論文・事例研究

人口に与える生産性と生存率の影響
柳井浩
JII
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1111111附川
111111

1.

はじめに一一一問題と結齢物資が豊かになり，生活に余裕ができれば出生率が上るjということで，やはり生存率の影響の方が大きい.

2.

毛デル昇して人口が増加する.マルサス以来しばしばなされてモデルの基本になったものは，筆者が以前に作成した

きたこの指摘は，今日の先進諸国における人口減を議論

低開発国発展に関するシミュレーション用のモテ。ル[ 1]の外に置くものとすれば，論拠に関しても，また，現象である.このモデルでは，に関しでも，現代においてなお人を肯かせるものをもっこれに対応して人口も，ている.したがって，生産性の向上が，物資と生活水準層の向上を通じて人口の増加をもたらすであろうことも容易に納得のゆくところである.
一方において，医療技術の向上もまた人口の増加に寄与する.医療の進歩によって，人間の生存率(ある時点において生きている人聞が，一定期間後にもなお生存している割合)が増大する.就中，出生時および幼児期の生存率の改善にはめざましいものがあることは周知の通りである.そして，生存率の増大が人口の治大に直結していることは言をまたない.

するパラメターの影響を調べてみた.その結果として得られたのは，…問中年層(30-44才)…叩t

老年層(45-60 才 )

...Xi

期

1 期後，各hVi+l=kUi ,(1)却 i+l=k vi>(2)

Xi+ l=k 叩i>(3)

また，青年層と中年層は労働に従事し生産する.それゆえ，国民総生産は，これらの労働に従事する人口に生産性sを乗じたものとして与えられる:

国民総生産=生産性 x( 青年人口+中年人口).
また，この国は自然の物成に恵まれており，自然収穫

ち，人口の推移を，生存率と生産性をパラメターにもつ差分方程式モデルによって記述し，その解の極限値に対…Ui(15-29才)

なお，今期の老年人口は次の期には消滅するものとする.

本稿は，ごく簡略化された数理モデルによっていずれの要因の効果が大きいのかを論じたものである.すなわ(0-14才)青年層の分が 15才年をとり，次の層に移行する:率の上昇の方を主とすべきだとする方が，現実との対応において，いささか有力と見られている.

幼年層

生存率

上と生存率の改善が，いずれもその原因となっているこる.大ざっぱに言って，現在の所は，後者すなわち生存人口構成要素はその発的増加に対して，上記の二者，すなわち，生産性の向ずれを従であるとすべきか，については議論の余地があ

年齢幅の 4 層によって構成されている国を考える.

昨今，開発途上国においてしばしば見られる人口の爆とは明らかである.しかし，そのいずれを主であり，い15年間を 1 期とする.また，n 億ドル/期が労働力を投入することなしに得られる.それゆえ，第t 期における国民所得はこれらを合計した

国民所得=国民総生産+自然収穫

r 生存率における増加倍率の，人口増に対す= 5 (列+加 d+n( 億ドル).

る影響は，生産性における増加倍率の約1. 5 倍に相当すとなる.

ゃないひろし慶応義塾大学理工学部〒 223 横浜市港北区日吉 2-1-1
受理92.8.24

308(38)

いま，この国民所得の全額を圏内の消費にまわすものとする.そして i+1 期の幼年人口はこの値に一定の増殖率z© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

という係数を乗じたものとして得られるものとしよう:
Ui+I=ZS (Vi 十 Wi)

+zn.

(4)

さて， (1)-(4)式をベクトル一行列の形にまとめて書け
ば，

O (Uil' (Z n(05Z

1Vi+1 1 1k1'Ti=l̲0!叩 i+IIIURUUIIWil\Xi+1 ノ\ 00k0)¥Xi)

下Ui+l 'l5Z

0 01 Vi 1.1 01
1+1 =1(5)‑ =1 "UI¥0)となる.これが本稿の議論の基本となる人口推移モデル

表 1(同パラメターの意味と数値例

生存率 1
生産性k

増殖率Z

自然収穫nk=0.8 :15年後 10人中 8 人が生存
5=0.27:労働人口 1 万人が 15年間に50.27 億ドル生産，労働者 1 人 1 年あたり180 ドルの生産

z=2
国民所得 1 億ドル/期につき2万人/期の出生

n=12 (億ドル)(扮平衡状態における人口および諸量と数値例

である.

三丘一一(万人) 1107.9万人

1‑5 Z k(1+k)" " " 13. 毛デル上の論議

2ι7ττ(万人) 1 凪 3万人
zk 什 +k)'''--'

前節で定式化したモデルによる人口を構成する各層は(5)式の行列から明らかなようにパラメター 5 ，1Z およびn h~( 万人)

I69.1 万人

h の値が小さいときには，早晩一定値に収束して平衡状

1‑ 5Z k(1+k)'''‑‑' 1態に達する:

1-5 ゴ :+h)(万人) 1 55 似Ui~Uz(l+k)(1+ が ) n(-,0: 1 ¥ 1~(万人)1318.6万人
l‑5zk(l+k)''''''1

Vi 一歩 U(6)Wi-今 Ws Z k(1+k) ~ ，(億ドル) I
42.0億ドl‑szk(l+k)'''''''''' 1 ル

Xi一->X

これらの最終的な値は平衡方程式
1 -5zk(l+k)"~")(Z\11illit--〆 1j+切，/
ハU

nnvnunu

zuu

11111lili--¥11Illit‑‑/、nununU/1111111115l¥

znunuLκszoικoed

一一

nU1Rnunu、、913111111111J/、1、11
ff1ill-t311

111111\/11 ・uuwzと一一一(億ドル) 1 54.0億ド.., 1 ル,
fillilia--\,nを解くことによって得られる.これに対応して全人口，国民総生産，国民所得が計算できるが，これらは数値例とともに表 1 にまとめてある.なお，表 1 (紛の数値例は表 1 (叫に与えられたパラメターの値に対応するものである.さて，最終的な全人口 P は表中にも示されているよ10'
I ,_, , 1
一一一一一(ドル) 1112.9 ドル

15Z (1+ k)(1+k2)"

きる.

(9)式で与えられる全人口 P は自然収穫 n と比例関係にあるから (9)式の両辺を n で除して規準化しても議論の一般性は損われない.
q = L ̲ Z(1 +k)(1+が)一一一nうに(l+k2)np̲z(l+k)~ ¥~ I n. I ，~\， 14 ~ ""L ~ ,,,1‑5zk(l+k)(8)'
11‑5zk(l+k)

H的この値 q を規準人口あるいは単に人口と呼び，これが生産性 s および生存率 h にどのように依存するのかを見という式によって与えられる.もとより，全人口がこの値に近づくまでにはなにがしかの時間の経過が必要ではあるが，この値を全人口に対するパラメターの影響を論ずるための目安とすることはできょう.てみることにしよう.

4. 生存率と生産性の人口に対する影響
まず

いま，この国が採集経済の状態にあり，生存率 h を自然な環境での最小値 k m ， 生産性 s をゼロとすれば，全人口 P はその最小値 Pm

q をタテ軸に，ヨコ軸に h をとり k と q の関係をいくつかの s について示したのが図 1 ,ヨコ軸に s をとり s と q の関係をいくつかの k につい

Pm=Z(1+k明 )(I+k 2 m )n(9)て示したのが図 2 である.になる.すなわち Pm はその国土が養える基本的な人口L 、ずれの曲線も，最初のごくわずかの部分を過ぎればである.したがって，この値と比例関係にある自然収穫すぐに急峻な立ち上りを見せ，無限大に発散する.このn はその国の基本的な規模を表わす量と考えることがでような立ち上がりは ， k ( 生存率)や 5

1993 年 6 月号

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(生産性)がそ(39)301qm

Sqfk

4030201.2

10

生産 1.0んo。

図 1生存率 (k) と規準人口 (q)0.
2

図 2性0.
40.
8

生産性 (s) と規準人口 (q)0.
6
れぞれある値に近づくにつれ，人口 q に対する影響がき0.
4

わめて顕著なものになることを示している.
剛式が表わす人口 q が“無限大"に発散するのは (10)式

0.
2の分母がゼロになるような k や s:k。

1‑ szk(1+k)
=00.
2(11)

0.
40.
60.
81.0

生存率

においてであるが，ここではいうまでもなく本稿のモデ

図 3

規準人口の等高線

ノレが妥当な表現力を失っていることになる.しかし逆にいえば，実際の現象においては，数値としての人口こそラフ上に等高線を画いてみればよい.

グラフ上，水平あ他の要因によって有限の値におさえられているものの，るいは垂直に一定距離進むことが生存率と生産性がある条件に達すれば爆発的な人口増加の比率だけ変化させることに対応するからである.図 4が見られることに対応するものと解釈できる.
次に ，k( 生存率)と s ( 生産率)の人口 q に対する影響を比較しよう.そのため

k をヨコ軸s をタテ軸にとって q の等高線を画いたのが図 3 である.等高線は q=5 から q =50 まで一定間隔(= 5) の q の値について函かれているから，水平あるいは垂直に一定距離進むときに横切る等高線の本数によって対応する q のおよその増分を知ることができる.そこで，図 3 を見れば長の値これが小さくなりである.また，本稿ではこれまで増殖率 z の値を z=2という値を用いて作図してきたが，仰)式からわかるように，この値が変化しでも対数方眼紙上の等高線群は q の値が変わったり，上下に平行移動するだけでその全体の姿を変えない.したがってこの勾配の値も不変と考えて
よ L 、*)*) (10)式は

k が 1 に近づけばs の値に対する+k)(1+k2)
l‑szk(l+k)

q ー( 1k の値が大きくなるにつれzと書き直すことができる.ここでが -q

ものの方が少し大きめになる.

一一-(ii)s'=sz(出)Z

しかし，パラメタ -k や s の値そのものは，現実とある程度の対応はあるにしても，厳密な意味では本稿のモとおけば， (i)式はq' ーデル上でしか意味をもたない.具体的な値は，しょせん仮定上のものに過ぎない.だから

k や s の共通の増分に対する q の変化を比べても，これらの要因の影響に関して当を得た比較をしているとはし、 L 、がたい.それよりはむしろ

k や s の一定率の増加に対する q の増加を比較すれば，実際問題に対してもある程度の示唆を与え得る比較ができる.
そのためには

308(40)(に対するものの方が大きくに示すのが，このような等高線群で，急な右下がりのほぼ平行直線に近い曲線群であり，その勾配はおよそー1. 5)iが小さい所では，一定の増分に対する q の増分は h の値

k あるいは s を一定(1 +k)(1 十 k2 )1‑s'k (1+k)

一一一一一一一~となる.この式に対応するlogs')(k ， s つあるいは，(iv)(logk ,座標上の q' の等高線は z には無関係なものになる.また， (iii)式によりlogs'=logs+logz¥v)(logk , logs) 座標上の曲線は， どれも， (logk , logs') 座標上のそれを平行移動したものでが成立するから，ある.そして， (別式により ， q' の等高線 q'= c は ， q の等高線 q=cz に対応する.すなわち， (同式の等高線群
k と s をそれぞれ対数軸で目盛ったグ全体の姿形は z の影響を受けない.

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オベレーションズ・リサーチ

(ジューキ)の各氏には細部にわたる懇切な御教示をいた]ogs

だいた.また，高橋幸雄氏(東工大)には，

日本科学技

10.
0

術連盟における研究会において数々の有益な御指摘をい8.
0ただいた.ここに感謝の意を表するもので、ある，6.。

参考文献

柳井

i告「低開発国の人口・経済推移」オベレーション

ズ・リサーチ，付録 A

1985,

1 月号 pp.29-35

生存率と平均寿命

本稿のモデルにおける主要なパラメターの l つは生存率であった.この生存率は 15才ごとに切断した各年齢層,:f( 1.0'
1:10.
8が，15年間を 1 期とするその聞にどのくらいに減少するのかを示す比率であった.ここでは，この生存率が，や0.
6

はりこのモデルの上の話ではあるが，平均寿命とどのよ0.
4うに対応するのかを示して参考に供することにしよう.
このモデルにおける人口の分布は図 A-l に示すように，幼年層の人口を 1 とするとき，青年層: k ， 中年層:

0.
2

民老年層:がと一定の比率で低下してゆく.いま，次の層に到達せずに死亡する人々も，その層の年齢一杯はlogk

0.
10.
10.
6 0.
8l.ﾓ0.
40.
2

生存しているものとして平均寿命 α を計算すれば

α= 土 (kj-l ーが) 1 ラj+が・ 60'Hi一挙(AI)

j=1

し

果結た

算
計て
ていにあさ

い・つ
つるに

種で長1期各 2 のの一間

hA

たのを図
れがと
この幅るし層B(12)q= ゆ (lns+ 1.51nk)

な一市齢

うラにに年式ブ

土似
近ギふ

q

れル」

す

数も』

関増

工

手'調
単当

適，。，

をで的そにいグ録

規準人口の等高線(対数軸)とを付

図 4

本稿のモデルでは全人口を各々 15 才を幅とする年齢層に切りわけ，また 1 期間を 15年間として期ごとに各と書くことができる.それゆえ，

i三=グ (lns 十 1.51nk L (一色村 .5 ~k)qt(lns+1.51nk)¥s .
.
.‑ k I層の人口が一定の割合で‘減少しつつ次の層へ移行するものとしてきた.この 15年間という幅をとったのは，モデという関係が成立する.この式から本稿の結論として次

ルとそのとりあっか L 、を，見通しのよ L 、，簡単なものにのことがし、える:するためて、あるが，逆にこれが長きに失し，そのことが「生存率 h における増加倍率の，人口増に対する影響は，生産性 s における増加倍率の約1. 5倍に相当する. J得られる知見に大きな影響を与えるのではな L 、かという懸念も生じ得る.それゆえ，ここでは上述の年齢層の役割をそのままに，前期および後期に 2 等分するとともに，5. おわりにI 期間もまた 15/2=7.5年として同様のモデルを作り，本稿は，文部省科学研究費補助金，重点領域研究「高度技術社会のパースベクティプ I 研究課題「技術移転の経済効果 j 課題番号 03228103 (研究代表者森村英典筑波大教授)の研究結果の一部である.このモデルの構

数値計算をして結果を比較してみることにする.
このとき本文中位。)式で与えられた規準人口に対応する式は

q2 ー竺ι1士主l( 1 +k22){ 1+ち~!-(B1)

成にあたっては，この研究会の活発な討論による所がき

1‑S2Z2k22(1+ん)( 1+k♂)

わめて大きい.また，本稿の執筆にあたっても，この研となる.ここに各変数は本文のモデルにおけるものと同究部会のメンパー:森村英典，鈴木久敏(筑波大)，森雅様のものであるが期間の長さが半分になったので，

夫(東工大)，栗田治(慶応大)，山本晋(ソニー)，依田聖
1993 年 6 月号

k2= ';‑k‑© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(B2))309(41n60kO

人

logS2aロ，/1/

舟/

だfIt‑J
153045606.
0ノ40310.
08.
04.
0レ/

202.
0./，〆"
生
産1.0

図 A-1 人口分布，性h。

s2=s/2(B3)Z2=Z(B4)

0.
20.
40.
60.
80.
6

1.0

生存率

0.
4

図 A-2 生存率と平均寿命という対応関係が成立するものと0.
2考えられる.
そこでいま，

図 4 に対応してんと S2 をそれぞれ対数0.
10.
1

軸に目盛ったグラフ上に q2の等高線を画いてみたのが図B-1 である.

0.
20.
4
生存率

(ここでも，ただちにわかるように Z2 は

図 B-1 規準人口 (q2)1 と等高線(対数軸)

図全体の姿に影響を与えない.)この図に見るごとく，これらの等高線はほぼ-3 の勾配をもっ平行な直線群と見なすことができょう.そこで，本文中におけると同様。2を適当な単調増加関数として

dq2= 金日並豆士主恒h1ffE+311今

q;‑‑‑ﾘ2(lns2+3lnk2)

S20Jk.

(B5)となるから，(B5) 式は,

坐~=p.2' (lnS2+3lnん 2 (~三+ 1.5-~主q2

ﾘ2(1ns2+3lnk2)

s0"

Jk /(B8)となる.すなわち期間を 2 つにわけたこのモデルにという関係を導くことができる.

いまここで (B2) および( B3) 式に与えられる対応関係おける規準人口の変化率についても，本文のモデルにおけると同ーの結論を得る.

を上式に代入すれば

dS2̲ dsS2S(B6)dk2̲ 1 ̲dkk2
2 k(B7)

このことから年齢層の幅と期間の長さの影響は，本稿における議論の精度において無視できるものと考える.

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
第 7 回要事会穣題 (5-4-9)

会合記録

1. 総会議案の件
6名

1) 平成 4 年度事業報告の件

4 月 9 日(金)評議員会

9名

2) 平成 4 年度収支計算報告および監査報告の件

4 月 9 日(金)理事会

11 名3) 平成 5 年度事業計画の件

4 月 12 日(月)企業サロン企画委員会

6名4) 平成 5 年度予算の件

4 月 19 日(月)編集委員会

11 名5) 平成 5 年度 6 年度役員選任の件

4 月 6 日(火)庶務幹事会

4 月 28 日(水)企業サロン企画委員会

6) 名誉会員推薦の件

2. 第 6 回理事会議事録の件

3. 入退会の件
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1
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オベレーショ γ ズ・リサーチ