計測自動制御学会刺ヒ支部第17自回研究集会（1粥胤7．24）
資料番巧17占一9構造系と制御系の同時最適設計に関する一考察
Ⅶ∴性造の離散的変動の取り抜い−OTISimut［aneousOptimalDesignofStru亡tureandControISystems−TreatmentofI）iscretel）esjgnParameters一秋田大学 ○平元 和彦，土岐 仁，大日方 五郎
KazuhikoHjramoto，HitoshiDokiaJldGoroObjnata，AkiLLIUniversl［yキーワード：構造系と制御系の同時偏屈儲計（SimultaneousopLinlaldcsignofstructureandconlro一明Cmゝ〕
連絡先：〒010一再5ロコ 秋凹rh■手形学固町トl秋凹大学丁学資源苧誹機械工学科 平元 和彦，
Tcl．：O18一日89−2341，Fax．：u18−837−04O5，E−maitニhira＠ipc．akita−u．aC．jp

1．はじめにも認識されていないと思われる．これを踏まえて．本
報告は，同時最適謂計問題を前述したような離散的な制御系を梢成する貯，制御対象とコントローラ双方に調整可能な設計変数が存在することは珍しくない．

このとき，両方の設計変数を与えられた仕様を満足す設計変数も含めた形で再定式化することを目的とする．構成を以下に示す．三幸で関越を定式化する．3
革では設定された問題に対する構造最適設計の分野るように同時に調整する 梢造系とf†ilJ御系の同時最適でのアプローチを簡単に紹介するとJ＝こ，大域的な最設計法 が有効であると考えられている川・閏．しかし，適解を求めることが困難であることを示す，4串では一例として，構造物のセンサ数1汗封鳥 コントローラの同時決定問題をメタヒューリスティックスの手法

現状では，構造系，制御系それぞれ甲独の設計法と比較したとき，同時最適設計問題を行うための手法が確立されているとは言えない．
同時最適設計問題は了構造系とコントローラ双．引こ市存する設計変数を調整して．設計仕様を表現する評
柵間数を最適化する問題に帰着される．この間題を．の−−一つであるSA（SiTnulatedAnnealing）を応用した設計アルゴリズムで試みに解いてみる．5章で今後の課題を述べる．なお，以卜榔耶吋象中に存在する設計変数をパッシブパラメータと呼ぶことにする．

汎川的な最適化コードを川いて直接解こうとするアブロ＝チが存在する一方削回他鼻拙，解析的に解きやすいIFり題のサブクラスを明らかにしようとする研究も行なわれている【5＝可，しかしながら，現在まで前述のアプローチの中で，センサの個数や捕成部材の追加，制御封顛と重み関数から構成される−一般化プラン
トの伝達行列を．次式のように定義する．

階から同時最適設計の考えカを取り入れた設計法は

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コnr′し丁山﹈

著者の知る限りでは存在しない．この設計初期段階でも，同時昂適設計の理論が設計者に何らかの回答を提示することは重要であると思われる（例：現在の制御系設計理論では，センサやアクチュエータ数をいくつ山Tt▼

ト

撤去などを決定するような，制御対象の概念設計の段

2．問題設定lヽ1Pヽ

コ−n▲︑し（1）にすればよいか？という問題に明確に答えることはできない．）．構造系の最適設計のコミュニティでは．
卜記のような概念設計段階への最適化手法の導入は・■■■

位相最適化と呼ばれ，近年盛んに研究されているl軋えばt7】．位相最適化を含む構造の晶適設計は，部材の追机撤去などの郡散I■l勺な設計変数と，各部材の形状などの連続的な設計変数が混在しているのが特徴であり．最適僻を求めることが困難であることが議論されている囲．しかし，制御理論の立場から同時最適設計問屈に取り組んでいる研究者の問でi・ま，この事まが必ずしこ，、Y∈R・・V・・は外乱，ll∈R・…JJは制御入力，z∈R〃こ叫ま棚卸出九y∈R〃勅は睨測出力であり，A∈R仙い巾」），B】∈R仙丹−

Ilっ∈R仙叫山

D＝∈R〃仙∧舟

C．∈R・Vこ仙Ⅴ（pd），Cl∈R〃−山叫隼Dlユ∈R仙）叫ノ），仙l叫Jl〟冊仙），Dユl∈R，Dlつ∈Rである・p−二は，連続的なパッシブパラメータ値をそのC〟＝ト∈R・㌦l些．叩∬≦訂，牡，訂甜人，l｝芳一p〟≧町v人

要劃・こ持つ凡・次元栗ベクトルであり，p ∫は1離散的な前述したp√′の次元凡と同様に．J㌦もp。の間数である町），K（∫）からなる閉ループ系のwからzまでの伝達値（醒数個）を持つパッシブパラメータ伯をその要素に持つ凡如￣己ベクトルである．p亡∫の要素である連続的行列をT（∫〕と定義する．本報告では．構造の離闇且腐な設計変数としては，例えば構造物の（部材〕刀引夫や，乱も考玩引こいれた構造系と2別御系の同時品適設計問
題を以下のように定式化する．

センサやアクチュエータの配置などが挙げられる．離散的な設計変数と考えられるものとしては，センサや【構造系と制御系の同時最適設計問題］

アクチュエータの数，判敬振詣や部材の有無などが挙T（∫）を内部安定化し，制御仕様Sr，制御対象（構造系）に関する仕様S＿、およぴコストに関する什様Sビをげられる．また，構成部材として．ある規格化されたものを任用しなければならないような状況では，部材満足する恥∈Cr′，pt・∈C‖恥∈Crを見つけよ．

寸法などもpdに含まれる．構造の質乳減免剛性僻

は正の値を取らなければならないことや∴構造の形状

Srは，例えば， T（上うの比ノルムを最小化せよほたはある値po以下にせよ）． や， Wのある要素にを維持する（自重の支持など）必要牲などから，一般的にp ＝の希望素には上限．下限が存在する■以下，p。
は，以下のような集合C。に屈しているものとする．

ステップ間数を印加したとき一 Zのある要素のオーバ
卜を5髄未満とせよ・ などと記述される町）

ーシュ岬

が満足すべき制御仕様の集合である．制御封顛〔構造系）に関する仕様Sjは．」l構造系の重員を最小化せよ．

C√コ（pt・∈叫墜叩．・≦打，墜五∈R−VL，訂山型叫）や， 発生する山げ応力の景大値を恥。1＞U未洞とせよ． などと記述される制御対象そのものに与えられ（2）る仕様である．コストに関する仕様St。は∴■構造の結p ．，p亡．は，pぐの上下限をその要素に持つベクトルであ

コストがなるぺく小さくなるような構成部刑の材質

る・また，p√′もp（．と同様の埋l‡Ⅰから，以下のような集を決定せよ． や，■ 制御系のコストがc．，、過X以下にな合亡 ノに屈しているとする．

るようにセンサ，アクチュエータ致や，それらの質を決定せよ． などと記述される．また，S（，S−，S。には評価間数の最小化でよ現される仕様，等式または不等C ′巴ト′甜J］毀≦M訂旦，訂∈Ⅰ・、 J，訂一頃0∧・。l式拘束条件で表現される仕様が含まれているとする．

（3）

Ⅰ一、■Jは勅次元で，整数をその要素に持つベクトル空∬Ⅰ

3．解法に関する検討の全体である・p〟，p。はp。の上下限を嘉すベクトルである・なお，u，ヱ，y，A，Ⅱ1，鞋，C】，Cユ，D‖，Dlコ，Dユ，ナDココの次元，pr∫の間数であることに注意する．これにより，動哩振朋などの追瓜撤去によるP（∫）の次数の憎か軋
センサ，アクチュエータ致の変化に伴うP（∫）の入出力数の変動が表現可能になる，さ引こ，II亡の次元几．も，p．′の関数である．これは，例えば，センサ数の変動に2章で設定された問題は．拘束条件付きの多目的最適化問視である，設計変数には連続的な肺を取りうるp亡」−〟および離散的な値を持つpJが混在Lている．この間題の解析∩勺または数値的に見通しのよい〔出炭適化川越やLMlに帰着できる．）耶はは未だ見つかっていない．本間題のサブクラスで，今のところ系統的なより，決定しなければならない最適なセンサ配置数が解法の確立に近いものは，p。が存在せず，pr，恥が式〔1），（4）の各行列に縦形に入っており，かつS。，S、がpい恥変軌するような状況に相当する，式〔1）に対して．次式の〃次の動的コントローラ町T）の凸関数で記述された場合である．このとき．同時最を考える．

適設計問題は，BMt問題に帰着きれるIjト【hし Bhll問題
は，NP−hardであることが示されており，多数の設計K（車変数を最適化する場乱 実用的な時間で解くことが困諾創接：：；］こ こで・A∬∈R難であるが，その記述能力の由さから線形制御系設計理論の中で現在非常に枯発に研究されている回．しかし，究隙の設計問題が，はじめから卜記のサブクラス

（4）

帖）叫巾

B∬∈R〟（〟血（pJ），，の範疇に入る場合はほとんどない．さらに十本論文でC〟∈R」へ1仙叫），D〟∈R〃両仙トごある・恥は，コ着目している離散的な設計変数pントローーラ中の設計パラメータベクトルであり．その不可能である一 一方，部材の配置のような離散的な設要素は連続的な値を持つ・T〔∫〕の内部安定性を満足す

計変数の最適化は．構造設計の山野では 1立用品適化るためなどの叩由によりJ恥は，次式で定義される集と呼ばれ，現在活発に研究されている．位相最適化を合に屈しているとする．

含めた構造崩適設計の手はとしては，主に以下のニコ′を取り扱うことはのアプローチがある．
（1）分枝限定法によるアブ「ト爪チ州 師設的な設計変数に関して分枝を行い，限定された（連続的な設計変数のみからなる）部分問題を研くことにより窮適解を求める．
（2）碓率的アブ「トーチI11川コl ランダムサ山千，G八（GcneticAtgorj【hm）や，SA（SiTnu］a【c〔1Annc＝11jng）などの確率「1勺な探索蛙を用いて最適化を行う．
これらの手法を，2章で定式化した同時品過設計問屈引こ適用することを考える．（1）の手法は，確実に最適解を求めることができるが，限定された後の部分問題

rlリ 〃1U

Fig．1SinlPtySuPPOr（e〔lbeanl叫入f）≦Åmnl∀り血＜nとする■であるBMI問題を解くための手法が完全には確立されていないため，今のところ境川的な時間で罷適解を・外札として，吉＝むにインパルス入力を印口Jしたとき，求めることは不可能だと思われる．一九（2）のアプロ〟∩，」X（＞0）以下にせよ・

コントUw−ラの発生する操作員の絶対偶の最大肺をーチは．由撒的設計変数と連親的設計変数を区別せずに最適化が行えるため．アルゴリズム【二1体は簡単になる．また．副次的に，評価関数の微分惜潮を必要とし構造系に関する仕様S、・椚造の屯壷JⅥ．を最小化する．

ないため，勾配が求められないような評価関数でも最適化可能である．一方仁局所耶への収火さえも確率的にしか保証されず，最適化の最終真書果が必ず最良の設計結果とはならない．このように∴離散的な設計変数も含めて定式化された同時最適設計問題を解くためコストに関する什描Sr・センサ／アクチュ工ニタの設置数に比例したコストが生ずるものとし．これを屈小にするようなセンサノ′アクチュエータ設置数を決雇する．の有刺な手法は存在せず，今後の研究課題である．

4，設計倒以上の什様で最適設計を行った．］章で述べたようにこの間避を朋くための手法は確立されていない．本
設計例では，確率的なアプローチの一つである S八（Silllt】】a【e〔1AllIleali咤）の手法を応用して最適な設計パ

木革では．設計例として，図1に示すような長さがラメータを探索する．sA法は，局所探索の手法に評上で，センサノアクチュエ・一夕コロケーー、ションが成立したはり状構造物の同時最適設計問題を考える．本来を価関数の確率的な改若を許したもの￣Fある．改悪の確率は．1L温度 と呼ばれるパラメータを用いて探索初

R叫咄h−Ritz法を用いて10次モードまで近似し．式（1）のように去す．設計変数及び設計仕様は以下の通りで用は高くし，探索の進行と共に低くする．これによって，アルゴリズムは探索初期にはランダムサーチ的にある．

乱作し，探索終盤には単純な′q所探索のように動作する・位相最適化にSAを応用したものは文相12］にも制御対象の設計変数

離■散的な設計変数ベクトル
センサ／アクチュエ」夕放∧㌔胱＝1〜5〕
妊続「l勺な設計変数ベクトルある．本報告では，その手法とは異なり，享ij．純なSA法に．p．′〔センサ／アクチュエータ数）の変化による評価関数値の大幅な改Ⅱを，探索初期は許し∴探索終盤は許さないような基準（この基準は確率的ではなく，・センサ／アクチュエータ配置監（た1，．．り凡）決定的に働く．〕を」」nえて，探索前半は積極的にp。
を変イヒさせ．後半はprJを同定してp‖恥の調整費行うようにした．間題は多目的最適化問題になるが．ここでは岳評価の重み付き和を取って，評価間数を単一一目コントローラの設計変数ベクトル

いて処理している・生＝u5ユ｝α一＝1jユ・人n柑X＝−U・5，叫‖ユⅠ＝1・はりを長芋方向に10分割したときの断面積叫（た1，・‥，】0）ただし・生≦βf≦訂的化している．不等式拘束条件は．ペナルティ旺を用・文南天何の手法で固1の構造物に対してコントローとし，1つのセンサ／ア夕子ュ工・一夕の設置につき1川）

ラをパラメトライズしたときの設計変数のコストが生ずるものとして設計仕様

制御系に関する仕損S ．
吉＝吉vに作用する外乱から拙作唇uまでの〝ヨノルムの2．乗ムを最小化する，閉ループ系の極ん（た1，‥リ〃＋」叫の実郎を，最適化を行った．繰り返し【可数に対する∫．′，んの変化を岡2コ］にホす．回4に初期時および最適化後のi・まりの形状を示す．センサ

げクチュエータ数凡は3となった，図5は最適化後の閉ループ系の摘を示している．回6，7（a〕は開，閉ループ系のイン川レス応答吃．＝0．ヨに印可時の印．65でのはりのたわみ〕を示し，同7（b）はその時の掛牢屋を示している＿ 閉ループ悔や，操作皇の上限に関する拘Tl）POIugy Design，TransacEions of the ASME，束が満足されていることが確認できる．前述したよう

JnuTnalし一fMechanjcalD巳Si帥VOl．116，PP．10O5−に，本アルゴリズムは品通解への収瀬は（局所的にも〕1012（1粥4）・保証できない．しかし，本数値例では比較的良好な結r12）G，Rc【】dy anllJ．Cagan：AnIl叩rOVed Shape果が得られていることがわかる．

八nmealingAlgローithn−fDrTrussTopologyGcn仁一ali叫

TrIl11SaCtions of the ASME，J〔）uTnal11f McL：hnic；11Des如，V口l，】けフPP．コ15−コヱ1〔1リリ4）．

5．おわりに

本報告では，離散的な設計変数を考慮した構造系と制御系の同時最適設計問題を定式化した．従来の連続的な設計変数のみ考慮した同時最適設計法と比較し，本間題は最適解を求めることがより凶凱である．確率的探索手法であるSA法を用いた設計例を′」モしたが，この方蛙は決してペストではない∴最適解への収束性が保証されかつより計算効率の高いアルゴリズムを開発することが今牲の課題となる．

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