━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━計測コラム

emm146 号用━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

基礎からの周波数分析（12）－「パワースペクトル（その１）」
前回のフーリエスペクトルに続いて、今回はパワースペクトルについてお話しします。
スペクトル解析の主要な目的は、パワースペクトルを計測することであり、電気計測器としての FFT アナライザで最も基本的で重要な関数です。それ故、パワースペクトルは 2 回に分けてお話しします。今回はその 1 です。
パワースペクトルは、周波数の関数であり、元の時間信号に含まれる周波数毎の単位時間当たりのエネルギーすなわちパワー（信号の強さ）を表しています。
スペクトル解析など信号処理の分野での“パワー”とは、時間信号の 2 乗平均値を指します。
2

例えば、周期 T の時間信号 x(t)の 2 乗 平 均 値 x は ；x2 =1 T 2x (t ) dt
T ∫0................................. （1）2あるいは、周期のない時間信号 x(t)の 2 乗 平 均 値 x は；

1 T 2x (t ) dt
T → ∞ T ∫0x 2 = lim................................. （2）と表すことが出来ます。
一般に、時間信号は確定信号と非確定信号に大きく分類できます。確定信号とは、周期信号のように時間の関数として記述できる信号であり、非確定信号とは、ランダム信号（不規則信号）のように明確に数式で記述できず確率的な信号です。
まず周期 T の周期信号 x(t)について考えると、複素フーリエ級数展開により；∞x (t ) = ∑ c k e

j2πkt
T................................. （3）k = −∞と表現できます。ここで c k は、前々回（メルマガ 144 号）のコラムで出てきた複素フーリエ係数です。
（周波数データとして引数を k としています。
）-1-次に、式（3）の両辺を 2 乗して周期 T で平均をとると、複素指数関数の直交性から下記の式（4）となります。

∞1 T 22)(xtdtck=∑∫T 0k = −∞................................. （4）または、正の周波数成分と負の周波数成分の大きさは等しいので；∞
1 T 222()2xtdtcck=+∑0∫0Tk =1................................. （5）

ここで、 P (k ) = 2 c k （k = 1、2、3）、 P (0) = c0 とおくと、式（5）は；22∞
1 T 2)
(xtdt
P(k )
=
∑T ∫0
k =0................................. （6）となります。式（6）は、周波数毎の成分 P(k)の総和が時間信号 x(t)のパワー（左辺）となるので、周波数関数 P(k)をパワースペクトルと呼びます。パワースペクトルは、フーリエスペクトル（または、複素フーリエ係数）と違い、位相情報が失われます。
この P(k)を、FFT 演算を使って求める手順を説明します。
前々回の計測コラム「フーリエスペクトル」であげた下記の式（7）を例とします。

π 2πx(n ) = A coskn − 4 N、N − 1
n = 0、1、2、................................. （7）

上式（7）において、N=64、k=4 を代入して N 点 FFT 演算すると、フーリエスペクトルは、
表 1 のような計算結果となります。
表 1 式（7）に N = 64、k = 4 を代入した計算結果
周波数点（k）
実数部
虚数部
k=4（正の周波数）
N－k=60（負の周波数）

A64
2 2A642 2-2-A64
2 2A−64
2 2−

この結果から、時間窓長 T（T=N τ で、τ を省略した N=64）で除算して；

P (4 ) = 2 c422 A  2 A   A2= 2 
 + −
 =2 2 2  
 2 2 ................................. （8）と求められます。これは、式（7）の x(t)の 2 乗平均値と等しくなり、式（6）が確認されたことになります。
実際の FFT アナライザでは、有限で離散的なフーリエ変換ですから、前々回説明したように、理論的には N 点の時間データから N/2 点までのパワースペクトルが求めることができますが、アンチエイリアシング（折り返し防止）フィルタの関係から、これより少し小さめの N/2.56 点まで計測できる仕様になっています。例えば、N=64 の時は、64/2.56 =25点まで求めています。（実際には、DC 成分もあり 26 点ですが・・・）これらの関係は、図 1と図 2 を参考にして下さい。

図1

図2FFT 演算における周波数並び（N = 64 の場合）

サンプリング周波数と周波数レンジの関係-3-

図 3 時間波形と FFT 処理したパワースペクトル
ここで、時間波形とパワースペクトルの関係についてまとめます。
図 3 において、サンプリング周波数 f s でサンプルした N 点の時間波形（上図）を、N 点 FFTを実行して下図のパワースペクトルを求めたとします。
 時間軸
1.

時間分解能

τ = 1f2.

サンプリング点数

3.

時間窓長s

N

T = Nτ = Nfs

 周波数軸fs1.

周波数レンジ

fr =2.

分析ライン数L=N

3.

周波数分解能∆f = f r

2.56

2.56
L=fsN

=1T-4-最後の式から、パワースペクトルの周波数分解能 Δf をあげる（小さく）するためには、サンプリング周波数 f s を小さくするか、サンプリング点数 N を大きくするかのいずれかであることがわかります。
また、上記の関係式でなぜ“2.56”という定数を使うかですが、通常 FFT 点数は 2 のべき乗で実行しますので、周波数分解能を割り切れるきれいな数としたいためです。
小野測器の FFT アナライザで使えるサンプリング点数 N とそれに対応した分析ライン数 Lは、下記の表 2 です。
表 2 サンプリン点数と分析ライン数
サンプリング点数 N

分析ライン数 L（時間軸）（周波数軸）

6642571285082561009512200101024400112048800124096

16001381923200

14163846400

2 のべき乗次回は、パワースペクトル（その 2）として、PSD と ESD に関してお話しします。

-5-

最後に、まとめです。
(1) スペクトル解析の主な目的は、パワースペクトルを求めることです。
(2) パワースペクトルは、元の時間信号に含まれる周波数毎の単位時間当たりのエネルギーすなわちパワー（信号の強さ）を表しています。また、位相情報は持たない正の実数値です。
(3) 一般にパワーとは、時間信号の 2 乗平均値（実効値の 2 乗）であり、パワースペクトルはそのパワーを周波数毎に分解したものであると言うことができます。
(4) N 点の時間波形から、原理的には N/2 点までのパワースペクトルが得られますが、実際の FFT アナライザにおいては、それより少ない分析ライン数である N/2 .56まで求めています。
(5) パワースペクトルはある周波数分解能 Δf で分析されますが、その分解能をあげる（良くする、小さくする）ためには、サンプルする時間窓長 T を大きくする必要があります。すなわち、サンプリング周波数 f s を低くするか、サンプリング点数 Nを大きくするかのどちらかです。

【キーワード】スペクトル解析、フーリエスペクトル、パワースペクトル、パワー、信号の強さ、2 乗平均値、確定信号、非確定信号、複素フーリエ係数、アンチエイリアシングローパスフィルタ、周波数
分解能【参考資料】
1.

「スペクトル解析」日野幹雄著

2.

「ディジタルフーリエ解析（I）－基礎編－」城戸健一著

朝倉書店（1977 年）
コロナ社（2007 年）
以上（Hima）-6-