4章

量の変化と比例，反比例

単元

19

覚えよう！

1

教科書

量の変化／比例⑴

P.126〜135

あたいともなって変わる2つの数量x，yがあって，xの値を決めると，それに対応してyの値がただ1つに決まるとかんすう

へんすう

き，yはxの関数であるという。x，yのようにいろいろな値をとることができる文字を変数といい，変数のとりy

へんいきうる値の範囲を，その変数の変域という。

y
4軸
32

y=2x で，x，yは変数だが，2は定まった数である。このような定まった数や2それを表す文字を定数という。yがxの関数で，変数xとyの関係が y=ax (aは0ていすうでない定数)で表されるとき，yはxに比例するといい，aを比例定数という。
じく

3

ざ ひょうじく

右の図で，横の数直線をx軸，縦の数直線をy軸，両方合わせて座標軸，座標軸
げんてん-2の交点Ｏを原点といい，座標軸のかかれている平面を座標平面という。右の座標平面上で点Ｐの位置を(2，3)と表し，これを点Ｐの座標，2を点Ｐのx座標，3を点Ｐのy座標という。このとき点ＰをＰ(2，3)と表す。

O座標軸
P

2-2 原点x軸
4x

チェック₁ 量の変化

時速 50km で走る自動車がx時間走るとykm 進むとして，次の問いに答えなさい。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ yはxの関数であるといえますか。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴時速 50km でx時間走るときに進む道のりは，50×x=50x(km)となり，y=50x と表せる。

解⑵xの値を決めると，それにともなってyの値もただ1つに決まるから，yはxの関数であるといえる。
答

確認問題１

⑴ y=50x⑵いえる。

次の問いに答えなさい。

分速 1.5km で走る列車がx分間走るとykm 進むとして，次の問いに答えなさい。

⑴

yをxの式で表しなさい。

①②〔yはxの関数であるといえますか。

〕〔

x円のものを買って1000円出したときのおつりをy円として，次の問いに答えなさい。

⑵① yをxの式で表しなさい。

②〔

チェック₂ 変域〕

yはxの関数であるといえますか。

〕〔〕

変数xが，次の範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。

例題

⑴

2以上

⑵ 2以上7未満••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••>，<…より大きい，より小さい，未満(その数をふくまない)≧，≦…以上，以下(その数をふくむ)⑴ x≧2

解2をふくむ。

確認問題２⑴（0⑵ 2≦x<72はその値をふくむことを表す。
）

両側の不等号 （の向きは同じ。

027はその値をふくまないことを表す。）
答 ⑴ x≧2⑵ 2≦x<7

次の問いに答えなさい。

変数xが，次の範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。
①5より大きい〔②1以上6以下〕〔③〕

7以上10未満〔〕〔〕〕 yの変域〔〕

⑵ 540km の道のりを，時速 45km で進むとき，x時間で進む道のりをykm として，次の問いに答えなさい。
① yをxの式で表しなさい。

② x，yの変域をそれぞれ求めなさい。

xの変域〔

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4章

量の変化と比例，反比例

チェック3 比例する量

分速 80mで歩く人がx分間に進む道のりをym として，次の問いに答えなさい。

例題

yをxの式で表しなさい。

⑴⑵ yがxに比例するとき，比例定数を答えなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••y=ax という式で表されるとき，yはxに比例し，aの値が比例定数である。 x解y⑴ 1分間に 80m 進むから，x分間に 80x m 進む。よって，y=80x⑵ y=ax の形になるから，yはxに比例し，比例定数は 80 である。
確認問題３001
2 3 4 …
80 160 240 320 …

答⑴ y=80x⑵80

次のx，yの関係について，yをxの式で表しなさい。また，yがxに比例するとき，比例定数を答えなさい。

分速 180m の自転車がx分間に進む道のりはym である。

⑴

式〔〕 比例定数〔〕式〔〕 比例定数〔〕〕 比例定数〔〕⑵ 1本60円の鉛筆をx本買ったときの代金はy円である。
⑶

正方形の1辺の長さがxcm のとき，周の長さはycm である。
式〔チェック4 座標
次の問いに答えなさい。

例題⑴

右の図で，点P，Q，R，Sの座標を答えなさい。

⑵

次の点を，右下の図にかき入れなさい。

yA
（2，5）
，B
（-4，2），C（-2，-3），D（3，-5）••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解⑴それぞれの点からx軸，y軸に垂直にひいた直線が，x軸，y軸と交わる点の目もりを読み取る。

Q42-4 -2 O
R-2Ｑ…x=-2，y=2 に対応するから，Q(-2，2)
Ｓ…x=3，y=-4 に対応するから，S(3，-4)⑵ Ａ…原点から右へ2，上へ5だけ進んだところの点。

B

Ｂ…原点から右へ-4（左へ4），上へ2だけ進んだところの点。
Ｃ…原点から右へ-2（左へ2），上へ-3（下へ3）だけ進んだところの点。
Ｄ…原点から右へ3，上へ-5（下へ5）だけ進んだところの点。

確認問題４

P(4，3)，Q(-2，2)，R(-5，-1)，S(3，-4)

次の問いに答えなさい。

⑴ 右の図で，点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ，Ｔ，Ｕの座標を答えなさい。

y5⑵P5ORU-5TxA22C -4右の図

x4Dy

次の点を，右の図に5Ａ(4，2)
Ｂ(-2，5)Ｃ(-1，-4)S

4-4 -2 O-2

かき入れなさい。

Q-5⑵x4SyＲ…x=-5，y=-1 に対応するから，R(-5，-1)⑴

2-4Ｐ…x=4，y=3 に対応するから，P(4，3)

答P

Ｄ(4，-6)Ｅ(0，2)-5O

5x-5Ｆ(-4，0)
Ｐ〔〕 Ｑ〔〕Ｒ〔〕 Ｓ〔〕Ｔ〔〕 Ｕ〔〕93092-093_KeyworkDAINITI_GU.3Be.indd 93

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4章

量の変化と比例，反比例

単元

教科書

比例⑵

20

P.136〜144

覚えよう！

1

比例のグラフ② y=ax のグラフは，比例定数が負の数のとき，原点① y=ax のグラフは，比例定数が正の数のとき，原点を通る右上がりの直線であり，xの値が増加すると，を通る右下がりの直線であり，xの値が増加すると，対応するyの値も増加する。

対応するyの値は減少する。

a>0 のときyO2ya<0 のとき増加
増加 x増加Ox減少比例の式を求めるには，まず y=ax とおき，この式に対応するx，yの値を代入して，aの値を求める。

チェック1 比例のグラフのかき方

y=2x について，次の問いに答えなさい。

例題

xの値に対応するyの値を求め，右の表の空欄を⑴うめなさい。
⑵

y=2x のグラフをかきなさい。

xy…

-3 -2 -10

1

2…

…

…
y•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••解3⑴ y=2x に，x=-3，-2，-1，……，3をそれぞれ代入して，yの値を求める。

5

順に，y=2*(-3)=-6，y=2*(-2)=-4，y=2*(-1)=-2，y=2*0=0，y=2*1=2，y=2*2=4，y=2*3=6⑵ 対応するx，yの値を座標とする点（-3，-6），（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4），（3，6）をとり，それらを直線で結ぶ。

-5

比例のグラフは原点を通る直線だから，原点以外に通る1点を求め，その点と確認問題１⑴ y=xxyy⑶ y=xy順に，-6，-4，-2，0，2，4，6

下の表の空欄をうめて，比例のグラフをかきなさい。

…

-4 -3 -2 -1

0

1234…

⑵ y=-2xx⑴…

01234…
1x2…

…

…

-8 -6 -4 -2…

02468

上の図5-5…

⑵y…

-4 -3 -2 -1x-5原点を通る直線をひいてもよい。
答

5OO

5x-5…
…

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4章

量の変化と比例，反比例

チェック2 比例の式の求め方⑴yはxに比例し，x=4 のとき y=12 である。

例題⑴

yをxの式で表しなさい。

⑵ x=5 のときのyの値を求めなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••⑴ y=ax に x=4，y=12 を代入すると，12=a×4，a=3解⑵ y=3x に x=5 を代入すると，y=3×5=15確認問題２

よって，y=3x
答⑴ y=3xy=15⑵

次の問いに答えなさい。

⑴ yはxに比例し，x=3 のとき y=-18 である。
①②yをxの式で表しなさい。

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕 x=-4〕〔〕

x=-6 のときのyの値を求めなさい。

⑵ yはxに比例し，x=-2 のとき y=6 である。
①②③yをxの式で表しなさい。

x=3，x=-4 のときのyの値をそれぞれ求めなさい。

y=15 のときのxの値を求めなさい。

x=3〔

チェック3 比例の式の求め方⑵⑴ yグラフが右の図の⑴〜⑶になる比例の式をそれぞれ求めなさい。

例題5••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解

グラフ上の原点以外の点を1つ読み取り，その点のx座標，y座標の値を y=ax⑵に代入して，aの値を求める。

⑴グラフは点(1，-4)を通るから，y=ax に x=1，y=-4 を代入して，-4=a*1，a=-4 よって，y=-4x-5⑶⑵ グラフは点(3，1)を通るから，y=ax に x=3，y=1 を代入して，11
1=a*3，a=よって，y= x33⑶ グラフは点(5，-2)を通るから，y=ax に x=5，y=-2 を代入して，
22-2=a*5，a=よって，y=- x55答

確認問題３⑴y=-4x-51
y= x3⑵グラフが右の図の⑴〜⑶になる比例の式をそれぞれ求めなさい。

⑶

5-5⑴
〔〕

⑵
〔〕

⑶〔x5O〕

y2x5⑴
⑵

O-5

y=-5x⑶95094-095_KeyworkDAINITI_GU.4Be.indd 95

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4章

量の変化と比例，反比例

練単元191習問題

その180L の水が入った水そうから，毎分 15L ずつ水を出し続けるとき，水を出し始めてx分後の，水1 量の変化

そうに残った水の量をyＬとする。次の問いに答えなさい。
⑴

下の表のア〜オにあてはまる数を求めなさい。
x0y18012345アイウエオ

yをxの式で表しなさい。

⑵

ア〔〕 イ〔〕 ウ〔エ〔〕 オ〔〕⑶ x=8 のときのyの値を求めなさい。
⑷ y=30 のときのxの値を求めなさい。
単元1922 変域⑴

変数xの変域は，-1 以上5以下
〔

③②〔〕

〔〕

〔〕

変数yの変域は，-5 より大きく -2 未満〔〕

変数xの変域は，-7 以上12未満〔⑵〕

次の問いに答えなさい。

次の変数の変域を，不等号を使って表しなさい。
①④〕

変数yの変域は，-3 より大きく9以下〔〕〕

変数xが下の数直線に示された範囲の値をとるとき，xの変域を不等号を使って表しなさい。

①-503 比例する量②5〔
単元1931-50〕

5〔〕

次のx，yの関係について，yをxの式で表しなさい。また，yがxに比例するものにはその比例定数を書き，比例しないものには×を書きなさい。
⑴

分速 55m の速さでx分間歩くと，ym 進む。

〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕

式〔〔〕 比例定数〕

式〔〕 比例定数〔〕式〔〕 比例定数
〔〕

式〔
⑵

⑶

正方形の1辺の長さがxcm のとき，面積はycm2 である。
1m が120円のリボンをxm 買うときの代金はy円である。

⑷ 50g の箱に1個 180g のボールをx個つめたときの全体の重さはyg である。

⑸

xmL のジュースを7個のコップに同じ量ずつ分けると，コップ1個分のジュースの量はymL である。

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4章

練単元1931 比例する量

習

問

題

その

2

底辺がxcm，高さが 18cm の三角形の面積をycm2 とするとき，yをxの式で表し，比例定数を書きなさい。

式〔
単元194

量の変化と比例，反比例

2 座標⑴〕 比例定数〔〕

次の問いに答えなさい。

y

右の図の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏの座標を答えなさい。

5⑵Ａ〔〕 Ｂ〔〕Ｃ〔〕 Ｏ〔〕B-5

Ｅ(0，4)

Ｆ(4，0)

Ｇ(3，-1)5O

右の図に，次の各点をかき入れなさい。
Ｄ(-6，5)

Ax-5C

y
単元201

3 比例のグラフのかき方⑴ y=3x⑵ y=次の比例のグラフをかきなさい。

1x3-51⑶ y=- x
4⑷ y=単元20
23x24 比例の式の求め方

5O

5x-5yはxに比例し，x=4 のとき y=-28 である。次の問いに答えなさい。

⑴ yをxの式で表しなさい。

⑵ x=-6 のときのyの値を求めなさい。

⑶ y=35 のときのxの値を求めなさい。

〔〕

〔〕

〔〕
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4章

量の変化と比例，反比例

Key プラス
単元202

その

1

1 次の問いに答えなさい。

⑴ yはxに比例し，x=3 のとき y=-9 である。xやyが次の値のとき，それぞれに対応するyやxの値を求めなさい。
① x=-2③y=-10②〔〕④〔x=53y=15〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

⑵ yはxに比例し，x=-6 のとき y=-9 である。xやyが次の値のとき，それぞれに対応するyやxの値を求めなさい。
① x=-4③y=-15〔x=-14④3y=4〕〔単元203②〕

2 右のグラフは，比例のグラフである。次の問いに答えなさい。
⑴

y⑵①〜③のグラフの式をそれぞれ求めなさい。
①〔〕

②〔〕

③〔〕

①5-5

①，②のグラフ上の，y座標が3である点の座標をそれぞれ求めな

②O

5x③

さい。
①〔〕

②〔〕

-53 次の問いに答えなさい。
⑴

3点(a，-15)は，y= x のグラフ上の点である。aの値を求めなさい。
5〔⑵〕原点(0，0)と点(-2，8)を通る直線がある。点(-20，b)がこの直線上にあるとき，bの値を求めなさい。
〔〕⑶ 2点Ａ(3a，b)，Ｂ(a+4，3b-1)がある。点Ａを右に8，下に3だけ移動すると点Ｂに重なるという。a，bの値を求めなさい。

〔〕

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4章

量の変化と比例，反比例

Key プラス

その1 右の図の台形 ABCD で，点Ｐは辺 BC 上をＢからＣまで動く。BP の長さ

2A

D

2をxcm，三角形 ABP の面積をycm として，次の問いに答えなさい。
⑴ yをxの式で表しなさい。

〔6 cm〕⑵ x，yの変域をそれぞれ求め，下のような形で答えなさい。

Bôxô ， ôyôxの変域〔〕 yの変域
〔10し，座標の1目もりを1cm とする。
辺 OA の長さを求めなさい。
〔⑵〕

y2 右の図のような三角形 OAB について，次の問いに答えなさい。ただ
⑴

CP
9 cm〕

B

5

頂点Ｂからx軸に垂直な直線をひき，x軸と交わる点をＣとするとき，BC の長さを求めなさい。
〔⑶

単元201〕

5Ox

三角形 OAB の面積を求めなさい。

〔〕
33 y=- 2 x のxの変域を -4ôxô2 として，次の問いに答えなさい。
⑴ 変域の部分について，グラフをかきなさい。

⑵

10Ayの変域を求めなさい。

y5-5O

5x-5〔〕

4 次の三角形の面積を求めなさい。ただし，座標の1目もりを1cm とする。
⑴ 3点Ａ(-2，3)，Ｂ(-2，-3)，Ｃ(7，1)を頂点とする三角形⑵ 3点Ａ(1，4)，Ｂ(-2，-5)，Ｃ(9，4)を頂点とする三角形⑶ 3点Ａ(-3，4)，Ｂ(-1，-4)，Ｃ(5，-1)を頂点とする三角形

〔〕

〔〕

〔〕99

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