数理解析研究所講究録
第 792 巻 1992 年 39-6339

局所体上の Wiener 測度について

埼玉大学理学部数学科

孝和 (Takakazu Satoh)佐藤1.

Introduction

ゼータ関数と呼ばれる一連の整数論と深く関連している関数の解析的性質を調べるのに積分表

示は基本的な手法である。 例えば Riemann ゼータの Euler p-factor の積分表示$(1-p^{- s})^{-1}$

ここで

$dx$

は

$Q_{p}$の$T$,$\int_{z_{p}}|x|^{s- 1}\frac{p}{p-1}dx$

Haar 測度であり、 $p/(p-1)$ は単数群の測度を 1 にするための正規化定数である。 このようなことをうか。例えば$=$$Z$上有限生成な環に対して行うためにはどうすればよいであろを不定元とするとき $Q_{p}((T))$ は無限次元$Q_{p}$-vector space であり、 局

所コンパクトにはならず、 Haar 測度も存在しない。従って、 積分表示以前の問題としてその様な空間での可算加法的測度を構成する必要がある。
実数体上の場合には Wiener[4] が $[0,1]$ 上の連続関数 $f$ で $f(0)=0$ を満たすもの全体の空間に可算加法的測度が定義できることを示した。 これは Gross [2] により抽象

Wiener 測度として一般化された。本稿では局所体-\llcorner の正規直交 Schauder 基底を持つノルム空間 (可分な実 Hilbert 空間に相当する) 上に Winer 測度の non-Archimedean 版とも言うべき測度を構成する。 (Theorem 3.13)
ここで抽象 Wiener 測度の構成を$(H, <\cdot’\cdot>)$$Kuo$ [ $3$ ,を可分な実 Hilbert 空間、 FOP $(H)$ をの全体の集合とする。適当な$P\in FOP(H)$

Chap.
$H$

と $P(H)$ の$I$] に従って要約してみよう。

の直交射影で像が有限次元である物

Bcrel 集合 $F$ により$\{x\in H;P(x)\in F\}$と表される型の集合を $H$ の cylinder set といい、 その全体を Cyl $(H)$ と記す。 $H$ には(分散 1 の) Gauss 測度

40$\mu(\{x\cdot\in H:P(x)\in F\})$

ここで

$dx$

$=$

は $P(H)$ の Lebesgue 測度、 が定義される。 これは有限加法的測度であるが可算加法的ではない。他方、 $H$ のノルム
して$(2 \pi)^{-\dim P(H)/2}\int_{F}exp(-\frac{<x,x>}{2})dx$ ,$P(H)\perp Q(H)$となる任意の$||\cdot||$

は任意の$Q\in P^{\backslash }OP(H)$$\epsilon\rangle$$0$に対してある$P\in I^{7}OP(H)$

が存在

に対して
(1. 1)$\mu(\{x\in H:||Q(x)||>\epsilon\})<\epsilon$が成立するとき可測であると言われる。 可測ノルムが $H$ に定義する位相は $H$ の内積による位相よりも弱い。そこで $H$ の$||\cdot||$による完備化を$B$

一般には Hilbert 空間にならない。適当な有限個のとする。 $B$ は Banach 空間ではあるが$B^{*}$の $–$$y_{1}$

,

...,

と

$y_{I?}$$R^{J1}$のBorel

集合 $F$ により$\{x\in B:(y_{1}(x), .,., y_{I1}(\vee x\cdot))\in F\}$と表される集合を
なら$B$$T\cap H\in Cy1(H)$のcylinder set といい、 その全体を$\tilde{\mu}$

は

$B$

の

と記す。 $T\epsilon--CyJ^{*}(B)$となる。 そこで$l^{\sim}\iota(T)$とおくと$Cy1^{*}(B)$$=$$\mu(T\cap H)$

Borel 集合体上の可算加法的測度になる。 ([3, Chap.

$I$, Theorem

4. 1, 4.2])
局所体 $K$ 上の normed vector space$H$

に対してこれと同様なことがそのまま成立すればよいのであるが、 $H$ 上にはノルムを与えるような内積 (双線型写像) が一般には存在しない。 $H$ の 2 っの部分空間が直交するという概念はあるが、 閉部分空間の norm

$d$

irect

su pplement (直交補空間に相当する概念) は存在するとは限らないし、 したとしても一意的ではない。 にもかかわらず、 $H$ には$cylr_{\grave{1}}$der set が定義され、 Gau ss 測度 (の non-Archmedean version) が定義されることを Lemma 3.4 で示す。

$c_{-}\tau_{/}$$t9_{-}$

はこのための準備であり、 正規直交 Schauder 基底 (cf. Definition 2.9) を持っ normed

K-vector

41
space について norm direct supplement やある種の条件を満たす直交射影が存在する
ための十分条件を与える (Lemma 2.6, 2.9 など) 。これらの結果が出来てしまえば後は実Wiener 測度とほとんど同様な方法で non-Archmdean Wiener 測度が構成できる。

2

Non-Archimedean analysis からの準備

本節では後で必要となる non-Archimedean

analysis の定義を Bosch,$G\ddot{u}nt7$

$er$

」

and Remmert [1, Chap. I ] に基づいてまとめておく。 また、 直交射影の概念を導入し、$I$

Wiener 測度の構成に必要ないくつかの補題を証明する。

$K$

は $non\vee Archimedear\iota$ な乗法付値を持っ体とする。 $H$ は、 やはり$|\cdot|$

書かれるノルムを持っ normed K-vector $space$$|a||x|$$|x+y|$

が成り立っているとする。

で$]_{-H}$$m$$\leq$

ax $( x|, y )$$|x,$ $A|$

とおく。整数$I1\geq 1$に対して$K^{n}$$=$

で定義されるノルムを持っ normed
V.,

る。任意の

に対して

$V_{k}\in\nu_{k}^{\gamma}$$V_{2}$,(X,$A\subset H$$\mathcal{Y}^{\underline{C_{-}^{-}}}H$)および $x\in H$ に対し$\inf_{a\in A}|a-x|$は$|(c_{1},\ldots,c_{1I})|$’Definition 2.1.

すなわち、 K-vector space での恒等作用素を表す。

$H$と$(a\in A’, \chi\in H)$$|ax|$$=$、$|\cdot\{|$...,$K\cdot$’$\mathfrak{s}_{I1}^{\gamma}$$=$$1\underline{<}i\leq nmax_{l}^{1}c_{i}|$.vector space を表すものとする。
を$| \sum_{k=1}^{!l}V_{k}|$normed K-vector space$=$$1\underline{<}k_{-}ma_{<}x_{D}|V_{k}|$$H$の部分空間とす

42が成立するときは$V_{1}$,$T_{2}^{7}/$...

,norm direct su m

は互いに直交するという。 この時、 和空間$V_{II}$であるといい、

normed K-vector spaceと犀が直交することを$|/\gamma$と書き表す$\iota_{1}^{I}\oplus V_{2}\oplus’.’\oplus f_{I?}^{7}$$\circ$$V_{1}+1_{2^{+}}’$.

$..+1_{1I}^{\prime^{\gamma}}$

特に、 2 つのと表す。

$V\perp W$

容易に分かるように norm direct sum なら線形空間として直和である。

Definition 2.2.

$H$

の部分空間

$V$

は

$H=\mathfrak{t}^{\gamma}\oplus$「$\downarrow J^{-}$となる部分空問 犀が存在するとき

norm direct supplement を持っという。
これは実ヒルベルト空間の場合には直交補空間に相当する概念である。 しかし、 実ヒル
ベルト空間では閉部分空間の直交補空間は一意的であるが、 非アルキメデス的付値体ではnorm direct supplement は存在しないかもしれないし、 したとしても一意的とは限らない。例えば、 $|a|<1$ となる任意の $a\in K$ に対して
$K^{2}$$=$$K(1_{*}0)\oplus K(a, 1)$となる。

Definition 2.3.

$H$

の部分空間

$V$

は任意の $1?\in H$ に対して$|h-v|$となる$V=v(1?)\in\nu’$

部分空間

$V$

$=$

$|h$

,

$1^{\gamma}|$が存在するとき strictly closed であるという。

が strictly

closed なら closed である。 逆に閉部分空間$|\prime V-\{0\}|$が ( $\{x\in R;x>0\}$ の中で) 離散的なら strictly

1.1.5/3,

Proposition 1.1.5/41)

Definition 2.4.

normed$\{x\in V:|x-V_{1?}|\leq r_{D}\}$ 、

ここで

K-vector$V_{I1}^{\epsilon\equiv}V$、

持っとき spherically complet,e であるという。

, 2,

$1$

$V$

$\ldots$はclosed となる。 (「 , Lemma

space$l_{\Pi}^{\wedge>0\text{、}}I7=1$

$V$

、

}

$\lambda$

関PR$B(v_{!I}, r_{I1})$$=$の降鎖が常に空でない交わりを

43
$S$

pherically complete な空間は完備である。逆に、が離散的である完備$|l^{\gamma}’-\{0\}|$com

な空間は spherically complete である。 $K$ が spherically$p$] $ete$なら有限次元normed K-vector space はすべて spherically complete になる。 (「 ,
$1$

Lemma

2.4.4/4])

Lemma 2.5.

$V$

を

$H$

の

strictly closed な部分空間、 $U$ を

com plete な部分空間とする。

$lf$

と

$\nabla$が直交しているなら$H$$U^{(}\backslash ^{L}\wedge J\mathfrak{h}^{r}$sphericallv

の

は

$H$

の

strictlyclosed な部分空間である。

Proof.

$v\in H-(U\oplus V)$とする。 ベクトル列$a_{\Omega}\in U$、$b_{n}\in V$

で$d_{I1}=|v-(a_{D}+b_{I1})|$が単調減少かっ $\lim_{1Iarrow\infty}d_{n}=|VU\oplus V|$ となるものが存在する。

! $(a_{n+1}+b_{n+1})-(a_{n}+b_{I1})|$:$=$$\leq$となる。他方

$U\perp V$$|(V-(a_{I)}+b_{I1}))-(V-(a_{11+l}+b_{I?k1}))|$$max(d_{IJ},d_{1?+1})$$=$$d_{J1}$

だから$|(a_{II+1}+b_{n+1})-(a_{!I}+b_{o})|$$=$$\max(|a_{n+}-a_{n}|, |b_{I?+1}-b_{n}|)$$\geq|\prime a_{o+1}-a_{IJ}|$すなわち$|a_{n+1}-a_{!2}|\leq d_{n^{o}}$ゆえに、 $B_{n}=\{x\in U:|x-a_{I?}^{1}\leq d_{n}\}$ とおくとになる。 $U$ は sphericallystrictly closed だからの$I1\geq 1$complete だから$|V-a,$ $b^{7}|=|v-a-b|$$\bigcap_{II=1}B_{IJ}$

となる

の元

$b\in V$$a$$\leq$$\leq$$|v-a-b_{I1}|$$=$$L^{\gamma}$はが存在する。すると、 任意$|v-a_{D}-b_{!1}+a_{!1}-a|$$max$ $(|v-a_{n}-b_{n} .

は開球の減少列が存在するっに対して$|v-(a+b)|$$B_{n}$|a_{IJ}-a|)$赫$\leq$$max(d_{IJ}, d_{I1})$となるので $|V-(a+b)!_{-}=|V,$ $U\oplus V|$である。嫁.

Lemma 2.6.

com plete で$K$が sphericallystrictly closed な部分空間とする。 このとき$V$$|t’,$$arrow$$V$

は$U\oplus V|$

codim

$V$

が有限である$H$のnorm direct supplement を持はつ。

Proof.

$n=codimV$ に関する帰納法を用いる。 $r?=1$ の時。 $a\in H-V$ を一っ選ぶ。

strictly closed だから $|x-a|=|a,$のnorm directから$x\in \mathfrak{b}^{r}$が存在する。 為 7= 人”(x-a) がは’$\iota/$supplement となることを示せば十分である。 まず、 $fj=codlmV=1$ だ$V\perp W$$H=\ddagger^{7}’+W$

となる

$V|$

$V$

。

であることは [1,証明を再掲する。 $c\in K$ ,$v\in V$に対して$\}|c(x-a)+v|$を示さなくてはいけない。

$|c(x-a)|=|V|$ なら$c\neq 0$

Observation 2.4.2/2] から従うが、 便宜上その$max(|c(x-a) , |v )$$=$(2. 1)

ならこれは (常に) 成立している。

$|c(x-a)|7^{\mathfrak{l}}-\underline{l}|v|$としてよく、$|c(x-a)+v|$となるが、 右辺は $x$ の定義から $|c1||x-a|$$=$$|c||x-a+ \frac{V}{C}|$$(=|v|)$

より大きい。従って、 (2.1) は成立する。

$I1>1$の時。 同様にしてcomplete だから$A^{r}a_{I1}\oplus V$norm$Ka_{n}$は strictlv

directも spherically$a_{J?}\in H$

が存在する。 $K$ が sphericallycomplete である。 ゆえに Lemma 2.5 よりclosed で余次元は 1 減っている。 帰納法の仮定から

supplement

supplement である。

となる

$Ka_{I1}\perp\nu^{\gamma}$$\square$$7V_{11-1}$

を持 っ

。

$\dagger V_{n- 1}\oplus Ka_{l}$が$\mathfrak{l}^{\prime^{-}}$の$Ka_{I1}\oplus i^{\nearrow}$

norm

は

direct45
Definition 2.7.
$V$

の基底

を有限次元の normed K-vector space とし$\nu’$$\{e_{1}, e_{2},\ldots, e_{n}\}$は任意の$C_{1},$$\ldots {}_{y}C_{n}\in K$$f?=dim_{K}V$

とおく。

に対して

$| \sum_{i=1}^{1I}c_{i}e_{i}|$$1_{-}^{J}i\underline{<}J{\rm Im}_{\backslash }ax|c_{i}.e_{i}|$が成立するとき直交基底であるという。 さらに、 すべての$i$でとなるとき正規直交$|e_{i^{-}}^{I}=1$基底であるという。

これらは存在するとは限らないが、 $K$ が spherically complete なら有限次元

normed K-vector space
基底が存在する ([1,spherically$I/^{-}$には直交基底が存在し、 さらに

Proposition$|V|c|_{1}K|$

Observation 2.5.1/2]) 。なお、 $K$ が2.4.4/2,

com plete でなければ 2 次元 K-vector space で正規直交基底が存在しな

いものがある ([1, p.193])

Definition 2.8.

。

normed K-vector space$H$はその任意の有限次元部分空間が直交基底、 あるいは正規直交基底を持っとき、 それぞれ、 K-cartesianstrictly

ならば正規直交space あるいは

K-cartesian space であるという。

Definition 2.9.

の可算部分集合$H$$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$は以下の条件を満たすときに直交

Schauder 基底であるという。
(1)

任意の

(2)

任意の収束級数$v\in H$に対し

$V= \sum_{i=1}c_{i}e_{l}$$\sum_{i=1}^{\infty}c_{l}e_{l}$となる収束級数が存在し、$C_{i}$

は一意的に定まる。

に対して

$=$

$| \sum_{i=1}c_{i}e_{i}|$さらにすべての$H$

2.7.2/7])$j$で$|e_{i}|=1$$\max_{1\leq i<\alpha}|c_{l}e_{\mathfrak{i}}|$となるとき正規直交 Schauder 基底であるという。

が直交 Schauder 基底を持てば K-cartesian であり、正規直交 Schauder 基底を持てば strictly

Proposition $2.7.5/1$ ]$)_{0}$$K$( $[],$$Pr()poslti$ on-cartesian である (「 ,$1$

46Definition 2.10.

(H. $H$ ) は$P\in Hom_{K}$$P^{2}=P$

かっ I m $P\perp KerP$ であるとき

$H$

の直交射

影であるという。 $H$ の直交射影 $P$ で $dim_{K}P(H)$ が有限であるもの全体の集合を FOP $(H)$
で表す。

$P$

が直交射影なら

$|x|$

だから

$P$

$max(|P(x)|, | x-P(x) )$$=$は連続。 また、 任意の$|x-y|$

でに対して$y\in KerP$$|P(x)-y+(x-P(x))|$$=$$|P(x)|$$\geq$$|P(x.\cdot)|$$\geq$$y=x-P(x)$ の時に等号が成立するので $KerP$ は $H$ の強閉部分空問である。

Lemma 2.11.

$P$

;

を

$Q$

このとき

$PQ(H)\perp KerQ_{0}$Proof.

$x\in PQ(H)$$H$の直交射影で $KerP\subset KerQ$ が成り立っているものとする。

$y\in KerQ$

、

とする。

$|x+y|$

ここで $x=P(z)$となる$z\in Q(H)$$|x+y|$$\geq$$\geq$$(iQ(x+y)|$$=$$|Q(x)|$がある。 $KerP\subset KerQ$ より $QP=Q$ だから$|QP(z)|$

$=$

$|z|$

$\geq$$|P(z)|$

$=$

(2.2)

$|x|$

が常に成り立っ。 もし、 $|x+y|<max(|x|, |y|)$ なら $|x|=|y|$ でなければならないが、これは (2.2) に反する。

Lemma 2. 12.

$K$は$\square$sphericallycompleteであるとする。 $ff$ は正規直交

Schauder 基底を持ち、 $|H-\{0\}|$ が離散的であるとする。
意に与えられたとき次の 4 条件を満たす $P_{lI}\in FOP(H)$ が$n\geq 1$$I1\geq 1$に対し$F_{n}\in\overline{1^{4}}$OP $(H)$ が任に対して存在する。

47
(2.3)

任意の

$I1\geq 1$

に対し

(2.4)

任意の

$I1\geq 2$

に対し $KerP_{n}\subset KerP_{Jl-1}$

。

(2.5)

任意の

$I1\geq 1$

に対し$P_{\Gamma r}(H)\supset P_{o-1}(H)$。

でに強収束する。

(2.6)

は$P_{I1}$

Proof.

$I1arrow\infty$$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$

を$1_{H}$$Ker\cdot P_{Iz^{(}}--KerF_{IJ^{\text{。}}}$の正規直交 Schauder 基底とする。 $E_{n}’\in FOP(H)$ を

$H$

$=$

$E_{I1}( \sum_{i=1}^{\infty}c_{i}e_{i})$

$i$

で決める。

$P_{0}$

を零写像とし$IJ\geq 1$

に対して

とおくと

$K$

$dimV_{n}<\infty$ 。

がを$c_{l}e_{i}$$P_{n-1}$から以下のように帰納的に定める。

s ohericallv

com p let e だからcomplete $oH$ が正規直交 Schauder 基底を持っから [1,$V_{I1}$は normに対する$V_{IJ}$

direct supplement
成分への射影とすると$A_{I?}$

$=$

(2.7)

$P_{n- 1}(H)+Ke_{I1}$$=$$V_{n}$$P_{I1}$

れ1$V_{n}^{\perp}$

を (少なくともひとっ) 持っ。

$R_{IJ}\in 1^{\urcorner}(OP(H)$$V_{n}\oplus A_{1I}$

norm direct supplement
影とすると$P_{IJ}\in FOP(H)$$R_{n}$

を$H=V_{n}\oplus V_{n}^{\perp}$

。

(2.8)

$K_{Q}rE_{!z+1}\cap KerP_{Il-1}\cap KerF_{n}\cap KerR_{n}$閉部分空間。 $|H-\{0\}|$ が離散的だから

2.5 よりspherical] $y$

Proposition 2.7.2/7] よりとおくと、 右辺に現れている各空間の余次元が有限の閉部分空間だからに Lemmaも$V_{n}$$A_{I1}$$A_{n}$

も余次元な有限なは強閉部分空間。 $A_{n}\subset KerR_{n}$ から$1_{n}^{r}\perp A_{n^{\text{。}}}$

ゆえは余次元が有限の強閉部分空間となり Lemma 2.6 から$tv_{1?}^{v}$を持っ。

$P_{IJ}$を$H=h^{\gamma_{\Pi}}\oplus\iota_{j?}^{r}\oplus A_{IJ}$の$r_{n}t^{T}\oplus V_{11}$)。これが要求された性質を持つことを示す。 $Ker1_{1?}$

$=$

成分への射
$A_{IJ}$だから(2.8) より (2.3) と (2.4) は確かに成立する。 また、 $P_{n}(H)\supset T_{p}^{7}\supset P_{n- 1}(H)$ より (2.5) も成立。 これと (2.7) より$V_{l?} \supset\bigoplus_{i=1}Ke_{i}$となる。 すなわち、 $P_{I1}H$ つ $E_{I1}H$あるから任意の $x\in H$ に対し$|(1_{H}-P_{I1})(x)|$$=$$|(1_{H^{-}}P_{1})(1_{H_{I?}^{-F_{J}}})(x)|$。

従って$P_{nI7I?}P_{\lrcorner^{\urcorner}}=I_{\lrcorner^{\urcorner}}$

で

48

は

$\{e_{j}\}_{i=1}^{\infty}$

$H$

の正規直交

以下では

$K$

$S$

chauder 基底だから

よび

$V$

の

$\backslash (2.9)$が局所コンパクトであるとする。

normed K-vector space なら$i^{-}$(2.9)$|(1_{H^{-}} \sum_{IJ})(x)|$$\leq$

は$f1-/C<$)で$0$に収束する。

$\square$が正規直交基底を持っ有限次元$V$

も局所コンパクトになる。

$/1_{K^{1}}$

Pa

$v$

をそれぞれ $K$ お

Haar 測度で$(\{x\in K : |\chi|\leq 1\})$$=$1(2. 10)$u_{v}(\{x\in V : |x|\leq 1\})$$=$1(2. 11)$/I_{K}$と正規化されているものとする。
Lemma 2.13.
直積測度とする。

$\{e_{i}\}_{i=1}^{n}$を$\varphi;K^{I1}arrow T^{7}$$\nu^{\gamma}$

をの勝手な正規直交基底とする。媛を$\varphi(c_{1}, \ldots\prime c_{IJ})=^{\nabla},c_{i}e_{i}\iota=1\prod_{-}$$K^{n}$$-\vdash_{-}$のと定める。 この時、 $/JV$ は$/t_{K}$$\ell\iota_{K}$

の
の

$f$

?

$t_{f}$

重vによる像測度となる。

Proof.
集合$E$’$\varphi$

は全単射等長写像であるからが Borel 可測であることと$V$$\varphi^{-1}(E)$と$K^{I1}$は距離空間として同型であるっ

$V$

の部分

が Borel 可測であることは同値である。従って像測度$(\mu_{K}^{n}\varphi^{-1})(E)$は完備 Borel 測度になる。 しかも、意性から$\mu_{K}^{n}\varphi^{- 1}$

は$\mu_{V}$$\varphi$$=$$\mu_{K}^{n}(\varphi^{-1}(F_{J}))$

が線型写像だから Haa$Y^{\cdot}$

測度になる。 Haar 測度の一の定数倍になる。 ここで、$(\mu_{K}^{n}\varphi^{-1})(\{x\in V;|x|\leq 1\})$

$=$

$=$

$=$

$u_{K}^{n}(\{(c_{1},\ldots,c_{n})\in K^{lI} :|^{\underline{\nabla}}c_{i}e_{i}|\leq 1\})i=1l1$$u_{K}^{n}(\{(c_{1},,..,c_{I1})\in K^{II} :1\leq i\leq J?max_{1^{1}}c_{i}|\leq 1\})$$i11^{\text{れ}}u_{K}(\{c_{j}\in K:|c_{l}|\leq 1\})$

49
1

$=$

だから

$u_{\kappa^{\varphi^{-1}=\mu}\nu^{r}}^{!?}$

I.emma 2.14.
る。 $P$ ,である。

$0^{-}\urcorner_{J}-$を正規直交 Schauder 基底を持っ normed$H$$Q\in FOP(H)$が $Ker$ PKer

$Q$

$K$

-vector space とすを満たしているとする。 17 を$Q(H)$の可測集合、 $f$を実数上定義された実数値関数とするとき、$\int_{D}f(|x|)d\mu_{Q(H)}(x)$$=$(2. 12)$\int_{P(D)}f(|x|)d\mu_{PQ(H)}(x)$(片方が存在すれば他方も存在してその値は等しい。 )Ke r $P\subset KerQ$ だから

Proof.

$|x|$だから $\pi=P|_{Q(H)}$ は$Q(H)$$|P(x)|^{1}$$\geq$$Q(H)$の正規直交基底なら$QP=Q_{0}x\in Q(H)$$\geq$$|QP(x)|$

に対して

$=$

$|Q(x)i$

$=$

$|x|$

から $PQ(H)$ への全単射等長写像である。特に、$\{P(e_{l})\}_{i=1}^{11}$は $PQ(H)$ の正規直交基底である。

$I_{r}$$\{\zeta^{z_{i}}\}_{i=1}^{n}$がemma 2. 13 より (2. 12) の両辺はともに$\int_{\varphi^{-1}(D)}f(|\varphi(x)|)du_{K}^{I1}(x)$に等しい。ロ3. 局所体上の Wiener 測度の構成
前節では正規直交 Schauder 基底を持っ空間では実 Hilbert 空間と同様に直交射影の概念が定義され望ましい性質を持っことが分かった。前節の結果を基にして no$\iota 1^{-}Arc_{\backslash }^{k}\iota m$

な付値を持っ局所体上の Wiener 測度を構成する。 本稿の Proposition

3.7.
Chap.

Lemma
$I$

3.8,

Lemma

3.9,

Theorem

3.13,

Theorem] で扱われている実 Wiener 測度の構成の Proposition

3.5,

3.14
4.],

$i\mathfrak{h}^{\grave{\grave{y}}}$

edean

Lem

$IP_{\mathfrak{c}}’1$$K\iota\iota 0_{1}^{f}3$Lemma$4.?_{-}$,,

50
Lemma 4.4, Lemma 4.5, Theorem 4.1, Theorem 4.2 に相当する。 しかしながら、可測半ノルムの定義は我々の場合 (Definition 3.6) と実 Wi ner 測度の場合 $(]_{-}.])$ では$e$

だいぶ異なる。

以下、 本節では $K$ は局所体とする。 従って$H$

空間$\nu^{\gamma}$$P$は sphericallyroposition 2.7.5/!

は正規直交基底を持ち、 従って、$\rceil$

によってHaar 測度の$\mathfrak{h}^{\gamma}$

complete である。

A vecotor space では正規直交 Schauder 基底を持っ normed

的であるとする。 このとき [1,

$!K$

$H$

$|_{t}H-\{0\}1|$

は離散の任意の有限次元部分が存在する。 1K および$l\iota_{V}$$f^{\gamma}$のHaar 測度は (2. 10) および (2. ] 1) のように正規化しておく。

Definition 3. 1.

の部分集合 $E$ で適当な$H$$P\in FOP(H)$および $P(H)$ の可測集合

$F$

により

$E=$

$P^{- 1}(F)$$=$$\{x\in F|P(x)\in H\}$と表されるものを $H$ の cylin der set という。 その全体を $Cy1(H)$ で表す。
$I_{I}emma3.2$

Proof.
$P_{1}(H)$,.

$Cy1(H)$$E_{1}=P_{1}^{- 1}(F_{1})$$P_{2}(H)$,は集合体になる。

$F_{2}\lrcorner=P_{2}^{- 1}(F_{p}.)$, ここでの可測集合、 とする。 $KerP_{1}$ と$p_{1}$,$P_{2}\overline{\epsilon}$$KerP_{2}$

FOP $(H)$で$F_{1}$とは余次元が有限の$F_{2}$

$H$

はそれぞれ

の閉部分空間だから Ke r $P_{1}\cap KerP_{2}$ も余次元が有限の閉部分空間である。 ここで 1 $H-\{0\}|_{(}$ が離散的だか

ら強閉部分空間となる。 ゆえに Lemma$P\in FOP(H)$

2.6 より Ke r $P=KerP_{1}\cap KerP_{2}$ となるが存在する。 $i=1,2$ に対して、$P^{- 1}(E_{i}\cap P(H))$$=${ $x\in H|P(x)\in J_{i}^{j}\lrcorner\cap P(H)$ ]$=$$\{x\in H|P(x)\in F_{i}\wedge\}$$=$$\{x\in H|P_{\dot{\iota}}P(x)\in F_{l}\}$51は射影子で $KerP_{j}\supset KerP$ だから$P$$-\cdot 1$

$P$

. は

$F_{:}$$P_{l}(H)$$(E_{l}\cap P(H))$の可測集合で$\{x\in P(H)|P_{i}(x)\in F_{i}\}$$P_{i}$$=$$\{X_{-}^{\sigma- H}|P_{i}(x)\in F_{i}\}$(0 の) $P(ff)$$=$$F_{i}${よ連続だからへの制限)(3. 1)$\Gamma_{i}|^{\bigwedge_{1}}P(H)$$=$

は $P(H)$ の可測集合。従って、$=$$P^{- 1}((E_{1}\cap P(H))t^{1}(F_{2}\lrcorner\cap P(H)))$$E_{1}\cap E_{2}$$=$$P^{- 1}(E_{1}\cap E_{2}\cap P(H))$$E_{1}^{c}$$=$$P_{1}(F_{1}^{c})$$E_{1}^{\mathfrak{l}_{\lrcorner}^{1}}E_{2}$

(3.2)

また、

以上より Cyl $(H)$ は集合体である。口

さて、整数$I7\geq 1$と実数$r\in||A^{\vee^{\cross}}|$に対し $\chi_{n,r};R-*R$ を$(x>(x\leq r)r)$$\chi_{m,r}(x)$

$=$

$\{$

$0 \{\int_{\}t|\leq r}d\mu_{K}(t))^{-m}$

とおく。このとき$x_{m+I1,\Gamma}( \max(x, y))$$=$$\chi_{m,r}(\vee\gamma\cdot)\chi_{n,r}$$\int_{K^{1?}}\chi_{n,r}(|x|)d\mu_{K}^{j?}(x)$

となる。

$=$

1

$( \vee\gamma)$

(3.3)

(3.4)

52
Definition 3.3.

の分散 $r$ の Gauss 測度$H$$G_{\Gamma}$\perp \llcorner -. の次式で与えられる関数

は $Cy1(H)$である。

$G_{\Gamma}(P^{- 1}(F))$

Lemma 3.4.

Proof.

$E$$=$$\int_{F}x_{\dim P(H),r}(|v|)d\mu_{V}(v)$w ell defined である。

は$G_{\Gamma}$$=$$\{x\in ff|P(x)\in F\}$ ,ここで$P_{-J}^{-}-\rceil^{\urcorner}\prec$

OP $(H)$ ,は $P(H)$ の可測集合、 に対し

$F$

て

{

$U=$

$x\in H;a+tx\in L^{\urcorner}$for all$a\in F_{\lrcorner}$,}$l^{\tau}=K$とおく。 ( $U$ は $P$ や $F$ に依らず、 万のみで決まることに注意されたい。 )空間で$U\supset KerP$となる。

roposition

2.4. 1/5]

direct supplement
$V$

により

$U\}^{-},$$P(H)$

成分への直交射影とする。 $KerP\subset U$ より$P(x)$$=$$\vee\chi’-(x-P(x))$$P(\prime r)+(x-P(x))$

$\in$

で

$x-P(x)$$\in$$A^{-}$の部分-cartesian だから$P(H)=\nu^{7}\oplus(U_{-}^{\Gamma t}P(H))$となる$V\oplus(U\cap P(H))’-$]$iKerP$

U。他方、$(U^{\rho}, P(H))\oplus KerPc$

Kc $rP\subset U$ より$P(x)$$=$$(U\cap P(H))\oplus KerP$

$—$

$\in$

$U$

$[]$

,

norm

に関する

$x\in\zeta_{J}^{\overline{1}}$

。ゆえに

なら
$\chi\cdot=$$KerQ$

なので $Q=QP$ であることに注意する。

$F$である。 実際、$H$$(U\cap P(H))\oplus Ker$ P。以上から$U$$Ker\cdot P\subset KerQ$はを持っ。 $Q\in FOP(H)$ を $H=$

$V$

はを $Ker’ Q=U$ となる任意の FOP $(H)$ の元とする。 これが少な$Q$くともひとつは存在することは次のようにして分かる。 $P(fl)$ は$P$$\zeta J$

$=$

$Q$

の選び方によらず、(3.5)$\{v+u:v\in PQ(F), ti\in KerQ\cap P(H)\}$$\iota\cdot\subset F\subset P(H)$なら$\chi=PQ(\tau)+(_{\vee}x\cdot-PQ(x))$$x-PQ(x)_{E}KerQ$ となり、 $F$ は (3.5) 右辺に含まれる。逆にある$QP=Q=Q^{2}$。

$t\equiv F$

により

より

$V=tQ(t)$53$U+PQ(t)-t\in KcrQ=U$

なら$\iota_{\dot{4}}+V\in P(H)$$x\in F$だから

$l1+V\in F$

に対し $x=u+v$ となる$t\underline{\vdash-}F\subset E^{7}$

、

、

より

、

よって (3.5) 右辺は$u\in KerQ\cap P(fJ)$と$F$$P(U+V)\in F\circ$すなわち$U^{-\}}v\in E$に含まれる。 Lemma 2. 11 よりは一意的である。簡単のため$V\in PQ(F)$$S=KerQ\cap P(H)$ とおく。以上のことから$G_{\Gamma}(P^{- 1}(F))$

dpa $P(H)(x)$$=$$\int_{F}x_{\dim P(H),r}(|x|)$$=$$\int_{V\in PQ\langle F)}\int_{u\in s^{\chi_{d{\rm Im} P(H),r}}}(|\mu+V|)d_{l}\iota_{S}(\iota J)d\mu_{PQ\langle H)}(V)$

Lemma 2.11 と (3.3) より$G_{\Gamma}(E)$$=$$\int_{V\in PQ(F)}\chi_{\dim PQ(H),r}(||v|)du_{PQ(H)}(V)\int_{u\in s^{\chi_{\dim S,r}}}(|u||)du_{s}(U)$$=$$\int_{\gamma\vdash_{-}^{-}PQ(F)}\chi_{\dim PQ(H),r}(|^{\mathfrak{l}}|V|)d\mu_{PQ\langle PI)}(V)$(ここで (3.4) を使った。 ) さらに Lemma 2. 14 と$Q(L^{\urcorner})$$=$$QP(F_{\lrcorner})$$=$$Q(F)$である

ことから結局$G_{\Gamma}(E)$

右辺は $P$$F$、$G_{\Gamma}$$=$$\int_{\nu^{-}\in Q(F)}x_{\dim Q(H),r}((|v|)du_{Q(H)}(V)$$=$$\int_{V\in Q(E)}x_{\dim Q(H),r}(|v|)d\mu_{Q(H)}(V)$の取り方に依存しない。ロは (3. 1) と (3.2) より有限加法的である。 しかしながら次の命題が成立する。

Proposition 3.5.

Proof.
に選び、$\{e_{l}\}_{i^{\mathfrak{v}}=1}^{\iota}$$\rho$

をを$G_{\Gamma}$$H$$0<\rho<|t|$は可算加法的ではない。

の正規直交 Schauder 基底とする。
となる実数とする。数列$\{b_{I1} :$t\in K^{x}$b_{1I}\geq 1\}^{\infty}1z=1$

を

を

$|t$

$<r$

となるよう

54
$(x_{1,r}(0)\mu_{K}(\{x\in K;\rho<|X|\leq r\}))b_{IJ}$となるようにきめ、 $a_{J}=1$$\sum_{n}$とおくと$a_{1?+1}=a_{I1}+b_{n}(I7\geq])$$=$$G_{\Gamma}( \sum_{I1})\leq 2_{O}^{-(n+1)}$となる$|c_{i^{1}}^{1}<\rho$、{がある。 この時、

$i$

とおく。

for

$\sum_{i=1}^{\infty}c_{t}e_{i}\in H:|c_{l}-t|>\rho$

ここで任意の$a_{1J}\leq i<a_{JI+1}$」$x=.c_{j}e_{i}\in Hi^{\backslash_{=^{\neg}1}}arrow$となる$a_{I1^{-}}’\backslash i<a_{n+1}$$2^{-(n+1)}$$\leq$

$I$

で

?

}

に対して
$x\in E_{Jz^{\text{。}}}$)

だから$\lim_{iarrow\infty}|c_{l}|=r_{J}$律って$IJ^{--!}-\vee F_{\lrcorner}II=1^{D}$ 。

$G_{\Gamma}$

がもし可算加法的なら

1$=$$\leq$$=$$G_{\Gamma}(H)$$G_{r_{11^{-}=1}}(|IF_{IJ})$$\sum_{n=1}^{\infty}G_{\Gamma}(\sum_{n})$$\leq$$1/2$となり矛盾である。ロDefinition 3.6.
存在して

$H$

$||x||<\epsilon|x|$

上の (半) ノルム$\{e_{\ell}\}_{i=1}^{\infty}$

を

は任意の

$\epsilon>0$

に対してある$P\vee=T^{i^{\urcorner}}OP(H)$ががすべての $x\in Ker\cdot P$ で成り立っとき可測 (半) ノルムという。

可測ノルムは存在する。例えば、のとする。

$||\cdot||$$fI$$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$

正の実数の単調減少列で$\lim_{narrow\infty}a_{1I}=0$となるもの正規直交 Schauder 基底とするとき$|| \sum_{i=1}^{\infty}c_{l}e_{i}||$$=$$1\leq i<\infty maxa_{i}|_{C_{j}}|$は$H$の可測ノルムとなる。

Lemma 3.7.
数$c$$||\cdot||$

が $H$ の可測半ノルムなら任意の $x\in H$ に対して$||x||\leq rI_{\chi|}$となる定が存在する。

Proof.

$||\cdot||$が可測だから$x\in KerP$

なら$||x_{-}^{j}|<|x$$dimP(H)$ は有限なので $P(H)$ の正規直交基底

.

$|$

(

$\{V_{i}\}_{i=1}^{1?}$となる$P\in FO^{\iota\circ(}1$ $H$

が存在する

.

) が存在する。

$0\gamma-i=^{\neg}1I^{n_{\lrcorner}}\langle\tau_{i}V_{j}\in P(1’f)$

に

55
対して

$|y|$

$\geq$だから$|^{1}c_{l}||\ddagger_{j}1’|$$||y||$$\leq$$\leq$$\iota^{\max_{\leq i_{-\cdot J}\tau}\frac{|||V_{i}||}{|V_{i}|}}|y|$$1\leq i_{-}nma,_{\backslash }x|c_{i}|||V_{i}||$

よって$|;Ix$

II$\leq\max(||P(x)||.

||x-P(x)||)$$max(max\frac{||V_{i^{||}}^{1}}{1V_{i^{1}}^{I}}1\leq i\leq n|P(x)|, (x-P(x)|)$$\leq$$max(max,\frac{||_{V_{i}}||}{|^{1}V_{i}|}1)1\leq i\leq n|x^{1}$$\leq$口Lemma 3.8.

$||\cdot||$を$H$の可測半ノルムとする。 この時 $\{a_{n^{-}}=R:a_{I1}>0\}^{\infty}11=1$ に対し以下の4 条件を満たす列 $\{Q_{n}\in F0P(H)\}_{n=1}^{\omega}$ が存在する。
(3.6)
(3.7)

任意の正整数$\sum_{!J=1}^{\infty}Q_{Il}=1_{H}$

$m$

,

$Ii$

に対し

$Q_{IIJ}Q_{n^{=0}\varpi n}^{\infty}Q_{n}$

(強収束)

(3.8)

任意の $x\in H$ と

(3.9)$||x||_{0}=1 \leq n<\infty\max a_{n}||Q_{n}x||$$I?\geq 2$

に対して
は

$H$

$a_{IJ}||Q_{I1}(x)||_{-D_{t}^{-1_{1}}}^{\prime_{\backslash }}x|_{o}$の可測半ノルムとなる。

$||\cdot|||$がノルムなら$||\cdot||_{0}$

もノル

ムとなる。

Proof. 可測半ノルムの定義から各$||x||$となる$F_{I1}\in FOP(H)$$<$$n\geq 1$

に対し、$\frac{1}{1?O_{\Pi}}|x|$for allが存在する。 Lemma 2.12 より$x-arrow_{-}IKerF_{IJ}$$(2. \backslash ’\})-(2.6)$(3.10)

を満たす $P_{n}\in^{-}-- F0P(H)$が存在する。 (2.4) と (2. 5) より$P_{n}P_{m}=P_{\min(m,n)}$(3.11)

56となる。 よって$Q_{1}=P_{2}\in FOP(H)$ 、$I1_{-2}^{:}$

に対し、 $Q_{I1}=P_{n+1}-P_{n}$ とおくと

$Q_{n}$は (3.6) を満たす。 また、 $n\geq 2$ なら(3. 12)$Q_{I1}(H)=KerP_{n}\cap P_{II+1}(H)$Ke $rQ_{I1}(H)=P_{n}(H)\oplus KerP_{n+1}$となることも (3.11) から従う。 (2.4) から交することが分かるので特にだからは存在する。

$KorP_{n+1}$$1_{H}$$r2\geq 2$, Ke $rP_{I}^{\cap}|P_{1?+1}(H)$ は互いに直の時も$Q_{I1}\in F()P(H)$$||\cdot||_{0}$

となる

$0$

ま

に強収束。すなわち (3.7) も成立する。

(2.3) と (3. 10) から (3.8) が従う。特にならば (3. 12),$||\vee\tau||_{0}$,ゆえに$Q_{I1}(H)\iota KerQ_{I1^{O}}$た、 $\sum_{n=1}^{N}Q_{n}=P_{N+1}$ となりこれは (2.6) より$I1\geq 2$$P_{I2}H$の可測性を示す。

$\epsilon>0$

を任意とする。

$1/\epsilon$$\lim_{!?arrow\infty}a_{n}||Q_{1I}(x)^{\underline{|}}|=0$よりも大きい整数をとる。 (3.11) より$N\geq 2$$=$$|_{1}|(1_{H^{-}}P_{N})(x)||0$

$m$

$=$

ax

$(a_{1}||P_{2}(1_{H^{-}}P_{N})(x)||,m_{I}a_{I<}x_{\infty}a_{n}||(P_{I?+1}-P_{I1})(1_{H^{-}}P_{N})(x)||)2\underline{<}$$N<n<m_{-}ax_{\infty}a_{l?}||Q_{I1}(x)||$(3.8) から$||(1_{H^{-}}P_{N})(x)||0$

となって

$|$

、

鴎

$|_{0}$

最後に、

$H$

?

$\langle$$\epsilon|x|$がノルムであるとする。 $||x||_{0}=0$ なら任意の$||\cdot||$。

(3.9) も証明された。

き$\max_{N\leq n<\infty}|x|/I$

は可測である。

すなわち、 $Q_{II}(x)=0$

Lemma 3.9.

$\leq$$||\cdot||$の可測ノルム(3.7) より$\iota’=\sum_{1?=1}^{\infty}Q_{n}(x)-=0_{o}$

よって

$I1$

$||\cdot||_{0}$に対して$||Q_{n}(x)||=0$、はノルムである。 これで$\square$を$||\cdot||_{0}$$H$の可測ノルムとし、 $B$ をで任意の $r>0$ に対し$H$の$||\cdot||$による完備化とする。 このと

57$\{x\in H;||x||_{0}\leq r\}$$=$

$S_{r}$

が $B$ で全有界となるものがある。

Lemma 3.7 より任意の $x\in H$ に対してProof.

を$\{a_{I1}\in R:a_{I2}>0\}_{n=2}^{\infty}$となる正の実数$a_{1}||x||\leq|x|$$a_{1}$がある。

を満たす正の実数列とする。 Lemma 3.8 で定まる$\lim_{narrow\infty}a_{n}^{-}-\infty$$||\cdot||_{0}$が要求された性質を持っことを示す。

$S_{\Gamma}$

が全有界であることを示すにはつことを示せばよい。

作る。任意の$y\in S_{\Gamma}$$\chi_{D}^{\langle 0)}=\chi_{I2}$とおき$k\geq$
、

]

ような

に対して

$\leq$$||y||_{0}$は正規直交基底を持っ有限次元空間だから$\{x_{J?}^{(k- 1)}\}_{n=1}^{\infty}$$\{Q_{1c}(x_{n}^{(!1)})\}_{p=1}^{\infty}$$\epsilon>0$

が$\{x_{1I}\}_{n=1}^{\infty}$$x_{!1}^{(k-1)}$

が Cauchy 部分列を持の部分列$x_{11}^{(k)}$を以下のようにに対し$a_{1c}||Q_{1r}(y)||$$Q_{k}(H)$の任意の列$S_{\Gamma}$の部分 列$\{Q_{k}(x_{I?}^{(k)})\}_{n=1}^{\infty}$がある。 対角列$\text{携^{}k)}$(3.13)$r$$\leq$がは任意の$\{x^{(n)}\}^{\infty}n1\not\supset=1$

列になる$||\cdot||- Cauchy$$k\geq 1$

に対し

列となる。

$||\cdot||- Cauchy$

を任意とする。 $k\geq M$ ならとなる整数$a_{k} \geq\frac{r}{\epsilon}$$p\gamma$がある。 Lemma

3.7と(3.7) より
$J$$||x_{1J}^{(n)}-x_{m}^{(Bl)}||$$=$$\leq$$k\geq II$$||\cdot$$||$

なら (3.13) より-Cauchy 列だから$\lim_{jarrow\infty}||\sum_{k=1}Q_{1c}(x_{n}^{(1I)}-x_{m}^{(m)})_{I}^{1}|$$||Q_{k}(x_{n}^{(n)}-x_{m}^{(m)})|| \leq\frac{r}{a_{k}}\leq\epsilon_{o}1\leq k<M/$]$\leq k\leq 1^{\backslash \int}$

かっ $m$ ,$n$\rangle$N$$\Pi l$,$IJ\geq N$

こ 対しては$\{Q_{k}(x_{n}^{(n)})\}_{n=1}^{\infty}$

がならば$||Q_{1r}(x_{n}^{(!I)})-Q_{k}(x_{m}^{(m)})||$となる整数 $N$ がある。 ゆえに(3.14)$\sup_{1\leq k<\infty}||Q_{k}(x_{n}^{(!1)}-x_{m}^{(m)})||$$<$$\epsilon$

ならば (3. 14) は$\epsilon$

以下。 すなわち、$\{_{\vee}\tau_{1’I}^{\wedge^{\backslash D)}}\}_{n=1}^{\infty}$

58
は ||!ll-Cauchy 列である。口Definition 3. 10.
を

$B$

から

$K$

$\underline{|}$鴬をの可測ノルムとする。 $B$ を$H$

への連続線型写像とする。適当な整数$H$の$K^{n}$$I1\geq 1$、$||\cdot||$による完備化、

の可測集合

$F$
、

$P_{1}$$B^{*}$

...,

,

により

$P_{Il^{c_{-}}}arrow-B^{*}$$\{x\in B;(P_{1}(x),.,,,P_{n}(x))\in E\}$と表される集合を $B$ の cylinder set という。その全体のなす集合を $Cy1^{*}(B)$ と書く。

Lemma 3. 11.

Proof.

$T\in Cy1^{*}(B)f_{\epsilon}\zeta$$T\in Cy1^{*}(B)$$H$$K^{I1}$$I1\geq 1$、$T\cap H\in Cy1(H)_{\text{。}}$

とする。

$T=$

となる整数

ら

$\{x\in B;(P_{1}(x),\ldots,P_{n}(x))\in E \}$

の可測集合

$E$
、

,

...,

$P_{o}\in B^{*}$がある。 Lemma 3.7 より$P_{i}$のへの制限は連続だから$i^{r}’=$

は$P_{1}$

$H$

codim

$\bigcap_{i=1}\{x\in H:P_{i}(x)=0\}$の閉部分空間である。 $|H-\{0\}|$$V\leq IJ_{O}$$H=W\oplus V$

よって、 V は

norm direct supplement$V$は強閉部分空間。 また、$W$の犀成分への射影とする。

$E’$

とおくと

が離散的だから$E’$$=$$\{x\in W:(P_{1}(x),,,.,t^{y_{B}}(x))\in E\}$は配の可測集合で、$T\cap H=$$P_{l}$$=$$P_{l}P$より$\{x\in H:P(x)\in E’\}$$\in$

Cyl $(H)$を持っ。 $P\in FOP(H)$ を

59
Definition 3.12.

$r\in|K^{\cross}$とする。 $T\in Cy1^{*}(B)$ に対して

$7V_{\Gamma}(T)$$G_{r}(T\cap H)$$=$

を分散 $r$ の Wiener 測度という。
Cyl $*(B)$ は集合体であり、$Cy1^{*}(B)$で生成された

Theorem 3.13.

Proof.
$\epsilon>0$$\sigma$$h_{\Gamma}^{\gamma}$$T_{n}\in Cy1^{*}(B)$$\sigma[Cy1^{*}(B)]$

は

が

閉包を

$C$

,

$B= \bigcup_{n=1}^{\infty}T_{n}$$m$上の可算加法的測度に拡張される。

を満たすならに対し、$K^{m}$の$||\cdot||_{0}$$\sum_{1\}=1}^{\infty}W_{\Gamma}(T_{n})\geq 1$

$C$

ある。

$-\underline{|}|\cdot||_{0}$はコンパクトである。 $T\in Cy1^{*}(B)$ が

め方から

$|x$

3. 11 よりの可測集合 $E$ があるが $x\in E$ ならの定義 (3.9) より

l>r、従って、$a_{I1}^{1}||Q_{n}(x)||>r$$h^{\gamma_{\Gamma}}(\mathcal{I}’)=0$となる$\Gamma 1$$x\in T\cap Hc^{-}C^{c}$$n^{\infty}\underline{\nabla_{=1}}h^{\gamma,}(U_{D})$$\geq$となるが、$C\subset \text{俺_{}1}\Pi\zeta f_{!I}$$\sum_{\text{れ}=1}^{N}tv_{\Gamma}^{\tau}(U_{J?})$ル$\geq$$t\nu_{\Gamma}^{7}(JU_{n})n^{1}=1$

ル$\geq$$1-W_{\Gamma}(B- \bigcup_{n=1}U_{I1})$

ガ

ここで$(B- \bigcup_{n=1}U_{I1})-$

だから

での
で

となる

$||x||_{0}>r$がある。 (3.8) あるいは。

はコンパクトゆえある整数 $N$ があり、

。ゆえに

$B$

$T\cap C=\phi$$T\cap ff=P^{- 1}(F_{\lrcorner})$

ガ
$C$

で開

を満たすものがある。

あるとする。 当然、 $(T\cap H)\cap C=\phi$ 。他方 Lem ma$P(H)$$U_{I1}\in Cy1^{*}(B)$を Lem ma 3.9 の様に決める。 そこで $\{x\in H;||x||_{0}\leq r\}$ のとおく。 Lem ma 3.9 から$P\in FOP(H)$ ,であることを示せばよい。

Haar 測度は正則だから$h_{\Gamma}^{\tau}(U_{I?})\leq h^{\gamma_{\Gamma}}(T_{n})+\epsilon 2^{-n}$$U_{n^{-}}\circ T_{D^{\text{、}}}$$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$

がその上の有限加法的測度であることは容易に分かる。

-field を $\sigma[Cy1^{*}(B)]$ と書く。次の定理が本稿の主結果である。

を任意とする。 正整数集合であり、$\rho_{V_{\Gamma}^{\vee}}$$a_{1}$

で

の決

60
$1$

$\geq$$\sum_{n=1}\dagger l^{V_{\Gamma}}(U_{n})$ゆえに$\epsilon>0$

は任意だったからこれでTheorem 3.14.

Proof.
$||\cdot||’$[1,$\sigma$$W_{\Gamma}$$[ Cy1^{*}(B)]$$1-\epsilon$$\geq$$\sum_{JI=1}^{\infty}W_{\Gamma}(T_{n})$の可算加法性が証明された。

は

$B$

の

Borel 集合体である。

Proposition 2.7.2/81 よりに関する) 正規直交 Schau der 基底$\square$

$||$

引と同値な

$\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$

$B$

のノルム

を示せばよい。

$P_{n}\in B^{*}$$=$$\{x\in B:||x||’\leq 1\}$

で決める。

$\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$\sigma[Cy1^{*}(B)]$

$\in$

を

$P_{IJ}( \sum_{i=1}^{\infty}c_{l}f_{i})$$=$$c_{I1}$が正規直交 Schauder 基底だから$|_{1}|x||’$$=$$1\leq n<\infty max|P_{I1}(x)|$

よって

$S$

だから

$S\in\sigma[Cy1^{*}(B)]$

$=$

である。ロ

で

$B$

が

$($

を持っものをとる。 $(B, ||\cdot||’)$ は可分なBanach 空間だから$S$$||\cdot||’$$\bigcap_{n=1}\{x\in B : |P_{n}(x)|\leq 1\}$61
4. 計算例
以下の計算例にはかなり無理があると思われるが、 本稿で構成した測度がどの様な感じになっているかを見るためあえて掲げる。 $p$ を素数、化した $p$ 進付値とする。

m 進付値を $||p||$$=$を$||\cdot||$$||T||${の極大イデアル$\sum_{l2=- N}^{\infty}a_{11}T^{n}$$a_{D}T^{n}$$=$$\{\sum_{n=-}$::$a_{I1}\in Q_{p}$$a_{IJ}\in Q_{p}$,,$|\cdot|$$V$」$|p|=p^{-1}$をと正規が $Q_{p}((T))$ に導く$\mathfrak{m}=(p, T)$と正規化したものとする。

$p-\iota$$=$$H_{N}=$$B_{N}$$Z_{p}[[T]]$を不定元とする。

$:I’$

を整数とし

$\lim_{1Iarrow\infty}|a_{l1}\{=0\}$$1i_{-}m_{\infty}11’|p^{!2}a_{I1}|$$=0\}$ル

とおく。

$H_{N}$

はがとれる。 また、$|H_{N}|$$=$$\{p^{a} :に関して完備であり、 正規直交 Schauder 基底として例えば$|\cdot|$$||\cdot||$

は可測ノルムであり、a\in Z\}\cup\{0\}$$H_{N}$

をこれで完備化するとに注意する。以下、 $r=1$ とし、Archmedean Wiener 測度を簡単のため$W^{(N)}$$(H_{\text{ル}},B_{N})$$B_{N}$$\{T^{n}\}_{n=- N}^{\infty}$になる。 $||B_{N}||$$=$により定義される non-とおく。

整数 $M$ に対して

鞠
の測度
$S$

$W^{(N)}(K_{M})$$=$$\{x\in B:||x||\leq p^{- M}\}$を計算してみよう。 $\{(T/p)^{n}\}_{n=- N}^{\infty}$ は$B_{N}$のchauder 基底であるから、$E_{lll,M}$

とおくと$K_{M}=$$\bigcap_{I?=- N}\Gamma_{lr,M}$$\{\sum_{!l=- N}^{\infty}a_{IJ}T^{I1}\in B_{N}\{- a_{jp}|\leq p^{m- M}\}$である。 W(のは可算加法的だから$W$がなり立っ。

$=$

(ル)

$I1$

$(K_{M})$$=$$1 i_{arrow}m_{\infty}W^{(N)}n(\bigcap_{m=-N}\sum_{M},M)$$||\cdot||$

に関する正規直交62$=$$W^{(N)}( \bigcap_{\int r=-\text{ル}}^{n}E_{m,M})$$\prod_{m=- \text{ル}}^{n}\int_{\{\alpha\in Q_{P};|x|\leq p^{m- M}\}}x_{1,1}(x)d\mu_{Q_{P}}(x)$$\{\begin{array}{l}1(N\leq-N)p^{-(2M+N-n)(N+n+1)/2}(-N<I?\leq fI)p^{-(M+N)(M+N+1)/2}(-N<N<I?)\end{array}$

よって$W^{(N)}(K_{\Lambda J})$

これより

$N\geq 0$の時は $s\in C$ ,$=$$\{\begin{array}{l}1(II\leq-N)p^{-(M+N)(M+N+1)/2}(N>N)\end{array}$${\rm Re}(s)>0$

に対して(4. 1)$\int_{\{x\in B_{N};||x\{|\leq 1\}}\frac{||x.\cdot||^{s}}{W^{(N)}(\{y\in B||y||\underline{/\backslash }||x||\})}dW^{(\text{ル})}(x)$$=$$\sum_{M=0}^{\prime n}p^{- sM}(1-\frac{W^{(\text{ル})}(K_{M+1})}{W^{(\text{ル})}(K_{M})})$$=$$(1-p^{-s- 1})-p^{-\text{ル}- 1}$となる。 ここで形式的に(l-p$Narrow\infty$)とすれば (4.1) は (l-pから単純に極限を取ってもその解釈が難しい。 さらに$||\cdot||$)はとなるが、 $W^{(N)}(B_{N- 1})=0$ だ$H_{\infty}=$$\text{ル^{}(lff_{\text{ル}}}=0$の可測ノルム 「ではない」。また、数論的観点からは $Z_{p}[[T]]$ から作った 2 次元局所体上で積分することが望ましいのであるが、 現時点で、 筆者はこの場合の結果を得ていない。 Non-Archmedean

Wiene r 測度が有効なものであるかどうかを判断するためにはなお慎重な考察が必要であるよ
うに思える。

63
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