限定的な推論能力が協力行動を導く可能性
今野 直樹
本稿では，展開形ゲーム状況においてプレイヤが推論の際に誤りを起こす可能性がある状況を記述するモデルを提案する．これまで戦略形ゲームにおいては，プレイヤは利得の高い戦略をより高し、頻度で選択しようとするが，確率1で選択することはできないというモデルが検討されてきた．展開形ゲーム状況では，これに加えどれだけ先の選択なのかということも推論の精度に影響すると仮定し，モデルを構築する．さらにこのモデルをムカデゲームに適用することにより，推論能力の不完全性もまた協力行勤をもたらす一因であることを検証する．

キーワード：ムカデゲーム，QuantalResponse，社会厚生，限定的な推論
l川‖削‖ll…＝‖‖＝‖州‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝＝＝＝‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝＝＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖川l

高確率で選択したがるが，最適な戦略を確率1で選ぶ1．はじめにことはできない」という仮定のもとで各プレイヤが行主体が推論の際に，誤りを起こすかもしれないとはどういうことなのだろうか？ またそのような意思決動するモデルが提案されている［4］．
これに対し展開形ゲーム状況では，推論精度はどの定は，どのような結果をもたらす可能性があるのか？

ような要素に依存していると考えられるだろうか？

推論能力が高いということは社会の厚生を高めるのだ

利得に関しては戦略形の場合と同様に，高い利得を導ろうか？

く行動を最適応答と認識する可古訓生が高いという仮定

従来のゲーム理論では，各プレイヤは状況を完全には自然なように思える．それに加えて，遠い先の判断認識し，すべての状況に対し，エラーなくそれを比較ほど誤りやすい，すなわち木の探さにも推論精度は依検討し，最適な行動を選択できるとして，モデル化す存すると考えられる．

るものが大半だった．しかしながら，合理的な主体に対する解概念である部分ゲーム完全均衡が，直観的に奇異に映る結果を導くこともあることが指摘されている［2］．

本稿ではこれら二つの要素に注目し，限定的な推論による意思決定のモデルを提案する．
次に，従来の理論と実験結果が異なることで知られている代表的なゲームである，ムカデゲーム［1］にこさらに囲碁やチェスといった完全情報ゲームにおいのモデルを適用する．ムカデゲームは二人が交互に協ては，理論的には，後ろ向き帰納法により均衡戦略を力または終了のどちらかを選択する有限二人完全情報求めることができるものの，現実にそれを実行するこゲームである．協力を選ぶと自分の利得が低下するもとは不可能である．のの，相手の利得はそれ以上に増加する．したがって，また今日の夕食を何にしようか？ といった日常的ムカデゲームは協力が望まれるような社会状況の一種な意思決定を思い起こしてみても，どこの店に入るののモデルと考えることができる．この状況では両者がかといった段階で，すでに無限に近い選択肢が理論的協力を繰り返せば，パレート的に二人にとってより望には存在するはずである．しかしながら実際には有力ましい状態を導くことができうる．しかしながら，こな代替案やシナリオ数個を想定し，それを比較検討すのゲームには最終期が存在するために，最終期では終るといったプロセスで意思決定が行われることが多い

了戦略を選択することが合理的な行動になる．よってと想像される．

相手が合理的なプレイヤならば，最終期では終了行幼

それでは，代替案やシナリオの中でプレイヤはどのが予想される．このことから，最終期より一期前の時ようにして有力なものを選び出してきているのだろう

点でそこで意思決定を行うプレイヤにとって，協力行か？ 戦略形ゲーム状況では，「利得が高い戦略ほど動を選択したほうが高い利得を得られると予想される

こんの なおきため，最終期より一期前の時点で終了行勤を選択する

東京工業大学大学院社会理工学研究科

ことが合理的な行勤となる．このような推論を繰り返〒152−8552 日崇区大岡山2−12−1

すことにより，一期目でいきな−）終了行勤を選択する

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という結果がこのゲームの均衡解による結果として導かれる．

しかしながら実際に被験者を用いた実験では，かなりの割合で協力行動が採用されることが報告されている［6］．この結果は，ゲームの構造を両者がしっか【）とした形では認識していないこと［7，8］や利他主義者がある程度の割合で存在するという要因［6］によって説明されてきた．しかし限定的な推論能力もまた，こ図1〜1の推論のような協力行動を発生させうる一因であることをシミュレーションを用いて確認する．
さらに推論能力のレベルが変わったときに，達成される結果の社会厚生はどのように変化するのかという

二￣耳￣∴

ことについて考察を行う．

2．完全情報の展開形ゲーム

図2 ゲーム例1

本稿では，真の客観的ゲームが完全情報の有限展開形ゲームである場合のみを扱う．完全情報の有限展開行うプレイヤglにとって，ノード乃。∈∧ら−（乃．）のあ形ゲー ム状況はと各プレイヤが最適に行動したときに達成されると予想する利得ベクトル．

C＝（J，Ⅳ，A，α，P，γど）で与えられる．ここで，このとき各プレイヤは，J：意思決定主体の集合（1）プレイヤ才1は各ノード乃2∈∧ちに対する仮想利Ⅳr：終点ノードの集合得を求めるため，後ろ向き帰納法を試みる．ここで∧ら：決定ノードの集合

乃2∈Ⅳrの場合は，その利得を正しく認識していると

Ⅳ＝ⅣrU入ら：ノード集合仮定する．乃2∈∧らなら最後の決定ノードから彼の推A：行動の集合論能力の範囲での後ろ向き帰納法を試みる（図1）．

α：Ⅳ⊥（乃．）→♪ん：最初のノード乃1以外のノードに対し，その前のノードを対応させる関数
P：決定ノードに対し，そのノードで意思決定を行（2）乃m∈〃去に対し，γ（77m）としてγ（乃椚1）の値が割I）当てられる確率が次のように与えられると仮定する．
rp（〃m〉（乃ml）e α（乃椚）∑eα

うプレイヤを対応させるプレイヤ関数
γ〜：Ⅳr→R：各終点ノードに対しプレイヤの利得を割ー）当てる利得関数

これだけではイメージが難しいと思うので，図2のようなゲームを考える．ここで，プレイヤ1は自分が右の戦略を採用して，プレイヤ2の決定ノードになった

3．限定的な推論モデル

場合どのような利得が達成されるのかということに関完全情報の客観的ゲームを前にした限定的な推論能力を持つプレイヤは，本節で定義するようなヒューリステイクスに従い意思決定を行うと仮定する．

しては，確率〆1＋〆

まず次の用語を定義する．

で最適反応の結果である（0，3）という利得の組が達入ち：乃1から到達できるノードの集合成される．一方，Ⅳ羞：最後の決定ノードの集合

11＋し−J

α（乃）：ノード稚から柁1までの深さ♂：推論パラメータ．非負の実数値をとる．値が大きいほど推論能力が高いことを意味する．また利得の単位に依存する．
γ（乃。）＝（れ（乃。），…，n（乃。），‥・，れ（プ7。））：邦1で選択を丁42（20）という確率で，最適反応の結果ではない（3，2）という利得の組を生み出す結果が達成されると予想する．

ここで，もしゲームが図3のように2の決定ノードにおいて，最適なものとそうでないものとの差が大き© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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い場合には，最適な結果が起こると正しく認識する確（5）1の行動の結果到達したノードにおいて，意思決定を行うプレイヤ才2は才1の推論とは独立に，同様

率はのルールで自分の意思決定を行う．

e2♂

1＋e2♂

（6）このようなルールに従い，終点ノードに至るまとな−），これは図2の際のでゲームがプレーされる．

e♂

このモデルにおける分析結果として，我々はどの結1十（−（丁より大きい．このようにこのモデルでは利得差が大きいほど推論で誤る可敵性が低いと仮定している．
次に，ゲームが図4のようにより深いところから推果がどのような確率で起こるのかということに関する終点ノード上の確率分布が得られる．

4．ムカデゲームヘの適用論する必要がある場合を考える．このとき，プレイヤ1がプレイヤ3の決定ノードに到達した場合に，そこで3にとって最適な行動の結果である次の結果が到達

果とどのような違いがあるのか，ムカデゲームに適用し確認を行う．ムカデゲームは，完全情報の二八有限されると，確率〆￣T＼

次にこの意思決定が，従来の均衡戦略による行動結展開形ゲームである．

げeす

お互いが交互にPass（P）またはTake（T）の2（T l十（、了通りの行動のどちらかを選択する．（P）を選択したで推論する．これは図2の場合は，自分の利得が減少する一方相手の利得はそれ〆以上に増加する．（T）を選択すると，その時点で得1＋♂ている利得のままゲームが終了する．と比較すると低い精度になっている．
なお，♂が大きくなるほど推論精度が高くなっていこのゲームは様々な利得構造で研究されてきているることが，これらの例からも確認できる．また利得のが，本稿では文献［1］に従い，（P）を選択した場合は，表示単位が変われば，♂もそれに応じて変動するとい自分の利得が1減少する一方相手の利得は3増加する

う，単位に関する情報も含んだパラメータでもある．と仮定する．なお決定ノードが搾個あるようなムカ（3）すべての搾椚∈ルkに対してこのような手順で仮デゲームを乃階ムカデゲームと呼ぶ（図5）．なお1

想利得が与えられたならば，次に搾椚を終点ノードとが最初に（T）を選んでゲームが終了したときのノーみなして新たにもう一段階前にある決定ノードに対し，ドをTDl，1回目で1が（P）を選択したあと，2が同様のoperationで仮想利得を割り当てる．

（T）を選択したときのノードをTD2とする．

（4）すべての乃2∈入ちに対して仮想利得が定まった

ムカデゲームは有限回で終了するため，後ろ向き帰ならば，1はその中で自分にとって最も良いと考える納法により，すべての決定節において両者が，（T）ものを選択する．

を選択し，ゲームは1回目で終了するという行動戦略の組が，唯一の部分ゲーム完全均衡となる．一方被験者を用いた実験では少なからぬ割合で協力行動が観察されてし−くものの，協力行動の発生率はゲームが終わりに近づくに従い高くなることが報告されている［6］．
そこでまず1回目でゲームが終わる確率がどのよう1，00，3になるのかということについて，ゲームの規模である乃と推論能力である♂を変化させ，シミュレーショ

図3 ゲーム例2

1，0，00，3，3
図4 ゲーム例3

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3，2，6

TDll，O TD20，3 TD33，2
図5 3階ムカデゲーム© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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表110階ムカデゲームにおける平均利得00．1

APPll．359

1．824

APP2l．685

2．488

106l．534

2．163
2．919

2．158

表2 30階ムカデゲームにおける平均利得
10020

3040

0■0．l6

10JAPPll．396

APP2l．756 2．47l

1．771

7．327 9．789

図61回目でゲームが終了する頻度
8．187

10．785

行動がとられるための一回であると考えられる．

さらにその不完全性の程度に関しては，この10階のムカデゲームにおいては♂＝6のプレイヤ同士のほうが，より合理的な♂＝10のプレイヤ同士の場合や，よI）ランダムな♂＝0．1のプレイヤ同士の場合よりも0510

終点ノードのindex

ゲームが続きやすいという結果が得られた．なお〃を変えた場合も，このような山型のシミュレーション

図710階ムカデゲームにおける到達頻度結果が得られることが確認されている．

さらに，達成される平均利得をまとめたものが表1，ンを行ったものが図6である．なおFCTFは，1回2である．ここでAPPlはプレイヤ1の平均利得を，目でゲームが終了する頻度を表している．

APP2はプレイヤ2の平均利得を表している．

これを見るとわかるように，いずれの抑に対してまず表1を見ると＿1二の議論と同様に，適度の合理性も，推論能力が増えていくに従って，ある点までは，を持ったプレイヤ同士のゲームのほうがランダムなプFCTFが低下していく．しかしある車云換点が存在し，レイヤ同士や，合理的すぎるプレイヤ同士の場合より転換点以降は逆にFCTFは増加していく．このことも高い平均利得を達成していることがわかる．また匝IからわかるようにFCTFが最小値をとるのは，nの数が増加した場合は，よl）合理性の高いプレイヤ同士値がいずれであっても完全にランダムに相当する♂＝の場合のほうが，利得の上昇幅が大きいという傾向が0の場合でもなく完全に合理的な場合に相当する♂＝あることがわかった．

∞の場合でもない，適度な合理性を持つ場合である

これらのことから，プレイヤの推論が本稿で定義しと予想される．さらに転換点は犯の増加に従って，♂

たような意味での粗さを伴う場合は，次の二つのようが大きい方向に移動し，また転換点のときのFCTFな事象が起こりうることを暗示していると考えられる．の値自体も犯の増加とともに低下していくことがわ

第一に協力的行動を選択することは非合理的な行勅にかる．

見える．ここで図6から，完全にランダムなプレイヤ

次に，実際にどのような結果が導かれるのかというよりも適度な合理性を待ったプレイヤのほうが，かえ視一頁から，10階のムカデゲームにおいてそれぞれのって非合理的な戦略を高い確率で採用する場合がある．

終点ノードにどのような頻度で到達したのかというこ第二に，適度な合理的な主体からなる社会のほうが，とに関する結果が図7である．

その高い頻度での非合理的選択の結果として高い社会被験者を用いた実験結果と同様に，一回目で確実に厚生を達成できる可能性がある．

終わるわけではなくある程度の割合で協力行動も観察

それでは次に7ヱの増加について考えてみる．プ7がされることがわかる．さらに協力行動が選択される頻増加するということは，問題の潜在的な協力機会が咽度も，ゲームが進むごとに低下している．このことからプレイヤの推論能力の不完全性もまた，実際に協力744（22）えることを意味している．表1と表2を比較すると，問題が拡大した場合には，合理性の低いプレイヤは，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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それほど恩恵を受けることができず，合理性のより高されてきた，利他性などの影響もある程度は存在するい主体ほどその恩恵を受けやすい傾向にあることがわと考えている．しかしながら，従来の解釈に加え，推かった．正確にいうと，乃の増加とともに，社会厚生論の誤りという視点からも，このような直観が導かれが最大となる♂も大きくなる．またそのとき達成さうると示したことは，意義あることと考えている．される社会厚生のレベルも高くなる．

らに，乃階ムカデゲ

ムカデゲー

／′T、＼

ムは両者共に協力行動を望んでいるもの

ームという，協力が望まれるある社会において，協力行動の起こりやすさについて，合の逸脱の誘引が存在している意思決定状況のモデルと理性の程度と問題の潜在的な規模という文脈から，示みなすことができる．このような状況では協力行動が唆される新たな解釈を提示した．

絶対に実現しないのかというと，確かにNash均衡戦

本稿では，主体の合理性が等しい場合のみ議論して略をお互いが実行するならば協力行動は実現しない．

いる．この仮定の下での比較で主体の合理性の増加がしかしながら，もしも各プレイヤが本稿のモデルのよ必ずしも社会厚生の上昇に結びつくとは限らないことうな意思決定を行っているならば，一定程度の協力行を例示した．今後は様々な合理性をもつ主体たちが混動が生起することが予想できる．

在し，randommatchingを行うような社会でもなお，確かに（T）を取ったときに適当な罰則体系を導入

今回の結果と同様の性質が保たれるのか検討したいとすることにより，パレート最適な結果の達成が保証さ考えている．さらにこのモデルは1回限りのゲームのれるようなゲームに元のゲームを変換することができ結果としてモデル化しているが，このような社会状況るかもしれない．しかしながら，罰則体系の導入にはが繰り返されたとき，進化的視点でもどのような戦略通常社会的なコストが必要である．したがって，そのが安定するのかということも今後の課題である．

ような変換が必ずしも社会厚生を増加させるとは限ら参考文献ない．もしも罰則体系を導入せずとも一定程度の協力行動が実現できるならば，そちらのほうが社会的に見てある種望ましい状態ということもできると考えてい［1］R．Rosenthal：GamesofPerfectInformation，Pred−

atory PricingandtheChain−Store Paradox，Joumal〆Eco裾0∽才c乃ど0叩，25，92−100，1981．

る．

［2］R．Selten：The−Chain−Store Paradox，771eO7y and5．おわりにβecねわ乃，9，127−159，1978．

［3］R．B．Myerson：Refinements of the Nash Equilib−

本稿では第一に，推論の際のエラーを数理的に表現するモデルにおいて，従来の利得だけではなく，構造の探さという点にも着目し，限定的な推論による意思

riumConcept，Int．Joumal〆Game77LeO73），7，73−80，
1978．

［4］R．D．Mckelvey and T．R．Palfrey：Quantal

決定を表現するモデルを提案した．第二に，ムカデゲ

ResponseEquilibriain NormalFormGames，Gamesームにおける実験結果の新たな解釈を提案した．第三α乃d Eco乃0∽gCββゐα〃わγ，7，6−38，1995．

／′「＼に，推論能力の不完全性が社会における協力状態の実現にどのような影響を与えるのか議論した．
我々が意思決定状況に直面した場合，そもそもその状況が実際にはどのように認知されているのかということ自体が，重要であると考えられる．観察者の目から見て，均衡と思えるような戦略の組が，意思決定に直面している主体たちにとっては，そのように認知されていないことも少なくないと考えられる．本研究の枠組みは，そのような現実の意思決定状況の一つのモデルとなっていると考える．

［5］R．D，Mckelvey and T．R．Palfrey：QuantalResponse Equilibria for Extensive Form Games，
且ゆeわ研e乃ね／Eco犯0∽グcs，1，9−41，1998．

［6］R．D．Mckelvey andT．R．Palfrey：AnExperimen−
talStudy of the Centipede Game，Econometrica，60，803−836，1992．

［7］R．Aumann：CorrelatedEquilibrium asanExpres−sion of BayesianRationality，Economehica，55，ト18，1992．

［8］R．Aumann：OntheCentipedegame：Note，Games
α乃d且co乃0椚gCβeゐα〃わγ，23，97−105，1998．

またムカデゲームでは，協力がある程度続く可能性が高いと我々が認識する理由としては，これまで議論

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