数理解析研究所講究録
第 1903 巻 2014 年 97-101

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Rate of convergence in first passage percolation
with low moment conditions
日本大学理工学部直樹

久保田$*$Naoki. Kubota
College of Science and Technology,
Nihon UniversityAbstract
本稿では，2013 年 12 月 17 日から 20 日に行われた研究集会 [確率論シンポジウ
ム」 における講演内容をもとに，ファーストパッセージパーコレーションにおけるasymptotic shape の漸近挙動について，その概要を述べる．また，本研究を応用し，ファーストパツセージパーコレーションの分散の下からの評価に対する考察を行う．

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Model and main results
本稿では，2013 年 12 月 17 日から 20 日に行われた研究集会「確率論シンポジウム」 における講演内容をもとに，著者が行った 「弱いモーメント条件の下でのファーストパッセージパーコレーションの研究」 についての概要を述べる．定理などの証明は概略程度に留めるため，詳細については [6], または関連する研究である [2], [5] や [7] を参照されたい．

樹木が正方格子状に並んだ果樹園において，ある木で病気が発症したとする．病気の伝染は隣接する 4 本の木にのみ起こり，その確率は独立に$p$ずつであるとする．このとき，「ある木で発症した病気が，果樹園の樹木にどのように伝染していくか」を問題として扱うのが，パーコレーションである．これに関連して，Hammersley と Welsh [4] によって導入された “ ファーストパッセージパーコレーショノ’ がある．ファーストパッセージパー

コレーションでは，ある木$a$からそれに隣接する木$b$には，ランダムな時間 $\omega(\{a, b\})$ で病気が伝染するとし，「ある範囲まで病気が広がる時間と，その感染経路」 を問題として$*E$-mail address: kubota@grad.math.cst.nihon-u.ac.jp

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扱う．今回，このファーストパッセージパーコレーションに対し，病気の伝染が起こる範囲の形状の振る舞いについて研究を行った．

まず最初に，今回扱うファーストパッセージパーコレーションについて，より詳しく説明を行う．

$\mathcal{E}$を正方格子列であるとする．(各す．

$)$

このとき，

$\mathbb{Z}^{d}$$\omega(e)$の辺集合とし，$\mathbb{Z}^{d}$$(\omega(e))_{e\in \mathcal{E}}$を独立同分布な非負値確率変数

を，木から木へ病気が伝染するときのランダムな時間とみなの辺を 「 $e_{1}arrow e_{2}arrow\cdotsarrow e_{l}$ 」 と辿る経路$\pi$において，その passagetime を$T( \pi):=\sum_{i=1}^{l}\omega(e_{1})$で定義する．さらに，$\mathbb{Z}^{d}$の頂点$x$から$y$への$T(x, y):= \inf$ $T(\pi);\pi$ は{

ここで問題とするのは，原点$0$$\mathbb{Z}^{d}$first passage time を以下で定義する:の頂点$x$から$y$からの first passage time が$t$への経路}
以下となるような点の集合$B(t):= \{y+h;y\in \mathbb{Z}^{d}, T(O, y)\leq t, h\in[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]^{d}\}, t>0$の漸近挙動である．
ここで，次の仮定 (A1) と (A2) を導入する: $F(x)$ をる．このとき，$\mathbb{Z}^{d}$$(\omega(e))_{e\in \mathcal{E}}$上のボンドパーコレーションの臨界確率$p_{c}$の共通の分布関数とすと，ある $\alpha>1$ に対して(A1) $F(0)<p_{C},$$( A2)\int_{0}^{\infty}x^{\alpha}dF(x)<\infty.$

仮定 (A2) の下では，次が成り立つことが知られている: ある関数

存在して，P-as. と$L^{1}$

$\mu$

$\mu$

$\mathbb{R}^{d}arrow[0, \infty$) がの意味で$\mu(x)=\lim_{narrow\infty}\frac{1}{n}T(O, nx)=\lim_{narrow\infty}\frac{1}{n}E[T(O, nx)]=\inf_{n\geq 1}\frac{1}{n}E[T(O,$ $nx$

この関数

:

$x\in \mathbb{Z}^{d}.$を time constant と呼ぶ．さらに，仮定 (A1) と (A2) の下で，すべての $\epsilon>0$に対して確率 1 で次が成立する: 十分大きな $t>0$ に対して，$(1- \epsilon)B_{0}\subset\frac{B(t)}{t}\subset(1+\epsilon)B_{0}.$ここで， $B_{0}:=\{x\in \mathbb{R}^{d};\mu(x)\leq 1\}$ で，これを limit shape と呼ぶ．この結果に対し，Kesten [5] と Alexander [1] は， $B(t)/t$ が$B_{0}$へ漸近していく rate をより精密に調べ，最大でも $\epsilon=O(t^{-1/2}\log t)$ 程度となることを示した．そこでは，上の仮定 (A2) よりかなり強い，以下の条件が仮定されている:

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ある $\gamma>0$ に対して， $\int_{0}^{\infty}e^{\gamma x}dF(x)<\infty$ が成立する．

今回，この条件を弱めた場合の漸近挙動について考察し，以下の結果を得た．

Theorem 1.1. 仮定 (A1) と (A2) を仮定する．このとき，ある定数べてのと十分大きな に対して，-unit vector$\xi\in \mathbb{R}^{d}$$\ell_{2}$$C$が存在して，す$n$$E[T(O, [n\xi])]\leq n\mu(\xi)+Cn^{1-1/(6d+12)}(\log n)^{1/3}.$が成立する．ここで，$[n\xi]$は点$n\xi$に最も近い格子点である．

Theorem 1.2. 仮定 (A1) が成立するとする．さらに，ある$\alpha\geq d$が成立するとする．このとき， $\delta>0$ が十分小さければ，ある定数存在し，十分大きな$t$に対して，仮定$C_{1},$$C_{2},$$C_{3},$$(A2)_{\backslash }$$C_{4}>0$ がに対して次が成立する:$P(B(t)\not\subset t(1+C_{1}t^{-1/2+3\delta})B_{0})\leq C_{2}t^{d}\exp\{-C_{3}t^{\delta}\},$$P(t\{1-C_{4}t^{-1/(6d+12)}(\log t)^{1/3}\}B_{0}\not\subset B(t))\leq t^{\alpha(\beta-1)+d}.$

ここで，$\beta:=(3-d\delta-\frac{1}{6d+12})^{-1}$

特に，ある $\alpha\geq(d+1)(9d+17)/(6d+11)$ に対して仮定 (A2) が満たされるならば，確率 1 で次が成立する:十分大きな$t$に対して，$\{1-C_{4}t^{-1/(6d+12)}(\log t)^{1/3}\}B_{0}\subset\frac{B(t)}{t}\subset\{1+C_{1}t^{-1/2+(d+1)\delta}\}B_{0}.$2 Application of Theorem 1.1
この章では，Theorem 1.1 を応用し，first passage time の分散の lower bound の考察を行う．次元は $d=2$ とし，確率測度

瓦を$\mathbb{Z}^{2}$$\nu’$の台を $supp(\nu’)$ で表わすことにする．さらに，上の oriented percolation についての critical parameter とする (詳しくは，[3]を参照). このとき，$q\geq\vec{p}_{c}$の集まりとする:(B1) $supp(\nu’)\subset[1, \infty)$ ,(B2) $\nu’(\{1\})=q.$に対して，$\mathcal{M}_{q}$を次の条件 (B1) と (B2) を満たす確率測度$\nu’$

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また，原点なす角を$\theta_{q}$とベクトル$0$$N_{q}$$:=(1/2+\alpha_{q}/\sqrt{2},1/2-\alpha_{q}/\sqrt{2})\in \mathbb{R}^{2}$とする．ここで，を結ぶ直線と$x$-軸のは oriented percolation に対する asymptotic speed で$\alpha_{q}$ある (詳しくは，[3] を参照). このとき，Auﬃnger と Damron [2] は次が成立することを証明した．

Theorem 2.1 (Auﬃnger and Damron, Theorem 2.5 of [2]). 与えられた
対して，$\nu\in \mathcal{M}_{q},$$\theta\in[0, \theta_{q})$存在して，十分大きな$n$$q\in[\vec{p}_{c}$, 1) にとする．(A2) が $\alpha=2$ として成立し，さらにある $\beta<1$ がに対して$E[T(O, [n\xi_{\theta}])]<n\mu(\xi_{\theta})+n^{\beta}$が成り立つと仮定する．ここで，$\xi_{\theta}:=(\cos\theta, \sin\theta)\in \mathbb{R}^{2}$,(2.1)

である．このとき，ある正の定数 $C=C(\theta)$ が存在して，すべての $n$ に対して(2.2)$Var(T(O, [n\xi_{\theta}]))\geq C\log n$が成立する．
この定理の仮定に Theorem 1.1 を適用する．まず，$\nu\in \mathcal{M}_{q}$(特に，(B1) が成り立つ)ならば， ({0}) $=$ 0 $<$ P。であることに注意する．つまり，仮定 (A1) が満たされている．
$\nu$

そこで，もし $\alpha=2$ として (A2) が成立するならば，Theorem 1.1 より $\beta=47/48$ として (2.1) が成り立つことが分かる．Auﬃnger と Damron は，first passage time の分散のlower bound を得るために (2.1) を仮定したが，実際は仮定 (A2) のみで同様の評価が得られることが分かった．すなわち，次の系が得られる．

Corollary 2.2. 与えられた$\alpha=2$$q\in[\vec{p}_{c}$, 1) に対して，$v\in \mathcal{M}_{q},$$\theta\in[0, \theta_{q}$) とする．もしとして (A2) が成立するならば，すべての $n$ に対して (2.2) が成立する．

References[1] K. S. Alexander. Approximation of subadditive functions and convergence rates

in limiting-shape results. The Annals of Probability, $25(1):30-55$ , 1997.
[2] A. Auﬃnger and M. Damron. Diﬀerentiability at the edge of the percolation coneand related results in first-passage percolation. Probability Theorlt and RelatedFields, pp. 1-35, 2011.

[3] R. Durrett. Oriented percolation in two dimensions. Ann. Probab., $12(4):999-1040,$1984.

101[4] J. Hammersley and D. Welsh. First-passage percolation, subadditive processes,

stochastic networks, and generalized renewal theory. In Bernoulli 1713 Bayes 1763
Laplace 1813, pp. 61-110. Springer, 1965.
[5] H. Kesten. On the speed of convergence in first-passage percolation. The Annalsof Applied Probability, pp. 296-338, 1993.
[6] N. Kubota. Rate of convergence in first passage percolation with low moment
conditions. Preprint, 2013. http: $//$ arxiv. $org/abs/1306.5917.$[7] Y. Zhang. On the concentration and the convergence rate with a moment condition in first passage percolation. Stochastic
and their Applications,$120(7):1317-1341$ , 2010.
$Proces\mathcal{S}es$