l川……t…………………………………l………………………l…………………………l…………‖‖＝州l州…州l………1…l…‖‖‖‖‖＝‖……………ll………………lll11州＝‖…………………………l…‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖……ll州l

進化論的ゲーム論
一生物学を超えて一松井 彰彦
Ilt……………ll………………………………………l川l………l……………………l11…………………l…l……＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖………l……………………………l………………ltl……………l………＝‖‖……lt………lllll………＝州州

1 進化論的ゲーム論の誕生

表1：タカ＝ハトゲーム

世の中はゲームであふれています。生物界も決して例外ではありません。そこでは生死を賭けたゲームが繰り広げられています。餌を探してうろついている2匹の動物が同時に食べ物を見つけたとしましょう。2匹は餌を分けあうかもしれませんし、攻撃的に餌を独り占めしよう譲らなければ闘い疲れて共倒れになるでしょうし、片方がより攻撃的でもう片方が餌をあきらめれば、前者は餌を独り占めできます。生物学者メイナード・スミ
スとプライスはこのような状況を単純化した「タカ＝ハト」ゲームと呼ばれるゲームを考察しました【叫。進化論的ゲーム論の誕生です。
この状況を詳しく見てみましょう。動物社会は多数の個体からなり、各個体は遺伝によって「タカ」ないし「ハト」に属しています。動物たちは森の中をうろうろし、ときどき他の個体と出会います。数学的には

況ではタカ戦略を採る個体が出現した場合、搾取されてしまい「タカ」が増えていくことになります。他方、「タカ」ばかりいる状況ではお互いに傷つけあってしまうため、これも安定的になりません。
結局、タカが半分、ハトが半分という戦略の分布が進化論的に安定になります。この状態での両者の平均的な適応度は共に1．5になります（ハト：2×0．5＋1×0．5，
タカ：3×0．5＋0×0．5）。ここからタカが51％に増えるとハトの適応性がタカのそれを上回り（ハト：1．49、タカ：1．47）、ハトが51％に増えるとタカの適応性が各個体は単位時間内に他の個体のいずれかと等確率で上回る（ハト：1．51、タカ：1．53）ため、自然淘汰を通じてもとの分布に戻る圧力が働いているからです。

出会うと仮定します。このような形で動物たちが出会この考え方を定式化したのが次の概念です。この定う状況を（一様な）ランダム・マッチングと呼びます。

義の中で（例えば）Ⅲ（p，9）とあるのはqを採っている

ランダム・マッチングの下であるときある2匹が出個体と出会ったときのpを採っている個体の利得（適会うと表1にしたがって適応度が決まります。この表は応度）です。†

4つの組み合わせに応じた適応度（繁殖力）を示して定義（メイナード・スミス＝プライス）．ある戦略（ないます。例えば自分が「タカ」で相手が「ハト」の場合、本人の適応度は3になります（相手の適応度は表を読みかえて1となります。本稿では他の表もすべてこの裏記法を用います）。数字が高いほど自身の適応度が高いことになり、自分の子孫をより多く増やすこといしその分布）pが進化論的に安定であるとほ1他のどのような戦略9を採ってきても次の2条件が成立することである。
（1） Ⅲ（p，p）≧Ⅲ（9，p），（2） もし（1）においてⅢ（p，p）＝n（9，p）ならば
Ⅲ（p，9）＞Ⅲ（9，9）．

ができます。

このような環境の下で自然淘汰が進むとどのような状態が生じるでしょうか。まず、「ハト」ばかりいる状

今、全ての個体がpを採っている状態から始めて9とい

まつい あきひこ 筑波大学社会工学系〒305つくば市天王台1−ト1†ここで「pを採る」とは確率pでハト、確率（1一夕）でタカを採るという意味です。

1996年12 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（5）6Tlう突然変異を伴った個体が若干発生したとします。pが2 音声から言葉へ

進化論的に安定であるためにはpの適応度が9のそれを上回っていなくてはなりません。そうでなければ9がそ生物界では様々な合図が見られます。危険を知らせの勢力を増していってしまいます。個体9は最初は少数る合図から求愛行動まで複数の動物が居合わせる場にですから高い頻度で、各個体はpと出会います。ですかは必ずと言っていいほど合図一情報の伝達が行われていら個体pが個体9よりも適応度が高くなるためにはpにます。その中には一見すると単なる発声のような合図

対してp自身が9よりも高いか同等の利得を得なくてはもあります。人間界でも単なる音声の組み合わせによっなりません。これが条件（1）です。条件（1）が厳て意味を持つ言葉は社会活動に欠かせない要素となっ密な不等号（＞）で成り立っていれば、pは進化論的にています。言語学で指摘されているように合図と言語安定になります。（1）が等号で成り立っていると定義記号の間には大きな開きがあるとはいえ、物理的にはから条件（2）を確かめなくてはなりません。このと本来何の意味も持たない音声がどのような過程を経てき多数派であるpに対してはpと9は同程度の適応度を意味を持つようになるのかという問題は、言語理論に持ちますので少数派であるすと出会ったときにp，甘いとっても重要な問題です。にもかかわらずこの過程はずれが高い利得を得るかが勝負の分かれ目です。（2）長い間ベールに包まれていました。

では9に対してはpが9よりも高い利得を得ることを条言うまでもないことですが、合図はその送り手と受件として挙げています。（1）と（2）が成立していれけ手という最低2個の個体がいて初めて意味を持ちまばpは9の侵入を撃退できるというわけです。

す。またある個体が他の個体に合図を送るとき、（特に上記の「タカ＝ハト」ゲームではp＝0．5タカ＋0．5

人間の場合）そこには何らかの意図があります。これ

ハトという戦略（2回に1回タカの行動を採る；あるまでの研究では複数の個体間での誘因の問題−なぜ（人いは「タカ」を採る個体が50％、「ハト」を採る個体間も含めた）生物は相手に合図を送ろうとするのかとが50％）が進化論的に安定であることが数学的に確認いう問題の解明に関する分析が欠けていました。19

できます。証明は省きますので興味のある方はチェック

91年、JournalofEconomicTheoryに掲載された論してみて下さい。

文【司はその間題を進化論的ゲーム論の枠組みで考察し進化論的ゲーム論は生物界におけるゲーム的状況のました。

分析に貢献しました。上記の議論で個体が思考する必この論文の中で筆者は協力の達成と言葉の発生とを要のないことに気付かれたでしょうか。進化論的ゲーー

絡めて論じています。まず表2を見てみましょう。このム論が経済学者に注目され始めたのは80年代後半、ゲームは協調ゲームと言って、お互いに相手の戦略に折りしも超合理性を仮定した人間行動の分析が行き詰合わせる方が利得が高くなります。相手が「協力」をまっていたときでした。個体が合理的でなくとも社会採っている場合、自分が同じ戦略を採ると4、もう一全体を眺めると意味のある結果をはじき出す理論、そ方の戦略「安全」を採ると3の利得が得られるので「協れが進化論的ゲーム論の魅力です。この理論の貢献は力」が最適戦略となります。それに対して、相手が「安次の3点に大別されます。

全」を採っている場合には自分も「安全」を採ること●均衡が達成されるメカニズムの解明で2の利得が得られるわけです（自分が「協力」を採っ●均衡間の選択が前節で述べたようなランダム・マッチングの状況で●進化／変化の過程において生じる社会現象の説明プレイされると、進化論的に安定な戦略は「協力」とてしまうと利得は0になってしまいます）。このゲーム

このうち初めの2つば進化論的ゲーム論でなくとも別「安全」の2つになります。ここで問題はこの2つの安の形でアプローチすることが可能な問題です（進化論的ゲーム論による分析の方が優っているケースが多々●表2：協調ゲームありますが）。それに対し、第3の点は進化論的ゲーム論固有のものです。本稿では90年代前半に発表された2つの研究の紹介を通じてこの新たな理論がどういう形で上記の問題を捉えていったかをお話しすることにさせていただきます。
オペレーションズ・リサーチ672（6）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

●

定的な戦略のうちどちらが選ばれるかということになは「安全」策を採ることになり、「協力」は達成されまります。

せん。言葉の辞書の上での意味とコンテクスト＝文脈

一部の理論家は話し合いを通じて協力が達成されるの中での意味が乗離しているわけです。と考えました。しかし、初めから相手の言葉を信じるとしかし［2］では「信用するに足る」ということばの意

いう仮定は言葉の発生を説明できないだけでなく現実味内容をはじめから仮定してしまっているため上記のを無視した天下り的なものとなっていました。これにような議論の入り込む余地はありません。ましてや言対し［2］はcredibleneologism（信用するに足る新造語）

葉の意味の発生という問題の理解には結びつきません。という概念を持ち出します。今ある均衡を基準として●言葉の意味がどのように発生するかを分析するため誰か（プレーヤー1としておきましょう）が別の戦略に表2の利得表で表わされたゲームが前節同様社会のを採ろうと提案したとします。そして、相手（プレー中で行われるとします。ただしこのゲームを実際にプヤー2とします）がそれを信じたとして提案に乗るとレイする前に音声のやりとりができるとします。正確しましょう。この時プレーヤー1がプレーヤー2をだまに言うと出会った2人が同時に何か音声を相手に送るす誘因を持たないならばこの提案をcredibleneologismことができると仮定します。こうして作られた2段階と呼びます。ある均衡がneologism−prOOfであるとはこのようなcredibleneologismが存在しない、すなわちこゲームに進化論的ゲーム論の動学概念の1つである最適反応動学一社会の一部の人々が現状に対する最適戦略の均衡からある信用するに足る提案によって人々が別のを採ることで社会の戦略分布が徐々に変化していく動戦略に移らない状況を言います。‡この議論を表2にあ学を適用します。§以下がその結果と簡単な説明です。てはめると（「協力」、「協力」）のみがneologism−prOOf†となります。

定理：最適反応動学を上記の2段階ゲームに適用する

この概念によって戦略的な道具としての言葉のやりとりという問題が真剣に論じ始められました。しかしと、安定的な解においては全ての個人が2段階目に「協力」するという戦略を採る。

言葉の本質を捉えるためにはもう一歩進んだ分析が必要と考えられます。この点をもう少し詳しく見てみましょう。仮に（「安全」、「安全」）が当初の均衡だったとします。今、私（筆者）とあなたがこのゲームを1回だけ行なうとして、私があなたを「協力しよう」と説得したとします。さて、あなたはこれを素直に信じるでしょうか。私はあなたのことをあまり知らないから、あなたが提案に乗ってくるか否かを判断しなくてはな●りません。あなたが提案に乗ってくると確信したなら私は「協力」を採るでしょう。逆にあなたが提案に応じないだろうと予想したなら私も「安全」を採った方が利得が高くなります。しかし、どのように予想しようとも私はあなたを説得しようと試みるべきなのです。
ここでもう一度ゲームを見てみて下さい。私がどちらの戦略を採ろうともあなたには「協力」を採ってもら

説明：証明の全体を述べることば本稿の性質上意味がないのでどのような過程を経て「安全」から「協力」に移行していくのかだけを説明する。その中でも特に全員が1段階目に「あんぜん」と叫び2段階目に「安全」を採っている状態からどのように「協力」に向かっていくかのみを論じる。この初期状態において次のような戦略を考える。
戦略K：1段階目に「きょうりょく」と叫ぶ。
2段階目の行動は相手が何を叫んだかによって決める。もし相手が「あんぜん」と叫んそいたら自分は「安全」を採る。それに対し、相手が「きょうりょく」と叫んでいたら自分は「協力」を採る。

いたいということがお分かりになると思います。たとこの戦略Kは初期状態に対する最適反応となっていえ私が「安全」を採っていてもあなたが「協力」してる。今のところ最適反応は元の戦略も含めて複数ある。

くれれば私の利得は2から3に上がるのです。もちろん、あなたの利得は2から0になってしまいます。「おしかし、戦略Kが少し侵入してくると元の戦略はもう最適反応とはならず戦略Kのみが最適反応となるため、人よし」の社会では「協力」が生まれるかも知れませんが、「だまされる方が悪い」という風潮のある社会で‡【2】はこの議論を別のゲームの中で考察したため、今考察しているゲームへ適用するためには若干の変更が必要です。
1996年12 月号§この動学の数学的な定義等に関しては【3】を参照のこと。

¶以下の論理はsecrethand−Shake（密約）の議論とも共通しています【叫。そこでRobsonは新しい種の誕生のメカニズムの1つを示唆しています。

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（7）6丁3

この変化は全個人が戦略Kを採るまで続く。実際、戟

表3：純粋協調ゲーム

略Kが1％侵入した場合の平均利得は戦略Kで相手，99×2＋．01×4＝ 2．02，元の戦略で2となる。これは戦略K同士が出会った場合、「きょうりょく」を合言葉として「協力」が実際に採られるからである。」l（説明了）

この説明の中で「きょうりょく」という音声が「協力」に、「あんぜん」という音声が「安全」に対応したことに注目してほしいと思います。もちろん、「きょうりょく」ではなく「あっちょんぶりけ」という音声でも全く問題はなかったわけでその場合には社会の成員達は「あっちょんぶりけ」という音声によって今の「協力」の概念を表わすことになったかもしれません。
ここでの「言葉」は言語学では「合図」ないし「シンボル」程度の意味です。このような「言葉」が言語記号に変容していく過程の分析も今後に残された興味深い課題でしょう。

モデルにしたらどうなるであろう、彼らの目的はそれを理論的に解明することにありました。
結果は今までの結論を覆すものでした。この状況を例を用いて説明しましょう。表3をご覧下さい。このゲー
ムは純粋協調ゲーム（purecoordinationgame）と呼ばれるもので前節の協調ゲームの特殊ケースです。このゲームが（例えば）10人の間でのランダム・マッチン●グによってプレイされるとします。このときなるべく多くの個人が「左」を採っていれば自分も「左」を採ることが相対的に有利になります。それでは何人の人間が「左」を採っていれば自分も「左」を採る誘因が発生する（「右」を採るより得になる）でしょう。仮に自分以外の個人のうちれ人が「左」を採り、残り（9一乃）人が「右」を採っていたとしましょう。このとき、自3 種は一斉に変わるのか分が「左」を採るとその期待利得は2×，生物学者の今西錦司は「種が変わるべきときがきたら、種を構成している個々の個体も、一つの運命共同体（1）それに対して「右」を採ることの期待利得はとしてみな同じように、あるいは同じ方向にむかって変‥一

Ix ‑‑‑わる」と主張しています川。この主張が奇異に映った

HalsteadはNatureに生物学の論文というよりは日本のとなります。「左」を採る誘因が生じるのは（1）が（2）よ研究界の現状を述べたような批判論文を発表しました

り大きくなるときですから、それを解いて【4］。この後賛否両論が出されましたが、今西理論はそm＞3の数学的基礎を持たぬまま、生物学の主流からは外れ（2）（3）●という答えを得ます。

た理論として今日に至っています。
種全体があるとき同時に変容するのはほぼ不可能と次に前節で考察したような最適反応動学を調べてみしてもある程度隔離された環境の中でいくつかの個体ます。個々人は全て同一ですからこの社会の状況は何が同時に変異を遂げる可能性は生物界でも否定できま人が「左」を採っているかだけで表わされることになせんし、ましてや社会現象とでもなれば十分あり得るります。その数をⅣで表わします（mとは少しだけ異ことです。1993年拉発表された論文［6】は小さい確なります）。Ⅳ≧4のときには「左」の方が「右」より率だがひっきりなしに生じる突然変異のモデルを考察有利になるためⅣが次第に増加していきます。反対にしています。従来の生物学ないし進化論的ゲーム論のⅣ≦3のときには「右」の方が有利となってⅣは減少研究では突然変異は短い期間では少数の個体のみに発していくこととなります。この様子を示したのが図1、生すると仮定されていました。同時に多くの個体に発それを式で表わしたのが以下のものです。

生するのは非常に稀な現象だからです。各個体に小さい確率で、しかし独立に発生する突然変異をきちんとll同じような過程を経ても「協力」から始まって「安全」が採られるようなことはないことに注意。

Ⅳ什1＝わ（Ⅳt）

ただし、哨は第f期のⅣの値、わ（Ⅳ）は0と10の間の整数値をとり、
オ／ヾレーションズ・リサーチ

674（8）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（4）

はⅣ＝3までたどり着くことが必要でこのため最低7個の突然変異が必要となります。
それぞれの事象が1期間に起こる確率は亡4と∈7のオーダーとなり、亡が小さくなるとその比は1対0に収束します。仮に1期間の長さが1日、∈が0．1だとすると全員

Ⅳ＝4Ⅳ＝3 Ⅳ＝0

Ⅳ＝10「右」を採っている状況から全員「左」を採るようになるのに要する期間は平均して50日前後（1／【1。〔㌔0．14］）、そ
図1：最適反応動学れに対し「左」から「右」へば200年以上（1／［10C70．17】）かかります。このような状況の下ではほとんどいつもほとんど全員が「左」を採っていることになります。こ汀Ⅳ＝10，＝．＼■）（室ぎ●の意味でⅣ＝10は長期的に実現する均衡となり、撹

if4≦Ⅳ＜10，ifO＜Ⅳ≦3，乱項なしの場合に安定的だったⅣ＝0の点は長期的にir」Ⅴ＝0．

は稀にしか起こらない均衡ということになります。こ当然ですがⅣ＝0とⅣ＝10が安定点になります。

れをもう少し精確に述べたのが次の定理です。

ここからが彼らの論文の新しい所です。上記のよう

定理：亡が0に収束すると（マルコフ過程の）定常分布な動学に突然変異による撹乱項を付け加えます。

においてⅣ＝10、すなわち全員が「左」を採っている状況に付与される確率は1に収束する。††〃什1＝わ（〃t）＋りt．
りtは個々の個体が独立かつ非常に小さな確率で最適反応とは無関係に「左」から「右」ないし「右」から「左」に突然変異する項を捉えています。個々の個体がこのような変異をする確率を亡としますと、例えばりt＝1とな（5）

種全体に突然変異が発生するのは無視し得る確率であったとしても一部に集団的に突然変異が発生し、それが拡散していく可能性を示唆した理論、それが本節冒頭で述べた今西仮説との接点になるかもしれません。

る確率は2次以上の項を無視して（10−Ⅳt）×∈（ただしわ（Ⅳt）≦9のとき）、りt＝−3となる確率は高次の項を4 おわりに無視して去凡（凡−1）（凡−2）×㌔（ただしわ（鞘）≧3のとき）となります。

さて、そろそろ紙面も尽きてしまいました。進化論

さて、問題となるのは〃＝0やⅣ＝10が安定であ的ゲーム論のさわりとその発展の一側面に触れて今まるか否か、またどういう意味でそうなのか、という点ででのゲーム理論とは一味違った研究分野を紹介させてす。1度入ったら出られないという意味で安定でないこいただきました。この他にも進化論的ゲーム論は社会慣とば撹乱項があることからすぐ分かります。また、個体習の形成の分析等、様々な可能性を秘めています。琴味

毎に独立に生起する突然変異のためⅣ＝0とⅣ＝10を持たれた方は英語になりますがサーベイ論文【5】，【7】の間にも行き来があることも当然です。r6］はどのくらや準サーベイ論文［9］を挙げておきますのでその中で触いの起こりやすさで均衡間の遷移が観察されるかといれている論文等を参照して下さい。

う問題を考察しました。この質問に答えるために1番簡単に（もう少し精確に言えば最も少ない突然変異数で）Ⅳ＝0からⅣ＝10に到達するのはどのようにす

参考文献

ればよいかを考えてみましょう。
突然変異の個数が3個以下だと最適反応動学によっ

川今西錦司（1978），「自然と進化」筑摩書房．て〃は減っていってしまいます。突然変異が4個以上て元の位置に押し戻される分損してしまいます。厳密な議論起こればその後は最適反応動学によってそれ以上の突ほ【6】を参照して下さい。

然変異がなくともⅣ＝10に到達することができます。
＊＊それに対し、Ⅳ＝10からⅣ＝0に到達するために＝もちろん一旦Ⅳ＝2に到達し、その後Ⅳ＝4に到達するという経路も考えられますが、それだと最適反応動学によっ
1996年12 月号††りtは各期独立かつ〃にのみ依存する確率変数ですのでこのシステムは（0，1，‥．，10）を状態空間、〃を状態変数とした定常マルコフ過程になります。またどの〃からどの〃へも正の確率で1期間で到達できるためこの過程は唯一の定常分布を持ちます。定理はこの定常分布の性質を述べたものとなっています。

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（9）6丁5

【2］Fbrrell，J・（1986）， MeaningandCredibilityin
Chear＞T揖k Gam（S，Working Paper no・8609，

UniversityofCalifornia，Berkeley・【3】Gilboa，Ⅰ・＆A・Matsui（1991）， SocialStal）ility
andEquilibrium，Econometrica，VOl・21，pp・185−

197．
【4］Halstead（1985），

Anti−Darwinian Theoryin

Japan， Natu柁，VOl・317，pp・587−589■t5］Kandori，M・（1995），

EvolutionaryGameThe−

偶数月18日発売／定価930円
1月号・特集分散オブジェクトネットワーク
ーJava，ActiveX．分散オブジェクト技術−
CORBAの概要／CORBAのFAQ／Java，Web，ORB／
IDLの実際／座談会
新・アルゴリズムの道具箱 インターネット

oryinEconomics，Mpresentedattheinvitedsym−と法 CMC研究ノート（新連載）

posium ofthe SeventhWorld Congress ofthe
EconometricSociety（August1995，Tbkyo）・【6］Kandori，M・，G・J・Mailath，＆R・Rob（1993），
HLearnlng，Mutation，andLongRun Equilibria
inGameS， Econometrica，VOl．61，pp・29−56・【7】Mai1ath，G・（1995）， Recent Developmentsinpresentedat1995

逆問題のひろがリ
宏昌EvolutionaryGameTheory，

毎月20日発売／定価980円
1月号特集

逆問題の版図と数学

山田

ニアフィールド光学における逆問題
計測するとデータが壊れる世界の計測【8】Matsui，A・（1991）， Cheaptalk and Coopera−
tioninaSociety，JoumalqfEconomic乃eory，

非破壊評価とは何かクラック決定問題に関する話題
逆問題の考え方と枠組工学的側面を中心として【9］Matsui，A・（1996）， OnlCulturalEvolution：So−

和祐

地球の内部を探る

いくつかの凸な物体による散乱物体による散乱の数値解析

Ⅵ）1．54，pp．245−258・

直司俊

逆問題的問題βc（）mOm豆cムまfm￡むre．

聡志郎郎満柴介

山本夫
道

微分方程式の係数決定を巡って

田 村保本川西
河 西久谷井大磯

AEA meetings，alsoforthcominginJourLnalpf

非適切問題の数値解析

cialNorms，RationalBehavior，and Evolution−
aryGameTheory，

forthcominginJoumalqfthe

J叩αれegeαmd加古emαたわmαgβcoれOm豆e且【10］MaynardSmith，J・＆G・R・Price（1973）， The
Logic of Animal Conflict，

Naぬre，London，VOl．246，pp．15−18．

［11］Robson，A・（1990）， EfBciencyinEvolutionary
Gam6：Darwin，Nash and the Secret Hand−

shake， Journalqf771eVreticalBiolo9y，VOl・144，
pp．379−396．

「数」と自然の構造
田Ⅰ．数の体系
田Ⅰ．特殊な数
田Ⅲ・「数」と自然

田Ⅳ．物理定数の発見
田Ⅴ．物理定数と自然の構造［好評発売中］B5・定価1900円〈数理科学・1996年6月号別冊〉

数理科学における逆問題
C．W．グロエッチュ著，金子・山本・滝口共訳
第l章・入門／第2章・第1種の積分方程式によりモデル化される逆問題／第3章・微分方程式に於けるパラメー

タの評価／第4章・逆問題の数学的背景／第5章・逆問題の幾つかの方法／第6章・逆問題の注釈付きの参考文献

サイエンス社〒151東京都渋谷区千駄ヶ谷ト3−25 ℡（03）5474−8500
インターネットホームページ

http：／／www．bekkoame・Or・jp／．saiensu

6丁6（10）オペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.