ISSN 2185-5595

Vol.13 No.1 2020

ISSN 2185-5595

Vol.13 No.1 2020東海大学紀要
情報通信学部
V ol .1 3 No . 1 2 0 2 0
目次

論文
地域と連携した教育的宿泊行事に関する一考察−スクールメリットを活用して−････････････････････････････････････････････････････････････････････････北濱幹士…… 1
ベイジアンネットワークと行動生起確率による行動認識方法の提案とその評価･･････････････････････････････････････････････････････････････竹中一秀・撫中達司…… 8
帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題に対する列生成法･･････････････････････････････････････････････････････････････胡津閣・森山弘海…… 16

トピックス
大学初年次における数学教材の提案（その33）〜1階線形常微分方程式〜････････････････････････････････････････････････････････････････････････貴田研司…… 23
大学初年次における数学教材の提案（その34）〜ガロア対応の例〜････････････････････････････････････････････････････････････････････････貴田研司…… 32

PROCEEDINGSOF THESCHOOL OF INFORMATION
AND TELECOMMUNICATION ENGINEERINGTOKAI UNIVERSITYCONTENTS

Vol.13 No.1

2020

PapersOvernight Educational Field Trip in Cooperation with the Community − Taking Advantage of School Benefits −･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ Kanji KITAHAMA…

1

Proposal and Evaluation of Life Activity Recognition Method based on a Bayesian Network with Activity Occurrence Probability･････････････････････････････････････････････････････････････ Kazuhide TAKENAKA and Tatsuji MUNAKA…

8

A Column Generation Algorithm for a Selective Vehicle Routing Problem with Backhauls and Time Windows･･････････････････････････････････････････････････････････････････････ Jinge HU and Hiroumi MORIYAMA… 16
TopicsA Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol. 33〜 The Linear Ordinary Differential Equation of the First Order 〜･･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ Kenshi KIDA… 23
A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol. 34〜 Examples of the Galois Correspondence 〜･･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ Kenshi KIDA… 32

東海大学紀要情報通信学部
Vol.13,No.1,2020,pp.1-7
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx, 20xx, pp.xxx-xxx

論文

論文

地域と連携した教育的宿泊行事に関する一考察－スクールメリットを活用して－
北濱

幹士*1

Overnight Educational Field Trip in Cooperation with the Community－Taking Advantage of School Benefits－byKanji KITAHAMA*1( received on Mar. 19, 2020 & accepted on Aug. 3, 2020 )あらまし
本研究では，地域と連携した「たかなわ子どもカレッジ」事業に基づいて実施した，宿泊行事＜海洋調査研修船「望星丸」を見に行こう＞を振り返ると共に，参加者及び保護者から感想，満足度・期待度，そしてどのようなプログラムを求めているのか，
またその教育的効果についてアンケート調査から探った．本プログラムは「海洋」をテーマとし，大学のスクールメリットを活かした独自のプログラム構成をした（海洋調査研修船，海洋科学博物館見学）．参加者からは宿泊行事の企画目的に合致した回答を得る事ができ，同様に保護者からも肯定的な回答を得る事ができた．また，参加者だけでなく，引率補助者においても教育的効果を確認することができた．

Abstract
This study is to summarize the overnight educational field trip as <Let’s go to see the Research and Training Vessel BOSEIMARU>, andanalyze the satisfaction, expectation, free description and so on from participants, and their parents using questionnaire survey. The theme ofthis program as “OCEAN” and visited BOSEIMARU and Marine Science Museum which are belong to Tokai University. In the result ofsurvey, there are many positive answers to match to the theme, and their parents, too. Although this kind of experienced programs are alreadyrecognized taking important roles within the participants, but also there are educational effects to the sub-leaders who are university students.
キーワード：地域連携，宿泊行事，教育活動
Keywords: Regional Cooperation, Overnight Educational Field Trip, Educational Activity

1. は じ め に「可愛い子には旅をさせよ」と称されるよう，以前より，
子どもの時に様々な体験を得ておくことが重要とされている．特に昨今の価値観やライフスタイルの多様化，或いは子どもの社会性の欠如や意欲の低下等に対して，「体験」プ
ログラムの必要性が高まっている．文部科学省は小学校学
習指導要領の中で，総合的な学習の時間として体験活動などを積極的に取り入れること，また異年齢集団による学習などの多様な学習形態についても言及している 1)．「体験」
する事も目的の一つではあるが，様々な活動を通じて，自立心や主体性を育み，規範意識，人間関係構築力，問題解決能力等を高めることにその重要性が見出されている．現状では，各種学校主催の他，地域（コミュニティーセンタ
ーなど）やスポーツ団体等が主催する多種多様な体験プロ
グラムが各地にて展開されている．
高等教育機関が青少年・少女のプログラムを実施する場
合は，いくつかのカテゴリーに分ける事ができる．各専門
分野を活かした独自のプログラムやその効果・評価を測る
教育学部系，地域交流も含め実践的な体験ができる各種センター系，或いは地域連携を含め教育委員会等からの委託
事業系，そして短期大学や生涯学習センター等が実施して*1 高輪教養教育センター 准教授
Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus ，Associate Professor

いる地域連携・協働の目的を持った「地域学・地元学」などである．実践的な体験ができるセンター系の場合，小学生の親子を対象とした野菜や草花の栽培体験教室が挙げられ，幼少期に自然体験（植物栽培）をすると情操及び社会性の向上がみられるとの報告がされている 2)．委託事業系の場合，交流モデル事業期間が終了，或いは委託支給金が無くなった時点で活動が終了する事も少なくはない．しかし，事業として始まった活動を終えるのではなく，新たなる活動目的を持って地域に根ざした活動を継続していく団体もある 3)．地方の大学・短期大学や生涯学習センターは，
地域連携・交流・協働として地域に根ざした地域開催のプ
ログラムを実施している．教育プログラムの一環として授業に組み込み，地域に出て，地域の方々に教えを乞い，協働で何かをする事が多く，その多くは地域活性を目論んでいる 4) 5) 6) 7)．
小学校学習指導要領内に総合な学習の時間を含めている
以上，各種体験プログラムは益々計画・実施されていくと考えられる．しかし，プログラム実施に至っては様々な問題が存在しているのも事実である．文部科学省は，「一般的に宿泊を伴う体験活動においては 3 泊 4 日以上の体験日数を確保することが望ましく，これを宿泊体験活動のモデル的な期間とすべき」と示している．岡山県の小学校長期宿泊体験活動推進プロジェクトでは，3 泊 4 日で異なったテーマを持つ 5 つのモデルプログラム（困難克服型・海モデ
ル，困難克服型・山モデル，ふるさと探求型モデル，海の――− 11 −

地域と連携した教育的宿泊行事に関する一考察−スクールメリットを活用して−ヘッダー

生活体験型モデル，そして自立生活型モデル）を設定，実施している（Table 1 参照）．各プログラムでは「ねらい」
が達成できるよう，テーマに沿った活動が行われており，調査結果からは，参加児童及び保護者ともに肯定的な回答が示されている 8)．しかし，長期休暇を除いては，3 泊 4日の活動日数を確保する事は困難であり，多くの小学校では週末等を利用した 1 泊 2 日の宿泊体験活動が中心となっているのが現状である．1 泊 2 日での開催をしている小・中学校は約半数であり（小学校 59.6％，中学校 41.5％），1
泊 2 日と 2 泊 3 日を併せた割合は，小学校が 92.7％，中学校が 95.1％である 9)．つまり，文部科学省が推奨する 3 泊
4 日の集団宿泊活動の実施は現状に見合わないが，日数が短くとも集団宿泊活動のプログラムの重要性は認知されているものと思われる．
本稿では，港区と東海大学との連携事業「たかなわ子どもカレッジ」と共催した「東海大学清水キャンパス宿泊行
事＜海洋調査研修船「望星丸」を見に行こう＞」について振り返ると共に，参加者及び保護者に対して行ったアンケートより以下の事柄を探る（プログラムへの期待度，満足度，参加者の変容，今後の体験プログラムについて）．本研
究の目的は，今後の体験プログラムの妥当性を含み，参加者と保護者それぞれがプログラムに対して何を希求しているのかについて探ると共に，その教育的効果を確認することにある．
Table 1 Five Different Themes of Model Programs
プログラム名称

プログラム設定概要

困難克服型

無人島を目指してチャレンジする

海モデル

カッター訓練を2回設定

困難克服型

20㎞ウォークで友達同士が山モデル

助け合える場を設定

ふるさと探求型

今まで知らなかった地域の良さをモデル探求する活動を設定

海の生活体験型

山間地域の児童がモデル

海を満喫する活動を多く設定

自立生活型

自分たちで考え，自分たちで行動する

モデル

時間と場所を設定施しており，今回は 2 回目の企画である．
本企画を計画する上で，教科等の学習に関連づけること
で高まる集団宿泊活動の教育効果に示されている「社会に開かれた教育課程の実現 11)」を参考に，「教育プログラム」として以下の 3 点に注視した（①何を学ぶか，②どのように学ぶか，③何ができるようになるか）．つまり，能動的に学ぶアクティブラーニングを意識した．一つ目の「何を学ぶか」については，「海洋」をテーマとし，東海大学が有す
る海洋調査研修船「望星丸」の乗船及び見学，海洋科学博
物館の特別見学（夜の水族館）である．
「 どのように学ぶか」は，「お楽しみの宿泊行事」にならぬ様，参加者がテーマに沿った明確な学びの意思を持つことである．これは，事前説明会の中で訪問先についての説明時間を設け（2.2 にて詳細説明），出発前までに事前調査し，質問事項を作成しておくよう宿題を課した．アクティブラーニングの実践には，受け身で与えられる「体験」だけで留めず，積極的に学べる環境づくりを各家庭から構築していくことが大切であり，家庭の協力無しでは難しい．最後の「何ができるようになるか」は，宿泊研修を通じて参加者各々の成長を促す事である．主観的かつ単発的な「体験」だけではなく，体験を契機に中長期間的に向けた継続的で発展的な変化を促すと共に，連続的・進歩的に「経験」へと繋げ・繋がる事である 12)．例えば，今回の宿泊研修で，「海洋」に興味を持ち，将来的には海洋学部へと進学して海に携わる職業に就く，或いは魚に興味を持ち釣りを一生涯の趣味にするなど「何ができるようになるか」は様々である．
能動的に学ぶ事を意識し，たかなわ子どもカレッジ担当
者が，本行事の「しおり」を「乗船券」として作成した（Fig.
1 参照）．目的，約束事，クルー（引率者），持ち物，タイムスケジュール，活動にあたっての注意点，連絡先等が記載されている．なお，本乗船券は，参加者用，引率者用，そして保護者用と 3 種類あり，記載内容は使用者によって多少異なっている．

2. 清 水 キ ャ ン パ ス 宿 泊 行 事
2.1 概要及び目的「たかなわ子どもカレッジ事業」の目的 ＋ 1 に則り，東海大学のスクールメリットを活かした「専門的なテーマを学
ぶ機会を提供」として「海洋」をテーマとして掲げた．昨
年度は，「 親子 de 歩育」（ 東海大学高輪キャンパスから代々
木キャンパスまで親子で歩く企画 10)）をたかなわ子どもカ
レッジ及び Takanawa 共育プロジェクト ＋ 2 の学生と共に実+1 東海大学と連携して同大学内の学校施設等を活用し，児童が放課後に過ごせる居場所を設置し，学習，スポーツ，遊びなどの活動を行うとともに，同大学の知的・人的資源を活用して専門的なテーマを学ぶ機会を提供することで，児童の自主性，社会性及び創造性を養い，地域交流や多世代間交流を推進します+2 東海大学チャレンジセンター

Takanawa 共育プロジェクト：

http://deka.challe.u-tokai.ac.jp/tkp/index.html （2020.3.13 閲覧確
認）Fig. 1 Boarding Pass as Program Guide
2.2 プログラム
上記した概要及び目的を踏まえ，たかなわ子どもカレッ
ジ担当者に本宿泊行事を提案し，実施予定日の約 6 ヶ月前に当たる 2019 年 6 月に現地を下見訪問し，東海大学清水キャンパス清水事務課企画調整担当者，東海大学海洋科学博
物館担当者，そして三保研修館の担当者と綿密な打ち合わせを行い，プログラムの確定へと至った．同日程中には，
海洋研究開発機構（JAMSTEC）が保有する地球深部探査船「ちきゅう」の一般公開を含むイベントが清水港日の出ふ――− 22 −

北濱幹士

ヘッダー

頭で開催されていたが，本行事中は人混みを避けて非日常的な環境で多くの大人に囲まれて，ゆっくりゆったりのん
びりと共に過ごす事を最優先とした．
2019 年 11 月 14 日，参加希望者は親子で参加必須の事前説明会を実施した．事前説明会では，参加希望の親子に概要と目的，訪問場所，宿泊施設等の説明，そして，参加者と引率者（補助の大学生を含む）の紹介の場とした．
本研修とした 1 泊 2 日の清水キャンパス宿泊行事の実施
プログラムは下記のとおりである（Table 2 参照）．1 日目は，望星丸と海洋科学博物館（夜の水族館），2 日目は海洋科学博物館をメインプログラムとし，子ども達の体調及び天候次第で世界文化遺産の構成資産でもある三保の松原及び東海大学清水キャンパスへの訪問をサブプログラムとして予定していた．しかし，1 日目の港区から清水市までの移動
時間が交通渋滞により予想以上に長く費やす事となり，望星丸の見学時間の変更は余儀なくされた．移動のバス車内
では，参加者の体調を最優先にサービスエリアでの休憩を増やし，学生によるバス内レクリエーションなどで楽しく過ごし，体調不良の子どもは皆無であった．
メインプログラムの 1 つである望星丸の見学は，係留されている岸壁（通称：鉄道岸壁）より船内の食堂へと入り，
望星丸事務長より船内の諸注意及び船内見学の説明を受けた後，船内見学とロープワークの 2 つのグループに分かれた．更に，船内での怪我や迷子防止の為 3 つの小グループ（1 グループが 3~4 名）を形成し船内見学を行った．海洋学部航海工学科航海学専攻の学生（以後，練習学生）2 名
がグループの前後を歩き，参加者に質問をしたり，質問を受けたりしながら船内を巡った．参加者の興奮の声が聞けたのは，ブリッジ（艦橋）である．ブリッジの外へ出て，借用した双眼鏡で周囲の眺望を満喫し，ブリッジでは練習
学生より様々な計器の説明を受け，最後は 1 人ずつラダー（舵）を握って記念撮影を行った．また，食堂で行ったロープワークでは，乗組員や練習学生と共に短めに用意されたロープを結んだり解いたりを繰り返し船舶独特の結び方を学んだ．後部甲板にて富士山を背景とした集合写真を撮
影し，下船した（Fig. 2 参照）．
海洋科学博物館のプログラム（夜の水族館）は，入館後別室にて魚の発光，集団行動などについて学んだ後，残りの時間が自由見学となった（1 部制限区間有）．館内は照明が落とされて薄暗くされており，博物館スタッフが設置した点滅赤色灯の下，発光している魚を確認したり，海洋水槽に，或いはクラゲギャラリーにくぎ付けになったりと参加者それぞれが満喫していた．自由時間終了後は別室に戻り，発光や集団行動に関する振り返りや質問時間となり，各自が準備してきた様々な質問を博物館スタッフに問いかけた．また，夕食後の学生による夜の集いでは，海洋に関するクイズゲームで知識と交流を更に深めた．
2 日目は，夜の水族館では行く事ができなかった 2 階の科学博物館へと上がり，展示物を見たり，実験装置を動かしたりして海洋に関する知識を広げた．当日は，12 月にも関わらず非常に暖かく，朝から雲一つない快晴で富士山が綺麗に見えた事もあり，海洋科学博物館の自由見学を 1 時
間で切り上げ，三保の松原で過ごす時間を長めに取り砂浜での遊びを楽しんだ（Fig. 3 参照）．三保の松原での昼食を予定していたが，早めに清水を出発して昼食は休憩も含めて途中のサービスエリアで取った．帰路も交通渋滞に巻き込まれ，当初の予定より少し遅れての到着，そして解散と
なった．

―
―
− 33 −

Table 2 The Program of Let’s Go to See
The Research and Training Vessel BOSEIMARU
時間
プログラム概要
1日
日 目 （ 2019年
年 11月
月 30日
日）
9：00 東海大学高輪キャンパス 集合・出発
12：20 昼食（富士川 SA）
14：15 望星丸見学（鉄道岸壁停泊）
16：00 三保研修館へ移動
17：30 東海大学海洋科学博物館（夜の水族館）
18：30 夕食
19：30 学生による夜の集い
20：15 入浴・就寝準備
21：30 消灯（22 時よりスタッフ会議）
2 日 目 （ 2019 年 12 月 1 日 ）7：00 起床
7：15 体操・朝の集い
7：30 朝食
8：15 部屋の片づけ
三保研修館出発
9：00
東海大学海洋科学博物館見学
10：00 三保の松原へ移動
11：30 三保の松原出発
13：30 昼食（富士川 SA）
東海大学高輪キャンパス
17：30
到着・解散
交通渋滞などにより，予定を変更せざるを得なかったため，
予定ではなく実際のスケジュールを掲載する

Fig. 2 Group Photo at BOSEIMARU

Fig. 3 Group Photo at MIHO-NO-MATSUBARA

地域と連携した教育的宿泊行事に関する一考察−スクールメリットを活用して−ヘッダー

2.3 参加者
高輪地区総合支所管内に在住または高輪地区総合支所区
域内の小学校に在籍する児童を対象とした．宿泊が伴うため，たかなわ子どもカレッジ担当者と協議し，1 人で身の回りの事ができる年齢として，参加条件を小学校 3 年生以上とした．半分の公立小学校が登校日などの事情もあり，
参加小学生は 22 名であった（Table 3 参照）．引率者は，
Takanawa 共育プロジェクト所属の大学生が男女 3 名ずつの計 6 名（3 年生 1 名，1 年生 5 名），たかなわ子どもカレッ
ジより女性が 1 名，高輪子ども中高生プラザより男女 1 名
ずつ，そして東海大学教職員の男性 2 名の総勢 33 名である．
参加者の男女比は男子が 7 名，女子が 15 名と女子が約 3
分の 2 を占めた．学年別では，3 年生が約過半数を占め，4
年生と合わせるとほぼ総数に近い数である．兄妹で参加した 1 組を除くと，1 人での参加が多く，異なった小学校からの参加である．
各所での移動の際には，参加者の年齢層を基本として，4つのグループを形成し（3 年生 2 グループ，4 年生・6 年生
1 グループ），引率者 2 名及び引率補助の学生 6 名が各グループと共に行動した．

3.2 保護者向けアンケート
全 7 問で構成されており，行事に関する情報入手先から今後のプログラムまで設問内容は多岐に渡る．始めの 2 つの質問は宿泊行事前の事柄として，「行事を知った媒体」（4
項目より該当項目へのチェック），「宿泊研修前，保護者が子どもに期待した事柄」（11 項目より選択）がある．次に，「保護者の満足度」及び「子どもの変容」を 4 段階評価と自由記述である．最後に子ども向けアンケート同様に，今後のプログラムについての自由記述欄が設けられている．

Table 3 Profile of Participants

4. ア ン ケ ー ト 調 査 結 果

学年

男子

女子

合計

3年生

3

9

12

4年生

2

4

6

5年生

0

0

0

6年生
合計

2
男子

2
7名
名

女子

4
15名
名

総数

22名
名

2.4 宿泊及び食事
宿泊及び食事にもスクールメリットを活用し，東海大学
三保研修館を利用した．参加者や保護者が懸念するであろう宿泊と食事については，事前説明会の際にホームページ
や写真を用いて紹介をした．具体的には，ホテルではなく研修施設である事を前提に，布団の上げ下ろしや TV が設置されていない等である．宿泊部屋は，男子全員で 1 部屋，
女子は 3 年生部屋と 4・6 年生部屋に分かれ，引率補助の学生が参加者と同部屋にて就寝した．
食事に関しては，1 日目夕食と 2 日目の朝食はバイキン
グ形式とした．食事前はグループごとに着席し，自らが節度を持って食品を装い・食すことなどを伝えた．移動を伴う 1 日目昼食は家庭から持参とし，2 日目昼食は弁当とした．なお，事前に食物アレルギーチェックを行い，投薬な
どの徹底管理を行った．

3. ア ン ケ ー ト 調 査
調査対象者は，参加者とその保護者であり，それぞれ設問が異なったアンケート調査を実施し，その回答を取りまとめた．アンケートの回収率は，子供向けが 100％ ＋ 3 （N＝22），保護者向けが 23％ ＋ 4（N＝22）である．各アンケー
トの質問項目については下記に別途記す．なお，本調査は+3 帰路のバスの中で収集した

たかなわ子どもカレッジが実施し，了承を得た後，本稿での使用に至る．
3.1 子ども向けアンケート
全 6 問で構成されており，重要視している設問は自由記述欄が設けられている．以下の 3 問が自由記述である「このキャンプに参加した理由」，「何が楽しかった？楽しくなかった」，「 今後，どのような体験プログラムをしたいか？」．
その他，「満足度」は 5 段階評価，「食事」及び「大学生と一緒に行けてどうだったか」は 4 段階評価である．

4.1 子ども向けアンケート
最初の設問は，自由記述の「このキャンプに参加した理由」である．諸種の理由であるが，「面白そうだったから」「楽しそうだから」「お泊りが好き」「船に乗れるから」「水族館にいける」「 親と離れてのキャンプだから」などであり，プログラム内容に興味を持って参加したように見受けられた．
参加者の満足度は，5 段階評価で一番高い＜とても楽しかった＞が 21 名であり，その内 1 名は「楽しすぎた来年もあったら絶対行きたい」と設問の横に記されていた．残りの 1 名は＜ふつう＞に記しが付けられていた（Table 4 参照）．
「何が楽しかった・楽しくなかった」の理由（自由記述）
では，「みんなと風呂に入ったり，とにかく色々な事が楽しかった」「全部」「夜の水族館」「船に乗ったこと，お土産，
お泊り（全体的に楽しかった）」「お部屋で新しい友達と遊
べたこと，船を見学したこと，海に行ったこと」など挙げられていた．
キャンプ中の食事については，＜とてもおいしかった＞が 19 名，＜おいしかった＞が 2 名，そして＜ふつう＞が 1
名の結果であった（Table 4 参照）．
大学生と一緒に行けてどうだったかでは，＜とてもよかった＞が 19 名，＜よかった＞が 2 名，そして＜ふつう＞が1 名であった（Table 4 参照）．
最後の設問は，「今後，どのような体験プログラムをした
いか（自由記述）」とした．「親と離れてキャンプしたい」「キャンプやバスハイクに行って楽しい一日を過ごしたい」「バーベキューやマシュマロ焼き，夜の映画館」「富士山に登りたい」「山形で鮎の掴み取り」「また，大学生と行きたい」「スキー・スケート」「3 泊 4 日が良い」「何かの体験」「動いている船に乗りたい」「望星丸のエンジンルーム」と
1 問目同様に様々な意見が収集できた．

+4 解散時に配布し，2019 年 12 月 9 日までにたかなわ子どもカレッジまたは高輪子ども中高生プラザ受付までの持参をお願いした――− 44 −

北濱幹士

ヘッダー

したプログラムが求められているのではないかと示唆される回答であった．

Table 4 The Scale Questions for Children（N＝22）
参加者の満足度21

とても楽しかった

0

楽しかった

1

ふつう

0

あまり楽しくなかった0

全然楽しくなかった

Table 5 What Parents Expected of their Children
before the Program（N＝5）
回答数
設問
5
いろいろな体験4
友達づくり，友達との交流
4
異年齢集団交流2
協力しあう心，協調性の向上
2
積極性，自主性の向上
2
強い精神力，忍耐力向上
3
集団行動体験（社会性の会得）
3
自立心育成

キャンプ中の食事
19

とてもおいしかった2

おいしかった

1

ふつう

0

まずかった

大学生と一緒に行けてどうだった19

とてもよかった

2

自律心向上

2

よかった

3

優しさや思いやりの醸成

1

ふつう

0

「期待する事」は特にない

0

あまりよくなかった

4.2 保護者向けアンケート
最初の設問では，本プログラムの広報認知度である．
「この行事の企画を何で知りましたか（複数回答可）」は，1）
カレッジ通信 3 名，2）ポスター掲示 1 名，3）チラシ 3 名，
4）口コミ 0 名，「学校からも配布されました」と別記もあった．
選択設問である「宿泊研修前，保護者が子どもに期待した事柄（複数回答可）」では，いろいろな体験が 100%を占
め，友達づくり，友達との交流・異年齢集団交流と続いた（Table 5 参照）．
保護者の満足度調査（4 段階評価）では，＜とてもよかった＞が 3 名，＜よかった＞が 2 名となり（Table 6 参照），
その理由（自由記述）では，「自宅に戻ってから，行事中にあった出来事を次から次へと楽しそうに話しておりました」，「普段入ることができない大学のキャンパス（船）や夜の水族館などに大学の先生・生徒の方々と一緒に行くことができた」，「短すぎてもっと泊まりたかったと言っていたので，とっても楽しかったようです」などが記入されていた．
子どもの変容調査は 4 択とし，その理由は自由記述とした（Table 6 参照）．4 段階中上位 2 つの＜期待通りに成長＞
が 3 名（「友達どうし仲良く楽しく過ごせたようで良かった」），＜まあ成長＞が 2 名（「荷物は整理できていなかったが，忘れ物がなく持ち帰れたので自立性が育ったと思う」）
であった．
最後に「今後，どのような体験プログラムを希望されていますか」の次回へと繋がる設問を設けた．
「普段行けない
ような場所で，気づきがあるような楽しいプログラム」，「大
学生と一緒に体験できるプログラム．宿泊や遠足は家族とではなく，友達や先生と行くことで新しい出会いや色々な経験する事により成長できると思う」，「J-Crew プロジェク
トの DVD を観ており，船舶関係に興味があった」などの答えが得られた．この 3 つの回答は，今回のプログラム自体が示唆されているが，今後も同様の「海洋」をテーマと+5 子どもと関わる活動についてのアンケート：たかなわ子どもカレッジが東海大学の学生用に作成したアンケートであり，授業や共催プログラム後に収集されているTable 6 The Scale Questions for Children（N＝5）
満足度
3

とてもよかった

2

よかった

0

ふつう

0

よくなかった子どもの変容3

期待以上に成長2

期待通りに成長

0

まあ成長

0

変化はみられない

4.3 学生向けアンケート ＋ 5
たかなわ子どもカレッジが引率補助をした大学生に対し，「子どもと関わる活動についてのアンケート」を行った．
本アンケートは，全 7 問で構成されており，＜はい・いい
え・どちらでもない＞の回答に対しての理由を記載する設問体系である．なお，参加した 6 名全員より無記名でのア
ンケート回答を得た．
最初の設問である「子どもたちと関わる活動は楽しいですか」は，全員が＜はい＞と答え，その理由として「子ども好き，一緒に盛り上がることができると楽しい，色んな子どもたちの姿をみるのが楽しい，同年代の弟が居て関われることが楽しい」である．次に「子どもたちと関わる活動は自分のためになっていると感じますか」でも全員が＜はい＞と回答した．その理由は，「心が豊かになりそう，人に優しくなれそう，子どもたちと関わることが新しいことに気付ける，子どもの目線ならではの観点を知れるので楽しい，自分も学べる事が多い，子どもがどんな事が好きなのか知れる，将来的に自分の子どもに対する言動の基礎になる」である．
「実際に子どもたちに関わって困ったことや疑問に思った事」の設問では，「子どもたちのしている危ないことをどこまでいったら止めるべきか，氏名を覚えるのが難しかった，子どもとの距離感が難しい，一度に話しかけられたときの対処が難しい」と引率補助としての責任感を感じさせる回答が見受けられた．
「 今後も機会があれば子どもたちと関わりたいですか」でも，全員が＜はい＞と回答した．最後に「子どもたちと関わっての感想」では，「子――− 55 −

地域と連携した教育的宿泊行事に関する一考察−スクールメリットを活用して−ヘッダーどもと関われる場をありがとうございます，子どものテンションが上がるポイントが予想と異なっていて驚いた，若さから元気がもらえた」などの回答である．

価ではなく，プログラムの妥当性また教育的効果の認識であり，参加者，保護者，そして学生の率直な回答・意見を率直に捉えたい．

5. 考 察5.1 子ども向けアンケートより「船・水族館（魚）・海」のキーワードが複数回挙げられており，本プログラムの企画に合致した満足感が得られたことが確認できた．食事及び大学生の同行の質問からは，大勢で食事や行動を共にすることが少ない現代の子どもたちを象徴しているように思われた．
アンケート全体としては，全体的に肯定的な結果を示す
中，1 名のみが全ての段階的評価にて＜ふつう＞を記し，最後の自由記述設問では，「気が向いたら」と書き込んでいた．あくまでも＜ふつう＞であり，否定的な意見・記述ではないが気になる回答ではあった．

行事企画名を＜海洋調査研修船「望星丸」を見に行こう＞と明確な目的を記したことで，「海洋」に意識が高い小学生が集まった．事前説明会では，概要・目的，宿泊・食事施設の他，望星丸について（教育・研究活動），「海のはくぶつかん」としての海洋科学博物館，水圧と水深についての講話を含め，参加者・引率者全体が集った事で，保護者への理解も高く「教育プログラム」としての意義を持つことができたように思われる．事前説明会終了時には，「親子で参加するプログラムには成りえないでしょうか」との質問を受け，親子を対象にしても「海洋」のテーマは需要があるではないかとも感じた．
本アンケートで得られた肯定的結果には，外的要因が大きく関係していると考えられる．実施した 1 泊 2 日は冬晴
れの好天に恵まれ，12 月にも関わらず海水に触る事もできた．また，参加者に 22 名対して引率者が 11 名と非常に多く，参加者が 1 人で行動するなど寂しい気持ちになる事は無かったと思われる．望星丸の船内では，多くの練習学生
が全ての行動に対してサポートをし，下船時には船外まで出て見送りをしてくれた．プログラム全体としても当初の予定通り，人混みも慌ただしい時間もなく，非日常的な環境で多くの大人に囲まれて，ゆっくりゆったりのんびりと過ごすことができた．
参加者の年齢層は，高学年が多いと予想していたが，それに反して最低学年の小学校 3 年生が半数の 12 名，そして4 年生が 6 名を占めた．従って，全ての行動は 3 年生の体力，行動力に合わせざるを得なかった．最上級生の 6 年生
4 名にとっては，少し物足りないプログラムであったと推測されるが，食事の準備・片付け，布団の出し入れ，就寝・起床，集合・出発等において模範的かつ下級生をリード・サポートする姿が多く見受けられ，3・4 年生にとって大きな存在であった事は間違いないだろう．また，引率者側にとっても非常に頼れる 6 年生の存在であった．
問題点の 1 つとして移動時間が挙げられる．往路・復路共に移動時間は十分に確保していたが，天候が良かった事もあり，思いのほか交通渋滞がひどかった．しかし，訪問
先は本学が有する「望星丸」であり，事務長に事情を伝え臨機応変に対応して頂くことができた事は，スクールメリ
ットの 1 つである．勿論，本学最寄りの品川駅より東海道
新幹線で静岡駅，そして清水駅の交通手段も思案したが，金銭的，現地での交通手段的，そして何より多くの小学生を引率する場合において最適手段とは考えにくい．今後は，出発時間を早める事で可能な限り渋滞を回避する事を踏まえたスケジューリングを提案する．次の問題点は予算である．本プログラムは，幾つかの組織が連携した事業の一環
である．つまり，参加者の自費清算ではなく，区の補助金等を含めた上での清算をしなければならない．また，宿泊行事における区の参加費が設定されており，より良いプロ
グラムを提案したとしても予算超過する場合はプログラムの取捨選択をせざるを得ない．
最後に本アンケート調査であるが，数的評価としては十分なサンプル数とは言えないが，宿泊行事（体験活動）そのものを評価する事も難しい 13)．本研究の目的は数値的評

5.2 保護者向けアンケートより本プログラムの情報は，カレッジ通信及びチラシで得た事が明確になり，高輪地区で子ども向け企画の広報は，たかなわ子どもカレッジからの情報（カレッジ通信及びチラシ）が有意である事がわかった．
保護者の期待は，「いろいろな体験をさせたい」が多く非日常的，或いは珍しい体験プログラムを期待している事がわかった．また，友達（異年齢）との交流，集団行動体験も期待度が高く，核家族化が著しい高輪地区ならではの回答と示唆される．
参加者の満足度が高かった事が保護者としても満足度の肯定に繋がったと思われる．保護者としては当然の事かもしれないが，子どもが笑顔で帰宅し，2 日間に渡っての出来事を話してくれる事が何よりも保護者の満足感であると考えられる．
今後のプログラムに関しては，子ども同様に様々ではあるが，特殊性を持ったプログラムに興味がある事がわかった．
「船舶関係に興味がある」と回答されていた保護者の最後は，「今は船員になりたいと言っています」で締めくくられている．影響を受けやすい子どもだからこそ，様々な体
験を得て，夢を現実へと中長期的に発展する「経験」に繋がっていく事を切に願う．
5.3 学生向けアンケートより本プログラムが大学生へ与える教育的効果は，アンケー
トの回答からも垣間見えた．今後，引率補助を体験した大学生に本プログラムの本質的な教育的効果が多く表れると思われる．本プログラムの趣旨に賛同して参加している大学生であるが故に，肯定的な回答が得られる事は当然の事である．しかし，大学生自身が子どもたちと接する中で，色々と考え，悩んでいた事がわかった．まず，子どもたちと関わることで「心が豊かになりなりそう，人に優しくなれそう」との回答は情操教育的効果の表れだと考える．
「子
どもたちのしている危険な行動をどこまでいったら止めるべきか」の回答の中には，学生の心の格闘が見え隠れしている．その場の状況によって「取るべき行動」，つまり正解は異なってくるであろう．全てを管理するのではなく，危険の範囲を見定め，「どこまでいったら止めるべきか」を勘案し，事故や怪我へと至る前に行動を止めさせる状況判断は非常に難しい．リスクマネジメント上の危機管理や事故防止も経験に裏付けされる事も多々ある．つまり，怪我や事故に限らず，自らが触れ，体験し，理解する事を通して――− 66 −

北濱幹士

ヘッダー

学び取る参加型の学習法（実学）である 14)．
小中学校での集団宿泊活動の日数縮小，或いは中高等学校での課外活動（合宿）の減少，更には核家族化等の現状を踏まえると，現在の大学生にとっても集団宿泊研修は重要な意味があり価値が高いと思われる．ある程度の責任を持った立場（補助）で参加することによって社会性が得られる他，協調性，規範意識，人間関係構築力，問題解決能力等の多種雑多な「生きる力」を育むと共に高める事ができる「実学」へと繋げる事が可能となる 15)．従って，大学生には青少年・少女団体の諸活動に参画し，異年齢集団等の中で多くの人と接する「実学」を通じて，多様な学びを深める事を強く推奨する．

確認）2） 三田雅江・梁川正，“栽培経験を通した「生きる力」の育成

京都教育大学環境教育実践センターにおける小学生の親子を対象とした栽培体験教室での活動から，”京都教育大学環境教育
研究年報, 23, pp.69-77, 2015
https://www.kyokyo-u.ac.jp/cee/23-7.pdf （2020.3.13 閲覧確認）
3） 吉原さちえ・知念嘉史，“学生有志による地域の子どもたちを対象とした遊びの活動―6 年間の活動の振り返りと今後の課
題―，”東海大学体育学部紀要，第 48 号，pp.47-57, 2018https://www.u-tokai.ac.jp/academics/undergraduate/physical_education/kiyou/pdf/2018_048/06.pdf （2020.3.13 閲覧確認）
4） 長崎食育学，長崎女子短期大学
http://www3.nagasaki-joshi.ac.jp/~web10la/30/（2020.3.13 閲覧確

6. ま と め

認）5） 公益財団法人

地域と連携して実施した「東海大学清水キャンパス宿泊
行事＜海洋調査研修船「望星丸」を見に行こう＞」を振り返ると共に，参加者・保護者のアンケート調査から体験プ
ログラムの妥当性及び今後のプログラム，そして引率補助
学生からも教育的効果を確認する事ができた．参加者からは，多くの肯定的な意見が見られ，保護者の満足度も有意であった．また，保護者は様々な体験を友人と共にさせた
いと願っている事もわかった．このようなプログラムは参加者のみならず，引率者側を担当した大学生にも多くの事
柄を学ぶ「実学」の場としての重要性も認識できた．そして何よりも喜ばしい事は，参加者・引率補助者・引率者の全員が病気や怪我も無く，元気に笑顔で助け合いながら 1
泊 2 日を過ごせた事である．今後も東海大学のスクールメ
リットを活かし高輪地区の子どもたち及び保護者に対して「専門的なテーマを学ぶ機会を提供」できるよう関係各所と協働して，より良い「教育体験プログラム」を展開していく予定である．

山形県生涯学習文化財団

山形生涯学習セン

ター＞遊学館＞地域学へのいざない＞「山形学」への招待
https://www.gakushubunka.jp/yugakukan/chiikigaku/chiikigaku_shotai.html （2020.3.13 閲覧確認）
6） 北濱幹士・宮川幹平，“特別講座「宗像学」の報告，”東海大学短期大学紀要，Vol.50, pp.87-91, 20167） 北濱幹士・宮川幹平・八尋剛規，“特別講座「宗像学」の報告
2，”東海大学短期大学紀要，Vol.51, pp.1-8, 20178） 小学校長期宿泊体験活動推進プロジェクト
成果～モデル校の事例をもとに～5 年間の取組と岡山県教育庁義務教育課

平成 31 年 2 月
https://www.pref.okayama.jp/uploaded/life/590681_4929755_misc.
pdf （2020.3.13 閲覧確認）
9） 「小中学校集団宿泊活動に関する全国調査」報告書〔概要〕
国立青少年教育振興機構

平成 31 年 3 月

https://www.niye.go.jp/kanri/upload/editor/136/File/report_summar
y.pdf （2020.3.13 閲覧確認）
10） 北濱幹士，“地域・キャンパス・学生・教職員間連携交流活動の報告，”東海大学紀要情報通信学部，Vol.12, No.1, pp.49-52,

7. 謝 辞2019https://www.u-tokai.ac.jp/academics/undergraduate/information_an

今回のプログラムは，関係各所の協力体制無しでは実施が考えられない．たかなわ子どもカレッジ，港区立高輪子
ども中高生プラザ，そして引率補助として 2 日間子どもの生活面を担当した Takanawa 共育プロジェクトの学生．現地での受け入れサポートにご尽力頂いた東海大学清水キャンパス清水事務課企画調整担当の石田課長と課員の皆様，
望星丸の見学については，船舶管理室の野陳課長，玉井技術員，住吉望星丸事務長，当直乗組員，そして海洋学部航海工学科航海学専攻の学生諸君，東海大学海洋科学博物館の皆様．本企画に関してのアドバイス頂いた東海大学地域
連携センター地域連携課の近藤課長補佐，最後に企画立案から引率まで全面的に協力して頂いた高輪キャンパス地域
連携推進委員会に厚く御礼する．

d_telecommu/kiyou/index/pdf/vol_12_001/PP49-52.pdf（2020.3.13 閲覧確認）
11） 集団宿泊活動サポートガイド，“教科等の学習に関連付けることで高まる集団宿泊活動の教育効果，”国立青少年教育振興機
構，平成 30 年
https://www.niye.go.jp/files/items/877/File/supportguide_180119.p
df （2020.3.13 閲覧確認）
12） 石村秀登，“「体験的な学習活動」に関する一考察―体験と経験の可能性―，”熊本県立大学文学部紀要，第 16 巻，pp.77-87，
201013） 時代・明石要一，“体験活動の効果及び評価のあり方に関する一考察―子どもの体験活動事例を追って―，”千葉大学教育学部研究紀要, 第 59 巻, pp.167-173, 201114） 松前達郎：「雑記帖自然・文明・教育・外交をめぐって」，

松前達郎の会，昭和 59 年発行，pp.64

参考文献
1） 小学校

15） 山本俊光，“子ども向け宿泊型農業体験プログラムに参加した
学習指導要領（平成 29 年告示）文部省

若者の社会性，”甲子園短期大学紀要，Vol.35, pp.9-16, 2017https://www.mext.go.jp/content/1413522_001.pdf （2020.3.13 閲覧――− 77 −

東海大学紀要情報通信学部
Vol.13,No.1,2020,pp.8-15
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx, 20xx, pp.xxx-xxx

論文

論文

ベイジアンネットワークと行動生起確率による行動認識方法の提案とその評価
竹中

一秀*1,

撫中 達司*2

Proposal and Evaluation of Life Activity Recognition Method
based on a Bayesian Network with Activity Occurrence Probability
byKazuhide TAKENAKA*1 and Tatsuji MUNAKA*2( received on Mar. 23, 2020 & accepted on Jun. 8, 2020 )あらまし認知症患者の増加は大きな社会問題となりつつあるが，初期段階であれば薬の投与により症状進行の遅延が可能であり，早期発見が重要となる．認知症の発症は，同居者が生活の変化により気づくことが多いが，一人住まいの高齢者の場合，その発見は非常に困難となる．本研究は，高齢者の日常生活動作の変化を発見するための行動認識を目的とする．まず，センサデータによってモデル化されたベイジアンネットワークにより行動の候補を推定する．次に，前後の行動の関連性の強さを表現した行動生
起確率を用いて行動を特定する．本稿では，ハイブリッド型の行動認識方法の提案と，その評価結果について報告する．

Abstract
The increase in dementia is becoming a social problem. However, early detection is essential because the administration of drugs can delay
the progression of symptoms in the early stages. It is often found when a cohabitant notices a change in daily life. However, it is difficult for
elderly people who live alone. The purpose of this study is to detect the change by monitoring the daily life of the elderly. We firstly recognize
activities by the Bayesian network modeled by collected sensor data. Then, an activity is identified using the activity occurrence probability
calculated by daily life. In this paper, we propose the method and show the evaluation results.
キーワード：認知症の早期発見，ベイジアンネットワーク, オントロジー, 行動生起確率表
Keywords: Early detection of dementia, Bayesian networks, Ontology-based modeling, Activity occurrence probability

1. は じ め に
近年，日本の認知症患者は増加傾向にある．2025 年には700 万人に達すると言われており，65 歳以上の人口の約20％になると予想されている 1)．認知症は初期の段階であれば薬の投与により症状の進行を遅らせることが可能であり，このため早期発見が重要になる．早期発見のためには，認知症の発症により生じる生活の変化を検知することが重要である．高齢者の身体能力や日常生活レベルを測るための重要な指標として ADL(Activities of Daily Living)と IADL
(instrumental ADL)がある．ADL は日常生活における基本的な「食事，更衣，排泄，入浴，起立」などの動作のことを指す．また IADL は ADL よりも高い自律した日常生活をするための動作であり，「料理・掃除・買い物などの家事，交通機関の利用，電話対応などのコミュニケーション，趣味」などの複雑な日常生活動作のことを指す．この 2 つの指標となる生活行動を認識し，評価することは高齢者の生活を見守る上で重要とされている 2)3)．例えば，認知症の症状である物忘れの影響で食事の回数が増えるといったケースである．規則正しく日に 3 回食事を取っていた高齢者が，認知症による物忘れが進み，食事をしたことを忘れることで*1 情報通信学研究科
Graduate School of Information and Telecommunication
Engineering*2 情報通信学研究科 教授
Graduate School of Information and Telecommunication
Engineering, Professor

食事の回数が増える．本稿では ADL と IADL を対象とした
行動認識手段として，日々の生活のセンサデータによってモデル化されたベイジアンネットワークにより行動の候補を推定し，前後の行動の関連性の強さを表現した行動生起確率を用いて，行動の特定を行う方法を提案し，その評価結果につき報告する．

2. 先 行 研 究
Rafferty 4)らは，行動認識手法のアプローチを Data driven
approaches と Knowledge driven approaches に大別している．
Data driven approaches は ， Generative approaches とDiscriminative approaches に 分 類 さ れ る . Generative
approaches は，収集したデータを用いてモデルを作成する方法であり 5)-9)，代表的なものとしてベイジアンネットワ
ークや HMM(Hidden Markov Model)がある．Discriminative
approaches は，収集したデータにラベルを付け，識別対象を 分 類 す る 方 法 で あ り 10)-13) ， 代 表 的 な も の と し て
SVM(Support Vector Machine) や K-NN(K-nearest neighboralgorithm)などがある．
一 方 , Knowledge driven approaches は Logical based
approaches と Ontological approaches に分類されており，
Logical based approaches はドメインの知識を収集して, 行
動とそのパフォーマンスを論理表現した知識モデルを定義する．推論アルゴリズムにより，事象を知識モデルにマッ
ピングし，発生する行動を判断する．実現方法として，主に Event Calculus 等の手法が使用される．

――− 18 −

竹中一秀・撫中達司

ヘッダー

Fig. 1 Activity Recognition Approaches
Fig. 3 Example of an ontology model for extracting activities

Fig. 2 Example of an ontology model for an elderly person
Ontological approaches はドメインの知識を収集して，行動を概念とクラスの階層に構造化する．概念とクラスにはプ
ロパティ，関係，制限事項を設定することができるため，推論と知識抽出が可能である．オントロジーの利点は，行動表現（ルール）の再利用が可能なことであり，Logicalbased approaches のように厳格な行動表現を用いることにより直面する柔軟性の問題を解決することができる．一方で，不確実性の表現や個人化を提供する比較的厳格なモデリングは難しい（Fig. 1）．
ここで，オントロジーとは「概念化の仕様」として提唱されたデータの表現方法の 1 つである 14)．独立したデータ間の関係をグラフ構造で明らかにすることにより，コンピ
ュータがデータを知識として解釈し，より高度に活用することを実現する．例えば Fig. 2①の様に[人間：A さん]のサブクラスとして[介護：A さん]と[病院：A さん]を紐づけると，それぞれが独立したドメインである介護施設と病院それぞれで管理していた入浴，食事のデータや診察のデータを同一人物のデータであると意味的に表現することができる．また，これにより②の様に診察において食事に関するデータを参照（共有）するといった活用が可能になる．W3C
では Web 上でのデータの利活用を目的として，オントロジ
ー を 記 述 す る 為 の フ レ ー ム ワ ー ク RDF(Resource
Description Framework) 15)や RDF で用いる用語や関係を定義した OWL(Web Ontology Language) 16)を規格化している．
これらは具体的に RDF/XML や Turtle といった形式で記述され，その処理系として Python では RDFLib 17)，Java では
Apache Jena 18)などが提供されている．
行動のオントロジー構築に関する研究として，中村ら 19)
はライフログサービス向けに高次行動を抽出する基盤の構築を目的として，低次行動や環境音，場所など様々な情報の組合せを高次行動として紐づけ記述するオントロジーを定義している．例えば，“映画を見ている”という高次行動
は，低次行動として“座っている”，環境音として“音楽が流れている”，場所として“映画館にいる” という情報と紐付けることで表現される（Fig. 3）．しかし，この場合“映画を見ている”という高次行動は，“ 寝ながら，立ちながら，

Fig. 4 Activity Recognition method using a Bayesian network
歩きながら”など様々な状況が想定され，また自宅にいながらでも行えるため必ずしも場所を“映画館”と限定することはできず，高次行動を表現するための低次行動の組合
せは，個々の利用者に依存して無数に存在することから実用的なオントロジーを構築するには，その目的に応じて低次行動の組合せの定義を行う必要がある．中村らは，対象者の限定，あるいは ADL や IADL などの行動の限定をしておらず，また概念の提案のみであり，オントロジーの構築までは至っていない．
Wu ら 20)は，スマートホームシステムがユーザを支援す
るためにどのようなサービスを提供するべきかという問題に対して，ユーザの行動を把握することを目的として
Generative approaches のベイジアンネットワークを用いた行動認識に取り組んでいる．この方法では，「ある行動の後の行動」，「範囲時間内での行動」，「曜日内での行動」の確率をそれぞれ算出し，それらを条件付確率として用いて 3
つのベイジアンネットワークを作成する．それぞれに発生する確率が高い行動を抽出し，その結果を合算して，数多く 示 さ れ た 行 動 を 選 択 す る （ Fig. 4 ）． 評 価 実 験 で はCASAS(Center for Advanced Studies in Adaptive Systems)プロ「日（曜日）」，「時刻」，
ジェクト 21)のデータセットを用いて，「場所」の 3 つのパラメータを追加してモデル構築を行い，ある行動の次に起こる行動の予測において認識率 81.3%を達成している．この手法の課題として，記録された情報「日（曜日）」，「時刻」，「場所」が類似する行動，あるいは前後に発生する行動の関係性がなく，習慣として表現できない
行動は判別が難しいことがあげられる．例えば，TV を見るという行動は前後に発生する行動とは関連性が少なく，また個人によって発生する日（曜日），時刻が異なるという特性を持つ．Wu らの結果は，Rafferty 4)らが示している，センサデータを用いた行動認識である Data driven approaches――− 29 −

ベイジアンネットワークと行動生起確率による行動認識方法の提案とその評価

ヘッダー

Table 1 Examples of activities having similar recorded
information

Fig. 6 Activity recognition method based on personal habits

Fig. 5 Overview of the proposed method
Fig. 7 Activity Occurrence Probability of ontology model

だけではある程度以上の認識が難しいという指摘に合致した結果となっている．
本研究では，Data driven approaches としてベイジアンネ
ットワークを用い，その結果に対して Knowledge driven
approaches として行動間の関係性を数値化した行動生起確率を適用するハイブリッド型の認識方法につき提案する．

3. ベ イ ジ ア ン ネ ッ ト ワ ー ク と 生 活 行 動 習 慣 (行動 生 起 確 率 )を 組 合 せ た 行 動 認 識 方 法
3.1 提案方法の概要
本研究の提案方法では，まず Data driven approaches の一つであるベイジアンネットワークを用いて，発生した可能性が高いと推定される行動の候補を挙げる．次にKnowledge driven approaches である行動の習慣を表現した
行動生起確率を用いて，複数の候補の中から行動を特定する（Fig. 5）．例えば，音，加速度などのセンサを用いて収集されたデータを用いてモデル化されたベイジアンネット
ワークによって「食事をする」，「テレビを見る」という 2つの候補が抽出されたとする．この際，「料理した後はすぐに食事をする」という対象者の生活行動習慣を表現した行
動生起確率を用いれば，「料理した」後に高い確率で現れる「食事をする」が特定可能となり （Fig. 6, Fig. 7），行動認
識の精度を高めることが期待できる．
3.2 ベイジアンネットワークによる行動認証「年」，「季節」，「曜日」，「時間」，「時刻」，「場所」，「行動」の情報を持つデータセットを用いて，ベイズモデルであるベイジアンネットワークを構築し，同じデータセットを入力データとして用いて行動の起こる確率を求め，実験の結果設定した閾値 30%を超えた行動を候補とする．
3.3 日常生活行動のオントロジー
日常生活の行動の習慣を知識とするために，まずは生活において習慣として行なわれる行動をオントロジーとして表現した．公開された生活行動のオントロジーが存在せず，
このため本評価では手作業で日常生活行動のオントロジーを作成した．まず ADL に定義されている主要な行動，例えFig. 8 Example of an ontology description of daily activities
ば「食事」を階層構造のルートに配置し，その行動の前後に発生する行動となる「調理」，「食事をする」，「洗い物」などを階層化して詳細化した（Fig. 8）．作成に際しては，農作業に関する幅広い知識を持つ農作業オントロジー
AAO (Agriculture Activity Ontology) 22)を参考とした．AAO
は AGROVOC と呼ばれる農林水産，食糧，環境などの専門
用語を 32,000 語以上網羅する世界標準のシソーラスデー
タや内閣府が農作物名称の標準化のために提案したガイド
ラインをもとに語彙の追加や階層構造の修正を施し構築されたオントロジーである．
3.4 行動生起確率による行動認証
行動生起確率は，一般的な知識として作成したオントロ
ジーから行動の発生順序を抽出し，後述する CASAS のデータセットに記録された行動順序に基づき求めた．行動生
起確率は，発生した行動の次に発生する行動の確率を示しており，行動間の関係性の強さを表現したものになる（Fig.
7）．
オントロジーに対応する「全体」の表は過去に行われた行動が記録されているデータセットのすべてを範囲として行動の生起確率を算出した．
「 時間」の表は一定時間ごとに，「曜日」の表は曜日ごとに行動の生起確率を算出し，それをまとめたものである．Table 2 は CASAS のデータセット
すべてを用いて作成した全体の行動生起確率表である.

―
3 −
―
− 10

竹中一秀・撫中達司

ヘッダー

Table 2 Activity Occurrence Probability Table calculated by CASAS data set

Table 3 Activities recorded in the CASAS dataset

Table 2 の実線〇で囲った部分は，「Meal_Preparation」の後に発生する「Eating」の確率が約 32%であることを示している．行動生起確率による行動認証は，ベイジアンネット
ワークにより推定された複数の候補の直前行動との関係性が強い，すなわち行動生起確率の高い行動を選択する．

4. 実 験 結 果 と 考 察
4.1 実験に用いるデータセットとソフトウェア
データセットはワシントン州立大学の CASAS プロジェ
クト 21)のものを使用した．ベイジアンネットワーク構築はニュージーランドのワイカト大学で開発されたソフトウェ
アである Weka23) を用いた．CASAS プロジェクトのデータセットには R1，R2 と記載された 2 名が大学内の評価施設に実際に 6 ヵ月間生活した際のデータが記録されており，
日付，時刻，センサ名，センサ値，行動ラベル，行動状態(begin・end)が含まれている．記録された行動ラベルは Table
3 に示す 16 種類である．なお，2 名の行動の区別ができるのは決められたベッドを使用した場合のみであり，その他の行動は区別ができない．データセットの中には，同じ行動が続けて記録されているが，これは異なる人物が順番に行ったのか，ある時間間隔をあけて同一人物が再度行ったのかは区別がつかない．先行研究 20)ではこの点について言及していないため，本評価でもデータセットに記録されたものを変更することなく使用することとした．
4.2 データセットの前処理評価を行うために，データセットに記録された情報を｢時刻」，｢時間」，「場所」に変換する前処理を行った．行動状
態が begin の時の時刻を行動が開始された「時刻」，行動状
態が begin から end までを行動に要する「時間」とし，「時
間」，「時刻」の単位は「秒」とする．また行動が行なわれた「場所」を特定するために，行動状態が begin の時に反応したセンサが設置されている位置を「場所」とした．データセットの情報から作成した行動ごとに要する「時間」の分布を確認した結果，極端に外れた値の存在を確認した．
外れ値はモデルの信頼性を欠く要因となるため，これらを除く処理を行った．本評価では，箱ひげ図を用いて外れ値

Fig. 9 The box-and-whisker plots of shape adjustment

Fig. 10 The box-and-whisker plots except outlierを確認した．Fig. 9 は「整容」の箱ひげ図の結果である．青い四角で表された部分が，データを昇順で並べた時のデー
タ数 25％～75%の部分である．つまり，データの中央値付
近の 50％が密集した部分であり，行動の傾向を示すのに有効的な部分となり，プロットされている点が外れ値となる．
×印は平均時間を示すが，外れ値によって大きく偏っていることがわかる．この外れ値を除いた後の箱ひげ図（Fig. 10）

―
4 −
―
− 11

ベイジアンネットワークと行動生起確率による行動認識方法の提案とその評価

ヘッダー

Fig. 11 Result of the elbow method to determine the timedivision

Fig. 13 A Bayesian network generated by Waka（遅，短），（遅，長）の結果が得られる．ベイジアンネッ
トワークに用いる場合，クラスタ数が多くなることにより，ノードの状態数が多くなり，適切なモデルとならない場合がある．K-means 法はクラスタ数を決定する方法であり，各クラスタの時間や時刻の傾向を視覚的に把握することが容易であることからこの手法を選択した．クラスタ数を適切に設定するため，エルボー法を用いて最適なクラスタ数の評価を行った（Fig. 11）．エルボー法はデータポイントと重心の距離の 2 乗和（SSE；Sum of Square）をプロットした図であり，グラフがひじの様に曲がる箇所が最適クラス
タ数になる．Fig. 11 は，縦軸を SSE，横軸をクラスタ数としているが，クラスタ数が 7 付近で折れ曲がったグラフが収束しているのが確認できる．この結果から本評価ではクラスタ数を 7 に設定した．
全体の区分数をクラスタ数 7 とし，それぞれの行動に要する時間を CASAS のデータセットから集計し，各行動の時間に合わせて「時間区分」を作成した（Fig. 12）．縦軸が時間（秒），横軸が行動である．
「R1_ Sleeping in Bed」と「R2_Sleeping in Bed」が他の行動に比べて，行動に要する時間が非常に長いことが分かる．中でも，「R2_ Sleeping in Bed」に要する時間が長いため，これを基準として Sleeping の時間区分を設定した．残りの行動についても同様に時間区分の処理を行った．結果として，すべての行動をその時間幅で分類し，整理したものを Table 4 に示す．また，離散化した他のデータとして，「日付」の「月」の 3~5 月を春，6~8
月を夏，9~11 月を秋，12~2 月を冬とする「季節」に変換し，「日」を対応する「曜日」に変換している．

Fig. 12 Time-division considering time required for eachactivity
Table 4 Activities belonging to Time-division (sec)では，×印で示された平均点と，有効的な部分を表す青四角が重なっており，データが一定の範囲に収まっていることが確認できる．外れ値を除去することにより「整容には約 30～80 秒を要する」といった行動に要する時間を把握することができる．
次に，データセット中では連続値で記録されている「時間」，「時刻」，「日付」をベイジアンネットワークで扱えるようにクラスタリングアルゴリズムを用いて離散化する．
行動に要する時間は，「整容」の様に短いもので数秒，「睡眠」の様に長いもので数時間というように時間幅が広く，一定の時間単位で扱うことが難しい．そこで，行動の開始
時刻と時間を組合せて 2 次元のデータとして表し，K-means
法を用いてクラスタリングを試みた．例えば，2 次元のデータとして（時刻，時間）で表した時，（早，短），（早，長），

4.3 ベイジアンネットワークの構築
前節で説明した前処理を行って作成したデータセットには「年」，「季節」，「曜日」，「時間」，「時刻」，「場所」，「行動」が記録されている．これらをノードとして Waka を用
いてベイジアンネットワークを構築した（Fig. 13）．構築の際，Weka のパラメータは以下を用いた．
・ Estimator：SimpleEstimator を使用．
SimpleEstimator はベイジアンネットワークの条件付き確率を推定するために使用され，データから直接確率の推定を行う方式であり，デフォルトに設定された方式である．
・ SearchAlgorithm：K2 を使用．
ベイジアンネットワークの構造学習アルゴリズムは良

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竹中一秀・撫中達司

ヘッダー

く知られている K2 アルゴリズムを使用した．K2 アルゴリズムは，あらかじめノード間に全順序関係を与え，その全順序関係の制約を用いて，あるノードに対する親ノードの組合せを探索する方法である．
・ maxNrOfParents：100 に設定．
あるノードの親となるノードの数．親の数に制限を持たせないため，ネットワーク内のノード数よりも十分大きい値として本評価では 100 に設定した．
4.4 ベイジアンネットワークによる行動候補の抽出
Fig. 14 は，場所，時刻，時間，日付（年，季節，曜日）を入力データとしたベイジアンネットワーク（Fig. 13）の結果の出力例を示したものである．この例では，「Eating」と「Watch_TV」が 50%前後の確率で発生すると推定されているが，結果としてベイジアンネットワークでは行動を特定するには至らず，この 2 つ行動が候補となる．なお，複数の候補が推定された場合，本評価では発生確率が 30%を超えた上位 2 つの行動を候補とすることとした．
4.5 ベイジアンネットワークによる行動認識の結果構築したベイジアンネットワークに，CASAS のデータセットから離散化して作成した時刻，時間，場所，日付（年，季節，曜日）を入力データとして 16 の行動についての交差検証を行った（Fig. 15）．交差する箇所が正しく認証された行動の数を示しており，その他の箇所は誤認識した行動の数が記載されている．約 4,600 件の交差検証の結果，認識率は 89.9%であり，同じ CASAS のデータセットを使用している先行研究 20)の認識率 81.3%に比べて 8%程度向上している．しかし，時刻，時間，場所といった情報が類似している「d: Enter_Home」と「e: Leave_Home」は半分近く誤認識している（Fig. 15 実線〇）．また，「c: Eating」について
も，時刻，時間，場所が類似している「j: Watch_TV」や「n:Work_LivingRm」と誤認識している（Fig. 15 破線〇）．この結果から，データセットで扱う時刻，時間，場所，日付など の 行 動 に 関 す る デ ー タ の 前 処 理 を 行 う こ と で ， Data
driven approaches の一つであるベイジアンネットワークによる行動認識率が向上したことは確認できたが，先行研究 4)が示唆している Data driven approaches の課題である認識率の限界は依然として解決されていない結果となっている．
次に，ベイジアンネットワークの結果に対して，行動生
起確率を適用する評価を行うが，その際には，各行動の発生数を同じにしておく必要があることから，以後の評価は，
データセットの中から各行動についてランダムに 50 の行
動を抜き出し，そのデータを用いた結果をもとに考察する．
4.6 行動生起確率表を適用した評価結果
Fig. 16 は，ランダムに選択した 50 の行動に対するベイ
ジアンネットワークの交差検証結果を示したものである．
誤認識の傾向などはデータセット全体を用いた交差検証結果である Fig. 15 と同様であることが確認できる．Fig. 17 は，
ベイジアンネットワークの結果（Fig. 16）に対して，行動
生 起 確 率 を 適 用 し た 交 差 検 証 の 結 果 を 示 し て い る ．「 d:Enter_Home」，「e: Leave_Home」の認識率は，大きく改善され て い る こ と が 確 認 で き る （ Fig. 17 実 線 〇 ）．「 d:Leave_Home」の後に発生する「e: Enter_Home」は，行動の順序性が明確で，かつ関係性が強いため，行動生起確率

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Fig. 14 Example of recognized activities by the Bayesian
networkFig. 15 Confusion matrix using the Bayesian network with allactivities recorded in CASAS data set

Fig. 16 Confusion matrix using the Bayesian network withrandomly selected activities recorded in CASA data set

Fig. 17 Confusion matrix using the Bayesian network withactivity occurrence probabilityベイジアンネットワークと行動生起確率による行動認識方法の提案とその評価

ヘッダー（Table 2 実線□）を用いることにより，ベイジアンネット
ワークだけでは識別が難しかった行動が正しく識別できている．また，「d: Enter_Home」の認識率が向上したことにより，「 c: Enter_Home」と関係性が強い「n: Working_ LivingRm」，「o: Work_Table」，「f: Mearl_Preparation」の認識率がわずかではあるが改善されている（Fig. 16 二重線〇, Table 2 破線□）．一方，「c: Eating」は，直前行動の「f: Meal_ Preparation」と強い関係性を持つが（Table 2 実線〇），行動生起確率を適用した効果があまり見られない結果となった（Fig. 17 破線〇）．

Table 4 Example of discretized activity records

5. 考 察5.1 認識対象の直前行動の行動生起確率を用いて誤認識す
る例
Table 4 はデータセットの中から「c: Eating」の前後のデータを一部抜き出したものであり，上から順に時系列に行動が起きたことを示している．この例では，｢c: Eating｣と｢o: Work_Table｣がベイジアンネットワークにより推定された候補であり，どちらが実際に発生した行動であるかを行
動生起確率によって特定する．ここでは「c: Eating」が認識すべき行動と仮定する．Fig. 18 は Table 4 の内容を図示したものであるが，認識すべき行動である「c: Eating」の直前
行 動 は ，「 c: Eating 」 と 強 い 関 係 性 を も つ 「 f: Meal_
Preparation」ではなく，｢o: Work_Table｣と判断したため，「o:Work_Table」と強い関係性を持つ｢o: Work_Table｣を選択し（Table 2，二重〇），誤認識したことになる．データセットには，開始した時刻順に行動が記録されているが，「 f: Meal_
Preparation」の後に「o: Work_Table」が発生しているため，「f: Meal_Preparation」が「c: Eating」の直前に終了しているが，直前行動としては「o: Work_Table」になる．結果として，「o: Work_Table」と関係性の強い「o: Work_Table」が選択され，誤認識となった．なお，「o: Work_Table」は食事の準備や，テーブルでの作業など多くの動作が含まれ，一定の間隔を空けて連続して発生する行動である．また，先にも述べたように，CASAS には 2 人の居住者の行動が区別されず記録されており，本結果もこの点が影響を及ぼしている可能性がある．行動の発生時刻ではなく，終了時刻による行動順の変更などデータセットのデータ処理を行った上での再評価が必要であるが，この例の結果から，データセットに記録された直前行動と関係性の強い行動を選択するという単純な方法では，実際の複雑な環境下では正しく認識することが難しいと考えられる．この様な状況はテレビを見ながら料理する等，ある行動の間に別の行動が発生するという日常的に起こり得る現象であり，解決すべき今後の課題である．
5.2 認識対象の行動の前に関係の強い行動がなく，行動生
起確率の適用が有効ではない例
本実験で用いたデータセットでは，「p: Yoga」のサンプル数が全体の約 4,600 件に対して，13 件と非常に少なく，ベ
イジアンネットワークを用いるためのサンプル数が十分ではなかった．また，「p: Yoga」は Table 2 で示されている様に，「p: Yoga」の前に行われるすべての行動との行動生起確率が 1%以下と低く，このため行動生起確率が効率的に働く行動とはならない．直前行動に習慣として強い関係性のFig. 18 Example of a misrecognition estimated using the lastactivity
持つ行動を持たない場合，本方法で行動を認識することは難しい．しかし，「p: Yoga」などの趣味の行動は，個人の習慣として「時刻」，「場所」，「曜日」が比較的固定されている可能性があり，これら行動はベイジアンネットワークで行動認識できる可能性が高く，今後の評価の中で ADL の行動とは区別して評価を行っていく必要がある．

6. ま と め と 今 後 の 課 題
6.1 まとめ本研究では，Data driven approaches の一手法であるベイ
ジアンネットワークと Knowledge driven approaches として考案した行動生起確率を組合せた行動認識方法を提案し，その評価を行った．ワシントン州立大学が公開する CASAS
データセットを用いて，ADL や IADL に定義された行動を含む 16 種類の行動を対象にした評価実験を行った結果，ベイジアンネットワークに使用するデータセットの前処理を行うことで同じデータセットを用いた先行研究に比べて8％程度認識率が向上することが確認できた．また，ベイジ
アンネットワークのみの認識結果では誤認識されていた「d: Enter_Home」と「e: Leave_Home」は，行動の関係性を数値化した行動生起確率によって正しく認識することができた．しかしながら，2 つの行動の間に強い関係性を持つ「f: Meal_Preparation」と「c: Eating」については，比較的行動に要する時間の長い「f: Mearl_Preparation」の間に異なる行動が行われた場合，「f: Meal_Preparation」以外の行動と強い関係性を持つ行動が選択され，誤認識という結果になった．この解決方法として，発生した行動の単純な順序を用いるのではなく，最後に終了した行動を直前に発生した行動として順序関係を変更するなどのデータの前処理を追加すれば，行動生起確率を用いて選択される行動の認識率向上が見込めると考える．

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− 14

竹中一秀・撫中達司

ヘッダー

6.2 今後の課題
本稿では，Knowledge driven approaches として，行動生起確率を用いて Data driven approaches で候補として抽出された行動の中から，データセットに記録された直前行動から習慣として関係の強い行動を選択する方法を提案した．この方法では，特定する行動の前に発生した行動との関係性の強さを表現した行動生起確率を用いているが，この際前提となるのは，直前行動が精度高く認識されていることである．今回の評価においても，5.2 節で述べたようにこの問題が明らかとなっている．直前行動だけに限らず，過去の行動の認識率を考慮して，行動生起確率の適用候補となる行動の抽出方法を検討する必要がある．また，本稿ではData driven approaches としてベイジアンネットワークを用いたが，もう一つの代表的な方法である HMM を含めて，先行研究で行われている様々な方法との組合せを評価する必要がある．
また，今回のアルゴリズムは ADL と IADL の行動の区別をせずに同一レベルの行動として扱ったが，ベイジアンネ
ットワークで出力された候補の中に ADL に含まれる行動があった場合には，直前行動だけではなく，ある一定時間の中で行動生起確率を適用する対象となる行動の候補を選択するなど，ADL に対象を限定した決定方法の検討が考えられる．
加えて，考察でも述べたように，実際の生活環境においては，習慣とは異なる行動を取る，あるいは同時に複数の行動を行うなどの状況が発生する．今回の方法ではこの状
況においては，行動を正しく認識することができない．改善する一つの方法は，一般的な行動の前後関係を網羅的に構造化し，それぞれに時間や回数などのプロパティを定め，習慣の生起条件を表現する方法が挙げられる．

7）

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2）

総

論

参

考

資

料

｜

厚

生

労

働

省

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− 15

The

workbenchformachinelearning,

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月 20 日）東海大学紀要情報通信学部
Vol.13,No.1,2020,pp.16-22
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx , 20xx, pp.xxx -xxx

論文

論文

帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題に対する列生成法
胡 津閣 *1，森山 弘海 *2

A Column Generation Algorithm for a Selective
Vehicle Routing Problem with Backhauls and Time Windows
byJinge HU*1 and Hiroumi MORIYAMA *2( received on Mar. 27, 2020&

accepted on Aug. 3, 2020 )あらまし
運搬経路問題においては，通常，所与である全ての顧客の荷物を運搬するための各運搬車のルートを求める．しかし実務においては，所与の顧客の中から荷物を運搬すべき顧客を選択しなければならない場合も多い．また，実際の運搬現場においては，帰り荷や時間枠を考慮しなければならない場合も存在する．そこで当研究では，帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題を取り上げ，列生成法に基づくその近似解法を提案する．

Abstract
The classical vehicle routing problem consists of finding a set of routes to serve all given customers. However, in practice, it
is often necessary to select some customers from a set of potential customers and to find a set of routes to serve them. Also,
there exists practical cases where backhauls and time windows must be taken into account. In this paper, we consider aselective vehicle routing problem with backhauls and time windows and propose a column generation-based algorithm to solve
the problem.
キ ー ワ ー ド ： 選択型運搬経路問題，帰り荷，時間枠，列生成法
Keywords: Selective Vehicle Routing Problem, Backhauls, Time Windows, Column Generation

1. は じ め に運搬経路問題においては，通常，所与である全ての顧客の荷物を運搬するための各運搬車のルートを求める．しかし実務においては，所与である顧客の中から荷物を運搬すべき顧客を選択し，それらの顧客のみの荷物を運搬するための各運搬車のルートを求めなければならない場合も多い．例えば，物流会
社においては，荷主からの自社の運搬規模を超える運搬依頼に対して，自社で荷物を運搬する顧客を選
択 し な け れ ば な ら な い 状 況 が 頻 繁 に 発 生 す る ．ま た ，
自社の運搬業務（の一部）を外部委託することを検討している企業においては，外部委託すべき（自社で運搬すべきではない）顧客を選択したいという要
望がしばしば現れる．
他方，運搬経路問題に関するこれまでの研究の多
く は ， (a)デ ポ で 荷 物 の 積 み 込 み を 行 い ， そ れ を 顧 客に運搬して積み下ろしを行う場合（配送の場合），も し く は ， (b)顧 客 で 荷 物 の 積 み 込 み を 行 い ， そ れ を
デ ポ に 運 搬 し て 積 み 下 ろ し を 行 う 場 合（ 集 荷 の 場 合 ）*1 情 報 通 信 学 研 究 科 情 報 通 信 学 専 攻 修 士 課 程Graduate School of Information andTelecommunication Engineering, Course ofInformation and Telecommunication Engineering,
Master’s Program*2 情 報 通 信 学 部 経 営 シ ス テ ム 工 学 科 教 授
School of Information and Telecommunication
Engineering，Department of Management Systems
Engineering， Professor
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− 16

の い ず れ か を 想 定 し て い る 1 )2 ) ． し か し ， 実 務 に お いて は ， (a)と (b)が 混 在 し て い る 場 合 も 存 在 す る ． そ して，そのような場合の運搬現場においては，各運搬
車が荷物の積み下ろしを行う顧客（以下では単に配送先という）をすべて巡回したあとに，荷物の積み込みを行う顧客（以下では単に集荷先という）を巡
回 す る 運 搬 方 法 が し ば し ば 用 い ら れ て い る 3 )4 ) ． そ れゆえ，各運搬車が配送先をすべて巡回したあとに集荷先を巡回することを特に帰り荷とよぶと，この帰り荷を考慮することも実務上重要であると思われる．
加えて，そのような実際の運搬現場においては，各顧客の荷物を運搬する時刻が所与の時間枠（何時から何時までの間）に入っていなければならないという 条 件 を 考 慮 し な け れ ば な ら な い 場 合 5)も 存 在 す る ．
そこで当研究では，顧客選択，帰り荷および時間枠を考慮した上で，応用範囲が広いと考えられる運搬収益から運搬費用を差し引いた利益の最大化を目的関数とした場合の運搬経路問題を特に，帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題とよび，列生
成法に基づくその近似解法を提案する．
荷物を運搬すべき顧客の選択を考慮した運搬経路問題に関しては，これまでにいくつかの研究がある（ 2014年 ま で の 研 究 は 文 献 6 ) に ，2016年 度 ま で の 研 究
は 文 献 7 ) に サ ー ベ イ さ れ て い る ）．例 え ば ，基 本 的 な（各運搬車の最大積載量制約を考慮しない場合の）問 題 に つ い て は ， Boulyら 8 ) が 遺 伝 的 局 所 探 索 法 に 基
づ く ， Dangら 9) が 粒 子 群 最 適 化 に 基 づ く ， Lin 10) が ア

胡津閣・森山弘海

ヘッダー

ニ ー リ ン グ 法 に 基 づ く 近 似 解 法 を ，Keshtkaranら 11 ) が
分 枝 価 格 法 に 基 づ く ， El-Hajjら 12) が 切 除 平 面 法 に 基
づ く ， Bianchessiら 13) が 分 枝 カ ッ ト 法 に 基 づ く 最 適 解法を提案している．また，各運搬車の最大積載量制
約 を 考 慮 し た 場 合 の 問 題 に つ い て は ， Archettiら 14 ) がタ ブ ー サ ー チ 法 に 基 づ く ，Gunawanら 15) が 反 復 局 所 探
索 法 に 基 づ く 近 似 解 法 を ， Archettiら 16) が 分 枝 価 格 法に基づく最適解法を提案している．さらに，各顧客の 時 間 枠 を 考 慮 し た 場 合 の 問 題 に つ い て は ， Linら 1 7 )が ア ニ ー リ ン グ 法 に 基 づ く ， Huら 18) が 局 所 探 索 法 とア ニ ー リ ン グ 法 に 基 づ く ，Cura 19) が 人 工 蜂 群 生 法 に 基
づく近似解法を提案している．しかしながら，これらを含む従来研究で取り上げている問題はいずれも帰り荷と時間枠を同時に考慮していない．これに対して当研究では，帰り荷と時間枠を考慮した選択型
運搬経路問題を取り上げる．そして，列生成法に基づくその近似解法を構築し，それで求まる解の精度
を数値実験で検証する．

用の総和を最小化することが望まれるが，その最適値 は ， 顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖の 荷 物 を 外 部 委 託 し た 場 合 の 費 用 を𝑒𝑒� と お く と ，𝑓𝑓� � 𝑒𝑒� , 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖と し た 場 合 の �P� の 最 適 値 を求 め ， そ れ を ∑�∈� 𝑒𝑒� か ら 差 し 引 く こ と で 定 ま る こ とを付記しておく．

3. 列 生 成 法 に 基 づ く 近 似 解 法
上 述 の �P� を 明 確 に 設 定 す る た め に は ， 考 え ら れ る
全てのルートを列挙する必要があるが，その数は一般に膨大な数になる．そのため，全てのルートを列挙することは，それ自身が極めて多くの計算量を必要とするため実際的でない．そこでここでは，ルート を 逐 次 列 挙 し な が ら �P� の 上 界 値 を 求 め る 列 生 成 法を提案し，その列生成法で列挙したルートを用いて�P� の 下 界 値 （ 実 行 可 能 解 ） を 求 め る 近 似 解 法 を 構 築する．
い ま ， �P� の 式 (5)を 𝑥𝑥� � 0, ℎ ∈ 𝑅𝑅 に 緩 和 し た 連 続 緩
和問題：

2. 0-1整 数 計 画 問 題 へ の 定 式 化
運 搬 車 数 を 𝐾𝐾，顧 客 の 集 合 を 𝑖𝑖 � �1,2, ⋯ , 𝑛𝑛�，ル ー ト（デポを出発したあといくつかの顧客を巡回し，再び デ ポ に 戻 る 閉 路 ） の 集 合 を 𝑅𝑅 � �1,2, ⋯ , 𝑟𝑟� と す る ．
ここで，ルートは通常の積載量制約とともに，既述の帰り荷と時間枠の制約を満たしているものとする．
ま た ，ル ー ト ℎ ∈ 𝑅𝑅𝑅の 運 搬 費 用（ 固 定 費 用 と 移 動 費 用の 総 和 ） を 𝑐𝑐� ， 顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖の 荷 物 を 運 搬 し た 場 合 の 運
搬 収 益 を 𝑓𝑓� と す る ． さ ら に ， ル ー ト と 顧 客 の 関 係 を次で定義する．

1, ル ー ト ℎ に 顧 客 𝑖𝑖𝑖が 含 ま れ る 場 合,𝛼𝛼�� � �
0, そ の 他ℎ ∈ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
こ の と き ， 変 数 𝑥𝑥� を

�P�

s. t.

� �� 𝑓𝑓� 𝛼𝛼�� � 𝑐𝑐� � 𝑥𝑥�

�∈�

�∈�

� 𝛼𝛼�� 𝑥𝑥� � 1,�∈�

� 𝑥𝑥� � 𝐾𝐾�∈�𝑥𝑥� ∈ �0, 1�,𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖ℎ ∈ 𝑅𝑅(6)� �� 𝑓𝑓� 𝛼𝛼�� � 𝑐𝑐� � 𝑥𝑥�

�∈�

s. t.

�∈�

式 (3),(4)𝑥𝑥� � 0, ℎ ∈ 𝑅𝑅

(7)

を 考 え る ．こ こ で ，問 題 �∙� の 最 適 値 を 𝑧𝑧�∙� と 記 す と ，�� で あ る ．よ っ て ，�P
�� を
緩 和 法 の 原 理 よ り ，𝑧𝑧�P� � 𝑧𝑧�P�P�
解けばの 上 界 値 が 求 ま る ． さ ら に ， 𝑅𝑅𝑅の あ る 部 分
�� に お け る ル ー ト の 集 合 𝑅𝑅𝑅を 𝑅𝑅� に 限
集 合 𝑅𝑅� を 考 え ， �P��� � と ， そ の 双 対 問 題 ：定 し た 限 定 主 問 題 �P� �� �
�D� 𝑢𝑢� � 𝐾𝐾𝑢𝑢�

min.

(8)

�∈�

� 𝛼𝛼�� 𝑢𝑢� � 𝑢𝑢� � � 𝑓𝑓� 𝛼𝛼�� � 𝑐𝑐� ,

s. t.

�∈�

𝑢𝑢� � 0,𝑢𝑢� � 01, ル ー ト ℎ を 選 択 す る 場 合

max.

max.

(1)

𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖�∈�ℎ ∈ 𝑅𝑅�

(9)
(10)
(11)

� �� � の 𝑢𝑢� , 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖と 𝑢𝑢� は そ れ ぞ れを 考 え る ． こ こ で ， �D��� � の 式 (3)と 式 (4)に 対 応 す る 双 対 変 数 で あ り ， 双 対
�P� �� � で あ る ． そ こ で �P��� � の 最 適 解��� � � 𝑧𝑧�D
定 理 よ り 𝑧𝑧�P
�
�𝑥𝑥̅
�，
�D
�
�𝑢𝑢
�
を �
��と し ，
�� の 最 適 解 を � � , 𝑢𝑢

, ℎ ∈ 𝑅𝑅
0, そ の 他とすると，帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経
路 問 題 は 次 の よ う な 0-1 整 数 計 画 問 題 に 定 式 化 さ れる．
𝑥𝑥� � �

��
�P

(2)

𝑐𝑐�∗ � 𝑐𝑐� � � 𝛼𝛼�� �𝑢𝑢�� � 𝑓𝑓� � � 𝑢𝑢�� , ℎ ∈ 𝑅𝑅

(12)

𝑐𝑐 ∗ � ��� 𝑐𝑐�∗

(13)

�∈�

とおく．このとき，(3)�∈�� �� � の 最 適 解 はで あ る 𝑐𝑐 ∗ を 定 め る と ，𝑐𝑐 ∗ � 0 な ら ば ，�D��P� の 双 対 問 題 の 最 適 解 と な り ，

(4)
(5)

こ こ で ， 式 (2)は 目 的 関 数 で 総 運 搬 収 益 か ら 総 運 搬 費用を差し引いた総利益を最大化することを表す．また ， 式 (3)は 運 搬 車 が 各 顧 客 を た か だ か 1 度 巡 回 す る
こ と を 規 定 す る ． そ し て ， 式 (4)は 使 用 す る 運 搬 車 が所与の運搬車台数以下であることを規定する．
なお，既述した外部委託すべき顧客を選択したいという要望においては，外部委託費用と自社運搬費

𝑥𝑥�∗ � �𝑥𝑥̅� ,
0,ℎ ∈ 𝑅𝑅�その他,ℎ ∈ 𝑅𝑅(14)�� の 最 適 解 と な る ．
で あ る �𝑥𝑥�∗ � は �P
以上の準備の下，当研究では，概略，次のような
手 順 で �P� の 実 行 可 能 解 を 求 め る も の と す る ．た だ し ，
次 の 手 順 の S0，S2，S4 を 実 行 す る 方 法 に つ い て は 後
述する．

―
2 ―
− 17
−

帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題に対する列生成法

ヘッダー

手順

列生成法に基づく近似解法

S0.
S1.

初 期 ル ー ト を 生 成 し ，そ れ ら の 集 合 を 𝑅𝑅�と お く ．
��� � の 最 適 解 �𝑥𝑥̅� � と �D� �� � の 最 適 解 �𝑢𝑢�� �， 𝑢𝑢�� を 求�Pめる．
𝑐𝑐 ∗ � 0 な ら ば S4へ ．
𝑐𝑐�∗ � 0 で あ る ル ー ト の 集 合 𝑅𝑅��� を 求 め ，𝑅𝑅� ≔ 𝑅𝑅� ∪𝑅𝑅��� と し て S1へ ．
��� � に 𝑥𝑥� ∈ �0, 1�, ℎ ∈ 𝑅𝑅� を 追 加 し た 問 題 �P�� � を 解�Pい て �P� の 実 行 可 能 解 �𝑥𝑥�∗ � を 求 め る ．

S2.
S3.
S4.

𝑠𝑠�

:
:
:

(17)

� 𝑥𝑥�� � 1�∈���∈���� ∖���(18)𝑥𝑥�� ,

𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖�∈�� � 𝑥𝑥�� � 1
�∈� �∈�� � 𝑥𝑥�� � 0�∈� �∈�� � 𝑞𝑞� 𝑥𝑥�� � 𝑄𝑄�∈�� ∖��� �∈����∈� �∈���� ∖���𝑞𝑞� 𝑥𝑥�� � 𝑄𝑄

𝑡𝑡� � 𝑑𝑑�� � 𝐵𝐵�1 � 𝑥𝑥�� � � 𝑡𝑡� ,�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴𝑎𝑎� � 𝑡𝑡� � 𝑏𝑏� , 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖 𝑖 �0, 𝑛𝑛 � 1�𝑥𝑥�� ∈ �0,1�, �𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴

(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)

こ こ で ，式 (17)は 目 的 関 数 で 最 適 値 が 式 (13)の 𝑐𝑐 ∗ に な
る こ と を 表 す ． そ し て 式 (18)， (19)， (20)は ル ー ト が
生 成 さ れ る こ と を 規 定 す る ． ま た ， 式 (21)， (22)は ，
ル ー ト が (a)配 送 先 だ け を 巡 回 す る ， (b)集 荷 先 だ け を
巡 回 す る ， (c)配 送 先 と 集 荷 先 を 巡 回 す る 場 合 に 配 送
先をすべて巡回したあとに集荷先を巡回する，のいず れ か に な る こ と を 規 定 す る ．ま た ，式 (23)は 運 搬 車が巡回する配送先の需要量の総和が最大積載量以下
で あ る こ と を ，式 (24)は 運 搬 車 が 巡 回 す る 集 荷 先 の 需
要量の総和が最大積載量以下であることを規定する．
そ し て 式 (25)， (26)は ， デ ポ 0 に お け る 運 搬 車 の 出 発
時刻と到着時刻および巡回する顧客におけるサービ
ス開始時刻が所与の時間枠を満たすことを規定する．
当 研 究 で は ， こ の ����� �を 数 理 計 画 ソ ル バ ー で 解 いて 𝑐𝑐 ∗ を 求 め る が ，式 (25)の よ う な 十 分 に 大 き な 数 𝐵𝐵 を含んだ定式化は一般に多くの計算時間を必要とする
た め ，𝐵𝐵 の 値 を で き る 限 り 小 さ い 値 に 変 更 す る こ と で
式 (25)を 強 化 す る こ と を 考 え る .
式 (25)は 𝑥𝑥�� � 0で あ る と き ， 𝑡𝑡� � 𝑑𝑑�� � 𝑡𝑡� � 𝐵𝐵, �𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴と な る が ， 式 (26)よ り 𝑡𝑡� � 𝑏𝑏� で あ り 𝑡𝑡� � 𝑎𝑎� で あ る た め ，式 (25)の 𝐵𝐵𝐵の 値 を 𝑏𝑏� � 𝑑𝑑�� � 𝑎𝑎� に 設 定 し て も ， 式 (25)はすべての実行可能解に対して成立する．よって，式(25)は 𝐵𝐵 � 0 で あ る 場 合 の み 意 味 が あ る こ と に 注 意 する と ，式 (25)の 𝐵𝐵𝐵を ����0, 𝑏𝑏� � 𝑑𝑑�� � 𝑎𝑎� �で 置 き 換 え る こと が で き る ．さ ら に ，式 (25)の �𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴� に 対 応 し た 制
約 式 ，式 (26)の 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖��� に 対 応 し た 下 限 制 約 式 ，式 (26)の 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖� に 対 応 し た 上 限 制 約 式 は ，持 ち 上 げ（ lifting）
操 作 20) を 適 用 す る こ と に よ り ， 次 の よ う な 強 化 し た
制 約 式 に そ れ ぞ れ 書 き 換 え る こ と が で き る ．た だ し ，𝑁𝑁�� � �𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗� ∈ 𝐴𝐴�， 𝑁𝑁�� � �𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴�で あ る ．

デポ0 における運搬車の最早出発時刻
デポ0 における運搬車の最遅到着時刻
デポ0 における運搬車の最早到着時刻
デポ0 における運搬車の最遅到着時刻
顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖の 最 早 サ ー ビ ス 開 始 時 刻
顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖の 最 遅 サ ー ビ ス 開 始 時 刻
顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖の 需 要 量 （ 配 送 量 と 集 荷 量 ）運搬車の最大積載量
顧 客 （ デ ポ を 含 む ） 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖� か ら 顧 客 （ デポ を 含 む ） 𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗� へ の 移 動 費 用運搬車の固定費用
顧 客 （ デ ポ を 含 む ） 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖� か ら 顧 客 （ デポ を 含 む ） 𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗� へ の 移 動 時 間
顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖の サ ー ビ ス 時 間

�0, 𝑗𝑗� ∈ 𝐴𝐴�
𝑐𝑐�� � 𝑢𝑢�� /2 � �𝑢𝑢�� � 𝑓𝑓� �/2,
𝑐𝑐̅�� � � 𝑐𝑐�� � �𝑢𝑢�� � 𝑓𝑓� �/2 � �𝑢𝑢�� � 𝑓𝑓� �/2, �𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴� ,�𝑖𝑖, 𝑛𝑛 � 1� ∈ 𝐴𝐴�
𝑐𝑐�� � �𝑢𝑢�� � 𝑓𝑓� �/2 � 𝑢𝑢�� /2,
�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴 (15)
�0, 𝑗𝑗� ∈ 𝐴𝐴�
𝑡𝑡�� ,
𝑑𝑑�� � � 𝑠𝑠� � 𝑡𝑡�� , �𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴�, �𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴(16)
𝑠𝑠� � 𝑡𝑡�� , �𝑖𝑖, 𝑛𝑛 � 1� ∈ 𝐴𝐴�

と す る ． こ の と き ， 変 数 𝑥𝑥�� と 𝑡𝑡� を

1, 運 搬 車 が 顧 客 （ デ ポ を 含 む ） 𝑖𝑖𝑖か ら 顧

客 （ デ ポ を 含 む ） 𝑗𝑗 へ 直 接 移 動 す る 場 合 ,0, そ の 他

s. t.

� 𝑐𝑐̅�� 𝑥𝑥�� � 𝑐𝑐�

��,��∈�� 𝑥𝑥�,��� � 1と す る ．加 え て ，𝐴𝐴� � ��0, 𝑗𝑗� | 𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗�，𝐴𝐴� � ��𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝑖𝑖 � 𝑖𝑖
| 𝑖𝑖 � 𝑗𝑗�， 𝐴𝐴� � ��𝑖𝑖, 𝑛𝑛 � 1� | 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖�， 𝐴𝐴 � 𝐴𝐴� ∪𝐴𝐴� ∪𝐴𝐴� と し ，𝑥𝑥�� � �min.

� 𝑥𝑥�� �

こ こ で は ，前 述 し た 価 格 付 け 問 題（ 式 (13)の 𝑐𝑐 ∗ を 求
め る 問 題 ） を 混 合 0-1整 数 計 画 問 題 に 定 式 化 す る ．
配 送 先 の 集 合 を � � �1,2, ⋯ , 𝑙𝑙�， 集 荷 先 の 集 合 を � ��𝑙𝑙 � 1, 𝑙𝑙 � 2, ⋯ , 𝑙𝑙 � ��， 配 送 先 と 集 荷 先 を 併 せ た 顧 客 の集 合 を 𝑖𝑖 � � ∪ � � �1,2, ⋯ , 𝑛𝑛� と す る ．た だ し ，𝑛𝑛 � 𝑙𝑙 � �
で あ る ．ま た ，デ ポ（ 運 搬 車 の 発 地 ）を 0，ダ ミ ー のデ ポ （ 運 搬 車 の 着 地 ） を 𝑛𝑛 � 1 で 表 し ， 𝑁𝑁𝑁に 0 を 加 え
た 集 合 を 𝑁𝑁� � 𝑖𝑖 ∪ �0� と し ，𝑁𝑁𝑁に 𝑛𝑛 � 1 を 加 え た 集 合 を𝑁𝑁��� � 𝑖𝑖 ∪ �𝑛𝑛 � 1� と す る ． さ ら に ，

𝑐𝑐�
𝑡𝑡��

����� ��∈�� ∖���

4. 価 格 付 け 問 題 の 定 式 化

:
:
:
:
:
:
:
:
:

デポ0 にからの運搬車の出発時刻
顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖 に お け る サ ー ビ ス 開 始 時 刻
デポ0 への運搬車の到着時刻と定義すると，前述した価格付け問題は，次のような 混 合 0-1整 数 計 画 問 題 に 定 式 化 さ れ る ．た だ し ，𝐵𝐵𝐵は十分に大きな数である．

こ の 手 順 の S0に お い て は ， 初 期 ル ー ト を 求 め る 必
要 が あ る が ，こ こ で は ，�0 → 𝑖𝑖 𝑖𝑖�, 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖で あ る 𝑛𝑛𝑛個 のル ー ト を 初 期 ル ー ト と す る ．ま た ，S4に お い て は �𝑃𝑃�� �の最適解を数理計画ソルバーで求めるものとする．
さ ら に ，こ の 手 順 の S2に お い て は ，式 (13)の 𝑐𝑐 ∗ を 求 める必要があるが，そのための問題（価格付け問題という）については次節で確認する．

𝑎𝑎�
𝑏𝑏�
𝑎𝑎���
𝑏𝑏���
𝑎𝑎�
𝑏𝑏�
𝑞𝑞�
𝑄𝑄
𝑐𝑐��

𝑡𝑡� :
:
𝑡𝑡�
𝑡𝑡��� :

�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝐴𝐴

―
3 ―
− 18
−

胡

津閣・森山弘海ヘッダー

𝑡𝑡� � ��� � max�0, 𝑏𝑏� � ��� � 𝑎𝑎� ��� � 𝑥𝑥�� ��max�0, m���𝑎𝑎� � 𝑎𝑎� , ���� � � 𝑏𝑏� � 𝑎𝑎� �𝑥𝑥�� � 𝑡𝑡� ,�𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖�∈𝐴𝐴�𝑎𝑎� � � max�0, 𝑎𝑎� � ��� � 𝑎𝑎� � 𝑥𝑥�� � 𝑡𝑡� ,𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖����∈���𝑡𝑡� � 𝑏𝑏� � � max�0, 𝑏𝑏� � 𝑏𝑏� � ��� � 𝑥𝑥�� ,𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖�

�∈���

(28)
(29)
(30)

そこで当研究では，以上のように強化された問題����� �を 数 理 計 画 ソ ル バ ー で 解 い て 𝑐𝑐 ∗ を 求 め る が ，列生 成 法 に 基 づ く 近 似 解 法 の S2に お い て は ， 常 に 𝑐𝑐 ∗ を
求 め る 必 要 は な く ，𝑐𝑐�∗ � 0, ∃ ℎ ∈ 𝑅𝑅 で あ る ル ー ト ℎ が 求
ま れ ば S3へ 計 算 を 進 め る こ と が で き る ． ま た ， S3に
お い て も ，常 に 𝑐𝑐�∗ � 0 で あ る 全 て の ル ー ト の 集 合 を 求
め る 必 要 は な く ， 𝑐𝑐�∗ � 0, ∃ ℎ ∈ 𝑅𝑅 で あ る ル ー ト ℎ を𝑅𝑅��� � �ℎ� と す る こ と が で き る ． そ こ で こ こ で は ，����� � の 最 適 解 を 常 に 求 め る の で は な く ，目 的 関 数 値
が 負 の 実 行 可 能 解 が 求 ま っ た 時 点 で ����� � の 計 算 を終了するものとする．

�𝑡𝑡�� � 𝑐𝑐�� ,𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖�

R1

1236

50

200

10

3390

max 𝑞𝑞�

1458

R2

𝑏𝑏�

50

1458

1000

10

C1

230

41

1810

200

90
90

∑ 𝑞𝑞�

𝑄𝑄

𝑠𝑠𝑠

C2

1000

41

1810

700

RC1

240

40

1724

200

10

RC2

960

40

1724

1000

10

(2) 運 搬 車 数 𝐾𝐾𝐾は 𝐾𝐾 � �, �0 の 2通 り と し た ．
(3) 上 記 ベ ン チ マ ー ク 問 題 の 最 初 の 𝐶𝐶 � 𝑛𝑛𝑄𝑄 個 の 顧 客
を 配 送 先 ，残 り の 𝑁𝑁 � 𝑛𝑛 � 𝐶𝐶 個 の 顧 客 を 集 荷 先 と し ，
最 大 積 載 量 𝑄𝑄𝑄は 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄と し た ．
(4) 顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖の 運 搬 収 益 𝑓𝑓� は 次 式 で 定 め た ．

以上，帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題に対する列生成法を提案したが，その有効性を検証するために数値実験を実施した．ただし，数値実験で使用した実験データの作成方法と実験環境に関しては以下の通りである．
(1) 通 常 の 時 間 枠 付 き 運 搬 経 路 問 題 に 対 す る 代 表 的な ベ ン チ マ ー ク 問 題 21) を 基 に ，帰 り 荷 と 時 間 枠 を考慮した選択型運搬経路問題の問題例を作成した ．使 用 し た ベ ン チ マ ー ク 問 題 に 関 し て は 以 下 の通りである．
 顧 客 数 𝑛𝑛 は 𝑛𝑛 � �00 で あ る ．
 顧 客 （ デ ポ を 含 む ） 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖� か ら 顧 客 （ デ ポ を
含 む ） 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗� へ の 移 動 費 用 𝑐𝑐�� と 移 動 時 間 𝑡𝑡��は ，顧 客（ デ ポ を 含 む ）𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖� の 2次 元 平 面 上の 座 標 �𝑋𝑋� , 𝑌𝑌� � を 与 え ， 次 式 で 定 め て い る ．
�Characteristics of the benchmark problems

Type

規 分 布（ 文 献 2 1 ) で は こ の 正 規 分 布 の 平 均 と 分散を明示していない）で定めた値である．
 デ ポ 0 に お け る 運 搬 車 の 最 早 出 発（ 到 着 ）時
刻 𝑎𝑎� �� 𝑎𝑎��� � は 0 で あ る ．
 サ ー ビ ス 時 間 𝑠𝑠� , 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖 は す べ て 等 し く ， 𝑠𝑠� �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 で あ る 𝑠𝑠 を 定 め て い る ．
 ベ ン チ マ ー ク 問 題 は Table 1の 6タ イ プ に 分 類
さ れ て い る ． た だ し ， Table 1 の max 𝑞𝑞� はmax�∈� 𝑞𝑞� で あ り ， ∑ 𝑞𝑞� は ∑�∈� 𝑞𝑞� で あ る ．

5. 数 値 実 験 に よ る 検 証𝑐𝑐�� � ��𝑋𝑋� � 𝑋𝑋� � � �𝑌𝑌� � 𝑌𝑌� � , 𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖�

Table 1𝑓𝑓� � 0��𝑐𝑐�� 𝑞𝑞� ,𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖(35)(5) 運 搬 車 の 固 定 費 用 𝑐𝑐� は 𝑐𝑐� � �0 と し た ．
(6) 使 用 計 算 機 は Intel® Core™i7-7700T CPU 2.90GHz（ 4-core ） の CPU と 16GB の メ モ リ を 搭 載 し た PC
（ OS：Windows 10 professional 64bit）で ，使 用 言
語 は C# （ 処 理 系 ： Microsoft Visual Studio
Community 2017） で あ る ．
(7) 列 生 成 法 に 基 づ く 近 似 解 法 に 使 用 し た 数 理 計 画
ソ ル バ ー は Gurobi Optimizer Version 8.1.0 22) で ある．
(8) 列 生 成 法（ 手 順 の S0～ S3）の 計 算 は ，S3の 終 了 時
点 の 計 算 時 間 が 1800 秒 以 上 と な れ ば 打 ち 切 り とした．
以上の実験データと実験環境の下で実施した数値
実 験 の 結 果 を ベ ン チ マ ー ク 問 題 の 6タ イ プ ご と に それ ぞ れ Table 2～ 7に 示 す ． た だ し ， Table 2～ 7に 関 しては以下の通りである．
(1) Table 2～ 7の 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 は ベ ン チ マ ー ク 問 題 の 問 題 名である．
(2) Table 2～ 7の 𝑓𝑓 は 上 述 し た 顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖 の 最 早 サ ー
ビ ス 開 始 時 刻 𝑎𝑎� と 最 遅 サ ー ビ ス 開 始 時 刻 𝑏𝑏� を 定
め る 場 合 の パ ラ メ ー タ で 0 � 𝑓𝑓 � � で あ る ．
(3) Table 2～ 7の 𝑧𝑧� と 𝑧𝑧� は そ れ ぞ れ 求 ま っ た 下 界 値と 上 界 値 で あ る ．た だ し ，「 － 」は 計 算 打 切 り ま
でに上界値が求まらなかった場合である．
(4) Table 2～ 7の 𝑛𝑛� は 求 ま っ た 実 行 可 能 解 の 運 搬 顧客数である．
(5) Table 2～ 7の 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 は 生 成 し た 列 数 で あ る ．
(6) Table 2～ 7の 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ��� は 列 生 成 法 （ 手 順 の S0～ S3）の 計 算 時 間（ 単 位 は 秒 ）で ，𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ��� は 列 生 成 法 に
基 づ く 近 似 解 法（ 手 順 の S0～ S4）の 計 算 時 間（ 単

(31)

(32)

 顧 客 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖 の 最 早 サ ー ビ ス 開 始 時 刻 𝑎𝑎� と 最
遅 サ ー ビ ス 開 始 時 刻 𝑏𝑏� は ，パ ラ メ ー タ 𝑓𝑓�0 �
� | � 𝑛𝑛𝑓𝑓 で あ る 顧 客 の 部 分 集
𝑓𝑓 � �� を 与 え て |𝑁𝑁��⊆合 𝑁𝑁 𝑁𝑁� を ラ ン ダ ム に 選 択 す る と と も に ，
デ ポ 0 に お け る 運 搬 車 の 最 早 出 発（ 到 着 ）時
刻 𝑎𝑎� �� 𝑎𝑎��� � と 最 遅 出 発 （ 到 着 ） 時 刻𝑏𝑏� �� 𝑏𝑏��� � と を 与 え ， 次 式 で 定 め て い る ．
�𝑈𝑈�𝑎𝑎� � 𝑡𝑡�� , 𝑏𝑏� � 𝑡𝑡�� � 𝑠𝑠� � � ℎ� , 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖
𝑎𝑎� � �,0,その他
𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖 (33)�𝑈𝑈�𝑎𝑎� � 𝑡𝑡�� , 𝑏𝑏� � 𝑡𝑡�� � 𝑠𝑠� � � ℎ� , 𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖
𝑏𝑏� � �,𝑏𝑏� � 𝑡𝑡�� � 𝑠𝑠� ,その他
𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖 (34)
た だ し ， 𝑈𝑈�𝑎𝑎� � 𝑡𝑡�� , 𝑏𝑏� � 𝑡𝑡�� � 𝑠𝑠� � は �𝑎𝑎� � 𝑡𝑡�� , 𝑏𝑏� �𝑡𝑡�� � 𝑠𝑠� � の 一 様 整 数 乱 数 で あ り ， ℎ� は あ る 正
―
4 ―
− 19
−

帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題に対する列生成法

ヘッダー

ま た ， こ の 数 値 実 験 の 結 果 は ， 𝑓𝑓 が 1.00よ り 小 さ い
全 て の 問 題 例 と ， タ イ プ が R2， C2， RC2の 多 く の 問
題例は，上界値を求めることができなかったことを示 し て い る ．こ の 理 由 と し て は ，𝑓𝑓 が 小 さ い 問 題 例 ほ
ど時間枠制限のある顧客数が少なくなるとともに，タ イ プ が R2， C2， RC2の 問 題 例 は （ R1， C1， RC1の問題例よりも）時間枠の幅が広くなることから，そのような問題例は，実行可能なルートの組み合せが増加し，上界値を求めるのに必要な列の求解に時間を要するためと考えられる．さらに，この数値実験の 結 果 は ，同 じ 問 題 名 な ら ば ，� � ��よ り も �� � ���の位は秒）である．
また，上界値が求まった問題例については，相対誤 差 � � �𝑧𝑧� � 𝑧𝑧� �/𝑧𝑧� を Table 8に 示 す ．
こ の 数 値 実 験 で は ，全 て の 問 題 例 で 実 行 可 能 解（ 下界値）を求めることができたが，多くの問題例においてその精度を（計算打切りまでに上界値が求まらなかったため）検証できなかった．しかしながら，上 界 値 が 求 ま っ た 問 題 例 に お い て は ， 相 対 誤 差 0.035
以 下 の 解 が 求 ま っ て お り （ Table 8参 照 ） ， 提 案 法 を用いて高い精度の実行可能解が求まることを検証できた．
Table 2���Computational results（Type R1）𝑛𝑛�

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

－

40

244

1727.620－

451329.330

1376.20334

0.75

1557.884

－

R107

0.50

1721.797

R108

0.25

1751.254

R109

1.00

R110

� � ��𝑛𝑛�

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

－

68

482

1813.91814.02118.298

－

73

649

1854.5

1855.5

1943.958

1950.706

60

433

136.8

136.9

2138.72065.480

－

70

572

2011.42011.6

1823.6

1823.62158.181

－

75

668

1841.41841.81803.71803.72234.728

－

78

736

1820.81821.6225

1975.1

1975.1

1979.373

－

61

505

1959.5

1959.6382402157.22157.22091.193

－

69

485

1829.01829.1－

38

228

1839.1

1839.12028.195

－

68

462

1831.31831.5－39262

2036.62036.72169.861

－

71

585

1802.41803.079

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

1020

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁
R101

1.00

1112.760

0.75

𝑧𝑧�

1112.760

R102

𝑓𝑓

𝑧𝑧�

10.0

1685.504

1696.128

1822.1𝑧𝑧�

1428.724－

1879.747

－

R103

0.50

1579.006

2059.72059.72073.624

R104

0.25

R105

1.00

298

2733.22733.2

201

59.7

59.7

R106

39

270

2138.6

－

42

303

－

43

338

1366.204

－

32

1.00

1544.040

－

R111

1.00

1637.657

R112

1.00

1731.566

25

34

131

244

Table 3���

10.0

1822.1

78

1282

73

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
909

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

－

70

978

2359.658－75

2220.226

－

75

0.75

2232.034

－

R207

0.50

2198.664

R208

0.25

R209

R201

1.00

2143.158

0.75

𝑧𝑧�

－

R202

𝑓𝑓

𝑧𝑧�

2137.523

－

R203

0.50

2143.594

R204

0.25

R205

1.00

R206

52

65

251

482

56.6

1821.1

56.7

1821.4Computational results（Type R2）𝑛𝑛�

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑧𝑧�

1800.52242.014－

2356.92260.984－

1801.51803.22422.646

－

89

881

1802.21802.71182

1801.41803.12411.985

－

81

1152

1802.21805.91088

1804.3

1804.82419.569

－

88

1180

1967.2

1967.5671227

1800.41802.12453.697

－

84

1234

1800.91802.0

－

68

1289

1800.71803.62372.486

－

83

995

1858.51862.52359.849

－

78

1400

1801.41812.12506.566

－

80

1336

1801.81805.2

1.00

2199.352

－

70

881

1896.2

1896.92355.743

－

87

1057

1836.2

1838.0R210

1.00

2157.304

－

76

926

2043.12044.92400.948

－

77

974

1807.51809.2

R211

1.00

2199.943

－

67

938

1832.31835.22431.080

－

83

978

1951.91955.1𝑛𝑛�

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

Table 4
���

1800.12355.7

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

－

39

340

2569.014－

44

2282.907

2365.199

38

1.00

2341.559

2393.869

38

C107

1.00

2459.705

2511.391

40

323

318.6

C108

1.00

2397.715

－

40

360

1823.8C109

1.00

2482.150

－

39

377

1834.31834.4C101

1.00

2215.401

0.75

𝑧𝑧�

2245.713

C102

𝑓𝑓

𝑧𝑧�

2318.126

－

C103

0.50

2577.873

C104

0.25

C105

1.00

C106

37

40

𝑛𝑛�

86

842

778.3

1915.4778.4

1918.3

Computational results（Type C1）𝑛𝑛�

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑧𝑧�� � ��

𝑧𝑧�

65.2

3353.590

3457.379

2328.73425.226－

2003.92003.93436.250

－

66

711

1875.7

1876.8499

1927.5

1927.63517.126

－

78

718

1823.7

1824.2

285

140.1

140.2

3470.680

3556.030

68

589

346.3

346.5

407

1642.91642.93523.252

－

73

695

1822.21822.4318.73552.776

3630.186

69

599

706.5

706.6

1823.93632.999

－

74

679

1808.71808.83438.845

－

71

643

1827.6

1827.8

249

268

65.1

2328.7

―
5 ―
− 20
−

𝑧𝑧�

� � ��

𝑧𝑧�

66

71

466

654

125.1

3513.2125.2

3513.4

胡津閣・森山弘海

ヘッダー

Table 5
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁
C201

1.00

4616.510

0.75

𝑧𝑧�

4698.352

C202

𝑓𝑓

𝑧𝑧�

4145.106

－

C203

0.50

3910.374

C204

0.25

3815.727

C205

1.00

C206

𝐾𝐾 � �
𝑛𝑛�

Computational results（Type C2）

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

92

2341

82

1388

－

79

1114

－

81

1294

4598.378

－

92

1.00

4297.118

－

C207

1.00

4151.891

C208

1.00

4073.884

94

1785

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

－

94

1562

1834.41835.0

－

94

1593

1800.61801.94574.330

－

96

2182

1922.4

1923.01802.94485.557

－

91

2053

1800.41801.01800.21800.64332.178

－

96

1799

1800.51802.11800.71801.1

4466.735

－

91

1643

1800.41800.9𝑧𝑧�

482.1

4633.582

4732.639

1802.74518.105－

1802.11802.74419.673

1800.21800.94320.233

1823

1824.7

1825.187

1649

1802.5

－

83

1574

－

86

1327

Table 6
𝐾𝐾 � �

1802.0𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

－

44

337

－

38

271

2118.420

－

38

1.00

2265.120

－

RC107

1.00

2393.268

RC108

1.00

2370.963

RC101

1.00

2119.297

0.75

𝑧𝑧�

2121.167

RC102

𝑓𝑓

𝑧𝑧�

2306.489

－

RC103

0.50

2388.170

RC104

0.25

2252.773

RC105

1.00

RC106

72

558

1806.41806.568

528

1808.71808.83420.146

－

62

449

2588.52588.6

1946.73559.426

－

65

530

1808.71808.7

1874.4

1874.43756.876

－

63

537

1960.4

1960.51802.11802.13855.973

－

69

529

2450.62450.6－

1940.4

1940.43637.563

1931.6

1931.63769.909

286

1806.91806.932

305

1946.6

－

37

749

－

39

292

98.4

2447.1

𝑧𝑧�

82

1783

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

4498.474

1067

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

1814.971

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

1856.9𝑧𝑧�

4610.419

𝑧𝑧�

－

66

1064

1865.01865.64316.583

－

82

1126

1803.91804.44250.040

4060.455

－

74

1059

1829.21829.51.00

4022.818

－

71

1303

1825.0

RC207

1.00

4047.205

－

77

1181

RC208

1.00

4010.867

－

70

855

RC201

1.00

4238.314

RC202

0.75

𝑧𝑧�

3915.139

𝑧𝑧�

RC203

0.50

3948.842

RC204

0.25

4263.031

RC205

1.00

RC206

－
－

Table 8Relative errors

51112.760

1112.760

103915.139

𝑧𝑧�

0.000

R101

𝐾𝐾

𝑧𝑧�

3915.139

0.000

R105

5

1329.330

1376.203

0.034

R105

10

1943.958

1950.706

0.003

C101

5

2215.401

2245.713

0.013

C101

10

3353.590

3457.379

0.030

C105

5

2282.907

2365.199

0.035

C105

10

3470.680

3556.030

0.024

C106

5

2341.559

2393.869

0.022

C107

5

2459.705

2511.391

0.021

C107

10

3552.776

3630.186

0.021

C201

5

4616.510

4698.352

0.019

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁
R101

C201

10

4612.626

4732.6390.021

52119.297

2121.167

0.001

RC101

10

3356.711

3455.795

0.029

480

485

253.8

1846.7253.9

1846.8

𝐾𝐾 � ��
𝑛𝑛�

94

1500

96

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

1183

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

－

90

1121

1827.01827.3

－

93

1403

1802.41803.54465.257

－

95

1116

1800.11800.3

1826.84575.669

－

95

1356

1835.1

1835.5

1941.8

1942.64508.778

－

93

1250

1801.81802.11802.61803.04372.123

－

87

1292

1802.31802.91814.7
1856.0－－1824.42069.3

1824.52069.4搬 顧 客 数 𝑛𝑛� が 増 加 す る こ と を 示 し て い る ．
加 えて，こ の 数 値 実 験 の 結 果 は ， 提 案 法 の 計 算 時 の
大 部 分 が 列 生 成 法 （ 手 順 の S0～ S3） の 計 算 時 間 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���
であることを示しているため，計算時間の短縮化のためには，今後，効果的な列の生成法や価格付け問題に対する効率的な解法の開発が必要であることを示唆し
ている．

𝜀𝜀

RC101

64

69

Computational results（Type RC2）

𝑛𝑛�

𝑓𝑓

𝐾𝐾 � ��

－3455.795

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁

492.8

1804.7－3356.711

Table 71803.6

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

3557.083

𝐾𝐾 � �

491.8

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ���

98.4

224

258

2802

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

2447.1

34

95

𝑛𝑛�

𝑧𝑧�

36

𝑛𝑛�

Computational results（Type RC1）𝑛𝑛�

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝐾𝐾 � ��

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

481.5

𝑧𝑧�

6. お わ り に

問題例の方が（多くの顧客を巡回できる可能性が高まるため当然のことであるが）求まった実行可能解の運当研究では，帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題を取り上げ，列生成法に基づくその近似解法を提案した．そして，提案した解法の有効性を検証するための数値実験を実施した．数値実験では，提案した解法を用いて全ての問題例で実行可能解を求めることができた．また，上界値が求まった問題例においては ， 相 対 誤 差 0.035以 下 の 解 が 求 ま る こ と を 確 認 し ， 提案法を用いて高い精度の実行可能解が求まることを検
証した．

―
6 ―
− 21
−

帰り荷と時間枠を考慮した選択型運搬経路問題に対する列生成法

ヘッダー

しかしながら，当研究では価格付け問題の求解に数理計画ソルバーを用いていることもあり，多くの問題
例で上界値を求めることができなかった．それゆえ，今後，効果的な初期列の生成方法や，価格付け問題に対する効率的な解法を開発し，提案法の一層の高速化を図り，求まる解の精度を検証する必要がある．

Effective Multi-start Simulated Annealing,” Applied Soft
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本 研 究 は JSPS 科 研 費 JP18K04617 の 助 成 を 受 け た ものです．

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Research, Vol. 255, pp. 345–358, 2016
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6)

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4)

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Operational research, Vol. 59, pp. 345-358, 1992

3)

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Manual Version 8.1.0, 2018

―
7 ―
− 22
−

Gurobi

Optimizer

Reference東海大学紀要情報通信学部
Vol.13,No.1,2020,pp.23-31
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx, 20xx, pp.xxx-xxx

トピックス

トピックス

大学初年次における数学教材の提案（その 33）～1 階線形常微分方程式～
貴田研司*1A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol. 33~ The Linear Ordinary Differential Equation of the First Order ~byKenshi KIDA *1( received on May. 29, 2020 &accepted on Aug. 3, 2020 )あらまし
1 階線形常微分方程式の解法の証明について，積分因子を用いた手法や定数変化法による方法などを述べる．そして，具体的な計算例を挙げて理解を助け，さらに応用例の紹介も行う．

Abstract
The purpose of this paper is to present proofs of solutions of the linear differential equations of the first order by means of the variation of
constants and integrating factors. Further, we afford several concrete calculation examples.

キーワード：1 階線形常微分方程式，定数変化法，積分因子
Keywords: Linear Differential Equation of the First Order, Variation of Constants, Integrating Factor

1. はじめに大学初年次の微分積分または微分方程式において，1 階線形常微分方程式

𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑃𝑃�𝑥𝑥 �𝑑𝑑 � 𝑄𝑄�𝑥𝑥 �
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

� ただし，𝑃𝑃 �𝑥𝑥 �, 𝑄𝑄�𝑥𝑥 � は，𝑥𝑥𝑥のみの関数とする．�

について学ぶ．微分方程式の中でも基本的であり，重要なものと考える．

本論文ではまず，1 階線形常微分方程式の解法について 3 通りの証明を紹介する．積分因子を用いたもの，定数変化法によるもの，解を 𝑑𝑑 � ��𝑥𝑥 �𝑣𝑣 �𝑥𝑥 � と積に分解する手法の 3 通りである．積分因子，定数変化法，変数分離法の紹介をするという意味合いを兼ねる．そして，具体的な計算例と応用例を挙げる．

本論文の執筆にあたっては，古田孝之著「明解講義 微分方程式」1)と長崎憲一，中村正彰，横山利章共著「明解 微分方程式 改訂版」2)を大いに参考にした．

2. 1 階線形常微分方程式の解法
定理
1 階線形常微分方程式

𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑃𝑃�𝑥𝑥 �𝑑𝑑 � 𝑄𝑄 �𝑥𝑥 �
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

� ただし，𝑃𝑃�𝑥𝑥 �, 𝑄𝑄�𝑥𝑥 � は，𝑥𝑥𝑥のみの関数とする．�

*1 高輪教養教育センター 教授
Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus,
Professor

―
1 −
―
− 23

�2.1�

大学初年次における数学教材の提案（その 33）〜 1 階線形常微分方程式〜

ヘッダーの解は次のように与えられる．

𝐶𝑑𝑑 � 𝑒𝑒 � � ������ �� 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥�𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�∎�𝐶𝐶𝐶は任意定数�

� 𝑒𝑒 � � ������ ∙ � 𝑄𝑄 �𝑥𝑥 �𝑒𝑒 � ������ 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶𝑒𝑒 � � ������

�2.2�         上記の定理について，3 通りの証明方法を紹介することにする．まず，準備として以下の変数分離形方程式を解いておく．

『変数分離形方程式からの準備』

𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑅𝑅�𝑥𝑥 �𝑑𝑑 � �
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑を解くことを考える．

𝑑𝑑𝑑𝑑� �𝑅𝑅�𝑥𝑥 �𝑑𝑑𝑑𝑑
 𝑦𝑦𝑦と変形できるので�

1
𝑑𝑑𝑑𝑑 � � � 𝑅𝑅 �𝑥𝑥 � 𝑑𝑑𝑑𝑑
 𝑦𝑦𝑦となる．よってlog|𝑦𝑦| � � � 𝑅𝑅 �𝑥𝑥 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�

だから� 𝐶𝐶� は任意定数�

|𝑦𝑦| � 𝑒𝑒 � � ��������� � 𝑒𝑒 �� 𝑒𝑒 � � ������𝐶

すなわち𝑑𝑑 � 𝐶𝐶𝑒𝑒 � � ������𝐶

が得られる．

� 𝐶𝐶は任意定数, 𝐶𝐶 � �𝑒𝑒 ��   �∎（証明１）【積分因子を用いた手法（Bernoulli）】

�2.1� の両辺に𝑚𝑚�𝑥𝑥 � をかけたとき，左辺が�𝑚𝑚�𝑥𝑥 �𝑦𝑦�� に等しくなる，すなわち
𝑚𝑚�𝑥𝑥 � �𝑑𝑑𝑑𝑑
� ��𝑥𝑥 �𝑑𝑑� � �𝑚𝑚�𝑥𝑥 �𝑦𝑦��
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑となるような𝑚𝑚�𝑥𝑥 � を見つけたい．�2.3� を変形すると

―
2 −
―
− 24

�2.3�

貴田研司

ヘッダー

𝑚𝑚�𝑥𝑥 �𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑚𝑚�𝑥𝑥 �𝑃𝑃�𝑥𝑥 �𝑑𝑑 � 𝑚𝑚� �𝑥𝑥 �𝑑𝑑 � 𝑚𝑚�𝑥𝑥 �
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑚𝑚� �𝑥𝑥 � � 𝑚𝑚�𝑥𝑥 �𝑃𝑃 �𝑥𝑥 �𝑚𝑚� �𝑥𝑥 � � 𝑃𝑃�𝑥𝑥 �𝑚𝑚�𝑥𝑥 � � �となるが，『変数分離形方程式からの準備』の 𝑅𝑅 �𝑥𝑥 � � �𝑃𝑃 �𝑥𝑥 � の場合だから

𝑚𝑚�𝑥𝑥 � � 𝐶𝐶𝑒𝑒 � ������

である．特に，𝐶𝐶 � 1 として

� 𝐶𝐶は任意定数 �𝑚𝑚�𝑥𝑥� � 𝑒𝑒� 𝑃𝑃�𝑥𝑥�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑が得られる．

�2.1� の両辺に 𝑚𝑚�𝑥𝑥 � � 𝑒𝑒 � ������ をかけると
𝑒𝑒 � ������ �

�2.3� により𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑃𝑃�𝑥𝑥 �𝑑𝑑� � 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥 �
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑
� 𝑒𝑒 � ������ 𝑦𝑦� � 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥 �
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑と書き換えられる．�2.4� を𝑥𝑥𝑥で積分すると

𝑒𝑒 � ������ 𝑑𝑑 � � 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶

すなわち

�2.4�
�𝐶𝐶𝐶は任意定数�

𝑑𝑑 � 𝑒𝑒 � � ������ �� 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥�𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�

�2.2�

が得られる．

∎

上記の 𝑚𝑚�𝑥𝑥�のことを，積分因子と呼ぶ．積分因子については，古田孝之著「明解講義 微分方程式」1)(pp.78-88)を参照されたい．

（証明２）【定数変化法を用いた手法（Lagrange）】
同次方程式

𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑃𝑃�𝑥𝑥 �𝑑𝑑 � �
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

�2.5�

の一般解を利用する方法を用いる.
『変数分離形方程式からの準備』により，一般解𝑑𝑑 � 𝐴𝐴𝑒𝑒 � � ������

が得られる．

� 𝐴𝐴𝐴は任意定数�

―
3 −
―
− 25

大学初年次における数学教材の提案（その 33）〜 1 階線形常微分方程式〜

ヘッダー

ここで，�2.5� に含まれる任意定数 𝐴𝐴𝐴を𝑥𝑥𝑥の関数𝐶𝐶 �𝑥𝑥 �に置き換えて得られる関数

� � 𝐶𝐶�𝑥𝑥�𝑒𝑒 � � ������

が�2.1� の一般解であると想定する．

�2.6�

𝑌𝑌�𝑥𝑥� � 𝑒𝑒 � � ������ とおいて，� � 𝐶𝐶 �𝑥𝑥 �𝑌𝑌�𝑥𝑥 � を�2.1� に代入すると
�𝐶𝐶 � �𝑥𝑥 �𝑌𝑌�𝑥𝑥 � � 𝐶𝐶 �𝑥𝑥 �𝑌𝑌 � �𝑥𝑥�� � ��𝑥𝑥 �𝐶𝐶 �𝑥𝑥 �𝑌𝑌�𝑥𝑥 � � 𝑄𝑄�𝑥𝑥 �𝐶𝐶 � �𝑥𝑥 �𝑌𝑌�𝑥𝑥 � � 𝐶𝐶 �𝑥𝑥 ��𝑌𝑌 � �𝑥𝑥� � ��𝑥𝑥 �𝑌𝑌�𝑥𝑥 �� � 𝑄𝑄 �𝑥𝑥 �となるが，𝑌𝑌 �𝑥𝑥 � は�2.5� の解であり𝑌𝑌 � �𝑥𝑥 � � ��𝑥𝑥 �𝑌𝑌 �𝑥𝑥 � � � を満たすので

𝐶𝐶 � �𝑥𝑥 �𝑌𝑌�𝑥𝑥 � � 𝑄𝑄�𝑥𝑥 �𝐶𝐶 � �𝑥𝑥 � 𝑒𝑒 � � ������ � 𝑄𝑄�𝑥𝑥 �となる．

したがって，𝐶𝐶 � �𝑥𝑥 � � 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄 �𝑥𝑥 � であるから

𝐶𝐶 �𝑥𝑥 � � � 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥 � �𝑥𝑥 � 𝐶𝐶

�𝐶𝐶𝐶は任意定数�

が，関数𝐶𝐶 �𝑥𝑥 � の満たすべき条件である．�2.7� を�2.6� に代入して

� � 𝑒𝑒 � � ������ �� 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥��𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�

が得られる．

∎

�2.7�
�2.2�

与えられた微分方程式の特殊な場合について解き，さらにその一般解の任意定数 𝐶𝐶のところを関数 𝐶𝐶�𝑥𝑥�で置き換えて𝐶𝐶�𝑥𝑥�の満

たすべき微分方程式を解くことにより，元の微分方程式の一般解を求める方法を定数変化法という 3)．

（証明３）【 � � 𝑢𝑢 �𝑥𝑥 �𝑣𝑣 �𝑥𝑥 � と積に分解する手法（Leibniz）】

� � 𝑢𝑢�𝑥𝑥 �𝑣𝑣 �𝑥𝑥 � と分解して�2.1� に代入すると

�𝑢𝑢� �𝑥𝑥 �𝑣𝑣 �𝑥𝑥 � � 𝑢𝑢�𝑥𝑥�𝑣𝑣 � �𝑥𝑥�� � ��𝑥𝑥 �𝑢𝑢�𝑥𝑥 �𝑣𝑣�𝑥𝑥 � � 𝑄𝑄�𝑥𝑥 �

�𝑢𝑢� �𝑥𝑥 � � ��𝑥𝑥 �𝑢𝑢�𝑥𝑥 ��𝑣𝑣 �𝑥𝑥 � � 𝑢𝑢�𝑥𝑥 �𝑣𝑣 � �𝑥𝑥 � � 𝑄𝑄 �𝑥𝑥 �

�2.8�

まず，𝑢𝑢 � �𝑥𝑥 � � ��𝑥𝑥 �𝑢𝑢 �𝑥𝑥 � � � を満たすような関数 𝑢𝑢�𝑥𝑥�を求めたい．証明２と同様にして，『変数分離形方程式からの準備』により，

𝑢𝑢�𝑥𝑥� � 𝐶𝐶� 𝑒𝑒 � � ������

であることがわかる．

�𝐶𝐶� は任意定数�

�2.9�

―
4 −
―
− 26

貴田研司

ヘッダー

このとき，�2.8� は，𝑢𝑢 �𝑥𝑥 �𝑣𝑣 � �𝑥𝑥 � � 𝑄𝑄 �𝑥𝑥 � となっているので�2.9� と合わせてだから

𝑣𝑣 � �𝑥𝑥 � �𝑣𝑣 �𝑥𝑥 � �

11 � ������
𝑄𝑄 �𝑥𝑥 � �𝑒𝑒𝑄𝑄�𝑥𝑥 �
�
�
𝑢𝑢 𝑥𝑥
𝐶𝐶�

1
� 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥� 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶
𝐶𝐶�

� 𝐶𝐶 は任意定数�

となっている．�2.9�と�2.10� を 𝑑𝑑 � 𝑢𝑢�𝑥𝑥�𝑣𝑣�𝑥𝑥� に代入すれば

𝑑𝑑 � 𝑢𝑢�𝑥𝑥�𝑣𝑣�𝑥𝑥 � � 𝐶𝐶� 𝑒𝑒 � � ������ �すなわち1� 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥� 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�𝐶𝐶�

𝑑𝑑 � 𝑒𝑒 � � ������ �� 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥�𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�

が得られる．

�𝐶𝐶𝐶 は任意定数�

∎3. 1 階線形常微分方程式の計算例
例題１1)4)5)6)
次の微分方程式を解け．

�1�

�2�

1
𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑑𝑑 � 1 � 2𝑥𝑥 �
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥𝑥
1
𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑑𝑑 � ��� 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥𝑥

（解答）第 2 章の定理を用いる．
(1)

𝑃𝑃�𝑥𝑥 � � �

とおく．

1
,
𝑥𝑥𝑥

𝑄𝑄�𝑥𝑥 � � 1 � 2𝑥𝑥 �� 𝑃𝑃�𝑥𝑥 �𝑑𝑑𝑥𝑥 � � ��であるから

𝑒𝑒 � ������ � 𝑒𝑒���よって，�2.2� により1
1
� 𝑑𝑑𝑥𝑥 � � ���|𝑥𝑥| � ���|𝑥𝑥|�� � ���
|𝑥𝑥|
𝑥𝑥𝑥

�
|�| �

�2.10�

1
.
|𝑥𝑥|

―
5 −
―
− 27

�2.2�

大学初年次における数学教材の提案（その 33）〜 1 階線形常微分方程式〜ヘッダー� � 𝑒𝑒 � � ������ �� 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥��𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�� |𝑥𝑥| ��� �𝑥𝑥 ��� 𝑥𝑥 ���𝐶𝐶𝐶は任意定数�

1
�1 � 2𝑥𝑥 � ��𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�|𝑥𝑥|1
�1 � 2𝑥𝑥 � ��𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�
𝐶�𝑥𝑥𝐶

�複号同順�

1
�1 � 2𝑥𝑥 � ��𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�
𝑥𝑥𝑥

� 𝑥𝑥 �� �1
� 2𝑥𝑥� �𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�
𝑥𝑥𝑥

� 𝑥𝑥 �log|𝑥𝑥| � 𝑥𝑥 � � 𝐶𝐶 �

� 𝑥𝑥 log|𝑥𝑥| � 𝑥𝑥 � � 𝐶𝐶𝑥𝑥 .

∎

  

  

  

  

  

(2)

とおく．

𝑃𝑃 �𝑥𝑥 � �

1
,
𝑥𝑥𝑥

� 𝑃𝑃�𝑥𝑥 ��𝑥𝑥 � �だから𝑄𝑄 �𝑥𝑥 � � �o� 𝑥𝑥
1
�𝑥𝑥 � log|𝑥𝑥|𝑥𝑥𝑥

𝑒𝑒 � ������ � 𝑒𝑒 ���|�| � |𝑥𝑥|.

よって，�2.2� により� � 𝑒𝑒 � � ������ �� 𝑒𝑒 � ������ 𝑄𝑄�𝑥𝑥��𝑥𝑥 � 𝐶𝐶����1�� �𝑥𝑥 �o� 𝑥𝑥 𝐶�𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�
𝐶�𝑥𝑥𝐶
1
�� 𝑥𝑥 �o� 𝑥𝑥 𝐶�𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�
𝑥𝑥𝑥

1
�𝑥𝑥���𝐶𝑥𝑥 � � ���𝐶𝑥𝑥𝐶�𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�
𝑥𝑥𝑥
1� �𝑥𝑥���𝐶𝑥𝑥 � �o� 𝑥𝑥 � 𝐶𝐶 �
𝑥𝑥𝑥
1
𝐶𝐶𝐶
� ���𝐶𝑥𝑥 � �o� 𝑥𝑥 � .
𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑥

�

∎

1
��|𝑥𝑥| �o� 𝑥𝑥 𝐶�𝑥𝑥 � 𝐶𝐶�
|𝑥𝑥|

�𝐶𝐶𝐶は任意定数�

�複号同順�

  

  

  

  

―
6 −
―
− 28

貴田研司

ヘッダー

(2)の別解
積分因子を用いる．

𝑃𝑃�𝑥𝑥 � ��

�の場合であるから𝑚𝑚� �𝑥𝑥 � � 𝑚𝑚�𝑥𝑥 �𝑃𝑃�𝑥𝑥 �

すなわち𝑚𝑚� �𝑥𝑥 � �

1∙ 𝑚𝑚�𝑥𝑥 �
𝑥𝑥𝑥を満たす関数の一つとして，𝑚𝑚�𝑥𝑥 � � 𝑥𝑥 が見つかる．

1
𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑑𝑑 � ��� 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥𝑥の両辺に 𝑚𝑚�𝑥𝑥� � 𝑥𝑥 をかけると

𝑥𝑥

すなわち

𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑑𝑑 � 𝑥𝑥 ��� 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

�𝑥𝑥𝑥𝑥�� � 𝑥𝑥 ��� 𝑥𝑥が得られる．したがって𝑥𝑥𝑑𝑑 � � 𝑥𝑥 ��� 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶

� 𝑥𝑥��� 𝑥𝑥 � � ��� 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝐶𝐶

�𝐶𝐶𝐶は任意定数�� 𝑥𝑥��� 𝑥𝑥 � ��� 𝑥𝑥 � 𝐶𝐶である．よって𝑑𝑑 � ��� 𝑥𝑥 �

∎

1
𝐶𝐶𝐶
��� 𝑥𝑥 � .
𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑥

例題２7)
動物の呼吸作用による肺の体積変化を考える．𝑉𝑉 �𝑡𝑡�は時刻𝑡𝑡𝑡における肺の体積（ただし，𝑡𝑡 は最大呼吸の後の時刻を表す），𝑟𝑟は肺の残気量を表す定数とする．“𝑉𝑉 の時間に対する変化率は𝑉𝑉 � 𝑟𝑟 に比例する”ことが知られている．そこで比例定数を𝛼𝛼𝛼（𝛼𝛼 は空気の推進力，�𝛼𝛼は気管の抵抗を表す）とすれば

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
� �𝛼𝛼 �𝑉𝑉 � 𝑟𝑟�𝑑𝑑𝑑𝑑

�𝛼𝛼 � ����.1�がモデル化された微分方程式となる．

―
7 −
―
− 29

大学初年次における数学教材の提案（その 33）〜 1 階線形常微分方程式〜

ヘッダー

�3.1�を変形すると

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝛼𝛼𝑑𝑑 � 𝛼𝛼𝑟𝑟
𝑑𝑑𝑑𝑑となるが，第 2 章の定理を用いて解くことにする．

𝑃𝑃�𝑥𝑥 � � 𝛼𝛼�

とおく．

だから

��𝑥𝑥 � � 𝛼𝛼𝑟𝑟

� 𝑃𝑃�𝑡𝑡�𝑑𝑑𝑑𝑑 � � 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑒𝑒 � ������ � 𝑒𝑒 �� .

よって，�2.2� により𝑑𝑑�𝑑𝑑� � 𝑒𝑒 � � ������ �� 𝑒𝑒 � ������ ��𝑑𝑑�𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝐶𝐶�
1
�� 𝑒𝑒 �� � 𝛼𝛼𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝐶𝐶�𝑒𝑒 ��1� �� �𝑟𝑟𝑟𝑟 �� � 𝐶𝐶 �𝑒𝑒𝐶𝐶
� 𝑟𝑟 � ��𝑒𝑒�𝐶𝐶𝐶は任意定数�

�となることが示される．

∎（別解）

以下のように変数分離形として解く方法もある．

�3.1�は1
𝑑𝑑𝑑𝑑 � �𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 � 𝑟𝑟と変形できるので�

1
𝑑𝑑𝑑𝑑 � � � 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑑𝑑 � 𝑟𝑟である．したがって

log|𝑑𝑑 � 𝑟𝑟| � �𝛼𝛼𝑑𝑑 � 𝐶𝐶�

だから（ 𝐶𝐶� は任意定数 ）|𝑑𝑑 � 𝑟𝑟| � 𝑒𝑒 ������ � 𝑒𝑒 �� 𝑒𝑒 ���

である．

―
8 −
―
− 30

貴田研司

ヘッダー

よって

� � � � �𝑒𝑒 �� 𝑒𝑒 ���が得られる．したがって� � � � 𝐶𝐶𝑒𝑒 ���� 𝐶𝐶は任意定数� 𝐶𝐶 � �𝑒𝑒 �� �

すなわち

∎

����

𝐶𝐶
𝑒𝑒 ��

参考文献
1) 古田孝之「明解講義 微分方程式」培風館，2002
2) 長崎憲一，中村正彰，横山利章共著「明解 微分方程式 改訂版」培風館，2003
3) 田代嘉宏「微分方程式要論」森北出版，1982
4) 矢野健太郎，石原繁共著「基礎解析コース

微分方程式」裳華房，1994

5) 石原繁，浅野重初共著「理工系入門 微分積分」裳華房，1999
6) 三宅敏恒「微分方程式―やさしい解き方―」培風館，2007
7) 垣田髙夫「応用解析セミナー

微分方程式」培風館，1996

―
9 −
―
− 31

東海大学紀要情報通信学部
Vol.13,No.1,2020,pp.32-37
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx, 20xx, pp.xxx-xxx

トピックス

トピックス

大学初年次における数学教材の提案（その 34）～ガロア対応の例～
貴田研司*1A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol. 34~ Examples of the Galois Correspondence ~byKenshi KIDA *1( received on May. 29, 2020 &accepted on Aug. 3, 2020 )あらまし
ガロア理論の基本定理として知られているガロア対応すなわちガロア群 𝐺𝐺𝐺の部分群の全体からなる集合と有限次ガロア拡大

𝐿𝐿⁄𝐿𝐿 の中間体 𝑀𝑀𝑀の全体からなる集合との間の 1 対 1 の対応の具体例を挙げることにより，ガロア理論の理解の一助としたい．
Abstract

The purpose of this paper is to present a concrete example of the Galois correspondence. Further, we afford a summary account of theFundamental Theorem of Galois Theory.
キーワード：ガロア対応，ガロア理論の基本定理，束論的図式
Keywords: Galois Correspondence, Fundamental Theorem of Galois Theory, Lattice Diagram

1. はじめに拙著「大学初年次における数学教材の提案（その 30）～ガロア群～」1)において，ガロア群の概念の解説を行い，そして分離多項式のガロア群を具体的に求めた．本論文では，ガロア対応の具体例を挙げる．このガロア対応は以下のような図によって表すこともある 2)．

�1� �

𝐿𝐿

𝒢𝒢 �𝑀𝑀�𝑀𝑀ℱ �𝐻𝐻�

𝐻𝐻
𝐾𝐾

𝐺𝐺

Fig. 1 Galois correspondence

本論文の執筆にあたっては，増田真郎「応用のための代数系入門」3)を含めて多くの文献を大いに参考にした 2)4)5)6)7)8)．
*1 高輪教養教育センター 教授
Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus,
Professor

―
1 −
―
− 32

貴田研司

ヘッダー

2 . ガ ロ ア 理論 の 基 本 定 理
体 𝐿𝐿𝐿の部分集合 𝐾𝐾𝐾が，𝐿𝐿𝐿と同じ演算で体をなすとき，𝐿𝐿𝐿を𝐾𝐾𝐾の拡大体，𝐾𝐾𝐾を𝐿𝐿𝐿の部分体といい， 𝐿𝐿 ⁄𝐿𝐿 で表す．体の拡大 𝐿𝐿 ⁄𝐿𝐿𝐿𝐿

を有限次ガロア拡大，𝐺𝐺 � 𝐻𝐻𝐻�𝐿𝐿⁄𝐿𝐿 � をそのガロア群とする． 𝐻𝐻 𝐻 𝐻𝐻𝐻�𝐿𝐿⁄𝐿𝐿 � のときℱ �𝐻𝐻� � �𝑎𝑎 𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎�𝑎𝑎� � 𝑎𝑎

�任意の𝑎𝑎 𝑎 𝐻𝐻� �

𝐻𝐻

とおく．ℱ �𝐻𝐻 � は𝐻𝐻𝐻の不変体�または，固定体�と呼ばれ 𝐿𝐿 と表すこともある． また，𝐿𝐿𝐿の部分体𝑀𝑀𝑀に対して

𝒢𝒢�𝑀𝑀� � �𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎�𝐿𝐿⁄𝐿𝐿 � | 𝜎𝜎�𝑎𝑎� � 𝑎𝑎

とおく．𝒢𝒢 �𝑀𝑀� は 𝐺𝐺 � と書くこともある．

�任意の𝑎𝑎 𝑎 𝑀𝑀��定理（ガロア理論の基本定理）

𝐿𝐿⁄𝐿𝐿𝐿𝐿を有限次ガロア拡大とし，𝐺𝐺 � 𝐻𝐻𝐻�𝐿𝐿⁄𝐿𝐿 � を 𝐿𝐿⁄𝐿𝐿 のガロア群とする．

(1) 𝐺𝐺𝐺の部分群 𝐻𝐻𝐻に対して 𝒢𝒢�ℱ�𝐻𝐻�� � 𝐻𝐻 である．
(2)

𝐿𝐿⁄𝐿𝐿 の中間体 𝑀𝑀𝑀に対して ℱ�𝒢𝒢�𝑀𝑀�� � 𝑀𝑀 である．

すなわち，𝐺𝐺𝐺の部分群の全体からなる集合と 𝐿𝐿 ⁄𝐿𝐿 の中間体 𝑀𝑀𝑀の全体からなる集合との間の 1 対 1 の対応（全単射）を与える．
定理

𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀� を 𝐿𝐿⁄𝐿𝐿 の中間体，𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻� は，𝐺𝐺 の部分群とするとき(1) 𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀�
(2) 𝐻𝐻 𝐻 𝐻𝐻 �が成り立つ．

� 𝒢𝒢�𝑀𝑀� � 𝒢𝒢�𝑀𝑀� �� ℱ�𝐻𝐻� � ℱ�𝐻𝐻� �

3 . ガ ロ ア 対応 の 例
拙著「大学初年次における数学教材の提案（その 30）～ガロア群～」1)において以下のことを述べた．
分離多項式𝑝𝑝�𝑥𝑥 � � 𝑥𝑥 � � 2 � �𝑥𝑥 � 𝑎𝑎��𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝜔𝜔��𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝜔𝜔� � ∈ ℚ�𝑥𝑥 �のℚ上の最小分解体は

��𝑎𝑎 � √2 , 𝜔𝜔𝜔は 1 の原始 3 乗根�

𝐿𝐿 � ℚ�𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎� � �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔 �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝜔𝜔 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔� , 𝑘𝑘� , ⋯ , 𝑘𝑘� ∈ ℚ �である．𝑝𝑝�𝑥𝑥 � のガロア群は，3 次対称群𝑆𝑆� （または，二面体群𝐷𝐷� ）に同型であり, 𝐾𝐾 � ℚ とおけば

𝐺𝐺 � 𝐻𝐻𝐻�𝐿𝐿⁄𝐿𝐿� ≅ 〈𝜎𝜎𝜎 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎3 � 1𝐺𝐺 ,𝜏𝜏2 � 1𝐺𝐺 ,𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏�1 � 𝑎𝑎�1 〉 � �1𝐺𝐺 ,𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎2 ,𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏2 𝜏𝜏�となっている．但し

―
2 −
―
− 33

大学初年次における数学教材の提案（その 34）〜ガロア対応の例〜

ヘッダー

1� ∶ 𝑎𝑎 𝑎 𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎

𝜎𝜎 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎

𝜎𝜎 � ∶ 𝑎𝑎 𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎� ,𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜏𝜏 𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏� ,𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎� ,𝜎𝜎 � 𝜏𝜏 𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏� ,𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔�

とおいた．

そして，𝑝𝑝�𝑥𝑥 � � 𝑥𝑥 � � � � �𝑥𝑥 � 𝑎𝑎��𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝑎𝑎��𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝑎𝑎� � の根の置換群として表せば

𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
� � �1�𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
� � �1 � 3�𝑎𝜎𝜎 � �
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
� � �1 3 ��𝑎𝜎𝜎 � � � �
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
� � �� 3�𝑎𝜏𝜏 � �
𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎� 𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
� � �1 ��𝑎𝜎𝜎𝜏𝜏 � �
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎�
� � �1 3�
𝜎𝜎 � 𝜏𝜏 � � �
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎1� � �

となる．

以上であるが，ガロア対応すなわちガロア群 𝐺𝐺𝐺の部分群の全体からなる集合と有限次ガロア拡大 𝐿𝐿 ⁄𝐿𝐿 の中間体 𝑀𝑀𝑀の全体からなる集合との間の 1 対 1 の対応のあることが，ガロア理論の基本定理として知られているのでこれを求めたい．
ガロア群𝐺𝐺𝐺の部分群をすべて挙げると
位数 6：𝐺𝐺 𝐺 𝐺𝐺� �または𝑆𝑆� �

位数 3：𝑆𝑆 � �1� , 𝜎𝜎𝜎 𝜎𝜎 � � ≅ 𝐶𝐶� (：位数 3 の巡回群)

位数 2：� � �1� , 𝜏𝜏� ≅ 𝐶𝐶� (：位数 2 の巡回群)� � �1� , 𝜎𝜎𝜎𝜎� ≅ 𝐶𝐶� (：位数 2 の巡回群)

𝐶𝐶 � �1� , 𝜎𝜎 � 𝜏𝜏� ≅ 𝐶𝐶� (：位数 2 の巡回群)

位数 1：� � �1� �である．

まず，明らかに𝐿𝐿� � 𝐿𝐿 � �𝑎 𝐿𝐿� � 𝐿𝐿 � ��𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎� である．

𝐿𝐿 � ��𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎� の任意の元は𝑥𝑥 � �� � �� 𝑎𝑎 � �� 𝑎𝑎� � �� 𝑎𝑎 ��� 𝑎𝑎𝑎𝑎 � �� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔𝜔の形に表される．また，𝜔𝜔𝜔は 1 の原始 3 乗根

であり，𝜔𝜔� � 𝑎𝑎 � 1 � � であることに留意しておく．

①

𝐿𝐿� を求める．

―
3 −
―
− 34

貴田研司

ヘッダー

𝜎𝜎�𝑥𝑥 � � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎�𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎�𝑎𝑎� � � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎�𝜔𝜔� �𝑘𝑘� 𝜎𝜎�𝑎𝑎𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎�𝑎𝑎� 𝜔𝜔�� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝜔𝜔 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔 �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎�

� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝜔𝜔 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� ��1 � 𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔 �𝑘𝑘� 𝑎𝑎��1 � 𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎�
� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎 � ��𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� �𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔 � �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� �𝑎𝑎𝜔𝜔 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔𝜔𝜔である．よって，𝑥𝑥𝑥が 𝜎𝜎𝜎で（よって，𝑆𝑆で）固定されるための必要十分条件は𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘�である．したがって 𝑘𝑘� と 𝑘𝑘� は任意であるが𝑘𝑘� � 0, 𝑘𝑘� � 0, 𝑘𝑘� � 0, 𝑘𝑘� � 0 なので 𝑥𝑥 � 𝑘𝑘0 � 𝑘𝑘3 𝜔𝜔𝜔だから

𝐿𝐿� � ��𝜔𝜔�

である．

②

𝐿𝐿� を求める．

𝜏𝜏�𝑥𝑥 � � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝜏𝜏�𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜏𝜏�𝑎𝑎� � � 𝑘𝑘� 𝜏𝜏�𝜔𝜔� �𝑘𝑘� 𝜏𝜏�𝑎𝑎𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� 𝜏𝜏�𝑎𝑎� 𝜔𝜔�� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔� �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔�� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� ��1 � 𝜔𝜔��𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎��1 � 𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� ��1 � 𝜔𝜔�� �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � � �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� �𝑎𝑎 � �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� �𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔 �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝜔𝜔 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔

である．よって，𝑥𝑥𝑥が 𝜏𝜏𝜏で（よって，𝐴𝐴𝐴で）固定されるための必要十分条件は𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘�

2

である．したがって 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� は任意であるが 𝑘𝑘3 � 0, 𝑘𝑘4 � 0, 𝑘𝑘5 � 0 なので 𝑥𝑥 � 𝑘𝑘0 � 𝑘𝑘1 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘2 𝑎𝑎 だから

𝐿𝐿� � ��𝑎𝑎�

である．

③

𝐿𝐿� を求める．

𝜎𝜎𝜎𝜎�𝑥𝑥 � � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎𝜏𝜏�𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎𝜏𝜏�𝑎𝑎� � � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎𝜏𝜏�𝜔𝜔� �𝑘𝑘� 𝜎𝜎𝜏𝜏�𝑎𝑎𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎𝜏𝜏�𝑎𝑎� 𝜔𝜔�� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝜔𝜔 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔� �𝑘𝑘� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝜔𝜔 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� ��1 � 𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� ��1 � 𝜔𝜔� �𝑘𝑘� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔� �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔 �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝜔𝜔 � ��𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� �𝑎𝑎� 𝜔𝜔

である．よって，𝑥𝑥𝑥が 𝜎𝜎𝜏𝜏𝜏で（よって，𝐵𝐵𝐵で）固定されるための必要十分条件は𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘�

である．したがって， 𝑘𝑘0 , 𝑘𝑘5 は任意であるが 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� そして 𝑘𝑘� � 0,
―
4 −
―
− 35

𝑘𝑘� � 0 である．よって

大学初年次における数学教材の提案（その 34）〜ガロア対応の例〜

ヘッダー

だから

𝑥𝑥 � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎 �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎�1 � 𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� �𝑎𝑎𝑎𝑎� ��

𝐿𝐿� � ��𝑎𝑎𝑎𝑎� �である．
④

𝐿𝐿� を求める．

𝜎𝜎 � 𝜏𝜏�𝑥𝑥 � � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎 � 𝜏𝜏�𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎 � 𝜏𝜏�𝑎𝑎� � � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎 � 𝜏𝜏�𝑎𝑎� �𝑘𝑘� 𝜎𝜎 � 𝜏𝜏�𝑎𝑎𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝜎𝜎 � 𝜏𝜏�𝑎𝑎� 𝑎𝑎�
� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝜔𝜔� �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎�

� 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎��1 � 𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� ��1 � 𝑎𝑎��𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎�� �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎 ���𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� �𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔である．したがって，𝑥𝑥𝑥が 𝜎𝜎 � 𝜏𝜏𝜏で（よって，𝐶𝐶𝐶で）固定されるための必要十分条件は𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � �𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘�

である．したがって， 𝑘𝑘� , 𝑘𝑘� は任意であるが 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� そして 𝑘𝑘� � �,𝑘𝑘� � � である．よって

𝑥𝑥 � 𝑘𝑘� � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� �1 � 𝑎𝑎� � 𝑘𝑘� �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� 𝑎𝑎� 𝜔𝜔� � 𝑘𝑘� �𝑘𝑘� 𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑘𝑘� �𝑎𝑎𝑎𝑎��

だから𝐿𝐿� � ��𝑎𝑎𝑎𝑎�

である．

以上の結果を束論的図式にまとめておく．

� � �� ≅ 𝑆𝑆�
𝑆𝑆 � �1� , 𝜎𝜎𝜎 𝜎𝜎 � �𝐴𝐴 � �1� , 𝜏𝜏�� � �1� , 𝜎𝜎𝜎𝜎�� � �1� �
Fig. 2 Lattice of subgroups

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𝐶𝐶 � �1� , 𝜎𝜎 � 𝜏𝜏�

貴田研司

ヘッダー

𝐿𝐿� � 𝐿𝐿 � ��𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎�
𝐿𝐿� � ��𝑎𝑎�

𝐿𝐿� � ��𝑎𝑎𝑎𝑎� �

𝐿𝐿� � ��𝑎𝑎𝑎𝑎�

𝐿𝐿� � ��𝜔𝜔�
𝐿𝐿� � � � �Fig. 3 Lattice of subfields

参考文献
1) 貴田研司，“大学初年次における数学教材の提案（その 30）～ガロア群～，”東海大学紀要情報通信学部，Vol.12,No.2,2019,pp.32-39
2) 三宅敏恒「入門代数学」培風館，1999
3) 増田真郎「応用のための代数系入門」サイエンス社，1981
4) 横井秀夫，硲野敏博共著「代数演習」サイエンス社，1989
5) I.スチュワート著，永尾汎監訳，新関章三訳「ガロアの理論」共立全書，1979
6) イアン・スチュアート著，並木雅俊，鈴木治郎訳「明解ガロア理論[原著第3版]」講談社，2008
7) Ian Stewart「GALOIS THEORY Fourth Edition」CRC Press，20148) 松坂和夫「代数系入門」岩波書店，1976

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東海大学情報通信学部紀要委員会
委 員 長

大

川

委

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田

光

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本

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ファイン

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員

猛

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EDITORIAL COMMITTEE OF PROCEEDINGS OF
THE SCHOOL OF INFORMATION
AND TELECOMMUNICATIONENGINEERINGTOKAI UNIVERSITY
ChairmanTakeshi OHKAWA

MemberMitsuho YAMADA
Masaaki KANEKO
Hiroshi YAMAMOTO
Gary Scott FINE

本紀要の論文は，情報通信学部紀要委員会で査読・審査を受け，掲載可と判定された原著論文である．

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Vol.

13

No.

1 20202020年 9 月30日
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