■

連載

江戸時代の天文学【5】 ■―9―

江戸時代の天文学 【5】江戸幕府の天文学(その 4)
嘉数 次人(大阪市立科学館)
4. 『新修五星法』の成立
これまで、高橋至時が五星法に楕円理論を適用した様子を紹介しました。しかしながら研究はこれで終わったわけではありません。
彼が手本とし、寛政暦の五星法で採用した『暦象考成』の五星法理論をつぶさに検討すると、不十分な点が多くあり、それらを解決しなければいけなかったのです。
4.1. 『暦象考成』五星法の弱点
ではここで、『暦象考成』の五星法の特徴を簡単に見てみましょう。

図 5 水星・金星の軌道図。2 星の本天は太①惑星の軌道陽本天と共通である。本天、本輪、均輪は惑星の軌道は、水星・金星と火星・木星・土星とでは、異なっていました。図 5 が水星・黄道と平行。次輪は惑星の軌道傾斜角だけ傾いている。

金星の軌道図で、両星の本天(導円)は太陽本天をそのまま用い、そこに周転円である本輪、均輪、次輪がかかり、星は次輪上をめぐっていました。したがって、太陽の導円上における平均運動を、そのまま水星・金星のそれとしました。
一方、図 6 が火星・木星・土星の軌道図で、3 星は地球を中心とした本天があり、そこに本輪、均輪、次輪がかかり、次輪上を星がめぐっています。
つまり、水星・金星は太陽中心軌道で、火

図 6 火星・木星・土星の軌道図。次輪は星・木星・土星は地球中心軌道だったのです。

太陽本天と同じ大きさ。本天、本輪、均輪
は惑星の軌道傾斜角だけ黄道と傾いてい②次輪の変化て、次輪は黄道と平行になっている。

これらの理論では、惑星本体は次輪上を運動していますが、水星と火星においてはその水 星 の 位置 によ っ て変 化 する と しま した 。

次輪パラメータが変化しました。

次に次輪半径を見ると、水星・金星・木星・まず、次輪は黄道から傾いていますが、水土星は定数となっていますが、火星について星に関してはこの黄道傾斜角の値が一定せず、 は「高卑差」という概念が取り入れられ、半天文教育 2008 年 3 月号

―10―

江戸幕府の天文学(その 4)径の値が変化します。これは、チコ･ブラーエの観測データを用いて推算した時、次輪半径の値を固定すると計算が合わないところから導入されたようで、「太陽高卑差」と「本天高卑差」という 2 つのパラメータがありました。
太陽高卑差は太陽・地球間の距離の変化に応じて火星の次輪半径を変化させるもので、距離が大きいと半径も大きくなり、距離が小さいと半径も小さくなりました。また本天高卑差は火星・地球間の距離に応じて次輪半径が変化するというもので、距離が大きいと半径も大きくなり、距離が小さいと半径も小さくなりました。
図 7 プトレマイオスの体系。
『新修五星法』③惑星の運動角
均輪上における次輪中心の運動についてみでは、天体の本天軌道がプトレマイオス体系の順序で配列されている。

ると、水星は均輪上を運動する次輪中心の角速度は、本輪上を運動する均輪中心の角速度の 3 倍であるとしましたが、他の 4 星については、本輪上を運動する均輪中心の角速度の2 倍としています。

4.2. 『新修五星法』の計算法
では、1801(享和元)年ころに完成した『新修五星法』第一稿を概観してみましょう[1]。
まず、天の体系は、プトレマイオス体系を採以上のような特徴から、『暦象考成』の弱点用しています。これは地球が天の中心にあり、が見えてきます。それは、火星だけに採用さそのまわりを、近い順に水星、金星、太陽、れている高卑差や、水星だけは軌道傾斜角が火星、木星、土星の本天(導円)がとりかこむ変化するというように、惑星によって採用さというものです(図 7)。そして、本天周上をれている計算方法が異なる点です。高橋至時

次輪(周転円)中心がめぐり、次輪周上を惑星はこの統一感の無さに違和感を覚え、「 皆運行本体がめぐっています。惑星の本天、次輪とノ真面目ヲ得スシテ、強テ法術ヲ設クルモノ

もに楕円軌道をもち、次輪は太陽軌道と同じニ似タリ」、「五星一貫ノ法術アラス。是ヲ観大きさを持っています(図 8、9)。これにより、ルモノ快然タルヲ得ス」と痛烈に批判してい『暦象考成』で用いられていた本輪、均輪はます。そして楕円理論を適用し、かつ 5 つの不要となりました。

惑星すべてにおいて共通の計算法を用いた新以下、『新修五星法』の第一稿の計算手順をしい五星法の理論構築にチャレンジし、『 新修見ていきます。

五星法』を執筆したのです。

(1) 軌道要素『新修五星法』では、まず計算起点(元期)における本天の軌道要素、つまり両心差（離心率）、本天大半径（軌道長半径）、正交応(昇交点黄経)、最高応(遠地点黄経)、本道与黄道

Vol.20 No.2■連載

江戸時代の天文学【5】■―11―

図 8 土星、木星、火星の本天と次輪の関係

図 10 初均数の説明図

ら FA におろした垂線が交わる点を R とします。まず、平均離角(引数)M から離心離角の
図 9 金星、水星の本天と次輪の関係。次輪は太陽軌道と同じ大きさなので、本天より次 輪 の 方が 大 きい と いう 状 態に な って いる。

近似値 E’(後外角汎数)を求めます。

1 e
M tan(半較角)＝ tan 1 e 2 M 
半較角＋ ＝E ' 2 

交角(軌道傾斜角)、毎日平行(平均日日運動)

次に、sinE’に引数大差を乗じた値 e・sinE’の値が与えられており、元期から計算したいを引数差として、日までの日数を計算して、当該日の次輪心の位置を得ます。なお、近代以前の日本の天文学では、天体の位置を測る座標基準点は冬至点にあり、現在の春分点基準ではありません。
もちろん、『新修五星法』も、経度は冬至より測っていますので、注意が必要です。
(2) 初均数
初均数とは、地球の周りを楕円運動する次引数差＝e  sin E 'M－引数差＝ESR  b  sin E  横線
FR  a  cos E  ae＝縦線
横線 SR＝
 tan v
縦線 FR
として離心離角(後外角定数)E、真遠点離角(実引)v を求めます。図 10 において、SR が輪心の中心差のことです。図 10 において、横線、FR が縦線にあたります。

長半径(当時の名称：本天大半径)a、軌道短半そして最後に、径(本天小半径)b、離心率(両心差)e の楕円軌道を考えます。F は地心、S は次輪心、S か

初均数＝M－vとします[2]。
天文教育 2008 年 3 月号

―12―

江戸幕府の天文学(その 4)(3) 五星本道初実行を求めるには、本来は球面三角法で計算する

本道初実行とは、本天面上において冬至かべきですが、五星の軌道傾斜角が小さいことら測った次輪心の位置角のことです。図 11を利用して球面三角法を使わずに計算する略における∠WFS にあたり、法で、高橋が考案したものです[3]。

本星平行＋初均数＝本道初実行

距交実行とは、本天の昇交点から測った次となります。

輪心の本天面上における位置角(昇交点距離)のことです。また升度大差とは升度差の最大値のことで、正交(昇交点)または中交(降交点)からの角距離が 45 度の時の値となります。
ここで、最初に与えられた正交平行(昇交点黄経度)を用い、本道初実行－正交平行＝距交実行
距交実行×2＝距交倍度
升度大差×sin(距交倍度)＝升度差として升度差を求めます。

図 11 黄道初実行と初緯の説明図(6) 黄道初実行
黄道初実行とは、次輪心の地心黄経のことです。図 11 における∠W’FS’にあたり、(4) 次輪心距地心線

本道初実行＋升度差＝黄道初実行

次輪心距地心線とは、地球・次輪心間の距で表わされます。

離のことで、図 11 における線分 FS に当たります。ここでは、初均数の計算で使った縦線、横線を用い、横線
b  sin E＝ 次輪心距地心線
sin(実引)sin v(7) 初緯
初緯とは次輪心の地心黄緯のことで、図 11(ア)の∠S’FS にあたります。球面三角法により、次の式から求めます。
sin(軌道傾斜角)×sin(距交実行)＝sin(初縦線a  cos E  ae＝
 次輪心距地心線 (イ)cos(実引)cos v緯)とし、実引の値が 90 度に近い時には(ア)式を用い、最高(遠地点)前後 45 度および最卑(近地点)前後 45 度に近い時には(イ)式を用いて計算するとしています。
(5) 升度差
升度差とは、本道初実行と黄道初実行(次輪心の地心黄経)との差のことで、(3)で得られた本道初実行の値から黄道初実行を求める際に使うものです。本道初実行から黄道初実行
Vol.20 No.2

図 12

黄道面上次輪心距地心数の説明図

■連載

江戸時代の天文学【5】(8) 黄道面上次輪心距地心数

■

―13―

(10) 次均

図 12 において、次輪心 S を黄道面上に投次均とは、黄道初実行と五星の地心黄経と影した点を T としたとき、地心 F と T との距の差のことです。図 13 における∠TFU にあ離のことです。まず次輪心 S と地心 F との距たります。ここで高橋は次輪半径を 1 とし、離 SF は次輪心距地心線として(4)で求めてい

SP=TU=1 ですので、るので、黄道面上次輪心距地心数 FT＝次輪心距地心線×cos(初緯)＝SF×cos∠S’FS

NU
NU
NU
TUtan(次均) NTFNNT  FT
 FTTUとします。


さて、これ以降は土星・木星・火星の図をsin(次引)
cos(次引)＋黄道面上次輪心距地数用いて計算法を紹介します。
として求めます。
(11) 黄道経度
黄道経度とは、惑星の地心黄経のことで、黄道初実行＋次均＝黄道経度で求められます。

図 13 次引と次均の説明図(9) 次引
次引とは、太陽実行(太陽黄経)と黄道初実行(次輪心の地心黄経)との差のことです。太
陽実行は別に求めておきます。図 13 において、

図 14 黄道緯度の説明図

五星 P の位置を黄道面上に投影した点を U とします。また地心 F から次輪心を黄道面上に投影した点 T へ引いた線を延長します。その(12) 黄道緯度線に対して点 U から垂線を降ろして、交わっ黄道緯度とは、惑星の地心黄緯のことです。

た点を N とすると、次引は∠UTN にあたり、当時は視緯とも呼んでいました。図 14 にお次の式で求められます。

いて、地心を F、次輪心を S、惑星位置を P

太陽実行－黄道初実行＝次引とします。次輪面は黄道面と平行です。S、Pよりそれぞれ黄道面におろした垂線の足をそれぞれ T、U とすると、∠SFT が初緯、∠PFUが黄道緯度となります。
天文教育 2008 年 3 月号

―14―

江戸幕府の天文学(その 4)

図 14 において、SF は次輪心距地ですので、
ST=SF×sin∠SFT=SF×sin(初緯)

高橋が教科書として用いていた『暦象考成』やそのベースとなった『崇禎暦書』は、天ので、また次輪は黄道と平行なので、PU=ST体系と五星の軌道論の問題が整理されていなです。さらに次均(∠UFN、図 13)を求めるかったからです。では次回は、高橋が『崇禎際に得た FN、NU の値を用いて FU(黄道面暦書』から出発して、どのようなブレークス上五星距地心数)が求められるので、ルーを経て『新修五星法』誕生させたのかを

tan(黄道緯度) 

PU SF  sin SFTFU
FU見ていくことにします。
参考文献および注

次輪心距地 sin(初緯)黄道面上五星距地心数として、惑星の黄緯の値を得ます。

[1] 高橋の『新修五星法』は、国立天文台と伊能忠敬記念館(千葉県)に現存しますが、いずれも 1803(享和 3)年 7 月に執筆された第二稿です。第一稿は現存していないのですが、『新修五星法』では、以上のようにして、同年 1 月頃に執筆された五星法の理論解説書

惑星の黄経・黄緯を求めます。天の体系はプ『新修五星法図説』(以下、『図説』と称す)

トレマイオス体系が採用されているため、金を見ると、天の体系や推算法が現存第二稿と星と水星については本天よりも次輪（太陽軌異なります。また、1801(享和元)年の五星法

道と同じ大きさ）の方が大きいという変な状

研究草稿などを見ると、『図説』と同じ推算法

況になっていますが、計算そのものの基本はが用いられていることがわかっています。従現代のものと同じであることがわかります。って、『図説』に見られる内容は、『新修五星その後、高橋は 1803（享和 3）年 7 月に改法』第一稿の内容であるとされています。本訂を加え、『 新修五星法』第二稿を執筆します。

稿では、高橋の五星法が成立する様子を見る

第二稿の最大の特徴は、その表紙扉に「第谷ために、第一稿の内容を解説しています。の新図により、諸数の名称を改める」と記さ[2] 後外角定数(離心離角)から実引を求める

れているとおり、チコ･ブラーエの体系に変換計算については、高橋は初稿では上述した計したことです。チコ･ブラーエの体系とは、地算法を使っており、『新修五星法』第二稿にお球が天の中心にあり、その周りを太陽がめぐいて、11 月号で示した計算法、り、惑星は太陽を中心にめぐるというもので、コペルニクスの体系から天の中心を太陽から地球に座標変換したものです。

tanv
1 eE
tan21 e2に改訂しています。

これらのことから、高橋は近代的な推算法[3] 高橋は、五星の升度差の値は、最大が水を把握しており、天の体系の違いの問題につ星の約 13 分弱であり、他星はこれより小さいても座標変換によって解決できることを、いため、計算が簡単な法を用いるとしていまきっちりと認識しているようです。

す。ちなみに、『新修五星法』第二稿では、水西洋天文学を学んだ高橋がこのような近代的な五星法を完成させるのは、一見簡単な事

星本天の軌道傾斜角は 7.00 度が採用されています。

であるように思えますが、彼をとりまく研究環境を考えると、実は大きなブレークスルーが必要であったと考えられます。というのも、
Vol.20 No.2

嘉数 次人