Vol，46

情報処理学会論文誌

No。1

Jan．

2005

投影法の混在を考慮した逆遠近法
篤

長

志†

原

田

哲

也††

木

下

武

志†

本論文では，3次元コンピュータ・グラフィックスにおける逆遮近法を提案する．逆遼近法とは絵画における描画法の1つであり，通常の透視投影法とは逆に遼くよりも近くの物体の方が画薔上で小さく描かれることをいう．提案手法では，，移動する視点から見た投影像をまとめることによって3次元
コンピュータ・グラフィックスにおける逆遠近法を実現している．また，逆遼近法で描かれた絵颪によく見られるように，画颪内に異なる投影法によって描かれた物体が混荘する場合を想定している．
そのため通常の透視投影法によって描画された画薦内において，一部の物体のみを逆遠近法によって投影できる。しかも，対象物体に反射，透過・屈折による質感表現と影付けが可能であるという特徴を持つ，また，逆遠近法によって線遠近法による奥行き手がかりが崩れたとしても，投影像において有効な奥行き手がかりである物体の重なり，位置関係，大きさに関して，透視投影時の投影像の状態をほぼ保持することが可能である．

An

Inverted

Perspective

ATsusHIConsidering

OsA，†TETsuYA

MixtureHARADA††andof

Projective

TAKEsHI

KINosHITA†

Methods

We propose an algorithm oξi黙verted perspectlve飴r 3−dime漉sional compu七er graphics． The
inverted perspec七ive is a， technique fbr drawings and pictures． Objecもs箆ear a viewpolnt＆re
drawn sma董ler than far objects． This characteristic is QpP◎site t◎the ordlnary perspective．
The proposed algorithm draws 3−dimensional comp雛ter graphics using the i繊verted perspec．
tive by patching projecもed images from mulもi−viewpoin七s！rhe algorithm considers mlx七ure of
projective methods in a職image plane！fhe mixもure of projective methods is、 a popular usageofthe inverもed perspective on ordinary drawings and picもures． There長）re， the algoriもhm calldraw only par七〇f objects by the inverted perspec七lve in an image projected by the ord量naryperspective． Moreover， reHection， refraction fbr material representatio籍， and shadowing canbe used． In the inveted perspective， the l量ner perspective is broken， butちhe proposed algo−

rithm
lmage

can mainもain土hreeplane。

depth

cues七hatareodusio熱s，positions，

and

size

of

objects

は，投影面を球面にしたSuper

1．はじめにi灯an

F童sh

Eye光学モデル

従来，3次元コンピュータ・グラフィックス（以下，や，円筒形や自己交差サイクロイド形に視点を多数配置する多視点光学モデルを提案した2）．そのほか，ガ3次元CG）は，生成画像の写実性が重要視されてきイドマップのための多視点描画手法3）・4）や，人の印象た。その一方で，写実的でない3次元CG生成に関すに合わせて3次元形状を誇張したり5），人の印象に合る研究も行われている．たとえば，透視投影と呼ばれわせて物体の大きさを変えたりする手法6）も提案される空間描画法が多く用いられているが，自由な映像表ている．また，光線追跡法を曲がった4次元時空へ拡現を得るために新しい空間描画法が提案されてきた．

張してブラック・ホールをCGとして描画する技術もIRakageは，通常の透視投影とは異なる非線形遠近投

提案されている7）．

影として，レンズ歪みを表現するCurvihnear遠近法，

ここでは，特殊な空間描画法の中でも逆遠近法にカメラから遠い物体ほど大きく描写する逆遠近法，空注屋する。この投影法を用いた絵画は古くから西洋，間を歪ませる3次元ワープ法を提案した1）．Wyvillち

東洋を問わず数多く存在している．例を図1に示す．
絵画において逆遠近法が用いられる可能性はさまざまである．小山は絵画において表現上の逆遠近法が生じ†山口大学工学部
Faculty of Engineerlng， Yamaguchi
甘出口大学大学院理工学研究科
GraduaもeSchoo！

Yamaguchi

Universi七yofScienceandUniversity

る可能性として，A＞恒常視と正面性によるもの，B）

移動する視点を1枚の絵にまとめたことによるもの，】∈｝ngineer茎ng，

C＞，物体とその関係によるもの，D）歪像としての逆
255

256

情報処理学会論文誌
表1

Jan．

2◎05

各時代で用いられた遠近法10）．○は典型的に用いられた遠近法．△は一部の作品で，あるいは限定的に用いられた遼近法．×は一般には罵いられなかったもの
T・bl・1

Perspec七i・・m・七h・d・used

i・・a・難P。，1。dspectlve，△meansaperspevtlve

generallywhichperspective
was

10）。

used

wi七h

a

not

use（玉．

O

m。。。。

a

typl。alp。，−

parもoεpicもure，×【鷺eans載

相対的対象の陰影高さきめの大気線
重なり
勾配
遼近法 遠近法
○
○
△
△
O
○
X
△
O
△
△
△
△
O
○
○
○
X
△
O
△
○
○
○
○
○
△
O
○
○
○
○
○
△
O
△
△
△
△
△
△
O

時代

大きさ
先史時代
エジプト

×

ギリシア
ローマ

印象派
現代

・・
霧

画面内に混在できる）．

蓬

等

、1曳，醐

、織

モ

（2）

の奥行き手がかりを保持することができる．

㌦，

蓼噛螂・部ノノ（3）

反射，透過，屈折による物体の質感表現と，陰影が描画できる．

．ゑ＿逼一（a）下村良之助r鳥鷺（韓国流泊より）員972．8）

一 部の物体が逆遠近法により投影されることにより線遠近法が使用できない状況でも，その他

織灘ll
｝

×

を逆遠近法で投影することができる（投影法が

野▽、
蝋

欝詠

×

×

×

×

ルネッサンス×

1つ目の条件は，絵画において一般に行われることが多い逆遠近法の表現を実現するために必要である．

2つ琶と3つ目の条件は，絵画としての必要性を3次元CGでも要求するものである．絵画において西洋の各時代に用いられた代表的な遠近法を表1に示す10）．

時代によって重要視される遠近法が異なっている10）が，ルネサンス時代の絵画以外においては，いわゆる線遠近法が必ずしも重要視されていない．たとえば，
エジプトでは対象の重なりと高さ関係の方法によって，

印象派では線遠近法以外の方法によって遠近を表し空問を描画していた．ここからいえるのは，空間を描い（b）スペイン派「猛誕（部分）Jl396．8）

図1
Fig．1

逆遠近法を使用した絵画の例

Paintings

using

inver七ed

perspect三ve．

ている絵画では線遠近法を用いていなくても，その他のなんらかの遠近法によって奥行きの手がかりを示し，空間を表しているということである．だから，一部の物体を逆遠近法で描画して線遠近法による遠近法が破遠近法，の4つをあげている9）．そして，小山が指摘綻していたとしても，絵画内に描かれた物体が同一空するにはr絵画に表された空間の一部が，遼大近小に間にあるように見えるように，その他の遠近法を使用

描かれている場合を，漢然と呼ぶ言葉であって，それすることが重要になってくる．まず，どの時代においはけっして一定の法則によって描くというような『法』ても奥行き手がかりとして基本的に用いられてきた物ではない」9）という．この指摘において重要であるの体間の重なり関係を保持することは，必要不可欠であは，これまでに逆遠近法という描画方法，技術が定義ると考える．また，多視点や逆遠近法で投影された物されているわけではないということと，空間の一部の体に対して，表1における陰影や，その他，反射や透みが逆遠近法で描画されることが多い（図1），とい過によって他の物体との関係を可視化することは，同うことである．

じ空間にあるように見せるための重要な手がかりとな

本論文では，次の条件を満たす3次元CGにおける逆遠近法のアルゴリズムを提案する．

（1）

透視投影で描画された空間中の特定の物体のみり得る．

頚ak嬉eは，3次元CGにおける逆遠近法を提案した1）．魏akageのアルゴリズムは，視軸方向に離れるVoi．46No．1

投影法の混在を考慮した逆遠近法

257ほどあるスケールパラメータに従って物体を大きく描ことによって多視点投影を実現する方法を提案していく投影法である．ただし，このアルゴリズムは，空間る13），ここでは，この方法を多視点レイヤ合成法と中の特定の物体のみを逆遠近法で投影することは想定呼ぶ．この多視点レイヤ合成法は，仮スクリーンを用していない．宮澤らの物体強調手法5）でも同様である．

いることによって，Agrawalaらとは別の方法で，物WyviHらは描画対象物体を取り囲む円筒状のスクリー

体の投影像の大きさと位置に関して，通常の透視投影

ンの各画素に多視点を配置し，それらのすべての多視における投影像の大きさと位置をほぼ保持することができる13＞．また，その論文中13）で触れられていると点からある定められた1点へ向かって光線追跡を行った2）．Wyvlllらはその論文申において指摘していない

おり，仮スクリーンへの投影を逆遠近法で行えば，空が，このアルゴリズムで投影された対象物体は，遠く間の一部が逆遠近法で投影されている画像も生成可能の物体が近くの物体よりも大きく描画される一種の逆であると予想される．しかも，Agrawalaらの方法と遠近法になっていた．それは，ノ」・山9）の分類する可能は異なり，多視点レイヤ合成法は光線追跡法を用いる

性Bに相当するといえる．このように視点の位置を定ので，Wyvi11らの逆遠近法を多視点レイヤ合成法に義し光線追跡法を用いる逆遼近法の定義は，Inakage

拡張しやすい。そこで本論文では，逆遼近法の基本アや宮澤らのように投影変換手法としての逆遠近法の定ルゴリズムとして，まず2章において，仮想空間中の義よりも，描画対象物体の空間表現ならびに質感表現

すべての物体が逆遠近法で描画される場合の投影アルにおいてより有効である．なぜなら，視点が一意に定ゴリズムを述べる．これは，WyviHらの方法を，多視義できるため，再帰光線追跡法によって反射や屈折な点レイヤ合成法に適用しやすいように拡張したものでどの質感表現が可能になるからである．提案する逆遠ある．また，逆遠近法を操作するパラメータを追加し近法では，このWyv玉llらの方法2）を基本におきたい．

ている．3章では，多視点レイヤ合成法を拡張するこ

しかし，Wyvil1らは対象物体を取り囲むような円筒とにより2章で述べたアルゴリズムを融合させ，異な表面に多視点を配置したため，描画物体の直線が画面る投影法によって描画される物体が混在する場合の投において曲線として投影されていた．また，空間中の特定の物体のみを逆遠近法で投影することも想定され

影アルゴリズムを述べる．ただし，多視点レイヤ合成法の論文13）では，具体的なアルゴリズムについてはてなかった．しかも，無akageや宮澤の方法のように記述されていない。多視点レイヤ合成法を修正，拡張は容易に逆遠近法の操作ができないため，これを解決

し，逆遠近法だけでなく，透視投影，平行投影の場合しなければならない．

も含めたアルゴリズムとして記述する．4章では，提一方，描画されている空間の一部が逆遠近法で描案アルゴリズムによって生成された画像を検証し，逆画されるという場合，それは，逆遠近法で描画され遠近法を操作するパラメータと得られる画像の関係にている物体とそれ以外の物体に対しては視点が異なっ

ついて調べる．5章では本提案手法についてまとめをている一種の多視点投影であるという見方もできる．

述べる．

Takahash玉らはガイドマップを作成するための多視点投影による描画方法を提案し3）・4），三末らは，図的思考支援を冒的とした多視点による遠近画法を提案して

2．投影法の混在を考慮しない逆遠近法
2．1

基本アルゴリズムいる11）が，これらは空間的に連続した地形地図や平面

ここでは，仮想空間中のすべての物体に同一の逆遠図を対象にしたものであり，特定の物体だけの視点を近法による投影が行われる場合の基本アルゴリズム

変えるものではない．Agrawalaらも多視点投影法をを述べる．基本アルゴリズムは，光線追跡法を用いる提案している12）．Agrawalaらの多視点投影法12）は，

WyviHらの方法2）がアイディアの元になっている．た

物体単位で視点位置を操作し多視点投影を実現するこだし，逆遠近法を操作するパラメータ（ここでは，逆とができる．また，物体レベルで遮蔽関係を維持した

遠近法パラメータと呼ぶ）によって，逆遠近法によっ

り，物体の投影像の大きさと位置に対して，通常の透て得られる投影像を操作できるようにする．

視投影における投影像の大きさと位置をほぼ保持した文で注欝する2つ目の条件を満たすことが重要であるある直交座標系Σ＝（O；e1，e2，e3）の原点0に視点sΣがあり，スクリーンH￡がe1， e2が張る
平面と平行に視点からe3方向へg3の距離にあるとことを主張している．我々の研究グループにおいても，する（図2（a））．レイの出発点を視点8Σとし，レ

りする制約条件を課している．これらの条件は，本論最終的に投影像を得るビュー平面とは別に，物体ごと

イの方向を視点8Σからスクリーン恥上の座標に仮スクリーンと呼ぶ仮想的なスクリーンを想定する

g澱篇（g1，g2，g3）に向かう方向として再帰光線追跡

Jan．

情報処理学会論文誌

258

2．2

▲
酬

基本アルゴリズムで得られる画像

本アルゴリズムによって得られる画像を解説する．

鮮

羅

轟論

描画対象物体ギ篠

2005

ある物体A上のある点が位置αΣ＝（α1，α2，α3）にあ響り，その点がnΣ上のgΣに投影されたとする．図2の幾何学的関係よりgΣは次式で計算することができレイの方向る（q3は一定）．

スクリーンnΣα193
P3一α3）＋α3

。（

望Σ

・・一

（4）

93

P3

。（

・・一

7

視点5Σ

と，q￡の位置はαとα3に依存することになる．

難轟、

逆遠近法パラメータα漏0のとき，働は式（4），

譲〆

隼

・

（5）より，

1

q、＝勉

1

P3
珂・

⑤

向へ移動させる（すなわちα1とα2は一定に保つ）▲

1

α3）＋α3三Σを固定した状態で，物体Aを視点から奥行き方（a）通常の光線追跡法

仮スクリーン亀

α293

（6）

ゆヨ

q2＝堕

カ，

（7）

のヨ

である．つまり，物体Aが視点から離れてα3が大きくなるほど，αΣはH￡上の中央に近づいて投影され

1
「

視点5Σ

る（図3（a））．遠くにあるほど小さく投影される遠小（b）提案手法における配置図
國2 視点・スクリーンと仮スクリーンの配麗麟
Fig．2

Locaもionsofviewpo董nt，

screen，and

近大の透視投影の像が得られることになる．しかも，

pseudo−screen．

図3（a）に示すように町は8Σと一致する．また，
露Σにも依存しなくなる．すなわち得られる像は同視法を行うことにより，HΣ上に透視投影像を得ること

点，同スクリーンの透視投影像と同一である．
0＜α＜1のときにおいても，式（4），（5）から遠小ができる．

提案アルゴリズムでは，∬Σのほかに，e1，e2が近大の透視投影の像が得られるのが分かる（図3（b））．

張る平面と平行に視点からe3方向へp3の距離に仮

ただし，e1，

スクリーンεΣを考える（図2（b））．そして，投影を離れるため，同視点，同スクリーンの透視投影像とはe2が張る平面においてΣは8Σから

操作する逆遠近法パラメータとしてスカラ量αを定異なった像が得られる．

める．また，8Σと翰を結ぶ直線と露zとの交点を

α＝1のとき，磁￡は視軸に平行になる（図3（c））．

pΣとする．ただし，そして，qΣは

催

）掬

σ）

…

P3

92＝堕

（8）

（9）

P3
となり，α3には依存しなくなる．すなわちα＝1のである．提案アルゴリズムでは，gΣにおける像を得るためにレイの出発点

9、＝璽

Σとレイの方向密Σを以下ときはHΣ上には平行投影の像が得られることになる．

αが1を超える値になると，この仮想空間中の物体を周りから見回すような物と窟Σになる（図3（d））．

のように定めて再帰光線追跡法を行う．

そのとき，式（4），（5）が示すように，物体Aが視点から離れてα3が大きくなるほどα￡はnΣ上の中央

…・

（2）

から離れて投影される（図3（d）右）．つまり，遠くにあるほど大きく投影される遠大近小の逆遠近法による（3）

材z繍PΣ一 Σ
画素に対慈するすべてのαΣに対してこの光線追跡を行うことによりn￡上に画像を得る．

像が得られることになる．

ところで，α3＝p3のとき，すなわち投影する点が仮スクリーン上にある場合，伽は，

Vo霊，46259

投影法の混在を考慮した逆遠近法

No．1

▲

▲

▲

▲

璽鍵璽認4Σ
瞥

＝

u

一Σ

言

冒

一Σ

一￡

Σ

→

→

翻癒歴礪4￡

αエが近い時の

4Σ

9エ

n二

糎

！避

wΣ

wΣ

灘顧猛羅躍￡
HΣ

羅短醗躍Σ

偽

ノ

乾ノ

HΣ

nΣ
1

1

αZが近い時の
￠￡

ノ

」

匿

鞭●レ￡

レ

」

（2）μ￡が遠い時（b）0くαく1

A

▲

騨噸翻4Σ

灘張璽毘・。
管

言
一Σ

賢

｝Σ

三Σ

一Σ
ノ、

ノ 、

，／

／鴻

魂

一→

翻睡蟹●4￡

，

口Σ

！

H￡

β。が塀い時の
nΣ

9￡ノ

！耽

レ

17ツΣ

5Σ

」

レリ￡

撫

L
1 7

レ

」

滋

「「

5Σ

（c）α司
Fig．3

Sもar七poinもs（（2）ρ￡カ￡遠レ、日寺（d）α＞1レイの発生点（9Σ⊃）◎fobject

ツΣ

5Σ

ワΣ

α）吐が近い時（2）α￡カ｛遼し、1；寺

図3

9￡，
！をΣ

5Σ

（DαΣが近い時

薩

／

勤鰻懸αΣ

nε

」

レ
リエ

（DαΣが近い時（a）α謀0▲ご
75ガ（2病が遠い時ωα￡が近い時3とレイの方向磁君，そして物体Aの投影位置qE￡）anddirections（磁鶉）f◎r

ray

tracinga蔦dprojecもed峯）oint

A．

91＝竺
P3

92＝堕

（1◎）

（11）

P3

となる．式（10），（11）はgΣ．がαに依存しないことを示している．つまりα3鴬p3のとき，仮スクリー

提案するアルゴリズムでは多視点レイヤ合成法の処
理手順13＞を修正し拡張する．修正した多視点レイヤ
合成法の処理手順を以下に示す．

手順1

主視点，主スクリーンと，物体ごとに多視点パラメータ群と逆遠近法パラメータを設定する．

ン上の平面は逆遠近法パラメータを変化させても投影

手順2

各仮スクリーンの優先順位を決定する．

像の位置は変化せず，投影像の位置や大きさが変わら

手順3

物体の仮スクリーンへの投影像を主スクリー

ないことを示している．また，α3＝p3でなくても，α3がp3に近ければ近いほど投影像の位置のα依存性が小さいことが式（4），（5）から分かる．

3．投影法の混在を考慮した逆遠近法
3．1

ン上に上書きして描画する（仮スクリーンの優先
順位の低いものから順に行う）．

多視点レイヤ合成法の修正箇所を説明する．多視点
レイヤ合成法と提案アルゴリズムでは，手順1は等し
い，しかし，多視点レイヤ合成法では，まず物体の仮スクリーンへの投影像を算出した後に，提案アルゴリ

概要
多視点レイヤ合成法13）は，描画する各物体に対しズムの手順2と同様に優先順位を決めている．その後，て仮スクリーンを設定し3次元CGの仮想空問に仮ス

多視点レイヤ合成法では，優先順位の低い仮スクリー

クリーンによるレイヤ構造を持たせる．空間中の一部

ンから順に主スクリーンへ上書きしている．提案アルの物体が逆遠近投影されている画像を生成する場合，ゴリズムでは，まず手順2で仮スクリーンの優先順位

一 部のレイヤが逆遠近法で投影されることを考慮するを決めた後に，手順3として物体の投影像を求める処ことになる．ここでは多視点レイヤ合成法に従いつつ理をまとめて行っている．この修正によって得られる投影法の混在を考慮した逆遼近法の投影アルゴリズム

画像に差はない．しかし，提案アルゴリズムでは，多を定義する．

視点レイヤ合成法で必要であった仮スクリーン上の画

情報処理学会論文誌

260

Ja黙．2005

表2

仮スクリーン
三Σく

Table

）

nΣ・
仮観点、
5Σ・（

÷1）

記号

主視点

dΣ

盆スクリーン

H潟

仮スクリーンの中心

c潟（の仮スクリーン移動ベクトル

アΣ（の仮スクリーン拡大率

襯（の

仮視点

8潟

仮視点中心座標系

E（z）

逆遠近法パラメータαω

主複点4Σ・
図4

主視点，主スクリーンの配置と多視点パラメータ群設定例

Fig．4

乃ocatioas

ofviewpointandscree識，andalgorithmξor

パラメータ名＼仮規点㌔①

パラメーター覧

2 Parameもers三n協e proposed
inverもed perspec七ive．

（のexamplesO￡paralneters．

体は，他の投影が行われる物体とまとめて1つのよう像を一度保存する処理が必要でなくなる．

にしてはならない．3次元CG鋼作者が得たい画像に

以下の節において各手顯の説明を行う．

なるように仮想空間中の物体を区別し，区別した物体

3．2 手 顯 1
手順1では，多視点レイヤ合成法に従い主視点，主義する．

スクリーンと，多視点パラメータ群を設定する．また，

3．3

投影を操作するための逆遠近法パラメータを設定する．

この手順は3次元CGレイヤ合成法と同様に各仮ある直交座標系Σ

視点d8

篇（0

；e三，eう，e急）の原点0があり，主スクリーンHΣ

がe三，

に主

eムが張

ごとに多視点パラメータ群，逆遠近法パラメータを定

手

順

2

スクリーンの優先瀬位を決定する．初期状態の各物体の優先瀬位は，主視点｛オΣから各物体の仮スクリー

る平面と平行に視点から略方向へα§の距離にあるとンの中央cΣ

（のまでの距離の近い順に高くする．たする（図4）．そして，多視点レイヤ合成法に従い多視だし，優先順位は任意に変更することができる．

クトル・拡大率，仮視点，仮視点中心座標系）を設定す

3．4 手願3の概略
手顯3では，多視点レイヤ合成法に従い，仮視点

る．いま仮想空間内にη個の物体があり，物体乞の仮から対象物体を見たときの仮スクリーンへの投影像

スクリーンヨ別（のの中心をc￡（の，仮スクリーンのを，主スクリーン上に描画する作業を行う．ただし，

移動ベクトルア￡，⑦，仮スクリーンの拡大率π乙（のと多視点レイヤ合成法とは異なり，仮視点から見た仮ス

点パラメータ群（仮スクリーン，仮スクリーン移動ベ

する．そして，仮視点は位置8Σ

⑦にあり，その仮視クリーンへの投影には通常の透視投影だけでなく逆遠

点中心の直交座標系Σ（の＝（O（i）；e1①，e2（i），e3（i））

近法を考慮したアルゴリズムになる．次節においてそを持つとする．ただし，仮スクリーン既の詳細を述べるが，ここでは手順3における工程の概（のはe1⑦，e2④が張る平面と平行に視点からe3④方向にあるものとする．すなわち，8￡④からc￡

クトルの方向とe3（のの方向が一致し，が，仮スクリーン三湯（のへ向かうベ
e1（の，

e2（の

②の右方向と上方向を規定す

略と基本釣なアイディアについて述べる．

手顧3の工程を以下に示す．
それぞれの仮スクリーン巳Σ

（のについて（手順2で設定した優先順位の低い仮スクリーン順に）ることになる．さらにφ物体乞の逆遠近法パラメータ｛主スクリーン恥α（のを設定する．以上に説明した全パラメータを表2について上のそれぞれの画素α￡，にまとめる．

｛仮スクリーン三Σ

ここでは，π個の物体があるものとしたが，ここでいう物体の区切りについて特に定義はしない．たとえレイの出発点ば仮想空間申に，球と立方体と三角錐が1つずつあっ算出する；

たとする．この場合，それぞれの立体ごとに物体とし

Σ，⑦と初湯，（のを用いて再帰光線追跡て判断し，π＝3としてパラメータの設定をしてもよいし，球と立方体を1つの物体であるように考えて法を行い，qΣ，に物体乞の色を書き込む；

π＝2としてもよい．また，1つの立方体であっても，なにも書き込まない；

左半分と右半分を別の物体として扱うようなことも可｝能であろう．ただし，逆遠近法によって描画したい物（の上の位置p蕩，（のを算出する；
Σ（のと方向訪Σ（のをただし，物体iと交差しない場合には，｝

Vo1．46

この工程では，

261

投影法の混在を考慮した逆遠近法

No．1

Σ、（のと彷Σ

②を用いて再帰光線

追跡法により物体iを主スクリーン∬Σ・上に描画する．ただし，多視点レイヤ合成法に従い，物体2に対する光線追跡を行う場合は，￠以外の物体に対して再帰光線追跡法の1回目の交差判定は行わない．そして，

影付けに必要なシャドウレイの交差判定や，反射・屈折の表現に使用する反射光線，屈折光線の交差判定には2以外の物体も考慮する。また，1回目の交差判定
で交点がなかった主スクリーン上の画素には，なにも書き込まないこととする．

仮スクリーン三Σ
発点吻⑦上の位置PΣ

②と，レイの贔（のと方向磁Σ，（のの算出方法は次節で詳細を述べるが，その基本的なアイディアをここでは述べる．図4に示されたように，パラメータが設定されたとする．多視点レイヤ合成法に従って，￠番目の仮
スクリーン既（のに注臼し，物体￠の仮視点8Σ

から注目する物体乞の投影像を主スクリーンーΣ

（の上に描画することを考える．このとき，仮視点83，（のが逆遠近法による投影を行わない場合，すなわち逆遠近法パラメータα（のが0である場合，レイの幽発点
Σ

（のは仮視点8Σ

（のに等しい．多視点レイヤ合成

法では，この仮視点8Σ （のから見た注目する物体￠
を，仮スクリーンヨΣ ②に透視投影する．そして，仮スクリーン露Σクリーン恥④上の投影像を保持したまま，主スと平行になるように中心cΣ④を固定

して仮スクリーン三z （のを回転させる．そして，仮スクリーンの移動ベクトルアΣ，②，仮スクリーンの拡大率m④に従って，中心cΣ
CE

yΣ・①

レイの出発点（のの移動と，中心④を固定した仮スクリーン宮3④の拡大を行った後の仮スクリーン亀，（の（図5（a））を考える．最後に，この瑞，（のを，主視点dΣ

クリーンH￡から見た像を主スに投影する．これを，優先順位の低い

仮スクリーンから顯に行うのが，多視点レイヤ合成法（c）
図5

投影法の混在を考慮した逆遠近法におけるレイの楽生点とレ

イの方向
Fig。5

の基本アイディアである．

Sもart

pointsconsidering

a塾d（…iτections￡ormixt登reof

rayもr㏄i籔9

projec鍼ve

met蓋ods．

この基本アイディアのままでは，仮スクリーンに投影した像を再び主スクリーンに投影する必要があり，色とすれば解像度の問題は解決される．ここでは，仮コンピュータ上で光線追跡法を用いて空間的に離散的スクリーンごとに主スクリーンへ投影される像をそれな投影を行う場合，仮スクリーン上での解像度と主ス

ぞれレイヤと呼ぶことにする．

クリーン上での解像度の不一致が問題になってくる．

以上は，逆遠近法パラメータα⑦が0である通常

そこであらかじめ，主スクリーン上で注圏する画素の多視点レイヤ合成法である。物体唇が逆遠近法で投9Σ

影される場合，本提案手法では2章で述べた逆遠近法に投影される色を計算する際には，α潟に投影される「移動後の仮スクリーン端，（の」上の位置をの基本アルゴリズムにおける視点が，多視点レイヤ合

算幽し，そこから逆に仮スクリーン既⑦上の位置

成法における仮視点に対応するものとする．そして，2p￡，④を算繊する．そして，仮視点8湯⑦から発生

章における仮スクリーンは，そのまま多視点レイヤ合（の上の位置pΣ，④

成法の仮スクリーンに対応するとする．そのように考に向かって光線追跡をした結果をq湯，に投影される

えれば，上述した多視点レイヤ合成法の基本アイディ

させるレイを，仮スクリーン宮Σ

262

情報処理学会論文誌

アのように，仮ス

クリーン三3（のへ仮視点εΣ

ωから逆遠近法によって投影し，仮スクリーンを移動，拡大した像を主スクリーン恥

Jaa．2005

る．直交座標系Σ（のにおいて，レイの出発点

Σ（のとレイの方向磁Σ（のは，式（2），（3）よりに投影することが，空間上の物体乞を逆遠近法によって投影することになる．

ただし，多視点レイヤ合成法と岡様に，仮スクリーン

劇一

（17）

磁Σ（乞）駆P￡（￠）一ηΣ（の（18）と主スクリーンの解像度の問題があるので，あらかじめ主スクリーン上の注目する画素ごとに，レイの出発点ηΣ

（のと方向窟Σ3．5

手順3の詳細（のを算出することになる．

本アルゴリズムでは再帰光線追跡法を用いる．レイの発射点りΣ

であるから，これらを直交座標系Σ

に座標変換したηΣン（のと哲Σ・（￠）：（のとその方向塑澱（のを算出する．物りΣγ（の＝：ノ生（盛）りΣ（乞）十孟Σソ（客）（19）

互かΣy（乞）＝ノ隻（の冗びΣ⊃（客）（20）

体乞とその多視点パラメータ群，逆遠近法パラメータが，物体唇に対してα￡，における像を得るためのレに注目する（図4）．物体琶の仮スクリーンEΣ

イの出発点とレイの方向である（図5（c））．

（のは，

仮スクリーン移動ベクトルア8，（のと仮スクリーン拡
大率鵬（のに従った場合，図5（a）の位置亀，（のに射影されるものとする．そして，主視点d￡
リーンHΣ，上の座標qΣ，＝（

ノ

9三，92，93）を結ぶ直線と，移動・拡大後の仮スクリーン亀pと主スク（のとの交点を1

4．1

投影法が混在しない場合

投影法の混在を考慮しない逆遠近法（2章）を使用
して画像を生成した．アルゴリズムの実装には，光線追跡法によるレンダリング・ソフトウェアPOV−RAYΣ，（のとする（図5（b））．このとき，（

4．画像生成と評価）｛①画鯛｝

3．1（POV−Ray

Team，

http：／／www．povray．org／）の改良版であるMegaPOV

O．7（MegaPOV

Team，

http：／／megapov．inetaτt．net／）のソースコードを使用した．また，通常の再帰光線追跡法による画像生成に（12）（のから亀，（のへの射影前に，配置し，まず視軸方向へ距離5，0の位置に模様のある（の上のPE，（のの位置にあったとき，9E，（のと不透明な平板を1つ配置した．次に，視軸方向へ距

このp

三Σ

は，同ソフトウェアを使用した．
図6（a）に示すように視点を原点（0．0，0，0，0．0）にである．

Σ，（のが，εΣpΣ、（のの関係は式（13），（14）で記述することができ

平板1，／／る（図5（b））．

・−P

Σ，ω一ア。，ω一・。

（の

（13）

臨／誘勲
へ

ゆ

の

り

゜＼＼噸視軸（鰯）一鯛

1＼＼馬（a）視点と対象物体の般定

ただし行宛A（のは，直交座標系Σ（のにおけるある
位置コ醇￡が直交座標系Σ

において位置のΣに対応する場合，以下の式で記述される回転行列である．
2コΣ・：＝ノ塾・（の田Σ十孟Σソ（の（15）（b）奥にある9つの物体

そして，A弓（のは盆（のの逆行列である．

（c）手前にある立方体

このpΣ，（のを直交座標系Σ（ので表すと，PΣ（z）＝ノ隻一1（乞）［PΣ，（の一オΣソ（の1（16）である．2章で述べた投影法の混在を考慮しない逆遠近法における視点8Σと仮スクリーン上の位置pΣが，（d）透視投影法による描画（再滞光線追跡法）

本節における仮視点8Σ（のと仮スクリーン上の位置pΣ（のに対応するとしてレイの出発点と方向を規定す

図6
Fl9。6

視点と物体の配醗

Locationsofviewpoln七andobjects．

Vol，46263

投影法の混在を考慮した逆遠近法

No．1
表3
Table

3

投影法が混在を考慮した逆遠近法による画像のためのパラメータ

Parametersfor七heprojecもive

methods．

proposed

inverted

perspec七孟ve

considering

mix加re

多視点パラメータ

記号

物体1

物体2

仮スクリーンの中心

c3（の（0．0，α0，4．0）（0，0，0．0，2．0）

仮スクリーン移動ベクトル

アΣ（の（0．0，0，0，0．0）（0．0，0．0，0．0）

仮スクリーン拡大率

飢（の1（0．0，0，0，0．0）1（0．0，0．0，0．0）

仮視点

8む

of

（の

離4．0の位遣にさまざまな反射や透過の特性を持つ物

体を8つ（1辺0．8の立方体が5つ，縦・横・高さが◎．8の球，円錐，円筒がそれぞれ1つずつ），そして1辺0。12の立方体を中央に配置した（図6（b））．また，視点から視軸方向へ距離2．0の地点に1辺0．8の半透明な立方体を配置した（図6（c））．これらを通常（a）レイヤ1の再帰光線追跡法によって描画した結果が図6（d）である。中央にある立方体は手前にあるため，同じ大きさの遠くにある立方体と比較して，大きく描画されていたのが分かる．また，それぞれの物体においても手前の面よりも奥にある面のほうが小さく描画されていた．これは，通常の透視投影によって遠小近大に描か（b）レイヤ2
物体1と物体2を描画する2つのレイヤ

図8

れている．

Fig．8

Tw。

layersdepict圭ng

objects．

次に，図6（a）と同様に視点と物体を配置したうえ

で，視点から視軸方向へ距離4の位置に仮スクリーン

0．7（MegaPOV

Team，

http：〃megapov．inetart．netノ）三￡を配置した、そして，逆遠近投影パラメータαをのソースコードを使用した．また，通常の再帰光線追0から2まで変化させたときの提案アルゴリズムによ跡法による画像生成には，問ソフトウェアを使用した．

る描画画像を図7（a）〜（d）に示す．2章において解説

葡節と同様に図6（a）に示すように物体を配置した．

したように，α篇0．0のとき図6（d）の透視投影と等

ただし，手前の立方体だけを逆遠近法で投影し，他のしい画像が得られた（図7（a））．またα＝1．0のとき物体を通常の透視投影で投影することを試みるために，は，視軸方向の平行投影像が得られた（図7（b））．こ

奥に配置した9つの物体ならびに1枚の平板と（これのとき，手前にあった中央の立方体が，他の1辺0．8

らを物体1と呼ぶ〉，手前の透明な立方体（これを物体の立方体5つと同じ大きさに描画されていたのが分か

2と呼ぶ）の2つに物体を分けることにした．奥に配る。2章において解説したように，αが1．0を超える置した物体1には，視点から視軸方向へ距離4，0の位値のとき，手前にある中央の立方体よりも遠くにあっ置に仮スクリーンの中央c湯た物体の方が大きく描かれており，それぞれの物体で体2には，視点から視軸方向へ距離2．0の位置に仮ス

も手前の面よりも奥にある面の方が大きく描かれていクリーンの中央cΣ・（2）を配置した，この位置cΣ

た（図7（c），（d））．また，αの値が大きくなるほど，は，物体2の重心に等しい．これらの多視点パラメー

手前の物体はより小さく，奥の物体はより大きく描画

タ群の設定を表3に示す．仮視点8Σ（1）を配置した．また，物（1），83（2）（2）は，されていた。より遠大近小を強調したければ，αを大どちらも主視点d￡

きくすればよい．このように提案アルゴリズムによりずれの仮スクリーン移動ベクトルも（0．0，0．0，0．0）（移遠大近小の画像が得られ，小山の分類する可能性Bに動なし）にし，いずれの仮スクリーン拡大率も1（拡よる逆遠近法の3次元CGが得られたことが分かる．

大なし）に設定した．ただし，物体2の仮スクリーンと同じ位置に設定した．また，いまた，各々の物体には別の物体の影が落ちていたり，の中央c￡

反射や透過・屈折によって互いの像を写り込ませたりに近いので，手順2で設定される仮スクリーンの優先することができていた．

順位は，物体2の仮スクリーンが高い．すなわち物体

4．2

投影法が混在する場合

投影法の混在を考慮した逆遼近法（3章）を使用して画像を生成した。アルゴリズムの実装にはMegaPOV（2）が物体1のcΣ（1）よりも主視点d∬2の投影像が手前のレイヤとして主スクリーンへ投影される．

まず，手前の立方体の逆遠近法パラメータα（2）を

情撒処理学会論文誌

264

（a）

α鷹0．0

図7
F玉g．7

（a）

（b）

（c）

α＝15

（d）

2005

α翼2・0

投影法の混在を考慮しないアルゴリズムを用いた逆遠近法パラメータαによる生成画像の変化
Changi准g並mageα（2）冨0．0

図9

α篇1．0

Ja、n．

dependonα娘sing（b）thepτoposedbasic

α（2）謂玉．0（c）a｝gorithm￡orinverted

perspecも玉ve．

（d）α（2）謹2．0

α（2）嵩＝15

投影法の混在を考慮したアルゴリズムを用いた逆遠近法パラメータα（2）による生成諏像の変化
Fig．9

Changing

inverted（a）（0．0，0．0，0．0）

i職age

dependthe

proposed（c）（−0．4，0．4，0．0）

algorithm

for（d）（−0．6，0。6，α◎）投影法の混在を考慮したアルゴリズムを用いた仮視点8￡

Fig．10bas圭c

perspective．

（b）（−0．2，0．2，0．0）

図10oロα（2）using

Chang圭飛gCOnsideriRg

i恥age

depe漁dmixtUreOfon8Σソ（2）usingもheprOjeCtive（e）（−0．8，0．8，0．0）（2）による生成画像の変化
propose（圭algorithm

methOδS・

2．0としたときの，2つのレイヤの像をそれぞれ図8

投影法の混在を考慮していない図7の結果と比較するに示す．図8（a）に示すレイヤ1は，奥にある仮スクと，両者は大きく異なっていた．α（2）を変化させてリーン巳Σ

（1）への投影像を主スクリーンへ投影したもレイヤ1には影響がないため，物体1は透視投影のものである．物体2以外がすべて投影されている．仮まま保たれている．一方，物体2は，α（2）の増加に

視点の位置8Σ

（1）が主視点と等しく，逆遠近法パラともない逆遠近法による投影が行われた．しかし物体メータがα（1）雲0．0なので，物体2以外を透視投影

2の画面内における見かけ上の大きさは，図7ほどはした画像にほぼ等しい．ただし，物体2の影が再帰光

変化しなかった．これは，物体2の重心に仮スクリー

線追跡法によって奥にある物体1へ投影されている点

ン冨Σにおいて異なる．一方，図8（b）に示すレイヤ2は，仮2の画面上における位置が重心において変化しないこ

視点8￡と，そして，逆遠近法の基本アルゴリズム（2章）に（2）から逆遠近法で物体2のみを仮スクリー（2）の申央c澱（2）を配置しているため，物体ンへ投影した像を，主スクリーンへ投影したものであ

よって仮スクリーンに近いほど投影像の大きさが逆遠る．レイア2には，物体2以外は投影されていない．

近法パラメータの値に依存しにくい（2。2節参照）としかも，逆遠近法パラメータα（2）＝2．0であるため，いう特徴による．Agrawalaら12）の多視点画像生成手

逆遠近法によって投影されている．これらのレイヤ1法においても，物体の投影像の大きさを保持する拘束の上にレイヤ2を重ね合わせた画像が最終的な生成画

条件や，物体の位置を拘束する条件をつけている。提像になる．

案手法では，逆遠近法によって特定の物体を投影する

手前の立方体の逆遠近法パラメータα（2）を0．0か場合においても，透視投影時における物体の画面上のら2．0まで変化させたときの生成画像を図9に示す．

位置や見かけの大きさを，仮スクリーンを用いてほぼVo正。46No，1265

投影法の混在を考慮した逆遠近法

保持することが可能であったといえる．また，レイヤ

構造により，物体の前後関係を保持することも可能であった．このような特徴により，透視投影のときと対象の重なり，高さ（位置），相対的な大きさが保持さいう多視点の特徴を表しているといえる，

5．ま

と

め

れることによって，線遼近法による奥行き手がかりが

本論文は3次元CGにおける逆遼近法を提案した．
提案手法は移動する視点を1枚の絵にまとめたことになくても，逆遠近法による投影時にこれらの奥行き手よる逆遠近法と多視点レイヤ合成法を組み合わせていがかりが保持できることになる．

る．提案手法には以下の特徴がある．

図8のレイヤ1に示したように，逆遠近法による投影を用いたとしても物体2の影が物体1上に保持さ・描画対象空間をすべて逆逮近法によって投影するれた．また，図9における手前の物体を見ると，物体だけでなく，透視投影法と逆遠近法を混在させることが可能である．

2の奥に配置した小さな立方体（大きさ0．12）が，逆・物体の重なり，位置関係，大きさに関して，通常遠近法であっても透過されて描画されていたのが分かの透視投影時の投影像の状態をほぼ保持することる．このように，提案手法は物体の質感表現として透過・屈折が可能であった．この透過・屈折されて見えている小さな立方体の像は，逆遼近法パラメータα（2）が可能である．

・反射，透過・屈折による質感表現と陰影付けが可能である．

が大きくなるほど大きく描画されていた．これは，透1つ目の特畏により，逆遠近法が使われた絵画にお過・屈折されて見えている物体が手前の立方体よりもいて一般に見られるように，画面中の一部の物体のみ遠方にあるので，逆遠近法によって大きく描かれていに逆遠近法が使用されている画像が3次元CGによることにほかならない．このように，提案手法は，投り制作可能になる．2つ目の特徴により，逆遠近法に影法を画面内で混在させても，影付けが可能であった

よって線遠近法の奥行き手がかりがくずれたとしても，し，また透過・屈折による質感表現も可能であった．

投影像において有効な奥行き手がかりが保持されるこ

また，物体1と物体2には反射の特性を持つ立方体なとになる．しかも3つ囲の特徴により，逆逮近法によどが含まれており，逆遠近法による投影を用いたときる投影像と透視投影法による像は単なる重ね合わせににおいても，反射が描画されていた．これらの陰影や，よって岡一画面中に存在するわけではなく，仮想空間

反射，透過・屈折の表現も，奥行き手がかりの1つと中の各物体間ならびに光源との相互的な光学的影響をなりうる．このように，空間中の一部の物体を逆遠近表現できる，

法で投影したい場合，その逆遠近法対象物体の中央に，

参仮スクリーンの中央を配置し，逆遠近法パラメータを1．0より大きな植にすればよい．透視投影のときの奥

1）王nakage，

行き手がかりと比較して，線遠近法による奥行き手がti◎ns，

かり以外はほぼそのまま保持したまま，逆遼近法による爾像が得られる．ただし，投影法の異なる物体が接

nii，

考

M，：No且．hnear

T．L，（Ed．），

G．

and

である，

nii，

させることにより，逆遼近法で得られる像の見えている角度を変化させることができた．ただし，物体1へ投影された物体2の影など，透視投影されている物体

1への影響はなかった．これは，あくまで物体2の仮
視点のパラメータを変化させているだけであるので，

物体1の仮視点からの投影像には関係がないからである．すなわち，物体1と物体2の位置関係は仮想空闘内において変化しないが，視点だけが変化していると

Ku−

Spri灘ger−Verlag

McNaugh七〇n，cal

果を図10に示す．逆遠近法対象物体の仮視点を移動

projec。

Grα画C8，（1991）．

2）Wyvill，

grαP痂c5αro鶏π♂オんe卿OT置（0．0，0．0，0．0）から（−0，8，0．8，0．0）に移動させた．結

perspective

pp．2◎3−215，性がある．この不都合は本手法では解決できない問題（2）を主視点の位献

Mo4eZ吻伽・（フ0㎜餌eTしているとき，影や鏡像において不都合が生じる可能

図9（d）の状態から，仮視点8Σ

文

C．：Opもi−modds，0σ∫漉mα麗oπαZ
T．L，（Eds．），

d，

Chua，

9αOom卿er

T．S，

and

Ku−

pp．83−93（1990）．

3）Takahashi， S． and Kunli，τ．L：Maaifold−based multiple−viewpoint CAD：Acase sもudy◎fmountai娠gui（玉e−map、4、昭ε4De3盛gη，4）Tak哉hashi，

VoL

S．，

generation，

26，

No．8，

Ohta，

Oompu亡eγ・一

pp．622−631（1994）．

N．，

Nakamura，

H、，

Takeshima， Y． and Fujishiro，茎．：Modeling
Surperspective Projec七童on of Landscapes for

Geographical

Guide−Mapp撹εγGT（4）1L乞c5R）物ηz，

Generat玉on，

Oom．

Vol

259−

21，

No3，

pp

268（20◎2）．

5）宮澤貴之，望月義典，近藤邦雄，佐藤 尚，島田静雄：3次元形状を誇張するための投影変換法，テレビジョン学会誌，VoL

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No．10，

pp，1543−1548

／と処埋学会llll舞文r、』266

長（1996）・

6）Osa，

A．，

noshita，」〜しn．200菖

Nagaもa｝K，T．，

Ich童kawa，M．

human−o罫iented

render圭11g

of

aRd

visuai

ang圭e

and

based

viewi凱9

篤志（正会員）S・，

Ki−lll」和47年生．平成9年山口大学

Miike，

H．：A

大学院工学研究科電気電子工学專攻

Tsukarnoto，oR

perceptioll

博士煎期課程修了．博士（工学）．平

distance，1）Toc・

2πdZン13TED嬬e㎜α孟乞oπα100顧θTeπcε，四3ひ・成9年山口大学工学部助手．主とし、4ゐZZ24四〇ハ㌧∬砿4α1Vσ、41ゾZ）1砿40Eて動画像処理，デザイン工学，コン

OE331Nσ，PRO−

ピュータグラフィックスに関する研究に従事．

pp545−550（2002）．

7）出下義行：ブラック・ホールのコンピュータ・グ

日本映像学会，芸術科学会各会員．

ラフィックス：光線追跡法の曲がった4次元時空への拡張，情報処理学会論文誌，Vol．30，

No．5，

原田

pp．642−651（1989）．

哲也

昭和53年生．平成15年山口大学

8）黒顕正巳：空間を描く遠近法，彰国社，東京（1992）．

大学院理工学研究科感性デザイン工9）小山清男：幻影としての空問一図学からみた東学専攻博士前期課程修了．修士（工西の絵画，東信堂，東京（1996）．

学〉．同年（株）エイチアイに入社．

10）ロバート・L・ソルソ：脳は絵をどのように理解するか，鈴木光太郎ほか（訳），p223，新曜社，東京（1997）．

木下

11）三末和男，杉山公造：図的思考支援を目的とした図の多視点遠近画法について，情報処理学会論文誌，Vol．32，

12）Agrawa豆a，T．：Arも童stic
9TαPん乞c3

No．8，

M．，

Zorin，Reπ（オε7癒η9

昭和37年生．昭和62年武蔵野美PP9974005（1991）．

Mult玉projection

D．

and

擁Zorた3んOP

術大学造形学部芸能デザイン学科卒

Mun3丑er，

ReRdering，
2000，

業．芸衛工学博士（神戸芸術工科大E螂o−学）．昭和62年映像制作会社（株）

PP・125−白組に入社．平成4年山口県立大学

136（2000）．

13）長

武志

篤志，原田哲也，木下武志：視点が混在する

助手．平成12年山口大学工学部講師．主として映像

3次元コンピュータ・グラフィクス生成手法，芸デザイン手法，デザイン教育に関する研究に従事。日

術科学会論文誌，VoL

1，

No2，

pp。85−88（2002）．

（平成15年10月14臼受付）（平成16年11月1日採録）

本デザイン学会，映像情報メディア学会，日本映像学会各会員．