計測自動制御学会東北支部 第 293 回研究集会 (2014.2.19)
資料番号 293-02

回転型倒立振子における安定姿勢のための適応極配置制御系の設計
Design Of Adaptive Pole Placement Control for Stable Posturesin Rotary Model Handstand Pendulum○武田修一 ∗ ，天野耀鴻 ∗○ Shuichi Takeda∗ , Yoko Amano∗*日本大学大学院 工学研究科 電気電子工学専攻*Nihon University Graduate School of Engineering, Electrical and Electronic Engineering
キーワード : 適応極配置法 (Adaptive Pole Placement Method)，回転型倒立振子 (Rotary Inverted Pendulum)
連絡先 :〒 963-8642

日本大学大学院 工学研究科 電気電子工学専攻 天野研究室

武田修一，Tel.(024)956-8796:E-mail: control lab 8@yahoo.co.jp

1.

序論z0,z1近年，機械システムは大規模化・複雑化しており，y1

このような機械システムを安定に動作させるためにx0は制御システムの設計が必要となる。制御システムの設計には機械システムの運動方程式・状態方程式x1ry0z3 z2>0 CCW

y3y2

Rotary arm
Jarm marmを用いるが，その際得られる運動方程式・状態方程式は簡略化されたものとなる。また，実際のシステ
ムには外乱などの不確定要素が存在し，これらを無lp視して制御システムを設計すると，制御しているにLpも関わらず機械システムが不安定になることがある。
そのため不確定要素に対して頑強（ロバスト）な制

PendulumJp mpz4y4(xp,yp,zp)
x4(xtip,ytip,ztip)

御が求められ，ロバスト制御システムの設計方法にFig. 1

は様々な手法が提案されている。
本研究では，回転型倒立振子を制御対象として，動特性が絶えず変動するシステムに対応できる適応極配置法を用いて制御システムを設計し，ロボットシステムの安定性を確立する。

2.

回転型倒立振子のモデリング

本研究では，Fig.1 に示す回転型倒立振子実験装置モデルより運動方程式・状態方程式を導き，制御

Rotary Inverted Pendulum Model
Table 1LpmrhθαJArmJP

Physical Parameters

Length of Pendulum
Pendulum mass
Length of Rotary Arm
Pendulum length to the top of the ground
Rotation angle of the Rotary Pendulum
Gradient angle of the Pendulum
Moment of inertia of the Rotary Arm
Moment of inertia of the Pendulum

Fig.1 より回転型倒立振子の数学モデルは導出さシステムを構築する。

–1–

れ，各要素のパラメータの数値を代入すると次のように算出される。
{ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)[x(t) = θ α θ̇

同定モデルの選定

3.2

前項で回転型倒立振子のモデリングを行ったが，(1)

モデル誤差や回転型倒立振子の状態を考慮すると実システムを正確に表現出来ない可能性がある。この]T(2)

ような問題に対してシステム同定を用いることで得u(t) = Vm
(3)
0010
 0
001

A=

 0 53.1012 −0.6586 0.6575 
0 98.3814 −0.6575 1.2182

1 0 0 00
 0 1 0 0 0

B=C =  0 0 1 0 
 274.4012 られたシステム行列からより最適な制御系の設計をα̇

0 0273.9627

0行うことが可能となる。
本研究では最小二乗法を用いた ARX モデルを適用し，閉ループ制御系に対してシステム同定が可能である同定法として予測誤差法を用いる。また，選定した同定モデルに対して適合率の評価を行うことで選定モデルに対しての有用性を検証する。

最小二乗法

3.3

1

出力の 1 段先予測値 ŷ(k|θ) が θ に関して線形，すここで，θ は Rotary Arm の回転角度，α は Pendu-なわちŷ(k|θ) = θT ϕ(k)lum の傾斜角度，Vm は Rotary Arm Motor の制御電圧である。

3.

(4)

である線形回帰モデルの場合，このときの予測誤差

適応極配置は次式で与えられる。

ϵ(k, θ) = y(k) − θT ϕ(k)適応極配置法とは，極配置法に最小二乗法を組み(5)合わせた構造となっており，プラントの動特性の変動に応じてコントローラを自動調整することでパラこの線形回帰モデルに対して最小二乗法を適用する。すなわち，l としてメータを変化させていく制御法である。

l(k, θ, ϵ(k, θ)) = ϵ2 (k, θ)(6)

Fig.2 に適応制御システムの一般原理を示す。
Disturbance
Setting Input

OutputControllerと選ぶと，パラメータ推定のための評価規範は次式のようになる。

Plant

JN (θ) =Adaptive Mechanism

Performance Control1 ∑ 21 ∑2
ϵ (k, θ) =y(k) − θT ϕ(k)
NNNN

k=1

k=1(7)(7) 式をさらに計算すると，
Required

Practical

Performance

Performance

JN (θ) = c(N ) − 2θT f (N ) + θT R(N )θ

Fig. 2 General principles of adaptive pole placement
要求性能は設計者が仕様として与えた望ましいプラントであり，設定入力，プラントの入手力を用い(8)が得られる。(8) 式の JN (θ) を θ に関して微分して0 とおく。すると，正規方程式と呼ばれる θ に関する連立 1 次方程式が得られる。

R(N )θ̂(N ) = f (N )てプラントの性能を常時測定し，この結果を要求性(9)能と比較する。この比較結果に基づいて適応機構がこのとき，行列 R(N ) が正定値である場合逆行列を働き，コントローラのパラメータの同定を行うこと用いてパラメータ推定値を求めることができ，こので制御入力を調整する。

同定法は一括処理最小二乗法を次式に示す。

3.1

システム同定θ̂(N ) = R−1 (N )f (N )(10)対称に関する物理的な情報やシステムにおける内部構造が不明確であっても，システムの入出力信号

3.4の観測値に基づいて伝達関数を推定し数学モデルをARX モデル

二つの多項式A(q) =決定するアルゴリズムをシステム同定という。

1 + a1 q −1 + · · · + ana q −na

B(q) = b1 q −1 + · · · + bnb q −nb–2–(11)(12)

を導入する。ただし，A(q) と B(q) は規約なオペレー
15タ q の多項式である。すると，10(13)Arm angle(deg)A(q)y(k) = B(q)u(k) + w(k)と書きなおされる。この (13) 式のように記されるモデルを ARX モデルといい，最小二乗法にとって都0-5-10合のよいモデルであるため，最小二乗モデルとも呼-15
25.0 25.5 26.0 26.5 27.0 27.5 28.0 28.5 29.0 29.5 30.0

ばれる。ARX モデルは，伝達関数 G(q) と雑音モデTime(sec)Fig. 4ル H(q) をそれぞれ次式のようにおく。

G(q, θ) =5B(q)1, H(q, θ) =A(q)A(q)(14)

3.7

さらに，ARX モデルの 1 段先予測値は次式のよう

極配置法

線形定数システムはẋ = Ax(t) + Bu(t)(18)

A ∈ ℜn×n

B ∈ ℜn×m (19)x(0)になる。

Compliance rate of ARX model=x0に対して，二次評価関数 J を最小とするような状態

θ̂(k|θ) = [1 − A(q)] y(k) + B(q)u(k) = θT ϕ(k) (15)3.5

同定モデルの適合率
√∑N

k=1 {ŷ(k) − y(k)}2F IT (％) = 1 − √∑N2
k=1 {y(k) − ȳ(k)} × 100 (16)適合率は時間応答シミュレーションを行い，取得した出力と比較検証を時間領域で行う。
N1 ∑ȳ =y(k)N

フィードバックゲイン F ，及び最適制御入力 u∗ (t)を求めることができる。評価関数 J は∫}
1 ∞{ TJ=x (t) + uT (t)Ru(t) dt(20)2 0となり，評価関数 J を最小とする最適制御入力 u∗ (t)を求めるものとする。重み行列 Q, R は[]
Q = diag 1 1 0 0
R = 10と定義する。次式に示す Riccati 代数方程式によっ(17)て正定対称行列 P は，

ĀT P + P Ā + Q − P B̄R−1 B̄ T P = 0

k=1

ここで，ŷ は次式で与えられる出力平均値である。

3.6(21)

ARX モデルの適合率の評価(22)∗によって得られると，最適制御入力 u (t) は，u∗ (t) = −R−1 B T P x(t) = −F x(t)(23)で得られる。

実機動作によって得られた入出力信号からモデルの選定を行う。

極の位置の設計として希望する閉ループシステムの極を予め選定し，実際の閉ループ極が希望する状

y1

態フィードバックゲイン F を決定する。
F1 = R−1 B T P(24)システムの運動方程式より導出される状態方程式(1) より，システムの特性方程式は，|sI − (A + BF )| = 0

(25)

u1

で得られる。ここで I は単位行列であり，この特性方程式の解が極配置の根の位置となる。
Time

Fig. 3Input output signal

Fig.3 に入出力信号を示し，入力に電圧，出力にアームの傾斜角度を用いる。
上記で得られた入出力信号から ARX 同定モデルの適合率における時間領域での評価を Fig.4 に示す。
この結果から本研究に用いた回転型倒立振子におけるアームの傾斜角度に対して 89.37 ％が得られた。

Fig. 5–3–Position of the desired polesFig.5 に示すように希望の極を配置することによっい極の範囲として，システムを安定させるために極の実数部を負側にし，極の虚部から指定した値だけ実機実験の結果4.てゲインを調整することができる。Fig.5 の望まし実機実験におけるアームと振子の傾斜角度を Fig.7と Fig.8 に示し，P t を適応極配置法での動作角度，

P r をロバスト極配置法での傾斜角度とする。

負側に離し整定時間を短くし，行過ぎ量を指定の値8より抑えるには極を実軸から指定された値以上離し643.8Arm angle(deg)てはならないという条件を満たしたものとなる。

ナイキスト安定判別法

202-4

ナイキストの安定判別法は，閉ループ伝達関数

PtPr-6-825.0

P (s)C(s) のナイキスト線図からフィードバック制

25.5

26.0

26.5

27.0

27.528.028.529.0

29.5 30.0Time(sec)

御系が安定であるか否かを判別する方法であり， 閉

Fig. 7ループ伝達関数のベクトル線図は Fig.6 のようにな

Inclination angle of the arm

2.0

Pendulum angle(deg)る。安定条件として，閉ループシステムが安定である場合，伝達関数のベクトル軌跡が点 (−1, 0) よりも内側を通ることで安定となり，外側を通ることで不安定となる。閉ループシステムが不安定になるまでの余裕を安定余裕といい，安定余裕を表わす指標

0-0.5PtPr

Fig. 8180[deg] のときゲイン余裕が |L(j ω)| = 1 となるTable 2のに必要な余裕度をデシベルで表わしたものがゲイ

the arm

1= −20log10 |L(jωpc )| (26)
L(ωpc )のとき，位相が ∠ L(j ω) = 180[deg] となるのに必27.027.5

28.0

28.5

29.0

29.5

30.0

Inclination angle of the pendulum
Comparison of the inclination angle ofrange[deg]Pt

1.9523-2.3215

4.7238Pr

6.8336-6.7699

13.6035

Table 3Comparison of the inclination angle ofthe pendulum(27)と定義される。ここで，ωp c は位相交差周波数を表

αmax[deg]

αmin[deg]range[deg]Pt

0.6152-0.5273

1.1426Pr

0.7031-1.1426

1.8457

アームの動作角度を比較すると，ロバスト極配置わしており，ゲイン余裕 GM と位相余裕 P M はそれぞれ 0 より大きいほど安定度が高い。

26.5

θmin[deg]

要な余裕度を表わした位相余裕 P M [deg] は，

P M := 180 + ∠ L(jωpc )26.0

θmax[deg]ン余裕 GM [dB] となり，と定義される。また，L(s) のゲインが |L(j ω)| = 1

25.5Time(sec)

閉ループ伝達関数 L(s) の位相が ∠ L(j ω) =|L(j pc)|

0.5

-1.025.0としてゲイン余裕と位相余裕がある。

GM := 20log10

1.5制御に比べ最大振幅幅を 65 ％減少させることができた。また，振子の傾斜角度を比較してみても最大Im振幅幅が従来型に比べ 30 ％減少した。

5.

結言

本研究では回転型倒立振子を制御対象とし，適応-1pc

RePM
GainLarge

機実験結果におけるアームと振子の動作角度から本研究での制御手法が比較対象に比べ安定性に優れて

gc

Unit circle
Instability Limit of stabilitystability

Fig. 6極配置法を用いた制御システムを提案設計した。実-1いることが実証できた。今後の方針として，振子を手動立ち上げのみで無く自動立ち上げでの実験を条件に加え，更に安定したシステムの有効性を検証する。

Position of the desired poles–4–