Astérisque
P IERRE B ERTHELOT
Altérations de variétés algébriques
Astérisque, tome 241 (1997), Séminaire Bourbaki,
exp. no 815, p. 273-311<http://www.numdam.org/item?id=SB_1995-1996__38__273_0>© Société mathématique de France, 1997, tous droits réservés.
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Juin 1996

Séminaire BOURBAKI
48ème année, 1995-96, n° 815

ALTÉRATIONS DE VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES[d’après A. J. DE JONG]
par Pierre BERTHELOT

1.

INTRODUCTION
Deux

problèmes de désingularisation jouent un rôle fondamental en
Géométrie Algébrique : le problème de la résolution des singularités d’une variété
singulière, et celui de la réduction semi-stable pour une variété propre et lisse sur
un corps muni d’une valuation discrète. Les résultats obtenus sur ces questions,souvent limités à la caractéristique nulle, sont des outils extrêmement puissants,
notamment dans l’étude de la cohomologie des variétés algébriques. Par contre,
leur démonstration passe généralement pour très délicate. Des travaux récents de
A. J. de Jong [31] montrent qu’une version un peu affaiblie de ces problèmes
amène à une solution remarquablement simple et élégante, sans limitation decaractéristique, et qui fournit néanmoins des résultats suffisants pour beaucoupd’applications.
1.1. Résolution des singularités

Sous la forme générale que lui donne Grothendieck dans [EGA IV, 7.9], leproblème de la résolution des singularités s’énonce de la manière suivante :Problème 1.1.1.
Si X est un schéma localement n0153thérien et réduit, existe-t-il
un schéma régulier X’, et un morphisme propre et birationnel f : X’ ~ X ?
-Un tel morphisme est appelé désingularisation de X. Cette question est
dominée par le théorème fondamental d’Hironaka [28] :Théorème 1.1.2.

Soient k un corps de caractéristique 0, X une variété algék. Il existe une désingularisation f : X’ -~ X où f est un morphisme-

briqueprojecti f, induisant un isomorphisme au-dessus de l’ouvert U des points réguliers
surde X, et tel que f-1(X ~ U) soit un diviseur à croisements normaux de X’.

273

On notera que le résultat d’Hironaka est plus précis que 1.1.1 : la désingularisation qu’il construit ne modifie pas le lieu régulier de X, et le lieu singulier est
transformé en un diviseur à croisements normaux.

Toujours en caractéristiquenulle, des travaux ultérieurs ont amélioré ces résultats, en fournissant notamment une méthode constructive de résolution (voir en particulier Villamayor[59],

et Bierstone-Milman [7]). D’autre part, les travaux récents de Spivakovsky [58]laissent maintenant espérer qu’on puisse obtenir pour tout schéma excellent unerésolution canonique des singularités (c’est à dire satisfaisant une forme faible defonctorialité, c f. [58, déf. 1.6]), sans hypothèse de caractéristique.
1.2. Altérations et modifications
1.2.1. L’idée de de Jong consiste à affaiblir la notion de désingularisation, en
autorisant le corps des fonctions rationnelles sur X’ à être une extension finie ducorps des fonctions rationnelles sur X, alors qu’il est invariant par désingularisation. Plus précisément, soit X un schéma n0153thérien intègre. Une altération de X
est un schéma intègre X’ muni d’un morphisme (p : X’ -~ X propre et surjectif, tel

U
qu’il existe un ouvert non vide U c X au-dessus duquel le morphisme
si
une
étale
modification)
est fini. Une altération est dite génériquement(resp.
U soit étale (resp. un isomorl’on peut choisir U tel que le morphisme
phisme).
Soit k un corps quelconque. Une variété algébrique sur k sera un k-schémade type fini, séparé et intègre. De Jong montre le théorème suivant [31, th. 3.1] :Soient X une variété algébrique sur k, et Z c X un fermé deThéorème 1.2.2.
X, distinct de X. Il existe alors une altération ç : X’ ~ X et une immersion ouverte-

j : X’ ~ X’ telles que :(i) X’ est une variété projective régulière (donc lisse sur k si k est parfait) ;u (X’~X’) cX’ est le support d’un diviseur à croisements(ii) Le fermé
normaux stricts de X’ (cf. 2.2.1).
Si k est parfait, on peut de plus choisir ~ générique ment étale.
On notera que, contrairement à ce que donne la méthode d’Hironaka,
l’ouvert de X au-dessus duquel 03C6 est fini est en général plus petit que l’ouvert
Reg(X) des points réguliers : on peut être amené au cours de la construction à
faire des éclatements centrés en des sous-variétés rencontrant Reg(X). La
construction n’est pas canonique, mais, si l’on se donne une action d’un groupefini sur X, de Jong en donne aussi une version équivariante [31, th. 7.3]. Grâce àcelle-ci, il est possible de construire (après extension radicielle du corps de base)une modification d’une variété donnée X, qui n’ait que des singularités quotients[31, cor. 7.4]. Signalons aussi qu’en caractéristique 0, Abramovich et de Jong [1]ont pu pousser ces résultats plus loin, et obtenir une version faible du théorèmed’Hironaka (là encore, des éclatements rencontrant le lieu lisse peuvent intervenir). Ce dernier résultat a été obtenu indépendamment par Bogomolov et Pantev[8], par des techniques d’esprit assez proche.
La méthode de de Jong est complètement différente de celles qui sontutilisées dans les travaux mentionnés en 1.1. Dans ceux-ci, le principe général
mis en oeuvre consiste à associer certains invariants aux singularités de X, en
fonction desquels on pourra choisir un sous-schéma de X que l’on va éclater, etdont le comportement contrôle la suite d’éclatements nécessaires pour désingulariser X. Ici, la nature des singularités de X ne joue aucun rôle. En un sens, laméthode suivie rappelle la technique des bons voisinages utilisée par M. Artindans la démonstration du théorème de comparaison en cohomologie étale [SGA 4,
exp. XI, § 3] : il s’agit de décrire une variété X par une suite de fibrations en
courbes sur des variétés de dimension inférieure. Mais, à la différence de laméthode d’Artin, dans laquelle on localise au voisinage d’un point de manière à
pouvoir trouver une fibration de ce voisinage en courbes lisses, avec une compactification relative lisse par un lieu à l’infini étale sur la base, la construction de deJong est de nature globale, et autorise donc certaines singularités. Elle procèdepar récurrence sur la dimension de X. Dans une première étape, on altère X pardes techniques de géométrie projective de manière à pouvoir construire un
morphisme projectif X -~ Y, ayant pour fibres des courbes géométriquement
connexes, et dont l’ouvert de lissité est dense dans chaque fibre. On fait ensuite

appel à la théorie des espaces de modules pour les courbes stables pour montrer
qu’on peut altérer ce morphisme de manière à ce que X devienne une courbe
nodale de base une variété lisse Y, qui soit lisse en dehors d’un diviseur à croisements normaux strict de Y. Les singularités de X peuvent alors être décrites demanière simple à partir de la théorie des déformations des singularités
quadratiques ordinaires [SGA 7, VI 6], et on peut les résoudre explicitement.
1.3.

Réduction semi-stable
Soient S un schéma n0153thérien connexe,régulier de dimension 1, K son

corps de fonctions rationnelles. Une S-variété est un S-schéma intègre, séparé,plat et de type fini sur S. Un S-schéma X est dit semi-stable si X est lisse sur S,

sauf au-dessus d’un nombre fini de points s E S, au voisinage desquels X est
localement pour la

topologie étale isomorpheà

unschémade la forme

Spec(OS[t1,. ,tn]/(t1. tr-03C0) , où 03C0 est une uniformisante en s (voir aussi 5.2).

Si K’ est une extension finie de K, nous noterons S’ la normalisation de Sdans K’, et XK,
suivant :=K’ ®K X. Le problème de la réduction semi-stable sur K est leProblème 1.3.1.
Si X est une variété algébrique propre et lisse sur K,
existe-t-il une extension finie K’ de K, et une S’-variété X’ de fibre générique-

XK,,

qui soit propre et semi-stable sur S’ ?
Pour les courbes, ce problème est résolu sans hypothèse de caractéristiquepar le théorème de réduction semi-stable, dû à Deligne-Mumford [13], et à Artin-

Winters [3] (voir aussi Bosch-Lütkebohmert [9] pour une démonstration par voie

rigide analytique). En caractéristique 0, le théorème de réduction semi-stable a été
prouvé en toutes dimensions par Knudsen, Mumford, et Waterman sous la forme
suivante [36, II] :Théorème 1.3.2.

Soient S une courbe lisse sur un corps k de caractéristiquenulle, s ~ S un point fermé, f : X ~ S un morphisme de variétés algébriques sur k,lisse hors de s. Il existe une courbe lisse S’ sur k, un morphisme fini x : S’ ~ S telque ~c-1(s) _ {s’}, un S’-schéma semi-stable X’, et un S’-morphisme projectif
p : X’ -~ X xs S’, tel que p soit un isomorphisme au-dessus de S’ v {s’}.
-On notera que la démonstration, basée sur la théorie des plongementstoroïdaux, utilise le théorème de désingularisation d’Hironaka - de même, dureste, que la démonstration du théorème de réduction semi-stable pour les courbes utilise la résolution des singularités des surfaces arithmétiques -, mais quel’hypothèse d’égale caractéristique 0 sert également pour obtenir un morphisme
X’ ~ S’ dont la fibre en s soit sans composantes multiples (cf. [36], p. 99). En
inégale caractéristique comme en égale caractéristique p > 0, l’analogue de ce
théorème reste une conjecture en dimension relative > 1.
1.4. Altérations semi-stables

Les méthodes de de Jong s’appliquent aussi dans le cas semi-stable, fournissant un substitut au théorème 1.3.2 sans hypothèse de caractéristique [31, th. 4.5] :Théorème 1.4.1.

Soient A un anneau de valuation discrète complet, S
SpecA, X une S-variété, Z c X un fermé distinct de X, et contenant la fibre=-

spéciale de X. Il existe un anneau de valuation discrète A’ fini sur A, de spectreS’, une S’-variété X’, une altération de S-variétés 03C6 : X’ ~ X, et une immersion
ouverte de S’ -variétés j : X’ ~ X’, vérifiant les propriétés suivantes :(i) X’ est une S’ -variété projective à fibre générique géométrique irréductible ;U (X’vX’)) est un couple strictement semi-stable (cf.
(ii) Le couple (X’,
5.2.2).
Ce théorème

possède aussi une extension au spectre d’un

Dedekind ayant pour corps des fractions un corps global [31, th. 8.2].

anneaudeDans la suite de cet exposé, nous traiterons d’abord le problème auquel on se
réduira dans les démonstrations ultérieures, celui de la résolution des singularités pour les courbes nodales lisses hors d’un diviseur à croisements normaux.

Nous expliquerons ensuite l’essentiel de la démonstration du théorème 1.2.2, quifournit un exemple typique des méthodes de de Jong, puis les compléments à lui

apporter pour obtenir le théorème 1.4.1; mentionnons en particulier le théorème
5.1.1, qui permet d’altérer une famille de courbes en une famille nodale. Nous
illustrerons enfin la portée de ces résultats en donnant quelques exemples

d’applications : positivité des caractéristiques d’Euler-Poincaré (conjecture deSerre), finitude de la cohomologie de Monsky-Washnitzer, uniformité par rapport
à e de l’exposant de quasi-unipotence de la monodromie en cohomologie e-adique,conjecture Cpst sur les représentations galoisiennes p-adiques.

2.

DÉSINGULARISATION DE CERTAINES COURBES NODALES
Soit f : X -~ S une fibration en courbes nodales. On traite ici le problème de ladésingularisation de X, lorsque S est régulier, et X lisse sur S hors d’un diviseurà croisements normaux stricts de S.

Courbes nodales

2.1.

2.1.1. On suppose que S est localement noethérien. Une fibration en courbes
nodales de base S (ou simplement une courbe nodale1 sur S) est un morphismede schémas f : X -~ S propre, plat, dont toutes les fibres géométriques sont descourbes connexes ayant au plus des points doubles ordinairescommesingula-rités. Si S est le spectre d’un corps k, nous dirons qu’une courbe nodale X sur k
est scindée si toutes ses composantes irréductibles sont lisses et géométriquement
irréductibles, et si les points doubles de X sont tous rationnels sur k. Dans le cas
général, nous dirons que X -~ S est une courbe nodale scindée si la fibre XS est

scindée sur JC( s) pour tout s E S.
2.1.2.

Supposons que f : X - S soit une courbe nodale. Si x E X est un point de
non-lissité de f, d’image SES, l’anneau local complété
8x x possède une description simple en tant qu’algèbre sur l’anneau local complété’88,s. Le corps résiduel
x(x) est une extension finie séparable de K(s), de sorte qu’il existe un uniqueanneau local complet(~x, fini et étale sur ~ ~, ayant K-(jc) pour corps résiduel.
~

Nous nous écartons ici de l’emploi courant du mot « semi-stable », utilisé
notamment dans [31], afin d’éviter la confusion possible avec la notion de variété semi-

stable utilisée en 1.3 lorsque S est régulier de dimension 1.

L’anneau quotient
est de la formev ]] I ( q ( û, u)), où q est une
forme quadratique non dégénérée à coefficients dans K(x). Si on se donne unrelèvement q de q à coefficients danson peut alors trouver par approximations
successives des relèvements u, v de U, v danstels qu’il existe h E
et un

(~x,

(~x, x = C~x[ [ u,U ] ] I ( q( u, v ) - h ) (voir aussi la théorie des déformaisomorphismetions des singularités quadratiques dans [SGA 7, VI 6]). Lorsque la courbe est
et on peut prendre
scindée, ou le corps K(s) algébriquement clos, on a (~xq( u, v ) uv.
On définit le lieu singulier de f comme le sous-schéma fermé Sing( f ) c X
défini par le premier idéal de Fitting de 03A91X/S [SGA 7, VI 5]. Il est fini et non
ramifié sur S, et, avec la présentation qui précède, sa restriction à Specest lesous-schéma fermé défini par l’idéal ( u, v ), dont l’anneau est (~x I ( h ) .
=(~s,s,=’

Courbes nodales lisses hors d’un diviseur à croisements normaux

2.2.
2.2.1.

Si X est un schéma localement n0153thérien,

normaux

stricts de X est un diviseur D

un diviseur à croisementsde
Di X, tel qu’en chaque point=XE D l’anneau local

soit régulier, que D soit réduit et chacunettout
J c { 1, ... , r}, J ~ 0, le sous-schéma fermé
irréductible, que, pour

des

D~

~j~J Z)soit un sous-schéma régulier de X, de codimension égale au cardinal de J.

Nous renvoyons à [EGA IV, 7.8] ou à [40] pour la notion de schéma excellent.
Par exemple, si A est un anneau local n0153thérien complet, ou un anneau de Dedekind tel que Frac(A) soit de caractéristique 0, Spec A est excellent. Tout schéma

localement de type fini sur un schéma excellent est excellent, et le normalisé d’unschéma excellent réduit est fini sur celui-ci. De plus, la normalisation commute àla complétion. Rappelons enfin que l’ensemble des points réguliers d’un schéma
excellent réduit est ouvert.
La situation type où nous aurons à résoudre explicitement les singularités
est la suivante. On se donne un schéma S excellent et régulier,undiviseur àcroisements normaux stricts D c S, et une courbe nodale f : X -~ S, qu’on suppose
lisse en dehors de D. Le sous-schéma L=

Sing( f ) est donc de codimension > 2

dans X, et X est alors régulier, sauf éventuellement aux points de L.
2.2.2.

Sous les hypothèses de 2.2.1, on peut préciser la structure des composantes

irréductibles de L. Soient x E L, s f(x), et, pour 1 i
r, soit ti E Os sune
donnée enéquation locale de la composante Di de D. La structure locale desous la forme
2.1.2 permet d’écrire
=

8x,x

8x,x

Avec les notations de 2.1.2, on a alors

U~,x =(ti 1... t)r), de sorte que, au

et 03A3 est fini et étale sur le diviseur
Il en résulte que, si T est une composante irréductible de L

est annulé parvoisinage de x,

telle que f (T ) c Di, l’entier ni ne dépend pas du point considéré sur T, et que

f(T)=Di.
On voit donc que Sing( f ) est purement de codimension 2 dans X. Sur une
composante irréductible T de Sing( f ), telle que f(T)D~, il y a alors deux=

possibilités :a) L’entier ni est égal à 1. Alors X est régulier en tout point x E T tel queb) L’entier ni est > 2. Alors X est singulier en tout point de T, et T est une
composante irréductible de Sing(X).

Désingularisation en codimension 2

2.3.

Gardant les mêmes hypothèses, on observe d’abord qu’on peut se ramener
singulier Sing(X) est de codimension > 3 dans X, en effectuant

au cas où le lieu

une suite d’éclatements centrés dans

2.3.1.

Sing(X).

Soit T c Sing(X) une composante irréductible de codimension 2. Soit

D~ f (T), et notons nT la valeur de l’exposant ni sur T. Si on suppose que1 = 1=~/(~i) ~s’identifie àpour fixer les idées, et si x E T, l’anneau
X
le
T.
X’
est
encoreune courbe nodale sur S, lisse
Soit X’ l’éclaté delong de Alors
hors de D, les invariants nT’ associés aux composantes T’ ~ T ne changent pas, etSing(X’) possède au plus une composante irréductible T" dominant T, pourlaquelle on a nT" nT - 2. On vérifie ces assertions au voisinage de la fibre de X’au-dessus de chaque point x E T. Une localisation étale au voisinage de s permetde supposer que q(u, v)
uv. Par extension des scalaires à(~X x, on se ramène à==étudier l’éclaté Y’ de Y=

lelong de T=

V(u,v,tl).

On dispose de coordonnées projectives u’, v’ et t~, correspondant aux équations u, v
et tl, et définissant trois cartes locales :(i) Pour M’ =~ 0, on obtient les relations

L’anneau correspondant est

qui est régulier. Par symétrie, lasituation est la même pour U‘ ~ 0.

(ii)

Pour t’1 ~ 0, les relations sontL’anneau obtenu est(~x[ u’, v’] I ( u’v’ - tl 1-2 t2 2 ... tr l). Si nl=

2 ou nl=

3, il est

régulier hors de V(t2... tr), et il n’y a pas de composante irréductible de Sing(X’)

dominant T. Sinon, la composante T" obtenue a pour équation u’

nT’

=

=

v’ = tl=

0, avecnT-2.

En itérant de tels éclatements, on obtient donc une modification de X en une
courbe nodale du même type, pour laquelle il n’existe plus de composanteirréductible de Sing( f ) sur laquelle l’un des ni soit > 2. Par conséquent, l’anneau
avec
en un point singulier x de X est de la formev ]] I ( q ( u, U ) d’au
moins
l’intersection
est
donc
dans
E
Un
tel
2 ~. r, et ti mx pouri ,u.
point
deux composantes irréductibles Ta et Tg de Sing( f ), de projections Di * D. sur S.
est effectivement un point singulier de X, deInversement, tout point de Ta n(~x [ [ u,

8x,x

T~

sorte que Sing(X) est purement de codimension 3 dans X. On voit de plus que
toute composante irréductible E~ de Sing(X) est finie et étale au-dessus d’une

composante irréductible de l’un des Di n D~ . En particulier, les E~ sont desschémas réguliers.
2.4.

Cas d’une base lisse sur un corps algébriquement clos

Supposons maintenant que S soit une variété lisse de dimension d-1 sur uncorps algébriquement clos k. Dans la situation obtenue en 2.3.1, on peut achever ladésingularisation de X en éclatant les composantes irréductibles de Sing( X) .
2.4.1. On oublie la structure de courbe nodale de X, et on observe simplement queest
X possède la propriété suivante : si x est un point fermé de X, soit
forme
de
la
un
anneauàestisomorphe
régulier, soit son complété

8x,x

plus, toute composante irréductible E de Sing(X) est un
schéma régulier. Sous ces conditions, vérifions alors que l’éclaté X’ de X le long deE possède les mêmes propriétés, et que Sing(X’) a une composante irréductible demoins que Sing(X).
Soit x E E un point fermé. Comme E est régulier, il induit un sous-schéma
irréductible de Spec 8x,x’ Il s’ensuit que l’idéal de E dans 8x,x est engendré par u,, par exemple tl, t2. On se ramène àv, et deux éléments ti ~ tj, avec 1 i, javecétudier l’éclaté Y’ de Y
V(u, V, t1’ t2). On utilise les quatre cartes
projectives u’, v’, ti, t2 associées à u, v, tl, t2 :le long de F=

correspondantaux=

coordonnées(i) Pour u’ "* 0, on obtient les équations

Sur cet ouvert, Y’ est lisse avec pour coordonnées locales u, tl, t2 ,situation est identique pour v’ =1= 0.

...,

td _ 1. La

Pour t’1 ~ 0, on obtient les équations(ii)

Si JI > 2, Y’ est singulier aux points y tels que u’variables t2, t3, ... ,t~ s’annulent ; on a alors

=

v’

=

0, et que deux au moins desPour i > 2 (resp. j >> 2), la composante irréductible définie par u’ v’ = t2 = tiua pour image la composante de Y définie par u
0 (resp.
=

t2

=

ti

=

u ‘ = U’ = ti = t~ = 0 )0 (resp. u = v = ti = t~ = o). On a une description identique pour t2 "* 0.

=

=

=

Par suite, X’ a bien les propriétés voulues. En itérant ce processus, on aboutit
à une variété non singulière.

En vue des applications ultérieures, on remarquera que, dans le proces-

2.4.2.
sus

décrit en 2.3.1 et 2.4.1, l’image inverse réduite du diviseur D de S est lesupport d’un diviseur à croisements normaux de la variété désingularisée X’. Sur
les cartes décrites en 2.4.1 (i), qui sont lisses, l’image inverse réduite de D est
définie par0, qui est un diviseur à croisements normaux. Sur celles=qui sont décrites en 2.4.1 (ii), elle est définie par tl t2... trdiviseur à croisements normaux lorsqu’on aboutit à J1 = 1.

=0, qui devient un

Cas des courbes nodales scindées

2.5.

Revenons à la situation générale décrite en 2.2, et supposons maintenant que
X soit une courbe nodale scindée sur S. On peut encore résoudre les singularitésde X par éclatements de manière à avoir un isomorphisme hors de Sing(X).
2.5.1.

En appliquant 2.3.1, on se ramène comme plus haut au cas où Sing(X) est

de codimension 3 dans X. Cette suite d’éclatements transforme X en une nouvellecourbe nodale scindée. On remarque alors que X est régulier si et seulement si
toutes les composantes irréductibles
sont des diviseurs de X. En effet, X

de f -1 (D )étant scindé, l’anneau local complété

8x,x

en un

point singulier de X est de laforme

2 ,u r. Comme on l’a vu en 2.2.2, il existe une composante irréductible T1
Sing( f ) passant par x et se projetant sur D~, pour tout i tel que 1 ~ i ~ ~.
Comme X est scindé, il existe au-dessus du point générique 17i de Di deux
composantes irréductibles de f ‘1(r~i) passant par Ti n f -1(r~i), dont lescontenant Ti.
adhérences fournissent deux composantes irréductibles de
avec

de E

=

Il est clair qu’elles sont respectivement définies dans

8x,x par u = 0, ti = 0 et U = 0,

ti 0, et que ce ne sont pas des diviseurs au voisinage de x si J1 > 2. Par contre, si x
sont nécesest un point régulier de X, les composantes irréductibles de=sairement des diviseurs en x.
2.5.2.

On peut alors achever la désingularisation de X en éclatant les composan-

qui ne sont pas des diviseurs. En effet, si f’ : X’ -~ S est
X’ -~ X est
obtenu en éclatant X le long d’une telle composante, le morphisme
un isomorphisme hors de Sing(X), donc induit un isomorphisme entre lecomplémentaire d’un fermé de codimension > 2 dans X’ et le complémentaired’un fermé de codimension > 3 dans X. Par suite, les composantes. irréductibles
de f -1(D) et de f’-1(D) sont en correspondance bijective par ~p-l, et le nombre dequi ne sont pas des diviseurs est strictement
composantes irréductibles
Un calcul local du même type que ceux
plus petit que son analogue pourde 2.3.1 et 2.4.1 permet de vérifier que X’ est encore une courbe nodale scindée.
Après un nombre fini de tels éclatements, on obtient donc une courbe nodale
scindée telle que toutes les composantes irréductibles de f -1 (D ) soient desdiviseurs, et le schéma obtenu est alors régulier.

tes irréductibles de3.

ALTÉRATIONS STABLES DE COURBES POINTÉES

Au coeur des méthodes de de Jong se trouve un résultat (théorème 3.2.2) qui
permet de transformer par altérations génériquement étales certaines familles decourbes pointées, lisses au dessus d’un ouvert non vide, en courbes stables au
sens de Deligne et Mumford.
3.1. Modules des courbes stables pointées

Rappelons d’abord quelques résultats classiques sur les modules des courbes
stables pointées.
Soient g, n deux entiers positifs tels que n > 2 - 2g. Rappelons (c f. DeligneMumford [13] et Knudsen [38]) qu’une courbe stable de genre g, n-pointée, audessus d’un schéma de base S, est un morphisme de présentation finie x : C -~ S,propre, plat, muni de n sections distinctes 6i : S -~ C, tel que :(i) Les fibres géométriques de n sont des courbes connexes et réduites CS, SES,
avec dimOCs) g, et n’ayant pour singularités que des points doubles
ordinaires ;(ii) Les sections 6~ sont à valeurs dans le lieu lisse de f, et distinctes en tout
point s ;3.1.1.

=

(iii) Si E est une composante rationnelle non singulière de CS, la somme dunombre de points où E rencontre les autres composantes de C~ et du nombre desections (1 telles que (1 i( s) E E est au moins 3.
3.1.2.

Pour S variable, la catégorie des courbes stables n-pointées de genre g

forme un champqui est algébrique, propre et lisse sur SpecZ[13, th. 5.2]
th.
dans
le
cas
et
muni
d’un
2.7]
0,
[38,
pour ngénéral),morphisme repréqui est une « courbe stable n-pointée universelle ». Nous
sentable Fg,n ~ Mg,nnoterons
l’ouvert deparamétrant les courbes stables lisses.
Soit e un entier > 3, et plaçons nous au-dessus de
On noteledescourbesstableslissesdechampgenre g, n-pointées, et munies d’une
trivialisation du sous-groupe des points de la jacobienne annulés par e. A priori,=

c’est un champ algébrique, muni d’un morphisme fini et étale
et même un espace algébrique au sens d’Artin[2] et Knutson [39], car, sur uncorps, les courbes stables munies d’une telle trivialisation n’ont pas d’automor-

phismes non triviaux. Pour g >_ 2, n 0, c’est en fait un schéma quasi-projectif
sur Z[l/e]: d’après [39, cor. 6.16], cela résulte de ce qu’il est séparé etquasi-fini
sur le schéma de modules grossier des courbes lisses de genre
g, quasi-projectif
sur(Mumford [45, cor. 7.14] ; voir aussi [49], [50]). C’est encore le cas si
3ou
g 0, nsi g = 1, n 1, par un argument spécifique. Pour n quelconque, laquasi-projectivité depeut s’en déduire en utilisant les isomorphismes decontraction
s’identifie à un ouvert~ ~g, n [38], qui montrent que
=

=

=

=

de la courbe stable universelle sur

On notele normalisé dechamp algébrique fini surdans lMg,n [13, (4.20)], qui est encore un

La démonstration de Deligne [12, prop. 3.5] est

valable pour n quelconque, et montre queau-dessus de Z[l/e]. Si Q = ele2,] est un espace algébriquesontentre eux et _> 3,
estpremiers
et e2

algébrique au-dessus de Z, car il est égal au normalisé de e1Jig,nau-dessus deet à celui de l2Mg,n au-dessus de(cf. [12, cor. 3.7]).
Sur un corps de caractéristique première à e, on peut déduire de la
projectivité du schéma de modules grossier des courbes stables de genre g(Mumford [46], sur un corps quelconque - voir aussi Knudsen [38, III] pour n
est un schéma projectif, mais nous n’aurons
quelconque, mais sur C) que
unespacepas besoin d’utiliser ce résultat.

Altération en une famille de courbes stables

3.2.

Donnons d’abord une définition générale.

Si f : X ~ S est un morphisme de type fini entre deux schémas n0153thériens
S’ ~ S une altération
intègres, plat au-dessus d’un ouvert non vide V de S, et3.2.1.

de S, l’altéré strict de f relativement à cp (ou à S’) est le morphisme f’ : X’ - S’, oùX’ est l’adhérence schématique de cp-I(V) xy f -1(V) dans S’

xs X.

Supposons de plus que la fibre générique de f soit non vide, lisse et géométriquement connexe. Alors X’ est une altération de X, qu’on appelera altéré strict deX relativement à S’. Si S’est génériquement étale (resp. projectif) sur S, alors X’
est génériquement étale (resp. projectif) sur X.

Le résultat-clé est alors le théorème suivant [31, 3.17-3.21] :Théorème 3.2.2.

Soient f : X -~ S un morphisme propre entre deux schémas
S ~ X des sections distinctes de f . On suppose
intègres excellents, 61, ... ,vérifiées les conditions qui suivent :(a) Les fibres de f sont non vides, géométriquement connexes, équidimension-nelles de dimension 1 ;(b) Le lieu lisse de f est dense dans chaque fibre ;(c) La fibre générique de f est lisse ;(d) Pour tout point géométrique s de S, et toute composante irréductible E deXi, il existe au moins trois points distincts 6à(s) E E situés dans l’ouvert de lissitéde f .
Il existe alors un ouvert non vide U c S, une altération projective y : S’ - Sétale au-dessus de U, une courbe stable n-pointée ( g : C - S’, ai : S’ ~ C), et un

S’-morphisme ç : C - X’, où X’ est l’altéré strict de X relativement à S’, tel que
cp
pour tout i, et tel que ~p soit un isomorphisme au-dessus de
0’ o y=ov, _ ~_yU).
Comme les courbes stables sont projectives, le morphisme C - X est alors
une altération

projective génériquement étale de X.

Pour prouver le théorème 3.2.2, on commence par construire une altération projective génériquement étale S’ - S, munie d’une courbe stable n-pointée
3.2.3.

C -~ S’ telle qu’il existe un isomorphisme u : C~, ~ U’ x~ X au-dessus d’unouvert non vide U’ c S’.

Si 11 est le point générique de S, on choisit deux entiers Ql, e2 >_ 3, premiers
entre eux et premiers à la caractéristique de x( r~ ) ; on pose e = e le 2. Soit U c S

l’ouvert (non vide) au-dessus duquel e est inversible, f est lisse, et les sections 6~
si i =~ j. Notons g le genre dessont telles que, pour tout s E U, on ait 6i(s) ~U de f à U
fibres de f au-dessus de U. Comme n ~ 3, la restriction lu :n-pointée, et définit un 1-morphisme[1/~]tel que Xu soit l’image inverse de la courbe stable pointée univerest donc propre
fini surselle ~g, n . D’après 3.1.2, l’espace algébriquen ’n,sur SpecZ. Le lemme de Chow s’applique aux espaces algébriques (d’après

est une courbe stable lisse de genre g,Raynaud-Gruson [52, cor. (5.7.14)], précisant Knutson [39, IV, th. 3.1]), et fournit
qui soit un isomorphismorphisme projectif d’espaces algébriques ,~’ me au-dessus de l’ouvert
et tel que Ji’ soit projectif
quasi-projectif lMg,n c
sur SpecZ. Il en résulte que Ji’ est un schéma projectif, que nous noterons M’.
Le produit fibré U
est un U-schéma fini et étale, et chacune de ses
composantes irréductibles est une altération finie génériquement étale de U.

unL’adhérence S’ d’une telle composante dans S x M’est alors

une

altération

projective génériquement étale de S, et l’altéré strict X’ de X relativement à S’est
une altération génériquement étale de X, contenant les images inverses des sections ai . D’autre part, le morphisme composé S’ - M’ fournit par image
inverse une courbe stable n-pointée g : C - S’, dont la restriction au-dessus del’image inverse U’ de U s’identifie par construction à X~,. On est donc ramené au
cas où l’on a la propriété supplémentaire :(e) Il existe une courbe stable n-pointée g : (C, il, ... , in) - S, un ouvert nonvide U c S, et un isomorphisme u : CU ~ XU envoyant sur 6~.
Soit T l’adhérence schématique du graphe de u dans C x~ X. En utilisant laplatification par éclatements de Raynaud-Gruson [52], on se ramène au cas oùl’on a de plus :(f) Le schéma T est plat sur S.
Enfin, on peut remplacer S par son normalisé S’, qui est fini et birationnel
sur S puisque S est excellent, et X par son altéré strict. Cela permet desupposer :(g) Le schéma S est normal.
3.2.4.

Supposons donc que f : X - S vérifie les conditions (a) - (g). On veut alors
prouver que l’isomorphisme u se prolonge en un morphisme de courbes pointées
C - X au-dessus de S.
Fixant un

point SES, on introduit les décompositions en composantes

irréductibles des fibres en s :Soient pl : T - C, p2 : T -~ X les deux projections. Vérifions d’abord que, pour touti(resp.
(resp. Pl (Tk,)r’), il existe un unique indice ki (resp. kJ) tel que= X~
et un ouvert V c X tel que V n Xi soit non vide, et p21 ( V) -~ V
Cj)’
un isomorphisme (resp. V’ c C ...). Comme
Xs et Ts sont de dimension 1 (T étant
sur
fini
est
en
d’un
dehorsensemblefini W c Xs. Si x est un point deS), p~
plat
Xg B W, il possède un voisinage ouvert V c X au-dessus duquel P2 est fini. Quitte àexclure un nombre fini de points x E Xg, on peut supposer que f est lisse sur V, ce
qui entraîne que V est normal. Comme p~ est d’autre part birationnel, p21(V) --~ V
est un isomorphisme, d’où l’assertion. On procède de même sur C.
r=Montrons maintenant que, pour toutir, et pour k =ki, le morphisme

pl : Tk -~ C~ est non constant. Sinon, soit c pl(Tk) son image. On peut trouver
3 indices a, j3, y tels que xa
6a(s), x~ Q~(s) et je 6Y(s) soient des points
=

=

=

=

distincts de Xi’ situés dans le lieu de lissité de f. Au voisinage de ces points, X est

normal, et la factorisation de Stein de p~ montre que les schémas T~ P21(x).,)
sont connexes pour A
a, /3, y. Ils contiennent respectivement les points
t~ _ (1).,(S), x).,), et T)., n Tk "* 0, car Tk domine Xi. D’autre part, les pointsc~z~(s) sont distincts, parce que C est une courbe stable pointée. Deuxcas pourraient se produire :1) Le point c n’est pas l’un des 3 points c,~. Alors les Pi(7B) sont de dimension 1, puisqu’ils sont connexes et contiennent les points c et c~ . Or ils sont deux àdeux distincts, car les T~ sont distincts, et il n’existe qu’une seule composante
=

=

=

=

irréductible de Ts au-dessus d’une composante irréductible donnée de Cg. On
trouve donc 3 composantes de Cs passant par un même point, ce qui contredit lastabilité de C.

2)

Le point c est l’un des 3 points c~, par exemple ca . Comme précédemment,
sont de dimension 1. Ils se coupent en c = ca, donc en l’un desPl (Tp)points définissant la structure de courbe stable pointée de CS, ce qui est encore
impossible.
De ces propriétés résulte que le morphisme pl : T - C n’a que des fibres
finies. Or il est birationnel, et, comme S est normal, on déduit facilement du critère de Serre [EGA, IV, 5.8] que C est normal. Par suite, c’est un isomorphisme,ce qui fournit le morphisme C - X prolongeant u, et achève la démonstration duthéorème 3.2.2.

4.

ALTÉRATIONS DE VARIÉTÉS SUR UN CORPS

Nous expliquons maintenant la démonstration du théorème 1.2.2, dont nous
reprenons les notations. La méthode consiste à effectuer une suite d’altérations

X, en remplaçant à chaque étape X par son altéré X’, et Z par son image
inverse Z’ dans X’ (éventuellement agrandie comme en 4.1.3 plus bas), afin de se
réduire finalement à la situation étudiée au paragraphe précédent. On procède
surpar récurrence sur d = dimX.
4.1.

Réductions préliminaires

4.1.1. On peut supposer k algébriquement clos. Si k est une clôture algébriquede k, il suffit en effet d’appliquer le théorème 1.2.2 à une composante irréductible

de X xSpec k et à l’image inverse de Z, de redescendre la situation à uneextension finie k’ de k sur laquelle tout est défini, et d’observer que, pour toutecomposante irréductible X’ de X x Spec k’, le morphisme X’ ~ X est une altérationde k-variétés algébriques, génériquement étale si k est parfait.
4.1.2.

On peut supposer que X est une variété projective : on applique le lemme deChow pour obtenir une modification quasi-projective, puis on remplace X par son
et Z par Z u ( X v X).
adhérence schématique X dans un plongement
En éclatant Z, on peut supposer que Z est le support d’un diviseur. On peut
ensuite remplacer si nécessaire Z par le support d’un diviseur plus grand, car

4.1.3.

tout fermé de X’ contenu dans un diviseur à croisements

codimension 1 dans X’, estnormaux

encorenormaux

stricts, et dele support d’un diviseur à croisements

stricts.

Comme le morphisme de normalisation X’ -~ X est une modification, on
peut remplacer X par X’ et Z par son image inverse dans X’, ce qui permet de
4.1.4.

supposer X normal.

Construction d’une fibration en courbes

4.2.

Soit dune

dimX. On veut modifier X de manière à se ramener au cas où X est
famille de courbes sur une base de dimension d - 1. On utilisera le lemme=suivant, qui résulte de techniques classiques de géométrie projective :Lemme 4.2.1.

dimension ddroites de-n.

Soit X c 1Pn un sous-schéma fermé réduit, purement de
Si z E Pn B X, on note Pn-1 l’espace projectif paramétrant lespassant par z, et prz : X -~la droite joignant z et x. Si dn -1 (resp. dmorphisme fini associant à x E X=

n -1 ), il existe un ouvert non videU c 1Pn tel que, pour z E U, le morphisme prz : X - prz(X) soit birationnel (resp.

génériquement étale).
Soient X une variété projective de dimension d sur k,
Proposition 4.2.2.
Z c X le support d’un diviseur. On peut trouver un sous-ensemble fini S de points-

fermés réguliers de X ~ Z, tel que, si ç : X’ ~ X est l’éclatement de S, il existe un
morphisme f : X’ ~possédant les propriétés suivantes :(a) Les fibres de f sont non vides, équidimensionnelles de dimension 1;(b) L’ouvert de lissité de f est dense dans chaque fibre ;(c) Si Z ’ = cp-l(Z)red’ la restriction de f à Z’ est finie, et étale au-dessus d’unouvert non vide de

Si l’on suppose que X est normal, on peut choisir S et f de sorte qu’on ait deplus :(d) L’une des fibres de f est lisse.

(e) Les fibres de f sont géométriquement connexes.
On part d’un plongement de X dans un espace projectif

et on applique

N - d fois le lemme 4.2.1 à la fois à X et à Z pour obtenir un morphisme finigénériquement étale 11: : X -~ P~ dont la restriction à Z soit birationnelle sur ~c(Z).
Le lemme 4.2.1 permet encore de choisir un point z Edans l’ouvert où x
soit fini et génériquement étale.
est étale, tel que le morphisme prz : x(Z) la variété d’incidence, qui n’est autre que
Soit 1Pd { (x, e)xc pd xl’éclaté de P~ en z. On définit X’ comme le produit X Xpd lPd, qui s’identifie àl’éclaté de X le long de l’ensemble fini S
11:-l(z), et on note X’ ~ X et
1Pd-1
les
définislesX’-~morphismesf:parprojections.
La condition (a) résulte de ce que la fibre de f au-dessus d’un point y E pd-l
correspondant à une droite e c pd passant par z est l’adhérence de ~c-1(Q v {z})dans X’, et de ce que 03C0 est fini. Chacune des composantes de 03C0-1(l) s’envoie
rencontre lessurjectivement sur ~, de sorte que chaque composante defibres exceptionnelles de ~p; comme x est étale au-dessus de z, et 1Pd -~ 1Pd-1 lisse
le long de la fibre exceptionnelle, f est lisse le long de ~p-1(S), ce qui entraîne (b).
La condition (c) est claire. Par construction, x s’identifie à une projection linéaire
centrée en une sous-variété linéaire L c 1PN de dimension N - d - 1, z correspondà une sous-variété linéaire L’ de dimension N - d contenant L et transverse à X, f
est l’extension à l’éclaté de X le long de X n L’ de la projection linéaire centrée enL’, un point y E pd-l correspond à une sous-variété linéaire H de dimension
est isomorphe à X n H : la condition (d)N - d + 1 contenant L, et la fibrerésulte ainsi du théorème de Bertini [33, th. 6.10]. Enfin, l’étude de la factorisationde Stein montre que les propriétés de f entraînent que ses fibres sont géométrique==ment connexes.

On applique alors la proposition précédente dans la situation obtenue en~-1(Z), on peut donc supposer qu’il
existe une variété Y de dimension d 2014 1, et un morphisme f : X -~ Y vérifiant les

4.2.3.

4.1.4. Remplaçant X par X’, et Z par Z’ =conditions (a) - (e) de 4.2.2. La variété obtenue est encore normale, et f est lisse audessus d’un ouvert non vide de Y.

4.3.

Transformation du diviseur en une famille de sections

La stratégie de de Jong consiste à se ramener à la situation du théorème
3.2.2. Pour cela, on va d’abord agrandir le diviseur donné Z c X de manière à ce

qu’il rencontre chaque composante irréductible de chaque fibre géométrique de f
en au moins trois points où f est lisse, puis on altérera Y pour transformer Z enréunion de sections de f.

Soit f : X ~ Y un morphisme de variétés projectives sur k
Proposition 4.3.1.
vérifiant les conditions (a) et (b) de 4.2.2. Il existe un diviseur H c X tel que :(i) La restriction de f à H est finie et génériquement étale ;(ii) Pour tout point géométrique ji de Y et toute composante irréductible C de la
fibre géométrique X, de f en , C n H contient au moins trois points distincts del’ouvert de lissité de f.
-

On choisit un faisceau très ample L sur X, et, pour un entier n >_ 1 fixé, soit
i : X ~ P le plongement dans un espace projectif défini par pfl)n. Soient IPv
x Y l’ensemble des couples (L, y) tels
l’espace des hyperplans L de P, et T c
T est fermé, car, sideirréductibleuneL
contienne
composanteque

T’ c 1P" x X est la restriction au-dessus de X de la sous-variété d’incidence de
1Pv x P, T est l’ensemble des points au-dessus desquels la fibre du morphisme
propre Id x f : T’ - lP" x Y est de dimension > 1. Une estimation sur la dimension
des fibres de la seconde projection T - Y fournit l’inégalité
dim T

dim Y +n.

Pour n assez grand, il existe donc un ouvert non vide V c 1P" dont les points
correspondent à des hyperplans L dont l’intersection avec chaque fibre de f est
finie.
Fixons un point fermé y E Y, et soit U c V l’ouvert des hyperplans L E V telssoit contenu dans le lieu lisse de f, et tels que L coupe transversaleque L n

L’ouvert U est non vide, et, si LEU, et si H X n L, le morphisme
est fini. Si x ~ f -1 (y) n H, la lissité de f en x et la transversalité de L et

ment

flH

=

entraînent que f est étale en x. Comme dimH = dim Y, toute composanteirréductible de H s’envoie surjectivement sur Y, et la condition (i) est remplie.

Reste à assurer la condition (ii). On commence par l’assurer au voisinage deon peut trouver un ouvert W
Comme
H est étale sur Y aux points dey.
contenu dans le lieu lisse de
W
et
soit
n
soit
étale.
surtelcontenant yque H f -1(W)au-dessus d’un point
f. Pour toute composante irréductible C d’une fibre
le
de
n
H
a
alors
cardinalCEl’intersection
C, et la condition est
degré
W,
pour
y’
n0153thérienne.
Si on arécurrence
ensuite
3.
On
dès
par
procèdeque n >remplie
construit H’ vérifiant (i), ainsi que (ii) au-dessus d’un ouvert W’ de Y, on choisit
un

point

W’, et on lui applique le raisonnement précédent pour trouver undiviseur H" vérifiant (i), et (ii) au-dessus d’un voisinage ouvert W" de y". Le
diviseur H’ u H" a alors les propriétés voulues au-dessus de W’ u W", d’où larécurrence.

On applique la proposition 4.3.1 dans la situation obtenue en 4.2.3. D’après
4.1.3, on peut remplacer Z par Z u H, ce qui permet de supposer désormais que Z

4.3.2.

vérifie :(f) Pour toute composante irréductible C d’une fibre géométrique de f, C n Z
contient au moins 3 points situés dans l’ouvert de lissité de f .

Remarquons maintenant que, si Y’ -~ Y est une altération projective
génériquement étale, et f’ : X’ -~ X l’altéré strict de f relativement à Y’, X’ est
une altération projective génériquement étale de X (voir 3.2.1). On pose Z’ (Y’ Xy Z)red; Z’ est encore le support d’un diviseur de X’, et on vérifie sansdifficulté que f’ vérifie les mêmes propriétés que f.

4.3.3.

On utilise cette remarque pour se ramenersections de f. Soit en effet Z=

au casoù Z est réunion de

UiEj Zi la décomposition de Z en composantes

irréductibles. On choisit une extension finie

galoisienne L de k(Y) telle que
chacune des extensions k(Zi) de k (Y ) puisse être plongée dans L, et on introduit
la normalisation Y’ de Y dans L : le morphisme Y’ --~ Y est alors une altération
finie et génériquement étale. En définissant X’ et Z’ comme plus haut, on voit que
Z’

=

Zi u

...

u

Z, où chacun des Zi est fini et birationnel sur Y’. Mais Y’ est

normal, de sorte que les morphismes Z~ 2014> Y’ sont des isomorphismes, etdéfinissent des sections
Y’ -~ X’ telles que Z’ U CIi(Y’). On remplace alors Y
par Y’ et (X, Z) par (X’, Z’), de sorte qu’on peut désormais supposer qu’on a deplus :(g) Il existe des sections al, ... , an dè f telles que Z U i 16~(Y ) .
On remarquera que l’existence de telles sections est préservée par lesaltérations construites comme plus haut à partir d’altérations de la base.
=

=

4.4.

Fin de la démonstration

Le morphisme f : X -~ Y vérifie maintenant les conditions (a) - (d) duthéorème 3.2.2. Quitte à remplacer Y par une altération projective génériquementétale Y’, et X par son altéré strict X’ relativement à Y’, on peut supposer qu’il
existe une courbe stable C sur Y, et un morphisme u : C -~ X, commutant aux
sections données, et qui soit un isomorphisme au-dessus d’un ouvert U de Y.
On considère le fermé u-1(Z) c C, qui est purement de codimension 1. Si
l’une de ses composantes n’est pas une des sections ’t’i(Y)’ la condition (g)entraîne que celle-ci se projette en un fermé de codimension 1 dans Y, ne rencontrant pas U. Il existe donc un fermé D c Y v U,

tel que
Z par Z’

c Z’ =

purement de codimension 1,

On remplace alors X par C, et’t’n(Y)’t’1 (Y)(grâce à 4.1.3). On est ainsi ramené auïJY) u
u

...

u

u

u ... ucas où X est une courbe

stable pointée de base Y, munie de sections i~, et Z est dela forme précédente, D étant un fermé de Y en dehors duquel f est lisse.
L’hypothèse de récurrence permet maintenant de trouver une altération
soit le support
génériquement étale 03C8 : Y’ ~ Y telle que Y’ soit lisse, et D ’ =d’un diviseur à croisements normaux strict de Y’. L’altéré strict de X relativement à Y’ est alors Y’ XyX; c’est donc une courbe stable pointée f’ : X‘ -~ Y’, lisse
les sections images inverses des 1’i’ Z est
hors de D’. De même, si on note

1’itransformé en Z’ Ut 1’i(Y’) u f’-1(D’). On peut alors appliquer à X’ la méthodede désingularisation exposée en 2.3 et 2.4. Comme on l’a remarqué en 2.4.2, Z est
alors transformé en un diviseur à croisements normaux. Il est bien connu
d’autre part qu’un diviseur à croisements normaux peut être rendu strict par une
suite d’éclatements de centre régulier (on éclate les intersections de branches du=diviseur), ce qui achève la démonstration.

5.

ALTÉRATIONS DANS LE CAS RELATIF

Nous donnons maintenant quelques indications sur la démonstration duthéorème 1.4.1. Elle est du même type que celle du théorème 1.2.2, et procède parrécurrence sur la dimension relative de X sur A. Pour cela, nous aurons besoind’une extension du théorème 3.2.2, permettant de transformer par altérations
certaines familles de courbes X ~ S en courbes nodales scindées, à fibre générique lisse.

5.1. Altérations d’une courbe relative

On considère ici un morphisme propre f : X -~ S entre deux schémas intègres n0153thériens excellents. Le résultat qu’utilise de Jong dans la démonstration
du théorème 1.4.1 est le suivant [31, th. 6.8] (voir aussi [32, th. 2.4] pour unrésultat plus précis et plus général) :Sous les hypothèses précédentes, supposons que les fibres def soient non vides, équidimensionnelles de dimension 1, et que le lieu lisse de f
Théorème 5.1.1.

-

soit dense dans chaque fibre. Alors :(i) Il existe des altérations y : S’ -~ S, ç : X’ -~ X, et un morphisme f’ : X’ ~ S’,avec

f 03C6=y o f’, tels que f’ soit une courbe nodale scindée, à fibre génériquelisse.

(ii) si Z c X est un fermé distinct de X, on peut imposer de plus qu’il existe dessections

disjointes Ql, ... , Qn de f’, à valeurs dans le lieu lisse de f’, et un

diviseur D’ c S’ telsqueu

61(S’) u...

u

Nous indiquerons simplement les étapes essentielles de la démonstration. La
stratégie consiste encore à altérer S et X de manière à ce que, au-dessus d’unouvert de S, X devienne une courbe stable pointée.

5.1.2. Un point clé de la démonstration est de pouvoir construire après altération

suffisamment de sections de f. Montrons d’abord que, pour tout SES, on peut
trouver un voisinage étale U de s, un morphisme fini surjectif !7’ -~ U et desU’ xs X vérifiant la propriété suivante : pour tout point
géométrique §’ de U’ et toute composante irréductible C de Xs, , il existe i, j, k E{1.....~}} tels que Ql ( s’ ), Q~ ( s’ ) et Qk ( s’ ) soient trois points distincts de C situés
dans le lieu lisse de f.
sections (11’... , 6n de X u’=

On peut trouver un voisinage étale affine U de s au-dessus

duquel X est
projectif. On choisit un faisceau P sur Xv très ample relativement à U, et uns’étende en une~entier n >_ 3 assez grand pour que toute section desection de p@n sur X~. Par Bertini, il existe une extension finie séparable k’ de@ p@n) telles que le sous-schéma fermé de X~,

K(s) et une section te r(Xk"défini par t soit fini, étale sur k’, et contenu dans le lieu lisse de Xk,. On choisit
alors un morphisme y : ~7’ -> U, étale et fini au voisinage de s, tel que y~-1(s) soit

réduit à un point s‘ où l’on ait x(s’) k’. Quitte à réduire U, on peut supposer que t
se relève en une section de ~®" sur Xu’, et définit un sous-schéma fermé H dulieu lisse de f, fini et étale sur U’. Comme Y est très ample et n >_ 3, H induit un=diviseur contenant au moins 3 points distincts sur toute composante irréductibled’une fibre géométrique Xs,, avec s’ E U’. On achève en contruisant un morphismefini surjectif C7" -~ U’ telle que Hu" soit réunion de sections de Xv" (normaliser U’dans une extension normale finie commune des corps des fonctions rationnelles
des composantes de H).
On peut ensuite globaliser de telles constructions faites sur un recouvrementétale de S de manière à obtenir une altération S’ - S et des sections Q~ : S’ - XS,de S
possédant la propriété voulue : on choisit un recouvrement étale
dessurchacunetaffinedansetaffinestel que les Ua soientS, que,d’imageUa,
on dispose d’un morphisme fini surjectif U~ -~ Ua et de sections cr~ ~ comme plus
on peut choisir une composante irréductible dont l’image
haut. Dans chaquesoit dense dans S, et on remplace U~ par cette composante. Chacun des U~ est
quasi-projectif sur S, de sorte qu’on peut choisir une immersion ua : Uâ ~et plonger !7~ dansxs X parxs X xs...

PNS

Soit alors S’03B1 l’adhérence de U’03B1 dans
Xs X S
lessont des altérations prolongeantmorphismes...

S X. Les morphismes S’03B1 ~ S

U~ -~ S, telles que les se
prolongent en des sections au-dessus de S~. On coiffe alors les S~ par une
composante irréductible de Si x~
x~ Sur, et on prend pour famille (ai) la
familles ( aa, ~ ) .
lesdetoutesinversesréunion des images...

On observe ensuite que, si l’on dispose d’une altération S’ - S, on en déduit
X’ -~ X en prenant pour X’ une composante irréductible de Xs,
une altération
dominant X; les hypothèses faites sur f sont encore vérifiées pour f’ : X’ - S’, et5.1.3.

si l’on pose Z’ = ~p-1 (Z), il suffit alors de prouver le théorème 5.1.1 pour ( X’, Z’ )au-dessus de S’.
Si 11 est le point générique de S, on commence en choisissant une extension
soit réunion de courbes
finie L de x(r~) telle que la normalisation de (L ®
lisses géométriquement irréductibles. On prend pour S’ la normalisation de Sdans L, et on définit X’, Z’ comme on vient de le voir. On remplace ensuite X’ parnormalisation, qui est une altération de X, et Z’ par son image inverse. On est
ainsi ramené au cas où la fibre générique de f est lisse et géométriquement
sa

irréductible.
Soit U un ouvert de S au-dessus duquel Z est fini et plat. Procédant comme en
5.1.2, on peut trouver une altération U’ de U et des sections al, ... , an de X~, telles

an ( U’ ) , puis l’étendre en une altération S’ - S telle quede XS,. On définit alors X’ et Z’ comme plus
les Q1 se prolongent
u 0’ n (S’). En
haut. Le fermé Z’ obtenu est contenu dans f’-1(S’ v U’) u 61(S’) u
que Zu’ = Q 1 ( U’ ) u...

u

en des sections...

éclatant S" B U’, on se ramène au cas où il existe des sections 0’ l’ ... , an de X et unu
u C1n(S).
diviseur D c S tels que Z cf-1(D) u
On applique alors 5.1.2 pour obtenir une altération S’ - S sur laquelle il...

6~ telles que, pour toute composante irréductible C d’une fibre
point géométrique s, C contienne au moins 3 points 6~(s) distincts situés

existe des sections
en undans le lieu lisse de f. Remplaçant S par S’, et X par X’ comme plus haut, et
ajoutant les aux C1i’ on se trouve alors sous les hypothèses du théorème 3.2.2.

a~On se ramène ainsi au cas où X est une courbe nodale sur S, génériquement lisse,u Q1(S) uumunie de sections Ql, ... , 6n, et où Z est contenu dans...

D étant un diviseur de S.
Il reste à voir que l’on peut altérer S de manière à ce que la courbe nodale X
soit de plus scindée. On montre pour cela qu’on peut trouver une altération S’ - S

au-dessus de laquelle il existe des sections a~, ... , Qm de XS’ telles que, pour tout
point géométrique § e S’, et tout point singulier je e Xg, il existe k tel que je Qk ( s ) .
=La démonstration est analogue à celle de 5.1.2. Soit X
s E S.

Pour n assez grand, on peut trouver t E r(XS,=

Sing( f ), et fixons un point(~X8 ® p0n) définissantunsous-schéma fermé ’fini sur K(s) et contenant ES. Quitte à augmenter n, on peut
est surjectif, et relever t en une section dusupposer que
Le sous-schéma réduit défini par cettenoyau de f * (~ ® n ) -~f * (~ ® n ) ~ f * ( (~~ ® ~ ® ")f * ( (~~ ® ~ ® n ) .

section est fini et plat sur un voisinage étale U de s, et peut comme précédemmentêtre transformé en réunion de sections par une altération de U. On achève alors
comme en 5.1.2 pourvoulues.

trouver une altération globale S’ - S ayant les propriétésOn ajoute les sections ak aux sections Qi, et on remarque que, génériquement, on obtient une nouvelle courbe stable lisse, (n+m)-pointée. On utilise ànouveaules schémas de modules pour construire un S-morphisme v : C - X

entre une courbe stable (n+m)-pointée

et

qui

soit un isomorphisme au-dessus d’un ouvert non vide U c S. Comme C et X ont
même genre, l’image inverse par u d’un point singulier je d’une fibre Xs est un

point ou une chaîne de droites projectives. Mais l’une des sections ai passe par je,et ’t’i(s) est donc un point lisse de Cs d’image je. Par suite,
ne peut êtreréduit à un point, et est une chaîne de droites projectives. Il en résulte que lescomposantes irréductibles de Cs sont lisses. En altérant à nouveau S pourconstruire comme précédemment des sections passant par tous les points d’intersection des composantes, et par les ouverts de lissité de toutes les composantes, onobtient une courbe nodale scindée.

Schémas strictement semi-stables

5.2.

On appelera trait le spectre d’un
Précisons d’abord la notion depaireanneaude valuation discrète

complet.

semi-stable utilisée dans l’énoncé

duthéorème 1.4.1 :SpecA un trait, x une uniformisante de A, K FracA, X une
S-variété. On note 1] le point générique de S, s son point fermé, X la fibre générique de X, Xs sa fibre spéciale, et Xi,i E I, les composantes irréductibles de Xs. Pour
5.2.1.

Soient S==

tout sous-ensemble non vide J c I, on note XJ =X~ . On dira que X est

strictement semi-stable sur S si :est lisse sur ~(T?) ;(i)(ii) XS est un schéma réduit, réunion schématique des X~ ;(iii) Pour touti E l, Xi est un diviseur dans X ;(iv) Pour tout J c l, J ~ 0, X J est lisse sur x(s), avec codimx(XJ) = #J.

Explicitons sous ces hypothèses la structure locale de X le long de Xs. Soientx E XS, Xl, ... ,Xr les composantes irréductibles de Xs auxquelles appartient x,
une équation locale de Xi dans X. Grâce à (ii) et (iii), on peut supposer que
ti E
x. D’après (iv), l’algèbre B(tl, ... , tr) est formellement lisse sur
K(s) , et se relève donc en une A-algèbre locale complète formellement lisse B.
possède une section, qu’on peut
L’homomorphisme canoniquerelever en B -~ 8x,x. On en déduit un isomorphisme==

On observe en particulier que X est un schéma régulier, et qu’il est lisse au
voisinage de x au-dessus detr] / (tl... tr - 1r).

Avec les notations précédentes, soit Z c X un fermé contenant la fibre
spéciale Xg. On a alors Z Zh u Xg, où Zh est l’adhérence schématique de la fibre

5.2.2.

=

générique de Z. Nous dirons que ( X, Z) est une paire strictement semi-stable si :(i) X est strictement semi-stable sur S ;(ii) Z est un diviseur à croisements normaux stricts dans X;(iii) Si Zh ~i~I Zi est la décomposition de Zh en composantes irréductibles,
alors, pour tout J c I, ZJ ~i~J Zi est réunion de S-variétés strictement semi==

stables sur S.

Comme plus haut, on peut expliciter la structure locale de (X, Z) au voisinage d’un point x E XS. On reprend les notations précédentes, et on note de plus
Zl , ... ,Zm les composantes irréductibles de Zh auxquelles appartient x. Soit unes~équation locale de Z~ au voisinage de x. Il résulte de (ii) que, si J { 1, ... , m }, lescomposantes irréductibles depassant par x sont les Xi n Zj, avec 1 i r. Les
font
d’un
partiesystème régulier de paramètres de l’algèbre
images j des Sj
locale complète B, et la semi-stabilité de ZJ entraîne que la K-( s)-algèbre C==

B I (sl, ... ,Sm) est formellement lisse. On la relève en une A-algèbre formellement
lisse C, et on obtient alors un isomorphisme de la forme

Inversement, si pour tout x E XS il existe une telle présentation, où(resp.

sont des éléments dedéfinissant les seules composantes de XS
alors(resp. Zh) passant par x,(X, Z) est une paire strictement semi-stable.

sl, ... ,5.3.

Démonstration du théorème 1.4.1

5.3.1. On opère les premières réductions comme en 4.1. Une remarque additionnelle est que, si S’ ~ S est un morphisme fini de traits, il suffit de montrer lethéorème après avoir remplacé S par S’, et X par une composante irréductible deS’ x~ X. On peut ainsi supposer remplies les conditions suivantes :(i) X est projectif sur S ;(ii) Z est le support d’un diviseur D de X;(iii) La fibre générique X~ de X est géométriquement intègre.
On peut de plus normaliser X. On se ramène alors au cas où on a en outre :(iv) L’ouvert de lissité de X sur S est dense dans la fibre spéciale Xg de X.
Cette dernière réduction n’est pas évidente, et résulte du lemme suivant
lemme 2.13], dont nous omettrons ici la démonstration (due à Faltings) :Lemme 5.3.2.

[31,

Soient A un anneau de valuation discrète excellent, S
SpecA, X un S-schéma normal, intègre, plat et de type fini, ~ un point génériquede la fibre spéciale XS de X. Il existe une extension d’anneaux de valuation-=

discrète A c A’, telle que Frac(A’) soit fini sur Frac(A), et telle que l’algèbre (~’=®A A’)norm, normalisation de la réduction de (~x, ~ ®A A’, soit formellement(~x, ~

lisse sur A’ (i.e. les localisés (~~ de (~’ aux idéaux maximaux sont des anneaux devaluation discrète non ramifiés sur A’, à extension résiduelle séparable). De plus,
cette propriété reste valable après toute extension A’ c A" telle que Frac(A") soit

fini sur Frac(A’).
Soit d la dimension relative de X sur S. En appliquant 4.2.1 sur la fibre
spéciale de X, et en relevant, on peut effectuer les contructions de 4.2 de manière

5.3.3.

relative (éventuellement après extension finie étale S’ - S). On altère ainsi X demanière à obtenir un morphisme de S-variétés projectives f : X -~ Y dont les fibres
soient non vides, équidimensionnelles de dimension 1, et le lieu lisse dense danschaque fibre.
On applique alors le théorème 5.1.1 à f, ce qui ramène au cas où f est une
courbe nodale scindée génériquement lisse, et où il existe des sections (Ji à valeursu (JI (Y) uudans le lieu lisse de f, et un diviseur D c Y, tels que Z c
Quitte à agrandir D, on peut supposer que f est lisse au-dessus de Y ~ D.
On utilise maintenant l’hypothèse de récurrence pour altérer (Y, D) en une paire
strictement semi-stable. Remplaçant X par son altéré strict, les hypothèses
précédentes sur f sont préservées.
La situation à laquelle on s’est ainsi ramené est alors celle qu’on a étudié en
2.5.2. On peut donc trouver une modification X’ -~ X telle que X’ soit régulier, etqui soit un isomorphisme au-dessus du complémentaire de Sing( f ). Les (Ji se
relèvent en des sections de X’ ; si l’on remplace X par X’ et Z par l’image inverse
Z’ de Z dans X’, les conditions précédentes restent satisfaites. Pour achever ladémonstration, il suffit alors de vérifier que (X, Z) est maintenant automatiquement une paire strictement semi-stable. Pour cela, on utilise la caractérisation
locale des paires strictement semi-stables donnée en 5.2.2 : pour tout x E X
d’image y E Y, on explicite sans difficulté la structure de (~x, x à partir de celle de...

8y,y (donnée par 5.2.2) et de 2.1.2, et l’assertion
6.

en résulte.

QUELQUES APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE DE JONG

Les résultats de de Jong ont rapidement eu de nombreuses applications. Loind’essayer d’en faire une liste complète, nous nous limiterons ici à donner

quelques exemples illustrant l’emploi des théorèmes 1.2.2 et 1.4.1; on en trouvera
d’autres dans l’introduction de [31]. Une situation type, que l’on rencontrera en
6.1 et 6.2, est celle où l’on procède par récurrence sur la dimension d’un schéma,et où il est possible de remplacer ce schéma par un revêtement fini.

6.1. Positivité des caractéristiques d’Euler-Poincaré

Soient A un anneau local régulier de dimension n, d’idéal maximal m et decorps résiduel k, M, N deux A-modules de type fini tels que M ®A N soit delongueur finie. Dans son Cours au Collège de France (1957-58, [55]), Serre a défini
la multiplicité d’intersection de M et N par

Il a montré la formule des dimensions

dimAM + dimAN dimA, et fait lesconjectures suivantes :(a) xA(M, N) >_ 0 (positivité) ;(b) Si dimAM + dimAN dimA, xA(M, N) 0 (annulation).
De plus, Serre a prouvé ces conjectures (ainsi que la réciproque de (b)) lorsque A
est, soit d’égale caractéristique, soit d’inégale caractéristique et non ramifié (c’està dire, si la caractéristique résiduelle p n’appartient pas à m2). Dans le cas
général, la conjecture (b) a été prouvée par Gillet et Soulé ([24], [25]), et par
P. Roberts [53]. Malgré de nombreux efforts, la conjecture (a) était restée l’une desconjectures centrales en Algèbre Commutative (voir par exemple l’exposé deRoberts à Kyoto [54]). Elle vient d’être prouvée par Gabber [23], que je remercie
pour toutes les explications qu’il m’a données sur sa démonstration, et pourm’avoir autorisé à l’exposer ici (elle fait partie d’un travail en préparation, danslequel il donnera des résultats plus généraux) :=Supposons que A soit d’inégale caractéristique, et
m2. Alors les conjectures (a) et (b) sont vraies.

Théorème 6.1.1 (Gabber).
que p E-modo, l’idée générale qui sous-tend la démonstration de Gabber(inspirée par les techniques d’intersection de cycles de [37, 3]), consiste à
remplacer la méthode classique de réduction à la diagonale par une réduction à
un énoncé du même type pour des sous-schémas de l’espace projectif sur A.
Grâce aux théorèmes de de Jong2, l’un d’entre eux peut être supposé régulier, ce
qui permet de se ramener à une intersection dans la réduction de son fibré
Grossonormal sur Spec k. On montre alors que ce fibré est engendré par ses sections
globales, et l’énoncé est réduit à un résultat de positivité analogue à ceux deFulton [22, ch. 12]. Cette méthode permet de démontrer simultanément les conjecdimM + dim N,
tures (a) et (b), en prouvant (b) par récurrence sur l’entier d=

puis en prouvant (a) (le cas d 0 résulte du calcul des Torf(k, k) par le complexede Koszul). Par contre, la réciproque de (b), et la positivité des caractéristiques=~

L’idée d’utiliser ceux-ci au lieu de la résolution dessuggestion de Soulé.

singularités suit ici une

d’Euler-Poincaré partielles [55, remarque de V, B.6], restent desouverts dans le cas général.
6.1.2.

problèmes

Pour démontrer le théorème 6.1.1, on peut supposer A complet,

Torf(M, N), étant de longueur finie,
Soient n

ne

car

les

changent pas par passage aux complétés.

dimA, W un anneau de Cohen de k, et B l’anneau de séries formelles
W [[T1,...,Tn]]. Alors A possède une présentation de la forme A = B I ( f ) (où l’onpeut choisir f tel que f == p mod m2). Par extension des scalaires de A à( f ), où k est la clôture parfaite de k, on peut aussi supposer=que k est parfait.
On va maintenant se ramener au cas où A est essentiellement de type fini
surW, par une variante de la méthode d’approximation pour les modules dedimension projective finie de Peskine et Szpiro [48, 1.6]. Pour cela, on considère B
comme le complété m-adique de Booù m ( p, Tl, ... ,et on=

cherche à redescendre la situation=

surl’hensélisé B de

On choisit desprésentations K et L de M et N par des complexes bornés de A-modules libres detype fini. Les différentielles de ces complexes sont définies par des matrices Ri’ Sià coefficients dans A, qu’on relève en des matrices Ri, Si à coefficients dans B.
Dire que K. et L. sont des complexes signifie que ces matrices vérifient desrelations de la forme

S~ f Vpour certaines matrices Ui, Vi à=

coefficients dans B. L’ensemble formé de f et des coefficients de toutes ces
matrices est une solution d’un système d’équations algébriques, à valeurs dans lecomplété de Bo . Si on fixe un entier h, le théorème d’approximation d’Artin

permet d’en trouver une solution (/, Ri, Ui, Si, V~) à valeurs dans B qui soit
congrue mod m h à la solution initiale. Soient A = B I ( f ), K’ et L’ les complexes deÀ-modules libres définis par les réductions sur Â des matrices Ri, Si. On noteraque Â est régulier dès que f == f mod m2.
Il faut s’assurer que les complexes K. et l. sont acycliques en degrés ~ 0,
définissant donc des À-modules de type fini M et N, que M ®Â N est de longueur
finie, et que xA(M, N) x~(M, N). On munit pour cela les complexes K’, L’ et
7~’ 0L* de la filtration m-adique, et on considère les suites spectrales associées àonces complexes filtrés. On vérifie que, si l’on fixe arbitrairement un entiernerlestermesteltrouverhapproxichangent
pas
par
que,
pour
peut
ro’
mation modulo mh. Cela permet de faire passer les propriétés de dégénérescenceet de finitude des suites spectrales relatives à K’, L. et K’ ® L. aux suites
L’, et fournit les conclusions voulues.
spectrales relatives à K’, L’,=

6.1.3.

En redescendant de l’hensélisé à un voisinage étale, on est donc ramené

à la situation suivante : W est l’anneau des vecteurs de Witt d’un corps parfait decaractéristique p, et A est l’anneau local en un point régulier d’un schéma plat deSpec W, X SpecA, s le point fermé de X. Les suites decomposition usuelles ramènent à prouver la conjecture lorsque M et N sont desquotients de A par des idéaux premiers. On note Y et Z les sous-schéma fermés
intègres de X correspondants ; Y n Z est concentré en s, et la formule destype fini sur W. On note S==

dimensions montre que dim Y + dimZ n.
Z’ - Z, tel que Z’ soit
D’après de Jong, il existe une altération projective
lec’est
spectre de l’anneau local
régulier : si Z est concentré en caractéristique p,
en un point d’une variété algébrique sur k, et on applique le théorème 1.2.2 ; si p
est non diviseur de zéro sur Z, Z est le spectre de l’anneau local en un point d’une

W-variété, et le théorème 1.4.1 fournit une altération Z’ de Z semi-stable sur une
extension finie de W : Z’ est alors un schéma régulier. On choisit une immersion
au-dessus de X, et on note x : P - X
fermée de Z’ dans un espace projectif P
la projection, Y’ l’image inverse de Y dans P. On remarquera que Y’ n Z’ est
concentré dans la fibre spéciale
Soient T un schéma de type fini sur X, E, F des complexes bornés de UTmodules, à cohomologie cohérente. Si 13 est parfait, et si Supp(E) n Supp(F) est
propre sur X et concentré au-dessus de s, on peut généraliser la définition de lacaractéristique d’Euler-Poincaré en posant

Si U c Z est un ouvert non vide au-dessus duquel cp est fini, plat et surjectif, leGrâce àde type finicomplexev est isomorphe à un module libre00 (resp.
l’hypothèse de récurrence, il suffit de prouver queI=

si dimY + dimZ=

6.1.4.

n ) . La formule de projection entraîne d’autre

part que(~z,).

On veut ensuite se ramener à un calcul sur le fibré normal à Z’ dans P.

On note ~ l’idéal de Z’ dans P, qui est un idéal régulier. Localement, unesur (9p.
suite régulière de générateurs de 9 définit une résolution de Koszul deSuivant la méthode de Serre, on la munit de la filtration ~-adique, et on considère

spectrale associée au complexe filtré ainsi obtenu [55, IV A.3]. A
isomorphisme canonique près, cette suite spectrale ne dépend pas de la suite
régulière choisie, et on obtient par recollement une suite spectralela suite(où l’exposant p désigne la composante de degré p).
Soit E=le fibre normal à Z’ dans P. La suite~Z’)~ Comme UY,

spectrale

précédente implique que xP((?Y,, Wz,)
Wz, est à
est annulé par une
support dans la fibre spéciale 1r-I(s), le faisceau
puissance de m. Soient Zs, Es les fibres spéciales de Z’ et E. Si on note rJi les=pour la filtration m-adique,composantes homogènes du gradué associé à
la formule des dimensions entraîne que

sup dim gi = dimY’ _ r = codimpZ’ = dim(ESIZS).

Il suffit donc de montrer que pour tout faisceau cohérent G sur Es dont le support
est de dimension(resp.

OZ’s) ~ 0 (resp. xEr), on a xE

Un point essentiel est alors que le faisceau normal
est engendré par ses sections globales sur

6.1.5.

,N’z,

s

r

SoientSpec k, Xl

=

=

0).

HomOz(J/J2, OZ’s) =~SpecA/m2. Puisque p E m~ et que k est parfait, X 1 est

avec
de manière naturelle un k-schéma, isomorphe à
un S -schéma.
P
comme
de
sur
la
réduction
ConsidéronsXl
P1(Tl, ... ,le faisceau des formes différentielles
Comme Pl s’identifie au produit Xl

I

=

xsl

S~P se décompose en
Le facteur

est le faisceau tangent de l’espace projectif Ps’ fibre/x

spéciale de P, et est donc engendré par ses sections globales, de sorte qu’il en est

03A91P1 ~A/m2 kpour Hom(03A91P1,

est localement libre sur Wp , il

Wp ) . Commesuffit alors de s’assurer que le morphisme
est surjectif.
~®
dual dede même~~~(~/~~,

Uzg,

Vérifions-le en un point fermé § E Zg. Comme Z’ est un sous-schéma régulier
est injectif.
du schéma régulier P, l’homomorphisme (,~ L~ 2 ) ® x( ~ ) D’autre

S~P1,~ ~ K-(~) est

part, l’homomorphisme d :unisomorphisme : si ul, ... , uN sont des coordonnées locales de Pl relativement à Xl,
il est clair que
s’annulant en ~, et si tl,...,tn sont les images des Ti danset que leurs différentielles
ul, ... , uN, tl, ... , tn fournissent une base derésulte.
enL’assertion
S~pl,~ ® K-(~).

forment une base deOn achève alorsen

prouvant l’énoncé suivant (comparer

avec

Fulton,[22, th. 12.1]) :un
Soient Z un schéma propre sur un corps
Wzmodule localement libre de rang r, dont le dual E est engendré par ses sections
le fibré vectoriel sur Z défini par ~, 60 : Z --~ E la section
globales, E

Proposition 6.1.6.

-=

nulle. Pour tout UE-module cohérent ~ dont le support est de dimension _ r(resp.

r), on a

En écrivant E comme quotient d’un OZ-module libre, on se ramène au casZ,où E est l’espace affine Az de base Z. Soient T
Zy T
=

=

l’image l’image inverse de G sur Ey. Soient d’autre part
1,...,r, les sections de base de E, et C1 = Et
ZT ET. La section C1 ainsi
construite est une déformation paramétrée par T de la section C10’ dont on notera

ET

=

T

E, et soit=

6t la fibre au-dessus de t E T.
est plat

Le faisceau

surT. Comme

est une immersionarégulière,

est de Tor-dimension finie relativement à T. Puisque Z est propre, il enest unT la projection, le complexerésulte que, si l’on note f :ZTcomplexe parfait sur T, dont la fibre en un point t E T est le complexe
En particulier, il est de rang constant sur T, égal àPour prouver la proposition, on peut donc remplacer la section 6o par une section
C1 quelconque.
Soient W Supp cg, g : E -~ ~k la projection. Si dim W r (resp. dim W r ) , ilexiste un ouvert non vide U c ~k tel que W n g-1 ( U) _ ~Ô (resp. tel que le morsoit quasi-fini). Quitte à faire une extension finie de k, onphisme W nrationnelt E U. Lorsque dim W r, on obtient une section atunchoisirpoint
peut
0. Lorsque dim W r, on obtienttelle que C1t(Z) n W 0. On a donc===

une section telle que==soit fini. On a alors‘

caractéristiques d’Euler-Poincaré aux points z
est quotient depositive d’après Serre [55, V B.4.a], parce que
suite régulière.
chacune des

~

6.2.

étant
par uneFinitude de la cohomologie de Monsky-Washnitzer

Soient k un corps de caractéristique p > 0, W un anneau de Cohen de k, K son
corps des fractions. Prolongeant certaines des méthodes de Dwork, Monsky etWashnitzer ont défini une théorie cohomologique associant à tout schéma X affine
et lisse sur k des K-espaces vectoriels de cohomologie[42]. Bien que

antérieure à l’introduction de la cohomologie cristalline parGrothendieck [26], la théorie de Monsky et Washnitzer est restée beaucoup moinsbien comprise. Beaucoup de propriétés de base de cette cohomologie (finitude,
formule de Künneth, dualité de Poincaré, etc) n’étaient pas démontrées dans lelégèrement

général. En utilisant le théorème 1.2.2 de de Jong, et l’existence d’une théorie
cohomologique définie plus généralement pour tout k-schéma de type fini, lacohomologie rigide, qui coïncide avec la cohomologie de Monsky-Washnitzer dansle cas affine et lisse, et avec la cohomologie cristalline dans le cas propre et lisse,
il est maintenant possible de déduire ces propriétés de celles de la cohomologiecascristalline [6].

Mentionnons qu’en ce qui concerne la finitude, il existe à côté de cetteapproche géométrique une approche plus analytique, s’appuyant sur le théorèmede l’indice pour l’action des opérateurs différentiels sur certaines algèbres defonctionsanalytiques p-adiques. Suggérée par Monsky par analogie avec sa

démonstration de la finitude de la cohomologie de de Rham en caractéristique 0[44] (elle-même inspirée par les travaux de Dwork sur la fonction zêta deshypersurfaces [14]), elle a été développée par Mebkhout au moyen de la théorie des~-modules [41]. Lorsque le corps k est fini, le théorème de l’indice a été démontré
récemment par Christol et Mebkhout [10], ce qui fournit donc dans ce cas une
autre démonstration de la finitude.

Indiquons brièvement la méthode de construction de la cohomologie rigide(voir [4], [5], [6]). Soit X un schéma séparé de type fini sur k. On choisit une
compactification X de X sur k, et on suppose ici pour simplifier qu’il existe une

6.2.1.

immersion fermée X ~--~ P de X dans un schéma formel P sur W, lisse au
voisinage de X. Suivant Raynaud, on associe à P un espace analytique rigide PKP,K, sa fibre générique, muni d’un morphisme de spécialisation sp :unonà
associeannelés
est
un(intuitivement,
point
qui
morphisme d’espaces
E IPI ayant pourfermé
leentières
sur
K
x E
de
coordonnées
sp(x)
point
PK
sur

coordonnées les réductions modulo p des coordonnées de x). Pour toute partie
localement fermée Y de la fibre spéciale Pk de P, on définit le tube de Y dans P
c PK. Lecomme l’ouvert (pour la topologie d’espace analytique) ]Y[ptube d’un sous-schéma fermé de P joue ici le même rôle que les voisinages infinitésimaux dans la construction de la cohomologie de de Rham algébrique donnée=par Hartshorne en caractéristique 0 [27].
Soit T = X ~ X. La réunion disjointe ]X[p=]X[p U ]T[p n’est pas unrecouvrement admissible en général. On appelle voisinage strict de ]X[p danstel que (V, ]T[p) forme un recouvrement admissible detout ouvert V c
est la droite
le suivant : X est la droite affine
est
de
base
]X[p. L’exemple

]X[p

]X[p

projective pl, T se réduit au point à l’infini sur pl, P est l’espace projectif formel
est lesur W, PK est la droite projective analytique rigide sur K, ]X[pdisque unité fermé D(0, 1~) c PK’ ]T[p est le disque unité ouvert centré à l’infini=

dans PK, et un ouvert V c PK est un voisinage strict de ]X[p si et seulement s’il
existe A > 1 tel que le disque D(0, ~,+) soit contenu dans V.
On définit alors la cohomologie rigide de X en posant

où jv désigne l’inclusion de V dans ]X[p. Il y a lieu de s’assurer que les groupes
de cohomologie ainsi définis ne dépendent ni de la compactification X, ni duschéma formel P, et sont fonctoriels en X. La démonstration, pour laquelle nous

renvoyons à [6], s’effectue par la méthode du plongement diagonal, grâce à desthéorèmes de fibration pour les tubes (c f. [5, 1.3]).
On dispose alors des théorèmes de comparaison suivants :(i) Si X est propre et lisse sur k, il existe un isomorphisme canonique [6, 1.9](ii) Si X est affine et lisse sur k, il existe un isomorphisme canonique [6, 1.10]

Soit Zc

X

unsous-schéma

fermé. Une variante de la construction

précédente permet de définir des espaces de cohomologie rigide à support dans Z,
Ceux-ci donnent naissance aux suites exactes de cohomologie
notés
habituelles, et il est facile de vérifier qu’ils possèdent les propriétés d’excisionusuelles. La construction d’un isomorphisme de Gysin

lorsque Y ~ X est une immersion fermée de codimension r entre deux schémas
lisses sur k, est nettement plus délicate, et n’est d’ailleurs faite pour l’instant quedans le cas relevable (c f. [6, th. 3.8], généralisant le résultat obtenu par Monsky
lorsque X est affine, et Z Y une hypersurface principale [43]). Cela suffit
toutefois pour démontrer le théorème qui suit [6, th. 3.1], ce qui entraîne donc la
finitude de la cohomologie de Monsky-Washnitzer.
=

Soient X un k-schéma lisse et séparé, Z c X un sousThéorème 6.2.2.
sont de dimension
schéma fermé. Alors les espaces de cohomologie-

finie sur K.
La démonstration est du même type que celle de Hartshorne en caractéris-tique 0 [27, II, th. 6.1], le théorème de de Jong remplaçant ici la résolution dessingularités. On prouve par récurrence sur n les deux assertions suivantes :(a)n Pour tout k et tout schéma X lisse et séparé sur k de dimension n,
Hg(XIK) est de dimension finie ;(b)n Pour tout k, tout schéma X lisse et séparé sur k, et tout sous-schéma fermé
Z c X de dimension n,( X I K ) est de dimension finie.

L’assertion (a)o est immédiate, et l’assertion (b)o résulte de l’isomorphismede Gysin. Pour prouver (a)n, on fait une extension finie de k pour se ramener aucasoù X est géométriquement connexe, et trouver, grâce au théorème 1.2.2, unealtération génériquement étale
X’ ~ X, et une immersion ouverte X’ ~ X’, oùX’ est projectif et lisse sur k. Par comparaison avec la cohomologie cristalline, lesespacessont de dimension finie sur k, et, grâce àet à la suiteexacte de cohomologie à support dans un fermé, il en est de même des espaces( U’/K) pour tout ouvert U’ c X’. Pour la même raison, il suffit de prouver la
H~g ( U 1 K) pour un ouvert non vide quelconque de X. On se ramène

finitude deet où X possèdeainsi au cas où X est affine, de sorte quesoit de dimension finie.

un revêtement étale X’ tel que

Utilisant le morphisme trace construit par Monsky et Washnitzer [42, th. 3.8], on
est injectif, d’où
voit alors que l’homomorphisme H(XIK)l’assertion (a)n .
Pour prouver (b)n, une extension finie de k permet de supposer que lescomposantes irréductibles de Z sont géométriquement intègres. Par excision, eton se ramène au cas où X est affine, et Z lisse et connexe sur k ; ongrâce àpeut même remplacer X par un ouvert U quelconque tel que U n Z $ 0. On peutalors utiliser le théorème de relèvement d’Elkik [15, th. 6] pour relever X en unschéma affine et lisse X sur W. Procédant à nouveau par excision, on peut
supposer que Z est défini dans X par une suite de coordonnées locales, et que lesous-schéma Z de X obtenu en choisissant des relèvements de celles-ci est lisse
sur W. On est alors dans une situation où l’on dispose d’un isomorphisme de

Gysin, et l’assertion (b)n résulte alors de (a) .
(i) De Jong a donné une variante de l’argument
Remarques 6.2.3.
précédent, remplaçant l’utilisation de l’isomorphisme de Gysin par un dévissage
géométrique du même type que ceux du paragraphe 4 : voir l’appendice de [6].
(ii) Un argument du même type permet par exemple de montrer l’isomorphisme de Künneth en cohomologie de Monsky-Washnitzer : si X, Y sont deuxschémas lisses et séparés sur k, et si Z c X, T c Y sont deux sous-schéma fermés,
on a plus généralement un isomorphisme-

6.3.

Monodromie en cohomologie étale

Nous nous limiterons ici à donner deux exemples montrant comment lethéorème 1.4.1 peut servir de substitut au théorème de réduction semi-stable pourdonner des informations sur l’action du groupe d’inertie sur la cohomologie

e-adique d’un schéma de type fini sur un corps local.
Soient A un anneau de valuation discrète hensélien, K son corps desfractions, K une clôture algébrique de K, I c G Gal(K/K) le groupe d’inertie,e un nombre premier distinct de la caractéristique de K. Si X est un K-schéma deet detype fini, et XK = K ®K X, les espaces de cohomologie étale
action
d’une
munis
sont
cohomologie étale à supports propres
naturelle de G, et fournissent en particulier des représentations Sadiques de l. On=

sait que, si p est la caractéristique du corps résiduel k de A, les propriétés de cettereprésentation sont très différentes selon que e "* p ou e p.
=

Supposons d’abord que e "* p, et soit1 fixé. D’après le théorème de monodromie de Grothendieck [SGA 7, th. 1.2], la représentation Sadique de I fournieparQe) est quasi-unipotente : il existe un sous-groupe ouvert Il c I tel(g-Id) soit nilpotent. Une question naturelle, qui s’inscritque, pour tout gdans le cadre général des problèmes d’indépendance par rapport à Q en cohomologie e-adique, est de savoir si Il peut être choisi de manière indépendante de e.
Comme l’a observé Deligne, les théorèmes de de Jong permettent d’apporter une
réponse positive à cette question.

6.3.1.

Avec les hypothèses précédentes, soit H l’un des espaces
Proposition 6.3.2.
Il existe un sous-groupe ouvert
de cohomologieQe) ou Hét,c(XK,H
soit unipotente.
de
sur
tel
l’actiondeIl
Il c I, indépendant e, que
Soit k le corps résiduel de l’anneau des entiers de K. Considérons d’abord lecas où X est la fibre générique d’un schéma Y strictement semi-stable sur A.
L’action de l peut alors être déterminée à partir de l’étude des faisceaux de cycles
sur Yk = k ®A Y. Leur calcul, fait par Grothendieck [SGA 7,
évanescents
1 3.3] et Rapoport-Zink [51, th. 2.21], entraîne que I agit trivialement sur les(voir aussi Illusie [30, th. 3.2] ; ce calcul a d’autre part été généralisé
par C. Nakayama dans le cadre de la géométrie logarithmique [47]). Lorsque X est
propre, la suite spectrale des cycles évanescents-qui est G-équivariante, montre alors que, pour tout g E 1, (g -agit triviale-

ment surSupposons que X soit un K-schéma propre et lisse quelconque. Quitte à faire
K, ce qui remplace I par un sous-groupe ouvert, on peutX
est
supposer que
géométriquement connexe. Le théorème 1.4.1 permet detrouver une extension finie K’ de K telle qu’il existe un schéma strictement semistable Y’ sur l’anneau des entiers de K’, de fibre générique X’, et une K-altération
X’ ~ X. Le morphisme p’ : X’ -~ XK, qui s’en déduit est encore une altération,
donc est génériquement fini et plat, de degré d. Comme c’est un morphisme
propre entre schémas lisses de même dimension, on dispose sur XK, du mordont le composé avec le morphisme canoniquephisme trace Tr~, :estlamultiplication par d. Si l’ est le groupe d’inertie de K’, il en
Qe
une extension finie derésulte que

s’identifie à un facteur direct del’-module, de sorte que l’action de I’ surprécède.

~Q) en tant que
est
unipotented’après ce qui
Qe)Soit maintenant X un K-schéma séparé de type fini. Par récurrence surdimX, on en déduit alors que l’énoncé est vrai pour lespeut eneffet supposer X géométriquement intègre, et on applique le théorème 1.2.2 pourtrouver une altération

X’ -~ X, où X’ est ouvert dans une K-variété propre etQe)’ la suite exacte longue delisse X’. L’énoncé étant prouvé pourcohomologie à supports propres et l’hypothèse de récurrence impliquent qu’il estQe) pour tout ouvert U’c X’. Si U c X est un ouvert lisse, on
dispose comme plus haut du morphisme Tr~, :Qe, et on peut conclurevrai pour lescommeHiét,c(UK, Ql). L’hypothèse de récurrence fournit alors leavant pour lesrésultat pour les°

Si X est lisse et séparé sur K, la dualité de Poincaré entraîne alors l’énoncé
pour lesQe). Pour le prouver dans le cas général, on se ramène au casaffine par la suite spectrale d’un recouvrement, puis on se réduit au cas où X est

intègre. On utilise alors le théorème 1.2.2 pour construire à la manière de Deligne[11, 6.2.5] un hyperrecouvrement propre de X :où les Xi sont lisses, et les flèches X~

sont des sommes d’alté-->

rations projectives de chaque composante irréductible de cosq(nX;)n+1 (en notant
nX; le squelette d’indice n de X;). Par descente cohomologique, le morphisme

1R

naturel

est un isomorphisme, de sorte que, grâce à la suite
entraîne l’énoncé pourspectrale qui en résulte, l’énoncé pour lesles°Considérons maintenant le cas où e p. On suppose ici que K est un corps
de caractéristique 0, complet pour une valuation discrète, dont le corps résiduel k
est parfait de caractéristique p > 0. Si X est un K-schéma de type fini, les espaces
de Gal(K/K). Pour lesfournissent encore des

6.3.3.

=Qp)

Qp-représentationsclassifier, Fontaine a construit certains anneaux, munis d’une action du groupe
G=

Gal(K/K) (et de structures supplémentaires), au moyen desquels il a défini

diverses sous-catégories de la catégorie des représentations p-adiques de G : on en
trouvera une définition précise dans ses exposés au Séminaire de Bures ([19], [20])voir aussi l’exposé d’Illusie au Séminaire Bourbaki [29].
A partir des anneaux Bst et BdR, Fontaine a introduit les notions dereprésentation semi-stable et de de Rham. De plus, une représentation V est dite-potentiellement semi-stable s’il existe une extension finie K’ de K telle que V soit
semi-stable en tant que représentation de Gal(K/K’) .
Soit X un schéma propre et lisse sur K. Les conjectures de Fontaine C~ris ~Cst, Cpst, CdR, relient les représentations galoisiennes p-adiquesQp) aux
bonne
le
cas
de
dans
en
de
de
Rham
de
passant
cohomologie
espacesréduction (resp. de réduction semi-stable) par la cohomologie cristalline (resp.
log-cristalline) de la fibre spéciale d’un modèle entier lisse (resp. semi-stable) Y de
X sur A (cf [29] ). Nous en retiendrons seulement ici les conséquences suivantes :(Cst)

Si X est la fibre générique d’un schéma Y propre et semi-stable sursens de 1.3), la cohomologie étale p-adiquel’anneau A des entiers de K (auQp) est une représentation semi-stable de Gal(K/K).
Qp) est une représen(Cpst) Si X est une variété propre et lisse sur K,
tation potentiellement semi-stable.

(C~)

Si X est une variété propre et lisse sur K,Qp) est une représen-tation de de Rham.
La conjecture

Cpst constitue dans le présent contexte l’analogue du théorème[20, 6.2.1]. Elle implique la conjecture CdR[20, 5.6.7].
Lorsque dimXK (p-1) /2, la conjecture Cst a été prouvée par Kato [34] parune méthode reprenant les techniques de cohomologie syntomique introduites par
Fontaine et Messing [21], et déjà utilisées par Kato et Messing pour prouver Ceris
sous les mêmes hypothèses [35]. Dans le cas des courbes, Faltings [17] aégalement donné une démonstration de Cst, par une extension des méthodes de[16]. Enfin, les méthodes de Faltings et de Kato ont été prolongées par Tsuji, qui adonné une démonstration de Cst en toute généralité ([56], [57]).
D’autre part, d’après Faltings [16], la conjecture CdR s’obtient de manière
analogue à la conjecture Ceris à partir de ses résultats sur la théorie de Hodgep-adique (voir aussi les précisions apportées dans [18]).
Grâce au théorème 1.4.1, les résultats de Tsuji entraînent maintenant laconjecture Cpst. Pour le voir, on procède comme en 6.3.2. On se ramène d’abord
au cas où X est géométriquement connexe, puis on choisit une extension finie K’de K telle qu’il existe un schéma strictement semi-stable Y sur l’anneau desentiers de K’, de fibre générique X’, et une altération
X’ ~ X. Utilisant encore letrace
relatif
à
X’
-~
on
voit
morphismeque
XK"Qp) s’identifie à unfacteur direct deQp) en tant que représentation de Gal(K/K’). Commetoute sous-représentation d’une représentation semi-stable est semi-stable, lethéorème de Tsuji appliqué àQp) entraîne queQp) est semistable en tant que représentation de Gal(K/K’) , d’oùCpst. Comme corollaire, onvoit donc que le théorème de Tsuji entraîne CdR pour les schémas propres et lisses
sur K, redonnant ainsi une démonstration du résultat de Faltings.
Par contre, une extension de représentations de de Rham (resp. semistables) n’est pas nécessairement de de Rham (resp. semi-stable), de sorte que,bien que l’on s’attende à ce que les conjectures
Cpst et CdR soient en fait valables
tout
K-schéma
de
on
ne
pour
type fini,peut pas reprendre les méthodes de 6.3.2
pour passer du cas où X est propre et lisse au cas général. Il paraît néanmoinsde monodromie de Grothendieckplausible qu’elles puissent résulter, à l’aide des théorèmes de de Jong, d’une
généralisation convenable des résultats de Kato et Tsuji.
Remerciements. Je remercie B. Edixhoven, O.Gabber, L. Illusie, A. J. de Jong et
L. Moret-Bailly pour leurs remarques sur divers états préliminaires de ce texte.

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Pierre BERTHELOT
IRMAR
U.R.A. 305 du C.N.R.S.
Université de Rennes 1
Campus de Beaulieu
F-35042 Rennes cedex

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