96

数理解析研究所講究録
第2073巻 2018年 96-104

Tsallis relative operator entropy of negative order‐ 半正定値行列に関する負パラメータのTsallis相対作用素エントロピ ‐大阪教育大学教育

瀬尾 祐貴 (YUKI SEO)

(DEPARTMENT OF MATHEMATICS EDUCATION, OSAKA KVOIKU UNIVERSITY)

大阪教育大学教育藤井 淳一 (JUN ICHi FUJII)(DEPARTMENT OF ARTS AND SCIENCES (INFORMATION SCIENCE), OSAKA KYOIKU UNIVERSITY)
ABSTRACT. In this paper, we discuss the Tsallis relative entropy with negative parame‐ters for positive semidefinite matrices. Moreover, we give a simple proof that the Karcher
mean for positive semidefinite matrices is the unique positive semidefinite solution of theextended Karcher equation.

1. 問題の所在と目的

本論文は、[7, 8] の結果に基づいています。

まず、本論文の問題意識について、明らかにします。作用素論の中で、ヒルベルト空間上の2個の正作用素に対する幾何平均は古くから定式化されていましたが (例えば、[2, 14]) 、長い間、3つ以上の正作用素に対する幾何平均の構成は未解決でした。それが、2004年に、安藤‐Li‐Mathias [3] の3人によって、新しい提案がなされ、この方向の議論が一挙に進展しました。それから、10年たった2014年に、Lawson‐Lim‐Pálfia [16, 15] によって、これまでの議論をまとめる形で、3つ以上の可逆な正作用素に対する幾何平均の完全な定式化が行われ、幾何平均の持つべき性質も併せて証明されました。現在、この幾何平均がいろいろな意味で最良のものと考えられています (例えば、[17])。 A_{1}, A_{2} , . . . , A_{n} をヒルベルト空間上の可逆な正作用素、 $\omega$

まり、=($\omega$_{1}, $\omega$_{2}, \ldots, $\omega$_{n}) を加重ベク トルとします。つ$\omega$_{\mathrm{j} \geq 0 かつ \displaystyle \sum_{j=1}^{n}$\omega$_{j} =1 を満たすベクトルです。しかし、ここでは、さらに、各成分について、 0<$\omega$_{j} < 1 とします。そのとき、次の Karcher 方程式(1.1)\displaystyle \sum_{j=1}^{n}$\omega$_{j}\log(X-\frac{1}{2}A_{j}X^{-\frac{1}{2} ) =0を満たす可逆正作用素 Xがただ一つ存在します。それを A_{1} , . . . , A_{n} に対する (加重)Karcher 幾何平均 と呼び、 G_{K} ( $\omega$ ; Al, . . . , A_{n} ) とかきます。応用上、可逆性の仮定は制限が強すぎます。できれば、一般の正作用素に対して Karcher 幾何平均を定義したい。でも、Karcher 方程式 (1.1) の構成上、作用素の可逆性がどうしても必要になります。そこで、それを回避するために、次のような方法が一般的です。任意の $\varepsilon$>0 に対して、 A_{j}+ $\varepsilon$ I を考えると、これはいつでも可逆になります。従って、Karcher 幾何平均 G_{K}( $\omega$, A_{1}+ $\varepsilon$ I, \ldots, A_{n}+ $\varepsilon$ I)
は存在します。このとき、Lawson‐Lim‐Pálfia [16, 15] は、Karcher 幾何平均が各作用素に対して単調性を持っていることを証明しました。即ち、各 j に対して、 0 < A_{j} \leq B_{j} な
らば、

G_{K} ( $\omega$ ; Al, . . . , A_{n} ) \leq G_{K} ( $\omega$ ; Bl, . . . , B_{n} )が成り立つ。これを用いると、任意の $\varepsilon$ > 0 に対して、Karcher 幾何平均 G_{K}( $\omega$;A_{1} +は、単調減少で、かつ、ゼロ作用素によって、.下に有界です。従って、可逆でない正作用素に対しては、 G_{K}( $\omega$;A_{1}+ $\varepsilon$ I, \ldots, A_{n}+ $\varepsilon$ I) は、いつでも、 $\varepsilon$\rightarrow 0 とし$\varepsilon$ I , . . . , A_{n}+ $\varepsilon$ I)

97て、強収束先が正作用素として存在することになります。それを改めて、Karcher 幾何平

均 と呼び、同じ記号 G_{K} ( $\omega$ , Al, . . . , A_{n} ) とかく ことにします。
G_{K} ( $\omega$ ; A\mathrm{l} , . . . , A_{n} )=\mathrm{s}_{ $\varepsilon$\rightar ow 0}-\mathrm{h}\mathrm{m}G_{K}( $\omega$;A_{1}+ $\varepsilon$ I, \ldots, A_{n}+ $\varepsilon$ I)

そして、このKarcher 幾何平均は、オリジナルの Karcher 幾何平均と同じ性質を満たす
こともすぐにわかります。しかし、それは一般的には可逆性を持つとは限りませんから、Karcher 方程式 (1. 1) の解にはなりえません。でも、Karcher 幾何平均の定式化の要はこのKarcher 方程式の解になっていることだと著者は考えます: 一般の可逆でない正作用素に対して Karcher 幾何平均が定義できるわけですから、逆に Karcher 方程式 (1. 1) の方がもう少し考えなければいけないのではないか。つまり、この拡張されたKarcher幾何平均が解になるようにKarcher 方程式を再構成する必要があるのではないかと考えました。それには、相対作用素エントロピーの考えが有効であることがわかりました [7, 6, 4, 13, 9] 。

Aと B を可逆な正作用素としたとき、A と B の相対作用素エントロピーは、藤井 ‐ 亀井

[5] によって、(1.2)

S(A|B)=A^{\frac{1}{2} \log(A^{-\frac{1}{2} BA^{-\frac{1}{2} )A^{\frac{1}{2}で、定義されました。しかも、 S(A|B) は、あります。例えば、A や B に可逆性がない時も、存在する場合がA が B によって majorize されているとき、つまり、ある正の数 $\alpha$>0

に対して、 A \leq $\alpha$ B であれば、いつでも S(A|B) は存在します。そこで、Karcher 方程式(1.1) を次のように拡張します [7] 。 A_{\mathrm{i} , A_{2} , . . . , A_{n} をヒルベルト空間上の ( 可逆とは限らない) 正作用素、 $\omega$=($\omega$_{1}, $\omega$_{2}, . . . , $\omega$_{n}) を加重ベク トルとします。このとき、(1.3)\displaystyle \sum_{j=1}^{n} $\omega$ {}_{j}S(X|A_{j})=0

with

kerX

=$\omega$_{j}>0\ve \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{j}を考えます。後ろの核条件は必要です。なぜなら、この核条件がなければ、X

=

0 がい

つでも解になるからです。また、 A_{j} が可逆の時は、(1.3) は、オリジナルのKarcher方程式 (1.1) と完全に一致します。そこで、私たちは、(1.3) を拡張された Karcher方程式と呼ぶことにします。Aj がすべて射影作用素のときでも、(1.3) はただ一つの射影解を持つこともわかります。しかしながら、んが可逆でないときに、 G_{K} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} ) が一般的に(1.3) を満たすかどうか、また、それがユニークかどうか、わかっていません。今は、\displaystyle \sum_{j=1}^{n}$\omega$_{j}S ( G_{K} ( $\omega$ ;Ai, . . . , A_{n} ) |A_{j} ) \geq 0 までしか、わかっていません。これが、実際に解になっているのかどうか、一番肝心なところが、未解決です。しかしながら、正方行列の場合は、解決しています。んが半正定値行列の場合は、 G_{K} ( $\omega$ ; Al, . . . , A_{n} ) が、Karcher 方
程式 (1.3) の解になっていますし、それが唯一解であることもわかつています。
今回は、行列の場合をいろいろな角度から眺めることにします。Lawson‐Lim‐Pálfia の基本の考えは、Tsallis 相対作用素エントロピーから得られる方程式の唯一解の極限が、Karcher 方程式 (1.1) を満たすということです。従って、ここでは、半正定値行列に対す
るTsallis 相対作用素エントロピーから得られる方程式の負パラメーターの場合を考察することにします。合わせて、いろいろな性質についても紹介をします。そのためには、可逆でない半正定値行列に対して、擬か幾何平均の性質を明らかにしておくことが必要になります。

柳 ‐ 古市 ‐ 栗山 [10, 1!, 18] は、阿部 [1] によるTsallis 相対エン,トロピーの作用素版として、Tsallis 相対作用素エントロピーを定義しました。 A と B を可逆な正作用素、 l\in (0,1 ]
とします。

(1.4)

T_{t}(A|B)=A^{\frac{1}{2} \displaystyle \ln_{t}(A^{-\frac{1}{2} BA^{-\frac{1}{2} )A^{\frac{1}{2} =\frac{A\#_{t}B-A}{t}98

ただし、一般化対数関数 \ln_{t}(x) =\displaystyle \frac{x^{\mathrm{t} -1}{t} であり、

t ‐加重な作用素幾何平均は、

A\#_{t} B=A^{\frac{1}{2} (A^{-\frac{1}{2} BA^{-\frac{1}{2} )^{t}A^{\frac{1}{2}です。このとき、Lawson‐Lim‐P齪fia [16, 15] は、 A\mathrm{i}, A_{2} , . . . , A_{n} を可逆な正作用素、($\omega$_{1} , $\omega$_{2}, \ldots , $\omega$_{n}) を加重ベク トルとしたとき、各 t\in (0,1 ] に対して、Tsallis 方程式$\omega$=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}$\omega$_{j}T_{t}(X|A_{j})=0が可逆な正作用素を解に持ち、それが唯一解であることを示しました。それは、幕作用素

平均と呼ばれ、 P_{t} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} ) とかきます。 t\in[-1, 0 ) のときは、
P_{t} ( $\omega$ ; A\mathrm{l} , . . . , A_{n} ) =P_{-t}( $\omega$;A_{1}^{-1}, \ldots , A_{n}^{-1})^{-1}

で定義します。このとき、
G_{K} ( $\omega$ ; Al, . . . , A_{n} )=\displaystyle \mathrm{s}-\lim_{t\rightar ow 0}P_{t} ( ; Al, . . . , A_{n} )$\omega$

が成立します。この結果によって、Karcher 幾何平均の多くの性質が導かれることになりました。しかし、 t が負の時の幕作用素平均の構成の仕方はやや技巧的にもみえます。そこで、 t‐加重な作用素幾何平均の定義を負の場合まで拡げてみます。

t\in [-1, 0 ) に対して、

A\displaystyle \#_{t}B=A^{\frac{1}{2} (A\frac{1}{2}BA^{-\frac{1}{2} )^{t}A^{\frac{1}{2}を考えます。これは、 \#_{t} と全く同じ式です。 t\not\in[0 , 1 ] のとき、 A\natural_{t}B は、作用素平均にはなりませんが、ある程度の作用素平均的な性質は持っています。そこで、 A\natural_{t}B'を擬か幾

何平均と言うことにします。各 t \in [-1, 0 ) に対して、Tsallis相対作用素エントロピーと同じ記号を用いて

T_{t}(A|B)=\displaystyle \frac{A\natural_{t}B-\mathrm{i} {t}for -1\leq t<0とかくことにします。
本稿の目的は、可逆性を仮定しない一般的な半正定値行列に対する負パラメーターを持つ Tsallis 相対作用素エントロピーを定義し、その性質を調べることにあります。そのためには、可逆でない半正定値行列に対して、擬か幾何平均の性質を調べることが必要になります。次節で、そのことを詳しく見ていくことにしましょう。最後に、それらを踏まえて、半正定値行列に対する拡張された Karcher 方程式 (1.3) が唯一解をもつ( ことの簡潔な証明を与えます。

2. -1\leq t<0 に対する擬 t ‐幾何平均 眼
A と B を半正定値行列としたとき、任意の $\varepsilon$>0 に対して、 A\natural_{t} (B+ $\varepsilon$ I) は、単調性を持つので、 $\varepsilon$\rightarrow 0 に対して、 A\natural_{t} (B+ $\varepsilon$ I) は、単調に増加します。もし上に有界であれ
ば、その収束先が半正定値行列として存在します。従って、半正定値行列に対する擬 t‐幾
何平均 \mathcal{A}\natural_{t}B は、

A\displaystyle \natural_{t} B=\lim_{t\rightar ow 0}A\natural_{t} (B+ $\varepsilon$ I)
で定義できます。ただし、いつでも、擬か幾何平均が存在するわけではありません。各t\in [-1, 0) に対して、任意の $\varepsilon$>0 に対して、 I\natural_{t} $\varepsilon$ I は上に有界ではありませんから、 I\natural_{t}0
は発散して、意味を持ちません。しかし、例えば、行列の場合は、核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B があれば、 いつでも、 A\natural_{\mathrm{t} B は存在します。実際、行列の場合、値域は閉集合ですから、核I

99

条件より、ran A^{1/2} \subset ran B^{1/2} がわかり、ダグラスの意味で、 A は B によって、majorize

されます。つまり、ある正の数 c>0 があって、 A\leq cB が成り立ちます。このとき、任意の $\alpha$>0 に対して、

L_{$\alpha$_{:}t}(A, B)=(1-t)$\alpha$^{-t}A+t $\alpha$ \ovalbox{\tt\small REJECT}-tB\leq ((1-t)$\alpha$^{-t}c+t$\alpha$^{1-t})B\leq c^{1-\mathrm{t}}B
カ \backslh\backslh\backslh 、成立します。ここで、 c_{0}=c^{1-t}\Vert B\Vert とおけば、

L_{ $\alpha$,t}(A, B+ $\varepsilon$ I) \leq c_{0}Iが、成り立ち、それ故、

c_{0}(B+ $\varepsilon$ I)^{-1}\displaystyle \geq\sup_{ $\alpha$>0}L_{ $\alpha$,t}( B+ $\varepsilon$ I)^{-1/2}A(B+ $\varepsilon$ I)^{-1/2}, I)

これは、任意の $\varepsilon$>

0 に対して、{ A ㌦ (B+ $\varepsilon$ I) : $\varepsilon$>0 }c_{0}は上に有界で、

\geq

A

=

((B+ $\varepsilon$ I)^{-1/2}A(B+ $\varepsilon$ I)^{-1/2})^{1-t}\natural_{t} (B+ $\varepsilon$ I) を示しています。つまり、集合$\varepsilon$\rightarrow 0 のとき、単調に増加しますから、その極限が半正定値行列として存在することがわかります。
正方行列 A に対して、ムーア ペンローズ逆行列 A^{\upar ow} は、次の4つの性質を満たす
A (2) A^{\uparrow}AA^{\uparrow}A^{\uparrow}A (4)ものとして一意に決まります。(1) AA^{\uparrow}AA^{\uparrow}(3) (A $\dagger$ A)^{*}
AA^{\uparrow} 勿論、 A が可逆のときは、 A^{\upar ow}
A^{-1} である。このとき、擬 か幾何平均(AA^{\uparrow})^{*}
=

=

=

=

=

A\mathfrak{h}_{t} B は、核条件の下で、ムーア

ペンローズ逆行列を用いて、次のようにかくことができます。

Lemma 2.1. A と B が n 次半正定値行列で、核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A \supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B を満たすとき、各t\in[-1, 0) に対して、

A \# $\iota$ B=B^{\frac{1}{2} [(B^{\frac{1}{2} )^{\mathrm{T} A(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}]^{1-t}B^{\frac{1}{2}Proof. rank (B)=7\mathrm{b} のときは、 B が可逆なので、補題は成り立つ。rank (B)=r<n とする。このとき、あるユニタリ行列 U があって、 U^{*}BU=B_{r}\oplus 0 と分解できる。ただし、
B_{r} は r 次の正定値行列である。核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A \supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B から、同じユニタリ行列 U を用いて、 U^{*}AU=A_{r}\oplus 0 ただし、 A_{r} は r 次の半正定値行列と分解できる。さて、核条件から、
A\natural_{t}B が存在するから、A ㌦ B=B\natural_{1-t}A=U(B_{r}\oplus 0)U^{*}\natural_{1-t}U(A_{r}\oplus 0)U^{*}=U[(B_{r}\oplus 0) \natural_{1-t} (A_{r}\oplus 0)]U^{*}=U[ (B_{r} \natural_{1-t}A_{r})\oplus 0)]U^{*}=U[B^{\frac{1}{r^{2} }(B_{r}^{-}2A_{r}B_{f}^{-\frac{1}{2} )^{1-t}B^{\frac{1}{r^{2} }1\oplus 0]U^{*}=B^{\frac{1}{2} [(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}A(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}]^{1-t}B^{\frac{1}{2}となり、補題は成り立ちます。

口

正方行列 A に対して、翔を A の値域射影とします。核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B を満たすとき、明らかに、 P_{B}AP_{B}=A が成り立ちます。補題2.1によって、擬か幾何平均 A\#_{t}B のいろ
いろな性質が容易に導かれます。例えば、算術幾何平均の不等式 A\natural_{t}B\geq(1-t)A+tB

100

も核条件の下で簡単に証呪できます。

A\natural_{t} B=B^{\frac{1}{2} [(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}A(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}]^{1-t}B^{\frac{1}{2}\geq B^{\frac{1}{2} [(1-t)(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}A(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}+tI] B^{\frac{1}{2}=(1-t)P_{B}AP_{B}+tB=(1-t)A+tB.
3. 行列版のTSALLIS相対作用素エントロピー

補題2.1によって、次の行列版の Tsallis 相対作用素エントロピーの評価を得ます。
Theorem 3.1. A と B を半正定値行列で、核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B を満たすとします。そのとき、各 t\in [-1, 0) に対して、

T_{t}(A|B)=\displaystyle \frac{1}{t} [B^{\frac{1}{2} [(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}A(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}]^{1-t}B^{\frac{1}{2} -A]が成り立つ。

同様に、相対作用素エントロピーも評価できます。

Theorem 3.2. A と B を半正定値行列で、核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B を満たすとします。そのとき、S(A|B)=B^{\frac{1}{2} $\eta$((B^{\frac{1}{2} )^{\uparrow}A(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dagger$})B^{\frac{1}{2}が成り立つ。ただし、エントロピー関数 $\eta$(x)=-x\log x である。
このとき、次の下からの連続性もわかります。

Theorem 3 3.

A と B を半正定値行列で、核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A \supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B を満たすとします。また、とする。このとき、\cdott\in [-1, 0)

T_{t}(A|B)\nearrow S(A|B)

ast\nearrow 0.

Proof. 核条件より、 P_{B}AP_{B}=A が成り立つので、定理3.1と定理3.2により、

T_{t}(A|B)=\displaystyle \frac{1}{t} [B^{\frac{1}{2} [(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}A(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}]^{1-t}B^{\frac{1}{2} -A]=B^{\frac{1}2 [\displaystle\frac{(B^{\frac{1}2 )^{$\dag er$}A(B^{\frac{1}2 )^{\uparow})^{1-t}(B^{\frac{1}2 )^{\mathrm{t}A(B^{\frac{1}2 )^{\mathrm{t} ]B^{\frac{1}2\near ow B^{\frac{1}{2} $\eta$( B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}A(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow})B^{\frac{1}{2} =S(A|B)

ast\nearrow 0.
口与えられた行列の順序と Tsallis相対作用素エントロピーの符号の関係が、半正定値の場合でも次のように成立する。

Theorem 3.4. A と B を半正定値行列で、核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B を満たし、 t\in[-1, 0 ) とする。このとき、

T_{t}(A|B)\geq 0 \Leftrightarrow B\geq A
そして、

T_{t}(A|B)\leq 0 \Leftrightarrow B\leq A

101

それ故、

T_{\mathrm{t}}(A|B)=0 \Leftrightarrow B=A
Proof T_{t}(A|B)\leq 0 とする。このとき、A\natural_{t}B=B^{\frac{1}{2} [(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}A(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}]^{1-t}B^{\frac{1}{2} \geq A
なので、両辺に (B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow} をかけると[(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}A(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}]^{1-t}=P_{B} [(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}A(B^{\frac{1}{2} )^{ $\dag er$}]^{1-t}P_{B}\geq (B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}A(B^{\frac{1}{2} )^{\upar ow}
よって、(B^{\frac{1}{2} )^{\mathrm{t} A(B^{\frac{1}{2} )^{\uparrow}\geq I となり、
A=P_{B}AP_{B}\geq B

が、わかる。
逆に、 B\leq A とすると、擬か幾何平均の単調性により、

A\#_{t}B\geq A\natural_{t}A=A
が、わかり、よって、 T_{t}(A|B)=\displaystyle \frac{A\natural_{t}B-A}{t}\leq 0 となる。これで、後者の同値がわかった。
前者の同値性も同様にわかる。
口
4. 半正定値行列に対するKARCHER幾何平均

この節では、半正定値行列に対する Karcher 幾何平均の定式化を紹介する。目標は、
A_{1} , . . . , A_{n} が半正定値行列、 $\omega$= ($\omega$_{1}, \ldots , $\omega$_{n}) を加重ベクトルのとき、拡張された Karcher

方程式 (1.3) を満たす唯一の解が存在することを示すことです。各 $\varepsilon$>0 に対して、 A_{J}+ $\varepsilon$ I
は、可逆な正定値行列ですから、Lim‐Pálfia の結果から、Karcher 方程式 (1. 1) を満たす
唯一解である正定値行列 X_{ $\varepsilon$}=G_{K} ( $\omega$,\cdot Al, . .., A_{n} ) が存在します。 X_{ $\varepsilon$} は単調減少で下に有界ですから、その極限である半正定値行列 X_{0} に収束します。

(4.1)

X_{0}=\displaystyle \lim_{ $\varepsilon$\rightar ow 0}X_{ $\varepsilon$}=\lim_{ $\varepsilon$\rightar ow 0}G_{K}( $\omega$;A_{1}+ $\varepsilon$ I, \ldots , A_{n}+ $\varepsilon$ I)

ここで、私たちは、 X_{0}=G_{K} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} ) とかくことにします。このとき、この X_{0}
G_{K} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} ) が、拡張された Karcher方程式 (13) の唯一解であることを示します。
ただし、これ以降、加重ベクトルはすべて、 0<$\omega$_{j}<1 を満たすものとします。

=

そのためには、いくつかの補題を必要とします。まず、幾何平均の核条件をみます。

Lemma 4.1. A と B を半正定値行列とする。このとき、各 t\in(0,1) に対して、\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\#_{t} B=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\vee \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B

Proof. x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A に対して、transformer 不等式より
0\leq \langle A\#_{t} Bx, x\rangle \leq \langle Ax, x\rangle\#_{t} {Bx, x\rangle=0だから、 x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\#_{t}B がわかる。よって、 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\ve \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\#_{t} B がわかります。逆は、加重調和平均を !_{t} とすると、 A!_{t} B\leq A\#_{t} B であるから、\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\vee \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\#_{t} B\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A !_{t}B=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\vee \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}Bから、わかります。

ロ

次に (4.1) で決めた X_{0}=G_{K}( $\omega$;A_{1}, \ldots\rangle A_{n}) の核条件を決定します。補題4.1と同様に示すことができます。

102

Lemmá 4.2.

\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}G_{K} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} )=\displayst le\bigve _{j}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{\mathcal{J}.

Proof. x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{\mathrm{J} に対して、transformer 不等式より

0\leq\langle G_{K} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} ) x, x\rangle \leq G_{K}( $\omega$;\langle A_{1}x, x\rangle, \ldots, \langle A_{ $\eta$}.x, x\})=0\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{J} \subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}G_{K}( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n})_{0}
逆は、
とすると、
H ( $\omega$ , Ai, .. . , A_{n} ) \leq G_{K} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} ) が成立していますから、だから、 x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}G_{K} ( $\omega$ ;Ai, . . . , A_{n}) がわかる。よって、
n変数の加重調和平均を H ( $\omega$ ;Al, . .. , A_{n} )\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}G_{K} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} ) \subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}H ( $\omega$ ;Ab. . . , A_{n} )=\ve \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{\mathcal{J}となり、補題が証明できました。

口

相対作用素エントロピーと加重幾何平均の間には次のような関係があります。

Lemma 4 3.
\cdot

A と B を半正定値行列で、核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B を満たしているとする。このとき、各 t\in[0 , 1 ] に対して、S(A|A\#_{t}B)=tS(A|B)
が成り立つ。

Proof. 任意の $\varepsilon$>0 に対して、 S(A+ $\varepsilon$ I|(A+ $\varepsilon$ I)\#_{t}(B+ $\varepsilon$ I))=tS(A+ $\varepsilon$ I|B+ $\varepsilon$ I) はいつでも成立しています。さて、核条件 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\supset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B と補題4. 1より、 \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\#_{t}B=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A なので、定理3.2により、 s(A|A\#$\iota$^{B)} と S(A|B) は存在します。このとき、相対作用素エントロピーの上半連続性より、 $\varepsilon$\rightarrow 0 のとき、 S(A+ $\varepsilon$ I|(A+ $\varepsilon$ I)\#_{t}(B+ $\varepsilon$ I))\searrow s(A|A\#$\iota$^{B)}
そして、 S(A+ $\varepsilon$ I|B+ $\varepsilon$ I)\searrow S(A|B) なので、 S(A|A\#_{t}B)=tS(A|B) がわかります。口(4.1) で決めた X_{0}=G_{K} ( $\omega$ ;Al, . . . , A_{n} ) は、次のような上半連続性を持ちます。
Lemma 4.4. A_{1} , . . . , A_{n} が半正定値行列、$\omega$=($\omega$_{1}, \ldots , $\omega$_{n}) を加重ベク トルとする。耳を半正定値行列で、 $\varepsilon$\searrow 0 のとき、 Y_{ $\varepsilon$}\searrow 0 を満たすとき、

G_{K} ( $\omega$ ;A1 + Yを,..., A_{n}+Y_{ $\varepsilon$} ) \backslash G_{K} ( $\omega$ ;Ai, . .. , A_{n} )である。

Proof. G_{K} ( $\omega$;A_{1}+ $\delta$ I+Y_{ $\varepsilon$}, \ldots , A_{n}+ $\delta$ I+Y_{ $\varepsilon$}) は、 $\delta$, $\varepsilon$\searrow 0 に関して、単調減少である。だから、ベク トル状態 $\varphi$_{x} に対して、有界な二重数列 a_{ $\delta,\ \varepsilon$}=$\varphi$_{x}(G_{K}( $\omega$;A_{1}+ $\delta$ I+Y_{ $\varepsilon$},A_{n}+$\delta$ I+Y_{ $\varepsilon$}) を考えると、\ldots,\displaystyle\lim_{$\delta$_{\sim}\prime\backslash0}a_{$\delta,\ varepsilon$}=\lim_{$\delta$\backslash0$\varepsilon$}\lim_{\backslash0}a_{$\delta,\ varepsilon$}=\lim_{$\varepsilon$\backslash0$\delta$}\lim_{\sear ow0}a_{$\delta,\ varepsilon$}が成り立つから、補題4.4が成立する。

口

これで、すべての準備が整いました。次の結果がわかります。

Theorem 4 5. A_{\mathrm{i} , . . . , A_{n} が半正定値行列、 $\omega$=($\omega$_{1}, \ldots, $\omega$_{n}) を加重ベクトルとする。こ\cdotのとき、(4.1) で決めた X_{0}満たす唯一解である。

=

G_{K} ( $\omega$ ; Al, . . . , A_{n} ) (は、拡張された Karcher 方程式 (1.3) を103

Proof. 各 $\varepsilon$>0 に対して、 X_{ $\varepsilon$}=G_{K} ( $\omega$;A_{1}+ $\varepsilon$ I, \ldots , A_{n}+ $\varepsilon$ I) とおきますと、 X_{ $\varepsilon$}\searrow X_{0} になっています。このとき、補題4.3により、

0=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}$\omega$_{j}S(X_{$\varepsilon$}|A_{\mathrm{J}+$\varepsilon$I)=\displaystyle\sum_{J^{=1}^{n}S(X_{$\varepsilon$}|X_{$\varepsilon$}\#_{$\omega$_{J} (A_{j}+$\varepsilon$I)=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}S(X_{$\epsilon$}|X_{$\epsilon$}\#_{$\omega$_{J} (A_{j}+$\varepsilon$I)
が、わかります。よって、均等加重ベクトルを \tilde{ $\omega$}=(1/n, \ldots, 1/n) としたとき、各 j に対してX。 =G_{K} ( \tilde{ $\omega$}_{)}X_{ $\varepsilon$} \#_{$\omega$_{1} (A_{\mathrm{i} + $\varepsilon$ I) , . . . , X。 \#_{$\omega$_{n}です。さて、 X_{ $\epsilon$}\searrow X_{0} および、

(A_{n}+ $\varepsilon$ I) )X_{ $\varepsilon$}\#_{$\omega$_{J} (A_{J}+ $\varepsilon$ I)\searrow X_{0}\#_{ $\omega$}, A_{j} ですから、補題4.4より、

X_{0}=G_{K}(\tilde{ $\omega$};X_{0}\#_{$\omega$_{1}} A_{1}, . . . , X_{0}\#_{$\omega$_{n}} A_{n})が、わかります。従って、\displaystyle \sum_{=J1}^{n}$\omega$_{J}S(X_{0}|A_{\mathrm{J} )=\sum_{j=1}^{?b}\frac{1}{n}S(X_{0}|X_{0}\#_{$\omega$_{J} A_{j})=0
が、わかりますから、これは、補題4.2とあわせて、 X_{0} が、拡張された Karcher 方程式(1.3) の解であるごとを示しています。

唯一性に関しては、補題4.1と補題4.2によって、各 j\# こ対して\displaystyle\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X_{0}=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}X_{0}\#_{$\omega$_{J} A_{J}=\bigve _{j}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A_{j}がわかりますので、同じユニタリ行列 U にとって、 U^{*}X_{0}U
X_{r}\oplus 0 そして、 U^{*} (X_{0}\#$\omega$_{J} Aj)U=
Y_{r,j}\oplus 0 と、分解できます。ただし、 \mathrm{X}_{r} と Y_{r,j} は、ともに、正定値行列です。このとき、\acute{}=\displaystyle\sum_{$\gam a$=1}^{n}$\omega$_{j}S(X_{0}|A_{j})=n\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}S(X_{0}|X_{0}\#_{$\omega$_{J} A_{j})=n\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}S(U(X_{r}\oplus 0)U^{*}|U(Y_{r,j}\oplus 0)U^{*})=nU(_{J}J\oplus 0)U^{*}=0になり、 X_{r} と Y_{r,j} は、ともに可逆ですから、Lawson‐Lim の結果より、それはただ一つの解しかありえません。従って、 X_{0} が、拡張された Karcher 方程式 (1.3) を満たす唯一解であることがわかります。

口

104

Acknowledgements.

本研究は、JSPS 科研費 JP 16\mathrm{K}05253 の助成を受けたものです。
REFERENCES[1] S. Abe, Monotonic decrease of the quantum nonadditive divergence by projective measure‐ments, Phys Letters \mathrm{A} , 312 (2003), 336‐338.
[2] T. Ando, Topics on operator inequalities, Hokkaido Univ. Lecture Note, 1978.
[3] T. Ando, C.K. Li and R. Mathias, Geometric means, Linear Algebra Appl., 385 (2004),
305‐334.

[4] J.I. Fujii, M. Fujii and Y. Seo, An extension of the Kubo ‐Ando theory: Solidarities, Math.
Japon., 35(1990), 387‐396.
[5] J.I. Fujii and E. Kamei, Relative operator entropy in noncommutative information theory,
Math. Japon., 34 (1989), 341‐348.
[6] J.I. Fujii and E. Kamei, Uhlmann’s interpolational method for operator means, Math. Japon‐
ica 34 (1989), 541‐547.
[7] J.I. Fujii and Y. Seo, The relative operator entropy and the Karcher mean, to appear inLinear Algebra Appl.

[8] J.I. Fujii and Y. Seo, Tsallis relative operator entropy with negative parameters, Adv. Oper.
Theory 1 (2016), 219‐236.
[9] M. Fujii, J. Mičič Hot, J. Pečarič and Y. Seo, Recent Developments of Mond‐Pečareč method
in operator inequalities, Monographs in Inequalities 4, Element, Zagreb, 2012.

[10] S. Furuichi, K. Yanagi and K. Kuriyama, Fundamental properties for Tsallis relative en‐tropy, J. Math. Phys., 45 (2004), 4868‐4877.
[11] S. Furuichi, K. Yanagi and K. Kuriyama, A note on operator inequahties of Tsallis relative
operator entropy, Linear Algebra Appl., 407 (2005), 19−31.
[12] T. Furuta, Invitation to linear operators, Taylor&Francis, London, 2001.
[13] T. Furuta, J. Mičič Hot, J.E. Pečarič and Y. Seo, Mond‐Pečarič Method in Operator In‐
equalities, Monographs in Inequalities 1, Element, Zagreb, 2005.

[14] F. Kubo and T. Ando, Means of positive linear operators, Math. Ann. 246(1980), 205‐224.
[15] J. Lawson and Y. Lim, Karcher means and Karcher equations of posit $\iota$ ve definite operators.
Trans. Amer. Math. Soc., Ser. \mathrm{B}1 (2014), 1‐22.
[16] Y. Lim and M. Pálfia, Matrix power means and the Karcher mean, J. Fnnct. Anal., 262(2012), 1498‐1514.
[17] T. Yamazaki, Riemannian mean and matrix inequalities related to the Ando‐Hiai inequality
and chaotic order, Oper. Matrices, 6 (2012), 577‐588.
[18] K. Yanagi, K. Kuriyama and S. Furuichi, Generalized Shannon inequalities based on Tsallis
relative operator entropy, Linear Algebra Appl., 394 (2005), 109‐118.
YUKI SEO: DEPARTMENT \mathrm{O}$\Gamma$ MATHEMATICS EDUCATION, OSAKA KYOIKU \mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{i} ERSiTY, ASAHi‐
GAOKA,KASHIWARA, OSAKA582‐8582, JAPANE‐mail address:

yukisQcc. osaka‐kyoiku. ac. jp

JUN ICHI FuJii: DEPARTMENT OF ARTS AND SCIENCES (INFORMATION SCIENCE), OSAKA KYOIKUUNIVERSITY, ASAHIGAOKA , KASHIWARA, OSAKA 582‐8582 , JAPANE‐mail address:

fujiiQcc. osaka‐kyoiku. ac. jp