特別論文

粘性流領域における真空排気の理論計算とその応用
千田裕

彦

Theoretical Analysis of Vacuum Evacuation in Viscous Flow and Its Applications ─ by Yasuhiko Senda ─ Thevacuum is classified into three categories depending on the state of gas: viscous, intermediate, and molecular flows.
The viscous flow evacuation is generally regarded as a basic technique, with which pressure decreases along withthe exponential curve of time. However, this is not always the case when the conductance of the pipe is considered.
To begin with, the author theoretically solved the evacuation equation in the viscous flow. In addition, he introduced
the notion of “transferring pressure ∏,” calculated as S0 / Cc; S0 refers to the pumping speed, while Cc refers to theratio of the conductance of the pipe to the pressure.
By examining the two extreme cases, the author has revealed a new fact: (a) when pressure >> ∏, the evacuation
curve is exponential as generally stated; whereas (b) when pressure << ∏, the curve is not exponential but inversely
proportional to time. In this paper, the author describes the details of his study and the applications of case (b).
Keywords: vacuum, viscous flow, Knudsen number, conductance, evacuation time1.

緒言

真空とは、JIS Z 8126（真空用語）によると、「通常の出した。また、「分岐圧力」という概念を創出して、①②大気圧より低い圧力の気体で満たされた空間の状態」と定を含む一般の粘性流領域における排気曲線が、総合的に説義され、その圧力に応じて、産業上の様々な分野で利用さ明できることを示した。特に、通常触れられることのないれている（表 1）。

②の結果は簡潔でかつ興味深いものである。最後に、その表1

応用や留意点についても述べる。

圧力別に見た、真空技術の応用例

応用分野

圧力例（Pa）

真空吸着

10 5 〜 10 4

大気との圧力差を利用

真空蒸留

10 4 〜 10 3

沸点の低下を利用

真空置換

10 〜 10

残留不純物の低下

真空蒸着

10 -2 〜 10 -7

気体分子の平均自由行程の増大を利用

分子線エピタキシー10 -7 〜 10 -9残留分子の入射頻度の低下を利用し、成膜の純度を向上させる。

1-3

利用される物理現象

表 1 を見て分かるように、対象となる圧力範囲は 10 の2.

真空の区分
2−1

圧力による区分

JIS Z 8126 には圧力範囲による区分が定義されている。

表2

圧力による真空の区分（1）

真空の区分

圧力例（Pa）

低真空

大気〜 100

中真空

100 〜 0.1

高真空

0.1 〜 10 -5

超高真空

10 -5 以下

14 乗にも渡っており、必要とされる装置構成・仕様、解決すべき課題、ノウハウはそれぞれに異なる。
本論文では、通常の真空技術の教科書では「簡単なもの」

これらの区分は、容易に計測でき、直感的に分かり易いとして触れられることの殆どない「粘性流領域の真空排気ものではあるが、実際の物理現象（気体分子の運動状態）速度の理論解析」を実施して厳密な一般解を導出した。そを反映したものではなく、現象の解析には不適切である。

してその極限として、①配管抵抗が無視出来る場合、②配管抵抗が律速する場合、の 2 条件において各々極限式を導2−2気体の運動状態に着目した区分

真空現象の解析には、気体の運動状態（流れの状態）に着目した区分

2 0 1 0 年 1 月・ S E I テ クニ カ ル レ ビ ュ ー ・ 第 1 7 6 号 −（1）−が必要である。その境界は実は曖昧であるが通常次の表 3のように区分される。

壁の衝突の頻度が大きくなるような状態が生ずる。ここで（a）の状態を「粘性流領域」（b）の状態を「分子流領域」、と呼んで区別する。

表3

気体の運動状態に着目した区分

細分

分子の運動状態

目

安（3）

粘性流

乱流 分 子 が 壁 に 衝 突 す る 頻 度 よ K < 0.01, Re > 2200
り、分子同士の衝突頻度が層流 （圧倒的に）大K < 0.01, Re < 1200

中間流

粘性流と分子流との遷移領域 0.01 < K < 0.3

分子流分子同士が衝突する頻度より
K > 0.3
壁に衝突する頻度が大

内径D

区 分（a）粘性流（b）分子流

図1

K ：クヌーセン数：粘性流／分子流を示す指数。K ＝λ/D, D ：管径（m）
λ：平均自由行程（m）
Re ：レイノルズ数。乱流／層流を示す指数。Re ＝ Dv ρ/η, v ：流速（m/s）, ρ：密度（kg/m3）,
D ：管径（m）
η：粘性係数（Pa･s）

3−3

さて、図 1

流れの指標：クヌーセン数と PDを見て分かるように、配管（または容器）の内径を D［m］とすると、λ<< D のときに粘性流、λ≧ D 程度のときに分子流、となるのが分かる。そこで、K ＝λ/ D なる無次元数

これらの区分が重要なのは、実用上大切な「真空排気速を考えると、K<<1 で粘性流、K ≧ 1 程度で分子流となる。

度」の計算に必要な「コンダクタンス」という指標が、こその中間が中間流領域。この K をクヌーセン数（Knudsenの区分により大きく変わるからである。本論文は表 3 の粘Number） と 呼 ぶ 。 実 用 的 に は 、 K< 0.01 を 粘 性 流 、性流領域（層流）の状態を解析するものであるが、まずは表 3 の概要を次に説明する。

3.

また、この関係を式（2）に代入すると、
粘性流： PD > 0.68［Pa･m］
分子流： PD < 0.02

真空の基礎
3−1

K > 0.3 を分子流領域と考える場合が多い。とも表現できる。現実の設計ではこの表現の方が直感的で気体は多数の分子の集まりで、平均自由行程それぞれが分子の種類と温度で決まる平均速度で自由に飛分かり易い。
3−4

配管の中を気体が流れるとコンダクタンスび回っている（室温で 500 〜 1500m/s 程度）。分子の数はき生ずる抵抗を排気抵抗と呼び、その逆数をコンダクタン通常非常に多数（室温で 1L 当たり 2.7E22 個）のため、分スと呼ぶ。図 2 のような模式図において、配管両端の圧力子同士は互いに衝突を繰り返している。その衝突と衝突の間に飛ぶ距離の平均を「平均自由行程（mean free path）」と呼ぶ。
平均自由行程をλ［m］、圧力 P［Pa］、温度 T［K］、分子直径 d［m］、ボルツマン定数 k［J/ K］とすると、以下の式が成り立つ

を P1, P0［Pa］とし、流量を Q［Pam3/s］で表すと、コンダクタンス C［m3/s］として

Q = C (P1 – P0)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（3）で表される。

。

（3）CkT
λ= —2√ 2̄πd P

3.11×10 T—2dP-24・・・・・・・・・・・・式（1）

ここで、T ＝ 300［K］、気体分子を窒素とすると、分子Q（6）、直径は d ＝ 0.37［nm］であるから（5）、

λ = 6.8 ×10 / P-3・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（2）で表される（大気の場合も殆ど同じである。）。
3−2

粘性流と分子流

圧力が高い状態では

図1（a）のように分子同士の衝突が支配的であるが、式（2）を見ても分かるように圧力を下げていくと平均自由行程は大きくなって、図 1（b）のように分子同士の衝突より分子と−（2P0P1）− 粘性流領域における真空排気の理論計算とその応用

図 2 ：コンダクタンスの模式図

表 4 （長い）配管のコンダクタンス（2）コンダクタンスC［m3/s］

粘性流

分子流

1349 D 4 P
L

121 D 3L

P ＝（P1 ＋ P0）/ 2［Pa］, D：配管直径［m］； L：配管長さ［m］

粘性流、分子流領域における配管のコンダクタンスは表

排気速度
S［m3/s］

4 のように理論的に求められる。特徴としては・粘性流：平均圧力に比例する。D の 4 乗に比例。

・分子流：圧力に無関係。D の 3 乗に比例する。

容積
V［m3］

中間流に対する値としては、分子流コンダクタンスを 1ポンプ
配管コンダクタンス
C［m3/s］

として2

1 + 201·PD + 2647·(PD)—1 + 236·PD

図4

簡単な排気システムとする。という近似式（3）が提唱されている（図 3）。

これら（6）,（7）の式は、簡単で物理的意味も明白である。ただし、これには前提に問題がある。すなわち、それは、3 − 4 で記したように、配管コンダクタンス C は実際

100は平均圧力に比例する、という点である。上記計算では C

PDをパラメータにした場合のコンダクタンスの相対変化は十分大きくて無視できるとするか、または簡単に 8 掛けとしてあるが、無視できない場合はどうなるのであろうか、10一般的な式はないのか、ということである。本論文では、

粘性流以下にこの一般的な場合の解を考察する。

中間流
分子流
10.001

0.01

0.1

110

PD [Pa･m]

図34.

粘性流領域における排気計算の一般解
4−1

PD を変化させた場合のコンダクタンスの相対変化

基本式の導出

基本式導出のため、各物理量を図 5 のように改めて定義する。

圧力 P（t）［Pa］

これによれば、粘性流の限界は PD ≒ 0.3 〜 0.4 程度と考圧力P0（t）

排気速度
S 0［m3/s］

えても十分である。
3−5

排気速度、排気時間（簡略計算）

図 4 のよう

容積V［m3］な簡単な排気システムを考える。容積 V［m3］の容器を、配管で接続して、排気速度 S［m3/s］の真空ポンプで排気する。

ポンプ
配管コンダクタンス
C［m3/s］

通常の教科書等では次のように簡単に考える。粘性流領域
では配管のコンダクタンス C はポンプの排気速度 S に比べ

C ＝ CC ｛･ P（t）＋ P0（t）｝/ 2 、CC：コンダクタンス係数て十分大きいとして無視するか、または実行排気速度 Se ＝

図5

0.8S 程度と考えて、非定常状態でのガス収支のバランス式

V·ΔP = – S e·P·Δt・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（4）粘性流領域の排気システム

3 − 4 で述べたように、粘性流領域では配管のコンダク

タンス C は平均圧力に比例する。そこで、圧力に比例しなを積分してい部分を C c［m3/sPa］と置き、コンダクタンス係数と呼ぶ

SeIn (P) = – — ·t + 定数
V・・・・・・・・・・・・・・・・・式（5）を得る。式（5）を初期条件 t ＝ 0 で P ＝ P0 で解いて{ことにする。
表 4 より、室温大気の場合は、配管径 D［m］, 長さ L［m］

として4

P = P0 ·exp ( – S e · t / V )( )V
P0t = 2.303 · — log —Se
P・・・・・・・・・・・・・・・式（6）・・・・・・・・・・・・・・・式（7）1349·D
Cc = —Lである。図 5 のようにポンプの排気速度を S0、ポンプ頭の2 0 1 0 年 1 月・ S E I テ クニ カ ル レ ビ ュ ー ・ 第 1 7 6 号 −（3）−圧力を P0（t）、容器の圧力を P（t）と、時間の関数とする。

4−2

幸運なことに式（14）は解析一般解の導出的に解ける。ここで、以下の仮定を置く。
・ポンプの到達圧力は十分小さく無視できるものとする。
・容器は十分大きく、圧力は均一で配管体積は無視できる。
・各部のリーク及びガス放出は無視できる。
・粘性流領域で考える。
以上の条件の下に、t ＝ 0 のとき P（t）＝ P0 からスタートしS0P (t) = — · x (t)Cc・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・式（15）と置く。式（14）は式（15）により、て、P（t）を求めることを考える。
配管を流れる流量を Q（t）
［Pa･m3/s］と置くと、式（3）より、– V dx
2— — = – 1 + √¯
1+ x (t)S 0 dt・・・・・・・・・・・式（16）・と成る。ここで、Q (t ) = C ·(P (t) – P0 (t))
V— =τS0C
2
2= —c (P (t) – P0 (t) )2222→ P (t ) – P0 (t) = — · Q (t)Cc・・・・・・・・式（8）である。一方、排気速度の定義より、・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（9）Q (t ) = S 0 ·P0 (t)（時定数）・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（17）と置くと、

dx
2– τ — = – 1 + √¯
1+ x (t)dt・・・・・・・・・・・・・式（18）が得られる。式（18）を積分形で表現すると、が成立し、容器の時間当たりの圧力降下が流量に等しいという収支バランスから、

– dt

dx

= ∫—∫—¯τ–
11+x√・・・・・・・・・・・・・式（19）2dP– V · — = Q (t )dt・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（10）2が成立。式（9）を（8）,（10）に代入して{ここで公式集（7）より、222P (t ) – P0 (t) = — S 0 P0 (t)Cc・・・・・・・・・・式（11）dP– V · — = S 0 P0 (t)dt・・・・・・・・・・式（12）¯– √ 1+ x 21¯
= — + ln x + √ 1+ x 2 – — ・・・・式（20）xx(– dt∫ τ式（11）より、

S0P0 (t) = – — +Cc¯2√ 1+ x +1式（19左辺）= ∫ — dxx)–t式（19右辺）= — = — – A（積分定数） ・・・・式（21）¯S—√( )

τ20Cc+ P (t)2・・・・・・・・・式（13）– √¯–t1+ x 21— + ln x + √¯
1+ x 2 – — = — – A ・・・式（22）xτx

式（13）を式（12）に代入して、– V dP–S0—·— = —+S0dt
Cc(¯S—√( )20Cc

よって、式（20）,（21）より、+ P (t)2・・・・・式（14）)

ただし、S0P (t) = — x (t)Cc

この式（14）の微分方程式を、初期条件 t ＝ 0 で P（t）＝ P0が得られる。この式（22）を、初期条件 t ＝ 0 で P（t）＝ P0で解けば良い。

で解く。

−（4）− 粘性流領域における真空排気の理論計算とその応用

ここで以下の 2 つの場合の極限近似を考える。

S0P0 = — x 0 とおくと、Cc¯【ケース 1】P >> Πなる圧力領域。（式（26）は自動成立）

1+ √ 1+ x 0 2¯
A = — – ln x 0 + √ 1+ x 0 2 ・・・・・・・式（23）x0(¯){ ( )} { ( )} ( )2Pt— ≈ 1 – ln —τ∏)

( )

( )
– S 0 ·tt

即ち、 P ≈ P0 exp – — = P0 exp —τ

ただし、S0S
VP (t) = —x (t), P 0 = —0 x 0 , τ = —Cc
Cc
S0V・・・・式（28）【ケース 2】P << Πなる圧力領域。

が一般解である。
4−3∏

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（27）1+ √ 1+ x 2
t—= —– ln x + √¯1+ x 2 – A ・・・式（24）τx(P0= ln —P

2P0– 1 – ln —22∏t— ≈ — – ln (1) – A ≈ —τPP/∏

2 つの極限Vτ=—
S0

は時間の単位［s］を持ち、t /τの形で表れることから、「時定数」に相当すると考えられる。一方

S0—
Cc{・・・・・・・・・式（29）()

P0 ≈ ∏ の時は A ≈ 1 + √ 2̄ – ln 1 +√ 2̄ ≅ 1.53
2∏
P0 >> ∏ の時は — >> – AP2∏ ·τt

2·VCc

1t

即ち、 P ≈ — = — · —は、圧力［Pa］の単位を持つことから、何らかの代表的圧

( )

2P0
ln — – 1∏・・・・・・・・・式（30）力であると考えられる。以降、これを
4−4S0∏= —Cc

一般解の解釈前章のケース 1、ケース 2 を解釈してみる。

①普通の分岐圧力 Π＝ S 0 /Cc を持つ場合。この場合、大気とおいて、「分岐圧力」と呼ぶことにする。こうすると、圧から排気を開始したとすると、最初は圧力 P は時間 t

式（23）,（24）の一般解は、の指数関数で減少していく（ケース 1）。分岐圧力より十¯2((分圧力が低下すると、今度は、初期条件とは無関係に、)

1+ √1+ ( P/ ∏ )Pt¯( P/ ∏ ) 2 – A—= —– ln — + √1+τ∏( P/ ∏ )¯2

P01+ √ 1+ ( P0 / ∏ )¯2
A = — – ln — + √ 1+ ( P0 / ∏ )∏∏( P0 / ))・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（25）圧力 P は時間に反比例して低下する（ケース 2）。この 2つの状態が仮想的に分岐する圧力が分岐圧力Πであるわけである。
②配管径が十分太くて、分岐圧力が小さく、粘性流領域の下限程度に達している場合。この場合は、ケース 2 の状態が実際は発現せず、真空排気のほぼ全圧力領域でケース 1、即ち圧力が時間の指数関数で低下する。この状態が 3 − 5 で述べた、通常の真空技術の教科書に記載されている場合である。と表現される（P は時間 t の関数である。）。圧力は分岐圧力③逆に、配管が非常に細くて、分岐圧力が高くて、大気圧Π（パイ）で「正規化」されていると考えられる。

近い場合も考えられる。この場合はケース 1 の状態は発一般に P0 は大気圧であるから P0 >> Π。即ち、現せず、全領域でケース 2、即ち圧力が時間に反比例す( )2P0A ≈ 1 – ln —∏が多くの場合成り立つ。

ることになる。このケースでは真空ポンプの排気速度は・・・・・・・・・・・・・・・・・・・式（26）配管の抵抗でマスクされてしまった状態である。排気時間は容積 V とコンダクタンス係数 C c だけの関数になり、初期圧力とポンプの排気速度には無関係になる（式 30）。

2 0 1 0 年 1 月・ S E I テ クニ カ ル レ ビ ュ ー ・ 第 1 7 6 号 −（5）−一般の粘性流領域における真空排気では上記①〜③全ての状態が現れ得る。教科書に記載されている②の場合が全てではないことに注意する必要がある。特に、①③では5.

応用と留意点5−1

圧力が時間に反比例するケースは、応用事例

排気時間が掛かるだけで実用上意味がない、とも思われる

ケース 2 の、「圧力が時間に反比例して低下する」領域があが、必ずしもそうでもない。太い配管で容器を大気圧からることは極めて特徴的で注目に値する。

排気し始めると、実は最初の間は乱流状態が生じて、容器この状況をグラフにしたのが下記 図 6 である。

内でゴミが飛散し、問題になることがある。そのような場条件は： L ＝ 3［m］, V ＝ 10［L］, S 0 ＝ 200［L /min］,

P0 ＝ 1e5［Pa］である。

合は、最初の内だけ、細い配管でスロー排気を行うことが良く行われる（図 8）。このとき、どの程度の配管を採用すれば本引きしても層流となる圧力領域にどの程度の時間で到達するのか、本計算を採用すれば判明する。あまりに細い配管を使うと、不必要に時間がかかるので注意せねばな

1.0E+05らない。場合によってはスロー配管を 2 系統必要な場合も分岐圧力

圧力：Pa

1.0E+04
1.0E+03
1.0E+02
1.0E+01

考えられる。
③：D＝4mm
ほぼ全領域で時間に反比例②：D＝2.5cm；
全領域 指数関数的減少

110①：D＝1cm
両者混合

スロー引配管粘性領域下限100

1,000

10,000真空容器

排気時間：秒

図6ポンプ
本引配管

排気曲線の計算例

図8①、②、③の 3 つの場合が典型的に描かれている。粘性

スロー排気の事例

領域下限は PD ＝ 0.3 を採用してある。
4−5実測例

図 7 に実測例のグラフを示す。
5−2

留意点

図 9 は図 6 の①②のグラフを、横軸をリニアにとって片対数で描き直したものである。

曲線①は途中から大きく「寝て」しまっている。教科書

10000に書いてあることだけを信じて、粗びきの排気曲線は片対圧力：Pa

実測：Pa
理論値

数グラフで直線であるべき、と思いこむとひどい間違いである。このように寝てしまうと「リークがあるのではないか？」など不要な心配をして、あるはずもないリーク探し

1000100を始める、などということのないように留意されたい。勿10100

1000

1.0E+05

排気時間：秒

1.0E+04

実測例
圧力：Pa

図7V ＝ 8.6［L］, S 0 ＝ 180［L/min］, L ＝ 7.5［m］, D ＝7.53［mm］（3/8”チューブ、肉厚 1mm）
, P0 ＝ 1e5［Pa］（大気圧）である。

1.0E+03①

この曲線が「寝ている」のは、分岐圧力を通過して特性が指数関数→反比例に変化したため。
決してリークでは無い。

1.0E+02
1.0E+01

050

100150

排気時間：秒

図9−（6）− 粘性流領域における真空排気の理論計算とその応用

片対数で描いた排気曲線

200

論、このように排気に長時間かかることは、望ましくもな
く、意図したことではない場合も多い。この事例で言えば、「配管径が細すぎる」わけで、「配管のサイズアップが必要」と判断するのが正解である。

結6.

言

真空の世界では、「比較的簡単」と思われているせいか、粘性流領域の話題は教科書等では非常に少ない。今回、解析してみると、簡単と思われていたことでも意外に深い現象であることが判明した。本論文では、「分岐圧力」という概念を創出することにより、粘性流領域の排気状態が、指数関数領域から時間反比例領域へ遷移することを示した。特に、配管抵抗が支配的な領域では、「圧力が時間に反比例する」という事実は非常に簡潔で、かつ重要な結論であるにもかかわらず、これを明確に指摘した真空技術の教科書を見たことがないのは不思議なくらいである。
今回厳密に導出した一般解はかなり複雑な形をしており、そのままでは直感的理解はし難いものがある。ただし現在ではコンピュータの利用が一般的になっており、表計算ソフトなどを使うと、本一般式で容易にグラフを描いたり、シミュレーションしたりできるので、それなりの意味があると思われる。
本論文が真空技術に関わる人々、真空設備を使用されている方々などの一助になれば幸いである。

参考

文

献

（1）JIS Z 8126、「真空用語」、p2（1990）（2）「真空ハンドブック 増訂版」、pp39-41、日本真空技術㈱（1982）（3）林義孝、「真空技術入門」、pp18-19、p13、p21、日刊工業新聞社（1987）（4）URL http: //www.nucleng.kyoto-u.ac.jp/People/ikuji/edu/vac/appA/conduct.html（5）URL http: //www.nucleng.kyoto-u.ac.jp/People/ikuji/edu/ebeam/lennard.html（6）URL http: //www.nucleng.kyoto-u.ac.jp/People/ikuji/edu/vac/app-A/mfp.html（7）大槻義彦訳、「数学大公式集」、pp86-88、丸善（1983）（8）ジョン F. オハンロン、「真空技術マニュアル」、産業図書（1985）（9）中川勝矢、「真空技術実務読本」、オーム社（1985）（10）中川洋、「失敗に学ぶ現場のための『真空技術トラブル対策』」、トレ
ンド・ブックス（1982）「真空システム工学−基礎と応用−」、養賢堂（1977）（11）谷田和雄、

執筆

千田者 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------裕 彦：シニアスペシャリスト
生産技術部 設備技術部 主幹
半導体等の設備技術の開発に従事-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 0 1 0 年 1 月・ S E I テ クニ カ ル レ ビ ュ ー ・ 第 1 7 6 号 −（7）−