ORと統計の融合

数理計画法を用いた最適線形判別関数（3）一多重共線性のある医学データの分析一
新村 秀一…I…lllllllllllllll…州＝＝＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖＝‖＝＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖川＝…拙‖州＝…………岬‖lll………………………l川……………………………………‖‖＝川‖‖‖‖川‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖川Illlllll川l川‖‖‖‖‖＝‖州l

められた．松木（1978）は，本データを用いて後で紹

1．対象データ

介するDOClとDOC2と呼ばれる2つの判別モデル

ここでは，新生児が児頭骨盤不均衡（Cephalo−Pel−vic−Disproportion，略してCPD）か否かを判定するを導いているが，このモデルは鈴村氏法の妥当性を示
す変数を含んでいな㌧−．

日本医科大学鈴村名誉教授が開発した鈴村氏法の妥当

本データを用いた理由は，三宅・新村（1979）で，性を調べる目的で集められた医学データを用いる．鈴探索的な最適判別関数の評価に用いたが，計算時間の村氏法とは，CPDの疑いのある新生児に対して，妊制約で6変数までしかアプローチできなかったことで婦のレントゲン写真から児頭の輪郭を紙に写し取り，ある．今回は，整数計画法による新しいアルゴリズム

それをレントゲン写真上で動かし，児頭と骨盤の関係と進歩した情報処理環境による20年後の再挑戦であを検討する．そして，自然分娩（180例）や帝王切開

る．

（60例）などのいずれの処置方法を選択するかを決め

また，アイリスデータと異なり￣，変数の数が19変数と多く，多重共線性を含み，データ件数も240件る方法である．
表1のデータは，これを統計的に実証するために日（すなわち，240整数変数）と少なくないからである．

本医科大学第1病院の鈴村・松木・武井らによって集

すなわち，現実のデータで問題になる，多重共繰性を考慮したモデル選択を考えている．

表1説明変数

X9とⅩ12は，それぞれ児頭と骨盤に関する2つの計測値の差であり，鈴村氏法の妥当性を示すと期待

Ⅹ1：年齢
Ⅹ2 ：経産回数
Ⅹ3 ：仙骨の数
Ⅹ4 ：入口部前後径
Ⅹ5 ：かつ部前後径
Ⅹ6 ：狭部前後径
Ⅹ7 ：最短前後径
Ⅹ8 ：児大横径される変数である．しかし，このため説明変数間に多重共線性が含まれることになる．また妊婦であるため，

Ⅹ1（年齢）やⅩ2（経産回数）とⅩ3（仙骨の数）
は，正の打ち切りのある整数値である．このため，従来の判別手法の理論的前提である多次元正規分布という条件を満たしているとは思われない．

Ⅹ9 ：Ⅹ7−Ⅹ8

Ⅹ10：入口部前後経
Ⅹ11：入口部横径2．解析結果Ⅹ12 ：Ⅹ13−Ⅹ14

2．1基本的な分析

Ⅹ13：入口部面積
Ⅹ14：児頭面積
Ⅹ15：子宮底Ⅹ16：腹位
Ⅹ17：外結合線
Ⅹ18：大転子間径
Ⅹ19：側結合線（1）分析の枠組み

表2は，SASのRSQUAREプロセジャーに，今回提案する手法の結果を付け加えたものである．

SASのRSQUAREプロセジャーは，説明変数の全ての組み合わせの回帰モデルを評価している．すなわ

ち，19個の説明変数から，（219−1）個すなわち約50
しんむら しゅういち
成渓大学経済学部〒180−8633武蔵野市吉祥寺北町3−3−1
1丁2（38）万個の回帰モデルを検討したことになる．そして，デフォルトでは，説明変数の総数と同じ数の上位19個のモデルを説明変数が1個から18個の場合に出力す© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

表2 CPDデータの総括衷
PRank TypeIP LPFPQP F5Q5 R−Square C（p） AIC

鋭明変数

11 FBrb19212322

26 27 0．521

22．3 −568．4

X12
X9X12

2 2 FBfb13161720

32 27 0．559

4．Z −585．9

3 3 FBfb12191922

22 20 0．565

3．0 −587．2

X9X12X柑

4 1 Frb lO191718

22 21 0．572

1．3

X9X12X15X18

4 3 B 11 22 20 20

23 23 0．568

3．2 」娼7．O X9X12X13X柑

51 Ff lO Z21718

24 17 0．575

1．6 −588．7

5 2 b−588．9

X9X12X15X17X18

8161716

24 24 0．574

2．0 −588．3

s 3 B 11 21 19 31

22 39 0．5乃

2．5≠X9X12−X14X18

X2X9X12X15X18

6 1 B 9 20 16 32

22 36 0．578

1．9 −588．5

6 2 b

X9X12−X15X18●

7141715

22 24 0．577

2．3−588．1

XIX2X9X12X15X18

6 3 Ff 8181616

24 25 0．577

2．5−587．9X2X9X12X15X17X18

6 ● m20

22 23 0．565

8、3 −587．3

X5X9X13X14X17X18

6 ● ml1241922

22 20 0．5朗

8．4

−587．2

X7X9X13X14X17X18

7 1 B

2135 0．582

1．8 −588．7

X9X12−X15X17X18

9ZO1530●

7 2 Ffb 7 1616 155

23 17 0．580

2．7 −587．8

XIX2X9X12X15X17X18

81 F

61814 919 16 0．584

3．0 −587．6

XIX2X7X9X12X15X17X18

8 2 B 8171727

2135 0．584

3．0 −587．5

8 5 rb 61814 9

19 16 0．583

3．2 −587．4

XIX2X8X9X12X15X17X18

91 B 6161623

19 29 0．586

3．6

XIX2X9X12−X15X17X18

9 2 F 41015 9

2016 0．586

3．6 −587．1

XIX2X5X7X9X12X15X17X18

9 3 rb 41014 9

20 15 0．585

4．0 −586．6

XIX2X5X8X9X12X15X17X18

10 1 B 617 15 244

18 26 0．588

4．5 −586．2

10 6 F

41014 820 15 0．587

5．1 −585．7

10 ● fb 3101410

20 15 0．586

5．7 −585．2

XIX2X5X8X9X12X15X17−X19

11 1 B 4 1013 222

20 28 0．590

5．4

XIX2X5X7X9X12−X15X17X18

11● F

4 813 919 13 0．582

12．0 −586．9

XIX2X5X7X9X12X13X15X17−X19

11● rb 3 81311

20 13 0．587

7．4−583．5

XIX2X5X8X9X12X13X15X17−X19

121 FB 4 91321

19 26 0．5飢

6．9

−584．O XIX2X5X7X9X12−X15X17−X19

12 ● fb 3 91311

22 15 0．588

9．1 −581．9

XIX2X5X8X9X12X13X15−X19

13 1 FB 3 9131777

20 23 0．592

8．6 −582．3

XIX2X4X5X7X9X12−X15X17−X19

13 ● rb 3 715 9

23 13 0．588

11．0 −580．O XIX2X5X8X9Xll−X13X15−X19

14 1 FB 3 81516

20 22 0．592

10．4 −580．6

14 ● fb 2 61510

23 10 0．588

13．0 −578．O Xl−X3X5X8X9Xll−X13X15−X19

15 1 FB 3 6151777

20 20 0．592

12．2 −578．7

15 ● fb 2 515 7

23 11 0．588

15．0 −576．O Xl−X3X5X8−X13X15−X19

16 1 FB 3 6 16 21

21 23 0．593

14．1 −576．8

16 ● fb 2 415 7

23 10 0．5揖

17．0≠Xl−X3X5X6X8−X13X15−X19

171円

22 21 0．593

16．0 −574．9

18 1

円

2 516192 51517191 田 2 31516−587．1−585．5

XIX9X12−X15X17X18

XIX2X7X9X12−X15X17X18
XIXZ X5X7X9X12X15X17−X19

XIX2X4 X5X7X9Xll−X15X17−X19

XIX2X4 X5X7X9Xll−X19

XIX2X4X5X7−X9Xll−X19

XIX2X4 X5X7−X19

22 21 0．593

18．0 −573．O XIX2X4−X19

22 20 0．593

20．0 −571．O Xl−X19

る．19個の場合は，1個のモデルの統計最を出力する．
すなわち，（18×19＋1）個のモデルを出力した．
最初の数字（p）は，回帰分析に用いた説明変数の個最右端の変数は，選ばれた説明変数を表わす．2番目（Rank）は，孟見明変数が同じ個数のモデルの中で，該当するモデルの決定係数が何番目に良いかを示す順

数を表わしている．p＝1から18のそれぞれで，決定位である．ただし20番目以降はRSQUAREで出力係数の大きい上位19偶のモデルを出力したが，そのしなかったので，STEPWISEプロセジャーで別途計中から重要なもののみを表示してある．

算し，順位は不明なので ● で示してある．

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（39）け3

What，sBest！を用いた．

（2）基本系列

逐次変数選択法では，FinとFoutの打ち切り基準

FPとQPは，データ件数に比例した事前確率0．75を用いて，変数選択を行っている．しかし，このようと0．25を用いたFisherの線形判別関数と2次判別関な停止則は，収束に問題が起きず計算時間に影響のな数，そしてF5とQ5は事前確率が0．5である場合のい逐次選択法では，実際の応用局面では意味がないと判別分析の誤分類数である．SASのDISCRIMプロ

考える．

セジャーで計算した．

そこで，停止則を考えないで1変数からフルモデル

表中のモデルの全てが，ズ2検定で棄却された．しまでのモデル系列を検討すべきと考えている．その意

かし，必ずしも2次判別関数の成績（誤分類数）が良味で，停止則を用いないで得られた変数増加法と変数いわけではない．すなわち，2次判別関数の現実への減少法のモデル系列を，上昇基本系列と下降基本系列

適用が疑問視される．

と呼ぶことにする．

（4）モデルの検討

3番目（Type）の記号は，Fが19変数の上昇基本
系列（19F），Bは下降基本系列（19B）を表わしている．fは，19変数から多重共線性のある（Ⅹ4，Ⅹ7，

その後は，モデル選択に用いられる，決定係数，

Ma1low，sのCp統計量，赤池のAIC基準である．
赤池のAIC基準は，4変数のモデル（Ⅹ9，Ⅹ12，

Ⅹ14）の3変数を省いた16変数の上昇基本系列（16Ⅹ15，Ⅹ18）が良いことを示唆している．このモデf）である．多重共線性の解消方法については，新ルは，タイプがFfbであるので，19変数の変数増加

村・三宅（1983）と新村（1996）を参照してほしい．

法と16変数の変数増加法と減少法の両方で選ばれてbは，多重共線性のない16変数の下降基本系列（16いることが分かる．このモデルには，鈴村氏法の良さb）である．

を示すために付け加えられたⅩ9とⅩ12が含まれてDOClとDOC2は，本データを集めた松木いる．

これに対して，松木が選んだ6変数のモデルには，（1978）が選んだモテリレである．

すなわち，19変数の変数増加法では，轟初の1変

Ⅹ9は含まれるがⅩ12は含まれていない．多重共線

数モテリレ（Ⅹ12）が選ばれ，次に2変数モデル（Ⅹ9，性に対する配慮や，基本系列という考え方がなかったⅩ12），そして3変数モデル（Ⅹ9，Ⅹ12，Ⅹ18）とためであろう．

いうようにモデルが逐次選ばれ，最終的に19変数の2．2 基本統計量と平均値の差の検定モデル（Ⅹ1−Ⅹ19）になる．（−）は，Ⅹ1からⅩ19ま（1）基本統計量

での19個の変数を表す省略記号である．

表3は，表2のIP列からQ5列までの6個の誤分

19変数の変数減少法は，（Ⅹ1−Ⅹ19）から始まり，類数の基本統計量である．データ件数は，基本系列でp＝18の行に示すように変数Ⅹ3がモデルから掃き出され（Ⅹ1，Ⅹ2，Ⅹ4−Ⅹ19）が選ばれる．p＝17で

表3 誤分類数の基本統計量

はⅩ6が掃き出され（Ⅹ1，Ⅹ2，Ⅹ4，Ⅹ5，Ⅹ7−
Ⅹ19）が選ばれている．そして，最終的に1変数モデル（Ⅹ12）になる．

多重共線性を省いた16変数の変数増加法では，pが1から7まではFと一致しているので，19変数と同じモデルが選ばれていることが分かる．16変数の変数減少法では，pが16変数から4変数までは，b

平均値中央値最小値最大値25，i点 75，i点 範囲 四分位範囲
6．250
5
2 19 3，0 9．0 17
IPしP 13．000 123
24 8．0 18．0 19
FP 15．丁75 15 13
23 14．0 17，0 10
QP 16．875 177
32 10．0 21．5
25
F5 21．650
22 18
32 20．0 23．0 14
05 21．325
21 10
39 15．5 25．5
29
1 13 4．0 10．0 12
しPIP 6．750
6FPIP 9．525
94
川 8．0 11．5 10
QPIP 10．625
83
23 6．5 16．0
20
F5IP 15．ヰ00 167
21 13．0 り．5 1405IP 15．0了5 12
丁28 10．0 19．5
21

6

10
3

11．5
3

10
6

3．5
9．5
4．5
9．5

はBと一致せず，3変数ではじめて同じモデルを選んでいる．

表4 t−検定（3）誤分類数である．

IPとLPは，シカゴ大学のL．Schrage教授が社長を務めるLINDO社の提供する数理計画法ソフト
1丁4（40）﹃げ印QP円郎

4列目から9列目の数字は，各判別関数の誤分類数

IIP

LP

QP

FP

F5

Q5

0．∝）0 −12．660 −24．490 −11．797 −27．659−15，44212．6600．∝旧−7．94024．490

3．475

0．000

一1．151 −16．075

1l．Tg7

3．967

1．151

0．∝旧

−3．47527．6598．920 16．075

15，442

7．940© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

5．345−3．96了−5．345−4．349 −10．川9

4．349

10．149−8，9200．000−0．283

オペレーションズ・リサーチ

0．283

0．∝氾

選ばれた38件とDOClとDOC2の計40件である．

るので省いた．この図から，アイリスデータと異なり，

Q5の彼のLPIPは，LPからIPを引いた差を表す．

一般的に次のことが分かる．

多くの分析結果があれば，それらを用いてさらに統計

・IP−OLDFは，1変数から19変数と増えるに従い，分析し，分析結果を統計的に評価することができる．

誤分類数は単調に減少している．しかも，他の3つに比べ成績は明らかに良い．

平均値と中央値を比較すると，IP＜LP＜FP＜
QP＜Q5＜F5の順に大きくなる．Q5とF5の成椅

・この単調減少性は，一般的に次のように説明できる．

が悪いことから，このデータでは，事前確率はデータp変数で誤分類数を最小とする判別関数が得られた件数に比例させた方がよいことが分かる．これ以降，とする．このモデルに，任意の残りの変数を加えた

F5とQ5は参考程度に考えることにする．

モデルで，追加した変数の判別係数を0にすれば，（p＋1）変数モデルにおいてp変数の誤分類数は最最大値は，IP＜FP＜LP＜QP＝F5＜Q5の順に大きくなる．LP−OLDFの中には，誤分類数が線形判別低保証される．すなわち，単調減少になる．

関数より悪くなるものもあるようだ．やはりQPは，・この単調減少性は，誤分類数で表され，決定係数の他の3手法より最大値が大きいことが分かる．

単調増加性よりも分かりやすい．
この他，このデータに依存した次の傾向が読み取れ

範囲は，FP＜F5＜IP＜LP＜QP＜Q5のl（酎こ大き
くなる．四分位範囲は，FP＝F5＜IP＜LP＜Q5＜

る．

QPの順に大きくなる．線形判別関数の誤分類数のバ・LP−OLDFは，1変数から8変数までで，誤分類数

ラツキが一番小さく，それを除けばIP−OLDF，LP−の変動が激しい．12変数以上で単調に減少してい

OLDF，2次判別関数の順は分布の代表値である平均

る．

・線形判別関数は，変数が増えても単調に減少しない

値や中央値と変わらないことが分かる．
（2）平均値の差の検定

で，6変数以上では誤分類数は16個から13個の間

表4は，2変数の平均値に差があるか否かのt検定で変動している．判別分析における問題点は，このを表すt値を行列表記したものである．網掛けしてあように誤分類数が決定係数のように単調減少でない

るFPとQP，およぴF5・とQ5以外は，5％で棄却さことである．このため，モテリレを逐次変数選択法でれる．すなわち，FP（F5）の平均値はQP（Q5）よ決定したり，特定のモデルでFisherの線形判別関り′トさいが，統計的には差が認められない．

数と2次判別関数を誤分類数で比較しても確定的な

結局，平均値の差の検定からも，IPが一番判別成績が良いことが分かった．

ことは言えないことが分かる．
・2次判別関数は，1変数から8変数までで減少し，8変数から11変数まではほぼ同じ値をとり，11変数

3．上昇・下降基本系列での評価以上になると急に誤分類数は咽えている．表2を見（1）上昇基本系列

れば分かる通り，11変数モデルには（X12，

図1は，横軸がモデルに含まれる説明変数の数pⅩ13）が含まれているが，12変数モデルになってを，縦軸は誤分類数を示す．表2のFで表される19

Ⅹ14が入って多重共線性の影響が出たためと思わ個の上昇基本系列のIPとLPとFPとQPの誤分類れる．この2次判別関数の振る舞いは，これまで指数をまとめたものである．F5とQ5は，見にくくな

摘されていない知見である．

t 2 3 4 5 8 丁 8 910111213141518171819

12 3 4 5 8 7 8 glOll1213川15181T1819

図1上昇基本系列上の誤分類数

図2 下降基本系列上の誤分類数

2002年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（41）1丁5（2）下降基本系列

な傾向になった．他の3手法は，19変数と同じ傾向

図2は，下降基本系列の誤分類数をまとめたものでである．

ある．モデルは，19変数から1変数と降順で選ばれ

図4は，16変数の下降基本系列である．やはり，2

るが，説明は上昇基本系列と同じ昇順で行うことにす次判別関数が，LP−OLDFと似たような傾向になった．

る．上昇基本系列と同じく，次の結果が得られた．

他の3手法は，19変数と同じ傾向である．

・IP−OLDFは，1変数から19変数と増えるに従い，

すなわち，IP−OLDFと線形判別関数とLP−OLDF

誤分類数は単調に減少している．しかも，他の3つは，多重共線性に影響されず，次のような特徴がある．

に比べて成績は明らかに良い．

・IP−OLDFは，単調減少する．

・LP−OLDFは，1変数から9変数まで変動しながら減少している．10変数以上で単調に減少している．

・線形判別関数は，変数が増えても単調に減少しない
で，6変数以上では誤分類数は17個から13個の間で変動している．

・線形判別関数は，単調減少しない．
・LP−OLDFは，変動しながら，pが大きくなってから減少していく．

2次判別関数は，多重共線性の影響を一番強く受け，多重共線性がなくなってはじめてLP−OLDFのよう・2次判別関数は，1変数から6変数まで増加し，6変数以上で変動しながら減少している．表2の19

変数の下降基本系列を調べると分かる通り，5変数に変動しながら減少していく．

4．多重共線性の評価

モデルまでは多重共線性が含まれており，4変数モ（1）基本系列での比較

デルでは多重共線性が解消されているため，減少し

図5は，表2のIP−OLDFの誤分類数を各基本系列ていくのであろう．

毎にまとめたものである．19Bで表される19変数のすなわち，2次判別関数では図1と図2の増加と減下降基本系列の成績が一番悪く，16bで表される16少のパターンが逆であるが，いずれも問題であること

変数の下降基本系列の成績が良いことが分かる．残りが分かる．他の3手法では上昇基本系列でも下降基本の2つは，重なる部分もあるがその中聞にある．

系列でも同じことがいえる．

経験的には，「逐次変数選択法では，変数増加法よ（3）多重共線性の解消

りも変数減少法の成績が一般的に良いことが多い．」

図3は，多重共線性を解消した16変数の上昇基本と言われている．しかし19変数のデータのように変系列である．2次判別関数が，LP−OLDFと似たよう数の数が比較的多く，多重共線性のある場合には，変数減少法では多重共線性のある変数を最初からモデルに含むので，それが掃き出されるまで（誤分類数で表される）成績が悪く，変数増加法ではそれをできるだ
け最後まで含まないようにさける傾向があるので成績が良いのではなかろうか．それに対して，多重共線関係のない16変数では，従来の知見と同じく変数減少法の成績が良くなったと考えられる．
このような指摘は，従来のモデル選択に用いられる
図3 上昇基本系列（16vars．）

2345878910111213＝1510

図4 下降基本系列（16vars．）
1丁6（42）

12 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819

図5 各系列でのIP判別分析の誤分類数比較© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

表5 AIC茄′トモテリレにおける判別係数
X9
X12
X15
X18
定数項
IP
−5．36正一2 −6．177モー3 1．封1E−2 −1．24！正一2 口l．P＿3．2征−3 ・■．791EJl 8．071【」l −3．823亡−3 口F（0．75．0．25） ーg．34寛一3 −l．53笠−3 1．60正一3 −3．74旺−3 口F（0．5，0．5） j．5旺一3 ＿1．引4E−3 1．4丁正一3 −3．43花−3 口

表6 AIC最′トモデルにおける誤分類数
験分観数

10
19

lP
LP

ケース
38，58．113．174，204．罰6．207，218．220．227
15．3D．38．58．63．幻．103．113．1刃．174，餅．207．214．215．216．2勘．27．236，

239
F（0．乃．0．25） 170（0．乃，乱25） 18

F（0．5，0．5） 22

15．30，38．47．58．63．弧103．113．130．174．a川．206．罰7．210．卸，227
15，30．38，58．83，！氾．103．113．130，174．卸．X蛤．207．214．218．220．227．232
4．15．2．30．封．刃．47，5l．弘．63．87．モ臥弧駈．103．113．129．1軋l引．158．1
74．卸

0（0．5．0．5） 18

15．22，30．3軋38．47．盟．63．88．∝）．95．103．113．1乃．130．174．御．220

決定係数などでは指摘できなかった．基本系列上でモ

変数では，両方とも一致し1位である．4変数と5変デルを内部標本の誤分類数という尺度で眺めることで数のみで，16bの順位が良い．6変数以上では，19B

明らかになった．

の成績が良い．19位までしか出力しなかったので，それより悪いものは＊にしてある．

（2）医師が選んだモテリレ

松木が選んだ6変数モテリレの誤分類数は，11個とすなわち，決定係数の良いモデル（19B）が，誤分13個と悪い．モデル選択の技術が未熟な時代に行わ類数が少ないことに必ずしも対応していない．あるいれたため，判断を誤ったのだろう．

は，これまでモデルの良さを表すために用いられてき（3）AIC最小モテリレ

た決定係数が良くなくても，誤分類数が少ない16b

AIC最小化基準では，4変数モテリレを選ぶことが示のようなモデルの系列があることを示すことができた．

唆される．

この≡哩由として次のことが指摘できる．

表5は，この4変数モデルにおける判別係数を示す．

・これまで回帰診断などで，多重共線性の問題点は判別係数の符号は一致しており，あまり極端な違いは色々指摘されてきた．今回は，誤分類数という分かないようだ．表6は，誤分類されたサンプル番号を示

りやすい尺度で，判別分析においても問題点を指摘

す．IP−OLDFで誤分類されたケースが，他の判別関できた．すなわち，多重共線性のあるモデルでは，数のそれに含まれることが望ましい．IP−OLDFで誤決定係数はモデルの良さを表す良い統計量になって分類された10ケースは，Fisherでは218番目のケー

いないと考えられる．

スを除いて含まれる．2次判別関数の18例には，完・各基本系列上での決定係数とAICを比較すると，

全に含まれる．この事実は，最適化によって従来の結多重共繰関係のある6変数以上では19Bが良いこ

果とかけ離れたものが選ばれたわけではないことが分とが分かる．4変数と5変数では，16bが良くなっ

かる．

ている．1変数から3変数では，4つの系列は一致

一方，事前確率が0．5の場合は，Fisherでは5例，している．

2次判別関数では4例が含まれないことが分かる．事すなわち，多重共線性のあるデータでは，決定係数

前確率を用いて，データに比例したほうが，IP−の値が好ましくないモデルの中にも，今回のような誤OLDFの内部標本の誤分類数を最小化することに対分類数が少ないものがあるということがCPDデータ

応しているためかもしれない．

から示せた．

5．決定係数と誤分類数の食い違い
多重共線性を省いた16変数の下降基本系列（16b）の誤分類数が，他の系列に比べて良いことが分かった．しかし，表2に示したように16変数の下降基

今後，多重共線性があったり多次元正規分布から大きく逸脱する他のデータにも適用し，このことがある
程度普遍的なことか否か検証する必要がある．

6．誤分類数の評価

本系列の決定係数あるいはそれによる職位は，例えば（1）相関係数

19Bと比べて決してよくない点である．1変数から3

衷3の誤分類数と決定係数の値を相関分析すると，2002年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（43）け丁すなわち，IPの定義域［10，16］は，1変数から4IPの誤分類数は他と強い相関があることが分かる．

決定係数は，IPやFPと強い負の相関がある．

変数のモデルに対応している．この区間では，IP−（2）回帰分析による判別成績の評価

OLDF＜線形判別関数＜LP−OLDF＜2次判別関数のFP，LP，QPをIPで単回帰分析を行うと次の回帰式

順に誤分類数が増える．

平均値で得られた順位のIP−OLDF＜LP−OLDF＜が得られた．

FP＝12．843＋0．469IP（ー＝0．840）

線形判別関数＜2次判別関数は，IPの区間［4，10］に

LP＝4．776＋1．316IP （r＝0．861）

対応し，4変数以上9変数までのモデルに対応していQP＝11．172十0．913IP（r＝0．543）

る．

決定係数をIPで回帰すると両変数とも単調増加と減少を示すので，−0．921と強い負の相関がある．

10変数以上では，IP−OLDF＜LP−OLDF＜2次判
別関数＜線形判別関数の順に誤分類数が増える．
以上から，多重共線性がある場合は，3手法の優劣

R＿Squuare＝0・6−0．003IP（3）4手法の比較

は説明変数の数によって異なってくることが分かる．

図6は，線形判別関数（実線），LP−OLDF（1点鎖ただし，AIC最小モデルに対応するIP＝10前後の結線），2次判別関数（破線）の誤分類数をIP−OLDFで回帰した回帰直線を重ねがきしたものである．横軸はIPの値であり，縦軸は各判別手法の誤分類数の予果を採用すべきであろう．

7．まとめと今後の課題
今回，数理計画法を用いたIPTOLDFとLP−OLDF

測値である．

実線の線形判別関数は，IP＝0で約13，IP＝20で22の予測値である．すなわち，誤分類数の変化幅が一番少ないことを表わしている．

を現実のデータを用いて既存の手法と比較評価した．

説明変数が少なく，比較的Fisherの線形判別関数の理論的前提を満たしていると思われるアイリスデー

仮に，IPをIPで回帰すると，原点とIP＝20で縦軸が20（実線の2目盛り下）を結ぶ直線になる．すタでは，それほど優位性は認められなかった．

これに対し，医学データでは，19個と説明変数のなわち，IP−OLDFが1変数から19変数の全てのモ数が多く多重共繰性があり，離散変量などの種々の変デルで3手法より優れていることが分かる．

数が混在しているため多次元正規分布でないことは一一方，線形判別関数と2次判別関数はIP＝4（表2目瞭然である．このようなデータでは，IP−OLDFはから9変数モデルに対応）で交差し，線形判別関数と従来の手法に対して，基本系列上で比較評価すると明IP−OLDFはIP＝10（表2からAIC最小の4変数モ

らかに良い結果が得られた．

デルに対応）で交差し，2次判別関数とIP−OLDFはすなわち，IP−OLDFの誤分類数は説明変数に対し

IP＝16（表2から1変数モデルに対応）で交差してて単調減少であるのに対して，Fisherの線形判別関いることが分かる．

数は減少しなかった．また，多重共線性の影響で，決定係数の良いモデル系列よりも，決定係数が悪いにも30

かかわらずより誤分類数の少ないモデル系列があるこZ∈lとを例証できた．

Z6
Z4

このことは，多重共線性やデータが多次元正規分布

ZZ

でないため（正規性からの帝離）と考えられ，それら

ZO
p 18

の存在を視覚的に捕らえることができる指標と考えてp16も良いだろう．

14
12

また，今回の誤分類数と決定係数を相関分析すると，

10

IP−OLDFのそれは他と相関が高かった．これまで，

86

事前確率やリスクの設定で誤分類数は変化しモデル評

4

価に困難な状況を引き起こした．そこで，内部標本に20対し一意に決まるIP−OLDFの誤分類数を説明変数と0 2 4 6 8 10 1Z 14 16 18 20

して，他の誤分類数の単回帰分析を行った．同じ単調ェp

図6 FP，QP，LPの回帰式
1丁8（44）減少性を示す決定係数の結果が良いのは当然として，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチFisherの誤分類数のほうが2次判別関数のそれと比較して，IP−OLDFの誤分類数で良く回帰できた．

さらに，基本系列上の全てのモデルは，2群の分散共分散のズ2検定で1％で棄却された．これまでの理

る具体的な知見を探す必要があろう．
この新しい手法によって，多変虫正規分布を前提にした従来の判別分析では分からなかった，新しい知見が得られることを期待したい．

論の教えるところに従えば，Fisherの線形判別関数
参考文献

より2次判別関数を用いた方がよいことになるが，実際のデータでは却って取分類数が悪い例が多く存在し

人科学会雑誌，30−12，1727−1736，1978．

ていることが分かった．

しかし，IP−OLDFの単調減少性は，「けちの原理（principalof parsimony）」で表されるモデル決定には直接的に役立たない．本論文では，AIC最小化基
準を用いてモデル決定を行い，そのモデルの判別係数

や誤分類されたケースを検討したが，IP−OLDFには
特に問題はなかった．

［2］三宅章彦・新村秀一：最適線形判別関数のアルゴリズ

ムとその応用，医用電子と生体工学，18−1，15−20，1979・［3］新村秀一，三宅章彦：盈回帰分析と判別分析のモデル
決定（1ト19変数をもつC．P．D．データの多重共線性の解消− ，医療情報学，3−3，107−123，1983．
［4］新村秀一：重回帰分析と判別分析のモデル決定（2）−19

変数をもつC．P．D．データのモデル決定−，成蹟大学経今後は人工データや他の分野のデータを用いて検討することで，IP−OLDFがどのような例で成績が特に良いのかあるいは悪いのか，そしてモデル選択に閲す

2002年3月号［1］校本玄鴇：数理的解析によるCPDの判定，日本産科婦

済学部論集，27−1，180−203，1996．
［5］新村秀一：数理計画法を用いた最適線形判別関数，計算機統計学，11−2，93−105，1998© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（45）lT9