2-5 チューリング・マシンを用いた進化の記述（生物・物理・数学・言語）
●代表者

鈴木

●分担者

戸田誠之助（情報システム解析谷理（情報システム解析教授）教授）

聖一（情報システム解析 教授）

斉藤稔（物理 ･ 物理生命

陶山明（東京大学教授）

広域科学）

岩部直之（京都大学助手）

綿谷安雄（九州大学教授）【研究の概要および結果】
1. 研究の目的
本研究の目的はチューリング・マシンを基盤として生物・数学・物理等の幾つかの分野を進化の立場で考察することである。
本研究は昨年度の同じ研究課題の継続である。ひき続いてチョムスキー言語（あるいはチューリング・マシン）の様々な分野における役割を研究する。チョムスキーの発見は人間のもつ言語理解機能には一定の法則があることを示している。我々は自然現象にせよ，数理現象にせよ人間の認識を経由することによりなされるということに注意する。従って人間による現象の記述なしには自然現象を理解することは出来ない。自然現象にも必ず人間の認識形態が見出されるはずである。これが本研究の成立する根拠となる点である。以下物理，生物，数学について幾つかの例を取り上げ考察することにする。
物理現象あるいは生物現象には双対性の概念が見出される。例えば素粒子論における粒子と斑粒子の双対性であり，DNA に見られる螺旋構造にある A と T，G と C との相補性対応である。数学にみられる左辺と右辺の双等性もこのひとつといえる。このような現象はチョムスキー言語の非終止形と終止形の対を考えることにより文章が成立するという事柄を反映していると理解できるというのがこの研究の基本点である。ある人々はこれを人間原理に基づく自然現象の理解と述べている。従ってこのことは自然現象の中で人間によって理解可能な現象はチョムスキー言語により記述されるものに自動的限定してしまっていると主張することになる。ここではこれらのかもし出す哲学論争の勝者の判定を下すことに興味をもっていない。我々は自然現象の幾つかの主題をとりあげこれらがいかにチョムスキー言語あるいはチューリング・マシンで記述可能かを述べる。あとは他分野の専門家の判定に委ねることとする。ここでは数理現象，生物現象，物理現象の基本的なものをとり上げ研究する。
まず，チューリング・マシンの方法が正当であることを支持する幾つかの根拠を述べる。チューリング・マシン
はオートマトンを最も一般化したものであることに注意する。オートマトンはある事象 A と別な事象 B の関係を記述する最もプリミティブな手法であることに注意する。A と B との間になんらの数理あるいは物理等によって記述される法則性を必要としないで関係を記述することが可能であることを強調しておく。
（1）チューリング ･ マシンは計算あるいは論理構造を記述することが知られている。したがって数学のような論理的構造はこの方法で記述可能であろうと思われる。
（2）DNA に見られる 2 つの紐の間の相補性から DNA にはチューリング・マシンの構造が入ることが分かってきている。従って生物進化もチューリング・マシンを用いて記述されるものと期待される。
（3）本研究において物理学もチューリング・マシンの構造が入ることが示される。これは生成演算子と消滅演算子を用いて，場の量子論が書き下せることからも想像される。チョムスキー言語の特徴付けがボゾン的量子場の真空期待値によりなされることが明らかになっている。

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2. 研究の結果
次に研究の概要と得られた結果を分野ごとに分けて述べる。
（1）物理現象に観られるチョムスキー言語で記述可能な現象
前にも述べたように物理現象は現在，場の量子論を用いて記述される。このとき生成演算子と消滅演算子が用意されており「真空」にこれらの演算子を作用させることにより量子場が生成される。これが自由場の量子論の基礎である。本研究において生成演算子を開き括弧消滅演算子を閉じ括弧として安定な真空がチョムスキー文の全体と等価であることを示した。この結果は昨年度京都大学数理解析研究所研究集会により報告された（［6］）。
（2）生物現象に観られるチョムスキー言語で記述可能な現象
我々生物である人間がどのようにして数学のような人間性を越えた数学の問題等を考察することができるのはミステリーであろう。また生物がそれを認識するしないにかかわらず数学的にみて合理的な行動をとるのかは興味ある問題である。ここでは最近の DNA 生物理論の知見を用いてこの問題を考察した。最近遺伝の中には同時突然変異による進化（「水平進化」とよばらる）が重要であることが認識されてきている。そのうちのひとつは所謂トランスポゾンである。この遺伝子のひとつはチンパンジーと人間について大きな差をもつので知能と結びついているとされることがある。本研究においては，DNA のもつ基本演算である，トランシジョン突然変異，置換，トランスポゾンの演算を用いてチョムスキー文が生成されることをしめした。昨年度京都大学数理解析研究所研究集会により報告された（［4］，［5］，［7］）。また，進化モデルのセルラーオートマトンによる方法も［1］，［2］，［3］で展開されている。
（3）数理現象に観られるチョムスキー言語で記述可能な現象研究の対象は非結合代数と結び目理論である。
（1）現在非結合代数は代数学においてはそれほど中心的な課題ではないが物理学あるいは生物学，特に遺伝学においてはその重要性が認められてきている。本研究においては代数演算をチョムスキー言語の括弧に置き換えすべての代数が記述されることを示し，非結合代数を文脈依存言語に置き換えることを提案した。これはバナッハセン
ターにおける国際研究集会で報告された（［5］）（［6］）。
（2）結び目理論は自然現象，とくに物理現象を記述するのに基本的な方法であると言える。このことがらはこの宇宙に存在する銀河の分布も複雑な紐の絡み合いであることが分かる。また，生物が誕生した 22 億年前生物は粒子状から紐構造を作りだしている。さらにミクロな世界に目を移すと現在素粒子論においては紐理論は最も可能性をもつ理論であるといえる。このようにどの世界にも紐が現れるのかをとうことは意味があるであろう。その根拠を本研究においては紐がチューリング・マシンの記述される最も典型的なものになっていることに着目する。実際，チューリング・マシンを用いた場の量子論を展開した。この方法は素粒子論研究者の興味をひき，東北大学素粒子論研究室において講演を行い浅川助教，綿村教授と共同研究を始めている。結び目の複雑さについては［8］，［9］で報告されている。
このようにチョムスキー言語あるいはチューリング・マシンはいかに多岐にわたる分野にあらわれ重要な役割を担っていることがわかる。これがこの 2 年間の研究の最大の成果であるといえる。
3. 研究の考察・反省以上の考察によりチョムスキー文法は広範囲にわたって見出されることが分かった。今後はチューリング機械の詳細に考察対象とすることが重要であると思われる。物理の世界においてはチューリング機械は一般論としては，単に粒子が無制限に存在していることを記述だけでありそれ以上のことについてはなにも述べていない。言語で言うと，文脈依存文法をのすべてを記述することになり現実的ではない。これにどのような条件を付加したらよいか

42が問題となる。現在この条件について明確ものは知られていないようである。これらの条件をどのように設定するかについてはチョムスキー言語のような整合性のある括弧の開閉だけではすまない。ここで現れる条件はいわゆるターナリー条件と呼ばれる三つ組みに関する条件となる。文脈の記述はこれによりなされることが知られておりその複雑さは記述するのに相当の困難を生ずるようである。しかし，これは避けて通れない問題であると思われる。
実際，DNA からメッセンジャー RNA をつくり 3 つ組みを考えることにより蛋白質を構成するがこの開始信号と終了信号の条件設定により，その文章の長さの分布をみると，冪則分布を表すことが見出され，実際の場合においては冪則が期待出来そうである。また，よく知られたジップの法則は単語の使用頻度において1/f揺らぎを与えており，そこにはかなりの自由性をもちながらかつ統制をほのめかすものが存在する。この 1/f- 揺らぎは音楽，さらには銀河の分布にも見出され，自然に存在するシステムの傾向をしめしている。ちなみに整合括弧列の文章の長さについての分布は指数冪則であり，制約が強すぎるようである。物理現象に現れる分布則はボルツマンの分布にみられるように指数冪則を示しており，そのエントロピー分布は指数則になる。最近サリス氏は現象の非連続性に基づく記述する方法を提案しており冪則分布が自然に生じるというと主張している。さらにフラクタル構造にそれを見出すという試みがあるが，どのようなフラクタルを取り扱うべきかについては明確な方向は得られていない。以上より
今後はチョムスキー文法のそとに研究の範囲をひろげこれらの現象を統制する新しい数学を見出す必要があることを暗示するがこれについてその突破口をみいだす必要がある。研究の代表者はターナリーに期待を寄せている。
4. 研究発表［1］鈴木理 : 離散ラプラス作用素の反復力学系による蝶の翅紋様の生成 , 応用数学研究集会（2010.12.16~18）龍谷大学瀬田キャンパス，アブストラクト応用数学合同研究集会報告集，同題，71-72（2010）,［2］K.Gerlebeck, C.Hadlich, 鈴木理：離散ラプラス作用素の反復力学系における不動点定理と周期性定理：京都大学数理解析研究所研究集会「第 10 回最近の力学系理論とその応用」2010.9.27-30，（この内容は講究録に出る予定）［3］岡田蓉子，鈴木理，矢田脩 : 離散ラプラス作用素の反復力学系による蝶の翅紋様の実現とこれに基づく進化モデルの構成，京都大学数理解析研究所研究集会「第 7 回生物数学の理論とその応用」2010.11.16-19,（この内容は講究録に出る予定）［4］A. Micali and O. Suzuki:A genetic method for non-associative algebras, 京都大学数理解析研究所研究集会「第 7回生物数学の理論とその応用」2010.11.16-19,（この内容は講究録に出る予定）［5］麻生庸介 , 畑山しづ絵 , 前幸雄 , 濃野聖晴 , 鈴木理 :Algebras and analysis on ternary systems, 京都大学数理解

析研究所研究集会「第 7 回生物数学の理論とその応用」2010.11.4-6,（この内容は講究録に出る予定）［6］O.Suzuki:A method of Chomsky sentences for non-associative algebras, Int. Nat. Conference on method of gauge
theory and Finsler geometry, Banach Center, 2010. 7.23-30.
［7］V.Arvind, D. B. Das, J. Koebler, S. Toda: “Colored Hypergraph Isomorphism is Fixed Parameter Tractable”, inProceedings of Foundations of Software Technology and Theoretical Computer Science（FSTTCS 2010）,pp.327337, 2010［8］M. Murakami,S.Tani: A fast algorithm for computing invariants defined by skein relations of 2-bridge diagrams,
China-Japan Joint Conference on Computational Geometry, Graphs and Applications（CGGA 2010）, Dalian, China2010［9］竹下文雄，村上雅彦，谷聖一：2 橋絡み目の HOMFLY 多項式を計算する高速なアルゴリズム」，電子情報通信学会コンピュテーション研究会，東京工業大学，2010 年 6 月43