アルミニウム精錬所における数学的モデル化とその実務へのインパクト
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Potroom では(ホールエル一法により)炉(この中にInthi
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アルミナが入れられる)の中に吊された陽極に電流を

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流しアルミニウムを還元収集し，ルツポの中に入れlandAluminiumS
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aliaisdiscussedIngotMillへと送り出す. I
ngotMill では，融けたアル

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保管炉の中に入れる.そのあとインコ事ットにして出荷

ミニウムの入ったルツボを受けとり，アルミニウムをthemodel (product
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される.

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swellaseach位として確立され，それぞれのエリアの責任者は，エさまざまなエリアは自律的に個々に業務を行なう単fp
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リアの運用に関し完全な権限を持っていた.このこと

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hemodel , iで，局所最適解に陥ってしまっていたのである.自分

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nsubstantialのエリアで行なった意思決定が，他のエリアへ与える

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影響を完全に把握している責任者は誰もいなかったの

costreductionsthatwereoutsidetherealmoftheである.局所最適解に陥ってしまったことに関してはmodelsperse.

このあと議論する.
ここでの問題は，まさに多階層問題であり( 2 階層1.はじめに問題に帰着できるのであるが).非線形な変数や制約をP
ortlandAluminium社は Alcoa Australia社の子会社てコポートランド・アルミニウム精錬所の操業を行なっている.この精錬所は，世界でも最大級，最新鋭持つ.あるいは，この問題は生産過程での双方向の流れの問題として特徴づけられるものである.
このようなモデル化を行なったのは本論文が最初でで，数百エーカーの敷地に約 13億豪ドルの資本投資がある.それぞれのエリア内に限れば，モデル化がなさなされた.ここではアルミニウムインゴットにして年れたことはあるが，精錬所を統合したものはなされて間約 33万トンを生産し，オーストラリアの輸出の一翼いない.このモデルでは，生産過程での費用についてを担っている.精錬所はいくつかのエリアに分けられ，も考慮する.

それぞれは，プラント全体の生産とコストパフォーマンスに関し重要な役割を持っている.

そのひとつである Anodeエリアは電解炉で使う陽極

2. 精錬所の統合的なモデル
アルミニウムの生産においては，次の 2 つが主な変の製造，およびすべての原材料の発注と供給を引き受数である.

けている. Roddingエリアでは，焼成した陽極を受け取ロボルト一一，もう 1 つは陽極を電解炉に取りつけてり，それを容器の中に吊し電流を流すための金属製のから，使用後取り換えられるまでのサイクル (SC) で“竿"を取りつける.また，使用済み陽極の回収と，ある.これらの 2 つの変数は資材の(陽極の再利用と再加工(すなわち，陽極を磨き，再利用するためにいった)フィードパック・ルーフρ を扱う際には，独立Anode エリアへ送り戻す)を請け負っている.には扱えない変数である.

10

1 つは供給きれた電力 (kA)

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単位はキオベレーションズ・リサーチ

Potroom では Ingot Mill を制約として1 期間当た填材として用いられ， kAや scから直接決定できるもりのアルミニウムの生産量最大化という目的を考えるのではない.

ことができる.一方， Anodeエリアでの目的は， sc を部がある上限以下の割合て噺しい陽極に含まれることできるだけ長くするように生産することである.これを要求している.

は，サイクルを長くすれば必要な陽極数が減り，結果的に費用の減少につながるからである.

上の定式化で，A などのパラメータを表わすことは簡単ではない.これらの表現の中には， 30 を越す 2 次

上で述べたようにエリアを 2 つに“統合"しモデル化をすると，ポートランド・アルミニウム精錬所は，2 階層計画問題の特徴をすべて持っていることになる.
すなわち5 番目の制約式は，使用済みの陽極の一1 つのプラントの中に，互いに影響を与えのパラメータ，あるいは代数的には複雑な式がある.

3. プラント管理に与えたモデルのイン 1'\ クト

合う意思決定の単位を持ち，意思決定は階層的，すな精錬所のモテ'ル化がなされたことで，各エリアではわち上位のユニットとそれに従うユニットがあり，上上で述べた評価基準に従い，各々の仕事を評価できる位のレベルから下位のレベルへと逐次的になされる.

ようになった.しかし，もっとも大きなインパクトは，それぞれのエリア内では独自の目的関数を他のエリアすべてのエリアが他のエリアに与える影響に気がつき，とは独立に最適化するが，他のエリアの行動の影響を局所最適な解に陥ることを十分に減らしたことである.

受ける.エリア内の問題の他のエリアへの影響は，目エリアが相互につながりあっていることにまさに気が的関数や可能な意思決定の集合に反映されるのである.

つくと，プラントの中でPotroomのみを考慮するとい以下の(1)式では，アルミニウム精錬での 2 階層な非う伝統的な考え方がまだ残っていたことがわかったの線形モデルが，非常に一般的な形で表現きれている.

P1 :maxxF( ι0) =c1xyso!
vesである.
モデル化することで，エリアが行動の結果を事前にP2:maxyf(o , y)= のU評価し，また全体への関係を見る道具を持ったことで，s.t. ,結果として効率化がはかられた.このような姿勢の変A 1 x 三五/h，化は，モデルそのものの目的以上の効果をもたらした.

fZiu-12玉 lh.，

伝統的な方法というのは，エリアで行なうべき仕事(1)

A2x-1+1む話 0 ，

C1X+D，. y-1 十五 xy- G， 孟 ba，理部門から高いプライオリティーを得られるよう努力(α X+ Ih y-1+ß却 -Gz) (Hy-1 十 J) -1 ⑧ i 壬ム③ i，r11
X1 三五 x;することに相当な時間を費やすというものであった.

しかしこれは異なった方法に置き換えられた.個々の0~五 g 壬 yu; i=1

エリアがボトルネックを解消するために努力するのでL‑1 J
今日まで多くの研究がを明確に列挙し，その上で，プロジェクトが中央の管はなしこのモデルを使いプラント全体を見ることで，2 階層計画問題を含む分割さまざまな能力などが制約を受け，生産が制限されてされた多階層計画問題の解法に対してなされてきた.

いる場所を認識することができるようになった.このしかし今日までに提案されたアルゴリズムを直接こ方法で，資本がいっそう効率的に利用されるようになの問題に応用することはできない.そこで，このアルるのである.さらに，提案された改善のインパクトはミニウム精錬問題に対するアルゴリズムが提案された.

このモデルを使い評価することができ，この改善が注

詳細は Nicholls andHedditch (1993)

意を払わなくてはならない重要なエリアを次々に明らを参照されたかにするかどうかを見ることができる.

し\上の (1)式で，最初の制約条件は第 1 の統合化された加えて，今までは能力が限界であると考えられていエリア (Potroom と Ingot Mill) のみに関係した制約でた部所が実際にはそうではなしそしてこのことが，ある.

労働力の変更をし，適切な保守を行なえば何百万ドル

2 番目の制約式は Anode と Rodding エリアのみに属するものであり，フィードパック・ループに関するものは考慮していない.第 3 の制約は sc の上限に関するものである.第 4 の制約式は Anode と Rodding エリアでのコークスに関するものである.コークスは充1994 年 1 月号も節約できるかもしれないことに気がついた.

4. 結論
上の節で述べたモデルの応用事例は，数学的モデル© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

11化をした結果プラントの運用上のコストを大幅に削減できたことを示している.さらに，モデル化がプラン方程式と自然
I.自然界の基礎方程式

ト全体の管理に与えた影響は大きしまた局所的な最適な解に陥ることなく各エリアが依然として独自に運転できることを示した.きらに，モデル化により生産ラプラス方程式/オイラー・ラグランジュの方
程式/ナビエ・ストークス方程式/ボルツ?ン

環境への理解が深まり，プラント管理における重要な方程式/シュレーディンガ一方程式/素粒子の変化が多大なコストの削減につながったことは特筆す

方程式べきである.

n. 重力場の方程式
アインシュタイン重力方程式/重力場の厳密解

翻訳:矢島安敏(東京工業大学)/重力場方程式の対称性と KP ヒエラルキー

111. 波動とソリトンの方程式
音から電磁波まで/波動方程式/非線形方程式/微分方程式の逆問題
IV. 確率過程の方程式

確率微分方程式と拡散過程/フォッカー・プランク方程式/拡散方程式と高分子の統計力学
v. 生物・生態系の方程式

ロトカとボルテラ方程式/再帰方程式と自然のパターン/卵と方程式/子殺しのパラドックス/林学における?ルコフ・プロセスの応用

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