AHPの世界

第3回 新しいAHPの動向
木下 栄蔵………lll………ll‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖＝‖‖‖‖‖州l‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝川である．

1．ベルトンとゲアの反例［1］次にレベル3に示した3人の候補者を三つの評価基

例えば，日本の次期総理候補に，A，β，Cの3氏準に基づいてそれぞれペア比較する．その結果は，表が浮上したとする．そして評価基準として，α（経済2のようになる．これら三つのペア比較マトリックス

政策），∂（外交政策），C（人気）の3要素が選ばれのそれぞれの最大固有値（いずれも人max＝3）に対たとする．さて，この間題をAHPで分析するため階する固有ベクトルは，層構造にしたのが図1である．

抑言＝（1／11，9／11，1／11）

そこで，レベル2の三つの評価基準（α，れc）が相紺g＝（9／11，1／11，1／11）

対的にどれだけ次期総理の選出に影響しているかを，

紺J＝（8／18，9／18，1／18）

経験と勘で判断する．それには，これら三つの評価基準のうち二つずつを比べて，表1のようにまとめる．
この場合，すべて同じくらい重要なので，「1」という数字が入る．このマトリックスの最大固有値（スmax＝3．0）に対する固有ベクトルⅣは，である．
ところで，代替案の選出基準の重みを方とすると，
ガ＝［紺。，紺b，紺。］Ⅳとなる．
この例の場合，h8lh8l00

11181／′／

9111′／

11l′・／C191

一方＝β′／

l9

11／．4C〃Ⅳr＝（1／3，1／3，1／3）となる．したがって，各代替案の選好順序はβ＞A＞Cである．ただし，表1と表2に示したペア比較
マトリックスはすべて首尾一貫性がある．

ところで，ここに新たに，β氏も候補者の1人として浮上してきたとする．そこで，β氏も加えた4氏による評価をする．ただし，三つの評価基準の重み

図1次期総理の選出に関する階層構造
表2 次期総理候補における三つの評価基準のペア比較

表1評価基準に関するペア比較
α 占 cα111

∂111

C 111

α」 β Cd 11／9 1

β 9 1 9C 11／9 1
C d

占 d β C d 1 9 9 β 1／9 11 C 1／9 11

β Cd 1 8／9 8
きのした えいぞう
名城大学都市情報学部〒509−0261可児市虹ヶ丘4−3−3
2003年10月号

β9／8 1C

1／8 1／9 1© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

9（49）丁61Ⅳ，ならびに各評価基準に関する3氏（A，β，C）のるからである．しかも，A，β，C，3氏の評価に関ペア比較の値は変えないとする．その結果，三つの評するペア比較マトリックスの値は，β氏が加わって価基準に関する4氏のペア比較マトリックスは表3にも変わっていないのである．

示すようになる．しかも，新たに代替案が加わっても実はこの順位逆転現象はベルトンとゲアに指摘され首尾一貫性は保たれるのである．さて，これら三つのたものであるが，AHPの提唱者サーティはこの種のマトリックスのそれぞれの最大固有値（いずれも逆転は受け入れられると反論している．なぜなら，追人max＝4）に対する固有ベクトルは次のようになる．

加された代替案（この例ではβ氏）が，今までの代抑g＝（1／20，9／20，1／20，9／20）

替案のコピーならば，その代替案の評価値（重み）が紺g＝（9／12，1／12，1／12，1／12）

下がることは明らかにされたからである．表3をよく紺J＝（8／27，9／27，1／27，9／27）

見ると，β氏はβ氏のコピーであることがわかる．

したがって，各代替案の重みをズとすると，この場例えば，同一人物でなくても各々の評価基準に対して合，同じ評価を受ける人物である．このように，コピー代替案が追加されればされるほど該当する代替案の重み

a b c．4 l／20 9／12 8／270．379／201／12 9／270．29

C 1／201／121／270．06

9／201／12 9／270．29

1章で紹介したベルトンとゲアの反例をめぐって，となる．すなわち，各代替案の選好順序はA＞β＝β

サーティとバルガスの反論［3］，およびベルトンとゲ＞Cである．

アの申反論がある［4］．しかし，AHPにおいて，コ

β．方＝β

しかし，この結果は，実にパラドックスに満ちていが下がることは前述したように明示されている．

2．反例の解釈と新しい計算法［2］ピー代替案が混じっている場合，前述したように該当る．というのは，新たにβ氏を加えることにより，する代替案が過小評価されることは明らかである．

今までの3氏のなかで，A，β両氏の評価が逆転す

そこで，本章においては，このような順位逆串云の起こる理由を考察し，コピー代替案が混じっている場合

表3 総理候補4氏のペア比較d β C 上）

11／9 11／9の計算法を紹介する．また，ベルトンとゲアの反例においてβが追加された後で，A，β，Cに対するペア比較の値を変えていないにも関わらず，Aとβの間に逆転現象が見られた．そこで，評価基準α，∂，9 1 9 1cに関する各代替案の評価の変化（βが追加される前11／9 11／9と後）を見る．すると，βの方がAよりも評価が高

9 1 9 1い評価基準α，Cに関する評価が半分ぐらい低くなっていることがわかる（表4参照）．つまり評価基準間d β C 上）の重みと各評価基準に対する各代替案の重みを変えない限り，α，Cの影響度が相対的に減少するために，

1 9 9 9Aとβの順位に逆転が生じるのである．

1／9 111

すなわち，各評価基準に対する各代替案の評佃値

1／9 111（重み）が正規化されているため，新たに代替案が追1／9 111加された場合尺度が変わってしまい，この例に見られ

d β C β

表4 A，βに関する重みの変化

1 8／9 8 8／9

α ゐ c9／8 1 9 1

1／8 1／9 11／9
9／8 1 9 1丁62（50）α ゐ c

1 9 8 ●
βが追加される前

βが追加された後© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

●111118 111118

1 9 8 9 1 920 12 27 20 12 27
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るような現象が起こるのである．したがって，コピーであり，選好順序はβ＝β＞A＞Cとなり，順位逆代替案βが追加される前と同じ評価基準間の重みを転は起こらない．しかも，この結果は代替案βが追使う限り，正規化は総合評価値が算出された後に行う

加される前の代替案（A，β，C）間の総合評価値の比ことが必要である．と変わらないことがわかる．

そこで，このような場合における各代替案の総合評価値を求める計算法を紹介する．ただし，各評価基準はCf（オ＝1，・‥，乃），Ciの重みを〃ゎ 各代替案は4（ノ3．選好順序逆転の例［5］第1章において，コピー代替案による選好順序逆串云＝1，…，椚），Ciに関するAJの評価値（重み）を勒の例を紹介した．そこで，本章においては，コピーでとする．

はなく代替案追加によって選好順序が逆転するケース（1）ある代替案A侶1が追加されたとする．

スをサーティの例3．1を用いて説明する．さらに，コ

このとき〃∫が変化しないのは当然であるが，紺むもピー代替案追加による選好順序が妥当性を有するケー

このまま採用する．そしてCiに関するA机1の評価スについてサーティの例3．2を用いて説明する．

値（重み）を新たに，軌，桝1として評価する．もし

3．1投資問題

4桝1がAヂのコピーならば，勅，机1＝乱心＊となる．

財産管理において投資は重要な意思決定である．そこで，投資問題を総合目的とする階層構造を図2に示（2）

す．すなわち，評価基準は，利益率と安全性であり，乃 ∑裾帰＝gノ（ノ＝1，…，椚十1）

I■＝1

代替案は，株・債券等の投資対象A，βとする．まm＋1∑裾勒＝ム（オ＝1，…，乃）

た，利益率と安全性の重みは，J＝1上の2式を計算する．どノは代替案AJの総合評価値

Ⅳr＝（0．5，0．5）とする．次に各評価基準に関する各代替案のペア比較であり，ムは評価基準グの重みである．

は表6に示したとおりである．すなわち，利益率に関（3）しては，βよりもAの方がよく（A＞β），安全性に真上＝F（＝若EJ）関してはAよりもβの方がよいのである（A＜β）．

を計算する．そして，正規化するためにそして，これら二つのペア比較マトリックスの固有

どノ／F＝紺Jベクトル（重み）は，を計算する．この勒が代替案ノの正規化された総合

紺言＝（0．75，0．25）

評価値である．

抑g＝（0．33，0．67）以上の計算の方法をベルトンとゲアの例に当てはめである．したがって，A，βの総合評価値は，ると．表5のようになる．
すなわち，
A（軌）＝0．3070，β（紺2）＝0．3196，C（紺3）＝0．0538，β（紺4）＝0．3196

表5 新しい計算法
αゐC

1 19 ー×− 31 18 ー×− 31S 舘釦

W． ノd ー×−311

βC19一×−311
11−×−311

19

図2 投資問題の階層構造

0．3196
表6 各評価基準に関するペア比較

0．0538

利益率 」 β安全性 ．d β0．3196

」

1 3

d11／2

∫ 0．606 0．3636 0．5

ダ＝1．4697

β1／3 1

β2 1

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上）−×−311（51）丁63〝￣であり，選好順序は，C＞A＞βとなり順位逆転は起わ

0．75 0．33

0．25 0．67

一ト1；］［0．

0．54こらない．しかも，この結果は代替案Cが追加され0．550．46

る前の代替案（A，β）の総合評価値の比と変わらなとなり選好順序はA＞βとなる．

いことがわかる．

そこで，いま新しく代替案Cが追加されたとする．
そして，各評価基準に関する各代替案（A，β，C）のペア比較は，表7に示すとおりである．

3．2 洋服選択の例
サーティは，コピー代替案追加による選好順序逆転が妥当性を有する例として，以下に示す洋服の選択問

これら二つのペア比較マトリックスの固有ベクトル題を提案している．まず，問題の階層構造は，図3に示すとおりである．すなわち，評価基準はデザインと（重み）は，紺g＝（0．3，0．1，0．6）

希少価値であり，代替案は洋服Aと洋服βである．

紺g＝（0．31，0．62，0．08）

また各評価基準の重みは，である．すなわち，利益率に関しては，AよりもCⅣr＝（0．4，0．6）の方がよく（C＞A＞β），安全性に関しては，Cよりとする．次に，各評価基準に関する各代替案のペア比もAの方がよい（β＞A＞C）．

較は，表9に示すとおりである．

したがって，A，β，Cの総合評価値は，ベクトル（重み）は，α ∂A。方＝β

そして，これら二つのペア比較マトリックスの固有0．3 0．31

抑g＝（0．75，0．25）

0．1 0．62

紺g＝（0．5，0．5）

C 0．6 0．08となる．すなわち，デザインに関して洋服βよりもとなる．すなわち，各代替案の選好順序は，β＞C＞

洋服Aの方がよく，希少価値に関しては洋服AとβAとなり，Aとβが逆転する．しかも追加した代替は同じである．したがって，洋服Aとβの総合評佃

案Cは代替案A，βのコピーではない．このことに値は，より，コピーではなくとも代替案追加によって選好順

α ∂序が逆串云する場合のあることがわかる．そしてこのよ．75 0．5

うな場合においても，2章の新しい計算法を当てはめ

βし0．25 0．5」LO．6」］［3：芸］＝［3：；］LO．4」
A「0となり，選好順序は洋服A＞洋服βとなる．てみると表8のようになる．すなわち，
A（軌）＝0．302，β（抑2）＝0．256，C（紺3）＝0．442

そこで，新しく洋服C（洋服Aと同じもの）が加わったとする．すなわち，この洋装店で，よく品物を

表7 各評価基準に関するペア比較

安全性 d β C

利益率 」二β C」

1 31／2

d11／2 4

β1／311／6

β

2 1 8

C

2 6 1

C

1／41／8 1

表8 修正計算
α占11
β−×−2416C −×一24′ 1．25 0．542
丁64（52）W／

図3 洋服の選択の階層構造

表9 各評価基準に関するペア比較

0．256

デザインd β

希少価値 d β0．442」

1 3

d1 1ダ＝1．792

β1／3 1β11© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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見回すと，洋服Aとよく似た洋服Cを見つけたのである．そして，各評価基準に関する各洋服（A，β，C）のペア比較をし直すと，表10に示すとおりにな

4．新しいAHPの動向
これまでに提案されている主な新しいAHPは，代った．また，これら二つのペア比較マトリックスの固替案の評価値決定の際，主固有ベクトルの和が1にな有ベクトル（重み）は，るように正規化する部分，または，総合重要度が加法

紺言＝（0．42，0．16，0．42）

和により求める部分に修正を加えている．前者は，順紺J＝（0．125，0．75，0．125）

位逆転の原因を，和を1とする正規化では代替案の追となる．すなわち，デザインに関しては，洋服Cは加により他の代替案の重要度も変わりうることによる洋服Aと同じ評価になる（A＝C＞β）．一方，希少と考えたものである．また，後者は，加法和では一対価値に関しては，洋服AとCがよく似ているので，比較により求めた重要度の比率尺度が保たれないこと

洋服βの評価が上がる．

を根拠としている．以下，年代順に主な新しいAHP

したがって，洋服A，β，Cの総合評価値は，
A

4．1 Belton−Gear，s modeI∂α

モデルについて要約する．

0．42 0．125

Belton［1，4］らが順位逆転の事例を報告した際に0．16 0．75同時に提案したモデルである．主固有ベクトルの成分

C 0．42 0．125

和を1とする正規化に加えて，成分の最大値（最も重X＝月となる．すなわち，選好順序は，洋服β＞洋服A＝要な代替案の重要度）を1とする正規化を行う．また，洋服Cとなり，A，βが逆転していることがわかる．

代替案の追加などによって，ある評価基準のもとで最そこで，この例に2章と同じ新しい計算法を当てはめ大値が変更された場合にはそれに合わせて他の代替案てみると表11のようになる．すなわち，の重要度も変化するが，その重要度変化を打ち消すよ

A（机）＝0．27835，β（紺2）＝0．4433

うに評価基準の重要度を変更する．

4・2 SchonerandWedJey smodelC（抑3）＝0．27835

であり，選好順序は洋服β＞洋服A＝洋服Cとなり，評価基準の重要度は代替案と無関係に決まるわけで順位逆転のままである．つまり，この例における順位はなく，各評価基準の下にある一つまたは複数の代替逆転は，洋服A，Cがよく似ているので，洋服βの案評価値が評価基準の重要度に影響を及ぼすことを想希少価値が上がったために起こったと考えられる．し定したものであり，SchonerandWedleyらにより発たがって，この場合の選好順序逆転は妥当性を有する表された．すべての代替案が評価基準に影響を与えると考えられる．と考えたReferencedmodel［6］，各評価基準に影響を与える代替案を一つだけと想定したLinking−pins

表10 各評価基準に関するペア比較

デザイン d β Cmodel［7］，評価基準に影響を与える代替案を複数個

希少価値 d β C

d1 3 1d11／61

β1／311／3β6 1 6C

1 3 1C

11／61と想定したBenchmark model［8］がある．いずれも評価基準に影響を及ぼす特定代替案の重要度和が1となるように正規化し，各評価基準の下で特定代替案を選択することを前提にして，評価基準の一対比較を行う．また，代替案の追加によって特定代替案の重要度和が変化した場合に限り，その変化を打ち消すように，

表11修正計算評価基準の重要度を変更する．
4．3 Dominant model∂αW

ノ田 0．4×三 0．6×ユ 7 ト4×…＋0・6×誹1・3857＝0・27835
40．4433

β 0．4×40．27835
4

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案の重要度づけに影響を及ぼす状況を想定したモデルである［9，10］．評価基準同士の一対此撃は，各評価

7C 0．4×′ 0．7 0．6857

ある特定の代替案（支配代替案）が評価基準や代替

7F＝1．3857

基準のもとで支配代替案を選択することを前提にして行う．また，代替案の一対比較においては，各代替案と支配代替案との一対比較だけを行い（全一対比較を© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（53）丁65

行ってもよい），支配代替案の重要度を1に正規化する．さらに，支配代替案が複数個ある場合に対応した重要度決定法（一斉法）も提案されている［11］．

［4］Ⅴ．Belton and T．Gear：The Legitimacy of Rank
Reversal−Acomment，Omega13，pp．1431−144，1985．

［5］T．L．Saaty：The Analytic Hierarchy Process，RWS，1990．

4．4 Descriptivemodel
選好順位逆転は日常の意思決定過程で起こりうるものと考え，これを適切に記述することを目指したモデルである［12］．選好順位逆転の原因を意思決定手続きの変化または推移律の侵害と定義し，いずれかの原因が起こった場合にのみ順位逆転を許容する．前者の原［6］B．SchonerandW．C．Wedley：AmbiguousCriteria
WeightsinAHP：ConsequencesandSolutions，Deci−sion，Sciences，Vol．20，No．3，pp．462−475，1989．

［7］B．Schoner，W．C．WedleyandE．U．Choo：AunihedapproachtoAHPwithlinkingpins，EuropeanJournalofOperationalResearch，Vol．64，pp．384−392，1993．

因に対応して，各評価基準のもとで満足／不満足の境［8］W．C．Wedley，E．U．Chooand B．Schoner：Bench−

界線を示す希求水準を仮想的な代替案として追加し，markMeasurement：BetweenRelativeandAbsolute，代替案重要度の決定に際しては希求水準を1とする正Proc．ofInternationalSymposiumonAnalyticHierar−規化を行う．また，後者の原因に対応して，一対比較

Chy Process，pp．335−345，1996．の不整合度合に応じて評価基準の重要度を修正する．

［9］木下栄蔵，中西昌武：AHPにおける新しい視点の提案，土木学会論文集，No．569／4−36，pp．1−8，1997．

4．5 Multiplicatives model
評価項目の一対比較から得られる重要度は比率尺度［10］E．KinoshitaandM．Nakanishi：ProposalofNewに従っているが，総合重要度の計算に加法和を利用す

AHPModelinLightofDominantRelationshipamong
Altenatives，JournalofOperations Research Society

ると，この比率尺度は維持されなくなる．これが順位逆転の原因だとし，加法和に代えて，乗法形の統合を行う［13］．

OfJapan，Vol．42，No．2，pp．180−197，1999．
［11］木下栄蔵，中西昌武：支配代替案法における追加デー
タの処理手法「一斉法」の提案，土木学会論文集，No．

最後に，本稿4章『新しいAHPの動向』は，田地宏一氏（大阪大学），高橋理氏（三菱電気）との議論

611／ⅠⅤ−42，pp．13−19，1999．
［12］田村坦之，高橋理，鳩野逸生，馬野元秀：階層化意思決に負うところが大であり［14］，両氏に厚く感謝する次定法（AHP）の記述的モデルの提案と選好順位逆転現象第である．の整合的解釈，JournalofOperationsResearchSocietyofJapan，Vol．41，No．2，pp．214−227，1998．
参考文献［13］E．Triantapryllou：Twonewcasesofrankrever−［1］V．Belton and T．Gear：On a Shortcoming of
Saaty

s Method of Analytic Hierarchies，Omegall，

pp．228−230，1983．

salswhen theAHPandsome ofitsadditivevariants
are used that do not occurwith the multiplicativeAHP，Journalof Multi，Criteria Decision Analysis，［2］木下栄蔵：階層分析手法による多目的意思決定問題への適用に関する研究，交通工学，Vol．28，No．1，pp．35−44，Vol．10，pp．11−25，2001．
［14］高橋理，田地宏一，木下栄蔵：AHPの選好順位逆転をめぐる調査研究，2002年日本オペレーションズ・リサー

1993．

［3］T．L．Saaty and L．Vargas：The Legitimacy of

チ学会秋季研究発表会アブストラクト集，pp．8−9，2002．

Rank Reversal，Omega12，pp．513−516，1984．

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