計測自動制御学会東北支部 第 265 回研究集会 (2011.6.28)
資料番号 265-7

PID 制御則を利用した立位姿勢制御能力の評価
Stability estimation of standing posture using PID control law○後藤博哉 ∗ ，佐川貢一 ∗ ，○ Hiroya Goto∗ , Koichi Sagawa∗ ,*弘前大学*Hirosaki University
キーワード : 姿勢制御 (Postural control)，安定性 (Stability)，倒立振り子 (Inverted pendulum)，PID 制
御 (Proportional-integral-derivative control)，安定判別 (Stability distinction)

連絡先 : 〒 036-8561 青森県弘前市文京町 3 弘前大学大学院 理工学研究科
後藤 博哉，Tel/Fax.: (0172)39-3691，E-mail: h11gs614@stu.hirosaki-u.ac.jp

1.

緒言

現在、身体運動の障害を持つ患者や高齢者を対象として、徒手により立位姿勢制御能力を定性的に検査する理学療法が実施されている。その方法は簡便ではあるが姿勢制御能力を定量的に評価できないため、治療や指導の方法を正しく作成できないという問題が指摘されている。
従来、このような問題を解決するため、矢状面内の倒立振り子モデルを使用して、随意傾斜運

本報告では、人の立位姿勢制御能力を解析するために、身体が動的姿勢制御時の足関節トルクが時変 PID 制御に従うとして仮定して、リンク下端に回転軸を有する 1 自由度の倒立振り子モデルに近似し、時変立位姿勢制御則パラメータの逐次推定を行い、制御パラメータの時間変化から立位姿勢制御能力の定量評価につながる指標の導出を試みる。

動から立位姿勢のトルクが時変 PD 制御に従うと仮定し、傾斜運動時の足関節パラメータと制2.

原理

御系の極の時間変化を求める方法が提案されて2.1

倒立振り子モデルいる。その結果、パラメータと制御システムの本報告では、人の立位姿勢制御能力を解析す

極実部の時間変化が筋力などの影響を反映し、これらの指標が立位姿勢制御能力の定量評価に有効である可能性が示唆された 1) 。一方、立位姿勢の静的モデル構築に関しては、 Kimura ら2) は PID 制御を利用していることから、積分要るために、立位時の身体を Fig.1 に示す倒立振り子モデルに近似する。そして、人が行う制御を PID フィードバック制御則に従うと仮定する
2) − 8) 。
矢状面での足関節まわりの慣性モーメントを素も安定化制御に組み込むことが可能なのではないかと考えられる。

J 、体重から足部質量を除いた重量を m、足関–1–

しい信号が持続した場合に、推定に必要とされる過去情報が忘却されてしまい、得られる推定結果が不安定になる 9) 10) 。本報告のように、静止-傾斜-静止のような一連の運動を解析の対象とする場合は、逐次最小二乗法は利用できない。
そのため、固定トレース法 10) を使用して時変パラメータ推定を行った。固定トレース法の時間更新式は、推定対象が、時刻 k のときの出力y(k)、パラメータベクトル A(k)、回帰ベクトルx(k) とした線形モデル y(k) = A(k)x(k) で表されるとき、

Fig. 1 Inverted pendulum model of standingposturey(k) = J θ̈(k)(4)hiTRx(k) = −θ(k) −θ̇(k) − θ(k)dt 1

節角度を θ 、重力加速度を g 、sin θ ≈ θ とする(5)と、運動方程式は Lagramge 法を利用して

τ = J θ̈ − mglg θ(1)A(0) = A0

初期推定値

(6)

P (0) = γI

初期行列ゲイン(7)

P (k − 1)x(k)1 + x(k)T P (k − 1)x(k)(8)で表される。τ は足関節トルクである。また、倒K(k) =立振り子を制御するトルクが、身体角度を制御e(k) = y(k) − x(k)T A(k)する能動的トルクと、重力による傾斜トルクにA(k) = A(k − 1) + K(k)e(k)

対抗する受動的トルクで構成されると仮定する。

trQ(k)
trP (k)Q(k)P (k) =λ(k)λ(k) =

微分ゲインを KD 、目標角速度 θ̇d 、積分ゲイン
を KI とすると、生成される足関節トルク τ は(11)(12)(13)で記述される。また、(6)(7) 式で表される各初(2)期値は、で表すことができる。結局、倒立振り子モデル

A0 = [0 0 0 0]の運動方程式は次式のようになる。

J θ̈ = KP (θd − θ) + KD (θ̇d − θ)
Z+KI (θd − θ)dt

忘却ゲイン

(9)

推定値 (10)Q(k) = P (k) − K(k)x(k)T P (k − 1)

制御トルクの比例ゲインを KP 、目標角度を θd 、

τ = KP (θd − θ) + KD (θ̇d − θ)
Z+KI (θd − θ)dt − mglg θ

事前誤差γ = 103とした。固定トレース法は、推定に適さない入(3)力信号が持続している場合には、可変忘却ゲイン λ(k) を高く維持し過去情報を記録しておくことで、比較的安定した推定値を得ることができ2.2

固定トレース法る。一方、推定に適する信号が持続して利用で固定忘却ゲインを導入した逐次最小二乗法は時変パラメータ推定が可能である 9) が、推定きる場合は λ(k) を小さい値に調節することで過に適さない入力信号、すなわち周波数成分が乏することができる。また、(3) 式で与えられた立去の情報を素早く忘却し、推定値の変動に追従–2–

位モデルを固定トレース法法アルゴリズムに適用するためJ θ̈ =h−θi  −θ̇ C  R − θdt 1KPKD KI(14)
C = KP θd + KD θ̇d + KIZθd dt(15)の形に変形する。 (14)(15) 式から姿勢制御則パラメータ KP 、KD 、KI を推定することで、立位姿勢制御能力の定量評価が可能であると考えられる。

2.3

Fig. 2 Performed motion to investigate contol parameters
るため、立位条件は両足立位の状態 (条件 1:健常な状態) と、アイマスクを着用した状態 (条件極配置を利用した安定判別

2:視覚障害を模擬)、左脚だけで立ち右脚はシー

姿勢制御系を伝達関数で表すことで、制御工

ソーのように自由に傾斜する補助台にのせた状学的な安定判別が可能である。入力を目標角度

態 (条件 3:下肢筋力低下を模擬) の 3 条件とした。

θd 、出力を身体角度 θ とした姿勢制御系の伝達

足関節角度は光学式モーションキャプチャ(VI-関数は、初期値を θ(0) = 0、θd = 0 として (3)CON 460, VICON MOTION SYSTEM) を使用

式を Laplace 変換するとして 120[Hz] で測定し、角速度および角加速度は

1
KD s + K P + KI
Θ
s=1
Θd2
Js + KD s + KP + KIs

測定した角度データを数値微分して求めた。これ(16)式の固定トレースアルゴリズムを使用して制御パラメータの時間変化を推定した。さらに、推で表される。この制御系の特性方程式は32

Js + KD s + KP s + KI = 0

らの身体運動データと (14)(15) 式から、(4)∼(13)定した制御パラメータを (17) 式に代入して極配(17)置の時間変化を求めた。となる。この方程式の実根の値は系の収束性を表しており、極が虚軸の左側にある場合は系の減衰を示し、右側にある場合は発散を示すこと
から、複素平面上の極配置の時間変化が姿勢制

4.

結果と考察

4.1

姿勢制御パラメータ推定結果

Fig.3 は、被験者 1 名の足関節実測角度 θ 、比御系の安定性の時間変化を表していると考える

例ゲイン KP 、微分ゲイン KD 、積分ゲイン KIことができる。の平均波形である。θ のピークが 0[s] になるよ3.

う時間軸を調整した。この推定結果より、KP は測定と解析−1.5[s] の付近で上昇した後、 −1.2[s] 付近で減対象とする動作は Fig.2 のように股関節を曲少を始めてから 0.8[s] まで減少を続け、1[s] 付近げずに常に足裏を接地させた状態で、静止直立で再び上昇してから初期値に戻っている。KD姿勢から前方にできるだけ傾斜して静止姿勢には −2[s] から減少を始めて負の値となり −1.2[s]戻るという動作である。また、不安定を模擬す付近で上昇してほぼ 0 となり、1[s] 付近で減少–3–してから上昇して、1.5[s] 付近から一定の値を保つようになる。また、KI は −1.5[s] から緩やかに減少し、0[s] から 1[s] にかけてほぼ 0 を維持するようになり、1[s] から 1.5[s] にかけて上昇し、それ以降で 0 に戻る。

KP に注目すると、条件 1 に比べて条件 2 と条件 3 は、−1.8[s] 付近での上昇を始める時間が遅い。また、KI における −1.5[s] 以降のパラメータ減少時と 1[s] 以降におけるパラメータ上昇時の変化量が少ない。また、どちらの場合も条件1 に比べて条件 2 と条件 3 はパラメータ変化の様子が緩やかである。これは、足や視覚に障害がある場合は、身体目標角度の設定や、身体の傾きを感知するための感度が低下していることを示している考えられる。

KP 、KD 、KI は、足関節で発生する制御トルク τP ID への、角度、角速度、角度の積分値の寄与の程度を表す。大きい KP は、目標角度に追従するために比例制御が強く行われていることを意味し、小さい KP は比例制御が殆ど行われず目標角度へ追従しないことを意味していFig. 3
Averaged waveforms of estimation
results:θ, KP , KD and KI .

る。KD の正値は、目標角速度に追従するする

τI = K Iために微分制御が行われていることを示し、KDの負値は角速度を増す微分制御が行われていることを示す。KP や KI に比べて KD は −2[s] 付
近で早期に減少していることから、前方傾斜は角速度を発散させることで実現していると予想される。

Z(θd − θ)dt(21)τP に注目すると、 −1.5[s] 付近で減少してから、0[s] 付近で 0 に戻り、1[s] 付近で再び上昇してから、緩やかに 0 へと戻っていく。τD は、−2[s] 付近で上昇し、−0.5[s] 付近で 0 へと戻り、1[s] 付近で急速に減少してからすぐに元に戻り、その後は緩やかに減少してから 0 へと戻ってい4.2

足関節トルクの変化

く。τI は −1[s] 付近から 0[s] 付近の間で正の値

Fig.4 は足関節で生成されたトルクを示してをとり、0[s] 付近から 1[s] 付近の間で負の値をおり、τP ID は PID 制御トルク、τP は比例制御

とり、1[s] 付近で少しだけ正の値をとってから、トルク、τD は微分制御トルク、τI は積分トルク2[s] 付近まで負の値をとってから 0 へと戻る。
以上から、−2[s] 付近で比例制御を弱めつつ、を表す。また、各トルクは以下の式で表される。

微分制御により傾斜運動が開始され、−1[s] 付近

τP ID = τP + τD + τI

(18)

から 0[s] 付近まで比例制御によって前方傾斜がτP = KP (θd − θ)(19)抑制され、1[s] 付近から比例制御が静止姿勢をτD = KD (θ̇d − θ̇)(20)維持しようとしていると考えられる。
また、片足では踏ん張りが効きにくいため、–4–することから、制御工学的観点から系は不安定である。これは被験者があえて不安定な状態になって前方に加速しており、姿勢制御を行わないためであると考えることができる。また、虚部の動きに注目すると、0 に近付いていることから系は振動的に発散するのではなく、単調増加のように不安定になっていると予想できる。
そして、1 ∼ 2[s] の間で実部は負となり、直立姿勢へ戻る制御によって運動が安定化され、系が安定となるものと考えることができる。

Fig.8 の実部の時間変化では、正の値で制御系が不安定となり、値が大きいほど不安定の度合いが増すものと考えられる。条件 2 や 3 は −2[s]から 0[s] における実部の最大値が条件 1 に比べて低くなっている。これは、不安定な立位条件
では、被験者が能力の低下を予測して安定性をFig. 4
Averaged waveforms of estimation
results:θ, τP ID , τP , τD and τI .

失いすぎないように、条件 1 よりも消極的な制御を行ったことを反映していると考えられる。
虚部は、制御系の振動特性を表しており、大き条件 3 は他の条件に比べてトルク上昇時の変化

くなるほど系の振動数が高くなり、少ない値で量が少なく、変化の様子も緩やかである。しかは低減する。−2[s] 付近と 0[s] 付近で減少するのし、KP 、KD 、KI やトルクの変化の様子から、は、傾斜時と復元時には身体が振動を伴わずに安定性を定量的に評価するのは困難であると考運動を行うためであると考えられる。−1 ∼ 0[s]えられる。そこで、システムの極の動きから安の間と 1[s] 付近で値が大きくなるのは、身体が定性について考える。

目標傾斜角度を定め、それを中心に身体が振動を行っているためであると考えられる。また、

4.3

伝達関数の極の時間変化−2[s] 以前では、条件 3 は他の条件に比べて値

Fig.5、Fig.6、Fig.7 は、被験者 1 名の極配置の時間変化の各条件での平均軌跡を 1 秒間ごとに示した図である。運動開始後、虚軸の左側にあった極は右側へ移動し、最大傾斜角で虚軸付近に近付き、直立静止姿勢に戻るときに減少していることがわかる。しかし、これでは極の推移と安定性の関係がわかりにくい。そこで、3 つの極のうち、システムの挙動に最も影響を与えると考えられる、最も右側に位置する極の実部と虚部の動きから安定性との関係について考察する。結果を Fig.8 に示す。

が大きくなっていることから、不安定な立位条
件では静止状態における身体の振動が強くなると考えられる。また、Table1 は極から求めた標準偏差をまとめたものである。この表から、不安定な立位条件では標準偏差が少なくなっていることがわかる。このことから、不安定な立位条件では慎重な制御が行われており、そのため、極の変化が小さくなっていると考えられる。以上の結果から、制御パラメータの時間変化と極配置に時間変化が、立位安定性の定量評価に利用できる可能性が示唆された。

−2 ∼ −1[s] の間で実部が虚軸の右側へ推移–5–Real Part−3∼−2[s]0∼1[s]

442200−2

imaginary−442−2−202−2∼−1[s]4−442200−2−2−4−402−2042200−2−2024−4−20242200−2−2imaginary

4−4−2020−3442200−2−224−4−202424Real part
Imaginari part−205.

2∼3[s]

442200−200t [s]21234−41.20
0.73

0.98
0.67

1.020.58

結言

本報告では、人の立位姿勢位制御能力を定量化し、立位姿勢制御能力の定量指標を導出する−2−2−1

Table 1 Standard deviation of pole.
Condition
123−1∼0[s]−4−2Fig. 8
Example of pole assignment of thecontrol system in three exprimental conditions:real part and imaginary part.

1∼2[s]

4030∼1[s]4−221−3∼−2[s]02−2∼−1[s]12real4−403Fig. 5
Example of pole assignment of thecontrol system in condition 1.

−2−14real−4−2Imaginary Part2∼3[s]
4−204−2−3−1∼0[s]4−42
1∼2[s]

4−2

Both legs, eye opend
Both legs, eye closed
One leg, eye opend

6−2024ことを目的として、人の立位姿勢制御能力を時

real

real

変 PID 制御された足関節トルクによる倒立振りFig. 6
Example of pole assignment of thecontrol system in condition 2.

imaginary−3∼−2[s]42200−2−2−4−4−202−2∼−1[s]442200−2−4変化を求めた。それらの結果、立位条件によってパラメータの変化に違いが出ることを確認し−20た。また、もっとも右側にある極の時間変化が4立位姿勢制御能力の定量評価に有効である可能性が示唆された。今後は定量評価の方法につい−2−2024−4−20−1∼0[s]2てさらなる考察を加え、診断に応用する方法に

42∼3[s]442200−2−421∼2[s]4

せて直立静止姿勢に戻る運動から姿勢制御則パラメータの逐次推定を行い、制御系の極の時間0∼1[s]4子モデル化した。そして、全身を前方に傾斜さついて考える予定である。

−2−202real

4−4−2024

参考文献

realFig. 7
Example of pole assignment of thecontrol system in condition 3.

–6–1) Akifumi Goto, Mizuri Ishida, Koichi Sagawa:
Temporal parameter change of human postural control ability during upright swing using

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