数理解析研究所講究録
第 1625 巻 2009 年 67-7767

オイラーの変分法
九州大学大学院数理学府

11DC 2 尾崎 文秋 (FUMIAKI Ozaki)
Graduate school of Mathematics,Kyushu University.

はじめにオイラー全集系列 1 の 24 巻である原題

Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes
sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. “E65“(極大あるいは極小の性質を備える曲線を発見する方法, あるいは一番広い意
味で把握された等周問題の解)は変分法についての著作であり, これは 1744 年に刊行され, レオンハルト・オイラー (17071783) が 37 才のときの作品である. 変分法 (Calculus variationum) という言葉が最初に表れたのは 1766 年の論文”Elementa Calculi variationum”E296(変分計算の基礎) であるが,変分法は 1744 年の著作に現れているので, この本を変分法のテキストと呼ばせていただきたい. このテキストが刊行されるまでにオイラーは 4 本の論文 $(E9,E27,E42,E56)$ しか刊行しておらず, 1736 年に刊行された ’ Mechanica, volume 1, volume2”E15,16(力学 1,2)の時点で変分法の理論は作り上げられていたのかもしれない. 上記の 2 冊を読んでいない
今はただの思いつきでしかないが, いずれ突き詰めてみたいテーマである.

変分法は,ヨハンベルヌーイの 「最速降下線問題」 の考察から始まった. オイラーは変分法のテキストの本文中に

1-6

この方法はすでに前世紀に無限解析が見つかってすぐ後に著名なベルヌーイ兄弟によって創始され, 大きく進歩した. この種の取り扱われた一番初$($1$)$$r$$)^{}$

本文第 1 章 6 節68

めに取り扱われたこの種の問題は力学に関係していて, その上を物体が最も速く降下するところの曲線が探し求められた. この曲線は最速降下線 またはブラキストクローネ曲線と呼ばれた.」と書いている. ヨハン・ベルヌーイは 1697 年の論文 (ヨハンベルヌーイ全集巻 I, pp187-193) において「最速降下線問題」の解答がサイクロイドになることを示したときに, これは幾何的に解いたものだったが, その中でサイクロイドを表す微分方程式 $dy=\sqrt{\frac{x}{a-x}}dx$を書いた.

これを知ったオイラ $-$ は,式 $\int Zdx(=\int_{l}(x,$ $y,$$\frac{dy}{dx}))$

これを模範例にし, 問題を一般化した. そして積分の極値問題を解くことで変分法の問題が解決することを発見し, 続いて次々に $Z$ を複雑にして自身の変分法を発展させて行った.

このようにオイラーは力学の問題に無限解析を応用し, 一つの学問を作り上げたのである.
このテキストをラグンランジュが読み, 「解析力学」 を作り上げたことはよく知られている.

2変分法

オイラー全集は Birkh\"auser 社から出版されているものを使用した. 変分法のテキストが収録されている巻 24 は, この巻を編纂したドイツ生まれのギリシャ人数学者 ConstantinCaiatheodory(1873-1950) の解説がドイツ語で 57 ページあり, ラテン語本文は全 308 ペー

ジで構成は 6 つの章と 2 つの付録からなる.
〈目次〉

1. De methodo maximorum ac minimorum ad lineas curvas inveniendas applicata ingenere
一般に適用される曲線を見つけるための極大極小法にっいて
2. De methodo maximorum ac minimorum ad lineas curvas inveniendas absoluta
曲線を見つけるための極大極小の絶対的方法について

3. De inventione curvarum maximi minimive proprietate praeditarum, si in ipsa maximi minimive formula insunt quantitates indeterminatae
極大極小式の中に不確定量が存在している場合に, 極大あるいは極小の性質を備えている曲線を見つけることについて

4. De usu Methodi hactenus traditae in resolutione varii generis quaestionum
様々な種類の問題の解決における,これまでに教示された方法の利用について

5. Methodus inter omnes curvas eadem proprietate praeditas inveniendi eam, quaemaximi minimive proprietate gaudeat
ある一つの同じ性質を備える全ての曲線の間で, 極大あるいは極小の性質を備えたものを見つける方法

69

6. Methodus inter omnes curvas pluribus proprietatibus communibus gaudentes eam
determinandi, quae maximi minimive proprietate praedita sit
より多くの共通の性質を備えるすべての曲線の間で, 極大あるいは極小の性質を持つものを決定する方法
付録 lDe Curvis elasticis

弾性曲線について付録 2De Motu Proiectorum in medio non resistente, per Methodum maximorum

ac minimorum detertminando
極大または極小の一般方法によって決定されるべき, 抵抗の無い媒体におけるProiectus の運動について
章では変分法の基礎理論, 2, 3 章では絶対的方法, 4 章は例題, 5, 6 章
では相対的方法について書かれている. 付録は両方とも力学への応用が書いてあるようである.
各章の内容$\ovalbox{\tt\small REJECT} X1$

オイラーは変分法を絶対的方法と相対的方法の 2 つ分けて考えているのである.

1. 絶対的方法ヨハンベルヌーイの最速降下線問題を手がかりに発展させた問題を取り扱う方法であり, ある 2 点間にあるあらゆる曲線を考えそれらについて極値を持つ曲線を見つける方法 $\int Zdx$ の $Z$ を複雑にさせていき, より高次な微分方程式を作り出している. そしてさらに $Z$ の中に不定積分量 (quantitas integralis indeterminata) が入り込んでいる場合を考え, そこから微分方程式が作り出している.

2. 相対的方法
ヤコブベヌルーイの等周問題を手がかりに発展させた問題を取り扱う方法であり,曲線の長さが一定になる閉じた曲線を考え, それらについて極値を持つ曲線を見つける方法.

現在 3 章までが解読できているので, 本稿では変分法の絶対的方法について説明する.

2.1

絶対的方法

(1) $Z$ の中に不定積分が存在しない場合

1 章では記号の取り扱いが書かれている. 例えば高階微分は以下のように定められている.

ここで $dx$ は定量としている.
$dy$$=pdx$$ddy$$=dpdx$$=qdx^{2}$$d^{3}y$$=dqdx^{2}$$=rdx^{3}$$d^{4}y$$=drdx^{3}$$=sdx^{4}$$d^{5}y$$=dsdx^{3}$$=tdx^{5}$

70

また $p,q,r,s$ ,etc. は次のようにも定義されている.

は切除線 $(x$ 軸 を $dx$ 等分したときの向軸線 $(y$ 軸 y のすぐ後ろの軸である. 以下 $y”,y”’,y^{W},etc$ . と続く.
このとき

$y^{l}$

$)$

$)$

$p$

$=$

$\frac{y’-y}{dx}$

$p$’

$=$

$\frac{y-y’}{dx}$$\frac{y^{\prime l}-2y’+y}{dx}|q$$=$$\frac{y’’-2y’+y}{dx}$$\frac{\frac{y’-y}{y^{\oint\underline{x}}ydx}\prime}{}$

$==$

$pp$

:
$=$

$q$

$r= \frac{y’’’-3y’’+3y’-y}{dx^{3}}$このような曲線とは無限小変分を受けても積分式の値が変化しない曲線である. よって曲線は方程式 $d \cdot\int Zdx=d\cdot\sum Zdx=\sum dZdx=0$ から導かれる微分方程式を満たす.
この微分方程式は一般にオイラー方程式と呼ばれている. そしてこの微分方程式を解くことにより曲線を求めている. 実際には次のように微分方程式を導いている題$\infty F_{\mathfrak{k}J}5$

は,$x,$$y$.

$p$の関数とするとき,うな曲線を見つけよ (下図参照).

このとき $dZ=Mdx+Ndy+Pdp$ となる.

$\int Zdx$ が極大または極小になるよ71

図の $AM=x,Mm=y,Nn=y’$ と置く.

する.
今無限小
$P$は,る.

$n\nu$

このとき $MN$ に $Zdx$ が,$NO$ に $Z’dx$ が対応

だけ $y’$ を増加させると,$p= \frac{dy}{dx}=\frac{y’-y}{dx}$だから$\frac{\nu}{dx}$だけ増加し,$p’= \frac{y’’-y’}{dx}$だから $p’$ は$\frac{n\nu}{dx}$だけ減少すよって微分 $dZ=Mdx+Ndy+Pdp$ と $dZ^{l}=M’dx+N’dy’+P’dp’$ がそれぞれ$Mdx+Ndy+P(dp+ \frac{n\nu}{dx})$$M’dx+N’(dy’+n \nu)+P’(dp’-\frac{n\nu}{dx})$に変わる. 今はこの 2 っだけが曲線の変分によって影響を受ける.
従って,$d \cdot\int Zdx=\sum dZdx$$=(Mdx+Ndy+Pdp)+(M’dx+N’dy’+P^{f}dp’)$$-(Mdx+Ndy+P(dp+ \frac{n\nu}{dx}))-(M’dx+N’(dy’+n\nu)+P’(dp’-\frac{n\nu}{dx}))$$=n\nu\cdot(P+N’dx-P^{l})$となる. ここで微分計算により $P’-P=dP$ であり,よいので,そして $N’$ の代わりに $N$ と置いて$\sum dZdx=n\nu\cdot(Ndx-dP)$となる.

そしてこれを$0$と置くと求める曲線の方程式が与えられる. すなわち,$0=Ndx-dP$

または$N- \frac{dP}{dx}=0$

これでオイラー方程式を導かれた.
$Z$に含まれる導関数の次数に応じて微分方程式の階数が増えていくことを利用すると $Z$
が $x,$$y,$$P,$$q$の関数の場合には$dZ=Mdx+Ndy+Pdp+Qdq$と置くとき, オイラ一方程式$N- \frac{dP}{dx}+\frac{ddQ}{dx^{2}}=0$

さらに一般に $Z$ が $x,$$y,$$p,$$q,$$r,$$s,$$t$,,etc. の関数の場合には$dZ=Mdx+Ndy+Pdp+Qdq+Rdr+Sds+Tdt+$ etcと置くとき, オイラー方程式.

$0=N- \frac{dP}{dx}+\frac{ddQ}{dx^{2}}-\frac{d^{3}R}{dx^{3}}+\frac{d^{4}S}{dx^{4}}-\frac{d^{5}T}{dx^{5}}+etc$が導かれる.

72$<2$ 章 38 節

例$\int(x^{2}+y^{2})^{n}dx\sqrt{1+p^{2}}$VI $>$が極大または極小になるような曲線を見つけよ.

この例では $Z=(x^{2}+y^{2})^{n}\sqrt{1+p^{2}}$ 全微分を作ると,$dZ=2n(x^{2}+y^{2})^{n-1}(xdx+ydy) \sqrt{1+p^{2}}+\frac{(x^{2}+y^{2})^{n}pdp}{\sqrt{1+p^{2}}}$となる.

これより $N=2n(x^{2}+y^{2})^{n-1}y\sqrt{1+p^{2}},$$P= \frac{(x^{2}+y^{2})^{n}p}{\sqrt{1+p^{2}}}$となる.

これらを先ほどのオイラー方程式 $N- \frac{dP}{dx}=0$ に代入すると, 求める曲線に対する方程式は,$2n(x^{2}+y^{2})^{n-1}dx \sqrt{1+p^{2}}=d\frac{(x^{2}+y^{2})^{n}p}{\sqrt{1+p^{2}}}$$= \frac{2n(x^{2}+y^{2})^{n-1}p(xdx+ydy)}{\sqrt{1+p^{2}}}+\frac{dp(x^{2}+y^{2})^{n}}{(1+p^{2})^{\frac{3}{2}}}$

これを $(x^{2}+y^{2})^{n-1}$ で割り,となる.

$\sqrt{1+p^{2}}$$2nydx=2nxdy+ \frac{(x^{2}+y^{2})dp}{1+p^{2}}$を掛けると言い換えると$\frac{2n(ydx-xdy)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{dp}{1+p^{2}}$となる.’

この方程式の両辺は三角関数を用いて積分することができる.と置くと,において,$x=y \tan\theta,dx\frac{2n(ydx-xdy)}{x^{2}+y^{2}}$$\tan\theta=\frac{x}{y}+\frac{yd\theta}{\cos^{2}\theta}$$\theta$$2n(y(dy \tan\theta+\frac{yd\theta}{\cos^{2}\theta})-y\tan\theta dy)$$\frac{2n(ydx-xdy)}{x^{2}+y^{2}}$$=$$\overline{y^{2}\tan^{2}\theta+y^{2}}$$\int\frac{2n\cdot\frac{y^{2}d\theta}{c_{2}os^{2}\theta\theta+}}{y^{2}(\tan 1)}=\int 2nd\theta=2nd\theta+C_{1}$

$=$

$=$

同様に

$\frac{dp}{1+p^{2}}$$2n$arctan$\frac{x}{y}+Ci$

において $p=\tan\theta$ と置くと,$\int\frac{dp}{1+p^{2}}$$=$$\int d\theta$$=$$\theta+C_{2}=$arctan $p+C_{2}$73

よって微分方程式 $\frac{2n(ydx-xdy)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{dp}{1+p^{2}}$ を積分すると,$2n$となる.

$\frac{x}{y}+C_{1}=$ここで定数 $C_{2}-C_{1}$ を arctan$2n$となる.

arct anarctan$\frac{x}{y}=$$k$arctan $p+C_{2}$と置くと $\tan$ の加法定理により

arctan $p+$ arctan $k=$ arctan$\frac{p+k}{1-pk}$

よって$\frac{x}{y}=\tan$ $( \frac{1}{2n}$arctan $\frac{k+p}{1-kp})=T$

ここでもし $2n$ が有理数ならば,となる$x=Ty$ もしくは

$y= \frac{x}{T}$

だから,

$T$

は $p$ の代数関数になる.

$dy=pdx= \frac{dx}{T}-\frac{xdT}{T^{2}}$すなわち$xdT=Tdx-pT^{2}dx$となる.

よって,$\frac{dx}{x}=\frac{dT}{T-pT^{2}}+\frac{Tdp}{1-pT}-\frac{Tdp}{1-pT}$となる.

これを積分すると,$\log x=\log\frac{T}{1-pT}-\int\frac{Tdp}{1-pT}$

が生じる.
ここで指数

$n$の種々の値に応じて生じる曲線の性質を知るためにいくっかの場合を考察す

る.

I.

$n= \frac{1}{2}$$2n=1$ のとき arrran

すなわち$\frac{x}{y}=$arcran$\frac{k+p}{1-kp}$となる,$\frac{1}{2}=\frac{k+p}{1+kp}=\frac{kdx+dy}{dx-kdy}$となる. 言い換えると,

xdx–kxdy $=kydx+ydy$となる.

これを積分すると$x^{2}-y^{2}=2kxy+C$が生じる.

これは等辺双曲線の方程式である.

I.

つまり$n=1$$2n=2$ のとき 2arctan

arctan$\frac{x}{y}=$$\frac{2xy}{y^{2}-x^{2}}=$arctanarctan$\frac{k+p}{1-kp}$$\frac{k+p}{1-kp}$

すなわちそして74となる.

$p= \frac{dy}{dx}$により$\frac{2xy}{y^{2}-x^{2}}=\frac{kdx+dy}{dx-kdy}$

.

すなわち

$2xydx-2kxydy=ky^{2}$ dx–kx2 $dx+y^{2}$ dy–yxdyとなる.

これを積分すると
もしくは$yx^{2}=ky^{2}x- \frac{1}{3}kx^{3}+\frac{1}{3}y^{3}+C$$y^{3}+3ky^{2}-3yx^{3}-kx^{3}=C$となる.
$m$.

$n= \frac{3}{2}$$2n=3$ のとき

すなわち3 arctan$\frac{x}{y}=$arctan$\frac{3y^{2}x-x^{3}}{y^{3}-3yx^{2}}=$arcta$n\frac{kdx+dy}{dx-kdy}$

これより,$3y^{2}xdx-3ky^{2}dy-x^{3}dx+kx^{3}dy=ky^{3}dx+y^{3}dy-3kyx^{2}dx-3yx^{2}dy$となる.

これを積分すると$\frac{3}{2}y^{2}x^{2}-ky^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+kyx^{3}-\frac{1}{4}y^{4}=C$すなわち$y^{4}+4ky^{3}x-6y^{2}x^{2}-4kyx^{3}+x^{4}=C$が与えられる.

このようにして任意の$n$の値に対して曲線の方程式を手に入れることができる.

式 (1 ) と (2) について,の $2n$ 倍角の公式を用いて変形したものである.
(1) は(2) はオイラーの公式を用いている. 以下オイラーの方法を推測してみる.となる.と置くと,arctan$\tan\theta$$\frac{x}{y}=\tan\theta$$\frac{x}{y}=\theta$$\tan 2n\theta=\frac{\sin 2n\theta}{\cos 2n\theta}$に$e^{2n\theta\sqrt{-1}}=\cos$2n$\theta+\sqrt{}=$

乙 $\sin 2n\theta$と$e^{-2n\theta\sqrt{-1}}=\cos 2n\theta-\sqrt{-1}\sin 2n\theta$

75を代入すると,$e^{2n\theta\sqrt{-1}}-e^{-2n\theta\sqrt{-1}}$$\tan 2n\theta=\frac{2\sqrt{-1}}{e^{2n\theta\sqrt{-1}}+e^{-2n\theta\sqrt{-1}}}$

2$= \frac{1}{\sqrt{-1}}\cdot\frac{(\cos\theta+\sqrt{-1}\sin\theta)^{2n}-(\cos\theta-\sqrt{-1}\sin\theta)^{2n}}{(\cos\theta+\sqrt{-1}\sin\theta)^{2n}+(\cos\theta-\sqrt{-1}\sin\theta)^{2n}}$分母分子を$(\cos\theta)^{2n}$で割り,$\tan\theta=\frac{x}{y}$を代入して計算をすると$\tan 2n\theta=\frac{(y+x\sqrt{-1})^{2n}-(y-x\sqrt{-1})^{2n}}{(y+x\sqrt{-1})^{2n}\sqrt{-1}+(y-x\sqrt{-1})^{2n\sqrt{-1}}}$

よって$2n$となる

arctan$\frac{x}{y}=$arctan$\frac{(y+x\sqrt{-1})^{2n}-(y-x\sqrt{-1})^{2n}}{(y+x\sqrt{-1})^{2n}\sqrt{-1}+(y-x\sqrt{-1})^{2n\sqrt{-1}}}$だから,$\frac{kdx+dy}{dx-kdy}=\frac{(y+x\sqrt{-1})^{2n}-(y-x\sqrt{-1})^{2n}}{(y+x\sqrt{-1})^{2n}\sqrt{-1}+(y-x\sqrt{-1})^{2n}\sqrt{-1}}$となる.

これを展開すると,$kdx(y+x\sqrt{-1})^{2n}\sqrt{-1}+kdx(y-x\sqrt{-1})^{2n}\sqrt{-1}$$+kdy(y+x\sqrt{-1})^{2n}-kdy(y-x\sqrt{-1})^{2n}$$=-dy(y+x\sqrt{-1})^{2n}\sqrt{-1}-dy(y-x\sqrt{-1})^{2n}\sqrt{-1}$$+dx(y+x\sqrt{-1})^{2n}-dx(y-x\sqrt{-1})^{2n}$が生じる.

この微分方程式の積分は$k(y+x \sqrt{-1})^{2n+1}-k(y-x\sqrt{-1})^{2n+1}=\frac{1}{\sqrt{-1}}(y+x\sqrt{-1})^{2n+1}$$- \frac{1}{\sqrt{-1}}(y-x\sqrt{-1})^{2n+1}+C$

すなわち$C=(y+x\sqrt{-1})^{2n+1}(k\sqrt{-1}+1)$$+(y-x\sqrt{-1})^{2n+1}(1-k\sqrt{-1})$

ところが一般に$(y+x\sqrt{-1})^{2n+1}+(y-x\sqrt{-1})^{2n+1}$$=2(y^{2}+x^{2})^{\frac{2n+1}{2}}\cos^{\neg}(2n+1)$だから,

arctan$\frac{x}{y}$この値の代入によって虚量の無い形の微分方程式の解が生じる.
$2k(y^{2}+x^{2})^{2n+1}$$\overline{2}\sin(2n+1)$

arct an$\frac{x}{y}$

(2)

76

$=2(y^{2}+x^{2})^{\frac{2n+1}{2}}\cos(2n+1)$

または任意定量$k$$\frac{x}{y}-C$と $C$ があるから,$- \frac{1}{2}C=(y^{2}+x^{2})^{\frac{2n+1}{2}}(k\sin(2n+1)$

もし $n$ が有理数ならば,置くと,arctanarctan $\frac{x}{y}-\cos(2n+1)$ arctan

この方程式は代数的である.

$- \frac{1}{2}C=C’$$\frac{x}{y})$と置き, 任意円弧 $=g$ と求める曲線の方程式は,$C’=(y^{2}+x^{2})^{\frac{2n+1}{2}}\sin(g+(2n+1)$

arct an$\frac{x}{y})$という形になる.

22

絶対的方法

(2) $Z$ の中に不定積分が存在する場合$\int Zdx$ の $Z$ に不定積分量 $\int[Z]dx$が入っているときのオイラー方程式を作り出している. 続いてオイラーは,$\int_{l}\{\int[Zdx]\}dx$

はじめに不定積分量 $\int[Z]dx=\Pi$ と置き, $dZ=Ld\Pi$ という形になる場合を考察する.
変分の原理は今までと同じで, ある一点だけを変分させて $d[Z|=[M]dx+[N]dy+[P]dp+$$[Q]dq+$ etc. への影響を考えているのだが, この場合 $dZ=Ld\Pi$ なので$d\cdot Zdx$$=$$Ldx\cdot d\Pi$$d\cdot Z^{l}dx$$=$$L^{l}dx\cdot d\Pi’$$d\cdot Z’’dx$$=$$L”dx\cdot d\Pi’’$$d\cdot Z’’’dx$$=$$L”’dx\cdot d\Pi^{lJl}$$d\cdot Z^{W}dx$$=$$L^{W}dx\cdot d\Pi^{W}$etc.
これだと全ての点に影響が現れてしまうように見える. オイラーはここで, どこからどこまで変分の影響があるかに注意し, 定積分のような考えを導入している. 実際にとなる,

は,$dZ$ ”$dx=L^{:}dxd\Pi$ ”

77

全体 (本文では $H$ ) から定量 $Zdx$ を引いた部分にのみ $Ld\Pi$ の影響が現れ そしてオイラ方程式

一$0=n \nu\cdot([N](H-\int Ldx)-\frac{d[P](H-\int Ldx)}{dx}+\frac{dd[Q](H-\int Ldx)}{dx^{2}}$$- \frac{d^{3}[R](H-\int Ldx)}{dx^{3}}+\frac{d^{4}[S](H-\int Ldx)}{dx^{4}}-\frac{d^{5}[T](H-\int Ldx)}{dx^{5}})$が与えられている.

3

研究課題

ここでは触れることができなかったが, オイラーはオイラー方程式が出てくるたびに数々の計算例を与えてくれている. それらは無限解析を用いて複雑な計算が展開されていて計算の達人と呼ばれた足跡がよく見て取れる. では変分法が生まれたときから複雑な数学が必要だったのだろうか ? ここで私は, この巻 24 ではオイラーが独自に変分法を発展させていって必要となった数学が書かれているのではない力と考える.
オイラーが一番始めに書いた論文 El は変分法にっいての論文である. この論文は全集の力学の分野である第 系列に収録されている.
彼の変分法への興味は最初から旺盛で, 変分法を発展させて数学が必要になり, 時には数学が発展した結果, 変分法が発展したことがあったかもしれない. これは 3 章の終わり$\searrow$$\mathbb{I}$にあるのだが,$\int\frac{dx\sqrt{1+p^{2}}}{\sqrt{v}}dx$の $v$ が明示的に与えられず$dv=gdx=hv^{n}dx\sqrt{1+p^{2}}$のような微分方程式を通して与えられている問題がある. この道理から行けば積分式の中をもっと複雑な式に変形させれば, 元の問題も複雑になる. このようなことを念頭に置きつつ, 続く 4 章以降の等周問題から生まれた変分法の相対的方法に挑みたいと思う.

文献[1] L.Euler, ”Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes
sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. ”, Birkh\"auser,opera
omnia I-24, 1952.