山形大学大学院社会文化システム研究科紀要

第 7 号 (2010) 105−109

サプライチェーンに対して構成したサーボ系の解釈とその応用*
西平直史(社会システム専攻企業経営領域担当)

1

はじめに

2

近年, サプライチェーンにおいて Bullwhip 効果[1]を抑制する手法について様々な研究がなさ問題の定式化

本稿では, 参考文献[3]と同じ以下のシステムを考える｡
 

れている｡ 参考文献[2, 3, 4] では, サプライチェー

ンをむだ時間をもつ動的プロセスとして定式化し,

ただし, は時刻 における在庫量, それに基づいた解析を行っている｡

は時刻 における入庫量, は時刻 におけ筆者は参考文献[3, 4]において, サーボ系を構る出庫量である｡

成せずに漸近安定条件に基づいた制御則では,システムにおいて, 平衡点を  としBullwhip 効果を抑制することはできるものの偏ておく｡ 参考文献[3]に示しているが, この仮定差が残ってしまうことを示した｡ 加えて, サーボは一般性を失うものではない｡ また, ある時刻 系を構成することで, サプライチェーンの Bull-が操業開始時刻であって, それまでの在庫数は平whip 効果を抑制しながら, 偏差を取り除くこと衡点から変動しないものと仮定しておく｡

もできることも示した｡ したがって, サーボ系を3構成したほうが良好な結果を得られることを導い

サーボ系の解析と解釈

まず, システムに対してサーボ系を構成してている｡
しかしながら, 漸近安定条件に基づいた制御則,おこう｡ 参考文献[3, 4, 5]と同様の手法で以下

とくにメモリーレスフィードバック則は, 現在ののようにサーボ系を構成する｡ すなわち, ステッ在庫量の一定数倍の発注をすればよいというわかプ状の目標信号 
に追従する問題を考える｡

りやすいものであるのに対して, サーボ系を構成そのため, 式に対して, 観測出力 を した制御則は, 何に基づいて発注数を決定してい

るかがわからないものであり, 実際に使う際にはと定める｡ これは, 在庫数を常に計測しているこ制御則の決定方法を理解できずに使うことになり,とを意味する｡ 実際に在庫数を計測しなくても,使いづらい条件である｡

初期在庫数と現在までの入出庫数の総数を把握しそこで, 本稿ではリードタイムがないサプライていれば在庫数を計算することができるので, 過チェーンに対して, 構成したサーボ系の解釈を考度に厳しい条件ではないことに注意しておく｡

察する｡ つまり, この制御則が何に基づいて発注

さて, 定常偏差を取り除くために積分器数を決定しているかを導出する｡ また, 得られた  



解釈をより一般化することで, さらに高性能な制を考える｡ ここで, は積分器の状態,は御則を導出する｡

パラメータである｡
また, サーボ系の構成においては, 目標信号
と実際の出力信号 の偏差 

*2010 年 6 月 29 日受理

を考え, これをサーボ系にフィードバックするこ― 105 ―サプライチェーンに対して構成したサーボ系の解釈とその応用 (西平 とを考えているが, 本稿の問題においては, 目標信号  , 出力信号  であるこ となる｡ とに注意すると, 式は, 直史)

であれば, 拡大系は漸近  とおくこと, およ安定となることと,び Schur complement[6] を用いると条件を得る｡となる｡
これらの準備に基づいてサーボ系を構成してみ(略証終)
さて, つぎに よう｡ サーボ系の内部安定性には外生信号は影響の解釈しないので,  として, 拡大系を構成すについて考察してみよう｡ すなわち, 右辺の第一ると,項は現在の在庫数 を倍して発注するという簡単な手法であるが, 第二項の の意味を考えよう｡ 式をもう一度記すと,が得られる｡ ただし,
   であるから, 時刻を 1 だけ戻すと, が導かれる｡ これを用いると, である｡

となる｡ 同様の計算を逐次行っていくと,なるフィードバックを施すと,

ま た ,参 考 文 献 [3] と 同 様 にが得られる｡ ただし,

  はパラメータである｡ 拡大系  を用であり,(条件 1 )あると に対して, つぎの LMIを満たす正定対称行列



さて, 式について考えてみよう｡ 右辺の第一式と最後の式を比較すると, た現在の時刻である｡

が存在するとき, 拡大系は漸近安定である｡
  が得られる｡ ただし, は初期時刻 から数えいると直ちにつぎの条件が導かれる｡

    であることが言えるから, は, 過去の在庫

ただし, 


数の履歴の総和を計算してそれに定数 倍し発注数を調整していることになる｡ すなわち, 平衡点は  と仮定しているので, もし在庫数である｡(略証)

拡大系に対して, 二次の関数が初期時刻から常に平衡状態にあったとすると,  

は 0 となるので現在の在庫数の定数倍だを考え, 拡大系の解軌道に沿った差分を計算すけが発注されることになる｡ 一方, の係数がるとであることに注意すると, 平衡状態からの偏― 106 ―サプライチェーンに対して構成したサーボ系の解釈とその応用 (西平差が生じた場合には, その偏差の符号の逆の方向へ発注数を調整するものとなっている｡ これにより, サーボ系を構成することで偏差を無くす働き

証明は条件 1 と同様に行うことができるのでをしていることがわかる｡

4直史)

省略する｡

サーボ系の応用

さて, 条件 2 は前述のように条件 1 を完全に含

ここでは, 制御則式を一般化することを考えんだものであり, パラメータが増えているためよる｡  式では, 偏差の総和をとってそれを 倍り制御性能が高い条件であると考えられる｡ そのして出庫数を調整していた｡ これに対して, 過去一方で, 増えたパラメータを決定する方法についの偏差全てに係数を導入し, それをパラメータとてはさらに考察が必要になる｡
また, 条件 1, 条件 2 ともに初期時刻 までして求めてみる｡ すなわち, 制御則として     る｡ このときの制御則は   とすれば  式となるので,  式は式を一般化している｡
式を式に施すと,

 が得られる｡ 式は,を満たす正定対称行列を探すことになる｡ た                    である｡
この場合,個分だけの履歴で打ち切っているため, 条件 2 に比べると制御性能が落ちることが予想される｡

5                   

システムとして定式化し, それに対して構成したサーボ系の解釈について考察した｡ サーボ系を構成することによって偏差を取り除くことができるが, それはこれまでの偏差の履歴の総和を用いて,つぎの行列不等式を満たす定数 , ,が存在するとき,おわりに

本稿では, サプライチェーン・システムを動的である｡ これよりつぎの条件が導出される｡

システムは漸近安定である｡

であり,  


, …,  と正定対称行列 と表される｡ ただし,

条件 2   だし,   

けの履歴を使うことで, より使いやすい条件にな

を 考 え る ｡ こ の と き ,  ,   の履歴を必要とするが, 適当な  個分だ発注数を調整しているためであることを明らかにした｡ また, その応用としてサーボ系を構成した条件を含んだ, より一般的な条件を導出した｡ この条件はサーボ系を構成する必要はないが, かな― 107 ―サプライチェーンに対して構成したサーボ系の解釈とその応用 (西平り大きな行列を取り扱うことが必要となるという短所もある｡ さらに, 履歴の一部だけを使う条件も示した｡
各条件のパラメータの系統的な設計方法については, ヒューリスティックな方法に頼らざるを得ないが, 本稿の行列不等式条件は最適化条件ではなく可解条件であるので, 分枝限定法などの数値計算によって実用的に計算することは可能である｡
また, 本稿では, サーボ系の本質的な解釈を行うために, リードタイムがない状況を考察した｡
実際にはリードタイムを考察することが必要である｡ これは今後の課題としたい｡

参考文献[1] 圓川隆夫, 生産システム, 生産管理における全体最適, 精密工学会誌, 67 11,
pp. 1764 1768 (2001)[2] 伊藤利昭・橋本芳宏・石原大司, 最適制御理論を用いたブルウィップ効果を防止する在庫補充方式の提案, 日本オペレーションズ・リサーチ学会 2006 年春季研究発表会,
pp. 66 67 (2006)[3] 西平直史, サプライチェーンにおける Bullwhip 効果を抑制するための一手法−むだ時間システムとメモリーレスフィードバックを用いた解析−, 山形大学人文学部研究年報,
5, pp. 205 214 (2008)[4] 西平直史, むだ時間システムとしてとらえたサプライチェーンについての一考察−リードタイムが既知の場合−, 山形大学人文学部研究年報, 6, pp. 157 162 (2009)[5] 渡部慶二, むだ時間システムの制御, 社団法
人計測自動制御学会, (1993)[6] 岩崎徹也, LMI と制御, 昭晃堂, (1997)[7] 萩原朋道, ディジタル制御入門, コロナ社,(1999)[8] 井村順一, システム制御のための安定論, コロナ社, (2000)[9] 杉山昌平, 復刊差分・微分方程式, 共立出版

― 108 ―

株式会社, (1999)

直史)

サプライチェーンに対して構成したサーボ系の解釈とその応用 (西平直史)

An Interpretation of the Servo System for Supply
Chain and Its Application
Naofumi NISHIHIRA(Assosiate Professor, Business Systems, Social Systems Course)

An interpretation of the servo system for the supply chain and its application shall be consideredin this paper. This paper aims to clarify the control law that used the servo system was of sum total
use in the history of steady state errors. Moreover, a more general condition is derived based on theservo system approach.

― 109 ―