多様化時代の数理計画法 第1回 目標計画法
山口 俊和…‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝刷‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖＝‖刷Illt…ll…ll……l……………………l……l…llt………………ll…lll…l………＝＝‖‖‖‖‖‖＝‖川Ill……l……l……‖‖‖‖‖＝‖…l……llll…l……l…I……l……l…l………ll…l……lll

連載「多様化時代の数理計画法」のねらいと構成

計画法として，目標計画法や多目的計画法，確率計画法や可能性計画法などを取り上げ，意思決定者の意向や好みの取り扱い方を中心に，6回にわたり解

近年の消費動向を見れば，画一化された製品から多様で個性豊かな製品へと移行している．自動車を説する．各回の内容および執筆者は次のとおりである．

例に挙げれば，フォードのT型自動車のような画一化は流行らず，敵客の要求に応じた仕様や形状の選

第1回 目標計画法（山口便利）

択が当然になってきている．

第2回 目標ベクトル法，多目的線形計画法，フレ

ところで，数理計画問題のような決定問題では，キシブル計画法（山口俊和）

意思決定者の意向を反映することは重要である．意

第3回 確率計画法（石井博昭）

思決定者の個性に応じた合理的な解を求めなければ第4回 可能性計画法（乾口雅弘）ならない．通常の数理計画法では，決定により生じ第5回 確率計画法Ⅴ．S．可能性計画法（乾口雅弘）

る結果が明確かつ正確に予測でき，絶対的な単一の第6回 今後の展望（石井博昭）

評価基準が容易に設定できる状況での問題を取り各回とも，できる限り種々の手法の列挙による紹扱っている．このような問題設定においては，最適介を避け，基本的な手法に限定し，簡単な例題と図性は一意に定まる．

を用いたわかりやすい解説を目指した．また，類似

しかし，現実の意思決定を考えれば，評価基準をした手法については，比較・検討を行うなど，各手一つに限定できない場合や，決定により生じる結果法の特徴や長短が把握できるよう心掛けた．ただし，が明確に予測できない場合がある．このような状況

各手法の厳密な理論展開や，より複雑なモデルにつの数理計画問題を取り扱うため，複数の評価基準のし●、ては，紙面の都合上，割愛した．興味を持たれた存在を許す目標計画法と多目的計画法や，生じる結読者は，引用文献等を参考にして頂きたい．

果の不確実性を扱う確率計画法と可能性計画法（乾口雅弘広島大学）（ファジィ数理計画法）などが提案されている．これらの計画問題では，最通性が一意に定まらず，自動車の選定のように，意思決定者の意向により解が異なる．したがって，どのように解を求めるかという数理計画法の課題に加えて，意思決定者の意向や好みを反映してどのように問題を取り扱うかが重要

1．はじめに企業では，限られた各種の経営資源を有効に活用するための計画問題が，生産，購買，設計，営業，財務，労務などのいろいろな部門で生じている．利益の最大化やコストの最小化を目的にする場合には線形計画法な課題となる．
本連載では，多様に解が存在する状況下の数理（1inear programming）がしばしば利用されてきた．
たとえば，利益総額を最大にするための製品生産量の組み合わせを求める生産計画問題や，輸送コス

やまぐち としかず 東京理科大学 二Ⅰ二学部経営工学科〒162新宿区神楽坂ト3398（38）小化するための輸送計画などに利用されている．
ところが，企業の目標は唯一のものではなく，複数© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ●

税引後利益を大きくしたいという目標のほか，配当金れ（外注部品の制約）：1批1 ≦150をある水準以上支払いたい，売上高をある水準以上に1（非負条件）：ズ1，ち5℃（工程2の制約）：2批1十10鞄≦360

4

されるようになってきた．たとえば，財務計画では，3T（工程1の制約）：16二rl＋10ち≦3202の目標を同時に考慮すべきであるという考え方が注目≧0したい，というような複数目標が実際には考えられるので，単一目標の最大化モデルに定式化するよりは，線形計画法では，（2）〜（5）式のもとで，（1）式の最大化

複数の目標を同時に考慮した定式化を行なった上で満をはかるが，目標計画法では，意思決定者が目標に要足できる解を求めたい．そのために，線形計画法を発求水準（または満足水準）を設定し，それを達成する展させて多目標を扱えるようにした 目標計画法（goal

ことを望み，もし達成できない場ノ飢こは，できるだけprogramming） がCharnesら［1］やIjiri［2］によっその値に近づけるという考え方をとる．要求水準をg＊て開発された．とするとき，実際の達成値がg＊に不足する量を示す偏多目標計画の代表的な手法である目標計画法は，意差変数（差異変数ともいう）をd▼，g＊を超過する量を思決定者が複数の目標のそれぞれに要求水準（aspira−示す偏差変数をd＋とすると，（1）式は次のようになる．

tionlevel）を設定し，それらを同時に満足させること

6批1＋20鞄＋d￣−が＝g＊（6）を望むが，もしそれが不可能な場合には目標値からのここで，d￣≧0，d＋≧0であり，d￣×d＋＝0である．

不達成の度合に順序あるいは重みを付けて，総合的なd￣，d＋は，達成値が要求水準に達しなかったためのリ1）グレット（regret）を最小化して，意思決定者が妥協グレットの大きさを示すものと考える．（6）式を「目標できる解を得るための方法である．

条件式」と呼び，これを前述の（2）〜（5）式の制約条件式（（2）〜（4）式を「テクニカルな条件式」と呼ぶ）に追加

2．目標計画法の基本的な考え方

し，リグレット関数斤を目的関数として，それの最小2．1リグレット関数化をはかる．

複数の目標を考慮した問題を検討する前に，まず1リグレット関数Rは，種々の形をとることができる

目標の場合を例にして，目標計画法の定式化の基本とが，この例題のように目標が利益のような場合には，なるリグレット関数の考え方を整理してみよう．

次の2つのタイプが考えられる．
（a）斤＝d 十d＋要求水準に粗利益目標をできるだけ近づけたい場［例題1］

ある工場では2種類の製品A，Bを生産しており，合であり，不足も超過も避け，要求水準にちょうど一どちらも共通の2つの工程を必要としている．生産に致させることをねらいとする．例題1で，g＊＝600万円

利用できる時間は，工程1が月間延べ320時間，工程2●xZが月間延べ360時間に制限されている．製品Aの単位当り所要時間は工程1で16時間，工程2で20時間である．
製品Bは工程1，2とも10時間ずつ必要である．また，製品Aは1単位につきある特殊な部品を10単位必要とするが，この部品を供給する外注工場の能力は月間150単位に制限されている．製品の単位当り三阻利益（販売単価から変動費単価を差し引いた額）60万円，Bが20万円である．製品の需要は十分あるものとする．

この問題を目標計画法の考え方にしたがって定式化してみよう．製品Aの月間生産量をズ1単位，製品Bの月間生産量を鞄単位とすると，月間の粗利益総故（単位：万円）は次のようになる．
g（∬）＝60∬l＋20鞄（1）また，工程の制約条件および非負条件は次のように10なる．
1996年7 月号

15ZS

図1 ∬平面での図解© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（39）399

とすると，図1の線分且F上の各点が最適解となるよび加重（weighting）という2つの方式が用いられている．

（b）尺＝d￣

要求水準を超過してもかまわないが，不足する場合

付順方式とは，目標の重要度の大きさの順に 順位には，不足分をできるだけ小さくしたいという場合で係数 書（J＝1，2，…，r）を与え，対応する偏差変数ある．例題1で，g＊＝1400万円とすると，図1の点Cに鳥をつけたリグレット関数を最小化する方法であ（ズ1＝15，鞄＝6）が解になる．また，g＊＝600万円とする．順位係数にはると，図形ABCDEF内の点はすべて解になる．
もし，目標がコストの場合には，次のようなリグレッ月〉〉〉 fち〉〉〉 …〉〉〉丹という関係が定義されている．この 〉〉〉 という記号は「絶対的に大きい」という意味の不等号であって，ト関数が考えられる．

一般に（c）斤＝d＋要求水準に不足することはかまわないが，超過する場合には，超過分をできるだけ小さくしたいという場合である．

書〉〉〉 吾とは，書にどのような大きな自然数乃を掛けても君・≦JJ君

また，要求水準とは無関係にできるだけ大きくしたい（あるいは小さくしたい）という場合には次のような2つのリグレット関数を設定すればよい．になることはないという関係をいう．

さて，ここで次の例題を使って，付順方式の考え方を説明しよう．

（d）尺＝d餉−d＋要求水準に関係なくできるだけ大きくしたいという場合であり，線形計画法の最大化問題に対応している．

［例題2］

例題1において，売上高目標（Gl）を粗利益目標（G）（e）斤＝d＋−d￣に加えて同時に考えてみよう．ここで，製品Aの販売要求水準に関係なくできるだけ小さ〈したいとい単価を160万円，製品Bのそれを120万円とする．テクう場合であり，線形計画法の最小化問題に対応していニカルな制約条件は例題1と同じとする．
Clの要求水準をgl＊，Gの要求水準を＆＊とすると，る．
このほか，目標の内答によっては，「目標の達成値を約条件になる．

ある値からできるだけ隔たるようにしたい」というケースや，「目標の達成値をある値とある値の範囲にしたい」というケースも生じるが，それらの定式化については，文献［3］を参照されたい．

（2）〜（5）式に次の2つの目標条件式を追加したものが制Gl（売上高目標）：
16肋1＋120鞄＋d￣−dl＋＝gl＊

60ズ1十20栽＋め▲−め十＝威＊

2．2 付順方式と加重方式Gを含む問題を考えよう．

目標Gの達成水準をあらわす関数をg〜・（∬）±∑cゎみ，ブ＝1，2，（7）とし，Gの要求水準をg∴要求水準からの偏差変数を♂∴ dォ＋（琉￣，df＋≧0：威▲×払＋＝0）とすると，目標条件式は次のようになる．
∑c〆ち＋広￣一族＋＝g〜＊ （8）異なる目標のリグレットを同一の次元で扱えるようにするための方法として，付順（ordering）お400（40）

（10）

●

次に，∽個の目標Cl，G，，… ，椚

（9）G（粗利益目標）：

2400

3120 35ZO 3840

図2 g平面での図解（付順タイ70）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

ここで，d▼，dl十，銭▼，銭＋は偏差変数である．

える役割を果たす．加重係数の値は，ある偏差変数がgl＊＝4800万円，威＊＝1400万円とし，Glを第1順位1単位変化したときの残念度の減少分がほかの偏差変の目標，G2を第2順位の目標とし，それぞれ不足分を数の何単位分の変化に相当するかということを考慮しできるだけ′トさくしたいものとすると，リグレット関て決定する．しかし，目標の尺度が異なるような場合数はには，加重係数の決定が困難なことが多い．

例題2において，GlとG2は同じ順位にあるが，dl￣斤＝月dl▼＋昂め￣となり，これを最小化することによって最適解が得らと威￣に対する加重係数の比が2：1であるとすると，れる．すなわち，まず君を係数とする払￣を最小にしたリグレット関数は上で，次に賞を係数とする威−を最小にするという考え方である．となる．

決定変数ズl，鞄を直交軸にとったズ平面でこの間題

この間題の最適解は，図3の点Gからみたリグレッの最適解を求めることもできるが，この例題のようにト関数を最小にする実行可能領域の点である．点Gを決定変数の数が2つで，目標の数も2つである場合に基準にして，斤＝2（71【＋銭￣の等リグレット線を描いては，2つの目標の達成水準gl，＆を直交軸にとった図いき，実行可能領域と最初にぶつかる点が最適解で，2のようなg平面上で考察することができる．ズ平面

点A（ズ1＝0，栽＝32）が求められる．点Aのg平面上における実行可能領域の各端点の座標を計算し，それでの座標は，gl＝3840，銑＝640であるので，リグレッらをg平面での座標になおしてプロットして結んだト関数の値は斤＝2680である．

図形ABCDOの内部が実行可能領域である．
この間題の最適解は，gl＊＝4800からの不足分を最この解の要求水準に対する達成の度合はClが3840／4800＝80％，G2が640／1400＝45％で目標達成小にする点A（ズ．＝0，鞄＝32）である．すなわち，図2のバランスはあまりよくない．目標の達成度のバランのように，gl＊＝4800を基準にして斤＝dlの等リグスのよい解（この例では，点Bや点Cのような解）をレット線を描いていき，実行可能解と最初にぶつかる求めるためには，連載の第2回で紹介する 目標ベク点として求められる．このとき，点Aの目標達成値は，

トル法

Clが3840万円，Gが640万円であり，リグレソト関数のこの例では，C2，Glの順位で付順方式を適用すれば，値は斤＝960月＋760fちとなる．各偏差変数の値は，点Cという解を得ることができるが，これは偶然であdl−＝960，dl＋＝0，銭▼＝760，銭＋＝0である．この例のり，一般に付順方式で達成度のバランスのよい解が求ように，付順タイプの場合は，第1順位の目標が不達められるという保証はない）．

成の場合は，第2順位の目標を達成することは無意味［3］のL字型モデルを適用すればよい（なお，なお，d∠】に対する加重係数を紺z・￣（≧0），琉＋に対する加重係数を紺〜＋（≧0）とすると，ある順位の目標間でなので，無視されてしまう．

●

尺＝2（ブ1▲＋威￣

また，ClとG2の順位を入れ替えると，リグレット関数は〟＝J）1（た￣十ノ・ち（／1￣▲となり，最適解は＆＊＝1400からの不足分を▼最小にする図2の点C（ズ1＝15，薫＝6）である．点Cの目標達成値はClが3120万円，G2が1020万円で，リグレット関数の値は尺＝380月＋1680賞となる．
各偏差変数の値は，dl￣＝1680，dl＋＝0，銭▼＝380，め＋＝0である．
加重方式は各目標の不達成度に重み付けを行い，その加重和を・最小にするやり方である．加重係数は同一順位の目標間に通約性を与2400

3120 3520 3840

4800

図3 g平面での図解（加重タイプ）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

1996年7 月号（41）401の偏差変数の加重和はる順位係数の数（T個）だけ準備するということである．詳細な解法の手順は文献［3］を参照されたい．

町＝∑（紺〜￣df￣＋紺∫＋d2・＋）となる．ここで，ム（f＝1，2，＝・，r）はJ番目の順位の目標集合である．
付順方式，加重方式，および加重と付順の両方式を

4．目標計画法の最近の動向
目標計画法の理論面での展開としては，目標計画法取り入れた目標計画法の一般的な定式化は以下のようを発展させる形で「目標ベクトル法」と名づけた方法になる．

論が開発されており［3］，この方法は次回に紹介する．

＜目的関数（リグレット関数）＞

さらに，比率目標を扱った研究，0−1変数計画問題，（1）付順方式の場合整数計画問題を扱った研究や，目的関数の係数と目標最小化：斤＝∑君（∑（df￣＋島＋））

値が区間数で与えられた場合の研究などが示されているが，目標計画法に関する最近の研究を展望すると，（2）加重方式の場合理論面の展開よりも適用面に重点が置かれている．こ

最小化：斤＝∑（紺2▲dz・￣＋紺〜＋威＋）（3）付順と加重の両方式が混在した場合

れは，目標計画法の理論的な発展が一段落し，一応の最小化：β＝∑君（∑（棚王・￣dど▼＋紺ざ十島＋））＜制約条件＞

事例は数多く報告されていて，企業の生産計画，財務計画，設備投資計画，人月計画，配送計画，広告媒（目標条件式）∑cどノち十島￣−d〜十＝g〜＊（才＝1，2，…，椚）体計画，マーケット戟略計画，資産選択計画などへの適用事例が内外の文献にみられる．一方，公共機関や（テクニカルな制約条件式）∑む々ろ≦ゐ々体系化がなされたためと考えることができる．

（々＝1，2，…，q）（非負条件式）自治体などのノンプロフィットな事業体においても，公共予算配分計画，都市計画，水資源利用計画，経済ち≧O（ノ＝1，2，…，乃）

政策分析，環境保全計画，保健衛生計画，地域開発計d√，威＋≧0（オ＝1，2，…，椚）

画，大学の予算編成・人員計画，公立学校の通学先配

ここで，ムは′番目の優先順位のクラスの目標条件式の添字の集合である（′＝1，2，…，T）．もし，仇個分計画などの通用事例がみられる．

事例に興味がある方は，EuropeanJournalofの異なる優先順位のクラスがあり，gオ＊がオ番目のクラOperationalResearch，OMEGA，Journalof theスに属する場合（すなわち，r＝∽），付順と加重が混OperationalResearch Society，Management Sci−

在したタイプの目的関数（リグレット関数）は次のよenceなどの雑誌に比較的多く掲載されるので，注意さうに簡単に表わすことができる．

れているとよい．

β＝∑君・（町「戎￣＋紺z十dz・＋）

参考文献

3．目標計画法のシンプレックス解法
目標計画法で定式化された問題は，決定変数と目標［1］CharneS，A．and W．W．Cooper，Models andIndustrialApplications of Linearの数がそれぞれ2つの場合には，図を用いて解を求め

Programming，Vol．1，Wiley，New York（1961）

ることができた．しかし，決定変数や目標の数が3つ［2］Ijiri，Y．，ManagementGoalsandAccountingfor−以上だったり，複雑なリグレット関数をもつ問題の場

Control，North−Holland，Amsterdam（1965）（井尻合には，図から最適解を求めるのは困難である．

雄士：「計数管理の基礎」，岩波書店（1970））

目標計画問題の解は，線形計画法の最適解法として知られているシンプレックス法を適用することによっ計画」，森北出版（1987）て求めることができる．この場合，線形計画法との主な相違は，シンプレックス判定基準の欄を目標に対す

402（42）［3］伏見多夫雄，福川忠昭，山口俊和：「経営の多目標［4］坂和正敏：「線形システムの最適化＜一目的から多目的へ＞」，森北出版（1984）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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