…‖……t…酬掴捌川棚闘…川棚瀾‖llll‖刷‖‖榊服‖＝……冊‖‖…暮拙川＝…相川州…‖……lll…………川……‖……………＝＝…川棚…川＝州‖…川…ll……川……川Il………＝lll………州川醐…ll………………

リバティブにおけるマルヨヲ連鎖モデルに基づく評価

宮崎 浩一…川＝lll‖酬剛…川Il柳川‖川……l榊川＝……捌‖＝lllll………l州…酬‖lll川…‖＝…l榊仙川……………l………＝州…川l………l………‖…l酬酬………榊＝…………………川＝l……＝…l……‖lll…j…＝‖……‖…＝

ないことが考えられる．草案，イギリスの天餃デリパ

1．はじめにティプ市場でさえBrody，SyrokaandZervOS［6］が指

天候は人々の行動パタ【ンを大きく左右するため，摘するように，揖造的に整合性かとれたものとはなっ天寓次第で売上が大きく変動するような製品やサ冊ビておらず，市場自身が進化していくことが期待されてスを提供している企糞は，従来から大きなリスクを抱いる状蕃である．

えてビジネスを行わなければならなかった．このタイ

過去の経験確率分布やそれを正規分布等でフィット

プのリスクを回避するための画期的な保険商品をした分布に基づいて行使の可能性を評価するような気1999年6月に三井海上が「積雪量指数オプション」

温パスをモテリレ化しなし、評価法は，極めて簡便で効果という形で誕生させた．それ以来，天餞デリパティプ

的な評価法であるが，満期までの累韓値のみの情報をの需要は急増しており．日本経済新開でも大きく取り利用して評価するため，主に次の2点の不都合が生じ上げられた．しかしをがら，その評領方法について記

る．（1）プレミアム間の相対比較が，過去のデ情タにした容易に入手可能な文献は，毎めて少ない．著者の依存するため時間の経過とともに気温変化が変わるこ知る蘇りでは．Geoffrey［3］，Cao and Wei［7］，とや比較する地点によってプレミアムは異なること等

Brody，Syroka and Zervos［6］，土方［1］が致少ないから乾しい．（2）円高リスクはとれるが冷夏毒jスタは文献である．土方［1］では，気迫デリパティプおよぴ

とれない企業には，為替リスクと天候リスクとを交換

その評価法を例に萎づいてわかりやすく全奴的に蔵説するスワップ取引のこ冊ズが考えられるが．為替派生している．GeofErey［3］では，気温デリパティヲの評証券を含む他の金融派生証券のほとんど全てが変動の価を気温パスをモテリレ化せずに行っている．Cao and

パスをモテリレ化することによって評価されているため，

Wei［7］，Brody，SyrokaandZervos［6］は共にパスをこれらとの融合ができない．気温パスをモデル化しなモデル化した評価法を採用している．前者は，気温パい評価法が弱点（1），（2）を学んでしまう理由は，評価にスが平均回帰する自己回帰時系列モデルを，後者は，おいて，満期までのペイオフの指標となる日次インデ

気温パスがfractalBrownianmotionに従うモテリレをックスに関する累積値のみの情報を利用して評価する

採用している．また，両者の相違は気温パスのモデルことに由来する．本論文では，一般的にデリバティブ化のみならず，節5で述べるように気温デlレヾティプ

評価を行うには変動のパスのモデル化は不可欠である

ヽ−一ノの評価を行う際のリスクプレミアムの導出法にも相違という立場から，気温パスをマルコフ連鎖型モデルでが見られる．土方［1］では， 日本において，現状では記述したうえで気温デlレヾテイラ7の評価を行う一つのほとんどの天韓デリバティブの評価は気温パスをモデ方法を提案し，その具体化への第一歩を，東京におけ

ル化しない方法に基づいていると思われる としている1月．2月の気温デリパティプを取り上げて示すこる．その理由としてほ，実際の．取引が欧米における程とにある．

多くないことが挙げられ，Cao and Wei［7］，Brody，

本論文の構成は以下の通り．次節では．気温デリパ

Syroka and Zervos［6］にあるような特巧なモデルでティプの商品説明と気温パスをモデル化しない評価法

評価するほど市場が適切な値動きをしているとはいえを手短にまとめたうえで問題提起を行う．節3では，気温パスをモテリレ化した気温デリパティプの評価法に

みやざき こういち
電気通信大学 システム工学科〒182−8585讃布市誘布ヶ丘1−5−1
受付01．10．1採択03．1．14
王1轟（58）

関する海外の先行研究を手短にまとめたうえで，本稿の評価法がどのような位置付けになるかを示す．節4
では，気温パスの性質を記述するモデルとしてYin© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ椚ションズ・リサ巾チand Zhang［4］におけるマルコフ連鎖型気温変化モデ

HDDか400を上回った場合には，A態は何ら支払い

ルを鮭散時間の枠組みで取り上げ，具体的な実デ【タを受けられず，B社は，当初の保険料であるに基づいて，現実的なHDD（Heating Degree Days

28，000，000円全額が利益となる．

の略語であり，日次平均気温が18．33℃を下回る債）

2．2 気温バスをモデノHヒしない評価法に関する累祷値の分布を得る方法と分布例を示す．節

節2．1で示した商品例のケボスを取り上げて，気温5では，市場に流通している派生謹券からりスタ中立
確率を導出する手法に関する先行研究Rubinstein［8］パスをモデル化しない評価法を示す．

（1）過去の各年（例えば1961年から2000年の40年

およぴJackwerthandRubinstein［5］とを踏まえたう

間）における1月の累積HDDを求める．度数

えで，マルコフ連鎖型モデルに基づく評価法の提案と分布に広がりかある場合には，この累積HDD

それに基づくプレミアムの比較分析を行う．最終節で分布に基づいて，広がりかない場合には，このは，まとめと今後の課題を与える．

累積HDDの分布を正規分布（又は他の分布）でフィットした分布に基づいてMax（0，400【2．気温デリパティヲの商品税明，気温パ

累諾HDD）の分布を作り，その期待値と標準スをモデノHヒしない評価法と同産捷起
ヽ J

偏差を求める．
（2）（1）で求めた期待値に，リスク・スプレッドとし2．1商品説明
米国における気温デリパティプ取引の95％は，気て標準偏差の定数倍を加えてプレミアムとする．

温に関するものであり，しかも次に定義するHDD

2．3 間蔑提起（Heating DegTee Days），CDD（Cooling Degree

節2．2で示した評価法に関して，プレミアムの相対

Days）という日々の平均気温の累積度数をインデッ

価値分析の観点から問題提起を行う．節2．2の評価法

クス化したものに関するデリパティモアである．

で必要なのは，ペイオフに関する期待値と分散であった．1月のプットオプション，コールオプション，を（定義）

日次 HDD＝Max（0．18．330C冊日次平均気温）評価する際のペイオフに関する期待値と標準偏差を各

日次 CDD＝Max（0，日次平均気温〜18．33）

分布の生成法別，ストライタ別に表1，2に示した．

与えられた期間におけるHDD，CDDは，上記の各表において， Actualけは過去の累積HDDに基づ

日次ベースのものに関する累積儀とする．

袈1January：PutOption（商品例）

オプション購入者：ガス会社A社

塾禦

オプション引受者：損害保険会社B社
取引形態：累錬HDDをインチッタスとするプット・オプション

しノ

気温観測値

：東京都

観測期間

：2001年1月1日から1月31

−

一一−
，，

No円瑚1

21．37

仙l七ov

13，10

15．20

10．38

7．10

0．40

丁．00

4．81

3帥

塁嬰
〕一

a7（I

Std

日までの計31日間
ストライク：呆諌HDD400

単位金額：1HDD＝1，000，000円

支払い条件：ストライクを1HDD下回る

詠出ko

■00

A血1

2丁．80

No門閥1

32．ヰ2
29．07

M■rkoY

22．19
28．21
25．02

lT．28 13．13
20．8t1 18．19
21．ヰ8・ 18．引蛮2January：Cal10ption

ごとに1，000．000円

プレミアム科 ：28，000．000円
この商品では，ガス会社A社は，累積HDDが400（過去40年間の1月における平均値）以下であるとき，

■20

St相場

「

5．91

人血■t

i

No円Ⅵ○一
触血Y

14．35

11．20

8．2￠

11．02

丁．82

4．37

ヰ00

410

430

3．22
5．75
1．12

つまり通常の気温よりも暖かかった場合に，1HDD
ごとに1，000，000円の支払いを損害保険会社B社から受けることになり，その保険料として28，000，000
円を先に支払うことになる．寒さが厳しく，累積
2003年3月号

納
人血I
No桐1

28．80 18．25
28．29
23．38

−b鵬ov

？

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420

■30

13．ヰ2

i盲ラ

18．75
丁・8塁

1ヰ．58
蔓二鱒

（59）21，

いた生成法であり，＝Nomal

は，過去の累積HDDとプットオプションの両方の購入，つまり，ストラドを正規分布でフィットしたものに基づく生成法であり，ルの買いを行うことが考えられる．この場合に，両方＝Markov は，節4で詳しく述べるマルコ7連鎖型ののオプションに対して，どちらか一つを単体で購入す気温パスモデルに基づく生成法である．特に， Mar−る際に用いた一定比率を用いて両方のオプションにリ

kov に関しては，節4における考察から期間2分割

スク・スプレッドをオプション購入者に対してチャ冊のケ【スに基づいている．また，節5におけるプレミ

ジすることが．引受け者のリスク回避度の観点から妥アム分析も同様にこのケ スに基づく．

当であるかという問題点である．気温パスをモデル化

今，節2．1の気温デリパティプの商品説明におし、て例示した商品が実際に取引されたとする．このとき、行使価格のみが異なる同じ商品の価格をどのように評価すればよいかを考える．現行の評価法によれば，プ
レミアムは，期待値に標準偏差の一定比率を上乗せししないアプローチでは，適切な価格付けが解離であると考えられる．

3．気温パスをモデル化した気温デリパテ

ィヲ評価法の先行研究て決めているから，28から行使価格400の期待値

金融派生証券の評価理論は，完備市場におけるもの（13．1）を引いて，行使価格400の標準偏差（29．07）と非完備市場におけるものとがある．株式市場を想定で除して一定比率を求める．その一定比率を他の行使するなら，一般に，乃個の株式と1偶の債券からなる価格のプレミアム導出に開いることになる．ここで問市場では，株価変化の取り得る状態が（J‡十2）以上で題となるのは， 他の行使価格のオプションを評価す

あれは，リスク中立確率は一意に定まらず，このようるときに標準偏差の一定比率で評価するのが適切であな市場を非完備市場と呼んでいる．気温テリパティち7

るか？ である．累樟HDDの呆諌密度関数として現の 原資産 に当たる気温（HDD）は，株式等とは実的なものを用いたとしても．行使価格が異なれば．

異なり市場において取引されておらず，属温デリパテ

オプション価格評価に影響する（ペイオフがゼロでな

ィプの評価は，上記よりも強い意味で非完備市場におい）分布は異なるわけであるから標準誤差の持つ意味

ける価格理詮の中に位置づけられる．よって，簸裁定も異なるので，同じ一定比率を乗じた場合に同じリス条件や市場の完備性に依拠する通常の金融派生証券評

ク回避麗を表現したといえるかが判断しにくく，同じ価理論の気温デlレヾティプ■への単純な適用は適切でな

商品でも行使価格ごとのプレミアムの此叔が難しい．

い．以下，気温パスをモデル化した気温デリバティブ

この鞋点が， 1月における行使価格400のプットオの評価法に関する海外の克行研究を二つ挙げ，各アブプションと2月における行使価格350のプットオプシ

ロ椚チの概要を手短にまとめる．

ョンの取引が成立したときに，1月から2月の2ヶ月

Brody，SyrokaandZervos［6］では，期待割引価値

間を観測期間とする行使価格750のプットオプション法を採用している．この評価法では，期待価値を与えの評価する問題 を考える場合にも生じる．このとき，られた期間における気温の関数として，エンビリカル

成立した取引の各リスク・スプレッドと重合的な2ヶな確率測度で評価するものである．彼らは，気温パス

月間プットオプションのリスク・スプレッドを与える

ふをfractalBrownian motionによって表現したう

標準偏差の一定比率とは何を意味するか？ また，どえで，ペイオフが将来の時間【r℡S，T】における累のようにして求めるのか？†等には適切な答えがない

積HDDに比例するような気温デリパティプの評価をのではなかろうか？Geoffrey［3］は，上記の問題を以Fの〃（r，J）で与えている．

気温パスをモテリレ化しない評価法の範囲で評価しているが，リスク・スプレッドに関する考察は，一切行われていない．

他の問題点が，オプションの購入者がリスクサイドの異なるオプションの価格を尋ねてきた場合に生じる．
例えば，1月の累積HDDが400近辺であれば，高い売上が見込めるが，累積IiDDが大きくても小さくても売上が低下するような企業があったとすると，tメス
タヘッジのためにストライク400のコ【ルオプション
221（60）仰，∬）＝EトJr上二言（18一対＋励］，
ここで，∂は，金利と市場リスクプレミアムを説明するために選ばれる正の定数である．期待値計算は，エンビリカルな確率測度に関して行う．Brody，Syro−kaandZervos［6］の主な仕事は，U（T，r）の評価を適切な仮定の下で，初期条件紺（0，エ）＝0の下でパラノ
加タとして∂を含むれ，に関するある放物型傷諺分方
程式を解けば，〃（r，J）が紺（r，J）として評価でき© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ【ションズ・リサ情チ

ヽ−＿ノるということである．よって，具体的に一つ気温デIj

メ【タを合わせた五つのパラノせタを上で与えたパティプの価格が与えられると，その価格が紺（T，β（∫，ア）の均衡価格式が市場価格に一致するように推∬）に扇致するような∂が一つ求められ，他の気温デ定したうえで，気温デリパティプを占（J，ア）によっ

リパティプもこのを用いて評価できることになる．

て評価するものである．

Cao and Wei［7］では，均衡アブロト■チを用いた評

これは，Lucasの純粋な交換経価法を採用している．

券の価格評価法であるリスク中立評価法と次の点で異済モデルを拡張したもので，初期時点で株式を1株与なることに注意したい．Brody，Syroka and ZervOS

えられたエージェント（投資家というものの代表を想［6］では，期待価値をエンビリカルな確率測度に基づ定）が株式，割引債，他の派生直参（天侯デリパティ

いて計算している点であり（ただし，∂には，金利以プ）の三つへ投資し，その投資戦略から得られた収益

外に市場リスクプレミアムが含まれているか），Cao

を消賛する設定になっている．

ゝJ

この節で示した二つの評価法は，共に通常の派生証

エージェントの効用関and■Wei［7コでは，均衡においてではあるが，割引債数としては，時間選好率β≧0とリスクパラノ岬タγ

価格を介在させる点でリスク中立評価法に近い立場だ∈［−1，0］からなるCRRA（Constant−Relative−が，非線形な効用関数を仮定している点で，初めから

Risk−Aversion）族とし，株式の配当プロセスとして

リスク中立の前提でない点である．節5で述べる本稿は，三つのパラメータを含む1n∂＝α十〝1m∂ト1の評価法は，通常の派生証券評価法で利用されるリス＋仇市，∀〃≧1（ここで，ど巨は独立で同じ標準正規分

ク中立条件が気温デリバティブにおいては現実的な意

布に従う確率変数）に従うものとし，気温プロセスに味を持たないことを示し，エンビリカルな確率測度を関しては，いくつかのパラメ【タを含む平均回嘱する派生証券価格と婁合性を待つように修正した確率測度

自己回帰時系列モデルを採用している．これらの前操に基づいて派生証券の評価を行う．よって，本稿の評の下で，エ【ジュントは，生涯にわたる期待効用を最価法も，いわゆるリスク中立評価法とは異なる．本稿

大にする最適な投資戦略をとるものと仮定し，そのよにおける確率測度の修正が，Brody，SyrokaandZer−

うな最適性の一次条件として通常のオイラ【条件であvos［6］では，割引率を，通常用いられる無リスク金る次式を導入している．

利rから，それに市場リスクプレミアムを加えた∂に修正していることと類似しており，本稿の評価法は，

昌 乙ん（cr

差ニ⊥g
（ー妻

r＝I＋

均衡アプローチよりは期待割引価値法に近いものと分

1

ここで，ふ，βよは，それぞれ，時刻fにおける証類される．

券価格ベクトル，配当ベクトルであり，亡ん（c ，りは，
時刻Jにおいて消贅水準がcfである場合のエージェ

4．気温のパスを†己述するマルヨフ型モデ

ントの効用水準を表す．均衡においては，金融市場と材市場は共に清算きれて消肇c か株式から得られる
しJ

配当∂fに等しくなることを理由に．時刻rのみで1が支払われる割引鋳の時刻fにおける均衡価格β（J，r）を次式で与えている．

ル

ここでは，Yin and Zhang［4］における気温のパスを表現するモデルを採用したうえで，現実の累積
HDDの分布に近く，かつ，妥当な数の累積HDD（累積CDDの場合でも方法は同じ）のサンプルを集

gf（亡ん（∂丁，T）），∀∫∈（0，r）．

β（J，ア）＝

また，満期rでペイオフがすrとなる派生証券の時刻Jにおける価格を占（J，r）とするとめる方法を提案する．以下では，東京都の日次平均気温の推移を取り上げ，具体的に1月に焦点を当てて説明する．
横軸には時間軸を，縦軸には平均気温軸を取り，そダ（J，r）＝

わg．托ん（∂r，T）針），∀J∈（0∴r）．

れぞれ1日ごと，1℃ごと（端数は四捨五入）からなる格子点として，ある時間における状態を表現する．

によって評価できるとしている．Cao and Wei［7］の過去40年間の日次平均気温は，冊1℃から33℃まで

戦略は，気温プロセスモデルのパラノ【タは，現実のであり，例えばこれを五つの気温帯にグループ化し，気温変動から推定しておき，気温デリバティブの評価

グループ1（以下Gl等と記す）は．¶1℃以上6℃未に必要な効用開放のパラノ州タと配当プロセスのパラ

満．G2は，6℃以上13℃未満，G3は，13℃以上
20℃未満，G4は．20℃以上26℃未満，G5は，26℃

2003年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（61）22t

以上33℃未満，とする．1月は，過去40年間におい10）が用いられる．初期状態が他のグル岬プである場て20℃以上になったことはなく，事実上グル岬プ1合も同様に行う．但し，初期状態に確率かない場合にからグル加プ3における格子点が実際に使用されるこは，自動的に，（0，0，0）を採用する．一先に示した実とになる．暖冬等の言葉があるように，現実には気温際の例では，1月1日においては，G3の確率は0では1月を通して暖かいというような継続性が度々生三じあったから，PlからP2へのグループ間推移確率行

るが，日次の気温の変化を単純に日々の推移確率行列

列の第3行は，すべて0が入ることになる．P2からを用いて1月開架ぐと平均的な1月の累積気温近くにP3へのグル加プ間推移確率行列も同棲にして求めら集積される傾向が強いため，単純なマルコフ連鎖ではれる．

気温プロセスを表現できない．そこで，上記のグル佃

グル【プ内推移確率行列

プ内の素早い変動を表現する，短期的な気温のマルコ

グル竹プ内推移確率行列を求めるには．まず，現実

フ連鎖とグル椚プ間を動くゆっくりと動く変動を表現のパスを加一上しなければならない．例えばPlにおい

したマルコフ連鎖とを組み合わせることにより，気温てGlである場合には，現実の気温変化が1月7日かの動きを記述するモデルが，Yin andZhang［4］におら8日にかけてGlグル椚プである5℃からG2グル

いて例示されている．そこでは，テキストの理解を助冊プである7℃に変化した場合でも，8日の気温はけるための例（そこでは連続時間である）として取り5℃とするように加⊥する．なぜなら，Glにおける上げられている．

最高気温の状態は，5℃だからである．逆に，ある期

気温デリパティt7の評価においては，将来の状態確

間内において．現実の気温が低いグルmプの気温基層率ではなく．気温のパスに関する情報が必要となるた空間に推移する場合でも，モテリレ上では二呪グル慣プのめ，箆散時間で取り扱うことにした．状態空間のグルド限の状態に推移したと加工する．このような加⊥を竹プ化を上記に示したが，時間軸方向にも分割する．

施した後で，グル価プ聞推移確率行列を導いた手頃を例えば，3分割のケ折スであれば，1月1日−1HlO

日次のジャンプに関して適用すれば，グル佃プl利こお日を期間1（以下Plと記す），1月11日−1月20rl

ける日々の気温変化を表す推移確率行列が得られる．

をP2，1月21rl〜1月31HをP3とする．グルー

気温のパスに関する取り扱いの提案

プ間をゆっくI）と動く変動を表現したマルコフ連鎖は，

気温デリバティブを評価するためには、上記のモデ

この3期間をGIG2Gl，G2G2Glなどのようなルで生成される各気温パスの確率と累榛HDDが必要

組み合わせ（1I】であれば．最大27通りが考えられになるが，すべての気温パスの情報を用いることは，

る）で表現される．この推移確率行列は，3行3列で場合の数が極端に多くなり事実上不可能である．そこある．グル冊プ内の素早い変勤を表現する短期的なマで、気温パスを集約する一一つの方法を，提案する．まルコフ連鎖は，各グル巾プ，各期間における日々の推ず，グル椚プ間の気温パスはすべて情報として採朋す

移確率行列を用いて記述される．各グル¶プは，例える．この場合最大で27であった．例えば，GIG2

ばGlであれば−1℃以上6℃未満の整数値であるよG3なるグループ間のパスの例を取り上げよう．このうに，それぞれ七つの状態空間を持つため．推移確率

グループパスの発生確率が，グル…プ間推移確率行列

行列は．7行7列である．

を印いて，1／27であったとする．次に，グル冊プ内

推移確率行列の作り方の擾案における気温パスに関しては，当該期間の最終月にたグル扉プ同権移確率行列

どり着いた状態ごとにパスを区分けする．この例では，Plにおける各グル冊プの確率は，過去40年間をPlにおいてGlをとっているので，Plの最終日で調べて1月1日にGl，G2，G3の各グル¶プの気温

ある1月10日における状態は，七つあI），−1≦メ＜

帯に実際の気温があった確率を用いる．ちなみに，

0，0≦ム＜1，…，5≦カ＜6ただし，ム（f＝1，2，…，7）は事

0．45，0．55，0である．P2における各グル冊プの確故である．Gl内のすべてのパスはこの七つのいずれ

率は，1月1日〜1月11日への推移を詞べる．例えば．

かの状態にたどI）着き，七つに集約されるとする．

1月1日にGlに10固いたとし，そのうち1個がG3−1℃に集約されたパスの一つ一つについてHDDとに4傾がG2に，5儀がGlに留まったとすると，グ確率がわかれば，一1℃に集約されるパスのPlにおル冊プ間推移確率行列の初期状態Gl（PlではGl

ける期待累積HDDが求まり（簡便な方法は後で述べであった）部分に対応する行には，（5／10，4／10，1／

る），最終日の−1℃の状態確率（これは既知）とセッ

宣⊇望（62）

Lノ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレmションズ・リサhチヽ−，＿／トにして，PlにおけるGlの一つのパスと捉える．

ると，日次の期待HDDを求める元となるベクトルは，この子続きによって本来なら，7の10乗通りのパス

E ＝（〆1（柑．33［（−1）），♪占（18．33［0），…，♪訂18．33

か7通りに集約される．同様にして，P2におけるm5））であり，各成分を加えたものが日次の期待

G2のパス，P3におけるG3のパスも7個ずつ得ら

HDDになる．時刻書から〜十1までの間に状態fかれる．Gl，G2，G3の各グル閻プから一つずつ取っら状態ノ（f，ノ＝−1，0，1，2，…，5）に変化する推移確率て繋ぎあわせると7の3乗個のパスが得られる．この行列をQfとする．

ようにしてできたパスの1本1本は，その確率と1月

Step O．CalculateElandFl＝EIQl．set t＝1．

の累積HDDの情報を持っている．気温デリパティプ

Stepl，CalculateEL＋1andFt＋1＝EL＋l十FtQt．Setを評価する際には，確率に関しては，グループパスと

f：＝；f十1．

してGIG2G3をとったという条件が加わるため，

Step2・If t＝10，thenstop．F10givestheexpeCt−

1／27倍する必要がある．上記の集約法を用いると，edcumulativeHDD．Otherwisegotostepl．

状態空間，期間ともに3分割の場合には，9261（7の教法例

3乗鞍ける27）通りのパスで気温デリパティプの評価

上記の状態空間と状態のグループ化を採用して，期を行うことになる．
Lノ

間分割を3分割したケゎスに関して，過去40年間の東京都における日次平均気温データから，1月と2月

稚つの状態に塾約されるバスに関する期待累積

HDDの計算方法における累積HDDの累積密度関数を求めて図1，2

PlにおいてGl部分に関して示す．

に示した．期間分割を増やすに従って，累積分布関数

時刻′における状態確率をPf＝（〆1，鬼…，が）とす

が清らかになり，かつ中央値付近の確率が高くなる傾J■軸■吋HDD

8
8
▲﹁
一U

虐■コjedO
入じ400150槻■諏●20引0100390さl03TOき00ユ50弼ユ30320310
HDD

珂11月の累碑HDDの期間分割間比較

F●レu■けHDD

■

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420■沌l00り創り朋‖聞‖朋‖収＝購‖儲＝は＝10卸洲2抑2TO
HDO

国2 2月の累積HDDの期間分割間比較
2003年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（63）223

向が見られる．現実の累積密度関数に最も近いのは，

行の手法，つまり，現実の累積HDD分布を単に正規

1月，2月共に2分割の場合であることが図から読み分布でフィットさせて得られる累積HDI）累積密度関

取れる．これは，1分割では長期的なトレンドがつか数と同程度の分布が得られる．具体的に．1月の累積

まえられず，逆に，3分割では上下限の誤差が効いて

HDD分布を見ると，正規分布でフィットさせた累積くるためである．具体的に述べると，1分割では，グ

HDD分布は，累積HDDが430以fであるところでルmプ間のジャンプは1回だけであるから，各グル蘭はすべて現実の累積HDDよりも確率は低いのに対し，

プ内での変動の影響を組み合わせる横合が1回しかなモデルからの累積HDD分布にはそのようなバイアス

く，HDDの中央地付近は真申のグル竹プの，HDDはないが，現実の累積HDD分布を直接フィットさせの両堵では両端のグル¶70の影響が強く出すぎるためたわけではないので，累韓HDDの借間の清らかさににグル プ間を軌く長期的なトレンドの表現が弱くな劣る傾向が見られる．2月の累積HDD分布を見ると，り，グラフは2段の階段状に近くなる．逆に，3分割

累積HDDが370以￣Fのところでは，正規分布でフィではグループ間ジャンプが3I再＝：多くなるため，各グットさせた累積HDD分布とモデルからの累韓HDD

ル巾プは．他のグル冊プからの影響を大きく受けるた

分布は，ほとんど同じ確率を与える．累諌HDDがめ，各グループ内だけでの変動よりも大きな変動とな

380においては正規分布でフィットさせた累積HDD

る．図3，4は，1月と2月における累積HDDの累分布が現実の確率を捉えているのに対し，累積HDD

積密度関数に関して．現実のもの，正規分布でフィッが390以上の部分に関しては，モデルからの累積トしたもの，本モデルによるものを合わせて示した．

HDD分布が現実の累積HDDの確率を捉えている．

この程夜の粗さのグルーピングであったとしても，現また，先に指摘したそのようなモデルからの累積JJ■nu■けHDD

0

l
l

0

−倉■遷●号Ld

一†

0●80450卓ヰ○●苅420小04003■○ユ803703003！沿｝l01苅320310
HDD

図31月の累積HDDのモデル間比較

I I

F血■けHDD08
1

0星■3●一2d0▲﹁

l加引○●00洲1わ耶○諏○ユ知340：柑の：相田：‖○∝旧2002002TO
HDD爾4 2月の累積HDDのモデル間比較掛（64）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ冊ションズ・リサ蘭チ

HDD分布に清らかさが少ない傾向はここでも見られ巾ノ）り〆（1−〆）乃￣Jである．この確率は乃が十分大きる．この傾向を解消するには，適切にグルーピングをいときに対数正規分布に近づく．Rubinsteinは，事増やす必要がある．

後的なリスク中立確率旦（同じ満期の異なる行使価

5．マルヨフ連鎖型モデルに基づく評億法とプレミアム分析

格のヨ岬ロビアン株式コールオプションの価格から得られるリスク中立確率）の分布を，書の分布に最小二乗法の意味で最も近くなるように二次計画法を用い

通常，派生証券を評価するには，リスク中立確率をて求めた．

用いる．ここでは．既に市場に流通している派生証券＝次計画法

からリスク中立確率を導出する手法を扱った論文

min∑（ぞ巨1巧）2 subjectto タ′JRubinstein［8］およぴJackwerth and Rubinstein［5コ写乃＝1and ろ≧O for ノ＝0，…，乃
ノを参照し，マルコフ連銀型モデルに基づく気温テリレヾ（C；Rl）

ティプの評価法を，通常のリスク中立評価法との相違

Sb≦5≦58where5＝（∂乃写叫／r乃

点を明確にしたうえで凍寒する．ます，参考文献［5，8］の手法をRubinsteinの方法として節5．1で解説す
しノ（C；R2）

る．節5．2で，マルコフ連銀型モデルに基づく気温デCF＜Cf≦CF where

リパティプの評価法を前節で示したRubinsteinの方

C 票（軍書max【0・㌻叫／r乃法と対比させて示す．また，この対比から明らかにな

for i器1，・・・，桝（C；R3）

る相違点に着日して，気温デリパティヲにおける無裁（C；R2）は，オプション満期における株価をリス定条件なるものをまとめておく．節5．3では，節2．1の商品説明において用いた気温デリパティプを節5．2

ク中立確率で評価して現在価値に割引いた価格が，現の方法に基づいて評価たプレミアム分析の数値例を紹在の株価に等しい（ビット・オファー内に収まる）こ介する．

とを要求するものである．この条件を，本帝では，誤5．1Rubinsteinの方法

解を恐れずに原資産に関するリスク中立条件と呼ぶこ

Rubinsteinの方法は，株式オプションを2項モデとにする．

（C；R3）は，リスク中立確率が市場で観測されるルで評価するという前提のもとで，Part（1）ある同じ

ゝ J

満期の異なる行使価格のヨーロピアン株式コールオプ

オプション価格と整合性が取れている条件である．こションの価格から，満期時点でのリスク中立確率を導の条件を，本稿では，オプションに関するリスク中立

出する，およぴPart（2）後ろ向き再帰法に基づき，無条件（無裁定条件）と呼ぶことにする．

裁定条件を満たす制約の下で2境木すべてのリスク中Part（2〉のまとめ

立確率を導出することから成る．本質的な部分を手短

ここでは，Part（1）において得られたリスク中立確率を出発点にして，2項木上のリスク中立確率過程をにまとめておく．
Pa托（1〉のまとめ

後ろ向きに求める方法を示している．気温デリパティ

満期における株価を低い方から高い方へとふ（ノ＝0，

プの評価法の説明を明確にするためにも，一部裏複す…，乃）とする．つまり，2境木の最も先の枝の状態をるがこの部分で用いられている仮定を再掲する．
（仮定Rl）原資産のリターンは2項プロセスに従下から上にふ（ノ票仇…，乃）とする．考が満期時点でのリスク中立確率となるには，まず，軍書＝1（後にJ示す二次計画法における（C：Rl）に相当）を満たさねばならない．〆を2項木の各時点における上方
ジャンプのエンビリカルなジャンプ確率とすると，2項モデルでは未壌におけるこ状態ふに到達するエンビ

リカルな確率は．j苧＝［乃！か（針づ）！】♪む（1「〆） −Jである．また，♪′を2境木の各時点における上方ジャンプのリスク中立確率とするなら，考＝【乃！〟！（乃つ．

（仮定R2）2境木は再結合する．
（仮定R3）末端のノードの値は低いものから高いものへと並んでいる．
（仮定R4）金利は一定．

（仮定R5）同じ末端ノ椚ドにたどり着くすべてのパスは同じリスク中立確率を持つ．

議詮を追いやすくするために，2ステップまでの2項本に絞ってIブスク中立確率過程の導出メカニズムを

2003年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（65）22ら示す．これは，次に示す（針状態の推移に関する構成評価法を前節で示したRubinsteinの方法と対比させ（図5参照），（切リスク中立推移確率に関する構成（図て示す．大前提として，オプションの評価は，グルー6参照），忙）原資産に関するリスク中立条件に関するプ内を素早く動くマルコフ連鎖自体の推移確率行列に構成，の三つの部分から成る．

はエンビリカルなものを利用し，グル竹プ間をゆっく

仏）2項木の末端の各状態におけるリターンは既知

りと動くマルコフ連鎖の推移確率行列に関してはリス
ク回避度修正済み推移確率行列（あえてリスク中立とであり，凡，ガ1，＆である．
（B）2項木の末堵の各状態におけるリスク中立確率
凡月，昆は，Part（1）から既に求められている．

は呼はないことにする）を用いる．以下では，気温デ
リパティち7の満期までの期間を3分割した図7に示す（C）以下の等式には，原資産に関するリスク中立条

ような場合を取り上げる．第1期間は現在位置してい件であり外生的に与えられたものは入っていな

る気温グル叩プ（図7ではG2）であるから，この3

しヽ

分割は，Rubinsteinの方法におけるステップ数が2♪＝（r【d）／（〟［d）の場合に対応している．図7の〃さ○），〃さ1），〟さ1），〟〜1），虞d】＝（r【d】【d【d】）／（〟【d卜胡d】）〟さ2），〟さ2），〃f2）は，各期間の各グル冊プにおける累積♪【〟］＝r【〟卜d【〟】）／（〟【祝】「須可）HDDとその確率の七つの組を記号で表したものであ

リスク中立確率過程の導出は，六つの既知デ岬タる（括弧内は期間を，サフィックスはグル椚プを表j‰，虎1，凡，昂，月，薫から12個の未知数d，〟，r，Aす）．実際の評価には，〃㌣としてこの七つの組を用

d〔d】，〟【d】，r【♂】，♪【dj，♂【〟】，〝【〟】，r【〟】，♪【〟】を求いるのであるか，以下ではプル〜プ間のリスク回避度

めることになり，仮定Rl〜R3だけでは一意に決ま修正済み推移確率行列の残念とRubinsteinの評価法らない．よって，仮定R4，R5が付加されたのであとの対比を見やすくするように，〟fJ）かあたかも確る．

定値であるような記述をとり，また，市場価格が既知

5．2 マルヨフ連鎖型モデルに基づく気温デリパテ

Jである気温デリパティt7に関しても第3期間のみにおける累積HDDのコ冊ルオプション（ヨ冊ロビアンオ

ィプの評価法マルコフ連鎖型モテリレに萎づく気温デリパティアのプションとの対応のため）を考える．マルコフ連鎖型

評価モデルにおいて，Rubinstein評価法の仮定〟×Ⅳト】＝点2

Rl〜R3，2項木の末端における状態∫ゎ エンビリカ
ルな上方へのジャンプ確率〆，上方へのリスク中立

′1

タ2

タ3

〟× 串】＝dx串1＝旦瑠

ヽ−‥一■／

dxd匝】＝凡

囲5 2ステップ2項本における状態碓彩とリタmン〝圭0）

クXク♭】＝ろク×￠一頭ゆ＋￠一夕）×舟】＝月￠−ク）x（1一正ゆ＝昂

国6 2ステップ2項本における推移確率と状態確率
芸臨（66）

図7 気温デリパティプ評価の模式図（ここで，Gl〜G3，Pl一戸3はそれぞれ気温のグル
佃プ，満期までの期間分割を示す© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ加ションズ・リサ冊チ

なジャンプ確率〆およぴ2境木の末堵におけるリス

C−＝（甲max［0・野【叫ク中立確率考に対応するものは次の通り．

／r2

fori＝1，…，桝（C；M3）（仮定Ml）原資産は，マルコフ連鎖型モデルに従（C；Ml），（C；M3）は，それぞれ（C；Rl），

う．
（仮定M2）初めに指定した状態空間のみを取り得（C；R3）の類似であり，かつ，実質的な意味をもつ．
目的間数もRubinstein評価法の類似ではあるが，末る．

（仮定M3）末蛍のノゎドの値は低いものから高い方へのジャンプ確率9，で記述されるRubinstein評価

ものへと並んでいる．

法とは異なり，数多くのリスク修正ジャンプ確率か含ふの対応：メガ2〉

まれている．（C；M2）は，療資産に関するリスク中♪訂▲〉 ♪影鼻I夕＃一）〆の対応：

蕗（Å）痴≠一〉メ薗▲），鳥票1，2i）（ 廊汁 頭㌢）劇㌢

ここで，括弧内の々は期間点から烏＋1への推移であることを示し，サフィックスは，どのグループからど蚕l轟）戯㌢）ガ），々＝1，2劇■）好）ガ））ここで，括弧内の々は期間身からへ烏十1の推移であることを示し，サフィツタスは，どのグルせプからどJ苧の対応：図7に合わせて出発時点をG2とし条件から取り除かれることになる．原資産におけるリである．よって，Rubinstein評価法のように満期でのリスク中立確率を求めたうえで．忙）を付加条件として用いて後ろ向き再婦法を用いて，気温パスのリスク
中立確率過程を導出することはできない．
率に一定確率γを詞豊した（この場合はリスク中立
推移確率行列の自由度は1であり，調整室が状態に依たケースを示す．
盛1）痴（2）十j薗1）痴（2），廊（1）♪影2）＋j痘1〉j疲2〉十j癌1〉j癌2），（ 痴チ1）♪討2）十でないため実質的な意味を持たなくなっており，制約

このため，エンビリカルな推移確率行列の各推移確のプル【プへの推移であるかを示す．

痴（1）♪打2）十ィプの原資産である気温自体が市場で売買されるもの

導出する際にも利用される制約条件忙）に本質的に同じ♪；l▲）♪；㌢）♪；㌢）（

立条件（C；R2）の類似ではあるが，気温デリパテ

スク中立条件（C；R2）は，リスク中立確率過程を

ゝ身 のグループヘの推移であるかを示す・〆の対応：

韓の状態のリスク中立確率が一種類のリスク中立な上盛1）j疲2）十j薗1）戚2）

考の対応：jヂと同様に，函7に合わせて出発時点をG2としたケ スを示す．

存するような一般化を行うとこの自由度は大きくなる）自由度が低いリスク回避度修正済み推移確率行列を導入したうえで，数少ない市場で取引されている派
生証券価格から（C：Ml），（C：M3）を用いてリス
ク回避度修正済み推移確率行列を推定して，市場で取引されていない派生証券を評価することになる．一度

頭り♪；苧）十鰯拍貯十鰭）好），リスク回避度修正済み推移確率行列の推定か終われば，

頭甑膠＋鰭）メぽ）十鰭〉鰭〉，

しノ

気温パスのリスク回避度修正済み確率過程はそれから（メ併）♪；皆）十鰭）メぽ）十鰭）♪好）上記の対応を潜まえたうえで，Rubinstein評価法
に従って，マルコフ連鎖型モデルに基づく評価法において先の二次計画法を記述するとするなら，どのようになるかを取り敢えず形式的に書き下してみる．

直ちに従うため，観潮された派生証券価格と整合性がとれる形で，他の派生証券の評価が可能になるのである．上記の考察を務まえた気温デリパティプにおける無裁定条件に関することをまとめておく．
気温デリパティヲにおける無数定条件とはニ次計商法

気温デリバティブの評価においては，通常のデリパ

鷲nJ易3的h餅subj∝ttO
軍書戸1and ろ≧O for ノ芸1，2，3 J

ティプ評価法で利用される無裁定条件のが実質的に欠落するわけであるから，先に述べた一定確率γをど（C；Ml）のように導入してエンピIjかレな推移確率行列を修正〟ム甜く〟 where〝＝（軍畑2り／r2

するべきかの正しい答えがか−ことになる．これは繰
り返しになるか，気温デリパティプにおいては，ダイ（C；M2）Cぎ≦Ci≦CF where

2003年3月号

ナミカルに気温自体を売買してデルタヘッジすることかできないためである．よって気温デリパティプにお© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（67）22丁ける実際的な無我違条件は（C；M3）とみなすのがない所には修正を行わず，推移確率の修jE転は状競お妥当であると思われる．つまり，市場で取引されていよび推移幅によらず一定としている（グル簡プ内推移

る相互の派生証券自体の価格が蕃合性を満たしている

確率行列は，変換しないものとする）．また，各状態

か（派生証券を用いたスタティツタ・ヘッジングに関へのジャンプ確率の和は1となるように第一列目のジして無裁定であるか）がポイントである．具体的に述

ャンプ確率を設定しておく．よって，節5．2で与えた

べると，気温デリパティも7Bと気温デリパティー7C（C：Ml）はこの時点で満たされている．ここでのγを組み合わせたエコノミーと同じエコノミーを持つ気は，節3で示したBrody，SyrokaandZervOS（2001）

温デリバティブAにおいて，プレミアムA：＝プレミのアブロmチにおける∂のIブスクプレミアム部分に

アムB十プレミアムCが成り立つことが気温デリパ

相当するものと考えることができる．このように，リティプの無裁定条件であると現段階では考えている．

スク回避度修正済み推移確率行列を定義すれば，取引5．3 敢債例が行われた1月400プットオプション価格からγが

ここでは，節2．3で述べたように，気温プロセスと求まり，他の行使価格に関するの同種の気温デリパテ

して節4で示した期間2分割モデルを取り上げて説明する．リスク回避産修正済み推移確率行列の例を示し

ィプのプレミアムが一意に定まる．

実際に，節5．2で与えた（C：M3）に対応する条たうえで，1月400プットオプション（商品例におい件となる1月400プットオプションが28百万円であては取引日の記載はないが，ここでは2001年1月1

ることを用いて，一次方程式を解くと（非負条件があ日としておく）が28百万円で取引されたという情報るので線形計画間垣を解くと述べた方が止しいが）γだけに基づき，他の行使価格に関するの同種の気温デ＝0．15となる．気温パスをモテリレ化した評価法では，

リパティプのプレミアム分析を行う．節2．3で問題提当然のことながら評価日の1月1日に気温がどの扶蕃起した気温デリパティプのポートフォリオのプレミアにあるかによってプレミアムは異なる．これに対し，

ム分析も行う．

節2．2の気温パスをモデル化しない評価法では1月1

リスク回避度惇正済み推移確率行列

日の気温の状態に依存しない．ここでは，両者のプレ

気盲呈プロセスを記述するモテリレが期間2分割である

ミアム比較を容易にするために．気温パスをモテリレ化から，グル叩プ間推移確率行列は次に示すようなもの

した評価法を適用する際には，1月1日の各気温からである．

出発したとして求められるプレミアムを1月1日におGI

0．72 0．28

ける各気温の確率（節2．2と同じ過去4り辛から求めC2

0．59 0．36

た1月1日における気温の状態確率）を用いて加塞平

G3 （

0

＼，‥ノ

均したものを利用した．

0

G3の行が0であるのは，1月1日における気温がリスク回避喪修正済み推移確率行列を用いたものと，

過去40年間G3になかったことを意味し，この状態

標準偏差の一定比率によるものとを表3に比較した．

からのジャンプに関しては考察する必要がないため便プレミアムはすべてリスク回避麗修正済み推移確率行

宜上，推移確率は0とおく．また，1月1日から1月

列を用いた場合の方が大きく出るが，行使価格か38016日へのジャンプもなかったため，GlからG3へのの場合に両者の葺か最も大きくなった．節2．3におけ推移確率も0となっている．マルコフ連鎖型の気温パる問題提起の一つは，このように400プットオプショ

スもモデルにおいては，この推移確率行列がエンビリ

ンが28百万円で実際に取引きれたとき．標準偏差のカルな確率測度に対応している．

一定比率を用いて他の行使価格のプレミアムを評価すヽ−【一ノdつのバラメbタによるリスク国選度の表現例
リスク回避度をγとし，プット側のリスク回避度

他の問題撞起として，通常400プットオプションを騒人している全社が400コ【ルオプションも同時に購修正済み推移確率行列を入したいとの申し入れがあった場合の評価を．取り上げCI
C2ると，割安に評価してしまうことに現れる．

0・0 0．36十γ 0．05 ＋γ

G3 ド●宇3：；…：；…

た．オプション引受者は，リスク回避的であるか，実際の気温は「低い・高い」のどちらかしか取り待ないで定義する．ただし，修正後の各成分も非負とする

ので，同時に両サイドにリスク回避的となる事象は起（コ【ル側では符号が変わる）．ここでは．元々確率のこIj得ない．よって．両方のオプションに標準偏差の2⊇淫（68）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ【ションズ・リサ佃チ

蛮3Promium
Strik●

400

標準裔蓋の●産比率法
リろ空室遺産俸正雄竪琴撃行列法

28

3脚

3紺

22．2T 18．00

28 22・02 18・寧き

14．2g ll．3■
15．01 11，85

注：400プットの価格を28にする一定比率0．51を使用．

衰4
Prom堕鱒
St他

劇Xトl00 3∝ヒ■10 3糾ト420 37か・●30
38．T1
28．43
」は．丁8

藩幸恵書面二定圧畜産
リスク画遷座修正線削

鱒二88

28朋

10．73

些・37＋15・8g

注：共にマルコフ型モテリレにより熟稗HDDを発生．

Prom山mStriko
ヽ−ノ

3抑

最大籠

380

23．50
20．17
20；睾！ 15・甜塁Jlヽ臆

一定比率を上乗せすると，オプション購入者にとって簸めて不利になる，この場合，400コHルオプション

3TO
18．85

13．93

l・70

5・卸

剖10

線形計画同塵 番犬億（最小値）

max（min
れ●7ま●ね71●r王，ねを先に推定したリスク回避度修正済み推移確率行列で評価すれば，適切に評価できる．また，ストラドルだ

P（Strike＝X，rl，；化，乃，HDDdist）；目的関数

P（Strike＝400，rl，乃，75，HDDdist）＝28

けでなくストラングルのように行使価格の異なる組み

合わせに関しても対応できる．表4には，プットオプ：制約条件

71≧0，乃≧0，乃≧0；非負条件

ションとコールオプションの合計のプレミアムが二つの評価法でどのように異なるかを示した．ストライタ

か400に近いものに関しては，標準偏差の一定比率法を用いた場合にかなり割高に評価していることがわかる．

Q≧0

ここで，Pは，リスク回避度係数γ1，乃，乃，行使価
格∬に依存して決まる気温デリパティプ価格である．
具体的には，リスク回避麗修正済み推移確率行列を用いて第3でのべたアルゴリズムに基づき期待累積

多数のパラメ『夕によるリスク国選度の表現例

HDDを求めて，行使価格に依存する期待ペイオフを1変数によるリスク回避度表現の自然な拡張は，推㌔J 移確率の修正幅を状態および推移幅に依存可能にする格がわかっているオプションについて目的関数で与えことであり，を用いて次のように定義きれる．ただし，修正後の各成分も非負とする．
CI
C2
C3

（0・￡三 0．59【（た評価法に基づいた価格が市場価格に一致する条件である．価格の行使価格をQ≧0は，ljスタ回避度修正● 0．72−γ1 0．28十γ1

済み推移確率行列の各要素が非負を表現する．上記の乃十乃）0．36十乃 0．05＋乃
00

このような自由度の高いリスク回避度修正済み推移

確率行列を定義した場合には，1月400プットオプシ
ョン価格からだけでは，他の行使価格に関するの同種の気温テリレヾティヲのプレミアムは定まらない．しかしながら，それらの最大値と最小値は，次の線形計画
問題を解くことによって得られる．

無リスク金利で割引いた値である．制約式は，市場価線形計画法を解いて，プレミアムの最大値・最小値を

蓑5にまとめた．表5は，ある意味において，表3で示した400プットオプションのプレミアムに関する信頼区間として捉えることができる．つまり，柔軟にリ
スク回避度を設定した場合でも，400プットオプショ
ン価格が観測された場合に，他の行使価格のオプショ
ンプレミアムは衰5の範囲から外れないからである．
最小値は，今後競争が激化した場合にも，理論的に値引きが許容される限度の参考値として利用可能であり，2003年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（69）22，

また最大値は，これ以上高いプレミアムを提示すると金放資産に関する派生証券評価法を特殊例として含む取引関係が険悪化する限度として実務上利用可能と考ような論理を構築したうえでの改良は，今後の課題とえられる．もちろん，実際の連用に際しては，いくつ

したい．また，奉詮文で提案した手法が実務上どの程か他のリスク回避麗表現に関しても最大値，最小値を度有効であるかに関しては，今後の天候デリパティヲ

求めて，リスク回避度表現の与え方に関するロバストの発展過程で実務家の判断を仰がねばならないが，天ネスを確認しておく必要がある．

鞍デリパティプの公開きれた評価法が少ないなか，実Remark：期間3分割のケースでは，1パラノ冊タ

務家に評価法に関する一つのアイデアと議詮を喚起す

リスク回避度表現を採用した場合，グル岬プ間の推移

るきっかけを提示できたとすれば，本論文の目的は達

確率行列が二つできるから，二次方程式を解く（非負成されたと考える．

条件があるから，正しくは非線形最適化問題を解く）ことになる．多パラノ【タリスク回避度表現を採用し謝辞 貴重なご意見を頂きました2人のレフリ巾に感た場合や期間分割が3分割以上であれば，本節での分

謝いたします．

析は何れも非線形最適化問題を解くことに帰着きれる．

6．まとめと今後の課題

参考文献［1］土方薫象「天較デリパティプ」，シグマベイスキャピタ

本論文では，天候デリパティヲのなかで特に需要が多い気温デリバティブを取り上げ，プレミアムの相対価値分析を容易に行うことのできる評価法を捷寒し，
気温変化に関する実デ冊タを用いたうえで数値例を示
しながらいくつかプレミアムの分析を行った．気温パスのモデル化としてはマルコフ型モデルを採用し，比較的観い気温パスのグルボビングを行っても正規分布

ル，2000．

［2］森村英典，高橋幸雄，「マルコフ解析」，日杵技連，1979．

［3］Geoffery，C．， IntroductiontoWeatherDerivatives ，WeatherDerivativesGroup，AquilaEnergy，1999．
［4］G．George Yin and Qing Zhang，Continuous−Time
Markov Chains and Applications，Springer−Verlag
New York，lncリ1998．

［5］JackwerthJ．C．and M．Rubinstein，

Recovering

でフィットした累積HDD分布と遜色ない程度の分布

probabilitydistributionsfromoptionpricesが得られた．しかしながら，最適となる気温パスグル

ofFinance，51：1611−1631，1996．

ーピングの見つけ方やマルコフ型モデルが実際どの程Journal［6］JoannaSyroka，DorjeC．BrodyandMihailZervOS，度まで現実の気温変化を捉えるかに関する分析までに＝DynamicaIpr・1Clng Ofweatherderivatives ，Submit−

は至らなかった．プレミアムの評価では，リスク回避

tedtoQuantitative Finance．

度修正済み推移確率行列を導入してプレミアム聞の相［7］MelanieCaoandJasonWei，

対価値分析が容易に行える方法を提案した．しかしながら，金放資産に関する評価において用いられている
無我定条件が利用できないためにリスク回避麗修正済

ofweatherderivatives

Equilibriumvaluation，2000．

［8］M．Rubinstein， Impliedbinomialtrees ，Journalof
Finance，49：77l−818，1994．
ヽ＿ J

み推移確率行列を一意に与えることはできなかった．

23￠（70）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ岬ションズ・リサ｛チ