FEATURE

Kavli IPMU 教授

高田昌広

たかだ・まさひろ

専門分野：宇宙論

宇宙論と統計

1. はじめに

2. 宇宙原理、エルゴード仮定と 2 点相関関数

現在の観測的宇宙論は、非常にエキサイティングな

まず、議論のために、F(θ)を宇宙論データから得研究分野です。宇宙背景放射（CMB）の宇宙論に代表られる「ゆらぎ場」としましょう。例えば、CMB の場合されるように、高精度の測定結果から、ダークマター、は、温度ゆらぎ場に対応し、F(θ)≡[T(θ)–T̄]/T̄ です。こダークエネルギーの存在量、宇宙年齢など、人類の根

こで T(θ)は空のθ方向のCMB温度、T̄はCMB の平均温源的な疑問に答えることに成功しています。21世紀です（図1の左上図参照）。3 次
度（全天平均した温度）の観測的宇宙論は、もはや理論と実験の垣根がない、元空間のゆらぎ場についても同様に定義できますが、言わば実証的科学とも言える分野に成長しています。

2
実際の観
とりあえずは 2 次元の場合を考えましょう。

過去の IPMU ニュースの記事でも、観測的宇宙論の測では、ゆらぎ場F(θ)は有限の角度分解能で測定さ進展を扱ったものがありますので、今回は少し変わっれますので、F(θ)は離散的なピクセル形式で与えらた話をしたいと思います。それは宇宙論における統計

れているとします。最新の CMB 衛星 Planck では、約的側面についてです。宇宙論の理論や解析には、統計

5 分角3の角度分解能で、約 40,000 平方度の全天をサー的概念が多く取り入れられています。宇宙論の観測

ベイしましたので、CMB温度ゆらぎ場は約500万ピ

データは、一見複雑です。例えば、CMB の場合には、クセルのデータで与えられ、膨大なデータ量になりま

空の各方向からやってくるCMB 光子の黒体輻射の温す。

度が基本観測量になります。 銀河サーベイの場合は、

しかし、宇宙論の理論モデルは観測したF(θ)場を多数の銀河の空間分布が基本観測量です。これら宇宙忠実に再現することはできません。より正確に言えば、論データをどのようにして定量化し、理論モデルと比再現するモデルを構築するためには、データの自由度

較できるのでしょうか? この宇宙論解析で用いられるに匹敵するパラメータを導入する必要があり、見返り

作業過程、またその前提になっている仮定、さらにはの小さい、無駄な努力を払うことになります。そこで、その限界は何でしょうか? これらの疑問を解説するこ宇宙論の解析では、宇宙原理を仮定するのが通常です。

1とが今回の記事の主題です。ここで解説すること以外•宇宙は統計平均的な意味で一様かつ等方であるにも、宇宙論と統計の境界領域の進展は近年目覚しいものがあります。この記事で触れるテーマは、そのごく一部であることに注意して、話を進めたいと思います。

40

今回の記事では、主に宇宙論のゆらぎ場に着目します。
以下の議論では、空間の次元数は本質的ではありませんので、3次元の場合についても同様の結論が得られます。
3
1 分角は 1 度角の 1/60 の大きさ。

1

2Kavli IPMU News No. 26 June 2014

図1 宇宙論解析の流れ（2 次元データの CMB の例）。宇宙論ゆらぎ場 F (θ) の測定（左上図）。ゆらぎ場のフーリエ波数分解（右上図）。右下図は、パワースペクトル推定の結果。灰色点は各波数ビンでの測定値。エラーバーを伴う青点は、複数の波数ビンで測定値を平均した結果。エラーバーとして、有限数のフーリエモードしか測定できないという事実から生じる標本分散および検出器などに付随するエラーが考慮されている。実線はベストフィットのΛCDMモデルの理論予言。統計誤差内で観測データを良く再現している。左下図は、測定とモデルの比較により得られた宇宙論パラメータの推定結果の例。パワースペクトルの統計誤差をパラメータの決定の信頼区間に伝播させている。

という原理です。要するに、宇宙には特別な場所ある解を考えましょう。フーリエ分解とは、F(θ)場を以

いは方向が存在しない、あるいは我々の天の川銀河は。
下のようにモード分解する方法です（図 1 の右上図）

宇宙のなかで特別な位置に存在するわけではない、という民主的な考えです。
この宇宙原理を受け入れれば、我々が観測したF(θ)

F (θ) =1Ωsl

F̃ l ei l ·θ

(1)Feature

場は、広大な宇宙のなかに存在する母集団の { F(θ) }簡単のため、天球の曲率は無視し、天球上の観測領域から得られた典型的な標本サンプルと考えられます。

を2次元平面と近似することにします。観測領域の天CMBの例で言えば、宇宙のなかで遠く離れたところにいる観測者（人類とは限りませんが）がCMBを観測した

球上での面積をΩsとすれば、フーリエ分解の最小波
1/2
1/2
数、いわゆる基本波数は lf ~_ 2π/Ωs （Ωs は面積の一としても、我々が見ているCMB温度ゆらぎ場と「大体」

辺の長さ）となります。この基本波数の整数倍の波数、同じものを見るだろうと考えるわけです。この「同じ」つまり l = lf (nx, ny) (nx, ny = ±1, ±2, . . .) の波数で、ゆ程度、つまりどのくらい我々の観測した CMB 場が「典らぎ場F(θ)をモード分解します。フーリエ係数 F̃l は、型的」かを確率的に定量化する必要があります。

F(θ)場が波数 l のモードに対して、どの程度の振幅を観測したゆらぎ場を定量化するために、フーリエ分持つかを表す量になります。

41

波数 l のフーリエ係数は、F̃l = |F̃l |e l と表せるので、法は、宇宙論におけるエルゴード仮定と呼ばれます。

振幅と位相の 2 つの自由度を持ちます。宇宙原理のこの仮定には、統計的不定性を伴うので、後に述べる

統計的等方性から、位相は興味のない量でないことがように観測者がモデル化する必要があります。

iφ予想できるでしょう。 そこで、振幅 |F̃l | の典型的な
4

大きさを特徴づける統計量として、パワースペクトルを定義します。

P̂ F (l) ≡1
N mode (l)Ω s| l |∈ lF̃ l

3. 原始ガウシアンゆらぎと標本分散
前節では、宇宙論で良く用いられるパワースペクト

2(2)

ルという統計量を定義しました。実は、パワースペク
トルが観測データの「全て」の統計的情報量を記述す

Σ|l' |∈l は、ビン幅内で |l'|∈l を満たす全てのフーリエる場合があります。そんな都合の良いことなんてある

モードについての和とします。Nmode(l)は和に含まれるの? と思われるかもしれませんが、あるのです。以下

独立なフーリエモードの個数です。

に見るように、宇宙は統計的にも単純で、美しいので

N mode (l) ≡| l |∈l

す。

2πl ∆ l(2π ) 2 / Ωs(3)

本記事では宇宙論のゆらぎ場に着目していますが、

CMB温度ゆらぎ、宇宙の大規模構造など、宇宙に存∆lはビン幅（観測者が決める量）です。2πl∆lは、フー

在するゆらぎ（非一様性）の起源を説明するのがインリエ空間における半径 l、幅 ∆l の円環の面積（2次元）

フレーション宇宙シナリオです。ビックバン宇宙の始であり、(2π) /Ωs = l は基本波数で決まる面積要素で、宇宙が指数関
まりに（起こったと信じられている）

す。この操作により、2次元データの膨大な情報量 を、数的に膨張したというシナリオです。インフレーショ

l の関数で与えられる1次元スカラー量のパワースペ

ン時は、宇宙そのものも非常に小さかったので、インクトルに圧縮しています。宇宙原理に基づき、波数ベ

フレーション膨張を起こす場（インフラトンと呼ばれクトル l の方向依存性を無視し、大きさ l = |l| を満たる）の量子化を考える必要があります。量子力学の不すフーリエ係数を全て同等と見なすことで、その振幅

確定性関係より、インフラトン場は必然的に量子ゆらの平均がパワースペクトルです。フーリエ係数の振幅ぎを持ち、その量子ゆらぎがインフレーション膨張でを定量化する統計量としては、最も単純なものと言え引き伸ばされ、古典ゆらぎを生成したというのです。

るでしょう。

場の量子論では、異なる波数ベクトルのモードは異な

2

2
f

5

地上の物理実験との違いは何でしょう? 地上実験のる量子状態に対応します。通常のインフレーションモ

多くの場合、実験は何度も繰り返し行うことができま

デルでは、インフラトン場への相互作用の影響は小さす。多数の独立な実験結果の平均値と分散を取ること

いと考えられ、異なる波数の量子ゆらぎはほぼ独立でで、実験結果の期待値と統計誤差を直接推定できるのあったと考えられています。つまり、インフレーショです。しかし、宇宙論では観測領域は一つ、あるいはンによって生成された古典ゆらぎを ζ̃ k（曲率ゆらぎと

全天サーベイであっても宇宙は一つしかありませんの呼ばれる）とすれば、以下の条件が満たされることにで、これができません。このように、独立な事象（リなります。

アライゼーション）によるアンサンブル平均を、観測
データ内の同等の標本（サンプル）平均で代用する方
45

異なる波数モード間でそろった位相が存在すると、結果の場 F(θ) には指向性が現れます。
3次元データの場合も同じ。

423 3〈ζ̃ k ζ̃ k'〉 ≡ Pζ (k)(2π) δD(k+ k')(4)Pζ (k) は原始パワースペクトルです。δ3D (k+k') は3次

Kavli IPMU News No. 26 June 2014

元のデルタ関数で、異なる波数ベクトルのモードは独測定することは、インフレーション理論から動機づけ立であることを保証しています。
また、
インフレーショられた自然なアプローチになります。しかし、前節でン膨張が等方である限り、原始パワースペクトルの等述べたように、有限観測領域からパワースペクトルを方性、すなわち Pζ が波数の大きさ k = |k| にのみ依存推定する際には、ゆらぎ場の有限モード数（標本）にすることも自然に帰結されます。ここで、記号 〈 〉 はア

11
起因する統計的不定性を考慮する必要があります。

ンサンブル平均を意味します。

この不定性は標本分散（sample variance）と呼ばれま

このようにインフレーションは、ほぼ自由場の量子す。この統計的不定性は、推定パワースペクトルの共

ゆらぎというランダム過程で、宇宙全体に等方的な古分散で与えられ、ガウシアン場については厳密に計算

典ゆらぎを生成するのです。より正確には、古典ゆらできます。

ぎ ζ̃ k の位相は確率的な変数（ランダム）であり、そCov[P̂F (l), P̂F (l )] ≡ P̂F (l) P̂F (l ) − P̂F (l) P̂F (l )の振幅は量子ゆらぎがどのくらい引き伸ばされたかという物理的な情報を含み、その典型的な大きさは原始=

パワースペクトル Pζ (k) で与えられます。これは原始

2
Nmode (l)δ llK PF (l) 2(5)

古典ゆらぎ場 ζ(x) がランダムガウシアン場であると

ここで δ llʹ はクロネッカーのデルタ関数で、ビン幅内いうことと等価です。ガウシアン場は非常に単純な統で l=lʹ のときδ llʹ = 1、それ以外は δ llʹ = 0 と定義されま計的性質を持ちます。偶数次の多点相関関数6は 2 点

す。このように、ガウシアン場の共分散行列は対角成相関関数（パワースペクトル）の積で与えられ、奇数分しか持ちません。言い換えれば、異なる波数ビンの次の多点相関関数 は場の対称性から、ゼロになりま

12
パワースペクトルは独立であることを意味します。

す。つまり、ガウシアン場の統計的性質はパワース

非ガウシアン場の場合には、パワースペクトルの積でペクトルで完全に記述されるのです。

は表現できない4点相関関数の寄与を考慮する必要が

7

K

K

K

宇宙論の構造形成の問題とは、インフレーションなあり、一般に異なるビン間のパワースペクトルの相関どで与えられたゆらぎの初期条件から出発し、輻射優が生じます。実際の測定では、検出器のノイズの影響

勢期、 物質優勢期、 そしてダークエネルギーが卓越等を考慮する必要がありますが、今回の主題ではありする加速膨張期と変遷する膨張する宇宙のなかで、光ませんので、無視することにします。

8

9子、バリオン、ダークマターなどの各成分のゆらぎの

上述の共分散行列は、ある面積 Ωs の観測領域リア

力学的進化を解くことです。ゆらぎの振幅が小さい限

ライゼーションから各波数 l のパワースペクトル P̂F (l)り、この多成分の力学進化は、アインシュタイン方程を推定したときに、その測定値が期待値（真の値）ま式とボルツマン方程式を組み合わせた力学系を「線形」

わりに分布するばらつきの大きさ（±1σ）を与えます。

摂動理論で調べることができます。線形解析では、異つまり、統計誤差のことです。このことから、各波数なる波数のフーリエ成分はそれぞれ「独立」に時間成

ビンでのパワースペクトル測定の統計的有意度は、長します。すなわち、ゆらぎが線形段階にある限りは、

例えば、4点相関関数であれば、〈ζ(x1) ζ(x2) ζ(x3) ζ(x4)〉。
例えば、3点相関関数であれば、〈ζ(x1) ζ(x2) ζ(x3)〉。
8
宇宙の全エネルギーに対して、光子、ニュートリノなど相対論的粒子が支配的な時期。
9
宇宙が膨張するにつれ、相対論的粒子のエネルギー密度が減少し、ダークマタ
ーなど非相対論的粒子が宇宙の全エネルギーに対して支配的になる時期。
10
例えば、天球上の各ピクセルで観測された温度ゆらぎの分布関数を調べると、その分布がガウシアンで非常に良くフィットできる。
11
宇宙の大きさは、我々の観測領域より大きいので、量子ゆらぎの波数刻みは、観測者のフーリエ分解能よりも常に高いと考えられます。つまり、観測するフーリエモードは多数の量子ゆらぎ起源の独立なゆらぎで構成されていると考えられます。
12
係数2は、ゆらぎ場の実数条件 F̃l = F̃ *−lという条件から、フーリエ係数の自由度が半分になることにより現れます。

ゆらぎの統計的性質は原始ゆらぎのものを保持することになるのです。実際に、観測されるCMB温度ゆら
ぎはガウシアン場と矛盾しないことが示されており、インフレーションシナリオをサポートする一つの証拠10となっています。

このように、宇宙論データからパワースペクトルを

6

7

43

FeatureP F (l)σ (P F (l))

2

よる誤差が効かない、標本分散による統計精度まで実

N mode (l)
=
2

(6)

験結果が達成していることです。つまり、人類は（温度
ゆらぎについては）CMBデータから引き出すことが可と見積もれます。ここで、σ(PF(l )) = Cov[(P̂F (l ), P̂F (l)]能な全ての統計情報を宇宙論に用いることに成功したのです。このように、統計的有意度はパワースペクトル

です。

1/2

の値に依存せず、波数 l まわりのモード数 Nmode(l) に

以上ここまでの話をまとめると、(1) 宇宙原理の統のみ依存することが分かります。Nmode(l ) ∝ Ωsl∆l で計的一様性、等方性を仮定し、興味あるゆらぎ場の統あるので、観測領域（Ωs）が大きいほど、波数 l が大計的性質を測定するために、一次元関数であるパワー

きいほど、またビン幅∆lが大きいほどパワースペクト

スペクトルを測定すること、(2) エルゴード仮説、つまル測定の有意度は高くなります。

り観測した領域が宇宙の典型的な標本であると仮定

図1の右下図は、Planck衛星によるCMB温度ゆらぎ

し、パワースペクトルの測定に伴う標本分散をモデルのパワースペクトルの測定結果を示します。波数 l（厳化すること、(3) インフレーションシナリオが予言する

密には球面調和関数の展開次数）が大きくなるにつように、（線形段階の）ゆらぎ場がガウシアンである

れ、パワースペクトルの測定精度が向上しているのが場合、ゆらぎ場の統計的性質はパワースペクトルで全分かります。各 l ビンのパワースペクトルの測定値まて決定されること、を述べてきました。これら (1), (2),

わりの誤差棒は、上述した標本分散と検出器のノイズ(3) のいずれかの仮定が破れれば、パワースペクトルの寄与を考慮したものです。

以外の統計量を用いる必要があることになります。

パワースペクトル推定の統計誤差が与えられれば、理論モデルと比較することができます。

4. 宇宙の構造形成: 重力の非線形性

P̂F (l) ←→ PFmodel[l; Pζ (k), Ωm0h2, Ωb0h2, Ωde, ...]

(7)

前節までは、CMBゆらぎ場に代表される、線形かつガウシアンゆらぎ場を考えてきましたが、この節右辺は、理論モデルによる F 場のパワースペクトルでは加速膨張する宇宙の探査を目的とする銀河サー

が、原始パワースペクトル、その他宇宙膨張を記述す

ベイから得られる宇宙論データを考えてみましょう。

るための宇宙論パラメータの関数として与えられるこ

CMB以降の物質優勢期のゆらぎの力学進化は、主にとを意味しています。これはゆらぎが線形成長する限ダークマターの重力により引き起こされます。重力のり、正しい仮定です。まず、統計誤差内で、理論モデ

不安定性により、ダークマターの空間分布の非一様性

ルが観測データを再現することができるかどうかを調が増幅され、現在観測される、銀河、銀河団、さらに。次に、統計誤差が許すべます（図1の右下図参照）

銀河の分布で見られる宇宙の大規模構造が形成された範囲をパラメータ決定に正しく伝播させることで、各。こというシナリオです（以後CDM構造形成モデル）

パラメータの決定の信頼区間（C.L.）を求めることがの CDM構造形成モデルでは、より小スケールの構造できます。Planckチームは、このような作業過程を用から形成され、徐々に大きなスケールの構造が形成さいて、ダークマター、バリオン、宇宙年齢などのパラれたという、ボトムアップ的な階層構造形成シナリオ

メータを高精度で決定したのです。図1の左下図に示を予言します。

されているのは、そのような例の一つです。特筆す冷たいダークマターの仮定は、その熱的速度が小さ

べきは、Planckの場合には、すでに全天データが存在、重力のみで相互作用する、という性質
い（冷たい）

し、またl 〜 2000までのデータについては、検出器にです。ホライズン内の領域で、また空間的に粗視化し

44

Kavli IPMU News No. 26 June 2014

図2 冷たいダークマター構造形成モデルに基づく宇宙論 N 体シ
ミュレーションの例。ガウシアン場の初期条件から出発したとしても、非線形重力進化の結果として、ダークマターの分布は複雑な非ガウシアン性を有する。ダークマターが特に集中している領域はダークマターハローと呼ばれる。フィラメントの交差点には、太陽質量の1015倍もの銀河団スケールの巨大ハローが存在することがある（図の中心にある巨大ハローはそのような例）。宇宙全体の総質量に対して銀河スケール以上のハローに含まれるダークマター質量は数10%にも及ぶ。一方、70%ほどの体積比は、ダークマター密度が平均より少ない、質量密度
ゆらぎが負になっているボイド領域が占める。このような非対称性より、ダークマター分布は、ゼロでない多点相関関数を持つことになる。

た観点では、ダークマターの質量密度場、速度場は、進化を始めるのです。原始ゆらぎがガウシアン場が膨張宇宙における渦なし、無圧力の流体の方程式系にあったとしても、重力の非線形性がダークマターの空従うことが示されます。

間分布にガウシアン性を誘発するのです。その非ガウ

13

∂δm 1
+ ∇ [(1 + δm) vm ] = 0∂ta
11∂vm ȧ
+ vm + (vm · ∇ ) vm = − ∇ φ
∂t
a
a
a

ス性の程度は、小スケールほど、また現在に近い低赤方偏移ほど大きいことになります。

(8)∇ 2 φ = 4πG ρ̄ m a2 δm

このように、現在の宇宙のダークマターの分布の統計的性質は、パワースペクトルの情報だけでは記述できません。実際に図2に示されるような、CDM構

a(t) は宇宙のスケール因子であり、宇宙膨張とともに造形成モデルのN 体シミュレーションの研究は、ダー増加する関数、δm(x) ≡ [ ρm(x) − ρ̄m]/ρm は質量密度ゆら

クマターの分布が一般に3点以上の多点相関関数の値ぎ場であり、vm(x) は固有速度ベクトル場、ϕ(x) は重を持つようになることを示しています。例えば、非ガ

力ポテンシャルです。一様等方宇宙では、至るところ

ウシアン性の情報を持つ最低次の3点相関関数を考えで δm = |vm| = 0 になる宇宙ですので、δmとvm はゆらぎてみましょう。非線形構造の成長の結果として、低密場です。CMB の測定で制限されているゆらぎの初期度領域については、最小でもダークマターが空っぽの条件から出発し、この方程式系を解くことにより、宇領域 (ρm(x) = 0) になりますが、そこでは δm(x) = −1 で宙構造の力学進化を調べることができます。この方程す。一方、ダークマターが密集する領域では、質量密式系から明らかなように、ゆらぎ場の振幅が小さいと度 ρm(x) は幾らでも増幅する可能性があり、実際にNき、つまり |δm| = |vm| << 1（光速 c = 1 の単位系）では、

体シミュレーションではダークマターが密集するダー

方程式は線形化でき、ゆらぎ場は線形進化します。しクハローの中心で密度が発散する領域（δm → ∞）が現

かし、ゆらぎが時間とともに成長し、非線形項（δmvm、れることを予言しています。このように、密度分布の(vm·∇)vm）が無視できなくなると、ゆらぎ場は非線形非対称性により、一般に3点相関関数が値を持つよう進化することになります。つまり、異なる波数のフーになるのです。

、複雑なリエモードが混合し（モードカップリング）
13

厳密には無衝突ボルツマン方程式系を解く必要があり、N体シミュレーションはそれを近似的に解く方法になっています。

以上を踏まえ、宇宙論場の統計的情報量という観点から疑問が生じます。前節で述べたように、線形段階にある宇宙初期ゆらぎはガウシアン場であり、その統

45Feature

co
nt
en
t
inf
or
m
at
ion
ian
Ga
us
s

Cumulative information content: I(<lmax )図3 宇宙の大規模構造による重力レンズ場のパワースペクトルに含まれる情報量 I(< lmax)。ここで考える重力レンズ場とは、観測者と赤方偏移 zs = 1にある光源銀河間にある質量密度ゆらぎ場
を視線方向に投影した2次元場。観測面積として1400平方度を仮定し、パワースペクトル推定の統計誤差として、標本分散のみを考慮した（銀河固有の楕円率によるノイズは無視した）。示すのは、各波数ビンのパワースペクトル推定の統計的有意性（ガウシ
アン場については式 6 を参照）を、最小波数 lmin = 72 から、x 軸に与えられる最大波数 lmax まで積分した量。この場合、I(< lmax)
はビン幅 Δl に依存しない。点線カーブは、重力レンズ場がガウシ
アンの場合の結果、つまり宇宙の大規模構造の初期線形ゆらぎ場が持つ最大情報量。この場合、情報量はモード数の和にだけ依1/2存し（式6）、lmax∝lmaxΩs と表せ、lmaxまでのフーリエ空間での面積3/2 1/2の平方根に比例する（3次元場の場合には、I (< kmax)∝kmaxVs となる。Vs は観測量の3次元体積）。丸点は、図2に示されるような CDM 宇宙構造形成モデルの N 体シミュレーションの結果を用
い、重力レンズ場を再現した疑似カタログを使った結果。この場合、情報量を求めるために、重力レンズ場の非ガウス性のために生じる異なる波数のパワースペクトル間の相関を正しく考慮している。実線は解析的なモデルで、模擬カタログの結果を良く再現している。破線は、観測領域を超えるゆらぎ場による標本分散への影響を無視した場合（詳しくは本文参照）。

Simulation

maximum multipole: l max

計的情報はパワースペクトルが全てです。一方、現在

クマターハロー内で重力的に束縛されているダークマの宇宙では、ダークマターのゆらぎ場は非ガウシアン

ターは、何度もハロー中心回りを振動あるいは散乱し性を有し、パワースペクトル（2点関数）以外に多点てきた軌道を持っていた可能性があり、現在の粒子分相関関数が値を持つようになります。熱力学第二法則

布の情報だけでは、可逆的に初期条件に戻すことは不的な考えから初期条件以上の情報を引き出すことはで可能なように思います。これら中間スケールの弱非線

きませんので、ダークマターの統計量の時間進化を考

形領域では、重力進化がまだ十分に進んでおらず、初えると、非線形構造形成の結果として、ガウシアン場

期条件のガウシアン情報の「大部分」を復元するこのパワースペクトルの一部の情報が多点相関関数の情とが可能かもしれません。
「大部分」と書きましたが、報へ流出したとも考えられます。つまり、疑問はどの程度復元できるかについては、まだ良く分かっていません。実は、銀河サーベイから測定できる、銀河• 現在のダークマターの空間分布から得られる統計のクラスタリング、重力レンズの宇宙論統計量の興味量を組み合わせることで、宇宙初期に持っていたあるスケールはこの弱非線形領域にあります。
この数年、私たちは構造形成の N 体シミュレーショ

ガウシアン情報量を復元できるか?

ンあるいは解析的モデルを用いて、この問題を調べてということです。実は、これは宇宙論の業界で未解決きています。図3は、その研究から得られた結果の一問題になっています。
力学系が時間可逆な系であれば、つです。宇宙の構造形成の N 体シュミレーションを完璧に初期条件に戻せるので、復元は可能でしょう。

使って再現した宇宙の中を光を飛ばし、重力レンズ効CDM構造形成モデルでは、大スケールの密度ゆらぎ

果の観測量を復元した疑似カタログを用い、その重力は、まだ線形段階にあり、ガウシアン性を保っている

レンズ場のパワースペクトルがどの程度の情報量をので、復元は可能ということになります。一方、小ス持っているかを調べた結果です。波数 l が小さいとこ

ケールの強非線形領域にある密度ゆらぎは、初期条件

ろでは、この領域は線形段階のゆらぎの影響が支配的の情報を既に失っているかもしれません。例えば、ダーですが、ガウシアン場から期待される情報量をほぼ復46

Kavli IPMU News No. 26 June 2014

元しています。一方、波数 l が数100以上のところでは、パワースペクトルが持つ情報が大きく減少してい5. 今後の課題

ることが分かります。HSCのような今後のサーベイが

IPMUが進めるSuMIRe計画に代表されるように、今宇宙論に用いる、1 〜 1000のスケールでは、半分以後の宇宙論銀河サーベイは益々大型化し、またダーク上の減少があります。この結果は、パワースペクトル

エネルギー問題に代表される、より難しい、より根源解析だけではガウシアン情報の一部しか復元できない的な問題に挑むことになります。この記事では、宇宙ことを示しています。実際に、別の研究では、3点相論観測データから統計量を測定し、宇宙論パラメータ

関関数が情報を加えることを見つけていますが、それを推定するときの作業過程、その前提になっている原でもまだガウシアンの情報を復元することには成功し理、仮定を解説してきました。CMBの場合は、ゆらていません。4点以上の相関関数も同様に重要かもしぎ場がほぼガウシアンであるために、最大限の成功をれません。

収めています。一方、銀河サーベイの場合には、重力これらの研究を通して、予想しなかった面白い結果の非線形進化の帰結として、どんな統計量が最適であも発見しています。実は、ダークマターのパワースペ

るのか未だ分かっていません。また、有限領域に起因

クトルにおける情報の消失は、主にサーベイ領域よりする標本分散をモデル化する困難さもあります。逆に大きなゆらぎによって引き起こされているのが分かっ言えば、未解決問題が沢山あり、嫌というほど研究たのです。観測領域を超えるゆらぎは観測できないたの余地があるのです。銀河サーベイによる宇宙論をめ、観測領域が、一様等方宇宙より正の密度ゆらぎ領

CMB宇宙論のレベルまで成熟させるのが目標と言え域にいるのか、あるいは負の密度ゆらぎ領域にいるのます。今回は、宇宙論の統計的側面に焦点を当てましか分からないのです。つまり、観測領域内で平均した

たが、今後もこの流れは益々強くなると思われます。

密度ゆらぎは一般にゼロではありません。重力の遠距

新しいアイデアがある方、是非私の方までご連絡くだ

離力、
非線形性の性質により、全ての波長はモードカッさい....特に統計が専門の方、ご連絡お待ちしています!

プリングしますので、もし観測領域が正の密度ゆらぎの領域にいれば、ダークマターの質量密度パラメター

参考文献

が宇宙全体の平均より若干大きな宇宙、つまり正の曲

M. Takada and S. Bridle, New J. Phys. 9, 446 (2007)

率の宇宙にいることと同等になり、観測領域内の全て

M. Takada and B. Jain, MNRAS 395, 2065 (2009)のスケールのゆらぎの成長が加速されることになりま

M. Sato et al., Astrophys. J. 701, 945 (2009)

す。もし観測領域が負の密度ゆらぎの領域であれば、I. Kayo, M. Takada, and B. Jain, MNRAS 429, 344 (2013)

小スケールのゆらぎの成長は抑制されるのです。
実は、

M. Takada and W. Hu, Phys. Rev. D 87, 123504 (2013)

このモードカップリングによる影響が標本分散に最も

Y. Li, W. Hu, and M. Takada, Phys. Rev. D 89, 083519 (2014)

寄与することが分かり、我々はこの効果を定式化する

M. Takada and D. N. Spergel, MNRAS 441, 2456 (2014)

Featureことに成功しました。図3の実線は、この効果を考慮した予言で、N体シミュレーションの結果を良く再現していることが分かります。 逆に、この効果をパラメータに推定に正しく考慮することで、大スケールのゆらぎを制限できる可能性があります。これは非常に面白い可能性で、今後もさらに研究を進めていく予定です。

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