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大規模施設の混雑現象
一得ち行列理論によるアプローチー
増山 博之，滝根 哲哉
本稿では，待ち行列理論を剛−てデパートや美術館といった大規模施設の混雑現象を考察する．まず初めに，無限個のサーバをもつ待ち行列モデルにおけるサーバ群を一つのサービス施設と見なすことで，大規模施設内の客数過程の挙動をマクロ的に扱うモデルが構築できることを示す．さらに，デパート内の店内客数を例に挙げ，待ち行列理論から得られる様々な知見を紹介する．特に，店内客数は店内滞在時間分布の変動が大きいほど来店客数の時間変化に対して鈍感になり，来店客数が急激に増加しても店内客数は緩やかにしか増加しないとし−う興味深い事実を明らかにする．

キーワード：大規模施設，混雑現象，待ち行列理論，無限サーバ待ち行列モデル………l…………lllll…………lllll……………lll州Ill…………lll州Illll川‖ll…州Ill………………l………………lll州Il川Illl州Il州Il……ll川l……ll川l州…l…………l……………l……l……l…………l………洲l

うした現象はスーパーのレジ，銀行の窓口，高速道路

1．はじめにの料金所等でよく見かけられます．

本稿では待ち行列理論を用いて大規模施設の混雑現では，サーバ数が限りなく多くなったとすると，客象を考察してみようと思います．多くの読者は「待ちの挙動はどのようになるでしょうか．サーバが無数に行列」という言葉を聞くとサーバ（窓口あるし、はサーあれば，客がシステムに到着したとき必ず空いているビスカウンタ）の前に行列ができているといった状況サーバがありますから，到着した客はいつでも待ち時を思い浮かべるのではないでしょうか．サーバの数は間なしでサービスを受けることができます．すなわち，一つかもしれませんし，非常にたくさんあるかもしれシステムがいかに混雑していようとも，他の客とは無ませんが，いずれにせよ高々有限個しかないと考える関係に到着後直ちにサービスを受けることができ，自のが普通だと思います．このような，サーバの数に限分のサービスが終了すればシステムを離れることがでりのあるモデルは有限サーバ待ち行列モデルと呼ばれきます．このようなモデルは無限サーバ待ち行列モデています（図1参照）．

ルと呼ばれています．

有限サーバ待ち行列モデルでは，客がシステムに到待ち行列理論に馴染みのない読者にとっては無限サ着したとき空いているサーバがあれば，待ち時間なしーバ待ち行列モデルが非現実的で，利用価値のないモで直ちにサービスを受けることができます．逆に，到デルであると感じられるかもしれません．しかし，少着時にサーバが全て塞がっている場合には，自分の順し見方を変えて，サーバ群全体を一つのサービス施設番が回ってくるまで待合室で待つことになります．こと捉えてみましょう．そうすると，無限サーバ待ち行

サービスカウンタ
待合室

列モデルは，到着したそれぞれの客が自分の要求が満たされるまでサービス施設内に滞在し，要求が満たされれば勝手にサービス施設を離れていくという状況を表すモデルであると考えることができます（図2参大喝［衰要照）．

図1有限サーバ待ち行列モデル
ますやま ひろゆき
京都大学大学院情報学研究科〒606−8501京都市左京区吉田本町
たきね てつや大阪大学大学院工学研究科〒565▼0871吹田市山田丘2−1422（14）図2 無限サーバ待ち行列モデル© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

このような捉え方で無限サーバ待ち行列モデルを用を計算すれば求められます．平均店内客数Jの右辺にいると，例えば，デパート，美術館，図書館，遊園地

現れる積分はA（オ）とβ（才）で囲まれた部分の面積にといった大規模施設内の客数過程の挙動をマクロ的に対応しており，延べ店内客数（時間×人）を表してい扱うモデルの構築が可能となります．また，京都に滞ることに注意して下さい．

在している観光客の数やインターネットに接続して何次に，来店した呑が店内に滞在している時間の平均らかの作業をしている人の数など，具体的にシステムを考えましょう．乃番目に来店した客の店内滞在時間をイメージしにくい対象にも応用が可能です．次節でを仇で表すとすると，平均店内滞在時間ゐは次式では，大規模施設の混雑現象の例としてデパート内の客数過程を取り上げます．デパート全体を無限サーバ待ち行列モデルを用いてモデル化し，待ち行列理論を用与えられます．

ゐ＝署軌

（2）

一方，閉店時刻rにいる客は強制的に退去させられいることでどのようなことが分かるのかを見ていきまる（エ（T）＝0）ため，来店した客の店内滞在時間の総しょう．

和は延べ店内客数に等しくなります．

2．デパートの混雑現象への応用
2．1観測データから分かること式（1）と式（3）を用いて式（2）を書き換えますと本格的な待ち行列理論を用いる前に，まず，比較的

ゐ＝材（4）

容易に入手可能な観測データから何が分かるのかを見を得ます．平均店内客数Jと平均店内滞在時間ゐのておきましょう．この節では，デパートは時刻0に開間に成り立つこの関係式はリトルの公式と呼ばれてお店し，時刻rに閉店するものとします．また，開店時の店内客数は0人であー），閉店時に店内にいる客はり，待ち行列理論の中でも最も基本的なものです．式（4）を用いると，来店した客の店内滞在時間を直接調べ強制的に退去させられるものとしましょう．A（才）をることなしに，平均店内滞在時問ゐを求めることが時刻0から時刻fまでの間に来店した客の総数とし，できます．

β（J）を時刻0から時刻オまでの間にデパートから出このように，比較的容易に入手可能な累積来店客数ていった客（離脱客）の総数とします（図3参照）．
開店時には店内に客がいませんので，A（′）とβ（オ）ならびに累積離脱客数のデータから分かることもありますが，その結果はデータを取ったある特定の一日にの差⊥（り＝A（り−β（タ）は時刻fにおける店内客数を／／￣−＼＼、（3）

岩島＝上r⊥（けめ／′￣￣￣￣、＼しか当てはまりません．つまり一日の観測データから与えます．したがって，出入ー）口で累積来店客数と累積離脱客数を数えていけば，開店時刻から閉店時刻まできません．次節では，より 普遍的な 混雑状況をでの店内客数の時間変化が観測できます．さらに，把握するために無限サーバ待ち行列モデルを活用して日を通しての単位時間当たりの平均来店客数（到着みましょう．

は別の日の混雑状況に関しては何の情報も得ることが率）スと店内にいる客数の平均Jは，それぞれ人＝』苧−，′＝一打抽）d才

2．2 一定到着率モデル（1）

節2．1で見たように，一日ごとの到着率と平均店内滞在時間は観測することによって簡単に分かりますので，何日聞かにわたって観測したデータから客の到着率スと平均店内滞在時間ゐを定めたとしましょう．
こ︶こ．ここ︑その上で，次のような二つの仮定をおいてみます．
（i）客はランダムに到着し，到着率スは時間に依存しない．

（ii）客の店内滞在時間は独立かつ同一に分布しており平均ゐをもつ分布〃（∬）に従う．

このときデパート内の客数過程をモデル化した無限サーバ待ち行列モデルはM／G／∞と呼ばれています．
時刻f

開店時（時刻0）には店内に客がいないとしますと，

図3 来店客数と離脱客数
2004年7月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（15）423

このM／G／∞待ち行列モデルの時刻′における店内合について考察してみましょう．

客数分布Pr（⊥（り＝乃）（J≧0，乃＝0，1，・‥）は次式で与2．3 非一定到着率モデルえられます．

本節では10時に開店し，20時に閉店するデパートを考えることにしましょう．以下では1時間を1単位（β〃e（′））乃Pr（L（t）＝n）＝eXp卜pHe（t）］

（5）

乃！

時間とします．何日聞かの観測の結果，1時間ごとにただし，β＝スカであー），〃e（′）はサービス時間の平衡分布（equilibriumdistribution）です．

区切られた各時間帯の客の到着率はおよそ表1のようになっていることが分かったとしましょう．また，簡単化のため，客の店内滞在時問は時間帯とは無関係に触）＝カー1上土（ト批））ゐ

式（5）から明らかなように，時刻≠に店内にいる客数平均1時間の独立で同一な分布に従うことにします．

は平均β〃e（〜）のポワソン分布に従います．また，平

詳細は省略しますが，各時間帯での到着がランダム

均店内客数β筏（才）は時刻fの単調非減少な関数となであると仮定しますと，このような到着をもつ無限サ−）ます．さらに，定常状態における店内客数⊥＝

ーバ待ち行列モデルを解析することが可能です．さら⊥（∞）の分布Pr（⊥＝乃）（乃＝0，1，…）はに，一定到着率の場合と同様に，店内客数は時刻′に依存する平均をもつポワソン分布に従うということをPr（L＝n）＝eXp［−P］笠示すことができます．図5は，図4と同じ3種類の店となり，平均β＝スカのポワソン分布で与えられます．

内滞在時間分布のそれぞれに対して，解析結果に基づしたがって，定常状態では，客の店内滞在時間分布はいて平均店内客数を計算した結果を示したものです．

その平均ゐを通してのみ店内客数分布に影響を与え，図4で与えた一定到着率の場合の結果と比べると，非分布の形には依存しません．図4に滞在時間の分布が一定到着率モデルの方がより現実味のあるモデルであ（a）2ステージアーラン分布（変動係数1／、／で）ることが分かります．

（b）指数分布（変動係数1）図5をよく見ますと，店内滞在時間分布の変動が大きいほど，閉店時刻が近づき到着率が低くなっても店（C）2状態平衡超指数分布（変動係数、／で）の3通りの場合の平均店内客数を示します．店内滞在

内客数の減少する速度が遅いことが分かー）ます．この

時間分布の変動が大きいほど，定常状態に近づくのに現象を説明するために図5における3種類の店内滞在時間がかかることが分かります．
表1客の到着率（人／時間）

以上のように，一定の到着率をもつランダムな到着と独立で同一な店内滞在時間分布を仮定しますと，店時間帯

到着率時間帯

到着率
1000

内客数分布に関して単純でかつ完全な解析結果が得ら

10時〜11時

500 15時、16時

れます．しかし，実際には，来店する客の数は時間帯11時〜12時

1000 16時、17時

1000

によって大きく変化すると思われますし，店内客数過12時、13時

3000 17時、18時

500程が閉店までに定常状態に到達するとも思えません．

13時〜14時

2000 18時、19時

200

そこで，次節では到着率が時間帯によって変化する場

14時〜15時

2000 19時、20時

100′■￣、＼0530

300000010
52000
20

1000
50000

蚕鱒在世密謀

864

00

100

裔抽定理封牡0246810

10 12 14 16 18 20時
時刻

時刻王
国4 M／G／∞（到着率ス＝1000，平均滞在時間ゐ＝1）424（16）

図5 デパート内の平均客数© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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延べ店内客数は・l17、

E［上r＊⊥（呵＝E［∑ 仇］＝揖（T）］ゐ
乃＝1となF），店内滞在時間分布の形とは無関係です．言い換えますと，図5において，横軸を延長して閉店後の平均店内客数も描いたとすると，平均店内客数を表す
曲線と横軸で囲まれた部分の面積は且［A（r）］ゐで与えられ，3通りの滞在時間分布のいずれの場合も同じ面積になります．上で述べたように，店内滞在時間の012345、‡、

図6 店内滞在時間分布の補分布関数（平均1）

変動が大きいほど閉店間際の店内客数が多くなる傾向にありますから，逆に店内滞在時間の変動が小さいほど店内客数が多くなる時間帯が営業時間内のどこかに時間分布のうち，変動の最も小さなアーラン分布と最′／￣￣、、＼＼も大きい平衡超指数分布の補分布関数1−〃（J）を図6に示しました．この図から店内滞在時間が変動の大きい平衡超指数分布に従う場合，店内に長く滞在する客がより発生しやすくなることが分かります．その結果，店内滞在時間の変動が大きい場合，閉店時刻よりかなり前に来店した客であっても閉店時刻近くまで店内に留まり続ける可能性が大きくなるため，到着率が減少していっても店内客数はなかなか減少しないと考えられます．
また，図5から，滞在時間分布の変動が小さいほど到着率の増加と共に平均店内客数はより急激に増加し，平均店内客数の最大値も大きくなっていますが，このなければなりません．
最後に，この節で観察してきた事柄をまとめておきます．客の到着率が時間と共に変化する場合，店内滞在時間分布の変動が小さいほど店内客数過程は到着率の時間変化に対して 敏感

内滞在時間分布の変動が大きい場合には，店内客数過程は到着率の時間変化に対して 鈍感

はサービス時間分布の変動が大きくなると混雑度が増す傾向にある単一あるいは少数のサーバをもつ待ち行列モデルとは対月那勺で，無限サーバ待ち行列モデルに特徴的に見られる現象であることが知られています［1］．

3．おわりにでの議論では閉店時に店内にいた客は強制的に退去さデパートを例に挙げ，無限サーバ待ち行列モデルをせられると仮定してきましたが，以下ではこの仮定を（済むまで引き続き店内に留まることができるとしましょう．ただし，閉店時刻以降に新たな客は来店しないとしておきます．この結果，閉店後，十分に時間が経てば店内に残っていた客は全て退去し，店内から客が用いて大規模システムの混雑現象を考察しました．本
稿では簡単化のため，店内滞在時間は時間帯に関係なく独立で同一に分布していると仮定しましたが，実際には開店して間もない頃に来店した客と閉店間際に来店した客とでは明らかに店内滞在時間分布は異なるでしょう．また，店内滞在時間分布は性別や年齢などにいなくなります．
営業時間内に来店した客は閉店時刻の制約を受けませんので，来店した客の平均店内滞在時間はゐで与えられます．ここで，開店時刻を時刻0，閉店時刻を時刻r，さらに閉店後に店内から客がいなくなる時も依存しているかもしれません．このような状況も待ち行列理論で扱うことが可能です．この小文を通して待ち行列理論の奥の探さを感じていただければ幸いです．

刻を時刻r＊としますと，閉店後も含めた1日の延べ店内客数は参考文献［1］H．Masuyama and T．Takine：Analysis of an

infinite−SerVer queue With batch Markovian arrival

上r＊⊥（け蛮＝箋 仇で与えられます（式（3）参照）．この結果，1日の平均

2004年7月号になり，店内の混雑度も比較的緩やかなものとなります．この現象

現象は以下のように説明することができます．ここま取−）除き，閉店時刻に店内にいた客はそれ以降も気がに反応します．逆に，店StreamS，Queueiプ堵軍ystems，42，269−296，2002．

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