数理計画とシミュレーションのハイブリッド法

一口ジステイクス計画への応用を中心として−森戸

晋

サプライチェーンマネジメントに象徴されるように，オペレーショナルな側面を視野に入れながらシステム全体の最適化を図る必要性が高まるなかでモデル分析の果たす役割が少なくない．こうした状況で，無理に一種類のモデルでIiり題を表現すると，モデルが複雑になり解の導出がおぼつかなくなるおそれもある．本稿では，数理計画による最適化とシミュレーションによる性能評価を反復的に繰り返すハイプリソド法を取り上げ，コールセンタの勤稚シフトスケジューリングや，ロジスティクス設備配備計画を例に，切除平面を用いたハイブリッド法を小心に，最適化／シミュレーシ
ョン倖周の形を紹介する．

ュレーション，ハイブリッド法，切除平面，ロジスティクス

キーワード：数理計画，シミ

Illlll…＝‖＝‖‖＝＝‖‖‖‖＝＝＝‖‖‖‖＝＝…lllllt＝＝‖＝‖＝＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖＝＝＝‖‖‖＝＝…lll…‖…llllll…lllll…‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖＝‖‖‖‖‖……ll…＝＝‖‖＝＝＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖…lllll…‖‖‖‖＝…lll……lllll…ll…ll…

1．はじめに

2．最適化とシミュレーションの併用

サプライチェーンマネジメントに象徴されるように，2．1技法併用のシナリオ

一見オペレーショナルなディテールに見えることが経最適化とシミュレーションの併用がふさわしいロジ営戦略や企業の業績に少なからぬ影響を与える時代とスティクス計画問題のシナリオの紹介から始めよう：なっている．このような状況下でオペレーショナルなシナリオ1：ハブ局から複数のノンハブ局を放射状側面を視野に入れながら，システム全体の最適化を図に結ぶ郵便ネる必要性が高まっている．

便量の推定値，ノンハブ局からハブ局へのトラック便計画は元来最適化を指向していることが多し、ので，ットワークがある．各局で集収される郵のスケジュール，郵便をソートする区分機の処理能力最適化技法の活周を考えるのが自然である．しかし，は既知とする．苑地までの時間制約を満たすために，決定要因が性能に及ぼす影響が完全に分からず，現実集収された郵便が長距離便の出発時刻に間に合うため的に求解可能な最適化モデルの構築が容易でないことには，何時までにハブ局に届けられなければいけないも少なくない．最適化を指向する問題ではあるが，数かが分かっている．このとき，スペース等の制約条件

理計画だけで問題を表現し解を求めるのはつらいといを満たし，総費用最′トとなるように，各局で集められう状況では技法の併用が自然と豆則こ浮かぶ．

た郵便を処理するには，どの局に何台の区分機をおい数理計画の結果をシミュレーションで評価する一方て区分すればよいか．ロ

通行型の併用はよく見かけるが，数増野1一画とシミュレ

シナリオ2：ある巨大コールセンタでは，あらかじーションを反授的に仲間して最良の意思決定を探るとめ定められた多数の勤務シフトそれぞれに対し何名のいうアプローチは少ない．数理計画で得られる結果のスタッフを割り当てるかを決めなければならない．勤フィージビリティをシミュレーションでチェックする

務シフトごとの1人当たりの賓周や時間帯ごとの顧客という話はあるが，チェックにパスしなかったらどうの到着率が既知であるとき，顧客の待ち時間などに関するかについては言及されていない．本稿では，ロジする一定のサービス7jく準を保つ最′J、襲用勤務シフトススティクス計画を念頭に数理計画とシミュレーションケジュールを求めたい．□の反復的併用法とその応用を紹介する．

これらのシナリオに共通するのは，垂加勺要因をはじめとするシステムの詳細を考慮したときに，広義のもりと すすむ「サービス規準」を満たし，蟄用を最小化する計画の早稲肝大学軌二l二学部経営システムニ1二学科立案である．上位階層では曹周最小化を目指し，下位〒169−8555新宿区大久保3−4−1

階層はオペレーションナルディテール（最近ではこれ2004年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（3）6丁5

がしばしば市場における競争力と密接に関係する）に面が存在しても不思議ではない．システムの動きを規関わる条件を設定しその満足化を図ることにより，問定するメカニズムが分からないというわけではないけ

題を階層的にとらえることができる．

れども，数理計画モデルに定式化することが容易でな

2．2 最適化・シミュレーション問題の類型

い，得策でないと考えられる側面があってもおかしくシミュレーションをしながら最適化を図る問題は，ない．数理計画の定式化を難しくする主な要因として大きく分けると次の二つのタイプに分けられる：

1．シミュレーションによって目的関数（および制約条件）の評価をしながら最適政策を探索

2．ラフな（大雑把な）最適化＋シミュレーション

次の三つをあげておく：

1．確率的変動を伴う現象，とりわけ待ち行列タイプの混雑現象

2．複雑かつ往々にして人為的な規則や詳細な条件（表現できても問題の規模をいたずらに大きくすによるフィージビリティチェック

前者は実験を繰り返しながら最適条件を探るもので，実験がシミュレーションでなければ古くから様々な分るため数理計画モデルに組み込みたくないような条件）

野で行われてきたことである．一方，後者は主要なコ3．時間とともに変動する（垂加勺・非定常な）挙動

スト要因だけを考慮した最適化モデルを解いてマクロ

1や3は数理計画でも扱えるが，モデル化の自由度レベルにおける最小コストの解候補を生成し，次に，がかなり制限される．さらに，ロジスティクスヘの応得られた解候補のフィージビリティをシミュレーショ用では1，2，3が混在する場合が少なくない．こうしンで確認するというアプローチである．

た要因は計画全体に少なからぬ影響を及ばしうるため，前者のタイプは，離散型シミュレーションの分野で最終的に意ノ曽、決定者に受け入れ可能な，真に実行可能「シミュレpション最適化（simulation optimiza−な案を作り出すためにはどこかでこうした要因を含めtion）」の名の下に1980年代以降盛んに研究が行われた分析評価が必要となる．ており，摂動解析法（Perturbation Analysis；PA）などによる勾配の推定と最適化，実験計画の流れをく
むRankingandSelection法などが知られている（例3．数理計画による最適化とシミュレーシ
ョンによる評価の枠組み

えば，Fu［2］，三好［5］参照）．しかし，これらの技法

3．1ハイブリッド法設計のポイントが選択肢の数が多く，資源制約が最適化に複雑に絡む

ここでは，数理計画による最適化とシミュレーショ問題に対する技法として有効か否かについては未知のンによる評価を併用したハイブリッド法を設計するに点が多くソフトウエアも完備していない．次では，後当たってのポイントを考えてみる．

者のタイプの問題を想定し，数理計画とシミュレーシ（1）各モデルの「守備範囲」の決定

ョンを併用したハイブリッド法に的を絞る．

様々な種類のモデルが存在するので，対象とするシ

2．3 数理計画とシミュレーションの強み・弱み

ステムを無理に一種類のモデルで表現しなければいけ

数理計画は相互に競合しあう資源制約のもとで多くないというわけではない．両者の「いいとこどり」をの選択肢のなかから最適な政策を探る．これに対して，する形で，各モデルの守備範囲を決めればよい．

元来，評価技法であるシミュレーションは最適化に弱サプライチェーンの設計，ロジスティクスネットワ

い．数理計画はマクロな意味での費用最小化，利益最ークの設計，運搬経路計画などの意思決定では，一般大化に強い反面，解が天下り的に与えられるというきに考えられるネットワークの形状やパラメータの組合らし−があり，意思決定者への説明力・説得力に欠け，せが極めて多い．そのため，シミュレーションは設計結局，説明・説得のためにシミュレーションが必要に段階の技法として適当ではなく，数理計画で設計案をなることも少なくない．シミュレーションはミクロな絞り込んだ後でのシミュレーションが効果的である．

ものの動きや人為的な規則の表現を得意とし，モデル多くの場合，マクロな経済指標に対するラフな最適化の自由度や説明力・説得力に優れ，アニメーション化を数理計画が担当し，その結果定まる戦略的決定要を併用すれば説明効果が一層高まる．

因のもとでシステムの詳細を取り込んだ性能評価をシ

数理計画モデルは，目的関数や制約条件を，通常，ミュレーションが担当し，フィージビリティをチェッ

線形関数や線形の等式・不等式で表現する．しかし，クしながら，最良なシステムを設計していく．この際，現実のシステムに数理計画モデルとして表現困難な側モデル化の容易さやモデルの複雑性を考えるとともに，

6丁6（4）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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両モデルの計算効率を視野に入れてモデルの役割分担

似問題）を攻め，シミュレーション評価の結果を受けを決める必要がある．
（2）反復メカニズムの設計と収束判定基準て制約を順次追加・修正し，最終的に本来の問題の許数理計画とシミュレーションを往復するハイブリッ

容解を得ようとするものである．

ド法の設計でポイントとなるのは，最適化モデルの次では「実行不可能領域から攻め」，解を実行可能「解（＝提案）」をシミュレーションで評価した後に，にするように制約（切除平面）を追加するアプローチ

反復を繰り返すか否かを判断するとともに，評価結果を2種類紹介する．図1は制約追加型の解法の基本的がノーの場合に数理計画モデルをどう修正するかのメなフレームワークを示している．

カニズムである．具体的には，追加する制約条件（切除平面）の導出，それに必要な勾配などの計算，制約条件の修正方法などを定める必要がある．
（3）各モデル実行の詳細設計，有限収束性など各モデルをどう「解く」かに当たって解法の詳細設4．切除平面によるハイブリッド法の適用
4．1コールセンタの勤務スケジューリング
HendersonandMason［4］は，大規模なコールセンタにおける勤務スケジューリングへの応用に対して，計が必要となる．特に確率変動を伴うシミュレーショ整数計画法とシミュレーションの併用を考え，シミンの実行においては，ランの長さや回数，さらには同レーション結果から切除平面を生成することによってじ労力でより精度の高い結果を得るための分散減少法

ュ整数計画を解きなおすという反復的解法を提案してい活用の検討などが必要となる．また，構築したハイブ

る．まず，Hendersonらが取りあげた問題の概略をリッド法の収束性に関する理論的な保証や，実馬如勺な紹介する：

1．所定のサービス規準を満たすコールセンタの，収束性の確認が望まれる．

最小コスト勤務シフトスケジュールを作成する

3．2 解法アプローチ

この種の問題に対する解法戦略として，次のような

2．サービス要求（顧客）の到着はランダムで，到着率は時間とともにダイナミックに変動するアプローチが考えられる：

1．実行可能解を順次改善していくアプローチ
2．主な要因だけを考慮した数理計画を解いて得られた設計案をシミュレーションで評佃し，詳細

3．隣接する時間帯において前の時間帯の処理残が次の時間帯のサービス性能に影響する

4．勤務スケジュール作成に当たっては，種々の労面も含めて許容と判断される解を得るアプロー

働規則など多くの制約を満たさなくてはならなチしヽ

3．数理計画から得られる最適解がシミュレーショ

●アプローチ3は，いわば本来の問題の緩和問題（近勤務スケジュールのコスト効率を上げるためには，ン評価の結果元の問題に対して実行可能であっ時間帯によって必要以上のスタッフを配することによたり実行不可能であったりを繰り返し，適当なって，全体のコスト削減が達成される可敵性もある．

収束判定基準が満たされるまで数理計画とシミシステムが短時間で定常状態に達するならば，待ち行列モデルによって定常」犬態を評価して必要スタッフュレーションを繰り返すアプローチ数を算定できる．ところが，多くのサービスシステム
では過去の履歴をひきずることが多く，定常状態で近似することに無理がある．そこで，こうした非定常なダイナミックな推移をシミュレーションによって評価し，その情報をもとに整数計画による最適化でスタッフ数ならびにスタッフの勤務スケジュールを決めるというアプローチを採用している．
まず，勤預パターンを列挙する．勤務パターン行列⊥（所与）は，列がある勤務パターンを示し，時間帯∠を勤務する（しない）ときオ行が1（0）の値をとる0−1行列である．変数∬ノは勤務パターンノのスタッフ
図1制約追加型解法の枠組み
2004年11月号

数，定数cJは勤務パターンノのコストである．ベク© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（5）677

トルsは必要スタッフ数のベクトルで，変数sz・が時

3．勤務スケジュール作成問題（IP）を解き，γ＝間帯才の必要スタッフ数を示す．時間帯ごとの必要ス⊥Jを得る

4．プ′をシミュレータに送り，各時間帯のサービスタッフ数が定数として与えられるのであれば（必要スタッフ数の算定に当たっては待ち行列の知識やシミュ品質01，￠2，…，￠♪を得る

5．定められた収束判定基準を満たすときに，勤務レーションが必要であろう），それを入力データとして勤務スケジュールを整数計画によって求めればよい．

パターンごとのスタッフ数Jとサービス品質

しかし，時間帯ごとの混雑状況が独立でなく，ある時￠fを出力して終了．収束判定基準を満たさない

間帯の混雑状況が後続する時間帯の混雑に影響を及ぼときは，上述のカット（複数本でも可）をす状況においては5∫を定数と扱うことには問題があ（IP）に加えるべく，Aと∂を修正した上で3る．

・＼ここで，劣勾配をどのように求めるかが問題となる．

整数計画問題（IP）は，次のような形となる：

シミュレーションによる勾配推定法として，摂動解析（IP）min c7i：法（PA）や尤度比法（1ikelihood ratio method）な

s．t． ⊥J−∫≧0」J≧ムどがあるが，適用の条件が厳しく，特に整数変数の問

r，S≧O andinteger．

題への適用は難しい．そこで，Hendersonらはよりここに，γ＝⊥Jは各時間帯に勤務するスタッフ数

頑健な方法として有限差分（finite difference）アプのベクトルとなり，⊥J≧sによって必要スタッフ数ローチを用い，時間帯オのスタッフ数7′〜をγ乙＋1まを確保するスケジュールを作ることになる．

たはγ〜−1にずらして再度シミュレーションを行って時間帯ごとの必要スタッフ数の下界値は，時間帯オいる．これによって，時間帯ノ≧オに対して，劣勾配を空（emptyandidle）の状態からシミュレートするベクトル彷の∠番目の要素を推定する．時間帯ノ＜才ことで得られる．確率変動を考慮するために当該時間の品質は，r〜・には影響を受けないので，彷（オ）＝0であ帯のシミュレーションを繰り返して，サービス品質のる．

値鉄（詳細は文献［4］参照）がサービス規準をかろう

なお，Atlasonら［1］が，切除平面に基づくHen−じて超えるように時間帯オのスタッフ数sざを設定す

dersonらのハイプりッド法の有限収束性を証明してる．次に，（IP）を解き，初期勤務スケジュールJといる．

スタッフ数γ＝⊥Jを得る．

4．2 郵便区分機の最適配置

時間帯ブのサービス品質￠〜が，7′1，乃，…，7′〜の凹関

Moritoら［6］は，冒頭のシナリオ1に示した一種の数であると仮定すると，0〜こgヱ・（γ）と書け，仇（γ）は，施設配置問題に対して，混合整数計画とシミュレーシれ，…，γォまでの関数である．このとき，関数gが凹ョンを併用し，図1のようにシミュレーションの結果関数であることより，点γにおけるgz・の劣勾配彷・はが受け入れ可能でない場合は，解を実行可能にする制
約（より正確には，受け入れられない解を実行不可能

払（s）≦軌（7′）＋げ（s−−γ）となる．サービス品質鉄は所与のサービス規準〝わとする制約）を付加して数理計画を解きなおす，とい以上でなければならないので，う解法を提案・評価している．シナリオ1における「ハブ吊」，「ノンハブ局」はそれぞれ，地域区分局，／・∴‥／・−ノ・／ノ／J／け）となり，サービス規準を満たさない払が存在すると一般局と呼ばれており，問題は郵便の引受，区分処理

きこの不等式は（IP）の切除平面となる．サービスや輸送に関する時間的制約や局舎スペースの制約を考規準〝わを満たさない払ごとに，このような切除平慮した上で，費用最小な区分機の配置を求める問題で面を導き（それらを組み合わせることもできる），こある．

れらを（IP）に追加して再度，整数計画問題を解く．

4．2．1数理計画モデルの前提条件

このように，整数計画の求解，シミュレーション，ぢJ

数理計画モデルの主な前提条件は次の通F）：

除平面の追加，整数計画の求解が繰り返される．

1．1日に引き受ける郵便物の区分を考える

解法の流れは次のようにまとめられる：

2．引き受けた郵便物は自局が区分局の場合は自局

1．スタッフ数ざの初期下界値∂を定めるですべて区分し，自局が区分局でない場合は自2．A＝Jとする

局より地域区分局に近い一つの区分局（地域区678（6）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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物がし、つまでに区分されるかを確認する．シミ分局を含む）で区分する

3．配達先が他の地域区分局，他の郵便線路の場合

ションモデルの主な前才是条件は次の通り：

はいったん地域区分局を通過し，他の地域区分

1．郵便線路は既存の線路とし，1日3便とする局から届けられた郵便物は地域区分局で区分さ2．郵便物の引受は1時間ごとにまとめて行われる．
地域区分局においては，他の地域区分吊から届れてから一般局に配送される

4．地域区分局と一般局の設備曹，および延輸送費けられた郵便物に関しても，自局の郵便物の引の総和を最小化するように，各局の区分機種別受と同様に1時間ごとにまとめて引き受けが行毎の台数と手作業による区分作業時間，および，われるものとする

ある局の引受郵便物をどの局で区分するかを決

3．郵便物が引き受けられてから区分が開始されるまでの前処理に30分の時間がかかる

める

4．区分機および人員は，ある時間帯（6時〜21時）

4．2．2 数理計画モデルの定式化
変数の間，別の用途（配達のための道順組立）に使研ぎん：局才の区分機んの台数（整数）用されるため，区分は行えない．一般局では22
暗から6時の間も区分できない〝〜・：局gにおける手作業時間

J烏：局」で引き受けた郵便物を局ノで区分する場

5．送達基準：区分局においては，0暗から15暗ま

合1，そうでない場合0でに引き受けた郵便物は，その日の最終便までに区分する必要があり，それ以降に引き受けら

定数α力：区分機ゐの1日1台当たりの設備雪れた郵便物は翌日の1便までに区分することと∂：1人単位時間当たりの労働費する．一方，区分を行わない局では1，2便の出c〜．ブ：局」，局ノ間の距離発時までに引き受けた郵便物を，区分局におい

恥：局オから局ノへの郵便OD量て最終便までに区分する必要がある

7′：地域区分局での引受通数

4．2．4 シミュレーション結果に基づく制約の追加

d力：区分機ゐ1台当たりの処理能力

シミュレーションの結果（図2），すべての局で規e：手作業1人1時間当たりの処理速度

定のトラック便の出発時刻までに区分が完了していれ

才力：区分機ん1台当たりの占有面積ば最適な解が得られたことになるので解法は終了する．

〟z：局gの設置可能面積

一方，いずれかの吊で区分が完了しなかった場合は，

s：郵便1通単位距離当たり輸送費区分をしてし−る局の処理能力が十分でなかったことに定式化（局1は地域区分局と仮定）

なる．

（MIP）Min ∑i∑h（ahmih＋bni）●

ュレー十s∑ヱ∑ノ∑烏Jゎ（c−ぎJ∑∠恥＋cノ烏qz・烏）s．t． ∑JJゎ＝1，∀オ，ノ（∑の局ノは局オが属

例えば，局オと局ノの郵便物が局ノで区分され，局ノでの区分が出発時刻までに完了しなかった場合には，局ノが時間内に処理を完了するために持つべき処理能

す線路上の自局より地域区分局に近い力cをシミュレーション結果から求めることができ局）

る．これをもとに，「もし，冒＝と局ノの郵便物が局れ√㌔㍑≦0，∀〜，ノ

ノで区分処理されるとしたら，局ノの処理能力は少な∑紹ポ五＋∑適加町−e乃J≦0，∀ノ≠1
滞留中の郵便遠∑ふ偏れ1＋7′≠∑んdゎ研1カーe仇≦0敷（り0000）

ーーーー
翌鯛の1f爵こ
載せるべき乗区分の郵便通告文∑訂川㍑一狛≦0，∀g
ごり∈〈0，1），0≦椚才力∈Z＋，仇≧0，∀∠，ノ，カ4．2．3 シミュレーションモデルの前提条件
1 【シミュレーションでは，数理計画モデルで求めた区分輸送形態（各局の区分機台数とある局の引受郵便物をどの局で区分するか），（現状の）垂椚吏ダイヤ，およ■l ＼＼ l ＼＼1

び，時間帯ごとの引受通数を入力情報とし，区分機の処理能力が所与のとき，各局で発生したすべての郵便＋当日の最終†割こ載せるぺき未区分の郵便適芸文

1暗闇￠ヰ暗闇）

図2 シミュレーション結果

2004年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（7）679表 計算実験の結果例

響を受けて工程能力をオーバしてしまうおそれがある．

反復回数 最終便の出発時刻 目的関数値

そこで，数理計画から得られる計画の工程能力が満足までに区分を完了されるかをシミュレーションによって調べ，能力不足しなかった局の数（余裕）の場合には生産能力制約をより厳しく（甘く）するように能力制約の右辺定数（生産能力値）あるい

32

30

1．006

は左辺の係数（負荷見積もり）を修正する方法を提案

1．009

し，少ない反復での収束を実験的に示している．他にも，R＆Dプロジェクト選択およびプロジェクトス
ケジューリング問題へのハイブリッド法の通用があるが，詳細はSubramanianら［7］を参照されたい．
ハイプりッド法は応用主導で自然発生的に生まれてきたものが多い．ロジスティクスの応用のようにマクロな最適化とミクロのフィージビリティを統一的な枠組みでとらえるためにはハイブリッド法が適しており，今後この種の試みが増えていくであろう．
◎大型区分機参考文献⑳中型区分機 ● 手作業［1］］．Atlason，M．A．Epelman，and S．G．Henderson：

図3 区分機配置結果の例

Callcentersta踊ngwithsimulationaIldcuttingplane

くともc以上でなければならない」という論理条件，

methods ，Annals 扉（わe7tltions Resea7tlh，Vol．127，pp．333358，2004．

＝ ∑．／．／ノ／．・．ノ／・ll［2］M．D．Byrne and M．M．Hosein： Production plan−を設けることによって，必要な処理能力を確保するこ

ning：animproved hybird approach，Internationalとが可能となる．追加する制約条件は，区分局が他のJour71alqfP7t・duction Ecoプ70mics，（toappear）．

2局以上の区分をまかされていたり，自局のみの区分［3］M．C．Fu： Optimizationforsimulation：theoryvs．
practiceを行っている場合にも同様に設定できる．

このような制約条件を，区分を完了しなかったすべての局に対して設定し，数理計画モデルに加えた上で数理計画モデルを解きなおす．表は，局数30の例に対して，この方法を適用した実験の結果を示しており，3回目の反復で時間内での区分処理を完了できる区分機配置計画が求められている（図3）．

，1NFORMSJournalon Computing，Vol．14，pp．192−215，2002．

［4］S．HendersonandA．J．Mason： Rosteringbyiter−
ativeintegerprogramming and simulation ，Proceed−
わ堺〆〟ばJ99βl析乃′ピ7′5オブ77！′J〟〜わ乃Co現存柁犯Cど，Pp・677−683，1998．

［5］三好直人：「シミュレーションによる勾配推定の手法」，オペレーションズ・リサーチ，Vol，46，pP．182187，2001．

5．おわりに［6］S．Morito，et al．： Simulation−based constraint
最後に，前節で述べたタイプとは異なるハイプリソ
ド法と応用について簡単にふれる．

tic system design ，P7t）Ceedings qf the1999 WinterByrneand Hosein［2］らは，MRPやJITを想定した生産計画の最適化を取り上げている．在庫バランス
制約と生産能力制約の下で，生産雪＋在庫保管費十品切習からなる総費用の最小化を図る数理計画モデルは，単純な負荷山積みで能力制約を評価すると，生産や移動に伴う待ちや変動，ディスパッチング規則などの影

680（8）

generationwithapplicationstooptlmizationofloglS−
5わ77JイJ〝Jわ77Coプ承7℃プ7Cビ，pP．531−536，1999．

［7］D．Subramanian，］．F．Pekny，and G．Ⅴ．Reklaitis：
A simulation−Optimization framework for address−

ingcombinatorialandstochasticaspectsofanR＆D
pipeline management problem，Compute73＆Chemi−c 7／且刀gけ7ピビ7′Z乃g，Vol．24，pp．1005−1011，2000．

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