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行列模型における幾何学とその応用(Describing geometries in matrix model and its applications)

筑波大学 素粒子論研究室 D3

菅野 聡
朝永センター報告会 7/2
足立宏幸氏(筑波大) 、伊敷吾郎氏(筑波大)との共同研究
2311.14984v2[hep-th]、2210.01397[hep-th]目次
1. Introduction
2. 弦理論の行列模型
3. 行列による物質場・ゲージ場の記述
4. Summary and discussion

2/24

3/24

1. Introduction

弦理論と４つの基本相互作用

4/24

重力
電磁気力
強い力

場の量子論

弦理論

弱い力
最終目標

弦理論を定式化して、4つの基本相互作用を統一!!

弦理論の誕生

5/24

素粒子

点

ひも相互作用を含めた全ての最小単位を点ではなくひもだと考えるのが弦理論

弦理論の性質1

6/24

ひもは小さく、遠くから見ると点弦理論の性質27/24

振動モードによって、多様なエネルギー状態がある
𝐸 = 𝑚𝑐!

１つのひもで、多様な粒子を定式化できる

弦理論の性質3

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D-brane

電磁気力
強い力
弱い力

重力

重力を含む全ての相互作用の素粒子が1つのひもで記述できることがわかった

9/24

弦理論の性質4
素粒子を全て統一する究極理論‥
1. 重力
2. 電磁気力
3. 強い力4. 弱い力弦理論

ひもを考えているので発散もない!!

弦理論の困難点粒子だけを含む

10/24

ひもだけでなく
D-brane(ひもの端点)も含む

弦理論は様々な次元の幾何学的な対象の多体系

これまでのまとめ

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重力
電磁気力

弦理論

強い力

様々な次元の幾何学的な対象の多体系

弱い力非常に難しい

最終目標

弦理論を定式化して、4つの基本相互作用を統一!!

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2. 弦理論の行列模型

行列模型

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[BFSS][IKKT][BMN][DVV]𝑔! !
1𝐻 = Tr𝑃" + ! 𝑋" , 𝑋# ! + fermion
24𝑔
𝑋! , 𝑃! ∶ 𝑁×𝑁 matrix (𝐴 = 1, ⋯ , 9)

• 力学変数が行列の量子力学• 行列のサイズ 𝑁 → ∞ で弦理論を非摂動的に定式化①. 埋め込み関数②. 行列正則化③. 行列での多体系の記述

14/24①. 埋め込み関数
𝑋#例)

𝑋!

幾何学的対象 𝑀

𝑋 ∶ 𝑆 ! → ℝ%𝑋"

𝑋$ = sin𝜃cos𝜙 = 𝑋$ (𝜃, 𝜙)
𝑋 ! = sin𝜃sin𝜙 = 𝑋 ! 𝜃, 𝜙
𝑋 % = cos𝜃 = 𝑋 % (𝜃, 𝜙)𝑋" ∶ 𝑀 → ℝ(Aは時空の次元の数走る)

幾何学的対象の形は埋め込み関数 で記述される

②. 行列正則化

15/24[Hoppe][de Witt-Hoppe-Nicolai]

行列正則化は次を満たす線形写像 𝑻𝑵 ∶ 𝑪' 𝑴 → 𝑴𝑵 ℂ

𝟏 . 𝐥𝐢𝐦 𝑻𝑵 𝒇 𝑻𝑵 𝒈 − 𝑻𝑵 𝒇𝒈
𝑵→$=𝟎𝟐 . 𝐥𝐢𝐦 𝒊𝑵 𝑻𝑵 𝒇 , 𝑻𝑵 𝒈 − 𝑻𝑵 𝒇, 𝒈 = 𝟎𝒇, 𝒈 = 𝑾𝝁𝝂 𝝏𝝁 𝒇𝝏𝝂 𝒈
𝑵→$𝟏𝟏𝟑 . 𝐥𝐢𝐦 𝐓𝐫𝑻𝑵 𝒇 =6 𝝎𝒇 (𝝎: 𝐬𝐲𝐦𝐩𝐥𝐞𝐜𝐭𝐢𝐜 𝐟𝐨𝐫𝐦)
𝑵→$ 𝑵
𝟐𝝅 𝑴

𝑪!

𝑴

行列正則化

𝑵→∞

𝑴𝑵 ℂ

16/24①、②のまとめ埋め込み関数
𝑋" ∶ 𝑀 → ℝ

𝑁→∞

行列代数

行列正則化

𝑀# (ℂ)(有限次元近似)

幾何学的対象の形 𝑀

様々な次元の幾何学的対象は行列によって近似できる

17/24③. 行列での多体系の記述

相互作用相互作用

行列を組み合わせることで幾何学的な対象の多体系が記述できる

これまでのまとめ

18/24

弦理論 : 様々な次元の幾何学的な対象の多体系
形の情報①、②により行列で近似できる③により行列で多体系が記述できる
行列を力学変数にもつ行列模型により弦理論を記述

19/243. 行列による物質場・ゲージ場の記述

20/24行列模型の課題
D-brane• 物質場

ベクトル束の構造• ゲージ場

接続の構造

• 計量

リーマン構造従来の行列正則化では位置の情報のみを行列で記述している
行列正則化を一般化してより多くの構造を行列で記述したい

21/24

自身の研究
D-brane• 物質場

ベクトル束の構造• ゲージ場

接続の構造

• 計量

リーマン構造行列正則化を具体的に実行する手法
Berezin-Toeplitz量子化を用いて行列正則化を一般化して物質場とゲージ場を行列で記述

22/24行列正則化の一般化
形の情報 = 関数

BT量子化

正方行列

自身の研究

物質場の情報= ベクトル束の切断

BT量子化

ゲージ場の情報= ベクトル束の接続

BT量子化

長方行列
行列の揺らぎ23/24

4. Summary and discussion

Summary and discussion

24/24• 4つの基本相互作用の統一理論の候補は弦理論• 弦理論は様々な次元の幾何学的対象の多体系• 様々な次元の幾何学的対象は(形の情報だけでなく)行列で近似できると考えられる• 物質場・ゲージ場の情報を行列で記述した

25/24

Backup Slide26/24

Berezin-Toeplitz量子化

Berezin-Toeplitz量子化 [Ma-Marinescu]

27/24

Berezin-Toeplitz量子化は行列正則化の一つの手法
1. 関数を線型写像とする
𝑓 = 6𝑑𝑥𝑑𝑦 |𝑥⟩𝑓() ⟨𝑦|𝑓() = 𝑓 𝑥 𝛿(𝑥 − 𝑦)2. 有限次元に射影有限個の点を選んで𝑓K = L |𝑥+ ⟩𝑓(!)" M𝑦, |(! ,)!

setup

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𝑀 ∶ 2dim closed mfd (𝜔 ∶ symplectic form)

電荷𝑁のスピノル系
𝑀Flux ∶ 𝐹 = 𝑑𝐴 ∝ 𝜔

1. 関数を線型写像とする

spinor関数 𝑓!

𝑓 = 2 𝜓$ 𝑓$' 𝜓'$%&29/24

spinor𝑓$% = ⟨𝜓$ |𝑓𝜓% ⟩𝑓𝜓 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝜓(𝑥)Dirac作用素の固有状態#
𝐷" = 𝑖𝛾 𝜕# + Ω# − 𝑖𝑁𝐴#𝐷" 𝜓$ = 𝜆$ 𝜓$𝜓$ 𝜓% = 𝛿$%2. 有限次元に射影する

30/24

𝐷( 𝜓) = 0ゼロモードに制限

指数定理と消滅定理により

𝜓) (𝐼 = 1,2, ⋯ , 𝑁)
ゼロモードに射影→ 𝑁×𝑁行列#𝑇 𝑓 = 2 𝜓) 𝑇 𝑓 )* 𝜓*)%&𝑇(𝑓))* = ⟨𝜓) 𝑓 𝜓* ⟩31/24

Berezin-Toeplitz量子化
Π( ∶ Ker𝐷( への射影演算子

spinorfunction 𝑓spinor

Π"Π"Ker𝐷!

Ker𝐷!

𝑇( 𝑓 = Π) 𝑓Π)

𝑵×𝑵行列が関数から得られた!!

①. 関数による幾何学の定式化

32/24

幾何学的対象 𝑀

温度、明るさ、圧力⋯

観測量
等価 [Gelfand-Naimark]
幾何学的対象の形

𝑀上の関数

33/24行列模型

1
1
1
𝑆 = ! H 𝑑𝑡 Tr 𝐷, 𝑋 " 𝐷, 𝑋 " + 𝑋 " , 𝑋 # 𝑋 " , 𝑋 # + fermion
2
4𝑔*+𝑋 ! ∶ 𝑁×𝑁 matrix (𝐴 = 1, ⋯ , 9)、 𝐷# 𝑋 ! = 𝜕# 𝑋 ! − 𝑖 𝐴# , 𝑋 !

• 力学変数が行列の量子力学• 行列のサイズ 𝑁 → ∞ で弦理論を非摂動的に定式化①. 埋め込み関数②. 行列正則化③. 行列での多体系の記述