━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━計測コラム

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計測に関するよくある質問から– 第 28 回 「時定数とレベル化について」–
当計測コラムでは、当社お客様相談室によくお問い合わせいただくご質問をとりあげ、回答内容をご紹介しています。
騒音計や振動レベル計で音や振動の大きさを測定する際や、解析装置によりリアルタイムオクターブ解析（RTA 解析）をおこなう際の設定パラメータの 1 つに "時定数" があります。
音や振動の瞬時波形は、細かく上下（プラスマイナス）にふれる波形ですので、瞬時波形そのものから音や振動の大きさを読み取ることはできません。音や振動の大きさを評価する場合は、瞬時波形から"実効値（2 乗平均値、root mean square value, RMS）"を求め、さらに"実効値"をレベル化（デシベル値に変換）した値で評価します。
瞬時波形から "実効値" を求める方法には何通りかありますが、そのうちの 1 つに実効値検波動特性回路を使う方法があります。 "時定数" はこの回路の特性を定めるパラメータの 1つです。
●実効値検波動特性回路と対数演算回路
騒音計において音の瞬時波形から実効値検波動特性回路を使い実効値を求め、レベル化（デシベル値に変換）する処理のブロック図を図 1 に示します。音や信号の時間波形を 2 乗し、RC 直列回路に通すと実効値の 2 乗値が得られます。図 1 では、実効値の 2 乗値を対数演算回路に入れてレベル化（デシベル値に変換）しています。

図1

実効値検波動特性回路と対数演算回路

A/D 変換器によりサンプリングされた時系列データに対して、この回路と同じ処理をおこなうことを考えます。A/D 変換器等でサンプリングされた瞬時波形を 𝑥(𝑖)とします。これを二乗するのは単に𝑥(𝑖)２を求める処理です。RC 直列回路(動特性回路)の出力 𝑦(𝑖)は式 1 で求めることができます。
これは 1 サンプル前の回路の出力𝑦(𝑖 − 1)と瞬時波形の二乗値𝑥(𝑖)２-1-を重みをつけて足したものです。時刻𝑖の音圧レベル𝐿(𝑖)は式 2 で求めることができます。
𝑦(𝑖)の単位は Pa2 ですので平方根をとってから計算する場合は式 2'になります。式 2 と式 2'の計算結果は同じです。

𝑦(𝑖) = (1 − h0 ) ∙ 𝑦(𝑖 − 1) + h0 ∙ 𝑥(𝑖)2𝐿(𝑖) = 10 × log10(𝐿(𝑖) = 20 × log10(𝑦(𝑖))𝑝0 2�𝑦(𝑖))
𝑝0

式2式1式 2'

ここで、τは時定数(s)、𝑓𝑠はサンプリング周波数(Hz)、p0は音圧の基準値で 20μPa です。ℎ0は式 3 で定義される定数です。時定数が 125ms、サンプリング周波数が 48kHz の場合、ℎ0は約 0.0001667 といった小さな値になります。

ℎ0 = 1 − exp (−1)
𝑓𝑠 ∙ 𝜏式3●RC 直列回路とその出力実効値検波動特性回路のベースになる回路は RC 直列回路で、抵抗(R)とコンデンサ(C)を直列に接続した回路です（図 2）。ここで、τ = 𝑅𝐶がこの回路の時定数と呼ばれる値です。

図2

RC 直列回路

RC 直列回路に、1 周期だけの矩形波パルスを入力したときに RC 直列回路の応答波形を図 3に示します。パルスが入ってから時定数 τ 秒後に約 0.63 になり、指数関数的に 1 に近づきます。パルスがとぎれたあとは τ 秒後に約 0.37 になり、指数関数的に 0 に近づいていきます。

図3

矩形波パルス(青)に対する RC 直列回路の応答波形(赤)-2-●バースト信号の音圧レベルの計算
継続時間 1 秒、周波数 1 kHz、片振幅 1.41 Pa (音圧レベル 94 dB)のバースト信号と、そこから求めた音圧レベルを図 4 に示します。上段が瞬時音圧波形、中段が動特性回路の出力（音圧の二乗値）、下段が音圧レベル (dB) です。時定数は F (125ms) です。

図4バースト信号とその音圧レベル

動特性回路の出力はバースト信号が止まってから 0.5 秒程度でほぼゼロ (0.0183 Pa2) になっています。音圧レベルは 17.37 dB しか下がっていません。ただこれらは同じ値を音圧二乗値でみているかデシベル値でみているかの違いだけです。バースト信号が止まった後の音圧レベルは 125 ms ごとに約 4.34 dB の傾きで下がっていきます。1 秒で約 34.74 dB さがります。
表 1 に、図 4 の波形の 0.0625 秒ごとの値を示します。1 秒目から 2 秒目まで片振幅 1.41 Pa（音圧レベル 94 dB）の正弦波を加えています。図 3 と見比べていただくと分かるように、バースト信号が入った 125 ms（時定数）後には回路出力は 0.6320 Pa2 (91.99 dB) に達しています。500 ms 後には 0.9815 Pa2 (93.90 dB) になり、信号の音圧レベル (94 dB) とほぼ同じ値になります。バースト信号が止まった後は、回路の出力(Pa2)は 125 ms（時定数）ごとに 0.3677 倍になる傾きで小さくなっていきます。これを音圧レベル(dB)であらわすと、125 ms（時定数）ごとに 4.34 dB 下がる傾きになります。

-3-

表 1 バースト信号とその音圧レベル
時刻(s)振幅(Pa)

回路出力(Pa2)

音圧レベル(dB)

減衰量(dB)

0.875000--

0.937500--

1.00001.41

0.0000--1.06251.41

0.393489.93-

1.12501.41

0.632091.99-

1.18751.41

0.776792.88-

1.25001.41

0.864593.35-

1.31251.41

0.917893.61-

1.37501.41

0.950193.76-

1.43751.41

0.969793.85-

1.50001.41

0.981593.90-

1.56251.41

0.988793.93-

1.62501.41

0.993193.95-

1.68751.41

0.995893.96-

1.75001.41

0.997493.97-

1.81251.41

0.998393.97-

1.87501.41

0.998993.97-

1.93751.41

0.999393.98-

2.000000.9995

93.98

0.00

2.062500.6062

91.81

2.17

2.125000.3677

89.63

4.34

2.187500.2230

87.46

6.51

2.250000.1353

85.29

8.69

2.312500.0820

83.12

10.86

2.375000.0498

80.95

13.03

2.437500.0302

78.78

15.20

2.500000.0183

76.61

17.37

2.562500.0111

74.43

19.54

2.625000.0067

72.26

21.71

2.687500.0041

70.09

23.89

2.750000.0025

67.92

26.06

2.812500.0015

65.75

28.23

2.875000.0009

63.58

30.40

2.937500.0006

61.41

32.57

3.000000.0003

59.23

34.74

3.062500.0002

57.06

36.92

3.125000.0001

54.89

39.09

3.187500.0001

52.72

41.26

3.250000.0000

50.55

43.43

3.312500.0000

48.38

45.60

3.375000.0000

46.2047.77

3.437500.0000

44.03

49.94

3.500000.0000

41.86

52.12-4-●まとめ
今回は、実効値検波動特性回路を使って瞬時波形から実効値を算出する方法と、バースト信号が入力された場合の回路の出力値をご紹介しました。
RC 直列回路に矩形パルスが入力されると、回路の時定数と同じ時間経過後に出力はパルスの振幅の約 0.63 倍に達します。パルスがとぎれると、回路の出力は時定数と同じ時間で約0.37 倍になる傾きで下がっていきます。
騒音計等の実効値検波動特性回路も同じ回路を使っていますので同じ特性を示します。音
圧二乗値 (Pa2) でみると、時定数と同じ時間で 0.37 倍ずつ下がっていきますので、すぐに非常に小さい値になります。これを音圧レベル (dB) であらわすと時定数と同じ時間で4.34 dB ずつしか下がっていきません。
バースト信号や衝撃音がとまっても時定数の影響で音圧レベルはすぐには下がりません。
時定数が 125 ms であれば 1 秒後でも 34.74 dB しか下がりません。そのため、繰り返し発生する衝撃音等の 1 回ごとの音圧を正確に測定しようとするには、衝撃音等の間隔を 0.5秒～1 秒程度あける必要があります。時定数を 125 ms ではなく 短い時定数に変更してもかまわない測定であれば、時定数を 10ms にすれば、10 ms で 4.34 dB、100 ms で 43.43 dB 下がりますので、音の間隔が短くても影響を受けなくなります。
（YK）-5-