計測自動制御学会東北支部 第 294 回研究集会 (2015.5.29)
資料番号 294-6

白色ガウス雑音による信号の位相変動を考慮した
位相限定相関関数の統計的解析
Statistical Analysis of Phase-Only Correlation Functions
Considering the Phase Fluctuation of Signals due to the Effect ofWhite Gaussian Noise○福井一弘 † ，八巻俊輔 † ，阿部正英 † ，川又政征 †○ Kazuhiro Fukui† , Shunsuke Yamaki† , Masahide Abe† , Masayuki Kawamata†† 東北大学†Tohoku University
キーワード : 相関関数 (correlation function), 位相限定相関 (phase-only correlation),
位相差 (phase difference), 位相スペクトル (phase spectrum)

連絡先 : 〒 980-8579 仙台市青葉区荒巻字青葉 6-6-05 東北大学大学院工学研究科電子工学専攻
福井一弘，Tel.: (022)795-7095，Fax.: (022)263-9169，E-mail: fukui@mk.ecei.tohoku.ac.jp

1.

はじめにしている．このため，位相差が 0 のとき位相限定

位相限定相関関数とは，2 つの信号の位相差に着目した相関関数であり，振幅スペクトルを正規化した信号 (位相限定信号) の相互相関関数として定義される．位相限定相関関数は相関関数に比べて鋭いピークを有するという特徴か相関関数がデルタ関数になるという性質は実際の応用において利用することができない．種々の技術に位相限定相関関数を応用するにあたって，雑音による位相差の変動が位相限定相関関数に及ぼす影響を解析することが必要である．
本稿では，白色ガウス雑音によって位相差がら，相関の度合いを評価する高精度な指標として，映像のフレーム間の位置ずれ補正 1, 2) ，画変動する場合を仮定する．2 つの信号の差が白像マッチング 3, 4) ，生体認証アルゴリズム 5) ，周期性をもつ DNA 配列の探索 6) などの幅広い相差の確率密度関数を求める．更に，位相差の分野において用いられてきた．
位相限定相関関数は，2 つの信号の位相差が 0のときデルタ関数になる．上記の応用例においては，この性質を応用の理論的根拠としてきた．
しかし，実際の信号処理において 2 つの信号の位相差が 0 となることは非常にまれであり，多くの場合は，雑音の影響によって位相差が変動

色ガウス雑音である場合，この 2 つの信号の位確率密度関数を用いて位相限定相関関数の期待値と分散の式を求める．最後に，白色位相限定相関関数ガウス雑音の分散の増加に対して位相限定相関関数の期待値が減少し，位相限定相関関数の分散が増加すること示す．この結果より，位相限定相関関数が，2 つの信号の類似性を評価する指標として適切であることを示す．

–1–

r(m) =Fig. 1

位相限定相関のブロック図=2.

位相限定相関関数の定義と主な=性質
本節では，位相限定相関関数の定義と主な性=質について述べる．図 1 に示すように，2 つのN−1Xn=0
N−1Xk=0N−1Xx̂∗ (n)ŷ(n + m)Ne−jθk ejφk ej N mk
2πej(φk −θk ) ej N mk
2πk=0
N−1X1N2πejαk ej N mk

(5)

k=0

(m = 0, 1, 2, ..., N − 1)

信号 x(n) と y(n) から位相限定相関関数 r(m)を求める計算方法を以降に示す．まず，信号長

ここで，記号 ( )N は modulo N を表す．θk とN の 2 つの複素信号 x(n) と y(n) の離散フーリ

φk はそれぞれ信号 x(n) と y(n) の位相スペクトエ変換 X(k) と Y (k) を以下に定義する．

ルであり，αk = φk − θk は 2 つの信号の位相差（位相スペクトルの差）である．また，exp (jαk )X(k) =Y (k) =N−1Xn=0
N−1Xを位相因子と呼ぶ．式 (5) より，位相限定相関x(n)e−j N kn = |X(k)| ejθk(1)y(n)e−j N kn = |Y (k)| ejφk(2)2π2π関数 r(m) は位相因子 exp(jαk ) の離散フーリエ逆変換 (IDFT) で与えられることがわかる．

n=0

特に，信号 x(n) の位相スペクトル θk と信号y(n) 位相スペクトル φk が等しいとき（たとえ(k = 0, 1, 2, ..., N − 1)ば，特別な場合として y(n) = x(n) であるとここで，|X(k)| と |Y (k)| はそれぞれ x(n) と y(n)き），x(n) と y(n) の位相差は αk = 0 であり，の振幅スペクトルであり，θk と φk はそれぞれ位相限定相関関数 r(m) はx(n) と y(n) の位相スペクトルである．

N −1

次に，振幅スペクトルを正規化した信号 (位r(m) =相限定信号) を定義する．信号 x(n) と y(n) それぞれの位相限定信号 x̂(n) と ŷ(n) は=N −1

1 X jθk j 2π nkx̂(n) =e e N
N1ŷ(n) =Nk=0
N−1Xjφk j 2πnk
Nee1
Nk=0
N−1X2πej N mk

k=0= δ(m)
1, m = 0=0, m = 1, 2, ..., N − 1(3)(4)

k=0

1 X jαk j 2π mke e NN(6)となり，デルタ関数となる．

(n = 0, 1, 2, ..., N − 1)

位相限定相関関数は，振幅スペクトルを正規で定義される．位相限定相関関数は，2 つの位化した信号の相関をとるという点で，通常の相相限定信号の相互相関関数として以下のように関関数とは異なる優れた性質を持つ．自然画像

定義される．

をはじめ多くの信号は，低周波数成分に振幅スペクトルが集中している場合が多い．従って，振幅スペクトルを正規化することにより，高周波数成分を強調し，信号の輪郭を強調することが–2–

単一スペクトルの実正弦波信号 x(n) を¶µ2π
kn + θx(n) = X cos
N(n = 0, 1, 2, ..., N − 1)

Fig. 2 位相限定相関のブロック図 (一方の信号に雑音が加わる場合)(7)とする．ここで，N と k はそれぞれ，信号長と周波数インデックスであり，X と θ はそれぞれ信号 x(n) の振幅と位相である．
次に，狭帯域ガウス雑音 v(n) を以下のようにできる．位相限定相関関数は，振幅スペクトルの正規化により信号の輪郭形状を強調できるので，2 つの信号の位置ずれ量やマッチング度合いを通常の相関関数よりも高精度に評価することができる．

定義する 1) ．

¶µ¶
2π2πv(n) = vc (n) coskn − vs (n) sinknNN(n = 0, 1, 2, ..., N − 1)(8)µここで，vc (n) と vs (n) はともに平均 0，分散 σ 23.

ガウス雑音による位相差の確率のガウス分布に従う確率変数であり，互いに得的変動率であるとする．すなわち前節において，2 つの信号の位相スペクトルE[vc (n)] = E[vs (n)] = 0(9)が等しいとき位相限定相関関数はデルタ関数に

Var[vc (n)] = Var[vs (n)] = σ 2(10)なることを述べたが，実際の応用において 2 つの信号の位相スペクトルが等しくなることはほである．これよりとんどない．これは，図 2 に示すように，信号に雑音が加わることによって位相差が変動することによるものであると考えられる．

E[v(n)] = 0(11)Var[v(n)] = σ 2(12)本節では，雑音の影響による位相差の変動にが導ける．このような狭帯域ガウス雑音 v(n) がついて述べる．はじめに，単一スペクトルの信単一スペクトルの実正弦波信号 x(n) に加わった号に狭帯域ガウス雑音が加わった場合におけるとき，その和信号 y(n) は位相変動について述べる．次に，複数のスペクトルを持つ信号に白色ガウス雑音が加わった場合における位相変動について述べる．

3.1

単一スペクトル信号と狭帯域ガウス雑音との和信号の位相

本節では，単一スペクトル信号に狭帯域ガウス雑音が加わった場合における信号の位相変動について述べる．狭帯域ガウス雑音とは，定常性を満たし，周波数帯域が中心周波数付近に集中しているガウス雑音のことである．

y(n) = x(n) + v(n)µ¶2π= X coskn + θNµ¶µ¶2π2π+vc (n) cos
kn − vs (n) sinkn
NNµ¶2π= {X cos θ + vc (n)} coskn
Nµ¶2π− {X sin θ + vs (n)} sinkn
Nµ¶µ¶2π2π= yc (n) cos
kn − ys (n) sinknNNµ¶2π= Y (n) cos
kn + φ(n)(13)
N–3–と書ける．ここで，Y (n) と φ(n) はそれぞれ y(n)3.2の振幅および位相であり，pyc2 (n) + ys2 (n)µ¶−1 ys (n)φ(n) = tan
yc (n)

Y (n) =

前節では，単一周波数の正弦波信号に狭帯域(14)(15)複数のスペクトルを持つ信号と白色ガウス雑音との和信号の位相ガウス雑音が加わったときの位相変動について述べた．本節では，より一般的に複数の周波数である．このとき，yc (n) と ys (n) の結合確率密スペクトルが存在する信号に白色ガウス雑音が度関数は加わったとき (図 2 参照) の位相変動について述べる．複数の周波数スペクトルを持つ信号 x(n)p (yc (n), ys (n))
はhhii
(yc (n)−X cos θ)2(ys (n)−X sin θ)2
exp
−exp
−
N −12212σ2σ2π1 X=
11x(n) =X(k)ej N nk
2π(2πσ 2 ) 2(2πσ 2 ) 2N
k=0(16)N−1
2π1 X=|X(k)|ejθk ej N nk (19)Nとなる．これは，vc (n) と vs (n) が，平均 0 で分k=0(n = 0, 1, 2, ..., N − 1)
散 σ 2 のガウス分布に従う確率変数であること，および独立性の仮定から求まる．また，変数変と表される．ここで，|X(k)| と θk はそれぞれ信換より Y (n) と φ(n) の結合確率密度関数を求め

号 x(n) の振幅スペクトル，位相スペクトルでると，ある．更に，信号 x(n) が実信号であるとき，Y (n)X(k) = X ∗ (N − k)(20)
p (Y (n), φ(n)) = 2 2 ·4πσ¸·Y 2 (n) + X 2 − 2XY (n) cos(φ(n) − θ) であり，exp −2σ 22π2πX(k)ej N kn + X(N − k)ej N (N −k)n(17)= |X(k)|ejθk ej N kn + |X(k)|e−jθk e−j N ej2πn2πとなる．更に，振幅 Y (n) で積分することで φ(n)の確率密度関数を求めると以下のようになる 7) ．

= |X(k)|ej ( N kn+θk ) + |X(k)|e−j ( N kn+θk )¶µ2πkn + θk(21)= 2|X(k)| cos
Nµ¶Nk = 0, 1, 2, ...,−122πZ ∞p(φ(n)) =p(Y (n), φ(n))dY (n)0=X cos(φ(n) − θ)·3σ(2π) 2¸·
X 2 sin2 (φ(n) − θ)
exp − 2σ2(18)ここで，φ(n) − θ は信号 y(n) と x(n) の位相差であり，X は x(n) の振幅，σ 2 は v(n) の分散でわせとしてNµ−122 X
|X(k)| cosx(n) =N

k=12πkn + θkN¶(22)と書ける∗ ．
同様に，白色ガウス雑音 v(n) は狭帯域ガウス雑音の重ね合わせとして，
N−122 X
|V (k)| cosv(n) =N

単一スペクトル信号 x(n) の振幅 X と，狭帯域ガウス雑音 v(n) の標準偏差 σ との比 X/σ で決まることが分かる．

2πとなる．従って，実信号 x(n) は正弦波の重ね合ある．式 (16) より，単一スペクトル信号と狭帯域ガウス雑音の和信号の位相の確率密度関数は，2πk=1∗µ2πkn + ξkN¶(23)

直流成分を 0 としているが，このようにしても一般性は失わない．

–4–と書ける．したがって，正弦波信号 x(n) と雑音
2011)v(n) の和信号 y(n) は，以下のように表される．
y(n) = x(n) + v(n)N−12=2 X|X(k)| cos
N

µk=1
N

−122 X+|V (k)| cosN

k=1

N−12=2 X|Y (k)| cosN
k=1µ2πkn + θk
Nµ102πkn + ξkN

2πkn + φkN15¶¶50-0.5¶00.51(24)1Fig. 3 k = 1 における位相差 φ1 − θ1 の確率密度関数とシミュレーション値

ここで，信号 x(n) と白色ガウス雑音 v(n) の和)スペクトル信号と狭帯域ガウス雑音との和信号2成分についてみれば，前節で述べたような単一2信号 y(n) について，y(n) のそれぞれの周波数2015である．従って，y(n) と x(n) の位相スペクト
ル差 (それぞれの周波数インデックス k での位10相差) の確率密度関数は，前節の結果を用いてp(φk − θk ) =|X(k)| cos(φk − θk )·3σ(2π) 2¸·|X(k)|2 sin2 (φk − θk )exp −σ22(25)と書ける．ここで，σ 2 は，v(n) のそれぞれの周50-0.500.522Fig. 4 k = 2 における位相差 φ2 − θ2 の確率密度関数とシミュレーション値波数インデックス k における分散である．v(n)3)

2 とすればの分散を σw

1 2σN w(26)203σ2 =15の関係がある．式 (23) より，複数のスペクトルをもつ信号と白色ガウス雑音の和信号の位相の10確率密度関数は，信号 x(n) の振幅スペクトル|X(k)| と，白色ガウス雑音 v(n) の標準偏差 σw√との比 N |X(k)|/σw で決まることが分かる．

50-0.500.5
33Fig. 5 k = 3 における位相差 φ3 − θ3 の確率密度関数とシミュレーション値–5–4.

位相限定相関関数の統計的性質

例として，複数のスペクトルを持つ信号µ¶µ¶2π2πn + 0.5 cos
2nx(n) = cos
3232µ¶
2π+0.25 cos3n(27)32(n = 0, 1, 2, ..., 31)

とおく．ここで位相因子の分散 Vk は，位相因子£¤の期待値 E ejαk を用いて£¤Vk = Var ejαkh¤∗¢∗ i£¤ £¡− E ejαk E ejαk= E ejαk ejαk£ ¤£¤ £¤∗= E ej0 − E ejαk E ejαk
= 1 − Ak A∗k(k = 0, 1, 2, ..., N − 1)に，平均 0 で分散 0.01 の白色ガウス雑音 v(n)が加わった場合を考える．信号 x(n) と白色ガウ(30)と表される．

ス雑音 v(n) の和信号を y(n) としたとき，y(n)と x(n) との位相差 φk − θk の確率密度関数をそれぞれの周波数成分 (k = 1, 2, 3) について求め

4.2

位相限定相関関数の期待値 E[r(m)] は以下のた．図 3 から図 5 に理論値とシミュレーション値を示す．図 3 から図 5 を比較すると，信号の位相限定相関関数の期待値ように求められる．

"

振幅スペクトルが最も大きい k = 1 成分において位相差の分散は最も小さくなり，信号の振幅スペクトルが最も小さい k = 3 成分において位=相差の分散は最も大きくなっていることが見て1N取れる．この結果から，雑音の分散に対して信号の振幅スペクトルが相対的に大きい周波数成=分においては位相差の変動が小さく，逆に雑音

1N

#k=0
N−1X£
¤ 2π
E ejαk ej N mk

k=0N−1X2π

Ak ej N mk

k=0= IDFT [Ak ]の分散に対して信号のスペクトルが相対的に小(31)(m = 0, 1, 2, ..., N − 1)

さい周波数成分においては位相差の変動が大きいことが言える．

N −11 X jαk j 2π mke e NE[r(m)] = EN

式 (31) より，位相限定相関関数の期待値 E[r(m)]前節では，信号に白色ガウス雑音が加わった
場合の 2 つの信号の位相差の確率密度関数を導は位相因子の期待値 Ak の離散フーリエ逆変換で求められることが分かる．

出した．本節では，位相差の確率密度関数を用

特に，Ak が周波数インデックス k に依存しないて，位相限定相関関数の期待値と分散を導出

い定数 A のとき，位相限定相関関数の期待値はする．

N −1

E[r(m)] = A

4.1

k=0

位相因子の期待値と分散= Aδ(m)A (m = 0)=
0 (m = 1, 2, ..., N − 1)

位相因子 αk の期待値と分散をそれぞれ
jαk

Ak = E[e1 X j 2π mke NN](28)Vk = Var[ejαk ](29)と求まる．

–6–(32)

1×Var[r(m)]10.80.80.60.60.40.40.20.2020406080
σ2w00100Fig. 6 白色ガウス雑音の分散 σw の増加に対する位相限定相関関数の期待値

4.3jαkE[e位相限定相関関数の分散 Var[r(m)] は

Var[r(m)]= E [(r(m) − E[r(m)])(r(m) − E[r(m)])∗ ]!
ÃN −111 X(33)Ak A∗k=1−NN
k=0

周波数インデックス k に依存しない場合に限り，位相限定相関関数の分散 Var[r(m)] は=1N6080
σ2w100] =Z π|X(k)| cos(αk )·3σ−π(2π) 2·¸|X(k)|2 sin2 (αk ) jαkexp −e dαkσ22(36)となり，位相因子 ejαk の期待値 E[ejαk ] が，位相差 αk の確率密度関数 p(αk ) から求めることがと表される．ここで，位相因子の期待値 Ak がVar[r(m)] =40Fig. 7 白色ガウス雑音の分散 σw の増加に対する位相限定相関関数の分散ると，位相限定相関関数の分散20

ÃN −11−1 XAA∗N

E[r(m)] と分散 Var[r(m)] を，位相差の確率密度関数 p(αk ) を用いて表すことができる．ただ!

し，現段階で式 (31) を閉じた形 (積分でない形式) で導出できていないため，数値積分によってk=01(1 − AA∗ )Nできる．これより，位相限定相関関数の期待値(34)位相限定相関関数の期待値と分散を求めた．式(35) の数値積分において，信号の振幅スペクト
ルは |X(k)| = 1 とした．また，数値積分の値と求められる．と比較するために，実際の信号 (信号長 N = 32

4.4

位相差の確率密度関数を用いた位相因子の期待値の導出

位相因子の期待値 E[ejαk ] は，位相差 αk の確率密度関数 p(αk ) を用いて，Z ∞jαkE[e ] =p(αk )ejαk dαkで，振幅スペクトル |X(k)| = 1) に白色ガウス雑音を加えたときの，位相限定相関関数の期待2値と分散を計算した．白色ガウス雑音の分散 σwを増加させたときの，位相限定相関関数 r(m) のピークの期待値 E[r(0)] と分散 Var[r(m)] を図 6(35)−∞と図 7 にそれぞれ示す．図 6 と図 7 より，一方の信号に加わる白色ガウス雑音の分散 σw が大きと書ける．ここで，式 (35) の p(αk ) に，前節でくなるほど，位相限定相関関数 r(m) のピーク求めた位相差の確率密度関数の式 (25) を代入すの期待値は小さくなり，分散は大きくなることが分かる．これより，位相限定相関関数のピー–7–

クが 2 つの信号の類似の度合いを示す指標として有効であると言える．

5.

matching, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach.
Intell., 30-10, 1741/1756 (2008)
6) A. K. Brodzik: Phase-only filtering for themasses(of DNA data); A new approach to sequence alignment, IEEE Trans. Signal Processing, 54-6, 2456/2466 (2006)

おわりに

本稿では，白色ガウス雑音による信号の位相変動を考慮した位相限定相関関数の統計的解析を行った．まず，単一スペクトル信号に狭帯域ガウス雑音が加わった場合における，2 つの信号の位相差の確率密度関数を求めた．次に，複数のスペクトルを持つ信号に白色ガウス雑音が加わった場合における，周波数インデックスごとの位相差の確率密度関数を求め，この結果から白色ガウス雑音の分散に対して，信号の振幅スペクトルが相対的に小さいほど，位相差の変動が大きくなることを示した．最後に，位相限定相関関数の期待値と分散を，位相差の確率密度関数を用いて表すことで，一方の信号に加わる白色ガウス雑音の分散が大きいほど位相限定相関関数の期待値は減少し，分散は増加することを示した．以上より，位相限定相関関数が 2つの信号の類似性を評価する指標として有効であることが示される．

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位相スペクトル差の確率的変動に対する位相限定相関関数の挙動，第 26 回信号処理シンポジ
ウム講演論文集，222/227 (2011)14) 八巻 俊輔，阿部 正英，川又 政征: 方向統計学を用いた位相限定相関関数の統計的解析，電子情報通信学会技術研究報告，CAS2012-122,
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