日本機械学会誌2010.4Ｖ０１．１１３Ｎ､､1097

図8；２

鶴ろ 力｡！の[執筆者プロフィール］◎1978年東京大学大学院エ学系研究科航空学専攻博士課程修了‘博士（工学)，2,09年宇宙航空研究開発機構を退職し，現jiHjio研究・専門テーマは，境界屑遷移‘流れの制
御◎室蘭エ業大学教授航空宇宙機シズチム研究センター（〒O5q8585室蘭市水元町27-1
E-mail：pantaka@ndmlTLmuroJan-it,acjp）

高木正平
ShoheiTAKAGl

鱸…'二ジャンボジェット機よｂざらにひと回り大きいエアバス社の最新旅客機Ａ３８０の最大離陸重量は560tであるこの明がなされているが，では「なぜそのような渦が作られるか」と切り返されると,たちどころに答えに窮してしまう．
そこで本論ではこの「循環.すなわち揚力か発生する条件」とは何かを整理しその結果として揚力が発生した物体周りの流線に着目するそして，「流線と揚力の関係」について可能な限り平易な解説を試みることにする．そのために前提となる流体の性質について以下に確認しておきたい
K-J定理は，自明のように対象とする流れは非粘性流であるが．Ｋ鹿ttaの条件は流体が粘性を持つことを暗黙に仮定している．そして，Kuttaの条件は唯一つのポテンシャル解を与え．実測と整合するという意味で確かに重要である．しかし，たとえば後縁に鋭い角を持たない翼でも揚力
かんｵ８１ま発生する事実を鑑みると．揚力の発生原理そのものを理解するうえではそれほど重要視する必要はなさそうであるまた，流体粘性は十分大きなレイノルズ数の流れにおいては物体のごく近傍のみに影響を及ぼすのであって，揚力発生に直接かかわる流体の加速・減速になんら影響を与えない．以上の流体の性質を理解すれば.渦度（vorticity）

重量を数字だけでイメージすることは難しいが，次のようなたとえで考えればその数字の大きさが描ける．ＪＲ東海の700系新幹線は１６両編成で総重量708tであることから，１２－１３両編成の車両が空を飛んでいる計算になる．左右の主翼がその大部分の揚力発生を担い主翼1㎡当た11660kgの揚力が発生しているこのような想像を超える揚力を生み出す翼の仕組みに多くの人々が関心と疑問を抱くのもごく自然である．それゆえしばしば翼の揚力に関する話題が取り上げられ、インタネットのホームページでもや剪断（shear）といった流体力学の難しい部分に足を踏閲覧できる'u、

たとえば，静止した翼が急激に動き出した際に翼後縁から放出される出発渦（startingvortex）と,翼に取り残きれた出発渦と逆の循環を持つ渦から揚力の発生が説明されているが，Kelvmの渦不生不滅の原理の仮定や．渦と循環とのポテンシャル流と等角写像を用いた古典的なKutta-JCpkcwsld（K-J）定理では，揚力を発生している翼はそれを取り囲む循環を持ち，Kuttaの条件あるいはJoukcwskiの仮定（以下。Kuttaの条件）を翼の後縁に課せばそこから求まる循環値は揚力に比例して実験とよく整合することが示されている．すなわち，歴史的には１００年前にこのK-J定理で揚力の発生機構は言い尽くされているわけである．ただ，問題なのはこの定理は翼を含めて物体の周りになぜ循環が発生するかについて何も示していないことであろう．それゆえ．この循環の発生について，「翼を取り巻く時計方向に回転する大きな渦が存在」する．といった説み入れることなく，本課題の根本原理についてはポテン

シャル流で十分説明できることが期待きれる．このような前提の下で，K-J定理を中心に再考するが，すでに多くの流体力学のテキストに記述されているので引用する式は最小限に止め，揚力発生に不可欠な「循環」が発生する条件に着目する．

循環発生条件から直ちに揚力の発生機構を解説することは難しい.この解説こそ本論に課された最重要課題である．

関係など一般向けの説明には不向きであるまた．従来から揚力の発生にしばしば引用されるベルヌーイの定理は。
エネルギー保存式であり．「翼上面に沿う流れは下面のそれより速い」といった条件のもとで初めてその威力が発揮きれるか．この条件の正当性をとのように保証するかが大きな問題であった．そこで本論では，循環が発生している翼を回り込む流線の曲がりに着目する．すなわち．湾曲した流線に沿う流体粒子の向心力とこれに見合う圧力こう配

－３４－Ｉ

Ｐ一

日本援械学会誌2010.4Ｖ０１．１１３Ｎ0.1097

図鑑の関`係から直接揚力の発生原理を説明するもので，ベルることである．円柱が回転している場合には，ベルヌーイ

ヌーイの定理のような付加条件を要求しないの定理によれば，円柱の上方側は下方側に比べて圧力が下がることから。円柱は上向きの力，すなわち揚力を受ける蟻ｸﾂ…-ｺﾌｽｷｰの甑ことになる．別の見方をすれば．円柱はその後方下向きに流れを偏向した反力として揚力が発生していると解釈する

２．１循環を伴う円柱周りの流れ
一様流速の中に静止した円柱周りの流れは，流れの粘性を考えなければ複素ポテンシャル理論を用いて解析的に解くことができるこの円柱が時計方向に回転している場
合は円柱とさらにその中心に渦度が集中した渦糸を配置こともできよう．揚力は圧力によってもたらされることか

ら．ベルヌーイの定理を用いて円柱表面の圧力を求め．この圧力分布を流れ方向とその直角成分に分離して円柱表面に沿って一周積分すると．抗力と揚力が得られる積分した結果によると，円柱には流れ方向には抵抗がfil1かないが，すれば，円柱周りの流れを解析的に記述できることもよくそれと直角方向にはｐｕｒの大きさの揚力が発生している

知られているところである．この渦糸の循環の強苫をｒ円柱に限らず．完全流体の一様な流れの中に置かれた任意の対称物体には抵抗が働かず，日常の実感に反している
これは，ダランベール（dAIembert）の背理として知られているまた．一様流速Ｕの中に置かれた物体周りの循(反時計方向を正にとる）とし，一様流速をひ，半径fzの円柱中心を通る水平軸と円柱最下流端から時計方向に回転角βをとるならば円柱表面の速度"`は，環をＦとすれば物体にはｐＵＴなる揚力か働く．これをロ,`=-2Usm,‐鈴（１）クッタ・ジューコフスキーの定理という．
K-J定理は円柱のような二次元柱体に適用されるものであるが，三次元物体についても定性的には適用できる．たとえば，野球のポールが回転運動しているとそれと直角方である．図１には，一様速度Ｕ＝１の流れの中に，半径かＩの円柱とそれが回転していない場合Ｆ＝Ｏとｒ＝2鉦で回転している場合の流線を描き,両者を比較したものである
円柱の前後に流れの速度がＯとなる特異点すなわち二つ向に揚力が発生しカーブすることは，マグナス（Magnus）効果としてよく知られている．回転する円柱に引きずられてその周りに回転運動が生じるのは流体に粘性が存在するためであるが，渦糸は非粘性理論において円柱回転をモデの淀み点が存在し,Ｆ=oの齢円柱の中心軸上に存在するが，円柱の回転によって，淀み点位置は円柱の中心軸より下方へ移動する．その位置は，本条件では（１）より
ひ．＝Ｏとすることで，仏＝-30゜と求められるＦ＝Ｏの場
合，前方の淀み点から直角の位置β＝±90.,すなわち円柱の最も厚くなる位置において流れは一様速度の２倍に加ル化したものであることは言うまでもない．

２．２ジューコフスキー変換
循環を持つあるいは持たない円柱周りの流れについては前節で示したとおり．ポテンシャル理論で記述することができたことから．等角写像で任意の形状を持つ物体周りの流れを調べることができる：面から琢面への等角写像

速されることは式（１）で明らかであるこの事実は，図１（a）の,＝±90.で円柱と流線鞭＝±0.4の間隔が円柱の影響が及ばない上下流の流線間隔の半分である事実からでも確認できる．当然のこととして！流れは連続の式を満足しているわけである．円柱近傍の流れが加速されることによって．ベルヌーイの定理によれば円柱表面の圧力は遠方の圧力よりは低くなるが，円柱周りの流れは上下面対称で‘=:+子..>０（2）はジューコフスキー変換と呼ばれる例えば図２に示す
ように：＝“鰯とすれば：面で半径αの円cbは，９面では２＝4fzcoslとなることから長さ“の平板Ｋｈに写像
される同様に，と面上の円Ｃｌの中心が虚軸上にある場合には,円弧翼（キャンバ（反り）付平板）麺に写像されるあることから揚力は働かないことは明らかである．
－万,円柱が回転している場合には．円柱の上方では円柱回転の方向が流れと同じであることから流れはさらに加速され．下方では円柱回転が逆に作用するために減速される．流れの加減速の様子は流線の間隔からも明瞭であ【１．

さらに図３に示すようにＨｆ面上の実軸に中心を持つ円Ｑは好面で前縁が丸みを帯びた対称翼型形状（ヅユーコフスキー翼）麺に写像される．また円中心が一般複素平面上にある円Ｑは，キャンバ付ジューコフスキー翼懸に写像されることは知られているところである．なお，轟注目すべき点は円柱回転によって流線は大きく湾曲してい.＿上kＬ－１’４●－“８ｓ６８０１(b）楯b）循環「＝動

図１円柱周りの流線

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５，画ソ

【ａ〕循環j~＝ｃり』一一ｈｈ挺＋－２－９二三二三舅

したがって．反りのない平板．反りのある平板．さらにはＰ■

二三詮 窒三÷のキャンバ線は，図２のＫＩであることは言うまでもない．

⑫Ｂ６

ヨデ病達三叩鼻印￣界

1.5

Ｊ－Ｉ:竺一ポ－２J2Ｋt(a)：面（b）２面
図２平板と円弧翼－３５－’０2，

日本機械学会誌2010-4ＶｏＬ１１３ＮｏｌＯｇ７264

四配｡＝２汀sinα＝２７ｍＣ３‘〃＿fﾁﾞｰｰｰｰｰｰｰｰﾄ･-------．二儘試聾-67崖~＝
L:ニヅ惹皇=－－豈：(a)：面に）ｚ面

図３対称と反り付Joukowski翼（８）と表せる次に反りイキャンバ）を持った平板，すなわち図２のような円弧翼の場合も．反ＩＤの大きさγ＝ｂ/2αの定義より新しい角度βをγ＝tanβ/２とするならば小さな反【，の場合同様な解析から揚力係数は｡=,l121Jiﾉ…-2臓竺鵲２１臺鐵i繊十β)(，）のように近似できる円弧翼は流れに対する迎え角を設定しない場合（α＝Ｏ）でも揚力は発生し，その大きさは．
反りを持たない平板翼が迎え角βを持つ場合と同等であることがわかる．同様に反りを持つジューコフスキ一翼についても迎角が小さいならば，揚力係数は式（９）で近似できる．

反り付の翼周りの流れを解くことができるわけである．

以上，K-J定理をまとめると，平板を含めて対称翼では，具体的な手順としては。：面で循環を持つ円柱の周りの流れは冨面ではどのように写像されるかを考えればよい

循環を持たない円柱の＝つの淀み点は，流れは平板に平行に流れていることからその前縁および後縁に写像されることは明白である一方，時計方向の循環一Ｆ＞Ｏを持つ円柱の二つの淀み点は，（２）式にDC＝Ｏを課すと，。m６－－為（３）となって図１に示すように円柱の中心線より下側仏に移動する．これらの二つの円柱上の淀み点は平板の下面に移動する．

循環すなわち揚力を発生させるためには．一様流に対して迎角を持てばよい．一方．反り付の翼では，流れに対する迎角を持たない場合でも循環が発生する．ざらにK-J定理
が示すところは，迎角と反りが小さい範囲では，式（７）および（，）は翼の形に依存していないことで．揚力傾斜は１度当たり，およそ0.11である．AbbottとDoenhOiT2pの著書には翼弦長に基づくレイノルズ数が１０`を越えたさ
まざまな対称翼．厚みの異なる翼，さらには反りを持つ翼の揚力・抗力係数の風洞実験結果が記ざれているこれらの翼に対して．揚力が発生しはじめる近傍の揚力特性は
KPJ定理とよく一致し、翼断面形状の依存性はきわめて小さてＺ面において一様流は平板に平行であるが,もし平板が一様流に対してαの迎角を持つ流れ場に対応した円柱周り流れに適用する場合には，：面において一様流の向きを反時計方向にαだけ回転させればよい．そのために§の代わりにｆｅ－ｍとして円柱周りの流れの回転を行えばよい．この回転によって円柱表面の速度は式（１）と同様の手順で求めると，`=-2UsinI，-厘１－点（４）となり，淀み点も角度αだけ回転する．一方，ジューコフスキー変換における数学的問題点は，円柱表面（§＝α）の２面写像点で速度が無限大となることである．前述のように円柱表面に二つの淀み点が存在しその写像点での発散は明らかに不合理であるそこで，円柱の後方側の淀み点が丁度：軸上にあるとき．すなわち忽面では後縁に写像されるとき発散は回避でき．（４）式で８＝Ｏのとき〃'＝０とすることにより
ｒ＝４'mlUsina（５）に帰着できる．この条件は，Kuttaの条件あるいはJou-kOwSkiの仮定と呼ばれ、数学的な特異性を単に回避しただけでなく，翼上下面の流れが合流する後縁で流体が滑らかに流れ去ることを要求するもので．以下に示すように粘性のある現実の流体運動ときわめてよく一致している．
さて，これまで未定であった循環が式（５）のように求まると，回転していない平板に発生する揚力はK-J定理より
Ｌ＝ｐＵＴ＝４'zpU2aSi“（６）となるさらに，平板の単位１幅当たりの揚力を無次元化す
ると．
Ｌ

Ｑ＝（1/2)ｐひ2.4α ＝２斤sin2（７）となり．迎角が小きい場合には近似的にさいことがわかる反り付ジューコフスキ一翼の下面は上に凸であるか，下に凸の一般的な翼型についてもジューコ
フスキー変換を一般化Ｌた等角写像法でその揚力係数は式(9)のようになることは知られている

平板あるいは対称翼に迎角．あるいはそれらに反りを持たせることで，循環すなわち揚力が発生することが明らかとなった．その結果として物体を回り込む流線はどのように変化したのであろうか．

癬翼周りの流れ場

K-J定理では時計方向の循環が生じている翼に正の揚力が発生していることが確認できたので，循環と揚力との因果関係について式を用いて掘り下げてみたい．そこでまず先に反り付の翼で迎角を持つ流れ場について観察しよう．
図４に掲載した画像は．左から右方向に流れる一様な流れの中にNACA2412翼を迎角５度に設置した場合の流れの様子を．煙流脈法で可視化したものであるｗ、翼弦長と一様速度に基づくレイノルズ数は,Ｒｅ＝O21x10cである．
白い筋はケロ＞ンをミスト化した煙で，翼の上流に煙を噴き出す櫛状に並んだ円管が等間隔に取り付けられ、その下流端から煙が自然と流れ出るよう工夫きれている．図４を注意深く観察すると，流れは翼の前縁のやや下方位置で分岐し下面の流れはほぼ前縁近傍から緩やかな吹き下ろしが観察される一方，上面に沿弓流れは翼の最大厚みよ!〕下流では下面に沿う流れより大きく吹き下ろされている．

また．翼の上面の前縁近傍領域に注目すると，煙の間隔は一様速度領域におけるそれに比べて明らかに狭く，その狭い領域は翼の中程まで続いている．このような煙線の間隔の狭まりは流れが局所的に加速されていることを示している．これに対して下面では煙の間隔はやや広がって．流－３６－日本機械学会誌２，１０４Ｖ０１．１１３ＮｏｌＯｇ７

圃砺と書き換えられ，ｓについて積分するとよく知られた流体のエネルギー保存を示すベルヌーイ（BemOull,）の定理が得られる．冒頭にも述べたとおり，この式は従来の揚力発生機構の説明にしばしば登場する．.
－万，（15〉の第２式は流線と直角方向すなわち法線方向の圧力こう配と流体運動との関係を与えている．流線が正の揚力の方向．すなわち凸に湾曲している場合には，曲率中心，すなわち翼表面に向かって圧力が低下し,そのこう配は流速の２乗と曲率の積に比例することを示している曲率が大きい，あるいは曲率半径がZl､さい翼近傍には，大きな圧力のこう配が発生する圧力こう配の向きか
ら．翼近傍の圧力が最も低く、遠ざかるにつれて次第に大気圧に近づくことから，翼には下から上向きの力，すなわち揚力が働くことになるわけである．流線が凸に湾曲した￣■￣

函1４NACA劃１５翼周りの流れを煙線流脈法で可視化．迎角は５度，主流速度８m/s，翼弦長40Gｍｍ‘Ｒｅ＝0.21×10G．流れは左から右領域では「周１７に比べて圧力が低くなることからペルヌーイの定理よv)流れは加速されている」といJうこともでｵしはやや減速きれている．「翼上面の流れは下面のそれより速いことから．ペルヌーイの定理より翼上面の圧力は．
下面のそれより低く、揚力の発生が説明できる」という一般向けの説明は，このような実験的事実に基づいている．
きて，本論に戻ろう．揚力が発生している場合は翼の前縁近傍には一部流線の凹が存在するがおおむね流線の揚力発生方向に凸の曲がりを伴うことであるその曲がりの及ぶ範囲は，下面より上面で広いことを図４でも確認できる．そこでこの流線の曲率に着目し，数式を用いて．湾曲した流線と揚力の関係を調べることにする．
外力が働かない非粘性流体の定常流を考えるならばEulerの運動方程式の時間項は省略できて，鐵蕾と｡「なぜ翼に揚力が発生するか」について。より平易な説となる．ここに，’は速度ベクトル．ｐは流体の密度，ｐは圧力である．図４に示したように．煙が翼に沿って滑らかに流れ．煙が時間変動することなく定常とみなせるな
こで．ある流線に沿って測った長さを３，接線方向の単位速度ベクトル（接線ベクトル）を繭，流速の大きさを`＝|，|とするならば，…｡-`会藪=”（U）である．（】I）より、（…｡)，=`烏(,"=,豐癩w遵警（12）

ここで，微分幾何学のフレネーセレの公式，誓令葱,F令（13）

され，翼周りに循環を生んでいるのである．また，正の循環（揚力）をもつ翼を回り込んだ流れは．結局翼を過ぎた後方で吹き下ろされている流体を曲げた反力として揚力が発生している訳で，翼は流れの方向を効率良く偏向する装置と見なすことができよう．

（…''--:…（'0）
らば１本の煙線は１本の流線とみなしてよいであろう．そきる．この説明は従来の「流れが加速された結果，圧力が低下する」という論理の逆である．湾曲した流線に沿う流体に働く向心力とバランスした圧力のこう配で流れは加速

明を心がけたつもりであったが．思いのほか数式が多くなってしまった重要な式（15）のみを提示するにはあまりにも不親切と思ったからである．本稿の前半にK-J定理から揚力の公式を導くために多くの紙面を割いたが．揚力発生の根本原理の数理的根拠を提示するためである．この根拠の上に立って．後半では循環の発生と流線の曲が、の関係に着目し流体に働く向心力と圧力のこう配から揚力の発生原理を説明した．著者が知る限りにおいてこの流線曲率の定理を用いた揚力の最初の説明を．今から４０年ほど前に出版された「続物理の散歩道」’5)に見いだすことができる著者は数名の匿名ロゲルギストであるが，おそらく該当記事の執筆者は今井功先生であると思われる．本稿を執筆するに当たり参考にさせていただいたここに深甚なる感謝の意を表したい．
最後に，本稿は既刊のトビ･ツクス《６１を大幅に加筆したものである．

を用いるI鋤．ここに，薊は流線の法線ベクトル灘は曲率，Ｒは曲率半径であるしたがって，（IC）式は，…--;誓鰯-…（1鋤●文献と書き下せる．圧力は胸と汀で作る平面内で変化するか（１）たとえば．httpWhitomix･com/tanJWpaperplane/Bemoulli-11

ら．それぞれのベクトル方向のこう配は（２）Abbo吐,1.Ｈ･andvcnDoenhoff,ＡＥ.,ｍｅon/ofwmUseclions，htmI〃（19591Dove［豊--;誓鵲=-鞭噺：（'５）(3)日本機械学会輻.写真集流れ.（1gB4L70，丸善.
（４）たとえば，矢野健太郎・石原蕊，ベクトル解析，（19681で与えられる．流体の密度は圧力のみの関数と見なせば．

６３．裳華房．
（５）ロゲルギズト，続物理の散歩道，（1g71L157-162･岩波書店．
（６）高木正平．流線の曲がりから揚力の鋸隼擢構を説明する試み．

(151の第１式は烏(/等+;`圏)=0（]戯日本航空宇宙学会誌．５８－６７２〔2010180-82．（印刷中）－３７－