広島工業大学紀要研究編
第 ₄₇ 巻（₂₀₁₃）25 – 30

論文

3 重球面鏡アンテナの設計法
浦崎修治*（平成₂₄年 ₉ 月₂₁日受付）

Design Method of a Triple Spherical Reflector Antenna
Shuji URASAKI(Received Sep. 21, 2012)

Abstract
Design method of a triple spherical reflector antenna having three concentric spherical reflectors andtwo additional reflectors is presented. Since the outside spherical reflector is used for a main reflectorof the first stage, the central spherical reflector is commonly used for both a subreflector of the firststage and a main reflector of the second stage, and the inside spherical reflector is used for a subreflector of the second stage, a triple spherical reflector antenna consists of two double spherical reflector
antennas. Two additional reflectors have the function of focusing at the same point for the incident
waves into two main reflectors of two double spherical reflector antennas.
Key Words: reflector antenna, aperture antenna, spherical reflector antenna

₁ ．まえがき
主反射鏡と副反射鏡が同心円状の球面である ₂ 重球面鏡
アンテナ ︵₁︶ において，球面収差を補正する補助反射鏡が存在するためには副反射鏡径が大きい場合に限られる ︵₂︶。このため副反射鏡による光線のブロッキング量が多くなり開口能率が低下する。
ここでは ₂ 重球面鏡を ₂ 段構成にし，初段の副反射鏡を次段の主反射鏡と兼用させることにより，ブロッキング量図₁を低減できる ₃ 重球面鏡アンテナの鏡面設計法を示す。

₃ 重球面鏡アンテナ（半分のみ）

まず ₃ 重球面鏡アンテナの設計パラメーターを定義し，この設計パラメーター間の拘束条件から設計パラメーター球面鏡である。副反射鏡 ₁ は次段の主反射鏡 ₂ を兼ねておの数を減らしている。次に， ₂ 重球面鏡の周辺における歪り，副反射鏡 ₂ も点 C を中心とした回転対称形球面鏡であによる補助反射鏡の存在範囲の条件︵₂︶，および光線のブる。補助反射鏡 ₁ ， ₂ は各段の球面収差を補正する回転対ロッキングを避けるための各鏡面間のクリアランス条件か称形非 ₂ 次曲面である。各反射鏡の周辺を M₁，S₁(M₂)，S₂， D₁，D₂ として M1S1 ， M 2S2 が Z 軸と交わる点を，各々，ら残りの設計パラメーターを決定している。

A₁，A₂ とすると各段の設計パラメータは次のようになる。

₂ ． ₃ 重球面鏡アンテナの設計パラメーター

Dm₁，Dm₂：初段，次段の主反射鏡開口径

図 ₁ に， ₃ 重球面鏡アンテナを示す。主反射鏡 ₁ ，副反Ds₁，Ds₂：初段，次段の副反射鏡開口径

射鏡 ₁ は鏡軸である z 軸上の点 C を中心とした回転対称形

Dd₁，Dd₂：初段，次段の補助反射鏡開口径* 広島工業大学工学部電気システム工学科
─ 25 ─

浦崎修治

θ mm₁，θ mm₂：初段，次段の主反射鏡開口角

z f 1 = R m1

zf ₁，zf ₂：初段，次段における焦点 F の z 座標=

ここで，主反射鏡 ₁ ，主反射鏡 ₂ の頂点は，各々，座標系 o₁ - zx₁ の原点，座標系 o₂ - zx₂ の原点とする。zf ₁，zf ₂ は，

Dm1（₆）

θ1)
2 sin( mm2（₇）

z f 2 = Rm1 − zvex

各々，座標系 o₁ - zx₁，o₂ - zx₂ で定義される z 座標である。


ここで，zvex は | O1O2 | であるから，次式で与えられる。

ここで，D m₁ を₁₀.₀に固定する。副反射鏡 ₁ は次段の主反射鏡 ₂ を兼ねているので，D m₂ は初段の副反射鏡 D s₁ とzvex = Rm1 − Rm 2等しい。

以上から，焦点 F を点 C に一致させると，設計パラメー
タは Ds₁，Dd₁，θ mm₁，Ds₂ および Dd₂ の ₅ 個となる。

₃ ．光路長差
図 ₁ に お い て 初 段 の 開 口 面 ₁ ，次 段 の 開 口 面 ₂ は，各々，A₁，A₂ を含み z 軸と垂直な平面とする。また，L₁，L₂を各開口面から点 F までの全光路長とする。各々の開口面を開口面 ₁ に共通としたときの光路長差 δ は次式で与えられる。

δ = L1 − [L2 + za 01 − ( za 02 + zvex )]図₂（₈）



ここで，図 ₁ に示すように，za₀₁ は | O1 A1 | ，za₀₂ は | O2 A2 |

θ mm₂ の決定である。

次に，図 ₂ を用いて θ mm₂ について求める。点 M₂ に入射した光線が反射して，点 S₂ へ向う。この M 2S2 と z 軸とのまた，図 ₃ に示す ₂ 重球面鏡の設計パラメーターを用いて，Li，za₀i(i = ₁, ₂) は次式で与えられる ︵₂︶。

なす角が次段の開口角 θ mm₂ である。この θ mm₂ は点 M₂ における反射の法則から定まり，自由に与えることができない。
点 M₂ は初段の設計において定まっているので，次段の主反射鏡の半径 Rm₂ は次のようになる。
Dm2 1 + Ds21 + 2 Dm1 Ds1 cos θ mm1

Rm 2 =

2 sin(θ mm1 )（₁）

また，次段の主反射鏡の半径 Rm₂ と次段の主反射鏡開口径 Ds₁ には次の関係がある。
Rm 2 =

Ds1
θ2)
2 sin( mm2（₂）

式（₁）を式（₂）に代入して，次段の開口角 θ mm₂ は次のようになる。

θα 1 sin(θ mm1 )sin( mm 2 ) =2α 12 + 2α 1 cos θ mm1 + 1（₃）

図₃

ここで，α ₁ は次式で定義する。

α1 =

Ds1
Dm1（₄）

Li =

Dmi
αi1
[cot θ mmi +−sinθ mmi sinθ mmi2+また，zf ₂ は次式で与えられる。
z f 2 = z f 1 − zvex（₅）


ここで，zvex は図 ₁ に示すように | O1O2 | である。

₂ 重球面鏡アンテナ

za 0 i =( α i − βi )βi+]sinθ ddi sin(θ ssi − θ mmi )Dmi
11[ θ −]
mmi
sinθ mmi
2 sin

（₉）

（₁₀）

2

最後に，ホーンの給電点，すなわち図 ₁ に示す焦点 F が球面鏡の中心 C に一致させた場合，次式が得られる。
─ 26 ─

ここで，α i，β i，θ ssi，および θ ddi は次のようになる。

3 重球面鏡アンテナの設計法

αi =

Ds i
Dmi

（₁₁）

βi =

Dd i
Dmi

（₁₂）

α i sinθ mmi
1 + α i cos θ mmi

D iβi
tanθ ddi = m2 ( z f i − z d 1i )z d 1i = z a 0 i −は次のようになる。

θ d 1e = tan −1[ xd 1e /( z f 1 − zd 1e )]（₁₃）

θ ssi = 2(θ mmi − γ i )tan γ i =₄.₁ 光路 D1e F を補助反射鏡 ₂ がブロックする場合D1e F と z 軸とのなす角 θ d₁e， D2 F と Z 軸とのなす角 θ d₂

Dmi
[α i cot θ mmi + (α i − βi )2cot (θ ssi − θ mmi )]−1

θ d 2 = tan [ xd 2 /( z f 1 − zd 2 )]

（₁₄）
（₁₅）

（₁₇）
（₁₈）

ここで，座標系 o₁ - zx₁ において，点 D₁e を座標（z d₁e ,xd₁e），点 D₂を座標（zd₂, xd₂）としている。
したがって，図 ₅ に示すクリアランスの評価関数 θα を次のように定義する。

（₁₆）

θ α = θ d 1e − θ d 2（₁₉）

したがって，初段と次段との光路長差 δ を零にすると，よび D d₂ 間に，関係式が成立するので，結局，設計パラ

₄.₂ 光路 D1 F を副反射鏡 ₂ がブロックする場合


D1 F と z 軸とのなす角 θ d₁，S2e F と Z 軸とのなす角を θ s₂e

メータは ₄ 個となる。

は次のようになる。

₂ 章で示した ₅ 個の設計パラメータ Ds₁，Dd₁，θ mm₁，Ds₂ おθ d 1 = tan −1[ xd 1 /( z f 1 − zd 1 )]₄ ．鏡面間のクリアランス−1

θ s 2e = tan [ x s 2e /( z f 1 − z s 2e )]

図 ₄ において，S₁ を通り z 軸に平行な光線が主反射鏡 ₁

点 S₂e を座標（zs₂e, xs₂e）としている。

次に S₂ を通り z 軸に平行な光線が主反射鏡 ₂ と交わる点を M₂e とする。この M₂e に入射した光線は S₂e，D₂e を経したがって，図 ₅ に示すクリアランス評価関数 θβ を次のように定義する。

由して焦点 F(= C ) に集束する。

図₄（₂₁）

ここで，座標系 o₁ - zx₁ において，点 D₁ を座標（zd₁, xd₁），と交わる点を M₁e とする。この M₁e に入射した光線はS₁e，D₁e を経由して焦点 F(= C ) に集束する。

（₂₀）

（₂₂）

θ β = θ s 2e − θ d 1

各段の鏡面利用範囲

図₅

₃ 重球面鏡アンテナでは，初段と次段で別々の ₂ 重球面

₄.₃

光路 S 2 D 2 を副反射鏡 ₁ ，補助反射鏡 ₁ がブロックする場合

鏡アンテナを使用するため，各鏡面が光線をブロックするとアンテナとして機能しないので，鏡面間にクリアランスが必要となる。

θα ，θβ副反射鏡 ₁ によるブロッキングにおいて，S₁e，M₂e のうち z 軸に近い方のブロッキングが問題となる。ここでは z

ここでは，このクリアランスを評価するものとして次の₃ ケースを考慮する。

（₁）光路 D1e F を補助反射鏡 ₂ がブロックする。
（₂）光路 D1 F を副反射鏡 ₂ がブロックする。

（₃）光路 S2 D2 を副反射鏡 ₁ ，補助反射鏡 ₁ がブロックする。

軸に近い点が S₁e と仮定して評価関数を求める。
座標系 o₁ - zx₁ において，点 S₁e，D₁e を各々，座標（zs₁e,xs₁e），座標（zd₁e, xd₁e）とする。この点 S₁e，D₁e を通り z 軸
への垂直線と S2 D2 ，との交点を，各々，座標（zs1e, x s′1e ），座標（zd1e, xd′ 1e ）とすると， x s′1e ， xd′ 1e は次のようになる。
x s′1e = x s 2 + ξ( z s1e − z s 2 )─ 27 ─

（₂₃）

浦崎修治

xd′ 1e = xd 2 + ξ( zd 1e − z s 2 )（₂₄）

ξ = ( x s 2 − xd 2 )/( z s 2 − zd 2 )（₂₅）

したがって，図 ₆ に示すクリアランスの評価関数 Δxs₁e，₆ ．設計結果
まず， ₅ 個の設計パラメーターに対して，光路長差 δ を零にする条件から ₄ 個の設計パラメーターにし，次に ₄ 個の設計パラメーターに対してクリアランスの条件，補助反Δxd₁e を次のように定義する。
∆ x s1e = x s1e − x ′s1e（₂₆）∆ x d 1e = x d 1e − x ′d 1e（₂₇）

射鏡の存在条件から最終的にすべてのパラメーターを決定する。
₆.₁

光路長差δ が零の場合

₅ 個の設計パラメータ Ds₁，Dd₁，θ mm₁，Ds₂ および Dd₂ において，表 ₁ のようにパラメーターを選定した。表 ₁ において，光路長差 δ が零となる設計パラメータ間の関係を図₈ に示す。
表₁

図₆

Dxs₁e，Dxd₁e

₅ ．補助反射鏡の存在条件
非 ₂ 次曲面である補助反射鏡の鏡面設計において，図 ₇

光路長差 δ = ₀，Ds₂ = ₃.₀

図番

図 ₈ （a）

図 ₈ （a）

図 ₈ （b）

Ds₁

縦軸

₅.₀₅.₀

Dd₁

₃.₀

縦軸

₃.₀θ mm₁［°］

₆₀₆₀

縦軸

Dd₂

横軸横軸横軸に示すように補助反射鏡周辺の x 座標よりも大きな x 座標をもつ補助反射鏡が存在すると，副反射鏡から補助反射鏡周辺へ向かう光線はブロックされ，補助反射鏡は機能せず形成できたことにならない ︵₂︶。
この存在できない条件は，補助反射鏡の周辺における微分値 dx / dz から求まる接線方向と z 軸とのなす角 θ t を用いて決めることができ，次のようになる。
sinθt < 0

図₈（₂₈）

光路長差 δ が零の関係

ここで，Ds₂ を₃.₀と固定し，図の横軸は Dd₂としている。

ここで，θ t は補助反射鏡の周辺 D(xd₁, z d₁) における微分値 dx / dz から求めることができ，またこの微分値は設計パ縦軸は残り ₃ 個の初段の設計パラメーター Ds₁，Dd₁，θ mm₁ラメーターを与えると決定される。のうち ₁ 個を表 ₁ のようにしている。
次に，Dd₂ を₁.₆と固定し，横軸を Ds₂ とし縦軸を表 ₂ のようにした場合の，光路長差 δ が零となるパラメーター間の関係を図 ₉ に示す。
図 ₈ ，図 ₉ の結果から光路長差 δ が零，すなわち各段が同相となる設計パラメータの存在することが分かった。
したがって，パラメータが一個減り，残りは ₄ 個となる。
表₂

図₇

補助反射鏡が存在できない条件

─ 28 ─

光路長差 δ = ₀，Dd₂ = ₁.₆

図番

図 ₉ （a）

図 ₉ （a）

図 ₉ （b）

Ds₁

縦軸₅.₀₅.₀

Dd₁₃.₀縦軸₃.₀

θ mm₁［°］₆₀₆₀

縦軸Ds₂横軸横軸

横軸

3 重球面鏡アンテナの設計法

図₉₆.₂

光路長差 δ が零の関係

クリアランス

光路長差 δ が零の場合におけるクリアランス θα ，θβ ，
ΔXs₁e，および ΔXd₁e を求める。
ここで，Ds₂ を₃.₀と固定し，残り ₃ 個の初段の設計パラメーター Ds₁，Dd₁，θ mm₁ を表 ₃ に示す。この表 ₃ に示す設計パラメーターに対するクリアランスを図₁₀に示す。図の横軸は D d₂，縦軸はクリアランス θα ，θβ ，ΔX s₁e，およびΔXd₁e である。図₁₀において，点線で示したクリアランスでは補助反射鏡が形成できない領域 ︵₂︶ となり，点線部の領域において設計パラメーターを選定をできない。
表₃クリアランス Ds₂ = ₃.₀

図番

図₁₀（a）

図₁₀（b）

図₁₀（c）Ds₁

図 ₈ （a）の縦軸

₅.₀

₅.₀

Dd₁₃.₀

図 ₈ （a）の縦軸

₃.₀

θ mm₁［°］₆₀°₆₀°

図 ₈ （b）の縦軸

Dd₂

横軸横軸横軸次に，D d₂ を₁.₆と固定し，残り ₃ 個の初段の設計パラメーター Ds₁，Dd₁，θ mm₁ を表 ₄ に示す。この表 ₄ に示す設計パラメーターに対するクリアランスを図₁₁に示す。ここで，図の横軸は Ds₂，縦軸はクリアランス θα ，θβ ，DXs₁e，および D X d₁e である。ここでも，点線で示したクリアランスは補助反射鏡が形成できない領域であり，点線部の領域において設計パラメーターを選定をできない。
表₄クリアランス Dd₂ = ₁.₆

図番

図₁₁（a）

図₁₁（b）

図₁₁（c）Ds₁

図 ₉ （a）の縦軸

₅.₀₅.₀Dd₁₃.₀

図 ₉ （a）の縦軸

₃.₀

θ mm₁［°］₆₀°₆₀°

図 ₉ （b）の縦軸

Ds₂横軸横軸

横軸

図₁₀

クリアランス（Dd₁ = ₃.₀，θ mm₁ = ₆₀°）

いて，選定できるパラメーターとして D d₂ が₁.₃，D d₁ が₂.₈₅，D s₁ が₅.₀，D s₂ が₃.₀，θ mm₁ が₆₀°である。これらの₆.₃

光線追跡法（ray tracing）

設計パラメーターを選定したときの鏡面系，および ray

図₁₀（b），図₁₀（c）および，図₁₁（a）において，すべてのクリアランスが正の範囲で補助反射鏡の形成条件が満

tracing を図₁₂に示す。クリアランスが正の範囲であり，また補助反射鏡の形成条件を満足している。

足できる設計パラメーターを選定できる。図₁₀（b）にお─ 29 ─

浦崎修治

図₁₂

ray tracing

₇ ．むすび
球面鏡の中心とホーンの位相中心とを一致させた ₃ 重球面鏡において，ビーム偏向は補助反射鏡のみの変位によって可能となる。

文

献［ ₁ ］A. Ishimaru, H. Sreenivasiah, and V. K. Wong, ＂Double
Spherical Cassegrain Reflector Antennas＂, IEEE
Antennas Propagat., vol. AP-₂₁, no. ₆, Nov. ₁₉₇₃.
［ ₂ ］木本，浦崎，＂ ₂ 重球面鏡アンテナの設計法”，信学技報，A・P₂₀₁₁-₅₆（₂₀₁₁-₈）.

図₁₁

クリアランス（Dd₁ = ₃.₀，θ mm₁ = ₆₀°）

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