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マルチエージェント実験経済学の方法的基礎
川越 敏司＝‖‖‖＝＝‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖刷＝＝l】illll…l…l……ll……lll刷Illll…lll

表1囚人のジレンマゲーム

1．はじめに

1／2
経済学やゲーム理論の諸命題を検証するために実験室において被験者に意思決定させてデータを集め分析する実験経済学と，コンピュータ・プログラムとして協力
裏切り

協力 裏切り3，3
4，00，4実装されたエージェントが互いに学習を通じて相互作用する場を研究するマルチエージェント・システム研
究との交ざ充が最近盛んに行われています．これをマル実験で知られています．ところで，この事実の理論的基礎となるフォーク定理を証明するには，実行可能でチエージェント実験経済学と総称するようです．本稿

個人合理性を満たす任意の利得の組が無限繰り返しゲ

では，マルチエージェント実験経済学研究の方法論的ームのナッシュ均衡になることを，具体的な戦略を構基礎について実験経済学者の視点で述べてみたいと思成することで示す必要があります．こうした戦略の中います．なお，実験経済学全般についてはFriedmanで，初めは協力を選び，相手が一度でも裏切りを選ぶ

andSunder［4］を参照してください．と2度と協力を選ばないというトリガー戦略がよく知られています．Axerlodは彼の主催するコンピュー2．構成することによる理解

タ・プログラム同士の総当り戦で参加者に具体的に戦おそらく，マルチエージェント実験経済学にとって，略を構成させることを通じて，ほかにも集団的安定なR．Axelrodが行った囚人のジレンマ繰り返しゲーム戦略が存在することを発見したわけです．その1つが，の研究（Axerlod［1］）ほど広い範囲に影響を与えた研初めは協力を選び，それ以降は前桓1相手が選んだ手を究はないと思います．ある意味でこうした研究のスタ選ぶというしっぺ返し（Tit−for−Tat）戦略です1．こイルを確立した感があります．ここでいうスタイルとのしっぺ返し戦略を用いることで，本来つねに裏切るは，（1）動学ゲームにおけるエージェントの戦略を事前ことが最善である有限繰り返しゲームにおいても，最の行動プランとしてコンピュータ・プログラムに表現後の数回を除いで協力を達成できることが理論的に示し，（2）そうしたプログラムを学習・進化させることにされる（Krepsetal．［10］）など，数々の有益な結果がよって，（3）モデルや戦略を具体的に構成することで複生み出されています．このように，具体的に構成する雑な経済現象を理解する，というものです．本稿ではことによって理解を進めていくことがマルチエージェ

こうした研究の上記3つのキーポイントについて，そント実験経済学のひとつの重要な標語になったのはの意義と問題点を実験経済学の立場から検討していきAxerlodの研究以後なのではないかと思います．

たいと思います．

Axerlodはその後の著作でさらにKISS（KeepIt

さて，囚人のジレンマゲームとは表1のような2人Simple，Stupid）原理というものを提唱しています

戦略形ゲームです．この囚人のジレンマ繰Ⅰ）返しゲー（Axerlod［2］）．これは，マルチエージェント実験経

ムの実験においては，2人のプレイヤーが互いに協力済学が取り扱う複雑な現象を探求する場合，あくまでを選ぶという，1回限りのゲームにおいてはナッシュもモデルの前提は単純であるべきだという主張です．

均衡ではない結果が実現することがこれまでも多くのそれは，モデルから複雑で驚くような結果が生じた場

かわごえ としじ

1残念ながら，この戦略を含めて因人のレジンマ繰り返し

公立はこだて未来大学 システム情事嗣斗学部

ゲームには進化的安定戦略は存在しないことがBoyd and〒04ト8655函館市亀田中野町116−2

Lorberbaum［3］などによって示されている．

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（3）531

合には，モデルの前提が単純な方が原因究明がしやす

3．プログラムされた戦略

く，前提が複雑なモデルよ−）複雑な現象が創発するプ
ロセスの理解に役立つはずだからです．この点をさらに具体的な事例で考えてみましょう．

展開形ゲームや繰り返しゲームのような動学ゲームに関する実験を行うにあたっては実験デザインに2通

マルチエージェント実験経済学では，株式市場や外りのアプローチが存在します．特に名前はないので，国為替市場のような市場取引がよく研究されています．

暫定的に逐次選択法とプラン選択法と呼んでおきます

市場取引については，企業や消費者の合理的行動から（Seltenetal．［13］はプラン選択法を戦略選択法と呼ん需要・供給関数が導かれ，さらにこの方程式系から市でいます）．逐次選択法では，ゲームの経過に従って，場均衡解の存在が導かれ，最後にそれがパレート最適

各プレイヤーは自分の手番になったときに初めて，可であることが理論経済学の教科書には解析的に示され能な選択肢の中から手を選択することになります．プています．一般均衡理論と呼ばれるこの精緻な理論はラン選択法では，ゲームをプレイする前にどの子を選非線形の相互作用を扱った複雑なものです．ところが，択するつもりなのか，あらゆる自分の手番について事

市場均衡のパレート最適性については，非常に単純な前にプランを決め，そのプランに従ってゲームをプレモデルによっても示すことができるのです．Gode

イしていくことになります．

and Sunder［6］は，次のような知性ゼロの取引者

動学ゲー

ムにおいてはこの2つの間の区別が大事で（zerointelligencetraders）を前提しても市場均衡のす．たとえば，逐次選択法では，各プレイヤーは他のパレート最適性が達成可能であることを示したのです．

プレイヤーの選択に逐次的に対応していくので，ゲー知性ゼロの取引者には亮一）手と買い手がいて，仮に1ムツリー上に実際のプレイでは到達されないノードが種類の財を取引しているものとします．売り手オはそ存在する場合があります．特に，一部のプレイヤーがれぞれ財の生産に費用cォ＞0を費やしており，C古から均衡経路から逸脱したために実験では均衡が達成され市場で許されるある上限価格〝＞cォまでの間の一様なかった場合，均衡経路から逸脱したプレイヤーが均乱数で価格を決めます．また，買い手ノには予算制約衡経路に従ってプレイしていれば均衡が達成されたのがあり彷＞0以上は支払えないので，0から彷までのか，あるいは仮にそのプレイヤーが均衡経路から逸脱間の一様乱数で価格を決めます．このようなエージェしなくてもその後に手番になるプレイヤーの誰かが均ント同士が取引をするというモデルをシミュレーショ衡経路から逸脱してしまうのか，逐次選択法による実ンすると，パレー験では判断ができません．その点，プラン選択法ではト最適な取引に限りなく近い結果が実現されるのです．このモデルでは，売り手も買い手事前にあらゆる手番でどういった選択を行うつもりなも損をしない範囲でランダムに価格を決めているに過のかが明らかですので，手番が先のプレイヤーが均衡ぎないのにパレート最適な取引を達成できるのです．

経路から逸脱して均衡が達成されなかった場合に，そこのように，知性ゼロの取引者モデルは，一般均衡のプレイヤーさえ均衡経路に従って選択していれば均理論のようにエージェントの合理的選択に関する複雑衡が達成されたのか否かは，各プレイヤーの選択したな前提なしに，市場のパレート最適性を説明できるこ

プランを検討すれば明確になるわけです．図1に示さとを示したのです．かつて経済学者のアダム・スミス

れたむかでゲームを使って具体的に考えてみましょう．

やハイエクが述べたように，市場という制度において2人のプレイヤーが交互にCかSの選択を行いまは，エージェントがただ価格だけを頼りに行動するだ

す．各ノードの番号はプレイヤーの番号です．終端ノ

けでもパレート最適な市場均衡へ向かう性質をもってードの2組の数字はプレイヤーの利得で，カンマの左いることをこれほど単純なモデルで示した例はないと側がプレイヤー1で右側がプレイヤー2の利得をそれ思います．この研究はまさに，市場のパレーがエージェントの合理性とは無関係であることを実際

ト最適性

1c 2 cIc 2 C

4．3に構成することによって示したという意味で，マルチエージェント実験経済学における重要な成果であると思います．

1．0

0．2 3．1 2．4
図1むかでゲーム

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オペレーションズ・リサーチ

ぞれ表しています．このゲームを後ろ向きの帰納法で解きますと，一番左端のノードでプレイヤー1がSを選び，プレイヤー1が1の利得，プレイヤー2が0の利得を得て終了することが最善にな−）ます．実際このゲームでは，各プレイヤーは自分の手番ではつねに5を選ぶのが最善です．
ところが，このゲームを実際に実験室で被験者にプレイさせると，必ずしもプレイヤー1が一番左端のノードで5を選ぶとは限らず，ゲームがさらに続くこ1

図2 健忘症のドライバーとがよくあります．例えば，プレイヤー1が一番左端のノードでCを選び，プレイヤー2が続く次のノー

複雑に入り組んだ田舎道を通ることになり，いまの自ドでCを選び，最後にプレイヤー1が次のノードで分の酔い具合ではとうてい家へたどり着く自信がありSを選んでゲームが終了したとします．この場合は，ません．図2の意思決定ノード中，∬が1つ臼のイン

2人とも初めの手番では最適な行動から外れています．

ターチェンジで，Cがインターチェンジを通りすぎ

では，プレイヤー1が2匝I日の手番でCを選んでいる，且が高速を降りる意思決定をそれぞれ表していたらどうなっていたのでしょうか．再びプレイヤー2て，1つ目のインターチェンジで高速を降りる場合のがCを選んだでしょうか．しかし，実際にはプレイ利得は0となっています．2つ臼のインターチェンジ

ヤー2の2回目の手番は回ってこなかったので，こので高速を降りると確実に家に堀り着くことができます．

実験を逐次選択法で行っていたならば結論が出せませ

図2の意思決定ノード中，〝が2つ臼のインターチェん．

ンジで，2つ目のインターチェンジで高速を降−）る場

ところが，実験をプラン選択法で行っていたならば，合の利得は4となっています．2つ目のインターチェ

プレイヤー2が2番目の手番で何を選ぶつもりだったンジで降りずにさらに進んでいくと高速道路は終わり，かそのプランを確認すればよいので，明確な結論を出モーテルが立ち並ぶ郊外に行き着きます．ここで一夜すことができます．このように，到達されなかった意を過ごす場合の利得は1となっています．

思決定ノードにおける行動をどのように考えるかとい

ところで，このドライバーは酔って意識が牒脂巨としう問題は，動学ゲームの実験を行っている者なら誰もているので，インターチェンジに着いたときには，そが感じていると思います．プラン選択法を採用するこれが1つ目のインターチェンジなのか，それともすでとで，とりあえずこの問題は回避できるわけです．に1つ目を通F）過ぎて2つ削こ到着したのか記憶が不では，動学ゲームにおいてはプラン選択法の方が逐確かになっているとします．このことを，2つのノー次選択法よ−）優れているのでしょうか．これにはどうド∬，〝を囲う情報集合が表しています．すなわち，やら完全記憶ゲームならばという条件を付けなければドライバーは2つの意思決定ノードのどちらに今いるいけないようです．それは，不完全記憶ゲームにおいのか区別できないことをこの情報集合が表しています．てはPiccione and Rubinstein［11］が健忘症のドライ

情報の不確実性の中でも，このようにプレイヤーがすバー・パラドックス（absent−minded driver para−dox）と呼んだ問題が生じるためです．

でに行われた一連の行動の一部または全部の記憶を失ってしまう場合を不完全記憶（imperfect recall）と図2が健忘症のドライバーという1人ゲーム（意思いいます．健忘症のドライバーはこうした不完全記憶決定問題）です．これは次のような状況をモデル化しゲームの一種になっているわけです．これがパラドッています．いまバーでしこたま飲んだドライバーがどクスと呼ばれるのは，酒場で帰りのプランを考えていうやって家へ帰るか出発前にプランを立ている状況をるときと，実際にインターチェンジに到達したときの考えます．家へ帰るには高速道路を走らねばならず，最適な意思決定が異なってしまい，最適な選択が決定

酒場から見て自分の家は1つ目と2つ目のインターチ不能になるからです．

ェンジのちょうど中間にありますが，2つ目のインタ具体的に考えてみましょう．2つのインターチェンーチェンジで高速を降りた方が家に近いとします．1

ジを区別できない事態を想定して満場でプランを立てつ目のインターチェンジで高速を降りると人気のないている段階では，Cを2／3の確率で且を1／3の確率

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で選ぶことが最適です．なぜなら，ドライバーはノー不完全記憶ゲームあるいはそれと同一視できるゲーム

ド∬とノード〝を区別できないのですから，いずれでは，必ずしもプラン選択法が優れているとは言えなにおいても同一の意思決定をしなければいけません．

いことに注意したいと思います．

そこで，Cを確率カで且を確率1−カで選ぶとする

4．学習と進化と，このとき＋カ2×1＝4カー3カ2であり，この期待効用を最大にするようにカを選べばカ＝2／3であることがわかります．
次に，ドライバーが酒場を出てインターチェンジに経済学における学習理論において古くから用いられている学習ルールはfictitious play学習です．t回目
における才以外のプレイヤーのノ番目の純粋戦略の組実際に到達した場合を考えてみます．ただし，ドライ

αiどのプレイ頻度をカ1ォ（′）とおくとき，Zが〆ブ（≠）をバーはそれが∬なのか〝なのかは区別できません．

所与として効用αォ（αz，α1才（f））を最大にするような純

そこで，ドライバーはαの確率で今∬にいて，1−α粋戦略の確率で今〝にいると考えているとしましょう．こ〝Za苧∈argmax∑〆i（t）ui（ai，aii（t））
α〜∈AどJのとき，Cを確率カで且を確率1−カで選ぶとすると，このときの期待効用はα［カ2＋紬（1−か］＋（1−α）［カ＋4（1−カ）］であり，この期待効用を最大にするようにカを選べばカ＝maX（0，（7α−3）／6α）であることがわかります．α＝1の場合にのみカ＝2／3となり，酒場でプランを立てているときと同一の選択になりますが，これ以外では一致しません．ところで，α＝1ということは，ドライバーは自分がいま確実に1つ日のをt＋1回目に用いる学習ルールをfictitious play学

習モデルといいます．ここで，才回目におけるグ以外のプレイヤーの純粋戦略の組α1ォのプレイ頻度〆ど（才）は，〜−1回目までにαそzが実際にプレイされた回数を々三∠（仁1）とするとき，次の式によって更新されます．
1if（Z＿Z（′）＝α1ゴ払（′）＝紬−1）＋（0 それ以外インターチェンジにいると考えているということを意味しますが，これは完全記憶の場合にほかなりません．

払（f）〆g（≠）＝∑ノ々まz（オ）すなわち，一般に不完全記憶がある場合には，このゲームをプレイする前にプランを立てたときの最適な行動と，実際にインターチェンジに到達した場合の最適な行動には食い違いが発生します．これを時間不整合性（timeinconsistency）の問題といいます．時間不整合性が発生したときには，プレイヤーは事前のプランに従うべきか，今現在において最適な選択に従うべきか決定不能になります．
ところで，展開形ゲームにおいて同一のプレイヤーが複数の異なる意思決定ノードで選択する場合，これを1人のプレイヤーが複数のノードに渡って選択すると解釈する場合と，1つのチームに属する複数のプレイヤーがそれぞれ別々の意思決定ノードにおける選択を担当すると解釈する場合があります（後者の解釈はSelten［12］によるものです）．後者の解釈に従うと，不完全記憶ゲームは，互いに連絡を取れない複数のエージェントがチームとして協調して問題解決を行う分散処理の問題となります．この場合にも，チームのメンバーである各エージェントは，チームで事前に決めこのように，他のプレイヤーがプレイした純粋戦略の組の相対頻度を所与として，その頻度のもとで期待効用が最大になるように純粋戦略を選ぶのがfictitous
play学習ルールです．ゼロ和ゲームにおいては，どんな初期値から出発してもfictitious play学習によって必ずNash均衡（ミニマックス解）に収束することが知られています．しかし，一般の非協力ゲームでは必ずしもNash均衡に収束しない場合があります2．
なぜでしょうか．それは，この学習ルールに限らず，多くの学習ルールが環境の定常性を仮定しているからだと思います．ここで環境の定常性とは，自分が学習するとき，他のプレイヤーがあらかじめ決まったプランに従ってプレイしているとみなすことを意味します．
言ってみれば，他のプレイヤーはあらかじめプログラムされた通りに混合戦略をプレイする機械であり，ゲームの間プログラムに変更はないという前提のもとに，各プレイヤーは毎回の手の系列から相手のプログラムの構造を推測して，その推測に基づき期待効用を最大にするように選択をするという学習が想定されているたプランに従うべきか，自分に手番が回ってきた時点での最適な行動に従うべきか，やはり先ほどと同一のジレンマに直面することになります．いずれにせよ，
534（6）

2学習理論全般についてはFudenberg and Levine［5］を参照してください．

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えないと，杜撰なプランしかできず実験は失敗するとわけです．
しかし，一方では，各プレイヤーは他のプレイヤーいうことにもなりかねません．また，なぜプレイヤーが毎回選ぶ手の系列に応じて適応的に自分自身の行動は自分自身が直接プレイしないで自分の戦略をプログパターンを変えているのです．実際には自分も含めてラムに託さねばならないのか，その理由が明確でない全員が毎回適応的に行動を変えているにも関わらず，といけません．ただ，プラン選択法を採用することで，他のプレイヤーについてはあらかじめプログラムされ人間の被験者が生み出すプランとコンピュータ・プロた行動を選んでいるに過ぎないとみなすことは，まっグラムが生み出すプランとの比較研究ができる利点がたく無理な仮定ではないですが，問題を含んでいます．

あi）ますので，動学ゲームの研究はプラン選択法をもこの間題は，プレイヤーの間で学習ルールが共有知ちいることがこれから増加していくと考えられます．

識となっていると仮定するならば，各プレイヤーが適続いて進化学習の問題に移ります．遺伝的アルゴリ

応的学習を行う他のプレイヤーの将来の行軌を予測しズムやクラシフアイア・システムのような進化学習モて，その予測に基づき期待効用が最大になるように選デル（Goldberg［7］）は，マルチエージェント経済学

択を行うと考えると良さそうに見えます．こうした考でも多用される手法です．進化学習を経済モデルに適え方を極限まで推し進めますと，将来にわたって他の用する際の問題点は，進化ゲームー般について言えるプレイヤーの行動を正確に予測できるという合理的期ことですが，それが不完備情報の展開形ゲームに適用待形成モデルになります．このような予測に基づく学できないということです．展開形ゲームは戦略形ゲー

習を実行するには学習ルールに関する連立方程式，あムに比べて主体のもつ情報の質・畳の違いを表現した

るいは差分方程式系を解くことになるでしょう．しかり，意思決定のタイミングを適切に表現できる点で優し，単純な有限ゲームでは，こうした方程式系を解くれています．ところが，基本的に主体のランダム対戦ことより直接に混合戦略のNash均衡を求める方がはを想定する進化ゲームにおいてはプレイヤーの意思決るかに簡単なはずです．こうなると，なぜプレイヤー定のタイミングを問題にすることができません．また，がNash均衡を直接求めないで精緻な学習ルールを用

進化ゲームにおいては完全・完備情報が仮定されていいなければならないのか，という新しい問題が発生します3．このことを考え合わせますと，進化ゲームにます．

おいては，（1）利得行列は対称でプレイヤー間で共有知

ここで述べているのは，各プレイヤーが他のプレイ識になっているので不完備情報ではなく，（2）各プレイヤーに関する適切なモデルを如何にして形成するかとヤーはどの時点においても各純粋戦略を使用する個体いう問題です．各プレイヤーが形成する相手の行動パが集団にどれだけの割合で存在するかを知っているのターンと，他のプレイヤーが実際に行っている行動とで，各プレイヤーが毎回選んだ手に関する情報が共有の食い違いをどのように埋めていくか，という問題でされており，ゲームの経過に関する完全情報をもってす．これはまた，プレイヤーは計算能力に限界があるいることになります．これらの前提があるからこそ，ので必ずしも合理的な選択ができず，そのために学習レプリケータ・ダイナミクス（Hofbauer and Sig−を通じた選択を行うにも関わらず，プレイヤーの行動mund［8］参照）で行われるように，各純粋戦略によを外から眺めている研究者の目から見て明らかに計算って得られる利得と平均利得との差を計算できるのでが容易な問題を解く代わりにより一層難しい問題にプす．逆にいえば，ゲームの経過について不完全情報がレイヤーが取り組むのはなぜか，というプレイヤーのある場合には，毎回どれだけのプレイヤーが各純粋戦モデル化上の問題です．

略を選んだのかわからないので，集団内の各純粋戦略動学ゲームを実験する際にこうした問題を避けるた
めには，やはりプラン選択法をもちいるのがよいよう

3ちなみに，不完備情報（imcompleteinformation）とはです．すべてのプレイヤーがあらかじめ作成したプラ利得に関する情事鋸こついてプレイヤー間に非対称性があるン通りにプレイすることが共有知識になっているかぎり，先に述べたような難しい問題に悩まされることはありません．しかし，一方でプレイヤーは事前に行動プランを作成しなければならないので，ゲームの構造や戦略的関係についてかなり十分に検討する機会を与ことを意味し，不完全情報（imperfectinformation）とはゲームの経過に関する情報についてプレイヤー間に非対称性があることを意味しています．
4もちろん，意思決定において必要な戦略的情報はすべて戦略形ゲームに含まれているとして，戦略形ゲームを中心に考えるKohlbergandMertens［9］などのゲーム理論家もいます．

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（7）535の採用比率がわからず，平均利得を求めることができません．よって，プレイヤー間の情報の非対称性をモデル化する際には進化ゲームは通していないといえま［3］Boyd，R．andLorberbaum，J．P∴

Nopurestrategy

is evolutionarily stablein theiterated prisoner，sdilemmagame，Ndtu柁（London），327，58L59，（1987）．

［4］Friedman，D．andSunder，S．：『実験経済学の原理とす．
もちろん，不完備情報の展開形ゲームを戦略形ゲームに変形することは容易にできますので，その上で進化学習を行えばよいと考えられるかもしれませんが，それでは展開形でしか表現できない意思決定のタイミングや情報の非対称性に関する情報が失われてしまいます4．

方法』，同文館，（1999）．
［5］Fudenberg，D．and Levine，D．K．‥771e771eO7y
Learningin Games，TheMITPress，（1998）．

［6］Gode，D．K．andSunder，S．：

Allocativee指ciency

Ofmarketswithzerointelligencetraders：marketas
apartialsubstituteforindividualrationality，Joumal〆fわJ宮古グcαJ且co紹0プク砂，101，119−137，（1993）．

いずれにしても，進化モデルを不完備情報の展開形［7］Goldberg，D．E∴Genetic Ako7ithmsin

ゲームに適用する際には注意が必要です．今後マルチ（砂timizationandMachineLearning，Addison−Wesley，

エージェント実験経済学の研究が進んで，さらに不完（1989）．

備情報ゲームの研究を進めていく際には，進化ゲーム［8］Hofbauer，J．andSigmund，K．：Euolutiona7yのパラダイムを越えて，新しい学習方式を考えていく

and fbt）ulation 功namics，Cambridge University

必要があると思います．

Press，（1998）．
［9］Kohlberg，E・andMertens，］．F．：

5．おわりにOnthestrategic

Stability of equilibria ，Econometrica，54，1003−1037，

ここまで実験経済学者の立場からマルチエージェン
ト実験経済学の方法的基礎をなす3つのキーポイントについて検討してきました．経済現象をモデル化するにあたって不完備情報ゲームを取り扱う機会はこれからもますます増加していくと思われます．ここで述べ（1986）．

［10］Kreps，D．，Milgrom，PリRoberts，）リandWilson，R．：

Rationalcooperationin the finitely repeatedPrisonersdilemma，Journal〆Economic771eO7y，27，245−252，（1982）．

［11］piccione，M．andRubinstein，A．：

Ontheinterpre−

た問題点をふまえて，不完備情報ゲームにおけるマル

tation of decision problemswithimperfect reca11

チエージェント実験経済学の方法論が，具体的なモデ

Gα栖βSα搾d＆・0紹0椚gCβeゐαぴわγ，20，3−24，（1997）．

ルを構成することでさらに深められていくことを願っ［12］Selten，R．：，

Reexamination of the perfectness

COnCept for equilibrium pointsin extensive games ，ています．

血如陥払触㌧毎椚戒（〆 G甜柁 丁肋叩 4，25−55，
参考文献（1975）．

［1］Axelrod，R．：771e Euolution Qf Coqpe7dion，Basic［13］Selten，R．，Mitkewitz，M．，and Uhlich，G．R∴
Duopoly strategies programmed by experienced

Books，（1984）．

［2］Axelrod，R．：771e Con4）leri＆d Coppemtion，Prin−players ，Econometrica，65，517−555，（1997）．

CetOnUniversityPress，（1997）．

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