計測自動制御学舎東北支部第17丁同研究集会（19汎10，31）
資料番号177−ユ1

ゼロモーメント点の操作による歩行機械価制御
Controlofleggedwalkingrobo七sbymanlPulatingthe2；erO ■momentpoint○水戸部和久，矢島克知，仲野隆司，那須康雄

0ⅠくazuhiBaMitobe，Kat別止ornoYajima，TakashiNakanoandYasuoNasu
山形大学工学部
七raITlagatalJniver5恒・キーワード＝ 歩行ロボット〔walkingr【｝bot），ゼロモーメント点（EerOmOmentPOint），制御（亡OntrOl）．安定性〔畠hbil桓）

連絡先二 〒992一郎10 米沢市城南4Ⅶ3−16山形大学工学部機械システム工学科
水戸部和久．Tcl，＝（02呵26−3i32，Fhx．＝（023B）26−32D5．E−mail：皿itob色血naBu2．yz：．yaLnagata−u．a⊂1jp

1．はじめに

本研究では間臨を以上の2つの制御目的に限定して．歩行ロボットの制御別に関する議論を行う．

産業用ロボットの制御において．多くの場合．タ

1番目の制御目的は地面に固定した座標系でのスクの記述は手先位置の軌道として記述される．こロボットの位置または軌道の制御の問題と考える

れに対し，歩行ロボットの制御においては．どのことができる．これは通常の産業用ロボットのタ物理量を制御量として選ぶべきかは明確に定まっ

スクの記述と同様である．ただし，歩行ロボットておらず．歩行の解釈の遠いにより異なったもの

はペースリングが地面に固定されていないためにが考えられる．したがって．タスクの記述方法に制御の難しさが生ずる．2番目の制御目的はゼロおいてもさまぎまなものが考えられる．たとえば，モーメント点〔ZMP）を安定領域の内部に限定

歩容を各関節角度，またはその軌道としてあらかする問題として定式化されることが一般的である

じめ定め，それを目標軌道として軌道追従制御を∠l）5）．これらの二つの制御目的は互いに独立では行う方位1），ロボットと地面との接地点まわりでない．なぜならば，ロボットの地面に対する位置の角運動量を目標の値に制御する方法3）．などがを制御するためには地面とロボットの間の力の相ある．しかし．どのような制御量を選択する場合二引乍用を能動的に操作する必要があり，そのためでも，以下の2点は歩行ロボットにおいて共通のにはロボットがバランスを失わないことが必要で制御目的と考えられる．

ある．また．逆にロボットのバランスはロボット

1ロボットの地面に対する相対位置の移動，の運動に影響されるからである，

2バランスの確保（転倒の防止ト

一1

これらの2つの問題を同時に解決するために．
これまでに綻案されている多くの研究では，安定缶域内に計画された軌道をZMPが追従するようなロボットの運動をあらかじめ計画し，その軌道に追従するようにロボットを制御する方法がとられている．これを人間に当てはめて言い換えると，上体の運動を規定することにより足から床への反力を制御することに相当する．
Fig．1質点の運動

この方汝の問題点の一一つは，計画された運動への追従性能がロボットのバランスに直ちに髭響す

2．ZMPを操伴星とする制御則ることである．ZMPは関節角度のみでなく角加2。1 問題の記述

速度の殿響も受けるので，制御においては加速度レベルまでの軌道追従性が要求される．実際にはFig．1に本研究で考察の対象とするシステムをこのような制御は困難であるので計画されたZM示す．このシステムは平面内を一つの質点が運動Pと実際のZMPとの間のずれを補償する方法がするものである．質点の運動は重力および床から種々捷果されている．もう一つの問題点は，ロボッ作用する力により支配される．ベクトル∫が床かトの運動計画と制御が分離されているために．地ら質点に作用する力を表し．Gは重力を表す．制面状況の変化などにロボットが実時間で適応して御の目的を床からのカグを換作することにより歩行することが難しいことである．

平面内における質点の位置を制御することとする．

本研究では，上述の方法と逆に．ZMPを操作

床からの力f−は実際には脚の機構を経由して質することによりロボットの位置の制御を行う制御点に作用するが，本研究では脚機構を特定せずに則を検討する．これは，人間が足か・ら床への圧力

質点位置の制御の問題を考轟する．

を操作することにより上体のバランスを確保し．

Fを延長した禍が地面と交わる点がZMPでああるいは歩行速度を加減速する状況に相当し，自る．単脚支持の場合．ZMPがロボットを支持す然な方法と思われる．これにより，計画軌道へのる足底領域内にあればその足底は床面と密着して厳密な追従性を必垂とせず．また∴運動の計画といる．質点の加速度はカグと重力Gの合力方向制御を分離することなくに2つの制御目的を達成に生じ，その運動方程式を水平方向と鉛直方向にすることを目的とする．

分けて書けば．次式となる，なお．作業に対して冗長な自由度を持っことはm義 ＝ 左，人間の器用さを与える上で重要なことと考えられ

ん−m飢るが，本研究では冗長な自由度に関する考察を目m如 ＝的とせず，ロボットの地面に対する移動の制御問

ここで．gは重力加速度であり．ぉおよびんは題のみを考察することにする．

床反カグの水平および鉛直成分であり，次式のとおり表される．
ん＝岬Icロβ（軋亡叫呵・−−2−ん＝げlβ叫叶（3）＝一エコmf■

JF二綿（4）

ぶ叫呵

∨甘二研ぎ

る．制御においては計画された軌道に対して質点（5〕位置を追従させる．十分な追従性が得られればZ以上の関係式よりZMPを質点の状態芳，嘉コ凱裏でMPはノミナル軌道に追従すると考えられる．文表せば次式となる．
献）には多自由度を有するロボットに対する軌道∬ほ＋ガト封嘉
笹川叩＝計画および制御方法が示されている■〔8）式よりわ（判裏＋タかるとおり，実際のZMPがノミナルZMPに追地面より質点に作用する力Fを任意に操作するこ従するためには（諾，y）のノミナルな軌道への加速とが可能であれば平面内での質点の位置（耳，封）を度レベルまでの追従が必要である．ロボットの軌制御することは容易である．実際のロボットでは道制御においては伝達機構における摩擦や′ミックFを操作可能か否かは脚の機構などに依存するとラッシなどの外乱一 制御におけるモデル化誤差の考えられる．脚機構に関しては後に具体例を示し影響により目標軌道への厳密な追従は難しい，し考案することとし，ここでは以下の仮定のもとでたがって．実用上はバランス確保のためには．外制御則を検討する．

乱などに起因するZMPのノミナルな軌道からのAIZMPの座標笹川叩は床面上で任意に操作すずれの補償が必要である．文献4）では床反力の実ることができる．

測値に基づき補償入力を生成する一方法が示されている．

A2ZMPから質点に作用する力の大きさ椚は上述の方法は，計画された運動を忠実に実行す任意に操作することができる．

ることにより歩行ロボットのバランスを確保する
実際にはZMPのとり得る範囲は任意ではなく．たものである．しかし，目標軌道への厳密な追従がとえば，単脚支持期では足底内に陸産される．Z要求される点は人間の柔軟な歩行とは異なるようMPを限定した制御については4．節で考察する．に思われる．そこで本研究では，目標軌道への厳密な追従性を要求することなくロボットのバラン

2．2 ZMPを操作量とする制御則スの確保および移動を行うための制御方法について検討する．

ZMPを目標軌道に沿わせるような運動をあら人間は重心の移動やバランスをとるために床にかじめ計画することによりロボットの転倒を防ぐ

方法があが），これを上の間敷こ適用すると．ま対する反力を積極的に換作する．たとえば重心をずZMPの軌跡∬占mptf）の目標を定める．これを後ろに移動させるためにはつま先側を地面に対し（6）式の左辺に代入し時間で積分することにより質て踏ん張り．逆に重心を前に移動するためにはか点軌剛坤抽仰の目標軌道恒（畑封。州を計画

かと側を地面に対して踏ん張る．ZMPは床からする・その配（6）式より伍（f）パ山（り）は十割こ定受ける力の中心点と考えることができるので，こまらないので自由度のうちの叫つをあらかじめ定のような重心制御は，ZMPの操作を経由して重めなければならない．例えば，鉛直方向への高さ心の位置を制御していると解釈できる．これは．

封の目標値は一定値封＝ん吋とし■

塵心位置の軌道追従制御を経由してZMPをノミナルな軌道に近づけようとする上述の方法と逆で∬ヱmp（f）＝（7）あり．本研究ではこのような立場から重心を制御を積分して昔d〔りを計画する．このように定めたするための制御則を検討する，

ZMPおよび質点の軌道はノミナル軌道と呼ばれ聞落とするシステムではZMPの座標は質点の「−3・−座標（ヱ，y）を用いて，（6）式で表される．この式封が鳥吋へ指数関数的に収束するので．βけ1はを㌫川坤を入力（紆，訂）を出力とするシステムと考生止へ指数関数的に収束する．そこで．曳を目標 訂えてFig．2のシステムと見なす．zMPを操作す値に収束されるためにZMPの座標笹川叩を次式ることにより質点位席訂を制御する．高さyはZに従い換作する．

MPから質点に作用する力の大きさFを換作す
笹川叩＝訂＋れ（よ−町亡ル〔柑〕

ることで＃と独立に制御することにする．歩行運

ここで．町豆は質点の水平方向への速度の目標値であり．れ正のは設計ゲインである■並の叫e′への収束は正定値関数t′＝（元一叫eバ2がリアプノブ関数となっていることから理解できる．Vを（12）
およぴ（13〕式の解に沿って微分すれば，

レ＝一（土刊）コ＝一昔v・｛叫となる・したがって，正数どが存在して吉≧ど＞0丁を満足すれば．

Flg．コ ZMPの操作による制御焼印）＝U叶動へ応用可能なように，質点を鉛直方向に一定のすなわち質点は高さを→定に保ちながら水平方向高さん吋を保ちながら慕の正方向Jl、−− 定速度でへ一一定速度で移動する・封が九reJに収束している移動させる制御則を考える．まず，質点の高さをものとし．封＝鳥吋に固定して考えれば，上の条制御するために∫の鉛直成分んを次式のとおり（15）

件は石告≧亡＞0となる・したがって・元の収束定める．

性は重力が存在しなければ補償されない．このこん＝ん吋−y−由＋m耳・とは無重力下で人間の歩行が困難であることと類桝似であり興味深い．

これによりyは次の関係を満足するので九reJにロボットの停止状態への応用を考慮し．詔を一定指数開放的に収束する．

値ヱ可へ収束させるためには（13）式を以下のとmy＋豆＋y＝h畑おり変更する．

（9）

次に，質点の水平方向への座標ごをZMPの座

芳明＝ご＋β抽（エー拓詔十軋可・（16）標の操作により㈲御することを考える．∬の運動
ここで・たuおよび鳥pは正の設計ゲインである・こは（1）式を用いて．の場合には，収束性を保証するためにはβ≧Eコ＞0m∬＝を満たす正数亡2が存在すれば，…（んreノーy再⊥mg）1∬−￡叩叩

拘可−y一由＋mれ（10）

蓋十たu去＋たァ（い∬re／1＝0

より∬は∬吋に収束する・で表される．βを以下のとおり定義すれば，
押I甘

β＝ム可一計一由十mgtll）

式（10）は単純に次式で表される．
卵一打＋ご叩p＝0・

丑．ユ 簡単な例飽ここまでの議論は．脚の機構に関しては具体的に考えていない．木簡では簡単な脚機構に対して

（12）

ー4」

（17）

上述の制御別の適用例を示す．ただし，脚の質量

αコ ＝（ざ哨一己l占コ〕トトjcl．

が十分に小さいものと仮定し，支持脚のみを考慮（24）

新たに入力信号現を導入することにより丁−およすることで議論を簡単化する．また．ロボットのび巧を次式で定める．

運動は進行方向平面内に限定されるものとする．
式の記述においては占叫叫および用坤瑚を5i

Tl ＝ α2叫および仁iにより表す．

丁3 ＝−α11l・51亡コuCl￡2≠0を仮定し．（呈5）およぴ〔呵式を（呵

2．4 例1

およぴ（19）式に代入すれば次式を得る・

Fig．ユの脚を考える．脚の宮上を無視すれば，質

月1α1十占2凸2mほCl占コ￣占1C2−（βl＋古津＋血−「ご＋占町（27）亡1α】＋亡2α2血闇＋g）＝

亡1占2−51亡コ−（cl＋c2）Ju¶』Ⅶ・（：判したがって．質点の位置はⅦおよぴZMPに以下の制御則を適用すれば制御することが可能である．
Fi琶．3 例1u＝

｛柚≠′）＋た叩由一m僻

点の運動は次式を満足する．

耳汀叩＝古＝い（帰一町）＋軋諦H30）
亡1諾￣ぷ1封一卵1 ＝C2正￣βヨ封￣g卓2 ＝ー山一

ここで．（ェreノ．封可）は（訂，y〕に対する目標値であ丁3る・鳥pおよび軋はフィードバックゲインである・

蒜一

また．師l叫＞0を仮定している・ニの仮定は（14）ZMPの座熟まFig．1の問題と同様に表される，式において，舌≧ど＞0を仮定したことに相当し

昔ほ＋∬）一拍訂ヱ爪P＝（20）ている．

裏十g

上式は関節へのトルク入力Tlおよび巧で表すことができる．

2．5 例2（Tl十T㌢H占1C2一亡1β2）J

ヱ冨mp＝亡2Tl−・ClT蟄， （21Fig，4の脚を考える．質点の座標（ヱ，封）の運動を）

カナおよぴトルク丁で表せば次式となる，

したがって，トルク入力に拘束を与えることによりェ‡mPを足底の範囲偶で任君に操作することができる・たとえば，∬ヱmp＝占とするためにはT

mJ仁義 mJ碩一明再 ＝l丁，

m露＋m嗜＋m卯 ＝ f・（31）（32）

および丁2は次の関係を満足すればよい．
ここで，ぶおよび仁はβ叫呵および亡舶（即をそα β］，∂2，可Tl＋α2（軋伊2，j）巧＝D。（謂）ここで，Jに次式の拘束を与える．
叫 ＝（ざ哨一亡1ざ誹一鮎2，（23）…5−

Jcけ＋（ト叫丁＝0・（33）Fi島，4 例2

そのために丁およぴJを以下のとおり淀める．
′ ＝（ト叫叫Fig．5 制作したロボットの外観
丁 ＝ 一拍叫

これにより質点の運動は次式に従う．
mよ ＝（耳一古）叫m王／ ＝ 封IL

質点位置を制御するために．uおよぴZMPを次式で定める．

u＝吉卜柚一計吋卜柏＋哺）
叫＝d・＝‥加担（エー叫〕＋緑）・（叫断丸ミき′旅行方向

3．葉陰による検討
Fig．6 脚の機構（単脚のみ）
前述した制御則を直動関節を持っロボットに適応し，歩行実験行った．実験に使用したロボットは．Fig．7に示すとおりである．このロボットの垂の外観をFig．引こ示す．このロボットは．高さ400rn

心位置を目標軌道に追従させ，制御した歩行実験の結果をFig割こ示す．どちらも垂心位置の変位をm，幅200mm，全重量1T50gである．Fig．6に単示した．本実験において，脚時の脚機構価外観を示す．Fig．4の脚を考える．

ロボットの重心の地面からの高さは上下に変化させている．このグラフ制御性を向上させるために，モーター，エンコーより，重心位置の進行方向，高さ方向共によく追ダなどを胴体部に集中させ脚部をできるだけ軽量従し滑らかに変位しているがわかる．これにより．

化している．また，上下動する胴体部からも足首製作した二足歩行ロボットが．前述した制御別にへトルクを伝達する事を可能にするた軌胴体部，より，重心高さを変化させながらの歩行が可能で脚部ともに平行リンクとした．これにより．胴体あること確認された．

部にあるモータから直動関節を蓮由し足首にトルクを伝達する事を可能にした．平行リンクの動き−6−上下動−ノr・一−

トレク伝達

C:
トー

Fig．7 平行リンクの動き

4．ZMPを限定した制御則以上の議亮酌ま，ZMPが床面上で任意に操作可能との仮定に基づいていた．ここでは，ZMPの換作範囲に制限を与えて同様の制御を行った場合の解析を行う・再びFig．1のモデルを用いる，質点の鉛直方向座標yは訂と独立に制御し、占用JにD収束させることが可能と考えて．以Fの議論は封ヰ26810¶n鳩 亡掴e）を一定値んrefに固定して簡単化する・制御則（161Fig．8 実験結果

式において操作畳に飽和を与え．次式のとおり変一

およぴ∬2は次式を満足する．

更する．

笹川叩＝里ヱmP

エ＋β里u土＋鳥。（∬¶∬叫けごヱmP

豆ヱmp＜葺＋β■†点心主十鳥p（訂一t叫一旦m叩〕叫囲

旦郡叩＝丁語＋β■拝u孟＋毎（正一拓吊Iotherwi巳e，β−鳥p

一宏ヱmp＝（ごr。J膚吏ヱmPl＜0・（42）1十β■毎（40）がって．次の関係がある．

ここで・β書＝九吋／＃である・もmpおよぴね叫はZMPの上限および下限である．具体的なロボット

旦ヱmpくど1＜窟可＜ご2＜豆叩・（43）においては，たとえば単脚支持期においてはFig．

各領域内でのどの運動はr12）式およぴ（叫式より，9のように支持している足直の範囲におさまるよ
以下のとおり表される．
うにこれらの値を決定する．よが静止L．ていると●領域1

きZMPは質点の真下なので．ごに対する目標値

β■義一諾＋旦叩＝0

ギ叫はもmpおよび童エmPの間の値とする・制御のもとでの質点の運動服位相平面上に軌道をプロッ（44）●領域ⅠⅠトすれば理解が容易である．Fig．10は位相平面
去十たu去十たp（訂¶器可）＝O t45）上での軌跡の例である．直周＝1およぴgコは飽和にかかる領域との境界を示しており，ご軸との交■領域ⅠⅠⅠβ一意uェ十云川戸＝0・1▼・・・7一〔46）これより．質点の高さ九r。Jが十分に高くなるとこの条件は満足されなくなり．果敢する軌道が生じることが分かる・恥11斡は直線の傾きが一より小さい場合．すなわち，1＋β暮たpく一伊たむ

三軍mpXTef範皿p（58）の時の軌跡の例である．このときには初期値に依存して，解軌道は（正可，0）へ収束する場合と発Fig・9 星叩pおよび豆叩散する場合がある．実際の歩行においては運動軌

一札ヰ

ーー0．20Fig・】1位相平面2h＝0凧鳥y＝0・6膏reJ＝1・0
軸1D 位相平面1たu＝1・7，ち＝2．9舟亡ノ＝＝0．3

通が発散する場合には転倒を防ぐため支持脚の切り換えが必要である．条件（50）式より位置制御の目標位置ヱ＝∬吋の安定性は領域を区別する直フィードバックゲイン転が大きくなると発散する

線hおよぴわの傾き一粋と領域ⅠおよぴⅠⅠⅠ運動軌道が生じることが分かる．

における運動を表すシステム行列

仰［＿1；β事吉］の固有ベクトルの懐き・

5．おわりに仙涛を比較することで本論文は歩行ロボットのZMPを操作鼻として判別することができる・Fig。鞠は直線の傾きが一諌以上すなわち・
1十β＋たp用いる制御則を提案し，安定性に関する検討を行っtO

た．その目的は，計画された運動への厳密な追従を必要とせずに．ロボットの移動とバランスの確一（呵．ごブ●た、．

保を同時に行うことである．得られた結果は，平の場合の軌跡の例を示す．固より分かるとおり，領面内を質点が移動する単純なモデルに基づいてtl域ⅠⅠより出発したどの軌跡も目標値（ヱrE′刊へるが．ロボット胴体部の姿勢変化が少なく近似的収束する・条件式（48）式を、／軒に関して整理すれに質点移動と見なせる歩行運動へ応用可能と考えば次式の条件となる．

られる．人間に近い多自由度のロボットに対してはた。−V囁￣＝￣碍
≦J戸（＝2も制御別の一般イヒが必要であり，今後の課題である．

ら宜地質ヨ覧
）≦g：！ふf（49）

一8−

参考文献
1）F・九Iiya弘kjandS・A止m血皿AContI・01TheoreLic
StudJ・OnDynami仁山BipedlJDCOm血h町Thn組仁一
ti口n古口ftheASM軋Joum山ofT）ynaInicSystemSI
Me鮎山eme叫and亡コ0IILrロ1，102．2且3t1980〕

2）T．Mita，T．Yam喝uti，T．Ⅰくashiwase and T．
Kawa占e†RealizlatioT］Of aL high6Peed biped＝S−
ingmodernCOntrDltheory，Int．J．Contro），40−l1
1D7／119（19841

ユ〕佐軌古荘．角運動量制御による2足歩行ロボッ
トの3次元軌歩行計軌時軌制御学会論文集．2￠ヰ45叫466（1990）

4）M・Vl止obratoYi亡，B．Borovac，DLSl山aaTld工）．Sto−kic，BipedLocomotion．T〕ynamics，St五bility，Corl−troLandApplicatiorL．SpringerⅥ汀1ag，（1990）
5）高酉．石軋山崎，加藤2足歩行コポットWL−10民Dによる動歩行の実現l高軌石田，山崎∴加藤．日
本ロボット学会誌諷4，67ノ7邑（19叫−9−