土木史研究発表会，June 22, 2014
於： 日本大学生産工学部

土木工学者としてのミランコビッチの業績に関する調査研究

京都大学工学研究科
細田 尚・岸田 潔・西藤 潤・白井 秀和

研究の目的ミランコビッチの土木工学者・技術者時代の業績に関して，セルビア国ベオグラードにあるミランコビッチ協会において入手した資料，ミランコビッチの博士論文（ドイツ語）を英語で解説したFoceの論文，その他に収集した石積みアーチに関する最近の論文等を下に考察を行った．ここでは得られた成果を紹介する．

発表の構成1. 研究の経緯
2. ミランコビッチの経歴の概要
3. 博士論文の概要
4. 最近の研究との比較
5. おわりに１．研究の経緯(1)
著者の一人である細田が2010年6月にベオグラード大学を訪問した時，偶然，ミランコビッチの土木工学者・技術者時代の業績に関する展示会が開催されていた．
ミランコビッチ・サイクルについての知識は持っていたものの，ミランコビッチと土木工学の関連については全く認識していな
かったが，展示されていたパネルはいずれも興味深い内容であった．
2012年9月にベオグラードを再訪した際，ミランコビッチ協会ベオグラードを訪問し会長のSlavko Maksimovic氏から，経歴と業績をまとめた冊子”Milutin Milankovitch, A Traveler throughDistant Worlds and Times”，および展示会パネルのスライドを含む多数の資料提供を受けることができた．

2010年6月展示会時の展示パネルの写真（撮影：細田）図-1 ミランコビッチ協会ベオグラード会長
Slavko Maksimovic氏（右）とともに（2012年9月協会内で撮影）

研究の経緯(2)
資料内容を検討したところ，主要な業績として石積み構造物の安定性に関する理論解析があることが分かった．石積みアーチ構造物を中心に文献調査したところ，建築構造史の研究家であるFoceによるミランコビッチの博士学位論文“Beitragzur Theorie der Druck-kurven” を解説した論文を発見し，土木工学者としてもミランコビッチが優れた業績を残していることを知った．
土木工学者・技術者時代のミランコビッチの業績について，我が国ではほとんど知られていない．そこで，京都大学工学研究科の土木工学関連の研究者数名が協力して，ミランコビッチの経歴と学問業績について取りまとめ，紹介するための活動を開始した．

石積み円形アーチ構造は安定か？
シテ島

ポン・ヌフ

撮影：細田

石積み円形アーチ橋は安定か？
石積アーチ橋．世界中の古い橋に多い．形状は円形が多い．
力

圧縮力を作用させれば積木は落ちない可能性がある．

円形石積みアーチはいつも安定なのか？

ご存知 錦帯橋
軸力しか発生しない厚さ無限小の紐または板の形状は？ → 懸垂曲線

Q. 錦帯橋の橋桁の曲線は何？

懸垂曲線に似ているが厳密には少し違うらしい．

２．ミランコビッチの経歴の概要(1)
ミランコビッチの祖先はコソボ地区出身と言われているが，自身は1879年にDaljという当時オーストリア－ハンガリー帝国領内にあったスラボニア地区の中心Osijek近くの小さな村で生まれた．ドナウ川河畔にあったようでドナウ川に親しんでいたようだ．
初等・中等教育を終えた後，オーストリアの首都ウィーンにあるウィーン工科大学に入学し土木工学を専攻した．1902年に最優秀の成績で卒業し，1904年に"Beitrag zur Theorie derDruck-kurven"と題する石積みアーチ構造物の理論解析に関する博士論文を完成させ，若干25歳で博士の学位を取得した．

図-2 肖像写真と博士論文学位記（ミランコビッチ協会提供）

ミランコビッチの経歴の概要(2)
その後，1905年にウィーンにあるBaron Pittelというコンクリート構造設計施工会社に就職した．Baron Pittelでの5年の間に，水路橋，アーチ橋，ベオグラードの下水道システム等の建設事業に携わり顕著な業績を残すとともに，鉄筋コンクリート構造設計に関する5つの特許を取得した．
ミランコビッチは1909年に祖国のベオグラード大学から応用数学科の教授に就任するようにとの要請を受けた．その時の心境を彼は後年次のように述べている．
（最初，彼は土木工学教室の方に職はないかと問合わせたが，土木工学科の教授は“もっと修行してから来なさい”と言って断ったという笑い話，作り話がある（ベオグ
ラード大学・イベティッチ教授談）．）

図-3 バルカン横断鉄道の鉄筋コンクリ－トアーチ橋（ミランコビッチ協会提供）（1915-1922）（ミランコビッチ協会提供）

図-4 1910年に取得した鉄筋コンクリート構造に関する特許証明書（ミランコビッチ協会提供）

ミランコビッチの経歴の概要(3)ベオグラード大学に移る時の心境“I was enchanted with the very title of the Chair for Applied
Mathematics. I always appreciated mathematics as a wonderfultool for solving the problems we face when studying nature andspace, the extraordinary nature of which is best reflected inCelestial Mechanics and Theoretical Physics. And these twosciences were integral parts of my Chair.”

Association “Milutin Milankovitch”
Belgrade : Milutin Milankovitch, A Traveler
through Distant Worlds and Times, 2008.

ベオグラード大学・応用数学科の教授に就任した後の，天体力学に関する偉大な業績はよく知られている．特に氷河期と間氷期の周期を理論的に計算した研究は著名であり，その周期はミランコビッチ・サイクルと呼ばれている．
気候変動に関する業績については，ミランコビッチ自身がまとめた大著が残されており，その和訳も右に示すとおり出版されている．

Association “Milutin Milankovitch”
Belgrade : Milutin Milankovitch, A Traveler
through Distant Worlds and Times, 2008.

Milutin Milankovitch, A Traveler through DistantWorlds and Times

大陸移動説のウェゲナーとも個人的な繋がりがあったと言われている．

３．博士論文の概要(1)
石積み構造物の安定性に関するミランコビッチの博士論文はドイツ語で記述されていることや後年の天体力学分野の業績とは内容が大きく異なるため長らく知られていなかったようである．
そのため，この分野で先駆的な役割を果たしてきたCambridge大学のHeyman教授の多くの著作の中でも引用されていない．

博士論文の概要(2)
イタリアの建築構造史家であるFoceによる博士論文の解説と評価が2007年にNexus Network
Journalに掲載された．
これにより，最近になって円形アーチの安定性に関して
Heyman や Cocchetti, Colasante& Rizzi (以後CCR) の研究とミランコビッチの理論を比較した論文等が現われるようになってきた．

博士論文の概要(3)ミランコビッチは，剛体を仮定した線上アーチ構造内を通る力の作用線をできるだけ厳密に計算する理論式を導いている．その力の作用線が構造内にあることが構造が安定であることの必要条件であると考えた．（このような考えは古くからあったと思われる．）
 δ2 sin ϕρdϕVdx−
Hdy−g+βδξ2ρ12δΩG = ρ +12 ρδδ− p + ξ  sin (ϕ − ε )de − q − ξ  sin (ϕ − η )di = 022xN'x0+XMP KpSV RN'N1N1'ϕ−εCAMdydxFdG
N1yH

E
E1y0

QE0GS
M1NnB

εp+dp

NNn’O

GN1'Nη
qq+dqDΩ

図-5 アーチ断面の中点と微小要素の重心位置の関係

dϕϕ+YΩ

図-6 ミランコビッチが作用線理論の導出に用いた概念図

厚さが一定の円形アーチ内の力の作用線を計算する理論式
xV = P + gβ ∫ δρ dϕx0xx1B+XO

SN’QAxxx0x0+ ∫ p cos ε de − ∫ q cosη dixxx0x0

H = Q − ∫ p sin ε de + ∫ q sinη diVVMEC

H=QN

ρ0a/2
Da/2

ρr

 δ2

V dy 1 dϕ−=  gβδρ + ξ  sin ϕ
H dx H dx
 12 ρdeδ
+ p + ξ  sin (ϕ − ε )dx
2
ϕ/2ϕdi δ+ q − ξ  sin (ϕ − η ) dx 2
Ω+Y

図 -7 厚 さ が 一 定 の 円 形
アーチ内の力の作用線

ρ=ρ0Q + a (a 2 + 12r 2 )sin 216arϕ sin ϕ + Q cos ϕϕ2４．最近の研究との比較
極限解析

図-8 安定な最小厚さを有する円形アーチとその中の力の作用線の関係(Foceの論文のFig.7)
ミランコビッチはこのようなタイプの破壊形式を仮定している．
実線で表された力の作用線が構造物内にあることが安定性の必要条件である．

図-9 石積み円形アーチの破壊モード （CCRの論文のFig.2)

Heyman, CCR,およびMilankovitch理論の比較
Cocchetti, G., Colasante, G. and Rizzi, E.: On the analysis of minimum thickness in circularmasonry arches, Applied Mechanics Reviews, ASME, Vol.64, 050802.1-26, 2011.

図-10 B点における力の接線条
件 （CCRの論文のFig.4)
図-11 CCRの解析の概念図（CCRの論
文のFig.9, 10）

Rizzi, E., Cocchetti, G., Colasante, G. and Rusconi, F.: Analytical and numerical analysis on the collapse
mode of circular masonry arches, Advanced Materials Research, Vol.133-134, 467-472, 2010.

図-12 Heyman, CCR，ミランコビッチ理論及びDDA解析
結果の比較9) (上:破壊角,下:無次元厚さ）５．おわりにミランコビッチが土木工学者・技術者時代に行った石積み構造物に関する研究業績について，入手した資料や最近の論文をもとに調査・検討した結果を要約した．
本質的に重要な効果は複雑であったとしても厳密に取り扱おうとするミランコビッチの研究姿勢が，後年の天体力学と気候変動研究分野での偉大な研究成果に繋がったように思われる．
今後，本研究で取り扱った円形アーチ以外に，例えば尖塔アーチ形状におけるミランコビッチ理論の優越性や弾塑性曲り梁理論との比較検討等を継続して行いたい．

Audenaert, A., Reniers, G., Dullaert, W. and Peremans, H.:
Evaluation of the limit load capacity of masonry arch bridges,
WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics,
Issue 4, Volume 4, 137-146, Oct. 2009.

参考：弾塑性梁としての解析