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数理解析研究所講究録
第2061巻 2018年 32-38

自己移入的 Koszul 多元環に対する有限条件 (Fg)板場綾子

(静岡大学)*

Ayako Itaba (Shizuoka University)
概本報告集は,[5] に基づいている.

要k を標数が 0 の代数的閉体, A を次数1で生成される連結次数付き k ‐多元環とする.毛利出氏は,cogeometricな自己移入的Koszul 多元環 A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) が,Erdmann らによって導入された有限条件(\mathrm{F}\mathrm{g}) を満たすかどうかの判定法として,以下のような予想を立てた.ただし,E は射影多様体, $\sigma$ はその自己同型である.
予想 A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) をcogeometric で,自己移入的 Koszul 多元環とし, k のcomplexity が有限であるとする.このとき, A が (\mathrm{F}\mathrm{g}) 条件を満たすことの必要十分条件は, $\sigma$ の位数が有限であることである.
上の予想は,非可換代数幾何学と多元環の表現論の内容をつなぐものとなっている.本報告集では,上の予想の部分的解決を与える.

1. 序
代数的閉体 k 上の有限次元多元環 $\Lambda$ に対して,Erdmann, Holloway, Taillefer, SnashallとSolberg [3] は, $\Lambda$ のホッホシルトコホモロジー環と \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t} 多元環 (米田多元環) を用いて,サポート多様体の理論がうまく機能するために有限条件 (Fg) を導入した.さらに,Erdmann たち [3] は, $\Lambda$ が (\mathrm{F}\mathrm{g}) を満たすならば,Snashall とSolberg [8] によって定義されたサポート多様体が,有限群の群環に対してのサポート多様体に類似した多くの性質を持つことを証明した.

以下では, k を標数が 0 である代数的閉体とし, A を次数1で有限生成されている k上の次数付き多元環とする.Artin, Tate とVan den Bergh [2] は,非可換代数幾何において次数付き多元環 A を研究する上で重要な役割を果たす,point加群と呼ばれる加群を導入した.また,毛利出氏 [6] は,point 加群の双対概念に相当する加群を定義し,これを co‐point 加群と名付けた.co‐point 加群は射影空間の部分集合 E でパラメタライズされる. p\in E に対応する co‐point 加群を M_{p} とすると, $\Omega$ M_{p} も \mathrm{c}(\succ point 加群なので, $\Omega$ M_{p}M_{ $\sigma$(p)} となるような写像 $\sigma$ : E \rightarrow E が存在する.この (E, $\sigma$) をA のcogeometric pair という.特に, E が射影多様体, $\sigma$ が E の自己同型になるとき,=A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) をcogeometric と呼ぶ [6]. 毛利出氏は,cogeometric で,自己移入的 Koszul
多元環 A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) が (\mathrm{F}\mathrm{g}) を満たすかどうかの判定法として,以下のような予想を立てた.

予想 A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) をcogeometric で,自己移入的 Koszul 多元環とし, k のcomplexityが有限であるとする.このとき, A が (\mathrm{F}\mathrm{g}) を満たすことの必要十分条件は, $\sigma$ の位数が有限であることである.

有限次元多元環が有限条件 (Fg) を満たすかどうかの判定には,計算が容易でないホッ
現在の所属 : 東京理科大学理学部第一部数学科 〒162‐8601東京都新宿区神楽坂1‐3\mathrm{e} ‐mail: itaba@rs.tus.ac.jp
静岡大学理学部数学科 〒422‐8529静岡県静岡市駿河区大谷336‐mail: itaba.ayako@shizuoka.ac.jp*

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ホシルトコホモロジー環と米田多元環を決定する必要がある.しかし,この予想が成り立つならば,比較的計算が容易な幾何的データである射影多様体 E の自己同型 $\sigma$ の位数が有限か無限かを調べることに置き換えられ 判定がしやすくなるという大変有意義な道具となる.多くの有限次元自己移入的多元環のクラスは有限条件 (Fg) を満たすのではないかと長年考えてられてきているが,有限次元多元環でcogeometricかつ自己移入的コシュール多元環の場合, $\sigma$ の位数は無限になる場合が大半であり,この予想が成り立っているならば,大抵のケースでは有限条件 (Fg) が成り立っていないことが分かる.
本研究の主結果は,この毛利出氏による予想に対して,以下のような部分的解決を与えたものである.自己移入的Koszul 多元環 A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) がcogeometric でかつ (Fg)を満たすならば, $\sigma$ の位数が有限である.すなわち,この予想の一方向は常に成り立っている (Theorem 4. 1). また, E が射影空間 \mathbb{P}^{n-1} の場合,この予想は正しい (Theorem4.2). さらに, A が ( rad A)^{4}=0 を満たす場合,この予想は正しい (Theorem 4.5).

2. 有限条件 (Fg)
この節では,[3] で導入された有限条件 (Fg) と加群のcomplexityの定義と性質を振り返ることにする.

代数的閉体 k 上の有限次元多元環 $\Lambda$ に対して,Erdmann, Holloway, Taillefer, SnashallとSolberg [3] は,以下のような条件を導入した.

定義2.1. ([3]) 有限次元 k ‐多元環 $\Lambda$ が有限条件 (Fg) (以下,単に (Fg) 条件と記す) を満
たすとは, $\Lambda$ のホッホシルトコホモロジー環 \mathrm{H}\mathrm{H}^{*}(\mathrm{A}) の次数付き部分多元環 H が存在し,次の2条件 (\mathrm{F}\mathrm{g}1) , (\mathrm{F}\mathrm{g}2) を満たすことである:(\mathrm{F}\mathrm{g}1) H は, H^{0}=\mathrm{H}\mathrm{H}^{0}( $\Lambda$) ( =\mathrm{Z}( $\Lambda$): $\Lambda$ の中心) を満たす可換ネーター環である.
(\mathrm{F}\mathrm{g}2) $\Lambda$ の \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t} 多元環

E($\Lambda$):=\displaystle\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_$\Lambda$}^{*($\Lambda$/\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{d}$\Lambda$, \Lambda$/\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{d}$\Lambda$)=\bigoplus_{i\geq0}^{\infty}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_$\Lambda$}^{i($\Lambda$/\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{d}$\Lambda$, \Lambda$/\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{d}$\Lambda$)
は有限生成 H‐加群である.

ここで, $\Lambda$ のホッホシルトコホモロジー環 \mathrm{H}\mathrm{H}^{*}(\mathrm{A}) とは,次数付き多元環\displaystle\mathrm{H}\mathrm{H}^*(\mathrm{A}):=\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_$\Lambda$^{\mathrm{e} ^{*}($\Lambda$, \Lambda$)=\bigoplus_{i\geq0}^{\infty}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_$\Lambda$^{\mathrm{e} ^{i}($\Lambda$, \Lambda$)をいう.ただし, $\Lambda$^{\mathrm{e} は $\Lambda$ の包絡多元環 $\Lambda$\otimes_{k}$\Lambda$^{\mathrm{o}\mathrm{p} を表す.
例えば,体 k 上の有限群の群環 kG は (\mathrm{F}\mathrm{g}) を満たすことが知られている.また, $\Lambda$ を n
変数の外積代数 k\langle x\mathrm{i}, x_{2} , . . . , x_{n}\rangle/ (X_{i}^{2}, xixj-$\alpha$_{i,j}x_{j}x_{i}) (0 \leq i,j \leq n, $\alpha$_{i,j} \in k\backslash \{0\}) とする.このとき, $\Lambda$ が (\mathrm{F}\mathrm{g}) を満たすことの必要十分条件は. $\alpha$_{i,j} が1の原始べき乗根となることである ([4]). この2つの例の多元環は,ともに自己移入的多元環であることを注意しておく .

注意2.2. 有限次元多元環 $\Lambda$ が(Fg) を満たすならば,べき零元を法とするホッホシル
トコホモロジー環 \mathrm{H}\mathrm{H}^{*}( $\Lambda$)/\mathcal{N}_{ $\Lambda$} と \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t} 多元環 \mathrm{E}(\mathrm{A}) はともに多元環として有限生成となる.

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次に, k‐多元環 $\Lambda$ の極小射影分解を用いて定められる左 $\Lambda$‐加群 M のcomplexity を定義しよう.これは,極小射影分解の増大度を測る指標である.以下の列を M の極小射影分解とする:.

.

d_{\underline{n+\not\in},\prime P_{n} \rightar ow^{d_{n} P_{n-1}^{d_{n} \rightar ow^{-1}\cdots\rightar ow^{d_{3} P_{2}\rightar ow^{d_{2} P_{1}\rightar ow^{d_{1} P_{0}\rightar ow^{ $\varepsilon$}M\rightar ow 0.

.

M のcomplexity \mathrm{c}\mathrm{x}(M) を\displaystyle \min { b\in \mathbb{N}_{0}|a\in \mathbb{R} が存在し,任意の n\geq 0 に対して, \dim_{k}P_{n}\leq an^{b-1} を満たす}で定める.また, M が周期的であるとは,ある自然数 m が存在し, $\Omega$^{m}M\cong M が成り立つことをいう.ただし, $\Omega$^{m}M は, M の m 次syzygy を表す.定義より以下の2つの注意がすぐに導かれる.

注意2.3. (1) 左 $\Lambda$‐加群 M のcomplexity が 0 であることの必要十分条件は, M が有限な射影次元を持つことである.(2) M が周期的であるならば, M のcomplexity が1になる.一般にはこの逆は成り立たない.しかし, $\Lambda$ が(Fg) を満たすならば, M が周期的であることと, M のcomplexity が1になることは同値になる.

3. Cogeometric pair とcogeometric algebra
この節では,co‐point 加群,cogeometric pair, cogeometric algebra の定義と性質を [6]より振り返る.

Artin, Tate とVan den Bergh [2] は,非可換代数幾何において次数付き多元環 A を研究する上で重要な役割を果たす,point加群と呼ばれる加群を導入した.また,毛利出氏[6] は,point 加群の双対概念に相当する加群を定義し,これを co‐point 加群と名付けた.
ここで, A=k\{x_{1}, x_{2}, . . . , x_{n}\}/I とする.ただし, I は A の両側イデアルとする. n-1次射影空間 \mathbb{P}^{n-1} の各点 p= ( a_{1}, a2, . . . , a_{n} ) に対して,記号の乱用であるが, A から A への左 A‐加群準同型 p の1の行き先を p(1):=a_{1}x_{1}+a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n} と定める.このとき,任意の f\in A に対して, p(f)=f\cdot(a_{1}x_{1}+a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}) となる.また,Cokerpを M_{p} とおく.

定義3.1. ([6]) 左 A‐加群 M がco‐point 加群であるとは,任意の自然数 i に対して,ある点 p_{i}\in \mathbb{P}^{n-1} が存在し, M の最小自由分解が次のようになることである:.

.

.

p_{m+}\rightar ow^{1}A\rightar ow^{p_{m} A^{p_{m} \rightar ow^{-1}

.

.

.

\rightarrow^{p_{2}}A\rightarrow^{p_{1}}A\rightarrow^{p0}A\rightarrow^{ $\varepsilon$}M\rightarrow 0.

注意3.2. co‐point 加群 M の最小自由分解に関して,各項の自由加群の階数が1であり,かつ各differential が一次式であるということである.各項の自由加群の階数が1であることより,co‐point 加群 M のcomplexity は1となる.また,最小自由分解は完全列であるので, M=M_{p0}, $\Omega$^{m}M=M_{p_{m}} (\forall m\geq 1) となる.
co‐point 加群は射影空間の部分集合 E でパラメタライズされる. p\in E に対応する
co‐point 加群を嶋とすると, $\Omega$ M_{p} もco‐point 加群なので, $\Omega$ M_{p}=M_{ $\sigma$(p)} となるような写像 $\sigma$ : E\rightarrow E が存在する.つまり, p\in E に対応する cxpoint加群 M_{p} の最小自由分解が.

.

.

$\sigma$^{m+1}(p)$\sigma$^{m}(p)$\sigma$^{m-\mathrm{i} (p)\displaystyle \ldots$\sigma$^{2}(p)\rightar ow A\rightar ow A\rightar ow\rightar ow A\frac{ $\sigma$(p)}{\prime}A\rightar ow^{p}A\rightar ow^{ $\varepsilon$}M_{p}\rightar ow 0となるような写像 $\sigma$ :E\rightarrow E が存在する.

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定義3.3. ([6]) 特に,上の E が射影多様体, $\sigma$ が E の自己同型になるとき,幾何的組(E, $\sigma$) を A のcogeometnc pair と呼び,また A をcogeometric algebra という.この場合,\mathcal{P}^{\mathrm{I} (A)=(E, $\sigma$) and A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) と各々書くことにする.
[2], [7], [6] を用いると,定理を得る.
定理3.4. 次数付き多元環 A を自己移入的 Koszul とし, k のcomplexity が有限,かつ( rad A)^{4} =0 とする.このとき, k のcomplexity は3以下であり, A はcogeometric である.

例3.5. A を以下の次数付き k ‐多元環とする:

A=k\langle x, y\}/(x^{2}, $\alpha$ xy+yx, y^{2}) ( $\alpha$\in k\backslash \{0\}).

多元環 A は自己移入的多元環で, \mathrm{c}\mathrm{x}(k)=2 である.定理3.4より, A はco‐geometric である.よって,計算することにより, A のcogeometric pair \mathcal{P}^{!}(A) は (\mathbb{P}^{1}, $\sigma$) となる.ただし,$\sigma$ :=4. 主結果

\left(begin{ar y}{l $\alph$&0\ 0&1 \end{ar y}\right)\in Aut\mathbb{P}^{1}=\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(k) .

この節では,毛利出氏による予想に関する本研究の主結果とその例を述べていく.ここで,有限条件 (Fg) とcogeometric algebra A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) との関係に関しての予想を再掲する.

予想 A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) をcogeometric で,自己移入的 Koszul 多元環とし, k のcomplexityが有限であるとする.このとき, A が (\mathrm{F}\mathrm{g}) を満たすことの必要十分条件は, $\sigma$ の位数が有限であることである.

以下,この予想に関する本研究の主結果を述べていく.最初の定理は,予想の一方向が常に成り立っていることを示している.これは特にKoszul性を仮定しなくても成立している.

定理4.1. ([5]) 有限次元自己移入的 k ‐多元環 A がcogeometric かつ (\mathrm{F}\mathrm{g}) 条件を満たすならば, $\sigma$ の位数が有限である.

次の定理は, A のcogeometric pair を与える E が n-1 次射影空間 \mathbb{P}^{n-1} の場合,上の予想が成り立つことを示したものである.

\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) を cogeomethc で,自己移入的 Koszul 多元環とし, k の定理4.2. ([5]) Acomplexity が有限であるとする.このとき, A=\mathcal{A}^{!}(\mathbb{P}^{n-1}, $\sigma$) ならば, A が (\mathrm{F}\mathrm{g}) を満た=すことの必要十分条件は $\sigma$ の位数が有限であることである.

[1], [6], [7] を用いることにより,以下のような,cx (k)<\infty である自己移入的Koszul
多元環 A の分類を得る:(i) rad A=0\rightarrow A\cong k (次数付き k‐多元環として), \mathcal{P}^{!}(A)= ( $\phi$ , id);(ii) ( rad A)^{2}=0\rightarrow A\cong k[x]/(x^{2})\mathcal{P}^{!}(A)= ( \mathb {P}^{0} , id);

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(iii)

(\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{d}A)^{3}\{=0\rightarow

A\cong k\langle x, y\rangle/(x^{2}, $\alpha$ xy+yx, y^{2})( $\alpha$\in k\backslash \{0\}) , \mathcal{P}^{!}(A)=(\mathbb{P}^{1}, $\sigma$_{1})A\cong k\langle x, y\rangle/(-x^{2}+xy, xy+yx, y^{2}) , \mathcal{P}^{!}(A)=(\mathbb{P}^{1}, $\sigma$_{2}),\left(\begin{ar y}{l $\alph$&0\ 0&1 \end{ar y}\right), \left(\begin{ar y}{l 1- \ 01 \end{ar y}\right)

ただし, $\sigma$_{1}=,$\sigma$_{2}=である.

( rad A)^{3}=0 の場合, E は射影空間になっていることが分かる.上の分類と定理4.2より,以下の系を得る.

\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) を cogeometric で,自己移入的 Koszul 多元環とし, k の系4.3. ([5]) A
0 を満たすならば, A がcomplexity が有限であるとする.このとき, A が ( rad A)^{3}(Fg) を満たすことの必要十分条件は $\sigma$ の位数が有限であることである.
==以下において,系4.3の例を与える.
例4.4. 次のような次数付き k ‐多元環 A を考える:

A=k\{x, y\rangle/(ax^{2}+byx, cx^{2}+axy+dyx+by^{2}, cxy+dy^{2})(a, b, c, d\in k).

このとき, A が自己移入的 Koszul 多元環であることの必要十分条件は,ad‐bc \neq 0 が成り立つことである.また, A はcogeometric であるので,以下のような A のcogeometricpair \mathcal{P}^{!}(A) を得る :\mathcal{P}^{!}(A)=(\mathb {P}^{1}, $\sigma$)( $\sigma$=\left(\begin{ar y}{l a&b\ c&d \end{ar y}\right)\in \mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(k)= Aut \mathb {P}^{1} ).

さらに,系4.3を用いると, A が (\mathrm{F}\mathrm{g}) を満たすことの必要十分条件は,ある自然数 n\in \mathbb{N}が存在し, $\sigma$^{n}=\left(\begin{ar y}{l 1&0\ 0&1 \end{ar y}\right)を満たすことである.

系4.3より一般的な主張を述べたものが,次の定理である.

定理4.5. ([5]) A \mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$) を cogeomethc で,自己移入的 Koszul 多元環とし, k の0 を満たすならば, A がcomplexity が有限であるとする.このとき, A が ( rad A)^{4}$\sigma$(Fg) を満たすことの必要十分条件は の位数が有限であることである.
==

注意4.6. ( rad A)^{3}\neq 0 かつ ( rad A)^{4}=0 の場合, E の候補としては,射影平面 \mathb {P}^{2} または以下のような \mathb {P}^{2} 内の3次曲線になることが知られている ([2]).

(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{i}_{\cup\infty\perp- \perp \mathrm{v}\ve /}(nodal curve)(elliptic curve)

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最後に,定理4.5に対する例を挙げ,本報告集を終えることにする.

例4 7. (E, $\sigma$) をcogeometric pair とする.ただし, E は \mathb {P}^{2} の3つの直線がなす三角形,\cdot$\sigma$\inAut E は3つの直線を回すものとする.つまり,以下を仮定するものとする:

E:=\mathcal{V}(xyz)=\mathcal{V}(x)\cup \mathcal{V}(y)\cup \mathcal{V}(z),$\sigma$(\mathcal{V}(x)):=\mathcal{V}(y) , $\sigma$(\mathcal{V}(y)):=\mathcal{V}(z) , $\sigma$(\mathcal{V}(z)):=\mathcal{V}(x) . このとき, E の自己同型 $\sigma$\in Aut Eを決定すると,次を得る.

\left{bgin{ary}l $\sigma$(0,bc)=($\alph$c,0b)\ $sigma$(,0c)=(,$\beta ,0)\ $sigma$(,b0)=(,a$\gma$b),\end{ary}\ight.

ただし, $\alpha \beta \gamma$\neq 0 , 1である.さらに, (E, $\sigma$) に対応する cogemetric algebra A=\mathcal{A}^{!}(E, $\sigma$)を計算すると,

A=k\{x,y z\rangle/(x^{2}+$\beta$zy ^{2}+$\alpha$yx ^{2}+$\gam a$xz,xy z x')となる.ただし, $\alpha \beta \gamma$\neq 0 , 1である.この多元環 A は, k のcomplexity が有限な,自己移入的 Koszul 多元環で, ( rad A)^{4}=0 を満たすことが分かる.
一方, $\sigma$^{3}\in Aut E を計算すると,\left{bginary}{l $\sigma$^{3}(0,bc)=(0,b$\alph beta\gma$c),\ $sigma$^{3}(,0c)=($\alph beta\gma$,0c)\ $sigma$^{3}(,b0)=(a,$\lphabet\gam $b,0).\end{ary}\ight.
を得る.このとき,|$\sigma$^{3}| <\infty \Leftrightarrow | $\sigma$| <\infty \Leftrightarrow $\alpha \beta \gamma$ : 1のべき乗根.
よって,定理4.5を用いると, A が(Fg) を満たすことの必要十分条件は, $\alpha \beta \gamma$ が1のべき乗根であることである.

謝辞
研究集会 「有限群のコホモロジー論とその周辺」 での講演の機会を与えて下さった,世話人の飛田明彦先生 (埼玉大学) ならびに亀子正喜先生 (芝浦工業大学) に感謝申し上げます.

参考文献[1] M. Artin and W. Schelter, Graded algebras of global dimension 3, Adv. Math. 66 (1987),
171‐216.

[2] M. Artin, J. Tate and M. Van den Bergh, Some algebras associated to automorphismsof elliptic curves, The Grothendieck Festschrift, vol. 1, Progress in Mathematics vol. 86(Brikhäuser, Basel, i990) 33‐85.
[3] K. Erdmann, M. Holloway, R. Taillefer, N. Snashall and \emptyset . Solberg, Support varieties forselfinjective algebras, \mathrm{K} ‐Theory 33 (2004), no. 1, 67‐87.

38[4] K. Erdmann and \emptyset . Solberg, Radical cube zero weakly symmetric algebras and supportvarieties, J. Pure Appl. Algebra 215 (2011), 185‐200.
[5] A. Itaba, Finiteness condition (Fg) for self‐injective Koszul algebras, submitted.

[6] I. Mori, Co‐point modules over Koszul algebras, J. London Math. Soc. 74 (2006), 639‐656.
[7] S. P. Smith, Some finite dimensional algebras related to elliptic curves, in Representation
Theory of Algebras and Related Topics (Mexico City, 1994), CMS Conf. Proc, 19. Amer.
Math. Soc., Providence, (1996), 315‐348.
[8] N. Snashall and \emptyset . Solberg, Support varieties and Hochschild cohomology rings, Proc.
London Math. 81 (2004), 705‐732.
[9] \emptyset . Solberg, Support varieties for modules and complexes, Trends in representation theoryof algebras and related topics, Contemp. Math., 406, Amer. Math. Soc., Providence, RI,(2006), 239‐270.