博士学位論文

氏 名 (本 籍 )森田昌一（東京都）

学位の種類

博

学位記番号

博 甲 第 173 号

学位授与年月日

令和

３

月

３１

学位授与の要件

学位規則第４条第

１

項

士（工

４

年

学）

日

学位論文題目
ニューラルネットワーク制御のオンライン・オフライン融合型学習法を用いたサーボシステムの位置決め制御

論文審査委員

主査

森下

明平

副査

黄

慶九

〃

福岡

豊

〃

斎藤

秀俊

〃

濱根

洋人

〃

劉

康志（千葉大学）〃

工学院大学大学院

ニューラルネットワーク制御のオンライン・オフライン融合型学習法を用いたサーボシステムの位置決め制御
Position Control of Servo System Using Online-Offline
Integrated Learning Method of Neural Network Control

2022 年 2 月 17 日
工学院大学大学院

工学研究科
森田

昌一

2

電気・電子工学専攻

目次
第1章

序論................................................................................................................................................... 6

1.1 研究の背景.............................................................................................................................................. 6
1.2 研究の目的.............................................................................................................................................. 7
1.3 論文の構成.............................................................................................................................................. 8
第2章

サーボシステムの基礎知識 .......................................................................................................... 9

2.1 はしがき.................................................................................................................................................. 9
2.2 永久磁石同期電動機（PMSM）［36］［37］.............................................................................................. 9
2.2.1 表面磁石型同期電動機（SPMSM）の構造［37］ ........................................................ 10
2.2.2 埋込磁石型同期電動機（IPMSM）の構造［37］ ......................................................... 10
2.3 サーボモータの制御［37］.....................................................................................................................112.3.1 表面磁石型同期電動機（SPMSM）の制御［37］ ........................................................ 15
2.3.2 埋込磁石型同期電動機（IPMSM）の制御［37］ ......................................................... 15
2.4 サーボシステムの構成［38］-［42］ ....................................................................................................... 20
2.4.1

PID 制御を用いたフィードバック制御［38］［39］ ........................................................ 20

2.4.2 極配置法を用いた PID ゲインの設計［38］［40］ ........................................................... 23
2.4.3 現代制御理論によるサーボシステムの表現［41］［42］ ................................................. 27
2.5 あとがき................................................................................................................................................ 30
第3章

ニューラルネットワーク制御の基礎知識 ................................................................................ 31

3.1 はしがき................................................................................................................................................ 31
3.2 ニューラルネットワークの仕組み ................................................................................................... 31
3.2.1 ニューラルネットワークの構造............................................................................... 32
3.2.2 誤差逆伝播を用いた最急降下法............................................................................... 33
3.3 ニューラルネットワーク制御の仕組み ........................................................................................... 37
3.3.1 ニューロコントロールと適応制御［5］...................................................................... 38
3.3.2 フィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御［33］ .......................... 43
3.4 あとがき................................................................................................................................................ 493

第4章

動的モデルを用いた開発環境 .................................................................................................... 50

4.1 はしがき................................................................................................................................................ 50
4.2 サーボシステムの動的モデルと構成 ............................................................................................... 50
4.3 シミュレーションのモデル ............................................................................................................... 52
4.4 あとがき................................................................................................................................................ 52
第5章

オンライン・オフライン融合型学習法 .................................................................................... 53

5.1 はしがき................................................................................................................................................ 53
5.2 学習法のアルゴリズム ....................................................................................................................... 53
5.2.1 オンライン学習法のアルゴリズム ....................................................................................... 53
5.2.2 オフライン学習法のアルゴリズム ....................................................................................... 54
5.2.3 オンライン・オフライン融合型学習法のアルゴリズム .................................................. 55
5.3 学習法のまとめ ................................................................................................................................... 57
5.4 結果と考察............................................................................................................................................ 57
5.4.1 オンライン学習法を用いた学習済重みの獲得................................................................... 58
5.4.2 負荷イナーシャ変更前後の応答性とロバスト性............................................................... 59
5.4.3 目標軌道の周波数変更前後の応答性とロバスト性........................................................... 64
5.4.4 応答性とロバスト性に関する考察 ....................................................................................... 65
5.5 あとがき................................................................................................................................................ 67
第6章

学習率と回数閾値の更新則 ........................................................................................................ 68

6.1 はしがき................................................................................................................................................ 68
6.2 学習率と回数閾値の新しい更新則の提案 ....................................................................................... 68
6.3 学習率の増減に関わるサーボシステムの特性 ............................................................................... 68
6.3.1 学習率の増減に関わる定常特性 ........................................................................................... 69
6.3.2 学習率の増減に関わる過渡特性 ........................................................................................... 71
6.4 最小二乗法に基づく学習率、回数閾値の定式化および更新則の導出....................................... 73
6.4.1 学習率、回数閾値と誤差最大値との定式化....................................................................... 73
6.4.2 学習率、回数閾値と整定時間との定式化........................................................................... 75
6.4.3 学習率と回数閾値の更新則の導出 ....................................................................................... 774

6.5 学習率、回数閾値の更新則に基づくサーボシステムの解析結果............................................... 79
6.5.1 解析結果 ................................................................................................................................... 79
6.5.2 サーボシステムの定常特性に関する考察........................................................................... 81
6.5.3 サーボシステムの過渡特性に関する考察........................................................................... 81
6.6 あとがき................................................................................................................................................ 82
第7章

カスケードニューラルネットワーク制御 ................................................................................ 83

7.1 はしがき................................................................................................................................................ 83
7.2 オンライン・オフライン融合型学習法と併用する新しい制御法の提案................................... 83
7.3 カスケードニューラルネットワーク制御の理論 ........................................................................... 84
7.3.1 カスケードニューラルネットワーク制御の構成............................................................... 84
7.3.2 カスケードニューラルネットワーク制御のモデル........................................................... 87
7.4 結果と考察............................................................................................................................................ 91
7.4.1 負荷イナーシャ変更前後の応答性とロバスト性............................................................... 91
7.4.2 電機子巻線抵抗の変更前後の応答性とロバスト性........................................................... 94
7.4.3 周期外乱印加後の応答性とロバスト性 ............................................................................... 95
7.4.4 応答性とロバスト性に関する考察 ....................................................................................... 96
7.5 あとがき................................................................................................................................................ 97
第8章

結論................................................................................................................................................. 98

謝辞 ................................................................................................................................................................. 99
参考文献....................................................................................................................................................... 100

5

第1章

序論

1.1 研究の背景
ニューラルネットワーク制御は、適応制御や非線形制御の 1 種である［1］-［6］。加えて、ニュー
ラルネットワーク制御は、学習を通して制御対象の動特性を獲得できるため、ロボットや数値制御工作機械などのサーボシステムの高精度な位置決め制御に期待される［7］-［17］。
今まで、ニューラルネットワーク制御は 2 つの学習法があり、これは、オンライン学習とオフ
ライン学習である。本研究でのサーボモータの位置決め制御のシミュレーション結果と考察から分かったこととして、オンライン学習法は、フィードバック誤差に基づいて学習を常に行われ、負荷変動と外乱に対応でき、ロバスト性が優れている。ただし、整定時間が長く、実時間制御に向いていない。オフライン学習法は、十分なオンライン学習で獲得したニューラルネットワーク
をフィードフォワード補償器として使い、膨大な計算量が無くなったため、制御系の応答性が速い。しかし、フィードバック誤差に基づき常に学習を行われないため、負荷変動と外乱に対応できない。そのため、本研究ではオンライン学習法のロバスト性が優れている利点とオフライン
学習法の応答性が良い利点を融合させ、オンライン・オフライン融合型学習法を発想してきた。
次に、この学習法のパラメータである学習率とサンプリングタイム内の繰り返しループ回数の閾値（回数閾値）について、学習率、回数閾値とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係がまだ明らかではない。また、提案した学習法の学習率と回数閾値のチューニングにおいて、手間がかからないことおよび学習の効率を向上するための検討が必要である。
ニューラルネットワークの学習率の更新則についての研究では、神田らが Proportional-IntegralDifferential（PID）制御と予測を使って学習率を決定する方法を提案していた［18］［19］。また、Cater
は誤差評価関数が大きく、その勾配が小さい場合、学習率を増加させる Heuristic Learning Algorithm（HLA）アルゴリズムを提案していた［20］。Vogl らは誤差評価関数の変化によって学習率を増減させる方法を提案していた［21］［22］。さらに、Jacobs 法に基づき評価関数の曲面の谷で発生する重みの振動を抑制する Kick Out 法がある［23］-［25］。加えて、Jacobs 法の勾配項のみを持つ重みの更新
則 Delta-Bar-Delta（DBD）もある［26］［27］。これらの更新則は、学習率増減の微分を平滑化するような方法であるため、重み増減の振動を抑制することができる。しかし、学習率の増減について
学習の効率と学習の極小値との関係がまだ定式化されていないため、サーボシステムの応答性、ロバスト性との関係を結ぶことは難しい。
そして、提案したオンライン・オフライン融合型学習法に基づき、負荷変動や外乱による制御
対象の影響をさらに抑制し、位置決め精度を一層高めるため、制御対象への制御入力とフィードバック誤差との逆モデルを新たなニューラルネットワーク補償器の学習で獲得するような新しい
ニューラルネットワーク制御の検討が必要である。

6

1.2 研究の目的
本研究では、サーボシステムの位置決め制御に対して、負荷変動と外乱の対応、実時間制御の実現を達成するため、フィードバック誤差が閾値を超えなければオフライン学習を行いフィード
バック誤差が閾値を超えればサンプリングタイム内で少ない繰り返しループのオンライン学習を行うようなオンライン・オフライン融合型学習法を提案する［28］-［30］。
具体的には、まず、十分なオンライン学習で獲得したニューラルネットワークの重みを基準重みとしてロードし、ニューラルネットワーク制御はオフライン学習法で実施される。次に、フィードバック誤差が閾値を超えなければ、オフライン学習法が行われる。フィードバック誤差が閾
値を超えれば、サンプリングタイム内で少ない繰り返しループのオンライン学習法が行われる。
フィードバック誤差が閾値まで収束したら、オフライン学習法に戻る。これらの手順によって、提案法はオフライン学習法の良い応答性とオンライン学習法の優れているロバスト性を融合させられ、負荷変動と外乱の対応および実時間制御が可能であるニューラルネットワーク制御を実現できる。さらに、フィードバック誤差学習［31］-［34］に基づくニューラルネットワーク制御の構成を利用して、DC サーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行う。このシミュレーション
では、DC サーボモータの負荷イナーシャの変更前後に対して、ニューラルネットワーク制御に
オンライン学習法、オフライン学習法、提案法をそれぞれ適用して、シミュレーションの結果と考察から提案法の有効性を明らかにする。
加えて、本研究では、サーボシステムの位置決め制御に対して、学習率、回数閾値とサーボシ
ステムの応答性、ロバスト性との関係をシミュレーションとその解析データから明らかにする。
そして、最小二乗法によってそれらの関係の定式化を行い、セルフチューニングが行えるような学習率と回数閾値の更新則を提案する［35］。
具体的には、まず、サーボモータの位置決め制御の動的モデルを用いた解析環境を構築して、負荷イナーシャ変更前後において、オンライン・オフライン融合型学習法を行い、学習率、回数閾値とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係をシミュレーションとその解析データから明らかにする。そして、学習率、回数閾値、フィードバック誤差、整定時間との関係の定式化を
最小二乗法で行い、セルフチューニングが行えるような学習率と回数閾値の更新則を提案する。
最後に、フィードバック誤差の指標値と整定時間の指標値を設けて、提案された学習率と回数閾値の更新則により学習率と回数閾値を求めて、負荷イナーシャ変更前後のシミュレーションとその結果から更新則の有効性を示す。
さらに、本研究では、オンライン・オフライン融合型学習法を用いたニューラルネットワーク
補償器と並列に別のニューラルネットワーク補償器を接続させるようなカスケード型ニューラル
ネットワーク制御を提案する。具体的には、新しいニューラルネットワークの入力層にフィードバック誤差を入力させて、オンライン学習法を行い、そのニューラルネットワーク補償器の出力と単体のニューラルネットワーク補償器の出力を制御対象に加算する。これらの手順によって、負荷変動や外乱による影響が打ち消され、補償器の効果を総合的に向上させられる。そして、DC
サーボモータの位置決め制御のシミュレーション結果と考察から提案法の有効性を示す。
7

1.3 論文の構成
本論文の構成は、以下の通りである。
第 1 章では、ニューラルネットワーク制御の新しい学習法について、提案したその背景と目的を述べた。次に、提案した学習法のパラメータ設定の課題点およびその解決法を述べた。その次に、単体のニューラルネットワーク制御を活用した新しいニューラルネットワーク制御について、提案したその背景と目的を述べた。
第 2 章では、永久磁石同期電動機（PMSM：Permanent Magnet Synchronous Motor）の種類にて、表面磁石型同期電動機（SPMSM：Surface Permanent Magnet Synchronous Motor）と埋込磁石型同期電動機（IPMSM：Interior Permanent Magnet Synchronous Motor）を例とするサーボモータの構造とそれらの制御法を説明する。また、サーボシステムの構成も説明する。
第 3 章では、ニューラルネットワークとはどのような構成であるか、どのようなアルゴリズムが使われているか、学習のアルゴリズムの 1 種である誤差逆伝播を用いた最急降下法を説明する。
また、ニューラルネットワーク制御の先行研究も説明する。
第 4 章では、制御対象であるサーボモータの位置決め制御の構成を説明して、その制御系の動的モデルを示す。加えて、サーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行うため、MATLAB/Simulink により作成した制御系の解析モデルを示して、そのモデルを用いたシミュレー
ションの具体的な解析方法を説明する。
第 5 章では、まず、従来のオンライン学習法およびオフライン学習法のアルゴリズムについてそれぞれの利点と欠点を説明して、オンライン学習法の利点およびオフライン学習法の利点を融合させたオンライン・オフライン融合型学習法のアルゴリズムについて説明する。次に、前章で説明したサーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行い、PID 制御とオンライン学習
法をそれぞれ用いたシミュレーションの結果についての比較、オンライン学習法、オフライン
学習法、提案したオンライン・オフライン融合型学習法のシミュレーション結果について比較を行う。最後に、それらの結果から提案した学習法で達成できたことを述べる。
第 6 章では、提案したオンライン・オフライン融合型学習法のパラメータ設定の課題に対してセルフチューニングが行えるような学習率と回数閾値の更新則を提案する。また、その更新則を導出するまでの手順を説明して、導出された更新則に基づいて求められた学習率と回数閾値を
オンライン・オフライン融合型学習法に代入する。そして、位置決め制御のシミュレーションを行い、その結果から提案した更新則の有効性を述べる。
第 7 章では、提案したオンライン・オフライン融合型学習法を用いたニューラルネットワーク
補償器ともう 1 つ別のニューラルネットワーク補償器を併用したカスケード型ニューラルネット
ワーク制御について、その構成や理論を説明する。そして、位置決め制御のシミュレーションを行い、その結果から提案した制御法の有効性を述べる。
第 8 章では、本論文の結論を述べる。

8

第2章

サーボシステムの基礎知識

2.1 はしがき
本章では、第 3 章で述べる制御対象とニューラルネットワークとの間の関係を明らかにする前段階として、まず、永久磁石同期電動機（PMSM）の種類を説明する。種類は、回転子の表面に永久磁石を張り付ける表面磁石型同期電動機（SPMSM）と回転子の内部に永久磁石を埋め込む埋込
磁石型同期電動機（IPMSM）の 2 種類であり、それらの構造を 2.2 節で説明する。次に、それらの制御方法を 2.3 節で説明する。最後に、フィードバック制御を用いた全体のサーボシステムの構成について、PID 制御のゲイン設定や現代制御理論を用いた表現を 2.4 節で説明する。
2.2 永久磁石同期電動機（PMSM）［36］［37］
本節では、赤津（2012）および武田、松井、森本、本田（2001）に基づき説明する。永久磁石を用いた電動機には、直流（DC：Direct Current）を電源にする直流モータと交流（AC：Alternating
Current）を電源にする交流モータがある。DC モータでは、フレミング左手の法則によって電機子
巻線で発生する電磁力、図 2.1 に示すようなブラシと整流子との接触によりモータの回転が連続して行われる。AC モータでは、磁界が回転することでモータの回転が連続して行われる。回転磁
界形モータは単相交流モータと三相交流モータに分類され、それらのモータの中で、単相誘導モータと三相誘導モータ、単相同期モータと三相同期モータに分類される。そして、パルス波の入力によってモータの回転が行われるブラシレスモータとステッピングモータがある。加えて、ブラシレスモータでは、矩形波入力で駆動するブラシレス DC（BLDC）モータと正弦波入力で駆動するブラシレス AC（BLAC）モータがある。さらに、ブラシレスモータでは、固定子を外側に回転軸を備えた回転子を内側に備えたインナーロータ形のモータと固定子を内側に回転軸を備えた回転子を外側に備えたアウターロータ形のモータと呼ばれている。インナーロータ形とアウター
ロータ形は、固定子と回転子との間にギャップがあり、そのギャップの磁力線の方向が回転軸に対して垂直な方向になる。ここで、PMSM のロータの形状は図 2.2 に示される。

N

＋

S

－

図 2.1

DC モータの整流子とブラシ［36］赤津観：史上最強カラー図解 最新版 モータ技術のすべてがわかる本，ナツメ社，図 B1-2-1・図 B1-2-5（2012）を参考に作成

9

SPM 構造

IPM 構造

N

N

N

非突極機

S

S

N

S

S

N

N

(a)

(c)

S

S

S

S
N

N

N N

N
突極機

S

S

S

N

S
S

N

S

N

(b)

S
S

S
N

N
S

N N

(f)

(d)
：永久磁石

図 2.2

(g)

(e)

(h)
：ケイ素鋼板：非磁性体

PMSM の代表的なロータ構造［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 1.3（2001）を一部改変

2.2.1 表面磁石型同期電動機（SPMSM）の構造［37］図 2.2(a) と図 2.2(b) のように回転子表面に永久磁石を配置する PMSM は SPMSM に分類される。ここで、永久磁石の N 極方向に関するインダクタンスは d 軸（Direct-axis）インダクタンスと呼ばれ、d 軸より電気角で 90 度進んだ方向に関するインダクタンスは q 軸（Quadrature-axis）インダクタンスと呼ばれる。図 2.2(a) の SPMSM では磁気抵抗が回転子の位置に無関係になるため、
d 軸インダクタンスと q 軸インダクタンスの値が等しい関係になる。図 2.2(b) は永久磁石がロータの表面に露出しているため SPMSM の部類であるが、磁石両端の鋼板がロータの表面に出ているため突極形に分類される。突極形は、図 2.2(b) 以外にも (d) から (h) が該当する。SPMSM の特徴は、インダクタンスの値が小さいため、高速回転時の端子電圧の上昇と磁気飽和による影響を受けにくいという利点がある。一方で、高速回転時に遠心力による永久磁石の飛散を防止するための保護管が必要になるという欠点や永久磁石の磁束と電機子巻線電流間に作用する電磁力により発生するマグネットトルク（Magnetic Torque）しか利用できないという欠点がある。
2.2.2 埋込磁石型同期電動機（IPMSM）の構造［37］図 2.2(c) から図 2.2(h) のように回転子内部に永久磁石を埋め込む PMSM は IPMSM に分類される。ここで、図 2.2(c) は電流が少しでも大きくなると表面の薄い鋼板部分が磁気飽和を起こし非突極形（円筒形）になる。図 2.2(e) の IPMSM では、d 軸方向の磁束が磁気抵抗によって通りにく
く q 軸方向の磁束が通りやすいため、q 軸インダクタンスの値が d 軸インダクタンスよりも大きいという関係になる。この関係は突極性に対する逆突極性と呼ばれる。IPMSM の特徴は、永久磁石が内部に埋め込まれているため、保護管が不要という利点やマグネットトルクと併用して回転
磁界と回転子の突極との吸引力だけによって生ずるリラクタンストルク（Reluctance Torque）も利用できるという利点がある。一方で、q 軸インダクタンスの値が大きいため、高速回転時の端子電圧の上昇と磁気飽和による影響を受けやすいという欠点がある。
10

2.3 サーボモータの制御［37］前節では、SPMSM と IPMSM の構造を説明した。SPMSM と IPMSM の電流やトルクなどを制御する方法としては、ベクトル制御と呼ばれる方法がある。本節では、武田、松井、森本、本田（2001）に基づいて、そのベクトル制御の理論を説明する。ベクトル制御には、𝑖𝑑 = 0 制御、最大トルク／電流制御、最大トルク／磁束制御、弱め磁束制御、力率 1 制御、最大効率制御がある。
IPMSM で 𝑖𝑑 = 0 制御を行う場合は、マグネットトルクのみが利用できて、BLDC モータの等価回路が扱える。まず、PMSM は図 2.3 に示されるような等価回路で表現できる。
U相
𝑢

𝑖𝑢
𝐿𝑢
𝑀𝑤𝑢

𝑀𝑢𝑣

𝑎

N
𝑎

S

𝑎

𝑖𝑣

𝑖𝑤
𝑤

W相

図 2.3

𝐿𝑣

𝐿𝑤

𝑀𝑣𝑤

𝑣

V相

PMSM の三相座標モデル［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 1.5（2001）を一部改変

このモデルの自己インダクタンス 𝐿𝑢 , 𝐿𝑣 , 𝐿𝑤 と相互インダクタンス 𝑀𝑢𝑣 , 𝑀𝑣𝑤 , 𝑀𝑤𝑢 は式(2.1)と式(2.2)にそれぞれ示され、永久磁石の電機子鎖交磁束 𝛹𝑓𝑢 , 𝛹𝑓𝑣 , 𝛹𝑓𝑤 は式(2.3)に示される。また、
𝑙𝑎 は 1 相分の漏れインダクタンス、𝐿𝑎 は 1 相分のインダクタンスの平均値、𝐿𝑎𝑠 は 1 相分のインダクタンスの振幅値、𝜃𝑟𝑒 は電気角、𝛹𝑓 は 1 相分の電機子鎖交磁束の最大値を示す。
𝐿𝑢 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos (2𝜃𝑟𝑒 )2
𝐿𝑣 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos (2𝜃𝑟𝑒 + 𝜋)
3

(2.1)

2
𝐿𝑤 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos (2𝜃𝑟𝑒 − 𝜋)312
𝑀𝑢𝑣 = − 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos (2𝜃𝑟𝑒 − 𝜋)231
𝑀𝑣𝑤 = − 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos (2𝜃𝑟𝑒 )2
1
2
𝑀𝑤𝑢 = − 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos (2𝜃𝑟𝑒 + 𝜋)
2
3
11

(2.2)

𝛹𝑓𝑢 = 𝛹𝑓 cos (𝜃𝑟𝑒 )2
𝛹𝑓𝑣 = 𝛹𝑓 cos (𝜃𝑟𝑒 − 𝜋)
3

(2.3)

2
𝛹𝑓𝑤 = 𝛹𝑓 cos (𝜃𝑟𝑒 + 𝜋)
3
次に、PMSM の三相電圧方程式は、式(2.1)から式(2.3)を用いて式(2.4)に示される。なお、 𝑢 , 𝑣 , 𝑤
は電機子電圧、𝑖𝑢 , 𝑖𝑣 , 𝑖𝑤 は電機子電流、 𝑎 は電機子巻線抵抗、𝑝 は時間微分の演算子を示す。
𝑢𝑎 + 𝑝𝐿𝑢==[ 𝑣 ] [ 𝑝𝑀𝑢𝑣
𝑢𝑣𝑤
𝑝𝑀𝑣𝑢
𝑤

𝛹𝑓𝑢
𝑝𝑀𝑤𝑢
𝑖𝑢
𝑝𝑀𝑣𝑤 ] [ 𝑖𝑣 ] + 𝑝 [ 𝛹𝑓𝑣 ]𝛹𝑓𝑤
𝑎 + 𝑝𝐿𝑤 𝑖𝑤

𝑝𝑀𝑢𝑣
𝑎 + 𝑝𝐿𝑣
𝑝𝑀𝑣𝑤

(2.4)

ここで、三相座標モデルから二相座標モデルへ変換する。それは、式(2.5)と式(2.6)に示される。また、二相座標モデルは図 2.4 に示される。三相座標モデルから二相座標モデルへの変換は、𝛼 − 𝛽変換（クラーク変換）と呼ばれ、式(2.6)に示される変換行列 𝐶𝛼𝛽 で変換が行われる。
𝑢𝛼𝛼𝛽 = [ 𝛽 ] = 𝐶𝛼𝛽 [ 𝑣 ]
𝑤

(2.5)

𝑖𝑢
𝑖𝛼
𝑖𝛼𝛽 = [𝑖 ] = 𝐶𝛼𝛽 [ 𝑖𝑣 ]𝛽
𝑖𝑤
1
1
2 1 −2 −2𝐶𝛼𝛽 = √
3√3
√3
[0 2 − 2 ]

(2.6)

(2.7)

α軸
𝛼

𝑖𝛼
𝐿𝛼
𝑎

N
S

図 2.4

𝑎

𝐿𝛽

𝑖𝛽

𝛽

β軸

PMSM の二相座標モデル［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 1.6（2001）を参考に作成

12

式(2.7)において、変換行列 𝐶𝛼𝛽 の係数 √2⁄3 を係数 𝐾 に置き換えて、式(2.8)の計算を行うと𝐾 = √2⁄3 を導出することができる。なお、𝑇 は転置行列を示し、𝐼 は単位行列を示す。また、
係数 𝐾 は 2/3 に置き換えることもできる。
1
1
1
1 𝑇
3
−
1 −
−
0
2
2
2
2
1 0
= 𝐾 2 [2
]=[
]
3
0 1
√3
√3
√3
√3
0
− ] [0
− ]
2
2
2
2
2

1 −
𝑇
𝐶𝛼𝛽 𝐶𝛼𝛽= 𝐼 ⇔ 𝐾2

[0

(2.8)

そして、二相座標モデルから回転座標モデルへ変換する。それは、式(2.9)と式(2.10)に示される。
また、回転座標モデルは図 2.5 に示される。二相座標モデルから回転座標モデルへの変換は、𝑑 − 𝑞変換（パーク変換）と呼ばれ、式(2.11)に示される変換行列 𝐶𝑑𝑞 で変換が行われる。
𝑑𝑞 = [𝑑𝑞𝛼] = 𝐶𝑑𝑞 [

𝛽

(2.9)

]

𝑖𝑑
𝑖𝛼
𝑖𝑑𝑞 = [𝑖 ] = 𝐶𝑑𝑞 [𝑖 ](2.10)cos (𝜃𝑟𝑒 ) sin (𝜃𝑟𝑒 )𝐶𝑑𝑞 = []
−sin (𝜃𝑟𝑒 ) cos (𝜃𝑟𝑒 )(2.11)

𝛽

𝑞

α軸
𝛼

q軸

𝑖𝛼

𝑟𝑒

𝑞

𝜃𝑟𝑒

𝐿𝛼

𝑖𝑞

𝐿𝑞

𝑎
𝑎

N
S

𝑎

𝐿𝛽

𝑖𝛽

𝛽

β軸

𝑎

𝐿𝑑
𝑖𝑑

図 2.5

𝑑

d軸

PMSM の回転座標モデル［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 1.6（2001）を参考に作成

変換行列 𝐶𝛼𝛽 と変換行列 𝐶𝑑𝑞 を用いて式(2.12)に示される三相座標モデルから回転座標モデルへ直接変換する変換行列 𝐶 を作成する。
2
2
cos (𝜃𝑟𝑒 − 𝜋)cos (𝜃𝑟𝑒 + 𝜋)
2 cos (𝜃𝑟𝑒 )3
3
𝐶 = 𝐶𝑑𝑞 𝐶𝛼𝛽 = √ []223−sin (𝜃𝑟𝑒 ) −sin (𝜃𝑟𝑒 − 𝜋) −sin (𝜃𝑟𝑒 + 𝜋)3313(2.12)

この変換行列 𝐶 を用いて PMSM の三相電圧方程式を 𝑑 − 𝑞 座標軸に変換した電圧方程式は、式(2.13)に示される。また、d 軸インダクタンス 𝐿𝑑 は式(2.14)、q 軸インダクタンス 𝐿𝑞 は、式(2.15)、
電機子鎖交磁束 𝛹𝑎 は式(2.16)に示される。なお、 𝑟𝑒 は電気角速度を示す。

𝑑𝑞 = [

[

𝑑
𝑞

𝑑
𝑞

𝑎 + 𝑝𝐿𝑢𝑢] = 𝐶 [ 𝑣 ] = 𝐶 [ 𝑝𝑀𝑢𝑣
𝑝𝑀𝑣𝑢
𝑤

]=[

𝑎 + 𝑝𝐿𝑑
𝑟𝑒 𝐿𝑑

𝑝𝑀𝑢𝑣
𝑎 + 𝑝𝐿𝑣
𝑝𝑀𝑣𝑤

𝛹𝑓𝑢
𝑝𝑀𝑤𝑢
𝑖𝑢
𝑇
𝑝𝑀𝑣𝑤 ] 𝐶 𝐶 [ 𝑖𝑣 ] + 𝐶 𝑝 [ 𝛹𝑓𝑣 ]𝑖𝑤
𝛹𝑓𝑤
𝑎 + 𝑝𝐿𝑤(2.13)− 𝑟𝑒 𝐿𝑞 𝑖𝑑0][ ] + []𝑎 + 𝑝𝐿𝑞 𝑖𝑞
𝑟𝑒 𝛹𝑎3
𝐿𝑑 = 𝑙𝑎 + (𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 )2(2.14)

3
𝐿𝑞 = 𝑙𝑎 + (𝐿𝑎 + 𝐿𝑎𝑠 )2(2.15)

𝛹𝑎 = √3⁄2 𝛹𝑓(2.16)

したがって、PMSM を定常運転させた時の電圧や電流などの関係は、図 2.6 に示される。

q軸
𝑟𝑒 𝐿𝑞 𝒊𝒂𝑟𝑒 𝐿𝑑 𝒊

𝑎 𝒊𝒂

𝑟𝑒 𝜳𝒂

𝒊𝒂

𝛽

𝒐

𝐿𝑑 𝒊

𝒊
𝜳𝒐

𝒊

𝐿𝑞 𝒊

𝜳𝒂

図 2.6

d軸

PMSM の基本ベクトル図［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 1.7（2001）を一部改変

PMSM のトルク 𝑇 は、図 2.6 より電流ベクトル 𝒊𝒂 と電機子鎖交磁束ベクトル 𝜳𝒐 との外積により求められ、磁極のペア数（極対数）𝑃𝑛 を用いて式(2.17)のように示される。極対数 𝑃𝑛 は、
モータ軸の回転角度（機械角）𝜃𝑟𝑚 と電気角 𝜃𝑟𝑒 を用いて式(2.18)のように示される。なお、
𝑇𝑚 は PMSM のマグネットトルクと呼ばれ、𝑇𝑟 は PMSM のリラクタンストルクと呼ばれる。
𝑇 = 𝑃𝑛 {𝛹𝑎 𝑖𝑞 + (𝐿𝑑 − 𝐿𝑞 )𝑖𝑑 𝑖𝑞 } = 𝑃𝑛 𝛹𝑎 𝑖𝑞 + 𝑃𝑛 (𝐿𝑑 − 𝐿𝑞 )𝑖𝑑 𝑖𝑞 = 𝑇𝑚 + 𝑇𝑟
𝑃𝑛 = 𝜃𝑟𝑒 ⁄𝜃𝑟𝑚(∴ 𝑃𝑛 = 1 ならば 𝜃𝑟𝑒 = 𝜃𝑟𝑚 )14(2.17)(2.18)

2.3.1 表面磁石型同期電動機（SPMSM）の制御［37］SPMSM では、式(2.17)で示したマグネットトルク 𝑇𝑚 のみを利用できる。よって、d 軸の電流は 𝑖𝑑 = 0 となるように制御を行う必要がある。この制御法は、𝑖𝑑 = 0 制御と呼ばれるベクトル制御の 1 種である。この制御法では、トルク発生に関与する d 軸電流を常に 0 にするため、同一トルクに対する電流は最小となり効率的である。一方で、IPMSM でも 𝑖𝑑 = 0 制御を行うことは可能である。しかし、IPMSM の特徴であるリラクタンストルク 𝑇𝑟 が利用できなくなるため、
IPMSM にとって 𝑖𝑑 = 0 制御は必ずしも適切な制御方法とはならない。また、𝐿𝑑 = 𝐿𝑞 ならば
𝑖𝑑 = 0 制御と同じになる。
2.3.2 埋込磁石型同期電動機（IPMSM）の制御［37］電流ベクトル 𝒊𝒂 と電流ベクトル 𝒊 との間には、電流位相 𝛽（進み位相角）がある。この電流位相には、同一電流に対して発生トルクを最大にできる電流位相が存在する。これは、電機子電流に対して最も効率的にトルクを発生させる条件になる。このような状態になるように電流ベクトルを制御する方法は、最大トルク／電流制御と呼ばれている。最適な電流位相を求めるためには、式(2.17)を電流ベクトルの大きさ 𝐼𝑎 と電流位相 𝛽 を用いて式(2.19)に置き換える。
1
𝑇 = 𝑃𝑛 {𝛹𝑎 𝑖𝑞 + (𝐿𝑑 − 𝐿𝑞 )𝑖𝑑 𝑖𝑞 } = 𝑃𝑛 {𝛹𝑎 𝐼𝑎 cos (𝛽) + (𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 ) 𝐼𝑎2 sin (2𝛽)}2(2.19)

そして、式(2.19)を電流位相 𝛽 で偏微分して 0 と置き、電流位相 𝛽 について解く。それによって電流位相 𝛽は式(2.20)のように求められる。
𝜕𝑇= 𝑃𝑛 {−2(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 ) 𝐼𝑎2 sin2 (𝛽) − 𝛹𝑎 𝐼𝑎 sin (𝛽) + (𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 )𝐼𝑎2 } = 0𝜕𝛽
(2.20)−𝛹𝑎 + √𝛹𝑎2 + 8(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 )𝐼𝑎2

𝛽 = sin−1

4(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 )𝐼𝑎()

また、図 2.6 より d 軸電流と q 軸電流との関係は、式(2.22)に示される。

𝑖𝑑 =

𝛹𝑎
2(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 )−√𝛹𝑎24(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 )𝐼𝑎+ 𝑖𝑞2(2.21)

最大トルク／電流制御を行うと、電流ベクトルは負荷状態に応じて最大トルク／電流制御曲線上を移動する。同一トルクが発生した場合は、電流が最小になることから銅損が最小になり、電流の上限値を考慮する場合は最大の発生トルクが得られる。最大トルク／電流制御時の 𝑖𝑑 , 𝑖𝑞 の特性を表した電流ベクトルの軌跡は、図 2.7 に示される。
15

q軸

最大トルク／電流曲線

定トルク曲線

定電流円

𝒊

0

𝒊

d軸

図 2.7 最大トルク／電流制御時の電流ベクトル軌跡［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 2.8（2001）を参考に作成

次に、電流位相に対する電流と鎖交磁束の特性において、同一トルク発生時に鎖交磁束が最小になる条件があるとする。これは、鎖交磁束に対して最も効率的にトルクを発生させる条件になり、鉄損が最小になる条件にもなる。このような状態になるように制御する方法は、最大トルク／磁束制御と呼ばれている。ここで、鎖交磁束は図 2.6 より式(2.22)と式(2.23)に示される。
𝛹𝑜𝑑𝐿𝑑[𝛹 ] = [ 0
𝑜𝑞

0 𝑖𝑑
𝛹𝑎
𝐿𝑞 ] [𝑖𝑞 ] + [ 0 ](2.22)

2
2 = √(𝐿 𝑖 + 𝛹 )2 + (𝐿 𝑖 )𝛹𝑜 = √𝛹𝑜𝑑
+ 𝛹𝑜𝑞
𝑑 𝑑
𝑎
𝑞 𝑞

2

(2.23)

式(2.24)のように、式(2.23)を用いて式(2.17)の q 軸電流 𝑖𝑞 を消去し、d 軸電流 𝑖𝑑 で偏微分したものを 0 と置く。結果的に 𝑖𝑑 と 𝑖𝑞 は、それぞれ式(2.25)と式(2.26)のように求められる。最大トルク／磁束制御時の電流ベクトル軌跡は、図 2.8 に示される。
𝜕𝑇√𝛹𝑜2 − (𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 )2= 𝑃𝑛 {𝛹𝑎 + (𝐿𝑑 − 𝐿𝑞 )𝑖𝑑 }
=0
𝜕𝑖𝑑
𝐿𝑞
2

2

(2.24)−𝐿𝑞 𝛹𝑎 + √(𝐿𝑞 𝛹𝑎 ) + 8(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 ) 𝛹𝑜1
𝑖𝑑 = −𝛹𝑎 +𝐿𝑑
4(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 )()
2

𝑖𝑞 = ±−𝐿𝑞 𝛹𝑎 + √(𝐿𝑞 𝛹𝑎 )1
√𝛹𝑜2 −𝐿𝑞
4(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 )
(

16

2

2

(2.25)

2+ 8(𝐿𝑞 − 𝐿𝑑 ) 𝛹𝑜2(2.26))

q軸
最大トルク／磁束曲線

定トルク曲線
定鎖交磁束楕円𝒊− 𝛹𝑎 ⁄𝐿𝑑 , 0

0

𝒊

d軸

図 2.8 最大トルク／磁束制御時の電流ベクトル軌跡［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 2.9（2001）を参考に作成

その次に、d 軸電流 𝑖𝑑 が逆向きである、すなわち、𝑖𝑑 が負であると反作用により減磁効果が生じる。この減磁効果により d 軸方向の磁束を減少させることができる。これは、等価的な弱め界磁制御になり、弱め磁束制御と呼ばれている。ここで、モータの端子電圧を誘起電圧 𝑉𝑜 と見なして、電気角速度

𝑟𝑒と電機子鎖交磁束ベクトルの大きさ 𝛹𝑜 を用いると、式(2.27)に示される。

また、その誘起電圧 𝑉𝑜 を制限値 𝑉𝑜𝑚 に保たせると式(2.28)のように示される。
𝑉𝑜 =𝑟𝑒 𝛹𝑜 =𝑟𝑒 √(𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 )2 + (𝐿 𝑖 )2
𝑞 𝑞

𝑉𝑜𝑚 2
2
(𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 )2 + (𝐿𝑞 𝑖𝑞 ) = ()(2.27)(2.28)

𝑟𝑒式(2.28)は 2 次元平面上で楕円になり、𝑖𝑑 と 𝑖𝑞 との関係は式(2.29)のように示される。ただし、|𝑖𝑞 | ≤ 𝑉𝑜𝑚 ⁄( 𝑟𝑒 𝐿𝑞 ) であり、𝑖𝑑 が 𝑖𝑑 = −𝛹𝑎 /𝐿𝑑 以上ならば分子の第 2 項は正である。

𝑖𝑑 =−𝛹𝑎 ± √(𝑉𝑜𝑚 ⁄ 𝑟𝑒 )2 + (𝐿𝑞 𝑖𝑞 )2(2.29)

𝐿𝑑

弱め磁束制御を行って、速度が一定の式(2.28)の楕円（定誘起電圧楕円）と最大トルク／誘起電圧
曲線との交点で得られるトルクは、正の領域で最大または負の領域で最大になる。弱め磁束制御時の電流ベクトル軌跡は、図 2.9 に示される。

17

q軸
最大トルク／磁束曲線

定トルク曲線
定鎖交磁束楕円𝒊− 𝛹𝑎 ⁄𝐿𝑑 , 0

0

𝒊

d軸

図 2.9 弱め磁束制御時の電流ベクトル軌跡［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 2.10（2001）を参考に作成

その次に、電機子電圧ベクトルがある。電流位相 𝛽 と電圧位相𝒂と電流ベクトル 𝒊 との間には、電圧位相 （進み位相角）との関係が 𝛽 =になる、すなわち、𝑖𝑑 ⁄𝑖𝑞 =

𝑑⁄ 𝑞

を満た

せれば力率を 1 にできる。このような状態になるように制御する方法は、力率 1 制御と呼ばれている。ここで、𝑑 − 𝑞 座標軸に変換した電圧方程式を以下の式のように分ける。
[
[

𝑑

]=[ 𝑎
0
𝑞
𝑜𝑑
𝑜𝑞

]=[

0
𝑎

0
𝑟𝑒 𝐿𝑑

𝑖𝑑
𝐿𝑑
𝑜𝑑
] [𝑖 ] + [ ] + 𝑝 [ 0
𝑞

𝑜𝑞

0 𝑖𝑑
𝐿𝑞 ] [𝑖𝑞 ]− 𝑟𝑒 𝐿𝑞 𝑖𝑑0] [𝑖 ] + [
]
0
𝑞
𝑟𝑒 𝛹𝑎

(2.30)(2.31)

定常状態時では、式(2.30)の第 3 項は 0 になるため、式(2.32)のように置き換えられる。
[

𝑑

]=[ 𝑎
0
𝑞

𝑖𝑑
0
] [𝑖 ] + [
𝑞
𝑎
𝑟𝑒 𝐿𝑑

0

− 𝑟𝑒 𝐿𝑞 𝑖𝑑0] [𝑖 ] + [
]
0
𝑞
𝑟𝑒 𝛹𝑎

(2.32)

𝑖𝑑 と 𝑖𝑞 との関係は、式(2.32)から式(2.33)のように楕円で示される。また、𝑖𝑑 は式(2.34)に示される。ただし、|𝑖𝑞 | ≤ 𝛹𝑎 ⁄2√𝐿𝑑 𝐿𝑞 である。
2

𝐿𝑞
𝛹𝑎 2
𝛹𝑎 2
(𝑖𝑑 +
) + (√ 𝑖𝑞 ) = (
)
2𝐿𝑑
𝐿𝑑
2𝐿𝑑
−𝛹𝑎 ± √𝛹𝑎 2 − 4𝐿𝑑 𝐿𝑞 𝑖𝑞2
𝑖𝑑 =

2𝐿𝑑

18

(2.33)(2.34)

最後に、トルクおよび速度が一定である時、電流ベクトルを制御することで銅損と鉄損の値はそれぞれ変動するため、それらの損失を最小にして効率を最大にすることができる。このような状態になるように制御する方法は、最大効率制御と呼ばれている。ここで、損失が考慮された
モータモデルにおける損失 𝑊loss は、 𝑖𝑑 と等価銅損抵抗𝑐の電流との差 𝑖𝑜𝑑 、電気角速度

𝑟𝑒 、

トルク 𝑇 を用いて表現できる。任意のトルクおよび速度において損失 𝑊loss が最小になるためには、式(2.35)のように損失 𝑊loss を 𝑖𝑜𝑑 で偏微分したものを 0 と置く。
𝜕𝑊loss(𝑖𝑜𝑑 ,𝜕𝑖𝑜𝑑

𝑟𝑒 , 𝑇)(2.35)=0式(2.35)により式(2.36)の関係が導出される。𝑓1 , 𝑓2 , 𝐾𝜔 は、式(2.37)から式(2.39)に示される。
𝑓1 (𝑖𝑜𝑑 )𝑓2(𝑖𝑜𝑑 ) = 𝐾𝜔 𝑇 2(2.36)

𝑓1 (𝑖𝑜𝑑 ) = 𝑃𝑛2 { 𝑎 𝑐2 𝑖𝑜𝑑 +(2.37)

2
𝑟𝑒 𝐿𝑑 ( 𝑎 + 𝑐 )(𝛹𝑎 + 𝐿𝑑 𝑖𝑜𝑑 )}3𝑓2 (𝑖𝑜𝑑 ) = {𝛹𝑎 + (𝐿𝑑 − 𝐿𝑞 )𝑖𝑜𝑑 }𝐾𝜔 = { 𝑎 𝑐2 + ( 𝑟𝑒 𝐿𝑑 )2 ( 𝑎 + 𝑐 )(𝐿𝑑 − 𝐿𝑞 )}(2.38)(2.39)

式(2.36)を満たす最適な電流 𝑖𝑜𝑑 が得られると 𝑖𝑜𝑞 は式(2.40)のように示される。ただし、式(2.36)の計算は困難であるため、トルクと速度に関する近似関数など用いて 𝑖𝑜𝑑 を計算する。𝑖𝑑 と 𝑖𝑞は以下に示される。また、最大効率制御時の電流ベクトル軌跡は、図 2.10 に示される。
𝑖𝑜𝑞 =

𝑇⁄𝑃𝑛

(2.40)

𝛹𝑎 + (𝐿𝑑 − 𝐿𝑞 )𝑖𝑜𝑑

𝑖𝑑 = 𝑖𝑜𝑑 −𝑖𝑞 = 𝑖𝑜𝑞 +𝑟𝑒 𝐿𝑞 𝑖𝑜𝑞

(2.41)𝑐𝑟𝑒 (𝛹𝑎 + 𝐿𝑑 𝑖𝑜𝑑 )(2.42)𝑐q軸

最大効率曲線
最大トルク
／電流曲線
最大トルク
／磁束曲線

𝒊

− 𝛹𝑎 ⁄𝐿𝑑 , 0

𝒊

0

d軸

図 2.10 最大効率制御の電流ベクトル軌跡［37］武田洋次，松井信行，森本茂雄，本田幸夫：埋込磁石同期モータの設計と制御，オーム社，図 2.11（2001）を参考に作成

19

2.4 サーボシステムの構成［38］-［42］前節では、サーボモータに関する構造や制御法を説明した。本節では、サーボモータを制御対象として、目標位置や目標速度が設定された場合にどのような方法で制御対象を追従させる
ように制御するかを説明して、サーボシステムの構成も説明する。
制御には、1 つの入力に対して 1 つの出力を行う古典制御（Classical Control）と呼ばれている制御の方法と複数の入力に対して複数の出力を行う現代制御（Modern Control）と呼ばれている制御の方法がある。上記で説明した古典制御には、洗濯機のようにボタンのオンとオフによってあらかじめ組み込まれているプログラムを順番に実行するシーケンス制御（Sequential Control）、水槽用ヒータなど外気温に基づいて目標の水温を達成するための操作量を決定しておきヒータのパワーを調節するフィードフォワード制御（Feedforward Control）、水槽用ヒータなど温度センサで検知された現在の水温と目標の水温を比較してその誤差をなくすようにヒータの制御量を調節する
フィードバック制御（Feedback Control）がある。また、現代制御は、古典制御のように伝達関数と呼ばれている表現の方法を用いて入力と出力との特性を表すことに対して、状態空間と呼ばれている表現の方法を用いてシステム内部の変数の変化まで観測することができる。
古典制御におけるフィードバック制御には、時間に関係なく目標値が一定である定値制御、時間の経過で目標値が変化する追値制御、任意に目標値が時間変化する追従制御がある。追従制御
では、回転位置や回転速度を制御するサーボ機構がある。フィードバック制御において、目標値と出力値との誤差をなくすために PID 制御と呼ばれる代表的な制御方法が用いられている。PID制御では、フィードバック誤差を定数倍して誤差を修正する P 制御、P 制御で取り除けない誤差を積分で修正する I 制御、フィードバック誤差の振動を微分で抑制して目標値への追従性を向上させる D 制御の 3 つの制御器から構成されている。
2.4.1

PID 制御を用いたフィードバック制御［38］［39］

(𝑠)

𝐸(𝑠)

+
-

𝑈(𝑠)
𝐶(𝑠)

𝑌(𝑠)
𝑃(𝑠)

図 2.11 基本的なフィードバック制御系のブロック線図［38］横山修一，濱根洋人，小野垣仁：基礎と実践 制御工学入門，コロナ社，図 4.1（2009）を一部改変

本項では、横山、濱根、小野垣（2009）および小坂（2013）に基づき説明する。まず、フィードバック制御系の基本形は図 2.11 に示される。なお、この図では時間関数 𝑓(𝑡) から複素関数
𝐹(𝑠) にラプラス変換したものとして、𝑃(𝑠) は制御対象、𝐶(𝑠) は制御器、 (𝑠) は目標値、𝑌(𝑠)は制御量、𝐸(𝑠) は制御偏差、𝑈(𝑠) は操作量を示す。
20

𝐷𝑠 (𝑠)

𝑈(𝑠)

𝑃(𝑠)

+

+

-

𝐶(𝑠)

𝑌(𝑠)

+

𝐸(𝑠)

+

+

(𝑠)

𝐷𝑙 (𝑠)𝑌𝑚 (𝑠)+𝑁(𝑠)++ 𝐵(𝑠)+

図 2.12 一般的なフィードバック制御系のブロック線図［38］横山修一，濱根洋人，小野垣仁：基礎と実践 制御工学入門，コロナ社，図 8.6（2009）を一部改変

次に、外乱のあるフィードバック制御系のブロック線図は、図 2.12 に示される。ここで、𝐷𝑠 (𝑠)はシステム外乱（入力外乱）、𝐷𝑙 (𝑠) は負荷外乱（出力外乱）、𝑁(𝑠) はセンサへのノイズや AD
変換器の量子化誤差、𝐵(𝑠) は電圧降下などの要因で生じるバイアス（オフセット）を示す。
𝑈 (𝑠)
(𝑠)

+ 𝐸(𝑠)
-

1
𝑇𝑠

𝑈 (𝑠)

+

+

𝐾

𝑈(𝑠)

𝑌(𝑠)
𝑃(𝑠)

𝐶(𝑠)

図 2.13 PI 制御系のブロック線図［39］小坂学：mbed マイコンによるモーター制御設計法，科学情報出版株式会社，図 1.31（2013）を一部改変

𝑈 (𝑠)
(𝑠)

+ 𝐸(𝑠)-

𝑈𝑑 (𝑠)
𝑇𝑑 𝑠

+

+

𝐾

𝑈(𝑠)

𝑌(𝑠)
𝑃(𝑠)

𝐶(𝑠)

図 2.14 PD 制御系のブロック線図［39］小坂学：mbed マイコンによるモーター制御設計法，科学情報出版株式会社，図 1.34（2013）を一部改変

最後に、図 2.11 と図 2.12 に示したフィードバック制御について、それらの図の中の伝達関数
𝐶(𝑠) に PID 制御が用いられる。PID 制御の種類としては、図 2.13 に示されるような P 制御と I 制
御を組み合わせた PI 制御、図 2.14 に示されるような P 制御と D 制御を組み合わせた PD 制御、そして、PD 制御と PI 制御を組み合わせた PID 制御がある。さらに、PD 制御と PI 制御を組み合わせた PID 制御の中でも、図 2.15 に示されるような標準の PID 制御、図 2.16 に示されるような
I-PD 制御、図 2.17 に示されるような PI-D 制御がある。
21

𝑈 (𝑠)
(𝑠) +

𝐸(𝑠)

-

1
𝑇𝑠

𝑇𝑑 (𝑠)

𝑈 (𝑠)

+
+ +

𝐾

𝑈(𝑠)

𝑌(𝑠)
𝑃(𝑠)

𝑈𝑑 (𝑠)
𝐶(𝑠)図 2.15 標準 PID 制御系のブロック線図［38］［39］
横山修一，濱根洋人，小野垣仁：基礎と実践 制御工学入門，コロナ社，図 8.18（2009）および，
小坂学：mbed マイコンによるモーター制御設計法，科学情報出版株式会社，図 1.37（2013）を一部改変

1
𝑇𝑠

(𝑠) +

𝑈 (𝑠)

𝑈 (𝑠)

+
- -

𝐸(𝑠)

𝑇𝑑 (𝑠)

𝐾

𝑈(𝑠)

𝑌(𝑠)
𝑃(𝑠)

𝑈𝑑 (𝑠)

𝐶(𝑠)図 2.16 I-PD 制御系のブロック線図［39］小坂学：mbed マイコンによるモーター制御設計法，科学情報出版株式会社，図 1.39（2013）を一部改変

𝑈 (𝑠)
(𝑠) +

𝐸(𝑠)

-

1
𝑇𝑠

𝑇𝑑 (𝑠)

𝑈 (𝑠)

+
+ -

𝐾

𝑈(𝑠)

𝑌(𝑠)
𝑃(𝑠)

𝑈𝑑 (𝑠)

𝐶(𝑠)図 2.17 PI-D 制御系のブロック線図［38］［39］
横山修一，濱根洋人，小野垣仁：基礎と実践 制御工学入門，コロナ社，図 8.18（2009）および，
小坂学：mbed マイコンによるモーター制御設計法，科学情報出版株式会社，図 1.39（2013）を一部改変

PI 制御は、P 制御を行った際のフィードバック誤差の残り（定常偏差）を I 制御により 0 にするような制御である。ただし、この制御をロボットに用いる場合は、バックラッシュを取り除
こうと小刻みに振動する現象が生じるため、I 制御を不完全積分の形にして動作させる。そして、PD 制御は、P 制御の動作を速めるような制御である。ただし、定常偏差が解決しないという問題がある。また、高周波ノイズが入力信号に含まれている場合は、そのノイズを増幅してチャタリ
ングを発生させるという問題がある。定常誤差については、I 制御を加えて PID 制御の形にする。
高周波ノイズについては、D 制御を不完全微分の形にして動作させる。
22

I-PD 制御は、図 2.16 のように、偏差に対しては I 制御を行い、制御量に対しては P 制御およびD 制御を行うという制御である。標準の PID 制御では、制御の初期で大きな偏差が生じた場合にその偏差がそのまま PID 制御に加わるため、オーバシュートしやすくなる。I-PD 制御の形にすることで、大きな偏差が生じた場合にその偏差が I 制御しか加わらないため、オーバシュートしにくくなる。PI-D 制御は、図 2.17 のように、偏差に対しては P 制御および I 制御を行い、制御量に対しては D 制御を行うという制御である。この制御法についても大きな偏差が生じた場合にその偏差が P 制御および I 制御しか加わらないため、標準の PID 制御と比較してオーバシュートしにくい。したがって、I-PD 制御は、比例微分先行型 PID 制御とも呼ばれて、PI-D 制御は、微分先行型 PID 制御とも呼ばれている。
ここで、図 2.13 の PI 制御器から図 2.17 の PI-D 制御器までのそれぞれの伝達関数 𝐶(𝑠) は、
式(2.43)から式(2.47)に示される。なお、𝐾 は P 制御の修正量を調節するゲイン、𝐾 は I 制御の修正量を調節するゲイン、𝑇 は I 制御の積分時間、𝐾𝑑 は D 制御の修正量を調節するゲイン、
𝑇𝑑 は D 制御の微分時間を示す。
𝐶 (𝑠) = 𝐾 +𝐾
1= 𝐾 (1 + )𝑠𝑇𝑠(2.43)𝐶 𝑑 (𝑠) = 𝐾 + 𝐾𝑑 𝑠 = 𝐾 (1 + 𝑇𝑑 𝑠)
𝐾
1+ 𝐾𝑑 𝑠 = 𝐾 (1 ++ 𝑇𝑑 𝑠)𝑠𝑇𝑠(2.45)𝐾
1− (𝐾 + 𝐾𝑑 𝑠) = 𝐾 ( − 1 − 𝑇𝑑 𝑠)𝑠𝑇𝑠(2.46)𝐾1− 𝐾𝑑 𝑠 = 𝐾 (1 +− 𝑇𝑑 𝑠)𝑠𝑇𝑠(2.47)𝐶 𝑑 (𝑠) = 𝐾 +𝐶 − 𝑑 (𝑠) =(2.44)𝐶 −𝑑 (𝑠) = 𝐾 +2.4.2 極配置法を用いた PID ゲインの設計［38］［40］
本項では、横山、濱根、小野垣（2009）に基づいて説明する。PID 制御を行う際は、P 制御、I制御、D 制御それぞれのゲインを決定する必要があり、これらのゲインの値によってシステムの応答が変化する。ゲインの決定方法には、ステップ応答法（Step Response Method）と限界感度法（Ziegler and Nichols Frequency Response Method）、極配置法（Pole Placement Method）がある。
ステップ応答法は、制御対象の閉ループのステップ応答波形から PID 制御のゲインを求める方法である。制御対象には入力値が決まると出力値が決まる性質（定位性）と入力値が決まっても出力値が一意に決まらない性質（無定位性）がある。制御対象が定位性である場合はむだ時間 𝐿を含めた 1 次遅れ系に近似して、制御対象が無定位性である場合はむだ時間 𝐿 を含めた積分系に近似する。そして、CHR の調整則（Chien, Hrones and Reswich Method）と呼ばれている代表的な
PID 制御のゲイン導出式によって PID ゲインの値を求める。この調整則では、オーバーシュート
なしとオーバーシュートあり（振幅減衰比 20％）でゲイン導出式の係数が異なる。
23

限界感度法は、制御対象の閉ループのステップ応答波形において持続的な振動（持続振動）が生じた場合の波形から PID 制御のゲインを求める方法である。この方法では、P 制御のみ動作させて P 制御のゲイン 𝐾 の値を小さな値から徐々に値を増加させる。𝐾 の値を増加させるとある値で応答波形に持続的な振動が生じることから持続振動が生じた際の周期とゲイン導出式によって PID ゲインの値を求める。一方で、極配置法は、制御対象の伝達関数 𝑃(𝑠) と制御器の伝達関数 𝐶(𝑠) による閉ループの応答が望ましい応答となるよう極を配置する方法である。その極とは、伝達関数の特性方程式の解である。この方法では、ステップ応答法や限界感度法と異なり実験的に PID ゲインを求める必要はない。
例えば、ここに 2 次遅れ系の伝達関数 𝑃(𝑠) があって標準 PID 制御器 𝐶(𝑠) を用いる場合は、以下に示される式(2.50)から式(2.58)の手順に沿って計算することで PID ゲインの値が求められる。
まず、制御対象と制御器の伝達関数は、式(2.48)と式(2.49)にそれぞれ示される。

𝑃(𝑠) =𝐴𝑠(𝐵𝑠 + 1)

𝐶(𝑠) = 𝐾 (1 +(2.48)

1+ 𝑇𝑑 𝑠)𝑇𝑠(2.49)

次に、制御対象と制御器による閉ループの伝達関数 𝐺𝑐𝑙 (𝑠) は、式(2.50)に示される。
𝐺𝑐𝑙 (𝑠) =𝑃(𝑠)𝐶(𝑠)1 + 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠)𝐴
1⋅ 𝐾 (1 ++ 𝑇𝑑 𝑠)𝑇𝑠𝑠(𝐵𝑠 + 1)=
𝐴11+⋅ 𝐾 (1 ++ 𝑇𝑑 𝑠)𝑇𝑠𝑠(𝐵𝑠 + 1)
1+ 𝑇𝑑 𝑠)𝑇𝑠𝑠(𝐵𝑠 + 1)=
1𝑠(𝐵𝑠 + 1) + 𝐴𝐾 (1 + 𝑇 𝑠 + 𝑇𝑑 𝑠)𝑠(𝐵𝑠 + 1)
𝐴𝐾 (1 +1
𝐴𝐾 (1 +
+ 𝑇𝑑 𝑠)𝑇𝑠=1𝑠(𝐵𝑠 + 1) + 𝐴𝐾 (1 ++ 𝑇𝑑 𝑠)𝑇𝑠
𝑠1⋅ 𝐴𝐾 (1 ++ 𝑇𝑑 𝑠)
𝐵
𝑇𝑠
=
𝑠
𝑠
1
⋅ 𝑠(𝐵𝑠 + 1) + ⋅ 𝐴𝐾 (1 ++ 𝑇𝑑 𝑠)𝐵
𝐵
𝑇𝑠
𝐴𝐾 𝑇𝑑 2 𝐴𝐾
𝐴𝐾
𝑠 +
𝑠+
𝐵
𝐵
𝐵𝑇
=
𝐴𝐾
𝑇
𝐴𝐾
𝐴𝐾
1
𝑑
𝑠3 + ( +) 𝑠2 +
𝑠+
𝐵
𝐵
𝐵
𝐵𝑇

24

(2.50)

式(2.50)の特性方程式は、式(2.51)のように 𝑠 の 3 次式で示される。
𝐴𝐾
1 𝐴𝐾 𝑇𝑑 2 𝐴𝐾
𝑠3 + ( +
)𝑠 +
𝑠+
=0
𝐵
𝐵
𝐵
𝐵𝑇
固有周波数を

𝑛 、減衰係数を𝜁 とする一般的な 3 次系の閉ループの伝達関数において、その特性方程式は式(2.52)に示される。なお、𝛼 は(𝑠 + 𝛼𝑛 )(𝑠= 𝑠3 + (2𝜁(2.51)

2 + 2𝜁

𝑛𝑠 +𝑛 + 𝛼 𝑛 )𝑠𝑛の係数を示す。

2𝑛)

2 + (2𝜁𝛼2𝑛+23𝑛 )𝑠 + 𝛼 𝑛 = 0(2.52)式(2.51)と式(2.52)の係数を比較すると、以下のように示される。
1 𝐴𝐾 𝑇𝑑( +) = 2𝜁
𝐵
𝐵
𝐴𝐾
= 2𝜁𝛼
𝐵
𝐴𝐾
=𝛼
𝐵𝑇

2
𝑛+

(2.53)

𝑛+𝛼 𝑛(2.54)

2𝑛

3𝑛(2.55)

𝐾 , 𝑇 , 𝑇𝑑 について、式(2.53)から式(2.55)をそれぞれ整理すると以下に示される。
𝐾 =

𝐵

2
𝑛 (2𝜁𝛼 + 1)

(2.56)𝐴𝑇 =2𝜁𝛼 + 1𝛼 𝑛(∴ 𝐾 = 𝐾 ⁄𝑇 )(2.57)𝑇𝑑 =𝐵 𝑛 (2𝜁 + 𝛼) − 1
𝐵 𝑛2 (2𝜁𝛼 + 1)(∴ 𝐾𝑑 = 𝐾 𝑇𝑑 )(2.58)

ここで、式(2.52)の解は以下のように示される。
(2.59)

𝑠1 = −𝛼 𝑛𝑠2 = −𝜁 𝑛 ±𝑛 √𝜁(2.60)2−1

式(2.60)の解において減衰係数が 0 < 𝜁 < 1 のとき、式(2.61)のように置き換える。
𝑠2 = −𝜁 𝑛 ± 𝑗 𝑛 √1 − 𝜁 2 = 𝑥 ± 𝑗𝑦

(2.61)

式(2.61)より式(2.62)と式(2.63)が導出される。
(2.62)

𝑛 = − 𝑥 ⁄𝜁
2
𝑛 =

𝑦2
(1 − 𝜁 2 )(2.63)

25

減衰係数 𝜁 は、式(2.62)と式(2.63)より式(2.64)のように示すことができる。また、固有周波数𝑛は、式(2.63)と式(2.64)より式(2.65)のように示すことができる。
𝜁=±𝑥(2.64)√𝑥 2 + 𝑦 2

𝑛 = √𝑥(2.65)( 𝑛 > 0)2 + 𝑦2

さらに、式(2.60)の解において減衰係数が 0 < 𝜁 < 1 以外のとき、式(2.66)または式(2.67)のように示すことができる。
𝑤𝑛 = −𝑥(𝜁 = 1)(2.66)

𝑤𝑛 = √𝑥 2 − 𝑦 2(𝜁 < 1)(2.67)

極配置法のまとめとして、式(2.59)と式(2.60)に示される閉ループの伝達関数の特性方程式の解を決める、すなわち、係数 𝛼 と固有周波数

および減衰係数 𝜁 を決めることによって、式(2.53)𝑛から式(2.55)に示される PID ゲインの値が理論的に求められるということである。
制御モデル

𝑖𝑑𝑞 𝑟

𝑟

𝜃𝑟 +

位置制御
-

速度制御

+
-

（PID）

（PI）

+
- +

-

𝑖𝑑𝑞

𝜃

𝜃

𝜃

𝜃

𝑇

積分

積分

運動
方程式

トルク

𝑑𝑞

𝑢𝑣𝑤

±𝑢𝑣𝑤

電流制御

座標
変換

PWM
制御

（PI）

電力変換
モデル

コンバータ

𝑉𝑑𝑐

インバータ

𝑢𝑣𝑤

𝑖𝑑𝑞

座標
変換

モータ
（電気回路）

𝑖𝑢𝑣𝑤
モータモデル

図 2.18 サーボシステムのブロック図［40］森本茂雄，真田雅之：省エネモーターの原理と設計法，科学情報出版株式会社，図 4.17（2013）を参考に作成

ここで、BLAC モータの制御システムをブロック図として、図 2.18 に示す。このシステムでは、
モータモデル、電力変換モデル、制御モデルの 3 つのモデルに分類できる。まず、モータモデル
はインバータにより供給される三相交流電圧からエンコーダによるモータの回転位置の読み取りまでを座標変換やエネルギー変換などで示し、制御モデルはモータの回転角、速度、電流をマイコンによる PID 制御で示している。また、インバータで三相交流電圧を生成させるための PWM（Pulse Width Modulation）制御がある。その次に、電力変換モデルは電源により供給される三相交流電圧から直流に変換するコンバータと直流を三相交流電圧に変換するインバータで示している。
そして、𝑖𝑑 = 0 制御を行う場合は 𝐿𝑑 と 𝐿𝑞 の値に依らず、トルクが 𝑖𝑞 との比例になるため、
図 2.18 で塗りつぶされている箇所のブロック図が BLDC モータの制御システムと見なせる。
26

2.4.3 現代制御理論によるサーボシステムの表現［41］［42］2.4.1 項および 2.4.2 項では、フィードバック制御のシステムについて、伝達関数を用いて説明した。本項では、佐藤、下本、熊澤（2012）および浜田、松本、高橋（1997）に基づき説明する。
現代制御では、線形微分方程式で与えられたシステムの数学モデルを状態空間表現で記述する。
この状態空間表現では、状態方程式と出力方程式に分けて、制御対象の内部状態を表現する。

𝐿

𝑖(𝑡)

𝐽

𝜇
𝜏(𝑡)

𝑏 (𝑡)

(𝑡)

(𝑡)
図 2.19DC モータの等価回路［41］佐藤和也，下本陽一，熊澤典良：はじめての現代制御，講談社，図 2.1（2012）を一部改変

2.3.1 項で述べた通り PMSM で 𝑖𝑑 = 0 制御を行うと 𝑑 − 𝑞 座標軸に変換した二相電圧の式(2.13)において、𝑞 軸に関する巻線抵抗の項とインダクタンスに関する項が残り、永久磁石によるトルクのみが利用できる。すなわち、図 2.19 で示されるような DC モータの等価回路が扱える。
この回路の抵抗をモータの逆起電力を、インダクタンスを 𝐿、端子電圧を(𝑡)、電流を 𝑖(𝑡) とする。また、この𝑏 (𝑡)、逆起電力の定数を 𝐾𝑏 、電機子巻線の回転角速度を(𝑡)、電機子巻線の回転角を 𝜃(𝑡) とすると、この回路の微分方程式は式(2.68)に示される。

𝐿

𝑑𝑖(𝑡)
+ 𝑖(𝑡) =𝑑𝑡(𝑡) −𝑏 (𝑡) =(𝑡) − 𝐾𝑏 (𝑡)(2.68)

さらに、電機子巻線の慣性モーメントを 𝐽、電機子巻線へのトルクを 𝜏(𝑡)、トルク定数を 𝐾𝜏 、
ブラシによる粘性摩擦抵抗を 𝜇 とすると、運動方程式は式(2.69)に示される。

𝐽

𝑑 (𝑡)
+ 𝜇 (𝑡) = 𝜏(𝑡) = 𝐾𝜏 𝑖(𝑡)𝑑𝑡(2.69)

ここで、状態変数ベクトルと呼ばれているシステム内部の状態を表すようなベクトルを導入する。
加えて、入力の関係式を(𝑡) = 𝑢(𝑡)、出力の関係式を(𝑡) = 𝑦(𝑡) とそれぞれ定義する。入力の関係式は状態方程式に用いられて、出力の関係式は出力方程式に用いられる。そして、図 2.20 の状態変数ベクトル 𝒙(𝑡) は、式(2.70)に示される。

27

𝑥 (𝑡)𝑖(𝑡)𝒙(𝑡) = [ 1 ] = [](𝑡)
𝑥2 (𝑡)(2.70)

式(2.68)、式(2.69)、式(2.70)によって状態空間表現は、次のように示される。
−
𝑑 𝑖(𝑡)𝐿=[]𝐾𝜏
𝑑𝑡 (𝑡)[ 𝐽
𝑦(𝑡) = [0 1] [𝐾𝑏
1
𝐿 𝑖(𝑡)+𝜇 [ (𝑡)] [𝐿] 𝑢(𝑡)
−
0
𝐽]

−

(2.71)𝑖(𝑡)](𝑡)(2.72)

式(2.71)および式(2.72)について、以下のように置き換える。
𝑑𝒙(𝑡)= 𝐴𝒙(𝑡) + 𝑩𝑢(𝑡)𝑑𝑡(2.73)

𝑦(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡)(2.74)𝐴 はシステムの係数行列、𝑩 は入力ベクトル、𝑪 は出力ベクトルと呼ばれている。現代制御では、式(2.68)および式(2.69)のような線形微分方程式を状態変数ベクトルによって式(2.73)および式(2.74)のような形で表現する。図 2.19 で示されるような DC モータの場合では、電機子巻線における回転角速度および電流の変化の様子が分かる。古典制御ではブロック線図によってシステムが表現されることに対して、現代制御では状態変数線図と呼ばれている図によってシステムが表現される。ここで、式(2.73)および式(2.74)の状態変数線図は、以下に示される。

𝑢(𝑡)B+ 𝑥(𝑡)
+

𝑦(𝑡)

𝑥(𝑡)
C

A
図 2.20DC モータの状態変数線図［41］佐藤和也，下本陽一，熊澤典良：はじめての現代制御，講談社，図 5.4（2012）を一部改変

そして、この DC モータにフィードバック制御を適用して、安定した制御を行う。ここで、制御
対象の状態変数 𝒙(𝑡) が検出できるものとして、新しい入力(𝑡) を与える。入力を含めた全体の構成は、図 2.21 のような状態変数線図で示される。このような構成は、状態フィードバックと呼ばれている。加えて、図 2.21 の中の 𝑲 は、任意の閉ループ系の極を設定できるような状態
フィードバック係数ベクトルと呼ばれている。

28

(𝑡) +𝑢(𝑡)B－+ 𝑥(𝑡)
+

𝑦(𝑡)

𝑥(𝑡)
C

A

K
図 2.21 状態フィードバック［41］［42］
佐藤和也，下本陽一，熊澤典良：はじめての現代制御，講談社，図 9.2（2012）および，
浜田望，松本直樹，高橋徹：現代制御理論入門，コロナ社，図 8.6（1997）を参考に作成

よって、状態フィードバック係数ベクトル 𝑲 を含めた状態空間表現は、以下に示される。
𝑑𝒙(𝑡)= (𝐴 − 𝑩𝑲)𝒙(𝑡) + 𝑩 (𝑡)𝑑𝑡(2.75)

𝑦(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡)(2.76)

この状態フィードバック係数ベクトル 𝑲 を求めるためには、制御対象の状態フィードバックと制御対象を変換したシステム 𝒛(𝑡) の状態フィードバックからそれぞれの係数を比較して、もとの状態変数に戻す必要がある。ここで、𝒛(𝑡) の状態変数を 𝐴𝑐 , 𝑩𝑐 , 𝑪𝑐 として 𝒙(𝑡) および 𝒛(𝑡) の関係を結ぶための変換行列を 𝑷 とすると、𝒛(𝑡) は次のように示される。
𝑑𝒛(𝑡)= 𝐴𝑐 𝒛(𝑡) + 𝑩𝑐 𝑢(𝑡) = 𝑷−1 𝐴𝑷𝒛(𝑡) + 𝑷−1 𝑩𝑢(𝑡)𝑑𝑡(2.77)

𝑦(𝑡) = 𝑪𝑐 𝒛(𝑡) = 𝑪𝑷

(2.78)𝐴𝑐 , 𝑩𝑐 , 𝑪𝑐 は可制御標準形と呼ばれ、式(2.79)と式(2.80)のように示される。ここで、可制御とはシステムを初期状態から有限時間内に所望の値に収束させられるかということである。加えて、可制御標準形で扱う 𝑎𝑛 , ⋯ 𝑎1 は、制御対象の特性多項式 𝐷(𝑠) = det (𝑠𝑰 − 𝐴) の係数であり、𝑏𝑛 ⋯ 𝑏1 は、制御対象の伝達関数における分子の係数である。
0⋮
𝐴𝑐 = ⋮
0
[−𝑎𝑛

1
⋱
⋱
⋯
−𝑎𝑛−1

0 ⋯
0
⋱ ⋱
⋮
⋱ ⋱
0 ,
⋯ 0
1
⋯ ⋯ −𝑎1]0⋮
𝑩𝑐 = ⋮
0[1](2.79)(2.80)

𝑪𝑐 = [𝑏𝑛 𝑏𝑛−1 ⋯ 𝑏1 ]29

可制御標準形への変換行列 𝑷 は、可制御行列 𝑽𝑐 を用いて式(2.81)のように求める。変換行列 𝑷を求めた後、所望の特性多項式 𝐷𝑑 (𝑠) = 𝑠 𝑛 + 𝑑1 𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑑𝑛 の係数から可制御標準形に基づく
̂ 𝑐 を求める。それは、式(2.82)によって求められる。
状態フィードバック係数ベクトル 𝑲
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−2⋰
𝑷 = 𝑽𝑐 𝜶 = [𝑩, 𝐴𝑩, ⋯ 𝐴𝑛−1𝑩] ⋮
⋰
𝑎1
1
[ 1
0
̂𝑐 =
𝑲

⋯ 𝑎1
⋰ 1
⋰ 0
0 0
0 0

1
0
0
0
0]

− 𝒂 = [𝑑𝑛 , 𝑑𝑛−1, ⋯ , 𝑑1 ] − [𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , ⋯ 𝑎1 ](2.81)(2.82)

𝒛(𝑡) = 𝑷−1 𝒙(𝑡) の関係を用いると、もとの制御対象の閉ループ系は次のように示される。
𝑑𝒙(𝑡)̂ 𝑐 𝑷−1)}𝒙(𝑡) + 𝑩 (𝑡)= {𝐴 − 𝑩(𝑲𝑑𝑡(2.83)

𝑦(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡)(2.84)

したがって、状態フィードバック係数ベクトル 𝑲 は、以下のように求められる。
̂ 𝑐 𝑷−𝟏
𝑲=𝑲(2.85)

2.5 あとがき
本章では、制御対象とニューラルネットワークとの間の関係を明らかにする前段階として、まず、永久磁石同期電動機（PMSM）の種類［36］［37］を説明した。種類は、回転子の表面に永久磁石を張り付ける表面磁石型同期電動機（SPMSM）と回転子の内部に永久磁石を埋め込む埋込磁石型
同期電動機（IPMSM）の 2 種類ある。そして、SPMSM と IPMSM それぞれの構造を 2.2 節で説明した。次に、SPMSM と IPMSM それぞれの制御方法［37］を 2.3 節で説明した。SPMSM では、𝑖𝑑 = 0制御と呼ばれるベクトル制御があり、同一トルクに対する電流が最小となる。また、IPMSM では、最大トルク／電流制御、最大トルク／磁束制御、弱め磁束制御、力率１制御、最大効率制御について、電流のベクトル軌跡を用いながら制御の理論を説明した。最後に、フィードバック制御を用いた全体のサーボシステムの構成［38］-［42］について、古典制御と現代制御との違いを説明して、PID 制御のゲイン設定の方法や状態変数を用いた制御対象の表現を 2.4 節で説明した。

30

第3章

ニューラルネットワーク制御の基礎知識

3.1 はしがき
本章では、まず、ニューラルネットワークとはどのような構成になっているか、ニューラル
ネットワークにはどのような学習のアルゴリズムがあるか、それらの仕組みを 3.2 節で説明する。
次に、ニューラルネットワーク制御にはどのような種類があるか、ニューロコントロールと適応制御、フィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御を例として、先行研究の内容
を 3.3 節で説明する。これらの説明により、制御対象とニューラルネットワークとの間にはどのような関係があるか明らかになる。
3.2 ニューラルネットワークの仕組み
ニューラルネットワーク（Neural Network）とは、人間の神経細胞を模倣した数学モデルであり、そのモデルを利用して膨大で様々なデータから自ら傾向や法則性を掴み学習させる。そして、学習によって獲得したデータから解析を行ったり、次に起こる現象を予測したりすることがニュ
ーラルネットワークで実現する目標である。ニューラルネットワークは、1940 年代から研究され始めて 1958 年には単純パーセプトロンと呼ばれるパターン認識法（Pattern Recognition）［43 ］が考案された。この方法は、複数の入力から一つのみ出力を行う関数において、入力信号に重みと呼ばれる値を乗算し、その総和の値が閾値を超えたら 1 を出力、1 未満なら 0 を出力するという方法である。ただし、この方法では線形分離が可能である場合のみに限る方法であったため、1969
年にパーセプトロンを用いて分離が不可能な例が示されて限界が提示された。しかし、パーセプ
トロンを重ねて多層のパーセプトロンを構成することにより線形分離が不可能であったものも分離が可能となり、研究者に再び注目されるようになった。
さらに、1986 年に誤差逆伝播法（Backpropagation）［43］［44］と呼ばれる多層パーセプトロンを改善したアルゴリズムが考案されて、研究者に注目された。この方法は、入力層と出力層の間に中間層（隠れ層）を設けることで学習の効率を向上させるという方法である。ただし、この方法では大量の学習データが必要となり当時はデータが不足していた。しかし、1970 年から 1980 年
代に集積回路などの登場で計算機が発達して、学習のデータも十分に集まったため、再びその方法が注目された。1989 年には、畳み込みニューラルネットワーク（Convolutional Neural Network）［44］と呼ばれるアルゴリズムが提案された。この方法は、これまでの全結合のニューラルネット

ワークで無視されるデータの形状に関する情報を活用して、学習の効率を高める方法であり、これまでの全結合のニューラルネットワークに畳み込み層とプーリング層と呼ばれる特殊な層を導入した新しい方法である。その後、2000 年代から学習に必要な膨大なデータを容易に集めることが可能となって、また、コンピュータがより高性能になったこともあり、2000 年代後半から［44］
ディープラーニング（Deep Learning）
を用いた研究が活発になった。

31

3.2.1 ニューラルネットワークの構造
ニューラルネットワークの構造には、入力層（Input Layer）、中間層（Middle Layer）、出力層（Output
Layer）を設けてそれぞれの階層の中にニューロンを配置する階層型ニューラルネットワークと任意の 2 つのニューロンとの間に双方向の結合を持たせる相互結合型ニューラルネットワークの
2 種類の構造がある［5］［6］［14］。階層型ニューラルネットワークと相互結合型ニューラルネット
ワークの構造は、図 3.1(a) と 3.1(b) にそれぞれ示される。

Middle layer
Input layer

Output layer(a) 階層型ニューラルネットワーク(b) 相互結合型ニューラルネットワーク
図 3.1 ニューラルネットワークの構造［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 3 図（1992）より引用

32

ニューラルネットワークでは、ニューロンだけではなくニューロンとニューロンの結びつきを指すシナプス結合があり、その結合の強さを示す重み（Weight）と呼ばれるパラメータがニューロンに設けられている。また、ニューラルネットワークの階層について、中間層を 2 層以上で構成
して学習させているものは、ディープラーニングと呼ばれている。
本研究では、図 3.2 に示すような階層型ニューラルネットワークを構成した。この図において
𝑥(𝑖)、𝑦(𝑗)、𝑧(𝑘) それぞれは、入力層、中間層、出力層のニューロンを示す関数であり、 (𝑗, 𝑘) は中間層から出力層の重み、𝑤(𝑖, 𝑗) は入力層から中間層の重みである。𝑖、 𝑗、 𝑘 それぞれは、入力層、中間層、出力層のニューロンの番号である。

Middle layer
Input layer
x1

y1

Output layer
z1

y2

x2

z2

y3
xi

zk
w(i,j)yj

v(j,k)

図 3.2 本研究で使うニューラルネットワークの構成
3.2.2 誤差逆伝播を用いた最急降下法
図 3.1(a) で示した階層型ニューラルネットワークにおいて、入力層から出力層に向かってニューロンに関する順伝播［14］［44］と呼ばれる計算が行われる。順伝播の計算では、線形変換と非線形変換が行われる。線形変換では、ニューロンに送られる入力信号と重みを乗算したものをニューロンの出力信号として次の階層のニューロンに送り、送られてきた出力信号の総和が計算される。
非線形変換では、送られてきた出力信号の総和を用いて入力層、中間層、出力層のニューロンを示す関数の出力が計算される。
この計算が行われる際に、ステップ関数、シグモイド関数、双曲線正接関数、恒等関数などの活性化関数（Activation Function）が用いられる。ステップ関数は 0 か 1 の値が出力される関数である。これは、パーセプトロンの計算で用いられる関数である。また、シグモイド関数は 0 から
1 の連続した値が出力される関数、双曲線正接関数は－1 から 1 の連続した値が出力れる関数、恒等関数は入力された値がそのまま出力される関数である。上記で説明した活性化関数の定義を
図 3.3 の式(3.1)から式(3.4)にそれぞれ示す。
33

𝑓(𝑥) = {1 (𝑥 > 0)0 (𝑥 ≤ 0)(3.1)

1
1 + 𝑒 −𝑥

(3.2)(a) ステップ関数

𝑓(𝑥) =(b) シグモイド関数

𝑓(𝑥) = tanh(𝑥)=𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥(3.3)(c) 双曲線正接関数

𝑓(𝑥) = 𝑥(d) 恒等関数
図 3.3 活性化関数の定義
34

(3.4)

一方で、出力層から入力層に向かってニューロンに関する逆伝播［14］［44］と呼ばれる計算が行われる。逆伝播での計算では、順伝播で得られた信号に対してニューロンの微分が乗算されて、次のニューロンに送られる。微分の計算では、連鎖律と呼ばれる合成関数の微分が用いられている。
誤差逆伝播とは、入力のデータに対する理想的な出力の信号を指す教師信号と実際に得られた出力信号との間に生じる誤差を用いてニューラルネットワークを学習させる方法であり、順伝播と逆伝播が行われる。また、教師信号と出力信号の誤差はニューラルネットワークの誤差であり、この誤差を最小にするために最急降下法と呼ばれる方法が用いられる。誤差逆伝播に基づいた制御の研究として、フィードバック誤差学習法［31］-［34］を用いた研究がある。

d/dt

d/dt
𝑥

𝑒

+
−

𝑥
𝑥 Neural Network
𝑥 Compensator𝑢𝑛
Teacher Signal of
Neural Network++

Feedback
Controller𝑢𝑢𝑓Controlled
Object𝑦Error Signal of
Neural Network

図 3.4 ニューラルネットワークを用いたサーボシステムの構成［33］五味裕章，川人光男：フィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御，
システム制御情報学会論文誌，4 巻，1 号，Fig.1・Fig.2（1991）を参考に作成

本研究では、フィードバック誤差学習法に基づき、図 3.4 に示されるニューラルネットワーク
制御を用いたサーボシステムを構成した。図 3.4 の中にある変数の説明は、以下の通りである。
𝑥:

目標値、また、フィードバック制御系の入力でもある。

𝑒:

追従偏差、また、フィードバック誤差でもある。

𝑢𝑓 :フィードバック制御器の出力、また、ニューラルネットワークの誤差信号でもある。

𝑢𝑛 :ニューラルネットワークの出力である。

𝑢:

制御対象への操作量、またニューラルネットワークの教師信号でもある。

𝑦:

制御量、また、フィードバック制御系の出力でもある。

𝑥:

目標値、また、フィードバック制御系の入力でもある。

この構成の制御器は、フィードバック制御器にニューラルネットワークから構成されるフィー
ドフォワード制御器と並列に接続したものである。このニューラルネットワークでは、制御対象の逆動的モデルを学習で獲得するため、制御対象への入力 𝑢 は教師信号として扱われる。これによって、教師信号 𝑢 と出力信号 𝑢𝑛 の差はニューラルネットワークの誤差であり、フィードバッ
ク制御器の出力 𝑢𝑓 と等しい。そのため、ニューラルネットワークは、学習を通じて出力 𝑢𝑛 が
教師信号 𝑢 と一致させるように働き、制御対象の逆動的モデルを獲得して、フィードフォワード制御器としてフィードバック制御器を補償する。
35

𝑎

𝑎

2
1
1
𝐸𝑛 = ∑ (𝑢𝑛 (𝑘) − 𝑢(𝑘))2 = ∑ (−𝑢𝑓 (𝑘))
2
2

(3.5)

𝜕𝐸𝑛
= 𝑢𝑛 (𝑘) − 𝑢(𝑘) = −𝑢𝑓 (𝑘)𝜕𝑢𝑛 (𝑘)

(3.6)

𝑘=1

𝑘=1

𝑏

𝑏

𝜕𝑢𝑛 (𝑘) −2 ⋅ (−𝑦(𝑗)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)==22 ⋅ 𝑦(𝑗)𝑏𝑏𝜕 (𝑗, 𝑘)(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗))𝑏2𝑏2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)11 − 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)12) ) = (1 − (𝑢𝑛 (𝑘)) )𝑏
2 = 2 (1 − (𝑏∑−𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)2
1 + 𝑒 𝑗=1
(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )
𝑏

𝑐

(3.9)

𝑐

𝜕𝑦(𝑗)
−2 ⋅ (−𝑥(𝑖)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )2𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )==22 ⋅ 𝑥(𝑖)𝑐𝑐𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)
(1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) )(1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) )
𝑐

(3.8)

𝑏

𝜕𝑢𝑛 (𝑘) −2 ⋅ (− (𝑗, 𝑘)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)==22 ⋅ (𝑗, 𝑘)
𝑏
𝑏
𝜕𝑦(𝑗)
(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )(3.10)2𝑐2𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )

(3.7)

1
1 − 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )
1
2
=
(1
−
(
(1 − (𝑦(𝑗)) )𝑐 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) ) ) =
2
𝑐
∑
−
2
2
1 + 𝑒 𝑖=1
(1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) )𝜕𝐸𝑛𝜕𝐸𝑛𝜕𝑢𝑛 (𝑘)
=
⋅
(𝑗,
(𝑘)
𝜕
𝑘) 𝜕𝑢𝑛𝜕 (𝑗, 𝑘)𝜕𝐸𝑛12
= (−𝑢𝑓 (𝑘)) ⋅ (1 − (𝑢𝑛 (𝑘)) ) ⋅ 𝑦(𝑗) =𝜕 (𝑗, 𝑘) 2

(3.11)(3.12)
1 ⋅ 𝑦(𝑗)𝜕𝐸𝑛𝜕𝐸𝑛 𝜕𝑢𝑛 (𝑘) 𝜕𝑦(𝑗)=⋅⋅𝜕𝑤(𝑖, 𝑗) 𝜕𝑢𝑛 (𝑘) 𝜕𝑦(𝑗) 𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)
𝜕𝐸𝑛
1
1
2
2
= (−𝑢𝑓 (𝑘)) ⋅ (1 − (𝑢𝑛 (𝑘)) ) ⋅ (𝑗, 𝑘) ⋅ (1 − (𝑦(𝑗)) ) ⋅ 𝑥(𝑖)𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)22
𝜕𝐸𝑛=
𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)1⋅

1
2
(𝑗, 𝑘) ⋅ (1 − (𝑦(𝑗)) ) ⋅ 𝑥(𝑖) =2(3.13)

2 ⋅ 𝑥(𝑖)ここで、式(3.5)は誤差信号 𝐸𝑛 を表し、式(3.6)は 𝐸𝑛 におけるニューラルネットワークの出力
𝑢𝑛 (𝑘) の偏微分である。𝑎、𝑏、𝑐 それぞれは、入力層、中間層、出力層のニューロンの数である。
式(3.7)は 𝑢𝑛 (𝑘) における(𝑗, 𝑘) の偏微分であり、式(3.8)は式(3.7)の右辺にある 𝑦(𝑗) の係数を𝑢𝑛 (𝑘) で表している。式(3.9)は 𝑢𝑛 (𝑘) における 𝑦(𝑗) の偏微分である。式(3.10)は 𝑦(𝑗) における𝑤(𝑖, 𝑗) の偏微分であり、式(3.11)は式(3.10)の右辺にある 𝑥(𝑖) の係数を 𝑦(𝑗) で表している。そして、式(3.12)と式(3.13)は式(3.6)から式(3.11)を通して導出される。

36

本研究では、ニューラルネットワークの誤差が最小になるように、入力層と中間層の重みと中間層と出力層の重みを更新する。具体的に、ニューラルネットワークの教師信号とする制御対象への操作量 𝑢 がニューラルネットワークの出力 𝑢𝑛 との誤差 𝐸𝑛 を式(3.6)から式(3.13)に示すような最急降下法で最小化することによって、出力層から中間層へ、また、中間層から入力層への順で重み(𝑗, 𝑘)、𝑤(𝑖, 𝑗) を変化させて、最終的に正しい出力 𝑢𝑛 が得られるようにする。

3.3 ニューラルネットワーク制御の仕組み
前節では、ニューラルネットワークの仕組みについて、ニューラルネットワークの構造と誤差
逆伝播を用いた最急降下法を説明した。誤差逆伝播を用いた最急降下法では、フィードバック
誤差学習法に基づき、本研究で構築したニューラルネットワーク制御を用いたサーボシステムについて、その構成とアルゴリズムを説明した。本節では、ニューラルネットワーク制御に関する研究の例として、ニューロコントロールと適応制御とフィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御を挙げる。
ニューロコントロールと適応制御［5］［6］では、著者の大松が、従来の適応制御に関する理論の問題についていくつか指摘している。これらの問題に対して、大松は、ニューラルネットワーク
が持っている機能を利用することでこれらの問題を解決することができると述べている。大松はまず、ニューラルネットワークを構成しているニューロンのモデルについて定義を示している。
次に、ニューラルネットワークで学習を行う際に用いられる誤差逆伝播のアルゴリズムについて
6 つのステップで手順を示している。最後に、ニューラルネットワークを用いてどのように適応制御を構成すれば良いかを、直列型のニューロコントローラ、並列型のニューロコントローラ、
セルフチューニング型のニューロコントローラというように 3 つの学習機構に大きく分類して、それぞれの学習機能を述べている。
フィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御［32］［33］では、著者の五味と川人が従来の適応制御の問題点と神経回路モデルを用いた学習の問題点について指摘している。特に、神経回路モデルを用いた学習では、教師あり学習についての問題点を指摘している。この問題に対して、著者の五味と川人は、フィードバック誤差学習法を提案した。この学習法は、神経回路モデルに制御対象の逆システムを学習させて前向きな制御を行うというような方法であり、逆動特性モデル学習の理論と非線形レギュレータ学習の理論について解説している。また、フィード
バック誤差学習法を用いて学習を行うことにより、制御対象の非線形性が学習後に補償されて参照モデルで規定の応答に従うようになると述べている。規定の応答に従うとは、すなわち、シナプス荷重が最適値に収束して制御入力と神経回路モデルによる非線形フィードバックコント
ローラとの誤差が 0 になることである。五味と川人は、確率微分方程式の平均化とリアプノフの方法を用いてその証明を述べている。

37

3.3.1 ニューロコントロールと適応制御［5］この論文の著者である大松は、これまでに提案されてきた適応制御に関する理論の問題点として、構造変化に対する汎化能力、非線形システムに対する理論展開の困難さ、未知雑音に対する学習能力の劣化というような問題点を指摘している。これらの問題点に対して、ニューラルネッ
トワークが持っている並列処理、分散記憶、学習機能などを利用することによって解決できると
大松は主張し、代表的な適応制御がニューラルネットワークを用いてどのように構成することが可能であるかを述べている。
推定パラメータ

パラメータ
同定機構

設計計算
コントローラパラメータ
目標値入力

𝑑

𝑢

コントローラ

プラント

制御入力

𝑦
プラント出力図 3.5 適応制御系のブロック線図［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 1 図（1992）より引用

大松は、図 3.5 のような適応制御系のブロック線図を示した。また、従来の適用制御の問題を次のように述べている。制御系の設計は、この図のようにプラントの出力 𝑦 を目標値 𝑑 に可能な限り近づける制御入力 𝑢 を生成するように、コントローラを設計する。例えば、塩素生成の化学プロセスの場合では、反応炉の圧力、水蒸気量、温度などがプラント出力になり、電解槽の電流と反応炉の出入り口のバルブ開度が目標値に近づけさせるための制御入力になる。ここで、対象とするプラントの数学モデルが正確に与えられている場合には、制御入力を制御系の特性解析やコンピュータのシミュレーションなどに基づいて決定できる。しかし、実際のプラントでは、
正確な数学モデルが入手できない場合や数学モデルを記述することができない場合がある。そのような場合、プラントの入出力データに基づき、プラントの数学モデルまたはそれに含まれる未知パラメータを推定する必要がある。このようにプラントの動特性を推定するプロセスのことをシステム同定と呼ぶ。そのシステム同定で得られたパラメータの推定値を真値とみなし、数学モ
デルの出力が目標値になるように制御入力を決定する方法が適応制御の設計手法である。ただし、適応制御の設計手法において、むだ時間などのパラメータや外乱の特性が既知であり、プラント
が線形システムで表現できるというような条件がある。従来の適応制御では、これらの条件を満たさないと適用することが困難であった。
38

𝑂

net𝑗 =𝑤𝑗∑ 𝑤𝑗 𝑂 − 𝜃𝑗

𝑗 =

𝑂𝑗

𝑓(𝑛𝑒𝑡𝑗 )図 3.6 ニューロンの数学モデル［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 2 図（1992）より引用

大松は、図 3.6 のようにニューロンの数学モデルを示した。また、学習のアルゴリズムを次のように述べている。図 3.6 において、細胞体 𝑗 への 𝑛 個の入力 𝑂 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) は、シナプス結合によって重み付けられている。𝑤𝑗 はニューロン 𝑖 からニューロン 𝑗 への結合係数、𝜃𝑗 は閾値を示す。また、net𝑗 はニューロン 𝑗 の電位であり、𝑂𝑗 = 𝑓(net𝑗 ) の関係でパルスを出力する。
関数 𝑓 は、ステップ関数やシグモイド関数などが用いられる。ニューラルネットワークの構造は、階層型ニューラルネットワークとする。階層型ニューラルネットワークでは、入力層の信号に対して出力層で得られる信号が望ましいものとなるように、ニューロン間の結合係数を系統的に求める誤差逆伝播法が提案されている。中間層の層数を 1 として、その結合係数を 𝑤𝑗 、出力層の結合係数を 𝑤𝑘𝑗 とする。そして、結合係数の 𝑛 回の増分を 𝛥𝑤𝑗 (𝑛)、望ましい出力ベクトルの𝑘 番目の値を 𝑡𝑘 とする。 シグモイド関数を利用する場合、慣性係数 𝛼 と学習係数 𝜂 をある
正の定数とするとき、誤差逆伝播法のアルゴリズムは以下の通りである。ただし、出力 𝑂𝑘 が 0
から 1 の範囲外の値になる場合は 𝑂𝑘 のスケールを変換する。
ステップ 1：𝑛＝1 とおく。
ステップ 2： 𝑘 = (𝑡𝑘 − 𝑂𝑘 )𝑂𝑘 (1 − 𝑂𝑘 )ステップ 3：𝛥𝑤𝑘𝑗 (𝑛 + 1) = 𝜂 𝑘 𝑂𝑗 + 𝛼𝛥𝑤𝑘𝑗 (𝑛)ステップ 4： 𝑗 = 𝑂𝑗 (1 − 𝑂𝑗 ) ∑𝑘 𝑘 𝑤𝑘𝑗
ステップ 5：𝛥𝑤𝑗 (𝑛 + 1) = 𝜂 𝑗 𝑂 + 𝛼𝛥𝑤𝑗 (𝑛)ステップ 6：𝑛 → 𝑛 + 1 としてステップ 2 に行く。
大松は、図 3.7 のように従来の制御系のブロック線図を示した。また、その構成について次のよ
うに述べている。フィードフォワードコントローラでは、プラントの出力の目標値が与えられると、その目標値に対応した制御入力が決定される。フィードバックコントローラでは、制御入力に対するプラント出力と目標値を比較して、その偏差が減少するように制御入力を変更する。
ここで、プラントの数学モデルや動特性が未知であるシステムを制御する場合、人間では適当な試験信号を入力して、それらの出力を観測する。そして、試行錯誤の実験を繰り返すことで望ましい制御入力をプラントの入出力のデータから知見を獲得して、最終的に目標値へ近づけさせる
ような制御入力を生成する。大松は、このようなプロセスに基づいて、ニューロコントローラを構成すると図 3.8 (a) から 3.8 (c) のように表現できると述べている。
39

フィードフォワード
コントローラ

+

+ 誤差

設計仕様

目標値

フィードバック
コントローラ

入力

出力の測定値

プラント

+ 𝑢

− 𝑒

𝑦

プラント出力図 3.7 制御系のブロック線図［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 4 図（1992）より引用

目標値

フィードバック
コントローラ

入力

出力

プラント

(a) 直列型
ニューラル
ネットワーク
目標値

入力

+

出力

プラント

従来の
コントローラ(b) 並列型
目標値

従来のコントローラ

入力

出力

プラント

ニューラル
ネットワーク(c) セルフチューニング型
図 3.8 ニューロコントローラの代表的なタイプ［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 5 図（1992）より引用

40

目標値

入力

ニューラル
ネットワーク

出力

プラント

+
−

コピー

ニューラル
ネットワーク(a) 一般化学習機構
目標値

𝑑

入力

ニューラル
ネットワーク

出力

プラント

𝑦
−

誤差

+
(b) 特殊化学習機構
図 3.9 直列型学習機構［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 6 図（1992）より引用
目標値

𝑑

ニューラル
ネットワーク（1）

入力

出力

プラント

𝑢

𝑦
+

誤差 1

−
ニューラル
ネットワーク（2）図 3.10 間接的な学習機構［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 7 図（1992）より引用

+

目標値

𝑑

ニューラル
ネットワーク

−

入力

出力

プラント

𝑢

𝑦
+
1

−
𝑡

ニューラル
ネットワーク

図 3.11 混合学習機構［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 8 図（1992）より引用

41

まず、図 3.8 (a) の構成では、制御性能の劣化を招く可能性があるため、直列型のコントローラを実現する場合は、図 3.9 (a) または 3.9 (b) のような構成にする。図 3.9 (a) は、プラントの逆シ
ステムをニューラルネットワークで構成し、それをフィードフォワードコントローラとして利用する。すなわち、図 3.10 の構成である。ニューラルネットワーク 1 は目標値 𝑑 からプラント入力 𝑢 への逆システムを示し、ニューラルネットワーク 2 はプラント出力 𝑦 からプラント入力 𝑢
への逆システムを示している。この構成では、プラント出力 𝑦 が目標値 𝑑 に近くなるようなプラントの制御入力 𝑢 をあらかじめ決定することはできないため、図 3.9 (b) の構成で解決できるが、多くの学習回数が必要であり、ニューラルネットワークの結合係数 𝑤𝑗 の初期値の選び方も考える必要がある。そこで、図 3.11 の構成が考案された。この構成では、誤差

1が十分に小さくなるまでニューラルネットワークを学習させてフィードフォワードコントローラへコピーする。
また、結合係数 𝑤𝑗 の初期値は図 3.9 で示したニューラルネットワークの結合係数 𝑤𝑗 とする。
次に、並列型のコントローラを実現する場合は、図 3.12 のような構成にする。この構成では、図3.7 で示したフィードフォワードコントローラをニューラルネットワークで構成し、フィードバッ
クコントローラに PID 制御を適用する。そして、目標値とプラント出力との誤差を最小とするようニューラルネットワークを学習させる。最後に、セルフチューニング型のコントローラを実現する場合は図 3.13 のような構成にする。この構成では、PID ゲインをニューラルネットワークにより調整する方法であり、人間によるパラメータ調整をニューラルネットワークで代用する。
大松は、適応制御の構成と誤差逆伝播のアルゴリズムを示し、ニューラルネットワークを用いた適応制御の構成を 3 つの学習機構に分類して、それぞれの学習機能をまとめた。

ニューラル
ネットワーク
入力
目標値+

フィードバック
コントローラ

出力

+

プラント

−

図 3.12 フィードバック学習機構［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 9 図（1992）より引用
目標値

+

誤差

入力

𝑑

出力

プラント

PID

−
ニューラル
ネットワーク

図 3.13 セルフチューニング PID 学習機構［5］大松繁：ニューロコントロールと適応制御，システム制御情報学会誌，36 巻，12 号，第 10 図（1992）より引用

42

3.3.2 フィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御［33］この論文の著者である五味と川人は、神経回路モデルを非線形フィードバックコントローラに利用するときの学習法を提案した。この学習法では、制御対象の非線形性が学習後に補償されて参照モデルで規定の応答に従うようになると述べている。また、五味と川人は、この学習の枠組
みにおける収束性を確率微分方程式の平均化とリアプノフの方法で証明した。さらに、動物の小脳における姿勢や歩行の学習制御との関連も議論している。
五味と川人は、適応制御の理論について次のように述べている。フィードバックを必要とする系において、従来は、適応制御理論や神経回路モデルによる方法などが提案されていた。適応制御理論は、線形化した制御対象にて多く利用されており、非線形が強い制御対象の場合には、Dubowsky らや Slotine らの理論を用いる。しかし、Dubowsky らの理論では、非線形性を持った制御対象を高速で動かす場合に適応速度が追いつかないという問題がある。また、Slotine らの理論では、アンプ、アクチュエータ、伝達機構など推測が困難な未知の非線形要素が制御対象に含まれる場合に対応できないという問題がある。
五味と川人は、神経回路モデルを用いた学習問題でよく利用されている教師あり学習について
次のように述べている。神経回路モデルを用いてロボットやプラントの制御を行う場合は、正解となる教師信号が必要になるが、その教師信号が得られない場合が多い。この場合は、制御対象の動特性を考慮せずにある時点での制御対象の出力の誤差からその制御対象への入力の誤差を導出することが難しい。この問題に対して、Barto らや Jordan らが対策を提案した。Barto らの提案では、コントローラの過去の動作履歴を記憶して、ある時点での失敗（誤差）から記憶している過去の動作に対し修正を加えるという提案であった。この方法では、学習によってどのくらいの制御性能が向上するかが定量的に判りづらく、収束性も明らかではない。Jordan らの提案では、制御対象からの出力の誤差に基づいて制御対象への入力の誤差（コントローラの出力の誤差）を制御対象の順モデルから逆伝播して計算させるという提案であった。この方法では、制御対象の順モデルが必要であり、誤差を逆伝播させる必要もある。
五味と川人は、随意運動制御系において、フィードバック信号を神経回路モデルの学習のための誤差信号として用いて、神経回路モデルに制御対象の逆システムを学習させて前向きな制御を行う方法を提案してきた。この方法がフィードバック誤差学習法である。そして、この学習方法を用いて、神経回路モデルで構成した適応フィードバックコントローラを学習させる方法が提案されたが、目標位置が一定という条件のもとでの提案であった。五味と川人は、その方法を拡張
して目標軌道を与えた場合にも同様の学習が行えることを理論的に示した。また、拡張した方法の枠組みを動物の姿勢保持や歩行などのフィードバックを必要とする制御に対する小脳の適応機構のモデルとして議論を行った。加えて、五味と川人は、提案した学習方法について、ロボット
や一般の自動機械、プラントなどの適応学習制御にも応用が可能であると述べている。さらに、実際に利用する場合は、加速度の検出やニューラルネットワークコントローラの種類およびその効果的な学習などを解決する必要があると述べている。

43

五味と川人は、制御対象の非線形性を補償する適応フィードフォワードコントローラ（CFC：
Conventional Feedback Controller）の理論を次のように述べている。まず、制御対象への入力を 𝜏、CFC からの出力を 𝜏𝑐 、非線形フィードバックコントローラ（NNFC：Neural Network Model for
Adaptive Nonlinear Feedback Controller）からの出力を 𝜏𝑛 として、式(3.14)から式(3.16)で表す。
𝑓(𝜃 , 𝜃 , 𝜃) = 𝜏(3.14)

𝜏𝑐 = 𝐾2 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾1 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃)(3.15)

𝜏𝑛 = Φ(𝜃, 𝜃 , 𝜃, 𝑤)(3.16)

ここで、関数 𝑓 は未知の非線形性を含む制御対象の動特性、𝜃 , 𝜃 , 𝜃 は制御対象の加速度、速度、
位置のベクトル、𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 は指令値のベクトル、𝐾2 , 𝐾1 , 𝐾0 は加速度、速度、位置の各誤差のフィードバックゲインベクトル、𝑤 は NNFC の内部の結合の重み（シナプス荷重）を代表した変数である。また、関数 Φ は NNFC を構成する神経回路モデルの構造に依存している。このモデルでは、シナプス荷重 𝑤 を最適値 𝑤
̂ に取ることで目的とする 𝑓 を任意の精度で実現できるものとする。すなわち、式(3.17)を満たすものとする。
(3.17)

Φ(𝜃, 𝜃 , 𝜃, 𝑤̂) = 𝑓(𝜃 , 𝜃 , 𝜃)𝜏𝑛 = Φ(𝜃, 𝜃, 𝜃, 𝑤)
NNFC

𝜏𝑛

𝜏𝑐 = 𝐾2 𝜃𝑑 − 𝜃 + 𝐾1 𝜃𝑑 − 𝜃 + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃)𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 , 𝜃𝑑

𝜏𝑐

+
−

CFC

𝜏

+

+
𝜏ext

制御対象
𝑓 𝜃, 𝜃, 𝜃 = 𝜏

図 3.14 逆動特性モデル学習［33］五味裕章，川人光男：フィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御，
システム制御情報学会論文誌，4 巻，1 号，Fig.1（1991）より引用

五味と川人は、図 3.14 のような制御系の構成を示した。また、この系の全体の動特性を次のように述べている。外乱を 𝜏ext とおくと制御対象の逆動特性から計算される制御入力 𝜏 は式(3.18)で示され、𝜏 と NNFC の出力 𝜏𝑛 の差を 𝜏imag とおくと式(3.19)で示される。式(3.19)は、NNFC が対象の完全な逆モデルを与えられないために生じる誤差トルクとみなすことができる。
𝜏 = 𝜏𝑛 + 𝜏𝑐 + 𝜏ext

(3.18)

𝜏imag = 𝜏 − 𝜏𝑛 = 𝜏𝑐 + 𝜏ext

(3.19)

44

さらに、CFC として与えられた規範モデルで規定される仮想的な動的システムに対する入力 𝜏extに余分な擾乱 − 𝜏imag が加わっているかのように表現でき、式(3.20)で示される。
𝐾2 (𝜃 − 𝜃𝑑 ) + 𝐾1 (𝜃 − 𝜃𝑑 ) + 𝐾0 (𝜃 − 𝜃𝑑 ) = 𝜏ext − 𝜏imag(3.20)

図 3.14 に示したフィードバック誤差学習を行う場合、学習の速度係数を代表させて正定行列 𝜂で表すと、その学習則は式(3.21)で示される。
𝑑𝑤
𝜕Φ 𝑇
𝜕Φ 𝑇
= 𝜂 ( ) (𝜏𝑐 + 𝜏ext ) = 𝜂 ( ) 𝜏imag
𝑑𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑤

(3.21)

式(3.21)の 𝜕Φ⁄𝜕𝑤 は NNFC の出力に対する 𝑤 の依存度を表した項であり、多層パーセプトロン
を用いる場合はその項が式(3.22)のように表現される。多層パーセプトロンの階層を 𝑚、階層 𝑘の第 𝑞 ユニットへの入力の総和を 𝑖𝑞𝑘 、出力を 𝑂𝑘 として、𝑘 − 1 層の第 𝑝 ユニットから 𝑘 層
𝑘の第 𝑞 ユニットへのシナプス荷重を 𝑤 𝑘−1、各ユニットの入出力関係を ℎ𝑘 とする。
𝑞

𝑂𝑞𝑘 = ℎ𝑘 (𝑖𝑞𝑘 )(3.22)𝑘 𝑂 𝑘−1
𝑖𝑞𝑘 = ∑ 𝑤 𝑘−1𝑞𝑞𝑚 の変化則は、式(3.23)で示せる。
そして、最終段のシナプス荷重 𝑤 𝑚−1
𝑞𝑇𝑚
𝑑𝑤 𝑚−1𝜕Φ𝑞= 𝜂 𝑚−1 𝑚 ( 𝑚−1 𝑚 ) 𝜏q imag𝑑𝑡
𝜕𝑤 𝑞

= 𝜂 𝑚−1 𝑚

𝜕𝑖𝑞𝑚
𝜕ℎ𝑚( 𝑚−1 𝑚 ) ( 𝑚 ) 𝜏q imag
𝜕𝑖𝑞
𝜕𝑤 𝑞

(3.23)

𝑘 の変化則は式(3.24)で示せる。
(𝜕ℎ𝑚 ⁄𝜕𝑖𝑞𝑚 )𝜏q imag = 𝑑𝑞𝑚 とすると、𝑘 層のシナプス荷重 𝑤 𝑘−1
𝑞𝑇𝑘𝑑𝑤 𝑘−1𝜕Φ𝑞= 𝜂 𝑘−1 𝑘 ( 𝑚−1 𝑚 ) 𝜏imag
𝑑𝑡
𝜕𝑤 𝑞

𝜕𝑖𝑞𝑘

(3.24)= 𝜂 𝑘−1 𝑘 ( 𝑘−1 𝑘 ) 𝑑𝑞𝑘
𝜕𝑤 𝑞
ただし

𝑑𝑞𝑘 = (

𝜕ℎ𝑘𝜕𝑖𝑟𝑘+1 𝑘+1
𝑑 )
)
∑
(
𝜕ℎ𝑘 𝑟
𝜕𝑖𝑞𝑘

(3.25)𝑟

したがって、式(3.21)の 𝜏𝑐 + 𝜏ext は、各重み 𝑤 に対して割り振られるように逆伝播するため、
誤差逆伝播法に相当する。五味と川人は、この学習則で 𝑚 = 2 かつ ℎ として線形関数を用いた
とき Widrow-Hoff の学習則となり 𝜏𝑐 + 𝜏ext が誤差信号の役割を果たすと述べている。また、
五味と川人は、次の 3 つの条件のもとでシナプス荷重 𝑤 が最適値 𝑤
̂ に収束して 𝜏imag が 0 になることを証明した。

45

その証明は以下の通りである。
条件 1：

学習速度係数 𝜂 は非常に小さな正定値に設定する。

条件 2：

外乱 𝜏ext および軌道指令の加速度項 𝜃𝑑 は 1 回微分可能な
強混合強定常過程とする。

条件 3：

CFC は学習前、学習中、学習後において制御対象からの出力が漸近安定になるように設計する。

式(3.19)と式(3.21)は、次の確率微分方程式で置き換えられる。
𝑓 (𝜃 (𝑡, ), 𝜃 (𝑡, ), 𝜃(𝑡, )) − Φ (𝜃 (𝑡, ), 𝜃 (𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), (𝑡, ))(3.26)= 𝐾2 (𝜃𝑑 (𝑡, ) − 𝜃 (𝑡, )) + 𝐾1 (𝜃𝑑 (𝑡, ) − 𝜃 (𝑡, )) + 𝐾0 (𝜃𝑑 (𝑡, ) − 𝜃(𝑡, )) + 𝜏ext (𝑡, )𝑇𝜕Φ (𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), (𝑡, ))𝑑𝑤(𝑡, )=𝜂() (𝜏𝑐 (𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, )) + 𝜏ext (𝑡, ))𝑑𝑡
𝜕𝑤(3.27)

は確率空間での 1 サンプル点である。式(3.27)の解は、式(3.28)に示される平均化方程式の解によって近似されることから、式(3.28)の解 𝑀 の収束性に関して議論する。
𝑇𝜕Φ (𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), (𝑡, ))𝑑𝑀= 𝜂𝐸 [() (𝜏𝑐 (𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, )) + 𝜏ext (𝑡, ))]𝑑𝑡
𝜕𝑤(3.28)

𝑤=𝑀

まず、式(3.29)に示す関数 𝐿 を用いて、平均化方程式のリアプノフ関数の候補として式(3.30)に示される関数 𝑉 を考える。その関数 𝑉 の時間微分は、式(3.31)で表される。
𝑇
1
𝐿 = (𝜏𝑐 (𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜃 (𝑡, )) + 𝜏ext (𝑡, )) (𝜏𝑐 (𝜃 (𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜃 (𝑡, )) + 𝜏ext (𝑡, ))2(3.29)

𝑉(𝑀, 𝑡) = 𝐸 [𝐿 (𝜃 (𝑡, ), 𝜃 (𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜏ext (𝑡, ))]𝑤=𝑀(3.30)= [𝐿 (𝜃 (𝑡, ), 𝜃 (𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜃𝑑 (𝑡, ), 𝜃𝑑 (𝑡, ), 𝜃𝑑 (𝑡, ), 𝜏ext (𝑡, ))]𝑤=𝑀

𝑇𝑑𝑉(𝑀, 𝑡)= 𝐸 [(𝜏𝑐 (𝜃 (𝑡, ), 𝜃 (𝑡, ), 𝜃(𝑡, ) + 𝜏ext (𝑡, )))𝑑𝑡𝑑× (𝜏𝑐 (𝜃 (𝑡, ), 𝜃 (𝑡, ), 𝜃(𝑡, ) + 𝜏ext (𝑡, )))]
𝑑𝑡
𝑤=𝑀

46

(3.31)

式(3.31)を簡単化すると、式(3.32)のように表させる。
𝑑𝑉(𝑀, 𝑡)𝜕𝜏𝑐 𝑑𝜃 𝜕𝜏𝑐 𝑑𝜃 𝜕𝜏𝑐 𝑑𝜃 𝑑𝜏ext= 𝐸 [(𝜏𝑐 + 𝜏ext )𝑇 {
+
+
+
}]
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑤=𝑀𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝑑𝑡(3.32)

また、𝜃 は式(3.33)で表させる。
𝜃 (𝑡, ) = ℎ{𝜃(𝑡, ), 𝜃(𝑡, ), 𝜃𝑑 (𝑡, ), 𝜃𝑑 (𝑡, ), 𝜃𝑑 (𝑡, ), 𝜏ext (𝑡, )}(3.33)

よって、式(3.32)は式(3.34)で表させる。
𝑑𝑉𝜕𝜃 𝑑𝑤 𝜕𝜃 𝑑𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝜃𝑑 𝜕𝜃 𝑑𝜃𝑑= 𝐸 [(𝜏𝑐 + 𝜏ext )𝑇 {−𝐾2 [
+
+
+
+
𝑑𝑡
𝜕𝑤 𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃𝑑 𝑑𝑡
𝜕𝜃𝑑 𝑑𝑡𝜕𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜕𝜃 𝑑𝜏ext𝑑𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜏ext++] − 𝐾1− 𝐾0+}]
𝜕𝜃𝑑 𝑑𝑡𝜕𝜏ext 𝑑𝑡𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑤=𝑀(3.34)

ここで、𝑤 と 𝜃 に着目して 2 つの部分に分けると、式(3.35)で表させる。
𝑑𝑉𝜕𝜃 𝑑𝑤= 𝐸 [(𝜏𝑐 + 𝜏ext )𝑇 {−𝐾2 }]𝑑𝑡
𝜕𝑤 𝑑𝑡 𝑤=𝑀𝜕𝜃 𝑑𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝜃𝑑 𝜕𝜃 𝑑𝜃𝑑 𝜕𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜕𝜃 𝑑𝜏ext+𝐸 [(𝜏𝑐 + 𝜏ext )𝑇 {−𝐾2 (
+
+
+
+
+
)
𝑑𝑡
𝜕𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝜃
𝑑𝑡
𝜕𝜏
𝜕𝜃
𝜕𝜃𝑑
𝜕𝜃𝑑
𝑑
ext 𝑑𝑡− 𝐾1(3.35)𝑑𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜏ext
− 𝐾0
+
}]
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑤=𝑀

式(3.35)の右辺第 2 項は、𝑤 = 𝑀 に固定した時の関数 𝐿 の時間平均を微分したものに等しいが、条件 3 により安定性が補償されているため、時間に依存せず一定になる。そして、その微分は 0になることから式(3.35)は式(3.36)で表される。
𝑑𝑉𝜕𝜃 𝑑𝑤= 𝐸 [(𝜏𝑐 + 𝜏ext )𝑇 {−𝐾2 }]𝑑𝑡
𝜕𝑤 𝑑𝑡 𝑤=𝑀

(3.36)

式(3.36)の 𝜕𝜃⁄𝜕𝑤 を計算するために、式(3.26)を用いて式(3.33)を 𝑤 で偏微分する。
−1
𝜕𝑓 𝜕𝜃 𝜕Φ 𝜕𝜃 𝜕Φ
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑓 𝜕Φ
𝜕Φ
−
−
= −𝐾2
⇔
=( −
+ 𝐾2 )
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝜃 𝜕𝑤 𝜕𝜃 𝜕𝑤 𝜕𝑤
𝜕𝜃 𝜕𝜃(3.37)

式(3.27)を式(3.26)に代入すると式(3.38)が得られる。
−1
𝑑𝑉
𝜕𝑓 𝜕Φ
𝜕Φ 𝑑𝑤
= 𝐸 [(𝜏𝑐 + 𝜏ext )𝑇 {−𝐾2 ( −+ 𝐾2 )}]𝑑𝑡
𝜕𝑤 𝑑𝑡 𝑤=𝑀
𝜕𝜃 𝜕𝜃

)𝑇

𝜕𝑓

𝜕Φ

−1

= 𝐸 [−(𝜏𝑐 + 𝜏ext 𝐾2 ( −+ 𝐾2 )𝜕𝜃 𝜕𝜃47𝜕Φ 𝜕Φ 𝑇
𝜂 ( ) (𝜏𝑐 + 𝜏ext )]
𝜕𝑤 𝜕𝑤
𝑤=𝑀

(3.38)

条件 3 を考えると、次の行列は準正定であることがわかる。
−1𝜕𝑓 𝜕Φ𝜕Φ 𝜕Φ 𝑇𝐾2 ( −+ 𝐾2 )
𝜂( )
𝜕𝑤 𝜕𝑤
𝜕𝜃 𝜕𝜃

(3.39)

よって、𝑑𝑉⁄𝑑𝑡 ≤ 0 が導かれる。符号は、𝜏imag ≠ 0 の状態で 𝜕Φ⁄𝜕𝑤 ≠ 0 すなわち、ローカル ミ
ニマムに陥らなければ 𝜏imag = 0 の時だけ成立する。そして、平均化方程式の解は実際の方程式の解を近似するため 𝑤 → 𝑤
̂ が得られる。また、これはフィードバック誤差学習により NNFC が制御対象の逆動特性モデルに形成されたと言える。以上が、五味と川人による逆モデル学習での証明であり、非線形レギュレータ学習の理論についても、次のように述べている。
(3.40)(𝜃)𝜃 + 𝑁(𝜃, 𝜃 ) = 𝜏

まず、制御対象の動特性を加速度に依存する項とその他の項に分けて式(3.40)のように表す。
, 𝑁 は未知の非線形項を含む制御対象の動特性によって決まる項であり、多くのロボットなどの動特性では式(3.40)のように表される。CFC は式(3.15)のように設定して、NNFC はフィードバッ
ク信号 𝜃, 𝜃 とフィードフォワード信号 𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 を入力とする。そして、シナプス荷重 𝑤 を含めて、式(3.41)のように表す。
(3.41)

𝜏𝑛 = Φ(𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 , 𝜃 , 𝜃, 𝑤)

五味と川人は、図 3.15 のような式(3.40)と式(3.41)を用いた制御系の構成を示した。また、この系の全体の動特性を次のように述べている。
𝜏 = 𝜏𝑐 + 𝜏𝑛
⇔ 𝐾2 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾1 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃) + Φ − (𝜃)𝜃 − 𝑁(𝜃, 𝜃 ) = 0
𝜏𝑛 = Φ(𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 , 𝜃, 𝜃, 𝑤)
NNFC

𝜏𝑛

𝜏𝑐 = 𝐾2 𝜃𝑑 − 𝜃+𝐾1 𝜃𝑑 − 𝜃 + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃)𝜏𝑐𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 , 𝜃𝑑 +

𝜏

+

CFC

−

制御対象
𝜃 𝜃 + 𝑁 𝜃, 𝜃 = 𝜏

図 3.15 非線形レギュレータ学習［33］五味裕章，川人光男：フィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御，
システム制御情報学会論文誌，4 巻，1 号，Fig.2（1991）より引用

48(3.42)

ここで、NNFC で実現する関数 Φ が式(3.43)のような場合を考える。
Φ𝑑 = 𝑁(𝜃, 𝜃 ) + (𝜃)𝜃𝑑 + (𝜃) 𝐾2−1 (𝐾1(𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃))(3.43)

そのような場合、式(3.42)は式(3.44)で表される。
( (𝜃) + 𝐾2 )(𝜃𝑑 − 𝜃) + 𝐾1 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃) + (𝜃) 𝐾2−1 (𝐾1 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃)) = 0(3.44)

そして、単位行列 𝐼 を用いて以下の式のように表される。
(𝐼 + (𝜃) 𝐾2−1) (𝐾2 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾1 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃)) = 0(3.45)

式(3.45)で 𝜉 = 𝜃𝑑 − 𝜃 とおき、𝐼 + (𝜃)𝐾2−1 ≠ 0 であることを用いると式(3.46)で表される。
𝐾2 𝜉 + 𝐾1 𝜉 + 𝐾0 𝜉 = 0(3.46)

これは、目標値 𝜃𝑑 と実際の出力 𝜃 の誤差の自由応答は設定した CFC の出力が 0 となるように動くという意味になる。五味と川人は、CFC からの出力を NNFC の学習のための誤差信号として学習を進めた時は、式(3.46)の応答に一致することを次のように述べている。
𝑃 = Φ − [𝑁(𝜃, 𝜃 ) + (𝜃)𝜃𝑑 + (𝜃) 𝐾2−1 (𝐾1 (𝜃𝑑 − 𝜃 ) + 𝐾0 (𝜃𝑑 − 𝜃)) ] = −(𝐼 + (𝜃) 𝐾2−1 ) 𝜏𝑐

(3.47)

関数 𝑃 を式(3.47)として、フィードバック誤差学習を行うと、NNCF の学習則は式(3.48)で表される。また、式(3.42)と式(3.48)の確率微分方程式と平均化方程式に対するリアプノフ関数の候補 𝐽を式(3.49)とすると、逆モデル学習で述べた証明と同様の手順で 𝑑𝑉⁄𝑑𝑡 ≤ 0 が導かれる。
𝑑𝑤𝜕Φ 𝑇= 𝜂 ( ) 𝜏𝑐𝑑𝑡
𝜕𝑤

(3.48)

1𝐽 = 𝐸𝜂 [ 𝑃𝑇 𝑃]
2
𝑤=𝑀(3.49)

五味と川人は、神経回路モデルをフィードバックコントローラに利用するときの学習法を提案
し、この学習法の収束性を確率微分方程式の平均化とリアプノフの方法を用いて証明した。
3.4 あとがき
本章では、まず、ニューラルネットワークの仕組みについて、その構造と誤差逆伝播のアルゴリズムを説明した。次に、ニューラルネットワーク制御の仕組みについて、先行研究のニューロ
コントロールと適応制御［5］［6］の内容および先行研究のフィードバック誤差学習による閉ループシステムの学習制御［32］［33］の内容を説明した。これらの説明によって、制御対象とニューラルネ
ットワークとの間にはどのような関係があるか明らかにされた。
49

第4章

動的モデルを用いた開発環境

4.1 はしがき
本章では、まず、制御対象のサーボモータの位置決め制御について、その構成とその制御系の動的モデルを 4.2 節で示す。次に、サーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行うために作成した制御系の解析モデルを 4.3 節で示して、最後に、その解析モデルを用いたシミュレー
ションの具体的な解析方法も説明する。
4.2 サーボシステムの動的モデルと構成
図 4.1 のように、制御対象のサーボモータの位置決め制御の構成は、DC サーボモータ、カップ
リング、負荷とする DC モータから直列で接続される。ここで、図 3.4 のニューラルネットワーク
制御を用いたサーボシステムの構成で示した 𝑥、𝑥 、𝑥 を 𝜃𝑟 、𝜃𝑟 、𝜃𝑟 に置き換えると、ニューラ
ルネットワーク制御を用いたサーボ制御の構成は、図 4.2 のように示される。

エンコーダ

カップリング

供試モータ

図 4.1

負荷モータ

DC サーボモータの位置決め制御の構成

フィードフォワード
制御器
𝜃𝑟
微分器

微分器

𝜃𝑟

ニューラル
ネットワーク

𝑢𝑛

𝜃𝑟
制御対象

𝜃𝑟

+
-

位置
制御器

+
𝑢𝑓

𝑉

𝑢
+

アンプ

モータ
モデル

𝜃

積分器

𝜃

フィードバック制御器

図 4.2 ニューラルネットワーク制御を用いたサーボ制御の構成
50

𝜃
積分器

𝜃

図 4.2 にあるモータの動的モデルは、式(4.1)で示す電気的エネルギーと機械的エネルギーの変換に基づいた電機子電圧 𝑉 と回転位置 𝜃 との数学的な関係である。また、制御器はフィードバック制御器にニューラルネットワークから構成されるフィードフォワード制御器と並列に接続したものである。加えて、電機子電圧 𝑉 と回転角速度 𝜃 の関係は、トルク定数 𝐾𝑡 が逆起電力
定数 𝐾𝑒 と等しい関係を用いて、式(4.2)で示される。そして、回転角加速度は、式(4.1)と式(4.2)の連立によって求められ、式(4.3)に示される。ここで、 は相間の端子抵抗、𝐼 は電機子電流、J はモータの慣性イナーシャ 𝐽𝑀 と負荷イナーシャ 𝐽𝐿 を合成したイナーシャである。
𝑑 2𝜃
= 𝐽𝜃 = (𝐽𝑀 + 𝐽𝐿 )𝜃
𝑑𝑡 2

(4.1)

𝑑𝜃
= 𝐼 + 𝐾𝑒 𝜃
𝑑𝑡

(4.2)

𝑑 2 𝜃 𝐾𝑡𝑑𝜃
𝐾𝑡
= (𝑉 − 𝐾𝑡 ) = (𝑉 − 𝐾𝑡 𝜃 )
2
𝑑𝑡
𝐽
𝑑𝑡
𝐽

(4.3)

𝜏 = 𝐾𝑡 𝐼 = 𝐽

𝑉 = 𝐼 + 𝐾𝑒

本研究のシミュレーションにおいて、DC サーボモータはマクソンの EC-max 22 を扱った。
そのパラメータは表 4.1 に示される。また、シミュレーションの開発環境は表 4.2 に示される。
表 4.1 ブラスレス DC モータのパラメータ（EC-max22）
記号

名称

値

𝑉𝑛

定格電圧

24 V

𝐼𝑛

定格電流

0.657 A𝑁𝑛

定格回転

8250 rpm

𝑇𝑛

定格トルク

10.8 mNm

電機子抵抗12.4 Ω

𝐾𝑡

トルク定数18.1 mNm/A

𝐽𝑀

モータイナーシャ

2.25×10-7 kgm2

表 4.2 シミュレーションの開発環境
OS

Windows 10 Home（64bit）

CPUIntel Core i7-7700

GPU

NVIDIA GeForce GTX1050

Memory32GB（16GB + 16GB）

Software

MathWorks MATLAB R2020a

Toolbox

MATLAB 9.8, Simulink 10.1

51

4.3 シミュレーションのモデル
図 4.3 に MATLAB/Simulink で構成したシミュレーションモデルを示す。
このモデルにおいて、解析するためのサンプリンタイムは 1 ms であり、微積分の解析法は 4 次ルンゲクッタ法である。
𝜃𝑟 のブロックは、目標位置の生成器であり、回転角±90 度の振幅、1 Hz の周波数、0 deg の位相差の正弦波である角度軌道を生成する。フィードバック制御器は PID 制御を用いる。PID 制御のゲインは極配置法で算出した値で設定される。増幅器 𝐾 はモータモデルの前に接続されて、𝜃𝑟 、
𝜃𝑟 、𝜃𝑟 はニューラルネットワーク補償器のブロックに接続される。また、モータの出力である
角度 𝜃 と角速度 𝜃 は、角加速度 𝜃 の積分によって求められる。

𝜃𝑟

Feedforward Controller

𝜃𝑟 Neural𝜃𝑟 Network

PositionControl𝜃𝑟𝑢𝑛Dynamic
Amplifier Model of Motor

𝑢𝑓

𝑢

𝐾

𝑉

𝜃

Feedback
Controller𝜃𝜃𝜃

図 4.3 ニューラルネットワーク制御を用いたサーボシステムのシミュレーションモデル
このシミュレーションモデルを用いて、サーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行う。ここで、増幅器 𝐾 の設定については、𝐾 = 1、すなわち、制御対象への操作量 𝑢 に 1 倍したものを電機子電圧 𝑉 とする。また、負荷イナーシャ 𝐽𝐿 やニューラルネットワークの学習率と慣性係数などの設定については、次章 5.4 節の 5.4.2 項で説明する。
4.4 あとがき
本章では、まず、制御対象のサーボモータの位置決め制御について、その構成とその制御系の動的モデルを示した。次に、サーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行うために作成した制御系の解析モデルを示した。最後に、その解析モデルを用いたシミュレーションの具体的な解析について、サンプリングタイムは 1ms と設定して、微積分の解析法は 4 次ルンゲクッタ法を適用した。また、目標位置の生成器は、回転角±90 度の振幅、1 Hz の周波数、0 deg の位相差の正弦波というように設定して、フィードバック制御器は PID 制御を用いた。PID 制御のゲイン
は、第 2 章で説明した極配置法に基づいて算出した値を設定した。

52

第5章

オンライン・オフライン融合型学習法

5.1 はしがき
本章では、オンライン学習法およびオフライン学習法のアルゴリズムと提案したオンライン・
オフライン融合型学習法のアルゴリズムを 5.2 節で説明する。そして、オンライン学習法およびオフライン学習法のそれぞれの利点と欠点、オンライン・オフライン融合型学習法の利点をまとめたものを 5.3 節で述べる。さらに、通常の PID 制御とオンライン学習法をそれぞれ用いた場合のシミュレーションの結果、オンライン学習法、オフライン学習法、提案したオンライン・オフ
ライン融合型学習法をそれぞれ用いた場合のシミュレーション結果と考察を 5.4 節で述べる。
5.2 学習法のアルゴリズム
本節では、シミュレーションで行ったニューラルネットワーク制御の学習法のアルゴリズムを説明する。オンライン学習法では、サンプリングタイム内で 1 回だけ重みに関する計算を行う。
オフライン学習法では、十分なオンライン学習で獲得した重みを用いて、出力に関する計算のみ行う。そして、本研究で提案したオンライン・オフライン融合型学習法では、十分なオンライン学習で獲得した重みを用いて、フィードバック誤差が閾値を超えなければオフライン学習を行い、閾値を超えればサンプリングタイム内にて少ない繰り返しループでオンライン学習を行う。
5.2.1 オンライン学習法のアルゴリズム
START

𝒙 𝒙 𝒙

Δv(j,k)(0), v(j,k)(0), Δw(i,j)(0),w(i,j)(0) を初期化する

入力層

中間層 y(j), 出力層 z(k)を初期化する

誤差信号 uf (k) を取得する
フィードバック
制御器の出力Δv(j,k)(N-1), v(j,k)(N-1), Δw(i,j)(N-1), w(i,j)(N-1) をロードするΔv(j,k)(N) ～ z(k) までを計算する

ニューラルネットワークの
出力 un(k)に z(k) を代入する

Δv(j,k)(N), v(j,k)(N), Δw(i,j)(N),w(i,j)(N) をセーブする

un
図 5.1 オンライン学習法のフローチャート
53

従来のオンライン学習法のフローチャートを図 5.1 に示す。Δ (𝑗, 𝑘)(𝑁) はΔ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁) は 𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁) の差分、𝑁 は重み(𝑗, 𝑘)(𝑁) の差分、

(𝑗, 𝑘)(𝑁)、𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁) を計算する回数、𝜂 は学習率、

𝛼 は 𝜂 の修正量を調整するための慣性係数である。まず、Δ (𝑗, 𝑘)(𝑁)、 (𝑗, 𝑘)(𝑁)、𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁)、𝑦(𝑗)、𝑧(𝑘) はゼロの値で初期化されて、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁) はランダムな値で初期化される。次に、位置、速度、加速度の指令値 𝑥、𝑥 、𝑥 はニューラルネットワークの入力とする。誤差信号 𝐸𝑛 はフィードバック制御器の出力 𝑢𝑓 (𝑘) から取得される。さらに、式(5.1)から式(5.6)によって、Δ (𝑗, 𝑘)(𝑁)、(𝑗, 𝑘)(𝑁)、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁)、𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁)、𝑦(𝑗)、𝑧(𝑘) が計算される。最後に、𝑧(𝑘) はニューラルネッ
トワークの出力 𝑢𝑛 (𝑘) とする。
𝛥 (𝑗, 𝑘)(𝑁) = −𝜂𝜕𝐸𝑛
+ 𝛼𝛥 (𝑗, 𝑘)(𝑁 − 1)
𝜕 (𝑗, 𝑘)

(5.1)
(5.2)

(𝑗, 𝑘)(𝑁) = (𝑗, 𝑘)(𝑁 − 1) + 𝛥 (𝑗, 𝑘)(𝑁)𝛥𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁) = −𝜂𝜕𝐸𝑛
+ 𝛼𝛥𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁 − 1)𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)

(5.3)
(5.4)

𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁) = 𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁 − 1) + 𝛥𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁)𝑦(𝑗) = 𝑓𝑦 (𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁), 𝑥(𝑖)) =21+𝑒− ∑𝑐𝑖=1(𝑤( ,𝑗)(𝑁))𝑥( )𝑢𝑛 (𝑘) = 𝑧(𝑘) = 𝑓𝑧 ( (𝑗, 𝑘)(𝑁), 𝑦(𝑗)) =

2
1+𝑒

− ∑𝑏
𝑗=1(𝑣(𝑗,𝑘)(𝑁))𝑦(𝑗)5.2.2 オフライン学習法のアルゴリズム

START

学習済み v(j,k), w(i,j)
をロードする

入力層𝒙𝒙𝒙

中間層 y(j) を計算：式(5.7)

出力層 z(k) を計算：式(5.8)

ニューラルネットワークの
出力 un(k) に z(k) を代入する

un

図 5.2 オフライン学習法のフローチャート
54

(5.5)

−1
−1

(5.6)

従来のオフライン学習法のフローチャートを図 5.2 に示す。まず、十分なオンライン学習で獲得した重み 𝑤(𝑖, 𝑗)、 (𝑗, 𝑘) はニューラルネットワークにロードされる。次に、位置、速度、加速度の指令値 𝑥、𝑥 、𝑥 はニューラルネットワークの入力とする。また、式(5.7)と式(5.8)によって、
𝑦(𝑗) と 𝑧(𝑘) を計算する。最後に、𝑧(𝑘) はニューラルネットワークの出力 𝑢𝑛 (𝑘) とする。この学習法では、重み 𝑤(𝑖, 𝑗)、 (𝑗, 𝑘) は更新されない。
𝑦(𝑗) = 𝑓𝑦 (𝑤(𝑖, 𝑗), 𝑥(𝑖)) =2𝑐
1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )𝑢𝑛 (𝑘) = 𝑧(𝑘) = 𝑓𝑧 ( (𝑗, 𝑘), 𝑦(𝑗)) =

(5.7)

−1

2
1+𝑒

− ∑𝑏
𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)

(5.8)

−1

5.2.3 オンライン・オフライン融合型学習法のアルゴリズム

𝒙𝒙 𝒙
START

入力層

ＦＢ誤差 e の計算 ： 式(5.9)

誤差信号 uf (k) を取得する| e | は ε 以上

Yes

Δv(j,k)(Ns-1), Δw(i,j)(Ns-1), v(j,k)(Ns-1), w(i,j)(Ns-1) をロードする

制フ
御ィ
器ー
のド
出バ
力ッ
ク

No
Δv(j,k)(Ns) ～ z(k) までを計算する ：式(5.12) ～ 式(5.17)

入力層y(j), z(k) を計算：式(5.10)，(5.11)

オ
フ
ラ
イ
ン
学
習

ニューラルネットワークの
出力 un(k) に z(k) を代入する

unΔv(j,k)(0) = Δv(j,k)(Nε), v(j,k)(0) = v(j,k)(Nε),Δw(i,j)(0) = Δw(i,j)(Nε), w(i,j)(0) = w(i,j)(Nε)Δv(j,k)(Ns), Δw(i,j)(Ns), v(j,k)(Ns),w(i,j)(Ns) をセーブする

unYes

サンプリングタイム内に少ない繰り返しループでのオンライン学習

学習済み Δv(j,k)(0), v(j,k)(0)Δw(i,j)(0), w(i,j)(0) をロード

ニューラルネットワークの
出力 un(k) に z(k) を代入する

Ns は Nε 以上

No

図 5.3 オンライン・オフライン融合型学習法のフローチャート
まず、十分なオンライン学習で獲得した重みはニューラルネットワークにロードされて、Δ (𝑗, 𝑘)(0)、 (𝑗, 𝑘)(0)、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(0)、𝑤(𝑖, 𝑗)(0) とする。但し、本論文のサーボモータの位置決め
55

制御のシミュレーション結果によって、重み得られるため、本研究では重み(𝑗, 𝑘) はゼロの値で初期化すると、より良い結果が(𝑗, 𝑘) はゼロの値で初期化する。また、位置、速度、加速度の指

令値 𝑥、𝑥 、𝑥 はニューラルネットワークの入力である。加えて、誤差信号 𝐸𝑛 はフィードバック
制御器の出力 𝑢𝑓 (𝑘) から取得される。
次に、フィードバック誤差 𝑒 は式(5.9)で計算される。計算した誤差 𝑒 が閾値を超えなければ、オフライン学習法は行われて、𝑦(𝑗) と 𝑧(𝑘) は式(5.10)と式(5.11)で計算される。そして、𝑧(𝑘)はニューラルネットワークの出力 𝑢𝑛 (𝑘) とする。もしフィードバック誤差 𝑒 が閾値

を超えれば、サンプリングタイム内において少ない繰り返しループでオンライン学習を行う。各ループで、
ニューラルネットワークの入力は位置、速度、加速度の指令値 𝑥、𝑥 、𝑥 で与えられる。加えて、誤差信号 𝐸𝑛 はフィードバック制御器の出力 𝑢𝑓 (𝑘) から取得される。ニューラルネットワークにΔ (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 − 1)、 (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 − 1)、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 − 1)、𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 − 1) はロードされて、式(5.12)から式(5.17)によって Δ (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 )、 (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 )、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 )、𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 )、𝑦(𝑗)、𝑧(𝑘) は計算される。
𝑧(𝑘) の値は 𝑢𝑛 (𝑘) に与える。
その次に、もしサンプリングタイム内の繰り返しループの回数 𝑁𝑠 が 閾値 𝑁𝜀 になっていな
ければ、これらの計算は繰り返し行われる。もしサンプリングタイム内の繰り返しループの回数
𝑁𝑠 が閾値 𝑁𝜀 になれば、オンライン学習法を終了させて、計算がオフライン学習法に戻る。その時に、獲得した重み Δ (𝑗, 𝑘)(𝑁𝜀 )、 (𝑗, 𝑘)(𝑁𝜀 )、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝜀 )、𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝜀 ) はオフライン学習法の学習済重み Δ (𝑗, 𝑘)(0)、 (𝑗, 𝑘)(0)、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(0)、𝑤(𝑖, 𝑗)(0) とする。
(5.9)

𝑒 =𝑥−𝑦𝑦(𝑗) = 𝑓𝑦 (𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 ), 𝑥(𝑖)) =2𝑐
1 + 𝑒 − ∑𝑖=1(𝑤( ,𝑗)(𝑁𝑠 ))𝑥( )𝑢𝑛 (𝑘) = 𝑧(𝑘) = 𝑓𝑧 ( (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 ), 𝑦(𝑗)) =𝛥 (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 ) = −𝜂2
1+𝑒(5.10)−1− ∑𝑏
𝑗=1(𝑣(𝑗,𝑘)(𝑁𝑠 ))𝑦(𝑗)−1𝜕𝐸𝑛+ 𝛼𝛥 (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 − 1)
𝜕 (𝑗, 𝑘)(5.12)(5.13)(𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 ) = (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 − 1) + 𝛥 (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 )𝛥𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 ) = −𝜂𝜕𝐸𝑛
+ 𝛼𝛥𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 − 1)𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)(5.14)(5.15)

𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 ) = 𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 − 1) + Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 )𝑦(𝑗) = 𝑓𝑦 (𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁𝑠 ), 𝑥(𝑖)) =2𝑐
1 + 𝑒 − ∑𝑖=1(𝑤( ,𝑗)(𝑁𝑠 ))𝑥( )𝑢𝑛 (𝑘) = 𝑧(𝑘) = 𝑓𝑧 ( (𝑗, 𝑘)(𝑁𝑠 ), 𝑦(𝑗)) =(5.16)−12
1+𝑒(5.11)− ∑𝑏
𝑗=1(𝑣(𝑗,𝑘)(𝑁𝑠 ))𝑦(𝑗)−1(5.17)

このような学習法は、オフライン学習法の良い応答性とオンライン学習法の優れているロバス
ト性を融合させられて、負荷変動と外乱の対応および実時間制御が可能であるニューラルネット
ワーク制御を実現できる。
56

5.3 学習法のまとめ
表 5.1 学習法の比較
オンライン学習

オフライン学習オンライン・オフライン融合型学習

応答性

悪い

良い

良い

ロバスト性

良い

悪い

良い

表 5.1 に 3 つの学習法の比較を示す。3 つの学習法の比較は、以下の通りにまとめられる。
1. オンライン学習法では、負荷変動や外乱が発生すると、それらの変化が式(3.5)に示されるニュ
ーラルネットワークの誤差信号 𝐸𝑛 へ反映されるため、負荷変動や外乱に対応することができて、
ロバスト性が良い。ただし、サンプリングタイム内で 1 回しか式(5.1)から式(5.6)の計算がされな
いため、整定時間が長くて、応答性が悪い。
2. オフライン学習法では、式(5.7)と式(5.8)しか計算されないため、整定時間が短くて、応答性が良い。ただし、負荷変動や外乱が学習に反映されないため、ロバスト性が悪い。
3. 提案法では、フィードバック誤差が閾値を超えなければ、オフライン学習法と同じく、式(5.10)と式(5.11)の少ない計算が実行されるため、応答性が良い。また、フィードバック誤差が閾値を超えれば、式(5.12)から式(5.17)に示されるように、サンプリングタイム内で少ない繰り返しループのオンライン学習法を行うため、負荷変動や外乱に対応できて、ロバスト性も良い。
5.4 結果と考察
本節では、位置決め制御のシミュレーション結果を 5.4.1 項から 5.4.3 項に示す。5.4.1 項ではオンライン学習法を用いて、十分なオンライン学習によって学習済重みを獲得する。5.4.2 項では負荷イナーシャ変更前後において、オンライン学習法、オフライン学習法、提案法を用いた場合の位置決め制御の応答性とロバスト性に関するシミュレーション結果を示す。5.4.3 項では、目標軌道の周波数が変更された場合のシミュレーション結果を示す。そして、5.4.4 項では、シミュレ
ーションから分かった結果と考察をまとめる。

57

5.4.1 オンライン学習法を用いた学習済重みの獲得
図 5.4 と図 5.5 は、PID 制御とオンライン学習法（𝜂 = 0.004、𝛼 = 0.001）をそれぞれ用いた
場合の回転角度 𝜃 の結果およびフィードバック誤差 𝑒 を示している。負荷イナーシャの値は
𝐽𝐿 = 𝐽𝑀 = 2.25×10-7 kgm2 と設定した。そして、40 秒以降には学習効果がそれ以上増加しなかった
ため、40 秒の時点で獲得した重みを学習済重みと決めた。

図 5.4

図 5.5

PID 制御とオンライン学習法の応答

PID 制御とオンライン学習法それぞれのフィードバック誤差585.4.2 負荷イナーシャ変更前後の応答性とロバスト性
図 5.6 は、負荷イナーシャ変更前後のモータの目標と応答 𝜃 を示している。オンライン学習法のパラメータは 𝜂 = 0.004、𝛼 = 0.001 であり、提案法のパラメータは 𝜂 = 0.004、𝛼 = 0.001、𝑁𝜀= 10 である。また、シミュレーション開始から 15 秒後に負荷イナーシャ値の大きさをステップ状として 𝐽𝐿 = 𝐽𝑀 = 2.25×10-7 kgm2 から 𝐽𝐿 = 10 𝐽𝑀 = 2.25×10-6 kgm2 へ増大させる。

負荷イナーシャ変更の開始

図 5.6 オンライン学習法、オフライン学習法、オンライン・オフライン融合型学習法
それぞれの目標と応答（負荷イナーシャの変更前後）
図 5.7 (a) と 5.7 (b) それぞれは、負荷イナーシャ変更前後のフィードバック誤差 𝑒 の結果を示している。図 5.8 (a) と 5.8 (b) それぞれは、負荷イナーシャ変更前後のニューラルネットワーク
補償器の出力 𝑢𝑛 の結果を示している。図 5.9 (a) は、図 5.8 (a) の 0 秒から 14 秒までの拡大図であり、図 5.9 (b) は、図 5.8 (b) の 14 秒から 20 秒までの拡大図である。また、図 5.10 (a) と 5.10(b) それぞれは、負荷イナーシャ変更前後のフィードバック制御器の出力 𝑢𝑓 である。式(3.5)によって、図 5.10 はニューラルネットワーク補償器の誤差信号 𝐸𝑛 の結果とみなせる。

59

𝑡2

𝑡3

𝑡1

(a) 負荷イナーシャ変更前

負荷イナーシャ変更の開始

𝑡2
𝑡3

𝑡1

(b) 負荷イナーシャ変更後
図 5.7 オンライン学習法、オフライン学習法、オンライン・オフライン融合型学習法
それぞれのフィードバック誤差（負荷イナーシャの変更前と変更後）

60

次の拡大した図 5.9 (a) をご覧ください。

(a) 負荷イナーシャ変更前

負荷イナーシャ変更の開始

次の拡大した図 5.9 (b)をご覧ください。

(b) 負荷イナーシャ変更後
図 5.8 オンライン学習法、オフライン学習法、オンライン・オフライン融合型学習法
それぞれのニューラルネットワーク出力（負荷イナーシャの変更前と変更後）

61

(a) 負荷イナーシャ変更前

負荷イナーシャ変更の開始(b) 負荷イナーシャ変更後
図 5.9 オンライン学習法、オフライン学習法、オンライン・オフライン融合型学習法
それぞれのニューラルネットワーク出力（図 5.8 の拡大図）

62

(a) 負荷イナーシャ変更前

負荷イナーシャ変更の開始(b) 負荷イナーシャ変更後
図 5.10 オンライン学習法、オフライン学習法、オンライン・オフライン融合型学習法
それぞれのフィードバック制御器の出力（負荷イナーシャの変更前と変更後）

63

5.4.3 目標軌道の周波数変更前後の応答性とロバスト性
ここで、目標軌道 𝜃𝑟 の周波数を 1.0 Hz から 0.5 Hz、3.0 Hz に変更したフィードバック誤差
𝑒 の結果は、図 5.11 と図 5.12 にそれぞれ示される。その場合に、提案法の学習に関連するパラメータは 𝜂 = 0.005、𝛼 = 0.001、𝑁𝜀 = 3 である。

目標軌道の周波数変更

負荷イナーシャ変更の開始

図 5.11 目標軌道の周波数を 0.5 Hz に変更した場合のそれぞれのフィードバック誤差（負荷イナーシャの変更前後）

目標軌道の周波数変更

負荷イナーシャ変更の開始

図 5.12 目標軌道の周波数を 3.0 Hz に変更した場合のそれぞれのフィードバック誤差（負荷イナーシャの変更前後）
64

5.4.4 応答性とロバスト性に関する考察(A) 負荷イナーシャ変更前の結果と考察は、以下の通りである。
1. 整定時間と定常偏差
オンライン学習法の整定時間は、図 5.7 (a) の 𝑡1 であり、13.38 秒であった。
その時の定常偏差の最大値は ± 0.0008 deg であった。
オフライン学習法の整定時間は、図 5.7 (a) の 𝑡2 であり、1.05 秒であった。
その時の定常偏差の最大値は ± 0.0002 deg であった。
提案法の整定時間は、図 5.7 (a) の 𝑡3 であり、1.41 秒であった。
その時の定常偏差の最大値は ± 0.0001 deg であった。
整定時間について、提案法はオフライン学習法よりおよそ 1.3 倍長くなったが、オンライン学
習法よりおよそ 1/9.5 短くなった。すなわち、応答性について、提案法はオンライン学習法より
およそ 9.5 倍速くなった。よって、提案法はニューラルネットワーク制御の実時間制御を実現可能であることが示された。定常偏差についても、提案法がオンライン学習法とオフライン学習法
より小さいことは確認された。
2. ニューラルネットワークの出力
図 5.8 (a) はニューラルネットワークの出力 𝑢𝑛 を示し、図 5.9 (a) は図 5.8 (a) の拡大図である。
提案法の出力値は、オンライン学習法より大きな出力値を得て、オフライン学習法とほぼ同じ大きさの出力値を得た。これは、過渡状態で提案法の学習効果が現れていることを意味する。
3. ニューラルネットワークの誤差信号
図 5.10 (a) はニューラルネットワークの誤差信号 𝐸𝑛 、すなわち、フィードバック制御器の出力𝑢𝑓 を示している。提案法の誤差信号は、オンライン学習法とオフライン学習法よりも常に小さかった。これは、過渡状態でも定常状態でも提案法の学習効果が現れていることを意味する。
(B) 負荷イナーシャ変更後の結果と考察は、以下の通りである。
1. 整定時間と定常偏差
オンライン学習法の整定時間は、図 5.7 (b) の 𝑡1 であり、4.84 秒であった。
その時の定常偏差の最大値は ± 0.0010 deg であった。
オフライン学習法の整定時間は、定常偏差の波形が持続的に振動したため、図 5.7 (b) の 𝑡2 のマークが示すように 15 秒以上になった。
その時の定常偏差の最大値は ± 0.0040 deg であった。
65

提案法の整定時間は、図 5.7 (b) の 𝑡3 = 1.16 秒であった。その時の定常偏差の最大値は ± 0.0001
deg であった。
整定時間について、提案法はオフライン学習法よりおよそ 1/13、オンライン学習法よりおよそ
1/4.2 短くなった。すなわち、応答性について、提案法はオフライン学習法よりおよそ 13 倍、
オンライン学習法よりおよそ 4.2 倍速くなった。
定常偏差について、オフライン学習法は提案法より定常偏差の最大値がおよそ 40 倍となった。
これは、オフライン学習法が負荷イナーシャ変更に対応できず、ロバスト性が欠けていることを意味する。オンライン学習法の定常偏差の最大値はオフライン学習法より 1/4 であるが、整定時間は提案法より 4.2 倍長くなった。これは、オンライン学習法が実時間制御に向いていないことを意味する。
負荷の急激な変更後の応答性について、提案法はオフライン学習法よりはるかに速くなり、
オンライン学習法よりおよそ 4.2 倍速くなった。提案法の定常偏差の最大値は、オフライン学習
法の 1/40、オンライン学習法の 1/10 に小さくなった。したがって、提案法がロバスト性が高い
上に実時間制御に向いていることが分かった。
2. ニューラルネットワークの出力
図 5.8 (b) はニューラルネットワークの出力 𝑢𝑛 を示し、また、図 5.9 (b) は図 5.8 (b) の拡大図である。提案法は、15.0 から 15.6 秒の間にオンライン学習法とオフライン学習法より大きな出力値を得た。これは、過渡状態で提案法の学習効果が現れていることを意味する。
3. ニューラルネットワークの誤差信号
図 5.10 (b) はニューラルネットワークの誤差信号 𝐸𝑛 、すなわち、フィードバック制御器の出力𝑢𝑓 を示している。図 5.10 (b) に示した誤差信号 𝐸𝑛 について、提案法はオンライン学習法とオフライン学習法より小さかった。これは、過渡状態でも定常状態でも提案法の学習効果が現れていることを意味する。
(C) 目標軌道の周波数変更後の結果と考察は、以下の通りである。
1. 目標軌道の周波数を半分に変更した場合
図 5.11 は、目標軌道の周波数が半分に変更された場合のモータ回転角度の偏差を示している。
負荷イナーシャ変更の前後における応答性と定常偏差について、図 5.11 から提案法がオフライン
学習法より劣っていたが、オンライン学習法よりは非常に優れていたことが分かった。この結果について、周波数が低く変更されるとモータの加速度が小さくなり、角度の偏差が定常に近い状態であったため、オフライン学習法でも対応できたと考えられる。これより、オフライン学習
法には目標軌道の周波数が低く変更された場合に良いロバスト性を持つことが分かった。また、提案法にも目標軌道の周波数が低く変更された場合に良いロバスト性を持つことが分かった。
66

2. 目標軌道の周波数を 3 倍に変更した場合
図 5.12 は、目標軌道の周波数が 3 倍に変更された場合のモータ回転角度の偏差を示している。
負荷イナーシャ変更の前後における応答性と定常偏差について、図 5.12 から提案法がオンライン
学習法とオフライン学習法より非常に優れていたことが分かった。また、オフライン学習法には負荷イナーシャを変更した時点で持続的に振動したため、目標軌道の周波数を高く変更した場合にオフライン学習法がロバスト性が欠けていることが分かった。
以上の結果と考察から、5.3 節に示した従来のオンライン学習法、オフライン学習法と提案法との比較表 5.1 が証明された。提案法は、オンライン学習法の実時間制御に向いていないという欠点とオフライン学習法のロバスト性が欠けているという欠点を解決した。すなわち、提案法はオフライン学習法の応答性が良いという利点とオンライン学習法のロバスト性が優れているという利点を融合させることができた。
5.5 あとがき
本章では、オンライン学習法およびオフライン学習法のアルゴリズムと提案したオンライン・
オフライン融合型学習法のアルゴリズムを説明した。
オンライン学習法は、負荷変動や外乱が発生すると、それらの変化がニューラルネットワークの誤差信号へ反映されるため、負荷変動や外乱に対応できて、ロバスト性が良いという利点がある。ただし、サンプリングタイム内で 1 回しか重みに関する計算がされないため、整定時間が長くて、応答性が悪いという欠点がある。オフライン学習法は、出力に関する計算しかされないた
め、整定時間が短くて、応答性が良いという利点がある。ただし、負荷変動や外乱が学習に反映されないため、ロバスト性が悪いという欠点がある。提案法は、フィードバック誤差が閾値を超えなければ、オフライン学習法と同じく、出力に関するの少ない計算が実行されるため、応答性が良い。また、フィードバック誤差が閾値を超えれば、サンプリングタイム内で少ない繰り返し
ループのオンライン学習法を行うため、負荷変動や外乱に対応できてロバスト性も良い。
そして、上記で述べた 3 つの学習法の比較を証明するために、オンライン学習法、オフライン
学習法、提案したオンライン・オフライン融合型学習法をそれぞれ用いた場合のシミュレーショ
ン結果を示した。このシミュレーションでは、オンライン学習法を用いた学習済重みの獲得についてのシミュレーションを行って、負荷イナーシャ変更前後の応答性とロバスト性についてのシミュレーションを行った。負荷イナーシャ変更前後のシミュレーションでは、負荷イナーシャ
値の大きさをステップ状に変更させた。さらに、目標軌道の周波数変更前後の応答性とロバスト性についてのシミュレーションも行った。
これらのシミュレーション結果とその考察により、提案法はオンライン学習法の欠点とオフライン学習法の欠点を解決した。すなわち、提案法はオフライン学習法の利点とオンライン学習
法の利点を融合させることができた。
67

第6章

学習率と回数閾値の更新則

6.1 はしがき
本章では、提案したオンライン・オフライン融合型学習法のパラメータに関する課題点と解決するための方法を 6.2 節で述べて、オンライン・オフライン融合型学習法を用いた学習率の増減に関わるサーボシステムの特性を 6.3 節に示す。そして、その特性の中から適切なパラメータの組み合わせを抽出して、最小二乗法で定式化を行い、新しい更新則を導出する。この一連の流れを 6.4 節で説明する。さらに、その更新則に基づき求められた値をオンライン・オフライン融合型
学習法に代入して、サーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行い、シミュレーションの結果と考察を 6.5 節で述べる。
6.2 学習率と回数閾値の新しい更新則の提案
前章では、サーボシステムの位置決め制御に対して、負荷変動と外乱の対応、実時間制御の実現を達成するため、フィードバック誤差が閾値を超えなければオフライン学習を行い、フィード
バック誤差が閾値を超えればサンプリングタイム内で少ない繰り返しループのオンライン学習を行うようなオンライン・オフライン融合型学習法を提案した。
この提案法のパラメータである学習率 𝜂、サンプリングタイム内の繰り返しループの回数閾値
𝑁𝜀 とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係がまだ明らかではない。そのため、学習率 𝜂と回数閾値 𝑁𝜀 のチューニングにおいて、手間がかかり、学習の効率が良いとは言えない。また、今までのニューラルネットワークの学習率の更新則についての研究では、学習率の増減について
学習の効率と学習の極小値との関係がまだ定式化されていないため、サーボシステムの応答性、ロバスト性との関係を結ぶことが難しい［18］-［27］。
以上の背景に基づき、本研究では、サーボシステムの位置決め制御に対して、学習率 𝜂、回数
閾値 𝑁𝜀 とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係をシミュレーションとその解析データから明らかにする。さらに、最小二乗法によってそれらの関係の定式化を行い、セルフチューニ
ングが行えるような学習率 𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 の更新則を提案する。
6.3 学習率の増減に関わるサーボシステムの特性
本節では、オンライン・オフライン融合型学習法を用いた学習率の増減に関わるサーボシス
テムの特性は、6.3.1 項と 6.3.2 項に示される。6.3.1 項では、負荷イナーシャ変更前後のフィード
バック誤差の最大値 𝐸𝑚 、学習率 𝜂、回数閾値 𝑁𝜀 の 3 つのパラメータに関する定常特性を図 6.1に示す。6.3.2 項では、負荷イナーシャ変更前後の整定時間 𝑇𝑠 、学習率 𝜂、回数閾値 𝑁𝜀 の 3 つのパラメータに関する過渡特性を図 6.2 に示す。
68

6.3.1 学習率の増減に関わる定常特性
オンライン・オフライン融合型学習法のパラメータについて、まず、 𝜂 = 0.004、𝛼 = 0.001 で得られた時の重みを学習済重みとした。次に、学習率は 𝜂 = 0.0002 から 𝜂 = 0.02、回数閾値は𝑁𝜀 = 3 から 𝑁𝜀 = 15、慣性係数は 𝛼 = 0.001 と設定した。また、負荷イナーシャ値は 𝐽𝐿 = 𝐽𝑀 =2.25×10-7 kgm2 と設定した。図 6.1 (a) と 6.1 (b) それぞれは、負荷イナーシャを変更する前後でのフィードバック誤差の最大値、学習率、回数閾値のシミュレーション結果を示している。加えて、それらの値を表 6.1 と表 6.2 に示す。以下では、学習率のデータの数を 𝑁 と定義する。

(a) 負荷イナーシャ変更前(b) 負荷イナーシャ変更後
図 6.1 オンライン・オフライン融合型学習法を用いたフィードバック誤差の最大値、学習率、
回数閾値（負荷イナーシャの変更前と変更後）
69

表 6.1 フィードバック誤差の最大値 𝐸𝑚 （負荷イナーシャ変更前）
データ
の数 𝑁

学習率
𝜂

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

0.00020.00040.00060.00080.00100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00600.00800.01000.01200.01400.01600.01800.0200

回数閾値 𝑁𝜀30.00230.00550.01020.00570.00370.00060.00100.01160.00980.00840.00720.00420.00260.00230.00170.00130.00030.00100.001650.00400.00540.00090.00140.00250.01070.00770.00550.00480.00420.00360.00210.00150.00030.00160.00610.01890.00460.012870.00770.00150.00310.01290.00990.00630.00500.00370.00290.00240.00200.00140.00050.00510.00680.00960.01476.65036.874490.00180.00350.01190.00800.00730.00460.00300.00260.00200.00180.00150.00045.58260.00976.4762
6.32166.99377.0457
6.992011
0.00220.01370.00780.00700.00530.00330.00250.00200.00160.00140.0013
4.94310.01066.58676.77866.98946.97356.9121
7.013013
0.00390.00960.00740.00510.00390.00270.00200.00160.00140.00050.00040.00444.95786.65056.92397.07807.16757.08116.970415
0.01790.00930.00560.00410.00330.00220.00170.00140.00050.00040.00214.68826.8082
6.94856.9364
6.98867.1116
7.06887.0120

表 6.2 フィードバック誤差の最大値 𝐸𝑚 （負荷イナーシャ変更後）
データ
の数 𝑁

学習率
𝜂

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

0.00020.00040.00060.00080.00100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00600.00800.01000.01200.01400.01600.01800.0200

回数閾値 𝑁𝜀30.00300.00180.00160.00140.00260.00230.00220.00200.00190.00180.00170.00140.00180.00180.00170.00160.00150.00150.001450.00230.00180.00260.00230.00210.00180.00160.00140.00170.00180.00180.00150.00140.00130.00130.00200.00210.00140.002270.00230.00140.00220.00190.00180.00140.00190.00170.00160.00160.00150.00130.00160.00190.00130.00170.0021
0.09353.426070

90.00220.00230.00190.00170.00150.00180.00160.00150.00140.00130.00130.00150.00320.00170.17700.43003.13782.22982.2297110.00200.00200.00170.00150.00180.00160.00150.00130.00120.00160.00140.00210.00170.6822
3.66612.22982.22982.22982.2298130.00190.00180.00150.00120.00170.00150.00130.00120.00150.00140.00140.00150.00212.35442.22982.22982.22992.22992.2300150.00170.00170.00130.00180.00160.00140.00150.00160.00140.00130.00130.0022
3.32842.22982.22992.22992.22992.23002.2299

6.3.2 学習率の増減に関わる過渡特性
オンライン・オフライン融合型学習法のパラメータについては、前項と同じように設定した。
図 6.2 (a) と 6.2 (b) それぞれは、負荷イナーシャを変更する前後での整定時間、学習率 𝜂、回数
閾値 𝑁𝜀 のシミュレーション結果を示している。また、それらの値を表 6.3 と表 6.4 に示す。

(a) 負荷イナーシャ変更前(b) 負荷イナーシャ変更後
図 6.2 オンライン・オフライン融合型学習法を用いた整定時間、学習率、回数閾値
（負荷イナーシャの変更前と変更後）

71

表 6.3 整定時間 𝑇𝑠 （負荷イナーシャ変更前）
データ
の数 𝑁

学習率
𝜂

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

0.00020.00040.00060.00080.00100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00600.00800.01000.01200.01400.01600.01800.0200

回数閾値 𝑁𝜀
3

5

7

9

11

13

15

16.00
9.453
6.089
6.100
6.205
7.000
7.054
2.398
2.310
2.238
2.177
1.996
1.868
1.767
1.684
1.611
1.545
1.482
1.415

9.503
6.199
6.357
7.108
6.986
2.241
2.107
1.992
1.903
1.830
1.769
1.612
1.517
1.439
1.364
0.940
1.031
1.269
1.815

6.158
7.214
7.010
2.279
2.166
1.959
1.818
1.717
1.648
1.597
1.557
1.445
1.346
1.107
1.313
1.247
1.161
1.129
1.131

6.320
7.039
2.215
2.065
1.947
1.745
1.635
1.567
1.512
1.482
1.449
1.326
1.129
1.229
1.175
1.127
1.138
1.322
1.513

7.194
2.254
2.040
1.883
1.770
1.614
1.534
1.482
1.441
1.405
1.369
0.914
1.207
1.157
1.194
1.477
30.00
2.198
0.180

7.105
2.109
1.883
1.738
1.650
1.534
1.470
1.423
1.380
1.377
1.290
1.226
1.179
1.255
1.893
30.00
30.00
0.194
0.176

2.352
1.975
1.755
1.640
1.572
1.479
1.422
1.373
1.322
1.267
1.198
1.196
1.252
1.836
30.00
30.00
30.00
0.172
0.185

表 6.4 整定時間 𝑇𝑠 （負荷イナーシャ変更後）
データ
の数 𝑁

学習率
𝜂

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

0.00020.00040.00060.00080.00100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00600.00800.01000.01200.01400.01600.01800.0200

回数閾値 𝑁𝜀
3

5

7

9

11

13

15

4.540
2.480
1.870
1.830
1.800
1.760
1.730
1.710
1.690
1.680
1.660
1.730
1.610
1.570
1.890
1.470
1.410
1.360
1.310

2.400
1.770
1.730
1.690
1.660
1.620
1.580
1.550
1.520
1.500
1.480
1.390
1.300
1.220
1.150
0.650
2.557
1.130
2.530

1.770
1.690
1.640
1.600
1.570
1.520
1.480
1.440
1.410
1.370
1.330
1.210
1.080
0.650
1.260
2.470
2.545
2.633
15.00

1.720
1.630
1.570
1.540
1.500
1.450
1.400
1.330
1.280
1.230
1.210
1.070
4.290
2.510
1.639
2.735
15.00
15.00
15.00

1.670
1.580
1.530
1.480
1.450
1.380
1.310
1.240
1.180
1.150
1.100
4.300
4.290
15.00
15.00
15.00
15.00
15.00
15.00

1.630
1.540
1.480
1.450
1.410
1.320
1.230
1.150
1.120
1.020
1.000
1.140
4.300
15.00
15.00
15.00
15.00
15.00
15.00

1.600
1.510
1.450
1.400
1.360
1.260
1.160
1.110
1.000
0.980
0.740
4.290
15.00
15.00
15.00
15.00
15.00
15.00
15.00

72

6.4 最小二乗法に基づく学習率、回数閾値の定式化および更新則の導出
本節では、前節のサーボシステムの特性から最小の誤差になるパラメータの組み合わせ、もしくは、最短の収束時間になるパラメータの組み合わせを抽出して、それらのパラメータの組み合
わせに最小二乗法を適用する。上記について、フィードバック誤差の最大値 𝐸𝑚 、学習率 𝜂、回数
閾値 𝑁𝜀 の定式化を 6.4.1 項に説明して、整定時間 𝑇𝑠 、学習率 𝜂、回数閾値 𝑁𝜀 の定式化を 6.4.2
項に説明する。さらに、学習率と回数閾値の更新則の導出を 6.4.3 項に説明する。
6.4.1 学習率、回数閾値と誤差最大値との定式化
学習率、回数閾値と誤差最大値の定式化について説明する。表 6.2 と表 6.3 のそれぞれの学習率
𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 に対して、シミュレーションの解析で得られたフィードバック誤差の最大値を𝐸𝑚 (𝑖) として、学習率 𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 に関わるフィードバック誤差の最大値の推定関数を𝑓 (𝜂, 𝑁𝜀 ) と定義する。また、推定関数には多項式曲線を用いる。そして、𝐸𝑚 (𝑖) と 𝑓 (𝜂, 𝑁𝜀 ) との差の二乗和を 𝐸𝑒𝑚 と定義して、式(6.1)に示す。
𝑁

𝑁

𝐸𝑒𝑚 = ∑[𝐸𝑚 (𝑖 ) − 𝑓 (𝜂, 𝑁𝜀 )]2 = ∑[𝐸𝑚 (𝑖) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2
=1

(6.1)

=1

パラメータの値 𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒 は、式(6.2)から式(6.6)で求められる。
𝑁

𝜕𝐸𝑒𝑚
𝜕
=
∑[𝐸𝑚 (𝑖) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0
𝜕𝑎
𝜕𝑎

(6.2)

=1
𝑁

𝜕𝐸𝑒𝑚
𝜕
=
∑[𝐸𝑚 (𝑖) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0
𝜕𝑏
𝜕𝑏

(6.3)

=1

𝑁

𝜕𝐸𝑒𝑚
𝜕
= ∑[𝐸𝑚 (𝑖 ) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0
𝜕𝑐
𝜕𝑐

(6.4)

=1
𝑁

𝜕𝐸𝑒𝑚
𝜕
=
∑[𝐸𝑚 (𝑖 ) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0
𝜕𝑑
𝜕𝑑

(6.5)

=1

𝑁

𝜕𝐸𝑒𝑚
𝜕
=
∑[𝐸𝑚 (𝑖 ) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0
𝜕𝑒
𝜕𝑒

(6.6)

=1

また、式(6.2)から式(6.6)の整理された式は、式(6.7)から式(6.11)に示される。
𝑁

𝑁

𝑁

𝑁

𝑁

𝑁

𝑎 ∑ 𝜂4 + 𝑏 ∑ 𝜂2 𝑁𝜀2 + 𝑐 ∑ 𝜂3 + 𝑑 ∑ 𝜂2 𝑁𝜀 + 𝑒 ∑ 𝜂2 = ∑ 𝜂2 𝐸𝑚 (𝑖)
=1

=1

𝑁

=1
𝑁

𝑁

=1
𝑁

=1

=1

𝑁

𝑁

2

𝑎 ∑ 𝜂 𝑁𝜀2 + 𝑏 ∑ 𝑁𝜀4 + 𝑐 ∑ 𝜂𝑁𝜀2 + 𝑑 ∑ 𝑁𝜀3 + 𝑒 ∑ 𝑁𝜀2 = ∑ 𝑁𝜀2 𝐸𝑚 (𝑖)
=1

=1

=1

=1

73

=1

=1

(6.7)
(6.8)

𝑁

𝑎∑𝜂

𝑁
3

=1

𝑁

=1

𝑁

=1
𝑁

𝑁

𝑎 ∑ 𝜂 𝑁𝜀 + 𝑏 ∑ 𝑁𝜀
=1

=1

𝑁

2

3

𝑁

=1

𝑁

=1
𝑁

𝑁

=1

𝑁

=1

𝑁

𝑁

𝑎 ∑ 𝜂 + 𝑏 ∑ 𝑁𝜀 + 𝑐 ∑ 𝜂 + 𝑑 ∑ 𝑁𝜀 + 𝑁𝑒 = ∑ 𝐸𝑚 (𝑖)
=1

=1

=1

(6.10)

=1

2

2

(6.9)

=1
𝑁

+ 𝑐 ∑ 𝜂𝑁𝜀 + 𝑑 ∑ 𝑁𝜀2 + 𝑒 ∑ 𝑁𝜀 = ∑ 𝑁𝜀 𝐸𝑚 (𝑖)

=1

𝑁

𝑁

+ 𝑏 ∑ 𝜂𝑁𝜀2 + 𝑐 ∑ 𝜂2 + 𝑑 ∑ 𝜂𝑁𝜀 + 𝑒 ∑ 𝜂 = ∑ 𝜂𝐸𝑚 (𝑖)=1(6.11)=1

加えて、求められたパラメータ 𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒 は、式(6.12)に示される。
𝜂4
𝑎
2
𝑁
𝜂 𝑁𝜀2
𝑏
𝑐 =∑
𝜂3
𝑑
=1
𝜂2 𝑁𝜀
𝑒
( )
( 𝜂2

𝜂2 𝑁𝜀2
𝑁𝜀4
𝜂𝑁𝜀2
𝑁𝜀3
𝑁𝜀2

𝜂3
𝜂𝑁𝜀2
𝜂2
𝜂𝑁𝜀
𝜂

𝜂2 𝑁𝜀
𝑁𝜀3
𝜂𝑁𝜀
𝑁𝜀2
𝑁𝜀

𝜂2
𝑁𝜀2
𝜂
𝑁𝜀
𝑁)

−1

𝜂2 𝐸𝑚 (𝑖)𝑁𝑁𝜀2 𝐸𝑚 (𝑖)∑ 𝜂𝐸𝑚 (𝑖)=1
𝑁𝜀 𝐸𝑚 (𝑖)( 𝐸𝑚 (𝑖) )(6.12)

表 6.1 と表 6.2 それぞれでフィードバック誤差が最小値になる学習率 𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 の組み合わせに最小二乗法を適用する。それによって、負荷イナーシャ変更前後の近似曲線 𝐸̃𝑚𝑏 と 𝐸̃𝑚𝑎 、
すなわち、式(6.13)と式(6.14)が得られる。そして、それらの曲線は、図 6.3 に示される。
𝐸̃𝑚𝑏 = 10.2𝜂2 − (8.8 × 10−6 )𝑁𝜀2 − 0.2𝜂 + (1.4 × 10−4 )𝑁𝜀 + (1.1 × 10−3 )(6.13)

𝐸̃𝑚𝑎 = 1.4𝜂2 + (7.6 × 10−6 )𝑁𝜀2 − (4.5 × 10−2 )𝜂 − (1.7 × 10−4 )𝑁𝜀 + (2.4 × 10−3 )(6.14)

𝐸̃𝑚𝑎𝐸̃𝑚𝑏

図 6.3 学習率、回数閾値と誤差最大値のデータに基づく近似曲線
負荷イナーシャ変更前の近似曲線 𝐸̃𝑚𝑏 と負荷イナーシャ変更後の近似曲線 𝐸̃𝑚𝑎 では、学習率
𝜂 を増加させると全く異なる曲線を描く傾向がある。また、𝐸̃𝑚𝑏 と𝐸̃𝑚𝑎 は、回数閾値 𝑁𝜀 を増加させても全く異なる曲線を描く傾向がある。
74

6.4.2 学習率、回数閾値と整定時間との定式化
学習率、回数閾値と整定時間の定式化について説明する。表 6.3 と表 6.4 のそれぞれの学習率 𝜂と回数閾値 𝑁𝜀 に対して、シミュレーションの解析で得られた整定時間を 𝑇𝑠 (𝑗)として、学習率 𝜂と回数閾値 𝑁𝜀 に関わる整定時間の推定関数を 𝑓𝑗 (𝜂, 𝑁𝜀 ) と定義する。また、推定関数には多項式曲線を用いる。そして、𝑇𝑠 (𝑗) と 𝑓𝑗 (𝜂, 𝑁𝜀 ) との差の二乗和を 𝐸𝑡𝑠 と定義して、式(6.15)に示す。
𝑁

𝑁
2

𝐸𝑡𝑠 = ∑[𝑇𝑠 (𝑗) − 𝑓𝑗 (𝜂, 𝑁𝜀 )] = ∑[𝑇𝑠 (𝑗) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2
𝑗=1

(6.15)

𝑗=1

パラメータの値 𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒 は、式(6.16)から式(6.20)で求められる。
𝑁

𝜕𝐸𝑡𝑠
𝜕
=
∑[𝑇𝑠 (𝑗) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0𝜕𝑎𝜕𝑎(6.16)

𝑗=1
𝑁

𝜕𝐸𝑡𝑠
𝜕
=
∑[𝑇𝑠 (𝑗) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0𝜕𝑏𝜕𝑏(6.17)

𝑗=1
𝑁

𝜕𝐸𝑡𝑠
𝜕
= ∑[𝑇𝑠 (𝑗) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0𝜕𝑐𝜕𝑐(6.18)

𝑗=1
𝑁

𝜕𝐸𝑡𝑠
𝜕
=
∑[𝑇𝑠 (𝑗) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0𝜕𝑑𝜕𝑑(6.19)

𝑗=1
𝑁

𝜕𝐸𝑡𝑠
𝜕
=
∑[𝑇𝑠 (𝑗) − (𝑎𝜂2 + 𝑏𝑁𝜀2 + 𝑐𝜂 + 𝑑𝑁𝜀 + 𝑒)]2 = 0𝜕𝑒𝜕𝑒(6.20)𝑗=1

また、式(6.16)から式(6.20)の整理された式は、式(6.21)から式(6.25)に示される。
𝑁

𝑎∑𝜂

𝑁
4

𝑗=1

𝑁

𝑁

𝑁

𝑁

2

+ 𝑏 ∑ 𝜂 𝑁𝜀2 + 𝑐 ∑ 𝜂3 + 𝑑 ∑ 𝜂2 𝑁𝜀 + 𝑒 ∑ 𝜂2 = ∑ 𝜂2 𝑇𝑠 (𝑗)
𝑗=1

𝑁

𝑗=1
𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑗=1

𝑗=1

𝑁

𝑁

𝑁

2

𝑎 ∑ 𝜂 𝑁𝜀2 + 𝑏 ∑ 𝑁𝜀4 + 𝑐 ∑ 𝜂𝑁𝜀2 + 𝑑 ∑ 𝑁𝜀3 + 𝑒 ∑ 𝑁𝜀2 = ∑ 𝑁𝜀2 𝑇𝑠 (𝑗)
𝑗=1

𝑗=1

𝑁

𝑎∑𝜂

𝑗=1

𝑁
3

𝑗=1

𝑗=1

𝑁

𝑁

𝑗=1
𝑁

𝑁

𝑗=1
𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑁

𝑗=1
𝑁

𝑁

𝑁

𝑎 ∑ 𝜂 𝑁𝜀 + 𝑏 ∑ 𝑁𝜀3 + 𝑐 ∑ 𝜂𝑁𝜀 + 𝑑 ∑ 𝑁𝜀2 + 𝑒 ∑ 𝑁𝜀 = ∑ 𝑁𝜀 𝑇𝑠 (𝑗)
𝑗=1

𝑁

𝑎∑𝜂
𝑗=1

𝑁
2

𝑗=1
𝑁

𝑗=1
𝑁

𝑗=1

𝑗=1

(6.24)

𝑗=1

𝑁+ 𝑏 ∑ 𝑁𝜀2 + 𝑐 ∑ 𝜂 + 𝑑 ∑ 𝑁𝜀 + 𝑁𝑒 = ∑ 𝑇𝑠 (𝑗)𝑗=1(6.23)

𝑗=1

2

𝑗=1

(6.22)

𝑗=1+ 𝑏 ∑ 𝜂𝑁𝜀2 + 𝑐 ∑ 𝜂2 + 𝑑 ∑ 𝜂𝑁𝜀 + 𝑒 ∑ 𝜂 = ∑ 𝜂𝑇𝑠 (𝑗)𝑗=1(6.21)

𝑗=1

𝑗=1

75

(6.25)

加えて、求められたパラメータ 𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒 は式(6.26)に示される。
𝜂4
𝜂 2 𝑁𝜀2𝑎𝑁
𝜂 2 𝑁𝜀2 𝑁𝜀4
𝑏
𝑐 =∑
𝜂3
𝜂𝑁𝜀2
𝑑
𝑗=1 𝜂 2𝑁𝜀
𝑁𝜀3
𝑒
2
( )
𝑁𝜀2
( 𝜂

𝜂 3 𝜂 2 𝑁𝜀𝜂𝑁𝜀2 𝑁𝜀3
𝜂2
𝜂𝑁𝜀
𝜂𝑁𝜀
𝑁𝜀2
𝜂
𝑁𝜀

−1

𝜂2
𝑁𝜀2
𝜂
𝑁𝜀
𝑁)

𝜂 2 𝑇𝑠 (𝑗)𝑁
𝑁𝜀2 𝑇𝑠 (𝑗)∑ 𝜂𝑇𝑠 (𝑗)𝑗=1 𝑁𝜀 𝑇𝑠 (𝑗)( 𝑇𝑠 (𝑗) )(6.26)

表 6.3 と表 6.4 それぞれで最短の収束時間になる学習率 𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 の組み合わせに最小二乗法を適用する。それによって、負荷イナーシャ変更前後の近似曲線 𝑇̃𝑠𝑏 と 𝑇̃𝑠𝑎 、すなわち、
式(6.27)と式(6.28)が得られる。そして、それらの曲線は図 6.4 に示される。
𝑇̃𝑠𝑏 = (6.5 × 103 )𝜂2 + (3.2 × 10−4 )𝑁𝜀2 − 220.8𝜂 − (9.9 × 10−2 )𝑁𝜀 + 3.3(6.27)

𝑇̃𝑠𝑎 = (7.3 × 103 )𝜂2 + (6.9 × 10−3 )𝑁𝜀2 − 232.8𝜂 − 0.3𝑁𝜀 + 3.8(6.28)

𝑇̃𝑠𝑎

𝑇̃𝑠𝑏

図 6.4 学習率、回数閾値と整定時間のデータに基づく近似曲線
負荷イナーシャ変更前の近似曲線 𝑇̃𝑠𝑏 と負荷イナーシャ変更後の近似曲線 𝑇̃𝑠𝑎 では、学習率
𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 を増加させると、学習率の一定値まで同じよう曲線を描く傾向がある。また、𝑇̃𝑠𝑏 と 𝑇̃𝑠𝑎 は、学習率 𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 の一定値を超えると異なる曲線を描く傾向がある。

76

6.4.3 学習率と回数閾値の更新則の導出
更新則を導出するためには、学習率を算出する必要がある。その学習率を算出するためには、
̃𝜀 を算出する。
指標値のフィードバック誤差の最大値 𝐸𝑚𝑟 と整定時間 𝑇𝑠𝑟 を設けて、回数閾値 𝑁
̃𝜀 を算出するためには、近似曲線 𝐸̃𝑚𝑏 と 𝑇̃𝑠𝑏 の連立方程式もしくは近似曲線 𝐸̃𝑚𝑎回数閾値 𝑁と 𝑇̃𝑠𝑎 の連立方程式を解く。𝐸̃𝑚𝑏 または 𝐸̃𝑚𝑎 それぞれのパラメータを 𝑎1、𝑏1、𝑐1 、𝑑1、𝑒1 と定義し、𝑇̃𝑠𝑏 または 𝑇̃𝑠𝑎 それぞれのパラメータを 𝑎2、𝑏2 、𝑐2 、𝑑2、𝑒2 と定義する。そして、回数
̃𝜀 を算出するための式の係数を 𝐴、𝐵、𝐶 と定義すると、式(6.29)と式(6.30)に示される。
閾値 𝑁
̃𝜀 = 𝐴𝜂̃ 2 + 𝐵𝜂̃ + 𝐶
𝑁(6.29)

𝐴=−

𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
𝑑1 𝑏2 − 𝑑2 𝑏1𝐵=−

𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1
𝑑1 𝑏2 − 𝑑2 𝑏1

𝐶=(6.30)

𝑏2 𝐸𝑚𝑟 − 𝑏1 𝑇𝑠𝑟 − (𝑒1 𝑏2 − 𝑒2 𝑏1 )𝑑1 𝑏2 − 𝑑2 𝑏1

̃𝜀 を代入して、展開された式にフェラーリの解法［45 ］［46］を用いる。展開𝐸̃𝑚𝑏 または 𝐸̃𝑚𝑎 に 𝑁された式の係数は 𝐷、𝐸、𝐹、𝐺、𝐻 と定義されて、式(6.31)と式(6.32)に示される。
𝐷𝜂 4 + 𝐸𝜂 3 + 𝐹𝜂 2 + 𝐺𝜂 + 𝐻 = 0(6.31)

𝐷 = 𝑏1 𝐴2
𝐸 = 2𝑏1 𝐴𝐵
𝐹 = 𝑎1 + 𝑏1 (𝐵2 + 2𝐴𝐶) + 𝑑1 𝐴

(6.32)

𝐺 = 2𝑏1 𝐵𝐶 + 𝑐1 + 𝑑1 𝐵
𝐻 = 𝑏1 𝐶 2 + 𝑑1 𝐶 + 𝑒1 − 𝐸̃𝑚𝑏式(6.31) に係数 𝑧 を用いた式 𝜂̃ = 𝑧 − 𝐸 ⁄4𝐷 を代入して、展開された 4 次乗の式の係数は 𝑝、𝑞、𝑟 と定義されて、式(6.33)と式(6.34)に示される。
𝑧 4 + 𝑝𝑧 2 + 𝑞𝑧 + 𝑟 = 0
𝑝=−𝑞=

3𝐸 2 𝐹+
8𝐷 2 𝐷

𝐸3
𝐸𝐹 𝐺
−
+
3
8𝐷
2𝐷 2 𝐷𝑟=−(6.33)

3𝐸 4
𝐸2𝐹
𝐸𝐺 𝐻
+
− 2+
4
3
256𝐷
16𝐷
4𝐷
𝐷

77

(6.34)

式(6.33)の 𝑧 の 4 次式を左辺として、係数 𝑡 を用いた式 𝑡𝑧 2 + 𝑡 2 ⁄4 を両辺に加える。そして、
その式の平方完成は、式(6.35)に示される。
2
𝑡 2
𝑞
𝑞2
𝑡2
(𝑧 2 + ) = (𝑡 − 𝑝) {𝑧 −
} −
+ −𝑟
2
2(𝑡 − 𝑝)4(𝑡 − 𝑝) 4

(6.35)

式(6.35)の右辺の − 𝑞2 ⁄4(𝑡 − 𝑝) + 𝑡 2 ⁄4 − 𝑟 = 0 を成り立たせるため、− 𝑞 2⁄4(𝑡 − 𝑝) + 𝑡 2 ⁄4 − 𝑟 =0 を 𝑡 について整理すると、式(6.36) に示される。
𝑡 3 − 𝑝𝑡 2 − 4𝑟𝑡 + 4𝑝𝑟 − 𝑞 2 = 0(6.36)

式(6.36)の解の 1 つを 𝑡0 と定義して、式(6.35)は式(6.37)に変形される。
(𝑧 2 +

2𝑡0 2
𝑞) = (𝑡0 − 𝑝) {𝑧 −}22(𝑡0 − 𝑝)(6.37)

式(6.37)の両辺の平方根を取り除いて、解の公式を用いて 𝑧 の解を求める。そして、𝜂̃ = 𝑧 − 𝐸 ⁄4𝐷に 𝑧 の解を代入すると、学習率 𝜂̃ は以下の 4 つの解で定式化される。ただし、4 つの解の中に、
0 < 𝜂̃ < 1を満たさない解、複素数の解が含まれる場合は、それらを使わない。

𝜂̃1,2 = −𝐸
1
2𝑞
+ (−√𝑡0 − 𝑝 ± √−𝑡0 − 𝑝 +)4𝐷 2√𝑡0 − 𝑝(6.38)

𝜂̃3,4 = −𝐸
12𝑞
+ (√𝑡0 − 𝑝 ± √−𝑡0 − 𝑝 −)4𝐷 2√𝑡0 − 𝑝̃𝜀 は式(6.39)で定式化される。ただし、また、学習率 𝜂̃ の解を式(6.29)に代入すると、回数閾値 𝑁
負の数、複素数の解、大きな数値である場合は、それらを使わない。
2
̃𝜀1,𝜀2 = 𝐴𝜂̃1,2
𝑁+ 𝐵𝜂̃1,2 + 𝐶(6.39)

2̃𝜀3,𝜀4 = 𝐴𝜂̃3,4
𝑁+ 𝐵𝜂̃3,4 + 𝐶

以上の手順によって、学習率と回数閾値の更新則は導出された。

78

6.5 学習率、回数閾値の更新則に基づくサーボシステムの解析結果
̃𝜀 と学習本節では、まず、学習率 𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 の更新則に基づいて求められた回数閾値 𝑁
率 𝜂̃ をオンライン・オフライン融合型学習法に代入する。次に、サーボモータの位置決め制御に対して、負荷イナーシャ変更前後のシミュレーションを行う。その結果を 6.5.1 項に示す。なお、
負荷イナーシャ値は 𝐽𝐿 = 𝐽𝑀 = 2.25×10-7 kgm2 と設定する。最後に、シミュレーションで得られた結果の値と指標値との一致について、6.5.2 項と 6.5.3 項に述べる。
6.5.1 解析結果
指標値を 𝐸𝑚𝑟 = 0.002 deg、𝑇𝑠𝑟 = 1.5 秒と決め、その指標値に対して、更新則で求められた負荷
̃𝜀 = 2 と 𝜂̃ = 0.00029、𝑁̃𝜀 = 20 であった。
イナーシャ変更前後の学習率と回数閾値は 𝜂̃ = 0.022、𝑁
これらのパラメータの組み合わせに基づいたシミュレーションの結果を示す。図 6.5 は、負荷イ
ナーシャ変更前後のフィードバック誤差 𝑒 の結果を示している。図 6.6 は、負荷イナーシャ変更
前後のニューラルネットワーク補償器の出力 𝑢𝑛 の結果を示している。そして、図 6.7 は、負荷
イナーシャ変更前後のフィードバック制御器の出力 𝑢𝑓 の結果を示している。

負荷イナーシャ変更の開始

𝐸𝑚1

𝐸𝑚2
𝑇𝑠2

𝑇𝑠1

図 6.5 学習率と回数閾値の更新則に基づくオンライン・オフライン融合型学習法のフィードバック誤差（負荷イナーシャ変更前後）

79

負荷イナーシャ変更の開始

𝑢𝑛1

𝑢𝑛3
𝑢𝑛4

𝑢𝑛2

図 6.6 学習率と回数閾値の更新則に基づくオンライン・オフライン融合型学習法のニューラルネットワーク出力（負荷イナーシャ変更前後）

負荷イナーシャ変更の開始

𝑢𝑓1
𝑢𝑓4
𝑢𝑓3

𝑢𝑓2

図 6.7 学習率と回数閾値の更新則に基づくオンライン・オフライン融合型学習法のフィードバック制御器の出力（負荷イナーシャ変更前後）

80

6.5.2 サーボシステムの定常特性に関する考察
̃𝜀 での定常
まず、負荷イナーシャ変更前の結果を考察する。求められた学習率 𝜂̃ と回数閾値 𝑁
誤差の最大値は、図 6.5 の 𝐸𝑚1 であり、0.00046 deg であった。その時の時間は、6.125 秒であった。また、その時のニューラルネットワークの出力は、図 6.6 の 𝑢𝑛1 であり、その時のフィード
̃𝜀 での定常
バック制御器の出力は、図 6.7 の 𝑢𝑓1 であった。求められた学習率 𝜂̃ と回数閾値 𝑁
誤差の最大値 𝐸𝑚1 は、指標値 𝐸𝑚𝑟 0.002 deg のおよそ 1/4.3 である。よって、シミュレーションの解析結果から、定常誤差の最大値 𝐸𝑚1 が指標値 𝐸𝑚𝑟 の範囲に収められた。
̃𝜀 での定常
次に、負荷イナーシャ変更後の結果を考察する。求められた学習率 𝜂̃ と回数閾値 𝑁
誤差の最大値は、図 6.5 の 𝐸𝑚2 であり、0.00086 deg であった。その時の時間は、21.73 秒であった。また、その時のニューラルネットワークの出力は、図 6.6 の 𝑢𝑛2 であり、その時のフィード
̃𝜀 での定常誤バック制御器の出力は、図 6.7 の 𝑢𝑓2 である。求められた学習率 𝜂̃ と回数閾値 𝑁
差の最大値 𝐸𝑚2 は、フィードバック誤差の指標値 𝐸𝑚𝑟 0.002 deg のおよそ 1/2.3 である。よって、シミュレーションの解析結果から定常誤差の最大値 𝐸𝑚2 が指標値 𝐸𝑚𝑟 の範囲に収められた。
6.5.3 サーボシステムの過渡特性に関する考察
̃𝜀 での整定
まず、負荷イナーシャ変更前の結果を考察する。求められた学習率 𝜂̃ と回数閾値 𝑁
時間は図 6.5 の 𝑇𝑠1 であり、1.692 秒であった。その時のフィードバック誤差の値は、閾値の範囲内で収まった。また、その時のニューラルネットワークの出力は、図 6.6 の 𝑢𝑛3 であり、その時
̃𝜀 でのフィードバック制御器の出力は、図 6.7 の 𝑢𝑓3 である。求められた学習率 𝜂̃ と回数閾値 𝑁の整定時間 𝑇𝑠1 は、整定時間の指標値 𝑇𝑠𝑟 1.5 秒のおよそ 1.1 倍であるが、整定時間の指標値に近い値である。よって、シミュレーションの解析結果から、整定時間 𝑇𝑠1 が指標値 𝑇𝑠𝑟 の範囲に収められた。
̃𝜀 での整定
次に、負荷イナーシャ変更後の結果を考察する。求められた学習率 𝜂̃ と回数閾値 𝑁
時間は図 6.5 の 𝑇𝑠2 であり、0.920 秒であった。その時のフィードバック誤差の値は、閾値の範囲内であった。また、その時のニューラルネットワークの出力は、図 6.6 の 𝑢𝑛4 であり、負荷イナーシャ変更前より少し大きい出力値を得た。その時のフィードバック制御器の出力は、図 6.7 の
̃𝜀 での整定時間 𝑇𝑠2 は、整定時間の指標値 𝑇𝑠𝑟
𝑢𝑓4 である。求められた学習率 𝜂̃ と回数閾値 𝑁
1.5 秒のおよそ 1/1.6 である。よって、シミュレーションの解析結果から整定時間 𝑇𝑠2 が指標値
𝑇𝑠𝑟 の範囲に収められた。

81

以上の結果と考察によって、学習率 𝜂、回数閾値 𝑁𝜀 とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係が明らかになった。また、学習率 𝜂 や回数閾値 𝑁𝜀 やフィードバック誤差や整定時間との関係の定式化から学習率 𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 の更新則を導出した。さらに、提案した学習率 𝜂と回数閾値 𝑁𝜀 の更新則は、セルフチューニングが行えるような学習率 𝜂 と回数閾値 𝑁𝜀 の更新則として相応しいと判断できる。
6.6 あとがき
本章では、オンライン・オフライン融合型学習法のパラメータにおける課題点と解決法を述べた。パラメータにおける課題点とは、学習率、サンプリングタイム内の繰り返しの回数閾値とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係がまだ明らかでないことである。加えて、今までのニューラルネットワークの学習率の更新則についての研究では、学習率の増減について学習の効率と学習の極小値との関係がまだ定式化されていないため、サーボシステムの応答性、ロバス
ト性との関係を結ぶことが難しい。
これらの問題点の解決法として、本研究では、サーボシステムの位置決め制御に対して、学習率、回数閾値とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係をシミュレーションとその解析データから明らかにした。さらに、最小二乗法によってそれらの関係の定式化を行って、セルフチューニングが行えるような学習率と回数閾値の更新則を提案した。
具体的には、まず、学習率の増減に関わるサーボシステムの特性を示した。この特性によって、学習率、回数閾値とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係をシミュレーションとその解析データから明らかにできた。次に、この特性の中から適切なパラメータの組み合わせを抽出して、それらのパラメータの組み合わせに最小二乗法を適用した。最後に、最小二乗法によって学習率、回数閾値と誤差最大値のデータに基づく近似曲線を求めて、学習率、回数閾値と整定時間のデータに基づく近似曲線も求めた。そして、フェラーリの解法［45］［46］を用いて、目的である
学習率、回数閾値の更新則の導出を行った。
さらに、学習率と回数閾値の更新則に基づいて求められた値をオンライン・オフライン融合型
学習法に代入して、サーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行った。このシミュレー
ションでは、フィードバック誤差の指標値と整定時間の指標値を決めて、負荷イナーシャ変更
前後のシミュレーションを行った。その結果として、定常誤差の最大値と整定時間はそれぞれの指標値の範囲に収められた。したがって、提案した学習率と回数閾値の更新則は、セルフチュー
ニングが行えるような学習率と回数閾値の更新則として相応しいと判断した。

82

第7章

カスケードニューラルネットワーク制御

7.1 はしがき
本章では、第 5 章で提案したオンライン・オフライン融合型学習法を用いたニューラルネット
ワーク補償器にもう 1 つ別のニューラルネットワーク補償器を接続した新しいニューラルネット
ワーク制御を提案して、その背景と目的を 7.2 節で説明する。また、新しいニューラルネット
ワーク制御の理論として、制御の構成と学習法のアルゴリズムを 7.3 節で説明する。そして、オン
ライン・オフライン融合型学習法を用いた単体のニューラルネットワーク補償器と新しいニュー
ラルネットワーク補償器のそれぞれのシミュレーション結果を 7.4 節で示して考察を述べる。
7.2 オンライン・オフライン融合型学習法と併用する新しい制御法の提案
第 5 章では、オンライン学習法とオフライン学習法を融合させたオンライン・オフライン融合型学習法を提案した。また、提案法をサーボモータの位置決め制御のシミュレーションに適用して、提案法が負荷イナーシャの変更と目標軌道の周波数の変更に対応できることを示した。そして、第 6 章では、オンライン・オフライン融合型学習法の学習率、サンプリングタイム内の繰り返しループの回数閾値とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係を明らかにさせて、最小二乗法でそれらの関係の定式化を行い、セルフチューニングが行えるような学習率と回数閾値の更新則を提案して、サーボモータの位置決め制御のシミュレーション結果により提案した更新則の有効性を述べた。
本章では、単体のニューラルネットワーク補償器にもう 1 つ接続した新しいニューラルネット
ワーク制御法を提案する。第 5 章および第 6 章では、オンライン・オフライン融合型学習法を用いてフィードバック制御器の補償を行った。この時、ニューラルネットワーク補償器は 1 つであった。補償器の効果によって、負荷イナーシャの変更と目標軌道の周波数変更に対応できた。
なお、フィードバック誤差の閾値（許容範囲値）を変更すれば、その閾値に収まるようにニュー
ラルネットワーク補償器が働いて、フィードバック制御器を補償することができる。
ここで、負荷変動や外乱による制御対象の影響をさらに抑制し、位置決め精度を高めたい場合
は補償器をどのように構成すれば良いか考える。本研究では、サーボシステムの位置決め制御に対して、新しいニューラルネットワーク補償器を単体のニューラルネットワーク補償器と並列に接続する。もう 1 つのニューラルネットワーク補償器による学習の効果が加わることでフィードバック制御器の更なる補償が行われ、位置決め精度がより高まる。本研究では、このような制御法をカスケードニューラルネットワーク制御と定義する［47］［48］。

837.3 カスケードニューラルネットワーク制御の理論
本節では、カスケードニューラルネットワーク制御の理論について、まず、カスケードニュー
ラルネットワーク制御とは、どのような構成であるかを 7.3.1 項に説明する。その構成としては、2 種類の構成が考えられる。それらの構成の共通点は、１つ目のニューラルネットワーク補償器の誤差信号および出力を追加したニューラルネットワーク補償器の誤差信号に用いる点である。
そして、相違点は、追加したニューラルネットワーク補償器の誤差信号に 1 サンプリングタイム
前のニューラルネットワーク補償器の出力を戻すか否かという点である。次に、カスケードニュ
ーラルネットワーク制御のモデルとシミュレーションのモデルを 7.3.2 項に示す。
7.3.1 カスケードニューラルネットワーク制御の構成
𝑒
𝑒

d/dt
d/dt

𝑒

𝑢𝑒
𝑥
𝑥

d/dt
d/dt

𝑥

𝑥

+
−

𝑒

𝑢𝑠

Neural Network
Compensator 2++
Neural Network
Compensator 1

Feedback
Controller

𝑢𝑛

+

+

𝑢𝑓 +

𝑢

Error Signal of
Neural Network

Controlled
Object𝑦Teacher Signal of
Neural Network

図 7.1 ポジティブカスケードニューラルネットワーク制御の構成
図 7.1 に示されるカスケードニューラルネットワーク制御の構成では、フィードバック制御器の出力、すなわち、下段のニューラルネットワーク補償器の誤差信号 𝑢𝑓 と下段のニューラルネ
ットワーク補償器の出力信号 𝑢𝑛 を加え合わせたものが上段のニューラルネットワーク補償器の誤差信号 𝑢𝑒 である。また、下段の補償器の誤差信号 𝑢𝑓 に下段の補償器の出力信号 𝑢𝑛 と上段の補償器の出力信号 𝑢𝑠 を加え合わせたものが制御対象への入力、すなわち、ニューラルネット
ワークの教師信号 𝑢 である。
上段のニューラルネットワークは、教師信号 𝑢 とフィードバック誤差 𝑒 との逆モデルを獲得
して、負荷変動や外乱で生じた誤差を打ち消す。従って、学習を通じて出力信号 𝑢𝑠 が教師信号
𝑢 と一致させるように働き、フィードバック制御器を補償する。そのため、ニューラルネット
ワークの誤差が最小になるように、入力層と中間層との間の重み、中間層と出力層との間の重みを更新させる。その手順は、次の式(7.1)から式(7.9)に示される。

84

𝑎

𝑎

𝑘=1
𝑎

𝑘=1

2
1
1
2
𝐸𝑠 = ∑(𝑢𝑠 (𝑘) − 𝑢(𝑘)) = ∑ (𝑢𝑠 (𝑘) − (𝑢𝑓 (𝑘) + 𝑢𝑛 (𝑘) + 𝑢𝑠 (𝑘)))
2
2
𝑎

2
1
1
2
𝐸𝑠 = ∑ − (𝑢𝑓 (𝑘) − 𝑢𝑛 (𝑘)) = ∑(−𝑢𝑒 (𝑘))
2
2
𝑘=1

(7.1)

𝑘=1

𝜕𝐸𝑠
= 𝑢𝑠 (𝑘) − 𝑢(𝑘) = −𝑢𝑒 (𝑘)𝜕𝑢𝑠 (𝑘)

(7.2)

𝑏

𝑏

𝜕𝑢𝑠 (𝑘) −2 ⋅ (−𝑦(𝑗)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)==22 ⋅ 𝑦(𝑗)𝑏𝑏𝜕 (𝑗, 𝑘)(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗))𝑏2𝑏2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)11 − 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)12) ) = (1 − (𝑢𝑠 (𝑘)) )𝑏
2 = 2 (1 − (𝑏∑−𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)2
1 + 𝑒 𝑗=1
(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )
𝑏

𝑐

(7.5)

𝑐

𝜕𝑦(𝑗)
−2 ⋅ (−𝑥(𝑖)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )2𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )==22 ⋅ 𝑥(𝑖)𝑐𝑐𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)
(1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) )(1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) )
𝑐

(7.4)

𝑏

𝜕𝑢𝑠 (𝑘) −2 ⋅ (− (𝑗, 𝑘)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)==22 ⋅ (𝑗, 𝑘)
𝑏
𝑏
𝜕𝑦(𝑗)
(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗))

(7.6)

2

𝑐

2𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )

(7.3)

1
1 − 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )
1
2
=
(1
−
(
(1 − (𝑦(𝑗)) )𝑐 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) ) ) =
2
𝑐
∑
−
2
2
1 + 𝑒 𝑖=1
(1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) )𝜕𝐸𝑠𝜕𝐸𝑠𝜕𝑢𝑠 (𝑘)=⋅𝜕 (𝑗, 𝑘) 𝜕𝑢𝑠 (𝑘) 𝜕 (𝑗, 𝑘)𝜕𝐸𝑠12= (−𝑢𝑒 (𝑘)) ⋅ (1 − (𝑢𝑠 (𝑘)) ) ⋅ 𝑦(𝑗) =𝜕 (𝑗, 𝑘) 2

(7.7)

(7.8)
1 ⋅ 𝑦(𝑗)𝜕𝐸𝑠
𝜕𝐸𝑠 𝜕𝑢𝑠 (𝑘) 𝜕𝑦(𝑗)=⋅⋅𝜕𝑤(𝑖, 𝑗) 𝜕𝑢𝑠 (𝑘) 𝜕𝑦(𝑗) 𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)
𝜕𝐸𝑠
1
1
2
2
= (−𝑢𝑒 (𝑘)) ⋅ (1 − (𝑢𝑠 (𝑘)) ) ⋅ (𝑗, 𝑘) ⋅ (1 − (𝑦(𝑗)) ) ⋅ 𝑥(𝑖)𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)22
𝜕𝐸𝑠=
𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)1⋅

1
2
(𝑗, 𝑘) ⋅ (1 − (𝑦(𝑗)) ) ⋅ 𝑥(𝑖) =
2

(7.9)

2 ⋅ 𝑥(𝑖)ここで、式(7.1)は誤差信号 𝐸𝑠 を表し、式(7.2)は 𝐸𝑠 におけるニューラルネットワークの出力
𝑢𝑠 (𝑘) の偏微分である。𝑎、𝑏、𝑐 それぞれは、入力層、中間層、出力層のニューロンの数である。
式(7.3)は 𝑢𝑠 (𝑘) における(𝑗, 𝑘) の偏微分であり、式(7.4)は式(7.3)の右辺にある 𝑦(𝑗) の係数を𝑢𝑛 (𝑘) で表している。式(7.5)は 𝑢𝑛 (𝑘) における 𝑦(𝑗) の偏微分である。式(7.6)は 𝑦(𝑗) における𝑤(𝑖, 𝑗) の偏微分であり、式(7.7)は式(7.6)の右辺にある 𝑥(𝑖) の係数を 𝑦(𝑗) で表している。そして、式(7.8)と式(7.9)は式(7.2)から式(7.7)を通して導出される。
85

𝑒

d/dt

𝑢𝑠

Neural Network
Compensator 2

𝑒

d/dt

𝑒

− 2

𝑢𝑒
𝑥
𝑥

d/dt
d/dt

𝑥

𝑥

Neural Network
Compensator 1+−

Feedback
Controller

𝑒

+

+

𝑢𝑛

+

−

𝑢𝑓 +

𝑢

Error Signal of
Neural Network

Controlled
Object𝑦Teacher Signal of
Neural Network

図 7.2 ネガティブカスケードニューラルネットワーク制御の構成
図 7.2 に示されるカスケードニューラルネットワーク制御では、下段の補償器の誤差信号 𝑢𝑓 と下段の補償器の出力信号 𝑢𝑛 に加えて、上段の補償器の出力信号 𝑢𝑠 の 2 倍を加え合わせたものが上段の補償器の誤差信号 𝑢𝑒 である。この構成の場合では、出力信号 𝑢𝑠 を取得するために 1
サンプリングタイム前の出力信号 𝑢𝑠 (𝑘 − 1) を取得する必要があり、𝑢𝑠 を擬似的な信号として自身に入力する。また、下段の補償器の誤差信号 𝑢𝑓 に下段の補償器の出力 𝑢𝑛 と上段の補償器の出力 𝑢𝑠 を加え合わせたものが教師信号 𝑢 になる。
上段のニューラルネットワークは、教師信号 𝑢 とフィードバック誤差 𝑒 との逆モデルを獲得
して、負荷変動や外乱で生じた誤差を打ち消す。従って、学習を通じて出力信号 𝑢𝑠 が教師信号
𝑢 と一致させるように働き、フィードバック制御器を補償する。そのため、ニューラルネット
ワークの誤差が最小になるように、入力層と中間層との間の重み、中間層と出力層との間の重みを更新させる。その手順は、次の式(7.10)から式(7.18)に示される。
𝑎

𝑎

2
1
1
2
𝐸𝑠 = ∑(𝑢𝑠 (𝑘) − 𝑢(𝑘)) = ∑ (𝑢𝑠 (𝑘) − (𝑢𝑓 (𝑘) + 𝑢𝑛 (𝑘) − 𝑢𝑠 (𝑘)))
2
2
𝑘=1

𝑘=1

𝑎

𝑎

2
2
1
1
= − ∑ − (𝑢𝑓 (𝑘) + 𝑢𝑛 (𝑘) − 2𝑢𝑠 (𝑘)) ≈ − ∑ − (𝑢𝑓 (𝑘) + 𝑢𝑛 (𝑘) − 2𝑢𝑠 (𝑘 − 1))
2
2
𝑘=1
𝑎

(7.10)𝑘=1

1= − ∑ 𝑢𝑒 (𝑘)
2
𝑘=1

𝜕𝐸𝑠
= 𝑢𝑠 (𝑘) − 𝑢(𝑘) = −𝑢𝑒 (𝑘)𝜕𝑢𝑠 (𝑘)(7.11)𝑏𝑏

𝜕𝑢𝑠 (𝑘) −2 ⋅ (−𝑦(𝑗)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)==22 ⋅ 𝑦(𝑗)𝑏𝑏𝜕 (𝑗, 𝑘)(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗))86(7.12)𝑏2𝑏2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)11 − 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)
1
2
=
−
(
) ) = (1 − (𝑢𝑠 (𝑘)) )
(1
𝑏
2
𝑏
2
2
1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)(1 + 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗) )𝑏(7.13)𝑏𝜕𝑢𝑠 (𝑘) −2 ⋅ (− (𝑗, 𝑘)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)2𝑒 − ∑𝑗=1 𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)==22 ⋅ (𝑗, 𝑘)
𝜕𝑦(𝑗)
− ∑𝑏
𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)− ∑𝑏𝑣(𝑗,𝑘)𝑦(𝑗)𝑗=1
𝑗=1(1 + 𝑒)(1 + 𝑒)𝑐(7.14)𝑐𝜕𝑦(𝑗)−2 ⋅ (−𝑥(𝑖)) ⋅ 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )2𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )==22 ⋅ 𝑥(𝑖)𝑐𝑐𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)
(1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) )(1 + 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) )𝑐2𝑐2𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )(7.15)

1
1 − 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑤( ,𝑗)𝑥( )
1
2
=
(1
−
(
(1 − (𝑦(𝑗)) )𝑐 𝑤( ,𝑗)𝑥( ) ) ) =2
𝑐 𝑤( ,𝑗)𝑥( )
∑
−
2
2
∑
−
𝑖=1
1+𝑒
(1 + 𝑒 𝑖=1
)
𝜕𝐸𝑠
𝜕𝐸𝑠
𝜕𝑢𝑠 (𝑘)
=
⋅
(𝑗,
(𝑘)
𝜕
𝑘) 𝜕𝑢𝑠𝜕 (𝑗, 𝑘)𝜕𝐸𝑠12
= (−𝑢𝑒 (𝑘)) ⋅ (1 − (𝑢𝑠 (𝑘)) ) ⋅ 𝑦(𝑗) =𝜕 (𝑗, 𝑘) 2

(7.16)(7.17)
3 ⋅ 𝑦(𝑗)𝜕𝐸𝑠
𝜕𝐸𝑠 𝜕𝑢𝑠 (𝑘) 𝜕𝑦(𝑗)=⋅⋅𝜕𝑤(𝑖, 𝑗) 𝜕𝑢𝑠 (𝑘) 𝜕𝑦(𝑗) 𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)
𝜕𝐸𝑠
1
1
2
2
= (−𝑢𝑒 (𝑘)) ⋅ (1 − (𝑢𝑠 (𝑘)) ) ⋅ (𝑗, 𝑘) ⋅ (1 − (𝑦(𝑗)) ) ⋅ 𝑥(𝑖)𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)22
𝜕𝐸𝑠=
𝜕𝑤(𝑖, 𝑗)3⋅

1
2
(𝑗, 𝑘) ⋅ (1 − (𝑦(𝑗)) ) ⋅ 𝑥(𝑖) =2(7.18)

4 ⋅ 𝑥(𝑖)ここで、式(7.10)は誤差信号 𝐸𝑠 を表し、式(7.11)は 𝐸𝑠 におけるニューラルネットワークの出力
𝑢𝑠 (𝑘) の偏微分である。なお、𝑎、 𝑏、 𝑐 それぞれは、入力層、中間層、出力層のニューロンの数である。式(7.12)は 𝑢𝑠 (𝑘) における(𝑗, 𝑘) の偏微分であり、式(7.13)は式(7.12)の右辺にある 𝑦(𝑗)の係数を 𝑢𝑠 (𝑘) で表している。式(7.14)は 𝑢𝑠 (𝑘) における 𝑦(𝑗) の偏微分である。式(7.15)は 𝑦(𝑗)における 𝑤(𝑖, 𝑗) の偏微分であり、式(7.16)は式(7.15)の右辺にある 𝑥(𝑖) の係数を 𝑦(𝑗) で表している。そして、式(7.17)と式(7.18)は式(7.11)から式(7.16)を通して導出される。
7.3.2 カスケードニューラルネットワーク制御のモデル
次の図 7.3 にあるモータの動的モデルは、第 4 章で説明したように電気的エネルギーと機械的エネルギーの変換に基づいた電機子電圧 𝑉 と回転位置 𝜃 との数学的な関係である。また、上段の補償器で構成されるニューラルネットワークの入力層では、𝑒, 𝑒, 𝑒 を接続する。電機子電圧 𝑉と回転角速度 𝜃 の関係は、トルク定数 𝐾𝑡 が逆起電力定数 𝐾𝑒 と等しい関係を用いる。そして、
回転角加速度は、トルクの方程式と電圧の方程式の連立によって求められる。次の図 7.4 にあるモータの動的モデルについても図 7.3 と同様のモデルを用いる。
87

𝜃𝑒
微分器

微分器

𝜃𝑒

フィードフォワード制御器
ニューラル
ネットワーク

𝑢𝑠
𝑢𝑒 +

𝜃𝑒

+ +
𝜃𝑟
微分器

微分器

𝜃𝑟

ニューラル
ネットワーク

𝑢𝑛

𝜃𝑟
制御対象

𝜃𝑟

位置
制御器

+
-𝜃

𝑒

+

𝑉

+
+ 𝑢

𝑢𝑓

アンプ

モータ
モデル

𝜃

積分器

𝜃

𝜃
積分器

𝜃

フィードバック制御器

図 7.3 ポジティブカスケードニューラルネットワーク制御を用いたサーボ制御の構成
𝜃𝑒
微分器

微分器

𝜃𝑒

フィードフォワード制御器
ニューラル
ネットワーク𝑢𝑠𝑢𝑒 + -

𝜃𝑒

2

+ +
𝜃𝑟
微分器

微分器

𝜃𝑟

ニューラル
ネットワーク

𝑢𝑛

𝜃𝑟
制御対象

𝜃𝑟

+
-𝜃

𝑒

位置
制御器

+
𝑢𝑓

+ 𝑢

𝑉
アンプ

モータ
モデル

𝜃

積分器

𝜃

𝜃
積分器

𝜃

フィードバック制御器

図 7.4 ネガティブカスケードニューラルネットワーク制御を用いたサーボ制御の構成
図 7.3 にある上段の補償器の誤差信号と図 7.4 にある上段の補償器の誤差信号を比較してみる。
図 7.3 にあるニューラルネットワークの誤差信号 𝑢𝑒 は 𝐸𝑠 と等しい関係であり、図 7.4 にある
ニューラルネットワーク補償器の誤差信号 𝑢𝑒 は 𝐸𝑠 と等しい関係である。図 7.3 の誤差信号 𝑢𝑒
は、フィードバック制御器の出力、すなわち、下段の補償器の誤差信号 𝑢𝑓 に下段の補償器の出力 𝑢𝑛 を加えたものである。一方で、図 7.4 の誤差信号 𝑢𝑒 は、フィードバック制御器の出力、
すなわち、下段の補償器の誤差信号 𝑢𝑓 に下段補償器の出力 𝑢𝑛 と上段の補償器で得られた出力
𝑢𝑠 を戻して 2 倍したものを加えている。以上を参考に、カスケードニューラルネットワーク制御の構成をシミュレーションのモデルで表すと、図 7.5 と図 7.6 にそれぞれ示される。

88

𝑥𝑥 Neural𝑥

Feedforward Controller𝑢
Network 𝑒𝑢𝑠𝜃𝑟𝜃𝑟 Neural𝑢𝑛𝜃𝑟 Network
Dynamic
Amplifier Model of Motor𝜃𝑟

Feedback
Controller
PositionControl

𝑢 𝐾 𝑉

𝑢𝑓

𝜃

𝜃

𝜃
𝜃

図 7.5 ポジティブカスケードニューラルネットワーク制御を用いたサーボシステムのシミュレーションモデル

𝑥
𝑥 Neural𝑥

Feedforward Controller

Network 𝑢𝑒𝑢𝑠𝜃𝑟𝜃𝑟 Neural𝑢𝑛𝜃𝑟 Network
Dynamic
Amplifier Model of Motor𝜃𝑟

Feedback
Controller
PositionControl

𝑢 𝐾 𝑉

𝑢𝑓

𝜃

𝜃

𝜃
𝜃

図 7.6 ネガティブカスケードニューラルネットワーク制御を用いたサーボシステムのシミュレーションモデル
図 7.5 と図 7.6 それぞれのモデルにおいて、解析するためのサンプリンタイムは 1 ms であり、微積分の解析法は 4 次ルンゲクッタ法である。𝜃𝑟 のブロックは、目標位置の生成器であり、回転角±90 度の振幅、1 Hz の周波数、0 deg の位相差の正弦波である角度軌道を生成する。また、図7.6 にある 𝑧 −𝑑 のブロックは、入力信号を遅延するためのブロックである。MATLAB/Simulink のシミュレーションにおいて、上段のニューラルネットワーク補償器のブロックから出力された
信号 𝑢𝑠 を戻すと代数ループになる。そのため、𝑧 −𝑑 のブロックに 𝑢𝑠 を接続する。
次に、カスケードニューラルネットワーク制御の学習法のフローチャートについて、図 7.7 と図 7.8 にそれぞれ示される。
89

START𝒙 𝒙 𝒙

Δv(j,k)(0), v(j,k)(0), Δw(i,j)(0),w(i,j)(0) を初期化する

入力層

中間層 y(j), 出力層 z(k)を初期化する

誤差信号 ue (k) を取得する

フィードバック
制御器の出力下段の補償器 １の出力Δv(j,k)(N-1), v(j,k)(N-1), Δw(i,j)(N-1), w(i,j)(N-1) をロードするΔv(j,k)(N) ～ z(k) までを計算する

ニューラルネットワークの
出力 un(k)に z(k) を代入する

Δv(j,k)(N), v(j,k)(N), Δw(i,j)(N),w(i,j)(N) をセーブする

上段の補償器 ２の出力un
図 7.7 ポジティブカスケードニューラルネットワーク制御のフローチャート

START

𝒙 𝒙 𝒙

Δv(j,k)(0), v(j,k)(0), Δw(i,j)(0),w(i,j)(0) を初期化する

入力層

中間層 y(j), 出力層 z(k)を初期化する

誤差信号 ue (k) を取得する

フィードバック
制御器の出力下段の補償器 １の出力Δv(j,k)(N-1), v(j,k)(N-1), Δw(i,j)(N-1), w(i,j)(N-1) をロードするΔv(j,k)(N) ～ z(k) までを計算する

ニューラルネットワークの
出力 un(k)に z(k) を代入する

Δv(j,k)(N), v(j,k)(N), Δw(i,j)(N),w(i,j)(N) をセーブする

上段の補償器 ２の出力un
図 7.8 ネガティブカスケードニューラルネットワーク制御のフローチャート
上段のニューラルネットワーク補償器では、オンライン学習法のフローチャートを利用することによって学習の効果を確認する。まず、Δ (𝑗, 𝑘)(𝑁)、 (𝑗, 𝑘)(𝑁)、𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁)、𝑦(𝑗)、𝑧(𝑘) はゼロの値で初期化されて、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁) はランダムな値で初期化される。次に、位置、速度、加速度の指令値 𝑥、𝑥 、𝑥 はニューラルネットワークの入力として、誤差信号 𝐸𝑠 は 𝑢𝑒 (𝑘) から取得される。さらに、Δ (𝑗, 𝑘)(𝑁)、 (𝑗, 𝑘)(𝑁)、Δ𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁)、𝑤(𝑖, 𝑗)(𝑁)、𝑦(𝑗)、𝑧(𝑘) が計算される。
最後に、𝑧(𝑘) はニューラルネットワークの出力 𝑢𝑛 (𝑘) とする。

90

7.4 結果と考察
本節では、位置決め制御のシミュレーションの結果を 7.4.1 項に示して、結果の考察を 7.4.2 項に述べる。7.4.1 項では、負荷イナーシャ変更前後において、オンライン・オフライン融合型学習法を用いたニューラルネットワーク制御とカスケードニューラルネットワーク制御をそれぞれ用いた場合の位置決め制御の応答性とロバスト性に関する結果が示される。
7.4.1 負荷イナーシャ変更前後の応答性とロバスト性

負荷イナーシャ変更の開始

表 7.1 をご覧ください。

図 7.9 ポジティブカスケードニューラルネットワーク制御におけるフィードバック誤差

負荷イナーシャ変更の開始

表 7.2 をご覧ください。

図 7.10 ネガティブカスケードニューラルネットワーク制御におけるフィードバック誤差
91オンライン・オフライン融合型学習法のパラメータは 𝜂 = 0.004、𝛼 = 0.001、𝑁𝜀 = 1 であり、提案法のパラメータは 𝜂 = 0.004、𝛼 = 0.001 である。また、シミュレーション開始から 15 秒後に負荷イナーシャ値の大きさをステップ状に 𝐽𝐿 = 10 𝐽𝑀 = 2.25× 10-6 kgm2 から 𝐽𝐿 = 50 𝐽𝑀 =11.25×10-6 kgm2 まで 10 倍ずつ増大させる。図 7.9 と図 7.10 は、負荷イナーシャ変更前後のフィードバック誤差 𝑒 の結果を示している。図 7.11 と図 7.12 は、提案法の上段のニューラルネット
ワーク補償器の出力 𝑢𝑠 の結果を示している。そして、オンライン・オフライン融合型学習法と提案法において、負荷イナーシャ変更直後のフィードバック誤差の振幅値および上段の補償器の出力値は、表 7.1 と表 7.2 にそれぞれ示される。

負荷イナーシャ変更の開始

表 7.1 をご覧ください。

図 7.11 ポジティブカスケードニューラルネットワーク制御における上段の補償器の出力

負荷イナーシャ変更の開始

表 7.2 をご覧ください。

図 7.12 ネガティブカスケードニューラルネットワーク制御における上段の補償器の出力92表 7.1 単独制御とポジティブカスケードニューラルネットワーク制御の効果比較（負荷イナーシャ変更直後の振幅最大値）
補償器の構成単独

ポジティブカスケード

NN1（融合型）

負荷慣性 𝐽𝐿2

NN1（融合型）

NN2（オンライン）

フィードバック誤差 𝑒

10 𝐽𝑀 kgm

− 06.696 × 10−3

20 𝐽𝑀 kgm2

評価
向上率

− 07.032 × 10−3

deg

− 5.02 %− 13.140 × 10−3 deg− 14.390 × 10−3 deg− 9.52 %30 𝐽𝑀 kgm2

− 19.850 × 10−3 deg− 20.210 × 10−3 deg− 1.81 %40 𝐽𝑀 kgm2

− 26.870 × 10−3 deg− 27.150 × 10−3 deg− 1.04 %50 𝐽𝑀 kgm2

− 34.170 × 10−3 deg− 34.730 × 10−3 deg− 1.64 %deg

負荷慣性 𝐽𝐿

補償器の出力 𝑢𝑛

補償器の出力 𝑢𝑠

向上率

10 𝐽𝑀 kgm2

− 28.270 × 10−3 v− 1.080 × 10−4 v+ 0.38 %20 𝐽𝑀 kgm2

− 28.560 × 10−3 v− 3.200 × 10−4 v+ 1.12 %30 𝐽𝑀 kgm

− 28.850 × 10−3

− 1.370 × 10−4v

+ 0.47 %40 𝐽𝑀 kgm2

− 29.150 × 10−3 v− 1.100 × 10−4 v+ 0.38 %50 𝐽𝑀 kgm2

− 29.450 × 10−3 v− 1.830 × 10−4 v+ 0.62 %2v

表 7.2 単独制御とネガティブカスケードニューラルネットワーク制御の効果比較（負荷イナーシャ変更直後の振幅最大値）
補償器の構成単独

ネガティブカスケード

NN1（融合型）

負荷慣性 𝐽𝐿

NN1（融合型）

NN2（オンライン）

フィードバック誤差 𝑒

評価
向上率

10 𝐽𝑀 kgm2

− 06.696 × 10−3 deg− 06.523 × 10−3 deg+ 2.58 %20 𝐽𝑀 kgm2

− 13.140 × 10−3 deg− 13.020 × 10−3 deg+ 0.91 %30 𝐽𝑀 kgm2

− 19.850 × 10−3 deg− 19.620 × 10−3 deg+ 1.16 %40 𝐽𝑀 kgm2

− 26.870 × 10−3 deg− 26.720 × 10−3 deg+ 0.56 %− 34.170 × 10−3

− 34.010 × 10−3

+ 0.47 %2

50 𝐽𝑀 kgm

deg

deg

負荷慣性 𝐽𝐿

補償器の出力 𝑢𝑛

補償器の出力 𝑢𝑠

向上率

10 𝐽𝑀 kgm2

− 28.270 × 10−3 v− 1.470 × 10−4 v+ 0.52 %− 0.790 × 10−4v

+ 0.27 %2−3

20 𝐽𝑀 kgm

− 28.560 × 1030 𝐽𝑀 kgm2

− 28.850 × 10−3 v− 1.860 × 10−4 v+ 0.64 %40 𝐽𝑀 kgm2

− 29.150 × 10−3 v− 0.920 × 10−4 v+ 0.32 %50 𝐽𝑀 kgm2

− 29.450 × 10−3 v− 0.800 × 10−4 v+ 0.27 %v

93

7.4.2 電機子巻線抵抗の変更前後の応答性とロバスト性
モータの電機子巻線抵抗は、モータの周囲温度によって抵抗値が変化する。第 4 章の表 4.1 で示したブラスレス DC モータの電機子巻線抵抗は、周囲温度が 25℃での抵抗値である。ここで、周囲温度を 𝑇、周囲温度 25℃での電機子巻線抵抗をの電機子巻線抵抗を𝑇𝑇 =25、銅の抵抗温度係数を 𝛼、周囲温度 𝑇 でと定義すると、 𝑇 は式(7.1)に示される。
25 [1 + 𝛼(𝑇 − 25)] =25 [1 + 0.0039(𝑇 − 25)]

(7.1)

また、時刻 𝑡 での巻線温度を 𝑇𝑤 、雰囲気温度を 𝑇𝑏 、熱平衡状態での巻線温度を 𝑇𝑒 、熱時定数を 𝜏ℎ とする。モータを駆動して巻線温度が 𝑇𝑏 から 𝑇𝑒 に到達した時、𝑇𝑤 は式(7.2)に示され、モータを停止して巻線温度が 𝑇𝑒 から 𝑇𝑏 に到達した時、𝑇𝑤 は式(7.3)に示される。
−

𝑡

(7.2)

𝑇𝑤 = (𝑇𝑒 − 𝑇𝑏 ) (1 − 𝑒 𝜏ℎ ) + 𝑇𝑏
−

𝑡

(7.3)

𝑇𝑤 = (𝑇𝑒 − 𝑇𝑏 )𝑒 𝜏ℎ + 𝑇𝑏

表 4.1 で示したブラスレス DC モータの熱時定数は 𝜏ℎ = 1.69 s であり、巻線温度が 𝑇𝑏 ＝25℃から 𝑇𝑒 ＝30℃、𝑇𝑏 ＝25℃ から 𝑇𝑒 ＝60℃に到達した時のシミュレーション結果は図 7.13 と図 7.14 にそれぞれ示される。図 7.13 は、上段のニューラルネットワーク補償器の出力を示している。図 7.14 は、図 7.13 の 14.95 秒から 15.20 秒までの拡大図である。

負荷イナーシャ変更の開始

巻線温度の変化

次の拡大した図 7.15
をご覧ください。

図 7.13 巻線温度 30℃または 60℃ 到達時における上段のニューラルネットワーク補償器の出力（負荷イナーシャ変更前後）94

負荷イナーシャ変更の開始

図 7.14 巻線温度 30℃または 60℃ 到達時における上段のニューラルネットワーク補償器の出力（図 7.13 の拡大図）
7.4.3 周期外乱印加後の応答性とロバスト性
制御対象 𝑢 に 24 Hz の周期外乱 𝐷(𝑡) = 0.01 sin(150.8 𝑡) を印加した場合のシミュレーション
結果を図 7.15 から図 7.17 にそれぞれ示される。図 7.15 は、負荷イナーシャ変更前後のフィード
バック誤差を示している。
図 7.16 は、上段のニューラルネットワーク補償器の出力を示している。
図 7.17 は、図 7.16 の 14.95 秒から 15.20 秒までの拡大図である。

周期外乱の印加

負荷イナーシャ変更の開始

図 7.15 周期外乱 24 Hz の印加有無におけるフィードバック誤差（負荷イナーシャ変更前後）

95周期外乱の印加

負荷イナーシャ変更の開始

次の拡大した図 7.17
をご覧ください。

図 7.16 周期外乱 24 Hz の印加有無における上段のニューラルネットワーク補償器の出力（負荷イナーシャ変更前後）

負荷イナーシャ変更の開始

図 7.17 周期外乱 24 Hz の印加有無における上段のニューラルネットワーク補償器の出力（図 7.16 の拡大図）
7.4.4 応答性とロバスト性に関する考察
図 7.9 から図 7.12 および表 7.1 と表 7.2 より、下段のニューラルネットワーク補償器の出力 𝑢𝑛とポジティブカスケードニューラルネットワーク制御における上段の補償器の出力 𝑢𝑠 を比較す
ると、モータの慣性イナーシャの 10 倍から 50 倍までの負荷では、補償器全体の出力の向上率が0.38 %、1.12 %、0.47 %、0.38 %、0.62 % であることが確認された。そして、下段の補償器のみの96

フィードバック誤差 𝑒 を比較すると、モータの慣性イナーシャの 10 倍から 50 倍までの負荷では、補償器全体の出力の向上率が －5.02 %、－9.52 %、－1.81 %、－1.04 %、－1.64 % であることが確認された。すなわち、ポジティブカスケードニューラルネットワーク制御では、ニューラ
ルネットワーク補償器全体の出力のみを改善させることが分かった。
また、下段のニューラルネットワーク補償器の出力 𝑢𝑛 とネガティブカスケードニューラル
ネットワーク制御における補償器の出力 𝑢𝑠 を比較すると、モータの慣性イナーシャの 10 倍から
50 倍までの負荷では、補償器全体の出力の向上率が 0.52 %、0.27 %、0.64 %、0.32 %、0.27 % であることが確認された。さらに、下段の補償器のみのフィードバック誤差 𝑒 を比較すると、モータの慣性イナーシャの 10 倍から 50 倍までの負荷では、補償器全体の出力の向上率が2.58 %、0.91 %、1.16 %、0.56 %、0.47 % であることが確認された。すなわち、ネガティブ
カスケードニューラルネットワーク制御では、ニューラルネットワーク補償器全体の出力とフィードバック誤差の両方を改善させることが分かった。
さらに、ネガティブカスケードニューラルネットワーク制御では、電機子巻線抵抗の温度が30℃に到達した状態で負荷イナーシャ値 𝐽𝐿 を変更させると、基準となる巻線温度 25℃の場合よりも上段の補償器の出力がおよそ 3 倍も増加していることが確認された。また、24 Hz の周期
外乱を制御対象 𝑢 に印加した状態で負荷イナーシャ値 𝐽𝐿 を変更させると、負荷イナーシャ変更
後でも±0.012 deg の振動が発散せず維持されていることが分かった。
従って、単体のニューラルネットワーク制御の構成よりもニューラルネットワーク制御をもう1 つ接続したカスケードニューラルネットワーク制御の構成にすることで、フィードバック制御器を更に補償できることが分かった。そして、カスケードニューラルネットワーク制御の構成について、ネガティブなカスケードニューラルネットワーク制御の構成にすることで、ニューラル
ネットワーク補償器の出力、すなわち、ニューラルネットワークの学習の効果が向上されることを確認した。
7.5 あとがき
本章では、提案したオンライン・オフライン融合型学習法に基づいて、負荷変動や外乱による制御対象の影響をさらに抑制して、位置決め精度を高めるために、制御対象への制御入力とフィードバック誤差との逆モデルを新たなニューラルネットワーク補償器の学習で獲得するようなカスケードニューラルネットワーク制御を提案した。そして、サーボシステムの位置決め制御に対して、サーボモータの位置決め制御のシミュレーションを行った。このシミュレーションでは、
負荷イナーシャ値の変更、電機子巻線の温度変化、24 Hz の周期外乱の印加を行った。その結果として、ネガティブなカスケードニューラルネットワーク補償器を接続することでフィードバック
制御器の更なる補償が行われ、位置決め精度を高めることができた。従って、シミュレーションの結果と考察から提案法の有効性を示した。

97

第8章

結論

本研究では、サーボシステムの位置決め制御に対して、負荷変動と外乱の対応および実時間制御の実現を達成するため、オンライン学習法のロバスト性が優れている利点と今までのオフ
ライン学習法の応答性が良い利点を融合させたニューラルネットワーク制御のオンライン・オフ
ライン融合型学習法を提案した。
具体的には、まず、十分なオンライン学習で獲得したニューラルネットワークの重みを基準重みとしてロードして、ニューラルネットワーク制御はオフライン学習法で実施される。次に、フィードバック誤差が閾値を超えなければ、オフライン学習法が行われる。そして、フィード
バック誤差が閾値を超えれば、サンプリングタイム内で少ない繰り返しループのオンライン学習法が行われる。さらに、サーボモータのための負荷イナーシャ変更前後の位置決め制御をシミュ
レーションして、その結果から提案法の有効性を明らかにさせた。
また、オンライン・オフライン融合型学習法の学習率、回数閾値とサーボシステムの応答性、ロバスト性との関係を明らかにして、学習率、サンプリングタイム内の少ない繰り返しループの
回数閾値、フィードバック誤差、整定時間との関係を最小二乗法によって定式化した。加えて、それらの関係から学習率と回数閾値の更新則を導出した。そして、シミュレーションの結果から提案した学習率と回数閾値の更新則は、セルフチューニングが行えるような学習率と回数閾値の更新則として相応しいと判断した。
さらに、負荷変動や外乱による制御対象の影響をさらに抑制し、位置決め精度を高めるため、制御対象への制御入力とフィードバック誤差との逆モデルを新たなニューラルネットワーク補償器の学習で獲得するようなカスケードニューラルネットワーク制御を提案した。
具体的には、新しく追加したニューラルネットワーク補償器を上段のニューラルネットワーク
補償器として、下段のオンライン・オフライン融合型学習法を用いたニューラルネットワーク
補償器と共にフィードバック制御器を補償する。追加したニューラルネットワーク補償器は、
オンライン学習法のアルゴリズムを利用して、ニューラルネットワークを学習させた。また、
負荷イナーシャ値の変更や電機子巻線の温度変化、周期外乱の印加を行い、位置決め制御のシミュレーションを行った。その結果、1 サンプリングタイム前のニューラルネットワーク補償器の出力信号を用いたネガティブカスケードニューラルネットワーク制御の構成にすることで、サーボモータの位置決め精度を向上させることができた。従って、提案法であるカスケード
ニューラルネットワーク制御の有効性を示せた。
以上の 3 つの提案とシミュレーションの結果により、サーボシステムの位置決め制御に対して、
オンライン・オフライン融合型学習法を用いた負荷変動と外乱の対応および実時間制御、セルフチューニング、位置決め精度を高めるようなサーボモータの位置決め制御を実現させた。

98

謝辞
本論文題目であるニューラルネットワークのオンライン・オフライン融合型学習法を用いたサーボシステム位置決め制御に関する研究を行うに当たり、忙しいにもかかわらず丁寧にご指導とご助言をして頂きました指導教員の 森下明平 教授と学部 4 年から博士課程修了まで多くのご指導とご助言をして頂きました 黄慶九 准教授には、深く感謝申し上げます。特に、新型コロナウイルスの感染防止により本学に入構することが厳しくなった時期があり、講義、学部生への研究指導、大学院生への研究指導、会議など大変であったと存じます。その中、本研究および本
論文のご指摘頂き大変ありがとうございました。
また、審査会にご参加頂きました 福岡豊 教授、斎藤秀俊 教授、濱根洋人 教授、千葉大学の劉康志 教授にもご教授頂き誠に感謝致します。併せて、電磁力応用システム研究室の 森村 暢夫
先輩および 淀川 翔太 先輩には、同期モータに関する知識や非接触給電に関する知識などご教授頂き感謝致します。加えて、制御システム研究室の学部生、修士生、卒業生の皆様とも有意義な時間を過ごすことができました。そして、コロナ禍でも学生生活を支え続けて頂いた家族には、感謝の意を表します。
さらに、DC サーボモータの位置決め制御の構成を 黄慶九 准教授と考案する際、参考にさせていただきましたリアルテック有限会社 鈴木啓之 様とライズ・シー株式会社技術部 荒永昭博 様にもお礼申し上げます。鈴木様は、ブラシレスモータの実験装置の製作依頼の受諾や実験装置に関する疑問点、不具合などのサポートで大変お世話になりました。荒永様は、鈴木様からの委託
で実験装置の販売を行っており、購入の手続きから配送まで大変お世話になりました。さらに、研究成果を発表する場を提供して頂きました 一般社団法人電気学会 様やその他の学会様、ご助言をして頂きました聴講者の皆様にもお礼申し上げます。
最後に、本研究を進めるに当たってお世話になりました指導教員から学会の聴講者の皆様まで全ての方々に、改めましてお礼申し上げ謝辞と致します。

99

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一般社団法人システム制御情報学会、オーム社、科学情報出版株式会社、講談社、コロナ社、
ナツメ社より図の引用および改変の許可をいただきました。

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