広島工業大学紀要研究編
第 ₄₇ 巻（₂₀₁₃）31 – 36

論文

レンズ装荷ホーンで給電された鏡面修整形球面鏡アンテナの設計法
浦崎修治*（平成₂₄年 ₉ 月₂₁日受付）

Design Method of a Reflector Shaping-Type Spherical Reflector
Antenna fed by a Lens-Loaded Horn
Shuji URASAKI(Received Sep. 21, 2012)

Abstract
Design method of a reflector shaping-type spherical reflector antenna having the sub-reflector andthe additional reflector is reported. In the antenna, since the feed horn is placed between the subreflector and the additional reflector, ray blocking due to the feed horn arise.
In this report, design method of a reflector shaping-type spherical reflector antenna without ray
blocking due to the feed horn is presented by replacing the feed horn and additional reflector to thereverse-side feed horn and the additinal lens, namely the lens-loaded horn.
Key Words: reflector antenna, aperture antenna, spherical reflector antenna, lens antenna
上の点 M へ入射した場合，主反射鏡から副反射鏡へ向かう

₁ ．まえがき





光線 MS ，および副反射鏡から補助反射鏡へ向かう光線 SD

図 ₁ に，点 C を中心とする球面鏡である主反射鏡，こののうち，ホーンによってブロッキングを受けることがある。

主反射鏡開口面上で任意の電力分布を実現させる副反射鏡

ここでは，図 ₂ に示すように，ホーンを逆方向に配置と補助反射鏡，および一次放射器であるホーンからなる鏡し，かつ補助反射鏡をレンズに置き換えて，ホーンによる面修整形球面鏡アンテナ︵₁︶，︵₂︶を示す。ここで，ホーンのブロッキングが回避できる設計法を報告する。ここで，位相中心を点 Fd としている。鏡軸に平行な光線が主反射鏡

図₁

鏡面修整形球面鏡アンテナ

図₂* 広島工業大学工学部電気システム工学科
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レンズ装荷ホーンで給電された鏡面修整形球面鏡アンテナ

浦崎修治

ホーンの位相中心が点 Fl へ移動している。したがって，図₂ のアンテナはレンズ装荷ホーンで給電された鏡面修整形球面鏡アンテナとなる。

₂ ．置き換え法
図 ₃ （a）の反射鏡系において，鏡軸である Zd となす角

θ の光線がホーンの位相中心 Fd から射出し補助反射鏡上の点 D へ向かい，次に，この点 D で反射して，開口面と点A( X a , 0 ) で交わるとする。ここで，開口面は焦点 F d を含

図₄

み Zd と垂直な面とする。
鏡面修整の設計 ︵₁︶ により，角度 θ に対する Xd 軸上の座r0 + l0 ε r + ρ0 = Lt 0レンズの ray tracing

標 Xa，光線 DA の傾き，および全光路長 | Fd DA | が決定さ（₁）

れている。また，θ が零の場合，補助反射鏡の点 D₀ で反射式（₁）から r₀ を決定できる。

した光線は開口面で点 Fd と交わる。この θ が零の場合にお次に，点 C，点 B における屈折の法則から光線 CB の傾ける全光路長を初期値として与える。

き角 θ c，光線 BA の傾き角 θ c を求める。ここで，傾き角

図 ₃ （b）のレンズ系において，補助レンズの左側にホーθ c，θ b は Zd 軸に平行な軸から反時計方向を正とする。

ンを配置して，ブロッキングを無くすことができる。ホーンの位相中心 Fl から角度 θ の光線が補助レンズの点 C，B

図 ₅ に点 C における屈折の法則を示す。座標（r, θ ）を用いて，入射角 θ ic，屈折角 θ tc は次のようになる。

で屈折して最終的に，開口面上の A へ向かうものとする。
レンズ系への置き換え条件は次のようになる。



（₁）光線 DA の傾きと光線 BA の傾きを等しくする。

（₂）全光路長 | Fd DA | と全光路長 | FlCBA | を等しくする。
（₃）点 B で透過した光線は開口面と点 A で交わる。

図₃置き換え法₃ ．屈折の法則
補助レンズの比誘電率を ε r とする。図 ₄ のホーン側のレ

図₅

ンズ表面上における点 C を座標（r, θ ）で表す。もう一方のレンズ表面上における点 B を座標（ρ , φ ）で表す。また，

tanθic = δ c

点 B₀，C₀ は Z d に沿う光線に対応するレンズ表面上の点とする。

sinθtc =ここで，| FlC0 | を r₀，| C0 B0 | を l₀，| B0 Fd | を ρ ₀ とし，drrdθ

（₂）

sinθic（₃）εrここで，図 ₅ （a）は dr /( rdθ ) が正の場合で δ c は ₁ ，

このうち l₀，ρ ₀ および比誘電率 ε r を初期値として与える。
また，反射鏡系における Zd 軸に沿う光線に対する全光路長

点 C における屈折の法則

図 ₅ （b）は dr /( rdθ ) が負の場合で δ c は -₁ である。

の Lt ₀ も初期値である。

この θ ic，θ tc を用いて，光線 CB の傾き角 θ c は次のよう

この L t ₀ は反射鏡系において与えられている値であり，になる。

置き換えの条件から次のようになる。
─ 32 ─

レンズ装荷ホーンで給電された鏡面修整形球面鏡アンテナの設計法

θ c = θ − δ c(θic − θtc )（₄）

また，点 B において透過した光線が開口面上で点 A で交わる条件から次のようになる。

図 ₆ に点 B における屈折の法則を示す。ここで，図 ₆X a = ρ( sin φ + tanθ b cos φ )（a）は d ρ /( ρdφ ) が正の場合で，図 ₆ （b）は d ρ /( ρdφ )が負の場合である。

（₁₁）₄ ．微分方程式の導出
図 ₃ （a）に示した反射鏡系の開口面上において，θ に対する点 A の座標 X a，光線 DA の傾き角 θ b，および光路長| Fd DA | の L t は θ の関数であり，θ に関する微分値を，各々，a(θ )，b(θ )，および t(θ ) とすると次のようになる。

a(θ ) =dX adθ

（₁₂）

b(θ ) =dθ bdθ

（₁₃）

t(θ ) =dLtdθ（₁₄）

式（₁₁）の両辺を φ に関して微分し，次に，式（₅）を代入すると次のようになる。

f1
図₆

点 B における屈折の法則（₅）

f1 = X a tanψ − ρ( tanθ b sin φ − cos φ )（₁₆）

h1 = a(θ ) − b(θ )ρ cos φ sec 2θ b（₁₇）

ρ=


点 B における入射角 θ ib と光線 CB の傾き角 θ c の関係は

（₆）

場合は δ b は -₁ である。
点 B における屈折の法則から屈折角 θ tb は次のようになる。
（₇）

光線 BA の傾き角 θ b は図 ₆ から次のようになる。

θ b = δ bθtb + ψ − φ（₁₉）

p = Lt cos θ c − ε r m0（₂₀）

q = cos θ c − ε r cos θ（₂₁）

qb = cos θ c − ε r cos θ b（₂₂）（₅）
式（₁₉）の両辺を θ に関して微分し，次に，式（₂），（₈）

を代入すると次のようになる。

次に，光路長の条件式を導く。反射鏡系において，光路長 | Fd DA | を Lt とするとこの条件式は次のようになる。
m0 − ( r cos θ + ρ cos φ )εrcos θ c
ρ cos φ+cos θ b

Lt = r +m0 = r0 + l0 + ρ0（₁₈）

p cos θ b − ρqb cos φq cos θ br=

ここで，θ c − ψ + φ > 0 の場合は δ b は ₁ ，θ c − ψ + φ < 0 のsinθtb = ε r sinθib

Xasin φ + tanθ b cos φ

式（₉）から r を求めると次のようになる。

次のようになる。

θib = δ b(θ c − ψ + φ )（₁₅）

ここで，ρ は式（₁₁）から次のようになる。

この点 B における屈折の式は次のようになる。

dρtanψ =ρdφdφ= h1dθ（₉）

Phdφdθ+ Pc c = P0dθdθ

Ph = ρqb( tanψ cos φ − sin φ )（₂₄）

Pc = sinθ c[cos θ b( Lt − r ) − ρ cos φ]（₂₅）

P0 = b(θ ) sinθ b( rq − ε r ρ cos φ − p )−r cos θ b(δ c q tanθic + ε r sin θ )+ cos θ c coos θ bt(θ )（₁₀）─ 33 ─（₂₃）（₂₆）

ここで，式（₄）の θ c を θ に関して微分し，式（₃）を代

浦崎修治

および δ 型がある ︵₁︶,︵₂︶。ここでは，装荷するレンズの開口入すると次のようになる。

dθ ccos θicdθ
= 1 − δ c(1 −) icdθε r cos θtc dθ

径を小さくして軽量化を図るために，補助反射鏡の開口径（₂₇）

を小さくできる β 型について，レンズを設計する。この β型の外形寸法，および ray tracing を図 ₇ に示す。

上式を式（₂₃）へ代入して，次のようになる。

Phdφdθ+ g 2 ic = h2dθdθg 2 = −δ c(1 −cos θicε r cos θtc（₂₈）

)Pc

（₂₉）
（₃₀）

h2 = P0 − Pc

式（₁₅）を式（₂₈）に代入して，次のようになる。

g2dθic
P= h2 − h1 hdθf1（₃₁）

以上から式（₁₅）と式（₃₁）の連立微分方程式が導かれる。

図₇

β 型の鏡面修整形球面鏡アンテナ（すべての反射鏡は半分のみを表示）

₅.₁

初期値とレンズ形状

したがって，連立微分方程式において，θ ，θ ic，φ が与えられると，θ tc，θ ib，θ tb，および ψ が求まる。
まず，θ tc は式（₃）から求まる。この θ tc が決まると式

一次放射系の開口面を Zd = ₀ 面とし，補助反射鏡から副（₄）から θ c が定まり，式（₆），式（₈）から θ tb が次のよう反射鏡へ向かう光線が開口面と交わる座標 Xa，光路長 Lt をになる。

図 ₈ （a）に示す。ここで，横軸は θ で，各 θ に対する光路θtb = θib + δθ（₃₂）δθ = δ b(θ b − θ c )（₃₃）

sin δθ

ε r − cos δθおける光線の傾き角度 θ b は図 ₈ （b）に示す。ここで，主反射鏡開口分布は均一，補助反射鏡周辺レベルは -₂₀ dB としている ︵₂︶。

上式を式（₇）に代入して，θ ib は次のように求まる。

tanθib =長は θ = ₀°の光路長を差し引いている。また，開口面上に（₃₄）

図 ₇ に示した β 型の鏡面修整形球面鏡アンテナの一次放射系である，ホーンの位相中心 Fd と補助反射鏡の諸元を図上式からの θ ib を式（₃₂）に代入して，θ tb を求めること

₉ に示す。ここで，補助反射鏡開口径は₃₀₀，補助反射鏡の頂点と開口面との距離は₃₂.₈，Fd の位置は₅₀₀である。

ができる。
式（₃₄）から，θ ib > ₀ の条件から次のようになる。

θ b > θ c のとき δ b = 1（₃₅）θ b < θ c のとき δ b = −1（₃₆）

最後に，ψ は式（₆）から次のようになる。

ψ = θ c + φ − δ bθib（₃₇）

この式（₃₇）を書き直すと次のようになる。

δ bθib = θ c − ψ + φ（₃₈）

ここで，θ ib > ₀ の条件から次のようになる。

θ c − ψ + φ > 0 のとき δ b = 1（₃₉）θ c − ψ + φ < 0 のとき δ b = −1（₄₀）

₅ ．レンズ装荷ホーンの設計
鏡面修整形球面鏡アンテナの鏡面を求める場合，初期値として ₅ 通りの与え方，すなわち原型，α 型，β 型，γ 型，
─ 34 ─図₈

開口面との交点，光路長，レンズ通過後の光線の角度

レンズ装荷ホーンで給電された鏡面修整形球面鏡アンテナの設計法

図₁₂

レンズ内の ray tracing

約条件から，一方，上側の境界線は式（₄₁）から定まり，
図₉

レンズ形状が求まる範囲はこれらの境界線で囲まれた範囲

一次放射系の諸元である。
図 ₉ から，光路長 Lt₀ は₅₆₅.₆となる。ここで，図 ₄ に示

図₁₀から，レンズ形状が形成できる初期値，すなわち比したレンズ系の ρ ₀ を₃₂.₈とする。次に，比誘電率 ε r，およ誘電率 ε r が₂.₅横軸，l₀ が₁₀₀の場合，図 ₇ の一次放射系をび l₀ を初期値として与えると式（₁）から r₀を決定できる。

レンズ系へ置き換えた鏡面修整型球面鏡アンテナの外形寸

以 上 か ら，レ ン ズ 形 状 を 求 め る 連 立 微 分 方 程 式，式法を図₁₁に示す。このレンズ内における光線の ray tracing（₁₅），式（₃₁）のすべての初期値が与えられたことになを図₁₂に示す。

る。しかし，θ ic，θ tc，θ ib，および θ tb は₉₀°よりも小さいという屈折の制約条件からすべての初期値に対してレンズ形₅.₂解の妥当性状を求めることができない。また r₀ > ₀ の条件から，式（₁）

図₁₂に示したレンズ形状をスプライン関数で近似するこにおいて r₀ を零とすると ε r と l₀ には，次式が成立する。とができる ︵₃︶。まず，ホーン側のレンズ形状を近似して式

l0 ε r + ρ0 = Lt 0（₄₁）（₂）の dr /( rdθ ) を求めることができる。また，今回の計算例では δ c は -₁ であるから，式（₂）を用いて θ ic を決定

図₁₀に，比誘電率 ε r を横軸，l₀ を縦軸として，レンズ形できる。この θ ic と連立微分方程式から求まる θ ic との比較状が求まる範囲を示す。ここで，下側の境界線は屈折の制を図₁₃（a）に示す。θ > ₀.₅°では両者は一致するが，θ の₀°近傍で一致していない。これは付録で示すようにスプライン関数の精度によるものである。
次に，開口面側のレンズ形状を近似して式（₅）の d ρ /( ρdφ )d ρ /( ρdφ ) を求めて，ψ を決定でき，連立微分方程式の ψ と比較できる。これを図₁₃（b）に示す。ここでも θ の₀°近傍の不一致はスプライン関数の精度によるものであり，図₁₂に示した連立微分方程式で得られたレンズ形状の解は妥当であることがわかる。

図₁₀

図₁₁

レンズ形状が求まる範囲

図₁₃

レンズ系で給電された鏡面修整形球面鏡アンテナ
─ 35 ─

解の妥当性

浦崎修治

₆ ．むすび
反射鏡をレンズへ置き換える設計法を鏡面修整形球面鏡アンテナへ適用した。この球面鏡アンテナはレンズ装荷ホーンと副反射鏡のみの駆動でアンテナビームの追尾ができること，同一パネル形状で球面鏡を構成できるため低価格化が図れることばかりでなく，レンズ形状の設計によって開口面上で任意の振幅分布，位相分布を実現できる。
また，このレンズ形状の設計法はレンズのみから構成されるレンズ修整形アンテナの設計へ適用できる。

図₁₅

Ray Tracing，誘電率＝₂.₀

付録
レンズ形状を ₂ 次曲面として与えると， ₃ 章の屈折の法則から開口面上での θ b，Xa，および Lt を求めることができる。次に，これらを初期値として連立微分方程式からレンズ形状を求めると，これが与えた ₂ 次曲面と一致すれば設計理論の妥当性に関する必要条件となる。
この ₂ 次曲面のレンズ形状として，図₁₄に示すように点C は焦点 Fl，F の双曲線上の点，点 B は焦点 Fd，F の楕円上の点とすると，座標（r, θ ），および（ρ , φ ）は次のようになる。

図₁₄

r=ρ=

図₁₆

₂ 次曲面のレンズ

ac( ec2 − 1)
1 + ec cos θab(1 − eb2 )1 − eb cos φ（₄₂）（₄₃）

スプライン関数の精度位まで一致した。
図₁₅に，θ を₀°から₃₀°の範囲で₅°間隔の光線をレンズに入射させた場合の ray tracing を示す。
連立微分方程式で求まったレンズ形状（与えたレンズ形

ここで，点 C の双曲線の離心率，焦点距離を各々，ec，状と一致している）を用いて，₅.₂節と同様にスプライン関

fc とすると ac = f c / ec である。同様に，点 B の双曲線の離数で近似した結果との比較を図₁₆に示す。ここで，連立微心率，焦点距離を各々，eb，fb とすると ab = f b / eb である。

分方程式で求まる θ ic，ψ は，各々，式（₄₂），（₄₃）を微分

この ab(1 − eb ) を₁₃₀₀，r₀ を₁₀₀₀，l₀ を₅₀，ρ ₀ を₃₃₀₀とすして得られた厳密値と一致している。したがって，レンズる と e c は ₆.₇₁₄₈₅₇，a c は ₁₇₅.₀，e b は ₀.₄₃₄₇₈₂₆，a b は形状の座標は小数点第 ₂ 位まで一致しても，θ = ₀°の近傍₂₃₀₀.₀となる。

で一致してないのは，スプライン関数の精度によるものと₃ 章で示した屈折の式に加えて，図₁₄に示すように，座考えられる。

標（r, θ ）の点 C，座標（ρ , φ ）の点 B 間の距離を g を求め文る必要があり，これは次式から得られる。

r sinθ + g sinθ c = ρ sin φ（₄₄）

r cos θ + g cos θ c + ρ cos φ = m0（₄₅）［ ₁ ］浦崎，岡田，“回転対称形球面鏡アンテナの鏡面修整法”，信学技報，A・P₂₀₁₀-₅₂（₂₀₁₀-₇）.
［ ₂ ］浦崎，岡田，“鏡面修整形球面鏡アンテナの設計”，信学技報，A・P₂₀₁₁-₁₃（₂₀₁₁-₅）.

ここで，比誘電率を₂.₀とすると，θ b，xa，および Lt が求まるので，これらを連立微分方程式に代入してレンズ形状

献［ ₃ ］渡部を求めた。このレンズ形状は与えた ₂ 次曲面と小数点第 ₂力・他「Fortran₇₇による数値計算ソフトウェア」（丸善）．
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