§10 WKB 法（準古典近似法）
10.1 量子力学から古典力学への移行• 定常状態の１次元 Schrödinger 方程式
h̄2 d2−+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)2m dx2(1)• 波動関数の置き換え

i
ψ(x) = exp S(x) .
h̄(2)• S に対する方程式(2) 式を (1) 式に代入し、以下のように微分を実行する。
⎡h̄2 d2 iS/h̄h̄2 d i dS iS/h̄h̄2 ⎣ i dS−e=−=−e2m dx22m dx h̄ dx2mh̄ dx

2⎤i d2 S ⎦ iS/h̄+eh̄ dx2

最後に eiS/h̄ で割ると、次式が得られる。

1S  2 − ih̄S  + V (x) = E2m(3)(3) 式で、h̄ → 0 とすると、古典力学の Hamilton-Jacobi の方程式になる。

10.2 準古典近似 (Wentzel-Kramers-Brillouin 近似)• h̄ についての展開
上記の事実より、S を次のように h̄ の冪で展開して解く近似解法が示唆される。

S = S0 − ih̄S1 + (−ih̄)2 S2 + · · · ,(4)

この解法を準古典近似 (Wentzel-Kramers-Brillouin 近似あるいは WKB 近似) と呼ぶ。

(3) 式に (4) 式を代入し、h̄ の同じ冪の項を集めると、次式が得られる。
0次 :1 2S + V (x) = E2m 0←→S02 = 2m[E − V (x)]

(5)

1次 :

1(2S0 S1 + S0 ) = 02m←→

S1 = −S0
2S0(6)

2次 :12S0 S2 + S12 + S1 = 02m

S1 + S12S2 = −
2S0

(7)

1←→

• 古典運動が可能な領域 — E > V (x) — の解
局所的運動量 p(x) を次式で定義する。

p(x) ≡2m[E − V (x)].

(8)

すると、(5) 式は次のように変形できる。

dS0= ±p(x)dx−→ xp(x )dx(9)

1S1 (x) = − ln p(x)2(10)

S0 (x) = ±(6) 式に代入して不定積分を実行する。
dS1p (x)=−dx2p(x)−→上の 2 式を (4) 式に代入し、その結果を (2) 式の指数の肩に乗せると、以下のようになる。


iix   1exp (S0 − ih̄S1) = exp ±p(x )dx − ln p(x) =h̄h̄2ix  exp ±p(x )dxh̄
p(x)
1



一般の波動関数は、2 つの独立解の線形結合として、次のように書ける。

ψ(x) =C1

iexp
h̄p(x) xp(x )dx +C2iexp −h̄p(x)

 x



p(x )dx(11)• 古典運動が不可能な領域 — E < V (x) — の解ρ(x) を次式で定義する。
ρ(x) ≡2m[V (x) − E]

(12)|ρ(x)| = |p(x)| に注意。ρ(x) を用いると、(5) 式は次のように変形できる。
dS0= ±iρ(x)dx−→ xρ(x )dx(13)

1S1 (x) = − ln ρ(x)2(14)

S0 (x) = ±i(6) 式に代入して不定積分を実行する。
dS1ρ (x)=−
dx2ρ(x)−→波動関数は、2 つの独立解の線形結合として、次のように書ける。

ψ(x) =C1



1exp −h̄
ρ(x)

 x



ρ(x )dx +2C2

1exph̄
ρ(x) x

ρ(x )dx(15)• WKB 近似の適用範囲
WKB 近似が妥当なのは、(3) の第二項が第一項に比べて無視できるとき、すなわち
2h̄|S |  |S |←→  dh̄ 1
 dx S    d h̄ 1
 dx p ←→(16)

ここで、第 3 の条件式を得るために、S → S0 と近似し、(9) 式を用いた。

de Broglie 波長 λ(x) ≡hp(x)を用いると、上記の条件は、  1 と書ける。

1  dλ 

2π  dx すなわち、de Broglie 波長が空間的にゆっくりと変化していれば良い。

• 回帰点(a) 回帰点とは V (x) = E を満たす点。すなわち、右図の点 aと b。これらの点の周りでは、|p(x)| ≈ 0 すなわち |λ(x)| →∞ となり、準古典近似は使えない。

V(x)E(b) 回帰点 a の周りでポテンシャルV (x) を Taylor 展開し、以下のように近似する。

axbFa ≡ V  (a) ：点 a での力V (x) ≈ V (a) − Fa (x − a),(17)この近似の下では、p(x) と ρ(x) は次のように表せる。
⎧⎪⎨ p(x) ≈⎪⎩ρ(x) ≈2mFa (x − a) = γa (x − a)1/2:x>a1/2:x<a2mFa (a − x) = γa (a − x)(γa ≡2mFa )(18)

従って、準古典近似が成立する条件 (16) は、以下のようになる。

h̄1√
12mFa 2|x − a|3/2←→

1|x − a| 2h̄2mFa1/3≡ ∆xa(19)(c) 同様に、回帰点 b の周りでは、V (x) は以下のように近似される。
V (x) ≈ V (b)−Fb (x−b) = V (b)+|Fb | (x−b),

Fb ≡ V  (b) < 0 ：点 b での力 (20)

この近似の下では、p(x) と ρ(x) は次のように表せる。
⎧⎪⎨ p(x) ≈⎪⎩ρ(x) ≈2m|Fb | (b − x) = γb (b − x)1/2:x<b1/2:x>b2m|Fb | (x − b) = γb (x − b)3(γb ≡2m|Fb |)(21)

10.3 接続公式
• 回帰点 a の周りでの解の接続
図の点 a の近傍を考え、x < a の解と x > a の解を滑らかに接続する。まず、(11) 式と (15)式で、積分の下限を a にとる。これは積分定数の選び方を変えるのみで、本質的変更ではない。

(a) x > a + 10∆xa の解(11) 式に (18) 式を代入して積分を実行すると、次のようになる。
  x

ii x1

ψ(x) = C1 expp(x )dx + C2 exp −p(x )dx exp − ln p(x)h̄ ah̄ a2

12γa2γ1a3/23/2(x−a)(x−a)= C1 exp i+ C2 exp −i
exp − ln(x−a) − ln γa (22)3h̄3h̄
42(b) x < a − 10∆xa の解ψ(x → −∞) → 0 の境界条件を考慮すると、この領域の解は次のようになる
ψ(x) =Cρ(x)exp1h̄ xaρ(x )dx = C exp

1h̄

 xaρ(x )dx −1ln ρ(x)2

この式に (18) 式を代入し、積分を実行すると、次式が得られる。
ψ(x) = C exp −12γa1(a−x)3/2 − ln(a−x) − ln γa3h̄
42





(23)(c) 複素平面を経由した解の接続
まず、(23) 式の x を複素平面に解析接続し、次のように表す。

a − x = Rei(θ−π)(24)

この表式を用いると、実軸上での x < a に対する ψ(x) は次のように複素平面に解析接続される。
2γa11i(θ−π) 3/2
ψ(x) = C exp −Re− [ln R + i(θ − π)] − ln γa(25)3h̄42

経路1

WKB近似が使えない領域
a−10xca

経路２4xa+10xcこの表式を、準古典近似が使えない領域を通らないで、図の経路１経由で (a) の領域に接続する。この経路では、(24) 式の θ が π ≥ θ ≥ 0 と変化するので、θ = 0 での波動関数は次のようになる。
3/2
12γa1Re−iπ− (ln R − iπ) − ln γa3h̄4212γ1a 3/2
R − ln R − ln γa= Ceiπ/4 exp −i3h̄42

ψ(x) = C exp −(26)θ = 0 で R = |a − x| = x − a であることを考慮し、(26) 式を (22) 式と見較べる。すると、(26) 式は、定数因子を除いて、(22) 式の第 2 項と同じ位相因子を持つことがわかる。両者が完全に一致することを要請すると、次式が得られる。
Ceiπ/4 = C2(27)同様にして、図の経路２経由で (a) の領域に接続する。この経路では、(24) 式の θ がπ ≤ θ ≤ 2π と変化するので、θ = 2π での波動関数は次のようになる。
3/22γa11Reiπ− (ln R + iπ) − ln γa3h̄4212γa 3/2 1
R − ln R − ln γa= Ce−iπ/4 exp i3h̄42

ψ(x) = C exp −(28)θ = 2π で R = |a − x| = x − a であることを考慮し、(28) 式を (22) 式と見較べる。すると、(28) 式は、定数因子を除いて、(22) 式の第 1 項と同じ位相因子を持つことがわかる。両者が完全に一致することを要請すると、次式が得られる。
Ce−iπ/4 = C1(29)(27) 式と (29) 式を (11) 式に代入すると、x > a での解が、x < a での解 (15) に現れる定数 C を用いて、以下のように表されることがわかる。
ψ(x) =

1cosh̄p(x)2C

 xπp(x )dx −4a(30)• 回帰点 b の周りでの解の接続
図の点 b の近傍を考え、x < b の解と x > b の解を滑らかに接続する。まず、(11) 式と (15)式で、積分の下限を b にとる。

(a) x < b − 10∆xb の解(11) 式に (21) 式を代入して積分を実行すると、次のようになる。




i xi x1
ψ(x) = C1 expp(x )dx + C2 exp −p(x )dx exp − ln p(x)h̄ bh̄ b2


2γb2γ
1
1b= C1 exp −i(b−x)3/2 + C2 exp i(b−x)3/2 exp − ln(b−x) − ln γb (31)3h̄3h̄425(b) x > b + 10∆xb の解ψ(x → ∞) → 0 の境界条件を考慮すると、この領域の解は次のようになるψ(x) = C  exp −1h̄ xbρ(x )dx −1ln ρ(x)2(32)

この式に (21) 式を代入し、積分を実行すると、次式が得られる。
12γb1(x−b)3/2 − ln(x−b) − ln γbψ(x) = C exp −3h̄
42

(33)

(c) 複素平面を経由した解の接続
まず、(33) 式の x を複素平面に解析接続し、次のように表す。

x − b = Reiθ(34)

この表式を用いると、実軸上での x > b に対する ψ(x) は、次のように複素平面に解析接続される。
3/2
12γb1
ψ(x) = C exp −Reiθ− (lnR + iθ) − ln γb3h̄42(35)まず 0 ≤ θ ≤ π と変化させて、この表式を x < b の領域に接続する。θ = π での波動関数は次のようになる。
3/212γb1ψ(x) = C exp iReiπ− (ln R + iπ) − ln γb3h̄4212γ1bR3/2 − ln R − ln γb= C  e−iπ/4 exp i3h̄42

(36)

θ = π で R = |x − b| = b − x であることを考慮し、(36) 式と (31) 式と見較べる。すると、(36) 式は、定数因子を除いて、(31) 式の第 2 項と同じ位相因子を持つことがわかる。両者が完全に一致することを要請すると、次式が得られる。
C  e−iπ/4 = C2(37)同様にして、(35) 式の θ を 0 ≥ θ ≥ −π と変化させて x < b の領域に接続する。θ = −πでの波動関数は次のようになる。
3/2
12γb1Re−iπ− (ln R − iπ) − ln γb3h̄4212γ1b 3/2
R − ln R − ln γb= C  eiπ/4 exp −i3h̄
42ψ(x) = C  exp −(38)θ = −π で R = |x − b| = b − x であることを考慮し、(38) 式を (31) 式と見較べる。すると、(38) 式は、定数因子を除いて、(31) 式の第 1 項と同じ位相因子を持つことがわかる。両者が完全に一致することを要請すると、次式が得られる。
C  eiπ/4 = C1(39)(37) 式と (39) 式を (11) 式に代入すると、x < b での解が、x > b での解 (32) に現れる
定数 C  を用いて、以下のように表されることがわかる。
ψ(x) =

π2C π1x1bcos
cosp(x )dx +=p(x )dx −h̄ b4h̄ x4p(x)p(x)2C 6(40)10.4 Bohr-Sommerfeld の量子化則(30) 式と (40) 式が、a + 10∆xa < x < b − 10∆xb の領域における同じ波動関数を表すためには、n を整数として、次のいずれかの条件が必要である。
[ C cos θ = C  cos θ が成立する条件は、θ = ±θ + nπ かつ C  = (−1)n C ]。
1h̄ bxp(x )dx −1π=±4h̄ xap(x )dx −π+ nπ,4C  = (−1)n C(41)右辺の複号が + の場合は、条件が x に依存するため、領域 a + 10∆xa < x < b − 10∆xb の任意の x について成立させることは不可能である。一方、− 符号の場合は次のように変形できる。
 b

11 h,p(x )dx = n +πh̄ = n +22 2aC  = (−1)n C.

(42)

さらに、b → a の積分寄与を付け加え、1 周期にわたる積分の形に表すと、次の Bohr-Sommerfeldの量子化則が得られる。

1p(x)dx = n +h.
(43)2• 例：1 次元調和振動子
p(x) =2m[E − V (x)] に V (x) = 12 mω 2 x2 を代入すると、転回点が a = − 2E/mω 2 , b =2E/mω 2 と求まる。x =式の積分を実行する。
 ba2E/mω 2 cos θ (a ≤ x ≤ b ←→ π ≥ θ ≥ 0) と変数変換し、(42)p(x)dx =√

2E2mEmω 2

 0π(− sin2 θ)dθ =

これを (42) 式に代入して E = n + 12 h̄ω が得られる。

72E ππE=.
ω 2ω(44)