三角形の鏡映による敷き詰めからコクセター群へ

静岡大学 理学部 数学科 保坂哲也

M.C.エッシャーの絵 「円の極限IV 天国と地獄」 では、「天使」と「悪魔」が鏡映の敷き詰めとして描かれています。
このフラクタルのような独特な絵はどのような規則性で描かれているのか？
これを今回のひとつの目標に、このことにまつわる数学をご紹介したいと思います。

準備 「曲率」とは？
・考えている空間（世界）の曲がり具合を「曲率」といいます。

・例えば、三角形を考えたときに常に内角の和が180°( = π )になる空間をユークリッド空間という。この空間の曲率 は ０ （平らな空間）と考える。
・もしも三角形の内角の和が180°( = π ) よりも常に大きい
ときはその空間の曲率は正と考える。
・もしも三角形の内角の和が180°( = π ) よりも常に小さい
ときはその空間の曲率は負と考える。

ユークリッド平面の三角形

α+β+γ = π（ 三角形の内角の和は 180°）
このとき 「曲率＝０」

球面の三角形球面（例えば地球儀）の上に三角形を描いてみると三角形の内角の和は 180°( = π ) よりも大きいことがわかる。
したがって、球面（地球儀）という空間の曲率は０ よりも大きい正の値をとる。

球面の曲率について半径１の球面の曲率は １

半径２の球面の曲率は １/２

半径が大きくなるにつれ球面の曲率（曲がり具合）は小さく ０ に近づいていく(例：地球）

負の曲率と双曲平面三角形の内角の和が180°( = π ) よりも常に小さくなる
ときその空間の曲率は負となる。
このときの三角形は、球面に描かれる太った三角形とは逆に、やせた細長い三角形になります。
一定の負の曲率を持つ平面を「双曲平面」とよびます。

負の曲率の双曲平面はどのような空間（世界）なのか あとでご紹介します。

ダイアグラムと三角形
abcπ/bπ/aπ/c左の図のようなダイアグラムを考える（ここで a,b,c は２以上の自然数とする）
左の図のダイアグラムに対して、右の図のような角度を持つ三角形を対応させる

三角形の鏡映による敷き詰め １𝜋Τ + 𝜋ൗ + 𝜋Τ = 𝜋 のとき
𝑎𝑐𝑏
このとき 三角形の内角の和は 180°( = π )曲率０のユークリッド平面に三角形は描くことができる

33442332𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋
442𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋
3336𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋
236442333326𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋 𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋 𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋
333236442333𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋
333442𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋442326𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋236三角形の鏡映による敷き詰め ２𝜋Τ + 𝜋ൗ + 𝜋Τ > 𝜋 のとき
𝑎𝑐𝑏
このとき 三角形の内角の和は 180°( = π )よりも大きい
正の曲率の球面に三角形を描くことができる

22222332𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋222𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋
2233𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋233など

222223323𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋 𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋 𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋
223233222222𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋222223𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋
223323𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋233

三角形の鏡映による敷き詰め ３𝜋Τ + 𝜋ൗ + 𝜋Τ < 𝜋 のとき𝑎𝑐𝑏
このとき 対応する三角形の内角の和は 180°( = π )よりも小さい細長い三角形になる
負の曲率の「双曲平面」に三角形を描くことができる

525𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ < 𝜋255443𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ < 𝜋443などなど

525𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ < 𝜋
255エッシャーの絵 「円の極限IV 天国と地獄」 では、内角の和が 180°( = π ) よりも小さい三角形として「天使」と「悪魔」が負の曲率の双曲平面に鏡映の敷き詰めとして描かれている443𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ < 𝜋443まとめ１𝜋Τ + 𝜋ൗ + 𝜋Τ > 𝜋
𝑎𝑐𝑏のときabc（１） 対応する三角形の内角の和は 180°(= π)よりも大きい（２） 正の曲率の球面に三角形を描くことができる（３） 球面に鏡映で三角形の敷き詰めが描ける（４） 三角形の数は有限（５） 「球面的」とよばれる

まとめ２𝜋Τ + 𝜋ൗ + 𝜋Τ = 𝜋𝑎𝑐𝑏のとき

abc（１） 対応する三角形の内角の和は 180°(= π)（２） 曲率０のユークリッド平面に三角形を描くことができる（３） ユークリッド平面に鏡映で三角形の敷き詰めが描ける（４） 三角形の数は無限で増加率は多項式的増加（５） 「ユークリッド的」とよばれる

まとめ３𝜋Τ + 𝜋ൗ + 𝜋Τ < 𝜋𝑎𝑐𝑏のとき

abc（１） 対応する三角形の内角の和は 180°(= π) より小さい（２） 負の曲率の双曲平面に三角形を描くことができる（３） 双曲平面に鏡映で三角形の敷き詰めが描ける（４） 三角形の数は無限で増加率は指数関数的増加（５） 「双曲的」とよばれる

コクセター群とコクセターの定理
tasbcu左の図のダイアグラムに対して下のような「群」を対応させる
この群は３次のコクセター群とよばれる

𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)𝑎 = (𝑡𝑢)𝑏 = (𝑢𝑠)𝑐 = 1
この３次のコクセター群に対して群Wと生成系Sのペアをコクセター系という(𝑊, 𝑆) （ ここで 𝑆 = {𝑠, 𝑡, 𝑢} とする）

𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)𝑎 = (𝑡𝑢)𝑏 = (𝑢𝑠)𝑐 = 1
は次のように考える（１） 𝑆 = 𝑠, 𝑡, 𝑢 をWの生成系とする（２） このコクセター群Wの要素は生成系Sの文字s,t,uを並べた有限列の全部とする（３） Sの文字s,t,uを並べた有限列は
𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)𝑎 = (𝑡𝑢)𝑏 = (𝑢𝑠)𝑐 = 1という等式を用いて移りあえるもの同士はWのなかでは同じものとみなす

コクセター群の性質
𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)𝑎 = (𝑡𝑢)𝑏 = (𝑢𝑠)𝑐 = 1

𝑠𝑠 = 𝑠 2 = 1 ,𝑡𝑡 = 𝑡 2 = 1 ,𝑢𝑢 = 𝑢2 = 1

𝑎 が偶数のとき

𝑠𝑡𝑠𝑡𝑠𝑡・・・𝑠𝑡𝑠𝑡 = (𝑠𝑡)𝑎 = 1𝑎個
֞ 𝑠𝑡・・・𝑠𝑡 = 𝑡𝑠・・・𝑡𝑠
𝑎/2 個

𝑎/2 個

𝑎 が奇数のとき

𝑠𝑡𝑠𝑡𝑠𝑡・・・𝑠𝑡𝑠𝑡 = (𝑠𝑡)𝑎 = 1𝑎個֞ 𝑠𝑡・・・𝑠𝑡𝑠 = 𝑡𝑠・・・𝑡𝑠𝑡(𝑎 − 1)/2 個(𝑎 − 1)/2 個t
2たとえばs23のときを例に紹介するとu𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)2 = (𝑡𝑢)2 = (𝑢𝑠)3 = 1
𝑆 = {𝑠, 𝑡, 𝑢}
𝑠𝑡𝑠𝑡 = 1 ֞ 𝑠𝑡𝑠 = 𝑡 ֞ 𝑠𝑡 = 𝑡𝑠
𝑡𝑢𝑡𝑢 = 1 ֞ 𝑡𝑢𝑡 = 𝑢 ֞ 𝑡𝑢 = 𝑢𝑡
𝑢𝑠𝑢𝑠𝑢𝑠 = 1 ֞ 𝑢𝑠𝑢 = 𝑠𝑢𝑠
したがって Wの要素は次のようになる
1,𝑠,𝑡,𝑢,𝑠𝑠 = 1 ,𝑠𝑡,𝑡𝑢,𝑠𝑢,𝑢𝑠,
𝑡𝑠 = 𝑠𝑡 ,𝑠𝑡𝑠 = 𝑡 ,𝑠𝑢𝑠 = 𝑢𝑠𝑢,𝑠𝑡𝑢,𝑢𝑠𝑡,（有限で１２個）
𝑡𝑢𝑠𝑢 = 𝑡𝑠𝑢𝑠 = 𝑠𝑡𝑢𝑠 = 𝑠𝑢𝑡𝑠 = 𝑠𝑢𝑠𝑡t22sに対応する (W,S) のケーリーグラフは

u

3

st=ts

sust=usut=tusu

sutustut=tu

tsus=ususus
1uusと描くことができる

六角柱という立体になる

本論とは少し外れますが階数２の自由群 G = 𝑎, 𝑏のケーリーグラフは右のようになります

この絵は曲率が負の双曲平面上に描かれますt2s

𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)2 = (𝑡𝑢)2 = (𝑢𝑠)3 = 123

𝑆 = {𝑠, 𝑡, 𝑢}

コクセター群 （コクセター系）

u𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋
2
23
ダイアグラムtsus

tsu

ts=sttustsu

s
1

tu=ut
sus=usuuus

ケーリーグラフ（立体の形になる）

t2s𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)2 = (𝑡𝑢)2 = (𝑢𝑠)3 = 123

𝑆 = {𝑠, 𝑡, 𝑢}

コクセター群 （コクセター系）

u𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋
223ダイアグラム

tsu

ts=sttus

t
tst

tu

tus

su

s
1

s

1u

us

tsus
tu=ut
sus=usuuus

ケーリーグラフ（立体の形になる）

定理（H.S.M.Coxeter 1930年代）
群 G が有限鏡映群である必要十分条件は
G が有限コクセター群となることである
tab𝜋Τ + 𝜋ൗ + 𝜋Τ > 𝜋𝑎𝑐𝑏uc
このダイアグラムと対応するコクセター群は有限となり上の定理から有限鏡映群になるのでケーリーグラフは空間（R3 ）の「立体」の形になることがわかる。この立体は球面上の三角形の鏡映による敷き詰めと対応しているst2
s33に対応する (W,S) のケーリーグラフはustus= tsus
=tusu

stu=tsu
st=ts ttus
tu

tust=tuts
tut=utussu

1u
sus=usu usut
ust=utsとなる

t2s

𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)2 = (𝑡𝑢)3 = (𝑢𝑠)3 = 1
𝑆 = {𝑠, 𝑡, 𝑢}

3

有限コクセター群 （コクセター系）u 𝜋

3ൗ2 + 𝜋ൗ3 + 𝜋ൗ3 > 𝜋

ダイアグラムtsu tsus

tsu

stttu

tut
ut

s 1u
su
sus us uts𝜋ൗ 𝜋ൗ 𝜋ൗ233の角度の三角形の鏡映による球面の敷き詰め

tu tuts
tutst ts1susus

tusuusututs

ケーリーグラフ
（Wが有限鏡映群であることから R3 の立体の形になる）

t3
s33

𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)3 = (𝑡𝑢)3 = (𝑢𝑠)3 = 1
𝑆 = {𝑠, 𝑡, 𝑢}

コクセター群（コクセター系）

u 𝜋ൗ3 + 𝜋ൗ3 + 𝜋ൗ3 = 𝜋

ダイアグラムststs st ssu sus
ts t 1 u us
tu ut
tut
𝜋ൗ 𝜋ൗ 𝜋ൗ333の角度の三角形の鏡映によるユークリッド平面の敷き詰め

sts s su susus
ts t 1 u

tuut
tut

ケーリーグラフ（ユークリッド平面になる）

st 1ust𝜋ൗ 𝜋ൗ 𝜋ൗ333の角度の三角形の鏡映によるユークリッド平面の敷き詰め

st 1 u1 u

ケーリーグラフ（ユークリッド平面になる）

コクセター群の性質
𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)𝑎 = (𝑡𝑢)𝑏 = (𝑢𝑠)𝑐 = 1

𝑠𝑠 = 𝑠 2 = 1 ,𝑡𝑡 = 𝑡 2 = 1 ,𝑢𝑢 = 𝑢2 = 1

𝑎 が偶数のとき

𝑠𝑡𝑠𝑡𝑠𝑡・・・𝑠𝑡𝑠𝑡 = (𝑠𝑡)𝑎 = 1
𝑎個֞ 𝑠𝑡・・・𝑠𝑡 = 𝑡𝑠・・・𝑡𝑠
𝑎/2 個

𝑎/2 個

𝑎 が奇数のとき

𝑠𝑡𝑠𝑡𝑠𝑡・・・𝑠𝑡𝑠𝑡 = (𝑠𝑡)𝑎 = 1𝑎個
֞ 𝑠𝑡・・・𝑠𝑡𝑠 = 𝑡𝑠・・・𝑡𝑠𝑡(𝑎 − 1)/2 個(𝑎 − 1)/2 個

𝑊 = 𝑠 𝑡 𝑢 𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)𝑎 = (𝑡𝑢)𝑏 = (𝑢𝑠)𝑐 = 1（３） S=｛s,t,u｝の文字s,t,uを並べた有限列は
𝑠 2 = 𝑡 2 = 𝑢2 = (𝑠𝑡)𝑎 = (𝑡𝑢)𝑏 = (𝑢𝑠)𝑐 = 1という等式を用いて移りあえるもの同士はWのなかでは同じものとみなす

Wの要素 𝑤 が𝑤 = 𝑠1 𝑠2 𝑠3 ・・・𝑠𝑛 = 𝑡1 𝑡2 𝑡3 ・・・・𝑡𝑘とあらわされているとき
𝑛 は偶数 ֞ 𝑘 は偶数
𝑛 は奇数 ֞ 𝑘 は奇数となる

Wの要素 𝑤 が
𝑤 = 𝑠1 𝑠2 𝑠3 ・・・𝑠𝑛 = 𝑡1 𝑡2 𝑡3 ・・・・𝑡𝑘とあらわされているとき
𝑛 は偶数 ֞ 𝑘 は偶数となる
𝑛 は奇数 ֞ 𝑘 は奇数

tasc

左のダイアグラムと対応する三角形の鏡映
b による敷き詰めは対応するコクセター群の要素が偶数の長さか奇数の長さかで２色でu 色分けできる
エッシャーの絵の「天使」と「悪魔」

222𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋222曲率＞０223𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋223曲率＞０323𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ > 𝜋233曲率＞０326𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋236曲率＝０326𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ = 𝜋236曲率＝０525𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ ＜𝜋255曲率＜０M.C.エッシャーの絵 「円の極限IV 天国と地獄」は下図のようなダイアグラムと対応する三角形の負の曲率の双曲平面での鏡映による敷き詰めとして描かれている。
また「天使」と「悪魔」の２つが交互に配置できる理由は、コクセター群と関わりがある。

443𝜋ൗ + 𝜋ൗ + 𝜋ൗ < 𝜋
443曲率＜０最後に コクセター群の未解決な問題について
・ ３次のコクセター系については、ここまで見てきたようにして、分類ができる。
・ 有限のコクセター群（有限鏡映群）についてはCoxeter氏自身によってすべての分類がなされている。
・ 一方で、無限のコクセター群の分類の問題（同型問題）
は現時点で、まだ未解決。

コクセター群の同型問題（１） 与えられた２つのコクセター群は同型か否かを（２つのコクセター系の形から）判定せよ。
（２） 与えられたコクセター群を持つコクセター系をすべて求めよ。

たとえば、近年、「ツイスト」という操作でコクセター群は同型だが異なるコクセター系をつくる方法が発見された。
N.Brady, J.P.McCammond, B.Mühlherr, W.D.Neumann (2002)

43564357(𝑊1 , 𝑆1 )76(𝑊2 , 𝑆2 )この２つのコクセター系は異なる形をしているがコクセター群𝑊1 と𝑊2 は代数的には同じ形をしている。
・・・・・・このようなタイプのもの以外にもあるのか？
（実は最近、「コーダル」というツイスト以外の手法も見つかっています・・・）ご清聴ありがとうございました。