伝熱学・熱流体力学における『のどの小骨』を流し込むエネルギー式を巡る
Around the Energy Equations

田川 正人（名古屋工業大学）
Masato TAGAWA (Nagoya Institute of Technology)

1. はじめに前がすぐに幾人も思い浮かんだので辞退しようかと大いに迷ったが，結果的には，記事のタイトルを標記の伝熱研究会創立 20 周年記念特集 [1] の中に，九州大ように設定した上でこの課題に取り組むことになった。

学 西川兼康先生の『伝熱雑感』という文章がある。そ以下では，エネルギー式としてよく使われる表現にこには，「私の周囲に関して伝熱シンポジウムで思い出至る過程をたどる。また，自然対流や燃焼を取り扱うされることの一つは…」で始まる段落があり，エネル場合に問題となる事柄についても紹介したい。

ギー式の正しい使い方 (表現) について論争があったことが記されている。密度や定圧比熱など物性値

2. エネルギー式の種々の表現が変化する系において，九大グループがエネルギー式の対流項をこの節では，流体中の熱移動現象を記述するエネルと表して計算したことに対して，会場からそれは近似計算であっで計算すべて正しくはとめてみる。以下では，対象を単相のニュートン流体(純物質) に限定する。また，速度勾配や温度勾配が大きくなく，種々の状態量の間には平衡系の場合と同様きとの批判があったことが紹介されている。西川先生
はこの批判が質問者の誤解によるものであり，方程式の熱力学的関係が成立するものとする。また，簡単のの物理的意義を忘れることの危険性について述べられためにデカルト座標系 (Cartesian coordinates) を用いてている。

方程式を記述し，添字について総和規約を適用する。

たしかに，非圧縮性流体のエネルギー式として2 1 内部エネルギーを常用していると，物理で表示されるエネルギー式

流体中の熱移動現象の解析では，強制対流のように熱を離れて方程式そのものが一人歩きし，そこに到るプ

輸送が流体運動に対して受動的であるか，自然対流のロセス (式の前提条件や適用範囲など) に対する意識ように能動的であるかという差はあるものの，エネルは薄れていく。原点に立ち返ることは何時も重要であ

ギー式を以下に示す連続の式および運動方程式と組みる。森・土方の著書 [2] では，次式に示すエネルギー合わせる。密度 が変化する場合，連続の式は次式で式の二通りの表現 (比内部エネルギー および比エンタルピ

ギー式の表現について，基本形と前提条件についてま与えられる。に基づく二つの式) が示されており，それぞれの左辺第 2 項を省略した場合には，どちらがより正(3)確なのかが議論されている。
ここで

(1)

は速度ベクトルの 方向成分であり，は次式の実質微分を表す。

(4)
(2)

式 (3) から，密度と比体積について次の関係式を得る。

本特集を企画された吉田英生先生から，上記のような基本的事項について問題意識をもつことの重要性を示唆された上で，「エネルギー式の種々の表現と正しい使い方」について何か書くようにと課題を与えられた。
正しい使い方を書くだけの自信はなく，適任の方の名伝熱2004 年 1 月

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(5)

伝熱学・熱流体力学における『のどの小骨』を流し込む

密度が一定の流体 (非圧縮性流体) に対する連続の式は，式 (5) から

体積粘性係数をとして， をデカルト座標系で具体的に記述すると次式のようになる [3]。となる。一方，運動方程式は(6)で与えられる。ここで， は圧力，は体積力を表(11)す。通常は，ストークスの仮説により体積粘性係数を式 (8) を次に示すエントロピ の収支式 [5] [6] からとする。

導くこともできる。

運動方程式と組み合わされるエネルギー式としては温度(12)で表示された次式が広く用いられる。

式 (12) の右辺第 1 項と第 2 項はそれぞれ熱伝導と流(7)
ここで， ,体摩擦による熱の寄与を表す 。エントロピは状態量はそれぞれ熱伝導率，定圧比熱を表す。温度伝導率 (熱拡散係数)であるから，ある過程におけるエントロピ変化量を用いてと表示されることも多い。
式 (7) のエネルギー式はいくつかの仮定のもとに導出はその変化の経路によらない。したがって，熱伝導や摩擦といった不可逆過程の結果として生じるエントロピ変化についても，他の二つの物理量 (ここでは とされたものである。本論の目的の一つはエネルギー比体積 ) の可逆過程を通して次の熱力学関係式から式の代表ともいえる式 (7) に至る過程をたどることで計算できる。

ある。

(13)

比内部エネルギー (簡単のために，以下では内部エネルギーとよぶ) についてのエネルギー式は，熱伝導式 (13) の両辺を微小時間がフーリエの法則で記述されるとすれば次式となる。

実質微分で割り，時間微分に変換することによって次の関係を得る。

(8)

(14)

式 (8) は内部エネルギー と運動エネルギーの和をのエネルギー収支を求めた後に，それから式 (14) を式 (12) の左辺に代入し，式 (5) の第 2 式を利の寄与分を差し引くことで得られる [3] [4]。式 (8) の用すれば，式 (12) は式 (8) に帰着する。また，式 (8) をは流体摩擦によって力学的エネルギーが散逸して熱式 (5) の第 1 式により書き換えることで式 (1) を得る。に変換する量を表し，次式で与えられる [5]。

2 2 エンタルピ および温度 で表示されるエネエネルギー式を比エンタルピ (以下でルギー式は単にエンタルピとよぶ) で表すことも多い。内部エネルギー は(9)と次式の関係にある。

(15)
式 (15) の両辺を時間 で微分し，実質微分に変換す
式 (9) の 1 行目のは次の粘性応力テンソルを表す。

ると

(16)
(10)

右辺は，不可逆過程によるエントロピの生成と熱の移動に伴って生じるエントロピの変化からなる [5] [7]。

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伝熱学・熱流体力学における『のどの小骨』を流し込むとなる。これを式 (8) の左辺に代入し，式 (5) の第 2

式 (23) の右辺第 2 項は次式で定義される体膨張係数式を用いることにより式 (2) を得る。
次に，温度(24)でエネルギー式を表すことを考えてみる。内部エネルギーの変化と温度の変化の間を用いれば次のように書き換えることができる。には次の熱力学的関係が成立する。

(25)

(17)
式 (17) の両辺をで割ってをに変換し，体膨張係数は，理想気体ではとなるから，[K] となる。一方，同

温度 20 C で式 (5) を用いると次式を得る。

[K ] (理科年表) であり，気体と比較すると一桁小さい。
じ温度の水の場合には(18)

この結果を式 (8) に代入することによって，温度定容比熱() の非圧縮性流体ではしたがって，通常の液体の場合にはとみなせる。
を含む項の寄与は無視できる [6]。しかし，気体の場合には無視とできない場合がある。これについては次節で述べる。

で表されるエネルギー式となる。

以上では，内部エネルギー ，エンタルピ ，温度に基づくエネルギー式を扱ってきた。一方，先述のように(19)や(に流体の運動エネルギー)() や全エンタルピ) でエネルギー式を表示することがある。たを加えた全エネルギー(同様に，エンタルピの変化との間には次のとえば，全エンタルピ関係がある。

に対するエネルギー式は次のようになる [4] [8]。

(20)
式 (20) によれば，

はを通して(26)定常な系では，式 (26) の左辺第 2 項と次の熱力学る。加えて，流速が遅い場合には的関係にある。

はとなが成立し，また右辺第 2 項は無視される。

3. エネルギー式の取り扱い(21)

ここではいろいろなケースを想定して，エネルギー式 (21) からはを含む次式で表さ式の取り扱いについて検討する。

3 1 対流項の表現れる。の正しい表現は

式 (23) にあるように対流項である。比熱一定を仮定する狭義の理想気体の場合では，定圧比熱(22)を実質微分の中にいれても何ら差は生じない。しかし，物性値が変化する流体の場合には対流項の取り扱いに注意がこの結果を式 (8) に代入すれば温度必要である。式 (23) の左辺は，連続の式 (3) を利用しと定圧比熱てで表されたエネルギー式が次のように得られる [3]。

(23)

伝熱

2004 年 1 月とを実質微分の中に入れれば次式となる [3]。

(27)

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伝熱学・熱流体力学における『のどの小骨』を流し込む
あるいは，式 (23) の左辺は次のように書くこともでてきる。

における比熱としてとすれば，温度表示されたエネルギー式を採用できる。Eckert & Drake[4] では，物性値一定の流体に対する関係式は，式中の比熱が ((28)つまり，定圧比熱いる。

3 3 理想気体の場合右辺第 3 項を無視することはできない。したがって，最現になる。空気のは，大気圧下の 300 K で 1005.7

理想気体の状態方程式は次式で与えられる。

初に述べたように，の変化が小さい場合の近似的な表で表示されるとき，現実の流体の実際的な条件をいくらか良く表すと述べられての変化が大きい場合には式 (28) のとなって，後者はではなく)(31)

またはは気体定数である。式 (31) により，式 (19)J/(kg K)，2000 K で 1338 J/ (kg K) であり [4]，かなりここで大きく変化する。したがって，高温空気流の解析ではと式 (23) の右辺第 2 項の係数は次式のように簡単にエネルギー式の対流項の表現に厳密さが要求される。

なる。

比熱が温度のみの関数となる広義の理想気体では，以下のようにをの一定値で与えることで，エネ(32)

ルギー式の取り扱いを近似ではあるが簡略にするアプ
ローチがある。

この結果から理想気体のエネルギー式は次のように(29)
3 2 非圧縮性流体の場合なる。

非圧縮性流体では密(33)(あるいは比体積 ) が一定とみなせるから ，式(1) の左辺第 2 項は零になる。一方，式 (2) の第 2 項は度と残る。これは，(34)なる [2] [9] ことから明らかである。圧力変化が無視でとなる。

熱伝導と流体摩擦が無視できる場合，つまり式 (33) の417.36 kJ/kg，右辺第 1 項と第 3 項がない場合には，状態方程式 (31)417.46 kJ/kg とほぼ一致する。また，10 MPa という高圧の飽和水でも1393.0 kJ/kg， 1407.6 kJ/kg

第 2 式の対数微分に式 (33) を代入し，マイヤーの関係と 1% 程度の差しかなく，の関係があることがわかる。

きる場合や密度が大きい液体などでは
たとえば，0.1 MPa の飽和水の場合を用いれば，としてよいことがわとに次かる。
非圧縮性流体では，とおくから，温度表示されたエネルギー式 (19)，(23) の右辺第2 項はともに零になる。つまり，一般に，液体や固体の比熱の測定ではである。
が測定され，は周知の次式から計算される。

(35)

(30)
ここでは等温圧縮率

現実の固体や液体ではを示す。との差はここで， は比熱比を示す。このとき，式 (34)はの 3 10%となって，当然のことながら式 (33)(岩波 理化学辞典) になるが，この程度の差を無視しと式 (34) は整合する。理想気体では完全な非圧縮性流体では，流体圧力は熱力学的な変数 (圧力) とはいえなくなる [7]。

，であり，式 (1), (2) の左辺第 2 項は式 (33),-29-

Jour. HTSJ, Vol. 43, No. 178

伝熱学・熱流体力学における『のどの小骨』を流し込む(34) の右辺第 2 項にそれぞれ相当する。したがって，で関係づける。流速が音速より十分小さい場合 (通常，式 (35) の結果から，熱伝導と流体摩擦がない (等エン) には，上記の低マッハ数近似を適用できて音波の影響は排除される。その結果，エネルギー式にトロピ変化の) 場合には，との比おける動的な圧力となって，これらはほぼ同じオーダの量では比熱比第2項あることがわかる。

はの寄与は無視されて，式 (34) のとされる。

最後に，式 (33), (34) の右辺最終項

現実の系では熱伝導や流体摩擦が存在するから，等エントロピ変化は実現しない。式 (1) の左辺第 2 項 [式の影響について検討する。この項は流体摩擦による発熱を表してい(33) の右辺第 2 項] は単位時間・単位体積あたりの体るが，式 (7) では無視されている。この項が無視でき積変化仕事を表しており，流体の密度変化が大きけれるか否かは次の Eckert 数により判断される [4]。

ば無視できない。一方，そのような場合でも，流速が(39)高くなければ，式 (2) の左辺第 2 項 [式 (34) の右辺第2 項] の影響は小さいことが期待できる。よく使われここで， ,るエネルギー式 (7) では，式 (34) においてとし，また右辺の第 2 項と第 3 項が無視されていて，実際に扱いやすい形になっている。この形式の妥当性について以下で検討する。
流体の密度に変化があっても流れの速度が音速に比,はそれぞれ代表とする速度，定圧比熱，温度差である。Ecにおけるの場合にはエネルギー式の影響は無視できなくなる [4]。たとえば，温度差 100 K の伝熱条件で空気 [J/(kg K)] が流速 300 m/s で流れているときとなる。同じ伝熱条件下でも流速 30 m/s では

べて十分小さい場合には，低マッハ数近似 (low-Machnumber approximation) が適用できる [10]。このとき，圧力 は次のように分解される。

このように，流速が音速に近くなると流体摩擦による発熱の影響は無視できない。逆にいえば，低マッハ数近似が有効であるような流れにおいては，非常に小さな温度差の現象を取り扱うのでなければ(36)となる。

を無視してよいと考えられる。実験室レベルの通常の伝熱実験
ここで，は熱力学的な圧力であり時間 のみの関数

ではこれらの影響を考慮に入れる必要はなく，式 (7)である。

は流体の運動に誘起される動的な圧力でを利用できる。

あり時空間的に変動する。のオーダをとする

4. エネルギー式を巡って( ：マッハ数) であり，は運動方程式 (6) の圧力勾配項に反映される。

とき，のそれは強制対流では速度場が与えられれば温度場は受動的エンジン筒内の燃焼のように閉じた空間で大きな発熱があるような場合 [11] を除けば，に決定される。一方，自然対流のように浮力で駆動さは一定とされれる流れでは，速度場と温度場にそのような一方的なる [12]。また，空間スケールが 1 km のオーダをこえ関係は成立しない。Tsuji, Nagano らは，垂直平板自然ない規模の熱流体解析では， は対流乱流境界層 (空気) の内層の乱流構造が強制対流のそれとは非常に異なることを追求する中で，式 (34) の(37)
は基準の密度， は重力に直接変換されるプロセスがあることを見い出したは重力が作用する方向の空間座標である。

[13]。
が含まれない式 (7) ではこのようなエネルギー変換の過程を理解することはできない。流速 1と分解される。ここで，加速度，の項を通して熱エネルギーが乱流エネルギー式 (37) の右辺第 2 項は重力によるポテンシャルの影

m/s の常温空気がもつ運動エネルギーは圧力換算でわずかに 0.6 Pa である。この大きさはエネルギー式の収響を表す。
低マッハ数近似では，エネルギー式および理想気体の状態方程式に現れる圧力換して，密度と温度を熱力学的圧力支においては無視しうるものであるが，速度場には支で置配的な役割をもつ。このように，数値解析では無視でをきる項でも，現象を理解する過程では本質的な役割を(38)することがある。
これまで取り上げてきた純物質のエネルギー式と伝熱2004 年 1 月- 30-

伝熱学・熱流体力学における『のどの小骨』を流し込むは異なり，燃焼のような気相反応系で使われるエネル
ギー式は非常に複雑である [8] [10] [11]。燃焼場での熱流束は，1) 熱伝導，2) 化学種の分子拡散によるエンタルピ輸送，3) 濃度勾配により駆動される熱拡散(Dufour 効果)，4) 放射熱流束からなるが，3) と 4) は通常は省略される。燃焼解析で使われるエネルギー式はエンタルピまたは温度で表示されることが多い。燃焼反応は温度の上昇にともなって指数関数的に反応が速く進行する強い非線形性をもつから，場の温度を高精度で求める必要がある。燃焼場は多くの化学種の輸送過程を伴うことから，エネルギー式をエンタルピで表すと，高い精度で温度を求めるには膨大な反復計算が必要である [11]。宮内・店橋は温度で陽に表示されたエネルギー式を導出することによりこの問題を解決し，乱流燃焼の DNS に成功している [11]。乱流のモデリングにおいては，モデル化の対象をエンタルピ表示されたエネルギー式とするのか，温度表示のエネルギー式とするかは現象論的モデリングの基礎に謝辞

本稿の執筆にあたりご助言をいただいた名古屋工業大学教授 長野靖尚先生に深謝する。

文

献[1] 西川兼康，伝熱研究，22-84 (1983), 17–19. (日本伝熱学会 40 周年記念 CD-ROM)「流れと熱の工学 II」，共立出版[2] 森康夫・土方邦夫，(1977).

[3] Bird, R. B., Stewart, W. E. and Lightfoot, E. N., Transport
Phenomena, John Wiley & Sons (1960).
[4] Eckert, E. R. G. and Drake, R. M., Analysis of Heat andMass Transfer, McGraw-Hill (1972).
「流体[5] エリ・ランダウ，イェ・リフシッツ，(竹内均 訳)，力学 1」，東京図書 (1971).

[6] アー・エス・モーニン，アー・エム・ヤグロム，(山田「統計流体力学 1」，総合図書 (1975).
豊一 訳)，[7] Warsi, Z. U. A., Fluid Dynamics — Theoretical andComputational Approaches (2nd Ed.), CRC-Press (1999).

かかわる重要な問題でもある [14]。

[8] Kuo, K. K., Principles of Combustion, John Wiley & Sons
(1986).

5. お[9] Kays, W. M., Convective Heat and Mass Transfer,
McGraw-Hill (1966).

わりに試みたが，彷徨うことになってしまったように思う。

[10] Williams, F. A., Combustion Theory,
jamin/Cummings Publishing (1985).

現実に生起する現象を完全に記述できる方程式はない「燃焼の数値計算」，丸善 (2001).
[11] 日本機械学会，

から，支配方程式を構成する際には，現象を単純にし[12] Libby, P. A. and Williams, F. A., Topics in Applied
Physics: Turbulent Reacting Flows, Springer (1980).

「エネルギー式を巡る」と題して話をまとめようと理想化する作業が導入される。また，解析段階では，重要性が低く取り扱い困難と見られる項は省略される。
エネルギー式ではこれらのプロセスは大方においてうまく機能している。しかし，無視された項については

The Ben-[13] Tsuji, T., Nagano, Y. and Tagawa, M., Proc. 8th Symp. on
Turbulent Shear Flows (1991), 24.3.1–24.3.6.
[14] Tagawa, M., Matsubara, F. and Ohta, Y., Combustion andFlame, 129 (2002), 151–163.

常に意識していることは有益であると思う。

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