特集／素粒子像の探究

中間子の予言−湯川秀樹生誕百年

九 後

太 一

1. 湯川・朝永生誕百年
今年 2006 年 3 月 31 日は朝永振一郎博士の、

しかしながらこの稿では、湯川の中間子論に関する物理学の問題やその歴史的背景と意義に話を絞ることにする。(ここ以降、敬称は略する。）

2007 年 1 月 23 日は湯川秀樹博士の、それぞれ生誕百年である。湯川・朝永両博士にゆかりの京都大学、筑波大学、大阪大学の三大学は、国立科学

2. 物理学の最前線へ

博物館と共催で、今年 3 月 25 日から 40 日あまり

湯川や朝永が京都大学に入学したのは 1926 年で東京上野の国立科学博物館で企画展「素粒子の世あり、まさに量子力学の誕生の時期であった。ハ

界を拓く−湯川秀樹・朝永振一郎生誕百年−」をイゼンベルクの行列力学の論文が前年に出、その開催した。これには、この種の科学啓蒙的な企画年にやっとシュレーディンガーの波動力学の論文展としては破格の 4 万人以上の入場者を数えた。

が出た、という年である。湯川は早熟で、既に三この企画展はその後、筑波大学、京都大学、大阪高時代にも「量子論」の英訳教科書を精読し、京大学の順にそれぞれの大学で修飾は変わっても基都大学理学部に入学してからも早くも 2 年生の時本的には同じ内容で開催され、2007 年にはさらににはシュレーディンガーの波動力学論文集をむさ全国の方々の大学で巡回展が計画されている。

ぼり読み、3 年生の時には、提出間もないディラッ

このことからもうかがえるように、日本のノークの相対論的電子論を勉強している。近くに量子ベル賞受賞の第 1 号、第 2 号の湯川、朝永両博士

力学を理解する先生も居ず、もちろん纏まった教は、単に物理学界の巨人というだけに閉じない、科書なども全く無い中で、重要な文献を的確に選日本国民一般において極めて大きな存在だった。

んでいることにも感心させられる。湯川は、それ事実両博士は、あい協力して、全国共同利用研究でも、続々と出る量子力学の新しい成果の洪水の所という全く新しい制度の創設を初めとした戦後中で「自分は遅れたかも知れない」と焦るのであの研究体制の構築から、広く教育、文化、平和のる。湯川に勝るとも劣らない才能を持つが、もう国民的諸課題まで積極的に取り組んだ。中でも冷少しおくてである朝永は、こういう湯川を前にし戦下での激しい核兵器開発競争という人類存亡にてさらに焦っただろうと、想像する。しかし、両関わる事態の中で、ラッセル・アインシュタイン

人はお互いに文献などの情報を交換しながら共に宣言への署名、パグウォッシュ会議、科学者京都切磋琢磨し、3 年生の卒論を終える頃には知識と会議などを通して、原子力の平和利用への世論形しては世界の物理の最先端にほぼ追いつくのであ成に大きな寄与をした。

る。実際、ちょうど彼らの卒業した 1929 年に、理1

化学研究所（理研）の招聘で、ハイゼンベルクときさの 10 万分の 1、10−15 m、という非常に小さディラックが来日し、東京大学と理研で彼ら自身な原子核の中にそんなにも堅く陽子や中性子をつ∗1）の最新の成果について講義をしたが、朝永は東なぎ止めている強い力−核力−の起源は何なのか？

京へこれを聴きに行き、「原論文で勉強していたの湯川理論のアイデアの原型は、すでに 1933 年のでわかった気がした。大変自信を得るきっかけに春には出来ていた。すなわち、1933 年 4 月 3 日のなった。」 と言っている。

東北帝国大学において行われた数物学会年会での1)

大学卒業後も二人は共に無給副手として京都大講演 (いわゆる仙台講演) である。湯川は学会講演学に残り研究を続けるが、こういう状況の中で、はもちろん、研究室での発表でも必ず丁寧な原稿

大発見の相次ぐ「奇跡の年」1932 年を迎えるわけを作っていた。仙台講演の原稿では、「Neutron がである。すなわち、チャドウィックが 2 月に中性子electron を emit して Proton になり、Proton がを発見し、重水素が発見され、9 月にはアンダーelectron を absorb して Neutron になるというこ

ソンが陽電子を発見する。また、コッククロフト・と自身が、Neutron, Proton の間の interaction のウォルトンの加速器が人工原子核破壊に初めて使原因となること、あたかも electron が radiation をわれ、ローレンスのサイクロトロンも誕生していemit または absorb しうるということが electron

る。特に中性子が発見されるや否や、ハイゼンベ同士の interaction の原因となる如きもの」と記

ルクは原子核構造の論文を立て続けに発表し、原している。
（もちろん、ここで neutron、proton、子核理論が始まる。原子核の構成子である陽子やelectron というのは、それぞれ中性子、陽子、電中性子、それに電子や陽電子、などの素粒子世界子であり、radiation とは、輻射＝光子のことであに対する興味や研究もほのかに見え始める。

る。）ファインマン図と呼ばれるものでこのアイ湯川は実に強運の人である。量子力学の応用とデアを図示すると、図 1 のようになる。時間は下して原子や分子、固体物性などの分野を研究するから上へ流れているとしている。ただこのアイデという観点ではやや出遅れたのであるが、原子核や素粒子の世界の解明という点では、まさにこの大発見の年という幕開けに立ち会い、日本が欧米a)eeγb)pneに比べ遅れているというハンディがほとんど無い僥倖に遭遇したわけである。佐藤文隆氏の言うように、「20 世紀の物理学の一大革新期の波頭にちょうど出くわし、それにうまく乗る勇気と才能を持ち合わせていた」2) のである。

3. 核力の問題へ：1933 年仙台学会講演
湯川は、1932 年 4 月には湯川スミと結婚し、ハイゼンベルクの原子核構造論の仕事を契機として、秋頃から核力の問題に取り組み始める。原子の大enep
図 1 湯川は、a) 電子 (e) 同士の間の電磁気力が光子 (γ) の交換で生じるように、b) 中性子(n) と陽子 (p) の間の力は電子 (e) の交換で生じる、と考えた。

アだと、核子（原子核を構成する陽子と中性子をまとめて核子と呼ぶ）によって放出・吸収される電子がフェルミ統計にしたがうことが、場の方程式と矛盾している∗2）ことを、湯川自身が講演の最後に指摘している。この講演を聴いた仁科芳雄が*1） 読者の興味のために講義題目をあげておくと、ハイゼンベ「ボーズ統計に従う電子」を示唆したとされるが、ルクは、1. 強磁性体の理論、2. ブロッホ（Bloch）の電気それは湯川自身の指摘を受けてのものであった。

伝導論、3. ハイゼンベルク・パウリの場の量子論 を、ディラックは、1. ディラック方程式、2. 統計量子力学、3. 電子の交換力によるスピン-スピン相互作用 について、それぞれ講義している。

2*2） スピンが半整数の粒子はフェルミ統計に従い、一つの相互作用頂点に付くフェルミ粒子は偶数個でなければ矛盾する。

この時点における湯川の重要な認識は、もう一つ、む項は一種の位相因子として入り、· · · 距離と共に交換される粒子 (この場合電子) の質量 m の逆数急激に減少するとは言えないという結論に導かれに比例するコンプトン波長 h̄/mc が、その交換にる。」3)

よって生じる力の到達距離を与える、という認識

湯川ポテンシャルは、電子場に対して非相対論である。事実、仙台講演の予稿には、「電子には静的なシュレーディンガー方程式を書いても出るは止質量があるあることからして中性子と陽子とのずなので、指数関数の減衰因子でなく「位相因子間の距離が h̄/mc に比して大きくなれば相互作用として入り」と言っているとすると、湯川も大分の勢力は急激に減少することが予想される」と書混乱していたことになる。ところが、この仙台の学会後、1933 年のおそらく 6 月頃に朝永が湯川いている。
これは自身で「予想」と書いているように、数に手紙を出している∗3）。朝永は、核子間の引力の式を用いて導いたものではない。おそらく次のよポテンシャルとして遠距離で急激に小さくなる関

うな物理的考察に基づくものであったろう。すな

数を 3 つ仮定して、核力の到達距離をパラメータ2

わち、質量 m の粒子は、エネルギー E = mc をにして、重水素の束縛エネルギーと陽子中性子散持っている。核子は、古典論的にはエネルギーが乱の振幅を計算したが、その報告を湯川に送った足りないからそんな粒子を放出できない。しかしのである。この手紙が特に興味深いのは、朝永が、量子論的には、エネルギーと時間の間の不確定性

この 3 つの関数の一つとして今日湯川ポテンシャ関係

ルと呼ばれる∆E · ∆t ∼ h̄

U (r) ∝ −があり、短い時間ではエネルギーを正確には確定

e−κrr(2)できないので、大きなエネルギー ∆E ∼ mc2 をを用いていた点である。(この手紙は現在京都大持つ粒子でも、ごく短い時間 ∆t ∼ h̄/∆E なら放学総合博物館で開催中の湯川朝永生誕百年記念展出できる。この時間内にこの粒子が最大光速 c でで陳列されいるので、興味ある読者は是非見られ飛んでいくとすると、たい。) この関数は、クーロンポテンシャル 1/r

λ = c ∆t ∼ ch̄h̄∼∆Emc(1)に比べて、指数因子 e−κr がかかっており、距離r ∼ 1/κ より大きくなると急激に減少する。もの距離 λ だけ、到達することが出来る。この表式

ちろん朝永は純粋に現象論的にその関数形をとっはコンプトン波長に他ならず、これがこの粒子のただけであり、決して数式からその関数形を導い交換によって生じる力の到達距離を与える。

たわけではなかった。しかし、その関数形を用いところが! である。湯川の残した仙台学会の講た核力の計算を目の当たりにした湯川に相当なイ

演原稿では「実際計算すると出てこない」と訂正

ンパクトを与えたのではなかろうか? その手紙がされている。その左側の原稿前ページの裏面には湯川にもう一度考え直すきっかけを与え、ついに「想像の誤り、· · · h̄/mc はきいてくるが、abstract

湯川ポテンシャルが (4 −κ2 )U ＝ 0 の（原点に源で述べた意味では入ってこない。」と書き込まれてを持つ）解だということを、1933 年から 1934 年

いる 。実際に数式を用いた計算を進めてみるとにかけて発見したのではないか、と筆者は想像す

この距離で急激に減衰する表式が出てこない! とるのである。そうだとすると、朝永は湯川のノー言っているのである。

ベル賞の仕事に対しても極めて重要な貢献をして3)

これはどうしたことであろうか? もう少し詳しいたことになる。湯川は、実際ノーベル賞の対象いことがその頃書かれた話し口調の「ボーズ電子論」の草稿に記されている。そこにおける「湯川の議論に従えば、· · · 電子のコンプトン波長を含*3） この手紙には日付が書いてなく、封筒も残っていない。しかし内容から、すでに暑い時でありかつ 6 月 20 日より前、と推測できる4) 。小沼通二氏のご教示に感謝する。

3

となった彼の第一論文5) の脚注で、朝永が現象論

pn的なポテンシャルで重水素の束縛エネルギーと陽e

子中性子散乱を計算していることを引用し、感謝νeしている。

pn4. π 中間子の予言へ図 3 タムとイワネンコが計算した過程

湯川は 1933 年 5 月には大阪帝国大学理学部講師となり、夏には西宮市苦楽園に転居している。

1934 年早々フェルミの β 崩壊の理論が現れるが、その論文を伏見康治が阪大にもたらす。原子核のβ 崩壊とは、原子核中の中性子が、陽子と電子と反ニュートリノに崩壊する過程はどうすれば良いのかに思考を集中する。そしてついに、1934 年 10 月の初めのある日に、新しい粒子、質量が電子の 200 倍の粒子− π 中間子∗4）−が存在するのだというアイデアに到達する。これは、10 月 27 日付けの未完の講演草稿に生々しく書かれている。フェルミの理論における図 2 の 4n → p + e + ν̄e体相互作用は、一つの過程ではなく、実はその間である。フェルミは、パウリによって存在が予言されたニュートリノを採り入れ、図 2 に示すような、統計と矛盾しないフェルミ粒子 4 体が関与すに「何か photon（光子）に似たような他の種類のquanta が介在している」と考える。この quanta（量子）が、湯川の π 中間子であり、図 4 のように、中性子が陽子に転化するときに放出され、そa) pb) peeれが電子、ニュートリノに吸収される、と考える。
これがフェルミの弱い相互作用である。しかし、-νeepnnνe-νe

図 2 4 体フェルミ相互作用。a) が β 崩壊に相当する。場の理論では、反ニュートリノの線を折り返した図 b) も同等に存在する。

πnる相互作用−今日 4 体フェルミ相互作用と呼ばれ

図 4 湯川は、図 2a) の 4 体フェルミ相互作用も、π 中間子が媒介していると考えた。

る−を書き下した。この仕事は素粒子の「弱い相互作用」に対して初めて場の理論を適用した画期湯川理論では、中性子 ↔ 陽子の転移によって π的なものであり、湯川にも強い衝撃を与えた。こ中間子が放出・吸収される図 5 の 3 体過程が基本れが現れるとすぐにタム (Tamm) とイワネンコ相互作用である。このようなフェルミ粒子 2 体と(Iwanenko) は、図３に示すように、この 4 体フェボーズ粒子 1 体の頂点を持つ相互作用は今日一般

ルミ相互作用を二回用いれば、陽子と中性子が、に湯川相互作用と呼ばれる。それを二回使って図電子と反ニュートリノの対を交換して、互いに力6 のように、中性子と陽子の間で π 中間子を交換を及ぼすことが出来ることを指摘し、その計算をすれば、強い力を生じうる。 この π 中間子交換した。しかし、これは原子核の強い力を説明するによる力の到達距離は上の (1) 式より（あるいはには余りに弱いことが判明した。
湯川は、フェルミの β 崩壊の理論の成功点は残しつつ、陽子と中性子の間の強い力を説明するに4*4） 陽子の質量は電子の 1880 倍であり、したがって湯川の粒子は電子質量と陽子質量の中間の質量を持つという理由で後に中間子（メソン）と呼ばれた。p稿が 11 月 30 日付けで数物学会誌 Proceedings ofnπ−π+

the Physico-Mathematical Society of Japan に投稿受理されている。この論文のタイトルは、よく知られているように、「On the Interaction ofnElementary Particles I」、すなわち 「素粒子のp
図 5 湯川相互作用相互作用について I」である。この題名の示すように、そして上で述べた経緯からも明らかなよう

npに、湯川の問題意識は初めから、単に強い核力の説明というものでなく、弱い相互作用も含めた素π−粒子世界の全ての相互作用を記述しようという統一理論構築を企図したものであったのである。

np

図 6 π 中間子の交換で強い核力が生じる下で紹介する湯川ポテンシャルの表式から）π 中間子のコンプトン波長 h̄/mc であり、それが原子5. 湯川ポテンシャル
本誌は数理科学の雑誌なので、湯川ポテンシャルに関して少し数式を用いて議論する。

m 程度でなければな

湯川は、交換されるボーズ場 U に対して次のクらないから、π 中間子の質量は、その静止エネルライン・ゴルドン型の相対論的な方程式を仮定し−15核の大きさ lN ' 2 × 102ギー mc で言ってh̄ · clN2 × 10−13 [MeV · m]
= 100 MeV'2 × 10−15 [m]mc2 =た∗5）。

³4−´
1 ∂22−
κU =源
c2 ∂t2

ここでラプラシアン 4 は空間座標についての 2 階微分の和くらいと予言される。プランク定数の値 h̄ · c =−132 × 10MeV · m を用いた。（MeV は、百万電子ボルトというエネルギーの単位。）電子質量 meは、me c2 = 0.5 MeV であるから、π 中間子は、電子の質量のほぼ 200 倍ということになる。
この考えでは、フェルミの 4 体相互作用が弱い
理由は、π 中間子が（電子、ニュートリノ）に結合する強さが、（中性子、陽子）に結合する強さよりも、（1 億倍）弱いからである。すなわち、π 中間子を媒介させることによって、強い相互作用と、弱い相互作用が、それぞれ、π 中間子の核子（中性子、陽子）への結合定数と、レプトン（電子、ニュートリノ）への結合定数が異なりうるということで、統一的に理解出来たのである。
ノーベル賞の対象になった欧文の第一論文は、11 月 1 日から書き始められ、途中 17 日に東大における数物学会 11 月常会での発表があり、完成(3)4≡∇·∇≡∂2∂2∂2++∂x2∂y 2∂z 2である。ナブラ ∇ は空間微分 ∂/∂x である。空間座標 (x, y, z) と時間座標 (の光速倍)ct の間の対称性を意味する相対論の要請から、式 (3) では、(∂/c∂t)2 がマイナス符号で入っている。この場 Uを量子化すると、対応する新しい粒子の生成消滅演算子になる。この粒子=π 中間子のエネルギー

E = −ih̄∂/∂t と運動量 p = ih̄∇ で、自由な場合(源=0) の式 (3) の (ih̄)2 倍を書き直せば、³´
1p2 − 2 E 2 + h̄2 κ2 U = 0cとなる。これより、E 2 /c2 = p2 + h̄2 κ2 の関係が出るが、これと相対論のエネルギー運動量の関係*5） 論文の書き方は実は逆で、湯川ポテンシャル (2) を解として持つ相対論的波動方程式として (3) 式を導入している。

5

式 E 2 /c2 = p2 + m2 c2 を比較すれば、クライン・ゴルドン方程式 (3) に現れるパラメータ κ は、この粒子の質量 m に比例し、そのコンプトン波長 λ(1) 式の逆数であることがわかる。
κ=mc= λ−1h̄と同じ 4πg を出すべきことから決まる。この時、Z¢4π ¡e−κr= − 2 (1 + κR)e−κr − 1r
κVRZZe−κre−κrdV ∇ · ∇=dS · ∇rr
VRSRdV= −4π(1 + κR)e−κR(3) 式右辺の「源」は、この粒子を放出・吸収する核子の場が与える。原点に核子がある場合、すなわち右辺の源が 4πgδ 3 (x) の場合、その周りにに注意する。SR は半径 R の球の表面で、dS はSR 上の面積要素である。

出来る静的（時間変化のない）なポテンシャルは、¡¢
4 − κ2 U = 4πgδ 3 (x)(4)の方程式の解となる。質量項 κ2 が 0 の場合は、電磁気学でよく知られたポアッソン方程式である。
この方程式の球対称解が湯川ポテンシャル

e(5)rである。これを示そう。
球対称な関数、すなわち r =湯川のこの論文は、i) 新しい実体（存在）の導入を行ったばかりでなく、ii) 場の量子論を電磁気学に限定されない普遍的な方法として用い「力の場＝粒子」というパラダイムを確立した、という−κr

U (r) = −g

6. 素粒子論の展開点で画期的なものであった。1934 年初めのフェルミの弱い相互作用の仕事と相まって、場の理論を√その基本的な言葉ないしは方法とする新しい素粒x · x のみに依存子論という学問領域を創始したのである。

する、任意の関数 f (r) の上でラプラシアン 4 =その後、朝永のくりこみ理論6) や坂田昌一学派∇ · ∇ を計算しよう。∇r = x/r や ∇ · x = 3(空の複合模型、南部陽一郎の対称性の自発的破れの間 3 次元の時) に注意して、概念導入、など、日本人の多くの決定的な寄与を通x ddf (r)∇f (r) = (∇r) f (r) =drr dr
よって、f (r) を省略して

4 = ∇·∇1 dd 1 d+ x · (∇r)
r dr µdr r dr¶x1 d1 ³ d ´21 d+x·− 2+= 3r drrr drr drµ ¶2µ ¶2
1 d2 dd+=r=r drdrr dr= (∇ · x)

して、素粒子論は、ほぼ 40 年間の苦闘の末、1970年代中頃、強い相互作用、弱い相互作用、電磁相互作用、に対する標準模型の確立にいたる。自然界の全ての相互作用がゲージ原理という単純で美しい幾何学的な起源を持つという、透明な理解に達したのである。一方、標準模型の向こうに、重力まで含めた統一理論があるだろうことも、ほぼ確かなように思える。しかしそこへの道程は未だ全く定かではなく、湯川、朝永のように若い人た
ちの未知の領域への果敢な挑戦を待っている。

この表式を用いれば、(4) に r を掛けて、µ¶d22rU (r) = 0−κdr2が出て、rU (r) ∝ e−κr すなわち、湯川ポテンシャ
ル U (r) ∝ e−κr /r がすぐに導かれる。この係数が−g であるべきことは、(4) 式の両辺を、原点周りに半径 R の球 VR 上で体積積分して、左辺も右辺

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参考文献
1) 朝永振一郎：『量子力学と私』（朝永振一郎著作集 11，みすず書房、1983）p18
2) 佐藤文隆：科学、76 (2006) 366.
3) 河辺六男、小沼通二、日本物理学会誌 37（1982）265.
4) 自然 1981 年 11 月増刊号 p70 および 文献3) .
5) H. Yukawa: Proc. Physico-Mathematical Societyof Japan, 17 (1935) 48-57.
6) 宇川 彰：科学、76 (2006) 369.