数理解析研究所講究録
第 1897 巻 2014 年 117-127117

特殊な双有理射を持つ 4 次元ファノ多様体
東海大学理学部数学科
月岡 透
Toru Tsukioka
Department of Mathematics, Faculty of Science
Tokai University

1

序論

森向井の分類 ([4])、つまりピカール数が 2 以上の非特異 3 次元ファノ多様体の分類は、端射線の情報をもとに幾何構造を復元するという考えに基づく。
4 次元以上についても、端射線収縮射を用いてファノ多様体の分類を目指すのは自然ではあるが、 問題設定として漠然としているので、 ある種の条件のもとで分類するのが現実的である ([5] の問題 6 を参照)。そこで、本稿では特殊な場合として、小収縮 (small contraction) を持つ 4 次元ファノ多様体
について考えてみる。 3 次元では存在しない型の収縮射なので、興味深い例が期待できる。
4 次元の非特異射影多様体について、 端射線が定める小収縮の例外集合はの直和であることが知られている ([3] Theorem 1.1)。また、互いに交$\mathbb{P}^{2}$差する曲線と曲面のブローアップを組み合わせる事により、例外集合が実際に複数個の既約成分からなる小収縮を持つ非特異 4 次元射影多様体を構成できる ([3] Example 2.6)。もちろん、小収縮を持つすべての 4 次元ファノ多様体が、 この構成法によって得られる訳ではない。 たとえば、 の 2 次曲線に$\mathbb{P}^{4}$

沿ったブローアツプや、 上の 束は小収縮を持つ 4次元ファノ多様体であるが、 これらはピカール数が 2 なので、上記の構成法
では得られない。
したがって、 本来は「小収縮が存在する」 という条件での分類を考えるべきだが、 これでもやはり漠然としているので、本稿では上述の構成法 (ブローアップの組み合わせ) で得られた小収縮を持つような 4 次元ファノ多様体のみを考察することにする。
なお、 4 次元非特異ファノ多様体のピカール数については上限が 18 であると予想されている。 ピカール数が 7 以上の例は Del Pezzo 曲面の直積以外に知られていない。小収縮を持つ 4 次元ファノ多様体は、 ピカール数の上限問題の考察において重要である ([2] を参照)。
$\mathbb{P}^{2}$$\mathbb{P}^{2}$$\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}\oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}(-1)^{\oplus 2})$

本稿では、代数多様体は複素数体上定義されているとする。

118

2

小収縮の構成法

曲線と曲面のブローアップの組み合わせによる小収縮の構成法 ([3] Example
2.6) を復習する。

を非特異 4 次元射影多様体、 を $Y$ 内の非特異曲面、 $C$ を $Y$ 内の非特異曲線とする。 ただし、 と $C$ は 個の点で重複度なしに交わっているとし、
$S$

$Y$

$S$

$k$

$S\cap C=\{p_{1}, \cdots,p_{k}\}$とおく。

まず、 : $Xarrow Y$ を曲線 $C$ に沿ったブローアップとし、例外因子を $E$ とおく。制限射: $Earrow C$ は 束になる。 曲面 のブローアツプ によるについて、 $E_{i}:=\pi^{-1}(p_{i})$ とし、狭義変換を $S’$ とおく。 また、 各 $i=1,$とは異なの直線である。
$e_{i0}:=S’$ 口瓦とおく。
瓦をは瓦でのブローアツプである直線とする。制限射: $S’arrow S$ は点
$\pi$

$S$

$\mathbb{P}^{2}$$\pi|_{E}$$\cdots,$

$\pi$

$k$

$\simeq \mathbb{P}^{2}$$e_{i}\subset$$e_{i0}$$\pi|_{S’}$$p_{1},$$e_{i0}$$\cdots,p_{k}$が例外曲線になることに注意する。
り、を曲面 $S’$ に沿ったプローアップとし、 例外因子を $F$
次に、 :束になる。 $\tilde{E}:=\beta^{-1}(E)$ とおく。制限射とおく。制限射: $Farrow S’$ は$e_{10},$$\cdots,$ $e_{k0}$$\tilde{X}arrow X$$\beta$$\mathbb{P}^{1}$$\beta|_{F}$は$\beta|_{\tilde{E}}:\tilde{E}arrow E$

各 $i=1,$型射であり、
各 $i=1,$$k$$\cdots,$

本の直線
に対して、

$\cdots,$ $e_{k0}$$e_{10},$$k$に沿ったブローアツプである。
は同
:
瓦とおく。
$\overline{E_{i}}arrow E_{i}\simeq \mathbb{P}^{2}$$\overline{E_{i}}:=\beta_{*}^{-1}$$\beta|_{\overline{E_{i}}}$$N_{\overline{E_{i}}/\tilde{X}}\simeq \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}(-1)^{\oplus 2}$となる。

を考える。 いま、 点 $q_{i}:=$に対して、 有理曲線毎について $f_{i}:=\beta^{-1}(q_{i})$ とおく。 任意の $i,j\in\{1, \ldots, k\}$ について、において数値的同値なので、 $X$ においてもそうである。
は$\cdots,$$k$$:=\beta_{*}^{-1}e_{i}$$e_{i}\cap e_{i0}$と$e_{i}$$E\simeq \mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{2}$$e_{j}$

したがって、$\tilde{X}$における数値的同値関係 :$\tilde{e_{i}}+f_{i}\equiv\tilde{e_{j}}+f_{j}$を得る。ゐといて$f_{i}\equiv f_{j}$$f_{j}$

は両方とも$\mathbb{P}^{1}$

束である。 よって、 属$\beta|_{F}$$\equiv\tilde{e_{j}}$: $Farrow S’$ のファイバーなので、となり、$\mathbb{R}^{+}[\tilde{e_{i}}]=\mathbb{R}^{+}[\tilde{e_{j}}]$におを得る。 よっ$\tilde{X}$において同一の端射線であることが分かる。
をそれぞれ相異なる 個の点に同時につぶす
対応する収縮射は、小収縮である。 また、 束: $Farrow S’$ のファイバーを $f$ と書けば、も $NE$ ( $X$ ) における端射線である。
したがって、 $Y,$ $S,$ $C$ の取り方いかんによらず、 上記の構成法で得られたとを持つことに注意-負な端射線は少なくともふたつのて、$\mathbb{R}^{+}[\tilde{e_{1}}],$$\cdots,$$\mathbb{R}^{+}[\underline{\tilde{e_{k}}]}$$E_{1},$は$\overline{NE}\underline{(\tilde{X}})$$\cdots,$$\mathbb{P}^{1}$$k$$E_{k}$$\mathbb{R}^{+}[f]$$\beta|_{F}$$\tilde{X}$$K_{\tilde{X}}$$\mathbb{R}^{+}[e_{1}]$$\mathbb{R}^{+}[f]$119
する。 また、次の交点数の表を得る :(証明) まず、$\tilde{E}\cdot\tilde{e_{i}}=\beta^{*}E\cdot\tilde{e_{i}}=E\cdot e_{i}=-1$である。
か。 また、$\tilde{E}\cdot f=0$

は $f$ がブローダウン $\beta:\tilde{X}arrow X$ でつぶれることより明ら$F\cdot\tilde{e_{i}}=F|_{\overline{E_{i}}}\cdot\tilde{e_{i}}=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}(1)$(line) $=1$である。 $F\cdot f=-1$ は $F$ がブローアップ :の例外因子で、 $f$ が束: $Farrow S’$ のファイバーであることより明らか。 (証明終)$\beta$$\tilde{X}arrow X$$\beta|_{F}$具体 ffl」

3

まず、 記号と仮定をまとめておく。
$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$$Y$: 非特異 4 次元射影多様体

$C$

:

$S$

$S$

$Y$

の非特異既約曲線$Y$の非特異既約曲面と $C$ は$k$$\pi:Xarrow Y$

個の点 pl,: 曲線$C$$\cdots$, 擁で重複度なしで交わると仮定に沿ったブローアップ$E:=$ Exc $(\pi)$$\bullet E_{i}:=\pi^{-1}(p_{i})(i=1, \cdots k)$$\bullet S’:=\pi_{*}^{-1}S$$\bullet$$\bullet$$\beta:\tilde{X}arrow X$$F:=$ Exc$\bullet f:\mathbb{P}^{1}$

: 曲面

$S’$

に沿ったブローアツプ$(\beta)$

束 $\beta|_{F}:Farrow S’$ のファイバー$\mathbb{P}^{1}$

120$\bullet\tilde{E}:=\beta^{-1}(E)$$\bullet\overline{E_{i}}:=\beta_{*}^{-1}E_{i}(i=1, \cdots k)$$\tilde{E_{i}}\simeq \mathbb{P}^{2}$$\bullet$$\tilde{e_{i}}$以下では、$\tilde{X}$内の直線 $(i=1, \cdots k)$
がファノになるような $(Y, C, S)$ の例を与える。

3. 1
内に、直線 $C$ と平面 $S$ を考える。 ただし、 $C$とする。 超平面
は $S$ に含まれないとする。 直線 $C$ と交わり、 $G$ に含まれる直線 を考える。
とおく。

$Y=\mathbb{P}^{4}$$G\simeq \mathbb{P}^{3}$$g$$H:=(\pi\circ\beta)^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{4}}(1)$$\tilde{G}:=(\pi\circ\beta)_{*}^{-1}G$、、$\tilde{g}:=(\pi\circ\beta)_{*}^{-1}g$

主張 1. 交点数の表:を得る。
’(証明) まず、線$g$と $F\cdot\tilde{g}=1$ は直である。
点で交わることより従う。 窃と $f$ は$\tilde{E}\cdot\tilde{g}=1$$H\cdot\tilde{g}=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{4}}(1)\cdot g=1$

が直線 $C$ と平面 $S$ のそれぞれ$\iota_{\overline{t_{-}}}1$

でつぶれるので、 $H\cdot\tilde{e_{1}}=H\cdot f=0$ は
ブローダウンの合成:明らか。残りの交点数については、 第 2 節で説明した。 (証明終)$\pi\circ\beta$

主張 2. 因子 $H$$2H-\tilde{E}-F$$H-\tilde{E}$、$Xarrow \mathbb{P}^{4}$、はネフである。

(証明)
がネフなのは明らか。 まず、 $H-\tilde{E}$ がネフであることを示す。 直線 $C$ を含み $G$ とは異なる超平面 $D$ を考える。 $\sigma:=D\cap S$
とおく。 線形同値
は内の直線となる。 $D’:=\pi_{*}^{-1}D$$H=(\pi\circ\beta)^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{4}}(1)$$\tilde{D}:=\beta_{*}^{-1}D’$$D\simeq \mathbb{P}^{3}$、$\tilde{D}\sim H-\tilde{E}$がネフであることを示せばよい。
: $D’arrow D\simeq$を得る。 したがって、は $\sigma’:=D’\cap S’=(\pi|_{D’})_{*}^{-1}\sigma$
は直線 $C$ に沿ったフローアップ、:に沿ったブローアツプである。 非特異 3 次元多様体 のネフ錐は$\pi|_{D’}$$\tilde{D}|_{\tilde{D}}$$\tilde{D}arrow D’$$\mathbb{P}^{3}$$\beta|_{\tilde{D}}$$\tilde{D}$$Nef(\tilde{D})=\mathbb{R}^{+}[H|_{\tilde{D}}]+\mathbb{R}^{+}[(H-\tilde{E})|_{\tilde{D}}]+\mathbb{R}^{+}[(2H-\tilde{E}-F)|_{\tilde{D}}]$

121
がで与えられる ( はファノ多様体ではない)。 特に、はネフであることが分かるので、のネフ因子である。 次に、$2H-\tilde{E}-F$ がネフであることを示す。
$\tilde{D}$$\tilde{D}|_{\tilde{D}}\sim(H-E)|_{\tilde{D}}$$\tilde{D}\sim H-\tilde{E}$$\tilde{X}$$2H-\tilde{E}-F=H+(H-\tilde{E}-F)\sim H+\tilde{G}$なので、 $(2H-\tilde{E}-F)|_{\overline{G}}$ がネフであることを言えばよい。制限射$\epsilon:=(\pi\circ\beta)|_{\tilde{G}}:\tilde{G}arrow G$

は直線に沿ったブローアップである。 よって、 は 3 次元ファノ多様体 (森・向井の分類表 [4] における、 $B_{2}=2$ の n 33) であり、ネフ錐は$C\subset G\simeq \mathbb{P}^{3}$$\tilde{G}$$\circ$$Ne$ $f(\tilde{G})=\mathbb{R}^{+}[\epsilon^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{3}}(1)-\tilde{E}|_{\tilde{G}}]+\mathbb{R}^{+}[\epsilon^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{3}}(1)]$で与えられる。一方、$H|_{\overline{G}}\sim F|_{\overline{G}}\sim\epsilon^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{3}}(1)$である。 したがって、$(2H-\tilde{E}-F)|_{\overline{G}}\sim\epsilon^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{3}}(1)-\tilde{E}|$はネフである。 (証明終)上記の交点数の表を整理して、を得る。よって、$\tilde{X}$のネフ錐と曲線の錐は$Ne$ $f(\tilde{X})=\mathbb{R}^{+}[H]+\mathbb{R}^{+}[H-\tilde{E}]+\mathbb{R}^{+}[2H-\tilde{E}-F]$$\overline{NE}(\tilde{X})=\mathbb{R}^{+}[\neg g+\mathbb{R}^{+}[\tilde{e_{1}}]+\mathbb{R}^{+}[f]$となる。 ブローアップの合成$\pi\circ\beta$:$\tilde{X}arrow \mathbb{P}^{4}$の標準因子公式より、$-K_{\tilde{X}}=5H-2\tilde{E}-F$$\tilde{g}=2$が分かる。 これと上記の交点数の表より、$-K_{\tilde{X}}\cdot f=1$ を得る。 したがって、 クライマンの判定法より$-K_{\tilde{X}}$

ある。
端射線

$\mathbb{R}^{+}$

回に付随する収縮射を

$\mu$

:

$\tilde{X}arrow V$、$-K_{\tilde{X}}$$-K_{\tilde{X}}$$\tilde{e_{1}}=1$

は豊富でとする。 このとき、 $V=$の切断でである。 また $T$ を束となるものとし、 $B$ を内の直線とすれば、に沿ったブローアップであり、 が例外因子である。
$\mathbb{P}^{2}$$\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}\oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}(-1)^{\oplus 2})$

$Varrow \mathbb{P}^{2}$$N_{\tau/v}\simeq$$T\simeq \mathbb{P}^{2}$$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}(1)\oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}$$\tilde{G}$

、

$\mu$

は $B$

122

3.2
内の非特異 2 次曲面とする。
とし、 $P$ を超平面、 $S$ を$P$を と交わり、 に含まれない直線とする。 $S\cap C$ は 1 点よりなることに注とおく。 点 $p_{1}=S\cap C$ を通り、 $P$ に含まれる
意する。
とおく。
直線 $m$ について、$H-\tilde{E}$と $2H-\tilde{E}-F$ がネフであることが示さ
例 3.1 と同様の方針で、れる。 また、 交点数の表$P\simeq \mathbb{P}^{3}$$Y=\mathbb{P}^{4}$$C\subset \mathbb{P}^{4}$$S$$H:=(\pi\circ\beta)^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{4}}(1)$$\tilde{m}:=(\pi\circ\beta)_{*}^{-1}m$を得る。よって、$\tilde{X}$のネフ錐と曲線の錐は$Ne$ $f(\tilde{X})=\mathbb{R}^{+}[H]+\mathbb{R}^{+}[H-\tilde{E}]+\mathbb{R}^{+}[2H-\tilde{E}-F]$$NE (\tilde{X})=\mathbb{R}^{+}[\tilde{m}]+\mathbb{R}^{+}[\tilde{e_{1}}]+\mathbb{R}^{+}[f]$となる。例 3.1 と同様に計算して、は豊富である。端射線を得る。 クライマンの判定法よりにつぶす収縮射を定める。
を$-K_{\overline{X}}\cdot\tilde{m}=2$、$-K_{\overline{X}}\cdot\tilde{e_{1}}=1$、$-K_{\overline{X}}$$\tilde{P}:=(\pi\circ\beta)_{*}^{-1}P$$-K_{\overline{X}}\cdot f=1$$\mathbb{R}^{+}[\tilde{m}]$は因子$\mathbb{P}^{2}$

3.3$Y=\mathbb{P}^{4}$$C\subset \mathbb{P}^{4}$を内の非特異 2 次曲面とする。
とし、 $P$ を超平面とする。 $S$ をを $S$ と 2 点で交わる直線とする。 $C\subset P$ となることに注意する。
とおく。 また
内の直線で $C$ と交わるものとする。
$P\simeq \mathbb{P}^{3}$$g$$P\simeq \mathbb{P}^{3}$$\tilde{g}:=(\pi\circ\beta)_{*}^{-1}g\sim$$H:=(\pi\circ\beta)^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{4}}(1)$とおく。 例 3.1 と同様にして、 $H$ $H-E$、$3H-\tilde{E}-F$、がネフ因子であることが示せる。交点数の表

より、$Nef(\tilde{X})=\mathbb{R}^{+}[H]+\mathbb{R}^{+}[H-\tilde{E}]+\mathbb{R}^{+}[3H-\tilde{E}-F]$$\overline{NE}(\tilde{X})=\mathbb{R}^{+}[\neg g+\mathbb{R}^{+}[\tilde{e_{1}}]+\mathbb{R}^{+}[f]$123を得る。標準因子公式と交点数の表より、$-K_{\tilde{X}}\cdot\tilde{g}=-K_{\tilde{X}}\cdot\tilde{e_{1}}=-K_{X}\cdot f=1$となり、は豊富である。端射線
同] の定める収縮射は小収縮であるとが、 $s$ と $c$ は 2 点で交わるので、例外集合はふたつの既約成分よりにつをなることに注意する。 また、端射線
は因子$\mathbb{R}+$$-K_{\overline{X}}$$\mathbb{R}^{+}[\neg g$$\overline{E_{1}}$$\overline{E_{2}}$$\tilde{P}:=(\pi\circ\beta)_{*}^{-1}P$$\mathbb{P}^{1}$

ぶす収縮射を定める。

3.4
内に相異なるふたつの平面 と $M$ さらに とは交わらず、 $M$ と 1 点で交わる直線 を考える。 また $m$ を $T,$ $M,$ のすべてに交わる直線とする。
をに沿ったブローアップとし、 $S:=\alpha_{*}^{-1}M$ $C:=\alpha^{-1}(B)$:とおく。 $G:=$ Excとし、 を
束 $\alpha|c:Garrow T$ のファイバーとする。
さらに、 と のにおける狭義変換を、 それぞれ と で表す。 また、
とし、
とおけば、
とする。
次の交点数の表を得る:$T$$\mathbb{P}^{4}$$B$$\alpha$$Yarrow \mathbb{P}^{4}$

$T$

、

$B$

$T\simeq \mathbb{P}^{2}$、$\mathbb{P}^{1}$$(\alpha)$$G$$\tilde{G}$$\tilde{g}$$g$$\tilde{\ell}:=(\pi\circ\beta)_{*}^{-1}\ell$$\ell:=\alpha_{*}^{-1}m$

主張 3. 因子 $H$
(証明)
と同様)。

$g$

$\tilde{X}$$H-\tilde{E}$、$H:=(\alpha 0\pi 0\beta)^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{4}}(1)$$H-\tilde{G}$、、$2H-\tilde{E}-F$ はネフである。

(その他については例 3.1の超平面で $B$ と $M$ を含むものを $D$ とおき、における狭義変とする。 ブローアップの合成
脾の制限射$2H-\tilde{E}-F$ がネフであることを示す$\tilde{X}$$\mathbb{P}^{4}$

換を$\tilde{D}$$\gamma:=(\alpha\circ\pi\circ\beta):\tilde{X}arrow$$\gamma|_{\tilde{D}}:\tilde{D}arrow D\simeq \mathbb{P}^{3}$は 2 本の直線 $A:=T\cap D$ と $B$ に沿ったブローアップである (例外因子はと。したがって、 は 3 次元ファノ多様体であり (森向井の分類表となるので、 ネフ錐は[4] における $B_{2}=3$ の $n^{o}25)$$\tilde{G}|_{\tilde{D}}$$\tilde{E}|_{\tilde{D}})$$\tilde{D}$、$H|_{\tilde{D}}\sim(\gamma|_{\tilde{D}})^{*}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{3}}(1)$$Ne$ $f(\tilde{D})=\mathbb{R}^{+}[H|_{\tilde{D}}]+\mathbb{R}^{+}[(H-\tilde{G})|_{\tilde{D}}]+\mathbb{R}^{+}[(H-\tilde{E})|_{\tilde{D}}]$

124
はネフであるで与えられる。 よって、に注意)。 したがって、 $2H-\tilde{E}-F\sim H+\tilde{D}$ はのネフ因子である。 (証$(2H-\tilde{E}-F)|_{\overline{D}}\sim(H-\tilde{E})|_{\overline{D}}$$(F|_{\overline{D}}\sim H|_{\overline{D}}$$\tilde{X}$明終)

上記の交点数の表を整理して、を得る。したがって、Ne$f(\tilde{X})=\mathbb{R}^{+}[H]+\mathbb{R}^{+}[H-\tilde{G}]+\mathbb{R}^{+}[H-\tilde{E}]+\mathbb{R}^{+}[2H-\tilde{E}-F]$$\overline{NE}(\tilde{X})=\mathbb{R}^{+}[\tilde{\ell]}+\mathbb{R}^{+}[\neg g+\mathbb{R}^{+}[\tilde{e_{1}}]+\mathbb{R}^{+}[f]$を得る。ブローアップの標準因子公式より$-K_{\overline{X}}=5H-\tilde{G}-2\tilde{E}-F$となる。交点数の表より、$-K_{\tilde{X}}\cdot\tilde{\ell}=-K_{\tilde{X}}\cdot\tilde{g}=-K_{X}\cdot\tilde{e_{1}}=-K_{\tilde{X}}\cdot f=1$を得る。 したがって、 クライマンの判定法により

4$-K_{\overline{X}}$は豊富である。

部分的な結果と問題

記号は第 3 節の冒頭と同様とする。
命題 1.

$\tilde{X}$がファノで $X$ がファノでないとき、 $k\leq 1$ である。

(証明) 曲面 $S’$ に沿ったブローアップ

において、 がファ人:
$X$ がファノでないという状況なので、 [7] (Proposition 3.6) より、 $S’$ は
または曲線上の 束に同型である。 第 2 節で注意したように、: $S’arrow S$
は 点でのブローアップなので、 $S’$ は $k\geq 1$ 本の $(-1)$ 曲線を含む。 よって、束の構造を持つ。 束は高々はありえない。 したがって、 $S’$ は1 本しか (-1) 曲線を含まないので、 $k\leq 1$ を得る。 (証明終)$\beta$$\tilde{X}arrow X$$\tilde{X}$$\mathbb{P}^{2}$$\mathbb{P}^{1}$$\pi|_{S’}$$k$$S’\simeq \mathbb{P}^{2}$$\mathbb{P}^{1}$$\Psi$$\mathbb{P}^{1}$

125

問題:実際に、 がファノで $x$ がファノでない $(Y,C,S)$ の例があるか？(命であり、
題 1 の証明からわかるように、このとき、:は 1 点ブローアップである )$\tilde{X}$$S’\simeq\Sigma_{1}$$S’arrow S\simeq \mathbb{P}^{2}$$\pi|_{S’}$$\circ$

以下、 $X$ はファノであるとする。仮定より、 $X$ は 4 次元射影多様体 $Y$ を
曲線 $C$ に沿ってブローアップしたものなので、 [1] Lemme 2. 1 の証明と同様に、 $NE$ ( $X$ ) 端射線 $R$ で $E\cdot R>0$ となるものが存在することが示される。端
射線 $R$ の長さ (length of extremal ray) は$\ell(R):=\min\{-K_{X}\cdot\Gamma|[\Gamma]\in R$

かつ $r$ は有理曲線$\}$で定義されることを思い出す。
さて、 [6] ProPosition 3, 4 において $n=4$ とすると次を得る。

命題 2. $\ell(R)\geq 2$ のとき、 $(Y,C)$ は次のいずれかである (ただし、$Q_{4}$は$\mathbb{P}^{5}$内の非特異 2 次超曲面を表すとする)

1.

$Y=\mathbb{P}^{4}$
、

$c$

は直線

2. $Y=Q_{4、}c$ は 2 次曲線 (ただし$C\subset P\subset Q_{4}$となる射影平面$P\subset \mathbb{P}^{5}$は存在しないとする)

3. $Y=Q_{4、}c$ は直線

4.

$Y=\mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{3}$

、

$c$

は射影

5.

$Y$

は

6

$Y$

は

7.

$Y=\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}\oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}(-1)^{\oplus 3})$$\mathbb{P}^{4}$$\mathbb{P}^{4}$のの$\mathbb{P}^{2}$$\mathbb{P}^{2}$$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}(-1)^{\oplus 3}$のファイバー$\mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{3}arrow \mathbb{P}^{3}$に沿ったブローア ノ プ、 $C$ は中心と交わらない直線の逆像$\grave{}$$\grave{}$に沿ったブローアップ、$C$であり、 $C$ はは例外因子のファイバー$\mathbb{P}^{3}$

束$Yarrow \mathbb{P}^{1}$の切断で $N_{C/Y}\simeq$となるもの。

以上の $(Y, C)$ について、 がファノになる曲面 $S$ の分類をするのが望まがファしいが、 まだ完成していない。 また、 $X$ がファノで $\ell(R)=1$ かつノとなる $(Y, C, S)$ の例があるかどうかも分かっていない。 以下では、部分的な結果をいくつか述べたい。
$\tilde{X}$$\tilde{X}$

は射影
命題 3.
き
がファノならば、 $k\leq 1$ である。
$Y=\mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{s、}C$$\tilde{X}$$\mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{3}arrow \mathbb{P}^{3}$のファイバーとする。 このと

126(証明) 仮に $k\geq 2$ とし、を $S\cap C$ の相異なる 2 点とする。射影を考え、 $a:=pr_{Y}(C)$ とおく。次の可換図式が存在する ::$p_{1},p_{2}$$pr_{Y}$$Yarrow \mathbb{P}^{3}$$X=\mathbb{P}^{1}\cross B1_{a}(\mathbb{P}^{3})arrow^{prx}B1_{a}(\mathbb{P}^{3})$$\pi\downarrow$$\downarrow$

点でブローア ノプ$\grave{}$$a$$Y=\mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{3} arrow^{pr_{Y}} \mathbb{P}^{3}$

第 2 節と同様、 $i=1,2$ に対して、 $e_{i0}:=\pi^{-1}(p_{i})\cap S’$ とおく。射影$pr_{E}:E\simeq \mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{2}arrow \mathbb{P}^{2}$を考える。 $pr_{E}(e_{10})$ と $pr_{E}(e_{20})$ は 内の直線である。 $p_{0}\in pr_{E}(e_{10})\cap pr_{E}(e_{20})$とし、 $C_{0}:=pr_{E}^{-1}(p_{0})$ とおく。曲線は射影$\mathbb{P}^{2}$$C_{0}$$X=\mathbb{P}^{1}\cross B1_{a}(\mathbb{P}^{3})arrow B1_{a}(\mathbb{P}^{3})$のファイバーなので、$K_{X}\cdot C_{0}=-2$ である。
とおく。
$S’$
かつ
と曲面 は少なくとも 2 点で交わる。 よって、なので、$F\cdot C_{0}\geq 2$ である。したがって、$\tilde{C_{0}}:=\beta_{*}^{-1}C_{0}$$-C_{0}\cap e_{20}\neq\emptyset$$C_{0}\cap e_{10}\neq\emptyset$$C_{0}$$K_{\tilde{X}}\cdot\overline{C_{0}}=K_{X}\cdot C_{0}+F\cdot\tilde{C_{0}}\geq-2+2=0$

となり、

命題 4.

$-K_{\overline{X}}$は豊富でない。 (証明終)$Y=\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}\oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}(-1)^{\oplus 3})$、$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}(-1)^{\oplus 3}$$c$はとなるものとする。このとき$\tilde{X}$束の切断で、 $N_{C/Y}\simeq$
はファノでない。

$\mathbb{P}^{3}$$Yarrow \mathbb{P}^{1}$(証明) まず、
よりであることに注意す$pr_{E}:Earrow\mathbb{P}^{2}$
$S’$
る。射影
のファイバーでとする。 このと交わるものを$N_{C/Y}\simeq \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}}(-1)^{\oplus 3}$$E\simeq \mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{2}$$C_{0}$

とき$\overline{C_{0}}:=\beta_{*}^{-1}C_{0}$とおけば、$K_{\tilde{X}}\cdot\overline{C_{0}}=K_{X}\cdot C_{0}+F\cdot\overline{C_{0}}\geq-1+1=0$となり、$-K_{\overline{X}}$は豊富でない。 (証明終)の命題 5. $Y$ はに沿ったブローアップ、 $c$ は例外因子のファイバーとする。このときはファノでない。
$\mathbb{P}^{4}$$\mathbb{P}^{2}$$\tilde{X}$127(証明) やや煩雑なので概略を示す。ブローアップの例外因子のファイバーである。
を $G$ とおく。曲線 $c$ は射影$Yarrow \mathbb{P}^{4}$$pr_{G}:G\simeq \mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{2}arrow \mathbb{P}^{2}$$a:=pr_{G}(C)$ とおき、$g$ :$Tarrow \mathbb{P}^{2}$

を点 a でのブローアップとする。 $G’:=\pi_{*}^{-1}G$とおくと、次の可換図式が存在する :$G’ \simeq \mathbb{P}^{1}\cross T\frac{pr_{G’}}{r}T$$\pi|_{G’}\downarrow \downarrow g$$G\simeq \mathbb{P}^{1}\cross \mathbb{P}^{2}arrow^{pr_{G}}\mathbb{P}^{2}$

例外曲線 $g^{-1}(a)\subset T$ 上の点 をうまくとれば、曲線 $C_{b}:=pr_{G’}^{-1}(b)$ は $S’$ と交とおけば、命題 4となる。 したがって、わる。さらに、はファノでない。 (証明終)の証明と同様、となり、$b$$\overline{C_{b}}:=\beta_{*}^{-1}C_{b}$$C_{b}\not\subset\underline{S’}$$\tilde{X}$$K_{\tilde{X}}\cdot C_{b}\geq 0$

謝辞: 本研究は JSPS 科研費 23740028 の助成を受けたものです。

参考文献[1] L. Bonavero, F. Campana, J. A. Wi\’{s}niewski, Vari\’et\’es complexes dontl’\’eclat\’ee en un point est de Fano. C. R. Math. Acad. Sci. Paris Ser.
334 (2002), 463-468$I$[2] C. Casagrande, Numerical invariants of Fano 4-folds. Mathematische
Nachrichten Volume 286 (2013), 1107-1113[3] Y. Kawamata, Small contractions of four-dimensional algebraic manifolds. Math. Ann. 284 (1989), 595-600[4] S. Mori and S. Mukai, Classification of Fano 3-folds with $B_{2}\geq 2,$
Manuscripta Math. 36 (1981/82), 147-162 Erratum: Manuscripta Math.
110 (2003), 407
[5]

$H$

. Takagi, Fano 多様体の諸問題数理解析研究所講究録 No.1731 (201),106-126[6] T. Tsukioka, On the minimal length of extremal rays for Fano four-folds.
Math. Z. 271 (2012), 555-564[7] J. A. Wi\’{s}niewski, On contractions of extremal rays of Fano manifolds.
J. Reine Angew. Math. 417 (1991), 141-157