数理解析研究所講究録 1228 巻 2001 年 109-116

109

Some inequalities between invariants of blocks
和田倶幸 (Tomoyuki Wada)
Tokyo University of Agriculture and Technology

東京農工大学・工これは Jena 大学 (Gemany) の Burkhard K\"ukhammer との共同研究の報告です.

1Introductionを素数とし, $B$ を有限群の $G$ のでその Cartan 行列をとする. また $k=k(B)$ を $B$ の通常既約指標の個数, $l=l(B)$ を既約 Brauer 指標の個数とする. [1] でJ. Brandt は次が成り立つことをを示した.
$p$$C=(\mathrm{q}.j)$$\mu \mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{k}$$(*)$$k(B) \leq 1-l(B)+\dot{.}\sum_{=1}^{l(B)}$果.’.

[12] で著者は次が成り立つことを次を示した.

果:-l(B\Sigma .

) $-1$$(**)$$k(B) \leq\dot{.}\sum_{=1}^{l(B)}$$\cdot$$\rho(B)$果, $i+1$ .

$=1$を $C$ の Perron-Frobenius 固有値とするとき, 著者は [12] で, ある種の P 可解群では, $k(B)\leq\rho(B)$ が成り立つことを示した.

$D$を $B$ の defect group とすると, P 可解群

では $\rho(B)\leq|D|$ が成り立つので, もし $k(B)\leq\rho(B)$ という不等式が ?可解群で成り立っならば, Brauer の $k(B)$ -予想 $k(B)\leq|D|$ が ?可解群のときに言えることになる. ただし[12] では $(**)$ から直接 $k(B)\leq\rho(B)$ を導くことのできない場合がたくさんあった. その後
K\"ulshammer の指摘により, $(**)$ の証明の中には $A$ 型の positive definite quadratic formが使われていて, 他の weakly
itive な integral form からこのような不等式がたくさん得られることが分かった. その中{こは良い不等式もあり $(**)$ では言えなかったが, それを使うと $k(B)\leq\rho(B)$ が言える場合があった.

2 Integral quadratic forms

Definition 1

inte 一伸 adratic form とは係数が整数である 2 次形式$q=q(X_{1},$ $\cdots,$ $X_{l})=$$\sum$$1\leq:\leq \mathrm{j}\leq l$q り\lambda fXj

110のこととする.

$q$が weakly ysitive とは $q(z)>0$ for all$z\in \mathrm{Z}^{l}$with $z>0$ のときをfor all

上の半順序で $(x_{1}, \ldots,x\iota)\leq(y_{1}, \ldots,y\iota)$のこととする. また $(x_{1}, \ldots,x\iota)\leq(y_{1}, \ldots,y\iota)$ かつ $(x_{1}, \ldots,x\iota)\neq(y_{1}, \ldots,y\iota)$$i=1,$に対して $q(z)>0$ のとき を $\mu sitive$のとき $(x_{1}, \ldots,x_{l})<(y_{1}, \ldots,y\iota)$ と書 .
definite という. このとき次が成り立つ.
をいう.

ここでは

$\leq$$X:\leq y\dot{.}$$\mathrm{Z}^{l}$$\ldots,l$$\langle$$0\neq z\in \mathrm{Z}^{l}$

Theorem A. Iaet be a prim number, and let, let
Cartan matrix $C=(ctj)$ .
$p$

$B$

$M_{ol}\epsilon over$$q$

be a -bloek of finite gmuP
be a weakly positive integral$p$$Gwi\theta\iota$$a$$q= \sum_{1\leq:\leq j\leq l(B)}q_{1j}.X.\cdot Xj$

quadratic form. Then.

$k(B) \leq\sum_{1\leq:\leq \mathrm{j}\leq \mathrm{t}(B)}q_{j}.\cdot \mathrm{q}_{j}.$is a positive definite integral quadratic form then the inequality aboveuri\mbox{\boldmath $\theta$}\iota respect to an arbitrary basic set.
holds for the Cartan

In partictdar,$\dot{\iota}fq$$matl\dot{\mathrm{a}}x$.

$P|vof$$r=1,$$\ldots,$

に対し $t=(d_{r1}, \ldots,dd(B))$ を $B$ の decomposition 行列$k(B)$$D=(\mathit{4}_{\mathrm{j}}.)$の第 r 行とする. すると$\sum_{1\leq\dot{\cdot}\leq j\leq l(B)}$qりCり$=. \sum_{\lrcorner 1\leq|<\leq l(B)}.\sum_{r=1}^{k(B)}$q り ddd\sigma$= \sum_{r=1}^{k(B)}q(\mathit{4})\geq k(B)$,より不等式が成立する.
また $B$ の任意の basic set $S$ に対し $C’,$ $D$ を $B$ の $S$ に対する Cartan 行列と decom行列とする. すると $C’$ =D 庁$\Pi$ より が positive definite ならば $\Pi$ の任意の$d!_{r}$$q$$\mathrm{p}\infty \mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$に対して $q(d_{r}’)>0$ が成り立つ.

3Positive defimite integral quadratic forms
重要な positive definite integral quadratic form (以下これを p.d.i.q.f. と略記する) の. 図形から来る. 型の Dynh.n 図形から,
例は$A\iota$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$.

$q=. \cdot\sum_{=1}^{l}X^{2}.\cdot-.\sum_{1=1}^{l-1}X_{1}.X_{1+1}$という quadratic form

$q$が得られ,$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$A より $(**)$ は実はこれから得られる. 同から次の不等式が得られる. なお integral

様にして他の indec.omprable Dynkin diag
form にするため $B,F,G$ 型は少し変形している.
$\mathrm{m}\mathrm{n}$111$(B_{l})$$k(B) \leq\dot{.}\sum_{=1}^{l-1}$$(D_{l})$$k(B) \leq.\cdot\sum_{=1}^{l}$果:$+2 \mathrm{q}_{l}-\dot{.}\sum_{=1}^{l-2}$

果:-.\Sigma .

$=24c_{1:}-.

果, $\dot{.}+1-2cl-1l$\sum_{\Leftarrow 4}^{l-1}$

果,.

$\cdot+1$

果:-\Sigma l.

$(E_{0})$$k(B) \leq\dot{.}\sum_{=1}^{6}$(R)$k(B) \leq.\cdot\sum_{=1}^{7}$(R)$k(B) \leq\dot{.}\sum_{=1}^{8}\mathrm{q}..\cdot-\dot{.}\sum_{=1}^{0}$$=14\mathrm{q}.,.\cdot+1-c_{36}$

果:-\Sigma . 果,.
$\cdot=15$$\cdot$$+1-c_{\epsilon\tau}$

果,.$\cdot+1-c_{38}$+2 果$(F_{4})$$k(B)\leq c_{11}+$ 果$(G_{2})$$k(B)\leq c_{11}+\ 2-3c_{12}$$+2c_{44}-c_{12}-2\mathrm{q}_{3}-2c_{34}$.

ここで $l=l(B)$ は $B$ に含まれる既約 Brauer charaeter \emptyset 個$B$を表す. $l(B)=2$ の blockについて 3 つの不等式が得られるが, それを比較してみる.

$(A_{2})$$k(B)\leq c_{11}+\infty-c_{12}$$(B_{2})$$k(B)\leq c_{11}+2\mathrm{q}_{2}-2c_{12}$$(G_{2})$$k(B)\leq c_{11}+3_{\Phi}-3c_{12}$$(A_{2})$は $c_{12}<c_{22}$ のとき最強で, (G2) は称群$S_{4}$$c_{12}>(\mathrm{a}2$.のとき最強である. これらは $p=2$ で対と S のとき実際に起こる.

Emmple 1.

$S_{4}$:$S_{5}$:$C=(\begin{array}{ll}4 22 3\end{array})$, $k(B)=5=4+3-2$$C=(\begin{array}{ll}8 44 3\end{array})$,$k(B)=5=8+3\cdot 3-3\cdot 4$ .

112
4Sharpness

Definition 2. p.d.i.q.f.

$q$に対しが成り立つとき, pblock $B$ を$k(B)=1 \leq:<.\leq l(B)\sum_{\lrcorner}q_{1}.j\text{果}j$とよぶことにする.

$\varphi \mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{a}r\mathrm{p}$Exmple1 については次のような解釈ができる. $G,B,C=(c_{tj})$ を有限群, p-block, そを別の有限群, その ?bloc 虫, その Cartan 行列とする.の Cartan 行列とし,を unimodular な行列とし, $\tilde{C}=V^{T}CV$ をみたすとする. (これはそしてが Ridcard equivalent あるいは一般に, perfectly isometric なら成り立つ
例えば $B$ とを p.d.i.q.f. とし, $Q$ を対応する対称行 とする(sae [2]). さらに$\tilde{G},\tilde{B},\tilde{C}=(\tilde{\mathrm{q}}_{j}.)$$V\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(l,\mathrm{Z})$$\tilde{B}$

」.

$p|$

$q=. \sum_{1\leq\cdot\leq j\leq l}q_{j}.\cdot X.\cdot X_{j}$(i.e. $q(z)=zQz^{T}$ for(positive deffiite)i.q.f.

$z\in \mathrm{Z}^{l}$$\tilde{Q}\tilde{C}=V^{-1}QCV$). このとき $\tilde{Q}:=V^{-1}Q(V^{-1})^{T}$ とおきとする (i.e.

$\tilde{q}$$\tilde{q}(z)=z\tilde{Q}z^{T}$$\tilde{q}=.\sum_{<1\leq|\lrcorner\leq l}.\tilde{q}_{-j}X_{1}.X_{j}$を$\tilde{Q}$forに対応する). すると$z\in \mathrm{Z}^{l}$より$=$$\mathrm{t}\mathrm{r}(\tilde{Q}\tilde{C})$$=$.

$\mathrm{t}\mathrm{r}(QC)$$=. \sum_{1\leq|\leq j\leq l(B)}q_{j}.\cdot \mathrm{q}_{j}$$\lrcorner\sum_{1\leq:<\leq l(B)}.\tilde{q}_{ij^{\tilde{\text{果}}}\mathrm{j}}$である. このことから次を得る.

Proposition B. Suppose
if is sharp.

$B\mathrm{m}\mathrm{d}\tilde{B}$are RiMd$\eta \mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$. Then$B$

is -sharp if and only$q$$\tilde{B}$$\tilde{\varphi}$ffimark 1. 翫 mple 1 では実際、$Q=(\begin{array}{ll}\mathrm{l} -1/2-1/2 1\end{array})$,$\tilde{Q}=(\begin{array}{ll}1 -3/2-3/2 3\end{array})$であり,$V=(\begin{array}{l}01-2-1\end{array})$とすれば、 $\tilde{C}=V^{T}CV,\tilde{Q}:=V^{-1}Q(V^{-1})^{T}$ となっている. この型の p.d.i.q.f. は -\Re ui ent になっている.
型と$V^{-1}$,の存在により, A2$\mathrm{Z}$$G_{2}$

Example 2. Let $B$ be apblock with cyclic defect group $P$ , then $B$ is -sharp for somep.d.i.q.f. .
$q$

$q$

は, その正規化群 $N_{G}(P)$ の Brauer 対の Brauer tree は exeptionalと Rickard equivalent であることが示されている.
応子
vertex が中心にある星型になっており, その Cartan 行列は $m$ を troe の multiplicity とすPmof. Richard, Linkelmann により cyclic blodc$B$$\tilde{B}$$\tilde{B}$113$\tilde{C}=\{\begin{array}{llll} \end{array})$

and $k(\tilde{B})=l(\tilde{B})+m$となる. このとき型の不等式 $(**)$ はちょうど等式になってぃて,る. Proposition
より $B$ はある についてとなる.
$(A_{l})$$\tilde{B}$は-sharp であ$A\iota$$\mathrm{B}$$q$$\varphi \mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{I}\mathrm{p}$Remark 2. どの -block $B$ もいつもあるがあって q–sharp というゎけではない. 例え$p=2,$ $B=B_{0}(G),\tilde{B}=B_{0}(H)$とする. ここで$B_{0}(G)$ ,$B_{0}(H)$はそれそれ $G,$ $H$ の principal pblock とす
で同じ Cartan 行列$p$

ば、 $G=S_{4}\cross C_{2},$は cyclic group of order 2,
る. すると $l(B)=l(\tilde{B})=2$$C=\tilde{C}=(\begin{array}{ll}8 44 6\end{array})$なるので,$\tilde{B}$$q$$H=\mathrm{G}\mathrm{L}(2,3),$$C_{2}$, (sae Example2.7 in [9]) をもっ. このとき $k(B)=10,$ $k(\tilde{B})=8$ と異はどの p.d.i.q.f.

$q$に対しても$q$-sharp にならない. $B$ は$A_{2}$-sharp である.

5Graphical form $F(2,2)$[10] の p.12 にある種の weakly poeitive graphical form が分類されてぃて, その中に$F(2,2)$ がある.

$F(2,2)$ :これから(実線は -, 破線は$+$) :$q=X_{\omega}^{2}+.

.

\cdot\sum_{=1}^{4}X^{2}\dot{.}-\tilde{.}\sum_{=1}^{4}X_{\omega}X\acute{.}+X_{1}X_{2}$$l(B)=5$ の pblodc $B$ に対して不等式$(F(2,2))$$k(B) \leq\dot{.}\sum_{=1}^{5}c_{*}..\cdot-\dot{.}\sum_{=2}^{5}c_{1:}+\infty$を得る. [10] にあるように実は $F(2,2)$ はは positive definite である.

$D_{5}$と &quivalent であり, したがって $F(2,2)$

Example 3. (1) $G=D_{8}\cdot E_{9}$ (i.e. the semidirect product of a dihedral group of order 8with an elementary abelian group of order 9, for $p=3,$ $B=B_{0}(G)$ :$|G|=72,$$C=\{\begin{array}{lllll}5 2 2 2 22 3 0 1 12 0 3 1 12 1 1 3 02 1 1 0 3\end{array}),$$k(B)=9=5+3+3+3+3-2-2-2-2+0$

114
より

$B$

は $F(2,2)$ -sharp, しかし$D_{5}$-sharp ではない. これは$\ovalbox{\tt\small REJECT} 4_{5}$-sharp が言えない場合だった。

(2)of order 168, for $p=2$ (the affine semffinear group),$G=A\Gamma L(1,8)\simeq Fr_{21}\cdot R$$B=B_{0}(G)$:$C=\{\begin{array}{lllll}4 1 1 \mathrm{l} 31 2 0 0 1\mathrm{l} 0 2 0 11 0 0 2 \mathrm{l}3 \mathrm{l} \mathrm{l} \mathrm{l} 4\end{array}),$$k(B)=8=4+2+2+2+4-1-1-1-3+0$

より $F(2,2)$ -sharp となる. これはだった.

D 噛 flnition 3.

$x\in \mathrm{Z}^{l}$-sharp にもなる. やはり$D_{5}$が $q(x)=1$ をみたすとき$q$$A_{5}$-sharp が言えない場合の 1- $,vot$ とよぶ.

Corollary B. In the situation of Theotem , we have$A$.q り仮り$k(B)= \sum_{\lrcorner 1\leq:<\leq \mathrm{t}(B)}$$f$and only$|.f$

Example 4.

of theof$\mathrm{m}ws$$B$を simple Ree group $R(q)$ とし $p=2,B=B\mathrm{o}(G)$ とする.

$C=\{\begin{array}{lllll}8 4 4 4 34 4 2 2 24 2 4 2 24 2 2 4 23 2 2 2 2\end{array})$となる (sae [8]). このとき $B$ はEmmple 5.

are 1-roots of .

all

$G$

を Julko group$D_{5}$$J_{1}$$B$$q$$P\simeq E_{8}$で, また $k(B)=8$-shaxp となる.とし, $B=B_{0}(G),p=2$ とする.

$P\simeq E_{8}$

行列は$C=\{\begin{array}{lllll}8 4 4 4 44 4 2 2 14 2 4 2 34 2 2 4 34 1 3 3 4\end{array})$, また $k(B)=8$ となる (sae[4]).

で Cartan115
このとき不等式 (D5) は等式にならない.

$k(B)=8\leq 8+4+4+4+4-4-4-4-3=9$で実際 decomposition 行列のある行はの 1-root にならない. 同様に $B$ は $F(2,2)-$があって $B$ は q–sharp となる. なせならsharp にもならない. しかしある p.d.i.q.f.
$\tilde{G}=N_{G}(P)\simeq A\Gamma L(1,8)$ でExample 3(2) により $B$ の Brauer 対応子 は $F(2,2)$ -sharpだった.
Brou\’e ([3]) により $B$ とは perfectly isometric なので Proposition
により$B$ はある p.d.i.q.f.
があって -sharp となる.
$D_{5}$$q$$\tilde{B}$$\tilde{B}$$\mathrm{B}$

$q$

$q$

Remark 3.

が Rickard equivalent であることをExample 5 で Okuyama は $B$ と証明している. 最近の結果では, Koshitani-Miyachi [6] により $G=\mathrm{G}\mathrm{L}(4,q),p=3,q\equiv$$B=B_{0}(G)$ のとき
より -sharp となる. Kunugi [7] により, $p=3,q\equiv 4,7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 9),B=B_{0}(G)$ のときも同様に -sharp となる. 現在の所 sharp を見つける場合, (A), (DJ), $(F(2,2))$ 型の不等式から sharp になることが多いが、それ以外では [10] にある $(F(3))$ 型の不等式から sharp になる例として, HalkJanko の単純群 $G=J_{2},p=5,$ $B=B\mathrm{o}(G)$ がある. このときで $B$ の Brauer 対応
子をとすると $l(B)=l(\tilde{B})=6$ では $F(3)$ -sharp となる. $B$ とは Rouqier ([11])により perfect isometric であることが示されており, $B$ は -sharp となる. なお Holloway
により derived equivalent になることが示されているようである.
$\tilde{B}$$N_{G}(P)\simeq D\epsilon\cdot R$$2,5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 9),$$q$

$G=\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(3, q)$$q$$N_{G}(P)\simeq D_{12}\cdot \mathrm{a}_{5}$$\tilde{B}$$\tilde{B}$$\tilde{B}$$q$Remark 4. 次が知られている (see[10]).
for all $i=1,2,$) とする.

$q$を weakly positive integral unit form (i.e.

$q\dot{\ldots}=1$$l$$\cdots,$(1)(Drozd)$q$は有 R 個$\text{の}$poeitive1-roots をもつ.の任意の posifive 1-root(2) (Ovsienko)
は, $4\leq 6$ for all $i=1,$を$B$みたす. 特に,がある weakly positive integral unit form に対し -sharp ならば, 任意である.の分解数について句$(z_{1}, \cdots,z_{l})$$q$$\cdots,l$$q$$q$$\leq 6$

Remark 5. Theorem A は group algebra のみならず $C=D^{T}D$ をみたす mlgebra で成立する. そのような例として oellular algebra がある (see [5]).

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116
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$S$

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