もくじ• 支配方程式による地盤模型実験の相似則の導出

地盤模型実験と相似則• 1G場の相似則• 遠心場の相似則• 拡張型相似則

関西大学
環境都市工学部 都市システム工学科
飛田哲男• 拡張型相似則の適用例：液状化と「津波」の影響を受ける杭基礎を有する建物の挙動

支配方程式による相似則の導出

式①が実物の物理量を対象としたものであるとすれば，∂ (σ ij ) p例）弾性体の基礎方程式∂σ ij
力のつり合い式∂x j+ X i = ρu&&i

変位ーひずみ関係構成式∂( x j ) p∂ (ti ) p･･･④2･･･①2  ∂x j

∂u j 
∂xi  ･･･②

σ ij = Cijkl ε kl･･･③1 ∂uε ij =  i ++ ( X i ) p = ( ρi ) p∂ 2 (uij ) p

各物理量の比例関係を代入すると，∂ (uij ) mλλσ ∂ (σ ij ) m+ λρ λg ( X i ) m = λρ u2 ( ρ ) m
2λ ∂( x j ) mλt∂ (ti ) m
2･･･⑤

力のつり合い式は模型の物理量に対しても成り立つので，

 実物と模型の物理量に下記の比例関係が成立つとする．

( xi ) p = λ ( xi ) m , (σ ij ) p = λσ (σ i ) m , (ui ) p = λu (ui ) m , (Cijkl ) p = λC (Cijkl ) m∂ (σ ij ) m( ρ i ) p = λρ ( ρ i ) m , ( g i ) p = λg ( g i ) m , (ε i ) p = λε (ε i ) m , (ti ) p = λt (ti ) m∂( x j )m3+ ( X i ) m = ( ρi ) m∂ 2 (uij ) m∂ (ti ) m

2･･･⑥

したがって，式⑤，⑥の係数を比較することにより，

λσλ= λρ λg = λρ u2λλt

1G場模型実験に関する相似則 (Iai 1989)･･･⑦0.5

ここで式⑦の左の等式により，応力の相似則は，λσ = λλ ρ λg

λC =λ=µ時間

加速度λg = 1

変位

密度λρ = 1

剛性

ひずみλε = µ 0.5

応力･･･⑧同様に，式②，③より，時間，変位，剛性に関する相似則は以下のように与えられる．
 λλ λt =  ε  λg λu = λλε

長さ･･･⑨問題点• 長さと変位の相似係数が異なる→縮尺が大きくなるほど両者はかい離･･･⑩λλρ λg
λε• 寸法効果：通常，土粒子は縮尺に合わせて小さくしないので，粒径と構造物模型の相対的な大きさによっては，変形モードが実際と異なる可能性がある．→Modelling･･･⑪of modelsにより確認する

粘性流体を用いる理由(Viscous scaling)
遠心場における時間tの相似則(1)過剰間隙水圧の消散過程は圧密現象に支配される

加速度
密度λ =η

0.5

時間λg = 1 / ηλρ = 1

ひずみλε = 1応力λσ = 1λλρ λg= µ 0.5λελσ = λλρ λg = µλC =0.5

遠心場模型実験に関する相似則

長さ λλ λt =  ε  = µ 0.75
 λg λu = λλε = µ 1.5変位
剛性

 λλε  =ηλg
λu = λλε = ηλt = λλ λλC = ρ g = 1λε式（１）と（３）の時間の相似則に矛盾！

tptm =(1)N（地盤内浸透問題）．実物と模型とで同じ土を使うとすれば，圧密係数cvが等しい(2)．ここで，k透水係数，ρ間隙流体の密度，g重力加速度，mv体積弾性係数

k cv , m = cv , p  = (2) ρ gmv である．
また，消散時間に関する相似則は，実物と模型とで時間係数cvt
Tv =が等しいことから導かれる．しH2(d p / N ) = tp
d2tm = m =(3)cv , mcv , p
N2
2

かし，この場合，時間は1/N2の相似則に従うことになる(3)．

問題点

この矛盾を解決するため，地盤模型実験では粘性流半径方向に遠心加速度が異なるため，模型地盤に作用する重力（遠心力）が深さごとに体が用いられる．動粘性係数ν(=µ/ρ)をN倍することに異なる．このため，水面や液状化後の地表面が装置の回転面に沿って円弧を描く．→

より(透水係数を1/Nとし(4))，圧密係数kの相似則を半径の大きな装置を使う．土槽長手方向を回転面に対し垂直に置く．

1/Nとすることで(5)，時間の相似則を一致させる(6)．

k=KρgNµcv ,m ==Kg

(4)

Nν

cv , p(5)Ntp
d 2 (d p / N )(6)tm = m ==cv ,mcv , p / N
N2拡張型相似則 (Iai et al. 2005)

Is physical modeling possible for large prototypes?
土槽サイズに制限あり: 45 W x 30H x 15D (cm)
大縮尺 = 精度低い＋装置の容量にも限度あり

拡張型相似則を適用した模型実験とは，遠心場で行う1G場の模型実験である．

Pier

1/η

実物

通常の遠心模型実験

47 m

遠心場模型

L/ηL

仮想1G場
模型

相似係数
1/µ
η: 遠心場µ: 1G場 (Iai 1989)

遠心場模型

1/η42 m

L/µ

L/µη

1/120

拡張型相似則を適用した遠心模型実験

1/150

拡張型相似則拡張型相似則に関する既往の研究（Modellingof modelsによる相似則の検証）
拡張型相似則に関する既往の研究(Iai et al. 2005)
(2)
(3)
(1)
Scaling factors Scaling factors Generalizedfor 1g test
for centrifuge scaling factorstest

LengthμημηDensity

111TimeFrequency

1/100

μ0.75

-0.75

μAcceleration

10.75

Velocity

μDisplacement

μ1.5

StressμStrain

μ0.5

Stiffness

μ0.5

Permeability

μ0.75

η1/ημμ0.75-0.75

η•

飛田哲男, 井合進, 大内俊介. (2015). “津波と液状化の複合作用による杭基礎を有する建築物の転倒メカニズ
ム.” 自然災害科学, 34(1), 23-39.

•Tobita, T. and Iai, S. (2015) New modelling of models for dynamic behavior of a pile foundation. The 15th AsianRegional Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering (15ARC), Fukuoka, Japan
http://doi.org/10.3208/jgssp.JPN-026.

•Tobita, T., Escoffier, S., Chazelas, J. L., and Iai, S. (2014). “Verification of the generalized scaling law for flat
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•Tobita, T. (2014). “Combined effect of earthquake and tsunami on failure of a pile supported building.”
Geotechnics for Catastrophic Flooding Events - Iai (Ed), Taylor & Francis Group, London, ISBN 978-1-13802709-1, 451-458.

•飛田哲男，井合進. (2014). “津波による湾口防波堤の被災メカニズム.” Kansai Geo-Symposium 2014―地下水
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•Iai, S., Tobita, T., and Nakahara, T. (2005). "Generalized scaling relations for dynamic centrifuge tests."
Géotechnique, 55(5), 355-362.

/η

1/η

1/η

1μη

μ η0.75

1.5

1μ1

μ0.5

1

μ0.5

η

μ0.75

Pore pressure

μ1μFluid Pressureμ1μη

杭基礎を有する建物の津波と液状化による倒壊メカニズム•匩勜 では，杭基礎を持つ鉄骨造（S造），鉄筋コンクリート（RC造）の建物が津波により倒壊した．

•液状化と津波の複合的な要因で，建物が倒壊する危険性があることが実験的に示す．

•拡張型相似則を適用し，1/200縮尺の模型について20Gの遠心場で実験•

地盤については，間隙水圧の消散時間を実物に合わせるため水の粘性の113 の粘性及 で 匄（Viscous scaling）•

津波は上水でダムブレーク方式で与える（飛田他，自然災害科学，2015）

宮城県女川町

倒壊した杭基礎を有する鉄骨造建物
厳 勿匩勜

土木学会東日本大震災被害調査団 緊急地震被害調査報告書 より引用

倒壊した杭基礎を有する鉄骨造建物
厳 勿匩勜

本研究の目的杭基礎を持つS造，RC造建物が倒壊した可能性
液状化と津波の複合作用
遠心模型実験により，被災原因を調べる．

土木学会東日本大震災被害調査団 緊急地震被害調査報告書

江島共済会館

地盤液状化＋津波

津波のみ

遠心

 地盤・構造物系の挙動を正確に把握するための模型実験に使用する装置
 相似則により拘束圧依存性を示す土の実物装置
ーひずみ関係を忠実に再現

遠心場模型
相似則

地盤（模型）z/N

z/Nz 大規模な土木・建築構造物の挙動を縮小モデルで再現

ρgz

1G場模型

ρgz

ρg(z/N)N G (N>1)1G

1/Nに縮尺する

ρ: 密度作用する
重力/遠心
加速度

1G

ρgz

深さzの上載圧
（拘束圧）

応力σ

応力σ

応力σ

応力－ひずみ
関係

ひずみγ

ρgz/N

ρ(Ng)(z/N)= ρgz

ひずみγ

土の剛性は拘束圧に大きく依存する！

ひずみγ
20

杭基礎を有する建物の津波と液状化による倒壊メカニズム解明のための遠心模型実験

実験土槽

7m
16m

30m
貯水槽

平面図
8.4m
8.4m

内陸側←

液状化地盤(Dr=50%)
粘性流体(113cSt)で飽和

→海側
12m

12m

液状化層厚＝
杭長を変化

粘性流体

密地盤

アルミブロック

側面図74m

実験前

液状化＋津波

実験後

アルミブロック

杭基礎構造物模型について
建物部分

杭（ステンレス鋼，4本）(42×80×60(mm)，密度：1.3 t/m3)(直径6 mm， 密度：7.93t/m3)

実験ケース
実験ケース
Case 1-1
Case 1-2
Case 2-1
Case 2-2
Case 3-1
Case 3-2=

杭長(mm)
434323238383

過剰間隙水圧
残留消散
残留消散
残留消散

杭 ：3ケース
津波到達時の液状化：有無

拡張型相似則使用した砂：珪砂７号
相対密度：50%

8.4m

1/10
1/2012m

実地盤

・建物部分と4本の杭は剛結・匎によるをアルミブロック上に設置
・液状化地盤の入力波・・・実物換算で加速度振幅250 gal，振動数0.53Hz，繰り返し回数100回の正弦波ため，アルミブロックは杭 に合わせる

津波及にする相似則

g p Lp=Vm
g m Lm

1/200

フルード則

Froude number=(flow velocity)/(Wave velocity)

Vp

遠心場

Iai et al. (2005)

p: prototype/m: model

Fr =

仮想1g

Subcritical flow: Fr<1
Supercritical flow: Fr>1

流速に関する相似則

Vp =g p Lp
g m Lm1× 1= µ 0.5 × Vm
1
η×µ ×η

Vm =拡張型相似則V p = µ 0.75 × Vm

Flow velocity Water depth Froude number(約1.8倍過大評価)

Flow velocity Water depth Froude numberm/sm

Fr

Estimatedfrom
女川町の津波流速
video recording

3.22

11.00.31

Real

Estimatedfrom
女川町の津波流速
video recording

Measuredin the
実験時の津波流速（実物換算値：拡張型相似則）
experiments

3.56

9.100.38

ModelMeasured
in the
実験時の津波流速（実物換算値：拡張型相似則）
experiments

m/smFr3.22

11.00.31

3.56

9.100.38(女川での計測値3.22m/sの約1.1倍)（再掲）過剰間隙水圧の有無による比較

100
80
6040
200-20-40

加振開始 水位上昇開始

加振開始

計測値 (PW2)

0500
Time (s)0Case 2-1

Case 1-1

Case 3-1（杭長：23mm）（杭長：43mm）（杭長：83mm）

傾斜角：50°

傾斜角：45°

傾斜角：35°水位上昇開始806040
200-20-40-60

1000

10000
Time (s)

模型上面から撮影した高速度カメラ画像
過剰間隙水圧：残留＝液状化

杭長（液状化層厚）の違い

Case 1-2（過剰間隙水圧：消散）

Excess Pore Water
Pressure (kPa)

Excess Pore Water
Pressure (kPa)

Case 1-1（過剰間隙水圧：残留＝液状化）（過剰間隙水圧：消散）

20000

まとめ• 支配方程式による地盤模型実験の相似則の導出• 1G場の相似則（長さと変位の縮尺の相違，寸法効果など）• 遠心場の相似則（半径方向の加速度，Viscous scalingなど）• 拡張型相似則（遠心場で行う1G場模型実験）• 拡張型相似則の適用例：液状化と「津波」の影響を受ける杭基礎

Case 2-1

Case 2-2（杭長：23mm）（杭長：23mm）

ダムブレーク方式で与えた波力が，実際の波力と等価かどうか不明．

を有する建物の挙動（波力が現実と等価であるか？）