‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖刷…lll…＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖……llll…llllll‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖冊…lll‖‖‖‖‖‖‖‖‖州l‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖川Il‖‖仙基礎となる算法
山本 ‥芳嗣Ill…‖‖‖‖川Illll…llllll‖‖‖‖‖州Illl‖‖…l…＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖州Ill……lll…＝…ll‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖㈱…ll‖‖‖‖Wlllll川…l‖‖‖‖‖‖‖‖‖mll州Illlll‖‖‖‖州Il川Illlll…

1． はじめに非凸最適化の難しさの理由として，局所最通解がたくさん現れることが指摘されることがある．たとえば，多面体βがアフィン関数飢（∬）＝（呵T∬−ゐ盲によってβ：＝（∬∈月れl酌（∬）≦0（ま＝1，‥リm））と定義されているとする．（制約をまとめてAガーみ≦0と書くこともある．）この多面体の点で原点からユークリッド距離‖川2で計って最も遠い点を求める問題

α 〃最小化 一植l暮2（＊）

制 約 ∬∈β

図1易しい問題と難しい問題を考えてみよう．問題を糎‖2の最大化と書かないのは，慣用の用語に倣うためであって他意はない．特にβとして，2点α＜0，ゐ＞0で挟まれる相次元の矩形
領域Cm：＝†ガ∈点れ1α≦ご≦りを考えると，矩形の2れ個のすべての端点は上の問題の局所最適解となる．しかし，だからといってこの間題が難しいわ

けではない．実際，最適解ガ＊＝（∬；，‥．，∬ニ）Tはl鞘l≧l裾の場合

J・・＝〈ご、、点列挙について述べようと思う．
2．外部近似法問題（＊）は凹目的関数の最小化問題なので，最適解はβの端点の中に探せばよい．従って，端点をすべて列挙してしまえばこの間題を解くことができる．しかし，この間題の困難さは，多面体βの端点の多さに由

lα壱l≦l裾の場合来する．そこでβを端点が少なくしかも容易に計算と簡単に得られる．実行可能領域が，Cmを何らかのできる別の多面体で囲み，その上で問題を解いて得ら直行変換（距離を保存する）で回転した領域として与れた点が釧こ入っていることを期待する方法が外部近えられている場合も同様に易しい．しかし，刀が一般似法である．それを次のページに図と併せて示す．別の多面体となるとこの問題はⅣクー困難であることがの多面体としては初めにシンプレックス1がよく用い知られている［5】．先の，局所最通解の多さは問題のられる．この算法がβを定義している制約の本数以難しさを説明していない．何が難しさの理由かに対しては満足できる回答は用意されていない．
大域的最適化あるいは非凸最適化でよく使われる手法といえば，切除平面法，分枝限定法，下包凸関数，外部近似法，内部近似法，端点列挙などであろう．こ下の反復で終了し，（＊）の最適解を与えることは明らか．しかし悲しいかな，途中で得られる点y鳥はいずれも実行可能解ではない上，問題（＊）と同じ構造を持った問題（Qた）を何度も解くことが要請されている．ただし，もしも島の端点すべてを鳥＿1の端点から作りの内，切除平面法，分枝限定法はよく知られているの出すことができれば，問題（仇）を解くことかできるで，この報告では問題（＊）を題材として外部近似法とが，この間題は後の端点列挙と関連しているのでしば

内部近似法，それに付随して登場する下包凸関数と端し置く．前者の問題点は下包凸関数を利用すれば克服

やまもと よしつぐ 筑波大学社会工学系〒305−8573つくば市天王台1−ト1
1999年5月号

1次元＋1佃のアフィン独立な点の凸包，2次元なら3角形，3次元なら3角錐© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（5）22丁可能である。

れはAo，．．。，ÅⅣを変数とする線形計画問題

乱州七 ∑禁。軋什嗅

外部近似法（Ke且鼠y仙C貼emey｝Go且dsもe叫2，9】）＜風＞（初期イヒ）、‥．−：∴ ∴二∴．こ：∴−・‡・J

脳を食むシンプレックスPlを作りゐ←lとす′∴り∴こ∴

る′：ノ：・ニー‥∴・、＼）＜慧＞（下界）問題（銚）：mim仰梱i2S．も．∬∈為を解き封ゐをを解くことによって計算できる．さて，関数一腹＝2の下包凸関数牒を使った逐次下包凸関数近似法は下のよその最適解とする〃

うになる。ここで鞄の端点はゐによって変化サるが記＜3＞（終了判定と制約の追加）
もし野ゐ ∈皿であれば終了。そうでなければ野泡が潤たして∨−ない制約飢を見つけ，鞄＋1←−．■、：：∵・・：く．．‥．い・・・・、‥ ニー∴−、：く、〜＞

号を煩雑にしないために一律に㌦，…，∫UⅣで示す。手順＜ 2 ＞の点即の目的関数値は問題の最適値の下界を与えることからこの算法が終了した時点で即が最適解となるひ また，解Åゐ＝（郷…，鳩）Tから∬ゐ＝♂、＼∑スタ働メと決まる点∬鬼は問題の実行可能解となり，従ってその目的関数値は問題の最適値の上界を与えるむ
この算法でも下包凸関数卯逐作るために穐の端点集合が必要になることに注意して欲しい。
逐次下包凸関数近似法（Falk欄0鮎−an［4〕）＜1＞（初期化）βを含むシンプレックス凧を作り，ゐ←軋とする。

＜2＞（下包凸関数の最／j、化）叩庁酬2の鞠上での下包凸関数卯を作り，そのβ上での最′j、化問題を解く。その最適解を㍍＝（Å畠，・・，鴇）として，γを血＝拍車周＞0）
閣2 外部近似法を達成する点とする。
＜3＞（終了判定と制約の追加）
もし′Uがβに属していれば，終了。そうでな凸集合ぜ上の凹関数㌔に対してその下包凸関数甲とはければ，′びが満たしていない制約 飢を選び，◎汐は腰上で凸関数

鞠＋1←ぜ㌔∩畑可庸（￡）≦0），彪←ゐ＋1と0脛の任意の点影で汐（ぉ）≦㌔（∬）

して＜2＞へ。

。上の2つの性質を持つ関数の中でダは極大なる関数である。つまり，凹関数ヂを下から最もよく認。包含問題

近似サる凸関数である，一見面倒に見えるこの関数
はタ㌘が有罪多面体でその端点，これを即0，…，即Ⅳとする，が分かっているときには線形計画問題を解くことによって得られる。実配点諾∈Pでの関数値p（∬）
は、∴・ニ ‥− ‥：∬＝∑芝。α￡U盲∑芝。αよ＝且α壱≧0（嘉＝0，…】Ⅳ）

いま我々の問題（＊）の実行可能解，つまりかの点盃が得られているとしよう。このとき目的関数値−＝可i2が叩胆卓毒2以上の点の全体，つまり関数叫‖」l2のアッパーレベルセット，を・い、．＝一、、：−・・・卜占．二＞‥い＝∴と書くことにすると，義が最適解であることと，この超球エ（義）がガを含んでいることとは明らかに等価でで与えられる。この区分的に線形な凸関数アのか上である。￡（盃）がかを含んでいない場合にはβの端点での最小値はずの股上での最ノj、値の下界を与えるが，そ且（孟）に含まれていないものがある。なぜならタ もし

翌夏爵（6）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ0リサーチ

もβの端点がすべてエ（孟）に属していれば，βの端点・Pは†∬∈Rml∬≧0；（αりT∬≦ゐ盲（ま＝1…，m））と全体の凸包が剖こ等しいことと，凸包を作る演算の単表現されていおり，原点はPの非退化端点である調性からβがエ（孟）に含まれてしまうことになるからを置くと，原点が等号で満たしているPの不等式は非である．今，そのような場合にはエ（盃）に属しないβ負条件だけとなる．他の不等式の両辺に適当な定数をの端点の1つを求めることができると仮定すると，次掛ければ右辺定数をすべて1にそろえることができ，の算法が考えられる．

P＝（∬∈軍1（巧T∬≦1（哀＝1…，m））＜1＞（初期化）βの端点を求めて，Wlとし，鳥←1とする．と書くことができる・ここで月号は点れの非負象限を表す。このとき＜2＞（終了判定）
β⊆エ（びりが成り立っていれば，終了．

ファセット一端点双対定理＜3＞（新しい端点）

γ盲がPのファセットを決める必要十分な条件はβ＼ム（ぴぁ）に属するβの端点を1つ求め，それγ豆がPOの端点であることである

をび叫1とし，ゐ←ゐ＋1として＜2＞へ．

が成り立つ．ただし，㌦がファセットを決めるとは等

図3のように，起球エ（ひりの半径は単調に増加するこ式（巧T㌶ ＝1を満たしているPの点の集合Pnと，βの端点の個数は有限であることからこの算法は†ごl（巧T∬＝1）がPのファセットであることである．

明らかに有限回の反復で終了し，問題の最適解を与え5．内部近似法る．従って手順＜2＞と＜3＞がどのように実行できるかが残された課題である．以下の2節で手順＜2＞我々の問題（＊）に戻ろう．多面体釧こ非退化端点があると仮定すると適当な正則アフィン変換を施すことと＜3＞のための内部近似法を説明する．

によって，前節で則こ対して仮定した2つの仮定をβが満たすようにできる．ただし，目的関数−1匝‖2も変換され，その等高線は円（超球）ではなく，図4のように楕円（体）となる．この変換された凹目的関数を

図3 βと⊥（膵克）

4． ポーラー
点れの集合Pに対してPク：＝（y∈点れIPの全点㌶についてyT∬≦1）

図4 変換された問題に対する内部近似法と定義されるPOをPのポーラーと呼ぶ．yT￡が影の関数として線形であることから，Pが有界な多面体で′（ガ）と書く．内部近似法の骨子は，ある探索点Ⅷのあれば，POはPの端点集合によって決める関数JのアッパーレベルセットエJ（ぴ）が多面体

PO＝（y∈月和げの全端点γについてyTγ≦1）βを含んでいるかどうかの判定を，エバぴ）を内部からと書くこともできる．さらに，記述を簡単にするため近似する構造の簡単な多面体を作って行おうというも若干の仮定のである・以下，エJ（∽）を単にエと表し，原点がその1999年5月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（7）229

内点であることを仮定し，内部近似法を下に示す。この算法を3節の算法が作り出す探索点Ⅷおの決めるレ
ベルセット且プ（wゐ）と朋に対して剛−れぼ，Ⅷゐが問題（＊）の蔵通解であるかどうか判定し，そうでないときには田的関数を改良サるかの端点を見つけることができる

内部近似の多面体為を定義している線形不等式が既知であるとして少 非負条件以外のその不等式を（即富）W∬≦且（痘＝且，…，印す）とするとp下の手順＜2＞＜3＞は線形計画問題

・こ こ、・、￣・；・：・を解くことによって実行できる。実際すべての斎について卵（即盲）≦且であれば＼朋は為に含まれ，そうでない場合にはこの線形計画間題の最適解として為に含ま
図5 貧，Zl，凸，PP，f晋

れなも、戯の端点が得られる。初期のPlはシンプレックスなのでサ その線形不等式表現を作ることは易しい。
内部近似法＜且＞（初期化）

和本の座標軸と且の境界が交わる点と原点との凸包を厨1とし，ゼ←1とする。

6。端点列挙外部近似法，内部近似法のいずれの算法でも解く必＜慧＞

βが為に食まれるかどうかを判定し，含まれれ要があったのはば終了（のは且に食まれる）。
端点列挙問題＜3＞（新しu一端点）

皿が俄に食まれない場合には㌦∈β＼戯なる

ダ＝‡∬極直）≦0（盲＝1，・‥，m））の端点集合

戯の端点㌦を求める。もし′ug￠見なら終了（βy（㌘）が既知で＝紬＋1＝（αm＋1）T芳一あm＋1が与えられたとき，靡：＝ア∩頼斗‰＋1（∬）＝0）のは且に含まれない）￠

端点集合V（蔚）を求めよ

く4＞（多面体接続）

原点から㌦に伸びる半直線が￡の境界と交わる点をggとし，戯＋1を為∪‡zg）の凸包とする。

である。一般に多面体Pが与えられた個数以下の端点

ゼ←ゼ＋且として，＜2＞へ。

を持つかどうかを判定する問題はⅣダー完全であり軋

璃＋1はこの為に外部の点㌔が付け加えられている。

上の問題も易しくはない。ただし，孜々が解くことをここで4節のポーラーhの定義より要求されているのは，線形不等式系で与えられた多面体の端点をすべて列挙せよという問題ではなく，すで・ ．、ごこt！・、−−∴三‡．に端点が既知の多面体を超平面で切った切り口の端点となり，ファセット一端点双対定理より新しい内部近似
多面体鞄＋1のファセットはそのポーラー筍lの端点をを列挙する問題である。

y￣：ニiu∈V（P）まgm＋1（γ）＜0）とすると，V（厨知ることによって得ることができる。図5にガいZl，践

はV⊥の各端点から伸びるβのエッジを延長した半直とポbラ由符ブ愕を示しておく。同じノj、さな図形（線と超平面ガ：＝（￡tgm＋1＝0）の交わる点で則こ属吼△等）を付したファセットと端点が対応している。

するものの全体と一致する。図6参照．もちろんV−なすべきことば愕の端点集合を元に環←1の端点集をⅤ十：＝‡即∈V（ダ）ヨガm＋1（u）＞0）に置き換えても合を見つけることであるが，これは，外部近似法で必同じである。これによって次の盟orst−de VriesⅣThoa，i賓であった端点列挙と同じ仕事である。の算法が得られる。

芝選防（8）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ￠リサーチ

Horst−deVries−Thoaiの算法［8】ウ←￠とする．V−のすべての端点朋と，そこから伸びるすべてのエッジを延長した半直線について，半直線がガと交わるならその点をwとし，W∈Pであればウ←ウ∪（可とする．

7。ぁわりに以上，非凸最適化でよく用いられる算法の概略を紹介したが，−‖川2を凹関数に置き換えれば，これまでの話はほとんどそのまま凹関数最小化問題に適用できる．興味を持ってくださった読者は，この特集の他の論文に目を通していただきたい．さらに，参考文献の［6］や【7】を読まれることをお勧めする．また，［10］は一読に催する．
参考文献［1】P．Chen，P．Hansen andB．Jaumard，Ondlineand

O仔−1inevertexenumerationbyadjacencylist， Op−
erα五言0耶ReβeαγCん上e批rβ10（1991）403−409・

and［2］E．W．Cheney

Newton図6 Horst¶deVries−Thoaiの算法

A．A．Goldstein，s method fbr convex programmlng andTchebycheffapproximatiom，NumerischeMaihe−m血沈1（1959）253−268．

Ⅴ￣の端点に対応する基底を持っていれば，この算法の仕事は大変ではない．

また，すべての端点が非退化であると仮定して，Pの端点現についてその隣接端点の全体を〃（鋸）と書く．また朋が等号で満たしている制約の添え字集合をJ（祝）と書くことにすると，次の隣接リストを用いた算法が考えられる．隣接リストの更新が面倒だが，数値実験では先のHorst−deVries−Thoaiの算法よりも優［3］M．E．Dyer，

method，Thecomplexityofvertexenumeration

Maihemaiics qFOperaiions Researt：h8（1983）381−402．

［4】J．E．Falk and K．L．Hofhan，A successive un−derestimation method for concave minimization
problems， 〟α班emαわcβげOpeγα子吉0乃β月eβeαrCん1（1976）251−259・［5】R．Fteund andJ，B．Orlin，On the complexity

Offour polyhedralset containment problems，れた結果が報告されている．

隣接リスト算法（Cllen−Hansen−Jaumard［1］）＜1＞（初期化）

肌班emαまicαJPr叩rαmm云乃♂33（1985）139−145．
［6］R．Horst and P．M．Pardalos，HandbookofGlobal
Optimization，KluwerAcademic Publishers，Dor−ウ←￠とする．

drecht，1995．

＜2＞（新しい端点）

V￣すべての端点祝とすべてのγ∈〃（u）nl′＋について，エッジ【叫γ】とガの交わりⅧを求め，【7】R．Horst and H．Tuy，Global■ Optimization，Springer−Verlag，Berlin，1993，［8］R．Horst，J，deVriesandN．V．Thoai，ケ←ウ∪（ひ），くOnfinding

newverticesandredundantconstraintsincutting

Ⅳ（餌）←（Ⅳ（w）＼（γ））∪小〃），Ⅳ（w）←（祝），Planealgorithmsfbrglobaloptimization，Opera−

わ0几βReβ汀αCん上e抽rβ7（1988）鍋−90．

J（′∽）←（J（朋）nJ（・U））∪（m＋1）

【9］J．E．Kelley，とする．

COnVeXprOgramS，＜3＞（隣接リストの更新）

すべての叫γ∈Fに関して，け（u）nJ（γ）l＝［10］P・T・Thach，ThecuttingplanemethodforsoIving
57A〟8（1960）703−712．
Anonconvexdualitywithzerogap

乃−1なら，andapplications，Ⅳ（鋸）←Ⅳ（祝）∪（可，4（1994）44−64．

SIAMJournalonOpiimizalion

Ⅳ（γ）←Ⅳ（γ）∪（朋）とする．
1999年5月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（9）231