INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

70

熱疲労における亀甲状亀裂の 発生要因と強度に及ぼす影響 ＊1
Causes of Evolution and Influence on Failure Strength of Thermal Crazing
釜谷昌幸 （Masayuki Kamaya）＊2

要約
亀甲状亀裂は熱疲労荷重下で見られる典型的な亀裂形態であるが，その発生プロセスは十分には理解されていない．そして，亀甲状亀裂は深さ方向に深く成長しないことが指摘されている．本研究では，3 次元有限要素解析を用いて亀甲状亀裂の発生過程をモンテカルロシミュレー
ションで再現した．亀裂間の力学的相互作用の亀裂発生および進展に及ぼす影響を模擬するため，
Abaqus の X-FEM 機能を利用して亀裂をモデル化した．その結果，亀甲状亀裂は深さ方向の進展が停留している場合にのみ出現することが明らかになった．つまり，亀裂が同じ深さで長期間停留している間に多数の亀裂が発生し，亀甲状亀裂となることができた．次に，亀甲状亀裂が配管の破壊強度に及ぼす影響を調べるために，引張，曲げ，または内圧荷重を受ける管の極限荷重を調べた．シミュレーションで再現された亀裂が配管内面に存在すると仮定した．亀甲状亀裂を等価な
単一亀裂に置き換えた場合の極限荷重も算出し，亀甲状亀裂の強度算出手順を検討した．日本機
械学会の維持規格で規定されている亀裂の合体ルールに従い単一亀裂に置き換えた場合は精度のよい予測となったが，必ずしも保守的な予測とはならなかった．一方，亀裂分布範囲の最大長さに相当する単一亀裂に置き換えることで保守的な極限荷重が予測できた．
キーワード

亀甲状亀裂，熱疲労亀裂，熱応力，亀裂停留，極限荷重，合体基準

Abstract Craze cracking is a typical cracking morphology caused by thermal fatigue loading; however, thereason for its cause by thermal fatigue loading is not fully understood. It is known that craze cracks do not
grow deeply. In this study, evolution of craze cracking was simulated by Monte Carlo simulations using threedimensional finite element analyses. Cracks were modeled using the X-FEM technique in Abaqus in order toconsider the interaction between multiple cracks on the crack initiation and growth. Craze cracking wasobserved only when the growth in the depth direction was arrested. Since cracks kept the same depth for along duration, many cracks could be initiated and craze cracking occurred due to the equi-biaxial stress state.
Next, to investigate the change in failure load due to craze cracking, the limit load of a straight pipe subjected
to a tensile, bending or internal pressure loading was analyzed. The simulated craze cracking was assumed to
be located inside the pipe. It was revealed that the change in the limit loads due to craze cracking could be
predicted well by replacing the craze cracking with an equivalent single crack. Although the replacement ruleprescribed in the fitness-for-service code of the Japan Society of Mechanical Engineers predict reasonable
limit loads, it did not result in conservative prediction. Conservative limit load could be predicted by setting
the equivalent crack length to be the maximum extend of distributed cracks.
Keywords

crack network, thermal crazing, thermal stress, crack arrest, limit load, combination rule

1. 緒言言えない．亀甲状亀裂の特徴として，深さ方向の亀裂進展が停留していることが指摘されている（1）．フランスの原子温度差を有する流体の配管合流部など，比較的速い周力発電所で発見された亀甲状亀裂は，ほぼ2 mmの深さで期で変動する熱荷重に起因する疲労（以下，熱疲労）にお停留していた（1）．実験においても深さ方向の進展が停留す

いて亀甲状亀裂がしばしば観察されている（1）．実験においる傾向が確認されている（3,7,8）．亀甲状亀裂が停留する要因ても，加熱した試験片の表面を繰り返し急冷したり（2-5），について，密集した亀甲同士の干渉による応力が緩和（2,9-温度の異なる流体を交互に噴霧したりすることで（6），多数

11）の亀裂がランダムな方向に分布する亀甲状亀裂が再現さ方の影響（17,18）などが考察されている．いずれも2次元的なれている．しかし，亀甲状亀裂の発生を計算機上で模擬す

解析に基づく考察となっている．表面の2次元的な亀裂分ることは困難で，その発生要因が明らかにされているとは布に依存する応力緩和と，深さ方向の応力勾配の両方の影，熱荷重特有の深さ方向の応力勾配（12-16），またはその両＊１ 日本機械学会論文集, Vol.87, No.904 (2021)（DOI: 10.1299/transjsme.21-00318）より転載＊２（株）原子力安全システム研究所 技術システム研究所

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

64 mm

71

Crack tip on the surface
Crack tip on the surface

64 mm
Crack depth a

10 mm

Fig. 1 Model assumed for simulations. The plate wassubjected to thermal fluctuation on the surface.
響を考察するためには，3次元的な解析による検討が望ま

Fig. 2 Shape of crack assumed in the simulation. The depthof crack was constant while the shape on thesurface varied according to the stress and stressintensity factor derived by finite element analyses.

れる．
亀裂が浅い状態で停留していた場合，亀裂の存在が構造物の破壊強度に及ぼす影響は限定的となる．原子力発電プラ
ントで亀裂が発見された場合，日本機械学会原子力設備規格維持規格（19）（以下，維持規格）にしたがって破壊強度が予測される．そして，基準を上回る強度を有することが確認できれば，亀裂を除去することなく使用を継続できる．
維持規格では，複数の亀裂が近接した場合の評価手順も規定されている．具体的には，規定の範囲内にある複数の亀裂を，破壊評価が可能な単一亀裂に合体させる．合体基準

Fig. 3 Shape of crack modeled for X-FEM. The edge ofcrack was chamfered to improve accuracy of stressintensity factor calculation.

は，主に2つの亀裂が近接する場合の強度変化から検討されており（20,21），亀甲状亀裂に対する適用性が検討された報告は見当たらない．また，維持規格では，一度合体させた
亀裂はそれ以上繰り返し合体を行う必要はないとの規定がある．つまり，亀甲状亀裂のように多数の亀裂が存在していても，破壊を引き起こす主亀裂に近接する1つの亀裂のみに対して合体を考慮し，他の亀裂の存在は無視することになる．主亀裂が明確でない亀甲状亀裂には，現行の合体基準の適用が難しい場合も想定される．
本報では，まず，亀甲状亀裂が発達する様子を，有限要素解析を用いたモンテカルロシミュレーションで再現することを試みた．亀甲状亀裂の特徴的な亀裂形態を模擬するために，平板表面に発生するランダムな方向を有する複数の亀裂をモデル化した．これにより，亀裂周囲の不均一な応力分布が亀裂の発生寿命に及ぼす影響や，接近した亀裂同士の力学的な相互作用が進展速度や進展方向に及ぼす影響（22）を考慮した．さらに，熱荷重特有の深さ方向の応力勾配の影響を考慮するために亀裂の深さ方向の進展も模擬した．複数の亀裂を簡便に解析するため，拡張有限（23,24）要素法（X-FEM）を適用した．シミュレーションによって亀甲状亀裂を再現することで，亀甲状となる要因や，亀甲状亀裂における亀裂の発生や進展の特徴について考察した．次に，シミュレーションで再現された亀甲状亀裂を用いて配管の破壊強度の変化を調べた．内面に亀甲状亀裂が発生した配管を対象に，引張荷重，曲げ荷重および内圧に対する配管の極限荷重を算出した．そして，維持規格の手順によりモデル化した単一亀裂を有する場合の極限荷重と比較することで，維持規格の合体基準の亀甲状亀裂への適用性を考察した．

2.

亀裂の発生・進展シミュレーション

2.1 シミュレーションの方法
2.1.1 解析モデル
図 1 に模式的に示すように厚さ 10 mm を有する 64×64
mm2 の平板上において複数の亀裂が発生・進展する様子をモンテカルロシミュレーションで模擬した．材料としては
ステンレス鋼を想定した．亀裂進展は応力拡大係数（K 値）
を駆動力に進展させた（25,26）．応力および K 値の解析は XFEM 機能が実装されている有限要素解析コード Abaqus

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72

Fig. 4 Finite element model around the simulated crack. The mesh size was 0.25 mm around cracks. The size was increased
to 2 mm at the maximum case when the distance from the crack was large, which the size in the depth direction
was kept as 0.25 mm. Cracks could be initiated from the nuclei which were assigned every 0.5 mm.

Fig. 5 Crack shapes on the surface assumed when crack depth reached 1.25 mm. The shape was determined using thedirection of the maximum principal stress.
2020HF2 を用いた． Abaqus の X-FEM では要素表面上の毎に 1 つ割り当てた．結晶粒界や結晶粒内から疲労亀裂が任意の位置に亀裂を想定することができるが，亀裂の前縁発生することを想定している（27）．

は要素形状と一致させる必要がある．そこで，図 2 に示す

ステンレス鋼を用いた疲労試験において，数十マイク

ように，要素内の亀裂形状は直線で深さは一定の亀裂を想ロメートル程度の微小な亀裂は疲労寿命の 10%に満たな定した．ただし，K 値解析を正しく解析するため，亀裂のい段階で発生していることが確認されている（28,29）．そして，

コーナー部を図 3 のように面取り形状とする必要がある．

残りの 90%以上の寿命をかけて亀裂が進展した．したが平板は 1 辺が 0.25 mm の立方体形状の 8 節点固体要素って，疲労寿命は亀裂の進展寿命とほぼ等価となる．そこで分割した．ただし，亀裂から離れた位置では，図 4 のよで，本シミュレーションでは，シミュレーション開始時点

うに，2×2 の要素集合，または 4×4 や 8×8 の要素集合を 1で亀裂発生核に深さ 30 µm の（見えない）亀裂が存在する

つの要素に置き換えることで解析モデルの自由度を小さと仮定した．亀裂の初期深さを 30 µm として進展予測すくした．以下，この要素の置き換えを要素統合とよぶ．要ることにより，疲労寿命が再現できることが示されている

素統合は表面方向のみに対して実施し，深さ方向は一様に（28）

0.25 mm の要素分割とした．

して，亀裂の深さが 1.25 mm に到達した時点で深さ方向．亀裂の進展速度 da/dN としては次式を適用した．その 5 要素分の（見える）亀裂を X-FEM でモデル化し，こ2.1.2 亀裂の発生と進展
平板表面に予め設定された亀裂発生核から亀裂を発生させた．亀裂発生核は，0.5×0.5 mm2 の領域（要素 4 個分）の時点を亀裂発生と定義した．





2.76
da  m 
12（1） Vini  5.06  10 K I  MPa m 
dN  cycle INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

(a) Tensile load73(b) Biaxial load

Fig. 6 Boundary conditions for analyses assuming uniform tensile or bi-axial load.

Table 1 Constants used for thermal stress analyses.
Density

8000 [kg/m3]

Specific heat

487.96 [J/kgK]Heat conduction coefficient15.86 [W/mK]

Heat transfer coefficient

25 [kW/m2K]

Young’s modulus: E

195 [GPa]

Poisson’s ratio: 

0.3

Heat expansion coefficient: 

1.64 ×10-5 [1/K]

Fig. 7 Boundary condition for thermal loading and change in fluid
temperature on the surface assumed for thermal analysis.

式（1）は，SUS316 鋼の微小領域を含む亀裂進展速度を近（30）素以上を確保するようにモデル化している．最大主応力方に，ばらつきを考慮するための定数 Vini を考

向の直角方向に近い亀裂形状を選択した．主応力方向が特慮している．Vini は平均 1，標準偏差 1.0 の対数正規分布に定できない等 2 軸応力の場合は一様乱数を用いて決定し従う乱数により決定した値を亀裂発生核毎に与えた．Vini

た．

似した式

の標準偏差は最終的に得られる亀裂寸法のばらつきと相亀裂発生後は，表面方向の進展速度も式（1）により算関がある．標準偏差を小さくすると亀裂寸法のばらつきが出した．先にも述べたように，X-FEM の解析では亀裂前小さくなる．試行錯誤の結果 1 を採用した．ΔKI は K 値の

縁は要素境界に一致させる必要がある．そこで，亀裂前縁

変動幅を示し，亀裂発生前（X-FEM で K 値を計算する深は 1 要素（0.25 mm）ずつ進展させ，進展量が 1 要素に満さ 1.25 mm 未満の状態）の値は次式で算出した．

たない場合は，計算上でのみ進展を模擬し，有限要素解析
における亀裂形状は先端が要素端にある状態（実際より少KI fini  a

（2）

し短く，浅い状態）の値を用いた．有限要素解析を実施す
る回数をステップと呼び，1 ステップ毎の繰返し回数 dN

応力 σ は亀裂発生核におけるミーゼスの相当応力を用いは以下の 2 つの条件を満足するように決定した．

た．形状係数は半円形状の亀裂に相当する fini = 0.7 で一定とした（31）．亀裂深さ a が 1.25 mm（要素 5 個分）に到達① ステップ中に 2 つ以上の亀裂が発生しないようにする．

した後は，
X-FEM により算出されるモード I の K 値を ΔKI② 表面長さの進展量が，その時点の亀裂長さの 10%を超として用いた．亀裂発生時の表面方向の亀裂形状は図 5 のえないようにする．

ように設定した．これらの亀裂形状は，表面方向に 11 要

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

74

亀裂を進展させる際の表面方向の偏向角度 θ は，
X-FEM
で算出されるモード II の K 値 ΔKII を用いて次式で決定した（32）．

 KII  1  3KII2  KI 8KII2  KI2  （3） cos 

9KII2  KI2
 KI 

  sign 

ここで，sign(A)は A の符号を表す．図 2 の亀裂形状を想定している本シミュレーションでは面外変形は模擬できないので，モード III の K 値は考慮しなかった．

2.1.3 境界条件
シミュレーションでは単軸または等 2 軸の引張荷重を負荷した場合と，熱荷重を負荷した場合を模擬した．単軸Fig. 8 Von Mises equivalent stress distribution obtained by
X-FEM analysis. A single crack was assumed
and tensile stress was applied perpendicular tothe crack. The mesh size was assumed as 0.25
mm for whole region.
10

または等 2 軸の引張荷重を負荷する場合は図 6 のように境界条件を設定し，一様な 1,000 MPa を負荷した．熱荷重を負荷する場合の境界条件は図 7 のように与えた．平板表
面の流体温度を，初期温度 To から，遷移時間 tr で ΔT 減少
させる．そして，ピーク温度到達後に初期温度 To に戻す．
本シミュレーションでは，ΔT を 200 K，tr を 1 s とした．

s

最初に，亀裂のない状態で，伝熱解析により平板の内部を5含めた温度過渡変化を計算した．そして，得られた温度変化を用いて各時間断面での応力ならびに応力拡大係数を1.2

算出し，その最大値をシミュレーションに用いた．表 1 に（33）

解析に用いた定数を示す．これらの条件は配管合流部

1.0

での熱疲労を想定している．

0.8

f1

2.1.4 シミュレーションの制約および終了条件

FEM
X‐FEM (reduced mesh)
X‐FEM (full mesh)

0.6
0.4

解析コード（Abaqus）の制約などにより以下の条件でシ

0.2

ミュレーションを実施した．

0.0

・ 101 個目の亀裂が発生した時点でシミュレーションを終了する（解析コードが 100 個までの亀裂しか許容していない）．
・ 亀裂の周囲 2 要素（0.5 mm）分はその亀裂の占有要素とする（以下，エンリッチ領域とよぶ）．エンリッチ領域には他の亀裂が侵入したり，新たな亀裂が発生したりできない．他の亀裂のエンリッチ領域に突き当たった場合，その方向への進展は停留させる．
・ 亀裂は分岐せず，合体もしない．また，接近した亀裂

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Normalized crack tip position s/20
Fig. 9 Normalized stress intensity factors along the crack
front obtained by the X-FEM analyses andconventional FEM analysis. The X-FEM analyses
were conducted for the full mesh, for which meshsize was 0.25 mm for the whole region, andreduced mesh, for which mesh size was increased
as shown in Fig. 4.

2.2

X-FEMにによるK値
値の解析を合体させることもしない．
・ 亀裂深さが 8 mm（板厚の 8 割）を超えた時点を亀裂

平板の中心に長さ 10 mm，深さ 5 mm の亀裂を導入した

貫通とみなし，シミュレーションを終了する．

場合の解析を実施した．荷重は亀裂面に垂直方向に一様なINSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

75

Fig. 10 Schematic drawing explaining how to derive the stress intensity factors for crack propagation in the surface anddepth directions. Equation (5) was applied to calculate averaged stress intensity factors for each direction.

(a)Tensile load(b)Biaxial load(a)Tensile load

Fig. 11 Crack distributions obtained by crack initiation andgrowth simulations assuming uniaxial and biaxial
loading conditions. The simulations were stopped
due to crack penetration in the depth direction.

(b)Biaxial load

Fig. 12 Von Mises equivalent stress normalized by appliedstress σo obtained by X-FEM analyses for the crack
distribution shown in Fig. 11.

引張荷重を付与した．ミーゼスの応力分布を図 8 に示す．

から全体の 4 分の 1 をメッシュ分割しているため，s/20 =要素統合を実施していない場合の結果を示している．亀裂

0.5 までしか出力がない．X-FEM の解析ではコーナー部はが開口し，亀裂周囲に応力集中域と緩和域が出現している

面取り形状となっている（図 3 参照）ため，通常の有限要

ことがわかる．

素解析の亀裂形状と厳密には同じでない．X-FEM による

図 9 は，X-FEM により算出された K 値（図中で「X-K 値は相対的に小さく，最深部 f1 はおおよそ 0.7 となった．

FEM」と表示）と，通常の有限要素解析によって算出され矩形のコーナー部に向かって K 値が減少するなど，分布た結果（同「FEM」）を比較した．亀裂先端の位置は表面の特徴は似ている．また，要素統合した場合（図では「X-を起点とした距離 s で示し，モード I の K 値 KI を次式でFEM(reduced mesh)」と表示）としない場合（同「X-FEM(full

正規化した．

mesh)」）の結果はほぼ一致した．

f1 

KI

 a

シミュレーションでは亀裂の進展後の亀裂形状を決定（4）

通常の有限要素解析は文献（34）にしたがって矩形亀裂のメッシュ分割を行って K 値を算出した．モデルの対称性するため，表面方向（両先端 2 方向）と深さ方向の 3 つのK 値のみを用いるが，解析では前縁に沿った各節点で K値が算出される．そこで，次式で定義される平均化した K

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

(a) Crack length76(b) Crack depth

Fig. 13 Change in crack length and depth with the number of cycles obtained by the simulations for a uniaxial or biaxial
loading condition. The crack was assumed to be initiated when the depth reached 1.25 mm. The crack depth
exceeded 8 mm within relatively short cycles after the initiation.

Fig. 14 Crack initiation and growth simulation for thermal loading. The simulation was stopped when the number ofcycles reached 101, which was more than the limitation of the X-FEM code.

（35）
値（Kline）
を表面 2 方向と深さ方向にそれぞれ算出し，図 10 に模式的に示すように，n は表面方向（2 方向）と深ΔKI および ΔKII として用いた．

さ方向の辺に存在する K 値の算出点（節点）の数となる．

n

 n

K line  sign   K i  i 1


K
i 1

n

熱荷重を対象とした場合は，各時間断面で K 値が算出さ
2
i

（5）

れる．各節点において解析時間中での最大値を，その節点（i）の応力拡大係数 Ki として，Kline の算出に用いた．

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

77

2.3 シミュレーション結果
2.3.1 単軸または等2軸
軸荷重下でのシミュレーション
単軸および等 2 軸の引張荷重を負荷した場合のシミュ
レーションの結果を図 11 に示す．単軸荷重は図の上下方向に負荷しているが，亀裂が荷重方向に垂直に発生・進展している様子が再現されている．一方，等 2 軸の場合はランダムな方向に発生した．最終的に 2 個または 4 個の亀裂が発生した時点で，亀裂の最大深さが 8 mm を超えたた
めシミュレーションが終了した．
シミュレーション終了時点での有限要素解析結果を図12 に示す．複数の亀裂が発生している様子が X-FEM でモデル化されている．そして，亀裂先端近傍で応力が大きくなっていることがわかる．この領域では亀裂発生（深さFig. 15 Von Mises equivalent stress distribution obtainedby X-FEM analysis for thermal loading. Initiationof 100 cracks resulted in spread of the stressrelaxation zone on the plate surface.

1.25 mm 以下の亀裂の進展）が促進されるため，亀裂が発生しやすくなる．一方，とくに単軸荷重では，亀裂に沿って相対的に応力の小さい応力緩和領域が見られる．この部
分では亀裂発生が抑制される．
図 13 は繰返し数に対する亀裂の長さと深さの変化を示す．亀裂長さは亀裂先端の直線距離とした．単軸，等 2 軸とも貫通した亀裂の変化を示している．最初の亀裂は単軸ではおおよそ 3,400 回，等 2 軸度では 3,800 回で発生し，おおよそ 4,600 回で貫通した（8 mm に到達した）．亀裂が貫通するまでの繰返し数の 8 割程度が亀裂発生に費やされていた．

2.3.2 熱荷重下でのシミュレーション
熱荷重下でのシミュレーションの結果を図 14 に示す．
ステップとともに亀裂が発生し，成長している様子が再現

Fig. 16 Distribution of cracks and enriched area, which
was assigned around the cracks. New cracks
could not be initiated in the enriched area andexisting cracks could not propagate into theenriched area of other cracks.

されている．図中の nc は亀裂数を示す．単軸および等 2 軸
荷重に対するシミュレーションでは，亀裂深さが 8 mm にきない領域となっている．図において黄色または黄緑色で到達してシミュレーションが終了したが，熱荷重において示している部分がエンリッチ領域となる．平板の端部の幅は 101 個の亀裂が発生してシミュレーションが終了した．

3.25 mm（64 mm の 5%程度）の領域も亀裂が侵入できなシミュレーション終了時点（101 個目の亀裂が発生する

いようにエンリッチ領域としている．相対的に長い亀裂の直前）での有限要素解析結果を図 15 に示す．100 個の亀先端が他の亀裂のエンリッチ領域に突き当たり，進展でき裂が X-FEM でモデル化されている．そして，亀裂先端近

なくっていることがわかる．

傍で応力が大きくなっている部分が見られる一方で，応力進展速度のばらつきVini を設定するための乱数を変えたが緩和されている青い部分が多く見られる．とくに，平板

2 パターンのシミュレーション結果を図 17 に示す．いず中央部の亀裂の密集した部分では応力緩和域が広がってれの場合も，119 ステップ目において 101 個目の亀裂が発いる．図 16 はエンリッチ領域を示す．先に述べたように，

生してシミュレーションが終了した．これらの解析を

亀裂の発生した要素およびその周囲の要素 2 個分の範囲

Case2 および Case3 とし，先の Case1 と併せて繰返し数とはエンリッチ領域と定義され，他の亀裂が発生も侵入もで

亀裂数の関係を図 18 に示す．最初の亀裂はおおよそ 2 万INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

78

30

Crack length , mm

25
20
15
10
case 1case 2case 350

050,000100,000

150,000

200,000

250,000

Number of cycles(a) Crack length

Fig. 17 Simulation results obtained for thermal loading. The
constant Vini defined in Eq. (1) was determinedusing different random numbers as used forprevious simulation. The simulations were stopped
due to initiation of more than 100 cracks.
120
100

Number of cracks(b) Crack depthcase 1case 2case 3Fig. 19 Change in crack length and depth with the numberof cycles obtained by the simulations for thermalloading condition. The results of cracks of the
maximum length were shown for each case. Thechange in crack depth was saturated and thesimulations were stopped before the depth
reached 8 mm.

80
60
40
20
0

0

50,000100,000

150,000

200,000

250,000

Number of cycles

Fig. 18 Change in number of cracks obtained bysimulations assuming thermal loading.

（以下，主亀裂とよぶ）の変化を示している．亀裂長さは繰返し数に対してほぼ線形に増加しているが，22 mm～26
mm で成長が停留している．これは，亀裂先端が他の亀裂のエンリッチ領域と干渉したことによる．最終的な亀裂長さの最大値は Case1，Case2，Case3 においてそれぞれ 26.3
mm，21.6 mm，23.4 mm であった．一方，亀裂深さはシミ回で発生し，15 万回～20 万回で 101 個に到達した．Caseュレーション終了まで，連続的に増加した．しかし，そのによる差は顕著でなく，亀裂数は繰返し数に対して単調に速度は深くなるほど鈍化し，最終的にシミュレーションの増加した．図 19 は繰返し数と亀裂寸法の関係を示す．各

終了条件である 8 mm に到達しなかった．最終的な最大亀Case でシミュレーション終了時に最大長さとなった亀裂

裂深さそれぞれ 7.11 mm，7.16 mm，6.99 mm であった．

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

2.4 考察79

600

time: 0.25s
time: 0.50s
time: 0.69s (max.)time: 1.01s
time: 1.25s

2.4.1 熱荷重下での深さ方向の進展
平板断面に一様な単軸および等 2 軸荷重を想定した場
合は，深さ 8 mm の制限に到達してシミュレーションが終了した．一方，熱荷重を負荷した場合は亀裂数が制限の
101 個に到達するまで深さが 8 mm に到達することはなか

Principal stress, MPa

500
400
300
200
100
0
-100

った．その要因として，深さ方向の応力勾配の影響が考え-200られる．亀裂がない状態での表面からの距離と主応力の関係を図 20 に示す．時間の経過とともに応力が増加し，0.69

0.0

0.2
0.4
0.6
0.8
Distance from surface/thickness

1.0

s 到達時に表面での応力が 522 MPa で最大となった．時間
1.25 s の場合を除き，応力は表面において最大となり，深くなると減少する応力勾配を有していた．そして，いずれの時間断面においても，板厚の半分程度で応力が圧縮にな

Fig. 20 Stress in the surface direction obtained by thermal
analysis without a crack. The thermal stress had agradient in the depth direction and it was alteredwith time.

った．
主亀裂について，シミュレーション中に変化する亀裂
深さと深さ方向の K 値の関係を図 21 に示す．一様な荷重

20

しかし，熱荷重を負荷した場合は，深さ方向の応力勾配の影響により，亀裂が深くなるほど K 値が小さくなる傾向を示した．深さと K 値の関係を外挿すると，8 mm に到達する時点では K 値は零近くに減少し，完全に停留すると考えられる．
熱荷重によって生じる応力の大きさや応力勾配は，伝熱条件や流体温度変動パターンにより変化する（36）．温度
変化速度が遅くなると，応力勾配が相対的に小さくなり，亀裂が発生すれば亀裂が停留せずに貫通しやすくなる．図SIF in depth, MPa m0.5を負荷した場合は，K 値は亀裂が深くなるほど大きくなる．

15
10
5
0

case 1case 2case 30

2

4
Crack depth , mm

687 で定義する tr を 5 s から 50 s まで変化させた場合のシミュレーションでは，亀裂が 101 個に到達する前に，深さ 8mm に到達した．一方，tr が小さくなると，応力勾配が大きくなるが，表面での発生する応力変動が小さくなり，亀裂自体が発生しない場合もある（33）．温度差を有する流体

Fig. 21 Relationship between the crack depth and stressintensity factor (SIF) in the depth direction
obtained for the primary crack of each case. The
SIF tended to decrease as the crack became
deeper due to the stress gradient shown in Fig. 20.

の合流部では数 Hz の比較的速い周期の変動が確認されている（37）．亀裂発生に十分な温度変動があれば，発生した亀裂が貫通することなく停留すると考えられる．このことを受ける．変化の大きさは相対的な位置関係や亀裂深さなは，実機において亀甲状亀裂が 2 mm の深さで停留していどに依存するが，本シミュレーションのように，亀裂分布

たことと整合する．

を考慮した有限要素解析を実施することで，相互作用を考慮した K 値を算出することができる．

2.4.2 亀裂発生および進展に及ぼす亀裂分布の影響

複数分布する亀裂は，新たな亀裂発生にも影響を及ぼすことになる．図 8 に示したように，亀裂先端近傍に応力

複数の亀裂が密集した状態では，亀裂同士の力学的なが集中する一方で，応力が相対的に小さくなる応力緩和域

相互作用により，K 値が大きくなったり，小さくなったりが出現し，亀裂発生までの潜伏期間が変化する．とくに，

（38）

する

．また，亀裂の進展方向も力学的相互作用の影響

熱荷重下においては，図 15 に示すように，亀裂が密集し

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

80ている領域には応力緩和域が広がっていた．応力緩和域が広がることで亀裂発生が抑制されたため，図 18 に示す亀
裂数の変化が飽和傾向を示したと考えられる．実験においても，亀甲状亀裂において亀裂数が飽和する傾向が観察さ
（3）

れている

・ 主応力の方向が不明瞭な等 2 軸に近い応力状態で，亀裂発生の方向がランダムであること．
・ 構造物表面において亀裂を発生させるのに十分な応力（ひずみ）変動があること．

．

応力勾配により深さ方向の進展が停留し，エンリッチ
領域の干渉により表面方向の進展も停留する．そして，応・ 深さ方向の進展が停留または停留に近い状態である
こと．

力緩和域の広がりにより亀裂発生も抑制される．亀甲状が十分発達した状態では，亀裂は発生も進展もしない定常状

とくに，深さ方向の進展が停留することは亀甲状となる態に近づくと考えられる．

（多数の亀裂が発生する）ための必要条件となる．極端に大きな荷重が負荷される場合を除き，疲労亀裂は一度に発

2.4.2 シミュレーションによる亀甲状亀裂の模擬生する訳ではない．ステンレス鋼を用いた一般的な疲労試
験において目視で観察される亀裂は 1 個から数個に限ら単軸や等 2 軸荷重を負荷した場合は，2 または 4 個の亀れる．つまり，亀裂が停留しない場合は，発生した主亀裂裂のみが発生し，亀甲状とはならなかった．一方，熱荷重が多数の亀裂の発生を待たずに貫通に至る．図 13 に示すによって再現された亀裂は，複数の亀裂がランダムに分布

ように，亀裂発生から貫通までの期間は相対的に短く，そする亀甲状亀裂の特徴を有していた．しかし，実際の亀甲の間に別の亀裂が発生する機会は少ない．一方，亀裂が停状亀裂は，文字通り亀甲状となっており，本シミュレーシ

留する場合は，図 18 のように，主亀裂が発生してからのョンで再現された亀裂分布とは様相が異なる部分もある．

期間が長く，多くの亀裂が発生することができる．本シミ

亀裂の分岐や合体が模擬できない本シミュレーションにュレーションでは亀裂が 101 個に到達した時点でシミュ

よって，厳密な亀甲状を模擬することは難しい．また，本レーションが終了したが，亀裂数の制約がなければ表面でシミュレーションではエンリッチ領域の干渉により表面の応力緩和域などにより新たな亀裂が発生する余地がな

方向の進展が停留した．実際の進展では，停留することなくなるまで亀裂数が増加すると考えられる．そして，最終く進展を継続し，合体に至ると考えられる．

的には亀裂の発生も進展もしない定常状態に遷移すると本シミュレーションのように，有限要素解析により亀考えられる．以上のことから，実機において亀甲状亀裂が裂同士の力学的な相互作用を考慮して算出される K 値は，発見された場合は，深さ方向の進展は停留していると考え

（38）

．

られる．そして，亀甲状亀裂が十分発達した状態では，新つまり，亀裂がエンリッチ領域に侵入して合体した場合でたな亀裂の発生もない状態であると推測される．したがっも，亀裂の深さと長さを増加させる進展駆動力は，合体をて，亀甲状亀裂が存在した状態での構造物の強度が十分で模擬しない本シミュレーションと同等であると考えられあることが確認できれば，補修せずに使用を継続しても問る．したがって，応力勾配や他の亀裂との干渉によって，題ないと判断できる可能性がある．

合体した場合と同等の値となることが示されている

亀裂が 8 mm に到達しなかったという結果は，合体を考慮しない本シミュレーションでも模擬できていたと考えられる．
亀裂発生までの潜伏期間の考え方や定数Vini の決定方法

Table 2 Size of combined cracks according to Rule 1 and Rule 2.

の妥当性など，本シミュレーションの妥当性が十分検証できているとは必ずしも言えない．また，X-FEM による K
値の解析精度も十分でない可能性もある．ただ，亀裂の停留が応力勾配によって生じており，亀裂の停留によりランダムな方向を向いた多くの亀裂が発生したこと．そして，
亀裂の停留がなければ，多数の亀裂が発生する前に貫通によりシミュレーションが終了するという事実は，本シミュレーションにより確認できたと考えることができる．
以上の考察から亀甲状亀裂が発生する要因として以下が考えらえる．

Case 1Case 2

Case 3Leq(axial)_Rule1

29.0 mm28.5 mm27.75 mm

Leq(circum)_Rule1

37.5 mm23.0 mm26.25 mm

Leq(axial)_Rule2

56.5 mm56.5 mm56.5 mm

Leq(circum)_Rule2

56.5 mm56.5 mm56.5 mmDepth

7.0 mm

7.0 mm6.75 mm

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64 mm
t = 10 mm

81

Cracking area
64 mm

Do = 110 mm

Do×5
Fig. 22 Straight pipe with single or multiple cracks at inner surface used for failure analyses.

(b) Rule 2 (cover whole cracks)(a) Rule 1 (two cracks merge)

Fig. 23 Combination rules for multiple cracks. Rule 1 corresponds to the procedure prescribed in
the code, whereas Rule 2 was proposed in this study.

3.

亀甲状亀裂の破壊解析した．内圧によるキャップ効果（軸力）や亀裂面への内圧負荷は考慮しなかった．

3.1 解析方法
3.1.2 解析手順
3.1.1 解析モデル
維持規格においてはステンレス鋼の破壊モードとして先のシミュレーションでは 64×64×10 mm の平板表面

塑性崩壊が想定されている．そこで，Abaqus 2020HF2 をでの亀裂発生と進展を模擬した．ここでは図 22 に示す，

用いた有限要素解析により極限荷重を算出した．先の熱荷

厚さ 10 mm の管の長手方向中央部内面の 64×64 mm の重を負荷したシミュレーションにおいて，100 個の亀裂が領域に亀裂が発生した管の破壊強度を調べた．管の平均半発生した状態を亀甲状亀裂と考え，これらの亀裂が管内面

径は 50 mm，長さは外径の 5 倍とした．この管に引張荷に存在した場合と，図 23 の手順にしたがって単独亀裂に重，曲げ荷重，または内圧を負荷した．曲げ荷重が作用すモデル化した場合の解析を行った．モデル化は以下の 2 通る場合は，亀裂部分が引張になるようにモーメントを負荷りの方法で実施した．方法 1（Rule 1）では，現行の維持

3

2

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

82

規格のモデル化手順にしたがって代表的な 2 つの亀裂（主亀裂とそれに隣接する比較的大きな亀裂）を合体させて等価な単一亀裂の軸方向長さ Leq(axial)_Rule1 と周方向長さ
Leq(circum)_Rule1 を決定した．以下，方法 1 による等価亀裂を合体亀裂とよぶ．方法 2（Rule 2）では，100 個すべての亀裂を包絡するように軸方向長さ Leq(axial)_Rule2 と周方向長さ
Leq(circum)_Rule2 を決定する．以下，この方法によって決定した
単一亀裂を包絡亀裂とよぶ．引張および曲げ荷重に対しては周方向亀裂，内圧に対しては軸方向亀裂を想定した．
Case 1，2 および 3 から抽出された包絡亀裂と合体亀裂の寸法を表 2 に示す．包絡亀裂の長さは軸方向と周方向はい
ずれの場合もシミュレーションにおける亀裂発生可能領域と同じ長さである 56.5 mm（64 mm の板幅から平板端部のエンリッチ領域 3.25×2 mm と亀裂両端のエンリッチ領
域 0.25×4 mm をマイナスした値）であった．また，包絡亀裂の深さは全ての亀裂の中での最大深さをとり，Case 1と Case 2 は 7.0 mm，Case 3 は 6.75 mm とした．維持規格の手順では，合体亀裂の深さは合体させた亀裂の深い方をFig. 24 Von Mises equivalent stress distribution obtained bylimit load analysis using X-FEM for a pipe
subjected to tensile load. The stress was
normalized by flow stress σf = 200 MPa.

用いるよう規定されている．この方法に従うと，Case 1 の軸方向と Case 3 の周方向の合体亀裂においては，深さが6.5 mm となり包絡亀裂の深さよりも浅くなる．合体亀裂と包絡亀裂の長さの取り方の影響を比較するため，本解析

250

材料定数として，流動応力 σf が 200 MPa の弾完全塑性
体を仮定した．ヤング率およびポアソン比はそれぞれ 195
GPa および 0.3 とした．弾完全塑性体に対する解析では，流動応力を超えると荷重の増加なしに変形が進む不安定状態となり解析が終了する．有限要素解析で得られた不安
定状態直前の最大荷重を極限荷重 PL とした．

3.2 X-FEMにによる破壊解析の妥当性
X-FEM を破壊解析に用いることの妥当性を検証するた
め，周方向長さ 49.7 mm（角度 60°に相当），深さ a が 0.5
t または 0.75 t の単一亀裂を導入した場合の解析を実施した．そして，通常の FEM による解析（39）を，同じ長さと深さを有する一定深さの亀裂に対して実施した．

Tensile stress , MPa

では，合体亀裂の深さは包絡亀裂と同じ値を用いた．

200
150
100

a/t = 00a/t = 0.5 a/t = 0.75

X‐FEM
FEM

50

0

2

4

6

Displacement , mm
Fig. 25 Change in applied load with displacement at theedge of pipe. The limit decreased due to cracks.
No difference was found between the results
obtained using X-FEM and conventional FEM.

引張荷重を想定した解析で得られたミーゼスの相当応
力分布を図 24 に示す．弾性から降伏状態に移行した時点

0 の場合）と比較して，亀裂を有する管では降伏が始まるの分布を示しているが，亀裂近傍の応力は流動応力 σf に荷重は低下した．また，亀裂が深い方が崩壊荷重は小さか到達し塑性崩壊状態が模擬されていることがわかる．また，った．X-FEM と通常の FEM の変位と荷重の関係はほぼ一

内面の亀裂が塑性変形により開口している様子も X-FEM致した．図は省略するが，曲げ荷重および内圧を負荷したにより模擬されている．荷重と管端の変位の関係を図 25

場合にも X-FEM と通常の FEM の結果はよく一致した．

に示す．変位の増加に伴い弾性的に荷重が増加しているが，

Abaqus で適用しているエンリッチ関数（40）は弾完全塑性体

降伏により荷重の増加が停止する．亀裂がない場合（a/t =の解析に適用できることが確認できた．

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

83

Fig. 26 Von Mises equivalent stress distribution obtained by limit load analysis using X-FEM for a pipe withmultiple cracks subjected to tensile load.

(a) Tensile load(b) Bending load(c) Pressure
Fig. 27 Change in applied load with displacement obtained by limit load analyses assuming tensile load, bending load orpressure. Well converged limit loads were obtained by the analyses using X-FEM.
る複雑な応力分布となっているが．総体的には引張荷重に3.3 解析結果

より亀裂周囲に応力が集中し，単一亀裂の場合と同様の応力分布となった．

3.3.1 亀甲状亀裂を有する配管の極限荷重

荷重（内圧）と変位の関係を図 27 に示す．Case1 に加え，Case2 と Case3 の亀裂分布を用いた場合の結果も示し

配管内面に Case1 の亀裂が存在した場合の引張荷重下ている．変位の増加に伴い弾性的に荷重が増加しているが，での極限荷重解析結果を図 26 に示す．100 個の亀裂によ降伏が開始すると，荷重の増加は飽和した．参照に亀裂のINSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

84(b) Bending load(a) Tensile load(c) Pressure
Fig. 28 Normalized limit load obtained assuming single equivalent crack for tensile, bending and pressure loads. The
limit load was normalized by that obtained for the original multiple cracks, which is denoted as PL(craze). The
limit load obtained applying rule 2 resulted in the conservative limit load.
ない場合の解析結果も示すが，亀甲状亀裂により極限荷重

3.4 亀甲状亀裂のモデル化方法が低下していることが確認できる．Case による極限荷重の差異は大きくなかった．

維持規格の規定に従って亀甲状亀裂を有する配管の破壊荷重（極限荷重）を算出する際，亀甲状亀裂を等価な単

3.3.2 合体亀裂および包絡亀裂に対する極限荷重

一の亀裂に置き換える必要がある．本報では，その方法として現行の規定に従って 2 つの亀裂を合体させる方法 1

各 Case および各荷重条件に対して合体亀裂と包絡亀裂に加え，全ての亀裂を包絡するようにモデル化する方法 2を想定した場合の極限荷重を解析した．図 28 は解析で得を検討した．シミュレーションで模擬された亀甲状亀裂をられた極限荷重 PL を亀甲状亀裂の極限荷重 PL(craze)で正規用いて，引張と曲げ荷重および内圧に対する極限荷重を算化した値を示している．PL/PL(craze)が 1 より大きい場合は亀出したところ，方法 1 は全ての場合において，安全側の予甲状亀裂の極限荷重を危険側に予測していることを示し

測とはならなかった．ただし，方法１によって得られる極ている．合体亀裂（方法 1）の PL/PL(craze)は 1.01～1.05 とな

限荷重は亀甲状亀裂のそれと比較して維持規格の評価でった．つまり，現行の維持規格の手順では亀甲状亀裂の極考慮される安全率（おおよそ 1.5）よりも十分小さく，必限荷重をおおよそ 5%程度の誤差範囲で予測できることがずしも許容できないものではない．一方，方法 2 を適用す確認できた．ただし，いずれの場合も危険側の評価となっることで全ての条件において安全側の極限荷重を予測すた．一方，包絡亀裂（方法 2）では，パターンや負荷形態ることができた．また，方法 2 は，主亀裂が明確でない場によらず安全側の評価となった．内圧荷重を負荷した場合，合にも適用できる利点もある．方法 1 と方法 2 のいずれ亀裂による極限荷重の変化が相対的に大きくなった．

の方法を適用するかは流動応力の設定方法や評価の目的などを考慮する必要がある．

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-1

4. 結言
多数の亀裂が発生・進展する様子を模擬できるシミュ

steel – experimental investigation and numericalprediction, International Journal of Fatigue, Vol. 23(2010), pp.1650-1657.

レーションを開発した．Abaqus の X-FEM 機能を活用し，(6) Abe, H., Crack growth of carburized materials due to

亀裂周囲での不均一な応力分布や，それによる亀裂発生まthermal striping in sodium, Engineering Fracture

での潜伏期間の違いが考慮できるようにした．また，亀裂

Mechanics, Vol. 55 (1996), pp.679-687.

進展においては，亀裂同士の相互作用による亀裂進展駆動力である K 値の変化を考慮した．
本シミュレーションを用いて単軸荷重，等 2 軸荷重および熱疲労荷重下での亀裂進展を模擬した．そして，亀甲85(7) 寄川盛男, 松田憲昭, 安部実, 増野浩一, 磯部展宏,
吉成明, 肉厚方向に温度分布を有する Ni 基超合金製円筒試験片の熱疲労き裂進展挙動, 材料, Vol. 54,
No. 7 (2005), pp.761-766.

状亀裂が出現する様子を再現した．亀甲状亀裂が出現する(8) Paffumi, E., Nilsson, K. F. and Taylor, N. G., Simulation

要因として，とくに，深さ方向の進展が停留または停留に

of thermal fatigue damage in a 316L model pipe

近い状態であることを指摘した．

component, International Journal of Pressure Vessels andシミュレーションで再現された亀甲状亀裂が配管で発Piping, Vol. 85 (2008), pp.798-813.

生した場合を想定して，引張負荷，曲げ負荷そして内圧負(9) Haddar, N. and Fissolo, A., 2D simulation of the initiation

荷下での極限荷重を調べた．現行の維持規格に規定されてand propagation of crack array under thermal fatigue,

いる 2 つの亀裂のみを合体させるモデル化方法（方法 1）

Nuclear Engineering and Design, Vol. 235 (2005),を適用すると，亀甲状亀裂による極限荷重の低下をおおよそ予測できるが，危険側の予測になる場合もあった．一方，全ての亀裂を包絡するようにモデル化する方法（方法 2）

pp.945-964.
(10) Haddar, N., Fissolo, A. and Maillot, V., Thermal fatigue
crack networks: an computational study, Internationalを適用すると，すべての条件において極限荷重を安全側にJournal of Solids and Structures, Vol. 42 (2005), pp.771-

予測できた．

788.
(11) Seyedi, M., Taheri, S. and Hild, F., Numerical modeling

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