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数理解析研究所講究録
第2060巻 2018年 33-37

Transverse Kahler structures on central foliations
鹿児島大学大学院理工学研究科

石田裕昭

Hiroaki Ishida

Graduate School of Science and Engineering
Kagoshima University1序

本稿では,大阪大学の糟谷久矢氏との共同研究 [3] の一部を概説する.この研究の目的の一つは,ケーラーとは限らないような複素多様体のドルボーコホモロジーあるいはドルボー複体を調べることである.ケーラーでないような複素多様体であって,おそらく最も簡単なものはHopf 曲面だろう.ここでは,Hopf 曲面を例にとって説明を試みる.
$\alpha$を | $\alpha$|>1 を満たす複素数とし, \mathbb{C}^{2}\backslash \{0\} への無限巡回群 \mathb {Z} の作用をk\cdot(z_{1}, z_{2}):=($\alpha$^{k}z_{1}, $\alpha$^{k}z_{2}) , k\in \mathbb{Z}, (z_{1}, z_{2})\in \mathbb{C}^{2}\backslash \{0\}によって定める.このとき,商空間 (\mathbb{C}^{2}\backslash \{0\})/\mathbb{Z} は自然に複素多様体になり,可微分多様体としては S^{1}\times S^{3} と微分同相になる. M:=(\mathbb{C}^{2}\backslash \{0\})/\mathbb{Z} はホップ曲面と呼ばれ,第一ベッチ数が1であり,特に奇数であることからケーラー構造を持たないことがわかる.
似たような構成を持つものとして,射影直線 \mathbb{C}P^{1} がある. \mathbb{C}^{2}\backslash \{0\} への代数トーラス\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\backslash \{0\} の作用を
9. (z_{1}, z_{2}):= ( gz_{1} , gz2),

g\in \mathbb{C}^{*}, (z_{1}, z_{2})\in \mathbb{C}^{2}\backslash \{0\}によって定めると,商空間 \mathbb{C}P^{1} :=(\mathbb{C}^{2}\backslash \{0\})/\mathbb{C}^{*} は1次元の複素多様体になり,特にケーラー多様体になる.

今,次の単射準同型によって \mathb {Z} を \mathbb{C}^{*} の部分群だと思うことにする: \mathbb{Z}\ni k\mapsto$\alpha$^{k}\in \mathbb{C}^{*}

このとき, \mathbb{C}^{2}\backslash \{0\} 上の恒等写像は \mathbb{C}^{*}/\mathbb{Z} ‐主束 M\rightarrow \mathbb{C}P^{1} を誘導する. \mathbb{C}^{*}/\mathbb{Z} の M への自由作用および射影 M\rightarrow \mathbb{C}P^{1} は正則である.

H:=\mathbb{C}^{*}/\mathbb{Z} は複素コンパクト トーラスであり,特に複素リー群である. \mathfrak{h} を H のりー34環とする. H はコンパクトかつ M への作用は自由であるから, \mathfrak{h} に値を持つ M 上の1‐形

式 $\theta$\in$\Omega$^{1}(M)\otimes \mathfrak{h} であって,次を満たすもの (接続と呼ばれる) が存在する:
1.

i_{X_{v}} $\theta$=v,\forall v\in \mathfrak{h}.

2. $\theta$ は H ‐同変.

\mathfrak{h} の \mathbb{R} 上の基底を v_{1} , v2とすると, $\theta$ は( \mathbb{R} に値を持つ)M 上の1‐形式 $\theta$_{1}, $\theta$_{2} を用いて$\theta$=$\theta$_{1}\otimes v_{1}+$\theta$_{2}\otimes v_{2}と書ける. W\subset$\Omega$^{1}(M) を $\theta$_{1}, $\theta$_{2} で張られる部分空間とする.このとき,まず M のドラー
ム複体について$\Omega$^{*}(M)\simeq$\Omega$^{*}(M)^{H}=$\Omega$^{*}(\mathbb{C}P^{1})\otimes\wedge W\simeq H^{*}(\mathbb{C}P^{1})\otimes\wedge Wが得られる.ここで, A^{*} \simeq B^{*} は A^{*} と B^{*} は quasi‐isomorphic であることを意味
し, $\Omega$^{*}(\mathbb{C}P^{1}) は引き戻しによって $\Omega$^{*}(M) の部分代数と思っている.また, W\otimes \mathbb{C}の元の ( 1, 0) ‐部分の成す部分空間を W^{1,0} \subset $\Omega$^{1,0}(M) , (0,1) ‐部分の成す部分空間をW^{0,1} \subset$\Omega$^{0,1}(M) とすると, M のドルボー複体について$\Omega$^{**}(M)\simeq$\Omega$^{**}(M)^{H}=$\Omega$^{* }(\mathbb{C}P^{1})\otimes\wedge(W^{0,1}\oplus W^{1,0})\simeq H^{**}(\mathbb{C}P^{1})\otimes\wedge(W^{0,1}\oplus W^{1,0})が得られる.結果として,Hopf曲面 M が \mathbb{C}P^{1} 上のトーラス主束の全空間であることを用いて, M の有限次元ドラームモデル H^{*}(\mathbb{C}P^{1})\otimes\wedge W と,有限次元ドルボーモデル

H^{**}(\mathbb{C}P^{1})\otimes\wedge(W^{0,1}\oplus W^{1_{)}0}) を構成することができた.
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Canonical and central foliations
ここからは, M はコンパクトかつ連結な複素多様体とする.このとき, M の自己同型写像,つまり M から M 自身べの双正則写像全体 Aut (M) は複素リー群をなすことが知られている ([1]). M 上の正則ベクトル場全体 X(M) は複素リー代数をなし,各正則ベクトル場に対してその実部を対応させる写像は, \mathfrak{X}(M) とAut (M) のリー代数との間の同型を与える.これによって, \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(M) のリー代数と X(M) を同一視することにする.

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T を \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(M) の極大コンパクトトーラスとし, \mathrm{t} を T のリー代数とする. \mathrm{t} は X(M) の(実) 部分代数である. \mathfrak{h}_{M} を \mathrm{t} に含まれる複素部分代数のうち最大のもの,すなわち\mathfrak{h}_{M}=\mathrm{t}\cap J\mathrm{t},J は \mathfrak{X}(M) の複素構造とする. \mathfrak{h}_{M} の指数写像による像 H_{M} :=\exp(\mathfrak{h}_{M}) \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(M) は,複素リー部分群である(閉とは限らない).
命題.次が成り立つ:
1. \mathfrak{h}_{M} は X(M) の中心に含まれる.

2. \mathfrak{h}_{M} は極大コンパクトトーラス T の取り方によらない.
3. H_{M} の M への自然な作用は局所自由である.
定義. \mathcal{F} を M 上の葉層構造とする.

1. ある複素部分代数 \mathfrak{h} \subset \mathfrak{h}_{M} が存在して, \mathcal{F} の各葉が H:=\exp(\mathfrak{h}) の軌道であるとき, \mathcal{F} を M のcentral foliation という.

2. 特に \mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{M} のとき, \mathcal{F} を M のcanonical foliation という.
定義. \mathcal{F} を M 上の葉層構造とする. M 上の2‐形式 $\omega$ \in$\Omega$^{2}(M) が \mathcal{F} に関して横断シンプレクティック構造であるとは,次を満たすことをいう:
1. d $\omega$=0.

2. p\in M に対し, \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}$\omega$_{p}=T_{p}\mathcal{F}.

定義. \mathcal{F} を M 上の正則葉層構造とし, $\omega$ は \mathcal{F} に関して横断シンプレクテイック構造であるとする.このとき, $\omega$ が \mathcal{F} に関して横断ケーラー構造であるとは,次を満たすことをいう: p\in M と X, Y\in T_{p}M に対し,
1. $\omega$_{p}(JX, JY)=$\omega$_{p}(X, Y) ,2. $\omega$_{p} (JX, X) \geq 0.

横断ケーラー構造や central foliation の例については,[2] などを見よ.

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結果
非コンパクトな連結リー群が (局所) 自由に多様体に作用しているとき,一般には接続が存在するかどうかはわからない.しかしながら前節で構成した H_{M} の M への作用に関し

36ては次が言える:

命題. M 上の任意の central foliation \mathcal{F} に対して,接続が存在する.すなわち,任意の複素部分代数 \mathfrak{h}\subset \mathfrak{h}_{M} に対し, \mathfrak{h} に値を持つ M 上の1‐形式であって
1.

i_{X_{v}} $\theta$=v,\forall v\in \mathfrak{h},2. $\theta$ は H(=\exp(\mathfrak{h})) ‐同変を満たすものが存在する.
M 上の central foliation \mathcal{F} の接続 $\theta$ と\mathfrak{h} の(実ベクトル空間としての) 基底 v\mathrm{i} , . . . , v_{k}を固定する.このとき, $\theta$\in$\Omega$^{1}(M)\otimes \mathfrak{h} は $\theta$_{1} , . . . , $\theta$_{k}\in$\Omega$^{1}(M) を用いて$\theta$=$\theta$_{1}\otimes v_{1}+\cdots+$\theta$_{k}\otimes v_{k}と書ける.
ドラーム複体 $\Omega$^{*}(M) の部分複体$\Omega$_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{*}(M) :=\{ $\alpha$\in$\Omega$^{*}(M) |i_{X_{v} $\alpha$=0, L_{X_{v} =0, \forall v\in \mathfrak{h}\}をbasic 複体といい,そのコホモロジー H_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{*}(M) をbasic コホモロジーという.同様にして,basic ドルボー複体およびbasic ドルボーコホモロジーが定義される.
定理. $\alpha$\in$\Omega$_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{\dim M-\dim \mathcal{F} (M) に対して, $\alpha$\wedge$\theta$_{1}\wedge\cdot \cdot\wedge$\theta$_{k} \in$\Omega$^{\dim M}(M) を対応させる写\cdot

像は同型 H_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{\dim M-\dim \mathcal{F} (M)\cong H^{\dim M}(M) を誘導する.特に H_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{\dim M-\dim \mathcal{F} (M)\cong \mathb {R}.

前と同じように, W \subset $\Omega$^{1}(M) を $\theta$_{1} , . . . , $\theta$_{k} で張られる部分空間とし, W\otimes \mathbb{C} の元の ( 1, 0) ‐部分の成す部分空間を W^{1,0} \subset $\Omega$^{1,0}(M) , (0,1) ‐部分の成す部分空間を W^{0,1} \subset$\Omega$^{0,1}(M) とする.
定理.次の quasi‐isomorphism がある:
1.

$\Omega$^{*}(M)\simeq$\Omega$_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{*}(M)\otimes\wedge W.

2.

$\Omega$^{* }(M)\simeq$\Omega$_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{* }(M)\otimes\wedge(W^{1,0}\oplus W^{0,1}) .

\mathcal{F} に関して横断的にケーラーであるならば,次の有限次元モデルを得ることができる:

定理. M が \mathcal{F} に関して横断的にケーラーであるならば,次の quasi‐isomorphism がある:
1.

$\Omega$^{*}(M)\simeq H_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{*}(M)\otimes\wedge W.

2.

$\Omega$^{* }(M)\simeq H_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c} ^{* }(M)\otimes\wedge(W^{1,0}\oplus W^{0,1}) .

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参考文献
[1] S. Bochner and D Montgomery, Locally compact groups of di がerentiable transfor‐mations, Ann. of Math. (2) 47 (1946), 639‐653.

[2] H. Ishida, Torus invariant transverse Kähler foliations, Trans. Amer. Math. Soc.
369 (2017), 5137‐5155.

[3] H. Ishida and H. Kasuya, Transverse Kähler structures on central foliations ofcomplex manifolds, arXiv: 1610. 00847.