交点部を有するケーブルの張力算定に関する研究
古川愛子* 1

研究の背景と目的
本研究の対象であるニールセンローゼ橋はケーブル構造物の一種であり，2 本または 2 本以上のケーブルが交点クランプで連結されている．施工及び維持管理する上でケーブルの張力が設定張力を満足しているか確認する必要があり，現在は交点クランプを取り外し，高次振動法 1)等を各ケーブルに適用することで張力を推定している．しかし，交点クランプの取り外し・取り付け作業には多くの労力や時間がかかる．そこで山田らは交点クランプを取り付けたまま張力を推定する手法 2)を提案したが，ケーブルの両端を単純支持と仮定しているため，固定端であると考えられる模型実験では精度良く張力を推定することができなかった．実橋でも，固定端に近いと考えられる橋梁は多く見られる．そこでケーブルの両端が回転ばねであるとして定式化し，山田らの手法よりも推定精度を向上させることを本研究の目的とする．
1.

張力推定手法の提案
まず単一ケーブルの張力推定手法である高次振動法について説明する．加速度センサを設置したケーブルを加振し，得られた加速度波形をフーリエ変換することで固有振動数 fi を求めることができる．ケーブルの密度𝜌𝜌，断面積 A，長さ L とモード次数 i の固有振動数 fi を式(1)に代入すると，未知数である張力T と曲げ剛性 EI に関する式が次数の数だけ立式でき，それらに最小二乗法を適用して張力を推定することができる．
本研究では図 1 に示すような，交点クランプを有し両端が回転ばねである 2 ケーブルモデルを対象とした新たな張力推定式を考える．まずケーブルを張力のかかったはりとみなすと，面外方向たわみの振動方程式は式(2)で表せる．次に 2 ケーブルが交点クランプにより 1 点で結合された状態，かつ両端回転ばねの境界条件のもと式(2)を解くと式(3)が得られる．
𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐸𝐸 4𝑇𝑇
𝑓𝑓𝑖𝑖2 =𝑖𝑖 +𝑖𝑖 2(1)
44𝜌𝜌𝜌𝜌𝐿𝐿
4𝜌𝜌𝜌𝜌𝐿𝐿22.

ここで，式(3)は山田らの手法に回転ばねを考慮したものであり，交点変位で除して正規化したため交点変位が 0 となる場合に成立しないことが判明した．
そこで交点変位が 0 となる場合を考慮するため交点変位に相当する項を式(3)にかけると式(4)が得られる．
𝜕𝜕 4 𝑦𝑦𝜕𝜕 2 𝑦𝑦𝜕𝜕 2 𝑦𝑦(2)
𝐸𝐸𝐸𝐸 4 + 𝜌𝜌𝜌𝜌 2 − 𝑇𝑇 2 = 0
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑡𝑡
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝐸𝐸1 𝐼𝐼1(3)∙ 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓1𝑖𝑖 + 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓2𝑖𝑖 = 0
𝐸𝐸2 𝐼𝐼2
𝐸𝐸1 𝐼𝐼1(4)�∙ 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓1𝑖𝑖 + 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓2𝑖𝑖 � ∙ 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓3𝑖𝑖 ∙ 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓4𝑖𝑖 = 0
𝐸𝐸2 𝐼𝐼2
ここに，𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑁𝑁 𝑖𝑖 (N=1,2,3,4)は i 次固有振動数と各ケーブルの張力，曲げ剛性（𝐸𝐸1 𝐼𝐼1 ，𝐸𝐸2 𝐼𝐼2 ），回転剛性，密度，断面積，長さを含む関数であり，下付き文字はケーブ
ル番号を示す．密度，断面積，長さと面外方向の固有振動数を式(4)に代入した時に左辺が 0 になるという制約条件を用いて 2 本のケーブルの張力 T1, T2 を推定する．副次的に，2 本のケーブルの曲げ剛性と回転剛性も推定される．式(4)は高次振動法の式(1)と異なり，固有振動数の次数を特定する必要がないという利点がある．
模型実験による検証
提案式の妥当性を検証するために，山田らの模型実験結果を用いて張力の推定を行った．実験装置の概要は図 2 に，推定に用いたケーブル諸元を表 1 に示す．推定には 9 個の固有振動数を用いた．推定結果を表 2 に示す．ロードセルで測定した張力を真値とした．上段が本研究で提案した両端回転ばね式(4)を用いた推定結果，下段が山田らの両端単純支持式を用いた推定結果である．
3.

図2

図1
*

モデル図

京都大学大学院・工学研究科・准教授

ケーブル
k12

表1
密度

実験装置の概要

ケーブルの構造諸元
左側支点から断面積長さクランプまで
AkLk
ρk[m²][m][kg/m³]の長さ Lk1 [m]8401.578 0.000532 7.835
3.995
8401.578 0.000532 7.836
3.951

真値
T1[kN]

T2[kN]

推定値（推定値／真値）
T1[kN]
T2[kN]

両端
100.0
154.4
回転ば
(0.965)(1.027)
ね
103.6
150.4
両端142.5142.0
単純支(1.376)(0.944)
持
提案手法は山田らの手法と比べて張力の推定精度が高く，ケーブル 1，2 共に誤差 5%以内の精度で推定できている．これは，提案手法がケーブル両端の境界条件と交点での変位が 0 となるモードを考慮できているからであると考えられる．
実橋実験による検証
提案式の妥当性を検証するために実橋実験を行った．2 本のケーブルが交差する 4 ケースに対して実験を行った．推定に用いたケーブルの密度と断面積を表 3 に，ケーブル長と張力を表 4 に示す．交点クランプを取り外し，回転剛性を考慮した高次振動法により推定した張力を真値とみなした．ここでは，得られた 12 次までの固有振動数のうち主要な 1 次モードを含む 6 個（1 次モードと，2~12 次モードから 5 個）を用いて全ての組合せで推定した（ 11𝐶𝐶5 = 462通り）．
推定に用いる固有振動数の数を増やすほど計測ノイズなどの影響が大きくなり推定精度が下がることが確認できたため，ここでは固有振動数を 6 個用いた．
例としてケース No.1 の張力の推定結果を図 3 に示す．
ほとんどの固有振動数の組合せで誤差 20%以内の精度で推定されているが，一部の組合せでは精度が悪くなっている．他のケースでも同様の傾向が見られた．そこで，大きく外れた値を除くために上下 5%のデータを除去して残りの 90%のデータを平均したものを図 4 に示す．全てのケースについて誤差 10%以内の精度で張力を推定できていることが分かる．

推定値／真値

用いた式

張力推定結果ケーブルの密度と断面積（全ケーブルで共通）
密度ρ
断面積 A
[kg/m³][m²]
9374
0.0018755

表 4 ケーブル長さと張力の真値（No.4 の T2 は未計測）
ケース
L1[m] L11[m] L2[m] L21[m] T1[kN] T2[kN]No.
1
14.550 11.163 13.579 11.163 448.76 489.67
2

18.297 11.163 16.775 11.163 377.95 383.73

321.120 11.163 20.658 11.163 398.33 391.45

420.658 11.163 21.120 11.163 421.03

0100

図34.

表31.71.61.51.4
1.3
1.21.110.90.8
0.70.6
0.50.4

推定値／真値

表21.31.21.1
10.90.8
0.7
0.6200300400

固有振動数組合せ

張力推定結果（ケース No.1）

T1
T2
12

図4

ケースNo.

34張力推定結果（平均）結論
ニールセンローゼ橋のように交点クランプが設置されている 2 本のケーブルの張力推定手法を改良した．改良点は，ケーブル両端を単純支持から回転ばねであるとしたことと，交点での変位が 0 となるモードを考慮したことである．模型実験では，山田らの手法よりも高い精度で張力を推定でき，ケーブル 1，2共に誤差 5%以内の精度であった．実橋実験では，全てのケースで誤差 10%以内の精度で張力を推定することができた．
5.

発表論文
高鶴憲正，古川愛子，鈴木実，ニールセンローゼ橋における張力推定手法の改良，2021 年度土木学会関西支部年次学術講演会，I-13，2021 年 5 月．

6.

謝辞
研究遂行にあたり，理論計算を担当した当研究室修士課程学生の高鶴憲正君，実験を担当してくださった神鋼鋼線工業株式会社の関係者各位に心より感謝申し上げます．

7.

8. 参考文献
1) 山極伊知郎，宇津野秀夫，遠藤浩司，杉井謙一：高次の固有振動数を利用した線材の張力と曲げ剛性の同定法，日本機械学会論文集(C 編），66 巻，
649 号，2000 年 9 月
2) 山田哲，古川愛子，小林亮介：固有振動数を利用した交点クランプを有するケーブルの張力推定手法の開発，第 75 回土木学会年次学術講演会，
CS10-40, 2020 年 9 月