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飛行機を遠くまで飛ばす話
一昔のORのテキストから−

若山 邦絃
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筆者が大学生だった1960年前後の話です。筆者が通っていた工学部管理工学科にはオペレナションズ・リサー

2．同量を簡単にして考えよう
この問題をそのまま考えず、だれでも分かるような単チ（OR）という授業がありました。当時出版されてい純な問題から考えてみましょう。飛行機が1機しかないた参考書の中に管理工学科の先生方が翻訳した「オペときは自明です。

レーションズ・リサーチの数学的方法」という本がありでは2磯の場合はどうでしょう。問題の状況は図−1ました。トーマス・サーティというアメリカの学者が原のように表わされます。こんな絵を描くことが肝心で著者です。サーティ先生は現在もご健在でピッツバーグす。燃料を余らせることは不利になりますから、燃料を大学で教鞭をとっておられます。その本の最後の章にた1／3使ったところ。つまり1，000／3km地点で1号磯からくさんの演習問題がでていました。しかし、解答がまったくどこにも善かれていないのです。それが学生たちの挑戦意欲を刺激しました。面白い間邁をみんなで解いて戻れるし2号磯は満タンになりあと1，000km飛行でき、合計1，333．33km飛行させることができます。

●

2号磯に1／3給油してやれば。1号磯はちょうど基地に遊んだものです。ずいぶん徹夜をした記憶があります。

自分が出した解答には自分が責任をを持つということ、そのためには理論的な裏付けが必要であることをこの本は教えてくれました。わが国のテキストで演習問題の解答がないものにどういうわけかお目にかかったことがありません。演習問題の解答がないテキストを書こうとしたことがありましたが、出版社は「独学の人もいるのOで」といって筆者の希望を認めてくれませんでした。世

P

図−1 2機の場合の飛行計画の中に出たら、解答の出ている開港なんて一つもありません。一体誰が正解を教えてくれるのでしょうか。

答はこれでよいのですが、あとの準備のためにこの間この本の中に次のような問題があったのです。本稿で

邁を数学的に考えてみたいのです。出発する基地を0、はこの間邁をめぐって話を進めたいと思います。

1号磯の引き返す地点をP、2号磯の到達地点をQと1．飛行♯を遠くまで飛ばす間鹿し、OP間、PQ間の距牡をそれぞれⅩ，y（km）と書くことにします。そうすると燃費の条件から、2磯の稔飛街距離＝3Ⅹ＋y（加）航続飛行距離がおなじ飛行横が3棟ある。飛行中に互いに空中給油が可能で、そのうち1機の飛行機をできる●となり、これは2，000k皿を超えられませんから、3Ⅹ＋y≦2，000だけ遠くまで飛行させたい。基地を飛び立ったら途中で着陸はできない。また、他の2機は基地へ戻らなくてはでなければなりません。また、Pから先は2号機だけでならない。どうすればよいか。

飛ぶのですから、どんなにがんばっても1，000km以上はという問題です。この間題をはっきりさせるために、（1）飛行機には1，000kゼの燃料を積み込める。
（2）燃費は1k皿／kgとする。

飛ぶことができません。ですから、
y≦1，000（2）という不等式を満足しなければなりません。
Ⅹとyは距経と定義していますから、負の値をとるこ（3）黄1号機と第2号横は基地へ戻る。
（4）第3号機をできるだけ遠くまで飛行させる。と仮定して考えることにしましょう。とは意味がありません。そこで、
Ⅹ≧Oy≧0

わかやま くにひろ 法政大学工学部経営工学科という条件を付け加えておきます。

E−mail：Waka＠waka．is．hosei．ac．jp Tel：0423・87・6348

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不等式には範囲を定めるはたらきがあります。そこで© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

をグラフ上に描いてみます。図−3のようになります。

この直線の一部分は先程の可能な領域の中にあります。
直線と領域の共通部分が1，000k血飛ばす可能案のすべてです。もちろん2号機1機だけでも飛行可能ですが、その実もこの中に含まれています。Ⅹ＝0，y＝1，000という解です。

d＝1，500kmとすると、この直線は可能領域の外側を通ってしまうことになるので、d＝1，500kmを実現する実行可能な解が存在しないことがわかります。dの値を1，100km，1，200km，1，300kmと増加させてくと、最大飛行距稚を与えてくれるのは可能領域の角の点であることに気が付くでしょう。dを次発に増加させていったとき、その直線が領域と牡れる瞬間の点が問題の答になるわけです。その点は（1，000／3，1，000）であり、飛行距
図−2 可能な飛行計画案の領域●

図一2のように2次元のグラフを措き。これらの不等式

離d＝1，333．33k皿となります。これ以上飛行距離を延ばす策がないことが保証されることが理解できたと思いで定められる範囲を眺めてみることにしましょう。4本ます。の直線で囲まれた領域内の点（Ⅹ，y）が実行可能な飛このように数式とグラフを措くことによって問題が表行計画案というわけです。この領域外の点では途中でガ現でき、保証付きの答が得られました。このような数式ス欠が起きて墜落してしまうかもしれません。領域内にやグラフを問題のモデルとよびます。ORはこのようなは無限に点が存在しますから、飛行計画案は無限個考えモデルを作って問題を解決しようとする学門分野なのでられることになります。

す。この間邁は、
3Ⅹ＋y≦2，000y≦1，000
Ⅹ，y≧0のもとでd＝Ⅹ＋y →最大化というように書き表わします。このような問題は変数の1次式で表わされる条件のもとで同じく1次式で表わされる関数を最大化する問題で「線形計画問題」とよび、このような問題の数学的性質や解の計算法に関する理論を「線形計画法」といいます。ここでは難しい理論には立ち入りませんが、その雰囲気を味わってほしいと思います。

3．飛行機3磯の場合いままでの考え方を3機の場合に拡張してみましょう。さあ、モデルはどのように書き換えればよいでしょうか。まず、図−1は図一4のようになります。

これらの実のなかで2号機の飛行距離dd＝Ⅹ＋yを最大にする案を見つける問題がわれわれの間邁です。
でも、案をしらみつぶしに調べる必要はありませんので｛「）（6）となるような実は、y＝1，000一Ⅹ

そうすると3磯の飛行機の飛行可能総距離は3，000kmですから。

（7）という直線で表わされることになりますから、この直線

1996年3 月号としましょう。
Ⅹ，y，Zは各地点間の距離をあらわすものとします。

安心してください。たとえば、

d＝Ⅹ＋y＝1，000各機は0を飛び立ち。第1号機はP、寮2号樵はQまでそれぞれ飛んで引き返し。希3号機はRまで飛ぶもの

5x＋3y＋z≦3，000（8）という不等式を満たさなくてはなりません。また。Pか© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（27）163

OP

Q

図−4 3機の場合

ら先は2横の飛行機で飛ぶわけですから。その飛行可能稔距離は2，000k皿です。したがって。
3y＋z≦2，000●（9）を満足しなければならず、さらにQ地点から先では残り1機だけの飛行ですから、Z≦1，000（10）

図−5 可能領域と飛行距離での塗り分けでなくてはなりません。
Ⅹ，y，Zはそれぞれ先程と同様に、横と3号磯に200klずつ給油しましょう。2号機と3号

Ⅹ，y，Z≧0（11）となります。

機は再び満タンになりました。つぎの給油地点Qまでは2横で飛びます。ここでは燃料を1，000／3＝333．33klず以上の条件に囲まれた領域は図−5の少し縦長の先細のコンクリートブロックのような形になります。

つ消費しています。2号機から3号横に333．33kl給油すると、3号横はあと1，000k皿飛んでRまで到達すること3号機の飛行距離dは、ができます。2号磯はここで基地戻ろうとしますが、d＝Ⅹ＋y＋z（12）残りの燃料は333．33klですからPまで飛んでくることがとなり、上の領域内でdを最大にする点を求める問題ができますが、基地までは飛んでこれなくなってしまいまできあがりました。

す。ここで1号横はPでの残り燃料は400klあったずで先程と同様にdの値を増加させてゆき、これ以上増加できない点を探せぼよいのですが、こんどはd＝一定という点は1枚の平面となります。この平面がdの増加にす。もし、空中でエンジンを切って2号磯の帰りを待っていることができれば、200klを2号機に給油して一緒に基地に飛んで帰ることができます。これは実際には不ともない平行移動していきます。図−5では濃い色のよ可能でしょう。2機の場合にはうまくいったのに3磯のり薄い色の所が飛行距牡が長くなります。賢明な諸君は問題では とりあえずは失敗 といわなければなりませ先回りして、可能領域のどこかの角の点でdの値が最大になると予想するかもしれません。実際、そのとおりでん。とりあえずは失敗といったのは、1号磯が給油後ただちに基地に戻り、再度満タンにして2号機がPに戻るす。角の点でdの値がどうなるかだけを計算してみれば時刻に迎えに行くことができるので、この距離まで3号よいのです。そうすると、￠），（9），（10）の条件の交機を飛ばすことが可能なのです。実は、1号横が基地に点一旦戻ることを許せば、Pよりもう少し遠い地点まで2、y＝1，000／3＝333．33km号機を迎えに行くことができて3号機をさらに遠くまで送り届けることができるのです。この間邁は読者の課題

Z＝1，000kmにしておきます。これからは暗黙のうちに仮定していたⅩ＝1，000／5＝200km

ように1号磯が2度発ちはしないものとして話を進めまでd＝1，533．33kmと最大になります。
実際にこの飛行計画で飛行させてみましょう。ここからは放と鉛筆を用意して絵を描きながら読んでください。最初の給油地点Pは200km地点です。3磯とも200klの燃料が消費されています。そこで、1号機から2号

164（28）す。
なぜこのような答が出てきたのでしょう。われわれのモデルでは各区間での燃料消費と飛行距離との関係だけに注月してしまったことにあるのです。そのために帰っ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

てくる飛行機を待って給油してしまったのです。戦車ならば文句はなかったのです。面白いものですね。
給油を行ったらすぐに引き返すように問題を図−4をのかわりに図−6で考え、モデルの修正を考えてみましょう。図−6では燃料タンクが3磯分で飛ぶ所を、経線＋点線＋太線で表わし、2横分の燃料で飛ぶ所を、点線＋太線で、最後に1機分の燃料で飛ぶ所を、

O

太線

PQ

図−6 帰りを待たない（往きだけ給油）場合で表わしてあります。そうすると、燃料消費の条件式はまいました。その点の座標は、以下のように書き表わせます。

5Ⅹ＋3y＋z≦3，000（13）Ⅹ＝250km

Ⅹ＋3y＋z≦2，000（14）y＝250kmz≦1，000（15）x，y，Z≧0（16）Z＝1，000kmとなり、先程の条件式と違っているのは2番目の条件式（14）式の左辺にⅩが加わったところです。これでQから戻ってとなりました。こんどは1号機が2号磯の帰りを待たなきたときに給油は受けら−れなくなりましたから、自分のくてすみます。

燃料を使わなくてはならないことになりました。到達でこの解の性質を解釈するとつぎのようになります。まずは3磯がOPを飛ぶ分と1号機が基地に帰る燃料を1きる距離の式は前と変わらず、d＝Ⅹ＋y＋z（17）d＝1，500km号機の燃料でまかなってしまおうとするものです。つぎと表わされます。ここで、条件式が一つ変わりましたかに区間PQを飛ぶ2磯の燃料と2号機が基地まで帰る燃ら図−5を少しだけ描き直さなくてはなりません。

料を満タンになった2号機の燃料でまかなうものです。
こうして最後の区間QRは満タンになった3号機が1，000km飛んで行くのです。つまり、先に基地に帰る飛行機の燃料をみんなで消費しながら、最後の飛行機の燃料は最後まで温存しようとするやり方が「最適なポリシーだということになったわけです。ここまで話しが進むと、飛行機数がN台の場合についても解を求めることができるでしょう。
以前、アメリカ映画の中で「線形計画法がなかった●

ら、アメリカ人は現在のような暮らしができないのだ」という台詞が語られていました。事実、このことは日本においてもそのまま通用する台詞であることをほとんどの日本人は知っていません。特に大学に進学して社会に役立つ学問をしようと志す若者には、数理的な思考が伝兢的な工学の分野だけでなく経営や管理といった社会科学やソフト開発の問題解決に役立てられていることを知っていてほしいのです。ORは「常識の科学」ともいわれます。大学でORを学んでみようと思いませんか。

図一7 可能領域と飛行距離（修正後）

参考文献［1］T∴L．サーティ著，山内二郎監訳，オペレーションズー

1枚の条件を表わす平面が少し動きました。そのためリサーチの数学的方法（下），紀伊国屋書店

最長飛行距離を実現する黒丸の点が少しばかりずれてし［2］古林 隆，線形計画法入門，産業図書© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

1996年3 月号（29）165」