2010年度 学部 エコノメトリックス 授業資料（第23回）

1/11/112§ 4.4 パネルデータの分析 (続)2010 年度 学部 エコノメトリックス
第 23 回講義メモ

ランダム効果モデルの GLS 推定
GLS 推定を行うために、まず回帰モデル
y = Xβ + uにおける誤差項 u の分散共分散行列 (n × n)

2011 年 1 月 11 日

Ω ≡ E(uu )の構造を知っておく必要がある。

34という構造になっていることがわかる。

⎛⎜u=⎝

⎛

⎞
u1.. ⎟ ,. ⎠um⎜
ここで ui = ⎝⎞ ⎛⎞vi + εi1ui1⎟.. ⎟ = ⎜..
⎠. ⎠ ⎝.

uiT

次に、Ω−1/2 を求めることにしよう。(4.4.3) 式より、Σ−1/2 が求まれば、自動的に求まることが分かる。P 1 ≡ 1(1 1)−1 1 = 1/T 11 であることを用いると、

vi + εiTであるから、vi ⊥εit かつ vi ∼ (0, σv2 ), εit ∼ (0, σε2 ) という仮定よりとなる。さらに、適当なスカラー λ を用いて、

Σ ≡ E(ui ui ) = σv2 11 + σε2 I T

Σ−1/2 = (1/σε ) (I T − λP 1 )という T × T の行列を用いると、

⎛Σ
⎜
⎜ O
Ω=⎜
⎜ .
⎝ ..
OO
Σ
..
.
······..
.
O

Σ = T σv2 P 1 + σε2 I Tと表現できるものとすると、⎞O.. ⎟. ⎟⎟⎟O ⎠Σ

Σ−1 =(4.4.3)

1 I T + (λ2 − 2λ)P 1σε2となるので、

I T = ΣΣ−15T σ2T σ2= 2v P 1 + I T + 2v (λ2 − 2λ)P 1 + (λ2 − 2λ)P 1σεσε
これを整理すると、

1+T σv2σε2T σ21 + 2vσεΩ

−1/2(4.4.4)

1 =I n − λP DσεVar(β̂ GLS ) = σε2 (X  (I n − λP D )2 X)−1−1T σ2λ = 1 ± 1 + 2vσεとなり、

β̂ GLS = (X  (I n − λP D )2 X)−1 X  (I n − λP D )2 yであり、その分散共分散行列は

 2λ − 2λ + 1 = 1(λ − 1)2 =6が求められた。よって GLS 推定量はとなる。
−1/2

このように、GLS が実行可能 (feasible) であるためには、σv2 と σε2 の値が分かっている必要がある。（λ だけではダメな事に注意。）(4.4.4) 式より、λ = 0 の時には、GLS 推定量と OLS 推定量は同じになり、また λ = 1 の時には、GLS 推定量は’within estimator’ と同じになることが分かる。

1/2

2010年度 学部 エコノメトリックス 授業資料（第23回）

1/11/117Ω の推定8

ランダム効果モデルの推定上の注意

σv2 と σε2 が既知でない場合、GLS が実行可能となるためには、これらを推定する必要がある。
まず、(4.4.1) 式の OLS 残差二乗和を n − k − m で割って σ̂ε2 を得る。
次に、(4.4.2) 式の OLS 残差二乗和を (m − k)T で割ると、σv2 + σε2 /T が求まるので、ランダム効果モデルを適用する場合、確率変数である’individual eﬀect’vi と説明変数 xit とが無相関である必要がある。もし、相関がある場合には説明変数と撹乱項（誤差項）の間に相関があることになり、GLS 推定量は不偏性、一致性を持たなくなる。
相関が存在する場合でも、β̂ LSDV は不偏推定量（但し効率性はもたな

1σ̂v2 = σv2 + σε2 /T − σ̂ε2Tい）であるから、この性質を用いた検定が提案されている。

Hausman 検定は、speciﬁcation test と呼ばれるものの一つである。viとして求める。と xit とが無相関であるという帰無仮説 H0 の下では、β̂ LSDV も β̂ GLSもどちらも不偏である。

Ψ ≡ Var(β̂ LSDV − β̂ GLS ) = Var(β̂ LSDV ) − Var(β̂ GLS )9として、次のように検定統計量を構成する。

W = (β̂ LSDV − β̂ GLS ) Ψ−1 (β̂ LSDV − β̂ GLS )W は帰無仮説 H0 の下で自由度 (k − 1) の χ2 分布に従うので、この性質を用いて検定を行う。
勿論、Hausman 検定によって帰無仮説 H0 が棄却された場合には、GLS推定量は一致性がないと判断されるので、用いてはならない。

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. hausman fixed random

Stata11 によるパネルデータ分析の例. xtreg epwr temp, fe i(area)
Fixed-effects (within) regression
Group variable: area

Number of obs
Number of groups==123R-sq:

Obs per group: min =avg =max =44.04

within = 0.2071
between = 0.0011
overall = 0.0000

corr(u_i, Xb)= -0.0582

F(1,8)
Prob > F==---- Coefficients ---|
(b)
(B)
(b-B)
sqrt(diag(V_b-V_B))|
fixedrandom
Difference
S.E.
-------------+---------------------------------------------------------------temp |83.91575
83.76955.1462058
18.38083-----------------------------------------------------------------------------b = consistent under Ho and Ha; obtained from xtreg
B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; obtained from xtreg
Test:

Ho:

difference in coefficients not systematicchi2(1) = (b-B)'[(V_b-V_B)^(-1)](b-B)=
0.00
Prob>chi2 =0.99372.09
0.1863-----------------------------------------------------------------------------epwr |Coef.
Std. Err.
tP>|t|[95% Conf. Interval]-------------+---------------------------------------------------------------temp |83.91575
58.04681
1.45
0.186-49.94043
217.7719_cons |
2704.637
1875.632
1.44
0.187-1620.579
7029.853-------------+---------------------------------------------------------------sigma_u | 2813.4397
sigma_e | 232.78508
rho | .99320058(fraction of variance due to u_i)-----------------------------------------------------------------------------F test that all u_i=0:
F(2, 8) =582.31
Prob > F = 0.0000. xtreg epwr temp, be i(area). estimates store fixed-----------------------------------------------------------------------------epwr |Coef.
Std. Err.
tP>|t|[95% Conf. Interval]-------------+---------------------------------------------------------------temp | -61.87946
1832.103
-0.03
0.979
-23340.95
23217.19_cons |
7412.608
59205.95
0.13
0.921-744870.4
759695.6------------------------------------------------------------------------------. xtreg epwr temp, re i(area)
Random-effects GLS regression
Group variable: area

Number of obs
Number of groups==123R-sq:

Obs per group: min =
avg =
max =

44.04

within = 0.2071
between = 0.0011
overall = 0.0000

Random effects u_i ~ Gaussiancorr(u_i, X)= 0 (assumed)

Wald chi2(1)Prob > chi2

==

2.31
0.1282-----------------------------------------------------------------------------epwr |Coef.
Std. Err.
zP>|z|[95% Conf. Interval]-------------+---------------------------------------------------------------temp |83.76955
55.05976
1.52
0.128-24.1456
191.6847_cons |
2709.358
2807.825
0.96
0.335-2793.877
8212.594-------------+---------------------------------------------------------------sigma_u | 3964.5577
sigma_e | 232.78508
rho | .99656421(fraction of variance due to u_i)-----------------------------------------------------------------------------. estimates store random

Between regression (regression on group means)Group variable: area

Number of obs
Number of groups

==

123

R-sq:

Obs per group: min =
avg =
max =

4
4.0
4

within = 0.2071
between = 0.0011
overall = 0.0000

sd(u_i + avg(e_i.))=3966.266

F(1,1)
Prob > F. list+-------------------------------------------------+| year
temp
area
epwr
_est_f~d_est_r~m ||-------------------------------------------------|
1. | 2004
3118585
1
1 |
2. | 2005
31.8
18254
1
1 |
3. | 2006
31.1
18193
1
1 |
4. | 2007
33
19036
1
1 |
5. | 2004
33.7
23213
1
1 |
|-------------------------------------------------|
6. | 2005
31.3
23025
1
1 |
7. | 2006
30.3
22947
1
1 |
8. | 2007
29.2
23030
1
1 |
9. | 2004
33.3
34848
1
1 |
10. | 2005
33.2
34506
1
1 |
|-------------------------------------------------|
11. | 2006
35
34699
1
1 |
12. | 2007
34.6
34637
1
1 |
+-------------------------------------------------+

=
=

0.00
0.9785