東海大学紀要情報通信学部
vol.3,No2,2010,pp.49-50
東海大学紀要情報通信学部
Vol. , No. , 2010, pp. -研究室探訪
研究室探訪

経営システム工学科 石原研究室
応用確率論およびデータ解析に関する研究
石原辰雄 *1

Ishihara Laboratory, Department of Management Systems Engineering
Research on Applied Probability and Data Analysis
Tatsuo ISHIHARA

1．概要する．これらを X の境界確率変数と呼ぶ．また，ファジィ数 Y の境界確率変数 Y L , Y R も同様に定義される．

経営分野およびその周辺の問題を念頭に置きながら，偶然性をもつ事象や曖昧性を持つ事象を対象にして，そPr{ X L ≤ x} = ϕ XL ( x)

れらを如何に分析し，有益な情報を引き出すかという研Pr{ X R ≥ x} = ϕ XR ( x)

究に特に関心をもっている．研究対象の設定，研究の意③ 演算式のメンバーシップ関数の定義

義や目的の確認，モデル構築のために経営システム工学

続いて X , Y の演算式に関する左右のメンバーシップおよび経営科学を中心に据え，基礎理論として最適化法，関数を作成する．たとえば， X , Y の引き算については，応用確率論，ファジィ理論を用い，分析手法としてデー次式によって作成する．

タ解析法やコンピュータ・シミュレーション技法を援用

ϕ XL −Y ( x) = Pr{ X L − Y R ≤ x}
ϕ XR −Y ( x) = Pr{ X R − Y L ≥ x}

して研究している．最近の主な研究成果，研究過程にあるものは次の４研究である．

最後に，X , Y の演算式のメンバーシップ関数を構成す

２．ファジィ数の演算法に関する研究

る． X − Y については次式により構成する．

ファジイ理論を数量に関わる問題に適用しようとする

ϕ X −Y ( x) = ϕ XL −Y ( x)ϕ XR −Y ( x)場合にはファジィ数の演算が必要不可欠である．ファジ

このような方法で，複数のファジィ数の四則演算，そのィ数の演算について演算方式が従来から提案されている他の演算を定義した．

が，演算結果のメンバーシップ関数に不自然なデコボコ

また，ファジィ数の不等関係に関する新しい定義を提があることやファジィ数の出自を考慮しないで起こる不案した 3)．現在はこの演算法をファジィデータ解析，フ都合な結果が出るなど幾つかの問題点がある．その点をァジィ回帰分析，ファジィ AHP，ファジィ線形計画法な解消するために，ファジィ数のメンバーシップ関数 ϕ (x)どに適用するための研究を行っている 4)．

が与えられたときに，この関数より境界確率変数と称す

３．集合の逆演算に関する研究

る 2 つの確率変数を導入し，これらに基づく新しい演算法を提案した 1),2)．

データ解析の一環として，集合演算の逆問題と呼ぶ問メ ン バ ー シ ッ プ 関 数 ϕ X ( x ),ϕY ( x ) を も つ フ ァ ジ ィ 数

題を定義し研究を進めている 5)6) ．いま，全体集合 U とX , Y に関する新しい演算法は次のように定義される．

その部分集合 A, B, C , D, L および集合 R が具体的に与え① 左右のメンバーシップ関数の定義られているとする．このとき，次のような方程式を設定

次の式に基づいて X の左側，右側のメンバーシップ関する．

数 ϕ XL ( x), ϕ XR ( x) を定義する．

ϕ ( A, B, C , D,L) = R

ϕ XL ( x) = max{ϕ X (t )}ここで，ϕ ( A, B, C , D, L) は集合 A, B , C , D , L の何らかのt<x演算式である．部分集合 A, B, C , D , L および集合 R が与ϕ XR ( x) = max{ϕ X (t )}t>x

えられているとき，左辺において集合 A, B , C , D , L にどY についても同様に関数 ϕYL ( x), ϕYR ( x) を定義する．のような演算を行うと右辺の集合 R を導くことができ② 境界確率変数の導入
続いて，次の式を満たすような確率変数 X L , X R を定義．

るか，この演算式 ϕ ( A, B, C , D, L) を求めよという問題を「集合演算の逆問題」と呼ぶ．
研究の結果，ある条件を満たすならば演算式を構成で*1 情報通信学部経営システム工学科 教授―
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経営システム工学科

石原研究室

応用確率論およびデータ解析に関する研究

奇数ヘッダー

An の部分集合 α に含まれる要素の個数である．また，きることが明らかになった．しかしながら解として得られた演算式 ϕ は非常に複雑な格好をしており，データ解Cn , S n ,α は次式により定義される値である．

析などに適用しようとする場合には都合がわるい．現在はこの集合式を如何にして簡単な式にすることができるかを研究しているところである．また，それとはまった

Cn=S n ,α=∏ (b − a )∑ { a + ( b − a )α }ii∈ A nii∈ A n

く別のアプローチで，式の簡単さを評価する関数を定義

iiii

して，遺伝アルゴリズムを用いた探索問題に帰着して簡上式で用いられている α i は， i ∈ α の場合に１， i ∉ α の単な表現式を求める研究も進めている 7)．

場合に０となる値である．
データ解析に関するもう一つの研究は，複数回答デー

４．生産スケジューリングに関する研究

タの解析法に関するものである．ここで述べる複数回答
データとは，複数の項目の中からいくつ選んでもよい，生産スケジューリングに関する研究については，主にあるいは，所定の個数の項目を選ぶという形で得られる修士課程の院生とともに行っている．一つは，多品目多データがある．たとえば次のようなアンケート調査のデ

段工程動的ロットサイズスケジューリングに関する研究

ータを考えることができる ．

である．スケジューリング問題としては難しい問題であ

あなたがコンビニエンスストアに置くことを特に希望する商るが，生産工程の段階を区切り，段階ごとにスケジュー品はどれですか．次の商品から幾つでも結構ですのでお選びリングを行い，これを積み上げていく計算法を開発した．

下さい．

この方法により従来計算することができなかったサイズ(A)弁当(B)惣菜

スクリーム8)の問題について計算可能となった ．

(L) 週 刊 誌

もう一つの研究は，生産計画問題への遺伝的アルゴリ

しょうゆズム（GA)の適用に関する研究である．周知のように，遺(P)電池(Q)酒類

涼飲料水(V)薬

伝的アルゴリズムは，自然淘汰と突然変異による生物進(C)たまご(F)文房具(D)カップラーメン(G)切手(H)米(M) は が き(R)お菓子(I)肉(N) 歯 ブ ラ シ(S)つまみ(E)アイ(J)塩(K)(O) 靴 下(T)タオル(U)清…

この調査の結果，たとえば次のようなデータが得られる．
FGLSPK ， ABCDEFGHI ， ABDLQSUV ， AUHNQ ，GDRNHFQSKM，CBRMF，VKMGL，SRQPFE，…
本研究室では，このような複数回答データの分析法について新しい方法を提案した 10)．

化のプロセスを最適化問題に適用するためのアルゴリズ
ムである．生産計画問題に遺伝的アルゴリズムを適用する場合に，問題となるのは，GA の基本ステップである新規個体の生成や個体同士の交叉である．ここに述べる初期個体とは初期生産計画であり，個体の交叉とは 2 つの生産計画を重ね合わせて新しい生産計画を作成すること

参考文献である．これらの操作を行う場合には意味のある生産計画を作成できるか否かが重要な課題であるが，本研究室

1）石原辰雄：ファジィ数の四則演算に関する一提案，日本経営

では，生産圧力という指標を考案しこれを新規個体の生システム学会誌 Vol.18, No.2, pp.25-32, 2002
2）石原辰雄：境界確率変数を用いたファジィ数演算，日本経営成や個体同士の交叉に適用することにより，この課題をシステム学会誌 Vol.21, No.1, pp.9-15, 2004

克服する見通しを得た．目下，この考えのもとに生産計

3）石原辰雄：境界確率変数に基づくファジィ数不等関係の定義画問題解法のための計算プログラムを開発中である．

およびその特性の考察，日本経営システム学会誌 Vol.24, No.1,
pp.33-39, 2007

５．データ解析に関する研究

4）石原辰雄：グループファジィ AHP に関する一提案，日本経営システム学会誌 Vol.19, No.1, pp.59-67, 2002
5) 石原辰雄：集合の逆演算とデータ解析，第 38 回日本経営シス

確率論分野における理論的研究として，異なる範囲にテム学会研究発表大会論文集，pp.74-77，2007

分布する複数の一様確率変数の和および積の確率変数の分布特性について研究した

9)6) 石原辰雄：集合の逆演算とその応用，第 39 回日本経営システ．同じ種類の確率変数の和ム学会研究発表大会論文集，pp.176-179，2007の分布がどのような関数によって表現されるかについては正規確率変数を除いてはほとんど研究されていないが，本研究室における研究によって，上記の和と積の分布関本経営システム学会研究発表大会論文集, pp.188-191, 20088) 田中優,石原辰雄：多品目多段工程動的ロットサイズスケジ数が明らかになった．すなわち， (ai , bi ), ai < bi 間に分布ューリング計画のカスケード型解法の提案, 第 44 回日本経営

す る 一 様 確 率 変 数 X i , i = 1, L , n の 和 S = X 1 + L + X n のシステム学会研究発表大会論文集, pp.66-67, 2010

確率密度関数 f (x) は次式で与えられる．

f ( x) =7) 石原辰雄：GA を用いた集合演算の逆問題の解法，第 41 回日9)石原辰雄：独立で非同一な分布に従う一様確率変数の和および積の分布, 日本応用数理学会論文誌,Vol.12, No.2, pp.1-11,1∑ (−1) Nα max{0, ( x − S n,α )}n−1(n − 1)!Cn α ∈Bn200210)石原辰雄：複数回答データの解析法に関する一提案, 第３６回日本経営システム学会講演論文集，pp.152-155，2006

ここで， Bn は集合 An = {1,L, n} のベキ集合， Nα は集合―
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