AHPの世界

第2回 AHPからANPへ
木下 栄蔵
Il……ll………‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝＝＝‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖＝‖＝‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝＝‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖仙学教授となり，AHPの普及に努める．さらに，近年

1．AHPとその発展経緯

AHPの発展モデルであるANP（Analytic Network

本稿で紹介するAHP（Analytic Hierarchy Proc−

Process）［2］を発見し，その啓蒙に努めている．

ess：階層分析法）［1］は，米国ピッツバーグ大学のところで，Saatyのオ））ジナルAHPは相対評価法

Saaty教授により掟LJHされた手法で，問題の分析にお（Relative Measuremenet Approach）と呼ばれるもいて，主観的判断とシステムアプローチをうまくミッのであるが，代替案の数が多くなると対応しきれないクスした問題解決型（提案型）意思決定手法の一つでなどの欠ある．

一点を克服するために絶対評価法（Absolute Measure−．真を有する．そこでSaatyはこのような欠すなわち，AHPは，これまでの意一計決定手法ではment Approach）を提案した（木下はこのアプロー対処しきれなかった問題の解決を図って開発されたもチの一つの計算法を具体化した）［3］．すなわち，のである．したがって，AHPを使って問題を解決す

AHPには，相対評佃法と絶対評価法の二つの手法がるには，まず問題の要素をある．相対評価法は，評価基準のそれぞれに対する代総合目的

代替案

評価基準

替案聞の一対比較の結果をもとに総合評価を行うものの関係でとらえて，階層構造を作り上げる．そして，である．絶対評価法は，評価基準のそれぞれに対する総合目的からみて評価基準の重要さを求め，次に各評各代替案の絶対評価をもとに総合評価を行うものであ

価基準からみて各代替案の重要度を評価し，最後に，る．前者は代替案間の直接的な比較が有効な場合に通これらを総合目的からみた代替案の評価に換算する．

月ほれ，後者は評佃尺度を媒介しての代替案間の間接AHPは，この評価の課程で，今までの経験や勘を竺巨的な比較が有効な場合に適用される．どちらの評価法

かして，これまではモデル化したり定量化したりするも評佃基準の重みが代替案の評佃と独立に与えられるのが難しかったことも扱えるようにしているのが特徴

点では同じである．Saatyが提案したこの二つのアプである．

ローチを木下・中西は，従来型AHPと名づけた．

そこでAHPが他のモデルと異なる特徴を整理すると次の4点になる．

従来型AHPにおいては，各評価基準案間，各代替案間，あるいは評価基準と代替案の間は独立であると①人間の持っている主観や勘が反映されるモデルが作られていること．

仮定している．しかし実際には独立ではなく従属している場合がある．そこでSaatyは各評価基準間ある②多くの目的を同時に考慮できるようなモデルであること．

いは各代替案間に従属性がある場飢こ対して，InnerDependence法（内部従属法）［4］を提案した．この方③あいまいな環境を明確に説明できるようなモデルであること．

法は各評佃基準あるいは各代替案の従属関係を別途一対比較によりi貝lはし，当該の従属関係を定量的に内包④意思決定者が，容易にこのモデルを使えること．

したモデルである．Saatyは，また，評価基準と代替ところで，以上のような良さを持つAHPを提唱し案の問に従属性がある場合に対して，OuterDepen−

たSaatyは1969年にペンシルバニア大学教授となり，dence法（外部従属法）を提案した．この考え方の特数年後AHPを発見する．1979年にピッツバーグ大

徴は，各評価基準の重みが，総合目的より一意的に決きのした えいぞう
名城大学都市情報学部〒509−0261吋児市虹ヶ丘4−3−3
2003年91三J号

定されるのではなく，代替案ごとに決定され，それらが異なってもよい点にある．このように異なるレベル間に従属性があるとき，それらの関係を同時に表現す© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（45）6アブ大恐慌であるが）は何が原因であるのか？ この原因をAHPを用いて3章以降分析することにする．
ところで世間で言われているように「構造改革が進んでいないから今大不況なのであろうか？」もしそうなら，それは，供給側に問題があるのである．規制緩
和が進んでいなくて需要に供給がついていない，すなわち，モノ不足なのである．このときは，確実にインフレになる．すなわち，そのときはセイの法則「モノを作ればすべて売れる」が成立し，貯金はすべて投資
図1従来型AHP手法の階層WJな発展経緯にI司されるはずである．しかし，現実には，インフレにならなくてデフレになり，しかも貯金は投資に回っていない．このことは，何をいっているのかというとるSupermatrix（Saaty提案）を用いて分析する．

「平成大不況の原因は構造改革が進んでいないからでこの結果，各評価基準の重みと各代替案の評価値が一はなくて，需要側に問題があるのである」．それは，定値に収束することが示されている．また，このよう前回にも述べたとおり，消費者も企業も借金返済に追な考え方は，一般のNetwork上でも適用可能である

われ，正常な消雪行動（消雪者は自らの効朋を最大にことが示され，Saatyは，ANP（Analytic Networkするように消費行動をする）や正常な企業行動（企業Process）［2］と名づけた（図1）．

は自社の利益を最大にするように企業行動をする）を一方，木下・中西は，Saatyとは異なる視点で，支行えない状況にあるからである．そのために，消雪者配型AHP［5］を提案した．支配型AHPは，そもそもは消雪を手控え，企業は設備投資を手控えているので各評価基準の重要度，ならびに各代替案の評価が，特ある．これらの行軌が続く限り，デフレスパイラルは定の具体的な代替案を基準にイメージして初めて決定無限地獄におちいることになる．そうならないためにできるという考え方によって立つものである．従来型

は，「政府が消雪する」すなわち「財政出動」するしAHPは，そのような代替案間の差別的関係をまったかないのである（前回にも述べたが）．

く根拠としていない．しかしAHPは，もともと合理

ただし，消費者も企業も正常な行軌に戻れば，財政的な意思決定を水路づける思考オペレーション法とし出動は悲であり，構造改革が善になることは言うまでて考案されたものである．合理的な意思決定を行うたもない．

めの道筋の悪意的な選択が最初に行われなければなら

そこで，本稿（AHP・ANP解説）ではそのためのない．支配型AHPは，AHPが内在的に課題として総合目的として「日本の経済政策次の一手」をとりあいた道筋選択の悪意性の問題に関する，従来型AHPげ，評佃基準として次の二つを考えることにする．とは別の一つの解である．

評佃基準Cl

これらは，従来型AHPと同様の発展型［5］を考えることができ，従来型の相対評価法，絶対評価法に対応するものとして，それぞれ，支配代替案法，支配評需要側の問題

この場合経済学で言われる「需要が供給を作る」世界となり貯金が投資に回らなくなる．
評佃基準C2

供給側の問題

この場合経済学で言われる「供給が需要を作る」世界価水準法と名づけている［5］．

ところで本稿では，以下に図1に示した従来型となり，貯金が投資に回ることになる．

AHPの発展経緯に沿って解言見する．なお，AHP・また，代替案としては次の三つを考えることにする．

ANPの数学的側面は文献［5，6］を参照願いたい．

代替案Al

財政出動

すなわち，政府が消雪行動を行い，需給ギャップを哩

2．日本の経済政策次の一手める．

3章（相対評佃法と絶対評価法），4章（内部従属法と外部従属法），5章（ANP）の例題として「日本の経済政策次の一手」を取り上げることにする．すなわ
ち，今，我々が直面している平成大不況（実体は平成
678（46）

代替案A2

中立政策

すなわち，代替案A．を代替案A3の中間政策である．
代替案A3

構造改革

すなわち，規制緩和等の構造改革を進め，供給サイドオペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

の問題点を解決する．

3．1相対評価法

以上，二つの評価基準（C．，C2），三つの代替案

皿ステップ1（Al，A2，A3）の下で，AHPの発展経緯を次章以降

1Lり題を図2に示すような階層構造に分解する．

で解説することにする．

［ヨステップ2

評佃基準（Cl，C2）間と各評価基準からみた各代替

3．相対評価法を絶対評価法

案問の一対比較を行う（表1，2参照）．ただし，一対「口本の経済政策次の一手」における例（図2参照）

比較に使用する数は，1（同じ位重要），3（すこし重により従来型AHPの相対評価法と絶対評価法を解説要），5（かなり重要），7（非常に重要），9（極めて重する．

要）とする．また，2，4，6，8は中間のときに用い，重要でないときは逆数を用いる．例えば，表1の1行2列の「5」はC2（供給側）に比べてCl（需要側）は「かなり車要である」という意味である．また，表2（1）の2行3列の「5」は需要側からみればA3（構造改革）に比べてA2（リ1立政策）はかなり重要であるという意味であり，表2（2）の3行1列の「7」は，供給側からみればAl（財政出勤）に比べてA3（構造改革）は非常に重要であるという意味である．
以上のようにして得られた各レベルの一対比較行列（既知）から，各レベルの要素間の重み（未知）を計算する．これには各一対比較行列の主固有ベクトルの図2 階層構造値を使う（詳しくは文献［5，7］を参月酎．本例での計算結果は，表1，2の各行列の右端に示したとおりで

表1評価基準lぎりの一対比較CIC2

重み150．833

10．167CユC2ある．

1／5

なお，これらの一対比較行列は逆数行列であるが，意思決定者の答える一対比較において首尾一貫性のある答えを期待するのは不￣可能である．そこで，このあいまいさの尺度として整合度指数（C．Ⅰ．）を定義する．

C．Ⅰ．＝0

これには一対比較行列の最大固有値を使う（詳しくは文献［5，7］を参照）．本例での計算結果は，表1，2の表2 各評価基準からみた代替案間の一対比較各行列の下端に示したとおりである．ただしSaatyは，C．Ⅰ．値が0．1（場合によっては0．15）以下であ（1）ClAlA2A3れば合格とすることを経験則により提案している．

AIA2A3

重み370．649

B］ステップ3

150．279

各レベルの要素間の束み付けが計算されると，この110．072

1／3
1／71／5

結果を用いて階層全体の重み付け（X）を行う．これにより，総合巨川勺に対する各代替案の優先順位が決定

C．Ⅰ．＝0．032

される．本例の場合は，
需甥朝u l供給側

C2Al
A2A3

AI
1A2
1／3

3

17

3

Al 0．649 0．088

A3
1／70．088

1／30．2431

重み0．669
C．Ⅰ．＝0．003

2003年91 l号

X＝A20．279 0．243

0．833
0．167

A.? 0．072 0．669となる．したがって，表1，2のような一対比較行列の状況にある日本経済の次の一手は財政出動（Al）しかないことがわかる．ただし，優先順位は財政出勤© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（47）6丁9表5 代替案の評価

表3 評価水準
需要側

供給側

重要

重要

普通

普通

重要でない

重要でない

需要側

供給側

重要（1）

重要でない

A2 普通（0．445）（0．150）普通（0．445）

Al
A3

表4 評価水準間の一対比較

重要でない

重要（1）

（0．150）重要普通重要でない

重要1

普通 1／3

350．627140．279 0．445に示した評価水準に従って行う．その結果を評佃値と10．094 0．150

ともに示すと表5のようになる．したがって，総合評

1／4

重要

次に，各代替案の評価を二つの評価基準ごとに表3でない

佃値（Ⅹ）は，需要側 供給側

C．Ⅰ．＝0．043

Al＞中立政策（A2）＞構造改革（A3）の順である．

X＝A2

1 0．150．833

0．445 0．445

0．167

A3 0．150 1

3．2 絶対評価法

AHPの相対評価法では各評価基準に関する各代替となり，総合評価値を正規化すると，財政出動・Al案の評価は，各代替案間の一対比較で行った．ところ（0．538）＞［い立政策・A2（0．279）＞構造改革・A3がこの方法では，以下に示す問題点がある．

（0．183）の優先順位となる．

①代替案が追加されたときは，もう一度ペア比較をやり直さなければならない．
②代替案が追加されたときは，代替案の順位が逆

4．内部従属法と外部従属法
3章で解説したAHPは，分析する際に独立条件（同一レベルにある評価基準間あるいは代替案間の独転する場合がある．
③代替案の数が多くなると，一対比較の数が極め立・各レベル間の独立）を仮定している．ところが，て多くなり一人の観測者では一度に一対比較す

これらの仮定がくずれる場合は次に示すような手法でるのは困難になる．しかも整合性が悪くなるこ対応しなければならない．
①同一レベルにある評仲基準問（あるいは代替案とが認められている．
そこで，このような不都合を解消するために絶対評価法が提案された．この方法は，各評価基準に対する各代替案の評価を一対比較ではなく絶対評価で行うのである．そこで，本例を通じて絶対評佃法を解説する．

間）において従属性がある場合②各レベル間において従属性がある場合
そこで，本章では①内部従属法と②外部従属法を解
言見する

図2の階層構造と表1の評仲基準問の一対比較は同じ

4．1内部従属法とする．しかし，絶対評佃法では，各評価基準に関し各評価基準間が互いに従属している場合の内部従属て評価水準を設定する（表3参照）．ただし，個々の法を取り扱う．そこで，本例における二つの評佃基準

評価基準によって評価水準が異なってもよい．次に，間の従属関係を図3に示す．

評価基準ごとに評価水準間の一対比較を行う（表4参例えば，需要側は需要側だけでなく，供給側からも照）．例えば，表4の1行3列の「5」は「重要でな影響を′受けていることがわかる．そして，これらの影い」に比べセ「重要」は「かなり重要である」という響力の強さを一対比較した結果は，表6に示すとおり意味である（ただし，この数字の意味は，従来のである．これら二つの一対比較行列の固有ベクトルAHPと同じ定義である）．この場合，需要側と供給（重み）を求め，二つの評佃基準間の従属関係を整理

側に関する評価水準間の一対比較は同じ行列（表4）すると表7のようになる．⊥⊥．Lの結果，従属マトリッとしたが異なってもよい．そして，この行列の主固有クスと独立であると仮定したときの各評価基準の重みベクトル（重み）を求め最大値を1に変換する．

から，其の各評佃基準の重みを次式から求めることが680（48）オペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

表8 代替案A2，A3に関する重み（1）

CI

C2

110．5

C2110．5

A3

CIC2

重み11／20．333

A2Cl
図3 従属関係図

重み表6 従属関係の一対比較（1）ClCIC2重みCl

190．9

10．1

C21／9Cl
C220．667

1

さて，本例における二つの評価基準の重み（3．1節［∃で求めた値）は代替案Alに関する評価基準の重み

C2CIC2重みであり，代替案A2，A3に関する重みは，表8（1），（2）Cl

11／20．333に示すような結果であることがわかった．

C20．66712

ところで，外部従属法による計算にはSuper−matrixという特殊な行列を使う．この行列は，各評価基準の黍みと各代替案の評価値（重み）の関係を，表7 従属マトリックス一つの行列に表現するものであり，各代替案を相対評

CI C2価法で評価した結果（3．1節参月別 を用いると，

Cl

0．9 0．333

C20．1 0．667

CI C2 AI A2 A3できる．
需要側供給側
需要側
供給側

0．9 0．3330．833

0．1 0．667

0．167

需要側．805

側 ［0CI

000．833 0．5 0．333

C2000．167 0．5 0．667

AI0．649 0．008

00A20．279 0．243

00

A30．072 0．669

00000となる．そして，上式はマルコフ性（再帰性）があり，0．195

この推移確率行列（行列のたての要素を合計するとしたがって，各代替案を相対評価法で評価した結果1．0になる）の無限大乗は次のような極限確率行列［］［供給（3．1節参照）を用いると，総合評価値（Ⅹ）は，器要側 供給側（各列の値が等しくなる）に収束することが示されている．

Al 0．649 0．088 0．805
X＝A2 0．279 0．243 0．195
A3 0．072 0．669

CIC2 AI A2 A3CI

000．585 0．585 0．585

C2000．415 0．415 0．415となり，財政出動・Al（0．540）＞中立政策・A2

AI0．416 0．416000（0．272）＞構造改革・A3（0．188）の優先順位となる．

A20．264 0．264

000A30．319 0．319

0004．2 外部従属法
各レベル間において従属している場合，すなわち外

この結果，外部従属法による総合評価は，財政出部従属法を取り扱う．この手法の特徴は，各評価基準

勤・Al（0．416）＞構造改革・A3（0．319）＞中立政策A2の重みが，総合目的より一意的に決定されるのではな（0．264）の選好順序になり，従来のAHPの考え方にく，各代替案ごとに決定され，それらが異なってもよ基づく計算結果と異なることがわかる．ところで，外い点にある．
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（49）68l部従属法による各評価基準の重みは，C．需要側（0．585），C2供給側（0．415）に収束する．

5．ANP

SI S2 CI C2 AIA2 A3SI0S200000 0．750．50．25
00 0．250．50．75

CI0．8330．333 0

4．2節で紹介した外部従属法をネットワークに拡張

C20．1670．667 0

したモデルがANP（AnalyticNetworkProcess）とAI呼ばれる．ANPには大きく分けてフィードバック型とシリーズ型があるが，本章ではフィードバック型

000000000 0．6490．243 000A200 0．2790．088 000A300 0．0720．669 00

そして，上式の推移確率行列の無限大釆は次のようANPについて解説する．

な極限確率行列に収束する．

回第1ステップ
l二1本の経済政策次の一千に関する階層構造を図4に示す．レベル1に二つのシナリオを，レベル2に二つの評価基準を，レベル3に三つの代替案をそれぞれ置き，レベル1にフィードバックさせる．
［∃第2ステップ

次に，各レベルの重みを求める．まず，各代替案か

表9 二つのシナリオの一対比較
財政出動

らみた二つのシナリオの一対比較値とその重みは表9に示すとおりである．
次にシナリオSl，S2からみた各評価基準の一対比

較値と重みは表10に示すとおりである．
さらに，各評佃基準からみた各代替案の一対比較値

AlSl

SI

S2

重み

130．75

S21／3

10．25と重みは表2（3．1節参照）に示すとおりである．

小立政策

匡閲3ステップ

以■上の結果，本例におけるSupermatrixは次のようになる．

A2S1S2

重みSl

110．5

S2

110．5

構造改革

A3SI

S2

重み

Sl

11／30．25

S2

310．75

表10 各シナリオからみた評価基準間の一対比較
需要側のシナリオSlCIC2重みCl130．75

10．25

C21／3

供給側のシナリオ

図4 階層構造682（50）0S2ClC2© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

CIC2重み11／20．333

210．667

オペレーションズ・リサーチ0SI S2CI C2 AI A2 A3SI0000S20000 0．4450．4450．455

参考文献

0．5450．5450．545

CI0．6060．606 00000C20．3940．394 00000［1］Saaty，

The Analytic Hierarchy Process

McGraw−Hill，1980．
［2］Saaty，

The Analytic Network Process，ExpertChoice，1996．

AI0（） 0．4890．489 000A200 0．2040．204 000A300 0．3070．307 000［3］木下米蔵，「拡張AHP手法を利鞘したリニューアルのこの結果，ANPによる総合評価は，財政出勤・A．
（0．489）＞構造改革・A3（0．307）＞中立政策・A2（0．204）の優先順位となる．ちなみに，各評佃基準の重みは，需要側・Cl（0．606），供給側・C2（0．394）に，各シナリオの重みはSl（0．545），S2（0．455）に収束す

コストベネフィット手法」，オペレーションズ・リサーチ
学会誌，Vol．40，No．8，pp．67←75，19弧［4］Saaty，

Inner and Outer Dependencein AHP

UniversityofPittsburgh，1991．
［5］木下栄蔵・編著，「AHPの理論と実際」，「け斗技連出販社，2000．

［6］関谷和之，「AHP，ANPの固有ベクトル法における数理構造」，オペレーションズ・リサーチ学会誌，Vol．48，

る．
最後に，この論文は親愛なる我が親友リチャード・
クー氏（野村総合研究所，世界でナンバーワンのエコNo．4，pP．294−299，2003．

［7］木下栄蔵，「入門AHP」，日科技連出版社，2000．

ノミストとして国際的に有名）に捧げるものである．

2003年9月号，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（51）683，