● 数学教育 ●制作活動を通した数学的活動の授業デザイン〜関数の焦点に着目して〜
大阪府 関西学院千里国際中等部・高等部（校長 萩原伸郎）

・放物線の概形を定義に従って理解する・関数の焦点を先取りして学ぶ・放物線の名前の由来とその歴史を知る
・身の回りにある数学的事象を捉えることで身近に感じる・放物線定規を作成することで，数学を体感する

本校は、関西のグローバル教育のリーダーを目指して大阪インターナショナルスクー
ルと共に 1991 年に設立された。この２つの学校は２校で１つの存在である。教室や施設を全て共有し、授業、クラブ活動、行事を共に行っている。この２校には共通のミッション「知識と思いやりを持ち、創造力を駆使して世界に貢献する個人を育む」と５リスペクト「自分を大切に・他の人を大切に・学習を大切に・リーダーシップを大切に・

本校正面

環境を大切に」と呼ばれる指針がある。
また、帰国生受け入れ校でもあり、およそ半数以上の生徒が国際的な背景を持っている。そのため、海外でインターナショナ  

１．研究概要1.1.

学習指導要領における関数の扱い

ルスクールやローカルスクールで学んでい2021 年度から新学習指導要領が始まった場合、生徒の学習履歴が異なる場合もあている。学年の目標において、関数の学習る。数学科では既習内容のフォローをしつで育成を目指す資質・能力に注目すると、つ、学ぶ意味を大切にして授業をしている。

「知識及び技能」では基礎的な概念や原理・112

法則などを理解するとともに、事象を数学0.1 ごとに点を書き入れるなどして、関数化したり、数学的に解釈したり、数学的にy=ax2 のグラフは曲線になるであろうこと表現・処理したりする技能を身に付けるよを説明している。

うにするとしている。「思考力、判断力、関数 y=ax2 のグラフのまとめとしては、表現力等」では関数関係に着目し、その特y 軸を対称の軸として線対称であること、徴を表、式、グラフを相互に関連付けて考原点を必ず通りその点が頂点であること、察する力を養うとしている。そして「学び比例定数 a の符号により x 軸のどちら側にに向かう力、人間性等」では数学的活動のあるかなどが挙げられる。つまり、放物線

楽しさや数学のよさを実感して粘り強く考については原点を通り、y 軸を対象の軸とえ、数学を生活や学習に生かそうとする態して左右対称な曲線として学んでいる。

度、問題解決の過程を振り返って評価・改善しようとする態度、多様な考えを認め、よりよく問題解決しようとする態度を養うとしている。

1.3.

放物線指導の問題点

中学校で学ぶ関数のグラフは１次関数の直線と反比例の双曲線、そして原点を通る

また、今回の改訂の基本的な考え方の１放物線の３種類である。これらの関数のグつとして「体験活動の重視」が挙げられてラフの概形は、先述のように x と y の増減いる。さらに「主体的・対話的で深い学び」関係を表にまとめ、この表をもとにして xが求められている。このことから、受動的と y の値の組を座標とする点を座標平面上な授業形態からの脱却の一案として、制作にいくつかプロットすることで学ぶことが活動を授業に取り入れることには十分な可多い。そのため、曲線である双曲線と放物能性があるのではないだろうか。

線について、生徒は曲線の曲がり具合につこれらの目標を満たす授業をデザインすいてそれとなく書くことになる。

ることを目指す。そのために、現行の学習この曲がり具合を理解するために必要な内容をまとめ、その問題点を明らかにする。

焦点を学ぶタイミングは数学Ⅲである。しかしながら、文部科学省による「平成 27

1.2.

放物線の学習内容

年度公立高等学校における教育課程の編放物線を初めて学習するのは中学３年生

成・実施 状況調査」によると、数学Ⅲの次の「関数 y=ax 」である。この単元では、履修立は 21.6％である。本校の場合はお頂点が原点と重なる２次関数を学ぶことをおよそ 10％程度になる。つまり、焦点を目的としている。多くの教科書では、自由学ばずに、なぜ曲線があのようにカーブす落下運動のように、２乗に比例する関係をるのか、どのように日常生活に活かされて例にし、２変数の関係性を明らかにするこいるのか知ることなく中等教育の数学を学とを導入としている。

び終わる生徒が少なくない。これでは、先22

関 数 y=ax の グ ラ フ の 学 び 方 は、 関 数の学習指導要領における数学科の目標を成

y=ax について x と y の増減関係を表にまし得ない項目が生まれてしまうであろう。

とめ、この表をもとにして x と y の値の組

本研究では、１次関数のグラフを書く際を座標とする点を座標平面に書き入れるに、定規を用いて直線を書くように、作図方法が多い。また、原点付近では x 座標を器具の開発という数学的活動を通して、曲2113

線がもつ性質を深く学ぶことを目指す。そ後に、４人程度のグループで数学を体感でのために、最速降下問題へと帰着する中高きる作品を制作する。前回の活動で、中高６年間の横断的な授業計画を作成し、作成６年間で学んできた数学について見つめ直した授業計画を担当者が受け持つ中学の授すが、レポートやスライドにまとめるだけ業で実践する。生徒からアンケートを通しでは学びの深さに物足りなさが残る。そこて得たフィードバックを分析し、作成したで、数学を体感できる作品を制作すること授業計画の可能性と課題を明らかにする。

で、より数学のよさや有用性を深く実感することができる。受講者へのアンケートよ２．授業デザイン
2.1.

制作活動を伴う学び先にも示した平成 29 年に告示された新りも数学を体感することへの好評価があり、もっと早く知りたかったという声もあった。

中学校学習指導要領では、子どもたちが未このように、制作活動を通した授業を行来社会を切り拓くための資質・能力を一層うことで、学習指導要領に記載されている確実に育成すること、前回改訂された学習多くのねらいや目標を達成することができ指導要領の枠組みや教育内容に加えて知識る。そこで、授業の導入部分で採用する。の理解の質を高めること、豊かな心や健やかな体を育成することを基本的なねらいと

2.2.

最速降下問題して改訂された。その中で「主体的・対話

最速降下問題とは、鉛直面に与えられた的で深い学び」の実現に向けた授業改善の２点間を曲線で結び、その曲線に沿って質推進について言及されている。中学校数学

点を滑り落とすとき、最も短い時間で滑り科では数学的活動の一層の充実が図られて落ちる曲線を求める問題である。この問題いる。そのためには、数学的に問題発見・はヨハン・ベルヌーイやライプニッツなど解決する過程を学習過程に反映させることによって解かれた。

が重要である。

以上のことから、表１のように中高６年

この理念を重視した授業として、本校で間の授業デザインを行うことができる。そは独自科目の数学ヒストリーツアーというれぞれの段階で x と y の関係性を示す具体授業を開講している。この授業は高校３年例として、玉を転がす時間と距離の関係を次の最終学期に開講され、数学的活動を通採用する。また、物理と教科横断型授業をじて中高６年間の数学を見つめ直すことを展開することもできる。

目的としている。そのために、授業は３つ

最速降下問題は実物も作りやすく、科学のステップで構成している。初めのステッ館に装置があることも少なくない。例えば、プは数学史を知ることである。これまでと直線と放物線、サイクロイドの坂道を用意は異なる視点から数学を見ることで、数学した場合、質点が最も速く転がることがでを学ぶ意識を変えることが狙いである。次きる坂道はサイクロイドである。このことに、中高６年間で学んできた数学の公式やを証明するために必要な知識は多いが、各定理を数学史の観点で見つめ直す。数学史

学習課程においてグラフの性質を理解しての観点から見つめ直すことで、数学のよさおくことが大切である。

や数学の有用性に気づくことができる。最114

３．授業実践

表１：最速降下問題

学年

3.1.

学習内容

授業準備

関数 y=ax2 のグラフについて学んだ後に

中学１年生

比例

中学２年生

１次方程式

中学３年生

放物線

高校１年生

２次方程式

高校２年生

３次方程式、微分法

高校３年生

サイクロイド

３時間使う。この３時間の授業の目標は、自分の放物線の理解度を客観的に知ることと正しく理解することである。放物線の理解度を測る方法として、身の回りにある曲線が放物線であるかどうか判別する。判別するためには基準が必要となる。この基準を把握するための授業をデザインする。

2.3.

放物線の授業デザイン

また、放物線を正しく理解する方法とし放物線の認識に関する課題として、曲線て、放物線定規を通して放物線の性質を学の捉え方が挙げられる。曲線である放物線習する。１次関数が直線であることを理解は２次曲線の１つであるが、中学校過程でできる理由の１つに、定規でグラフを描画習う２次曲線が放物線しかないために、先できることが挙げられるだろう。そのため、述の通り教科書では放物線は曲線であると放物線定規でグラフを描画できれば、放物説明されている。

線が性質を有する曲線であることが理解で制作活動を通して学ぶねらいは曖昧な理きるだろう。しかし、放物線定規は自作す解から脱却することである。曲線だけでなる必要がある。そこで、制作活動として放く、放物線の定義として学んだことを自分物線定規の制作を採用する。

がどのように理解しているのか客観的に知一方で、制作時間に多くの時間を割くこることが大切である。その上で自分の認識とはできず、また制作すること自体は授業と実際の定義との差異を明らかにし、理解の目標を達成するために大切な項目ではなを深めることを目指す。また、制作活動をい。そこで放物線定規の下準備をしておく。

取り入れることで、数学が数式としてだけ今回の制作活動は接着のみとした。プラ板でなく、目の前に存在することでより身近やプラ棒、紐をカットしておき、それぞれなものとして感じてもらいたい。のパーツを接着することで放物線定規が作以上のことから、表２のように３時間の成できるようにした。また、授業中に制作授業実践をデザインした。３時間の授業で方法を説明するが、個々人の制作速度に対「気付き、学び、知る」の３ステップを実応できるように、パーツの接着順を説明し践することができる。

た制作方法動画も用意した。

表２：授業計画

3.2.

１時間目

時間

授業内容ねらい１時間目

放物線を探す直感を見つける」ことである。噴水やホームラ

２時間目

放物線かどうか

真偽ン、パラボラアンテナなど身のまわりにあ３時間目

定規を作成する

体感

本時のテーマは「身の回りにある放物線る曲線が放物線か見つけることで、自分自身がどのように放物線かどうかを判別して115いるのかを客観的に知ることを目的としてて異なる目線でいつもの環境を見ることいる。授業前に行ったアンケートでは、問で、新しい気づきを得ることができる。の１つである「２乗に比例する関数のグラ生徒は曲線を見つけるたびに足をとめ、フはどんな形をしていますか？」に関して、放物線であるか話し合いながら考えてい88 の回答のうち放物線と答えた回答は約た。例えば、トロフィーが飾ってあるギャ半数の 45 に留まった。誤答としては「Uラリー前では多くの生徒が足をとめていた

字」が 16、「曲線」が９、「楕円、０を半分」 （図２）。トロフィーのカップ部分の曲面がが４、「指」が３であった。この回答結果気になっている様子である。

から、生徒は放物線を左右対称の曲線として捉えてはいるが、２乗に比例する関数の増減関係に理解の壁があることがわかる。
１時間目の導入では関数 y=ax2 のグラフが曲線であることを確認した。また、本校
では中学１年生の理科の授業でパラボラアンテナを制作している。曲面にアルミホイルを貼り付け、マシュマロを焼いたことを思い出し、なぜマシュマロを焼くことができたのか問いを投げかけた。生徒の反応から見るに、光がそこに集まるということは記憶している様子であった。

図２：ギャラリー前

関数 y=ax2 のグラフの特徴を再確認した

また、消火栓のランプ部分に注目するグ

ところで、校内にある放物線を探すワークループもいた。他にはフィールドにあるバに移る。４人前後のグループに分かれて行スケットコートや曲線になっている玄関のう。図１のようにデバイスを持ってワーク屋根などに注目していた。

を行い、見つけた放物線は Jamboard に記

校内を探索したのち、教室にて Jamboard録していく。このワークの目的は身の回りの整理を行う。探してきた候補を整理しつを「数学の目」で見ることである。意識しつ、さらに候補を増やしていく（図３）。
Jamboard は Google 社が提供しているオ

図１：校内探索の様子

116

図３：Jamboard の画面

ンラインホワイトボードアプリである。同度のアンケートを Google Forms で作成し時編集可能であり、５色の付箋以外にも描た。各候補について放物線であるかどうか画機能や画像掲載機能がある。グループに回答し、判断理由を自由記述で書かせる形

よっては図４のように、これらの機能を駆式である。放物線の各候補については、前使して見やすい作品を作っていた。

回の授業において各クラスでまとめた事例を採用している。
本時のテーマは「それが放物線である根拠と必要性を明らかにする」ことである。
放物線の判断基準を明確にし、一般化していくことで、放物線の定義を見つけることを目指す。放物線の性質を有する候補から、どのように放物線の性質を利用しているか分析することで放物線の焦点に気づくことができるだろう。

図４：Jamboard の編集

まずは授業の導入として、前授業でまとめた放物線の性質を持つ各候補につい本授業のまとめとして、各グループのてどう考えているか、配布された Google

Jamboard を見合い、重複している事例にForms に回答する。それぞれの事例につついてまとめた。授業始めに例として挙げいて、放物線であるかどうかとそう判断したパラボラアンテナはもちろんのこと、校た理由を答える。

内にあるものとしてはトロフィーや給水全員が回答を終えたら、回答結果につい機、バスケットボールコートのスリーポイて考察する。例えば、私が受け持ったクラントラインなどに票が集まった。インタースの 19 人の回答は表３のようになった。

ネットで調べたものとしては懐中電灯や表３：回答結果

噴水、吊り橋などに票が集まった。ただし、懐中電灯については光（光線）が放物

候補名

放物線であるパラボラアンテナ

94.7％

バナナベンチ47.4％

懐中電灯の光63.2％のどの部分が放物線であるのかまで深く調

バスケのシュート軌道

84.2％

べることができていないことが原因であろホームランの軌道

68.4％う。この点は生徒のメディアリテラシーの吊り橋のアーチ

78.9％

課題として挙げられる。

銀河系

15.8％

音波

94.7％

線であるとして候補に挙げていたグループがあった。おそらく放物線の性質を持つものとしての検索結果であろうが、懐中電灯

3.3.

２時間目

ウォータークーラー

89.5％

まず、授業準備として前回の授業のまとトロフィー

73.7％

めで挙げられた放物線の候補について、そU 型磁石

57.9％

れが放物線であるかどうかを問う 15 問程

117

候補名

放物線である噴水

89.5％

スリーポイントライン

57.9％

火災報知器のランプ

73.7％

カラーコーン73.7％

いた。放物線でないと判断した理由に「直線になっている」があり、放物線が曲線であることを理解できていることが読み取れる。
集計結果から、まずは多数派が多いところから考察し、次にせめぎあっている回答

最も多く放物線であると回答した候補はがなぜかを考察する。これにより、放物線パラボラアンテナと音波であった。パラボの具体例の調べ方の精度が上がることが期

ラアンテナは放物線の具体例として有名だ待される。放物線の具体例だけを調べるのが、音波は三角関数である。この誤答の原ではなく、なぜ放物線といえるのか考える因として、判断理由に書かれている「線対必要性があるからである。このように回答称だから」や「一定の間隔で同じアーチを結果について考察し、放物線の特徴・特性描いているから」が挙げられるだろう。こが何か話し合い、放物線の焦点を見つける。のことに対し、パラボラアンテナの判断理授業のまとめとして、放物線の定義を明

由には、前回の授業で調べたときに学んだらかにする。放物線には焦点と準線がある内容が書かれていた。

ことを確認する。これらについては、一

また、回答結果が 50％前後である回答

般式は高校で習うことを注意し、生徒に結果がおよそ半分に分かれた候補は、校舎前置きしておくようにすることで混乱を内にあるカーブしたベンチであるバナナベ避ける。

ンチと U 型磁石、スリーポイントライン

また、放物線の定義の体感方法として、であった。それぞれの判断した理由を比較

焦点と準線を記した紙を折る方法を紹介すしていると、先の回答と同様に、放物線でる。直線（準線にあたる）とその直線上にあると誤解している原因は左右対称にありない１点（焦点にあたる）が記された紙をそうである。逆に、放物線でないとの回答用意する。準線に垂直である直線を何本かの判断した理由には、直線部分が存在する引き、その直線と準線との交点が焦点と重か否かが大きいようである。

なるように折り曲げる。このとき、折り目他にも興味深い回答結果としては放物線と直線の交点に印をつけておく。この作業と懸垂曲線の違いに気づいていない点やカを複数回繰り返したとき、印をつけられラーコーンの形は円錐であることに気づいた交点を結んでいくと放物線の形になる。ていない点が挙げられる。特にカラーコー

この体感方法は放物面での反射の仕組み

ンについては円錐であるため、円錐曲線のがわかりやすく、焦点と準線を理解しや１つが放物線であることに気づいた生徒もすい。

いた可能性はある。しかし、判断した理由を見てみると、「半分に切ったときに左右3.4.

３時間目同じ幅になるから」という答えは円錐曲線

本時のテーマは「放物線の定義から、放に近い考えであるように思うが、一方で物線を描ける定規を作る」ことである。こ「先っぽが丸くなっているから」という理れまでの授業で放物線の理解が曖昧だった

由から放物線でないと判断している生徒もことに気づき、またその理由を明らかにし118てきた。その解決策として焦点と準線を学したとおり、今回は材料を接着するだけでび、放物線の定義を明らかにした。つまり、完成するように準備をしておいた。図６の左右対称な曲線が放物線なのではなく、左ように、パーツとパーツを指示通りに接着

右対称な曲線の中でもさらに一部のものでする。

あることから、放物線の曲がり具合は一様作成場面においては、接着部分を固定すに決まる。このことを体感する方法が本研るために１人では作業が難しい場面もあ究のテーマである放物線定規である。焦点る。例えば、最後の工程である紐をプラ板からの距離と準線からの距離が等しいことに固定する場面では、ネオジム磁石が接着を利用した定規を作り、放物線を作図するされている先がちょうどプラ板の端に合わことで、放物線が規則的な曲線であることなければならない。また、余分な弛みが生を実感することができる。

まれないように、プラ板に沿わせながら長まず始めに Google classroom を通じてさを調節する必要がある。そこで図７のよ資料を配布する（図５）。放物線定規の作うに、協力して作成するグループもあった。

成手順について、投稿画面での文章と制作放物線が完成したら、実際に放物線を作方法動画を載せておき、合わせて口頭でも図してみる。制作活動の進行スピードには説明を行う。複数の方法で作成手順を示し

個人差が生まれやすいため、放物線の定規ておくことで、生徒が自分の作成スピードに合わせて参考にできる環境を整えておいた。また授業の冒頭では、前時の復習として、GeoGebra を使用して前回見つけた放物線の定義を確認した。

図６：作業場面

図５：授業資料の配布

その後、作成手順を元に自分の定規をつくる。まず材料と接着剤を配布する。先述

図７：共同作業場面

119

の使い方についても動画（図８）を作成し準線に定規を１つ沿わせ、紐の先を焦点にておいた。放物線定規で放物線を描画する

重ねて画鋲で固定する。平行線を書く要領

手順は次の通りである。

で、紐のついた定規をもう一方の定規に沿わせて左右に移動させる。このときに紐がレの字型でピンと張るように筆記具で作図すれば良い。
作図後は放物線と比較してみることで放物線定規が機能していることを確かめることができる。この活動を通して、放物線の曲線具合には意味があることを理解することができる。

図８：使い方動画

１．準備した磁石面（金属板やホワイトボード）の上に敷いた紙に準線と焦点を適当に作図する。

４．おわりに
4.1.

実践授業の振り返り

合計３時間の実践授業では大きな混乱が生じることなく中学３年生の５クラスで２．２つに分かれている定規のうち、紐が実施することができた。特に、私が担当ついていない定規のコの字型部分が準していたクラスは５クラスのうち１クラ線に重なるように設置する。

スのみであり、残りの４クラスは作成し

３．紐の先についているネオジム磁石を焦点に重なるように設置する。

た授業案を元に２人の数学教員が実践を行なった。放物線定規の材料については

４．もう１つの定規のプラ棒部分が設置さ全て私が用意したが、授業で用いた Googleれている定規のコの字型の隙間に入る

forms や Jamboard、動画については Googleように合わせる。

classroom を通じて共有することでお互いの５．定規に沿わせた筆記具で紐がレの字型

授業準備の負担を軽減することができた。

でピンと張るように調整しながら左右２時間目に行なった放物線の判別テストに動かしながら描画する。

では、判別候補について５クラスごとに変更した。１時間目にクラスでまとめた放物

またコロナ禍ということもあり、オンラ線の候補たちの中には、パラボラアンテナ

インで授業を受けている生徒もいる。そこのように全てのクラスで提案された候補もで、遊び方の動画の後半には家で放物線定あったが、それ以外の候補もあったため、規を作る方法も掲載した。オンラインで授各クラスに適した判別候補に変更すること業を受けている生徒は、定規２つと紐、画で、放物線の判定テストへの取り組み度合鋲を用意する。定規の１つに、紐の先と定いに影響があったように思う。15 問とい規の端を合わせ、沿わせていきながら、もう問題数もさることながら、それぞれの問う片方の端にある紐をテープで定規に貼り題について判別理由を入力することを課し付ける。ていたが、ほとんどの生徒が判別理由まで

この場合も、紙に準線と焦点を作図し、120入力していた。

３時間目では、制作時間の個人差が予想てみることによってどんな形なのかなどを以上に大きかった。30 分の制作時間を予知ることができてわかりやすくなった」と定していたが、作業が早い生徒であればいう感想や「あんなに簡単なもので作れる10 分程度、遅い生徒であれば 30 分かかっと思っていなかったので少し前よりも身近てしまった。放物線の使い方の動画を用意に感じました」という感想があった。純粋しておいたおかげで、作業が早く終わったに楽しかった、面白かったという感想も見生徒は次の活動に移ることができていた受けられた。その一方で、「接着剤が手にが、十分にフォローすることができなかっついた」や「部品が小さくて難しかった」たことが悔やまれる。今回は接着のみとはなど制作の難易度が負の影響を与えているいえ、自分の放物線定規を製作することで場合もあった。

定規自体に愛着が湧き、教育目標の達成効

以上より、数学的活動として製作活動を果を最大限に上げることに期待したが、製取り入れることには一定の効果が認められ作活動が苦手な生徒にとっては効果が見らる。ただし、得られる効果は製作活動の達れなかった。製作方法については、オンラ成度に影響する。そのため、クラス全員がイン受講の生徒と同様に、自分の定規を２達成できる難易度で、数学を体感できるよつ用意させたほうが授業展開がスムーズでうに授業デザインする必要がある。今後のあったかもしれない。

課題として、授業に取り入れることができ以上のように、製作方法や製作物についる製作活動を考案する際には、その製作ては課題が残ったが、授業デザインの成果活動の難易度にまで留意することが求めとしては目標を達成することができたのでられる。

はないだろうか。放物線の曲線について曖



（研究主任：小川達也）

昧だった理解が改善され、放物線の定義から放物線のよさを知ることができた。
4.2.

研究の反省と成果

本研究では実践授業の初めと最後にアンケートを実施した。その結果を分析することを中心にして、本研究の今後への課題を示したい。
授業前後のアンケートでは、数学の有用性について同じ質問を２つ用意した。５段
階評価で質問したところ、平均値が「数学は世の中の役に立っていると思いますか？」は 3.7 から 4.2 に、「２乗に比例する関数は自分の身の回りに関係がありそうですか？」は 2.8 から 3.6 に上昇した。
また、数学的活動の中心に製作活動を据えたが、概ね好評価であった。
「実際やっ121