……1…仙‖‖‖＝‖＝州i……………‖曲＝……li‖‖‖＝‖州…l‖‖＝州……‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖…lli……………l…l…ll…‖‖……ll…………l…………州……………l……………………………州………l………1仙−−−−−−−・・÷一一、．、ミ，、 ∴・、…‖…ll……ll………l…‖‖＝‖＝‖‖‖州…仙l…仙Ill冊‖………lll………仙‖………州州仙…………‖……榊‖…l…帥＝…tll州l……lil…‖‖‖‖＝‖‖＝＝‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝＝‖………仙……………ll………t‖‖‖＝‖‖＝‖刷且。窓兎が蓉

究L／ているÅHPのデザイン問題に触れてみようと恩・．・ ∴ ．．∴、、さ・：、ト・、・、．

・．・

、、

とって今やまったくポピュラーなものになったと言える。 刀根煮氏、真鍋氏等のわかりやすい解説書閃囲も認。 鳳登壇㌘磨撼

多く出ているし、この数年聞の0隠学会の研究発表会

物理学や二仁学でをま、長さとか重さとか時間とかの物での発表も極めて多』、。私自身もÅ観㌘についていく理螢が基本尺度となるが、それらを測定すれば測定値つかの研究論文を書いてみた。

として実数が得られる。こうして実数上で厳密な計算

こう≠ノて応用面ではともかく、論理薗ではもう研究が行われ、そして得られた結論から設計や施行が行わするべきことはなくなったかなと思った矢先、昨年夏れる。しかし企業において、あるいは十一般の社会におのバンクーバ、−でのÅ既Pのシンポジュウムに出席しいても、このような自然科学的過程で測定しきれないたとき、そこでÅⅣP（Åmaly七icNe七wo洩Process）関係問題が山小杯ある。それは「コンピュータの使いやすさ」の多くの研究発表を聞いて、ÅH㌘がすでにÅⅣPへとであったり「従業員の能力評価」であったりするが、こ発展しつつあることを痛感させられた。

れらは上記のような自然科学的手段では計量不可能

またそのとき、Saa七y氏から出席者全員に御自身の・ ・．・、、 ・ニ、：、一 二ご、：・：．，．．．． ・である。
このような問題に対しては、人間の直感的判断に頼れを読んで、ここに多くの問題があることを知った。

らざるを得ないが、入間の直感というものは上記のよまた後程特集でいくつか紹介されると思うが、木下氏

うな自然科学的計量に比べると主観的でいかにもあの一連の論文など竜）ÅⅣ伊の思想に近いものがある事

いまいであるかに思われがちである。しかし、人間のが分かって来た。

判断は無理な物理的測定などよりはるかに的確であ良く考えてみるとこれらの基本にをま「評価」というる場合も多い。Å班別ま、このような人間の判断をい問題が横たわっていることが分かってきたが、その基かに合理的に総合化するかという問題に一応の解決

本は意外に単純な原則に基づいていることが見えてを与えたと言える。

くる。以上のような経過をたどっていた頃丁度上田氏からのご依頼もあって、この講座をまとめてみること∴二 ∴ミミ∴‥ミ∴．こ：ニー1がの鼠ワ、脚力山の皆様に多少とも参考になるのではなÅ斑㌘の第一の特徴は、評価というものを絶対評価いかと思った次第である。
講座としての特徴を考え、まずÅ班Pの基本からはじめ、対数最′j、二乗怯との関連、不完全情報の解析法、函澤氏がよく研究しておられるb温孤ayy問題とグラフ論的問題にれも特集で紹介される予定）、などÅ朋畢の諸問題を紹介し、その後上記のÅN㌘関連の問題を言及し、もし余裕があれば最近我々の研究室で研でなく一対比較による相対評価に基づいて行うというところにある。例えばここに芥川賞に応募した陀編の′j、説があったとする。これを評価して順位をつけた
い。このとき−了つ川一つの作品を読んで、Åは80点，Bは75点，・‥などと絶対評価をすることは極めて難し
いし無理があるが、例えばそれぞれを比べてみたら「Åは潤より良い〟】とか「同程度である−1という位は言

たかはし いわろう 田本大学生産工学部〒275千葉県習志野市泉町乱−2−1えそうである。
阜）う少し欲を言えば、「ÅはBより非常によい」という良さの程度を表すことまでも許すとすれば、一対36© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ砂リサーチ

行列の固有値とか固有ベクトルを扱う、いわゆる固比較の結果は、有値問題は、数学に不慣れな方には違和感を持つか「AとBとは同程度」

もしれないが、自然科学の諸分野はもちろんのこと、「AはBより良い」（これは「BはA社会科学の分野でも、多変量解析の中の主成分分析やより悪い」と同義とする）（1）

因子分析、数量化理論など、固有借間題は随所に顔を「AはBより非常に良い」（「BはA出してくる。このAHPでもまたこの固有健闘題が出より非常に悪い」と同義）てきたわけで、その重要さが痛感される。この際ぜひの5通りで表現される。

マスターされることをお薦めする。大抵の線形代数のさらに「AはBより極度に良い」と本にはその解説があるが、後の発展のことを含めて考度の段階を増やすこともできようが、どの程度まで段え、またAHPやANPへの応用としては、［5］が適当と階を増やすかは各々の問題によっても異なるし、一概思われる。に極めることは適当でない。

2．．3 固有値問題

話を一般的にするため、上記の小説を改めて1，2，…，乃の番号で表そう。そして番号戎とjとの比較の簡単に言うと、れ×犯行列Aの固有値入とそれに対す結果をあるパラメータ8（これは大きさが1より大なる固有ベクトル髄T＝【勘…髄陀】とは適当な実数値とする）を用いて、
A祝＝入伽

（4）

「五がjより良い」ならα宜ゴ＝∂を満たすスカラースとベクト′hlを言う（伽は列ベクト「jが宜より悪い」ならαj去＝1／8「五がjより非常に良い」ならαまj＝∂2（2）ルであるが、その成分叫，…，視れを列ベクトルのままりが壱より非常に悪い」ならαj壱＝1／β2

書くとスペースを取るので、上のようにその転置≠r「戎とゴが同程度」なら旬＝1で表すことが多い。）（4）を満たす入は、A一入∫（∫は陀×乃の単位行列）ので定まるαij（豆，ブニ1〜柁）を考え、れ×乃の行列行列式IA一入∫lが0となる条件、
A＝rα壱プ］

つまり固有方程式（3）lA一入∫l＝0（5）を作る。このAを比較行列（comparison matrix）と呼ぶ。Aはα混＝1（壱＝1〜れ）であり、αゴ宜＝1／勒という性質をもつが、このような行列を逆数行列と呼んでの解として定まるが、（5）は入のれ次代数方程式で、一般に㍑個の根を持つ（重根があれば異なる固有値の個数は犯より′J、さい）が、これらをAの固有値といいそいる。

実際の計算に際してはパラメータ∂（＞1）の値を具体的に定めねばならないが、どの位が適当かは無論問の中で一番値が大きな物が最大固有値入maxである。
叫般の行列の固有値は必ずしも実数になるとは限題によって異なるが経験に依ると、♂＝2〜3程度が良らないが、比較行列Aの要素叫は全て正であるからいことが分かる。創始者S姐ty氏は比較行列の値を1

その最大固有値は常に実数であってかつ正であり、かから9までの固定した値（とそれらの逆数）で表現しつ（5）の根として単根であることがフロペニウスの定ているが、私は上記のパラメータ法の方が自由で自然理から証明されているt5】。比較行列Aでも最大固有値であると判断してこれを用いることにしている。

以外の固有値は実数でなく複素数になることもあるが、その場含も絶対値はÅmaxより小である。

2．2 統合化

さて（5）の解としての固有値入が定まると、それに上に得られた一対比較の情報、これが比較行列Aで与えらているわけだが、これをいかに統合化するかという所にAHPの第2の特徴がある。Saaty氏はこれを比較行列Aの主固有ベクトル（Aの最大固有値に対する（4）の解≠がこの人に対する固有ベクトルである。例えば主固有ベクトルはA≠＝入max‰

対する固有ベクトル）によって与えることを提案しの解として定まるベクトル ％であるが、（6）を（A一ている。つまりAHPの第2の特徴は固有ベクトル法Åmax∫）祝＝0と書き換えてみると、これは伽についてにあると言える。の同次方程式である。そこで髄＝0が解であることは1998年1月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（6）37すぐに分かるが、これを自明解（もぞ五Ⅴ五aisol血om）と呼るという結論になるのである。むろんこの値自身はβんでいる。自明解以外にも解があるということが固有の値に依存する。βを増せばそれらの統合評価の差は

健問題のミソとも言える。

大きくなるである。ためしに♂＝3として計算をして（釦 の幽明解以外の解、つまり非自明解触が実はAmaxに対する固有べタトル、つまり壷固有ベクトルなのである。掩）の形からすぐわかるように、髄が（6）の解ならその任意のスカラー倍c髄も（6）の解となる。したがって童固有ベクトルのスカラい倍はまた室

みるとÅm弧＝乱乱36，髄γ＝仲583，0．28且，の。且35〕となるが、これらの順位は不変である。
r例2〕陀ニ4の例として′lHり
♂
βU
且．4

lβ′′′ ♂

1⊥′′′

且β

−⊥

頂皿 ′／

一咤⊥

β′／
且

ハ〃β
州且 ノ／ ／

3︵柑V爪形V誹塾

は、サべての成分が正である主固有ベクトルが存在す︿⁝ぴ3c＝＝叫凋 とおけばc髄の成分は負になるから、正確に′′／乱っノ魚二‥・

J．∴㌍■．∴川上1√㌧小lも＼サべて正であることから）、査閲有ベクトルの成分は¶皿且から言えることだが、b通が比較行列なら（その要素がすべて正であるE5ユ。（髄の成分がすべて正であっても，

爪孟

瑠皿

蘭有べタトルである。濠たこれもプ闇ペニタスの定理

を考えると、β＝2として計算するとる、と言うべきではあるが。）
以上を定理としてまとめておこう。

．、、 ‥・・■ 、、し：・・：−▲、∴、●・−、∴∵こニ■∴●∴．・、

定理見 過をÅH捌こおける（3）のような比較行列であるとすると、その最大固有値Åmaxは、固有方程式（5）の単根であり、（実数で）正の値をもつ、またそれに対応する主固有ベクトルの成分はすべて正である。となる。
この場合Aをみると、且は2より良く、2は3より良く、3は且より良いことを示しているが、これは一見矛盾であるが、人間の判断の中にはこうした矛盾はしばÅ盟Pで、総合評価として何故主固有ベクトルの成しばおこる。ÅHPではこのような矛盾も許容して計分を用いるかの理由は後ほど詳説するが、とりあえず算を遂行する。しかしこれを後で述べる整合性といういくつかの例を示そう。

尺度によってその矛盾の程度を求め、これがあまり大きい場合は、整合性のない判断として捨てさるなどの望。魂 数値例

適当な処置をとる。

この辺で簡単な数値例を通して以上の話をたどってみよう。

この整合性が極めて悪い場合には、βの値によって、順位が逆転したりすることもあるが、整合性が良い場［例丑1陀＝3として、比較行列が合には順位の逆転はあまり起こらないことが経験上3づト且知られている。

∵仙／

β′′ノ
且

βノ／

イ⊥rl﹂

βハくし＼にE南もイ︑／
βハ‖伊州且

ハブ

乱こいノル

鬼

／′⁝J−1﹂∵﹁しl＼J‖⊥

さて以上のような主固有ベクトルを求めるのに（恥（6）のような定義に従って直接計算することは極めて効率が悪いし、殆ど不可能である場合も多い。現
在ではパッケージなども利用できるが、やはり借物でのとき、β＝2として計算すると、最大固有値と主固なく自分で計算法をわきまえておくことが、色々な意

有ベクトルは味で重要であると思うので、ここではよく知られたÅmax＝乱￠54フ 髄ア＝［り。493，り創且，￠。且96］

パワー法（べき乗法）と呼ばれる方法を、この講の付録に紹介しておく。となることがわかる。上にのべたように固有ベクトルはスカラ山倍が任意であるから、その成分の和が且となるように基準化しておくのが普通である。

慧。5 階層構造Å盟Pの特徴は一対比較値を原データとして、そのこの例では過より、且は2と3より良く、2は3より統合化として主固有ベクトル法を用いることであるよいという結果を示している。このときβ＝2とすることをのべたが、もう一つの重要な特徴として、階層と、且，2，3統合評価がそれぞれの白493、の創且、の．且96とな（鮎ie『a訂Chy）構造がある。

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オペレー【ションズ。

】jサーチ

話をはじめの芥川賞応募作品の評価の問題に戻そう。作品の良し悪しと言っても、実は色々な観点によって異なってくるのが普通である。つまり評価の基準が変わると、良し悪しも異なってくるわけである。
この例で言えば、評価基準として、文章の華麗さな評

どを中心とする文学性、思想の深．さとしての思想性、

文

価−●・

着想の豊かさや新鮮さを問う着想性などがありうる。

基
準

そこで文学性を評価基準としたときの一対比較を思叫行い、その比較行列の主固有ベクトル‰r＝［叫，叫」が作られ、さらに思想性、着想性のそれぞれ．．りに対して評価ベクトルuT＝［叫，‥．，γれトぴT＝［ぴ1，2…，Wれ】が作られる。

3

さてこれを総合化するには、評価基準そのものを対象として、この重要度をやはり一対比較と主固有ベク

図1

トル法によって決定する。つまり、文学性一思想性、文学性一着想性、着想性一思想性の重要度を一対比較

乃×れ行列Aの最大固有値入ma又とそれに対する固有によって、値ベクトル‰を求めるには、入maxが実数で単根である場合はパワー法が最も簡単で、効率的である。幸い

同程度、より重要、非常に重要にしてAHPの場合は定理1に示したように、上の性等の結果を得、βによってこれを比較行列にまとめ、質をもつので、パワー法を用いることができる。

その主固有ベクトル［α，む，C］を得たとすれば、各評アルゴリズムはつぎのように簡単である；

価基準の重要度はそれぞれ，α，b，Cであるとみなすわ
1．初期ベクトル髄（0）を選ぶ。1↓（0）としては理論上けである。（ここでも重要度ベクトルは基準化されてはゼロベクトル以外なんでもよいが、AHPの場いる、つまりα＋あ＋c＝1としておく。）

合はこうして作品五の総合評価借手宜として壬￡＝α勘＋むγ亘＋cび宜（豆＝1，2，‥り陀）（7）≠（0）γ＝【1／m，1／れ，．‥，1ノ旬を用いようというのが、AHPの考えである。今後のたがよいだろう。

め（7）を行列形式で
ぴ

1⁝

：．

：．

祝叛

2

祝

ぴ

2111

12．た＝1，2，3，…に対して（8）γ（た）＝ A可た−1）γ（た）T ＝［叫（た），…，Uれ（た）】叫1l）−1 祉Inと書いておこう。ベクトル叫γ，ぴおよび【α，む，C】は可た）＝ Ⅴ（た）／壬（た）すべて基準化されているから総合評価ベクトルも基

f（た）＝ ∑｛（た）γl

準化されたベクトルげ＝［電1，t2，‥．，去れ］になる。
この総合評価の方法は図1のように示すとわかりを計算すると、大きなたに対して、壬（た），‰（た）がやすくなるが、これが階層的になっているので、AHP一定の値に収束する。その収束値が入maxおよびにはbierarchyの名があるのである。図1では作品の主固有値ベクトル‰である。

例を書いたが、AHPでは一般に評価対象のことを些筆墨（alternative）と呼ぶことが多い。
［附録レ〈ワ一法（べき乗法）：最大固有値および主固有ベクトルの求め方

1998年1月号（9）j＝1

注1（9）式ではf（た）をγ（た）成分の和と定義している。AHPの場合v（た）の成分はつねに正であるから、これでよいが、一般の場合は、f（た）としては、即（た）の成分の2乗和の平方根を用いるのがよい。

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参考文献
囲刀根糞：

ゲーム感覚意思決定法

訂4jT血血Sa叫： 甘払e Ama輌c Ne七wo洩P甘OCeSS ，■ ・・：′・い．、 ■・ニ上，田科技連出桝伊嵐岩殊岩堀，上殊奥野，高橋ニ 行列とその応−●−−−−一用 ，紀伊国屋書店担987）。

間二榔観菊」真鍋竜太郎鰍 AⅢP事例集 ブ 田科技連動版仲拍恥「● ‥・・・・∴‥・．い．・・・∴、、、∴、．‥−−．、−‥・ J．：1‥・ニ．・ヽノ†′ヽノヽノヽJヽノヽ√−ノヽノヽ′︐−ヽ′ヽ′ヽ′ヽ′′ヽ／

こ∴フ三∴ 、−￣・J． ∴∴ ・ −・：こ：・†∴．ミキ≡1●−−′・・凛・・ざぶ：：ヌこ、∴√、隼輔−ごこ！、木・∵、中∵・J、・車iざこ㌔こ・、∴：・・．ニー、．しミ：こ∴・㌻∴
本誌の1996年8月号に会告として掲載しましたとおり9 本学会は創立40周年記念事業のうちの『⑳択抜興のための国際協力事業く支援三大和ハウスニⅠ二葉㈱〉』の−一環としてヲ 5年間にわたり9 の記聞係の優れた若手研究者の国際会議等への参加費用の支援を行いますひつきましては9 下記要領により第2固の助成の募集を衝いますので9 奮ってご応募ください。
詑E応募資格］ 下記のすべての条件を満たす方。
1。本学会の正金眉または学生会員であること
2∩ 申請書提出時に大学の博士後期課程に在籍している学生9 あるいは大学凸非営利の研究機開に所属している研究者で9 他の財政的援助を得にくいこと。
3。199∂年3月31日現在で年齢35オ以下であること（ただし，予算に余裕があった場合には37オ程度まで考慮する可能性があります）。

4。且998年4月から且999年3月までに海外で開催されるの隠関係の国際会議に出席して論・文を発表する予定であること。
5。本事業による助成を受けた経験がないこと
i：・・主；−…」一

本学会事務局に『ax（￠3−38且5h3352）で申請要項を請求してください（電話での請求は極力御遠慮くだきい）。『axで要項を送付しますので9その指示に従って必要書類を調え，事務局へ郵送してください。
巨募集締・切］

乳998年2周東田（必着）E選考方法∃

採否および援助額の決定は9 選考委眉会を設けて布います◎ 選考に際しては，Ⅰ『ORSおよびÅPORSが主催あるいは共催する会議に若干重点を置きます。採用者数は数名（5〜10名程度）の予定です急 援助額は9 渡航費十滞在費＋会議登銀費を越えない範囲で決定します。選考結果
はヲ 塾月上旬頃に応募者に個別に通知する予定です。

嶺㌘© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ匂Ijサーチ