数理解析研究所講究録 1455 巻 2005 年 137-144

137

KRASNOSEL ’SKII -MANN 型点列について
九州工業大学・工学部 鈴木 智成 (Tomonari SUZUKI)

1. 序と $\{w_{n}\}$ を Banach 空間 $E$ 内の点列で, 以下の関係を持つものにつが存在し, すべてのとする: 区闇 $[0, 1]$ 内の実数列$\{z_{n}\}$$n\in \mathbb{N}$$\{\alpha_{n}\}$

いて,

(1)

$z_{n+1}=\alpha_{n}w_{n}+(\mathrm{I}$–\mbox{\boldmath $\alpha$}\tilde z ユを-Mannを満たす. 本稿では, この点列$[6,8]$
. 1955 年, Krasnosel’ski とは以下の定理
型賦払」 と呼ぶことにするを証明した 9$\{z_{n}\},$.

$\text{「}\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}1’ \mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$$\{w_{n}\}$を一様凸 Banach 空聞 $E$ のコンパクト凸部分集合とし, $T$ を $C$ 上の非拡大写像とする. すなわち, すべての
点列 $\{x_{n}\}\subset C$ を$x,$ $y\in C$ について $||Tx-Ty||\leq||x-y||$ を満たす.
$x_{1}\in C$ ,定理 1$(\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}1’ \mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}[6])$$C$$x_{n+1}= \frac{1}{2}Tx_{n}+\frac{1}{2}$で定義する. このとき,$\{x_{n}\}$xユ

は $T$ の不動点へ強収束する.

Mann [8] はもう少し 般的な設定で議論をしている. これが KrasMann 型点列の名前の由来である. この点列に関する最も素晴らしい定理は, 約 30 年前に Ishika a によって証明された以下の定$-\wedge$$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}1’ \mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}-}$

理である.

定理 2(Ishikawa [5]). $C$ を Banach 空間 $E$ のコンパクト凸部分集合と4よ
し, $T$ を $C$ 上の非拡大写像とする. 数列
を $x_{1}\in C$ ,を満たすとする. 点列 {$\{\alpha_{n}\}\subset[0,1]$$1,$$x\text{訂}\subset C$$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=\infty$(2)$x_{n+1}=\alpha_{n}Tx_{n}+(1-\alpha_{n})$ x ユ

で定義する. このとき {x 引は$T$の不動点に強収束する.

本稿では, 以下の 3 種類の論する.
(A). $||w_{n-\vdash 1}-w_{n}||\leq||z_{n+1}-z_{n}||$ ;$\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}1’ \mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{1-}^{\cup}$

キーワード,

住所.

$\bm{\mathrm{I}}\mathrm{i}\mathrm{m}\sup_{n}\alpha_{n}<$型出始, 非拡大写像.
北九州市戸畑区仙水町 1 –1 九州工業大学工学部数学教室.

$\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}1’ \mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}-}\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\tau 1$$\overline{\mathrm{T}}804- 8550$

Mann 型点列について議

電子メーノレ, suzuki-t@mns kyutech acjp.

138(B). $||w_{n+1}-w_{n}||\leq||z_{n+1}-z_{n}||$ かつ $||w_{n+1}-z_{n+1}||=||w_{n}-z_{n}||,\cdot$(C). $\lim\sup_{n}(||w_{n+1}-w_{n}||- ||z_{n\dashv- 1}- z_{n}||)\leq 0$ .
明らかに, (C) が最も弱い条件で, (B) が最も強い条件である.
講究録の目的に合わせるために, 本稿では, 通常の論文には書かない
ようなコメントも記述している. また, 本稿で定義されない概念については, 文献 [17-19] 等を参照のこと.

2. (A) 型
NIann (A) 型点列について議論する. 既に述べているように) この点列に関する最も素晴らしい定理は定理 2 であると筆者は考えている. 他に紹介すべきとして, 以下の定理がある.
この節では,$\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}1’ \mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{1-}^{\cup}$定理 3(Edelstein &O’Brien[2]). $E$ を Opial 条件を満たす Banach 空
上の非拡大間とし , $C$ を $E$ の弱コンパクト凸部分集合とする. $T$ をを $x_{1}\in C$ ,写像とする. $\lambda\in(0,1)$ とし, 点列 {$C_{/}$$x\text{盤}\subset C$$x_{n+1}=\lambda Tx_{n}+(1-\lambda)x_{n}$で定義する. このとき$\{x_{n}\}$は $T$ の不動点に弱収束する.

定理 4(Reich [9]). $E$ を Frechet 微分可能なノルムを持つ- 様凸 Banach
空間とし , $C$ を $E$ の有界閉凸部分集合とする. $T$ を $C$ 上の非拡大写像はを満たすとする.
とする. 数列$x_{1}\in
C$
は $T$ の
このとき
と
を
恩恵 {
(2) で定義する.
不動点に弱収束する,,$\{\alpha_{n}\}\subset[0,1]$$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{??}(1-\alpha_{n})=\infty$$\{x_{n}\}$$x\text{訂}\subset C$

Suzuki [13] により, 定理 3 は少し拡張されている. ところで, Goebelと Kirk は定理 2 と 3 の証明の本質部分について研究し, 以下の大変興味深い不等式を証明した.
を Banach 空問 $E$ 内の隣町と命題 1(Goebel &Kirk [3]).
し, {\mbox{\boldmath $\alpha$}身を区間 $[0, 1)$ 内の数列とする. (1) および (A) を仮定する. このとき, すべての ’
について,$\{z_{n}\},$ $\{u/_{n},\}$$n$$(1+ \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_{n+i})$$k\in \mathbb{N}$llwn–z ユ$||$$\leq||w_{n+k}-z_{n}||+(\prod_{i=0}^{k-1}\frac{1}{1-\alpha_{n+i}})(||w_{n}-z_{n}||-||w_{n+k}-z_{n+k}||)$

が成立する.

139
3. (B) 型
Mann (B) 型気随に関するものである.
次の命題は,
この命題は命題 1 を用いて簡単に証明することができる. 本稿では, 命
題 1 を用いない証明を与える,$\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}1’ \mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}-}$を Banach 空間 $E$ 内の点列とし, {\mbox{\boldmath $\alpha$}訂を区
命題 2([13]).
聞 $[0, 1)$ 内の数列とする. (1) および (B) を仮定する. このとき, すべについて,ての$\{z_{n}\},$$\{w_{n}\}$$n\in \mathbb{N}$$||w_{n+1}-z_{1}||-(1+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}.)||w_{1}-z_{1}||=0$が成立する.

命題の主張は, ある条件の下で, 折れ線の長さとその折れ線の始点とが狭終点を結ぶ線分の長さが等しい, というものである. もちろん ,義凸 Banach 空間の場合, その折れ線と線分は一致してしまうが 7 狭義
凸性のない場合, 一致しない例を簡単に作ることができる. さて, 証明を与える.
$F_{\mathit{1}}$

証明. $d=||w_{1}-z_{1}||$ と置く. すべての $n,$

(3)

について,

$k\in \mathbb{N}$$||w_{k+n}-z_{k}||=(1+\alpha_{k}+\cdots+\alpha_{k+n-1})d$が成立することを示せば, 証明は完了する.
まず, $n=1$ の場合, すなわち, すべての$n$に関する帰納法を用いる.

$k\in \mathbb{N}$について,$||w_{L+1}.-z_{k}||=(1+\alpha_{k})d$が成立することを示す. 三角不等式とノル$\Delta$

凸性を用いて,$d=||wk+1-\sim 7k+1||$$\leq\alpha_{k}||w_{k+1}-\uparrow v_{k}||+(1-\alpha_{k})||w_{k\dashv-1}-z_{k}||$$\leq\alpha_{k}||z_{k+1}-z_{k}||+(1-\alpha_{k})||w_{k+1}-z_{k}||$$=\alpha_{k}^{2},.||w_{k}-z_{k}||+(1-\alpha_{k})11^{w_{k+1}-\mathrm{Y}}\sim k||$$=\alpha_{k}^{2}d+$$(1-\alpha_{k})||w_{k-+- 1}-$$\sim k’|\mathrm{Y}|$$\leq c\ell_{k}^{2}d+(1-\alpha_{k})||w_{k+1}-z_{k+1}||+(1-\alpha_{k})||z_{k+1}-z_{k}||$$=\alpha_{k^{n}}^{2}d+(1-\alpha_{k})d+(1-\alpha_{k})\alpha_{k}d$$=d$を得る. よって, すべての

(4)

$k\in \mathbb{N}$について,$||w_{k+1}-z_{k}||= \frac{d-\alpha_{k^{\wedge}}^{2}d}{1-\alpha_{k}}=(1+\alpha_{k})d$に対して (3) を満たす」 というが成立する. 次に, 「すべてのに対して成立していると仮定する. この仮定を用条件が., ある$k\in \mathbb{N}$$n\in \mathbb{N}$

140
いて,
$(1+\alpha_{k+1}+\cdots+\alpha_{k+n})d$$=||w_{k+n+1}-z_{k+1}||$$\leq\alpha_{k}||w_{k+n+1}-w_{k}||+(1-\alpha_{k})||w_{k+n+1}-z_{k}||$$\leq\alpha_{k}\sum_{j=k’}^{k+n}||w_{j+1}-u_{j})||+(1-\alpha_{k})||w_{k+n\dashv- 1}-z_{k}||$$\leq\alpha_{k}\sum_{j=k^{\wedge}}^{k+n}||z_{j+1}-z_{j}||+(1-\alpha_{k})||w_{k+n+1}-z_{k}||$$= \alpha_{k}\sum_{j=k}^{k+n}$$\alpha_{j}d+(1-\alpha_{k})||w_{k+r_{\iota}+1}-z_{k}||$.
$\leq\alpha_{k}\sum_{j=k}^{k\dashv- n}\alpha_{j}d+(1-\alpha_{k})||w_{k+n+1}-z_{k+n+1}||+(1-\alpha_{k})\sum_{j=k}^{k+n}||z_{j+1}-z_{j}||$$= \alpha_{k}\sum_{j=k}^{k^{\wedge}+n}..\alpha_{j}d+(1-\alpha_{k})d+(1-\alpha_{k})\sum_{j=k^{\wedge}}^{k^{\wedge}+n}\alpha_{j}d$$=(1+\alpha_{k\dashv- 1}+\cdots+\alpha_{k+n})d$,と式変形できる. よって(5)$||w_{k+n+1}-z_{k^{\wedge}}||$$= \frac{1}{1-\alpha_{k}}$.

$((1+\alpha_{k+\mathit{1}}+\cdots+\alpha_{k+n})d-\alpha_{k}.(\alpha_{k}+\cdot .$ $+\alpha_{k+n}-)d)$.
$=(1+\alpha_{k}+\cdots+\alpha_{k+n})d$j5y“‘すべての$k\in \mathbb{N}$について成立する従$\text{っ}$て, 帰納法により, (3) を$\uparrow\frac{\mathrm{a}}{\square \overline\backslash T}\nearrow$

以下は余談数年前, 筆者は命題 2 を用いて, Ishikawa の定理 (定理 2)を証明したことがある. 何故そのようなことをしたかと言えば Ishikawaの定理を知らなかったからである. 非常に簡潔な理由である. 命題 2 の証明の式 (4), (5) を計算する際中学生のときに習った因数分解の公式が使えて, 綺麗な式が出てきたときの喜びを今でも覚えている. 後に Ishikawa の定理の存在を知り, ぬか喜びに終わってしまったのであるが, この 「(ぬか) 喜び」 は, 現在, 筆者の数学を研究する上でのモチベーションの 1 つになっている. また, 言葉や式で表現するのは難しいが, 命題 2 を証明する際に得た感覚は, (C) 型の命題を後に証明する際に非常に役に立った. なお, 数年前の筆者の証$\overline{|}_{x^{2}-y^{2}=}(x-y)(x+y)\text{」}$141
明を, 最近, 文献 [13] 535 ページに載せた. 命題の仮定は Ishikawa の定理より若干強い.

4. (C) 型-Mann(C) 型点列について議論する. 最
この節では, Krasnosel’
近, この点列は注目されている. というのも, 複数個の写像の共通不動点への収束定理を得る際に, この点列は使われるからである. 以下は,(C) 型点列に関する命題の起点となる命題である.
$\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$を Banach 空間 $E$ 内の点列とし,
命題 3(Suzuk 垣 15]).
を区間 [OJ] 内の数列とする. (1), (C) および $\lim\sup_{n}\alpha_{n}<1$ を仮定$\{\alpha_{n}\}$$\{z_{n}\},$ $\{w_{n}\}$

する.

$d$

を
$\lim \mathrm{i}_{11}\mathrm{f}||w_{n}-z_{n}||narrow\infty\underline{<}d\leq 1\mathrm{i}\mathrm{n}1\sup_{narrow\infty}||w_{n}-z_{n}||$を満たす実数とする. このとき, すべての$k\in \mathbb{N}$について,$\lim_{narrow}\inf_{\infty}|||w_{n+k}-z_{n}||-(1+\alpha_{n}+\alpha_{n+1}+\cdots+\alpha_{n+k-1})d|=0$が成立する.
命題 3 は, 命題 2 の (C) 型版である, 命題 3 を用いると, 以下の命題を証明できる. これは, [11] の補助定理 2, [12] の補助定理 6 の拡張である.
を Banach 空問 $E$ 内の有界な点滴と
命題 4(Suzuki [14]).
し, {\mbox{\boldmath $\alpha$}班を区間 $[0, 1]$ 内の数列とする. (1), (C) およびを仮定する. このとき, $\lim_{n}||w_{n}-z_{n}||=0$ が成立する.
Jim$\{_{\tilde{\ }n}\},$$\{w_{n}\}$$0< \mathrm{I}\mathrm{i}\mathrm{m}\inf_{n}\alpha_{n}\underline{<}$$\mathrm{s}\backslash 1\mathrm{p}_{n}\alpha_{n}<1$

次の命題は, 非拡大写像族の共通不動点への収束定理を証明する為に, 命題 4 を変形したものである.
:
命題 5(Suzuki [15]). $C$ を Banach 空問 $E$ の猛煙部分集合とし, {を $C$ 上の非拡大写像からなる写像列とする. 数列 {\mbox{\boldmath $\alpha$}縫 $\subset[0,1]$
は $0< \lim\inf_{n}\alpha_{71}\underline{<}\lim\sup_{n}\alpha_{n}<1$ を満たすとする. 点列 $\{x_{n}\}\subset C$
を $x_{1}\in C$ ,$T_{n}$$n\in \mathbb{N}\}$$x_{n+1}=\alpha_{n}T_{n}x_{n}+(1-\alpha_{n})$で定義する.

$\{x_{n}\}$xユが有界であることと,$n-arrow\infty \mathrm{I}\mathrm{i}\mathrm{m}||T_{n+1}x_{n}-T_{n}x_{\tau\iota}||=0$を仮定する. このとき, $\lim_{n}||T_{n}x_{n}-x_{n}||=0$ が成立する.
命題 5 用いて最近得られた 3 つの定理を紹介したい. 最初に紹介する定理は定理 2 を可算個の族に拡張したものである. 定理 2 の出版が1976 年, 定理 5 の出版は 2005 年であるので, この間, 実に 29 年経過し
ている.

142
定理 5(Suzuki [14]). $C$ を Banach 空間 $E$ のコンパクト凸部分集合とを $\lambda\in(0,1)$
を $C$ 上の可換な非拡大写像族とする.
し,なる実数とし, 数列 {\mbox{\boldmath $\alpha$}縫 $\subset[0,1/2]$ は$\{T_{k} :k\in \mathbb{N}\}$$\lambda$

Jim $\sup$$\lim_{narrow}\inf_{\infty}\alpha_{n}=0_{7}$$\alpha_{n}>0$

および$\lim_{narrow\infty}(\alpha_{\eta}-\alpha_{n+1})=0$$narrow\infty$を満たしているとする. 点列 {を $x_{1}\in C$ および$x\text{諺}\subset C$$x_{n+1}= \lambda((1-\sum_{k=1}^{n-1}\alpha_{n}^{k^{\wedge}})T_{1}x_{n}+\sum_{k^{\wedge}=2}^{n}\alpha_{n}^{k^{p}-1}T_{k^{\circ}}x_{n})+(1-\lambda)x_{n}$で定義する. このとき,{は$\{x_{n}\}$する,$T_{k}$濡$\in \mathbb{N}$} の共通不動点へ強収束

次の定理は非拡大半群に関する収束定理である. Bochner 積分を使っていない所にこの定理の特徴がある.
定理 6
し,$(\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{z}\iota \mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{i}[15])$$\{T(t) :t\underline{>}\mathrm{O}\}$.

$C$を Banach 空間 $E$ のコンパクト凸部分集合とを $C$ 上の非拡大半群とする. すなわち,(i) 各 $t\geq 0$ について, $T(t)$ は $C$ 上の非拡大写像である(ii) すべての $s\geq 0,$ $t\geq 0$ に対して, $T(s+t)=T(s)\circ T(t)$ である(iii) すべての $x\in C$ に対して, $t\mapsto T(t)x$ は連続写像である
を $\lambda\in(0,1)$ なる実数とし, 数列はを満たすとする.
$\{t_{n}\}\subset[0, \infty)$$\lambda$$\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}1\mathrm{l}\mathrm{f}t_{n}narrow\infty.<\lim\sup t_{n}$および$\lim_{narrow\infty}(t_{n}-t_{n+1})=0$$n\neg\infty$を満たしているとする. 点列 {$x\text{訂}\subset C$

を $x_{1}\in C$ および$x_{n+1}=\lambda T(t_{n})x_{n}.+(1-\lambda)x_{n}$で定義する. このとき,
する.

$\{x_{n}\}$は $\{T(t) : - t\underline{>}0\}$ の共通不動点へ強収束

定理 5 のと定理 6 のの条件の類似性に注目して頂きたい.
ところで, 上記 2 つの定理は写像族の共通不動点への収束定理である
が, 次の定理はシングルの非拡大写像の不動点への収束定理である. すなわち, 命題 3 は写像族だけでなく, シングルの写像に関しても有用である.
$\{\alpha_{n}\}$$\{t_{n}\}$定理 7(Suzuki [16]). $C$ を一様滑らかな Banach lJTr\l corner ^f^閥 $E$ の有界閉凸部
を $\lambda\in(0,1)$ なる実数分集合とし, $T$ を $C$ 上の非拡大写像とする,はとし, 数列$\lambda$$\{\alpha_{\mathit{7}b}\}\subset[0,1]$(C1) $\lim_{n}\alpha_{n}=0$(C2)$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=\infty$

143を満たしているとする. $u\in C$ を固定し, 点列 {よび

(6)$x\text{引}\subset C$

を $x_{1}\in C$ お

$x_{n+1}=\alpha_{n}u+(1-\alpha_{n})(\lambda Tx_{n}+(1-\lambda)x_{n})$で定義する. このとき, {x 訂は $T$ の不動点へ強収束する.

上記の収束定理は Halpern 型の収束定理と呼ばれるが, Halpern [4]は (6) において, $\lambda=1$ とした形で収束定理を証明しているので, 若干
イテレーションの形は異なる. 従来, (C1) と (C2) の他にもう 1 つの条件が必要であった. この第 3 の条件と文献について列挙する.

(Lions [7])(C3)
(Wittmann [20])(C4)(C5) $\lim_{n}(\alpha_{n+1}-\alpha_{n})/\alpha_{n+1}=0$ (Xu [21, 22])
oo (Cho, Kang,(C6)
Zhou [1]条件 (C6) が最も弱い条件であるが, 「第 3 の条件をどこまで弱くすることができるのか」 という問題が Reich [10] によって 1983 年に提起されている. なお, (C1) と (C2) は必要条件なので, これらを省くこと$1\mathrm{i}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}_{n}(\alpha_{n+1}-\alpha_{n})/$$\alpha_{n+1}^{2}=0$$\sum_{n=1}^{\infty}|\alpha_{n+1}-\alpha_{n}|<\infty$$| \alpha_{n+1}-\alpha_{n}|\leq o(\alpha_{n+1})+\sigma_{n}\mathrm{B}^{\mathrm{a}}\text{つ}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{n}<$$)$はできない. 定理 7 はこの 22 年前に提起された問題に対する解答でありその答えは 「第 3 の条件は不要である」 というものである. すなわ

ち,「$(\mathrm{C}1)$

かつ (C2) は必要十分条件である」 ということが分かった.

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’

$j$

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9/or\dot{\uparrow}nf_{l)}nilef^{-}am\uparrowli\theta_{/i}9\mathit{0}/\cdot
n\circ n\mathrm{f}^{>},;rpo,n.97,\cdot?\primeP$e$$theorem\iota
9/or\dot{\uparrow}nf_{l)}nilefam\uparrowli\theta_{/\mathrm{r}}9oJnon\mathrm{f}^{>},;rpo,n.97,?\prime$‘ {}^{t}Strong$

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