鋼構造建築骨組の離散断面最適化について
澤田 樹一郎Il…llllllll‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖州………ll……lllllll……lllllll洲‖lll川…llllll川Illlllll＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖皿…ll…＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖服‖lll‖＝‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖刑lいを制限したいことや柱せいを統一したいといった要

1．はじめに求もある．このような要求に対して，前述のような既近年，コンピュータの利用が極めて容易となり，構往の設計問題の定式化で対応することが難しいという造物の最適化の分野においても，OR手法に基づく多ことも最適設計手法の実用化がされない原因のひとつ数の研究が行われている．特に，機才戒，自動車等の分ではないかと考えられる．本稿では，まず，鋼構造建野における構造の形状決定問題に対して，数理計画法

築骨組の部材断面最適化問題において，断面積を連続を主に利用した種々の研究が精力的に行われ，最近で設計変数とする既往の設計問題の定式化について説明

は，汎用構造最適化ソフトによる実務設計への適用例

した後，部材せいのグループ化や規格寸法部材の使用が示されるに至っている［1］．一方，建築骨組の構造も考慮した離散最適化問題の定式化とその解法および最適化に関する研究もこれまで精力的に行われてきた設計例を紹介する．

［2，3］．この分野における初期の研究では，特定の制約条件に限定し，比較的小規模な骨組の計算例を示し

2．鋼構造建築骨組の部材断面最適化問題たものが多かったが，近年においては，高層の骨組な図1に示す角形鋼管断面柱と図2に示すH形断面

ど大規模な構造の最適化の実現を容易にするためのモ染で構成される図3のような鋼構造建築骨組の部材断デル化や計算手順の工夫［4，5］，複数の荷重（あるい面最適化問題は，例えば，以下のように記述することは信頼性）レベルに対する種々の制約の考慮［6〜8］なができる．

ど実用的な側面を考慮した研究も多く見られる．しかし，このように数多くの研究成果が報告されているに

問題1「制約条件Cゐ＞0（点＝1，2，・・・，NR）をすべて満足し，かつ骨組重量lγを最小にする部材断面を付もかかわらず，建築骨組の実務設計の現場では，最適設計手法がほとんど利用されていないようである．これは，建築骨組の設計に特有の様々な理由があるためではないかと考えられる．
建築骨組の構造設計においては，骨組形状が，主に意匠面や建築計画面から決定されるため，部材断面を決定する問題となることが多い．この場合，本来は，このような部材断面の寸法を選定する問題となるが，建築骨組の最適設計に関する既往の研究では，問題を図1角形鋼管柱断面単純化するために，断面二次モーメントなどのその他の部材断面性能と部材断面積との間に近似関係を設け，部材断面積を連続設計変数とする定式化を採用することが多い．しかし，現実の構造設計の場では，離散的な寸法値をとる規格部材が使用されることがほとんどであり，また，施工性や建築計画面の観点から，染せ
さわだ きいちろう
広島大学大学院 社会環境システム専攻
図2 H形梁断面〒739−8527東広島市鏡山ト4−1
2001年7月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（29）355J・て−・、Y−卦捌M膵臓

錮別派和昭

図3 鋼構造建築骨組表1，2の規格部材断面の中から決定せよ。」

25￠

制約条件G々＞0としては，例えば，ある外力下（風や地震などを想定）での各部材の降伏の限界や骨5い0．メ∴こ…：‥J．一
図4 断面積Aと断面二次モーメント才の関係組の変形等に対する制約が考えられる。この場合，骨組各部材の応力や骨組の変形量等の計算には，大次元の連立方程式を分解法などの数値解析手法により解くことが必要となるため，関数G烏は，部材断面寸法の陽な関数として厳密に表すことは困難である嘲 一方，骨組重量Ⅳは9 部材断面積の線形和として表せる◎
上記の問題1は，規格部材断面の中から骨組各部材に使用する部材断面を決定する組み合わせ最適化問題であり，分枝限定法などのような組み合わせ最適化手法を用いたとしても，問題の規模が大きくなると，すぐに計算量も指数関数的に増大してしまい，実用上許容できる計算時間の範囲内では解けなくなってしまう。
そこで，次章のような連続変数近似による最適設計問題が既往の研究において，よく取り扱われてきた。

3。連続変数近似＆ニよる部樹断面最適化問

5のOcm

500cm500cm

図5 8層3スパン骨組題

骨組構造物では，各部材の寸法が明らかではなくても，断面積や断面二次モーメントなどの主要な部材断面性能が決定されれば，各部材の応力や骨組の変形が解析的に求められる押 付表のような規格寸法断面の断面性能間の関係を例えば図4のようにプロットし（⑳印）ヲ 図中の実線のような近似関係を設けると9 部材断面積のみを連続設計変数とする以下のような最適設計問題が定式化できる。

間題2「制約条件G彪（』）＜0（ゐ＝1，2，…，NR）をすべて満足し，かつ骨組墓量肝（A）を最小にする各部材の断面積Al，A2，…㍉AN。の値を求めよ。」
上記の問題は，例えば，制約条件として，ある外力下での各部材の降伏の限界や唐組の変形に対する制約
認語感（30）

図6 設計解の断面積分布© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ◎リサーチ

等を考えた場合，設計感度解析（∂Gゐ／a4の計算）とくなると，計算量も指数関数的に増大して，すぐに実非線形数理計画法の通用により容易に解けることが既用上許容できる計算時間の範囲内では解けなくなって往の研究で示されている．

しまう．そこで，ここでは，部材せい最適化とそれ以設計例として，図5に示す

8層3スパン骨組の最適設計解の断面積分布を図6に外の離散寸法最適化の分割実行，直交方向探索（緩和示す．ここで課せられた制約条件は，図5中の→で示法）による組み合わせ最適化とSLP法による連続最すような外力下における各部材の降伏の限界と骨組の適化の併用により，近似最適解を求める方法を考える．

変形，骨組の崩壊時の耐力（終局耐力）である．また，最適設計解の計算には，差分感度解析とSLP法に基づく最適設計手法［8］が用いられている．

4．部材せい制約と規格寸法部材の使用を考慮した離散断面最適化問題

まず，第一段階の部材せいの組み合わせ最適化問題
として，以下の問題を考える．

問題4「WsLP（Dl，D2， ・，DNC，Hl，H2，…，HNB）を最小にする部材せいDi（i＝1，2，・・・，N。），Hj（j＝1，2，…，NB）の組み合わせを求めよ．ただし，Di∈（350，400，450，500），Hi∈（400，500，600，700）である．」

第3節の設計問題の定式化は，これまで多用されてここで，WsLP（Dl，D2， ・，NN。，Hl，H2，…，HNB）は，きたが，規格寸法部材の使用や部材せいを統一あるい

部材せいDl，D2， ・・・，DNC，Hl，H2，…，HNBを指定し，そは制限したいといった要求に対応することは難しい．の他の部材寸法を連続変数近似した最小重量設計問題

そこで，最近では，連続最適解から離散解を選定するを解くことにより得られる構造重量Ⅳの値であり，ための有効な方法［9］，部材せい又は部材幅をあらかSLP法により計算することができる．この設計手順

じめ指定した設計問題［7，10］，1変数ではあるが，の詳細については，文献［14］を参照されたい。

部材せいも独立な設計変数とした問題に対する研究［11］も見られる．

ここでは，問題4を緩和法［12］により解くことにする．ここで用いられる緩和法は，組み合わせ最適化問

まず，ここでは，部材せいとその他の部材寸法をそ題よりむしろ連続設計変数の最大化（または最小化）

れぞれ独立な離散設計変数として取り扱った以下の最問題に用いられることが多く，設計変数間の相関が小適設計問題を考えてみる．

さく，かつ，目的関数が単峰性の問題かあるいはそれ問題3「制約条件G烏＞0（々＝1，2，・・・，NR）をすべてに近い形の問題に対しては有効と考えられる．緩和法

滴足し，かつ骨組重量Iγを最小にする各柱部材の部に基づく探索法の概念図を図7に示す．この図に示す

材せいDi，板厚Ti（i＝1，2，…，Nc），各梁部材の部材ように，探索する設計変数以外の設計変数を固定し，せいHi，部材幅および板厚（Bi，Tfi，Tw，）（i＝1，2，・・・，目的関数を最小にする離散候補をすべての設計変数にNB）の組み合わせを規格寸法部材の中から決定せよ．

対して順次，座標軸方向に探索していく．探索には，

ただし，Di∈（f）1，f）2，・・・），Ti∈け1bi，テ2bi，…），Hi∈（fIl，

ここで扱う問題における離散候補数が少ないことから，

ヽ H2，…），（Bl，Tfi，Twi）∈（（白．，i：fl，ナwl）fli，（白2，ilf2，ヽヽ 離散候補DlあるいはHlから探索を始めて，WsL。がケw2）白i，…）である．」

減少から増加に転じた時点で，探索を終了し，次の設表1の規格寸法部材を使用するのであれば，上記問
題におけるDおよびHの寸法候補は，Di∈（350，400，計変数に対する探索を開始する手順としている．収束条件については，すべての設計変数の探索が一巡する

450，500），Hi∈（400，500，600，700）（単位mm）のように表せる．なお，柱せいおよび染せいの値を制約した
4︑D︑D︑D︑D

い場合には，その範囲内における離散値を候補値とすればよい．

Hがそれぞれどの離散寸法候補となるかによって異＝400のとき，（B，Tw，Tf）∈〈（200，9，12），（200，9，16），

ではあるが，前述の問題1と同様，問題の規模が大き2001年7月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

l

問題3は，組み合わせ最適化手法により計算が可能．︑D

l（200，9，19），（200，9，22））となる．

り一なる．例えば，D＝350のとき，T∈（12，16，19，22），HqU

T，（B，Tf，Tw）の寸法候補については，Dおよびヽヽヽ D2 D3 D4

図7 緩和法による探索（31）35丁たびに設計解に変更があったかを調べ，変更がないとメント，Wは構造重量，NLPはSLP法で用いるシンき収束したと判定している。

プレックス法のサブルーチンをコールした回数である。

塞1は，問題4を緩和法により計算した設計解を示

また，NEAは，骨組構造解析のサブルーチンをコールしている。設計骨組▲は，図8に示す5層骨組であり，した回数である少 なお，緩和法による組み合わせ最適

表中の部材記号は，図9に対応している亜 なお，Cl化では，設計変数の探索が2順冒となったところで既とC3部材の部材せい，C2とC4部材の部材せいをグに設計変更はなく，高い収束性を示した。

ループ化している山 鋼材のヤング係数は，2．06×105（N／mm2），降伏強さは，235（N／mm2）として計算している叩 ここで課せられた制約条件は，図8中の→で次に，第二段階における部材せい以外の離散寸法の組み合わせ最適化問題として，以下の問題を考える。

問題5「Dl＝りi＊（i＝1，2，…，N。），Hj＝Hj＊（j＝1，2，示すような外力下における各部柑の降伏の限界と骨組…，NB）のもとで9 制約条件G烏＞0（々＝1，2，…，NR）をの変形，骨組の崩壊時の耐力（終局耐力）である小 義すべて満足し かつ骨組重畳甘γを最小にする各柱部

1中のmは部材せい，Aは断面積，Ⅰは断面二次モー材の板厚Ⅷ、i（i＝1，2，…，N。），各染部材の部材幅および板厚（禍一i）Tfj，Tw、j）（j＝1，2，…，NB）を求めよ。ただ衷鼠 設計解（5層骨組）

し，Ti∈〈せ1Di司く，☆2Di；ト，…），但j，耶。，Twj）∈（（由1，雨1，骨wl）H・jフLく，（由2，せf2凍w2）Hj＊，…）である冊 また，Ⅲi＊，mj＊は，問題4で計算された部材せいの設計解であヨトl†㌢l巨 354 且23￠￠0C3C450の180299

11川北柑

B且70￠

且73

且45000

迅2700

賀j菜

且32￠00B3−排弓Ij15＄

堅jll巨妄I衰l∃5￠ゆB4膿′曇 》

4且且0￠垂 且32000

97。2租2＄00

弧237500

W 慧5射 鵠NLP日2望2裾NEA順削る。」
上記の問題も緩和法により解くことを考える。表1で得られた5層3スパン骨組の部材せいの値に基づけ
ヽ ば，各部柑の部材せい以外の離散寸法候補Tあるいヽヽ は（B，Tf，せw）は，衷2のように得られるか表1の連続設計解を出発点として，一番冒の設計変数から順に，すべての制約条件を満足しかつ最小の断面積を有する離散寸法候補に変換していき，表3の離散断面が得られた亜 問題4の場合と同様に，設計変数の探索が2順94丑ⅨN

1＄6忍：KN 14且．1ⅨN l綿雲ⅨN且64。6m164．6ⅨN 9∠亀 1ⅨN円となったところで既に設計変更はなかった。
比較のため，遺伝アルゴリズム 帖A）を用いて，

37臥5ⅨN

表2 せぉよび（由，甑廿w）の離散寸法候補（単位mm）
慧4．∠塁ⅨN

Ⅲ鹿（］和衷） 愈あるいは（抽フ転「且82．3ⅨN

C且，C3C2，C4且4孔．孔ⅨN

朝川
jIヨ！臼

98．虻KN

捌Ⅹぬm

捌光ぬm

8馳m
BlフB2BS

図6 5層3スパン骨組

700

T∈組2冊6，且9ク2乳2尉W∈組6，略盟2，2尉（隠間，Ⅷ旋）∈鵬00プ且2ク2凱伽り，丑乳25），（2￠りブ乳2，2軌（250，且乳1汎（250，孔2，22）（250，且乳25），（盟50調，2軌（250調ク2軌（3￠0，且錮9）（3の0ク且望，22），（300フ且2，25），（300ブ1動25），（30胴乱28）（＄00，略28）｝
晩丁ガタWw）∈栂00渦1凱（20￠渦且軌伽の渦且9）ク（2廊町錮軌像恥鋸励0のク9ク2凱伽￠，乱2，1軌 （2の0，且盟，2凱伽0，曙2軌

Cl B2 c2 B2c2 B2 c軋C乱 凱 c2 B且c2 BIcl
閻9 部材記号
詔5爵（32）500© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（250渦22），（望50，胤2プ2凱（望5りフ且乳25），￠望5の，孔乳28）｝
オペレいションズ￠リサーチ

散的な寸法値をとる規格部材が使用されることがほと

表3 離散断面（5層骨組）
部材断面寸法んどであり，また，施工性や建築計画面の観点から，

Bl
H700×250×12×19
B2
H700×200×12×22
B3
H700×200×12×22
B4H500×200×9×16
B5 H500×200×9×12

梁せいを制限したいことや柱せいを統一したいといっ

部材断面

ClC2C3C4□400×12□500×19
口400×12□500×16

W 26．5t

NEA22た要求もある．

本稿では，特に，部材せい制約と規格部材寸法断面の使用を考慮した鋼構造建築骨組の離散最適設計問題について述べ，連続最適化手法を併用した近似解法に基づく設計手順とその設計例を紹介した．

表4 GAによる離散断面（個体数70，200世代）
断面寸法

ClC2C3C4W

断面寸法［コ400×12Bl H700×300×12×19□500×19
B2 H700×200×12×22［コ400×12B3 H500×200×9×22□500×16B4 H500×200×9×16
B5 H500 x 200 x 9 x 1626．5t

付表

付表1角形鋼管断面の規格部材断面寸法リスト例
部材せい

寸法ロDXT（mm）［］350×12350mm系列

NEA】14000［コ350×16□350×19□350×22□400×12［］400×16

部材せいおよび部材断面を同時に離散最適化（問題400mm系列［］400×193）した結果も示してみる．GAの選択交配には，文□400×22献［13］で示されているようなランク戦略が用いられて［コ400×25いる． また，エリート保存戦略が併用されている．なロ450×16

お，コーディングについては，部材せい設計変数と部

450mm系列

材断面設計変数を別々に番号付けし，バイナリコード［コ450×19⊂］450×22［コ450×25にしている．また，適応度は，構造重量に制約条件（G烏＞0）の満足度に関するペナルティーを課した次式
l佐に基づき評価している．

500mm系列□500×16□500×19□500×22［］500×25

栴＝項＋鼻△G烏）lC烏l（Gゐ≦0）

付表2 細幅系列H形鋼の規格部材断面寸法リスト例△G烏＝（0 （G烏＞0）

表4は，GAにより得られた離散断面である．ただ部材せい

し，ここで示されている結果は，突然変異確率を3％から20％，個体数を20から150の範囲で試行的に計400mm系列

算し最も小さい構造重量が得られた設計解である．

H400 x 200 x 9 x 12
H400 x 200 x 9 x 16
H400 x 200 x 9 x 19
H400×200×9×22
H500 x 200 x 9 x 12

表3の離散断面と表4の離散断面は，一致している

H500 x 200 x 9 x 16

わけではないが，両者の構造重量は，有効数字3桁まH500 x 200 X 9 X 19
H500 x 200 x 9 x 22
H500×200×12×19で一致していることがわかる．

5．おわりにH500 x 200 x 12 x 22

建築骨組の最適設計に関する既往の研究では，問題500mm系列を単純化するために，断面二次モーメントなどのその他の部材断面性能と部材断面積との間に近似関係を設け，部材断面積を連続設計変数とする定式化を採用することが多い．しかし，現実の構造設計の場では，離2001年7月号

寸法HHXBXTwXTf（mm）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

H500×200×12×25
H500 x 250 x 9 x 16
H500 x 250 x 9 x 19
H500×250×9×22
H500 x 250 x 12 x 22H500 x 250 X 12 X 25
H500×250×12×28（33）359

付表2 細幅系列H形鋼の規格部材断面寸法リスト例（続き）［4］（例えば）藤井大地，藤谷義信：薄肉はり置換法による高層ビルの最適設計】薄肉はり置換法による高層ビルの構造解析に関する研究（その3），円本建築学全構造系論

文報告乳No．477，pp．57【66，1995．10［5］（例えば）什脇軋凍鋸l哲象辻聖晃巨L谷宏二：縮約モ

デル叫骨組逆置換法に基づく骨組設計法，日本建築学会

構造系論文報告乳No．512，pp．119−125，1998。10［6］（例えば）D．M．附a咽OpOl：StructuralOptimiza−
tionUsingReliat）ilityConcepts，J．ofSけuct。Eng．，Vol。
111，SⅧ「ユユ，pp．2288▼2301，1985［7］（例えば）中村恒善，′ト坂郁夫：弾塑性骨組の指定設計

周変形指標に対する2段階地震応答制約設計法，口本建
築学全構造系論文報告艶No．439，pP．89−1（札1992。9［釦澤刑軌…一肌中村雄粗松尾彰：反復線形計画法を剛−た平面ラ叫メンの最適弾性聯塑性設計法，日本建築学会

構造系論文報告乳No．媚5，pp．117−126，1996。7［9］（例えば）K．Ⅲag⇒巳rフ鼠．Balling：NewApproachforI）iscrete StTuLCtu柑10ptimization，J．of Struct．Eng．，
Vo＝≠4，ST5，pp．1120−1134，1988［10］松本慎也藤井大地，藤谷義信：染せいを制約した鉄骨骨組構造の歳小壷墓設計，『】j本建築学会中国支部研究

宰ぎ紙数第22乳pp．221−224，1999．3「m］堤和敏二部柑断面成を同一とした鉄骨造せん断系弾性平蘭骨組の層間変形角指定量小窺量設計法，il本建築学全構造」二学論文艶Vol。掴B，pp．209−214，1998．3［12］今野鉱山一下宏：非線形計画法，円科技連，1994［13］大崎純二遺伝的アルゴリズム基づく不連続コスト関数を有する構造物の最適設計法，円本建築学全構造系論

文乳No∧舶4，pp甲119−127，1994．10
参考文献［14］澤田樹−−一郎，周岩，冊寸雄札桧尾彰：部材せい設計変［1］日本計算工学会：実務に活かす最適設計，2001．1［2］田中尚，中村雄治：建築構造物の自動設計と最適設計数を考慮した銅棒造建築骨組の最小養量設計に関する研究，i有本建築学全構造系論文報告集，No．544，pp。133−
139，2001．6（掲載予定）

培風館，1973［3］中村恒菩二建築骨組の最適設計，丸善，1980

詔6⑳（34）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ￠リサーチ