超弦理論の数値シミュレーションの現状と展望
サブ課題A “究極の自然法則と宇宙開闢の解明”
素粒子・原子核・宇宙 「京からポスト京に向けて」シンポジウム

2019年1月9-10日、筑波大学東京キャンパス文京校舎

西村 淳 （KEK理論センター、総研大）

１．はじめに

超弦理論
時間・空間の起源
宇宙の始まりゲージ重力対応
ブラックホールの微視的描像

量子情報

物質・力の起源

QCD、超伝導、超流動のホログラフィックな記述
出典：東京大学素粒子物理国際研究センター
日本学術振興会(百武慶文氏）、KEKのHP

超弦理論• 量子重力を含む基礎理論の「大本命」 1980s～「Ｄブレーン ＋ 摂動論」 という従来のアプローチ

標準模型 （intersecting D-brane模型など）
インフレーション （colliding D-brane模型など）
無数の模型が考えられ、予言能力なし。
（ランドスケープ問題、人間原理の援用）

非摂動的定式化に基づく研究が不可欠「 ゲージ／重力対応」「IIB行列模型」

行列を基本自由度として、超弦を記述。
「時空」は、行列の自由度の中から創発。

行列で書かれた理論の数値シミュレーションにより、時空のダイナミクスを研究。

これまでの研究• (3+1)次元の膨張宇宙の出現
SSB

ある時刻を境に、３方向だけが膨張を始める。
回転対称性の自発的破れが宇宙の起源 !

“critical time”

Kim-J.N.-Tsuchiya
PRL 108 (2012) 011601[arXiv:1108.1540]

これまでの研究 （続き）
 3次元空間の広がり
simplified model for early times

𝑅2 𝑡 /𝑅2 𝑡𝑐

10d bosonic type IIB MM𝑡/𝑅 𝑡𝑐Y.Ito, J.N., A.Tsuchiya (’15)

Y.Ito, S.-W.Kim, Y.Koizuka, J.N., A.Tsuchiya (’14)
空間の膨張則𝑅(𝑡) ∝ 𝑒 Λ𝑡→遷移𝑅(𝑡) ∝ 𝑡 1/2
輻射優勢期の兆候？

行列で表される時空は、連続的か？
従来の計算手法で得られた行列の配位空間を表す行列の固有値
つぶれている方向

1515101055ak(4)/R(tc)ak(1)/R(tc)

広がっている方向

0-5-10-150-5-1000.2 0.4 0.6 0.8

11.2 1.4 1.6 1.8(t-tc)/R(tc)-1500.2 0.4 0.6 0.8

11.2 1.4 1.6 1.8(t-tc)/R(tc)「空間の膨張」を、２つの固有値だけで担っている！
T.Aoki, M.Hirasawa, Y.Ito, J.N., A.Tsuchiya, in prep.

原因は符号問題の処理のしかた
ローレンツ型IIB行列模型の分配関数モンテカルロ法を適用する際に符号問題を引き起こす実

これまでの処理のしかた
として、の積分を先に実行。
は、に大きなピークを持つ関数という拘束に置き換える
問題点：

は複素数の値を持ち、付近で位相が激しく振動。

を満たす配位（古典解）をfavorする効果が反映されていない。としてしまったことに対応。 （カノニカルとミクロカノニカルの等価性）
空間を表す行列の非可換性を最大化させることになり、「パウリ行列」に！

複素ランジュバン法
多くの系、パラメタ領域で、符号問題を解決できる強力な手法。
Parisi (’83), Klauder (’83)
最近、正しい結果に収束するための必要十分条件が明らかになった。
Aarts, James, Seiler, Stamatescu: Eur. Phys. J. C (’11) 71, 1756
Nagata-J.N.-Shimasaki, Phys.Rev. D94 (’16) no.11, 114515
ローレンツ型IIB行列模型に初めて適用。

J.N. and Asato Tsuchiya, in prep.に近いパラメタ領域

10100

1100.1

行列サイズ

10.010.10.001
00.020.04

0.06

0.080.10.12

0.14

0.16

0.01
00.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

連続的な空間が現れる兆候が見られた。
(3+1)次元の膨張する振る舞いは保たれたまま！

目次
1. はじめに
2. ローレンツ型IIB行列模型
3. 複素ランジュバン法
4. 結果
5. まとめと展望２．ローレンツ型IIB行列模型

IIB行列模型 (IKKT行列模型)

Ishibashi-Kawai-Kitazawa-Tsuchiya 1997

 (9+1)次元Minkowski時空上のタイプIIB超弦理論の摂動論をall orderで再現できる理論。
Fukuma-Kawai-Kitazawa-Tsuchiya 1997

 行列模型そのものは、摂動論に依らずに定義されている。
→ 超弦理論の非摂動的な定義になっているはず！
c.f.) D-brane（非摂動的物体）も正しく記述されている。

ローレンツ型IIB行列模型における「時間発展」
Kim-J.N.-Tsuchiya
PRL 108 (2012) 011601
平均

小

バンド対角的構造の出現
小: 時刻 t における状態

ウィック回転のパラメタを導入
赤外 カットオフ

worldsheet,
第一項はtarget space上のウィック回転ととることにより実正にできる
この場合に限定して調べることにする。

これまでの計算最終的には、

no continuoustime

ローレンツ型模型という極限をとる必要有。

２．複素ランジュバン法

複素ランジュバン法
Parisi (’83), Klauder (’83)
複素力学変数を複素化して、（仮想的な）時間発展を考える

時間発展を定義する「複素ランジュバン方程式」
ガウス型のノイズ?

注 : ドリフト項と オブザーバブルを、複素変数に対して定義するには、解析接続を用いることが重要。

変数の複素化の際、時間に順序をどう入れるか？

変数を複素化する前に、次のような変数変換を行なうことにより、時間に順序を入れる。

を複素化する。

複素ランジュバン方程式
赤外カットオフを表す拘束は、適切なポテンシャルを用いて課す。

ここではを用いた。

有効作用：を複素変数、を一般の複素行列として扱い、右の複素ランジュバン方程式を数値的に解く。
まずはフェルミオンは無視し、10次元の代わりに6次元を考えることで、計算コストを抑えて調べてみる。

３．結果

の固有値の固有値
1001(3+1)次元の膨張の振る舞い

0.1

パウリ行列

1010.01

0.1

0.001

0.01

0.001

0.0001
00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

01.4

100.2

0.4

0.6

0.8

11.2

1.4

100(3+1)次元の膨張の振る舞い

10.1

パウリ行列からのズレ

1010.01

0.1

0.001
00.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.01
00.02

0.04

0.06

0.08

0.10.120.14

0.16

４．まとめと展望まとめ一般化されたローレンツ型IIB行列模型

赤外カットオフ :(1+1)次元の膨張する
特異な時空
これまでの計算(3+1) 次元の膨張する連続的時空 (?)

(3+1)次元の膨張する特異な時空

no continuoustime

この線に沿って調べた

最終的には、ローレンツ型模型という極限をとる必要有。

展望
これまでの計算(1+1)次元の膨張する特異な時空

Kim-J.N.-Tsuchiya,
PRL 108 (2012) 011601(3+1) 次元の膨張する この線に沿って調べた
連続的時空 (?)
(3+1)次元の膨張する特異な時空

no continuoustime

ローレンツ型模型

 k=(1+s)/2 の線から離れて k=0 に近づけていくと、行列のエルミート性が悪くなり、シミュレーションが不安定に。
行列サイズNを大きくすることにより、目標の(s,k)=(0,0) に近づけると期待。
そのとき、(3+1)次元の連続的な膨張宇宙が現れるか？
標準模型が低エネルギーに現れるような、余剰次元の構造が得られるか？

参考： 有限密度QCDへの応用
Nagata-J.N.-Shimasaki : arXiv:1805.03964 [hep-lat]
Ito-Matsufuru-J.N.-Shimasaki-Tsuchiya-Tsutsui, work in progress
40
CLM
PQ

核物質相を示唆する
プラトーの出現！

quark number

32

クォーク物質への転移 (?)
ポリャコフ・ラインも非零に

2416phase-quenched modelに対する結果
800

0.1

0.2

0.3


0.4

0.5

0.6