格付け変動を利用した債券ポートフォリオの最適化
木島 正明，小守林 克哉，阿久津 なぎさ‖＝＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖＝＝‖‖…………l＝＝‖‖‖‖＝‖‖＝＝＝‖‖……l帖＝‖‖‖‖…l＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝＝‖＝＝‖‖＝＝＝‖‖＝＝‖‖＝＝＝‖＝‖＝＝‖＝‖＝‖＝‖＝＝‖‖＝＝‖＝＝‖＝州＝＝‖‖＝…＝＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖‖‖＝＝‖‖＝＝＝‖‖＝＝‖m＝‖＝

んだ社債ポートフォリオの最適化モデルを紹介する．

1．はじめに以降では，まず節2草でモデルの小心となるマルコフ

仁用リスクとは，企業の倒産による偵務イ（履行リス連鎖モデルの概念を整理し，価梧．沖仰の方法や介業lとりクや，発行体の仁用力が焚化することによる証券価格のイ．川J力相関を考慮したモデルについて紹介する．第変動リスクのことを指す．近年，金融機関に対するリ

3「巨では，社債ポートフォリオの最適化モデルについ

スク管理の重要性が高まる小で，金融機関答礼は保有て，シミュレーションを交えてそのl勺容をホす．

する資産ポートフォリオのうち融資や社債など，㍍‖J

2．マルコフ連鎖モデル

リスクを含む資産のリスク管押体制を強化している．

格付けは企業のイ誹J力を表す指標と考えられるため，

一一般に信用リスクを評価するための手法は，次の2つに人別される．

その変動をモデル化することで，朴債価格の分析をし（1）Structuralapproach（構造モデル）

ようとするTL法がJarrow，Lando and Turnbull（2）Reduced−formapproach（誘導モデル）（1995）によるマルコフ連錯モデル（以降，JLTモデ（1）は，企業の資産は資本と負債で構成され，資産が【Iルと呼ぶ）である．以卜にその考えノノをまとめる．

減りして負債額を下ruIったときにデフォルトが発／1二す

2．1モデルの概略

ると考えるモデルである．このカテゴリーの代表的な

離散的な状態竹吊〟＝（1，2，…，〟＋1）をもつマル

モテルにMerton（1974）やBlack and Cox（1976）

コフ連鎖を〈ズと）とし，状態1が最高の格付け，状態がある．一方，（2）はデフォルトや回収率を外′＝畑こノj・

2が2番Ilの柄什に対応し，状態〟が最低の格†、什ナ，えるモデルで，このアプローチの代衣例が，Jarrow状態〟十1がデフォルト（倒産などの吸収状態）を表

and Turnbull（1995）とDu栴e and Singleton

すとする．

（1999）である．これらのモデルの詳細については木

さらに，峠ノ1（も離散的（′＝1，2，…）であると考えて，

島・小守林（1999）を参照して頂きたい．

峠一l∴（古から時イ．く′＋1のI陽に状態オから状態ノ（オ，ノ∈信用1リスク管理の中でも，特にポートフォリオのよ〟）へ推移する確率を次のように定義する．

うに複数の企業に対する信用リスクを扱う場合の重要

恥い，′＋1）＝P（芽f＋1＝ノl芽f＝才〉

な∴■．（として，企業の信用力変化の相関関係をいかに表JLTモデルでは，観測される格付けの推移確率は斉現するかというlとり題が挙げられる．これは例えば川じ‖加杓，すなわち畔聞によらず恥（J，J十1）＝恥である

業種に属する企業や，グループ企業など，複数の企業と考える．このとき恥を要素とする推移確率行列Qの仁用力が相関を持って変化するような現象であり，は，このような現象は社佑や融資のポートフォリオ管理に

qll（712 ‥● ql〝 ql，〟＋1

は人きな影響を！j▲えるため，そのモデル化は重要な意

q21（才22 … α2〟 ヴ2，〝十1

味をもつ．

（2）

本報蕾ではこのような企業聞のイ誹ー力変化を取
きじま まさあき
京都人′、㌢：人′刊完経済′羊研究科〒606−85（）1京都IIiノIミュi（lヰiI川1本町

こもりばやし かつや，あくつ なぎさ
興銀第一フィナンシャルテクノロジー㈱〒10（卜（）004 丁一代‖＝大人手l町1−5−1

614（12）（1）

り込

qⅣ1（7〝2 ‥一 肌描（拍誹十1

0 0 … 0 1のように衣現され，この行列の第（オ，ノ）要素は，ある
畔一・∴（において格付け〆であった企業が1其り後に格付けノとなる確率を表している．
（2）式は，現実の格付け推移確率を表現したものであ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

る．しかし，朴情などの価桁．甘価を子ナ一う場合には，現（）く刷≦1（9）

美に観測される桔付けの肺移櫛率を，価桔を．㌢輔11iする
ところが，▼▲般に．t−㍍首付け介業の倒産確率は，ほとん

ためにリスク調整する必要がある．ここで，注意すべど（）に℃しいため，神佑価桔より推計されたリスク調

き∴t．（として，現美に観測される格付け推移し宥）が膏

整係数布（りが（釧Jてをil埼たさないということがしばし

畔的マルコフ連鎖に従うとしても，リスク朋整された

ば発／巨する．

推移碓ヰミも斉lけrlくノであるとは限らないということであ

このようなJLTモデルの欠）：．（に対し，Kijima andる．このノ侶こ注意すると，リスク小、■／二珊‡移確率亘り（／，Kom（）ribayashi（1998）は次に／Jtすような改良を提′＋1）は，−一般に次べでり・えられる．

案した．彼らは，（4）式の代わりに，

弟・J（／，J十1）＝恥（り恥（3）

恥（り＝Hり．†LTモデルでは，（10）とおき，リスク調整後の推移確率を次のように定義し方り（り＝方〜・（り

（4）

た．

と仮定して，リスク調整後の推移確率を次のように定／〜（り裾，…ノ≠〟＋1

義する．
百わ（／，／＋1）＝紬叫＃

1−／ヱ（り（1一針侶．），（11）…ノ＝〟＋1（5）（ト裾（5）式よiト仙▲期l封の推移確率亘〜ニケ（J，′＋1）が求められ，

このようにすることでJLTモデルの欠ノ∴ほ克服し，これを（〜，ノ）要素とするjけり6（J，／＋1）を川いて，現′夫の神情データより安定的にリスク調整係数を推定することが可能になる．

6い，r）＝∂い，／＋1）6（／＋1，／＋2）…

2．4 相関を考慮したマルコフ連鎖モデル…∂（rl，T）（（；）

以卜の議論は1つの企業の格付け推移をモデル化しを．汁算し，これから71則l吊の推移確率れ（／，7「）をたものであるが，神佑や融資ポートフォリオの管理を求めることができる．

行う場合には，先に述べたようむ企業のイぷ1りノ変化に

2．2 リスク調整係数の推定おける柚関を考慮しなくてはならない．

Jrrr（）W and Turnbull（1995）によると，割■）＝1二情

複数企業の相関を考慮したモデルにLando（1998）

仙桁〜ノ（／，71）はデフォルトリスクのない割り＝り情価櫓の多次ノ亡マルコフ連銀モデルがあるが，拭うパラメー

紬（′，T）を用いて，次のように表現できる．

乙フ（／，7「）＝＝〃。（J，r）［∂＋（1一∂）♪∠〈rメ＞7 ）］，（7）タ数が膨人になるため∴汁算が煩雑になるという欠ノ∴（

ただし，rは企業の刷J榊‡∴1．tを表す確率変数，∂は例がある．また，CreditMetrics（1997）では企業資産

藻時の1＝川又率で確定rl小ン定数であるとする．この式に価佃モデルに依拠して格付けの相関を求めているが，おいて，香（ら＞7 ）は介業がl肘．（Tまでデフォルト

企業の資産価仙を明確に定義し，それを数理モデルで●．；己述することは一夫務l潮経である．そこで本章腔iでは，しない確率を表しているが，これは（6）式のれい，r）

比較的少ないパラメータで相関をム現できるKijima，

を川いて次グ）ように表される．

Komoribayashiand Suzuki（20Ol）のモデルを川し、〝 β∠ir′＞T〉＝∑￠・々（J，71）

ることにした．

ん＝1＝1一々〜・， ．い，r）（8）〃佃のマルコフ連鎖〈ズ胃（た二1，2，‥・，邦）をそえて，したがって，現丞三の祉肘Itti桁と（和式の倒確確ヰが求め〈芳′）は々刺lの介業の格付け推移を表すとする．Ki＿

られれば，（5）式と（6）式を川いて，リスク調整係数

jima，Komoribayashiand Suzuki（2001）では，れ（り，′＝1，2‥・を逐次什引こ求めることができる．

†方ヂ）の変動を次のように仮定した．

2．3 修正」LTモデル

ぎ（芽㌔＋（−1）お々βデ＋1n＋1

l甘節ではJLTモデルにおけるリスク調整係数の推。打た1＝定を述べたが，′夫際にこのモデルに従ってリスク綱整＋Z宮．1）…ガヂ≠〟＋1
＼■．

（12）

…．＼●．● ／＼・1

係数を求めようとするとⅠ王り題が／巨じる場合がある．リ

ここで∂々は相関の正員に応じて0または1をとる定スク瀾璧係数れ（りは，観測確率からリスク中立確ヰ

数，βヂはパラメータα々（（）≦αヵ≦1）をもつベルヌーイ

への同植変換の条什および推移確率の井員条什より，

確率変数列

次式を満たすことが必要である．
2001隼11JJり・P†βぎ＝1）＝1−Piβぎ＝0）＝αた© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（】こ11（13）615

hは平均0で整数値をとる独立でドiJ一分布に従う碓

いる．

率変数列，Zた1はガタに依存した増分

3．1格付け分布P（Zた．＝ノーオじ粁＝Zl＝諦（14）

さらに，吉（∬）は境界での振舞いを規定する関数

ぎ（J）＝

1，

∬≦1

∬，

1＜∬≦㍉町

表1は仮想rIくノな朴佑銘柄とその械件である．このような銘柄を川いて，社債ポートフォリオの最適化を行うことを考える．なお，肴儲柄の発行企業を釦柚番り一（15）に対応して，企業1，企業2のように表す．
まず1番【】のステップとして，表1の銘柄の発行企〟＋1，J≧∬＋1である．々番【1の確率変数列（βぎ）と（Zヂ）は（n）お業が将来どのような格付け分布になるかについて，シ

よび他の確率過程とは独立であるとする．したがって，

ミュレーションを行う．このとき，先に述べた企業l封

マルコフ連鎖（ガヂ）には，々によらない共通ファクタの格付け変則の相関を考慮するために，（12）式のモデル

ー（n）と各点に対応する係数βデを通して相関が隼を川いる．ここで問過となるのが共通ファクター㌢

じる．確率1でβぎ＝0ならば，マルコフ連鎖（ガヂ）はとファクターに対する各銘柄の感応度」ガの推定であけいに独立である．

る．これには人きく分けて2つの〟法が考えられる．
1．ヒストリカルな桁付けの推移から，共通ファクモデル（12）式は，以下のような意味合いをもつ．簡‡ii
化のために，ガヂ≠〟＋1および方た1≠1，〟＋1と仮ターと係数をl坪＝畑こ推計する方法．

2．マクロ経済指数且どから，共通ファクターを外定しよう．このとき，（12）式と（15）式から，マルコフ連鎖（ガヂ）の増分は，／＝畑こり一えて，各銘柄の係数を推i汁するノバム

ズ告1一方f＝（一1）∂々βヂ．1n＋1＋Zた．

（拍

今回の分析では，後者の〟法を川いるものとして，となる．これは企業々における格付けの増分を，共（h）の変軌が次の最も単純なケースで表現されるも通ファクター（n‡で説明しているモデルであり，のとする．

n．1はシステマテイツク・リスク，Zた1は企業々の個別リスクであると解釈できる．係数（一1）∂々βヂ＋lはCAPMで言うところのβに柑ニLlし，この依によって銘柄間の相関の度介いが決定される．

表1社債銘仙とその崗性
銘柄 格付 満期 利払い 係数

3．社債ポートフォリオの最適化

銘柄1

AA

10

0．0215

−0．78

銘柄2

A

10

この章では，前章までに述べた手法を応用した社債

0．0300

0．70

銘柄3

A

10 0．0245 −0．82

ポートフォリオの最適化モデルについて紹介する．こ

銘柄4

A

9 0．0340 −0．51のモデルは，以下の3つのステップから構成される．

銘柄5A

10 0．0221 −1．00

1．将来の格付けシミュレーション

銘柄6

2．将来の社債ポートフォリオの時価評佃

銘柄7

3．ポートフォリオの巌過化

銘柄8

AA

10

各ステップの内容を説明する葎＝こ，本報㌢子とAn−

銘柄9

AA

10

derssonetal．（2001）との相違について簡単に述べて

銘柄10

A

おく．Andersson et al．（2OOl）ではCreditMetrics

銘柄11 AA

9（1997）を使って格付けの相関を求めているが，先に

銘柄12

A

10 0．0265 −0．16

指摘した通り，そもそも介業の資産佃仙をモデル化す

銘柄13

A

9

ることは難しい．また，将来の社債価格を現在のイー

銘柄14

A

9 0．0265 −1．00

ルドカーブから計算しており，令利期間構造の変動を

銘柄15

A

10 0．0255 −0．45

考慮していない．これは社債佃桁の変動を格付け変動

銘柄16

A

10

だけで説明する，市場リスクを収り込んでし、ないモデ

銘柄17

A

10 0．0268 −0．10

ルである（KijimaandMuromachi（2000）を参照）．

銘柄18

A

9 0．0300 −0．44

これに対して，本報菩では観測叶能なデータだけを使

銘柄19

BBB

月＝ノ，また期間構造の変軌を考慮したモデルになって

銘柄20

A

616（14）

AA

10

0．57

10 0．0310 −1．00

A© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

0．0191

0．02130．02300．21−0．76

10 0．0245 −0．21

100．01880．02460．30

0．03500．0315
10

0．02

0．11

−0．25

0．02480．62

オペレーションズ・リサーチ

P（y＝1）＝（y＝−1）＝r

β，y，Zの乱数を発隼させて（12）式のシミュレーション（17）

P（y＝0）＝1−2rを行うことで，表1にホす銘柄の発行企業の将来の格

さらに，（17）式においてγ＝25％となるようなマクロフ

付け分布を計算することができる．実際に300回のシ

ァクターを選び，この共通ファクターに対する個別銘

ミュレーションを実施し，表1にホす銘柄の発行企業

柄の係数が衣1の最も列のように推計されたとする．

のうち企業6と企業4について，5年彼の格付け分布（12）式のモデルに照らし合わせると，この係数が止の場を発／巨させた結果をlツ11と図2に示す．

企業6の現在の格付けはAA，介業4の格付けはA

介には∂々＝（），負の場介には∂た＝1，さらに係数の絶対値がα々に対応する．

であるため，トズIlと匝12でホされた5年後の格付けも，ここで，マルコフ連銀（ガヂ）の推移確率が衣2のよそれぞれ現在の格付けを小心に分布していることが分うに観測されたとする．この推移確率鵡を（才，ノ）二要

かる．さらに，企業間の相関を見るために企業1と企素とする行列を鳥，（14）式を：要素とする行列を￠々と業7，企業2と企業7について，5午後の格付けの同する．Kijima，Komoribayashiand Suzuki（2001）

時分布をグラフにしたものを図3と匝Ⅰ4に示す．企業によると，f㌔と0々には次の間係がある．

1と企業7は，ファクターyに対する係数が似通っ鳥＝￠々（（1−α々）J＋α々ガ）（l醐

ここで，斤んは次式で定義される行列である．
1−γ

γ

0 …

の朴＝関をホし，実1祭に相関係数を計算すると0．86となる． 一ん，企業2と企業7はファクター係数の符り・

07′ 1｛27′ rが逆であることから，将来の格付け分布はlヌ14のよう

O
（川

0

7′ 1−γ0ているため，将来の格付け分布も図3にホすようにl上な負の刺‖喝をホし，相関係数もー0．77となる．このようにモデル（12）式を川いることで，介業l別のイi；川力変

そこで，（欄式の両辺の行列ノルムの美が巌レJ、さくな

軌に関する相関を考慮した卜で，将水の格付け分布をるように島を求めれば，シミュレーションに必要なシミュレーションすることが吋能になる．

すべての変数を決定することができる．

以上のようにパラメータが推定できれば，確率変数

表2 格付推移確率行列（単位％）AAA AA
AAA

A BBB

91．94

7．46

BB

0．48

0．08

0．04

AA

0．64

91．79

6．76

0．60

0．06

A

0．07

2．27

91．68

5．12

0．56

5．56

87．87

4．83

BBB

0．04

0．27

BB

0．04

0．10

0．61

7．75

81．48

B

0．00

0．10

0．28

0．46

6．95

0．37

0．75

2．43

0．00

0．00

0．00

CCC

0．19

D

0．00

0．00

0．00

B CCC

D

0．00

0．00

AA

0．12 0．03

0．00

A

0．25 0．01

0．04

BBB

1．02 0．17

0．24

BB

7．90 1．11

1．01

82．80

3．96

5．45

60．44

23．69

AAA

0．00

B

CCC

12．13

D
2001年11什り一

0．00

0．00

図1企業6の栴付け分布

100．00

図2 介菜4の格付け分布© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（15）61丁表3 期初のイールド（単位％）
2

4

5

6．14

国債

5．76

5．89

5．96

6．12

AAA

6．15

6．50

6．66

6．90

6．94

AA

6．19

6．54

6．71

6．97

7．03

6．92

7．21

7．31

A

6．47

6．76

BBB

6．85

7．16

7．35

7．63

7．75

BB

8．19

8．46

8．71

9．04

9．22

9．04 9．64

9．89

10．35

11．07

11．66

B

図3 企業1と企業7の桁付け分布

3

CCC

9．89
6

10．82
7

9

8

10．58
11．94

10

6．17

6．19

6．22

6．24

6．25

7．01

7．07

7．11

7．14

7．12

7．11

7．18

7．23

7．28

7．29

7．39

7．45

7．51

7．60

7．62

7．85

7．94

8．06

8．21

8．24

9．34

9．44

9．54

9．63

9．67

10．73 10．87

10．99

11．01

11．09

12．13 12．30

12．36

12．29

12．26

図4 企業2と企業7の格付け分布て定義されるこの方法で，現在のイールド・データから，将来の3．2 時価評価
前節では，対象とする社債舗柄の発行企業の将来畔

イールドスプレッドを算目することができる．例えば

一点における格付けの分布を発生した．次のステップで現在のイールドが表3グ）ように与えられたとき，これ行うべきことは，この発行企業の格付け分布をもとに，をイールドカーブとして，崩初の5年間分をグラフ化

社債ポートフォリオの将来時一・∴（の時価分布を計算する

すると図5のようになるが，（22）式を用いて5年後のイことである．そのためには将来時点のイールドカーブ

ールドカーブを計算すると睦16グ）ように求められる．

（利回り州線）が必要である．

なお，デフォルトフリー（任l佑）のイールドカーブにっいては，現状のイールドカーブより推定したフォワ

峠一点′における満期Tのイールドy（才，T）は，い】ードレート1が実現するものとした．

じ満期を持つ割引債券価格〃（′，r）を川いて次のよう

このように，将来峠一点のイールドカーブを決定するに定義されることができれば，各銘柄の将来時点でのキャッシュフ

y（′，T）＝一子㌔Hlog〜ノ（′，r）（20）

ローを前節で発隼させた銘柄の格付けに対応したイー

ここで，格付けノを持つ企業が発行する朴債のイール

ルドで評価することにより，将来時点における社債のド㌍（f，r）と，この社佑とIiijじ満期をもつ割引国債

時価評価が叶能になる．

のイールド坑（オ，T）の差をイールドスプレッドとしこの方法を先の銘柄の格付け変軌300回のシミュレて次のように定義する．

ーション結果に適応することで，表1の社債銘柄の将4（′，r）＝㍍（′，T卜㍍（オ，r）（21）

来価格の同時分布を得ることができる．次節では，こ

このとき，（7）式と（20）式より，イールドスプレッドは次のようにしてキ等られた社債価格のシミュレーション結のように表現される．

果をもとに，社債ポートフォリオの最適化を行う．

4（げ）＝ 二墟旦±l主払≧剋ただし，デフォルト確率薫（ち＞T）は，（8）式によっ
61tI（16）（22）

l現時点のイールドカーブに内包される将来金利のこと．

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オペレーションズ・リサーチ‖†ご．保郁→フォリオ

1

l

l

ll

l

ll

l

l

l

ll

ノ l

l

Risk

図7 社偵ポートの効率的フロンティア

図5 期初のイールドカーフ■

勘≧0

（26）

ただし，／′はポートフォリオのリターン，rケは銘柄ノの期待リターン，nとは鋪柄ノの′番【Iのパスに対応
するりターン，勘は銘柄ノのウェイトを表す．また，
Tはシミュレーション回数，粥は銘柄数をホし，今t＝lの計筍では，γ＝300，77＝20である．
ポートフォリオの期待リターンγをパラメトリッ

クに変化させながら，（23）式の最適化問越を解くことに
図6 5牛後のイールドカーフ、より，効率rlく」フロンティアを描くことができる．この糸．1i米を1ツ17にホす．このlツ＝こは効率的フロンティアト

3．3 最適化の11仰のポートフォリオについて番しj・を付！≠するとポートフォリオの最適化を行う場合の最も一般的な

ともに，モ妃fI三保有してし−るポートフォリオのリター

ん法はゃ均・分散fム すなわち分散をリスクと考えて，ン・リスク特性についてもプロットした．この図を見

川じリターンであれば分散が最も′J、さくなるポートフ

ると，効率rlくノフロンティア卜のポートフォリオ4は，

ォリオを選択するという考えノノである．これに対して

現在の保有ポートフォリオとほぼ等しい期待リターン

今川のモデルでは，を持つが，リスクは小さいことが分かる．同様にポー

1．絶対偏差をリスクとした最適化

トフォリオ8を見ると，リスクは保有ポートフォリオ

2．トノブリスクによる姑過化とほぼ等しいが，期待リターンは高し−ことが分かる．

の2つの最適化方法を川いる．今野（1995）によれば，

したがって，技資′束がこのようなリスク・リターン、ド均・分散法などの2次i汁画はを川いる場合に比べ，持性をもとに，現在保有するポートフォリオの投資戦

絶対偏差やトノノリスクによる最適化l！り越は線形周1叫に略を考える場合には，4番から8番の聞に位置するポ

帰着することができるため，計算時刷を人帖に短縮すートフォリオがその【I標となる．そこで，これらに位ることができる．これは今Il−1のモデルのように，シミ

置するポートフォリオについて，銘柄の構成比率を見ュレーション結果に基づく最適化のような人規模な問てみよう．図8は，現在保有しているポートフォリオ

題に対して有効である．また，Rockafellar andの各銘柄への技資比率，図9〜11はそれぞれポートフ

Uryasev（2000）によるCVaRの最適化t）同様にnT

ォリオ番号4，6，8番の投資比率をグラフ化したもの

能である．

である．

まず，絶対偏差をリスクとした場合のポートフォリ
オの最適化は次式で表される．

これらのlヌ＝こおいて，横軸は銘柄番ゝj・を表しているが，ノIミに行くほど格付けが■：ラiくなるように順序を並べ替えてある．各ポートフォリオの技資比率を見ると，
期待リターンの低いポートフォリオ4番は，比較的格。りs．t．〟f＝∑（り「れ）勘付けの■11い銘柄に技資しているのに対して，ポートフ

ノ＝1｝l■J ∑り勘＝／′，∑勘＝1， J＝1ノニ1
2001隼Il＝り▲

ォリオ6，8番の順に期待リターンが高くなるにつれて，グラフが右寄り，すなわち格付けの低い銘柄への© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（17）6柑投資比率が高まっているのを見て取ることができる．

の閥値を￣ドr【Ilる部分として定義され，これをリスクと次に，卜方リスク最小化によるポートフォリオの最したポートフォリオの最適化問題は次のように表され適化について考える．社債などの確定利付資産は，特定のリターンを確保するための運fllなどに川いられるため，このような手法の現実的な用途は高いと考えられる．下方リスクは，あらかじめ決められたリターン

る．
1

min

s．t， ut＿＝maX（u，，0）悶．保有ポ斗フォリオ

0札

Om％

0ヰ0■

060％

08【】1 100％

12〔加

140％

16〔桝

18D％

RIsk

620（18）図8 保イJ▲ポートフォリオの投資比率

図12 卜小ノスクによる効率的フロンティア

図9 ポートフォリオ4グ）投資比率

図13 ポートフォリオ4の投資比率

図10 ポートフォリオ6の拉資比率

図14 ポートフォリオ6の投資比率

図11ポートフォリオ8の投資比率

図15 ポートフォリオ9の投資比率© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

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ノ＝1〝乃 ∑ゎれ′J＝r，∑勘＝1，

J＝1

StruCtureSOfdefaultablebonds ，Rc〜）ielL｛，（Lf Iてnan（−i〝l

J＝1S／〟dオピ∫，12，687−820．

勘≧0

（31）

このような最適化について，閥値rαを7．2％とした
場合の効率的フロンティアを匝I12に，効率的フロン
ティア上のポートフォリオ4，6，9番の各銘柄への投資比率を図13〜15に示す．

［71Jarrow，R．A．，D．LaIldoandS．M．Turnbull（199A MarkovmodelforthetermstruCtureOfcreditrisk
SPread ，Rel）i（）u7（L［I17n〟n（1kllS／t（dies，10，4針仁523．
「8］Jarrow，R．A．aIld S．M．Turnbull（1995），

I，riclngderivarives oIlfiIlanCialsecurities subject t（）Credit

卜〟リスクによる崩適化を行った場合についても，
絶対偏差を刷いた場合と同様に，高し、期待リターンをけ指すにつれて，格付けの低い銘柄への投資比率が高risk ，］（）lLrnalq［17nan（：（！，50，53−86．

［9］Kijima，M．aIldK．Komoribayashi（1998）， AMar−
kovchain modelforvaluingcredit risk derivatives．ルz／〝J〟／〆βピわ〜ノ〟Jg〜ノビ∫，6，97−1り8．

まっていく様f一を見ることができる．

このように，絶対偏差やトノノリスクによる最適化を実施することにより，現在保有する社債ポートフォリ
オに対して，どのようなリバランスを′夫施すればよいかについての指針策定に清川することが吋能になる．

［1（）］Kijima，M．，K．Kom（）ribayashiand E．Sし1Ztlki（2001），

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