ベイジアンアプローチによる単位根検定
河 田正樹

1 はじめに

時間領域における時系列モデル分析において，平均非定常な系列を定常系列に変換する方法として，階差をとる方法と，線形トレンドをあてはめる方法とがあるが，誤った方法を用いた場合には分析結果がかなり変わってしまう。そこで，系列が階差定常であるかどうかを検定する単位根検定といわれる方法が考えられている。

単位根検定には，骨無仮説および対立仮説として選ぶモデルに複数の組み合わせがある。階差定常モデルを帰無仮説とし，トレンド定常モデルを対立仮説とするもの，トレンドを含む階差定常モデルを帰無仮説とし，トレンド定常モデルを対立仮説とするものなどがその組み合わせの例である。そのなかで，階差定常モデルを帰無仮説とし，定常モデルを対立仮説とする組み合わせがある。1次の自己回帰（Auto Regressive：AR）モデルの場合でいえば，

yt ＝ pgt‑1十ut（1）というモデルで，ρ＝1であるかどうかの検定を行うものであり，ρ＝1のときのモデルはランダムウォークモデルといわれる。
単位根検定を伝統的アプローチ1）で行う場合，ρが1となるときのみ，その漸近分布が異なり，それゆえ不都合が生じる。この不都合を解決するために，

Sims［18］は，一様な事前分布を用いたベイジアンアプローチを行った。
注1）本稿ではノンベイズのアプローチを伝統的アプローチと呼ぶことにする。

一1一

徳 山大学論叢第52号

この方法に対し，Phillips［15］は， Sims［18］の方法では，事前分布に時系列の成り立ちを考慮に入れていないと痛烈に批判し，Jeffreys型の事前分布を用いることを主張した。この批判に端を発し，事前分布としてどのような分布を用いれば良いのかについての論争がおこった2）。

本稿では，ベイジアンアプローチによる単位根検定の方法についての考察を行う。ベイジアンアプローチにおける仮説検定の方法には，事後オッズ比による方法が考えられ，本稿では（1）式のような定数項なしのAR（1）モデルについての，事後オッズ比による単位根検定を考察の対象とする。そもそも単純帰無仮説についての検定は，伝統的アプローチとベイジアンアプロー

チで結果が大きく異なるというLindleyのパラドックスといわれる問題がある。Schotman and van Dijk［16］はこのパラドックスを回避するような事前分布を提案した。本稿では単位根検定におけるLindleyのパラドックスの問題，そしてそれを回避しようとしたSchotman and van Dijk［16］の事
前分布は妥当であるかという問題を中心に考察を進めていく。

次回以降の内容は次の通りである。2節では単純図無仮説の検定法について，伝統的アプローチとベイジアンアプローチのそれぞれについて簡単にまとある。3節では単純帰無仮説の検定における伝統的アプローチとベイジアンアプローチの結果の相違，Lindleyのパラドックスについて触れる。4節
では伝統的アプローチの問題点である漸近分布の不連続性と，その仮説検定の考え方に触れ，5節はこれらの問題点を解決できる，事後オッズ比を用いたベイジアンの単位型検定の方法についてまとめる。6節ではシミュレーシ
ョン実験から得たその結果について示すとともに，若干の考察を加え，7節で総括する。

2 単純帰無仮説の検定（1）式のような定数項なしのAR（1）モデルにおける単位根検定は，ρ一12）河田［7］では，この論争についてのサーベイをおこなった。

一2一

1999年12月 河田正樹：ベイジアンアプローチによる単位根検定であるかどうかを検定するものであり，
Ho：e＝：e， vs． H，：e7s e，．という，単純帰無仮説を複合対立仮説に対して検定する検定の1っの例である。

伝統的アプローチの統計的推論では，母数θを定数とみなし，得られるデータxを確率変数とみなす。仮説検定は，あらかじめ有意水準αを定め，データから計算された母数推定値∂が，θ。まわりの100（1一α）％の区間内に入るかどうかによって検定を行う。
有意水準αには通常，o．05や。．01といった小さな値が用いられる。これは，帰無仮説を棄却するにはかなり決定的な証拠が必要であると考えるからである。

一方，ベイジアンは，母数θを確率変数とみなすので，事後分布p（θlx）
から，帰無仮説の成立する確率（p。）および，対立仮説の成立する確率（Pi）

讐灘繧即興灘典諜蹴麹さ鵬PiPi
合には対立仮説を採択するというものがある。
この事後オッズ比による仮説検定は，伝統的アプローチの場合と異なり，帰無仮説と対立仮説のうち，その確率が高い方を採択するというもので，帰無仮説と対立仮説は同等に扱われている。
また，帰無仮説の成立する事前確率（π。）と，対立仮説の成立する事前確率（π1）との事前オッズ比璽で，事後オッズ比を除したもの，

nl

B一粋齔ｺi髪iをベイズファクターというが，ベイズファクターが1より大きいかどうかによって仮説検定を行う方法もある。ベイズファクターによる仮説検定は，データを入れることによって帰無仮説の成立する確率が増したかどうかを判断

一3一

徳山大学論叢第52号

するものである3）。

単純仮説vs．複合仮説の仮説検定において，帰無仮説の成立する確率は．P（θニθ。1 x）であり，θの事後分布が連続型である場合，これは0となってしまう。この問題を解決する手段としては，帰無仮説をH。：θ∈（θ。＋ε，θ。一ε）とし，P（θ一ε≦θ≦θ。＋εlX）を考える。もしくは，事後分布をθ。のところのみ，離散型とする，すなわちθの事前分布をp（e） 一／：0i一．，）g（e） （（ee ＝t＝ ee： Oo2：））（2）とすることが考えられる。

このとき，事後オッズ比は塑か

z，p（xle ＝＝ e，）（3）（1一 zo）f， ＝ ，， g（e）p （x 1 e）となる。

3 Lindleyのパラドックス

単純仮説vs．複合仮説の仮説検定では，伝統的アプローチとベイジアンアプローチでその結果が大きく異なることが知られている。この問題は，Jeffreys［6］が考え，それをLindley［11］がパラドックスとして指摘したもので，Lindleyのパラドックス，またはJeffreysのパラドックスといわれる。
Xi〜N（θ，φ）， i． i． d．（φは既知）（4）3）ベイジアンアプローチにおける仮説検定には，他にも事後分布の最高事後密度区間にθ・が含まれるかど，うかで検定を行うLindleyの方法などがある。 Lindleyの方法は伝統的アプローチとベイジアンアプローチの結果が大きく異なるため，その妥協的方法として考えられたものである。

一4一1999年12月 河田正樹：ベイジアンアプローチによる単位根検定という状況を考え，標本平均Xを推定値として，H。：θ＝θ。という仮説検定を行うとしよう。

H。の事前確率π。＝0．5とし，対立仮説のもとでの事前分布をg（θ）〜N（μ，φ）としたならば，推定値として伝統的アプローチにおける臨界値を得た場合のH。の事後確率p。はそれぞれ次の表1のようになる4）。

表1事後確率PonαZ
15102050

100

10000．1

1，6450，4180，4420，4920，5580，6550，7250，891O．05

P，960O，351O，331O，367O，424O，521O，600

O，823O．01

Q，576O，212O，134

O，140O，163O，216O，273O，535

O，001

R，291O，086O，026O，024O，026O，034O，045O，124

ここで，z＝ぽ一θ・レ緬であり，第1列の有意水準αの伝統的アプローチにおける両側臨界値に対応している。

この表から，標本数π＝50のとき，g＝1．96に対応するXを得たとする。
このとき，伝統的アプローチでは，有意水準α＝0．05で帰無仮説を棄却するのに対し，ベイジアンアプローチではp。の値が0．521となり，事後オッズ比による仮説検定で帰無仮説が採択されてしまう。これがLindleyのパラドックスである。この伝統的アプローチとベイジアンアプローチの乖離は標本数nの増加とともに大きくなっている。

この問題について，Lindley［11］は対立仮説のもとでの事前分布として一様分布を，Jeffreys［6］はコーシー分布をそれぞれ用いたが，ほぼ同様の結果となった。これらは乖離が事前分布によらずに起こることを示して'
いる5）。

4）p。の導出の詳細については，Lee［10］pp．127‑129．などに示されている。

5）この問題についてはBerger and Delampady［1］においていくつかの考察が行われている。

一5一

徳山大学論叢第52号

4 伝統的アプローチにおける単位根検定

伝統的アプローチにおいて，仮説検定は区間推定と密接に関連しており，点推定値∂まわりの100（1一α）％信頼区間をとった区間推定値を考えた場合，この区間内にθ。が含まれていれば，通常はH。：θ＝θ。という帰無仮説は採択される。

しかし，Dickey＝：Fuller流の単位根問題に対するアプローチでは，ρ＝1のときのみ，その漸近分布が特殊な分布にしたがうという不連続性のため，このような性質は成り立たない。

たとえば，標本数T＝100の時系列データを定数項なし，トレンドなしのAR（1）モデルを用いて，最小二乗法で推定し，y， ＝ O．9096×y，一，十u，（5）（O． 04177）という結果を得たとしよう（カッコ内の数値は標準誤差を表す）。このとき，Pまわりの95％信頼区間は（0．8269，0．9923）となり，区間推定値の中にρ＝1は含まれない。しかし，H。：ρ＝1という仮説検定を行う場合，θ。＝1まわりの95％信頼区間は（0．8411，1．003）となり6），帰無仮説を採択することになる。

このような漸近分布の不連続性による矛盾はベイジアンアプローチにおいては存在しない。以下で示す図1から図4までは，次節で示すシミュレーシ
ョン実験の結果求あられた，T‑100のときの経験分布であるが，伝統的アブm一チ，すなわちblρの分布がpiρ＝0．9（図1）とβIp＝1（図2）では，ともに左右非対称はあるが，ρ＝1に近づくにつれて，その度合いが強まっている。一方，ベイジアンアプローチρ1ρの分布はρ1β＝0．9（図3）とplβ＝1（図4）では，散らばりの度合いは異なるものの，『β＝ρに関して左右対称な分布になっている。
6）ρ＝1の場合の信頼区問の算出には，Fuller［4］p．641のf分布表を用いた。

一6一1999年12月 河田正樹 ベイジアンアプローチによる単位根検定

1000
900
800
700
600
500
400
300
200
10000．81O．91．1RHO hat
図1 β1ρ＝0．9の経験分布（T；100）

2500
2000

蕪1500
認 1000500
00．81O．9RHO hat
図2 β1ρ＝1の経験分布（T＝100）

一7一1．1

徳山大学論叢第52号

1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100

00．8

1O．91．1RHO
図3 ρ1β＝0．9の経験分布（T＝100）

2500
2000

縣1500
遡1000
500
00．8

1O．9RHO図4 ρlb＝1の経験分布（T・・＝・100）

一8一Ll1999年12月 河田正樹：ベイジアンアプローチによる単位根検定

理論的にはρ＜1の場合には，その分布が漸近的に正規となることが知られている7）。しかし，この図1の結果から，このことははっきりとはわからない。T＝500の場合について，β1ρ一〇．9とβ1ρ＝1を示したのが次の図5，図6である。
2500
2000

蕪1500
遡1000
500
01O．90．81．1

RHO hat
図5 β1ρ＝0．9の経験分布（T＝500）

8000
7000

6000
5000

4000
3000
2000
1000

00．8

1O．9

RHO hat
図6 Plρ＝1の経験分布（Tニ500）
7）たとえば，Hamilton［5］Chapter 8などで示されている。

一9一1．1

徳山大学論叢'第52号

これらの図からはρ＜1の場合にはその分布が漸近的に正規となるが，ρ一1の場合のみ特殊な分布となることがわかる。この漸近分布の特殊性によって，伝統的アプローチの仮説検定は，モデルが単位根を含むという帰無仮説を棄却しにくくなっている。

また，伝統的アプローチでは，帰無仮説を否定する場合には強い証拠が必要となる。すなわち，このモデルの場合には「ランダムウォークモデルでない」という強い証拠がなければ定常なモデルである（対立仮説の立て方によっては非定常なモデルである場合も含む）という結論を得ることができない。

真のモデルがランダムウォークモデルである場合は，それほど多いのであろうかという疑問が生じる。この疑問も帰無仮説と対立仮説を対等に扱うことができ，先験的な情報も事前分布の形で取りこむことのできる，ベイジアンアプローチでの単位根検定をおこなう動機づけとなっている。

5 ベイジアンの単位根検定（1）式のようなモデルの単位根検定を，ベイジアンアプローチでおこなったものとしては，Sims［18］， Schotman and van Dijk［16］などがある。

これらは事後オッズ比に基づく仮説検定を用いているが，このような仮説検定では，事前分布としてどのような分布を選択するかが問題となる。
ρに関して無知の状態を表す事前分布としては，その範囲が一。。から。。
までをとり得るので，一様分布を用いることが考えられる。これは，Jeffreysの基準といわれるもので，「ごくふつうの場合であればおおむね成立する」8）としたものである。しかし，一。・から∞までの一様分布は積分しても1に等しくならない変則（improper）事前分布である。このような事前分布を用いたならば事後オッズ比は計算することができない。その解決策としては，ある範囲内での一様分布を考えることがあげられる。

Sims［18］は，標本tw Tが大きい場合の漸近的な事後オッズ比を考えた。
8）Jeffreys［6］p．117．訳語はZellner［23］邦訳47ページによる。

一10一

1999年12月 河田正樹：ベイジアンアプローチによる単位根検定（2）式のような事前分布で，尤度の大部分が含まれる区間をカバーするものとしてg（θ）に，まず（0．5，1）の範囲の一様分布を考えた。このとき，π。の値1‑pを0．5とすると，Dickey＝Fuller流のt値タイプの検定統計量τ＝＝2ap（ただしap＝ σ2／Σ盛1）と，事後オッズ比が1をともに満たす，すなわち伝統的アプローチとベイジアンの漸近的な事後オッズ比によるアプローチが同一の結果となるようなβの値はβ＝O． 92のときである。また，π。の値を0．8とするなら9），βの値は1に近づくことになる。

Sims［18］はさらに，データの発生間隔にも注目した。年次データについてg（θ）に（0．5，1）の範囲の一様分布を考えた場合，四半期データでは下限がO．5i〆4＝0．84，月次データの場合には0．51／12＝0．94となる。このとき，τ＝2と事後オッズ比が1をともに満たすβは四半期データの場合ρ＝0．98，月次データの場合ρ＝0．99であることを示した。

Schotman and van Dijk［16］もやはり，事前分布として（a，1）の区間に一様分布を用いるものを考えた。Schotman and van Dijk［16］では，αの値はあらかじめ決めておくのではなく，事前分布の範囲内に尤度関数の大部分を含むようにデータから決めることを提唱した。このことによって，標本数：Tが大きくなるにつれて，事前分布の範囲も小さくなり，Lindleyのパラドックスを避けられると考えた。

aの値はa＊ ＝ p＋spF‑i（aF（一f））（6）となるa＊を用いる。ここでF（・）はt分布の累積密度関数を表し，自由度は標本tw TのときT‑1となる。 Spはβの標準誤差であり，ぞはDickey＝：Fullerの検定統計量f＝（p一1）／sβである。0．001から0．1までの範囲のαを入れることにより，尤度関数のρ＝1以下の部分のうち，（1一α）だけを事前分布がカバーすることになる。

このとき，事後オッズ比は9）Sims［18］はこちらの場合のほうがより理にかなったものであると考えている。

一11一

徳山大学論叢第52号

迦かp（p 一 11 X）（7）

il．li nip（p ix） dpとなる。また，P（ρ＝11X）としては，1imρ→iP（ρlX）を用いている。

Sims［18］やSims and Uhlig［20］で提唱された一様な事前分布を用いたベイジアンアプローチでは，π。としてどういう値をとるのか，一様分布の範囲をどの程度とするのかが問題となってくる。この点について次節でシミュレーション実験の結果を用いて考察していく。

6 シミュレーションによる検証

本稿では，Sims and Uhlig［20］によって行われた次のようなシミュレー
ションと同様の実験を行った10）。

Step 1T個の平均0，分散1の正規乱数を発生させてそれをUtとし，このUtを用いて9tを生成する。（ただしg。＝0とする。）

S彪ρ2

標本tw Tの系列ytに最小二乗法を適用し，推定値pを求める。

Step 3

SteP 1， SteP 2のi操作を10000回繰り返し，βの条件付き分布を求める。

Step 4

Step 1， Step 2， Step 3の操作をρについて0．80から1．10の間の0．01刻みの値について行い，ρとβの同時分布を求める。

このような手順を踏み，pの階級幅を［一。。，0．795），［0．795，0．805），［0．805，0．815），…として度数を求めた。βは，各階級の中央値によって代表させており，例えばβ一〇．95とは，0．945≦ρ＜0．955を意味している。4節に示した図1〜図6はこの同時分布の断面図である。
10）この実験ではσ2＝1という仮定をおいている。このような仮定をおいても一般性を失わない。

一12一

1999年12月前河田正樹：ベイジアンアプローチによる単位根検定

Sims and Uhlig［20］では， T＝100の場合のみの実験を行っているが，ここでは，T・ 50，100，250，500の場合の実験を行った。実験に用いたソフトはS‑plus ver．4であり，グラフ作成のためにMS‑Exce197を用いた。

まずLindleyのパラドックスが，単位根検定の場合にも起きているかどうかを調べてみる。Dickey＝Fuller流の単位根検定における有意水準αのときの臨界値を求め，対応する事後確率p。を計算する。（2）式のような事前分布で，g（θ）として，0．8から0．99まで0．01刻みの離散型の一様分布を考え，π。＝0．5とし，事後確率p。を計算したものが表2である。ここではFuller［4］p．641の表から臨界値に対応するbの値を求め，最も近いβについてH。が採択される事後確率p。を求めた。
表2 単位根検定における事後確率p・（事前分布UD［0．80， O．99］，π。＝0．5）T
α50100250500

0．050，1180，1210，3330，475

0．10，1740，2390，4830，848

この事後確率は，1．p（ρ1ρ）の分布が離散化されている。

2．もとの分布表が小数点以下第1位までである。

3．臨界値として計算したPに最も近い0．01刻みの点について計算している。などの理由により，精度はかなり低いものとなろう。しかし，Tが大きくなるにつれてP。の値が大きくなるという，Lindleyのパラドックスが起こっているということは，表から見てとることができよう。
次に，Schotman and van Dijk［16］の提唱した事前分布について検証するたあに，ρ＝0．9からρ＝1までの系列について，事後オッズ比を計算してみる。T ＝・ 50，100，250，500の標本数について推定値βと，その標準誤差sβ

一13一徳山大学論叢第52号を求め，一様分布の下限を0．8とした場合とa＊とした場合のそれぞれの事後オッズ比を計算した。ともにz。＝0．5とした。次の表は塑＞1となった系Pi列の数である。

表3 一様な事前分布の下限についての比較
ρT50100250500

下限0．88400

下限α＊

13000

下限0．8

14500

下限α＊

17100

下限0．8

201300下限α＊

28

900

下限0．8341800

下限α＊

42

400

下限0．8392200下限α＊401000下限0。8423220下限α＊

44

1600

下限0．84742160下限α＊512600下限0．85649256下限α＊58

2994下限0．860575328下限α＊6443334下限α871777867

下限α＊72565315下限0．871769693

下限α＊73758172

0．90．91

0．92

0．93

0．94

0．95

α96

0．97

0．98

0．99

1一14一

1999年12月 河田正樹：ベイジアンアプローチによる単位根検定
この結果から標本tW Tが小さい場合に・は， Schotman and van Dijk［16］の事前分布のほうが帰無仮説を採択しやすくなっており，Tが大きくなるにつれて帰一仮説を棄却しやすくなっていることがわかる。

次にLindleyのパラドックスとの関連を見るためにβの値によって表にまとめてみる。

表4 採択系列数の比較（T＝50）

0．93 690．94 68
0．95 74
0．96 77
0．97 72
0．98 68
0．99 56

1 47
1．01 43

1．02 131．03 71．04 41．05 1

表6 採択系列数の比較（T＝250）

一〇．9 381

0．91 66
0．92 540．93 69
0．94 68
0．95 74
0．96 77
0．97 72
0．98 68
0．99 56

1 47
1．01 43
1．02 131．03 71．04 41．05 1

表7 採択系列数の比較（T＝500）︵ρ︵ρ総数 下限0．8 下限が一〇．96

720

0．97

110oo

総数 下限0．8 下限α＊0000じ028086
01
0嘱2040100070
ρ04
9衛102
00000
004
900
07
ρ049
臼 08612200
10．92 54︵ρ0．91 66000557424837776546
1 733741

一〇．9 381

下限0．8 下限α＊000070
752816733741
747644︵ρ総数

表5 採択系列数の比較（T ・100）

総数 下限0．8 下限α＊o

一〇．96712o0．97

100oo

0．98

93o0．98

940．99106106105

0．99

113

113

1676767

18181

1．01

4441．01093

一15一o0徳山大学論叢第52号

たとえば，T＝500の時の有意水準0．1の臨界値に対応するbの値は0．99であるが，表7が示すように，Schotman and van Dijk［16］の事前分布のほうが帰無仮説を棄却しやすくなっている。この事前分布はLindleyのパラドックスを避iけることができているといえよう。

しかし，この事前分布は，「同一の尤度から導かれる統計的結論は同じでなくてはならない」という尤度原理を満たしていない11）。それゆえ，ベイジ
アンアプローチにおける事前分布としては，問題を含んだものといえよう。

次に，一様な事前分布の上限について考える。Sims［18］やSchotman
and van Dijk［16］が用いた対立仮説のもとでの事前分布は，ともにρ＜1の範囲である。これは，与えられた系列が先験的に，定常である（ρ＜1）か，階差定常である（ρ＝1）かのいずれかであることがわかっているというものである。もし，このような検定を非定常な系列（ρ＞1）であるか，定常または階差定常な系列（ρ≦1）であるか先験的にわからない系列に対してこの検定を用いた場合には，誤った結論を導きかねないであろう。実際に，特に標本数Tが50や100の場合には，ρ＞1を仮定しているのに，β＜1となる系列が少なからずあり，T ・50の場合では，ρ＝1．01とした場合に，ρ＜1となる系列の割合は50．5％，ρ＝1．02とした場合で39．3％となる。よって，このような事前分布が有効となるのは，あらかじめ，ρ＞1であるかρ≦1であるかを検証した後のみといえよう。

7 おわりに本稿では，単位根検定を事後オッズ比によっておこなうベイジアンアプローチについて，Sims［18］やSims and Uhlig［18］で提唱された一様な事前分布を用いる方法について考察してきた。

この場合，Lindleyのパラドックスは起きるが，これは伝統的アプローチとベイジアンアプローチの考え方の相違に基づくものであり，これを避けて
11） Koop and Steel ［9］ p． 97．

一16一

1999年12月 河田正樹：ベイジアンアプローチによる単位根検定

伝統的アプローチと同様の結果を得る事前分布を考案するよりも，ベイジアンの考え方において整合的な事前分布を導くことのほうが重要であるといえよう。

本稿では，無知をあらわす事前分布として，単位根問題にどのようなものが最適であるかという問題には触れなかった。この問題については，一様分布を考えたSims［18］およびSims and Uhlig［20］，それを時系列の成り立ちを考慮に入れていないとして批判したPhillips［15］のJeffreys型の事

前分布以外に，Berger and Yang［2］やLubrano［12］などで，いくつかの事前分布が考えられているが，結論は出されていない。この問題は今後の課題としたい。

また，本稿では触れなかった，Lubrano［12］で指摘されている，時系列の初期値y。に関する問題，定数項を含んだ場合の事前分布の問題などについても今後の課題としていきたい。

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