1章

式の計算

単元

教科書

因数分解

3

P.26〜33

覚えよう！

1

1つの式が単項式や多項式の積の形に表されるとき，いんすう

積をつくっている各式を，もとの式の因数という。

23

因数分解の公式⑴多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，もと⑵の式を因数分解するという。

⑶

x2+4x+3=(x+1)(x+3)
因数 因数

⑷

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x2+2ax+a2=(x+a)2

x2-2ax+a2=(x-a)2

x2-a2=(x+a)(x-a)

チェック1 共通な因数
次の式を因数分解しなさい。

例題

2x2+4x⑴=2x*x+2x*2=2x(x+2)⑵ ay-4by+3cy=y*a+y*(-4b)+y*3c

共通因数は 2x=y(a-4b+3c)
yをくくり出す

2x をくくり出す
確認問題１⑴ ab+ac

次の式を因数分解しなさい。
⑵〔〕⑷ 6ab-3a⑺3xy+5xz-2x〔am+bm〔〕〔

2ax+4bx-6x⑻〕〔チェック2 x2+(a+b)x+ab の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題

x2+9x+20⑴

和が +9

和が -5⑶〔⑷ x -7x+6〕〔x2+4x-45〔〔⑸ x -10x+16〕〔⑻ x2-5x-14〔〕〔〕

積が -35-5 と +7x2+2x-35=(x-5)(x+7)⑶

x2+6x+8⑹x +2x-15〕2〕〔x2+2x-35

和が +2⑵ x2+7x+102〕

5x2y-8xy2+3xy〕

積が +6〔2⑼次の式を因数分解しなさい。

⑴ x +3x+222

a b-abcx2-5x+6=(x-2)(x-3)

2⑺⑹-2 と -3+4 と +5x2+9x+20=(x+4)(x+5)
確認問題２x2+2xy〕⑵ x2-5x+6

積が +20⑶〕

2ac+6bc⑸〔共通因数はy〕
⑼〕

〔〕

〔〕

〔〕

2x2-8x-9

1章

チェック3 x2+2ax+a2，x2-2ax+a2 の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題x2+6x+9⑴=x +2*3*x+32=a -2*4*a+42=(x+3)2a2-8a+16⑵2=(a-4)2(●+▲)2 の形にする⑶ 25x2-10x+1=(5x) -2*1*5x+122=(5x-1)2

次の式を因数分解しなさい。

確認問題３⑴ x +2x+1⑵ x2+14x+49

2〔2⑸

〔〕

4x -20x+252〔〕〔〕⑹ 9a +6a+12〔〕

5x を1つの文字とみる⑶ x2-12x+36〔〕⑷ x +8xy+16y22式の計算〕

チェック4 x2-a2 の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題x2-9⑴⑵ 4x2-25y2=x2-32=(2x)2-(5y)2=(x+3)(x-3)

2x=●，5y=▲と考える=(2x+5y)(2x-5y)(●+▲)(●-▲)の形にする
確認問題４⑴ x -16

次の式を因数分解しなさい。

⑵ a2-492⑷ 1-y〔〕2⑶ x2-25〔〔〕⑺ 25x2-36y2

2

⑹

〔⑻

〔〕

⑸ 100x -y2〕

16a2-49b2〕⑼〔〔

4a -9b2〔〕〔〕

9x2-64y2〕〕2

チェック5 いろいろな式の因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題⑴

ax2+3ax-10a=a(x2+3x-10)=a(x-2)(x+5)

共通因数aをくくり出す(⑵ (x+2)y+(x+2))内を因数分解する

x+2=M とすると，(x+2)y+(x+2)=My+M=M(y+1)=(x+2)(y+1)
確認問題５

次の式を因数分解しなさい。

⑴ 2x2+14x+24〔Mをもとにもどす⑵ 4ax2-24ax+36a〕〔⑶〕(a-b)x-(a-b)y〔〕
23

1章

式の計算

単元

教科書

式の計算の利用4P.34〜37

覚えよう！

1

3

計算のくふう 式の展開や因数分解の公式を利用
すると，計算が簡単になる場合がある。

2

あたい

式の値

式による証明の基本⑴

式による証明では，条件を式に表し，それを結論にあった形に変形する。

そのまま数を代入しても求めることはで⑵

きるが，式を簡単にしたり，因数分解したりするな

偶数は 2n，奇数は 2n+1 または 2n-1(nは整数)

ぐうすう

き すう

⑶ aの倍数であることの証明は，式が「a*(整数)」のど，くふうしてから代入することが大切。

形で表せることを示せばよい。

チェック1 計算のくふう次の式を，くふうして計算しなさい。

例題⑵ 10121052-952⑴=(105+95)*(105-95)

確認問題１=502-22=1002+2*1*100+12=10000+200+1=10201=2500-4=2496

次の式を，くふうして計算しなさい。

⑴ 65 -352
2⑷ 95=(50+2)*(50-2)=(100+1)=200*10=2000

⑵

〔〕

〔〕

252*48⑶21272-1232

⑶

〔〕

〔〕

⑸ 78*82

1042

〔〕

〔〕

⑹ 103*97

チェック2 式の値
次の式の値を求めなさい。

例題

⑴
⑵

x=6，y=5 のとき，x(x+2y)-(x-2y)(x+5y)x=12，y=28 のとき，x2+2xy+y2••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解⑵x2+2xy+y2=(x+y)2 と因数分解し，⑴式を簡単にすると，

x(x+2y)-(x-2y)(x+5y)=x2+2xy-(x2+3xy-10y2)=-xy+10y2
求める値は，-6*5+10*52=220

x=12，y=28 を代入すると，(12+28)2=402

=1600
答

確認問題２⑴

220

⑵

1600

次の式の値を求めなさい。

⑴ x=16，y=-3 のとき，(x+3y)(x+4y)-(x-y)(x-2y)⑵ x=43 のとき，x -6x+9〔〕〔〕〔〕

2⑶ x=4.75，y=1.25 のとき，x -y2242

1章

式の計算

チェック3 数の性質
例題

連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。このことを証明しなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
整数nを使って連続する2つの奇数を 2n-1，2n+1 と表し，問題に沿って計算する。

解

(証明)

連続する2つの奇数は，整数nを使って，2n-1，2n+1と表される。
このとき，これらの積に1を加えたものは(2n-1)(2n+1)+1=4n2=(2n)2nは整数であるから，2n は偶数である。
したがって，連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。
確認問題３「連続する2つの奇数では，大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は，8の倍数になる」ことを，次のように証明した。〔〕にあてはまる式を書きなさい。

（証明） 連続する2つの奇数は，整数nを使って，小さい順に〔ア〕，2n+1 と表される。

このとき，大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は(2n+1)2〔イ〕=4n2+4n+1-(〔ウ=4n +4n+1-4n +〔エ22=〔オ〕)〕〕

nは整数であるから，8n は8の倍数である。

したがって，連続する2つの奇数では，大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は，8の倍数になる。

チェック4 図形の性質
例題

1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。

この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表される。このことを証明しなさい。
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解

小さい正方形の面積，大きい正方形の面積，図の点線で囲まれた正方形の1辺の長さ¾を，それぞれpやaを使って表す。
(証明)

ap

小さい正方形の面積は p2，大きい正方形の面積は (p+2a)2，点線で囲まれた正方形の1辺の長さは p+a と表される。

道の面積は，大きい正方形の面積から小さい正方形の面積をひいたものである。
よって

S=(p+2a)2-p2=p2+4ap+4a2-p2=4ap+4a2……①また，¾=4(p+a) であるから a¾=a*4(p+a)=4ap+4a2……②①，②から確認問題４S=a¾

縦の長さがp，横の長さがqの長方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，
S=a¾ と表されることを次のように証明した。〔(証明) 道の面積は，〔ア〕から，小さい長方形の面積をひいたものである。
よって

S=(p+2a)(q+2a)-〔イまた，¾=2(〔ウa¾=a(〔エ①，②から〕にあてはまるものを答えなさい。

pqa¾〕=2ap+2aq+4a2……①〕)+2(q+a)=2p+2q+4a であるから〕)=2ap+2aq+4a2……②S=a¾25

1章式の計算

練単元３11 共通な因数⑴ x -xy〕

⑷ 3ax-9bx+15cx〔⑴ x +6x+5

単元３3〕

x2+2x-48

22〔⑻ a2-6ab-16b2〕⑴ x2+4x+4〕⑷ x -10x+25〔〕⑺ x +22x+121

2⑴ x -36〔⑷ 49x -4〔

5 いろいろな式の因数分解⑷ 2ax2-2ax-84a〔
26〔⑸ a -14a+49〔⑻ 16x +8x+1〕〔〕〔⑸ 4x -9y2〕〕⑸ 4x2-16y2
〔

〔〕

〔〕

t2+18t+81⑹

x -12xy+36y〔2〕

2〔〕

〔〕

〔〕

⑼ 9x -30x+25⑶

9x2-16⑹64x -25y〕〕⑵ 4x2+20x+24〔〕

x2-15xy+54y2〕

次の式を因数分解しなさい。

〕

〔

22〔〕

⑶〕

〕

2〕

⑵ x2-121

2〔x -3x-70

次の式を因数分解しなさい。

23x -9x-12⑹次の式を因数分解しなさい。

〕

2⑴a2-8a+7⑼2〔

4 x -a の因数分解
2〔⑶〕

22

12〔〕

⑵ x2+8x+16〔

単元３5⑸ a -a-20

3 x +2ax+a ，x -2ax+a の因数分解
22

単元３
4〔

12x y-xyz-4xy2〕

2〔2⑹⑵ x2+9x+82〔〔〔

次の式を因数分解しなさい。

〕⑷ x -10x+24〕

2〕

2〔

4a b-16ab +12ab2

その⑶ 2xyz-8yz2〔⑸

2 x +(a+b)x+ab の因数分解⑺

題⑵ ax+3ay〔

単元３2問

次の式を因数分解しなさい。

22

習

22〔〕

⑶ 3x2-24x+48〕
⑹
〕

〔〕

〔〕

9a2b-4bc2

1章

練
単元４1

1 計算のくふう⑴ 85 -15
2

⑷ 97

⑵

〔〕

22 式の値問

題

そのくふうして，次の計算をしなさい。

2〔
単元４2

習

372-272⑶〔〕⑸ 57*63〕

⑹

〔式の計算

21032

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

104*96〕

次の式の値を求めなさい。

⑴ x=-12，y=3 のとき，x(x+6y)+(x-2y)(x-4y)⑵ x=84 のとき，x +12x+36
2⑶ x=6.5，y=4 のとき，4x -9y2

単元４323 数の性質 「連続する2つの整数で，大きい方の数の2乗から2つの数の和をひいた差は，小さい方の数の2乗になる」ことを，次のように証明した。にあてはまる式を書きなさい。

（証明） 大きい方の整数は，小さい方の整数nを使って，アと表される。

このとき，大きい方の数の2乗から2つの数の和をひいた差は単元４4｛n+()｝=-(2n+1)

ア〔〕nは小さい方の数であるから，連続する2つの整数で，大きい方

イ〔〕ウ〔〕の数の2乗から2つの数の和をひいた差は，小さい方の数の2乗

エ〔〕になる。

オ〔〕イ4 図形の性質

ウ=エオ¾

右の図のように，線分 AB の中点をＯとし，半径 OA の円をかく。

さらに，AC=a となる点Ｃを OA 上にとり，半径 OC の円をかく。

OC の長さをr，点Ｏを中心として，AC の中点を通る円の周の長さを ¾ ，影の部分の面積を S とするとき， S =a¾ となることを証明しなさい。

ACar O

B27

1章式の計算Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 18x2-27xy+9x〔〔2(x+y) -12(x+y)+32〕〔⑴ 5.9*357+5.9*643〔〔単元４2112-122+132⑷

93 +2*93*7+7〕

2〔〕

〔〕

⑼ z (x+y)-9(x+y)

⑵〕〕

2〕

2 くふうして，次の計算をしなさい。

⑶ 1004*996〕

2〔

3x2y+33xy+72y⑹〔⑻〔〕21⑸ x2+ x+3
91

5x2+10x-120⑶〔〕⑺ (2x-1) -(x+6)
2

単元４
1⑵ x2+7x+12〕⑷ a2b-4b

その〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

2

3 次の式の値を求めなさい。

⑴ x=32 のとき，(6-x)(6+x)+(x-4)(x+3)⑵

x=5，y=10 のとき，16x +24xy+9y2

2⑶ x=17，y=12 のとき，x y-5xy-14y2

単元４
3

4 連続する2つの偶数で，大きい方の偶数の2乗から小さい方の偶数の2乗をひいた差は，4の倍数になる。
このことを証明しなさい。

281章

Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 24x2+16xy〔⑵ 5x2+10x-120〕⑷ a b-4b2〕⑺ (x-y) -20(x-y)+100
2〔〔〔⑹ (x+y) -36〕

⑻ (a-b)c-(b-a)

⑼

〔
⑵

〔〕
⑷

〔〔〕

〔〕

x +xy-yz-zx2〕⑴ 1.052〕

2〔2 くふうして，次の計算をしなさい。

⑶ 9132-26*913+132〕⑸ 3x y+33xy+72y〕

2⑶ 8x2-722〔単元４1

その式の計算552*3.14-452*3.14

252-242+232-212〕〔〕〔〕

3 次の問いに答えなさい。

⑴ x2+y2=(x+y)2-2xy となることを用いて，x+y=4，xy=-2 のときの，x2+y2 の値を求めなさい。

⑵

x+y=-1，xy=-6 のとき，次の式の値を求めなさい。
①x2+y2〔単元４4②〕

x2+xy+y2〔③〔〕〔〕(x-y)2〕4 1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついてい¾る。この道の面積を S ，道の中央を通る線の長さを¾とするとき，S=a¾ となることを証明しなさい。

pa29