Photonic Bandgap Fiber のバンド構造の最適化
量子・物質工学科

植田研究室

柳谷 貴紀

はじめに1レーザーを低利得域で発振させると、高利得域で寄生発振が起こる。導波路内の高利得域の光を逃がし、発振波長の光を伝播させることで、これを防ぐことがω’できる。Photonic Bandgap Fiber (PBGF) を用いてk’

これを行う場合、伝播・損失させる光の波長範囲等を設計するために、PBGF のバンド構造を計算し、最適

図 2.1: PBGF の断面とバンド構造化する必要がある。
本研究は、実際に寄生発振の抑制が確認されている

2.2

PBGF のバンド構造を計算し、寄生発振抑制の起源を確認することを目的とする。

バンド構造の計算

バンド構造の計算方法について、1 次元の場合について説明する。

概要

2.2.1

原理

2バンド構造とはここでは ω ′ と k ′ の関係を意味する。こ2.1

寄生発振抑制の原理

こでω ′ ≡ ωL/2πc

寄生発振が抑制できるような PBGF の断面図、対′応するバンド構造を図2.1 に示した（簡略化して図示）。

k ≡ kL/2π

多数の円状のロッドが周期的に並び、バンドギャッω ≡ 2πc/λ::Normalized Frequency
Normalized Wave Vector

プを構成する1) 。中央のコアは周期構造の欠陥であり、

L : Lattice Constant

バンドギャップ中にコアモードを形成する2)3) 。

c : The Speed of Lightk : Wave Vector parallell to z−axis

発振波長付近の光はコアモードによりコア中に存在

λ : Wave Length

できるが、周囲はバンドギャップであるため存在できず、コア中を伝播する。

である。

k′ は任意の値を決め、ω ′ は Maxwell 方程式を解くこと

高利得域の光はバンドギャップの外側にあり、コアの周囲にも存在でき、拡散する。

で得られる。

Maxwell 方程式の解法には様々なものがあるが、屈折率1) 黒色のバンドの間の白色の部分（誘電率）分布が周期的構造を持っている場合は Plane Wave2) バンドギャップ中の黒線

Expansion Method が有効である。

3) バンドギャップ中のコアモードであっても、Cutoﬀ Line ω =k′ /nbackground（図の赤線）より上にあるものの場合、発振波長のこの手法では誘電率分布をフーリエ展開により和に展開し、電場・磁場を平面波展開により展開する（共に周期は光はバンドギャップ外にリークする。

1L）。4)ε (z) =和に展開することで偏微分方程式は行列の固有値問題に変換され、固有値から ω ′ 、固有ベクトルから各平面波の係数を求めることができる。

εp =

2.2.2

 εA0<z<a εBa<z<L(2.6)

 εA a/L + εB b/L

for p = 0

 i (2πp)

for p ̸= 0−1詳細()(εA − εB ) e−i2πpa/L − 1(2.7)

図2.2 のような周期構造を持つ 1 次元 Photonic 結晶に

ここで電場 E (z, t) をついて考える。

E (z, t) = e−iωt E (z)(2.8)

yのように変数分離し、E (z) を以下のように平面波に展開する6) 。

E (z) =∞
∑cp ei(k+2πp/L)z(2.9)

p=−∞A(2.2) に (2.4)、(2.9) を代入すると、ei2πpz/L についての恒B

等式から(k + 2πp/L)2 cpOa−L z∞∑(ω/c)2 εp−p′ cp′ = 0(p = 0, ±1, ±2, · · · )p′ =−∞(2.10)
が得られる。

図 2.2: 1 次元 Photonic 結晶

ここで以下のように変数を定義して見やすくすると

L=a+bk′ ≡ kL/2π,(2.1)()2γp ≡ k′ + p ,真電荷や真電流、磁気モーメントが無い場合、光の伝播方
向を z 軸正方向とすると、Maxwell 方程式より∂21 ∂2E (z, t) − 2ε (z) E (z, t) = 02∂zc ∂t2という関係が導かれる 。

= γp cp −∞∑ε (z) =εp ei2πpz/L

νp,p′ ≡ ω ′2 εp−p′ ≡ λp−p′(2.12)∑p′p′

λp−p′ cp′p′



..
.

T 
 λp−p+1 
= γp cp −  λp−p  λp−p−1 

..
.

(2.3)

(2.4)

p=−∞

1εp =a(2.11)∑∑ ′2()20 = k ′ + p cp −νp,p′ cp′
ω εp−p′ cp′ = γp cp −(2.2)5)

図の誘電率分布は以下のように表される。
 εA if z is in Aε (z) = εB if z is in Bω ′ ≡ ωL/2πc..
.






 cp−1  cp 
 cp+1 ..
.

(2.13)のように変形できる。trivial な解を除くために行列式を 0∫ adzε (z) e−i2πpz/L(2.5)とする。

04) 本研究で取り扱う PBGF の場合は、周期的構造はファイバーの断面上にあり繰り返しは有限であるが、計算は無限に周期的構造があると想定して行う（Super Cell）。
5) 磁場に関しても同様

6) ブロッホ形式にする

28.8
Cutoff line···············−γp−1 + λ0

λ−1λ−2······

λ1−γp + λ0λ−1······λ2

λ1−γp+1 + λ0··················

8.6

Normalized Frequency

0=···(2.14)
数値計算においては、任意の k ′ と暫定解 ω ′ を用いてこの行列式を計算し、値が十分に小さい場合に暫定解を解とする。

8.48.287.8

この行列式の形は固有値 −λ0 、固有ベクトル c の固有値

7.6
11.4

問題となっている。

0 = Bc = {A − (−λ0 E)} c,

Ac = −λ0 c

11.6

11.812
Normalized Wave Vector

12.212.4(2.15)

図 4.1: N = 24, d = 8.3, ic = 0.035

方法

38.8
Cutoff line

3.1

数値計算

8.6

Normalized Frequency

数値計算には、Photonic Band 構造を計算することのできる専用のソフトウェア MPB (MIT PhotonicBands) を用いた。
3.2

8.4

8.2

8

コアモードの確認
7.8

バンド構造をグラフに図示し、バンドギャップ中の7.611.4

コアモードを目で確認した。

4

計算結果

11.6

11.8
12
Normalized Wave Vector

12.212.4

図 4.2: N = 24, d = 8.0, ic = 0.035

ロッド数 N = 52 − 1、ロッド直径 d = 8.3 µm、Index5Contrast ic = 0.035 での計算結果を図4.1 に示した。

考察

N = 24、d = 8.0、ic = 0.035 での結果を図4.2 に示した。

起源の確認ができなかった理由として、以下が挙げ

N = 24、d = 7.7、ic = 0.035 での結果を図4.3 に示した。

られる。

N = 24、d = 8.3、ic = 0.030 での結果を図4.4 に示した。
N = 24、d = 8.0、ic = 0.030 での結果を図4.5 に示した。

• 実際の PBGF は Graded Index だが 計算では（※いずれも一部のみ）

Step Index とした。

最も単純な近似における計算では、確認できたコアモー7)

ドは全て Cutoﬀ Line より上となった (図4.1) 。これら でこれが原因かどうかは注意深く確かめる必要がある。

は寄生発振の抑制はできない。

Step Index のままより Graded Index の状態に近づ

ロッド半径を下げると、バンド全体は Cutoﬀ Line と比べけるために、屈折率やロッド半径を小さくして計算して高周波（短波長）側へ移動し、コアモードはさらに Cutoﬀたが、逆効果であった。

Line から離れた (図4.2、図4.3)。
PBGF の計算では多数のロッドの平均屈折率を用いた

屈折率を下げた場合も同様にコアモードは高周波側へ移

周期構造の簡略化はできないが、個々のロッドに関し動した (図4.4)。
両者を下げた場合も同様であった (図4.5)。ても同様にしてロッド内の平均屈折率では近似になら7) 図の範囲では 1 つだけであるない可能性がある。

38.88.8
Cutoff line

8.68.68.4

8.4

Normalized Frequency

Normalized Frequency

Cutoff line

8.2

87.8

8.2

8

7.8

7.6

7.6
11.4

11.6

11.8
12
Normalized Wave Vector

12.2

12.4

11.4

図 4.3: N = 24, d = 7.7, ic = 0.035

11.6

11.8
12
Normalized Wave Vector

12.2

12.4

図 4.5: N = 24, d = 8.0, ic = 0.030

8.8
Cutoff line

• 計算時間の短縮。MPB では効率の良い計算手法

Normalized Frequency

8.6に不具合があるため、自分でプログラミングする。
また、CPU だけでなく GPU も用いる。

8.4• 以上を元にした実用的な最適化の実践。数学的な8.2最適値を求めるだけではなく、実際に PBGF を8作る際の結晶の乱れ等やその影響も考慮した物理的な最適化を行う。

7.8

7.6
11.4

11.6

11.8
12
Normalized Wave Vector

12.212.4

参考文献[1] I. Inoue and K. Ohtaka.

図 4.4: N = 24, d = 8.3, ic = 0.030

Photonic crystals:

physics, fabrication and applications. Springer
series in optical sciences.

• 実際の PBGF と比べて計算におけるコアの周りのロッド数が少なすぎる（前者は 252、後者は 24）。

[2] J.D. Joannopoulos, S.G. Johnson, and J.N.

• 実際の PBGF は周期的構造に乱れがあり、またWinn. Photonic crystals: molding the flow oflight. Princeton university press, 2008.

ファイバーは直線ではない。

[3] A. Shirakawa, J. Ota, H. Maruyama, and

6

今後の展望

K. Ueda.

Linearly-Polarized Yb-Doped Fiber

Laser Directly Operating at 1178 nm for 589-

• Graded Index での計算。

nm Generation. Advanced Solid-State Photonics,
2007.

• ロッド数を増加して計算。22 倍すると計算時間はおよそ 10 倍以上になる8) 。

• 乱れの影響の評価。ロッド半径などを変化させたときの波長範囲の変化の程度や傾向等を調べる。
8) Intel Core i7-920 2.66 GHz の場合、ロッド数 52 − 1 で 10時間、82 − 1 で 144 時間。

4