広島工業大学紀要研究編
第 44 巻（2010）pp.7-12

論文

球面収差補正形球面鏡アンテナの設計法
浦崎修治 *（平成21年８月５日受理）

Design Method of Spherical reflector Antennas with a Correcting
Subreflector for Spherical Aberration
Shuji URASAKI(Received Aug. 5, 2009)

Abstract
This paper describes design method of spherical reflector antennas with the subreflector between the main spherical reflector and the primary horn in order to correct for spherical aberration. Design parameters are three, namely,an aperture angle of the main reflector, a diameterof the subreflector and a position of the horn.
If coordinates of the subreflector are de.ned doubly for some combination of the three parameters, the subreflector cannot be formed. Analytical condition to form the subreflector is deduced using the three desin parameters. In numerical results, a subreflector diameter havemuch in.uence rather than a horn position for forming condition, the minimum diameter of theforming subreflector exist accordin as an aperture angle of the main reflector.
An amplitude distribution in the main reflector is presented for the three design parameters
and the illuminated radiation patterns at the subreflector. If the diameter of the subreflector isselected for the minimum value describe above in order to minimize aperture blocking of thesubreflector, an extreemly inverse-taped amplitude distribution which have deteriorate radiatin characteristics is produced.
Key Words: reflector antenna, aperture antenna

球面鏡アンテナの設計法を述べる。この球面鏡アンテナの１．まえがき

設計パラメーターは主反射鏡である球面鏡の開口径，開口角，副反射鏡の開口径，およびホーンの位置である。ここ球面鏡は球面収差をもつため，これを補正するために一⑴，⑵次放射器を線波源にするで，主反射鏡開口径は固定できるので設計パラメーターは，または一次放射器であるホー⑶残りの３個となる。

ンと球面鏡との間に副反射鏡を設ける方法 がある。パラボラアンテナにおいてアンテナビームを偏向させる場合はまず，３個の設計パラメーターを用いて主反射鏡およびアンテナ全体を駆動させるが，球面鏡アンテナの場合，球副反射鏡の周辺の座標，すなわち外形を決定でき，ホーン面の中心回りに線状の一次放射器のみ，またはホーンと副の位相中心から主反射鏡開口面までの全光路長に対する初反射鏡のみを駆動すればよく，球面鏡を固定でき機構上に期値を求めることができる。次に，法線方向が既知であるメリットがある。

任意の球面鏡上の点へ入射した光線はこの点での反射の法則から反射方向が定まり，副反射鏡の座標は初期値としてここでは，ホーン給電の球面収差補正形副反射鏡をもつ＊＊＊

広島工業大学工学部電気・デジタルシステム工学科

―7―

浦崎修治

求めている全行路長と等しくする条件から決定できる。

ここで，点 A0 の Z 座標を Za0，点 M1 の Z 座標を Zm1 す

しかし，設計パラメーターの与え方によっては，周辺かると次のようになる。

ら中心部へ副反射鏡鏡面を求めていくと二重に副反射鏡のZa0 ＝ Rm － ρm1⑶座標が定義され，副反射鏡を形成できない場合がある。こZm1 ＝ Za0 － ρm1cos θmm⑷

こでは，３個の設計パラメーターを用いて副反射鏡の形成

点 S1 に お け る 反 射 の 法 則 か ら，¦A0S1¦ を ρs1，¦S1F¦ をできる条件式を導いている。

rs1，点Ｆから副反射鏡の周辺 S1 の見込み角を θsm とすると収差補正形副反射鏡をもつ球面鏡アンテナの開口分布は次のようになる。

⑶

逆テーパー分布になることが報告されている 。ここでは，副反射鏡を形成できる範囲において，３個の設計パラメーターを変化させた場合の開口分布を求めている。

ρs1 ＝Ds⑸

2sin
（θmm）

rs1sin θsm ＝ ρs1sin θmm

２．主反射鏡，副反射鏡の外形＝

図１に示す主反射鏡は点 C を中心とする球面鏡，副反Ds2⑹rs1cos θsm － ρs1cos θmm ＝ Za0 － Zf

射鏡は球面収差を補正する非２次曲面，一次放射器は点 F⑺

式⑹，⑺から rs1，θsm は次のようになる。

を位相中心とする給電ホーンである。主反射鏡の開口径tan θsm ＝Dm，主反射鏡の開口角 θmm，副反射鏡の開口径 Ds，および位相中心 F の位置 Zf が設計パラメーターで初期値としてrs1 ＝与えるものである。ここで，Z 軸は鏡軸である。

Ds2（Za0 － Zf+ρs1cos θmm）

Ds⑻⑼2sin θsm

主反射鏡の周辺 M1（M2）において鏡軸と平行な入射光線が反射して副反射鏡の周辺 S1（S2）へ向い，最終的に焦点 F へ集束するものとする。M1S1 が Z 軸と交わる点を A0とする。この Z 軸の点 A0 を含み鏡軸と垂直な面を開口面A1A0A2 とする。

図２

副反射鏡の鏡面座標以上から各反射鏡の外形が定まるので，開口面 A1A0A2の周辺から焦点 F までの全光路長 L は次のようになる。

L ＝¦A1M1¦ ＋ ¦M1A0S1¦ ＋ ¦S1F¦＝（Za0 － Zm1）＋（ρm1 ＋ ρs1）
図１＋ rs1反射鏡の外形

点 M1 における反射の法則から，球面鏡の半径 ¦M1C¦ を⑽３．収差補正形副反射鏡の鏡面座標

Rm，¦M1A0¦ を ρm1 とすると次のようになる。

副反射鏡の鏡面座標は，図２に示す点 M での反射の法

Dm
θmm
Rm ＝
2sin
（ 2 ）

⑴

Dm
ρm1 ＝
2sin（θmm）⑵

則と光路長一定の条件から求めることができる。
主反射鏡の点 M（Xm，Zm）へ入射した光線が，反射して副反射鏡上の点 S（Xs，Zs）へ向かうものとする。ここで，Xm を入力として与えると Zm は次のようになる。
―8―球面収差補正形球面鏡アンテナの設計法

Zm ＝ R（1－ cosξ）
m⑾Xmsinξ ＝Rm⑿４．副反射鏡の形成条件
4.1

形成できる条件式

点 M に入射した光線が開口面と交わる点を A とする。

２章の設計パラメータを与え，３章で示した式に基づいこの開口面上の点 A から焦点 F までの光路長 L は ¦AMSF¦て副反射鏡の鏡面座標を求めることができる。しかし，設で与えられ，次のようになる。

計パラメータによっては図３に示すように副反射鏡が２重L ＝ ¦AM¦ ＋ ¦MS¦ ＋ ¦SF¦⒀に定義され，すなわち湾曲が生じて副反射鏡を形成できな＝（Za0 － Zm）＋ ρ ＋ rs⒁い場合がある。
図４を用い，この湾曲が発生しない，すなわち副反射鏡

ここで，¦MS¦ を ρs，¦SF¦ を rs としている。

を形成できるための条件式を導出する。主反射鏡の中心へしたがって，（ρ ＋ rs）は次のように定数となり，これ入射した光線に対応する副反射鏡座標は３章の計算式からを 2as で表わすと次のようになる。
⒂

求まり，この副反射鏡の点は鏡軸，すなわち Z 軸上にある。

⒃

湾曲が発生する条件は主反射鏡の中心へ入射した光線以外

また，¦FM¦ を焦点 F，焦点 M の焦点距離 2fs で表わすとの入射光線に対しても３章から求まる副反射鏡の点 S が図

ρ ＋ rs ＝ L －（Za0 － Zm）＝ 2as
次のようになる。

４に示すように鏡軸上にある場合である。

2fs ＝ X 2m ＋（Zm － Zf）2

点 M へ入射した光線が開口面と交わる点を A，点 M で⒄の反射の法則を用いて，副反射鏡上の点 S が鏡軸上に存在する場合の全光路長 L は次のようになる。

したがって，S（Xs，Zs）は鏡面定数が as，fs の楕円面鏡と点 M での反射光線との交点となり，次のようになる。

Xs ＝ Xm － ρssin2ξ

⒅

Zs ＝ Zm ＋ ρscos2ξ

⒆

L ＝（Za0 － Zm）＋ ρm0 ＋（Rm － ρm0 － Zf）＝（Rmcos ξ － ρm1）＋ Rm － Zf
＝ R（1＋ cos ξ）mここで，ρs は次式で表される。
2ρs ＝ as（1 － es）
1 － escos δm⒇es ＝ fsasδm ＝ π －（δ0 ＋ 2ξ）

tan δ0 ＝Xm
Zm － Zf＝Dm－ Zf2sin θmmDmξDm
cos2 －－ Zf22sin θmm
θmm
sin 2

一方，初期値として与えられている全光路長 L は式⑽で与えられており，これを設計パラメーターで表示して整理すると次のようになる。

L＝

Dmθmm Ds
11cot＋＋222 sin θmm sin θsm

ここで，θsm は次式で表される。

tan θsm ＝
η＝

Dm2Ds



2η
1θmm
sin 2－Ds
1
cot θmm － Zf＋sin θmm
2

式を式へ代入してξを求めると次のようになる。

Dmθmm
ξ Dm
1cos2 ＝ （cos＋）
sin θmm
222θmmsin 2Ds
11＋ （＋）＋Zfsin θsm2 sin θmm
上式から sin ξ を求めると次のようになる。

ξsin ＝（1－22

図３

副反射鏡の湾曲―9―cos

θmm
112）－
・θmm
42cos
2



浦崎修治

（1＋Ds
1  Ds12Zf  θmmsin）－ （）＋Dm
2  Dm sin θsm Dm 2５．開口分布

5.1

式の右辺が零以上ならば，ξが存在し湾曲が発生す計算式

図６に示すように，給電ホーンの位相中心 F から副反る。したがって，与える入力パラメータによって右辺が零射鏡上の点 S を見込む角は θs，この S に対応する主反射鏡となる境界が副反射鏡の形成できる限界値となる。

上の点 M の X 座標は Xm とする。
4.2

計算結果

ここで，主反射鏡と副反射鏡は回転対称な反射鏡であり，主反射鏡の開口径 Dm は 10m と固定すると，設計パラまた一次放射器であるホーンの放射パターン P（θs）も回メーターは副反射鏡の開口径 Ds，開口角 θmm および給電転対称とすると，主反射鏡の振幅分布 A（Xm）は電力保存

ホーンの焦点 Zf である。この３個の設計パラメーターに法則から次のようになる。

よっては，副反射鏡が湾曲して反射鏡として機能すること

sin θs d θsA（xm）＝ P（θs）
xm dxmができず，これらの設計パラメーターには取り得る範囲がある。いま，θmm を与えた場合，式から取り得る Ds に

ここで，３章で示したように Xm を与えると θs が求まる。

最小値があり，これを図５に示す。ここで，Zf は –1m，0m，+1m としている。この最小値よりも大きい Ds が副反射鏡を形成できる条件である。

これを再度，列記すると次のようになる。

zm ＝ Rm（1 － cos ξ）		

xmRmxmzm － zfδm ＝ π －（δ0 ＋ 2ξ）

fs
asa（１－e 2s）s
ρs ＝
1 － escos δm

2fs = x m2 ＋（zm － zf）2

2as ＝ L －（za0 － zm）

xs ＝ xm － ρssin2ξzs ＝ zm ＋ ρscos2ξ

xszs



sin ξ ＝tan δ0 ＝es ＝tan θs ＝
図４

次に，式に含まれる（dθs/dxm）を求めると次のよう副反射鏡の形成条件

図５



図６

Ds の最小値― 10 ―

電力保存の法則

球面収差補正形球面鏡アンテナの設計法になる。

zssec2θ（sd θsdxsdzstan θs）＝－dxm
dxm dxm

ここで，（dxs/dxm），（dzs/dxm）は以下の式から求まる。

dxsdρsdξsin2ξ － 2ρscos2ξ
＝1－dxmdxs
dxm

dzs dzm dρsdξcos2ξ － 2ρssin2ξ
＝＋dxm dxm dxm
dxmRmcosξ

dξ
＝1dxm

dzm
＝ tanξ
dxm

dδ0 1 － tanξ tanδ0＝dxm （zm － zf）sec2δ0



dδm
dδ0dξ
＝－－2
dxm
dxm
dxm

2

dfs xm ＋ tan （ξ zm － zf）
＝dxm
2fs



2

das
＝ tan ξdxm

desdas1 dfses）＝ （－dxm as dxm dxm

図７

周辺レベルを変化させた場合の振幅分布（40 度の場合）

図８

周辺レベルを変化させた場合の振幅分布（50 度の場合）

図９

周辺レベルを変化させた場合の振幅分布（60 度の場合）

dρsdasdes（1 － escos δm）＝ （1 － e 2s ）－ 2ases
dxm
dxm
dxm
＋ ρs（5.2desdδmcos δm － essin δm）
dxm
dxm



計算結果

こ こ で も，Dm を 10m と 固 定 し て い る。 ま た，P（θs）
を cos θs と仮定し，副反射鏡周辺（図１における S1 およnび S2）における周辺レベルを –E［dB］とすると，n は–E/｛10log10（cosθsm）｝となる。
設計パラメータ θmm を 40°，50°，60°とした時，図５から Ds の最小値は各々，約 0.8 ｍ，1.05 ｍ，1.5 ｍとなる。
ここで，Zf は 0 ｍとしている。これら Ds の最小値近傍において副反射鏡周辺レベルを –15dB，–20dB，–30dB と変化させ，θmm が 40°，50°，60°場合の振幅分布を各々図７，図８，図９に示す。
図７，図８，図９から Ds を最小値近傍に選ぶと逆テーパー分布が目立っている。次に，Ds を最小値よりも大きくした場合の振幅分布を求める。図 10 は θmm が 50°近傍における Ds の最小値を拡大したものである。ここでも，Zfは０ｍとしている。この θmm，50°において，Ds を最小値近傍の 1.05 ｍ，およびこれを超えた 1.2 ｍ，1.4 ｍとした場合の振幅分布を図 11 に示す。ここで，周辺レベルは–20dB である。Ds が大きくなると，逆テーパー分布が緩― 11 ―

浦崎修治

和される。
最後に Zf を変化させた場合の振幅分布を示す。ここで，θmm は 50 °，Ds は 最 小 値 近 傍 の 1.05 ｍ， 周 辺 レ ベ ル は–20dB とし，Zf を –1.0 ｍ，０ｍ，1.0 ｍと変化させた場合の振幅分布を図 12 に示す。
以上から，副反射鏡である非２次曲面が反射鏡として機能することができる Ds の最小値近傍に選ぶと極度の逆テーパー分布となる。一方，この逆テーパー分布を緩和するためにこの最小値を超える Ds にすると開口ブロッキングが大きくなるため，いずれにしても放射特性が劣化する。

６．むすび
図 10

Ds の最小値（拡大）主反射鏡である球面鏡の開口径を固定すると，設計パラメーターは主反射鏡の開口角，副反射鏡の開口径，およびホーンの位置の３個となることを示した。これらの設計パラメーターを自由に与えることはできず，主反射鏡の開口角に応じて副反射鏡が形成できるためには副反射鏡開口径において最小値が存在することを示した。なお，ホーンの位置によるこの最小値の変化は小さい。
次に，３個の鏡面設計パラメーターに加え，副反射鏡周辺レベルを変化させて，主反射鏡上の開口分布を求めた。
ここでも，副反射鏡の開口径による開口分布の変化は大きく，上記の最小値に副反射鏡の開口径を選ぶと極度の逆テーパー分布となる。この逆テーパー分布を解消するためには球面鏡アンテナの鏡面修整が必要となる⑷。

文
図 11

Ds を変化させた場合の振幅分布

献［１］A. W. Love, ”
Spherical Reflecting Antennas with CorrectedLine Sources,”IRE Trans. Antennas Propagation 10,529, 1962.
［２］L. W. Lalonde and D.E.Harris, ”A high performanceline source feed for the AIO spherical reflector,”
IEEE Trans.,Antennas Propagation, AP-18, pp.41-48,
Jan. 1970.
［３］F.S.Holt and E.L.Bouche, ”A Gregorian corrector for
spherical reflectors,” IEEE Trans., Antennas
Propagation 12, 4447, 1964.
［４］岡田，浦崎，”球面鏡アンテナの鏡面修整法，”信学技報，A. P200746（2007-7）．

図 12

Zf を変化させた場合の振幅分布― 12 ―