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資料番号174増連続変形法による最適制御問題の数値解法

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井前譲＊，○井上和弘＊＊，高橋障也出J元Ⅰ血誠ヰ，OE血mInoue＝，才岬a取立ah由＊＊＊岩手大学工学部，叫岩手大学大学院＊Fact咄叩柑Ilgin昧血g，IwateU由冊巧卸＊＊G翔．duate血lofEn画恍ring，1wateUIliverBity

キーワード：勒陪解法，最適制御問題，連続変形艶非可微分問題
連絡先：〒020盛岡市上田4・3・5，岩手大学工学部機械工学科
井前 譲 恥：019（621）6亜1，且皿血：jiⅡ岨蜘a鹿札aC血1．はじめに非線形最適制御間借に対し最適制御アルゴリ

2．最遠制御同債
2．1通常の最適制御問題

ズムはその解を求める有力な手法の1つといわ最適制御間者は一般に次のように定式化される．しかし，対象とする関数は可微分でなけれる．すなわち，状態方程式，初期状態がそれればならず，必ずしも微分可能ではない関数（非ぞれ可微分牌謝が含まれる粉乳最適制御アルゴ

リズムは適用できない．対象システムの大規模化，複毒射ヒに伴いアルゴリズムの適用範囲の拡坤）＝′（J，J仙叫）），坤0）＝∫。∈沢 （1）で与えられるとき，評価関数大が望まれている．本論文では，非可微分関数を含む場合昭島適制御問題を扱う．具体的には，

J叫巾1）〕＋腑潮榊

連続変形法Ⅷの考え方に着目し，通常の最適制を最小にする操作量叫）を求める間磨である・

御問題と非可微分のそれとを連続的に関連づiナ

ただし，巧いrlト軒は絶対連続関数・ることにより，非可微分な場合にも適用可能なuヰ。，f．ト即は本質的有罪な可側聞数とし，新たな最適制御アルゴリズムを操案する．そのノ ，畑土械垂続的微分可能関数とする・

際，統一的手法の確立が困難との判断から2つの場合に分けて執する．

この場合，アルゴリズムは以下のように与えられる．

（2）p朽）＝−G．（㌔（がfアルゴリズム】乃＜ステップ0＞β∈（0，1），叫2∈（0，1）とす＜ステップ6＞もし評価関数の値が収束したと判断

る．

Lたとき終了する．そわ以鞘まメ＝f＋Ⅰとおいてス＜ステップ1＞可測関数招け軋Jl】→9㍗

テップ3′、雇る．

2．望 非可微分最適制御問題

を選び，f＝0とする．

前述の最適制御間皆では，′，G，上が可微

くステップ2＞以j（りを用いて，≡和1）より分な場合を取り扱うのに射し，本論文では非可∫竹）を求める．

微分な場合を扱う．ここで，この非可微分な問＜ステップ3＞試問・（5）より，題に対する接近法として，′，G，エの近似関数
んGf，エjを見つけるのが簡単な場合と困難な血中），紆∫仙r一帖血−（りを求める・
血′（巧＝肌小，∫i耳）場合の2つの堤創こ分けて考える．

＋甜，∫f，〟fxc∫）￣1‡J拍Jj，打f）rg（棚卸）●近似間数法＋ム（一，∫上，打上氷cナ1（山い扉）rr（り−エル∫j，巾r‡，叫0）＝0′，G，上の近似関数んG‖上fを見つけるの（ヨ）

腑（り＝一桝兢（い ，〟ヱト烏（f，∫f，㌦）印）＋β′が簡単な藤倉について考える．
いも十‡椚f兢（Jノ，打用（亡ナ1トム（りi，〟j）r鞘）‡ヨ叫l■）＝一月f

一→鳴j一一也

ノー■町（4）となるような可微分関数列比‡寓‡丸‡が存

rf（f）＝−ム（いf，巾㌻仰十ん（け守）r＋ト∬（J兢（りf，〟f）‡（Cf）￣l卜ん（J，Jf，〟ヅ＋．価，∫一，〟j）r吋）‡，√裾＝1串（rl））

在するとする．このとき，′，G，ムをんq．エーに置き換えることで，2．1節の最適制御間宙を導く．すなわち，状態方程式及び評価関数（5）坤）＝1（い申），叫）），坤。）＝∫￠∈明月

血∫（り＝（CTl【‡ム（Jノ，打ヅ坤）‡叫）

1＝q（叫）十距，軸仰十ム（J，∫j，再rr（fトムⅣ（いj，再rl匝）のもとに最適解を求め，j→∞として最適制御＜ステップ4＞αi＝1

間麿を連続的に変形することにより非可微分な＜ステップ5＞打両（一）＝頼）＋叫励−（りとお問題の最適解を探し出す方法である．

き，打山（f）を用いて，式（叫よりズf＋l（りを求（注意）実際の計算では必ずしもト十咄とする

必要はなく，評価関数が落ち着いたところで終める．もし，J（㌦）一画）≦J叫帥（止打f】P佃戸d−（丁）了すればよい．
●区間延長法

近似関数んq，エfを見つけるのが困難な場ならば，ステップ6へそれ以外昧αf蟹β由一合について考える．関数′，G，エが全額域におとおいて，ステップ5を繰り返す．ここに，いて非可微分関数であったとしても，現実的に叫，瑚p）＝一帖ち〟，p）丹r′（い，Ⅰ一げ）であり，pf（r）は式〔ヱ1）の解である．
j坤）＝一上（い㌔り㌔嘲＋上∫（f，∬i，打ヅ

は（ち〟）がある領域内では可微分となることがある．そLて，そのような領域内に議論を限定すれば2．1節の最適御願卸間題として解くことができると考えられる．しかしながらこのような場合，従来のアルゴリズムでは成功率が低いと4．数値実験されている．なぜなら繰り返し計算の途中で必

簡単な最適制御問題により2種類の提案アずと育っていいほど可微分領域をはみ出してしルゴリズムの有雛を示す．微分積分計算の刻まうからである．本論文ではそれを防ぐため，み数は500とした．まず，従来のアルゴリズある意味の最適解を可微分領域内で連続的に変ムを試みる．次に，従来のアルゴリズムに内点形し徐々に必要とする最適解に近づけていく方ペナルティ法を併用した場合を試みる．最後に，法を採る．具体的には，解放可能な制御時間ま本アルゴリズムほ種類）を適用する．

での最適解を求め，その最適操作量を制御時間稚．1に示すようなシステムを考える印．質も含め，連続的に変形し必要とする制御時間ま量mの車が摩擦なしに，質量を無配できるガイ
ドレールの上を動く．時間を丁として車の位置を「とする．この事は質量のないばねで固定さでの最適解を求める．この方法では最適解は可微分簡域内に存在することが前提である．

れている．巾）＝句のときばねに力は加わっていない．このガイドレールはr何；0を中心に乱 アルゴリズム

トーションスプリングを介して回転している．

3．1近似間数法

軒打はガイドレールの回転角，両丁）はモータ

くステップ0＞ システム′，G，エ をの軸の回転角である．抑）＝顧T〕のときトーシ．パ，q，上1に置き換える・
くステップ1＞ んGりム∫の最適制御問題を解く．
＜ステップ2＞ 前回の最適操作量叫）を基にi＝f十1としたシステムの最適制御問題を解く．
＜ステップ3＞ 前回の評価関数値ノと比ョンスプリングに力は加わっていない．このとき運動方程式は次のようになる．
脚一帥一冊「（用〆（γが＋rl（巾卜瑞）＝0
加r（r）′（丁材（ー）＋脚直早（ー）＋だコ（由卜鞄（r））＝0

ここでプライムは丁に関する微分を表し，だいぶエはそれぞればねとトーションスプリングのばね定数を表す，次に，標準化した時間

較して，ノが安定したら終了．それ以外はス

J二即 と 拒 離 β桐＝テップ2■、．

爪＝3．2 区間延長法

くステップ0＞ 評価関数ノが発散せず，

r】／∬ユ1，片1ノ打コ巾匝￠），にこで吼二正面）を導入する・咄）＝中小／鴫），∫】（再三も（り，ち附＝P（り，∫．（り＝ち（れu（ー）＝軌吋叫）とするとこのシステムの状態方程式は次のようになる．

最適制御問題を解くことが出来る制御時間J∫までの最適解を求める．このときの刻み数を〃∫とする．

＜ステップ1＞ 前回求められた最適操作且坤）のデータの末尾に打個のデータを付加

も（り＝ち（J）

叫牛巧（ー）ヱち（巾l（r）
土！（り−屯コ（′1鞄（りち（†）＝工ヰ（りも岨＝ち矩）屯田−（屯（り一向）（邑）する・付知するデータは叫）とする・＜ステップ2＞ ステップ1で構成された

いま，几＝一川とし，平衡状態の1つとして軌道を与える．

‡巾）を基に最適解を求める．この時点で，制訂何≡J元
御時間は′ノ＝㌧・叫止となっている・＜ステップ3＞ 制御時靴′が終端時糾1利＝［瓦向．叩】

rP）に到達したら終了．それ以外はステップ1へ．
そして，評価関数を次のように与える．

J舶用三言叫卜町）r紬′ト町）

J＝ノ＋J
ち一0・l1畢⊥ユ叫卜印））r如（け一印））

十（叫卜訂〔r））即叫r）r：内点ペナルティパラメータ

打州l′−

ここで最終時軌′＝5，百＝J．点珊t言＝∫とする・とした．しかし，この場合にも評価関数の改善［最適制御問題1は見られず，計算不能に陥った．

システム方提式舟準）式で与えられ，J】の初期値が∬】（D）＝1．4とするとき，すみやかに平衡4．3 提案するアルゴリズム

状蜘に戻るための最適換作量を求めよ・

今回は状態方程式の抽，掴をち＝0近傍にこの間唐の場合，可微分の条件を満足しない要素は申い1揮である・●近似関数法おいて，それぞれ5次式，4次式で近似した・

例えば，γ叫勺を国…で5次式近似すると次のようになる（F密．軌

γ＝許rユ5一吉小÷∫き1

1丁恥巨可

したがって，システム（1）の丈2を次のように近似した．
4

榊−∫．）ヨ−小） α打
5→鶴市（吉∬3一小∬コ｝（トjlく可ここにFi官．1：対象システム

4．1従来のアルゴリズム

従来のアルゴリズムで解こうとした場合，繰り返L計算の過程において，∫ヨ＝0の近傍で状ご

d＝；ミニこのような近似関数のもと，j＝0からスタートし，i＝】で最適解に到達した岬重用・近似関数をどのように選定するかに問題点はあるも態方程式が発散し計算は続行不能となった．最のの，従来の最適制御アルゴリズムをそのまま適解はち＝0を通過しないにも拘らず計算不能

機械的に適用するだけで十分であり，比較的簡に陥る現象が見られた．

4．2 内点ペナルティ併用法
このシステムは∫ユ＝0で状態方程式が発散するので，屯＝0を通過しないようにJ，≧0．1な単である．
●区間延長法

次に，制御区間を延長する方法をこの問題る制限を課した．したがって，状鮭生拘束条件に適用する．試行錯誤の結見 ちゴ2，『二王0とした．また，制御時軌′＝5で刻み数∬≡500と下の最適制御閉居となるため，内点ペナルティ法を併用した．その際の拡張評価関数了はなるように初回刻み数を軋＝ユ00とした伊坂．4．

F短句．この方法は，可微分領域内に鈍重をと罰
2D

どめるため区間延長の仕方に難点があり試行錯誤を必要とするものの，近似関数に往昔を払う

lO必要がなく比較的簡便な方法である．但し，計算時間に関しては近似関数法の方が比較的短い傾向を示した．

5．轄昔
制御対象が非可微分要素を含む蓼告の最適制御アルゴリズムを2種類提案した．そして，提案した2つのアルゴリズム同士の比較を行った．どちらも1長1短がありケースバイケース

21の使い方が必要と思われる．

ユ■

5

血Ⅱ把F短．3：1射乍皇叫）（近似関数酎
串考文献

1）S鹿p鮎nLR出血軒鮎印加n止血IkC甜lo：Con也Iu且tkln加kth血：theoqandApp拉鼠也・or呵Ⅰ耶掛取肌蹴血鮎皿C加山鹿A血呂y一
台鹿血畠，VOLCAS・割）】NO6．347侶52（1減）

御 井前譲，他2名，日本機械学会論文集（C編）62−㈱，316呂伯174押迫句

3）IbIlmd鮎咋馳l腸Ⅵ屯iIl血塊
血l血℃aBZellandRolfUI血eh且uen：Applica・

血nofHom叫yMe血血軸Nb山im組rCon一也止Pmb把m札 P血騨Oftk35也Co掛且Ⅱ帖

飴ren僅OnDeciBionandContrDL 日33I538
F喧4：操作豊叫）（199句（区間延長艶fJ＝ユ，2・2フ叫2・占）＿／／ノ￣￣．■L−202

ヰ

81Fig．2：1／∬ユの近似

32b止柑エ享F垣，5：換作量〟樽（区間延長配J′＝5）

ヰ与