制振機構を有するケーブルにおける張力等の算定に関する研究
古川 愛子*1
１． 研究の背景と目的
ケーブル構造は斜張橋や吊り橋等の構造物に採用されており施工及び維持管理する上でケーブルの張力が設定張力を満足しているか確認する必要がある．現在の実務では，ケーブルの複数モードの固有振動数から張力を推定する高次振動法 1)が広く用いられている．しかし近年，ケーブルの振動を低減するためにダンパーと呼ばれる制振装置が設置されることも多く，ダンパーによって固有振動数

図 1 ダンパーを有するケーブルの模式図
𝐸𝐸𝐸𝐸が変化するため，ダンパーを取り外した上で高次振動法を適用する必要があり，ダンパーの取り外し，再取り付けに労力と時間がかかる．そこで著者らのグルー
プでは，ダンパーを設置したまま張力推定を可能とする手法の開発に取り組んでいる ．本研究では，①ケーブル両端の回転の境界条件をピンから回転ばねへ変2)𝑛𝑛

𝜕𝜕 4 𝑦𝑦𝑑𝑑
𝜕𝜕 2 𝑦𝑦𝑑𝑑
𝜕𝜕 2 𝑦𝑦𝑑𝑑=04 + 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 − 𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥𝑑𝑑𝜕𝜕𝑥𝑥𝑑𝑑2
𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚 (1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖 )� �𝑅𝑅𝑅𝑅�𝐹𝐹𝑖𝑖 (𝑇𝑇, 𝐸𝐸𝐸𝐸, 𝑘𝑘 ∗ , 𝐾𝐾 𝑟𝑟 , 𝐻𝐻𝑖𝑖 )��
𝑖𝑖=1(1)(2)

2𝑛𝑛

更，②数値誤差低減のための数式処理手法の提案，③ダンパーのモデル化の見直 + � �𝐼𝐼𝐼𝐼�𝐹𝐹 (𝑇𝑇, 𝐸𝐸𝐸𝐸, 𝑘𝑘 ∗ , 𝐾𝐾 𝑟𝑟 , 𝐻𝐻 )��2 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑖𝑖
𝑖𝑖
し，の 3 点の改良を加えることで，張力推定精度の向上を図ることを目的とする． 𝑖𝑖=1(3)２． 両端の回転剛性を考慮した張力推定手法の定式化と数値誤差低減のための数式処理既往研究 2)では，ケーブル両端を単純支持と仮定していた．しかし実際の支持条件は単純支持と剛結の間であるため，本研究では両端に回転ばねを導入し，ダンパーを有するケーブルを図 1 のようにモデル化した．ダンパーを挟んで左側を𝑑𝑑=1，右側を𝑑𝑑=2 として，位置𝑥𝑥𝑑𝑑 における時間𝑡𝑡のケーブルのたわみを𝑦𝑦𝑑𝑑 (𝑥𝑥𝑑𝑑 , 𝑡𝑡)と表す．張力を有する梁の振動方程式(1)を，両端が回転ばねで，ダンパー設置位置にてダンパーから力を受けるという条件のもとに解き，𝑖𝑖次モードの固有振動数が満たすべき制約式（𝐹𝐹𝑖𝑖 =0）を導出した．ダンパーを有する場合，式(1)から導出される固有振動数𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 は複素数となり，式(2)のように実数部と虚数部に分けることができる．ここで，実数部の𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚 が計測で得られる固有振動数である．𝑗𝑗は虚数単位であり，𝐻𝐻𝑖𝑖 は固有振動数の実数部に対する虚数部の比（虚実比）であり減衰に対応するが，精度よく計測することが難しいため本研究では未知数として扱う．設計，密度𝜌𝜌，断面積𝐴𝐴は既知として得られ，固有振動数𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚 は計測により得られ既知とすると，制約図からケーブル長さ（𝐿𝐿, 𝑙𝑙1 , 𝑙𝑙2 ），回転剛性𝐾𝐾 𝑟𝑟 ，固有振動数の虚実比𝐻𝐻𝑖𝑖 を未知数に含む関数となる．制約
式は張力𝑇𝑇，曲げ剛性𝐸𝐸𝐸𝐸，ダンパーの剛性𝑘𝑘 ∗（複素数）式の関数𝐹𝐹𝑖𝑖 も複素数であるため，モード次数𝑖𝑖毎に実数部と虚数部それぞれが 0 になるという制約式から，式(3)に示す最小二乗問題を立式することができる．制約式の数が未知数の数を上回るように十分な数の固有振動数を計測する必要がある．

なお，𝐹𝐹𝑖𝑖 は複素数の三角関数や双曲線関数を含む．つまり実数の指数関数を含む．検討の結果，大きな値の指数関数を解くケースで張力推定精度が悪くなっていることがわかった．そこで𝐹𝐹𝑖𝑖 の式の形を見直し，事前に指数関数で除しておく処理を行った．
３． ダンパーのモデル化の見直し

前節で述べたダンパー剛性𝑘𝑘 ∗ はダンパーの種類により変わり，粘性せん断ダンパーは𝑘𝑘 ∗ = 𝑘𝑘 + 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑐𝑐，高減衰ゴムダンパーは𝑘𝑘 ∗ = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗で表せるとされている．しかしこれらはケーブルの低次の振動を抑えることを目的とした設計式であり，高次モードまで適用できるとは限らない．提案手法では複数モードの固有振動数を用いて張力を推定するため，高次モードにも適用できるダンパー剛性𝑘𝑘 ∗ の定式化が必要である．そこで，PC 鋼棒と高減衰

図 2 実験装置の概要図

ゴムダンパーを用いた模型実験を行い，ダンパー剛性の実数部と虚数部の振動数依存性を調べた．実験装置の概要を図 2 に示
す．ケーブルの曲げ剛性や密度，断面積を出来るだけ正確に把握するために，PC 鋼より線でなく PC 鋼棒を用いた．張力はロードセルで計測された値を真値とした．PC 鋼棒の長さは 6.636m，外径は 11mm と 17mm の 2 通り，張力を 2 通り，ダンパーの位置を 5 通り，全部で 20 ケースとした．ハンマーで打撃して減衰自由振動を励起させ，固有振動数を 10 次モードまで測定した．
2 回計測を行ったので，固有振動数は 2 回の平均値を用いた．前節で提案した制約式の中で未知数はダンパー剛性のみとなる*

京都大学大学院・工学研究科・准教授

1000

ので，固有振動数ごとにダンパー剛性𝑘𝑘 ∗ の実数部と虚数部の値の推定をした．

800

実数部の結果は省略するが，設計式通り一定値と見なせると判断した．一方の傾きも増加していることが見てとれる．従って，ダンパー剛性の虚数部を定数虚数部

600

虚数部は図 3 に示す結果となり，振動数の増加につれて虚数部は増加しており，とみなす従来モデルを改め，𝑘𝑘 ∗ = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑗𝑗{𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑐𝑐′(2𝜋𝜋𝜋𝜋)2 }と見直すことを提案する．未知数は𝑘𝑘𝑘𝑘，𝑘𝑘𝑘𝑘，𝑐𝑐′の 3 つとなり， 𝑐𝑐′という新しいパラメータを導入し振動数の 2 乗に比例する項を付加した．

4002000050100150200250Frequency(Hz)

図 3 ダンパー剛性の虚数部の周波数依存性

４． 模型実験による妥当性検証

前節と同じケーブル長 6.636m の PC 鋼棒を用いた模型実験により，従来法 2)と提案手法で張力の推定を行った．外径 11mm と17mm の 2 通りの PC 鋼棒に対し，高減衰ゴムダンパーの設置位置や剛性を 16 通り（設置位置 5 通り×剛性 3 通り＋ダンパー無し 1 通り），張力を 2 通りに変えて，32 通りずつのモデルを作成した．推定の際，未知数の探索範囲を設定した．張力𝑇𝑇と曲げ剛性𝐸𝐸𝐸𝐸は真値の 0.3~10 倍，回転剛性𝐾𝐾 𝑟𝑟 は𝐾𝐾 𝑟𝑟 /(𝐾𝐾 𝑟𝑟 + 𝜋𝜋 4 𝐸𝐸𝐸𝐸/𝐿𝐿) が 0 から 0.999 となるように，虚実比𝐻𝐻𝑖𝑖 は 0 から 0.05，ダンパーの剛性を表す諸元（𝑘𝑘𝑘𝑘，𝑘𝑘𝑘𝑘）は設計値の 0∼10 倍とした．𝑐𝑐′については設計値がないため，試行錯誤の結果 1 次モードの固有振動数𝑓𝑓1 に対して𝑘𝑘𝑘𝑘と𝑐𝑐′(2𝜋𝜋𝑓𝑓1 ) が等しくなるように 𝑐𝑐′ = 𝑘𝑘𝑘𝑘/(2𝜋𝜋𝑓𝑓1 )により設定した．10 次モードまでの固有振動数を使用した外径 17mm の張力推定結果を図 4 に示す．横軸はモデル番号，縦軸は推定値を真値（ロードセルで測定した値）で割っており1 に近いほど精度が高いことを示している．2 回計測を行った

2.5ので，それぞれに対して推定を行った．従来法では大きな推定2誤差を含むケースがあるが，提案手法ではどのケースも安定し1.5

案手法は±10%前後の精度で推定できている．
なお，
外径 11mm

Method2F(2回目)
Method3F(1回目)
Method3F(2回目)

推定値／真値て精度よく推定できていることが確認できる．全体を通して提Method2F(1回目)

10.5のケースでも同様の結果であり，また張力以外のパラメータの推定精度は悪いため，図示を省略する．
さらにケーブル長 61.8m の PC 鋼より線（外径 28.6mm）を0151015202530Model No.

図 4 従来法 2)と提案手法の張力推定精度比較（6.636m）

用いた模型実験でも提案手法の妥当性を検証した．実験では，ダンパーの設置位置や剛性を 13 通り（設置位置 4 通り×剛性，張力を 2 通りに変えて，26 ケ3 通り＋ダンパー無し 1 通り）ース実施された．未知数の探索範囲や計測に用いた固有振動数の数はケーブル長 6.636m のケースと同じである．なお，検討を重ねた結果，試験体のケーブル両端は剛結とモデル化すると実際の固有振動数を精度よく再現できることがわかった．しかし，回転剛性を未知数として張力その他を推定する際，回転剛図 5 ダンパーモデルの違いによる張力推定精度比較（61.8m）性を実際（剛結）よりも過小評価する代わりに，張力を過大評価することで制約式を満足させてしまうことがわかった．そこで，両端は剛結と仮定して回転剛性を既知とみなして張力推定を行うこととした．ダンパー剛性の虚数部に振動数の 2 乗を含まない
場合と含む場合の 2 通りの結果の比較を図 5 に示す．振動数の 2 乗の項を含まない場合は No.9 と No.22 の精度が悪いが，振動数の 2 乗の項を考慮することで張力推定誤差は最大で 5.01%（No.22）となり，ほぼ 5%以内の精度で推定することができた．
５． 結論
ケーブル両端の回転剛性を考慮した張力推定式，数値誤差低減のための数式処理手法，ダンパーの特性に合わせたダンパーのモデル化を提案した．模型実験により，ダンパーを有するケーブルの張力を従来法より高い精度で推定できることを確認した．
試験体のケーブル両端が剛結であると判断できる場合は，回転剛性を剛結と仮定し未知数から外し，かつ提案したダンパーモデ
ルを用いることで，推定誤差は最大で約 5%となり，良好な精度が得られた．
謝辞 研究遂行にあたり，理論計算を担当した当研究室修士課程学生の廣瀬克也君，実験を担当してくださった神鋼鋼線工業株
式会社の関係者各位に心より感謝申し上げます．
参考文献 1)山極伊知郎，宇津野秀夫，遠藤浩司，杉井謙一：高次の固有振動数を利用した線材の張力と曲げ剛性の同定法，日本機械学会論文集（C 編），66 巻，649 号，2000 年．2)古川愛子，鈴木秀弥，小林亮介，廣瀬克也：ダンパーを有するケーブルの張力，曲げ剛性，及びダンパー諸元の同時推定手法，土木学会第 23 回応用力学シンポジウム講演概要集，S01A-02，2020 年．