エデュケーション Q

マックス・プランク(1858～1947)の功績
A meritorious deed of Max Planck (1858 – 1947)

花村 克悟（東京工業大学）
Katsunori HANAMURA (Tokyo Institute of Technology)
e-mail: hanamura@mech.titech.ac.jp…ウィーンの理論―プランク分布

1500K

1200K

 (×1014 Hz)

図1

ウィーンの放射法則

マックス・プランク（1858～1947）---レイリー・ジーンズの理論―プランク分布1. はじめに
19 世紀末に鉄鋼業が盛んとなったドイツでは，1500K

鉱石から鉄を取り出すにあたり，コークスを燃料として，蒸気機関で送風する熱風高炉製鉄法が発明されました．このとき，鉄が溶けるような，当時としては高い温度を測定する温度計が無く，その色と温度の関係が詳しく研究されました．これがよく知られたプランクの法則につながり，さら (×1014 Hz)には量子力学の幕開けとなりました．
当時，ウィーンの放射法則（図 1）は，振動数図2が高い可視光領域にはよく合うが，振動数が低い

レイリー・ジーンズの放射法

赤外域では合わない，一方，レイリー・ジーンズ則
こでは，そのプランクの法則の導出を顧みながら，の放射法則（図 2）は赤外域ではよく合うが振動その考え方に触れてみたい．

数が高くなると破綻する．そこにプランクが登場し，エネルギーの最小単位を考え，その整数倍の2.プランクの法則

エネルギー値のみ取りうる画期的な理論を発表し

2.1 内挿式の発表ました．などといった劇画風の記述が多くみられ1897 年から 1900 年の 3 年間に考え抜いプランます．しかしながら，実際にはそうではなく地味

クは，その 10 月に，熱放射の分布式が以下のようで着実，かつ厳密な学風のプランクにとって，取に表わされるならば，全周波数領域において実験りうる整数倍のエネルギー値，といった考え方を値ときわめてよく合うことを発表しました．それ受け入れるには躊躇したと伝えられています．こは飛び入り講演であったようです[1]．

伝熱2009 年 10 月

-1-

J. HTSJ, Vol. 48, No. 205

エデュケーション QE ,T a 3exp(b / T )  1(1)ここで，a，b は定数です．この式の中で振動数が大きい exp(b/T) >> 1 場合には分母の 1 を無視することで，ウィーンの放射法則となります．一方，振動数が低い exp(b/T) << 1 場合には exp(b/T)= 1 + b/T + …と展開すると，レイリー・ジーンズの放射法則となります．これが内挿公式と呼ばれている理由です．この導出過程は，一般的にはエネルギーの最小単位を = hとして理論が展開されています．しかしながら，最初からそういった考えが直観的に浮かんだわけではなく，試行錯

図3

プランク分布[2]（単色放射能）誤の結果だったようです．また，内挿公式と後に名付けられたものの，レイリー・ジーンズの放射法則とはほぼ同時に発表されており，プランク自身，それらの論文を参考にすることなく，独自に導き出したとみられています．
2.2 プランク分布と色温度(2)多くの教科書にあるように，絶対温度 T の黒体から，波長と+dの微小波長帯で放射される単色放射能 Eb,は次式のように表現されます．

Eb 2 hcod 5 exp(hco /  kT )  1

図4

暗室内での赤熱状態[2]2に漸次，赤色，橙色，黄色と変化し，高温になる(2)にしたがい全ての可視領域の光が混じり合い，白ここで，h はプランク定数，k はボルツマン定数，みを帯びてきます．このように加熱された物体のco は真空中での光速です．式(2)で表される単色放色で温度を把握することができ，この原理を応用

射能と波長との関係，すなわちプランク分布を各した光高温計も昔から使われています．むしろ，絶対温度 T について図 3 に示します．いずれの温この研究がふく射の放射法則や量子力学につなが度の黒体においても単色放射能は波長が長くなるっているのです．

につれ，連続的に一旦増大し，その後減少します．
一方，波長を固定すると単色放射能は温度が高く2.3 プランクの法則の導出[2]なるにつれ単調に増加します．また，温度が高くここでは，エネルギーの最小単位が hで表せるなるとともに，波長の短いふく射（電磁波）が多ことがわかっている現代的な説明を試みましょう．

く放射されることもわかります．

(a)ふく射におけるエネルギーの最小単位

一般に物体を加熱した場合，530℃（≒800K）

振動数 の光は，分子や原子あるいは電子が高程度まではほとんど可視光を放射しないので暗闇いエネルギー状態 Ei から低いエネルギー状態 Ejの中でも赤熱を見ることができないが，その温度に移るとき，Ei - Ej = hとして放射されます．こを超えてくると，図 3 からもわかるように，まずこで h はプランク定数です．この hについて考え可視領域の波長の長い光を発するようになるため，ます．ふく射を放射する分子や原子 (振動子もし

図 4 に示されるように物体は暗赤色を帯びてきまくは電気双極子，プランクは共鳴子としている)

す．その後，温度の上昇とともに波長の短い可視が持つエネルギー  やそのエネルギーを持ってい光を発するようになる（図 3）ため，図 4 のようる時間を測定しようとすると，その測定値には不伝熱2009 年 10 月-2-

J. HTSJ, Vol. 48, No. 205

エデュケーション Q
確定量  と  がともない，その積はプランク定数 h より小さくなりません．すなわち，≧h の関係があり，これをハイゼンベルグの不確定性原理といいます．この振動子の持つエネルギーを観測するための時間は少なくとも 1 波長分，すなわ
ち 1/ v  （秒）を要します．よって，少なくとも  1/ v でなければな りません．したがって，≧hv です．つまり，エネルギーを交換（吸収，および放射）する際のエネルギーの最小単位は hv

空洞内の振動子間での hの吸収と放射[2]図6と記述できます．
(b)振動子のエネルギー吸収とエネルギー準位

4 つの最小エネルギーhが 3 つの振動

表1

次に基底状態にある分子や原子（振動子）に hv子に分配される組合せ[2]のエネルギーを持つふく射があたかも粒子のように入射し，吸収されると，その分子の持つエネルギー（エネルギー準位）が hv だけ大きくなります．
したがって，図 5 に示すように，入射するエネルギーは hv より小さくならないので，分子や原子（振動子）のエネルギー準位は連続的ではなくこのエネルギー準位は hv の整数倍の離散的な値をとります．
(c)振動数 v の振動子が持つ平均エネルギー
このような振動子（分子もしくは原子）が絶対温度 T の空洞内の壁面に無数に存在します．仮に
図 6 に示すように 3 つの振動子で構成され，振動数 v の最小エネルギー hv が 4 個とします．各々の振動子のエネルギー準位は，基底状態もしくは3hv や 2hv とランダムに変化します． 4 つの hv 粒子が 3 つの振動子に分配される組み合わせは，表1 に示すように，15 通りです．ここで，1 つの振動子が 4 つの hv 粒子を持つ確率は 15 分の 1，3 つ比例します．このように，１つの振動子のみが多持つ確率は 15 分の 2 などとなります．無数の振動くのエネルギーを持つことは起こりにくいことを子と hv 粒子について考えると，1 つの振動子が hv表しています．したがって，熱平衡状態においてのエネルギーを m 個持つ確率は exp(m  hv / kT ) にこれら一つ一つの振動子が平均的に持ちうるエネ
ルギー  はエネルギー準位が離散的であることから，それらの和として以下のように求められます．
 m  hv  e  m0 e  m h kTv (3)  mhv kT m0

ここで, x  exp(hv / kT ) とおくと,
1  x  x2    1/(1  x) ,1  2 x  3x2    1/(1  x)2であるから，  は以下のようになります．


図5

伝熱hの吸収とエネルギー準位[2]2009 年 10 月-3-hvexp(h / kT )  1(4)J. HTSJ, Vol. 48, No. 205

エデュケーション Q(d)平均エネルギー  を有する振動子の数密度
図 7 に示すように，1 つの振動子から放射されたエネルギーが，もう 1 つの振動子に吸収されるためには，双方の振動子が，ふく射を波としたときの定在波の節であることが必要です．その条件は，任意形状の空洞の代表長さを L （空間体積をL3 ）とすると， n  2L /  （ n は整数）です．この

図7

条件を満たす振動子の数 N (v) は， n の x, y, z 成分

振動子間の定在波の条件[2]を nx , ny , nz と す る と ， n2  nx 2  ny 2  nz 2 を 満 た す(nx , ny , nz ) の組み合わせの数として求められます．

この数は n の数値が大きいと仮定すると，ちょうど図 8 に示す nx , ny , nz を座標とする内外半径が n とn  dn の球殻の体積に等しい．ここで， nx , ny , nz が正の整数であることからその全球殻体積の 1/ 8 であり，また，電磁波には電界 E が y 軸と平行，および x 軸と平行な 2 種類が考えられることから，微小な球殻に含まれる振動子の総数 N (v) は以下
図8のように表されるます．
 2 Lv   2 Lv  8 L 2 d  3 v dvc
 c   c 218

 N (v)  2   4 n2 dn   3(5)

定在波を満たす振動子の数[2]として知られるようになりました．しかしながここで，   c / v を用いています．また，その数密ら，その後の他の研究者による追試がうまくいか度 no ( )dv は空間体積 L で割ることにより以下のず，しばらくの間，信頼されることはなったようように表されます．
N (v) 8 2no (v)dv  3 v dv
L3cです．現在では，式(2)を波長全域にわたって積分3することで導かれる，として説明されていますが，(6)

歴史的には順序は逆です．
マックス・プランクは 1858 年，キールに生まれ(e)プランクの法則
振動数が v と v  dv の間にある定在波の数密度no ( v)dv とその両端にある振動子 1 個が持つ平均エネルギー  との積が，絶対温度 T の平衡状態にある空洞内部において振動数 v と v  dv の間で放射される単色放射能となり，これが式(2)のプランクの 法 則 で す ． な お ， d  (co / 2 )d お よ び
Eb d  no ( )vd  を利用しています．

ました．少年時代，母親の影響から音楽，特にピアノ演奏に関しては特異な才能を示していました
が，音楽家を目指すことは無く，17 歳でミュンヘン大学に進学しました．また，当時有名な法律家の父に影響され，物理と法律のどちらに進むか迷ったとの話もありますが，よくわかりません．専
攻分野は数学であったが，次第に熱力学に傾倒していったようです．しかし当時の指導教官は，「物3.プランクの考察と生涯理には，もう大した問題は残っていない．電子と3.1 内挿式の考え方

空洞放射ぐらいが残っているが，これも間もなくキルヒホッフの法則は，1859～1860 年にかけて解決するだろう．あとは重箱のすみをつつくよう発表されているが，その内容や重要性についてはな仕事しかない．」と，いい放ったと伝えられてい十分把握されていないまま，ドイツの盛んな鉄鋼ます．プランクが熱力学分野に進むことに反対し業を背景に，光高温度計からふく射の放射法則にました．皮肉な巡り合わせに思えます．このため，引き継がれることになります．そして，1879 年にベルリン大学に転校し，この分野の大家であるヘはステファンが放射エネルギー量が絶対温度の 4ルムホルツやキルヒホッフに師事し，1879 年学位乗に比例するらしいことを発見しています．後にを取得しました．その後，ミュンヘン大学講師

ボルツマンが当時の電磁気学と熱力学を使って(1880 年)，キール大学教授(1885 年)，ベルリン大1884 年に説明し，ステファン・ボルツマンの法則

伝熱2009 年 10 月-4-J. HTSJ, Vol. 48, No. 205

エデュケーション Q学教授(1892 年)などを歴任しました．そして，1890となります．これを以下の熱力学の関係式

年代後半にふく射の放射に関する問題に独自に取 S 1 S    Et V  N  V Tり組んだと考えられます．
プランクの考え方は，2.3 節の hを直接導入し(14)たのではありません．当初は，むしろエネルギーに代入すると，値は連続的に取りえると考えていました．そして，

1  S                (15)k 1   ln 1      ln   T  N  V               

“共鳴子”なるものを考え，全エネルギーEt がこの N 個の共鳴子に分配されると考えました．しか

し，取りうるエネルギー値が連続的であればその1 k 
 ln   1T  (16)全エネルギーを N 個の共鳴子で分配する組合せ方となる．したがって，共鳴子 1 個の平均エネルギは無限通りとなります．この無限通りの問題を回ーは，式(4)と同様な，以下の式に到達します．

避するために便宜上，有限個の P 個の微小なエネ



ルギーの粒に分けられると考えました．そして，

exp( / kT )  1(17)

計算後，P を無限大に近づけることを考えたわけ

ここで，微小な粒のエネルギーは，無限通りのです．もうお気づきのようにこの P 個の微小なエ問題を回避するために導入されたものです．そこ

ネルギーの粒こそがのち後の hに他なりません．

で，これをゼロに近づけるとどうなるでしょう．

さて，その組合せは 2.3 節の(c)で解説しました．

分母は 1 + /kT + …と展開できるので，結局レイ具体的には下記のような組合せとなります．
( P  N  1)!
(7)W
P !( N  1)!

リー・ジーンズの放射法則の式となります．このこの組合せからエントロピーS = kln(W)が求めらを掛けたものであり，エネルギー等分配則に基づれます．

いています．プランクとはまったく異なる考え方

 ( P  N  1)! S  kln  P !( N  1)! 

放射法則は，上記 2.3 節(d)で説明したような，密閉空間での定在波の数密度(6)式にエネルギーkTです．しかも，1900 年に発表され，1905 年に完成したものであり，この論文を見たうえでプランク(8)が発表したわけではありません．したがって，プまた，この組合せについては，P も N も十分大き

ランクはこれをゼロに近づける意味がなく，これいと考え，さらに Stirling の公式により，第 1 次近で正解であると判断しています．一方，ウィーン

似として以下のように書き換えられます．の放射法則の導出は難解であり，「空洞放射の源は加熱された気体分子であり，そのスペクトル分布

 (P  N )N P S  kln PN P N(9) k ( N  P)ln( P  N )  PlnP  NlnN (10)は速度分布に依存している」といった飛躍した（現在では受け入れられていない）理論であるため，ほとんど掲載されていません．才気煥発なウィーンは，その当時のヒントと上記の独自の理論によPPPP kN (1  )lnN (1  )  lnN  lnN  (11)NNNN

り，振動数と指数関数を巧みに使って，可視光域

ここで，微小なエネルギーの粒を = Et/P とおいて，ものと考えられています．これらの式に比べれば，さらに，2.3 節の(c)で導入した平均エネルギー

プランクの放射法則は，地味で堅実な学風のプラ  Et / N を用いると，ンクならではの業績に思われ，前述した「プランP N となります．式(11)を変形すると，            
 kN 1   ln 1      ln               伝熱2009 年 10 月

においてうまく合うように提案された（1896 年）

クの内挿公式」ではありえず，「プランクの放射法(12)則」として受け入れられるべきものでしょう．
3.2 量子論の父
さて，プランクは，しかしながら，この正解と(13)した式の中で微小エネルギー  の扱いに困惑して-5-

J. HTSJ, Vol. 48, No. 205エデュケーション Qいました．ウィーンの残した理論からは振動数とリン空襲によって家を失い，妻と共にエルベ河畔比例関係にあることになります．その係数がすなのローゲッツに疎開し，さらに，1944 年には次男

わちプランク定数 h ですが，周波数に共鳴するのエルヴィンが処刑され，自身も「国賊の父」と共鳴子が h の単位でしかエネルギーの受け取りされるなど散々であったようです．

をしない，といったことを，電気双極子まわりの第二次世界大戦後，彼を記念してカイザー・ヴ

電磁気学を厳密に学んできたプランクには受け入ィルヘルム研究所は「マックス・プランク研究所」れがたい内容であったと思われます．ですから，と改名されました．ご存じのように，マックス・当時，この理論は，発表後も怪しげな理論としてプランク研究所は，現在も物理学研究の中心地としばらく受け入れられなかったようです．

して，様々な研究成果を挙げています．

この結果は，後にアインシュタインやボーアなどによって量子力学の基礎となります．この業績

参考文献からプランクは，”量子論の父”として知られて[1] 熱輻射と量子 物理学古典論文厳書 物理学史

おり，ノーベル物理学賞（1918 年）の受賞対象と研究刊行会編 東海大学出版会 (1976).

りました．さらに，1930 年には，カイザー・ヴェ[2] JSME テキストシリーズ 伝熱工学，日本機械ルヘルム研究所の所長に就任しました．

学会編，丸善 (2005).

しかし，第二次世界大戦中には，1943 年，ベル伝熱2009 年 10 月

-6-

J. HTSJ, Vol. 48, No. 205