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確 率 数 理 要 論 5。特性門學
D I
X:t.liに対し、中（t）=E［どがを特性関数と呼ぶ.

HER）（characteristic function）

le'が1Elより、期待値は常に存在.
は 値 r . l i に対しても 中（ま）= ECで成］ HERた）とすれば同様に特性関数を定義できる。 以下の話は1が値でも成り立つ.

※※

凸40）=1，14（t)IE I( E t ER）， 中（t）は一様連糸売、

生
※

r.li

4：特性関数あるた70でE[Mk］くなら中はHERでた回連続の牧行能で 中略）=MEM］である。，（Proof）

器で北=（ix ）などが1蟁どが1 E 1×はで、かつ1×はは51積分

よって微分と積分が交換できて. （講義第2回目け参照）器、などが1 =E1着で「X］=E l ( i x）などが特にtoのとき、右辺=E［パパ］である。

さらに、右辺はtについて連続であることもイ雲収束定理より示せる.y

確率数理要論51/9

"

西川 正規分布 （N(ME））

f(KIM62）=高いexp（_ （きた）中（t）=f.deのがf HIM.62）dx=（2）

e x p ( i t in-6き）

Cauchy分布81）（1c）=六 台で（c>o）：

p.d.fr.

（コーンの積分定理）（平均は存在しない）

中（t）= e - C H I（留数定理）

しX，....が独立なr.v.PH）.....htt）： その特性関本文
S n = K+×2+-_-+Xn の特性関数は中（t）=E［どが］=（Prof）

どが=だた（t）などが と独立な確率変数の積になるので、独立なr.irの積の期待値が各期待値の積になることより従う.y型PQ： 2つの分布
P=Q← >ha）= ね（か（HER）
ただし、 中に右はRQに対する特性関数yや ） は 自明⇐ ）を示すため、いくつかの補題を用意する.

確率数理要論52/9

"したX~P.Y~Q.X.LYは独立なので、 とする.
X t Yの分布は 畳み込み分布 Px Qに従う：（A-）に1）にx l i e A D

f P(A-っく） は（x）.

（P*Q）（A） =また、 Xが密度f（川を持つならP*Qも密度を持ち、 hい）= ffには）doは）に
Z = X t Y

ZEAである石隺率はとすると、

Y

El1A(Z）］)

ZEA 2｛Z氏何°で与えられる.

I 1A（水な） dPG)doは）E l IA(Xt=H=（Xと丫は独立、Fuhr：）IA.y(x) dP M doは）f P(A-y)doは）
特に、 Xが密度fを持つとき、

y==左辺

ニ==/

1 A M Y ) f(x)didQは）/ / 1A(u)flag)du daは）

1A （/flu.は）d Qは）） d u( F ubini)l e h n e r

よって、hはPなの密度になっている.

/X ~ P , Y~N（0.62） のとき （X.Yは独立）
Z = X t Y の分布は P ' " = P*N(o.62） で与えられる.

しPの特性関数がg（か= l e t ' ' d Pa） で与えられる時、p（6）は密度（Prof）を持つ.

f（6）（）（）=

六 f ga)exp（ーんが、 6垈） d tに 次いで確率数理要論5

3/9

fifi！！が）の密f'%に 度

先のLemより===したf （𠫓/exp[iはいt-6望］dt)dp（は）京ノflejeifpeey ど が T d t主/ga)EたがT.de。→oz.pl"usPxである。

（Proof）

メ、 P , Y~N10，62） のとき.
Xt Yーか X（P（1×+と×12E）（6→o） はすぐわかる。

特に、=P(M2を）た。）

X tYmxs

X t Y~P（6），X~P より 示されたである.

/（Thinの⇐の証明）

中にねなら. P'"とが） は同じ密度関数f（6） を持つ.

よ、

2 .

また、

（生のLemより）

P（6）=2（6）がわかる.

P（6）mP ， が ' m Q

gにたねを代入.

より.

htt：有界連続に対し、

G/f（川d呦（水）ff(x)dPG）="

た。 f f（川 dが'（水） ニ /f（川doa ）つまり、/HP=Hd2

特に P = Q（Hi有界連続）.
/※ この証明は多変量r.ir で も 使 え る .
確率数理要論54/9亟（安定分布）あるanが存在して. i id.列Xnに対し. an点かの分布がnに対して変わらないとき、安定分ーー布と言う.
い） 正規分布：E Xi 分メ、....、Xn~N（0.1）（En）

〜N(o、1）（i) Elども（笑）に 斑に清かに恥が一-EE
tNG.I）のcf.
12） Cauchy分布：

X.....Xn~Cauchy(c）に）t~Cauchy(c）Eだが測］=斑に赴いたがたがtt

Cauchy(c）のは，

血（Levyの連続性定理）（Xn）！をr.での列として、

4（t）=E［どが］とする.

I . あ る t.ir Xが存在して、そのc.fiが中は）であるとする。
このとき、Xn m s X
2 .

(Proof)各点収束（mo）（なER）

ある関数中：R→Cが存在して.HERで中は）→中（ま） が4がキ=0で連続なら、中はあるr.mxの特性関数でXn M X で あ る .

yI . は Portmanteauの定理より示せる.
2 .

確率数理要論5

虫（t）→ 中は）は難しい.

（証明は補足資料）y5/9$
そこで2の代わりに 以下を考える.

髹燮景方孿は.でxnmxでOhHI→中は） （HER）なら（Xnh が緊密ある（タイ1-） で .

（でのProof)

Lem (Prokhorovの定理）

1 . XnM X なら （Xn）は 緊 密 .
2 .

緊密なう部分列 （Xnj)if が存在して、（Xn)n があるr.mxへ 弱収束Xnjmxする.
※

Xtリックスペースのコンパクト集合は点列コンパクト（R上の有界点列は収束部分列を持つ.）（証明は後述. webの補足資料を参照）（Xn)nは（1 （緊密）なので、任意の部分列（Xnj間もOp（1）で）さらに部分列 （Xnm）

が存在して あるt.li X に、Xnmmxとなる.

（by Prokhorov）

よって.

Xのは. をかけ） と書くと. hey.は）→TH） （HER） となるが、仮定より 4H）→4H） でもあるので、 TH）=中（かがわかる。
つまり、中はXのは. （これは部分列の取り方によらずユニーク.）

こ こ で .も し Xn M X

でなければ、非有界連糸売で.EH(Xn）］やElf(x））.

特に、 ある部分列をとってきて. I E H ( Xn j ） ］ - E [ f M）にE （な） とできる。 しかし、 さらに部分列 （Xnjr）/ をとって来ると.

Xnjnm X

矛盾である

確率数理要論5

つまり1Elf(Xy）］-E[f(XD|-0

よって、XumX .とできてしまうので、

y6/9

$
「 血 （中心極限定理）（XDni： 平 均 で 分 散 6 2 の i . i d . r. s i 列
このとき、長（会い） m※※（Proof)R（今一µ） myでもある.
はわかっている。不信に膨らませると、ちょうど正規分布になるなし年-M）とすると.

を引（点×E[Zi］ =よって.

Nail)

N（0.02）会で s oZn=に対し、S n = X it-_-+Xn）2

玔等

P（12-nIZM)E=］=E

呉市EEICX.ru）2］
Iたとなるので.

Znは緊密である。
よっ
Levyの連続性定理でより、Znのc.f.がNG.I）のet.にて、各点収束すれば良いE［どてる］

Znのc、f ==E1で青点×！
！

×hit）とおく
ここで.

］=jfは）

net.

""。一の平均は0で分散はIなので.

中は 2 階 連続微分可能で、中は）= I t t h o ) t Ed"（0）to（もりとT=1-Et。（ギ）と展開できる。

よって.

4倍）= 1 - t o は ）蜊=4倍になって示された.
確率数理要論5であり、に出toは））"EeeがtNMI）のcyy
7/9

##

#

%

Prokhorovの定理の証明.
1.

は 簡単なので省略

2 .

FnをXnの分布関数とする.
を有理数の集合とする.
は、は可算集合なので、の各元

81，82.... のように番号をす辰ることができる。

今. した（G）パ は 1の口に含まれる数列なので、 ある部分列 （Fniはりぷが存在して、ある値に収束するようにできる。

同様に ある部分列 （みな）c（が何 が存在して、（Fnp（82）に7 も 収束させることができる、 以下、同様にして、（がパコ （が）つなる数列の列を得る。
ここで.

Mjnjは）=（がりs-_-とすると、において （Fn，（9）に7 は収束する。
この収束先をG（8）とする. Gの構成法より G o d E G G ' ） （Too'）。

任意の8E

Gは

しかし、

.

上でのみ定義されているので R上に拡張する：、

F（水）= int{G（9）1年」に志しすると、Goo）.

Iではなく>であることに注意・.

Fは単調非減少で、右連続。

なぜなら、 と>oに対し、ヨ9E@z.q>水かつIFPI）-G（8）にEとできる。

H E な く 8 において F M E Fly)EGG）が. I F が F M / E Eである。 つまり、右連続。

このとき.

さらに、背かない=1，緊密であることから、

ifと70において ヨ14つ0で.

Fn；（M）2 1 - Eと20とすることで.
以上より、感。 FG）=0 でもある、 これは、 （Xn)nがSY Fn;EM)EEか？

である よって、 FEM)EE, F(M）21-E でもある感。FM=0. f f s FA） =1 がわかる.

Fはある分布の分布関数となる。 Xをその分布に従うは、とする.

↳次ページに続く.
確率数理要論58/9

あとは、 下の連続点xにおいて、X n j m X が言える.

Fnjに）→下川 が示せれば、てにおいて Fは連糸売なので、 と>0に対し.

IGG）-GG)I E E か つ .

ヨq<xで'で、Goo)EF（）（）EGG'） とできる。

よって.

G（9）= 想い珂（9） E

l i m i t Fn，に）Elins u p Frya )j → e

j → eが成り立っ よ っ 2 . E ！ 0 とすることで、 hfn；に）確率数理要論5=

EGFn，19'）=G（ど）F（川 を得るy9/9