整数⽐の共振振動数を持つ振動⼦の作成
森永研究室 樋⼝ 明
2023 年 2 ⽉ 24 ⽇
１2.2 フーリエ級数

⽬的

整数⽐の複数の振動周波数で共振する振動

図１のノコギリ波は正弦波を合成すること⼦の作成を⽬的とする。その振動⼦を使っで近似することができる。てその上に置かれた物体の運動を観察する。

関数 g(t)のフーリエ級数を求める。

２位置𝑔(𝑡)は原理

2.1 ⾮対称振動する台の上の物体の運動
⽔平な台の上に質量𝑚の物体を置く。台と物体間の動摩擦係数を𝜇′とする。
台を図１のノコギリ波のように振動させる。
右向きを正とする。

$𝑔(𝑡) = +%&'

2 sin 𝑘𝑎𝜋sin 𝑘𝑡𝑎(1 − 𝑎)𝜋 # 𝑘 #速度𝑓(𝑡)は$𝑑𝑔(𝑡)
2 sin 𝑘𝑎𝜋𝑓(𝑡) ==+cos 𝑘𝑡𝑑𝑡𝑎(1 − 𝑎)𝜋 # 𝑘%&'𝑎 = 0.7 と し 、 𝑘 が ２ 次 と １ ０ 次 ま で の𝑔(𝑡), 𝑓(𝑡)を計算し、２次までで⼗分なノコギリ波が作れることがわかったので、今回は𝑘が２次までの𝑔(𝑡)を考える。
2.3 固有振動数
前節では⾮対称振動を台に加えることに
図１ ノコギリ波

よりその上に置かれた物体を移送できるこ台はゆっくり右に動き速い速度で左に戻る。とを⽰した。この原理を⽤いて基板（台）上

すなわち、台は⻑い時間、右向きの遅い速に付着した微⼩物体（将来的には量⼦的物度𝑣! で、短い時間、左むきの早い速度𝑣" で体）の輸送を⾏いたい。

移動する。

しかし質量𝑚が⼩さくなると物体と台の分台の振動が⼗分に速く、物体はそれに追随⼦間⼒などが無視できなくなり、より強いしないとすると、台が右向きに動いている振動をしなければ物体が動かなくなる。そとき、物体は右向きに⼒𝐹 = 𝑚𝑔𝜇′を受け、のために質量が⼩さい物体が効率よく振動

逆に台が左向きに動いているとき、物体はを起こすために共振現象を利⽤する。

左向きに⼒𝐹 = 𝑚𝑔𝜇′を受ける。

図２のような⽔平に 2 質点がバネで繋がっ物体の速度が𝑣! を超えない範囲では、物体ている時の連成振動を考える。バネ定数はの受ける⼒は速度の⼤きさに関係なく、物それぞれ𝑘' , 𝑘# , 𝑘' である。

体は⼒𝐹を受ける時間が⻑い右向きに加速する。
ノコギリ波の向きを逆にすると運動の向きも逆になる。

図２ ２質点の連成振動
質量𝑚の質点について、つり合いの位置からの変位をそれぞれ𝑢' , 𝑢# として運動⽅程式を⽴てると、
𝑚𝑑# 𝑢'= −𝑘' 𝑢' + 𝑘# (𝑢# − 𝑢' )
𝑑𝑡 #

𝑚

𝑑# 𝑢#
= −𝑘# (𝑢# − 𝑢' ) − 𝑘' 𝑢#
𝑑𝑡 #(𝜔#𝐿' (17= @1 + 2 D E = @1 + 2 DE𝜔'𝐿#17 + 2𝑥と求められる。
)!
)"= 2となるには

ここでこの連成振動の固有振動数は
𝜔' = @𝑘',𝑚𝜔# = @𝑘' + 2𝑘#𝑚(173D
E =17 + 2𝑥2𝑥 = −1.07456 … = −1.075 𝑚𝑚となる。

である。

外 側 の 振 動 ⼦ の 幅 を 変 え て 、 𝐿' = 17 +３2𝑥 𝑚𝑚, 𝐿# = 17 𝑚𝑚 として計算すると実験⽅法

3.1 振動⼦の作成
3.76/mm

0.4

7.0

𝜔#
𝐿' (
17 + 2𝑥 (= @1 + 2 D E = @1 + 2 D
E
𝜔'𝐿#
175.0
1.51.5

1.55.32.02.05.0)!
)"= 2となるには

図３ 振動⼦17 + 2𝑥 ( 3DE =172

図３のようなバネの代わりとして機能する

𝑥 = 1.23007 … = 1.230 𝑚𝑚

振動⼦を作成し、これの固有振動数𝜔' , 𝜔# がとなる。

2𝜔' = 𝜔# となるような振動⼦を調べる。

3.2 圧電素⼦

振動⼦のたわみ量𝛿は振動⼦の幅𝐿の 3 乗に⽯英やトルマリンのような⼀部の誘電体⽐例する。𝑘' , 𝑘# のたわみ量とバネの幅をそには、圧⼒を加えると電圧が発⽣する「圧れぞれ𝛿' , 𝛿# と𝐿' , 𝐿# とすると、電効果」と呼ばれる現象がある。逆にこれ

𝐹 = 𝑘' 𝛿' = 𝑘# 𝛿#
よってらの誘電体に電圧をかけると変形する（逆圧電効果）。圧電効果を利⽤した受動素⼦を

𝑘' 𝐿' ( = 𝑘# 𝐿# (「圧電素⼦(ピエゾ、PZT)」という。

2𝐿' ( = 3𝐿# (本実験では振動⼦を挟むような形で圧電素'𝐿'
3 (= D E = 1.14471 … = 1.145
𝐿#2⼦を⼆つ使⽤する。
本実験では図４のように発振器から駆動となる。真ん中の振動⼦の幅を変えて𝐿' =⽤圧電素⼦に増幅させた電圧をかけ変形し17 𝑚𝑚, 𝐿# = 17 + 2𝑥 𝑚𝑚 と し て 計 算 す るて、与えられた圧⼒でモニタ⽤圧電素⼦かとら発⽣する電圧をオシロスコープで読み取る。その読み取った値を PC に表⽰させるために、ラズベリーパイピコ(micropython)

を⽤いる。

4.000

PC

micropython

Pico ADC

USB

ω2/ω1

python3

振幅-電圧変換回路

USB
HAS4012

任意波形発⽣器

電圧増幅器

2.000
実験値
理論値0.000

FY6800

駆動⽤PZT-4

モニタ⽤PZT-2024L1-L2 /mm

図４ 回路図４

図５ 共振周波数の測定

結果実験値と理論値を⽐較すると近い値になっ共振周波数を測定した。

たと考えられる。

共振周波数

図５のようにいくつかの振動⼦を作成し、)!

100000)"ω１0

ω２-4 -202

理論値ω２L2-L1 /mm= 2に⼀番近い値になったのは x＝０の時であった。
５結論・考察5.1 結論ω2/ω1４の結果より 1:2 の振動周波数で共振する振動⼦を作成することができた。

4.000

5.2 実験値と理論値の⽐較

2.000
0.000-4-202

実験値)!

理論値)"

= 2に⼀番近い値になったのは x＝０の時であった理由、すなわち実験値が理論値

L2-L1 /mmより⼤きくなった理由として、振動⼦を固定する部分もばね(ばね定数は𝑘)として機共振周波数100000能して実際のばね定数𝑘' ′は理論値𝑘' より

50000

ω1ω20-505L1-L2 /mm理論値ω２)%

⼩さくなる。よって)! = L1 + 2 %!の実験値""が理論値より⼤きくなったと考えられる。
5.3 物体の運動の観察)結果より、幅の変更なしの振動⼦が ! = 2)"に⼀番近い値になったので、実際にこれを⽤いてビーズを乗せて、運動を観察してみた。

振動⼦の固定⽅法で振動スペクトルは変わったので安定した固定⽅法を考える。
今後の展望は、位相を逆にした時にビーズの移動は起こらなかったのでそれについて図６ 発振器の値調べることが挙げられる。
７

参考⽂献

Excel で学ぶフーリエ変換、渋⾕道雄・渡邊
⼋⼀、オーム社(2003)
⽔平に置かれた 2 質点の連成振動
https://batapara.com/archives/coupled図７ オシロスコープ

oscillation1.html/

図６のように振幅 0.1V、オフセット 0.0V、共振CH1 の周波数を 4740Hz、位相差を 120°、https://ja.wikipedia.org/wiki/共振

CH2 の周波数を 9480Hz、位相差を 0°にたわみ量算出の公式

設定し、振動させてみる。

http://www.mokushin.com/kinoie-

オシロスコープに図７のような⻩⾊の振動

seminar/section/section2-5-1.html

を振動⼦に加え、紫の振動が観察された。

圧電（ピエゾ）素⼦について左側に乗せるとビーズは左に移動し、右側

https://www.matsusada.co.jp/column/whatに乗せると右側に移動した。

s_piezo.html

これはω1ω2 での振動の重ね合わせが起こ

Raspberry Pi の使い⽅

り、振動⼦の右側では右向きの⾮対称振動、

https://fabcross.jp/topics/beginner_guide/

左側では左向きの⾮対称振動が起こったか

20200917_raspberrypi_guide.html?fm=sid

らだと考えられる。

e_ranking#midashi06

ここに載せると左に移動した

右に移動

図８ 物体の運動
６

まとめ・展望まとめとしてL1=L2 の振動⼦が最も𝜔' : 𝜔# = 1: 2に最も近い値になった。