AHPを利用した最適な債券ポートフォリオの構築に向けて−「決める」から「定める」への橋渡し一
宮崎 浩一

l……lll111……………lll11……IIIl………l………l…】1…………………lllll……llll‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖仙lがあるのか？」が何ら検討されていないことが挙げら

1．はじめにれる．

AHP（階層分析法）は，1960年代後半に，Saaty●

ポートフォリオ構築にAHPを適用する場合の問題

によって発案された「定める」モデルであり，従来の点は，リスクに関する代替案の選好を表す一対比較行

「決める」モデルでは定量化が難しかった主観や勘を列の与え方である．投資家が監督当局などから報告す反映させることができるようなモデルである（詳しくることを義務づけられているリスク量は，通常各資産は，木下［1998］を参照されたい）．「定める」モデルでに関する過去のリターン時系列を用いて推定した分あるAHPは，軍事外交戦略を対象として生まれたも散・共分散行列に基づいて計量されるものである．このであるが，その有効性が広く認められ経済問題・経れは，平均・分散モデルの制約条件式のなかで用いら

営問題・エネルギー問題・政策決定・都市計画など多れるリスク量である．一方，AHPでは，リスクに関岐の分野にわたり，近年発展が著しい金融工学においする代替案の選好を表す一対比較行列の・要素に比例ても，最適なポートフォリオの構築，つまり資産配分（反比例）して各資産のウエートは決まる．このため，の意思決定に関する分野で，Saatyら［1980］，Khak−

分散・共分散行列の持つ情報を素直にリスクに関する

sariら［1989］，批々木ら［1997］など，いくつかの適用

代替案の選好を表す一対比較行列に利用することが難例がみられる．

しい．そこで，まず，分散・共分散行列を何らかの形

AHPの資産配分問題への適用法は，上記の文献にで一対比較行列として表現する必要がある．次に，おいて詳しく紹介されているにもかかわらず，実務にAHPポートフォリオのリスク・リターンと，平均・

おいてAHPを用いた運用を行っているケースは少な

分散ポートフォリオおよびリスク要因別制約条件付き

い．特に，株式資産配分とは異なり，定性的要因が定

平均・分散ポートフォリオのリスク・リターンとの関

量的要因ほどは大きくない債券資産配分においては，係を吟味する必要がある．

AHPを用いた運用は，現状，皆無であるといえる．

上記の2点がある程度明らかにされれば，債券ポー

実務においてAHPを用いた運用がわずかである理由

トフォリオ構築の実務においてAHPの利開に通が開

は，AHPが「定める」モデルであることにある．具ける．定量的に計量できる分散共分散行列や平均値で体的には，「様々な一対比較行列を階層的に配置した表現できるようなリスクやリターンは，過去のリター

うえで，各々の最大固有値の固有ベクトルをウエート

ン時系列を用いて構成した分散・共分散行列や平均値付けして「定まる」資産配分（以降AHPポートフォが持つ情報と何らかの形で整合性がとれるようなもの

リオと呼ぶ）が，平均・分散モデルおよびリスク要因を一対比較行列として用い，定性的にしか表現できな

別制約条件付き平均・分散モデルを用いて「決める」

いような流動性リスク，需給リスクや金融政策変更リ

資産配分（以降，リスク量が制約条件を満たすときにスクなどは，従来どおり一対比較行列で表現して，リターンが最大となる資産配分を最適平均・分散ポーAHPを実行すればよい．本稿では，定量的に情報をトフォリオと定義する）との間にどのような対応関係与えることが可能な各資産リターンの平均，分散共分
散行列の持つ情報をできるだけ利用することで，平みやざき こういち
電気通信大学システム工学科〒182−8585調布市調布ヶ丘1−5−1
受付03．1．6 採択03．7．8
2003年10月号

均・分散モデルおよびリスク要因別制約条件付き平均・分散モデルとの対応をできるだけ維持したうえで定性的な要因を組み込むような，AHPの債券ポート© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
（55）丁6丁フォリオ構築への適用方法を与えることを目的とする．

の一つであり，（1）主観や勘が反映される，（2）多くの目

つまり，「決める」モデルから「定める」モデルへの的を同時に考慮する，（3）扱いが容易である，ことが主

橋渡しを行って両者の優れた点を債券ポートフォリオな特徴である．AHPを利用して問題を解決するには，構築に利用する試みである．

まず問題の要素を（最終目標）−（評佃基準）−（代替

本論文の構成は以下の通り．節2では，AHPにつ案）の関係で捉えて，階層構造（階層はレベルとも表

いて資産配分問題を例にとり手短かに解説する．節3

現される）を作り上げる．そして，最終目標からみてでは，平均・分散モデルおよびリスク要因別制約条件

評価基準の重要さを求め，次に各評価基準からみて各付き平均・分散モデルを紹介したうえで，分散共分散

代替案の重要度を評価し，最後に，これらを最終目標行列が持つ情報を直接的に一対比較行列に適用するこからみた代替案の評価に換算する．AHPの適用法をとが，資産間の相関係数が全て1となる場合を除いて3段階に分けて，債券ポートフォリオの構築を例（図困難であることを例示する．節4では，まず，債券の1を参照）として階層が単純なケースで説明する．

利回り変化に関して因子分析法を適用すれば，分散共（第1段階：問題の階層化）

分散行列の持つリスクに関する情報を素直に一対比較

複雑な状況下にある問題を，階層構造に分解する．

行列を用いて表現できることを示す．次に，平均・分

階層の最上層（第1レベル）は1個の要素からなり，

散モデルおよびリスク要因別制約条件付き平均・分散

総合目的である．図1では，債券ポートフォリオの構モデルでは，ウエートの二次式として与えられたリス築である．それ以下のレベルでは意思決定者の主観的ク量対する制約条件が，適切なリスク量の分解を通し判断により，いくつかの要素が一つ上の要素との関係てウエートの一次式として与えられるリスク量に変換から決定される．階層の最下層には，代替案を置く．

されることを示す．節5では，節3，4で準備したこ

債券ポートフォリオの構築における代替案は，選択可とに基づいて，AHPを用いた最適な債券ポートフォ

能な債券のことであるから，図1で示した満期が異なリオの構築法を示す．また，数値例では，節4で述べる六つの債券のことである．中間層は，基本的に（評た変換を利用してリスク要因別制約条件付き平均・分価基準）であり，図1ではリターンと5種類のリスク

散ポートフォリオを線形計画法で求め，そのリスク・の合計六つである．

リターンとAHPポートフォリオのリスク・リターン（第2段階：要素の一対比較）とを比較する．節6では，事例報告として，現実のマ各レベルの要素間の重み付けを行う．つまり，あるーケットデータに基づいて節5で示したリスク・リタ

一つのレベルにおける要素間の一対比較を一つ上のレーンやウエートに関する比較を行う．さらに，平均・ベルにある関係要素を評価基準にして行う．乃を比較

分散最適ポートフォリオのリスク・リターンやウエー

要素数とすると，意思決定者は，乃（乃＋1）／2個の一対トに関する比較も加えて吟味する．最終節では，まと比較をすることになる．一対比較においては，重要度

めと今後の課題を与える．

の尺度として，1：同じぐらい重要，3：やや重要，

5：かなり重要，7：非常に重要，9：極めて重要，な

2．AHPとはどの値を用いる．第2レベルにある六つの評価基準のAHP（Analytic Hierarchy Process）とは，主観的判断とシステムアプローチを合わせた意思決定手法

重要度は，第1レベルの債券ポートフォリオの構築か
らみた重要度であり，債券ポートフォリオの構築にお

第1レベル

第2レベル

第3レベル

図1債券ポートフォリオの構築
丁68（56）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

いて，リターンが「水準」リスクよりもかなり重要であると判断するなら，リターンの「水準」リスクに対する重要度を表す要素に5が与えられる．同様にして，合計15通りの一対比較を行い6行6列の一対比較行
列を作成する（詳しい一対比較行列の作成法は，木下［1998］を参照されたい）．同様にして，レベル3の代替案の重要度に関しても，一つ上のレベルにある要素（評価基準）毎に一対比較行列が得られる．

JJ∑∬l＝1， J、＝1
債券ポートフォリオ運用であり，空売りを許さないので，㌫≧0，（1，2，…，乃）とする．

債券ダの期間収益率凡の期待値E（凡）をγ才とす
れば，ポートフォリオⅩの期待収益率斤♪（Ⅹ）は次のようになる．

（第3段階：優先度の計算）

各レベルの一対比較行列（既知）から，その最大固鋸Ⅹ）＝Eほ叫＝負γ∫∬ど・有値に対応する固有ベクトルを求めることにより，各また，このポートフォリオの期間収益率の分散感（Ⅹ）

レベルの要素間の重み（未知）を計算する．各レベルは，凡と凡の共分散をの要素間の重み付けが計算されると，この結果を用いて階層全体の重み付けが計算され，総合目的である債

Co〃（凡，凡）＝E（（凡−γど）（凡了n））＝〃ゎとおくと，

券ポートフォリオの構築に対する各代替案となる6種類の債券のプライオリティ（優先度）が決定する．

債券ポートフォリオの構築においてAHPを利用す擁）＝伽蛤紬）＝負鼻J軌となる．

ることの魅力は，「流動性」リスクや「需給」リスク

平均・分散モデル（制約条件（1）を適用）およびリスといった定性的な要因もモデルに組み込むことが可能

ク要因別制約条件付き平均・分散モデル（制約条件（2）となる点である．また，定量的な要因（四つ）と定性を適用）は，次の2次計画問題として定式化される．

的な要因（二つ）との重要度も主観的に与えることが肋∬ rXr

可能となることである．一方，AHPを債券ポートフ

xrl′Ⅹ≦ガゐ々（1）

ォリオの構築に利用する際の難点は，定量的に取り扱

ⅩrⅥⅩ≦斤ねれ…，ⅩrlちⅩ≦月お‰（2）

える部分（期待リターンやリターンの分散等）に対しても，一対比較行列を与えなければならない点である．
よって，節3以下の主題は，定量的評価基準に基づく代替案の一対比較行列としてどのようなものを与えれば，定量的評価基準に基づくAHPポートフォリオが，平均・分散最適ポートフォリオにおけるリスク・リターン特性から大きく禿離することなく，バランスのとれた債券ポートフォリオの構築が可能となるかを数値
例に基づき検討することにある．

JJ

∑れ＝1，

（3）

れ≧0，（1，2，…，乃）（4）

ここで，Ⅴは〃むを成分とする収益率の分散共分散行
列を表し，佑はリスク要因ブに関するリスク行列を表す．また，（1）は，通常の平均・分散モデルの制約条件を示し，（2）は，リスク要因別制約条件付き平均・分散モデルの制約条件を示す．AHP配分のリスクに関する一対比較行列に，（1）の分散・共分散リスク Ⅴを素直に反映させることができるケースは，Ⅴの相関3．平均・分散モデルとリスクに関する一係数が1の場合のみである．この場合は，債券ポート
フォリオのリスクⅩrVxは各債券の標準偏差リスク

対比較行列
平均・分散モデル

応を用いて（射砧）2と表現できるから，債券ポ

乃種の債券（1，2，…，乃）への投資ウエートをⅩ＝（れ，ートフォリオのリスクに与える各債券の単位当たりの∬2，…，∬乃），各債券の期間収益率を表すベクトルをR

リスク量は応となり，これを一対比較行列に反映＝（β1，β2，…，斤乃）とすると，ポートフォリオⅩの期

させればよい．具体的に，三つの債券に関する数値例

間収益率は，

を用いて確認しておく．

Rxr

次のような，各資産の相関係数が全て1となる三つで与えられる．ポートフォリオⅩが，投資ウエートの債券に関する分散共分散行列を考える．

であることによる制約条件は，

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（57）丁69‰1＝

1・5・5 1・5・4 1・5・3

表現することは困難である．そこで，各年限の利回り

1・5・4 1・4・4 1・4・3

変化を全年限に共通ないくつかのファクタを用いて表（ 1・5・3 1・4・3 1・3・3

現する因子分析を利用する．この手法に基づけばファ分散共分散行列‰1は，第1債券，第2債券，第クタ毎にみた場合（制約条件式（2）のどれか一つに着目

3債券のリターンの標準偏差が，それぞれ，5，4，3

した場合），どの年限の利回り変化もそのファクタにであり，債券間の相関係数が，全て1であることを示

因子負荷量を乗じた値となるので必然的に相関係数1している．例えば，1行1列成分の1・5・5は，第1債となる（詳しくは節4．1を参照）．よって，因子分析

券の分散が25であり，先に示したように1標準偏差に基づく債券リスク管理を経由すればAHPのリスク

リスクが5であること，つまり，下側16．5％水準のに関する一対比較行列を与えることができる．

損失額が5であることを意味している．第1債券の標
準偏差リスクは第2債券の標準偏差リスクの5／4倍であり，第3債券の標準偏差リスクの5／3倍，等であるからリスクの大きさを表す一対比較行列は，

4．因子分析に基づく債券リスク管理とリスクに関する一対比較行列
ここでは，因子分析を用いたリスク管理手法を手短に紹介したうえで，この手法を用いれば分散共分散行
列の持つ情報を節3で述べたように一対比較行列とし脇∫s烏＝て素直に表現できることを示す．
と素直に表現される．ただし，リスクは小さい方が望4．1債券利回り変化への因子分析の適用

ましいから，ウエートを求めるために用いるリスクに年限がノ年である債券の才日における利回り変化に関する一対比較行列は，逆数をとった次の廊闇とな対して，♪個の因子を用いた因子分析のモデル化は次る．

式で与えられる．

〟〟l・∫A＝

1 4／5 3／5

yf，J一肌＿1J＝ム1軋ノ＋ム2α2J＋…＋ん♪α久ノ＋Ef，ノ．

5／4 1 3／4

これは，年限がノ年である債券のオ日における利回り（ 5／3 4／3 1

変化を，♪個の因子の線形結合として表現している．

次に，共分散が必ずしも0ではない三つの債券に関ついてオ日における利回り変化が持つ値ム烏と，因子する分散共分散行列を考える．

佑J2＝

また，各因子々（1≦々≦♪）の与える影響は，因子々に1・5・5 0．9・5・4 0．7・5・3

烏が年限ノ年の債券の利回り変化に全ての日に共通し

0．9・5・4 1・4・4 0．8・4・3て与える影響を表すウエートα烏，ノ（因子負荷量）との（ 0．7・5・3 0．8・4・3 1・3・3積で表される．ここで，節3の最後に述べたファクタ

分散共分散行列lふ2は，第1債券，第2債券，第毎にみた場合に，全年限の利回り変化のファクタリス

3債券のリターンの標準偏差が例1と同じくそれぞれ，

ク間の相関係数が1となることを，第1ファクタに関

5，4，3であるが，第1債券と第2債券，第1債券として確認しておく．年限ノ年の才一1日から才日への第3債券，第2債券と第3債券，の各債券間の相関係

利回り変化肌，ノー〝ト1ノの第1ファクタリスクは，数が，それぞれ，0．9，0．7，0．8であることを示してん軋ノである．このとき同様にして，年限ノ′年の才いる． 第1債券だけを保有する場合の標準偏差リスク

一1日からオ日への利回り変化yi，∫−〝ト1J・の第1ファは5であり，第2債券だけを保有する場合の標準偏差

クタリスクは，ん恥J′となる．第1ファクタに関すリスクは4であるが，第1債券と第2債券とを50％るノ年，ノ′年の因子負荷量，それぞれ仇，J，軋ノ・は，ずつ保有する場合には，標準偏差リスクは，約一定（日付才に依存しない）であるため，日々の利回

4．39（

り変化による第1ファクタリスクは，んの日々の変52×0．52＋2×0．9×5×4×0．5×0．5＋42×0．52）となる．このリスク量1を第1債券と第2債券とにど動によってもたらされる．第1ファクタんは，ノ年，のように割り当てるべきかの判断は難しい．これは，ノ′年および全ての年限に関して共通であるので，全年債券1と債券2との相関係数が1でないことから生じ限の債券の利回り変化の第1ファクタリスク間の相関るものであり，このような場合，分散・共分散行列のは1となる．他のファクタ毎にみた場合も同様である．

持つリスクに関する情報を直ちに一対比較行列としてyJで年限がノ年である債券の日々の利回り変化値を示すベクトル，f烏で因子々について日々の利回り

TTO（58）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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変化がとる値を示すベクトル，aJで各因子が年限ノるファクタローディングは，表2に示すとおりであり，年の債券の利回り変化へ与える影響度を表すウエート

Litterman and Scheinkman［1991］の結果と同様であのベクトル，CJで年限ノ年の債券の利回り変化がる．本稿では，第4ファクタ以下を無視して第3ファ

日々含む独自の要因，つまり，モデル誤差を示すベク

クタまでを用いてモデル化する．

トルをそれぞれ表すことにする．すなわち，4．2 因子分析を用いた債券リスク管理とリスクに関する一対比較行列

節3において示したリスク要因別制約条件（2）におけ

yJ＝る各要因とは，債券リスク管理においては，「水準」，（「傾き」，「湾曲度」であり，これらの要因別のリスク
量はそれぞれ，次で与えられる．
「水準」：

このとき，年限ノの債券の利回り変化に関する因子モデルは，次のように表される．

（血ポ1］）2（β1恥1れ＋…＋β乃軋乃∬乃）2．
「傾き」：（5寝［‡2】）2（仇α J．十…＋β乃勉乃∬乃）2．

yJ＝（f．f2 … f♪）aJ十cノ．
さらに，「湾曲度」：（ざ寝［も］）2（β．恥1∬1＋…＋か招3，乃∬乃）2．

Y＝（yly2 … y乃），F＝（flf2 … ら），

ここで，罰扉L蒼1」，5ぉし‡2」，5寝Lf3」は，それぞれ，第A＝（ala2 … a乃），1から第3までのファクタに関する日々のデータセッ￡＝（c．∈2 … C乃），トを与えるベクトルfl，f2，f3から標準偏差を求めたもとおくと，全ての年限の利回り変化に関する因子モデのである．また，仇はノ年の債券に関するデュレー

ルは，ション（一単位当たりの利回り変化に対してどれほどの佃格変化が生じるかを表す量）を表す．各リスク源

Y＝FA＋￡

で表せる．実際の利回り変化に関する時系列データか泉から生じるリスク許容量を斤ね比，βゐ々5，斤ね々C

ら因子モデルを推定するための考え方や統計パッケーとすると，リスクに関する制約条件は，次のような資ジの使い方などは，それぞれ，大塚［第1期］，S−Plus

産ウエートの一次式に対する不等式制約となる．

［2001］等を参照されたい．

「水準」：

因子分析の手法が初めて債券の利回り変化の要因分析を行うために適用された文献は，Litterman andScheinkman［1991］であり，そこでは，米国債券市場に関しては，各年限の利回り変化の分散を三つのファ
クタ，つまり，♪＝1，2，3のみを用いて98％以上説明可能であることを示している．また，債券の利回り変化の各ファクタに対するファクタローディングの形状（例えば，第1ファクタの各年限のファクタローディ

ングは，Aの第1行で示される）から，第1から第3

一府≦（5寝L‡．」）（β1軋1∬1＋…＋β乃仇，乃∬乃）

≦雁．
「傾き」：

−ノ万売方百≦（5寝Lf2」）（β1鶴1∬1＋…＋β乃α2，乃∬乃）≦J前方百．
「湾曲度」：

一席≦（∫寝Lも」）（β1恥1∬1＋…＋β乃恥乃J乃）≦〟？ゐ々C．
リスク量をリスク要因毎に把握する場合，各リスクまでのファクタがそれぞれ，「水準」，「傾き」，「湾曲量がウエートに比例して決まる．「水準」リスクに関度」，のファクタであるとしている．節6における事

しては，第1資産から第乃資産までの単位ウエート

例報告にさきがけて，1996年5月23日から1998年6当たー）のリスクは，月2日までの期間における日本国債の利回り（2年債，（（s寝Lfl」）β．恥1，…，（s寝Lfl」）β〃軋乃），

5年債，7年債，10年債，15年債，20年債）に関しで与えられ，「傾き」，「湾曲度」の各リスクに関してて因子分析の手法を適用した結果を示すと，第1ファも同様に，それぞれ，クタだけで，利回り変化の分散の93．7％を，第2，第（（5侵しf2」）β1勉1，…，（s侵し‡2」）β乃α2，乃），

3ファクタまで含めるとそれぞれ，98．1％，99．2％ま（（5寝L‡1」）β1軋1，…，（s侵し‡．」）β乃軋乃），

で説明可能であった．また，これらのファクタに閲す
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（59）TTlで与えられる．リスクに関しては，小さい方が望まし

図2の階層構造の下では，

いので，これらの各成分の逆数をとったものに基づい．

て，リスクに関する∵対比較行列を与えればよい．こベル，第3レベルと第5レベル，第4レベルと第5レのように与えられた一対比較行列は，その与え方から

ベル，の各間で行われることになる．また，階層構造

過去のリターン時系列を用いた分散・共分散行列が持が第3レベルと第5レベル間にジャンプがみられるが，つ情報を素直に表現したものといえる．

このようなレベル間のジャンプはSaatyら［1980］で5．AHPを利用した債券ポートフォリオの構築も利用されている．
階層構造として図2を利用すれば，図1では混在していた定量的要因と定性的要因とを分ける手順を踏ん

節2では，AHPの債券ポートフォリオ構築への適だポートフォリオの構築が可能となる．定量的要因を用法を階層が単純なケース（図1を参照）で説明した．

評価基準とする代替案のウエートと定性的要因を評価

そこでは，階層の最上階（第1レベル）にある総合目

基準とする代替案のウエートとを最終的に統合するこ的の債券ポートフォリオ構築を評価基準にして，第2とで債券ポートフォリオの構築が可能となる．本稿のレベルにある関係要素（リターン，水準リスク，傾き

目的は，繰り返しになるが，定量的評価基準に基づく

リスク，湾曲度リスク，流動性リスク，需給リスク）代替案の一対比較行列としてどのようなものを与えれを一対比較しなければならないが，定量的要因と定性

ば，定量的要因を評価基準としたレベルのAHPポー的要因が混在しており，一対比較を適切に行うことはトフォリオ（定性的要因を評価基準とする代替案のウ困難である．ここでは，「AHPの利点が問題解決を

エートと最終的に統合する前のポートフォリオ，図2

適切な階層構造を構築して行うことにある」を再認識の点線内を参月別 が，平均・分散最適ポートフォリオ

して，図2に示すような五つの階層構造を構築する．

におけるリスク・リターン特性から大きく帝離するこ

階層の最上階（第1レベル）にある総合目的は，債券となく，バランスのとれた債券ポートフォリオの構築

ポートフォリオ構築である．第2レベルにある関係要が可能となるかを数値例に基づき検討することである．

素は，定量的要因と定性的要因の2要素とする．第3そこで，図2の第4レベルにある評価基準である「水レベルにある関係要素は，定量的要因の下にリターン

準」リスク，「傾き」リスク，「湾曲度」リスク，に関要因と定量的リスク要因を，定性的要因の下には，する第5レベルの代替案間の一対比較には，節4で求「流動性」リスク要因と「需給」リスク要因をおく．

めたものを利用する．また，第3レベルの定量的リス

第4レベルの関係要素は，「水準」リスク，「傾き」リ

クを評価基準とする第4レベルの要素である「水準」

スク，「湾曲度」リスクの三つであり，定量的リスク

リスク，「傾き」リスク，「湾曲度」リスクのウエート

要因の下に位置する．第5レベルは，代替案の2年債，は，節4で示した各リスクの定量的リスクを説明する

5年債，7年債，10年債，15年債，20年債である．

比率に応じる．最後に第3レベルのリターンと定量的

第1レベル

第2レベル

第3レベル

第4レベル

第5レベル

図2 AHP階層構造〃2（60）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

リスク間のウエートをいくつか与えて，各与え方に応づいて（4／1912／19 3／19）である．この二つのウエ

じたAHPウエートを求める．この各AHPポートフートを統合するのが，リターンとリスクの選好であり，ォリオに関するリスク・リターンと，平均・分散ポー

この選好によってAHPウエート，そのウエートに基

トフォリオおよびリスク要因別制約条件付き平均・分

づくリスク量，リターンが決まる．ここで決まったリ

散ポートフォリオに関するリスク・リターンとの対応

スク量を先のリスク許容量エに代入すれば，AHPウ

関係を把握する．以下では，節4で導入した記法を用

エートと同じリスク量を持つ平均・分散モデルのウエいたリスク要因別制約条件付き平均・分散モデルを示ートおよびリターンが求められ，AHPポートフォリ

しておく．

オと平均・分散ポートフォリオとのリスク・リターンに関する比較が可能となる．各リスク許容量⊥の下リスク要因別制約条件付き平均・分散モデル

肋芳 rXrで，AHPポートフォリオのリターンと，平均・分散（5）

ポートフォリオのリターンとを比較したものを図3に一府≦（s寝L箸1」）（β1軋1∬1＋…＋β乃軋乃∬乃）≦凝，

示した．両者の差は，リスク許容量に依存するが，い（6）

ずれも10BP（1BP＝0．01％）程度以下に収まって一府≦（s侵し‡2」）（β1α打∬1＋…＋β乃α2，乃工乃）≦ノ前方百，

いる．リターンとリスクの選好として，リターンに関（7）する選好を全てとするケース（Weight to Returnが−ノ詑￣≦（5寝Lf3」）（β1恥1∬1十…＋β乃恥乃∬乃）1）からリスクに関する選好を全てとするケース≦雁，（Weightto Returnが0）までに関して，債券A，債

JZ∑み＝1， J、＝1

券B，債券Cのウエートを，それぞれ図4〜6に示しみ≧0，（1，2，…，乃）

た．債券Aは，債券B，債券Cに対して，リスク対数値例

比でリターンが劣るため，最適ポートフォリオでは一

定量的要因部分に関して，三つの債券，債券A，

切選択されない．債券Bに関してみると，AHPウエ

債券B，債券Cからなる債券ポートフォリオの簡単な構築例を示す．各債券の1単位当たりのリターン，

リスクは，それぞれ2，1，3；3，1，4とする．また，とでの最適ポートフォリオウエートは，表1に示した

5︵ご∈⊃葛丘2

リスクに関するリスク許容量をとする．この設定のも■−シンプレックス表（ここでの記法は，小和田・加藤

5［1998］に従った）が示すように，債券Bと債券Cを〇．

0それぞれ，4／3−⊥／3，⊥／3−1／3ずつ保有するものと

1．T l．9なる．AHPウエートをみると，リターンに関するウ

2．1

2．3

2．5

2．了

2．9

RiskL（％）

エートは，（1／31／61／2）であり，リスクに関する◆AHP♯LPoptirTlal

ウエートは，リスクの逆数に比例するとしているので

図3 AHPポートフォリオと平均・分散ポートフォリオ

3，1，4の逆数1／3，1，1／4，或いは，4，12，3に基との比較

表1線形計画法に基づく債券選択のメカニズムd−〉ci 基底変数 定数項
0

D

O O

E

2

1

A

B

3

0

0

C

D

E

1

0

1

1

3

1

ヰ

0

1

Zi

0

0

0

0

0

C卜zi

2

1

3

0

0

0

1

−1／4

4／3−レ3

1

0

し

3

0

1／4
3／4

0

0

−3／4

し

L／4

m8X
0

D

1−L／4

3 3

C

L／4

3／4
1／4
3／4

1／4

Zi

3／4
9／4

Ci−Zi

−1／4

1／4
maX

口 B 4／3−レ3 1／3
3 C レ′3−1／3 2／3
Zi

了／3

d一之i

−1／3

4／3

−1／3

1

0

0

1

1

3

1／3

1／3
2／3

0

0

−1／3

−2／3

−1／3

allnonDOSitive

2003年10月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（61）〃33．1

3．3

ート，最適ウエート共に，リターンに関する選好が高を持つが，リターンを10BP程度諦める代わりにバ

くなるに従って減少する．これに対して，債券Cでランスのとれたポートフォリオを与えていることがわ

は，AHPウエート，最適ウエート共に，リターンにかる．

関する選好が高くなるに従って増加する．これらをみ6．事例報告ると，AHPウエートは，最適ウエートと同様の性質

ここでの事例報告は，節4でも述べたように，1996

年5月23日から1998年6月2日までの期間における

0

0．2

0．4

0．6

0．8

日本国債（2年債，5年債，7年債，10年債，15年債，20年債）の利回りに基づく．この期間において，各債券の1単位当たりのリターン，「水準」リスク，「傾き」リスク，「湾曲度」リスクは，それぞれ表2に示すとおりである．「水準」リスク，「傾き」リスク，「湾曲度」リスクの全分散リスクに占める割合は，節14に示したように，それぞれ94．1％，4．2％，1．2％でWeighttoRetumあるので，これらの平方根をとった標準偏差リスクでの割合は，75．5％，15．9％，8．5％となる．ここでは，

図4 債券Aのウエート
0．8
0．7
0．8
0．5

巷。．4
宴

0．3
0．2
0．1
0
0

0．2

0．4

0．6

0．8

1

WeighttoReturn

図5 債券Bのウエート
0．8
0．7
0．6

0．5

AHPウエートは，リターン，「水準」リスク，「傾き」リスク，「湾曲度」リスクの四つに関するウエー
トベクトルの線形結合で表されるが，リスクに関する
三つのウエートベクトル間での線形結合ウエートは，
先の75．5％，15．9％，8．5％を採用する▲
因子負荷量を示す表2によると，「傾き」リスクと「湾曲度」リスクに関しては，負になっている部分があるので，この情報を直接利用して一対比較行列を作成することはできない．各年限のリスク量を表す一対比較行列の各成分は，全て正の値でなければならないからである．そこで，「傾き」リスク（「湾曲度」リス
ク も同様）に関しては，全年限のリスク量（ざ扉L‡2」上）どα2ど）の絶対値をとったうえで，節4での手続きに従った．絶対値を取る変換を行なった背景には，リスク量（ぶ侵し‡2」β沼2∫）はファクタが正の方向に動い

◆■ 」＝

・ぎ0．4

0．2

た場合に生じるリスク量を表しており，リスク量が負であってもファクタが負の方向に動けば，正のリスク

0．1が生じることがある．しかしながら，この変換は，リ

き 0．3

0
0

0．2

0．4

0．6

0．8

スク量を表す一対比較行列の各成分を正にすることを1目的とした一つの変換であり，ここでのAHPポート
フォリオは，このような取り決めの下でのものである

WeighttoReturn

図6 債券Cのウエート

ことをことわっておく．さて，リターンとリスクに開表2 各債券のリターンとファクター別因子負荷量
Retum O．713 3．895 6．299 9．128 13．492 16．965
0．029
0．024
FactorFl O．029 0．040 0．038 0．032−0．005 −0．007 −0．006
FactorF2 0．013 0．004 −0．001−0．001 −0．M −0．004
FactorF3 −0．005 0．004L O．005

TT4（62）

オペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

するそれぞれのウエートを統合するのは，第3レベル選ばれる．これに対し，AHPポートフォリオでは，の要素であるリターンと定量的リスクとの選好であり，よほど極端なケースを除き，全ての債券に何らかのウ

この選好によってAHPポートフォリオ，三つの定量

エートが与えられる．リスク許容量が小さい場合，つ的リスク量，およびリターンが定まる．ここで定まっ

まりリスクに関する選好が大きい場合，リスクに関すたリスク要因別リスク量を，それぞれ，雁，る一対比較行列により得られるウエートがポートフォ

ノ扇誘言，厭として用いて，（5）−（10）式で定式化さリオに大きく反映され，同じリスク水準におけるリタ

れた線形計画問題を解けば，AHPポートフォリオとーンは平均・分散ポートフォリオにある程度劣る．こ同じリスク量を持つリスク要因別制約付き平均・分散れに対して，リターンに関する選好が大きい場合，リポートフォリオが求められ，両者のリスク・リターン

ターンに関する一対比較行列により得られるウエート

に関する比較が可能となる．さらに，ここでは，リスがポートフォリオに大きく反映されるため，平均・分

ク許容量として，斤ゐゐエ＋尺ゐ烏S十月ね烏Cを採用して散ポートフォリオのリターンに近くなる．ただし，こリスク要因別の制約条件のない通常の平均・分散ポーの場合でも，AHPポートフォリオでは全ての債券にトフォリオおよびそのリターンも求め，先の二つのポ

何らかのウエートが与えられるため，平均・分散ポーートフォリオに加えてリスク・リターンに関する比較

トフォリオのリターンを超えることはない．これが，を行う．

AHPポートフォリオと平均・分散ポートフォリオとのリスク・リターンに関する対応関係である．

第3レベルにおけるリターンと定量的リスクの選好リターンと定量的リスクの選好に関する，2年債，として，リターンに関する選好を全てとするケース（Weight to Returnが1）からリスクに関する選好を

5年債，7年債，10年債，15年債，20年債のAHP全てとするケース（WeighttoReturnが0）までに関

ウエート，リスク要因別制約付適平均・分散ウエート，

する各選好の下で，AHPポートフォリオのリターン

平均・分散ウエートをそれぞれ，図8〜13に示した．

とリスク要因別制約付き平均・分散ポートフォリオの平均・分散ポ丁トフォリオで選択される債券は，2年リターンとの差，およびAHPポートフォリオのリタ

債と20年債のみとなっている．よって，節4で導入

ーンと平均・分散ポートフォリオのリターンとの差を0．8

図7に示した．AHPポートフォリオのリターンとリ

0．7

スク要因別制約付き平均・分散ポートフォリオのリタ

0．6

ーンとの差は，リターンとリスクの選好にほとんど依

0．5 羞
・ぎ0．4

存することなく，3．5BP程度で一定であるのに対し

き 0．3て，AHPポートフォリオのリターンと平均・分散ポ

0．2

ートフォリオのリターンとの差は，リターンに関する

0．1

選好が高くなるに従って小さくなり，20BP程度から

0

0．2

0

9BP程度にまで縮小する．平均・分散ポートフォリ

0．4

0．6

0．8

1

WoighttoR8tUrn＋AHP♯LPoptimaI＋QPoptimat

オではリスク許容量の大小にかかわらず，リスク量が制約条件を満たす範囲内でリターンの高い債券が少数

図8 2年債のウエート
0．18
0．16
0．14
0．12
篭0・1

茎0．08
0．06
0．04
0．02
0

0．2

0．4

0．6

0．8

1

0

0．2

WeighttoRetum

0．6

0．8

WoighttoRotum＋LPoptirTlaトAHP≠QPoptim8トAHP

図7 AHPポートフォリオリターンとの格差
2003年10月号

0．ヰ

＋AHPせLPoptimal＋QPoptimar
図9 5年債のウエート© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（63）TT5

1

した定量的リスクに関する一対比較行列が，平均・分
散ポートフォリオと適切に関連したものであるかどう
かは，リターンと定量的リスクとの選好を変化させた

ときに，AHPポートフォリオの2年債と20年債のウエートが平均・分散ポートフォリオの2年債と20年債のウエートと同じような動きを示せばよい．図8
0．2

0．4

0．6

と図13に着目すると，AHPポートフォリオと平0．8

1

均・分散ポートフォリオは，リターンに対する選好を

WeighttoRoturn＋AHP≠LPoptimal＋QPoptimal

高かくする（リスク許容度を上昇される）に従って，それぞれ2年債のウエートを40％から0％近くまで，

図10 7年債のウエート

70％から20％まで低下させ，20年債のウエートを5％から23％まで，30％から75％まで上昇させている．
リスク要因別制約付き平均・分散ポートフォリオでは，2年債と20年債に加えて，リターンの選好水準に応じて5年債や7年債が選択される．より詳細にみると，リターンに対する選好が0から0．5に増加するに従って，5年債のウエートは8％から0％へと減少
する．7年債のウエートはこの埋め合わせで5％上昇
0．2

0．4

0，6

0，8

1

WeighttoRoturn

するが，リターンに対する選好が0．5を超えてくると減少に向かう．AHPポートフォリオでもリターンに＋AHP≠LPoptim81＋QPoptimal

対する選好の増加に伴う5年債ウエートの減少や，リ

図1110年債のウエート

ターンに対する準好が0．5を超えたところでは7年債

ウエートの減少がみられる．このように，AHPポー
トフォリオとリスク要因別制約付き平均・分散ポート

フォリオとの関連性は，AHPポートフォリオと平均・分散ポートフォリオとの関連性よりも高いものとなっているが，これはリスク要因別制約にリスクに関する一対比較行列が正しく反映されている，つまりリ
スク要因別一対比較行列が適切に与えられていること
0．2

0．6

0．4

0．8

1

WeighttoReturnを表している．

また，AHPポートフォリオでは，リターンに対す＋AHPヰLPoptimal＋QPoptim8l

る選好の増加に伴い15年債のウエートが10％から

図1215年債のウエート

27％へと上昇している．15年債のリスク・リターンの性質は20年備に極めて近いため，AHPポートフ
ォリオでは，15年債が20年債のウエートを補完するような形となり，20年債のウエートがいずれのリターンに対する選好水準においても平均・分散ポートフ
ォリオやリスク要因別制約付き平均・分散ポートフォ
リオよりも少ないものとなっている．

これまで確認したように，リスク要因別の一対比較
0，2

0．4

0．8

0．8

ポートフォリオのウエートやリスク・リターンの特性

WeighttoRotum＋AHPヰLPoptimal＋QPoptirn8l
図13 20年債のウエート〃6（64）行列として節4で導入したものを利用すれば，AHP
1が従来の平均・分散ポートフォリオの特性に近いものとなる．よって，このリスク要因別の一対比較行列をオペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

用いてAHPを適用すれば，定量的要因によるウエー

めは，定性的要因と定量的要因間の選好を表す一対比

トは従来の債券ポートフォリオ選択から逸脱すること

較行列としてどの程度のものを採用すれば，定性的要なく，定性的要因も容易にモデルに組み込んだ債券ポ

因も加味したうえでバランスの取れたポートフォリオ

ートフォリオの構築が可能となる．

を構築できるかに関する実証分析である．

7．まとめと今後の課題

謝辞 貴重なコメントを下さったレフリーと成蹟大学

AHPを用いれば，定性的要因も加味したうえでバ

工学部の上田徹先生には，心から感謝致します．

ランスの取れたポートフォリオを構築することができ
参考文献

るにもかかわらず，債券ポートフォリオ構築の実務においてAHPの利用がほとんどみあたらない理由として，AHPポートフォリオのリスク・リターンと平均・分散ポートフォリオやリスク要因別制約付き平均・分散ポートフォリオのリスク・リターンとの対応関係がみえにくいことが挙げられる．本稿では，この点を解決すべく，AHPにおける一対比較行列として定量的に与えられるものに関しては，過去のリターン
時系列の平均や分散共分散行列からの情報を可能なか［1］大塚英作：証券アナリストのための数学・統計学入門

第2部 統計学，日本証券アナリスト協会，第1期．
［2］小和田正，加藤豊：例解OR 意思決定へのア70ロー
チ，実務出版，1998．
［3］木下栄蔵：孫子の兵法の数学モデル，講談社，ブルーバックス，1998．

［4］木下栄蔵編：AHPの理論と実際，日科技連，2000．

［5］批々木規雄，高山俊則：AHPを用いた最適ポートフォ
リオモデル，日本OR学会，1997年度春季大会，1997．

ぎり利用した一対比較行列の構築法を因子分析に基づ［6］今野浩：理財工学Ⅰ，目科技連，1995．

いて与えた．また，事例報告では，その一対比較行列［7］今野浩：線形計画法，日科技連，1987．

に基づくAHPポートフォリオと同じリスク量をもつ［8］Khaksari，S．，R．，Kamath and Grieves，R．，A

平均・分散ポートフォリオやリスク要因別制約付き平approachtodeterrnlnlngOptimumportfoliomix，The

均・分散ポートフォリオを構築したうえで，3者間のJournalof Portfolio Management（Spring）：43−49，

リターンやウエートの比較を行い，これらの関連性を1989．

明らかにした．これにより，定量的要因によるウエー
トは従来の債券ポートフォリオ選択から逸脱することなく，定性的要因も容易にモデルに組み込んだ債券ポートフォリオの構築が可能となる．
今後の課題としては，次の2点が挙げられる．一つは，節6において「傾き」リスクと「湾曲度」リスクに関する一対比較行列を与える際に，単位当たりのリ
スク量の絶対値を取ったが，絶対値を取る以外にどのような変換が好ましいかを検討することである．二つ

2003年10月号［9］Litterman，R．andJ．Scheinkman， Commonfactors
affectingbondreturns，JournalofFixedIncome，54−

61，June，1991．

［10］Markowitz，HリPortfolio Selection．Journalof
Finance7，77，91，1952．

［11］Saaty，T．L．，P．C．Rogers and Pell，R Portfolio
Selectionthroughhierarchies，TheJournalofPortfo−

1ioManagement（Spring）：16，21，1980．
［12］S−plus6forWindowsGuidetoStatistics，Volume
II，InsightfulCorporation，July，2001．

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（65）丁〃