東海大学紀要情報通信学部
Vol.14,No.1,2021,pp.25-33
東海大学紀要 情報通信学部
Vol.xx, No.xx, 20xx, pp.xxx-xxx

トピックス

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大学初年次における数学教材の提案（その 37）～ 逆ラプラス変換のための複素関数論からの準備 ～貴田 研司*1

A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.37~ Preparation for Inverse Laplace Transforms from Theory of Complex Functions ~byKenshi KIDA*1( received on May. 28, 2021 & accepted on Aug. 3, 2021 )あらまし逆ラプラス変換の計算方法の一つとして，複素積分を用いたものがある．孤立特異点と留数の計算方法に重点を置くことにより、複素関数論の習熟度が十分でない学生にとっても、逆ラプラス変換の準備を整えやすくする学習教材を提案する．

Abstract
As a method for calculating inverse Laplace transforms, we sometimes use means of complex integrals. As a preparation from Theory ofcomplex functions, we give explanation of isolated singularity and residue. The important subject is calculus for residues.
キーワード：ブロムウィッチ積分，ローラン展開，孤立特異点，留数，留数定理
Keywords: Bromwich’s Integral, Laurent Series, Isolated Singularity, Residue, Residue Theorem

1. はじめに逆ラプラス変換の計算方法の一つとして，次の複素関数論を用いた方法がある 1)．
定理

𝑡𝑡 𝑡 𝑡𝑡で定義された関数𝑓𝑓(𝑡𝑡)と 𝑓𝑓 � (𝑡𝑡) は区分的に連続であるとする．また，Re s > 𝛽𝛽𝛽を満たす複素数𝑠𝑠について
�� |𝑒𝑒 ��� 𝑓𝑓 (𝑡𝑡)| 𝑑𝑑𝑑𝑑�

が有限確定であるとする．このとき𝐹𝐹 (𝑠𝑠) = ℒ � 𝑓𝑓 (𝑡𝑡) �とすれば，𝜎𝜎 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 を満たす実数の定数𝜎𝜎 について，次の式が成り立つ．
��������
111
�𝑓𝑓 (𝑡𝑡 𝑡 𝑡) + 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑓 𝑓𝑓� = lim��𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⋯ ⋯ (∗)
� � � 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ����2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ����2

上記の定理で，関数𝑓𝑓 (𝑡𝑡)が連続であるならば定理（ラプラス逆変換公式）𝑓𝑓(𝑡𝑡) が, 𝑡𝑡 𝑡 𝑡𝑡で定義された連続関数で， 𝑓𝑓 � (𝑡𝑡) は区分的に連続であるとする．また 𝛽𝛽𝛽を実数の定数として𝐹𝐹 (𝑠𝑠) = ℒ � 𝑓𝑓(𝑡𝑡) � ,Re s > 𝛽𝛽とする．さらに， Re s > 𝛽𝛽𝛽𝛽であるような 𝑠𝑠𝑠に対して*1 スチューデントアチーブメントセンター（高輪教養教育センター） 教授
Student Achievement Center(Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus)，Professor―1 −―− 25

大学初年次における数学教材の提案（その 37）〜逆ラプラス変換のための複素関数論からの準備〜

ヘッダー

�

� |𝑒𝑒 ��� 𝑓𝑓 (𝑡𝑡)| 𝑑𝑑𝑑𝑑
�は有限確定であるとする．このとき𝜎𝜎𝜎を 𝜎𝜎 𝜎 𝜎𝜎𝜎𝜎 である実数の定数とすれば��������
11��
𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) 𝑑𝑑𝑑𝑑� � � 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ����2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ����𝑓𝑓 (𝑡𝑡) = limが成り立つ．

上式をラプラス逆変換公式といい，これを次のように書き表す．

ℒ �� �𝐹𝐹 (𝑠𝑠)� =����1�𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⋯ ⋯ (∗)
2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ����右辺の積分のことを，𝐹𝐹 (𝑠𝑠) のブロムウィッチ積分（Bromwich’s Integral）と呼ぶ．ブロムウィッチ積分を，留数定理を用いて計算することにより，次の公式が得られる．

定理（留数定理を用いた逆ラプラス変換の計算）���������𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑において，複素変数 𝑠𝑠𝑠の関数 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) は有限個の極𝑠𝑠1 , 𝑠𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑠𝑘𝑘 を除いて全平面で正則であり,(𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗) とする．さらに，原点 𝑠𝑠 𝑠 𝑠𝑠を中心として，(𝑠𝑠� , 𝑠𝑠� , ⋯ , 𝑠𝑠� を含むような)十分大きな半径 𝑅𝑅𝑅𝑅

Re 𝑠𝑠� < 𝜎𝜎の円周 | 𝑠𝑠𝑠| = 𝑅𝑅𝑅上のおいて|𝐹𝐹(𝑠𝑠)| ≦𝑀𝑀𝑅𝑅 �( 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛)

であるならば，留数定理により

�����

����

𝑒𝑒��

�

𝐹𝐹 (𝑠𝑠) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 � � Res� 𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) , 𝑠𝑠� �� = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 (Res� 𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) , 𝑠𝑠� � + ⋯ + Res� 𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) , 𝑠𝑠� �)���であるから，(∗) により𝐹𝐹 (𝑠𝑠) の逆ラプラス変換について

𝐿𝐿�� �𝐹𝐹 (𝑠𝑠)� = 𝑓𝑓(𝑡𝑡)�= � Res� 𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) , 𝑠𝑠� ����が成り立つ．

= Res� 𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) , 𝑠𝑠� � + Res� 𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) , 𝑠𝑠� � + ⋯ + Res� 𝑒𝑒 �� 𝐹𝐹 (𝑠𝑠) , 𝑠𝑠� �

本論文においては，上記の計算方法を運用するための複素関数論の習熟度が十分ではない人のために，留数定理を使うための最短コースというべきものを示したい．特に，極の留数の求め方を重視して詳しく述べた．執筆にあたり多くの好著を参考にさせていただいた 2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)．

―2 −―− 26

貴田研司

ヘッダー

2. 逆ラプラス変換のためのラプラス変換からの準備

この章では敢えて複素積分の定義に触れないことにする．ラプラス変換と逆ラプラス変換の計算を行うにおいて差し支えはな
いと考えるからである．

2.1 ローラン(Laurent)展開

定理(ローラン展開)

𝑓𝑓(𝑧𝑧) は，𝑎𝑎𝑎を中心とする半径𝑅𝑅𝑅の円の内部から 𝑎𝑎𝑎を除いた領域で正則（微分可能）とする．このとき，𝑓𝑓(𝑧𝑧) は，

0 < |𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧| < 𝑅𝑅𝑅において，𝑎𝑎𝑎を中心とするローラン展開
𝑓𝑓 (𝑧𝑧) = ⋯ +𝑏𝑏��
𝑏𝑏��
𝑏𝑏��
+⋯+++ 𝑏𝑏� + 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧) + 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)� + ⋯ + 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)� + ⋯(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)�(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)�𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧�= � 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧�����で表される．ここで，係数𝑏𝑏� は，𝑎𝑎𝑎を中心とし半径が𝑅𝑅𝑅より小さい円を𝐶𝐶 とするとき，積分𝑏𝑏� =で与えられる．

1𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓�𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 � (𝜁𝜁𝜁𝜁𝜁𝜁���

(𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚 𝑚 𝑚 𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚 𝑚 𝑚𝑚𝑚 𝑚 )2.2 孤立特異点関数𝑓𝑓 (𝑧𝑧) が𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 で正則でないとき，点𝑎𝑎𝑎を𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の特異点という．

次に，関数𝑓𝑓 (𝑧𝑧) が𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 で正則でないが，点𝑎𝑎𝑎を中心とする十分小さな円の周および（𝑎𝑎𝑎を除いた）内部

0 < |𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧| < 𝑅𝑅𝑅において正則である場合を考える．このとき，点𝑎𝑎𝑎を𝑓𝑓(𝑧𝑧) の孤立特異点という．
【特記事項】孤立特異点ではない特異点 10)11)
例えば，関数の特異点は𝑓𝑓(𝑧𝑧) =𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧である．ここで

1sin

1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑧𝑧𝑧

1=0��� 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛lim(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 )―3 −―− 27

大学初年次における数学教材の提案（その 37）〜逆ラプラス変換のための複素関数論からの準備〜

ヘッダーであることから，点𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧を中心とするどのように小さな円も内部に𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の特異点を含むことがわかる．
したがって，𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧は孤立特異点ではない．

点𝑎𝑎𝑎が関数𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の孤立特異点であるとし，𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の 𝑎𝑎𝑎を中心とするローラン展開を��������𝑏𝑏��
𝑓𝑓(𝑧𝑧) 𝑧 �+ � 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧�   (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)�とする．このとき，負のべきの部分
�����  𝑏𝑏��
(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)�を，ローラン展開の主要部という．
主要部の形に応じて，孤立特異点を次の 3 つに分類する．
(1)

除去可能な特異点・・・主要部の項がない．
�𝑓𝑓(𝑧𝑧) 𝑧 � 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧� = 𝑏𝑏� + 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧) + 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)� + ⋯ + 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)� + ⋯���  

点𝑎𝑎𝑎を𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の除去可能な特異点という．除去可能な特異点𝑎𝑎 について，改めて𝑓𝑓 (𝑎𝑎) = 𝑏𝑏� と定義すれば，𝑓𝑓 (𝑧𝑧)は点𝑎𝑎𝑎で正則となる．

例1 �sin 𝑧𝑧𝑧
1=1−𝑧𝑧 + ⋯ + (−1)���
𝑧𝑧 ���� + ⋯(2𝑛𝑛 𝑛𝑛) !
3!
𝑧𝑧

点0 は除去可能な特異点である．改めて𝑓𝑓 (0) = 1と定義すれば，𝑓𝑓 (𝑧𝑧)は点𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧で正則となる．言い換えると，次の関数

𝑔𝑔(𝑧𝑧)は点𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧で正則である．
sin 𝑧𝑧𝑧𝑔𝑔(𝑧𝑧) = � 𝑧𝑧    1     (2)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)極（𝑘𝑘 位の極）・・・主要部の項が有限個

�

𝑏𝑏��
𝑏𝑏��
𝑏𝑏��
𝑓𝑓(𝑧𝑧) =+⋯+++ � 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧�   ��(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧���(𝑏𝑏�� ≠0)

点𝑎𝑎𝑎を𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の極といい，𝑘𝑘 をその極の位数という．点𝑎𝑎𝑎を𝑘𝑘 位の極ということもある．
例に対して

𝑓𝑓(𝑧𝑧) =𝑧𝑧(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)�

―4 −―− 28

貴田研司

ヘッダー

�

1𝑓𝑓 (𝑧𝑧) =𝑚 � (2𝑚𝑚 𝑚 𝑚)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧�
𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧���(0 < |𝑧𝑧 𝑧 𝑧| < 1)

�1
−1
𝑓𝑓(𝑧𝑧) =+𝑚 � (−1)� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧��(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧(0 < |𝑧𝑧 𝑧 𝑧| < 1)���であるから，点1 は1 位の極であり，点2 は2 位の極である．
(3)

真性特異点・・・主要部の項が無限個
�

𝑏𝑏��
𝑏𝑏��
𝑏𝑏��
𝑓𝑓(𝑧𝑧) = ⋯ ⋯ ++⋯++𝑚 � 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧���
(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧
���

点𝑎𝑎𝑎を𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の真性特異点という．
例�𝑒𝑒 � = ⋯ ⋯ +1 1
1+⋯++1
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑧𝑧 �𝑧𝑧𝑧

点0 は真性特異点である．
2.3 留数

点𝑎𝑎𝑎が関数𝑓𝑓 (𝑧𝑧)の孤立特異点であり，0 < |𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧| < 𝑅𝑅𝑅で𝑓𝑓 (𝑧𝑧) は正則であるとする．このとき，点𝑎𝑎𝑎を中心とするローラン展開をとするとき

��

���

���𝑏𝑏��
𝑚 � 𝑏𝑏� (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧�𝑓𝑓 (𝑧𝑧) = �(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)�1𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧の係数 𝑏𝑏�� を，点𝑎𝑎𝑎における𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の留数といい，Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , 𝑎𝑎𝑎�と書く．

Res� 𝑓𝑓(𝑧𝑧) , 𝑎𝑎𝑎� = 𝑏𝑏��である．
ここで𝑏𝑏�� =が成り立っており

すなわち1� 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 �� 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑 𝑑𝑑���―5 −―− 29大学初年次における数学教材の提案（その 37）〜逆ラプラス変換のための複素関数論からの準備〜

ヘッダー� 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑 𝑑𝑑𝑑� 𝑓𝑓(𝑧𝑧) , 𝑎𝑎𝑎� ⋯ ⋯ (∗)
�

が示される．

上式(∗)を拡張したものが，後述する『留数定理』である．
2.4 極の位数と留数定理
点𝑎𝑎𝑎𝑎が 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の𝑘𝑘 (𝑘𝑘 𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ) 位の極であるであるための必要十分条件は

𝑓𝑓(𝑧𝑧) =𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)�または(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧)� 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔の形となることである．ここに𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔は，𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑔 𝑔であり，ある円|𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧| = 𝑅𝑅 の内部（点𝑎𝑎𝑎𝑎を含む）で正則な関数である．
定理（極の留数の求め方）[1] 点𝑎𝑎𝑎が𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の 1 位の極である場合Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , 𝑎𝑎𝑎� = lim (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧���

[2] 点𝑎𝑎𝑎が𝑓𝑓 (𝑧𝑧) の𝑘𝑘𝑘位の極である場合[3] 関数1𝑑𝑑 ����(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧� 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓�
lim(𝑘𝑘 𝑘 𝑘) ! � � � 𝑑𝑑𝑑𝑑���Res� 𝑓𝑓(𝑧𝑧) , 𝑎𝑎𝑎� =𝑓𝑓(𝑧𝑧) =𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔ℎ(𝑧𝑧𝑧𝑧において，𝑔𝑔(𝑧𝑧), ℎ(𝑧𝑧) が点𝑎𝑎 で正則かつ𝑔𝑔(𝑎𝑎) ≠ 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑎𝑎) =0,が成り立つ．

Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , 𝑎𝑎𝑎� =𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔ℎ� (𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘 )ℎ� (𝑎𝑎) ≠0 であるとき，点𝑎𝑎𝑎は𝑓𝑓(𝑧𝑧) の 1 位の極であり例題（極の留数の求め方）
次の関数𝑓𝑓 (𝑧𝑧)の孤立特異点を求め,それぞれの孤立特異点における留数を求めよ．

(1)

𝑧𝑧 𝑧 𝑧�𝑧𝑧 − 5𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧

(2)

1+𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )(3)

𝑧𝑧 �(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )�

―
6 −
―
− 30

(4)

𝑒𝑒 ��
(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)�(5)

1𝑧𝑧 � (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧 )�

貴田研司

ヘッダー

（解答）
(1)

𝑓𝑓(𝑧𝑧) =𝑧𝑧 𝑧 𝑧(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)であるから，点𝑧𝑧 𝑧 𝑧 と 𝑧𝑧 𝑧 𝑧 が，それぞれ１位の極である．
よって，[1]により

2+1= −3,2−3
3+1𝑧𝑧 𝑧 𝑧Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) ,3 � = lim (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧== 4.
���� � � 𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧
3−2（別解）[3]において，𝑔𝑔(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧 𝑧(𝑧𝑧) = (𝑧𝑧 𝑧 𝑧)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)の場合である．
Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) ,2 � = lim (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧���

𝑧𝑧 𝑧 𝑧� � � 𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧=＊積の微分公式 �𝛼𝛼 (𝑧𝑧)𝛽𝛽 (𝑧𝑧)�� = 𝛼𝛼 � (𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑧𝑧) + 𝛼𝛼 (𝑧𝑧)𝛽𝛽 � (𝑧𝑧𝑧 に留意する．

𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔===�����(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)�
(𝑧𝑧 𝑧 𝑧) (𝑧𝑧 𝑧 𝑧) + (𝑧𝑧 𝑧 𝑧)(𝑧𝑧 𝑧 𝑧)
(𝑧𝑧 𝑧 𝑧) + (𝑧𝑧 𝑧 𝑧)
ℎ (𝑧𝑧𝑧𝑧である．

＊＊上式の分母は，敢えて展開して整理することをしない．次に𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠を代入するからである．

よってRes� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , 2 � =Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) ,3 � =2+1= −3,(2−3) + (2−2)

3+1
= 4.
(3−3) + (3−2)(2) 点𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 と 𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 が，それぞれ１位の極である．
よって，[1]により

1+𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 −1−1 −𝑖𝑖𝑖
11+𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
===
∙
= 𝑖𝑖𝑖
� � � � 𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧
2 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖
4 𝑖𝑖𝑖 −𝑖𝑖𝑖
4Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) ,2 𝑖𝑖𝑖� = lim (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧
����

1+𝑖𝑖 𝑖 (−2 𝑖𝑖 )33𝑖𝑖𝑖
31+𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖===∙ = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖� � �� � 𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧−2 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖−4 𝑖𝑖𝑖 −4 𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖
4Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , −2 𝑖𝑖𝑖� = lim (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧� � �� �（別解）[3]において，𝑔𝑔(𝑧𝑧) = 1+𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑧𝑧) = (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )の場合である．
＊積の微分公式 �𝛼𝛼 (𝑧𝑧)𝛽𝛽 (𝑧𝑧)�� = 𝛼𝛼 � (𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑧𝑧) + 𝛼𝛼 (𝑧𝑧)𝛽𝛽 � (𝑧𝑧𝑧 に留意する．

1+𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
1+𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
1+𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔===�����(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )�
(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 ) (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 ) + (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )(𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 ) + (𝑧𝑧 𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )ℎ (𝑧𝑧𝑧𝑧である．

＊＊上式の分母は，敢えて展開して整理することをしない．次に𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠を代入するからである．

よってRes� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , 2 𝑖𝑖𝑖� =1+𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
−1−1 −𝑖𝑖𝑖
1
==
∙
= 𝑖𝑖𝑖
(2 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ) + (2 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 )4 𝑖𝑖𝑖
4 𝑖𝑖𝑖 −𝑖𝑖𝑖
4―7 −―− 31大学初年次における数学教材の提案（その 37）〜逆ラプラス変換のための複素関数論からの準備〜

ヘッダーRes� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , −2 𝑖𝑖𝑖� =1 + 𝑖𝑖 𝑖 (−2 𝑖𝑖)
33𝑖𝑖𝑖
3==
∙ = 𝑖𝑖𝑖(−2 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ) + (−2 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 )−4 𝑖𝑖𝑖 −4 𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖
4(3) 点𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 が，2 位の極である．
よって，[2]によりRes� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , 2 𝑖𝑖𝑖� =11𝑑𝑑 ���𝑑𝑑 ��(𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧� 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓� =lim
lim
𝑧𝑧 = lim 3𝑧𝑧 � = 3 ∙ (2 𝑖𝑖 )� = −12.
�������
(2 − 1) ! � � � � 𝑑𝑑𝑑𝑑
1 ! � � � � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(4) 点𝑧𝑧 𝑧𝑧 が，3 位の極である．
よって，[2]によりRes� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , 1 � =（補足）1111𝑑𝑑 ���𝑑𝑑 ���(𝑒𝑒 �� ) =�(𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧lim
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓=lim
lim 4𝑒𝑒 �� = ∙ 4𝑒𝑒 � = 2𝑒𝑒 � .
����(3 − 1) ! � �� 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 ���2 ! � � � 𝑑𝑑𝑑𝑑2(𝑒𝑒 �� )� = 𝑒𝑒 �� ∙ (2𝑧𝑧)� = 2𝑒𝑒 �� , (𝑒𝑒 �� )�� = (2𝑒𝑒 �� )� = 2𝑒𝑒 �� ∙ (2𝑧𝑧)� = 4𝑒𝑒 �� .

(5) 点𝑧𝑧 𝑧 𝑧 が 2 位の極， 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 が 3 位の極である．

Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , 0 � =Res� 𝑓𝑓 (𝑧𝑧) , − 𝑖𝑖𝑖� =（補足）

��

1
1−3
𝑑𝑑 ���𝑑𝑑1−3
�𝑧𝑧 � 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓� =lim
lim
= lim
= � = −3,������ � � (𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧 )(2 − 1) ! � � � 𝑑𝑑𝑑𝑑
1 ! � � � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )
𝑖𝑖

1
1
1
16
𝑑𝑑 ���
𝑑𝑑 � 16���(𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧lim𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓=lim=lim � = ∙= 3.
�����
(3 − 1) ! � � �� 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 ! � � �� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧
2 � � �� 𝑧𝑧
2 (−𝑖𝑖 )��
1−3�= �(𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧 )�� �� = −3 ∙ (𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧 )�� =.
�
(𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧 )(𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧 )�

1 �
� = (𝑧𝑧 �� )� = −2 ∙ 𝑧𝑧 �� ,𝑧𝑧 ��61 ��
� = (−2 ∙ 𝑧𝑧 �� )� = (−2) ∙ (−3)𝑧𝑧 �� = � .
�𝑧𝑧𝑧𝑧

（解答終）

2.5 留数定理

次の定理は 2.で述べた式(∗)を拡張したものであり，留数定理と呼ばれる．
定理（留数定理）
関数𝑓𝑓 (𝑧𝑧) が，単一閉曲線（自分自身と交わらない閉曲線）𝐶𝐶𝐶の内部に𝑘𝑘𝑘個の孤立特異点𝑎𝑎� , 𝑎𝑎� , ⋯ , 𝑎𝑎� をもつとき，次のことが成り立つ．

■�� 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 2�𝑖𝑖 𝑖 � Res� 𝑓𝑓(𝑧𝑧) , 𝑎𝑎� �����―8 −―− 32貴田研司

ヘッダー（参照）

定理（コーシーの積分定理）
関数𝑓𝑓 (𝑧𝑧) が，単一閉曲線（自分自身と交わらない閉曲線）𝐶𝐶𝐶と𝐶𝐶 の内部を含む領域で正則であるとするとき，次のことが成り立つ．

■

� 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑 𝑑�

参考文献1) 貴田研司，“大学初年次における数学教材の提案（その12）～留数定理を利用した逆ラプラス変換の計算～，”東海大学紀要情報通信学部，Vol.10,No.2,2017,pp33-40
2) 福田安蔵，鈴木七緒，安岡善則，黒崎千代子 共編「詳解応用解析演習」共立出版，1970

3) 楠田信，平居孝之，福田亮治 著「使える数学フーリエ・ラプラス変換」共立出版，1997
4) 大月卓郎，大芝猛，市川朗，竹内康博 共著「応用数学」学術図書，1987
5) 樋口禎一，八高隆雄「フーリエ級数とラプラス変換の基礎・基本」牧野書店，2000
6) 水本久夫「解析学の基礎」培風館，1989
7) 田代嘉宏「ラプラス変換とフーリエ解析要論第２版新装版」森北出版，20148) 水本久夫「解析学の基礎」培風館，1989
9) 田河生長，斎藤四郎，斎藤斉，高遠節夫 共著「応用数学」大日本図書，1995
10) 上野健爾監修，高専の数学教材研究会「応用数学」森北出版，201311) 上野健爾監修，工学系 数学教材研究会編「応用数学」森北出版，201512) 矢野健太郎，石原繁 共著「解析学概論 新版」裳華房，1982
13) 矢野健太郎，石原繁 共著「大学演習 解析学概論」裳華房，196714) 矢野健太郎，石原繁 共著「基礎解析学コース 複素解析」裳華房，1995
15) 矢野健太郎，石原繁 共著「基礎解析学コース 応用解析」裳華房，1996
16) C.R.ワイリー著，富久泰明訳「工業数学上・下」ブレイン図書出版，1973―
9 −―− 33