複雑系による経済モデル分析

第4回 カオスと経済動学一理論と応用
時永 祥三………l……l冊＝ll‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖＝＝＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝＝＝‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝＝川解釈としては，変数〝（′）を広告宣伝費用とした場合，

1．はじめに今期オにおける売上月（≠）は宣伝費用に比例するが，カオス理論では，一見不規則と思われる現象が方程

反面，これを増やしすぎると減少に転じるので，式により記述されることを基本としており，予測や推斤（′）＝αy（わ［1−〝（わ］となる．この利益に比例して来定に好都合となっている．経済モデル分析においても，期の宣伝をするので，式（1）で来期の宣伝費用を決めて不均衡の動学モデルの定式化に利用されている．

いる．

カオスはもともと予期しない変動に属するものであ

これをロジスティック・マップ（Logisticmap）とよんでいる．図1にはロジスティック・マッ

り，工学分野においても除去すべき対象として見なさ

プにより生成した時系列の例を示している．

れ，経済動学においても，不安定な周期変動から安定

カオスのもう1つの大きな特徴は，初期値への依存的な挙動へと移行するための入力やシステムの変更に性である．式（1）に示した方程式において，変数〝（オ）

ついて議論がなされている．以下では，次のようなこの最初の値（初期値）がわずかに異なる2つのケースとについて述べる［12］．

（例えば，1．0000と1．0005）を考えた場合に，時間の（1）経済動学モデルとカオス

経過とともに，これら2つのケースでの変数〝（f）の（2）カオス性の検証

値（挙動）は大きくずれてしまうことが理論的に証明（3）カオス時系列の予測できる．カオスの発生は決定論的な方程式によりなさ（4）遺伝的プログラミングによるカオス近似

れるが，その微妙な変化が大きな差異をもたらすとい（5）カオス制御（OGY法とGP法）

う意味で，従来の確率過程に基づく不規則変動とは異なる側面を与えている．

2．経済動学モデルとカオス

1990年ごろから経済学においても積極的にカオス

経済時系列に代表される経済データは，これまで確理論を通用する試みがなされており，従来とは異なる率過程のモデルにより解析が行われているが，カオス新しい結果や解釈を生んでいる．

理論は決定論的な方程式により発生されると仮定する（1）経済時系列のモデル化

ことが異なる．この確認の方法としてはいくつか存在

時系列をカオスによりモデル化することが可能なら，するが，基本的にはアトラクタの形状をもとにした方確率過程の理論ではなく確定的な式で時系列の予測が法であると言える．アトラクタは時刻≠と′＋1における変数（関数）値を2次元の横軸と縦軸にとって描10．9

いたもの（軌跡）であり，このアトラクタの形状がは0．8っきりと見えるのがカオスの特徴である．

0．？

例えば，よく知られているカオス発生のモデルとし

0．6て，次を考える．

0．5〝（′＋1）＝α〝（わ［1−y（わ］（1）

ここで，αはカオスになる領域を制御するパラメ
であり，約4．0の値とする．このモデルの経済学的な

ータ

0．4

0．8
0．2
0．1

ときなが しょうぞう
九州大学大学院経済学研究院経済工学部門〒812−8581福岡市東区箱崎6−19−1
川2（30）

10

20

30

40

50

60

70

80

図1ロジスティック・マップによる時系列生成© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

可能となることが期待される．経済分野に限定すれば，ポールの非線形方程式がよく知られている．経済学者

その範囲は為替レート変動，株価，TBなど債券価格d）グッドウイン（Goodwin）は，このフアン・デなどから各国のGDPの成長率まで及んでいる．これ

ル・ポール方程式にヒントを得て，ビジネスサイクル

らの研究の多くが，アトラクタの描画，相関次元の計をモデル化する方法を提案している［2］．

算，リアプノ7指数の計算により，時系列がカオスであるかどうかを判断するものである［3，13］．

3．カオス性の検証
カオスは，いわゆる決定論的な方程式により生成さ（2）不均衡経済モデル

現在まで，マクロ経済学を中心として経済の諸要素

れ，その中にはノイズなどの不確実な要素が含まれなのバランスを前提とした，いわゆる均衡モデルが展開

い．以上の事実は，カオス時系列の2つの時刻を同時されてきている．これは，例えば，予算制約のもとでに図として描くことにより明確になる．例えば，ロジ

便益を最大化するような条件と，その場合の解をもとスティック・マップで発生するカオスでは，時刻オのめる方法であり，経済の均衡を解明する問題である．

値∬（≠）を用いて時刻≠＋1の値∬（才＋1）が生成される

しかし，現実には証券市場や資本市場における激しいので，∬（f），∬（オ＋1）は方程式により結ばれている．

変動，あるいは，そのような変動を積極的に利用する

したがって，2次元平面に∬（′）を横軸，∬（f＋1）を縦

投資など，不均衡経済モデルを前提とした政策や行動軸に描くと，この方程式に対応する1つの閉じた曲線が見られる．したがって，経済が変動することを前提になる．

とした不均衡モデルを積極的に活用し，決定論的なモ

更に，変数の数が多くなった場合でも3次元平面，

デルの記述手段としてカオス理論が用いられている

4次元平面に，生成されるメカニズム（正確にいえば［6］．

乃次元多様体）に対応するアトラクタが描かれること（3）動学モデルになる．しかし，変数が∬，〝，Zなどのように増加し経済学における動学モデルとは，1つの世代だけのた場合には，それぞれの変数に注目する必要があるのモデルだけではなく，次の世代までを考慮したモデル

で，このような多様体を簡単に取り扱うことはできなである．一般にこれを拡張すると，複数の世代にまたいので，何らかの簡便な検証方法が必要となる．1981

がった解析が可能となるので，通常は2世代にわたる

年にTakensにより示された定理は，現在，このよう解析が行われる．老年世代と青年世代の2つの世代をな簡単化のための有力な方法となっている［1．1］．

同時にモデルに組み込む方法（人は青年と老年の2期

Takensの定理の詳細は省略するが，その原理は，間だけ生存して消費する）により，カオス性が生まれ空間の上をアトラクタが走っている場合に，変数∬ることがGrandmontとGeanakoplosにより独立にについて過去の研個の値を組にして∽次元ベクトル

理論的に証明され，これを用いた分析方法が提案され∬＝［∬（f），．γ（トム），∬（巨2エ），…，∬（仁一（∽−1）エ）］をている（世代重複モデル）［2］．

求め，これを∽次元空間にプロットする（リターン（4）フォン・ノイマン・モデル［2］マップ（returnmap）という）と同じ性質をたもっ

フォン・ノイマン・モデル（vonNeumannmodel）

たアトラクタが∽次元空間に再現できることによる．

とは，次の方程式で記述される離散システムを指して【相関次元】おり，パラメー

Takensの定理により，m次元空間に埋め込まれた

タαの選択の方法により〝（f）と〃（′）とを描いた相図がカオス的となるケースが生じる．

データに対して，明らかな形状（アトラクタ）が存在〝（g），〟（≠），紺（≠），〃（才）は，それぞれ，産出，単位労働していれば，もとのデータがカオスであることが結論

費用，賃金，雇用比率である．Ⅳ（才），αェ（才）は人口とづけられる．そのため，空間内の図形の次元を測定す

労働投入係数．

る方法として相関次元（correlation dimension）を〝（オ＋1）＝〟（f）／［α＋〟（f十1）］

計算する方法が良く利用される．例として，2次元空α（′＋1）＝α上（≠＋1）紺（オ＋1）間にアトラクタが埋め込まれている場合を考察する．

〃（′）＝エ（f）／Ⅳ（′）＝αェ〝（f）／Ⅳ（g）

空間内にある1点をとり，そこを中心として半径γ（5）その他の円を描き，この円の中にプロットされたデータ点がエ学分野では，最初の実験的に観測できるカオス現

いくつ含まれるかを数える．その個数をCとする．

象として，電子回路により模擬されるフアン・デル・
2002年2月号

個数Cはγの増加関数であり，C（γ）とする．

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（31）103

もし，データ点が一様に分布していれば，2次元の
01

︵h︶U

場合には，C（γ）はγ2に比例する（C（γ）＝αγ2）．これに対して，埋め込んだ図形が直線や曲線など線分の上

餌0︻＝h

9

に分布していれば，C（γ）＝∂γとなるであろう．このよ
うにして計算されるC（γ）をlogC（γ）を縦軸，logγ8を横軸として描いて，その傾きを推定すれば，これがプロットした点（埋め込まれたアトラクタ）の次元を与える．これを相関次元とよんでいる．埋め込まれたアトラクタが線状なら，上の式で計算するC（γ）は小

・丁

・6．5

−6

・5．5

−5

・4．S

・4

・3．5

・3

・2．5

・2

Ⅹ＝log rさくなる．

図2 相関次元の計算例（logC∽（γ）とlogγ）

原理的には，以上の方法で相関次元が計算できるが，C（γ）をどの点を基準として行うか，∽をどのように関数的に増加していくことをさしている．

選択するかなどの問題がある．これを1つのアルゴリ

このような初期値敏感性を指数関数で表現したもの

ズムとしてまとめたものがGrassbergerProcaccia

がリヤプノフ数であり，初期状態から開始された軌道法とよばれるものである［3］．以下，これを示す．

が指数関数的に相互に帝離していく状況を数値として（ステップ1）埋め込み次元∽＝1でスタートする．

表現する．いま，アトラクタが3次元空間に埋め込ま

時系列∬（f）を∽個サンプルして作成したベクトル

れたケース（レスラー系など）を考えた場合に，軌道∬才＝（∬（f），∬（オ＋⊥），…，∬（≠＋∽エ））をr個作成するの初期状態の集合が，一辺がdである立方体に含ま（g＝1，2，…，r）．すなわち，∽次元空間にもとの系列

れていると仮定する．このとき，一定時間が経過したを埋め込む．

あとには，この立方体の各辺α，∂，Cは，広がってい（ステップ2）異なる∬fの間のベクトルの距離をき次のように表現される．

計算し，この距離がγ以下となるケース数をカウン

a＝dexp（）1），b＝dexp（）2），C＝dexp（）3） （6）トする．すなわちβ＝／（∬ど，み）を距離とするとき，β

このときのんん，んがリヤプノフ数である．どの初期＜γとなるg，ノの組合せを，グ，ノの変化するrの範囲

値から出発しても，最終的にはアトラクタに近づいてで求める．これをC∽（γ）とする．

いく（立方体のすべての点は平面的なアトラクタに吸（ステップ3）上の計算を，γを変化させながら求収されてしまう）ので，初期値が含まれた立方体は体める．最後に，縦軸をlogC∽（γ），横軸をlogγとす

積がゼロになる．したがって，このように引き延ばさるグラフを描く．このグラフが直線であれば，カオスれる方向へはリヤプノフ数は正であるが，その他は負性が示される．グラフに回帰直線を当てはめるととなる．

logC∽（γ）＝定数＋dlogγ（5）となるので，この傾きから次元dを推定する．

（ステップ4）上の研を変化させながら，次元d

このように，少なくとも1つのリヤプノフ数が正ならアトラクタに近づくので，初期値敏感性が生じるには，少なくとも1つのリヤプノフ数が正であればよい．

を計算していく．すなわち，∽を1つずつ増加させこれを観測されたデータから推定する方法としてて，dが一定の値に飽和するときの別の値が求める

Wolfの方法がある［13］．

（ステップ1）埋め込み次元を∽と仮定して，埋埋め込み次元である．
図2にはロジスティック・マップにより生成される時系列の相関次元を示している．サンプル数により漸近的に相関次元が得られることが分かる．

め込んだ点の初期値を1つ選ぶ．これを∬1とする．
この∬1に最も近い点∬‖を計算により求める．
dl＝／（Jl，∬‖）（7）【リヤプノフ数】／（，）は距離関数．更に，時刻qたったときの，こリヤプノフ数は，相関次元とならんでカオス性を検れら2点の距離を計算する．

証するもう1つの数値であり，カオス系のもつ初期値

品＝′（∬1十。，∬fl十。）

に対する敏感性を示すものである．カオスの著しい性

このときの比率を計算しておく．

質として，初期値をわずかに違えるだけで，時間の経過とともにこれらの異なる初期値に対する軌道が指数
104（32）（8）

gl（q）＝品／払（9）（ステップ2）このq時刻あとの点から再度スター© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

（3）ニューラルネットワーク法
L100

似する方法である．

0（4）GP法［5，6，12］

5

われわれのほか，GPの研究者が示したによる方法

0

肇東唯Q裔卜ヽト率﹁l一さ

ニューラルネットワークにより時系列を直接的に近でありカオス時系列から直接これを生成する方程式を推定しこれを用いて予測する．
ユ．0

ユー

J．2

】．ユ

ユ，4

ユ．i J．￠

さ丁

ユ．8

）．9

以下では，局所近似法を中心として述べていく．そヰ．0

パラメータ aの基本的な考え方はアトラクタの上での将来の時刻に

図3リヤプノフ数（logisticmap）

おける値（位置）を近似的に求め，これを逆に時間城トして，同じ計算をする．しかし，一般には，限られに写像して，このアトラクタ軌道を生成する力学モデ

た観測データしかないので，∬f叫の延長上に更に点ルを推定することにより予測を行う方法である．

が見いだせるか不明であるので，再度，∬1＋9に近い

いま， 卯次元におけるヤコピ行列（微分値行列）が点∬≠2を次の方法で計算する．

計算されているとする．すなわち，もとのカオスのダ／（れ．。，∬f2）＋紺・野（∬f2−れ十。，∬‖十。−∬1十。）（相ここで，β（α，∂）は空間でベクトルα，∂のなす角度でイナミックスを∬（オ＋1）＝／（∬（オ））（1勿あり，ぴは適当な重みである．すなわち，もとの線としたとき，変数∬（≠）の微小変化（摂動項）が次の分に位置することが望ましいが，その線分からはずれように書けるとき，この最初の上が（J）がヤコピ行列

る分をペナルティとして角度で加算している．す時刻である．

後の／（∬f2，れ．2。）を計算して，釣（〃）を求める．

△J（′＋1）＝上が（∬（オ））△∬（≠）（摘（ステップ3）このような計算を繰り返し，特定のまず，観測された時系列∬（f）が得られている場合

すについて，以上の操作で計算されたの（す）の値を平に，Takensの定理を用いてアトラクタを構成するた均する．すなわちめ，別次元ベクトルの系列を生成する．

ス（〃）＝∑log仇（q）／（〆）（11）

芽（′）＝＝［∬（チ），∬（仁一エ），∬（仁2エ），…，∬（仁（∽−1）上）］Jはケースの総数である．

（1如（ステップ4）上の操作をすの値を増加させながら

いま，時刻′までの時系列の観測データ∬（オ）が得ら計算する．この過程で，すのある範囲で，バ（す）が安れているとき，メ川寺刻先の値∬（g＋♪）を予測する問題

定して正になる場合，その値を該当する範囲で平均しを考える．アトラクタ上での∬（オ）に対応する点方（才）たものがリヤプノフ数である．図3にはlogisticmapが与えられているときに，♪時刻後のアトラクタ上でにより生成された時系列のリヤプノフ数を示す．

の点ガ（′＋カ）を方（′）を用いて予測する問題となる．
X（g＋．わ）＝F（ガ（≠））

4．カオス時系列の予測（用

ここで，関数ダは予測を行うための近似関数である．

カオス時系列の予測手法を分類すると，以下のよう

いま，時間間隔カが十分に小さい場合には，アトになる．これらは，いずれも，カオス力学系が決定論

ラクタの時間変化は，ほぼX（′）の近傍点の時間変化的に得られることを基本としている．

により近似できると考えられるので，近傍の点を複数個適当に選んで，これらの平均的な推移を最小2乗法（1）局所線形モデル法

Framer and Sindorowich（1987）による方法が代などにより求めて，動きを推定する．

表的であり，アトラクタの上での将来の時刻における

なお，ここでは，時刻f＋カの時系列の値だけ，す

値（位置）から，逆に時系列の将来値を予測する．

なわち，椚次元空間の第1番目の要素∬（f＋カ）だけ（2）動径基底関数（RadialBasisFunction）法［1］Casdagli（1989），Mess（1992）などの方法が知られており，関数の性質を用いて時系列の時間城での近似を実現する．

2002年2月号を予測すればよく，その他の要素は予測する必要がな
いので，近似的な予測式は次のようになる．
ヨ引監∬（才十メ・）＝F（方（才））最も簡単な予測式として次のものを用いる．

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（33）川5

〝Z ∬（f＋カ）＝α。＋∑α㌦（トー（々−1）⊥）烏＝1

表1GPにより求めた方程式による予測誤差（川

name 2乗平方誤差 求解までのGPステップ数

この式における係数は，ズ（′）を除くすべてのガ（g）

Logistic
Henon
Usbikiについての方（≠）とのユークリッド距離を計算し，この小さい順に乃個の点を芽（オ）の近傍点として採用し，
X（n），方（乃），‥・，方（㍍）としておく．このもとで，次1．7e−791510

7．2e−82．6e−7

しておき（一般に複数個となる），切断と交叉の場所の式を最小にする係数を求める．

を決める．交叉処理により2つの木構造の部分を交換

7ヱ 昌（ガ（ゎ＋カトダ（ガ（r∠））2→min（用

する操作を繰り返す．途中に，突然変異により杖の部分を強制的に変更する．

この計算は，具体的には，X（rg＋カ）の1番目の要素

以下では，既知のカオス力学系で生成された時系列∬（ゎ＋カ）を乃個集めたベクトル∬と，乃×（研＋1）列のヤコピ行列と，∽＋1個の要素からなる係数ベタト

データに対して，GPによりカオス力学系を推定する

ルを用いて次の観測方程式をたてることになる．

ため，次に示すHenonmapも用いる．

x＝Ca

a朗監

1∬（n）∬（打−エ）…∬（n−（∽−1）エ）G＝1∬（乃）∬（乃〜⊥）・・・∬（乃−（∽−1）上）
1こご（㍍）∬（㍍−エ）…∬（㌫仁一（∽−1）エ）

この係数α＝（恥恥‥・，α花）を式（1別こ代入すること
により，時系列に値∬（f＋カ）を予測する．

∬（才）＝1＋〝（仁1ト1㍑（′−1）2

伽）また，やや複雑な時系列として，次に示すUshiki
mapにより生成された時系列を用いる．
∬（f）＝［3．7−J（仁一1卜0．1〝（仁1）］J（卜1） 錮〝（才）＝［3．7−0．1お（′−1）−〝（卜1）］〝（卜1） 伽
表1にはGPにより求めた方程式による予測誤差を示

5．GPによるカオス近似

している．

遺伝的プログラミング（GP）により，観測された

6．カオス制御（OGY法とGP法）

時系列からその時系列を生成する方程式を推定する方法については前回の解説で述べている．この詳細は，

カオス制御とはカオスを生成するシステムのパラメ

ここでは繰り返さないが，必要な範囲で簡潔にまとめータを変化させるのではなく，カオス的な挙動をするておく．

システムを，外部から入力を加え制御することにより，

GPではカオス力学系の方程式が，計算する演算記

号，数学関数，およびこれらの対象となる変数を含ん

カオス的な挙動をするシステムをカオス的ではない状態に移行させる方法である．

だ木構造で表現されている．最終的な方程式を得るまカオス制御が必要とされる分野やその意義について

で，さまざまな形の木構造を発生しておいて，どの木は次のように整理される．不均衡経済モデルに見られ構造が適切であるかを計算する．具体的には，方程式

るように，カオス的な状況のもとでは経済モデルに変の形が分かっているので，変数に値を代入して∬（f

動要因が含まれ，システムはいつまでたっても安定し＋1）の推定値を求め，これが観測したデータであるない．しかし，課題として，ある経済政策をとること∬（才＋1）に近いかどうかで，．その木構造の性能が判断により，不規則に変動する経済モデルから，安定したできる．これを，GAにおける個体の選択のケースと挙動へと移行させる方法を見いだす必要があったとす

同様に適応度とよんでおく．

る．例えば，混乱する市場や経済環境を，政府の政策

この適応度の大きな2つの木構造を親として，交叉処理によりこれらの2つの子供（0ffspring）を生成で鎮静化するなどの例が考えられる［6］．

カオス制御により不軌㌔引こ移行させるほかに，周期する．交叉処理では，2つの木構造の交換可能な部分的な振動に対応するアトラクタを目標とする場合もあを選択して入れ替える．この場合，SねC々C仇邪扉を利る．もちろん，アトラクタにこのような周期振動が含用して，意味のある切断を選択する．個体の長さは一まれている必要がある．周期振動へのシステムの移行

般に異なるので，乱数を用いて，最初に親1の切断場

は，経済数学では季節的な変動を許した上での経済の所を決定し，その場所のS由c烏Co〃乃′を計算する．次安定化などとして解釈できるであろう．

に，親2について，同じ5勉CゐCoα裾才の値の点を選択【OGY法によるカオス制御】

カオス制御の方法に関しては制御工学を中心として
106（34）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（21）

鋤

〟（才）＝∂∬（才一1）

オペレーションズ・リサーチ

研究がすすめられ，現在ではその方法は次の2つの方法に集約されている．
第1番目はフィードバック制御による方法であり，古くから用いられているシステム安定化手法である．
しかし，この方法は工学的には振動の発生を抑制したりシステムが発散するのを防止する意義があるが，シ

図4 不安定多様体，安定多様体の接ベクトル

ステム構成が変化するため，経済モデルなどの挙動を見ながら制御する場合には適していない．

カオスアトラクタに埋め込まれており，双曲形不安定

第2番目はOGY法とよばれる方法であり，OGY

不動点であるとする．すなわち，Aの固有値ん，んは

は手法の開発者の頭文字（Ott，Grebogi，Yorke）にともに実数であり由来している［9］．oGY法は，カオスアトラクタに￠ゆlん】＞】▼＞lん】

埋め込まれた多くの不安定軌道が存在する場合，局所

これらの固有値に対する長さ1の固有ベクトルをeα，安定化が達成できる近傍に近づいたときに，適切な制eぶとする．これらのベクトルは不動点みの局所不安御入力を加えることにより安定化された周期軌道へと定および安定の方向を表わしている．すなわち，図4

導く方法である．この方法では，システムの構造を変に示すように，安定多様体，不安定多様体のそれぞれ形させることなく，必要とされる短時間にシステムへに接する接ベクトルとなる．

これらのベクトルを1列目，2列目とする行列Pをの入力を加えるだけで安定化を達成できるメリットがある．ただし，一方では，システムに対する即応性が考え，この道行列ダー1の行ベクトルをぴα，〃ぶとする．

ないことや，制御人力をすべき時間が初期値に依存す

これらを反変ベクトル（contravariant vector）とよるなどの問題ももっている．

ぶ．

カオスは周期的な変動と不規則な変動の両方を含ん

P＝［eα，eざ］，P￣1＝［〃α，〃β】rでいるので，アトラクタは1つの曲線ではなく，複数￠功したがって，玖扉㌔＝〃∂eα＝0，〃〟eα＝〃古eβ＝1である．

の曲線の集合として記述される．点みに収束する方

ベクトル∠b（f＋1）＝∬（≠十1）−みはベクトルeぶと並向に進む線分がある一方で，これから離れていく線分，

行になるので，直交の条件に代入すると

あるいはみに近づきながら，結局はみには至らな〃〟［∬（∠＋1）−∬′］＝0伽）い線分から成り立っている．このような，みとしてとなる．したがって，∬（′）がみの近傍にあり，式伽）は不動点がある．不動点に収束するアトラクタを安定が成り立つならば，∬（′＋1）はみの局所安定多様体

多様体とよび，不動点には至らない，あるいは離れてに収束する．この条件を書き直すと，次のような入力

いく線分を不安定多様体とよんでいる．

を印加することにより安定化できることがわかる．

カオス制御とは，みの近傍に近づいたときに，外〝（f）＝−ん〃α蝕（≠）／（仇カ）帥

力を加えることにより不動点みへと収束させる方法㍑（f）はシステムの状態が不動点の近くまで接近するであると言える．いま，入力を含む乃次元非線形離までゼロにしておき，不動点の近傍にきたときに式抑散時間システムを考える．

の入力をシステムに加える．

∬（≠＋1）＝／（∬（才），〟（f））

佃

ただし，∬（′）は時刻′でのシステムの状態，〟（′）は

文献［9］ではエノン写像（Henonmap）により生成された時系列のカオス制御の例題が示されている．

制御入力であるとする．みを〟（′）＝0であるときの【GPによるシステム同定とカオス制御の結合】システムの不動点であるとする．すなわち，み＝GPによりカオス力学系を直接近似する方法を用い／（み，0）．不動点での線形化システムは，次のようにれば簡単な制御方法が通用できる．いま，システムの

なる．

挙動を
∬（′＋1トみ＝A［∬（′トみ】＋∂〟（オ）鍋

A＝β∬′（み，0），∂＝βα′（み，0）銅

なお，βα，β∬は，関数′（，）の変数〟，∬について求めた偏微分の∬＝み，α＝0における値である．

いま，2次元のシステムを考え，不動点みがこの
2002年2月号∬（f＋1．）＝／（∬（′））＋〟（′）

鋤と仮定しておく．システムの入力〟（′）がゼロのときの′（∬（f））をGPにより近似し，これをプ（∬（f））とする．方程式が推定されているので数値計算によりシス
テムの不動点が求まる．このとき，現在の状態∬（≠）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（35）107

1．5

参考文献
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・1．5

20

0

40

60

80

100

120

川0

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16（）

tinle

Approximation ofsystem equations for the chaotic dynamics by using
theGeneticProgramming

0．3，Trans．IEICE，VOl．EA¶83，

vol．8（2000）．

8．2［5］Y．IkedaandS．Tokinaga： Controllingthechaotic

0．1

dynamics by using approximated system equations

0

・0．l

Obtainedbythegeneticprogrammlng，Trans．IEICE，・0．2

VOl．E84−A，nO．9，pp．2118−2127，2001．

・0．〇［6］L．Kass： Stabilizing chaosin a dynamic ma−・04

croeconomic model，Journalof Economic Behav−

・05

ior＆Organization，VOl．33，pp．313−332，1998．

［7］T．Y．LeeandJ．A．Yorke；

・0．＄

・0．7

20

0

一和

68

80

10（】

120

日0

160

chaos

Periodicthreeimplies，AmMathMon．，VOl．82，pp．985L992（1975）．

［8］E．N．Lorenz： Deterministic non〜periodicflows ，llmO

図5 カオス力学系推定と制御（上：安定化された時系列，
下：人力）JournalofAtomos．Science，20，pp．130−141（1968）［9］E．Ott，C．GrebogiandJ．A．Yoke：
Chaos

から制御を始めて，次の状態が不動点∬′に移行すればよいので∬′＝￡（≠＋1）＝プ（∬（才））＋α（≠）となるよう，PhysicalRev．Letters，Vol．64，No．11，pp．

1196−1199（1990）．

［10］0．E．Rossler： Anequationofcontinuouschaos ，PhysicalLetters，57A，p．397（1976）．

に制御α（′）を加える．

このようにして求められる次の時刻f＋1における状態について，元のシステムでは∬（′十1）＝／（∬（才））となるが，これを近似されたシステムにより求められる望ましい状態，烹（才＋1）＝プ（∬（オ））＋〟（才）により置き換える．

［11］F．Takens： Detecting strange attractorsin tur−bulance，in DynamicalSystems and Turbulance，LectureNotesinMathematics，No．898，D．Land and

L．Young（eds．），Springer−Verlag，1981．
［12］時永祥三：『複雑系による経済モデル分析』，九州大学
出版会（2000）．

図5にはUshikimapにより生成された時系列に対［13］A．）．Wolf，J．SwiftandJ．Vastano： Determining

して，ここで述べている制御方法を通用した場合の収Lyapunovexponentsfrom a timeseries

束状況を示している．

16，pp．285−317（1985）．

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