待ち行列の制御問題 2 題:
一一・負荷分散と経路選択の最適化をめざして一一ー

大西匡光
川川
11l川川川11川111111
川川
1111111
附
刷
11i刊刷
1111川
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削
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川
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11川川
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11川
111111川1111

1.

などの内の一部もしくはすべて)にもとづき，到着したはじめに客をどの待ち行列に割り当てるかを(確率的に)定める

近年，複数のプロセッサから構成される並列・分散型の情報処理システムへの関心が高まっている.
これらのシステムにおいては複数のプロセッサへの負規則 r を求めることである.

この問題はモデルに含まれる以下の要素によりさまざ
まな分類ができる:

荷分散( Load Balancing ある L 、は Load Sharing) のa 到着過程，

方法がシステムの性能を大きく左右するため，さまざまb

な負荷分散の方法に関する研究が活発になされている.

本稿では負荷分散の最適化に関連した 2 種の基本的な待ち行列の制御問題:

サーピス時間分布，

c 到着客の割り当てのさいに利用可能な情報，

d 費用機造および評価規範.
2.
1 同種サーパの場合

並列待ち行列への到着客の最適割り当て問題，
並列サーバへの客の最適割り当て問題

Winston[19J はa

Poisson 過程，を解説し，これらに関し，現在までに得られている主要b 同種ザーパ，指数+ーピス時間分布.

な理論的結果を紹介する.

c 過去の履歴のすべてが利用可能な情報

これらの問題は回線交換網やパケット交換網などの通信網におけるメッセージの経路選択 (Routing) の最適化にも関連し，基本的で重要なものである.

2. 並列待ち行列への到着客の最適割り当て問題の場合を議論した.その結果，各客の到着時刻においてその到着客をその時点で最小長の待ち行列(サーピス中の客も含める)に割り当てる政策 (Send-to-the S
horｭ

h
e
t
e
s
t Queue Policy:SSQ一政策， あるいは Join t
S
h
o
r
t
e
s
tQueueRule:JSQ一規則)は任意の有限な時
刻 T に対し ，

サーピス時間が各々分布関数 Fh F 2' … ， FN にしたがう N 人の+ーパが各々の待ち行列を持つ待ち行列システ
ムを考える.客はある点過程にしたが L 、到着する.到着

した客は即座にいずれかの待ち行列に割り当てられ，いったん待ち行列に割り当てられた客を後に改めて他の待ち行列に移すことは許されないものとする.さらに客の到着過程とサービス過程とは確率的に独立であると仮定
する.

並列待ち行列への到着客の最適割り当て問題とは所与の費用構造のもとで規定の評価規範を最適化するような客の割り当て政策，すなわち，各室の到着時刻において，その時点で利用可能な情報(過去の客の到着・割り当て過程，十一ピス過程，待ち行列過程，客の退去過程

T までにシステムから退去する客の割引き

率四(三 0) で割引かれた総数，すなわち，~~e-atdD(t)を(通常の)確率順序( (Ordinary)S
t
o
c
h
a
s
t
i
cOrderｭ

ing: 付録参照):白z に関して最大化することを示した.
ただし (D(t) ;t ミ 0) は時刻 t までにシステムから退去する客の総数を表わす計数過程である.

Weber[17J は Winston [1 9J のモテツレを
a 一般の点過程，

b 同種サーバ，

1FR サーピス時間分布(付録参照)，

c 過去の履援のすべてが利用可能な情報(サーピス中の客のサーピス経過時聞を含む)と一般化し，各客の到着時刻においてその到着客をその時点で最小長の待ち行列，
おおにし

まさみつ京都大学工学部〒 606 京都市左京区吉田本町
1991 年 4 月号

すなわち，期待遅延が最小の待ち行列に割り当てる政策 (Send-to-the S
h
o
r
t
e
s
t

ExpectedDelayQueuePo1
icy:SSEDQ-政策)は任© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(
21
)1
7
9

X t1 (0) 孟 .tXt2(0)~8t'" 三三 8tXtN(0)~8tXtl(0)+ 1,

意の有限な時刻 T に対し T までにシステムから退去する
客の総数 D(T) を確率順序 ~8t に関して最大化するこを満たすなら，とを示した.

'1, '2, ・・・ ， 'N ， 'i , '2 ， ・・・と巡回して到着客を割り当てる政策 (Circular A
ssignｭ

Ephremides , VaraiyaandWalrand[4] はment Polcy) は，任意の有限な時刻 T において

a

一般の点過程，b

2 人の同種サーパ，指数ザーピス時間分布，E品 f(Xt(T))]

c.1 過去の贋歴のすべてが利用可能な情報の場合を扱い，各客の到着時刻においてその到着客をその時点で短い方の待ち行列に割り当てる政策 (Send-to­

ShorterQueuePo1
icy:SSQ-政策)は任意の有限な時

さらに Nakade ， Ohnishi , l
b
a
r
a
k
iandOhno[12Jは上述のモデルにおいて

刻 T に対しlf

EJ:2HTxt(t )dt+ 2μJJ,,l.. Xt(T)(Xt(T)+l)
LI(J O.'''.'_.'
tを最小化することを示した.ただし ， f(: ダ+→タ)は任意の非減少凸関数である.

:t,を最小化することを示した.ただし

a 一般の再生過程，単一到着，と限定すると，初期待ち行列長 Xt(O) (i= 1, 2 ，… ， N) が互いに確率的に独立であるならば， (1 ， 2 ，… N) の任意の

Xt(t): 時刻 t での待ち行列 i の長さ，順列 (i t ， i 2 ， … ， i N ) に対し

μ: 共通のサーピス率' '2 ，・・・ ， 'N ， t ,,, '2 ， ・・・である.

と巡回して到着客を割り当てる政策 (Circular A
ssignｭ

さらに彼らはmentPolcy) は無限計画期間上の平均期待費用:

c.2 待ち行列過程が観測できず過去の客の到着・割り当

1im 叫 l EJ(Tﾎ:f(Xdt))dtlて過程のみが利用可能な情報である場合

T →+∞L.l O t=1

Jをも議論し，初期の 2 本の待ち行列長が等しい場合に，を最小化することを示した.ここで ， f( : ダ+→タ)は任到着客をそれらに交互に割り当てる政策が上記の評価規

意の非減少凸関数である.

範のもとで最適であることを示した.

また， J
o
h
r
i
[6] は，次のように，各サーパが自己の待Hirota , Ohnishiandl
b
a
r
a
k
i
[5]と大西，茨木，広ち行列長に依存したサーピス率を持つ場合を議論した:

田 [20] の証明方法にしたがえば Ephremides ， V
araiyaa

Poisson 過程，

andWalrand[4]の前半の結果は，次のように一般化

b

同種+ーパ，待ち行列長が j(ε Z+) の時のサービスすることができる (Walrand [16] も見よ).

a一般の点過程，b

N人の同種サーバ，指数サービス時間分布，c.I 過去の履歴のすべてが利用可能な情報の場合， SSQ-政策は任意の有限な時刻 T においてE~[Ø(XI( T) , X2(T) , …, XN(T))Jを最小化する，ただし ，Ø(:%+N→a')は任意の非減少

Shur-Convex 関数である(付録参照).
一方，

Ephremides , Varaiya and Walrand[4]の後半の結果は，率が μj ，

c 過去の履歴のすべてが利用可能な情報.

Nakade , Ohnishi , l
b
a
r
a
k
i and

彼は問題を

Uniformization

Technique を用いて(非有界な費用を持つ)離散時間の Markov 決定過程として定式化し，その結果，仰が j に関し上に有界な非減少凹関数であるならば SSQ-政策は，任意の有限な時
刻 T に対し ，T におけるシステム内客数

N

I
:Xt(T
)
を確率 11頂序 ~8t に関して最小化することを示した.たとOhno[IIJ により，次のように一般化されている.

えば，並列な待ち行列システムの各々が向ーの・ /M/c­

a 一般の再生過程，集団到着，待ち行列であるなら，サービス率に関する上述の条件はb満たされている.

N 人の同種サーパ，指数サーピス時間分布，c.2 待ち行列過程が観測できず過去の客の到着・割り当策が必ずしも最適ではないことを反例を挙げることによて過程のみが利用可能な情報である場合，初期待ち行列長 Xt(O)(i= 1, 2 ，… ， N) が互

いに確率的に独立で，
i N ) に対し

1
8
0(22)

一方， Whitt[18] は SSQ一政策，ある L 、は SSEDQ一政(1 ， 2 ，… ， N) のある順列 (i ]， i 2 , "',り示している.

2.
2 異種サーパの場合+ーパが異種の場合に対する問題については，今のと© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

ころ十分な結果は得られていない.

などを示した.特に最後の関係式は個人最適解のもとでBellandStidham[2J はは，社会最適解に比較して，番号の小さいサーパに，よa

り負荷がかかることを意味している.

強度』の Poisson 過程，b 異種サーパ，一般サーピス時間分布，ただしサーパi(=1 ， 2 ， … ， N) のサービス時間 St は3
. 並列サーバへの客の最適割り当て問
題

E[S ， J= μ t- 1 ，forsome b( ミ 1)

E[S♂J=bμt- 2

サーピス時聞が各々分布関数 Ft. F 2' … ， FN にしたがを満たす(したがって，各+ーピス時間の変動係数
は (b-I )112 で同じ)，

う N 人のサーバが 1 本の待ち行列を共有する待ち行列シ

ステムを考える.客はある点過程にしたが L 、到着する.

c 実時間の情報は利用せず，到着した客はいずれかの+ーパに割り当てられるまでそ

各待ち行列への客の割り当て確率ベクトル (Pt. P2 ， ・・，Nの共通の待ち行列で待ち，いったんあるサーパに割り当

PN) (Pt ~0 ， i=I ， 2 ， … ， N ， I:Pi=1)を定める(よっててられた客のザーピスは中断したり，他のサーパに移すÀ t =九ム i=I ， 2， … ， N として各待ち行列への到着率ベク

ことは許されないものとする.さらに客の到着過程とサトル (À" À2 ， … ， À N ) を定める)問題を議論した.

ーピス過程とは確率的に独立であると仮定する.

彼らは，待ち行列 k での客 1 人の単位時間当りの待ち費用を h" ( 一般性を失うことなく)

h, ̲
h.

日

り当て政策，すなわち，遊休中(-if"ーピス完了直後を含-=-~ーとさ2 ・・・ 2三ニヱι
μ1μzμNむ)の+ーパがし、る各時刻において，その時点で利用可と仮定し，以下の結果を得た.

d.
1 社会最適化(Social

並列サーパへの客の最適割り当て問題とは所与の費用構造のもとで規定の評価規範を最適化するような客の割

Optimization):システムの無限計画期間上の平均期待費用を評価規範として用L 、れば最適解は能な情報にもとづき，待ち行列内の客を遊休中のザーパのいずれかに割り当てるか否か，もし割り当てるとする
ならどのサーパに割り当てるかを(確率的に)定める規則を求めることである.

ザ(ポ )=m叫 0， μt-pd

\1/2

b“

\b+2a*手L ー 21

、

、

t
'

ni

ただし a* は

この問題も，前節の問題と同様，モデルに含まれる要素によりさまざまな分類ができる.しかしながら現在までのほとんどすべての研究で

2ν( 日 )=Àa 新たな客の到着がないか， Poisson 過程にしたが L 、到着，により決定される.

b 指数サービス時間分布d.2 個人最適化 (Individual O
ptimization):各客を意

思決定者と考え，各々が自己の期待待ち費用を最小化するべく行動するとして， Nash 均衡解を求めるとん+(ポ )=maxj 仰t-pJ、b\b+2a+ ~t
、

t
¥

‑
2
/
'

nt

ただし a+ はAgrawala , Coffman , GarayandTripathi[1J は新たな客の到着がない場合に期待フロータイム (Expec­

さらに以上の結果を用いてte
dFlowTime)=今 主主 a*) 注坐主竺土 for i<j
Pt

μj

o
ri く jん +(a+) >0 =宇 Àt+(竺114tlEj f
μtμJ

1991 年 4 月号

μ1~μ2~三・・・ ~μN，

すなわち，番号が小さいサーパほどサーピス速度が3.
1 到着がない場合

により決定される.

Àt市 (a*)~とん +(α+)

いま灼 (i=I ， 2 ， … ， N) をサーパ i のザーピス率とし，(一般性を失うことなく)“速い"と仮定する.

さん+(a+)=え』グ (α*)>0

であることを仮定しているため，以下では特に述べない
限り，これらを仮定する.

=宇

ÀJ*( 日ほん +(a+)

fori<j

E~L~l CJ](=ι[):~ X (t l吋)を最小化する問題を議論した.ただし

M: 初期時刻 O でのシステム内客数© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(
2
3
)1
8
1

C j (J=I ， 2 ， … ， M): 客 j のザーピス完了(よって退3.
2 到着がある場合

去)時刻，

新たな到着がある場合については現在のところ N=2

(
X
(
t
)
;t ミ 0) :時刻 t でのシステム内客数を表わす確の場合しか解決されていない.

Lin andKumar[9J は率過程 (X(O)=M)である.その結果，この問題を完全に解き，次に述べる

a

強度』の Poisson 過程，

しきい値型政策げが最適であることを示した:任意の

b N=2

時刻において遊休中のサーパで最も速い(最も番号の小の場合を扱った.評価規範としてはシステム内客数を単さい)サーパを m その時点における待ち行列長を k( ε位時間当りの費用として，%+)とすると

d.1 無限計画期間上の総期待割引き費用規範:k>tnの時，そしてその時に限り，待ち行列内の客をサーパ nに割り当てる.ただし待ち行列のしきい値 (tn;n= 1, 2,… ， N) は叫Eι
π%[日1:いX(μt)d
およびその a ↓ω0 での極限に対応する
d.2 無限計画期間上の平均期待費用規範:

lim 叫，!. EJ(TX(t)dtl

主 μ4

T•

t綱.-一一一一一 -n
“
μn

+00

LJO

.J.

.
J

の 2 種を考察した.彼らは問題を U n
i
f
o
r
m
i
z
a
t
i
o
n

Technique を用いて(非有界な費用を持つ)離散時間ので定義される.
上述の問題は Righter [13J により期待重みづけフロ

Markov 決定過程として定式化し，いずれの評価規範のータイム (Expected W
eightedFlowTime) 最小化問

もとでも，次に述べるようなしきい値型政策のグラスの題，すなわち，各客 j(=1 ， 2 ， … ， M) が固有の単位時間中に最適政策があることを，逐次近似法と政策反復法を

当りの待ち費用問j を持つとして，用いて，解析的に示した:

E
z
[
Z
W
j
C
j
]

P1 待ち行列に客が L 、る限り，速いサーパ l には常に客を最小化する，より一般化された問題に拡張され，議論された.その結果，上述の政策げを以下のように修正したしきい値型政策 π+ が最適であることを示した:任意の時刻において客をその待ち費用の大きさの順に:z.Wj2';?' ・・ ';?WjmτV jlと番号づけし，遊休中のサーパで最も速いサーパを n とするとが割り当てられ，P2 あるしきい値が存在して，待ち行列長がそれを超える時，そしてその時に限り，遅いザーパ 2 にも客を割り当てる.

Walrand[15J は Lin andKumar[9J と同じ問題
を扱 L 、，上述の性質 P1 ， P2 のいずれかを満たさない政策は改良され得ることを Coupling (ある L 、は Sample­

Path‑Wise Comparison) と呼ばれる確率論的方法を

k> ら ';?k-1の時，そしてその時に限り，客 jk(k=I ， 2 ， … ， m) をサー
パ n に割り当てる，ただし客の番号づけは客の割り当てごとに行なうものとする.

Coffman , Flatto , Garey and Weber[3]は上述の問題の評価規範として期待メークスパン (Expected
Makespan) ，すなわち，用いて別証明を行なった.

Walrand[15J の証明方法にしたがえば，サーパ数が一般の N の場合に対しても，任意の(到着率 A と)割引率四に対する最適政策のもとでは
Q1 もし客をサーパに割り当てるのであれば，利用可能なサーパのなかで最も速いものに客を割当て，Q2 待ち行列内に客が L 、る限り，最も速いザーバには常叫35Cj]に客を割り当てるを最小化する問題を議論した.その結果，サーパ数Nが2 もしくは 3 の時は最適政策のもとでは(各サーパが稼働中か否かを記述する)状態に依存したしきい値が存在ことを示すことができる.

Rosberg and Makowski[14J は+ーパ数が一般のN の場合を議論し，(Walrand[15J の方法により示し得

して，待ち行列長がそれを超える時，そしてその時に限る)性質 Q1 ，り，待ち行列内の客を遊休中の最も速いサーパに害Ijり当

Q3 割引率 a が十分 O に近い(ある値を下回る)と十分てることを示した.

1
8
2 (24)

Q2 の別証明を与え，さらに待ち行列長が長い (a に依存しないある長さを越え© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

る)時にはすべてのサーパに客を割り当てることがた問題に対してのものであり，一般的問題の解決はまだ最適である

まだはるか彼方といった感がある.

ことを示した.この結果，割引率 a の小さい(平均期待費用規範に近 L 、)時には有限個の状態でのアクションのこの小文が読者諸氏の興味を喚起することができ，多くの残された問題の解決の一助となれば幸いである.

みが問題となることから，

参宏文献

α ↓ 0，え↓ 0 ，とする極限移行ができ，[1] Agrawala , A. K., Coffman , E.G.Jr. , Garey ,Q4 到着率えが十分小さければ，到着がない場合の期待

M.R.andTripathi , S.K.(1984) , IEEE Tranｭ

フロータイムを最小化する政策がが平均期待費用

s
a
c
t
i
o
n
s on Computers , Vol.C‑33. PP.351‑

規範のもとでも最適となる

356.
[2] Bell , C.E. and Stidham , S.Jr. (1983) ,ことを示した.

一方，

ManagementScience , Vo 1. 29 , p
p
.
8
3
1
‑
8
3
9
.

KumarandWalrand[8]は. G. , Flatto., L. , Garey , M.R.
[3] Coffman., E

a 任意の到着過程，b

andWeber , R.R.(1987) , Advancesi
nApplied

一般の N

Probabi山 tY.，の場合に，客の各々がサービスを受けるサーパを選択することができるが，待ち行列の前に位置する客ほど優先

Vo l. 19 , pp.I77‑201.

[4] Ephremides , A. , Varaiya , P.andWalrand ,

権が高いと L 、う設定での偲人最適化の問題を考察した.

J.(1980) , IEEE Transactions on Automatic

その結果，待ち行列内で先頭から数えて第 k(EZ+) 番目

Control , Vol.AC-25 , pp.690‑693.

に位置する時に+ーパの選択権を得た場合，遊休中のサ[ラ]

Hirota , Y. , Ohnishi , M. and Ibaraki , T.
(198 7), inQueueing TheoryandltsApplicaｭ

ーパで最も速い+ーパを n とするとtions , Proceedings ofthe Seminar Held ink>t"の時，そしてその時に限り，そのサーパ n を選択するとKyoto , Japan , May 11-13 , 1987, pp.185四203.

L 、う政策(あるいは戦略)は個人の期待遅延を最小化す[6] Johri , P. K.(1989) , European Journal ofるという意味で最適であることを示した.ただし待ち行

0ρerational Research , Vo 1. 41 , p
p.157‑161.

列のしきい値 (t，，; n=I ， 2， … ， N) は政策げを定義した[7] Kleinrock , L.(1964) , Communication Nets:

ものと等しい.したがって，政策計は各客個人の期待

S
t
o
c
h
a
s
t
i
cM e
s
s
a
g
eFlo即 and Delay , McGrawｭ

遅延を最小化するとし、う意味で，個人最適である.
なお，主主列サーパへの客の最適割り当て問題を最初に取り扱ったのは，筆者の知る限りでは，

Kleinrock[7]である.彼はaPoisson 過程，

b

一般の N

Hill , NewYork.
.
(1985) , Journal[8] Kumar , P.R.andWalrand.J
ofApplied Probability , Vo 1. 22., p
p
.
9
8
9
‑
9
9
5
.

[9] Li n , W. and Kumar , P. R.(1984)., IEEE

.AC‑
TransactionsonAutomaticControl , Vol
29, p
p
.
6
9
6
‑
7
0
3
.

の場合に，やや雑な議論ではあるが，政策げは各客個[
IO
J Marshall , A , W. and Ol kin , I.(1 979) , lnｭ

人の期待遅延を最小化するという意味で個人最適である

e
q
u
a
l
i
t
i
e
s
: Theory of Majorization and Itsことを示している.

Applications , AcademicPress , NewYork.

[II
J Nakade , K., Ohnishi , M. , Ibaraki , T. and4. おわりにOhno. K.
.(1990) , Technical Report No.900 1O,

本稿では，並列・分散型情報処理システムにおける負Department of Applied Mathematics and

荷分散の最適化，および通信網におけるメッセージの経

Physics , KyotoUniversity., Kyoto , Japan.

路選択の最適化に関連した基本的でかつ重要な 2 種の待[1
2J Nakade , K. , Ohnishi , M. , Ibaraki , T. andち行列の制御問題を解説し，現在までに得られている主要な理論的結果を紹介した

Department

残念ながら，これらの結果の多くはきわめて限定され1991 年 4 月号

Ohno. K.(1990) , Technical Report No.90011 ,of Applied Mathematics andPhysics , KyotoUniversity , Kyoto , Japan.

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(
2
5
)1
8
3

[
1
3
J Righter. R. (1988) , Systems and Control

Letters , Vol.10 , pp.211‑216.

P(X :5; x) 注 P(Y:5; x)。

任意の非減少関数 f(:R→R) に対して

. and Makowski , A. ﾐ.(1990).
[
1
4
J Rosberg, ZE [f (X)J 三 E [f( Y)J.

口IEEE Transactions on AutomaticControl ,定義 A.2(IFR 分布)確率分布関数 F は，任意の x(;:::

Vol.35, pp.789‑796.

0) に対し，←τーーが t に関して非増加である時 ，

.
p
(t+x)

.(1984) , Systems and Control[
1
5
J Walrand , J

Letters , Vol.4, pp.13 ト 134.
[
1
6J Walrand , J. (1988) , An lntroduction toQueueingNet叩 orks ， Prentice-Ha11 , Englewood
C
l
i
f
f
s
. NewJersey.
Proba必ility ， Vo l. l5 , p
p.406‑413.

[
1
8J Whitt ,W.(1986) ,lncreasing

HazardRate:lHR) であることを言う(F が密度関

数f を持つ場合，その故障率関数五!lが単調非減少でF(t)あることと同値である).

口[Marsha11and Olkin[10]] 関数 φ (Z+N→R) は以下の 3 性質を満たす時，非減少 Shur-Convex 関数である

Operations Research ,

と言う:

Vol
.34, pp.55‑62.

(1)

任意の NxN 置換行列日に対して，[
1
9J Winston , W.(1977) , Journal of Applied

Probability , Vo l. 14, pp.181‑199.

ゆ (x)= ゆ (xn)

(
2
) x,

[
2
0
J 大西，茨木，広田 (1987)， 1987年度秋季研究発表
会アブストラクト集，

IFR

F(t)
(Increasing Failure Rate ある L 、は

定義 A.3 (Z+N よの非減少 Shur-Convex 関数)] Weber, R. R
. (1978) , Journal of Applied[
17

A

fora11x。

pp.120‑121.

yeZ+ Nfora
1
1 xeZ+ N,

に対し

Xt :5; Yi , i=1, 2 ，… ， N コ似 x) 三三似 y) ，(3
) 任意の xeZ+ M に対して，(Xi‑Xj){φ (x+ei)-Ø(x+eJ)} ，

付録

定義 A.l (確率順序三玉川実数値確率変数 X ， Y に対し，X~三 8' Y(Y主 8'X)

ただし

ei:=(O , …, 0, 1, 0,…, 0) ,i=I ， 2， … ， N.

口i ファイナンスのための確率過程
森村英典・木島正明著

A5判・ 230頁・定価 3 ， 000 円(本体2 ， 913円・税87 円)干 260円

近年，ファイナンスにおける確率過程論の必要性はますます高まってきている.株価の変動がv

ある確率過程に従っているとして.株式への投資や株価についての数学モデルを作りそれを解析する研究が，アメリカを中心に精力的になされている.確率過程論に立脚した理論によって，次々に新商品が開発されている.

本書は，財務理論への応用を念頭において確率過程を詳細に解説した教科書である.

{主要目次〕
第 1 章株式投資の数学的モデル化への枠組み第 2 章初等的なモデルによるアプローチ(ランダムウオークによる株価過程の記述/コールオプションの価格付け他)

第3章

雄散時点の

マルコフ連鎖(マルコフ性/推移確率/状態確率とその極限/確率的に単調な?ルコフ連鎖他)

第4章

連続時点のマルコフ連鎖(ポアッソン過程/連続時点のマルコフ性/無限小生成作用

素とコルモコ・ロフの微分方程式他)

第5章

マルチンゲール(条件付き期待値/マルチンゲー

ルの定義/マルチンゲールの基本的な性質/条件付き請求権の価格付けへの応用/任意抽出定理)
第6章

ブラウン運動過程と拡散過程(ブラウン運動過程/鏡像原理/ブラウン運動過程とマ

ルチンゲール/拡散過程)

第7i量

破率微分方程式(確率微分方程式/確率積分/確率微分方

程式の解の存在と伊藤の変換公式/ファイナンスにおける応用)
付録 A. 確率空間と確率変数(条件付き確率と事像の独立他
テイルチェス積分に関する重要な定理他

盛田科技連出版社
1
8
4(
2
6
)

C. 正規分布D.

B. ステイルチェス積分(スヒ Jレベルト空間〒 151 東京都渋谷区千駄ヶ谷 5-4-2 振替東京 7-7309
電話03(5379)1238 FAX03(3356)3419( 図書目録送呈〕© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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