
2.7
3.3
2.8
2.2
2.8
3.1
4.5
2.8