金融市場間のグループ・依存構造を考慮した大規模金融データの分析手法について− 175 −

金融市場間のグループ・依存構造を考慮した
大規模金融データの分析手法について
Melbourne Business School Associate Professor

−
１.
２.
３.

目

はじめに
計量モデル
モデル推定

要

旨
金融情報処理技術の発展により、高頻度取引データなどに代表される大規模金融データ
が観測、蓄積されている。日々蓄積されている様々な情報は、金融市場の特徴を把握するための重要な材料で、対象となる金融市場の特徴を的確に把握できる可能性を秘めている。本報告では金融市場間のグループ・依存構造を考慮した大規模金融データの分析手法について検討し、その応用例を紹介する。

１.

はじめに

金融情報処理技術の発展により、高頻度取引データなどに代表される大規模金融データ
が観測、蓄積されている。そのような情報量の爆発的な増加は、ますます激しく変化する
世の中の特徴であり、今後も、金融関連企業
のみならず社会全体が急速に変化すると予想される。日々蓄積されている様々な情報は、金融市場の特徴を把握するための重要な材料
で、その材料を、「どのように実務（例えば、

安

次

−

4.
5.
6.

漸近理論
実証分析への応用例
結論

道

知

寛

資産運用、トレーディング、企業価値評価、
リスク管理など）に生かすのか？」という問
いは、現場実務のみならず、学術的にも検討するべき課題である。その問いを検討するに際しては、まず、対象となる金融市場の特徴を的確に把握する必要がある。その目的のために「計量的手法」を活用する場合、既存の計量的モデリング手法をさらに複雑化させる
方向（例えば、金融資産収益率の分布に対する仮定を正規分布と比べ厚い裾を持つ特徴へと拡張するなど）で金融市場の特徴を部分的に取り込むことが考えられる。しかし、計量的モデリング手法を活用する際の根本的な問
題は、金融市場に対する仮定が現実の金融市場と比較してどの程度整合的であるかという点にあると考える。
1 点目として（統計的な意味での）独立性についてまず検討したい。計量的手法を利用する際、特に統計数理分野や数理ファイナン
ス分野の理論を利用する際には、数理的な取り扱いの容易さから「独立性」を仮定する場合が多いように思う。しかし、金融イベント

− 176 −信託研究奨励金論集第36号（2015.11）

において独立性が完全に保障される場面がどこにあるのだろうか？主観的ではあるが、金融市場は、幾多の経済イベント、多様な投資家の行動などを含め、様々な要因が複雑に絡み合っているように感じられる。そのような現象に対して「独立性」を仮定することについて、それは現実の金融市場と比較してどの程度整合的であるのか？この問いに正面から対峙した場合、的確な説明をできるケースでは、独立性についてのハードルは越えていると考えられる。
2 点目として（統計的な意味での）計量モ
デルに利用する変数について検討したい。こ
こでは簡単のため、古典的な回帰分析を例に考えたい。回帰分析では、分析対象となるある変数をいくつかの変数で説明（説明変数）
しようとする。現実の金融市場の解明に重要な説明変数が手元にない、もしくは十分に活用していない場合において、アクセス可能な
説明変数のみで回帰分析を実行するとどのよ
うな結果にあるであろうか？理論的には既知のとおり、ほとんどの場合において推定結果にバイアスが生じる。現実的には、データベースなどへのアクセス制限から、重要な説明
変数の取得が難しい場合が生じる。そのような場合、どのように分析するかは実際の分析作業に従事する担当者の判断によるであろう。
3 点目として、将来時点における金融市場の（市場参加者の行動、規制など）構造が、過去・現在の延長線上にない可能性がある点についてである。金融市場の予測可能性については、従来からファイナンス分野において議論されている（例えば、Ohno and Ando（2015）及びそこで引用されている参考文献
をなど参照されたい）。予測可能性についての統一的見解はでておらず、トレーディングなどに代表されるような、金融市場の分析結果を将来に向けての意思決定に利用する際、その判断が非常に難しい。言い換えれば、 1
点目、 2 点目の課題について十分なケアができたとして、「どのような場合に現在の分析結果が将来時点においても的確であるのか？」という問いに対して、統一的な回答が難しいように思われる。
その他にも様々な問題が考えられるが、本報告では、上の １ 点目、 2 点目の課題を（限定的ではあるが）解決することを目的とする。
特に、大規模金融データに内在する構造を柔軟に把握するための手法について検討し、Ando and Bai（2015）によって開発された
計 量 的 手 法 に つ い て 解 説 し て い く。Andoand Bai（2015）の計量的手法は、以下のような特徴がある。
特徴 1 ：数万〜数十万銘柄の金融資産収益率（それぞれの銘柄について）に、影響を与えると考えられる様々な経済要因・
金融市場要因等の中から、実質的に影響を与える少数の要因を自動的に特定する。
特徴 2 ：市場に影響を与える観測されない要因（例えば、などは観測可能であるが、金融市場参加者のセンチメントなどは直接観測することができない）を特定する。
特徴 3 ：資産収益率の分布を特定せず、さらに、金融資産間の依存性を明示的に仮定しないことで、金融市場の特徴を柔軟に把握することができる。
特徴 4 ：資産収益率の特徴が似通った金融
銘柄を自動的に特定する。
特徴 5 ：特定した市場に影響を与える観測されない要因に対して経済的解釈をおこなうことができる。
特徴 1 は、大規模な変数選択をそれぞれの銘柄について実行することに対応する。それ
ぞれの銘柄に影響を与える経済要因・金融市
場要因などは異なることから、銘柄ごとに変数選択を実行できる手法は実務において有用であろう。一般に、変数選択問題は膨大な計算量を必要とするが、Ando and Bai（2015）
は効率的な計算手法を構築している。特徴 2は、潜在共通ファクターの同定、及びその個数の選択が可能となったことを意味する。特金融市場間のグループ・依存構造を考慮した大規模金融データの分析手法について

徴 3 は、時系列方向、及び銘柄間の依存性を許容している。Ando and Bai（2015）は特徴 1 で触れた経済・金融市場要因、及び特徴
2 で触れた市場全体に影響を与える観測されない要因などに依存性を持たせ、さらに、説明できない銘柄個別にも時間方向・銘柄間の依存性を許容するという、非常に弱い仮定に基づき手法を開発している。これは、既存の計量的手法において頻繁に仮定される、独立性という強い制約から解放されることを意味する。また、特徴 4 は、個別銘柄のクラスタリングを自動的に実行できるということを意味する。特に、クラスター数、個別銘柄のグルーピングの一致性なども理論的問題となるが、Ando and Bai（2015）ではそれらについても検討・解決している。さらに特徴5であるが、Ando and Bai（2015）は潜在共通ファクターの同定後、その同定された潜在共通ファクターを、それらと関連するであろうと予想される経済変数に回帰させて解釈をおこなうことを提案している。これは金融実務においても非常に重要であろう。
本報告の構成は以下のとおりである。 2 節
においては、Ando and Bai（2015）のモデ
ルについて解説し、モデルの推定法について 3 節 で 触 れ る。 4 節 で は、Ando and Bai（2015）により導かれた推定されたモデルの漸近理論について解説する。 5 節では実証分
析への応用例に触れる。最後に、 6 節で総括がおこなわれる。

２.

計量モデル

いま、t ＝1, …, T を時系列方向に関するインデックス、i ＝1, …, N をパネルの観察数に関するインデックスとする。また、金融資産のグループ数を S と仮定し、資産 i がどのグ
ループに属するかを記述するパラメータとして i ∈ {1, …, S } を考える。一般に S、及びG ＝ { 1, …, N } は未知のパラメータである
ので、ここでも未知とする。Ando and Bai− 177 −

（2015）は金融資産 i の時刻 t における収益率を記述するため以下の高次元パネルデータ
モデルを考案している。

⑴
ここで、 は観測される説明変数であり、企業固有の情報、金融市場レベルの情報、マ
クロ経済レベルの情報などを含んだものである。また、観察できない 次元のファクタ
ーリターン
も収益率を説明する変数として考えている。ここで、がファクターリ
ターン
に対する収益率の反応度である。
⑴式のモデルはと表現できる。ここで、である。
一般に誤差項 εi には独立性を仮定してきた。しかし、金融市場の分析を想定した場
合、銘柄間の相互依存関係は避けられない問題である。現在、金融市場で観察される価格情報を個々の銘柄ごとに分析する様々な手法は存在し、また、ガウシアンコピュラに代表されるようなコプラアプローチにより銘柄間の相互依存構造を扱う手法もある。しかしながら、個々の銘柄ごとに分析する場合、金融市場における依存関係などの重要な性質は無視され、コピュラアプローチではそのパラメ

− 178 −信託研究奨励金論集第36号（2015.11）

ータ推計の難しさから比較的小規模なデータの分析（例えば、数百銘柄の同時分析）にす
ら制約がある。そのため、金融資産間の相互
依存、極端なイベント発生の可能性などをはじめとする金融市場の性質を考慮しつつも、
数千・数万のオーダーの個別銘柄からなる大規模市場データを実際に分析する問題は非常にチャレンジングな課題である。Ando andBai（2015） で は、 誤 差 項 εi に Bai（2009）のアイデアを利用し、誤差項には時系列方向、及び観察単位の両方向に依存性を持たせている。
に は、Dynamic
ファクターの構造
exact factor model（Geweke, 1977; Sargent
and Sims, 1977）, Static approximate factor
model（Chamberlain and Rothschild, 1983）, Generalized dynamic factor model（Forniet al., 2000; Forni and Lippi, 2001; Amengual
and Watson, 2007; Hallin and Liska, 2007）,
Bayesian factor models（Aguilar and West,
2000; Lopes and West, 2004; Lopes et al.,2008; Ando, 2009; Bhattacharya and Dunson,
2011; Tsay and Ando, 2012）など様々なファクターモデルを利用できる。Ando and Bai（2015） は Static approximate factor modelの構造を仮定している。
Ando and Bai（2015）に関連するパネル
データの研究としては、Ando and Bai（2014a,
2014b, 2014c）, Bai（2009）, Bonhomme andManresa（2012）, Diebold et al.（2008）, Koseet al.（ 2008）, Lin and Ng（2012）, Moench
and Ng（2011）, Moench et al.（ 2012）,
Pesaran（2006）. Sun（2005）. Wang（2010）,などがある。

３.

モデル推定

グループ数 S、ファクター構造 {F1,…, FS }のそれぞれの次元 {r1,…, rS } を固定した元で⑴式のモデルに含まれるパラメータは、βi、G, {F1,…, FS }、Λ= (λ1,…, λN)′ である。それは以下の目的関数を、ファクター構造（一意性のため）に対する制約（ここで Γj はある対角行列）のもとで最小化することで推定される。

第 2 項 目 p(βi) は パ ラ メ ー タ βi に 対 す
る 罰 則 で あ り、Ando and Bai（2015） はSCAD 罰 則（Fan and Li（2001） を 利 用 している。それは以下で与えられる。

ただし κi > 0, γ > 2である。
SCAD 罰則の代替として the lasso method（Tibshirani, 1996）、its variants（Zou, 2006;
Yuan and Lin, 2006, Park and Casella,2008）, least-angle regression（Efron et al.,2004）, elastic net（Zou and Hastie, 2005）,
the minimax concave penalty method（MCP;
Zhang 2012）, the Dantzig selector（Candes
and Tao, 2007）なども利用可能である。日
本語の書籍としては、安道（2014）などを参照されたい。
最適化においては {β1, …,βN}, G 及び {F1,…, FS, Λ1, …, ΛS} を繰り返し最適化していけばよい（詳細は Ando and Bai（2015）に記述されている）。例えば、{β1, ……, βN},
G が与えられたもとで、グループ j に属する
資産にのみ着目し、T×Nj- 次元行列 Wj ＝（wj1,…, wjN）を以下のように定義する。

金融市場間のグループ・依存構造を考慮した大規模金融データの分析手法について− 179 −

このとき、⑴式のパネルデータモデルはファクターモデルに帰着する。

Ando and Bai（2015）は以下のアルゴリズ
ムを考案している。

パラメータ {Fj, Λj} の推定は、目的関数

実行手順
Step 1. 候補となる正則化パラメータの値 {κ1, …, κN}、グループ数 S それぞれのグをファクター構造に対する制約（）のもとで最小化することとなる。
また、{Fj, Λj}, i が与えられたもとでは βiの推定はの最小化による。結局、ある初期値から出発し、いま述べた方法で {β1, ……, βN}, G 及
び {F1, …, FS, Λ1, …, ΛS} を繰り返し最適化
していけばよい。グループ数 S、ファクターの次元 k1, …, kS、及び正則化パラメータ κ1,…, κN の選択が問題となるが、以下の Andoand Bai（2015）のモデル選択基準により最適な値を選択できる。

ループに関するファクターの次元 {r1, …,
rS}. を用意する。
Step 2. グループ数 S、各グループに関するファクターの次元 {r1, …, rS} を固定する。
Step 3. グループ数 S それぞれのグループに関するファクターの次元 {r1, …, rS} の下で、正則化パラメータ κ（i i ＝1, …, N）を⑵式で与えられた PIC を最小とするように選択する。
Step 4. 現在与えられているグループ数 S 及び正則化パラメータ κ（i i ＝1, …, N）の下で、それぞれのグループに関するファク
ターの次元 {r1, …, rS} を⑵式で与えられた
PIC を最小とするように選択する。
Step 5. Step 3及び Step 4を収束するまで繰
り返し、最終的な PIC の値を保存する。
Step 6. グ ル ー プ 数 S を 変 え て Step 2∼
Steps 5を実行する。
Step 7. 保存した PIC の値を最小とするような正則化パラメータの値 {κ1, …, κN}、
グループ数 S それぞれのグループに関するファクターの次元 {r1, …, rS}. を選択する。

４.

⑵
ここで は推定された のうち0でない成
分 数、 はの一致推定量である。⑵式で与えられた PIC を最小とするように {S, k1, …, kS, κ1, …, κN} は選択される。モデル選択の実行手順として、

漸近理論

4.1 仮
定
Assumption A: Group-specific pervasive
factorsとしとする。ここでは rj×rj 次 元 の 正 定 値 行 列 で あ る。とは相関しているが、完全に相関しないとする。

− 180 −信託研究奨励金論集第36号（2015.11）

Assumption B: Factor loadings(B1)：
は以下を満たすとする、こは次元の正定値行列でこである。
(B2)：す べ て の i、j に つ い てはstrongly mixing processes と し mixing coeﬃcients はを満たし、裾確率はを満たすとする。ここで a1、a2、b1、b2は正の定数である。
Assumption C: Error terms
誤差項 εt の期待値は0とするが、時系列方向、及び観察単位の両方向に依存性を持つとする。また正の定数 C< ∞があり全ての N
T について以下が成り立つとする。
(C1)：＝0 for all i and t;
(C2)：
with
for
some
for all (t, s), andandfor all (i, j), and
C. In addition,<C.
(C3)：For every (s, t),

for some<

Assumption D: Observable observable risk
factors(D1)：xit は以下を満たすとする。
また N/T 2→0とする。
(D2)：以 下 を 定 義 す る
ここでと す る。
フは真のここで は真のグループァクターローディングとする。いまとして以下を仮定する。

は全ての（F1, …, FS）∈ AG について
正定値行列である。ここで は一般化逆行列である。
Assumption E: Number of units in each
group
グループ j に属する銘柄数 Nj は0< <Nj/N<<1を満たす。

<C.
(C4)：
<C.
(C5)：
<C.
(C6)： すべての i について、εit は strongly
mixing processes とし mixing coeﬃcients はを 満 た し、
裾確率はを満たすとする。ここで a1、a2、b1、b2は正の定数である。
(C7)：εit はとは独立とする。

Assumption F: Central limit theory
いまを真のパラメータ が0でない部分に対応する Xi の部分行列とする。以下を仮定する。

ここではの収束先（T →∞）である。

金融市場間のグループ・依存構造を考慮した大規模金融データの分析手法について

Assumption G:
いま− 181 −

銘柄を白動的に特定することが理論的に保証されている。
次に変数選択の一致性、及び漸近正規性について述べる。いまを真を推定のパラメータの値としされたパラメータとしのみ 0 とする。

とし、を仮定する。
4.2 漸近理論
本節では Ando and Bai（2015）により導かれた漸近理論についての結果を紹介する。
を真のファクターとす
いまる。
Theorem 1 : Ando and Bai（2015）
Consistency.
Assumptions A–E を 仮 定 す る κi →0、T×
κi →∞のもとで推定されたファクター {j ＝1, …, S} は一致性をもつ。

Theorem 3 : Ando and Bai（2015）
Asymptotic normality and variableselection consistency.
仮 定 A ∼ G が 成 り 立 つ と し、κi →0、T
×κi →∞とする。このときは漸近的に平均0分散共分散行列の正規分布に従う。

ここで

⑶
ここで
とし

とし

は

の収束先（T →∞）である。ここで、を満たす。
Theorem 2 : Ando and Bai（2015）
Consistency of the estimator of group membership.
Theorem 1 の仮定が成り立つとする。この
とき全ての τ>0について

は の部分行列であり、真のパラメータの0でない成分に対応する。ただしとする。さらに変数選択の一致性がなりたつ。

それぞれの銘柄に影響を与える経済要因－
金融市場要因などは異なるが、銘柄ごとに変数選択を実行できることが示された。
が成り立つ。
つまり、資産収益率の特徴が似通った金融

− 182 −信託研究奨励金論集第36号（2015.11）

Theorem 4 : Ando and Bai（2015）
Consistent model identification.
Theorem 3 の仮定が成り立つとする。このとき PIC は真のグループ数、真のファクタ
ー数、及び真の説明変数を同定する。
つまり、大規模金融データの適切なクラス
タリングが理論的に保証されることを意昧する。

５.

実証分析への応用例

本節では、金融市場開のグループ－依存構
造を考慮した大規模金融データの実証分析例について報告する。Ando and Bai（2014b）
は⑴式の βi をグループ内で共通として中国
A 株市場－B 株市場に属する1,000銘柄以上の株式（無リスク資産に対する超過）収益率
に関する分析をおこなった。2002年～2010

表1

年までの月次収益率を利用して、A 株市場・
B 株市場のグループ数について検討し、その結果、 6 つのグループに分類されることが明らかとなった。また、それぞれのグループが影響を受けるファクターは違うという実証分析を得ている。表1は、特定された i ＝1,…, N と以下の分類による2×2テーブルである。⑴ Location of stock exchanges（市場）、⑵ Types of share（A 株・B 株 ）、 及 び ⑶Industry（産業分類）特定された は市場の場所、産業分類とはあまり関連が見られないが、A 株・B 株という株式の種類には関連が見られる。つまり、A 株であるか、B 株であるかという要因が重要であることを示唆している。詳細については Ando and Bai（2014b）
を参照されたい。
また、Ando and Bai（2015）は6,000銘柄
以上の国際金融関連株式について分析をおこ

Ando and Bai（2014b）特定されたと以下の分類による
2 × 2 テーブル
⑴ Location of stock exchanges, ⑵ Types of share, and ⑶ Industry.

金融市場間のグループ・依存構造を考慮した大規模金融データの分析手法について− 183 −

なっている。特に、2007年以降の米国サブプライム問題に端を発する金融危機について検討し、以下の 5 つの期開について分析をおこなっている。
Period 1 :May 1 2006 to December 31, 2006
Period 2 :May 1 2007 to December 31, 2007
Period 3 :February 1 2008 to August 31, 2008
Period 4 :September 1 2008 to March 31, 2009
Period 5 :May 1 2009 to December 31, 2009
そ の 結 果、Period 1に は グ ル ー プ 数 は11であったが、リーマンブラザーズ破綻など深刻なイベントを含む Period 4にはグループ数
は17へと増加し、市場の不確実性が高まっているという報告をおこなっている。また、グローバルファクターよりも米国ファクター、EU ファクターの影響が Period 4においては非常に大きいという実証結果を得ている。詳細については Ando and Bai（2015）を参照
されたい。このように、金融市場間のグルー
プ・依存構造を考慮した大規模金融データの分析手法を用いることによって新たな知見を得ることができる。

の提案、金融市場の変化に対してロバストなリスク管理ツールの構築、グローバルな観点からの類似企業探索など、金融市場参加者の様々な分析ニーズへ対応することが可能となる。さらに、金融当局者においても、システ
ミツクリスクの事前計測、各金融機関の市場
リスクエクスポージャー把握など様々な場面において、Ando and Bai（2015）の手法は新しい情報を提供するであろう。今後も金融市場の様々な特徴を考慮した計量的手法の開発が望まれる。

６.

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（3）安道知寛（2014）。高次元データ分析の方法。朝倉書店。
（4）Ando, T. and Bai, J. 2014a. Asset pricing
with a general multifactor structure.

結論

本報告では、Ando and Bai（2015）によって提案された計量的手法について解説し、その応用例についても報告した。現実の金融市場の構造を把握可能とするために、Andoand Bai（2015）の手法は柔軟な・精徹化された仮定のもとで計量的モデリングを実行する。そのため、大規模金融データを効率的・的確に分析するうえで非常に有用な道具となる。さらに、的確かつ効率的な分析をおこなえるため、グローバル金融市場のモニタリン
グ、新しい資産運用戦略－ペアトレード戦略

謝辞
本報告で触れた計量的手法などについて
は、以下の国際会議、研究集会、大学セミナ
ーなどにおいて参加者の方々に有益なコメントをいただきました。The 20 th inter­natio­nal
panel data conference（Tokyo）, the 11th
International Symposium on Econometric
Theory and Applications（Hitotsubashi
University）、第16回ノンパラメトリツク統
計解析とベイズ統計（於：慶磨義塾大学）、
統計科学の新地平：ノンパラメトリツク統計
解析とベイズ統計（於：東京大学）、Depart­
ment Seminar at University of Sydney,
Department Seminar at UCLA. ここに記して御礼申し上げます。

− 184 −信託研究奨励金論集第36号（2015.11）

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forthcoming.
（5）Ando, T. and Bai, J. 2014b. Panel data
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under unknown group membership.
Journal of Applied Econometrics,
forthcoming.
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（あんどう

ともひろ）