c:ζ のコラムは .OR にかかわる概念，知自民(手法，原理).それらの図解.よい教材や問題，実学OR の実施経験，そとから得られた知恵やアドパイス，失敗肢と教馴，新しい視点.視鹿，フレームワーク，未だ解げていない問題，面白い研究テーマなどを新鮮に'九しかも“コンパクト IC"表現し，提示していただくものです.ユニータなアイディア，フレッジュな見方，発想，だれかとメモランダム

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ランダムウオークとギルサノフの定理
木島正明
ブラウン運動やマルチンゲールを扱う確率解析において，応用上最も有効な結果の 1 つにギルザノフ (Girsan­ov) の定理がある.近年ファイナンスなどでしばしば使われている[ 1J ので，この定理の名前を知っている諸兄や，実際に使ったことのある OR ワーカーも少なくないと思われるが，この定理の内容となると直観的にすぐにはすべての O に対して存在する.いま(6)Yn=m-n(O)eOCWnーの ，Wo=i とし

n=I , 2, …,とおく . Wn-i= I: ~=l X i であるから Yη =n::=le'Xi/m(O) であることに注意すれば，(ηE[YnJ= 白 m- 1 (O)E[e 8X iJ=I ， n=I , 2 , …,理解できるという人は少ないであろう.ギノレサノフの定であることがわかる .T を十分に大きな時点とし，ある理の最も初等的な形は次のようなものである:
定理{B (t)， t;?:O} を (D ， f f , P) 上の標準ブラ

事象 A に対して 1(8)ウン運動とすれば(1)

とおく .P が確率測度であることは， (7) より P(D)=E

B(t)=B(t) 一 μtで定義される {B(t) ， O~t~T} は確率浪Ij度 P に関して標準ブラウン運動である.ただし T>O で確率測度 P は(のP(A)=E [IAY(T)] ， AEffT.

。

Y(t)= 叫{μB(t)-~ t} , t>O ,として定義される.ここで fft は B(s) ，O~s~t ，

P(A)=E[IA YTJ[YT J=I ，また IAYT;?:O であるから P(A) 注 0 ，さらに定義関数の性質より P の可算加法性が成立することから示される. (8) の右辺はもともとの確率測度 P に関する期待値であるから， (8) は YT をかけることにより確率測度を P から P へ変換したことになる .(8)を測度変換 (changeからofmeasure) と呼んでいる. (以下では，確率測度P の生成される可算加法族であり ， IA は事象 A の定義関数で確率や期待値を Pr ゃ E と書くことにする. )

ある.

定理 2

口

ここでは定理 1 の essense を，ランダムウオークを使って見てみよう.

測度変換(8) により ， p ーランダムウオーク {W n ，n=O ， I ，. ・.}は長一ランダムウオーク {W九， n=O , I , …,T} に変換される.ここで P は

peo
pe8+qe‑Op̲

1. ランダムウオークとして与えられる.

Xh X 2 .... を独立で同ーの分布 Pr[Xl=IJ=p ， Pr[Xl=ー 1J=q=I-P， O<p く 1.

Wo =四 Wη=ω + f:x i ， n=I , 2 , …,

(4)

とおく.このとき ，(5)戸 =Em(O) を X 1 の積率母関数とすると，m(O)=E[e OX1 J= ρeO+qe- O

XiI
Im-1(O)IIX炉 lI e8Xn nm‑1(O)e8i*πlで与えられるが ， X i , i=l ， … ， T， は独立であるから
p=E[m- 1 (O)IIXn= lI e8X η J{W n, n=O.I ， …}をランダムウォ‑ (l， あるいは確率 p を明示したいときには P ーランダ
ムウオークと呼ぶ .

証明 : n~T のとき ， p=Pr[X旬 =IJ は (8) よりに従う確率変数の列とし，nE[m‑1(O)e9XiJ

t 弔.n1正確にはある確率空間 (D， ff， P) を考えてAEffTである事象に対してというべきである.ここで‘!T T はWη ， n=O ， … ， T， から生成される可算加法族である.また，記号 Pr や E はこの確率測度 P から定義されたもの

きじままさあき筑波大学経営システム科学

92(44)である.

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オベレーションズ・リサーチ

=m‑1(0)E[l(Xn=
1IelXn]pe'pe'+qe‑'

X n の変位と時間の間隔を同時に小さくすることにより，定理 2 の系から定理 l が得られることを示そう.以を得る.同様にして q=Pr[X ，， =-I]= I-þ を得る.
また，下では簡単のために Wo=O とし

Pr[Xn= ム xJ=ρ=土-J:l...ムム(め2

Pr[X1=i h … , XT=i T ]==E[I(X1=仏… ， XT=iTI YT]に従う独立な確率変数の列とする.また，時間間隔ム t をTnE[m‑1(0)I(Xn=inle8Xn]n=lが成立するから ， X n , n=l ， … ， T， は P の下でも独立で、ある.よって {Wmn=O， I ，… ， T} は P の下では P ーラ
ンダムウオークである.になる. (9) より ， W" の期待値と分散はそれぞれ

E爪]=ゑ E山 ==n(p-q) b. x= ー伊口ρ ーランダムウオークは対称(P= 1/ 2)

なランダムウオーク {Wn> n==O , 1 ，.・.， T} に変換される.

O=log v'q/p のとき

F-peed元

一五耳石弓=マ万平石Pである.

ム t=( ム X)2 となるように定める.このとき，時点 t では
n=t/ ム t 時点でのランダムウオーク Wη を考えること

O=logv'q/p とおけば，測度変換(8) により

定理 2 の系

証明2Pr[Xη= ーム x]=q =-b-+~ムム
2 .2n

IT= EI m- 1 (0)I(Xn= 向 le， x n I
In=lXπ ， n=I ， 2 ， …，をI

2V川となる.よつてム z→O のとき，中心極限定E
理2 により仇，ランダムウオ一ク W 偽n はドリプト係数が一 μ でで、拡散係数 l のプラウン運動 B〆t に収束する.
町(t刈)一 μ

さて X" の変位がム Z であることに注意し，。を定理2

口定理 2 の応用例を 1 つ示そう.

0 に吸収壁をもっ対称なランダムウオークの状態確率は鏡像原理により求めらの系のように定めれば， (9) より(制れる [2J が，鏡像原理は非対称 (ρ -=1=1/2) なランダムウオ}クには直接適用されない概念である.そこで定理 2により測度を変換し，対称なランダムウオークの結果を作回虫=~log(I+~ 刈/2b.x 2 ム Z\1 一 μ ム xで与えられる.また，このとき X" の積率母関数は(11)m(O)= ゾ扇=イ戸戸店可2

非対称なランダムウオークの結果へと変換する . {Wn , nとなる.定理 2 の系より，各ム Z に対して，確率測度 P=0 ， 1 ，…}を確率淑u度 P の下で対称なランダムウオークの下では {W，，} は対称なランダムウオークであるから，とすれば，定理 2 から O=log v'p/言とおくことにより，{W" , n=O , I , …, T} は確率測度 P の下で ρ ーランダムウオークとなる .

n 三三 T とし M，，=min Wk とすると，OSkSn

0 に吸収壁をもっ p ーランダムウオークの状態確率 b ij(n) はbíj(n)=Pr[W，， =j.Mη >01 Wo=iJ ， 人 j>O ， n=O.I. …・で与えられる.よって (8) より ， bin)==E [l(W，， =j ， Mη>01j(YTIWo=iJであるが ，WT=Wn+ L: f=肘 1 X i であり ， W n と X i ，ムエ→ D のとき，(8) により変換された確率測度の下て、は標準ブラウン運動に収束する 2.

よって，ム z→ 0 のときの Yn の収束先を調べればよい .

(ムエ )2= ム t ， n=t/ ム tに注意すれば，住 1) より，れ (0)=(1 ー μ26t) ー叩 •回P{守}，を得る.また M) よりム z→ 0 のとき 0→μ.

6x•

0,

よって(めから九→叫{守+川 (t) 一川 =Y( 凡ム z→0，となり，定理 1 が証明された.

i=n+1 ， … ， T， は独立であるから，参芳文献

bij(n)=E [I \Wn=j ,Mn>OI YnlWo=i]TnX
i1E1m‑1(0)e8Ii=n+l=m‑n(O)E [l\Wn=J ， M偽 >01 e8(Wn‑tllWo=i]=n-"(0)e 8 (j ー臼 Pr[Wn=J ， Mρ01 Wo=i]が成立する.よってo に吸収壁をもっ対称なランダムウオークの状態確率

Pr[ 日T，， =j ， Mη >01 Wo=i] , i , j>O, n=O , 1, ...，からん j(n) が得られる.
1993 年 2 月号

[1] 森村英典・木島正明， (1991) ，ファイナンスのための確率過程，日科技連.

[2] W. Feller , (195 7), An Introductioll toProbability Theory and lts Applications ,Volume1, JohnWiley , New York.
Z拡散係数は 6t と( 6X)2 の比から定まる定数なので，この場合は l である.

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