入試企画課
2019.04.10 15:44:11+09'00'平成 3
1年 度 入 学 試 験 問 題科里13
各科目100点満点《配点は，一般入試学生募集要項に記載のとおり。》

生

δ日ン日ン

一一
ペベ

1iA

A吐 口理物

物生化学(15〜32ページ）

地学(49〜63ページ）（注意）
1. 問題冊子および、解答冊子は監督者の指示があるまで聞かないこと。

2. 問題冊子は表紙のほかに 63ページである。また，解答冊子は表紙のほかに，0ページ，化学： 12ページ，生物： 12ページ，地学： 16ページ，である。
物理： 2

3. 問題は物理 3題，化学 4題，生物 4題，地学 4題である。
4. 試験開始後，選択した科目の解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入すること。表紙には，これら以外のことを書いてはならない。

5. く〉総合人間学部（理系）・理学部・農学部受験者は，物理・化学・生物・地学のうちから 2科目を選択すること。
。教育学部（理系）受験者は，物理・化学・生物・地学のうちから 1科目を選択すること

00医学部・薬学部受験者は，物理・化学・生物のうちから 2科目を選択すること。
く〉工学部受験者は，物理・化学の 2科目を解答すること。

6. 解答は，すべて解答冊子の指定された箇所に記入すること。
7. 解答に関係のないことを書いた答案は無効にすることがある。
8. 解答冊子は，どのページも切り離してはならない。
9. 問題冊子は持ち帰ってもよいが，選択した科目の解答冊子は持ち帰つてはならない。
0M10(773‑101)

E
里物
物理問題

(3問題 100点）

I

次の文章を読侃仁コに適した式または数値を，それぞれの解答欄明入せよ。なお，

E

コはすでに仁コで与えられたものと同じものを表す。また，問 1では，指示にしたがって，解答を解答欄に記入せよ。ただし，円周率を πとする。

図 1のように，点 0 を中心とする質量 M の地球のまわりを，質量 mzの人工衛星Zが半径 Rの円軌道を角速度 ωでまわっている。この人工衛星の運動について，以下の（ 1), (2）に答えよ。

地球

R

図1

(1) 図 2（司のように，この人工衛星 Zに，質量 mAの小物体 A と質量 maの小物， 2本の長さがそれぞれ αと bのひもで取り付ける。これらのひもの質
体 Bを量は mz, mA, maとくらべて無視できる。また， mz, mAおよび maは M とくらべて十分小さく，人工衛星 Z，小物体 A と小物体 Bの間の万有引力は無視できるものとする。

。

MlO(773‑102)

これらの物体は，図 2（却のように，常に，小物体 Aが人工衛星 Zと地球の中
心 0 を結ぶ線上の地球と反対側，小物体 Bが人工衛星 Zと地球の中心 0 を結ぶ線上の地球側にあるという配置を保ちつつ，人工衛星 Zは小物体 A と Bを取り付ける前と同じ円軌道上を角速度 ω で運動した。
小物体 A に働く万有引力の大きさは， M, mA, R，α，および万有引力定数 Gを 用 い て 仁 己 と 表 さ れ る 。 ま た ， 小 物 体 A が人工衛星 Zと同じ角速度 ωで運動することから，小物体 A にはたらく遠心力は， mA, R,a, wを用いて表す と 仁 己 と な る 。 こ の こ と か ら ， 小 物 体 A にはたらく力のつりあいの式
は，小物体 A と人工衛星 Zの間のひもの張力を NAとして，」

一 以 ＋ NA=l!
.
.
.
:
4=(i)となる。同様にして，小物体 Bにはたらく万有引力の大きさは， M. ms, R,b, Gを 用 い て 亡 日 と 表 さ れ ， 遠 心 力 は ms,R,b, w を用いて表すと

仁 日 と な る 。 こ の こ 山 ， 小 物 体 Bに 悦 ら く 力 の つ り あ い の 式 比
小物体 Bと人工衛星 Zの間のひもの張力を Nsとして，

a:
ヨ＝Cヨ （ii)Ns+となる。

小物体
A

人工衛星
ヮ】

小物体
B． 圃 ．
圃α bBA削（司図2‑2‑OMlO(773‑103)

人工衛星 Zが小物体 A と Bを取り付ける前と同じ円軌道を角速度 ωで動き続けたことから，張力 NAと NBの聞には， cをある数値として， NA=CNBという 関 側 成 立 山 ほ こ と 肋 M 。この cの 値 は 仁 己 で あ る 。
ここで，ひもの長さ α，bが円軌道の半径 Rとくらべて十分小さいとする。このとき， ε（>0）
が Rと く ら べ て 十 分 小 さ い と き に 成 り 立 つ 近 似 式一一」一一」」−！ l平 n̲RI̲￡)（複号同 IJ）
買 (n=1,2，…）を用いると， mA,(R±ε）n Rn ¥「mB，α，bの間に，hを あ る 数 値 と し て ， 血 ＝ （ 判 h という関係が成立していmB¥0 I

る こ と が わ か る 。 こ の 印 刷 仁 己 で あ る 。 ま た ， 張 力 山 αに比例しw「ーで−−，ており，その比例係数を mAと ωを用いて表すと，ーム＝｜ キ ｜となる。
α』
ーーーーー
ー....I(2) 図 3のように，人工衛星 Zから角度。〔rad〕遅れて，質量 muの宇宙船 Uが同じ円軌道上を同じ速さで運動している。人工衛星 Zと宇宙船 Uの聞の万有引力は無視できるとする。人工衛星 Zと宇宙船 Uの 速 さ れ を M, R，および万有引

o＝ 仁 己 で あ る 。
力定数日用いて表すと， VVo 宇宙船 U
人工衛星 Z.
.
:t=が，l

図3‑3‑0Ml0(773‑104)

この宇宙船 Uが人工衛星 Zに追いつくことを考えよう。宇宙船 Uは，点 Cにおいて進む方向は変えずに十分短い時間で減速すると，その後，図 4の実線で表された楕円軌道をまわる。宇宙船 Uが楕円軌道を一周して点 Cに戻ってくると同時に，人工衛星 Zが点線で表されたように円軌道を一周より少し短い距離をまわって点 Cに着くようにしたい。そのために必要な楕円軌道の周期 Tiと円軌
道の周期 Toの 聞 に 成 り 立 つ 関 係 を ， 。 を 用 い て 表 す と ， 号 ＝ 仁 己 と なる。

図4

上で述べたような方法で宇宙船 Uが人工衛星 Zに追いつくために必要な点 Cでの宇宙船 Uの減速後の速され（くれ）を求めよう。
図 4のように，楕円軌道上において宇宙船 Uがもっとも地球の中心 0に近い位置が点 D であり，この点 D と 0 との距離を dとする。距離 dの Rに対する比は，ケプラーの第 3法則を用いると，楕円軌道の周期 Tiと円軌道の周期 Toの関 数 と し て ， 十 仁 己 と 表 さ れ る 。 ケ プ ラ ー の 第 2法則（面積速度一定の法則）および力学的エネルギー保存の法則を点 Dでの宇宙船 Uの速さ Voを用I
CIJの関係を用いる ι … 。 問 る 比いて記述し，さらに， Vo=は dと Rを 用 い て 与 ＝ I サ｜と表すことができる。
V0』ー＿＿＿＿＿.

‑4‑OMlO(773‑105)

問 1 遅れの角度。が πと比べて十分小さいとき，宇宙船 Uが上に述べたように人工衛星 Zに追いつくために必要な速さの変化量 LIV=V1‑ Voを考える。 Sの絶 対 値 が lにくらべて十分小さいときに成り立つ近似式（ 1+s)x与 1＋ 必LIV(xは実数）を用いて， dVが 0とVoに比例することを示し，その比例係数一−ev。の値を求めよ。

‑ 5ー0MlO(773‑106)

物理問題I

次の文章を読んで，お，EE

コに適した式を，それぞれの解答欄に記入せよ。な

コはすでに仁コで与えられたものと同じものを表す。また，

問 1.問 2では，指示にしたがって，解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

図 1〜図 3に示すように， z軸の正方向を向き，z軸に関して軸対称な磁場（磁束密度が同一円周上では一定の磁場）がある。図中の z軸方向の太線矢印は， z=Oの面内の点での磁束密度 Bを表している。この面内で，磁束密度の大きさ Bは， z軸上で最大値 Boをとり， z軸からの距離が大きくなるとともに距離の l次関数として減
少し，距離 Rにおいて B=Oとなり，距離が Rを超えると B=Oである。この磁場中で質量 m，電荷−e(e>O）の電子の運動を考える。電子の運動により発生する磁場は無視してよい。ただし，円周率を πとする。

(1) まず磁場は時間変化しないとする。このとき， z=Oの面内で， z軸から距離r（壬 R）に お け る 磁 束 密 度 の 大 き さ B(r）は， Bo,R. rを 用 い て 表 す と
仁 己 と な る。
図 1のように，長さ Rのまっすくで太さを無視できる孤立した導体棒 OAが， z=Oの面内で， z軸上の点 Oを回転中心として一定の角速度 ωで回転している。ここで，回転をはじめて十分時間が経過し，導体棒中の電子の分布が時間的に変化しなくなった状態を考える。回転は十分に遅く，電子にはたらく遠心力三 R）の位置の導体棒内の電子は無視できるとする。このとき，点 0 から距離 r（にはたらくローレンツ力の大きさは， e,Bo,R,r, (J) を 用 い て 表 す と仁 己 で あ る。導体棒中ははロ一…力とつりあう力を電子凶える電場が発生
導体棒の両端間に発生する電位差は，電場の大きさ Eを rの関数として図示したとき， E(r）と r軸で固まれた図形の面積として計算できる。 これを用いると導体棒の両端間の電位差は仁ヨとなる。ここで，必要であれば，関数f（か（xーρ）(q‑ x）のグラフと x軸で固まれた図形の面積が÷ （qーが 3で, qは任意の実数 （q>p）である。
あることを用いてよい。ただし， p‑7‑<>MIO(773‑108)。

z=Oの面内で点 Oを中心とする半径 Rの円

B=B＼、B=O

図1(2) z=Oの面内で，点 0 を中心とする半径 Rの円を貫く磁束 φRを求めよう。図2において， z=Oの面内で点 0から距離 r（豆 R）の位置にあり， z軸に垂直なEπ÷

微小面（面積 L1S）を 貫 く 磁 刺φ 比 仇 R,r,L1
Sを 用 い て 表 す と 仁となる。まためは円内の dφ の総和であり

ゎ＝R2Boとなる。必要であればこのことを利用して問 1に答えよ。

z=Oの面内で点 O を中心とする半径 Rの円＼、B=O

図2

問 1 z=Oの面内で点 Oを中心とする半径 α（壬 R）の円を貫く磁束 φaは，

ιa＝ 山 2(1− 判3R/u¥であることを示せ。

‑8‑OMlO(773‑109)

(3) つぎに，磁束密度の大きさ Bを時間変化させたときの真空中におかれた I個の電子の運動を考える。

[I]の 磁 束 密 度 の 大 き さ の 式 に お 川 M 時t(bは正の定数）と変化させる。時刻 t=Oにおいて，磁束刻 tとともに Bo=b
壬 R)
密度はいたるところで Oであり，電子は z=Oの面内で中心 0から距離 α（の位置に静止していた。 t>0で，この電子は図 3のように z=Oの面内を運動し，半径 αを一定に保ったまま円運動をした。このときの αと Rの関係を求めてみよう。なお，この設問では電子の円運動により生じる遠心力は無視できないとする。また，解答は， m,e,b,a,R, tのうち必要なものを用いて表せ。
この電子は，磁束の時間変化により，その円軌道に沿って発生した電場により加速される。時刻 t(>0） に お け る こ の 電 場 の 大 き さ は 仁 己 で あ り ， 電 子の速さはじ己である。

問 2 加速されても半径 αを一定に保ったまま電子が回転することができる α！
Rの値を，導出過程も示して答えよ。

B=O−

電子（質量 m，電荷 e)z=Oの面内で点 Oを中心とする半径 αの円図3‑9‑

OM10(773‑110)

物理問題皿次の文章を読んで，EE

コに適した式または数値を，それぞれの解答欄に記入

コはすでに仁コで与えられたものと同じものを表す。ませよ。なお，

た，問 1〜問 3では，指示にしたがって，解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし，円周率を πとする。

図 1のような，大気中に置かれた厚さ D の透明で平面状の薄膜を考える。薄膜の屈折率 nは，大気の屈折率（ 1とする）より大きい。薄膜の表面 A, Bに垂直な方向に z軸をとり，面 A と面 Bの z座標をそれぞれ z=O, z=Dとする。

大気。

R
R1.
.
̲面B

吋
一一一 Ti
R
1T
2R
2' ‑T
3R2.
.
̲Ri

面A︑Eーl入射光 I

大気｜薄膜（屈折率引,『T1T1争

T2争

T3』

T;

R
1、・ T1+1‑‑z<0争z=OT;+1z=Dz>Dー予z

図1

面 A に対して垂直に，直線偏光したレーザー光（入射光 I)を， z軸の負の方から正の向きに照射する。光は横波の電磁波であるが，ここでは簡単のために，電場のみを考え，電場の方向は z軸方向（紙面に垂直な方向）とする。
入射光 Iの電場の x成分は， z<0において，‑11‑︶−−︵（一十）E1=Esin2πtt<>MlO(773‑112)

と与えられるとする。 Eは入射光 Iの電場の振幅， tは時刻， fは光の振動数， Aは大気中における光の波長である。ここでは，光の電場の振幅の 2乗を光の強度とよぶことにする。例えば，入射光 Iの強度は E2である。ただし，以下の設問において，大気中および薄膜内における光の強度の減衰は考えない。
図 1に示すように，大気中を進む入射光 Iの一部は面 A において反射し，残りは面 A を透過して，薄膜内に侵入する。このとき，反射した光の電場の振幅の絶対値は入射光の振幅の絶対値の ρ倍となり，透過する光の電場の振幅の絶対値は入射光の振幅の絶対値の q倍になる pと qは， lより小さい正の実数定数で、ある。ただ0

し，面を透過する際，光の位相は変化しない。図 1のように，最初に面 A で反射する光を Ro光，面 A を透過し，薄膜中を z軸の正の向きに進む光を Ti光と書く。
日の波長は仁司である。また，時刻t，位置 zでの電場の x成分は， Ro
光では E
R
0＝ 巳 ヨ ， 町 光 で は E「 仁 己 と な る 。
図 1に示すように，薄膜は大気と面 Aおよび面 Bで接するので，光は反射，または透過を繰り返す。 iを l以上の整数とすると， T1光の一部は面 Bを透過し， z軸の正の向きに進む T；光となり，残りは面 Bで反射し， z軸の負の向きに進む R1光となる。さらに， R；光の一部は面 A を透過し， R；光となり，残りは面 Aで反射し，T1+1光となる。 R1光や T1光のような薄膜中を進む光が面 Aや面 Bで反射するとき，電場の振幅の絶対値は p倍に変化し，透過するとき，電場の振幅の絶対値は q倍に変化する。 qは lより小さい正の実数である。
面 A を透過し，面 Bで反射し，再び面 A を透過し， z軸の負の向きに進む R1光のふるまいを考えたい。 Rl光の電場の x成分は，振幅の絶対値 E と位相の変化ゆを用いて，12小 ＋丁）＋ りIER
1= E sinIZ ¥I(ii)

とおくことができる。 z=Dで Ti光と Ri光の位相を考えることにより， E,p,q,q， 11,D, nを 用 此 山[I]， ゅ は 仁 日 と 与 え ら れ る 。

‑12‑）く MlO(773‑113)

問 1 大気中を z軸の負の向きに進む Ro光と R1光の干渉を考える。干渉してできる光の電場は， Ro光と R1光の電場の重ね合わせにより，振幅 A と位相の変化 3を用いて，
ER0+ER1 =A sin{2Jl'(tt＋テ）＋11}と書くことができる。 ER0は．

（副「す「｜で求めた電場の式を表す。式（凶）で与えられる光の強度 A2を，導出過程を示して E,p,q,q， Oを用いて表せ。ここで，必要なら，実数 a,b, Bに対し， αsinB+bcosB=fa2
王子 sin(B+/1）が成り立つことを用いてよい。ただし， S は cosβ ＝~J
α γv＆斗sin1/＝品二台を満たす実数である。
Jaゐ 斗 「 b乙以上より， Ro光と Rl光の干渉によってできる光の強度が最大になるのは，1以上の整数日用いると，厚さ Dが波長 Aの 仁 日 倍 に な る と 吋 り ， そ の ときの電場の振幅は仁己である。
つぎに，面 Bを z軸の正の向きに透過する光について考える。 T1光と T2光が干渉してできる光の強度が最大になるとき， l以上の整数 m を用いると，薄膜の厚さ D
は波長 Aの 亡 己 倍 で あ る 。 ま た ， こ の と き ， 干 渉 し て で き る 光 の 振 幅 は仁己となる。一方，干渉光の強度が最小となるのは，同様に 1以上の整数 mを 町 と ， Dが Aの 仁 己 倍 の と き で あ り ， そ の 振 幅 は 仁 己 で あ る 。

問 2 T1光と T2光だけでなく，面 Bを z軸の正の向きに透過する光の全てが干渉してできる光を考える。薄膜の厚さ Dが大気中の波長 Aのと，E

E亘 倍 の と き

ヨ 倍 の と き の そ れ ぞ れ の 条 件 の も 目 前 を z軸の正の向きに透過する全ての光が干渉してできる光の強度を求めよう。ここで， ρ，q, qの聞には，戸＋ qq＝ lが成り立つものとする。これを用いて，干渉光の強度を qとイを含まない形で導出過程を示して表せ。ここで，必要であれば，

ldl<1を満たす実数 d に対し，か＝~が成り立つことを用いてよい。
ド 01‑ d‑13‑OMlO(773‑114)

, yについて，入射光の波長を変えながら，薄膜を問 3 異なる ρの値をもっ薄膜 X

透過してくる光の強度を測定したところ，図 2のようになった。実線と点線は，薄膜 X, yに対して得られたデータである。 ここで， pは波長によって変わらないものとする。白色光から，特定の波長の光を選択して抽出するには，薄膜 X,Yのどちらを用いるのがより適当か， また， それはどのような値の ρをもっ薄膜か， その理由とともに述べよ。

︑︐︐︑︑︑︑︑．
．

盲目HHHHHHHHH︑︑︑．
︑︑︑︐︐︐︐︐︐︐︐︐︐︑︑

EmHHHHHHHHHHH︐︐︐ e︐︐a︑︑︑︑︑︑︑︑
r．
．
・︐︐︐︐︐︐︐︐︐︑

7・Ei︐︐︐︐﹂
Y︑−ハUAUnUFhuιド−aERHHHHHHHHHHHH
apin
Hv︑・︐︐︐︑︑nU
AUAU

光の強度︵相対値︶

ム

イE。
400500波長 A(nm)600

図2

物理問題は， このページで終わりである。
‑14‑OM10(773‑115)